(57)【要約】【課題】フョードロフの空間充填立体を実現することができる、従来にない立体パズルを実現すること。【解決手段】本発明によると、平行六面体、斜六角柱、菱形十二面体、切頂八面体又は長菱形十二面体の内部を充填する複数の第１の凸多面体及び前記第１の凸多面体と鏡映関係にある複数の第２の凸多面体を有する立体パズルであって、前記第１の凸多面体及び前記第２の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な多面体に分割することができないことを特徴とする立体パズルが提供される。【選択図】図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
内部を充填する複数の第１の凸多面体及び前記第１の凸多面体と鏡映関係にある複数の第２の凸多面体を有する立体パズルであって、
前記第１の凸多面体及び前記第２の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な多面体に分割することができないことを特徴とする立体パズル。
【請求項２】
内部を充填する複数の第１の凸多面体及び前記第１の凸多面体と鏡映関係にある複数の第２の凸多面体からなる正四面体を有する立体パズルであって、
前記第１の凸多面体及び前記第２の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な多面体に分割することができないことを特徴とする立体パズル。
【請求項３】
複数の前記第１の凸多面体及び複数の前記第２の凸多面体を用いて平行六面体、斜六角柱、菱形十二面体、切頂八面体又は長菱形十二面体を形成することを特徴とする請求項１又は２に記載の立体パズル。
【請求項４】
複数の前記第１の凸多面体及び複数の前記第２の凸多面体を用いて形成される前記長菱形十二面体が切頂八面体、平行六面体、斜六角柱及び菱形十二面体を内包することを特徴とする請求項１に記載の立体パズル。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は立体パズルに関する。特に、フョードロフの空間充填立体を実現することができる立体パズルに関する。
【背景技術】
【０００２】
正多面体を何個かの凸多面体に切り分けた正多面体パズルが知られている。この従来の正多面体パズルを構成する凸多面体は、特に規則性や特徴を有するものではなく、そのパズルの難度や複雑性を調整するために適当に切り分けられているのが現状であった。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００３】
本発明は、フョードロフの空間充填立体を実現することができる、従来にない立体パズルを実現することを課題とする。
【課題を解決するための手段】
【０００４】
本発明の一実施形態によると、内部を充填する複数の第１の凸多面体及び前記第１の凸多面体と鏡映関係にある複数の第２の凸多面体を有する立体パズルであって、前記第１の凸多面体及び前記第２の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な多面体に分割することができないことを特徴とする立体パズルが提供される。
【０００５】
また、本発明の一実施形態によると、内部を充填する複数の第１の凸多面体及び前記第１の凸多面体と鏡映関係にある複数の第２の凸多面体からなる正四面体を有する立体パズルであって、前記第１の凸多面体及び前記第２の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な多面体に分割することができないことを特徴とする立体パズルが提供される。
【０００６】
前記立体パズルは複数の前記第１の凸多面体及び複数の前記第２の凸多面体を用いて平行六面体、斜六角柱、菱形十二面体、切頂八面体又は長菱形十二面体を形成してもよい。
【０００７】
前記立体パズルは、複数の前記第１の凸多面体及び複数の前記第２の凸多面体を用いて形成される前記長菱形十二面体が切頂八面体、平行六面体、斜六角柱、菱形十二面体を内包してもよい。
【発明の効果】
【０００８】
本発明によると、フョードロフの空間充填立体を実現することができる、従来にない立体パズルが提供される。
【発明を実施するための最良の形態】
【０００９】
（実施形態１）
凸多面体において、２つの凸多面体ＰとＱとが同一であるか、またはどちらか一方の凸多面体がもう一方の凸多面体と鏡映の関係にあるとき、凸多面体ＰとＱとは合同であるとする。
【００１０】
非合同である凸多面体Ｐｉが１≦ｉ≦ｎのとき、Π＝｛Ｐ１，Ｐ２，・・・・，Ｐｎ｝とする。Ｐｉに含まれる少なくとも１つの要素Ｐが、凸多面体σの合同な凸多面体が面と面とを接することにより形成されるならば、凸多面体σは、Πのアトムと呼ぶことにする。
【００１１】
また、平行多面体とは、面と面とを接する平行移動体により三次元空間を充填する凸多面体である。ミンコクスキー（Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ）は、一般的なｄ次元の平行多面体について、以下の結論を得ている。
【００１２】
（ミンコクスキーの定理Ａ）
Ｐがｄ次元の平行多面体であるならば、
１）  Ｐは、中心に対して対称である
２）  Ｐの全ての面は、中心に対して対称である
３）  相補的な２つの面上の（ｄ−２）面の何れかに沿ったＰの投影は、平行四辺形か、中心に対して対称な六角形の何れかである。
【００１３】
（ミンコクスキーの定理Ｂ）
ｄ次元の平行多面体Ｐの面の数ｆｄ−１（Ｐ）は、２（２ｄ−１）より大きくなく、ｆｄ−１＝２（２ｄ−１）である平行多面体Ｐが存在する。
【００１４】
ドルビリン（Ｄｏｌｂｉｌｉｎ）は、ミンコフスキーの定理を面と面とを接しない空間充填に拡張した。アレキサンドロフやグルーバーにより論じられた多数の平行多面体の研究もある。
【００１５】
１８９０年にロシアの結晶学者であるエフグラフ  フョードロフは、まさに５つの平行多面体、即ち、図２（ａ）から（ｅ）に示す平行六面体（立方体）、菱形十二面体、斜六角柱（平行六角柱）、長菱形十二面体、切頂八面体、を確立した。これらの平行多面体は、「フョードロフの多面体」又は「フョードロフの空間充填立体」ともいう。図３（ａ）から（ｅ）は、それぞれの平行多面体の空間充填特性を示した図である。
【００１６】
これらの空間充填立体に共通する性質は、どれも１種類の立体で空間を隙き間なく充填する立体であるばかりでなく、それぞれの立体で空間を充填したとき、どの２個の立体も平行移動だけで重ねられるという著しい性質を有することである。
【００１７】
立方体、斜六角柱、菱形十二面体、長菱形十二面体及び切頂八面体の一群をΠ１とする。本発明者らはΠ１に含まれる全ての空間充填立体を最小数のアトムで充填できるようにするには、どのようなアトムを採用すればよいかということについて鋭意検討を重ねた。その結果、全ての空間充填立体をも充填する最小数のアトムの形状を見出した。以下、本発明者らが全ての空間充填をも充填する最小数のアトムの形状を見出した経緯について説明する。また、本実施形態においては、この５種類のフョードロフの空間充填立体を構成する凸多面体を有する立体パズルについて説明する。
【００１８】
（立方体と菱形十二面体）
図４（ａ）に示す立方体２００に対し、６枚の断面をすべて立方体の中心と２本の対辺を通過するようにして、図４（ｂ）に示すように６個の合同な四角錐２０１に切り分ける。すると、この四角錐２０１は、図５（ａ）に示すように、底面が正方形で、４個の側面が合同な二等辺三角形となる。
【００１９】
四角錐２０１において、底面の正方形の２本の対角線を通るようにして、四角錐２０１の頂点から、２枚の垂直面で切り分けると、図５（ｂ）のように、４個の合同な三角錐２０３が得られる。この合同な三角錐２０３を図５（ｃ）に再掲すると、３つの面が１つの頂点で直交しているので、三角錐２０３を直角四面体２０３と呼ぶことにする。以上のことから、立方体２００をうまく切り分けると、２４個の合同な直角四面体２０３に分かれることを示しているので、逆の操作をすると、２４個の合同な直角四面体２０３から立方体２００が構成できる。
【００２０】
また、図６（ａ）及び図６（ｂ）に示すように、立方体２００の６個の面に四角錐２０１をそれぞれ１個ずつ載せると、菱形十二面体３００となる。このことは、４８個の合同な直角四面体２０３から菱形十二面体３００も構成できることを示す。こうして、直角四面体２０３は立方体２００と菱形十二面体３００との共通な構成要素となる。
【００２１】
（斜六角柱）
図５（Ｃ）に示したように、直角四面体２０３の底面は直角二等辺三角形である。この直角二等辺三角形の底面で、２つの直角四面体２０３を接合すると、図７（ａ）に示すように、別の四面体１００が形成される。この四面体をＳｐｈｅｎｏｉｄ（スフィーノイド）１００と呼ぶことにする。図７（ａ）において、一点鎖線は２個の三角錐の接合面を表す。
【００２２】
スフィーノイド１００は自己拡大型と呼ばれる著しい性質を有することが知られている。それは、このスフィーノイド１００を８個組み合わせると、各辺の長さがちょうど２倍の相似な三角錐に拡大できるという性質であり、これから空間充填立体になることが簡単に求められる。
【００２３】
しかも、スフィーノイド１００を３個組み合わせと、図７（ｂ）に示す垂直な断面が正三角形となる三角柱（プリズム）４０１も構成できる。そこで、三角柱４０１と鏡映対称な三角柱４０３を３個ずつ上下の面が平行六角形になるように調整しながら組み合わせると、図７（ｃ）に示すフョードロフの斜六角柱４００になる。したがって、斜六角柱４００は１８個のスフィーノイド１００により形成される。
【００２４】
（長菱形十二面体）
次に、図８（ａ）に長菱形十二面体５００を示す。この長菱形十二面体５００は、２つの部位から形成されている。１つは、菱形十二面体３００で、もう１つは菱形十二面体から得られる窪んだ多面体５０１である。２つ目の窪んだ多面体５０１を得るために、菱形十二面体３００の４つの頂点を考える。図８に示すこの頂点を含む辺に沿って、長菱形十二面体５００を切り、その頂点で長菱形十二面体５００を開く。得られる多面体５０１は、ヘルメットのような形状をしている。先に述べたように、菱形十二面体３００は４８個の直角四面体２０３から成る。したがって、長菱形十二面体５００は、９６個の直角四面体２０３を用いて形成することが出来る。
【００２５】
（切頂八面体）
スフィーノイド１００にはもう１つの重要な特徴がある。図９（ａ）のように、スフィーノイド１００を６本の辺の中点を通るようにして、各辺を垂直に切り分けると、図９（ｂ）に示すように、４個の合同な六面体１０５に分かれる。この六面体１０５をｃ−スクアドロン（ｃ−ｓｑｕａｄｒｏｎ）と呼ぶことにする。
【００２６】
この４個のｃ−スクアドロン１０５を適切に組み替えると、図１０（ａ）に示す九面体（ダイヤモンド）６０１を形成することができる。そして、表面に正方形と正六面体とが現れるよう調整しながら、６個の九面体６０１を互いに抱き合わせる（接合させる）と、図１０（ｂ）に示すように切頂八面体６００となる。つまり、ｃ−スクアドロン１０５は切頂八面体６００の構成要素となり、切頂八面体６００は、２４個のｃ−スクアドロン１０５を用いて形成することが出来る。
【００２７】
以上の考察により、立方体（平行六面体）２００は直角四面体２０３を２４個、菱形十二面体３００は直角四面体２０３を４８個、斜六角柱４００はスフィーノイド１００を１８個、長菱形十二面体５００は直角四面体２０３を９６個、切頂八面体はｃ−スクアドロン１０５を２４個用いて、それぞれ構成されることが分かる。
【００２８】
次に、直角四面体２０３とスフィーノイド１００とｃ−スクアドロン１０５とにおいて、共通する構成要素が存在するか検討する。
【００２９】
ここで、図９（ｂ）に示した４つのｃ−スクアドロン１０５のうち一つを図１１（ａ）に再掲する。ｃ−スクアドロン１０５が左右対称な立体であることに着目して、図１１（ｂ）のように、これを合同な２個の五面体１０１及び１０３に切り分ける。すると、図１１（ｃ）に示すように、この新たな五面体１０１及び１０３を２個ずつ用いることで、図５（ｃ）にしめした直角四面体２０３を形成することが出来る。
【００３０】
また、図１に示すように、この五面体８個（１０１を４個と１０３を４個）でスフィーノイド１００を形成することができる。つまり、五面体１０１及び１０３はフョードロフの５種類の空間充填立体の共通の構成要素になっていることがわかる。
【００３１】
そして、この五面体１０１及び１０３はいくつかの合同な立体にこれ以上切り分けることはできない。五面体１０１及び１０３こそがフョードロフの５種類の空間充填立体のアトムであり、五面体１０１をσ、その鏡映体１０３をσ’と定義する。図１２には、このアトムσ１０１及びアトムσ’１０３の展開図を寸法入りで示す。アトムσは、図１２に示すように、辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ、ＣＦ、ＦＣ、ＣＡ、ＡＤ、ＤＡ、ＡＢ、ＢＥ、ＥＢ、ＤＥ、ＥＦ及びＦＤを有する五面体（凸多面体）であり、アトムσ’はＡ’Ｂ’、Ｂ’Ｃ’、Ｃ’Ａ’、Ｃ’Ｆ’、Ｆ’Ｃ’、Ｃ’Ａ’、Ａ’Ｄ’、Ｄ’Ａ’、Ａ’Ｂ’、Ｂ’Ｅ’、Ｅ’Ｂ’、Ｄ’Ｅ’、Ｅ’Ｆ’及びＦ’Ｄ’を有する五面体（凸多面体）である。アトムσは、以下の式（１）を満たす。なお、アトムσの鏡映体であるアトムσ’の式は省略する。
【００３２】
【数１】
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【００３３】
以上の検討により、アトムσ１０１及びσ’１０３を用いると、立方体（平行六面体）２００は９６個のアトムσ（σ１０１が４８個及びσ’１０３が４８個）、菱形十二面体３００は１９２個のアトムσ（σ１０１が９６個及びσ’１０３が９６個）、切頂八面体６００は４８個のアトムσ（σ１０１が２４個及びσ’１０３が２４個）、斜六角柱４００は１４４個のアトムσ（σ１０１が７２個及びσ’１０３が７２個）、長菱形十二面体５００は３８４個のアトムσ（σ１０１が１９２個及びσ’１０３が１９２個）で構成されることがわかる。
【００３４】
また、９６個のアトムσ１０１及びσ’１０３で立方体を形成したが、わずか２４個のアトムσ（アトムσ１０１及びσ’１０３をそれぞれ１２個）でも立方体が形成できる。
【００３５】
以上のことから、フョードロフ空間充填立体を構成する最小の数のアトムは、σの１種類（及びその鏡映体σ’）であることが見出された。
【００３６】
ここで、フョードロフ空間充填立体を構成する最小の数のアトムについて、以下の（１）〜（４）の定義のもとで、定理１として表現できることがわかった。
（１）多面体ＰとＱとが「合同」であるとは、ＰとＱとが全く同じ形であるか、または鏡映関係にあることである。
（２）多面体が「非分割的（ｉｎｄｅｃｏｍｐｏｓａｂｌｅ）」であるとは、Ｐを２個以上の合同な多面体に分割できないことである。
（３）多面体Ｐ１、Ｐ２、・・・、Ｐｎの集合をΠとする。
ｉ．ｅ，  Π＝｛Ｐ１、Ｐ２、・・・、Ｐｎ｝
非分割的多面体ｅ１、ｅ２、・・・、ｅｍの集合をＥとする。
ｉ．ｅ，  Ｅ＝｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅｍ｝、∀ｅ１は非分割的、ｅｉとｅｊとは非合同（ｉ≠ｊ）
このとき、ＥがΠの元素（アトム）集合Ｅ（Π）であるとは、以下の式（２）を満たすことである。
【数２】
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すなわち、Πに属する如何なる多面体Ｐｉも、Ｅに属する非分割的多面体に分割できる。
（４）Πの元素数（アトム数、ａｔｏｍ  ｎｕｍｂｅｒ）ｅ（Π）とは、Πに対する種々の元素集合の中で、位数の最小数をいう。
すなわち、ｅ（Π）＝ｍｉｎ｜Ｅ（Π）｜
【００３７】
（定理１）
Π２＝｛フョードロフ空間充填立体の集合｝とする、
ｅ（Π２）≦１であり、Ｅ（Π２）＝｛σ｝
【００３８】
ここで、全てのフョードロフ空間充填立体をも構成する最小数のアトムσのみを用いた本実施形態に係る本発明の立体パズルの詳細について説明する。本実施形態に係る本発明の立体パズルは、最小数のアトムσを用いてフョードロフ空間充填立体を作り上げるものであり、上記定理１を視覚的に説明することができるという優れた効果を奏する。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、上記定理１を説明する教育用教材としても優れている。
【００３９】
（正四面体の立体パズル）
図１を参照する。図１は、本実施形態に係る本発明の立体パズルであり、スフィーノイドの立体パズルを示している。図１に示すとおり、本実施形態に係る本発明の立体パズル（スフィーノイド）は、上記で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース４個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース４個を用いて構成することができる。
【００４０】
（平行六面体の立体パズル）
本実施形態に係る本発明の平行六面体の立体パズルは、上で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース４８個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース４８個を用いて構成することができる。
【００４１】
（斜六角柱の立体パズル）
本実施形態に係る本発明の斜六角柱の立体パズルは、上で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース７２個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース７２個を用いて構成することができる。
【００４２】
（切頂八面体の立体パズル）
本実施形態に係る本発明の切頂八面体の立体パズルは、上で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース２４個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース２４個を用いて構成することができる。
【００４３】
（菱形十二面体の立体パズル）
本実施形態に係る本発明の菱形十二面体の立体パズルは、上で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース９６個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース９６個を用いて構成することができる。
【００４４】
（長菱形十二面体の立体パズル）
本実施形態に係る本発明の長菱形十二面体の立体パズルは、上で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース１９２個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース１９２個を用いて構成することができる。
【００４５】
本実施形態１に係る本発明の立体パズルは、平行六面体、斜六角柱、菱形十二面体、切頂八面体、長菱形十二面体の５種類からなるフョードロフの空間充填立体の形状をした立体パズルを、１つのアトムσ１０１の形状をしたピース及びその鏡映体σ’１０３の形状をしたピースから組み立てることができる。よって、上記定理１を視覚的に説明することができるとともに、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、教育用教材としても優れている。
【００４６】
（実施形態２）
（空間充填立体を内包する長菱形十二面体）
本発明者らは、５種類のフョードロフの空間充填立体がそれぞれ２４の倍数のｃ−スクアドロン、つまりアトムσ１０１及びσ’１０３をそれぞれ２４の倍数個必要とすることを発見した。
【００４７】
定理１の長菱形十二面体５００の証明及び図８から、長菱形十二面体５００が菱形十二面体３００を内包していることは明らかである。また、定理１の立方体２００及び菱形十二面体３００の証明から、菱形十二面体３００が立方体２００を内包することを既に示した。菱形十二面体３００は、四角錐２０１の四角形の底面を立方体２００の各面に接合することにより得られる。したがって、長菱形十二面体５００は菱形十二面体３００を内包し、菱形十二面体３００は立方体２００を内包する。
【００４８】
切頂八面体６００は立方体２００を特別な方法で内包する。図１１（ｂ）に示した合同な五面体であるアトムσ１０１及びσ’１０３を考えると、これらを接合することにより図１３に示す７つの頂点と１１の辺を有する六面体７０１を得る。
【００４９】
この六面体７０１は、３つの三角形（１つの直角二等辺三角形と２つの合同な直角三角形）と２つの２つ四辺形及び１つの五角形からなる面を持つ。この多面体をトリペンクアドロン（ｔｒｉｐｅｎｑｕａｄｏｒｏｎ）と呼ぶことにする。
【００５０】
３つのトリペンクアドロン７０１を用いて、それらの直角三角形の面に沿って、頂点が重なるように接合すると、図１４（ａ）に示す多面体７０３が得られる。この多面体７０３の底面は、図１４（ｂ）に示すように正六面体である。
【００５１】
この多面体７０３を８個用いて、直角二等辺三角形の面に沿って、それらを接合すると、図１５（ａ）に示す、６つの面それぞれの中心に穴が開いた立方体７０５を得る。この穴が開いた立方体７０５の内部を調べるために、向かい合う上下２つの面の対角線を通るように、これらの面を垂直に切り開く。図１５（ｂ）に示すこの対角線での切断面を見ると、この穴が開いた立方体７０５の切断による多面体７０７の内部は断面が正六角形で、この穴が切頂八面体６０３の半分を切り出すことにより得られることが分かる。図１５（ｃ）及び（ｄ）に切頂八面体と穴が開いた立方体とを組み合せて出来る立方体を示す。切頂八面体６００が立方体７００に特別な方法で内包されていることが分かる。
【００５２】
既に、斜六角柱が独特な方法で長菱形十二面体に内包されていることを示した。
長菱形十二面体５００が、菱形十二面体３００とヘルメット型の窪んだ多面体５０１とからなることを再び考える。
【００５３】
まず、図１６（ａ）に示すように、菱形十二面体３００を２つの合同な多面体３０１に切り分け、その１つについてのみ考える。次に１６（ｂ）に示すヘルメット型の窪んだ多面体５０１を図１６（ｃ）に示すように切り離す。図１６（ｃ）の右側の多面体５０３は、Ｖ字型で、２つの斜三角柱５０５及び５０７からなり，その１つ５０７はもう一方５０５の鏡映体である。それぞれの斜三角柱は３つのスフィーノイド（図９（ａ））を接合して形成される。
【００５４】
このＶ字型の多面体５０３を菱形十二面体の下半分３０１に接合すると、図１６（ｄ）及び（ｅ）に示すように斜六角柱８００を得る。これにより、長菱形十二面体５００の中の斜六角柱４２０の特別な内包が示される。
【００５５】
本実施形態２に係る本発明の立体パズルは、立方体、斜六角柱、菱形十二面体、切頂八面体、長菱形十二面体の５種類からなるフョードロフの空間充填立体の形状をした立体パズルを、１つのアトムσ１０１の形状をしたピース及びその鏡映体σ’１０３の形状をしたピースから組み立てることができる。また、長菱形十二面体が立方体、斜六角柱、菱形十二面体、切頂八面体を内包することを視覚的に説明することができるとともに、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、教育用教材としても優れている。
【００５６】
（切頂八面体の立体パズル）
図１７は、本実施形態に係る本発明の切頂八面体の立体パズルを半分にしたパズル６５１の配置を示す。（ａ）は側面図を、（ｂ）は側面図を、（ｃ）は上面図を、（ｄ）は底面図をそれぞれ示す。また、図１８は、切頂八面体の立体パズル６５０の配置を示す。（ａ）は側面図を、（ｂ）は側面図を、（ｃ）は底面図をそれぞれ示す。上記で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース２４個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース２４個を用いて構成することができる。
【００５７】
（立方体の立体パズル）
図１９は、本実施形態に係る本発明の立方体の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は切頂八面体の立体パズルを半分にしたパズル６５１の底面図を示し、（ｂ）は穴が開いた立方体の切断によるパズル７５１を示し、（ｃ）は穴が開いた立方体の切断によるパズル７５１に切頂八面体の立体パズルを半分にしたパズル６５１を接合した立方体の半分のパズル７５３を示し、（ｄ）は立方体の立体パズル７５０を示す。上記で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース４８個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース４８個を用いて構成することができる。
【００５８】
（菱形十二面体の立体パズル）
図２０は本実施形態に係る本発明の菱形十二面体の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は立方体の半分のパズル７５３を示し、（ｂ）は菱形十二面体を半分に切断したパズル３５１から立方体の半分を除いたパズル３５３を示し、（ｃ）は菱形十二面体を半分に切断したパズル３５１を示し、（ｄ）は菱形十二面体のパズル３５０の側面図を示し、（ｅ）は菱形十二面体のパズル３５０の上面図を示す。上記で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース９６個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース９６個を用いて構成することができる。
【００５９】
（斜六角柱の立体パズル）
図２１は本実施形態に係る本発明の斜六角柱の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は窪んだ多面体のパズル５５１から切り離したパズル５５３の側面図を示し、（ｂ）はその前面図を示し、（ｃ）はその背面図を示し、（ｄ）は窪んだ多面体のパズル５５１から切り離したパズル５５３と菱形十二面体３５０を半分に切断したパズル３５１から斜六角柱のパズル４５０を形成する模式図を示し、（ｅ）は斜六角柱のパズル４５０の上面図を示し、（ｆ）は斜六角柱のパズル４５０の側面図を示す。上記で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース７２個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース７２個を用いて構成することができる。
【００６０】
（長菱形十二面体の立体パズル）
図２２は、本実施形態に係る本発明の長菱形十二面体の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は窪んだ多面体のパズル５５１の側面図を示し、（ｂ）は窪んだ多面体のパズル５５１の前面図を示し、（ｃ）は窪んだ多面体のパズル５５１の背面図を示し、（ｄ）は窪んだ多面体のパズル５５１と菱形十二面体のパズル３５０とから長菱形十二面体のパズル５５０を形成する模式図を示し、（ｅ）は長菱形十二面体のパズル５５０の上面図を示し、（ｆ）は長菱形十二面体のパズル５５０の側面図を示す。上記で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース１９２個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース１９２個を用いて構成することができる。
【００６１】
本実施形態２に係る本発明の立体パズルは、立方体、斜六角柱、菱形十二面体、切頂八面体、長菱形十二面体の５種類からなるフョードロフの空間充填立体の形状をした立体パズルを、１つのアトムσ１０１の形状をしたピース及びその鏡映体σ’１０３の形状をしたピースから組み立てることができる。また、長菱形十二面体が立方体、斜六角柱、菱形十二面体、切頂八面体を内包することを視覚的に説明することができるとともに、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、教育用教材としても優れている。
【図面の簡単な説明】
【００６２】
【図１】本発明の一実施形態に係る正四面体の立体パズルを示す図である。
【図２】（ａ）から（ｅ）は５種類のフョードロフの空間充填立体を示し、（ａ）は平行六面体を示し、（ｂ）は菱形十二面体を示し、（ｃ）は斜六角柱を示し、（ｄ）は長菱形十二面体を示し、（ｅ）は切頂八面体を示す図であり、本発明の一実施形態に係る立体パズルの図である。
【図３】（ａ）から（ｅ）は、５種類のフョードロフの空間充填立体の平行移動による積み重ねにより空間が充填される様子を示す模式図である。（ａ）は平行六面体、（ｂ）は菱形十二面体、（ｃ）は斜六角柱、（ｄ）は長菱形十二面体、（ｅ）は切頂八面体による空間充填の様子をそれぞれ示す図である。
【図４】（ａ）は、立方体２００を示す図であり、（ｂ）は、６個の合同な四角錐２０１に切り分けた図である。
【図５】（ａ）は、四角錐２０１の１つを示す図であり、（ｂ）は、四角錐２０１を２枚の垂直面で直角四面体２０３に切り分けた図であり、（ｃ）は１つの直角四面体２０３を示す図である。
【図６】（ａ）は立方体２００の各面に四角錐２０１を接合する模式図を示し、（ｂ）は菱形十二面体３００を示す図である。
【図７】（ａ）は２つの直角四面体２０３を直角二等辺三角形の底面で接合させたスフィーノイド１００の図であり、（ｂ）はスフィーノイド１００を３個組み合わせた三角柱４０１を示す図で、（ｃ）は斜六角柱４００を示す図である。
【図８】（ａ）は菱形十二面体３００を示し、（ｂ）は菱形十二面体３００と窪んだ多面体５０１から長菱形十二面体５００を形成する模式図である。
【図９】（ａ）は、本発明の一実施形態に係るスフィーノイド１００を示す図であり、（ｂ）は、ｃ−スクアドロン１０５に切り分けた図である。
【図１０】（ａ）は、４個のｃ−スクアドロン１０５を九面体６０１に組み替えた図であり、（ｂ）は、６個の九面体６０１により切頂八面体６００を形成する模式図である。
【図１１】（ａ）は本発明の一実施形態に係るｃ−スクアドロン１０５を示す図であり、（ｂ）はｃ−スクアドロン１０５をσ１０１及びσ’１０３に切り分けた模式図であり、（ｃ）はσ１０１及びσ’１０３を２個ずつ用いて直角四面体２０３を形成する模式図である。
【図１２】本発明の一実施形態に係るσ１０１及びσ’１０３の展開図である。
【図１３】本発明の一実施形態に係るσ１０１及びσ’１０３を用いて六面体７０１を形成した模式図である。
【図１４】（ａ）は六面体７０１を３個用いて多面体７０３を形成した上面図であり、（ｂ）は多面体７０３の底面図である。
【図１５】（ａ）は多面体７０３を用いて穴が開いた立方体７０５を形成する模式図であり、（ｂ）は穴が開いた立方体７０５と切頂八面体の半分６０３との組合せを示す図であり、（ｃ）は穴が開いた立方体７０５と切頂八面体の半分６０３とにより形成された立方体の半分を示す図であり、（ｄ）は形成された立方体７００を示す図である。
【図１６】（ａ）は菱形十二面体の半分３０１を示した図であり、（ｂ）は窪んだ多面体５０１を示す図であり、（ｃ）は窪んだ多面体５０１から切り離した多面体５０３を示す図であり、（ｄ）は多面体５０３と菱形十二面体の半分３０１とから斜六角柱４２０を形成する図であり、（ｅ）は斜六角柱４２０を示す図である。
【図１７】本発明の一実施形態に係る切頂八面体の立体パズルを半分にしたパズル６５１の配置を示す。（ａ）は側面図を、（ｂ）は側面図を、（ｃ）は上面図を、（ｄ）は底面図をそれぞれ示す。
【図１８】本発明の一実施形態に係る切頂八面体の立体パズル６５０の配置を示す。（ａ）は側面図を、（ｂ）は側面図を、（ｃ）は底面図をそれぞれ示す。
【図１９】本実施形態に係る本発明の立方体の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は切頂八面体の立体パズルを半分にしたパズル６５１の底面図を示し、（ｂ）は穴が開いた立方体の切断によるパズル７５１を示し、（ｃ）は穴が開いた立方体の切断によるパズル７５１に切頂八面体の立体パズルを半分にしたパズル６５１を接合した立方体の半分のパズル７５３を示し、（ｄ）は立方体の立体パズル７５０を示す。
【図２０】本実施形態に係る本発明の菱形十二面体の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は立方体の半分のパズル７５３を示し、（ｂ）は菱形十二面体を半分に切断したパズル３５１から立方体の半分を除いたパズル３５３を示し、（ｃ）は菱形十二面体を半分に切断したパズル３５１を示し、（ｄ）は菱形十二面体のパズル３５０の側面図を示し、（ｅ）は菱形十二面体のパズル３５０の上面図を示す。
【図２１】本実施形態に係る本発明の斜六角柱の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は窪んだ多面体のパズル５５１から切り離したパズル５５３の側面図を示し、（ｂ）はその前面図を示し、（ｃ）はその背面図を示し、（ｄ）は窪んだ多面体のパズル５５１から切り離したパズル５５３と菱形十二面体３５０を半分に切断したパズル３５１から斜六角柱のパズル４５０を形成する模式図を示し、（ｅ）は斜六角柱のパズル４５０の上面図を示し、（ｆ）は斜六角柱のパズル４５０の側面図を示す。
【図２２】本実施形態に係る本発明の長菱形十二面体の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は窪んだ多面体のパズル５５１の側面図を示し、（ｂ）は窪んだ多面体のパズル５５１の前面図を示し、（ｃ）は窪んだ多面体のパズル５５１の背面図を示し、（ｄ）は窪んだ多面体のパズル５５１と菱形十二面体のパズル３５０とから長菱形十二面体のパズル５５０を形成する模式図を示し、（ｅ）は長菱形十二面体のパズル５５０の上面図を示し、（ｆ）は長菱形十二面体のパズル５５０の側面図を示す。
【符号の説明】
【００６３】
１００    スフィーノイド
１０１    σ
１０３    σ’
１０５    ｃ−スクアドロン
２００    立方体
２０１    四角錐
２０３    三角錐(直角四面体)
３００    菱形十二面体
３０１    菱形十二面体を半分に切断した多面体
３５０    菱形十二面体のパズル
３５１    菱形十二面体を半分に切断したパズル
３５３    菱形十二面体を半分に切断したパズルから立方体の半分を除いたパズル
４００    斜六角柱
４０１    三角柱
４０３    鏡映対称な三角柱
４２０    斜六角柱
４５０    斜六角柱のパズル
５００    長菱形十二面体
５０１    窪んだ多面体
５０３    窪んだ多面体５０１から切り離した多面体
５０５    斜三角柱
５０７    斜三角柱５０５の鏡映体
５５０    長菱形十二面体のパズル
５５１    窪んだ多面体のパズル
５５３    窪んだ多面体のパズル５５１から切り離したパズル
６００    切頂八面体
６０１    九面体(ダイヤモンド)
６０３    切頂八面体の半分
６５０    切頂八面体のパズル
６５１    切頂八面体の半分のパズル
７００    立方体
７０１    六面体
７０３    多面体
７０５    穴が開いた立方体
７０７    穴が開いた立方体の切断による多面体
７０９    立方体の半分に切断した多面体
７５０    立方体のパズル
７５１    穴が開いた立方体の切断によるパズル
７５３    立方体の半分のパズル
【図１】
2010017517.tif 000005
【図４】
2010017517.tif 000006
【図５】
2010017517.tif 000007
【図７】
2010017517.tif 000008
【図９】
2010017517.tif 000009
【図１０】
2010017517.tif 000010
【図１１】
2010017517.tif 000011
【図１２】
2010017517.tif 000012
【図１３】
2010017517.tif 000013
【図１４】
2010017517.tif 000014
【図１７】
2010017517.tif 000015
【図１８】
2010017517.tif 000016
【図１９】
2010017517.tif 000017
【図２０】
2010017517.tif 000018
【図２１】
2010017517.tif 000019
【図２２】
2010017517.tif 000020
【図２】
2010017517.tif 000021
【図３】
2010017517.tif 000022
【図６】
2010017517.tif 000023
【図８】
2010017517.tif 000024
【図１５】
2010017517.tif 000025
【図１６】
2010017517.tif 000026
【手続補正書】
【提出日】平成20年10月28日(2008.10.28)
【手続補正１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は立体パズルに関する。特に、フョードロフの空間充填立体を実現することができる立体パズルに関する。
【背景技術】
【０００２】
正多面体を何個かの凸多面体に切り分けた正多面体パズルが知られている。この従来の正多面体パズルを構成する凸多面体は、特に規則性や特徴を有するものではなく、そのパズルの難度や複雑性を調整するために適当に切り分けられているのが現状であった。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００３】
本発明は、フョードロフの空間充填立体を実現することができる、従来にない立体パズルを実現することを課題とする。
【課題を解決するための手段】
【０００４】
本発明の一実施形態によると、内部を充填する複数の第１の凸多面体及び前記第１の凸多面体と鏡映関係にある複数の第２の凸多面体を有する立体パズルであって、前記第１の凸多面体及び前記第２の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な多面体に分割することができないことを特徴とする立体パズルが提供される。
【０００５】
また、本発明の一実施形態によると、内部を充填する複数の第１の凸多面体及び前記第１の凸多面体と鏡映関係にある複数の第２の凸多面体からなる正四面体を有する立体パズルであって、前記第１の凸多面体及び前記第２の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な多面体に分割することができないことを特徴とする立体パズルが提供される。
【０００６】
前記立体パズルは複数の前記第１の凸多面体及び複数の前記第２の凸多面体を用いて平行六面体、斜六角柱、菱形十二面体、切頂八面体又は長菱形十二面体を形成してもよい。
【０００７】
前記立体パズルは、複数の前記第１の凸多面体及び複数の前記第２の凸多面体を用いて形成される前記長菱形十二面体が切頂八面体、平行六面体、斜六角柱、菱形十二面体を内包してもよい。
【発明の効果】
【０００８】
本発明によると、フョードロフの空間充填立体を実現することができる、従来にない立体パズルが提供される。
【発明を実施するための最良の形態】
【０００９】
（実施形態１）
凸多面体において、２つの凸多面体ＰとＱとが同一であるか、またはどちらか一方の凸多面体がもう一方の凸多面体と鏡映の関係にあるとき、凸多面体ＰとＱとは合同であるとする。
【００１０】
非合同である凸多面体Ｐｉが１≦ｉ≦ｎのとき、Π＝｛Ｐ１，Ｐ２，・・・・，Ｐｎ｝とする。Ｐｉに含まれる少なくとも１つの要素Ｐが、凸多面体σの合同な凸多面体が面と面とを接することにより形成されるならば、凸多面体σは、Πのアトムと呼ぶことにする。
【００１１】
また、平行多面体とは、面と面とを接する平行移動体により三次元空間を充填する凸多面体である。ミンコクスキー（Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ）は、一般的なｄ次元の平行多面体について、以下の結論を得ている。
【００１２】
（ミンコクスキーの定理Ａ）
Ｐがｄ次元の平行多面体であるならば、
１）  Ｐは、中心に対して対称である
２）  Ｐの全ての面は、中心に対して対称である
３）  相補的な２つの面上の（ｄ−２）面の何れかに沿ったＰの投影は、平行四辺形か、中心に対して対称な六角形の何れかである。
【００１３】
（ミンコクスキーの定理Ｂ）
ｄ次元の平行多面体Ｐの面の数ｆｄ−１（Ｐ）は、２（２ｄ−１）より大きくなく、ｆｄ−１＝２（２ｄ−１）である平行多面体Ｐが存在する。
【００１４】
ドルビリン（Ｄｏｌｂｉｌｉｎ）は、ミンコフスキーの定理を面と面とを接しない空間充填に拡張した。アレキサンドロフやグルーバーにより論じられた多数の平行多面体の研究もある。
【００１５】
１８９０年にロシアの結晶学者であるエフグラフ  フョードロフは、まさに５つの平行多面体、即ち、図２（ａ）から（ｅ）に示す平行六面体（立方体）、菱形十二面体、斜六角柱（平行六角柱）、長菱形十二面体、切頂八面体、を確立した。これらの平行多面体は、「フョードロフの多面体」又は「フョードロフの空間充填立体」ともいう。図３（ａ）から（ｅ）は、それぞれの平行多面体の空間充填特性を示した図である。
【００１６】
これらの空間充填立体に共通する性質は、どれも１種類の立体で空間を隙き間なく充填する立体であるばかりでなく、それぞれの立体で空間を充填したとき、どの２個の立体も平行移動だけで重ねられるという著しい性質を有することである。
【００１７】
立方体、斜六角柱、菱形十二面体、長菱形十二面体及び切頂八面体の一群をΠ１とする。本発明者らはΠ１に含まれる全ての空間充填立体を最小数のアトムで充填できるようにするには、どのようなアトムを採用すればよいかということについて鋭意検討を重ねた。その結果、全ての空間充填立体をも充填する最小数のアトムの形状を見出した。以下、本発明者らが全ての空間充填をも充填する最小数のアトムの形状を見出した経緯について説明する。また、本実施形態においては、この５種類のフョードロフの空間充填立体を構成する凸多面体を有する立体パズルについて説明する。
【００１８】
（立方体と菱形十二面体）
図４（ａ）に示す立方体２００に対し、６枚の断面をすべて立方体の中心と２本の対辺を通過するようにして、図４（ｂ）に示すように６個の合同な四角錐２０１に切り分ける。すると、この四角錐２０１は、図５（ａ）に示すように、底面が正方形で、４個の側面が合同な二等辺三角形となる。
【００１９】
四角錐２０１において、底面の正方形の２本の対角線を通るようにして、四角錐２０１の頂点から、２枚の垂直面で切り分けると、図５（ｂ）のように、４個の合同な三角錐２０３が得られる。この合同な三角錐２０３を図５（ｃ）に再掲すると、３つの面が１つの頂点で直交しているので、三角錐２０３を直角四面体２０３と呼ぶことにする。以上のことから、立方体２００をうまく切り分けると、２４個の合同な直角四面体２０３に分かれることを示しているので、逆の操作をすると、２４個の合同な直角四面体２０３から立方体２００が構成できる。
【００２０】
また、図６（ａ）及び図６（ｂ）に示すように、立方体２００の６個の面に四角錐２０１をそれぞれ１個ずつ載せると、菱形十二面体３００となる。このことは、４８個の合同な直角四面体２０３から菱形十二面体３００も構成できることを示す。こうして、直角四面体２０３は立方体２００と菱形十二面体３００との共通な構成要素となる。
【００２１】
（斜六角柱）
図５（Ｃ）に示したように、直角四面体２０３の底面は直角二等辺三角形である。この直角二等辺三角形の底面で、２つの直角四面体２０３を接合すると、図７（ａ）に示すように、別の四面体１００が形成される。この四面体をＳｐｈｅｎｏｉｄ（スフェノイド）１００と呼ぶことにする。図７（ａ）において、一点鎖線は２個の三角錐の接合面を表す。
【００２２】
スフェノイド１００は自己拡大型と呼ばれる著しい性質を有することが知られている。
それは、このスフェノイド１００を８個組み合わせると、各辺の長さがちょうど２倍の相似な三角錐に拡大できるという性質であり、これから空間充填立体になることが簡単に求められる。
【００２３】
しかも、スフェノイド１００を３個組み合わせと、図７（ｂ）に示す垂直な断面が正三角形となる三角柱（プリズム）４０１も構成できる。そこで、三角柱４０１と鏡映対称な三角柱４０３を３個ずつ上下の面が平行六角形になるように調整しながら組み合わせると、図７（ｃ）に示すフョードロフの斜六角柱４００になる。したがって、斜六角柱４００は１８個のスフェノイド１００により形成される。
【００２４】
（長菱形十二面体）
次に、図８（ａ）に長菱形十二面体５００を示す。この長菱形十二面体５００は、２つの部位から形成されている。１つは、菱形十二面体３００で、もう１つは菱形十二面体から得られる窪んだ多面体５０１である。２つ目の窪んだ多面体５０１を得るために、菱形十二面体３００の４つの頂点を考える。図８に示すこの頂点を含む辺に沿って、長菱形十二面体５００を切り、その頂点で長菱形十二面体５００を開く。得られる多面体５０１は、ヘルメットのような形状をしている。先に述べたように、菱形十二面体３００は４８個の直角四面体２０３から成る。したがって、長菱形十二面体５００は、９６個の直角四面体２０３を用いて形成することが出来る。
【００２５】
（切頂八面体）
スフェノイド１００にはもう１つの重要な特徴がある。図９（ａ）のように、スフェノイド１００を６本の辺の中点を通るようにして、各辺を垂直に切り分けると、図９（ｂ）に示すように、４個の合同な六面体１０５に分かれる。この六面体１０５をｃ−スクアドロン（ｃ−ｓｑｕａｄｒｏｎ）と呼ぶことにする。
【００２６】
この４個のｃ−スクアドロン１０５を適切に組み替えると、図１０（ａ）に示す九面体（ダイヤモンド）６０１を形成することができる。そして、表面に正方形と正六面体とが現れるよう調整しながら、６個の九面体６０１を互いに抱き合わせる（接合させる）と、図１０（ｂ）に示すように切頂八面体６００となる。つまり、ｃ−スクアドロン１０５は切頂八面体６００の構成要素となり、切頂八面体６００は、２４個のｃ−スクアドロン１０５を用いて形成することが出来る。
【００２７】
以上の考察により、立方体（平行六面体）２００は直角四面体２０３を２４個、菱形十二面体３００は直角四面体２０３を４８個、斜六角柱４００はスフェノイド１００を１８個、長菱形十二面体５００は直角四面体２０３を９６個、切頂八面体はｃ−スクアドロン１０５を２４個用いて、それぞれ構成されることが分かる。
【００２８】
次に、直角四面体２０３とスフェノイド１００とｃ−スクアドロン１０５とにおいて、共通する構成要素が存在するか検討する。
【００２９】
ここで、図９（ｂ）に示した４つのｃ−スクアドロン１０５のうち一つを図１１（ａ）に再掲する。ｃ−スクアドロン１０５が左右対称な立体であることに着目して、図１１（ｂ）のように、これを合同な２個の五面体１０１及び１０３に切り分ける。すると、図１１（ｃ）に示すように、この新たな五面体１０１及び１０３を２個ずつ用いることで、図５（ｃ）にしめした直角四面体２０３を形成することが出来る。
【００３０】
また、図１に示すように、この五面体８個（１０１を４個と１０３を４個）でスフェノイド１００を形成することができる。つまり、五面体１０１及び１０３はフョードロフの５種類の空間充填立体の共通の構成要素になっていることがわかる。
【００３１】
そして、この五面体１０１及び１０３はいくつかの合同な立体にこれ以上切り分けることはできない。五面体１０１及び１０３こそがフョードロフの５種類の空間充填立体のアトムであり、五面体１０１をσ、その鏡映体１０３をσ’と定義する。図１２には、このアトムσ１０１及びアトムσ’１０３の展開図を寸法入りで示す。アトムσは、図１２に示すように、辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ、ＣＦ、ＦＣ、ＣＡ、ＡＤ、ＤＡ、ＡＢ、ＢＥ、ＥＢ、ＤＥ、ＥＦ及びＦＤを有する五面体（凸多面体）であり、アトムσ’はＡ’Ｂ’、Ｂ’Ｃ’、Ｃ’Ａ’、Ｃ’Ｆ’、Ｆ’Ｃ’、Ｃ’Ａ’、Ａ’Ｄ’、Ｄ’Ａ’、Ａ’Ｂ’、Ｂ’Ｅ’、Ｅ’Ｂ’、Ｄ’Ｅ’、Ｅ’Ｆ’及びＦ’Ｄ’を有する五面体（凸多面体）である。アトムσは、以下の式（１）を満たす。なお、アトムσの鏡映体であるアトムσ’の式は省略する。
【００３２】
【数１】
2010017517.tif 000027
【００３３】
以上の検討により、アトムσ１０１及びσ’１０３を用いると、立方体（平行六面体）２００は９６個のアトムσ（σ１０１が４８個及びσ’１０３が４８個）、菱形十二面体３００は１９２個のアトムσ（σ１０１が９６個及びσ’１０３が９６個）、切頂八面体６００は４８個のアトムσ（σ１０１が２４個及びσ’１０３が２４個）、斜六角柱４００は１４４個のアトムσ（σ１０１が７２個及びσ’１０３が７２個）、長菱形十二面体５００は３８４個のアトムσ（σ１０１が１９２個及びσ’１０３が１９２個）で構成されることがわかる。
【００３４】
また、９６個のアトムσ１０１及びσ’１０３で立方体を形成したが、わずか２４個のアトムσ（アトムσ１０１及びσ’１０３をそれぞれ１２個）でも立方体が形成できる。
【００３５】
以上のことから、フョードロフ空間充填立体を構成する最小の数のアトムは、σの１種類（及びその鏡映体σ’）であることが見出された。
【００３６】
ここで、フョードロフ空間充填立体を構成する最小の数のアトムについて、以下の（１）〜（４）の定義のもとで、定理１として表現できることがわかった。
（１）多面体ＰとＱとが「合同」であるとは、ＰとＱとが全く同じ形であるか、または鏡映関係にあることである。
（２）多面体が「非分割的（ｉｎｄｅｃｏｍｐｏｓａｂｌｅ）」であるとは、Ｐを２個以上の合同な多面体に分割できないことである。
（３）多面体Ｐ１、Ｐ２、・・・、Ｐｎの集合をΠとする。
ｉ．ｅ，  Π＝｛Ｐ１、Ｐ２、・・・、Ｐｎ｝
非分割的多面体ｅ１、ｅ２、・・・、ｅｍの集合をＥとする。
ｉ．ｅ，  Ｅ＝｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅｍ｝、∀ｅ１は非分割的、ｅｉとｅｊとは非合同（ｉ≠ｊ）
このとき、ＥがΠの元素（アトム）集合Ｅ（Π）であるとは、以下の式（２）を満たすことである。
【数２】
2010017517.tif 000028
すなわち、Πに属する如何なる多面体Ｐｉも、Ｅに属する非分割的多面体に分割できる。
（４）Πの元素数（アトム数、ａｔｏｍ  ｎｕｍｂｅｒ）ｅ（Π）とは、Πに対する種々の元素集合の中で、位数の最小数をいう。
すなわち、ｅ（Π）＝ｍｉｎ｜Ｅ（Π）｜
【００３７】
（定理１）
Π２＝｛フョードロフ空間充填立体の集合｝とする、
ｅ（Π２）≦１であり、Ｅ（Π２）＝｛σ｝
【００３８】
ここで、全てのフョードロフ空間充填立体をも構成する最小数のアトムσのみを用いた本実施形態に係る本発明の立体パズルの詳細について説明する。本実施形態に係る本発明の立体パズルは、最小数のアトムσを用いてフョードロフ空間充填立体を作り上げるものであり、上記定理１を視覚的に説明することができるという優れた効果を奏する。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、上記定理１を説明する教育用教材としても優れている。
【００３９】
（正四面体の立体パズル）
図１を参照する。図１は、本実施形態に係る本発明の立体パズルであり、スフェノイドの立体パズルを示している。図１に示すとおり、本実施形態に係る本発明の立体パズル（スフェノイド）は、上記で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース４個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース４個を用いて構成することができる。
【００４０】
（平行六面体の立体パズル）
本実施形態に係る本発明の平行六面体の立体パズルは、上で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース４８個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース４８個を用いて構成することができる。
【００４１】
（斜六角柱の立体パズル）
本実施形態に係る本発明の斜六角柱の立体パズルは、上で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース７２個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース７２個を用いて構成することができる。
【００４２】
（切頂八面体の立体パズル）
本実施形態に係る本発明の切頂八面体の立体パズルは、上で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース２４個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース２４個を用いて構成することができる。
【００４３】
（菱形十二面体の立体パズル）
本実施形態に係る本発明の菱形十二面体の立体パズルは、上で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース９６個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース９６個を用いて構成することができる。
【００４４】
（長菱形十二面体の立体パズル）
本実施形態に係る本発明の長菱形十二面体の立体パズルは、上で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース１９２個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース１９２個を用いて構成することができる。
【００４５】
本実施形態１に係る本発明の立体パズルは、平行六面体、斜六角柱、菱形十二面体、切頂八面体、長菱形十二面体の５種類からなるフョードロフの空間充填立体の形状をした立体パズルを、１つのアトムσ１０１の形状をしたピース及びその鏡映体σ’１０３の形状をしたピースから組み立てることができる。よって、上記定理１を視覚的に説明することができるとともに、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、教育用教材としても優れている。
【００４６】
（実施形態２）
（空間充填立体を内包する長菱形十二面体）
本発明者らは、５種類のフョードロフの空間充填立体がそれぞれ２４の倍数のｃ−スクアドロン、つまりアトムσ１０１及びσ’１０３をそれぞれ２４の倍数個必要とすることを発見した。
【００４７】
定理１の長菱形十二面体５００の証明及び図８から、長菱形十二面体５００が菱形十二面体３００を内包していることは明らかである。また、定理１の立方体２００及び菱形十二面体３００の証明から、菱形十二面体３００が立方体２００を内包することを既に示した。菱形十二面体３００は、四角錐２０１の四角形の底面を立方体２００の各面に接合することにより得られる。したがって、長菱形十二面体５００は菱形十二面体３００を内包し、菱形十二面体３００は立方体２００を内包する。
【００４８】
切頂八面体６００は立方体２００を特別な方法で内包する。図１１（ｂ）に示した合同な五面体であるアトムσ１０１及びσ’１０３を考えると、これらを接合することにより図１３に示す７つの頂点と１１の辺を有する六面体７０１を得る。
【００４９】
この六面体７０１は、３つの三角形（１つの直角二等辺三角形と２つの合同な直角三角形）と２つの２つ四辺形及び１つの五角形からなる面を持つ。この多面体をトリペンクアドロン（ｔｒｉｐｅｎｑｕａｄｏｒｏｎ）と呼ぶことにする。
【００５０】
３つのトリペンクアドロン７０１を用いて、それらの直角三角形の面に沿って、頂点が重なるように接合すると、図１４（ａ）に示す多面体７０３が得られる。この多面体７０３の底面は、図１４（ｂ）に示すように正六面体である。
【００５１】
この多面体７０３を８個用いて、直角二等辺三角形の面に沿って、それらを接合すると、図１５（ａ）に示す、６つの面それぞれの中心に穴が開いた立方体７０５を得る。この穴が開いた立方体７０５の内部を調べるために、向かい合う上下２つの面の対角線を通るように、これらの面を垂直に切り開く。図１５（ｂ）に示すこの対角線での切断面を見ると、この穴が開いた立方体７０５の切断による多面体７０７の内部は断面が正六角形で、この穴が切頂八面体６０３の半分を切り出すことにより得られることが分かる。図１５（ｃ）及び（ｄ）に切頂八面体と穴が開いた立方体とを組み合せて出来る立方体を示す。切頂八面体６００が立方体７００に特別な方法で内包されていることが分かる。
【００５２】
既に、斜六角柱が独特な方法で長菱形十二面体に内包されていることを示した。長菱形十二面体５００が、菱形十二面体３００とヘルメット型の窪んだ多面体５０１とか
らなることを再び考える。
【００５３】
まず、図１６（ａ）に示すように、菱形十二面体３００を２つの合同な多面体３０１に切り分け、その１つについてのみ考える。次に１６（ｂ）に示すヘルメット型の窪んだ多面体５０１を図１６（ｃ）に示すように切り離す。図１６（ｃ）の右側の多面体５０３は、Ｖ字型で、２つの斜三角柱５０５及び５０７からなり，その１つ５０７はもう一方５０５の鏡映体である。それぞれの斜三角柱は３つのスフェノイド（図９（ａ））を接合して形成される。
【００５４】
このＶ字型の多面体５０３を菱形十二面体の下半分３０１に接合すると、図１６（ｄ）及び（ｅ）に示すように斜六角柱８００を得る。これにより、長菱形十二面体５００の中の斜六角柱４２０の特別な内包が示される。
【００５５】
本実施形態２に係る本発明の立体パズルは、立方体、斜六角柱、菱形十二面体、切頂八面体、長菱形十二面体の５種類からなるフョードロフの空間充填立体の形状をした立体パズルを、１つのアトムσ１０１の形状をしたピース及びその鏡映体σ’１０３の形状をしたピースから組み立てることができる。また、長菱形十二面体が立方体、斜六角柱、菱形十二面体、切頂八面体を内包することを視覚的に説明することができるとともに、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、教育用教材としても優れている。
【００５６】
（切頂八面体の立体パズル）
図１７は、本実施形態に係る本発明の切頂八面体の立体パズルを半分にしたパズル６５１の配置を示す。（ａ）は側面図を、（ｂ）は側面図を、（ｃ）は上面図を、（ｄ）は底面図をそれぞれ示す。また、図１８は、切頂八面体の立体パズル６５０の配置を示す。（ａ）は側面図を、（ｂ）は側面図を、（ｃ）は底面図をそれぞれ示す。上記で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース２４個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース２４個を用いて構成することができる。
【００５７】
（立方体の立体パズル）
図１９は、本実施形態に係る本発明の立方体の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は切頂八面体の立体パズルを半分にしたパズル６５１の底面図を示し、（ｂ）は穴が開いた立方体の切断によるパズル７５１を示し、（ｃ）は穴が開いた立方体の切断によるパズル７５１に切頂八面体の立体パズルを半分にしたパズル６５１を接合した立方体の半分のパズル７５３を示し、（ｄ）は立方体の立体パズル７５０を示す。上記で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース４８個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース４８個を用いて構成することができる。
【００５８】
（菱形十二面体の立体パズル）
図２０は本実施形態に係る本発明の菱形十二面体の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は立方体の半分のパズル７５３を示し、（ｂ）は菱形十二面体を半分に切断したパズル３５１から立方体の半分を除いたパズル３５３を示し、（ｃ）は菱形十二面体を半分に切断したパズル３５１を示し、（ｄ）は菱形十二面体のパズル３５０の側面図を示し、（ｅ）は菱形十二面体のパズル３５０の上面図を示す。上記で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース９６個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース９６個を用いて構成することができる。
【００５９】
（斜六角柱の立体パズル）
図２１は本実施形態に係る本発明の斜六角柱の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は窪んだ多面体のパズル５５１から切り離したパズル５５３の側面図を示し、（ｂ）はその前面図を示し、（ｃ）はその背面図を示し、（ｄ）は窪んだ多面体のパズル５５１から切り離したパズル５５３と菱形十二面体３５０を半分に切断したパズル３５１から斜六角柱のパズル４５０を形成する模式図を示し、（ｅ）は斜六角柱のパズル４５０の上面図を示し、（ｆ）は斜六角柱のパズル４５０の側面図を示す。上記で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース７２個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース７２個を用いて構成することができる。
【００６０】
（長菱形十二面体の立体パズル）
図２２は、本実施形態に係る本発明の長菱形十二面体の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は窪んだ多面体のパズル５５１の側面図を示し、（ｂ）は窪んだ多面体のパズル５５１の前面図を示し、（ｃ）は窪んだ多面体のパズル５５１の背面図を示し、（ｄ）は窪んだ多面体のパズル５５１と菱形十二面体のパズル３５０とから長菱形十二面体のパズル５５０を形成する模式図を示し、（ｅ）は長菱形十二面体のパズル５５０の上面図を示し、（ｆ）は長菱形十二面体のパズル５５０の側面図を示す。上記で詳細に説明したとおりアトムσ１０１の形状をしたピース１９２個及びアトムσ１０１の鏡映体σ’１０３の形状をしたピース１９２個を用いて構成することができる。
【００６１】
本実施形態２に係る本発明の立体パズルは、立方体、斜六角柱、菱形十二面体、切頂八面体、長菱形十二面体の５種類からなるフョードロフの空間充填立体の形状をした立体パズルを、１つのアトムσ１０１の形状をしたピース及びその鏡映体σ’１０３の形状をしたピースから組み立てることができる。また、長菱形十二面体が立方体、斜六角柱、菱形十二面体、切頂八面体を内包することを視覚的に説明することができるとともに、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、教育用教材としても優れている。
【図面の簡単な説明】
【００６２】
【図１】本発明の一実施形態に係る正四面体の立体パズルを示す図である。
【図２】（ａ）から（ｅ）は５種類のフョードロフの空間充填立体を示し、（ａ）は平行六面体を示し、（ｂ）は菱形十二面体を示し、（ｃ）は斜六角柱を示し、（ｄ）は長菱形十二面体を示し、（ｅ）は切頂八面体を示す図であり、本発明の一実施形態に係る立体パズルの図である。
【図３】（ａ）から（ｅ）は、５種類のフョードロフの空間充填立体の平行移動による積み重ねにより空間が充填される様子を示す模式図である。（ａ）は平行六面体、（ｂ）は菱形十二面体、（ｃ）は斜六角柱、（ｄ）は長菱形十二面体、（ｅ）は切頂八面体による空間充填の様子をそれぞれ示す図である。
【図４】（ａ）は、立方体２００を示す図であり、（ｂ）は、６個の合同な四角錐２０１に切り分けた図である。
【図５】（ａ）は、四角錐２０１の１つを示す図であり、（ｂ）は、四角錐２０１を２枚の垂直面で直角四面体２０３に切り分けた図であり、（ｃ）は１つの直角四面体２０３を示す図である。
【図６】（ａ）は立方体２００の各面に四角錐２０１を接合する模式図を示し、（ｂ）は菱形十二面体３００を示す図である。
【図７】（ａ）は２つの直角四面体２０３を直角二等辺三角形の底面で接合させたスフェノイド１００の図であり、（ｂ）はスフェノイド１００を３個組み合わせた三角柱４０１を示す図で、（ｃ）は斜六角柱４００を示す図である。
【図８】（ａ）は菱形十二面体３００を示し、（ｂ）は菱形十二面体３００と窪んだ多面体５０１から長菱形十二面体５００を形成する模式図である。
【図９】（ａ）は、本発明の一実施形態に係るスフェノイド１００を示す図であり、（ｂ）は、ｃ−スクアドロン１０５に切り分けた図である。
【図１０】（ａ）は、４個のｃ−スクアドロン１０５を九面体６０１に組み替えた図であり、（ｂ）は、６個の九面体６０１により切頂八面体６００を形成する模式図である。
【図１１】（ａ）は本発明の一実施形態に係るｃ−スクアドロン１０５を示す図であり、（ｂ）はｃ−スクアドロン１０５をσ１０１及びσ’１０３に切り分けた模式図であり、（ｃ）はσ１０１及びσ’１０３を２個ずつ用いて直角四面体２０３を形成する模式図である。
【図１２】本発明の一実施形態に係るσ１０１及びσ’１０３の展開図である。
【図１３】本発明の一実施形態に係るσ１０１及びσ’１０３を用いて六面体７０１を形成した模式図である。
【図１４】（ａ）は六面体７０１を３個用いて多面体７０３を形成した上面図であり、（ｂ）は多面体７０３の底面図である。
【図１５】（ａ）は多面体７０３を用いて穴が開いた立方体７０５を形成する模式図であり、（ｂ）は穴が開いた立方体７０５と切頂八面体の半分６０３との組合せを示す図であり、（ｃ）は穴が開いた立方体７０５と切頂八面体の半分６０３とにより形成された立方体の半分を示す図であり、（ｄ）は形成された立方体７００を示す図である。
【図１６】（ａ）は菱形十二面体の半分３０１を示した図であり、（ｂ）は窪んだ多面体５０１を示す図であり、（ｃ）は窪んだ多面体５０１から切り離した多面体５０３を示す図であり、（ｄ）は多面体５０３と菱形十二面体の半分３０１とから斜六角柱４２０を形成する図であり、（ｅ）は斜六角柱４２０を示す図である。
【図１７】本発明の一実施形態に係る切頂八面体の立体パズルを半分にしたパズル６５１の配置を示す。（ａ）は側面図を、（ｂ）は側面図を、（ｃ）は上面図を、（ｄ）は底面図をそれぞれ示す。
【図１８】本発明の一実施形態に係る切頂八面体の立体パズル６５０の配置を示す。（ａ）は側面図を、（ｂ）は側面図を、（ｃ）は底面図をそれぞれ示す。
【図１９】本実施形態に係る本発明の立方体の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は切頂八面体の立体パズルを半分にしたパズル６５１の底面図を示し、（ｂ）は穴が開いた立方体の切断によるパズル７５１を示し、（ｃ）は穴が開いた立方体の切断によるパズル７５１に切頂八面体の立体パズルを半分にしたパズル６５１を接合した立方体の半分のパズル７５３を示し、（ｄ）は立方体の立体パズル７５０を示す。
【図２０】本実施形態に係る本発明の菱形十二面体の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は立方体の半分のパズル７５３を示し、（ｂ）は菱形十二面体を半分に切断したパズル３５１から立方体の半分を除いたパズル３５３を示し、（ｃ）は菱形十二面体を半分に切断したパズル３５１を示し、（ｄ）は菱形十二面体のパズル３５０の側面図を示し、（ｅ）は菱形十二面体のパズル３５０の上面図を示す。
【図２１】本実施形態に係る本発明の斜六角柱の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は窪んだ多面体のパズル５５１から切り離したパズル５５３の側面図を示し、（ｂ）はその前面図を示し、（ｃ）はその背面図を示し、（ｄ）は窪んだ多面体のパズル５５１から切り離したパズル５５３と菱形十二面体３５０を半分に切断したパズル３５１から斜六角柱のパズル４５０を形成する模式図を示し、（ｅ）は斜六角柱のパズル４５０の上面図を示し、（ｆ）は斜六角柱のパズル４５０の側面図を示す。
【図２２】本実施形態に係る本発明の長菱形十二面体の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は窪んだ多面体のパズル５５１の側面図を示し、（ｂ）は窪んだ多面体のパズル５５１の前面図を示し、（ｃ）は窪んだ多面体のパズル５５１の背面図を示し、（ｄ）は窪んだ多面体のパズル５５１と菱形十二面体のパズル３５０とから長菱形十二面体のパズル５５０を形成する模式図を示し、（ｅ）は長菱形十二面体のパズル５５０の上面図を示し、（ｆ）は長菱形十二面体のパズル５５０の側面図を示す。
【符号の説明】
【００６３】
１００    スフェノイド
１０１    σ
１０３    σ’
１０５    ｃ−スクアドロン
２００    立方体
２０１    四角錐
２０３    三角錐(直角四面体)
３００    菱形十二面体
３０１    菱形十二面体を半分に切断した多面体
３５０    菱形十二面体のパズル
３５１    菱形十二面体を半分に切断したパズル
３５３    菱形十二面体を半分に切断したパズルから立方体の半分を除いたパズル
４００    斜六角柱
４０１    三角柱
４０３    鏡映対称な三角柱
４２０    斜六角柱
４５０    斜六角柱のパズル
５００    長菱形十二面体
５０１    窪んだ多面体
５０３    窪んだ多面体５０１から切り離した多面体
５０５    斜三角柱
５０７    斜三角柱５０５の鏡映体
５５０    長菱形十二面体のパズル
５５１    窪んだ多面体のパズル
５５３    窪んだ多面体のパズル５５１から切り離したパズル
６００    切頂八面体
６０１    九面体(ダイヤモンド)
６０３    切頂八面体の半分
６５０    切頂八面体のパズル
６５１    切頂八面体の半分のパズル
７００    立方体
７０１    六面体
７０３    多面体
７０５    穴が開いた立方体
７０７    穴が開いた立方体の切断による多面体
７０９    立方体の半分に切断した多面体
７５０    立方体のパズル
７５１    穴が開いた立方体の切断によるパズル
７５３    立方体の半分のパズル
【手続補正書】
【提出日】平成21年3月4日(2009.3.4)
【手続補正１】
【補正対象書類名】特許請求の範囲
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【特許請求の範囲】
【請求項１】
複数の第１の凸多面体及び前記第１の凸多面体と鏡映関係にある複数の第２の凸多面体からなる立体パズルであって、
前記第１の凸多面体及び前記第２の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な形状の凸多面体に分割することができず、且つ、
前記第１の凸多面体及び前記第２の凸多面体は、全てのフョードロフの空間充填立体をそれらの内部を充填することによって形成することができることを特徴とするフョードロフの空間充填立体パズル。
【請求項２】
複数の前記第１の凸多面体及び複数の前記第２の凸多面体を用いて形成される前記長菱形十二面体が切頂八面体、平行六面体、斜六角柱及び菱形十二面体を内包することを特徴とする請求項１に記載のフョードロフの空間充填立体パズル。
【手続補正２】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０００４
【補正方法】変更
【補正の内容】
【０００４】
本発明の一実施形態によると、複数の第１の凸多面体及び前記第１の凸多面体と鏡映関係にある複数の第２の凸多面体からなる立体パズルであって、前記第１の凸多面体及び前記第２の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な形状の凸多面体に分割することができず、且つ、前記第１の凸多面体及び前記第２の凸多面体は、全てのフョードロフの空間充填立体をそれらの内部を充填することによって形成することができることを特徴とするフョードロフの空間充填立体パズルが提供される。
【手続補正３】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０００５
【補正方法】削除
【補正の内容】
【手続補正４】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０００６
【補正方法】削除
【補正の内容】
【手続補正５】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０００７
【補正方法】変更
【補正の内容】
【０００７】
前記フョードロフの空間充填立体パズルは、複数の前記第１の凸多面体及び複数の前記第２の凸多面体を用いて形成される前記長菱形十二面体が切頂八面体、平行六面体、斜六角柱及び菱形十二面体を内包してもよい。