(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
チャンネルを介しての流体の流れ及び前記チャンネルからの放出を解析する方法において、
（ａ）前記チャンネルへのインクの流れを示す圧力を設定するステップと、
（ｂ）前記インクの前記流入圧力に基づいて、（ｉ）前記チャンネルを介しての前記インクの流速、及び(ii)前記インク、空気並びに前記チャンネルの壁の交差部に形成される三重点を計算するステップと、
を有し、前記ステップ（ｂ）において前記計算を行う場合に、
前記三重点の近傍に自由滑り境界条件が課されて、前記インクと前記チャンネルの壁との間の接触角が第１角度値以上であるか、又は前記接触角が前記第１角度値より小さい第２角度値以下である場合に、前記三重点が移動するのを許可し、
前記チャンネルを介しての前記インクの前記流速の計算に使用するナビエ・ストークス方程式において、表面張力が体積力の形態で形成されていることを特徴とする方法。
【請求項２】
請求項１に記載の方法において、前記接触角が前記第１角度値以上である場合に、前記三重点が前記空気に向かって移動することを許されることを特徴とする方法。
【請求項３】
請求項２に記載の方法において、前記接触角が前記第２角度値以下である場合に、前記三重点が前記インクに向かって移動することが許されることを特徴とする方法。
【請求項４】
請求項１乃至３のいずれか一項に記載の方法において、前記接触角が前記第２角度値より大きく、且つ、前記第１角度値より小さい場合に前記三重点が移動することを許可されないことを特徴とする方法。
【請求項５】
請求項３または４に記載の方法において、前記接触角が前記第１角度値以上であり、且つ、前記インクの速度の速度成分が零より大きい場合、又は前記接触角が前記第２角度値以下であり、且つ、前記インクの速度の前記速度成分が零より小さい場合に、前記自由滑り境界条件が所定の半径内に課されることを特徴とする方法。
【請求項６】
請求項３乃至５のいずれか一項に記載の方法において、前記接触角が前記第１角度値より大きい場合に前記三重点が前記表面張力体積力の項に従い前記空気に向かって加速され、前記接触角が前記第２角度値より小さい場合に前記三重点が前記表面張力体積力の項に従い前記インクに向かって加速されることを特徴とする方法。
【請求項７】
請求項１乃至６のいずれか一項に記載の方法において、前記ステップ（ｂ）における前記計算にレベル集合方法が使用されることを特徴とする方法。
【請求項８】
請求項１乃至７のいずれか一項に記載の方法において、前記チャンネルが圧電インクジェットヘッドの一部であるインクジェットノズルを表すことを特徴とする方法。
【請求項９】
チャンネルを介しての流体の流れ及び前記チャンネルからの放出を解析する装置において、
前記チャンネルへのインクの流れを示す流入圧力に基づいて、（ｉ）前記チャンネルを介しての前記インクの流速、並びに(ii)前記インク、空気及び前記チャンネルの壁の交差部に形成される三重点を計算する手段と、
を有し、前記計算を行う場合に、
前記三重点の近傍に自由滑り境界条件が課されて、前記インクと前記チャンネルの壁との間の接触角が第１角度値以上であるか、又は前記接触角が前記第１角度値より小さい第２角度値以下である場合に、前記三重点が移動するのを許可し、
前記チャンネルを介しての前記インクの前記流速の計算に使用するナビエ・ストークス方程式において、表面張力が体積力の形態で形成されていることを特徴とする装置。
【請求項１０】
請求項９に記載の装置において、前記計算する手段がソフトウェア、ハードウェア、又はこれらの組合せで具現化された命令のプログラムを有することを特徴とする装置。
【請求項１１】
請求項９または１０に記載の装置において、前記チャンネルが圧電インクジェットヘッドの一部であるインクジェットノズルを表すことを特徴とする装置。
【請求項１２】
マシンにチャンネルを介しての流体の流れ及び前記チャンネルからの放出を解析するように指令する命令のプログラムにおいて、
（ａ）前記チャンネルへのインクの流れを示す圧力を設定する命令と、
（ｂ）前記インクの前記流入圧力に基づいて、（ｉ）前記チャンネルを介しての前記インクの流速、並びに(ii)前記インク、空気及び前記チャンネルの壁の交差部に形成される三重点を計算する命令と、
を有し、前記命令（ｂ）により前記計算を行う場合に、
前記三重点の近傍に自由滑り境界条件が課されて、前記インクと前記チャンネルの壁との間の接触角が第１角度値以上であるか、又は前記接触角が前記第１角度値より小さい第２角度値以下である場合に、前記三重点が移動するのを許可し、
前記チャンネルを介しての前記インクの前記流速の計算に使用するナビエ・ストークス方程式において、表面張力が体積力の形態で形成されていることを特徴とするプログラム。
【請求項１３】
請求項１２に記載のプログラムにおいて、前記接触角が前記第１角度値以上である場合に、前記三重点が前記空気に向かって移動することを許されることを特徴とするプログラム。
【請求項１４】
請求項１３に記載のプログラムにおいて、前記接触角が前記第２角度値以下である場合に、前記三重点が前記インクに向かって移動することが許されることを特徴とするプログラム。
【請求項１５】
請求項１２乃至１４のいずれか一項に記載のプログラムにおいて、前記接触角が前記第２角度値より大きく、且つ、前記第１角度値より小さい場合に前記三重点が移動することを許可されないことを特徴とするプログラム。
【請求項１６】
請求項１４または１５に記載のプログラムにおいて、前記接触角が前記第１角度値以上であり、且つ、前記インクの速度の速度成分が零より大きい場合、又は前記接触角が前記第２角度値以下であり、且つ、前記インクの速度の前記速度成分が零より小さい場合に、前記自由滑り境界条件が所定の半径内に課されることを特徴とするプログラム。
【請求項１７】
請求項１４乃至１６のいずれか一項に記載のプログラムにおいて、前記接触角が前記第１角度値より大きい場合に前記三重点が前記表面張力体積力の項に従い前記空気に向かって加速され、前記接触角が前記第２角度値より小さい場合に前記三重点が前記表面張力体積力の項に従い前記インクに向かって加速されることを特徴とするプログラム。
【請求項１８】
請求項１２乃至１７のいずれか一項に記載のプログラムにおいて、前記命令（ｂ）による前記計算にレベル集合方法が使用されることを特徴とするプログラム。
【請求項１９】
請求項１２乃至１８のいずれか一項に記載のプログラムを記録したマシンによって読取可能な記録媒体。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、圧電印刷ヘッドからのインク放出をシミュレーション及び解析する巨視的物理モデルを提供する。更に詳細には、本発明の上記モデルは滑り接触ライン問題に対処すると共に、インク滴の大きさ及び形状の一層精密な制御を達成することができるようにレベル集合法を用いた質量保存性差分実施法を導入する。該方法はソフトウェア、ハードウェア又はこれらの組合せで実施化することができ、コンピュータ又は他のプロセッサ制御型装置上で実施することができる。
【０００２】
【従来の技術】
インク放出過程、そして特にはインク滴の大きさに対する一層精密な制御は、最終的な印刷物の品質を改善することができる。しかしながら、このような制御を達成するには、滴の大きさ及び形状を含む流体の流れを正確にシミュレーションするモデルが必要となる。既存の流体の流れのモデルは、問題に繋がるような或る条件を課す傾向がある。例えば、幾つかの既存の流体の流れのモデルは至る所で非滑り境界条件を強制し、これは、三重点（３つの相−２つの流体及び１つの固体−が出会う点、ライン又は曲線）がシミュレーションの間に移動しないことを意味する。これは計算を単純化するが、非現実的である。
【０００３】
静止又は滑り接触ラインを用いて流体の流れを数値的にシミュレーションしようと試みる場合に典型的に出くわすような他の問題も存在する。粘性流体に対して至るところで非滑り境界条件が強制される場合、流体の速度は壁においては零であるので、三重点は移動しない。三重点が固定された状態に留まるために許容される最大角であるような臨界角を用いるように選択すると、三重点の移動と流体ソルバ（解析器：solver）との間の非接続により、質量の保存性が違反され得る。三重点の極近傍における流体の流れを支配する微視的物理方程式を解くことを選択すると、該微視的物理学の規模は、大量のＣＰＵ時間を必要とする結果となる。
【０００４】
【発明が解決しようとする課題】
従って、本発明の一つの目的は、上述した問題を克服することにある。
【０００５】
また、本発明の他の目的は、特にインク放出のような流体の流れを、上述した問題を克服するような態様でシミュレーション及び解析するための巨視的な物理モデルを提供することにある。
【０００６】
【課題を解決するための手段】
本発明の一態様によれば、チャンネルを介しての流体の流れ及び斯かるチャンネルからの放出をシミュレーション及び解析する方法が提供される。該方法は、（ａ）第１流体の前記チャンネルへの流れを示す圧力を設定するステップと、（ｂ）前記第１流体の前記流入圧力に基づいて（ｉ）前記チャンネルを介しての前記第１流体の流速、(ii)前記第１流体、第２流体及び前記チャンネルの壁の交差部に形成される三重点及び(iii)前記チャンネルを介しての前記第１流体の流れに関する圧録を計算するステップと、（ｃ）前記チャンネルを介しての前記第１流体の流れ及び斯かるチャンネルからの放出をシミュレーションするステップとを有し、前記ステップ（ｂ）において前記計算を行う場合に、前記三重点の近傍に自由滑り境界条件が課されて、前記三重点が、前記第１流体と前記チャンネルの壁との間の接触角が第１角度値以上であるか又は前記接触角が前記第１角度値より小さい第２角度値以下である場合に移動するのを可能にし、前記チャンネルを介する前記第１流体の流速の前記計算には表面張力が体積力項として含まれる。
【０００７】
該基本方法には、下記のフィーチャを追加するか又は組み込むこともできる。上記三重点に関しては、前記接触角が前記第１角度値以上である場合は前記第２流体に向かって移動することが許容され、前記接触角が前記第２角度値以下である場合には前記第１流体に向かって移動することが許容されるが、前記接触角が前記第２角度値より大きく且つ前記第１角度値より小さい場合は移動することが許容されない。更に詳細には、三重点は、前記接触角が前記第１角度値より大きければ表面張力体積力項に従い第２流体に向かって加速され、前記接触角が第２角度値未満である場合は、前記三重点は表面張力体積力項に従い第１流体に向かって加速される。
【０００８】
また、前記接触角が第１角度値以上であり且つ第１流体の速度の速度成分が零より大きい場合、又は前記接触角が第２角度値以下であり且つ前記第１流体の速度の速度成分が零より小さい場合は、前記自由滑り境界条件は所定の半径内で課される。
【０００９】
好ましくは、前記ステップ（ｂ）における前記計算にはレベル集合方法が採用される。
【００１０】
該方法において、好ましくは、前記第１流体はインクを表し、前記第２流体は空気を表し、前記チャンネルは圧電インクジェットヘッドの一部であるようなインクジェットノズルを表す。
【００１１】
他の態様においては、本発明はチャンネルを介しての流体の流れ及び斯かるチャンネルからの放出をシミュレーション及び解析する装置に関するもので、前記チャンネルへの第１流体の流れを示す流入圧力に基づいて（ｉ）前記チャンネルを介しての前記第１流体の流速、(ii)前記第１流体、第２流体及び前記チャンネルの壁の交差部に形成される三重点及び(iii)前記チャンネルを介しての前記第１流体の流れに関する圧録を計算する手段と、前記チャンネルを介しての前記第１流体の流れ及び斯かるチャンネルからの放出をシミュレーションする手段とを有し、前記計算を行う場合に、前記三重点の近傍に自由滑り境界条件が付与されて、前記三重点が、前記第１流体と前記チャンネルの壁との間の接触角が第１角度値以上であるか又は前記接触角が前記第１角度値より小さい第２角度値以下である場合に移動するのを可能にし、前記チャンネルを介する前記第１流体の流速の前記計算には表面張力が体積力項として含まれる。
【００１２】
上記計算する手段は、ソフトウェア、ハードウェア又はこれらの組合せで具現化される命令のプログラムを有することができる。また、前記シミュレーションする手段は当該シミュレーションを視覚的に観察するための表示器を有することができる。
【００１３】
好ましくは、前記第１流体はインクを表し、前記第２流体は空気を表し、前記チャンネルは圧電インクジェットヘッドの一部であるようなインクジェットノズルを表す。
【００１４】
本発明の他の態様によれば、上述した方法及び斯かる方法のステップの何れも、命令のプログラム（例えば、ソフトウェア）で具現化することができ、該プログラムは実行のためにコンピュータ又は他のプロセッサ制御型装置に記憶し又は伝達することができる。他の例として、前記方法又は斯かる方法のステップの何れも、機能的に等価なハードウェア（例えば、特定用途用集積回路（ＡＳＩＣ）及びデジタル信号処理回路等）又はソフトウェアとハードウェアとの組合せを使用して実施化することもできる。
【００１５】
本発明の他の目的及び達成事項並びに完全な理解は、以下の説明及び請求項を添付図面と関連させて参照することにより明らかとなり且つ理解されるであろう。
【００１６】
尚、図面において同様の符号は同様な部分を示している。
【００１７】
【発明の実施の形態】
図１に示すように、“接触ライン”は、２つの非混和性流体（例えば、液体と空気）及び固体の交差部に形成される。２つの空間次元においては、上記接触ラインは用紙に垂直な直線となる。三次元軸対称空間においては、上記接触ラインは実際にはループとなる。“接触ライン”は、３つの相（２つの流体及び１つの固体）が互いに出会う点（又はライン、又は曲線）であるため、“三重点”とも呼ばれる。尚、ここでは“滑り接触ライン”、“接触ライン”及び“三重点”が互換性を以って使用されることに注意されたい。多くの流体系においては、接触ラインの極近傍における３つの相の間の相互作用は、２つの非混和性流体の静力性及び動力性に著しく影響し得る。毛細管、氷上を拡散する油、及び印刷ヘッドノズル内のインクの流れは、幾つかの例に過ぎない。滑り接触ラインを伴う流体の流れを数値的にシミュレーションしようと試みる場合、背景の節で既述したような幾つかの問題に出くわす。
【００１８】
１つの単純な例が、接触ラインモデルの重要さ及び影響を示す。図２は、液体／空気界面を伴うチャンネル２１を示し、該チャンネルはインクジェットノズルの一部であってもよい。界面２２の初期位置は、図２の（ａ）に示すように、直線である。矢印で示すように流入速度は右に向かう方向であり、三重点は移動することが許されないと仮定する。或る期間の後、新たな表面は図２の（ｂ）における実線に似たものとなり得る。しかしながら、三重点が移動することが許されるなら、点線が新たな表面位置を示すことになり得る。従って、接触ラインモデルは、物理学に関係するのみならず、解の一意性にとっても必須である。
【００１９】
計算型流体動力（ＣＦＤ）インクジェットシミュレーションの結果は、圧電印刷ヘッドの設計に非常に役立っている。図５は、実際のインクジェットシミュレーションがどの様になされるかを示している。等価回路５１は、入力として圧電（ＰＺＴ）アクチュエータに印加されるべき動的電圧を入力し、斯かる電圧がインクカートリッジ、供給チャンネル及びＰＺＴアクチュエータに対して有する影響をシミュレーションする。回路５１は、ＣＦＤコード５２を駆動する流入圧力を計算する。該ＣＦＤコードは、次いで、流体速度、圧力及び界面位置に関して解析し、インク流量（flow rate）を等価回路５１へ帰還する。
【００２０】
上記シーケンスは、インク滴の放出の終了まで繰り返される。インク／空気の界面はノズル壁に沿って前後にスライドするので、シミュレーションの品質のためには適切な滑り接触ラインモデルが必須である。市販のシミュレーションコードは、通常、ユーザがインクジェットシミュレーションに関して一定の接触角θ（図１参照）を指定するのを可能にしている。しかしながら、この種の単純及び不正確な接触モデルは、通常、不満足なシミュレーション結果に終わる。
【００２１】
本発明は、滑り接触ラインを支配するために巨視的な物理モデルを提供し、レベル集合方法を用いた質量保存性の数値的実施法を導入するものである。第１に、臨界角方法が採用される。三重点は、該臨界角を超える場合に移動が許可される。第２に、三重点の近傍における非滑り境界条件が緩和され、自由滑り境界条件により置換される。第３に、上記臨界角を超える場合に三重点が急速に加速するのを可能にするために、支配方程式に特別な表面張力が体積力項として付加される。第４に、該滑り接触モデルを構成するために、レベル集合方法が採用される。最後に、上記概念が、高次投影方法に基づく流体ソルバに組み込まれる。
【００２２】
本発明は、２又は３次元での滑り接触ラインを伴う如何なる２相の流れに対しても適用することができる。しかしながら、説明を容易にするために、当該２相は液体と空気であると仮定し、詳細は２次元で説明する。
Ｂ．支配方程式
自由面を捕捉し、接触モデルを構成するためにレベル集合方法が使用されるので、当該支配方程式はレベル集合表記を用いて示される。２相の流れに関する支配方程式は連続方程式（１）と、ナビエ・ストークス（Navier-Stokes）方程式（２）とを含み、これら方程式は以下の説明で参照される番号が付された他の方程式と共に付録に示されている。これらの方程式において、変形速度のテンソル及び流体速度は式（３）に定義されている。Ｄ／Ｄｔ＝∂／∂ｔ＋(ｕ・∇)はラグランジュ時間導関数、ρは相対密度、ｐは圧力、μは相対動的粘度、κは曲率、δはディラックのデルタ関数、Ｒｅはレイノルズ数、Ｆｒはフルード数、Ｗｅはウェーバー数、φはレベル集合である。上記相対密度、相対動的粘度及び曲率は、全て、方程式（４）におけるようにレベル集合に関して定義されている。普遍性の喪失なしで、重力は−ｙ（即ち、−ｅ２）方向であると仮定する。
【００２３】
レベル集合は界面に対する符号付き距離として初期化される。即ち、レベル集合値は液体側では界面への最短距離であり、空気側では斯かる最短距離の負となる。流体２から流体１へ描かれる界面上の単位法線、及び該界面の曲率は、式（５）のようにφ(ｘ,ｙ,ｔ)に関して表すことができる。
【００２４】
相対密度比ρ(φ)、相対粘度比μ(φ)、レイノルズ数Ｒｅ、ウェーバー数Ｗｅ及びフルード数Ｆｒは式（６）により定義され、ここで、Ｈ(φ)はヘビサイド単位階段関数、σは表面張力定数、ｇは重力加速度、Ｕは代表速度（characteristic velocity）、Ｌは代表長さ（characteristic length）、ρ１及びμ１は各々流体１の密度及び粘度、並びにρ２及びμ２は各々流体２の密度及び粘度である。上記代表速度及び代表長さは、任意に選択することができる。これらは、当該シミュレーションの結果には影響しない。
【００２５】
界面は流体と共に移動するから、レベル集合の進展はレベル集合対流方程式（７）により支配される。当該シミュレーションの如何なる時点においても、界面の位置及び形状は零レベル集合の位置により与えられる。
Ｃ．巨視的接触モデル
図１及び３に示される空気／液体の界面１２及び接触ラインを考察されたい。接触角θは、液体／空気界面１２及び固体により形成され、接触ライン（即ち三重点）に可能な限り近く接近することにより上記液体側から測定される角度として定義される。ここで、図１及び３に加えて図４を参照すると、前進（advancing）臨界接触角θａ及び後退（receding）臨界接触角θｒは、当該三重点が静止状態に留まるための最大及び最小接触角である。殆どの状況下では、θｒ＜θａである。しかしながら、後退臨界角は、前進臨界角に非常に近いか又は等しい場合さえあり得る。θａ及びθｒの実際の値は、当該流体及び固体の表面の両者に依存する。或る染料型インク及び印刷ヘッドノズル壁に対しては、θａ及びθｒは約８０°及び３０°となる。
【００２６】
当該三重点が移動可能か否かを判定するために以下の評価規準が使用される。
・θｒ＜θ＜θａの場合は、三重点は移動すべきでない。
・θ≧θａの場合、三重点は空気に向かって移動することを許可される。
・θ≦θｒの場合、三重点は液体に向かって移動することを許可される。
三重点が移動することを許可されない場合、固体の壁における境界条件は非滑り条件である。三重点が移動することを許される場合、該三重点の極近傍における非滑り条件は緩和されるべきである。この目的のために、接触長さεｃが導入される。図１、３及び４に示されるように、εｃは接触領域（即ち、当該三重点の周囲の半径εｃの半径の破線の円により囲まれる領域）の半径である。この代表長さは物質（空気、液体及び固体）にも依存する。例示として、インクジェットのシミュレーションにおいては、発明者は０.３５ないし０.５５ミクロンの範囲内のεｃ値を使用し、非常に良好な結果を達成した。速度νｃは、上記破線円と界面との交差部における速度の接線方向成分（即ち、固体の壁に平行な成分）である。非滑り境界条件を緩和すべきか、及び何処で緩和すべきかは、以下のように判定される。
【００２７】
θ≧θa及びνｃ＞０、又はθ≦θｒ及びνｃ＜０の場合は、自由滑り境界条件を固体の壁における半径εｃの破線円内にある部分に指定し、それ以外では非滑り境界条件を維持する。
【００２８】
本発明のモデルにおいては、非滑り境界条件の緩和は三重点の小さな近傍においてのみ発生することができることに注意すべきである。従って、固体の壁の殆どの部分に関しては、依然として非滑り条件が強制される。
【００２９】
接触角は、前進臨界角より大きくなるか又は後退臨界角より小さくなることが許される。しかしながら、接触角が前進臨界角より大きい（後退臨界角より小さい）場合、三重点は接触角が上記臨界角により規定される範囲に戻るように前方に（後方に）加速されるべきである。前進臨界角を超える（又は後退臨界角に達しない）場合の三重点の実際の加速は、発明者が導入した特別な表面張力項Ｂｃの結果的影響、流体の密度及び対称軸における速度、並びに他の要因により決定される。本発明のモデルは、上記特別な表面張力Ｂｃを三重点において導入する。
【００３０】
即ち、Ｂｃ＝−δｃκｃ(θ,φ)∇φ／(ρ(φ)Weｃ)であり、ここでκｃは接触角θ及びレベル集合φの関数、δｃは三重点で１となり、それ以外では零となるディラックデルタ関数、Weｃは物質定数である。関数κｃ(θ,φ)はθｒ＜θ＜θａに対しては零となるべきである。その大きさは、θ＞θａの場合はθ−θａに比例し、θ＜θｒの場合はθｒ−θに比例しなければならない。
【００３１】
ナビエ・ストークス方程式における実際の表面張力と同様に、この特別な表面張力は体積力の形態で形成されている。その利点は、該特別な表面張力の項は数値的な実施化を容易化するために方程式（２）の右辺に直接加えることができるので、即値的であるということである。結果は、式（８）となる。
【００３２】
関数κｃを選択する方法は無限に多数存在する。以下、１つの簡単な例を数値的実施例と共に説明する。簡略化のために、Weｃをウェーバー数であるように選択することができる。
Ｄ．数値的実施例
ここでは、一様な長方形格子に対する差分（finite difference）数値方法が説明される。速度及びレベル集合は格子点上にある一方、圧力はセル中心上にある。以下において、上付文字ｎ（又はｎ＋１）は時間ステップを示している（式（９）参照）。
【００３３】
各量ｕｎ、ｐｎ及びφｎが既知であると仮定する。その目的は、非圧縮性の条件（式（１））及び変更されたナビエ・ストークス方程式（８）を満足するようなｕｎ＋１、ｐｎ＋１及びφｎ＋１を求めることである。該提案された数値的方法は、物体に適合した四辺形格子に対する一層一般的な差分方法に拡張することができる。
Ｄ.１  界面のスミアリング
ディラックデルタ関数、並びに界面を横切ってのρ及びνの鋭い変化により生じる数値的困難さのために、ヘビサイド及びディラックデルタ関数は、平滑化関数により、即ち界面をなすりつけるために、置換される。ヘビサイド関数は、式（１０）として再定義される。従って、平滑化デルタ関数は式（１１）となる。パラメータεは、通常、１〜２のセルの大きさに選定される。
Ｄ.２  境界条件
本発明の接触モデルにより、固体の壁における適切な境界条件が、どの時間ステップでも決定される必要がある。図３を参照すると、Ｃは三重点であり、Ａは当該壁上の任意の格子点であり、νｃは当該界面と点線円との交差部における速度の接線方向成分である。Ａにおける境界条件は式（１２）により決定される。
Ｄ.３  特別な表面張力
この接触モデルによれば、三重点が移動することが許可される場合、体積力の形態の特別な表面張力を加える必要がある。１つの容易な実施例は、“ゴーストレベル集合”の使用、及びκｃが曲率であると仮定することにより達成することができる。
【００３４】
図４に示すように、ここで、三重点が前方に（空気の側に向かって）移動することが許されると仮定する。先ず、図４に点線により示すように、固体の壁と角度θａ（液体側から測定して）をなすような直線を構築する。三重点に隣接するノードにおける“ゴーストレベル集合”値(φｇ)ｉ，ｊが、界面ＡＣ及び点線ＣＡ’への符号付き距離を計算することにより指定される。次いで、上記特別な表面張力はκｃが式（１３）により与えられる曲率であるかのように計算され、ここで、全ての勾配及び発散は一様な格子に対する標準中心差分により計算される。
【００３５】
三重点が後方に（液体側に向かって）移動することを許される場合、依然として上記特別な表面張力を決定するのと同様の手順に従うが、上記の構築された直線は壁に対して角度θｒをなすべきである点が例外となる。該ゴーストレベル集合は、接触ラインが移動することが許される場合に上記の特別な表面張力を計算する目的のためにのみ構築され且つ使用される。該集合はナビエ・ストークス方程式における如何なる他の量を計算するためにも使用してはならない。該集合は、接触ラインが移動することを許されない場合は計算する必要がない。
Ｄ.４  時間的打ち切り
レベル集合は、先ず、式（１４）の使用により更新される。時間中心（time-centered）移流項[(ｕ・∇)φ]n+1/2のためのアルゴリズムは、ナビエ・ストークス方程式における移流項[(ｕ・∇)ｕ]n+1/2のためのアルゴリズムと同一である。φn+1が一旦得られたら、式（１５）により時間中心レベル集合φn+1/2を計算する。
【００３６】
上記移流及び粘度の両方の項には、明確な時間打ち切りが適用される。打ち切られた方程式は、式（１６）に示すようなものである。式（１７）により速度予測子ｕ＊を定義すると、時間打ち切りされたナビエ・ストークス方程式は式（１８）に示したように書くことができる。
【００３７】
粘度項に対する時間的打ち切りは、一次のものである。時間ステップは非常に小さいので、これはインクジェットシミュレーションにとっては充分に正確である。粘度項における全ての空間導関数を計算するために、中心差分が適用される。移流項の打ち切りは、時間的及び空間的に二次であるべきである。１つの良好な選択は、明確な二次ゴドノフ法である。しかしながら、如何なる他の二次方法も良好に動作すると信じられる。ｕ＊の決定が、時間ステップｎにおける値のみを必要とすることは明らかである。
【００３８】
時間ステップｎ＋１に対して非圧縮性条件を満たすために、式（１８）の両辺に発散演算子を適用する。∇・ｕn+1＝０であるので、投影方程式（１９）が得られる。該投影方程式は楕円的である。密度非ρ(φn+1/2)が一定なら、該方程式はポアッソン方程式に帰着する。
【００３９】
圧力ｐn+1が式（１９）から解かれた後、速度フィールドｕn+1を（１８）により得ることができる。
Ｄ.４.４  レベル集合の再初期化
界面を正しく捕捉し、表面張力項を正確に得るために、当該レベル集合は、界面に対する符号付き距離関数として維持される必要がある。該レベル集合は、当該プログラムにおける数時間ステップ毎に符号付き距離として再初期化される。幾つかの再初期化技術が、１９９９年のケンブリッジ大学プレス第２編のJames A. Sethianによる“レベル集合法及び高速マーチング法”なる教科書に見られる。
Ｅ．実施化及び効果
本発明により採用された数値的レベル集合実施法が質量保存性である理由は、前記特別な表面張力及び緩和された境界条件が処理される方法にある。質量の保存を保証するために、三重点は、ナビエ・ストークス方程式により決定される速度フィールド及び連続性条件に従わずに人為的に移動されてはならない。ナビエ・ストークス方程式ソルバに使用される境界条件の違反も許されない。好ましい数値的実施例においては、三重点の移動は、該三重点の近傍における非滑り境界条件の緩和と、ナビエ・ストークス方程式における前記特別な表面張力の効果とを常に介したものとなる。
【００４０】
本発明の滑り接触ラインモデルは、従来のインクジェットシミュレーション技術より優る利点を及び改善を提供する。１つの利点は、連続したインク滴の放出のシミュレーションである。実験的結果は、過渡効果のため、２番目に放出される滴は最初のものより常に僅かに大きくなることを示している。本発明の接触モデルを使用した数値的シミュレーションの結果は、観察された証拠に一致する。しかしながら、本発明接触モデルなしでの（即ち、境界条件として一定の接触角を用いる）数値的シミュレーションは、より小さな２番目のインク滴を示した。他の注記すべき改善点は、一層正確な静的毛管力である。印刷ヘッドが動作していない場合、又はプリンタがオフされる場合、インクがノズルから流れ出るのを保持するために、ノズルの流入圧力は大気圧力より僅かに低くなるように設計されている。観察される接触角は、前記２つの臨界角により規定される範囲内である。図５における入力電圧を零に設定することにより、該等価回路は、この流入圧力をシミュレーションすることができ、従ってＣＦＤコードはノズルにおけるインク／空気界面の平衡位置及び形状をシミュレーションすることができる。初期インク／空気界面が丁度ノズル開口における直線であると仮定すると共に、本発明接触モデルを使用することにより、当該シミュレーションは、ノズル開口の中心におけるインクは緩やかに後退し、界面は最終的に前進臨界角と後退臨界角との間の一定の角度を形成することを示す。しかしながら、当該接触モデルが適用されない場合、例えば、９０°の一定の接触角度が仮定された場合は、決して平衡状態には到達することはできず、界面はインクカートリッジまで後退し続ける。
【００４１】
本発明のシミュレーションモデルの詳細を説明したので、本発明の１以上の態様を実施化するのに使用することができる例示的なシステム６０を、図６を参照して説明する。図６に示されるように、該システムは計算資源を提供すると共に当該コンピュータを制御する中央処理装置（ＣＰＵ）６１を含んでいる。ＣＰＵ６１はマイクロプロセッサ等を用いて実施化することができ、グラフィックスプロセッサ及び／又は算術的計算用の浮動点コプロセッサを含むこともできる。システム６０は、更に、システムメモリ６２を含み、該メモリはランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）及び読取専用メモリ（ＲＯＭ）の形態とすることができる。
【００４２】
図６に示すように、多数のコントローラ及び周辺装置も設けられる。入力コントローラ６３は、キーボード、マウス又はスタイラス等の種々の入力装置６４に対するインターフェースを表している。スキャナコントローラ６５も設けられ、該コントローラはスキャナ６６と通信する。記憶コントローラ６７は１台以上の記憶装置６８とインターフェースし、これら装置の各々は、オペレーティングシステム、ユーティリティ及び本発明の種々の態様を実施化するプログラムの実施例を含むことが可能なアプリケーション用の命令のプログラムを記録するために使用することが可能な磁気テープ若しくはディスクのような記憶媒体又は光媒体を含む。記憶装置（又は複数の記憶装置）６８は本発明により処理され又は処理されるべきデータを記憶するために使用することもできる。表示コントローラ６９は表示装置７１に対するインターフェースを提供し、該装置は陰極線管（ＣＲＴ）又は薄膜トランジスタ（ＴＦＴ）表示器とすることができる。プリンタ７３と通信するために、プリンタコントローラ７２も設けられている。通信コントローラ７４は１台以上の通信装置７５とインターフェースし、該装置はシステム６０を、インターネット、ローカルエリアネットワーク（ＬＡＮ）及び広域ネットワーク（ＷＡＮ）を含む種々のネットワークの何れかを介して、又は赤外線信号を含む何れかの適切な電磁搬送信号を介して遠隔装置と接続するのを可能にする。
【００４３】
図示のシステムにおいて、全ての主要なシステム構成要素はバス７６に繋がり、該バスは２以上の物理的バスを表すことができる。しかしながら、種々のシステム構成要素は互いに物理的な近傍に位置するか位置しないようにすることができる。例えば、入力データ及び／又は出力データは或る物理的位置から他の位置へ遠隔的に伝送することができる。また、本発明の種々の態様を実施化するプログラムは、ネットワークを介して遠隔位置（例えば、サーバ）からアクセスすることもできる。斯様なデータ及び／又はプログラムは、磁気テープ若しくはディスク又は光ディスクを含む種々のマシン読み取り可能な媒体、ネットワーク信号、又は赤外線を含む何らかの他の好適な電磁搬送信号の何れかを介して伝達することができる。
【００４４】
本発明は、ソフトウェア（例えば、ＣＦＤコード５２）を用いて都合良く実施化することができる。また、ＣＦＤコード５２の機能は、例えば、ＡＳＩＣ（又は複数のＡＳＩＣ）、又はデジタル信号処理回路等を用いて実現することもできる。従って、請求項における“手段”なる用語はソフトウェアの実施例及びハードウェアの実施例の両者をカバーすることを意図するものである。同様に、本明細書で使用される“マシン読み取り可能な媒体”なる用語は、ソフトウェア、ハードウェア結線された命令のプログラムを有するハードウェア、又はこれらの組合せを含む。これらの実施代替例を考慮に入れて、図面及び関連する説明は、当業者が所要の処理を実行するためにプログラムコード（即ち、ソフトウェア）を書き又は回路（即ち、ハードウェア）を製造するのに必要とする機能的情報を提供するものであると理解すべきである。
【００４５】
以上、本発明を幾つかの特定の実施例に関連して説明したが、上記説明に照らして当業者にとっては更なる代替例、修正例、変形例及び応用例が明らかとなるであろう。このように、ここに記載された本発明は、添付請求項の趣旨及び範囲内に入るであろうように、全ての斯かる代替例、修正例、変形例及び応用例を含むことを意図するものである。
【００４６】
【数１】
0003656634.tif 000002
【００４７】
【数２】
0003656634.tif 000003
【００４８】
【数３】
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【図面の簡単な説明】
【図１】図１は、２つの非混和性流体の間の界面（例えば、液体／空気界面）及び上記２つの非混和性流体並びに固体の交差部に形成される接触ライン、即ち三重点を示す概念図である。
【図２】図２の（ａ）及び（ｂ）は、液体が流れているチャンネル内の液体／空気界面の概念図である。
【図３】図３は、液体／空気界面と液体／空気／固体交差部に形成される接触ラインとを示す格子図である。
【図４】図４は、液体／空気界面及び液体／空気／固体交差部に形成される接触ラインを示す、より詳細な格子図である。
【図５】図５は、本発明の実施例によるインクジェットのシミュレーションを示すブロック図である。
【図６】図６は、本発明の態様を実施化するのに使用することができる例示的なシステムを示すブロック図である。
【符号の説明】
１２…空気／液体界面
２１…チャンネル
２２…界面
５１…等価回路
５２…ＣＦＤコード
６０…システム
６１…ＣＰＵ
６２…システムメモリ
６３…入力コントローラ
６４…入力装置
６５…スキャナコントローラ
６６…スキャナ
６７…記憶コントローラ
６８…記憶装置
６９…表示コントローラ
７１…表示装置
７２…プリンタコントローラ
７３…プリンタ
７４…通信コントローラ
７５…通信装置
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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