(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
距離測定方法であって、
半波長Λ1＞・・・＞ΛN＞０を有するＮ≧２個の周期的電磁信号（７）を異なる時点に送信し、
受信した信号を等時間間隔の複数のサンプリング時点においてサンプリングして、サンプリング値を形成し、前記サンプリング値を記憶し、受信した信号はＫ個のターゲット（２ａ、２ｂ、２ｃ）によって反射され重ね合わされた信号成分を有しており、前記サンプリングは信号周期ごとにＭ≧２回行われ、
専ら位相測定原理に従って、前記Ｋ個のターゲットまでの距離
【数１】
0005478881.tif 000380
を前記サンプリング値から同時に求める、距離測定方法において、
前記距離を求める際に、
・前記ターゲットの個数Ｋ≧２が既知の場合には、前記ターゲットの個数Ｋを予め設定し、
・前記ターゲットの個数が未知の場合には、前記ターゲットの個数Ｋを前記サンプリング値から求め、
１≦ｋ≦Ｋに対して不等式Ｄ-≦Ｄk≦Ｄ+が成り立つように、数学的信号モデルに基づいた統計的パラメータ推定問題を解き、ここで前記所定の距離
【数２】
0005478881.tif 000381
及び
【数３】
0005478881.tif 000382
はＤ-＜Ｄ+で距離測定装置の測定範囲を定める、
ことを特徴とする距離測定方法。
【請求項２】
各前記周期的信号（７）は少なくとも
【数４】
0005478881.tif 000383
個の最も低い周波数の非ゼロ高調波成分を含んでおり、
同時に求められるターゲット距離の上限
【数５】
0005478881.tif 000384
、前記個数Ｌ及び前記等時間間隔の信号サンプリングの回数
【数６】
0005478881.tif 000385
は、不等式
【数７】
0005478881.tif 000386
を満たすように選択される
ことを特徴とする請求項１に記載の距離測定方法。
【請求項３】
前記信号モデルは、前記サンプリング値からの距離信号データ
【数８】
0005478881.tif 000387
を、Ｍ・Ｎ本の方程式
【数９】
0005478881.tif 000388
に従って、未知のターゲット距離と結び付け、ここで、前記Ｍ・Ｎ本の方程式は行列方程式
【数１０】
0005478881.tif 000389
にまとめることができ、ここで
【数１１】
0005478881.tif 000390
であり、
【数１２】
0005478881.tif 000391
はＭ個の成分１を有するベクトルを表しており、
前記距離信号データ
【数１３】
0005478881.tif 000392
の直流成分
【数１４】
0005478881.tif 000393
はベクトル
【数１５】
0005478881.tif 000394
にまとめられており、
上付き添字Tは該上付き添字の付いたベクトル又は行列の転置を表しており、
【数１６】
0005478881.tif 000395
は行列
【数１７】
0005478881.tif 000396
の第ｋ行ベクトルを表しており、成分
【数１８】
0005478881.tif 000397
はｋ番目のターゲットによって反射されたｋ番目の信号のターゲット振幅と呼ばれる成分を表しており、
記号
【数１９】
0005478881.tif 000398
は当該記号の左側の行列と右側の行列のアダマール乗法又は成分ごとの乗法を表しており、
【数２０】
0005478881.tif 000399
は点
【数２１】
0005478881.tif 000400
において評価された信号形状の行列を表しており、ｎ番目の信号形状Σnは２回連続微分可能な周期１の周期関数
【数２２】
0005478881.tif 000401
としてモデル化され、
ベクトル
【数２３】
0005478881.tif 000402
は半波長
【数２４】
0005478881.tif 000403
の倍数単位で測定されたターゲット距離ｄ1,...,ｄkを含んでおり、
ベクトル
【数２５】
0005478881.tif 000404
は半波長
【数２６】
0005478881.tif 000405
の倍数単位で測定された信号の半波長の逆数１＝λ1＜・・・＜λNを含んでおり、
前記測定信号の位相位置ｙnはベクトル
【数２７】
0005478881.tif 000406
にまとめられており、
ベクトル
【数２８】
0005478881.tif 000407
は等時間間隔の複数のサンプリング時点を含んでおり、
【数２９】
0005478881.tif 000408
は平均値を持たない確率変数
【数３０】
0005478881.tif 000409
としてモデル化された、前記距離信号データ
【数３１】
0005478881.tif 000410
のノイズ成分の行列を表している
ことを特徴とする請求項１又は２に記載の距離測定方法。
【請求項４】
前記ターゲット振幅
【数３２】
0005478881.tif 000411
は、条件Ｒａｎｇ(Ａ)＝１、又は
【数３３】
0005478881.tif 000412
の一方を満足し、
ここで、Ｒａｎｇ(Ａ)は行列Ａの階数を表しており、
【数３４】
0005478881.tif 000413
は行列Ａの第ｌ列ベクトルを表している
ことを特徴とする請求項３に記載の距離測定方法。
【請求項５】
前記Ｎ個の周期的信号（７）の少なくとも一つは、
・較正のために、装置内部の基準区間を２回通過させられ、
・距離Ｄ1,...,Ｄk及びｄ1,...,ｄkをそれぞれ決定するために、信号周期ごとに等時間間隔でＭ回サンプリングされる
ことを特徴とする請求項１ないし４のいずれか１に記載の距離測定方法。
【請求項６】
前記信号モデルは、行列方程式
【数３５】
0005478881.tif 000414
によって、異なる時点において実行される２つの測定のサンプリング値から、較正前信号データ
【数３６】
0005478881.tif 000415
及び較正後信号データ
【数３７】
0005478881.tif 000416
を記述し、ここで
下付き添字−は較正前信号データを表しており、下付き添字＋は較正後信号データを表しており、
較正信号データ
【数３８】
0005478881.tif 000417
は行列
【数３９】
0005478881.tif 000418
にまとめられており、
前記較正信号データの直流成分
【数４０】
0005478881.tif 000419
はベクトル
【数４１】
0005478881.tif 000420
にまとめられており、
【数４２】
0005478881.tif 000421
は、前記装置内部の基準区間により定義された距離
【数４３】
0005478881.tif 000422
を半波長
【数４４】
0005478881.tif 000423
の倍数で表したものであり、
ベクトル
【数４５】
0005478881.tif 000424
は、受信機の位相ドリフト挙動の観察可能な成分を表しており、
ベクトル
【数４６】
0005478881.tif 000425
は、受信機の位相ドリフト挙動の観察不可能な成分を表しており、
【数４７】
0005478881.tif 000426
は、平均値を持たない確率変数
【数４８】
0005478881.tif 000427
としてモデル化された、較正信号データ
【数４９】
0005478881.tif 000428
のノイズ成分の行列を表している
ことを特徴とする請求項５に記載の距離測定方法。
【請求項７】
前記信号モデルは、確率行列
【数５０】
0005478881.tif 000429
の共分散行列
【数５１】
0005478881.tif 000430
を正定値対称な巡回行列としてモデル化し、
【数５２】
0005478881.tif 000431
に従ってパラメータ化し、ここで
【数５３】
0005478881.tif 000432
は
【数５４】
0005478881.tif 000433
における離散フーリエ変換、すなわち、
【数５５】
0005478881.tif 000434
を成分とする行列を表している
ことを特徴とする請求項３又は４と５又は６に記載の距離測定方法。
【請求項８】
以下の式、
【数５６】
0005478881.tif 000435
【数５７】
0005478881.tif 000436
【数５８】
0005478881.tif 000437
ここで、成分は
【数５９】
0005478881.tif 000438
【数６０】
0005478881.tif 000439
【数６１】
0005478881.tif 000440
【数６２】
0005478881.tif 000441
【数６３】
0005478881.tif 000442
によって変数を導入し、ここで記号÷は、÷の左側の行列を÷の右側の同次元の行列によって成分ごとに除することを表しており、
未知のターゲット距離
【数６４】
0005478881.tif 000443
と、未知のドリフトパラメータ
【数６５】
0005478881.tif 000444
と、未知のターゲット振幅
【数６６】
0005478881.tif 000445
とに関する推定値
【数６７】
0005478881.tif 000446
を、
【数６８】
0005478881.tif 000447
によって定義される関数
【数６９】
0005478881.tif 000448
の、集合
【数７０】
0005478881.tif 000449
内における最大点として選択する
ことを特徴とする請求項７に記載の距離測定方法。
【請求項９】
前記関数
【数７１】
0005478881.tif 000450
の前記最大点
【数７２】
0005478881.tif 000451
を、局所収束する反復最大化法によって計算し、その際、初期値
【数７３】
0005478881.tif 000452
として、関数
【数７４】
0005478881.tif 000453
の最大点の近似点を使用する
ことを特徴とする請求項８に記載の距離測定方法。
【請求項１０】
前記関数
【数７５】
0005478881.tif 000454
の最大化の代わりに、差
【数７６】
0005478881.tif 000455
の等価な最小化を行い、ここで
前記関数
【数７７】
0005478881.tif 000456
は、
【数７８】
0005478881.tif 000457
として定義されており、
【数７９】
0005478881.tif 000458
は、任意のＫ×Ｋ置換行列を表しており、
【数８０】
0005478881.tif 000459
は、任意の整数行列を表しており、
ベクトル
【数８１】
0005478881.tif 000460
は、
【数８２】
0005478881.tif 000461
として定義された関数
【数８３】
0005478881.tif 000462
の、絶対値が最小である最大点
【数８４】
0005478881.tif 000463
を含んでおり、
行列
【数８５】
0005478881.tif 000464
及び
【数８６】
0005478881.tif 000465
は、Ｋ・Ｎ本の方程式
【数８７】
0005478881.tif 000466
を満足するように選ばれる
ことを特徴とする請求項９に記載の距離測定方法。
【請求項１１】
前記差を近似する二次関数
【数８８】
0005478881.tif 000467
の最小点
【数８９】
0005478881.tif 000468
を計算し、関数
【数９０】
0005478881.tif 000469
の反復最大化のための初期値として
【数９１】
0005478881.tif 000470
を使用し、
ここで記号
【数９２】
0005478881.tif 000471
は、当該記号の左右のベクトル又は行列のクロネッカー積を表しており、
【数９３】
0005478881.tif 000472
は、Ｎ個のＫ×Ｋ置換行列
【数９４】
0005478881.tif 000473
を対角成分とするブロック対角行列を表しており、
【数９５】
0005478881.tif 000474
は恒等行列
【数９６】
0005478881.tif 000475
として選択され、
【数９７】
0005478881.tif 000476
は、
【数９８】
0005478881.tif 000477
の列ベクトルを縦に並べたベクトルを表しており、
行列
【数９９】
0005478881.tif 000478
は、部分行列として
【数１００】
0005478881.tif 000479
を有しており、
【数１０１】
0005478881.tif 000480
として定義され、ここで
【数１０２】
0005478881.tif 000481
は対角成分
【数１０３】
0005478881.tif 000482
を有する対角行列を表しており、
【数１０４】
0005478881.tif 000483
は前記関数
【数１０５】
0005478881.tif 000484
の二階導関数のヘッセ行列を表している
ことを特徴とする請求項１０に記載の距離測定方法。
【請求項１２】
前記半波長Λ1＞・・・＞ΛN＞０を有理比で選択し、
ベクトル
【数１０６】
0005478881.tif 000485
を
【数１０７】
0005478881.tif 000486
の形式で表し、ここでｇｇＴ(ｐ)は成分
【数１０８】
0005478881.tif 000487
の最大公約数であり、
ユニモジュラ行列
【数１０９】
0005478881.tif 000488
を選択し、ここで
【数１１０】
0005478881.tif 000489
であり、最後の列ベクトル
【数１１１】
0005478881.tif 000490
であり、
【数１１２】
0005478881.tif 000491
への変数変換
【数１１３】
0005478881.tif 000492
を行い、ここで
【数１１４】
0005478881.tif 000493
は行列
【数１１５】
0005478881.tif 000494
の逆行列を表しており、
前記逆行列
【数１１６】
0005478881.tif 000495
が絶対値的に小さな値の成分を有するように、前記ユニモジュラ行列
【数１１７】
0005478881.tif 000496
を選択する
ことを特徴とする請求項１１に記載の距離測定方法。
【請求項１３】
【数１１８】
0005478881.tif 000497
及び
【数１１９】
0005478881.tif 000498
に関して、ベクトルノルムの平方
【数１２０】
0005478881.tif 000499
の最小点
【数１２１】
0005478881.tif 000500
を計算し、ここで
【数１２２】
0005478881.tif 000501
はユークリッドベクトルノルム
【数１２３】
0005478881.tif 000502
の平方を表しており、
【数１２４】
0005478881.tif 000503
は行列
【数１２５】
0005478881.tif 000504
の右コレスキー因子を表しており、
【数１２６】
0005478881.tif 000505
は行列
【数１２７】
0005478881.tif 000506
の列ベクトルによって張られた部分空間への
【数１２８】
0005478881.tif 000507
の正射影を表しており、
【数１２９】
0005478881.tif 000508
と
【数１３０】
0005478881.tif 000509
とから変数逆変換により任意の
【数１３１】
0005478881.tif 000510
に対して
【数１３２】
0005478881.tif 000511
を計算する
ことを特徴とする請求項１２に記載の距離測定方法。
【請求項１４】
請求項１２及び１３に従って、
【数１３３】
0005478881.tif 000512
及び
【数１３４】
0005478881.tif 000513
に関して、ベクトルノルムの平方
【数１３５】
0005478881.tif 000514
の最小化を行う
ことを特徴とする請求項１１に記載の距離測定方法。
【請求項１５】
任意の
【数１３６】
0005478881.tif 000515
に対して
【数１３７】
0005478881.tif 000516
に従って、推定値
【数１３８】
0005478881.tif 000517
を計算し、ここで
【数１３９】
0005478881.tif 000518
はｑT・ｐ＝１となるように選択される
ことを特徴とする請求項８ないし１４のいずれか１項に記載の距離測定方法。
【請求項１６】
コンピュータ上で実行した場合に、請求項１ないし１５のいずれか１項に記載の方法を実行する、機械可読媒体に記憶されているか又は電磁波によって具現化されるプログラムコードを備えたコンピュータプログラム製品。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、請求項１の上位概念に従う位相測定原理による複数ターゲット距離測定方法と、コンピュータプログラム製品とに関する。
【０００２】
非接触距離測定の分野において、種々の測定原理と測定方法が知られており、例えば"J. M. Rueger: Electronic Distance Measurement, 4th Edition; Springer,  1996"や"R. Joeckel & M. Stober: Elektronische Entfernungsund Richtungsmessung, 1996"や"R. Joeckel & M. Stober: Elektronische Entfernungsund Richtungsmessung,  3rd Edition; The Johns Hopkins University Press,  3rd Edition; The Johns Hopkins University Press, 1999"などがある。市販の電気光学的距離測定装置は、主として位相測定原理又はパルス経過時間測定原理によって動作する（例えばJoeckel & Stoberの第１３章参照）。
【０００３】
これらの装置の動作モードは、例えば強度変調した光のような、変調した電磁波を測量すべきターゲットへ送出して、理想的にはまさしく測量すべきターゲットである後方散乱物体から１つ以上のエコーを受信することに存する。受信したエコーの信号の評価は、標準的な技術的課題であって、特に光学システムの使用によって多様な解法が実現されている。測地学と建設業において、反射器無しに測定する距離計を備えたタキメータが、最近増えてきている。反射器無しでの距離測定は、しばしば距離計から放射された測定ビームが同時に複数の物体に当たる場合がある。これは、例えばエッジの測量時に、ビームの一部が物体のエッジに当たり、ビームの他の部分が物体の後方又は床を照らすことが起きる。別の例としては、弱く反射するターゲット物体の近傍にある再帰反射器で、散乱した光を距離計の受信機まで通す。もし、意図せず、またしばしば気付かずに、ビームが測定すべき実際の物体と例えば窓ガラスを通した距離計や木の枝や、鉄条網又は細線格子などに同時に当たった場合に、同様の状況が生じる。
【０００４】
このような複数のターゲットに当たった場合に、単一の距離を出力する従来の位相メータは、一般的に間違った測定を行う。即ち、測定精度から外れた誤りを含んだ距離測定値を出力する。ターゲットがかなり離れていて、エコーが検出できる程度に送信パルスが十分に短い場合であれば、経過時間計は、複数のターゲットに当たった状況をより容易に認識して、取り扱うことができる。加えて、パルスが位相メーターの連続的な送信信号より高い強度を有するので、目に関する安全規則を侵害することなく、経過時間メータはより大きなレンジを有する。
【０００５】
経過時間メータには、これら２つの長所があるにもかかわらず、通常のタキメータのほとんどは位相メータを備えている。これは、位相メータを備えていなければ、現場での使用に許容されるコストでミリメートル又はサブミリメートルレンジの距離測定に必要な精度を達成することはできないからである。これらの装置の信頼性は、位相メータがマルチターゲット性を有していれば、著しく向上する。
【０００６】
ＷＯ２００４／０７４７３３又はＥＰ１ ４５０ １２８には、測地距離情報を導出するためのハイブリッドシステムが開示されており、そこでは光信号が１つ以上のターゲットに送信される。ターゲットと一緒に、例えば送信機と受信機といった装置コンポーネントが、信号によって作動する線形時不変システムとしてモデル化され、そのシステム応答が記録される。純粋な経過時間メータ又は位相メータとは対照的に、距離情報は時間の関数としての移動と、システム応答の信号形状との両方から導出される。
【０００７】
従って、ハイブリッドシステムにおいて位相メータのマルチターゲット性を技術的に実現できない又は高いコストをかけなければ実現できないことが、従来公知のすべての距離測定原理の主な欠点であることが分かる。その一方で、多くの用途で必要とされる精度を許容できるコストで提供できるのは位相メータだけである。この状況の主な原因は、当業者に広く知られた見解として、また例えばＥＰ１ ４５０ １２８に明確に述べられているように、純粋な又は排他的な位相メータ、即ち時間信号を用いない位相メータは、原理的にマルチターゲット性を有さないということである。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００８】
従って、本発明の課題は、現場での使用に適し、高い精度を有し、複数ターゲットに対応した、簡易化した測定方法を提供することである。
【０００９】
本発明のもう一つの課題は、固有のマルチターゲット性を有する純粋な位相測定方法を提供することである。
【課題を解決するための手段】
【００１０】
これらの課題は、本発明によれば、請求項１記載の特徴又は従属項記載の特徴又はさらに開発された解法によって達成される。
【００１１】
本発明によれば、位相メータの特徴である高い精度特性をもって複数ターゲットの距離測定を行うことができるように、位相メータによって受信された信号を処理することができる。その際、これらターゲットの個数は既知であってもよいし、未知であってもよい。後者の場合には、同時に測量されるターゲットの個数を決定することも、また場合によっては、測量可能なターゲットの不在を知らせることも課題である。
【００１２】
本発明は、位相メータによる複数の空間的に分離したターゲットの距離を同時に測定するための数学的なアルゴリズム的方法に関し、後者の場合に、一例として電気光学的な位相メータを用いることが可能である。このような複数ターゲットの状況の単純な例としては、窓ガラスを通しての家壁までの距離測定があり、家壁までと窓ガラスまでの距離が同時に測定される。
【００１３】
純粋な位相メータがマルチターゲット性を有さないという当業者の偏見は、既に引用したものを含む技術文献が位相測定原理を単一ターゲットに基づいて、しかもたいてい正弦波状の測定信号によって説明していること、ならびに強くこの考え方に依拠していることによって助長されている。
【００１４】
それゆえ、本発明によれば、位相メータによって生成されたデジタル信号を未知のターゲットまでの距離と量的に結び付ける数学的信号モデルを介した形式的な問題解決のアプローチが選択される。この信号モデルの構築は直観によって導かれるのではなく、許容できる計算コストでターゲット距離を信号データから一意的に求めたいという要望から生じる論理的必要性によって導かれる。未知のターゲットまでの距離はこの信号モデルのパラメータとして解釈され、他の全ての未知のパラメータと共に信号データから最適に推定されることが肝要である。よって、懸案の測定課題は統計的なパラメータ推定問題として定式化され、解かれる。
【００１５】
以下では、信号処理の基礎とされる信号モデルを定式化し、説明し、連続的に補足し、さらに特定する。このモデルに関連して、距離測定タスクを最尤パラメータ推定問題として定式化し、本発明によれば、その解法も特にオンライン信号同定を備えることによって、これは最大化問題へと変化する。この非線形の非凹最大化問題は、本発明によって効率よく数値的に解くことができる。
【００１６】
信号モデルの定式化、説明、そして処理には、数学の標準的な表記法と標準的な専門用語が必要であり、特に例えば"G. H. Golub & C. F. Van Loan: Matrix Computations, 3rd Edition; The Johns Hopkins University Press, 3rd Edition; The Johns Hopkins University Press, 1996"に記されているような数値線形代数が必要である。本願発明で用いられている数学的記号と、関連する専門用語を以下に説明する。
【００１７】
記号∈は集合論的関係「〜の要素である」を表す。通常通り、
【数１】
0005478881.tif 000002
【数２】
0005478881.tif 000003
【数３】
0005478881.tif 000004
【数４】
0005478881.tif 000005
【数５】
0005478881.tif 000006
【数６】
0005478881.tif 000007
【数７】
0005478881.tif 000008
【数８】
0005478881.tif 000009
ここで、
【数９】
0005478881.tif 000010
を除き、算術演算＋、−、・、／、と順序関係＜は通常のように定義されている。
【００１８】
【数１０】
0005478881.tif 000011
に対して、
【数１１】
0005478881.tif 000012
【数１２】
0005478881.tif 000013
【数１３】
0005478881.tif 000014
【数１４】
0005478881.tif 000015
【００１９】
【数１５】
0005478881.tif 000016
に対し、
【数１６】
0005478881.tif 000017
は、
【数１７】
0005478881.tif 000018
となる（唯一の）実数である。
【数１８】
0005478881.tif 000019
に対して、
【数１９】
0005478881.tif 000020
は、zの共役複素数を表し、
【数２０】
0005478881.tif 000021
は、ｚの実数部を表し、
【数２１】
0005478881.tif 000022
は、ｚの虚数部を表し、
【数２２】
0005478881.tif 000023
は、ｚの絶対値を表し、arg(z)はｚの偏角、即ち、
【数２３】
0005478881.tif 000024
が成り立つ実数（ｚ≠０ならば、一意的に定まる）arg(z)∈[-π,π[を表す。
【００２０】
集合
【数２４】
0005478881.tif 000025
と
【数２５】
0005478881.tif 000026
に対し、
【数２６】
0005478881.tif 000027
はｍ×ｎ行列
【数２７】
0005478881.tif 000028
を表す。ここで
【数２８】
0005478881.tif 000029
【数２９】
0005478881.tif 000030
に対し、
【数３０】
0005478881.tif 000031
は、
【数３１】
0005478881.tif 000032
の転置行列である。
【数３２】
0005478881.tif 000033
が式ＭT＝Ｍを満たす場合、Ｍは対称であると呼ばれ、
【数３３】
0005478881.tif 000034
が各対角線に沿って同一の成分を有する場合、Ｍはテプリッツ行列と呼ばれ、テプリッツ行列
【数３４】
0005478881.tif 000035
が特別な形式
【数３５】
0005478881.tif 000036
を有している場合、Ｍは巡回行列と呼ばれる。関数
【数３６】
0005478881.tif 000037
は
【数３７】
0005478881.tif 000038
である。特に、Φ(ＭT)＝[Φ(Ｍ)]Tである。
【数３８】
0005478881.tif 000039
が
【数３９】
0005478881.tif 000040
において定義される２項関係で、
【数４０】
0005478881.tif 000041
ならば、
【数４１】
0005478881.tif 000042
は、すべての１≦ｉ≦ｍ及び１≦ｊ≦ｎについて、
【数４２】
0005478881.tif 000043
であることを意味する。
【数４３】
0005478881.tif 000044
の代わりに、
【数４４】
0005478881.tif 000045
と書かれる。従って、
【数４５】
0005478881.tif 000046
は列ベクトル
【数４６】
0005478881.tif 000047
の集合を表す。ここで、１≦ｉ≦ｍに対し、
【数４７】
0005478881.tif 000048
である。
【数４８】
0005478881.tif 000049
に対し、
【数４９】
0005478881.tif 000050
はＭの第ｉ行ベクトルを、
【数５０】
0005478881.tif 000051
はＭの第ｊ列ベクトルを意味し、
【数５１】
0005478881.tif 000052
は、
【数５２】
0005478881.tif 000053
の列ベクトルを縦に並べたベクトルを表す。
【数５３】
0005478881.tif 000054
に対し、
【数５４】
0005478881.tif 000055
は、１≦ｊ≦ｎについては
【数５５】
0005478881.tif 000056
であり、ｎ＜ｊ≦ｎ＋ｎ’については
【数５６】
0005478881.tif 000057
である行列を表す。同様に、
【数５７】
0005478881.tif 000058
から、行列
【数５８】
0005478881.tif 000059
が形成され、
【数５９】
0005478881.tif 000060
である。
【００２１】
【数６０】
0005478881.tif 000061
に対して、
【数６１】
0005478881.tif 000062
はＷとＺの通常の行列の積を表し、
【数６２】
0005478881.tif 000063
はＺの随伴行列である。
【数６３】
0005478881.tif 000064
に対して
【数６４】
0005478881.tif 000065
はアダマール積又は成分ごとの積を表し、
【数６５】
0005478881.tif 000066
は、行列ＷとＺの成分ごとの商を表す（
【数６６】
0005478881.tif 000067
）。後者はＺが０の成分を含まない場合にのみ定義される。最後に、
【数６７】
0005478881.tif 000068
に対して、
【数６８】
0005478881.tif 000069
はＷとＺのクロネッカー積を表す。
【数６９】
0005478881.tif 000070
に対し、
【数７０】
0005478881.tif 000071
は対角成分がｚで他の要素がすべてゼロの対角行列である。
【００２２】
特に、
【数７１】
0005478881.tif 000072
は、
【数７２】
0005478881.tif 000073
に対してスカラー積
【数７３】
0005478881.tif 000074
を有するｍ次元ユークリッドベクトル空間を表す。そして
【数７４】
0005478881.tif 000075
は、
【数７５】
0005478881.tif 000076
に対してスカラー積
【数７６】
0005478881.tif 000077
を有するｍ次元ユニタリベクトル空間を表す。そして、
【数７７】
0005478881.tif 000078
に対して、
【数７８】
0005478881.tif 000079
は、
【数７９】
0005478881.tif 000080
におけるユークリッドベクトルノルム又はユニタリベクトルノルムを表す。全ての成分がゼロ又は１であるベクトル
【数８０】
0005478881.tif 000081
は、それぞれ零ベクトル又は単位ベクトルと呼ばれる。全ての成分がゼロの行列
【数８１】
0005478881.tif 000082
はｍ×ｎ零行列と呼ばれ、対角成分が１で他の全ての成分がゼロの行列
【数８２】
0005478881.tif 000083
はｍ×ｍ恒等行列と呼ばれる。
【００２３】
【数８３】
0005478881.tif 000084
に対し、
【数８４】
0005478881.tif 000085
はＺの値域を表し、
【数８５】
0005478881.tif 000086
は、例えば"G. W. Stewart &J-G. Sun: Matrix Perturbation Theory; Academic Press,  J. K. Ord & S. Arnold: Kendalls’s Advanced Theory of Statistics, J. K. Ord & S. Arnold: Kendalls’s Advanced Theory of Statistics, 1990"のIII．１．１節で説明されているように、Ｚのムーア・ペンローズ擬似逆行列を表す。例えば上述の本のIII．１．２節で説明されているように、
【数８６】
0005478881.tif 000087
は、
【数８７】
0005478881.tif 000088
から
【数８８】
0005478881.tif 000089
への正射影を表し、
【数８９】
0005478881.tif 000090
は、
【数９０】
0005478881.tif 000091
から
【数９１】
0005478881.tif 000092
内における
【数９２】
0005478881.tif 000093
の直交補空間
【数９３】
0005478881.tif 000094
への正射影を表す。
【数９４】
0005478881.tif 000095
に対し、
【数９５】
0005478881.tif 000096
はＺの階数、即ち、部分空間
【数９６】
0005478881.tif 000097
の次元を表す。
【数９７】
0005478881.tif 000098
が最大階数ｍを有するならば、Ｚは可逆であり、逆行列Ｚ-1に対して、Ｚ+＝Ｚ-1が成り立つ。
【００２４】
確率行列
【数９８】
0005478881.tif 000099
の期待値は、
【数９９】
0005478881.tif 000100
で表される。
【００２５】
位相メータの信号受信の物理的な関係は、以下のように数学的にモデル化される。
【００２６】
送受信機から未知の異なる距離
【数１００】
0005478881.tif 000101
だけ離れている、同時に測量すべき
【数１０１】
0005478881.tif 000102
個のターゲットが、既知の半波長
【数１０２】
0005478881.tif 000103
を有する
【数１０３】
0005478881.tif 000104
個の周期的信号によって時間的に順次連続して照射される。なお、Ｋは既知であってもよいし、未知であってもよい。この信号は、強度変調光又は赤外線波、マイクロ波、音波、又は超音波、又は他の種類の波である。
【００２７】
幾つかの又は全Ｋ個のターゲットによって反射されたｎ番目の信号が、構造上送信機に最も近い、又は直接隣接した受信機で検出され、電気的に変換され、フィルタリングされ、
【数１０４】
0005478881.tif 000105
の周期の間、１周期あたり
【数１０５】
0005478881.tif 000106
回、等時間間隔でサンプリングされる。その際、１周期間隔で点在するＩn個のデジタルサンプリング値を平均化して、デジタル距離信号データ
【数１０６】
0005478881.tif 000107
を求めてもよい（１≦ｍ≦Ｍ，１≦ｎ≦Ｎ）。
【００２８】
送受信機に対する位置、姿勢、形状、反射特性が測定中変化しない静止しているターゲットの場合、式
【数１０７】
0005478881.tif 000108
が、距離信号データ
【数１０８】
0005478881.tif 000109
の有用な数学的モデルを構成する。ここで、（１−１）で使われていて、まだ説明の無い記号には、以下の意味がある。
【数１０９】
0005478881.tif 000110
はｎ番目（１≦ｎ≦Ｎ）の信号の信号形状であり、かつ周期１の２回連続微分可能な周期関数であり、
【数１１０】
0005478881.tif 000111
はｎ番目（１≦ｎ≦Ｎ）の信号の位相位置であり、
【数１１１】
0005478881.tif 000112
はｋ番目（１≦ｋ≦Ｋ）のターゲットで反射されたｎ番目（１≦ｎ≦Ｎ）の信号の振幅であり、
【数１１２】
0005478881.tif 000113
はｎ番目（１≦ｎ≦Ｎ）の信号の直流成分であり、
【数１１３】
0005478881.tif 000114
は
【数１１４】
0005478881.tif 000115
のノイズ成分（１≦ｍ≦Ｍ，１≦ｎ≦Ｎ）である。
【００２９】
信号処理の目的は、未知の距離
【数１１５】
0005478881.tif 000116
をＭ・Ｎ個の
【数１１６】
0005478881.tif 000117
から決定することである。それを可能にするために、「システム挙動」を知らなければならない、即ち、（１−１）に含まれる幾つかの変数は既知であると仮定しなければならない。これに関するモデル仮説は、もし式（１−１）が行列方程式で書かれていれば、より簡潔に定式化できる。この目的で、無次元変数
【数１１７】
0005478881.tif 000118
と、ベクトル
【数１１８】
0005478881.tif 000119
と、行列
【数１１９】
0005478881.tif 000120
と、関数
【数１２０】
0005478881.tif 000121
【数１２１】
0005478881.tif 000122
が導入される。これらによって、Ｍ・Ｎ本のスカラー方程式（１−１）は、信号モデルを表す行列方程式
【数１２２】
0005478881.tif 000123
となる。
【００３０】
与えられた距離信号データ
【数１２３】
0005478881.tif 000124
に関する式（１−６）を第一に関心のある変数
【数１２４】
0005478881.tif 000125
について解くための前提条件が解析される。モデルによれば、システム構成パラメータ
【数１２５】
0005478881.tif 000126
は既知であり、一方でパラメータ
【数１２６】
0005478881.tif 000127
は未知である。恒等式
【数１２７】
0005478881.tif 000128
は、明らかに
【数１２８】
0005478881.tif 000129
に関する十分な情報があるならば、好条件下で
【数１２９】
0005478881.tif 000130
を一意的に決定できることを示している。加えて、信号形状
【数１３０】
0005478881.tif 000131
は明らかに少なくとも部分的に既知である必要がある。
【００３１】
【数１３１】
0005478881.tif 000132
に関する必要な情報を得るための通常の方法、即ち、システムの同定を実施する方法は、以下である。半波長（１−０）を有するＮ個の周期信号が、距離測定の前及び／又は後に、装置内部の、
【数１３２】
0005478881.tif 000133
の長さを有する基準区間を介して又は送信機から距離
【数１３３】
0005478881.tif 000134
だけ離れた装置内部のターゲットを経由して受信機に供給される。ここで、それらは距離測定信号と同じようにサンプリングされ、平均化されてデジタル較正信号データ
【数１３４】
0005478881.tif 000135
が求められる（１≦ｍ≦Ｍ，１≦ｎ≦Ｎ）。下付き添字−は（測定前の）前較正を示し、下付き添字＋は、（測定後の）後較正を示す。従って、較正信号データも（１−１）又は（１−６）によってモデル化される。しかし、Ｋ＝１かつ
【数１３５】
0005478881.tif 000136
ならば、
【数１３６】
0005478881.tif 000137
となる。
【００３２】
測定全体を通して位相メータの送信パワーが一様ならば、モデルに従って、一般性を失うことなく、
【数１３７】
0005478881.tif 000138
と設定できることを前提としてよい。したがって、行列方程式は
【数１３８】
0005478881.tif 000139
となる。設定（１−９）は測定信号モデル（１−６）に現れるターゲット振幅を「正規化」する。
【数１３９】
0005478881.tif 000140
は、内部ターゲットの振幅の無次元倍数単位で測定された、ｋ番目のターゲットで反射されたｎ番目の信号の強度である。なお、ここで、１≦ｋ≦Ｋ、１≦ｎ≦Ｎである。
【００３３】
「一様な送信パワー」及び「静止したターゲット」という前提条件は、ターゲット振幅を全ての送信信号に対して同じにモデル化すること、即ち
【数１４０】
0005478881.tif 000141
を要求することが必要であると思わせる。
【００３４】
しかし、実際のところ式（１−１１）が頻繁に事実に反することが判った。これは、距離を測定する際の媒体、一般的には地球の大気が、測定中にしばしば静止状態でないからであるということがもっともらしく思われる。異なる距離測定信号のターゲット振幅が互いに比例するという仮定が、より現実的であって、仮定
【数１４１】
0005478881.tif 000142
によって表現可能である。
【００３５】
Ｒａｎｇ(Ａ)≦Ｋであるから、（１−１２）は複数ターゲットの場合、すなわちＫ＞１の場合にのみ制約となる。この制約は、特定の状況下、例えば測定の媒質が非常に不均一であって、静止していない場合には非現実的である。式（１−１１）と（１−１２）は、従って測定信号モデル（１−６）にオプションとして追加されるものである。
【００３６】
恒等式（１−７）は、ｋ＝０の場合にもｙをｙ±に置き換えれば成り立つものであり、
【数１４２】
0005478881.tif 000143
が既知ならば（これはモデルに従って仮定してよい。というのも、装置内部の基準区間ないし装置内部のターゲットは装置側で実現され、正確に測定することができるからである。）、上手く行けば
【数１４３】
0005478881.tif 000144
を較正信号データ
【数１４４】
0005478881.tif 000145
から求めることができることを示している。１回の較正(前較正又は後較正)しか実行されない場合には、距離測定信号と較正測定信号の位相位置が同じであると措定する「定常」モデル仮説
【数１４５】
0005478881.tif 000146
に対する有意義な代替案は存在しない。この措定は、受信する電子機器がドリフトから自由であることを要求するので、結果的に非現実的である。前較正と後較正が実行されるならば、物理的な状況をより現実的に記述する位相間の非定常的関係を措定することができる。単純な決定論的な位相ドリフトモデルは、通常の一階微分方程式
【数１４６】
0005478881.tif 000147
であり、その解集合は、
【数１４７】
0005478881.tif 000148
である。これは以下のように解釈される。すなわち、位相
【数１４８】
0005478881.tif 000149
（モデルによれば、信号は周期１の関数なので、
【数１４９】
0005478881.tif 000150
は規格値
【数１５０】
0005478881.tif 000151
で置き換えることができる。）は、例えばスイッチングプロセスによって、モデルによって仮定された定常均衡点
【数１５１】
0005478881.tif 000152
から移動し、均衡点からの偏位に比例した速度で戻る。比例定数として、
【数１５２】
0005478881.tif 000153
を導入することができる。
【００３７】
【数１５３】
0005478881.tif 000154
が、ｎ番目（１≦ｎ≦Ｎ）の信号による前較正測定と距離測定の間の、又は距離測定と後較正測定との間の平均時間を表すとすれば、式（１−１５）の各成分について、各距離測定が時点０に行われるように時間尺度が選択されていれば、ベクトル
【数１５４】
0005478881.tif 000155
を用いて（１−１５）の式から、
【数１５５】
0005478881.tif 000156
の関係が得られる。式（１−１７）から、さらに
【数１５６】
0005478881.tif 000157
が導かれる。ここで、νn＝０の場合、式（１−１８）の右辺はロピタルの定理に従って極限値
【数１５７】
0005478881.tif 000158
で置き換えられる（ｎ∈{1,...,Ｎ}）。また、較正測定は、とりわけ、
【数１５８】
0005478881.tif 000159
を介して位相位置
【数１５９】
0005478881.tif 000160
に関する情報を得ることを目的としているので、式（１−１８）の意味するところは、変数
【数１６０】
0005478881.tif 000161
はモデルに従って既知であると仮定されなければならないということである。これは非現実的ではない。なぜならば、時間
【数１６１】
0005478881.tif 000162
は測定可能であり、また
【数１６２】
0005478881.tif 000163
は、外部ターゲットの代わりに内部ターゲットを測量する、即ち内部ターゲットを連続して３回測量する特別な測定によって決定可能であるからである。
【００３８】
式（１−１７）からは、
【数１６３】
0005478881.tif 000164
が導かれる。そこで、これを式（１−１０）に代入すれば、較正信号モデルを構成する行列方程式
【数１６４】
0005478881.tif 000165
を得る。
【００３９】
式（１−６）と（１−２１）は信号モデル（全体）の構成要素である。この信号モデルは副条件（１−１１）又は（１−１２）によって補完可能であり、信号処理の基礎となるものである。
【００４０】
モデルに従って仮定された関数
【数１６５】
0005478881.tif 000166
の１周期性と式（１−６）は、
【数１６６】
0005478881.tif 000167
のすべての成分が有理数である場合、無限個の
【数１６７】
0005478881.tif 000168
が同じ距離信号データ
【数１６８】
0005478881.tif 000169
を生成することを含意する。
【数１６９】
0005478881.tif 000170
は
【数１７０】
0005478881.tif 000171
において稠密であるから、即ち、
【数１７１】
0005478881.tif 000172
内のどのベクトルも、
【数１７２】
0005478881.tif 000173
からのベクトルによって望むだけ正確に近似することができるので、実際には
【数１７３】
0005478881.tif 000174
に関して無限の多義性ないし曖昧さがつねにある。さらに条件を追加しなければ、一意性は得られない。通常は、所定の測定範囲限界ｄ-＜ｄ+又は
【数１７４】
0005478881.tif 000175
を有する、
【数１７５】
0005478881.tif 000176
が要求される。ここで、境界
【数１７６】
0005478881.tif 000177
は、一意性が保証されるように選択されている。
【００４１】
最後に、距離信号データ及び較正信号データ
【数１７７】
0005478881.tif 000178
のノイズ成分
【数１７８】
0005478881.tif 000179
も未知である。それでもなお式（１−６）と（１−２１）を
【数１７９】
0005478881.tif 000180
について解くことができるためには、ノイズの統計的挙動が少なくとも構造的に既知でなければならない。従って、
【数１８０】
0005478881.tif 000181
は確率密度
【数１８１】
0005478881.tif 000182
を有する確率行列としてモデル化される。なお、上記確率密度は（確率密度を特徴付けるパラメータのうちの多くてもいくつかを除けば）既知であると仮定される。ノイズを確率行列としてモデル化すること及びこの確率行列の確率密度
【数１８２】
0005478881.tif 000183
を特定することは、式（１−６）と（１−２１）を補う信号モデルの構成要素である。
【００４２】
距離信号データ及び較正信号データ
【数１８３】
0005478881.tif 000184
の限定性ゆえに幾らか現実からかけ離れているが、前記確率密度
【数１８４】
0005478881.tif 000185
に関する数学的に最も簡単なモデル仮定は、
【数１８５】
0005478881.tif 000186
である正規分布であり、ここで
【数１８６】
0005478881.tif 000187
は正定値対称行列であり（１≦ｎ≦Ｎ）、既知であると仮定される。ｎ＝ｌならば、δnl＝０であり、さもなければ、δnl＝１である。
【数１８７】
0005478881.tif 000188
は未知のスケーリング係数を表している。モデル仮説（１−２３）は特に、異なる受信信号の距離信号データと較正信号データとの間の無相関性を仮定している。それは、異なる半波長の信号と距離測定信号と較正測定信号とが別々の時間に送信され受信されるという状況を反映している。未知のスケーリング係数
【数１８８】
0005478881.tif 000189
は、相対的なノイズ比のみが既知と仮定されているのであり、絶対的なノイズ比は既知と仮定されていないことを明らかにする。式（１−２３）から、信号処理の基礎となる確率密度
【数１８９】
0005478881.tif 000190
が得られる。
【００４３】
どのようにして信号モデル方程式（１−６）と（１−２１）が
【数１９０】
0005478881.tif 000191
について「解かれる」のか疑問が生じる。定評のある方法としては、例えばA. Stuart, J. K. Ord & S. Arnold: Kendalls's Advanced Theory of Statistics,  6<th> Edition; Arnold, 6<th> Edition; Arnold,  6<th> Edition; Arnold, 1999の第１８章に記載されているように、最大尤度という観点で
【数１９１】
0005478881.tif 000192
を（したがってまた必然的に
【数１９２】
0005478881.tif 000193
を特徴付けるパラメータも）を推定することである、即ち、信号モデル（１−６）及び（１−２１）に従って確率行列
【数１９３】
0005478881.tif 000194
を距離信号データ及び較正信号データ
【数１９４】
0005478881.tif 000195
とモデルパラメータとで置き換えた場合に確率密度
【数１９５】
0005478881.tif 000196
を最大化する値
【数１９６】
0005478881.tif 000197
を割り当てることである。共分散行列
【数１９７】
0005478881.tif 000198
は既知であると仮定されている（論理的には必要では無いが、実用上は都合が良い）ので、推定理論の標準的な議論により、（１−２４）の場合、
【数１９８】
0005478881.tif 000199
等に対するこれらのいわゆるＭＬ推定値
【数１９９】
0005478881.tif 000200
等は、和
【数２００】
0005478881.tif 000201
の最小点として特徴付けられることを示す。なお上記和において、確率行列
【数２０１】
0005478881.tif 000202
は信号モデル（１−６）と（１−２１）に従って距離信号データ及び較正信号データ
【数２０２】
0005478881.tif 000203
とモデルパラメータとによって置き換えられる。特に、ＭＬ推定値はスケーリングパラメータ
【数２０３】
0005478881.tif 000204
には依存しない。これは、ＭＬ推定値が平均的なノイズレベルには依存しないことを示している。しかし、これはその質に関してはもちろん当てはまらない。
【００４４】
信号モデル（１−６）及び（１−２１）によって要求される信号形状
【数２０４】
0005478881.tif 000205
に関する情報は、信号形状として出来る限り簡単なものを選択する動機となる。従来の（ターゲットが１つの）位相メータは一般的に異なる周波数の正弦波信号を用いる。この古典的な選択は複数ターゲットの場合には不都合である。正弦波状の基本波と最も低い幾つかの高調波との和を用いることが好都合である。実際的には、これは、スペクトルの低周波部分に大部分のエネルギーを有する非正弦波状の周期的信号を送出し、ターゲットによって反射されたこれら周期的信号のエコーをローパスフィルタリングすることによって、これらエコーのフーリエ分解の
【数２０５】
0005478881.tif 000206
個の最低高調波のみが距離信号データ及び較正信号データに寄与するようにすることで得られる。このような信号形状に対しては、式
【数２０６】
0005478881.tif 000207
を用いることができ、ここで未知パラメータ
【数２０７】
0005478881.tif 000208
である。条件
【数２０８】
0005478881.tif 000209
は、信号形状
【数２０９】
0005478881.tif 000210
の、無関係な並進自由度を削除する（１≦ｎ≦Ｎ）。
【００４５】
式（１−１１）も（１−１２）も顧慮しなければ、３・Ｍ・Ｎ個のスカラー信号データ
【数２１０】
0005478881.tif 000211
に対して、未知の実数パラメータ
【数２１１】
0005478881.tif 000212
はＫ＋(４＋Ｋ＋２・Ｌ−１)・Ｎ個であるから、少なくとも
【数２１２】
0005478881.tif 000213
であるべきである。実際には、１信号周期ごとの信号サンプリングの回数Ｍは（３−２）によって要求される数よりもずっと大きく選択される。下記の選択
【数２１３】
0005478881.tif 000214
は目的に適っており、モデルに従って前提としてよい。
【００４６】
よく行われているように、ｎ番目の受信チャネルのノイズを、平均値を持たない定常ガウス過程としてモデル化し、通常の技術的慣行に沿って、ｎ番目の受信信号の１信号周期あたりＭ回の等時間間隔のサンプリングを、
【数２１４】
0005478881.tif 000215
個の信号周期の間、間断なく時間的に順次行うならば、確率論上の計算から、共分散行列
【数２１５】
0005478881.tif 000216
は対称テプリッツ行列であって、ガウス過程の相関時間が十分に短く、またＩnが十分に大きければ（１≦ｎ≦Ｎ）、近似的に巡回行列となること、そして極限
【数２１６】
0005478881.tif 000217
においては正確に巡回行列となることが示される。Ｉnの一般的な大きさは１０００であるから、信号モデルの補足的要素として共分散行列
【数２１７】
0005478881.tif 000218
が巡回行列であると仮定することは非現実的ではない（１≦ｎ≦Ｎ）。
【００４７】
巡回行列
【数２１８】
0005478881.tif 000219
はまさに、離散フーリエ変換
【数２１９】
0005478881.tif 000220
によって、即ち、成分
【数２２０】
0005478881.tif 000221
を有する複素数値のユニタリ対称行列によってユニタリ対角化可能な、即ち
【数２２１】
0005478881.tif 000222
が対角行列となるような巡回行列である。この状況は、正定値対称な巡回行列であると仮定される共分散行列
【数２２２】
0005478881.tif 000223
を
【数２２３】
0005478881.tif 000224
として表現することを可能にする。したがって、行列
【数２２４】
0005478881.tif 000225
のそれぞれは、
【数２２５】
0005478881.tif 000226
個の正のパラメータによって特定される。ＭＬ推定値は３・Ｌ個のパラメータ
【数２２６】
0005478881.tif 000227
にしか依存しないことが分かるであろう。これらのパラメータの値は適切なノイズ識別法によって知ることができ、従ってモデルによって既知と仮定してよい。
【００４８】
距離信号データ及び較正信号データ
【数２２７】
0005478881.tif 000228
又は式（２−０）の最小化から信号モデルの未知のパラメータをＭＬ推定することは、複雑かつ極端に計算集約的な仕事である。その理由は特に、信号モデルが全く関心のない値を有するパラメータを多数含んでいるからである。従って、できるだけ多くの関心のないモデルパラメータを最小化から解析的に除去することが賢明である。
【００４９】
式（１−６）、（１−２１）、（３−０）、（３−５）を、最小化すべき和（２−０）に代入すれば、行列
【数２２８】
0005478881.tif 000229
は積
【数２２９】
0005478881.tif 000230
においてのみ現れ、それらの成分は、もし必要ならば、極形式で表すと好都合である。
【数２３０】
0005478881.tif 000231
なので、
【数２３１】
0005478881.tif 000232
は一意的な表現
【数２３２】
0005478881.tif 000233
を有する。行列
【数２３３】
0005478881.tif 000234
【数２３４】
0005478881.tif 000235
及びベクトル
【数２３５】
0005478881.tif 000236
（νn＝０ならば、
【数２３６】
0005478881.tif 000237
と設定される（ｎ∈{１,...,Ｎ}）。）
を用いれば、式（３−０）、（３−５）、（４−０）〜（４−４）から、（２−０）の最小化は、
【数２３７】
0005478881.tif 000238
に従って定義される関数
【数２３８】
0005478881.tif 000239
の最大化に等しいことが明らかである。したがって、未知のモデルパラメータ
【数２３９】
0005478881.tif 000240
に対するＭＬ推定値
【数２４０】
0005478881.tif 000241
は、
【数２４１】
0005478881.tif 000242
における関数£K,Lの最大点
【数２４２】
0005478881.tif 000243
と見なされる。その際、任意選択的にさらに境界条件（１−１１）又は（１−１２）を考慮してもよい。式（４−５）から、
【数２４３】
0005478881.tif 000244
の場合に、関数
【数２４４】
0005478881.tif 000245
がその第１の変数に関して周期的であることは明らかである。これが制限（１−２２）の理由である。しかし、£K,Lの第２の変数も第１の変数の不定性の原因となる。これはＫ＝Ｌ＝１の特殊ケースにおいて最も簡単に示される。すなわち、
【数２４５】
0005478881.tif 000246
であるから、数
【数２４６】
0005478881.tif 000247
は£1,1の最大点の候補である。もし
【数２４７】
0005478881.tif 000248
が無理数ならば、複素数
【数２４８】
0005478881.tif 000249
は複素平面
【数２４９】
0005478881.tif 000250
内の単位円上に稠密に存在するので、任意の
【数２５０】
0005478881.tif 000251
に対して、£1,1のｎ番目の加数の
【数２５１】
0005478881.tif 000252
の上限は、
【数２５２】
0005478881.tif 000253
である。この式はδに依存しない。
【００５０】
上記発見からの結論は、位相ドリフトモデル（１−１４）は、距離
【数２５３】
0005478881.tif 000254
の一意的な決定可能性を保証できないということである。その結果として、より限定的なモデルに置き換えるか、さらに制限を加える必要がある。モデル仮説（３−５）と併せた位相ドリフトモデル（１−１４）は、推定問題からパラメータ
【数２５４】
0005478881.tif 000255
を消去することを可能にし、それによって問題の複雑さを実質的に減少させるので、第二の代替案が好ましい。
【００５１】
上記（４−５）式をＫ＝Ｌ＝１の特別な場合について分析することによって、不所望な多義性の原因が明らかになる。位相ドリフトモデル（１−１４）は、個々の位相が前較正と後較正の間の期間に任意多数の周期を「歩き回る」ことを許す。しかし、これは２回の較正測定のみでは決定することができない。従って、
【数２５５】
0005478881.tif 000256
を要求することが有効である。つまり、位相ドリフトは位相の多義性が排除される程度に小さくなければならない。これは、２回しか較正測定を行わない場合には論理的に不可欠な、ハードウエアに関する要求であるが、技術的にも実現可能である。
【数２５６】
0005478881.tif 000257
及び（４−４）から、（４−９）は
【数２５７】
0005478881.tif 000258
と等しい。£K,Lの最大化は、（４−１１）式の条件を維持しながら、モデルに従って行わねばならない。
【００５２】
（２−０）の最小化を、集合
【数２５８】
0005478881.tif 000259
において（４−５）により定義された関数
【数２５９】
0005478881.tif 000260
の最大化に還元することによって、（３−０）、（１−６）及び（１−２１）による送信信号を絞り込む上述のパラメータ
【数２６０】
0005478881.tif 000261
が消去されるという既に上で述べた利点が得られる。
【００５３】
（２−０）の最小化に代わる£K,Lの最大化は特に、送信信号のオンライン同定を含んでいる。この利点は関数£K,Lの高い非線形性と引き替えに得られる。関数£K,Lは集合Ｂにおいて多数の局所最大値を有しており、その最大化を相当に複雑にしている。たしかに大域的な数値的最大化法は存在するが、極度に非凹な関数£K,Lに適用した場合、受け入れ難い計算コストが要求される。したがって、実際に£K,Lの最大化に到る道は反復最大化法を経由する。反復最大化法は、初期値
【数２６１】
0005478881.tif 000262
から出発して£K,Lの局所最大点
【数２６２】
0005478881.tif 000263
に収束する。上手く行けば、この局所最大値が£K,Lの大域的最大点である。このような反復最大化は数値的最適化のルーチンタスク（ただしトリビアルではないが）であり、そのために数多くの定評のあるアルゴリズムが用意されている。（４−５）式に従って定義された£K,Lの第１次及び第２次導関数が解析的に計算可能であるので、Ｂにおける£K,Lの反復最大化のための効果的な方法が利用可能である。
【００５４】
Ｂにおける£K,Lの大域的最大点に近い初期値
【数２６３】
0005478881.tif 000264
を用意することは困難である。しかし、初期値が大域的最大点に近いことは必要である。なぜならば、反復最大化法は、初期値に最も近い局所最大点に収束するように一般的に設計されているからである。このような初期値を計算する方法を以下に示す。
【００５５】
この方法の中心となる考えは、初期値
【数２６４】
0005478881.tif 000265
として、式（４−５）により定義された関数
【数２６５】
0005478881.tif 000266
の大域的最大点の近似点を選択し、即ち、Ｌ＝Ｋを選択して、任意の境界条件（１−１１）と（１−１２）を無視することである。Ｋが未知ならば、Ｋはまず同時に測量すべきターゲットの最大数として選択される。以下に、仮定
【数２６６】
0005478881.tif 000267
の下で、このような初期値がどのように計算可能であるかを示す。
【００５６】
式（４−０）と（４−１）から判るように、仮定（６−０）は全ての信号がＫ以下のオーダーの非ゼロの高調波成分を含み、ターゲットによって反射された各測定信号がＫ以下のオーダーの少なくとも一つの非ゼロ高調波成分を含むことを前提としている。この前提条件は、信号の数Ｎを十分に大きくとることによって（信号の幾つかは信号処理から除外されるが）、又は半波長（１−０）の適応的な選択によって技術的に容易に満足させることができる。
【００５７】
式（４−５）により定義された関数£K,Kのｎ番目の外側の加数
【数２６７】
0005478881.tif 000268
の適切な数学的な変形によって、この関数
【数２６８】
0005478881.tif 000269
はまさに下記の場合に、すなわち、
【数２６９】
0005478881.tif 000270
が、
【数２７０】
0005478881.tif 000271
により定義される関数
【数２７１】
0005478881.tif 000272
の（（４−１１）から、有利には絶対値的に最小の）最大点
【数２７２】
0005478881.tif 000273
として選択された場合（１≦ｎ≦Ｎ）、ならびに
【数２７３】
0005478881.tif 000274
が、
【数２７４】
0005478881.tif 000275
を満たす値
【数２７５】
0005478881.tif 000276
をとる場合に、最大値をとることが示される。各ｎ∈{１,...,Ｎ}に対してＫ本の方程式（６−３）を
【数２７６】
0005478881.tif 000277
について解くことができるのは、刊行された論文"C. Caratheodory: Uber den Variabilitatsbereich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen(正の調和関数のフーリエ定数の変動範囲); Rend. Circ. Mat. Palermo 32＿ (1911), Seiten 193-217"のコンスタンチン・カラテオドリーの定理によって確立された自明ではない結果である。式（６−３）の左辺の表現は、従って、固定されたｎ∈{１,...,Ｎ}について、式（６−３）の右辺のＫ個の複素数のカラテオドリー表現と呼ばれる。Ｋ＝１の場合、式（６−３）の左辺は式（６−３）の右辺の複素数の極座標表現である。複数の複素数のカラテオドリー表現は、従って(単一の)複素数の極座標表現の一般化である。
【００５８】
G. Szegoeの研究論文"U. Grenander & G. Szegoe: Toeplitz Forms and their Applications; University of alifornia Press,  Berkely & Los Angeles, 1958" の第４．１章に示されているカラテオドリーの定理の構成的証明は、どのようにすればカラテオドリー表現を数値的に計算することができるかを示しており、また（固定されたｎ∈{１,...,Ｎ}に対し）、（６−３）式の右辺のＫ個の数がすべてゼロになるのではなく、計算の過程で生じた特定の行列が最大階数Ｋを有する場合には、
【数２７７】
0005478881.tif 000278
が成り立つことを示している。
【００５９】
前提条件（６−０）と、（６−２）の最大点として
【数２７８】
0005478881.tif 000279
を指定することとによって、各ｎ∈{１,...,Ｎ}に対して、式（６−３）の右辺のＫ個の数のすべての分母と少なくとも一つの分子がゼロでないことが保証される。それゆえ、式（６―４）の有効性のために必要な前提条件は満たされている。カラテオドリー表現の数値計算の一部として、各ｎ∈{１,...,Ｎ}に対して、前記行列の階数を決定しなければならないので、各ｎ∈{１,...,Ｎ}に対して、式（６−４）が成り立つか否かが決定される。ほとんどの信号について最大階数であることが確認された場合、残りの信号はＭＬ推定又は信号処理から除外してよい。さもなければ、第１のケースが生じるようにＫを下げてよい。従って、（６−４）が成り立つ状況を今後ずっと仮定することが常に可能である。
【００６０】
（６−２）の最大点とカラテオドリー表現（６−３）をベクトル又は行列
【数２７９】
0005478881.tif 000280
にまとめれば、上述の内容から、
【数２８０】
0005478881.tif 000281
により定義される関数
【数２８１】
0005478881.tif 000282
は、任意の整数行列
【数２８２】
0005478881.tif 000283
と任意の置換行列
【数２８３】
0005478881.tif 000284
とに対して、
【数２８４】
0005478881.tif 000285
において最大値をとることが導かれる。定義から
【数２８５】
0005478881.tif 000286
が成り立つので、£K,Kの最大化は、
【数２８６】
0005478881.tif 000287
に関して、ならびに任意の行列
【数２８７】
0005478881.tif 000288
及び任意の置換行列
【数２８８】
0005478881.tif 000289
に関して、差
【数２８９】
0005478881.tif 000290
の最小化と等価である。
【００６１】
式（６−６）により定義された関数
【数２９０】
0005478881.tif 000291
は、何回でも微分可能であり、その２つの第１次導関数
【数２９１】
0005478881.tif 000292
は解析的に計算できる。解析学の周知の定理によれば、最大点（６−７）で評価された£K′又はいわゆるヘッセ行列£K″はゼロになるか、又は対称であるか、又は半負定値であることが示される。加えて、最大点（６−７）における£K″は
【数２９２】
0005478881.tif 000293
から独立である。（６−９）式の右辺の関数を（６−９）式の左辺の£Kの最大点まわりの２次のテーラー級数で置き換えれば、最小化すべき差（６−９）の以下の二次近似
【数２９３】
0005478881.tif 000294
が得られる。ここで、
【数２９４】
0005478881.tif 000295
であり、ブロック対角行列
【数２９５】
0005478881.tif 000296
であり、対角成分として置換行列Ｊn∈{０,１}K×K（ｎ∈{２,...,Ｎ}）を有する。加えて、式（６−４）は、式（６−１２）により定義された行列
【数２９６】
0005478881.tif 000297
の正定値性を含意する。従って二次関数（６−１１）は決して負にならず、最小点
【数２９７】
0005478881.tif 000298
は式（６−１１）から計算できる。この場合、
【数２９８】
0005478881.tif 000299
は、式（４−５）により定義された関数£K,Kの最大点の近似点であり、£K,Lの反復最大化の初期値として選択される。
【００６２】
初期値の計算に行列
【数２９９】
0005478881.tif 000300
を導入することは、驚くことではない。この行列の成分は整数値バイアスをパラメータ化する。整数値バイアスは、単一ターゲット位相メータを特徴付けるものでもあり、位相メータに単一の信号で距離を測定する能力がないことに原因がある。これらの距離は、異なる半波長の信号を用いた複数の測定の協働がなければ計算できない。より驚くべきことは置換行列（６−１３）の出現である。置換行列（６−１３）は、単一ターゲットの場合（Ｋ＝１）には恒等行列であり、それゆえ従来の単一ターゲット位相メータの場合には出現しない。置換行列（６−１３）が現れる理由は、たしかに各受信信号はカラテオドリー表現（６−３）によってターゲットに応じて分解可能であるが、信号成分をターゲットに一意的に対応付けることはできないからである。また、この対応付けも、異なる半波長の信号による複数の測定の協働からしか求めることができない。これらの２つの異なる多義性を区別するために、
【数３００】
0005478881.tif 000301
によってパラメータ化される従来の曖昧さは、距離曖昧性と呼ばれ、一方で
【数３０１】
0005478881.tif 000302
によってパラメータ化される新しい曖昧さは、対応付け曖昧性と呼ばれる。カラテオドリー表現（６−３）によって与えられる振幅
【数３０２】
0005478881.tif 000303
は、同時測量されるターゲットのエコーの強度の尺度であるから、これらの振幅が一貫しており互いに大きく異なる場合、対応付け曖昧性はこれらの振幅の順序付けによって解消することができる。そうでない場合には、（Ｋ！）N-1個のすべての可能な対応付けを計算することで（６−１１）の最小点を見つけることができる。
【００６３】
二次関数（６−１１）の最小化は、以下の結果
【数３０３】
0005478881.tif 000304
を導く。ここで、
【数３０４】
0005478881.tif 000305
は
【数３０５】
0005478881.tif 000306
における
【数３０６】
0005478881.tif 000307
のシュア補行列の右コレスキー因子であり、Ｌの正定値性を受け継いでいる。即ち、
【数３０７】
0005478881.tif 000308
が成り立ち、かつ
【数３０８】
0005478881.tif 000309
である。なお、ここで（６−１３）に従い、
【数３０９】
0005478881.tif 000310
である。（６−１４）と（６−１５）に現れる行列
【数３１０】
0005478881.tif 000311
は、ベクトルノルムの平方
【数３１１】
0005478881.tif 000312
の最小点であり、ここで（６−１３）に従い
【数３１２】
0005478881.tif 000313
である。整数要件
【数３１３】
0005478881.tif 000314
のゆえに、（６−１３）による
【数３１４】
0005478881.tif 000315
の各選択に関して、（６−１８）の最小化はいわゆる整数二次曲線当てはめ問題である。本発明に従って効率的に解決可能な方法は、以下に記載する。
【００６４】
整数値バイアスは、多数の技術的システムで発生する。最も良く知られた例としては、ＧＰＳ（全地球測位システム）がある。整数二次曲線当てはめ問題を解く効率的な方法である、いわゆるＬＡＭＢＤＡ法（Least Squares Ambiguity Decorrelation Algorithm、整数最小二乗法）も、この分野から由来している。例えば刊行本"P. J. G. Teunissen & A. Kleusberg (Eds.): GPS for Geodesy, 2nd Edition; Springer,  1998"の第８章や論文"P. de Jonge & C. Tiberius: The LAMBDA Method for Integer Ambiguity Estimation: Implementation Aspects; LGR-Series, 1998"の第８章や論文"P. de Jonge & C. Tiberius: The LAMBDA Method for Integer Ambiguity Estimation: Implementation Aspects; LGR-Series,  B. S. Majewski & K. R. Matthews: Extended GCD and Hermite Normal Form Algorithms via Lattice Basis Reduction (addenda and errata) ; Experimental Mathematics 8:2 (1999), B. S. Majewski & K. R. Matthews: Extended GCD and Hermite Normal Form Algorithms via Lattice Basis Reduction (addenda and errata) ; Experimental Mathematics 8:2 (1999), January 1996"に記載されている。
【００６５】
ＬＡＭＢＤＡ法又は関連する方法を適用させる前提条件は、曲線当てはめ問題の係数行列が最大階数を有さなければならないことである。しかし、（６−１８）の場合には、正確にはこれが満足させられない。実際、（６−１７）、（６−１６）、（６−１３）及び（１−２）から、
【数３１５】
0005478881.tif 000316
であり、したがって
【数３１６】
0005478881.tif 000317
である。（６−１８）における係数行列
【数３１７】
0005478881.tif 000318
は従って階数不足Ｋを有する。
【００６６】
従って、整数二次曲線当てはめ問題を解くための効率的な方法は、（６−１８）に直接適用できるものでなく、初期値を計算するための上記方法は、（６−１８）の階数不足が効果的に除去可能な場合にしか実際に適用できない。これを実施する方法は以下に記載する。
【００６７】
この方法の開始点は、互いに対して有理比を持つように、即ち、
【数３１８】
0005478881.tif 000319
となるように半波長（１−０）を選択することである。ここで、
【数３１９】
0005478881.tif 000320
は
【数３２０】
0005478881.tif 000321
の成分の最大公約数を表している。
【００６８】
この方法の別の部分は、
【数３２１】
0005478881.tif 000322
のユニモジュラ付加行列を選択すること、すなわち、
【数３２２】
0005478881.tif 000323
となるような行列
【数３２３】
0005478881.tif 000324
を選択することである。
【００６９】
（７−３）において、
【数３２４】
0005478881.tif 000325
はいわゆるユニモジュラＮ×Ｎ行列の集合であり、行列の乗算に関して群をなす。その要素は、
【数３２５】
0005478881.tif 000326
の自己同型である。（７−３）から特に
【数３２６】
0005478881.tif 000327
が従う。よって、
【数３２７】
0005478881.tif 000328
は
【数３２８】
0005478881.tif 000329
に対するいわゆるｇｇＴ係数ベクトルである。つまり、ｇｇＴ(ｐ)は
【数３２９】
0005478881.tif 000330
の成分と
【数３３０】
0005478881.tif 000331
からの係数との線形結合として書くことができる。初等整数論の定理は、（７−２）の形式のベクトルのユニモジュラ付加行列（Ｎ＞２の場合は無限に存在する）の存在を保証し、計算整数論はこれらを効率的に計算するアルゴリズムを提供する。例えば、
【数３３１】
0005478881.tif 000332
に対して、（７−３）を充足し且つ絶対値の小さな成分を有する行列
【数３３２】
0005478881.tif 000333
を計算する、"G. Havas, B. S. Majewski & K. R. Matthews: Extended GCD and Hermite Normal Form Algorithms via Lattice Basis Reduction (addenda and errata) ; Experimental Mathematics 8:2 (1999),  B. S. Majewski & K. R. Matthews: Extended GCD and Hermite Normal Form Algorithms via Lattice Basis Reduction; Experimental Mathematics 7:2 (1998), B. S. Majewski & K. R. Matthews: Extended GCD and Hermite Normal Form Algorithms via Lattice Basis Reduction; Experimental Mathematics 7:2 (1998), Seiten 125 - 136"のアルゴリズム３は、Ｑの代わりに、その逆行列
【数３３３】
0005478881.tif 000334
又は両方を生成するように変更可能である。
【００７０】
この方法のまた別の部分は、
【数３３４】
0005478881.tif 000335
への変数変換
【数３３５】
0005478881.tif 000336
である。この変数変換に関しては、
【数３３６】
0005478881.tif 000337
が成り立つ。（７−５）及び（７−６）から、
【数３３７】
0005478881.tif 000338
が導かれ、（７−６）、（６−１３）、（７−３）及び（７−１）からは
【数３３８】
0005478881.tif 000339
が得られる。よって、（７−７）の右辺のベクトルノルムの平方は最大階数の係数行列を有し、その最小点
【数３３９】
0005478881.tif 000340
は、どの
【数３４０】
0005478881.tif 000341
に対しても、ＬＡＭＢＤＡ法又は関連する方法によって効率的に計算可能である。もし必要であれば、整数二次曲線当てはめ問題（７−７）は、置換行列（６−１３）のそれぞれについて解かれる。この場合、これら（Ｋ！）N-1個の最小値のうちで最小のものが、最小点
【数３４１】
0005478881.tif 000342
を特定し、それから（７−５）に従って
【数３４２】
0005478881.tif 000343
が計算される。ここで、
【数３４３】
0005478881.tif 000344
を任意に選択できる。これは、
【数３４４】
0005478881.tif 000345
を与える。
【００７１】
式（７−９）は初期値
【数３４５】
0005478881.tif 000346
のp1周期性を表す。この周期性は、（４―５）により定義される関数£K,Kの（７−２）の場合のp1周期性の結果である。従って、（４−３）ないし（１−２２）における範囲限界は
【数３４６】
0005478881.tif 000347
が成り立つように選択されるべきである。これは（７−９）において
【数３４７】
0005478881.tif 000348
を一意的に特定する。式（７−１０）は、（６−１４）に従って計算された初期値
【数３４８】
0005478881.tif 000349
が範囲限界（７−１１）に依存しないことを示す。
【００７２】
初期値の上述の計算はかなりの計算コストを必要とするので、最大限でも限定的にしか使用できない、より簡単な方法が望ましい。このような方法を以下に記載する。
【００７３】
この方法の動機付けのために、受信信号にノイズが無いという理想的な場合を検討する。
【数３４９】
0005478881.tif 000350
と設定すれば、距離信号データ及び較正信号データ
【数３５０】
0005478881.tif 000351
は、（１−６）と（１−２１）に従い、信号モデルに現れるパラメータの、モデルによって前提された「真の値」によって一意的に特定される。これら
【数３５１】
0005478881.tif 000352
の「真の値」を
【数３５２】
0005478881.tif 000353
及び
【数３５３】
0005478881.tif 000354
で表せば、（２−０）の最小化から（４−５）の最大化への解析的還元の分析により、（８−０）は、恒等式
【数３５４】
0005478881.tif 000355
を含意することが示される。このことから（４−１）によって、
【数３５５】
0005478881.tif 000356
は（４−５）により定義された関数£K,Lの最大点であることが従う。よって、
【数３５６】
0005478881.tif 000357
が成り立つ。これは、あらゆるまともな推定量によって予想される振る舞いに一致する。
【００７４】
Ｋ≦Ｌなので、（６−３）、（８−１）、（４−１）から、
【数３５７】
0005478881.tif 000358
が得られる。また、この式と（６−４）とから、適切に選択された置換行列
【数３５８】
0005478881.tif 000359
に関して、
【数３５９】
0005478881.tif 000360
が得られる。同様に、
【数３６０】
0005478881.tif 000361
となる。
【数３６１】
0005478881.tif 000362
はｎ∈{１,...,Ｎ}に関して関数（６−２）の絶対値的に最小の最大点として選択されているので、上記のことは
【数３６２】
0005478881.tif 000363
を含意する。
【００７５】
恒等式（８−４）が意味していることは、ターゲットの番号付けを適切に選択すれば、（６−１３）により
【数３６３】
0005478881.tif 000364
が成り立つような行列
【数３６４】
0005478881.tif 000365
が存在するということである。これは、
【数３６５】
0005478881.tif 000366
を含意する。即ち、（６−１８）又は（７−７）はゼロにすることができる。これは、ノイズ無しの信号に対するベクトルノルムの平方（７−７）の最小化も、「真のパラメータ値」
【数３６６】
0005478881.tif 000367
を与えることを示している。また、
【数３６７】
0005478881.tif 000368
が成り立つ。これは
【数３６８】
0005478881.tif 000369
であるので、
【数３６９】
0005478881.tif 000370
に等しい。
【００７６】
上記説明によれば、対応付け曖昧性のＭＬ推定値
【数３７０】
0005478881.tif 000371
を知ることが可能ならば、ノイズ無し信号という理想の場合には、ＭＬ推定値
【数３７１】
0005478881.tif 000372
は、関数（６−２）の最大化とカラテオドリー表現（６−３）と式（８−１０）とを介して計算できる。既に述べたように、これはＫ＝１の場合には自明であり、Ｋ＞１個のターゲットの場合には、明らかにエコーの強度が異なるので容易に可能である。さもなければ、式（８−１０）を
【数３７２】
0005478881.tif 000373
の異なる複数のｇｇＴ係数ベクトル
【数３７３】
0005478881.tif 000374
に適用することにより、
【数３７４】
0005478881.tif 000375
を決定することを試みてもよい。
【００７７】
初期値の単純化された計算は、上記方法を実際のノイズを含んだ距離信号データ及び較正信号データ
【数３７５】
0005478881.tif 000376
に適用することである。その際、（７−７）の最小化は、
【数３７６】
0005478881.tif 000377
に対するｇｇＴ係数ベクトル
【数３７７】
0005478881.tif 000378
のより単純な計算に取って代わられる。これらｇｇＴ係数ベクトルは有利には絶対値の小さな成分を有しており、（８−１０）において用いられる。この単純化された方法は、低ノイズ受信信号の状況でのみ用いることが望ましい。
【発明を実施するための最良の形態】
【００７８】
図１は、複数ターゲットの場合の距離測定に対する条件を概略的に示す。信号は、例としてトータルステーションとして表している測地装置１の送信機によって放射され、例として反射器として具体化された第１ターゲット物体２ａと第２ターゲット物体２ｂという複数のターゲットによって反射され、その反射信号は装置１の受信機によって検知される。２つのターゲット物体２ａと２ｂの成分は受信機内で重なり合うので、受信機は、両方の個別の位相の成分を有する単一位相のただ１つの信号を受信する。図示した例において、状況によっては、背景に見える家の壁２ｃからの反射成分も現れるが、その成分も同様に受信信号の一部である。見易さの理由から、協同する２つの測量すべきターゲット物体２ａ、２ｂだけしか図示していない。しかし、距離測定のための本発明に係る方法は、他の種類のターゲットに対しても、より多くのターゲット物体に対しても用いることができる。
【００７９】
図２に、この２つのターゲット物体２ａ、２ｂによる複数ターゲットの場合の位相の概略図を示す。一番上の図は、放射された信号３がどのように第１ターゲット物体２ａとしての反射器に当たり、それによって第１信号成分４が反射して戻ってくるかを示す。真中の図に示すように、放射信号３の残りの部分（図示の第１ターゲット物体２ａの場合、例えば透過性ターゲットの透過後または付影後の）は、第２放射成分３ａとしてここでは同一の反射器として示す第２ターゲット物体２ｂに当たる。第２ターゲット物体２ｂによって反射されて戻ってきた第３放射成分５ａは、場合によっては第１ターゲット物体２ａによる更なる付影後、最終的に第４放射成分５として受信機に再び当たる。しかし、受信機は受信すべき信号６としてつねに共通の複数ターゲット位相を有する重畳した第１及び第４放射成分４、５を記録する。即ち、両ターゲット物体２ａ，２ｂからの反射は一緒に分離されること無く捕捉される。
【００８０】
図３は、本発明の距離測定方法の基本原理の概略図である。この例では、２つの半波長Λ1＞Λ2＞０を有するＮ＝２個の周期的な電磁信号７、例えばレーザー光が、装置１から異なる時点に放射される。距離Ｄ1、Ｄ2にあるＫ＝２個のターゲット物体２ａ、２ｂからの反射は受信信号として等時間間隔のサンプリング時点でサンプリングされ、サンプリング値が形成され、場合によっては記憶される。その際、サンプリングは信号周期あたりＭ≧２Ｋ回、即ち、単一ターゲットの場合はＭ≧２回、この例のようにターゲット物体が２個の場合にはＭ≧４回行われる。距離Ｄ1、Ｄ2は装置１の距離計の測定範囲内にあり、この測定範囲は
【数３７８】
0005478881.tif 000379
ただし、Ｄ-＜Ｄ+
によって定められている。Ｋ＝２個のターゲットまでの距離Ｄ1、Ｄ2は専ら位相測定原理に従ってサンプリング値から同時に決定される。その際、数学的な信号モデルに基づいた統計的なパラメータ推定問題が不等式Ｄ-≦Ｄ1、Ｄ2＜Ｄ+を満たすように解かれる。ターゲット物体２ａ、２ｂの数は、距離を求める際にサンプリング値から求めるか、又は既知として設定してよい。
【００８１】
反射放射又は受信信号の一意的な分解は、信号受信時及び信号評価時に高次の高調波成分を一緒に考慮すれば、可能である。図４には、図２に依拠して、最も低い高次高調波として２次高調波を用いた多数ターゲットの場合の位相が概略的に示されている。２次高調波に相応して２倍の周波数で放射される放射線８についても、同様の条件が当てはまる。高調波放射８も同様に第１ターゲット物体２ａに当たり、第１ターゲット物体２ａから１次高調波放射線成分９が反射して戻ってくる。残りの部分は第２ターゲット物体２ｂに２次高調波放射成分８ａとして届く。第２ターゲット物体２ｂで反射されて戻った３次高調波放射成分１０ａは、場合によっては第１ターゲット物体２ａによる更なる付影後に、４次高調波成分１０として最終的に受信機に再び当たる。受信機はまた、共通の高次高調波複数ターゲット位相１１を有する重畳した１次及び４次高調波放射成分９、１０を記録する。
【図面の簡単な説明】
【００８２】
【図１】複数ターゲットの場合の距離測定の概略図である。
【図２】複数ターゲットの場合の位相の概略図である。
【図３】距離測定のための本発明に係る方法の基本原理の概略図である。
【図４】２次高調波を用いた個々のターゲット位相の分解に対する位相の概略図である。
【図１】
0005478881.tif 000519
【図２】
0005478881.tif 000520
【図３】
0005478881.tif 000521
【図４】
0005478881.tif 000522