(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
隠蔽可能なボリュームの周囲に、複数の隠蔽するボリューム要素を構築し、各隠蔽するボリューム要素は、隠蔽可能なボリュームの周囲に伝播波を導くように定めた、異方性の物質パラメータを有して、
前記異方性の物質パラメータは、屈折率、電気誘電率、および、磁気透磁率のうちの少なくとも１つであり、前記伝播波は電磁波を含み、前記隠蔽するボリュームはメタ物質であり、該パラメータによる分布の結果として、空間の特定のボリュームを通り抜けていた電磁波が該ボリュームのまわりで偏向され、電磁波の当初の軌道に戻される、隠蔽するボリュームを構築する方法。
【請求項２】
前記異方性の物質パラメータは、電気誘電率と磁気透磁率のそれぞれを含む請求項１に記載の方法。
【請求項３】
各要素は、誘電率および透磁率の値をそれぞれ提供する導電性ワイヤおよび分割リングのうちの少なくとも１つを含む請求項１に記載の方法。
【請求項４】
前記隠蔽するボリュームは、出て行く伝播波が観測者にとってかき乱されていないように見えるように入って来る伝播波を迂回させるように設計されている請求項１に記載の方法。
【請求項５】
隠蔽可能なボリュームの周囲に供給のための隠蔽するボリュームを設計する方法であって、隠蔽可能なボリューム空間を隠蔽するボリューム空間にマッピングする座標変換を識別し、前記隠蔽可能なボリューム空間での空間的に分布した、異方性の物質パラメータ値に、対応する変換を適用し、前記異方性の物質パラメータは、屈折率、電気誘電率、および、磁気透磁率のうちの少なくとも１つであり、該パラメータによる分布の結果として、空間の特定のボリュームを通り抜けていた電磁波が該ボリュームのまわりで偏向され、電磁波の当初の軌道に戻され、前記ボリュームはメタ物質である方法。
【請求項６】
請求項５に記載の隠蔽するボリュームを設計し、前記変換された異方性の物質パラメータ値を有する複数の要素を構築し、前記要素をそれぞれ変換された空間位置で組み立てることを含む、隠蔽するボリュームを構築する方法。
【請求項７】
前記組み立てられた要素はメタ物質を形成する請求項６に記載の方法。
【請求項８】
隠蔽可能なボリュームの周囲に伝播波を導くように定めた異方性の物質パラメータをそれぞれ有する複数の隠蔽するボリューム要素を含む、隠蔽可能なボリュームを隠蔽し、前記異方性の物質パラメータは、屈折率、電気誘電率、および、磁気透磁率のうちの少なくとも１つであり、前記隠蔽するボリューム要素はメタ物質を形成し、前記伝播波は電磁波を含み、該パラメータによる分布の結果として、空間の特定のボリュームを通り抜けていた電磁波が該ボリュームのまわりで偏向され、電磁波の当初の軌道に戻される、隠蔽するボリューム。
【請求項９】
各隠蔽するボリューム要素は、電気誘電率または磁気透磁率の値をそれぞれ提供する電気導電性ワイヤおよび分割リングのうちの少なくとも１つを含む請求項８に記載の隠蔽するボリューム。
【請求項１０】
前記隠蔽するボリューム内に、隠蔽されたボリュームをさらに含む請求項８に記載の隠蔽するボリューム。
【請求項１１】
帯域幅を向上させる複数の要素をさらに含む請求項８に記載の隠蔽するボリューム。
【請求項１２】
請求項１に記載の方法を行う１セットの指示を含むコンピュータ読取可能な媒体。
【請求項１３】
請求項１２に記載のコンピュータ読取可能な媒体の指示で作動するコンピュータ。
【請求項１４】
請求項５の方法に従って導出された、隠蔽するボリューム要素物質パラメータデータを格納するコンピュータ読取可能な媒体。
【請求項１５】
可視、赤外、紫外、Ｘ線、ラジオ、レーダ、マイクロ波の電磁スペクトラム帯のうちの少なくとも１つでクローキングするような請求項８に記載の隠蔽するボリューム。
【請求項１６】
集中ボリュームおよび収集ボリュームを形成する複数のコンセントレータ要素を構築し、各コンセントレータ要素は、前記集中ボリュームから前記収集ボリュームへ伝播波を導くように定めた異方性の物質パラメータを有して、前記異方性の物質パラメータは、屈折率、電気誘電率、および、磁気透磁率のうちの少なくとも１つであり、前記伝播波は電磁波を含み、前記コンセントレータはメタ物質であり、該パラメータによる分布の結果として、空間の特定のボリュームを通り抜けていた電磁波が該ボリュームのまわりで偏向され、電磁波の当初の軌道に戻される、コンセントレータを構築する方法。
【請求項１７】
前記異方性の物質パラメータは、電気誘電率と磁気透磁率のそれぞれを含む請求項１６に記載の方法。
【請求項１８】
各要素は、誘電率および透磁率の値をそれぞれ提供する導電性ワイヤおよび分割リングのうちの少なくとも１つを含む請求項１６に記載の方法。
【請求項１９】
前記コンセントレータは、出て行く伝播波が観測者にとってかき乱されていないように見えるように入って来る伝播波を迂回させるように設計されている請求項１６に記載の方法。
【請求項２０】
集中ボリュームの周囲に供給のためのコンセントレータを設計する方法であって、前記集中ボリューム空間を収集ボリューム空間にマッピングする座標変換を識別し、コンセントレータ空間での空間的に分布した異方性の物質パラメータ値に、対応する変換を適用し、前記異方性の物質パラメータは、屈折率、電気誘電率、および、磁気透磁率のうちの少なくとも１つであり、該パラメータによる分布の結果として、空間の特定のボリュームを通り抜けていた電磁波が該ボリュームのまわりで偏向され、電磁波の当初の軌道に戻され、前記ボリュームはメタ物質である方法。
【請求項２１】
請求項２３に記載のコンセントレータを設計し、前記変換された異方性の物質パラメータ値を有する複数の要素を構築し、前記要素をそれぞれ変換された空間位置で組み立てることを含む、コンセントレータを構築する方法。
【請求項２２】
前記組み立てられた要素はメタ物質を形成する請求項２１に記載の方法。
【請求項２３】
前記集中ボリュームから収集ボリュームへ伝播波を導くように定めた異方性の物質パラメータをそれぞれ有する複数のコンセントレータ要素を含む、前記異方性の物質パラメータは、屈折率、電気誘電率、および、磁気透磁率のうちの少なくとも１つであり、前記コンセントレータ要素はメタ物質を形成し、前記伝播波は電磁波を含み、該パラメータによる分布の結果として、空間の特定のボリュームを通り抜けていた電磁波が該ボリュームのまわりで偏向され、電磁波の当初の軌道に戻される、集中ボリュームを集中するコンセントレータ。
【請求項２４】
各コンセントレータ要素は、電気誘電率または磁気透磁率の値をそれぞれ提供する電気導電性ワイヤおよび分割リングのうちの少なくとも１つを含む請求項２３に記載のコンセントレータ。
【請求項２５】
前記集中ボリューム内に収集ボリュームをさらに含む請求項２３に記載のコンセントレータ。
【請求項２６】
帯域幅を向上させる複数の要素をさらに含む請求項２３に記載のコンセントレータ。
【請求項２７】
請求項１６に記載の方法を行う１セットの指示を含むコンピュータ読取可能な媒体。
【請求項２８】
請求項２７に記載のコンピュータ読取可能な媒体の指示で作動するコンピュータ。
【請求項２９】
請求項２０の方法に従って導出された、コンセントレータ要素物質パラメータデータを格納するコンピュータ読取可能な媒体。
【請求項３０】
可視、赤外、紫外、Ｘ線、ラジオ、レーダ、マイクロ波の電磁スペクトラム帯のうちの少なくとも１つで集中するような請求項２３に記載の隠蔽するコンセントレータ。
【請求項３１】
異方性の物質内で伝播波を制御する方法であって、前記異方性の物質によって示される磁気透磁率および電気誘電率の値を互いに独立に制御し、前記異方性の物質はメタ物質であり、前記伝播波は電磁波を含み、該磁気透磁率および該電気誘電率の値による分布の結果として、空間の特定のボリュームを通り抜けていた電磁波が該ボリュームのまわりで偏向され、電磁波の当初の軌道に戻される方法。
【請求項３２】
前記伝播波は隠蔽可能なボリュームを迂回するように制御される請求項３１に記載の方法。
【請求項３３】
前記伝播波は集中ボリュームから収集ボリュームへ導かれるように制御される請求項３１に記載の方法。
【請求項３４】
物体の異方性の物質パラメータ値の空間分布を定義する方法であって、変換前異方性の物質パラメータ値空間分布を有するボリュームに関して空間座標変換を行い、前記異方性の物質パラメータは、屈折率、電気誘電率、および、磁気透磁率のうちの少なくとも１つであり、前記ボリュームはメタ物質であり、該パラメータによる分布の結果として、空間の特定のボリュームを通り抜けていた電磁波が該ボリュームのまわりで偏向され、電磁波の当初の軌道に戻され、変換後異方性の物質パラメータ値空間分布を有するメタ物質から物体を構築する方法。
【請求項３５】
物体の異方性の物質パラメータ値の空間分布を定義する方法であって、変換前異方性の物質パラメータ値空間分布を有するボリュームに関して空間座標変換を行い、前記異方性の物質パラメータは、屈折率、電気誘電率、および、磁気透磁率のうちの少なくとも１つであり、前記ボリュームはメタ物質であり、該パラメータによる分布の結果として、空間の特定のボリュームを通り抜けていた電磁波が該ボリュームのまわりで偏向され、電磁波の当初の軌道に戻され、前記空間分布は前記物体を囲むボリュームに影響を及ぼし、変換後異方性の物質パラメータ値空間分布が前記物体を囲むボリュームに同様な影響を及ぼすように前記空間変換が選択される方法。
【請求項３６】
前記囲むボリュームは、物体の存在により電磁放射のかき乱れがない請求項３５に記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、電磁場を制御して、ある空間をクローキングする方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
電磁気を利用するために、物質は、電磁場を制御し導くために一般に用いられる。例えば、カメラの中でガラスレンズはイメージを形成するように光線を導き、金属ケージは、電磁放射から、敏感な機器を遮るために用いられる。また、「黒体」の様々な形状は不要な反射を防ぐために利用される。特別な関心がある電磁気の１つの態様は、電磁波の操作での物質の使用である。この操作は、外部観測者による検知から、物体またはいくらかの空間のボリュームを隠蔽またはクロークするものである。
【０００３】
物体の電磁気的な隠蔽を達成することを試みるいくつかの既知の方法がある。例えば、問題となっている物体が彼の視野の経路を遮断していなければ、彼が見るものの観察者に、あるイメージを投影するために一連のカメラを用いることは可能である。その結果、観察者は、物体が存在することを理解できない。しかしながら、この方法は、動的部品の使用に頼り、物体、カメラおよび観察者の相対的な位置に極度に依存する。
【０００４】
さらに、知られている隠蔽方法は、従来の「ステルス技術」および低レーダ断面積構造体の使用を含んでいる。これらは、レーダまたは他の電磁波の後方反射を最小化するように設計されている。これらの構造体は、ターゲットから離れる入射波の散乱、または、入射波を吸収することを含んでいるので、減少したまたは変更された電磁気的シグナチャーを提供することができるが、それらが隠す物体は依然として透過において検出可能である。
【０００５】
A AluとN Enghetaが、プラズモン的でかつメタ物質である「クローク」またはカバーの使用を通じて、球状および円柱状物体の隠蔽のためのスキームを提案している（例えば、非特許文献１）。この論文は、そのような物体の全散乱断面積を減少させる方法を提供しているが、それは、隠される物体の形状についての特定の知識およびこの物体の材質特性に頼っている。特に、電磁気的クロークと隠蔽された物体は、散乱特性が最低次近似で減少する合成物を形成する。したがって、物体の形状が変わる場合、それに応じてクロークの形状が変わらなければならない。さらに、この方法は共鳴効果に頼っている。それは、周波数がその共鳴ピークから上下する場合、方法がより有効でなくなるものである。したがって、それは、狭帯域方法であり、広帯域用途のために実施することができない。
【０００６】
興味深い電磁気のさらなる態様は、電磁気感知と環境発電の応用での物質の使用である。いくつかの既知のデバイスが、衛星放送アンテナおよび太陽エネルギーパネルのような分野に存在する。そのような先行技術デバイスは、多くの異なる方向から入射する電磁放射を集めるか検出するのに動作可能であり、かつ、任意の所望の方向から入射した放射を捉えるために移動可能であるが、それらは、任意の所定の時刻にすべての方向から入射する電磁放射を捕らえる能力を有していない。したがって、太陽エネルギー収集およびモバイルでのマイクロ波エネルギービーミングのような、電磁気的なソースの方向が最初に未知であるか、絶えず変化している場合の応用では、問題が生じる。
【非特許文献１】A Alu and N Engheta, Physics Rev. E95, 016623 (2005)
【特許文献１】国際公開第２００６／０２３１９５号パンフレット
【特許文献２】米国特許出願公開第２００６／００７１３１１号明細書
【発明の開示】
【課題を解決するための手段】
【０００７】
発明はクレームで述べられる。第１の実施形態によれば、空間の特定のボリュームを通り抜けていた光線がこのボリュームのまわりで偏向され、光線の当初の軌道に戻される方法が提供されるから、観察者は、光線が空間のそのボリュームを直接通り抜けたと結論を下す。これは、観察者と隠蔽されたボリュームとの相対的な位置にかかわらずそうなる。さらに、放射が隠蔽されたボリュームに入ることができなく、どんな放射も隠蔽されたボリュームから出ることはできないので、隠蔽されたボリュームに置かれた、任意の形状または任意の物質の物体は、観察者には見えない。
【０００８】
１つの態様では、発明は、隠蔽され隠蔽するボリュームのサイズに独立であり、既知の隠蔽スキームに影響する基本的なスケーリング問題のうちのどれにも影響を受けない座標変換アプローチを利用する。また、隠蔽されたまたは隠蔽するボリュームの任意の形状のための変換方法を用いることも可能である。電磁放射の波長は、発明が、任意サイズの構造体、任意波長、場の遠近で適用することが可能であるような、解に現われない。
【０００９】
発明のさらなる実施形態では、空間の特定のボリュームの外側表面に入射する電磁場はすべて、外側表面でのそれらの入射方向にかかわらず、内核領域へ集中される。これによって、検出器またはコレクターは、それがある位置で全方向からの強められた場と相互作用することを可能にして、電磁場が集中された内核に配置されることが可能である。空間の特定のボリュームを通り抜ける光線が、その外側表面の外側で、それら光線の当初の軌道に返される方法が記述されるので、観察者は、問題となっているボリュームと観察者との相対的な位置にかかわらず、空間のそのボリュームを光線が直接通り抜けたと結論を下す。さらに、本発明によって、内核領域内に置かれた検出器は、任意の方向から、また、その配置を見る観察者には見えない周囲のレイヤに、その材質特性を一致させることが可能である。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１０】
概要すると、第１の実施形態によれば、発明は、物体のまわりの電磁力線の方向を変更することによって、物体または空間のボリュームを隠蔽する方法を提供する。隠蔽されたボリュームを通って通常流れる任意の力線は、周囲の隠蔽するボリュームを通って方向が変更される。クローキング構造体の外部では、力線はかき乱されていない（unperturbed）ままである。クローキング構造体はメタ物質から形成され、メタ物質は、問題となっている物体またはボリュームをクロークすることに必要な特殊物質パラメータを示すように設計された物質である。特に、クローキングメタ物質の誘電率εおよび透磁率μ、そしてその結果得られる屈折率ｎは、電磁力線を操作しかつ有効に閉じたボリュームを隠蔽するために、有効に連続的に空間的に変えることが可能である。発明の結果として、隠蔽されたボリュームは、外部の観測者に検出されない。また、隠蔽されたボリューム内の物体によって生成されたい任意の電磁放射が、それから漏れることは不可能である。
【００１１】
さらなる実施形態では、発明は、内核領域の中へコンセントレータデバイスの外側表面に入射する電磁場を集中する方法を提供する。集光構造体は集中ボリュームおよび収集ボリュームを含む。集中ボリュームを通って通常流れる任意の力線は、内側の収集ボリュームへ方向を変更される。集中ボリュームを囲む集光環帯の外部では、力線はかき乱されていないままである。集光構造体は、上記のクローキング構造体用に上述された手法と似た手法でメタ物質から形成される。
【００１２】
より詳細には後に概説するが、ここに記述された変換方法は、任意の所望のクローキング構造体を使用して、任意の所望のボリュームを隠蔽することに適用することが可能であるが、簡単のため、図１に示すような単純な球状の場合に関してまず記述される。図１によれば、隠されるべきボリュームは半径Ｒ１の球体１００である。また、クローキング物質は、半径Ｒ１＜ｒ＜Ｒ２の環帯１０２内に含まれている。半径Ｒ１の球体１００内の確保された放射なしのボリュームを生成するために、半径ｒ＜Ｒ２の球体１０６を通常流れる電磁力線１０４はすべて、クローキング環帯１０２ Ｒ１＜ｒ＜Ｒ２に圧縮されなければならない。すなわち、視界から半径Ｒ１の球体１００を除去するために、球体１００内のボリュームと環帯１０２内のボリュームはすべて、半径Ｒ１＜ｒ＜Ｒ２の環帯１０２上に写像されなければならない。球体１０６の中間の外部ｒ＜Ｒ２では、電磁力線１０４はかき乱されていないままでなければならない。
【００１３】
電磁波の伝播に関する理論は、よく知られ、したがって、関係のある態様だけが、発明の文脈でここに要約される。自由空間では、磁場強度Ｈは、方程式
【数１】
0005510946.tif 000002
【００１４】
によって、磁場強度Ｂおよび自由空間での透磁率μ０と関係がある。自由空間での電場Ｅは、方程式
【数２】
0005510946.tif 000003
【００１５】
によって、電束密度Ｄおよび自由空間での誘電率ε０と関係がある。誘電体では、εおよびμの値は、比誘電率εｒおよび比透磁率μｒによって変更され、本発明の屈折率は
【数３】
0005510946.tif 000004
【００１６】
によって与えられる。技術の熟練した人によく知られているように、３つのベクトルＥ、ＨおよびＳは、相互に直交している。ポインティングベクトルＳは、外積
【数４】
0005510946.tif 000005
【００１７】
によって計算可能である。ポインティングベクトルＳは、電磁波の単位時間あたり単位面積あたりのエネルギーフローの方向と大きさを与える。図１に示したような線軌道図では、光線の方向が、電磁力線に対応し、ポインティングベクトルの方向に従う。したがって、本発明を実行するために、電束密度Ｄ、磁場強度ＢおよびポインティングベクトルＳのうちのどれでも、フォーカスするか、または、方向を変更する必要がある。その結果、それらは、半径Ｒ１の球体１００を回避し、それらの当初の軌道に乱されずに戻る。
【００１８】
下記により詳細に記述されるように、アプローチは、さらに、方向を変更された場についてのマクスウェル方程式の解を必要とする。描写の容易さについては、特にポインティングベクトルの方向変更は次の説明で言及される。
【００１９】
所望のクローキング効果を効果的に実行するためにクローキング構造体が有する電磁気的な特性を計算するために、第１のステップは、線が半径Ｒ１の球体１００を通り抜けないように、ポインティングベクトルＳに適用されなければならない歪みを計算することである。図２ａおよび図２ｂで示されるように、これは、各線の最初の配置を記録することによって達成される。この配置は、球体メッシュまたはデカルトメッシュのような既知の幾何学メッシュ上で、クロークされたボリュームとクローキング物質が無い場合に生じる。例えば、図２ａでは、単一線２００はデカルトメッシュ２０２上にプロットされている。一旦、適切な線２００がその上にプロットされたならば、その上にプロットされた線が、クロークされたボリュームを回避して、それらの新しい所望のパスに続くために、歪められるように、デカルトメッシュ２０２は伸ばされたり歪められる。その後、これを達成するためにデカルトメッシュ２０２に課されるひずみは、当初のデカルトメッシュ２０２と第２の変換されたメッシュ２０４との間の座標変換として記録されることが可能である。ここで、第２メッシュは以下によって定義される。
【数５】
0005510946.tif 000006
【００２０】
この第２メッシュ２０４では、一定のｑ２、ｑ３の線は一般化されたｑ１軸などを定義する。逆に、以下のことが理解できる。第２メッシュ２０４がｑ１軸、ｑ２軸、およびｑ３軸に沿った等しい増分によって定義された１セットの点を備えていれば、それは図２ａおよび図２ｂの比較が明白に実証するように、ｘ、ｙ、ｚのデカルトフレームで歪みがあるように見える。
【００２１】
この変換を実行する利点は、下記に述べられるように、当初の幾何と同様な変換された幾何の形式でマクスウェル方程式を解くことが可能であることが示されるかもしれないということである。この変換では、εおよびμの空間的に歪められた値の対応する変換だけは必要である。これは、誘電率εおよび透磁率μの値と、その結果得られる空間での屈折率ｎの変化が、光線によって見られるような空間の幾何を歪めることと等価であるとの認識から直観的に理解されうる。このアプローチは、屈折率
【数６】
0005510946.tif 000007
【００２２】
の修正よりもεとμの値の個々の修正を特に扱うことに注意する。特に、これは、インピーダンス（Ｚ）マッチングを保証することによって取り除かれる異なる媒体のインターフェース間での反射を許容する。ここで、インピーダンスは、以下のようになる。
【数７】
0005510946.tif 000008
【００２３】
熟練した人に知られているように、デカルト座標系でのマクスウェル方程式は以下の形式をとる。
【数８】
0005510946.tif 000009
【００２４】
ここで、誘電率εおよび透磁率μの両方は位置に従属する。付録１に記述されているように、座標変換がこれらの方程式に適用される場合、新しい座標系では、それらは以下の形式をとる。
【数９】
0005510946.tif 000010
【００２５】
ここで、εおよびμは一般的にはテンソルであり、
【数１０】
0005510946.tif 000011
【００２６】
はリノーマライズされた電場、磁場である。４つの量はすべて、当初のものと単純な関係がある。言いかえれば、マクスウェル方程式の形式は座標変換によって保存される。座標変換は、我々がマクスウェル方程式を依然として解いているという事実を変更せず、単にε、μの定義を変更する。
【００２７】
特に、付録１に詳細に示されるように、μおよびεの変換の影響は共通因子によりそれらを両方ともスケーリングすることである。この一般化された解は付録１に示されている、しかし、直交幾何（デカルト、球状または円柱状）の場合には誘電率および透磁率のリノーマライズされた値は以下のようになる。
【数１１】
0005510946.tif 000012
【００２８】
ここで、
【数１２】
0005510946.tif 000013
【００２９】
および
【数１３】
0005510946.tif 000014
【００３０】
図１に示されるような球状の場合に戻ると、当初の線配置をプロットするメッシュの自然な選択は、球状のものである。球状の場合は座標ｒ、θ、φを用いる。座標変換は、半径ｒ＜Ｒ２の球体１０６内の場をすべて採用し、それらを圧縮して半径Ｒ１＜ｒ＜Ｒ２の環帯１０２に詰め込むことにより作用する。これは形式の何らかの変換によって達成される。
【数１４】
0005510946.tif 000015
【００３１】
ここで、ｆ（ｒ）はｒの単調に増加する関数であり、これは、半径Ｒ２の球体１０６の全内部を、それぞれが半径Ｒ１およびＲ２の２つの球体１００、１０６によって境を接する環帯に写像する。力線が放射状にのみ圧縮されているので、φとθに関しては対称である。したがって、それらの角度の位置決めは歪んでいない。
【００３２】
方程式（８）の最も単純な解はｆ（ｒ）＝ｒの場合である。それは単純化して、以下の式を与える。
【数１５】
0005510946.tif 000016
【００３３】
クローキング環帯物質が半径Ｒ１の球体１００内の任意の物体をクロークする所望の結果を達成するように、クローキング環帯１０２物質に必要な電磁的な特性を確認するために、ｒ、φ、θに課された変換は、付録１での一般的な場合に示されるように、類似した手法でεおよびμに適用されなければならない。空間の各点（ｘ、ｙ、ｚ）では、εおよびμは、変換された幾何での球座標値（ε’ｒ、ε’θ、ε’φ）、（μ’ｒ、μ’θ、μ’φ）に変換されなければならない成分（εｘ、εｙ、εｚ）、（μｘ、μｙ、μｚ）を有する。
【００３４】
これを２ステップで行う。  
まず圧縮のない球座標へ変換する。
【数１６】
0005510946.tif 000017
【００３５】
その結果、上記方程式（４）に示されるように、新しいフレームで、
【数１７】
0005510946.tif 000018
【００３６】
計算すると、
【数１８】
0005510946.tif 000019
【００３７】
したがって、
【数１９】
0005510946.tif 000020
【００３８】
ここで、εｒ、εθ、εφは、当初のデカルトのフレームでの誘電率テンソルの３つの成分である。我々は誘電率および透磁率は等しいと仮定する。ｒの適切な係数を取り除くことによって、式（Ａ４）からεｒ、εθ、εφのデカルトを容易に抽出することができることを注意する。
【００３９】
半径Ｒ１の球体の内部の保護された空間を作るために、我々は、それと共に任意の線軌道をとりつつ半径が圧縮される新しい円柱系へのさらなる変換を作る。コンピュータプログラムはデカルト座標で正常に動作し、したがって、ｒ’の係数を取り除くことによって、圧縮されたデカルト系ｘ’ｙ’ｚ’に関して圧縮された動径座標系を書き換えることは可能であることに注意する。
【００４０】
方程式（９）からの変換を考えて、
【数２０】
0005510946.tif 000021
【００４１】
これらは次のように書き換えられる。
【数２１】
0005510946.tif 000022
【００４２】
計算して、
【数２２】
0005510946.tif 000023
【００４３】
その結果、新しいフレームでは、Ｒ１＜ｒ’＜Ｒ２において、
【数２３】
0005510946.tif 000024
【００４４】
あるいは、式（Ａ４）と比較することによって容易に行なわれるデカルト座標フレームｘ’ｙ’ｚ’でのこれらの値を再解釈することができる。
【数２４】
0005510946.tif 000025
【００４５】
ここで我々は、最初の物質は真空であると仮定する。
【００４６】
Ｒ２＜ｒ’において、
【数２５】
0005510946.tif 000026
【００４７】
自由空間では、εｒ’＝μｒ’＝εθ’＝μθ’＝εφ’＝μφ’＝１（１１）
である。
【００４８】
ｒ’＜Ｒ１においては、放射はこの領域に入り込むことはあり得ないので、我々は誘電体関数に合わせて適当に任意の値を選んでよい。この領域では、ε’、μ’は、目に見えることのないままで、制限のない任意の値をとることができ、電磁気散乱に寄与しない。これは、ボリュームの形またはサイズにかかわらず、すべてのクロークされたボリュームの場合になる。
【００４９】
適切なクローキング物質が、半径Ｒ１＜ｒ＜Ｒ２の環帯１０２に、実装されることが可能であれば、これは半径Ｒ１の中央領域１００に入ることからすべてのフィールドを除外し、反対に、すべてのフィールドがこの領域から逃げるのを防ぐ。したがって、隠蔽された半径Ｒ１の球体１００に配置された、クローキング構造体自体および任意の物体は、反射または透過のいずれにおいても検出可能でない。媒体の中のすべての点で、インピーダンス不整合によって引き起こされた、媒体で不要な反射がないようなインピーダンス
【数２６】
0005510946.tif 000027
【００５０】
が発生することに注意する。
【００５１】
インピーダンス
【数２７】
0005510946.tif 000028
【００５２】
がメタ物質のすべての点で達成されれば、クローキング構造体および隠蔽されたボリュームが、単に自由空間を含むように見えて、したがって、もし自由空間に埋め込まれていれば見えなくなることに注意する。クローキング構造体が別の媒体に埋め込まれていれば効果は異なる。例えば、水に埋め込まれていれば、それは泡が現れる。クローキング構造体を別の媒体において見えなくするために、２つの間の接触面で周囲の媒体のμおよびεに対する、メタ物質のμおよびεの比を一致させる必要がある。熟練した人が理解できるように、これはクローキング構造メタ物質でεおよびμの数値を変更するが、付録１で概説した一般変換理論は同様である。すなわち、本発明によって、互いと無関係にメタ物質でのεおよびμを制御することが可能であるから、その環境のインピーダンスにメタ物質のインピーダンスを一致させるために、ｚの任意の所望値を達成することは可能である。
【００５３】
図１では、クローキング環帯１０２は比較的厚く描かれているが、これはそうである必要がない。その解はシェル厚さまたは他の長さ規模に依存しない。それは任意のスケーリング問題に影響を受けないほどのものである。さらに、解は波長λに依存しないので、提供される解は、近くの場と遠くの場の両方で維持される。これは図１および図３に示されている。例証の目的のために、我々がポインティングベクトルをプロットするために線（レイ）近似を用いることが可能であるように、λが波長である場合、Ｒ２＞＞λを仮定する。その後、我々のシステムが、無限遠にある放射源に露出される場合、我々は、図１に示される線投写課題を実行することが可能である。この図の線１０４は、異方性、異質性がある媒体でのマクスウェル方程式の幾何学的な限界を取ることによって得られた１セットのハミルトン方程式の数値積分に起因している。この積分は、（９）と（１０）によって特定される配置が内部領域１００から線を排除することの、独立した確証を提供する。それとは別に、Ｒ２＜＜λかつ我々が点電荷３０６のそばに位置する場合、静電気（または静磁気）の近似が適用される。局所的な静電変位場のプロットは図３に示される。
【００５４】
上で概説された理論的な解は、線軌道を計算する線追跡プログラムを用いて実証することが可能である。そのようなプログラムによれば、規定された物質は、「クローク」されているか、または、ユーザに見えないようにされている中央のボリュームのまわりで存在すると仮定される。入力として規定されたパラメータを用いて、線追跡符号は理論的な予測を確認する。いくつかの既存プログラムは本発明の課題の複雑さを扱うことができないが、この種の線追跡プログラムは当業者によく知られている。図４ａおよび図４ｂでは、幾何学的限界（つまり、零波長限界）でマクスウェル方程式を解くためにハミルトンの公式化に基づいた特注のカスタムの線追跡符号から開発された線追跡プログラムが使用されている。結果は、球状の構造体４００および円柱状の構造体４０２でそれぞれ示されている。ここで、下のように示されるように、円柱の場合での変換されたパラメータεおよびμは、球体でのそれらに似た方法で計算される。
【００５５】
まず圧縮のない円柱座標へ変換する。
【数２８】
0005510946.tif 000029
【００５６】
その結果、新しいフレームでは、
【数２９】
0005510946.tif 000030
【００５７】
計算し、
【数３０】
0005510946.tif 000031
【００５８】
したがって、
【数３１】
0005510946.tif 000032
【００５９】
ここで、εｒ、εθ、εＺは、当初のデカルトフレームでの誘電率テンソルの３つの成分であり、誘電率と透磁率は等しいと仮定する。ｒの適切な係数を取り除くことにより、（Ａ１３）から容易にεｒ、εθ、εＺのデカルトの観点を抽出することが可能であることに注意する。
【００６０】
円柱半径Ｒ１の内部の保護された空間を生成するために、それを備えた任意の線軌道を取り入れて半径が圧縮される新しい円柱系へのさらなる変換を行う。コンピュータプログラムはデカルト座標で動作し、したがって、ｒ’の係数を取り除くことによって、圧縮されたデカルト系ｘ’ｙ’ｚ’に関しては圧縮された動径座標系を再表現することが可能であることに注意する。
【００６１】
次の変換を考える。
【数３２】
0005510946.tif 000033
【００６２】
または、
【数３３】
0005510946.tif 000034
【００６３】
計算し、
【数３４】
0005510946.tif 000035
【００６４】
その結果、新しいフレームでは、
Ｒ１＜ｒ’＜Ｒ２について、
【数３５】
0005510946.tif 000036
【００６５】
Ｒ２＜ｒ’について、
【数３６】
0005510946.tif 000037
【００６６】
ｒ’＜Ｒ１については、放射がこの領域に入り込まないので、誘電体関数のために、好ましい任意の値を選んでよい。  
あるいは、（Ａ４）と比較することによって容易に行えるデカルト座標フレームｘ’ｙ’ｚ’でこれらの値を解釈し直すことが可能である。
【数３７】
0005510946.tif 000038
【００６７】
ここで、初期物質は真空であると仮定している。
【００６８】
図４ａおよび図４ｂは、入射線４０４、４０６が、理論的な解によって予測されるように、中央領域４００、４０２のまわりで迂回し、明らかにかき乱されていないクローキング領域４０８、４１０から出現することを示す。
【００６９】
理論的な解が線追跡法によって確認されている一方、発明を実施するために、クローキング構造体を形成する適切な物質が開発されている。
【００７０】
クローキング構造体の物質パラメータは、ε’の成分がμ’の成分と等しく、ε’およびμ’が空間の至る所で変化し、ε’およびμ’のテンソル成分が独立して変化することを要求する。予期される物質は、したがって異質性かつ異方性がある。さらに、物質パラメータε’およびμ’は、１未満の値を仮定し、かつ、隠蔽された領域とクローキングシェルとの間の接触面で０に接近しなければならない。さらに、方程式（６）がｒ’＝Ｒ１で特異であることに注意する。これは、球体１００（図１）の中心の方へ直接向かっている線を考慮することによってわかるように、避けられない。この線は、上か下か、左か右かに逸れるべきかどうかを知らない。近隣の線１０４はそれらがある臨界の線に近いほどますますきつい弧の周囲で曲がっている。これは、一方で、ε’およびμ’の非常に急な勾配を意味する。空間が異方に圧縮されているので、パラメータε’およびμ’はクローキング物質で必ず異方性である。同じ周波数帯でεおよびμに関して一致する値を見つけることは起こらないので、拘束のこのセットは、例えば、従来の物質により到達可能ではない。しかしながら、人工物質で過去数年にわたって生じた飛躍的進歩を与えられて、仕様をみたすメタ物質は実際に設計することが可能である。
【００７１】
メタ物質は、従来の物質で達成することが困難、または、不可能な電磁気特性を示す人工的に構築された「物質」である。電磁気の視点から、物質を通り抜ける波動の波長λは、原子レベルでの物質および特性がεおよびμを決定すると、集められた原子または他の物体が見なされることが可能であるかどうかを決定する。しかしながら、電磁気パラメータεおよびμは、原子または分子の応答から厳密に生じる必要はない。そのサイズおよび間隔がλよりもはるかに小さい収集された任意の物体は、εおよびμによって記述することが可能である。その場合、εおよびμの値は構造化された物体の散乱特性によって決定される。そのような異質の収集は物質の直観的な定義を満たさなくてもよいが、構造体を通り抜ける電磁波は見分けることが可能でない。また、電磁気視点から見て、我々は人工物質、またはメタ物質を作成した。メタ物質のこの特性は、参考文献としてここに引用される”Metamaterials and Refractive Index”, D R Smith, J B Pendry, MCK. Wiltshire, VOL 305, SCIENCE 061081 (2004).の中でさらに説明されている。
【００７２】
あるメタ物質によって示された１つの有用な特性は、人工的な磁気特性である。外場が電流を誘導することが可能なワイヤループの非磁性アレイからなる構造体は、結果的に、有効な磁気反応を生成することが見つかった。図５に示されるように、そのような１つの設計はいわゆる「スイスロール」構造体である。ロール５００は円柱５０４のまわりに絶縁された金属シートを巻き付けることによって製造される。１ｃｍ直径円柱上に約１１の回転での設計は、２１ＭＨｚで共振応答を与える。メタ物質はこれらの円柱の多くをともに積み重ねることにより形成される。この構造体では、巻かれた銅シートは、共振を生成する自己容量および自己インダクタンスを有する。この共振が作動したときに流れる電流は、高い値に完全に到達することができる実効透磁率に応じて、印加された磁場に強く結合する。自己容量による場合以外はコイルのまわりで電流が流れることはできない。図６に示されるように、円柱６００に平行な磁場がスイッチオンされると、それが、互いに距離ｄだけ離れて配置されている巻かれたシート６０２に電流（ｊ）を誘導する。コイルの最初の回転６０４と最後の回転６０６との間の電気容量によって電流が流れることが可能である。これは、参考文献としてここに引用される”Magnetism from Conductors and Enhanced Non-Linear Phenomena”, J B Pendry, A J Holden, D J Robbins and W J Stewart IEEE Trans. Micr. Theory and Techniques, 47, 2075 (1999)にさらに記述されている。
【００７３】
スイスロール構造体に関する１つの課題は、印加された電場が円柱に平行でない場合、金属円柱による連続な電気パスがメタ物質を実効的な金属のように反応させることである。したがってある応用でのその有用性を制限する。この望ましくない効果を避ける、同じ論文に記述されている適応物は、分割リング共振器（ＳＲＲ）である。図７に示されるように、ＳＲＲは一連の分割リングから構築される。各分割リング７００は少なくとも２つの同心の薄い金属リング７０２、７０４を備え、それらは幅ｃであり、距離ｄだけ離れて配置され、それぞれギャップ７０６、７０８を有する。円柱が提供する連続的な電導性のパスを除去することにより、ＳＲＲは、この方向に沿ったほとんどの電気的な作用を除去する。
【００７４】
図８に示されるように、距離ａ離れて配置されている一連の分割リング８０２から、平面状の分割リング構造体８００を形成することが可能である。図８に示される２次元の正方形アレイ８００は、金属インクで印刷することにより作ることが可能である。その後、各印刷シートが不活性な物質の厚さａの固体ブロックに固定される場合、ブロックはリングの柱を与えるために積み重ねることが可能である。これは、積み重ねる方向（ｚ軸の方向）に沿った磁気作用を確立する。
【００７５】
積み重ねられたＳＲＲ構造体の単位セル９００は、左側の図９に示される。ｚ軸に沿って積み重ねられたリングの連続した層を備えるような構造体から開始する対称な３次元構造体を形成することは可能である。これは、構造体を一連の厚さａのスラブに切り、ｙ−ｚ平面の中で切り込みを加えて、輪のうちのどれを通っても切らないようにするように注意することにより達成可能である。新しい平板の各々は、リングの層を含んでいるが、リングはそれぞれスラブの平面に垂直で、その中に埋め込まれている。次の段階は、各スラブの表面上にリングの別の層を印刷し、再びスラブをともに積み重ねることである。この第２の構造体の単位セル９０２は図９の真中に示されている。最終ステップでは、スラブの３番目の集合は、ｘ−ｚ平面で切り、スラブの表面上に印刷し、新たに組み合わせることによって生成される。この結果として、単位セル９０４が図９の右側に示される立方体対称を有する構造体が生成される。
【００７６】
同様に、εは、参考文献としてここに引用される”Extremely Low Frequency Plasmas in Metallic Mesostructures”, J B Pendry, A J Holden, W J Stewart, I Youngs, Phys Rev Lett, 76, 4773 (1996)に記述されているような細いワイヤのアレイによって決定されることが可能である。
【００７７】
したがって、知られている技術は、上述されているようなこの発明を実施するのに必要なメタ物質を構築することに適用することが可能である。物質は多くの単位セルを備えている。単位セルのそれぞれは、ε’およびμ’に関し所定値を有していて、それらは上記の方程式（４）（または、直交でない場合は、付録１の方程式（２３））によって決定される値に対応している。熟練した読者には明白なように、これは、その放射状に隣接するセルのε’およびμ’の値に対して、わずかに異なる値を有している各単位セルを含んでいてもよい。メタ物質の中の単位セルはそれぞれ隠蔽するボリューム要素として動作する。隠蔽するボリューム要素は、上に概説された方法によって計算されるように、クローキング構造体を形成するために正確なそれぞれの空間位置で組み立てられる。クローキング構造体は、その結果、囲まれたボリュームの電磁気隠蔽に必要な、空間的に分散された物質パラメータ値を有する。
【００７８】
上に概説された理論の実際的な実施については、３次元クローキング構造体はほとんどの場合で必要になる。固体の合成メタ物質の構造体は、屈折率分布型レンズを製造するために用いられる組み立て技術に類似している技術を用いて形成することが可能である。そのような１つの知られている構造体１０００が図１０に示される。この図では、ＳＲＲおよびワイヤが、所望の物質応答を提供するために、標準回路ボード上にリソグラフィク的に対向側にデポジットされている。これは、参考文献としてここに引用される”Reversing Light with Negative Refraction”, JB Pendry, DR Smith, Physics Today, June 2004に、より詳細に記述されている。  
用いられるメタ物質の単位セル構造体は、理論的な解によって要請されているように、パラメータの連続的変化および異方性を達成することが可能であることを保証する。クローキングと無関係なので、上述された変換理論の別の応用は、場を集中させるためのデバイスである。図１１は、内核領域（１１４）の上にその外側表面（１１０）上に入射する電磁場を集中させるコンセントレータを示す。コンセントレータを特徴づける変換は、球面幾何学に関して、図１１に示される。デバイス（１１０）の外部半径はＲ３である。半径Ｒ２（Ｒ２＜Ｒ３）を備えた空間（１１２）の集中ボリュームは半径Ｒ１の収集ボリューム（１１４）に圧縮される。Ｒ２とＲ３の間にあるシェルボリューム（１１６）は、図１１が表すように、Ｒ１とＲ３の間の領域（１１８）を満たすために拡張される。中核（１１２）を一様に圧縮し、シェル領域（１１６）を線形の動径関数で引き延ばす、この変換の単純な例は、次式で与えられる。
【数３８】
0005510946.tif 000039
【００７９】
そして、コンセントレーションデバイスでの透磁率とパーミッティングの最終的な物質特性は、以下のようになる。
【数３９】
0005510946.tif 000040
【００８０】
ここで、物質特性は外部環境に比較して与えられる。クローキング構造体でのように、外部環境は自由空間または他の媒体でよい。
【００８１】
任意に小さいボリュームへ場を集中させるために、Ｒ１→０にし、以下を得る。
【数４０】
0005510946.tif 000041
【００８２】
もし球体の集中断面をその球体の外側半径に等しくしたい場合は、Ｒ２→Ｒ３とする。
【数４１】
0005510946.tif 000042
【００８３】
これは完全な場コンセントレータである。コンセントレータで必要とされる物質パラメータは、クローキング構造体に関して記述されるようなメタ物質の使用を通じて達成されることが可能である。誘電率εおよび透磁率μは、メタ物質の各単位セルの中の３次元のそれぞれで、互いに無関係に制御することが可能である。
【００８４】
コンセントレータデバイスは、任意の方向から入射する場に影響するという点で独特であり、集束レンズおよびミラーとは異なっている。電磁気感知または環境発電の応用について、検出器またはコレクターは、中核（１１４）に置かれ、その位置で強められた場と相互作用する。このデバイスの有用性の一部は、場のソースの方向が初期に未知であるか、または、絶えず変化している場合、（例えば、太陽エネルギー収集、または、モバイルプラットフォーム上でのマイクロ波エネルギービーミング）場の集中である。
【００８５】
コンセントレータの中核（１１４）に置かれた検出器は、エネルギーを集めるのと同様に正確な方向情報を提供するように、容易に構成することができるかもしれない。これは、例えば、８つの象限にパターン化された、球形の検出器を用いて、行うことができるかもしれない。模様が付けられた各象限から集められたエネルギーを比較することによって、正確な方向情報は得られる。検出器は球状である必要がない。薄い円板である中核領域にもたらす変換が使用されることが可能かもしれない。これによってコンセントレータが共通の平面の検出器と互換性をもつようになるだろう。
【００８６】
デバイスは、検出器にインピーダンス整合を与えることも可能である。これは、所望の検出器に逆変換を適用し、それを中核半径Ｒ１から半径Ｒ２まで拡張することによって、達成される。その後、インピーダンス整合層を設計し（Ｒ１とＲ３の間）、変換された検出器をその環境に整合させることは可能である。そして、このインピーダンス整合層は、Ｒ１とＲ３の間の領域（１１８）を満たすためにそれを伸長するフォワード変換で変換される。Ｒ１とＲ３の間に生じるシェル層は、集中とインピーダンス整合関数の両方を提供する。
【００８７】
クローク構造体のように、コンセントレータ（１１０）は、その環境に完全に一致させることができる。その結果、場が検出器によって中核（１１４）で乱されない場合、デバイス（１１０）は外部の電磁気プロービングによって検出不可能である。このデバイス（１１０）は、場の近傍および遠距離のレジームの両方で、かつ、任意のサイズかつ波長で、作動することができる。この変換の基本的な形式は他の基本的な幾何（例えば、円柱状）に適用するか、または任意に形作られた物体に共形的に（conformally）適用することが可能である。図１２は、半径Ｒ３の球（１２２）上に入射する点ソース（１２０）から、半径Ｒ１の内核領域（１２４）への力線または線の集中を示している。
【００８８】
上に概説された座標変換マッピング理論は、電磁波の伝播を方向転換することに関して記述されている。しかしながら、電磁波と、音波のような他の伝播波との間で著しい類似点があることに注意する。特に、この理論は、音響のクローキングを与える密度および剛性のような物質の機械的特性のための仕様を得るために適用されてもよい。そのようなクロークは、例えば、ソナー検知から身体を隠すために用いられてもよい。
【００８９】
上記のクローキング理論の説明は、主として物体の隠蔽に向けられている一方、クロークされたボリュームからクローキングシェルへの電磁気障害の転換は、電磁気のクワイエットゾーンを内側に生成することが認識される。方程式（９）は、クワイエットゾーンの内部の物体によって生成された任意の電磁放射はそれから出現することができないと決定づけている。これは、電磁気干渉シールドの応用、例えば、ＭＲＩ装置の内部、で使用されてもよい。同様に、音響のクワイエットゾーンも達成されてもよい。
【００９０】
本発明の応用は、図に示されるようなクローキングおよびコンセントレータ構造体に限定されない。付録１に明白に示されているように、ここに提供される数学的な解は任意の形状の構造体をクロークするために適用される。さらに、ボリュームがクロークされれば、そこに置かれた任意の形状または物質の物体は、反射モードまたは透過モードのいずれかでも、外部の感触者により検知することはできない。
【００９１】
ここに記述された方法は、任意の適当な座標系の間での、当初のフレームでの座標の任意の適切な関数を使用する、任意の適当な座標変換に適用するために使用されることが可能である。内部で物質を隠蔽するために使用されるクローキング構造体は、任意の形状または厚さになり得る。特に、クローキング構造体は、その中で隠蔽されるべき物体と同じ形状にしたがう必要はない。熟練した読者には以下のことは明白であろう。すなわち、ここで記述された方法は、電磁放射の全ての周波数を変換するために使用されることが可能であり、ある与えられた応用にとっては、この方法は、赤外、電波、可視光、Ｘ線、マイクロ波、および、レーダを含む電磁スペクトラムの任意の特定の周波数範囲での放射に適用することができる。
【００９２】
示された例では、インピーダンス整合は、比率
【数４２】
0005510946.tif 000043
【００９３】
によって達成される。熟練した読者には明らかなように、ここに記述された種類のインピーダンス整合は
【数４３】
0005510946.tif 000044
【００９４】
で達成することが可能である。ここで、ｍは任意の実数の一定値である。特に、μ／εの所望の比率は、クローキング構造体が埋め込まれる媒体に依存する。
【００９５】
発明が好ましい実施形態を参照して特に示され記述されているが、形式および詳細の様々な変更が、添付されたクレームによって包含された発明の範囲から出発することなく、そこで行なわれてもよいことは当業者にとって自明である。
【図面の簡単な説明】
【００９６】
付録１
一般座標変換用のε、μのスケーリング
我々はデカルト座標系でのマクスウェル方程式から出発する。
【数４４】
0005510946.tif 000045
【００９７】
ただし、εおよびμの両方は位置に依存してもよい。次式によって定義された一般系に変形する。
【数４５】
0005510946.tif 000046
【００９８】
一定のｑ２、ｑ３のラインは一般化されたｑ１軸などを定義する。したがって、ｑ１、ｑ２、ｑ３軸に沿った等しいインクリメントにより１セットの点を定義すれば、メッシュは当初のｘ、ｙ、ｚ座標フレームの中で歪められたように見える。図１を参照。
【表１】
0005510946.tif 000047
【００９９】
図１．１つの座標系（左）での点の単純立方格子は、別の座標系（右）での歪曲されたメッシュへ写像する。正確に座標変換を選択することは、歪みをコントロールし、我々の要請に適合したメッシュを生成することが可能である。
【０１００】
上に定義されるようなマクスウェル方程式は当初のデカルト系で書かれている。ｑ１、ｑ２、ｑ３で表現された時、方程式の新しい集合はどの形式をとるか。答えは驚くほど単純である。新たな座標系でのマクスウェル方程式は以下のようになる。
【数４６】
0005510946.tif 000048
【０１０１】
ただし、
【数４７】
0005510946.tif 000049
【０１０２】
は一般テンソルである。また、
【数４８】
0005510946.tif 000050
【０１０３】
はリノーマライズされた、電場と磁場である。４つの量はすべて、当初のものと単純に関係づけられている。言いかえれば、マクスウェル方程式の形式は座標変換によって保存されている。座標変換は、我々がマクスウェル方程式を解いているという事実を変更することなく、単に
【数４９】
0005510946.tif 000051
【０１０４】
の定義を変更する。
【０１０５】
我々は、一般化されたｑ１、ｑ２、ｑ３軸に沿って示すために、３つの単位ベクトルｕ１、ｕ２、ｕ３を定義する。線要素の長さは次のように与えられる。
【数５０】
0005510946.tif 000052
【０１０６】
ただし、
【数５１】
0005510946.tif 000053
【０１０７】
特に、我々は、３つの軸のうちの１つに沿って導かれた１つの線要素の長さを必要とする。
【数５２】
0005510946.tif 000054
【０１０８】
ただし、省略表現のために、
【数５３】
0005510946.tif 000055
【０１０９】
▽×Ｅを計算するために、小さな要素を考察する。小さな要素が平行六面体（図２）に類似するほど小さい。ここでは、我々は、座標系が、異なった方向に突然立ちはだかる点や線のような特異点を持たないと仮定している。
【表２】
0005510946.tif 000056
【０１１０】
図２．平行六面体に似ている小さな要素。
【表３】
0005510946.tif 000057
【０１１１】
図３．▽×Ｅを見つけるための積分経路。
【０１１２】
まず我々は、ｕ１−ｕ２平行四辺形のまわりの線積分を行い、ストークスの定理（図３）を適用することにより、ｕ１−ｕ２平面の垂線上への▽×Ｅの射影を計算する。次のように定義する。
【数５４】
0005510946.tif 000058
【０１１３】
すなわち、
【数５５】
0005510946.tif 000059
【０１１４】
または、
【数５６】
0005510946.tif 000060
【０１１５】
ここで、我々は、ベクトルの反変成分用の、慣習的な上付き添え字表記法を使用している。以下のように定義した。
【数５７】
0005510946.tif 000061
【０１１６】
方程式（１０）の右辺は、新しい座標系で値を求められたｃｕｒｌの単なる第３成分であることに注意する。マクスウェル方程式に適用する。
【数５８】
0005510946.tif 000062
【０１１７】
我々は反変成分でＨを書くと、次のようになる。
【数５９】
0005510946.tif 000063
【０１１８】
それは次のように、共変成分で表現することが可能である。
【数６０】
0005510946.tif 000064
【０１１９】
ただし、第１部分はｇを定義し、
【数６１】
0005510946.tif 000065
【０１２０】
ｇの逆をとると、次式を与える。
【数６２】
0005510946.tif 000066
【０１２１】
（１２）へ方程式（１３）を代入すると、次式を与える。
【数６３】
0005510946.tif 000067
【０１２２】
次式のように定義する。
【数６４】
0005510946.tif 000068
【０１２３】
および
【数６５】
0005510946.tif 000069
【０１２４】
その結果、
【数６６】
0005510946.tif 000070
【０１２５】
したがって、方程式（１０）から代入して、
【数６７】
0005510946.tif 000071
【０１２６】
およびＥとＨとの場の間の対称により、
【数６８】
0005510946.tif 000072
【０１２７】
ただし、
【数６９】
0005510946.tif 000073
【０１２８】
新しい座標系が直交系（例えば、円柱状または球状）の場合、これらの表現がかなり単純化することに注意する。その場合には、
【数７０】
0005510946.tif 000074
【０１２９】
直交バージョンは本文の中で引用される。
【図１】図１は、そのＲ２＞＞λと仮定して、半径Ｒ１＜ｒ＜Ｒ２の環帯内にクロークされた半径ｒ＜Ｒ１の球体の断面線軌道図である。
【図２ａ】図２ａは、デカルトメッシュ上にプロットされた自由空間の中で力線を示す。
【図２ｂ】図２ｂは、両方とも同じ変換によって歪曲された図２ａの力線および背景座標を示す。
【図３】図３は、Ｒ２＜＜λを仮定して、点電荷に接近して配置された半径Ｒ１＜ｒ＜Ｒ２の環帯内にクロークされた半径ｒ＜Ｒ１の球体の静電場変位力線の断面図である。
【図４ａ】図４ａは、本発明による、クロークされたボリュームのまわりの電磁気線の迂回路の三次元描写である。
【図４ｂ】図４ｂは、本発明による、クロークされた表面のまわりの電磁気線の迂回路の三次元描写である。
【図５】図５は、「スイスロール」メタ物質の正面透視図を示す。
【図６】図６は、図５の「スイスロール」メタ物質の上面図を示す。
【図７】図７は、単一の分割リングメタ物質を示す。
【図８】図８は、格子面間隔ａの正方形アレイでの分割リング構造の平面図を示す。
【図９】図９は、単位セルレベルに三次元の分割リング共振器（ＳＲＲ）の形成を描写する。
【図１０】図１０は、ＳＲＲおよびワイヤを含む、先行技術のネガティブインデックスメタ物質である。
【図１１】図１１は、空間半径Ｒ２の球状ボリュームが空間半径Ｒ１のより小さなボリュームに圧縮される半径Ｒ３のコンセントレーションデバイスの断面線軌道図である。
【図１２】図１２は、半径Ｒ３の球体に投射する点光源からの線が、内側の半径Ｒ１の球体へ集中される断面線軌道図である。
【符号の説明】
【０１３０】
１００・・・球体、中央領域、内部領域、１０２・・・クローキング環帯、１０４・・・電磁力線、１０６・・・球体、２００・・・線、２０２・・・デカルトメッシュ、２０４・・・メッシュ、３０６・・・点電荷、４００・・・球状構造体、４００・・・中央領域、４０２・・・円柱状構造体、４０４・・・入射線、４０８・・・クローキング領域、５００・・・ロール、５０４、６００・・・円柱、６０２・・・シート、６０４・・・最初の回転、６０６・・・最後の回転、７００，８０２・・・分割リング、７０２・・・金属リング、７０６，７０８・・・ギャップ、８００・・・正方形アレイ、８００・・・分割リング構造体、９００，９０２，９０４・・・単位セル、１０００・・・構造体。
【図１】
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【図２ａ】
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【図２ｂ】
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【図３】
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【図４ａ】
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【図４ｂ】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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