(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
任意のユニタリ演算を実行する量子演算装置において、
σｚは下記のユニタリ行列に対応するとし、
【数１３】
0005498405.tif 000021
σｘは下記のユニタリ行列に対応するとし、
【数１４】
0005498405.tif 000022
Ｈは下記のユニタリ行列に対応するとし、
【数１５】
0005498405.tif 000023
Ｔは下記のユニタリ行列に対応するとし、
【数１６】
0005498405.tif 000024
Ｉは下記のユニタリ行列に対応するとし、
【数１７】
0005498405.tif 000025
Ｚ（−θ）は下記のユニタリ行列に対応するとし、
【数１８】
0005498405.tif 000026
ＸとＹとＺはそれぞれ下記のエルミート行列に対応するとして、
【数１９】
0005498405.tif 000027
上記ユニタリ演算は、σｚと、σｘと、ＨＴと、Ｕ＝（Ｈ（×）Ｉ）（Ｚ（−θ）（×）Ｚ（−θ））ΛＺ（Ｈ（×）Ｉ）（ここで（×）はテンソル積を表す）とにより構成され、
第一補助量子ビット及び第二補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測してその観測結果をｓｚ１とする操作と、σｚの演算の対象となる対象量子ビット及び上記第一補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測してその観測結果をｓｚ２とする操作と、上記第一補助量子ビット及び上記第二補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測してその観測結果をｓｚ３とする操作とを、これらの観測結果の組（ｓｚ１，ｓｚ２，ｓｚ３）が（１，１，−１），（１，−１，−１），（−１，１，１），（−１，−１，１）の何れかになるまで繰り返すことにより上記σｚの演算を行うσｚ演算部と、
第一補助量子ビット及び第二補助量子ビットをＸ（×）Ｚ観測してその観測結果をｓｘ１とする操作と、σｘの演算の対象となる対象量子ビット及び上記第一補助量子ビットをＸ（×）Ｚ観測してその観測結果をｓｘ２とする操作と、上記第一補助量子ビット及び上記第二補助量子ビットをＸ（×）Ｚ観測してその観測結果をｓｘ３とする操作とを、これらの観測結果の組（ｓｘ１，ｓｘ２，ｓｘ３）が（１，１，−１），（１，−１，−１），（−１，１，１），（−１，−１，１）の何れかになるまで繰り返すことにより上記σｘの演算を行うσｘ演算部と、
Ａθ＝（ｃｏｓθ）Ｘ＋（ｓｉｎθ）Ｙ，θ＝−π／８とし、第一補助量子ビット及び第二補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測してその観測結果をｓｈ１とし、ＨＴの演算の対象となる対象量子ビット及び上記第一補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測してその観測結果をｓｈ２とし、上記第一補助量子ビット及び上記第二補助量子ビットをＸ（×）Ｚ観測してその観測結果をｓｈ３とし、上記対象量子ビットをＡθ観測してその観測結果をｓｈ４とし、ｓｈ２ｓｈ３＝−１の場合には上記対象量子ビット及び上記第二補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測し上記対象量子ビットをＡθ観測しその観測結果をｓｈ６とする操作をｓｈ４ｓｈ６＝−１となるまで繰り返し、ｓｈ２ｓｈ３＝１又はｓｈ４ｓｈ６＝−１の場合には上記第二補助量子ビットをＡθ観測しその観測結果をｓｈ７とし、ｓｈ１，ｓｈ２，ｓｈ３，ｓｈ４に応じて次の表のように場合Ｇ１からＧ８の何れかを定め、
【表８】
0005498405.tif 000028
Ｇ１からＧ８及びｓｈ７に応じて次の表のように演算を定め、
【表９】
0005498405.tif 000029
その定まった演算を上記第一補助量子ビットに適用することにより上記ＨＴの演算を行うＨＴ演算部と、
第一補助量子ビット及び第二補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測してその観測結果をｓｕ１とし、Ｕの演算の対象となる第二対象量子ビット及び上記第一補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測しその観測結果をｓｕ２とし、上記第一補助量子ビット及び上記第二補助量子ビットをＸ（×）Ｚ観測しその観測結果をｓｕ３とし、上記第二対象量子ビットをＡθ観測しその観測結果をｓｕ４とし、ｓｕ２ｓｕ３＝−１の場合には上記第二対象量子ビット及び上記第二補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測し上記第二対象量子ビットをＡθ観測しその観測結果をｓｕ６とする操作をｓｕ４ｓｕ６＝−１になるまで繰り返し、ｓｕ２ｓｕ３＝１又はｓｕ４ｓｕ６＝−１の場合には上記第一対象量子ビット及び上記第一補助量子ビットをＸ（×）Ｚ観測しその観測結果をｓｕ７とし、ｓｕ７＝−１の場合には上記第二対象量子ビット及び上記第一補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測し、上記第二対象量子ビットをＡθ観測しその観測結果をｓｕ９とする操作をｓｕ２ｓｕ３＝−１かつｓｕ６ｓｕ９＝−１となるまで、又は、ｓｕ２ｓｕ３＝１かつｓｕ４ｓｕ９＝−１となるまで繰り返し、上記第一補助量子ビットをＡθ観測してその観測結果をｓｕ１０とし、ｓｕ１，ｓｕ２，ｓｕ３，ｓｕ４，ｓｕ７に応じて次の表のようにＡからＨまでの何れかを定めて、
【表１０】
0005498405.tif 000030
ＡからＨ及びｓｕ１０に応じて次の表のように第一演算及び第二演算を定め、
【表１１】
0005498405.tif 000031
その定まった第一演算を上記第一対象量子ビットに適用し、その定まった第二演算を上記第二対象量子ビットに適用することにより上記Ｕの演算を行うＵ演算部と、
を含む量子演算装置。
【請求項２】
任意のユニタリ演算を実行する量子演算方法において、
σｚは下記のユニタリ行列に対応するとし、
【数２０】
0005498405.tif 000032
σｘは下記のユニタリ行列に対応するとし、
【数２１】
0005498405.tif 000033
Ｈは下記のユニタリ行列に対応するとし、
【数２２】
0005498405.tif 000034
Ｔは下記のユニタリ行列に対応するとし、
【数２３】
0005498405.tif 000035
Ｉは下記のユニタリ行列に対応するとし、
【数２４】
0005498405.tif 000036
Ｚ（−θ）は下記のユニタリ行列に対応するとし、
【数２５】
0005498405.tif 000037
ＸとＹとＺはそれぞれ下記のエルミート行列に対応するとして、
【数２６】
0005498405.tif 000038
上記ユニタリ演算は、σｚと、σｘと、ＨＴと、Ｕ＝（Ｈ（×）Ｉ）（Ｚ（−θ）（×）Ｚ（−θ））ΛＺ（Ｈ（×）Ｉ）（ここで（×）はテンソル積を表す）とにより構成され、
第一補助量子ビット及び第二補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測してその観測結果をｓｚ１とする操作と、σｚの演算の対象となる対象量子ビット及び上記第一補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測してその観測結果をｓｚ２とする操作と、上記第一補助量子ビット及び上記第二補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測してその観測結果をｓｚ３とする操作とを、これらの観測結果の組（ｓｚ１，ｓｚ２，ｓｚ３）が（１，１，−１），（１，−１，−１），（−１，１，１），（−１，−１，１）の何れかになるまで繰り返すことにより上記σｚの演算を行うσｚ演算ステップと、
第一補助量子ビット及び第二補助量子ビットをＸ（×）Ｚ観測してその観測結果をｓｘ１とする操作と、σｘの演算の対象となる対象量子ビット及び上記第一補助量子ビットをＸ（×）Ｚ観測してその観測結果をｓｘ２とする操作と、上記第一補助量子ビット及び上記第二補助量子ビットをＸ（×）Ｚ観測してその観測結果をｓｘ３とする操作とを、これらの観測結果の組（ｓｘ１，ｓｘ２，ｓｘ３）が（１，１，−１），（１，−１，−１），（−１，１，１），（−１，−１，１）の何れかになるまで繰り返すことにより上記σｘの演算を行うσｘ演算ステップと、
Ａθ＝（ｃｏｓθ）Ｘ＋（ｓｉｎθ）Ｙ，θ＝−π／８とし、第一補助量子ビット及び第二補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測してその観測結果をｓｈ１とし、ＨＴの演算の対象となる対象量子ビット及び上記第一補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測してその観測結果をｓｈ２とし、上記第一補助量子ビット及び上記第二補助量子ビットをＸ（×）Ｚ観測してその観測結果をｓｈ３とし、上記対象量子ビットをＡθ観測してその観測結果をｓｈ４とし、ｓｈ２ｓｈ３＝−１の場合には上記対象量子ビット及び上記第二補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測し上記対象量子ビットをＡθ観測しその観測結果をｓｈ６とする操作をｓｈ４ｓｈ６＝−１となるまで繰り返し、ｓｈ２ｓｈ３＝１又はｓｈ４ｓｈ６＝−１の場合には上記第二補助量子ビットをＡθ観測しその観測結果をｓｈ７とし、ｓｈ１，ｓｈ２，ｓｈ３，ｓｈ４に応じて次の表のように場合Ｇ１からＧ８の何れかを定め、
【表１２】
0005498405.tif 000039
Ｇ１からＧ８及びｓｈ７に応じて次の表のように演算を定め、
【表１３】
0005498405.tif 000040
その定まった演算を上記第一補助量子ビットに適用することにより上記ＨＴの演算を行うＨＴ演算ステップと、
第一補助量子ビット及び第二補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測してその観測結果をｓｕ１とし、Ｕの演算の対象となる第二対象量子ビット及び上記第一補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測しその観測結果をｓｕ２とし、上記第一補助量子ビット及び上記第二補助量子ビットをＸ（×）Ｚ観測しその観測結果をｓｕ３とし、上記第二対象量子ビットをＡθ観測しその観測結果をｓｕ４とし、ｓｕ２ｓｕ３＝−１の場合には上記第二対象量子ビット及び上記第二補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測し上記第二対象量子ビットをＡθ観測しその観測結果をｓｕ６とする操作をｓｕ４ｓｕ６＝−１になるまで繰り返し、ｓｕ２ｓｕ３＝１又はｓｕ４ｓｕ６＝−１の場合には上記第一対象量子ビット及び上記第一補助量子ビットをＸ（×）Ｚ観測しその観測結果をｓｕ７とし、ｓｕ７＝−１の場合には上記第二対象量子ビット及び上記第一補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測し、上記第二対象量子ビットをＡθ観測しその観測結果をｓｕ９とする操作をｓｕ２ｓｕ３＝−１かつｓｕ６ｓｕ９＝−１となるまで、又は、ｓｕ２ｓｕ３＝１かつｓｕ４ｓｕ９＝−１となるまで繰り返し、上記第一補助量子ビットをＡθ観測してその観測結果をｓｕ１０とし、ｓｕ１，ｓｕ２，ｓｕ３，ｓｕ４，ｓｕ７に応じて次の表のようにＡからＨまでの何れかを定めて、
【表１４】
0005498405.tif 000041
ＡからＨ及びｓｕ１０に応じて次の表のように第一演算及び第二演算を定め、
【表１５】
0005498405.tif 000042
その定まった第一演算を上記第一対象量子ビットに適用し、その定まった第二演算を上記第二対象量子ビットに適用することにより上記Ｕの演算を行うＵ演算ステップと、
を含む量子演算方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
この発明は、任意のユニタリ演算を近似的に実行する量子演算技術に関する。
【背景技術】
【０００２】
２種類の１量子ビット観測量Ｚ及び（Ｘ−Ｙ）／√２と１種類の２量子ビット観測量Ｚ（×）Ｘを基本構成要素とし、１つの補助量子ビットを使って、任意のユニタリ演算を近似的に実行する量子回路の構成方法が非特許文献１で提案されている。ここで、（×）はテンソル積を表し、観測量Ｘ，Ｙ，Ｚはそれぞれ下記のエルミート行列に対応する。これらは１量子ビットユニタリ演算とも考えられるため、それぞれσｘ，σｙ，σｚと記述する場合もある。
【０００３】
【数１】
0005498405.tif 000002
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００４】
【非特許文献１】Simon Perdrix, Towards minimal resources of measurement-based quantum coｍputation, New Journal of Physics 9 (2007) 206.
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
しかしながら、１種類の１量子ビット観測量及び１種類の２量子ビット観測量を基本構成要素とし、２つの補助量子ビットを使って、任意のユニタリ演算を近似的に実行する量子演算装置は知られていない。
【０００６】
この発明の課題は、１種類の１量子ビット観測量Ａθ及び１種類の２量子ビット観測量Ｚ（×）Ｘを基本構成要素とし、２つの補助量子ビットを使って、任意のユニタリ演算を近似的に実行する量子演算装置及び方法を提供することである。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
任意のユニタリ演算は、（１）σｚと、（２）σｘと、（３）ＨＴと、（４）Ｕ＝（Ｈ（×）Ｉ）（Ｚ（−θ）（×）Ｚ（−θ））ΛＺ（Ｈ（×）Ｉ）とにより構成される。（１）σｚと、（２）σｘと、（３）ＨＴと、（４）Ｕのそれぞれを、１種類の１量子ビット観測量Ａθ＝（ｃｏｓθ）Ｘ＋（ｓｉｎθ）Ｙ（ただし、θ＝−π／８）、１種類の２量子ビット観測量Ｚ（×）Ｘ、及び、２つの補助量子ビットＺ（×）Ｘを用いて実現する。
【発明の効果】
【０００８】
１種類の１量子ビット観測量Ａθ及び１種類の２量子ビット観測量Ｚ（×）Ｘを基本構成要素とし、２つの補助量子ビットを使って、任意のユニタリ演算を近似的に実行することができる。
【図面の簡単な説明】
【０００９】
【図１】σｚを実行するための観測ベース量子回路の例。
【図２】σｘを実行するための観測ベース量子回路の例。
【図３】ＨＴを実行するための観測ベース量子回路の例（その１）。
【図４】ＨＴを実行するための観測ベース量子回路の例（その２）。
【図５】ＨＴを実行するための観測ベース量子回路の例（その３）。
【図６】Ｕを実行するための観測ベース量子回路の例（その１）。
【図７】Ｕを実行するための観測ベース量子回路の例（その２）。
【図８】Ｕを実行するための観測ベース量子回路の例（その３）。
【図９】Ｕを実行するための観測ベース量子回路の例（その４）。
【図１０】Ｕを実行するための観測ベース量子回路の例（その５）。
【発明を実施するための形態】
【００１０】
以下、この発明による量子演算装置及び方法の一実施形態を詳細に説明する。
【００１１】
まず、（１）σｚ、（２）σｘ、（３）ＨＴ、（４）Ｕ＝（Ｈ（×）Ｉ）（Ｚ（−θ）（×）Ｚ（−θ））ΛＺ（Ｈ（×）Ｉ）のそれぞれを実行する量子回路により、任意のユニタリ演算を近似的に実行できることを説明する。
【００１２】
Ｉは下記のユニタリ行列に対応する。
【００１３】
【数２】
0005498405.tif 000003
【００１４】
また、Ｚ（−θ）は、下記のユニタリ行列に対応する。
【００１５】
【数３】
0005498405.tif 000004
【００１６】
さらに、Ｈ，Ｔはそれぞれ下記のユニタリ行列に対応する。
【００１７】
【数４】
0005498405.tif 000005
【００１８】
参考文献１に記載されているように、任意のユニタリ演算は、１量子ビット演算と制御Ｚ演算（ΛＺ）に分解できることが知られている。したがって、任意のユニタリ演算を実行するためには、任意の１量子ビット演算とΛＺのそれぞれを近似的に実行する量子回路を構成すれば十分である。ここで、ΛＺは下記のユニタリ行列に対応する。
【００１９】
〔参考文献１〕Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, “Quantum Computation and Quantum Information”, Cambridge University Press, 2000
【００２０】
【数５】
0005498405.tif 000006
【００２１】
非特許文献１で示されているように、ＨＴ及びσｙのそれぞれを実行する量子回路が構成できれば、任意の１量子ビット演算を近似的に実行する量子回路が構成できることが知られている。ここで、σｙ＝−ｉσｚσｘであり、グローバル位相−ｉは無視できる。したがって、σｚ及びσｘを実行する量子回路が構成できればσｙを実行する量子回路を構成することができる。よって、σｚ，σｘ及びＨＴのそれぞれを実現することができる量子回路により、任意の１量子ビット演算を近似的に実行する量子回路が構成できる。
【００２２】
また、ΛＺ＝（Ｚ（θ）（×）Ｚ（θ））（Ｈ（×）Ｉ）Ｕ（Ｈ（×）Ｉ）であり、このΛＺを構成するＺ（θ）及びＨのそれぞれを実行する量子回路は、σｘ，σｚ及びＨＴを実行する量子回路により実行することができる。したがって、このΛＺを構成するＵを実行する量子回路を実現することができれば、ΛＺを実現することができる。
【００２３】
このように、（１）σｚ、（２）σｘ、（３）ＨＴ、（４）Ｕを実行する量子回路により、任意のユニタリ行列を近似的に実行する量子回路を構成することができる。
【００２４】
以下では、基本構成要素である、１種類の１量子ビット観測量Ａθ＝（ｃｏｓθ）Ｘ＋（ｓｉｎθ）Ｙ（ここで、θ＝−π／８）と、１種類の２量子ビット観測量Ｚ（×）Ｘと、２つの補助量子ビットにより、（１）σｚ、（２）σｘ、（３）ＨＴ、（４）Ｕを実行する量子回路のそれぞれを実現できることを説明する。
【００２５】
（１）σｚ（図１）
対象量子ビットとしてσｚの演算の対象となる量子状態｜φ〉が与えられ、第一補助量子ビット及び第二補助量子ビットとして使われる任意の量子状態｜ψ〉が与えられたとする。σｚ｜φ〉を出力する観測ベース量子回路であるσｚ演算部は次のように構成される。
【００２６】
１．第一補助量子ビット及び第二補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測してその観測結果をｓｚ１とする。
【００２７】
２．対象量子ビット及び第一補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測してその観測結果をｓｚ２とする。
【００２８】
３．第一補助量子ビット及び第二補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測してその観測結果をｓｚ３とする。
【００２９】
観測結果の組（ｓｚ１，ｓｚ２，ｓｚ３）に応じて対象量子ビットに次の状態が出力される。
【００３０】
【表１】
0005498405.tif 000007
【００３１】
このように、観測結果の組（ｓｚ１，ｓｚ２，ｓｚ３）が（１，１，−１），（１，−１，−１），（−１，１，１），（−１，−１，１）の何れかである場合には、対象量子ビットにσｚ｜φ〉が出力される。確率１／２でσｚが実行されないが、もし実行されなかった場合は、実行されるまで上の１．から３．の操作を繰り返す。
【００３２】
（２）σｘ（図２）
対象量子ビットとしてσｘの演算の対象となる量子状態｜φ〉が与えられ、第一補助量子ビット及び第二補助量子ビットとして任意の量子状態｜ψ〉が与えられたとする。σｘ｜φ〉を出力する観測ベース量子回路であるσｘ演算部は次のように構成される。
【００３３】
１．第一補助量子ビット及び第二補助量子ビットをＸ（×）Ｚ観測してその観測結果をｓｘ１とする。
【００３４】
２．対象量子ビット及び上記補助量子ビットをＸ（×）Ｚ観測してその観測結果をｓｘ２とする。
【００３５】
３．第一補助量子ビット及び第二補助量子ビットをＸ（×）Ｚ観測してその観測結果をｓｘ３とする。
【００３６】
観測結果の組（ｓｘ１，ｓｘ２，ｓｘ３）に応じて、対象量子ビットに次の状態が出力される。
【００３７】
【表２】
0005498405.tif 000008
【００３８】
観測結果の組（ｓｘ１，ｓｘ２，ｓｘ３）が（１，１，−１），（１，−１，−１），（−１，１，１），（−１，−１，１）である場合には、対象量子ビットにσｘ｜φ〉が出力される。確率１／２でσｘが実行されないが、もし実行されなかった場合は、実行されるまで上の１．から３．の操作を繰り返す。
【００３９】
（３）ＨＴ（図３から図５）
対象量子ビットとしてＨＴの演算の対象となる量子状態｜φ〉が与えられ、第一補助量子ビット及び第二補助量子ビットとして使われる任意の量子状態｜ψ〉が与えられたとする。ＨＴ｜φ〉を出力する観測ベース量子回路であるＨＴ演算部は次のように構成される。
【００４０】
図３が「１．」から「４．」に対応し、図４が「５．」「６．」に対応し、図５が「７．」「８．」に対応する。
【００４１】
１．第一補助量子ビット及び第二補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測してその観測結果をｓｈ１とする。
【００４２】
２．対象量子ビット及び第一補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測してその観測結果をｓｈ２とする。
【００４３】
３．第一補助量子ビット及び第二補助量子ビットをＸ（×）Ｚ観測してその観測結果をｓｈ３とする。
【００４４】
４．対象量子ビットをＡθ観測してその観測結果をｓｈ４とする。ここで、Ａθ＝（ｃｏｓθ）Ｘ＋（ｓｉｎθ）Ｙ（ここで、θ＝−π／８）である。ｓｈ２ｓｈ３＝−１の場合には「５．」に進む。ｓｈ２ｓｈ３＝１の場合には「７．」に進む。
【００４５】
５．ｓｈ２ｓｈ３＝−１の場合には、対象量子ビット及び第二補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測してその観測結果をｓｈ５とする。
【００４６】
６．対象量子ビットをＡθ観測しその観測結果をｓｈ６とする。
【００４７】
ｓｈ４ｓｈ６＝１の場合には「５．」に戻る。「５．」に戻った場合には、ｓｈ５，ｓｈ６の値は消去され、新たに「５．」及び「６．」の処理をした際の観測結果がそれぞれｓｈ５，ｓｈ６となる。
【００４８】
ｓｈ４ｓｈ６＝−１の場合には「７．」に進む。
【００４９】
このように、「５．」「６．」において、対象量子ビット及び第二補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測し、対象量子ビットをＡθ観測しその観測結果をｓｈ６とする操作をｓｈ４ｓｈ６＝−１となるまで繰り返す。なお、観測結果ｓｈ５は、繰り返し処理の回数や処理の順序に影響を与えないため、観測結果ｓｈ５を得なくてもよい。
【００５０】
７．ｓｈ２×ｓｈ３＝１又はｓｈ４ｓｈ６＝−１の場合、第二補助量子ビットをＡθ観測しその観測結果をｓｈ７とする。
【００５１】
８．観測結果の組（ｓｈ１，ｓｈ２，ｓｈ３，ｓｈ４）に応じて、次の表のようにＧ１からＧ８の何れかを定める。
【００５２】
【表３】
0005498405.tif 000009
【００５３】
また、Ｇ１からＧ８及びｓｈ７に応じて次の表のように演算σを定める。
【００５４】
【表４】
0005498405.tif 000010
【００５５】
そして、その定まった演算σを第一補助量子ビットに適用する。これにより、第一補助量子ビットに、ＨＴ｜φ＞が出力される。
【００５６】
（４）Ｕ＝（Ｈ（×）Ｉ）（Ｚ（−θ）（×）Ｚ（−θ））ΛＺ（Ｈ（×）Ｉ）（図６から図１０）
第一対象量子ビット及び第二対象量子ビットとしてＵの演算の対象となる量子状態｜φ〉が与えられ、第一補助量子ビット及び第二補助量子ビットとして使われる任意の量子状態｜ψ〉が与えられたとする。Ｕ｜φ〉を出力する観測ベース量子回路であるＵ演算部は次のように構成される。
【００５７】
図６は「１．」から「４．」に対応し、図７は「５．」「６．」に対応し、図８は「７．」に対応し、図９は「８．」「９．」に対応し、図１０は「１０．」に対応する。
【００５８】
１．第一補助量子ビット及び第二補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測してその観測結果をｓｕ１とする。
【００５９】
２．第二対象量子ビット及び第一補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測しその観測結果をｓｕ２とする。
【００６０】
３．第一補助量子ビット及び第二補助量子ビットをＸ（×）Ｚ観測しその観測結果をｓｕ３とする。
【００６１】
４．第二対象量子ビットをＡθ観測しその観測結果をｓｕ４とする。ｓｕ２ｓｕ３＝−１の場合には「５．」に進む。ｓｕ２ｓｕ３＝１の場合には「７．」に進む。
【００６２】
５．第二対象量子ビット及び第二補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測しその観測結果をｓｕ５とする。
【００６３】
６．第二対象量子ビットをＡθ観測しその観測結果をｓｕ６とする。
【００６４】
ｓｕ４ｓｕ６＝１の場合には「５．」に戻る。「５．」に戻った場合には、ｓｕ５，ｓｕ６の値は消去され、新たに「５．」及び「６．」の処理をした際の観測結果がそれぞれｓｕ５，ｓｕ６となる。
【００６５】
ｓｕ４ｓｕ６＝−１の場合には「７．」に進む。
【００６６】
このように、「５．」「６．」において、第二対象量子ビット及び第二補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測し、第二対象量子ビットをＡθ観測しその観測結果をｓｕ６とする操作をｓｕ４ｓｕ６＝−１となるまで繰り返す。なお、観測結果ｓｕ５は、繰り返し処理の回数や処理の順序に影響を与えないため、観測結果ｓｕ５を得なくてもよい。
【００６７】
７．ｓｕ２ｓｕ３＝１又はｓｕ４ｓｕ６＝−１の場合には第一対象量子ビット及び第一補助量子ビットをＸ（×）Ｚ観測しその観測結果をｓｕ７とする。ｓｕ７＝−１の場合には「８．」に進む。ｓｕ７＝１の場合には「１０．」に進む。
【００６８】
８．第二対象量子ビット及び第一補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測しその観測結果をｓｕ８とする。
【００６９】
９．第二対象量子ビットをＡθ観測しその観測結果をｓｕ９とする。
【００７０】
ｓｕ２ｓｕ３＝−１の場合（すなわち観測結果ｓｕ６の値がある場合）であって、ｓｕ６ｓｕ９＝１の場合には、「８．」に戻る。「８．」に戻った場合には、ｓｕ８，ｓｕ９の値は消去され、新たに「８．」及び「９．」の処理をした際の観測結果がそれぞれｓｕ８，ｓｕ９となる。
【００７１】
ｓｕ２ｓｕ３＝−１の場合（すなわち観測結果ｓｕ６の値がある場合）であって、ｓｕ６ｓｕ９＝−１の場合には、「１０．」に進む。
【００７２】
ｓｕ２ｓｕ３＝１の場合（すなわち観測結果ｓｕ６の値がない場合）であって、ｓｕ４ｓｕ９＝１の場合には、「８．」に戻る。「８．」に戻った場合には、ｓｕ８，ｓｕ９の値は消去され、新たに「８．」及び「９．」の処理をした際の観測結果がそれぞれｓｕ８，ｓｕ９となる。
【００７３】
ｓｕ２ｓｕ３＝１の場合（すなわち観測結果ｓｕ６の値がない場合）であって、ｓｕ４ｓｕ９＝−１の場合には、「１０．」に進む。
【００７４】
このように、「８．」「９．」において、第二対象量子ビット及び第一補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測し、第二対象量子ビットをＡθ観測しその観測結果をｓｕ９とする操作をｓｕ２ｓｕ３＝−１かつｓｕ６ｓｕ９＝−１となるまで、又は、ｓｕ２ｓｕ３＝１かつｓｕ４ｓｕ９＝−１となるまで繰り返す。なお、観測結果ｓｕ８は、繰り返し処理の回数や処理の順序に影響を与えないため、観測結果ｓｕ８を得なくてもよい。
【００７５】
１０．第一補助量子ビットをＡθ観測してその観測結果をｓｕ１０とする。
【００７６】
観測結果の組（ｓｕ１，ｓｕ２，ｓｕ３，ｓｕ４，ｓｕ７，ｓｕ１０）に応じて、第一対象量子ビット及び第二対象量子ビットのそれぞれに、次の表により定まる適切な１量子ビット演算を適用することにより、第一対象量子ビット及び第二補助量子ビットにＵ｜φ＞が出力される。
【００７７】
まず、ｓｕ１，ｓｕ２，ｓｕ３，ｓｕ４に応じて次の表のように場合Ｇ１からＧ８の何れかを定める。
【００７８】
【表５】
0005498405.tif 000011
【００７９】
次に、Ｇ１からＧ８及びｓｕ７に応じて次の表のようにＡからＨを定める。
【００８０】
【表６】
0005498405.tif 000012
【００８１】
次に、ＡからＨ及びｓｕ１０に応じて次の表のように第一演算及び第二演算を定める。
【００８２】
【表７】
0005498405.tif 000013
【００８３】
第一対象量子ビットに第一演算を適用し、第二対象量子ビットに第二演算を適用する。
【００８４】
このように、１種類の１量子ビット観測量Ａθ＝（ｃｏｓθ）Ｘ＋（ｓｉｎθ）Ｙ（ここで、θ＝−π／８）と、１種類の２量子ビット観測量Ｚ（×）Ｘと、２つの補助量子ビットにより、（１）σｚ、（２）σｘ、（３）ＨＴ、（４）Ｕを実行する量子回路することができる。任意のユニタリ演算が、（１）σｚ、（２）σｘ、（３）ＨＴ、（４）Ｕを実行する量子回路に分解できることを考慮すると、１種類の１量子ビット観測量Ａθと、１種類の２量子ビット観測量Ｚ（×）Ｘと、２つの補助量子ビットにより、任意のユニタリ演算を実行する量子回路を近似的に実現することができる。
【００８５】
[補足]
以下、この発明の理解を容易にするために、射影測定について説明する。
【００８６】
観測ベース量子計算モデルでは、初期状態に対し、観測だけを使って、初期状態を所望の状態に遷移させる。観測として考えるのは、射影測定と呼ばれる観測である。初めに射影測定について述べ、次に射影測定を使ったユニタリ演算の適用について説明する。
【００８７】
射影測定は、観測されるシステムの状態空間上のエルミート行列Ｍ(観測量と呼ばれる)により記述される。この観測をＭ観測と呼ぶことにする。Ｍ観測は次のように規定される。まず、Ｍはエルミートであるために、下記のようにスペクトル分解される。
【００８８】
【数６】
0005498405.tif 000014
【００８９】
ただし、ｍはＭの固有値であり、Ｐｍは固有値ｍを持つＭの固有空間への射影オペレータである。システムの状態が｜ψ〉であるときに、Ｍ観測を行うと、観測量の固有値ｍが確率ｐ(ｍ)=〈ψ |Ｐｍ |ψ〉で得られる。観測結果ｍが得られると、観測直後のシステムの状態は、次のようになる。
【００９０】
【数７】
0005498405.tif 000015
【００９１】
例えば、システムの状態空間が１量子ビット空間Ｃ２(2次元の複素ヒルベルト空間)であるとし、この空間上のエルミート行列Ｚを考える。このとき、Ｚは次のようにスペクトル分解される。
【００９２】
Ｚ＝１・｜０〉〈０|＋（−１）｜１〉〈１｜
すなわち、ｍ＝１，−１であり、Ｐ１＝｜０〉〈０|,Ｐ−１=|１〉〈１|である。システムの状態が|ψ〉=α｜０〉＋β|１〉であるとし、Ｚ観測を行うと、観測量の固有値１が確率
【００９３】
【数８】
0005498405.tif 000016
【００９４】
で得られ、観測直後のシステムの状態は、
【００９５】
【数９】
0005498405.tif 000017
【００９６】
となる。グローバル位相α/|α|は無視できるので、観測直後の状態は｜０〉となる。同様に、観測量の固有値−１が確率|β|２で得られ、観測直後のシステムの状態は|１〉となる。上のことから、Ｚ観測は、{｜０〉,|１〉}基底についての観測と呼ばれることもある。
【００９７】
さらに、例えば、Ｘ,Ｙは次のようにスペクトル分解され、これにより定まる射影測定を記述する。
【００９８】
Ｘ＝１・|＋〉〈 ＋| ＋ (−１)・|＋〉〈＋|
Ｙ＝１・|＋ｙ〉〈 ＋ｙ| ＋ (−１)・|−ｙ〉〈−ｙ|
ただし、
【００９９】
【数１０】
0005498405.tif 000018
である。
【０１００】
上では，１量子ビットに対する射影測定について述べたが、複数量子ビットに対する射影測定も同様である。例えば、エルミート行列Ｚ（×）Ｘは2量子ビットに対する射影測定を記述している。実際、Ｚ（×）Ｘは、
【０１０１】
【数１１】
0005498405.tif 000019
【０１０２】
とスペクトル分解され、これにより上と同様に観測が規定される。
【０１０３】
上で述べた射影測定を適切に使うと、入力状態に任意のユニタリ演算を適用できる。例えば、σｚを適用する方法を考える。まず、対象量子ビットに任意の入力状態|φ〉＝α｜０〉＋β|１〉、補助量子ビットに状態|ψ〉＝γ｜０〉＋ δ|１〉が与えられたとする。すなわち、初期状態は|φ〉|ψ〉=(α｜０〉＋β|１〉)(γ｜０〉＋δ|１〉)である。
【０１０４】
上記《σｚ》のステップ１．において、補助量子ビットをＹ観測すると、γ，δに依存する確率ｐ１（γ，δ）で観測結果ｓｚ１＝１が得られ、観測直後のシステムの状態は、（α｜０〉＋β｜１〉）｜＋ｙ〉となる。また、確率ｐ−１（γ，δ）で観測結果ｓｚ１＝−１が得られ、観測直後のシステムの状態は、（α｜０〉＋β｜１〉）｜−ｙ〉となる。ただし、ｐ−１（γ，δ）＋ｐ−１（γ，δ）＝１である。ここでは，観測結果ｓｚ１＝−１が得られたとする。システムの状態は、
【０１０５】
【数１２】
0005498405.tif 000020
となっている。
【０１０６】
上記《σｚ》のステップ２．において、対象量子ビット及び補助量子ビットをＺ（×）Ｘ観測をする。上で述べたＺ（×）Ｘのスペクトル分解を使うと、確率１／２で観測結果１が得られ、観測直後のシステムの状態は、α｜０〉｜＋〉＋βｉ｜１〉｜−〉となる。また、確率１／２で観測結果−１が得られ、観測直後のシステムの状態は、α｜０〉｜−〉−βｉ｜１〉｜＋〉となる。ここでは，観測結果ｓｚ２＝１が得られたとする。システムの状態は、α｜０〉｜＋〉＋βｉ｜１〉｜−〉となっている。
【０１０７】
上記《σｚ》のステップ３．において、補助量子ビットをＹ観測すると、確率１／２で観測結果１が得られ、観測直後のシステムの状態は、（α｜０〉−β｜１〉）｜＋ｙ〉＝σｚ｜φ〉｜＋ｙ〉となる。また、確率１／２で観測結果−１が得られ、観測直後のシステムの状態は、（α｜０〉＋β｜１〉）｜−ｙ〉＝｜φ〉｜−ｙ〉となる。ここでは、ｓｚ３＝１が得られたとする。システムの状態は、σｚ｜φ〉｜＋ｙ〉となっており，対象量子ビットにσｚが適用されたことになる。
【０１０８】
上では、ｓｚ１＝−１，ｓｚ２＝１，ｓｚ３＝１のときを考えたが、実際には、全ての場合（上の例では８通り）を考える必要があり、それをまとめたものが上記《σｚ》の欄の表である。このように、入力量子状態と補助量子状態を用意し、どの量子ビットに対し、どのような観測（観測量を与えることにより規定される）をどの時点で行うかを規定することにより、入力量子状態にユニタリ変換を適用できる。入力量子状態を左に示し、右に出力状態を示し、時間は左から右へ流れるとし、どの量子ビットにどのような観測をどの時点で行うかを表した図を観測ベース量子回路と呼ぶことにする。基本構成要素とは，観測ベース量子回路で使われる観測量のことであり、本発明における基本構成要素はＡθ＝（ｃｏｓθ）Ｘ＋（ｓｉｎθ）Ｙ（ただし、θ＝−π／８）とＺ（×）Ｘである。
【０１０９】
観測ベース量子計算モデルの物理的実現については、例えば、光子を量子ビットとして用いた実験が行われている。これについては、下記の参考文献に詳しい。
【０１１０】
〔参考文献〕徳永裕己，光量子もつれクラスター状態を用いた量子演算の実装実験，光学第37 巻，第12 号，pp. 706-711．
【図１】
0005498405.tif 000043
【図２】
0005498405.tif 000044
【図３】
0005498405.tif 000045
【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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