(57)【要約】  マルコフ連鎖とβ変換との関係に着目し、高精度且つ回路素子の不安定性をカバーする変換器等を提供する。Ｌビットの数ｂｉ（ｉ＝１，…，Ｌ）に基づくサンプル値ｘの復号値を求める変換器１であって、γ＝１／β（ただし、βは１＜β＜２）に対し復号値ｘＤを(eq1)式により求める復号部３を備える。また、変換器１は、ｂｉに基づいてマルコフ遷移行列を求める行列推定部５も備える。従来では区間の下限に注目しているのに対し、(eq1)式を用いる復号部３は区間の中央に注目し、この点が大きく異なっている。2009014057.tif 000015
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
Ｌビットの数ｂｉ（ｉ＝１，…，Ｌ）に基づくサンプル値ｘの復号値を求める変換器であって、
γ＝１／β（ただし、βは１＜β＜２）に対し復号値ｘＤを(eq1)式により求める復号手段を備える変換器。
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【請求項２】
ｘ∈（０，１）とｙ＝１−ｘ∈（０，１）をβ変換したときのビット列をそれぞれＬビットの数ｂｉ、ｃｉ（ｉ＝１，…，Ｌ）とし、それぞれの復号値ｘＤ、ｙＤについてｘＤを(eq1)式で表しｙＤを(eq1)式におけるｂｉをｃｉに代えたもので表す場合において、γは(eq2)式により与えられる方程式Ｐ（γ）＝０の根である、請求項１記載の変換器。
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【請求項３】
マルコフ遷移行列を、β／（β２−１）≦ν＜β２／（β２−１）ならば(eq3)式と近似し、ν＜β／（β２−１）ならば(eq4)式と近似し、β２／（β２−１）≦νならば(eq5)式と近似する行列推定手段を備える、請求項１又は２記載の変換器。
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【請求項４】
(eq6)式により与えられるｎ００、ｎ０１、ｎ１０及びｎ１１に対して、β変換の２×２マルコフ遷移行列を(eq7)式により推定する行列推定手段を備える、請求項１から３のいずれかに記載の変換器。
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【請求項５】
Ｌビットの数ｂｉ（ｉ＝１，…，Ｌ）に基づくサンプル値ｘの復号値を求めるデジタル信号とアナログ信号間の変換を行う変換方法であって、
復号手段が、γ＝１／β（ただし、βは１＜β＜２）に対し復号値ｘＤを(eq8)式により求めるステップを含む変換方法。
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【請求項６】
コンピュータを、請求項１から４のいずれかに記載の変換器として機能させるためのプログラム。
【請求項７】
請求項６記載のプログラムを記録する記録媒体。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、変換器、変換方法、プログラム、及び、記録媒体に関し、特にデジタル信号とアナログ信号間の変換を行う変換器等に関する。
【背景技術】
【０００２】
近年のデジタル信号処理の普及に伴い、Ａ／Ｄ（Ｄ／Ａ）変換処理は、音声処理、画像処理、通信などの種々の分野で行われる。この変換処理の精度は、音声処理等の処理結果に影響を与えるため、より高いレベルが要求され続けている。例えば、精度がよいと言われる手法の一つにＰＣＭ（pulse-code modulation）というものがある。しかし、このＰＣＭはＡ／Ｄ変換器における回路素子の安定性の点で不十分であるという問題がある。動作の安定性がよいとされる方式として、ΣΔ(シグマデルタ)方式がある（非特許文献１〜７参照）。そして、これらを踏まえたβ変換という技術もある（特許文献８〜９参照）。【０００３】
ここで、β変換について説明する。γ＝１／β（但し、１＜β＜２）とおくと、ｘ∈（０，１）はｂｉ∈{０，１}を用いて（１）式で表現される。ただし、ｕ１＝βｙ，ｂ１＝Ｑν（ｕ１）であり、ｕｉ＋１＝β（ｕｉ−ｂｉ），ｂｉ＋１＝Ｑν（ｕｉ＋１）である。ここで、Ｑν（ｚ）は量子化器であり、ν∈［１，（β−１）−１］を満たす閾値νに対して、ｚ＜νのとき０、ｚ≧νのとき１である。【０００４】
【数１】
2009014057.tif 000003
【０００５】
図８は、β変換器の構造を説明する図である。なお、ｚ０＝ｙ∈［０，１）、ｉ＞０のときｚｉ＝０であり、また、ｕ０＝ｂ０＝０とする。β変換器では、ν＝１のときは「greedy」であり、ν＝（β−１）−１のときは「lazy」である。【０００６】
上記において、α＝ν−１とおくと、β変換は、Dajani等が提案した（β，α）展開を行っていると言える（非特許文献１０参照）。β∈（１，２）のときの（β，α）展開のマップＮβ，αは、ｘ∈［０，（α＋１）／β）のときβｘ、ｘ∈［（α＋１）／β，１／（β−１））のときβｘ−１となる。【０００７】
図９（ａ）は（β，α）展開のマップを示したグラフであり、図９（ｂ）はν＝１のときの「greedy」マップを示したグラフであり、図９（ｃ）はν＝（β−１）−１のときの「lazy」マップを示したグラフである。【０００８】
【非特許文献１】Inose, H., and Yasuda, Y.,“A unity bitcoding method by negative feedback,”Proceedings of the IEEE, vol.51, no.11, pp1524-1535,Nov.1963
【非特許文献２】J.Candy“A Use ofLimit Cycle Oscillation to Obtain Robust Analog-to-Digital Converters,”Communcations,,IEEE Transactions on [legacy, pre -1988],vol.22, no.3, pp298-305, Mar. 1974
【非特許文献３】Strphen H. lewis, and paul R. gray, “A pipelined 5-Msample/s 9-bitanalog-to-digital converter,”Solid-State Circuits, IEEE Journal of, vol.22,no.6, pp954-961, Dec 1987
【非特許文献４】Robert M. Gray “Oversampled Sigma-DeltaModulation,”Communications,IEEE transactions on[legacy,pre-1988],vol.35,no.5,pp481-489,May 1987
【非特許文献５】Robert M. Gray “Spectral Analysis ofQuantization Noise ina Single-Loop Sigma-Delta Modulator with dc Input,”IEEETransactions on communications, vol.37,no.6,pp588-599,Jun. 1989
【非特許文献６】C.Gunturk,“On the robustness of sigle-loopsigma-delta modulation”IEEE Transactions on Information Theory Vol.47, no.5,pp1734-1744,2001
【非特許文献７】C.Gunturk,“One-Bit Sigma-Delta Quantizationwith Exponential Accuracy,“Commun. Pure AppliedMath.,vol.56,no.11,pp1608-1630,2003
【非特許文献８】I. Daubechies, R. Devore, C.Gunturk, and V. Vaishampayan,“A/D Conversion With Imperfrct Quantizers,” IEEE Transcations onInformation Theory, vol.52,no.3,pp.874-885,Mar.2006
【非特許文献９】I.Daubechies, and O. Yilmaz, “Robust andPractical Analog-to-Digital Conversion With Exponetial Precision,”IEEE Transactionson information Theory, vol.52,no.8,pp.3533-3545,Aug.2006
【非特許文献１０】K.Dajani,C.Kraaikamp,“From greedy to lazyexpansions and their driving dynamics,”Expo.Math,2002
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００９】
しかしながら、β変換は上記のように数学的には研究されてきたが、Ａ／Ｄ（Ｄ／Ａ）変換処理に適用する上での研究は不十分であった。特に、変換器に要求される高精度且つ回路素子の不安定性をカバーするための開発の可能性が残されている状況であった。【００１０】
ゆえに、本発明は、マルコフ連鎖とβ変換との関係に着目し、高精度且つ回路素子の不安定性をカバーする変換器等を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１１】
請求項１に係る発明は、Ｌビットの数ｂｉ（ｉ＝１，…，Ｌ）に基づくサンプル値ｘの復号値を求める変換器であって、γ＝１／β（ただし、βは１＜β＜２）に対し復号値ｘＤを(eq1)式により求める復号手段を備える変換器である。【００１２】
請求項２に係る発明は、請求項１記載の変換器であって、ｘ∈（０，１）とｙ＝１−ｘ∈（０，１）をβ変換したときのビット列をそれぞれＬビットの数ｂｉ、ｃｉ（ｉ＝１，…，Ｌ）とし、それぞれの復号値ｘＤ、ｙＤについてｘＤを(eq1)式で表しｙＤを(eq1)式におけるｂｉをｃｉに代えたもので表す場合において、γが(eq2)式により与えられる方程式Ｐ（γ）＝０の根であるものである。【００１３】
請求項３に係る発明は、請求項１又は２記載の変換器であって、マルコフ遷移行列を、β／（β２−１）≦ν＜β２／（β２−１）ならば(eq3)式と近似し、ν＜β／（β２−１）ならば(eq4)式と近似し、β２／（β２−１）≦νならば(eq5)式と近似する行列推定手段を備えるものである。【００１４】
請求項４に係る発明は、請求項１から３のいずれかに記載の変換器であって、(eq6)式により与えられるｎ００、ｎ０１、ｎ１０及びｎ１１に対して、β変換の２×２マルコフ遷移行列を(eq7)式により推定する行列推定手段を備えるものである。【００１５】
請求項５に係る発明は、Ｌビットの数ｂｉ（ｉ＝１，…，Ｌ）に基づくサンプル値ｘの復号値を求めるデジタル信号とアナログ信号間の変換を行う変換方法であって、復号手段が、γ＝１／β（ただし、βは１＜β＜２）に対し復号値ｘＤを(eq1)式により求めるステップを含むものである。【００１６】
請求項６に係る発明は、コンピュータを、請求項１から４のいずれかに記載の変換器として機能させるためのプログラムである。【００１７】
請求項７に係る発明は、請求項６記載のプログラムを記録する記録媒体である。【００１８】
【数２】
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【発明の効果】
【００１９】
本発明により、β展開の区間解析による高精度で回路素子の不安定性をカバーするＤ／Ａ変換器等を提案することができた。【００２０】
さらに、本発明につき、マルコフ連鎖としてのβ変換を解析した結果、第二固有値が負であり、greedy、lazyの固有値は他のマップに比べて大きく、greedy、lazyの固有値は同じであることが判明した。
【図面の簡単な説明】
【００２１】
【図１】本発明の実施の形態に係る変換器１のブロック図である。
【図２】図１の変換器の動作を説明するフロー図である。
【図３】β変換の不変部分空間を示す図である。
【図４】マルコフ遷移行列を近似したときの固有値の分布を示す図である。
【図５】Ｎ＝32、β＝1.77777に対し、ｘとνの変化による変換の最悪の精度を示す図である。
【図６】βの値を出力ビット列から復元する精度を、γ＝１／βという関係と（１１）式、（１２）式とによって求め、提案した方法とDaubechiesの方法とを比較した図である。
【図７】第二固有値の推定結果を示す図である。
【図８】β変換器の構造を説明する図である。
【図９】（ａ）は（β，α）展開のマップを示したグラフであり、（ｂ）はν＝１のときの「greedy」マップを示したグラフであり、（ｃ）はν＝（β−１）−１のときの「lazy」マップを示したグラフである。
【符号の説明】
【００２２】
１  変換器、３  復号部、５  行列推定部
【発明を実施するための最良の形態】
【００２３】
図１は本発明の実施の形態に係る変換器１のブロック図である。図２は図１の変換器１の動作を説明するフロー図である。変換器１は、Ｌビットの数ｂｉ（ｉ＝１，…，Ｌ）に基づくサンプル値ｘの復号値ｘＤを求めるものである（図２のステップＳＴ１及びＳＴ３参照）。変換器１は、γ＝１／β（ただし、βは１＜β＜２）に対し復号値ｘＤを（２）式により求める復号部３を備える（図２のステップＳＴ２参照）。ここで、従来の技術で説明した（１）式を用いる場合には区間の下限に注目しているのに対し、（２）式を用いる場合には区間の中央に注目している点が大きく異なっている。また、ｂｉに基づいてマルコフ遷移行列を求める行列推定部５を備える。【００２４】
このとき、変換器１の変換誤差は、以下に示すように、（３）式のようになる。【００２５】
まず、区間Ｉｉを（４）式のように定義する（ただし、ｂ０＝０とする。）。【００２６】
続いて、すべてのｉについてｘ∈Ｉｉであることを示す。まず、ｘ∈（０，１）より、ｘ∈Ｉ０＝（０、（β−１）−１）である。【００２７】
次に、ｘ∈Ｉｉであると仮定する。（５）式で示されるｕｉ＋１＜νであるとき、すなわち、ｂｉ＋１＝０のとき、（６）式が成り立ち、ｘ∈Ｉｉ＋１である。他方、ｕｉ＋１≧νであるとき、すなわち、ｂｉ＋１＝１のとき、（７）式が成り立ち、ｘ∈Ｉｉ＋１である。よって、すべてのｉについてｘ∈Ｉｉである。【００２８】
そして、ｘ∈ＩＬであり、（β−１）−１＝Σi=1∞γｉと表現できることから、変換誤差は（８）式となる。【００２９】
【数３】
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【００３０】
なお、DaubechiesらのＡ／Ｄ変換法によると、β＞１．５の場合に、Ｌビットでβ変換したときの誤差は（９）式のようになる。【００３１】
【数４】
2009014057.tif 000006
【００３２】
続いて、βの特性方程式について説明する。【００３３】
Daubechiesらを参考にして、ｘ∈（０，１）とｙ＝１−ｘ∈（０，１）をβ変換したときのビット列をそれぞれｂｉ、ｃｉ（ｉ＝１，…，Ｎ）とすると、それぞれの復号値ｘＤとｙＤは、（１０）式となる。【００３４】
ｘＤ＋ｙＤ＝１より、γの推定値は、（１１）式により与えられるγの特性方程式Ｐ（γ）＝０の根である。【００３５】
なお、Daubechiesらの特性方程式ＰDau（γ）＝０は、（１２）式で与えられる。【００３６】
【数５】
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【００３７】
続いて、β変換により生成されたバイナリ値列のマルコフ連鎖について説明する。βと閾値νのβ変換により生成されたバイナリ値列をｂｉ（ｉ＝１，…，Ｎ）とする。【００３８】
ここで、Ｉ＝（β（ν−１），βν）により示されるβ変換の不変部分空間が存在することを示す。ｕｉ＜ｕｉ＋１＜…＜ｕｉ＋ｋ−１＜β（ν−１）＜ｕｉ＋ｋ及びｕｉ＞ｕｉ＋１＞…＞ｕｉ＋ｋ’−１＜βν＜ｕｉ＋ｋ’となる２つの整数ｋとｋ’が存在し、これよりｕｉ∈（β（ν−１），βν）である。図３は、β変換の不変部分空間を示す図である。図３（ａ）はβ（ν−１）≦νλの場合を示す図であり、図３（ｂ）はν＜λβ（ν−１）の場合を示す図である。【００３９】
β変換の不変部分空間は存在する。しかし、その部分区間をマルコフ分割することは困難である。そこで、ｂｉを２状態マルコフ連鎖（１次マルコフ連鎖）と近似し、マルコフ遷移行列の固有値を分析する。【００４０】
ＳとＴを、それぞれ（１３）式、（１４）式のように定義する。そして、図１の行列推定部５は、遷移行列を以下のように近似する。【００４１】
β／（β２−１）≦ν＜β２／（β２−１）ならば、遷移行列が（１５）式となるように近似する。Ｓ＞０、Ｔ＞０より、第二固有値λは（１６）式よりλ＜０となる。頻度分布は固有値１に対する固有ベクトル、すなわち（１７）式となる。【００４２】
ν＜β／（β２−１）ならば、遷移行列が（１８）式となるように近似する。第二固有値λはλ＝−Ｓ／（βＴ）＜０となる。【００４３】
β２／（β２−１）≦νならば、遷移行列が（１９）式となるように近似する。第二固有値λはλ＝−Ｔ／（βＳ）＜０となる。【００４４】
【数６】
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【００４５】
図４は、マルコフ遷移行列を近似したときの固有値の分布を示す図である。近似した遷移行列の第二固有値は負となる。【００４６】
また、図１の行列推定部５は、ｂｉ（ｉ＝１，…，Ｎ）により、β変換の２×２マルコフ遷移行列を推定する。ｎ００、ｎ０１、ｎ１０、ｎ１１を（２０）式と定義すると、推定マルコフ遷移行列は（２１）式と表される。【００４７】
【数７】
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【００４８】
以下では、提案したアルゴリズムによる変換について、Daubechiesの方法と比較する。評価のため、ｘと量子化閾値ν（cautious
parameter）の変化に対するｘと復号値ｘＤの最悪近似誤差を比較する。図５は、Ｎ＝32、β＝1.77777に対し、ｘとνの変化による変換の最悪の精度を示す図である。図５によれば、β＝1.77777のとき、提案したアルゴリズムの精度がDaubechesのアルゴリズムのものよりも優れていることが分かる。そして、提案したアルゴリズムにおいて、cautious schemeが他のschemeよりもより正確であることがわかる。【００４９】
次に、図６は、βの値を出力ビット列から復元する精度を、γ＝１／βという関係と（１１）式、（１２）式とによって求め、提案した方法とDaubechiesの方法とを比較した図である。この図では、提案した方法のほうが、βの復元精度が高いことが示されている。【００５０】
続いて、二状態マルコフ遷移行列の第二固有値の推定について説明する。β∈（１，２）とν∈［１，（β−１）−１］とｘ∈（０，（β−１）−１）に関するβ変換によりバイナリービット列ｂｉ（ｉ＝１，…，Ｎ）が出力され、ｂｉは二状態マルコフ連鎖であるとする。このとき、（２１）式によりｂｉから第二固有値を推定することができる。図７は、第二固有値の推定結果を示す図である。λＤは、Ｎ＝256、ｘ＝ν−π／１０という条件でｂｉから推定された第二固有値である。この図より、ほとんどの第二固有値は負であることが示される。図７より、greedyとlazyのスキームによるほとんどのλＤは、cautiousスキームによる値よりも大きく、これらは同様の値をとることがわかる。【００５１】
以上より、マルコフ連鎖としてのβ変換を解析した結果、第二固有値は負であり、greedy、lazyの固有値は他のマップに比べて大きく、greedy、lazyの固有値は同様の値をとる。【００５２】
なお、閾値の推奨値としては、パラメータνの許容範囲である１から１／(β−１)の中間値に設定することが好ましい。その理由としては、従来はlazyよりもgreedyの場合が復元精度がよいとされていたが、ν＝（１＋１／（β−１））／２に設定すればlazyとgreedyの復元精度は同等に得られ、同精度の結果の観点及びロバスト性の観点からも良好の結果が得られているからである。【００５３】
なお、本願発明のハードウエアとしての実現については、（２）式等を用いた点での相違はあるものの図８と同様な構成で可能である。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図８】
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【図９】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【国際調査報告】
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