(57)【要約】【課題】電荷の生成再結合が存在する場合でも、半導体内外の電磁場計算と半導体内の電気特性計算を矛盾無く統合して行う。【解決手段】  電位の時間微分を光速の２乗で割った値にベクトルポテンシャルの divergence を加えた値に等しいスカラー量を定義したときに、電流密度ベクトルは磁場ベクトルの rotation から電場ベクトルの時間微分に誘電率を掛けたものを差し引いた値から該スカラー量の gradient を透磁率で割った値を差し引いたものに等しく、電荷密度は電場ベクトルの divergence に誘電率を掛けた値と該スカラー量の時間微分に誘電率を掛けた値の和に等しく、電荷の生成再結合レートは該スカラー量の時間に関する２階偏微分を光速の２乗で割った値からラプラシアンを差し引いた値を透磁率で割った値に等しいという関係を基本モデルとし、FDTD 法を用いて電磁場の伝播を計算する電磁場解析または波動光学計算プログラムを作成することにより、実現できる。【選択図】        図３
2014078051.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
電位の時間微分を光速の２乗で割った値にベクトルポテンシャルの divergence を加えた値に等しいスカラー量を定義したときに、電流密度ベクトルは磁場ベクトルの rotation から電場ベクトルの時間微分に誘電率を掛けたものを差し引いた値から該スカラー量の gradient を透磁率で割った値を差し引いたものに等しく、電荷密度は電場ベクトルの divergence に誘電率を掛けた値と該スカラー量の時間微分に誘電率を掛けた値の和に等しく、電荷の生成再結合レートは該スカラー量の時間に関する２階偏微分を光速の２乗で割った値からラプラシアンを差し引いた値を透磁率で割った値に等しいという関係を基本モデルとすることを特徴とする電磁場または波動光学計算プログラムおよび該プログラムを用いた装置。
【請求項２】
請求項１の手段を用いて電磁場を計算する際に、境界条件をもとに電場、磁場、該スカラー量を逐次代入することによって、電磁場の時間変化を求めるプログラムおよび該プログラムを用いた装置。
【請求項３】
請求項１の手段を用いて電磁場を計算する際に、境界条件をもとに磁場を省いて電場と該スカラー量のみを逐次代入することによって、電磁場の時間変化を求めるプログラムおよび該プログラムを用いた装置。
【請求項４】
請求項２または請求項３の手段を用いて半導体内の電磁場を計算する際に、照射光による電磁場変化と電極電位を境界条件として、電磁場の時間変化を求めると同時に、電荷および電流分布の時間変化を計算する電磁場電気特性統合計算プログラムおよび該プログラムを用いた装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
電磁場解析および波動光学計算プログラム。
【背景技術】
【０００２】
一般に、電磁場解析または波動光学計算においては、以下の Maxwell の方程式が基本となる。
【０００３】
J = ∇×H - ε∂E/∂t                                                   (1) 
ρ = ε∇E                                                              (2) 
∇×E + μ∂H/∂t = 0                                                   (3) 
∇H = 0                                                                 (4) 
【０００４】
ただし、J は電流密度ベクトル、ρは電荷密度、H は磁場ベクトル、E は電場ベクトル、εは誘電率、μは透磁率、t は時間を表し、光速 c とεおよびμの間には以下の関係が成り立つ。
εμ = 1/c2                                                             (5) 
【０００５】
(1) と (2) から直ちに以下の電荷の保存側が導かれる。
∇J +  ∂ρ/∂t = 0                                                     (6) 
【０００６】
現在イメージセンサ等の半導体デバイスの設計や特性解析において、デバイス・シミュレーションと光学シミュレーションは極めて重要な技術になっており、デバイス・シミュレーションでは以下のポワソン方程式と電流連続式が基本的な式として用いられている。
【非特許文献１】檀良編, “プロセス・デバイス・シミュレーション技術”, 産業図書, pp. 99-105, 1988.
【０００７】
ε∇2ψ = - q ( Nd - Na + p - n )                                       (7) 
∇Jp + q ∂p/∂t = GR                                                   (8) 
∇Jn - q ∂n/∂t = - GR                                                 (9) 
【０００８】
以上の式において、ψは電位、q は素電荷、Nd はドナー不純物濃度、Na はアクセプタ不純物濃度、p はホール濃度、n は電子濃度、Jn は電子電流密度ベクトル、Jp はホール電流密度ベクトル、GR は電荷の生成再結合レートを表す。ただし Jn は電子が流れる方向と反対方向を正方向と定義する。
【０００９】
ここで、
ρp = q p,   ρn = - q n,   ρion = q ( Nd - Na )                       (10)
とおくと、電子、ホール、不純物イオンを含めた合計の電流密度ベクトル J と合計の電荷密度ρは以下の式で表される。
J = Jp + Jn                                                             (11) 
ρ=ρp + ρn + ρion                                                    (12) 
【００１０】
Maxwell 方程式は重ね合わせの原理が成り立つ。
【非特許文献２】ファインマン, レイトン, サンズ著, “ファインマン物理学III  電磁気学”, 岩波書店, p. 4, 1969.
【非特許文献３】平川浩正著, “電気力学”, 培風館, p. 1, 1973.
【００１１】
したがって、ホール、電子、不純物イオンによって誘起される電場ベクトルを、それぞれ Ep、En、Eion とし、ホールと電子によって誘起される磁場ベクトルをそれぞれ Hp, Hn とすると、合計の電場ベクトル E と合計の磁場ベクトル H は以下の式で表される。
E = Ep + En + Eion                                                      (13) 
H = Hp + Hn                                                             (14) 
【００１２】
J, ρ, E, H は Maxwell の方程式 (1)-(4) を満たすが、Maxwell の方程式がホールと電子に対しても正しく成り立つならば、重ね合せの原理にしたがって、Jp, ρp, Ep, Hp の組ならびに Jn, ρn, En, Hn の組も (1)-(4) 式を満たさなければならない。ところが、ホールと電子に対して (1) および (2) 式が成り立つと、GR がゼロでない場合は (8) と (9) 式は成り立たたないので、(1) と (2) に関して以下のように補正項としてベクトルαとスカラーβが必要になる。
Jp = ∇×Hp - ε∂Ep/∂t + α                                           (15) 
ρp = ε∇Ep + β                                                       (16) 
Jn = ∇×Hn - ε∂En/∂t - α                                           (17) 
ρn = ε∇En - β                                                       (18) 
【００１３】
ただし、αは電流密度ベクトルの、βは電荷密度の Maxwell 方程式との差を表し、以下の式を満たす。
∇α + ∂β/∂t = GR                                                    (19) 
【００１４】
以上のように、電荷の生成再結合を考慮しながら電磁場の計算を行おうとすると、従来の Maxwell 方程式では矛盾が生じてしまう。
【００１５】
一例として 図１に SiO2 中の純粋シリコン球における光照射下の電荷生成の例を示す。図１は光が一方向から照射されている様子を表しているが、全方向から照射されていてもよいし、光ではなく中性粒子や熱の励起による電荷生成でもよい。この場合、計算対象構造は球対称なので、磁場は存在しない。
【００１６】
図１において、合計電荷、合計電流の出入りは無く、磁場は存在しないので、J, ρ, E, H, Jp, ρp, Ep, Hp, Jn, ρn, En, Hn の間に以下の関係が成り立つ。
J = Jp + Jn = 0                                                         (20) 
ρ = ρp + ρn = 0                                                      (21) 
E = Ep + En = 0                                                         (22) 
H = Hp = Hn = 0                                                         (23) 
【００１７】
ここで、t=0 のときに光照射が開始され、時間に比例してシリコン中の電荷密度が増大すると仮定すると、シリコン内では以下の関係が成り立つ。
ρp = - ρn = ρ0 t/τ                                                  (24) 
ただしτは時定数を表し、ρ0 は t=τのときのホールおよび電子の電荷密度絶対値を表す。
【００１８】
球座標ならびにガウスの法則を用いて、シリコンの外側すなわち SiO2 中の電場を計算すると、球対象のために動径成分のみ存在し、
Ep = -En = ρp V / (εox S ) = ρp R3 / (3 εox r2)                     (25) 
ただし V と S はそれぞれ半径 R の球の体積 4πR3/3 と半径 r の球の表面積 4πr2 を表し、εox は SiO2 の誘電率を表す。
【００１９】
磁場が存在しない場合、Maxwell の方程式では、
Jp = - ε∂Ep/∂t                                                       (26) 
Jn = - ε∂En/∂t                                                       (27) 
(25)-(27) から、SiO2 中のホールと電子の電流密度を求めると、
Jp = - Jn = - ρ0 R3/ (3τr2)                                           (28) 
【００２０】
SiO2 中にホールや電子の電流は存在できないので、(28) の結果は実際の状況と矛盾する。これは、Maxwell 方程式では (6) の電荷保存則によって、電荷の時間変化が電流の流出入を必要とすることが原因である。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００２１】
このように、従来の Maxwell 方程式を基本とする電磁場計算では、電荷の生成再結合が生じている半導体を解析する場合に、明らかに現実と異なる結果が生じる問題があった。
【課題を解決するための手段】
【００２２】
電位の時間微分を光速の２乗で割った値にベクトルポテンシャルの divergence を加えた値に等しいスカラー量を定義したときに、電流密度ベクトルは磁場ベクトルの rotation から電場ベクトルの時間微分に誘電率を掛けたものを差し引いた値から該スカラー量の gradient を透磁率で割った値を差し引いたものに等しく、電荷密度は電場ベクトルの divergence に誘電率を掛けた値と該スカラー量の時間微分に誘電率を掛けた値の和に等しく、電荷の生成再結合レートは該スカラー量の時間に関する２階偏微分を光速の２乗で割った値からラプラシアンを差し引いた値を透磁率で割った値に等しいという関係を基本モデルとして、電磁場解析プログラムまたは波動光学計算プログラムを作成することにより、電荷の生成再結合が存在する場合でも、実際の状況と矛盾しない結果を導くことができる。
【実施例１】
【００２３】
本発明のモデルを以下に示す。電磁場を表す基本量として、これまで用いられてきた電場ベクトルと磁場ベクトルの他に新たに電磁場を表すスカラー量γを以下の式で定義する。以下γをスカラー場と呼ぶ。
γ = ∇A + ∂ψ/∂t/c2                                                 (29) 
【００２４】
ただし、A はベクトル・ポテンシャル、ψはスカラー・ポテンシャルすなわち電位を表し、E および H と以下の関係を持つ。
E = - ∇ψ - ∂A/∂t                                                   (30) 
H = ∇×A                                                              (31) 
【００２５】
γ = 0 のローレンツゲージの場合、J とρは以下の式で表される。
μJ = -□A                                                             (32) 
ρ = -ε□ψ                                                           (33) 
ただし□はダランベルシャンであり、以下の式で定義される。
□ ≡ ∇2 - ∂2/∂t2/c2                                               (34) 
【００２６】
γがゼロでない場合においてもローレンツゲージの場合と同様に (32) と (33) が成り立つと仮定すれば、(1) と (2) の代わりに次式が成り立つ。
J = ∇×H - ε∂E/∂t - ∇γ/μ                                        (35) 
ρ = ε∇E + ε∂γ/∂t                                                (36) 
なお、E および H と A およびψの関係は変わらずに (30) と (31) なので、(3) と (4) も変わらずに成り立つ。
【００２７】
(35) と (36) から電流連続式を計算すると、
∇J + ∂ρ/∂t = GR = -□γ/μ                                         (37) 
【００２８】
したがって、-γのダランベルシャンを透磁率で割ったものが生成再結合レートに等しい。
【００２９】
このように、E、H、およびγを電磁場の基本変数として採用し、J とρおよび GR を既知の値として E, H, γについて解けば、電荷の生成再結合が存在する場合でも矛盾無く電磁場を求めることができる。
【００３０】
なお、ローレンツ変換について考えると、ダランベルシャンはローレンツ変換に対して不変であり、GR およびγも不変である。J, ρ, E, H, A, ψについては、Maxwell 方程式の場合と同じローレンツ共変性を持つ。
【００３１】
また、(29)-(31) において、□χ=0 を満たすスカラー関数χを用いて A'= A+∇χおよびψ'=ψ-∂χ/∂t の変換を行っても、H, E, およびγは変化しないので、□χ=0 という条件付きのゲージ不変性が成り立つ。
【００３２】
Maxwell 方程式 (1)-(4) および (30), (31) は、A とψで構成される４次元ベクトル、H と E で構成される３次元ベクトル、および J とρで構成される４次元ベクトルに関する、図２に示す微分演算子行列を用いた関係式で表すことができる。
【００３３】
そもそも、J とρが構成するベクトルおよび A とψが構成するベクトルは４次元であるにもかかわらず、E と H が構成する電磁場のベクトルは３次元であることに問題がある。場の方程式に現れるベクトルは全て４次元であるべきである。
【００３４】
これに対し、γを用いた電磁場の方程式 (3), (4), (35), (36), (29)-(31) は A とψで構成されるベクトル、H と E とγで構成されるベクトル、および J とρで構成されるベクトルに関する、図３に示すような全て４次元ベクトルの極めて対称性の良い関係式で表すことができる。
【００３５】
また、本発明におけるエネルギー密度の連続の式は、以下のように表される。
- J E + c2 ργ = ∇(E×H+γE/μ)+∂[εE2/2+μH2/2+γ2/(2μ)]/∂t      (38) 
【００３６】
したがって、単位時間当たりに発生するエネルギー密度は従来モデルの - J E に c2ργ を加えた値に、エネルギー密度の流れは従来モデルのポインティングベクトル E × H に γE/μを加えた値に、エネルギー密度は従来モデルの (εE2 + μH2)/2 に γ2/(2μ) を加えた値になる。このエネルギー密度の付加項に関しては、フェルミが提唱した量子電磁力学のラグランジアン密度における古典的な電磁場のラグランジアン密度に対する付加項と一致する。
【非特許文献４】横山寛一著, “量子電磁力学”, 岩波書店, p. 15, 1978.
【非特許文献５】中西襄著, “場の量子論”, 培風館, p. 112, 1975.
【００３７】
図１について、本発明を用いた計算例を示す。
【００３８】
ホールと電子に対応するスカラー・ポテンシャルをそれぞれψp とψn、スカラー場をγp とγn とすると
ψ = ψp + ψn = 0                                                     (39) 
γ = γp + γn = 0                                                     (40) 
【００３９】
(25) から SiO2 中のポテンシャルψp, ψn を求めると、 
ψp = -ψn = ρp R3 / (3 εox r)                                       (41) 
【００４０】
(29) において∇A=0 を仮定して、γp, γn を求めると、 
γp = -γn = μρ0 R3 / (3 τ r)                                       (42) 
【００４１】
γp, γn の gradient の動径成分は、
∇γp = -∇γn = -μρ0 R3 / (3 τ r2)                                 (43) 
【００４２】
したがって、Jp と Jn は、
Jp = -εox ∂Ep/∂t - ∇γp/μ = 0                                     (44) 
Jn = -εox ∂En/∂t - ∇γn/μ = 0                                     (45) 
となって、SiO2 中にホールと電子の流れは存在しない。
【００４３】
次にシリコン中（ r ≦ R ）の電磁場について考えると、電場は以下の式で与えられる。
Ep = -En =  ρp r / (3 εsi )                                          (46) 
ただし、εsi はシリコンの誘電率を表す。
【００４４】
(46) からスカラー・ポテンシャルすなわち電位を求めると、シリコンと SiO2 の境界で連続になることを考慮して、
ψp = -ψn = ρp {(2εsi + εox ) R2 - εox r2 } / (6 εsi εox)       (47) 
【００４５】
(47) からスカラー場γを求めると、
γp = -γn = μρ0 {(2εsi + εox ) R2 - εox r2 } / (6 εox τ)       (48) 
このとき、γp, γn の gradient の動径成分は
∇γp = -∇γn = -μρ0 r / (3 τ)                                     (49) 
【００４６】
したがって、シリコン中の Jp と Jn は、
Jp = -εsi∂Ep/∂t - ∇γp/μ = 0                                      (50) 
Jn = -εsi∂En/∂t - ∇γn/μ = 0                                      (51) 
となって、シリコン中においてもホールと電子の流れは存在しない。
【００４７】
このとき電荷生成再結合レート GR = -□γ/μ は、
GR = - ∂(r2 ∂γp/∂r)/∂r/(μr2) = ρ0 / τ                          (52) 
したがって、シリコン内で生成されるホールおよび電子の電荷生成率に一致する。
【００４８】
以上のように本発明を用いると、電荷の生成再結合が生じる場合でも、本来存在しないはずの電流等を発生させることなく、電荷生成再結合レートも含めて矛盾無く電磁場を求めることができる。
【００４９】
また、本発明は同一モデルの下で電磁場計算プログラムとデバイスシ・ミュレータを統合することができるので、イメージセンサ等の光学デバイスや、リモコン・無線機器等の電磁場発生デバイスに対して、半導体内外の電磁場と半導体内の電荷の挙動を含めた電気特性を統合してシミュレーションするプログラムを実現することができる。
【００５０】
また、上記のようなプログラムを半導体製造装置や検査装置、光学機器等に組み込んで、新しい機能を有する機器を生み出すことが可能である。
【実施例２】
【００５１】
時間変化を考慮しながら電磁場を計算する方法として、Finite Difference Time Domain 法（以下 FDTD 法という）が知られている。
【非特許文献６】宇野亨著, “ＦＤＴＤ法による電磁界およびアンテナ解析”, コロナ社, pp. 1-57, 1998.
【００５２】
この方法は、光源や電極部分を境界条件として、時間経過に応じて電場と磁場を逐次代入して求める方法である。スカラー場が存在する場合でも、同じ方法を用いて電磁場の時間変化を計算することが可能である。導電率をσとし、J=σE という関係を用いて (3), (35), (36) から、E, H, γの時間微分について書き換えると
∂E/∂t = - σE/ε + ∇×H / ε - c2 γ                               (53)
∂H/∂t = - ∇×E / μ                                                (54)
∂γ/∂t = ρ/ε - ∇E                                                (55)
【００５３】
次に離散化について考える。図３に計算グリッドと電場ベクトル、磁場ベクトル、スカラー場、電荷密度、電流ベクトル、電位の関係を示す。電位、電荷密度、スカラー場はグリッド上で定義する。電流ベクトルと電場ベクトルは隣り合うグリッドの中点で、２つのグリッドを結ぶ方向に平行な成分を定義し、磁場ベクトルは直方体セルの面の中央で面の垂直な成分を定義する。時間方向についても離散化を行い、磁場ベクトルとスカラー場は、時間グリッドの中点で定義し、それ以外は時間グリッド上で定義する。
【００５４】
X 方向 i 番目、Y 方向 j 番目、Z 方向 k 番目、時間方向 n 番目のグリッド上の変数 F を F(i,j,k,n) と表すと、E, H, γに関して以下のように空間と時間について離散化できる。ただし、Δx、Δy、Δz、および Δt はそれぞれ X, Y, Z, および 時間軸方向のグリッド間隔を表す。
E の３成分についてはα= σ/(2ε) とおくと、(53) により
Ex(i+1/2,j,k,n+1) = (1-αΔt)/(1+αΔt) Ex(i+1/2,j,k,n)  
+Δt/{εΔy(1+αΔt)}{Hz(i+1/2,j+1/2,k,n+1/2)-Hz(i+1/2,j-1/2,k,n+1/2)}   
-Δt/{εΔz(1+αΔt)}{Hy(i+1/2,j,k+1/2,n+1/2)-Hy(i+1/2,j,k-1/2,n+1/2)}   
-c2 Δt/{Δx(1+αΔt)}{γ(i+1,j,k,n+1/2)-γ(i,j,k,n+1/2)}             (56)
Ey(i,j+1/2,k,n+1) = (1-αΔt)/(1+αΔt) Ey(i,j+1/2,k,n)  
+Δt/{εΔz(1+αΔt)}{Hx(i,j+1/2,k+1/2,n+1/2)-Hx(i,j+1/2,k-1/2,n+1/2)}   
-Δt/{εΔx(1+αΔt)}{Hz(i+1/2,j+1/2,k,n+1/2)-Hz(i-1/2,j+1/2,k,n+1/2)}   
-c2 Δt/{Δy(1+αΔt)}{γ(i,j+1,k,n+1/2)-γ(i,j,k,n+1/2)}             (57)
Ez(i,j,k+1/2,n+1) = (1-αΔt)/(1+αΔt) Ez(i,j,k+1/2,n)  
+Δt/{εΔx(1+αΔt)}{Hy(i+1/2,j,k+1/2,n+1/2)-Hy(i-1/2,j,k+1/2,n+1/2)}   
-Δt/{εΔy(1+αΔt)}{Hx(i,j+1/2,k+1/2,n+1/2)-Hx(i,j-1/2,k+1/2,n+1/2)}   
-c2 Δt/{Δz(1+αΔt)}{γ(i,j,k+1,n+1/2)-γ(i,j,k,n+1/2)}             (58)
同様に H の３成分については (54) により
Hx(i,j+1/2,k+1/2,n+1/2) = Hx(i,j+1/2,k+1/2,n-1/2)  
- Δt/(μΔy) { Ez(i,j+1,k+1/2,n) - Ez(i,j,k+1/2,n) }   
+ Δt/(μΔz) { Ey(i,j+1/2,k+1,n) - Ey(i,j+1/2,k,n) }                (59)
Hy(i+1/2,j,k+1/2,n+1/2) = Hy(i+1/2,j,k+1/2,n-1/2)  
- Δt/(μΔz) { Ex(i+1/2,j,k+1,n) - Ex(i+1/2,j,k,n) }   
+ Δt/(μΔx) { Ez(i+1,j,k+1/2,n) - Ez(i,j,k+1/2,n) }                (60)
Hz(i+1/2,j+1/2,k,n+1/2) = Hz(i+1/2,j+1/2,k,n-1/2)  
- Δt/(μΔx) { Ey(i+1,j+1/2,k,n) - Ey(i,j+1/2,k,n) }   
+ Δt/(μΔy) { Ex(i+1/2,j+1,k,n) - Ex(i+1/2,j,k,n) }                (61)
γについては (55) により
γ(i,j,k,n+1/2) = γ(i,j,k,n-1/2) +  Δt/ε ρ(i,j,k,n) 
- Δt/Δx { Ex(i+1/2,j,k,n) - Ex(i-1/2,j,k,n) }   
- Δt/Δy { Ey(i,j+1/2,k,n) - Ey(i,j-1/2,k,n) }   
- Δt/Δz { Ez(i,j,k+1/2,n) - Ez(i,j,k-1/2,n) }                      (62)
【００５５】
光源条件や電極電位を境界条件として、(56)-(62) を用いて E, H, γに対して逐次代入してこれらの時間依存性を求めることにより、計算対象構造の電磁場を求めることができる。
【００５６】
以上のように本実施例を用いると、電荷の生成再結合が生じる場合を含めて、電場、磁場およびスカラー場の逐次代入で電磁場の時間変化を求めることができる。
【実施例３】
【００５７】
一般に、半導体素子内の電磁場を計算する場合、金属電極およびゲート電極内の電流分布を考慮して磁場を求めるのは難しい場合が多く、また通常の条件下では電気特性に対して与える影響に関して電場のほうが磁場よりも大きい。そこで、磁場ベクトルを無視して電場ベクトルとスカラー場のみで電磁場の時間変化を求めると、計算が極めて単純かつ高速になる。磁場ベクトルが無視できる条件は以下の式で表される。
|∇×H| ＜＜ |ε∂E/∂t + ∇γ/μ|                                    (63)
【００５８】
E とγについて、空間と時間について離散化すると、E については、(56)-(58) において、Hx=Hy=Hz=0 とおいて
Ex(i+1/2,j,k,n+1) = (1-αΔt)/(1+αΔt) Ex(i+1/2,j,k,n)  
- c2 Δt/{Δx(1+αΔt)} { γ(i+1,j,k,n+1/2) - γ(i,j,k,n+1/2) }      (64)
Ey(i,j+1/2,k,n+1) = (1-αΔt)/(1+αΔt) Ey(i,j+1/2,k,n)  
- c2 Δt/{Δy(1+αΔt)} { γ(i,j+1,k,n+1/2) - γ(i,j,k,n+1/2) }      (65)
Ez(i,j,k+1/2,n+1) = (1-αΔt)/(1+αΔt) Ez(i,j,k+1/2,n)  
- c2 Δt/{Δz(1+αΔt)} { γ(i,j,k+1,n+1/2) - γ(i,j,k,n+1/2) }      (66)
γについては (62) と同様 
γ(i,j,k,n+1/2) = γ(i,j,k,n-1/2) +  Δt/ε ρ(i,j,k,n) 
- Δt/Δx { Ex(i+1/2,j,k,n) - Ex(i-1/2,j,k,n) }   
- Δt/Δy { Ey(i,j+1/2,k,n) - Ey(i,j-1/2,k,n) }   
- Δt/Δz { Ez(i,j,k+1/2,n) - Ez(i,j,k-1/2,n) }                      (67)
【００５９】
以上のように本実施例を用いると、磁場を無視して電場とスカラー場のみの逐次代入で電磁場の時間変化を高速に求めることができる。
【００６０】
一例として、本実施例を用いて解析した構造を図５に示す。２つの電極、すなわちゲート電極 21 および基板電極 22 にシリコンまたは窒化膜（Si3N4）が挟まれた、一次元的なコンデンサ構造を表しており、ゲート電極電圧 Vg の時間変化によって、シリコンまたは窒化膜内部の電位分布が時間に応じてどのように変化するか解析した。
【００６１】
シリコンと窒化膜の屈折率はそれぞれ、3.42 と 2.05 に、吸収率はそれぞれ 1000 cm-1 と 0 に設定した。導電率σは、σ=ε0 c0 n α の関係式から求めた。ただし、ε0 は真空の誘電率、c0 は真空中の光速、n は屈折率、αは吸収率を表す。図６にゲート電極電圧 Vg の時間依存性を示す。t=0 において 5V の電極電圧から 0.1 ps の間に線型に減少して 0V になり、0.1 ps 以降は 0V で一定である。
【００６２】
図７ (a)-(f) に深さ方向電位分布の時間依存性を示す。実線はシリコンの場合を、破線は窒化膜の場合を表す。シリコンの場合は時間が経過するにつれて電位が 0V の一定に近づくが、窒化膜の場合は振動状態が続く。これはシリコンの場合は吸収率がゼロでないため、電磁場のエネルギーが時間とともに吸収されて減衰するが、窒化膜の場合は吸収率がゼロなので、電磁場のエネルギーが保存されるためである。
【００６３】
以上のように、本実施例を用いると、電場とスカラー場のみを対象にして、逐次代入だけで電磁場の時間変化を高速に求めることができる。
【００６４】
実施例２と３について、半導体内の電磁場を計算する際に、照射光による電磁場変化と電極電位を境界条件として、電磁場の時間変化を求めると同時に、適当な時間グリッド上において、電荷および電流分布の時間変化を計算することにより、電磁場電気特性統合計算プログラムを実現することができる。
【００６５】
また、上記のようなプログラムを半導体製造装置や検査装置、光学機器等に組み込んで、新しい機能を有する機器を生み出すことが可能である。
【図面の簡単な説明】
【００６６】
【図１】光照射下の SiO2 中のシリコン球を示した図である。
【図２】Maxwell 方程式によって電磁場が表される式をベクトルと微分演算子行列を用いて説明した図である。
【図３】スカラー量γの導入によって電磁場が表される式をベクトルと微分演算子行列を用いて説明した図である。
【図４】FDTD 法によるグリッドと電磁場の各変数の位置関係を示した図である。
【図５】実施例３による解析構造を示した図である。
【図６】実施例３によるゲート電極電圧の時間依存性を示した図である。
【図７】実施例３による深さ方向電位分布の時間依存性を示した図である。
【符号の説明】
【００６７】
１０    シリコン球
２０    シリコンまたは窒化膜
２１    ゲート電極
２２    基板電極
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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