(57)【要約】【課題】３次元空間中の曲面に対して、曲面上に限定されない３次元空間中の近傍領域を用いて、曲面の曲率を求めることを目的としている。【解決手段】本発明は、３次元空間中の曲面が与えられ、曲面の近くの３次元点が中心点として指定されたときに、中心点の近傍内に複数の３次元点の標本点をとり、その標本点から曲面に下ろした法線の方向と足の座標を標本値として求め、その標本値から曲面の曲率を求める。３次元空間中の曲面について、適当な３次元点から最も近い点はほとんどの場合一意に決定できる。例外は、その点が複数の部分から等距離にある場合、例えば、二つの平面からの等距離面上にある点や球の中心点のような場合である。３次元点から曲面上で最も近い点は曲面上で法線の足であり、その間を結ぶベクトルから法線を求めることが出来る。【選択図】図１
2010015583.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
表裏の区別ができる向き付曲面として記述でき、かつ任意の３次元点から前記曲面上で最も近い点と法線方向が求められている物体の３次元形状データから曲率を求める演算方法において、
一つの３次元点pを中心点としたときに、中心点の近傍内に複数の３次元点の標本点をとり、その標本点から曲面に下ろした法線の方向と最も近い点の座標を標本値として求め、その標本値から曲面の曲率を求める演算方法。
【請求項２】
前記３次元点の標本点は、前記点pの近傍の標本点piについての法線niと最も近い点ciと、点pについての法線nと最も近い点cとの差をそれぞれとり、その接平面上での成分をΔni, Δciと表し、かつ、前記標本値は、曲面上での点の変化Δciに伴う法線の変化Δniの関係として近似される請求項１に記載の演算方法。
【請求項３】
前記点ｐが実データであり、かつ前記複数の３次元点の標本点が実データの周囲の各格子点であって、この各格子点において、隣接する格子点を近傍として、曲率の計算を行う請求項１に記載の演算方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、例えばコンピュータビジョン、コンピュータグラフィクス、CAD、VR、ロボティクスなど広範な分野で利用することが可能な広範な３次元形状データについて重要な不変特徴量である曲率を求める演算方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
曲面の曲率は曲面の曲がり具合を定量的に表す数学的に定義された概念であり、実際に計測された３次元形状データについて曲率を求める手法は多数提案されている。
計測された３次元形状は、形状表面上の離散的な計測点の集合で表される。計測システムで光源を走査したり、画像センサを用いたりする場合が多いことから、計測点は２次元の整数座標で表される格子状に得られている場合が多い。数値微分で曲率を計算することができるが、計算に用いる領域が計測点の密度に依存し、雑音の多い結果が得られることが多い。
【０００３】
曲面全体が２次元の座標パラメータで記述される代数関数で記述できる場合には、代数的な微分から曲率を計算できる。実際に計測されたデータ全体を一つの代数的な曲面で記述できないことが一般的であるので、データの小領域について代数関数で近似することが行われる。曲率は２次微分量なので、局所的には２次関数を当てはめることと等価である。代数関数の当てはめという手順が要るため、代数関数の選択や当てはめの手法によって結果が一定しない。
【０００４】
曲面が三角パッチ等で多面体近似されている場合には、頂点に接続する面や頂点などの隣接関係を元に曲率を計算することができる。非特許文献１に記載の手法では曲面が多面体表現されていることを仮定した上で，注目する頂点に接続する頂点の位置と法線の差を線形代数で解析することにより、曲率を求めている。この手法による結果は生成された三角パッチに強く依存する。
曲面の表現形式に依存せずに、計算範囲の近傍領域を一定して設定して曲率を求めることができることが望ましい。曲面上の点を中心とする球と曲面との交差曲線を求め、その円弧上の曲線を用いて曲率を計算する手法もあるが、曲面との交差を安定して計算するのは難しい。
【０００５】
以上のように、実際に計測された形状データから求める場合、何らかの曲面上に限定された微小領域について、その形状を解析することにより曲率を求めることが一般的であるが、形状の記述方法への依存性・計算の安定性・誤計測点や不連続部分をいかに取り扱うかが研究の対象となっている。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００６】
【非特許文献１】Gabriel Taubin. Estimating the tensor of curvature of a surface from a polyhedral approximation. In proc ICCV95, pages 902-907, 1995.
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
本発明では、３次元空間中の曲面に対して、曲面上に限定されない３次元空間中の近傍領域を用いて、曲面の曲率を求めることを目的としている。仮定する物体の形状データとしては、３次元空間の点から最も近い点が求められるならば、表裏の区別ができるような向き付曲面として記述できるデータに広く一般的に適用できる。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
３次元空間中の曲面について、適当な３次元点から最も近い点はほとんどの場合一意に決定できる。例外は、その点が複数の部分から等距離にある場合、例えば、二つの平面からの等距離面上にある点や球の中心点のような場合である。３次元点から曲面上で最も近い点は曲面上で法線の足であり、その間を結ぶベクトルから法線を求めることが出来る。３次元点に関する法線と最も近い点が、中心点として設定した３次元点からと、その近傍の３次元点からに変動させた場合にどのように変動したかを分析することで、曲面の曲率を求めることが出来る。
本発明の曲率を求める演算方法は、表裏の区別ができる向き付曲面として記述でき、かつ任意の３次元点から前記曲面上で最も近い点と法線方向が求められている物体の３次元形状データから曲率を求める。この演算方法は、前記点pを中心点としたときに、中心点の近傍内に複数の３次元点の標本点をとり、その標本点から曲面に下ろした法線の方向と最も近い点の座標を標本値として求め、その標本値から曲面の曲率を求める。
【発明の効果】
【０００９】
従来手法に比較して、本発明では、接平面上での変位に伴う法線の変化の関係さえわかれば曲率を計算することができることから、３次元空間に近傍を設定して最も近い点によるサンプリングを行えば、曲面の記述方法や計測点の密度に依存せずに、曲率を計算できることを示している。また、３次元空間で近傍を設定することにより、曲面上で近傍を設定する手法に比べ、容易に近傍領域の大きさを制御して曲率計算を行うことができる。
【図面の簡単な説明】
【００１０】
【図１】任意の３次元点pから最も近い点cを求めた状況の２次元模式図である。
【図２】実データに対してサンプリングの密度を変えて曲率を計算した結果を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００１１】
以下、本発明を例示に基づき詳細に説明する。本手法では３次元空間中の表裏の区別が出来る向き付曲面が与えられているとする。任意の３次元点から曲面上で最も近い点と法線方向が求められさえすれば、その計算機内での表現は問わない。
図１は、任意の３次元点pから最も近い点cを求めた状況の２次元模式図を示している。cからpを結ぶベクトルの向きはcにおける法線nと一致する。点pを中心点としたときに、その近傍の標本点piについての法線niと最も近い点ciと、点pについての法線nと最も近い点cとの差をそれぞれとり、その接平面上での成分をΔni, Δciと表す。曲面上での点の変化Δciに伴う法線の変化Δniの関係を対称行列で近似し、この行列の固有値から曲率を求める。
【実施例１】
【００１２】
ステップ１
３次元空間中の表裏の区別が出来る向き付曲面について、任意の３次元点pから曲面上で最も近い点cと法線方向nが、図１のように求められるとする。
ステップ２
法線をn=(nx,ny,nz)とするとき、法線方向への射影行列をPn=I-n・nTとする。
【数１】
2010015583.tif 000003
【００１３】
ステップ３
点pを中心点としたときに、その近傍の標本点piについての法線niと最も近い点ciと、点pについての法線nと最も近い点cとの差をそれぞれとり、その接平面上での成分をΔni, Δciと表す。即ち、標本点が中心点pから近傍点piに変化したときの、最も近い点と法線の変化の接平面成分を、Δci=Pn・(ci-c) =(Δcix, Δciy, Δciz), Δni=Pn・(ni-n) =(Δnix, Δniy, Δniz)として表す。これらの間に実対称行列3x3行列Aによって表される線型な関係があるとする。
【数２】
2010015583.tif 000004
【００１４】
ステップ４
曲面上での点の変化Δciに伴う法線の変化Δniの関係を対称行列で近似し、この行列の固有値から曲率を求める。即ち、(2)式の関係式を近似する実対称行列Aの6つの成分は、以下の連立線型方程式を解くことによって求められる。
【数３】
2010015583.tif 000005
【００１５】
この方程式は、左辺の行列を特異値分解することにより最小二乗解を得ることができる。ここで得られたAは実対称行列であるので，次のようにスペクトル分解することができる。
【数４】
2010015583.tif 000006
ここで、Bは対角行列、Uは直交行列で、
【数５】
2010015583.tif 000007
とする。Δni, Δciは接平面に縮退しているので、法線ｎと同じ方向の固有ベクトルw3が存在する。固有ベクトルw3に対応する固有値κ3の値は、どのような値であっても式(2)の関係を満たし、κ3=0とおくことができる。固有値κ1とκ2が主曲率で、それに対応するw1とw2が主曲率方向となる。主曲率からガウス曲率K=κ1・κ2、平均曲率H=(κ1+κ2)/2を求めることができる。
【実施例２】
【００１６】
実データに対してサンプリングの密度を変えて曲率を計算した結果を図２に示す。実データの周囲の各格子点において、データ面に最も近い点と法線を求め、サンプリングを行う。各格子点において、隣接する格子点を近傍として、曲率の計算を行った結果を表示す。主曲率κ1とκ2の値に応じて、局所的な凹凸に応じて濃淡をつけて表示している。この場合、近傍の大きさは格子の間隔となる。近傍の大きさを変えることで、曲率を計算する際の形状の大まかさを制御できている。サンプリングの密度に応じて、形状記述の大まかさが変わり、尺度の異なる曲率が計算できていることがわかる。
【図１】
2010015583.tif 000008
【図２】
2010015583.tif 000009