(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
複数の計算ノードを含むコンピュータシステムを用いて荷電粒子に働く力を計算する方法であって、
１セットの荷電粒子についてのデータを、前記複数の計算ノードで処理することを備え、各ノードは、前記ノードに関連付けられた領域内の前記１セットの荷電粒子のうちの対応するサブセットの荷電粒子についてのデータを格納し、前記処理することは、前記コンピュータシステムにおいて、拡がり関数と予め定義された演算に従って、１セットの荷電粒子に関連付けられた電荷分布を特徴づけるデータを処理することを含み、前記拡がり関数が第１拡がり関数と第２拡がり関数のたたみ込みとして表わされ、前記第１拡がり関数が前記第２拡がり関数とは異なる分布を表わし、前記電荷分布を特徴づけるデータを処理することが、
実領域の前記第１拡がり関数を適用して電荷分布から格子上の位置で電荷の値を決定すること、
実領域の格子の決定された電荷の値に演算を適用すること、
前記第２拡がり関数を演算の適用結果に適用して、１セットの荷電粒子に働く力を特徴づけるデータを生成すること、
各ノードにおいて、前記生成されたデータに従って、該ノードに関連付けられた領域内の１セットの荷電粒子のうちの対応するサブセットの荷電粒子についてのデータを更新すること
を含む、方法。
【請求項２】
前記電荷分布が点電荷の集合を含む、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
点電荷の集合を構成する各点電荷が、関連する電荷の値（ｑｉ）と関連する位置（ｒｉ）を有する、請求項２に記載の方法。
【請求項４】
前記関連する位置（ｒｉ）の少なくともいくつかが、格子上にない位置である、請求項３に記載の方法。
【請求項５】
前記実領域の前記第１拡がり関数を適用して、前記電荷分布から格子上の位置での電荷値を決定することが、点電荷の集合を前記第１拡がり関数でたたみ込むことを含む、請求項４に記載の方法。
【請求項６】
点電荷の前記集合を第１拡がり関数でたたみ込むことが、ρ（ｒ）＊Ｓ（ｒ）に基づいて分布を計算することを含む、ρ（ｒ）が前記電荷分布を備え、また、Ｓ（ｒ）が前記第１拡がり関数を備える、請求項５に記載の方法。
【請求項７】
前記第１拡がり関数を伴う点電荷の集合をたたみ込むことが、各点電荷に対して、点電荷に関連する電荷を一連の近接するノードに拡げることを含む、請求項５に記載の方法。
【請求項８】
前記実領域の格子上に前記演算を適用することが、ポテンシャル関数を計算することを含む、請求項１に記載の方法。
【請求項９】
前記ポテンシャル関数を計算することが、前記格子位置の少なくともいくつかにおけるポテンシャル値を計算することを含む、請求項８に記載の方法。
【請求項１０】
前記演算がたたみ込みを含む、請求項１に記載の方法。
【請求項１１】
前記たたみ込みが１／ｒ関数によるたたみ込みを含む、請求項１０に記載の方法。
【請求項１２】
前記演算がポアソン関数の解を含む、請求項１に記載の方法。
【請求項１３】
前記第１拡がり関数を適用することが、拡がり関数の一部分によるたたみ込みを含む、請求項１に記載の方法。
【請求項１４】
前記演算を適用することが、φ＊（ｒ）＝ρｓ（ｒ）＊γ（ｒ）に基づいてポテンシャルを計算することを含んでおり、ここにρｓ（ｒ）は電荷分布であり、また、γ（ｒ）は演算子である、請求項１に記載の方法。
【請求項１５】
γ（ｒ）が１／ｒ関数である請求項１４に記載の方法。
【請求項１６】
前記第２拡がり関数を前記演算に適用した結果に適用して少なくともいくつかの力の項を発生する、請求項１に記載の方法。
【請求項１７】
前記力の項の少なくともいくつかが非格子位置に関連する、請求項１６に記載の方法。
【請求項１８】
前記電荷分布が非格子位置（ｒｉ）で点電荷の集合を含む、請求項１７に記載の方法。
【請求項１９】
非格子位置に関連する前記力の項の少なくともいくつかが、前記点電荷に関連する非格子位置に関連する、請求項１８に記載の方法。
【請求項２０】
前記第２拡がり関数を前記演算を適用した前記結果に適用することが、空間微分を前記関数に適用した結果に適用することを含む、請求項１に記載の方法。
【請求項２１】
前記第２拡がり関数を前記演算に適用した前記結果に適用することが、格子位置における空間微分を評価することを含む、請求項１に記載の方法。
【請求項２２】
前記空間微分を評価することが、前記空間微分を格子上で演算を適用した結果に適用することを含む、請求項２１に記載の方法。
【請求項２３】
前記第２拡がり関数を前記演算に適用した結果に適用することが、ポテンシャル・エネルギーを計算することを含む、請求項１に記載の方法。
【請求項２４】
前記実領域が実空間領域を備える、請求項１に記載の方法。
【請求項２５】
前記第１拡がり関数が、第１部分と第２部分とのたたみ込みとして表され、前記第１拡がり関数を適用することが、前記第１部分を適用して格子位置における電荷値を決定し、前記演算を適用する前に前記第１部分を適用することにより決定された格子位置における値に前記第２部分を格子上で適用することを含む、請求項１に記載の方法。
【請求項２６】
前記第２部分を可分関数として実行することをさらに備える、請求項２５に記載の方法。
【請求項２７】
前記第２拡がり関数を前記演算に適用した結果に適用することが、前記格子位置における値に基づいて前記格子から外れた位置における値を計算することを含む、請求項１に記載の方法。
【請求項２８】
前記第１拡がり関数と前記第２拡がり関数とが、各々異なる分散を有するガウス関数を備える、請求項１に記載の方法。
【請求項２９】
前記第１拡がり関数がガウス関数を備える、請求項１に記載の方法。
【請求項３０】
前記第２拡がり関数がガウス関数を備える、請求項１に記載の方法。
【請求項３１】
前記第１拡がり関数を前記第１部分と前記第２部分に分割することが、計算複雑性に基づいて前記第１拡がり関数を第１部分と第２部分に分割することを含む、請求項２５に記載の方法。
【請求項３２】
前記第１拡がり関数を第１部分と第２部分に分割することが、第１拡がり関数を第１部分と第２部分に分割することを含んでおり、前記第１部分が前記第２部分に等しい、請求項２５に記載の方法。
【請求項３３】
前記第１拡がり関数を第１部分と第２部分に分割することが、第１拡がり関数を第１部分と第２部分に分割することを含んでおり、前記第１部分が前記第２部分と不等である、請求項２５に記載の方法。
【請求項３４】
前記第１部分が前記第２部分より小さい、請求項３３に記載の方法。
【請求項３５】
前記第１部分が力の計算のための精度レベルを維持するのに必要とされる第１拡がり関数の少なくとも最少量を含むように選択される、請求項３３に記載の方法。
【請求項３６】
前記第１部分が力の計算のための精度レベルを維持するのに必要とされるよりも多い第１拡がり関数の部分となるように選択される、請求項３３に記載の方法。
【請求項３７】
方法であって、
複数の計算ノードを含むコンピュータシステムであって、各ノードが、該ノードに関連付けられた領域内の１セットの粒子のうちの対応するサブセットの荷電粒子についての電荷分布データを格納している、前記コンピュータシステムにより、拡がり関数と予め定義された演算に従って前記電荷分布を特徴づけるデータを処理することを備え、前記拡がり関数が第１拡がり関数と第２拡がり関数のたたみ込みとして表わされ、前記第１拡がり関数が、第１部分と第２部分とのたたみ込みとして表わされ、第２部分が可分関数であり、前記電荷分布を特徴づけるデータを処理することが、
実領域の前記第１拡がり関数の第１部分を適用して前記電荷分布から格子上の位置で電荷値を決定すること、
前記実領域の前記第１拡がり関数の第２部分を適用すること、
実領域の演算を格子に適用すること、
前記第２拡がり関数を前記演算に適用した結果に適用すること、
各ノードにおいて、前記第２拡がり関数の適用の結果に従って、前記電荷分布データを更新すること
を含む、方法。
【請求項３８】
方法であって、
複数の計算ノードを含むコンピュータシステムであって、各ノードが、該ノードに関連付けられた領域内の１セットの粒子のうちの対応するサブセットの粒子についてのデータを格納している、前記コンピュータシステムにより、ガウス拡がり関数に基づいて電荷分布を処理することを備え、前記ガウス拡がり関数は成分のたたみ込みであり、前記電荷分布を処理することが、
前記ガウス拡がり関数の第１要素に基づいた第１領域の格子に前記電荷を拡げること、
前記ガウス拡がり関数の第２要素を使用して、第２領域の格子の前記電荷に関数を適用すること、
前記ガウス拡がり関数の第３要素と前記関数を適用した結果に基づいて計算を実行すること、
各ノードにおいて、前記第３要素に基づいた計算の実行の結果に従って前記データを更新すること
を含む方法。
【請求項３９】
機械に基づいた方法であって、
第１分布、第２分布および第３分布のたたみ込みが予め定義された拡がり関数と等しくなるように第１分布、第２分布および第３分布を選択すること、
複数の計算ノードを含むコンピュータシステムであって、各ノードが、該ノードに関連付けられた領域内の１セットの粒子のうちの対応するサブセットの粒子についてのデータを格納している、前記コンピュータシステムにより、
第１計算領域における第１分布と第２分布の適用と、第２計算領域における第３分布の適用に基づいて電荷に関連する粒子に働く力を決定すること、
対応するノードにおいて、前記決定された粒子に働く力を特徴づけるデータを格納すること
を備える、機械に基づいた方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は多重物体系相互作用のシミュレーションに関し、詳しくは、多重物体系シミュレーションのためのグリッドベース計算に関する。
【背景技術】
【０００２】
多重物体系の相互作用（しばしば「Ｎ体」問題と呼ばれる）のシミュレーションが、天体動力学および計算化学を含む多数の問題領域で有効である。生化学粒子または荷電粒子の相互作用シミュレーション要素が、系内にある粒子間の相互作用の詳細な描像を一意的に与えることによって実験される。シミュレーションの重要な問題点はシミュレーション速度である。
【０００３】
物体系の全ての組み合わせを数え上げることによって系中の物体の組み間の相互作用を決定することは、多数の計算を必要とし、従って、別の相互作用の手続きがしばしば使用される。例えば、所定半径内にある特定粒子の全粒子が相互作用し、一方それ以上離れている粒子は無視される。
【０００４】
あるシミュレーション方法において、エバルトの手続きが使用される。この方法は、ポテンシャルで相互作用する物体系の全ての組を計算する方法と比較して計算量を減じることができる。静電系のシミュレーションに対して、エバルトの方法は位置関数として定義された静電ポテンシャルを二つの主要項に分割する。典型的にはガウス分布となるように選択される「遮蔽」電荷分布が、あらゆる点電荷を中心にして（概念的に）配置される。この遮蔽電荷分布は同じ電荷の大きさが与えられるように選択されるが、中心となる点電荷と反対符号を伴っている。点電荷と遮蔽電荷の組合せによる静電ポテンシャルが、距離とともに急速に低下する。従って、静電ポテンシャルに対するこの第１寄与は比較的短いカットオフ距離以上で無視することができる。静電ポテンシャルに対する第２寄与は全て遮蔽電荷分布のみを寄与する負性効果により、本質的に第１項中の導入のための補正となる。この第２寄与は遮蔽電荷分布の和によって与えられた電荷分布に対するポアソン方程式を解くことによって得ることができる。
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
拡がり関数に基づいて電荷分布を処理するための方法を提供する。
【課題を解決するための手段】
【０００６】
一つの態様において、本発明は方法および関連するソフトウエアおよびシステムを含んでおり、（ａ）物体系が計算ノード間で空間的に仕切られており、また（ｂ）各計算ノードが物体系の異なるサブセット用のデータを維持している。この方法は空間的な近傍ノードのうち一セットをなす物体系データをインポートすることを含み、第１ノードにおける物体間で相互作用を特徴付けるデータを計算する。物体間の相互作用を特徴付けるデータを計算することは、一連の物体間の相互作用を特徴付ける少なくともあるデータを計算することを含み、一連の物体系は第１ノードがデータを維持するための少なくとも一つの物体と、一連の空間的な近傍隣ノードからインポートされるこの種の物体と関連するデータのための少なくとも一つの物体とからなる。物体間で相互作用を特徴付けるデータを計算することが、一連のまたは一対の物体間の相互作用を特徴付ける少なくともあるデータを計算することをも含んでおり、この一連の物体系はデータが一連の空間的な近傍ノードからインポートされる物体系を含み、またデータを維持している第１ノードの物体を含んでいない。
【０００７】
本発明の実施例は、次の一つまたはそれ以上を含めることができる。
物体系を空間的に仕切ることは、物体の位置に基づいて実行することができる計算ノードに少なくともある物体を関連付ける操作を含めることができる。
【０００８】
物体系は惑星、原子および粒子からなるグループから選択することができる。
インポートすることおよび計算することは、複数の計算ノードの各々に対して繰り返す。
【０００９】
この方法は複数の近傍ノードにおける結果を合計して計算ノードの特定する一つ内の物体系における相互作用を決定する。第１ノードはホーム領域とすることができる。空間的に物体系を仕切ることは、物体系を直方体領域に空間的に仕切ることを含む。直方体領域は、例えば、立方体領域とすることができる。
【００１０】
物体間の相互作用を特徴付けることは、力を計算することを含めえる。例えば、そのような相互作用は別の異なる物体によって発生する特定物体に働く力を計算する演算を含む。「空間的な近傍ノード」の１セットから物体データをインポートする操作は、少なくとも２ノードから、少なくとも６ノードから、少なくとも１０ノードから、少なくとも２０ノードから、少なくとも５０ノードから、少なくとも１００ノードから等々物体系に関連するデータをインポートする操作を含む。空間的な近傍ノードは、第１計算ノード、すなわち、第１計算ノードから所定距離内のノードを取り巻くノードを含むる。
【００１１】
この方法は、また物体間の相互作用を特徴付ける少なくともある被計算データを少なくとも一つの近傍ノードにエキスポートすることを含めえる。物体間の相互作用を特徴付ける被計算データを少なくとも一つの近接ノードにエキスポートすることは、物体用にデータを維持するノードに基づいた特定ノードにデータをエキスポートすることを含む。物体間の相互作用を特徴付けることはポテンシャル・エネルギーを計算することを含む。
【００１２】
別の態様において、本発明は方法および関連するソフトウエアとシステムを含みえて、その多体系は空間的に複数の計算ノードに仕切られ、ノードは格子（格子は二つまたはそれ以上の軸を含めることができる）中の格子座標に関連している。計算ノードの第１ノードにおいて、データは他の計算ノードの空間的な近傍からインポートされる。この近傍には第１セットのノードと、第１セットとノードを共有しない第２セットのノードを含みえる。第１セット中の全ノードは、第１セットの軸内の第１ノードと共通格子座標を共有し、また、第２セット内の全ノードは第２セットの軸内の第１ノードと共通格子座標を共有する。
【００１３】
本発明の実施例は、次の内の一つまたはそれ以上を含む。すなわち、
各ノードはそのノードに空間的に仕切られた物体系を表わすデータを維持している。物体系を空間的に仕切ることは、計算ノードに少なくともある物体を関連付けることを含み、物体の位置に基づいて実行する。
【００１４】
物体系は惑星、原子および粒子からなるグループから選択される。
インポートすることは、複数の計算ノードの各々に対して繰り返される。
この方法は複数の近傍ノードにおける結果を合計して計算ノードの特定する少なくとも一つの物体に対する相互作用をも決定する。第１ノードはホーム領域とすることができる。この方法は１セットまたは一対の物体間の相互作用を特徴付ける少なくともあるデータを計算することを含む。１セットまたは一組の物体間の相互作用は、異なる計算ノードからの粒子間の相互作用を含む。１セットまたは一組の物体間の相互作用を特徴付けるデータを計算することは、力を計算することを含む。力の計算することは、別の異なる物体による特定の物体に対する力の計算をすることを含む。
【００１５】
この方法は被計算データをエキスポートすることを含めることもできる。被計算データをエキスポートすることは、物体系用にデータを維持するノードに基づく特定ノードにデータをエキスポートすることを含めることができる。１セットまたは一組の物体間の相互作用を特徴付けることにはポテンシャル・エネルギーを計算することを含む。
【００１６】
空間的な近傍には第１ノードから所定距離内の計算ノードを含む。格子は２軸、３軸、４軸等々を含む。物体系を表わすデータは電荷データを含む。
物体系を空間的に仕切ることには、物体系を格子座標に基づく単位成分を各々形成する領域に空間的に仕切ることを含む。他の計算ノードの空間的な近傍からデータをインポートすることは、少なくとも２ノードから、少なくとも４ノードから、少なくとも６ノードから、少なくとも１０ノードから、少なくとも１２ノードから、少なくとも２５ノードから、少なくとも５０ノードから、少なくとも１００ノードからの物体系に関連するデータをインポートすることを含む。空間的な近傍は、第１計算ノードの回りに配備されたノードまたは第１計算ノードから所定距離内に配備されたノードを含む。
【００１７】
別の態様において、本発明は方法および関連ソフトウエアとシステムを含み、物体系は計算ノード内で空間的に仕切られ、各ノードは直方体領域に関連し、フェース面、エッジ境界線およびコーナー点によって定義される。この方法は直方体のフェース面の少なくとも一つから拡大する体積および直方体のエッジ境界線の少なくとも一つから拡大する体積を含んでいるノードのためのインポート領域を定義することを含む。この方法は、計算ノードの一つにおいて、インポート領域内に含まれた物体系対間の相互作用を特徴付ける相互作用データを決定することも含む。本発明の実施例は、次項の一つまたはそれ以上を含みえる。
【００１８】
インポート領域は直方体のコーナー点から体積が拡大しないように定義することもできる。
物体系を空間的に仕切ることは、計算ノードを有する少なくともある物体に関連付けることを含み、物体の位置に基づいて実行する。
【００１９】
物体系は惑星、原子および粒子からなるグループから選択される。この方法は、インポート領域内の粒子の少なくともいくらかに対する相互作用データをエキスポートすることも含む。フェース面の少なくとも一つから拡大する体積は、フェース面の四つから拡大する体積を含む。エッジ面の少なくとも一つから拡大する体積は、エッジ面の二つから拡大する体積を含む。
【００２０】
この方法は複数のこの種のインポート領域に渡る粒子の組の間の相互作用を帰納的に決定することも含む。この方法は相互作用の異なるものから相互作用データを集合することも含む。インポートすることは複数の計算ノードの各々に対して帰納的に実行する。この方法はまた複数の近傍ノードに対する結果を合計して計算ノードの特定する一つ内の少なくとも一つの物体系に対する相互作用を決定することを含む。第１ノードはホーム領域とする。
【００２１】
セットまたは組をなす物体間の相互作用は、異なる計算ノードからの粒子間の相互作用を含む。物体系の組の間の相互作用を特徴付ける相互作用データを決定することには、力を計算すること、例えば、別の異なる物体による特定の物体に働く力を計算することを含む。物体の組の間の相互作用を特徴付ける相互作用データを決定することは、ポテンシャル・エネルギーを計算することを含む。
【００２２】
体積は直方体領域に比べて制限された範囲を有する。格子が直方体領域を定義する。この直方体領域は立方体領域とする。物体を表わすデータは電荷データを含む。
別の態様において、本発明は第１領域に属する物体系と第２領域に属する物体系に関連する物体系データをインポートするための方法および関連ソフトウエアとシステムを含み、第１領域および第２領域は各々関連体積を有しており、第１領域の体積と第２領域の体積は少なくとも部分的に重なっていて、第２領域の体積に対する第１領域の体積の比は約０．５〜２の範囲にある。本発明の実施例は次の事項の一つまたはそれ以上を含む。
【００２３】
この方法は物体の組の間の粒子相互作用を計算することも含み、物体の組の内の１物体は第１領域から選択され、また物体系の組の他の物体は第２領域から選択される。
物体系は、少なくともある物体系が計算ノードに関連するように空間的に仕切ることができる。仕切ることは物体系の位置に基づいて実行することができる。
【００２４】
物体系は惑星、原子および粒子からなるグループから選択することができる。物体のデータをインポートすることは複数領域に対して繰り返すことができる。セットまたは組をなす物体間の相互作用は異なる計算ノードからの粒子間の相互作用を含む。物体の組の間の粒子相互作用を計算することは、力を計算することを含む。物体の組間の粒子相互作用を計算することは、別の異なる物体による特定の物体に働く力を計算することを含む。
【００２５】
この方法は計算された粒子相互作用をエキスポートすることをも含めえる。物体の組の間の粒子相互作用を計算することには、ポテンシャル・エネルギーを計算することを含む。物体に関連するデータは電荷データを含む。別の態様において、本発明は、第１領域内の物体と第２領域内の物体に関する粒子データをインポートする方法および関連ソフトウエアとシステムを含む。第１領域と第２領域は少なくとも部分的に重なり、重なり領域を定義する。この方法にはまた物体の組の間の相互作用を計算することを含み、物体の組の各組は第１領域に属する一つの物体と第２領域に属する一つの物体とを含むが、重なり領域から選択された物体はいずれにも含まれない。この方法にはまた物体の組の間の相互作用を計算することを含めることができ、物体の組の各組には第１領域と第２領域の一つに属する一つの物体と重なり領域に属する一つの物体を含む。
【００２６】
本発明の実施例は次の事項の一つまたはそれ以上を含みえる。
物体系を、少なくともある物体が計算ノードに関連するように空間的に仕切ることができる。この仕切ることは物体の位置に基づいて実行される。
【００２７】
物体系は惑星、原子および粒子からなるグループから選択することができる。重なり領域は立方体領域である。インポートすることは複数領域に対して繰り返される。この重なり領域をホーム領域とすることができる。
【００２８】
物体の組の間の相互作用を計算することは、力を計算することを含みえる。物体の組の間の相互作用を計算することは、別の異なる物体による特定の物体に働く力を計算することを含む。この方法はまた計算された相互作用データをエキスポートすることも含む。物体の組の間の相互作用を計算することにはポテンシャル・エネルギーを計算することを含む。物体を表わすデータは電荷データを含む。
【００２９】
別の態様において、本発明はインポート領域内の物体に関係する物体データをインポートするための方法および関連ソフトウエアとシステムを含めることができる。インポート領域はホーム領域から切り離される。この方法にはまたインポート領域とホーム領域に属する物体の組の間の粒子相互作用を計算することを含み、計算される相互作用の数は、インポート領域とホーム領域内の物体の総数にホーム領域内の物体数を乗算した積よりも大きい。
【００３０】
本発明の実施例は、次の事項の一つまたはそれ以上を含めることができる。
物体系は、少なくともある粒子が計算ノードに関連するように空間的に仕切られる。仕切ることは物体の位置に基づいて実行される。
【００３１】
物体系は惑星、原子および流体からなるグループから選択できる。ホーム領域は立方体領域である。インポートすることは複数のインポート領域とホーム領域に対して繰り返される。
【００３２】
物体の組の間の粒子相互作用を計算することには、力を計算すること、例えば別の異なる体系による特定の物体に働く力を計算することを含めることができる。この方法は、また、計算される相互作用データをエキスポートすることを含む。物体の組の間の粒子相互作用を計算することには電荷エネルギーを計算することを含む。インポート領域はホーム領域から所定距離内の物体を含む。物体を表わすデータは電荷データを含む。
【００３３】
別の態様において、本発明は蛋白質シミュレーションのような分子シミュレーションないしモデリングのための方法を含む。これにはここで説明するような組の直接計数への応用を含み、さらにここで説明する方法の一つまたはそれ以上に基づく電荷分布を処理することを含む。
【００３４】
ここで説明するシステムおよび方法は、溶液（例えば、溶剤）内の蛋白質のシミュレーションおよびモデリングに有利である。溶液内の蛋白質は、例えば周期境界条件に影響を受けやすい。加えて、この種のシステムは物体系の比較的均質な分布をシステム内のノードに提供することができる。例えば、各ノードは少なくともある物体を含む。
【００３５】
ガウス・スプリット・エバルト（ＧＳＥ）法は、ポアソン方程式の実空間解と組み合わせたときに高速であるシステムにおいて、二つの粒子間の相互作用を決定するための方法を提供する。
【００３６】
系において、遮蔽電荷分布が、多数のメッシュ点に拡がり、また、粒子上の相互作用と力を解く方法が系内の原子または粒子当り多数の格子演算を必要とする。粒子上の力を決定するために必要とする計算量を減じるために、ＧＳＥ方法は２段階アプローチを提供する。２段階アプローチにおいて、粒子電荷はまず粒子の限定された近傍内にある少数メッシュ点に拡げられる。付加的な拡がりないし拡散はたたみ込み演算によって第２段階で得られる。このたたみ込みは、計算時点において有利である。なぜならば、逆空間で実行されたときに、たたみ込みは相当な計算時間を追加しないからである。ガウス・スプリット・エバルトの方法において、ガウス関数が、計算全体の複数個所間で分割される。ガウス関数の部分間の比を調整することが、電荷を拡げることおよび内挿することから高効率の第２電荷拡げることに移行されるべき計算負荷を許容する利点を提供する。このことは実際にガウス関数を伴うオン・グリッドたたみ込みが、グリッド・オフで実行される拡がりないしたたみ込みよりも計算量の少ない利点を利用している。
【００３７】
いくつかの例において、エバルト・メッシュ方法は、実空間ポアソン・ソルバーと組み合わされる。電荷拡がりおよび力を計算することは、効果的なＦＦＴ基準アプローチの実行と同様の計算負荷により実行される。さらなる利点は電荷拡がりおよび力の計算アルゴリズムをポアソン方程式の逆空間解と組合せて再利用し、性能を犠牲にせずに他の方法よりも概念的に簡潔（また、実行がより容易）であるエバルトの方法（ｋ−ＧＳＥ）を与えることに関係する。
【００３８】
一つの態様において、本発明は拡がり関数および所定の演算に基づく電荷分布を処理するための方法および対応ソフトウエアとシステムを含む。拡がり関数は第１拡がり関数と第２拡がり関数のたたみ込みとして表され、第１拡がり関数は、第２拡がり関数とは異なる。電荷分布を処理することは、実領域の第１拡がり関数を適用して、電荷分布から格子上の位置で電荷の値を決定することを含む。この処理はまた実領域の格子で演算を適用することと演算の適用結果に第２拡がり関数を適用することも含む。
【００３９】
本発明の実施例は、次の事項の一つまたはそれ以上を含めることができる。
拡がり関数は、種々多様な解析関数によって数学的に表わすことができる。例えば、拡がり関数はガウス関数、多項式関数、指数関数、区分関数およびこれと同様の関数とすることができる。
【００４０】
電荷分布はセットをなす点電荷を含む。セットをなす点電荷の各点電荷は、関連電荷値（ｑｉ）と関連する位置（ｒｉ）とをとる。関連する位置（ｒｉ）の少なくともいくつかは、格子上でない位置をとる。
【００４１】
実領域の第１拡がり関数に適用して電荷分布から格子上の位置で電荷の値を決定することが、第１拡がり関数を伴う一連の点電荷を表わす分布のたたみ込みを含む。第１拡がり関数を伴う一連の点電荷を表わす分布をたたみ込むことが、ρ（ｒ）＊Ｓ（ｒ）に基づいて分布を計算することを含み、ここにρ（ｒ）は電荷分布を表わし、また、Ｓ（ｒ）は第１拡がり関数を表わす。第１拡がり関数を伴い一連の点電荷を表わす分布をたたみ込むことが、各点電荷に対して点電荷に関連する電荷を一連の近接する格子位置に拡げることを含む。
【００４２】
実領域の格子上で演算を適用することが、ポテンシャル・関数を計算することを含む。ポテンシャル関数を計算することが、少なくともいくつかの格子位置のポテンシャル値を計算することを含む。この演算は、例えば１／ｒ関数を伴うたたみ込みのようなたたみ込みを含む。この演算はポアソン関数の解を含む。この演算は拡がり関数の第３部分を伴うたたみ込みを含む。この演算の特定の応用には、φ＊（ｒ）＝ρｓ（ｒ）＊γ（ｒ）に基づいてポテンシャルを計算することを含み、ここにρｓ（ｒ）は電荷分布だけでなく第１拡がり関数にも依存し、また、γ（ｒ）は演算子である。演算子、γ（ｒ）は１／ｒ関数を含みえる。
【００４３】
第２拡がり関数を演算の適用結果に応用すると少なくともある力の項を生成することができる。少なくともある力の項は非格子位置に関連する。電荷分布は非格子位置（ｒｉ）に一連の点電荷を含み、非格子位置に関連する少なくともある力の条件が、点電荷に関連する非格子位置（ｒｉ）に関連する。第２拡がり関数を演算の適用結果に応用することには、空間微分を関数の適用結果に応用することを含む。
【００４４】
第２拡がり関数を演算の適用結果に応用することには、格子位置における空間微分を評価することを含む。空間微分を評価することには、空間微分を格子上の演算の適用結果に応用することを含む。
【００４５】
第２拡がり関数を演算の適用結果に応用することは、ポテンシャル・エネルギーを計算することを含みえる。第２拡がり関数を演算の適用結果に応用することには、格子位置における値に基づく格子でない位置における力の値を計算することを含めることができる。
【００４６】
実領域は実空間領域とすることができる。
第１拡がり関数を適用することは第１拡がり関数を第１部分と第２部分に分割することを含みえ、また、第１拡がり関数を適用することには第１部分を適用して格子位置における電荷値を決定すること、第２部分を格子位置における値に適用することを含みえる。第２部分は可分関数として実行することができる。第１拡がり関数を第１部分と第２部分に分割することは、計算複雑性のような計算要素に基づいて選択することができる。第１部分は第２部分と同等とすることもできる。別の方法において、第１部分は第２部分と同等としないこともできる。例えば、第１部分は第２部分よりも小さくすることができる。第１部分は力の計算のために正確なレベルを維持するのに必要とされる第１拡がり関数の最少量を少なくとも含むように選択することができる。または第１部分は力の計算のために正確なレベルを維持するのに必要とするよりも第１拡がり関数の大きい部分となるように選択することができる。
【００４７】
第１拡がり関数、第２拡がり関数またはこれら両者はガウス関数とすることができる。第１拡がり関数と第２拡がり関数両者がガウス関数であれば、このガウス関数は異なる変化条件（分散量）を有することがある。
【００４８】
電荷分布は蛋白質または溶液中の蛋白質のような分子または分子の組織の電荷分布を含めることができる。
別の態様において、本発明は拡がり関数および事前に定義された演算に基づく電荷分布を処理するための方法および対応ソフトウエアとシステムを含む。拡がり関数は、第１拡がり関数と第２拡がり関数のたたみ込みとして表わすことができる。第１拡がり関数は二つの部分を表わし、また第２部分は可分関数とすることができる。この方法は、実領域の第１拡がり関数の第１部分を適用し電荷分布から格子上の位置の電荷値を決定すること、実領域の第１拡がり関数の第２部分を適用すること、実領域の演算を格子に適用することも含む。
【００４９】
本発明の実施例は次の事項の一つまたはそれ以上を含めることができる。
この方法は第２拡がり関数を演算した適用結果に応用することも含めることができる。
拡がり関数は種々多様な解析関数によって数学的に表わすことができる。例えば、拡がり関数はガウス関数、多項式関数、指数関数、区分関数およびこれらと同様のものである。
【００５０】
電荷分布は点電荷の集合を含む。点電荷の集合中の各点電荷は関連する電荷値（ｑｉ）と関連する位置（ｒｉ）を有する。関連する位置（ｒｉ）の少なくともあるものは、格子上でない位置とす。
【００５１】
実領域の第１拡がり関数の第１部分を適用して電荷分布から格子上の位置における電荷値を決定することは、第１拡がり関数の第１部分を伴う一連の点電荷を表わす分布をたたみ込むことを含む。第１拡がり関数の第１部分を伴う一連の点電荷を表わす分布のたたみ込みはρ（ｒ）＊Ｓ（ｒ）に基づいて分布を計算することを含み、ここにρ（ｒ）は電荷分布を表わし、また、Ｓ（ｒ）は第１拡がり関数の第１部分を表わす。第１拡がり関数を伴い点電荷の集合を表わす分布をたたみ込むことが、各点電荷に対して、点電荷に関連する電荷を一連の近隣ノードないし格子に拡げることを含む。実領域の第１拡がり関数の第２部分を適用することに可分関数として第１拡がり関数の第２部分を適用することを含めることができる。実領域の第１拡がり関数の第２部分を適用することに離散空間たたみ込みを実行することを含めることができる。第１拡がり関数の第２部分を適用することが電荷をグリッド位置上に拡げることができる。
【００５２】
実領域の格子上に演算を適用することは、ポテンシャル関数を計算することを含みえる。ポテンシャル関数を計算することは格子位置におけるポテンシャル関数を計算することを含む。この演算は、たたみ込み、例えば１／ｒ関数を伴うたたみ込みを含む。別の例において、この演算はポアソン関数の解を含む。別の例において、この演算は第１拡がり関数の第２部分を伴うたたみ込みを含む。演算の特定の応用にφ＊（ｒ）＝ρｓ（ｒ）＊γ（ｒ）に基づいてポテンシャルを計算することを含み、ここでρｓ（γ）は電荷分布だけでなく第１拡がり関数にも依存し、また、γ（ｒ）は演算子である。演算子、γ（ｒ）は１／ｒ関数を含む。
【００５３】
第２拡がり関数を演算適用結果に適用すると少なくともいくつかの力の項を生成することができる。少なくとも力の項のいくつかは非格子位置に関連する。他の力の項は格子位置に関連する。電荷分布は非格子位置（ｒｉ）に一連の点電荷を含み、非格子位置に関連する少なくともある力の項が、点電荷に関連する非格子位置（ｒｉ）に関連することになる。第２拡がり関数を演算の適用結果に適用することは、格子位置における空間微分を計算することを含む。空間微分を評価することが、空間微分を格子上の演算を適用した結果に適用することを含む。実領域は実空間領域である。第２拡がり関数を適用することは、格子位置における値に基づき格子の位置から離れた力の値を計算することを含む。
【００５４】
第１拡がり関数は第２拡がり関数と異なる分布として表わされる。第１拡がり関数および（または）第２拡がり関数はガウス関数とすることができる。例えば、第１拡がり関数と第２拡がり関数は両者ともガウス関数とすることができ、各々異なる変化条件を有している。第１部分は第２部分と同等である場合がある。別の寄与において、第１部分は第２部分と同等ではない場合がある。例えば、第１部分は第２部分よりも小さくすることができる。第１部分は精度レベルを維持するのに必要な第１拡がり関数の少なくとも最少量を含めることができる。
【００５５】
格子上の実領域で演算を適用することはポアソン方程式を解くことを含む。ポアソン方程式を解くことはポアソン方程式を帰納的に解くことを含む。電荷分布に蛋白質または溶液中の蛋白質のような分子または分子の組織の電荷分布を含みえる。
【００５６】
別の態様において、本発明は蛋白質シュミレーションのような分子シミュレーションまたはモデリングのための方法を含み、これには分子中の粒子上の力または電荷を計算することを含む。力を計算することは、ここで説明するように電荷分布を処理することを含む。
【００５７】
別の態様において、本発明は蛋白質シミュレーションのような分子シミュレーションないしモデリングのための方法を含み、これはエバルトの方法の適用及び、ここで説明するような電荷分布を処理することを含む。
【００５８】
別の態様において、本発明は蛋白質シミュレーションのような分子シミュレーションないしモデリングのための方法を含み、これはここで説明したような対の直接計数の適用を含み、さらにここで説明した方法の一つまたはそれ以上の方法に基づいて電荷分布を処理することを含む。
【００５９】
別の態様において、本発明はガウス拡がり関数に基づく電荷分布を処理するための方法および対応ソフトウエアとシステムを含む。ガウス拡がり関数は成分のたたみ込みとすることができる。処理することは、ガウス拡がり関数の第１要素に基づき第１領域の格子に電荷を拡散させることを含む。この処理することは、ガウス拡がり関数の第２成分の使用とガウス拡がり関数の第３要素および関数の適用結果に基づいて計算を実行して、関数を第２領域の格子に電荷を適用することも含む。
【００６０】
本発明の実施例に次の事項の一つまたはそれ以上を含めることができる。
拡がり関数は種々多様な解析関数によって数学的に表わすことができる。例えば、拡がり関数は多項式関数、指数関数、区分関数のような非ガウス関数およびこれらと同様のものとすることができる。
【００６１】
電荷分布には点電荷の集合を含めることができる。点電荷集合に置ける各点電荷は、関連する電荷値（ｑｉ）と関連する位置（ｒｉ）を有することができる。関連する位置（ｒｉ）の少なくともあるものは、格子上でない位置とすることもできる。
【００６２】
電荷を格子に拡げることは、拡がり関数の第１成分を伴う点電荷集合を表わす分布をたたみ込むことを含む。拡がり関数の第１成分を伴う点電荷集合を表わす分布をたたみ込むことは、ρ（ｒ）＊Ｓ（ｒ）に基づいて分布を計算することを含み、ここでρ（ｒ）は電荷分布を表わし、また、Ｓ（ｒ）は拡がり関数の第１成分を表わす。拡がり関数の第１成分を伴い、点電荷集合を表わす分布をたたみ込むことは、各点電荷毎に、隣接する格子位置にポテンシャルを拡げることを含む。
【００６３】
第２領域の格子上に関数を適用することは、可分関数として拡がり関数の第２成分を適用することを含む。第２成分を適用することは離散空間たたみ込みを実行することを含む。格子内の電荷に関数を適用することには、格子位置電荷を拡げることを含む。第２領域の格子上の電荷に関数を適用することはポテンシャル関数を計算することを含む。ポテンシャル関数を計算することはグリッド位置におけるポテンシャル関数を計算することを含む。演算の特定の適用はφ＊（ｒ）＝ρｓ（ｒ）＊γ（ｒ）に基づいてポテンシャルを計算することを含み、ここでρｓ（ｒ）は電荷分布だけでなく第１拡がり関数にも依存し、また、γ（ｒ）は演算子である。演算子、γ（ｒ）は１／ｒ関数を含む。
【００６４】
この演算はたたみ込み、例えば１／ｒ関数を伴うたたみ込みを含む。別の例において、この演算はポアソン関数の解を含む。別の例において、この演算は第１拡がり関数の第２部分を伴うたたみ込みを含む。
【００６５】
ガウス拡がり関数の第３成分とこの関数の適用結果に基づいた計算を実行することは、少なくともいくつかの力の項を生成する。少なくともいくつかの力の項は非格子位置に関連付けられる。ある実施例において、電荷分布は非格子位置（ｒｉ）の点電荷の集合を含み、また非格子位置における力の項は点電荷に関連する非グリッド位置（ｒｉ）にある。
【００６６】
第２拡がり関数を演算の適用結果に応用することは、格子位置における空間微分の評価を含む。この空間微分を評価することは、空間微分を格子に対する演算の適用結果に応用することを含む。
【００６７】
第３成分と関数の適用結果に基づいて計算を実行することは、第３要素の結果のたたみ込みを実行することを含む。
ガウス拡がり関数の第１成分、ガウス拡がり関数の第２成分およびガウス拡がり関数の第３成分は、各々異なるガウス分布を呈する。第１領域が実領域となる。第２領域がＦＦＴ領域となる。
【００６８】
ガウス拡がり関数の第２成分を使用して関数を第２領域の格子上の電荷に適用することは、ガウス拡がり関数の第２部分を伴う関数をたたみ込むことを含む。ガウス拡がり関数の第２部分を伴う関数をたたみ込むことは、ＦＦＴ領域のガウス拡がり関数の第２部分を伴う関数を乗算することを含ませえる。この計算の実行は力の計算を含む。
【００６９】
電荷分布は蛋白質または溶液中の蛋白質のような分子または分子のシステムの電荷分布を含みえる。
別の態様において、本発明は第１分布、第２分布および第３分布のたたみ込みが事前に定義された拡がり関数に等しくなるように第１分布、第２分布および第３分布を選択するための方法および対応ソフトウエアとシステムを含む。この方法はまた第１計算領域の第１分布と第２分布の適用および第２計算領域の第３分布の適用に基づく電荷に関連した粒子に働く力を決定することも含む。拡がり関数は種々多様な解析関数によって数学的に表わすことができる。
【００７０】
本発明の実施例は次の事項の一つまたはそれ以上を含めることができる。拡がり関数はガウス関数、多項式関数、指数関数、区分関数およびこれらと同様のものとすることができる。電荷に関連する粒子上の力を決定することは、格子位置における電荷値を計算することを含む。電荷に関連する粒子上の力を決定することは、非格子位置におけるポテンシャルの計算することを含む。別の実施例において、電荷に関連する粒子上の力を決定することは、格子位置における力の項を計算することを含む。
【００７１】
第３分布を適用することは、演算と組み合わせる第３分布を拡がり電荷に適用することを含む。第１分散、第２分散および第３分散は、ガウス関数である。別の方法として、第１分散、第２分散および第３分散は、多項式関数、指数関数または他の関数のような非ガウス関数である。分布を選択することは、誤差の許容量に基づいて第１分散、第２分散および第３分散を選択することを含む。
【００７２】
演算は例えば１／ｒ関数またはポアソン関数の解を伴うたたみ込みを含む。第１計算領域の第１分布と第２分布を適用することは、電荷分布を伴う第１分布および第２分布の少なくとも一つでたたみ込むことを含む。第２計算領域の第３分布を適用することは、格子位置に配置された一連の電荷を伴う第３分布をたたみ込むことを含む。第１領域は実領域とし、および（または）第２ドメインはＦＦＴ領域とする。
【００７３】
ガウススプリット・エバルト（ＧＳＥ）法は、システム内にある二つの粒子間の相互作用を決定するための方法であって、ポアソン方程式の実空間解と組み合わせたときに高速となる。
【００７４】
ある系において、多数のメッシュ点に拡がる電荷分布を遮蔽すること、粒子上の相互作用と力を解く方法とは、系中の原子または粒子当りの多数の格子演算を必要とする。粒子上の力を決定するために必要とされる計算量を減じるために、ＧＳＥ方法が２段階アプローチを提供する。この２段階アプローチにおいて、粒子電荷が、粒子の限定された近傍域内にある少数メッシュ点にまず拡げるれる。さらなる拡大ないし拡がりが、たたみ込み演算によって第２段階で得られる。このたたみ込み演算が計算時間において利点を提供する。なぜならば逆空間で実行されたときに、たたみ込みは相当な計算時間を追加しないからである。ＧＳＥ方法において、ガウス関数が全計算の複合部分間で分割される。ガウスの部分間の比を調整することが、計算負荷を電荷拡がりから分離し、内挿することを高効率第２電荷拡がる利点を提供する。ガウスによるオン・グリッドたたみ込みが、他の比較可能な方法よりも計算をあまり必要としない利点をもたらす。
【００７５】
ある例において、エバルト・メッシュ方法は、実空間ポアソン・ソルバーと組み合わせられる。電荷拡がりおよび力の計算は、効果的なＦＦＴに基づいたアプローチの実行と類似する計算負荷と一緒に実行することができる。さらなる利点はポアソン方程式の逆空間解との組合せで電荷拡がりおよび力の計算を再利用して、性能を犠牲にせず他の方法よりも概念的に簡潔な（また、実行がより容易である）エバルトの方法（ｋ−ＧＳＥ）をもたらすことに関連する。
【００７６】
ここに説明したシステムおよび方法は、蛋白質または溶液（例えば、溶剤）中の蛋白質のシミュレーションおよびモデリングのために有利である。例えば、溶液中の蛋白質は周期境界条件を受け入れることができる。さらに、この種のシステムは物体系の比較的均質分布をシステム内のノードに提供することができる。例えば、各ノードに少なくともいくつかの物体系を含めることができる。
【００７７】
本発明の一つまたはそれ以上の実施例の詳細は、添付図面および以下の開示で説明する。本発明の他の特徴、目的および利点は説明と図面および請求項の範囲から明白となろう。
【図面の簡単な説明】
【００７８】
【図１】ブロック図である。
【図２】力の導出を伴う図である。
【図３】力の導出を伴う図である。
【図４】エバルト分解を示す図である。
【図５】エバルト分解に関連する方程式を伴う図である。
【図６】エバルト分解に関連する方程式を伴う図である。
【図７Ａ】メッシュ・エバルト・アプローチを示す図である。
【図７Ｂ】メッシュ・エバルト・アプローチを示す図である。
【図７Ｃ】メッシュ・エバルト・アプローチを示す図である。
【図８】フローチャートである。
【図９】フローチャートである。
【図１０】フローチャートである。
【図１１】ブロック図である。
【図１２】ブロック図である。
【図１３】ブロック図である。
【図１４】フローチャートである。
【図１５】ブロック図である。
【図１６】ブロック図である。
【図１７】フローチャートである。
【発明を実施するための形態】
【００７９】
図１を参照すると、位置｛ｒｉ｝におけるＮ個の点電荷１４｛ｑｉ｝が、辺の長さ（Ｌ）１２の立方体１１内に配置されている。システムは中性、すなわち、ΣＮｉ＝１ｑｉ＝０であると仮定する。立方体の境界におけるモデリング不連続性を回避するために、オリジナルの系（ボックスと呼び、オリジナルは「一次ボックス」１１）のコピーが、立方体格子内の無限空間１０をタイル張りしており、これによって粒子ｉおよびその像１５がｒｉ＋ｎＬにあるように周期境界線条件が課される。ここでｎ＝（ｎｘ，ｎｙ，ｎｚ）であり、ｎα＝０、±１、±２、…、±∞（α＝ｘ、ｙまたはｚ）である。立方体ボックスの仮定が説明を簡潔にしている。しかし、この方法は他のボックス形状に拡張することができる。
【００８０】
図２を参照して、各粒子上の（ベクトル）力を計算する一つのアプローチは、まず、ボックス当りの総静電ポテンシャルエネルギーＥを計算する（式２２）。ボックス、内にあるｉ番目の粒子に働く力Ｆｉは、従って、この粒子の位置、ｒｉの摂動に関するポテンシャルエネルギーの偏微分を使用して計算される（式２６）。
【００８１】
ユニット中ボックス当りの総静電エネルギーは、４πε０＝１の単位系では、
【００８２】
【数１】
0005490070.tif 000002
であって、ここに、総和中のダッシュ記号は、ｎ＝０とｉ＝ｊを同時に満たす項が総和から除かれることを示している。式（１）と対応する力を評価する最も直接的な方法は、直接カットオフ法（ｓｔｒａｉｇｈｔ  ｃｕｔ−ｏｆｆ  ｍｅｔｈｏｄ）、すなわち、カットオフ距離よりも大きい｜ｒｉ−ｒｊ−ｎＬ｜を伴う総和中の項を単に無視すればよい。残念なことに、クーロンポテンシャルのゆっくりした減衰により、少なくとも総和の高速計算を可能にするのに充分小さいカットオフ半径が、動的シミュレーションにおいて結果を左右しえる。
＜エバルト和＞
式（１）を評価するための別の方法は、以下に説明するようにエバルトの方法である。
【００８３】
式（１）の総和は条件付収束のみをし、従って、厳密に言えばそれによって何を意味するか正確に定義することで、例えば、収束因子を含ませることによって開始しなければならない。簡潔、かつ、平明な説明が次のように与えられる。式（１）の総和は等価的に次式となる。
【００８４】
【数２】
0005490070.tif 000003
ここで、定義によって
【００８５】
【数３】
0005490070.tif 000004
はｒｉにおける全電荷による静電ポテンシャルである（ｒｉ自体における電荷を省略し、総和にダッシュ記号を付して示す）。電荷分布（完全体積にわたる）は、単にデルタ関数の総和、
【００８６】
【数４】
0005490070.tif 000005
であり、また、φｉ（ｒｉ）は、電荷分布を利用して書くことができ、
【００８７】
【数５】
0005490070.tif 000006
であり、ここにρｉ（ｒ）＝ｑｉδ（ｒ−ｒｉ）は、ｉ番目の粒子の自己相互作用が含まれることを回避するために導入される。
【００８８】
図３と４を参照して、エバルト分解が、遮蔽電荷分布を式（５）の分子に対して加算、減算して得られることが考えられ、式（２８）のように図３に再構成される。遮蔽電荷分布は、−ρσ（ｒ）として定義され、ここに次式のように定義する。
【００８９】
【数６】
0005490070.tif 000007
この式が「拡がり電荷分布」となる。これは点電荷をガウス電荷分布に拡げた、単なる元の電荷分布となるからである。さらに、上記ρｉ（ｒ）の定義に相似して
【００９０】
【数７】
0005490070.tif 000008
を定義する。ガウス関数以外の形態も代替手段として使用できるが、説明はガウス関数の形態に焦点をあてる。
【００９１】
図４を参照して、初期点電荷分布ρ（ｒ）（Ｃ１）は、図４に示す電荷の位置｛ｒｉ｝におけるインパルスを含んでおり、図示を簡略化するために一次元で図４に示しているが三次元特性で表わされる。拡がり分布ρσ（ｒ）（４２）は、いずれもガウス関数の形態である成分ρｉσ（ｒ）とその周期的コピーの和である。
【００９２】
本質的にｒｉにおけるインパルスを除いた、（４０）で示されるインパルスの分布ρ（ｒ）−ρｉ（ｒ）は、三つの項の和に分解される。すなわち、（４６）として表わされる−ρｉσ（ｒ）；
（４８）として表わされる｛ρ（ｒ）−ρｉ（ｒ）｝−｛ρσ（ｒ）−ρｉσ（ｒ）｝；（４２）として表わされるρσ（ｒ）自体である。
【００９３】
図３に戻って、積分値（２８）
【００９４】
【数８】
0005490070.tif 000009
は、３項（３２ａ，３２ｂおよび３２ｃ）をもたらす３項に対応する三つの積分値（３０ａ，３０ｂおよび３０ｃ）の和に分解される。従って、静電ポテンシャルは、
φｉ（ｒｉ）＝φｉｓｅｌｆ＋φｉｄｉｒ（ｒｉ）＋φσ（ｒｉ）          （７）
として書き直すことができる。
ここで第１項は第３項に現われる自己相互作用を相殺し、次式によって与えられる。
【００９５】
【数９】
0005490070.tif 000010
第２項は直接的に寄与する項であって、被遮蔽電荷分布から生じる。
【００９６】
【数１０】
0005490070.tif 000011
となり、ここにｅｒｆｃは相補誤差関数であり、また、式（９）内の第２等号はある代数計算による。
【００９７】
【数１１】
0005490070.tif 000012
がｘとともに急速に減衰するので、あるカットオフ値［σと実際の要求によって決定される］よりも大きい｜ｒｉ−ｒｊ−ｎＬ｜を伴う項が和から安全に除かれ、これによって実空間内で直和として評価される。第３項は長距離で寄与する項である。
【００９８】
【数１２】
0005490070.tif 000013
図５を参照して、式（２）と（７）を使用することによって、総エネルギーは同様に三つの項（５４ａ，５４ｂおよび５４ｃ）に分割される。
【００９９】
【数１３】
0005490070.tif 000014
これらの項はそれぞれ自己相互作用補正、直和および長距離の寄与に対応している。直和項は、相互作用の組を直接列挙することによって計算される。種々多様な方法がこの列挙和を評価するのに使用することができ、これには本明細書で後述する「直交法」を含む。
【０１００】
静電ポテンシャルに対する全三つの寄与がσに依存するが、長距離ポテンシャルを意味するρσ（ｒ）選んで、形式的解は式（１０）であるポアソン方程式▽２φσ＝−４πρσを介してなめらかに変化する拡がり電荷分布ρσ（ｒ）への接続を強調する。ρσ（ｒ）が全てのｒに対してなめらかに変化するので、ρσ（ｒ）は有限数の波数項を有する逆（変換）空間、又は、実空間内の格子で表わすことができる。格子間隔の実際の数値（又は、ｋ−空間項の数）が、必要とされる全体の精度とσの値とに依存する。所望の精度要求に対して、σのより大きい値が直和中においてより大きいカットオフを必要とするが、ρσ（ｒ）を粗い格子（又は、少ないｋ−空間項を伴う）上に表現することを許容する。従って、σを調整することによって、直和と逆和との間で重みの変更を許容する。また、σは全計算コストを最少になるように通常選択される。ポテンシャルに対する長距離の寄与の計算とエネルギーおよび力に対する対応する寄与の計算とを以下に説明する。
【０１０１】
＜たたみ込みを伴う逆和の再定式化＞
エバルト・エネルギー項の第３項は、「逆和」の項として参照される。すなわち、
【０１０２】
【数１４】
0005490070.tif 000015
但し
【０１０３】
【数１５】
0005490070.tif 000016
この項はメッシュ演算に関して次の説明に有効な関係（および表記法）の確立を可能にするたたみ込みの項に定式化することができる。二つの実空間量のたたみ込みは、記号＊によって表記（記数）される。
【０１０４】
【数１６】
0005490070.tif 000017
逆（変換）空間内において、たたみ込みは乗算になり、従って、Ａ＊Ｂ＝Ｃとすれば、〜Ａ〜Ｂ＝〜Ｃとなり、ここで波形符号を使用して逆空間量、
【０１０５】
【数１７】
0005490070.tif 000018
を表す。
【０１０６】
γ（ｒ）＝１／ｓｒを定義し、正規化済みガウス関数Ｇσ（ｒ）＝（２πσ２）−３／２ｅｘｐ（−（ｓｒ）２／２σ２）を表記するために、
【０１０７】
【数１８】
0005490070.tif 000019
を必要とし、ここにｓｋ＝｜ｋ｜およびｓｒ＝｜ｒ｜である。周期的量（すなわち、電荷密度のような全てのボックス内で同じである量）のフーリエ係数は、独立変数ではなく添え字波数ベクトルで表記され、従って、
【０１０８】
【数１９】
0005490070.tif 000020
これによって定義され、ここに
【０１０９】
【数２０】
0005490070.tif 000021
は、体積Ｖ＝Ｌ３の一次ボックスの積分を表す。より詳しく説明すると、元の点電荷密度（構成要素）のフーリエ表示は、
【０１１０】
【数２１】
0005490070.tif 000022
である。
【０１１１】
二つの周期的量間に演算・を定義することも便利である。すなわち、
【０１１２】
【数２２】
0005490070.tif 000023
であり、ここに、ｋ＝２πｎ／Ｌ，また、ｎの三つの各成分は、全整数の値をとることができる。これらの定義から、Ｂが（γまたはＧσのような）偶関数、または、ＡおよびＣが（ρまたはρσのような）周期関数であれば、
【０１１３】
【数２３】
0005490070.tif 000024
であることが分かる。
【０１１４】
上で定義した表記方法を使用して逆エバルト和を記すと便利である。
図６（式６０，６２，６４）を参照して、ρσは標準偏差σ
ρσ＝ρ＊Ｇσ
の正規化されたガウス関数でたたみ込まれたρである。
【０１１５】
静電ポテンシャルに対する長距離の寄与は（式（５）から）、グリーン関数γ＝１／ｒでたたみ込まれた電荷密度ρσであって、
【０１１６】
【数２４】
0005490070.tif 000025
この式は拡がり電荷分布に対するポアソン方程式の単なる形式解である。
【０１１７】
図６の方程式６６を参照して、エネルギーに対する逆和の寄与は、
【０１１８】
【数２５】
0005490070.tif 000026
によって与えられる。
【０１１９】
図６の方程式６６，６７および６８を参照して、二つの量、σＡとσＢが、σ２Ａ＋σ２Ｂ＝σ２（また、従ってＧσＡ＊ＧσＢ＝Ｇσ）になるように選択され、式（１６）を使用することによって、エネルギーは、項を置換し、整理し直すと、
【０１２０】
【数２６】
0005490070.tif 000027
として書き直すことができる。
【０１２１】
物理的に言うと、これは、（マイナス）遮蔽電荷分布によるポテンシャル場と相互作用する点電荷のエネルギーとして考えることができる逆総和エネルギーが、より狭い範囲に分布する電荷から作られる遮蔽電荷分布による静電ポテンシャルを伴うガウス分布をした電荷の相互作用と等価であることを意味する。σ２Ａ＋σ２Ｂ＝σ２の拘束条件は、σＡおよびσＢが独立して選択できないことを意味しており、また、エネルギーが、自由に選択できる比σＡ／σＢから独立している。注意しなければならないのは、粒子ｉへの力に対する逆和の寄与がψσＢの項で次式のように書くことができることであり、
【０１２２】
【数２７】
0005490070.tif 000028
ここで再度、式（１６）を使用する必要がある。
【０１２３】
コンパクトな表記法の便利さが、メッシュ演算を付加的に考慮したときに明白となる。なぜなら、これらの付加的な演算がたたみ込みとしても書くことができるからである。エネルギーを異なる形態で書き直す能力は、上述した同様の方法で、計算の重みを異なるたたみ込み間で移動させ、総計算負荷を最少になるように変更して、調整可能パラメータ（σＡ／σＢと同様の）を得ることができる。メッシュ基準方法を使用せずに、基本エバルトの方法は固定σに対してＯ（Ｎ２）となる。例えば、基本定義から式（１８）または式（１９）に置換し、
【０１２４】
【数２８】
0005490070.tif 000029
を得る。
【０１２５】
（一般的方法として、総計にダッシュ記号を付して示したｋ＝０項を取り除き、本明細書を通して一貫してこのようにする。より厳しい分析が示しているのは、いかにｋ＝０項が無限遠における境界状態に依存しており、その取り除きが「すず箔境界状態」に対応していることである）。所与のσおよび正確な要求に対して、総計されなければならないｋ値の数がＮに比例する。電荷密度、すなわち、〜σｋのフーリエ表示をこの範囲に渡って直接この式（１４）を使用して得るとＯ（Ｎ２）となる。導入部分で説明したように、σが増大することは計算負荷を全体のＯ（Ｎ３／２）の方法に対してＯ（Ｎ）の直和に変換することができるが、一般的生体分子シミュレーション内の粒子数に対して計算速度における目立った増大はメッシュ方法によって実行することができる。
【０１２６】
＜エバルト・メッシュ方法＞
メッシュ基準方法には二つのクラスがある。実空間（空間ドメイン）メッシュ方法は、高速有限差−ポアソン・ソルバーを利用して実空間のポアソン方程式を解く。もう一方のクラスは、ＦＦＴ基準方法であって、ＦＦＴを使用して逆空間内のポアソン方程式を解き、電荷密度を逆空間に変換するとともに、逆ＦＦＴを使用して静電ポテンシャルを実空間に変換する。これら両アプローチについて以下により詳しく説明するが、まず両者に共通する二つの演算を簡単に説明する。オフ−メッシュからオン−メッシュ電荷分布（電荷拡がり）、およびこれとは逆にポテンシャル定義オン−メッシュからオフ−メッシュ粒子上の力への演算である。これらの演算の各々は、たたみ込みとして書くことができる。しばしば離散化および内挿と呼ばれるたたみ込みカーネルの適切な選択が、エバルト・メッシュ法の効果、かつ、確度に対して重要であることが知られている。
【０１２７】
図７Ａ−７Ｂを参照して、代表的な離散電荷分布ρ（ｒ）は、３点電荷（８０）で示されている。電荷拡がりに対して、離散格子位置で定義されたオン−メッシュ電荷分布ρＳ（ｒ）は、電荷拡がり関数Ｓ（８２）で点電荷分布をたたみ込むステップと、たたみ込み操作（８４）の結果をサンプリングすることによって生成される。
【０１２８】
【数２９】
0005490070.tif 000030
ここで（および以下に）一次ボックス内にあるメッシュ点用の添え字としてｍを使用する。各点とその最も近い近接点間の距離ｈを伴う簡単な立方体アレイ内のボックス当りにＮｍ＝（Ｌ／ｈ）３のメッシュ点がある。ラベルｎが全てのボックスに付されており、またｒｉｎｍｉｎはメッシュ点ｍ（一次ボックスにあるｒｍ）から粒子ｉの最も近い像までのベクトルである。式（２２）の最終的な近似式は更に続く。なぜなら電荷拡がり関数が距離に応じて急速にゼロになるように選択されるからであり、これによって各メッシュ点が任意の特定粒子（厳密に言えば、これはＳ（ｒ）が急速に単に衰退し、かつ、ある距離を越えて同じように消滅しない）の多くて一つの像からの寄与を受けるのみである。ゼロでない（またはゼロになるまで理由付けされて近似されない）Ｓ（ｒ）のメッシュ点の数ＮＳが、Ｓ（ｒ）の台（ｓｕｐｐｏｒｔ）であって、かつ、部分的に電荷拡がりの計算の対価を決定し、各電荷ｉに対して、Ｓ（ｒｉｎｍｉｎ）は、ＮＳ個のメッシュ点で評価されなければならない。電荷拡がり（以下に説明する類似の力計算と一緒に）が、計算の大半を含むことが分かっているので、Ｓ（ｒ）は小さい台であることが望ましい。残念なことに、非常に小さい台を使用することにより、有限のメッシュ寸法による全体の計算に大きな誤差を生み出す傾向にある。従って、適切なバランスを見つける必要がある。注意しなければならないことは、電荷拡がりの目的は、元の点電荷分布にできる限り近づけて何かを試行し、再構成することではなく、また、ρσを試行し、再構成することでもない。最終結果（すなわち、エネルギーおよび力）は最重要であり、電荷拡がりの目的は単に電荷を矛盾無く定義された方法でメッシュに転送することであり、従って、さらなる操作により迅速に正確な最終結果に到る。
【０１２９】
ρＳ（ｒ）から各粒子上のエネルギーＥまたは力を計算する一般的アプローチは、格子位置（８６）で、まずφ＊（ｒ）＝ρＳ（ｒ）＊γ（ｒ）＊Ｕ（ｒ）を計算する。φ＊（ｒ）から、ポテンシャル関数の格子サンプルが、Ｇσ（ｒ）＝Ｓ（ｒ）＊Ｕ（ｒ）＊Ｔ（ｒ）であることを仮定して、φσ（ｒ）＝φ＊（ｒ）＊Ｔ（ｒ）＝ρＳ（ｒ）＊γ（ｒ）＊Ｕ（ｒ）＊Ｔ（ｒ）（９０として示す）と計算される。φσ（ｒ）の値はＥ＝１／２ρ・φσ（９２）を計算するためにρ（ｒ）（９４）がゼロでない位置で計算される。別の方法としては拡がり電荷分布ρＴ＝Ｔ＊ρ（９６）を計算し、次にＥ＝１／２ρＴ・φ＊（９８）を計算する。この力の計算は以下に詳細に説明する。Ｓ（ｒ）とＴ（ｒ）は等しくなるように選択できるが、等しくする必要はなく、また、Ｕ（ｒ）は完全に省略することもできることに注意しなければならない。さらに、φ＊（ｒ）＝ρＳ（ｒ）＊γ（ｒ）＊Ｕ（ｒ）の格子に基づいた計算は、空間ドメイン内で直接計算することができ、あるいは別の方法として、高速フーリエ転換（ＦＦＴ）ドメイン内で計算することができる。同様にして、エネルギーＥはＦＦＴドメイン内で計算することができる。
【０１３０】
力を計算ステップは、電荷拡がりとほぼ同じであるが、直感的にあまりはっきりしない。力はポテンシャルφ＊と第２（ベクトル）関数のたたみ込み結果であり、Ｔ´（ｒ）＝ｄＴ／ｄｘとして書き、ここにスカラー関数Ｔは同じであり、また、しばしば電荷拡がり関数Ｓと同じになるように選択される。なぜこのようになるかを理解するために、まず重要なことは、典型的にはポテンシャルφ＊がφσのメッシュに基づいた表現でないことを理解することである。実際に、φ＊がある事前選択された内挿関数Ｔがφσ＝Ｔ＊φ＊を満たすためのポテンシャルとなる（以下に説明するように）ように構成されている。これは電荷拡がりステップから生じる電荷分散が、最終的な力およびエネルギーが正確に計算される限り、ρσまたはρのいずれかのメッシュに基づいた近似をする必要がないように見られることに極めて類似している。式（１６）と式（１８）から、
【０１３１】
【数３０】
0005490070.tif 000031
が得られ、
ここに、ρＴ＝ρ＊ＴはρＳに類似して定義される。エネルギーが実空間内で計算されれば（実空間方法に関する場合必然的である）、従って式（２３）はＴを伴うたたみ込みを使用してオフ・メッシュ電荷をオン・メッシュ静電ポテンシャルにするか、別の方法でこれを使用して電荷をポテンシャルにすることを単に表わしている。式（２３）を微分してｉ番目の粒子に働く力、
【０１３２】
【数３１】
0005490070.tif 000032
を得て、またさらなる演算は、上述したように次式のように書き換えて示すことができる。すなわち、
【０１３３】
【数３２】
0005490070.tif 000033
但し
【０１３４】
【数３３】
0005490070.tif 000034
である。実際に、および式（２２）と類似して、力はメッシュたたみ込みとして評価される。
【０１３５】
【数３４】
0005490070.tif 000035
ここに、ｍ（ｒｉ，Ｔ）はＴ（ｒｉｍｍｉｎ）の台を動く。
【０１３６】
図７Ｃを参照して、φ＊のグリッド値（８８）からｉ番目粒子上の力の計算には、拡がり関数Ｔ（ｒ）（１０４）をｒｉにおける粒子のような各荷電粒子に電荷分布を適用して、空間微分Ｔ´（ｒ）＝ｄ／ｄｒＴ（ｒ）のベクトルをまず計算し、次にこれらの空間微分を、粒子の位置ｒｉで中心付けられた格子の位置ｒｍ（１１０）において評価するこステップを含む。ｉ番目粒子上の力成分Ｆｉρは次にφ＊の格子位置（８８）全体の直和と拡がり関数Ｔ´（ｒｉｍｍｉｎ）（１０８）の空間微分のサンプルとを使用して計算する。
【０１３７】
図２を参照して、実空間法５０を示す。方法５０は、ρＳ＝ρ＊ρＳを使用してメッシュに基づいた電荷密度を発生するステップ１５２を含む。方法１５０は▽２の離散表現を使用して実空間メッシュでポアソン方程式▽２φ＊＝−４πρＳを帰納的に解くステップ５４を含んでいる。例えば、多重格子およびＳＯＲ方法を使用することができる。これがφ＊＝γ＊Ｓを生成する。これに続いて、方法１５０はＦｉρ＝ｑｉＴ´＊φ＊からの力を計算するステップ１５６を含んでいる。粒子の位置における静電ポテンシャルが必要であれば、φσ＝φ＊＊Ｔから計算でき、また、エネルギーはＥ＝１／２ρ・φσから計算できる。
【０１３８】
φσ＝ρ＊Ｇσ＊γを復元したいので、これにＳとＴを含ませてＳ＊Ｔ＝Ｇσとなるように選択する。エネルギーのためのたたみ込みを実行する必要性を除去した有利な（φσが必要でない場合に）Ｓ＝Ｔ＝Ｇσ／√２を選択すると、
Ｅ＝１／２ρＳ・φ＊
からエネルギーが得られる。
【０１３９】
図９を参照して、ＦＦＴに基づいたエバルトの方法１７０を示す。この方法１７０は、ρＳ＝ρ＊Ｓを使用するメッシュに基づいた電荷密度を発生するステップ１７２と、ρＳ→ρ〜ρＳを実行するステップ１７４を含んでいる。方法１７０はほぼ〜φｋ＊＝〜γｍｏｄ（ｋ）〜ρｋＳである修正ポアソン方程式φ＊＝γｍｏｄ＊ρＳを解くステップ１７６を含んでいる。方法１７０はさらにエネルギー
【０１４０】
【数３５】
0005490070.tif 000036
（ある例においてＳ＝Ｔ）を含んでいる。エネルギー計算に続いて、方法１７０は逆ＦＦＴ〜φ＊→φ＊を実行するステップ１７８とＦｉρ＝ｑｉＴ´＊φ＊からの力を計算するステップ１８０を含んでいる。粒子の位置における静電ポテンシャルが必要であれば、φσ＝φ＊＊Ｔから計算できる。
【０１４１】
静電ポテンシャルに対する寄与を陽に書くと、次式となる。
【０１４２】
【数３６】
0005490070.tif 000037
また、φσ＝ρ＊Ｇσ＊γであるので、これにＳとＴを含ませて
【０１４３】
【数３７】
0005490070.tif 000038
となるようにγｍｏｄを選択する。
【０１４４】
γｍｏｄ＝γであるＳ＝Ｔ＝Ｇσ／√２を選択することが可能である。しかし、γｍｏｄ＝γを強調するとＳ＊Ｔ＝Ｇσが必要であり、また従って、Ｇσの全幅が、実空間法におけるのと同様にＳとＴを伴うたたみ込みから得る必要がある。実際に、逆空間内で付加的たたみ込みを実行することによって（計算では自明なことである）、実空間内の拡がり量をずっと減じることができ、ＳとＴのために必要とされる台をずっと減じることによって計算を相当高速化することができる。逆空間たたみ込みＵは、ポアソン・グリーン関数、すなわち、γｍｏｄ＝Ｕ＊γの変形である。可能な選択は、Ｓ＝Ｔであって、また、ＵはＧσ＝Ｓ＊Ｕ＊Ｔとなるように選択される。他の選択はＳとＴが等しくなる必要性はない。
【０１４５】
ガウス分布を使用する代わりにとして、できるだけ次数が低いＢ−スプライン関数を使用して台を最少にするが、より高い順のＢ−スプライン関数がより滑らかな関数であり、かつ、離散演算によるより誤差を小さくし、従って、競合効果と一般的に最も近いメッシュ点を越えている電荷を表わすのに使用される適切なＢ−スプラインとがあるが、その台はＧσ／√２よりもずっと小さい。
【０１４６】
式（２６）はフレームワークを提供し、その中で種々のメッシュ・エバルトの方法のほとんどは矛盾のない形態に要約されることができる。これらの方法は、Ｓ、Ｔおよびγｍｏｄ関数および数学的空間の選択によって主として異なり、その空間内でポアソン方程式が解かれる。式（２７）は簡潔さをもっているが、Ｓ、Ｔおよびγｍｏｄの選択による重要な基準を提供する。
【０１４７】
＜ガウス・スプリット・エバルトの方法＞
ガウス・スプリット・エバルト（ＧＳＥ）法は、実空間とポアソン方程式を解く逆空間法との両方を使用する。ＧＳＥ法は電荷拡がりの２段階を包含している。第１に、電荷が小さい台を伴う関数でたたみ込みすることによってメッシュに拡げられる。この小さい台は、演算を迅速にさせることを保証する。次に、第２たたみ込み（Ｕによる）は電荷をさらに拡げられるように実行され、これは実空間版ｒ−ＧＳＥ（ｋ−空間版、ｋ−ＦＥＳにおいて、この第２たたみ込みはｋ−空間内で実行される）内でオン−メッシュが実行できるので非常に高速である。力を計算する最後の内挿ステップも、関数（Ｔ）を小さい台でたたみ込みすることによって迅速に実行される。本実施例において、拡がり関数は式（２７）を満足するように選択される。
【０１４８】
式（２７）から分かることは、標準ガウス関数（すなわち、γｍｏｄ＝γ）を選択することで、ＳとＴはＳ＊Ｔ＝Ｇσを満足しなければならない。２段階電荷拡がり法は、Ｓを二つの部分に分割し、従ってＳ＝Ｓ１＊Ｓ２によって定義される。また、式（２７）はＳ１＊Ｓ２＊Ｔ＝Ｇσとなる。Ｓ１＝Ｔ＝Ｇσ１と次式を満足するガウス変数を伴うＳ２＝Ｇσ２を選択する。
【０１４９】
【数３８】
0005490070.tif 000039
Ｓ，γｍｏｄおよびＴのＧＳＥ選択を式（２６）に代入して、
【０１５０】
【数３９】
0005490070.tif 000040
を得る。この式はＧＳＥ法を効果的に定義する。ρ１／ρ２ＧＳＥの比を調整することによるこのアプローチの利点は、計算負荷がボトルネックである電荷拡がりステップおよび内挿ステップから高効率の第２電荷拡がりステップ（ガウス関数を伴うオン−グリッドたたみ込みは実際ほぼ取るに足らない計算であるという利点がある）にシフトされ、また、方程式（２７）に矛盾せずに実行される。
【０１５１】
図１０を参照して、式（１８）の各たたみ込みに対応して、ｒ−ＧＳＥのためのプロセス１９０を示す。プロセス１９０には第１電荷拡がり（ステップ１９２）、例えば、ρσ１＝ρ＊Ｇσ１を含んでいる。第１電荷拡がりにおいて、各粒子電荷はＧσ１を伴うたたみ込みによって格子上に拡げられる。式（２２）から、実行されるべき計算は、
【０１５２】
【数４０】
0005490070.tif 000041
である。
【０１５３】
プロセス１９０は第２電荷拡がり（ステップ１９４）、例えば、
【０１５４】
【数４１】
0005490070.tif 000042
を含んでいる。Ｇσ２を伴う第２の（およびより効果的な）たたみ込みが実行されて電荷拡がりが完了される。このたたみ込みはガウス関数の分離可能性の利点を得るように実行され、三次元ガウス関数たたみ込みが三つの自明な一次元たたみ込み（各次元に沿って一つ）によって置換される。分離性を利用して、ガウス関数で各横列（すなわち、ｘ−軸に沿って）がたたみ込まれ、次に、ガウス関数で各縦列（すなわち、ｙ−軸に沿って）がたたみ込まれ、また、最後にｚ−軸に沿ってガウス関数でたたみ込まれる。
【０１５５】
続いて、プロセス１９０はメッシュ上でポアソン方程式、例えばφσ*＝ρＳ＊γを解
くステップ（１９６）を含んでいる。ｒ−ＧＳＥにおいて、ステップ（２）で得られた電荷密度ρＳを使用して、ポアソン方程式はＳＯＲまたはマルチグリッド技術のいずれかを使用してリアル・スペース内で直接解かれる。例えば、最も細いグリッド上のエルミート個別表示が高精度を達成するために使用することができる。注意しなければならないのは、メッシュ基準ポテンシャルが同値な
【０１５６】
【数４２】
0005490070.tif 000043
で書くことができることである。
【０１５７】
続いて、プロセス１９０は、例えばφσ＝ρσ１＊φ＊（およびＦｉσ＝ｑｉＧ´σ１＊φ＊）を使用してポテンシャルを内挿するステップを含んでいる。オン−メッシュポテンシャルφ＊を計算して、点ｒｉにおけるポテンシャルを（必要ならば）内挿カーネルとしてＧσ１を使用して内挿することによって、
【０１５８】
【数４３】
0005490070.tif 000044
と得ることができる。また、粒子ｉ上の力は、
【０１５９】
【数４４】
0005490070.tif 000045
と得ることができる。
【０１６０】
ｒｉｍｍｉｎが、メッシュ点ｍ（一次ボックス内のｒｍ）から粒子ｉの最も近い像までのベクトルであることを思い出されたい。
注意しなければならないことは、エネルギー、
【０１６１】
【数４５】
0005490070.tif 000046
は、もしステップ（１）からメッシュ上のρσ１の値がメモリ内に保持されておれば、内挿前にメッシュ上で計算することができることである。
【０１６２】
上記の例が実空間で記載されているが、ガウス関数の同様の分割をＦＦＴアプローチに併用することもできる。ｋ−ＧＳＥにおいて、第２電荷拡がりステップが逆空間で乗算として（グリーン関数の変形として書く）、すなわち、
【０１６３】
【数４６】
0005490070.tif 000047
で実行される。ｋ−ＧＳＥのステップ（１）と（４）は、ｒ−ＧＳＥとアルゴリズムとして同様であるが、［ステップ（２）の後で生成されたものではなく］ｋ−ＧＳＥρＳのステップ（１）の後で生成された電荷密度と呼ばれる前回の記法に矛盾しない。ステップ（２）および（３）の代わりに、ポアソン方程式が逆空間内、すなわち、一般ＦＦＴエバルトの方法のステップ（ｉｉ），（ｉｉｉ）および（ｖ）［前のサブセクション参照］が、ステップ（２）および（３）に置換されて解かれる。
【０１６４】
ＧＳＥアプローチの特徴は、実空間とｋ−空間両者に共通して、アプローチ中の各ステップを通して一連のたたみ込みとなる一体化ＧＳＥフレームワークに関連しており、電荷拡がり、ポアソン方程式の解および力の計算を含んでいる。所望の精度を得るために、これらのステップ間のバランスが（遮蔽ガウス電荷分布のためのσが与えられたときの）パラメータκを設定することによって連続して変更することができる。このパラメータは、電荷拡がりと力の計算に使用されるガウス関数の標準偏差を決定する。
σ＝σκ１／２  ０≦κ≦１／２
σの所与の値に対して、κの値も
σ２＝σ（１−２κ）１／２
にもとづいて第２のガウス関数の標準偏差を設定する。
【０１６５】
実空間で実施できるＧＳＥ法には多数の特定の改良方法もある。これらの改良方法は、電荷拡がりおよび力の計算に必要とされるメッシュに基づいた格子点の台の数の寸法を相当減じることによって任意の精度必要項のための実空間計算の促進に効果的に寄与する。ｒ−ＧＳＥのためのさらなる利点は、実空間中の第２たたみ込みの処理から生じる。拡がり手続を使用するよりもこの第２拡がりが、正確なオン−メッシュ・ガウス関数たたみ込みを実行する。このアプローチは、拡散方程式内のラプラス演算子の低次離散表現よりもより正確なだけでなく、たたみ込みがガウス関数の次元分離性を活用することによって効果的に計算できる。
【０１６６】
＜遠隔サブシステムのためのガウス関数スプリット・エバルト法（ＧＳＥ）のレシピ＞
ガウス関数スプリット・エバルト法は、粒子上の遠隔静電力の作用を計算するのに使用することができる。この方法は粒子からグリッド点への電荷拡がり、電荷密度の高速フーリエ変換、電荷密度のｋ−空間内の演算、逆高速フーリエ変換および上述したような粒子上の遠隔静電力の計算を含んでいる。
【０１６７】
ＧＳＥは三つの独立パラメータを包含している。すなわち、遠隔サブシステムと中間サブシステムによって共用されたガウス関数標準偏差σ、電荷拡がりおよび力計算に使用される別のガウス関数標準偏差σｒおよび格子間隔Δである。それぞれ、σとσｒは中間サブシステム内の距離カットオフと、遠隔サブシステム内における電荷拡がり、力計算のカットオフに明確に関連している。納得のいく精度として、距離カットオフは、中間システムと遠隔システムに対してＲｃｍｉｄ＝３．２（２１／２）σとＲｃｄｉｓ＝３（２１／２）σとが経験的に選択される。より大きいカットオフ−シグマ比が、より高い精度を達成するのに選択されてもよい。別のガウス関数がｋ−空間演算内に包含され、その実空間内の標準偏差はσｋ＝（σ２−２σｒ２）１／２である。例えば、ＧＳＥパラメータ・セットには、次のものが含まれる。すなわち、
格子間隔Δ＝２Ａ
Ｒｃｍｉｄ＝１３Ａ、  σ＝２．８７３Ａ
Ｒｃｄｉｓ＝７．０４Ａ、  σｒ＝１．６５９Ａ
σｋ＝１．５６７Ａ
さらに、シミュレーション系が与えられるときに、その側部の長さ、Ｌｘ，ＬｙおよびＬｚは、オングストローム単位であり、また、各側部Ｎｘ＝Ｌｘ／Δ、Ｎｙ＝Ｌｙ／ΔおよびＮｚ＝Ｌｚ／Δにおける格子点の数は、アルゴリズムにおいて重要である。矩形／立方体システムの処理のみを仮定する。
【０１６８】
電荷拡がりにおいて、任意電荷の粒子と座標が系のボックス内にあって、ボックスは立体セル（格子間隔Δを伴う）のメッシュによって包含されている。電荷拡がりの目的は電荷密度の値をメッシュ内の各格子点に割り当てることである。各格子点は距離カットオフＲｃｄｉｓ内の粒子全てから電荷の寄与を受ける。同カットオフは後で力の計算にも適用される。粒子から格子点への電荷密度寄与は、
【０１６９】
【数４７】
0005490070.tif 000048
であって、ここにｑは粒子電荷であり、また、ｓｒ≦Ｒｃｄｉｓは、粒子と格子点間の距離である。周期境界条件は電荷拡がり内に維持されなければならない。詳しく説明すると、両システムが距離カットオフ内にある限り、格子点はシミュレーション系だけでなくその鏡像系内の粒子から電荷寄与を受信する。格子点における電荷の蓄積が電荷密度ρ（ｉ，ｊ，ｋ）となり、これは格子点のｘ，ｙ，ｚ指標であるｉ，ｊ，ｋを有するメッシュ上に定義される。
【０１７０】
メッシュ上の電荷密度のＦＦＴ中、三次元ＦＦＴが実行され、電荷密度ρがそのｋ−空間表現〜ρ＝ＦＦＴ（ρ）に変換される。注意しなければならないのは、〜ρはｋ−空間中のメッシュの格子点において定義された複素数である。ｋ−空間メッシュは、それぞれ間隔２π／Ｌｘ、２π／Ｌｙおよび２π／Ｌｚとして、（−Ｎｘ／２＋１）２π／Ｌｘから（Ｎｘ／２）２π／Ｌｘまでｋｘを包含し、（−Ｎｙ／２＋１）２π／Ｌｙから（Ｎｙ／２）２π／Ｌｙまでｋｙを包含し、また、（−Ｎｚ／２＋１）２π／Ｌｚから（Ｎｚ／２）２π／Ｌｚまでｋｚを包含する。ここでｋｘ，ｋｙ，ｋｚは波数ベクトルｋのｘ、ｙ、ｚ成分である。換言すれば、〜ρは三つの整数によって指標付けられている。すなわち、
ｉ＝（−Ｎｘ／２＋１）・・（Ｎｘ／２），
ｊ＝（−Ｎｙ／２＋１）・・（Ｎｙ／２）および
ｋ＝（−Ｎｚ／２＋１）・・（Ｎｚ／２）
ρが常に実数であるので、フーリエ変換の特徴によって、〜ρは計算で利用できる明白な対称性を保持している。以後、都合上〜ρの実数成分と虚数成分は本明細書において〜ρＲと〜ρＩによって示す。
【０１７１】
これまでに説明したように、ｋ−空間内で演算を実行するために、ｋ−空間内の各格子点は三つの指標（ｉ，ｊ，ｋ）または同値なことだが、ｋｘ＝ｉ２π／Ｌｘ，ｋｙ＝ｊ２π／Ｌｙおよびｋｚ＝ｉ２π／Ｌｚを有する波数ベクトルｋ＝（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）によって定義することができる。各ｋ−空間における格子点は〜ρＲと〜ρＩと、事前に計算された影響関数（ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ  ｆｕｎｃｔｉｏｎ：実関数）Ｉ（ｋ）＝４π／ｋ２ｅｘｐ（−２ｋ２σｋ２）であり、ここではｋ２＝ｋｘ２＋ｋｙ２＋ｋｚ２である。〜ρＲ（ｉ，ｊ，ｋ）←〜ρＲ（ｉ，ｊ，ｋ）Ｉ（ｉ，ｊ，ｋ）および〜ρＩ（ｉ，ｊ，ｋ）←〜ρＩ（ｉ，ｊ，ｋ）Ｉ（ｉ，ｊ，ｋ）の直接的な更新が各グリッド点で実行される。明確に、グリッド点（ｉ，ｊ，ｋ）における影響関数は：
【０１７２】
【数４８】
0005490070.tif 000049
誘導関数を〜ρに適用した後、３−Ｄ逆ＦＦＴが実行され、また、静電ポテンシャルが得られる：
【０１７３】
【数４９】
0005490070.tif 000050
ＦＦＴ計算において、静電ポテンシャルφ（ｉ，ｊ，ｋ）は、実空間内で（ｉ，ｊ，ｋ）によって指標が付された各格子点に決定され、この静電ポテンシャルが次の力の計算中に使用される。この力の計算は距離カットオフＲｃｄｉｓ内の格子点からの力の寄与を受ける各粒子内で拡がるする電荷と類似している。より詳しく説明すると、グリット点（ｉ，ｊ，ｋ）＝（ｇ）から粒子（ｉ）に寄与された力のｘ，ｙ，ｚ成分は：
【０１７４】
【数５０】
0005490070.tif 000051
であり、ここに、α＝（ｘ，ｙ，ｚ），ｑは粒子の電荷、ｒｉｇは粒子と格子点間の距離、φ（ｉ，ｊ，ｋ）は格子点のポテンシャル値、また、ｄαｉｇは三つの成分を有している。これらは格子点と粒子（例えば、ｄｘ＝粒子のｘ座標−格子点（ｉ，ｊ，ｋ）のｘ座標）間のｘ，ｙおよびｚ分離に対応している。各粒子力の寄与は、カットオフ内の格子点全部から蓄積され、系の各粒子で有効になる最終的な距離力になる。周期境界条件は電荷拡がりにおけるのと同様に考慮しなければならない。
【０１７５】
ＧＳＥにおけるエネルギー計算は簡単であり、またメッシュの全格子点で格子電荷およびポテンシャルの積を総計した量は：
【０１７６】
【数５１】
0005490070.tif 000052
となる。
【０１７７】
系はサイズを変えることができ、また、含む粒子の数をかえることができる。例えば、シミュレーション系の平均側部長さは３２Ａから２５６Ａの範囲であり、さらに系は３，０００から１，７００，０００の原子を含めることができる。
【０１７８】
＜組ごとの相互作用の直和＞
物体間の組ごとの相互作用を直接数え上げることだけでなく、エバルトの方法中の直和項の計算において、計算工程の効果的構成が望まれる。一つのアプローチは多数の計算ノードを使用し、それぞれ組ごとの方式の計算のあるものに信頼性がある。これらの計算ノードは、物理的領域、例えば小さい立方体に部分分割されたボックス１１（図１）に関連し、また各立方体はその立方体内の粒子と関連し、さらに計算ノードの一つはこれらの粒子に関係するデータを維持している。
【０１７９】
計算ノードはノードに接続される通信経路とハードウエア・アーキテクチャ内に配備することができる。例えば、ノードは一連のＡＳＩＣＳ上に構成でき、またプロセッサ・ボード上に配備してこの種の通信経路を形成するよう配備することができる。インポートとエキスポートは、アーキテクチャ内で利用可能な通信経路に基づいて最適化される。例えば、インポートとエキスポート領域は、アーキテクチャの通信経路に最適化ないし一致するように選択することができる。
【０１８０】
図１１を参照して、系は組ごとの加算によって計算領域２００内の粒子の組の相互作用を計算する。系レベルにおいて、空間分解のタイプは粒子間相互作用の処理を調整する。空間分解が、シミュレーション空間２００を寸法がＧｘ（２０６）、Ｇｙ（２０４），Ｇｙ（２０４）およびＧｚ（２０２）である多数の直方体（ボックスとも呼ぶ）に、分割する（図１にも示す）。計算システムは処理素子アレイを含んでおり、各々入力として粒子の組をとり、また、他の粒子による一つの粒子にかかる力または組からのポテンシャル・エネルギーの寄与のいずれかで生成する。
【０１８１】
図１２を参照して、上述したように、シミュレーション空間２００は多数のパックされた直方体２１２に分割される。この仮定の下で、ホーム・ボックス内の点の距離Ｒ（２１６）内にあるホーム・ボックスの外部の点全ての軌跡からなるホーム・ボックスを取り巻く空間領域として、任意のホーム・ボックス（Ｈ）の相互作用近傍２１０が定義される。
【０１８２】
単一ホーム・ボックスの表面境界が６個の面領域、１２個のエッジ領域および８個のコーナー領域を含む２６個の部分領域に分割される。この６個の面領域は、γ−ｘ，γ＋ｘ，γ−ｙ，γ＋ｙ，γ−ｚ，γ＋ｚで表わされ、ホーム・ボックスの６面の一つに関連している。例えば、面領域γ−ｘはｈｙ×ｈｚ×Ｒボックスであって、そのベースはホーム・ボックスの低ｘ−座標面であり、また距離Ｒで−ｘ方向にホーム・ボックスから外方に延長している。１２個のエッジ領域は、γ−ｘ−ｙ，γ−ｘ＋ｙ，γ＋ｘ−ｙ，γ＋ｘ＋ｙ，γ−ｘ−ｚ，γ−ｘ＋ｚ，γ＋ｘ＋ｚ，γ＋ｘ＋ｚ，γ−ｙ−ｚ，γ−ｙ＋ｚ，γ＋ｙ−ｚおよびγ＋ｘ＋ｚで表わされ、ホーム・ボックスの１２エッジの一つに関連している。例えば、エッジ領域γ−ｘ−ｙは、半径Ｒと長さｈｚの「外方向指示」１／４シリンダーであって、その軸はホーム・ボックスＨの低−ｘ−，低−ｙ−座標エッジと一致している。８個のコーナー領域は、γ−ｘ−ｙ−ｚ，γ−ｘ−ｙ＋ｚ，γ−ｘ＋ｙ−ｚ，γ−ｘ＋ｙ＋ｚ，γ＋ｘ−ｙ−ｚ，γ＋ｘ−ｙ＋ｚ，γ＋ｘ＋ｙ−ｚおよびγ＋ｘ＋ｙ＋ｚで示され、各々ホーム・ボックスにある８個のコーナーの一つに関連している。例えば、コーナー領域γ−ｘ−ｙ−ｚは、半径Ｒの球体の「外方向指示」八分円であって、その中心はホーム・ボックスの低−ｘ−，低−ｙ−低−ｚ−座標コーナーと一致している。
【０１８３】
上述したように、シミュレーション空間ボックス２００はグローバル・セルと呼ばれ、多数の小さいボックスに区切られており、各々単一処理ノード内の単一ステーションに関連し、このステーションに関連するホーム・ボックスとして参照する。位置座標が任意のホーム・ボックス内に入っている粒子ｐは、ホーム・ボックス内に存在するとして説明され、また、このホーム・ボックスがｐのホーム・ボックスとして参照される。
【０１８４】
図１３を参照して、各ホーム・ボックスの寸法ｈｘ，ｈｙおよびｈｚは、ｄ∈｛ｘ，ｙ，ｚ｝に対してＧｄ＝ｇｄｈｄとなるように選択され、ここにｇｘ，ｇｙおよびｇｚは２の整数乗となるように拘束され、その積がセグメント内のステーション数に等しくなる。これらの拘束条件を前提にして、ｇｄおよびホーム・ボックスの寸法はステーション間の通信量を最少にするように選択される。境界の存在によるその境界に沿って位置する解の部分の不規則性を回避するために、グローバル・セルが周期Ｇ＝（Ｇｘ、Ｇｙ，Ｇｚ）を有する無限の空間周期的な系のユニット・セルとして作用する。従って、例えばグローバル・セルの＋ｘ境界線近傍にある分子は、同様のｙおよびｚ座標を有する−ｘ境界線近傍の別の分子と局所的に相互作用する。
【０１８５】
分解が各処理ノードを空間領域に割り当て、最近接近傍の通信を許容し、通信要求を制限するように選択された粒子の組の部分集合に対して各ノードに責任を与える。空間的分解の一例は、「ハーフ−シェル」方法を使用して粒子の組をノードに割り当てる。ハーフシェル法において、簡単に言えば、各処理ノードがそれ自体の粒子と、より大きいｘ−座標を有しているカットオフ半径内の外部粒子間の相互作用を計算する。別の方法でこれを見ると、カットオフよりも小さく分離された所与の二つの粒子に対して、その相互作用を計算するノードは、より小さいｘ−座標を伴う粒子を「所有している」ノードである。各タイムステップで思い出さなければならないことは、いずれのノードも相互作用する粒子の位置と特徴に関するデータをインポートし、かつ、後でこれらの相互作用による力またはエネルギー上のデータをエキスポートしなければならないことである。ハーフシェル法の結果として、各処理ノードが「シェル」の半分に対応するシミュレーション空間の領域からのデータをインポート（また、領域へのデータをエキスポート）する。シェルの厚みはノード割り当てボックスを取り巻いているカットオフ半径に等しい。
【０１８６】
図１４を参照して、各シミュレーションのタイムステップの開始時点で、各処理ノードがそのホーム・ボックス内に現在保持している粒子のための粒子データを包含している。しかし、任意のタイムステップ中、これらの粒子のあるもの（多分全て）が、（ある意味で、距離相互作用の手続きに依存して）ホーム・ボックス近傍に存在する、ある一定の粒子とも相互作用する必要がある。粒子を相互作用させるために、処理ノードがホーム・ボックスに関連する特定領域内の粒子のためのデータをインポートする（ステップ２２２）。インポートされたデータを使用することによって、ノードがホーム・ボックスの組合せ内の粒子と、インポートされた領域間の相互作用を計算する（ステップ２２４）。システムが続いて相互作用データを適切なホーム・ボックスにエキスポートする（ステップ２２６）。このプロセス２２０は、多数のホーム・ボックスおよび領域のために処理ノード上で並列にまたは二者択一的に僅かなプロセッサ上で直列に実行することができる。加えて、このプロセス２２０は反復されシステム内で粒子のための一連の時間基準位置および力を生成する。多数のタイムステップが計算できれば、システムは、タイムステップが維持されるかどうかを決定し（ステップ２２８）、もし維持されれば、ホーム・ボックスのための関連する計算領域内の粒子に対して更新データ（例えば、前回タイムステップからのデータ）がインポートされる（ステップ２３２）。続いて、プロセスが相互作用を計算し（ステップ２２４）、適切なホーム・ボックスへデータをエキスポートする（ステップ２２６）。
【０１８７】
図１５および１６を参照して、「直交」データ・インポートおよび相互作用領域（直交法と呼ぶ）に基づくシミュレーション空間の分解を示す。この分解において、カットオフ未満で分離されたいずれか二つの粒子が与えられ、組をなす粒子の相互作用を計算するノードは、より大きいｘ−座標を伴う粒子のｘ−ｙ平面内とより小さいｘ−座標を伴う粒子のｚ−ライン内のボックスを有しているノードである。この計算の分布の結果は、各ノードがある一定のカラム２５２（タワーと呼ぶ）とシミュレーション空間のある一定のスラブ２５４（プレートと呼ぶ）からデータをインポート（また、カラム及びスラブへデータをエキスポート）しなければならない。この方法はハーフシェル法を超える利点を有しており、カットオフ半径がボックス寸法と比較して大きいときに、ほとんど通信がない。
【０１８８】
連続する分解を仮定すると、直交法のインポート領域１５０は四つの面領域（γ＋ｘ，γ＋ｙ，γ−ｚおよびγ＋ｚ）および二つのエッジ領域（γ＋ｘ−ｙとγ＋ｘ＋ｙ）の結合したものからなるが、コーナー領域は含まれていない。コーナー領域の欠如は、ハーフシェル法を超えるその利点と見なす特徴である。都合上、インポート領域のある一定部分には名前が付けられている。詳しく説明すると、γ＋ｚは上方タワー２５４と呼ばれ、一方γ−ｚは下方タワー２５８と呼ばれる。上方タワー２５４と下方タワー２５８の結合されたものが外方タワーと呼ばれ、一方外方タワーとホーム・ボックス２５６の結合されたものが単にタワーと呼ばれる。部分領域γ＋ｙ２６６とγ＋ｘ＋ｙ２６４の結合したものがノース・プレートと呼ばれ、一方γ＋ｘ２６２とγ＋ｘ−ｙ２６０の結合されたものがイースト・プレートとよばれる。ノース・プレートとイースト・プレートの結合されたものが外方プレートと呼ばれ、一方外方プレートとホーム・ボックスの結合されたものが単にプレート２５４と呼ばれる。注意しなければならないのは、ホーム・ボックス２５６はタワー２５２とプレート２５４両方に属していることである。直感的に、タワー２５４は、ホーム・ボックス２５６を正方向ｚと負方向ｚ両方に距離Ｒだけ引き伸ばすことによって得られる。プレートはホーム・ボックス２５６と厚みｈｚの近接「テラス」を含んでおり、（大雑把に言えば）テラスはタワーから離れて距離Ｒに延長しているが、その回りの部分のみに連結している。直交法（連続分解を想定して）によって使用されるインポート領域を図１５と１６に示している。
【０１８９】
図１７を参照して、直交法を使用することによって各ホーム・ボックスに関連する処理ノードが、任意のタイムステップ中に必要とされる一連の相互作用の特定サブセットを実行する。より詳しく説明すると、ホーム・ボックスに関連するステーション内で実行される一連の相互作用は、粒子が僅かＲにすぎない距離だけ分離され相互作用のみをし、また、各対の粒子が一度だけ相互作用をするように定義される。ホーム・ボックスの外方プレート内の各粒子ｐが、そのタワー３０２内で各粒子と相互作用する（ルール１）。ホーム・ボックス内の各粒子ｐがホーム・ボックス３０４の上方タワー内で各粒子と相互作用する（ルール２ａ）。さらに、ホーム・ボックス内の各粒子ｐが、ｐｉｄ（ｐ´）＞ｐｉｄ（ｐ）であるホーム・ボックス内で各粒子ｐ´と相互作用し、ここでｐｉｄ（ｐ）は粒子３０６の粒子識別番号である（ルール２ｂ）。
【０１９０】
これらの相互作用ルールは、ホーム・ボックスに関連するステーション内で発生する各相互作用がホーム・ボックスのタワーから一つの粒子とホーム・ボックスのプレートから一つの粒子を含んでいることを示している。これらの粒子の一つまたは両方が、（それ自体のタワーとプレートに属していると定義することによってホーム・ボックス自体内）に存在しているが、いずれの粒子も相互作用する処理ノード内に存在しない場合がしばしばである。これは相互作用ルール１が任意のホーム・ボックスの外方プレート内にある粒子をそのホーム・ボックスの外方タワー内の粒子と相互作用させることができるからである。これはハーフシェル法と対照的な状態にあって、任意のステーション内で発生する各対関係にある粒子の相互作用が、そのステーションのホーム・ボックス内にある少なくとも一つの粒子を包含している。ポテンシャルエネルギーの計算は、力ベクトルの局所的蓄積がなされるように、ハーフシェル法に関して上述した概要と同じ工程をとる。しかし、直交法において、二つの相互作用粒子のどれもホーム・ボックスＨ内に存在しないときに、力の寄与はこれら粒子の両者のホーム・ボックスにエキスポートされる。これらのホーム・ボックスに沿って、各々この種の力の成分が同じ方向にある粒子同士が接着された他の力の成分と結合される。側部の長さがＲよりも短いホーム・ボックスの典型的な場合において、ハーフシェル法は、そのホーム・ボックス内に存在する比較的少量の粒子と他のホーム・ボックスからインポートされなければならない、ずっと多い数の粒子との相互作用結果となる。直交法において、各ホーム・ボックス内で発生する相互作用の数はハーフシェル法とほぼ同じであるが、これらの相互作用はその外方タワーと外方プレートからのほぼ等しい数の粒子をインポートすることによって得られる。ちょうど正方形の周辺が、等価領域にある他の矩形の周辺よりも短く、タワーとプレートからインポートされるｐＲｅｃｓの数を平衡させることが、任意の数の相互作用（その域の大雑把なアナログ）を実行するために（矩形の周辺の大雑把なアナログ）インポートされるべきデータの量を最少にする傾向にある。同様の論点が、組ごとの力ベクトルをエキスポートし、結合する直交法の利点を説明することができる。
【０１９１】
＜通信必要項＞
このセクションでは、連続分解と（簡略化するために）ｈｘ＝ｈｙ＝ｈｚ＝ｈを有する立方体状ホーム・ボックスを仮定して、直交法のための通信要求の定量的評価を提供する。注意しなければならないことは、この場合において、ホーム・ボックスの単一面領域、エッジ領域およびコーナー領域の体積、面積、長さが、
Ｖｆ＝ｈ２Ｒ
Ｖｅ＝πｈＲ２／４
Ｖｃ＝πＲ３／６
によって与えられることである。
【０１９２】
Ｖｈ＝３Ｖｆ＋６Ｖｅ＋４Ｖｃであるハーフシェル法のインポート領域の体積が、Ｏ（ｈ２Ｒ＋ｈＲ２＋Ｒ３）である。
直交法のためのインポート領域は、４面領域と２エッジ領域、すなわち、
Ｖｏ＝４Ｖｆ＋２Ｖｅ，
であって、これはＯ（ｈ２Ｒ＋ｈＲ２）である。一定要素を考慮して、直交法は、
４（Ｖｅ＋Ｖｃ）＞Ｖｆ
である限り、あるいは同値であるが、
【０１９３】
【数５２】
0005490070.tif 000053
である限り、より小さいインポート体積（およびインポートされるのに必要とするより小さい数のｐＲｅｃｓ）に関連していることが分かる。
【０１９４】
上述の解析は立方体ホーム・ボックスを仮定し、また、ハーフシェル法に関係する直交法の利点を過少評価している。これは非立方体ホーム・ボックスの選択が前者によってインポートされなければならないデータ量を付加的な節約を提供するからである。詳しく説明すると、ｈｘ＝ｈｙを維持するが、ｈｚを可変にすると、ｈｘとｈｙに対するｈｚの最適比は、ＰＮｓの数が大きくなり、かつ、各ホーム・ボックスの体積がこの結果としてより小さくなるにつれて減少する。しかし、直交法と併用するために選択されたホーム・ボックスの最適アスペクト比は機械のセグメントの寸法と構成によって決まる。
【０１９５】
上記の解析は粒子データ記録をホーム領域にインポートする観点に向けられているが、同じ解析が力ベクトルのこれらホーム・ボックスへのエキスポートを維持し、ここからインポートされた粒子が得られる。この解析はまた距離相互作用がボックス分解方法の一つを使用して処理される場合に容易に適用される。この場合において、γ部分領域は全てボックスであり、二つのインポート方法に関連するインポート領域の境界は平坦であるが、漸近結果は同じである。
【０１９６】
注意しなければならないことは、上記解析が各シミュレーション・タイムステップ中にインポートし、また、エキスポートしなければならないデータ量のみを考慮しており、通信操作と計算操作間で重複する部分は考慮されていないことである。しかし、ほとんどの場合、全てのタワー粒子データ記録（しかし全プレート粒子ではない）は、組ごとの力の計算が開始される前にインポートされることを期待する。これはハーフシェル法に関して直交法の欠点を表わしており、原則としてその計算は、第１ｐＲｅｃｓがホーム・ボックス内にインポートされるやいなや開始することができる。しかし、この欠点はｈｘとｈｙに対するｈｚの比をより大きくすることによって軽減される。詳しく説明すると、立方体ホーム・ボックス（他の理由のために利点を立証できる）は、最も現実的パラメータ・セットに対して、総インポート体積の増大が比較的控えめな犠牲でプレート・インポートよりもタワー・インポートに必要とする時間が少なくなる。マルチスレッド技術を使用して、第２の従ってタワー原子をインポートするために必要とされる時間の一部または全てを「隠して」計算して第１シミュレーション内で第１の一部を重ねた通信の頂部上に第２シミュレーションを効果的に重複することも可能である。
【０１９７】
直交法によりＲを越えない距離だけ離された各粒子の組が正確に一度相互作用することを検証するために、二つの粒子のホーム・ボックスが一つ以上の次元で同じ座標を有しているかどうかに基づいて、四つのケースに分別するのに有利である。これらのケースは、二つのホーム・ボックスが異なるｘ座標（ケース１）有しているかどうか、その他に二つのホーム・ボックスが異なるｙ座標（ケース２）を有しているかどうか、さらに他に二つのホーム・ボックスが異なるｚ座標（ケース３）を有しているかどうか、およびさらに他の場合（ケース４）を有しているかどうかを含めることができる。例えば、ケース２は二つの粒子のホーム・ボックスが同じｘ座標を有しているが、異なるｙ座標であり、また、ｚ座標は同じまたは異なる状況に対応している。
【０１９８】
ケース１の場合において、二つの粒子のホーム・ボックスは異なるｘ座標を有している。ここでｔをｘ座標よりも小さい点とし、ｐを他の粒子とし、ＨｔとＨｐをそのそれぞれのホーム・ボックスと定義する。今、（ａ）粒子ｔを含んでいるｚ軸と平行な線と（ｂ）粒子ｐを含んでいるｚ軸と平行な線の交点である点ｓ＝（ｓｘ，ｓｙ，ｓｚ）＝（ｔｘ，ｔｙ，ｐｚ）に注目する。粒子ｐとｔがわずかＲだけしか分離されていないと仮定しているので、確かにこの場合、｜ｔｚ−ｓｚ｜＝｜ｔｚ−ｐｚ｜≦Ｒとなる。ｔｘ＝ｓｘ，ｔｙ＝ｓｙ、また、｜ｔｚ−ｓｚ｜≦Ｒであるから、粒子ｔは点ｐを含んでいるホーム・ボックスＨｓのタワー内に存在していなければならない。ここで粒子ｐに切り替えると、
（（ｓｘ−ｐｘ）２＋（ｓｙ−ｐｙ）２）１／２＝（（ｔｘ−ｐｘ）２＋（ｔｙ−ｐｙ）２）１／２≦（（ｔｘ−ｐｘ）２＋（ｔｙ−ｐｙ）２＋（ｔｚ−ｐｚ）２）１／２≦Ｒ
であることにことが分かる。
【０１９９】
ｐｘ≧ｔｘの仮定とＨｐが構造的にＨｓと同じｚ座標を有している事実とを組合せることにより、ｐはＨｓの外方プレート内に位置していなければならないことを意味していることが簡単に示される。従って、相互作用ルール１は、粒子ｔとｐをしてホーム・ボックスＨｓ内で相互作用せしめる。これら同じ二つの粒子が、一度を超えて互いに相互作用をしないことを検証するために、まず注意しなければならないことは、ｐｘ≧ｔｘであるから、ルール１は二つの粒子が交換されたときは引き起こされない（いずれのホーム・ボックスにおいても）ことである。さらに、ＨｔとＨｐが異なるｘ座標を有しているので、いずれの粒子も他の上方タワーに存在できず、従ってルール２（ａ）は引き起こされることはない。同様にして、ＨｔとＨｐが異なるｘ座標を有している事実が、二つの粒子が同じホーム・ボックスにある可能性を排除し、従ってルール２（ｂ）は決して適用できない。従って、二つの粒子間の空間関係がケース１によって説明されれば、これら粒子は確かに一度相互作用をするケースとなるにちがいない。
【０２００】
第２ケースにおいて、二つの粒子のホーム・ボックスは共通ｘ座標を共用するが、異なるｙ座標を有している。このような第２ケースにおいて、ｔをより小さいｙ座標上の点をとると、ＨｔとＨｐは再度そのそれぞれのホーム・ボックスとして定義される。ｔとｐが互いに距離Ｒ内にあるので、粒子ｐの外方プレートＨｔの一部であるホーム・ボックスＨｔの副領域γ＋ｙ内に存在しなければならない。従って、二つの粒子はルール１に従ってホーム・ボックスＨｔ内で相互作用する。部分領域γ―ｙは、部分領域γ＋ｙとは異なり、任意のホーム・ボックスの外方プレート内に含まれていないが、二つの粒子はホーム・ボックスＨｐ内で相互作用しない。ＨｔとＨｐが異なるｙ座標を有しており、いずれの粒子も他のタワー内になく、また二つの粒子は共通のホーム・ボックスを共用できず、従って、ルール２（ａ）または２（ｂ）に基づいて余分な相互作用を除外する。
【０２０１】
第３ケースにおいて、二つの粒子のホーム・ボックスは同じｘおよびｙ座標を有しているが、異なるｚ座標を有している。ｐをより小さいｚ座標を有する粒子とし、またｔを他の粒子とすると、ＨｐとＨｔはそのそれぞれのホーム・ボックスとして定義される。ｐとｔ間の距離がＲを超えないので、粒子ｔは上方タワーＨｐ内になければならず、また二つの粒子はルール２（ａ）の結果としてＨｐ内で相互作用する。ｐがＨｔの下方タワー内にあるが、しかし、このルールは二つの粒子がＨｔ内で余分に相互作用することはない。ＨｐとＨｔが同様のｘとｙ座標を有しているので、その外方プレート内にｐを、また、そのタワー内にｔを含んでいるホーム・ボックスは保有できない、従ってルール１は決して適用できず、従って余分な相互作用となることはない。ルール２（ｂ）も決して引き起こされず、また、従って決して同じホーム・ボックス内に存在しない。従って、粒子ｐとｔはケース３で正確に一度相互作用する。
【０２０２】
第４ケースにおいて、二つの粒子は同じホーム・ボックス内にあり、また、ルール２（ｂ）に基づいてホーム・ボックス内で相互作用する。粒子ＩＤ番号は、このルールがホーム・ボックス内で余分な相互作用を発生することを防止する。二つの粒子が同じホーム・ボックス内に存在するので、ルール１と２（ａ）は適用できず、また従って余分な相互作用を発生させることはない。従って、このケースの場合においても、二つの粒子は確実に一度相互作用し、検証が成立する。本発明の多数の実施例を説明した。それにもかかわらず、種々の修正例が本発明の技術思想および範囲から逸脱することなく可能である。
【０２０３】
システムの他の形態は、ソフトウエア、ファームウエア、デジタル電子回路、コンピュータ・ハードウエア、他の実行モードまたはこの種のモードの組み合わせによって実行可能である。システムはプログラム可能プロセッサによって実行するための機械読取可能装置内で明白に実施されるコンピュータ・プログラム製品を含めることができる。方法は、命令プログラムを実行し、データを入力し出力を発生する操作によって機能を実行するプログラム可能プロセッサによって実行することができる。このシステムは、少なくとも一つの入力装置と少なくとも一つの出力装置間でデータ記憶システムに対してデータと命令を送受信するように結合された少なくとも一つのプログラム可能プロセッサを含むプログラム可能システム上で実行可能な、一つまたはそれ以上のコンピュータ・プログラム内で実行することができる。各コンピュータ・プログラムは高レベル処理ないしオブジェクト志向プログラム言語、またはアッセンブリ内で、または所望ならば機械言語で実行することができる。この種の言語はコンパイル言語またはインタープリタ言語とすることができる。適切なプロセッサには、例えば、汎用および特定目的マイクロプロセッサ、またはこれら両者が含まれる。一般的に、プロセッサはＲＯＭおよび（または）ＲＡＭから命令およびデータを受信する。概して、コンピュータには、データ・ファイルを記憶するための一つまたはそれ以上の大容量記憶装置が含まれる。コンピュータ・プログラム命令およびデータを明白に実施するのに適した記憶装置には不揮発性メモリの全形態が含まれ、例としてＥＰＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭおよびフラッシュメモリ装置のような半導体メモリ装置、内部ハードディスクおよびリムーバブル・ディスクのような磁気ディスク、磁気−光学ディスク、およびＣＤ−ＲＯＭディスクが含まれる。上述の装置はいずれもＡＳＩＣ（アプリケーション−特定集積回路）によって共動し、または補強することができる。
【０２０４】
尚、国際出願の英文明細書中にＪＩＳ文字集合で表現できない箇所が存在したため、この翻訳文はで代替表示を利用した。具体的には、ベクトル量を示す太文字や、テンソル積記号、ベクトル量を表示するために利用してしまったスカラー量、記号の上にチルダを付けた文字、総和記号のように記号の上下に小さい文字を付けた文字は以下のように記載した。
【０２０５】
【数５３】
0005490070.tif 000054
【符号の説明】
【０２０６】
Ｓ・・・拡がり関数，ρ…電荷分布、ｒ…位置。
【図１】
0005490070.tif 000055
【図２】
0005490070.tif 000056
【図３】
0005490070.tif 000057
【図４】
0005490070.tif 000058
【図５】
0005490070.tif 000059
【図６】
0005490070.tif 000060
【図７Ａ】
0005490070.tif 000061
【図７Ｂ】
0005490070.tif 000062
【図７Ｃ】
0005490070.tif 000063
【図８】
0005490070.tif 000064
【図９】
0005490070.tif 000065
【図１０】
0005490070.tif 000066
【図１１】
0005490070.tif 000067
【図１２】
0005490070.tif 000068
【図１３】
0005490070.tif 000069
【図１４】
0005490070.tif 000070
【図１５】
0005490070.tif 000071
【図１６】
0005490070.tif 000072
【図１７】
0005490070.tif 000073