(57)【要約】【課題】対になった２つの変数をもつ複数のデータに対して、その散布図におけるデータ点の分布領域を確率楕円とは異なる方法で描画する。【解決手段】対になった２つの変数をもつ複数のデータを選択する。そのデータの散布図の領域を任意の点である領域の分割中心点から放射線状に分割する。分割領域ごとに分割中心点から最大距離にあるデータ点をデータ点分布の代表点として選定する。それらの代表点を結線して分布領域表示線を描画する。【選択図】図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
対になった２つの変数をもつ複数のデータに対して、その散布図の領域を任意の点である領域の分割中心点から放射線状に２つ以上の領域に分割し、分割領域ごとに前記分割中心点から最大距離にあるデータ点をデータ点分布の代表点として選定する分布代表点選定ステップと、
前記代表点を結線して分布領域表示線を描画する分布領域描画ステップと、を含んだ散布図におけるデータ点の分布領域描画方法。
【請求項２】
前記分布領域描画ステップは、前記代表点を前記分布領域表示線が交差しない順番に結線して前記分布領域表示線を描画する請求項１に記載の分布領域描画方法。
【請求項３】
前記分布代表点選定ステップは、前記複数のデータ点の分布領域の中心又は重心を前記分割中心点として用いる請求項１又は２に記載の分布領域描画方法。
【請求項４】
前記分布代表点選定ステップは、前記分割領域のうちデータ点のない分割領域がある場合に、前記分割中心点を前記代表点として選定する請求項１から３のいずれか一項に記載の分布領域描画方法。
【請求項５】
前記分布代表点選定ステップは、前記複数のデータ点の回帰直線に対して角度をもつように前記分割領域を画定するための線を設定する請求項１から４のいずれか一項に記載の分布領域描画方法。
【請求項６】
前記分布代表点選定ステップは、前記代表点を選定した後、隣り合う２つの前記分割領域を検討領域とし、前記検討領域内において、前記分割中心点を始点とし各データ点を終点とするベクトルの、前記検討領域における２つの前記分割領域が接する線が前記分割中心点を始点として延びる方向の成分の大きさがいずれの前記代表点の前記成分の大きさよりも大きいデータ点のうち、前記成分の大きさが最も大きいデータ点を代表点として追加する請求項１から５のいずれか一項に記載の分布領域描画方法。
【請求項７】
前記検討領域内に前記成分の大きさが最も大きいデータ点が２つ以上ある場合は、前記分割中心点に最も近いデータ点を前記代表点として追加する請求項６に記載の分布領域描画方法。
【請求項８】
前記分布代表点選定ステップは、前記代表点を選定した後、領域を分割するのに用いた、前記分割中心点を始点とする線が延びる方向ごとに、前記分割中心点を始点とし各データ点を終点とするベクトルの前記方向の成分の大きさがいずれの前記代表点の前記成分の大きさよりも大きいデータ点のうち、前記成分の大きさが最も大きいデータ点を代表点として追加する請求項１から５のいずれか一項に記載の分布領域描画方法。
【請求項９】
領域を分割するのに用いた、前記分割中心点を始点とする前記線が延びる方向に前記成分の大きさが最も大きいデータ点が２つ以上ある場合は、前記分割中心点に最も近いデータ点を前記代表点として追加する請求項８に記載の分布領域描画方法。
【請求項１０】
前記分布代表点選定ステップは、前記代表点の選定を、前記分割中心点の値を互いに異ならせて複数回行なう請求項１又は２に記載の分布領域描画方法。
【請求項１１】
前記分布代表点選定ステップは、最初の前記代表点の選定処理で前記分割領域のうちデータ点のない分割領域がある場合に、最初の前記代表点の選定処理よりも後で行なう前記代表点の選定処理で、最初の前記代表点の選定処理における前記分割中心点に対して前記データ点のない分割領域に対向する分割領域に前記分割中心点を設定して前記代表点を選定する請求項１０に記載の分布領域描画方法。
【請求項１２】
前記分布代表点選定ステップは、複数回の前記代表点の選定処理のうちの１回で前記複数のデータ点の分布領域の中心又は重心を前記分割中心点として用いる請求項１０又は１１に記載の分布領域描画方法。
【請求項１３】
前記分布代表点選定ステップは、分割領域ごとに前記分割中心点から最小距離にあるデータ点も代表点として選定する請求項１又は２に記載の分布領域描画方法。
【請求項１４】
前記分布代表点選定ステップの前に、前記複数のデータ点について相互間距離を求め、予め定められた距離しきい値以下の相互間距離をもつデータ点同士をグループ化するグループ設定ステップを含み、
前記グループ設定ステップが設定したグループごとに前記分布代表点選定ステップ及び前記分布領域描画ステップを行なう請求項１から１３のいずれか一項に記載の分布領域描画方法。
【請求項１５】
前記分布代表点選定ステップ及び前記分布領域描画ステップは、前記グループ設定ステップが設定したグループのうち一番多くのデータ点を含むグループについてのみ処理を行なう請求項１４に記載の分布領域描画方法。
【請求項１６】
前記分布領域描画ステップは、前記分布領域表示線の輪郭が所定範囲だけ広がる方向に前記代表点に対して仮想代表点を設定し、前記仮想代表点を結線して分布領域表示線を描画する請求項１から１５のいずれか一項に記載の分布領域描画方法。
【請求項１７】
請求項１から１６のいずれか一項に記載の各ステップをコンピュータに実行させるための、散布図におけるデータ点の分布領域描画プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、散布図におけるデータ点の分布領域描画方法及びそれをコンピュータに実行させるためのプログラムに関するものである。
【背景技術】
【０００２】
散布図は、２つの変数が対になった複数のデータの関係を表すことを目的としてよく用いられている。また、２つの変数が対になった複数のデータについて回帰直線や回帰曲線を求めてそれらのデータの関係を数値化することもできる。散布図におけるデータ点の特徴を表現する方法として、例えば特許文献１〜３に開示されているものがある。
また、散布図において、各データ点を層別する情報がある場合などは、データ点を表す印の色や形を変えて表現することで、１つの散布図に複数の層のデータ点の分布を表現することもできる。
【特許文献１】特許第３６３９６３６号公報
【特許文献２】特許第３９４４４３９号公報
【特許文献３】特開２００７−２４８１９８号公報
【特許文献４】特許第３８８８９３８号公報
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００３】
上述のように、散布図は２つの変数が対になった複数のデータの相関関係を表すのに適している。
しかし、１つの散布図に表示する層の数が多く、データ点も多い場合、データ点を表す印は重なり合い、各層における分布の特徴の認識が困難であった。
また、複数の層を表示した散布図ではなくても、図自体が小さくなるとデータ点を表す印も小さくなり、分布の特徴の認識が困難になる。
このような不具合を克服するために層ごとに確率楕円を描画する方法もあるが、確率楕円は実際の分布を精度よく表現するものではない。
【０００４】
本発明の目的は、確率楕円とは異なる方法でデータ点の分布領域を描画できる散布図におけるデータ点の分布領域描画方法及び散布図におけるデータ点の分布領域描画プログラムを提供することである。
【課題を解決するための手段】
【０００５】
本発明は、対になった２つの変数をもつ複数のデータに対して、その散布図の領域を任意の点である領域の分割中心点から放射線状に２つ以上の領域に分割し、分割領域ごとに上記分割中心点から最大距離にあるデータ点をデータ点分布の代表点として選定する分布代表点選定ステップと、上記代表点を結線して分布領域表示線を描画する分布領域描画ステップと、を含んだ散布図におけるデータ点の分布領域描画方法である。
ここで、散布図とは、対になった２つの変数をもつデータを用い、２つの変数の値を平面上の座標の縦軸と横軸にとり、２つ以上のデータを点として表したものを言う。散布図は相関図とも呼ばれる。
【０００６】
本発明の分布領域描画方法において、上記分布領域描画ステップは、上記代表点を上記分布領域表示線が交差しない順番に結線して上記分布領域表示線を描画する例を挙げることができる。ただし、分布領域描画ステップは、各代表点から他のすべての代表点に線を結んで分布領域表示線を描画してもよい。
【０００７】
上記分布代表点選定ステップにおける上記分割中心点として、上記複数のデータ点の分布領域の中心又は重心を挙げることができる。
ここで、複数のデータ点の分布領域の中心とは、２つの変数が対になった複数のデータに対して変数ごとに最大値と最小値を足して２で割って求めた値の点を言う。また、複数のデータ点の分布領域の重心とは、２つの変数が対になった複数のデータに対して変数ごとに平均値を求めた値の点を言う。
【０００８】
また、上記分布代表点選定ステップは、上記分割領域のうちデータ点のない分割領域がある場合に、上記分割中心点を上記代表点として選定するようにしてもよい。ただし、分割領域のうちデータ点のない分割領域がある場合であっても、分割中心点を代表点とはしなくてもよい。
【０００９】
また、上記分布代表点選定ステップは、上記複数のデータ点の回帰直線に対して角度をもつように上記分割領域を画定するための線を設定する例を挙げることができる。
【００１０】
また、上記分布代表点選定ステップは、上記代表点を選定した後、隣り合う２つの上記分割領域を検討領域とし、上記検討領域内において、上記分割中心点を始点とし各データ点を終点とするベクトルの、上記検討領域における２つの上記分割領域が接する線が上記分割中心点を始点として延びる方向の成分の大きさがいずれの上記代表点の上記成分の大きさよりも大きいデータ点のうち、上記成分の大きさが最も大きいデータ点を代表点として追加するようにしてもよい。
さらに、上記検討領域内に上記成分の大きさが最も大きいデータ点が２つ以上ある場合は、上記分割中心点に最も近いデータ点を上記代表点として追加するようにしてもよい。ただし、上記成分の大きさが最も大きい２つ以上のデータ点の全部を代表点としてもよい。
【００１１】
また、代表点を追加で求める方法として、上記分布代表点選定ステップは、上記代表点を選定した後、領域を分割するのに用いた、上記分割中心点を始点とする線が延びる方向ごとに、上記分割中心点を始点とし各データ点を終点とするベクトルの上記方向の成分の大きさがいずれの上記代表点の上記成分の大きさよりも大きいデータ点のうち、上記成分の大きさが最も大きいデータ点を代表点として追加するようにしてもよい。
さらに、領域を分割するのに用いた、上記分割中心点を始点とする上記線が延びる方向に上記成分の大きさが最も大きいデータ点が２つ以上ある場合は、上記分割中心点に最も近いデータ点を上記代表点として追加するようにしてもよい。ただし、上記成分の大きさが最も大きい２つ以上のデータ点の全部を代表点としてもよい。
【００１２】
また、本発明の分布領域描画方法において、上記分布代表点選定ステップは、上記代表点の選定を、上記分割中心点の値を互いに異ならせて複数回行なうようにしてもよい。
この場合、上記分布代表点選定ステップは、最初の上記代表点の選定処理で上記分割領域のうちデータ点のない分割領域がある場合に、最初の上記代表点の選定処理よりも後で行なう上記代表点の選定処理で、最初の上記代表点の選定処理における上記分割中心点に対して上記データ点のない分割領域に対向する分割領域に上記分割中心点を設定して上記代表点を選定する例を挙げることができる。
また、上記分布代表点選定ステップは、複数回の上記代表点の選定処理のうちの１回で上記複数のデータ点の分布領域の中心又は重心を上記分割中心点として用いる例を挙げることができる。
【００１３】
また、本発明の分布領域描画方法において、上記分布代表点選定ステップは、分割領域ごとに上記分割中心点から最小距離にあるデータ点も代表点として選定するようにしてもよい。
【００１４】
また、本発明の分布領域描画方法において、上記分布代表点選定ステップの前に、上記複数のデータ点について相互間距離を求め、予め定められた距離しきい値以下の相互間距離をもつデータ点同士をグループ化するグループ設定ステップを含み、上記グループ設定ステップが設定したグループごとに上記分布代表点選定ステップ及び上記分布領域描画ステップを行なうようにしてもよい。
ここで、上記分布代表点選定ステップ及び上記分布領域描画ステップは、上記グループ設定ステップが設定したグループのうち一番多くのデータ点を含むグループについてのみ処理を行なうようにしてもよい。
【００１５】
また、本発明の分布領域描画方法において、上記分布領域描画ステップは、上記分布領域表示線の輪郭が所定範囲だけ広がる方向に上記代表点に対して仮想代表点を設定し、上記仮想代表点を結線して分布領域表示線を描画するようにしてもよい。
【００１６】
本発明の散布図におけるデータ点の分布領域描画プログラムは、本発明の分布領域描画方法の各ステップをコンピュータに実行させるためのプログラムである。
【発明の効果】
【００１７】
本発明の散布図におけるデータ点の分布領域描画方法は、対になった２つの変数をもつ複数のデータに対して、その散布図の領域を任意の点である領域の分割中心点から放射線状に２つ以上の領域に分割し、分割領域ごとに分割中心点から最大距離にあるデータ点をデータ点分布の代表点として選定する分布代表点選定ステップと、代表点を結線して分布領域表示線を描画する分布領域描画ステップと、を含むようにしたので、対になった２つの変数をもつ複数のデータを散布図に表示した際にデータ点の分布領域の輪郭を分布領域表示線で表すことができ、その相関関係及び分布領域をひと目で判断できる。本発明の分布領域描画方法は２つ以上の層のデータ点を重ねて１つの散布図に表現する際に特に有効である。
【００１８】
本発明の分布領域描画方法において、分布領域描画ステップは、代表点を分布領域表示線が交差しない順番に結線して分布領域表示線を描画するようにすれば、データ点の分布領域の輪郭のみを分布領域表示線として描画することができる。ただし、各代表点から他のすべての代表点に線を結んで分布領域表示線を描画した場合であっても、データ点の分布領域を表現することができる。
【００１９】
分布代表点選定ステップは、分割中心点として複数のデータ点の分布領域の中心又は重心を用いるようにすれば、本発明の各ステップをコンピュータに実行させる際に、オペレータが分割中心点を設定することなく、複数のデータに適合した分割中心点を自動で設定することができる。
【００２０】
また、分布代表点選定ステップは、分割領域のうちデータ点のない分割領域がある場合に、分割中心点を代表点として選定するようにすれば、分割中心点を代表点として選定しないときに比べて、データ点の分布領域を適切に表現することができる。
【００２１】
本発明の分布領域描画方法において、分布代表点選定ステップで分割領域を画定するための線を設定した際に、分割領域の境界線と複数のデータ点の回帰直線とが重なった場合、不適切な分布代表点が選定される不具合が発生する可能性がある。
そこで、分布代表点選定ステップは、複数のデータ点の回帰直線に対して角度をもつように分割領域を画定するための線を設定するようにすれば、このような不具合の発生を低減することができる。
【００２２】
また、上記分布代表点選定ステップは、上記代表点を選定した後、隣り合う２つの上記分割領域を検討領域とし、上記検討領域内において、上記分割中心点を始点とし各データ点を終点とするベクトルの、上記検討領域における２つの上記分割領域が接する線が上記分割中心点を始点として延びる方向の成分の大きさがいずれの上記代表点の上記成分の大きさよりも大きいデータ点のうち、上記成分の大きさが最も大きいデータ点を代表点として追加するようにすれば、データ点の分布領域をさらに適切に表現することができる。
【００２３】
さらに、検討領域内に上記成分の大きさが最も大きいデータ点が２つ以上ある場合、分割中心点に最も近いデータ点を代表点として追加するようにすれば、上記成分の大きさが最も大きい２つ以上のデータ点のうち、検討領域における２つの分割領域が接する線に最も近いデータ点を採用することができ、データ点の分布領域をより適切に表現することができる。
【００２４】
また、代表点を追加で求める方法として、上記分布代表点選定ステップは、上記代表点を選定した後、領域を分割するのに用いた、上記分割中心点を始点とする線が延びる方向ごとに、上記分割中心点を始点とし各データ点を終点とするベクトルの上記方向の成分の大きさがいずれの上記代表点の上記成分の大きさよりも大きいデータ点のうち、上記成分の大きさが最も大きいデータ点を代表点として追加するようにしても、データ点の分布領域をさらに適切に表現することができる。
【００２５】
さらに、領域を分割するのに用いた、上記分割中心点を始点とする上記線が延びる方向に上記成分の大きさが最も大きいデータ点が２つ以上ある場合、分割中心点に最も近いデータ点を代表点として追加するようにすれば、上記成分の大きさが最も大きい２つ以上のデータ点のうち、検討領域における２つの分割領域が接する線に最も近いデータ点を採用することができ、データ点の分布領域をより適切に表現することができる。
【００２６】
また、本発明の分布領域描画方法において、分布代表点選定ステップは、代表点の選定を、分割中心点の値を互いに異ならせて複数回行なうようにすれば、分布領域描画ステップでさらに適切な分布領域表示線を描画できる。
特に、分布代表点選定ステップの最初の代表点の選定処理で分割領域のうちデータ点のない分割領域がある場合に有効である。この場合、分布代表点選定ステップは、最初の代表点の選定処理よりも後で行なう代表点の選定処理で、最初の代表点の選定処理における分割中心点に対してデータ点のない分割領域に対向する分割領域に分割中心点を設定して代表点を選定するようにすればよい。
ここでも、分布代表点選定ステップは、複数回の代表点の選定処理のうちの１回で複数のデータ点の分布領域の中心又は重心を分割中心点として用いるようにすれば、本発明の各ステップをコンピュータに実行させる際に、オペレータが分割中心点を設定することなく、複数のデータに適合した分割中心点を自動で設定することができる。
【００２７】
また、本発明の分布領域描画方法において、分布代表点選定ステップは、分割領域ごとに分割中心点から最小距離にあるデータ点も代表点として選定するようにすれば、分割中心点が散布図上で各データ点のすべてを線で結んだときの外周の線よりも外側に設定された場合であっても分布領域描画ステップで適切な分布領域表示線を描画できる。
【００２８】
また、本発明の分布領域描画方法において、分布代表点選定ステップの前に、複数のデータ点について相互間距離を求め、予め定められた距離しきい値以下の相互間距離をもつデータ点同士をグループ化するグループ設定ステップを含み、グループ設定ステップが設定したグループごとに分布代表点選定ステップ及び分布領域描画ステップを行なうようにすれば、データ点のグループ化を行なえるので、グループごとに分布領域表示線を得ることができる。
さらに、上記分布代表点選定ステップ及び上記分布領域描画ステップは、上記グループ設定ステップが設定したグループのうち一番多くのデータ点を含むグループについてのみ処理を行なうようにすれば、全体のデータ点分布に対して異常な分布と思われる異常データの点を除いた分布領域表示線を描画することができる。
【００２９】
また、本発明の分布領域描画方法において、分布領域描画ステップは、分布領域表示線の輪郭が所定範囲だけ広がる方向に代表点に対して仮想代表点を設定し、仮想代表点を結線して分布領域表示線を描画するようにすれば、代表点と分布領域表示線が重なって表示されるのを防止できる。例えば、半導体ウエハにマトリクス状に配置された複数のチップ領域のうち問題のあるチップ領域の中心座標を散布図に表示する場合、分布領域表示線の輪郭を所定範囲だけ広げて表示すれば、代表点となるチップ領域全体を分布領域表示線の内側に配置することができ、問題のあるチップ領域を識別しやすくなる。
【００３０】
本発明の散布図におけるデータ点の分布領域描画プログラムは、本発明の分布領域描画方法の各ステップをコンピュータに実行させるようにしたので、コンピュータを用いて本発明の分布領域描画方法を実施することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００３１】
図１は、本発明の一実施例を説明するためのフローチャートである。図２はこの実施例で用いたデータの一部を表す図表である。図３は、図２のデータを点として表した散布図に、この実施例で領域を４分割するための線を図示した図である。図４は、図２のデータを点として表した散布図に、この実施例で領域を４分割するための線と分布領域表示線を図示した図である。図１から図４を参照してこの実施例を説明する。
【００３２】
ステップＳ１：グラフ化の対象となる関連する２種類の数値データを選択する。ここでは、図２に示す表の数値データＡと数値データＢを選択するとして説明を進める。なお、ここではデータの属性は無視した。
【００３３】
ステップＳ２：数値データＡをＸ軸に数値データＢをＹ軸に展開した際の分布領域を分割するための分割中心点を設定する。この実施例ではデータ点分布の重心を分割中心点とした。
【００３４】
ステップＳ３：分割中心点より放射線状に領域を分割する。ここでは、領域を分割するための線として、分割中心点を通り、Ｘ軸に平行な線とＹ軸に平行な線を用い、領域を４分割した（図３参照）。
【００３５】
ステップＳ４：各分割領域において分割中心点から最も離れた位置のデータ点を代表点として求める（分布代表点選定ステップ）。図３及び図４では、代表点となるデータ点を白抜きの丸印で図示し、代表点以外のデータ点を黒塗りの丸印で図示している。
【００３６】
各分割領域における代表点の求め方は種々の方法が考えられる。
例えば、まず、第１のデータ点の分割中心点からの距離の算出し、そのデータ点が属する分割領域を求める。そのデータ点の座標と分割中心点からの距離を代表点候補として記憶する。次のデータ点の分割中心点からの距離の算出し、そのデータ点が属する分割領域を求める。そのデータ点が属する分割領域に既に代表点候補がある場合は、そのデータ点の分割中心点からの距離と、代表点候補の分割中心点からの距離とを比較する。そのデータ点の分割中心点からの距離が代表点候補の分割中心点からの距離よりも大きいときは、そのデータ点の座標と分割中心点からの距離を新たな代表点候補として記憶する。また、そのデータ点の分割中心点からの距離が代表点候補の分割中心点からの距離よりも小さいときは、代表点候補の情報はそのままにしておく。また、そのデータ点の分割中心点からの距離が代表点候補の分割中心点からの距離と等しいときは、そのデータ点の座標と分割中心点からの距離を代表点候補として記憶し、もとの代表点候補の情報もそのまま記憶しておく。そのデータ点が属する分割領域に代表点候補がまだない場合は、そのデータ点座標と分割中心点からの距離を代表点候補として記憶する。その後、すべてのデータ点について上記と同様の処理を繰り返し、各分割領域における代表点候補を求める。すべてのデータ点について処理が終わった後、各分割領域における代表点候補を代表点として記憶する。
【００３７】
ただし、各分割領域における代表点の求め方はこれに限定されるものではない。例えば、各データ点について分割中心点からの距離を求めた後、各データ点を分割領域に基づいてグループ分けして、分割領域ごとに各データ点の分割中心点からの距離を比較してその距離が最も大きいデータ点を代表点とするようにしてもよい。また、各データ点を分割領域に基づいてグループ分けした後、分割領域ごとに各データ点について分割中心点からの距離を求めてその距離が最も大きいデータ点を代表点とするようにしてもよい。
【００３８】
ここで、データ点のない分割領域は代表点がないものとして以後の処理を行なってもよい。なお、データ点分布の重心を分割中心点とし、分布領域を放射線状に均等に４分割し、データ点のない分割領域がある場合、分割中心点座標をその分割領域の代表点とする方法もある。
【００３９】
ステップＳ５：各代表点を通過する線を描画することにより分布領域表示線を描画する（分布領域描画ステップ）。分布領域表示線を描画する際は、始点となる代表点から時計周り又は反時計周りに順次隣の領域の代表点を通過するように描画することにより線が交差しない分布領域表示線を描画できる（図４参照）。分布領域表示線は代表点を直線で結線したものでもよいが、図４に示すように代表点を通る滑らかな曲線を描画することが好ましい。このような曲線は、例えば、Visual BasicのDrawClosedCurve関数等を用いることにより指定した点を通る滑らかな曲線を描画することができる。
このように本発明の分布領域描画方法はデータ点分布領域を線で囲んで表現することができる。
【００４０】
図５は、図２のデータを点として表した散布図に、他の実施例で領域を８分割するための線を図示した図である。図６は、図２のデータを点として表した散布図に、他の実施例で領域を８分割するための線と分布領域表示線を図示した図である。
他の実施例を図１、図５及び図６を参照して説明する。
【００４１】
上記の実施例で説明したステップＳ１及びＳ２と同様にして、データの選択及び分割中心点の設定をする。
ステップＳ３で、分割中心点より放射線状に領域を８分割する。ここでは、領域を分割するための線として、分割中心点を通り、Ｘ軸に平行な線とＹ軸に平行な線とその線に斜め４５度の線とを用いた（図５参照）。
【００４２】
ステップＳ４で、各分割領域において分割中心点から最も離れた位置のデータ点を代表点として求める。図５及び図６では、代表点となるデータ点を白抜きの丸印で図示し、代表点以外のデータ点を黒塗りの丸印で図示している。
【００４３】
ステップＳ５で、各代表点を通過する線を描画することにより分布領域表示線を描画する。始点となる代表点から時計周り又は反時計周りに順次隣の領域の代表点を通過するように線を描画することにより線が交差しない分布領域表示線を描画できる（図６参照）。
【００４４】
なお、領域を分割するための線の角度が広い場合、分布によっては、先に述べたステップだけでは、十分に分布を表現できないことがある。例えば図７に示すような分布である。図７に示すような分布を分布の重心を分割中心点とし、分布領域を放射線状に４分割し、各分割領域において代表点を求め、代表点を通る滑らかな曲線からなる分布領域表示線を描画した状態を図８に示す。
【００４５】
図８中の白抜きの丸印は各分割領域の代表点である。図８に示すように分布領域表示線から大幅にはみ出すデータ点が発生する。
１つの対策としては、分割領域を画定するための線の角度を狭める、つまり領域の分割数を増やす方法がある。例として、分布領域を放射線状に８分割し、図８より分割領域を画定するための線の角度を狭めて代表点を求めた結果を図９に示す。図９中の白抜きの丸印は各分割領域の代表点である。図９では、図８での不具合はなく分布領域表示線を上手く表現できている。
【００４６】
また、別の対策としては、回帰直線に対して分割の線がある程度角度をもつように領域を分割する方法がある。図８では回帰直線と領域分割の線の１つがほぼ平行な状態になっている。これに対し、図１０に示すように回帰直線に対して分割領域を画定するための線が角度をもつように領域の分割を行なうと、代表点は図１０に白抜きの丸印で示す通りになる。図１０では大半のデータ点を分布領域表示線で囲むことができる。
【００４７】
また、さらに別の対策として、適切な分布領域表示線を描画するのに必要な代表点を追加する方法がある。追加すべき代表点の求め方は、次の通りである。
【００４８】
隣り合う２つの分割領域を検討領域と定義する。追加すべき代表点の求める際、分割中心点を始点とし各データ点を終点とするベクトルの、検討領域における２つの分割領域が接する線が分割中心点を始点として延びる方向の成分の大きさを指標とする。そして、検討領域内において、上記成分の大きさがいずれの代表点の上記成分の大きさよりも大きいデータ点のうち、上記成分の大きさが最も大きいデータ点を代表点として追加する。仮に、検討領域にこの条件にあうデータ点が２つ以上ある場合は、分割中心点に最も近い座標をもつデータ点を追加する代表点として採用する。
【００４９】
上記成分の大きさを求める方法として、例えば、検討領域における２つの分割領域が接する線に直交し、かつ分割中心点を通る線を検討用線として用いる方法を挙げることができる。この方法によれば、データ点と検討用線の最短距離が上記成分の大きさになる。ただし、上記成分の大きさを求める方法はこれに限定されるものではない。
また、検討領域内での代表点のうち上記成分の大きさが最も大きい代表点を比較代表点として用いるようにしてもよい。この場合、検討領域内において比較代表点よりも上記成分の大きさが大きいデータ点のうち上記成分の大きさが最も大きいデータ点を代表点として追加する。
【００５０】
図１１を参照して、検討用線及び比較代表点を用いた、分布領域を表すのに追加すべき代表点の求め方を説明する。
図１１において、４つの分割領域をＡ１〜Ａ４とし、分割領域Ａ１〜Ａ４における代表点をＴ１〜Ｔ４とする。
【００５１】
まず、図１中の分割領域Ａ１と分割領域２を検討領域として考える。この場合、検討用線は線Ｌ１である。線Ｌ１は領域を分割するための線と同じ線である。代表点Ｔ２は代表点Ｔ１よりも検討用線Ｌ１から離れている、すなわち、分割中心点を始点とし代表点Ｔ１又はＴ２を終点とするベクトルの、検討領域における２つの分割領域Ａ１，Ａ２が接する線が分割中心点を始点として延びる方向の成分の大きさに関し、代表点Ｔ２の方が代表点Ｔ１よりも大きいので、代表点Ｔ２が比較代表点になる。分割領域Ａ１，Ａ２からなる検討領域内で比較代表点Ｔ２以上に検討用線Ｌ１から離れているデータ点、すなわち上記成分の大きさが比較代表点Ｔ２よりも大きいデータ点は、２つの代表点Ｔ１，Ｔ２を除く全てのデータ点である。その中で最も検討用線Ｌ１から離れているデータ点、すなわち上記成分の大きさが最も大きいデータ点Ｔ５が追加代表点となる。
【００５２】
次に、分割領域Ａ２，Ａ３を検討領域として同様の処理を行なう。この場合、検討用線は線Ｌ２である。線Ｌ２は領域を分割するための線と同じ線である。分割領域Ａ２，Ａ３において、検討用線Ｌ２から最も離れているデータ点は代表点Ｔ３である。したがって、追加する代表点はない。
【００５３】
次に、分割領域Ａ３，Ａ４を検討領域として同様の処理を行なう。この場合、検討用線は線Ｌ１である。代表点Ｔ４は代表点Ｔ３よりも検討用線Ｌ１から離れているので比較代表点になる。比較代表点としての代表点Ｔ４よりも検討用線Ｌ１から離れているデータ点のうち検討用線Ｌ１から最も離れているデータ点Ｔ６が追加代表点となる。
【００５４】
次に、分割領域Ａ１，Ａ４を検討領域として同様の処理を行なう。この場合、検討用線は線Ｌ２である。分割領域Ａ１，Ａ４において、検討用線Ｌ２から最も離れているデータ点は代表点Ｔ４である。したがって、追加する代表点はない。
【００５５】
この実施例では最終的に２つの代表点を追加することとなった。追加した代表点Ｔ５，Ｔ６を含め、いずれか１つの代表点を始点として時計回り又は反時計回りに代表点Ｔ１〜Ｔ６を通る滑らかな曲線からなる分布領域表示線を描画した結果を図１２に示す。このように大半のデータ点を分布領域表示線で囲むことができる。
【００５６】
上記の実施例では、２つの分割領域からなる検討領域内の２つの代表点のうち、検討用線から離れている方の代表点を比較代表点として用いているが、本発明の分布領域描画方法において、比較代表点は必ずしも求めなくてもよい。比較代表点を求めない場合は、検討領域内の各データ点について、検討用線からの距離を、各代表点の検討用線からの距離と比較することにより、いずれの代表点よりも検討用線から離れているデータ点を求めることができる。
【００５７】
なお、上記の実施例で用いた適切な分布領域表示線を描画するのに必要な代表点を追加する方法は、データ点の分布領域を４分割した場合に限るものではない。データ点の分布領域を３分割した場合を例にこれを説明する。
【００５８】
図１３は、図２のデータを点として表した散布図に、領域を３分割するための線と分布領域表示線を図示した図である。図１３では、データ点分布の重心を分割中心点とし、分布領域を放射線状に均等に分割領域Ａ１１〜Ａ１３に３分割し、分割領域Ａ１１〜Ａ１３ごとに代表点を求めた。
【００５９】
図１３に示すように、分割領域Ａ１１〜Ａ１３ごとに求めた３つの代表点を線で結んだ分布領域表示線はデータ点分布を表しているが、より適切な分布領域表示線を描画するには追加で代表点を求めることが好ましい。
【００６０】
追加で代表点を求める方法として、隣り合う２つの分割領域を検討領域と定義し、分割中心点を始点とし各データ点を終点とするベクトルの、検討領域における２つの分割領域が接する線が分割中心点を始点として延びる方向の成分の大きさを指標とした上記実施例と同様の方法を用いることができる。ここで、上記成分の大きさを求める方法として、上記に述べた検討用線を用いてよい。
【００６１】
しかし、各データ点における分割領域Ａ１１と分割領域Ａ１３が接する線が分割中心点を始点として延びる方向の上記成分の算出は、各データ点の座標情報や分割中心点の座標情報を用いた加減算だけでは求めることができない。
【００６２】
このような場合、上記成分の算出に三角関数を用いる例を挙げることができる。図１４は図１３の分割領域Ａ１１のデータ点を１点だけ示した図である。図１４を用いて三角関数を用いた上記成分の算出方法を説明する。
【００６３】
分割中心点を始点としデータ点を終点とするベクトルの、分割領域Ａ１１と分割領域Ａ１３が接する線が分割中心点を始点として延びる方向の成分は、分割中心点を始点とし、データ点から分割領域Ａ１１と分割領域Ａ１３が接する線に垂線を引いたときの交点を終点とするベクトルに相当する。分割領域Ａ１１〜Ａ１３は予め定められたものであり、データ点と座標軸がなす角度はデータ点の座標情報から求まる。したがって、分割領域Ａ１１と分割領域Ａ１３が接する線と、分割中心点を始点としデータ点を終点とするベクトルがなす角度θを求めることができる。よって、上記成分は、分割中心点とデータ点との距離と角度θを用いて三角関数を用いて求まる。
（上記成分の大きさ）＝（分割中心点とデータ点との距離）×cosθ
【００６４】
このように検討領域における各データの上記成分の大きさを求め、検討領域内のいずれの代表点の上記成分の大きさよりも上記成分が大きいデータ点のうち上記成分の大きさが最も大きいデータ点を代表点として追加する。
【００６５】
図１５は図１３のデータ点分布に対して追加で代表点を求めた結果を示す。図１６は図１５の代表点を用いて分布領域表示線の描画を行なった結果を示す図である。
分割領域Ａ１１と分割領域Ａ１２からなる検討領域には追加すべき代表点はない。また、分割領域Ａ１２と分割領域Ａ１３からなる検討領域にも追加すべき代表点はない。分割領域Ａ１１と分割領域Ａ１３からなる検討領域ではデータ点Ｔ１１が追加すべき代表点となる。始点となる代表点から時計周り又は反時計周りに、図１５に白抜き丸印で示した４つの代表点を通過するように線を描画すると、図１６に示す分布領域表示線が得られる。これにより、より適切な分布領域表示線を描画できる。
【００６６】
また、上記の実施例では、検討領域内において、分割中心点を始点とし各データ点を終点とするベクトルの、検討領域における２つの分割領域が接する線が分割中心点を始点として延びる方向の成分の大きさを求める際に検討用線を用いているが、本発明の分布領域描画方法において、検討用線は必ずしも用いなくてもよい。上記成分の大きさを求める方法は、種々の方法が考えられる。例えば、図１１に示したように、領域を分割するための線がＸ軸方向とＹ軸方向に設定されている場合、検討領域における２つの分割領域が接する線が伸びる方向の座標軸の、各データ点及び分割中心点の座標成分を用いることにより、上記成分の大きさを求めることができる。なお、上記成分の大きさを求める方法は、ここで説明したものに限定されるものではなく、どのような方法であってもよい。
【００６７】
また、追加すべき代表点の求め方は他にもある。
追加すべき代表点の求め方の第２の方法は、次の通りである。
追加すべき代表点の求める際、分割中心点を始点とし各データ点を終点とするベクトルの、領域を分割するのに用いた、分割中心点を始点とする線が延びる方向の成分の大きさを指標とする。この場合、上記検討領域の概念は必要ない。そして、上記成分の大きさがいずれの代表点の上記成分の大きさよりも大きいデータ点のうち、上記成分の大きさが最も大きいデータ点を代表点として追加する。また、分割するのに用いた、分割中心点を始点とする線が延びる方向は複数あるので、その方向ごとに各データ点の上記成分の大きさを指標とし代表点を追加する。仮に、各方向においてこの条件にあうデータ点が２つ以上ある場合は、分割中心点に最も近い座標をもつデータ点を追加する代表点として採用する。
【００６８】
図１７は、図２のデータを点として表した散布図に、領域を２分割するための線を図示した図である。
図１７に示すように、２つの分割領域ごとに求めた２つの代表点を線で結んだ分布領域表示線はデータ点分布を表しているが、より適切な分布領域表示線を描画するには追加で代表点を求めることが好ましい。
【００６９】
図１８は、図１７のデータ点分布に対して追加で代表点を求め、それらの代表点を用いて分布領域表示線の描画を行なった結果を示す図である。
この実施例では追加すべき代表点の求め方の第２の方法を用いた。具体的には、分割するのに用いた、分割中心点を始点とする線が延びる方向、ここでは図１８に示す方向Ｂ，Ｃごとに追加で代表点を求めた。
【００７０】
追加すべき代表点の求め方の第２の方法でも、上記に述べた追加すべき代表点の求め方と同様に検討用線を用いてよい。
しかし、図１７及び図１８のように、領域を分割するための線が座標軸に対して直交又は平行でない場合、上記成分の大きさの算出は各データ点の座標情報や分割中心点の座標情報を用いた加減算だけでは求めることができない。
【００７１】
このような場合の上記成分の大きさの算出は、上記３分割の場合で説明した三角関数を用いるのが好ましい。
上記三角関数を用いた上記成分の大きさの算出方法により、方向Ｂの追加すべき代表点はデータ点Ｔｂとなる。また、方向Ｃの追加すべき代表点はデータ点Ｔｃとなる。始点となる代表点から時計周り又は反時計周りに、図１７に示した２つの代表点と図１８に示す代表点Ｔｂ，Ｔｃの４つの代表点を通過するように線を描画すると、図１８に示す分布領域表示線が得られる。これにより、より適切な分布領域表示線を描画できる。
【００７２】
なお、追加すべき代表点の求め方の第２の方法は、データ点の分布領域を２分割した場合に限るものではなく、データ点の分布領域を３つ以上の領域に分割する場合であっても用いることができる。
【００７３】
なお、ステップＳ４の説明で、データ点のない領域は代表点がないものとするか、又は分割中心点座標をその領域の代表点とすると説明したが、第２の分割中心点を設定し、その分割中心点に対してもステップＳ３及びステップＳ４を行なってもよい。
基本的に任意の点を第２の分割中心点としてよい。好ましくは、最初の代表点の選定処理における分割中心点に対してデータ点のなかった分割領域に対向する分割領域に第２の分割中心点を設定する。
【００７４】
図１９は、散布図のさらに他の例を示す図である。
図１９のデータ点に対して、図１のステップＳ１〜Ｓ５を行なった結果を図２０に示す。図２０では領域を８分割して分割領域Ａ２１〜Ａ２８とした。
図２０では、分割領域Ａ２１，Ａ２２にデータ点がないので代表点はない。このように、データ点のない分割領域が設定される場合には分布領域表示線が必要以上に大きく描画される。
【００７５】
図２１は、図２０の代表点に分割中心点を代表点として追加したときの分布領域表示線を示す図である。
分割領域Ａ２１，Ａ２２にデータ点がないことに対して、分割中心点を代表点として追加することにより、適切な分布領域表示線を描画できる。
【００７６】
図１９、図２０、図２２及び図２３を用いて第２の分割中心点を設定する例を説明する。
図１９のデータ点分布に対してデータ点分布の重心を分割中心点とし、図１を参照して説明したステップＳ１からステップＳ４を行なうと、図２０に示す代表点（白抜きの丸印）が得られる。分割領域Ａ２１，Ａ２２にデータ点がないので、分割中心点に対して分割領域Ａ２１，Ａ２２に対向する分割領域Ａ２６，Ａ２７内に第２の分割中心点を設定する。ここでは、図２２に示すように、図２０の分割領域Ａ２６，Ａ２７の境界線上に第２の分割中心点を設定した。第２の分割中心点に対して、図１を参照して説明したステップＳ３及びＳ４を行なうと、図２２に示す白抜きの代表点が得られる。ここでは、第２の分割中心点からＸ軸のマイナス方向とＹ軸のプラス方向に線を引き、それらの線の間の領域を４つの分割領域に等分割した。
２回の代表点選定処理で重複する代表点は１つの代表点と考え、ステップＳ５を行なって分布領域表示線を描画すると図２３に示す結果が得られる。
【００７７】
このように、データ点のない分割領域がある場合には、分割中心点を代表点とするか、第２の分割中心点を設定して処理を行なうことにより、より適切な分布領域表示線の描画を行なうことができる。
【００７８】
図２４は、本発明のさらに他の実施例を説明するためのフローチャートである。図２５は、図２のデータを点として表した散布図に、この実施例で領域を分割するための線を図示した図である。図２６は、図２のデータを点として表した散布図に、この実施例で領域を分割するための線と分布領域表示線を図示した図である。図２４から図２６を参照してこの実施例を説明する。
【００７９】
ステップＳ１１：グラフ化の対象となる関連する２種類の数値データを選択する。ここでは、図２に示す表の数値データＡと数値データＢを選択するとして説明を進める。なお、ここではデータの属性は無視した。
【００８０】
ステップＳ１２：数値データＡをＸ軸に数値データＢをＹ軸に展開した際の分布領域を分割するための分割中心点を設定する。分割中心点は基本的にＸＹ座標上の任意の点で構わない。好ましくは、分割中心点は、散布図上で各データ点のすべてを線で結んだときの外周の線よりも外側に設定される。この実施例では、数値データＡの最大値と数値データＢの最小値によって表される点を分割中心点として説明を進める。
【００８１】
ステップＳ１３：分割中心点より放射線状に領域を分割する。この実施例では、数値データＡと数値データＢの散布図において、分割中心点からＸ軸のマイナス方向に延ばした線と、分割中心点からＹ軸のプラス方向に延ばした線との間の９０度の領域を分割中心点から放射線状に４分割した（図２５参照。）。４つの分割領域をＡ３１〜Ａ３４とする。
【００８２】
ステップＳ１４：各分割領域Ａ３１〜Ａ３４において、分割中心点から最も離れた位置のデータ点と、分割中心点に最も近い位置のデータ点を代表点として求める（分布代表点選定ステップ）。図２５及び図２６では、代表点となるデータ点を白抜きの丸印で図示し、代表点以外のデータ点を黒塗りの丸印で図示している。代表点には、代表点Ｔ３１ａ，Ｔ３２ａ，Ｔ３３ａ，Ｔ３４ａのように各分割領域Ａ３１〜Ａ３４内で分割中心点から最も離れた位置のデータ点である代表点と、代表点Ｔ３１ｂ，Ｔ３２ｂ，Ｔ３３ｂ，Ｔ３４ｂのように各分割領域Ａ３１〜Ａ３４内で分割中心点に最も近い位置のデータ点である代表点の２種類がある。
【００８３】
ステップＳ１５：各代表点を通過する線を描画することにより分布領域表示線を描画する（分布領域描画ステップ）。分布領域表示線を描画する際は、始点となる代表点から時計周り又は反時計周りに順次隣の領域の代表点を通過するように描画することにより線が交差しない分布領域表示線を描画できる（図２６参照。）。線の交差を防ぐ一例としては、代表点Ｔ３１ａ、代表点Ｔ３２ａ、代表点Ｔ３３ａ、代表点Ｔ３４ａ、代表点Ｔ３４ｂ、代表点Ｔ３３ｂ、代表点Ｔ３２ｂ、代表点Ｔ３１ｂ、代表点Ｔ３１ａの順で通過する線を描画する等がある。分布領域表示線を描画する線は直線でもよいが、図２６に示すように代表点を通る滑らかな曲線を描画することが好ましい。
このように本発明の分布領域描画方法はデータ点分布領域を線で囲んで表現することができる。
【００８４】
なお、この実施例においても、図１１を参照して説明した代表点を追加する方法を用いることができる。
また、データ点分布状態と領域の分割方法によっては、分割領域内のデータ点が１つしか存在しない場合がある。この場合、その分割領域が端の分割領域であれば、そのデータ点を分割中心点から最も離れた位置の代表点として用いても、分割中心点に最も近い位置の代表点として用いても、どちらでもよい。しかし、データ点が１つしか存在しない分割領域が端の分割領域でなければ、その分割領域の代表点はないものとしてその後の処理を行なうことが好ましい。
【００８５】
また、図２４から図２６を参照して説明した実施例においても、第２の分割中心点を設定し、第２の分割中心に対する代表点も加えて、分布領域表示線を描画してもよい。例えば、図２５に示した散布図において、図２の数値データＡの最小値と数値データＢの最大値によって表される点を第２の分割中心点とする例を挙げることができる。
【００８６】
本発明において、実際のデータの座標を代表点の座標とすると、散布図において、分布の輪郭を表す分布領域表示線とデータ点を表す印が重なってしまう。これが好ましくない場合は、分布領域表示線の輪郭が所定範囲だけ広がる方向に代表点に対して仮想代表点を設定し、仮想代表点を結線して分布領域表示線を描画するようにすればよい。上記の実施例では、ステップＳ５又はステップＳ１５でこの処理を行なう。
【００８７】
仮想代表点を設ける方向は、例えば図２７に示すように分割中心点から代表点を通過する線を引いた方向を挙げることができる。図２８に図２７の四角で囲われた部分の拡大図を示す。代表点と仮想代表点の距離は予め定めておいてもよいが、グラフの縮尺に依存して可変にしておくことが好ましい。
【００８８】
また、仮想代表点を設ける方向は、データ点の分布領域の中心又は重心から代表点を通過する線を引いた方向でなくても、分布領域表示線の輪郭が所定範囲だけ広がる方向であればよい。例えば、図２９に示すように各代表点から斜め４５度の方向に仮想代表点を設定してもよい。データ点の分布領域の中心や重心を求めない実施例の場合は、それぞれの分割領域ごとに代表点に対して仮想代表点を設ける方向を定義しておけばよい。
【００８９】
仮想代表点を設ける具体的な実施例として半導体装置製造プロセスにおけるウエハテスト工程のテスト結果の不良チップ集中分布の表現が挙げられる。
半導体装置製造プロセスではウエハと呼ばれるシリコン基板上にマトリックス状にチップと呼ばれる半導体装置が形成される。半導体装置製造プロセスにおけるウエハテスト工程は、ウエハ上の各チップに対して電気的な検査を行ない、予め定めた電気的基準を満たしているチップと満たしていないチップを分別する工程である。一般的に、予め定めた電気的基準を満たしているチップは良品チップと呼ばれ、基準を満たしていないチップは不良チップと呼ばれる。
【００９０】
図３０は、ウエハテスト結果の一例を示す図である。
ウエハ１にチップがマトリクス状に配列されている。各チップはＸ座標情報とＹ座標情報によってウエハ１上での位置が明確になっている。良品チップ３は無印で示されている。不良チップ５は斜線で示されている。
【００９１】
半導体装置製造プロセスにおいて不良チップが少ないことが好ましい。よって、半導体装置製造プロセスに従事する組織において、常に不良チップを減少させる活動が行われている。
不良チップを減少するための活動として、まず、不良チップの分布状況の把握を行なう。特に不良チップが集中的に分布している場合、不良チップ減少対策の糸口を見つけられることが多い。
【００９２】
ウエハ上の不良チップの分布状況に基づいて不良チップをグループに分類する方法がある。例えば、隣接する不良チップの存在を確認することにより、ウエハ上の不良チップをいくつかのグループに分類し、グループに属する不良チップの数で不良チップが集中的に分布しているかどうかを判断する方法が特許文献４で述べられている。これによると、図３０の不良チップ５は３つのグループに分類することができる。
【００９３】
不良チップの分布状況に基づいて同一のグループと判断された不良チップのＸ座標情報とＹ座標情報を本発明の分布領域描画方法で表現することにより、その不良チップのグループの分布を表現することができる。この際、用いる座標情報は１チップを１としたチップ配列の座標情報を用いてよいが、チップの平面形状は縦方向の長さと横方向の長さが等しいとは限らない。そこで、チップの座標情報は、メートル法など、チップ形状に依存しない座標が好ましい。例えば、ウエハの中心を原点とし、各チップの中心のＸＹ座標をメートル法の長さで表した座標情報を用いる。
【００９４】
図３０での不良グループ７に属する不良チップ５のチップ中心の座標情報を用い、本発明の分布領域描画方法により代表点を求め、不良グループ７に属する不良チップ５の分布を表現した図を図３１に示した。図３１で代表点は白抜き丸印で示されている。代表点を結んだ腺が分布領域表示線である。
【００９５】
また、代表点が存在する不良チップ５内で、不良グループ７に属する不良チップ５の分布の重心から代表点を通過する線が最長となる点を仮想代表点とし、不良チップ５の分布を表現した図を図３２に示した。図３２で仮想代表点も白抜き丸印で示されている。仮想代表点を結んだ腺が分布領域表示線である。
【００９６】
また、代表点が存在する不良チップ５内で、不良グループ７に属する不良チップ５の分布の重心から最も遠い点を仮想代表点とし、不良チップ５の分布を表現した図を図３３に示した。図３３で仮想代表点も白抜き丸印で示されている。仮想代表点を結んだ腺が分布領域表示線である。
【００９７】
図３１を見てわかるように、仮想代表点を用いなかった場合、不良グループ７に属する不良チップ５を十分に囲い込むことができないことがある。これに対し、図３２及び図３３に示すように、分布領域表示線が所定範囲だけ広がる方向に代表点に対して仮想代表点を定義し、仮想代表点を通る線で分布領域表示線を描画すれば、不良グループ７に属する不良チップ５を十分に囲い込むことができる。
【００９８】
このように表現する分布によっては、仮想代表点を定義し、仮想代表点を通る曲線でデータ点の分布を表現したほうが好ましい場合もある。
また、半導体装置製造プロセスには、ウエハ上の異物や欠陥を測定する工程がある。これらの工程の情報もＸＹ座標情報で表されるものであり、本発明の分布領域描画方法を用いて異物や欠陥の分布を表現することが可能である。
【００９９】
また、図３４に示すようなデータ点の分布においては、上記の実施例のいずれの方法を用いても、分布の輪郭を表す分布領域表示線は特異な３点のデータ点を囲む形となる。一例として、図３４に示したデータ点の分布に対して図１から図４を参照して説明した実施例を用いて描画した分布領域表示線を図３５に示す。
【０１００】
仮に、特異なデータの点を除いた分布領域表示線を描画したい場合は、分布代表点選定ステップの前に、複数のデータ点について相互間距離を求め、予め定められた距離しきい値以下の相互間距離をもつデータ点同士をグループ化するグループ設定ステップを含み、グループ設定ステップが設定したグループごとに分布代表点選定ステップ及び分布領域描画ステップを行ない、データ点の最も多いグループのデータ点に絞り込んで、分布領域表示線を描画すればよい。ここで、距離しきい値は、予め定められた値でもよいが、データ点分布に依存して変わる値を用いてもよい。例えば、各データ点の相互の最短距離を求め、最短距離の平均＋３σ（σは標準偏差）を距離しきい値として用いてもよい。
【０１０１】
図３４に示したデータ点に対して、データ点のグループ化を行ない、データ点数の最も多いグループに関して図１から図４を参照して説明した実施例を用いて描画した分布領域表示線を図３６に示す。また、図３４に示したデータ点に対して、データ点のグループ化を行ない、各グループに関して図１から図４を参照して説明した実施例を用いて描画した分布領域表示線を図３７に示す。
【０１０２】
図３８は、図２に示した数値データＡと数値データＢの散布図を属性Ｚ１，Ｚ２で層として表示したものである。図３８中で、属性Ｚ１のデータ点は丸印で示され、属性Ｚ２のデータ点は四角印で示されている。
図３８に示すように、属性Ｚ１，Ｚ２のデータ点の分布領域が重なっている場合、属性Ｚ１，Ｚ２のデータ点の分布領域はわかりにくい。
【０１０３】
図３９は、図３８に示したデータ点に対して図１から図４を参照して説明した実施例を用いて属性Ｚ１，Ｚ２ごとに分布領域表示線を求めた結果を示す図である。実線は属性Ｚ１のデータ点の分布領域表示線を示し、破線は属性Ｚ２のデータ点の分布領域表示線を示している。
図３９を見ると分かるように、属性Ｚ１，Ｚ２ごとに分布領域表示線を求めることにより、属性Ｚ１，Ｚ２のデータ点の分布領域が分かりやすくなる。
【０１０４】
図４０は、図２に示した数値データＡに対する数値データＢと数値データＣの散布図を層として表示したものである。図４０中で、数値データＢのデータ点は丸印で示され、数値データＣのデータ点は四角印で示されている。
図４０において、数値データＢ，Ｃのデータ点の分布領域が重なっているので、数値データＢ，Ｃのデータ点の分布領域はわかりにくい。
【０１０５】
図４１は、図４０に示したデータ点に対して図１から図４を参照して説明した実施例を用いて数値データＢ，Ｃごとに分布領域表示線を求めた結果を示す図である。実線は数値データＢのデータ点の分布領域表示線を示し、破線は数値データＣのデータ点の分布領域表示線を示している。
図４１を見ると分かるように、数値データＢ，Ｃごとに分布領域表示線を求めることにより、数値データＢ，Ｃのデータ点の分布領域が分かりやすくなる。
このように、本発明の分布領域描画方法は２つ以上の層のデータ点を重ねて１つの散布図に表現する際に特に有効である。
【０１０６】
上記の実施例では、代表点を分布領域表示線が交差しない順番に結線して分布領域表示線を描画しているが、本発明はこれに限定されるものではなく、各代表点から他のすべての代表点に線を結んで分布領域表示線を描画してもよい。
例えば、図５に示した代表点に対して、図４２に示すように、各代表点から他のすべての代表点に線を結んで分布領域表示線を描画してもよい。この場合でも、データ点の分布領域の輪郭を適切に表現することができる。図４２では代表点と代表点を直線で結んでいるが、分布領域表示線の輪郭を現す線は図６と同様に曲線であってもよい。
【０１０７】
上記で説明した実施例の各ステップは、各ステップを処理するためのプログラムを作製し、コンピュータを用いてそのプログラムを実行させることによって実現できる。
【０１０８】
以上、本発明の実施例を説明したが、本発明はこれらに限定されるものではなく、特許請求の範囲に記載された本発明の範囲内で種々の変更が可能である。
例えば、上記の実施例では、分割中心点より放射線状に領域を分割すると表現しているが、分割中心点を中心とする極座標を仮定し、極座標を角度で分割して分割領域を設定した場合も上記の実施例と同様の結果が得られる。
【０１０９】
また、各実施例の説明において描画された散布図を用いたが、本発明の各ステップにおいて描画済みの散布図が必要なわけではない。すなわち、対になった２つの変数をもつ複数のデータがあれば各ステップの処理を行なえる。
また、各実施例の説明において、描画された散布図に領域を分割するための線を図示したが、本発明の各ステップにおいて、この線の図示も必ずしも必要ではない。
【０１１０】
また、本発明において、分割領域に代表点がない場合は、その分割領域は代表点がないものとしてそれ以後の処理を行なえばよい。
また、本発明において、分割領域の数に限定はない。また、分割領域の大きさは均等でなくてもよい。
【図面の簡単な説明】
【０１１１】
【図１】一実施例を説明するためのフローチャートである。
【図２】同実施例で用いたデータの一部を表す図表である。
【図３】図２のデータを点として表した散布図に、同実施例で領域を４分割するための線を図示した図である。
【図４】同実施例で求めた分布領域表示線を描画した結果を示す図である。
【図５】図２のデータを点として表した散布図に、他の実施例で領域を８分割するための線を図示した図である。
【図６】同実施例で求めた分布領域表示線を描画した結果を示す図である。
【図７】散布図の他の例を示す図である。
【図８】図７の散布図に対して、図１から図４を参照して説明した実施例と同様の工程で描画した分布領域表示線を示す図である。
【図９】図７の散布図に対して、図５及び図６を参照して説明した実施例と同様の工程で描画した分布領域表示線を示す図である。
【図１０】図７の散布図において、データ点の回帰直線に対して分割領域を画定するための線が角度をもつように領域の分割を行なって描画した分布領域表示線を示す図である。
【図１１】図７の散布図において、分布領域を表すのに追加すべき代表点の求め方を説明するための図である。
【図１２】図１１に示した追加代表点も含めて分布領域表示線を描画した結果を示す図である。
【図１３】図２のデータを点として表した散布図に、領域を３分割するための線と分布領域表示線を図示した図である。
【図１４】図１３の分割領域Ａ１１のデータ点を１点だけ示した図である。
【図１５】図１３のデータ点分布に対して追加で代表点を求めた結果を示す図である。
【図１６】図１５の代表点を用いて分布領域表示線の描画を行なった結果を示す図である。
【図１７】図２のデータを点として表した散布図に、領域を２分割するための線を図示した図である。
【図１８】図１７のデータ点分布に対して追加で代表点を求め、それらの代表点を用いて分布領域表示線の描画を行なった結果を示す図である。
【図１９】散布図のさらに他の例を示す図である。
【図２０】図１９のデータ点に対して、領域を８分割して分布領域表示線の描画を行なった結果を示す図である。
【図２１】図２０の代表点に、分割中心点を代表点として追加して分布領域表示線の描画を行なった結果を示す図である。
【図２２】図１９のデータ点に対して、第２の分割中心点を設定して代表点を選定する処理を説明するための図である。
【図２３】図２０の代表点と図２２の代表点を用いて分布領域表示線の描画を行なった結果を示す図である。
【図２４】さらに他の実施例を説明するためのフローチャートである。
【図２５】図２のデータを点として表した散布図に、同実施例で領域を分割するための線を図示した図である。
【図２６】同実施例で求めた分布領域表示線を図２５に追加で図示した図である。
【図２７】図３に示した代表点に対して分布領域表示線の輪郭が所定範囲だけ広がる方向に仮想代表点を設定し、仮想代表点を結線して分布領域表示線を描画した状態を示す図である。
【図２８】図２７の四角で囲われた部分の拡大図である。
【図２９】代表点に対して仮想代表点を設ける方向の他の例を説明するための図である。
【図３０】ウエハテスト結果の一例を示す図である。
【図３１】図３０での不良グループ７に属する不良チップ５のチップ中心の座標情報を用い、本発明の分布領域描画方法により代表点及び分布領域表示線を求めた結果を示す図である。
【図３２】図３１に示した代表点が存在する不良チップ５内で、不良グループ７に属する不良チップ５の分布の重心から代表点を通過する線が最長となる点を仮想代表点とし、仮想代表点を結線して分布領域表示線を描画した状態を示す図である。
【図３３】図３１に示した代表点が存在する不良チップ５内で、不良グループ７に属する不良チップ５の分布の重心から最も遠い点を仮想代表点とし、仮想代表点を結線して分布領域表示線を描画した状態を示す図である。
【図３４】散布図のさらに他の例を示す図である。
【図３５】図３５の散布図に対して、図１から図４を参照して説明した実施例と同様の工程で描画した分布領域表示線を示す図である。
【図３６】図３５の散布図に対して、データ点のグループ化を行ない、データ点数の最も多いグループに関して図１から図４を参照して説明した実施例と同様の工程で描画した分布領域表示線を示す図である。
【図３７】図３５の散布図に対して、データ点のグループ化を行ない、各グループに関して図１から図４を参照して説明した実施例と同様の工程で描画した分布領域表示線を示す図である。
【図３８】図２に示した数値データＡと数値データＢの散布図を属性Ｚ１，Ｚ２で層として表示した散布図である。
【図３９】図３８に示したデータ点に対して、図１から図４を参照して説明した実施例と同様の工程で属性Ｚ１，Ｚ２ごとに分布領域表示線を求めた結果を示す図である。
【図４０】図２に示した数値データＡに対する数値データＢと数値データＣの散布図を層として表示した散布図である。
【図４１】図４０に示したデータ点に対して、図１から図４を参照して説明した実施例と同様の工程で数値データＢ，Ｃごとに分布領域表示線を求めた結果を示す図である。
【図４２】図５に示した代表点に対して、各代表点から他のすべての代表点に線を結んで分布領域表示線を描画した結果を示す図である。
【符号の説明】
【０１１２】
Ａ１〜Ａ４，Ａ１１〜Ａ１３，Ａ２１〜Ａ２８，Ａ３１〜Ａ３４  分割領域
Ｔ１〜Ｔ４，Ｔ３１ａ〜Ｔ３４ａ，Ｔ３１ｂ〜Ｔ３４ｂ  代表点
Ｔ５，Ｔ６，Ｔ１１，Ｔｂ，Ｔｃ  追加の代表点
１  ウエハ
３  良品チップ
５  不良チップ
７  不良グループ
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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【図１９】
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【図２０】
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【図２１】
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【図２２】
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【図２３】
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【図２４】
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【図２５】
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【図２６】
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【図２７】
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【図２８】
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【図２９】
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【図３０】
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【図３１】
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【図３２】
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【図３３】
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【図３４】
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【図３５】
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【図３６】
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【図３７】
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【図３８】
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【図３９】
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【図４０】
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【図４１】
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【図４２】
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