(57)【要約】【課題】基板ステージの位置と目標位置との偏差の低減に有利な技術を提供する。【解決手段】基板を露光する露光装置であって、前記基板を保持して移動するステージと、前記ステージを指令値に従って制御するステージ制御系と、前記基板に照射される露光光を検出して前記基板への露光が開始された露光開始時刻を特定する特定部と、前記特定部で特定された露光開始時刻における前記ステージの位置情報に基づいて前記基板の露光期間中の複数の時刻における前記ステージの位置を算出し、前記算出した前記複数の時刻における前記ステージの位置から前記露光期間中の少なくとも一部の期間における前記ステージの平均の位置を求め、当該ステージの平均の位置を目標位置に一致させるための指令値を前記ステージ制御系に与える主制御系と、を有することを特徴とする露光装置を提供する。【選択図】図２
2014078640.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
基板を露光する露光装置であって、
前記基板を保持して移動するステージと、
前記ステージを指令値に従って制御するステージ制御系と、
前記基板に照射される露光光を検出して前記基板への露光が開始された露光開始時刻を特定する特定部と、
前記特定部で特定された露光開始時刻における前記ステージの位置情報に基づいて前記基板の露光期間中の複数の時刻における前記ステージの位置を算出し、前記算出した前記複数の時刻における前記ステージの位置から前記露光期間中の少なくとも一部の期間における前記ステージの平均の位置を求め、当該ステージの平均の位置を目標位置に一致させるための指令値を前記ステージ制御系に与える主制御系と、
を有することを特徴とする露光装置。
【請求項２】
前記主制御系は、前記ステージ制御系の入出力特性である前記ステージの位置応答を表すモデルを用いて、前記基板の露光期間中の複数の時刻における前記ステージの位置を算出することを特徴とする請求項１に記載の露光装置。
【請求項３】
前記モデルは、前記露光開始時刻における前記ステージの位置情報を初期値として前記基板の露光期間中の複数の時刻における前記ステージの位置を順次与える状態空間モデルであることを特徴とする請求項２に記載の露光装置。
【請求項４】
前記ステージの位置情報は、前記露光開始時刻における前記ステージの位置及び前記露光開始時刻における前記ステージの速度の少なくとも一方を含むことを特徴とする請求項１乃至３のうちいずれか１項に記載の露光装置。
【請求項５】
前記主制御系は、前記露光期間中の全ての期間における前記ステージの平均の位置を目標位置に一致させるための指令値を前記ステージ制御系に与えることを特徴とする請求項１乃至４のうちいずれか１項に記載の露光装置。
【請求項６】
前記ステージ制御系は、比例項と、積分項と、微分項とを含むＰＩＤ制御器を有し、
前記指令値は、前記微分項には与えられず、前記比例項及び前記積分項に与えられることを特徴とする請求項１乃至５のうちいずれか１項に記載の露光装置。
【請求項７】
請求項１乃至６のうちいずれか１項に記載の露光装置を用いて基板を露光する工程と、
前記工程で露光された前記基板を現像する工程と、
を有することを特徴とするデバイスの製造方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、露光装置及びデバイスの製造方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
半導体デバイスを製造する際に、レチクル（マスク）のパターンを投影光学系によって基板に投影してパターンを転写する露光装置が使用されている。露光装置において、基板を保持する基板ステージは、基板の上の所望の位置に露光光を照射するために、投影光学系の光軸に対して垂直な平面に沿って移動可能となっている。
【０００３】
図１４は、基板ステージを目標位置に移動させたときの基板ステージの位置の時間変化を示す図である。図１４では、横軸に時間［ｓ］を採用し、縦軸に基板ステージの位置と目標位置との偏差（以下、「ステージ偏差」とする）を採用している。基板ステージは、一般的に、目標位置をオーバーシュートしながら目標位置に収束していく。露光装置では、図１４に示すように、基板ステージが目標位置にある程度収束した状態で露光が行われる。但し、露光期間においても、基板ステージの移動による振動が完全には収まっていないため、基板ステージは目標位置からずれた位置に存在している（即ち、基板ステージの位置と目標位置とが完全に一致しているのではない）。
【０００４】
露光期間におけるステージ偏差は基板に転写されるパターンの位置ずれの要因となる。具体的には、露光期間におけるステージ偏差の平均がパターンの位置ずれとして現れる。従って、露光期間におけるステージ偏差を低減させることが重要となる。また、近年では、露光装置の生産性を向上させるために、基板ステージを移動させてから露光を開始するまでの時間（整定時間）の短縮が求められている。
【０００５】
そこで、基板ステージの入出力応答（入力：目標位置、出力：基板ステージの位置）をモデル化してステージ偏差を予測可能とする技術（モデル予測制御）が提案されている（特許文献１参照）。ステージ偏差が予測できれば、かかるステージ偏差を低減する（ステージ偏差を生じさせない）ように、目標位置（指令）を基板ステージに与えればよい。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００６】
【特許文献１】特開２００４−０３０５５３号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
しかしながら、実際の基板ステージを完全にモデル化することは不可能であるため、モデル化誤差によるステージ偏差をなくすことはできない。露光装置では、露光期間におけるステージ偏差の平均がパターンの位置ずれになるため、基板ステージを目標位置に移動させてから露光が終了するまでの基板ステージの伝達特性をモデル化する必要がある。換言すれば、基板ステージの移動の開始、基板ステージの移動の終了、露光の開始、露光の終了の順で進行するタイムスケジュールをモデル化しなければならない。但し、実際の露光装置は、モデル化したタイムスケジュールに完全に一致して動作するわけではないため、その動作タイミングのずれがモデル化誤差となる。特に、露光を開始する時刻（即ち、露光光が基板に照射される時刻）はばらつくため、そのモデル化誤差は無視することができない。
【０００８】
本発明は、このような従来技術の課題に鑑みてなされ、基板ステージの位置と目標位置との偏差の低減に有利な技術を提供することを例示的目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
上記目的を達成するために、本発明の一側面としての露光装置は、基板を露光する露光装置であって、前記基板を保持して移動するステージと、前記ステージを指令値に従って制御するステージ制御系と、前記基板に照射される露光光を検出して前記基板への露光が開始された露光開始時刻を特定する特定部と、前記特定部で特定された露光開始時刻における前記ステージの位置情報に基づいて前記基板の露光期間中の複数の時刻における前記ステージの位置を算出し、前記算出した前記複数の時刻における前記ステージの位置から前記露光期間中の少なくとも一部の期間における前記ステージの平均の位置を求め、当該ステージの平均の位置を目標位置に一致させるための指令値を前記ステージ制御系に与える主制御系と、を有することを特徴とする。
【００１０】
本発明の更なる目的又はその他の側面は、以下、添付図面を参照して説明される好ましい実施形態によって明らかにされるであろう。
【発明の効果】
【００１１】
本発明によれば、例えば、基板ステージの位置と目標位置との偏差の低減に有利な技術を提供することができる。
【図面の簡単な説明】
【００１２】
【図１】本発明の一側面としての露光装置の構成を示す概略図である。
【図２】図１に示す露光装置の基板ステージの入出力応答をモデル化したブロック線図である。
【図３】図１に示す露光装置の基板ステージのモデル化を説明するための図である。
【図４】図１に示す露光装置の基板ステージのドライバのモデル化を説明するための図である。
【図５】図１に示す露光装置の基板ステージ及び基板ステージのドライバのモデル化を説明するための図である。
【図６】図１に示す露光装置の基板ステージの制御系に含まれるＰＩＤ制御器のブロック線図である。
【図７】図６に示すＰＩＤ制御器のモデル化を説明するための図である。
【図８】図１に示す露光装置のフィードバックループ系のモデル化を説明するための図である。
【図９】図１に示す露光装置の基板ステージの制御系の全体のモデル化を説明するための図である。
【図１０】図１に示す露光装置の基板ステージを目標位置に移動させたときの基板ステージの位置を表す時系列データを示す図である。
【図１１】図１に示す露光装置の基板ステージが目標位置に到達する時刻以降の時刻におけるステージ偏差を示す図である。
【図１２】露光開始時刻のばらつきとステージ偏差の平均との関係を示す図である。
【図１３】露光期間におけるステージ偏差を表す時系列データを示す図である。
【図１４】基板ステージがある距離を移動した際の基板ステージの位置の時間変化を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００１３】
以下、添付図面を参照して、本発明の好適な実施の形態について説明する。なお、各図において、同一の部材については同一の参照番号を付し、重複する説明は省略する。
【００１４】
図１は、本発明の一側面としての露光装置１の構成を示す概略図である。露光装置１は、例えば、ステップ・アンド・リピート方式でレチクル（マスク）のパターンを基板に転写する（即ち、基板を露光する）リソグラフィー装置である。
【００１５】
露光装置１は、光源１０２からの光でレチクル１０６を照明する照明光学系１０４と、レチクル１０６を保持して移動するレチクルステージ１０８と、レチクル１０６のパターンを基板１１２に投影する投影光学系１１０とを有する。また、露光装置１は、基板１１２を保持して移動する基板ステージ１１４と、参照ミラー１１６と、レーザ干渉計１１８と、特定部１２０と、ステージ制御系１２２と、主制御系１３０とを有する。
【００１６】
光源１０２は、例えば、超高圧水銀ランプ（ｇ線、ｈ線、ｉ線）を使用する。但し、光源１０２の種類や個数は限定されず、例えば、波長約２４８ｎｍのＫｒＦエキシマレーザ、波長約１９３ｎｍのＡｒＦエキシマレーザなどのエキシマレーザ、波長約１５７ｎｍのＦ２レーザなどを使用してもよい。
【００１７】
照明光学系１０４は、光源１０２からの光でレチクル１０６を照明する光学系である。照明光学系１０４は、光源１０２からの光の形状を整形するビーム整形光学系やレチクル１０６を均一な照度分布で照明するための多数の２次光源を形成するオプティカルインテグレータなどを含む。
【００１８】
レチクル１０６は、基板１１２に転写すべきパターンを有し、レチクルステージ１０８に保持及び駆動される。レチクル１０６（のパターン）で回折された光は、投影光学系１１０を介して、基板１１２に投影される。レチクル１０６と基板１１２とは、光学的に共役の関係に配置される。露光装置１は、ステップ・アンド・リピート方式の露光装置であるため、レチクル１０６と基板１１２とを静止させた状態で基板１１２を露光する。
【００１９】
レチクルステージ１０８は、レチクル１０６を保持（吸着）するためのチャックを含み、Ｘ軸方向、Ｙ軸方向、Ｚ軸方向及び各軸の回転方向に移動可能に構成される。
【００２０】
投影光学系１１０は、レチクル１０６のパターンを基板１１２に投影する光学系である。投影光学系１１０は、屈折系、反射屈折系、或いは、反射系を使用することができる。
【００２１】
基板１１２は、レチクル１０６のパターンが投影（転写）される基板である。基板１１２には、レジスト（感光剤）が塗布されている。基板１１２は、ウエハ、ガラスプレート、その他の基板を含む。
【００２２】
基板ステージ１１４は、基板１１２を保持（吸着）するためのチャックを含み、Ｘ軸方向、Ｙ軸方向、Ｚ軸方向及び各軸の回転方向に移動可能に構成される。また、基板ステージ１１４には、基板ステージ１１４の位置を計測する際に使用される参照ミラー１１６が固定されている。レーザ干渉計１１８は、基板ステージ１１４に固定された参照ミラー１１６までの距離を計測する。レーザ干渉計１１８は、本実施形態では、基板ステージ１１４の位置に関する情報（位置情報）を取得する取得部として機能する。ここで、位置情報は、基板ステージ１１４の位置及び基板ステージ１１４の速度の少なくとも一方を含む。
【００２３】
特定部１２０は、基板１１２に照射される露光光を検出して基板１１２への露光が開始された露光開始時刻を特定する。特定部１２０は、例えば、照明光学系１０４の光路に配置されて照明光学系１０４を通過する露光光の一部を反射するハーフミラーと、かかるハーフミラーで反射された露光光を検出するセンサとを含み、センサが露光光を検出した時刻を露光開始時刻として特定する。
【００２４】
ステージ制御系１２２は、主制御系１３０の制御下において（具体的には、主制御系１３０からの指令値に従って）、基板ステージ１１４を制御する。
【００２５】
主制御系１３０は、露光装置１の動作（全体）を制御する。例えば、主制御系１３０は、特定部１２０で特定された露光開始時刻における基板ステージ１１４の位置情報をレーザ干渉計１１８から取得し、かかる位置情報に基づいて基板１１２の露光期間中の複数の時刻における基板ステージ１１４の位置を算出する。そして、主制御系１３０は、露光期間中の複数の時刻における基板ステージ１１４の位置から露光期間中の少なくとも一部の期間における基板ステージ１１４の平均の位置を求め、かかる位置を目標値位置に一致させるための指令値をステージ制御系１２２に与える。この際、主制御系１３０は、ステージ制御系１２２の入出力特性である基板ステージ１１４の位置応答を表すモデルを用いて、基板１１２の露光期間中の複数の時刻における基板ステージ１１４の位置を算出する（即ち、モデル予測演算を行う）。主制御系１３０は、本実施形態では、特定部１２０を構成するセンサが露光光を検出した時刻、即ち、露光開始時刻にモデル予測演算を開始するため、かかる演算を高速で完了させる必要がある。そこで、基板ステージ１１４の位置応答を表すモデルとしては、露光開始時刻における基板ステージ１１４の位置情報を初期値として露光期間中の複数の時刻における基板ステージ１１４の位置を順次与える状態空間モデルを用いる。
【００２６】
以下、本実施形態における基板ステージ１１４の入出力応答のモデル化について説明する。図２は、基板ステージ１１４の入出力応答をモデル化したブロック線図である。基板ステージ１１４の制御においては、基板ステージ１１４に目標位置が与えられると、基板ステージ１１４の現在の位置が目標位置からどれだけ乖離しているか（基板ステージ１１４の位置と目標位置との偏差（ステージ偏差））が演算される。かかる偏差にＰＩＤゲインをかけたものが、操作量として基板ステージ１１４のドライバに与えられる。ドライバは、与えられた操作量に応じて、基板ステージ１１４を移動させるための推力（モータ推力）を発生させる。但し、推力を発生させるまでには僅かな遅れが生じるため、かかる遅れを１次遅れ系でモデル化する。
【００２７】
基板ステージ１１４は、本実施形態では、ばねマスでモデル化する。基板ステージ１１４は、与えられた推力に対して、ある位置に移動する。本実施形態では、露光期間（露光期間中の全ての期間）における基板ステージ１１４の平均の位置を求めるために、積分器を設けている。
【００２８】
図２に示す各ブロックにおける状態空間モデルを順に構築し、最終的には、基板ステージ１１４の目標位置を入力とし、露光期間における基板ステージ１１４の平均の位置を出力とする拡大系の状態空間モデルを構築する手順を説明する。
【００２９】
図３は、本実施形態における基板ステージ１１４のモデル化を説明するための図である。図３に示すように、基板ステージ１１４の質量をｍとし、ばね定数ｋ、粘性係数ｃの抵抗力が基板ステージ１１４に作用するものとする。また、推力ｕを入力とし、基板ステージ１１４の位置ｙを出力とする。
【００３０】
図３に示すモデルは、推力ｕが基板ステージ１１４に与えられると、基板ステージ１１４が位置ｙに移動するという１入力１出力の系を表している。基板ステージ１１４に与えられる推力、ばね力、粘性力、慣性力のつり合いを式（所謂、運動方程式）で表すと、ｘを基板ステージ１１４の位置として、以下の式（１）が得られる。
【００３１】
【数１】
2014078640.tif 000003
【００３２】
基板ステージ１１４の速度をｖとすると、式（１）から、以下の式（２）が得られる。
【００３３】
【数２】
2014078640.tif 000004
【００３４】
ここで、基板ステージ１１４の位置ｘ、基板ステージ１１４の速度ｖを状態量として、式（２）を行列式に変換すると、以下の式（３）が得られる。
【００３５】
【数３】
2014078640.tif 000005
【００３６】
このように、状態量と入力との関係を微分方程式で表したものを状態空間実現と称する。式（３）において、状態量にかかる行列をＡ行列、入力にかかる行列をＢ行列とする。また、出力である基板ステージ１１４の位置ｙは、状態量（ｘ）でもあるが、以下の式（４）で出力を表す。
【００３７】
【数４】
2014078640.tif 000006
【００３８】
式（４）に示すように、出力も状態量と入力との線形和で表す。式（４）において、状態量にかかる行列をＣ行列、入力にかかる行列をＤ行列とする。
【００３９】
従って、基板ステージ１１４をばねマスでモデル化すると、入力が推力ｕ、出力が基板ステージ１１４の位置ｙ、状態量が基板ステージ１１４の位置ｘ及び基板ステージ１１４の速度ｖとなる。また、Ａ行列、Ｂ行列、Ｃ行列及びＤ行列は、以下の式（５）で表される。
【００４０】
【数５】
2014078640.tif 000007
【００４１】
図４は、本実施形態における基板ステージ１１４のドライバのモデル化を説明するための図である。図４に示すように、基板ステージ１１４のドライバは、１次遅れ系でモデル化する。これは、推力を発生させるために電流が与えられても、ドライバは、僅かに遅れて推力を発生させるからである。図４に示すモデルは、入力を電流指令値（操作量）ｕとし、かかる電流指令値に応じて発生させる推力ｙを出力とする１入力１出力の系を表している。状態量ｘを推力とすると、以下の式（６）が得られる。
【００４２】
【数６】
2014078640.tif 000008
【００４３】
ｓは、ラプラスの微分演算子であるため、以下の式（７）が得られる。また、出力である推力ｙは、以下の式（８）で表される。
【００４４】
【数７】
2014078640.tif 000009
【００４５】
【数８】
2014078640.tif 000010
【００４６】
従って、基板ステージ１１４のドライバをモデル化すると、入力が操作量ｕ、出力が推力ｙ、状態量が推力ｘとなる。また、Ａ行列、Ｂ行列、Ｃ行列及びＤ行列は、以下の式（９）で表される。
【００４７】
【数９】
2014078640.tif 000011
【００４８】
ここで、基板ステージ１１４の状態空間と基板ステージ１１４のドライバの状態空間を連結した拡大系の状態空間を実現する。図４は、本実施形態における基板ステージ１１４及び基板ステージ１１４のドライバのモデル化を説明するための図である。
【００４９】
図５を参照するに、基板ステージ１１４のドライバに操作量ｕ１が与えられると、ドライバは推力ｙ１を発生させる。推力ｙ１は、基板ステージ１１４においては、入力ｕ２に相当するため、ｙ１＝ｕ２の関係となる。また、基板ステージ１１４は、推力ｙ１によって、位置ｙ２に移動する。図５に示すモデルは、操作量ｕ１を入力とし、基板ステージ１１４の位置ｙ２を出力とする系を表している。従って、基板ステージ１１４のドライバの状態空間モデルは、以下の式（１０）で表され、基板ステージ１１４の状態空間モデルは、以下の式（１１）で表される。
【００５０】
【数１０】
2014078640.tif 000012
【００５１】
【数１１】
2014078640.tif 000013
【００５２】
上述したように、ｙ１＝ｕ２の関係があるため、ｕ２を消去すると、式（１０）及び式（１１）から、以下の式（１２）が得られる。
【００５３】
【数１２】
2014078640.tif 000014
【００５４】
従って、基板ステージ１１４の状態空間と基板ステージ１１４のドライバの状態空間を連結した拡大系は、状態量をＸｐｌａｎｔ、操作量ｕを入力、基板ステージ１１４の位置ｙを出力として、以下の式（１３）で表される。
【００５５】
【数１３】
2014078640.tif 000015
【００５６】
図６は、基板ステージ１１４を制御する制御系（ステージ制御系１２２及び主制御系１３０）に含まれる一般的なＰＩＤ制御器のブロック線図である。図６に示すように、ＰＩＤ制御器は、ステージ偏差ｕを入力とし、基板ステージ１１４のドライバへの操作量ｙを出力としている。図６を参照するに、ＰＩＤ制御器に対する入力は３つに分岐されており、上から順に、比例項Ｐ、積分項Ｉ及び微分項Ｄとなっている。比例ゲインｋｐは、比例項、積分項、微分項の全ての和に対してかかるようになっている。ｋｅ及びｋａは、演算結果を操作量に変換するための倍率である。
【００５７】
図６を参照して、ＰＩＤ制御器の積分項について説明する。ｚ−１は、１サンプル前に戻ることを意味する。従って、積分項は、ある時刻におけるステージ偏差と、その１サンプル前の時刻にその経路を通過した値との和をとり、かかる和にゲインＫｉをかけている。図６に示すように、αで示すＰＩＤ制御器の積分項は、βに示すブロック線図に変換されるため（即ち、αとβとは等価）、そのまま進む項と、ｚ−１を前向きにかけた後にフィードバックする項とに分けることができる。
【００５８】
図７は、図６に示すＰＩＤ制御器のモデル化を説明するための図である。図７を参照するに、サンプル時刻ｋにおける一番下のｚ−１のブロック通過後の値ｘｉ（ｋ）と、その１サンプル前の時刻に中央のｚ−１のブロック通過後の値ｘｅ（ｋ−１）とを状態量とすると、以下の式（１４）で示す関係が成り立つ。
【００５９】
【数１４】
2014078640.tif 000016
【００６０】
式（１４）を行列形式で表すと、以下の式（１５）となる。また、出力である操作量ｙは、以下の式（１６）で表される。
【００６１】
【数１５】
2014078640.tif 000017
【００６２】
【数１６】
2014078640.tif 000018
【００６３】
従って、ＰＩＤ制御器の状態空間は、サンプル時刻ｋにおけるステージ偏差ｕ（ｋ）を入力、サンプル時刻ｋにおける操作量ｙ（ｋ）を出力として実現され、状態量、Ａ行列、Ｂ行列、Ｃ行列及びＤ行列は、以下の式（１７）で表される。
【００６４】
【数１７】
2014078640.tif 000019
【００６５】
基板ステージ１１４の状態空間と基板ステージ１１４のドライバの状態空間を連結した拡大系をプラントとし、図８に示すようなフィードバックループ（クローズドループ）の拡大系の状態空間を実現する。かかる拡大系は、目標位置ｕ０を入力とし、基板ステージ１１４の位置ｙ２を出力とする系である。図８を参照するに、ＰＩＤ制御器は以下の式（１８）で表され、プラントは以下の式（１９）で表される。
【００６６】
【数１８】
2014078640.tif 000020
【００６７】
【数１９】
2014078640.tif 000021
【００６８】
ここでは、離散型の式で統一するために、プラントに関しては、例えば、双一次変換によって、離散型の式に変換する必要がある。ステージ偏差ｕ１は、目標位置ｕ０と基板ステージ１１４の位置ｙ２との差分であるため、ｕ１＝ｕ０−ｙ２を代入すると、式（１８）及び式（１９）から、以下の式（２０）が得られる。
【００６９】
【数２０】
2014078640.tif 000022
【００７０】
ＰＩＤ制御器の出力である操作量ｙ１は、プラントにおいては、入力ｕ２に相当する（即ち、ｙ１＝ｕ２である）ため、ｕ２にｙ１を代入すると、以下の式（２１）が得られる。
【００７１】
【数２１】
2014078640.tif 000023
【００７２】
従って、フィードバックループの状態空間は、目標位置ｕを入力、基板ステージ１１４の位置ｙを出力として実現され、状態量、Ａ行列、Ｂ行列、Ｃ行列及びＤ行列は、以下の式（２２）で表される。但し、式（２２）において、Ａｐｌａｎｔ、Ｂｐｌａｎｔ及びＣｐｌａｎｔは、双一次変換によって、離散化された値である。
【００７３】
【数２２】
2014078640.tif 000024
【００７４】
ここで、図９に示すように、目標位置ｕ０を入力とし、露光期間中における基板ステージ１１４の平均の位置ｙ２を出力とする拡大系の状態空間を実現する。フィードバックループは、以下の式（２３）で表される。
【００７５】
【数２３】
2014078640.tif 000025
【００７６】
また、露光期間中における基板ステージ１１４の平均の位置を演算する部分（平均演算器）は、サンプル時刻ｋにおけるｚ−１のブロック通過後の値ｘａｖｇ（ｋ）を状態量とすると、以下の式（２４）で表される。
【００７７】
【数２４】
2014078640.tif 000026
【００７８】
また、出力である基板ステージ１１４の平均の位置ｙ２は、以下の式（２５）で表される。
【００７９】
【数２５】
2014078640.tif 000027
【００８０】
また、ｙ２＝ｕ２の関係から、以下の式（２６）が得られる。
【００８１】
【数２６】
2014078640.tif 000028
【００８２】
従って、最終的な状態空間は、基板ステージ１１４の目標位置ｕを入力、露光期間における基板ステージ１１４の平均の位置ｙを出力として実現され、状態量、Ａ行列、Ｂ行列、Ｃ行列及びＤ行列は、以下の式（２７）で表される。
【００８３】
【数２７】
2014078640.tif 000029
【００８４】
このように、基板ステージ１１４の目標位置を入力とし、露光期間における基板ステージ１１４の平均の位置を出力とする状態空間をモデル化することが可能である。従って、任意の時刻ｋにおいて、その状態量（基板ステージの位置、基板ステージの速度、ドライバの推力、積分器の値、時刻ｋ−１のステージ偏差、時刻ｋの平均演算器の値）と、時刻ｋ以降の目標位置がわかれば、時刻ｋ以降の状態量を算出することができる。
【００８５】
以下では、上述したモデルを用いて、基板ステージ１１４の平均の位置をゼロにする（即ち、ステージ偏差をゼロにする）ための基板ステージ１１４の目標位置を求める。
【００８６】
ある時刻ｋでの状態量をＸ（ｋ）、時刻ｋから時刻ｋ＋ｎまでの基板ステージ１１４の目標位置をｕ＝［ｕ１  ｕ２  ・・・  ｕｎ］とする。ここで、時刻ｋ＋１から時刻ｋ＋ｎまでにおいて、以下の式（２８）が成り立つ。
【００８７】
【数２８】
2014078640.tif 000030
【００８８】
式（２８）の両辺に、Ａｎ、Ａｎ−１、・・・、Ａｎ−（ｎ−１）を順にかけていくと、以下の式（２９）が得られる。
【００８９】
【数２９】
2014078640.tif 000031
【００９０】
式（２９）に示す全ての式をたすと、以下の式（３０）が得られる。
【００９１】
【数３０】
2014078640.tif 000032
【００９２】
時刻ｋ＋ｎにおける基板ステージ１１４の平均の位置を出力Ｙ（ｋ＋ｎ）とすると、以下の式（３１）が得られる。
【００９３】
【数３１】
2014078640.tif 000033
【００９４】
時刻ｋ＋ｎにおける基板ステージ１１４の平均の位置をゼロにするための目標位置ｕは、以下の式（３２）で表される。
【００９５】
【数３２】
2014078640.tif 000034
【００９６】
式（３２）に示す行列は、以下のように考えればよい。まず、第１項について説明する。Ａは６行６列であるため、何乗しても６行６列のままである。Ｘ（ｋ）は、時刻ｋでの状態量であるため、６行１列である。従って、ＡｎＸ（ｋ）は６行１列となり、Ｃは１行６列であるため、ＣＡｎＸ（ｋ）はスカラになる。次に、第２項について説明する。Ａは、上述したように、何乗しても６行６列であり、Ｂは６行１列であるため、ＡＢは６行１列である。従って、［  ］内は、６行ｎ列となる。また、Ｃは１行６列であるため、Ｃ×［  ］は１行ｎ列になる。これらを考慮すると、式（３２）に示す行列の次数は、０＝スカラ＋［１×ｎ］×［ｎ×１］となる。
【００９７】
ここで、目標位置ｕ＝［ｕ１  ｕ２  ・・・  ｕｎ］を、目標軌道ｒ＝［ｒ１  ｒ２  ・・・  ｒｎ］とゲインｇとに分解すると、以下の式（３３）が得られる。
【００９８】
【数３３】
2014078640.tif 000035
【００９９】
このように、目標軌道ｒを任意に決定すると、基板ステージ１１４の平均の位置をゼロにするような目標位置ｕが、ｕ＝ｇｒから求まる。本実施形態では、目標軌道ｒを一定値としているが、原理上は任意の値をとることができる。
【０１００】
ここで、基板ステージ１１４を移動させたときの基板ステージ１１４の位置を表す時系列データを用いて、本発明の特徴を説明する。図１０は、基板ステージ１１４を目標位置に移動させたときの基板ステージ１１４の位置を表す時系列データを示す図である。但し、図１０に示す時系列データは、上述したように、基板ステージ１１４をモデル化したときのデータ、即ち、モデルでの予測値である図１０では、横軸に時刻［ｓ］を採用し、縦軸に基板ステージの位置（距離）を採用している。
【０１０１】
図１０に示すように、基板ステージ１１４のモデル化ができれば、ある目標位置（指令値）に対する出力を算出（予測）することが可能である。図１０を参照するに、基板ステージ１１４の移動距離を約２６ｍｍとすると、基板ステージ１１４は、時刻０．０６［ｓ］の近傍で目標位置に到達している。
【０１０２】
図１１は、基板ステージ１１４が目標位置に到達する時刻０．０６［ｓ］以降の時刻におけるステージ偏差を示す図である。図１１を参照するに、基板ステージ１１４が徐々に目標位置に収束していくこと（即ち、ステージ偏差がゼロに収束していくこと）がわかる。
【０１０３】
図１１に示すＴＰ１は、露光装置に要求されるスループットが厳しくなく、ステージ偏差が収まってから露光を行う場合の露光期間である。この場合、露光期間ＴＰ１におけるステージ偏差の平均は−０．３９ｎｍであるため、ステージ偏差は問題のないレベルとなっている。一方、露光装置に要求されるスループットの要求が厳しくなると、図１１に示すＴＰ２が露光期間となる（即ち、露光開始時刻がはやまる）。この場合、露光期間ＴＰ２におけるステージ偏差の平均が４６４ｎｍとなり、許容レベルを超えてしまうため、大きな問題となる。
【０１０４】
ここで、露光開始時刻（即ち、露光光が基板に照射される時刻）のばらつきの影響を考える。上述したように、露光期間におけるステージ偏差の平均が４６４ｎｍであっても、それを予測できれば、そのステージ偏差がゼロとなるように目標位置を補正して与えればよい。但し、実際には、露光開始時刻はばらついてしまうため、露光開始時刻を一定とするモデル（従来のモデル）では、露光開始時刻のばらつきによる影響が補正残差となる。
【０１０５】
図１２は、露光開始時刻のばらつきとステージ偏差の平均との関係を示す図である。図１２では、所定時刻からの露光開始時刻のずれ［ｍｓ］を採用し、縦軸にステージ偏差の平均［ｍ］を採用している。ここでは、所定時刻から露光開始時刻が−０．５ｍｓから＋０．５ｍｓの間でばらつきたときのステージ偏差の平均を示している。図１２を参照するに、ステージ偏差の平均は、最小で５０４ｎｍ、最大で６７１ｎｍとなっている。近年、露光装置には、１０ｎｍレベルの精度が要求されているため、このようにモデル化誤差が１００ｎｍ以上もあると問題となる。
【０１０６】
本実施形態の露光装置１では、特定部１２０によって実際の露光開始時刻を特定するため、上述したような露光開始時刻のばらつきによるモデル化誤差を低減することができる。
【０１０７】
図１３は、露光期間におけるステージ偏差を表す時系列データを示す図である。図１３では、横軸に時刻［ｓ］を採用し、縦軸にステージ偏差を採用している。実線は、従来のモデルから予測されるステージ偏差を表しており、露光期間におけるステージ偏差の平均は４６４ｎｍである。一方、点線は、本実施形態におけるステージ偏差（即ち、ステージ偏差の平均がゼロになるように補正した場合のステージ偏差）を表している。図１３を参照するに、点線が実線よりも僅かに下にあることがわかる。これは、ステージ偏差の平均が４６４ｎｍとプラスの値であるため、ステージ偏差が全体的にマイナス側にシフトするように補正されたからである。このように、本実施形態によれば、実際の露光開始時刻を特定することができるため、露光開始時刻のばらつきによるモデル化誤差を極めて小さくすることができる。具体的には、本実施形態では、露光期間におけるステージ偏差の平均を０．０１ｎｍにすることができる。
【０１０８】
また、本実施形態では、露光開始時刻においてモデル予測演算を行うことで、基板ステージ１１４の位置を算出（予測）する精度を向上させている。モデル予測演算は、モデルに基づいて、ある時刻の状態量から次の時刻の状態量を算出する。従って、ある時刻の予測値は、その時刻の直前の時刻の状態量から算出される。なお、露光開始時刻よりも前の時刻において、露光開始時刻における基板ステージ１１４の位置を算出することは可能である。但し、この場合、露光開始時刻での状態量（基板ステージ１１４の位置や速度）は、モデルから算出された値（予測値）であり、実際の値とは異なるため、露光開始時刻以降の時刻における基板ステージ１１４の位置を算出する精度が低下してしまう。
【０１０９】
本実施形態では、モデル予測演算に状態空間モデルを用いているため、モデル予測演算をほぼ１回の行列計算で行うことが可能であり、極めて高速な演算を実現することができる。従って、本実施形態では、実際の露光開始時刻よりも前の時刻において、モデル予測演算を予め行う必要はなく、露光開始時刻にモデル予測演算を行うことが可能であるため、モデル化誤差を低減することができる。
【０１１０】
例えば、露光装置において、基板ステージの制御は、０．２５ｍｓ間隔で行われる。本実施形態におけるモデル予測演算は、コンピュータの性能にも依存するが、数ナノ秒で終了する。また、基板ステージの位置や速度は、露光開始時刻が特定されてから計測されるのではなく、レーザ干渉計などで予め計測され、その計測結果をメモリなどに格納している。従って、露光開始時刻を特定してから、基板ステージの位置や速度を取得するまでは１ナノ秒で終了する。このように、実際の露光開始時刻の特定からモデル予測演算の終了までの時間は数ナノ秒であるため、０．２５ｍｓ間隔で行われる基板ステージの制御に十分に対応することが可能である。
【０１１１】
また、本実施形態におけるＰＩＤ制御器は、図６に示すように、一般的な構成を有する。従って、基板ステージ１１４がある位置からある位置に滑らかに（連続的に）移動する場合には、従来のようなＰＩＤ制御で問題はない。
【０１１２】
一方、本実施形態では、露光開始時刻にモデル予測演算を行い、その結果から得られる指令値をＰＩＤ制御器に与えることになる。この際、比例項では指令値の比例倍、積分項では指令値の積分値が演算されるので問題はない。しかしながら、微分項では、露光開始時刻の直前の時刻では指令値がなく、露光開始時刻に指令値が与えられるため、その微分値は非常に大きなものとなる。このような大きな指令値は、機器へのダメージが懸念されるとともに、機器の性能の制約からその指令値を出力できない可能性もある。そこで、ＰＩＤ制御器の比例項及び微分項には指令値を与えるが、積分項には指令値を与えないようにしてもよい。但し、この場合には、ＰＩＤ制御器の積分項に指令値を与えないように、状態空間モデルを変更する必要がある。
【０１１３】
また、本実施形態では、基板ステージ１１４の入出力応答をモデル化し、その出力（位置）を目標位置に一致させるための指令値を求めている。この際、従来のモデル予測演算では、ある時刻の状態量から未来の時刻の状態量を算出するＲｅｃｅｄｉｎｇ  Ｈｒｉｚｏｎ方式を採用している。従って、時刻の進行とともに、評価対象となる未来の期間が進行する。一方、本実施形態では、露光期間における基板ステージ１１４の位置の平均（即ち、特定の期間）を評価対象としており、時刻が進んでも評価対象となる期間は進行しない。
【０１１４】
本実施形態の露光装置１によれば、露光期間における基板ステージ１１４の位置と目標位置との偏差（ステージ偏差）を低減させることができる。従って、露光装置１は、高いスループットで経済性よく高品位な半導体デバイス、ＬＣＤ素子、撮像素子（ＣＣＤなど）、薄膜磁気ヘッドなどの物品を提供することができる。このようなデバイスは、露光装置１を用いてフォトレジスト（感光剤）が塗布された基板（ウエハ、ガラスプレート等）を露光する工程と、露光された基板を現像する工程と、その他の周知の工程と、を経ることにより製造される。
【０１１５】
以上、本発明の好ましい実施形態について説明したが、本発明はこれらの実施形態に限定されないことはいうまでもなく、その要旨の範囲内で種々の変形及び変更が可能である。
【図１】
2014078640.tif 000036
【図２】
2014078640.tif 000037
【図３】
2014078640.tif 000038
【図４】
2014078640.tif 000039
【図５】
2014078640.tif 000040
【図６】
2014078640.tif 000041
【図７】
2014078640.tif 000042
【図８】
2014078640.tif 000043
【図９】
2014078640.tif 000044
【図１０】
2014078640.tif 000045
【図１１】
2014078640.tif 000046
【図１２】
2014078640.tif 000047
【図１３】
2014078640.tif 000048
【図１４】
2014078640.tif 000049