(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
荷重が付加された帯状体の幅方向に並ぶ複数の測定点における変位特性を測定する張力測定方法であって、
前記帯状体について、前記測定点に対応する節点と該節点に接合され該節点に作用する張力を模擬したばねとを有する２次元の多質点系モデルにモデル化するモデル化工程と、
前記変位特性に基づく前記測定点の変位量の分布と前記節点の変位量の分布とが一致するような前記ばねのばね定数を算出するばね定数算出工程と、
前記ばね定数に基づいて張力を算出する張力算出工程と
を有することを特徴とする張力測定方法。
【請求項２】
荷重が付加された帯状体の幅方向に並ぶ複数の測定点における変位特性を計測する張力測定方法であって、
前記帯状体について、前記測定点に対応する節点と該節点に接合され該節点に作用する張力を模擬したばねとを有する２次元の多質点系モデルにモデル化するモデル化工程と、
前記多質点系モデルにおける固有値及び固有ベクトルを解析する固有値解析工程と、
前記変位特性に基づく固有振動数及び振動モードベクトルと固有値及び固有ベクトルとが夫々一致するような前記ばねのばね定数を算出するばね定数算出工程と、
前記ばね定数に基づいて張力を算出する張力算出工程と
を有することを特徴とする張力測定方法。
【請求項３】
前記ばね定数算出工程において、最小二乗法により前記ばねのばね定数を算出することを特徴とする請求項２に記載の張力測定方法。
【請求項４】
荷重が付加された帯状体の幅方向に並ぶ複数の測定点における変位特性を測定する張力測定装置であって、
前記帯状体について、前記測定点に対応する節点と該節点に接合され該節点に作用する張力を模擬したばねとを有する２次元の多質点系モデルにモデル化するモデル化手段と、
前記変位特性に基づく前記測定点の変位量の分布と前記節点の変位量の分布とが一致するような前記ばねのばね定数を算出するばね定数算出手段と、
前記ばね定数に基づいて張力を算出する張力算出手段と
を有することを特徴とする張力測定装置。
【請求項５】
荷重が付加された帯状体の幅方向に並ぶ複数の測定点における変位特性を計測する張力測定装置であって、
前記帯状体について、前記測定点に対応する節点と該節点に接合され該節点に作用する張力を模擬したばねとを有する２次元の多質点系モデルにモデル化するモデル化手段と、
前記多質点系モデルにおける固有値及び固有ベクトルを解析する固有値解析手段と、
前記変位特性に基づく固有振動数及び振動モードベクトルと固有値及び固有ベクトルとが夫々一致するような前記ばねのばね定数を算出するばね定数算出手段と、
前記ばね定数に基づいて張力を算出する張力算出手段と
を有することを特徴とする張力測定装置。
【請求項６】
前記ばね定数算出手段は、最小二乗法により前記ばねのばね定数を算出することを特徴とする請求項５に記載の張力測定装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、銅板等の帯状体の張力状態を把握することのできる張力測定方法及び張力測定装置に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
一般に、鋼板等の帯状体が通板される際には、走行経路上の前後に帯状体を支持するロールが配置される。ロールは、帯状体に張力を印加しながら長手方向に送り出すことで帯状体の通板が行われる。ところで、帯状体は、例えば、中伸び、片伸び、及び、耳波等の帯状体の幅方向に歪みを有する場合がある。このような歪みを有する帯状体は張力が印加されながら通板されるため、歪みが見かけ上平坦な形状となる場合がある。このように潜在化した帯状体の歪みを検出するものとして、帯状体の幅方向の歪みを張力分布として計測する方法が知られている。
【０００３】
また、特許文献１には、帯板を加振し、板幅方向の複数の測定位置における１次共振モードと２次共振モードとを計測し、予め区分しておいた張力分布パターンの何れかに分類し、その張力分布パターンに従って別途計測した総張力を板幅方向の各位置に割り振ることで張力分布を測定する方法が開示されている。
【０００４】
また、特許文献２には、帯状体の幅方向の振動モードを測定し、振動モード周波数と振動モードの正規化振幅値から張力分布を測定する方法が開示されている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００５】
【特許文献１】特開平６−４３０５１号公報
【特許文献２】特開平７−２１８３５８号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
しかしながら、特許文献１・２に開示された方法は、過去の張力測定データに基づいて、帯状体の張力を推定するものであり、実際の張力との誤差が生じ、張力分布の測定精度が低下するという問題がある。
【０００７】
そこで、本発明の目的は、簡易な物理モデルを用いて帯状体の張力分布を高精度に求めることができる張力測定方法及び張力測定装置を提供することである。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
上記の課題を解決するために、本発明は、荷重が付加された帯状体の幅方向に並ぶ複数の測定点における変位特性を測定する張力測定方法であって、前記帯状体について、前記測定点に対応する節点と該節点に接合され該節点に作用する張力を模擬したばねとを有する２次元の多質点系モデルにモデル化するモデル化工程と、前記変位特性に基づく前記測定点の変位量の分布と前記節点の変位量の分布とが一致するような前記ばねのばね定数を算出するばね定数算出工程と、前記ばね定数に基づいて張力を算出する張力算出工程とを有している。
【０００９】
また、本発明は、荷重が付加された帯状体の幅方向に並ぶ複数の測定点における変位特性を測定する張力測定装置であって、前記帯状体について、前記測定点に対応する節点と該節点に接合され該節点に作用する張力を模擬したばねとを有する２次元の多質点系モデルにモデル化するモデル化手段と、前記変位特性に基づく前記測定点の変位量の分布と前記節点の変位量の分布とが一致するような前記ばねのばね定数を算出するばね定数算出手段と、前記ばね定数に基づいて張力を算出する張力算出手段とを有している。
【００１０】
上記構成によれば、張力の変化が近似的に剛性の変化に置き換えられるとして、帯状体について、測定点に対応する節点とこの節点に接合され該節点に作用する張力を模擬したばねとを有する２次元の多質点系モデルにモデル化している。そして、帯状体の変位の分布と多質点系モデルの節点の変位量とが一致するようなばねのばね定数から張力を算出している。
【００１１】
これにより、帯状体の張力分布を、帯状体と物理的に近似する２次元の多質点系モデルによって算出することができる。この結果、幅方向に複雑な張力分布を有する場合であっても、簡易な物理モデルを用いて測定点に分布する張力の夫々について高精度に算出することができる。従って、各張力を足し合わせることで得られる総張力についても高精度に算出することができる。
【００１２】
また、本発明は、荷重が付加された帯状体の幅方向に並ぶ複数の測定点における変位特性を計測する張力測定方法であって、前記帯状体について、前記測定点に対応する節点と該節点に接合され該節点に作用する張力を模擬したばねとを有する２次元の多質点系モデルにモデル化するモデル化工程と、前記多質点系モデルにおける固有値及び固有ベクトルを解析する固有値解析工程と、前記変位特性に基づく固有振動数及び振動モードベクトルと固有値及び固有ベクトルとが夫々一致するような前記ばねのばね定数を算出するばね定数算出工程と、前記ばね定数に基づいて張力を算出する張力算出工程とを有している。
【００１３】
また、本発明は、荷重が付加された帯状体の幅方向に並ぶ複数の測定点における変位特性を計測する張力測定装置であって、前記帯状体について、前記測定点に対応する節点と該節点に接合され該節点に作用する張力を模擬したばねとを有する２次元の多質点系モデルにモデル化するモデル化手段と、前記多質点系モデルにおける固有値及び固有ベクトルを解析する固有値解析手段と、前記変位特性に基づく固有振動数及び振動モードベクトルと固有値及び固有ベクトルとが夫々一致するような前記ばねのばね定数を算出するばね定数算出手段と、前記ばね定数に基づいて張力を算出する張力算出手段とを有している。
【００１４】
上記構成によれば、張力の変化が近似的に剛性の変化に置き換えられるとして、帯状体について、測定点に対応する節点とこの節点に接合され該節点に作用する張力を模擬したばねとを有する２次元の多質点系モデルにモデル化している。そして、固有振動数及び振動モードベクトルの分布と固有値及び固有ベクトルとが一致するようなばねのばね定数から張力を算出している。
【００１５】
これにより、帯状体の張力分布を、帯状体と物理的に近似する２次元の多質点系モデルを用いて算出することができる。この結果、幅方向に複雑な張力分布を有する場合であっても、簡易な物理モデルを用いて測定点に分布する張力の夫々について高精度に算出することができる。従って、各張力を足し合わせることで得られる総張力についても高精度に算出することができる。
【００１６】
また、本発明の張力測定方法においては、前記ばね定数算出工程において、最小二乗法により前記ばねのばね定数を算出してよい。
【００１７】
また、本発明の張力測定装置において、前記ばね定数算出手段は、最小二乗法により前記ばねのばね定数を算出してよい。
【００１８】
上記構成によれば、最小二乗法を用いることで、繰り返し計算における収束性の問題や初期値による計算結果のばらつきを発生させることなく、ばねのばね定数を算出することができる。この結果、幅方向に複雑な張力分布を有する場合であっても、簡易な物理モデルを用いて測定点に分布する張力の夫々について高精度に算出することができる。
【発明の効果】
【００１９】
帯状体に簡易な物理モデルを適用し、帯状体の張力分布を高精度に求めることができる。
【図面の簡単な説明】
【００２０】
【図１】第１実施形態の張力測定装置を示す概略図である。
【図２】多質点系モデルを示す概略図である。
【図３】第１実施形態の張力測定方法を示すフローチャートである。
【図４】第２実施形態の張力測定装置を示す概略図である。
【図５】第２実施形態の張力測定方法を示すフローチャートである。
【図６】多質点系モデルの変形例を示す概略図である。
【図７】第３実施形態の張力測定方法を示すフローチャートである。
【図８】張力分布同定結果を示すグラフである。
【発明を実施するための形態】
【００２１】
（第１実施形態）
以下、本発明の好適な実施の形態について、図面を参照しつつ説明する。
【００２２】
図１は、本発明の一実施形態に係る張力測定方法を実現するための張力測定装置４を示す概略図である。本実施形態の張力測定装置４は、銅板、アルミ板、鋼板等の帯状体１の製造ラインに適用される。図１に示すように、帯状体１は、走行方向（長手方向）の前後（２点）の位置に配設された２つのロール２・３によって支持されている。この２つのロール２・３は、図示しない制御装置により回転速度が制御され、帯状体１に所定の張力を付与しながら、帯状体１を送り出すようになっている。以下、２つのロール２・３間に位置する部分を帯状体１として説明する。
【００２３】
このような帯状体１を測定する張力測定装置４は、荷重付加装置８と、変位特性計測装置５と、演算装置７とを有している。
【００２４】
（荷重付加装置８）
図１に示すように、荷重付加装置８は、帯状体１の上方に配設されている。荷重付加装置８は、帯状体１に対して面外方向への振動を付加する機能を有している。荷重付加装置８は、帯状体１に対して平行に移動可能にされている。これにより、適宜測定条件を変えることができ、例えば、帯状体１を所望の振動モードに励起することができる。本実施形態では、荷重付加装置８は、空気を帯状体１に噴射することで、帯状体１を加振させる加振装置であるが、これに限定されない。例えば、水及び油等の流体を帯状体１に噴射する加振装置や、磁力、静電力、電磁誘導による渦電流、及び、音波等によって帯状体１を加振する加振装置等であってもよい。また、荷重付加装置８は非接触式のものが好ましいが、これに限定されない。例えば、荷重付加装置８は、帯状体上の一点を打撃する装置や支持ロールを加振するような装置であってもよい。
【００２５】
（変位特性計測装置５）
変位特性計測装置５は、上記のように荷重付加装置８によって面外方向に荷重が付加された帯状体１について、幅方向に並ぶ複数の測定点３０における変位特性を測定する。変位特性計測装置５は、帯状体１の長手方向中央部の上面に対向するように配置されている。また、変位特性計測装置５は、帯状体１の幅方向に並んだ５つの非接触変位計５ａ・５ｂ・５ｃ・５ｄ・５ｅを有している。非接触変位計５ａ〜５ｅは、対向する帯状体１について５つの測定点３０（測定点３０ａ・３０ｂ・３０ｃ・３０ｄ・３０ｅ）における振動の変位量を計測する。尚、非接触変位計５ａ〜５ｅとしては、光反射式のレーザ変位計や過電流式変位計等を挙げることができる。非接触変位計５ａ〜５ｅは、帯状体１の幅方向へ端から端まで等間隔で並んでいる。変位特性計測装置５は、演算装置７にデータ通信可能に接続されている。即ち、変位特性計測装置５は、帯状体１の幅方向に並ぶ複数の測定点３０ａ〜３０ｅにおいて、面外方向への振動がどの程度の変位を有しているかを計測する。尚、本実施形態では、５つの非接触変位計を配設した例を示しているが、非接触変位計は５つでなくても良い。
【００２６】
本実施形態では、変位特性とは、帯状体１の各測定点３０における振動の変位量を示すがこれに限定されず、例えば、変位特性計測装置５によって計測される各測定点３０における速度や加速度等であってもよい。また、帯状体１が荷重が付加されることにより静的な変位を有している場合は、変位特性とは、各測定点３０における静的な変位を示すものであってもよい。
【００２７】
また、変位特性計測装置５は、非接触変位計５ａ〜５ｅが計測した振動の変位特性に応じた信号を各測定点３０ａ〜３０ｅに対応付けて演算装置７へ出力するようになっている。尚、測定点は、計測する振動モードの次数以上について計測することが好ましい。例えば、１次〜４次までの振動モードを計測する場合は、測定点を４点以上配置することが好ましい。
【００２８】
尚、本実施形態において、非接触変位計は、測定点と同じ数（５つ）を配設するものであるがこれに限定されない。例えば、固定された１つの固定非接触変位計と、帯状体の幅方向に移動可能な１つの移動非接触変位計とを有する構成であっても良い。これにより、２を超える測定点であっても、固定非接触変位計の変位量を基準として１つの測定点に固定し、他の測定点については移動非接触変位計を移動させて他の複数の測定点の変位量を測定し基準となる変位量に対する相対的な各測定点の変位量を計算することで振動モードを計測することができる。
【００２９】
（演算装置７）
演算装置７は、振動特性算出部１１と、モデル化部１２と、固有値解析部１３と、ばね定数算出部１４と、張力算出部１５と、一時記憶部１６とを有している。演算装置７は、例えば、一般的なパーソナルコンピュータの様に、ＣＰＵ（Central Processing Unit）と、ＣＰＵが実行するプログラム及びこれらプログラムに使用されるデータを書き替え可能に記憶する記憶装置と、プログラム実行時にデータを一時的に記憶する例えばＲＡＭ（Random Access Memory）のような一時記憶装置とを含んでいるものならば何でもよい。演算装置７が有する上記の各機能部１１〜１６は、これらハードウェアと記憶装置内のソフトウェアとが協働して構築されている。例えば、ソフトウェアには、測定した変位量から固有振動数及び振動モードベクトルを解析するようなプログラムが含まれる。尚、演算装置７は、単体で形成されるものに限定されず、上記の各機能部１１〜１６が有する機能が上述のハードウェア及び記憶装置内のソフトウェアを夫々有する複数の装置に分散されるものであってもよい。
【００３０】
（一時記憶部１６）
一時記憶部１６は、上記の機能部１１〜１５が使用する一時的なデータを記憶する。例えば、一時記憶部１６には、変位特性計測装置５から出力される変位特性を示す信号が、各測定点３０ａ〜３０ｅに対応付けて記憶される。また、一時記憶部１６には、帯状体１のヤング率、帯状体１の断面二次モーメント、ロール２とロール３間との間の距離（以下、ロール間距離と称す）、隣り合う測定点３０ａ〜３０ｅ間の長さ（以下、リンク長と称す）、帯状体１の密度、帯状体１の長手方向に直交する断面の断面積（以下、帯状体断面積と称す）等が予め記憶されている。
【００３１】
（振動特性算出部１１）
振動特性算出部１１は、変位特性計測装置５からの変位特性に基づいて、固有振動数及び振動モードベクトルを解析する。ここで、固有振動数とは、各振動モードの振動数である。また、振動モードベクトルとは、各振動モードの形状を示すベクトル量である。振動特性算出部１１は、一時記憶部１６に記憶された変位特性に基づいて高速フーリエ変換（Fast Fourier Transform：ＦＦＴ）等を行い、その結果をモード分離することで固有振動数（固有角振動数）、及び、振動モードベクトルを夫々算出する。
【００３２】
（モデル化部１２）
モデル化部１２は、荷重付加装置８により振動が付加された状態の帯状体１について、測定点３０に対応する節点と該節点に接合され該節点に作用する張力を模擬したばねとを有する２次元の多質点系モデルにモデル化する。本実施形態では、モデル化部１２は、図２に示すような多質点系モデル４０にモデル化する。
【００３３】
ここで、帯状体１をモデル化した多質点系モデル４０の各構成について図２を参照して説明する。多質点系モデル４０は、帯状体１の幅方向と、測定点３０の振動方向との２次元のモデルに簡略化したものである。図２に示すように、多質点系モデル４０は、節点４１（節点４１ａ・４１ｂ・４１ｃ・４１ｄ・４１ｅ）と、連結部材４２と、分布ばね４３（分布ばね４３ａ・４３ｂ・４３ｃ・４３ｄ・４３ｅ）と、回転ばね４４と、固定面４５とを有している。
【００３４】
固定面４５は、延在する方向が、帯状体１の幅方向と一致するように配設されている。節点４１は、測定点３０に対応して分布されている。即ち、帯状体１の幅方向へ等間隔に分布する測定点３０ａ〜３０ｅと同様に、節点４１が幅方向へ等間隔に分布されている。具体的に、節点４１ａが測定点３０ａに対応し、節点４１ｂが測定点３０ｂに対応し、節点４１ｃが測定点３０ｃに対応し、節点４１ｄが測定点３０ｄに対応し、節点４１ｅが測定点３０ｅに対応している。
【００３５】
連結部材４２は、このように分布する節点４１の隣り合う同士を回転自在に接続している。各連結部材４２の質量の合計は、帯状体１の質量に一致するものとする。
【００３６】
分布ばね４３は、固定面４５と垂直に配設される。分布ばね４３ａ〜４３ｅは、一端が節点４１ａ〜４１ｅの夫々に接合され、他端が固定面４５に固定されている。分布ばね４３ａ〜４３ｅは、節点４１ａ〜４１ｅの夫々に作用する張力を模擬している。
【００３７】
回転ばね４４は、隣り合う連結部材４２同士を接続している。即ち、回転ばね４４のばね定数は、帯状体１の各節点４１における曲げ剛性を示している。
【００３８】
このように、多質点系モデル４０は、荷重付加装置８により加振された帯状体１の各測定点３０における変位量と、分布ばね４３の各節点４１における変位量とが等しいものとしてモデル化されたものである。即ち、多質点系モデル４０は、帯状体１の張力の高低と帯状体１の固有振動数の高低との間に相関があることに着目し、帯状体１の質量と剛性、張力で定まる固有振動数の変化が、帯状体１の物性である質量及び剛性が不変であることから、張力の変化に相当する仮想的な分布ばね４３のばね定数の変化に近似できると考えてモデル化されたものである。
【００３９】
（固有値解析部１３）
固有値解析部１３は、多質点系モデル４０における固有値及び固有ベクトルを解析する。具体的に、固有値解析部１３は、多質点系モデル４０の運動方程式を算出する。また、固有値解析部１３は、この運動方程式から得られる質量マトリクスと、剛性マトリクスとを用いて固有値解析を行い、節点４１の固有値及び固有ベクトルを算出する。ここで、剛性マトリクスは、未知数である分布ばね４３のばね定数と既知である曲げ剛性を示す回転ばね４４のばね定数とで表わされる。
【００４０】
（ばね定数算出部１４）
ばね定数算出部１４は、測定点３０の変位特性に基づく固有振動数及び振動モードベクトルと多質点系モデル４０の固有値及び固有ベクトルとが一致するような分布ばね４３のばね定数を算出する。ここで、「一致する」とは、完全に一致することに限定されない。本実施形態では、測定により得られた測定点３０の固有振動数及び振動モードベクトルと、節点４１の固有値及び固有ベクトルとを比較し、その差が最小となるような分布ばね４３のばね定数を夫々算出するようになっている。
【００４１】
このように、本実施形態では、測定した変位量から得られる固有振動数及び振動モードベクトルと多質点系モデル４０から得られる固有値及び固有ベクトルとを比較することにより、両者が一致するような分布ばね４３のばね定数を算出している。尚、このような算出態様に限定されず、例えば、測定点３０における変位量と多質点系モデル４０における節点４１の変位量とを比較して分布ばね４３のばね定数を算出するものであってもよい。
【００４２】
（張力算出部１５）
張力算出部１５は、算出された分布ばね４３のばね定数に基づく固有振動数から張力を算出する。具体的に、帯状体１は、長手方向の両端がロール２、３でそれぞれ支持されている。従って、帯状体１は、ロール２、３間に振動の腹を有して自由振動する。この場合、帯状体１の張力は、ロール間距離、固有振動数、帯状体１の質量によって示される。張力算出部１５は、この固有振動数が、ばね定数算出部１４が算出した分布ばね４３のばね定数で求められる固有振動数と一致するものとして、帯状体１の各測定点３０における張力を算出する。また、張力算出部１５は、各測定点３０の張力を合計して、帯状体１の総張力を算出する。
【００４３】
このように構成される張力測定装置４が実行する張力測定方法について、図３のフローチャートを参照して説明する。
【００４４】
（荷重付加工程）
先ず、帯状体１は、面外方向へ加振される（Ｓ１０）。具体的に、帯状体１は、荷重付加装置８から圧縮空気が噴射されることにより加振される。尚、荷重付加装置８は、演算装置７によって駆動が制御されるものであってもよい。
【００４５】
（変位特性測定工程）
次に、帯状体１の幅方向に並ぶ複数の測定点３０における面外方向の変位特性が測定される（Ｓ２０）。具体的に、加振される帯状体１の測定点３０ａ〜３０ｅの変位量が、変位特性計測装置５の非接触変位計５ａ〜５ｅによって測定される。測定された変位量は演算装置７へ出力され、測定点３０ａ〜３０ｅごとに対応付けられて一時記憶部１６に記憶される。
【００４６】
（振動特性算出工程）
次に、一時記憶部１６に記憶された複数の測定点３０における変位量に基づいて、固有振動数ω及び振動モードベクトルνが算出される（Ｓ３０）。具体的に、ｉ次の振動モードベクトルνｉは、下記の式（１）のようなベクトル量で示される。尚、固有振動数及び振動モードベクトルを算出する方法として、ＭＤＯＦ（Multiple Degrees Of Freedom method）法やＥＲＡ（Eigensystem Realization Algorithm）法がある。
【００４７】
νｉ＝｛νｉ，１，  νｉ，２，  ・・・，  νｉ，ｎ｝Ｔ・・・・（１）
ここで、ｎは、測定点３０を示し、１〜５の順で、測定点３０ａ〜３０ｅを示す。即ち、νｉは、測定点３０及びモード次数で示される各要素からなる。尚、本実施形態では、測定点３０の数と一致する振動モードを測定する。このように算出された固有振動数及び振動モードベクトルは、一時記憶部１６に記憶される。
【００４８】
（モデル化工程）
次に、帯状体１について、図２に示すような多質点系モデル４０にモデル化される（Ｓ４０）。具体的に、帯状体１は、一時記憶部１６に記憶される帯状体１のヤング率、帯状体１の断面二次モーメント、リンク長（連結部材４２の長さ）、帯状体１の密度、帯状体断面積等が用いられ多質点系モデル４０にモデル化される。
【００４９】
（固有値解析工程）
次に、上述したような多質点系モデル４０について、固有値が解析されて、固有値及び固有ベクトルが算出される（Ｓ５０）。具体的に、先ず、連結部材４２を接続する回転ばね４４のばね定数τは、下記の式（２）のように算出される。回転ばね４４のばね定数τは、測定点３０における曲げ剛性を示す。
【００５０】
τ＝ＥＩ／ｌ・・・・（２）
ここで、Ｅ：帯状体１のヤング率、Ｉ：帯状体１の断面二次モーメント、ｌ：リンク長である。
【００５１】
そして、多質点系モデル４０に基づく式（３）のような運動方程式から質量マトリクス及び剛性マトリクスが算出される。尚、剛性マトリクスは、未知数である分布ばね４３のばね定数と、回転ばね４４のばね定数τとで表わされる。
【００５２】
Ｍａ＋Ｋｘ＝０・・・・（３）
ここで、Ｍ：質量マトリクス、Ｋ：剛性マトリクス、ａ：各節点４１における加速度ベクトル、ｘ：各節点４１における変位ベクトルである。変位ベクトルｘは、下記の式（４）のような各節点４１における変位量を成分とするベクトルで示される。
【００５３】
ｘ＝｛ｘ１，  ｘ２，  ・・・，  ｘｎ｝Ｔ・・・・（４）
【００５４】
そして、式（３）の運動方程式から得られた質量マトリクス及び剛性マトリクスに基づいて固有値及び固有ベクトルが算出される。具体的に、下記の式（５）を満たすような固有値Λ及び固有ベクトルΦが算出される。
【００５５】
Ｍ−１Ｋ＝ΦΛΦＴ・・・・（５）
即ち、Ｍ−１Ｋφ＝λφとなる固有値λ及び固有ベクトルφが算出されるように固有値解析が行われる。このように算出された固有値Λ及び固有ベクトルΦは、一時記憶部１６に記憶される。尚、算出された固有値Λ及び固有ベクトルΦは、下記の式（６）及び（７）のような行列で表わされる。即ち、ｉ次の固有ベクトルφｉは、下記の式（８）のようなベクトル量で示される。
【００５６】
【数１】
0005415393.tif 000002
【００５７】
Φ＝［φ１，  φ２，  ・・・，  φｎ］・・・・（７）
φｉ＝｛φｉ，１，  φｉ，２，  ・・・，  φｉ，ｎ｝・・・・（８）
ここで、λｎ：振動モードごとの固有値、φｎ：振動モードごとの固有ベクトルである。
【００５８】
このように、固有値Λ及び固有ベクトルΦが算出される。尚、分布ばね４３のばね定数が未知数であるため、固有値Λ及び固有ベクトルΦは、分布ばね４３のばね定数に初期値を設定して計算され、繰り返し計算により誤差が最小となるような分布ばね４３のばね定数が算出される。
【００５９】
（ばね定数算出工程）
次に、ばね定数が算出される（Ｓ６０）。即ち、測定により得られた変位特性に基づく固有振動数及び振動モードベクトルと、多質点系モデル４０から得られた固有値及び固有ベクトルとが夫々一致するような分布ばね４３のばね定数が繰り返し計算により算出される。
【００６０】
具体的に、固有ベクトルνｉ及び振動モードベクトルφｉとの各成分の差と、固有振動数ωｉの二乗及び固有値λｉの差を固有振動数ωｉの二乗で除算した値とを計算し、これらを二乗和する下記の式（９）で示す関数を評価関数Ｊとする。
【００６１】
【数２】
0005415393.tif 000003
【００６２】
この評価関数Ｊは、振動モードベクトルφｉと固有値λｉとが分布ばね定数ｋから計算されることから、パラメータとして、分布ばね４３のばね定数ｋを有している。このばね定数ｋｊは、多質点系モデル４０に示すように、物理的には常に正の値をとる。従って、ｋｊ＞０であることを拘束条件として、評価関数Ｊが最小となるように最適化問題を解く。尚、ｊは、各節点４１を順に示す。最適化の方法には、例えば、最急降下法及び準ニュートン法等が用いられる。これにより、分布ばね４３ごとのばね定数ｋｊが算出される。
【００６３】
このように、本実施形態では、分布ばね４３ごとのばね定数を算出するために、測定で得られた変位量に基づく固有振動数及び振動モードベクトルと、多質点系モデル４０における固有値及び固有ベクトルとを比較することで、測定で得られた変位量と節点４１の変位量とを比較している。尚、評価関数の比較態様はこれに限定されず、例えば、測定で得られた変位量と節点４１の変位量とを比較するものであってもよい。
【００６４】
（張力算出工程）
次に、分布ばね４３ごとのばね定数から張力が算出される（Ｓ７０）。具体的に、帯状体１に付与される張力Ｔｎと固有振動数ｆｎとは、（１０）式の関係を有している。
Ｔｎ＝４Ｌ２ｆｎ２ρＡ ・・・・（１０）
ここで、Ｔｎ：測定点３０における張力値、Ｌ：ロール間距離、ｆｎ：固有振動数、ρ：帯状体１の密度、Ａ：帯状体断面積である。
【００６５】
この固有振動数ｆｎが、分布ばね４３のばね定数ｋｊで表わされる固有振動数と一致するものとして、帯状体１の各測定点３０における張力が算出される。即ち、固有振動数ｆｎはばね定数ｋｊによって下記の式（１１）で示される。
ｆｎ＝（√（ｋｊ／ｍｅｑ））／２π・・・・（１１）
ここで、ｍｅｑ：モード次数ｉでの各節点４１における帯状体１の等価質量である。この等価質量ｍｅｑは、下記の式（１２）で示される。
【００６６】
ｍｅｑ＝ｍｍｏｄａｌ／νｉ，ｎ２・・・・（１２）
ここで、ｍｍｏｄａｌは、板のモード質量であり、［Φ］Ｔ［Ｍ］［Φ］から算出される。即ち、νｉ，ｎは、測定から得られたｉ次の振動モードベクトルの成分である。
【００６７】
また、板の質量ｍは、下記の式（１３）で示される。
ｍ＝ρＡＬ・・・・（１３）
【００６８】
これらにより、張力値は下記の式（１４）で与えられ、これを用いて測定点３０ごと張力値が算出される。
Ｔｊ＝（ｋｊ×Ｌ×ｍ）／（π２×ｍｅｑ，ｊ）・・・・（１４）
【００６９】
また、帯状体１の幅方向における総張力Ｔｔｏｔａｌは、下記の式（１５）のように、各測定点３０における張力値の合計で与えられる。
Ｔｔｏｔａｌ＝ΣＴｎ・・・・（１５）
【００７０】
このように、張力の変化が近似的に剛性の変化に置き換えられるとして、帯状体１について、測定点３０（測定点３０ａ〜３０ｅ）に対応する節点４１（節点４１ａ〜４１ｅ）とこの節点４１に接合され該節点４１に作用する張力を模擬した分布ばね４３（分布ばね４３ａ〜４３ｅ）とを有する２次元の多質点系モデル４０にモデル化している。そして、測定点３０の固有振動数及び振動モードベクトルの分布と節点４１の固有値及び固有ベクトルとが一致するような分布ばね４３のばね定数から張力を算出している。
【００７１】
これにより、帯状体１の張力分布を、帯状体１と物理的に近似する２次元の多質点系モデル４０を用いて算出することができる。この結果、幅方向に複雑な張力分布を有する場合であっても、簡易な物理モデルを用いて測定点３０に分布する張力の夫々について高精度に算出することができる。従って、各張力を足し合わせることで得られる総張力についても高精度に算出することができる。
【００７２】
（第２実施形態）
次に、第２実施形態の張力測定装置について説明する。但し、第１実施形態と同様の構成を有するものについては、同じ符号を付して適宜その説明を省略する。
【００７３】
本実施形態の張力測定装置２０４は、荷重付加装置２０８と、変位特性計測装置５と、演算装置２０７とを有している。
【００７４】
（荷重付加装置２０８）
図４に示すように、荷重付加装置２０８は、帯状体１の下方に配設されている。荷重付加装置２０８は、測定点３０ａ〜３０ｅが分布する幅方向に延在している。荷重付加装置２０８は、帯状体１に対して面外方向への静的な荷重を付加する機能を有している。荷重付加装置２０８は、帯状体１に対して平行に移動可能にされている。これにより、適宜測定条件を変えることができる。本実施形態では、荷重付加装置２０８は、帯状体１に対向して幅方向に複数の孔を有している。荷重付加装置２０８は、該複数の孔から流体を帯状体１に継続して噴射することにより、帯状体１が噴射箇所において静的なたわみを有した状態にされる。
【００７５】
（演算装置２０７）
演算装置２０７は、振動特性算出部１１と、モデル化部１２と、ばね定数算出部２１４と、張力算出部１５と、一時記憶部１６とを有している。
【００７６】
（ばね定数算出部２１４）
ばね定数算出部２１４は、測定点３０ａ〜３０ｅの変位量の分布と節点４１ａ〜４１ｅの変位量の分布とが一致するような分布ばね４３のばね定数を算出する。
【００７７】
このように構成される張力測定装置２０４が実行する本実施形態の張力測定方法について、図５のフローチャートを参照して説明する。
【００７８】
（荷重付加工程）
先ず、帯状体１へ静的な荷重が付加される（Ｓ２１０）。本実施形態では、第１実施形態と異なり、荷重付加装置２０８により帯状体１は静的にたわんだ状態になる。
【００７９】
（変位特性測定工程）
次に、帯状体１の幅方向に並ぶ複数の測定点３０における面外方向の変位特性が測定される（Ｓ２２０）。本実施形態では、帯状体１が、第１実施形態と異なり、静的に荷重が付加されている。従って、帯状体１の測定点３０における静的な変位量を示す変位ベクトルｘｅｘｐが、変位特性として演算装置２０７へ出力される。
【００８０】
（モデル化工程）
次に、帯状体１について、図２に示すような多質点系モデル４０にモデル化される（Ｓ２４０）。具体的に、帯状体１は、一時記憶部１６に記憶される帯状体１のヤング率、帯状体１の断面二次モーメント、リンク長、帯状体１の密度、帯状体断面積等が用いられ多質点系モデル４０にモデル化される。
【００８１】
（ばね定数算出工程）
次に、ばね定数が算出される（Ｓ２６０）。本実施形態では、変位特性に基づく測定点３０の変位量の分布と節点４１の変位量の分布とが一致するような分布ばね４３のばね定数が算出される。
【００８２】
具体的に、モデル化された多質点系モデル４０について、静加重Ｆを外力とする運動方程式が、下記の式（１６）のように与えられる。
Ｋｘａｎａ＝Ｆ・・・・（１６）
ここで、ｘａｎａ：各節点４１の変位を示す変位ベクトルである。
【００８３】
そして、変位ベクトルｘａｎａが、式（１６）の両辺にＫの逆行列を乗じることで算出される。尚、変位ベクトルｘａｎａは、各成分に分布ばね４３のばね定数をパラメータとして有している。
【００８４】
そして、各測定点３０及び各節点４１ごとに、多質点系モデル４０から得られた変位ベクトルｘａｎａ、及び、測定により得られた変位ベクトルｘｅｘｐの各成分の差を二乗する下記の式（１７）で示す関数を評価関数Ｊとする。
【００８５】
【数３】
0005415393.tif 000004
【００８６】
この評価関数Ｊは、パラメータとして、分布ばね４３のばね定数ｋｊを有している。このばね定数ｋｊは、多質点系モデル４０に示すように、物理的には常に正の値をとる。従って、ｋｊ＞０であることを拘束条件として、評価関数Ｊが最小となるように分布ばね４３ごとに最適化がなされる。尚、ｊは、１、２、・・・、ｎであり、各節点４１を順に示す。最適化の方法には、例えば、最急降下法及び準ニュートン法等が用いられる。これにより、分布ばね４３ごとのばね定数ｋｊが算出される。
【００８７】
（張力算出工程）
次に、第１実施形態の張力算出工程と同様に、ばね定数算出工程により算出された分布ばね４３のばね定数に基づいて各測定点３０における張力値、及び、総張力値が算出される。
【００８８】
このように、張力の変化が近似的に剛性の変化に置き換えられるとして、帯状体１について、測定点３０（測定点３０ａ〜３０ｅ）に対応する節点４１（節点４１ａ〜４１ｅ）とこの節点４１に接合され該節点４１に作用する張力を模擬した分布ばね４３（分布ばね４３ａ〜４３ｅ）とを有する２次元の多質点系モデル４０にモデル化している。そして、帯状体１の変位の分布と多質点系モデルの節点４１の変位量とが一致するような分布ばね４３のばね定数から張力を算出している。
【００８９】
これにより、帯状体１の張力分布を、帯状体１と物理的に近似する２次元の多質点系モデル４０によって算出することができる。この結果、幅方向に複雑な張力分布を有する場合であっても、簡易な物理モデルを用いて測定点３０に分布する張力の夫々について高精度に算出することができる。従って、各張力を足し合わせることで得られる総張力についても高精度に算出することができる。
【００９０】
（第３実施形態）
次に、第３実施形態の張力測定装置について説明する。但し、第１実施形態と同様の構成を有するものについては、同じ符号を付して適宜その説明を省略する。
【００９１】
本実施形態の張力測定装置は、第１実施形態の張力測定装置４（図１参照）と同じ構成である。本実施形態の張力測定装置が実行する張力測定方法について、図７のフローチャートを参照して説明する。
【００９２】
図７のフローチャートにおいて、荷重付加工程（Ｓ１０）、変位特性測定工程（Ｓ２０）、振動特性算出工程（Ｓ３０）、モデル化工程（Ｓ４０）、および、張力算出工程（Ｓ７０）は、第１実施形態と同じであるのでその説明を省略する。
【００９３】
（ばね定数算出工程）
第１実施形態と同様のモデル化工程（Ｓ４０）の後に、ばね定数が算出される（Ｓ３６０）。即ち、測定により得られた変位特性に基づく固有振動数及び振動モードベクトルと、多質点系モデル４０から得られた固有値及び固有ベクトルとが夫々一致するような分布ばね４３のばね定数が最小二乗法により算出される。
【００９４】
具体的には、図２の多質点系モデル４０の運動方程式が式（３）で表されるとすると、剛性マトリクスＫは、式（１８）に示すように、板の曲げ剛性を表す回転ばね成分ＫＲと、張力を模擬した分布ばね成分ＫＴとに分けられる。回転ばね成分ＫＲは板の物性と寸法から求まる既知の行列で、分布ばね成分ＫＴは求めたい未知パラメータの行列である。
【００９５】
Ｋ＝ＫＴ＋ＫＲ・・・・（１８）
【００９６】
そして、変位特性測定工程（Ｓ２０）で得られた変位特性の実験値に基づいて、振動特性算出工程（Ｓ３０）で固有振動数Λと振動モードΦとが計算される。式（３）の運動方程式から得られた質量マトリクス及び剛性マトリクスと実験により得られた固有振動数及び振動モードとは下記の式（１９）の関係がある。
【００９７】
（ΦＴＭΦ）−１ΦＴ（ＫＴ＋ＫＲ）Φ＝Λ・・・・（１９）
ここで、ΛとΦは実験値、ＭとＫＲは計算により求まる既知パラメータである。張力分布を表すばね分布の剛性行列ＫＴを未知パラメータとし、各行列の成分に着目して、式（１９）を整理する。計算上、ΛとΦの固有振動数と振動モードベクトルの数はいくつでも良いが、ここでは１次〜４次まで使用した場合について説明する。即ち、固有ベクトルΦは以下のようになる。
Φ＝［φ１，  φ２，  φ３，  φ４］・・・・（２０）
【００９８】
式（１９）を各成分について展開すると次式が得られる。
【００９９】
【数４】
0005415393.tif 000005
【０１００】
式（２１）の両辺は対称行列であるから、次式に示す１０個の独立した等式が得られ、未知数ＫＴについて整理すると、以下のようになる。
【０１０１】
【数５】
0005415393.tif 000006
【０１０２】
また、剛性行列ＫＴは対角行列であるから、下記の式（２３）で示される。ここで、式（２３）のkTnは図２中の各分布ばねのばね定数に対応している。
【０１０３】
【数６】
0005415393.tif 000007
【０１０４】
式（２２）の左辺を展開して未知数ＫＴについてまとめると、下記の式（２４）で示される。
【０１０５】
【数７】
0005415393.tif 000008
【０１０６】
式（２４）を未知ベクトルｋＴ＝｛ｋＴ１，ｋＴ２，・・・，ｋＴｎ｝Ｔについて最小二乗法で解けば、ばね分布が求まる。
【０１０７】
ここで、式（２４）について、モードの数をｍとして一般化した場合の式を以下に示す。次式を利用することで、実験によって得られたモードの数に合わせた最小二乗法を適用することができる。
【０１０８】
【数８】
0005415393.tif 000009
【０１０９】
最小二乗法は、式（２４）におけるｋＴの係数行列をＶとし、右辺のベクトルをｋｘとして、次式のように解く。
【０１１０】
ＶｋＴ＝ｋｘ・・・・（２６）
ｋＴ＝Ｖ†ｋｘ・・・・（２７）
ただし、
Ｖ†＝（ＶＴＶ）−１ＶＴ・・・・（２８）
【０１１１】
ここで、行列Ｖのランクが列数より少ない場合、式（２７）の解が発散する。そこで、式（２９）に示す特異値分解を利用して最小二乗法を解く。ただし、Ｐ、ＱはＶの特異ベクトルを列ベクトルとする直交行列、ＤはＶの特異値を対角成分に持つ対角行列、Ｑ＊はＱの共役転置行列である。
Ｖ＝ＰＤＱ＊・・・・（２９）
【０１１２】
同定精度を改善するために、行列Ｄで絶対値の大きい特異値のみを採用し、絶対値の小さい特異値を「０」に置き換えた行列をＤ’とする。また、Ｄ’の「０」でない特異値の逆数を対角成分とする行列の転置行列をＤ’†として、次式に示すようにＶの擬似逆行列を求める。
Ｖ†＝ＱＤ’†Ｐ＊・・・・（３０）
【０１１３】
以上により、最小二乗法が解かれ、ばね分布が求まる。
【０１１４】
（張力算出工程）
次に、第１実施形態と同様の張力算出工程（Ｓ７０）により、ばね分布の値を張力に換算することで、張力分布と総張力とが算出される（Ｓ７０）。
【０１１５】
図８に全特異値を使用した式（２８）と、小さい特異値を除去した式（３０）とによる張力分布の計算結果を示す。全特異値を使用するよりも、小さい特異値を除去した方が、良好な結果が得られることが分かる。なお、式（３０）において採用する絶対値の大きい特異値の数は任意であるが、例えば実験により得られたモードの数と一致させると比較的良好な結果が得られる。
【０１１６】
このように、最小二乗法を用いることで、繰り返し計算における収束性の問題や初期値による計算結果のばらつきを発生させることなく、分布ばね４３のばね定数を算出することができる。この結果、幅方向に複雑な張力分布を有する場合であっても、簡易な物理モデルを用いて測定点３０に分布する張力の夫々について高精度に算出することができる。
【０１１７】
（変形例）
以上、本発明の実施形態を説明したが、具体例を例示したに過ぎず、特に本発明を限定するものではなく、具体的構成などは、適宜設計変更可能である。また、発明の実施形態に記載された、作用及び効果は、本発明から生じる最も好適な作用及び効果を列挙したに過ぎず、本発明による作用及び効果は、本発明の実施形態に記載されたものに限定されるものではない。
【０１１８】
例えば、本実施形態において、帯状体１を図２に示す多質点系モデル４０のような２次元モデルにモデル化したが、これに限定されるものではない。例えば、図６に示すような、多質点系モデル３４０であってもよい。
【０１１９】
具体的に、多質点系モデル３４０は、節点３４１と、分布ばね４３（分布ばね４３ａ・４３ｂ・４３ｃ・４３ｄ・４３ｅ）と、せん断ばね３４４と、固定面４５とを有している。図６に示すように、節点３４１は、帯状体１の質量を有している。また、せん断ばね３４４は、隣り合う節点３４１同士を接続し、接続する節点３４１間の相対変位に比例した復元力が作用するようになっている。
【符号の説明】
【０１２０】
１    帯状体
２・３    ロール
４    張力測定装置
５    変位特性計測装置
５ａ・５ｂ・５ｃ・５ｄ・５ｅ    非接触変位計
７    演算装置
８    荷重付加装置
１１    振動特性算出部
１２    モデル化部
１３    固有値解析部
１４    ばね定数算出部
１５    張力算出部
１６    一時記憶部
３０（３０ａ・３０ｂ・３０ｃ・３０ｄ・３０ｅ）    測定点
４０    多質点系モデル
４１（４１ａ・４１ｂ・４１ｃ・４１ｄ・４１ｅ）    節点
４２    連結部材
４３（４３ａ・４３ｂ・４３ｃ・４３ｄ・４３ｅ）    分布ばね
４４    回転ばね
４５    固定面
２０４    張力測定装置
２０７    演算装置
２０８    荷重付加装置
２１４    ばね定数算出部
【図１】
0005415393.tif 000010
【図２】
0005415393.tif 000011
【図３】
0005415393.tif 000012
【図４】
0005415393.tif 000013
【図５】
0005415393.tif 000014
【図６】
0005415393.tif 000015
【図７】
0005415393.tif 000016
【図８】
0005415393.tif 000017