(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
ゴム製品の変形挙動を示す弾性応答性能を予測する弾性応答性能予測方法において、
分子間の相互作用を表わすパラメータを用いて前記ゴム製品の歪エネルギーの温度及び歪依存性を表わす構成方程式を用いて、該ゴム製品の弾性応答性能を予測することを特徴とする弾性応答性能予測方法であって、
前記構成方程式は、下記に示す数式（Ｉ）である弾性応答性能予測方法。
【数１】
0005474726.tif 000026
ただし、Ａはヘルムホルツの自由エネルギー、Ｕ0は変形していない状態における内部エネルギー、Ｕ1は変形状態における内部エネルギー、ｐは圧力、Ｖ0は変形していない状態における体積、Ｖ1は変形状態における体積、Ｔは絶対温度、Ｓ0は変形していない状態におけるエントロピー、Ｓ1は変形状態におけるエントロピーを表す。数式（Ｉ）の各項は、下記に示す数式（ＩＩ）〜数式（ＩＶ）で表わされる。
【数２】
0005474726.tif 000027
ただし、Ｉ１，Ｉ２，Ｉ３は、ゴムの三次元軸上におけるｘｙｚ方向の変形λ１，λ２，λ３という３つの伸張比の関数としてＩ1＝λ12＋λ22＋λ32、Ｉ2＝λ12・λ22＋λ22・λ32＋λ32・λ12、Ｉ3＝λ12・λ22・λ32で表わされる。ｎは架橋点間の統計的分子鎖のリンク数、κは分子間相互作用エネルギー係数を表す。Ｒを気体定数、Ｔｇをガラス転移温度とすると、β＝１／ＲＴであり、β’＝１／Ｒ（Ｔ−Ｔｇ）である。Ｉ1’は、前記分子間の相互作用を表わすパラメータとしての局所相互作用係数λmicroを用いて、下記に示す数式（Ｖ）で表わされる。
【数３】
0005474726.tif 000028
【請求項２】
ゴム製品の変形挙動を示す弾性応答性能を予測する弾性応答性能予測方法において、
分子間の相互作用を表わすパラメータを用いて前記ゴム製品の弾性率の温度及び歪依存性を表わす構成方程式を用いて、該ゴム製品の弾性応答性能を予測することを特徴とする弾性応答性能予測方法であって、
前記構成方程式は、下記に示す数式（ＶＩ）である弾性応答性能予測方法。
【数４】
0005474726.tif 000029
ただし、Ｇはせん断弾性率、Ｗは歪エネルギー関数、Ａはヘルムホルツの自由エネルギー、Ｕは内部エネルギー、Ｔは絶対温度、Ｓはエントロピーを表す。Ｉ１は、ゴムの三次元軸上におけるｘｙｚ方向の変形λ１，λ２，λ３という３つの伸張比の関数としてＩ1＝λ12＋λ22＋λ32で表わされる。数式（ＶＩ）の各項は、下記に示す数式（ＶＩＩ）、数式（ＶＩＩＩ）、数式（ＩＸ）で表わされる。
【数５】
0005474726.tif 000030
ただし、ｎは架橋点間の統計的分子鎖のリンク数、κは分子間相互作用エネルギー係数、ｖは架橋密度、λは伸張比又は圧縮比を表す。Ｒを気体定数、Ｔｇをガラス転移温度とすると、β’＝１／Ｒ（Ｔ−Ｔｇ）である。Ｉ2は、Ｉ2＝λ12・λ22＋λ22・λ32＋λ32・λ12で表わされる。Ｉ1’は、前記分子間の相互作用を表わすパラメータとしての局所相互作用係数λmicroを用いて、下記に示す数式（Ｘ）で表わされる。
【数６】
0005474726.tif 000031
【請求項３】
有限要素解析法を用いて前記ゴム製品の変形挙動を示す弾性応答性能を予測することを特徴とする請求項１又は２記載の弾性応答性能予測方法。
【請求項４】
請求項１〜３の何れか１項記載の弾性応答性能予測方法を使用してゴム製品を設計することを特徴とするゴム製品設計方法。
【請求項５】
ゴム製品の変形挙動を示す弾性応答性能を予測する弾性応答性能予測装置において、
請求項１記載の弾性応答性能予測方法を用いて、該ゴム製品の弾性応答性能を予測することを特徴とする弾性応答性能予測装置。
【請求項６】
ゴム製品の変形挙動を示す弾性応答性能を予測する弾性応答性能予測装置において、
請求項２記載の弾性応答性能予測方法を用いて、該ゴム製品の弾性応答性能を予測することを特徴とする弾性応答性能予測装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
この発明は、ゴム製品の弾性応答性能の予測方法、設計方法、及び弾性応答性能予測装置に係り、特に、有限要素解析法（ＦＥＡ）を用いてゴム製品の弾性応答性能を予測する方法、該予測方法を用いたゴム製品の設計方法、及び弾性応答性能予測装置に関する。
【背景技術】
【０００２】
ゴム製品を設計するに際して、三次元有限要素解析法（ＦＥＡ）を利用してその弾性的な応答性能を予測し、その解析ないしシミュレーション結果を応用する手法は、既に数十年に亙る実例がある。このＦＥＡ計算に用いられるゴム材料の応力−歪の関係を解析に反映させるエネルギーの構成方程式としては、線形弾性方程式からＭｏｏｎｅｙ−Ｒｉｖｌｉｎ方程式へと移行し、最近では大変形領域での非線形構成方程式の導入が行われている。
【０００３】
また、近年、これらのゴム材料構成方程式について、ゴムの分子鎖の伸張に基づく分子統計熱力学より発展した網目変形理論を基礎として、タイヤをはじめとする多くの工業用ゴム材料の設計で重要な因子である温度依存性を、物理的意味をもったパラメータを用いて表すことのできる構成方程式が提案されている（特許文献１）。
【０００４】
ここで、この構成方程式の概要を以下に示す。
【０００５】
まず、ゴムの引っ張り応力は、せん断弾性率Ｇと引っ張り方向の伸張比λを用いて、以下の（１）式のように表すことができる。
【０００６】
【数１】
0005474726.tif 000002
【０００７】
一方、ゴムのせん断弾性率Ｇは、以下の（２）式のように、統計熱力学よりヘルムホルツの自由エネルギーＡをＩ１で微分することで計算できる。
【０００８】
【数２】
0005474726.tif 000003
【０００９】
熱力学的平衡状態にある系の平均エネルギーＡα￣は、以下の（３）式で表すことができる。
【００１０】
【数３】
0005474726.tif 000004
【００１１】
ここで、ｋはボルツマン定数、ΔＴは、高分子のガラス転移温度Ｔｇから測定温度Ｔまでの差分を表すとすると、βは１／（ｋ△Ｔ）に等しい。また、Ａαはエネルギー準位を表す。Ｚは系のエネルギーを規格化する配分関数であり、以下の（４）式で表すことができる。
【００１２】
【数４】
0005474726.tif 000005
【００１３】
ここで、以下の（５）式に示すように、Ｕαは、統計熱力学の考え方からハミルトニアンＨに等しいと仮定する。
【００１４】
Ｕα＝Ｈ（Ｔｅｍｐ，Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ）    ・・・（５）
【００１５】
ただし、ハミルトニアンＨは、統計熱力学におけるマイクロステーツを規定する温度条件と制約条件の関数として表すことができる。
【００１６】
ゴム分子の温度依存性を表すモデルとして、低温状態と高温状態の２状態を設定し、ｒ１とｒ２というゴム分子の状態数を、Ｉ１ａとＩ１ｂという歪エネルギー場において分配することで、全ての状態を関数で表すと、以下の（６）式で表すことができる。
【００１７】
【数５】
0005474726.tif 000006
【００１８】
ここで、κは分子の反発エネルギーを表す。ゴム分子のエネルギー状態の異なる２つの状態はｒ１＝−１，ｒ２＝１で表されることから、統計熱力学平均として、＜ｒ１・ｒ２＞と表すと、この積が＋１となる場合はゴム分子が同一状態にあり、−１となる場合は異なる状態にある、という２つの両極端なエネルギー状態を表す。ここで、歪エネルギー場はすべての分子に同じだけ寄与すると考えると、Ｉ１＝Ｉ１ａ＝Ｉ１ｂとおくことで、上記の（６）式を、以下の（７）式のように表すことができる。
【００１９】
【数６】
0005474726.tif 000007
【００２０】
上記（３）式に、上記（７）式を代入することにより、ゴム弾性率Ｇは、以下の（９）式のように表すことができる。
【００２１】
【数７】
0005474726.tif 000008
【００２２】
ここで、分子の伸びきりを考慮する場合、上記（９）式の第二項のエントロピー項は、ランジュバン関数を用いて以下の（１０）式のように表すことができる。
【００２３】
【数８】
0005474726.tif 000009
【００２４】
ここで、ｎは架橋点間の統計分子鎖のリンク数として定義される。
【００２５】
このように、上記の特許文献１では、温度依存性を、物理的意味をもったパラメータを用いて表すことのできる構成方程式が提案されている。
【００２６】
また、上記の特許文献１に記載されている歪エネルギー関数（実線）では、図６に示すように幅広い伸張比と温度域で実験値（プロット）を再現することができる。
【先行技術文献】
【特許文献】
【００２７】
【特許文献１】特許４２９９７３５号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００２８】
しかしながら、特許文献１に記載の歪エネルギー関数では、低温条件下での低い伸張比の領域で、実験値と理論値とが乖離してしまうため、低温条件下でのゴム製品の弾性応答性能を精度良く予測することができない、という問題がある。
【００２９】
本発明は、上記の問題点を解決するためになされたもので、低温条件下でのゴム製品の弾性応答性能の予測精度を向上させることができる弾性応答性能予測方法、ゴム製品設計方法、及び弾性応答性能予測装置を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００３０】
上記の目的を達成するために第１の発明に係る弾性応答性能予測方法は、ゴム製品の変形挙動を示す弾性応答性能を予測する弾性応答性能予測方法において、分子間の相互作用を表わすパラメータを用いて前記ゴム製品の歪エネルギーの温度及び歪依存性を表わす構成方程式を用いて、該ゴム製品の弾性応答性能を予測することを特徴としている。
【００３１】
また、第２の発明に係る弾性応答性能予測装置は、ゴム製品の変形挙動を示す弾性応答性能を予測する弾性応答性能予測装置において、分子間の相互作用を表わすパラメータを用いて前記ゴム製品の歪エネルギーの温度及び歪依存性を表わす構成方程式を用いて、該ゴム製品の弾性応答性能を予測することを特徴としている。
【００３２】
第１の発明及び第２の発明は、充填系ゴムをミクロレベルで観察する際のゴム製品の低伸張比領域（例えば、伸張比が１００％以下）を含む広汎な変形領域において、分子間の相互作用を表わすパラメータを用いて歪エネルギーの温度及び歪依存性を表す構成方程式を用いて、ゴム製品の弾性応答性能を予測するので、低温条件下での低い伸張比領域の弾性応答性能を精度良く予測することができる。これによって、特に実用上で重要な充填系のゴム材料からなるゴム複合製品について、多くの工業用ゴム製品の設計で重要である温度及び歪依存性を物理的な意味を有するパラメータを持って、かつ、低温条件下でのゴム製品の弾性応答性能を精度よく予測することができる。
【００３３】
上記の第１の発明に係る構成方程式は、下記に示す数式（Ｉ）である。
【００３４】
【数９】
0005474726.tif 000010
【００３５】
ただし、Ａはヘルムホルツの自由エネルギー、Ｕ0は変形していない状態における内部エネルギー、Ｕ1は変形状態における内部エネルギー、ｐは圧力、Ｖ0は変形していない状態における体積、Ｖ1は変形状態における体積、Ｔは絶対温度、Ｓ0は変形していない状態におけるエントロピー、Ｓ1は変形状態におけるエントロピーを表す。数式（Ｉ）の各項は、下記に示す数式（ＩＩ）〜数式（ＩＶ）で表わされる。
【００３６】
【数１０】
0005474726.tif 000011
【００３７】
ただし、Ｉ１，Ｉ２，Ｉ３は、ゴムの三次元軸上におけるｘｙｚ方向の変形λ１，λ２，λ３という３つの伸張比の関数としてＩ1＝λ12＋λ22＋λ32、Ｉ2＝λ12・λ22＋λ22・λ32＋λ32・λ12、Ｉ3＝λ12・λ22・λ32で表わされる。ｎは架橋点間の統計的分子鎖のリンク数、κは分子間相互作用エネルギー係数を表す。Ｒを気体定数、Ｔｇをガラス転移温度とすると、β＝１／ＲＴであり、β’＝１／Ｒ（Ｔ−Ｔｇ）である。Ｉ1’は、分子間の相互作用を表わすパラメータとしての局所相互作用係数λmicroを用いて、下記に示す数式（Ｖ）で表わされる。
【００３８】
【数１１】
0005474726.tif 000012
【００３９】
第３の発明に係る弾性応答性能予測方法は、ゴム製品の変形挙動を示す弾性応答性能を予測する弾性応答性能予測方法において、分子間の相互作用を表わすパラメータを用いて前記ゴム製品の弾性率の温度及び歪依存性を表わす構成方程式を用いて、該ゴム製品の弾性応答性能を予測することを特徴としている。
【００４０】
第４の発明に係る弾性応答性能予測装置は、ゴム製品の変形挙動を示す弾性応答性能を予測する弾性応答性能予測装置において、分子間の相互作用を表わすパラメータを用いて前記ゴム製品の弾性率の温度及び歪依存性を表わす構成方程式を用いて、該ゴム製品の弾性応答性能を予測することを特徴としている。
【００４１】
第３の発明及び第４の発明は、充填系ゴムをミクロレベルで観察する際のゴム製品の低伸張比領域（例えば、伸張比が１００％以下）を含む広汎な変形領域において、分子間の相互作用を表わすパラメータを用いて弾性率の温度及び歪依存性を表す構成方程式を用いて、ゴム製品の弾性応答性能を予測するので、低温条件下での低い伸張比領域の弾性応答性能を精度良く予測することができる。これによって、特に実用上で重要な充填系のゴム材料からなるゴム複合製品について、多くの工業用ゴム製品の設計で重要である温度及び歪依存性を物理的な意味を有するパラメータを持って、かつ、低温条件下でのゴム製品の弾性応答性能を精度よく予測することができる。
【００４２】
上記の第３の発明に係る構成方程式は、下記に示す数式（ＶＩ）である。
【００４３】
【数１２】
0005474726.tif 000013
【００４４】
ただし、Ｇはせん断弾性率、Ｗは歪エネルギー関数、Ａはヘルムホルツの自由エネルギー、Ｕは内部エネルギー、Ｔは絶対温度、Ｓはエントロピーを表す。Ｉ１は、ゴムの三次元軸上におけるｘｙｚ方向の変形λ１，λ２，λ３という３つの伸張比の関数としてＩ1＝λ12＋λ22＋λ32で表わされる。数式（ＶＩ）の各項は、下記に示す数式（ＶＩＩ）、数式（ＶＩＩＩ）、数式（ＩＸ）で表わされる。
【００４５】
【数１３】
0005474726.tif 000014
【００４６】
ただし、ｎは架橋点間の統計的分子鎖のリンク数、κは分子間相互作用エネルギー係数、ｖは架橋密度、λは伸張比又は圧縮比を表す。Ｒを気体定数、Ｔｇをガラス転移温度とすると、β’＝１／Ｒ（Ｔ−Ｔｇ）である。Ｉ2は、Ｉ2＝λ12・λ22＋λ22・λ32＋λ32・λ12で表わされる。Ｉ1’は、分子間の相互作用を表わすパラメータとしての局所相互作用係数λmicroを用いて、下記に示す数式（Ｘ）で表わされる。
【００４７】
【数１４】
0005474726.tif 000015
【００４８】
上記の発明に係る弾性応答性能予測方法は、有限要素解析法を用いてゴム製品の変形挙動を示す弾性応答性能を予測するようにすることができる。
【００４９】
以上、詳述した本発明のゴム製品の歪エネルギーの温度及び歪依存性を表す構成方程式、又はゴム製品の弾性率の温度及び歪依存性を表す構成方程式を用いて該ゴム製品の弾性応答性能を予測することにより、所要のシミュレーションを経て、特に、ゴムのミクロレベルでのシミュレーションを経て、該ゴム製品の所望の性能を達成する為の最適なゴム材料を、ミクロレベルで設計することが可能となり、効率的且つ精度の良い有用なゴム製品の設計方法を提供することができる。
【発明の効果】
【００５０】
以上説明したように、本発明の弾性応答性能予測方法、ゴム製品設計方法、及び弾性応答性能予測装置によれば、分子間の相互作用を表わすパラメータを用いて歪エネルギーの温度及び歪依存性を表す構成方程式、又は弾性率の温度及び歪依存性を表す構成方程式を用いて、ゴム製品の弾性応答性能を予測するので、低温条件下での弾性応答性能を精度良く予測することができる、という効果が得られる。
【図面の簡単な説明】
【００５１】
【図１】本発明の実施の形態に係る弾性応答性能の予測装置を示した概略図である。
【図２】本構成方程式の導出のためのミクロ構造モデルのイメージ図である。
【図３】架橋したスチレンブタジエンゴムの歪応力曲線の温度依存性に関する予測値と実測値とを示すグラフである。
【図４】架橋したスチレンブタジエンゴムの室温における歪応力曲線のエネルギー弾性による応力とエントロピー弾性による応力に関する計測値と計算値とを示すグラフである。
【図５】架橋した天然ゴムの室温における歪応力曲線のエネルギー弾性による応力とエントロピー弾性による応力に関する計測値と計算値とを示すグラフである。
【図６】従来技術におけるゴムの歪応力曲線の温度依存性に関する予測値と実測値とを示すグラフである。
【発明を実施するための形態】
【００５２】
以下、本発明の実施の形態について図面を参照して詳細に説明する。
【００５３】
図１に示すように、本発明の第１の実施の形態に係る弾性応答性能の予測を実行する弾性応答性能の予測装置５０は、弾性応答性能予測を実行するための弾性応答性能の予測プログラムにより後述する処理を実行するコンピュータ演算処理システムにより構成されている。なお、この様なコンピュータシステムは、例えば、ＣＰＵ、ＲＯＭ、ＲＡＭ、ハードデイスク、入出力端末、その他所要のユニット等を備えている。上記の弾性応答性能の予測プログラムは、予めハードデイスク等に記憶されている。
【００５４】
本発明の第１の実施の形態における弾性応答性能の予測方法では、ゴム製品を構成するゴム材料の歪エネルギーの温度及び歪依存性を表す構成方程式、特に好適には上述した数式（Ｉ）〜（ＩＶ）を用いて該ゴム製品の弾性応答性能を予測する。
【００５５】
ここで、ゴム材料の歪エネルギーの温度及び歪依存性を表す構成方程式の導出原理について説明する。以下では、統計熱力学の計算をするためのミクロ構造モデルを明確にし、そのモデルに基づいた構成方程式を導出する。
【００５６】
図２に、ミクロ構造モデルを示す。Ｈｉｎｔは分子間または分子内相互作用を表すハミルトニアン、Ｈｒｏｔは分子回転を表すハミルトニアン、Ｈｔｒａｎｓは分子並進を表すハミルトニアンである。
【００５７】
ここで、このミクロ構造モデルを表す熱力学方程式は、以下の（１１）式で表すことができる。
【００５８】
【数１５】
0005474726.tif 000016
【００５９】
ここで、Ａはヘルムホルツの自由エネルギー、Ｕは内部エネルギー、ｐは圧力、Ｖは体積、Ｔは絶対温度、Ｓはエントロピーを表す。また、Ｚint￣は分子間または分子内相互作用を表す分配関数、Ｚrot￣は分子回転を表す分配関数、Ｚtrans￣は分子移動を表す分配関数を表す。各分子運動モードに対応したハミルトニアンは、以下の（１２）式〜（１４）式のように表すことができる。
【００６０】
【数１６】
0005474726.tif 000017
【００６１】
ここで、ｒｌとｒ２は、分子間または分子内相互作用する２つの分子のエネルギー状態を表す。Ｉ１’が、上記図２のミクロ構造モデルにおける分子間のひずみの不変量を表すとすると、ｒｌとｒ２は、＋１または−１で表わされる、Ｉ１’が表す変形によるひずみエネルギーの、４つの組み合わせ（−１，−１），（＋１，＋１），（＋１，−１），（−１，＋１）に対応する。κは相互作用エネルギーの大きさを表す係数であり、δは相互作用エネルギーが関与する状態を表す係数で、２個の分子が同じエネルギー状態にあるとき−１となる。これは、２つの分子が同じエネルギー状態にあるとき、κは相互作用エネルギー相当分安定化するという意味でマイナスの係数となる。一方、異なるエネルギー状態にある場合には、相互作用は発生しないと仮定してκは０となる。ｍは分子の質量、Ｐθは２分子を結んだ軸に対する角度の分子回転を表す運動量、Ｐφは２分子を結んだ軸を中心とした回転角度に対する分子回転を表す運動量、Ｐは質量ｍの分子に対する運動量、ＩＭは分子回転の慣性モーメントを表す。
【００６２】
ハミルトニアンと分配関数の関係は以下の（１５）式のように表すことができる。
【００６３】
【数１７】
0005474726.tif 000018
【００６４】
上記（１５）で表される関係式に、各分子運動モードに対応するハミルトニアンを代入することで、各々の分配関数は、以下の（１６）式〜（１８）式のように表すことができる。
【００６５】
【数１８】
0005474726.tif 000019
【００６６】
以上の関係を解くことで、以下の（１９）式〜（２１）式が求められる。
【００６７】
【数１９】
0005474726.tif 000020
【００６８】
これらの分配関数は、図２に示した局所的なモデルであることから、分子数Ｎのマクロモデルに拡張すると、以下の（２２）式〜（２４）式が得られる。
【００６９】
【数２０】
0005474726.tif 000021
【００７０】
ここで、Ｚint￣は分子間または分子内相互作用の分子数Ｎにおける拡張分配関数、Ｚrot￣は分子回転の分子数Ｎにおける拡張分配関数、Ｚtrans￣は分子並進の分子数Ｎにおける拡張分配関数を表す。
【００７１】
一方で、分配関数と熱力学の状態関数の関係は、以下の（２５）式〜（２７）式のように表すことができる。
【００７２】
【数２１】
0005474726.tif 000022
【００７３】
ここで、βは１／ＲＴを表す。Ｔｇをガラス転移温度とすると、β’は
【００７４】
【数２２】
0005474726.tif 000023
【００７５】
を表す。ｎは架橋点間の統計的分子鎖のリンク数、Ｅは分子間相互作用エネルギー係数を表す。Ω（Ｆ）は分子がとる形態の場合の数、Ｆは変形した分子が発生する力、ａは統計的分子の長さ、ｋはボルツマン定数を表す。これらの式に分子数Ｎの分配関数を代入することで、上記数式（Ｉ）が求まる。よって、ゴムの変形によるヘルムホルツの自由エネルギーの変化は、変形していない状態と変形状態との差分として表される。
【００７６】
上記の数式（Ｉ）において、各項では、上記の数式（ＩＩ）〜（ＩＶ）が当てはまる。また、Ｉ１’は局所相互作用係数λｍｉｃｒｏを考慮して、上記の数式（Ｖ）で定義される。
【００７７】
本実施の形態における弾性応答性能の予測方法では、上記のように導出された数式（Ｉ）〜（Ｖ）で表わされる構成方程式を用いて該ゴム製品の弾性応答性能を予測する。
【００７８】
また、本実施の形態では、架橋点間の統計的分子鎖の数ｎを以下の（２８）式で定義し、温度依存性を表す。これによって、伸張結晶性ゴムのミクロレベルでの歪み−応力挙動解析技術に適用した場合でも、温度と歪依存性を考慮することができる。
【００７９】
【数２３】
0005474726.tif 000024
【００８０】
ここで、αは統計的セグメント運動の頻度因子、εは統計的セグメント運動の活性化エネルギー、Ｘｃは結晶化率を表す。Ｘｃは、対象とする材料が伸張結晶性を示す場合のみ、内部エネルギーの変化ΔＵ＝Ｕ１−Ｕ０の関数として以下の（２９）式で表す。
【００８１】
【数２４】
0005474726.tif 000025
【００８２】
ただし、△Ｈは結晶が融ける際の、融解のエンタルピーに相当する。天然ゴムの場合は、６ＭＪ／ｍ３を用いる。なお、対象とする材料が伸張結晶性を示さない場合には、Ｘｃを０とする。また、伸張により１００％結晶化することはないとして、Ｘｃは１以上になることはないとする。
【００８３】
上記（２８）式、（２９）式を、数式（Ｉ）に適用することにより、内部エネルギー項Ｕは、伸張結晶性のゴムでは変形が大きくなるにつれ負の値（発熱）を示す。また、エントロピーＳにおける分子の伸びきり現象が、伸張結晶化による架橋点間の分子運動性により制限され、ｎの値が、結晶化率に比例して小さくなり、Ｓが増大する。これにより、伸張結晶化による大変形域で観察される分子の伸びきり又は非線形挙動を表す構成方程式が得られる。
【００８４】
次に、第１の実施の形態の係るゴム材料の変形挙動の予測を行う際の動作について説明する。
【００８５】
まず、コンピュータ５０によって、例えばタイヤであるゴム製品の３次元モデルが生成され、３次元モデルデータがＨＤＤに記憶される。
【００８６】
次に、ユーザが、入出力端末を操作して、解析対象の３次元モデルを設定する。次に、解析処理における解析条件を設定する。解析条件の設定は、３次元モデルのゴム部分の構成条件と、充填剤部分の構成条件を設定することを含む。３次元モデルのゴム部分の構成条件として、上述した数式（Ｉ）〜（Ｖ）、（２８）式の構成方程式（ゴムが伸張結晶化を有する場合）、又は数式（Ｉ）〜（Ｖ）、（２８）式、（２９）式の構成方程式（ゴムが伸張結晶化を有しない場合）が設定される。
【００８７】
そして、設定した解析対象の３次元モデルの３次元モデルデータをＨＤＤから読み込み、読み込んだ３次元モデルデータにより示される３次元モデルのゴム部分及び充填剤部分の構成条件として、設定した解析条件を付与し、３次元モデルデータを再構成する。
【００８８】
次に、再構成した３次元モデルデータを用いて、タイヤに負荷される車両の荷重や、タイヤの内圧、タイヤの転動などにより、設定した構成条件で３次元モデルを変化させた際の、３次元モデルの歪み、内部応力分布、及び３次元モデル全体での応力値を、有限要素法により解析する。
【００８９】
次に、解析により求まった３次元モデルの歪み状態、内部応力分布、及び３次元モデル全体での応力値を、ディスプレイに表示して処理終了となる。
【００９０】
次に、上記の構成方程式である数式（Ｉ）〜（Ｖ）を用いて、ゴムの歪応力曲線の温度依存性の予測を行うと共に、架橋したスチレンブタジエンゴムを用いて歪応力曲線の温度依存性を測定し、上記の予測による予測値（実線）と測定値（プロット）との比較を行った。比較結果を図３に示す。数式（Ｉ）〜（Ｖ）により得られた曲線は、特に低伸張比領域において、測定値のプロットに対して良い一致を示しているといえる。
【００９１】
また、架橋したスチレンブタジエンゴムを用いて、室温における歪応力曲線について、エネルギー弾性による応力とエントロピー弾性による応力を計測すると共に、上記の構成方程式である数式（Ｉ）、（ＩＩ）の対応する部分（Ｕ1−ＴＳ1）による計算を行い、上記の計測値（プロット）と計算値（実線）との比較を行った。比較結果を図４に示す。数式（Ｉ）、（ＩＩ）の対応する部分により得られた曲線は、計測値のプロットに対して良い一致を示していることがわかった。
【００９２】
また、架橋した天然ゴムを用いて、室温における歪応力曲線について、エネルギー弾性による応力とエントロピー弾性による応力を計測すると共に、数式（２８）、（２９）を適用して、上記の構成方程式である数式（Ｉ）、（ＩＩ）の対応する部分（Ｕ1−ＴＳ1）による計算を行い、上記の計測値（プロット）と計算値（実線）との比較を行った。比較結果を図５に示す。数式（Ｉ）、（ＩＩ）の対応する部分により得られた曲線は、計測値のプロットに対して良い一致を示していることがわかった。天然ゴムは伸張結晶化を示すことから、伸張比が３以上になるとエネルギー弾性がマイナスになる傾向がある。この現象も良く表すことから、伸張結晶化についても良いモデル化ができているといえる。
【００９３】
以上説明したように、第１の実施の形態に係るゴム製品の弾性応答性能の予測装置によれば、充填系ゴムをミクロレベルで観察する際のゴム製品の広汎な変形領域において、低歪時の臨接分子の影響を組み込んだ局所相互作用係数λmicroを用いて歪エネルギーの温度及び歪依存性を表す構成方程式を用いて、ゴム製品の弾性応答性能を予測するので、低温条件下での、特に低い伸張比領域の弾性応答性能を精度良く予測することができる。
【００９４】
また、ミクロ構造のモデルを定義し、ミクロに見た相互作用の部分での誤差、特に低変形領域でのエネルギー弾性の寄与や、伸張結晶化といった現象を組み込み、実測値との乖離を低減させることができるため、ゴム製品の弾性応答性能を精度良く予測することができる。
【００９５】
また、従来のゴム弾性を表すエントロピー弾性の寄与に加えて、エネルギー弾性を考慮したことを特徴としている。上記の特許文献１にて提案されている歪エネルギー関数も同様にエネルギー弾性を考慮しているが、そのミクロ構造のモデルが明確に定義されていないので、ミクロに見た相互作用の部分での誤差、特に低変形領域でのエネルギー弾性の寄与や、伸張結晶化といった現象を表すことができていなかった。本発明では、統計熱力学の計算をするためのミクロ構造モデルを明確にし、そのモデルに基づいた構成方程式を導出することで、変形域やゴム種によらない普遍的なゴム弾性の構成方程式を導出した。
【００９６】
従来のゴムの構成方程式では、上記図４や図５に示した、ゴムの熱力学挙動を表現することはできなかったが、本発明では、上記図４や図５に示すようにゴムの熱力学挙動を表現した構成方程式を、従来の計算科学シミュレーションに導入することで、現実に使用している原材料の力学挙動を反映させた状態での予測計算が可能となった。
【００９７】
また、統計熱力学的計算から得られた構成方程式を用いて表した応力歪曲線の温度依存性は、伸張結晶性をもつ天然ゴムも含めて実測による結果と良く一致することが確かめられた。これにより、提案した構成方程式を有限要素法の応力歪曲線に導入することで、伸張結晶性ならびに非結晶性のゴムの両者のナノスケールにおける、ゴムの応力歪挙動において、その弾性寄与、粘性寄与、塑性寄与を含めて表すことが可能となった。
【００９８】
次に、第２の実施の形態について説明する。
【００９９】
第２の実施の形態では、ゴム製品の弾性率の温度及び歪依存性を表わす構成方程式を用いて、ゴム製品の弾性応答性能を予測している点が、第１の実施の形態と異なっている。
【０１００】
第２の実施の形態における弾性応答性能の予測方法では、上記の第１の実施の形態と同様に導出される、上記の数式（ＶＩ）で表わされる構成方程式を、ゴムのミクロレベルでの変形挙動解析技術に適用して、該ゴム製品の弾性応答性能を予測する。
【０１０１】
上記数式（ＶＩ）における、各項は、上記の数式（ＶＩＩ）、（ＶＩＩＩ）、（ＩＸ）で表される。ただし、Ｉ1’は、局所相互作用係数λmicroを用いて、上記の数式（Ｘ）で表される。
【０１０２】
また、本実施の形態では、架橋点間の統計的分子鎖の数ｎを、上記の（２８）式、（２９）式を用いて定義し、伸張結晶化を表す。これによって、伸張結晶性ゴムのミクロレベルでの変形挙動解析技術に適用した場合でも、温度と歪依存性を考慮することができる。
【０１０３】
なお、第２の発明の実施の形態に係る弾性応答性能の予測装置の他の構成及び作用については、第１の実施の形態と同様であるため、説明を省略する。
【０１０４】
このように、第２の実施の形態に係るゴム製品の弾性応答性能の予測装置によれば、充填系ゴムをミクロレベルで観察する際のゴム製品の広汎な変形領域において、低歪時の臨接分子の影響を組み込んだ局所相互作用係数λmicroを用いて弾性率の温度及び歪依存性を表す構成方程式を用いて、ゴム製品の弾性応答性能を予測するので、低温条件下での、特に低い伸張比領域の弾性応答性能を精度良く予測することができる。
【０１０５】
また、ミクロ構造のモデルを定義し、ミクロに見た相互作用の部分での誤差、特に低変形領域でのエネルギー弾性の寄与や、伸張結晶化といった現象を組み込み、実測値との乖離を低減させることができるため、ゴム製品の弾性応答性能を精度良く予測することができる。
【符号の説明】
【０１０６】
５０  弾性応答性能予測装置
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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