(57)【要約】      （修正有）【課題】粒子ビーム描画プロセスおよび特に電子ビーム描画プロセスにおいてショット雑音の影響をシミュレーションする方法であって、周知の従来技術の方法よりも単純で速い方法を提供する。【解決手段】プロセスは、粒子から成るビームを用いて予め設定されたパターンでサンプルの表面に当該粒子を堆積させるステップであって、当該パターンはピクセルへ細分化され、粒子の名目照射量は当該ピクセルのそれぞれと関連付けられる、堆積させるステップを備える方法において、当該堆積させるステップは、当該ピクセルのそれぞれに実際に堆積した正規化照射量の標準偏差のマップσｄを計算するステップであって、当該標準偏差のマップは、各ピクセルと関連付けられた当該名目照射量のマップＭ０および当該プロセスを特徴付ける点広がり関数ＰＳＦから計算される、計算するステップを備え、当該方法はコンピュータによって実行されることを特徴とする。【選択図】図２
2014123729.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
粒子ビーム描画プロセスにおけるショット雑音の影響をシミュレーションする方法であって、前記プロセスは、粒子から成るビームを用いて予め設定されたパターンでサンプルの表面に前記粒子を堆積させるステップであって、前記パターンはピクセルへ細分化され、粒子の名目照射量は前記ピクセルのそれぞれと関連付けられ、前記方法は、前記ピクセルのそれぞれに実際に堆積した正規化照射量の標準偏差のマップσｄを計算するステップであって、前記標準偏差のマップは、各ピクセルと関連付けられた前記名目照射量のマップＭ０および前記プロセスを特徴付ける点広がり関数ＰＳＦから計算されることを特徴とし、前記方法はコンピュータによって実行されることを特徴とする、方法。
【請求項２】
前記標準偏差のマップσｄは、次式、
【数１】
2014123729.tif 000018
を適用することによって計算され、ここで
【数２】
2014123729.tif 000019
は、座標（ｉ０，ｊ０）のピクセルに対応する要素であって前記マップσｄに属する要素であり、ｐｓｆｉ，ｊは、座標（ｉ，ｊ）のピクセルの点広がり関数ＰＳＦの値であり、〈ｍｉ，ｊ〉は、堆積した粒子の数で表され、座標（ｉ，ｊ）のピクセルと関連付けられた名目照射量の前記マップＭ０に属する要素であり、総和は、〈ｍｉ，ｊ〉＞０となるすべてのピクセルにわたって実行される、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
座標（ｉ，ｊ）の各ピクセルと関連付けられた名目照射量〈ｍｉ，ｊ〉は、０および正の整数Ｎから唯一つ選ばれた値を有し、前記標準偏差のマップσｄは、次式、
【数３】
2014123729.tif 000020
を適用することによって計算される請求項２に記載の方法。
【請求項４】
前記描画プロセスを用いて前記サンプル上に生成された少なくとも１つの構造体のエッジに対する位置範囲を決定するステップをさらに備え、前記決定するステップは、
シミュレーションされた照射量の第１および第２マップＤ１、Ｄ２を計算するステップと、
前記サンプル上に少なくとも１つのパターン構造を画定するために、前記マップのそれぞれをしきい値照射量値と比較するステップと、
前記パターン構造のそれぞれのエッジを識別するステップとを備え、
前記位置範囲は、前記エッジ間に含まれ、それゆえに識別され、
前記シミュレーションされた照射量のマップは、ｋ＞０の場合にｋσｄをそれぞれ決定論的照射量のマップＤ０に加えることおよび決定論的照射量のマップＤ０から引くことによって計算され、前記関連付けられた名目照射量のマップＭ０と前記点広がり関数ＰＳＦとを畳み込むことによって得られる、請求項１に記載の方法。
【請求項５】
ｋ＝３である請求項４に記載の方法。
【請求項６】
ショット雑音のマップδｎを決定論的照射量のマップＤ０に加えることによって、シミュレーションされた照射量のマップＤを計算するステップをさらに備え、
前記決定論的照射量のマップＤ０は、前記名目照射量のマップＭ０と前記点広がり関数ＰＳＦとを畳み込むことによって得られ、
前記ショット雑音のマップδｎは、前記標準偏差のマップσｄに、前記点広がり関数ＰＳＦによって与えられた相関長を有する正規化誤差マップＥｎを１要素ずつ掛けることによって得られる、請求項１に記載の方法。
【請求項７】
行列であって前記行列に属する要素が、前記パターンに属する各ピクセルと関連付けられた、単一の標準偏差の独立なガウス確率変数である行列εと、前記点広がり関数を畳み込むことによって、かつその結果を因数
【数４】
2014123729.tif 000021
で割って正規化することによって、前記正規化誤差マップは計算される請求項６に記載の方法。
【請求項８】
前記シミュレーションされた照射量のマップを計算するステップは、マザー誤差マップＥと呼ばれる単一の正規化誤差マップの行および列のランダム円順列によって得られた正規化誤差マップＥｎを用いて、複数回繰り返される、請求項６および７のうちのいずれか一項に記載の方法。
【請求項９】
このように得られた前記正規化誤差マップＥｎは、レジストの物理化学モデルの入力変数として用いられる請求項８に記載の方法。
【請求項１０】
前記サンプル上に少なくとも１つのそれぞれのパターン構造を画定するために、前記シミュレーションされた照射量のマップのそれぞれをしきい値照射量値と比較するステップをさらに備える請求項８に記載の方法。
【請求項１１】
前記パターン構造のそれぞれのエッジを識別するステップをさらに備える請求項１０に記載の方法。
【請求項１２】
ａ）  前記決定論的照射量のマップＤ０、前記正規化照射量の標準偏差のマップσｄ、および前記マザー誤差マップＥを計算してコンピュータメモリ内に格納するステップと、
ｂ）  前記マザー誤差マップＥの行および列の円順列と前記正規化照射量の標準偏差のマップσｄと畳み込むことによって、前記ショット雑音のマップδｎを計算するステップと、
ｃ）  前記決定論的照射量のマップＤ０を前記ショット雑音のマップδｎに加えることによって、シミュレーションされた照射量のマップＤを計算するステップとを備え、
前記ステップｂ）およびｃ）は、前記マザー誤差マップＥの行および列の種々の円順列で複数回繰り返される、請求項８、１０または１１のうちの一項に記載の方法。
【請求項１３】
前記粒子ビーム描画プロセスは、電子ビーム描画プロセスである請求項１に記載の方法。
【請求項１４】
前記描画プロセスは、前記ビームのベクトルアドレッシングを用い、前記方法は、前記パターンをピクセルに概念的に細分化しかつ前記ピクセルのそれぞれが受ける照射量を決定する工程も備える請求項１に記載の方法。
【請求項１５】
先行する請求項のうちの一項に記載の方法を実装するコンピュータプログラム製品。
【請求項１６】
請求項１から１４のうちの一項に記載の方法を実行するようにプログラミングされたコンピュータ。
【請求項１７】
請求項１から１４のうちの一項に記載の方法を用いてショット雑音の影響をシミュレーションする先行工程を備える粒子ビーム描画プロセス。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、粒子ビーム描画プロセスにおいてショット雑音の影響をシミュレーションする計算方法に関する。本方法は、特に電子ビーム描画に適用されるが、より一般的には、Ｘ線描画、レーザビーム描画、イオンビーム描画など、ショット雑音の影響を受けやすい（光子を含む）粒子から成るビームを用いる任意の描画プロセスにも適用される。ショット雑音がビームの離散的性質に起因していることが想起されるが、それゆえに使用される照射量が少数の粒子に相当するという事実を考慮に入れることが、いっそう重要である。
【背景技術】
【０００２】
描画によって画定された構造体のエッジは、ショット雑音が原因で、エッジの位置がプロセスの決定論的シミュレーションから予測される位置と正確には一致しない、不規則的な形状のエッジとなる。これにより、確実に製造することができる限界寸法（ＣＤ：ｃｒｉｔｉｃａｌ  ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ）上の制限は、より低くなる。
【０００３】
従来、ショット雑音は、モンテカルロ方法を用いてシミュレーションされているが、ここでモンテカルロアルゴリズムが模式的に図１に図示される。
【０００４】
この雑音は、乱数発生器によってシミュレーションされて、独立な確率変数の行列Ｂｎ（要素ｂｉ，ｊはポアソン分布に従う）で表され、同行列は、描画によって生成されたピクセル化（ピクセルで構成された）パターンであって要素がｍ０ｉ，ｊで示される行列Ｍ０で表されたパターンに加えられる。次に、得られた雑音のあるパターンは、点広がり関数ＰＳＦ（ｐｏｉｎｔ  ｓｐｒｅａｄ  ｆｕｎｃｔｉｏｎ）（要素がｐｓｆｉｊで示された行列ＰＳＦでも表される）と畳み込まれ、このＰＳＦは、ビーム分散の影響に依存するが、当該ビームおよびその現像プロセスによって露光された描画レジストの特性にも依存し、したがって現像プロセスを特徴付ける。実際には畳み込みＭ０AＰＳＦは、フーリエ領域内で、雑音のあるパターンの２次元フーリエ変換（ＦＴ）に、予めメモリ内に格納されたＰＳＦの２次元フーリエ変換を掛けることによって、次いでその結果の逆フーリエ変換（ＦＴ−１）：Ｍ０AＰＳＦ＝ＴＦ−１［ＴＦ（Ｍ０）＊ＴＦ（ＰＳＦ）］を実行することによって、従来は計算されている。このように、シミュレーションされた照射量のマップＤｎは、雑音の存在下におけるレジストの露光である、確率過程の起こりうる１つの（添え字「ｎ」の）生起に対して得られる。シミュレーションされた照射量Ｄｎを、使用されたレジストに依存するしきい値と比較することによって、レジストの露光の表現、したがってレジストが現像されてレジストが堆積したサンプルがエッチングされた後で取得されることになる構造体の表現が、得られる。次いで従来の画像処理方法によって、当該構造体の輪郭を抽出することが可能となる。このプロセスは数１００回繰り返され、同プロセスの統計学的研究を可能にするために、ショット雑音行列は繰り返すたびに変更される。
【０００５】
本方法の実装は、雑音行列ごとに全工程が繰り返されなければならないし、実行される計算が再利用できないので、極めて資源集約的である。特に、ショット雑音を発生させると、確率変数は、パターンに属する各ピクセルと関連付けられる必要がある。Ｂｎなどの確率変数の行列は、相関行列のコレスキ分解を用いて計算することができるが、この演算は、計算上の観点でおよびメモリ消費の点で高度に複雑である。
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
本発明は、粒子ビーム描画プロセスにおいてショット雑音の影響をシミュレーションする方法であって、周知の従来技術の方法よりも単純で速い方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
この目的を達成可能にする本発明の一主題は、粒子ビーム描画プロセスにおいてショット雑音の影響をシミュレーションする方法であって、前記プロセスは、粒子から成るビームを用いて予め設定されたパターンでサンプルの表面に前記粒子を堆積させるステップであって、前記パターンはピクセルへ細分化され、粒子の名目照射量は前記ピクセルのそれぞれと関連付けら、前記方法は、前記ピクセルのそれぞれに実際に堆積した正規化照射量の標準偏差のマップσｄを計算するステップであって、前記標準偏差のマップは、各ピクセルと関連付けられた前記名目照射量のマップＭ０および前記プロセスを特徴付ける点広がり関数ＰＳＦから計算されることを特徴とし、前記方法はコンピュータによって実行されることを特徴とする、方法である。
【０００８】
特に、前記標準偏差のマップσｄは、次式、
【０００９】
【数１】
2014123729.tif 000003
【００１０】
を適用することによって計算することができ、ここで
【００１１】
【数２】
2014123729.tif 000004
【００１２】
は、座標（ｉ０，ｊ０）のピクセルに対応する前記マップσｄに属する要素であり、ｐｓｆｉ，ｊは、座標（ｉ，ｊ）のピクセルの点広がり関数ＰＳＦの値であり、〈ｍｉ，ｊ〉＝ｍ０ｉ，ｊは、堆積した粒子の数で表され、座標（ｉ，ｊ）のピクセルと関連付けられた名目照射量の前記マップＭ０に属する要素であり、総和は、〈ｍｉ，ｊ〉＞０となるすべてのピクセルにわたって実行される。
【００１３】
座標（ｉ，ｊ）の各ピクセルと関連付けられた名目照射量〈ｍｉ，ｊ〉が、０および正の整数Ｎから唯一つ選ばれた値を有する特定の事例（すなわち露光しなければならないすべてのピクセルに所与の名目照射量が適用され、前記パターンに属する残りのピクセルにゼロの照射量が適用される場合）では、前記標準偏差のマップσｄは、次式、
【００１４】
【数３】
2014123729.tif 000005
【００１５】
を適用することによって計算することができ、同式は、前式から導き出されるが、より単純な形式を有する。
【００１６】
前記方法は、前記描画プロセスを用いて前記サンプル上に生成された少なくとも１つの構造体のエッジに対する位置範囲を決定するステップをさらに備え、前記決定するステップは、
シミュレーションされた照射量の第１および第２マップＤ１、Ｄ２を計算するステップと、
前記サンプル上に少なくとも１つのパターン構造を画定するために、前記マップのそれぞれをしきい値照射量値と比較するステップと、
前記パターン構造のそれぞれのエッジを識別するステップとを備え、
前記位置範囲は、前記エッジ間に含まれ、それゆえに識別され、
前記シミュレーションされた照射量のマップは、ｋ＞０の場合にｋσｄをそれぞれ決定論的照射量のマップＤ０に加えることおよび決定論的照射量のマップＤ０から引くことによって計算され、前記関連付けられた名目照射量のマップＭ０と前記点広がり関数ＰＳＦとを畳み込むことによって得ることができる。
【００１７】
特に、ｋは、３に等しいように選ぶことができる。
【００１８】
一変形例としてまたは加えて、前記方法は、ショット雑音のマップδｎを決定論的照射量のマップＤ０（既知であると仮定した点広がり関数の影響を含むが、雑音の影響ではない）に加えることによって、シミュレーションされた照射量のマップＤを計算するステップをさらに備え、
−  前記決定論的照射量のマップＤ０は、前記名目照射量のマップＭ０と前記点広がり関数ＰＳＦとを畳み込むことによって得られ、
−  前記ショット雑音のマップδｎは、前記標準偏差のマップσｄに、前記点広がり関数ＰＳＦによって与えられた相関長を有する正規化誤差マップＥｎを１要素ずつ掛けることによって得ることができる。
【００１９】
特に、行列に属する要素が、前記パターンに属する各ピクセルと関連付けられた、単一の標準偏差の独立なガウス確率変数である行列εと、前記点広がり関数を畳み込むことによって、かつその結果を因数
【００２０】
【数４】
2014123729.tif 000006
【００２１】
で割って正規化することによって、前記正規化誤差マップを計算することができる。
【００２２】
統計学的研究を実行するために、前記シミュレーションされた照射量のマップを計算するステップは、マザー誤差マップＥと呼ばれる単一の正規化誤差マップの行および列のランダム円順列によって得られた正規化誤差マップＥｎを用いて、複数回繰り返すことができるが、誤差マップを計算することかつこの誤差マップを決定論的照射量のマップに加えることだけを繰り返さなければならないことは注目に値することであり、しかも誤差マップの計算はこのように従来技術の方法の事例よりもはるかに単純である。
【００２３】
このように得られた前記正規化誤差マップＥｎは、レジストの物理化学モデルの入力変数として用いることができる。
【００２４】
一変形例として、前記方法は、前記サンプル上に少なくとも１つのそれぞれのパターン構造を画定するために、前記シミュレーションされた照射量のマップのそれぞれをしきい値照射量値と比較するステップ、および前記パターン構造のそれぞれのエッジを識別するステップをさらに備えることができる。
【００２５】
有利なことに、前記方法は、
ａ）前記決定論的照射量のマップＤ０、前記正規化照射量の標準偏差のマップσｄ、および前記マザー誤差マップＥを計算してコンピュータメモリ内に格納するステップと、
ｂ）前記マザー誤差マップＥの行および列の円順列と前記正規化照射量の標準偏差のマップσｄを１要素ずつ掛けることによって、前記ショット雑音のマップδｎを計算するステップと、
ｃ）前記決定論的照射量のマップＤ０を前記ショット雑音のマップδｎに加えることによって、シミュレーションされた照射量のマップＤを計算するステップとを備え、
前記ステップｂ）およびｃ）は、前記マザー誤差マップＥの行および列の種々の円順列で複数回繰り返すことができる。
【００２６】
上述したように、前記粒子ビーム描画プロセスは、特に電子ビーム描画プロセスとすることができる。
【００２７】
特に、前記描画プロセスは、前記ビームのベクトルアドレッシングを用いることができ、前記方法は、前記パターンをピクセルに概念的に細分化しかつ前記ピクセルのそれぞれが受ける照射量を決定する工程も備えることができる。
【００２８】
本発明の別の主題は、このような方法を実装するコンピュータプログラム製品である。
【００２９】
本発明のさらに別の主題は、このような方法を実行するようにプログラミングされたコンピュータである。
【００３０】
本発明のさらに別の主題は、このような方法を用いてショット雑音の影響をシミュレーションする先行工程を備える粒子ビーム描画プロセスである。このようなプロセスは、特に電子または光電子部品、集積回路、微小電気機械式デバイス（ＭＥＭＳ）および／またはフォトリソグラフィマスクを製作するのに用いることができる。
【００３１】
本発明の他の特徴、詳細および利点は、以下の（例として与えられた）添付された図面を参照して、与えられた説明を読み取ると、明らかになる。
【図面の簡単な説明】
【００３２】
【図１】従来の方法のフローチャートである。
【図２】本発明の２つの実施形態による方法のフローチャートである。
【図３】本発明の方法を図示するのに用いられる、生成すべき描画パターンを示す。
【図４Ａ】図３のパターンに属する各ピクセルと対応してサンプル上に実際に堆積した正規化照射量の標準偏差のマップσｄの計算の有効性を正当化する。
【図４Ｂ】図３のパターンに属する各ピクセルと対応してサンプル上に実際に堆積した正規化照射量の標準偏差のマップσｄの計算の有効性を正当化する。
【図４Ｃ】図３のパターンに属する各ピクセルと対応してサンプル上に実際に堆積した正規化照射量の標準偏差のマップσｄの計算の有効性を正当化する。
【図５】図３のパターンに属する各ピクセルと対応してサンプル上に実際に堆積した正規化照射量の標準偏差のマップσｄの計算の有効性を正当化する。
【図６】図３のパターンに属する各ピクセルと対応してサンプル上に実際に堆積した正規化照射量の標準偏差のマップσｄの計算の有効性を正当化する。
【図７】サンプル上の具体的な場所に実際に堆積した照射量の自己相関関数を図示する。
【図８Ａ】本発明によって得られた誤差マップである。
【図８Ｂ】誤差マップの相関関数のグラフであり、ポアソン統計に従う雑音を含有する描画パターン用に得られた相関関数と比較している。
【図９】図９Ａの本発明による方法によって決定された位置範囲であって電子ビーム描画によって生成された構造体のエッジの位置範囲を、図９Ｂの従来技術による方法によって決定された位置範囲であって電子ビーム描画によって生成された構造体のエッジの位置範囲と比較することによって、本発明の技術的結果を図示する。
【発明を実施するための形態】
【００３３】
本発明は、「ラスタ画像」電子ビーム描画プロセス、すなわち描画レジストで覆われたサンプル上のピクセル化パターンを、「スポット」電子ビームを用いて一つ一つ掃引する描画プロセス、に関連して以下に説明される。しかしながら、上述したように、電子以外の粒子を用いたプロセスにも適用される。本発明は、ベクトルアドレッシングを用いた描画技術、例えば予め設定された形状（一般に長方形）および露光フィールドによって異なるサイズを有するビーム、にも適用可能である。この事例では、書き込みゾーンは、概念的にピクセルへ細分化（ピクセルに表現）されるが、照射量は当該の予め設定されたゾーンのそれぞれの内部で一様な分布を有すると仮定され、したがって各ピクセルが受ける照射量は決定され、それによってこの事例を結果的にラスタ画像プロセスの事例に変える。
【００３４】
本発明によるプロセスのアルゴリズム表現が、図２のフローチャートによって図示される。同図に見られるように、このプロセスは２つの主要部分を備え、これらの部分は任意の順序でまたは並列に実行することができ、一方は、点広がり関数の影響を含む（要素ｄｉ，ｊの）決定論的照射量のマップ（または行列）Ｄ０の計算であり、同関数は既知であると仮定されるが、雑音の影響ではなく（フローチャートの左側分岐）、他方は、ショット雑音のマップ（または行列）δｎの計算（右側分岐）である。ショット雑音の具体的な例に対応する照射量マップＤｎは、決定論的照射量のマップとショット雑音の当該の例に対応するマップδｎとを単に加算するだけ、すなわちＤｎ＝Ｄ０＋δｎによって得られる。フローチャートの左側分岐は、所与の描画パターンＭ０に対しておよび点広がり関数ＰＳＦによって特徴付けられた所与の描画プロセスに対して、１回だけ実行しなければならない工程に対応し、これは単に行列Ｍ０とＰＳＦを畳み込むだけの問題となる。このように計算されたマップＤ０は、次いでメモリ内に格納することができる。以下で説明されるように、右側分岐は、１回だけ実行することができる工程であって中間結果に導いてメモリ内に格納するように意図される工程、およびショット雑音行列ごとに繰り返さなければならない工程を両方とも備える。工程の大半を共同利用し、中間結果をメモリ内に格納すると、全工程またはほぼ全工程が、雑音行列ごとに繰り返さなければならない図１のアルゴリズムに比較して、利用される計算資源の点でかなり節約することが可能となる。
【００３５】
本発明によれば、ショット雑音の行列δｎの計算は、３つの部分、すなわち、座標（ｉ０，ｊ０）のピクセルに堆積した正規化照射量の標準偏差を各要素
【００３６】
【数５】
2014123729.tif 000007
【００３７】
が表すマップσｄの計算、「マザー」マップＥと呼ばれる誤差マップであって点広がり関数ＰＳＦによって与えられた相関長を有する正規化誤差マップの計算、ならびにσｄおよびＥからδｎを求める計算、に分割される。
【００３８】
本発明の特に有利な一特徴によれば、マップσｄは、パターンＭ０および点広がり関数ＰＳＦから決定論的に計算され、したがってこの計算を実行しなければならないのは１回だけであり、それゆえに標準偏差のマップはメモリ内に格納可能な中間結果である。
【００３９】
本発明の別の特に有利な特徴によれば、「マザー」マップＥは、独立な確率変数の行列εおよび点広がり関数ＰＳＦから１回だけ計算された中間結果でもある。
【００４０】
したがって、Ｅおよびσｄからのδｎの計算、ならびにＤｎを見いだすことを可能にする和Ｄ０＋δｎ（Ｒで示されたフローチャートの部分）だけが、複数回繰り返されなければならない。しかしながら、以下に示されるように、これらの工程は極めて単純である。
【００４１】
さらに、ほとんどの事例で、複数のショット雑音行列に対する照射量マップＤｎを計算する必要さえない。電子ビーム描画によって生成された構造体のエッジに対する「起こりそうな」位置範囲を決定することだけが目的である場合、２つの極端な事例、すなわちパターンに属する各ピクセルが、予測される平均値よりも大幅に高い照射量を受ける事例、およびパターンに属する各ピクセルが、当該の平均値よりも大幅に低い照射量を受ける事例、を考慮することで十分であるとすることができる。これらの極端な事例は、ｋ＞０の場合に行列ｋσｄを決定論的照射量のマップＤ０に加えること、および決定論的照射量のマップＤ０から引くことによって得られる。ｋを高くすればするほど、計算範囲外にエッジを得るリスクは低下するが、当該の範囲の幅は大きくなり、それゆえに必要以上に高いｋ値を選ぶと、プロセスの限界寸法の見積もりを過度に悲観的にすることを理解されたい。実際には、ｋの値は、大体においてｋ＝３に設定されることになる。本方法のこの２番目の単純化された実施形態は、図２のフローチャート内に点線で図示される。
【００４２】
図２において、さらに図１と同様に、畳み込み工程は、フーリエ領域内で実行される。これは、有利なことであるが、本方法の本質的な特徴ではない。
【００４３】
本方法のこの全体の説明に続いて、σｄの計算およびδｎを決定するためのσｄの用法が次に考察されることになる。本方法によって実行される残りの工程は、単純（畳み込みおよび総和）であり、特に注意を払う必要はない。
【００４４】
標準偏差のマップσｄの計算は、図３に図示されたようなパターンの事例に関して最初に検証されることになり、同図で各ピクセルに堆積することが望ましい名目照射量は、０（白色ピクセル）または正の整数Ｎ（黒色ピクセル）となる。各ピクセルの「書き込み」中にサンプル上に実際に堆積した照射量は、ポアソンの法則に追随する確率分布を有する確率変数ｍｉ，ｊによって事実上表され、同確率変数の平均値〈ｍｉ，ｊ〉＝ｍ０ｉ，ｊは０またはＮである。さらに、座標（ｉ，ｊ）のピクセルの書き込み中にサンプル上へ向けられたｍｉ，ｊ電子は、点広がり関数ＰＳＦの有限の幅に起因して、事実上複数のピクセルに分布することになる。正規化照射量Ｄは、ＭとＰＳＦを畳み込み、Ｎで割ることによって定義される。
【００４５】
【数６】
2014123729.tif 000008
【００４６】
次いで行列Ｄの各要素ｄｉ，ｊは、独立な確率変数の総和から生じ、独立な確率変数の数は、適用される中心極限定理に対して十分に多い。したがって、ガウス分布であって同ガウス分布の標準偏差σがパターンに属するすべてのピクセルの標準偏差の２乗和の平方根に等しいガウス分布に、Ｄの各要素は追随する。実際、厳密に言えば、正規化照射量の負値が禁じられているので、確率密度関数が厳密にはガウス分布とすることができないことに留意されたい。しかしながら、標準偏差が平均値に対して十分に小さい場合、これは無視することができる。
【００４７】
この計算を実行すると、
【００４８】
【数７】
2014123729.tif 000009
【００４９】
が与えられる。
【００５０】
確率変数ｍｉ，ｊの標準偏差が、
【００５１】
【数８】
2014123729.tif 000010
【００５２】
および
【００５３】
【数９】
2014123729.tif 000011
【００５４】
であるので、上述した方程式は次の通りに単純化される。
【００５５】
【数１０】
2014123729.tif 000012
【００５６】
結論として、ｍ０ｉ，ｊが０またはＮである場合の事例（図２のフローチャートで考察された事例であるが、非限定的例にすぎない事例として）では、標準偏差のマップσｄは、名目照射量のマップＭ０と関数ＰＳＦ２との畳み込みを計算することによって、次いでその結果の平方根を取ることによって得られる。
【００５７】
方程式２の有効性は、
【００５８】
【数１１】
2014123729.tif 000013
【００５９】
によって与えられたＰＳＦを用いて、図３のパターンを２０４８回シミュレーションすることによってテストされていて、ここでｒはビームの中心に対する半径方向の距離であり、α＝２５．２、β＝２９７、η＝０．４８であり、名目照射量が３０μＣ／ｃｍ2の場合である。
【００６０】
図４Ａ、図４Ｂおよび図４Ｃは、座標（１７９，１３０）、（１８８、２７１）および（１８８、１７５）の３つのピクセルに実際に受けた照射量のヒストグラムを示し、図４Ａのヒストグラムは、もっとも高い非対称率または「歪度」を有するヒストグラムであり（すなわちこの照射量ヒストグラムは高照射量の方にもっとも大きいゆがみを有し）、図４Ｂのヒストグラムは、もっとも低い歪度を有するヒストグラムであり（すなわちこの照射量ヒストグラムは低照射量の方にもっとも大きいゆがみを有し）、図４Ｃのヒストグラムは、ゼロの歪度を有する（すなわちその照射量ヒストグラムは対称である）。線は、最大ガウス分布の補間を示す。特に、これらの図により、正規化照射量ｄｉ，ｊがガウス分布に実質的に追随することを実証することが可能となり、ガウス分布は、まさに方程式１および２の導出が基づいている仮定であった。
【００６１】
図５は、２０４８回のシミュレーションに基づいて測定された正規化照射量の標準偏差（垂直ｙ軸）と、方程式１を用いて計算された標準偏差（水平ｘ軸）との関係を示す。極めて１に近い傾斜および０のｙ切片を有する線形的な関係が観察される。
【００６２】
図６の左側部分は、測定された標準偏差のマップと計算された標準偏差のマップとの差のグレースケール表現を示し、この差が、描画パターンの特徴（思い出させる目的で同図の右側部分に復元される）に依存しないことを質的に実証することが可能となっている。
【００６３】
上述したように、方程式１または２を用いて計算された標準偏差のマップσｄにより、電子ビーム描画によって生成された構造体のエッジに対する位置範囲を決定することが可能となる。さらに、σｄの知識により、ショット雑音のマップδｎを計算することが可能となる。特に、本発明の有利な一態様によれば、当該のマップδｎは、σｄと、ガウス分布を有しかつ１に等しい標準偏差を有する相関性のある確率変数の行列によって表される誤差マップＥｎとを１要素ずつ掛けることによって得られ、すなわち
【００６４】
【数１２】
2014123729.tif 000014
【００６５】
であり、ここで「・×」は１要素ずつ実行する乗算演算子である。
【００６６】
所要の自己相関特性を有する確率変数の行列を計算することができる複数のやり方があり、例えばプロセスの特徴的相関行列のコレスキ分解を実行し、そこから相関性のある確率変数を推定することが従来通りに可能となる。しかしながら、本発明の有利な一態様によれば、独立かつ同一に分布した、εで示される確率変数の行列を、点広がり関数ＰＳＦと畳み込むことによって、この行列を計算することが好ましい。さらに有利なことに、「マザー」行列Ｅと呼ばれる行列を与えるために、この計算を実行するのは１回だけでよい。当該の「マザー」行列の行および列の円順列によって、種々の行列Ｅｎを得ることができる。結論として、フーリエ領域内で畳み込み計算を表すと、
【００６７】
【数１３】
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【００６８】
【数１４】
2014123729.tif 000016
【００６９】
と書くことが可能であり、ここでＣｋ，ｌは、独立変数の行および列をそれぞれｋ回およびｌ回循環的に並べ換える演算子である。有利なことに、ｋおよびｌは、ランダムに選ばれる。
【００７０】
このように、描画プロセスの統計学的研究を実行するために複数回繰り返さなければならない工程は、（予めメモリ内に格納された）マザー行列Ｅの行および列の円順列を実行してＥｎを決定すること、当該の行列Ｅｎと（同様に予めメモリ内に格納された）標準偏差のマップσｄとを１要素ずつ掛けてδｎを見いだすこと、最後に（予めメモリ内に順々に格納された中間結果である）Ｄ０とδｎの和を実行してＤｎを得ること、
【００７１】
【数１５】
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【００７２】
だけである。
【００７３】
例として、図７の左側部分は、同図の右側部分に見える十字形によって識別されたパターンに属するピクセルに対して計算された、正規化照射量の自己相関関数を示す。この計算により、相関長が点広がり関数の幅に質的に関連することを実証することが可能となる。
【００７４】
図８Ａは、本発明によって得られた誤差マップを示す（方程式４の適用によるマザーマップの計算、次いでそのマップの行および列の円順列）。図８Ｂは、自己相関関数ＡＣのプロットを示し、ＡＣは、ポアソン分布を有するランダムパターンから計算された自己相関関数（ＡＣＰ）と事実上同一であると分かる。
【００７５】
計算上の簡単さで注目に値するにもかかわらず、本発明の方法が、図１のフローチャートによって図示された従来の方法の結果と事実上同一の結果を得ることが可能なことを、図９Ａおよび図９Ｂにより実証することが可能となる。これらの２つの図は、電子ビーム描画によって生成された構造体Ｓを示し、より正確にはこの構造体は、エッジＢＳを有するほぼ直線的軌道を成している。特にショット雑音のために、これらのエッジの位置には不確定要素があり、こういう訳で各エッジは、位置範囲ＰＰＬの境界を示す２本の線で表され、この範囲内に位置決めされた線Ｌは、プロセスの特定の実施形態に対して得られたエッジに一致する。図９Ａの事例では、位置範囲ＰＰＬは、マップＤ０＋３σｄおよびマップＤ０−３σｄを、プロセスに使用された描画レジストに対する照射量のしきい値と比較することによって画定され、σｄは方程式２で与えられ、一方、線Ｌは、方程式６を適用することによって発生した照射量マップＤｎから、しきい値処理することによって得られた。対照的に、図９Ｂは、従来技術による完全なモンテカルロシミュレーションよって得られた。これらの２つの図間の類似点は著しいが、本発明によって得られた時間の節約は、従来のモンテカルロシミュレーションに比較して、約５０００倍となる。
【００７６】
動作中の影響の正確な統計学的研究を実行することが望ましい場合、照射量マップＤｎは、複数の異なるショット雑音行列に対して計算されることになり、このように計算された各マップＤｎは、レジスト感度の複雑な物理化学モデルの入力変数として、用いられることになる。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４Ａ】
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【図４Ｂ】
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【図４Ｃ】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８Ａ】
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【図８Ｂ】
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【図９】
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【外国語明細書】
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