(57)【要約】【課題】非線形磁場の過渡解析を高速化する方法を提供する。【解決手段】有限要素法を用いて非線形磁場の過渡解析を行う高速磁場解析方法であって、第１タイムステップで用いる行列方程式の反復解法における第１の収束判定値、第１タイムステップで用いる非線形磁場解析に関する第２の収束判定値、および第２タイムステップ以降で用いる単純反復計算に関する第３の収束判定値を記載した入力データファイルを読み取るプロセスと、第１タイムステップにおいて、行列方程式の反復解法、第１の収束判定値、および第２の収束判定値を使用して磁場そのものを解くプロセスと、第２タイムステップ以降において、単純反復計算および第３の収束判定値を使用して、前タイムステップからの磁場の変動量を求めるプロセスとを有し、第２タイムステップ以降における単純反復計算に、３×３のテンソルで表される磁気抵抗率を使用する。【選択図】図１
2010072711.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
演算装置により、有限要素法を用いて且つ複数のタイムステップにおける演算処理を行って非線形磁場の過渡解析を行う高速磁場解析方法であって、
第１タイムステップで用いる磁場解析のための行列方程式の反復解法における第１の収束判定値、第１タイムステップで用いる非線形磁場解析に関する第２の収束判定値、および第２タイムステップ以降の少なくとも１つのタイムステップで用いる非線形磁場解析における単純反復計算に関する第３の収束判定値を記載した入力データファイルと、解析対象を含む解析空間のメッシュデータファイルとから、それぞれの入力情報を読み取るプロセスと、
第１タイムステップにおいて、前記行列方程式の反復解法、前記第１の収束判定値、および前記第２の収束判定値を使用して磁場そのものを解くプロセスと、
第２タイムステップ以降の少なくとも１つのタイムステップにおいて、前記非線形磁場解析における単純反復計算、および前記第３の収束判定値を使用して、前タイムステップからの磁場の変動量を求めるプロセスと、を有し、
前記第２タイムステップ以降の少なくとも１つのタイムステップにおける非線形磁場解析における前記単純反復計算に、３×３のテンソルで表される磁気抵抗率を使用すること、
を特徴とする高速磁場解析方法。
【請求項２】
請求項１記載の高速磁場解析方法において、前記磁場そのものは、磁気ベクトルポテンシャルから求め、前記前タイムステップからの磁場の変動量は、前タイムステップからの前記磁気ベクトルポテンシャルの変動量から求める高速磁場解析方法。
【請求項３】
請求項１記載の高速磁場解析方法において、前記第２タイムステップ以降の少なくとも１つのタイムステップは、前タイムステップからの磁気ベクトルポテンシャルの変動量と電気スカラポテンシャルの変動量とから、前記前タイムステップからの磁場の変動量を求める高速磁場解析方法。
【請求項４】
請求項１から３のいずれか１項記載の高速磁場解析方法において、
回転機を解析する場合には、前記解析空間は、回転子を含む回転子空間と固定子を含む固定子空間とに分割され、
この解析空間のメッシュデータは、これら回転子空間と固定子空間との境界が回転方向に予め定めた角度幅Δθで等間隔にメッシュ分割されており、
磁場解析の際には、この回転子空間のメッシュを角度幅Δθまたはその整数倍回転させて解析する高速磁場解析方法。
【請求項５】
請求項４記載の高速磁場解析方法において、
前記回転子の回転速度を変化させる解析をする場合は、前記回転子空間のメッシュと前記固定子空間のメッシュとが整合するように、タイムステップ幅を前記回転子の回転速度の変化に合わせて変化させる高速磁場解析方法。
【請求項６】
請求項１記載の高速磁場解析方法において、
前記磁気抵抗率は、前記解析空間の異方性を考慮した３×３のテンソルで表されることを特徴とする高速磁場解析方法。
【請求項７】
請求項１記載の高速磁場解析方法において、
前記解析空間に薄い絶縁層が含まれる場合には、この薄い絶縁層は無限に薄いギャップ要素でモデル化され、このモデル化により空間積分が面積分に置き換えられた方程式を解いて解析を行う高速磁場解析方法。
【請求項８】
請求項３記載の高速磁場解析方法において、
前記解析空間には２つの導電体とこれらの導電体に挟まれた薄い絶縁層とが含まれ、この薄い絶縁層にはメッシュ分割による要素が割り当てられず面上に節点が二重に設定され、これらの節点に電気スカラポテンシャルが設定されている解析空間を解析する高速磁場解析方法。
【請求項９】
請求項１記載の高速磁場解析方法において、
前記解析空間には磁性体とコイルとが含まれ、
磁気ベクトルポテンシャルをトータルポテンシャルとし、コイル電流が前記解析空間の空気領域に誘起するビオ・サバール場による磁気ベクトルポテンシャルを前記トータルポテンシャルから引いたポテンシャルを変形ポテンシャルとし、
前記磁性体が存在して前記トータルポテンシャルを未知変数とする領域と、前記コイルが存在して前記変形ポテンシャルを未知変数とする領域と、前記トータルポテンシャルと前記変形ポテンシャルの２つのポテンシャルを未知変数とする２ポテンシャル境界層とに区分されている解析空間を解析する高速磁場解析方法。
【請求項１０】
請求項１から９のいずれか１項記載の高速磁場解析方法における一連のプロセスをコーディングしていることを特徴とする高速磁場解析プログラム。
【請求項１１】
請求項１０記載の高速磁場解析プログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、磁場解析方法、磁場解析プログラム、および磁場解析プログラムを記録した記録媒体に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
従来の代表的な非線形磁場解析法として、有限要素法による解析法があり、ＩＣＣＧ法（不完全コレスキー分解前処理付き共役勾配法）による反復解法や透磁率を逐次修正するニュートン・ラフソン法を併用している方法もある。この方法は、例えば非特許文献１に示されている。
【０００３】
【非特許文献１】「電気工学の有限要素法」中田高義・高橋則雄著、森北出版、１９８６年
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
有限要素法で磁場解析する場合の一般的な方法として、磁気ベクトルポテンシャルＡを用いたＡ法で記述すると、変位電流の影響が無視できる準静的な場の基礎方程式は、
【０００５】
【数１】
2010072711.tif 000003
【０００６】
となる。ここで、νは磁気抵抗率（透磁率の逆数）、σは導電率、Ｊ０はコイルの電流密度ベクトル、Ｍ０は磁石の残留磁束密度ベクトルである。なお、磁石に関しては、便宜上、Ｈ＝ν（Ｂ−Ｍ０）とした。Ｂは磁束密度ベクトル、Ｈは磁場ベクトルである。
【０００７】
磁気抵抗率νは場に依存するため、式（１）は非線形になり、通常ニュートン・ラフソン法を用いて解を求めている。すなわち、式（１）を離散化し、境界条件を考慮して、最終的に得られる行列方程式の解を反復解法で求めるが、ニュートン・ラフソン法では、解の補正項を順次求めて、それまでに求めた解に補正項を加える形で計算を進める。
【０００８】
しかし、この補正項を加えても行列方程式に関する残差（近似解を代入したときの誤差）はなかなか小さくならず解の収束性が悪いため、反復回数が増大して解析の高速化を阻んでいる。このため、非線形磁場解析、特に回転機における過渡的な非線形の磁場解析が困難である。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
上記課題を解決するために、本発明に係る高速磁場解析方法は次のような特徴を有する。
【００１０】
演算装置により、有限要素法を用いて且つ複数のタイムステップにおける演算処理を行って非線形磁場の過渡解析を行う高速磁場解析方法であって、第１タイムステップで用いる磁場解析のための行列方程式の反復解法における第１の収束判定値、第１タイムステップで用いる非線形磁場解析に関する第２の収束判定値、および第２タイムステップ以降の少なくとも１つのタイムステップで用いる非線形磁場解析における単純反復計算に関する第３の収束判定値を記載した入力データファイルと、解析対象を含む解析空間のメッシュデータファイルとから、それぞれの入力情報を読み取るプロセスと、第１タイムステップにおいて、前記行列方程式の反復解法、前記第１の収束判定値、および前記第２の収束判定値を使用して磁場そのものを解くプロセスと、第２タイムステップ以降の少なくとも１つのタイムステップにおいて、前記非線形磁場解析における単純反復計算、および前記第３の収束判定値を使用して、前タイムステップからの磁場の変動量を求めるプロセスとを有し、前記第２タイムステップ以降の少なくとも１つのタイムステップにおける非線形磁場解析における前記単純反復計算に、３×３のテンソルで表される磁気抵抗率を使用することを特徴とする。
【００１１】
また、前記磁場そのものは、磁気ベクトルポテンシャルから求め、前記前タイムステップからの磁場の変動量は、前タイムステップからの前記磁気ベクトルポテンシャルの変動量から求める。
【００１２】
さらに、上記課題を解決する本発明に係る高速磁場解析プログラムは、上記の高速磁場解析方法における一連のプロセスをコーディングしていることを特徴とする。
【００１３】
また、上記課題を解決する本発明に係る記録媒体は、上記の高速磁場解析プログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体であることを特徴とする。
【発明の効果】
【００１４】
本発明による高速磁場解析方法によれば、磁性材料を含む体系の非線形磁場の過渡解析において、従来のニュートン・ラフソン法による解析よりも数倍高速に解析できる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１５】
以下、本発明の実施例を詳述する。なお、本実施例では、過渡的な非線形磁場を解く磁場解析法として有限要素法を利用している。また、式（１）で用いた記号を使用する。
【実施例１】
【００１６】
実施例１では、本発明による高速磁場解析方法について説明する。本高速磁場解析方法は、タイムステップごとに磁場を求める。
【００１７】
まず第１タイムステップでは、磁気ベクトルポテンシャルＡを未知数として、式（１）を離散化し、一般的な有限要素法で磁場を求める。
【００１８】
第２タイムステップ以降の少なくとも１つの任意のタイムステップにおいては、前タイムステップからの磁気ベクトルポテンシャルＡの変動量であるΔＡのみを単純反復法で解く。本実施例では、第２タイムステップ以降の全てのタイムステップにおいてΔＡのみを単純反復法で解くものとする。本発明は、これに限るものではなく、第２タイムステップ以降であれば、１つまたは複数の任意のタイムステップにおいてΔＡのみを単純反復法で解くようにすることができる。第２タイムステップ以降においてΔＡを解く方程式は、
【００１９】
【数２】
2010072711.tif 000004
【００２０】
である。ここで、Ｈ０は前タイムステップにおける磁場ベクトル、Δｔはタイムステップ幅である。また、νは差分磁気抵抗率テンソルであり、式（３）、（４）で定義された３×３のテンソルで表される量である。
【００２１】
【数３】
2010072711.tif 000005
【００２２】
【数４】
2010072711.tif 000006
【００２３】
ν’は差分磁気抵抗率であり、磁化曲線において前タイムステップでの（Ｂｍ０，Ｈｍ０）と現在のタイムステップでの（Ｂｍ，Ｈｍ）の２点の勾配によって定義される値である。すなわち、
ν’＝（Ｈｍ―Ｈｍ０）/（Ｂｍ―Ｂｍ０）
と表される。ここで、Ｂｍは磁束密度の大きさ、Ｈｍは磁界強度の大きさを意味する。
【００２４】
本高速磁場解析方法では、この３×３のテンソルで表される差分磁気抵抗率テンソルνを用いる。
【００２５】
磁場解析において、計算値が収束したかどうかを判定するのに、収束判定値を用いる。本実施例では、第１タイムステップで用いる行列方程式の反復解法における第１の収束判定値、第１タイムステップで用いる非線形磁場解析に関する第２の収束判定値、および第２タイムステップ以降で用いる非線形磁場解析における単純反復計算に関する第３の収束判定値を用いる。これらの収束判定値は、入力データファイルに記載されており、入力データとして入力される。
【００２６】
ここで、図７を用いて、第１タイムステップにおける磁場解析のプロセス１０を説明する。第１タイムステップの磁場解析では、磁気ベクトルポテンシャルＡそのものを解くが、従来の磁場解析法と同様の方法を用いることができる。
【００２７】
まず、第１タイムステップの磁場解析の前処理として、ステップ１０１において、前述した３つの収束判定値、解析空間のメッシュデータ、境界条件や物性値などの解析条件データなど、解析に必要な入力データを入力する。入力方法は、例えば、これらの入力データを記載したファイルを読み込むものとする。
【００２８】
ステップ１０２から第１タイムステップの磁場解析が始まる。ステップ１０２において、入力データを基に、磁気ベクトルポテンシャルＡを計算するための行列方程式を作成する。
【００２９】
ステップ１０３で、ステップ１０２で作成した行列方程式を反復解法で解き、Ａを算出する。このときの収束判定に、第１の収束判定値を用いる。例えば、Ａに関する行列方程式の相対残差が収束判定値以下になったときを収束とする。
【００３０】
ステップ１０４で、Ａの補正量δＡを計算するための行列方程式を作成する。
【００３１】
ステップ１０５で、ステップ１０４で作成した行列方程式を反復解法で解き、δＡを算出する。このときの収束判定にも、第１の収束判定値を用いる。例えば、δＡに関する行列方程式の相対残差が収束判定値以下になったときを収束とする。
【００３２】
ステップ１０６で、ステップ１０３で求めたＡにステップ１０５で求めたδＡを加え、Ａを更新する。
【００３３】
ステップ１０７では、第２の収束判定値を用い、以上の反復解法による非線形磁場解析で求めたＡが収束したかどうかを判定する。例えば、Ａに関する行列方程式の相対残差が収束判定値以下になったときを収束とする。
【００３４】
収束していない場合は、ステップ１０４に戻り、上記の反復解法による非線形磁場解析を収束するまで繰り返す。
【００３５】
ステップ１０７でＡが収束した場合、第２タイムステップ以降における磁場解析のプロセス２０に移行する。
【００３６】
次に、図１を用いて、第２タイムステップ以降における磁場解析のプロセス２０を説明する。第２タイムステップ以降では、前タイムステップからの磁気ベクトルポテンシャルＡの変動量であるΔＡのみを単純反復法で解く。
【００３７】
第１タイムステップでの磁場解析のプロセス１０の終了後、ステップ１１において、差分磁気抵抗率ν’を前タイムステップと同じ値に設定する。
【００３８】
ステップ１２で、式（３）により、差分磁気抵抗率テンソルνを計算する。
【００３９】
ステップ１３で、有限要素法により、磁気ベクトルポテンシャルの変動量ΔＡを求める。ここでは、第１タイムステップでの磁場解析のプロセス１０と同じ方法で、ΔＡを求めることができる。
【００４０】
ステップ１４では、求めたΔＡから磁束密度の変動量ΔＢが、ΔＢ＝ｒｏｔΔＡとして求まる。
【００４１】
ステップ１５で、第３の収束判定値を用い、ステップ１４で求めたΔＢが収束したかどうかを判定する。すなわち、求めたΔＢと１つ前の計算で求めたΔＢとの差が第３の収束判定値以内であれば、ΔＢが収束したと判定する。
【００４２】
収束していない場合は、ステップ１６に戻り、差分磁気抵抗率ν’を更新し、収束するまで上記の処理を繰り返す。すなわち、ステップ１２で差分磁気抵抗率テンソルν、ステップ１３でΔＡ、ステップ１４でΔＢを、それぞれ計算しなおし、ステップ１５で収束を判定する。
【００４３】
ステップ１５でΔＢが収束した場合、次のタイムステップに移行し、ステップ１１に戻ってΔＢを求める。このとき、ΔＡを解く際の単純反復法における解の収束を速めるために、第３タイムステップ以降においては、差分磁気抵抗率ν’など、前タイムステップでの磁場の変動量に関する解を初期解に設定する。
【００４４】
以上のようにして、各タイムステップでのΔＢを求めることにより、非線形磁場の過渡解析を行うことができる。
【００４５】
本実施例では、式（２）を用いることにより、磁場が回転しているような状況でも、磁束密度ベクトルＢと磁場ベクトルＨとを常に平行状態に維持しながら、式（１）と等価な解析が可能になる。
【００４６】
本実施例において、３つの収束判定値を入力データとして入力したが、第２タイムステップ以降における行列方程式の反復計算（ステップ１３）に関する収束判定値は、第１タイムステップにおけるそれとは別に第４の収束判定値として設定してもよく、この場合は入力する収束判定値の総数は４個になる。
【００４７】
磁性体の透磁率を時間的に一定にした線形磁場解析において、本実施例による高速磁場解析方法を用いて、コイル電流の変化率を一定にした過渡解析を実施した場合、本高速磁場解析方法では第２ステップ目以降は場の変動量を求めているため、第３ステップ目以降のコイル電流の変動量は、第２ステップ目のものと同一になる。従って、場の変動量であるΔＡは、第２ステップ目以降は同じ解となるため、第３ステップ目以降の行列の反復解法における反復数は１回ですむ。この場合、コイル電流の変動量が不変であるので、現在のタイムステップについては、計算自体を実施せずに、前タイムステップと同じ解というように処理しても良い。このように、磁性体の透磁率を時間的に一定にした線形磁場解析において、コイル電流の変化率を一定にした過渡解析を実施した場合、第２ステップ目以降の解が同一になるというのは、場の変動量を解いていることに他ならない。
【００４８】
本実施例によれば、従来の磁場そのものを解く非線形解析法に比べて、高速に収束解が得られるという効果がある。
【実施例２】
【００４９】
図２を用いて、実施例２について述べる。実施例２は、実施例１の高速磁場解析方法を、回転機の磁場解析に適用した例である。解析対象は、回転子と固定子とからなり、図２はそれらを含む空間のメッシュ図の一部である。回転子は、タイムステップ毎に回転させる。
【００５０】
解析空間を、回転子２１を含む回転子空間３１と固定子２２を含む固定子空間３２とに分割し、回転子空間３１と固定子空間３２との境界２３において、回転方向に角度幅Δθで等間隔にメッシュ分割する。角度幅Δθは、予め定めておき、入力データとして入力しておくことができる。図２の例では、境界２３以外の部分も等間隔にメッシュ分割しているが、回転方向に等間隔にメッシュ分割するのは、境界２３の部分だけでも良い。
【００５１】
この解析モデルに対し、回転子空間３１と固定子空間３２のメッシュを変形せずに、メッシュの整合性を保ったままで、回転子空間３１を角度幅Δθあるいはその整数倍ずつ回転させながら、回転機を解析する。図２の例では、角度幅Δθずつ回転させた例を示している。
【００５２】
このような計算体系に対し、実施例１に述べた高速磁場解析方法で磁場計算を行う。すなわち、第１タイムステップにおいては、磁気ベクトルポテンシャルＡを未知数として、式（１）を離散化して有限要素法で計算する。第２タイムステップ以降においては、磁気ベクトルポテンシャルＡの前タイムステップからの変動量であるΔＡのみを、式（２）を離散化して有限要素法で計算する。
【００５３】
回転子の回転速度が変化する場合は、タイムステップ幅を一定にすると、回転子空間３１のタイムステップ毎の回転角がΔθの整数倍からずれてしまい、メッシュ形状が歪んでしまう。これを防止するため、本実施例では、回転子の回転速度の変化に合わせてタイムステップ幅Δｔを変更し、次のタイムステップに移るときは、常に回転子のメッシュが固定子のメッシュと整合するようにして、回転子空間を角度幅Δθまたはその整数倍回転させるようにする。このようにすれば、回転速度が変化する体系であっても、回転子のメッシュと固定子のメッシュとの不整合を防ぐことができる。従って、メッシュ形状を歪ませることなく、また、回転による急激なメッシュ形状の変更を伴うこともなく解析できるので、高精度な解析が可能になる。
【実施例３】
【００５４】
実施例３は、実施例１の高速磁場解析方法を、電磁鋼板を積み重ねた積層構造における磁場解析に適用した例である。
【００５５】
このような積層構造の体系に対しては、式（３）に示した差分磁気抵抗率テンソルνを式（５）で表されるνに置き換えると、磁場解析が可能になる。このνは、積層構造による磁気抵抗の異方性を考慮した差分磁気抵抗率テンソルであり、３×３のテンソルで表される量である。ただし、この場合は渦電流の発生がないことを前提にしている。
【００５６】
【数５】
2010072711.tif 000007
【００５７】
式（５）に示した差分磁気抵抗率テンソルνの式に出てくる各種量は、式（６）〜式（１０）に示されている。
【００５８】
【数６】
2010072711.tif 000008
【００５９】
【数７】
2010072711.tif 000009
【００６０】
【数８】
2010072711.tif 000010
【００６１】
【数９】
2010072711.tif 000011
【００６２】
【数１０】
2010072711.tif 000012
【００６３】
ここで、αは電磁鋼板の占積率であり、典型的には０．９５〜０．９８程度の値をもつ。Ｎ//は積層方向磁気抵抗率を、Ｎ⊥は積層方向に垂直な方向の磁気抵抗率を表す。また、ν0は空気（真空）の磁気抵抗率である。
【００６４】
本実施例によれば、積層構造による磁気抵抗の異方性を考慮した磁場解析が、第２ステップ目以降は高速で計算できるようになる。
【実施例４】
【００６５】
実施例４は、磁場を解くのに辺要素有限要素法を用いる場合の例である。この場合、磁気ベクトルポテンシャルＡのタイムステップごとの変動量ΔＡは、要素（メッシュ）の辺ｊに設定された未知変数Δａｊと、辺ｊに関する辺要素基底関数Ｎｊを用いて式（１１）のように表せる。
【００６６】
【数１１】
2010072711.tif 000013
【００６７】
式（２）の両辺に重みＮｊをかけて解析空間にて積分すると、式（１２）で表される離散化式が得られる。
【００６８】
【数１２】
2010072711.tif 000014
【００６９】
本実施例は、例えば、厚みｇの薄い絶縁層が２個の磁性体に挟まれている解析空間を解く場合に極めて有効である。この場合、薄い絶縁層を無限に薄いギャップ要素としてモデル化すると、式（１２）の離散化式における左辺第１項の空間積分項は、式（１３）のように薄い絶縁層の面に関する表面積分項として表現できる。
【００７０】
【数１３】
2010072711.tif 000015
【００７１】
このように空間積分（体積積分）をせずに面積分を行うことで、薄い絶縁層がある場合でも、扁平要素が発生しないために、解の収束性の悪化を防ぐことができる。
【実施例５】
【００７２】
実施例５について、図３を用いて説明する。本実施例は、解析空間５０に磁性体４１とコイル４２とが存在し、コイル電流により発生する磁場を解析する例である。図３は、解析空間５０のメッシュ図である。
【００７３】
ビオ・サバール場による磁気ベクトルポテンシャルの、各タイムステップのコイル電流による変動量をΔＡｃとおくと、磁気ベクトルポテンシャルの各タイムステップの変動量ΔＡは、ΔＡ＝ΔＡｒ＋ΔＡｃと書ける。ここで、ビオ・サバール場とは、コイル電流のみが存在する空気領域において、コイル電流により誘起される場のことを指す。また、磁気ベクトルポテンシャルΔＡをトータルポテンシャルとする。ΔＡｒは、変形ポテンシャルの各タイムステップの変動量であり、変形ポテンシャルとは、解析空間５０において、トータルポテンシャルからビオ・サバール場による磁気ベクトルポテンシャルを引いたポテンシャルである。
【００７４】
図３に示すように、解析空間５０の場の変動量を、ΔＡで表現する領域であるトータルポテンシャル領域５１、ΔＡｒで表現する変形ポテンシャル領域５２、およびΔＡとΔＡｒの両方を使う２ポテンシャル境界層５３に領域分けする。トータルポテンシャル領域５１と変形ポテンシャル領域５２は、２ポテンシャル境界層５３で重なっており、２ポテンシャル境界層５３は、メッシュ１層分の幅をもつ領域である。トータルポテンシャル領域５１には、磁性体４１が存在し、変形ポテンシャル領域５２にはコイル４２が存在する。
【００７５】
トータルポテンシャル領域５１の空気領域では、ΔＡは数１４を満たし、変形ポテンシャル領域５２の空気領域では、ΔＡｒは式（１５）を満たす。
【００７６】
【数１４】
2010072711.tif 000016
【００７７】
【数１５】
2010072711.tif 000017
【００７８】
式（１４）と式（１５）を離散化すると、それぞれ式（１６）と式（１７）が得られる。
【００７９】
【数１６】
2010072711.tif 000018
【００８０】
【数１７】
2010072711.tif 000019
【００８１】
以下、
【００８２】
【数１８】
2010072711.tif 000020
【００８３】
と記す。
【００８４】
図４は、図３に示した解析空間５０のうち、２ポテンシャル境界層５３がポテンシャル領域５１と変形ポテンシャル領域５２とに接する箇所を、説明のためにそれぞれ部分的に取り出して表示したものである。図４に示すように、２ポテンシャル境界層５３において、各メッシュの辺に辺ｊ１と辺ｊ２とを設定する。辺ｊ１は、２ポテンシャル境界層５３のトータルポテンシャル領域５１に接する辺であり、辺ｊ２は、２ポテンシャル境界層５３の辺ｊ１以外の辺、すなわち、トータルポテンシャル領域５１と接していない辺である。
【００８５】
式（１６）と式（１７）は、ｊ１とｊ２を用いて、式（１９）と式（２０）に変形できる。
【００８６】
【数１９】
2010072711.tif 000021
【００８７】
【数２０】
2010072711.tif 000022
【００８８】
さらに、Δａｊ１とΔａｊ２をまとめて未知変数Δｘｊと表記すると、式（１９）と式（２０）は、式（２１）と式（２２）となる。
【００８９】
【数２１】
2010072711.tif 000023
【００９０】
【数２２】
2010072711.tif 000024
【００９１】
右辺のΔａｃｊ１、Δａｃｊ２は、コイル電流が自由空間（解析空間で物体をすべて取り除いた空間）で誘起する磁気ベクトルポテンシャルの変動量の辺ｊ１、ｊ２上への射影成分を、その辺上で線積分した量であり、容易に計算できる。未知変数Δｘｊに関する連立方程式である式（２１）と式（２２）を解くことにより、磁気ベクトルポテンシャルの変動量ΔＡを求めることができる。
【００９２】
本実施例によると、コイルメッシュは、解析空間に形成する必要がなく、解析空間とは別に設けることができるため、コイル形状が複雑な場合やコイルが移動する場合でも、メッシュ作成や解析が便利になるという利点がある。また、本実施例でも、磁気ベクトルポテンシャルの各タイムステップの変動量を解いているため、高速で磁場解析を実行できる。
【実施例６】
【００９３】
実施例６について、図５を用いて説明する。図５は、導電体６１と導電体６２との間に薄い絶縁層６３が挟まれている体系のメッシュ図である。
【００９４】
このような体系の磁場解析において、薄い絶縁層６３には、図５に示すように、メッシュ分割による要素を割り当てず、節点７０を導電体６１と導電体６２の境界面上に二重に設定することでモデル化する。それぞれの節点７０上には電気スカラポテンシャルφを設定する。なお、導電体６１と導電体６２の節点７０のうち、薄い絶縁層６３が存在する境界面以外の節点７０での電気スカラポテンシャルφは、０に設定することもできる。
【００９５】
この電気スカラポテンシャルφを用いた磁場解析の基本式は、
【００９６】
【数２３】
2010072711.tif 000025
【００９７】
【数２４】
2010072711.tif 000026
【００９８】
である。さらに第２タイムステップ以降の場の変動量に関する方程式は、
【００９９】
【数２５】
2010072711.tif 000027
【０１００】
【数２６】
2010072711.tif 000028
【０１０１】
である。導電体６１と導電体６２の境界面上に二重に設定された電気スカラポテンシャルφやその変動量Δφについては、自然境界条件（φやΔφの値を設定しない）で解く。
【０１０２】
本実施例によれば、薄い絶縁層が存在する解析空間の場合でも、薄い絶縁層を扁平な要素でモデル化しないため、解の収束性が良いという利点がある。また、第２タイムステップ以降では、電気スカラポテンシャルφの変動量Δφについて解いているので、高速に磁場解析ができるという利点もある。
【０１０３】
本発明の実施例１から６を実現する解析システムの一例を、図６に示す。本解析システムは、計算機１、表示装置２、記憶媒体３、および入力装置４から構成される。図６では、記憶媒体３は、明示するために計算機１の外に出しているが、計算機１の内部に設置しても良い。計算機１には、上記に示した実施例のうち、少なくともいずれか１つのアルゴリズムに基づくプログラムが格納されているものとする。入力装置４は、例えばキーボードやマウスであり、前述した少なくとも３つの収束判定値、解析空間のメッシュデータ、解析条件データなど解析に必要な入力データの計算機１への入力、入力データを保存したデータファイルの読み書きの指定、計算の実行などに使用する。入力データの入力後、格納されているプログラムに従い、計算機１が入力データの読み取りや磁場計算などの演算処理を実行する。計算結果は、表示装置２に表示するとともに、データファイルとして記憶媒体３に記憶する。得られた計算結果の一部を表示したり記憶したりしてもよい。タイムステップを刻みながらの解析になるため、記憶媒体３に記憶したデータを再利用しながら、計算を進めていくことになる。
【図面の簡単な説明】
【０１０４】
【図１】第２タイムステップ以降における磁場解析のプロセスを示す図。
【図２】実施例２の回転子と固定子とを含む空間のメッシュ図。
【図３】実施例５の磁性体とコイルとを含む解析空間のメッシュ図。
【図４】実施例５において、２ポテンシャル境界層の辺を表す記号を説明する図。
【図５】実施例６の導電体間に薄い絶縁層が挟まれている体系のメッシュ図。
【図６】実施例１から６を実現する解析システムの一例を示す図。
【図７】第１タイムステップにおける磁場解析のプロセスを示す図。
【符号の説明】
【０１０５】
１…計算機、２…表示装置、３…記憶媒体、４…入力装置、１０…第１タイムステップでの磁場解析のプロセス、２０…第２タイムステップ以降の磁場解析のプロセス、２１…回転子、２２ …固定子、２３…回転子空間と固定子空間との境界、３１…回転子空間、３２…固定子空間、４１…磁性体、４２…コイル、５０…解析空間、５１…トータルポテンシャル領域、５２…変形ポテンシャル領域、５３…２ポテンシャル境界層、６１、６２…導電体、６３…薄い絶縁層、７０…節点。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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