【手続補正書】
【提出日】平成17年4月7日(2005.4.7)
【手続補正１】
【補正対象書類名】特許請求の範囲
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【特許請求の範囲】
【請求項１】
入力手段によって画像または図形で表される集合を入力し、フラクタル画像生成手段によって入力した前記集合に対して分割と縮小を複数段階繰り返すことによりフラクタル画像を生成するフラクタル画像生成装置のフラクタル画像生成方法において，
前記フラクタル画像生成手段によって、前記フラクタル画像生成手段が有する複数の縮小変換からなるフラクタル生成関数を要素とする生成関数集合の中から，繰り返す前記複数段階の各段階毎に，前記フラクタル生成関数が選択され，選択されたフラクタル生成関数を構成する複数の縮小変換を適用し，分割および縮小変換処理を施されるものであることを特徴とするフラクタル画像生成方法。
【請求項２】
請求項１記載のフラクタル画像生成方法において，
前記フラクタル画像生成手段によって、繰り返す各段階で生成した生成画像は，前記各段階より前の段階で生成された画像に重畳処理を施されるものであることを特徴とするフラクタル画像生成方法。
【請求項３】
請求項１記載のフラクタル画像生成方法において，
前記フラクタル画像生成手段によって、繰り返す各段階毎に，前記選択され適用されるフラクタル生成関数が確率的に決定されて，前記確率的に決定された生成関数が各段階において分割および縮小変換処理を施すようにされるものであることを特徴とするフラクタル画像生成方法。
【請求項４】
請求項１記載のフラクタル画像生成方法において，
前記フラクタル画像生成手段が有する複数の前記フラクタル生成関数が，それぞれ２つの異なる縮小変換を含み，前記フラクタル画像生成手段によって各段階において２つへの分割処理が施されるものであることを特徴とするフラクタル画像生成方法。
【請求項５】
請求項４記載のフラクタル画像生成方法において，
前記フラクタル画像生成手段が有するそれぞれの前記フラクタル生成関数に含まれる２つの縮小変換は，４つの複素数パラメータにより決定されるものであることを特徴とするフラクタル画像生成方法。
【請求項６】
請求項１記載のフラクタル画像生成方法において，
前記フラクタル画像生成手段が有する前記フラクタル生成関数によって生成された前記生成画像に対して，前記フラクタル画像生成手段によってさらに対称に合成処理を施されるものであることを特徴とするフラクタル画像生成方法。
【請求項７】
請求項２記載のフラクタル画像生成方法において，
前記フラクタル画像生成手段によって、繰り返す各段階毎に，各段階で生成する画像のカラーが決定されて，前記決定されたカラーにより描画されるフラクタル画像を生成されるものであることを特徴とするフラクタル画像生成方法。
【請求項８】
請求項２記載のフラクタル画像生成方法において，
前記フラクタル画像生成手段によって、繰り返す各段階毎に，各段階で選択されたフラクタル生成関数毎にカラーが決定されて，前記決定されたカラーにより描画されるフラクタル画像を生成されるものであることを特徴とするフラクタル画像生成方法。
【請求項９】
請求項１に記載のフラクタル画像生成方法において、
乱数発生手段によって発生する乱数に基づいて、前記生成関数集合の中から前記フラクタル生成関数が選択されるものであることを特徴とするフラクタル画像生成方法。
【請求項１０】
画像または図形で表される集合を入力する入力手段と、
前記入力手段が入力する前記集合に対して分割と縮小を複数段階繰り返すことによりフラクタル画像を生成するフラクタル画像生成手段とを備えた画像処理装置において，
前記フラクタル画像生成手段は、複数の縮小変換からなるフラクタル生成関数を要素とする生成関数集合を有し、前記生成関数集合の中から，繰り返す前記複数段階の各段階毎に，前記フラクタル生成関数を選択し，選択されたフラクタル生成関数を構成する複数の縮小変換を適用し，分割および縮小変換処理を施すものであることを特徴とする画像処理装置。
【請求項１１】
請求項１０記載の画像処理装置において，
前記フラクタル画像生成手段は、繰り返す各段階で生成した生成画像をもって，前記各段階より前の段階で生成された画像に重畳処理を施すものであることを特徴とする画像処理装置。
【請求項１２】
請求項１０記載の画像処理装置において，
前記フラクタル画像生成手段は、繰り返す各段階毎に，前記選択され適用されるフラクタル生成関数を確率的に決定し，前記確率的に決定された生成関数が各段階において分割および縮小変換処理を施すものであることを特徴とする画像処理装置。
【請求項１３】
請求項１０記載の画像処理装置において，
前記フラクタル画像生成手段は、前記フラクタル画像生成手段の有する複数の前記フラクタル生成関数がそれぞれ２つの異なる縮小変換によって各段階において２つへの分割処理を施すものであることを特徴とする画像処理装置。
【請求項１４】
請求項１３記載の画像処理装置において，
前記フラクタル画像生成手段は、前記フラクタル画像生成手段の有するそれぞれの前記フラクタル生成関数に含まれる２つの縮小変換が４つの複素数パラメータにより決定されるものであることを特徴とする画像処理装置。
【請求項１５】
請求項１０記載の画像処理装置において，
前記フラクタル画像生成手段は、前記フラクタル画像生成手段が有する前記フラクタル生成関数によって生成された前記生成画像に対して，さらに対称に合成処理を施すものであることを特徴とする画像処理装置。
【請求項１６】
請求項１１記載の画像処理装置において，
前記フラクタル画像生成手段は、繰り返す各段階毎に，各段階で生成する画像のカラーを決定し，前記決定されたカラーにより描画するフラクタル画像を生成するものであることを特徴とする画像処理装置。
【請求項１７】
請求項１１記載の画像処理装置において，
前記フラクタル画像生成手段は、繰り返す各段階毎に，各段階で選択されたフラクタル生成関数毎にカラーを決定し，前記決定されたカラーにより描画するフラクタル画像を生成するものであることを特徴とする画像処理装置。
【請求項１８】
請求項１０に記載の画像処理装置において、
乱数を発生する乱数手段を、さらに備え、
前記フラクタル画像生成手段は、前記乱数発生手段が発生する乱数に基づいて、前記生成関数集合の中から前記フラクタル生成関数を選択するものであることを特徴とする画像処理装置。
【手続補正２】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【発明の詳細な説明】
【発明の名称】フラクタル画像生成方法および画像処理装置
【技術分野】
【０００１】
本発明は，フラクタル画像生成方法および画像処理装置に関し，より詳細には，画像ま
たは図形の分割と縮小を複数段階繰り返すことによりフラクタル画像を生成するフラクタ
ル画像生成方法および画像処理装置に関する。
【背景技術】
【０００２】
Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔにより提唱されたフラクタル幾何学（Mandelbrot,B.B.,Fractal 
Geometry of Nature, W.H.Freeman and Co., New York,（1982））は，自然物を記述する
ためのモデル等に現在広く利用されている（非特許文献１）。
【０００３】
フラクタル画像の生成方法には，大きく分けて２つあり，１つはｆＢｍ（Man-delbrot,
B.B., and Ness, J.W.van, Fractional Brownian Motion, fractional noises and appli
cations, SIAM Review 10,4 （1968）,p.422-437）等を利用して不確定要素を付加するこ
とにより，自然物に近いモデルを作成しようとするもので，『ランダムフラクタル』と呼
ばれる（非特許文献２）。
【０００４】
もう１つは，Ｋｏｃｈの雪片曲線や，Ｊｕｌｉａ−Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ集合等に代表
される反復法を利用して自己相似集合を求めるもので，不確定要素がないことから『決定
論的フラクタル』と呼ばれる。自己相似集合の数学的定式化はＨｕｔｃｈｉｎｓｏｎ（Hu
tchinson,J., Fractals and self-similarity, Indi-ana University Journal of Mathem
atics 30（1981）,p.713-747）（非特許文献３）や，Ｈａｔａ（Hata, M., On the struc
ture of self-similar sets, Japan Journal of App-lied Mathematics 2.2（1985）,p.3
81-414）（非特許文献４）により行われている。
【０００５】
ここで反復法を用いるフラクタル画像生成方法の代表的な例として，(1)Ｊｕｌｉａ−
Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ集合を用いる方法，(2)Ｈａｔａ−Ｈｕｔｃｈｉｎｓｏｎの方法に
ついて，以下にその概略を説明する。
【０００６】
(1)Ｊｕｌｉａ−Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ集合を用いる方法
Ｊｕｌｉａ−Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ集合を用いる方法は，初期値ｚ0 ，定数ｃ（ｚ0 ，
ｃ∈Ｃ）を変化させたときの式ｚn+1 ＝ｚ2 n ＋ｃの収束・発散を調べ，複素平面上に図
示するものである。
なお，Ｊｕｌｉａ集合は，式（１）で定義される。
【数１】
2005056445.tif 000001
【０００７】
同様に，Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ集合は，式（２）で定義される。
【数２】
2005056445.tif 000002
【０００８】
(2)Ｈａｔａ−Ｈｕｔｃｈｉｎｓｏｎの方法
Ｈａｔａ−Ｈｕｔｃｈｉｎｓｏｎの方法として，最も基本的な複素平面内の２個の線形
変換を反復する場合を例として説明する。先ず，４つの複素数ａ，ｂ，ｃ，ｄをパラメー
タとし，式（３）および式（４）に示すように，Ｃ上の２つの線形縮小変換ｆ1 （ｚ），
ｆ2 （ｚ）を作る。
【数３】
2005056445.tif 000003
【０００９】
次に，Ｋ0 ⊂Ｃを初期集合とし，式（５）で示すように，ｎ回目の反復で定まる自己相
似集合Ｋn を複素平面上に図示するものである。
【数４】
2005056445.tif 000004
【００１０】
また，Ｄａｙ（Day,n. and Murayama, N., Fractal Image Generation, IP-94-33,IEEJ
Chaos Workshop,（1994））によって，『決定論的フラクタル』で示される単純な数式を
利用することにより，少ないパラメータから多彩なフラクタル画像を生成する方法が開示
されている（非特許文献５）。
【非特許文献１】Mandelbrot著  「フラクタル幾何学」（Fractal Geometry of Nature）  W.H.Freeman and Co., New York出版,  1982年
【非特許文献２】Man-delbrotら著  「 Fractional Brownian Motion, fractional noises and applications」   SIAM Review 10,4 ,p.422-437）  １９６８年
【非特許文献３】Hutchinson著  「 Fractals and self-similarity」  Journal of Mathematics  30,p.713-747，  Indiana University発行 1981年
【非特許文献４】Hata  「On the structure of  self-similar sets」   Japan Journal of Applied Mathematics 2
【非特許文献５】Day and Murayama  「Fractal Image Generation, IP-94-33」IEEJ Chaos Workshop,（1994））
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１１】
しかしながら，上記従来の『決定論的フラクタル』を用いた画像生成によれば，少ない
パラメータから多彩なフラクタル画像を生成することができるものの，パラメータに不確
定要素がないため，実際には生成される画像はあらかじめ決まっており，生成画像のバリ
エーションが存在しないという問題点があった。
【００１２】
換言すれば，上記従来の技術によれば，反復過程においてパラメータを終始固定して使
用しているため，開始時のパラメータと反復回数が決まれば，最終的に生成される画像が
決まり，生成画像にバリエーションはあり得ないという問題点があった。
【００１３】
本発明は上記に鑑みてなされたものであって，『決定論的フラクタル』で示される単純
な数式を利用して，さらに多彩なフラクタル画像を生成できるようにすると共に，非決定
論的なフラクタル画像の生成を行えるようにすることを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１４】
上記の目的を達成するために，請求項１に係るフラクタル画像生成方法は，入力手段によって画像または図形で表される集合を入力し、フラクタル画像生成手段によって入力した前記集合に対して分割と縮小を複数段階繰り返すことによりフラクタル画像を生成するフラクタル画像生成装置のフラクタル画像生成方法において，前記フラクタル画像生成手段によって、前記フラクタル画像生成手段が有する複数の縮小変換からなるフラクタル生成関数を要素とする生成関数集合の中から，繰り返す前記複数段階の各段階毎に，前記フラクタル生成関数が選択され，選択されたフラクタル生成関数を構成する複数の縮小変換を適用し，分割および縮小変換処理を施されるものである。
【００１５】
また，請求項２に係るフラクタル画像生成方法は，請求項１記載のフラクタル画像生成方法において，前記フラクタル画像生成手段によって、繰り返す各段階で生成した生成画像は，前記各段階より前の段階で生成された画像に重畳処理を施されるものである。
【００１６】
また，請求項３に係るフラクタル画像生成方法は，請求項１記載のフラクタル画像生成
方法において，前記フラクタル画像生成手段によって、繰り返す各段階毎に，前記選択され適用されるフラクタル生成関数が確率的に決定されて，前記確率的に決定された生成関数が各段階において分割および縮小変換処理を施すようにされるものである。
【００１７】
また，請求項４に係るフラクタル画像生成方法は，請求項１記載のフラクタル画像生成
方法において，前記フラクタル画像生成手段が有する複数の前記フラクタル生成関数が，それぞれ２つの異なる縮小変換を含み，前記フラクタル画像生成手段によって各段階において２つへの分割処理が施されるものである。
【００１８】
また，請求項５に係るフラクタル画像生成方法は，請求項１記載のフラクタル画像生成
方法において，前記フラクタル画像生成手段が有するそれぞれの前記フラクタル生成関数に含まれる２つの縮小変換は，４つの複素数パラメータにより決定されるものである。
【００１９】
また，請求項６に係るフラクタル画像生成方法は，請求項２記載のフラクタル画像生成
方法において，前記フラクタル画像生成手段が有する前記フラクタル生成関数によって生成された前記生成画像に対して，前記フラクタル画像生成手段によってさらに対称に合成処理を施されるものである。
【００２０】
また，請求項７に係るフラクタル画像生成方法は，請求項２記載のフラクタル画像生成
方法において，前記フラクタル画像生成手段によって、繰り返す各段階毎に，各段階で生成する画像のカラーが決定されて，前記決定されたカラーにより描画されるフラクタル画像を生成されるものである。
【００２１】
また，請求項８に係るフラクタル画像生成方法は、請求項２に記載のフラクタル画像生成方法において，前記フラクタル画像生成手段によって、繰り返す各段階毎に，各段階で選択されたフラクタル生成関数毎にカラーが決定されて，前記決定されたカラーにより描画されるフラクタル画像を生成されるものである。
【００２２】
また、請求項９に係るフラクタル画像生成方法は、請求項１に記載のフラクタル画像生成方法において、乱数発生手段によって発生する乱数に基づいて、前記生成関数集合の中から前記フラクタル生成関数が選択されるものである。
【００２３】
また、請求項１０に係るフラクタル画像生成方法装置は、画像または図形で表される集合を入力する入力手段と、前記入力手段が入力する前記集合に対して分割と縮小を複数段階繰り返すことによりフラクタル画像を生成するフラクタル画像生成手段とを備えた画像処理装置において，前記フラクタル画像生成手段は、複数の縮小変換からなるフラクタル生成関数を要素とする生成関数集合を有し、前記生成関数集合の中から，繰り返す前記複数段階の各段階毎に，前記フラクタル生成関数を選択し，選択されたフラクタル生成関数を構成する複数の縮小変換を適用し，分割および縮小変換処理を施すものである。
【００２４】
また、請求項１１に係るフラクタル画像生成方法装置は、請求項１０記載の画像処理装置において，前記フラクタル画像生成手段は、繰り返す各段階で生成した生成画像をもって，前記各段階より前の段階で生成された画像に重畳処理を施すものである。
【００２５】
また、請求項１２に係るフラクタル画像生成方法装置は、請求項１０記載の画像処理装置において，前記フラクタル画像生成手段は、繰り返す各段階毎に，前記選択され適用されるフラクタル生成関数を確率的に決定し，前記確率的に決定された生成関数が各段階において分割および縮小変換処理を施すものである。
【００２６】
また、請求項１３に係るフラクタル画像生成方法装置は、請求項１０記載の画像処理装置において，前記フラクタル画像生成手段は、前記フラクタル画像生成手段の有する複数の前記フラクタル生成関数がそれぞれ２つの異なる縮小変換によって各段階において２つへの分割処理を施すものである。
【００２７】
また、請求項１４に係るフラクタル画像生成方法装置は、請求項１３記載の画像処理装置において，前記フラクタル画像生成手段は、前記フラクタル画像生成手段の有するそれぞれの前記フラクタル生成関数に含まれる２つの縮小変換が４つの複素数パラメータにより決定されるものである。
【００２８】
また、請求項１５に係るフラクタル画像生成方法装置は、請求項１０記載の画像処理装置において，前記フラクタル画像生成手段は、前記フラクタル画像生成手段が有する前記フラクタル生成関数によって生成された前記生成画像に対して，さらに対称に合成処理を施すものである。
【００２９】
また、請求項１６に係るフラクタル画像生成方法装置は、請求項１１記載の画像処理装置において，前記フラクタル画像生成手段は、繰り返す各段階毎に，各段階で生成する画像のカラーを決定し，前記決定されたカラーにより描画するフラクタル画像を生成するものである。
【００３０】
また、請求項１７に係るフラクタル画像生成方法装置は、請求項１１記載の画像処理装置において，前記フラクタル画像生成手段は、繰り返す各段階毎に，各段階で選択されたフラクタル生成関数毎にカラーを決定し，前記決定されたカラーにより描画するフラクタル画像を生成するものである。
【００３１】
また、請求項１８に係るフラクタル画像生成方法装置は、請求項１０に記載の画像処理装置において、乱数を発生する乱数手段を、さらに備え、前記フラクタル画像生成手段は、前記乱数発生手段が発生する乱数に基づいて、前記生成関数集合の中から前記フラクタル生成関数を選択するものである。
【発明の効果】
【００３２】
以上説明したように，本発明のフラクタル画像生成方法および画像処理装置（請求項１〜請求項１８）によれば，フラクタル画像生成手段は、フラクタル画像生成手段が有する異なる生成関数を複数個含む生成関数集合の中から，反復過程の各段階毎に，使用する生成関数を選択するため，『決定論的フラクタル』で示される単純な数式を利用して，さらに多彩なフラクタル画像を生成することができると共に，非決定論的なフラクタル画像の生成を行うことができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００３３】
以下，本発明のフラクタル画像生成方法および画像処理装置について，〔実施の形態１
〕，〔実施の形態２〕，〔実施の形態３〕の順で，図面を参照して詳細に説明する。
【００３４】
〔実施の形態１〕
実施の形態１のフラクタル画像生成方法は，異なる生成関数を複数個含む生成関数集合
の中から，反復過程の各段階毎に，使用する生成関数を選択するものである。なお，実施
の形態１では，反復法としてＨａｔａ−Ｈｕｔｃｈｉｎｓｏｎの方法を使用し，反復過程
の各段階においてパラメータ（数３で示した式（３）および式（４）の複素数ａ，ｂ，ｃ
，ｄ）を変更するようにしたものである。
【００３５】
図１は，実施の形態１の画像処理装置１０１のブロック構成図を示し，フラクタル画像
の初期図形または初期画像を入力すると共に，反復回数等のフラクタル画像生成に必要な
情報を入力する入力部１０２と，入力した初期図形または初期画像の分割と縮小を，反復
回数にしたがって複数段階繰り返すことによりフラクタル画像を生成するフラクタル画像
生成部１０３と，生成したフラクタル画像（以下，生成画像と記載する）を表示装置や印
刷装置等の画像出力装置へ出力する出力部１０４と，を備えている。なお，ここでは入力
部１０２を介して反復回数を入力する例を示すが，特に限定するものではない。
【００３６】
また，フラクタル画像生成部１０３は，複素パラメータａi ，ｂi ，ｃi ，ｄi （ｉ＝
１，２，３，…，ｍ）により定まる線形縮小変換（生成関数）をＦi とし，Ｆi を要素と
する生成関数集合Ｓ（式（６）参照）が格納されている。
【数５】
2005056445.tif 000005
【００３７】
また，フラクタル画像生成部１０３は，初期集合をＫ0 ⊂Ｃとし，反復過程の各段階で
生成関数集合Ｓの中から変換Ｆi を選択して，該変換Ｆi を式（７）に適用して集合Ｋn 
を得て，ｎ回の反復後に得られた集合Ｋn を複素平面上に描くものである。
【数６】
2005056445.tif 000006
【００３８】
以上の構成において，(1)概略動作，(2)生成関数集合Ｓ内の変換が２個の場合の具体例
の順で，その動作を説明する。
【００３９】
(1)概略動作
図２は，実施の形態１のフラクタル画像生成方法および画像処理装置の概略フローチャ
ートを示す。フラクタル画像生成部１０３は，先ず，入力部１０２を介して初期図形（ま
たは初期画像）および反復回数等の情報を入力する（Ｓ２０１）。次に，生成関数集合Ｓ
から変換Ｆi を選択し（Ｓ２０２），選択した変換Ｆi を式（７）に適用して集合Ｋn を
得て，ｎ回の反復後に得られた集合Ｋn を複素平面上に描く（Ｓ２０３）。なお，このと
き，集合Ｋn は複素平面上に既に描かれている画像（集合Ｋn 以前に描かれた画像）に重
畳して描いても良い。
【００４０】
その後，必要な反復回数（すなわち，入力した反復回数）に達したか否かを判定し（Ｓ
２０４），達していなければ，ステップＳ２０２へ戻ってステップＳ２０２〜Ｓ２０３の
反復過程を繰り返す。一方，反復回数に達していれば，出力部１０４を介して，複素平面
上に描かれた生成画像を出力し（Ｓ２０５），処理を終了する。
【００４１】
(2)生成関数集合Ｓ内の変換が２個の場合の具体例
ここで，最も基本的な，生成関数集合Ｓ内の変換が２個（式（６）でｍ＝２）の場合を
例として具体的に説明する。なお，変換が３個以上（式（６）のｍ≧３）になっても構わ
ないのは言うまでもない。
【００４２】
２個の変換Ｆ1 ，Ｆ2 の複素パラメータａ，ｂ，ｃ，ｄを表１のように設定するものと
する。また，この変換Ｆ1 ，Ｆ2 をそれぞれ単独で反復した際に生成される生成画像を図
３（ａ），（ｂ）に示す。
【表１】
2005056445.tif 000007
【００４３】
次に，反復過程において選択される変換の順序を決定する。順序は任意で構わないが，
ここでは単純に変換Ｆ1 ，Ｆ2 を交互に適用する。例えば，変換を４回反復した後の集合
Ｋ4 は，式（８）に示すようになる。
【数７】
2005056445.tif 000008
【００４４】
また，単純に変換Ｆ1 ，Ｆ2 を交互に適用した場合の各反復過程において，画像が変化
していく様子を図４（ａ）〜（ｆ）に示す。
【００４５】
前述したように実施の形態１によれば，『決定論的フラクタル』で示される単純な数式
（数３で示した式（３）および式（４））を利用して，さらに多彩なフラクタル画像が生
成できる。
【００４６】
〔実施の形態２〕
実施の形態２は，さらに反復過程の各段階毎に，使用する変換（生成関数）を確率的に
決定することにより，変換の選択時にランダム性を付加して生成画像に不確定要素を加味
できるようにしたものである。なお，実施の形態２の基本的な構成は実施の形態１と同様
につき，ここでは異なる部分のみを説明する。
【００４７】
実施の形態２のフラクタル画像生成部１０３には，乱数を発生する乱数発生部（図示せ
ず）が設けられている。また，実施の形態１で示した生成関数集合Ｓ（式（６）参照）と
共に，該生成関数集合Ｓと関連する確率集合が合わせて格納されている。ここで確率集合
は｛ｐ1 ，ｐ2 ，ｐ3 ，…，ｐm ｝で表され，確率ｐi （ｉ＝１，２，３，…ｍ）は式（
９）を満たす任意の値をとりうる。
【数８】
2005056445.tif 000009
【００４８】
また，確率ｐi は変換Ｆi と関連づけられる。すなわち，反復過程において変換Ｆi が
選択される確率はｐi となる。したがって，ここでは生成関数集合Ｓを式（１０）に示す
ように表記する。
【数９】
2005056445.tif 000010
【００４９】
以上の構成において，図５を参照してその動作を説明する。図５は，実施の形態２のフ
ラクタル画像生成方法および画像処理装置の概略フローチャートを示す。フラクタル画像
生成部１０３は，先ず，入力部１０２を介して初期図形（または初期画像）および反復回
数等の情報を入力する（Ｓ５０１）。
【００５０】
次に，乱数発生部で乱数ｉ（ｉ＝１，２，３，…ｍ）を発生させて（Ｓ５０２），乱数
ｉに基づいて生成関数集合Ｓから該当する変換Ｆi を選択し（Ｓ２０３），選択した変換
Ｆi を式（７）に適用して集合Ｋn を得て，ｎ回の反復後に得られた集合Ｋn を複素平面
上に描く（Ｓ５０４）。なお，このとき，集合Ｋn は複素平面上に既に描かれている画像
（集合Ｋn 以前に描かれた画像）に重畳して描いても良い。
【００５１】
その後，必要な反復回数（すなわち，入力した反復回数）に達したか否かを判定し（Ｓ
５０５），達していなければ，ステップＳ５０２へ戻ってステップＳ５０２〜Ｓ５０４の
反復過程を繰り返す。一方，反復回数に達していれば，出力部１０４を介して，複素平面
上に描かれた生成画像を出力し（Ｓ５０６），処理を終了する。
【００５２】
上記の処理によって生成された生成画像の例を図６および図７に示す。なお，ここでは
，生成関数集合Ｓの複素パラメータａ，ｂ，ｃ，ｄを表２に示すように設定し，確率ｐ1 
〜ｐ5 （ｍ＝５）を式（９）の条件に合うように決定した。
【表２】
2005056445.tif 000011
【００５３】
図６および図７から明らかなように，生成関数集合Ｓの要素である変換Ｆi ，確率ｐi 
を変換させることにより，反復過程の各段階で適用される変換の順序が変わるため，多彩
なフラクタル画像を得ることができる。
【００５４】
また，図示を省略するが，上記のようにして生成したフラクタル画像を合成することで
，より多彩な画像を生成することができる。もちろん，フラクタル画像を合成する際に，
対称に合成したり，移動・回転・フィルタリング等の変換を施しても良い。
【００５５】
また，反復過程の各段階毎に，各段階で生成した画像のカラーを決定（変更）すること
で，さらに多彩な画像を生成することが可能となる。
【００５６】
また，生成関数毎に，カラーを決定（変更）することで，さらに多彩な画像を生成する
ことが可能となる。
【００５７】
前述したように実施の形態２によれば，『決定論的フラクタル』で示される単純な数式
（数３で示した式（３）および式（４））を利用して，さらに多彩なフラクタル画像が生
成できると共に，非決定論的なフラクタル画像の生成を行うことができる。
【００５８】
〔実施の形態３〕
実施の形態３のフラクタル画像生成方法は，生成関数としてＫｏｃｈ，Ｍ−Ｔａｋａｇ
ｉ，Ｐｙｒａｍｉｄ，Ｌｅｖｙの４個含む生成関数集合の中から，反復過程の各段階毎に
，使用する生成関数を選択するものである。当然のことながら，これらの生成関数は一例
であり，他のパラメータ群を選択することも可能であるが，ここでは説明をわかり易くす
るために上記のように有名なパラメータ（生成関数）を選択する。パラメータ（生成関数
）の群の種類や組合せは無限にあり，また１つの集合に含まれる要素数も任意である。な
お，実施の形態３の基本的な構成は実施の形態１と同様につき，ここでは異なる部分のみ
を説明する。
【００５９】
実施の形態３では，この例で使用する生成関数集合に含まれる複素パラメータａ，ｂ，
ｃ，ｄを表３のようにするものとする。また，この変換Ｆ1 〜Ｆ4 をそれぞれ単独で反復
した際に生成される生成画像を図８〜図１１に示す。
【表３】
2005056445.tif 000012
【００６０】
反復過程において選択される変換の順序として，表３に示す関数Ｆi を，
Ｆ3 ，Ｆ4 ，Ｆ3 ，Ｆ4 ，Ｆ1 ，Ｆ2 ，Ｆ2 ，Ｆ1 
の順に適用する。したがって，Ｋ0 を初期集合として，上記の順で８回反復した後の集合
Ｋ8 は，式（１１）に示すようになる。
【数１０】
2005056445.tif 000013
【００６１】
Ｋ0 を複素平面上の（０，０），（０．５，√３／６），（１，０），（０．５，√３
／６），を頂点とする菱形としたときのＫ8 は図１２のＭｉｘｅｄ１に示すようになる。
なお，図において上下方向が実軸である。
【００６２】
また，集合Ｋi の各要素の共役複素数からなる集合Ｍxiを作ると，ＭxiはＫi の実軸対
称となる。ここで，式（１１）と同様の集合Ｋ8 を用いた場合，集合Ｍx8は図１３のＭｉ
ｒｒｏｒ１に示すようになる。なお，図において上下方向が実軸である。
【００６３】
Ｍｉｒｒｏｒ１の式は，式（１２）となる。
Ｋ8 ∪Ｍx8  …………（１２）
【００６４】
また，集合Ｋ8 として式（１３）を用いた場合，集合Ｋ8 による生成画像は図１４のＭ
ｉｘｅｄ２に示すようになり，集合Ｍx8は図１５のＭｉｒｒｏｒ２に示すようになる。
【数１１】
2005056445.tif 000014
【００６５】
また，集合Ｋ8 として式（１４）を用いた場合，集合Ｋ8 による生成画像は図１６のＭ
ｉｘｅｄ３に示すようになり，集合Ｍx8は図１７のＭｉｒｒｏｒ３に示すようになる。
【数１２】
2005056445.tif 000015
【００６６】
また，集合Ｋ8 として式（１５）を用いた場合，集合Ｋ8 による生成画像は図１８のＭ
ｉｘｅｄ４に示すようになり，集合Ｍx8は図１９のＭｉｒｒｏｒ４に示すようになる。
【数１３】
2005056445.tif 000016
【００６７】
さらに，図２０に示すＦｉｎａｌ  Ｏｖｅｒａｐｐｅｄ  Ｉｍａｇｅは，図１３のＭｉ
ｒｒｏｒ１，図１５のＭｉｒｒｏｒ２，図１７のＭｉｒｒｏｒ３，図１９のＭｉｒｒｏｒ
４を重ね合わせたものである。
【００６８】
前述したように実施の形態３によれば，『決定論的フラクタル』で示される単純な数式
を利用して，さらに多彩なフラクタル画像が生成できる。
【産業上の利用可能性】
【００６９】
以上のように，本発明にかかるフラクタル画像生成方法および画像処理装置は，画像処
理技術に有用であり，特に画像または図形の分割と縮小を複数段階繰り返すことによりフ
ラクタル画像を生成するフラクタル画像生成技術に有用である。
【図面の簡単な説明】
【００７０】
【図１】実施の形態１の画像処理装置のブロック構成図である。
【図２】実施の形態１のフラクタル画像生成方法および画像処理装置の概略フローチャートである。
【図３】実施の形態１において表１の変換Ｆ1 ，Ｆ2 をそれぞれ単独で用いた場合の生成画像を示す説明図である。
【図４】実施の形態１において表１の変換Ｆ1 ，Ｆ2 を交互に適用した場合の各反復過程における画像の変化を示す説明図である。
【図５】実施の形態２のフラクタル画像生成方法および画像処理装置の概略フローチャートである。
【図６】実施の形態２による生成画像の例を示す説明図である。
【図７】実施の形態２による生成画像の例を示す説明図である。
【図８】実施の形態３において表３の変換Ｆ1 （Ｋｏｃｈ）を単独で用いた場合の生成画像を示す説明図である。
【図９】実施の形態３において表３の変換Ｆ2 （Ｍ−Ｔａｋａｇｉ）を単独で用いた場合の生成画像を示す説明図である。
【図１０】実施の形態３において表３の変換Ｆ3 （Ｐｙｒａｍｉｄ）を単独で用いた場合の生成画像を示す説明図である。
【図１１】実施の形態３において表３の変換Ｆ4 （Ｌｅｖｙ）を単独で用いた場合の生成画像を示す説明図である。
【図１２】実施の形態３おいて式（１１）の集合Ｋ8 を用いた場合の生成画像を示す説明図である。
【図１３】実施の形態３において式（１１）の集合Ｋ8 を用いた場合，集合Ｍx8の生成画像を示す説明図である。
【図１４】実施の形態３おいて式（１３）の集合Ｋ8 を用いた場合の生成画像を示す説明図である。
【図１５】実施の形態３において式（１３）の集合Ｋ8 を用いた場合，集合Ｍx8の生成画像を示す説明図である。
【図１６】実施の形態３おいて式（１４）の集合Ｋ8 を用いた場合の生成画像を示す説明図である。
【図１７】実施の形態３において式（１４）の集合Ｋ8 を用いた場合，集合Ｍx8の生成画像を示す説明図である。
【図１８】実施の形態３おいて式（１５）の集合Ｋ8 を用いた場合の生成画像を示す説明図である。
【図１９】実施の形態３において式（１５）の集合Ｋ8 を用いた場合，集合Ｍx8の生成画像を示す説明図である。
【図２０】図１３のＭｉｒｒｏｒ１，図１５のＭｉｒｒｏｒ２，図１７のＭｉｒｒｏｒ３，図１９のＭｉｒｒｏｒ４を重ね合わせた生成画像を示す説明図である。
【符号の説明】
【００７１】
１０１    画像処理装置
１０２    入力部
１０３    フラクタル画像生成部
１０４    出力部