(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
光学システムから投影される空中像をシミュレートする方法であって、前記光学システムは瞳およびマスク面を含み、前記方法は：
前記マスク面にマスクを供給するステップと；
前記光学システムのパラメータを得るステップと；
基底系上での前記光学システムの前記パラメータの瞳正射影に基づいてカーネルを算出するステップと；
前記マスクのパラメータを得るステップと；
基底系上での前記マスクのパラメータのマスク正射影に基づいてベクトルを算出するステップと；
前記カーネルおよび前記ベクトルを用いて電界強度分布を算出するステップと；
前記電界強度分布から空中像データを得るステップと；
を備えることを特徴とする方法。
【請求項２】
前記光学システムの前記パラメータは収差を含むことを特徴とする、請求項１の方法。
【請求項３】
前記光学システムの前記パラメータに対応するカーネルを算出する前記ステップは、前記光学システムの前記瞳における各点に対応する不完全ガンマ関数のアレイの表を作成するステップを含むことを特徴とする、請求項１または２の方法。
【請求項４】
前記光学システムの前記パラメータに対応するカーネルを算出する前記ステップは、更に、前記光学システムの前記瞳における各点に対応する瞳正射影係数のアレイの表を作成するステップを含み、前記光学システムは焦点が合っていることを特徴とする、請求項１または２の方法。
【請求項５】
前記光学システムの前記パラメータに対応するカーネルを算出する前記ステップは、更に、前記光学システムの前記瞳における各点に対応する瞳正射影係数のアレイの表を作成するステップを含み、前記光学システムは焦点はずれであるか収差を有するかのいずれかであることを特徴とする、請求項１または２の方法。
【請求項６】
前記光学システムの前記パラメータに対応するカーネルを算出する前記ステップは、更に、前記光学システムの前記瞳における各点に対応する瞳正射影係数のアレイの表を作成するステップを含み、前記光学システムは、前記マスクの像を投影する基板上に存在するレジスト層における光活性化合物の拡散の影響の一因であることを特徴とする、請求項１または２の方法。
【請求項７】
更に、前記光学システムの照射装置プロファイルのサンプル重みを、前記瞳正射影係数アレイと結合するステップを備えることを特徴とする、請求項４、５、または６のいずれか一項に記載の方法。
【請求項８】
前記マスクの前記パラメータに対応するベクトルを算出する前記ステップは、更に、幾何学的サンプリングのため前記マスク内に近接ウインドウを規定するステップを含むことを特徴とする、請求項１の方法。
【請求項９】
前記マスクの前記パラメータに対応するベクトルを算出する前記ステップは、更に、前記マスクの幾何学的パターンを別個の矩形の集合に分解し、前記矩形の投影のアレイを近接ウインドウ内で作表するステップを含むことを特徴とする、請求項１の方法。
【請求項１０】
前記マスクの前記パラメータに対応するベクトルを算出する前記ステップは、更に、前記マスクの種類に基づいて、前記矩形の投影の前記アレイを補正するステップを含むことを特徴とする、請求項９の方法。
【請求項１１】
光学システムから投影される空中像をシミュレートする方法であって、前記光学システムは瞳およびマスク面を含み、前記方法は：
前記マスク面にマスクを供給するステップと；
前記光学システムのパラメータを得るステップと；
前記マスクのパラメータを得るステップと；
前記光学システムの前記パラメータに関連する多項式を含む多項式を正射影するステップと；
前記多項式の正射影に基づいて、前記光学システムに関連した透過相互相関関数を近似するステップと；
を備えることを特徴とする方法。
【請求項１２】
光学システムから投影される空中像をシミュレートするように動作する処理装置であって、前記光学システムは瞳およびマスク面を含み、前記処理装置は：
前記光学システムのパラメータを得るための第１のパラメータ取得装置と；
基底系上での前記光学システムの前記パラメータの瞳正射影に基づいてカーネルを算出するための第１の計算装置と；
前記マスク面に供給されるマスクのパラメータを得るための第２のパラメータ取得装置と；
基底系上での前記マスクの前記パラメータのマスク正射影に基づいてベクトルを算出するための第２の計算装置と；
前記カーネルおよび前記ベクトルを用いて電界強度分布を算出するための第３の計算装置と；
前記電界強度分布から空中像データを得るための空中像取得装置と；
を備えることを特徴とする処理装置。
【請求項１３】
前記第１、第２、および第３の計算装置は同一の計算装置であることを特徴とする、請求項１２の処理装置。
【請求項１４】
光学システムから投影される空中像をシミュレートするように動作する処理装置であって、前記光学システムは瞳およびマスク面を含み、前記処理装置は：
前記マスク面内のマスクと；
前記光学システムのパラメータを得るための第１のパラメータ取得装置と；
前記マスクのパラメータを得るための第２のパラメータ取得装置と；
前記光学システムの前記パラメータに関連する多項式と前記光学システムのパラメータに関連する多項式とを含む多項式を正射影するための第１の計算装置と；
前記多項式の正射影に基づいて、前記光学システムに関連した透過相互相関関数を近似するための第２の計算装置と；
を備えることを特徴とする処理装置。
【請求項１５】
装置製造方法であって：
（ａ）放射に感応する物質の層によって少なくとも部分的に被覆された基板を供給するステップと；
（ｂ）パターンを含むマスクを供給するステップと；
（ｃ）放射投影ビームおよび光学システムを用いて、前記マスクの少なくとも一部の像を、前記放射に感応する物質の層のターゲット部に投影するステップと；を備え、
これによって、ステップ（ｃ）を実行する前に、前記光学システムから投影される空中像をシミュレートし、その際に用いる方法が：
瞳およびマスク面を備えた前記光学システムのパラメータを得るステップと；
基底系上での前記光学システムの前記パラメータの瞳正射影に基づいてカーネルを算出するステップと；
前記マスク面に供給される前記マスクのパラメータを得るステップと；
基底系上での前記マスクの前記パラメータのマスク正射影に基づいてベクトルを算出するステップと；
前記カーネルおよび前記ベクトルを用いて電界強度分布を算出するステップと；
前記電界強度分布から空中像データを得るステップと；
を備えることを特徴とする装置製造方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、光学システムから投影された空中像（ａｅｒｉａｌ  ｉｍａｇｅｓ）をシミュレートするための方法および装置に関する。
【０００２】
【従来の技術】
リソグラフィにおいて、光学システムで発生した紫外線等の露光エネルギは、このシステムの開口から発して、マスク（またはレチクル（ｒｅｔｉｃｌｅ））を介して、シリコン基板等のターゲット上に至る。マスクは、通常、所定のパターンに形成された不透明または透明な領域を含む場合がある。露光エネルギは、このマスク・パターンを露光し、これによってマスクの空中像を形成する。次いで、空中像を用いて、ターゲット上に形成されたレジスト層上に像を形成する。次いで、レジストを成長させ、ポジ型レジストではレジストの露光部分を除去し、またはネガ型レジストではレジストの露光されていない部分を除去する。これによって、パターン化された基板を形成する。マスクは、通常、融解石英等の透明な板から成り、板上の不透明な（有色体（ｃｈｒｏｍｅ））要素を用いてパターンを規定する。放射源は、周知の方法に従って、マスクを照射する。マスクおよび露光ツールの投影光学部品（ｏｐｔｉｃｓ）を介して送出された放射は、フォトレジスト上に、マスク・フィーチャ（ｍａｓｋ  ｆｅａｔｕｒｅｓ）の回折限界潜像（ｄｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ−ｌｉｍｉｔｅｄ  ｌａｔｅｎｔ  ｉｍａｇｅ）を形成する。このパターン化された基板は、後続の製造プロセスに用いることができる。半導体製造において、かかるパターン化された基板は、蒸着、エッチング、またはイオン注入のプロセスにおいて使用され、極めて小さいフィーチャ（ｆｅａｔｕｒｅ）を有する集積回路を形成することができる。
【０００３】
リソグラフィック投影装置（ｌｉｔｈｏｇｒａｐｈｉｃ  ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ  ａｐｐａｒａｔｕｓ）を用いた製造プロセスでは、マスクのパターンが、放射に感応する物質（ｒａｄｉａｔｉｏｎ‐ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ  ｍａｔｅｒｉａｌ）の層（レジスト）によって少なくとも部分的に被覆した基板上に描かれる。一般に、リソグラフィック・パターニング・プロセス（ｌｉｔｈｏｇｒａｐｈｉｃ  ｐａｔｔｅｒｎｉｎｇ  ｐｒｏｃｅｓｓ）は、当業者によって理解される。例示的なプロセスに関する情報は、例えば、書籍「マイクロチップの製造：半導体処理の実用的な手引き（Ｍｉｃｒｏｃｈｉｐ  Ｆａｂｒｉｃａｔｉｏｎ：Ａ  Ｐｒａｃｔｉｃａｌ  Ｇｕｉｄｅ  ｔｏ  Ｓｅｍｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒ  Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ）」、第３版、Ｐｅｔｅｒ  ｖａｎ  Ｚａｎｔ、ＭｃＧｒａｗ  Ｈｉｌｌ  Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ  Ｃｏ．、１９９７年、ＩＳＢＮ  ０−０７−０６７２５０−４から得られる。
【０００４】
リソグラフィによって製造される構造のサイズが小さくなり、構造の密度が増すにつれて、マスクの設計のコストは増大し、複雑度は高くなる。リソグラフィによる製造のコストを削減する１つの方法は、実際の製造ステップの前に、リソグラフィック・シミュレーションのステップによってリソグラフィの設計を最適化することである。リソグラフィック・シミュレーションの１つの具体的な方法は、マスクの空中像（ａｅｒｉａｌ  ｉｍａｇｅ）をシミュレートすることである。この空中像は、露光装置においてマスクを介して基板を露光した場合の、基板表面上のレジストに届く直前の光の強度分布（ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ  ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ  ｏｆ  ｌｉｇｈｔ）として定義される。空中像をシミュレートするためには、通常、入力パラメータとして、リソグラフィック装置（ｌｉｔｈｏｇｒａｐｈｉｃ  ａｐｐａｒａｔｕｓ）のマスクのレイアウトおよび露光の条件（限定的でないが、例えば、ＮＡ：開口数、σ（シグマ）：部分干渉性係数が含まれる）が必要とされる。
【０００５】
リソグラフィック装置は、様々なタイプの投影放射を用いることができる。その例には、光、紫外線（「ＵＶ」）放射（超紫外線（「ＥＵＶ」）、遠紫外線（「ＤＵＶ」）、および真空紫外線（「ＶＵＶ」）を含む）、Ｘ線、イオン・ビーム、または電子ビームが含まれるが、これらは限定ではない。以下のものは、例示的な露光源として考慮されている。光とは、一般に、ある水銀放出（ｍｅｒｃｕｒｙ  ｅｍｉｓｓｉｏｎｓ）、すなわち、ｆ線（ｆ−ｌｉｎｅ）について５５０ｎｍ、ｇ線について４３６ｎｍ、ｈ線について４０５ｎｍの波長を指す。近紫外線または紫外線とは、一般に、他の水銀放出、すなわちｉ線について３６５ｎｍを指す。ＤＵＶは、一般に、ＫｒＦ（２４８ｎｍ）およびＡｒＦ（１９３ｎｍ）等のエキシマ・レーザ放出を指す。ＶＵＶは、エキシマ・レーザＦ2すなわち１５７ｎｍ、Ａｒ2すなわち１２６ｎｍ等を指すことがある。ＥＵＶは、１０ないし１５ｎｍを指すことがある。この電磁スペクトルの最後の部分は、「軟Ｘ線」に極めて近いが、おそらく、Ｘ線パターニングの評判を悪くしないために「ＥＵＶ」と名付けられている。軟Ｘ線は、１ないし１５ｎｍを指すことがあり、これは通常、Ｘ線リソグラフィにおいて用いることができる。
【０００６】
用いる放射の種類および装置の特定の設計要件に応じて、投影システムは、例えば、屈折型、反射型、または反射屈折型とすることができ、ガラス質の構成部品、かすめ入射鏡（ｇｒａｚｉｎｇ‐ｉｎｃｉｄｅｎｃｅ  ｍｉｒｒｏｒｓ）、選択的多層被覆、磁界および／または静電界レンズ等を備えることができるが、簡略化のため、本文では、かかる構成要素を大ざっぱに、単独でまたは集合的に「レンズ」と呼ぶことができる。
【０００７】
空中像によってレジストを露光する場合、その光の一部が基板の表面によって反射され、次いでレジストによって吸収されるので、更に別の変数がある。従って、レジストの特徴（例えば屈折率：ＤｉｌｌのＡ、Ｂ、Ｃに関する）だけでなく、基板の特徴に関するパラメータ（例えば屈折率）も、潜像をシミュレートするための入力パラメータに含まなければならない。
【０００８】
いわゆるホプキンズ・モデルは、像を形成する電界を通常スカラーとして扱い、描かれる対象が十分に薄いので入射電界（ｉｎｃｉｄｅｎｔ  ｆｉｅｌｄ）に対する影響は乗法関数によって表されると仮定する。像形成システム（ｉｍａｇｉｎｇ  ｓｙｓｔｅｍ）の振幅応答関数よりも瞳関数（ｐｕｐｉｌ  ｆｕｎｃｔｉｏｎ）を扱い、更に、相互強度よりも角度分布すなわち「有効源（ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ  ｓｏｕｒｃｅ）」を扱うためには、フーリエ領域（周波数空間）において像形成の分析を行うことが有利である。
【０００９】
ホプキンズ・モデルに基づいて空中像を算出する、いくつかのコンピュータ・プログラムが市販されている。例えば、バークリーのカリフォルニア大学、電気工学およびコンピュータ・サイエンス学部、Ｂｅｒｋｅｌｅｙ、Ｃａｌｉｆ．、９４７２０は、ＳＰＬＡＴと呼ばれるプログラムを提供している。
【００１０】
ホプキンズ・モデルを用いて、部分的にコヒーレントな照射のもとで、描かれた設計フィーチャの像形成（ｉｍａｇｉｎｇ）をモデル化する。部分的にコヒーレントな照射のもとで空中像をモデル化することにおける主な問題点は、部分的にコヒーレントな光源を形成する個々の照射源の影響を重ね合わせて加算する必要があることである。ホプキンズ・モデルでは、２次元−２次元透過係数間関数（ｔｗｏ−ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ  ｂｙ  ｔｗｏ−ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ  ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ  ｃｒｏｓｓ−ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ  ｆｕｎｃｔｉｏｎ：「ＴＣＣ」）を予め算出し、ＮＡやシグマ等を含むリソグラフィック投影装置の影響の全てを把握する。例えばＢｏｒｎ  ＆  Ｗｏｌｆの６０３ページにおいて教示されているように、一旦ＴＣＣがわかれば、照射のもとでの幾何学的レイアウトフィーチャ（ｌａｙｏｕｔ  ｆｅａｔｕｒｅ）についての透過関数のフーリエ変換でＴＣＣを積分することで、部分的にコヒーレントな照射を用いたシステムをモデル化することができる。
【００１１】
基本的に、ＴＣＣは、連続的な引数集合（ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ  ｓｅｔ  ｏｆ  ａｒｇｕｍｅｎｔｓ）を用いた２次元−２次元相関関数である。実際、形成されるフィーチャ・パターンは空間的に周期を有すると仮定することができる。かかる周期的なパターンでは、ＴＣＣは、大きいが離散的な引数集合を有する。ＴＣＣは、離散的な列および行を有する行列として表現することができる。リソグラフィにおいて対象となる通常のフィーチャでは、この行列の大きさは巨大であり、シミュレート可能なフィーチャの規模および大きさが制限される。ホプキンズ・モデルに基づいたあらゆるシミュレーション・アルゴリズムの目的は、妥当な精度を維持しながら、この行列の大きさを近似によって小さくすることである。
【００１２】
図１Ａおよび１Ｂに、例示的な投影リソグラフィ・システムが示されている。図１Ａにおいて、照射源１０２からの光が集光レンズ１０４によって合焦される。集光した光は、マスク１０６を通過し、次いで瞳（ｐｕｐｉｌ）１０８を通過して、基板１１０上に達する。図１Ｂに示すように、基板１１０は、頂部反射防止コーティング１１２、レジスト１１８、底部反射防止コーティング１１７、頂部基板層１１４、および複数の他の基板層から成るものとすることができる。図１Ｂに示すように、焦点面は、レジスト１１８内に位置することができる。
【００１３】
過去においては、いくつかの数値的技法を適用して、ＴＣＣのサイズを妥当な規模に縮小していた。１例では、特異値の分解（ｓｉｎｇｕｌａｒ  ｖａｌｕｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ）を用いて、ＴＣＣをその固有スペクトル（ｅｉｇｅｎｓｐｅｃｔｒｕｍ）に分解し、結果として得られた固有ベクトルを、それらの固有値の減少する大きさに分類し、ＴＣＣを近似するために有限数の固有ベクトルを維持するのみであった。図２には、ホプキンズ・モデルを用いた、図１Ａのシステムの光シミュレーションの例示的な方法を示す。図２に示すように、ステップＳ２０２では、リソグラフィック投影装置およびマスクのパラメータをシステムに入力する。ステップＳ２０４では、固有ベクトルの対角化（ｄｉａｇｏｎａｌｉｚａｔｉｏｎ）によってＴＣＣを近似する。ステップＳ２０６では、正規化矩形（ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ  ｒｅｃｔａｎｇｌｅｓ）の離散集合による固有関数の畳み込み積分の２次元表を算出して表にする。Ｎ．Ｃｏｂｂ等による論文「高速で複雑度の低いマスク設計（Ｆａｓｔ，Ｌｏｗ−Ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ  Ｍａｓｋ  Ｄｅｓｉｇｎ）」、ＳＰＩＥ  Ｖｏｌ．２４４０、３１３ないし３２６ページは、ステップＳ２０６を完了するための例示的な方法を教示する。この論文の開示は、その全体が本願に援用されるものとする。結果として得られた表は、可能なレイアウトフィーチャの離散的な格子上にあるので、許容可能な分解能を得るために、表は大きくなければならない。ステップＳ２０８では、ＴＣＣは近似されているので、照射システムをモデル化することができる。すなわち、それぞれの矩形に対応する各２次元畳み込み積分を所与の近接ウインドウにおいて結合することによって、空中像をシミュレートすることができる。
【００１４】
この方法には、２つの欠点がある。第１に、固有ベクトルの対角化は、数値的にコストのかかる動作である。このため、ユーザが、ＮＡ、シグマ、照射タイプまたはレンズ収差等のリソグラフィック投影装置の条件を変更するためには、シミュレーション・ツールの使用を限定するＴＣＣ近似の高コストな再計算が必要となる。第２に、ＴＣＣの固有スペクトルは、２次元関数である。照射のもとでの幾何学的パターンの対応した電界ベクトル（ｆｉｅｌｄ  ｖｅｃｔｏｒｓ）を表現するためには２次元ルックアップ表が必要であるが、これはホプキンズ・アルゴリズムにおいて電界計算（ｆｉｌｅｄ  ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ）の速度を制限する。具体的には、電界ベクトルは２次元テーブルであるので、各データ・アドレスにアクセスするためには２つのポインタが必要であり、これがアクセス時間を増大させる。更に、電界ベクトルは２次元テーブルであるので、キャッシュの一部に格納される。今日のＣＰＵにおいてＤＲＡＭからルックアップ表を用いることは、乗算を行うよりもコストがかかる。なぜなら、キャッシュ・ミスによる不利益（ｐｅｎａｌｔｙ）は、乗算を行うための時間よりも大きいからである。
【００１５】
従って、数値的にコストのかかる固有ベクトルの対角化動作を用いることなく、ホプキンズ・モデルを用いて投影リソグラフィ・システムをシミュレートするための方法および装置が必要とされている。更に、コストの高いＴＣＣ近似再計算を必要とすることなく、ユーザが、ＮＡ、シグマ、照射タイプ、またはレンズ収差等のリソグラフィック投影装置の条件を変更することができる、ホプキンズ・モデルを用いて投影リソグラフィ・システムをシミュレートするための方法および装置が必要とされている。
【００１６】
本発明の目的は、数値的にコストのかかる固有ベクトルの対角化動作を用いることなく、ホプキンズ・モデルを用いて投影リソグラフィ・システムをシミュレートするための方法および装置を提供することである。
【００１７】
本発明の別の目的は、コストの高いＴＣＣ近似再計算を必要とすることなく、ユーザがリソグラフィック投影装置の条件を変更することができる、ホプキンズ・モデルを用いて投影リソグラフィ・システムをシミュレートするための方法および装置を提供することである。
【００１８】
本発明の更に別の目的は、リソグラフィック像形成プロセスにおいて照射される基板のレジスト膜の表面において、およびレジスト膜の全体を通して、強度電界分布（ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ  ｆｉｅｌｄ  ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ）（「空中像」）を予測するための方法および装置を提供することである。
【００１９】
前述の目的に従って、本発明は、ＴＣＣをＴ（ｑ’ｑ）として書く。ここで、ｑおよびｑ’は、各々、２次元フーリエ空間における連続周波数であり、ｑ＝（ｑx、ｑy）、ｑ’＝（ｑ’x、ｑ’y）である。本発明は、カーネル（ｋｅｒｎｅｌ）Ａ［ｉｊ］による基底関数（ｂａｓｉｓ  ｆｕｎｃｔｉｏｎ）の双一次形式（ｂｉｌｉｎｅａｒ  ｆｏｒｍ）として、ＴＣＣを極めて良好に近似する。更に、本発明は、直交多項式の集合（ａ  ｓｅｔ  ｏｆ  ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ  ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ）を利用する。カーネルＡ［ｉｊ］は、今日のリソグラフィック処理において用いられる幅広い範囲の照射条件についてＴＣＣを効率的に近似する小さい行列を表す。本発明は、従来技術における２次元ルックアップ表とは対照的に１次元ルックアップ表を用いるので、結果として使用する算術演算の数が少なくなる。更に、１次元ルックアップ表は、同じ分解能の２次元ルックアップ表よりもキャッシュのヒット率が高く、これによって、より効率的なシステムを提供する。
【００２０】
概して、一実施形態では、本発明は、光学システムから投影される空中像をシミュレートする方法を特徴とする。光学システムは瞳およびマスク面を含む。この方法は、マスク面にマスクを供給するステップと、光学システムのパラメータを得るステップと、基底系（ａ  ｂａｓｉｓ  ｓｅｔ）上での光学システムのパラメータの瞳正射影（ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ  ｐｕｐｉｌ  ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ）に基づいてカーネルを算出するステップと、マスクのパラメータを得るステップと、基底系上でのマスクのパラメータのマスク正射影に基づいてベクトルを算出するステップと、これらのカーネルおよびベクトルを用いて電界強度分布を算出するステップと、電界強度分布から空中像を得るステップと、を含む。
【００２１】
本発明の一実施形態では、光学システムのパラメータは収差を含む。
【００２２】
本発明の別の実施形態では、光学システムのパラメータに対応するカーネルを算出するステップは、不完全ガンマ関数（ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ  ｇａｍｍａ  ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ）のシード・アレイ（ｓｅｅｄ  ａｒｒａｙ）における循環（ｒｅｃｕｒｒｅｎｃｅ）に基づいて不定積分の表を生成するステップを含む。
【００２３】
本発明の更に別の実施形態では、光学システムのパラメータに対応するカーネルを算出するステップは、更に、光学システムの瞳における各点に対応する瞳正射影係数のアレイの表を作成するステップを含み、この光学システムは焦点が合っている。更に具体的には、これは、更に、光学システムの照射装置プロファイルのサンプル重みを、瞳正射影係数のアレイと結合するステップを備える。
【００２４】
本発明の更に別の実施形態では、光学システムのパラメータに対応するカーネルを算出するステップは、更に、光学システムの瞳における各点に対応する瞳正射影係数のアレイの表を作成するステップを含み、光学システムは、焦点はずれであるか収差を有するかのいずれかである。更に具体的には、これは、更に、光学システムの照射装置プロファイルのサンプル重みを、瞳正射影係数のアレイと結合するステップを備える。
【００２５】
本発明の更に別の実施形態では、光学システムのパラメータに対応するカーネルを算出するステップは、更に、光学システムの瞳における各点に対応する瞳正射影係数のアレイの表を作成するステップを含み、光学システムは、レジストにおける光活性化合物の拡散の影響の一因である。更に具体的には、これは、更に、光学システムの照射装置プロファイルのサンプル重みを、瞳正射影係数のアレイと結合するステップを備える。
【００２６】
本発明の更に別の実施形態では、マスクのパラメータに対応するベクトルを算出するステップは、更に、幾何学的サンプリングのためマスク内に近接ウインドウを規定するステップを含む。
【００２７】
本発明の更に別の実施形態では、マスクのパラメータに対応するベクトルを算出するステップは、更に、マスクの幾何学的パターンを別個の矩形集合に分解し、近接ウインドウ内で矩形の投影のアレイを作表するステップを含む。更に具体的には、マスクのパラメータに対応するベクトルを算出するステップは、更に、マスクの種類に基づいて、矩形の投影のアレイを補正するステップを含む。
【００２８】
一般に、別の態様では、本発明は、光学システムから投影される空中像をシミュレートする方法を特徴とする。この光学システムは瞳およびマスク面を含む。この方法は、マスク面にマスクを供給するステップと、光学システムのパラメータを得るステップと、マスクのパラメータを得るステップと、電界ベクトルの成分を、以下で更に詳細に述べるように、光学システムのパラメータに関連した多項式を含む直交多項式基底に射影するステップと、多項式の正射影に基づいて、光学システムに関連した透過相互相関関数を近似するステップと、を含む。
【００２９】
一般に、更に別の態様では、本発明は、光学システムから投影される空中像をシミュレートするように動作するシミュレーション装置を特徴とする。この光学システムは瞳およびマスク面を含む。該シミュレーション装置は、光学システムのパラメータを得るための第１のパラメータ取得装置と、基底系上での光学システムのパラメータの瞳正射影に基づいてカーネルを算出するための第１の計算装置と、マスク面に供給されるマスクのパラメータを得るための第２のパラメータ取得装置と、基底系上でのマスクのパラメータのマスク正射影に基づいてベクトルを算出するための第２の計算装置と、カーネルおよびベクトルを用いて電界強度分布を算出するための第３の計算装置と、電界強度分布から空中像データを得るための空中像取得装置と、を含む。
【００３０】
本発明の一実施形態では、第１、第２、および第３の計算装置は同一の計算装置である。
【００３１】
本発明の別の実施形態では、光学システムのパラメータは収差を含む。
【００３２】
本発明の別の実施形態では、第１の計算装置は、不完全ガンマ関数のシード・アレイにおける高速循環に基づいて不定積分の表を生成するように動作可能である。
【００３３】
本発明の更に別の実施形態では、第１の計算装置は、光学システムの瞳における各点に対応する瞳正射影係数のアレイの表を作成するように動作可能であり、光学システムは焦点が合っている。
【００３４】
本発明の更に別の実施形態では、第１の計算装置は、光学システムの瞳における各点に対応する瞳正射影係数のアレイの表を作成するように動作可能であり、光学システムは焦点はずれであるか収差を有するかのいずれかである。
【００３５】
本発明の更に別の実施形態では、第１の計算装置は、光学システムの瞳における各点に対応する瞳正射影係数のアレイの表を作成するように動作可能であり、光学システムは、レジストにおける光活性化合物の拡散の影響の一因である。
【００３６】
本発明の更に別の実施形態では、第２の計算装置は、幾何学的サンプリングのためマスク内に近接ウインドウを規定するように動作可能である。
【００３７】
本発明の更に別の実施形態では、第２の計算装置は、マスクの幾何学的パターンを別個の矩形集合に分解し、近接ウインドウ内で矩形の投影のアレイを作表するように動作可能である。更に具体的には、第２の計算装置は、マスクの種類に基づいて矩形の投影のアレイを補正するように動作可能である。
【００３８】
一般に、更に別の態様では、本発明は、光学システムから投影される空中像をシミュレートするように動作するシミュレーション装置を特徴とする。該光学システムは瞳およびマスク面を含む。このシミュレーション装置は、光学システムのパラメータを得るための第１のパラメータ取得装置と、マスク面に供給されたマスクのパラメータを得るための第２のパラメータ取得装置と、光学システムのパラメータに関連する多項式を含む多項式を正射影するための第１の計算装置と、多項式の正射影に基づいて、光学システムに関連した透過係数間関数を近似するための第２の計算装置と、を含む。
【００３９】
以下に与える本発明の例示的な実施形態の詳細な説明から、当業者には、本発明の更に別の利点が明らかとなろう。本発明自体は、更に別の目的および利点と共に、以下の詳細な説明および添付図面を参照することによって、より良く理解することができる。
【００４０】
本明細書に組み込まれてその一部を形成する添付図面は、本発明の実施形態を図示し、説明と共に、本発明の原理の説明に供する。
【００４１】
【発明の実施の形態】
以下の記載において、説明の目的のため、多数の具体的な詳細を述べて、本発明のより完全な理解を得る。しかしながら、本発明は、こういった具体的な詳細を用いなくとも実施可能であることは、当業者には明らかであろう。
【００４２】
本発明は、ＴＣＣの近似のために根本的に異なる技法を適用することによって、従来技術のシステムにおける上述の問題を回避する。具体的には、本発明は、カーネルＡ［ｉｊ］による基底関数の双一次形式として、ＴＣＣを厳密かつ効率的に近似する。
【００４３】
図４に、本発明の例示的な実施形態によるシミュレーション・システムの動作の全体的な概要を示す。本発明の図４に示すように、ステップＳ４０２において、リソグラフィ投影装置パラメータを入力する。ステップＳ４０４では、カーネルＡ［ｉｊ］を算出する。ステップＳ４０６では、マスク・パラメータを入力する。ステップＳ４０８では、マスク・パラメータに対応するベクトルを算出する。ステップＳ４１０では、カーネルＡ［ｉｊ］およびマスク・パラメータに対応するベクトルを用いて、瞳の強度プロファイルを算出する。ステップＳ４１２では、シミュレートされたマスクの空中像を生成する。
【００４４】
本発明の例示的な実施形態によるシミュレーション・システムの動作を更に詳細に論じる前に、数学的な基礎について、短いが要を得た説明を行う。具体的には、スペクトル基（ｓｐｅｃｔｒａｌ  ｂａｓｉｓ）について、その解析的な表現、基本的な特性、および不定積分に関する適用を含めて説明する。更に、この基のフーリエ変換（「ＦＴ」）について、その解析的な表現、不定積分に関する適用を含めて、説明する。更に、ＦＴのもとでの直交性を含む種々の規定について説明する。
【００４５】
スペクトル基
解析的な表現
数学的関数は、入力値の連続集合を出力値の連続集合へとマッピング（ｍａｐｐｉｎｇ）する。このマッピングは、多数の方法で生成することができる。１つの方法は、サイン（ｘ）（ｓｉｎ（ｘ））またはログ（ｘ）（ｌｏｇ（ｘ））等の解析的な表現を用いることである。別の方法は、中間値の表作成および補間によるものである。更に別の方法は、既知の基底関数集合（ａ  ｓｅｔ  ｏｆ  ｂａｓｉｓ  ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ）の線形重ね合わせの観点で関数を表現することである。基底関数の直交集合では、かかる表現はスペクトル表現と呼ばれる。
【００４６】
以下の説明において考慮するスペクトル基は、次のように表される。
0003636438.tif 000002
これは、１次元の寄与（ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ）に分解することができる。式（１）では、点ｒ0におけるサンプリングについて、
0003636438.tif 000003
であり、λa＝ａx＋ａyである。ｘ次元に沿った１次元の基底は、以下の通りである。
0003636438.tif 000004
【００４７】
基本的な特性
１．循環
0003636438.tif 000005
２．導関数
0003636438.tif 000006
３．正規化
この基底は、正規化定数と直交する。
0003636438.tif 000007
【００４８】
不定積分
スペクトル基についての不定積分は、不完全ガンマ関数に関連付けることができる。マンハッタン・スタイルのレイアウト設計では、積分境界は、デカルト座標軸に沿っており、独立した１次元積分への因数分解を可能とする。不完全ガンマ関数γ（ａ、ｘ）の以下の定義を用いる。
0003636438.tif 000008
以下が成り立つとする。
0003636438.tif 000009
【００４９】
循環
0003636438.tif 000010
、および
0003636438.tif 000011
とする。
【００５０】
0003636438.tif 000012
であることを注記しておく。上述の積分は、以下のように求めることができる。
0003636438.tif 000013
【００５１】
スペクトル基のフーリエ変換は、次のように表現することができる。
0003636438.tif 000014
【００５２】
不定積分
式（３）と同様、スペクトル基のＦＴについての不定積分も、不完全ガンマ関数に関連付けることができる。しかしながら、瞳の円形開口のため、２次元積分を簡単に１次元積に因数分解することはできない。本発明は、ハイブリッド型の手法を用い、これによって、式（３）と同様に、例えばｘ軸のような一方の軸に沿った１次元積分を解析的に行う。一方、例えばｙ軸のような他方の軸に沿った積分を数値的に行う。以下で、スペクトル基のＦＴの１次元解析的積分について考える。次の式が成り立つものとする。
0003636438.tif 000015
【００５３】
循環
0003636438.tif 000016
とする。
0003636438.tif 000017
すると、上述の積分は、次のように求めることができる。
0003636438.tif 000018
0003636438.tif 000019
についての循環は、以下の式
0003636438.tif 000020
によって、次のように行われる。
0003636438.tif 000021
【００５４】
この関係は式（１０）と同一であり、β＝１／αであり、循環ステップごとの追加の係数は（−ｉ）である。
【００５５】
初期化
上述のシード要素
0003636438.tif 000022
は以前のセクションと同様であり、式（１１）と同様に求めることができる。
0003636438.tif 000023
【００５６】
これより、上述の新しい検討に基づいて、本発明の例示的な実施形態によるシミュレーション・システムの動作について更に詳細に論じる。以下の表１に、本発明の記載を通して用いる符号の表記およびそれらの説明を示す。
【００５７】
0003636438.tif 000024
【００５８】
以下の説明は、電界ベクトルの基底から独立した表現のために、ディラック（Ｄｉｒａｃ）の表記を用いる。この表記においては、双対空間（ｄｕａｌ  ｓｐａｃｅｓ）におけるスカラー場は、
0003636438.tif 000025
として書かれる。以下は、有用な恒等式である。
0003636438.tif 000026
【００５９】
直交正規化基底ξの完全性は、以下を意味する。
0003636438.tif 000027
【００６０】
以下で用いるスペクトルの展開は、上述の完全性の関係を満たす。
【００６１】
レンズ・モデル
レンズをモデル化する場合、波長λにおける単色照明を想定する。以下では、真空における屈折率ηi＝１を想定する。波数ベクトルは、次のように規定することができる。
0003636438.tif 000028
【００６２】
更に、開口は、次のように規定することができる（ｗ＝基板、ｓ＝ソース）
0003636438.tif 000029
【００６３】
このため、開口ＮＡの瞳によって伝達される最大波動ベクトルは、次の通りである。
0003636438.tif 000030
【００６４】
拡大率Ｍは、対物レンズの後方焦点距離対前方焦点距離の比として規定することができる。
0003636438.tif 000031
ここで、ｄ0およびｄ1は、図１Ａにおいて識別した焦点距離に対応する。基板面ｄ1は、レンズの焦点面に存在するように調節することができ、これによって、以下が与えられる。
0003636438.tif 000032
【００６５】
この数学的モデルは、座標ｋs、ｒ、ｋ、ｒwによって表される。しかしながら、数値モデルは、「ハット（ｈａｔ）」表記によって示される再スケーリングした座標を利用する。スケーリングした座標は、以下により、正規化座標に関連している。
0003636438.tif 000033
本発明による現レンズ・モデルは、ｄs＝ｄ0を想定している。
【００６６】
回折要素およびレンズ
例えばマスク等の回折要素の出射面
0003636438.tif 000034
から、距離ｄzにある後続の入力面
0003636438.tif 000035
までの光の伝搬は、ヘルムホルツの式
0003636438.tif 000036
（３次元において
0003636438.tif 000037
の自由空間グリーン関数によって、次のように表すことができる。
0003636438.tif 000038
【００６７】
ｚおよびｚ’は、距離ｄiだけ離れた固定面上にあり、ｒ＝（ｘ、ｙ）は各面上の２次元位置ベクトルであるとする。２次元近似は、以下によって与えられる。
0003636438.tif 000039
【００６８】
遠視野の近似
0003636438.tif 000040
と想定し、１次のテイラー展開に保持することによって近似する。
0003636438.tif 000041
【００６９】
最初の項は、無関係な一定の移相を生じ、以下では無視される。遠視野における２次元電界伝搬関数（ｔｗｏ‐ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ  ｆｉｅｌｄ  ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ）は、以下のようになる。
0003636438.tif 000042
【００７０】
レンズ要素
レンズ要素の入力面から出射面までの光の伝搬は、レンズ伝搬関数Ｌにより、次のように表すことができる。
0003636438.tif 000043
ここで、近軸近似におけるレンズ伝搬関数は、次のように表すことができる。
0003636438.tif 000044
【００７１】
図４に戻ると、本発明のシミュレーション方法は、データを操作するように動作可能ないずれかのプロセッサまたは専用の回路を用いて実施することができる。限定でない例として、プログラム可能論理列、メモリと共に用いるマイクロプロセッサ、またはコンピュータが挙げられる。ステップＳ４０２は、リソグラフィック投影装置のパラメータを入力するように動作可能ないずれかの装置によって実行することができる。その例として、限定ではないが、ステッパ／スキャナ、マスク検査ツール、適切なデータを含む外部メモリが挙げられる。ステップＳ４０６は、マスク・パラメータを入力するように動作するいずれかの装置によって実行することができる。ステップＳ４０２と同様に、限定でない例として、ステッパ／スキャナ、マスク検査ツール、および適切なデータを含む外部メモリが挙げられる。更に、単一の装置を用いて、ステップＳ４０２のリソグラフィック投影装置のパラメータおよびステップＳ４０６のマスク・パラメータの双方を入力することも可能である。更に、ステップＳ４０２およびＳ４０６を同時に行っても良い。同様に、ステップＳ４０４およびＳ４０８を同時に行っても良い。
【００７２】
ここで、ステップＳ４０４について、図５を参照して更に説明する。ステップＳ５０２において、照射装置の瞳の領域をサンプリングし、個別の格子に分割する。ステップＳ５０４では、サンプル領域に対応する個別の各点の照射プロファイルを求め、これに、サンプリングした位置におけるソースの相対強度に対応した数値重みを与える。ステップＳ５０６では、サンプル領域に対応する瞳格子内の個別の各点の、式（１６）で算出した半不定積分（ｓｅｍｉ−ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ  ｉｎｔｅｇｒａｌｓ）について、シード要素（ｓｅｅｄ−ｅｌｅｍｅｎｔｓ）のアレイを表にする。各シード要素は、式（１９）および式（２０）に関して上述したような、不完全ガンマ関数Ｊ[0,m]である。ステップＳ５０８では、シミュレーション方法のための瞳モデルを求める。瞳モデルが、ゼロ焦点はずれ瞳（ｚｅｒｏ  ｄｅｆｏｃｕｓ  ｐｕｐｉｌ）すなわち収差を有しないレンズのためのものである場合、完全に焦点が合っている場合、および／または瞳面において位相歪みを有しない場合は、ステップＳ５１０zeroを実行すれば良い。瞳モデルが、光経路差（ｏｐｔｉｃａｌ  ｐａｔｈ  ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｓ）を有する場合、収差を有する場合、完全には焦点が合っていない場合、および／または瞳面において位相歪みを有する場合は、ステップＳ５１０opdを実行すれば良い。更に、瞳モデルが、像の露光後のレジストにおいて光活性化合物の拡散の一因となる場合は、ステップＳ５１０diffを実行すれば良い。ステップＳ５１０zero、Ｓ５１０opdおよびＳ５１０diffの各々において、ｐa（ｓi）のｓiによってシフトした「ｉ」におけるアレイを算出する。各エントリは、指数「ａ」で示す基底系上への瞳の正射影の値である。ステップＳ５１２では、ステップＳ５０４からの照射装置プロファイルにおける個別の各点の重みを、ステップＳ５１０zero、Ｓ５１０opd、およびＳ５１０diffのいずれか１つにおいて算出したような基底系上の対応する正射影と結合する。ステップＳ５１２において行う結合の解が、ステップＳ５１４におけるカーネルＡ［ｉｊ］を与える。
【００７３】
これより、本発明の例示的な実施形態によるシミュレーション・システムの像形成について、コヒーレントな像形成、ホプキンズ・モデルによるインコヒーレントな像形成、および基底系分解を参照して、説明する。
【００７４】
コヒーレントな像形成
瞳面
マスク転送行列Ｔによる入射電界
0003636438.tif 000045
の変形として、マスク出射面
0003636438.tif 000046
における電界が与えられる。非常に薄いマスク層では、Ｔは、対角であると有効である（
0003636438.tif 000047
を満たす基底について、対角行列
0003636438.tif 000048
は、
0003636438.tif 000049
を意味する。）
0003636438.tif 000050
瞳入射面における電界は、式（３９）によって、以下の通りとなる。
0003636438.tif 000051
【００７５】
基板面
基板面における伝搬像は、式（４４）に従って、瞳面から出る電界
0003636438.tif 000052
から真空セグメント１を介して伝搬する電界として得られる。
0003636438.tif 000053
【００７６】
瞳面から出る電界自体は、レンズ転送行列
0003636438.tif 000054
によって伝搬する瞳面入射電界
0003636438.tif 000055
である。このため、基板面電界は、以下の通りとなる。
0003636438.tif 000056
【００７７】
レンズ転送行列は、フーリエ空間
0003636438.tif 000057
において対角であると想定される。式（４７）を用いて、基板面電界は、マスク入力面における電界の関数として、次のように表すことができる。
0003636438.tif 000058
【００７８】
ソース面
コヒーレントな像形成は、平面波が入射角
0003636438.tif 000059
でマスクに入射することを想定する。この角度における照射は、
0003636438.tif 000060
によってマスク面振幅の位相を変更した垂直入射における照射と同等である。このため、任意の入射角についてマスク出射面におけるスカラー場は、垂直入射により次のように表すことができる。
0003636438.tif 000061
【００７９】
ケーラー照射（Ｋｏｅｈｌｅｒ  ｉｌｌｕｍｉｎａｔｉｏｎ）のもとでは、電界
0003636438.tif 000062
は、垂直入射の平面波を反射する。かかる平面波の虚部は、全体的に均一な位相因子であり、除外することができる。残るのは、照射開口において発光するソース点の重みを反映する
0003636438.tif 000063
の実部である。
0003636438.tif 000064
【００８０】
上述の照射を用いて、ｋsに位置する点ソースについて基板面電界は以下の通りとなる。
0003636438.tif 000065
【００８１】
フラウンフォーハー近似
上述のモデルは、レンズ・システムのフレネル近似を表し、非線形である。上述の像形成システムを線形化するために、いくつかの近似が行われる。式（５４）を、そのスペクトル成分に拡張すると、以下が得られる。
0003636438.tif 000066
【００８２】
指数の引数は、次の式によって求めることができる。
0003636438.tif 000067
【００８３】
最後の項において、電界を二乗して基板面における電界強度を得る場合、
0003636438.tif 000068
に関連するサブターム（ｓｕｂ−ｔｅｒｍ）が生じる。基板面における像がマスク面における像（ｒw〜−Ｍｒm）をほぼ反映すると仮定すると、同じ引数について、サブターム
0003636438.tif 000069
は排除することができる。
【００８４】
焦点はずれ項
上述の指数関数における中央の項は、システムの合焦条件を示す。完全に焦点が合ったシステムでは、式（３４）に従って、この項は消滅する。大きさζの小さい焦点はずれのあるシステムでは、テイラーの展開によって、以下が得られる。
0003636438.tif 000070
ここで、焦点はずれの原因となる位相の項は、以下の通りである。
0003636438.tif 000071
【００８５】
ガウス基準球の真の光経路差（「ＯＰＤ」）を算出することによって、より正確な焦点はずれモデルが得られる。
0003636438.tif 000072
【００８６】
残りの項
式（５８）の最初の項は、主な像形成情報を含み、システムのフーリエ変換に対応する。スケーリングした座標式（３５）をこの項に導入すると、以下が得られる。
0003636438.tif 000073
以下の式を規定すると、
0003636438.tif 000074
レンズ・システムの式（５５）は次の通りとなる。
0003636438.tif 000075
【００８７】
インコヒーレントな像形成：ホプキンズ・モデル
以下では、「ハット」表記を行わず、全体的に、式（３５）に従ったスケーリングした座標を想定する。インコヒーレントな像形成では、基板面における強度は、独立した全ての点ソース
0003636438.tif 000076
について重み付けした合計として、以下の通りとなる。
0003636438.tif 000077
ここで、以下が成り立つとすると、
0003636438.tif 000078
以下の式が得られる。
0003636438.tif 000079
0003636438.tif 000080
は対角なので、
0003636438.tif 000081
を規定する。
0003636438.tif 000082
透過係数間（ＴＣＣ）関数Ｔ（ｑ’、ｑ）を規定すると、
0003636438.tif 000083
次のようになる。
0003636438.tif 000084
以下のように因数分解が存在すると仮定する。
0003636438.tif 000085
ここで、ηi（ｑ）は直交基底を形成する。式（７７）および式（７９）を結合する。
0003636438.tif 000086
【００８８】
Ｎi＝（ηiηi）を、ηiのＬ2ノルム（ｎｏｒｍ）とする。直交基底ηijによって式（８０）の左および右の乗算を行った後、引数について積分を行う。
0003636438.tif 000087
【００８９】
このため、瞳正射影係数ｐi（ｋ）は、次のように規定することができる。
0003636438.tif 000088
【００９０】
本発明によれば、いずれかの可能な瞳構成について、すなわち、ＮＡ、焦点、収差等の非限定パラメータを考慮して、ｐi（ｋ）を予め計算することができる。Ｐ（ｋ）の放射部分は、通常、円形開口である。位相部分は、レンズ・フィールドの収差を表現する。
【００９１】
瞳正射影を用いて、係数行列、または式（８２）のカーネルＡijは、次のようになる。
0003636438.tif 000089
Ａijはエルミート（Ｈｅｒｍｉｔｅａｎ）であることを注記しておく。
【００９２】
ステップＳ５０６は、上述の式（２０）および（１９）に従って、図７を参照して例示するように行うことができる。最初のステップＳ７０２では、式（１１）または（２０）に従って、列ａ＝０を初期化する。列における各エントリに、不完全ガンマ関数を与える。次のステップＳ７０４では、式（１０）または（１９）に従って、列ａ＝０の値が右の列に伝搬する。列の各エントリは、循環により、満たされる。行ｍ＝０が一杯になるまでステップＳ７０４を繰り返した後、結果として得られる不定積分、Ｊ［ａ］（ｋi）またはＪ［ａ］（ｘi）に対する値を求めることができる。このように、本発明は、不完全ガンマ関数のシード・アレイにおける循環に基づいて、不定積分の表を生成する。
【００９３】
ここで、ステップＳ５０８ないしＳ５１４について、更に詳細に説明する。
【００９４】
アルゴリズム：空中像
ａ．瞳
式（８２）および式（６６）を結合して、瞳正射影係数は、次の通りとなる。
0003636438.tif 000090
【００９５】
近似１：収差モデル
収差モデルは、瞳開口上で位相歪みを変調することによって得られる。ＮＡ＝１に関して、瞳座標を正規化する。
0003636438.tif 000091
Ｚ4＝２ｆ2−１を用いて、焦点はずれによって生じる位相誤差Ｋは、次のように表すことができる。
0003636438.tif 000092
【００９６】
一定の位相項Ｚ1は、無視することができる。位相誤差の高次の項は、係数集合ａn・（Φn：＝ａnＺn）によって、外部のレンズ収差マップからロードすることができる。次のように規定する。
0003636438.tif 000093
【００９７】
瞳正射影係数は、次の数値積分によって得られる。
0003636438.tif 000094
【００９８】
放射依存性
0003636438.tif 000095
のみを有する項では、積分は以下のように簡略化することができる。
0003636438.tif 000096
【００９９】
近似２：ゼロ焦点はずれ
収差のないレンズでは、瞳関数は、開口および外側のゼロの領域上で一つである。このため、有限円形積分として瞳開口を表すことができる。
0003636438.tif 000097
【０１００】
焦点が合っている（ζ＝０）レンズ・システムでは、スペクトル基および
0003636438.tif 000098
によって、式（８５）は、瞳開口の畳み込みへと変形される。
0003636438.tif 000099
【０１０１】
円形開口は、図３に示すように、矩形領域Ｂの重ね合わせによって近似することができる。一方、図１０は、本発明の改良した方法を示し、各領域Ｂごとに、瞳の畳み込みを次のように求める。
0003636438.tif 000100
【０１０２】
これより、図１１を参照して、上記の１次元積分を求めるための効率的な方法について説明する。
【０１０３】
式（１７）から、ゼロ焦点はずれの場合は、次のように表すことができる。
0003636438.tif 000101
【０１０４】
有限格子ｋsについてのサンプリングを行って、Ａijに対する有限近似は、次のようになる。
0003636438.tif 000102
【０１０５】
0003636438.tif 000103
および
0003636438.tif 000104
が、偶数指数について純粋に実であり、奇数指数について純粋に虚であることを注記しておく。像の振幅は、項２Ｒｅ｛Ａij｝のみを用いて求める。このため、焦点の合った条件では、図１１Ａに示すように、純粋に虚であるＡijの全エントリは、サブブロック「Ｄ」として、無視することができる。残りの対角線ＡならびにサブブロックＢおよびＣは、図１１Ｂに示すように、ソフトウエアにおいてまとめることができる。
【０１０６】
近似３：一次焦点はずれ
焦点はずれ収差に対する一次近似は、一次項までζ＝０付近の
0003636438.tif 000105
の連続展開を算出することによって得られる。
0003636438.tif 000106
【０１０７】
最初の項は、式（９５）において与えられる。第２の項は、以下のように求めることができる。
0003636438.tif 000107
【０１０８】
ζ＝０では、この項は以下のように得られる。
0003636438.tif 000108
【０１０９】
像のカーネルに対する第１および第２次の補正は、次のようになる。
0003636438.tif 000109
【０１１０】
0003636438.tif 000110
は、偶数−偶数要素および奇数−奇数要素が純粋に虚のエントリであるエルミートであり、一方、
0003636438.tif 000111
は、偶数−奇数要素が純粋に虚のエルミートであることを注記しておく。像の強度を算出すると、コヒーレントなベクトルｇを有する双一次形式（ｂｉｌｉｎｅａｒ  ｆｏｒｍ）が得られる。二値（ｂｉｎａｒｙ）については、１８０度の移相マスクと同様に、全エントリｇi∈ｇが実である。
0003636438.tif 000112
では、偶数−奇数および奇数−偶数要素のみが適切であり、一方、
0003636438.tif 000113
では偶数−偶数および奇数−奇数要素が像の強度の一因となる。
【０１１１】
像の強度に対する一次の補正は、次の形態を取る。
0003636438.tif 000114
【０１１２】
一次焦点はずれモデルを用いて、レジスト・プロファイルの厚さ全体を通じた多数の像平面を速やかに計算することができる。レジスト厚さにわたる焦点のずれが、（外側の瞳リングにおける移相歪み対２πと比べて）小さい限り、一次近似は、有限厚さのレジスト膜を通した焦点はずれ挙動の十分に正確なモデルを与える。
【０１１３】
アルゴリズム４：改良型ＯＰＤ積分方式
式（９１）の一般解では、以下のステップを用いることができる。
１．指数ｋx、ｋy、ｓx、ｓyを用いて、有限格子上で、瞳の領域を離散化する。
２．瞳面におけるＯＰＤ値の行列を構築する。
0003636438.tif 000115
３．１次元における基底関数値のベクトルを構築する。
0003636438.tif 000116
４．以下のベクトルを計算する。
0003636438.tif 000117
５．上記のベクトルの行列を用いて、二次元において全計算値を結合する。
0003636438.tif 000118
【０１１４】
インコヒーレントな像形成：拡散を有するホプキンズ・モデル
この後の説明では、ホプキンズ・モデルを変更して、レジストにおける光活性化合物の拡散の影響を含ませる。等方性ガウス拡散モデル（ｉｓｏｔｒｏｐｉｃ  Ｇａｕｓｓｉａｎ  ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ  ｍｏｄｅｌ）を想定する。拡散は、ガウスカーネルを有する畳み込みとしてモデル化される。
0003636438.tif 000119
【０１１５】
光活性化合物の密度がＩ（ｒ）において線形であると仮定すると、拡散は、式（７３）を以下で置き換えることによって近似することができる。
0003636438.tif 000120
【０１１６】
上記を式（７０）と比較すると、これは、次を代用することと同等である。
0003636438.tif 000121
【０１１７】
式（７４）における強度は、以下の通りとなる。
0003636438.tif 000122
【０１１８】
内部のカッコでまとめた項は、次のように求められる。
0003636438.tif 000123
【０１１９】
0003636438.tif 000124
である場合、ｚは、ｋ空間において対角である。このため、次が成り立つ。
0003636438.tif 000125
【０１２０】
従って、ガウスカーネルの式（１０５）のフーリエ変換を、瞳正射影係数（式（８２）を参照）の計算に含ませることによって、拡散をモデル化することができる。
0003636438.tif 000126
【０１２１】
図６に関連する。
【０１２２】
点分解
以下を定義する。
0003636438.tif 000127
すると、式（７８）は、次のように表現することができる。
0003636438.tif 000128
0003636438.tif 000129
は、実空間における畳み込み積分に相当する。
0003636438.tif 000130
マスク透過関数を別個の集合に分解する。
0003636438.tif 000131
【０１２３】
ここで、ｔpは、ｐによって示すレイアウト構造の複合的透過であり、ｌpは、ｐのサポート上の単位値のインジケータ関数である。マンハッタン幾何学では、１pは矩形であり、次のように分解することができる。
0003636438.tif 000132
このため、次が成り立つ。
0003636438.tif 000133
【０１２４】
電界積分の換算
上記の式は、マスク透過関数を、インジケータ関数１pについての合計に換算する。更に、マンハッタン幾何学では、このインジケータ関数は、デカルト積
0003636438.tif 000134
に分解する。次のステップは、マスク透過関数の上記の換算を用いて、式（１１７）における積分を簡略化することである。
【０１２５】
インジケータ関数の因数分解は、基底系分解に関して上述したスペクトル表現の選択に対応する。また、基底ηi自体は、デカルト積
0003636438.tif 000135
に分解する。これによって、式（１１７）の２次元電界積分を２つの１次元電界積分の積に分解する。次を定義する。
0003636438.tif 000136
【０１２６】
ここで、以下が成り立つ。
0003636438.tif 000137
【０１２７】
スペクトル基に関して上述したガンマ関数因数分解を用いて、上記の積分を、式（４）、式（９）、および式（１０）によって半不定積分Ｊa（ｘ）にわたる循環に換算することができる。
【０１２８】
上記の式（１１７）は、次のように簡略化される。
0003636438.tif 000138
【０１２９】
いくつかのレイアウトのフィーチャがデカルト次元に沿って整列している場合、この表現の具体的な利点が得られる。例えば、ｑ∈Ωiが、垂直に積み重なり、同一の透過ｔΩiを有するフィーチャのサブセットであると仮定する。すると、全てのｑについて、ｑx,0＝ｃ0およびｑx,1＝ｃ1の値が一定である。上記の式は次のように変更される。
0003636438.tif 000139
【０１３０】
強度の較正
十分に透明なマスクでは、
0003636438.tif 000140
および式（１１７）によって以下が得られる。
0003636438.tif 000141
【０１３１】
ダーク・フィールド・レチクル（二値）
二値ダーク・フィールド・マスクは、背景透過（ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ  ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ）を有しておらず、一方、フィーチャは１の透過を有する。マンハッタン幾何学では、フィーチャは以下に従って分解される。
0003636438.tif 000142
【０１３２】
クリア・フィールド・レチクル（二値）
二値クリア・フィールド・マスクにとって、フィーチャは、ゼロ透過（ｚｅｒｏ  ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ：０p）を有し、一方、背景は単位透過（ｕｎｉｔ  ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ）を有する。以下が成り立つことを注記しておく。
0003636438.tif 000143
このため、以下が成り立つ。
0003636438.tif 000144
【０１３３】
クリア・フィールド・マスク（二値減衰移相）
１８０度の移相および減衰率ａによる減衰移相マスクでは、フィーチャの透過は（−ａ）であり、一方、背景の透過は＋１である。このため、以下が成り立つ。
0003636438.tif 000145
【０１３４】
ここで再び、
0003636438.tif 000146
および
0003636438.tif 000147
はシミュレーション領域を完全にカバーすることを注記しておく。
0003636438.tif 000148
【０１３５】
このため、以下が成り立つ。
0003636438.tif 000149
【０１３６】
クリア・フィールド・レチクル（三値減衰移相（ｔｅｒｎａｒｙ  ａｔｔｅｎｕａｔｅｄ  ｐｈａｓｅ  ｓｈｉｆｔ）
三値ａｔｔＰＳＭクリア・フィールド・レチクルは、３つの透過領域から成る。すなわち、０度の位相の完全に透過なクリア・フィールド領域
0003636438.tif 000150
と、透過ａを有する１８０度の移相領域
0003636438.tif 000151
と、有色素子領域（ｃｈｒｏｍｅ  ｂｌｏｃｋｉｎｇ  ｒｅｇｉｏｎ）０pと、である。３つの全領域の個々の結合によって、マスク領域の完全な分割が得られる。
0003636438.tif 000152
【０１３７】
マスク透過関数は、次のように表すことができる。
0003636438.tif 000153
【０１３８】
コヒーレントな電界ベクトルは、次のようになる。
0003636438.tif 000154
【０１３９】
ダーク・フィールド・レチクル（三値減衰移相）
三値ａｔｔＰＳＭダーク・フィールド・マスクの領域分割は、三値ａｔｔＰＳＭクリア・フィールド・マスクの領域分割と同じである。しかしながら、マスク透過関数は、
0003636438.tif 000155
および
0003636438.tif 000156
によって、次のように表される。
0003636438.tif 000157
このため、コヒーレントな電界ベクトルは次のようになる。
0003636438.tif 000158
【０１４０】
ａｔｔＰＳＭ接触マスク（ａｔｔｐＰＳＭ  ｃｏｎｔａｃｔ  ｍａｓｋ）では、１+および１-の異なる線形の結合によって、多数の矩形を減らすことができる。指数ｐにおける接触（ｃｏｎｔａｃｔ）については、次のように、０度および１８０度の領域の双方を含む外側フレーム領域１fを規定する。
0003636438.tif 000159
マスク透過関数は、次のようになる。
0003636438.tif 000160
コヒーレントな電界ベクトルは、次のように表すことができる。
0003636438.tif 000161
【０１４１】
ゼロおよびＯＰＤモデルの高速実施
本発明は、図１０に示すように、ゼロ焦点はずれモデルにおいて瞳正射影を算出するための効率的な方法を提供する。式（９２）を用いて、（ｘ、ｙ）空間における円形瞳開口の積分を算出する。図１０に示すように、開口の中心は、Ｓ＿Sだけずれている。図１０に示すようなアルゴリズムを実行するための方法は、以下の通りである。第１は、４５度の角度ステップ・サイズ（ａｎｇｕｌａｒ  ｓｔｅｐ−ｓｉｚｅ）であり、中心から出る光線と交差する円弧において点を位置付ける。次に、中心の向こう側や、円の中心を介してｘおよびｙ軸の反対側において、３つの鏡点を見出す。これらの点を結んで矩形Ｂ0を形成する。ついで、式（９５）および（１７）に従って、ｐ［ａ］に対するＢ0の寄与を求める。
【０１４２】
結果として得られる矩形が瞳格子の個別の増分よりも小さくなるまで、以下のステップを行う。角度ステップ・サイズは、半分に減らす。この場合も、現在の角度において中心から出る光線と交差する円弧における点を求める。再び、対称点を求め、新たな矩形集合を求める。次いで、式（９５）および（１７）に従って、ｐ［ａ］に対する新たな矩形の寄与を求める。
【０１４３】
図１０を参照して説明したような、瞳内の領域を計算する方法は、図３の従来技術のシステムよりもはるかに効率的である。これは、図１０の方法では、瞳の全ての個別の部分は計算せず、従って大量の計算時間が節約されるからである。具体的には、図１０の方法は、円形の瞳形状を近似するために用いる矩形の数が少ない。
【０１４４】
ここで、図６を参照して、ステップＳ４０８について更に説明する。初期化ステップＳ６０２は、３つのステップすなわちＳ６０４、Ｓ６０６、およびＳ６０８から成る。ステップＳ６０４では、幾何学的サンプリングについて、マスクの個別の格子を指定する。このステップを実行するための方法は、当技術分野において既知である。しかしながら、ステップＳ６０６は、従来技術のものとは逆に行われる。
【０１４５】
従来技術のシステムにおけるようにマスクの格子上の別個のサンプリング点について幾何学形状データを構成することとは対照的に、本発明は、１次元アレイを表にする。換言すれば、従来技術の方法は、スペクトル指数について１次元アレイを用い、幾何学的指数について２次元アレイを用い、これによって、２次元の表のアレイを得る。一方、本発明の方法は、スペクトル指数について１次元アレイを用い、幾何学的指数について１次元アレイを用い、これによって１次元の表のアレイを得る。
【０１４６】
具体的には、サンプル領域に対応するマスク格子内の別個の各点のスペクトル基についてシード要素のアレイを表にする。各シード要素は、式（１１）および式（１０）に関して上述したような、不完全ガンマ関数Ｊ［ａ］である。最後の初期化ステップＳ６０８は、クリア・フィールド露出基準を算出し、式（１２８）および（９）を用いて後続の露光線量の較正のための値を保存する。
【０１４７】
ここで、ステップＳ６１０について更に詳細に説明する。マスク・パターンの空中像をシミュレートするため、各マスクの幾何学的形状を、重複しない矩形に分解しなければならない。図８に更に示すように、アイテム８００は、複数のサンプル・フィーチャ８０４ないし８０８を備えたサンプル・マスクであるアイテム８０２の像を含む所定の近接ウインドウである。各フィーチャは、重複しない矩形に分解される。例えば、フィーチャ８０４は、重複しない矩形８１０および矩形８１２に分解される。
【０１４８】
半径ｒ1,proxの円形近接ウインドウは、ゼロ次基底
0003636438.tif 000162
の正規化したエッジ変動が∈accと同じかより大きい領域として規定することができる。この領域の境界は、次のようになる。
0003636438.tif 000163
このため、以下が成り立つ。
0003636438.tif 000164
【０１４９】
要するに、近接ウインドウは、サンプリングした領域に影響を与える全矩形の集合を規定する。具体的には、この例では、図８に示すように、フィーチャ８１４ないし８１８はフィーチャ８０４ないし８０８の空中像に影響を与えない。従って、フィーチャ８１４ないし８１８は、近接ウインドウ内には存在しない。
【０１５０】
ここで、ステップ６１２について更に詳細に説明する。一旦、サンプリング・ウインドウ内のフィーチャを重複しない矩形に分解したなら、式（１２５）および式（９）に従って、基底系上へのマスク・フィーチャの対応する正射影を計算する。
【０１５１】
ここで、ステップ６１４について更に詳細に説明する。一旦、ステップＳ６１２において正射影を算出したなら、例えばマスクに応じて、補正を適用する必要がある場合がある。マスクがクリア・フィールド・マスクである場合、式（１３１）を用いて正射影を補正することができる。更に、マスクが減衰移相マスクである場合、式（１４０）を用いて正射影を補正することができる。最後に、マスクが三値減衰移相マスクである場合、式（１４２）を用いて正射影を補正することができる。一旦、ステップＳ６１４において補正を適用したなら、マスク透過関数ｇ［ｉ］の最後の補正済み正射影が得られる。
【０１５２】
強度合計
図４に戻ると、一旦、ステップＳ４０４およびＳ４０８を行ったなら、ステップＳ４１０において、像の強度分布を算出することができる。ここで、図９を参照して、ステップＳ４１０について更に説明する。図９に示すように、ステップＳ９０６において、ステップＳ９０２からのＡ［ｉｊ］を、ステップＳ９０４からのｇ［ｒ］によって２進形態に乗算する。この計算によって、点ｒにおける像強度Ｉ（ｒ）が得られる。更に、ステップＳ９０８において、点ｒにおける強度勾配を算出することができる。ステップＳ９１２に示すように、強度勾配は、ｘまたはｙ座標軸のいずれかにおける勾配に対して測定することができる。
【０１５３】
具体的には、ステップＳ９０６におけるように、特定のサンプリング点における像強度Ｉ（ｒ）は、次のように算出することができる。
0003636438.tif 000165
【０１５４】
数値的な実施は、Ａnmのエルミート（ｈｅｒｍｉｔｉｃｉｔｙ）を利用することができる。基底ηi（ｒ）は実である。二値マスクでは、１８０度移相マスクと同様、ｔpも実である。このため、加算項の数はほぼ半分に削減することができる。
0003636438.tif 000166
【０１５５】
線量の較正
計算による実施では、絶対露光計算のためにクリア・フィールド領域に対して較正を用いることができる。例えば、式（１２８）を用いて、クリア・フィールド露光領域の強度は、式（１５０）に従い、以下のようになる。
0003636438.tif 000167
【０１５６】
従って、露光線量がＤである場合、点ｒにおいてサンプリングされる局所的な強度は、次のように算出することができる。
0003636438.tif 000168
式（１５０）は、Ｉを算出する。これは、１００％露光について非正規化アルゴリズムによって計算した強度である。従って、システムを較正してユーザが指定する露光線量値Ｄを与えるためには、ステップＳ９０６において、Ｄ／Ｉ4の前因子（ｐｒｅｆａｃｔｏｒ）を適用する。
【０１５７】
本発明のシステムおよび方法は、多くの用途に組み込むことができる。限定でない例には、以下のものが含まれる。すなわち、モデルＯＰＣ計算の一部としてのコア・シミューレション・エンジン、描かれたレイアウトフィーチャのためＮＡや照射等の製造パラメータを予測し最適化するためのシミュレーション・エンジン、ひげ飾り（ｓｅｒｉｆｓ）や散乱した棒（ｓｃａｔｔｅｒｎｇ  ｂａｒｓ）等の幾何学的補助フィーチャを予測し最適化して、描かれたレイアウトフィーチャの印刷適性および歩留まりを向上させるためのシミュレーション・エンジン、特定の製造プロセス用のマスク上の欠陥の印刷を予測するためのシミュレーション・エンジン、レンズ収差成分のバランスを予測し最適化して、描かれたレイアウトフィーチャの印刷適正および歩留まりを最適化するためのシミュレーション・エンジン等である。
【０１５８】
本文において、集積回路の製造においてリソグラフィック投影装置を用いることに具体的に言及することができるが、かかる装置は他の多くの可能な用途を有することは明確に理解されよう。例えば、これは、集積光学システム、磁気ドメイン・メモリのための案内および検出パターン、液晶表示パネル、薄膜磁気ヘッド等の製造において採用することができる。かかる代替的な用途の状況において、本文中の用語「レチクル」または「ウエハ」のいかなる使用も、それぞれ、より一般的な語「マスク」または「基板」に置き換えられると考えられることは、当業者には理解されよう。
【０１５９】
更に、本文は、リソグラフィック装置および方法によって、マスクを用いて投影システムに入射する放射ビームのパターンを形成することに焦点を当てたが、ここに提示した本発明は、前記の放射ビームのパターンを形成する一般的な「パターニング手段」を採用したリソグラフィック装置および方法について、より広い状況で考慮されることを注記しておく。ここで用いた「パターニング手段」という語は、基板のターゲット部に生成されるべきパターンに対応したパターン化された断面を入来放射ビームに与えるために使用可能な手段を広く意味する。また、この状況において、「光弁（ｌｉｇｈｔ  ｖａｌｖｅ）」という語も用いられている。一般に、前記パターンは、集積回路または他の装置のような、ターゲット部に生成される装置の特定の機能層に対応する。マスク・テーブル上のマスク（透過性または反射性のいずれであっても）の他に、かかるパターニング手段は、以下の例示的な実施形態を含む。
【０１６０】
（１）プログラム可能なミラー・アレイ。かかる装置の一例は、粘弾性制御層（ｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃ  ｃｏｎｔｒｏｌ  ｌａｙｅｒ）および反射面を有する行列アドレス可能面である。かかる装置の基本的な原理は、（例えば）反射面のアドレスされた領域が入射光を回折光として反射し、一方、アドレスされていない領域は入射光を非回折光として反射する。適切なフィルタを用いて、前記の非回折光を反射ビームから除去することができ、回折光のみを残す。このように、ビームは、行列アドレス可能面のアドレス・パターンに従ったパターンに形成される。プログラム可能なミラー・アレイの代替的な実施形態は、複数の小さいミラーを行列に配置したものを用いる。このミラーの各々は、適切な局所化電界（ｌｏｃａｌｉｚｅｄ  ｅｌｅｘｔｒｉｃ  ｆｉｅｌｄ）を印加することによって、または圧電手段を用いることによって、軸に対して個々に傾けることができる。この場合も、ミラーは行列アドレス可能であり、アドレスされたミラーは、入来放射ビームを、アドレスされていないミラーとは異なる方向に反射する。このように、反射ビームは、行列アドレス可能ミラーのアドレス・パターンに従ったパターンに形成される。必要な行列アドレスは、適切な電子／コンピュータ手段を用いて実行可能である。ここで引用したミラー・アレイに関する更に詳しい情報は、例えば、米国特許第５，２９６，８９１号および米国特許第５，５２３，１９３号、およびＰＣＴ特許出願ＷＯ９８／３８５９７号およびＷＯ９８／３３０９６号から収集することができる。これらは、参照により本願にも含まれるものとする。
【０１６１】
（２）プログラム可能ＬＣＤアレイ。かかる構成の一例は、米国特許第５，２２９，８７２号に与えられている。これは、参照により本願にも含まれるものとする。
【０１６２】
本特許請求の範囲および／または本明細書における、「マスク」という語に対するいかなる言及も、上述の「パターニング手段」という語を包含するものとして解釈されるものである。
【０１６３】
要するに、本発明のいくつかの特定の実施形態を開示したが、本発明は、その精神または本質的な特徴から逸脱することなく、他の形態で具現化することができる。従って、ここに述べた実施形態は、あらゆる点において、例示的であるが、限定としては解釈されるべきでなく、本発明の範囲は添付の特許請求の範囲によって示されるものであり、従って、特許請求の範囲の均等性の意味および範囲内にあるあらゆる変更は、その中に含まれるものと解釈される。
【図面の簡単な説明】
【図１Ａ】従来の光リソグラフィック・システムを示す。
【図１Ｂ】従来の光リソグラフィック・システムを示す。
【図２】光学システムから投影された空中像をシミュレートするための従来の方法を示す。
【図３】１つの瞳領域を別個の領域に分割するための従来の方法を示す。
【図４】本発明の例示的な実施形態による、光学システムから投影された空中像をシミュレートするための方法を示す。
【図５】本発明に従ってカーネルを発生するための例示的な方法を示す。
【図６】本発明に従ってベクトルを発生するための例示的な方法を示す。
【図７】本発明に従って、不完全ガンマ関数のシード・アレイにおける高速循環に基づいて不定積分の表を発生するための例示的な方法を示す。
【図８】本発明と共に用いる例示的なマスク面を示す。
【図９】本発明に従って強度プロファイルおよび強度勾配を算出するための例示的な方法を示す。
【図１０】本発明による効率的なアルゴリズムを示す。
【図１１Ａ】本発明による係数行列Ａijを示す。
【図１１Ｂ】本発明による係数行列Ａijの例示的な図を示す。
【図１Ａ】
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【図１Ｂ】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１Ａ】
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【図１１Ｂ】
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