(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
有限要素解析法において、完全積分型（fully-integrated）８ノードの六面体エレメントの横剪断ロッキング効果を低減する方法であって、
有限要素解析法モデル定義ステップであって、コンピュータシステムにおけるアプリケーションモジュールによって、少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントを有する改善するべき工業製品を定義するステップと、
前記アプリケーションモジュールによって、前記少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントのそれぞれに対して１セットのアスペクト比に基づいたスケール係数を計算するステップと、
前記アプリケーションモジュールによって、前記少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントの前記それぞれの横剪断ロッキング効果が低減されるよう、それぞれがアスペクト比に基づいたスケール係数を有するアイソパラメトリック形状関数の偏導関数を修正することによって、前記少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントの前記それぞれの修正アイソパラメトリック・ヤコビアンマトリックスを作成するステップと、
前記少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントおよび修正アイソパラメトリック・ヤコビアンマトリックスを有する有限要素解析法モデルを用いて、前記コンピュータシステムにおいて有限要素解析法を用いて工学シミュレーションを行うステップであって、工学シミュレーションの結果を用いて、ユーザが前記工業製品の改良に関する設計判断を行うことを支援するステップと、
を備える方法。
【請求項２】
請求項１に記載の方法であって、前記少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントの前記それぞれは、３つのローカル空間的寸法を有する方法。
【請求項３】
請求項２に記載の方法であって、前記１セットのアスペクト比に基づいたスケール係数は次式によって定義される
0005589198.tif 000030
Ｌ１，Ｌ２およびＬ３は、前記少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントの前記それぞれにおける前記３つのローカル空間的寸法のそれぞれの長さであり、
0005589198.tif 000031
は前記１セットのアスペクト比に基づいたスケール係数のうちの１つを表わしている方法。
【請求項４】
請求項３に記載の方法であって、前記偏導関数は、
0005589198.tif 000032
を
0005589198.tif 000033
（ｊは、ｊ＝１，２，３）へと修正する
（ここでξ１，ξ２およびξ３はそれぞれ、前記３つアイソパラメトリック寸法におけるアイソパラメトリック座標であり、ＮＩは前記アイソパラメトリック形状関数である）方法。
【請求項５】
請求項４に記載の方法であって、修正アイソパラメトリック・ヤコビアンマトリックスＪｉｊは以下のように計算される
0005589198.tif 000034
0005589198.tif 000035
（ここで、
0005589198.tif 000036
はローカル座標系とグローバル座標系との間の逆変換であり、
0005589198.tif 000037
はローカル空間的座標系におけるヤコビアン−座標変換マトリックスであり、ｑｍｋはローカル座標系とグローバル座標系との間の変換であり、
0005589198.tif 000038
はグローバル座標系の節点座標ベクトルであり、δｉｋはクロネッカーデルタ関数である）方法。
【請求項６】
請求項１に記載の方法であって、前記少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントの前記それぞれは、８つの積分点を有する方法。
【請求項７】
有限要素解析法において、完全積分型８ノードの六面体エレメントの横剪断ロッキング効果を低減するシステムであって、
有限要素解析法アプリケーションモジュールに関するコンピュータ可読コードを記憶しているメインメモリと、
前記メインメモリに連結される少なくとも１つのプロセッサであって、該少なくとも１つのプロセッサが前記メインメモリ内の前記コンピュータ可読コードを実行して、前記有限要素解析法アプリケーションモジュールを実行させるシステムであって、
少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントを有する改善するべき工業製品を表現する有限要素解析法モデルを定義する手段と、
前記少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントのそれぞれに対して１セットのアスペクト比に基づいたスケール係数を計算する手段と、
前記少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントの前記それぞれの横剪断ロッキング効果が低減されるよう、それぞれがアスペクト比に基づいたスケール係数を有するアイソパラメトリック形状関数の偏導関数を修正することによって、前記少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントの前記それぞれの修正アイソパラメトリック・ヤコビアンマトリックスを作成する手段と、
前記少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントおよび修正アイソパラメトリック・ヤコビアンマトリックスを有する有限要素解析法モデルを用いて、有限要素解析法を用いて工学シミュレーションを行う手段であって、工学シミュレーションの結果を用いて、ユーザが前記工業製品の改良に関する設計判断を行うことを支援する手段と、
を備えているシステム。
【請求項８】
請求項７に記載のシステムであって、前記少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントの前記それぞれは、３つのアイソパラメトリック寸法を有しており、
前記１セットのアスペクト比に基づいたスケール係数は次式によって定義され、
0005589198.tif 000039
（Ｌ１，Ｌ２およびＬ３は、前記少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントの前記それぞれにおける前記３つのアイソパラメトリック寸法のそれぞれの長さであり、
0005589198.tif 000040
は前記１セットのアスペクト比に基づいたスケール係数のうちの１つを表わしている）
アイソパラメトリック形状関数の前記導関数は
0005589198.tif 000041
を
0005589198.tif 000042
（ｊは、ｊ＝１，２，３）へと修正する
（ここでξ１，ξ２およびξ３は、それぞれ、前記３つアイソパラメトリック寸法におけるアイソパラメトリック座標であり、ＮＩは前記アイソパラメトリック形状関数である）システム。
【請求項９】
有限要素解析法において、完全積分型８ノードの六面体エレメントの横剪断ロッキング効果を低減するコンピュータシステムを制御する命令を有するコンピュータ可読記録媒体であって、前記コンピュータシステムに、
少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントを有する有限要素解析法モデルを定義するステップであって、前記有限要素解析法モデルが工業製品を表現しているステップと、
前記少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントのそれぞれに対して１セットのアスペクト比に基づいたスケール係数を計算するステップと、
前記少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントの前記それぞれの横剪断ロッキング効果が低減されるよう、それぞれがアスペクト比に基づいたスケール係数を有するアイソパラメトリック形状関数の偏導関数を修正することによって、前記少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントの前記それぞれの修正アイソパラメトリック・ヤコビアンマトリックスを作成するステップと、
前記少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントおよび修正アイソパラメトリック・ヤコビアンマトリックスを有する有限要素解析法モデルを用いて、前記コンピュータシステムにおいて有限要素解析法を用いて工学シミュレーションを行うステップであって、工学シミュレーションの結果を用いて、ユーザが前記工業製品の改良に関する設計判断を行うことを支援するステップと、
を実行させる前記命令を有するコンピュータ可読記録媒体。
【請求項１０】
請求項９に記載のコンピュータ可読記録媒体であって、前記少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントの前記それぞれは、３つのアイソパラメトリック寸法を有しており、
前記１セットのアスペクト比に基づいたスケール係数は次式によって定義され、
0005589198.tif 000043
（Ｌ１，Ｌ２およびＬ３は、前記少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメントの前記それぞれにおける前記３つのアイソパラメトリック寸法のそれぞれの長さであり、
0005589198.tif 000044
は前記１セットのアスペクト比に基づいたスケール係数のうちの１つを表わしている）
アイソパラメトリック形状関数の前記導関数は
0005589198.tif 000045
を
0005589198.tif 000046
（ｊは、ｊ＝１，２，３）へと修正する
（ここでξ１，ξ２およびξ３は、それぞれ、前記３つアイソパラメトリック寸法におけるアイソパラメトリック座標であり、ＮＩは前記アイソパラメトリック形状関数である）コンピュータ可読記録媒体。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、概して、コンピュータ支援工学解析（例えば有限要素法に基づいた解析）に関し、より詳細には、ユーザが工業製品（例えば車、飛行機、部品）の設計の改良に関する判断を行うことを支援するのに用いることができる有限要素法において、剪断ロッキングを低減するよう構成された完全積分型六面体エレメントすなわちブリックエレメントの剪断ロッキングを低減する方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
有限要素法（ＦＥＭ）（有限要素解析法（ＦＥＡ）ともいう）は、積分方程式（ｉｎｔｅｇｒａｌ  ｅｑｕａｔｉｏｎｓ）だけでなく偏微分方程式（ｐａｒｔｉａｌ  ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ  ｅｑｕａｔｉｏｎｓ：ＰＤＥ）の近似解をも見つけるための数値的手法である。ソリューション（解法）アプローチは、微分方程式の完全な排除（定常状態問題（ｓｔｅａｄｙ  ｓｔａｔｅ  ｐｒｏｂｌｅｍｓ））、あるいはオイラーの方法やＲｕｎｇｅ−Ｋｕｔｔａなどの標準手法を用いて数値的に積分される常微分方程式の近似システムへのＰＤＥの表現に基づいている。
【０００３】
構造力学をシミュレートする際には、工学構造あるいは工業製品（例えば車、携帯電話、飛行機など）を、ノーダルポイントあるいはノードを通じて互いに接続される１セットの有限要素を用いてモデル化することができる。それぞれの有限要素は、形状と、密度、ヤング率、剛性率およびポアッソン比などの物理的特性と、を有するように構成される。有限要素は、一次元、二次元あるいは三次元とできる。一般に、三次元のエレメントは、ソリッドエレメント（つまり体積を有する有限要素）と呼ばれる。最も一般的なソリッドエレメントのうちの１つは、図１Ａに示す８ノードの六面体エレメント１００すなわちブリック（レンガ状）エレメントである。８ノードの六面体エレメント１００は、８つのコーナーノードを有する第１順位有限要素である。図１Ａの８ノードの六面体エレメントの一側面から見た二次元図を図１Ｂに示す。
【０００４】
有限要素結果（例えばエレメント内の応力によって生成されているノードの力）を評価するために、それぞれの六面体エレメントは、数値積分法（例えばガウス−ルジャンドル求積法数値積分法スキーム（Ｇａｕｓｓ−Ｌｅｇｅｎｄｒｅ  ｑｕａｄｒａｔｕｒｅ  ｎｕｍｅｒｉｃａｌ  ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ  ｓｃｈｅｍｅ））に対して１つ以上の積分点（ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ  ｐｏｉｎｔｓ）を用いて構成される。六面体エレメントの数値積分は、単一のガウス−ルジャンドル積分点を用いて行うことができる。そのようなエレメントを、積分下エレメントあるいはランク不足エレメント（ｕｎｄｅｒ−ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ  ｏｒ  ｒａｎｋ  ｄｅｆｉｃｉｅｎｔ  ｅｌｅｍｅｎｔ）という（図示せず）。あるいは、六面体エレメント１００は、それぞれの空間的方向において２つのガウス−ルジャンドル積分点１０２、合計８つの点を用いる。そのようなエレメントは、十分な積分（ｆｕｌｌ  ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ）あるいはランク足りている積分（ｒａｎｋ  ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ  ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ）を持つと言われる。十分な積分は、すべての可能なモードの変形がエレメントに応力を生じさせることを保証する。
【０００５】
さらに、有限要素法は、それぞれのエレメントに対して１セットの形状関数Ｎを用いて、エレメント内のどの場所でも、近似の変位ｕhを以下の式で構成する。
0005589198.tif 000002
ここで、ｕiはノードの変位である。それぞれのノードには３つの並進変位があり、したがって、８ノードの六面体エレメントでは、ｉは２４である（つまり、８つのノードに、それぞれ３つの変位がある）。
【０００６】
完全積分型（ｆｕｌｌｙ  ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ）８ノードの六面体エレメントは、積分点の配置によるある変形モードに対する組み込まれた擬似的剪断強度（ｂｕｉｌｔ−ｉｎ  ａｒｔｉｆｉｃｉａｌ  ｓｈｅａｒ  ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ）を意味する剪断ロッキング効果と呼ばれるものを受ける。この擬似的な強度は、アスペクト比が悪いエレメント（つまり空間的寸法のうちの１つが他の寸法より相当に大きいエレメント）で、さらに顕著である。例えば、図２Ａに示す細長い六面体エレメント２００は、アスペクト比が悪い（つまり、１から相当離れている）という。よりわかりやすく積分点２０２とエレメント２００との関係を見るために、エレメントの二次元図を図２Ｂに示す。アスペクト比は、図２Ｂにおける２つの辺Ｗ２１２およびＨ２１４のそれぞれの長さの比として定義される。三次元においては、３つのアスペクトがあり、それぞれ空間的寸法に対して１つの比がある。
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
時に、工業製品あるいは工学構造のジオメトリによりアスペクト比が悪いソリッドエレメント（例えば薄壁構造）を有する有限要素解析法モデルを生成するほうが有用であることがある。その有用さには、少なくとも以下のものが含まれる。１）モデルを生成しやすい。２）モデルにおけるエレメントの数が少ないので計算がより効率的である。
【０００８】
一般に、完全積分型８ノードのソリッドエレメントには、純粋な曲げのシミュレートにおいて、横剪断ロッキング（ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ  ｓｈｅａｒ  ｌｏｃｋｉｎｇ）とよばれる数値的な欠陥がある。そして、ソリッドエレメントのアスペクト比が悪い場合、剪断ロッキング効果は増幅される。図３Ａは、８ノードのソリッドエレメントの剪断ロッキング効果を示す二次元側面図である。図３Ａの略図３１０は、角柱あるいは長い構造体の現実的な純粋な曲げを示す。一方、図３Ｂの略図３２０は、同じ曲げモーメント３００のときの、アスペクト比が悪い８ノードのソリッドエレメントを示す。８ノードの六面体エレメントにはノード間の曲率があらわれていないことは明白であろう。したがって、この８ノードの六面体エレメントは、仮定したシミュレートの現実の構造的挙動と比較して、数値的に剛性がありすぎる。完全積分型８ノードのソリッドエレメントに対して、積分点（図２Ａの２０２）は、ソリッドエレメントの質量中心に位置しておらず、そのためこの剪断ロッキング効果が生じる。
【０００９】
この剪断ロッキング問題を解決するある従来技術アプローチでは、より高度なエレメントを、例えば２０ノードのエレメント（１辺当たり１つのノードを追加（図示せず））を、用いている。しかしながら、より高度なエレメントに伴う計算コストのために、現実世界の製造状況においては実用上使用できない。したがって、有限要素法における剪断ロッキングを低減するよう構成される８ノードの六面体エレメントの改良が望まれよう。
【課題を解決するための手段】
【００１０】
有限要素法において剪断ロッキングを低減するよう構成された、改善８ノード六面体エレメントを開示する。完全積分型六面体エレメントが、８つのコーナーノードおよび８つの積分点に対して構成される。
【００１１】
本発明の一の面では、アスペクト比に基づいたスケール係数が、アイソパラメトリック寸法に関して８ノード六面体エレメントのアイソパラメトリック形状関数の偏導関数を修正するよう、それぞれ、導入される。修正導関数は、ヤコビマトリックスを、したがって歪み割合（ｒａｔｅ−ｏｆ−ｓｔｒａｉｎ）を、計算するために用いられる。スケール係数は、完全な立方体のソリッドエレメント（つまりすべての３つの空間的寸法においてアスペクト比が１であるエレメント）に対して変化はないが、アスペクト比が悪いエレメントに対しては大きく変化するよう、構成される。言いかえれば、アスペクト比が悪いエレメントを、アスペクト比に基づいたスケール係数を用いて、完全な立方体のエレメントとの対応関係を定義する（マップする）。
【００１２】
その結果、擬似的な数値的横剪断ロッキング効果は、上述したようなアプローチを用いて、有限要素解析法によって得られる構造的応答において、低減される。
【００１３】
本発明の他の面では、ローカルヤコビアンマトリックスにおける非対角（対角から外れた）成分は、擬似的な剪断変形モードと関係する項をキャンセルすることによって直接修正される。この測度（ｍｅａｓｕｒｅ）は、完全に形成されたエレメント（つまりアスペクト比が１である立方体のエレメント）に対しても擬似的剪断ロッキング効果を完全に緩和する。
【００１４】
本発明の他の目的、特徴および利点は、添付した図面を参照し、以下の本発明の実施の形態の詳細な説明を考察することによって明らかとなろう。
【００１５】
本発明のこれらおよび他の特徴、面および利点は、以下の説明、添付の特許請求の範囲および添付した図面を考慮してより理解されよう。図面は次の通りである。
【図面の簡単な説明】
【００１６】
【図１Ａ】例示的な８ノードの六面体すなわちソリッドエレメントを示す斜視図である。
【図１Ｂ】図１Ａのソリッドエレメントの一側面を示す二次元図である。
【図２Ａ】アスペクト比が悪い例示的な８ノードの六面体エレメントを示す斜視図である。
【図２Ｂ】図２Ａのソリッドエレメントの一側面を示す二次元図である。
【図３Ａ】純粋な曲げモーメント下にある長い構造体の変形形状を示す二次元の側面図である。
【図３Ｂ】図３Ａの同じ曲げモーメント下にある長い構造体のシミュレートするよう構成された８ノードの六面体エレメントの一側面を示す図である。
【図４Ａ】本発明の実施形態にかかる、有限要素解析法において用いられる８ノードの六面体エレメントの横剪断ロッキング効果を低減する例示的なプロセスを示すフローチャートである。
【図４Ｂ】本発明の他の実施形態にかかる、横剪断ロッキング効果を低減する他の例示的なプロセスを示すフローチャートである。
【図５Ａ】本発明の一の実施形態にかかる、８ノードの六面体エレメントの例示的な三次元アイソパラメトリック座標系を示す図である。
【図５Ｂ】本発明の一の実施形態にかかる、８ノードの六面体エレメントに対して用いられる種々の座標系を示す図である。
【図６】図６は、本発明の実施形態を実現可能である演算処理装置の主要な部品を示す機能図である。
【発明を実施するための形態】
【００１７】
図４Ａを参照して、本発明の実施形態にかかる、有限要素解析法における８ノードの六面体エレメントの横剪断ロッキング効果を低減する例示的なプロセスを示すフローチャート４００を示す。プロセス４００は、好ましくはソフトウェアで実行される。有限要素解析法は、工業製品（例えば車、飛行機、構造、家庭用製品）の構造挙動のシミュレートのために用いられ、これにより、有限要素解析法のユーザ（例えば技術者、科学者など）が、製品をいかに改善するかに関してより優れた設計を判断できる。
【００１８】
プロセス４００は、ステップ４０２において、有限要素解析法を行なうために構成されたコンピュータシステムにおいて、有限要素解析法（ＦＥＡ）モデルを定義することによって、スタートする。ＦＥＡモデルは、設計すべきあるいは改善すべき工業製品を、例えば自動車、構造、家庭用製品などを、定義する。ＦＥＡを用いる時間進行工学シミュレーションは、設計荷重下での工業製品の構造的応答あるいは挙動を評価するために行なわれる。時間進行シミュレーションは、多数の時間ステップあるいはソリューションサイクルを有する。ＦＥＡモデルは、少なくとも１つの完全積分型８ノードの六面体エレメント（例えば図１Ａおよび図２Ａに示すエレメント）を有する。
【００１９】
第１実施形態では、ステップ４０４において、８ノードの六面体エレメントのそれぞれに対して、一つ一つがそれぞれの空間的方向に対応している３つのアスペクト比に基づいたスケール係数が、図５Ａに示す８ノードのソリッドエレメント５０１のアイソパラメトリック（ｉｓｏｐａｒａｍｅｔｒｉｃ）座標系５００において計算される。ξ1、ξ2およびξ3は、８ノードのソリッドエレメントを定義するように構成された３つのアイソパラメトリック座標である。アスペクト比に基づいたスケール係数
0005589198.tif 000003
は、以下のように計算される。
【００２０】
【数１】
0005589198.tif 000004
Ｌ1，Ｌ2およびＬ3は、それぞれ、３つのアイソパラメトリック方向におけるソリッドエレメントの対応する長さである。図による例示を、図５Ａに示す。ｍｉｎ（ａ，ｂ）の結果が「ａ」あるいは「ｂ」のどちらか小さい方であるので、アスペクト比に基づいたスケール係数は常に１以下である。
【００２１】
次に、ステップ４０６において、アスペクト比に基づいたスケール係数が、ヤコビアンマトリックスの計算において用いられる８ノードのソリッドエレメントのアイソパラメトリック形状関数ＮIの偏導関数
0005589198.tif 000005
を修正するよう、以下のように代入される。
【００２２】
【数２】
0005589198.tif 000006
【００２３】
そして、導関数
0005589198.tif 000007
は、擬似的な数値的剪断ロッキング効果を低減するよう、ヤコビアンマトリックスの非対角項の関連する成分を修正するように用いられる。この修正を説明するには、３つの座標系が必要であり、図５Ｂに示す。わかりやすく例示するために、座標系を二次元（２−Ｄ）で示す。当業者には、二次元座標系から三次元座標系に簡単に拡張できることは理解されよう。まず、エレメント５１２（三次元では８ノードのソリッドエレメントである）を、グローバル座標システム（Ｘ−Ｙ）５１０およびローカル空間的座標系（ｘL−ｙL）５２０に示す。グローバル座標系とローカル座標系との関係は、変換（矢印５１５として示す）によって表わすことができる。グローバル座標システム５１０は、一般に、有限要素解析法モデル全体を定義するよう、構成される。ローカル空間的座標系５２０は、アスペクト比を計算するよう、そして同じく適切にヤコビマトリックスを修正するよう、構成される。ローカル空間的座標系５２０の原点は、どこに設定してもよい（図５Ｂではエレメントの中心にある）。
【００２４】
エレメント５１２を、また、アイソパラメトリック座標系（ξ1−ξ2）５３０において表わすことができる（図５Ａのものと同様に）。４つのコーナーノード５３１〜５３４のアイソパラメトリック座標は、それぞれ、（１，１）、（１，−１）、（−１，−１）および（−１，１）である。同様に、変換（矢印５２５として示す）は、アイソパラメトリック座標系５３０とローカル空間的座標系５２０との関係を表わす。この変換は次のように表現されたローカルヤコビアンマトリックス
0005589198.tif 000008
である。
【００２５】
【数３】
0005589198.tif 000009
ここで、
0005589198.tif 000010
はローカル空間的座標（例えば２−Ｄにおける（ｘL，ｙL））であり、はアイソパラメトリック座標（例えば２−Ｄにおける（ξ1，ξ2））である。数式３の最後の表現は、数式２を用いることによって得られる。
【００２６】
図４Ｂに示す第２実施形態において、本発明は、ローカルヤコビアンマトリックスの関連する非対角成分を０に設定することによって、擬似的な剪断ロッキング効果を解消するという目的を達成する。成分形式において、ローカルヤコビアンマトリックスはアイソパラメトリック座標によって多項形式で書くことができる。
【００２７】
【数４】
0005589198.tif 000011
0005589198.tif 000012
のｉ番目の行に対してはｎｏ  ｓｕｍであり（no sum for ith row of
0005589198.tif 000013
）、ｉ≠ｊであり、ある
0005589198.tif 000014
はローカル空間的座標系の一つに依存する。疑似的な横剪断ロッキング効果は、項
0005589198.tif 000015
によって生じる。ある項は、そのような剪断ロッキング効果を解消するよう、この定数を単に０と設定する（
0005589198.tif 000016
＝０）ことができる（図４Ｂのステップ４２４）。
【００２８】
ヤコビアンマトリックスの計算は、ヤコビアン−座標変換マトリックス
0005589198.tif 000017
を用いて行うことができる。指標表記法および指標（ｉｎｄｉｃｉａｌ  ｎｏｔａｔｉｏｎ）にわたって繰り返しとる和（ｓｕｍｍａｔｉｏｎ  ｏｖｅｒ  ｒｅｐｅａｔｅｄ  ｉｎｄｅｃｅｓ）を用いて、完全積分型８ノードのソリッドエレメントのヤコビアンマトリックスを以下のように書くことができる。
【００２９】
【数５】
0005589198.tif 000018
ここで、ｑikはローカル座標系とグローバル座標システムとの間の変換を表わし、
0005589198.tif 000019
はローカル空間的座標系におけるヤコビアン−座標変換マトリックスである。マトリックス
0005589198.tif 000020
は２１６（９ｘ２４）個の項を含んでいる。９つの項は３ｘ３ヤコビアンマトリックスにおける成分であり、２４個の項は８積分点に対する空間的な項（つまり１つの点当たり３つの空間的変位）を表わす。
【００３０】
実際上、項
0005589198.tif 000021
を０に設定することによって、ヤコビアンアン−座標変換マトリックス
0005589198.tif 000022
が２１６の項を有する十分に密なマトリックス（フル・デンス・マトリックス（ｆｕｌｌ  ｄｅｎｓｅ  ｍａｔｒｉｘ））となる。これは計算上望ましくない。なぜなら、元の方法ではＦＥＡにおける明示的求解器（ｅｘｐｌｉｃｔ  ｓｏｌｖｅｒ）に対してわずか７２の項しか必要としないからである（つまり、およそ３倍計算コストがかかる）。しかしながら、このスキームは、計算コストの大部分が方程式求解器（ｅｑｕａｔｉｏｎ  ｓｏｌｖｅｒ）にある暗黙求解器（ｉｍｐｌｉｃｉｔ  ｓｏｌｖｅｒ）において用いることができる。フル・デンス・マトリックスとなる理由は、標準アイソパラメトリック・アプローチにおけるマトリックス
0005589198.tif 000023
を以下のように書くことができるからである。
【００３１】
【数６】
0005589198.tif 000024
ここで、δikはクロネッカーデルタ関数であり、
0005589198.tif 000025
は次の通りである。
【００３２】
【数７】
0005589198.tif 000026
ＮIはアイソパラメトリック座標系における形状関数である。項
0005589198.tif 000027
を０に設定することによって、数式６における
0005589198.tif 000028
の希薄さ（ｓｐａｒｓｉｔｙ）が消え（希薄な行列（ｓｐａｒｓｅ  ｍａｔｒｉｘ）でなくなり）、またマトリックス
0005589198.tif 000029
における希薄さも消える。
【００３３】
第１実施形態に戻って、数式１のスケール係数および数式２の修正偏導関数は、完全積分型８ノードの六面体エレメントの擬似的な横剪断ロッキング効果を低減するよう構成される。この修正により、計算効率を保ちながら、アスペクト比が悪いソリッドエレメントの特性を変える。完全な立方体のソリッドエレメントについては、スケール係数は数式１に基づいたものと等しい。その結果、元の形状関数の偏導関数（数式７）は保たれている（つまり、数式２および数式７は正確に同じである）。アスペクト比が大きいエレメントのヤコビアンマトリックスは、数式１および数式２にかかるスケール係数によって大きく修正され、したがって、横剪断ロッキング効果が低減される。
【００３４】
次に、プロセス４００のステップ４０８において、修正ヤコビアンマトリックスが有限要素解析法モデルにおけるそれぞれの８ノードのソリッドエレメントに対して計算された後、有限要素解析法が、時間進行シミュレーションにおいて工業製品の構造的応答を得るよう、行なわれる。シミュレーションの結果すなわち構造的応答を用いて、ユーザ（例えば技術者、科学者）が工業製品の改良に関する設計判断を行うことを支援する。
【００３５】
次に、図４Ｂを参照して、本発明の他の実施形態にかかる、完全積分型８ノードの六面体エレメントの剪断ロッキング効果を低減する他の例示的なプロセスを示すフローチャート４２０を示す。プロセス４００と同様に、プロセス４００は、好ましくはソフトウェアで実行される。
【００３６】
プロセス４２０は、プロセス４００のステップと同様あるいは同一のステップを備える。例えば、ステップ４２２はプロセス４００のステップ４０２と同一であり、ステップ４２８はステップ４０８と同一である。ステップ４２４は、修正ヤコビアンマトリックスの計算を備える。計算は、関連する非対角成分を０に設定することによって達成される。これらの関連する項は、擬似的な剪断ロッキング効果の原因である。関連する項の位置は、数式４に定義されている。
【００３７】
一の側面において、本発明は、ここで説明した機能を実行可能な１つ以上のコンピュータシステムに対してなされたものである。コンピュータシステム６００の一例を、図６に示す。コンピュータシステム６００は、プロセッサ６０４など１つ以上のプロセッサを有する。プロセッサ６０４は、コンピュータシステム内部通信バス６０２に接続されている。種々のソフトウェアの実施形態を、この例示的なコンピュータシステムの点から説明する。この説明を読むと、いかにして、他のコンピュータシステムおよび／またはコンピューターアーキテクチャーを用いて、本発明を実行するかが、関連する技術分野に習熟している者には明らかになるであろう。
【００３８】
コンピュータシステム６００は、また、メインメモリ６０８好ましくはランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）を有しており、そして二次メモリ６１０を有することもできる。二次メモリ６１０は、例えば、１つ以上のハードディスクドライブ６１２、および／またはフレキシブルディスクドライブ、磁気テープドライブ、光ディスクドライブなどを表わす１つ以上のリムーバブルストレージドライブ６１４を有することができる。リムーバブルストレージドライブ６１４は、よく知られている方法で、リムーバブルストレージユニット６１８を読み取りおよび／またはリムーバブルストレージユニット６１８に書き込む。リムーバブルストレージユニット６１８は、リムーバブルストレージドライブ６１４によって読み取り・書き込みされるフレキシブルディスク、磁気テープ、光ディスクなどを表わす。以下にわかるように、リムーバブルストレージユニット６１８は、コンピューターソフトウェアおよび／またはデータを内部に記憶しているコンピュータ可読媒体を有している。
【００３９】
代替的な実施形態において、二次メモリ６１０は、コンピュータプログラムあるいは他の命令をコンピュータシステム６００にロードすることを可能にする他の同様な手段を有することもできる。そのような手段は、例えば、リムーバブルストレージユニット６２２とインタフェース６２０とを有することができる。そのようなものの例には、プログラムカートリッジおよびカートリッジのインタフェース（ビデオゲーム機に見られるようなものなど）と、リムーバブルメモリチップ（消去可能なプログラマブルＲＯＭ（ＥＰＲＯＭ）、ユニバーサルシリアルバス（ＵＳＢ）フラッシュメモリ、あるいはＰＲＯＭなど）および関連するソケットと、ソフトウェアおよびデータをリムーバブルストレージユニット６２２からコンピュータシステム６００に転送することを可能にする他のリムーバブルストレージユニット６２０およびインタフェース６２２と、が含まれうる。一般に、コンピュータシステム６００は、プロセススケジューリング、メモリ管理、ネットワーク管理およびＩ／Ｏサービスなどのタスクを行なうオペレーティングシステム（ＯＳ）ソフトウェアによって、制御され連係される。
【００４０】
通信用インタフェース６２４も、また、バス６０２に接続することができる。通信用インタフェース６２４は、ソフトウェアおよびデータをコンピュータシステム６００と外部装置との間で転送することを可能にする。通信用インタフェース６２４の例には、モデム、ネットワークインターフェイス（イーサネット（登録商標）・カードなど）、コミュニケーションポート、ＰＣＭＣＩＡ（Ｐｅｒｓｏｎａｌ  Ｃｏｍｐｕｔｅｒ  Ｍｅｍｏｒｙ  Ｃａｒｄ  Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ  Ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ）スロットおよびカードなど、が含まれうる。
【００４１】
コンピュータ６００は、専用のセットの規則（つまりプロトコル）を実行してデータを送受信する。一般的なプロトコルのうちの１つは、インターネットにおいて一般的に用いられているＴＣＰ／ＩＰ（伝送コントロール・プロトコル／インターネット・プロトコル）である。一般的に、通信インタフェース６２４は、データファイルをデータネットワーク上で伝達される小さいパケットへ分割し、あるいは受信したパケットを元のデータファイルへと組立てる（再構築する）、いわゆるパケットのアセンブル・リアセンブル管理を行う。さらに、通信インタフェース６２４は、正しい宛先に届くようそれぞれのパケットのアドレス部分に対処し、あるいはコンピュータ６００が宛先となっているパケットを他に向かわせることなく受信する。
【００４２】
この書類において、「コンピュータが記録可能な記憶媒体」、「コンピュータが記録可能な媒体」および「コンピュータ可読媒体」という用語は、リムーバブルストレージドライブ６１４および／またはハードディスクドライブ６１２に組み込まれたハードディスクなどの媒体を概ね意味して用いられている。これらのコンピュータプログラム製品は、コンピュータシステム６００にソフトウェアを提供する手段である。本発明は、このようなコンピュータプログラム製品に対してなされたものである。
【００４３】
コンピュータシステム６００は、また、コンピュータシステム６００をアクセスモニタ、キーボード、マウス、プリンタ、スキャナ、プロッタなどに提供する入出力（Ｉ／Ｏ）インターフェース６３０を有することができる。
【００４４】
コンピュータプログラム（コンピュータ制御ロジックともいう）は、メインメモリ６０８および／または二次メモリ６１０にアプリケーションモジュール６０６として記憶される。コンピュータプログラムを、通信用インタフェース６２４を介して受け取ることもできる。このようなコンピュータプログラムが実行された時、コンピュータプログラムによって、コンピュータシステム６００がここに説明した本発明の特徴を実行することが可能になる。詳細には、コンピュータプログラムが実行された時、コンピュータプログラムによって、プロセッサ６０４が本発明の特徴を実行することが可能になる。したがって、このようなコンピュータプログラムは、コンピュータシステム６００のコントローラを表わしている。
【００４５】
ソフトウェアを用いて発明が実行されるある実施形態において、当該ソフトウェアはコンピュータプログラム製品に記憶され、リムーバブルストレージドライブ６１４、ハードドライブ６１２あるいは通信用インタフェース６２４を用いてコンピュータシステム６００へとロードすることができる。アプリケーションモジュール６０６は、プロセッサ６０４によって実行された時、アプリケーションモジュール６０６によって、プロセッサ６０４がここに説明した本発明の機能を実行する。
【００４６】
所望のタスクを達成するために、Ｉ／Ｏインタフェース６３０を介したユーザ入力によってあるいはよることなしに、１つ以上のプロセッサ６０４によって実行することができる１つ以上のアプリケーションモジュール６０６を、メインメモリ６０８に、ロードすることもできる。動作においては、少なくとも１つのプロセッサ６０４がアプリケーションモジュール６０６のうちの１つが実行されると、結果が演算されて二次メモリ６１０（つまりハードディスクドライブ６１２）に記憶される。有限要素解析法方法を用いた時間進行工学シミュレーションの状況（例えば、変形したエレメント、８ノードのソリッドエレメントの応答など）は、テキストあるいはグラフィックの表現で、Ｉ／Ｏインタフェース６３０を介してユーザに報告される。
【００４７】
本発明を具体的な実施形態を参照しながら説明したが、これらの実施形態は単なる例示であって、本発明を限定するものではない。開示した例示的な実施形態に対する種々の変更あるいは変形を、当業者は思いつくであろう。例えば、座標系およびエレメントの例示を二次元図において示したが、本発明は、より一般的な三次元エレメントに対してなされる。つまり、発明の範囲は、ここで開示した具体的で例示的な実施形態に限定されず、当業者が容易に想到するあらゆる変更が、本願の精神および認識範囲そして添付の特許請求の範囲の権利範囲に含まれる。
【符号の説明】
【００４８】
１００  ８ノードの六面体エレメント
１０２  積分点
２００  細長い六面体エレメント
２０２  積分点
３００  曲げモーメント
３１０  略図
３２０  略図
５００  アイソパラメトリック座標系
５０１  ８ノードのソリッドエレメント
５１０  グローバル座標システム
５１２  エレメント
５１５  変換
５２０  ローカル空間的座標系
５２５  変換
５３０  アイソパラメトリック座標系
５３１〜５３４  コーナーノード
６００  コンピュータシステム
６０２  バス
６０４  プロセッサ
６０６  アプリケーションモジュール
６０８  メインメモリ
６１０  二次メモリ
６１２  ハードディスクドライブ
６１４  リムーバブルストレージドライブ
６１８  リムーバブルストレージユニット
６２０  インタフェース
６２２  リムーバブルストレージユニット
６２４  通信インタフェース
６３０  Ｉ／Ｏインタフェース
【図１Ａ】
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【図１Ｂ】
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【図２Ａ】
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【図２Ｂ】
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【図３Ａ】
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【図３Ｂ】
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【図４Ａ】
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【図４Ｂ】
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【図５Ａ】
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【図５Ｂ】
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【図６】
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