(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
被測定面の表面形状を算出する算出方法であって、
前記被測定面上で他の測定対象領域と部分的に重なり合うように設定された複数の測定対象領域のそれぞれについて測定された、前記測定対象領域内の前記被測定面の表面形状の測定データを取得する取得ステップと、
前記取得ステップで取得された各測定対象領域内の前記被測定面の表面形状の測定データを測定対象領域の中心位置を合わせて足し合わせた結果を、足し合わせる測定対象領域の数で割ることで平均化データを生成する生成ステップと、
前記取得ステップで取得された各測定対象領域内の前記被測定面の表面形状の測定データから前記生成ステップで生成された平均化データを減算する減算ステップと、
前記取得ステップで取得された各測定対象領域内の前記被測定面の表面形状の測定データから前記平均化データが減算されたデータを用いて、各測定対象領域の前記被測定面の表面形状のデータを求め、各測定対象領域の前記被測定面の表面形状のデータをつなぎ合わせることにより前記被測定面の表面形状を算出する算出ステップと、
を有することを特徴とする算出方法。
【請求項２】
前記測定対象領域内の前記被測定面の表面形状の測定データは、前記測定対象領域で反射した測定光と参照面で反射した参照光によって形成される干渉パターンを撮像素子で検出することで前記測定対象領域内の前記被測定面の複数の位置における高さを測定して得られたデータであることを特徴とする請求項１に記載の算出方法。
【請求項３】
前記算出ステップにおいて、各測定対象領域内の前記被測定面の表面形状の測定データから前記平均化データが減算されたデータを用いて前記被測定面の表面形状のデータが求められる測定対象領域の数は、前記生成ステップにおいて、該足し合わせる測定対象領域の数よりも少ないことを特徴とする請求項１又は２に記載の算出方法。
【請求項４】
前記減算ステップにおいて、各測定対象領域内の前記被測定面の表面形状の測定データから前記生成ステップで生成された平均化データを減算することによって、前記測定対象領域内の前記被測定面の表面形状の測定データを測定した測定装置のシステムエラーが低減されることを特徴とする請求項１乃至３のうちいずれか１項に記載の算出方法。
【請求項５】
前記算出ステップにおいて、前記平均化データが減算されたデータから前記測定装置と前記被測定面とのアライメント誤差及び前記測定装置のシステムエラーを低減することにより、各測定対象領域の前記被測定面の表面形状のデータを求め、
前記算出ステップにおいて低減される前記測定装置のシステムエラーの次数は、前記減算ステップにおいて低減される前記測定装置のシステムエラーの次数よりも低いことを特徴とする請求項４に記載の算出方法。
【請求項６】
被測定面の表面形状を算出する算出装置であって、
前記被測定面上で他の測定対象領域と部分的に重なり合うように設定された複数の測定対象領域のそれぞれについて測定された、前記測定対象領域内の前記被測定面の表面形状の測定データを取得する取得部と、
前記取得部で取得された各測定対象領域内の前記被測定面の表面形状の測定データに基づいて前記被測定面の表面形状を求める処理を行う処理部と、
を有し、
前記処理部が行う処理は、
前記取得部で取得された各測定対象領域内の前記被測定面の表面形状の測定データを測定対象領域の中心位置を合わせて足し合わせた結果を、足し合わせる測定対象領域の数で割ることで平均化データを生成することと、
前記取得部で取得された各測定対象領域内の前記被測定面の表面形状の測定データから前記平均化データを減算することと、
前記取得部で取得された各測定対象領域内の前記被測定面の表面形状の測定データから前記平均化データが減算されたデータを用いて、各測定対象領域の前記被測定面の表面形状のデータを求め、各測定対象領域の前記被測定面の表面形状のデータをつなぎ合わせることにより前記被測定面の表面形状を算出することと、
を含むことを特徴とする算出装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、算出方法及び算出装置に関する。
【背景技術】
【０００２】
大口径のミラーやレンズなどの光学素子の表面形状（面形状）を測定する方法として、干渉計を用いたステッチ法又は開口合成法が知られている。干渉計を用いたステッチ法においては、干渉計が有するシステムエラーと被測定面の表面形状との分離が重要である（非特許文献１参照）。非特許文献１は、被測定面と参照面とを相対的にシフトさせながら被測定面の表面形状を測定し、シフト前後の測定値のうち互いに重なり合う部分の測定値に基づいてシステムエラーと被測定面の表面形状との分離を行う技術を開示している。
【０００３】
また、特許文献１には、被測定面の全体よりも小さい複数の領域（サブアパーチャー領域）の表面形状を測定し、かかる複数の領域の測定値をつなぎ合わせることで被測定面の表面形状を求める技術が開示されている。なお、特許文献１では、非特許文献１と同様に、複数の領域のうち互いに重なり合う部分の測定値に基づいてシステムエラーと被測定面の形状との分離を行っている。具体的には、ｊ番目の領域の測定値を、被測定面の表面形状、干渉計と被測定面との間のアライメント誤差及びシステムエラーの３つの要素の和で表す。そして、隣接する領域の重なり合う部分の測定値の差が最小となるように、最小自乗法でアライメント誤差とシステムエラーを求めている。
【０００４】
なお、非特許文献１や特許文献１などの従来技術において、システムエラーは、Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式や三角関数などの多項式の和で表現されている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００５】
【特許文献１】米国特許第６９５６６５７号明細書
【非特許文献】
【０００６】
【非特許文献１】“Two-flat method for bi-dimensional measurement of absolutedeparture from the best sphere” R. Mercier et. al., Appl. Opt., 6 (1997), 117
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
しかしながら、従来技術では、被測定面の複数の領域のそれぞれの測定値を入力としてステッチ法を用いているため、システムエラーを表現するための多項式に使用する項数の制限に起因して、測定される被測定面の表面形状に誤差が発生する。即ち、多項式に使用する項数で表現できないシステムエラーが誤差として残ってしまうため、被測定面の表面形状の測定精度が劣化してしまっていた。
【０００８】
このような課題は、システムエラーを表現するための多項式の項数を十分に増やすことで回避できるが、一般に、フィッティング変数である多項式の項数が増えると、最小自乗法を行うときの行列が大きくなる。その結果、多大な計算時間が必要となったり、計算機のメモリが不足したりしてしまう。従って、従来技術では、システムエラーを表現するための多項式に使用する項数を制限しなければならず、十分な測定精度を得ることが困難であった。
【０００９】
そこで、本発明は、このような従来技術の課題に鑑みてなされ、被測定面の表面形状を高精度に測定することを可能とする新たなデータを生成する技術を提供することを例示的目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１０】
上記目的を達成するために、本発明の一側面としての算出方法は、被測定面の表面形状を算出する算出方法であって、前記被測定面上で他の測定対象領域と部分的に重なり合うように設定された複数の測定対象領域のそれぞれについて測定された、前記測定対象領域内の前記被測定面の表面形状の測定データを取得する取得ステップと、前記取得ステップで取得された各測定対象領域内の前記被測定面の表面形状の測定データを測定対象領域の中心位置を合わせて足し合わせた結果を、足し合わせる測定対象領域の数で割ることで平均化データを生成する生成ステップと、前記取得ステップで取得された各測定対象領域内の前記被測定面の表面形状の測定データから前記生成ステップで生成された平均化データを減算する減算ステップと、前記取得ステップで取得された各測定対象領域内の前記被測定面の表面形状の測定データから前記平均化データが減算されたデータを用いて、各測定対象領域の前記被測定面の表面形状のデータを求め、各測定対象領域の前記被測定面の表面形状のデータをつなぎ合わせることにより前記被測定面の表面形状を算出する算出ステップと、を有することを特徴とする。
【００１１】
本発明の更なる目的又はその他の側面は、以下、添付図面を参照して説明される好ましい実施形態によって明らかにされるであろう。
【発明の効果】
【００１２】
本発明によれば、被測定面の表面形状を高精度に測定することを可能とする新たなデータを生成する技術を提供することができる。
【図面の簡単な説明】
【００１３】
【図１】本発明の一側面としての測定装置の構成を示す図である。
【図２】図１に示す測定装置において、被測定面と測定対象領域との関係を示す図である。
【図３】図１に示す測定装置による被測定面ＴＳの表面形状の測定について説明するためのフローチャートである。
【図４】図１に示す測定装置のシステムエラーの一例を示す図である。
【図５】従来のステッチ法を用いて被測定面の表面形状を測定した場合の測定誤差を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００１４】
以下、添付図面を参照して、本発明の好適な実施の形態について説明する。なお、各図において、同一の部材については同一の参照番号を付し、重複する説明は省略する。
【００１５】
図１は、本発明の一側面としての測定装置１の構成を示す図である。測定装置１は、基本的には、フィゾー型の干渉計の構成を有し、被測定体ＴＯの被測定面ＴＳの表面形状を測定する。なお、被測定体ＴＯの被測定面ＴＳは、本実施形態では、平面であるものとする。
【００１６】
測定装置１は、本実施形態では、光源１０２、ハーフミラー１０４、コリメータレンズ１０６、参照面１０８ａを有するＴＦレンズ１０８、結像レンズ１１０及び撮像素子１１２を含む測定部１００と、処理部１２０とを有する。なお、ＴＦレンズの「ＴＦ」は、「Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ  Ｆｌａｔ」の略である。
【００１７】
光源１０２から射出された光（発散光）は、ハーフミラー１０４で反射され、コリメータレンズ１０６に入射する。コリメータレンズ１０６に入射した光は、平行光に変換され、ＴＦレンズ１０８に入射する。
【００１８】
ＴＦレンズ１０８に入射した光は、その一部が参照面１０８ａで反射（垂直反射）し、ＴＦレンズ１０８及びコリメータレンズ１０６を略同一光路で逆行してハーフミラー１０４に入射する。なお、以下では、ＴＦレンズ１０８の参照面１０８ａで反射した光を参照光と称する。
【００１９】
一方、ＴＦレンズ１０８の参照面１０８ａを透過した光は、被測定面ＴＳで反射（垂直反射）し、ＴＦレンズ１０８及びコリメータレンズ１０６を略同一光路で逆行してハーフミラー１０４に入射する。なお、以下では、被測定面ＴＳで反射した光を測定光と称する。
【００２０】
参照面１０８ａで反射した参照光と被測定面ＴＳで反射した測定光とは、ハーフミラー１０４を透過し、結像レンズ１１０を介して、ＣＣＤなどで構成された撮像素子１１２に入射する。撮像素子１１２では、参照光と測定光によって形成される干渉パターン（干渉縞）が検出される。
【００２１】
撮像素子１１２で検出された干渉パターンは処理部１２０に送られる。処理部１２０は、後述するように、撮像素子１１２からの干渉パターンに基づいて被測定面ＴＳの高さ（表面形状）を求める処理を行う。
【００２２】
本実施形態の測定装置１は、被測定面ＴＳの全面の表面形状を測定するために、被測定面ＴＳの全面を少なくとも隣接する領域が重なり合うように分割された複数の領域のそれぞれを順に測定対象領域ＴＳａとして測定を行う。例えば、測定装置１は、測定対象領域ＴＳａが被測定面ＴＳの全面をカバーするように、測定部１００を被測定面ＴＳに対してｘｙ平面内で相対的に駆動させて、測定対象領域ＴＳａの測定を行う。但し、測定部１００を駆動させるのではなく、測定部１００に対して被測定面ＴＳを駆動させてもよい。なお、測定部１００（又は被測定面ＴＳ）を駆動する駆動機構は、当業界で周知のいかなる構成をも適用することができる。
【００２３】
また、測定部１００（又は被測定面ＴＳ）を駆動した際には、測定部１００と被測定面ＴＳ（測定対象領域ＴＳａ）とのアライメント誤差又は姿勢誤差をなくすためのアライメントを行う必要がある。具体的には、被測定面ＴＳ（測定対象領域ＴＳａ）で反射した測定光の復路が往路とほぼ同一光路となるようにアライメントを行う。なお、測定部１００と被測定面ＴＳとのアライメントを行うアライメント機構は、当業界で周知のいかなる構成をも適用することができる。
【００２４】
図２は、被測定面ＴＳと測定対象領域ＴＳａとの関係を示す図である。本実施形態では、図２に示すように、被測定面ＴＳを四角形状の領域とし、測定装置１によって１回で測定可能な測定対象領域ＴＳａを円形形状の領域（測定対象領域ＴＳａ１乃至ＴＳａ８）とする。なお、上述したように、測定対象領域ＴＳａ１乃至ＴＳａ８は、少なくとも隣接する領域が重なり合うように設定される。図２では、被測定面ＴＳの全面をカバーするように、８つ（２行４列）の測定対象領域ＴＳａ１乃至ＴＳａ８が設定されている。また、図２では、測定対象領域ＴＳａ１と測定対象領域ＴＳａ８との重なり合う部分ＯＰを網掛けで表している。
【００２５】
被測定面ＴＳの全面を複数の領域に分割する際のモデル、即ち、測定対象領域の数及び配置は、後述する測定対象領域での測定結果の平均化の効果が最大となるように決定する。例えば、Δだけ離れた２つの測定対象領域での測定結果を平均化した場合、空間周波数をｋとして、被測定面上の空関周波数ｋの成分の振幅は、ｃｏｓ（ｋ・Δ）に比例して小さくなる。このとき、Δを適切に設定することで、被測定面上の特徴的な空間周波数成分を小さくすることが可能である。また、Δの大きさ及び方向を様々な大きさ及び方向に設定することで、測定対象領域での測定結果の平均化の効果を更に向上させることができる。これは、複数の測定対象領域間の間隔を非均等間隔にすることで可能である。また、測定対象領域を均等間隔で配置した場合であっても、隣接する測定対象領域の重なり合う部分を十分に大きくすると、３つ以上の測定対象領域が重なり合うことになるため、複数のΔを実現することができる。
【００２６】
なお、測定対象領域の数及び配置を設定するためには、被測定面形状の情報が必要である。ここで、被測定面形状とは、ＴＦレンズ１０８の参照面１０８ａに対する各測定対象領域における被測定面ＴＳの表面形状である。被測定面形状は、被測定面ＴＳを実際に測定するまでわからないが、測定対象領域の数及び配置を設定する際には、被測定面ＴＳの加工に用いた研磨機及び研削機の特性や被測定面ＴＳの面規格に基づいて被測定面形状の仮決めを行う。また、測定対象領域の数及び配置を適当に設定してステッチ法で予め測定を行うことで、被測定面形状を仮決めしてもよい。このように仮決めされた被測定面形状に対して、測定対象領域での測定結果の平均化の効果を演算することで、測定対象領域の数及び配置を設定することが可能である。
【００２７】
以下、図３を参照して、測定装置１による被測定面ＴＳの表面形状の測定について説明する。なお、ここでは、処理部１２０で行われる処理、即ち、各測定対象領域での測定結果に基づいて被測定面ＴＳの表面形状を求める処理について詳細に説明する。
【００２８】
Ｓ３０２（取得ステップ）では、複数の測定対象領域のそれぞれにおける被測定面ＴＳの高さを測定する。具体的には、被測定面ＴＳの全面を少なくとも隣接する領域が重なり合うように分割された複数の領域のそれぞれを順に測定対象領域ＴＳａとする。そして、測定対象領域ＴＳａで反射した測定光と参照面１０８ａで反射した参照光によって形成される干渉パターンを撮像素子１１２で検出することで測定対象領域ＴＳａの中の複数の位置における被測定面ＴＳの高さを測定する。本実施形態では、図２に示すように、被測定面ＴＳの全面は、８つの測定対象領域ＴＳａ１乃至ＴＳａ８に分割されているものとする。これにより、Ｓ３０２では、測定対象領域ＴＳａ１乃至ＴＳａ８での測定結果Ｆｉ（ｘ，ｙ）として、測定対象領域ＴＳａ１乃至ＴＳａ８の中の複数の位置における高さを与えるデータが取得される。なお、添え字ｉは、各測定対象領域を表し、本実施形態では、１〜８までの値である。また、（ｘ，ｙ）は、被測定面上の座標である。
【００２９】
測定結果Ｆｉ（ｘ，ｙ）の座標は、測定装置１の光学倍率やディストーション、各測定対象領域の測定における測定部１００と被測定面ＴＳとの相対位置に基づいて、干渉パターンを検出する撮像素子１１２の検出面上の座標から被測定面上の座標に変換される。但し、被測定面ＴＳが球面や非球面である場合には、複雑な座標変換が必要となる。一般には、撮像素子１１２の検出面上の座標系から被測定面ＴＳが配置された直交座標系に変換する場合には、２つの点を考慮しなければならない。１つ目の点は、測定装置１（干渉計）からの球面波は、一般に、光学系の開口数が均等となる座標系になっていることであり、２つ目の点は、測定対象領域ＴＳａの駆動がｘｙ平面ではなく被測定面ＴＳに沿った方向であることである。
【００３０】
Ｓ３０４（第１の生成ステップ）では、測定対象領域ＴＳａ１乃至ＴＳａ８での測定結果Ｆｉ（ｘ，ｙ）を平均化して平均化データを生成する。具体的には、式１に示すように、Ｓ３０２で取得された測定対象領域ＴＳａ１乃至ＴＳａ８のそれぞれの中の複数の位置における高さを与えるデータを複数の位置ごとに足し合わせた結果を測定体対象領域の数で割ることで平均化データＦａ（ｘ，ｙ）を生成する。
Ｆａ（ｘ，ｙ）＝Ｓｕｍ０［Ｆｉ（ｘ−ｘｉ，ｙ−ｙｉ），｛ｉ＝１，Ｎ｝］／Ｎ    ・・・（式１）
式１において、右辺のＳｕｍ０［  ］は、全ての測定結果Ｆｉ（ｉは１からＮ）を足し合わせることを表す関数である。（ｘｉ，ｙｉ）は、ｉ番目の測定対象領域を測定したときの測定対象領域の中心位置を表す座標（又は被測定面ＴＳに対する測定部１００の位置を表す座標）である。後述するように、Ｓ３０４では、測定装置１のシステムエラーの抽出を目的としているため、各測定対象領域での測定結果の中心を合わせて平均化を行う。
【００３１】
Ｓ３０６（第２の生成ステップ）では、Ｓ３０２で取得された測定対象領域での測定結果Ｆｉ（ｘ，ｙ）のそれぞれからＳ３０４で生成された平均化データＦａ（ｘ，ｙ）を除去して複数の測定対象領域のそれぞれの補正データを生成する。具体的には、補正データＭｉ（ｘ，ｙ）は、以下の式２に従って生成される。
Ｍｉ（ｘ，ｙ）＝Ｆｉ（ｘ，ｙ）−Ｆａ（ｘ＋ｘｉ，ｙ＋ｙｉ）    ・・・（式２）
Ｓ３０６で生成される補正データは、後述するように、各測定対象領域での計測結果から測定装置１のシステムエラー（高次成分）が除去されたデータである。従って、かかる補正データをステッチ法に用いることで、被測定面ＴＳの表面形状を高精度に求めることが可能となる。
【００３２】
Ｓ３０８及びＳ３１０では、測定対象領域での測定結果Ｆｉ（ｘ，ｙ）の代わりにＳ３０６で生成された複数の測定対象領域のそれぞれの補正データを入力として、ステッチ法を用いて被測定面ＴＳの表面形状を求める。
【００３３】
詳細には、Ｓ３０８では、Ｓ３０６で生成された補正データＭｉ（ｘ，ｙ）からアライメント誤差とシステムエラーとを分離する。まず、ｉ番目の測定対象領域を測定したときの測定部１００と被測定面ＴＳとの相対姿勢成分であるアライメント誤差をＡＥｉとし、全ての測定対象領域に対して同じ値であるシステムエラーをＳＥとする。そして、ｉ番目の測定対象領域における被測定面ＴＳの表面形状Ｐｉを、補正データＭｉ（ｘ，ｙ）を用いて以下の式３で表す。
Ｐｉ（ｘ，ｙ）＝Ｍｉ（ｘ，ｙ）−ＡＥｉ（ｘ−ｘｉ，ｙ−ｙｉ）−ＳＥ（ｘ−ｘｉ，ｙ−ｙｉ）    ・・・（式３）
次に、式３を用いて、以下の式４に示すように、メリット関数Ｄを定義する。ここで、メリット関数Ｄとは、ｉ番目の測定対象領域における被測定面ＴＳの表面形状Ｐｉとｊ番目の測定対象領域における被測定面ＴＳの表面形状Ｐｊとの重なり合う部分の差の２乗を表す関数である。
Ｄ＝Ｓｕｍ１［（（Ｍｉ（ｘ，ｙ）−Ｍｊ（ｘ，ｙ））−（ＡＥｉ（ｘ−ｘｉ，ｙ−ｙｉ）−ＡＥｊ（ｘ−ｘｊ，ｙ−ｙｊ））−（ＳＥ（ｘ−ｘｉ，ｙ−ｙｉ）−ＳＥ（ｘ−ｘｊ，ｙ−ｙｊ）））２］    ・・・（式４）
式４において、Ｓｕｍ１［  ］は、Ｎ個の測定対象領域から２つの測定対象領域を選択する全ての組み合わせに関する和と、被測定面上の座標（ｘ，ｙ）に関しての和とを表す関数である。被測定面上の座標（ｘ，ｙ）に関する和のうち有効となるのは、ｉ番目の測定対象領域とｊ番目の測定対象領域との重なり合う部分に相当する。例えば、図２では、測定対象領域ＴＳａ１と測定対象領域ＴＳａ８との重なり合う部分ＯＰの和となる。
【００３４】
式４に示すメリット関数Ｄを最小にするアライメント誤差ＡＥｉとシステムエラーＳＥが求める対象である。ここで、アライメント誤差ＡＥｉを以下の式５で表し、システムエラーＳＥを以下の式６で表す。
ＡＥｉ（ｘ，ｙ）＝ａ１ｉ＋ａ２ｉ・ｘ＋ａ３ｉ・ｙ    ・・・（式５）
ＳＥ（ｘ，ｙ）＝Ｓｕｍ２［ａｊ・ｆｊ（ｘ，ｙ）］    ・・・（式６）
上述したように、アライメント誤差ＡＥｉは、測定部１００と被測定面ＴＳとの姿勢誤差によって発生する成分である。被測定面ＴＳが平面である場合には、アライメント誤差ＡＥｉはピストン成分と傾き成分との和となる。即ち、式５において、ａ１ｉはｉ番目の測定対象領域を測定したときのピストン成分であり、ａ２ｉ及びａ３ｉはｉ番目の測定対象領域を測定したときの傾き成分である。なお、被測定面ＴＳが球面である場合には、式５に示すアライメント誤差ＡＥｉにパワー成分を含めればよい。
【００３５】
式４に式５及び式６を代入して、メリット関数Ｄが最小となるように、変数ａ１ｉ、ａ２ｉ、ａ３ｉ及びａｊを最小二乗法などで求める。ここで、システムエラーを表現する多項式の最大次数Ｊは、計算時間や計算機のメモリの制約などを考慮して決定される。例えば、Ｆｒｉｎｇｅ  Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式を用いる場合には、Ｊ＝３６が適当である。但し、最新の計算機であれば、Ｊ＝１６９まで現実的な計算時間とメモリで変数を求めることが可能である。
【００３６】
このようにして、変数ａ１ｉ、ａ２ｉ、ａ３ｉ及びａｊを求めたら、式５及び式６に代入して、以下の式７に従って、補正データＭｉ（ｘ，ｙ）からアライメント誤差ＡＥｉとシステムエラーＳＥをと分離したデータＭｉ’（ｘ，ｙ）を求める。
Ｍｉ’（ｘ，ｙ）＝Ｍｉ（ｘ，ｙ）−ＡＥｉ（ｘ−ｘｉ，ｙ−ｙｉ）−ＳＥ（ｘ−ｘｉ，ｙ−ｙｉ）    ・・・（式７）
Ｓ３１０では、Ｓ３０８で求めたデータＭｉ’（ｘ，ｙ）をつなぎ合わせて、被測定面ＴＳの全面の表面形状を求める。具体的には、以下の式８に従って、被測定面ＴＳの全面の表面形状Ｐ（ｘ，ｙ）を求める。
Ｐ（ｘ，ｙ）＝Ｓｕｍ０［Ｍｉ’（ｘ，ｙ）／Ｃｏｕｎｔ（ｘ，ｙ），｛ｉ＝１，Ｎ｝］    ・・・（式８）
式８において、Ｓｕｍ０［  ］は、全ての測定対象領域の和を表す。また、Ｃｏｕｎｔ（ｘ，ｙ）は、被測定面上の座標（ｘ，ｙ）を含む測定対象領域の数を表す。例えば、図２に示す座標ＣＲは、測定対象領域ＴＳａ１と測定対象領域ＴＳａ２に含まれているため、Ｃｏｕｎｔ（ｘ，ｙ）＝２となる。
【００３７】
ここで、Ｓ３０４で生成される平均化データＦａ（ｘ，ｙ）について詳細に説明する。Ｓ３０２で取得される測定対象領域での測定結果Ｆｉ（ｘ，ｙ）は、以下の式９に示すように、測定対象領域における被測定面ＴＳの表面形状と、ｉ番目の測定対象領域を測定したときのアライメント誤差と、測定装置１のシステムエラーとの和で表される。なお、式９において、Ｐ（ｘ，ｙ）、ＡＥ０ｉ（ｘ，ｙ）、ＳＥ０（ｘ，ｙ）のそれぞれは、測定対象領域における被測定面ＴＳの表面形状、ｉ番目の測定対象領域を測定したときのアライメント誤差、測定装置１のシステムエラーを表す。
Ｆｉ（ｘ，ｙ）＝Ｐ（ｘ，ｙ）＋ＡＥ０ｉ（ｘ，ｙ）＋ＳＥ０（ｘ，ｙ）    ・・・（式９）
式１に式９を代入すると、以下の式１０が得られる。ここで、Ｓｕｍ［  ］は、Ｎ個の測定対象領域の和である。
Ｆａ（ｘ，ｙ）＝Ｓｕｍ［Ｐ（ｘ−ｘｉ，ｙ−ｙｉ），｛ｉ＝１，Ｎ｝］／Ｎ＋Ｓｕｍ［ＡＥ０ｉ（ｘ−ｘｉ，ｙ−ｙｉ），｛ｉ＝１，Ｎ｝］／Ｎ＋Ｓｕｍ［ＳＥ０（ｘ−ｘｉ，ｙ−ｙｉ），｛ｉ＝１，Ｎ｝］／Ｎ    ・・・（式１０）
式１０を参照するに、右辺の第１項は、被測定面上の異なる位置における表面形状を平均化したものである。上述したように、測定対象領域の数及び配置を適切に設定することで、右辺の第１項はゼロに近い値となる。特に、被測定面ＴＳの高周波成分に対して、効果的に平均化が可能である。
【００３８】
また、右辺の第２項は、Ｎ個のアライメント誤差ＡＥ０ｉがランダムであるならばゼロに近い値となる。なお、Ｓ３０４では、測定対象領域での測定結果からアライメント誤差を予め除去した結果を平均化してもよいし、平均化データを生成した後にアライメント誤差を除去してもよい。いずれにしても、平均化データに含まれるアライメント誤差は、Ｓ３０８で分離される。
【００３９】
右辺の第３項は、システムエラーの平均であるが、各測定対象領域での測定において、システムエラーは同じ値であるため、平均化しても変化はなくシステムエラーそのものである。
【００４０】
以上のように、各測定対象領域での測定結果を平均化することで、平均化データは、測定装置１のシステムエラーを高精度に表現できていることがわかる。特に、空間的に高周波な成分に関しては、被測定面ＴＳの情報が消えやすいため、高精度にシステムエラーを求めることが可能である。
【００４１】
なお、空間的に高周波な成分は、式６に示すようにシステムエラーを多項式で表現する場合において、多項式の高次項に相当する。但し、本実施形態では、Ｓ３０４でシステムエラーの高次成分を高精度に求めて、Ｓ３０６で測定結果からシステムエラーの高次成分を除去しているため、Ｓ３０８においてシステムエラーの変数が高次の多項式を含まなくても、測定精度を向上させることができる。
【００４２】
一方、空間的に低周波な成分は、測定結果の平均化でもゼロにしにくいため、平均化データは、システムエラーそのものとはならない。但し、システムエラーの低次成分は、Ｓ３０８で分離（補正）することが可能であるため、被測定面ＴＳの表面形状を高精度に求めることができる。
【００４３】
以下、図４及び図５を参照して、測定装置１によって被測定面ＴＳの表面形状の測定した場合の効果について説明する。図４（ａ）及び図４（ｂ）は、測定装置１のシステムエラーの一例を示す図である。具体的には、図４（ａ）はシステムエラーの等高線を表し、図４（ｂ）は図４（ａ）に示すＡ−Ａ’断面におけるシステムエラーの大きさを表している。本実施形態では、測定装置１のシステムエラーにＺｅｒｎｉｋｅ多項式の第４９項のみが含まれているものとする。なお、Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式は、Ｆｒｉｎｇｅ  Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式を使用している。図４（ａ）及び図４（ｂ）を参照するに、システムエラーの最大値は１、ＰＶ値は約１．４である。
【００４４】
図５は、従来のステッチ法を用いて、図４（ａ）及び図４（ｂ）に示すシステムエラーを含む測定装置で被測定面ＴＳの表面形状を測定した場合の測定誤差を示す図である。図５を参照するに、測定誤差のＰＶ値は約１．２５であり、図２に示した測定対象領域の周期の誤差が発生していることがわかる。なお、図５では、システムエラーを表現する多項式の最大次数をＺｅｒｎｉｋｅ多項式の第４８項までとしている。このため、システムエラーに含まれるＺｅｒｎｉｋｅ多項式の第４９項以降を補正することができず、図５に示すような測定誤差が発生してしまう。
【００４５】
一方、本実施形態の測定装置１では、図４（ａ）及び図４（ｂ）に示す高周波成分のシステムエラーを高精度に抽出し（Ｓ３０４）、かかる高周波成分のシステムエラーを測定対象領域での測定結果から除去してから（Ｓ３０６）、ステッチ法を用いている。従って、被測定面ＴＳの表面形状を高精度に求めることができる。
【００４６】
なお、本実施形態では、被測定面ＴＳが平面である場合を例に説明したが、被測定面ＴＳは球面や非球面であってもよい。この場合、上述したように、座標系の変換が複雑になるが、図３に示すＳ３０２乃至Ｓ３１０を実行することで、システムエラーの高周波成分の影響が低減され、測定面ＴＳの表面形状を高精度に求めることができる。
【００４７】
また、本実施形態では、Ｓ３０８において、アライメント誤差とシステムエラーを考慮しているが、これに限定されるものではない。例えば、測定対象領域の位置誤差、測定装置１（測定部１００）の倍率誤差及びディストーション誤差なども考慮することが可能である。換言すれば、システムエラーのように、各測定対象領域での測定において変化しない誤差成分に関しては、高精度に補正することが可能である。
【００４８】
また、本実施形態では、Ｓ３０８及びＳ３１０では、平均化データを生成するときと同一の数の測定対象領域を用いている。但し、Ｓ３０８及びＳ３１０では、測定対象領域を間引き、平均化データを生成したときよりも少ない数の測定対象領域で被測定面の表面形状を求めることも可能である。例えば、図２に示す８つの測定対象領域での測定結果に対して、Ｓ３０４では、全ての測定結果を用いて平均化を行い、Ｓ３０８及びＳ３１０では、被測定面の全面をカバーする最小限の測定対象領域におけるデータのみを用いることも可能である。図２では、測定対象領域ＴＳａ２及びＴＳａ７におけるデータを除いたり、測定対象領域ＴＳａ３及びＴＳａ６におけるデータを除いたりすることが可能である。測定対象領域での測定結果の平均化（Ｓ３０４）においては、測定対象領域の数が多いほど効果が高いが、Ｓ３０８及びＳ３１０では、ある程度の測定対象領域の数であれば精度に大差はない。一方、測定対象領域の数を少なくすることで、最小二乗法における計算時間の短縮及びメモリ不足解消に対しては大きな効果がある。
【００４９】
以上、本発明の好ましい実施形態について説明したが、本発明はこれらの実施形態に限定されないことはいうまでもなく、その要旨の範囲内で種々の変形及び変更が可能である。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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