【手続補正書】
【提出日】令和3年3月22日(2021.3.22)
【手続補正１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【発明の詳細な説明】
【発明の名称】回帰分析の”多重共線性”等を解消し、説明変数の適切な目的変数への寄与度を示す偏回帰係数を求めて経営資料とする計算技術。
【技術分野】
【０００１】本発明は、産業上の成果である売上高等と原因である販売経費等の関係を重回帰分析で行う際に生ずる“多重共線性”等の問題を解消し、売上高に寄与する販売経費などの原因変数の寄与度を示す適切な偏回帰係数ｂｉを求めることを目的とする計算技術である。
【背景技術】
【０００２】重回帰分析を適用し、成果と原因の関係を解明する場合に、説明変数に“多重共線性”等の問題が生じ、適切な経営判断ができない。このことを次の仮設分析例で”多重共線性”による偏回帰係数ｂｉの歪みを、また、説明変数間にある程度高い相関のある場合のｂｉの歪みを示す。【０００３】重回帰式  Ｙ＝ｂ０＋ｂ１Ｘ１＋ｂ２Ｘ２        （１）
基準化した変数の重回帰式
Ａｙ＝ｂ１Ａ１＋ｂ２Ａ２            （２）
仮設分析例
売上高とその原因である人件費、売場面積は次のようであるとする。
売上高（百万円）  人件費（１０万円）  売場面積（１０ｍ２）
Ｙ                Ｘ１                Ｘ２
Ａ店      ４６              ９７                ７５
Ｂ店      １８              ６１                ５９
Ｃ店      ３６              ８３                ７２
Ｄ店      ２２              ３７                ５１
Ｅ店      ２７              ７５                ４８
この資料に対して説明変数が２ケである場合の重回帰分析を適用する。
この計算結果は、次の通りである。
売上高対人件費の相関係数    Ｒ１    ：０．８４
売上高対売場面積の相関係数  Ｒ２    ：０．７９
人件費対売場面積の相関係数  ｒ１２  ：０．７２
ｂ１＝０．５６      ｂ２＝０．３８
売上高に対する人件費、売場面積の相関係数にそれほど差がないのに、原因の成果に対する寄与度を示す偏回帰係数ｂ１、ｂ２の数値に大きな差がある。これは人件費、売場面積の間に相当程度の高い相関があることによるものであり、実務経験者である経営者もこの分析結果の妥当性に疑問を持つ。【０００４】  分析例２（実施例３より、分析結果だけを示す。）
事例名                    Ｊ          Ｋ          Ｌ
目的変数対相関係数：Ｒ  ０．５１    ０．６２    ０．５４
偏回帰係数：      ｂｉ  ０．１０    ０，４３    ０．３３
これは適当に作られた事例についての分析だが、事例Ｊの相関係数に対する偏回帰係数の数値が小さい。これは実施例の説明変数相互の相関係数の数値が０．５前後とやや大きいことによるが、この程度の数値なら特別高い相関とは言えない。【０００５】回帰分析は一組（Ｘ１，Ｘ２，．．，Ｘｐ）の説明変数が目的変数Ｙをどれだけ説明できるかの分析で、原因となるＸｉの数値は物理学、化学等による独立性の高いものであったとされ、一組を構成する構成要素個々のＸｉの貢献度を求めるものではなかったとされる。その後、社会経済現象の成果である企業の売上高とその原因である販売諸経費の関係分析に、重回帰分析が利用されるようになると、採用する諸原因は売上高と高い因果関係のある人件費、販売経費、売場面積等が選択されるようになり、売上高数値を媒介としてそれら原因間の相関係数も高く、売上高への寄与度を示すｂｉも常識、理論に反する異常値を示すようになった。これが”多重共線性“の問題である。【０００６】基準化変数
上記の（１）式について、説明変数Ｘｉの数値単位が人数であったり面積ｍ２であったりすると、求められるｂｉの数値の意味が曖昧となるので、以後の分析で多用される相関行列の作成に変数を基準化する必要があることから、変数は全て基準化数値を使用する。
以下Ａ１，Ａ２はＸ１、Ｘ２の基準化した変数である。
基準化  ：Ａｉ＝（Ｘｉ−Ｘｉ）／σｉ            （３）
Ｘｉ：Ｘｉの平均    σｉ：Ｘｉの標準偏差
なお、Ｙ，Ｘ１，Ｘ２を基準化することにより、Ａｉの数値は平均０、標準偏差１の数値集団となる。【０００７】正規方程式の相関行列
以下の分析では主に重回帰分析の正規方程式の相関行列式を多用するので、ここでこれを導入する。
2021068456.tif 000001
正規方程式はこれで次のように表示できる。
2021068456.tif 000002
【０００８】
【特許文献１】特許第５１２０８２０号「”多重共線性“を解消する回帰分析によって適正な標準宅地の評価を行う装置」”多重共線性”の解決は、正規方程式の行列表示で、左右両辺の項目数値のアンバランスをいかに合理的に抑えるかにかかっている。この特許は説明変数が２変数の場合で、目的変数である地価の媒介による説明変数相互の比較的高い相関部分を次のように除去して、行列第１行の非対角要素２項を構成している。
ｒ１２＝ｒ１２（１−Ｒ１Ｒ２）
これは個々の事例についてではなく、一連の事例に対してＲ１Ｒ２の数値を一括除去する方法である。この除去により、それなりに”多重共線性“を解消する効果を期待できるが大まかな計算である。
【特許文献２】特許第５５８５９２１号「産業上の成果である売上高等と原因である販売経費等の関係分析に”多重共線性“解消の重回帰分析を適用して解明する装置」  この特許の”多重共線性“解消は［特許文献１］の除去に比して、個別の事例を対象としたより丁寧な除去であるが、基準化した説明変数そのものに対する除去であるため、事例を基準化変数の正と負の符号同調事例に分類し、それぞれについて行うもので、一貫性がなく、求めた相関行列も非対称行列になっている。【０００９】”多重共線性“問題を回避するために一般に次のような方法が考えられている。
相関の高い説明変数のどちらか一つの削除
主成分分析
リッジ回帰
説明変数の削除は成果である売上高に対して有意に選択された原因である従業員数や販売経費を省くのは適切でない。主成分分析はＰ個の変数Ｘ１，Ｘ２，．．Ｘｐをある条件の下にｐ＞ｍの綜合変数ｊ（ｊ＝１〜ｍ）に要約する方法で、説明変数の係数ｂｉを求めるものではない。
リッジ回帰は相関行列の対角要素に一定数ｋを加えて偏回帰係数を求めるもので、概要を次に示す。
2021068456.tif 000003
これは、非対角要素の相関係数ｒ１２の数値を小さくする効果があり、その分だけ“多重共線性”が解消されるが、相関行列の対角要素に加える加算数値の選択に確たる基準がなく、恣意的であまり利用されていないと思う。
【非特許文献１】Ａｒｔｈｕｒ  Ｅ．Ｈｏｅｒ  ａｎｄ  Ｒｏｂｅｒｔ，Ｗ．Ｋｅｎｎａｒｄ“Ｒｉｄｇｅ  ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ”１９７０年  ２月
【発明が解決しようとする課題】
【００１０】  リッジ回帰の”多重共線性“解消は対角要素を対象として非対角要素数値を小さくする間接的方法であるのに対して、本発明は相関行列の非対角要素を直接の分析対象とする。
【００１１】  重回帰分析の成果と原因の関係分析の意義
重回帰分析で社会経済現象の成果である売上高等の原因である説明変数の寄与度を分析し、経営の参考とするのは経営の合理化を図る経営者の当然の考え方である。ただし、多変量解析で取り上げられる重回帰分析では”多重共線性“等の問題があり、十分に利用されていない。
重回帰分析の相関行列による２変数の正規方程式（数式４）の左辺、右辺の数値を見ると、この左辺の定数ｂ１を別にすれば、説明変数ＸｉとＸｊの２ケの相関係数で、右辺はＲ１ｙの１ケの相関係数である。各相関係数は（１を含み０との間の数値）なので、左辺の数値は右辺数値の説明変数の“２倍”程である。
また、この行列の右辺は目的変数Ｙと左辺の説明変数行列の対角要素との相関係数となっていて他の変数はなく、左辺の対角要素変数の相関係数数値は１である。このことから、各行の対角要素を当該行の“主力変数”とし、非対角要素を従属変数とする。
なお、回帰分析で求めたｂｉ数値の相対比が，原相関係数のＲｉ値の相対比に近い数値となるためには、説明変数の数に対応した行、列の行列が“単位行列”に近い数値であることが望ましい。
左辺に数値重複分のあることが予想されるので、対角要素を基準変数とし、非対角要素の説明変数から対角要素基準変数分を除去する。
除去残余分は非対角要素の特性を示すものであり、また、説明変数の選択、ケ数の適否を示すものでもあるので重要である。この分析には多くの派生的問題があるが、情報過多といえる現代の社会経済の数理的解析に適切な資料を提供する重要な意義をもっている。
【課題を解決するための手段】
【００１２】  １  基準化変数Ａｉは、これに一定数を加算、乗算しても元のＡｉの数値は不変である。基準化式（３）参照
２  ΣＡ１Ａ２／ｎ＝ｒ１２  である。
３  Ａｉの数値のままでの重複分除去は、負数がある場合は計算が複雑になるので、除去計算で全て正数になるように、又、全てのＡｉ数値が統一された数値となるように一定数（本実施例ではＡの負数最大値を目途に．１．８）を加算する。
４  左辺（対角要素Ａ１、非対角要素Ａ２）について、Ａ２からＡ１と同調する部分を下記の通り除去するため、Ａ２とＡ１の絶対値のどちらか低い数値を限度としてＡ２から除去し、残余分を求める。
除去例    Ａ１        Ａ２        除去分        残余分
０．３        ０．２      ０．２        ０
０．２        ０．５      ０．２        ０．３
なお、上記３の一定数加算で実施例のＡ１，Ａ２の数値総和は１８と等しくなる。
このことから、次の簡単な例で理解できるように正規方程式は、正方行列で斜線状に位置する対角要素の対称の位置にある非対角要素の数値は等しくなる。
Ａ１、Ａ２の数値総和を等しく０．７とする。
Ａ１が対角要素（除去基準）でＡ２が除去される非対角要素である場合
Ａ１        Ａ２        除去分        残余分
０．３      ０．５      ０．３        ０．２
０．４      ０．２      ０．２        ０
逆の場合
Ａ２        Ａ１        除去分        残余分
０．５      ０．３      ０．３        ０
０．２      ０．４      ０．２        ０．２
このため正規方程式の相関行列の斜線状の対角要素を基準とした対称の位置にある非対角要素の数値は等しい。
５  除去残余分はＡ２の一部なので、これをＡ１＊Ａ２（これは重複分除去前の相関係数ｒ１２である。数式（４）参照）に乗じ、改めてｒ１２を求めて重複分除去後の新相関行列を作り、重複分除去後のｂｉ（ｉ＝１，２）を求める。
【発明の効果】
【００１３】求めたｂｉの妥当性を確認するため、目的変数Ｙに対する説明変数の元の最高相関係数を１００とした場合のｂｉの相対比を求めると、元の相関数値に近く，“多重共線性”等が解消されていることが分る。
【実施手順】
【００１４】１  多重回帰分析の正規方程式の目的変数Ｙ，説明変数Ｘｉを、説明変数の計測単位による変動を抑制するために、また、正規方程式の相関行列を作成するために各変数の基準化を行う。
２  基準化変数の一定数加算．乗算により数値が変化しない特性を利用する。
３  正規方程式の各行の数値ために、また、重複分除去により負数を生じさせないようにするために基準化変数に一定数の加算をする。
４  対角である主力変数を基準とした非対角要素の従属変数の重複分除去は［００１２］の計算を適用する。
５  求められた残余の数値は行列の非対角要素である従属変数の一部なので［００１２］、改めて正規方程式の非対角要素の相関係数とする新行列式を作る。
６  以上の演算よる正規方程式の新行列から、目的変数Ｙへの寄与度を示すｂｉを求める。
７  ここまでの“多重共線性”等解消の演算方法が適切である否かを検証するために、同一事例に対して説明変数を順次追加させた場合の当該方法の妥当性を検証する。これを見ると説明変数４ケの場合に適用した“多重共線性”等の解消の演算方法の結果は、元の目的変数に対する説明変数の相関係数の相対比格差に近く概ね妥当である。
【実施例】
【実施例１】
【００１５】以下の目的変数Ｙ，説明変数Ｘｈ、Ｘｉ、Ｘｊ、Ｘｋ、Ｘｌは適当に設定した数値である。
計算を簡単にするため各変数相互の相関係数を求める。
2021068456.tif 000004
【実施例２】２変数、３変数、４変数の場合
２変数の場合
2021068456.tif 000005
３変数の場合
2021068456.tif 000006
４変数の場合
2021068456.tif 000007
2021068456.tif 000008
計算結果は採用変数２変数、追加した３変数、４変数の全ての場合で、現行分析方法で求めたｂｉ数値は乱れているが、重複分除去の分析ではいずれの場合もＲ値の相対比に比較的近い結果得ている。
【実施例３】目的変数Ｙに対する相関係数が全て０．５に近い事例Ｘｊ、Ｘｋ、Ｘｌの３変数の回帰分析の計算例である。
（Ｘｊ、Ｘｋは前掲）
2021068456.tif 000009
計算結果は現行分析方法のｂ値は乱れているが、重複分除去の計算ではほぼＲ値の相対比に近い。