(57)【要約】【課題】正多面体を構成する従来にない立体パズルを実現すること。【解決手段】本発明によると、内部を充填する複数の凸多面体からなる正多面体を有する立体パズルであって、前記複数の凸多面体は、鏡映関係にある一対の凸多面体を複数含み、前記複数の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な多面体に分割することができないことを特徴とする立体パズルが提供される。また、前記複数の凸多面体は、４つの凸多面体であるようにしてもよく、また、３対の前記鏡映関係にある一対の凸多面体を含むようにしてもよく、また、前記複数の凸多面体は、５つの凸多面体であるようにしてもよく、４対の前記鏡映関係にある一対の凸多面体を含むようにしてもよい。【選択図】図１
2010017518.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
内部を充填する複数の凸多面体からなる正多面体を有する立体パズルであって、
前記複数の凸多面体は、鏡映関係にある一対の凸多面体を複数含み、
前記複数の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な多面体に分割することができないことを特徴とする立体パズル。
【請求項２】
前記複数の凸多面体は、４つの凸多面体であることを特徴とする請求項１に記載の立体パズル。
【請求項３】
３対の前記鏡映関係にある一対の凸多面体を含むことを特徴とする請求項１又は２に記載の立体パズル。
【請求項４】
前記複数の凸多面体は、５つの凸多面体であることを特徴とする請求項１に記載の立体パズル。
【請求項５】
４対の前記鏡映関係にある一対の凸多面体を含むことを特徴とする請求項１又は４に記載の立体パズル。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は立体パズルに関する。特に、内部を充填する複数の凸多面体を有する正多面体パズルに関する。
【背景技術】
【０００２】
正多面体を何個かの凸多面体に切り分けた正多面体パズルが知られている。この従来の正多面体パズルを構成する凸多面体は、特に規則性や特徴を有するものではなく、そのパズルの難度や複雑性を調整するために適当に切り分けられているのが現状であった。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００３】
本発明は、正多面体を構成する、従来にない立体パズルを実現することを課題とする。
【課題を解決するための手段】
【０００４】
本発明の一実施形態によると、内部を充填する複数の凸多面体からなる正多面体を有する立体パズルであって、前記複数の凸多面体は、鏡映関係にある一対の凸多面体を複数含み、前記複数の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な多面体に分割することができないことを特徴とする立体パズルが提供される。
【０００５】
また、前記複数の凸多面体は、４つの凸多面体であるようにしてもよい。
【０００６】
また、３対の前記鏡映関係にある一対の凸多面体を含むようにしてもよい。
【０００７】
また、前記複数の凸多面体は、５つの凸多面体であるようにしてもよい。
【０００８】
また、本発明の一実施形態による立体パズルは、４対の前記鏡映関係にある一対の凸多面体を含むようにしてもよい。
【発明の効果】
【０００９】
本発明の立体パズルによると、全ての正多面体を充填する最小数のアトム（凸多面体）で構成されているので、パーツ数が少なくても全ての正多面体（正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体）をも形成することができるという優れた効果を奏する。また、本発明者らが見出した新規な定理を視覚的に実証することが出来、この定理を説明する教育用教材としても優れている。
【００１０】
本発明の立体パズルによると、全ての正多面体をも構成する最小数のアトムに加えて別のアトムを用いることにより、最小数のアトムの一つを用いずに立方体及び正十二面体を形成することができるという優れた効果を奏する。また、本発明者らが見出した新規な定理を視覚的に説明することができるとともに、別のアトムを用いた変形例によって両者を比較することができ、この定理を説明する教育用教材としても優れている。
【００１１】
本発明の立体パズルによると、全ての正多面体をも構成する最小数のアトムのうちのうちの一つを用いなくても、別のアトムを用いることにより正四面体、立方体及び正十二面体を形成することができるという優れた効果を奏する。また、本発明者らが見出した新規な定理を視覚的に説明することができるとともに、別のアトムを用いた変形例によって両者を比較することができ、この定理を説明する教育用教材としても優れている。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１２】
（実施形態１）
複数個の凸多面体によって正多面体の内部がぴたりと充填されるとき、これら凸多面体は正多面体の構成要素（ここでは「アトム」という。）であるということができる。言い換えれば、その正多面体がいくつかのアトムに切り分けられることを意味している。正多面体としては、正四面体、立方体、正八面体、正十二面体及び正二十面体のみが存在する。
【００１３】
一方、正多面体を何個かの凸多面体に切り分ける方法は無限に存在する。つまり、正多面体を構成するアトムは無限に存在する。
【００１４】
そこで、本発明者らは、アトムの種類を少なく抑えながら、全ての正多面体もそれらのアトムで充填できるようにするには、どのようなアトムを採用すればよいかということについて鋭意検討を重ねた。その結果、全ての正多面体をも充填する最小数のアトムの形状を見出した。以下、本発明者らが全ての正多面体をも充填する最小数のアトムの形状を見出した経緯について説明する。
【００１５】
まず、自明なアトムは除外するステップについて説明する。たとえば正多角形として正四面体を検討する。正四面体の中心を頂点とし、正四面体の表面上の４個の三角形を底面として、正四面体を４個の合同な三角錐に切り分ける。この三角錐の底面は正三角形なので、３回割りの回転対称性と鏡映対称性を持ち、それらはさらに６個ずつの合同な三角錐に切り分けられる。ここで、鏡映対称な凸多面体は同じアトムであると定義すると、１種類のアトムを２４個使って正四面体の内部をぴたりと充填できることになる。
【００１６】
上述した正四面体の切り分け方法と同じ切り分け方法は、如何なる正多面体にも適用することができる。即ち、立方体及び正八面体は４８個のアトムで充填され、また、正十二面体及び正二十面体は１２０個のアトムで充填される。しかし、これらはどれも自明なアトムであり、特定の正多面体の充填には有効であるが、ほかの正多面体のアトムに転用しようとすると、途端に効率の悪いアトムになってしまう。
【００１７】
この自明なアトムを除外するために、以下の条件Ａを付加することにする。
［条件Ａ］：どのアトムも少なくとも２種類の正多面体のアトムとして利用することができること
【００１８】
すると、特定の正多面体に効率的なアトムを採用したときは、それがほかの正多面体の充填にも有効に活用できる方法を編み出す必要がある。ここで、どの正多面体もなるべく多くの数のアトムを使って充填するのが好ましい。ただし、これには補足が必要である。それは、立方体が自己拡大型のため、１つの充填方法を見つけると、それを上下、左右に並べるだけで、アトムの個数を２３倍、３２倍、・・・などに容易に増やせるためである。このため、立方体に関しては、自己拡大の性質を利用しない基本的な充填方法に限定して検討する。このように、［条件Ａ］を満足しながら、なるべく少ない種類のアトムをなるべく多く使って、すべての正多面体を充填することが課題となってくる。
【００１９】
なお、鏡映対称な凸多面体を同じ種類のアトムと定義したのは、（１）正多面体にさまざまな対称性があるため、鏡映対称な凸多面体はかなり使用されると予想されるため、（２）この充填問題とよく似ているタイル張りの問題では、裏返しの図形同士を同一視することが常識となっているためである。
【００２０】
正多面体には正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体の５種類が知られている。これらの正多面体を［条件Ａ］を満たすように何種類かのアトムで充填するには、まず５種類の正多面体の間の相互の関係を調べる必要がある。
【００２１】
図２（ａ）のように、立方体２００においては、立方体２００の上面の正方形をＡＢＣＤ、底面の正方形をＥＦＧＨとして、３頂点Ａ、Ｃ、Ｆを通る平面でこの立方体を切り、図２（ｂ）のように、頂点Ｂを含む三角錐２０１を切り離す。この断面は正三角形であるため、同じ方法で頂点Ｄ、Ｅ、Ｇを含む三角錐もそれぞれ切り離すと、残りの立体ＡＣＦＨは図２（ａ）に示すとおり正四面体１００になる。図２（ａ）の６本の一点鎖線は、この切り分けで得られた正四面体１００を示す。
【００２２】
つぎに、図２（ｂ）に示すとおり、切り離された４個の三角錐２０１は、底面が正三角形、側面が直角二等辺三角形をなす。これらの三角錐２０１の頂点Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｇを１点に集め、底面が正方形になるように配置すると、図３（ａ）に示す４つの側面がすべて正三角形である四角錐３０１となる。この四角錐３０１を２個用い、図３（ｂ）に示すように底面の正方形を抱き合わせると（底面の正方形同士を接合すると）正八面体３００となる。この切り分け方法によると、立方体２００と正四面体１００と正八面体３００との間の１つの関係が得られる。
【００２３】
つぎに、図２（ｂ）に示した三角錐２０１に着目し、図４（ａ）に示すように、３辺ＡＢ、ＡＣ、ＡＦ上に３点Ｑ、Ｔ、Ｕをそれぞれ以下の式（１）を満たす割合で置く。
【数１】
2010017518.tif 000003
ここでτは黄金比であり、周知のように以下の式（２）によって得ることができる。
【数２】
2010017518.tif 000004
となる。
【００２４】
そして、図４（ｂ）に示すように、三角錐２０１から頂点Ａを含む三角錐２０３を切り離す。同じ方法で、図５（ａ）、（ｂ）に示すように、頂点Ｃ、Ｆを含む三角錐２０３もそれぞれ切り離すと、中央に七面体２０７が残る。ここで、３点Ｒ、Ｓ、Ｖはそれぞれ３辺ＣＢ、ＦＢ、ＦＣ上に以下の式（３）を満たす割合で置く。
【数３】
2010017518.tif 000005
【００２５】
この方法によって図５（ｂ）の中央の七面体２０７を作ると、背面の三角形ＴＵＶが正三角形であり、側面の３個の直角三角形ＴＱＵ、ＵＳＶ、ＶＲＴがすべて背面の正三角形ＴＵＶを左右に２等分したときの左側の直角三角形と合同になる。
【００２６】
つぎに、以下式（４）の関係が成立することに着目する。
【数４】
2010017518.tif 000006
【００２７】
この七面体２０７とその鏡映対称な七面体２０９とのペアを４個ずつ作る。それらを交互に抱き合わせる（接合する）と、図５（ｃ）に示す正二十面体４００が形成される。よって、三角錐２０１と正二十面体４００との間の１つの関係が得られる。
【００２８】
つぎに、正十二面体５００を図６（ａ）に示す。図６（ｂ）のように、４頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを通る平面で上部を切り離し、４頂点Ａ、Ｂ、Ｅ、Ｆを通る平面で右部を切り離す。すると、２つの断面は合同な正方形になり、切り離された２個の立体は合同な五面体５０１になる。図６（ｃ）の一点鎖線のように、さらに４個の平面で切ると、中央に立方体２００が残る。正十二面体と立方体の間の１つの関係が得られる。
【００２９】
上述の検討から、立方体２００の切り分けから正四面体１００と正八面体３００と正二十面体４００とが得られ、また、正十二面体５００の切り分けから立方体２００が得られる。これらの切り分けは［条件Ａ］を満たしている。
【００３０】
次に、［条件Ａ］を満足しながら、全ての正多面体を充填することができる、なるべく少ない種類のアトムについて検討する。まず、正四面体１００は図２（ａ）に示す一点鎖線の正四面体そのものから構成されると考える。つぎに、立方体２００は正四面体１００が１個と、七面体２０７及びその鏡映対称な七面体２０８が２個ずつと、四面体２０３とその鏡映対称な四面体が６個ずつとの３種類（鏡映体を区別すると５種類）の凸多面体で構成されている。つぎに、正八面体３００は七面体２０７及びその鏡映対称な七面体２０８が４個ずつと、四面体２０３及びその鏡映対称な四面体が１２個ずつとの２種類（鏡映体を区別すると４種類）の凸多面体で構成されている。つぎに、正十二面体は図６（ｂ）に示すとおり、五面体５０１が６個と正四面体１００が１個と、七面体２０７及び鏡映対称な七面体２０８が２個ずつと、四面体２０３とその鏡映対称な四面体が６個ずつとの４種類（鏡映体を区別すると６種類）の凸多面体で構成されている。最後に、正二十面体は七面体２０７及びその鏡映対称な七面体２０８が４個ずつからなる１種類の凸多面体で構成される。
【００３１】
以上の検討から、
［１］正四面体１００（正四面体１００と立方体２００及び正十二面体５００に使用）
［２］七面体（ｅｑｕｉｈｅｐｔａ（イクイヘプタ））２０７（及びその鏡映体２０８）（立方体１００と正八面体３００と正二十面体４００とに使用）
［３］四面体（Ｇｏｌｄｅｎ  Ｔｅｔｒａ（ゴールデンテトラ））２０３（及びその鏡映体２０４）（立方体１００と正八面体３００とに使用）
［４］五面体（ｒｏｏｆ（ルーフ））５０１（正十二面体５００に使用）
となり、４種類の凸多面体（鏡映体を区別すると６種類）がどれも正多面体の構成に使われていることがわかる。
【００３２】
これらの４種類の凸多面体がそれぞれ何個ずつかの合同な凸多面体に切り分けられれば、正多面体を構成するアトムの個数は増加してしまう。自明な切り分けは除外し検討する。まず、［１］の正四面体１００において、図２（ａ）から抜き出したこの正四面体１００を図７（ａ）に再掲し、４辺ＡＦ、ＦＣ、ＣＨ、ＨＡの中点Ｉ、Ｊ、Ｋ、Ｌを通る平面で正四面体１００を切る。すると、図７（ｂ）のように、この断面は正方形（ペトリー図形）となり、切り分けられた２個の立体は合同なプリズム（三角柱）１０１になる。図７（ｃ）はその一方のプリズム１０１を取り出し、向きを変えて眺めたものである。辺ＦＨの中点をＭとして、図７（ｄ）のように３点Ｊ、Ｌ、Ｍを通る平面で切ると、２個の合同な五面体１０３に分かれる。しかも、それぞれの五面体１０３は左右に対称なため、右側の五面体１０３をとると、図７（ｅ）のように、さらに２個ずつの合同な四面体１１０と１１１とに分けることができる。図８は右側の四面体１１０（ＫＪＬＨ）の展開図を示したもので、比によって寸法が記載されている。以下では、この四面体１１０をαとし、正多面体を構成する１つのアトムと定義する。すると、図１に示すように、正四面体１００は８個のアトムで構成されるため、分子式のように、これをα８と記すことができる。
【００３３】
ここで、図７（ｅ）にしめしたように、アトムαは、頂点をＫＪＬＨとする四面体（凸多面体）１１０及びその鏡映体である頂点をＭＪＬＨとする四面体１１１である。アトムα１１０は、以下の式（５）に示す条件を満たす。
【数５】
2010017518.tif 000007
【００３４】
つぎに、［２］のイクイヘプタ２０７について検討すると、図９（ａ）に再掲したイクイヘプタ２０７は、正三角形ＴＵＶを底面、点Ｂを頂点とすると、３回割りの回転対称性を有する。このため、正三角形の中心をＯとすると、Ｏを通って１２０°ずつに分かれた３枚の面で垂直に切り下ろせば、つねに合同な３個の立体２１０に分かれる。このときの切り分けを図９（ｂ）に、その展開図を図１０に示す。
【００３５】
以下では、この七面体２１０をβとし、正多面体を構成する１つのアトムと定義する。アトムβ２１０は、図１０に示すように、辺ＢＸ、ＸＹ、ＹＯ、ＯＡ１、Ａ１Ｚ、ＺＴ、ＴＺ、ＺＡ１、Ａ１Ｏ、ＯＹ、ＹＸ、ＸＲ、ＲＸ、ＸＢ、ＢＯ、ＢＺ、ＢＲ、ＲＴ、ＴＹ及びＴＡ１を有する７面体（凸多面体）である。
【００３６】
ここで、ａ、ｋ、ｋ’、ｂ、ｃ、ｄは以下の式（６）〜式（１１）の条件を満たす。
【数６】
2010017518.tif 000008
【数７】
2010017518.tif 000009
【数８】
2010017518.tif 000010
【数９】
2010017518.tif 000011
【数１０】
2010017518.tif 000012
【数１１】
2010017518.tif 000013
【００３７】
このとき、アトムβ２１０は、以下の式（１２）に示す条件を満たす。
【００３８】
【数１２】
2010017518.tif 000014
【００３９】
正二十面体は２４個のアトムβ２１０で構成されるので、これをβ２４と記すことができる。
【００４０】
つぎに［３］のゴールデンテトラ２０３について検討すると、ゴールデンテトラ２０３を複数の合同な凸多面体に切り分けることはできない。そこで、このゴールデンテトラ２０３をγとし、正多面体を構成する１つのアトムと定義する。図１１はアトムγ２０３の展開図で、比によって寸法を示す。アトムγは、図１１に示すように、辺ＣＲ、ＲＣ、ＣＶ、ＶＣ、ＣＴ、ＴＣ、ＲＴ、ＲＶ及びＶＴを有する４面体（凸多面体）である。アトムγは、以下の式（１３）を満たす。
【数１３】
2010017518.tif 000015
【００４１】
すると、正八面体はβとγが２４個ずつで構成されるので、β２４γ２４と記すことができる。また、図１（ａ）の立方体は、αが８個、βとγが１２個ずつで構成されるので、α８β１２γ１２と記すことができる。
【００４２】
つぎに、［４］のルーフ５０１について検討すると、ルーフ５０１は上下と左右に対称性があることを考慮したうえで、これを図１２（ａ）及びのように２個の合同な五面体５１０に切り分ける。この五面体５１０をδとし、正多面体を構成する１つのアトムとして定義する。図１３はアトムδ５１０の展開図で、比を用いて寸法を示す。アトムδ５１０は、図１３に示すように、辺ＢＥ、ＥＤ１、Ｄ１Ａ、ＡＤ１、Ｄ１Ｅ、ＥＢ、ＢＣ１、Ｃ１Ｅ、Ｃ１Ｄ１、ＢＡ及びＡＥを有する五面体（凸多面体）である。アトムδ５１０は、以下の式（１４）を満たす。
【数１４】
2010017518.tif 000016
【００４３】
以上により最小の数のアトムα、β、γ及びδにより正多面体を構成する解を得た。アトムα、β、γ、δを用い、個々の正多面体は、
正四面体・・・・・・・・・・・・α８
立方体・・・・・・・・・・・・・・α８β１２γ１２
正八面体・・・・・・・・・・・・β２４γ２４
正十二面体・・・・・・・・・・α８β１２γ１２δ１２
正二十面体・・・・・・・・・・β２４
と表現することができる。ただし、鏡映対称なアトムも同じ記号α、β、γ、δで示している。鏡映対称なアトムにプライム記号（’）をつけて区別すれば、
正四面体・・・・・・・・・・・・α４α’４
立方体・・・・・・・・・・・・・・α４α’４β６β’６γ６γ’６
正八面体・・・・・・・・・・・・β１２β’１２γ１２γ’１２
正十二面体・・・・・・・・・・α４α’４β６β’６γ６γ’６δ１２
正二十面体・・・・・・・・・・β１２β’１２
となる。
【００４４】
以上のことから、正多面体を構成する最小の数のアトムは、α、β、γ、δの４種類であることが見出された。
【００４５】
ここで、正多面体を構成する最小の数のアトムは、以下の（１）〜（４）の定義のもとで、定理１として表現することができることがわかった。
（１）多面体ＰとＱとが「合同」であるとは、ＰとＱとが全く同じ形であるか、または鏡映関係にあることである。
（２）多面体が「非分割的（ｉｎｄｅｃｏｍｐｏｓａｂｌｅ）」であるとは、Ｐを２個以上の合同な多面体に分割できないことである。
（３）多面体Ｐ１、Ｐ２、・・・、Ｐｎの集合をΠとする。
ｉ．ｅ，  Π＝｛Ｐ１、Ｐ２、・・・、Ｐｎ｝
非分割的多面体ｅ１、ｅ２、・・・、ｅｍの集合をＥとする。
ｉ．ｅ，  Ｅ＝｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅｍ｝、∀ｅ１は非分割的、ｅｉとｅｊとは非合同（ｉ≠ｊ）
このとき、ＥがΠの元素（アトム）集合Ｅ（Π）であるとは、以下の式（１５）を満たすことである。
【数１５】
2010017518.tif 000017
すなわち、Πに属する如何なる多面体Ｐｉも、Ｅに属する非分割的多面体に分割できる。
（４）Πの元素数（アトム数、ａｔｏｍ  ｎｕｍｂｅｒ）ｅ（Π）とは、Πに対する種々の元素集合の中で、位数の最小数をいう。
すなわち、ｅ（Π）＝ｍｉｎ｜Ｅ（Π）｜
【００４６】
（定理１）
Π１＝｛正多面体の集合｝とする。
ｅ（Π１）≦４であり、ｅ（Π１）＝｛α、β、γ、δ｝
【００４７】
ここで、全ての正多面体をも構成する最小数のアトムα、β、γ、δを用いた本実施形態に係る本発明の立体パズルの詳細について説明する。本実施形態に係る本発明の立体パズルは、最小数のアトムα、β、γ、δを用いて正多面体を作り上げるものであり、上記定理１を視覚的に説明することができるという優れた効果を奏する。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、上記定理１を説明する教育用教材としても優れている。
【００４８】
（正四面体の立体パズル）
図１を参照する。図１は、本実施形態に係る本発明の立体パズルであり、正四面体の立体パズル１００を示している。図１４に示すとおり、本実施形態に係る本発明の立体パズル（正四面体の立体パズル１００）は、上で詳細に説明したとおりアトムα１１０の形状をしたピース４個及びアトムα１１０の鏡映体α’１１１の形状をしたピース４個を用いて構成することができる。なお、図１に示す本実施形態に係る正四面体の立体パズル１００は一例であり、本実施形態に係る正四面体の立体パズルには、アトムα１１０とアトムα’１１１との相対的な位置関係を維持しながら、それらの配置を変えた例も存在する。
【００４９】
（立方体の立体パズル）
図１４を参照する。本実施形態に係る本発明の立体パズルであり、立方体の立体パズル２００を示している。上で詳細に説明したとおり、立方体はアトムα（及びα’）からなる正四面体１００を内包し、その４つの面にそれぞれに側面が直角二等辺三角形をなす三角錐２０１を接合することにより構成されている。また、図１５に示すように、三角錐２０１は、３個のアトムβの形状をしたピース２１０からなるパーツ２０７（図１６）を中心として、アトムγの形状をしたピース２０３を３個配置したパーツである。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズル（立方体パズル２００）は、アトムαの形状をしたピース１１０が４個及びアトムαの鏡映体α’の形状をしたピース１１１が４個と、アトムβの形状をしたピース２１０が６個及びアトムβの鏡映体β’の形状をしたピース２１１が６個と、アトムγの形状をしたピース２０３が６個及びアトムγの鏡映体γ’の形状をしたピース２０４が６個とを用いて構成することができる。なお、図１４に示す本実施形態に係る立方体の立体パズル２００は一例であり、本実施形態に係る立方体の立体パズルには、αとα’との相対的な位置関係、βとβ’との相対的な位置関係、及びγとγ’との相対的な位置関係を維持しながら、それらの配置を変えた例も存在する。
【００５０】
（正八面体の立体パズル）
図１７を参照する。本実施形態に係る本発明の立体パズルであり、正八面体の立体パズル３００を示している。上で詳細に説明したとおり、正八面体の立体パズル３００は、側面が直角二等辺三角形をなす正三角錐２０１を８個接合したものである。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズル（正八面体パズル３００）は、アトムβの形状をしたピース２１０を１２個及びアトムβの鏡映体β’の形状をしたピース２１１を１２個と、アトムγの形状をしたピース２０３を１２個及びアトムγの鏡映体γ’の形状をしたピース２０４を１２個とを用いて構成することができる。なお、図１７に示す本実施形態に係る正八面体の立体パズル３００は一例であり、本実施形態に係る正八面体の立体パズル３００には、βとβ’との相対的な位置関係、及びγとγ’との相対的な位置関係を維持しながら、それらの配置を変えた例も存在する。
【００５１】
（正十二面体の立体パズル）
図１８を参照する。本実施形態に係る本発明の立体パズルであり、正十二面体の立体パズル５００を示している。図６（ｃ）に示したとおり、中心に立方体２００を内包し、図１２（ｂ）に示したアトムδの形状をしたピース５１０を２個からなるルーフのパーツ５０１を立方体２００の６つの側面に配置したものである。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズル（正十二面体パズル５００）は、アトムαの形状をしたピース１１０を４個及びアトムαの鏡映体α’の形状をしたピース１１１を４個と、アトムβの形状をしたピース２１０を６個及びアトムβの鏡映体β’の形状をしたピース２１１を６個と、アトムγの形状をしたピース２０３を６個及びアトムγの鏡映体γ’の形状をしたピース２０４を６個と、δの形状をしたピース５１０を１２個とを用いて構成することができる。なお、図１８に示す本実施形態に係る正十二面体の立体パズル５００は一例であり、本実施形態に係る正十二面体の立体パズルには、α１１０とα’１１１との相対的な位置関係、β２１０とβ’２１１との相対的な位置関係、及びγ２０３とγ’２０４との相対的な位置関係を維持しながら、それらの配置を変えた例も存在する。
【００５２】
（正二十面体の立体パズル）
図１９を参照する。本実施形態に係る本発明の立体パズルであり、正二十面体の立体パズル４００を示している。上で詳細に説明したとおり、図１６に示した３個のアトムβの形状をしたピ−ス２１０からなるイクイヘプタの形状をしたパーツ２０７とイクイヘプタの鏡映対称な形状をしたパーツ２０９とのペアを４個ずつ作り、それらを交互に接合することにより形成される。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズル（正二十面体パズル４００）は、アトムβの形状をしたピース２１０を１２個及びアトムβの鏡映体β’の形状をしたピース２１１を１２個と、を用いて構成することができる。なお、図１９に示す本実施形態に係る正二十面体の立体パズル４００は一例であり、本実施形態に係る正二十面体の立体パズル４００には、βとβ’との相対的な位置関係を維持しながら、それらの配置を変えた例も存在する。
【００５３】
以上説明したとおり、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、全ての正多面体を充填する最小数のアトム（凸多面体）で構成されているので、パーツ数が少なくても全ての正多面体（正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体）をも形成することができるという優れた効果を奏する。また、本発明者らが見出した定理を視覚的に実証することが出来、上記定理１を説明する教育用教材としても優れている。
【００５４】
（実施形態２）
本実施形態においては、実施形態１のアトムαを用いずに立方体及び正十二面体を形成することができる立体パズルの例について説明する。
【００５５】
図２０を参照する。図２０（ａ）は、２個のアトムδ５１０（図１２（ｂ））からなる６個のルーフ５０１（δ２）が立方体２００の内部に収まるように裏返した様子を示したものである。図２０（ａ）においては、見やすいように背面と左側面と底面のルーフ５０１だけを示してある。裏返された五面体５０１（δ２）の各面は、各面の二面角から明らかであるように隙き間なく重なる。しかし、立方体の八隅にそれぞれ細長い隙き間が生じ、これを充填するためには鏡映対称な４個ずつの六面体６０１及び６０２が必要になる。図２０（ｂ）には、図２０（ａ）の左下隅の手前を充填するための六面体６０１を示し、図２０（ｃ）にはその展開図を示す。また、図２０（ｄ）は鏡映対称な２個の六面体６０１及び６０２で左下の２隅を充填したときの様子を示す。これにより正十二面体５００と立方体２００との間に実施形態１とは別の１つの関係が得られる。
【００５６】
実施形態１で説明した立方体とは別の立方体の構成として、ルーフ５０１（δ２）が６個、六面体６０１とその鏡映対称な六面体６０２が４個ずつとの２種類の凸多面体により構成される。また、正十二面体５００は、ルーフ５０１（δ２）が１２個と、六面体６０１及びその鏡映対称な六面体６０２が４個ずつとの２種類の凸多面体で構成されている。
【００５７】
以上の検討から、
［１］正四面体１００（正四面体１００と立方体２００とに使用）
［２］イクイヘプタ２０７及びその鏡映体２０９（立方体１００と正八面体３００と正二十面体５００とに使用）
［３］ゴールデンテトラ２０３及びその鏡映体２０４（立方体２００と正八面体３００とに使用）
［４］ルーフ５０１（正十二面体５００に使用）
［５］六面体６０１及びその鏡映体６０２（立方体２００と正十二面体５００とに使用）
となり、５種類の凸多面体がどれも２個以上の正多面体の構成に使われていることがわかる。
【００５８】
ここで、［１］〜［４］の凸多面体については、実施形態１で詳細に説明したのでここでは省略する。
【００５９】
［５］の六面体６０１について検討すると、これは図２０（ｂ）の六面体で、図２０（ｃ）の展開図から明らかなように、３回割りの回転対称性を有する。このため、１２０°ずつに分かれた３枚の面で垂直に切り下ろすことにより、３個の合同な凸多面体に分かれる。六面体６０１の辺に沿って切り下ろした３個の合同な四角錐６１０の展開図を図２１に示す。なお、この展開図には、比を用いて寸法を記載している。図２１に示すこの四角錐６１０をアトムεと定義する。
【００６０】
アトムε６１０は、図２１に示すように、辺Ｄ１Ｅ１、Ｅ１Ｆ１、Ｆ１Ｇ１、Ｇ１Ｈ１、Ｈ１Ｉ１、Ｉ１Ｊ１、Ｊ１Ｋ１、Ｋ１Ｄ１、Ｄ１Ｆ１、Ｄ１Ｉ１、Ｄ１Ｊ１及びＦ１Ｉ１を有する５面体（凸多面体）である。アトムεは、以下の式（１６）を満たす。
【数１６】
2010017518.tif 000018
【００６１】
立方体２００はδ５１０が１２個とアトムεが２４個（アトムεが１２個とその鏡映体アトムε’１２個）で構成されるため、δ１２ε２４（δ１２ε１２ε’１２）と示され、正十二面体５００はδとεとが２４個ずつで構成されるので、δ２４ε２４（δ２４ε１２ε’１２）示される。
【００６２】
以上により、アトムα、β、γ、δ、εを用いることにより、個々の正多面体は、
正四面体・・・・・・・・・・・・α８
立方体・・・・・・・・・・・・・・α８β１２γ１２、δ１２ε２４
正八面体・・・・・・・・・・・・β２４γ２４
正十二面体・・・・・・・・・・δ２４ε２４
となるた。ただし、鏡映対称なアトムにも同じ記号α、β、γ、δ、εと示している。鏡映対称なアトムにプライム記号（’）をつけて区別すれば、
正四面体・・・・・・・・・・・・α４α’４
立方体・・・・・・・・・・・・・・α４α’４β６β’６γ６γ’６、δ１２ε１２ε’１２
正八面体・・・・・・・・・・・・β１２β’１２γ１２γ’１２
正十二面体・・・・・・・・・・δ２４ε１２ε’１２
正二十面体・・・・・・・・・・β１２β’１２
となる。
【００６３】
本実施形態に係る本発明の立体パズルは、全ての正多面体をも構成する最小数のアトムα、β、γ、δに加えてεを用いることにより、アトムαを用いずに立方体及び正十二面体を形成することができる。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、最小数のアトムα、β、γ、δに加えてアトムεを用いて正多面体を作り上げるものであり、上記定理１を視覚的に説明することができるとともに、５番目のアトムであるεを用いた変形例によって両者を比較することができるという優れた効果を奏する。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、教育用教材としても優れている。
【００６４】
（実施形態３）
本実施形態においては、実施形態１のアトムαを用いずに正四面体１００、立方体２００及び正八面体３００を形成することができる立体パズルの例について説明する。
【００６５】
図２２を参照する。図２２（ａ）は、図７（ｅ）に示したアトムα１１０をとり、眺める方向を変えて示したものである。つぎに、頂点Ｌから辺ＪＨに垂線を下ろし、その足をＷとして、図２２（ｂ）のようにアトムα１１０を２つに切り分ける。すると、左側の四面体１２１は正四面体１００を１つの頂点から垂直に３等分したものとなり、図２２（ｃ）のように、これを鏡映対称な２個の四面体１５１及び１５２に切り分けることができる。図２２（ｃ）に示すこの四面体１５１をアトムとし、ζと定義する。アトムζ１５１の展開図を図２３に示す。各辺の寸法は比で示している。アトムζ１５１は、図２２（ｃ）に示すように、辺ＬＭ１、Ｍ１Ｌ１、Ｌ１Ｍ１、Ｍ１Ｊ、ＪＭ１、Ｍ１Ｌ．ＬＬ１、ＬＪ及びＬ１Ｊを有する四面体（凸多面体）である。アトムζは、以下の式（１７）を満たす。なお、図２２（ｃ）に示したように、アトムζは、その鏡面対アトムζ’１５２が存在する。
【数１７】
2010017518.tif 000019
【００６６】
また、図２２（ｂ）の右側の四面体１２３に対しては、それと鏡映対称な四面体１２４を作り、三角形ＨＬＷの面で抱き合わせる（接合させる）。図２２（ｄ）はこの方法から得られた四角錐で、アトムβ２１０とアトムγ２０３と予想外の形で結び付けられる。
【００６７】
これを示すため、まずアトムγ２０３に着目する。これはやや紬長の三角錐であるが、図２４のように、アトムγの先端をアトムθ８００だけ切り取る。すると、それぞれの多面体の展開図は図２５及び図２６のようになる。アトムγ２０３からアトムθ８００を切り取った多面体をアトムη９００と定義する。それぞれの展開図である図２５及び図２６では各辺の寸法は比で示す。なお、アトムη９００及びθ８００は、それらの鏡面対η’９０１及びθ’８０１が存在する。
【００６８】
アトムθ８００は、図２５に示すように、辺ＶＯ１、Ｏ１Ｐ１、Ｐ１Ｏ１、Ｏ１Ｎ１、Ｎ１Ｏ１、Ｏ１Ｖ、ＶＰ１、ＶＮ１及びＮ１Ｐ１を有する四面体（凸多面体）である。なお、アトムθは、その鏡面対アトムθ’８０１が存在する。アトムθは以下の式（１８）及び式（１９）を満たす。
【数１８】
2010017518.tif 000020
【数１９】
2010017518.tif 000021
【００６９】
アトムη９００は、図２５に示すように、辺Ｏ１Ｎ１、Ｎ１Ｏ１、Ｏ１Ｐ１、Ｐ１Ｏ１、Ｏ１Ｃ、ＣＴ、ＴＣ、ＣＲ、ＲＣ、ＣＯ１、Ｎ１Ｐ１、Ｐ１Ｔ、ＴＲ及びＮ１Ｒを有する５面体（凸多面体）である。なお、アトムη９００は、その鏡面対アトムη’９０１が存在する。
【００７０】
図２６はアトムη９００の展開図で、アトムηは以下の式（２０）を満たす。
【数２０】
2010017518.tif 000022
【００７１】
３種類のアトムβ２１０、η９００、θ８００を１個ずつ組み合わせると、図２２（ｄ）に示した四角錐７０１を作ることができる。
【００７２】
この四角錐７０１にアトムζ１５１を４個加えると、アトムα１１０の２個分、つまり図２７に示す多面体７００が得られる。上述したとおり、正四面体はζ１５１が１６個、β２１０とη９００とθ８００とが４個ずつ、合計β４ζ１６η４θ４（β２β’２ζ８ζ’８η２η’２θ２θ’２）で構成される。なお、すでに指摘したように、ζ６からも正四面体２００は構成される。
【００７３】
正四面体をこの方法で構成すると、アトムα１１０を使っていた構成はすべてこれに置き換えられ、β２１０、ζ１５１、η９００、θ８００の４つのアトムによる正四面体１００と立方体２００と正八面体３００はそれぞれ、
正四面体・・・・・・・・・・・・β４ζ１６η４θ４ζ６（β２β’２ζ８ζ’８η２η’２θ２θ’２ζ３ζ’３）
立方体・・・・・・・・・・・・・・β１６ζ１６η１６θ１６（β８β’８ζ８ζ’８η８η’８θ８θ’８）
正八面体・・・・・・・・・・・・β２４η２４θ２４（β１２β’１２η１２η’１２θ１２θ’１２）
となる。これによって、構成に使用するアトムの個数は大幅に増加するが、アトムの種類が１種類だけ多くなる。
【００７４】
本実施形態１に係る本発明の立体パズルにおいては、全ての正多面体をも構成する最小数のアトムα、β、γ、δで構成することができる例について説明したが、本実施形態３に係る本発明の立体パズルは、アトムαを用いずに正四面体、立方体及び正十二面体を形成することができる。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、アトムαを別のアトムの組み合わせによって実現し、アトムαを用いずに正四面体、立方体及び正十二面体を形成することができるので、上記定理１を視覚的に説明することができるとともに、６番目〜８番目のアトムであるζ、θ、ηを用いた変形例によって両者を比較することができるという優れた効果を奏する。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、教育用教材としても優れている。
【図面の簡単な説明】
【００７５】
【図１】本発明の一実施形態に係る立体パズル（正四面体）１００を示した図である。
【図２】（ａ）は立方体２００を示した図であり、（ｂ）は頂点Ｂを含む三角錐２０１を切り離した図である。
【図３】（ａ）は４個の三角錐２０１から四角錐３０１を形成する様子を示した図であり、（ｂ）は２つの四角錐３０１から正八面体３００を形成する様子を示した図である。
【図４】（ａ）は三角錐２０１の３辺上に３点Ｑ、Ｔ、Ｕをそれぞれ置いた図であり、（ｂ）は三角錐２０１から頂点Ａを含む三角錐２０３を切り離した図である。
【図５】（ａ）及び（ｂ）は頂点Ｃ、Ｆを含む三角錐２０３を切り離した図であり、（ｃ）は七面体２０７とその鏡映対称な七面体２０９とのペアを４個ずつから正二十面体４００を形成した図である。
【図６】（ａ）は正十二面体５００示した図であり、（ｂ）は４頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを通る平面及び４頂点Ａ、Ｂ、Ｅ、Ｆを通る平面で右部を切り離した図であり、（ｃ）は切り離しにより中央に立方体２００が残る様子を示した図である。
【図７】（ａ）は正四面体１００再掲した図であり、（ｂ）は４辺ＡＦ、ＦＣ、ＣＨ、ＨＡの中点Ｉ、Ｊ、Ｋ、Ｌを通る平面で正四面体１００を切断した図であり、（ｃ）プリズム１０１を取り出した図であり、（ｄ）は辺ＦＨの中点をＭとして、３点Ｊ、Ｌ、Ｍを通る平面で切断した図であり、（ｅ）は五面体１０３を２個ずつの合同な四面体１１０と１１１とに分けた図である。
【図８】本発明の一実施形態に係る立体パズルを構成するアトムαの形状をしたピース１１０の展開図を示した図である。
【図９】（ａ）はイクイヘプタ２０７を再掲した図であり、（ｂ）はイクイヘプタ２０７が３個の立体に分かれる様子を示した図である。
【図１０】本発明の一実施形態に係る立体パズルを構成するアトムβの形状をしたピース２１０展開図である。
【図１１】本発明の一実施形態に係る立体パズルを構成するアトムγの形状をしたピース２０３の展開図である。
【図１２】（ａ）は本発明の一実施形態に係るルーフ５０１を再掲した図であり、（ｂ）は本発明の一実施形態に係る立体パズルを構成するアトムδの形状をしたピース５１０を示した図である。
【図１３】本発明の一実施形態に係る立体パズルを構成するアトムδの形状をしたピース５１０の展開図である。
【図１４】本発明の一実施形態に係る立方体の立体パズル２００を示した図である。
【図１５】本発明の一実施形態に係る三角錐のパーツ２０１をアトムβの形状をしたピース２１０からなるパーツ２０７とアトムγの形状をしたピース２０３を用いて構成した図である。
【図１６】本発明の一実施形態に係るパーツ２０７を３個のアトムβの形状をしたピース２１０を用いて構成した図である。
【図１７】本発明の一実施形態に係る正八面体の立体パズル３００を示した図である。
【図１８】本発明の一実施形態に係る正十二面体の立体パズル５００を示した図である。
【図１９】本発明の一実施形態に係る正二十面体の立体パズル４００を示した図である。
【図２０】（ａ）は、ルーフ５０１が立方体２００の内部に収まるように裏返した様子を示した図であり、（ｂ）は、本発明の一実施形態に係る六面体６０１を示した図であり、（ｃ）は六面体６０１の展開図を示し、（ｄ）は鏡映対称な２個の六面体６０１及び６０２で立方体２００の内部を充填したときの様子を示した図である。
【図２１】本発明の一実施形態に係るアトムεの形状をしたピース６１０の展開図である。
【図２２】（ａ）は、アトムαの形状をしたピース１１０を再掲した図であり、（ｂ）はピース１１０を四面体１２１と四面体１２３に切り分けた図であり、（ｃ）本発明の一実施形態に係るアトムζの形状をしたピース１５１とアトムζ’の形状をしたピース１５２に切り分けた図であり、（ｄ）は四面体１２３と四面体１２４を接合させた四角錐７０１を示した図である。
【図２３】本発明の一実施形態に係るアトムζの形状をしたピース１５１の展開図である。
【図２４】アトムγの形状をしたピース２０３の先端を、本発明の一実施形態に係るアトムθの形状をしたピース８００とアトムηの形状をしたピース９００に切り分けた様子を示した図である。
【図２５】本発明の一実施形態に係るアトムθの形状をしたピース８００の展開図である。
【図２６】本発明の一実施形態に係るアトムηの形状をしたピース９００の展開図である。
【図２７】本発明の一実施形態に係るアトムα２個分の多面体の形状をしたピース７００を示した図である。
【符号の説明】
【００７６】
１００  正四面体
１０１  プリズム
１０３  五面体
１１０  アトムα
１１１  アトムα’
１２１  四面体ＬＪＫＷ
１２３  四面体ＬＨＫＷ
１２４  四面体１２３の鏡映体
１５１  アトムζ
１５２  アトムζ’
２００  立方体
２０１  正三角錐
２０３  ゴールデンテトラ（アトムγ）
２０４  アトムγ’
２０５  正三角錐からゴールデンテトラを除いた多面体
２０７  イクイヘプタ
２０９  イクイヘプタの鏡映体
２１０  アトムβ
２１１  アトムβ’
３００  正八面体
３０１  四角錐
４００  正二十面体
５００  正十二面体
５０１  ルーフ
５１０  アトムδ
６０１  六面体
６０２  六面体６０１の鏡映体
６１０  アトムε
６１１  アトムε’
７００  α２
７０１  四角錐ＬＨＫＷＫ’
８００  アトムθ
８０１  アトムθ’
９００  アトムη
９０１  アトムη’
【図１】
2010017518.tif 000023
【図４】
2010017518.tif 000024
【図５】
2010017518.tif 000025
【図７】
2010017518.tif 000026
【図８】
2010017518.tif 000027
【図９】
2010017518.tif 000028
【図１０】
2010017518.tif 000029
【図１１】
2010017518.tif 000030
【図１２】
2010017518.tif 000031
【図１３】
2010017518.tif 000032
【図１４】
2010017518.tif 000033
【図１５】
2010017518.tif 000034
【図１６】
2010017518.tif 000035
【図１７】
2010017518.tif 000036
【図１８】
2010017518.tif 000037
【図１９】
2010017518.tif 000038
【図２１】
2010017518.tif 000039
【図２２】
2010017518.tif 000040
【図２３】
2010017518.tif 000041
【図２４】
2010017518.tif 000042
【図２５】
2010017518.tif 000043
【図２６】
2010017518.tif 000044
【図２７】
2010017518.tif 000045
【図２】
2010017518.tif 000046
【図３】
2010017518.tif 000047
【図６】
2010017518.tif 000048
【図２０】
2010017518.tif 000049
【手続補正書】
【提出日】平成21年3月9日(2009.3.9)
【手続補正１】
【補正対象書類名】特許請求の範囲
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【特許請求の範囲】
【請求項１】
４種類の凸多面体からなる正四面体、立方体、正八面体、正十二面体又は正二十面体を形成する立体パズルであって、
前記４種類の凸多面体のうちの３種類は、それぞれ、鏡映関係にある一対の凸多面体を有し、
前記４種類の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な形状の凸多面体に分割することができず、且つ、
正四面体、立方体、正八面体、正十二面体及び正二十面体は、前記４種類の凸多面体のみを用いて、それらの内部を充填するように形成されることを特徴とする立体パズル。
【請求項２】
５種類の凸多面体からなる正四面体、立方体、正八面体、正十二面体又は正二十面体を形成する立体パズルであって、
前記５種類の凸多面体のうちの４種類は、それぞれ、鏡映関係にある一対の凸多面体を有し、
前記５種類の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な形状の凸多面体に分割することができず、且つ、
正四面体、立方体、正八面体、正十二面体及び正二十面体は、前記５種類の凸多面体のみを用いて、それらの内部を充填するように形成されることを特徴とする立体パズル。
【手続補正２】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０００４
【補正方法】変更
【補正の内容】
【０００４】
本発明の一実施形態によると、４種類の凸多面体からなる正四面体、立方体、正八面体、正十二面体又は正二十面体を形成する立体パズルであって、前記４種類の凸多面体のうちの３種類は、それぞれ、鏡映関係にある一対の凸多面体を有し、前記４種類の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な形状の凸多面体に分割することができず、且つ、正四面体、立方体、正八面体、正十二面体及び正二十面体は、前記４種類の凸多面体のみを用いて、それらの内部を充填するように形成されることを特徴とする立体パズルが提供される。
【手続補正３】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０００５
【補正方法】変更
【補正の内容】
【０００５】
また、本発明の一実施形態によると、５種類の凸多面体からなる正四面体、立方体、正八面体、正十二面体又は正二十面体を形成する立体パズルであって、前記５種類の凸多面体のうちの４種類は、それぞれ、鏡映関係にある一対の凸多面体を有し、前記５種類の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な形状の凸多面体に分割することができず、且つ、正四面体、立方体、正八面体、正十二面体及び正二十面体は、前記５種類の凸多面体のみを用いて、それらの内部を充填するように形成されることを特徴とする立体パズルが提供される。
【手続補正４】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０００６
【補正方法】削除
【補正の内容】
【手続補正５】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０００７
【補正方法】削除
【補正の内容】
【手続補正６】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０００８
【補正方法】削除
【補正の内容】