(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
モーターを制御する運動制御アクチュエーターに対する軌道を生成する方法であって、
２点境界値問題を解くデータを初期化するステップと、
運動制御システムのエネルギー消費を表すコスト関数を、前記モーターの銅損項及び機械的仕事項のみで表すように単純化するステップと、
前記データ及び解析的解法を用いて、前記コスト関数に関連付けられる前記２点境界値問題を解いて、境界条件を受ける制約なしモーター最適制御に対する解析解を得る、解くステップと、
加速度制約が違反された場合には、前記加速度制約に対応する前記解析解の点に前記境界条件を更新し、前記解くステップの開始を反復し、ここで、前記点に前記境界条件を更新する処理は、
前記点の切替時間
【数１】
0005638724.tif 000067
を、
【数２】
0005638724.tif 000068
に従って決定し、ここで、v は解析解の速度、Amax は最大加速度を表す定数、Amin は最小加速度を表す定数である、処理と、
前記点の条件を前記切替時間に従って決定する、処理と
を含む、ステップと、
速度制約が違反された場合には、前記加速度制約を満足する軌道に従って前記境界条件を更新し、前記解くステップの開始を反復し、ここで、前記軌道に従って前記境界条件を更新する処理は、
前記加速度制約を満足する軌道の速度制約飽和時間δiを決定する、処理と、
初期時間 t=0 においてx(0)=0, v(0)=0、最終時間t=tf においてv(tf)=0、として前記境界条件を決定し、ここで、 x は位置、 v は速度、xｆ は最終位置、 tf は最終時間である、処理と
を含む、ステップと、
前記加速度制約及び前記速度制約が満たされた場合には、前記軌道を前記２点境界値問題の前記解に設定するステップと、
を含み、前記ステップはプロセッサにおいて実行される、運動制御アクチュエーターに対する軌道を生成する方法。
【請求項２】
前記初期化は、
前記モーターに関するパラメーターに基づいて１組の行列を予め計算することと、
２点境界値問題の前記境界条件を求めることと、
を更に含む、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記解析解における接線条件を用いて前記加速度制約の前記違反を特定すること、
を更に含む、請求項１に記載の方法。
【請求項４】
前記加速度制約及び前記速度制約付き最小エネルギー問題は、前記制約なし最小エネルギー問題に対する前記解析解、加速度制約付き弧の解析式、減速度制約付き弧の解析式、及び速度制約付き弧の解析式を用いて解かれる、請求項１に記載の方法。
【請求項５】
前記加速度制約付き最小エネルギー問題に関連付けられる多点境界値問題における接合条件は等価接線条件に変換される、請求項１に記載の方法。
【請求項６】
前記加速度制約付き弧から出る切替時間及び前記減速度制約付き弧に入る切替時間は、前記切替時間が最適値に収束することを保証するように更新される、請求項４に記載の方法。
【請求項７】
単一点においてのみ前記違反を調べることによって速度制約の前記違反を特定する、請求項１に記載の方法。
【請求項８】
前記多点境界値問題は、収束する一連の２点境界値問題を解くことによって解かれる、請求項５に記載の方法。
【請求項９】
前記最適解の構造を利用することによって前記２点境界値問題の次元を削減することを更に含み、前記構造は最適制御理論を用いて解析的に得られる、請求項８に記載の方法。
【請求項１０】
前記速度制約を除去することによって、速度制約及び加速度制約の両方を有する前記多点境界値問題を単純化することと、前記加速度制約のみを用いる別の等価な問題を形成することと、を更に含む、請求項９に記載の方法。
【請求項１１】
前記加速度制約付き最小エネルギー問題を反復的に解くことによって前記加速度制約及び前記速度制約付き最小エネルギー問題を解くことと、前記反復結果を用いて、前記加速度制約及び前記速度制約付き最小エネルギー問題に対する解を再生することと、を更に含む、請求項９に記載の方法。
【請求項１２】
ニュートン法と、前記加速度制約付き最小エネルギー問題に対する解法とを組み合わせることであって、前記速度制約付き弧に入る最適切替時間及び該速度制約付き弧から出る最適切替時間を計算することを更に含む、請求項９に記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は包括的には電気モーターを制御することに関し、より詳細には、動態制約、加速度制約及び速度制約を受けるモーター制御アクチュエーターに対する軌道を生成することに関する。
【背景技術】
【０００２】
複数の位置決めに関する応用形態、例えば、一軸位置決め及び多軸位置決めにおいて運動制御システムが用いられる。例えば、簡単な一軸位置決め運動制御システムは一般的にセンサ、コントローラー、増幅器及びアクチュエーターモーターを含む。アクチュエーターは、状態制約及び制御制約を受ける所定の軌道、すなわち、動態制約、加速度制約及び速度制約を受ける所定の軌道に従う。アクチュエーターの軌道は、モーターによって引き起こされる振動を低減するように設計することができる。
【０００３】
２つのモーター制御の事例に関して、図１Ａ〜図１Ｃ及び図２Ａ〜図２Ｃはそれぞれ、位置、速度及び制御入力に関する最適な従来技術の時間プロファイルを示す。第１の事例では、加速度制約が常に働いているのに対して、第２の事例では、速度プロファイルの惰行部分において速度制約が飽和し、速度プロファイルの他の部分において加速度制約が働いている。最小時間に関して制御が最適化されるとき、制御入力は著しい数の大きな移行を含み、エネルギー効率が良くないことが明らかである。
【０００４】
最小時間モーターコントローラーは運動ごとに最速の軌道を生成するが、複雑なプロセスに関して、生産のボトルネックが材料処理のような他の更に低速のプロセスに起因する場合には、最小時間コントローラーは生産性全体を改善する助けにならない場合がある。例えば、工作物が後になるまで操作されない場合には、余分なエネルギーを使って工作物を次の状態に迅速に移動させることに何の利点もない。
【０００５】
そのようなシステムの場合、最小時間コントローラーは不要であるだけでなく、コントローラーのエネルギーが最適でないことから非効率的でさえある。さらに、工場の効率は生産性だけなく、エネルギー消費のような他のコストによっても左右される。最大効率は通常、生産性とエネルギー消費との間の一定のトレードオフによって生み出される。それゆえ、厳密には、最小時間コントローラーは、或る特定の事例において有用ではあっても、一般的には効率を高めることなく、最適なモーター制御に関しては、時間制約を緩和することによってエネルギー消費を最小限に抑えることが考慮されるべきである。
【０００６】
最適制御理論
最適制御は、一定の最適性判定基準が達成されるようなシステムの制御法則を見つけるという問題に取り組む。制御問題は、状態のコスト関数及び制御変数を含む。最適制御は、コスト関数を最小化する制御変数の経路を記述する１組の微分方程式を満たさなければならない。
【０００７】
最適制御理論に関するポントリャーギンの最小原理は、特に状態又は制御入力に関する制約がある場合に、動的システムを或る状態から別の状態に移行させるのに取り得る最良の制御を決定する。最適制御理論は、動態制約、境界条件（ＢＣ：boundary condition）、状態制約、制御制約及び経路制約を含む種々の制約を受ける、時間及びエネルギーのような或る特定のコスト関数を最小化する問題に対する最適解を求める系統的な方法を提供する。それゆえ、高エネルギー効率モーター制御問題は、最適制御問題として対処することができる。
【０００８】
最適制御は、２点境界値問題（ＴＢＶＰ：two-point boundary value problem）、又は最適解が複数のセグメントを含む場合には多点境界値問題（ＭＢＶＰ：multi-point boundary value problem）を解くことによって得ることができる。これは通常、制御制約又は状態制約が働いているときに起こる。最小時間モーター制御問題の場合、最適解は解析的に得ることができる。そのような解析解は、数多くの最小時間モーターコントローラーの基礎を形成する。
【０００９】
しかしながら、省エネルギー最適制御問題の場合、対応するＴＢＶＰ及びＭＢＶＰは解くのが難しく、解析解は容易に得ることはできない。単一狙い撃ち法（ＳＳＭ：single shooting method）及び複数狙い撃ち法（ＭＳＭ：multiple shooting methodＭＳＭ）を含む、ＴＢＶＰ及びＭＢＶＰを解く既存の間接的方法は、リアルタイムの運動制御に適用するには計算が複雑である。加えて、この問題の収束は一般的には保証されず、それらの方法における或る特定の主要パラメーターを最初に推測することに頼る。それゆえ、計算が複雑であるという問題、及び信頼性の問題に起因して、ＴＢＶＰ及びＭＢＶＰを解く既存の方法は、モーター制御に関する応用形態において、リアルタイムの高エネルギー効率軌道生成に対して適用するのは難しい。
【００１０】
直接転写法（direct transcription method）（直接的方法）は、最適制御問題を解く代替の方法を提供する。狙い撃ち法と同じように、直接的方法の収束も保証されない。擬似スペクトル法及び格子細分化（mesh refinement）法を含む、現在の直接的方法の総合評価は、直接的方法がリアルタイムのモーター制御を提供できないことを示している。
【００１１】
したがって、既知の方法は、リアルタイムの省エネルギーモーター制御に適用するには、計算効率及び信頼性に関して不十分である。これらの困難に起因して、モーター制御に対する高エネルギー効率基準軌道を生成する方法が必要とされている。そのような方法は、リアルタイムのモーター制御に適用できるほど計算効率が良く、かつ信頼性がなければならない。また、そのよう方法は、種々の応用形態の場合に実行時間と省エネルギーとの間のトレードオフを調整する能力を提供することも望ましい。
【発明の概要】
【００１２】
本発明の実施形態は、動態制約、加速度制約及び速度制約を受けるモーター制御アクチュエーターに対する軌道を生成する方法を提供する。その方法は、モーターの抵抗損及び機械的仕事に起因するモーター運動制御システムのエネルギー消費を考慮する。モーター運動制御軌道生成問題は、動態制約、加速度制約及び速度制約を含む、種々の制約を伴う最適制御問題として定式化される。
【００１３】
本発明は、反復プロセスを用いて、モーター制御の制約なし事例の解析解を用いて、制約付き事例の最適解を探索する。最適制御の用語を用いるとき、そのような手法は、終了条件に達するまで２点境界値問題（ＴＢＶＰ）を反復的に解くことによって、多点境界値問題（ＭＢＶＰ）を解くことに対応する。例えば、終了条件は、速度及び加速度のような、その解に関する全ての制約が満たされることである。解析解の評価は計算効率が高いので、ＭＢＶＰ問題は迅速に解くことができる。その反復プロセスが、最適解に収束するのを保証されるのを確実にするために、特殊な方法が提供される。
【図面の簡単な説明】
【００１４】
【図１Ａ】速度が飽和しない事例に関する、従来技術の時間最適モーター制御の位置プロファイルのグラフである。
【図１Ｂ】速度が飽和しない事例に関する、従来技術の時間最適モーター制御の速度プロファイルのグラフである。
【図１Ｃ】速度が飽和しない事例に関する、従来技術の時間最適モーター制御の制御入力プロファイルのグラフである。
【図２Ａ】速度が飽和する事例に関する、従来技術の時間最適モーター制御の位置プロファイルのグラフである。
【図２Ｂ】速度が飽和する事例に関する、従来技術の時間最適モーター制御の速度プロファイルのグラフである。
【図２Ｃ】速度が飽和する事例に関する、従来技術の時間最適モーター制御の制御入力プロファイルのグラフである。
【図３】本発明の実施形態による、加速度制約及び速度制約を受けるモーター制御アクチュエーターの軌道を生成する方法の流れ図である。
【図４】本発明の実施形態による、加速度制約が飽和するときの速度プロファイルのグラフである。
【図５】本発明の実施形態による、加速度制約に対する切替時間推定の２つの後続の更新のグラフである。
【図６】本発明の実施形態による、加速度制約を受けるモーター制御アクチュエーターの軌道を生成する方法の流れ図である。
【図７】本発明の実施形態による、速度制約及び加速度制約が働いているときのエネルギー最適速度プロファイルの切替時間のグラフである。
【図８】本発明の実施形態による、速度制約を受けるモーター制御アクチュエーターの軌道を生成する方法の流れ図である。
【図９】本発明の実施形態による、最適速度解において速度制約が働いているときの２つの異なる最適制御問題間の部分等価性のグラフである。
【図１０Ａ】本発明の実施形態による、加速度制約も速度制約も働いていない場合の高エネルギー効率モーター制御の位置プロファイルのグラフである。
【図１０Ｂ】本発明の実施形態による、加速度制約も速度制約も働いていない場合の高エネルギー効率モーター制御の速度プロファイルのグラフである。
【図１０Ｃ】本発明の実施形態による、加速度制約も速度制約も働いていない場合の高エネルギー効率モーター制御の制御入力プロファイルのグラフである。
【図１１Ａ】本発明の実施形態による、加速度制約は働いているが、速度制約が働いていない場合の高エネルギー効率モーター制御の位置プロファイルのグラフである。
【図１１Ｂ】本発明の実施形態による、加速度制約は働いているが、速度制約が働いていない場合の高エネルギー効率モーター制御の速度プロファイルのグラフである。
【図１１Ｃ】本発明の実施形態による、加速度制約は働いているが、速度制約が働いていない場合の高エネルギー効率モーター制御の制御入力プロファイルのグラフである。
【図１２Ａ】本発明の実施形態による、加速度制約及び速度制約が働いている場合の高エネルギー効率モーター制御の位置プロファイルのグラフである。
【図１２Ｂ】本発明の実施形態による、加速度制約及び速度制約が働いている場合の高エネルギー効率モーター制御の速度プロファイルのグラフである。
【図１２Ｃ】本発明の実施形態による、加速度制約及び速度制約が働いている場合の高エネルギー効率モーター制御の制御入力プロファイルのグラフである。
【発明を実施するための形態】
【００１５】
図３は、本発明の実施形態による、動態制約、加速度制約及び速度制約を受けるモーター制御アクチュエーターの軌道を生成する方法を示す。
【００１６】
その方法は、当該技術分野において既知であるようなメモリ及び入力／出力インターフェースに接続されるプロセッサ３００おいて実行することができる。その方法は、モーターの抵抗損及び機械的仕事に起因するモーター運動制御システムのエネルギー消費を考慮する。そのモーター例は回転モーターであるが、本発明とともにリニアモーターのような他のモーターを用いることもできる。
【００１７】
ステップ３１０は、モーターモデル及び位置決めタスクに関するパラメーターを含む、２点境界値問題（ＴＢＶＰ）を解く全てのデータを初期化する。データは方法３１０に入力される。
【００１８】
ステップ３２０は、以下に更に詳細に記述されるように、境界条件を受ける制約なしモーター最適制御に関するデータ及び解析的解法を用いてＴＢＶＰを解く。
【００１９】
ステップ３３０は加速度制約の任意の違反を特定し、違反がある場合には、ステップ３７０は境界条件を更新し、ステップ３２０における開始を繰り返す。
【００２０】
ステップ３４０は速度制約の任意の違反を特定し、違反がある場合には、ステップ３６０は境界条件を更新し、ステップ３２０における開始を繰り返す。
【００２１】
そうでない場合には、ステップ３５０は、加速度制約及び速度制約が満たされる場合には、モーター３８０のアクチュエーター３９０の軌道をＴＢＶＰの解に設定する。
【００２２】
最適制御定式化を用いる高エネルギー効率モーター制御問題
負荷及びモーターの集中慣性はＩであり、モーターのトルク定数制約がＫｔである。ここで、
【数１】
0005638724.tif 000002
及びｂ＝ｋｔ／Ｉを定義する。ただし、
【数２】
0005638724.tif 000003
は粘性摩擦係数であり、
【数３】
0005638724.tif 000004
はクーロン摩擦である。モーターの角度位置はｘであり、角速度ｖはｘの時間導関数である。モーターへの入力電流はｕである。モーター動態は以下のようになる。
【００２３】
【数４】
0005638724.tif 000005
【００２４】
モーターに関する運動は速度制約及び加速度制約を満たし、それらの制約は以下の通りである。
【００２５】
【数５】
0005638724.tif 000006
【００２６】
ただし、ｖｍａｘは最大許容速度であり、Ａｍｉｎ及びＡｍａｘは以下の条件によるシステム加速度に関する限界である。
【００２７】
【数６】
0005638724.tif 000007
【００２８】
モーターのエネルギー消費は、銅損（モーター巻線内の電流によって生成される熱）、鉄損（モーターの固定子鉄心に磁界がかけられるときに散逸する磁気エネルギー）及び機械的仕事（モーター内の摩擦）のような数多くの要因によって影響を及ぼされる。これらの要因を考慮に入れたモーターの瞬時電力は以下の通りである。
【００２９】
【数７】
0005638724.tif 000008
【００３０】
ただし、Ｒはモーターの抵抗であり、Ｋｈはヒステリシス損であり、γはヒステリシス損に対する定数であり、Ｋｓは切替損に関連する定数であり、Ｋｔはトルク比である。Ｐが負である場合には、モーターは機械的仕事を制動によって電気に変換する発電機になる。その電気は散逸する。それゆえ、期間［ｏ，ｔｆ］中のモーターの全エネルギー消費は以下のようになる。
【００３１】
【数８】
0005638724.tif 000009
【００３２】
ただし、Ｑ（ｖ（ｔ），ｕ（ｔ））は以下の式によって与えられる電力関数である。
【００３３】
【数９】
0005638724.tif 000010
【００３４】
最小エネルギーモーター制御は、以下の最適制御問題に対する解によって与えられる。
問題１．最小エネルギーモーター制御
【００３５】
【数１０】
0005638724.tif 000011
【００３６】
ｘ（０）及びｖ（０）が必ずしも０でないような異なる事例では、ＢＣは異なることができる。しかしながら、表記を簡単にするために、ｘ（０）及びｖ（０）は０と設定される。一般性を失うことなく、モーターの正の回転方向は任意に割り当てることができるので、ｘｆ＞０と仮定される。
【００３７】
コスト関数単純化
問題１のような最適制御問題は、適切な単純化されたコスト関数を用いて、より迅速に解くことができる。コスト関数単純化の方法が以下に記述される。
【００３８】
式（５）の電力関数を伴う問題１は、最初に、密度関数に基づく格子細分化プロセスを用いる数値最適化によって解かれる。実行時間（又は最終時間）ｔｆ及び最終位置ｘｆが異なる全部で６４事例が解かれた。（５）における種々の項の寄与が解析される。
【００３９】
具体的には、以下の量
【数１１】
0005638724.tif 000012
が全てのテスト事例の場合に求められ、比較される。その結果は、位置推移の平均速度、すなわち、ｘｆ／ｔｆが小さいとき、銅損項ｒｕ２が他の項を支配することを示す。ｘｆ／ｔｆが大きいとき、機械的仕事項Ｋｔｖｕが他の項を支配する。これは、モーターの銅損及び機械的仕事を含む単純化されたコスト関数が、式（５）によって決定される電力を有する元のコスト関数の良好な近似であることを示す。
【００４０】
単純化されたコスト関数を用いて結果の最適性を評価するのに、以下の電力関数を用いて数値最適化によって最適な軌道を特定する。
【００４１】
【数１２】
0005638724.tif 000013
【００４２】
最適化に対して単純化された電力関数が用いられるとき、最適性の損失を比較するのに、基準コスト
【数１３】
0005638724.tif 000014
が用いられる。この基準コストは、全６４事例の場合の数値最適化手法を用いて、実際の電力関数Ｑ（ｖ，ｕ）を伴う問題１を解くことによって得られる。精度を高めるように、適応格子法が適用される。各電力関数ＱＡ〜ＱＦを用いて、問題１が、同じく全６４事例の場合の数値最適化によって解かれる。
【００４３】
第ｉの事例の場合の相対コスト誤差は
【数１４】
0005638724.tif 000015
によって推定され、コスト関数ごとに、全６４事例の場合の相対コスト誤差のベクトル
【数１５】
0005638724.tif 000016
、計算時間Ｔｃｐｕ及び最終位置誤差ｅｆが、平均指標を与えるＬ１ノルム、及び最悪事例を記述するＬ∞ノルムを用いて評価される。
【００４４】
【表１】
0005638724.tif 000017
【００４５】
表１に記載される数値最適化結果によれば、直接転写を用いる数値最適化手法は、その問題を解くのに１．６秒〜５．６秒かかり、リアルタイムモーター制御に適用するには時間がかかりすぎる。
【００４６】
それゆえ、問題１を解析的に解くのに用いられる電力関数の方が適用するのに適している。そのような電力関数はＱＤ及びＱＥを含む。電力関数ＱＤは真のコスト関数と比べて容認できる最適性を与え、解析的に解くことができるので、以下のように、エネルギー消費コスト関数を求めるのに用いられる。
【００４７】
【数１６】
0005638724.tif 000018
【００４８】
制約なし事例の場合のＴＢＶＰに対する解析解
このセッションでは、速度制約及び加速度制御を受けない場合の単純化されたコスト関数（７）を用いて問題１に対する解析解を与える。この事例の最適解は、以下の問題によって与えられる。
【００４９】
問題２．単純化されたコスト関数を用いる制約なし最小エネルギーモーター制御
エネルギーを最小化する問題の記述を以下のように定式化することができる。
【００５０】
【数１７】
0005638724.tif 000019
【００５１】
問題２は二次コストを有する線形システム最適制御問題であり、それゆえ、解析的に解くことができる。問題２に対するハミルトニアンは、以下の式によって与えられる。
【００５２】
【数１８】
0005638724.tif 000020
【００５３】
ただし、λｘ及びλｖはそれぞれｘ及びｖの動態に対する共状態である。最適制御理論によれば、共状態の動態は以下の通りである。
【００５４】
【数１９】
0005638724.tif 000021
【００５５】
式（８）によればλｘは定数であることに留意されたい。最適制御ｕ＊は一次最適性条件∂Ｈ／∂ｕ＝０から求められ、その条件は以下の式をもたらす。
【００５６】
【数２０】
0005638724.tif 000022
【００５７】
式（１０）における最適制御の式を式（８）及び式（９）に変換するために、以下の２点境界値問題（ＴＢＶＰ）が用いられる。
【００５８】
制約なしモーター制御の場合の２点境界値問題（ＴＢＶＰ）
ＴＢＶＰは以下のように定式化することができる。
【００５９】
【数２１】
0005638724.tif 000023
【００６０】
ただし、λｘは未知のパラメーターであり、境界条件は以下の通りである。
【００６１】
【数２２】
0005638724.tif 000024
【００６２】
ここで、
【数２３】
0005638724.tif 000025
が成り立つものとし、
【数２４】
0005638724.tif 000026
を定義する。
【００６３】
その際、ＴＰＢＶの微分方程式は以下のように、更にコンパクトに書くことができる。
【００６４】
【数２５】
0005638724.tif 000027
【００６５】
線形システム（１１）に対する解は以下の式によって与えられる。
【００６６】
【数２６】
0005638724.tif 000028
【００６７】
ただし、
【数２７】
0005638724.tif 000029
であり、
【数２８】
0005638724.tif 000030
は以下の式によって与えられる。
【００６８】
【数２９】
0005638724.tif 000031
【００６９】
ＴＢＶＰのＢＣはｔ＝ｔｆの場合に式（１２）を満たす。
【００７０】
【数３０】
0005638724.tif 000032
【００７１】
そこから未知数
【数３１】
0005638724.tif 000033
を求めることができる。これらの未知数を求めた後に、式（１２）から最適状態及び共状態履歴を求めることができ、最適制御は式（１０）によって与えられる。
【００７２】
加速度制約が働いている場合にＭＢＶＰを解く方法
次に、加速度制約を受ける問題２に対する最適解を求める方法を記述する。
【００７３】
問題３．単純化されたコスト関数を伴う加速度制約付き最小エネルギーモーター制御
【００７４】
【数３２】
0005638724.tif 000034
【００７５】
上記の記述において、項Ａｍｉｎ≦−ｄｖ−ｃ＋ｂｕ≦Ａｍａｘは加速度制約３２０である。
【００７６】
ＴＢＶＰに対する解析結果は、問題２に対する制御解が、モーターを加速するように最初に正であり、その後、減速するように負になることを示す。
【数３３】
0005638724.tif 000035
はｔ＝０及びｔ＝ｔｆ付近で大きくなる。所与の最終位置ｘｆの場合に、最終時間ｔｆが十分に大きいとき、加速度制約は働かない。ｔｆが減少するにつれて、より短い時間内にモーターが同じ距離だけ移動するように、開始時により速く加速し、終了時により速く減速する必要がある。ｔｆが十分に小さいとき、ｔ＝о及びｔ＝ｔｆ付近において加速度制約が働くことができる。
【００７７】
加速度制約が働くとき、最適解は３段階構造：最大加速、制約なし最適解（解析解）及び最小減速を示す。第１段階及び第３段階では、以下の式によってモーターの位置及び速度が明示的に求められる。
【００７８】
【数３４】
0005638724.tif 000036
【００７９】
第２段階では、加速度制約は働いていないので、この段階中の最適解は、ＢＣを伴う問題２に対する解析解によって与えられる。
【００８０】
【数３５】
0005638724.tif 000037
【００８１】
ただし、ｔ１＊及びｔ２＊はそれぞれ、加速度制約付き弧
【数３６】
0005638724.tif 000038
から制約なし弧への最適切替時間、及び制約なし弧から減速制約付き弧
【数３７】
0005638724.tif 000039
への最適切替時間であり、ｘｍ及びｖｍは第２段階の場合の最適位置及び最適速度解である。
【００８２】
図４は、解析解への接線条件４０１を伴う最適速度解を示す。
【００８３】
問題２に対する最適制御ｕ＊は最適制御理論によれば連続的である。これは更に、最適速度の導関数が連続的であることを意味する。それゆえ、最適切替時間
【数３８】
0005638724.tif 000040
における接合条件は２つの接線条件によって記述される。
【００８４】
【数３９】
0005638724.tif 000041
【００８５】
それゆえ、加速度制約付きエネルギー最適モーター制御問題に対する解は、ＭＢＶＰを形成する以下の連立方程式から求められる。
【００８６】
【数４０】
0005638724.tif 000042
【００８７】
単純化するために最適解の第１段階及び第３段階の場合の解析式が上記のＭＢＶＰにおいて適用されており、それゆえ、これらの段階に対するＢＣが自動的に満たされる。全部で９個の方程式及び９個の未知数
【数４１】
0005638724.tif 000043
があり、それゆえ、そのＭＢＶＰは解くことができる。しかしながら、システム全体は非線形であり、ＭＢＶＰに対する解析解を見つけることはできない。加えて、現在の数値法がこの問題を解くことができるという保証はない。また、そのような連立方程式を解くのは時間もかかる。
【００８８】
最適モーター制御のリアルタイム用途に対して速度及び信頼性は極めて重要であるので、問題３を解く方法を記述する。最適切替時間ｔ１＊及びｔ２＊は、制約なし最小エネルギー制御問題の場合の最適速度プロファイルｖｋを特定することによって求められる。
【００８９】
図５は、ｔ１＊及びｔ２＊の近似である時間
【数４２】
0005638724.tif 000044
における更新、及び制約なし最適速度プロファイルｖｋ５０１を示す。
【００９０】
図６は以下の表において詳述される方法ステップを示す。
【００９１】
この方法が図６の流れ図によって与えられる。詳述される説明は表２において見つけることができ、パラメーターが表３に示される。
【００９２】
図６のステップは、以下の表２において詳述される。
【００９３】
詳述されるステップ
６１０  ｅｋ＝１を設定することによって、問題３に対する解法を初期化する。ただし、０＜ε≪１は最終的な解の精度を決定する許容範囲パラメーターである。ｋ＝１とし、解法内の全反復数を制限するｋｍａｘを選択する。加速度制約に対する切替時間
【数４３】
0005638724.tif 000045
を選択する。
６２０  中止判定基準が満たされたか否かを判断する。ｅｋ＜εである場合には、
【数４４】
0005638724.tif 000046
とし、ステップＳ６に進む。そうでない場合には、ステップＳ３に進む。
６３０  初期時間ｔ＝０において
【数４５】
0005638724.tif 000047
及び最終時間
【数４６】
0005638724.tif 000048
において
【数４７】
0005638724.tif 000049
を用いて解析的解法に対するＢＣを設定する。
６４０  Ｓ３において設定された、指定されたＢＣを用いてＴＢＶＰを解く。具体的には、未知のパラメーター
【数４８】
0005638724.tif 000050
及びλｘについて式（１３）を解く。（１３）の行列は問題データを用いて求められる。
６５０  以下の式を
【数４９】
0005638724.tif 000051
について解くことによって切替時間を更新する。
【００９４】
【数５０】
0005638724.tif 000052
【００９５】
これらの式は、切替時間に関して更新された限界を用いて、標準的なニュートンの方法を用いて解かれる。その誤差を
【数５１】
0005638724.tif 000053
として求める。
６６０  最適解を以下のように求める。
【００９６】
【数５２】
0005638724.tif 000054
【００９７】
ただし、（ｘ，ｖ，ｕ）は式（１２）によって与えられるようなＴＢＶＰに対する最適解である。
【００９８】
【表２】
0005638724.tif 000055
【００９９】
上記の方法は、加速度制約付きエネルギー最適モーター制御問題に対する最適解を生成することを保証される。
【０１００】
速度制約が働いている場合にＭＢＶＰを解く方法
次に、速度制約が働いているときにエネルギー最適モーター制御問題を解く方法を記述する。図７は、加速度制約を受けた最適軌道内の種々のタイプの弧を示す。具体的には、７１０は加速度制約付き弧であり、７２０は制約なし弧であり、７３０は速度制約付き弧であり、７４０は減速度制約付き弧である。
【０１０１】
図７に示されるように、最適解において速度制約が働いているときに、最適速度プロファイルは、ｔ３＊及びｔ４＊を含む２つの切替時間を含む。ｔ３＊では、最適速度プロファイルは、制約なし弧からｖ＝ｖｍａｘに切り替わり、一方、ｔ４＊では、最適速度プロファイルは、ｖ＝ｖｍａｘから制約なし弧に戻る。
【０１０２】
加速度制約付き事例と同様に、速度制約付き事例を解く最適制御手法も結果としてＭＢＶＰになるが、加速度制約付き事例のＭＢＶＰよりも解くのが更に複雑であり、難しい。それゆえ、速度制約付きエネルギー最適モーター制御問題を解く方法を提供する。
【０１０３】
（ｘ＊，ｖ＊，ｕ＊）を最終位置ｘｆ及び最終時間ｔｆの場合の問題１に対する最適解であるとする。ｔ∈［ｔ３＊，ｔ４＊］である場合に限ってｖ≦ｖｍａｘであるように、区間［ｔ３＊，ｔ４＊］において状態制約ｖ≦ｖｍａｘが働いていると仮定する。ただし、ｔ３＊及びｔ４＊は、状態制約に入る最適切替時間及び状態制約から出る最適切替時間である。Δｔ＊＝ｔ４＊−ｔ３＊とし、
【数５３】
0005638724.tif 000056
を最終位置ｘｆ−Δｔ＊ｖｍａｘ及び最終時間ｔｆ−Δｔ＊の場合の問題３に対する最適解であるとする。その際、（ｘ＊，ｖ＊，ｕ＊）及び
【数５４】
0005638724.tif 000057
は以下の式によって関連付けられる。
【０１０４】
【数５５】
0005638724.tif 000058
【０１０５】
それゆえ、Δｔ＊が求められる場合には、
【数５６】
0005638724.tif 000059
を解くことができ、そこから式（１４）〜式（１６）を用いて（ｘ＊，ｖ＊，ｕ＊）を求めることができる。
【０１０６】
値Δｔ＊は
【数５７】
0005638724.tif 000060
という条件から、又は同じく、
【数５８】
0005638724.tif 000061
という条件から決定される。
【０１０７】
図８は問題１に対する最適解のステップを示す。２つの最適速度プロファイルｖ＊と
【数５９】
0005638724.tif 000062
との間の部分等価性が図９に示される。
【０１０８】
図８のステップが以下に詳述される。
【０１０９】
詳述されるステップ
８００  ηｉ＝１を設定することによって解法を初期化する。ただし、ただし、０＜ε≪１は最終的な解の精度を決定する許容範囲パラメーターである。ｉ＝１及びδｉ＝０とする。
８０５  初期時間０、最終時間τｆ＝ｔｆ−δｉ及びＢＣ  ｘ０＝０、ｖ０＝０、ｘ（τｆ）＝ｘｆ−δｉｖｍａｘ、ｖ（τｆ）＝０の場合に問題３を解く。
８１０  標準的なニュートンの方法を用いてｔｓ∈［ｔ１＊，ｔ２＊］の場合に式
【数６０】
0005638724.tif 000063
を解く。その際、以下の式が成り立つ。
【０１１０】
【数６１】
0005638724.tif 000064
【０１１１】
８１５  ηｉ≦０である場合には、速度制約は違反されず、最適解が見つけられ、ステップＳ６に進む。そうでない場合には、速度制約が違反され、その後、ｉ＝ｉ＋１として、ステップＳ１１に進む。
８２０  ｉ＝２である場合には、速度制約飽和時間のδｉ∈（０，ｔｆ）を推測する。合理的推測は以下のようになる。
【０１１２】
【数６２】
0005638724.tif 000065
【０１１３】
そうでない場合には、
【数６３】
0005638724.tif 000066
のようにニュートン法を用いてδｉを更新する。
８２５  初期時間ｔ＝０においてＢＣ  ｘ（０）＝０、ｖ（０）＝０を設定し、最終時間τｆ＝ｔｆ−δｉにおいてｘ（τｆ）＝ｘｆ−δｉｖｍａｘ、ｖ（τｆ）＝０を設定する。
８３０  Ｓ１２において規定されたＢＣの場合に問題３を解く。
８３５  ｜ηｉ｜＜εである場合には、規定された許容範囲が満たされ、Ｓ１５に進む。そうでない場合には、ｉ＝ｉ＋１とし、ステップＳ１１に進む。
８４０  Δｔ＊＝δｉの場合に最適解内の速度飽和時間を規定する。問題３の場合の対応するＢＣは、初期時間ｔ＝０においてｘ（０）＝０、ｖ（０）＝０になり、最終時間ｔ＝τｆ＝ｔｆ−Δｔ＊においてｘ（τｆ）＝ｘｆ−Δｔ＊ｖｍａｘ、ｖ（τｆ）＝０になる。
８４５  式（１４）、式（１５）及び式（１６）によって記述されるように問題３の最適解から、単純化されたコスト関数を伴う問題１の軌道を再生する。
【０１１４】
最適解
開示される方法によって与えられる３つの代表的な事例の場合の最適解が図１０Ａ〜図１０Ｃ、図１１Ａ〜図１１Ｃ及び図１２Ａ〜図１２Ｃに示される。本発明の方法は、開示される方法によって見いだされた最適解が任意の制約に違反しないように、加速度制約及び速度制約に完全に対処することが明らかである。
【０１１５】
本発明を用いるとき、テスト事例ごとに最適解を見つけるのにかかるのは４０ｍｓ未満である。平均計算時間は７．２ｍｓであり、これはリアルタイム省エネルギーモーター制御に適用するのに十分に高速である。
【図１Ａ】
0005638724.tif 000069
【図１Ｂ】
0005638724.tif 000070
【図１Ｃ】
0005638724.tif 000071
【図２Ａ】
0005638724.tif 000072
【図２Ｂ】
0005638724.tif 000073
【図２Ｃ】
0005638724.tif 000074
【図３】
0005638724.tif 000075
【図４】
0005638724.tif 000076
【図５】
0005638724.tif 000077
【図６】
0005638724.tif 000078
【図７】
0005638724.tif 000079
【図８】
0005638724.tif 000080
【図９】
0005638724.tif 000081
【図１０Ａ】
0005638724.tif 000082
【図１０Ｂ】
0005638724.tif 000083
【図１０Ｃ】
0005638724.tif 000084
【図１１Ａ】
0005638724.tif 000085
【図１１Ｂ】
0005638724.tif 000086
【図１１Ｃ】
0005638724.tif 000087
【図１２Ａ】
0005638724.tif 000088
【図１２Ｂ】
0005638724.tif 000089
【図１２Ｃ】
0005638724.tif 000090