【手続補正書】
【提出日】平成17年2月1日(2005.2.1)
【手続補正１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】特許請求の範囲
【補正方法】変更
【補正の内容】
【特許請求の範囲】
【請求項１】
コンピュータ上でユアン及びベントラーの方法Ｉに基づいて多変量非正規分布に従う乱数を発生する乱数発生方法において、
コンピュータを用いてｎ次元経験分布にｎ次元多変量非正規分布をあてはめるステップと、
コンピュータを用いて乱数を発生するステップとを有し、
前記あてはめるステップは、前記経験分布の３次及び４次モーメントに関するあてはめについて、次の関係式（１）及び（２）を用いる
多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
【数１】
2004005510.tif 000001
【数２】
2004005510.tif 000002
ただし、Ｅ（・）は、期待値であり（以下同じ）、ｖｅｃｈ（・）は、対称行列から重複しない行列要素を取り出したベクトルであり、Ｄｎは、ｎ次のデュプリケーション行列であり、Ｄｎ+は、Ｄｎのムーア・ペンローズの一般化逆行列であり、
【数３】
2004005510.tif 000003
は、クロネッカー積であり、Ｅiiは、ｅiを第ｉ列単位としてｅiｅi'である。
ここで、前記ユアン及びベントラーの方法Ｉは、次の通りである。独立な確率変数ξ1，・・・，ξmは、パラメータζj及びκjについて、Ｅ（ξj）＝０，Ｅ（ξj2）＝１，Ｅ（ξj3）＝ζj，Ｅ（ξj4）＝κj（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。
ξjに独立な確率変数νは、パラメータγ及びβについて、Ｅ（ν）＝０，Ｅ（ν2）＝１，Ｅ（ν3）＝γ，Ｅ（ν4）＝βを満たす。
階数ｎのｎ行ｍ列（ｍ≧ｎ）の非確率行列Ｔ＝（ｔij）は、行列Σ＝（σij）について、ＴＴ´＝Σを満たす。ただし、行列Ｔ´はＴの転置行列である。
このとき、次の式（３）で与えられる確率ベクトルＸ＝（ｘ1，・・・，ｘn）´は、Ｃｏｖ（Ｘ）＝Σを満たす。ただし、Ｃｏｖ（・）は、ベクトルの分散共分散行列であり、ξ＝（ξ1，・・・，ξm）´である。
【数４】
2004005510.tif 000004
【請求項２】
確率変数ξ1，・・・，ξm及びνには、ピアソン分布系に従う乱数を使う請求項１に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
【請求項３】
確率変数ξ1，・・・，ξm及びνには、少なくとも２以上の型のピアソン分布を用いる請求項２に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
【請求項４】
前記あてはめるステップは、式（４）及び（５）でそれぞれ与えられるｎ次元の経験分布（確率ベクトル（Ｘ１，・・・，Ｘｎ）´とする。
）の３次及び４次モーメントに関して、式（６）の値を最小にするパラメータＴ，ζ＝（ζ1，・・・，ζｍ），γ，κ＝（κ1，・・・，κｍ），βの少なくとも１つを求める請求項１乃至３のいずれか１項に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
【数５】
2004005510.tif 000005
【数６】
2004005510.tif 000006
【数７】
2004005510.tif 000007
ただし、ｆijk（Ｔ，ζ，γ，κ，β）及びｆijkl（Ｔ，ζ，γ，κ，β）は、３次モーメントＥ（ｘiｘjｘk）及び４次モーメントＥ（ｘiｘjｘkｘｌ）にそれぞれ対応する関係式（１）及び（２）による表現とする。また、ｗijk及びｗijklは、所定の重みである。
【請求項５】
ｗijk＝１，ｗijkl＝１である請求項４に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
【請求項６】
ｎ＝２であって、前記あてはめるステップは、式（７）及び（８）でそれぞれ与えられる２次元経験分布（確率ベクトル（Ｘ１，Ｘ２）´とする。）の３次及び４次モーメントと、式（９）及び（１０）で与えられる３次モーメントＥ（ｘiｘjｘk）及び４次モーメントＥ（ｘiｘjｘkｘｌ）にそれぞれ対応する表現とについて、式（１１）で与えられる値を最小にするようにパラメータＴ，ζ＝（ζ1，ζ２），γ，κ＝（κ1，κ２），βの少なくとも１つを求める請求項４又は５に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【数８】
2004005510.tif 000008
【数９】
2004005510.tif 000009
【数１０】
2004005510.tif 000010
【数１１】
2004005510.tif 000011
【数１２】
2004005510.tif 000012
【請求項７】
ｗi＝１である請求項６に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
【請求項８】
パラメータＴ，ζ＝（ζ１，・・・，ζｍ），γ，κ＝（κ１，・・・，κｍ），βの少なくとも１つを最尤法により推定する請求項１乃至７のいずれか１項に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
【請求項９】
式（１２）で与えられるκの値を用いて、表１に示すκの値と分布の型との対応関係の少なくとも１つを用いて前記確率変数の属する型を決定する請求項１乃至８のいずれか１項に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
【数１３】
2004005510.tif 000013
【表１】
2004005510.tif 000014
ただし、β１とβ２は、それぞれ歪度の２乗と尖度であり、式（１２）及び表１におけるκは、前記パラメータκ＝（κ1，・・・，κｍ）とは異なる。
【請求項１０】
前記決定した型に応じて、次の表２及び表３に示す生成法の少なくとも１つを用いて乱数Ｚを発生する請求項９に記載の多変量正規分布に従う乱数発生方法。
【表２】
2004005510.tif 000015
【表３】
2004005510.tif 000016
【請求項１１】
コンピュータを用いて、式（１３）に示すピアソンＩＶ型分布の正規化定数の解析解又はこの展開に基づいて正規化定数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、棄却法により乱数を発生するステップと、
によってピアソンＩＶ型分布に従う乱数を発生させる請求項１乃至１０のいずれか１項に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
【数１４】
2004005510.tif 000017
【請求項１２】
コンピュータを用いて、式（１４）に示すピアソンＩＶ型分布の正規化定数の解析解又はこの展開に基づいて正規化定数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、棄却法により乱数を発生するステップと、
によってピアソンＩＶ型分布に従う乱数を発生させる多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
【数１５】
2004005510.tif 000018
【請求項１３】
前記乱数を発生するステップは、コンピュータを用いて発生した、加算生成法、Ｍ系列、一般化フィードバック・シフトレジスタ法及びメルセンヌツイスターを含む、合同法を除く擬似乱数、準乱数、低ディスクレパンシー列、物理乱数を含む乱数に基づく請求項１乃至１２のいずれか１項に記載の乱数発生方法。
【請求項１４】
コンピュータを用いて、ｎ個のデータ
【数１６】
2004005510.tif 000019
からなるデータ・ベクトルＸｉ´について、経験分布のデータ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を取得するステップと、
コンピュータを用いて、前記データ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を標準化して｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝とするステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、分散共分散行列Σを計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、３次モーメントｍｉｊｋ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｎ）を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、４次モーメントｍｉｊｋｌ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｌ≦ｎ）を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記分散共分散行列Σから行列Ｔを計算するステップと、
前記データ・ベクトルが従う分布が、Ｘ＝νＴξ（ここで、ξは、ｍ（ここで、ｍ＞ｎである。）個の確率変数ξ１〜ξｍからなる確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´である。独立な確率変数ξ1，・・・，ξmは、パラメータζj及びκjについて、Ｅ（ξj）＝０，Ｅ（ξj2）＝１，Ｅ（ξj3）＝ζj，Ｅ（ξj4）＝κj（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。また、ξjに独立な確率変数νは、パラメータγ及びβについて、Ｅ（ν）＝０，Ｅ（ν2）＝１，Ｅ（ν3）＝γ，Ｅ（ν4）＝βを満たす。）を満たす非正規分布を有すると仮定して、コンピュータを用いて、３次モーメントｍｉｊｋ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｎ）及び４次モーメントｍｉｊｋｌ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｌ≦ｎ）と
ｆｉｊｋ（Ｔ，ζ，γ，κ，β），ｆｉｊｋｌ（Ｔ，ζ，γ，κ，β）（ここでζ＝（ζ１，・・・，ζｍ），κ＝（κ１，・・・，κｍ）である。）との差を損失とする損失関数を導入し、ＴＴ´＝Σ（Ｔ´はＴの転置行列である。）という条件の下で、全体として評価するリスク関数を最小化するようにパラメータＴ，（ζ１，・・・，ζｍ），γ，（κ１，・・・，κｍ），βを決定するステップと、
コンピュータを用いて、前記決定されたパラメータ（ζ１，・・・，ζｍ），γ，（κ１，・・・，κｍ），βに基づいて、式（１５）及び表４により（β１とβ２は、それぞれ歪度の２乗と尖度である。）、前記確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´及び確率変数νがピアソン分布のどの型に属するかを決定するステップと、
【数１７】
2004005510.tif 000020
【表４】
2004005510.tif 000021
コンピュータを用いて乱数を発生し、この乱数に基づいて前記確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´及び確率変数νについて乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、Ｘ＝νＴξに基づいて、標準化されたＸの乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、標準化されたＸの乱数を標準化前の乱数に変換するステップと、
を有する多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
ただし、式（１５）及び表４において、β１とβ２は、それぞれ歪度の２乗と尖度であり、κは、前記パラメータκ＝（κ1，・・・，κｍ）とは異なる。
【請求項１５】
コンピュータを用いて、ｎ個のデータ
【数１８】
2004005510.tif 000022
からなるデータ・ベクトルＸｉ´について、経験分布のデータ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を取得するステップと、
コンピュータを用いて、前記データ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を標準化して｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝とするステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、分散共分散行列Σを計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、３次モーメントｍｉｊｋ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｎ）を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、４次モーメントｍｉｊｋｌ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｌ≦ｎ）を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記分散共分散行列ΣからＴ＝Σ１／２（行列の平方根）を満たす行列Ｔを計算するステップと、
前記データ・ベクトルが従う分布が、Ｘ＝νＴξ（ここで、ξは、ｍ（ここで、ｍ＝ｎである。）個の確率変数ξ１〜ξｍからなる確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´である。独立な確率変数ξ1，・・・，ξmは、パラメータζj及びκjについて、Ｅ（ξj）＝０，Ｅ（ξj2）＝１，Ｅ（ξj3）＝ζj，Ｅ（ξj4）＝κj（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。また、ξjに独立な確率変数νは、パラメータγ及びβについて、Ｅ（ν）＝０，Ｅ（ν2）＝１，Ｅ（ν3）＝γ，Ｅ（ν4）＝βを満たす。）を満たす非正規分布を有すると仮定して、コンピュータを用いて、３次モーメントｍｉｊｋ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｎ）及び４次モーメントｍｉｊｋｌ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｌ≦ｎ）とｆｉｊｋ（ζ，γ，κ，β），ｆｉｊｋｌ（ζ，γ，κ，β）（ここでζ＝（ζ１，・・・，ζｍ），κ＝（κ１，・・・，κｍ）である。）との差を損失とする損失関数を導入し、全体として評価するリスク関数を最小化するようにパラメータ（ζ１，・・・，ζｍ），γ，（κ１，・・・，κｍ），βを決定するステップと、
コンピュータを用いて、前記決定されたパラメータ（ζ１，・・・，ζｍ），γ，（κ１，・・・，κｍ），βに基づいて、式（１６）及び表５により（β１とβ２は、それぞれ歪度の２乗と尖度である。）、前記確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´及び確率変数νがピアソン分布のどの型に属するかを決定するステップと、
【数１９】
2004005510.tif 000023
【表５】
2004005510.tif 000024
コンピュータを用いて乱数を発生し、この乱数に基づいて前記確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´及び確率変数νについて乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、Ｘ＝νＴξに基づいて、標準化されたＸの乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、標準化されたＸを標準化前の乱数に変換するステップと、
を有する多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
ただし、式（１６）及び表５において、β１とβ２は、それぞれ歪度の２乗と尖度であり、κは、前記パラメータκ＝（κ1，・・・κｍ）とは異なる。
【請求項１６】
前記損失関数（Ｌ）及びリスク関数（Ｒ）は、式（１７）及び（１８）、式（１９）及び（２０）、又は式（２１）及び（２２）のいずれかの組で与えられる請求項１４又は１５に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【数２０】
2004005510.tif 000025
【数２１】
2004005510.tif 000026
【数２２】
2004005510.tif 000027
【数２３】
2004005510.tif 000028
【数２４】
2004005510.tif 000029
【数２５】
2004005510.tif 000030
【請求項１７】
前記決定した型に応じて、次の表６及び表７に示す生成法の少なくとも１つを用いて乱数Ｚを発生する請求項１４乃至１６のいずれか１項に記載の多変量正規分布に従う乱数発生方法。
【表６】
2004005510.tif 000031
【表７】
2004005510.tif 000032
【請求項１８】
コンピュータを用いて、式（２３）に示すピアソンＩＶ型分布の正規化定数の解析解又はこの展開に基づいて正規化定数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、棄却法により乱数を発生するステップと、
によってピアソンＩＶ型分布に従う乱数を発生させる請求項１４乃至１７のいずれか１項に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
【数２６】
2004005510.tif 000033
【請求項１９】
前記乱数を発生するステップは、加算生成法、Ｍ系列、一般化フィードバック・シフトレジスタ法及びメルセンヌツイスターを含む、合同法を除く擬似乱数、準乱数、低ディスクレパンシー列、物理乱数を含む乱数を発生する請求項１４乃至１８のいずれか１項に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
【請求項２０】
コンピュータを用いて、式（２４）に示すように、所定の確率分布に従う確率変数ν、階数ｎのｎ行ｍ列（ｍ≧ｎ）の非確率行列Ｔ、所定の確率分布に従う確率ベクトルξ＝（ξ1，・・・，ξm）´の積として与えられる確率ベクトルＸ＝（ｘ1，・・・，ｘn）´で与えられる多次元非正規分布を計算するステップと、
【数２７】
2004005510.tif 000034
最尤法によりパラメータを推定するステップと、
を有する多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【請求項２１】
前記最尤法によりパラメータを推定するステップは、
コンピュータを用いて、ｎ次元空間を分割するステップと、
コンピュータを用いて、経験分布のデータ｛Ｘ1，・・・，ＸN｝について、Ｘiが属する各分割に属する乱数の数を乱数の総数で除して、次の式（２５）で与えられる当該分割の確率を求めるステップと、
【数２８】
2004005510.tif 000035
コンピュータを用いて、前記分割の確率を当該分割のＮ次元体積で除して前記Ｘiが属する、次の式（２６）で与えられる分割の尤度ｆi（θ）を求めるステップと、
【数２９】
2004005510.tif 000036
コンピュータを用いて、尤度の積Πi=1Nｆi（θ）又は対数尤度の和Σi=1Nｌｏｇ  ｆi（θ）が最大になるようなパラメータθを推定するステップと、
を有する請求項２０に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【請求項２２】
確率変数ξ1，・・・，ξm及びνには、ピアソン分布系に従う乱数を使う請求項２０又は２１に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【請求項２３】
確率変数ξ1，・・・，ξm及びνには、少なくとも２以上の型のピアソン分布を用いる請求項２２に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【請求項２４】
コンピュータを用いて、式（２７）に示すピアソンＩＶ型分布の正規化定数の解析解又はこの展開に基づいて正規化定数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、棄却法により乱数を発生するステップと、
によってピアソンＩＶ型分布に従う乱数を発生させる請求項２０乃至２３のいずれか１項に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【数３０】
2004005510.tif 000037
【請求項２５】
コンピュータを用いて、ユアン及びベントラーの方法Ｉに基づいて、次の関係式（２８）及び（２９）を用いてｎ次元経験分布にｎ次元多変量非正規分布をあてはめるステップを有し、
このあてはめるステップで求めたパラメータの近傍について前記パラメータθを推定する請求項２０乃至２４のいずれか１項に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【数３１】
2004005510.tif 000038
【数３２】
2004005510.tif 000039
ただし、Ｅ（・）は、期待値であり（以下同じ）、ｖｅｃｈ（・）は、対称行列から重複しない行列要素を取り出したベクトルであり、Ｄｎは、ｎ次のデュプリケーション行列であり、Ｄｎ+は、Ｄｎのムーア・ペンローズの一般化逆行列であり、
【数３３】
2004005510.tif 000040
は、クロネッカー積であり、Ｅiiは、ｅiを第ｉ列単位としてｅiｅi'である。
ここで、前記ユアン及びベントラーの方法Ｉは、次の通りである。独立な確率変数ξ1，・・・，ξmは、パラメータζj及びκjについて、Ｅ（ξj）＝０，Ｅ（ξj2）＝１，Ｅ（ξj3）＝ζj，Ｅ（ξj4）＝κj（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。
ξjに独立な確率変数νは、パラメータγ及びβについて、Ｅ（ν）＝０，Ｅ（ν2）＝１，Ｅ（ν3）＝γ，Ｅ（ν4）＝βを満たす。
階数ｎのｎ行ｍ列（ｍ≧ｎ）の非確率行列Ｔ＝（ｔij）は、行列Σ＝（σij）について、ＴＴ´＝Σを満たす。ただし、行列Ｔ´はＴの転置行列である。
このとき、次の式（３０）で与えられる確率ベクトルＸ＝（ｘ1，・・・，ｘn）´は、Ｃｏｖ（Ｘ）＝Σを満たす。ただし、Ｃｏｖ（・）は、ベクトルの分散共分散行列であり、ξ＝（ξ1，・・・，ξm）´である。
【数３４】
2004005510.tif 000041
【請求項２６】
前記パラメータθは、パラメータＴ，ζ＝（ζ1，・・・，ζｍ），γ，κ＝（κ1，・・・，κｍ），βの少なくとも１つを表す請求項２０乃至２５のいずれか１項に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【請求項２７】
コンピュータを用いて加算生成法、Ｍ系列、一般化フィードバック・シフトレジスタ法及びメルセンヌツイスターを含む、合同法を除く擬似乱数、準乱数、低ディスクレパンシー列、物理乱数を含む乱数を発生する請求項２０乃至２６のいずれか１項に記載のパラメータ推定方法。
【請求項２８】
コンピュータを用いて、ユアン及びベントラーの方法Ｉに基づいて、次の関係式（３１）及び（３２）を用いてｎ次元経験分布にｎ次元多変量非正規分布をあてはめるステップと、
コンピュータを用いて、ｎ次元経験分布がＸ＝νＴξ（ここで、ξは、ｍ（ここで、ｍ≧ｎである。）個の確率変数ξ１〜ξｍからなる確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´である。独立な確率変数ξ1，・・・，ξmは、パラメータζj及びκjについて、Ｅ（ξj）＝０，Ｅ（ξj2）＝１，Ｅ（ξj3）＝ζj，Ｅ（ξj4）＝κj（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。また、ξjに独立な確率変数νは、パラメータγ及びβについて、Ｅ（ν）＝０，Ｅ（ν2）＝１，Ｅ（ν3）＝γ，Ｅ（ν4）＝βを満たす。）を満たす非正規分布を有すると仮定して、前記Ｘについて乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、各確率変数ｘ１〜ｘｎについての空間を、所定間隔Δｈで分割し、このｎ次元空間を（Δｈ）ｎの超立方体へ分割するステップと、
コンピュータを用いて、各データ・ベクトルの属する区間（Δｈ）ｎ内に存在する乱数の個数を乱数の総数で除して、当該区間（Δｈ）ｎの確率Ｐｉ（θ）を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記確率Ｐｉ（θ）をｎ次元体積（Δｈ）ｎで除して、前記データ・ベクトルの属する区間（Δｈ）ｎの尤度ｆｉ（θ）を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記尤度ｆｉ（θ）の積Πｉ＝１Ｎｆｉ（θ）又は対数尤度の和Σi=1Nｌｏｇ  ｆi（θ）が最大になるようなパラメータθを計算するステップと、
を有する多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【数３５】
2004005510.tif 000042
【数３６】
2004005510.tif 000043
ただし、Ｅ（・）は、期待値であり（以下同じ）、ｖｅｃｈ（・）は、対称行列から重複しない行列要素を取り出したベクトルであり、Ｄｎは、ｎ次のデュプリケーション行列であり、Ｄｎ+は、Ｄｎのムーア・ペンローズの一般化逆行列であり、
【数３７】
2004005510.tif 000044
は、クロネッカー積であり、Ｅiiは、ｅiを第ｉ列単位としてｅiｅi'である。
ここで、前記ユアン及びベントラーの方法Ｉは、次の通りである。独立な確率変数ξ1，・・・，ξmは、パラメータζj及びκjについて、Ｅ（ξj）＝０，Ｅ（ξj2）＝１，Ｅ（ξj3）＝ζj，Ｅ（ξj4）＝κj（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。
ξjに独立な確率変数νは、パラメータγ及びβについて、Ｅ（ν）＝０，Ｅ（ν2）＝１，Ｅ（ν3）＝γ，Ｅ（ν4）＝βを満たす。
階数ｎのｎ行ｍ列（ｍ≧ｎ）の非確率行列Ｔ＝（ｔij）は、行列Σ＝（σij）について、ＴＴ´＝Σを満たす。ただし、行列Ｔ´はＴの転置行列である。
このとき、次の式（３３）で与えられる確率ベクトルＸ＝（ｘ1，・・・，ｘn）´は、Ｃｏｖ（Ｘ）＝Σを満たす。ただし、Ｃｏｖ（・）は、ベクトルの分散共分散行列であり、ξ＝（ξ1，・・・，ξm）´である。
【数３８】
2004005510.tif 000045
【請求項２９】
確率変数ξ1，・・・，ξm及びνには、ピアソン分布系に従う乱数を使う請求項２８に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【請求項３０】
確率変数ξ1，・・・，ξm及びνには、少なくとも２以上の型のピアソン分布を用いる請求項２９に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【請求項３１】
コンピュータを用いて、式（３４）に示すピアソンＩＶ型分布の正規化定数の解析解又はこの展開に基づいて正規化定数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、棄却法により乱数を発生するステップと、
によってピアソンＩＶ型分布に従う乱数を発生させる請求項２８乃至３０のいずれか１項に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【数３９】
2004005510.tif 000046
【請求項３２】
コンピュータを用いて加算生成法、Ｍ系列、一般化フィードバック・シフトレジスタ法及びメルセンヌツイスターを含む、合同法を除く擬似乱数、準乱数、低ディスクレパンシー列、物理乱数を含む乱数を発生する請求項２８乃至３１のいずれか１項に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【請求項３３】
請求項１乃至３２のいずれか１項に記載の手順において、ν＝１とした多変量非正規分布の乱数発生方法又はパラメータ推定方法。
【請求項３４】
請求項１乃至３３のいずれか１項に記載の手順において、Ｔ＝１とした非正規分布の乱数発生方法又はパラメータ推定方法。
【請求項３５】
請求項１乃至３４のいずれか１項に記載された手順に従い、ポートフォリオを構成するｎ種類の資産のｎ次元損益分布にｎ次元多変量非正規分布をあてはめ、シミュレーションによって予想損失額を計算する予測損失額
の計算方法。
【請求項３６】
請求項１乃至３４のいずれか１項に記載の手順を用い、前記多変量非正規分布に従う乱数に基づいて金融商品の特性をコンピュータを用いてシミュレーションする金融商品のシミュレーション方法。
【請求項３７】
請求項１乃至３４のいずれか１項に記載の手順を用いた、天候・保険デリバティブの設計又は価格付け方法。
【請求項３８】
請求項１乃至３４のいずれか１項に記載の手順を用いた、アセット・アロケーションの方法。
【請求項３９】
請求項１乃至３４のいずれか１項に記載の手順を用い、前記多変量非正規分布に従う乱数に基づいてイオン注入によるイオンの分布をコンピュータを用いてシミュレーションするイオン注入のシミュレーション方法。
【請求項４０】
請求項１乃至３４のいずれか１項に記載の手順を用いた、能力評価の方法。
【請求項４１】
請求項１乃至４０のいずれか１項に記載された手順を実現する、コンピュータにより実行可能なコンピュータ・プログラム。
【請求項４２】
光ディスク、磁気ディスク、光磁気ディスク又は磁気テープの少なくとも１つによって提供される請求の範囲第４１項記載のコンピュータ・プログラム。
【手続補正２】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００１８
【補正方法】変更
【補正の内容】
【００１８】
［１］アザリニ，エイ．及びバレ，エイ．ディー．（Azzalini, A. and Valle, A. D.）（１９９６）「多変量の歪んだ正規分布（The multivariate skew-normal distribution）」、バイオメトリカ（Biometrika）、８３巻、７１５〜７２６頁
［２］ドブロイ，エル．（Devroye. L.）（１９８４）「対数凹密度を有する確率変数を生成する簡単なアルゴリズム（A simple algorithm for generating random variates with a log-concave density）」、コンピューティング（Computing）、３３巻、２４７〜２５７頁
［３］ドブロイ，エル．（Devroye. L.）（１９８６）「非一様な確率変数の生成（Non-Uniform Random Variate Generation）」、スプリンガー（Springer）、ニューヨーク（New York）
［４］エルダートン，ダブリュ．ピー．及びジョンソン，エヌ．エル．（Elderton, W. P. and Johnson, N. P.）（１９６９）「頻度曲線の系（Systems of Frequency Curves）」、ケンブリッジ大学出版（Cambridge University Press）
［５］ファング  ケイ．ティー，コッツ，エス及びング，ケイ．ダブリュ．（Fang K. −T, Kotz, S. and Ng, K. W.）（１９９０）「対称多変量及び関連する分布（Symmetric Multivariate and Related Distributions）」、チャップマン及びホール（Chapman & Hall）、ロンドン（London）
［６］フライシュマン，エイ．（Fleishmann, A.）（１９７８）「非正規分布のシミュレーション方法（A method for simulating non-normal distributions）」、サイコメトリカ（Psychometrika）、４３巻、５２１〜５３２頁
［７］ホードリー，エイ．ビー．（Hoadley, A. B.）（１９６８）「左端と最初の３つのモーメントが知られた歪んだ密度を近似するためのピアソン分布の使用（Use of the Pearson densities for approximating a skew density whose left terminal and first three moments are known）」、バイオメトリカ（Biometrika）、５５巻、３号、５５９〜５６３頁
［８］ジョンソン，エヌ．エル，コッツ，エス．及びバラクリシュナン，エヌ.（Johnson, N. L, Kotz, S. and Balakrishnan, N.）（１９９４）「連続単変量分布１（Continuous univariate distribution）」、第２版、ジョン・ワイリー（John Wiley）、
［９］マグナス，ジェイ．アール．及びニューデッカー，エイチ．（Magnus, J. R. and Neudecker, H.）（１９８８）「統計及び計量経済学における応用を有する行列微分法（Matrix Differential Calculus with Application in Statistics and Econometrics）」、ワイリー（Wiley）、ニューヨーク（New York）
［１０］マクグラス，イー．ジェイ．及びアービング，ディー．シー（McGrath, E. J. and Irving, D. C.）（１９７３）「効果的なモンテカルロ・シミュレーションの技術 第２巻：選択した確率分布についての乱数の生成（Techniques for efficient Monte Carlo simulation: volume 2: random number generation for selected probability distributions）」、テクニカル・リポート（Technical Report SAI-72-590-LJ）、サイエンス・アプリケーションズ社（Science Applications, Inc.）,ラヨラ（La Jolla）、カリフォルニア（CA）
［１１］ムーアヘッド，アール．ジェー．（Muirhead, R. J.）（１９８２）「多変量統計理論の諸問題（Aspscts of Multivariate Statistical Theory）」、ワイリー（Wiley）、ニューヨーク（New York）
［１２］永原，ワイ．（Nagahara, Y.）（１９９９）「ピアソンＩＶ型分布の確率密度関数及び分布関数とパラメータの最尤推定（The PDF and CF of Pearson type IV distributions and the ML estimation of the parameters）」、スタティスティクス・アンド・プロバビリティー・レターズ（Statistics & Probability Letters）、４３巻、２５１〜２６４頁
［１３］永原，ワイ（Nagahara, Y）（２００２）「ピアソン分布系に基づく非ガウスフィルタ及びスムーザー（Non-Gaussian filter and smoother based on the Pearson distribution system）」、ジャーナル・オブ・タイム・シリーズ・アナリシス（Journal of Time Series Analysis）、近刊
［１４］オード，ジェイ．ケイ．（Ord, J. K.）（１９７２）「頻度分布の族（Family of Frequency Distributions）」、グリフィン（Griffin）出版
［１５］パリシュ，アール．（Parrish, R.）（１９８３）「ピアソン分布についてのメンバー選択とパラメータ推定への積分アプローチ（On an integrated approach to member selection and parameter estimation for Pearson distributions）」、コンピュテイショナル・スタティスティクス及びデータ解析（Computational Statistics & Data Analysis）、１巻、２３９〜２５５頁
［１６］ピアソン，イー．エス．（Pearson, E. S.）（１９６３）「モーメントを用いた確率分布近似で生じるいくつかの問題（Some problems arising in approximating to probability distributions, using moments）」、バイオメトリカ（Biometrika）、５０巻、９５〜１１１頁
［１７］ピアソン，ケイ（Pearson, K.）（１８９５）「均質な物質における歪んだ分散についての研究（Memoir on skew variation in homogeneous material）」、フィロソフィカル・トランザクションズ・オブ・ザ・ローヤル・ササイアティー（Phil. Trans. Roy. Soc.）、エイ（Ａ）、１８６巻、３４３〜４１４頁
［１８］ピアソン，ケイ（Pearson, K.）（１９１４）「統計及び計量生物学のための数表（Tables for Statistics and Biometrics）」、１巻、ケンブリッジ大学出版（Cambridge University Press）
［１９］ピアソン，イー．エス．及びハートリー，エイチ．オー．（Pearson, E. S. and Hartrey, H. O. ）（１９５４）「統計のための計量生物学数表（Biometrika Tables for Statistics）」、１巻、ケンブリッジ大学出版（Cambridge University Press）
［２０］ショラック，ジー．アール．（Shorack, G. R.）（２０００）「統計のための確率（Probability for Statistics）」、スプリンガー（Springer）、ニューヨーク（New York）
［２１］スチュアート，エイ及びオード，ジェイ．ケイ．（Stuart, A. and Ord, J. K.）（１９９４）「ケンダルによる統計の進んだ理論（Kendall's Acvanced Theory of Statistics）」、１巻、分布理論（Distribution Theory）、６版、エドワード・アーノルド（Edward Arnold）
［２２］タジカマラ，ピー．アール．（Tadikamalla, P. R.）（１９８０）「非正規分布のシミュレーションについて（On simulating non-normal distributions）」、サイコメトリカ（Psychometrika）、４５巻、２７３〜２７９頁
［２３］ユアン，ケイ．エイチ．及びベントラー，ピー．エム．（Yuan K, -H. and Bentler P. M.）（１９９７）「特定の周辺の歪度及び尖度を有する多変量分布の生成（Generating multivariate distributions with specified marginal skewness and kurtosis）」、ソフトスタット‘９７−統計ソフトウェアにおける発展（ダブリュ．バンディラ及びエフ．ファウルバウム編集）内（in SoftStat'97-Advances in Statistical Software 6, （W. Bandilla and F. Faulbaum, Eds.））、３８５〜３９１頁、ルシアス・アンド・ルシアス（Lucius & Lucius）、シュトゥットガルト（Stuttgart）、ドイツ
［２４］ユアン，ケイ．エイチ．及びベントラー，ピー．エム．（Yuan K, -H. and Bentler P. M.）（１９９９ａ）「非正規分布における２つのクラスの下での共分散構造解析における正規理論及び付随する検定統計（On normal theory and associated test statistics in covariance structure analysis under two classes of nonnormal distributions）」、スタティスティカ・シニカ（Statist. Sinica）、９巻、８３１〜８５３頁
［２５］ユアン，ケイ．エイチ．及びベントラー，ピー．エム．（Yuan K, -H. and Bentler P. M.）（１９９９ｂ）「いくつかの非正規分布の下での共分散構造解析における正規理論ＭＬＥの漸近的分布について（On asymptotic distributions of normal theory MLE in covariance structure analysis under some nonnormal distributions）」、スタティスティクス・アンド・プロバビリティー・レターズ（Statistics & Probability Letters）、４２巻、１０７〜１１３頁
［２６］ユアン，ケイ．エイチ．及びベントラー，ピー．エム．（Yuan K, -H. and Bentler P. M.）（２０００）「非正規分布のいくつかのクラスにおける相関係数の推定（Inferences on correlation coefficients in some classes of nonnormal distributions）」、ジャーナル・オブ・マルチヴァリエイト・アナリシス（Journal of Multivariate Analysis）、７２巻、２３０〜２４８頁
［２７］ベイル，ディー及びモーレイ，ブイ．エイ．（Vale, D. and Maurelli, V. A.）（１９８３）「多変量非正規分布シミュレーション（Simulating Multivariate Nonormal Distributions）」、サイコメトリカ（Psycometrika）、４８巻、４６５〜４７１頁
【発明が解決しようとする課題】
ところで、検定統計のみならず統計モデリングの見地からも、多変量非正規分
布を導出し、経験分布を近似する分布を構築することがさらに求められている。
また、少数の標本からも多変量非正規分布を安定して推定することが求められて
いる。
【手続補正３】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００２１
【補正方法】変更
【補正の内容】
【００２１】
【数４６】
2004005510.tif 000047
【数４７】
2004005510.tif 000048
ただし、Ｅ（・）は、期待値であり（以下同じ）、ｖｅｃｈ（・）は、対称行列から重複しない行列要素を取り出したベクトルであり、Ｄｎは、ｎ次のデュプリケーション行列であり、Ｄｎ+は、Ｄｎのムーア・ペンローズの一般化逆行列であり、
【数４８】
2004005510.tif 000049
は、クロネッカー積であり、Ｅiiは、ｅiを第ｉ列単位としてｅiｅi'である。
【手続補正４】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００４０
【補正方法】変更
【補正の内容】
【００４０】
好ましくは、本発明に係る多変量非正規分布に従う乱数発生方法は、コンピュータを用いて、ｎ個のデータ
【数７０】
2004005510.tif 000050
からなるデータ・ベクトルＸｉ´について、経験分布のデータ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を取得するステップと、コンピュータを用いて、前記データ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を標準化して｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝とするステップと、コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、分散共分散行列Σを計算するステップと、コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、３次モーメントｍｉｊｋ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｎ）を計算するステップと、コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、４次モーメントｍｉｊｋｌ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｌ≦ｎ）を計算するステップと、コンピュータを用いて、前記分散共分散行列Σから行列Ｔを計算するステップと、前記データ・ベクトルが従う分布が、Ｘ＝νＴξ（ここで、ξは、ｍ（ここで、ｍ＞ｎである。）個の確率変数ξ１〜ξｍからなる確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´である。独立な確率変数ξ1，・・・，ξmは、パラメータζj及びκjについて、Ｅ（ξj）＝０，Ｅ（ξj2）＝１，Ｅ（ξj3）＝ζj，Ｅ（ξj4）＝κj（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。また、ξjに独立な確率変数νは、パラメータγ及びβについて、Ｅ（ν）＝０，Ｅ（ν2）＝１，Ｅ（ν3）＝γ，Ｅ（ν4）＝βを満たす。）を満たす非正規分布を有すると仮定して、コンピュータを用いて、３次モーメントｍｉｊｋ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｎ）及び４次モーメントｍｉｊｋｌ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｌ≦ｎ）とｆｉｊｋ（Ｔ，ζ，γ，κ，β），ｆｉｊｋｌ（Ｔ，ζ，γ，κ，β）（ここでζ＝（ζ１，・・・，ζｍ），κ＝（κ１，・・・，κｍ）である。）との差を損失とする損失関数を導入し、ＴＴ´＝Σ（Ｔ´はＴの転置行列である。）という条件の下で、全体として評価するリスク関数を最小化するようにパラメータＴ，（ζ１，・・・，ζｍ），γ，（κ１，・・・，κｍ），βを決定するステップと、コンピュータを用いて、前記決定されたパラメータ（ζ１，・・・，ζｍ），γ，（κ１，・・・，κｍ），βに基づいて、式（５４）及び表１１により（β１とβ２は、それぞれ歪度の２乗と尖度である。）、前記確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´及び確率変数νがピアソン分布のどの型に属するかを決定するステップと、
【数７１】
2004005510.tif 000051
【表１１】
2004005510.tif 000052
コンピュータを用いて乱数を発生し、この乱数に基づいて前記確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´及び確率変数νについて乱数を計算するステップと、コンピュータを用いて、Ｘ＝νＴξに基づいて、標準化されたＸの乱数を計算するステップと、コンピュータを用いて、標準化されたＸの乱数を標準化前の乱数に変換するステップと、を有する。
【手続補正５】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００５４
【補正方法】変更
【補正の内容】
【００５４】
【数８６】
2004005510.tif 000053
【数８７】
2004005510.tif 000054
ただし、Ｅ（・）は、期待値であり（以下同じ）、ｖｅｃｈ（・）は、対称行列から重複しない行列要素を取り出したベクトルであり、Ｄｎは、ｎ次のデュプリケーション行列であり、Ｄｎ+は、Ｄｎのムーア・ペンローズの一般化逆行列であり、
【数８８】
2004005510.tif 000055
は、クロネッカー積であり、Ｅiiは、ｅiを第ｉ列単位としてｅiｅi'である。
【手続補正６】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００６２
【補正方法】変更
【補正の内容】
【００６２】
【数９０】
2004005510.tif 000056
【数９１】
2004005510.tif 000057
ただし、Ｅ（・）は、期待値であり（以下同じ）、ｖｅｃｈ（・）は、対称行列から重複しない行列要素を取り出したベクトルであり、Ｄｎは、ｎ次のデュプリケーション行列であり、Ｄｎ+は、Ｄｎのムーア・ペンローズの一般化逆行列であり、
【数９２】
2004005510.tif 000058
は、クロネッカー積であり、Ｅiiは、ｅiを第ｉ列単位としてｅiｅi'である。
【手続補正７】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１１８
【補正方法】変更
【補正の内容】
【０１１８】
【数１０５】
2004005510.tif 000059
ここで、ｅiは、第ｉ列単位であり、Ｅii＝ｅiｅi'である。
【手続補正８】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１２３
【補正方法】変更
【補正の内容】
【０１２３】
【数１１０】
2004005510.tif 000060
この定理は、式（８４），（８６）及び（８７）から得られる。
【手続補正９】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１４２
【補正方法】変更
【補正の内容】
【０１４２】
例えば、１０，０００，０００個のシミュレーションの場合、表５７（合同法）では、それぞれ、ξ１（歪度０．９９１２６、尖度４．６４４９５）、ξ２（歪度１．２２６１５、尖度５．２２３８６）、ν（歪度０．７５３０４、尖度３．９２１２３）で、それから生成される多変量非正規分布のモーメント特性の計測値は、Ｅ（Ｘ１３）＝０．８４３０２（０．８５７８３）、Ｅ（Ｘ２３）＝０．６７３４２（０．６９２１１）、Ｅ（Ｘ１２Ｘ２）＝０．２６８６５（０．２７４８８）、Ｅ（Ｘ１Ｘ２２）＝０．２４０２５（０．２４１７４）、Ｅ（Ｘ１４）＝１９．２００２１（２０．７３５０６）、Ｅ（Ｘ２４）＝１７．１４７０５（１８．３１０４５）、Ｅ（Ｘ１３Ｘ２）＝７．９６７９４（８．４５１７６）、Ｅ（Ｘ１２Ｘ２２）＝６．７６２１５（７．０７３９１）、Ｅ（Ｘ１Ｘ２３）＝７．４１６７９（７．８４５６３）である。
【手続補正１０】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１６３
【補正方法】変更
【補正の内容】
【０１６３】
【数１１９】
2004005510.tif 000061
そして、この対数尤度の和を最大にすることにより、最尤推定量
【数１４６】
2004005510.tif 000062
を得る。このようにして、最尤推定パラメータが得られた。なお、尤度の積を最大にしても同様である。
【手続補正１１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１６４
【補正方法】変更
【補正の内容】
【０１６４】
多変量非正規分布推定量
【数１４７】
2004005510.tif 000063
を、対数尤度の和を最大化することにより推定する。この方法を予想損失額に適用するため、１年の取引日に対応する２５０点を採用する。２５０点のモーメントを表８２に示し、最尤法による推定分布のモーメントを表８３〜８５に示す。
【手続補正１２】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１６５
【補正方法】変更
【補正の内容】
【０１６５】
２５０点は、合同法を用いて得られた、目的とする分布の特性が、ξ１（歪度０．７５、尖度５．０）、ξ２（歪度１．００、尖度５．５）、ν（歪度０．５、尖度４．０）を持つ（先のピアソンＩＶ型の多変量シミュレーションで使われた目標値）乱数である。２５０点からなる分布の特性の計測値は表８２に示されており、目的とする分布の特性とはかなり違ったものになっている。
【手続補正１３】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１６６
【補正方法】変更
【補正の内容】
【０１６６】
次に、多数の乱数からなる（ここでは、１０，０００，０００点）分布による最尤法の推定結果を示す。なお、分散共分散のみを経験分散共分散０．４１８１９と同じに設定するため、ｔ11＝０．２１４８，ｔ12＝０．９７６７に設定する。まず、表８３は合同法による推定結果であるが、２５０点の計測値よりも、目標とされた分布の特性値（表５４）に近づいていることがわかる。このことから、少数のデータの分布の推定には、モーメント法より、最尤法がすぐれていることがわかる。なお、最大対数尤度は、−５６２．７３になった。特に、金融のリスク管理などでは、一年のデータは２５０点程度であり，これから、多変量非正規分布を用い、良好な推定をするためには、最尤法を用いらなければならないといえよう。
【手続補正１４】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１９８
【補正方法】変更
【補正の内容】
【０１９８】
【数１３５】
2004005510.tif 000064
【数１３６】
2004005510.tif 000065
【数１３７】
2004005510.tif 000066
【数１３８】
2004005510.tif 000067
【数１３９】
2004005510.tif 000068
そして、式（１１２）を最小にするようなパラメータζ＝（ζ1，・・・，ζｍ），γ，κ＝（κ1，・・・，κｍ），βを求める。
【手続補正１５】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０２１３
【補正方法】変更
【補正の内容】
【０２１３】
【数１４４】
2004005510.tif 000069
そして、この対数尤度の和を最大にすることにより、最尤推定量
【数１４８】
2004005510.tif 000070
を得る。この最尤推定量をパラメータとして用いる。なお、尤度の積を最大にしても同様である。
【手続補正１６】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０２２６
【補正方法】変更
【補正の内容】
【０２２６】
５．３  アセット・アロケーション
本実施の形態の方法によって、多変量非正規分布に従う資産間のアセット・アロケーションを、従来の平均・分散による最適化だけでなく歪度も考慮できる最適化手法と組み合わせて実行する。この歪度まで考慮できる最適化手法については、参考文献に今野浩「理財工学ＩＩ」、日科技連、１９９８年、コンノ，エイチ．，スズキ，ティー.及びコバヤシ，ディー．（Konno,H and Suzuki, T. and Kobayashi, D.）（１９９８）「平均リスク歪度ポートフォリオ問題を解くための分岐と境界アルゴリズム（A Branch and Bound Algorithm for Solving Mean-Risk-Skewness Portfolio Models）」、最適化方法及びソフトウェア（Optimization Methods and Software）、１０巻、２９７〜３１７頁。コンノ，エイチ．，シラカワ，エイチ．，及びヤマザキ，エイチ．，（Konno, H., Shirakawa, H., and Yamazaki, H.）（１９９３）「平均絶対偏差ポートフォリオ最適化モデル（A Mean-Absolute Deviation Skewness Portfolio Optimization Model）」、オペレーションズリサーチ年報（Annals of Operations Research）、４５巻、２０５〜２２０頁、コンノ，エイチ．及びスズキ，ケイ.（Konno,H and Suzuki, K.）（１９９５）「平均分散歪度ポートフォリオ最適化モデル（A Mean-Variance-Skewness Portfolio Optimization Model）」、日本オペレーションズリサーチ学会誌（Journal of the Operations Research Society of Japan）、３８巻、１７３〜１８７頁がある。さらに、尖度まで考慮した最適化を使えば、拡張も容易である。
【手続補正１７】
【補正対象書類名】図面
【補正対象項目名】全図
【補正方法】変更
【補正の内容】
【図１】
2004005510.tif 000071
【図２】
2004005510.tif 000072