(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
軟磁性材料を用いた電気機器における鉄損推定方法であって、
前記軟磁性材料の偏磁状態下における磁気特性データに基づいて、交番磁界の偏磁量値、振幅値及び周波数を用いた鉄損関数を設定するステップと、
基本周波数及びこの基本周波数よりも周波数の高いキャリア周波数でスイッチング動作する電力変換装置によって前記電気機器を駆動する場合の前記軟磁性材料中の磁束密度の実測波形もしくは解析計算波形をフーリエ変換して、少なくとも基本周波数成分及びキャリア高調波成分を含む複数の周波数成分についての振幅値と位相角を求めるステップと、
前記各周波数成分における振幅値と位相角から、前記キャリア高調波成分以外の前記磁束密度と、前記キャリア高調波成分の前記磁束密度とを表す関係式を生成するステップと、
前記基本周波数の一周期分を所定の単位時間で分割して、この分割された単位時間毎の磁束密度の値を前記関係式を用いて導出し、この磁束密度の値と前記鉄損関数とに基づいて単位時間鉄損値を求めるステップと、
前記単位時間鉄損値を基本波半周期の整数倍分合計して一周期分の時間平均値を求め、これを前記軟磁性材料のキャリア損の値として得るステップと、
を含むことを特徴とする鉄損推定方法。
【請求項２】
前記複数の周波数成分中に低次高調波成分を含ませたことを特徴とする請求項１に記載の鉄損推定方法。
【請求項３】
前記関係式にバイアス量の絶対値の項を含ませたことを特徴とする請求項１に記載の鉄損推定方法。
【請求項４】
前記関係式は、前記電力変換装置における基本周波数をｆ１〔Ｈｚ〕、キャリア周波数をｆ２〔Ｈｚ〕とし、ｎ（ｎ＝１，２，・・・，ｋ、ただし、ｋは自然数）に対し、すべてのｍ（ｍ＝０，１，２，・・・，ｌ、ただし、ｌは自然数）についてのｎｆ２±ｍｆ１〔Ｈｚ〕の成分の和を
Ｂnsin(２πｆ１ｔ＋θ１,n)×sin(２πｎｆ２ｔ＋θ２,ｎ)
（ただし、Ｂnは上記成分の振幅、θ１,n及びθ２,ｎは基本波に対する、高調波成分の周波数ｆ１で変化する項と周波数ｆ２で変化する項の位相角）としたものである請求項１に記載の鉄損推定方法。
【請求項５】
前記時間平均値は、前記ｎｆ２±ｍｆ１〔Ｈｚ〕で表される２周波数の成分の振幅の平均値であることを特徴とする請求項４に記載の鉄損推定方法。
【請求項６】
前記電力変換装置の基本周波数をｆ１〔Ｈｚ〕、キャリア周波数をｆ２〔Ｈｚ〕とし、すべてのｎについてのｎｆ２±ｍｆ１〔Ｈｚ〕（ｍ＝１，３，５）の成分の和を下式（Ａ）で表したとき、前記磁束密度の振幅を下式（Ｂ）で求めることを特徴とする請求項２〜３のいずれかに記載の鉄損推定方法。
【数１】
0005609376.tif 000028
【数２】
0005609376.tif 000029
【請求項７】
前記電力変換装置の基本周波数をｆ１〔Ｈｚ〕、キャリア周波数をｆ２〔Ｈｚ〕とし、ｎ＝１，３についてのｎｆ２±ｍｆ１〔Ｈｚ〕(ｍ＝１，３，５)〔Ｈｚ〕の成分の和を下式（Ｃ）で表したとき、前記磁束密度の振幅を下式（Ｄ）で求め、ｎ＝２，４に対しては、ｎｆ２±ｍｆ１〔Ｈｚ〕(ｍ＝０，２，４)〔Ｈｚ〕の成分の和を下式（Ｅ）で表したとき、前記磁束密度の振幅を下式（Ｆ）で求めることを特徴とする請求項１〜３のいずれかに記載の鉄損推定方法。
【数３】
0005609376.tif 000030
【数４】
0005609376.tif 000031
【数５】
0005609376.tif 000032
【数６】
0005609376.tif 000033
【請求項８】
前記軟磁性材料は、偏磁量Ｂ０、周波数ｆ、振幅値Ｂｍから下式（Ｇ）によって一義的に導かれる鉄損値Ｗを有するものである請求項１に記載の鉄損推定方法。
【数７】
0005609376.tif 000034
ただし、ａ（Ｂ０）、ｂ（Ｂ０）、ｃ（Ｂ０）は、鉄損値をフィッティングして求めた任意関数である。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、キャリア高調波が重畳した磁束密度波形下において、モータ等に使用される軟磁性材料の鉄損を推定する方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
近年の環境問題を背景として、エネルギーロスの少ない高効率モータが注目を集めている。モータにおけるエネルギーロスには、大きく分けて鉄損、銅損、機械損の３種があり、それぞれを低減するための様々な工夫が提案されている。このような工夫を行うためには、まずこれらの損失の値を正確に把握する必要がある。特に、モータの試作回数を減らして、効率よく最適なモータを設計するためには、実際に試作、測定をせずとも損失の値をなるべく正確に推定することが求められる。
【０００３】
ところが、上記の損失の中でも、鉄損は、使用する軟磁性材料の特性や使用条件に大きく依存するため、その値を正確に推定することは難しい。実際にカタログに記載されているデータから直接計算した鉄損の値に対し、実測値は数倍になることもある。このような誤差を生じさせる具体的な原因として、（１）モータ内部の磁束分布の偏り、（２）回転磁界による影響、（３）磁束密度の高調波成分の重畳、（４）焼きばめなどに伴う応力やコアの打抜き時の歪に起因する素材特性劣化、などが考えられている。
特に、（３）の磁束密度の高調波成分の重畳は、近年におけるインバータの使用と強く関係している。すなわち、インバータを使用すると、例えば１０ｋＨｚといった高い周波数の成分が磁束密度波形に重畳して、Ｂ−Ｈ平面上に多数のマイナーループができた状態、すなわち、ＰＷＭ等の変調に伴って発生するキャリア高調波が重畳した状態でモータを駆動するケースが増えることから、これによる鉄損への影響分を補正する方法の考案が必要となってきている。
【０００４】
最も簡単な補正方法として、磁束密度の波形をフーリエ変換して、周波数ごとの振幅を算出し、それらの振幅とカタログデータとからその周波数ごとの鉄損値を求めて、それらの和を補正項として用いる、という方法がある。このような方法は、キャリア高調波に由来する成分の鉄損が、マイナーループの位置によらず振幅と周波数のみで決定される、という仮定に基づくものである。しかし実際には、マイナーループの位置が高磁束密度域である場合においては、低磁束密度域である場合よりも鉄損が大きいということが、偏磁状態での磁気特性測定によって知られてきている。そのため、このような方法は、簡便であり計算時間も短いという利点を持つ一方で、計算精度があまり高くないという問題点がある。
【０００５】
この方法に対して、最も単純にマイナーループの位置を考慮する方法として次のようなものが考えられる。まず、偏磁状態での磁気特性を測定しておく。次に、磁束密度の波形をフーリエ変換して算出された、周波数ごとの振幅を求める。そして、周波数ごとに、マイナーループの中心位置を偏磁量とみなして、偏磁状態での磁気特性測定結果から各マイナーループの鉄損値を計算し、それらの和を補正項として求める。
【０００６】
このような方法の一例が非特許文献１によって提案されている。この提案では、基本波に高調波成分が一つだけ重畳したケースに対して鉄損値の計算が行われている。しかし、一般的にキャリア高調波は複数の周波数成分からなることが多く、これらの周波数が近いと“干渉”を起こす。例えば、基本波が５０Hｚの波形に対し、キャリア周波数を１０ｋHｚに設定すると、９９５０Hｚと１００５０Hｚの成分が有限の振幅を持つ。このような場合、基本波１周期内において、お互いの成分が打ち消す時と増幅させる時が存在する（“干渉”）。この干渉の例を図８に示す。このような場合において、周波数ごとにマイナーループの位置を考慮するだけでは、この干渉の影響が取り込まれず、算定精度はあまり向上しない。
【０００７】
そこで、フーリエ変換を用いずに、直接的にマイナーループの位置を考慮する鉄損算定の方法として、非特許文献２による方法や特許文献１による方法などが提案されている。
非特許文献２による方法では、まず降圧チョッパ回路を用いて、さまざまなＢ−Ｈ平面上における位置でのマイナーループによる鉄損を測定し、これらをデータベースとする。そして、実際の波形における各マイナーループに対し、その偏磁量と振幅をもとにデータベースから鉄損値を求め、それらの鉄損の和を取ることでキャリア高調波により増加する鉄損を計算している。
一方、特許文献１の方法では、実際にインバータ駆動した時の磁束密度波形をコアに与え、データ解析を行うことで、キャリア高調波により増加する鉄損を計算している。
なお、偏磁量という用語とバイアス量という用語は同等な意味を持つものであるが、本明細書では、鉄損関数において偏磁量という表現を用い、実際に鉄損を推定したい磁束密度波形においてバイアス量という表現を用いることにする。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００８】
【特許文献１】特開２００８-１２２２１０号公報
【非特許文献】
【０００９】
【非特許文献１】電気学会マグネティクス研究会資料 ＭＡＧ-０５-４３
【非特許文献２】電気学会論文誌Ｄ１２７巻３号Ｐ２１７−２２５
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００１０】
しかし、非特許文献２の方法では、実際の波形におけるすべてのマイナーループに対して、そのマイナーループの描き始めと終わりの時刻を求め、その時間内での振幅によるデータベースの参照によって求めるため、計算に多大な時間を要する。
また、特許文献１の方法では、一度の測定作業で鉄損値を求めることができるため、非特許文献２の方法よりは計算時間が短縮されるものの、主な用途がインバータのフィルタリアクトルなどにおける鉄損計算、つまり、コア内部で波形が均一であるとみなしてよいケースでの鉄損計算に限定される。
一方、モータ鉄心における鉄損計算のように、電磁界解析により、各メッシュ部分の磁束密度波形が個別に算出されてくる場合においては、各メッシュ部分に対する鉄損値をすべて計算しなくてはならない。このような場合、上記のどちらの方法を用いても、数千以上にも上るメッシュに対してそれぞれ計算を行うことは実際上困難である。
【００１１】
本発明は、上記のような状態を省み、モータ鉄心などに生じる鉄損を短時間に精度よく推定することが可能な鉄損推定方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１２】
上記目的を達成するため、本発明では、フーリエ変換を使用して計算時間の増大を防ぐとともに、高調波相互の干渉の影響を考慮することによって高精度化を図るようにしている。
すなわち、本発明は、軟磁性材料を用いた電気機器における鉄損推定方法であって、前記軟磁性材料の偏磁状態下における磁気特性データに基づいて、偏磁量、振幅及び周波数を用いた鉄損関数を設定するステップと、基本周波数及びこの基本周波数よりも周波数の高いキャリア周波数でスイッチング動作する電力変換装置によって前記電気機器を駆動する場合の前記軟磁性材料中の磁束密度の実測波形もしくは解析計算波形をフーリエ変換して、少なくとも基本周波数成分及びキャリア高調波成分を含む複数の周波数成分についての振幅値と位相角を求めるステップと、前記各周波数成分における振幅値と位相角から、前記キャリア高調波成分以外の前記磁束密度と、前記キャリア高調波成分の前記磁束密度とを表す関係式を生成するステップと、前記基本周波数の一周期分を所定の単位時間で分割して、この分割された単位時間毎の磁束密度の値を前記関係式を用いて導出し、この磁束密度の値と前記鉄損関数とに基づいて単位時間鉄損値を求めるステップと、前記単位時間鉄損値を基本波半周期の整数倍分合計して一周期分の時間平均値を求め、これを前記軟磁性材料のキャリア損の値として得るステップと、を含むものである。
【００１３】
前記複数の周波数成分中に低次高調波成分を含ませることにより、より精度の高い鉄損推定が可能になる。
また、必要に応じて、前記関係式にバイアス量の絶対値の項を含ませることができる。
【００１４】
前記関係式は、前記電力変換装置における基本周波数をｆ１〔Ｈｚ〕、キャリア周波数をｆ２〔Ｈｚ〕とし、ｎ（ｎ＝１，２，・・・，ｋ、ただし、ｋは自然数）に対し、すべてのｍ（ｍ＝０，１，２，・・・，ｌ、ただし、ｌは自然数）についてのｎｆ２±ｍｆ１〔Ｈｚ〕の成分の和を
Ｂnsin(２πｆ１ｔ＋θ１,n)×sin(２πｎｆ２ｔ＋θ２,ｎ)
（ただし、Ｂnは上記成分の振幅、θ１,n及びθ２,ｎは基本波に対する、高調波成分の周波数ｆ１で変化する項と周波数ｆ２で変化する項の位相角）としたものであって良い。
そして、前記時間平均値には、前記ｎｆ２±ｍｆ１〔Ｈｚ〕で表される２周波数の成分の振幅の平均値を使用することができる。
【００１５】
前記電力変換装置の基本周波数をｆ１〔Ｈｚ〕、キャリア周波数をｆ２〔Ｈｚ〕とし、すべてのｎについてのｎｆ２±ｍｆ１〔Ｈｚ〕（ｍ＝１，３，５）の成分の和を下式（Ａ）で表したとき、前記磁束密度の振幅は下式（Ｂ）で求めることができる。
【数１】
0005609376.tif 000002
【数２】
0005609376.tif 000003
【００１６】
前記電力変換装置の基本周波数をｆ１〔Ｈｚ〕、キャリア周波数をｆ２〔Ｈｚ〕とし、ｎ＝１，３についてのｎｆ２±ｍｆ１〔Ｈｚ〕(ｍ＝１，３，５)〔Ｈｚ〕の成分の和を下式（Ｃ）で表したとき、前記磁束密度の振幅を下式（Ｄ）で求め、ｎ＝２，４に対しては、ｎｆ２±ｍｆ１〔Ｈｚ〕(ｍ＝０，２，４)〔Ｈｚ〕の成分の和を下式（Ｅ）で表したとき、前記磁束密度の振幅は下式（Ｆ）で求めることができる。
【数３】
0005609376.tif 000004
【数４】
0005609376.tif 000005
【数５】
0005609376.tif 000006
【数６】
0005609376.tif 000007
【００１７】
前記軟磁性材料としては、偏磁量Ｂ０、周波数ｆ、振幅値Ｂｍから下式（Ｇ）によって一義的に導かれる鉄損値Ｗを有することができる。
【数７】
0005609376.tif 000008
ただし、ａ（Ｂ０）、ｂ（Ｂ０）、ｃ（Ｂ０）は、鉄損値をフィッティングして求めた任意関数である。
【発明の効果】
【００１８】
本発明によれば、数式化した偏磁状態での磁気特性（データベース）をもとに、ある時刻における鉄損値が計算され、その時間平均をとることによって鉄損が算定される。この時の計算は、鉄損が関数として定義されることから、表計算として行うことが可能である、従って、各マイナーループに対する振幅をいちいち計算し、その振幅によるデータベースの参照によって鉄損値を求める従来の方法に比して、鉄損の算出時間を大きく短縮することができ、従って、特にインバータ駆動されるモータの鉄心の鉄損を求める手法として有効である。
また、本発明によれば、高調波相互の干渉の影響を考慮するので、鉄損の算出精度を高めることができる。
【図面の簡単な説明】
【００１９】
【図１】偏磁量依存性関数と偏磁量との関係を３次関数によりフィッティングした結果を示すグラフである。
【図２】キャリア高調波が重畳した時の磁束密度波形のＦＦＴ結果（振幅のみ）の第１例を示すグラフである。
【図３】低次高調波とキャリア高調波が重畳した時の磁束密度波形のＦＦＴ結果（振幅のみ）を例示したグラフである。
【図４】キャリア高調波が重畳した時の磁束密度波形のＦＦＴ結果（振幅と位相）の第２例を示すグラフである。
【図５】キャリア高調波が重畳した時の磁束密度波形のＦＦＴ結果（振幅と位相）の第３例を示すグラフである。
【図６】鉄損計算を表計算によって実行している様子を示す説明図である。
【図７】本発明に従った鉄損推定プロセスを概念的に示す流れ図である。
【図８】磁束密度波形に重畳された複数の高周波成分相互の干渉形態を例示したグラフである。
【発明を実施するための形態】
【００２０】
本発明の一実施形態に係る鉄損推定方法は、４つのプロセス（I）〜（IV）を含んでいる。以下、これらのプロセス（I）〜（IV）の最良の形態について説明する。
【００２１】
［I］偏磁状態での鉄損値のデータベース化
以下に、このプロセスの具体例を示す。
まず、軟磁性材料を用いた電気機器の偏磁状態での磁気特性を磁気特性測定装置によって測定し、その測定データ（鉄損についてのデータ）をもとに、鉄損を偏磁量Ｂ０、振幅Ｂｍ及び周波数ｆの関数として定義する。
上記関数は、実際の偏磁状態での磁気特性をうまく表現できれば何でもよいが、計算時間短縮の観点から、以下で述べるように一つの数式として表現されていることが好ましい。
【００２２】
第１の例においては、鉄損はスタインメッツの式
【数８】
0005609376.tif 000009
をもとに表現する。ここで、ａ'，ｃ'は定数である。この式（１）において、第一項はヒステリシス損に対応し、第二項は渦電流損に対応する。
この式（１）を偏磁下でも適用できるようにするためには、下式（２）のように、定数を偏磁量Ｂ０の関数として拡張することが考えられる。
【数９】
0005609376.tif 000010
この式（２）は、スタインメッツの式である式（１）にそのまま偏磁量依存性を持たせたものであり、圧粉磁心のように表皮効果があまり顕著でない素材に対して使用することができる。
ここで、ａ（Ｂ０），ｂ（Ｂ０），ｃ（Ｂ０）は、上記測定データをフィッティングすることによって求めた関数であり、実際の測定結果をうまく表現できるような数式となっていれば何でもよい。この関数ａ（Ｂ０），ｂ（Ｂ０），ｃ（Ｂ０）を多項式として近似した場合には、それぞれの多項式の係数を材料データとして保存しておけばよい。
【００２３】
第２の例として、鉄損を
【数１０】
0005609376.tif 000011
のように表すことが考えられる。電磁鋼板のような磁性材料は、キャリア周波数が１０ｋＨｚ程度の場合、渦電流損の割合が高く、しかも表皮効果の影響が強い。この式（３）は、この電磁鋼板のような磁性材料に対してよく当てはまる。
図１に、周波数ｆと振幅Ｂｍを固定した際の関数ａ（Ｂ０）の偏磁量依存性を模式的に示す。関数ａ（Ｂ０）の偏磁量依存性がこのような形状を示す場合、この偏磁量依存性については例えば３次関数で表現することが可能である。また、式（３）におけるγは、偏磁量にほとんど依存せず、１．６〜２．０程度の定数となる。この具体的数値についても、振幅依存性に対するフィッティングにより容易に求めることができる。
【００２４】
上記のように鉄損関数を設定すると、この鉄損関数によって任意のバイアスＢ０、振幅Ｂｍ、周波数ｆにおける鉄損値が求められる状態となる。
このような鉄損関数を作成することにより、任意のバイアスＢ０、振幅Ｂｍ、周波数ｆのデータ列が与えられた時に、表計算により鉄損値を一度に計算することが可能になる。
【００２５】
［II］高速フーリエ変換（以下、ＦＦＴと略称する）による各周波数成分の計算
このプロセスでは、上記電気機器を電力変換器（インバータ）で駆動し、その際、電磁界解析によって計算された前記軟磁性材料中の磁束密度波形に対してＦＦＴを行う。電磁界解析は、ＪＭＡＧなどの一般的ソフトウェアにおいて形状や電流条件などを入力することで行うことができる。
【００２６】
インバータ駆動を行った場合、有意な大きさの振幅を持つキャリア高調波成分の周波数はｎｆ２±ｍｆ１Ｈｚである。ここで、ｆ１Ｈｚは基本周波数、ｆ２Ｈｚは設定キャリア周波数、ｎは自然数、ｍは０以上の整数である。例として磁束密度波形にＦＦＴを行った結果のうち、振幅についての結果を図２に示す。この図２は、ｆ１＝５０Ｈｚ、ｆ２＝１０００Ｈｚの場合のものであり、（ｎ，ｍ)の組み合わせが、（１，１），（１，３），（２，１），（２，３）のときに有意な振幅をもつキャリア高調波成分が存在している。
【００２７】
ところで、実際の機器における前記軟磁性材料中の磁束密度波形は、図２のように基本波成分とキャリア高調波成分のみからなるわけではなく、図３に示すようにｍｆ１Ｈｚの成分が含まれることがある。これは、インバータによって駆動したことに由来するものではなくて、低次高調波成分と呼ばれるものである。つまり、この低次高調波成分とは、１５０，２５０，３５０Ｈｚの成分のことである。
【００２８】
ここで、１００Ｈｚの成分について考察する。ｆ１＝５０Ｈｚ，ｆ２＝１０００Ｈｚの場合、１００Ｈｚの成分は、ｍｆ１Ｈｚの式においてｍ＝２とした場合の低次高調波成分としての要件を満たす。しかし、ｎｆ２±ｍｆ１Ｈｚの式においてマイナスの符号を取ってｎ＝１，ｍ＝１８とすると、１００Ｈｚの成分がキャリア高調波成分としての要件も満たしてしまうことになる。このように、１００Ｈｚの成分については、低次高調波成分として扱うべきなのか、キャリア高調波成分として扱うべきなのかについて曖昧さを生じてしまう可能性がある。このような曖昧さを生じないためには、以下のようにすればよい。
【００２９】
例えば、図３に示すように、５００〜７００Ｈｚ付近の成分の振幅がほとんどゼロである場合、この周波数領域の周波数成分が鉄損の推定計算に及ぼす影響はほとんどない。これは、この周波数領域の周波数成分の振幅をゼロと見做し、該周波数領域のどこか１点を境界として２つの周波数帯域に分けることが可能であることを意味している。
そこで、上記の境界に対して低周波側の成分を低次高調波成分、高周波側の成分をキャリア高調波成分と決めることができる。なお、キャリア周波数ｆ２を低く設定すると、振幅がほぼゼロである周波数領域がほとんど存在しなくなるため、低次高調波成分とキャリア高調波成分の区別が難しくなる場合もありうる。このような場合は、例えば（ｆ２／２）Ｈｚなどの一つの境界周波数を決め、これを境に、低周波側の成分を低次高調波成分、高周波側の成分をキャリア高調波成分とすると決めることで区別が可能となる。
【００３０】
上記キャリア高調波成分のうち、実際に有意な大きさを持つものは、インバータが単相であるか三相であるかによって異なる。
単相の場合は、ｎ＜５となるすべてのｎに対して、ｍ＝１，３，５である。三相の場合は、ｎ＜５の中でｎが奇数の場合にｍ＝１，３，５、ｎが偶数の場合にｍ＝０，２，４である。そこで、これらの高周波成分に対応する振幅を波形データとして保存する。このように、単相か三相かによって有意な大きさの振幅をもつ成分が異なるため、次のプロセス［III］では単相、三相を別々に考えなければならない。
なお、ｎをｎ＜５としたのは、本実施形態における鉄損推定対象電気機器が電動機であるからである。電動機においては、一般にｎをｎ＜５としても鉄損の推定結果に大きな影響を受けない。
【００３１】
［III］ｎｆ２Ｈｚの一周期程度の時間範囲での偏磁量と振幅の計算
このプロセスでは、プロセス（IV）で使用する数式が具体的に求められる。
（Ａ）単純な例
キャリア高調波重畳時の波形の式を単純化して、磁束密度を
【数１１】
0005609376.tif 000012
と表した場合について考える。ここで、Ｂ１は基本波の振幅、ｆ１は基本波の周波数、Ｂ２は２つのキャリア高調波の振幅、ｆ２＋ｆ１、ｆ２−ｆ１は２つのキャリア高調波の周波数、θ１、θ２はこの２つのキャリア高調波の位相角である。
【００３２】
図４の（ａ）、（ｂ）は、式（４）で表される磁束密度波形をＦＦＴ処理して得られた振幅特性、位相特性をそれぞれ例示したものである。なお、式（４）の右辺第二項と第三項の振幅は同一の値としてあるが、実際にはほぼ同じであるものの、厳密に同じとはならない。そこで、ＦＦＴの結果のうち、第二項と第三項の成分についての振幅の平均値をＢ２とすればよい。このような変更を行っておくと、以降で示すように式の展開がしやすくなる。
【００３３】
式（４）のように、２つの周波数成分を含む場合は、両者が干渉してキャリア高調波成分の振幅が一定でなくなってしまう。そこでこの式（４）を次のように変形する。
【数１２】
0005609376.tif 000013
この式（５）の第二項は、周波数ｆ１でゆっくり変化する項と周波数ｆ２で早く変化する項との積で表現されている。第二項の一周期程度の時間領域において、第一項はほぼ一定とみなせるので、この第一項を第二項における「周波数ｆ２で早く変化する項」の振幅と近似することができる。
ここで、高周波成分に対応する部分である
【数１３】
0005609376.tif 000014
において、
【数１４】
0005609376.tif 000015
と置き換えれば、Ｂnsin(２πｆ１ｔ＋θ１,n)×sin(２πｎｆ２ｔ＋θ２,ｎ)の式におけるｎ＝１の場合に対応していることが確認できる。
この近似のもとでの高調波成分の磁束密度は、時刻ｔの付近において以下のような振幅、周波数及び偏磁量を持つものとみなすことが可能である。
【数１５】
0005609376.tif 000016
そして、この振幅、周波数及び偏磁量を例えば前記式（１）あるいは式（２）または式（３）に適用することによって鉄損をきわめて容易に算定することができる。
【００３４】
（Ｂ）拡張その１  -バイアス量と低次高調波の取り込み-
上の例は、基本波のみにキャリア高調波が重畳しているケースであるが、実際には磁束密度波形にバイアス量や低次高調波の成分が重畳する。この場合、磁束密度波形は、例えば
【数１６】
0005609376.tif 000017
と表される。そして、磁束密度波形がこの式（７）で表される場合は、式（６）に対して単純に偏磁量を下式(８)に示すように変更すればよい。
【数１７】
0005609376.tif 000018
ここで、
【数１８】
0005609376.tif 000019
は基本波に対する３次の高調波（低次高調波）である。
【００３５】
（Ｃ）拡張その２  -ｍ＜6のすべての成分の取り込み-
波形の高調波成分が
【数１９】
0005609376.tif 000020
となっている場合、すなわち、前記ｍ＝１，３，５であるｆ２±ｆ１,ｆ２±３ｆ１,ｆ２±５ｆ１の周波数成分が存在する場合を考える。図５の（ａ）、（ｂ）は、この場合の磁束密度波形をＦＦＴ処理することによって得られた振幅特性、位相特性をそれぞれ例示したものである。
この式（９）に対し前記と同様の式変形を行い、展開すると
【数２０】
0005609376.tif 000021
となる。この式（１０）で表される波形は、前記と同様の時間領域においてほぼ正弦波であり、その振幅は
【数２１】
0005609376.tif 000022
である。
【００３６】
また、前記ｍ＝０，２，４であるｆ２,ｆ２±２ｆ１,ｆ２±4ｆ１の周波数成分が存在する場合は、その波形の高調波成分を
【数２２】
0005609376.tif 000023
とすれば、この波形も同様の時間領域においてほぼ正弦波であり、その振幅は
【数２３】
0005609376.tif 000024
となる。
以上のことから、多数の周波数成分を含む場合には振幅の式を修正すればよいことがわかる。
【００３７】
（Ｄ）拡張その３  -ｎ＜５のすべての成分の取り込み-
ｎの異なる周波数成分は、それぞれ少なくともｆ２Ｈｚ程度離れているので、相互の干渉による影響はさほど深刻ではない。そこで、複数存在するｎに対しては、以下で述べるプロセス［IV］の計算を個別に行うことで対処する。
【００３８】
（Ｅ）拡張その４  -一般化-
以上を完全に一般化して記述すると以下のようになる。
まず、磁束密度波形は、
【数２４】
0005609376.tif 000025
と表す。この時、偏磁量は、
【数２５】
0005609376.tif 000026
とすればよい。
次に、振幅は次のようにして求める。キャリア高調波成分は、
【数２６】
0005609376.tif 000027
であり、この式は、式（４）を式（５）に変換したように、
Ｂnsin(２πｆ１ｔ＋θ１,n)×sin(２πｎｆ２ｔ＋θ２,ｎ)
の形に変形することができる。
ただし、Ｂnは上記成分の振幅、θ１,n及びθ２,ｎは基本波に対する、高調波成分の周波数ｆ１で変化する項の位相角及び周波数ｆ２で変化する項の位相角である。
そして、この形に変更した際の
Ｂnsin(２πｆ１ｔ＋θ１,n)
が、各nに対する振幅である。周波数は各ｎに対して、ｎｆ２である。
【００３９】
［IV］偏磁量と振幅からの鉄損値の対応付けとその時間平均
このプロセスは、プロセス［III］において求めた数式を用いてどのように鉄損を計算するかを示している。
前節の議論から、あるｎに対し、ある時刻の近傍でのマイナーループは、偏磁量と振幅とが数式により表現された正弦波のループであるとみなしてよい、ということがわかった。
そこで、基本波の１周期分の時間を、例えば１００〜１０００程度の数の均等な時間幅の区間によって刻む。そして、刻まれた各時刻において、数式で表現された偏磁量、振幅及び周波数ｎｆ２Ｈｚをもとに、プロセス（Ｉ）で求めた材料パラメータ（鉄損関数）を参照して鉄損値を計算し、それらの鉄損値の和をとる。この鉄損値の和は、１周期分の鉄損の平均値とすることができるので、これをすべてのｎに対して行えばよい。ここで、単相の場合と三相の場合とで使用する式が異なることに注意しなければならない。
ここで、上記時間幅について説明する。上記時間幅は、磁束密度の時間変化を基準として決定することができる。すなわち、例えば、キャリア周波数が１０ｋＨｚのであるとすると、ｎをｎ＜５まで考慮するので、磁束密度が時間変化する有意な高調波成分は４０ｋＨｚまで存在することになる。基本波の周波数を５０Ｈｚとすると、周波数４０ｋＨｚはこの基本波周波数５０Ｈｚの８００倍である。従って、基本波の１周期の時間を８００あるいは８００よりも大きい数で区切った時間を上記刻み時間幅として決定すれば、周波数４０ｋＨｚの１周期における磁束密度変化を上記時間幅に含めることができ、これによって、鉄損の推定精度が限界まで高められる。
なお、鉄損の推定計算に要する時間は、上記時間幅を大きく設定するほどを短縮することができる。そこで、上記時間幅は、推定計算時間や要求される鉄損推定精度等を勘案して適宜設定する。
【００４０】
以上のようなプロセスにより鉄損を計算することができる。この方法では、プロセス（III）で求めた式を利用した計算を、基本波の１周期分の時間を刻んだ数だけ行うことで鉄損を求めること、つまり、表計算などの計算処理によって鉄損を求めることができる。このような計算の様子を図６に示す。
この計算の処理時間は、通常のパソコンにおいて瞬時である。これに対して、前記非特許文献２による方法では、計算処理時間として数分程度を要することが知られている。したがって、本発明による方法は、計算時間が大幅に短縮され、その結果、従来、多大な時間を要したモータ等の鉄心の鉄損の計算を短時間で処理することができる。
図７は、鉄損を求めるための上述したプロセスを概念的に示した流れ図である。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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