(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
第１密度を有する第１媒体と、
前記第１媒体中に配設した略周期的配列構造体であって、前記構造体は前記第１密度と異なる第２密度を有する第２媒体で作られた略周期的配列構造体とを有する防音材であって、
前記第１および第２媒体の少なくとも一方は、縦方向音波の伝播速度および横方向音波の伝播速度を有する固体媒体であり、前記縦方向音波の伝播速度は、前記横方向音波の伝播速度の少なくとも３０倍であることを特徴とする防音材。
【請求項２】
粘弾性材料を有する第１媒体と、
前記第１媒体よりも低い密度をもつ第２媒体であって、略周期性配列構造体の構造をもち、前記第１媒体中に埋め込まれた第２媒体とを有し、
前記第１媒体は、縦方向音波の伝播速度および横方向音波の伝播速度を有し、前記縦方向音波の伝播速度は、前記横方向音波の伝播速度の少なくとも３０倍であることを特徴とする防音材。
【請求項３】
前記第２媒体は液体を有することを特徴とする請求項１または請求項２に記載の防音材。
【請求項４】
前記粘弾性材料は、少なくとも４ｋＨｚ以下から２０ｋＨｚ以上の音響帯域ギャップを生じるのに十分な粘弾性係数および粘性の組み合わせを有し、防音材の厚さが２０ｃｍ以下であるとき、前記帯域ギャップ内の周波数の縦方向音波の透過係数が０．０５以下となることを特徴とする請求項２または請求項３に記載の防音材。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本願は、米国特許仮出願番号第６１/０１５，７９６（出願日：２００７年１２月２１日）に基づいて優先権を主張するものであり、前記出願の全ての記載をここに引用するものである。    
【０００２】
本発明は防音材に関するものであり、具体的にはフォノニック結晶を用いる防音材に関する。
【背景技術】
【０００３】
防音材および防音構造物は、防音産業において重要な用途を有している。防音産業で従来使用される吸音材、反射材および障壁などの材料は、周波数選択的な騒音調整を備えなくても広い周波数領域にわたり有効である。有効な騒音防止装置によって周波数選択的に騒音を減少させることができる。しかし、一般にこのような騒音防止装置は、閉塞空間において最も効果を発揮するもので、電力供給用および制御用電子装置への投資およびそれを操作することが必要になる。
【０００４】
周期的で非等質的な媒体である、フォノニック結晶は、音響通過バンドおよび帯域ギャップを有する防音材として利用されてきた。例えば、空気中に銅チューブを周期的に並べた配列、軟弾性素材で被覆した高密度中心部をもつ複合成分を周期的に並べた配列、および空気中に水を周期的に並べた配列などが、周波数選択的な特性を有する防音材を生み出すために用いられてきた。しかし、こうした試みには、一般に、帯域ギャップが狭くなる、または音響用には高すぎる周波数で帯域ギャップを生じる、および／または物理的にかさ高い構造を必要とするなど様々な欠点がある。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００５】
【非特許文献１】Ｊ．Ｏ．Ｖａｓｓｅｕｒ，Ｐ．Ａ．Ｄｅｙｍｉｅｒ，  Ａ．Ｋｈｅｌｉｆ，  Ｐｈ．Ｌａｍｂｉｎ，  Ｂ．Ｄａｊｆａｒｉ−Ｒｏｕｈａｎｉ，  Ａ．Ａｋｊｏｕｊ，  Ｌ．Ｄｏｂｒｚｙｎｓｋｉ，  Ｎ．  Ｆｅｔｔｏｕｈｉ，およびＪ．Ｚｅｍｍｏｕｒｉ，“Ｐｈｏｎｏｎｉｃ  ｃｒｙｓｔａｌ  ｗｉｔｈ  ｌｏｗ  ｆｉｌｌｉｎｇ  ｆｒａｃｔｉｏｎ  ａｎｄ  ａｂｓｏｌｕｔｅ  ｂａｎｄ  ｇａｐ  ｉｎ  ｔｈｅ  ａｕｄｉｂｌｅ  ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ  ｒａｎｇｅ：Ａ  ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ  ａｎｄ  ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ  ｓｔｕｄｙ，”Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ６５，０５６６０８（２００２）
【非特許文献２】Ｐｈ．Ｌａｍｂｉｎ，Ａ．Ｋｈｅｌｉｆ，Ｊ．Ｏ．Ｖａｓｓｅｕｒ，Ｌ．Ｄｏｂｒｚｙｎｓｋｉ，およびＢ．Ｄａｊｆａｒｉ−Ｒｏｕｈａｎｉ， “Ｓｔｏｐｐｉｎｇ  ｏｆ  ａｃｏｕｓｔｉｃ  ｗａｖｅｓ  ｂｙ  ｓｏｎｉｃ  ｐｏｌｙｍｅｒ−ｆｌｕｉｄ  ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ，”Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ６３，０６６０５（２００１）
【非特許文献３】Ｚ．Ｌｉｕ，Ｘ．Ｚｈａｎｇ，Ｙ．Ｍａｏ，Ｙ．Ｙ．Ｚｈｕ，Ｚ．Ｙａｎｇ，Ｃ．Ｔ．Ｃｈａｎ，Ｐ．Ｓｈｅｎｇ，Ｓｃｉｅｎｃｅ  ２８９，１７３４頁（２０００）
【非特許文献４】Ｐｏｌｙｍｅｒ  Ｈａｎｄｂｏｏｋ，第３版、Ｊ，ＢｒａｎｄｕｐおよびＥ．Ｈ．Ｉｍｍｅｒｇｕｔ編、Ｗｉｌｌｅｙ，ＮＹ，１９８９
【非特許文献５】Ｔａｎａｋａ  Ｙｕｋｉｈｉｒｏ，Ｙｏｓｈｉｎｏｂｕ    Ｔｏｍｏｙａｓｕ，およびＳｈｉｎｉｃｈｉｒｏ  Ｔａｍｕｒａ，“Ｂａｎｄ  Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ  ｏｆ  ａｃｏｕｓｔｉｃ  ｗａｖｅｓ  ｉｎ  ｐｈｏｎｏｎｉｃ  ｌａｔｔｉｃｅｓ：Ｔｗｏ−ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ  ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ  ｗｉｔｈ  ｌａｒｇｅ  ａｃｏｕｓｔｉｃ  ｍｉｓｍａｔｃｈ．”ＰＨＹＳＩＣＡＬ  ＲＥＶＩＥＷ  Ｂ（２０００）：７３８７−７３９２頁
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
従って、従来技術の欠点を減らした、より優れた防音材が必要とされている。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
本発明は、一般に防音材に関するものであり、より具体的には粘弾性材料を用いて構成したフォノニック結晶に関する。
【０００８】
本開示の一態様では、防音材は、（ａ）第１密度をもつ第１媒体、および（ｂ）前記第１媒体中に配設した略周期性配列構造体を有し、前記構造体は、前記第１密度と異なる第２密度をもつ第２媒体で作られる。前記第１媒体および第２媒体の少なくとも一方は、固形粘弾性シリコンゴムなどの固形媒体である。この固形媒体には、縦方向音波の伝播速度および横方向音波の伝播速度があり、前記縦方向音波の伝播速度は前記横方向音波の伝播速度の少なくとも約３０倍の速度となる。
【０００９】
本開示中に用いる「固形媒体」は、その媒体の定常緩和係数が、長時間の限定内で有限値、つまり非ゼロ値となる傾向をもつ媒体である。
【００１０】
また、本開示の別の態様では、防音材の製造方法に関する。ある形態では、前記方法は、（ａ）縦方向音波の伝播速度、横方向音波の伝播速度、および複数の緩和時間定数をもつ粘弾性材料を有する第１の候補媒体を選定する工程、（ｂ）第２の候補媒体を選定する工程、（ｃ）前記複数の緩和時間定数の少なくとも一部に基づいて防音材の音響透過特性を決定する工程を有し、前記第１および第２の候補媒体の一方に前記第１および第２の候補媒体のもう一方を埋め込んで略周期的に並べた配列を前記防音材は含み、さらに、防音材の音響透過特性を決定した結果の少なくとも一部に基づいて防音材を構築するために、前記第１および第２の候補媒体を使用するかどうかを決定する工程を有することを特徴とする。
【図面の簡単な説明】
【００１１】
【図１】マックスウェルモデルおよびケルビン−フォークトモデルを示した図である。
【図２】マックスウェル−ヴァイヒェルトモデルを示した図である。
【図３】本開示の一態様に係るポリマーマトリックス中に埋め込んだ空気筒状体の２次元配列の断面図を概略的に示す。前記筒状体は、デカルト座標（ＯＸＹＺ）のＺ軸に平行である。格子定数ａ＝１２ｍｍ、筒状体直径Ｄ＝８ｍｍである。
【図４】本開示の別の態様に係る、空気中に埋め込んだハニカム格子に配設したポリマー筒状体の２次元配列の断面図を概略的に示す。前記筒状体は、デカルト座標（ＯＸＹＺ）のＺ軸に平行である。垂直格子定数ｂ＝１９．９ｍｍ、水平格子定数ａ＝３４．５ｍｍ、および、筒状体直径Ｄ＝１１．５ｍｍである。
【図５Ａ】ポリマーマトリックス中の空気筒状体配列について計算したスペクトル透過係数を示す。
【図５Ｂ】図５Ａで示した図の一部をより詳細に示す。
【図６】ポリマーマトリックス中の空気筒状体配列に関する透過パワースペクトルの測定結果を示す。
【図７】ポリマーマトリックス中に充填率ｆ＝０．３４９で埋め込んだ空気筒状体からなる２次元正方格子において、有限差分時間領域（ＦＤＴＤ）法を用いて求めたバンド構造を示す。波数ベクトルの方向は前記筒状体の軸と垂直になる。
【図８Ａ】ポリマーマトリックス中に充填率ｆ＝０．３４９で埋め込んだ空気筒状体からなる２次元正方格子中、単一モード（縦方向音響波だけの）における分散相関をプロットした図である。波数ベクトルの方向は前記筒状体の軸と垂直になる。
【図８Ｂ】図８Ａで示した図の一部をより詳細に示す。
【図９】縦方向の刺激信号に相当する透過横方向波について、せん断透過係数をプロットした図である。
【図１０】ポリマーマトリックス中に埋め込んだ空気筒状体配列について計算した、横方向波の透過係数のスペクトル図を示す。
【図１１】シリコンゴムマトリックス中に埋め込んだ空気筒状体配列について、横方向波速度の様々な値に対応する縦方向波の透過係数のスペクトル図を示す。
【図１２Ａ】緩和時間τ＝１０−５秒のシリコンゴムマトリックス中に埋め込んだ空気筒状体配列について、様々なα０値に対応する縦方向波の透過係数のスペクトル図を示す。
【図１２Ｂ】図１２Ａで示した図の一部をより詳細に示す。
【図１３】緩和時間τ＝１０−６秒のシリコンゴムマトリックス中に埋め込んだ空気筒状体配列について、様々なα０値に対応する縦方向波の透過係数のスペクトル図を示す。
【図１４】緩和時間τ＝１０−８秒のシリコンゴムマトリックス中に埋め込んだ空気筒状体配列について、様々なα０値に対応する縦方向波の透過係数のスペクトル図を示す。
【図１５Ａ】無次元の平衡引張係数α０＝０．５をもつシリコンゴムマトリックス中に埋め込んだ空気筒状体配列について、様々な緩和時間値に対応する縦方向波の透過係数のスペクトル図を示す。
【図１５Ｂ】図１５Ａで示した図の一部をより詳細に示す。
【図１６Ａ】シリコンゴムマトリックス中に埋め込んだ空気筒状体配列中での縦方向波について、一般８要素マックスウェルモデルに基づいて求めた透過係数のスペクトル図を示す。
【図１６Ｂ】弾性ゴム中、シリコン粘弾性ゴム中、およびシリコンゴム−空気からなる空気筒状体複合構造中における透過振幅スペクトルを比較した図を示す。
【図１７】空気中のハニカム格子上に配設した隣接ポリマー筒状体配列のスペクトル透過係数を示す（筒半径＝５．７５ｍｍ、六方格子パラメータ＝１９．９ｍｍ）。波の伝播方向の前記構造物の全体の厚みは１０３．５ｍｍである。
【図１８】緩和時間１０−４秒をもつ空気中のハニカム格子に配設した隣接ポリマー筒状体配列について測定した、様々なα０値に対応する様々な透過係数を比較した図を示す。
【図１９】空気中のハニカム格子上に配設した隣接ポリマー筒状体配列を、一般８要素マックスウェルモデルと弾性モデルとに基づいて求めたスペクトル透過係数の対比図を示す（筒半径＝５．７５ｍｍ、六方格子パラメータ＝１９．９ｍｍ）。波の伝播方向の前記構造物の全体の厚みは１０３．５ｍｍである。
【発明を実施するための形態】
【００１２】
Ｉ．概要  
本開示は、周波数選択的に音響波を、特に可聴周波数域における音響波を遮断するフォノニック結晶に関する。
【００１３】
空気中の音の波長よりも短い距離で、またはそれと同じ次数の距離で音の伝播を防止する構造物を設計することは、防音における課題である。こうした素材の開発において、少なくとも２種類の取り組みが行われてきた。第１の取り組みは、マトリックッス中に封入体を周期的に配列することにより弾性波をブラッグ散乱する方法に基づくものである。帯域ギャップの存在は、封入体およびマトリックス素材の物理的および弾性的特性、封入対の充填率、配列と封入体の幾何学的配設における差異に依存する。低周波数でのスペクトルギャップは、長い周期（および大きな封入体）および音の伝播速度が遅い素材をもつ配列の場合に生じることがある。例えば、非特許文献１では、正方単位セルの端縁部に平行な方向に沿って伝播する音響波において、４−７ｋＨｚ範囲の明確な音響ギャップを、空気中の銅中空筒状体（直径２８ｍｍ）を正方配列することで得ている。また、非特許文献２では、センチメートルサイズの構造物について、水／空気複合媒体によって広域なストップバンドが１ｋＨｚの低周波数まで広がることが示されている。また、第２の取り組みでは、共鳴性をもつ軟弾性素材（いわゆる「局所共鳴素材」）で被覆した重い封入体を有する構造物を使用している。非特許文献３参照。この非特許文献３では、共鳴周波数が非常に低いことが報告されているにもかかわらず（ブラッグ周波数よりも２桁低い）、生じた帯域ギャップは狭い。従って、広いストップバンドを達成するためには、様々な複数の反響構造物を重ねて合わせて使うことが必要と思われる。
【００１４】
前記非特許文献が記載した構造物は予想した（いくつかのケースでは実験で示された）帯域ギャップを示すが、一方で、普通これら構造物は、超音波周波数（２０ｋＨｚ＋ＧＨｚまで）に有効である。従って、可聴周波数制御を目的にしたとき、構造物は巨大（直径数センチメートルの金属管などを、立方デシメートルまたは立方メートルの外周サイズをもつ配列中に配設したもの）で重いものとなってしまう。従って、ほどよい外周サイズ（数センチ以下）をもち軽量な構造物を設計および構築することは、可聴周波数制御における課題である。
【００１５】
本開示のある態様では、線形粘弾性材料で、いくつかは市販で入手可能な材料を用いて、可聴領域中に帯域ギャップを有するフォノニック結晶構造物を構築できる。前記材料は、軽量であるとともに数センチメートル以下の外周サイズをもつ。設計パラメータを調整することで、帯域ギャップの周波数、数、および領域幅を調整することができる。こうした設計パラメータには以下のものが含まれる。
・格子の種類（例えば、２次元（２Ｄ）：正方格子、三角格子など。３次元（３Ｄ）：面心立方格子（ｆｃｃ）、体心立方格子（ｂｃｃ）など）。
・地点間の距離（格子定数、ａ）。
・単位セルの構成および形状（２次元では、封入体が占有する単位セルの分画面積。これは充填率、ｆとしても知られる）。
・封入体およびマトリックス素材の物理的特性（例えば、密度、ポアソン比、種々の係数、縦方向モードおよび横方向モードにおける音の速度など）。
・封入体の形状（例えば、棒状、球状、中空棒状、角柱状など）。
【００１６】
本開示の一態様では、ゴム／空気による、小さなサイズの音響帯域ギャップ（ＡＢＧ：ａｃｏｕｓｔｉｃ  ｂａｎｄ  ｇａｐ）構造物を用いて、１ｋＨｚ以下の相対的に低いギャップ末端をもつ非常に広範囲な可聴周波数帯で、縦方向音響波を減衰することができる。こうしたＡＢＧ構造物は、必ずしも完全な帯域ギャップを示す必要はない。しかし、ゴム内部における音波の横方向速度は、縦方向の音波の速度よりも２桁近く遅いので、縦方向モードおよび横方向モードを有効に緩和することができる。こうした固体／液体複合体は、縦波の透過に対し、基本的に液体／液体系のように作用することが見出されている。従って、有効な防音材として、こうしたゴム／空気によるＡＢＧ構造物を使用できる。
【００１７】
一般的に、粘弾性媒体を用いてフォノニック結晶を構築することができる。また、本開示の別の態様では、コンピュータモデリングを用いて、前記複合媒体の透過スペクトルに関する粘弾性効果を予測することで、少なくとも部分的にフォノニック結晶の音響特性を選定することができる。例えば、有限差分時間領域法（ＦＤＴＤ：ｆｉｎｉｔｅ  ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ  ｔｉｍｅ  ｄｏｍａｉｎ）を用いて、非等質粘弾性媒体における透過スペクトルおよび音響バンド構造を計算することができる。また、粘弾性媒体に通常存在する多緩和時間を基盤に用い、粘弾性媒体に関する圧縮性一般線形粘弾性液体の構成相関と組み合わせて、一般化マックスウェルモデルなどのモデルを使用してスペクトル応答を計算することができる。
【００１８】
また、本開示の別の態様において、従来の弾性−弾性フォノニック結晶とは異なり、相対的に軽い媒体からなるマトリックス中に相対的に密度の高い相を埋め込む場合、線形粘弾性液体からなるマットリックス中に埋め込む封入体として、空気筒状体を使用する。
【００１９】
ＩＩ．構造物の例
Ａ．材料の選定
本開示の一態様では、音の伝播速度が遅い特性をもつように、可聴領域にフォノニック結晶を構築するための材料を選定する。この選定は、帯域ギャップの中心周波数は結晶を通って伝播する波の平均速度に直接比例するという、ブラッグ則の結論に従うものである。なお、対象とする周波数では、音の速度が減少するにつれて音の波長も短くなる。波長が短くなると、圧力波が小さな構造物と起こす相互作用がより大きくなると考えられているので、可聴周波数活性およびセンチメートル以下の外周サイズを有するフォノニック結晶を合成することが可能である。低い弾性係数および高密度の両方の性質をもつ材料は有用であるといえる。それは、こうした材料では音の速度が低くなるためであり、また通常の材料では弾性係数が減少するに従って密度も減少するからである。ある種のゴム、ゲル、泡などを、上記の好適な特性の組み合わせをもつ材料として選定してもよい。
【００２０】
また、ある種の市販で入手可能な粘弾性材料は、潜在的に魅力的な候補材料となるような特性を有している。第１に、こうした材料の機械的応答性は、様々な周波数にわたり変化するので、注文に応じた用途にも好適である。第２に、こうした材料は、線形弾性素材にはない散逸性機構を提供する。第３に、こうした材料中の音の縦方向速度は通常１０００ｍ／ｓオーダーであるのに対して、横方向の音の速度は縦方向の速度よりも１桁以上遅いことが観測されている。また、周波数に対して一定の弾性係数をもつ弾性材料が、種々の周波数にわたって一定の縦方向および横方向速度をもつのに対して、線形粘弾性材料は、周波数を減少させるのに従って減少する（動的）弾性係数を有している。以上のことは、音響的により低い周波数では、速度がより遅くなるほうが好適であることを意味している。
【００２１】
線形粘弾性材料で観測される上記現象は、線形弾性材料の特性とは際立って対照的である。従って、粘弾性材料を含むフォノニック結晶は、その単なる弾性材料の対照物に比べて、異なった、および音響的に優れた挙動を示す。より具体的には、粘弾性があることによって、帯域ギャップが広がるだけではなく帯域ギャップの中心周波数を低周波数側に移行させることが可能になる。
【００２２】
Ｂ．コンピュータモデリングを用いた粘弾性フォノニック結晶の設計
本開示の別の態様としては、コンピュータモデリングを用いてフォノニック結晶を設計することがある。このコンピュータモデリングでは粘弾性材料に存在する多数の特徴的な緩和時間を考慮する。ある態様では、時間領域における支配微分方程式を有限差分方程式に変換して少増加分における時間の一要素として方程式を解くＦＤＴＤ法を用いて、多要素モデルにより防音材の音響特性を計算で求める。コンピュータモデリングを用いた粘弾性フォノニック結晶防音材の設計過程の詳細については、補遺を参照されたい。
【００２３】
また、本開示の別の態様では、固体／固体および固体／液体の周期性２次元２成分系における弾性波および粘弾性波の伝播を計算で求める。こうした周期的な系のモデルとしては、等方的材料（マトリックス）Ｂに埋め込まれた等方的材料Ａからなる無数の筒状体（円形断面をもつ）配列がある。ここで、直径ｄである前記筒状体は、デカルト座標（ＯＸＹＺ）のＺ軸に平行であると仮定する。続いて、前記配列は、Ｘ軸およびＹ軸の２方向に無限に伸びているとし、探査用の波の伝播方向（Ｙ軸方向）では有限であると仮定する。前記筒状体の全ての軸と横平面（ＸＯＹ）との交差から、特定の幾何学的特徴をもつ２次元周期性配列が形成される。刺激（入力信号）音波は、コサイン変調ガウス波形として捉えられ、これによって、中心周波数５００ｋＨｚの広域帯信号を発生する。
【００２４】
例えば、２種類の構造物に対して計算を行うとする。第１の構造物は、密度＝１２６０ｋｇ／ｍ３、縦波速度＝１２００ｍ／ｓ、および横波速度＝２０ｍ／ｓである、ゴム状の粘弾性材料（ポリシリコンゴムなど）で構成する。
【００２５】
図３に示すように、粘弾性マトリックス３１０中の封入体は、空気の筒状体３２０である。ここで、ムア吸収境界条件を適用するために、入口領域および出口領域を、前記区域中「α０＝１」と設定してＹ軸方向に沿って試料の両端に付け加える。これらの領域は、弾性媒体として働くので、ムアの条件は変更しないままにする。しかし、弾性領域から粘弾性領域への移行では、音響波の反射が若干生じるものとする。このモデルでは、格子パラメータ「ａ」は１２ｍｍであり、筒状体直径は８ｍｍである。
【００２６】
また、第２の構造物を図４に示す。この構造物は、空気マトリックス４１０からなり、このマトリックス中に、六角形の１辺が１１．５ｍｍであるハニカム格子に配設した隣接ポリマー筒状体４２０（筒状体半径５．７５ｍｍ、六方格子パラメータ１９．９ｍｍ）の配列を埋め込んである。また、波の伝播方向に垂直方向の前記構造物の厚さの合計は、１０３．５ｍｍである。前記筒状体は先に記載したのと同じポリマーで製造され、その外側の媒体は空気である。
【００２７】
Ｃ．物理的防音材の例  
本開示の一態様では、ポリマーマトリックス中に埋め込んだ３６個（６×６）の平行な空気筒状体の正方配列で構成した２成分複合材料からなる試料について、実験に基づき測定する。このポリマーはシリコンゴムである（Ｄｏｗ  Ｃｏｒｎｉｎｇ  ＨＳ  ＩＩ  ＲＴＶ  Ｈｉｇｈ  Ｓｔｒｅｎｇｔｈ  Ｍｏｌｄ  Ｍａｋｉｎｇ  Ｓｉｌｉｃｏｎ  Ｒｕｂｂｅｒ、米国ウイスコンシン州、ジャーマンタウン、Ｅｌｌｓｗｏｒｔｈ  Ａｄｈｅｓｉｖｅｓ社から入手可能。または、ｈｔｔｐ／／ｗｗｗ．ｅｌｌｓｗｏｒｔｈ．ｃｏｍ／ｄｉｓｐｌａｙ／ｐｒｏｄｕｃｔｄｅｔａｉｌ．ｈｔｍ？ｐｒｏｄｕｃｔｉｄ＝４２５＆Ｔａｂ＝Ｖｅｎｄｏｒｓから入手可能）。なお、格子は１２ｍｍであり、筒状体の直径は８ｍｍである。この試料の物理的サイズは、８×８×８ｃｍである。前記ポリマーを測定して得た物理的特性は、密度＝１２６０ｋｇ／ｍ３および音の縦方向速度＝１２００ｍ／ｓである。この材料中、音の横方向速度は、様々なゴムの物理定数の発表データから、およそ２０ｍ／秒であると推定した。例えば、非特許文献４参照。
【００２８】
この実験で用いた超音波発信源は、パルサー／レシーバーモデル５００ＰＲ付きＰａｎａｍｅｔｒｉｃｓ  ｄｅｌｔａ  ｂｒｏａｄ−ｂａｎｄ  ５００ｋＨｚ  Ｐ−トランスデューサである。また、信号の測定には、ＧＰＩＢデータ集積カードを備えたＴｅｋｔｒｏｎｉｘ  ＴＤＳ  ５４０オシロスコープを用いた。測定した送信信号は、ＧＰＩＢカードを経由してＬａｂ  Ｖｉｅｗ  によって集積し、続いて、コンピュータで処理した（平均化処理およびフーリエ変換処理）。
【００２９】
先ず、円筒状のトランスデューサ（直径３．１７５ｃｍ）を、複合体試料検体の表面中央に設置した。次に、前記超音波放射源によって粗密波（Ｐ波）を発生させ、受信用トランスデューサによって送信波の縦方向成分だけを検出した。送信パルスと受信信号との時間遅延に基づく標準的な方法を用いて、音の縦方向速度を測定した。
【００３０】
Ｄ．計算で求めた特性および実際の特性に関する結果の例  
１．ゴムマトリックス／空気封入体
ａ．ゴム／空気構造物中での透過性
ｉ）弾性的ＦＤＴＤ法
図５Ａおよび図５Ｂに、ポリマーマトリックス中に埋め込んだ空気筒状体の２次元配列から得られた、ＦＤＴＤ透過係数のコンピュータ計算値を示す。ここで、弾性材料の限界をα０＝０とした。この透過スペクトルは、一般線形粘弾性方程式（２５）、（２６）および（２７）を、各時間工程を７．３ｎｓかけて２２１時間工程にわたり解くことにより得た。計算格子間隔５×１０−５ｍで、ＸおよびＹ軸方向に空間を分散した。マトリックス材料からなる弾性等質媒体中で送信したスペクトルパワーと、複合体中で送信したスペクトルパワーとの比として、透過係数を計算した。
【００３１】
なお、図５Ａのスペクトルには２つの帯域ギャップがある。最も重要な帯域ギャップは、１．５ｋＨｚから８７ｋＨｚのギャップであり、次に重要なギャップは９０ｋＨｚから１２５ｋＨｚのギャップである。また、図５Ａのスペクトルで、明確な周波数において、透過バンドが狭い範囲で急峻な減少を示している。こうした透過の減少は、空気筒状体の振動モードに対応する平坦なバンドと複合体バンドとの混成から得られたものである。こうした平坦なバンドが生じた周波数は、第１種ベッセル関数の１次導関数が０である解から得られる。つまり、Ｊ‘ｍ（ωｒ／ｃ）＝０である。ここで、ｃは空気中の音の速度、ｒは空気筒状体の半径、ｍはベッセル関数の階数を表す。
【００３２】
ｉｉ）測定
図６に、シリコンゴムマトリックス（上記参照）中に埋め込んだ３６（６×６）個の平行な空気筒状体の正方配列からなる２成分複合材料の試料について測定した複合的パワースペクトルを示す。
【００３３】
図６の透過スペクトルは、１ｋＨｚから２００ｋＨｚで透過強度の明確な減少を示す。このスペクトル領域は、ノイズレベル強度だけを測定した周波数間隔（１−８０ｋＨｚ）に分解することができ、次に、８０ｋＨｚから２００ｋＨｚの透過強度が続く。図５Ａおよび図５Ｂに示した、ＦＤＴＤ法によるシミュレーションで得た結果と比較すると、実験で得た帯域ギャップは、計算値の帯域ギャップよりも相対的に狭い。この結果は、非弾性的効果が何かの役割を果たしていることを示唆している。このことについて、さらに以下に述べる。
【００３４】
図６では、ノイズのような透過が若干見られるものの、可聴領域、より具体的には約１−２ｋＨｚから７５ｋＨｚ超の領域で、極めて透過が低下していることを示している。従って、ここで用いた材料および他のゴム状材料は、大変優れた防音用候補材料となることが可能である。
【００３５】
ｂ．バンド構造
次に、ＦＤＴＤ法および実験で得たスペクトルをさらに解明するために、シリコンゴム−空気封入体構造によるバンド構造について計算した。  図７に、正方格子の第１ブリュアンゾーンの非帰結部分のGＸ方向に沿った、音響波に関する分散相関を、ＦＤＴＤ法で計算した結果を示す。なお、ＦＤＴＤスキームでは、単位セル中、Ｎ×Ｎ＝２４０２ポイントの格子とした（円形断面の中心空気封入体をもつポリマー正方形、充填率  ｆ＝０．３４９）。図７では、構成材料（ポリマー−空気）の間に大きな音響ミスマッチがあるのにもかかわらず、プロットした周波数領域中に完全なギャップは存在しない。この格子の分散相関の顕著な特徴は、視覚的に平坦な分岐が多数表れていることである。こうした分岐が存在することは、大きな音響ミスマッチをもつ材料で構成した複合構造の、もう一つの特徴である。計算で求めたバンド構造と透過係数との比較から、バンド構造中のほとんどの分岐が非可聴バンド（透過の計算に用いた縦方向のパルスによって励起することができない対象性をもつモードなど）に対応することが示される。こうした分岐は図５Ａおよび図５Ｂの透過スペクトルに見られる分岐と合致する。
【００３６】
前記非可聴バンドの存在は、ポリマーの横波速度がゼロに等しくなると思われる第２バンド構造の計算から確認される。つまり、ゴム／空気系は、液体様／液体複合体で近似できる。ＦＤＴＤ法（単位セル中、Ｎ×Ｎ＝２４０２ポイントの格子をもつ）で計算して求めた分散相関を、図８Ａおよび図８Ｂに示すが、バンド数が顕著に減少している。このバンド構造は、構造の縦方向モードだけを表す。従って、ゴムの横方向モードのブリュアンゾーン内に折りたたんで得られるバンドに、図８Ａ、図８Ｂにはない図７の分岐を、当てはめることができるのは明らかである。ゴム中の音の横方向伝播速度が非常に遅い（２０ｍ／ｓ）ために、横方向の分岐は非常に高い密度となる。
【００３７】
図８Ａは、１ｋＨｚから８９ｋＨｚまでの第１ギャップおよび９０ｋＨｚから１３２ｋＨｚまでの第２ギャップの、２つの大きなギャップを示す。図８Ｂは、図８Ａの分散相関の第１領域を、より詳細に示した図である。第１の通過バンドの上端が約９００Ｈｚであることが分かる。
【００３８】
明確に分かりやすくするために、空気筒状体の平坦バンドを、図８Ａおよび図８Ｂから除いた。第１の５つの平坦バンドについて行ったＦＤＴDバンド計算から得た周波数を、表Ｉに示した。こうした周波数は、第１種ベッセル関数の１次導関数を０とした解に一致する。なお、Ｊ‘ｍ（ωｒ／ｃ）＝０であり、ｃは空気中の音の速度、ｒは空気筒状体の半径、ｍはベッセル関数の次数を表す。  
【００３９】
従って、図５Ａおよび図５Ｂの透過スペクトルの通過バンドが、シリコンゴム／空気系の縦方向モードの励起に相当することは明らかである。
【００４０】
表Ｉ．半径ｒ＝４ｍｍ、周期ａ＝１２ｍｍをもつ、シリコンゴム中の空気筒状体における完全正方格子の固有振動数。（ｍはバンドを求めたベッセル関数の階数）
【表１】
0005457368.tif 000002
【００４１】
ｃ．横方向の刺激
図９は、刺激粗密波束に対応する透過せん断波のパワースペクトルを示す。このスペクトルは、変位のＸ成分（パルスの伝播方向に垂直な成分）の時間応答をフーリエ変換である。図９は、図７のバンド構造で予測したようにゴム／空気複合体を通って、横方向モードが伝播することを示す。しかし、透過したせん断波の強度が非常に弱いことは、粗密波からせん断波への変換率がほとんど無視できることを示す。
【００４２】
次に、第２のシミュレーションでは、構造物は、音響せん断波だけによって刺激されると仮定する。図１０の透過スペクトルは、音の横方向速度が非常に遅いために、非長に長い積算時間（７．３ｎｓで１０×１０６時間工程）を要するＦＤＴＤ法を用い、透過せん断波について計算して求めた。図１０の透過スペクトルには、２つの帯域ギャップが見られた。第１の帯域ギャップは５４０Ｈｚから９００Ｈｚに位置しており、第２の帯域ギャップは、４１５０Ｈｚから４６００Ｈｚに位置する。仮に、粗密波に対応するバンドを除いたとした場合、これらのギャップは図７に示したバンド構造とよく一致する、
【００４３】
ｄ．横方向速度の効果
シリコンゴム材料中の異なる値の横方向波の速度を用いてシミュレーションを行う。図１１は、シリコンゴム−空気複合体の種々の横方向波速度（Ｃｔ＝０ｍ／ｓからＣｔ＝１００ｍ／ｓ）に対応する縦方向波の透過係数の比較を示した。Ｃｔ＝０ｍ／ｓに対応するスペクトル中に既に存在するバンドと比較すると、せん断波（Ｃｔ＝２０−１００ｍ／ｓの異なる横方向速度）に対応する別のバンドが現れるのに気が付く。こうしたバンドは、２５ｋＨｚよりも低周波数で９０ｋＨｚから１３０ｋＨｚの周波数の間に最も多く現れる。
なお、前記材料中で横方向波が変化したときでも、Ｃｔ＝２０ｍ／ｓにあるバンドは位置を変えない。
【００４４】
ｅ．粘弾性の効果    
ｉ）．単一マックスウェル要素  
縦方向波の実験的透過スペクトルとシミュレーションした系とをさらに比較研究するために、ゴム／空気系特性の粘弾性効果をコンピュータで求めた。また、同じシミュレーションを、粘弾性シリコンゴムマトリックスに埋め込んだ空気筒状体の２次元配列について７回実行する。以下のシミュレーションでは、ゴムの粘弾性レベルを決定するα０および緩和時間τの、２つの変数を用いた。緩和時間の値を１０−２ｓから１０−９ｓの範囲で変化させ、種々のα０値（０．７５、０．５、０．２５および０．１）を用いて、全てのτ値についてシミュレーションを行なう。
【００４５】
図１２Ａ、図１２Ｂは、緩和時間を１０−５ｓとし、種々のα０値（０．２５、０．５、０．７５、および最後にα０＝１）に対応する様々な透過スペクトルを示す。  
【００４６】
α０が減少するにしたがいマトリックスの粘性は増加するので、高周波の透過率係数が減少して、通過バンドはより高周波数側にシフトする。
【００４７】
図１２Ｂに示すように、最も低い通過バンドの上端は、音響波を減衰ささせるロスのために透過係数レベルの減少以外はあまり影響を受ないように見える。
【００４８】
また、１０−２ｓから１０−５ｓで変化する緩和時間の透過スペクトルにも、同様のことが観測された。緩和時間τが１０−６ｓから１０−７ｓになると、透過スペクトル中の高周波数バンド（１５０ｋＨｚから５００ｋＨｚ）は非常に減衰する。
【００４９】
図１３は、τ＝１０−６ｓについての種々のα０値に対応する様々な透過スペクトルを示す。なお、１５０ｋＨｚ（図１２Ａ、図１２Ｂ中）以上にあるバンドは図１３では非常に減衰する。第１通過バンドは、この効果によって影響を受けないように見える。      
【００５０】
緩和時間τが非常に短く（１０−８ｓ未満）なると、透過スペクトルはもはや強く減少しない。α０が減少するにしたがい、マトリックスの粘弾性は高くなるので、通過バンドは一層減衰するが、周波数シフトはしない。図１４は、緩和時間１０−８ｓをもつ種々のα０値に対応する異なる透過スペクトルを示す。α０値が小さくなるに伴って減衰も大きくなるが、バンドの位置は変化しない。
【００５１】
図１５Ａおよび図１５Ｂは、α０値を０．５に固定し、１０−３ｓから１０−８ｓに変化させた種々の緩和時間τ値に対応する透過係数の比較を示す。なお、図１５Ａで、１０−３ｓから１０−６ｓで変化したτについて、１５０ｋＨｚから４００ｋＨｚまでの周波数で、透過率の低下が存在する。τ＝１０−６ｓのこうしたバンド中で、減衰は最大になる。緩和時間が短いとき（τ＝１０−８ｓ）、１３０ｋＨｚで始まる周波数で透過が再び現れ、それ以上の周波数は、弾性スペクトル（α０＝１．０）中の通過バンドの始点に相当する。
【００５２】
図１５Ｂに、図１５Ａの透過スペクトルの第１領域をより詳細に示した。なお、図１５Ｂにおいて、１０−３ｓから１０−４ｓで変化したτに対して、第１通過バンド中に最大透過減少が存在する。また、τ＝１０−４ｓ付近で減衰が最大に達するとき、周波数シフトが見られる。
【００５３】
ｉｉ）一般多要素マックスウェルモデル
本開示の別の態様では、表ＩＩに示した８個の要素を用いて、上記のような再帰法に基づき、多要素マックスウェルモデルを使用した。
【００５４】
【表２】
0005457368.tif 000003
表ＩＩ：シュレーションで用いたαｉ値およびτｉ値
【００５５】
図１６Ａに、シリコンゴム−空気複合体について、一般多要素マックスウェルモデルによる縦方向波の透過係数を示す。図からは、２ｋＨｚより帯域ギャップが始まり、高周波数領域には他の透過ギャップはないことが分かる。また、１ｋＨｚと２ｋＨｚの間のバンドの透過レベルが減少しているのも明らかである（８％未満に）。
【００５６】
次に、図１６Ｂに、同じ幅と弾性特性をもつ、弾性ゴム、シリコン粘弾性ゴム、およびシリコンゴム−空気複合構造物中の各透過振幅スペクトルの比較を示した。シリコン粘弾性ゴム構造物は高周波数の透過スペクトルで減衰を示したが、シリコンゴム−空気複合体構造物が示したような低周波数での帯域ギャップは示さない。この結果は、シリコンゴムマトリックス中に周期的に並んだ空気筒状体配列の存在が重要であることを示している。なお、マトリックス材料で構成した弾性等質媒体中を透過するスペクトルパワーと、複合体中を透過するスペクトルパワーとの比として、透過係数を計算して求める。  
【００５７】
２． 空気マトリックス／ゴム封入体
ａ．空気／ゴム構造物中の透過
空中に埋め込んだハニカム格子に配設したポリマー筒状体配列全てについて計算を実行する（図４参照）。この構造体の透過係数（図１６Ａおよび図１６Ｂに示す）は、非常に長時間の積算（１４ｎｓで２．５×１０６時間工程数）によるＦＤＴＤ法を用いて算出した。なお、１．５ｋＨｚから始まり５０ｋＨｚを超えて広がる、長い帯域ギャップがある。また、別のギャップが４８０ｋＨｚと１３００ｋＨｚとの間に存在する。１３００ｋＨｚと１５００ｋＨｚの間にあるバンドの透過レベルは低い（３％）。
【００５８】
ｂ．粘弾性の効果
１０−４ｓに固定した緩和時間をもつα０にパラメータを変えて、同様のシミュレーションを空気／ゴム構造物について数回実行する。図１８は、種々のα０値（０．２５、０．５、０．７５、および弾性体に相当するα０＝１）に対応する異なる透過スペクトルを示す。なお、α０の減少につれて粘弾性は減少するので、α０＝１で１．３ｋＨｚから１．５ｋＨｚの通過バンドは消失するか、または非常に減衰する。また、第１の通過バンド（４８０ｋＨｚ未満）中、明確な変化はない。
【００５９】
最後に、図１９に、上記の空気／ゴム構造物における弾性モデルに基づくスペクトル透過係数と、一般８要素マックスウェルモデルに基づくスペクトル透過係数との比較を示す。なお、第１の通過バンド（５００ｋＨｚ未満）の振幅に、明確な低下が見られる。また、単一要素誘導法と同様に、α０＝１で１．３ｋＨｚから１．５ｋＨｚの通過バンドが消失する。
【００６０】
３．応用例
本開示の態様の応用例として、防音材を構築できる。この防音材は、（ａ）第１密度をもつ第１媒体と、（ｂ）前記第１媒体中に略周期的に配設した配列構造体を有し、前記構造体は第１密度とは異なる第２密度をもつ第２媒体から製造する。前記第１媒体および第２媒体の少なくとも一方は、縦方向の音波伝播速度および横方向の音波伝播速度をもつ固形媒体であり、前記縦方向の音波伝播速度は前記横方向の音波伝播速度の少なくとも約３０倍の速度であり、少なくとも可聴域の音響周波数であるのが好ましい。
【００６１】
また、別の応用例としては、音響壁は、（ａ）粘弾性素材を有する第１媒体と、（２）前記第１媒体よりも小さな密度をもつ第２媒体（空気などの）を有する。この第２媒体は、略周期的に配設した配列構造体で構成し、前記第１媒体中に埋め込む。
【００６２】
また、さらに別の応用例では、防音材の製造方法を考案できる。この製造方法は、（ａ）縦方向の音波伝播速度、横方向の音波伝播速度、および複数の緩和時間定数をもつ粘弾性材料を有する第１の候補媒体を選定する工程、（ｂ）第２の候補媒体を選定する工程、（３）前記複数の緩和時間定数の少なくとも一部に基づいて略周期性配列を有する防音材の音響透過特性を決定する工程を有し、前記第１および第２の候補媒体の一方に前記第１および第２の候補媒体のもう一方を埋め込んで略周期的に並べた配列を前記防音材は含み、さらに、（４）防音材の音響透過特性を決定した結果の少なくとも一部に基づいて防音材を構築するために、前記第１および第２の候補媒体を使用するかどうかを決定する工程を有することを特徴とする。
【００６３】
また、さらに別の応用例では、防音方法は、約３００ｍｍ以下の厚さの上記構成の防音材を用い、約４ｋＨｚ以下から約２０ｋＨｚ以上にわたる周波数領域中で、少なくとも９９．０％の音響パワーを防止する工程を有する。  
【００６４】
ＩＩＩ．まとめ
可聴域（例えば、５００ｋＨｚ近くから約１５ｋＨｚ）に非常に広い遮断バンドを示す適度に小さな構造物を、ゴムなどの粘弾性材料を使用して構築することができる。このような構造物は、必ずしも完全な帯域ギャップを示す必要はない。しかし、ゴムの中の音の横方向速度は縦波速度よりも２桁近く遅いために、縦方向および横方向モードを効果的に緩和することができる。こうした固体／液体複合体は、縦波の透過に関し、液体／液体系と基本的に類似した挙動を示す。    
【００６５】
粘弾性係数α０およびτを含む材料特性は、周波数依存的であってよく、粘弾性ポリマー−液体複合体中の通過バンドをシフト、または強く減衰させるのに重要な影響をおよぼす。従って、このような材料特性によって、所望の音響特性をもつ防音材を設計することができる。
【００６６】
前記した詳細な説明、例およびデータによって、本発明の粘弾性フォノニック結晶、およびその製造方法、使用方法が詳しく述べられる。本発明の精神および範囲を逸脱することなく、本発明の多数の実施形態は実施可能であり、本明細書に添付した請求項に本発明は帰するものである。
【００６７】
0005457368.tif 000004
【００６８】
この仮定を通して、考慮する物質および対象の変形は「小さい」ものとみなす。この場合、「ひずみテンソル」は、以下の式（１）で定義される。
（式１）
0005457368.tif 000005
（式１）                                      
ここで、上付き文字Ｔは転置行列を表す。
【００６９】
また、ε・＝ε（ｕ・）＝ε（ｖ）とする。さらに、考慮するすべての変形は小さいものなので、領域の初期状態をΩ０＝Ωと定義し、任意の時間ｔにおける領域状態Ωｔに関する相関ではなく、この初期状態の領域に関する相関関係を考慮する。この仮定によって、単一領域Ωおよび境界δΩを用いて作業することが可能になる。
【００７０】
１．モデリング
不可逆的材料中の音響波の伝播について、粘弾性材料の挙動をＦＤＴＤ法の基礎部分として記述する並行微分方程式を以下に説明する。  
【００７１】
先ず、対象とする粘弾性材料の幅広い種類を現実的に表す、ある構成関係を選定する。この課題に向けられたレオロジーの幅広い分野によって示されるように、選定すべき相関関係は多い。本発明の一態様中、線形音響波である場合、置換およびひずみは小さいものなので、全ての（非線形の）構成相関関係は、材料の本質に客観的に従う、一つのユニークな形態にすることができる。こうした材料の種類を、一般線形粘弾性液体（ＧＬＶＦ：Ｇｅｎｅｒａｌ  Ｌｉｎｅａｒ  Ｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃ  Ｆｌｕｉｄｓ）と称する。ＧＬＶＦ材料が圧縮性でもあるときは、全応力テンソルは以下の式（２）として与えられる。
（式２）
0005457368.tif 000006
（式２）
ここで、ｔは時間、ｖ（ｔ）は速度ベクトル、Ｄ（ｘ，ｔ）は以下の式（３）で与えられる変形テンソルの割合を示す。
（式３）
0005457368.tif 000007
（式３）                                      
また、Ｇ（ｔ）およびＫ（ｔ）は、それぞれ定常せん断係数およびかさ高さ係数を表す。これら係数は、流量測定によって実験的に測定することができて、そのデータは様々な方法に適用できる。バネダッシュポット（以下に示した）などの機械的アナログモデルの使用を含めて、この適用を行うことができる。
【００７２】
粘弾性モデル、または効果的に挙動パターンを記述するモデルは、それぞれ弾性因子および粘性因子を表す、バネおよびダッシュポットの組み合わせとして模式的に示される。ここで、バネは、弾性変形の特性を反映すると仮定し、同様に、ダッシュポットは、粘性をもつ流れの特徴を描写するものと仮定する。なお、粘弾性モデルを概略的に構築する最も簡単な方法は、明らかに、直列または並列の何れか一方で、各構成成分を１つずつ結合させてゆく方法である。こうした結合によって、２種類の基礎的粘弾性モデル、つまり、マックスウェルモデルおよびケルビン−フォークトモデルが得られる。図１に、これらのモデルを概略的に示した。
【００７３】
マックスウェル−ヴァイヒェルトとしても知られる一般マックスウェルモデルでは、単一の時間定数をもつ緩和が起きないが、一定の分布の緩和時間をもつ緩和は生じるという事実を考慮する。このことは、ヴァイヒェルトモデルにおいては、正確に前記分布を表すために、多数のバネ−ダッシュポットマックスウェル要素が必要であるということによって表現される。図２参照。
【００７４】
一般マックスウェルモデルを以下に示す。
（式４）
0005457368.tif 000008
（式４）  
ここで、式５を以下に定義する。
（式５）
0005457368.tif 000009
（式５）
ここで、α０、αｉは、以下のように表される。
0005457368.tif 000010
こうして、式６または式７を得る。      
（式６）
0005457368.tif 000011
（式６）
（式７）
0005457368.tif 000012
（式７）
次に式８および式９と表すことができる。
（式８）
0005457368.tif 000013
（式８）
（式９）
0005457368.tif 000014
（式９）
このとき、Ｇ∞およびＫ∞は、式１０および式１１で表される。
（式１０）
0005457368.tif 000015
（式１０）
（式１１）
0005457368.tif 000016
（式１１）
なお、λおよびμは、ラーメの定数であり、ｖはポアソン比である。
【００７５】
ここで、ＦＤＴＤ法を行うために、２次元空間領域（ｄ＝２）について、以下の方程式１２および方程式１３を展開する。
（式１２）
0005457368.tif 000017
（式１２）
【００７６】
方程式（８）、方程式（９）および方程式（１２）を、方程式（２）に組み合わせると、以下の方程式１３が得られる。  
（式１３）
0005457368.tif 000018
（式１３）
【００７７】
上記方程式は、以下の３つの基本方程式で表すことができる。
（式１４）
0005457368.tif 000019
（式１４）
（式１５）
0005457368.tif 000020
（式１５）
（式１６）
0005457368.tif 000021
（式１６）
【００７８】
ａ．単一要素マックスウェルモデル
マックスウェル要素が単一である場合、方程式（８）および方程式（９）は、以下の方程式（１７）および方程式（１８）で表される。
（式１７）
0005457368.tif 000022
（式１７）
（式１８）
0005457368.tif 000023
（式１８）
ここで、方程式（１４）を以下のように展開する。
（式１９）
0005457368.tif 000024
（式１９）                                                    
（式２０）
0005457368.tif 000025
（式２０）
なお、Ｃ１１＝２μ＋λ、Ｃ１２＝λ、およびＣ４４＝μなので、方程式（２０）は以下のように方程式（２１）となる。
（式２１）
0005457368.tif 000026
（式２１）                                                                                    
【００７９】
あるいは、方程式（２１）を時間で微分して、以下の方程式を得る。
（式２２）
0005457368.tif 000027
（式２２）
（式２３）
0005457368.tif 000028
（式２３）
【００８０】
次に、方程式（２１）を方程式（２３）に導入して、以下の方程式（２４）、および最後に方程式（２５）を得る。
（式２４）
0005457368.tif 000029
（式２４）  
ここで、αｉは以下の式になる。
0005457368.tif 000030
（式２５）
0005457368.tif 000031
（式２５）  
同様の計算をσｙｙおよびσｘｙに行って、以下の方程式（２６）および方程式（２７）を得る。
（式２６）
0005457368.tif 000032
（式２６）  
（式２７）
0005457368.tif 000033
（式２７）  
【００８１】
ｂ．一般多要素マックスウェルモデル
多要素マックスェルモデルについて、方程式（１４）は以下の方程式（２８）で表わされる。
（式２８）
0005457368.tif 000034
（式２８）
この方程式（２８）を展開すると、方程式（２９）になる。
（式２９）
0005457368.tif 000035
（式２９）
【００８２】
さらにこの方程式は以下のようにあらわすことができる。
（式３０）
0005457368.tif 000036
（式３０）
ここで、Ｃ１１＝２μ＋λ、Ｃ１２＝λおよびＣ４４＝μである。
積分および加算処理を行い、以下の方程式を得る。
（式３１）
0005457368.tif 000037
（式３１）
【００８３】
次に、以下の積分を行って、Ｉｘｉ（ｔ）となる。  
（式３２）
0005457368.tif 000038
（式３２）
ここで、ｗ＝ｔ−ｔ‘と仮定すると、ｄｗ＝−ｄｔ’となり、方程式（３１）に代入して方程式（３３）を得る。
（式３３）
0005457368.tif 000039
（式３３）
【００８４】
ここで、Ｉｘｉ（ｔ＋ｄｔ）を計算する。
（式３４）
0005457368.tif 000040
（式３４）
（式３５）
0005457368.tif 000041
（式３５）
ｓ＝ｗ−ｄｔ⇒ｄｓ＝ｄｗと変換することにより、
（式３６）
0005457368.tif 000042
（式３６）
（式３７）
0005457368.tif 000043
（式３７）
【００８５】
最後に、積分計算について回帰式を得る。
（式３８）
0005457368.tif 000044
（式３８）
ここで、Ｉｘｉ（０）＝０である。
【００８６】
同様の方程式をｙｙ成分およびｘｙ成分について得る。
【００８７】
２．ＦＤＴＤバンド構造
複合材料の音響バンド構造はＦＤＴＤ法を用いてコンピュータ計算できる。この方法は従来の平面波拡大法（ＰＷＥ：Ｐｌａｎｅ  Ｗａｖｅ  Ｅｘｐａｎｓｉｏｎ）を適用できない構造について使用することができる。非特許文献５参照。ＸＯＹ平面内での周期性により、格子置換、速度および応力テンソルはブロック定理を満たす以下のように表わされる。
（式３９）
0005457368.tif 000045
（式３９）
（式４０）
0005457368.tif 000046
（式４０）
（式４１）
0005457368.tif 000047
（式４１）
ここで、ｋ＝（ｋｘ、ｋｙ）はブロック波ベクトルであり、Ｕ（ｒ，ｔ），Ｖ（ｒ，ｔ）およびＳｉｊ（ｒ、ｔ）は、Ｕ（ｒ＋ａ，ｔ）＝（Ｕｒ，ｔ）およびＳｉｊ（ｒ＋ａ，ｔ）＝Ｓｉｊ（ｒ，ｔ）を満たす周期関数である。「ａ」は格子翻訳ベクトルである。従って、方程式（２５）、（２６）および（２７）は以下のようにある。
（式４２）
0005457368.tif 000048
（式４２）
（式４３）
0005457368.tif 000049
（式４３）
（式４４）
0005457368.tif 000050
（式４４）
【００８８】
３．有限差分法
本開示の一態様では、ＦＤＴＤ法は単一マックスウェル要素とともに使用する。この方法は、時間領域中の微分方程式（方程式（２５）、（２６）および（２７））を有限差分に変換し、時間小増加分における進捗として解く工程を有する。これらの方程式は、２次元粘弾性系にＦＤＴＤ法を実行するために基礎となる。ＦＤＴＤ法を実行するために、Ｎｘ×Ｎｙサブ領域（グリッド）の計算領域を、次元ｄｘ、ｄｙを用いて分割する。  
【００８９】
空間および時間の両方における導関数は、有限差分を用いて近似できる。空間の導関数については、中央差分を使用できるが、このときｙ方向はｘ方向にたいしてねじれ形である。また、時間の導関数には、漸進差分を使用できる。
方程式（２５）について、位置（ｉ，ｊ）および時間（ｔ）で拡張して、以下の方程式を得る。
（式４５）
0005457368.tif 000051
（式４５）
ここで、位置（ｉ，ｊ）および時間（ｎ＋１）における応力σｘｘを、変換領域Ｕｘ，Ｕｙおよびベクトル領域Ｖｘ，Ｖｙおよび時間（ｎ）における旧応力から計算する。方程式（４５）を展開して、以下の方程式を得る。
（式４６）
0005457368.tif 000052
（式４６）
上記方程式において、以下の数式が成り立つ。
0005457368.tif 000053
および
0005457368.tif 000054
および
0005457368.tif 000055
また、方程式（２６）について、（ｉ，ｊ）で拡張すると、次式（４７）となる。
（式４７）
0005457368.tif 000056
（式４７）
【００９０】
また、方程式（２７）について、（ｉ，ｊ）で拡張すると、次式（４８）となる。
（式４８）
0005457368.tif 000057
（式４８）
ここで、以下の式が成り立つ。
0005457368.tif 000058
【００９１】
方程式を上記のように離散化することで空間導関数について２次精密中心差分を保証できる。なお、領域成分ｕｘおよびｕｙは、異なる空間位置で中央化しなければならない。
最後に、等方的非等質媒体中の弾性波方程式に従って速度場を求める。
（式４９）
0005457368.tif 000059
（式４９）
また、２次元空間において、方程式（４９）は以下のようになる。
（式５０）
0005457368.tif 000060
（式５０）                                        
および、
（式５１）
0005457368.tif 000061
（式５１）
方程式（５０）について、位置（ｉ，ｊ）および時間（ｎ）での拡張を行い、次式を得る。
（式５２）
0005457368.tif 000062
（式５２）
さらに、方程式（５２）を展開して次式を得る。
（式５３）
0005457368.tif 000063
（式５３）
【００９２】
次に、ｙ方向において以下の式を得る。
（式５４）
0005457368.tif 000064
（式５４）
ここで、以下の数式が成り立つ。
0005457368.tif 000065
なお、ＦＤＴＤバンド構造法の離散化の詳細については、非特許文献５を参照されたい。
【図１】
0005457368.tif 000066
【図２】
0005457368.tif 000067
【図３】
0005457368.tif 000068
【図４】
0005457368.tif 000069
【図５Ａ】
0005457368.tif 000070
【図５Ｂ】
0005457368.tif 000071
【図６】
0005457368.tif 000072
【図７】
0005457368.tif 000073
【図８Ａ】
0005457368.tif 000074
【図８Ｂ】
0005457368.tif 000075
【図９】
0005457368.tif 000076
【図１０】
0005457368.tif 000077
【図１１】
0005457368.tif 000078
【図１２Ａ】
0005457368.tif 000079
【図１２Ｂ】
0005457368.tif 000080
【図１３】
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【図１４】
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【図１５Ａ】
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【図１５Ｂ】
0005457368.tif 000084
【図１６Ａ】
0005457368.tif 000085
【図１６Ｂ】
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【図１７】
0005457368.tif 000087
【図１８】
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【図１９】
0005457368.tif 000089