(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
正則でないパラメータ化となる、パラメータ空間（ｕ，ｖ）における曲面Ｓ（ｕ，ｖ）上の法線ベクトルを計算するプログラムが記録されている記録媒体であって、Ｓ（ｕ，０）の境界曲線が縮退しているときに、Ｓ（ｕ，０）の２次偏微分ベクトル式（５）が０ベクトルの場合、（ｎ＋１）次偏微分ベクトル式（３）が０ベクトルでなくなるまで、ｎを２から始めて増やし、０ベクトルでなくなったときの（ｎ＋１）次偏微分ベクトル式（３）と、Ｓ（ｕ，０）の１次偏微分ベクトル式（６）との外積式（４）を法線ベクトルとして計算するプログラムが記録されていることを特徴とするコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
【数１】
0003669814.tif 000018
【数２】
0003669814.tif 000019
【数３】
0003669814.tif 000020
【数４】
0003669814.tif 000021
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、３次元自由曲面評価装置において、特に、ＣＡＤ／ＣＡＭを用いた３次元自由曲面の評価装置において使用される記録媒体であって、正則でないパラメータ化となる曲面の法線ベクトル計算方法が記録されているコンピュータ読み取り可能な記録媒体に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】
正則でないパラメータ化となる自由曲面上では、式（１）による一般的な計算方法［（１），Farin, G.E., Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design - A Practical Guide, Academic Press, New York (1988).，（２），Faux I.D. and Pratt, M.J.: Computational Geometry for Design and Manufacture, Ellis Horwood, Chichester, UK(1979).］では法線ベクトルが計算できない点がある。
【０００３】
【数３】
0003669814.tif 000002
【０００４】
正則でないパラメータ化となる自由曲面とは、
【０００５】
【数４】
0003669814.tif 000003
【０００６】
になるｕ，ｖが存在する曲面であり、例えば、次のケースが考えられる。
【０００７】
１．１次偏微分ベクトル∂Ｓ（ｕ，ｖ）／∂ｕと∂Ｓ（ｕ，ｖ）／∂ｖが従属関係にある点をもつ曲面のケース［（１），Farin, G.E.: Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design - A Practical Guide, Academic Press, New York (1988).，（３），Du, W.H. and Schmitt, F.J.M.: A General Method of Treating Degenerate Bezier patches, Cures and Surfaces (P.J.Laurent, A. Le Meuhaute, and L.L.Schumaker (eds.)), Academic Press, Boston,pp.161-164(1991).］：
【０００８】
図５は、このような曲面の例を示す図で、ここで、太線は曲面の境界曲線を表わし、細線は曲面のパラメータ線を表わす。端点Ｐにつながる２本の境界曲線Ｃ0，Ｃ1の端点における接線ベクトルｔ0，ｔ1が互いに従属関係にある。
【０００９】
２．１次偏微分ベクトル∂Ｓ（ｕ，ｖ）／∂ｕまたは∂Ｓ（ｕ，ｖ）／∂ｖが０ベクトルになる点をもつ曲面のケース［（２），Faux I.D. and Pratt, M.J.: Computational Geometry for Design and Manufacture, Ellis Horwood, Chichester, UK(1979).，（４），Wolter, F.E and Tuohy, S.T.: Curvature computations for degenerate surface patches, Computer Aided Geometric Design, Vol.9, No.4,pp.241-270(1992).］：
【００１０】
図６は、このような曲面の例を示す図で、端点Ｐにつながる境界曲線が縮退している。このような曲面を縮退面とよび、縮退している境界曲線を縮退点とよぶ。縮退面はさらに次の（ａ），（ｂ）の２つに分けられる。
（ａ）縮退点における法線ベクトルがただ１つに定まる縮退面（図６はこのような縮退面の例である）。
（ｂ）縮退点における法線ベクトルがただ１つに定まらない縮退面（図７はこのような縮退面の例である）。
【００１１】
前記（ａ）の縮退面の場合に法線ベクトルを計算する手法は提案されている［（２），（４）］：しかし、前記（ｂ）の縮退面はフィレットを生成するときのぼかし面（ぼかし面の例を図８に示す）として通常曲面を設計するときにしばしばあらわれる面で、このぼかし面は、生成したフィレット面同士をＧ1連続に接続するために使用される。ぼかし面を必要とするフィレット面は機械部品の強度を高めたり、加工作業を容易にするため、あるいは、意匠的に美しい形状を生成するため多く利用される。
【００１２】
境界曲線が縮退している曲面を扱った過去の研究［（２），（４）］では、縮退点の法線ベクトルがただ１つ定義できる曲面を扱ってきた。しかし、縮退点の法線ベクトルが１つに定まらない曲面は、図４のようなぼかし面としてしばしば現れる。縮退点の法線ベクトルが１つに定まらない曲面の簡単な例として図７に示すような円錐面の頂点があるが、この円錐面の頂点の法線ベクトルは一般には定義できない。円錐面のパラメータ線に沿って法線ベクトルを観測すると、図９に示すように、パラメータ値により異なる値であるため、パラメータ線が集まる縮退点で１つの法線ベクトルを定義するのは不自然である。従って、円錐面において法線ベクトルの計算を行なう際に縮退点は計算不可能な特異点になる。
【００１３】
しかし、曲面の評価計算を行なう上で、特異点が存在すると不都合である。
特異点が存在すれば評価計算値が不連続になり、評価計算値に基づいたさまざまな操作に重大な影響を及ぼすからである。例えば、面集合をオフセットした面集合を求める場合、もとの面集合の隣接する曲面同士はＧ1連続にされている必要がある。さもないと、オフセットは法線ベクトル方向に行なうので、オフセットした面集合にすきまができることになり不都合である。
【００１４】
また、前記［（２）］のＦａｕｘらの方法は、１次偏微分ベクトル∂Ｓ（ｕ，ｖ）／∂ｕをＴａｙｌｏｒ展開により、２次偏微分ベクトル∂2Ｓ（ｕ，ｖ）／∂ｖ∂ｕを含む式にし、極限値を求めることで縮退点における法線ベクトルを求めるようにしている。彼らは縮退点の法線ベクトルがただ１つである曲面を対象としているが、彼らの方法そのものは縮退点の法線ベクトルが１つである前提がないので、縮退点の境界曲面のパラメータに沿って変化する法線ベクトルを求めることができる。しかし、図８に示すような縮退面の場合、接点Ｐにつながる２本の境界曲線Ｃ0，Ｃ1の端点における接線ベクトルｔ0，ｔ1が互いに従属関係にあるため、２次偏微分ベクトルが０ベクトルとなり、境界曲線のパラメータに沿った法線ベクトルを求めることができない。
【００１５】
【発明が解決しようとする課題】
本発明は、上述のごとき実情に鑑みてなされたもので、特に、以下の（Ａ）〜（Ｃ）の３点の問題点を解決することを目的とするものである。
（Ａ），境界曲線が縮退している曲面の場合、１次偏微分ベクトル∂Ｓ（ｕ，ｖ）／∂ｕまたは∂Ｓ（ｕ，ｖ）／∂ｖが０ベクトルになり、式（１）による一般的な計算方法では法線ベクトルが計算できない。
（Ｂ），境界曲線が縮退している曲面の縮退している境界曲線のパラメータに沿って変化する法線ベクトルは、縮退点の法線ベクトルがただ１つ定義できる曲面を扱ってきた前記［（４）］のＷｏｌｔｅｒらの方法では計算できない。
（Ｃ），境界曲線が縮退している曲面で非縮退方向の１次偏微分ベクトルが同じ方向の場合、２次偏微分ベクトルを用いる前記［（２）］のＦａｕｘらの方法では、２次偏微分ベクトル∂2Ｓ（ｕ，ｖ）／∂ｖ∂ｕが０ベクトルになり、法線ベクトルが計算できない。
【００１６】
【課題を解決するための手段】
請求項１の発明は、正則でないパラメータ化となる、パラメータ空間（ｕ，ｖ）における曲面Ｓ（ｕ，ｖ）上の法線ベクトルを計算するプログラムが記録されている記録媒体であって、Ｓ（ｕ，０）の境界曲線が縮退しているときに、Ｓ（ｕ，０）の２次偏微分ベクトル式（５）が０ベクトルの場合、（ｎ＋１）次偏微分ベクトル式（３）が０ベクトルでなくなるまで、ｎを２から始めて増やし、０ベクトルでなくなったときの（ｎ＋１）次偏微分ベクトル式（３）と、Ｓ（ｕ，０）の１次偏微分ベクトル式（６）との外積式（４）を法線ベクトルとして計算するプログラムが記録されているコンピュータ読み取り可能な記録媒体を特徴とするものである。
【数５】
0003669814.tif 000004
【数６】
0003669814.tif 000005
【数７】
0003669814.tif 000006
【数８】
0003669814.tif 000007
【００２０】
【発明の実施の形態】
以下に、次の前提条件に基づいて本発明の法線ベクトル計算方法を説明する。・Ｓ（ｕ，０）の境界曲線が縮退している。
曲面とパラメータ空間の関係は容易に回転し変更できるので、１辺の境界曲線について計算できれば、残りの３辺についても同様の方法で計算できる。
【００２１】
図１は、本発明による法線ベクトル計算方法を説明するためのフローチャートで、次のＳ１，Ｓ２の２つのステップよりなる。
Ｓ１：（ｎ＋１）次偏微分ベクトルである式（３）を計算する。ｎは０から始めて式（３）が０ベクトルでなくなるまで、増やしていく。
【００２２】
【数７】
0003669814.tif 000008
【００２３】
Ｓ２：式（４）を使い法線ベクトルを計算する。
【００２４】
【数８】
0003669814.tif 000009
【００２５】
次に、式（４）で法線ベクトルが求まる根拠を説明する。
１次偏微分ベクトル∂Ｓ（ｕ，ｖ）／∂ｕは、ｖが十分小さければ、Taylor展開により、式（５）となる。
【００２６】
【数９】
0003669814.tif 000010
【００２７】
となる。また、
【００２８】
【数１０】
0003669814.tif 000011
【００２９】
より、
【００３０】
【数１１】
0003669814.tif 000012
【００３１】
となる。一方、１次偏微分ベクトル∂Ｓ（ｕ，ｖ）／∂ｖも同様にｖが十分小さければ、Taylor展開により、
【００３２】
【数１２】
0003669814.tif 000013
【００３３】
となる。ここで式（９）はｎ以上の次数の項からなる多項式である。
【００３４】
【数１３】
0003669814.tif 000014
【００３５】
これらの外積は、
【００３６】
【数１４】
0003669814.tif 000015
【００３７】
となる。法線ベクトルは、
【００３８】
【数１５】
0003669814.tif 000016
【００３９】
となる。ここでｖ→０に近づけて極限値をとると、
【００４０】
【数１６】
0003669814.tif 000017
【００４１】
となり、式（４）が導かれる。
【００４２】
境界曲線が縮退している曲面の場合でも法線ベクトルを計算できるようにしたもので、例えば、図６に示したような、境界曲線が縮退している（点Ｐが境界曲線が縮退した点である）に対して、図２に示すように、法線ベクトルを表示することができる。
【００４３】
縮退している境界曲線のパラメータに沿って法線ベクトルが変化する曲面の法線ベクトルを計算できるようにしたもので、例えば、図７に示したような、縮退した境界曲線のパラメータに沿って法線ベクトルが変化する曲面（点Ｐが境界曲線が縮退した点である）に対して、図３に示すように、法線ベクトルを表示することができる。
【００４４】
境界曲線が縮退し、非縮退方向の１次偏微分ベクトルが同じ方向になる曲面の法線ベクトルを計算できるようにしたもので、例えば、図９に示したような、境界曲線が縮退し、非縮退方向の一次偏微分ベクトルが同じ方向になる曲面（点Ｐが境界曲線が縮退した点である）に対して、図４に示すような法線ベクトルを表示することができる。
【００４５】
【発明の効果】
本発明による計算方法を、コンピュータにより読み取り可能な記録媒体に記録しておくことにより、
（１），境界曲線が縮退している曲面、
（２），縮退している境界曲線のパラメータに沿って法線ベクトルが変化する曲面、
（３），境界曲線が縮退し、非縮退方向の１次偏微分ベクトルが同じ方向になる曲面、
等の法線ベクトルを計算することができ、３次元ＣＡＤシステムなどに実現することによって、曲面の法線ベクトル計算を容易に行うことができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】  法線計算のフローチャートである。
【図２】  縮退面の法線ベクトル表示を示す図である。
【図３】  円錐面の法線ベクトル表示を示す図である。
【図４】  ぼかし面の法線ベクトル表示を示す図である。
【図５】  端点で縮退している曲面を表わす図である。
【図６】  境界局面が縮退している曲面を表わす実空間を示す図（図６（ａ））、及び境界局面が縮退している曲面を表わすパラメータ空間を示す図（（図６（ｂ）である。
【図７】  縮退点の法線ベクトルが定まらない曲面の例としての円錐面の図である。
【図８】  ぼかし面として現れる図（図８（ａ））及びぼかし面として現れる部分の拡大図（図８（ｂ））である。
【図９】  円錐面のパラメータ線に沿った法線ベクトル表示を示す図である。
【符号の説明】
Ｐ…接点、Ｃ0…境界曲線、Ｃ1…境界曲線、ｔ0…接線ベクトル、ｔ1…接線ベクトル。
【図１】
0003669814.tif 000022
【図２】
0003669814.tif 000023
【図３】
0003669814.tif 000024
【図４】
0003669814.tif 000025
【図５】
0003669814.tif 000026
【図６】
0003669814.tif 000027
【図７】
0003669814.tif 000028
【図８】
0003669814.tif 000029
【図９】
0003669814.tif 000030