(57)【要約】【課題】複数のフィーチャを有するターゲット設計を結像するために使用されるリソグラフィプロセスの結像性能を増す効率的なＯＰＣ方法を提供する。【解決手段】この方法は、シミュレート像を生成するための、リソグラフィプロセスに関連するプロセス変動を説明する関数を決定するステップと、この関数に基づいて各ＯＰＣ反復において各評価点に関するターゲットグレーレベルを最適化するステップとを含む。所与の一実施形態では、この関数は、輪郭に関するＴ＋Ｖεというしきい値を有する焦点及び露光の多項式関数、すなわちＲ（ε，ｆ）＝Ｐ0＋ｆ2・Ｐbとして近似値が求められ、式中、Ｐ0が公称焦点における像強度、ｆが公称焦点に対するデフォーカス値、εが露光変化、Ｖが露光変化のスケーリング、パラメータ「Ｐb」が２次派生像を表す。所与の他の実施形態では、焦点及び露光変動の確率分布がガウス分布になると仮定して、最良焦点のために分析的最適グレーレベルが与えられる。【選択図】図１
2010152356.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
フォトリソグラフィプロセスのプロセスウィンドウを最大限にするための方法であって、
ターゲットパターン内の複数の評価点のそれぞれについてプロセスウィンドウにわたってレジスト像値を近似するプロセス条件パラメータ解析関数を計算すること、
前記プロセスウィンドウが最大限になるように前記解析関数に基づいて各評価点に関する公称条件で前記レジスト像値の目標値を決定すること、
光近接効果補正反復において各評価点に関する最適化ターゲットとして前記目標値を使用することを含む方法。
【請求項２】
前記プロセスウィンドウがある範囲の特定のプロセスパラメータを含み、その範囲内でレジストクリティカルディメンション、従ってレジスト像値が所定の範囲内に含まれる、請求項１記載の方法。
【請求項３】
公称条件におけるターゲットレジスト像値が、二分法を含む数値法を使用して決定される、請求項１記載の方法。
【請求項４】
最良焦点のために分析ターゲットレジスト像値が与えられる、請求項１記載の方法。
【請求項５】
前記解析関数が多項式関数を含む、請求項１記載の方法。
【請求項６】
各評価点に関する前記目標値が複数の光近接効果補正反復の各々で再計算される、請求項１記載の方法。
【請求項７】
ターゲットパターンに関するリソグラフィプロセスウィンドウを最大限にするための方法であって、
前記ターゲットパターン内の複数の評価点に関する固定しきい値の付近でレジスト像値の許容変動を決定すること、
前記レジスト像値がその許容変動内に保持されるという条件に従ってプロセスパラメータ変動範囲が最大になるように、公称プロセスウィンドウ条件に関する各評価点について前記レジスト像値の許容変動内の最適目標値を計算すること、
各評価点における近似レジスト像値が前記最適目標値に収束するまで光近接効果補正プロセスにおいて反復式にエッジ移動プロセスを実行すること
を含む方法。
【請求項８】
前記プロセスウィンドウを最大限にするために、各反復で各評価点についてターゲットレベルが動的に設定される、請求項７記載の方法。
【請求項９】
ターゲットパターンに関するリソグラフィプロセスに関連するプロセスウィンドウを最大限にするための方法であって、
前記プロセスウィンドウを最大限にするために解析関数に基づいて前記ターゲットパターン内の複数の評価点のそれぞれについてレジスト像値の最適ターゲットグレーレベルを決定すること、
光近接効果補正反復において各評価点について前記レジスト像値の最適化ターゲットとしてターゲットグレーレベル値を使用すること、
結果のレジスト像値が前記ターゲットグレーレベルと等しくなるように、前記光近接効果補正反復の最良エッジ移動量を決定すること
を含む方法。
【請求項１０】
ターゲットパターンに関するリソグラフィプロセスに関連するプロセスウィンドウを最大限にするための方法であって、
所与の公称条件について前記プロセスウィンドウを最大限にするために解析関数に基づいて前記ターゲットパターン内の複数の評価点のそれぞれについて公称プロセス条件でレジスト像値の最適ターゲットグレーレベルを決定すること、
各評価点における近似レジスト像値が前記公称プロセス条件で前記最適ターゲットグレーレベル値に収束するまで光近接効果補正プロセスにおいて反復式にエッジ移動プロセスを実行すること、
前記プロセスウィンドウを最大限にするために前記光近接効果補正による結果のレジスト像に関する最適公称条件を決定すること、
代替的に、最適ターゲットパターンに収束するまで、前記最適ターゲットグレーレベルの決定、前記光近接効果補正、及び前記最適公称条件の決定を再実行すること
を含む方法。
【請求項１１】
フォトリソグラフィプロセスの少なくとも１つのプロセス条件パラメータの許容値の範囲を最大限にするための方法であって、
ターゲットパターン内の複数の評価点のそれぞれについて前記少なくとも１つのプロセス条件パラメータの複数の値にわたってレジスト像特性の値を近似するために前記少なくとも１つのプロセス条件パラメータの解析関数を使用すること、
最大幅の範囲に対応する前記近似値に基づいて各評価点に関する前記レジスト像特性の目標値を決定すること、
光近接効果補正反復において各評価点に関する最適化ターゲットとして前記目標値を使用すること
を含む方法。
【請求項１２】
請求項１〜１１のいずれかに記載の前記方法をコンピュータに実行させるためのコンピュータで実行可能な命令を有する１つ又は複数のコンピュータ可読記憶媒体を含むコンピュータプログラムプロダクト。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
[0002]  本発明は、一般に、リソグラフィプロセスに関連する結像結果の光近接効果補正並びにシミュレーションを実行するための方法及びプログラムプロダクトに関し、より具体的には、プロセスウィンドウにおけるパラメータ変動を説明するリソグラフィ装置の結像性能を最適化する計算上効率的な光近接効果補正（ＯＰＣ）方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
[0003]  例えば、集積回路（ＩＣ）の製造などにリソグラフィ装置を使用することができる。その場合、マスクは、ＩＣの個々のレイヤに対応する回路パターンを含むことができ、このパターンを放射感応性材料（レジスト）のレイヤでコーティングされた基板（シリコンウェーハ）上のターゲット部分（例えば、１つ又は複数のダイを含む）上に結像することができる。一般に、１つのウェーハは、投影システムを介して一度に１つずつ連続的に照射される隣接するターゲット部分のネットワーク全体を含む。あるタイプのリソグラフィ投影装置では、マスクパターン全体をターゲット部分上に一度に露光することで各ターゲット部分が照射される。上記装置は、一般にウェーハステッパと呼ばれる。ステップアンドスキャン装置と一般に呼ばれる別の装置では、投影ビームが当たったマスクパターンを所与の基準方向（「スキャン」方向）に漸進的にスキャンしながら、これに同期してこの方向に平行又は逆平行に基板テーブルをスキャンすることで各ターゲット部分が照射される。一般に、投影システムは、倍率係数Ｍ（一般に、＜１）を有するので、基板テーブルがスキャンされる速度Ｖは、係数Ｍにマスクテーブルのスキャン回数を乗じた値になる。本明細書に記載するリソグラフィデバイスに関する詳細情報は、例えば、本明細書に参照により組み込むものとする米国特許第６，０４６，７９２号から入手することができる。
【０００３】
[0004]  リソグラフィ投影装置を用いた製造プロセスでは、放射感応性材料（レジスト）のレイヤで少なくとも部分的に覆われた基板上にマスクパターンが結像される。この結像ステップに先立って、プライミング、レジストコーティング、及びソフトベークなどの種々の手順を基板に対して行うことができる。露光後に、基板に対して、結像されたフィーチャの露光後ベーク（ＰＥＢ）、現像、ハードベーク及び測定／検査などの他の手順を実行することができる。この一連の手順は、デバイス、例えば、ＩＣの個々のレイヤにパターン形成する基礎として使用される。そのようなパターン形成されたレイヤについて、次に、個々のレイヤを完成させるためのエッチング、イオン注入（ドーピング）、金属化、酸化、化学的機械的研磨などの種々のプロセスを行うことができる。幾つかのレイヤが必要な場合、手順全体、又はその変形手順を新しいレイヤごとに繰り返す必要がある。最後に、デバイスのアレイが基板（ウェーハ）上に形成される。これらのデバイスは、次に、ダイシング又はのこ引きなどの技術によって互いに分離され、それによって個々のデバイスをピンなどに接続されたキャリア上に実現することができる。
【０００４】
[0005]  話を分かりやすくするため、以下、投影システムを「レンズ」と呼ぶことがある。しかし、この用語は、例えば、屈折光学系、反射光学系、及び反射屈折光学系を含む各種投影システムを含むものと広義に解釈すべきである。放射システムも、放射投影ビームを誘導し、整形し、又は制御する任意のこれらの設計タイプに従って動作するコンポーネントを含むことができ、そのようなコンポーネントも、以下に集合的又は単独で「レンズ」と呼ぶことがある。さらに、リソグラフィ装置は、２つ以上の基板テーブル（及び／又は２つ以上のマスクテーブル）を有するタイプであってもよい。そのような「マルチステージ」デバイスでは、追加のテーブルを平行して使用するか、又は１つ又は複数の他のテーブル上で準備ステップを実行しながら１つ又は複数の他のテーブルを露光に使用することができる。例えば、本明細書に参照により組み込むものとする米国特許第５，９６９，４４１号には、ツインステージリソグラフィ装置が記載されている。
【０００５】
[0006]  上記フォトリソグラフィマスクは、シリコンウェーハ上に集積する回路コンポーネントに対応する幾何学パターンを含む。そのようなマスクを作成するためのパターンは、このプロセスが多くの場合ＥＤＡ（電子設計オートメーション）と呼ばれるＣＡＤ（コンピュータ支援設計）プログラムを用いて生成される。大半のＣＡＤプログラムは、機能マスクを作成するために一組の所定のデザインルールに従う。これらのルールは、処理及び設計の制限によって設定される。例えば、デザインルールは、回路デバイス（ゲート、コンデンサなど）又は相互接続線間の空間許容範囲を定義して、回路デバイス又は線が好ましくない形で相互動作しないようにする。デザインルールの限界は、「クリティカルディメンション」（ＣＤ：Critical Dimension）とも呼ばれる。回路のクリティカルディメンションは、線若しくは穴の最小幅又は２本の線若しくは２つの穴の間の最小空間として定義することができる。それ故、ＣＤは、設計された回路の全体のサイズと密度とを決定する。集積回路の製作の目標の１つが元の回路設計をウェーハ上に（マスクを介して）忠実に再現することであるのは当然である。
【０００６】
[0007]  上記の通り、マイクロリソグラフィは半導体集積回路の製造の中心的ステップであり、半導体ウェーハ基板上に形成されたパターンによってマイクロプロセッサ、メモリチップなどの半導体デバイスの機能要素が画定される。フラットパネルディスプレイ、ＭＥＭＳ(micro-electro mechanical system)、その他のデバイスの形成にも同様のリソグラフィ技術が使用される。
【０００７】
[0008]  半導体製造プロセスが進歩し続けるにつれて、回路素子の寸法は絶え間なく縮小され、デバイスあたりのトランジスタなどの機能要素の数量は、「ムーアの法則」と一般に呼ばれるトレンドに従って、数十年間にわたり着実に増え続けてきた。現在の技術状態では、深紫外線レーザ光源からの照明を使用して基板上にマスクイメージを投影し、１００ｎｍを十分下回る寸法、すなわち、投影光の波長の半分未満の寸法を有する個々の回路フィーチャを作成するスキャナとして知られる光リソグラフィ投影システムを使用して最先端デバイスのクリティカルレイヤが製造される。
【０００８】
[0009]  光学投影システムの伝統的な解像限界より小さい寸法のフィーチャがプリントされるこのプロセスは、解像式ＣＤ＝ｋ1×λ／ＮＡにより、一般にLow-k1リソグラフィとして知られており、式中、λは使用する放射線の波長（現在、大半のケースでは２４８ｎｍ又は１９３ｎｍ）であり、ＮＡは投影光学系の開口数であり、ＣＤは一般に最小プリントフィーチャサイズである「クリティカルディメンション」であり、ｋ1は実験的解像因子である。一般に、特定の電気的機能性及び性能を達成するために回路設計者が計画した形状及び寸法に似ているパターンをウェーハ上に再現することは、ｋ1が小さいほど困難になる。このような困難を克服するために、投影システム並びにマスク設計に精巧な微調整ステップが適用される。このステップとしては、例えば、ＮＡ及び光コヒーレンスの設定の最適化、カスタマイズした照明方式、位相シフトマスクの使用、マスクレイアウトの光近接効果補正、又は一般に「超解像技術」（ＲＥＴ：Resolution Enhancement Techniques）として定義されるその他の方法を含むが、これらに限定されない。
【０００９】
[0010]  重要な例の１つとして、光近接効果補正（ＯＰＣ：Optical Proximity Correction、時には「光学及びプロセス補正（optical and process correction）」とも呼ばれる）は、ウェーハ上にプリントされたフィーチャの最終的なサイズ及び配置が単にマスク上の対応するフィーチャのサイズ及び配置の関数になるわけではないことに対処するものである。本明細書では「マスク」と「レチクル」という用語が区別なく使用されることは注目に値する。典型的な回路設計上に小さいフィーチャサイズ及び高いフィーチャ密度が存在する場合、所与のフィーチャの特定のエッジの位置は、他の隣接するフィーチャの有無によってある程度影響を受ける。このような近接効果はフィーチャ間で結合されるわずかな量の光から発生する。同様に、一般にリソグラフィ露光に続く露光後ベーク（ＰＥＢ）、レジスト現像、及びエッチング中の拡散及びその他の化学効果から近接効果が発生する場合もある。
【００１０】
[0011]  所与のターゲット回路設計の要件に応じて半導体基板上にフィーチャが生成されることを保証するために、精巧な数値モデルを使用して近接効果を予測する必要があり、ハイエンドデバイスの正常な製造が可能になる前にマスクの設計に補正又は予歪を適用する必要がある。"Full-Chip Lithography Simulation and Design Analysis - How OPC Is Changing IC Design", C. Spence, Proc. SPIE, Vol. 5751, pp 1-14 (2005)という論文には、現在の「モデルベース」光近接効果補正プロセスの概要が示されている。典型的なハイエンド設計では、ターゲット設計に十分匹敵するプリントパターンを達成するために、ほとんどすべてのフィーチャエッジで何らかの変更が必要である。このような変更としては、エッジ位置又は線幅のシフト又はバイアス並びにそれ自体をプリントするためのものではない「アシスト」フィーチャの適用を含むことができるが、関連の主要フィーチャの特性に影響するであろう。
【００１１】
[0012]  典型的にチップ設計内に数百万個のフィーチャが存在する場合、ターゲット設計にモデルベースのＯＰＣを適用するには、良好なプロセスモデルと相当な計算資源が必要である。しかし、ＯＰＣの適用は、一般に、「精密科学（exact science）」ではないが、レイアウト上で発生する可能性のあるすべての弱点を必ず解決するわけではない実験的な反復過程である。従って、ＯＰＣ後の設計、すなわち、ＯＰＣ及び任意の他のＲＥＴによるすべてのパターン変更の適用後のマスクレイアウトは、設計欠陥がマスクセットの製造に組み込まれる可能性を最小限にするために、設計検査、すなわち、較正された数値プロセスモデルを使用する徹底的なフルチップシミュレーションによって検証する必要がある。これは、数百万ドルの範囲で行われるハイエンドマスクセット作成に要する膨大なコスト並びに製造された後で実際のマスクを再加工又は修理することによるターンアラウンドタイムへの影響によって余儀なくされる。
【００１２】
[0013]  ＯＰＣ及びフルチップＲＥＴ検証はいずれも、例えば、米国特許出願第１０／８１５，５７３号及び"Optimized Hardware and Software For Fast, Full Chip Simulation", by Y. Cao et al., Proc. SPIE, Vol. 5754, 405 (2005)という論文に記載されている数値モデリングシステム及び方法に基づくことができる。
【００１３】
[0014]  リソグラフィパターニングプロセスのフルチップ数値シミュレーションは、典型的に、最良焦点及び最良露光ドーズ又は最良「公称」条件という単一のプロセス条件で実証されているが、ある設計の製造性には、実際の製造中に避けがたいプロセス条件の小さい変動に対して十分なパターン忠実度の許容範囲が必要であることは周知のことである。この許容範囲は、一般に、ＣＤ又はエッジ配置変動が定義済みマージン（すなわち、誤差許容範囲）内、例えば、公称線幅の±１０％以内になる露光−デフォーカス空間内の幅と高さ（又は「寛容度（latitude）」）として定義されるプロセスウィンドウとして表される。実際には、実際のマージン要件は、その機能及びクリティカリティ次第で異なるフィーチャタイプごとにそれぞれ異なる可能性がある。さらに、このプロセスウィンドウの概念は、露光ドーズ及びデフォーカスに加えて又はそれらの他に、他の基本パラメータに拡張することができる。
【００１４】
[0015]  所与の設計の製造性は一般に、単一レイヤ内のすべてのフィーチャの共通プロセスウィンドウによって決まる。最新式のＯＰＣ適用及び設計検査方法は公称条件で設計を最適化し検証することができるが、最近では、減少し続ける許容範囲とＣＤ要件のために今後のプロセスノードで製造性を保証するためには、プロセスウィンドウ認識ＯＰＣモデルが必要になることが確認されている。
【００１５】
[0016]  現在、十分な正確さと適用範囲を有する所与の設計のプロセスウィンドウを精密に計画するために、Ｎ個のパラメータ設定（例えば、デフォーカス及び露光ドーズ）におけるシミュレーションが必要であり、Ｎはおよそ１２又はそれ以上にすることができる。その結果、典型的にフルチップリソグラフィシミュレーションを複数回繰り返すことを伴う、このような種々の設定における反復シミュレーションをＯＰＣ適用及び検証フローのフレームワークに直接取り入れる場合、Ｎ倍の計算時間が必要である。しかし、所与のターゲット回路の妥当性検査及び／又は設計を試みるときに、このような計算時間の増加は法外なものになる。
【００１６】
[0017]  このため、ＯＰＣ及びＲＥＴ検証に使用することができ、既知の従来技術のシステムによって現在実行されている種々の条件における反復シミュレーションのこのような「総当たり(brute force)」手法より計算上効率的なプロセスウィンドウ内の変動を説明するシミュレーション方法及びシステムが必要である。
【００１７】
[0018]  米国特許出願第６０／９９２，５４６号は、高密度プロセスウィンドウシミュレーションのための効率的な方法について記載しており、プロセスウィンドウ認識ＲＥＴ検証の必要性に対処するものである。依然として望ましいことは、フルチップ設計用のプロセスウィンドウを最大限にするために効率的な高密度プロセスウィンドウシミュレーションに基づくＯＰＣのための方法を入手することである。
【発明の概要】
【００１８】
[0019]  従って、本発明は、シミュレーションプロセスで使用するためのプロセスウィンドウを最大限にし、従来技術の技法の上記の欠陥を克服する、計算上効率的なＯＰＣ方法に関する。
【００１９】
[0020]  より具体的には、本発明は、複数のフィーチャを有するターゲット設計を結像するために使用されるリソグラフィプロセスの性能を増す効率的なＯＰＣ方法に関する。この方法は、シミュレートされた像を生成するための、リソグラフィプロセスに関連するプロセス変動を説明する関数を決定するステップと、この関数に基づいて各ＯＰＣ反復において各評価点に関するターゲットグレーレベルを最適化するステップとを含む。所与の一実施形態では、この関数は焦点及び露光の多項式関数として近似される。所与の他の実施形態では、焦点及び露光変動の確率分布がガウス分布になると仮定して、最良焦点のために分析的最適グレーレベルが与えられる。
【００２０】
[0021]  本発明は従来技術の方法を上回る重大な利点を提供する。最も重要なことに、本発明は、プロセスウィンドウを最大限にする（例えば、焦点変動及び露光ドーズ変動に関する最大許容範囲を達成する）計算上効率的なＯＰＣ手法を提供し、既知の従来技術の方法によって現在実施されているように種々の条件で反復シミュレーションを行う「総当たり」手法を実行する必要性を除去する。確かに、以下にさらに注目するように、最適化するためのＮ個のプロセスウィンドウ条件を有するプロセスウィンドウ認識ＯＰＣの場合、本発明の方法の計算時間は約２Ｔであるが、従来技術の方法は約ＮＴを要すると思われ、その場合、Ｔは１つのプロセスウィンドウ条件におけるＯＰＣに必要な計算時間を示す。
【００２１】
[0022]  また、本発明の方法は、モデル較正、リソグラフィ設計検査、共通プロセスウィンドウの評価に基づく歩留まり推定、プロセスウィンドウ認識ＯＰＣを使用することによるホットスポット（又は問題スポット）の識別及びこのようなホットスポットの補正、モデルベースのプロセス制御補正（例えば、リソグラフィプロセスにおいて所与のリソグラフィレイヤに関する共通プロセスウィンドウをセンタリングすること）などであって、これらに限定されない他の適用例に容易に適用される。
【００２２】
[0023]  本発明の一態様では、所与のリソグラフィプロセスに関連するプロセスウィンドウを最大限にする方法が開示される。この方法は、ターゲットパターン内の複数の評価点のそれぞれについてプロセスウィンドウにわたってレジスト像値を近似するプロセス条件パラメータ解析関数を計算するステップと、プロセスウィンドウが最大限になるように解析関数に基づいて各評価点に関する公称条件でレジスト像値の目標値を決定するステップと、光近接効果補正反復において各評価点に関する最適化ターゲットとしてその目標値を使用するステップとを含む。
【００２３】
[0024]  本発明の他の態様では、所与のリソグラフィプロセスに関連するプロセスウィンドウを最大限にするための方法が開示される。この方法は、ターゲットパターン内の複数の評価点に関する固定しきい値の付近でレジスト像値の許容変動を決定するステップと、レジスト像値がその許容変動内に保持されるという条件に従ってプロセスパラメータ変動範囲が最大になるように、公称プロセスウィンドウ条件に関する各評価点についてレジスト像値の許容変動内の最適目標値を計算するステップと、各評価点における近似レジスト像値が最適目標値に収束するまで光近接効果補正プロセスにおいて反復式にエッジ移動プロセスを実行するステップとを含む。
【００２４】
[0025]  本発明の他の態様では、所与のリソグラフィプロセスに関連するプロセスウィンドウを最大限にするための方法が開示される。この方法は、プロセスウィンドウを最大限にするために解析関数に基づいてターゲットパターン内の複数の評価点のそれぞれについてレジスト像値の最適ターゲットグレーレベルを決定するステップと、光近接効果補正反復において各評価点についてレジスト像値の最適化ターゲットとしてターゲットグレーレベル値を使用するステップと、結果のレジスト像値がターゲットグレーレベルと等しくなるように、光近接効果補正反復の最良エッジ移動量を決定するステップとを含む。
【００２５】
[0026]  本発明の他の態様では、ターゲットパターンに関するリソグラフィプロセスウィンドウをコンピュータに最大限にさせるためのコンピュータで実行可能な命令を有するコンピュータプログラムプロダクトであって、その命令がコンピュータにある命令を実行させるコンピュータプログラムプロダクトが開示される。この方法は、ターゲットパターン内の複数の評価点のそれぞれについてプロセスウィンドウにわたってレジスト像値を近似するプロセスパラメータ解析関数を計算するステップと、プロセスウィンドウが最大限になるように解析関数に基づいて各評価点に関する公称プロセス条件でレジスト像値の目標値を決定するステップと、光近接効果補正反復において各評価点に関する最適化ターゲットとしてその目標値を使用するステップとを含む。
【００２６】
[0027]  本発明の他の態様では、ターゲットパターンに関するリソグラフィプロセスウィンドウを最大限にするための方法により製造されたデバイスが開示される。この方法は、ターゲットパターン内の複数の評価点のそれぞれについてプロセスウィンドウにわたってレジスト像値を近似するプロセスパラメータ解析関数を計算するステップと、プロセスウィンドウが最大限になるように解析関数に基づいて各評価点に関する公称プロセス条件でレジスト像値の目標値を決定するステップと、光近接効果補正反復において各評価点に関する最適化ターゲットとしてその目標値を使用するステップと、リソグラフィ装置を使用して１回又は複数回の光近接効果補正反復の後、ターゲットパターンを結像するステップとを含む。
【００２７】
[0028]  本発明の他の態様では、所与のリソグラフィプロセスに関連するプロセスウィンドウを最大限にするための方法が開示される。この方法は、所与の公称条件についてプロセスウィンドウを最大限にするために解析関数に基づいてターゲットパターン内の複数の評価点のそれぞれについて公称プロセス条件でレジスト像値の最適ターゲットグレーレベルを決定するステップと、各評価点における近似レジスト像値が公称プロセス条件で最適ターゲットレベル値に収束するまで光近接効果補正プロセスにおいて反復式にエッジ移動プロセスを実行するステップと、プロセスウィンドウを最大限にするために光近接効果補正による結果のレジスト像に関する最適公称条件を決定するステップと、代替的に、最適ターゲットパターンに収束するまで、最適ターゲットグレーレベルの決定、光近接効果補正、及び最適公称条件の決定を再実行するステップとを含む。
【００２８】
[0029]  本稿では、ＩＣの製造における本発明の使用への特定の言及がなされているかもしれないが、本発明は、多数の他の可能な用途を有することを明確に理解されたい。例えば、磁気ドメインメモリ、液晶表示パネル、薄膜磁気ヘッド用の集積光学系、案内及び検出パターンの製造に採用することができる。当業者であれば、このような別の用途の場合、本明細書で用いる「レチクル」、「ウェーハ」、又は「ダイ」という用語のいかなる使用もより一般的な用語である「マスク」、「基板」及び「ターゲット部分」という用語にそれぞれ置き換えることができることを理解することができるだろう。
【００２９】
[0030]  本明細書では、「放射」及び「ビーム」という用語は、紫外線（例えば、３６５、２４８、１９３、１５７又は１２６ｎｍの波長を有する）及びＥＵＶ（極端紫外線、例えば、波長が５〜２０ｎｍの範囲）を含むすべてのタイプの電磁放射を含むために使用される。
【００３０】
[0031]  本稿で使用するマスクという用語は、基板のターゲット部分に作成されるパターンに対応するパターン付き断面を入射放射ビームに与えるために使用できる汎用パターニング手段を指すものと広義に解釈することができ、これに関連して「ライトバルブ」という用語も使用することができる。典型的なマスク（透過又は反射；バイナリ、位相シフト、ハイブリッドなど）に加えて、他のこのようなパターニング手段の例としては以下のものを含む。
・プログラマブルミラーアレイ。このようなデバイスの一例は、粘弾性制御レイヤと反射面を有するマトリクスアドレッサブル表面である。このような装置の基本原理は、（例えば）反射面のアドレスエリアが回折光として入射光を反射し、非アドレスエリアが非回折光として入射光を反射することである。適切なフィルタを使用すると、反射ビームから前記非回折光をフィルタで除去し、回折光のみを残すことができ、このように、ビームはマトリクスアドレッサブル表面のアドレッシングパターンに応じてパターン付きになる。適切な電子手段を使用して、必要なマトリクスアドレッシングを実行することができる。このようなミラーアレイに関する詳細情報は、例えば、本明細書に参照により組み込むものとする米国特許第５，２９６，８９１号及び第５，５２３，１９３号から入手することができる。
・プログラマブルＬＣＤアレイ。このような構造の一例は、本明細書に参照により組み込むものとする米国特許第５，２２９，８７２号に示されている。
【００３１】
[0032]  以下の詳細な説明及び添付概略図面を参照することにより、本発明そのものとともに追加の目的及び利点をさらに理解することができる。
【図面の簡単な説明】
【００３２】
【図１】[0033]典型的なリソグラフィ投影システムを示す模範的なブロック図である。
【図２】[0034]リソグラフィシミュレーションモデルの機能モジュールを示す模範的なブロック図である。
【図３】[0035]本発明の第１の実施形態の模範的なフローチャートである。
【図４】[0036]本発明の第２の実施形態の模範的なフローチャートである。
【図５】[0037]本発明の第３の実施形態の模範的なフローチャートである。
【図６】[0038]本発明の一態様によりτ≦１（この例ではτ＝０．７５）の場合に最適Ｐ0を識別するためのオブジェクト関数のグラフ例である。
【図７】[0039]本発明の一態様によりτ＞１（この例ではτ＝２）の場合に最適Ｐ0を識別するためのオブジェクト関数のグラフ例である。
【図８】[0040]本発明の一態様によりτ≦１（この例ではτ＝０．７５）の場合の最適Ｐ0に関するグラフ解釈である。
【図９】[0041]本発明の一態様によりτ＞１（この例ではτ＝２）の場合の最適Ｐ0に関するグラフ解釈である。
【図１０】[0042]本発明の一態様によりＰ0≧Ｔ1＝Ｋであるときの（ｆ（Ｐ0），ε（Ｐ0））に関するグラフ解釈である。
【図１１】[0043]Ｐ0≦Ｔ2＝Ｋであるときの（ｆ（Ｐ0），ε（Ｐ0））に関するグラフ解釈である。この例では、本発明の一態様により（式４９）に対する３つの実根が存在することに留意されたい。
【図１２】[0044]本発明の一態様により各評価点について最適Ｐ0を求めるための二分法の模範的なフローダイアグラムである。
【図１３】[0045]本発明の一態様によるＰＷＭ−ＯＰＣの模範的な高レベルフローダイアグラムである。
【図１４】[0046]本発明の一態様による公称条件最適化と結合されたＯＰＣの高レベルフローダイアグラムである。
【図１５】[0047]本発明のシミュレーション方法の実現を支援可能なコンピュータシステムを示すブロック図である。
【図１６】[0048]本発明の方法による使用に適したリソグラフィ投影装置を概略的に描写する図である。
【発明を実施するための形態】
【００３３】
[0049]  次に、当業者が本発明を実施できるように本発明の図示例として提供される図面に関連して本発明について説明する。注目すべきことに、以下の図及び例は本発明の範囲を単一実施形態に限定するためのものではなく、説明又は例示された要素の一部又は全部を交換することにより他の実施形態が可能になる。その上、本発明の特定の要素が既知のコンポーネントを使用して部分的に又は完全に実現することができる場合、このような既知のコンポーネントのうち本発明の理解に必要な部分についてのみ説明し、本発明を曖昧にしないためにこのような既知のコンポーネントの他の部分に関する詳細な説明は省略する。ソフトウェアで実現されるものとして記載されている諸実施形態は、それに限定するべきではなく、本明細書に別段の指定がない限り、当業者にとって明らかになるように、ハードウェア又はソフトウェアとハードウェアの組合せで実現される諸実施形態を含むことができ、逆もまた同様である。本明細書では、単数形のコンポーネントを示す一実施形態は限定的であると見なすべきではなく、むしろ本発明は、本明細書に別段の明確な表明がない限り、複数の同じコンポーネントを含む他の諸実施形態を包含するものであり、逆もまた同様である。その上、本出願人は、このような明確な規定がない限り、本明細書又は特許請求の範囲内の任意の用語に珍しい意味又は特殊な意味を割り当てないものとする。さらに、本発明は、例示により本明細書で参照される既知のコンポーネントと同等で現在及び将来の既知のものを包含する。
【００３４】
[0050]  本発明について考察する前に、全体的なシミュレーション及び結像プロセスに関する簡単な考察を行う。図１は、模範的なリソグラフィ投影システム１０を示している。主要コンポーネントは、深紫外線エキシマレーザ源にすることができる光源１２と、部分コヒーレンス（シグマとして表示）を画定し、特定の光源整形光学系１４、１６ａ及び１６ｂを含むことができる照明光学系と、マスク又はレチクル１８と、ウェーハ面２２上にレチクルパターンのイメージを生成する投影光学系１６ｃである。瞳面のアジャスタブルフィルタ又はアパーチャ２０は、最大可能角が投影光学系の開口数ＮＡ＝ｓｉｎ（λmax）を画定するウェーハ面２２に衝突するビーム角の範囲を制限することができる。
【００３５】
[0051]  リソグラフィシミュレーションシステムでは、例えば、図２に示されているように個別の機能モジュールでこれらの主要システムコンポーネントを記述することができる。図２を参照すると、機能モジュールとしては、ターゲット設計を画定する設計レイアウトモジュール２６と、結像プロセスで使用するマスクを画定するマスクレイアウトモジュール２８と、シミュレーションプロセス中に使用するマスクレイアウトのモデルを画定するマスクモデルモジュール３０と、リソグラフィシステムの光学コンポーネントの性能を画定する光学モデルモジュール３２と、所与のプロセスで使用するレジストの性能を画定するレジストモデルモジュール３４とを含む。既知の通り、シミュレーションプロセスの結果は、例えば、結果モジュール３６内に予測輪郭及びＣＤを生成する。
【００３６】
[0052]  より具体的には、ＮＡ−シグマ（σ）設定並びに任意の特定の照明源形状を含むが、これらに限定されない照明及び投影光学系の特性が光学モデル３２で捕捉されることは注目に値する。基板上にコーティングされたフォトレジストレイヤの光学特性、すなわち、屈折率、膜厚、伝搬及び偏光効果も光学モデル３２の一部として捕捉することができる。マスクモデル３０は、レチクルの設計上の特徴を捕捉し、例えば、米国特許出願第６０／７１９，８３７号に記載されているように、マスクの詳細な物理的性質の表現も含むことができる。最後に、レジストモデル３４は、例えば、基板ウェーハ上に形成されたレジストフィーチャの輪郭を予測するために、レジスト露光、ＰＥＢ及び現像中に行われる化学プロセスの効果を記述する。シミュレーションの目的は、例えば、ターゲット設計と比較可能なエッジ配置及びＣＤを正確に予測することである。ターゲット設計は、一般に、プレＯＰＣマスクレイアウトと定義され、ＧＤＳＩＩ又はＯＡＳＩＳなどの標準化されたデジタルファイルフォーマットで提供される。
【００３７】
[0053]  一般に、光学モデルとレジストモデルとの接続はレジストレイヤ内のシミュレートされた空間像であり、これは基板上への光の投影、レジスト境界面での屈折、並びにレジストフィルムスタック内の複数の反射から発生する。光強度分布（空間像）は、光子の吸収により潜在する「レジスト像（resist image）」になり、これは拡散プロセス及び種々のローディング効果によってさらに変更される。フルチップ適用に十分な高速である効率的なシミュレーション方法は、２次元空間（及びレジスト）像によってレジストスタック内の現実的な３次元強度分布を近似する。リソグラフィモデルの効率的な実現例の１つは以下の形式主義を使用して可能であり、その場合、イメージ（この場合はスカラ形式であり、偏光ベクトル効果を含むように展開することができる）は瞳面内の信号振幅におけるフーリエ合計として表される。標準的なホプキンス理論(Hopkins theory)によれば、空間像は以下の式で定義することができる。
【数１】
2010152356.tif 000003
但し、Ｉ（ｘ）は像平面内の点ｘにおける空間像強度であり（表記の簡略化のために、単一変数で表される２次元座標を使用する）、ｋはソース面上の点を表し、Ａ（ｋ）は点ｋからのソース振幅であり、ｋ’及びｋ”は瞳面上の点であり、Ｍはマスクイメージのフーリエ変換であり、Ｐは瞳関数であり、
【数２】
2010152356.tif 000004
である。上記の導出の重要な態様は、加法順序の変化（ｋにおける合計を内側に移動する）及び指数の変化（ｋ’をｋ＋ｋ’で置換し、ｋ”をｋ＋ｋ”で置換する）であり、その結果、式中の３行目の角括弧の内側の項によって定義される透過クロス係数（ＴＣＣ：Transmission Cross Coefficients）が分離される。これらの係数は、マスクパターンとは無関係であり、従って、光学素子又は構成（例えば、ＮＡ及びσ又は詳細なイルミネータプロファイル）のみの知識を使用して事前計算することができる。さらに、所与の例では（式１）はスカラ結像モデルから導出されるが、この形式主義はベクトル結像モデルに展開することもでき、ＴＥ及びＴＭ偏光コンポーネントが別々に合計されることは注目に値する。
【００３８】
[0054]  さらに、近似空間像は、ＴＣＣ行列を対角化し、その最大固有値に対応する項を保持することによって決定できる、限られた数のドミナントＴＣＣ項のみを使用することによって計算することができ、すなわち、以下の式が得られる。
【数３】
2010152356.tif 000005
但し、λi（ｉ＝１，．．．，Ｎ）はＮ個の最大固有値を示し、φi（・）はＴＣＣ行列の対応する固有ベクトルを示す。（式２）はまさにすべての項が固有級数展開に保持される場合であり、すなわち、ＮがＴＣＣ行列のランクに等しい場合であることは注目に値する。しかし、実際の適用例では、計算プロセスの速度を上げるためにより小さいＮを選択することによりこの級数を切り捨てることが典型的である。
【００３９】
[0055]  それ故、（式１）は以下のように書き直すことができる。
【数４】
2010152356.tif 000006
但し、
【数５】
2010152356.tif 000007
であり、
【数６】
2010152356.tif 000008
は複素数の大きさを示す。
【００４０】
[0056]  十分に大きい数のＴＣＣ項と適切なモデル較正方法を使用することにより、光学投影プロセスの正確な記述を可能にし、光学系及びレジストモデル又は各部分へのリソグラフィシミュレーションモデルの「分離性（separability）」を提供する。理想的な分離可能モデルでは、ＮＡ、シグマ、デフォーカス、収差などのすべての光学効果は光学モデルモジュールで正確に捕捉され、レジスト効果のみがレジストモデルによってシミュレートされる。しかし、実際には、（一般に遅すぎるので、フルチップシミュレーションに実用的なものになるために必要な調整可能パラメータが多すぎる第１原理モデルとは対照的に）すべての「効率的な」リソグラフィシミュレーションモデルは、ある程度は実験的であり、限られた一組のパラメータを使用することになる。場合によっては、光学特性とレジスト特性の両方の特定の結合ネット効果を説明する「集中（lumped）」パラメータが存在する可能性がある。例えば、レジストのＰＥＢ中の拡散プロセスは、レジスト内に形成された像をぼかすガウスフィルタによってモデリングすることができ、同様のフィルタは投影システムの迷光の効果、ステージ振動、又は高次収差の結合効果を記述することもできる。集中パラメータは、フィッティングさせた較正点に近いプロセス挙動を再現することができるが、分離可能モデルと比較して予測能力が劣っている。分離性は、典型的に、十分に詳細なモデル形式を必要とし、例えば、上記の例では、光学ぼけ及びレジスト拡散について２つの独立フィルタを使用するとともに、レジスト効果からの光学効果の分離を保証する適切な較正方法を必要とする。
【００４１】
[0057]  分離可能モデルは一般に大半の適用例には好ましいものである可能性があるが、以下に示す本発明の方法に関連するスループロセスウィンドウ（through-process window）「ＰＷ」空間像変動の記述は厳密なモデル分離性を必要としないことは注目に値する。本発明の方法に併せて、スルーＰＷ変動を正確に捕捉するために一般的なレジストモデルをフィットさせる方法についても以下に詳述する。
【００４２】
[0058]  本発明は、プロセスウィンドウ全体にわたるパラメータ変動（例えば、露光ドーズ及びデフォーカス及び／又はその他のプロセスパラメータの変動）をカバーするリソグラフィパターニング性能の効率的なシミュレーションを可能にする。本明細書の残りの部分では、露光ドーズ及びデフォーカスのみについて特定の言及がなされる場合もあるが、これは単に説明を明確にするためにすぎず、その他のプロセスパラメータを使用することもできる。要約するために、イメージベースの手法を使用して、この方法は、一般化したプロセスウィンドウ（ＰＷ）の焦点（はずれ）、露光ドーズ、及び／又はその他の追加座標などのプロセスパラメータ変動の関数として、空間像の特性（空間像強度など）又はレジスト像の特性に関する多項式級数展開を提供する。これらの式は、ＴＣＣ及び派生ＴＣＣ行列に関連する像及び派生像を含む。これらの式の１次結合により、任意のプロセスウィンドウ（ＰＷ）点で生成された像の非常に効率的な評価が可能になる。加えて、プロセスウィンドウ（ＰＷ）全体にわたるエッジ配置シフト又はクリティカルディメンション（ＣＤ）変動も限られた一組のシミュレート像の単純な１次結合として分析形式で表される。この一組の像は、Ｎ通りの個別ＰＷ条件で像を計算することによるＮｘではなく、ＮＣ（Nominal Condition公称条件）で単一像を計算するための計算時間の２倍程度の計算時間内に生成することができる。この一組の像が既知であると、設計上のすべての単一エッジ又はＣＤの完全なスルーＰＷ挙動を直ちに決定することができる。
【００４３】
[0059]  本発明の方法は、モデル較正、リソグラフィ設計検査、共通ＰＷの評価に基づく歩留まり推定、ホットスポットの識別、ＰＷ認識ＯＰＣによるホットスポットの変更及び修理、例えば、リソレイヤの共通ＰＷをセンタリングするためのモデルベースのプロセス制御補正に併せて使用できることは注目に値する。
【００４４】
[0060]  この方法の基本的な手法は、汎用レジスト線のレジスト線幅（又はエッジ配置）のスルーフォーカス（through-focus）変化を考慮することにより理解することができる。レジスト線のＣＤは典型的に最良焦点で最大値又は最小値を有するが、ＣＤはいずれかの方向のデフォーカスとともに滑らかに変化することは周知のことである。従って、特定のフィーチャのスルーフォーカスＣＤ変動は、ＣＤ対デフォーカス(CD vs. defocus)の多項式フィット、例えば、十分に小さいデフォーカス範囲に関する２次フィットによって近似されることができる。しかし、ＣＤの変化の方向及び大きさは、レジストしきい値（クリアするためのドーズ）、特定の露光ドーズ、フィーチャタイプ、及び近接効果に強く依存する。それ故、露光ドーズ及びスルーフォーカスＣＤ変化は、ＰＷ空間全体にわたるＣＤ又はエッジ配置変化の直接的かつ一般的なパラメータ表示を防止するように非線形に強く結合される。
【００４５】
[0061]  しかし、空間像は、焦点を通る連続変動を示すものと予想される。すべてのマスクポイントは、投影システムの点広がり関数（point spread function）によって特徴付けられる像平面内の有限サイズのスポットに結像することができる。このスポットは、最良焦点で最小サイズになるが、ポジティブとネガティブ両方のデフォーカスとともにより広い分布になるように連続的にぼける。従って、以下のように露光フィールド内の個々の像点に関する２次多項式として焦点を通る像強度の変動の近似値を求めることが可能である。
【数７】
2010152356.tif 000009
但し、ｆ0は公称又は最良焦点位置を示し、ｆはその像Ｉが計算される実際の焦点レベルである。この２次近似は、十分小さいデフォーカス範囲について十分に適用されるものと予想されるが、その近似の正確さは、必要な場合により高次の項（例えば、３次及び／又は４次の項）を含めることにより容易に改善することができる。実際に、（式４）は、以下のように公称最良焦点面付近の空間像のテイラー級数展開の先頭項として識別することもできる。
【数８】
2010152356.tif 000010
これは、原則として、追加のより高次の項をさらに含むように空間像の実際のスルーフォーカス挙動を任意に十分に表現したものに拡張することができる。多項式基本関数の選択は焦点を通る空間像の級数展開を表すための１つの可能性にすぎず、本発明の方法はこの実施形態に制限されず、例えば、基本関数はベッセル関数（Bessel Function）、ルジャンドル関数（Legendre Function）、チェビシェフ関数（Chebyshev Function）、三角関数などの特殊関数にすることができることは注目に値する。加えて、プロセスウィンドウの項はデフォーカス及び露光ドーズに関するスパン変動（spanning variation）として最も一般的に理解されているが、プロセスウィンドウの概念は、ＮＡ及びシグマなどの変動などの追加又は代替のパラメータ変動をカバーするように一般化し拡張することができる。
【００４６】
[0062]  （式４）と（式５）の比較により、パラメータ「ａ」及び「ｂ」の物理的意味が１次派生像及び２次派生像として明らかになる。これらは、原則として、すべての像点について有限差分法によって導関数として直接決定し、（式４）及び（式５）に入力して像変動を補間することができる。代替的に、より広い範囲における実際のスルーフォーカス変動と補間との全体的な一致を改善するために、それに関する空間像が｛Ｉ1，Ｉ2，．．．，ＩL｝として明確に計算される、幾つかの焦点位置｛ｆ1，ｆ2，．．．，ｆL｝において（式４）の最小２乗フィットからパラメータａ及びｂを求めることができる。次に、最小２乗の意味で以下の連立方程式に対する解としてパラメータ「ａ」及び「ｂ」を求める（ここで、Ｌ＞３と想定し、その場合、この連立方程式は過剰決定(over-determined)である）。
【００４７】
[0063]  普遍性を失わずに、表記を簡単にするためにｆ0＝０と想定する。次に、固定像点について、以下の式が得られる。
【数９】
2010152356.tif 000011
但し、Ｉ0は公称条件（ＮＣ）における空間像であり、すなわち、ｆ＝ｆ0である。上記の一組の方程式に対する解は、以下の２乗差分の和（sum of squared differences）を最小限にし、指数ｌはＬ通りの焦点条件を指す。
【数１０】
2010152356.tif 000012
但し、Ｗlはデフォーカスｆl（ｌ＝１，２，．．．，Ｌ）に対するユーザ割り当ての重みである。｛Ｗ1，Ｗ2，．．．，ＷL｝により、異なる焦点に異なる重みを割り当てることは可能である。例えば、２次多項式近似によりＮＣにより近いＰＷ点でより良好なマッチングを得るために、ＮＣに近いより大きい重みとＮＣから離れるより小さい重みを割り当てることは可能であり、すべての焦点が等しい重要性を持つことが望ましい場合、単純に等しい重みを割り当てることができ、すなわち、Ｗ1＝Ｗ2＝．．．＝ＷL＝１になる。公称条件に対する焦点及びドーズの偏差が大きい場合、多くのパターンはプリント時に不安定になり、ＣＤの測定値は信頼できないものになり、このような場合、このようなプロセスウィンドウ条件に対して小さい重みを割り当てることが望ましい可能性がある。
【００４８】
[0064]  （式７）を解くために、最良フィットが以下の条件を満たすことは注目に値する。
【数１１】
2010152356.tif 000013
（式８）は分析的に解くことができ、その結果、以下に示すように｛Ｉl｝の１次結合又は加重和として「ａ」及び「ｂ」に関する即時式（immediate expression）が得られる。この１次結合の係数は、ピクセル座標又はパターンに依存せず、｛ｆl｝及び｛Ｗl｝の値のみに依存する。このため、これらの係数は、ｆという空間における補間のための線形フィルタを形成するものとして理解することができ、基本関数として特定の多項式を選択することにより、マスクパターンとは無関係に係数の特定の値を誘発する。より具体的には、特定の光学露光設定を把握していないか又は実際に空間像シミュレーションを実行しなくても、｛ｆl｝及び｛Ｗl｝の値が決定されると、これらの係数の計算が実行される。
【００４９】
[0065]  （式８）を解くことに関して、（式７）を以下のように書き直すことができる。
【数１２】
2010152356.tif 000014
但し、ｌ＝１，２，Ｋ，Ｌの場合にΔＩl＝Ｉl−Ｉ0である。
その結果、（式８）を以下のように展開することができる。
【数１３】
2010152356.tif 000015
したがって、
【数１４】
2010152356.tif 000016
ここで、
【数１５】
2010152356.tif 000017
但し、以下に留意されたい。
【数１６】
2010152356.tif 000018
以下に明らかにする通り、この特性はレジストモデルの項で有用になる。上記の一組の方程式は、より高次の多項式フィッティングに対処するように容易に一般化することができる。
【００５０】
[0066]  派生像「ａ」及び「ｂ」を取り入れることの利点は、（式４）を使用すると、ＰＷ分析に必要な各特定のデフォーカス設定でフルイメージシミュレーション（すなわち、マスクパターンとＴＣＣとの畳み込み）を実行するのではなく、デフォーカスオフセット及び単純加算によりａ及びｂの像の簡単なスケーリングによって、プロセスウィンドウの任意の点で空間像を予測できることである。加えて、係数（１＋ε）だけ像強度を単純に拡大又は縮小することにより、露光ドーズの変化を以下のように表すことができる。
【数１７】
2010152356.tif 000019
但し、Ｉ（ｘ，ｆ）は公称露光ドーズにおける空間像であり、εはドーズの相対的変化である。
これを（式４）と結合すると、以下の一般的結果が得られる。
【数１８】
2010152356.tif 000020
但し、ΔＩは典型的に妥当な範囲のＰＷパラメータ変動内の小さい摂動になる。
【００５１】
[0067]  上記の方法は、異なるデフォーカス条件で空間像から輪郭、ＣＤ、又はエッジ配置誤差（ＥＰＥ：Edge Placement Errors）が抽出される、図３のフローダイアグラムによって例示される。図３を参照すると、このプロセスの第１のステップ（ステップ４０）は、シミュレートすべきターゲットパターン又はマスクパターンと、使用すべきプロセス条件を識別することである。次のステップ（ステップ４２）は、上記の（式３）により公称像Ｉ0とＭ個のデフォーカス像｛Ｉl｝を生成することである。その後、（式９）を使用して派生像「ａ」及び「ｂ」を生成する（ステップ４３）。次のステップ（ステップ４４）は、（式４）、すなわち、Ｉ0とａ（ｆでスケーリング済み）及びｂ（ｆ2でスケーリング済み）との合成を使用してデフォーカス像を生成することを伴う。次に、シミュレートされた像から輪郭を抽出し、ＣＤ又はフィーチャＥＰＥを決定する（ステップ４６）。次にプロセスはステップ４８に移行し、十分な適用範囲があるかどうか（例えば、プロセスウィンドウの境界を決定することが可能であるかどうか）を判断し、答えがｎｏである場合、プロセスはステップ４４に戻り、上記のプロセスを繰り返す。十分な適用範囲がある場合、プロセスは完了する。
【００５２】
[0068]  プロセスウィンドウの十分な適用範囲がＮ個のプロセスウィンドウ点での評価を必要とし、派生像ａ及びｂのフィッティングにＬ＜Ｎ個の像を使用する場合、所定の像Ｉ0、ａ及びｂのスケーリングに必要な計算時間は、それぞれの新しいパラメータ設定で投影像について行う独立再計算より著しく少ないので、計算時間の短縮がＬ／Ｎに近くなることは注目に値する。上記の方法は一般に、空間像シミュレーションの特定の詳細とは無関係に適用可能である。さらに、空間像並びにシミュレートされたレジスト輪郭が抽出されるレジスト像にも適用可能である。
【００５３】
[0069]  また、上記の方法は、変化するデフォーカスで一組の空間像｛Ｉ1，Ｉ2，．．．，ＩL｝をシミュレートするために使用される特定のモデル又は実現例に依存しない。しかし、上記の方法は、考慮中のマスクレイアウトごとに幾つかの（Ｌ＞２）個別の像をシミュレートする必要がある。本発明の方法の第２の実施形態では、（式１）に取り入れられたＴＣＣ形式主義により、さらに効率的な解法が可能になる。
【００５４】
[0070]  （式１）により、焦点ｆl（ｌ＝０，１，．．．，Ｌ）における各空間像を以下のように定義することができる。
【数１９】
2010152356.tif 000021
但し、ＴＣＣlは焦点ｆlにおけるＴＣＣであり、ＴＣＣl,k’,k”はＴＣＣlの行列要素であり、Ｍ（・）は焦点とは無関係のマスクイメージを表す。
【００５５】
[0071]  これを（式９）と結合し、加法次数を交換すると、以下のようになる。
【数２０】
2010152356.tif 000022
それ故、２つの新しいＴＣＣが以下のようにＴＣＣl（ｌ＝０，１，．．．，Ｌ）の１次結合として定義される場合、
【数２１】
2010152356.tif 000023
「ａ」及び「ｂ」はＡ及びＢから直接計算できる「空間像」であり、すなわち、
【数２２】
2010152356.tif 000024
但し、
【数２３】
2010152356.tif 000025
及び
【数２４】
2010152356.tif 000026
はそれぞれＡ及びＢの行列要素である。
【００５６】
[0072]  これは、異なる平面の空間像の１次結合がこれらの平面に対応するＴＣＣの単一１次結合を使用して計算できることを意味する。
【００５７】
[0073]  Ｌ個のスルーフォーカス像の代わりにＴＣＣ0、Ａ、及びＢを使用する重大な利点は、照明及び投影パラメータが既知である場合に、実際のマスクパターンとは無関係に、ＴＣＣ0、Ａ、及びＢを事前計算することができ、それにより、以下に詳述するように（マスクパターンごとにＬ回のスルーフォーカスシミュレーションから）計算時間をさらに短縮する可能性がもたらされることである。Ａ及びＢいずれの生成も異なるデフォーカス条件で一組の空間像の計算を必要とせず、この一組の空間像からの較正も必要としないことは注目に値する。ＴＣＣ0、Ａ、及びＢが計算されると、一般にこれらの項を適用し、（式１５）及び（式４）を使用して任意の特定のマスク設計についてスルーフォーカス結像性能を予測することができる。スルーフォーカス変動の他に、上記の（式１１）及び（式１２）によって記述されているものと同じ線形スケーリングにより、公称条件付近の露光ドーズの変動をＴＣＣの項に適用することができる。
【００５８】
[0074]  ＴＣＣ  Ａ及びＢから派生像ａ及びｂを計算すると、（式２）に関連する考察のように、Ａ及びＢのドミナント項のみを使用することにより、計算時間をさらに短縮することができる。より具体的には、ＴＣＣ0、Ａ、及びＢの対角化が以下のようになると想定する。
【数２５】
2010152356.tif 000027
式中、λ0,i（ｉ＝１，．．．，Ｎ0）はＮ0個の最大固有値を示し、φ0,i（・）はＴＣＣ行列ＴＣＣ0の対応する固有ベクトルを示し、λA,i（ｉ＝１，．．．，ＮA）はＮA個の最大固有値を示し、φA,i（・）はＴＣＣ行列Ａの対応する固有ベクトルを示し、λB,i（ｉ＝１，．．．，ＮB）はＮB個の最大固有値を示し、φB,i（・）はＴＣＣ行列Ｂの対応する固有ベクトルを示す。
【００５９】
[0075]  次に、（式３）から、マスクイメージＭ（・）の場合、以下のようになる。
【数２６】
2010152356.tif 000028
但し、Ｉ0は公称空間像であり、
【数２７】
2010152356.tif 000029
【数２８】
2010152356.tif 000030
及び
【数２９】
2010152356.tif 000031
である。
【００６０】
[0076]  より多くのＴＣＣ項を使用すると、一般に、光学モデルの正確さ並びに光学モデル成分及びレジストモデル成分の分離性が改善される。しかし、像又はＴＣＣ導関数はＰＷ内の比較的軽微な像変動、典型的におよそ１０％のＣＤ変動に関連するので、Ａ及びＢ項については公称条件ＴＣＣ0の場合より少ない項で十分である可能性がある。例えば、ＴＣＣ0について６４個の項を考慮する場合（すなわち、Ｎ0＝６４）、十分なＣＤ予測精度を達成するために、典型的にＡ及びＢ項のそれぞれについて３２個の項のみが必要になり、すなわち、ＮA＝ＮB＝３２である。この場合、公称条件Ｉ0と比較して、派生像ａ及びｂを生成するために、ほぼ同じ量の計算時間が必要になる。元のＴＣＣ行列とは異なり、Ａ又はＢなどの係数ＴＣＣ行列は一般に非負定値（non-negative-definite）ではなく、派生ＴＣＣ行列について正及び負両方の固有値が存在することを意味することは注目に値する。従って、固有級数展開及び切り捨てからの主要項（leading term）は、正負両方の最大絶対値を有するすべての固有値を含むはずである。
【００６１】
[0077]  （式５）と同様に、（式１４）は代替的に級数展開から導出することができる。より具体的には、公称又は最良焦点ｆ0付近のＴＣＣ行列要素の変形は以下のように級数展開として表すこともできる。
【数３０】
2010152356.tif 000032
【００６２】
[0078]  それ故、級数展開の係数は、数値有限差分法により直接評価するか、又は前の項で述べた空間像のスルーフォーカスフィッティングと同様に一組の焦点位置に対応する幾つかの個別に計算されたＴＣＣ項に対する最小２乗フィッティングにより評価することができる。このフィッティング手法は、より広範囲の妥当性を提供し、ＰＷの特定の部分に大なり小なり重きを置くための重み因子を取り入れる。この手法は、一組のテストイメージＩlを式内のそれぞれの対応するＴＣＣで置き換えた後、（式６）〜（式９）に従う。その結果、同じくＩlをＴＣＣlで形式的に置き換えた後、上記と同じ１次結合により最良フィット派生行列Ａ及びＢが得られ、すなわち、以下のようになる。
【数３１】
2010152356.tif 000033
但し、ｈal及びｈblはこの場合も（式９）を使用して計算される。ｈal及びｈblは、パターン又はＴＣＣlに依存しない定数であることは注目に値する。それ故、Ａ及びＢは単純に公称条件ＴＣＣ0と種々のデフォーカス条件（ＴＣＣ1〜ＴＣＣL）における一組のＴＣＣとの１次結合になる。
【００６３】
[0079]  （式１９）は（式１４）と同じであり、それ故、これら２つの代替手法によって同じ最終公式に至ることに留意されたい。同様に、（式４）も（式１５）、（式１８）、及び（式１９）から導出することができる。
【００６４】
[0080]  第２の実施形態の方法は、異なるデフォーカス条件で空間像から輪郭、ＣＤ、又はエッジ配置誤差（ＥＰＥ）が抽出される、図４のフローダイアグラムによって例示される。このプロセスの第１のステップ（ステップ５０）は、所望のプロセスに関連するプロセス固有光学条件を識別することである。次のステップ（ステップ５２）は、公称条件ＴＣＣ0とＬ個のデフォーカス｛ＴＣＣl｝を生成することである。その後、（式１４）を使用して派生ＴＣＣ、Ａ及びＢを生成する（ステップ５４）。次のステップ（ステップ５８）は、（式１７）を使用してマスクイメージとＴＣＣ0、Ａ及びＢとの畳み込みにより像Ｉ0、ａ、ｂを生成する。次に、それぞれのマスク設計について（ステップ５６）、（式４）を使用してデフォーカス像を合成し（ステップ６０）、それにより、シミュレートされた像を生成する。次に、シミュレートされた像から輪郭を抽出し、ＣＤ又はフィーチャＥＰＥを決定する（ステップ６２）。次にプロセスはステップ６４に移行し、十分な適用範囲があるかどうかを判断してプロセスウィンドウの境界を決定し、答えがｎｏである場合、プロセスはステップ５８に戻り、上記のプロセスを繰り返す。十分な適用範囲がある場合、プロセスはステップ６６に移行し、マスク設計によって生成された像が許容誤差の許容範囲内であるかどうかを判断し、範囲内である場合、プロセスは完了する。範囲内ではない場合、プロセスは、マスクの調整及び再設計を可能にするためにステップ５６に戻る。この最後のステップがプロセス内で任意選択のステップであることは注目に値する。
【００６５】
[0081]  図４のフローチャートでは、同図は、特に初期マスク設計のインタラクティブＰＷアウェアＯＰＣモディフィケイション(interactive PW aware OPC modifications)に必要である可能性のある「マスクバリエーションループ（mask variation loop）」内に組み込まれるＰＷ分析を示している。この状況では、スルーＰＷイメージアセスメント（through-PW image assessment）に関する計算速度の改善は特に有利になる。
【００６６】
[0082]  光学システムの物理的現象に関する演繹的知識又は他の適切な仮定によって計算時間をさらに短縮することができる。例えば、強力な収差がない場合、空間像強度のスルーフォーカス変動がデフォーカスの偶（すなわち、対称）関数になると予想することができる。従って、１次導関数「Ａ」及び「ａ」はこれらの条件下で取るに足らないものになると予想することができる。
【００６７】
[0083]  この単純化は、公称焦点がｆ0＝０にある場合にデフォーカスの効果が瞳関数に位相ファクタを掛けたものｐ＝ｐ0ｅｘｐ［ｊａ（ｆ−ｆ0）2］に対応することに留意することによってさらに正当化することができる。デフォーカスが小さい場合、位相シフトは、１次の項を含まないテイラー展開、すなわち、ｐ＝ｐ0．［１＋ｊａ（ｆ−ｆ0）2］によって近似値を求めることができる。
【００６８】
[0084]  上記の方法はいずれも、露光ドーズ及びデフォーカスに加えて、異なるか又は追加の基本パラメータによって設定可能な一般化したプロセスウィンドウ定義に拡張することもできる。これらは、レジストレイヤのＮＡ、シグマ、収差、偏光、又は光学定数などの光学設定を含むことができるが、これらに限定されない（結像プロセスに対するその効果は光学モデル、すなわち、ＴＣＣに含まれる）。公称条件付近のＮＡの変動を含む一例として、以下のように空間像を表すことができる。
【数３２】
2010152356.tif 000034
但し、Ｉ、Ｉ0、ａ、・・・、ｅは、それぞれ、２次元像及び像導関数である。追加のパラメータ「ｃ」、「ｄ」、及び「ｅ」は、ｆ及びＮＡについて変化するパラメータ値で一組のシミュレートされた像又は一組のシミュレートされたＴＣＣに対する最小２乗フィットによって決定することができ、（式１１）及び（式１２）のように露光ドーズによるスケーリングは依然として適用される。（式９）と同様に、これらのパラメータ（ａ、ｂ、ｃ、ｄ、及び交差項係数ｅ）はこの場合も空間像｛Ｉl｝の１次結合である。この１次結合の係数は、ピクセル座標又はパターンに依存せず、｛ｆl｝、｛ＮＡl｝、及び／又はユーザ割り当ての重み｛Ｗl｝の値のみに依存する。
【００６９】
[0085]  この一般化したＰＷモデルの場合、物理的洞察に基づく単純化も可能である。例えば、ＮＡ変動の場合、これらは像変動に対してかなり単調な１次効果を有することになり、その場合、（式２０）は、おそらくデフォーカスの１次の項に加えて、ＮＡ内の高次の「ｄ」及び「ｅ」項を落とすことによって単純化できると予想することができる。また、いずれの一般化したＰＷ定義の場合でも、公称条件でＩ0を計算するために使用されるＴＣＣ項の数は、ＴＣＣ導関数Ａ、Ｂ、・・・から像変動を計算するために使用される項の数と同じである必要はない。公称条件付近のパラメータ変動が小さいことによる軽微な像変動を十分に正確に記述することは、全体的な計算時間を短縮するために、Ｉ0に関するより多くの項と、導関数に関する著しく小さい数によって達成することができる。
【００７０】
[0086]  簡潔にするために、以下の考察はデフォーカス及び露光ドーズに基づくものになる。しかし、本明細書の開示内容はいずれも、（式２０）に示されている通り、レジストレイヤのＮＡ、シグマ、収差、偏光、又は光学定数などの他のパラメータとともに一般化したＰＷに拡張できることに留意されたい。
【００７１】
[0087]  上記の諸実施形態では、ＰＷパラメータの範囲に関する最良焦点の付近で空間像に関する分析式が開発された。以下の記述では、ＰＷ全域でシミュレートされたレジスト輪郭を抽出するための基礎を形成するレジスト像を計算するための同様の式及び方法を導出する。
【００７２】
分離可能線形レジストモデル(Separable, Linear Resist Model)
[0088]  投影された空間像による照明に対するフォトレジストの応答は、しきい値化挙動を有し、強力に非線形になる可能性があるが、ＰＥＢ中の拡散など、レジストレイヤ内で行われる多くのプロセスは、しきい値を適用する前に１つ又は複数の線形フィルタにより空間像を畳み込むことによってモデル化することができる。このようなモデルは一般に「線形」レジストモデルと呼ばれ、このようなモデルの潜在するレジスト像は以下のように概略的に表すことができる。
【数３３】
2010152356.tif 000035
この場合、Ｐ｛｝は線形フィルタを適用する関数アクション（すなわち、一般に畳み込み）を示し、Ｒbは空間像とは無関係なマスクローディングバイアス（mask loading bias）である。レジストしきい値は、レジスト輪郭がＲ（ｘ）＝０である位置に対応するようなＲbに含まれるものと理解されている。
【００７３】
[0089]  上記で導出された一般的なスケーリング済み補間空間像、すなわち、（普遍性を失わずにｆ0＝０と想定した式１２）にこのモデルを適用すると、以下の式になる。
【数３４】
2010152356.tif 000036
但し、Ｒ0は公称条件（ＮＣ）におけるレジスト像である。露光ドーズ及び焦点（又はその他のＰＷパラメータ）の変化によるすべての補正は、ＮＣにおける像Ｉ0に対するものと同じフィルタを派生像ａ、ｂに適用することと、補正項の単純なスケーリング及び加法によって導出することができる。
【００７４】
[0090]  その上、空間領域内のフィルタとの畳み込みは周波数領域内のフィルタのフーリエ級数成分による乗算と同等であるので、線形フィルタの効果は結像ＴＣＣ形式主義に含めることができる。空間像式（式１）から始めて、以下のようになる。
【数３５】
2010152356.tif 000037
ｋ’、ｋ”におけるＴＣＣ行列要素がＴＣＣk’,k”Ｍ（ｋ’）Ｍ*（ｋ”）という量だけＩ（ｘ）の（ｋ’−ｋ”）周波数成分に寄与することが示されている。従って、レジスト像は以下の式で定義される。
【数３６】
2010152356.tif 000038
但し、ｇ（ｘ）はフーリエ変換がＧ（ｋ）になる空間フィルタであり、上記のレジスト像は以下のように表すことができ、
【数３７】
2010152356.tif 000039
この場合新しいＴＣＣ行列は、
【数３８】
2010152356.tif 000040
として定義される。
【００７５】
[0091]  この手順により、線形フィルタは双線形ＴＣＣ行列に取り入れられ、従って、純粋に光学的な空間像に適用可能なすべての計算手順を線形フィルタリング済み空間像に適用することができる。完全なレジスト像は（式１）の単一評価によって生成することができ、唯一の変更はフィルタＰのフーリエ係数に対応する重み因子を加えることであるので、この特性によって全体的な計算時間の大幅な短縮が可能になる。任意の所与のマスク設計入力の場合、この公式化により、１回のパスで、事前計算しフィルタ調整したＴＣＣ0、Ａ、及びＢ行列から像Ｐ｛Ｉ0｝、Ｐ｛ａ｝、Ｐ｛ｂ｝を直接生成できるであろう。次に、（式２２）は、これら３つの像の１次結合として任意のＰＷ点に関する実際のレジスト像を定義する。
【００７６】
非分離可能線形レジストモデル(Non-separable, linear resist model)
[0092]  前の考察では、レジストモデルを確立する線形フィルタのすべてのパラメータがプロセスウィンドウパラメータの変動全域で一定であることが暗黙のうちに想定されていた。これは、レジストモデルパラメータが光学モデルパラメータとは無関係であるという分離可能リソグラフィモデル全体に関する１つの条件に相当する。分離性に関する実用テストは、モデルを正確に較正し、ＰＷの範囲全域でテストデータをフィットさせる能力である。実際には、フルチップリソグラフィシミュレーションに適したモデルの半経験的性質は、完全な分離性を妨げる可能性があり、レジストモデルパラメータがデフォーカス、ＮＡ、又はシグマ設定などのＰＷパラメータにつれて変化できるようにする必要がある場合もある。物理的に動機付けされたモデルの場合、ＰＷ変数の変動を受けてモデルパラメータが滑らかに変化することが予想される（又は制約として要求される）はずである。この場合、レジスト像の級数展開はレジストモデルパラメータの派生項を含むことができる。
【００７７】
[0093]  例証のため、デフォーカスを唯一のＰＷパラメータと見なす。線形レジストモデルが１つの線形フィルタ（又は多数の線形フィルタ）との畳み込みと同等である場合、分離可能モデルは以下の式で記述することができる。
【数３９】
2010152356.tif 000041
これに対して、非分離可能モデルは以下のようにフィルタの明示的なｆ依存を必要とする可能性がある。
【数４０】
2010152356.tif 000042
【００７８】
[0094]  次に、以下のように１次まで本明細書で例示するために、スルー焦点変化を考慮して、プロフォルマ（pro-forma）級数展開を（式２４）に適用することができる。
【数４１】
2010152356.tif 000043
但し、
【数４２】
2010152356.tif 000044
【００７９】
[0095]  レジストモデルパラメータがＰＷ空間全域で連続的に変化すると判明した場合、ＡＩ及びＴＣＣについて上記で紹介した同様の級数展開及びフィッティングはモデル較正中にレジストモデルパラメータに適用することができる。この場合、線形派生フィルタａpを計算して、（式２５）で使用することができ、その式はより高次の項を含むように簡単に拡張することができる。この状況では、レジストモデルパラメータ並びに空間像変動は完全なＰＷ領域全域で円滑に補間される。Ｐ及びａpはいずれも、テスト又はゲージパターンからの実験ウェーハデータに基づいてスルーＰＷモデル較正ステップで決定することができる。
【００８０】
[0096]  しかし、レジストモデルパラメータがＰＷ全域で非単調に変化するように見える場合でも、較正点間の区分的補間により任意のＰＷ点について「最良推量（best-guess）」レジストモデルパラメータが得られる可能性がある。
【００８１】
一般レジストモデル(General Resist Model)
[0097]  空間像又はレジスト像の切り捨てなどの非線形動作を含むことができる一般レジストモデルの場合、（式２２）に示されているように、公称条件及び派生項への簡単な分離はもはや有効ではない。しかし、非線形動作を処理するための代替方法が３通りある。
【００８２】
ｉ）関連線形フィルタ(Associated Linear Filter)
[0098]  まず、線形フィルタＰ｛｝はもはやＮＣ（標準条件）でレジストモデルを正確に記述しないという再解釈により、ＰＷによるレジスト像の一般的変動は（式２２）の２行目によって形式的に近似値を求めることができるものと想定する。その代わりに、線形フィルタＰ｛｝は、ＮＣに対するディファレンシャルレジスト像変化（differential resist image change）の最良表現を再現するように選択される。非線形モデルはＮＣにおいて最も正確なモデルフィッティングを保証することができるが、線形モデルより著しく長い計算時間を必要とする可能性がある。ディファレンシャルスルーＰＷ挙動をエミュレートするためにこのような関連線形フィルタに依存することにより、Ｒ0（ｘ）を生成するために非線形モデルの単一評価のみが必要になり、多数のＰＷ条件におけるＰＷ分析はＰ｛Ｉ0｝、Ｐ｛ａ｝、Ｐ｛ｂ｝のより効率的な評価に基づいて行うことができる。
【００８３】
[0099]  公称条件レジストモデル並びに関連フィルタの係数は、米国特許出願第６０／７１９，８３７号に記載されている方法の拡張として、パターン変動及びプロセスウィンドウ変動をカバーする較正テストパターン及びウェーハゲージデータに基づく統一モデル較正手順(unified model calibration procedure)から決定することができる。
【００８４】
[00100]  さらに、有効な統一ＰＷモデル（ＦＥＭ）が米国特許出願第６０／７１９，８３７号に示されている方法で生成され較正されると、そのモデルはレジスト像のスルーＰＷ変化の最良予測を可能にする。最適関連フィルタのパラメータは、追加の実験較正データの必要性なしに、関連フィルタを使用する簡易モデルと完全な較正済みモデルとの全体的な差（ＲＭＳ（２乗平均平方根））を最小限にすることによって決定することができる。
【００８５】
[00101]  フルモデルを使用すると、例えば、１Ｄ（線／空間）及び２Ｄ（ラインエンドなど）パターンを含む、任意の適切な数及び範囲のテスト構造の場合、任意の数のＰＷ点について「正確な」レジスト像及び輪郭をシミュレートすることができる。加えて、派生像ａ及びｂの値は、レジスト輪郭の付近で計算することができる。それぞれのパターンごとに、Ｒ（ｘ）スルーＰＷの変化がパターン固有ゲージ点、例えば、ラインエンドテストパターン用のラインの先端で、あるいはＮＣレジスト輪郭の任意の線に沿って計算される。これらの評価点ｘiのそれぞれで、以下のようになる。
【数４３】
2010152356.tif 000045
ｘiはレジスト輪郭上にあるものと想定され、式中、Ｒ（ｘi，ε＝０，ｆ＝ｆ0）＝０である。ΔＲ（ｘi，ε，ｆ）は以下の式によって適切に近似値を求めなければならない。
【数４４】
2010152356.tif 000046
【００８６】
[00102]  従って、最適関連フィルタは、（式２７）と（式２８）との差の平方和を最小限にし、種々の既知の最適化アルゴリズムによって決定することができる。関連フィルタフィッティング中の（式２７）及び（式２８）の評価をレジスト輪郭で実行しなければならず、従って、その結果のフィルタはエッジ位置に近い変化を最も厳密に再現することは注目に値する。エッジ位置から離れたところで、レジスト像レベルの変化を正確に予測することに関する関連フィルタの性能は、一般に必要ではない。このフィッティングルーチン後、レジスト像のフルＰＷ挙動はもう一度、以下のように記述される。
【数４５】
2010152356.tif 000047
但し、フィルタリングしたディファレンシャルイメージはＴＣＣ形式主義内で効率的に計算することができ、ΔＲは比較的小さい摂動を構成し、任意のＰＷ点におけるレジスト像は４つの像Ｒ0、Ｐ｛Ｉ0｝、Ｐ｛ａ｝、及びＰ｛ｂ｝の単純な１次結合から予測することができる。
【００８７】
ｉｉ）埋め込み線形化(Embedded Linearization)
[00103]  上記の手法は、すべてのパターン固有ゲージ点に関するか又はＮＣ（公称条件）レジスト輪郭の任意の点に沿った（ＲＭＳ）差を最小限にする単一線形フィルタであるという点で最適な線形化フィルタ（すなわち、関連フィルタ）を提供するものである。次に、派生レジスト像の計算にレジストモデル線形化を取り入れる代替手法について考察する。
【００８８】
[00104]  より具体的には、（式２）でａ及びｂを求めた後、目標は、Ｒ0、Ｒａ、及びＲｂを識別することになり、その結果、以下のようなその１次結合（普遍性を失わずにｆ0＝０と想定する）が最良フィットになる。
【数４６】
2010152356.tif 000048
その条件は以下の通りである。
【数４７】
2010152356.tif 000049
その対象範囲は、おそらく一組の重み｛Ｗ1，Ｗ2，．．．，ＷL｝を有する幾つかの焦点位置ｆl＝｛ｆ1，ｆ2，．．．，ｆL｝であり、上記式中、Ｒ0はＮＣにおけるレジスト像である。（式３１）は本質的に（式２）に表された空間像にレジストモデルＲ｛・｝を適用している。レジストモデルＲ｛・｝は非線形にすることができ、それ故、Ｒａ及びＲｂは必ずしもＰ｛ａ｝及びＰ｛ｂ｝又はＲ｛ａ｝及びＲ｛ｂ｝ではない。
【００８９】
[00105]  このため、以下のようになる。
【数４８】
2010152356.tif 000050
但し、ｈal及びｈblは（式９）で定義された係数である。この係数は、｛ｆ1，ｆ2，．．．，ｆL｝及びおそらく｛Ｗ1，Ｗ2，．．．，ＷL｝のみに依存し、Ｒ（ｘ，ｆl）又はＩ（ｘ，ｆl）とは無関係である。
【００９０】
[00106]  一般に、レジストモデルＲ｛・｝は以下のように分離することができる。
【数４９】
2010152356.tif 000051
但し、Ｒbは空間像Ｉ（ｘ）又は焦点とは無関係のマスクローディングバイアスであり、Ｐ｛｝は線形フィルタ動作であり、ＰNL｛｝は何らかの非線形動作である。
【００９１】
[00107]  （式３２）と（式３３）を結合すると、以下のようになる。
【数５０】
2010152356.tif 000052
【００９２】
[00108]  前述の通り、Ｐ｛｝は線形動作であるので、以下のようになる。
【数５１】
2010152356.tif 000053
【００９３】
[00109]  予想通り、上記の（式９）及び（式１０）を用いて以下の結果を導出することは可能である。
【数５２】
2010152356.tif 000054
それ故、Ｒａ及びＲｂは以下の式から計算することができる。
【数５３】
2010152356.tif 000055
【００９４】
[00110]  この手法の利点は、単一線形フィルタを使用してすべてのゲージ点についてディファレンシャルスルーＰＷ挙動を捕捉しようと試みないことである。むしろ、この手法は、各ピクセルごとに（ＲＭＳ）差を最小限にし、それにより、全体的な正確さを改善する。加えて、この手法は、パターン固有ゲージ点又はすべてのＮＣレジスト輪郭隣接点の識別を必要としない。欠点の１つは、この手法によりＲａ及びＲｂの場合に計算の複雑さがわずかに増加することである。しかし、スルーＰＷレジスト像の合成はＲ0、Ｒａ、及びＲｂのスケーリング及び加算のみを必要とし、派生像の計算の複雑さの増加は一般に、特に高密度のＰＷサンプリングの場合にスルーＰＷレジスト像の計算の複雑さの低減と比較して重要なものではない。
【００９５】
ｉｉｉ）非線形動作の多項式近似(Polynomial Approximation of Non-Linear operations)
[00111]  第３の手法では、多項式を使用して非線形レジストモデル動作の近似値を求める。より具体的には、像Ｉ（ｘ）に関する切り捨て動作の場合、酸及び塩基の反応効果をエミュレートするために、その像の２次多項式が十分な近似を可能にする。もう１つの典型的な非線形動作である像傾斜(image slope)の線形フィルタリングは、像勾配(image gradient)Ｇ｛Ｉ（ｘ）｝＝Ｉ（ｘ）−Ｉ（ｘ−１）の２次関数の線形フィルタリング、それ故、空間像Ｉ（ｘ）自体の２次多項式として精密に表すことができる。より具体的には、Ｇ｛｝が勾配動作であり、線形フィルタがＰSlope｛・｝であるとすると、この非線形動作は以下のように表すことができる。
【数５４】
2010152356.tif 000056
【００９６】
[00112]  要約するために、空間像Ｉ（ｘ）からのレジスト像は以下のように近似されることができる。
【数５５】
2010152356.tif 000057
【００９７】
[00113]  この場合も、Ｐ1｛・｝は空間像項に関する線形フィルタを表し、Ｐ2｛・｝は空間像平方項に関する線形フィルタを表し、ＰSlope｛・｝は空間像勾配項に関する線形フィルタを表し、Ｒbはイメージパターンとは無関係のマスクローディングバイアスである。それ故、レジスト像は、デフォーカス値の４次多項式として表される。しかし、典型的な適用例では、Ｒ3（ｘ）及びＲ4（ｘ）は非常に小さいので、計算効率を改善するために無視することができる。
【００９８】
[00114]  上記の通り、リソグラフィ設計検証の目標は、プリントされたレジストエッジ及び線幅が設計ターゲットから既定の距離内にあることを確認することである。同様に、プロセスウィンドウのサイズ、すなわち、露光寛容度及び焦点深度は、指定のマージン内に入るＣＤ又はエッジ配置によって定義される。上記で概要を示した種々の方法は、焦点及び露光ドーズ又はその他の一般化したＰＷパラメータの変動によるレジスト像信号レベルの変化を決定するための非常に効率的な方法を提供する。それぞれの方法により、ＮＣ（公称条件）像Ｒ0の摂動としてスルーＰＷレジスト像変動ΔＲの近似式が得られた。
【００９９】
[00115]  ＣＤ又はエッジ配置の許容範囲が小さいので、このようなＲ（ｘ）の変化をエッジ配置の変化に関連させるために、ほとんどの場合、１次近似で十分である。従って、任意のレジスト輪郭（Ｒ＝０）の横方向シフト（すなわち、エッジ配置の変化）は単純に元の（すなわち、ＮＣ）輪郭位置の像勾配Ｇ及び焦点、ドーズなどの変動によるレジスト像レベルの変化ΔＲによって以下のように近似値が求められる。
【数５６】
2010152356.tif 000058
式中、初期輪郭位置と勾配の両方がＮＣにおけるレジスト像、すなわち、Ｒ0（ｘ，ｙ）から決定される。２次元エッジシフトは、各方向の偏像導関数によって、又は絶対勾配値を使用する絶対シフトとして、ｘ及びｙ方向に別々に計算することができ、すなわち、Ｓx＝Ｒ0（ｘ，ｙ）−Ｒ0（ｘ−１，ｙ）とＳy＝Ｒ0（ｘ，ｙ）−Ｒ0（ｘ，ｙ−１）の幾何学的合計であり、すなわち、絶対勾配値
【数５７】
2010152356.tif 000059
である。
【０１００】
[00116]  上記の説明から、エッジシフトは、上記で定義されたディファレンシャル像の関数として以下のように直接表すことができる。
【数５８】
2010152356.tif 000060
これに対して、ＣＤ又は線幅の変化は線の一方の側の個々のエッジ配置シフトを加算することによって決定することができ、その結果、一般に、ΔＣＤ＝２・ΔＥＰになる。明らかに、（式４１）は、ＣＤ又はＥＰＥ曲線の典型的な２次様スルーフォーカス挙動を再現することができる。より重要なことに、［Ｒ0，Ｐ｛Ｉ0｝，Ｐ｛ａ｝，Ｐ｛ｂ｝］などの一組の像の計算は、ＮＣにおける単一像をシミュレートするよりわずか〜１ｘ多い計算で実施することができ（ディファレンシャルに関する十分な正確さのために必要なＴＣＣ項はより少ないと想定する）、この計算を行った後、時間のかかるイメージシミュレーションをさらに行う必要なしに設計上のすべての単一エッジ位置について完全なＰＷを分析的に精密に計画するために（式４１）を適用することができる。この方法を例示するための汎用フローダイアグラムは図５に示されている。
【０１０１】
[00117]  図５を参照すると、最初のステップ（ステップ８０）は、結像プロセスで使用されるリソグラフィプロセス及びシステムに関連するプロセス固有パラメータを定義することを伴う。その後、（式１４）を使用して派生ＴＣＣ  Ａ及びＢを生成する（ステップ８２）。ステップ８４では、複数のプロセスウィンドウ条件について較正テストデータを取得する。ステップ８５では、部分的にステップ８２の結果を使用して、Ｒ0｛｝に関するモデルパラメータ及び／又は関連フィルタＰ｛｝を決定する。次に、ターゲットマスクパターン又は設計を定義する（ステップ８６）。次にプロセスは、ステップ８８でＲ0（ｘ）、Ｐ｛Ｉ0｝、Ｐ｛ａ｝、及びＰ｛ｂ｝などの像を生成し始める。次に、シミュレートされた像を合成し、ＮＣ輪郭を抽出し、所与の一組のエッジ位置｛ｘi｝でフィーチャＥＰＥを決定する（ステップ９０）。次にプロセスはステップ９２に移行し、エッジ位置｛ｘi｝でプロセスウィンドウによりＥＰＥ又はＣＤ変動を決定する。最後に、ステップ９４では、ステップ９２で得られた結果を分析し、結果の像が定義済み誤差許容範囲内であるかどうかを判断し、それ故、共通プロセスウィンドウを決定するとともに、設計内の任意の問題エリア（すなわち、ホットスポット）を識別する。
【０１０２】
[00118]  上記で詳述した方法、特に（式４１）は、リソグラフィ設計検査の広範囲のタスクについて非常に柔軟に適用することができる。このような適用例の一部について、以下に簡単に概要を示す。しかし、本発明は本明細書に開示されている適用例に限定されないことは注目に値する。
【０１０３】
[00119]  任意の特定のエッジ又はＣＤの場合、（式４１）により、ＣＤ、ＥＰ、又はラインエンド変動の所与の許容範囲について公称ドーズで焦点寛容度（＝ＤＯＦ（焦点深度））を簡単に決定することができる。
【０１０４】
[00120]  任意の特定のエッジ又はＣＤの場合、（式４１）により、ＣＤ、ＥＰ、又はラインエンド変動の所与の許容範囲について公称焦点で露光ドーズを簡単に決定することができる。
【０１０５】
[00121]  任意の特定のエッジ又はＣＤの場合、（式４１）により、ＣＤ、ＥＰ、又はラインエンド変動の所与の許容範囲について｛Ｆ，Ｅ｝空間内のＰＷ又は一般化したＰＷ空間の形状、中心、及び面積を簡単にマッピングすることができる。
【０１０６】
[00122]  フルチップ設計及びすべての関連パターン／フィーチャタイプをカバーする一組のエッジ又はＣＤの場合、その設計の共通プロセスウィンドウを効率的に計算することができ、共通ＰＷをセンタリングするためにプロセス補正を導出することができる。
【０１０７】
[00123]  中心をはずれたＰＷ又は小さいＰＷのいずれかを有することにより、共通ＰＷの内部境界を定義する重大かつ制限的なパターンを識別することができる。
【０１０８】
[00124]  共通ＰＷ領域については、ＥＰ又はＣＤ変動に関する許容範囲仕様の関数として精密に計画することができる。この感度分析は、設計感度に応じて歩留まり推定を提供することができる。
【０１０９】
[00125]  設計ホットスポットは、所定のしきい値を下回るＰＷ領域、ＤＯＦ、又は露光寛容度を有するパターンとして、（式４１）を使用してフルチップ分析から識別することができる。次に、フルＰＷシミュレーションにより、すなわち、ＰＷ全域の多くの点でイメージ及びレジスト輪郭シミュレーションを繰り返すためにフルシミュレーションモデルを使用して、これらの重大なパターンの挙動を詳細に調査することができる。
【０１１０】
・ＰＷＭ−ＯＰＣ（プロセスウィンドウ最大化−光近接効果補正）アルゴリズムの説明(PWM-OPC(Process Window Maximizing − Optical Proximity Correction) Algorithm description)
[00126]  前述の通り、大半の既存のモデルベースのＯＰＣ手法は、プリントパターンが公称条件で可能な限り設計意図に近くなるようにフィーチャエッジを微調整するものである。しかし、この結果、一部のフィーチャ（ホットスポット）では焦点又は露光ドーズ変動に関する許容範囲が非常に小さくなり、一部のフィーチャではオーバラッププロセスウィンドウが極めて小さくなる可能性がある。これらはいずれも、フルチップに関するプロセスウィンドウ全体がかなり小さくなることに寄与する。プロセスウィンドウ全体を最大限にするために異なる手法が必要であることが明らかになる。
【０１１１】
[00127]  まず、レジスト輪郭が固定しきい値Ｔで定義されるグレーレベルレジスト像について考慮する。レジスト輪郭はプリントパターンの外形を示す。典型的なＯＰＣ手法により、公称レジスト輪郭が可能な限り厳密に設計ターゲットエッジにマッチングするか、又はそれと同等に、設計ターゲット位置のレジスト像強度がＴに収束するであろう。前述の通り、これは、不必要であり、典型的にプロセスウィンドウ全体に反対の影響を及ぼすことが判明する。従って、ＰＷＭ−ＯＰＣ（プロセスウィンドウ最大化−光近接効果補正）と呼ばれ、ＯＰＣによって本当にプロセスウィンドウを最大限にするための方法をここに開示する。
【０１１２】
[00128]  各評価点について、その評価点の対応するエッジ配置がある範囲のプロセスウィンドウ（焦点及びドーズ）変動において受け入れられるものになるように、Ｔ付近のグレーレベル変動Ｔrを決定することができる。典型的に、ΔＣＤとして示されるこの評価点におけるＣＤ変動について許容範囲が存在する。次に、受け入れ可能なグレーレベル変動Ｔrについて、Ｔr＝ΔＥｄｇｅ×ｓｌｏｐｅとして１次まで近似値を求めることができ、式中、ΔＥｄｇｅはこの評価点におけるＣＤ変動（ΔＣＤ）の半分として設定することができ、ｓｌｏｐｅは評価点におけるレジスト像強度傾斜である。従って、受け入れ可能なグレーレベル範囲は［Ｔ1，Ｔ2］であり、Ｔ1＝Ｔ−Ｔr／２及びＴ2＝Ｔ＋Ｔr／２である。
【０１１３】
[00129]  ＯＰＣにおけるエッジ移動は、各評価点におけるグレーレベル値がターゲットグレーレベルに収束するまで反復して行われる。各ＯＰＣ反復の前に（すなわち、エッジ移動前に）、ＰＷＭ−ＯＰＣは各評価点について（公称条件における）最適ターゲットグレーレベルを求め、その結果、現在の反復後に（すなわち、エッジ移動後に）評価点が公称条件でそのターゲットグレーレベルに達した場合にプロセスウィンドウが最大限になる。大半の既存のＯＰＣでは、すべての反復及びすべての評価点について、このターゲットグレーレベルが必ずＴに固定されることに留意されたい。しかし、ＰＷＭ−ＯＰＣは、プロセスウィンドウを最大限にするために、各反復で各評価点についてターゲットグレーレベルを動的に設定する。ＰＷＭ−ＯＰＣの重要な考え方は、ターゲット制御点における実際のグレーレベルが特定のプロセスウィンドウにおいて［Ｔ1，Ｔ2］という範囲内にとどまることをより適切に保証するために、Ｔとは異なるターゲットグレーレベルを計算する方法である。ターゲットは公称条件に関して変更されるが、プロセスウィンドウにおける受け入れ可能なグレーレベル範囲は移動せず、Ｔの元の値にセンタリングされたままになることに留意されたい。
【０１１４】
[00130]  前の項（例えば、（式１２）、（式１４ａ）、又は（式１６））により、ＯＰＣ反復前の評価点の所与の焦点及びドーズ条件におけるグレーレベルは以下の通りである。
【数５９】
2010152356.tif 000061
式中、Ｐ0は公称条件におけるレジスト像強度であり、εは露光ドーズの相対変化であり、ｆは公称焦点に対するデフォーカス値である。
【０１１５】
[00131]  製造中のｆ及びεの確率密度はそれぞれσf及びσεの標準偏差を有するガウス型であると想定し（実際の適用例では、σf＞０及びσε＞０であると想定しても差し支えない）、従って、（ｆ，ε）の同時確率密度関数は以下のようになる。
【数６０】
2010152356.tif 000062
【０１１６】
[00132]  次に、発明者の目標は以下のように数学的に公式化することができる。すなわち、Ｒ（ｆ，ε）＝Ｔ1及びＲ（ｆ，ε）＝Ｔ2の輪郭上で又はそれと同等にΔＲ（ε，ｆ）＝Ｔ1−Ｐ0及びΔＲ（ε，ｆ）＝Ｔ2−Ｐ0の輪郭上で（ｆ／σf）2＋（ε／σε）2の最小値を最大限にする各評価点について所望のＰ0∈［Ｔ1，Ｔ2］を求める。
【０１１７】
[00133]  この目標は、各評価点について個別に、（ｆ＝０，ε＝０）と（ｆ＝０，ε＝０）までのそのプロセスウィンドウ境界の最も近い点との間の正規化距離が最大になることを保証する。従って、チップ全体の数百万個の評価点を結合すると、共通プロセスウィンドウが最大になり、すなわち、すべての評価点が仕様の範囲内になる全体的な確率が最高になる。
【０１１８】
[00134]  この時点で数学的問題はすでに公式化されている。次に、それを解く方法を開示する。
【０１１９】
[00135]  ΔＲ（ε，ｆ）が以下の形を取ると想定すると、以下のようになる（この方法はΔＲ（ε，ｆ）に関する異なる公式化（例えば、より高次の多項式展開）又は一般化したプロセスウィンドウ最大化（例えば、ＮＡなどの他のパラメータを有するプロセスウィンドウ）についても役に立つことに留意されたい）。
【数６１】
2010152356.tif 000063
但し、Ｒ0、Ｐa、及びＰbは、ε及びｆとは無関係の何らかの像係数である。式を簡単にするために、しきい値変化によって露光（ドーズ）変化の近似値を求めるが、すなわち、ここでしきい値はＴ＋Ｖεになり、ΔＲ（ε，ｆ）＝ｆ・Ｐa＋ｆ2・Ｐbになり、
次に、固定グレーレベルＫの場合に以下の式になる。
【数６２】
2010152356.tif 000064
但し、Ｋ＝Ｔ1又はＴ2であり、Ｖはしきい値変化と露光ドーズ変化との関係における倍率であり、各評価点について一定である。普遍性を失わずに、Ｖ＞０であると想定する。（式４４）はεが小さい場合の（式４３）の直接近似と見なすこともできる。その理由は以下の通りである。すなわち、しきい値Ｋについて、輪郭点におけるｆとεとの関係は
【数６３】
2010152356.tif 000065
になる。
次に、以下のようになる。
【数６４】
2010152356.tif 000066
εは小さいので、より高次の項を無視することにより、テイラー展開は
【数６５】
2010152356.tif 000067
になり、その関係は以下のように簡単にすることができる。
【数６６】
2010152356.tif 000068
その結果、（式４４）が得られる。
【０１２０】
最良焦点ＰＷＭ−ＯＰＣ(Best Focus PWM-OPC)
[00136]  まず、公称条件が等焦点にある（又はそれに非常に近い）、すなわち、
【数６７】
2010152356.tif 000069
であると想定する。この仮定は、公称条件が等焦点付近になるように調整される大半の現代のリソグラフィプロセスにとって妥当なものである。次に、Ｆ＝ｆ2とすると、オブジェクト関数は以下のようになる。
【数６８】
2010152356.tif 000070
最適Ｐ0を求めるためにこのオブジェクト関数を最小限にする。この最小化には、Ｔ1≦Ｐ0≦Ｔ2及びＦ≧０という２つの追加の制約があることに留意されたい。
【０１２１】
[00137]  第１の制約は、すべての評価点のＣＤが公称条件の指定の範囲内でなければならないことを意味する。第２の制約は、Ｆ＝ｆ2という事実によるものである。公称焦点が等焦点にある場合、（式４２）と（式４４）がいずれもｆ＝０に対して対照的であることが明らかになる。それ故、公称焦点がシフトして等焦点から離れる場合、プロセスウィンドウはより小さくなる。従って、プロセスウィンドウを最大限にするために、公称焦点は等焦点でなければならない。
【０１２２】
[00138]  この最適化問題を解くために、幾つかのケースについて検討する。
１）まず、Ｐb＝０である特殊なケースでは、（式４５）により、Ｆ＝０の結果、以下のような最小オブジェクト関数値が得られる。
【数６９】
2010152356.tif 000071
Ｋ＝Ｔ1又はＴ2であり、Ｔ1≦Ｐ0≦Ｔ2であるので、Ｐ0＝（Ｔ1＋Ｔ2）／２により、最小オブジェクト関数値が最大限になり、それ故、最適ターゲットグレーレベルになる。
２）Ｐbが非ゼロの場合、普遍性を失わずに、Ｐb＞０であると想定する（表現はそれ以外の点は同様のものになる）。Ｆに関するその導関数が０であるとすると、以下のようになる。
【数７０】
2010152356.tif 000072
その結果、以下のようになる。
【数７１】
2010152356.tif 000073
しかし、Ｔ1≦Ｐ0≦Ｔ2及びＦ≧０という制約があるので、このＦ0は必ず達成可能であるわけではない。
【０１２３】
[00139]  従って、２つのサブケースについて考察する。
１．
【数７２】
2010152356.tif 000074
である場合、Ｐ0∈［Ｔ1，Ｔ2］であるので、Ｋ＝Ｔ1及びＴ2である場合にいずれもＦ0＜０になる。この場合、Ｆ＝０であると、その結果、同じく最小オブジェクト関数値が得られ、Ｐ0＝（Ｔ1＋Ｔ2）／２は最適ターゲットグレーレベルになる。（１／０＝∞を取る場合、
【数７３】
2010152356.tif 000075
の特殊なケースとしてＰb＝０であることを考慮することができる。）
２．上記以外の場合、
【数７４】
2010152356.tif 000076
になる。
この場合、Ｐ0≧Ｔ1であるので、Ｋ＝Ｔ1である場合にＦ0≦０になる。従って、Ｆ0＝０であるときにＫ＝Ｔ1である場合の最小オブジェクト関数値が必ず達成され、
【数７５】
2010152356.tif 000077
になる。Ｐ0がＴ1からＴ2まで増加するときにこの最小値が０から
【数７６】
2010152356.tif 000078
まで単調に増加することに留意されたい。
Ｋ＝Ｔ2である場合、事態はもう少し複雑になる。
【数７７】
2010152356.tif 000079
であるときに、Ｆ0＜０になり、Ｆ＝０であると、その結果、この場合も
【数７８】
2010152356.tif 000080
という最小オブジェクト関数値が得られ、これは、Ｐ0が
【数７９】
2010152356.tif 000081
からＴ2まで増加するときに
【数８０】
2010152356.tif 000082
から０まで単調に減少し、
【数８１】
2010152356.tif 000083
であるときに、Ｆ0≧０になり、その結果、以下の真正な最小オブジェクト関数値が得られる。
【数８２】
2010152356.tif 000084
これは、Ｐ0がＴ1から
【数８３】
2010152356.tif 000085
まで増加するときに
【数８４】
2010152356.tif 000086
から
【数８５】
2010152356.tif 000087
まで単調に減少する。
【０１２４】
[00140]  従って、最小オブジェクト関数値はＫ＝Ｔ1であるときにＰ0について増加し、最小オブジェクト関数値はＫ＝Ｔ2であるときにＰ0について減少する。それ故、プロセスウィンドウを最大限にするために、これらの２つの最小オブジェクト関数値が同一になるようなＰ0を選択しなければならない。
【０１２５】
[00141]  明らかに、
【数８６】
2010152356.tif 000088
である場合、すなわち、
【数８７】
2010152356.tif 000089
である場合、Ｐ0＝（Ｔ1＋Ｔ2）／２はもう一度最適ターゲットグレーレベルになり、その結果、最大化した最小オブジェクト関数値が
【数８８】
2010152356.tif 000090
になる。これは図６に示されている。
【０１２６】
[00142]  より具体的には、リソグラフィプロセスに関する特性数を以下のように定義する。
【数８９】
2010152356.tif 000091
次に、以下の条件にこれを代入する。
【数９０】
2010152356.tif 000092
この場合、τ≦１であるときにＰ0＝（Ｔ1＋Ｔ2）／２が最適ターゲットグレーレベルになることが分かる。図６はτ＝０．７５である場合についてこの結果を実証するものである。
上記以外の場合、
【数９１】
2010152356.tif 000093
であり（すなわち、τ＞１）、
【数９２】
2010152356.tif 000094
であるときに最大プロセスウィンドウが達成される。
この２次方程式の根は以下の通りである。
【数９３】
2010152356.tif 000095
Ｐ0∈［Ｔ1，Ｔ2］であり、
【数９４】
2010152356.tif 000096
であり、Ｔ2−Ｔ1＞０であることが分かっているので、
【数９５】
2010152356.tif 000097
が唯一の有効な解になる。
次に、この根が確かに有効であることを検証する。
【数９６】
2010152356.tif 000098
であるので、以下のようになる。
【数９７】
2010152356.tif 000099
従って、Ｐ0∈［Ｔ1，Ｔ2］である。
要約すると、τ＞１であるときに、
【数９８】
2010152356.tif 000100
は最適ターゲットグレーレベルになる。
このケースは、より具体的にはτ＝２の場合について図７に実証されている。
【０１２７】
[00143]  要約するために、リソグラフィプロセスに関する特性数次第で最適ターゲットグレーレベルは以下の通りである。
【数９９】
2010152356.tif 000101
τ＞１であるときに、
【数１００】
2010152356.tif 000102
が最適ターゲットグレーレベルになる。それ以外の場合、
【数１０１】
2010152356.tif 000103
が最適ターゲットグレーレベルになる。
【０１２８】
物理的意味（グラフ解釈）(Physical Meaning (Graphical Interpretation)
[00144]  前の項は完全に解析的導出に焦点を合わせている。次に、Bossungグラフから解の物理的意味について考察する。
【０１２９】
[00145]  この焦点−露光グラフでは、各評価点について、固定グレーレベルに至る焦点と露光の対からなる曲線は放物線になっている。より具体的には、固定グレーレベルＫの場合、輪郭Ｒ（ｆ，ε）＝Ｋについて分析する。（式４４）からこの輪郭上のεとｆとの関係は以下の通りである。
【数１０２】
2010152356.tif 000104
これは放物線である。これは図８に示されている。Ｒ（ｆ，ε）＝Ｔ1及びＲ（ｆ，ε）＝Ｔ2に対応する２つの曲線は明らかに放物線である。
【０１３０】
[00146]  この場合もＰa＝０及びＰb≧０であると想定する。上記の通り、Ｒ（ｆ，ε）＝Ｔ1及びＲ（ｆ，ε）＝Ｔ2の輪郭上の（ｆ／σf）2＋（ε／σε）2の最小値を最大限にする必要がある。（ｆ／σf）2＋（ε／σε）2は楕円を表すので、この最適化はグラフにより以下のステップとして解釈することができる。
１．各Ｐ0について、２つの曲線Ｒ（ｆ，ε）＝Ｔ1及びＲ（ｆ，ε）＝Ｔ2に接する楕円を捜す。
２．その楕円を最大限にする最適Ｐ0を求める。
【０１３１】
[00147]   Ｐb≧０であるので、両方の曲線は｜ｆ｜が増加するときに上向きになる。
【数１０３】
2010152356.tif 000105
が最適グレーレベルである場合、ｆ＝０及び
【数１０４】
2010152356.tif 000106
に対応する、最低点でその楕円がＲ（ｆ，ε）＝Ｔ2に接しなければならないことは明らかである。また、その楕円の式は
【数１０５】
2010152356.tif 000107
であり、式中、
【数１０６】
2010152356.tif 000108
である。
【０１３２】
[00148]  輪郭と楕円がいずれもここでその最低点に達することに注目する。加えて、ｆに関する
【数１０７】
2010152356.tif 000109
の２次導関数は
【数１０８】
2010152356.tif 000110
になり、負のεの場合にｆに関する楕円の２次導関数は以下のようになる。
【数１０９】
2010152356.tif 000111
【０１３３】
[00149]  
【数１１０】
2010152356.tif 000112
は、
【数１１１】
2010152356.tif 000113
の場合に増加関数であり、
【数１１２】
2010152356.tif 000114
は定数であるので、
【数１１３】
2010152356.tif 000115
である場合に限り、楕円は放物線輪郭より速く上向きになり、最低点で接する。
【数１１４】
2010152356.tif 000116
の結果、以下の結論が得られる。
【数１１５】
2010152356.tif 000117
であるときに、
【数１１６】
2010152356.tif 000118
が最適ターゲットグレーレベルになり、これは図８に示されているように、前の分析的分析と一致している。図８で分かるように、Ｒ（ｆ，ε）＝Ｔ1及びＲ（ｆ，ε）＝Ｔ2に関する輪郭はｆ＝０のときにプロセスウィンドウの楕円境界に接し、従って、
【数１１７】
2010152356.tif 000119
は最適ターゲットグレーレベルになる。
・τ＞１であるときに、プロセスウィンドウを最大限にするために、最適Ｐ0はシフトして
【数１１８】
2010152356.tif 000120
から離れ、Ｔ1に近くならなければならない。これは、図９にグラフにより描写されており、その場合、点９０２を通過する楕円（破線）はもはやＲ（ｆ，ε）＝Ｔ2の輪郭に接しておらず、最適プロセスウィンドウの境界（実線）は点９０４でＲ（ｆ，ε）＝Ｔ2の輪郭に接する。
【０１３４】
非最良焦点ＰＷＭ−ＯＰＣ(Non-Best Focus PWM-OPC)
[00150]  公称条件がオフフォーカスである場合、公式はさらに複雑になる。この場合、オブジェクト関数は以下のようになる。
【数１１９】
2010152356.tif 000121
但し、
【数１２０】
2010152356.tif 000122
である。
これはｆの４次多項式関数である。この場合、Ｔ1≦Ｐ0≦Ｔ2という１つの制約が追加される。その目標は、Ｋ＝Ｔ1及びＫ＝Ｔ2であるときに最小オブジェクト関数値を最大限にするためのＰ0を選択することである。
【０１３５】
[00151]  この公式は（式４５）と同じように簡単にすることができないので、精密形式（close-form）の解が存在しない可能性がある。しかし、幾何学的分析の助けを借りて、単純な反復アルゴリズムを使用して最適ターゲットグレーレベルを計算することができる。
【０１３６】
[00152]  普遍性を失わずに、Ｖ＞０、Ｐa＞０、及びＰb＞０であると想定する。その場合、
【数１２１】
2010152356.tif 000123
の軸は
【数１２２】
2010152356.tif 000124
になる。
【０１３７】
[00153]  （ｆ（Ｐ0），ε（Ｐ0））によりオブジェクト関数Ｑ（ｆ，ε，Ｐ0，Ｋ）を最小限にすると想定する。すなわち、以下のようになる。
【数１２３】
2010152356.tif 000125
【０１３８】
[00154]  Ｋ＝Ｔ1である場合、
【数１２４】
2010152356.tif 000126
及び
【数１２５】
2010152356.tif 000127
である。これは、図１０のグラフ解釈から容易に分かることである。より具体的には、図１０は、Ｒ（ｆ，ε）＝Ｔ1に関する輪郭が（ｆ（Ｐ0），ε（Ｐ0））で楕円に接することを示しており、この場合、
【数１２６】
2010152356.tif 000128
であり、ε（Ｐ0）≧０である。さらに、Ｐ0が減少するにつれて、楕円も放物線状の輪郭によって「押しつぶされ（squeezed）」、それ故、Ｑ（Ｐ0，Ｔ1）は減少する。付録Ａの補助定理１は厳格な証明を提供する。また、Ｐ0＝Ｔ1であるときにこの最小オブジェクト関数値がその最小値、すなわち、０を達成することに留意されたい。
【０１３９】
[00155]  同様に、Ｋ＝Ｔ2である場合、ｆ（Ｐ0）≧０及び
【数１２７】
2010152356.tif 000129
であり、これは図１１に視覚化されている。より具体的には、図１１は、Ｐ0≦Ｔ2＝Ｋであるときの（ｆ（Ｐ0），ε（Ｐ0））に関するグラフ解釈を提供する。輪郭Ｒ（ｆ，ε）＝Ｋ＝Ｔ2は（ｆ（Ｐ0），ε（Ｐ0））で真の最小楕円（実線１１０４）に接し、この場合、ｆ（Ｐ0）≧０及びε（Ｐ0）≧０である。さらに、Ｐ0がＴ1からＴ2に増加するときに、この最小値は減少する。図１１に関連して換言すれば、Ｐ0が増加するにつれて、楕円も放物線状の輪郭によって「押しつぶされ」、それ故、Ｑ（Ｐ0，Ｔ2）は減少する。この場合も、これらの観察結果は厳格な分析証明を使用して示すことができる（付録Ｂの補助定理２を参照されたい）。また、Ｐ0＝Ｔ2であるときに、この最小オブジェクト関数値がその最小値、すなわち、０を達成することに留意されたい。
【０１４０】
[00156]  それ故、Ｐ0が最適になるために必要かつ十分な条件がＱ（Ｐ0，Ｔ1）＝Ｑ（Ｐ0，Ｔ2）であることが明らかになる。これは、図７の２つの曲線によって示されている（公式は異なる可能性があるが、基本的な曲線形状は類似している）。Ｑ（Ｐ0，Ｔ1）−Ｑ（Ｐ0，Ｔ2）は、Ｐ0がＴ1からＴ2に増加するにつれて負数から正数に単調に増加するので、Ｐ0∈［Ｔ1，Ｔ2］に関する固有の根が存在し、これは二分法又はニュートン法などの標準的な根検出アルゴリズムを使用して効率的に求めることができる。
【０１４１】
[00157]  残りの問題はＱ（Ｐ0，Ｋ）を計算する方法である。（式４８）から、Ｑ（ｆ，ε，Ｐ0，Ｋ）は確かにデフォーカスｆの４次多項式であり、すなわち、
【数１２８】
2010152356.tif 000130
である。最小値を決定するために、以下のようにその導関数を取る。
【数１２９】
2010152356.tif 000131
【０１４２】
[00158]  導関数が０に設定される場合、根（複数も可）はＱ（ｆ，ε，Ｐ0，Ｋ）を最小限にする潜在的デフォーカス値になる。この３次方程式に対する分析的解が存在することは周知のことである。しかし、３次方程式の（複素）根が３つ存在するが、どれがグローバル最小値を達成するか。３つの根をすべて求め、すべての実根についてＱ（ｆ，ε，Ｐ0，Ｋ）を評価し、その最小のものをＱ（Ｐ0，Ｋ）として使用することができる。このプロセスをさらに加速するために、この方程式のすべての係数が実数であり、それ故、３つの実根を有するか、１つの実根と２つの補完的複素根とを有することに留意する。後者の場合、ｆ（Ｐ0）として実根を選択することは容易である。Ｋ＝Ｔ1である場合、グラフによる実証（例えば、図１０）の助けを借りると、それが後者の場合に該当することが分かる。Ｋ＝Ｔ2である場合、３つの実根が存在する場合（図１１で実証する通り）、Ｗｅｄａの定理により、これら３つの根の和は負であるが、積は正になり、従って、２つの負の根と１つの正の根が存在しなければならない。示した通り、Ｋ＝Ｔ2である場合にｆ（Ｐ0）≧０であり、単純に正の根を選択することができる。図１１で分かるように、（式４８）の導関数に対して３つの実根が存在する。しかし、（実線１１０４の楕円に対応する）正の根のみがグローバル最小値を達成する。他の２つの根は、負であり、破線境界１１０２を有する楕円に対応し、輪郭Ｒ（ｆ，ε）＝Ｋ＝Ｔ2はこれら２つの楕円に接するが、その結果、Ｑ（ｆ，ε，Ｐ0，Ｔ2）がより大きくなる。
【０１４３】
[00159]  図１２は、各評価点について最適Ｐ0を求めるための二分法のフローダイアグラムである。この図の等式チェックはイプシロン絶対誤差（epsilon-absolute-error）に基づくものであり、すなわち、２つの数の絶対的差が定義済みの小さい数（イプシロン）より小さい場合にその２つの数が等しいと見なすことに留意されたい。
【０１４４】
[00160]  より具体的には、図１２に示されているように、所与の実施形態の二分法を使用することによって最適Ｐ0を求めるプロセスの第１のステップ（ステップ１２０１）は、Ｐa、Ｐb、σf、σε、Ｖ、Ｔ1、及びＴ2を含む詳細を決定し、それ故、（式４８）によりα、β、χ、Φ、φ、γを決定することである。このプロセスでは、等式チェック（すなわち、以下に記載するステップ１２０５、１２０８、１２１２）はイプシロン絶対誤差に基づくものであり、すなわち、２つの数の絶対的差が定義済みの小さい数（イプシロン）より小さい場合にその２つの数が等しくなる。プロセスの次のステップ（ステップ１２０２）は、Ｓ1＝Ｔ1及びＳ2＝Ｔ2とすることである。ステップ１２０３では、（式４９）の導関数の根を計算することにより、Ｑ（Ｓ1，Ｔ1）を評価する。Ｑ（ｆ，ε，Ｓ1，Ｔ1）を本当に最小限にする１つの根を選択し、次に（式４８）によりＱ（ｆ，ε，Ｓ1，Ｔ1）を計算し、これはＱ（Ｓ1，Ｔ1）になる。ステップ１２０４では、Ｑ（Ｓ1，Ｔ2）を評価するが、これはステップ１２０３と同様のものである。ステップ１２０５では、Ｑ（Ｓ1，Ｔ1）とＱ（Ｓ1，Ｔ2）との差を決定する。この差がゼロに等しい場合、プロセスはステップ１２０６に移行し、この差がゼロに等しくない場合、プロセスはステップ１２０７に移行する。ステップ１２０７では、Ｑ（Ｓ2，Ｔ1）とＱ（Ｓ2，Ｔ2）との差を決定し、ステップ１２０８でこの差をゼロと比較する。この差がゼロに等しい場合、プロセスはステップ１２０９に移行し、この差がゼロに等しくない場合、プロセスはステップ１２１０に移行する。ステップ１２１０では、（Ｓ1＋Ｓ2）／２に等しくなるようにＳを設定する。ステップ１２１１では、Ｑ（Ｓ，Ｔ1）とＱ（Ｓ，Ｔ2）との差を決定し、ステップ１２１２でこの差をゼロと比較する。この差がゼロに等しい場合、プロセスはステップ１２１３に移行し、この差がゼロに等しくない場合、プロセスはステップ１２１４に移行する。ステップ１２１４では、最大反復数に達した場合又はＳ−Ｓ1が十分小さい場合、プロセスはステップ１２１３に移行し、そうではない場合、プロセスはステップ１２１５に移行する。ステップ１２１５では、Ｑ（Ｓ，Ｔ1）−Ｑ（Ｓ，Ｔ2）とＱ（Ｓ2，Ｔ1）−Ｑ（Ｓ2，Ｔ2）を比較して、それらに同じ符号が付いているかどうかを判断する。同じ符号が付いている場合、プロセスはステップ１２１６に移行し、同じ符号が付いていない場合、プロセスはステップ１２１７に移行する。ステップ１２１６では、Ｓ2にＳが割り当てられ、プロセスはステップ１２１０に移行する。ステップ１２１７では、Ｓ1にＳが割り当てられ、プロセスはステップ１２１０に移行する。ステップ１２０６ではＰ0＝Ｓ1であり、プロセスはステップ１２１８で終了し、そこでＰ0を出力する。ステップ１２０９ではＰ0＝Ｓ2であり、プロセスはステップ１２１８で終了し、そこでＰ0を出力する。ステップ１２１３ではＰ0＝Ｓであり、プロセスはステップ１２１８で終了し、そこでＰ0を出力する。
【０１４５】
ＰＷＭ−ＯＰＣフロー(PQM-OPC Flow)
[00161]  上記のアルゴリズムは、大半の現代の公称条件ＯＰＣフローの上で使用することができる。唯一の余分なモジュールは、各評価点について個々のターゲットグレーレベルＰ0を詳細に説明する部分であり、公称条件ＯＰＣの既存のフローはいずれも同じままである。実際には、レイアウトはＯＰＣフロー中に劇的に変更される可能性があるので、ΔＲ（ε，ｆ）内の最終的な係数は始めの数回のＯＰＣ反復におけるΔＲ（ε，ｆ）内のものとはかなり異なる可能性がある。このため、このフローは以下のように実現することができる。
【０１４６】
[00162]  公称条件ＯＰＣは最初に適用され、ＰＷＭ−ＯＰＣ（動的ターゲットグレーレベル）は最後の数回の反復において適用される。
【０１４７】
[00163]  このフローでも本質的に、各評価点についてそれぞれ別々にグレーレベル制御範囲Ｔrを設定することにより異なるレイヤ及び異なるフィーチャに関する異なるＣＤ制御を指定することができる。例えば、ゲートなどのクリティカルフィーチャに関する評価点について、Ｔrを非常に小さい値又は０にさえ設定することができる。
【０１４８】
[00164]  より具体的には、図１３に示されているように、ＰＷＭ−ＯＰＣフローのプロセスの第１のステップ（ステップ１３０１）では、そのレイアウトにいかなる超解像技術（ＲＥＴ）も適用せずに設計レイアウトを提供する。ステップ１３０２ではＲＥＴによりレイアウトを変更し、ステップ１３０３でポストＲＥＴレイアウトを提供する。ステップ１３０４ではマスクイメージを提供する。ステップ１３０５では光学パラメータを含む光学モデルをマスクイメージに適用し、ステップ１３０６でシミュレートされた空間像（ＡＩ）を計算する。空間像はレジストレイヤ内のシミュレーションであり、これは基板上への光の投影、レジスト境界面での屈折、並びにレジストフィルムスタック内の複数の反射から発生する。光強度分布（空間像）は、光子の吸収により潜在する「レジスト像」になり、これは拡散プロセス及び種々のローディング効果によってさらに変更される。光学モデルは、ＮＡ−シグマ（σ）設定並びに任意の特定の照明源形状を含むが、これらに限定されない照明及び投影光学系の特性を記述する。屈折率、膜厚、伝搬及び偏光効果など、基板上にコーティングされたフォトレジストレイヤの光学特性も光学モデルの一部として捕捉することができる。ステップ１３０７からのレジストパラメータを有するレジストモデルを空間像（ＡＩ）に適用して、ステップ１３０８でシミュレートされたレジスト像（ＲＩ）を計算する。レジストモデルは、レジスト露光、露光後ベーク、及び現像中に行われる化学プロセスの効果を記述する。ステップ１３０９では、特定の評価点でレジスト解像度を評価する。図１２に関連して上述したように、ステップ１３１０では、光学モデル及びレジストモデルからＰa、Ｐb、σf、σε、Ｖ、及びＴ1を含む特定のパラメータを決定し、ステップ１３１１で最適Ｐ0を決定する。ステップ１３１２では、ステップ１３１１で決定した最適Ｐ0とステップ１３０９で識別した評価点におけるＲＩ強度との比較を行う。ステップ１３１３では、比較ステップ１３１２で決定されたようにレジスト像が十分に良好である場合、プロセスは終了し、ステップ１３１４でマスクイメージを出力する。レジスト像が十分に良好ではないと判断された場合、プロセスはステップ１３０２に戻り、レジスト像が十分に良好であると判断されるまでプロセスを繰り返す。
【０１４９】
[00165]  比較のため、従来の公称条件ＯＰＣフローは、図１３で上述したステップ１３１０及び１３１１を含まず、動的に決定されたＰ0は典型的に一定のしきい値で置き換えられる。
【０１５０】
[00166]  もう１つの実際的な考慮事項は、評価点における像の補間である。リソグラフィシミュレーションでは、すべての像がグリッド上に生成される。典型的に、評価点はグリッド上に正確に置かれるわけではない。
【０１５１】
[00167]  一実施形態では、すべての評価点のすぐ上でＰa、Ｐb、Ｔ1、及びＴ2を計算する。Ｔ1及びＴ2の計算は傾斜に依存し、それ故、位置に依存することに留意されたい。この実施形態では、（式１ｂ）を使用して任意の位置で空間像を計算することができ、（式１ｄ）を使用してＴＣＣの導関数から同じように派生空間像を計算することができる。しかし、評価点の位置が不規則であるので、この方法は計算上高価である可能性がある。
【０１５２】
[00168]  代替的に、補間を適用して評価点における像強度を計算する。計算されたレジスト像がＲ（ｉΔ）であり、ｉ＝０，±１，±２．．．であり、Δはグリッド解像度であると想定する。次に、Δの倍数ではない任意のｘについて、Ｒ（ｉΔ）に線形フィルタを適用することができ、すなわち、
【数１３０】
2010152356.tif 000132
になる。その最も単純な形では、ｈ（ｘ）は２つの隣接ピクセルの１次結合程度に単純なものである可能性があり、すなわち、｜ｘ｜＜１である場合にｈ（ｘ）＝１−｜ｘ｜であり、それ以外の場合は０になる。ｈ（ｘ）がシンク関数（sinc function）からなるナイキスト再構成（Nyquist reconstruction）も適用することができ、すなわち、ｈ（ｘ）＝ｓｉｎ（πｘ／Δ）／（πｘ）になる。ｈ（ｘ）の選択は計算コストと正確さとの釣り合いを取るための適用例によって決まる。フィルタの分離性により、２次元像の場合、各次元について独立してフィルタを適用することに留意されたい。
【０１５３】
[00169]  さらに、フィルタ動作は線形であるので、以下の式が１次関数であることに注目する。
【数１３１】
2010152356.tif 000133
それ故、Ｒ（ε，ｆ）がグリッド上で計算されるものと想定すると、以下の式が得られる。
【数１３２】
2010152356.tif 000134
これは、まずグリッド上でＰa及びＰbなどを計算し、次にＰa及びＰbなどに関する補間フィルタを適用して評価点上の係数を計算できることを意味する。
【０１５４】
公称条件最適化（Nominal Condition Optimization）
[00170]  さらに、高密度プロセスウィンドウサンプリングに基づいて最良公称条件を決定することができる。ＯＰＣ（公称条件ＯＰＣ又はＰＷＭ−ＯＰＣのいずれか）後に、以下のように指定できる共通プロセスウィンドウを決定する。
【数１３３】
2010152356.tif 000135
【０１５５】
[00171]  次に、公称条件を（ｆ0，ε0）だけシフトして、このプロセスウィンドウの確率を最大限にすることができる。この場合も、（式４２）から（ｆ，ε）の同時確率密度関数は以下のようになる。
【数１３４】
2010152356.tif 000136
しかし、プロセスウィンドウは
【数１３５】
2010152356.tif 000137
及び
【数１３６】
2010152356.tif 000138
になる。
【０１５６】
[00172]  その目標は、以下のように最大限にするための最適（ｆ0，ε0）を決定することである。
【数１３７】
2010152356.tif 000139
この最適化問題は以下のように解くことができる。
まず、ε0に関するその導関数を取る。すなわち、以下の通りである。
【数１３８】
2010152356.tif 000140
次に、各ｆ0についてε0の根を求めるための数値法を使用する。同様に、各ε0について
【数１３９】
2010152356.tif 000141
の根を求める。根が収束するまでこの２つのステップを代替的かつ反復して実行する。
【０１５７】
[00173]  特別な場合にはより単純な解が存在する可能性があることに留意されたい。例えば、上述の通り、公称焦点が最良焦点にある場合、ｆ0＝０は必ず最適になり、ε0について最適化を行うだけでよい。最良焦点自体は、（式４４）の結果として
【数１４０】
2010152356.tif 000142
により推定することもできる。
【０１５８】
[00174]  また、プロセスウィンドウ内部の（ｆ，ε）の平均を使用することもできる。
【０１５９】
[00175]  さらに、図１４に示されているように、ＰＷＭ−ＯＰＣとこの公称条件最適化を結合することができる。より具体的には、図１４に示されているように、公称条件最適化と結合されたＯＰＣのプロセスの第１のプロセス（ステップ１４０１）では、そのレイアウトにいかなる超解像技術（ＲＥＴ）も適用せずに設計レイアウトを提供する。ステップ１４０２では、公称条件ＯＰＣ又はＰＷＭ−ＯＰＣによりレイアウトを変更し、ステップ１４０３でポストＲＥＴレイアウトを提供する。ステップ１４０４では、公称条件最適化を実行する。ステップ１４０５で決定されたように設計が十分に良好である場合、プロセスは終了し、ステップ１４０６で設計を出力する。設計が十分に良好ではない場合、プロセスはステップ１４０２に戻り、受け入れ可能な設計が確立されるまでプロセスを繰り返す。
【０１６０】
[00176]  図１５は、本明細書に開示したシミュレーション方法を支援可能なコンピュータシステム１００を示すブロック図である。コンピュータシステム１００は、バス１０２又は情報を伝達するためのその他の通信メカニズムと、情報を処理するためにバス１０２に結合されたプロセッサ１０４とを含む。また、コンピュータシステム１００は、プロセッサ１０４によって実行される命令及び情報を保管するためにバス１０２に結合されたランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）又はその他の動的ストレージデバイスなどのメインメモリ１０６も含む。メインメモリ１０６は、プロセッサ１０４によって実行される命令の実行中に一時変数又はその他の中間情報を保管するために使用することもできる。コンピュータシステム１００は、プロセッサ１０４のための命令及び静的情報を保管するためにバス１０２に結合された読み取り専用メモリ（ＲＯＭ）１０８又はその他の静的ストレージデバイスをさらに含む。情報及び命令を保管するために、磁気ディスク又は光ディスクなどのストレージデバイス１１０が提供され、バス１０２に結合される。
【０１６１】
[00177]  コンピュータシステム１００は、コンピュータユーザに情報を表示するためにバス１０２を介して陰極線管（ＣＲＴ）又はフラットパネル又はタッチパネルディスプレイなどのディスプレイ１１２に結合することができる。英数字キー及びその他のキーを含む入力デバイス１１４は、プロセッサ１０４に情報及びコマンド選択を伝達するためにバス１０２に結合される。もう１つのタイプのユーザ入力デバイスは、プロセッサ１０４に方向情報及びコマンド選択を伝達し、ディスプレイ１１２上のカーソル移動を制御するためのマウス、トラックボール、又はカーソル方向キーなどのカーソルコントロール１１６である。この入力デバイスは典型的に、その装置が平面内の位置を指定できるようにする、第１の軸（例えば、ｘ）と第２の軸（例えば、ｙ）という２通りの軸の２通りの自由度を有する。タッチパネル（スクリーン）ディスプレイも入力デバイスとして使用することができる。
【０１６２】
[00178]  本発明の一実施形態によれば、シミュレーションプロセスの一部分は、メインメモリ１０６に収容された１つ又は複数の命令の１つ又は複数のシーケンスをプロセッサ１０４が実行したことに応答して、コンピュータシステム１００によって実行することができる。このような命令は、ストレージデバイス１１０などの他のコンピュータ可読媒体からメインメモリ１０６に読み込むことができる。メインメモリ１０６に収容された命令のシーケンスを実行することにより、プロセッサ１０４は本明細書に記載したプロセスステップを実行する。メインメモリ１０６に収容された命令のシーケンスを実行するために、マルチプロセッシング配置の１つ又は複数のプロセッサを使用することもできる。代替実施形態では、本発明を実現するためにソフトウェア命令の代わりに又はソフトウェア命令と組み合わせて、ハードワイヤード回路を使用することができる。それ故、本発明の諸実施形態は、ハードウェア回路とソフトウェアとの特定の組合せに限定されない。
【０１６３】
[00179]  本明細書で使用する「コンピュータ可読媒体」という用語は、実行のためにプロセッサ１０４に命令を提供することに関与する媒体を指す。このような媒体は、不揮発性媒体、揮発性媒体、及び伝送媒体を含むがこれらに限定されない多くの形を取ることができる。不揮発性媒体は、例えば、ストレージデバイス１１０などの光ディスク又は磁気ディスクを含む。揮発性媒体は、メインメモリ１０６などのダイナミックメモリを含む。伝送媒体は、バス１０２を有するワイヤを含む、同軸ケーブル、銅線、及び光ファイバを含む。また、伝送媒体は、無線周波（ＲＦ）及び赤外線（ＩＲ）データ通信中に生成されたものなどの音波又は光波の形を取ることもできる。一般的な形のコンピュータ可読媒体は、例えば、フロッピー（登録商標）ディスク、フレキシブルディスク、ハードディスク、磁気テープ、任意のその他の磁気媒体、ＣＤ−ＲＯＭ、ＤＶＤ、任意のその他の光学媒体、パンチカード、紙テープ、穴のパターンを有する任意のその他の物理媒体、ＲＡＭ、ＰＲＯＭ、及びＥＰＲＯＭ、ＦＬＡＳＨ−ＥＰＲＯＭ、任意のその他のメモリチップ又はカートリッジ、以下に記載する搬送波、あるいはコンピュータがそこから読み取ることができる任意のその他の媒体を含む。
【０１６４】
[00180]  実行のためにプロセッサ１０４に１つ又は複数の命令の１つ又は複数のシーケンスを搬送する際に種々の形のコンピュータ可読媒体が係わる可能性がある。例えば、命令は最初にリモートコンピュータの磁気ディスク上に載せられる可能性がある。リモートコンピュータは、そのダイナミックメモリに命令をロードし、モデムを使用して電話回線によって命令を送信することができる。コンピュータシステム１００に対してローカルなモデムは、その電話回線上でデータを受信し、赤外線送信機を使用してそのデータを赤外線信号に変換することができる。バス１０２に結合された赤外線検出器は、赤外線信号で搬送されたデータを受信し、そのデータをバス１０２上に置くことができる。バス１０２はそのデータをメインメモリ１０６に搬送し、そこからプロセッサ１０４が命令を取り出して実行する。メインメモリ１０６が受け取った命令は任意選択で、プロセッサ１０４による実行前又は実行後のいずれかにストレージデバイス１１０に保管することができる。
【０１６５】
[00181]  また、コンピュータシステム１００は好ましくは、バス１０２に結合された通信インターフェイス１１８も含む。通信インターフェイス１１８は、ローカルネットワーク１２２に接続されたネットワークリンク１２０に結合する双方向データ通信を可能にする。例えば、通信インターフェイス１１８は、対応するタイプの電話回線へのデータ通信接続を可能にするための統合サービスデジタル通信網（ＩＳＤＮ）カード又はモデムにすることができる。もう１つの例として、通信インターフェイス１１８は、互換性のあるＬＡＮへのデータ通信接続を可能にするためのローカルエリアネットワーク（ＬＡＮ）カードにすることもできる。ワイヤレスリンクも実現可能である。このような実現例では、通信インターフェイス１１８は、種々のタイプの情報を表すデジタルデータストリームを搬送する電気信号、電磁気信号、又は光学信号を送受信する。ネットワークリンク１２０は典型的に、１つ又は複数のネットワークにより他のデータデバイスへのデータ通信を可能にする。例えば、ネットワークリンク１２０は、ローカルネットワーク１２２によりホストコンピュータ１２４又はインターネットサービスプロバイダ（ＩＳＰ）１２６によって操作されるデータ機器への接続を可能にすることができる。次にＩＳＰ１２６は、現在一般的に「インターネット」１２８と呼ばれる世界的なパケットデータ通信ネットワークによりデータ通信サービスを提供する。ローカルネットワーク１２２及びインターネット１２８はいずれも、デジタルデータストリームを搬送する電気信号、電磁気信号、又は光学信号を使用する。種々のネットワークによる信号、ネットワークリンク１２０上の信号、並びにコンピュータシステム１００との間でデジタルデータを搬送する通信インターフェイス１１８による信号は、情報を移送する搬送波の模範的な形である。
【０１６６】
[00182]  コンピュータシステム１００は、ネットワーク（複数も可）、ネットワークリンク１２０、及び通信インターフェイス１１８により、プログラムコードを含む、メッセージを送信し、データを受信することができる。インターネットの例では、サーバ１３０は、インターネット１２８、ＩＳＰ１２６、ローカルネットワーク１２２、及び通信インターフェイス１１８により、アプリケーションプログラムについて要求されたコードを送信することができる。本発明によれば、このようにダウンロードされたアプリケーションは、例えば、その実施形態の照明最適化に備えるものである。受信したコードは、受信したときにプロセッサ１０４によって実行するか、及び／又は後で実行するためにストレージデバイス１１０又はその他の不揮発性ストレージに保管することができる。このように、コンピュータシステム１００は搬送波の形でアプリケーションコードを入手することができる。
【０１６７】
[00183]  図１６は、本発明のプロセスを使用してその性能をシミュレート可能な模範的なリソグラフィ投影装置を概略的に描写している。この装置は以下のものを含む。
−投影ビームＰＢの放射を供給するための放射システムＥｘ、ＩＬ。この特定のケースでは放射システムは放射源ＬＡも含む。
−マスクＭＡ（例えば、レチクル）を保持するためのマスクホルダが設けられ、アイテムＰＬに対してマスクを正確に位置決めするための第１の位置決め手段に接続された第１のオブジェクトテーブル（マスクテーブル）ＭＴ
−基板Ｗ（例えば、レジストコーティングシリコンウェーハ）を保持するための基板ホルダが設けられ、アイテムＰＬに対して基板を正確に位置決めするための第２の位置決め手段に接続された第２のオブジェクトテーブル（基板テーブル）ＷＴ
−マスクＭＡの照射部分を基板Ｗのターゲット部分Ｃ（例えば、１つ又は複数のダイを含む）上に結像するための投影システム（「レンズ」）ＰＬ（例えば、屈折、反射、又は反射屈折光学システム）
【０１６８】
[00184]  本明細書に描写されている通り、この装置は反射タイプのものである（すなわち、反射マスクを有する）。しかし、一般に、この装置は、例えば、透過タイプ（透過マスクを有する）ものにすることもできる。代替的に、この装置は、マスク使用の代替策として他の種類のパターニング手段を使用することもでき、例としてはプログラマブルミラーアレイ又はＬＣＤマトリクスを含む。
【０１６９】
[00185]  光源ＬＡ（例えば、水銀灯又はエキシマレーザ）は放射ビームを発生する。このビームは、直接又は例えばビームエクスパンダＥｘなどのコンディショニング手段を横断した後に照明システム（イルミネータ）ＩＬに供給される。イルミネータＩＬは、ビーム内の強度分布の外側及び／又は内側半径範囲（一般に、それぞれσ-outer及びσ-innerと呼ばれる）を設定するための調整手段ＡＭを含むことができる。加えて、イルミネータは一般に、インテグレータＩＮ及びコンデンサＣＯなどの種々の他のコンポーネントを含む。このようにして、マスクＭＡに衝突するビームＰＢは、その断面において所望の均一性及び強度分布を有する。
【０１７０】
[00186]  図１６に関しては、光源ＬＡは（光源ＬＡが例えば水銀灯であるときにしばしばそうであるように）リソグラフィ投影装置のハウジング内にすることができるが、リソグラフィ投影装置から離すこともでき、その装置が発生する放射ビームは（例えば、適切な誘導ミラーを用いて）装置内に誘導され、後者のシナリオは光源ＬＡがエキシマレーザ（例えば、ＫｒＦ、ＡｒＦ、又はＦ2レイジングに基づく）であるときにしばしばそうなることに留意されたい。本発明はこれらのシナリオの少なくとも両者を包含する。
【０１７１】
[00187]  ビームＰＢは、その後、マスクテーブルＭＴ上に保持されたマスクＭＡをインターセプトする。マスクＭＡを横断した後、ビームＰＢはレンズＰＬを通過し、そのレンズが基板Ｗのターゲット部分ＣにビームＰＢを焦点に集める。第２の位置決め手段（及び干渉測定手段ＩＦ）を用いて、例えば、異なるターゲット部分ＣをビームＰＢの経路内に位置決めするように、基板テーブルＷＴを正確に移動させることができる。同様に、第１の位置決め手段を使用して、例えば、マスクライブラリからマスクＭＡを機械的に取り出した後又はスキャン中に、ビームＰＢの経路に対してマスクＭＡを正確に位置決めすることができる。一般に、オブジェクトテーブルＭＴ、ＷＴの移動は、ロングストロークモジュール（粗動位置決め）及びショートストロークモジュール（微動位置決め）を用いて認識されるが、どちらも図１６には明確に描写されていない。しかし、（ステップアンドスキャンツールとは対照的に）ウェーハステッパの場合、マスクテーブルＭＴは、単にショートストロークアクチュエータに接続される場合もあれば、固定される場合もある。
【０１７２】
[00188]  描写したツールは以下の２通りのモードで使用することができる。ステップモードでは、マスクテーブルＭＴは本質的に静止状態に保持され、マスクイメージ全体が一度に（すなわち、単一「フラッシュ」で）ターゲット部分Ｃに投影される。次に、異なるターゲット部分ＣをビームＰＢで照射できるように、基板テーブルＷＴがｘ方向及び／又はｙ方向にシフトする。スキャンモードでは、所与のターゲット部分Ｃが単一「フラッシュ」で露光されないことを除いて、本質的に同じシナリオが適用される。その代わりに、マスクテーブルＭＴは速度ｖで所与の方向（いわゆる「スキャン方向」、例えば、ｙ方向）に移動可能であり、従って、投影ビームＰＢはマスクイメージの上をスキャンするようになり、同時に、基板テーブルＷＴは速度Ｖ＝Ｍｖで同じ方向又は反対方向に同時に移動し、ＭはレンズＰＬの倍率である（典型的に、Ｍ＝１／４又は１／５）。このように、解像度について妥協する必要なしに、相対的に大きいターゲット部分Ｃを露光することができる。
【０１７３】
[00189]  本明細書に開示されている概念は、サブ波長フィーチャ（sub wavelength feature）を結像するための汎用結像システムをシミュレート又は数学的にモデリングすることができ、ますますサイズが小さくなる波長を発生可能な新結像技術により特に有用である可能性がある。すでに使用されている新技術は、ＡｒＦレーザ使用の場合には１９３ｎｍの波長、フッ素レーザ使用の場合には１５７ｎｍの波長を発生可能なＥＵＶ（極端紫外線）リソグラフィを含む。その上、ＥＵＶリソグラフィは、シンクロトロンを使用するか、又はこの範囲内の光子を発生するために高エネルギー電子で材料（固体又はプラズマ）を打つことにより、２０〜５ｎｍの範囲内の波長を発生することができる。大半の材料はこの範囲内では吸収性であるので、モリブデンとシリコンのマルチスタックを有する反射ミラーによって照明を発生することができる。このマルチスタックミラーは、４０レイヤ対のモリブデンとシリコンを有し、各レイヤの厚さは４分の１波長である。さらに小さい波長はＸ線リソグラフィで発生することができる。典型的に、Ｘ線波長を発生するためにシンクロトロンが使用される。大半の材料はＸ線波長で吸収性であるので、吸収材料の薄片によって、フィーチャをプリントする場所（ポジティブレジスト）又はフィーチャをプリントしない場所（ネガティブレジスト）が画定される。
【０１７４】
[00190]  本明細書に開示されている概念はシリコンウェーハなどの基板上に結像するために使用することができるが、開示されている概念は、任意のタイプのリソグラフィ結像システム、例えば、シリコンウェーハ以外の基板上に結像するために使用されるものでも使用できることを理解されたい。
【０１７５】
[00191]  添付の付録は、本発明の一部を形成し、その全体を本明細書に参照により組み込むものとする。
【０１７６】
[00192]  その好ましい諸実施形態に関連して本発明について詳細に説明してきたが、本発明の精神及び範囲を逸脱せずに形式及び細部の点で変更及び修正を行えることは当業者にとって容易に明らかになるはずである。特許請求の範囲はこのような変更及び修正を包含するものである。
【０１７７】
本発明の諸態様について以下の項で説明する。
１．ターゲットパターンに関するリソグラフィプロセスウィンドウを最大限にするための方法であって、
ターゲットパターン内の複数の評価点のそれぞれについてプロセスウィンドウにわたってレジスト像値を近似するプロセス条件パラメータの解析関数を計算すること、
プロセスウィンドウが最大限になるように解析関数に基づいて各評価点に関する公称条件でレジスト像値の目標値を決定すること、
光近接効果補正反復において各評価点に関する最適化ターゲットとしてその目標値を使用すること
を含む方法。
２．プロセスウィンドウがある範囲の特定のプロセスパラメータを含み、その範囲内でレジストクリティカルディメンション、従って、レジスト像値が定義済み範囲内に含まれる、１項記載の方法。
３．特定のプロセスパラメータが焦点及び露光のうちの１つ又は複数を含む、２項記載の方法。
４．焦点及び露光変動の確率分布がガウス分布である、３項記載の方法。
５．公称条件におけるターゲットレジスト像値が、二分法を含む数値法を使用して決定される、３項記載の方法。
６．最良焦点のために分析ターゲットレジスト像値が与えられる、３項記載の方法。
７．解析関数が多項式関数を含む、１項記載の方法。
８．レジスト像輪郭に関するＴ＋Ｖεという関連しきい値を有する焦点及び露光の多項式関数、すなわち、Ｒ（ε，ｆ）＝Ｐ0＋ｆ2・Ｐbとして解析関数の近似値が求められ、式中、Ｐ0が最良焦点におけるレジスト像強度を表し、ｆが最良焦点に対するデフォーカス値を表し、εが露光変化を表し、Ｖが露光変化のスケーリングを表し、Ｐbが２次派生像を表す、１項記載の方法。
９．各評価点に関する目標値が複数の光近接効果補正反復のそれぞれで再計算される、１項記載の方法。
１０．プロセスウィンドウが露光−結像劣化空間内の許容範囲であり、それに関するクリティカルディメンション変動が公称線幅付近の定義済み範囲内である、１項記載の方法。
１１．プロセスウィンドウがパラメータ許容範囲であり、それに関するクリティカルディメンション変動が公称線幅付近の定義済み範囲内であり、パラメータがレジストレイヤのデフォーカス、露光ドーズ、開口数、シグマ、収差、偏光、及び光学定数からなるグループから選択される、１項記載の方法。
１２．ターゲットパターンに関するリソグラフィプロセスウィンドウを最大限にするための方法であって、
ターゲットパターン内の複数の評価点に関する固定しきい値付近でレジスト像値の許容変動を決定すること、
レジスト像値がその許容変動内に保持されるという条件に従ってプロセスパラメータ変動範囲が最大になるように、公称プロセスウィンドウ条件に関する各評価点についてレジスト像値の許容変動内の最適目標値を計算すること、
各評価点における近似レジスト像値が最適目標値に収束するまで光近接効果補正プロセスにおいて反復式にエッジ移動プロセスを実行すること
を含む方法。
１３．プロセスウィンドウを最大限にするために、各反復で各評価点についてターゲットレベルが動的に設定される、１２項記載の方法。
１４．プロセスウィンドウがある範囲の特定のリソグラフィプロセスパラメータを含む、１２項記載の方法。
１５．特定のリソグラフィプロセスパラメータが焦点及び露光のうちの１つ又は複数を含む、１４項記載の方法。
１６．ターゲットパターン内の複数の評価点のそれぞれについてプロセスウィンドウにわたってレジスト像値を近似する解析関数を計算すること
をさらに含む、１２項記載の方法。
１７．解析関数が多項式関数を含む、１６項記載の方法。
１８．ターゲットパターンに関するリソグラフィプロセスに関連するプロセスウィンドウを最大限にするための方法であって、
プロセスウィンドウを最大限にするために解析関数に基づいてターゲットパターン内の複数の評価点のそれぞれについてレジスト像値の最適ターゲットグレーレベルを決定すること、
光近接効果補正反復において各評価点についてレジスト像値の最適化ターゲットとしてターゲットグレーレベル値を使用すること、
結果のレジスト像値がターゲットグレーレベルと等しくなるように、光近接効果補正反復の最良エッジ移動量を決定すること
を含む方法。
１９．ターゲットパターンに関するリソグラフィプロセスウィンドウをコンピュータに最大限にさせるためのコンピュータで実行可能な命令を有する１つ又は複数のコンピュータ可読記憶媒体を含むコンピュータプログラムプロダクトであって、その命令が、
ターゲットパターン内の複数の評価点のそれぞれについてプロセスウィンドウにわたってレジスト像値を近似するプロセスパラメータの解析関数を計算すること、
プロセスウィンドウが最大限になるように解析関数に基づいて各評価点に関する公称プロセス条件でレジスト像値の目標値を決定すること、
光近接効果補正反復において各評価点に関する最適化ターゲットとしてその目標値を使用すること
を含む方法をコンピュータに実行させる、コンピュータプログラムプロダクト。
２０．ターゲットパターン内の複数の評価点のそれぞれについてプロセスウィンドウにわたってレジスト像値を近似するプロセスパラメータの解析関数を計算すること、
プロセスウィンドウが最大限になるように解析関数に基づいて各評価点に関する公称プロセス条件でレジスト像値の目標値を決定すること、
光近接効果補正反復において各評価点に関する最適化ターゲットとしてその目標値を使用すること、
リソグラフィ装置を使用して１回又は複数回の光近接効果補正反復の後、ターゲットパターンを結像すること
を含む製造方法により製造されたデバイス。
２１．ターゲットパターンに関するリソグラフィプロセスに関連するプロセスウィンドウを最大限にするための方法であって、
所与の公称条件についてプロセスウィンドウを最大限にするために解析関数に基づいてターゲットパターン内の複数の評価点のそれぞれについて公称プロセス条件でレジスト像値の最適ターゲットグレーレベルを決定すること、
各評価点における近似レジスト像値が公称プロセス条件で最適ターゲットレベル値に収束するまで光近接効果補正プロセスにおいて反復式にエッジ移動プロセスを実行すること、
プロセスウィンドウを最大限にするために光近接効果補正による結果のレジスト像に関する最適公称条件を決定すること、
代替的に、最適ターゲットパターンに収束するまで、最適ターゲットグレーレベルの決定、光近接効果補正、及び最適公称条件の決定を再実行すること
を含む方法。
【０１７８】
関連出願の相互参照
[0001]  本出願は、その内容全体を本明細書に参照により組み込むものとする２００７年１２月５日出願の米国特許出願第６０／９９２，５４６号の一部継続出願である。
【０１７９】
付録Ａ
補助定理１．
【数１４１】
2010152356.tif 000143
になるようなすべての可能な（ｆ，ε）にわたってｆ（Ｐ0）及び
【数１４２】
2010152356.tif 000144
がＱ（ｆ，ε，Ｐ0，Ｋ）を最小にする場合、すなわち、Ｐa＞０、Ｐb＞０、及びＰ0≧Ｋについて
【数１４３】
2010152356.tif 000145
になる場合、
【数１４４】
2010152356.tif 000146
及び
【数１４５】
2010152356.tif 000147
である。
さらに、Ｐ0が減少するにつれて、最小Ｑ（Ｐ0，Ｋ）も減少する。
証明：  １）まず、
【数１４６】
2010152356.tif 000148
及び
【数１４７】
2010152356.tif 000149
になるような任意の（ｆ1，ε1）について、
【数１４８】
2010152356.tif 000150
【数１４９】
2010152356.tif 000151
及び
【数１５０】
2010152356.tif 000152
になるような対（ｆ2，ε2）が存在することを示す。それ故、ｆ（Ｐ0）は
【数１５１】
2010152356.tif 000153
より大きくなければならない（そうではない場合、Ｑ（ｆ，ε，Ｐ0，Ｋ）を最小にすることができない。これを示すために、
【数１５２】
2010152356.tif 000154
とする。さらに、
【数１５３】
2010152356.tif 000155
であり、
【数１５４】
2010152356.tif 000156
である。
従って、
【数１５５】
2010152356.tif 000157
になる。
２）第２に、ｆ1＞０及び
【数１５６】
2010152356.tif 000158
になるような任意の（ｆ1，ε1）について、
【数１５７】
2010152356.tif 000159
であることを示し、式中、ｆ2＝０であり、ε2＝（Ｐ0−Ｋ）／Ｖである。それ故、ｆ（Ｐ0）は０より小さいか又は０に等しくなければならない。これを示すために、ｆ1＞０であるので、
【数１５８】
2010152356.tif 000160
であることに注目する。
Ｐ0≧Ｋであるので最後の不等式になる。
従って、
【数１５９】
2010152356.tif 000161
になる。
３）ここで
【数１６０】
2010152356.tif 000162
であることが示されている。次の部分は、
【数１６１】
2010152356.tif 000163
であることを示すことである。明らかに、
【数１６２】
2010152356.tif 000164
である場合、任意のｆについて、
【数１６３】
2010152356.tif 000165
は必ず非負になり、これで補助定理が証明される。そうではない場合、
【数１６４】
2010152356.tif 000166
である。
【数１６５】
2010152356.tif 000167
とすると、
【数１６６】
2010152356.tif 000168
になるような任意の（ｆ1，ε1）について、
【数１６７】
2010152356.tif 000169
になり、
【数１６８】
2010152356.tif 000170
であることは明らかであり、式中、
【数１６９】
2010152356.tif 000171
である。それ故、ε（Ｐ0）は０より大きくなければならない。
４）最後に、Ｐ0が増加するにつれて、最小Ｑ（Ｐ0，Ｋ）も増加することを示す。
任意のＫ≦Ｐ0’＜Ｐ0について、ｆ1（Ｐ0’）＝ｋｆ（Ｐ0）及びε1（Ｐ0’）＝ｋε（Ｐ0）を定義し、式中、ｋは、
【数１７０】
2010152356.tif 000172
という等式の根であり、０と１の間に入る。前へ進む前に、この等式について［０，１）内の根が存在し、Ｈ（ｋ＝０）＝Ｐ0’−Ｋ≧０及びＨ（ｋ＝１）＝Ｐ0’−Ｐ0＜０という事実によってそれを証明できることを示さなければならない。
ｋの定義により、以下のようになることに留意されたい。
【数１７１】
2010152356.tif 000173
従って、（ｆ1（Ｐ0’），ε1（Ｐ0’））は
【数１７２】
2010152356.tif 000174
という曲線上にある。
その結果、以下のようになる。
【数１７３】
2010152356.tif 000175
０≦ｋ＜１であるので最初の不等式になり、
【数１７４】
2010152356.tif 000176
になるようなすべての可能な（ｆ，ε）について（ｆ（Ｐ0’），ε（Ｐ0’））がオブジェクト関数Ｑ（ｆ，ε，Ｐ0’，Ｋ）を最小にするので最後の不等式になる。それ故、Ｐ0が減少するとＱ（Ｐ0，Ｋ）が減少し、これで証明を終了する。
【０１８０】
付録Ｂ
補助定理２．
【数１７５】
2010152356.tif 000177
になるようなすべての可能な（ｆ，ε）にわたってｆ（Ｐ0）及び
【数１７６】
2010152356.tif 000178
がＱ（ｆ，ε，Ｐ0，Ｋ）を最小にする場合、すなわち、Ｐa＞０、Ｐb＞０、及びＰ0≦Ｋについて
【数１７７】
2010152356.tif 000179
になる場合、
ｆ（Ｐ0）≧０及び
【数１７８】
2010152356.tif 000180
である。
さらに、Ｐ0が増加するにつれて、最小Ｑ（Ｐ0，Ｋ）が減少する。
証明：  １）まず、
【数１７９】
2010152356.tif 000181
が正になり得ないことを示す。これは、
【数１８０】
2010152356.tif 000182
であるので等式
【数１８１】
2010152356.tif 000183
が２つの実根を持つという観察結果によるものである。この２つの根は、正である
【数１８２】
2010152356.tif 000184
と負である
【数１８３】
2010152356.tif 000185
である。ｆ＞ｆ1*又はｆ＜ｆ2*である場合に限り、
【数１８４】
2010152356.tif 000186
になる。ｆ1＞ｆ1*＞０及び
【数１８５】
2010152356.tif 000187
になるような任意の（ｆ1，ε1）について、
【数１８６】
2010152356.tif 000188
であることを示すことは簡単なことである。
同様に、ｆ1＜ｆ2*＜０及び
【数１８７】
2010152356.tif 000189
になるような任意の（ｆ1，ε1）について、
【数１８８】
2010152356.tif 000190
になる。それ故、ε（Ｐ0）は０より小さくなければならず、ｆ2*≦ｆ（Ｐ0）≦ｆ1*になる。
２）次に、
【数１８９】
2010152356.tif 000191
及び
【数１９０】
2010152356.tif 000192
になるような任意の（ｆ1，ε1）について、
【数１９１】
2010152356.tif 000193
【数１９２】
2010152356.tif 000194
及び
【数１９３】
2010152356.tif 000195
になるような対（ｆ2，ε2）が存在することを示す。それ故、ｆ（Ｐ0）は
【数１９４】
2010152356.tif 000196
より大きくなければならない。これを示すために、
【数１９５】
2010152356.tif 000197
とする。さらに、
【数１９６】
2010152356.tif 000198
であり、
【数１９７】
2010152356.tif 000199
である。
従って、
【数１９８】
2010152356.tif 000200
になる。
３）ここで
【数１９９】
2010152356.tif 000201
であることが示されている。残りの部分は、
【数２００】
2010152356.tif 000202
が可能ではないことを示すことである。
【数２０１】
2010152356.tif 000203
になるような任意の（ｆ1，ε1）について、
【数２０２】
2010152356.tif 000204
になる。次に、ｆ2＝０及びε2＝（Ｐ0−Ｋ）／Ｖとすると、
【数２０３】
2010152356.tif 000205
であるので、以下のようになることに注目する。
【数２０４】
2010152356.tif 000206
Ｐ0≦Ｋであるので最後の不等式になる。それ故、
【数２０５】
2010152356.tif 000207
になり、これはｆ（Ｐ0）が０より大きくなければならないことを意味する。
４）最後に、Ｐ0が増加するにつれて、最小Ｑ（Ｐ0，Ｋ）が減少することを示す。任意のＰ0＜Ｐ0’≦Ｋについて、ｆ1（Ｐ0’）＝ｋｆ（Ｐ0）及びε1（Ｐ0’）＝ｋε（Ｐ0）を定義し、式中、ｋは、
【数２０６】
2010152356.tif 000208
という等式の根であり、０と１の間に入る。前へ進む前に、この等式について［０，１）内の根が存在し、Ｈ（ｋ＝０）＝Ｐ0’−Ｋ≦０及びＨ（ｋ＝１）＝Ｐ0’−Ｐ0＞０という事実によってそれを証明できることを示さなければならない。
ｋの定義により、以下のようになることに留意されたい。
【数２０７】
2010152356.tif 000209
従って、（ｆ1（Ｐ0’），ε1（Ｐ0’））は
【数２０８】
2010152356.tif 000210
という曲線上にある。
その結果、以下のようになる。
【数２０９】
2010152356.tif 000211
０≦ｋ＜１であるので最初の不等式になり、
【数２１０】
2010152356.tif 000212
になるようなすべての可能な（ｆ，ε）について（ｆ（Ｐ0’），ε（Ｐ0’））がオブジェクト関数Ｑ（ｆ，ε，Ｐ0’，Ｋ）を最小にするので最後の不等式になる。それ故、Ｐ0が増加するとＱ（Ｐ0，Ｋ）が減少し、これで証明を終了する。
【図１】
2010152356.tif 000213
【図２】
2010152356.tif 000214
【図３】
2010152356.tif 000215
【図４】
2010152356.tif 000216
【図５】
2010152356.tif 000217
【図６】
2010152356.tif 000218
【図７】
2010152356.tif 000219
【図８】
2010152356.tif 000220
【図９】
2010152356.tif 000221
【図１０】
2010152356.tif 000222
【図１１】
2010152356.tif 000223
【図１２】
2010152356.tif 000224
【図１３】
2010152356.tif 000225
【図１４】
2010152356.tif 000226
【図１５】
2010152356.tif 000227
【図１６】
2010152356.tif 000228
【外国語明細書】
2010152356000001.pdf