(57)【要約】      （修正有）【課題】電力網における電力潮流を大域的に最適化するための方法を提供する。【解決手段】電力網における電力潮流が、エッジによって接続されたノードからなる分枝限定木を用いて大域的に最適化される。このＢＢは、最初に少なくともルートノードを含み、各ノードは、電圧及び電力に対する制限の実現可能領域を表す。ＯＰＦ問題に対する上界が、選択されたノードについて、非線形計画法を用いて求められる一方、下界は、凸緩和法を用いて求められる。最小上界及び最小下界が、現在の上界及び下界を用いて更新される。最小上界と最小下界との間の差が閾値よりも小さい場合、選択されたノードについて実現可能領域によって表されるように電力網の電圧及び電力が出力される。そうでない場合、ノードの実現可能領域は、分割されて、そのノードに取って代わる。このプロセスは、木が空になるまで繰り返される。【選択図】図１
2014039463.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
電力網における電力潮流を大域的に最適化するための方法であって、
最適潮流計算問題の前記最適化は、最小化することであり、
前記最適潮流計算問題の前記最適化は、エッジによって接続されたノードからなる分枝限定木を保持し、
分枝限定は、最初に少なくともルートノードを含み、
前記分枝限定木のノードのそれぞれは、前記電力網における電圧及び電力に対する制限の実現可能領域を表し、
前記方法は、
前記分枝限定木における１つのノードを選択するステップと、
選択されたノードについて、非線形計画法と前記網の変数及び制約とを用いて、前記最適潮流計算問題に対する上界を求めるステップと、
前記選択されたノードについて、凸緩和法と前記変数及び前記制約とを用いて、前記最適潮流計算問題に対する下界を求めるステップと、
前記上界及び前記下界に基づいて前記最適潮流計算問題の最小上界及び最小下界を更新するステップと、
前記最小上界と前記最小下界との間の差が閾値よりも小さいか否かを判断するとともに、真である場合には、前記選択されたノードについて前記実現可能領域によって表されたように、前記電力網の前記電圧及び前記電力を出力するステップと、
そうではなく偽である場合には、前記上界と前記下界との間の差が前記閾値よりも大きいか否か及び前記下界が前記最小上界よりも小さいか否かを判断するとともに、真である場合には、前記選択されたノードの前記実現可能領域を分割して、前記分枝限定木の２つのノードを生成し、前記選択されたノードを前記２つのノードに置き換えることによって、前記選択するステップから開始することを繰り返すステップと、
そうではなく、偽である場合には、前記選択されたノードを削除するとともに、前記木が空でない限り、前記選択するステップから開始することを繰り返すステップと、
を含む電力網における電力潮流を大域的に最適化するための方法。
【請求項２】
請求項１に記載の電力網における電力潮流を大域的に最適化するための方法において、
前記下界を得るために前記最適潮流計算について半正定値緩和法を解くステップを更に含む
電力網における電力潮流を大域的に最適化するための方法。
【請求項３】
請求項１に記載の電力網における電力潮流を大域的に最適化するための方法において、
前記下界を得るために前記最適潮流計算についてラグランジュ双対緩和法を解くステップを更に含む
電力網における電力潮流を大域的に最適化するための方法。
【請求項４】
請求項１に記載の電力網における電力潮流を大域的に最適化するための方法において、
前記下界を得るために前記最適潮流計算について線形緩和法を解くステップを更に含む
電力網における電力潮流を大域的に最適化するための方法。
【請求項５】
請求項２に記載の電力網における電力潮流を大域的に最適化するための方法において、
【数１】
2014039463.tif 000058
に従って前記半正定値緩和法に制約を追加するステップを更に含み、
式中、Ｎは、前記分枝限定木におけるノードの数であり、
ｉｊは、ノードｉとｊとの間のエッジに対応する前記網における線路を表し、
ζｇ，ｉｊｍｉｎ及びζｇ，ｉｊｍａｘは、電圧積の項Ｒｅ（Ｖｉ）Ｒｅ（Ｖｊ）＋Ｉｍ（Ｖｉ）Ｉｍ（Ｖｊ）の下限値及び上限値を示し、
Ｒｅ（Ｖｉ）、Ｉｍ（Ｖｉ）は、バスｉにおける複素数値電圧の実部及び虚部を表し、  ｇｉｊは、前記線路上のコンダクタンスを表し、
ｂｉｊは、前記線路のサセプタンスを表し、
ζｂ，ｉｊｍｉｎ及びζｂ，ｉｊｍａｘは、電圧積の項Ｒｅ（Ｖｉ）Ｉｍ（Ｖｊ）−Ｉｍ（Ｖｉ）Ｒｅ（Ｖｊ）の下限値及び上限値を示し、
Ｗは、正の半正定値対称行列であり、
Ｗｉｊは、行ｉ及び列ｊにおける行列Ｗのエントリーを示す、
電力網における電力潮流を大域的に最適化するための方法。
【請求項６】
請求項５に記載の電力網における電力潮流を大域的に最適化するための方法において、
前記半正定値緩和法に制約
【数２】
2014039463.tif 000059
を追加するステップを更に含み、
式中、ωｍｉｎＰ，ｉｊ及びωｍａｘＰ，ｉｊは、項ｇｉｊ（Ｒｅ（Ｖｉ）Ｒｅ（Ｖｊ）＋Ｉｍ（Ｖｉ）Ｉｍ（Ｖｊ））＋ｂｉｊ（Ｒｅ（Ｖｉ）Ｉｍ（Ｖｊ）−Ｉｍ（Ｖｉ）Ｒｅ（Ｖｊ））の下限値及び上限値を表す、
電力網における電力潮流を大域的に最適化するための方法。
【請求項７】
請求項５に記載の電力網における電力潮流を大域的に最適化するための方法において、
前記半正定値緩和法に制約
【数３】
2014039463.tif 000060
を追加するステップを更に含み、
式中、σｍｉｎＰ，ｉｊ及びσｍａｘＰ，ｉｊは、項ｇｉｊ（Ｒｅ（Ｖｉ）２＋Ｉｍ（Ｖｉ）２）＋ｇｉｊ（Ｒｅ（Ｖｉ）Ｒｅ（Ｖｊ）＋Ｉｍ（Ｖｉ）Ｉｍ（Ｖｊ））＋ｂｉｊ（Ｒｅ（Ｖｉ）Ｉｍ（Ｖｊ）−Ｉｍ（Ｖｉ）Ｒｅ（Ｖｊ））の下限値及び上限値を表す、
電力網における電力潮流を大域的に最適化するための方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、包括的には、電力網に関し、より詳細には、この網における電力潮流を最適化することに関する。
【背景技術】
【０００２】
電力網は、送電線路に接続されたバスを含む。これらのバスは、発電機及び負荷に接続されている。最適潮流計算（ＯＰＦ）解析が、多くの場合、網の動作を監視及び制御するために用いられる。電力潮流は、電圧の大きさ及び位相角に部分的に依存する。バス上の発電量及び電圧レベルは、大きさ、位相、送電される電力、発電機容量、熱損失等の制約を条件として目的関数を最小化することによって最適化される。
【０００３】
ほとんどの従来のＯＰＦ最適化は、以下のものを用いる。
１）バスにおける位相角間の差が小さい等、仮定を単純にして、二次等式及び二次不等式を線形等式及び線形不等式に簡約化することを用いる。しかしながら、そのような仮定は、全ての網に有効であるとは限らない可能性がある。
２）非線形計画法（ＮＬＰ）を用いて、配信される１キロワット時当たりの最小コストを求める。しかしながら、ＮＬＰは、効率的な動作のための大域的に最適な電圧及び発電機レベルを保証することができない。
３）二次錐計画法（ＳＯＣＰ）等の凸最適化へのＯＰＦの緩和法を用いる。しかしながら、そのような緩和された凸最適化は、元の問題の大域的最小値を有する実現可能解を保証しない。
４）半正定値計画法（ＳＤＰ）へのＯＰＦの緩和法を用いる。この半正定値計画法は、網内の無損失線路の抵抗、網トポロジーに対する制限、若しくは制約を変更することを必要とするか、又は大域的最適性を確保するように網の変更を必要とする。
５）ラグランジュ双対性（ＬＤ）に基づく下界とともに分枝限定（ＢＢ）手順を用いる。これらの下界は、全ての必要な制約を考慮するとは限らず、最適化問題の不規則性に起因してかなり小さなものである。
【０００４】
したがって、電力網を効率的かつ好都合な方法で大域的に最適化する必要性が依然として存在する。
【０００５】
特許文献１は、最適な電力潮流と、この最適な電力潮流に基づく電力系統の利用可能な送電能力とを計算する当該電力系統を動作させるためのシステム及び方法を記載している。このシステムは、発電機位相角が事前に設定された値を超えないという状況において、時間関数によって規定された発電機位相角を含めて、発電機の機械的出力及び電気的出力を計算することによって発電機の初期位相角及び最大電力値に関連付けられたデータを導出する。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００６】
【特許文献１】米国特許第６，６２５，５２０号
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
電力網における電力潮流を大域的に最適化するための方法を提供することが求められている。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
本発明の実施の形態は、電力網における電力潮流を大域的に最適化するための方法を提供する。
【０００９】
空間分枝限定（ＢＢ）手順が、大域的に最適な解が得られることを確実にする。このＢＢ手順は、特に、発電変数（ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ  ｖａｒｉａｂｌｅ）に対する界（ｂｏｕｎｄ）を分割するとともに電圧の大きさに対する制約も分割することによって、電力潮流問題の実現可能領域を分割する。これによって、収束が高速化される。
【００１０】
最適な解に対する下界が、最小の下界を与える半正定値計画法（ＳＤＰ）によって求められる。このＳＤＰは、計算複雑度を制限する内点手順を用いる。
【発明の効果】
【００１１】
これにより、電力網における電力潮流を大域的に最適化するための方法を提供することができる。
【図面の簡単な説明】
【００１２】
【図１】本発明の実施形態を用いることができる電力網及びグラフ表示の概略図である。
【図２】本発明の実施形態によって用いられる分枝限定木を示す図である。
【図３】本発明の実施形態によって用いられる上界及び下界のグラフである。
【図４】本発明の実施形態による最適化された界のグラフである。
【図５】本発明の実施形態による長方形分割の概略図である。
【図６】本発明の実施形態による径方向分割の概略図である。
【図７】本発明の実施形態による方法の流れ図である。
【図８】本発明の実施形態によって用いられる行列のブロック図である。
【発明を実施するための形態】
【００１３】
電力網トポロジー
図１は、本発明の実施形態を用いることができる電力網トポロジーを示している。この網は、変換器によって接続されたＡＣ成分及びＤＣ成分を含むことができる。唯一の要件は、網の動作を制御する変数及び制約が連続的に制御可能であるということである。
【００１４】
この網は、負荷１２及び発電機１４に接続されたバス１０を含む。これらのバスは、ブランチとしても知られている送電線路２０によって相互接続されている。これらの送電線路のうちの幾つかは、変圧器２２に接続することができる。
【００１５】
発電機は、有効電力（ＭＷで測定される）及び無効電力（ＭＶａｒで測定される）を発電する。負荷は、電力を消費する。電力は、電圧の大きさ及び位相角によって規定される。
【００１６】
最適化のためのパラメータには、ブランチインピーダンス及びバス固定並列アドミタンスに基づくアドミタンス行列と、潮流容量定格（ｆｌｏｗ  ｃａｐａｃｉｔｙ  ｒａｔｉｎｇｓ）、すなわち、熱定格（ｔｈｅｒｍａｌ  ｒａｔｉｎｇｓ）によって制約される最大総電力潮流とが含まれるが、これらに限定されるものではない。
【００１７】
この網は、エッジ３１によって接続されたノード３０からなるグラフＧによって表すことができる。
【００１８】
入力
方法への入力は、以下のものを含む。
【００１９】
ａ．Ｎ個のノードの集合がＥ個のエッジ（ｉ，ｊ）の集合によって接続されたグラフＧ（Ｎ，Ｅ）。
【００２０】
ｂ．線路のアドミタンス
【００２１】
【数１】
2014039463.tif 000003
【００２２】
式中、ｇは、線路のコンダクタンスを表し、ｂは、線路のサセプタンス（アドミタンスの虚部）を表し、
【００２３】
【数２】
2014039463.tif 000004
【００２４】
である。
【００２５】
ｃ．発電機が生成することができる有効電力
【００２６】
【数３】
2014039463.tif 000005
【００２７】
と、発電機が生成することができる無効電力
【００２８】
【数４】
2014039463.tif 000006
【００２９】
とに対する制約。
【００３０】
ｄ．線路上を送電される皮相電力及び有効電力に対する制約
【００３１】
【数５】
2014039463.tif 000007
【００３２】
ｅ．バスにおける電圧の大きさに対する制限
【００３３】
【数６】
2014039463.tif 000008
【００３４】
ｆ．線路上での熱損失に対する制約
【００３５】
【数７】
2014039463.tif 000009
【００３６】
出力
方法の出力は、バスにおける複素数値電圧
【００３７】
【数８】
2014039463.tif 000010
【００３８】
と、発電機の有効電力レベル及び無効電力レベル
【００３９】
【数９】
2014039463.tif 000011
【００４０】
とを含む。
【００４１】
大域的最適化
大域的最適化のために、有効電力発電変数
【００４２】
【数１０】
2014039463.tif 000012
【００４３】
と、無効電力発電変数
【００４４】
【数１１】
2014039463.tif 000013
【００４５】
と、バスにおける複素数値電圧
【００４６】
【数１２】
2014039463.tif 000014
【００４７】
とに依存する決定関数ｆ（ＰＧ，ＱＧ，Ｖ）が用いられる。
【００４８】
好ましい実施形態では、関数ｆの形式は、二次であり、厳密に増加するもの、すなわち、
【００４９】
【数１３】
2014039463.tif 000015
【００５０】
であり、式中、ｃは、
【００５１】
【数１４】
2014039463.tif 000016
【００５２】
である定数を示す。
【００５３】
決定変数に対する等式制約と、不等式制約と、界とを用いて、網の実現可能な動作の制限がモデル化される。等式制約
【００５４】
【数１５】
2014039463.tif 000017
【００５５】
によって、電気網の物理的性質がモデル化される。式中、Ｎｅは、等式制約の数を示す。
【００５６】
線路上を送電される電力及び実現可能な動作を確保する熱損失に対する制約が、不等式制約
【００５７】
【数１６】
2014039463.tif 000018
【００５８】
としてモデル化される。式中、Ｎｉは、不等式制約の数を示す。
【００５９】
また、電力発電及びバスにおける電圧の大きさに対する制約も課せられる。
【００６０】
バスにおける電圧及び発電機によって生成される電力を求めるために、以下の最適化問題が大域的最適性に向けて解かれる。
【００６１】
【数１７】
2014039463.tif 000019
【００６２】
式中、Ｒｅ（Ｖｉ）、Ｉｍ（Ｖｉ）は、それぞれ複素電圧Ｖｉの実部及び虚部を示し、ｈｎは、等式制約を表し、ｇｎは、不等式制約を表す。
【００６３】
制約
好ましい実施形態では、等式制約
【００６４】
【数１８】
2014039463.tif 000020
【００６５】
は、以下のように表される。線路上の電力潮流
【００６６】
【数１９】
2014039463.tif 000021
【００６７】
バスにおける電力平衡
【００６８】
【数２０】
2014039463.tif 000022
【００６９】
式中、Ｓｉｊ＝Ｐｉｊ＋ｊＱｉｊは、バスｉからバスｊに送電される複素数値電力を示し、Ｓｊｉ＝Ｐｊｉ＋ｊＱｊｉは、バスｊからバスｉに送電される複素数値電力を示し、（Ｖｉ）＊は、複素数値変数の複素共役を示し、
【００７０】
【数２１】
2014039463.tif 000023
【００７１】
は、発電機によって生成される複素数値電力を示し、
【００７２】
【数２２】
2014039463.tif 000024
【００７３】
は、複素数値電力需要量を示す。線路上の電力潮流を表すこれらの変数は、便宜上用いられるものである。
【００７４】
好ましい実施形態では、不等式制約
【００７５】
【数２３】
2014039463.tif 000025
【００７６】
は、以下のように表される。線路上を送電される皮相電力に対する制限
【００７７】
【数２４】
2014039463.tif 000026
【００７８】
線路上を送電される有効電力に対する制限
【００７９】
【数２５】
2014039463.tif 000027
【００８０】
線路上の熱損失に対する制限
【００８１】
【数２６】
2014039463.tif 000028
【００８２】
分枝限定
図２に示すように、分枝限定（ＢＢ）手順を用いて、空間ＢＢ木が探索される。この木は、ルートノードＲを含み、分割後は、子ノードＲ１及びＲ２を含む。この木は、解くのが容易であるとともに最適な目的関数値に対する下界（Ｌ）を与える、ＯＰＦ（１）に関連付けられた実現可能領域Ｒの凸緩和法を構築することによってＯＰＦの大域的最小値を求めるのに用いられる。
【００８３】
この明細書では、問題は、最小化として説明されている。しかしながら、問題は、目的関数の正負の符号を反転することによって最大化として提起することもできることが理解されるべきである。
【００８４】
ＯＰＦ（１）の下界は、ＯＰＦの半正定値（ＳＤＰ）緩和法を解くことによって得られる。解かれるＳＤＰは、以下の式によって与えられる。
【００８５】
【数２７】
2014039463.tif 000029
【００８６】
Ｗは、２｜Ｎ｜×２｜Ｎ｜の対称行列である。
【００８７】
式中、
【００８８】
【数２８】
2014039463.tif 000030
【００８９】
は、行列Ｗが正の半正定値でなければならないことを示し、行列演算子Ｔｒ（）は、
【００９０】
【数２９】
2014039463.tif 000031
【００９１】
として定義され、行列Ｍｉは、
【００９２】
【数３０】
2014039463.tif 000032
【００９３】
として定義され、式中、ζｉは、第ｉ成分に１を有しそれ以外の箇所は０を有するサイズ｜Ｎ｜のベクトルを示す。
【００９４】
行列Ｗは、電圧変数ベクトルのベクトル外積
【００９５】
【数３１】
2014039463.tif 000033
【００９６】
を緩和したものである。
【００９７】
好ましい実施形態では、目的関数は、以下の式となる。
【００９８】
【数３２】
2014039463.tif 000034
【００９９】
半正定値緩和法（式２）における等式制約は、以下のように記述される。
【０１００】
【数３３】
2014039463.tif 000035
【０１０１】
式中、行列Ｙｉｊ、Ｙｊｉ、Ｙｉ、Ｙｉ（バー）は、図８に示すように定義される。
【０１０２】
ＯＰＦのラグランジュ双対
別の実施形態では、下界（Ｌ）は、劣勾配手順を用いてＯＰＦ（１）のラグランジュ双対を解くことによって得られる。等式制約の乗数である、バスにおける有効電力平衡、バスにおける無効電力平衡、有効線路電力潮流、無効線路電力潮流をそれぞれαｉ、βｉ、λｉｊ、γｉｊによって示すとともに、不等式制約のサブセットの乗数である、バスにおける電圧の大きさに対する下界、バスにおける電圧の大きさに対する上界、熱線路損失に対する制限をそれぞれ
【０１０３】
【数３４】
2014039463.tif 000036
【０１０４】
によって更に示す。簡潔にするために、サイズ２｜Ｎ｜＋４｜Ｅ｜のベクトルξｅｑによってξｅｑ＝（αｉ，βｉ，λｉｊ，γｉｊ）を示し、サイズ２｜Ｎ｜＋｜Ｅ｜のベクトルξｉｎによって
【０１０５】
【数３５】
2014039463.tif 000037
【０１０６】
を示し、サイズ４｜Ｎ｜＋５｜Ｅ｜のベクトルξによってξ＝（ξｅｑ，ξｉｎ）を示し、サイズ２｜Ｎ｜のベクトルｘによってｘ＝（Ｒｅ（Ｖ），Ｉｍ（Ｖ））、ｚ＝（ＰＧ，ＱＧ，Ｐ，Ｑ）を示す。
【０１０７】
ＯＰＦ（式１）に関連付けられたラグランジュ関数は、以下の式となる。
【０１０８】
【数３６】
2014039463.tif 000038
【０１０９】
式中、
【０１１０】
【数３７】
2014039463.tif 000039
【０１１１】
である。式中、ｘＴは、ベクトルｘの転置を示す。ラグランジュ双対関数ｇ（ξ）は、以下の式によって定義される。
【０１１２】
【数３８】
2014039463.tif 000040
【０１１３】
双対関数の最適値は、以下の式によって得られる。
【０１１４】
【数３９】
2014039463.tif 000041
【０１１５】
式中、ξｅｑには、正負の符号の制限がない。
【０１１６】
式（４）から得られた最適値は、ＯＰＦ（式１）の下界（Ｌ）である。解法は、２つのステップ、すなわち、（ｉ）或るξについて（式３）を解くステップと、（ｉｉ）（式４）が解かれるまでξに対して反復するステップとで進行する。
【０１１７】
ラグランジュ双対関数に対するこの解法は、以下の部分問題に分解される。各発電機については、
【０１１８】
【数４０】
2014039463.tif 000042
【０１１９】
であり、線路潮流については、
【０１２０】
【数４１】
2014039463.tif 000043
【０１２１】
であり、電圧については、
【０１２２】
【数４２】
2014039463.tif 000044
【０１２３】
であり、式中、
【０１２４】
【数４３】
2014039463.tif 000045
【０１２５】
である。
【０１２６】
ξに対して反復する最大化問題は、以下のように劣勾配手順を用いて解かれる。
【０１２７】
【数４４】
2014039463.tif 000046
【０１２８】
式中、［］＋は、非負の象限（ｏｒｔｈａｎｔ）上への射影を示す。ｓｋは、ステップサイズである。ｇｋｅｑは、双対化される等式制約の残差を示す。ｇｋｉｎは、双対化される不等式制約の残差を示す。
【０１２９】
最大化問題は、バンドル法又は他の任意の非平滑最適化手順を用いて解くこともできる。電力発電変数及び電圧の大きさの下界及び上界が後述するように更新されると、適切な値が、上述した部分問題（ｉ）、（ｉｉ）及び（ｉｉｉ）において用いられる。
【０１３０】
図３に示すように、上界（Ｕ）は、局所的最小化を用いることによって求めることができ、これは、実現可能解も与える。ＢＢは、最小上界（Ｕｂｅｓｔ）を、Ｕ＜Ｕｂｅｓｔである場合に更新する。ＢＢは、探査される木のノードと現在のノードについて得られた下界（Ｌ）とに基づいて最小下界（Ｌｂｅｓｔ）を更新する。まだ解かれていないＢＢ木のノードについては、下界の推定値が用いられる。これは、通常、そのノードの派生元の親ノードの下界値である。（Ｕｂｅｓｔ−Ｌｂｅｓｔ）又は任意選択として（Ｕｂｅｓｔ−Ｌｂｅｓｔ）／Ｕｂｅｓｔが或る所定の閾値τよりも小さい場合、ＢＢ手順は、現在の上界の解で終了する。
【０１３１】
そうではなく、（Ｕ−Ｌ）又は（Ｕ−Ｌ）／Ｕ又は（Ｕｂｅｓｔ−Ｌ）が或る所定の閾値τよりも小さい場合、現在のノードは、ＢＢ木から削除され、ＢＢ木からの別のノードが、上記の解くステップを用いて下界及び上界を更新及び場合によっては改善するように選択される。
【０１３２】
図４に示すような別の状況では、実現可能領域Ｒは、Ｒ１及びＲ２に分割され、ＢＢ手順が繰り返され、以下同様に行われる。換言すれば、最適性ギャップ（ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ  ｇａｐ）が存在する場合、実現可能領域は、２つの部分領域に分割され、それらの部分領域にわたって、ＢＢ手順が繰り返される。下界Ｌが現在の最良の上界よりも大きいとき、ノードは削除される（分枝限定の用語では、「推測される（ｆａｔｈｏｍｅｄ）」ｘ）（図２参照）。
【０１３３】
ＢＢ手順は、処理されるノードがもはやないときに終了する。その場合、最良の上界の解が大域的最適解として返される。
【０１３４】
実現可能領域の分割は、図５に示すようなＰＧｉ若しくはＱＧｉにおける長方形二分によって又は図６に示すような電圧の大きさ（ｅ２ｉ＋ｆ２ｉ）０．５における径方向二分によって行うことができる。
【０１３５】
追加制約
別の実施形態では、半正定値計画緩和法を補強する追加制約が用いられる。これらの制約は、電力潮流方程式を解析することによって導出される。実際の線路潮流制約Ｐｉｊ＝Ｔｒ（ＹｉｊＷ）を、バスの元の電圧変数の観点から記述することを考えると、以下の式となる。
【０１３６】
【数４５】
2014039463.tif 000047
【０１３７】
式中、ｇｉｊは、線路コンダクタンスであり、ｂｉｊは、線路サセプタンスである。上記式は、送電線路が変圧器を含む場合には変更することができる。これらの制約の次の説明は、その場合にも当てはまる。行列を定式化したものＰｉｊ＝Ｔｒ（ＹｉｊＷ）は、本質的には、上記等式の二次項を、それぞれ行列エントリー
【０１３８】
【数４６】
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【０１３９】
を有する項
【０１４０】
【数４７】
2014039463.tif 000049
【０１４１】
に置き換えることによって得られる。ここで、Ｗｉｊは、行ｉ及び列ｊに対応する行列Ｗの要素を指す。
【０１４２】
上記式の二次項の値域を検討することによって、行列エントリーに対する界を導出することができる。以下の式によって示す。
【０１４３】
【数４８】
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【０１４４】
式中、ｓｕｐは、目的関数の上限（ｓｕｐｒｅｍｕｍ）値（すなわち、大域的最大値）を指し、ｉｎｆは、目的関数の下限（ｉｎｆｉｍｕｍ）値（すなわち、大域的最小値）を指す。上記値
【０１４５】
【数４９】
2014039463.tif 000051
【０１４６】
は、電圧の大きさの界の関数として解析的に計算される。したがって、手順が分割によって進行するにつれて、実現可能領域、並びに新しい下界及び上界は、再スケーリングによって計算することができる。同様に、実際の電力平衡方程式の別の双一次項の値域は、以下の式のように計算することができる。
【０１４７】
【数５０】
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【０１４８】
計算される量に基づいて、以下の制約を半正定値計画緩和法に加えて、計算される下界を補強することができる。
【０１４９】
【数５１】
2014039463.tif 000053
【０１５０】
上述したように、手順がバスに対する電圧の大きさの制約を分割するので、電圧の大きさに対する制限が変更されると、界は再計算される。（式５）に記述された形式の制約は、網内の線路ごとに導出され、半正定値緩和法に追加される。
【０１５１】
別の実施形態では、制約の補強は、二次項の組み合わせを考慮することによって得られる。実際の電力潮流制約を考慮し、以下のように界を計算する。
【０１５２】
【数５２】
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【０１５３】
これらの界を用いて、以下のように、行列エントリーに対する補強された界の制約が、半正定値計画緩和法に追加される。
【０１５４】
【数５３】
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【０１５５】
同様に、（ｉ，ｊ）に対する無効線路潮流制約と、登場する二次項の組み合わせとを考慮すると、界を計算することができ、制約を行列Ｗのエントリーに対して課すことができる。（式５）に記述された形式の制約は、網内の線路ごとに導出され、半正定値緩和法に追加される。
【０１５６】
別の実施形態では、補強する制約は、電力潮流方程式の右辺の項全体を考慮することによって得られる。実際の電力潮流制約を考慮し、以下のように界を計算する。
【０１５７】
【数５４】
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【０１５８】
これらの界を用いて、以下のように、行列エントリーに対する補強された界の制約が、半正定値計画緩和法に追加される。
【０１５９】
【数５５】
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【０１６０】
同様に、（ｉ，ｊ）と（ｊ，ｉ）からの実際の無効線路潮流とに対する無効線路潮流制約と、登場する二次項の組み合わせとを考慮すると、界を計算することができ、行列Ｗのエントリーに対して制約を課すことができる。（式５）に記述された形式の制約は、網内の線路ごとに導出され、半正定値緩和法に追加される。
【０１６１】
方法
図７は、本発明の実施形態による、電力網における最適潮流計算（ＯＰＦ）問題を大域的に最適化するための方法のステップを示している。これらのステップは、当該技術分野において知られているようにメモリ及び入出力インターフェースに接続されたプロセッサにおいて実行することができる。
【０１６２】
網の変数、制約、及びＢＢ木７１５が、上述したように、網トポロジー、構成要素及び物理的な動作条件等に従って初期化される（７１０）。これらは、特定の網トポロジー及び構成要素の提供元から用意に入手可能である。ＢＢ木は、少なくともルートノードを含む。
【０１６３】
木のノードは、この木が空になるまで、一時に１つずつ選択されて解かれる。
【０１６４】
ＯＰＦ問題に対する上界及び下界７２５を求める（７２０）。上界は非線形計画法を用いて解かれ、下界は半正定値計画法を用いる。
【０１６５】
これまで見つけられた最小上界及び最小下界７３５が、現在の上界及び下界に従って更新される（７３０）。これらは、まだ未選択のノードについて推定された最小界である。
【０１６６】
最小上界と最小下界との間の差が閾値よりも小さいか否かを判断し（７４０）、真である場合には、選択されたノード用の実現可能領域によって表されるような電力網の電圧及び電力７５０を出力する。
【０１６７】
そうではなく偽である場合には、上界と下界との間の差が閾値よりも大きいか否か及び下界が最小上界（許容誤差を引いたもの）よりも小さいか否かを判断し、真である場合には、選択されたノードの実現可能領域を分割して（７６０）、選択されたノードを２つのノードに置き換えることによって分枝限定木の２つのノードを生成し、木が空でない限り、別のノードを選択することによって繰り返す。そうではなく偽である場合には、選択されたノードを削除し、別のノードを選択する。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【外国語明細書】
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