(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
バンドギャップエネルギーの異なる２種類以上の半導体を原子層オーダーの急峻さで積層した界面を持つ半導体ヘテロ構造におけるバンドギャップエネルギーの小さい領域に閉じ込められた伝導帯電子、価電子帯正孔のエネルギー準位と、このエネルギー準位の広がり幅を算出する半導体ヘテロ構造のエネルギー解析方法であって、
前記エネルギー準位が存在可能なエネルギー範囲を数値的に探索するに当たって、エネルギーの探索範囲を実数領域から複素エネルギー領域に拡大し、前記エネルギー準位とその広がり幅を前記複素エネルギーの実部と虚部として同時に探索することとし、
前記量子井戸構造を含むエネルギー解析領域を小領域に分割し、各領域で転送行列を定義し、これら転送行列から前記解析領域全体の転送行列を構築し、この転送行列を用いて、前記量子井戸構造へ入射するキャリアの反射係数を表現し、
前記反射係数の行列式中の（１，２）成分および該（１，２）成分のエネルギー微分、または（２，１）成分および該（２，１）成分のエネルギー微分を計算することによって、前記（１，２）成分または（２，１）成分が最小値を取るときの複素エネルギー値を求め、該複素エネルギー値の実部と虚部とから前記半導体ヘテロ構造のエネルギー準位およびエネルギー準位の広がり幅を決定する、ことを特徴とする半導体ヘテロ構造のエネルギー解析方法。
【請求項２】
前記複素エネルギーをＥ、前記解析領域全体の転送行列の（１，１）成分および（１，２）成分をそれぞれＭ11（Ｅ）およびＭ12（Ｅ）とした場合、前記反射係数Ｒ（Ｅ）が、
【数１】
0003649594.tif 000032
と表され、この反射係数Ｒ（Ｅ）の最小値をＭ12（Ｅ）の最小値を求めることにより算出することを特徴とする請求項１に記載の半導体ヘテロ構造のエネルギー解析方法。
【請求項３】
バンドギャップエネルギーの異なる２種類以上の半導体を原子層オーダーの急峻さで積層した界面を持つ半導体ヘテロ構造を有する半導体デバイスを、所望の特性を持つように設計した後、その設計構造の半導体デバイスの性能を、前記半導体ヘテロ構造のバンドギャップエネルギーの小さい領域に閉じ込められた伝導帯電子、価電子帯正孔のエネルギー準位と、このエネルギー準位の広がり幅を算出し、これらの算出値から予測する半導体デバイスの性能予測方法であって、
前記エネルギー準位が存在可能なエネルギー範囲を数値的に探索するに当たって、エネルギーの探索範囲を実数領域から複素エネルギー領域に拡大し、前記エネルギー準位とその広がり幅を前記複素エネルギーの実部と虚部として同時に探索することとし、
前記量子井戸構造を含むエネルギー解析領域を小領域に分割し、各領域で転送行列を定義し、これら転送行列から前記解析領域全体の転送行列を構築し、この転送行列を用いて、前記量子井戸構造へ入射するキャリアの反射係数を表現し、
前記反射係数の行列式中の（１，２）成分および該（１，２）成分のエネルギー微分、または（２，１）成分および該（２，１）成分のエネルギー微分を計算することによって、前記（１，２）成分または（２，１）成分が最小値を取るときの複素エネルギー値を求め、該複素エネルギー値の実部と虚部とから前記半導体ヘテロ構造のエネルギー準位およびエネルギー準位の広がり幅を決定する、ことを特徴とする半導体デバイスの性能予測方法。
【請求項４】
前記複素エネルギーをＥ、前記解析領域全体の転送行列の（１，１）成分および（１，２）成分をそれぞれＭ11（Ｅ）およびＭ12（Ｅ）とした場合、前記反射係数Ｒ（Ｅ）が、
【数２】
0003649594.tif 000033
と表され、この反射係数Ｒ（Ｅ）の最小値をＭ12（Ｅ）の最小値を求めることにより算出することを特徴とする請求項３に記載の半導体デバイスの性能予測方法。
【請求項５】
バンドギャップエネルギーの異なる２種類以上の半導体を原子層オーダーの急峻さで積層した界面を持つ半導体ヘテロ構造を有する半導体デバイスに対して、その半導体ヘテロ構造のバンドギャップエネルギーの小さい領域に閉じ込められた伝導帯電子、価電子帯正孔のエネルギー準位と、このエネルギー準位の広がり幅を予測し、これらの予測値に基づいて、前記半導体デバイスを設計する半導体デバイスの設計方法であって、
前記エネルギー準位が存在可能なエネルギー範囲を数値的に探索するに当たって、エネルギーの探索範囲を実数領域から複素エネルギー領域に拡大し、前記エネルギー準位とその広がり幅を前記複素エネルギーの実部と虚部として同時に探索することとし、
前記量子井戸構造を含むエネルギー解析領域を小領域に分割し、各領域で転送行列を定義し、これら転送行列から前記解析領域全体の転送行列を構築し、この転送行列を用いて、前記量子井戸構造へ入射するキャリアの反射係数を表現し、
前記反射係数の行列式中の（１，２）成分および該（１，２）成分のエネルギー微分、または（２，１）成分および該（２，１）成分のエネルギー微分を計算することによって、前記（１，２）成分または（２，１）成分が最小値を取るときの複素エネルギー値を求め、該複素エネルギー値の実部と虚部とから前記半導体ヘテロ構造のエネルギー準位およびエネルギー準位の広がり幅を決定する、ことを特徴とする半導体デバイスの設計方法。
【請求項６】
前記複素エネルギーをＥ、前記解析領域全体の転送行列の（１，１）成分および（１，２）成分をそれぞれＭ11（Ｅ）およびＭ12（Ｅ）とした場合、前記反射係数Ｒ（Ｅ）が、
【数３】
0003649594.tif 000034
と表され、この反射係数Ｒ（Ｅ）の最小値をＭ12（Ｅ）の最小値を求めることにより算出することを特徴とする請求項５に記載の半導体デバイスの設計方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、量子井戸または超格子構造（半導体ヘテロ構造）を有する半導体光デバイス、半導体電子デバイスおよび両者の融合デバイスなどの半導体デバイスにおける量子井戸構造のエネルギー準位および該準位の広がり幅を予測するエネルギー解析方法、該解析方法による半導体デバイスの性能予測方法、および該解析方法により半導体デバイスの最適設計を行う半導体デバイスの設計方法に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】
近年、半導体や金属等の極薄膜作成技術および微細加工技術の進展によって、半導体光デバイスや半導体電子デバイス等の半導体デバイスにおける量子井戸または超格子構造（半導体ヘテロ構造）の重要性が、益々高まっている。半導体ヘテロ構造、すなわち量子井戸または超格子構造と呼称される内部構造を有する半導体デバイスを、目的の特性が的確に得られるように、設計する場合には、ポテンシャル障壁によって閉じ込められた領域に作られるエネルギー準位の位置と準位の広がり幅を正確に予測する必要がある。また、既に設計した半導体デバイスが、目的の特性を発揮できるかを、製造する前に、的確に予測することも重要である。それによって、性能が充分でなければ、解析したエネルギー準位およびその広がりから、設計をし直すことができる。
【０００３】
図１（ａ）に、半導体デバイスにおけるポテンシャル構造の典型を、模式的に示した。エネルギー準位は、図に示すように、両側の障壁層ＬとＲによって隔てられた井戸層Ｗ内にある固有なエネルギーをもって、存在する。
【０００４】
半導体デバイスとして、例えば、電気的に光強度を変調する素子である電界吸収型の半導体光変調器を挙げると、この半導体変調器においては、変調器中心部のコア層と呼ばれる入射光を吸収する層に、図１（ａ）に示したようなポテンシャル構造が何周期にもわたって作り込まれる。このような半導体変調器には、入射光強度を変調するためにコア層全体に外部から電界を印加する。電界印加前では、図１（ａ）のようであったポテンシャル構造は、電界印加時には、図１（ｂ）のように左右非対称に変化し、左側障壁層Ｌのエネルギー閉じ込め効果が右側障壁層Ｒの閉じこめ効果に対して相対的に弱くなる。また、印加電界がゼロの場合においても、ポテンシャル障壁の高さが低い場合には、閉じ込め効果は不十分となる。その結果として、井戸層Ｗ内に存在するエネルギー準位は、固有の値をとるものの、そのエネルギーをもって井戸層Ｗ内に存在するキャリアは、ある有限の時間（寿命）をもって、井戸層Ｗの外へ拡散していく。このことは、井戸層Ｗ内のエネルギー準位が、ある準位の広がり幅を持つ、という形で表現される。あるいは、エネルギー準位が、複素数である、と表現することもできる。すなわち、複素エネルギーの実部および虚部は、それぞれ、エネルギー準位および準位幅に相当する。半導体変調器の場合、動作特性の物理的要因であるキャリアエスケープ時間が、すなわち、入射光によって井戸層内に対生成された電子と正孔が井戸層から電極に向けて掃引する時間が、この準位の広がり幅によって決まり、さらに、この準位幅は、印加した電界によって、指数関数的に変化する。
【０００５】
従来、エネルギー準位と準位の広がり幅は、量子井戸（超格子構造）へ入射するキャリアの透過特性の計算から、求められている。図１（ａ），（ｂ）の領域Ｉ，ＩＩ内を一次元運動するキャリアを考え、領域Ｉ（ＩＩ）にあるキャリアの確率振幅の右方向成分、有効質量、波数をそれぞれ｜ｕI(II)+｜、ｍI(II) 、ｋI(II) とすると、透過係数Ｔを表す式は、
【０００６】
【数４】
0003649594.tif 000002
【０００７】
で与えられる。
【０００８】
図２は、入射キャリアのエネルギーに対する透過特性を、模式的に示したものである。図に見るように、印加電界がゼロの時、曲線は、鋭い共鳴を有し、共鳴エネルギーに対してほぼ対称となる。ただし、ここでのエネルギーは実数領域に限定される。求めようとするエネルギー準位は、この共鳴エネルギーに相当し、準位の広がり幅は、共鳴曲線の半値半幅に相当する。印加電界の増加とともに、ポテンシャル形状が左右非対称になり、これを反映して、共鳴曲線もエネルギーに対して非対称になる。さらに、共鳴ピークの高さは、印加電界の増加とともに、指数関数的に小さくなる。
【０００９】
このように、従来の半導体デバイスのエネルギー解析方法においては、エネルギー準位および準位の広がり幅の精度は、前述の共鳴曲線の形状に依存しており、この従来の方法では、曲線が共鳴ピーク点近傍で鋭利な形状を有する場合に、解析精度に限界があった。
【００１０】
【発明が解決しようとする課題】
これに変わる方法として、準位の広がり幅を共鳴曲線の形状に依存したやり方で求めるのでなく、エネルギーの探索範囲を実数領域から複素エネルギー領域に拡大し、エネルギーの関数である共鳴曲線の微分係数を用いて、エネルギー準位と準位に広がり幅を、複素エネルギーの実部・虚部として、同時に探す方法が考えられる。
【００１１】
具体的には、量子井戸（超格子）構造を含む解析領域を小領域に分割し、各領域で定義された転送行列から解析領域全体の転送行列を構築する。この場合、透過係数は、複素エネルギーＥの関数として解析領域全体の転送行列の（１，１）成分、すなわち、Ｍ11（Ｅ）を用いて、
【００１２】
【数５】
0003649594.tif 000003
【００１３】
と表させる。したがって、これをニュートン−ラフソン法を用いて解くことになる。しかしながら、ここでの問題は、式（２）にニュートン−ラフソン法を適用する際、そのエネルギーに対する微分形が必要になることである。式（２）では、行列要素Ｍ11（Ｅ）が２乗の逆数として含まれており、その値はエネルギーＥの関数として指数関数的に激しく変化する。そのため、ニュートン−ラフソン法を適用する際の解の集束性が極めて悪く、式（２）の透過係数の共鳴点を直接求めることは不可能に近い。
【００１４】
したがって、本発明の課題は、任意の半導体ヘテロ構造を有する半導体光デバイス、半導体電子デバイスおよび両者の融合デバイスなどの半導体デバイスにおける前記半導体ヘテロ構造のエネルギー準位および該準位の広がり幅を高精度に、かつ高い収束性で推測することのできるエネルギー解析方法、該解析方法による半導体デバイスの性能検定方法、および該解析方法により半導体デバイスの最適設計を行う半導体デバイスの設計方法を、提供することにある。
【００１５】
【課題を解決するための手段】
前記課題を達成するために、本発明の請求項１の半導体へテロ構造のエネルギー解析方法は、バンドギャップエネルギーの異なる２種類以上の半導体を原子層オーダーの急峻さで積層した界面を持つ半導体ヘテロ構造におけるバンドギャップエネルギーの小さい領域に閉じ込められた伝導帯電子、価電子帯正孔のエネルギー準位と、このエネルギー準位の広がり幅を算出する半導体ヘテロ構造のエネルギー解析方法であって、前記エネルギー準位が存在可能なエネルギー範囲を数値的に探索するに当たって、エネルギーの探索範囲を実数領域から複素エネルギー領域に拡大し、前記エネルギー準位とその広がり幅を前記複素エネルギーの実部と虚部として同時に探索することとし、前記量子井戸構造を含むエネルギー解析領域を小領域に分割し、各領域で転送行列を定義し、これら転送行列から前記解析領域全体の転送行列を構築し、この転送行列を用いて、前記量子井戸構造へ入射するキャリアの反射係数を表現し、前記反射係数の行列式中の（１，２）成分および該（１，２）成分のエネルギー微分、または（２，１）成分および該（２，１）成分のエネルギー微分を計算することによって、前記（１，２）成分または（２，１）成分が最小値を取るときの複素エネルギー値を求め、該複素エネルギー値の実部と虚部とから前記半導体ヘテロ構造のエネルギー準位およびエネルギー準位の広がり幅を決定する、ことを特徴とする。
【００１６】
本発明の請求項２の半導体ヘテロ構造のエネルギー解析方法は、前記請求項１の解析方法において、前記複素エネルギーをＥ、前記解析領域全体の転送行列の（１，１）成分および（１，２）成分をそれぞれＭ11（Ｅ）およびＭ12（Ｅ）とした場合、前記反射係数Ｒ（Ｅ）が、
【００１７】
【数６】
0003649594.tif 000004
【００１８】
と表され、この反射係数Ｒ（Ｅ）の最小値をＭ12（Ｅ）の最小値を求めることにより算出することを特徴とする。
【００１９】
また、本発明の請求項３の半導体デバイスの性能予測方法は、バンドギャップエネルギーの異なる２種類以上の半導体を原子層オーダーの急峻さで積層した界面を持つ半導体ヘテロ構造を有する半導体デバイスを、所望の特性を持つように設計した後、その設計構造の半導体デバイスの性能を、前記半導体ヘテロ構造のバンドギャップエネルギーの小さい領域に閉じ込められた伝導帯電子、価電子帯正孔のエネルギー準位と、このエネルギー準位の広がり幅を算出し、これらの算出値から予測する半導体デバイスの性能予測方法であって、前記エネルギー準位が存在可能なエネルギー範囲を数値的に探索するに当たって、エネルギーの探索範囲を実数領域から複素エネルギー領域に拡大し、前記エネルギー準位とその広がり幅を前記複素エネルギーの実部と虚部として同時に探索することとし、前記量子井戸構造を含むエネルギー解析領域を小領域に分割し、各領域で転送行列を定義し、これら転送行列から前記解析領域全体の転送行列を構築し、この転送行列を用いて、前記量子井戸構造へ入射するキャリアの反射係数を表現し、前記反射係数の行列式中の（１，２）成分および該（１，２）成分のエネルギー微分、または（２，１）成分および該（２，１）成分のエネルギー微分を計算することによって、前記（１，２）成分または（２，１）成分が最小値を取るときの複素エネルギー値を求め、該複素エネルギー値の実部と虚部とから前記半導体ヘテロ構造のエネルギー準位およびエネルギー準位の広がり幅を決定する、ことを特徴とする。
【００２０】
本発明の請求項４の半導体デバイスの性能予測方法は、前記請求項３の性能予測方法において、前記複素エネルギーをＥ、前記解析領域全体の転送行列の（１，１）成分および（１，２）成分をそれぞれＭ11（Ｅ）およびＭ12（Ｅ）とした場合、前記反射係数Ｒ（Ｅ）が、
【００２１】
【数７】
0003649594.tif 000005
【００２２】
と表され、この反射係数Ｒ（Ｅ）の最小値をＭ12（Ｅ）の最小値を求めることにより算出することを特徴とする。
【００２３】
また、本発明の請求項５の半導体デバイスの設計方法は、バンドギャップエネルギーの異なる２種類以上の半導体を原子層オーダーの急峻さで積層した界面を持つ半導体ヘテロ構造を有する半導体デバイスに対して、その半導体ヘテロ構造のバンドギャップエネルギーの小さい領域に閉じ込められた伝導帯電子、価電子帯正孔のエネルギー準位と、このエネルギー準位の広がり幅を予測し、これらの予測値に基づいて、前記半導体デバイスを設計する半導体デバイスの設計方法であって、前記エネルギー準位が存在可能なエネルギー範囲を数値的に探索するに当たって、エネルギーの探索範囲を実数領域から複素エネルギー領域に拡大し、前記エネルギー準位とその広がり幅を前記複素エネルギーの実部と虚部として同時に探索することとし、前記量子井戸構造を含むエネルギー解析領域を小領域に分割し、各領域で転送行列を定義し、これら転送行列から前記解析領域全体の転送行列を構築し、この転送行列を用いて、前記量子井戸構造へ入射するキャリアの反射係数を表現し、前記反射係数の行列式中の（１，２）成分および該（１，２）成分のエネルギー微分、または（２，１）成分および該（２，１）成分のエネルギー微分を計算することによって、前記（１，２）成分または（２，１）成分が最小値を取るときの複素エネルギー値を求め、該複素エネルギー値の実部と虚部とから前記半導体ヘテロ構造のエネルギー準位およびエネルギー準位の広がり幅を決定する、ことを特徴とする。
【００２４】
本発明の請求項６の半導体デバイスの設計方法は、前記請求項５の設計方法において、前記複素エネルギーをＥ、前記解析領域全体の転送行列の（１，１）成分および（１，２）成分をそれぞれＭ11（Ｅ）およびＭ12（Ｅ）とした場合、前記反射係数Ｒ（Ｅ）が、
【００２５】
【数８】
0003649594.tif 000006
【００２６】
と表され、この反射係数Ｒ（Ｅ）の最小値をＭ12（Ｅ）の最小値を求めることにより算出することを特徴とする。
【００２７】
以下、前記構成の本発明方法を、さらに詳しく説明する。
【００２８】
本発明では、式（２）の透過係数に代わりに、以下で表される反射係数
【００２９】
【数９】
0003649594.tif 000007
【００３０】
に着目した。透過係数が最大となるエネルギーでは、反射係数は最小値をとる。したがって、反射係数が最小となるエネルギーを探索すればよい。しかしながら、Ｒ（Ｅ）は分母にＭ11を含むので、解の収束性の問題がある。
【００３１】
この解の収束性が悪いということは、半導体デバイスのエネルギー準位の幅を予測するに際して、印加電界が低い領域では、正確な予測ができないことを、意味する。したがって、半導体デバイスの性能予測、半導体デバイスの設計に当たって、収束性の高い解析方法を確立することが、重要となる。
【００３２】
本発明者らは、Ｒ（Ｅ）の最小値を探すことは、式（３）の分子である転送行列の非対角成分の最小値を探すことに等価であり、この事実を利用してエネルギー準位および準位広がりの値を精度良く求められることを見出した。従って、本発明では、Ｍ11成分からなる逆数項を用いずに、解を求めることができ、そのため、解の収束性について一切問題がない。
【００３３】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の実施の形態を説明する。
【００３４】
（実施形態例１）
本発明の第１の実施形態例として、条件Ｍ12（Ｅ）＝０に基づき、同条件を満足する複素エネルギーを、ニュートン・ラフソン法を用いて探索する過程を、フローチャート（図３）として示す。
【００３５】
まず、印加電界を入力すると、半導体デバイスの量子井戸構造が決定され、その構造について、各エネルギーに対する透過係数を計算する。この各エネルギーに対する透過係数の計算を、透過係数が最大となるエネルギーが数ｍｅＶの範囲に入るまで、繰り返す。
【００３６】
本発明では、前記処理をこれ以上繰り返さず、探索範囲を上記のエネルギー範囲に絞って、ニュートン・ラフソン法による最終解の探索を行う。すなわち、転送行列の（１，２）成分［もしくは（２，１）成分］、すなわち、Ｍ12［もしくはＭ21］と、そのエネルギー微分とを、計算し、最終解探索の鍵となる量δが許容誤差内に小さくなるまで、一気にエネルギーを絞り込む。
【００３７】
この手法は、Ｍ12の微分が存在すれば、非常に安定かつ高速に、最終解に到達できる。
【００３８】
この結果、高い精度で、かつ良好な収束性をもって、半導体へテロ構造のバンドギャップエネルギーの小さい領域に閉じこめられたキャリアのエネルギー準位と、その広がり幅を、予測することができる。そして、この予測値に基づいて、設計済みの半導体デバイスの性能を予測することができる。また、設計段階において、前記予測値を採用すれば、より正確に、より効率的に、半導体デバイスを設計することができる。
【００３９】
（実施形態例２）
本発明の第２の実施形態例として、図１（ａ），（ｂ）に示すような任意の量子井戸構造を有するバリア層（ＱＷ）によって隔てられた二つの領域Ｉ，ＩＩ内の粒子の一次元運動を考える。領域Ｉ，ＩＩのそれぞれに存在する粒子の確率波は、量子井戸（または超格子）層とのヘテロ界面で透過または反射を起こす。領域Ｉ，ＩＩにおいて、ｚ→∞での定常的な確率波の漸近形は、
【００４０】
【数１０】
0003649594.tif 000008
【００４１】
と、表される。この式（４）は、時間無依存のシュレディンガー方程式を満たす：
【００４２】
【数１１】
0003649594.tif 000009
【００４３】
ここで、ｍ（ｚ），Ｖ（ｚ）は、有効質量と量子井戸層のポテンシャル形状である。確率密度流（カレント）ｊの定義と、式（５）のハミルトニアンに対するｊの具体的な表式は、
【００４４】
【数１２】
0003649594.tif 000010
【００４５】
となり、
【００４６】
【外１】
0003649594.tif 000011
【００４７】
で運動する粒子の流れを表している。量子井戸層が吸い込みや涌き出し口を持たない限りにおいて、カレントの保存を保証する条件は、
【００４８】
【数１３】
0003649594.tif 000012
【００４９】
すなわち、
【００５０】
【数１４】
0003649594.tif 000013
【００５１】
今、遠方（ｚ→−∞）から、確率振幅ｕI+で量子井戸層に入射する粒子を考える。入射粒子は量子井戸層を透過する確率振幅ｕII+ と量子井戸層で反射される確率振幅ｕI-を有し、定常状態では、以下の関係を持つ。
【００５２】
【数１５】
0003649594.tif 000014
【００５３】
透過率Ｔと反射率Ｒは、式（８）および式（９）から、
【００５４】
【数１６】
0003649594.tif 000015
【００５５】
と定義され、ここで、当然ながら
【００５６】
【数１７】
0003649594.tif 000016
【００５７】
である。
【００５８】
次に、解析領域を図４に示すようにＮ個の小領域に分割する。ただし、
ｚi （ｉ＝１，．．．．，Ｎ）：領域ｉと領域（ｉ＋１）の分割点の座標、
ｍi （ｉ＝１，．．．．，Ｎ）：領域ｉでの粒子の有効質量、
Ｖi （ｉ＝１，．．．．，Ｎ）：領域ｉでのポテンシャル高さ、
ｕi+(-) （ｉ＝１，．．．．，Ｎ）：分割点ｚi で定義されたｚ軸＋（−）方向の平面波の振幅成分である。
【００５９】
式（４）に倣って、領域ｉ内および境界で定義された包絡線関数ψi （ｚ）を
【００６０】
【数１８】
0003649594.tif 000017
【００６１】
と書く。次の二つの境界条件を各分割点に課して、領域ｉに対する転送行列を得る：
【００６２】
【数１９】
0003649594.tif 000018
【００６３】
すなわち、
【００６４】
【数２０】
0003649594.tif 000019
【００６５】
と書き換えて整理すると、以下の行列方程式
【００６６】
【数２１】
0003649594.tif 000020
【００６７】
が得られ、領域ｉに対する領域ｉと領域（ｉ＋１）は、転送行列Ｍi+1
【００６８】
【数２２】
0003649594.tif 000021
【００６９】
によって関係づけられる。上記のローカルな関係を解析領域全体に拡張して、
【００７０】
【数２３】
0003649594.tif 000022
【００７１】
入射量子の進行方向の確率振幅が規格化されているとして、ｕ0+＝１であり、領域IIから量子井戸層への粒子の入射は考えないから、ｕN-＝０である。よって、
【００７２】
【数２４】
0003649594.tif 000023
【００７３】
となる。
【００７４】
式（２３）から透過率および反射率は、行列成分を用いて、以下のように表される。
【００７５】
【数２５】
0003649594.tif 000024
【００７６】
式（２４）の積の順序を上述とは反対にすることにより、Ｍ12（Ｅ）はＭ12（Ｅ）に変更される。
【００７７】
ニュートン−ラフソン法を使って、Ｍ12（Ｅ）の最小値を求める際、転送行列Ｍtot のエネルギーに関する微分形が必要になる。以下に、結果をまとめる。行列Ｍtot のエネルギーに関する微分を形式的に書くと、
【００７８】
【数２６】
0003649594.tif 000025
【００７９】
となるので、ローカルな転送行列Ｍj+1 の微分が必要になる。以下の関係
【００８０】
【数２７】
0003649594.tif 000026
【００８１】
および
【００８２】
【数２８】
0003649594.tif 000027
【００８３】
に注意して、各成分について微分を実行する。（１，１）成分は、
【００８４】
【数２９】
0003649594.tif 000028
【００８５】
（２，２）成分は、
【００８６】
【数３０】
0003649594.tif 000029
【００８７】
（２，１）成分は、
【００８８】
【数３１】
0003649594.tif 000030
【００８９】
（１，２）成分は、
【００９０】
【数３２】
0003649594.tif 000031
【００９１】
となる。
【００９２】
図５は、ＧａＡｓ／ＡｌＧａＡｓ量子井戸構造について、本発明の前述のエネルギー解析方法を用いて、エネルギー準位を計算した結果である。伝導帯電子（Ｅ１）と、価電子帯重い正孔（ＨＨ１）とに対する結果が示してある。横軸は量子井戸構造に印加した電界強度であり、電界とともにポテンシャル形状は非対称となるためエネルギー準位も変化する。図には、比較のために従来のエネルギー解析方法による結果をプロットしてあるが、両者の結果はほとんど一致しており、本発明のエネルギー解析方法による結果の正しさを表している。
【００９３】
図６は、図５と同様の量子井戸構造についてエネルギー準位の広がり幅を印加電界の関数としてプロットしたものである。この図には、伝導帯電子（Ｅ１）と、価電子帯重い正孔（ＨＨ１）とに対して、従来のエネルギー解析方法と本発明のエネルギー解析方法とを適用した結果が、示してある。印加電界の増加とともに、エネルギー準位幅の広がりは、指数関数的に変化する。
【００９４】
図６から明らかなように、従来の方法と本発明の方法は、高電界印加時には、その結果が一致する。従来の解析方法では、エネルギー準位の広がり幅が１０-7ｍｅＶ以下になると、収束限界を越えてしまい、印加電界に依らず、ほぼ一定値を推移してしまう。一方、本発明の解析方法では、低きから高きまでの全ての電界において、準位広がりの幅の大小に依らず、精度良く求められることがわかる。
【００９５】
したがって、設計済みの半導体デバイスにおいては、その性能を製造する前に、正確に検定することができ、半導体デバイスの設計に当たっては、設計に必要な半導体ヘテロ構造のエネルギー値を高精度に予測することができる。
【００９６】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明のエネルギー解析方法によれば、任意の量子井戸または超格子構造のエネルギー準位および準位の広がり幅を、高精度に、かつ高い収束性で、求めることができる。したがって、本発明のエネルギー解析方法に基づく、半導体デバイスの性能予測方法は、設計済みの半導体デバイスの性能を製造する前に高精度に予測することができる。また、本発明のエネルギー解析方法に基づく半導体デバイスの設計方法は、目的に最適な特性を持った半導体デバイスの設計を高い精度で実現することができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】（ａ）は印加電界ゼロ時の量子井戸または超格子構造のポテンシャル形状の典型例の模式図であり、（ｂ）は印加電界時の量子井戸または超格子構造のポテンシャル形状の典型例の模式図である。
【図２】量子井戸または超格子構造へ入射したキャリアのエネルギーに対する透過特性の模式図である。
【図３】本発明の半導体ヘテロ構造のエネルギー解析方法を示すフロー図である。
【図４】本発明方法を説明するためのもので、転送行列解析用に、段階近似されたポテンシャル形状を示すグラフである。
【図５】本発明の解析方法と従来の方法によるエネルギー準位の計算結果を比較したグラフである。
【図６】本発明の解析方法と従来の方法によるエネルギー準位の広がり幅に関する計算結果を比較したグラフである。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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