(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
半導体中に１の不純物が存在する場合の局所状態密度を算出する局所状態密度算出部と、
前記局所状態密度に基づいて所定の温度及びフェルミ準位における局所電子密度を算出する局所電子密度算出部と、
自由電子の状態密度に基づいて前記所定温度及びフェルミ準位における電子密度を自由電子密度として算出する自由電子密度算出部と、
前記局所電子密度と前記自由電子密度とが一致するように前記自由電子状態密度のバンド端エネルギーを決定するバンド端エネルギー決定部と、
決定されたバンド端エネルギーを前記不純物による有効不純物ポテンシャルとして出力する有効不純物ポテンシャル出力部と、を備える、有効不純物ポテンシャル算出装置。
【請求項２】
請求項１に記載の有効不純物ポテンシャル算出装置と、
その有効不純物ポテンシャル算出装置によって出力された有効不純物ポテンシャルを入力し、半導体中の１又は２以上の不純物に起因する離散不純物ポテンシャルを前記有効不純物ポテンシャル又はその重ね合わせとして算出する離散不純物ポテンシャル算出部と、
算出された離散不純物ポテンシャルの下でキャリアの古典的又は半古典的な輸送方程式を数値解析するキャリア輸送解析部と、を備える、デバイスシミュレーション装置。
【請求項３】
請求項１に記載の有効不純物ポテンシャル算出装置によって出力された有効不純物ポテンシャルを、温度とフェルミ準位をパラメータとして記録した有効不純物ポテンシャル記憶装置をさらに備え、
前記離散不純物ポテンシャル算出部は、前記有効不純物ポテンシャル記憶装置に記録された有効不純物ポテンシャルを入力する、請求項２に記載のデバイスシミュレーション装置。
【請求項４】
半導体中に１つの不純物が存在する場合の局所状態密度を算出する局所状態密度算出工程と、
前記局所状態密度に基づいて所定の温度及びフェルミ準位における局所電子密度を算出する局所電子密度算出工程と、
自由電子の状態密度に基づいて前記所定温度及びフェルミ準位における電子密度を自由電子密度として算出する自由電子密度算出工程と、
前記局所電子密度と前記自由電子密度とが一致するように前記自由電子状態密度のバンド端エネルギーを決定し、決定されたバンド端エネルギーを前記不純物による有効不純物ポテンシャルとするバンド端エネルギー決定工程と、を含む、有効不純物ポテンシャル算出方法。
【請求項５】
請求項４に記載の有効不純物ポテンシャル算出方法における前記バンド端エネルギー決定工程において求めた有効不純物ポテンシャルに基づいて、半導体中の１又は２以上の不純物に起因する離散不純物ポテンシャルを前記有効不純物ポテンシャル又はその重ね合わせとして算出する離散不純物ポテンシャル算出工程と、
算出された離散不純物ポテンシャルの下でキャリアの古典的又は半古典的な輸送方程式を数値解析するキャリア輸送解析工程と、を含む、デバイスシミュレーション方法。
【請求項６】
半導体中に１つの不純物が存在する場合の局所状態密度を算出する局所状態密度算出処理と、
前記局所状態密度に基づいて所定の温度及びフェルミ準位における局所電子密度を算出する局所電子密度算出処理と、
自由電子の状態密度に基づいて前記所定温度及びフェルミ準位における電子密度を自由電子密度として算出する自由電子密度算出処理と、
前記局所電子密度と前記自由電子密度とが一致するように前記自由電子状態密度のバンド端エネルギーを決定するバンド端エネルギー決定処理と、
決定されたバンド端エネルギーを前記不純物による有効不純物ポテンシャルとして出力する有効不純物ポテンシャル出力処理と、をコンピュータに実行させる、プログラム。
【請求項７】
請求項６に記載のプログラムによって出力された有効不純物ポテンシャルに基づいて、半導体中の１又は２以上の不純物に起因する離散不純物ポテンシャルを有効不純物ポテンシャル又はその重ね合わせとして算出する離散不純物ポテンシャル算出処理と、
算出された離散不純物ポテンシャルの下でキャリアの古典的又は半古典的な輸送方程式を数値解析するキャリア輸送解析処理と、をコンピュータに実行させる、プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、半導体素子特性をシミュレーションするデバイスシミュレーション装置、方法及びプログラムに関し、特に、離散不純物の影響を考慮して半導体素子の特性を評価するデバイスシミュレーション装置、方法及びプログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
近年、半導体素子の微細化に伴い、半導体素子中の個々の不純物の離散性が、素子の電気的特性に大きな影響を及ぼすようになってきている。従来は半導体素子のサイズが大きかったため、素子中に含まれる不純物原子数が十分多く、不純物原子をその濃度分布によって表現することができた。しかし、微細な半導体素子中では、不純物原子数が数えられる程度になるため、濃度として表現することができなくなる。
【０００３】
したがって、微細な半導体素子の電気的特性をシミュレーションによって予測するためには、個々の離散不純物原子の持つクーロンポテンシャルがキャリアの輸送特性に及ぼす影響を取り入れる必要がある。
【０００４】
離散不純物原子のクーロンポテンシャルが半導体素子中のキャリア輸送特性に及ぼす影響を正確に取り入れるためには、離散不純物原子のクーロンポテンシャルを不純物原子位置に応じて直接静電ポテンシャルに取り入れ、量子力学に基づいた量子輸送シミュレーションを行う必要がある。しかし、量子輸送シミュレーションは計算量が非常に多いため、半導体素子の３次元シミュレーションを現在の計算機資源において実行することは非常に困難である。
【０００５】
したがって、現実的な計算時間で半導体素子を３次元的に解析することができる古典的又は半古典的な輸送シミュレーションに対して、離散不純物の影響を取り入れることが求められる。その際、単純に離散不純物のクーロンポテンシャルを直接静電ポテンシャルに加えると、クーロンポテンシャルが離散不純物の中心で発散するため、物理的に正しい解が得られない。
【０００６】
古典的な輸送シミュレーションでは、キャリアは古典的な粒子として扱われるため、本来、量子であるキャリアが感じる離散不純物ポテンシャルを、古典的な粒子の感じる実効的なポテンシャルとして、補正して表現する必要がある。
【０００７】
従来、そのような補正ポテンシャルとして、非特許文献１のような、離散不純物中心付近のクーロンポテンシャルが発散しないような解析式を用いる方法があった。
【０００８】
例えば、非特許文献１には、離散不純物中心から距離ｒにおけるクーロン電界Ｅ０（ｒ）＝ｅ／４πεｒ２（ｅ：素電荷、ε：物質の誘電率）に対し、離散不純物中心に十分近い距離をｒｃとし、離散不純物の補正電界をＥ（ｒ）＝ｅｒ／４πε（ｒ２＋ｒｃ２／２）３／２とする方法（図１のモデル１）、ｒ＞ｒｃにおいてはＥ（ｒ）＝Ｅ０（ｒ）、ｒ≦ｒｃにおいてはＥ（ｒ）＝Ｅ０（ｒｃ）とする方法（図１のモデル２）、Ｅ（ｒ）＝Ｅ０（ｒｃ）×ｒ／ｒｃとする方法（図１のモデル３）、Ｅ（ｒ）＝０とする方法（図１のモデル４）などが記載されている。これらの離散不純物の補正電界から得られる補正ポテンシャルは図２のようになり、確かに不純物中心においてポテンシャルが有限の値に収まる。
【０００９】
また、非特許文献２に記載されている方法では、本来、デルタ関数δ（ｒ）で表される離散不純物（点電荷）の密度分布を、δ（ｒ）＝Σｋｅｘｐ（ｉｋ・ｒ）／Ｖ（ｋ：周波数、Ｖ：体積）とフーリエ展開し、ｋ＞ｋｃである短波長成分を無視した密度分布δ’（ｒ）＝Σｋ＜ｋｃｅｘｐ（ｉｋ・ｒ）／Ｖを用いて、離散不純物の中心付近において発散する成分を除外している。
【００１０】
また、離散不純物の影響を古典的な輸送シミュレーションに取り入れる方法として、例えば特許文献１に記載されている密度勾配（Ｄｅｎｓｉｔｙ  Ｇｒａｄｉｅｎｔ）法に基づいて輸送方程式の量子補正項として取り入れる方法もある。密度勾配法では、量子補正項に∇２√ｎ／√ｎ（ｎ：キャリア密度）というキャリア密度の２階微分の項が含まれるため、量子補正項はキャリア密度ｎの変化に非常に敏感であり、数値計算が不安定になる。特許文献１では、このキャリア密度の２階微分の項を半導体素子基板の表面からの深さについての簡易な式で表すことによって数値計算を安定化している。
【００１１】
【特許文献１】特開２００１−２６７３８８号公報
【非特許文献１】C. L. Alexander, G. Roy and A. Asenov, "Random Impurity Scattering Induced Variability in Conventional Nano-Scaled MOSFETs: Ab initio Impurity Scattering Monte Carlo Simulation Study", IEDM Technical Digest (2006).
【非特許文献２】N. Sano, K. Matsuzawa, M. Mukai and N. Nakayama, "Role of Long-Range and Short-Range Coulomb Potentials in Threshold Characteristics under Discrete Dopants in Sub-0.1 pm Si-MOSFETs", IEDM Technical Digest (2000).
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１２】
以下の分析は、本発明者によってなされたものである。従来の手法は下記のような問題を有している。
【００１３】
第１の問題点として、従来の手法においては、任意性のあるパラメータを実験値とのフィッティングなどにより、別途設定する必要がある。
【００１４】
非特許文献１に記載の離散不純物ポテンシャル作成方法では、離散不純物に十分近い距離ｒｃの選択に任意性があり、実験値を用いたフィッティング等により別途決定する必要がある。フィッティングには、例えば、十分大きい半導体素子における移動度を用いることが考えられるが、実際にシミュレーションの対象となるのは、離散不純物の影響が顕著となる微細な半導体素子である。したがって、フィッティングにより得られた離散不純物ポテンシャルが、微細な半導体素子中の離散不純物の影響を正しく再現するという保証はない。
【００１５】
また、非特許文献２に記載の方法においても、任意性のあるパラメータｋｃが含まれており、非特許文献１に記載の方法と同様の問題がある。
【００１６】
第２の問題点として、従来の手法においては、半導体素子中の３次元的な離散不純物ポテンシャルを正しく補正することができない。
【００１７】
特許文献１に記載の方法では、量子補正項が半導体素子基板の表面からの深さについての簡易な式で表されている。したがって、半導体素子中の３次元的な離散不純物ポテンシャルを正しく補正することができない。
【００１８】
第３の問題点として、従来の手法においては、離散不純物ポテンシャルをキャリア密度ｎの変化に対して数値的に安定に補正することができない。
【００１９】
密度勾配法では、量子補正項がキャリア密度ｎの変化に対して敏感であるため、数値的に安定に離散不純物ポテンシャルを補正することが難しい。特に、非平衡状態にある半導体素子ではキャリア密度ｎの変化が大きいため、量子補正項が数値的に不安定になり易い。
【００２０】
そこで、半導体中の離散不純物対する有効不純物ポテンシャルを、任意性のあるパラメータを含むことなく、数値的に安定に算出する有効不純物ポテンシャル算出装置を提供することが課題となる。また、算出された有効不純物ポテンシャルに基づいて半導体素子中の離散不純物の影響を取り入れつつ半導体素子の電気的特性を解析することができるデバイスシミュレーション装置を提供することが課題となる。
【課題を解決するための手段】
【００２１】
本発明の第１の視点に係る有効不純物ポテンシャル算出装置は、
半導体中に１の不純物が存在する場合の局所状態密度を算出するように構成された局所状態密度算出部と、
前記局所状態密度に基づいて所定の温度及びフェルミ準位における局所電子密度を算出するように構成された局所電子密度算出部と、
自由電子の状態密度に基づいて前記所定温度及びフェルミ準位における電子密度を自由電子密度として算出するように構成された自由電子密度算出部と、
前記局所電子密度と前記自由電子密度とが一致するように前記自由電子状態密度のバンド端エネルギーを決定するように構成されたバンド端エネルギー決定部と、
決定されたバンド端エネルギーを前記不純物による有効不純物ポテンシャルとして出力するように構成された有効不純物ポテンシャル出力部と、を備えることを特徴とする。
【００２２】
本発明の第２の視点に係る有効不純物ポテンシャル算出方法は、
半導体中に１つの不純物が存在する場合の局所状態密度を算出する局所状態密度算出工程と、
前記局所状態密度に基づいて所定の温度及びフェルミ準位における局所電子密度を算出する局所電子密度算出工程と、
自由電子の状態密度に基づいて前記所定温度及びフェルミ準位における電子密度を自由電子密度として算出する自由電子密度算出工程と、
前記局所電子密度と前記自由電子密度とが一致するように前記自由電子状態密度のバンド端エネルギーを決定し、決定されたバンド端エネルギーを前記不純物による有効不純物ポテンシャルとするバンド端エネルギー決定工程と、を含むことを特徴とする。
【００２３】
本発明の第３の視点に係る有効不純物ポテンシャル算出プログラムは、
半導体中に１つの不純物が存在する場合の局所状態密度を算出する局所状態密度算出処理と、
前記局所状態密度に基づいて所定の温度及びフェルミ準位における局所電子密度を算出する局所電子密度算出処理と、
自由電子の状態密度に基づいて前記所定温度及びフェルミ準位における電子密度を自由電子密度として算出する自由電子密度算出処理と、
前記局所電子密度と前記自由電子密度とが一致するように前記自由電子状態密度のバンド端エネルギーを決定するバンド端エネルギー決定処理と、
決定されたバンド端エネルギーを前記不純物による有効不純物ポテンシャルとして出力する有効不純物ポテンシャル出力処理と、をコンピュータに実行させることを特徴とする。
【００２４】
第１の展開形態のデバイスシミュレーション装置は、
上記の有効不純物ポテンシャル算出装置と、
その有効不純物ポテンシャル算出装置によって出力された有効不純物ポテンシャルを入力し、半導体中の１又は２以上の不純物に起因する離散不純物ポテンシャルを前記有効不純物ポテンシャル又はその重ね合わせとして算出するように構成された離散不純物ポテンシャル算出部と、
算出された離散不純物ポテンシャルの下でキャリアの古典的又は半古典的な輸送方程式を数値解析するように構成されたキャリア輸送解析部と、を備えることが好ましい。
【００２５】
第２の展開形態のデバイスシミュレーション装置は、
上記の有効不純物ポテンシャル算出装置によって出力された有効不純物ポテンシャルを、温度とフェルミ準位をパラメータとして記録した有効不純物ポテンシャル記憶装置をさらに備え、
前記離散不純物ポテンシャル算出部は、前記有効不純物ポテンシャル記憶装置に記録された有効不純物ポテンシャルを入力するように構成されることが好ましい。
【００２６】
第３の展開形態のデバイスシミュレーション方法は、
上記第２の視点に係る有効不純物ポテンシャル算出方法における前記バンド端エネルギー決定工程において求めた有効不純物ポテンシャルに基づいて、半導体中の１又は２以上の不純物に起因する離散不純物ポテンシャルを前記有効不純物ポテンシャル又はその重ね合わせとして算出する離散不純物ポテンシャル算出工程と、
算出された離散不純物ポテンシャルの下でキャリアの古典的又は半古典的な輸送方程式を数値解析するキャリア輸送解析工程と、を含むことが好ましい。
【００２７】
第４の展開形態のデバイスシミュレーションプログラムは、
上記の有効不純物ポテンシャル算出プログラムによって出力された有効不純物ポテンシャルに基づいて、半導体中の１又は２以上の不純物に起因する離散不純物ポテンシャルを有効不純物ポテンシャル又はその重ね合わせとして算出する離散不純物ポテンシャル算出処理と、
算出された離散不純物ポテンシャルの下でキャリアの古典的又は半古典的な輸送方程式を数値解析するキャリア輸送解析処理と、をコンピュータに実行させることが好ましい。
【００２８】
第５の展開形態の記録媒体は、上記のデバイシミュレーションプログラムのいずれか一を記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体であってもよい。
【発明の効果】
【００２９】
本発明に係る有効不純物ポテンシャル算出装置によって導出される有効不純物ポテンシャルは、実験値とのフィッティングなどにより別途設定しなければならないような任意性のあるパラメータを含まない。その理由は、電子が感じる離散不純物の実効的なポテンシャルを、局所状態密度を介して求めるためである。
【００３０】
また、本発明によれば、半導体素子中の離散不純物に対する精度の良い３次元有効不純物ポテンシャルが算出される。その理由は、離散不純物ポテンシャルを不純物の中心からの距離の関数として算出するためである。
【００３１】
また、本発明によれば、離散不純物に対する有効不純物ポテンシャルをキャリア密度の変化に対して数値的に安定に計算することができる。その理由は、計算過程において、密度勾配法のようなキャリア密度の微分項が含まれないからである。
【発明を実施するための最良の形態】
【００３２】
本発明の実施形態に係る有効不純物ポテンシャル算出装置について、図面を参照して説明する。
【００３３】
（実施形態１）
本発明の第１の実施形態に係るデバイスシミュレーション装置は、図３を参照すると、半導体素子中の離散不純物の有効不純物ポテンシャルを算出する有効不純物ポテンシャル算出装置１を備えたデバイスシミュレーション装置である。有効不純物ポテンシャル算出装置１は、図４を参照すると、離散不純物が少なくとも１つ以上存在する系における局所状態密度を算出する局所状態密度算出部１１と、局所状態密度を用いて所定の温度及びフェルミ準位における局所電子密度を算出する局所電子密度算出部１２と、あるバンド端エネルギーを持つ自由電子状態密度を用いて所定温度及びフェルミ準位での自由電子密度を算出する自由電子密度算出部１３と、局所電子密度と自由電子密度とを比較する電子密度比較部１４と、自由電子状態密度のバンド端エネルギーを変更するバンド端エネルギー変更部１５と、離散不純物の中心からある距離における局所電子密度と自由電子密度とが一致する自由電子状態密度のバンド端エネルギーをその距離における離散不純物の有効不純物ポテンシャルとして出力する有効不純物ポテンシャルデータ出力部１６とを備える。
【００３４】
（実施形態２）
本発明の第２の実施形態に係るデバイスシミュレーション方法は、半導体素子中の離散不純物の有効不純物ポテンシャルを算出する有効不純物ポテンシャル算出ステップを含むデバイスシミュレーション方法である。有効不純物ポテンシャル算出ステップは、図５を参照すると、離散不純物が少なくとも１つ以上存在する系における局所状態密度を算出するステップ（ステップＳ１）と、局所状態密度を用いて所定の温度及びフェルミ準位における局所電子密度を算出するステップ（ステップＳ２）と、あるバンド端エネルギーを持つ自由電子状態密度を用いて所定温度及び所定フェルミ準位での自由電子密度を算出するステップ（ステップＳ３）と、局所電子密度と自由電子密度とを比較するステップ（ステップＳ４）と、自由電子状態密度のバンド端エネルギーを変更するステップ（ステップＳ５）と、を含む。さらに、離散不純物の中心からある距離における局所電子密度と自由電子密度とが一致する自由電子状態密度のバンド端エネルギーを、その距離における離散不純物の有効不純物ポテンシャルとして、出力するステップ（ステップＳ６）を含む。
【００３５】
（実施形態３）
本発明の第３の実施形態に係るコンピュータプログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体は、半導体素子中の離散不純物の有効不純物ポテンシャルを算出する処理をコンピュータに実行させるデバイスシミュレーションプログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体である。有効不純物ポテンシャルを算出する処理は、離散不純物が少なくとも１つ以上存在する系における局所状態密度を算出する処理と、局所状態密度を用いて所定の温度及びフェルミ準位における局所電子密度を算出する処理と、あるバンド端エネルギーを持つ自由電子状態密度を用いて所定温度及びフェルミ準位での自由電子密度を算出する処理と、局所電子密度と自由電子密度とを比較する処理と、自由電子状態密度のバンド端エネルギーを変更する処理と、を含む。さらに、離散不純物の中心からある距離における局所電子密度と自由電子密度とが一致する自由電子状態密度のバンド端エネルギーを、その距離における離散不純物の有効不純物ポテンシャルとして出力する処理をコンピュータに実行させる。
【００３６】
上記の実施形態において、有効不純物ポテンシャルは半導体素子内部に分布した離散不純物原子１つ１つに対して割り当てることが好ましい。そして、それらをすべて重ね合わせた離散不純物ポテンシャルに基づいて古典的輸送シミュレーションを行って半導体素子特性を求める。その際、異なる温度及び／又はフェルミ準位における複数の有効不純物ポテンシャルをデータベース（ＤＢ）２として記録装置に保持しておき、古典的輸送シミュレーションの計算領域でのフェルミ準位に応じた有効不純物ポテンシャルを用いる。離散不純物原子の分布は適当に仮定した分布でもよいし、プロセスシミュレーションや実測から得られた分布であってもよい。
【００３７】
古典的輸送シミュレーションでは、キャリアは自由電子状態密度に従う状態分布を持つと仮定しており、自由電子状態密度のバンド端エネルギーは静電ポテンシャルに対応する。しかしながら、本来、キャリアは局所状態密度に従う状態分布を持ち、古典的輸送シミュレーションにおける仮定とは相違する。本発明では、かかる相違をキャリア密度一定という条件によって自由電子状態密度のバンド端エネルギーを調節することにより解消しており、そのように調節されたバンド端エネルギーは、古典輸送シミュレーションにおける離散不純物の有効不純物ポテンシャルとして適している。
【００３８】
また、本実施形態において、古典的なキャリアのエネルギー分布関数としてフェルミ分布関数を用いているが、ボルツマン分布関数などの他のエネルギー分布関数を用いることもできる。
【００３９】
さらに、本実施形態において、離散不純物原子を極座標系の原点に置いて考えれば、局所状態密度を極座標系の動径方向についてのみ考えれば良く、計算時間を大幅に短縮することができる。
【実施例】
【００４０】
本発明の実施例に係るデバイスシミュレーション装置について、図面を参照して詳細に説明する。デバイスシミュレーション装置は、半導体の素子特性を数値計算によってシミュレート（模擬）する装置である。図３は、本実施例に係るデバイスシミュレーション装置の構成を示すブロック図である。
【００４１】
本実施の形態である半導体素子特性シミュレーション装置は、離散不純物の有効不純物ポテンシャルを算出する有効不純物ポテンシャル算出装置１と、有効不純物ポテンシャル算出装置１により算出した１つ以上の有効不純物ポテンシャルデータをメモリ装置やディスク装置等の記憶装置に備えた有効不純物ポテンシャルＤＢ２と、有効不純物ポテンシャルＤＢ２の少なくとも１つ以上の有効不純物ポテンシャルデータを用いて、半導体素子構造入力部５により入力された半導体素子の離散不純物分布に対する、最終的な全体の不純物ポテンシャル分布を算出する不純物ポテンシャル算出部３と、不純物ポテンシャル算出部３により算出した全体の不純物ポテンシャル分布を用いてキャリアの輸送方程式を解き、半導体素子の電気的特性を算出するキャリア輸送計算部４と、により構成されている。
【００４２】
本実施例に係る半導体素子特性シミュレーション装置のハードウェア構成は、各種処理を行うためのＣＰＵと、キーボード、マウス等の入力装置と、メモリ装置やディスク装置等の外部記憶装置と、ディスプレイ、プリンタ等の出力装置等とを備えた通常のコンピュータシステムを用いてもよい。前記ＣＰＵは、後述する各ステップにおける処理等を行う演算部と、前記処理の命令を記憶する主記憶部と、を備え、処理過程で使用するデータ等を前記外部記憶装置等に保存しつつ後述の各ステップの処理を進めていく。
【００４３】
本発明に係る半導体素子特性シミュレーションを実現するためのプログラムは、記録媒体に保存することができ、前記記録媒体から前記プログラムをコンピュータシステムに読み込ませ、実行することにより、半導体素子特性シミュレーションを実現することができる。前記記録媒体には、メモリ装置、磁気ディスク装置、光ディスク装置等、プログラムを記録することができるような装置を含む。
【００４４】
以下、本発明に係る半導体素子特性シミュレーションの手順について述べる。
【００４５】
まず、図３の有効不純物ポテンシャル算出装置１について詳しく説明する。
【００４６】
図４は、有効不純物ポテンシャル算出装置１の更に詳細な構成を示す図である。
【００４７】
有効不純物ポテンシャル算出装置１は、離散不純物のクーロンポテンシャルがある系での局所状態密度を計算する局所状態密度算出部１１と、局所状態密度算出部１１の局所状態密度を用いて局所電子密度を算出する局所電子密度算出部１２と、あるバンド端エネルギーを持つ自由電子状態密度を用いて自由電子密度を算出する自由電子密度算出部１３と、局所電子密度算出部１２より算出した局所電子密度と、自由電子密度算出部１３より算出した自由電子密度とを比較する電子密度比較部１４と、自由電子密度算出部１３におけるバンド端エネルギーを変更するバンド端エネルギー変更部１５と、電子密度比較部１４で前記局所電子密度と前記自由電子密度とが一致する前記自由電子状態密度のバンド端エネルギーを有効不純物ポテンシャルとして出力する有効不純物ポテンシャルデータ出力部１６と、により構成されている。
【００４８】
図５は、有効不純物ポテンシャル算出装置１において、離散不純物の有効不純物ポテンシャルを算出する手順を示す図である。
【００４９】
図５を参照すると、本実施の形態の有効不純物ポテンシャル算出手順は、まず、ステップＳ１において局所状態密度算出部１１により局所状態密度を算出する。
【００５０】
次にステップＳ２において、局所電子密度算出部１２により、系のある地点における、系のフェルミ準位、温度での局所電子密度ＮＬを、前記局所状態密度を用いて計算する。
【００５１】
そして、ステップＳ３において、自由電子密度算出部１３により、あるバンド端エネルギーＥｂを持つ自由電子状態密度を用いて、系のフェルミ準位、温度での自由電子密度ＮＦを計算する。
【００５２】
その後、ステップＳ４において、電子密度比較部１４により、ＮＬとＮＦとを比較する。ステップＳ４においてＮＬ＝ＮＦであれば、ステップＳ６に進み、その時のバンド端エネルギーＥｂを、その地点における有効不純物ポテンシャルのポテンシャル値として、有効不純物ポテンシャルデータ出力部１６により出力する。有効不純物ポテンシャルデータ出力部１６では、メモリ装置やディスク装置などの記憶媒体に有効不純物ポテンシャルデータとして出力する。
【００５３】
ステップＳ４においてＮＬ≠ＮＦであれば、ステップＳ５に進み、バンド端エネルギー変更部１５により、Ｅｂを変更して再びＳ３でＮＦを計算して、前述の手順を繰り返す。
【００５４】
図６は、本実施の形態の有効不純物ポテンシャル算出手順により算出された、有効不純物ポテンシャルＶｅｆｆの空間分布を示している。極座標系において、原点に負の電荷を１つ仮定した場合の、動径方向ｒのポテンシャル分布である。実線がＶｅｆｆ（ｒ）、破線がクーロンポテンシャルを示している。温度３００Ｋ、フェルミ準位Ｅｆ＝０ｅＶで計算を行った。
【００５５】
図６から分かるように、破線のクーロンポテンシャルは電荷中心（ｒ＝０）付近でポテンシャルが発散しているのに対し、実線のＶｅｆｆ（ｒ）では原点（ｒ＝０）付近においても有限の値に収まっている。原点における値は得られていないが、必要な計算精度に応じて十分原点に近いところまで計算すれば良い。また、原点における値を外挿によって求めても良い。
【００５６】
図７は、図６のｒ＝０．５ｎｍにおける状態密度のエネルギー分布である。ステップＳ１で計算した局所状態密度を実線で示している。本実施例では、極座標系の動径方向への１次元のグリーン関数法により、局所状態密度を計算した。
【００５７】
極座標系の角度方向について一様とした場合、グリーン関数法では、動径方向のハミルトニアン行列をＨｒ、エネルギーをＥ、自己エネルギー行列をΣｒとして、［ＥＩ−Ｈｒ−Σｒ］の逆行列で定義される、遅延グリーン関数Ｇ＝［ＥＩ−Ｈｒ−Σｒ］−１を計算する。ただし、Ｉは単位行列である。
【００５８】
ここで、動径方向の波動関数をψｒ、エネルギー固有値をＥｒとすると、波動方程式はＨｒψｒ＝Ｅｒψｒとなるが、ψｒ’＝ｒ×ψｒとすると、その時の波動方程式Ｈｒ’ψｒ’＝Ｅｒψｒ’のハミルトニアン行列Ｈｒ’は３重対角行列で表すことができる。Ｈｒ’を用いると、遅延グリーン関数Ｇ’＝［ＥＩ−Ｈｒ’−Σｒ’］−１は３重対角行列の逆行列となり、簡単に計算することができる。
【００５９】
自己エネルギー行列Σｒ’は境界、散乱の自己エネルギーの総和である。境界の自己エネルギーは、ψｒ’が原点から十分離れた地点で動径方向の平面波ｅｉｋｒとなるような解放境界条件から計算する。また、原点ではψｒが有限、つまりψｒ’＝０という境界条件を課す。散乱の自己エネルギー行列は散乱ポテンシャルから通常の方法で計算する。
【００６０】
局所状態密度は遅延グリーン関数の虚数部を用いて−２Ｉｍ［Ｇｒ’］から計算することができる。Ｇｒ’は角度方向の量子数ｌＹに依存するが、角度方向について一様とした場合、ｌＹについての和を取れば良い。ここで、量子数ｌＹの状態は、（２×ｌＹ＋１）重に縮退している点に注意する必要がある。
【００６１】
実際には、−２Ｉｍ［Ｇｒ’］は微小体積要素４πｒ２ｄｒで割り、更にエネルギーに関するフーリエ変換の際に出てくる２πで割った値を局所状態密度として用いる。
【００６２】
本実施例ではＳｉの伝導帯を等方的なバンドで近似した、有効質量近似で計算を行った。有効質量は、原点から十分遠い地点での局所状態密度のエネルギー分布の値が、楕円体バンドでの長軸方向の状態密度有効質量（ｍｌ×ｍｔ×ｍｔ）１／３を用いた古典的なバルク状態密度の値と一致するような値を用いた。ここで、ｍｌは楕円体の長軸方向の有効質量、ｍｔは短軸方向の有効質量であり、状態密度有効質量は前述のように、ｍｌと、ｍｔの２乗との積の３乗根である。
【００６３】
本実施例ではバンド構造を表すのに有効質量近似を用いたが、他のどのような方法でも良く、デバイスシミュレーションの輸送方程式に用いるバンド構造と同じ方法を用いれば良い。
【００６４】
また、本実施例ではグリーン関数法により局所状態密度を計算したが、他の方法であっても良い。
【００６５】
ステップＳ２では、この局所状態密度にフェルミ分布関数を掛けて、エネルギーに対して積分することにより、局所電子密度ＮＬを算出する。
【００６６】
図７の破線は、Ｅｂ＝０ｅＶの初期状態における自由電子状態密度である。自由電子状態密度は、エネルギーＥに対して（Ｅ−Ｅｂ）１／２に比例する、つまり、エネルギーの平方根に比例する関数で表すことができる。ステップＳ３では、この自由電子状態密度とフェルミ分布関数とを用いて、自由電子密度ＮＦを計算する。
【００６７】
図７の場合、Ｅｂ＝０ｅＶでは明らかにＮＦ＞ＮＬとなるため、Ｅｂを増加させる必要がある。つまり、ステップＳ４でＮＬ≠ＮＦより、ステップＳ５に進みＥｂを変更する。ステップＳ５におけるＥｂの変更値は、二分法により決定することにより、速やかに決定することができる。
【００６８】
ｒ＝０．５ｎｍでは、最終的にＥｂ＝８０ｍｅＶにおいてＮＦ＝ＮＬとなり、ステップＳ５に進み、有効不純物ポテンシャルＶｅｆｆ＝８０ｍｅＶとなる。
【００６９】
以上の手順を必要な全ての動径座標ｒに対して実行することにより、温度３００Ｋ、フェルミ準位Ｅｆ＝０ｅＶでの有効不純物ポテンシャルＶｅｆｆ（ｒ）の分布が得られる。
【００７０】
同じ手順で、別のＥｆに対してもＶｅｆｆ（ｒ）がそれぞれ得られる。その際、どのようなＥｆに対しても、ＮＦがＥｂに関して単調に変化することから、Ｖｅｆｆ（ｒ）は安定的に算出することができる。ここで、Ｅｆは半導体素子中のフェルミ準位から決まるため、任意のパラメータではない。
【００７１】
図８はｒ＝３０ｎｍでの局所状態密度、自由電子状態密度を示している。この場合、Ｖｅｆｆ＝４ｍｅＶとなる。このように、原点の電荷中心から十分離れた点では、局所状態密度（実線）と自由電子状態密度（点線）の分布形状がほぼ一致しており、両状態密度の差（すなわち、電子を量子力学的に取り扱ったことに起因する差）はわずかである。
【００７２】
実際、図６から分かるように、電荷の存在する原点から十分離れた領域では、Ｖｅｆｆ（ｒ）がクーロンポテンシャルとほぼ一致しており、このような領域ではクーロンポテンシャルを補正する必要はない。
【００７３】
図９は、原点に正の電荷を置いた場合のＶｅｆｆ（ｒ）である。
【００７４】
正の電荷の場合、ｒ＝０．５ｎｍでの局所状態密度は図１０のようになり、エネルギーＥ＝０ｅＶ以上で高い値を持つ。この場合、Ｅｂ＝０ｅＶではＮＦ＜ＮＬであり、Ｅｂ＝−７０ｍｅＶでＮＦ＝ＮＬとなる。つまり、Ｖｅｆｆ＝−７０ｍｅＶとなる。
【００７５】
図１０の計算では、局所状態密度を計算する際に、散乱の影響を含んでいないため、Ｅ＜０ｅＶの状態密度が０となっている。ステップＳ１の局所状態密度計算にフォノン散乱等のエネルギー緩和過程を含めることにより、計算精度を更に高めることができる。
【００７６】
以上のように、有効不純物ポテンシャル算出装置１では、離散不純物の補正ポテンシャルを、任意パラメータを用いず、完全に量子力学に基づいて、安定的に得ることができる。
【００７７】
有効不純物ポテンシャル算出装置１を用いて、複数のＥｆに対する有効不純物ポテンシャルを算出し、有効不純物ポテンシャルデータを記憶装置にそれぞれ記録することにより、図３の有効不純物ポテンシャルＤＢ２を構築することができる。有効不純物ポテンシャルＤＢ２に有効不純物ポテンシャルデータを記録保持しておくことにより、有効不純物ポテンシャルを毎回計算する必要がなくなる。必要な有効不純物ポテンシャルデータを記憶装置から読み込むだけで良いため、計算時間を大幅に短縮することが可能となる。
【００７８】
図１１は、有効不純物ポテンシャル算出装置１により得られた、有効不純物ポテンシャルを用いて半導体素子の電気的特性をシミュレーションする手順を示している。
【００７９】
まず、ステップＳ１１において、初期状態におけるキャリア密度分布および温度分布から半導体素子の各計算領域における擬フェルミ準位を算出する。ここで、擬フェルミ準位は各計算領域における静電ポテンシャルを基準としたエネルギー差として算出する。
【００８０】
次に、ステップＳ１２において、図３の有効不純物ポテンシャルＤＢ２から、各計算領域における温度および擬フェルミ準位に対応する有効不純物ポテンシャルデータを読み込む。ステップＳ１２では、更に、半導体素子構造入力部５より得られる半導体素子中の離散不純物原子位置情報に基づき、各離散不純物原子から各計算点における距離に応じて、各計算点における有効不純物ポテンシャルの値を決定する。この際、不純物ポテンシャル算出部３において、半導体素子中の離散不純物として扱う全ての不純物原子の有効不純物ポテンシャル値を足し合わせて、最終的な全体の不純物ポテンシャル分布を算出する。
【００８１】
ここで、有効不純物ポテンシャルＤＢ２を用いる代わりに、有効不純物ポテンシャルＤＢ２の有効不純物ポテンシャルデータを再現するような解析式を用意しておき、その解析式により有効不純物ポテンシャル値を算出しても良い。
【００８２】
そして、ステップＳ１３において、静電ポテンシャル分布に前記全体の不純物ポテンシャル分布を加え、キャリア輸送計算部４によってキャリア密度分布を更新する。ステップＳ１４においては、更新したキャリア密度分布を用いてポアソン方程式を解き、静電ポテンシャルを更新する。この際、離散不純物として扱う不純物については、ポアソン方程式の不純物密度分布には含めない。続いて、ステップＳ１５において、静電ポテンシャル等が収束したかどうか判定し、収束していなければステップＳ１１に戻り、更新したキャリア密度分布から擬フェルミ分布を算出し、ステップＳ１２以降の手順を、ステップＳ１５において収束判定が出るまで繰り返す。
【００８３】
そして、ステップＳ１５において収束判定が出た時点での電気的特性を、半導体素子の電気的特性として出力する。
【００８４】
ここで、キャリア輸送計算部４においては、古典的なボルツマン輸送方程式をモンテカルロ法やドリフト拡散モデル等によって解き、半導体素子の電気的特性を算出する。離散不純物の有効不純物ポテンシャルを用いるため、高速な古典的輸送方程式により、離散不純物の影響を正確に取り入れた上で、高速に半導体素子特性のシミュレーションを行うことができる。
【００８５】
半導体素子構造入力部５では、外部から半導体素子の素子形状情報や不純物密度分布情報、離散不純物位置情報などが入力される。これらの情報は、適当に設定した情報でも良いし、実測やプロセスシミュレーションの結果から得られた情報であっても良い。
【００８６】
また、有効不純物ポテンシャルデータは、不純物位置からの距離ｒによっても、フェルミ準位Ｅｆによっても補間を行うことができる。適切な補間を行うことにより、計算精度を保ったまま、有効不純物ポテンシャルＤＢ２に格納する有効不純物ポテンシャルデータを減らすことができ、有効不純物ポテンシャルＤＢ２を構築する時間を短縮することができる。
【００８７】
以上のように、本実施例によれば、フィッティング等により設定する必要のある任意パラメータを用いることなく、離散不純物の影響を正確に取り入れた上で、高速に半導体素子特性のシミュレーションを行うことができる。
【００８８】
以上、本発明を上記実施例に即して説明したが、本発明は上記実施例の構成にのみ制限されるものでなく、本発明の範囲内で当業者であればなし得るであろう各種変形、修正を含むことは勿論である。
【図面の簡単な説明】
【００８９】
【図１】従来技術における離散不純物電界モデルを示す図である。
【図２】従来技術における離散不純物ポテンシャルを示す図である。
【図３】本発明の半導体素子特性シミュレーション装置の構成図である。
【図４】本発明の有効不純物ポテンシャル算出装置の構成図である。
【図５】本発明の有効不純物ポテンシャル算出装置の動作手順を示す図である。
【図６】本発明で用いられる負電荷の有効不純物ポテンシャルの例を示す図である。
【図７】負の電荷を持つ不純物中心付近における局所状態密度と自由電子状態密度を示す図である。
【図８】負の電荷を持つ不純物中心から離れた地点における局所状態密度と自由電子状態密度を示す図である。
【図９】本発明で用いられる正電荷の有効不純物ポテンシャルの例を示す図である。
【図１０】正の電荷を持つ不純物中心付近における局所状態密度と自由電子状態密度を示す図である。
【図１１】本発明の半導体素子特性シミュレーション装置の動作手順を示す図である。
【符号の説明】
【００９０】
１  有効不純物ポテンシャル算出装置
２  有効不純物ポテンシャルＤＢ
３  不純物ポテンシャル算出部
４  キャリア輸送計算部
５  半導体素子構造入力部
１１  局所状態密度算出部
１２  局所電子密度算出部
１３  自由電子密度算出部
１４  電子密度比較部
１５  バンド端エネルギー変更部
１６  有効不純物ポテンシャルデータ出力部
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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