(57)【要約】【課題】高精度かつサイズ依存性を持ったばらつきモデルを作ることができる統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出方法の提供。【解決手段】多点測定した半導体デバイスの素子特性値の実測値をデバイスサイズ毎に主成分分析する（主成分分析工程）。前記デバイスサイズ毎に得られた主成分分析の結果と、予め決定したデバイスサイズ依存性と、に基づいて、複数のデバイスサイズにおける素子特性値のばらつきを再現する統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを算出する（パラメータ算出工程）。【選択図】図７
2010079418.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
多点測定した半導体デバイスの素子特性値の実測値をデバイスサイズ毎に主成分分析する主成分分析工程と、
前記デバイスサイズ毎に得られた主成分分析の結果と、予め決定したデバイスサイズ依存性と、に基づいて、複数のデバイスサイズにおける素子特性値のばらつきを再現する統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを算出するパラメータ算出工程と、
を含む統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出方法。
【請求項２】
更に、前記主成分分析によって得られた任意の２つのデバイスサイズの主成分方向と、主成分の順序を揃える主成分調整工程を含む請求項１に記載の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出方法。
【請求項３】
所定の素子特性値を変動させた場合のＳＰＩＣＥモデルの応答を用いて、前記統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを算出する請求項１又は２に記載の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出方法。
【請求項４】
前記多点測定した半導体デバイスの素子特性値の実測値には、異なる試料から取られた実測値が含まれる請求項１乃至３いずれか一に記載の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出方法。
【請求項５】
前記異なる試料から得られた実測値を用いて、試料共通のばらつき要因によるばらつきモデルと、試料固有のばらつきモデルを作成し、前記各ばらつきモデルより得られたパラメータを加算して、統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを算出する請求項１乃至４いずれか一に記載の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出方法。
【請求項６】
請求項１乃至５いずれか一に記載の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出方法を用いてランダムばらつきの統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを求め、
複数の試料から得られた実測値のばらつきから、前記ランダムばらつきを差し引いたばらつきを入力として、請求項１乃至５いずれか一に記載の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出方法を用いてランダムばらつき以外の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを求め、
前記ランダムばらつき及びランダムばらつき以外のばらつきをそれぞれ再現する統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを算出する統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出方法。
【請求項７】
多点測定した半導体デバイスの素子特性値の実測値をデバイスサイズ毎に主成分分析する主成分分析手段と、
前記デバイスサイズ毎に得られた主成分分析の結果と、予め決定したデバイスサイズ依存性と、に基づいて、複数のデバイスサイズにおける素子特性値のばらつきを再現する統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを算出するパラメータ算出手段と、
を備える統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置。
【請求項８】
更に、前記主成分分析によって得られた任意の２つのデバイスサイズの主成分方向と、主成分の順序を揃える主成分調整手段を備える請求項７に記載の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置。
【請求項９】
前記パラメータ算出手段は、所定の素子特性値を変動させた場合のＳＰＩＣＥモデルの応答を用いて、前記統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを算出する請求項７又は８に記載の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置。
【請求項１０】
異なる試料から取られた半導体デバイスの素子特性値の実測値を入力する入力手段を備える請求項７乃至９いずれか一に記載の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置。
【請求項１１】
前記異なる試料から得られた実測値を用いて、試料共通のばらつき要因によるばらつきモデルと、試料固有のばらつきモデルを作成し、前記各ばらつきモデルより得られたパラメータを加算して、統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを算出する請求項７乃至１０いずれか一に記載の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置。
【請求項１２】
予め定められた試料からランダムばらつきの統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを求め、
複数の試料から得られた実測値のばらつきから、前記ランダムばらつきを差し引いたばらつきを入力として、ランダムばらつき以外の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを求め、
前記ランダムばらつき及びランダムばらつき以外のばらつきをそれぞれ再現する統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを算出する請求項７乃至１１いずれか一に記載の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置。
【請求項１３】
多点測定した半導体デバイスの素子特性値の実測値をデバイスサイズ毎に主成分分析する処理と、
前記デバイスサイズ毎に得られた主成分分析の結果と、予め決定したデバイスサイズ依存性と、に基づいて、複数のデバイスサイズにおける素子特性値のばらつきを再現する統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを算出する処理とを、
コンピュータに実行させる統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出プログラム。
【請求項１４】
更に、前記主成分分析によって得られた任意の２つのデバイスサイズの主成分方向と、主成分の順序を揃える処理を前記コンピュータに実行させる請求項１３に記載の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出プログラム。
【請求項１５】
更に、所定の素子特性値を変動させた場合のＳＰＩＣＥモデルの応答を用いて、前記統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを算出する請求項１３又は１４に記載の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出プログラム。
【請求項１６】
前記異なる試料から得られた実測値を用いて、試料共通のばらつき要因によるばらつきモデルと、試料固有のばらつきモデルを作成し、前記各ばらつきモデルより得られたパラメータを加算して、統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを算出する請求項１３乃至１５いずれか一に記載の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出プログラム。
【請求項１７】
予め定められた試料からランダムばらつきの統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを求め、
複数の試料から得られた実測値のばらつきから、前記ランダムばらつきを差し引いたばらつきを入力として、ランダムばらつき以外の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを求め、
前記ランダムばらつき及びランダムばらつき以外のばらつきをそれぞれ再現する統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを算出する請求項１３乃至１６いずれか一に記載の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出プログラム。
【請求項１８】
請求項１乃至６いずれか位置に記載の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出方法により統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを算出し、該統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを用いて、回路シミュレーションを行う回路シミュレーション方法。
【請求項１９】
請求項７乃至１２いずれか位置に記載の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置を含み、前記統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置により算出された統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを用いて回路シミュレーションを行う回路シミュレーション装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、統計ＳＰＩＣＥ（Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ  Ｐｒｏｇｒａｍ  ｗｉｔｈ  Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ  Ｃｉｒｃｕｉｔ  Ｅｍｐｈａｓｉｓ）モデルパラメータ算出方法、統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置、統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出プログラム及び回路シミュレーション方法（装置）に関する。
【背景技術】
【０００２】
デバイス特性のばらつきの存在を前提とした回路シミュレーションに用いるパラメータの算出方法がいくつか提案されている。例えば、特許文献１には、複数の素子の測定データから特性代表値を算出し、これら特性代表値と測定データに対応する関数ｆとの残差二乗和に対し、最小二乗法を適用することで、特性代表値の線形和で表される代表パラメータ行列を算出し、この代表パラメータ行列に誤差伝播の法則を適用することによりパラメータ分散行列を算出する方法が開示されている。
【０００３】
また、特許文献２には、デバイス特性の統計的性質からばらつきモデルを決定し、回路シミュレーションを行うことのできるばらつきシミュレーションシステムが開示されている。この文献では、実測データの主成分方向と合うようにモデルの主成分方向をフィッティングし、相関まで含めた統計モデルを作る方法が開示されている。
【０００４】
非特許文献１には、ランダムばらつきは、デバイスゲート面積の平方根の逆数に比例するというＰｅｌｇｒｏｍ則が記載されている。
【０００５】
【特許文献１】特開２００７−２８０１２３号公報
【特許文献２】国際公開第２００６／０１６６１１号パンフレット
【非特許文献１】M. Pelgrom, A. Duinmaijer and A. Welbers, ”Matching properties of MOS transistors,”IEEE Journal of Solid-State Circuits, Vol. 24, No. 5, pp. 1433, Oct. 1989.
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
特許文献１の方法では、ばらつき要因が複雑に絡み合った実物におけるばらつきを再現できるモデルになる保証がない。例えば、チャネル長Ｌのばらつきとオン電流値Ｉｏｎのばらつきは実測できるが、これらを矛盾無く一つの統計モデルに入れるのは難しい。チャネル長Ｌのばらつき値をそのままモデルに入れてしまうとチャネル長Ｌと強い相関のあるモデルが出来あがるが、実物のばらつきはチャネル長Ｌよりも不純物ばらつきに強く相関がある場合が観測される。このような実物と異なるばらつきを持ったモデルでモンテカルロシミュレーションを行っても正しい結果は得られない。
【０００７】
一方、特許文献２の方法によれば、ばらつき要因が複雑に絡み合った実物におけるばらつきを再現できる可能性があるが、回路中で使用されるデバイスのうち、実測されたデバイスと異なるサイズのデバイスに適正なばらつきを与えることができないという問題点がある。その理由は、特許文献２の方法は、特定のサイズのデバイスに対する統計モデルを作るため、その他のサイズのデバイスに与えるばらつきについては保証されないからである。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
本発明の第１の視点によれば、多点測定した半導体デバイスの素子特性値の実測値をデバイスサイズ毎に主成分分析する主成分分析工程と、前記デバイスサイズ毎に得られた主成分分析の結果と、予め決定したデバイスサイズ依存性と、に基づいて、複数のデバイスサイズにおける素子特性値のばらつきを再現する統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを算出するパラメータ算出工程と、を含む統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出方法が提供される。
【０００９】
ここで、主成分分析（Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ  Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ  Ａｎａｌｙｓｉｓ（ＰＣＡ））とは、多変量の計測値から変量間の相関を無くし、元の計測値の持つ情報(分散)をなるべく抽出するような低次元の変量によって元の計測値の特性を記述する分析手法である。具体例は後記する。
【００１０】
本発明の第２の視点によれば、多点測定した半導体デバイスの素子特性値の実測値をデバイスサイズ毎に主成分分析する主成分分析手段と、前記デバイスサイズ毎に得られた主成分分析の結果と、予め決定したデバイスサイズ依存性と、に基づいて、複数のデバイスサイズにおける素子特性値のばらつきを再現する統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを算出するパラメータ算出手段と、を備える統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置が提供される。
【００１１】
本発明の第３の視点によれば、多点測定した半導体デバイスの素子特性値の実測値をデバイスサイズ毎に主成分分析する処理と、前記デバイスサイズ毎に得られた主成分分析の結果と、予め決定したデバイスサイズ依存性と、に基づいて、複数のデバイスサイズにおける素子特性値のばらつきを再現する統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを算出する処理とを、コンピュータに実行させる統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出プログラムが提供される。
【発明の効果】
【００１２】
本発明によれば、高精度かつサイズ依存性を持ったばらつきモデルを作ることができる。その理由は、デバイスサイズ毎に主成分分析を行うとともに、サイズ依存性を持つ統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを算出するよう構成したことにある。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１３】
［発明の概要］
はじめに、本発明の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出方法の概要について説明する。まず、半導体デバイスの素子特性値（例えば、オン電流値Ｉｏｎ、しきい値電圧Ｖｔｈ、中間的なドレイン電流など）が多点測定される。統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置は、この実測値をデバイスサイズ（Ａ〜Ｄ）毎に主成分分析する（図５参照）。
【００１４】
上記デバイスサイズ毎に得られた主成分分析の結果に、予め決定したデバイスサイズ依存性（例えば、デバイスゲート面積ＬＷの平方根の逆数に比例する（非特許文献１））を適用して、任意のデバイスサイズにおける任意の素子特性値のばらつきを再現できる統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを算出する（図６参照）。
【００１５】
このようにすれば、測定していないデバイスサイズ（図６の左下Ｃ）を含む複数のデバイスサイズにおける任意の素子特性値のばらつきを再現できる統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータが得られ、効率の良いシミュレーションを行うことが可能になる。
【００１６】
続いて、本発明の好適な実施形態について図面を参照して詳細に説明する。
【００１７】
［第１の実施形態］
図１は、本発明の第１の実施形態に係る統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置の構成を表したブロック図である。図１を参照すると、主成分分析部１０と、パラメータ応答計算部２０と、サイズ依存性情報３０と、統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出部４０とを備えた統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置１００が示されている。
【００１８】
主成分分析部１０は、実測データ入力部１１と、主成分分析処理部１２と、主成分調整部１３とを含んで構成される。
【００１９】
実測データ入力部１１には、測定対象として選択したウェハ等から、多点測定した実測データが入力される。ランダムばらつきのパラメータを抽出することを主眼に置く場合、ランダムばらつき以外のばらつきの影響を除外できるよう、狭い領域に同じデバイスを密集させたパターンを測定対象としたり、２つの隣接する特性間差の１／√２を取ることが望ましい。
【００２０】
主成分分析処理部１２は、実測データ入力部１１より入力された実測データを、デバイスサイズ別に主成分分析する。本実施形態では、あるデバイスサイズ（チャネル長Ｌ、チャネル巾Ｗ；以下、「Ｌ，Ｗ」は、チャネル長Ｌ、チャネル巾Ｗのデバイスを表す。）の素子特性をＩｉ（Ｌ，Ｗ），ｉ＝１・・・ｎと書く。ここで、ｎは、素子特性の種類であり、例えば、Ｉ１（Ｌ，Ｗ）は、デバイスサイズＬ，Ｗのオン電流値Ｉｏｎを表し、Ｉ２（Ｌ，Ｗ）は、デバイスサイズＬ，Ｗのしきい値電圧Ｖｔｈを表す。
【００２１】
主成分調整部１３は、主成分分析処理部１２によりデバイスサイズ別に主成分分析された結果を用いてモデル化した際に、不整合が生じないように主成分方向の向きを変えたり、主成分の順序の変更等の調整処理を行う。
【００２２】
パラメータ応答計算部２０は、シミュレーションに用いるＳＰＩＣＥモデルを用いて、ばらつきを与えるＳＰＩＣＥパラメータ（例えば、ＶＴＨ０，Ｕ０）を微小に変動させた場合の応答を計算する。
【００２３】
サイズ依存性情報３０は、パラメータのデバイスサイズによる依存性を定義した情報である。例えば、あるパラメータに対しては、デバイスゲート面積の平方根の逆数に比例するというＰｅｌｇｒｏｍ則を用いることができる。複雑なサイズ依存性を持つパラメータについては、後記するように、高次の項まで考えたサイズ（Ｌ，Ｗ）の関数を用いることもできる。
【００２４】
統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出部４０は、上記した調整済みの主成分分析結果と、パラメータ応答及びサイズ依存性情報を用いて、実測したデバイスサイズのみならず実測していないデバイスサイズを含む複数のデバイスサイズの素子特性値のばらつきを再現できる統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを算出する。
【００２５】
なお、図１に例示した統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置１００は、ＣＰＵ、記憶装置及び出力装置等を備えるコンピュータにより実現することができる。また、上記した主成分分析部１０及び統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出部４０は、コンピュータの記憶装置から、下記動作を実行するプログラムを読出し、ＣＰＵに実行させることにより実現することが可能である。
【００２６】
続いて、本実施形態の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置１００の動作について、図面を参照して詳細に説明する。
【００２７】
図２は、本実施形態の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置１００において実行される処理の一例を表したフローチャートである。以下、図２を参照しつつ、統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置１００により実行される各処理と、各処理に必要な事前準備について項目別に説明する。
【００２８】
はじめに、実測データ入力部１１に、測定対象として選択したウェハ等から多点測定した実測データＩｉ（Ｌ，Ｗ），ｉ＝１・・・ｎが入力される（ステップＳ００１）。
【００２９】
次に、主成分分析処理部１２が、実測データＩｉ（Ｌ，Ｗ），ｉ＝１〜ｎを主成分分析する（ステップＳ００２）。
【００３０】
［主成分分析］
ここで、主成分分析について説明する。まず、サイズＬ，Ｗ別に、実測データＩｉ（Ｌ，Ｗ），ｉ＝１・・・ｎの共分散行列を計算する。共分散行列Ｖ（Ｌ，Ｗ）とすると、次式で与えられる。ここで、μｉは、サイズ別の実測データＩｉ（Ｌ，Ｗ）の期待値である。
【００３１】
【数１】
2010079418.tif 000003
【００３２】
次に、上記共分散行列Ｖ（Ｌ，Ｗ）を対角化する。上記［数１］のとおりの共分散行列Ｖ（Ｌ，Ｗ）は、対称行列であるので、直交行列を用いて次式のように対角化できる。なお以下、行列Ａの転置行列をＡＴと表すものとする。
【００３３】
【数２】
2010079418.tif 000004
【００３４】
上記［数２］のＵ（Ｌ，Ｗ）を一行ｎ列の行列（ｅ１，ｅ２，・・・，ｅｎ）と書くと、上記［数２］は、ばらつきを主成分方向ｅ１，ｅ２，・・・，ｅｎに主成分分解することを意味する。
【００３５】
ここで、Σ（Ｌ，Ｗ）は、固有値の平方根を対角成分に持つ対角行列であり、Σ＝ｄｉａｇ（σ１，σ２，・・・，σｎ）と書くことができる。このとき、σｉは、各主成分方向に沿ったばらつきの標準偏差を表す。
【００３６】
また、上記［数２］は二次形式の形をしており、Ｕ（Ｌ，Ｗ）＝（ｅ１，ｅ２，・・・，ｅｎ）の任意の列の符号を変える操作ができる。また、Ｕ（Ｌ，Ｗ）の列とΣ（Ｌ，Ｗ）の順序を同時に入れ替える操作を行うこともできる。これらを利用して、Σ（Ｌ，Ｗ）中のσｉが大きい順に並ぶように列ベクトルＵ（Ｌ，Ｗ）の列を入れ替えることで、サイズＬ，Ｗについての主成分分析が完了する。
【００３７】
上記主成分分析をデバイスサイズ毎に行うことで、各デバイスサイズのＵ（Ｌ，Ｗ）、Σ（Ｌ，Ｗ）が計算される。
【００３８】
［主成分方向等の調整］
次に、主成分調整部１３が、主成分分析処理部１２より出力された主成分分析の結果を検査し、必要があれば調整を行う（ステップＳ００３）。以下、主成分分析結果の調整処理について説明する。
【００３９】
同じプロセスで製造されたデバイスで、サイズが近ければ、ばらつきの物理的要因が似ており主成分方向は似通っていると考えられる。しかしながら、主成分方向の符号がデバイスサイズによって変わってしまうケースが発生しうる。これは、前述したように、Ｕ（Ｌ，Ｗ）＝（ｅ１，ｅ２，・・・，ｅｎ）の任意の列の符号を変える操作が可能であることによる。また、デバイスサイズによってばらつきの感度が変わり、主成分の順序が変わってしまうこともありうる。
【００４０】
図３は、上記主成分方向の符号が異なっているケースを説明するための図である。図中の矢線は、デバイスサイズＡ〜Ｄの規格化された主成分方向を表している。図３の例では、デバイスサイズＤの第１主成分方向が、デバイスサイズＡ〜Ｃの第１主成分方向と、逆になってしまっている。
【００４１】
このように主成分方向の符号が異なったり、順序が異なる主成分分析結果から後記するサイズ依存式を用いてモデルを作成すると、符号が変わるサイズの間も補間するようにモデル化が行われるため、実用的なモデルを作成することができない。
【００４２】
図４は、図３の主成分分析結果のうち、Ａ、Ｂ、Ｄを用いてモデルを作成し、シミュレーションを行った結果である。図４を参照すると、デバイスサイズＡ、Ｂ、Ｄにおいては黒い丸がプロットされたシミュレーション結果と、白い丸がプロットされた実測データのばらつきは、おおよそ一致しており、ばらつきをよく再現していることがわかる。しかし、デバイスサイズＣの黒い丸がプロットされた領域は第１主成分方向がつぶれてしまっており、また、実測データのばらつきとも一致していない。
【００４３】
そこで、主成分調整部１３は、下記のようにして主成分分析処理部１２より出力された主成分分析の結果を検査する。
【００４４】
まず、Ｕ（Ｌ，Ｗ）＝（ｅ１（Ｌ，Ｗ），ｅ２（Ｌ，Ｗ），・・・，ｅｎ（Ｌ，Ｗ））を縦ベクトルを並べたものとみなし、デバイスサイズ的に隣接するデバイス間で、ｉ番目の縦ベクトルｅｉ（Ｌ，Ｗ）同士が近い方向を向いていることを確認する。例えば、図３の矢線Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ間の内積を計算することで、近い方向を向いている否かを判別することができる。
【００４５】
前記計算した内積が０又は０に近い値を持った場合は、主成分の順序が入れ替わっていると考えられる。また、前記計算した内積が負の値になった場合は、隣接するデバイス間で符号が変っている。
【００４６】
主成分調整部１３は、上記のように隣接するサイズのデバイス間で内積が０又は０に近い値となった場合は、内積の絶対値が最も大きくなるように順序を入れ替える。そして次に、主成分調整部１３は、内積が負になる主成分方向の符号を反転する。
【００４７】
上記調整は、修正するデバイスサイズのＵ（Ｌ，Ｗ）Σ（Ｌ，Ｗ）に主成分調整行列Ｔ（Ｌ，Ｗ）を右から掛けることで実行する。例えば、第１主成分の符号を反転し、かつ、第２第３主成分の順序を入れ替えるときの主成分調整行列Ｔ（Ｌ，Ｗ）は次式で表される。
【００４８】
【数３】
2010079418.tif 000005
【００４９】
上述した［数２］は、上記主成分調整Ｔ（Ｌ，Ｗ）を用いて次式のように書き換えることができる。
【００５０】
【数４】
2010079418.tif 000006
【００５１】
上記検査及び調整処理は、各デバイスサイズの主成分分析の結果に、サイズ間で矛盾があるか否かを検査し、もし、矛盾があればこれを解消できる主成分調整行列Ｔ（Ｌ，Ｗ）を選択する操作に相当する。
【００５２】
図５は、図３のデバイスサイズＤの第１主成分方向の符号を反転させた状態を表していいる。
【００５３】
図６は、図５の主成分分析結果のうち、Ａ、Ｂ、Ｄを用いてモデルを作成し、シミュレーションを行った結果である。図６を参照すると、デバイスサイズＣにおいても図４と異なり、ばらつきをよく再現していることがわかる。
【００５４】
［多種のサイズをまとめた行列Ｕの作成］
上記隣接サイズ間の調整の後に得られたＵ（Ｌ，Ｗ）Σ（Ｌ，Ｗ）Ｔ（Ｌ，Ｗ）をデバイスサイズ（Ｎ種のサイズがあるものとする。）順に、縦に並べて行列Ｕを得ることができる。この行列Ｕは、次式のようなＮ×ｎ行、ｎ列の行列となる。
【００５５】
【数５】
2010079418.tif 000007
【００５６】
次に、パラメータ応答計算部２０がデバイスサイズ毎にＳＰＩＣＥモデルのパラメータ応答を計算する（ステップＳ００４）。以下、パラメータ応答の算出方法について説明する。
【００５７】
［パラメータ応答］
ばらつきを与えるＳＰＩＣＥパラメータ（ｋ個とする）をＰｊとすると、パラメータ応答は、次式により表すことができる。例えば、Ｐ１＝ＶＴＨ０、Ｐ２＝Ｕ０。
【００５８】
【数６】
2010079418.tif 000008
【００５９】
これは、各パラメータを微小に変動させて特性の応答を見ることで計算でき、［数６］は、次式のとおり書き換えることができる。Ｒｉｊ（Ｌ，Ｗ）は、ｎ行ｋ列の行列となる。
【００６０】
【数７】
2010079418.tif 000009
【００６１】
上記式により得られたＲｉｊ（Ｌ，Ｗ）をデバイスサイズ（Ｎ種）順に、対角に並べて行列Ｒを得ることができる。この行列Ｒは、次式のようなＮ×ｎ行、Ｎ×ｋ列の行列となる。
【００６２】
【数８】
2010079418.tif 000010
【００６３】
統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出部４０により統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出処理が行われる（ステップＳ００５）。
【００６４】
［サイズ依存性］
ここで、上記統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータの算出に用いられるパラメータのサイズ依存性について説明する。
【００６５】
パラメータのサイズ依存性は、サイズ（Ｌ，Ｗ）の関数であり、次式のような予め定めたｍｉ個の項の線形和であると考えることができる。
【００６６】
【数９】
2010079418.tif 000011
【００６７】
例えば、非特許文献１のＰｅｌｇｒｏｍ則は、ｍi＝１でｆｉ（Ｌ，Ｗ）＝１／ＳＱＲＴ（ＬＷ）としたものである（ＳＱＲＴ（Ｘ）はＸの平方根を表す。）。すべてのＳＰＩＣＥパラメータがＰｅｌｇｒｏｍ則に従うとする場合には、δｐｉ＝ａｉ／ＳＱＲＴ（ＬＷ）とすればよい。
【００６８】
より複雑なサイズ依存性を表現したい場合は、ｆｉｍ（Ｌ，Ｗ）で高次の項まで考えればよい。例えば、ＶＴＨ０について、ｆVTH0,1＝１／ＳＱＲＴ（ＬＷ），ｆVTH0,2＝１／ＳＱＲＴ（Ｌ），ｆVTH0,３＝１）とした場合、次式によりδＶＴＨ０を求めることができる。
【００６９】
【数１０】
2010079418.tif 000012
【００７０】
同様に、Ｕ０について、ｆU0,1＝１／ＳＱＲＴ（ＬＷ），ｆU0,2＝１）とした場合、次式によりδＵ０を求めることができる。
【００７１】
【数１１】
2010079418.tif 000013
【００７２】
上記のように適宜定めたサイズ依存式の各項を並べてサイズ依存行列Ｌ（Ｌ，Ｗ）を作成することができる。この行列Ｌ（Ｌ，Ｗ）は、次式のようなｋ行、Σｍｉ列の行列となる。
【００７３】
【数１２】
2010079418.tif 000014
【００７４】
例えば、上記［数１０］、［数１１］からサイズ依存行列Ｌ（Ｌ，Ｗ）を作成すると、サイズ依存行列は次の２行５列の行列となる。
【００７５】
【数１３】
2010079418.tif 000015
【００７６】
更に、上記のように求めたサイズ依存行列をデバイスサイズ順に縦に並べて行列Ｌを作成することができる。この行列Ｌは、次式のようなｋ×Ｎ行、Σｍｉ列の行列となる。
【００７７】
【数１４】
2010079418.tif 000016
【００７８】
［統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータの計算］
以上の行列を用いて、次式によりｍ行ｎ列の行列Ｇを求めることができる。
【００７９】
【数１５】
2010079418.tif 000017
【００８０】
この行列Ｇのｊ列が第ｊ主成分のパラメータであり、すべての和は次式で表される。
【００８１】
【数１６】
2010079418.tif 000018
【００８２】
ここで、ｘがＮ（０，１）に従うものとし、ＳＰＩＣＥでモンテカルロシミュレーションをすることにより、デバイスのばらつきを再現することができる。
【００８３】
図７は、本実施形態の方法を用いて再現したばらつき（モデル）と、実測データの分布を主成分（３次まで）／デバイスサイズ（Ａ〜Ｇの７種）毎にプロットした図である。同図をみれば明らかなとおり、デバイスサイズの違いによる素子特性値の変化にもよく追随できていることがわかる。
【００８４】
図８は、特許文献２の方法を用いデバイスサイズＤでフィッティングして再現したばらつき（モデル）と、実測データの分布を主成分（３次まで）／デバイスサイズ（Ａ〜Ｇの７種）毎にプロットした図である。デバイスサイズＤでフィッティングしているため、デバイスサイズＤではよく再現されているが、大きさが異なるサイズについては、極端に精度が落ちていることがわかる。特に、デバイスサイズＦ、Ｇの第１主成分は、グラフに納まらない程のばらつきが生じてしまっている。
【００８５】
図９は、特許文献２の方法を用いデバイスサイズＤでフィッティングして再現したばらつき（モデル）に非特許文献１のＰｅｌｇｒｏｍ則によるサイズ補正を掛けた結果を表してしている。サイズ依存性が反映されたものとなっているが、デバイスサイズＡやデバイスサイズＦ、Ｇ等では、実測データに追随できていない。
【００８６】
図１０は、図７〜図９のデータを元にモデルを作成し、シミュレーションを行った結果である。上段の本発明の方法では、デバイスサイズＡ、Ｄ、Ｇのすべてのサイズで実測データの分布を再現できているのに対し、中段の特許文献２の方法（サイズ補正無し）のデバイスサイズＧで、極端に分布が広くなってしまっている。下段の特許文献２の方法（サイズ補正あり）においても、デバイスサイズＡで第２主成分方向の広がりが過大となっており、また、デバイスサイズＧでは第１主成分方向の広がりが再現できていない。
【００８７】
上記のように、主成分分析結果のサイズ間の調整を行う本実施形態によれば、精度が高く、サイズ依存性を再現できる統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを作成することができる。
【００８８】
［第２の実施形態］
続いて、図１１は、本発明の第２の実施形態に係る統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置の構成を表した図である。図１に示した第１の実施形態の構成との相違点は、成分分離部４２が追加されている点である。
【００８９】
本実施形態の統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置は、異なる測定対象から測定されたデータを取り込み、より精度の高い統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを作成することができる。以下、統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータの精度向上方法について説明する。
【００９０】
上述した実測データＩｉ（Ｌ，Ｗ），ｉ＝１・・・ｎとは別の測定対象（例えば、別のウェハ）から、より限定的なばらつきが原因の別の特性に関する実測データを利用することを考える。
【００９１】
例えば、デバイスサイズＬ，Ｗのばらつきが測定された場合、特性Ｌ，Ｗのばらつきは、パラメータＬ，Ｗのばらつきのみで決定され、他のばらつきによらない。このような意味で、以下、上記特性Ｌ，Ｗのような特性を「限定的なばらつきが原因の特性」という。この測定対象をＪｊと書く（例えば、Ｊ１＝Ｌ，Ｊ２＝Ｗ）。
【００９２】
上述した実測データＩｉ（Ｌ，Ｗ）のばらつきには、Ｊｊのばらつきと共通のばらつき要因によるものとＩｉ（Ｌ，Ｗ）に固有のばらつき要因のものがある。本実施形態は、Ｊｊのばらつきの成分を解析し、Ｉｉ（Ｌ，Ｗ）のばらつき成分のうちＪｊに含まれないものを取り出して、より精密なモデルを作成するものである。
【００９３】
例えば、別のウェハからデバイスサイズＬ，Ｗのばらつきが得られている場合、サイズばらつきモデルを作った後、サイズばらつき以外に起因するばらつきモデルを作ることができる。
【００９４】
具体的には、上述した第１の実施形態と同様の手順（図２参照）により、Ｊｊから最終的に［数１５］により行列Ｇｊと、［数１６］のｐｋをｑｊに置き替えてδｑｊを求めることができる。ここで、ｑｊはＳＰＩＣＥパラメータで、上記δｐｋと同じ組である必要はない。
【００９５】
上記のように異なる測定対象から測定されたデータＪｊから得られた結果を用いて、成分分離部４２は、Ｒｊ＝（∂Ｉｉ／∂ｑｊ）を求め、Ｖｎｅｗ＝Ｖ−ＲｊＧｊ（ＲｊＧｊ）Ｔとして主成分分析部１０に入力する。ここで、ＶはＩｉから作った共分散行列である。上記第１の実施形態と同様の手順（図２参照）を用いて、このＶｎｅｗからδｐｉを求め、δｐｉ＋δｑｊを統計ＳＰＩＣＥパラメータとすることができる。
【００９６】
［第３の実施形態］
続いて、ランダムばらつきとランダムばらつき以外のばらつきを精密にモデル化できるようにした本発明の第３の実施形態について説明する。なお、本実施形態は第２の実施形態と同様の構成により実現できるため、構成の説明は省略する。
【００９７】
ランダム以外のばらつきは、Ｌ，Ｗ以外が異なるデバイスに対しても相関がある。そこで、一つのチップからとれたいろいろなサイズのデータを一つにまとめてＩｊと書く。このＩｊを多数のチップ（同一ウェハ面内多数、他ウェハ、他ロット）にわたって取り、そのばらつきから共分散共分散行列Ｖａｌｌを得ることができる。
【００９８】
但し、このＶａｌｌにはランダムばらつきが重畳している。すでに上記した第１、第２の実施形態と同様の手順により得られた行列ＧをランダムばらつきＧｒａｍｄｏｍとすると、ランダムばらつき以外のばらつきは、次式により表現できる。
【００９９】
【数１７】
2010079418.tif 000019
【０１００】
このＶｇｌｏｂａｌがランダムばらつき以外のばらつきの共分散行列である。このＶｇｌｏｂａｌに対して上記第１の実施形態と同様の手順（図２参照）を用いて、δｐｇｌｏｂａｌを求め、δｐｒａｍｄｏｍ＋δｐｇｌｏｂａｌを統計ＳＰＩＣＥパラメータとすることができる。
【０１０１】
図１２は、δｐｒａｍｄｏｍ＋δｐｇｌｏｂａｌをイメージ化した図である。図１２左上のヒストグラムは、第１、第２の実施形態と同様の手順により得られたランダムばらつきδｐｒａｍｄｏｍを表している。図１２左下のヒストグラムは、上記Ｖｇｌｏｂａｌから得られたランダムばらつき以外のばらつきδｐｇｌｏｂａｌを表している。ランダムばらつきδｐｒａｍｄｏｍは、Ｎ（μ１，σ１２）でモデル化することができる。また、ランダムばらつき以外のばらつきδｐｇｌｏｂａｌも同様に、Ｎ（μ２，σ２２）でモデル化することができる。
【０１０２】
実際には、ランダムばらつきδｐｒａｍｄｏｍと、ランダムばらつき以外のばらつきδｐｇｌｏｂａｌが加算されるため、図１２の右図のように、ランダムばらつきδｐｒａｍｄｏｍは、ランダムばらつき以外のばらつきδｐｇｌｏｂａｌと重なりあって、同図太線のように観測される。
【０１０３】
本実施形態は、実測データに潜む、上記ランダムばらつきδｐｒａｍｄｏｍとそれ以外のばらつきδｐｇｌｏｂａｌとを分離してモデル化するものであるため、より正確なモデルを再現することが可能になる。
【０１０４】
以上、本発明の好適な実施形態を説明したが、本発明は、上記した実施形態に限定されるものではなく、本発明の基本的技術的思想を逸脱しない範囲で、更なる変形・置換・調整を加えることができる。例えば、上記した実施形態で紹介した数式等は各種の変更を加えることが可能である。
【０１０５】
また、上記した統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置に、上記算出した統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータを用いて回路シミュレーションを行う手段を備えれば、精緻な回路シミュレーションを短時間で実施できる回路シミュレーション装置を得ることができる。また、同装置を用いて短時間で精緻な回路シミュレーション方法を実施することができる。
【図面の簡単な説明】
【０１０６】
【図１】本発明の第１の実施形態に係る統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置の構成を表したブロック図である。
【図２】本発明の第１の実施形態に係る統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置の動作を説明するためのフローチャートである。
【図３】主成分方向の調整処理を説明するための図である。
【図４】主成分方向の調整処理を行わないでシミュレートした結果を示す図である。
【図５】主成分方向の調整処理を説明するための図である。
【図６】主成分方向の調整処理を実施した後、シミュレートした結果を示す図である。
【図７】本発明の第１の実施形態の方法を用いて再現したばらつき（モデル）と、実測データの分布を主成分／デバイスサイズ毎にプロットした図である。
【図８】特許文献２の方法（サイズ補正なし）を用いて再現したばらつき（モデル）と、実測データの分布を主成分／デバイスサイズ毎にプロットした図である。
【図９】特許文献２の方法（サイズ補正あり）を用いて再現したばらつき（モデル）と、実測データの分布を主成分／デバイスサイズ毎にプロットした図である。
【図１０】図７〜図９の結果を用いてシミュレートを行った結果を示す図である。
【図１１】本発明の第２の実施形態に係る統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置の構成を表したブロック図である。
【図１２】本発明の第３の実施形態に係る統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置の原理を説明するための図である。
【符号の説明】
【０１０７】
１０  主成分分析部
１１  実測データ入力部
１２  主成分分析処理部
１３  主成分調整部
２０  パラメータ応答計算部
３０  サイズ依存性情報
４０  統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出部
４２  成分分離部
５０  統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ
１００  統計ＳＰＩＣＥモデルパラメータ算出装置
【図１】
2010079418.tif 000020
【図２】
2010079418.tif 000021
【図３】
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【図４】
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【図５】
2010079418.tif 000024
【図６】
2010079418.tif 000025
【図７】
2010079418.tif 000026
【図８】
2010079418.tif 000027
【図９】
2010079418.tif 000028
【図１０】
2010079418.tif 000029
【図１１】
2010079418.tif 000030
【図１２】
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