(57)【要約】      （修正有）【課題】アラインメント誤差やオーバーレイ誤差を補正し、かつ変形値を計算するための改良されたインプリントシステム、および技術を提供する。【解決手段】パターン形成デバイス２０の周囲には、アラインメントとオーバーレイレジストレーション（オーバーレイ位置合わせ）を容易にするアクチュエータシステム２４が設けられている。そのため、システムはフレームとパターン形成デバイス２０との間に結合された複数のアクチュエータを備え、この実施形態では、パターン形成デバイス２０は、通常インプリントリソグラフィと関連する型が一体状に形成された溶融石英テンプレートよりなる。各アクチュエータは、パターン形成デバイス２０の４面の中の１面に力を作用させやすいように設けてある。これら複数のアクチュエータは、相対向する面に互いに等しい数だけ設けてある。その補正するために基板に加える力を求める。【選択図】図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
パターン形成デバイス上の記録パターンと基準パターンとの間の寸法変化を最小化するためにパターン形成デバイスに生じさせようとする変形のパラメータを求める方法であって、その方法は、
前記記録パターンのフィーチャと前記基準パターンの対応フィーチャとの間の空間変化を比較するステップと、
前記記録パターンのフィーチャと前記基準パターンの対応フィーチャとの間の配置設定誤差から、ひずみベクトルを生成するステップと、
前記寸法変化を低減するために前記パターン形成デバイスに加える、所定の拘束条件を有する変形力を前記ひずみベクトルから求めるステップと、
から構成され、
、前記変形力の大きさの合計実質的にゼロであり、前記変形力のモーメントの合計も実質的にゼロにすることを特徴とする方法。
【請求項２】
前記拘束条件は、前記変形力の中の張力をを含まないこと条件として含むことを特徴とする請求項１記載の方法。
【請求項３】
前記拘束条件はパターン形成デバイスの構造的完全性を危うくする可能性のある大きい力は省くことを条件として含むことを特徴とする請求項１記載の方法。
【請求項４】
前記変形力を求めるステップは、拘束条件を満たす力ベクトルを求めて、前記拘束条件を満たすベクトルの機能として前記変形力は決定されることを特徴とする請求項１記載の方法。
【請求項５】
オーバーレイ誤差の最大の絶対値の大きさを最小化するステップをさらに含むことを特徴とする請求項１記載の方法。
【請求項６】
前記変形力を求めるステップは、前記寸法変化を最小化するために前記パターン形成デバイスに与える圧縮変形力を確定するステップをさらに含むことを特徴とする請求項１記載の方法。
【請求項７】
前記変形力を求めるステップは、前記寸法変化を最小化するために前記パターン形成デバイスに与える圧縮変形力を確定するステップをさらに含み、この確定するステップは、それぞれの対が同一の大きさと方向を有する前記変形力の対を前記パターン形成デバイスに与えるステップをさらに含み、前記対のうち一方の変形力はもう一方の変形力に関連する向きとは相対向することを特徴とする請求項１記載の方法。
【請求項８】
前記比較するステップは、前記パターン形成デバイス上の前記パターンを記録するために用いられるコンピュータデータに関連付けられた対応するオーバーレイフィーチャについて、前記パターン形成デバイスのオーバーレイフィーチャを比較するステップをさらに含むことを特徴とする請求項１記載の方法。
【請求項９】
前記変形力を求めるステップは、オーバーレイ誤差の絶対値の前記大きさを最小限するステップと、全域的最小値を識別するステップをさらに含むことを特徴とする請求項１記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、広義には、マイクロリソグラフィ関するものである。より詳しくは、本発明は、基板のパターニング時におけるアラインメントとオーバーレイを改善する技術に関する。
【背景技術】
【０００２】
マイクロリソグラフィは、いくつものパターンの層を互いに重ね合わせながら基板に転写することが必要な集積回路の形成に用いられる。それ故、パターンの基板への転写は集積回路の製造においては重要な工程である。パターン転写技術は、光技術、バイオテクノロジー等においても用いられる。基板のパターニングに共通の技術として、フォトリソグラフィ法として知られている光リソグラフィプロセスがある。マスターパターンと呼ばれる原パターンがフォトマスク上に記録される。フォトマスクは、通常、溶融石英板で形成され、その中に高精度レーザまたは電子ビームを用いてパターンが記録される。フォトマスクパターンは、加工する基板の上面に塗工した感光性レジスト材に転写される。次に、基板をエッチングするが、その際、転写パターンを用いて、所望のパターンを基板に形成することができるようエッチングプロセスを制御する。これと異なるパターニングプロセスとして、型のトポグラフィが基板に転写されるパターンを形成するインプリントリソグラフィとして知られる技術がある。
【０００３】
上記のいずれのパターニングプロセスおいても、限界寸法（ＣＤ）と呼ばれる最も小さいフィーチャの寸法を１０ナノメートル（ｎｍ）以内に保つことが可能である。その結果、パターンを基板に問題なく転写するには、既に基板上にあるパターンのフィーチャとの精密な位置合わせが必要である。大まかな経験則では、パターン層が正しく機能するためには、そのパターン上のすべてのポイントとその下方にあるパターン上のすべてのポイントとの間に、パターンのＣＤの３分の１以内でアラインメントが確保されなければならないとされている。種々の技術ノードに関するオーバーレイ要求事項の情報を国際半導体技術ロードマップ（International Technology Roadmap for Semiconductors）のサイトhttp://public.itrs.netから入手することができる。転写パターンを正しく位置合わせする手段としてのプロセスをアラインメントと称する。正確なアラインメントを達成することによって、所望のパターンオーバーレイが達成される。詳しく言うと、少数のアラインメントマークの位置でアラインメントの正確さを測定する。この正確さが、パターニングツールにおけるアラインメントシステムの精度の尺度になる。
【０００４】
パターン中の各ポイントのアラインメントの尺度であるオーバーレイの正確さは、アラインメントマークのある場所の他、パターニングするフィールドの随所で測定する。その結果、オーバーレイ情報は、アラインメン情報に関連した誤差情報の他の誤差情報をも含むことになる。例えば、オーバーレイ誤差は、レンズのひずみ、チャックに起因するウェーハの歪み、およびマスク／型（まとめてパターンデバイスと称する）上の画像配置設定誤差から生じ得、これらはアラインメントが正確でも大きなオーバーレイ誤差を引き起こすことがある。これらの誤差は、転写パターンにおけるひずみの原因となり、製造歩留まりを大きく低下させることになる。パターン間オーバーレイ誤差は、通常、フィールド内で格子をなすポイントの全体にわたってアラインメントを測定することにより定量化される。従来技術では、アラインメントマークがある場所でのアラインメント誤差を低減する試みがなされてきた。
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
ホワイトらに許可された米国特許第６，８４７，４３３号には、マスクの像と既にウェーハ上にあるパターンとの間にいくつかの可能な発生源から生じるロングレンジ誤差（任意のリソグラフィ誤差、メトロロジー誤差、オーバーレイ誤差のいずれの場合でもよい）を補正する変形可能ホルダー、システム、プロセスが開示されている。ロングレンジ誤差は、スルーザレンズ・アラインメント・メトロロジーシステム（through−the−lens alignment metrology system）あるいはアラウンドザレンズ・メトロロジーシステム（around− the−lens metrology system）を用いて求められる。変形値を求めてロングレンジ誤差を補償する。変形値は、連立法方程式を解くか、有限要素線形応力解析法（ＦＥＡ）によって求められる。次に、圧電セラミックのようなアクチュエータを用いてマスクまたはウェーハを押すかあるいはこれらを引っ張ることにより、上に求めた変形値に関連した量だけマスクまたはウェーハに平面内でひずみを与え、マスクの投影像と既にウェーハ上にあるパターンとを実質的にアラインメントし直す。この方法は、アラインメントマークのある場所でのアラインメントを確実にするが、フィールド全体にわたるオーバーレイのアラインメントについては必ずしも確実ではない。パターンひずみを最小にしようとする上記や他の従来技術の試みについては、変形値を求めるための計算上の要求事項に付随する他の欠点があり、特にそれらの補正を時間の制約を伴ってリアルタイムで行わなければならない場合に障害となる。通常、変形値の算出は、大量の計算パワーが必要で、システムのコストを増大させる可能性があり、またしばしば不正確でもある。
【０００６】
したがって、アラインメント誤差やオーバーレイ誤差を補正しかつ変形値を計算するための改良されたシステムおよび技術が必要とされている。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
本発明は、パターン形成デバイス上の記録パターンと基準パターンとの間の寸法変化を最小化するためにパターン形成デバイスに生じるであろう変形のパラメータを求めることを特徴とする方法およびシステムにある。そのために、本発明の方法は、前記記録パターンのフィーチャと前記基準パターンの対応フィーチャとの間の空間変化を比較するステップと、前記寸法変化を低減するために前記パターン形成デバイスに加える所定の拘束条件を伴う変形力を求めるステップと、を含むものである。本発明のシステムは、本発明の方法の機能を遂行するものである。これらおよびその他の実施形態について、以下より詳細に説明する。
【図面の簡単な説明】
【０００８】
【図１】本発明のリソグラフィシステムの概略図である。
【図２】本発明におけるいずれも図１に示すホルダとパターン形成デバイスの概略平面図である。
【図３】本発明により求めたひずみベクトルを示すリソグラフィシステムの概略図である。
【発明を実施するための形態】
【０００９】
図１において、１０は本発明の一実施形態のリソグラフィシステムであり、このシステムはサポート１６を有するステージ１２を備える。サポート１６は例えばペデスタルまたはチャック等で、その上に基板１４が載置される。サポート１６は、ステージ１２に対して周知の機構を介し移動可能に結合するか、またはステージ１２に固定取り付けすることができる。サポート１６に対向させて、画像生成システム１８が設けてある。画像生成システム１８は、当技術分野で周知の任意のシステムを用いることができ、例えばドイツ国ミュンヘンのサス・マイクロテック（Ｓｕｓｓ  Ｍｉｃｒｏｔｅｃ）社から入手可能なＭＡ３００Ｐｌｕｓ等のステッパに備えられているようなフォトリソグラフィシステム、あるいは米国テキサス州オースチンのモルキュラー・インプリンツ、インク．（Ｍｏｌｅｃｕｌａｒ  Ｉｍｐｒｉｎｔｓ，  Ｉｎｃ．）社が販売するＩｍｐｒｉｏTM２５０のようなインプリントリソグラフィ・パターニングシステムを用いることが可能である。画像生成システム１８は、基板１４上に形成するパターンの元になる原パターンが作り込まれたパターン形成デバイス２０、化学線エネルギー源、さらには化学線エネルギーをパターン形成デバイスを通過させて基板１４に入射させるために必要な光学サブシステム（全体を光学素子２２として示す）を備える。フォトリソグラフィシステムにおいては、パターン形成デバイス２０は通常マスクである。インプリントリソグラフィシステムにおいては、パターン形成デバイス２０は、一般に型と呼ばれるテンプレートのパターニングされた領域である。
【００１０】
図１および２を参照して、パターン形成デバイス２０の周囲には、アラインメントとオーバーレイレジストレーション（オーバーレイ位置合わせ）を容易にするアクチュエータシステム２４が設けられている。そのため、システム１０は、フレーム２８とパターン形成デバイス２０との間に結合された複数のアクチュエータ２６を備え、この実施形態では、パターン形成デバイス２０は、通常インプリントリソグラフィと関連する型３０が一体状に形成された溶融石英テンプレートよりなる。型３０は、例えば凹部や凸部等のフィーチャを有する場合もあれば、平面ではなくても実質的に平滑な面を画成するよう実質的に無フィーチャの場合もある。各アクチュエータ２６は、パターン形成デバイス２０の４面３２、３４、３６、３８の中の１面に力を作用させやすいように設けてある。これら複数のアクチュエータ２６は、相対向する面に互いに等しい数だけ設けてある。詳しく言うと、アクチュエータ２６は、パターン形成デバイス２０の相対向する面のアクチュエータ同士を互いに対として配設し、その場合各一対の各アクチュエータ２６がその対のもう一つのアクチュエータ２６の対向位置に来るよう配設することが求められる。アクチュエータ２６動作は、パターン生成システム１８、ペデスタル（サポート）１６、ステージ１２の動作と共に、これらと通信するプロセッサ４０の制御で行われる。そのための制御プログラムがコンピュータ可読コードとして記憶装置４２に記憶されている。記憶装置４２はプロセッサ４０とデータ通信し、プロセッサ４０が制御プログラムを実行することによって制御信号を発生し、アクチュエータ２６に送信するようになっている。
【００１１】
図１および２において、アクチュエータシステム２４は、パターン形成デバイス２０を選択的に変形させることによってアラインメントとオーバーレイレジストレーションをしやすくする。これによって、パターン形状の種々のパラメータ、すなわち、拡大特性、スキュー（斜交）／直交特性、台形特性等の補正が容易になる。拡大特性は、例えば、パターン全体が正方形から矩形に変化するというような拡大誤差である。スキュー／直交特性は、例えば、相隣る辺が互いに直交角ではなく斜角または鈍角をなすスキュー／直交性誤差である。台形特性とは、例えば、正方形／矩形台形が不等辺四辺形の形状になるような台形誤差である（ここで不等辺四辺形は米国／アメリカの定義によるものとし、台形を含む）。パターン形状を制御するために、アクチュエータ２６によってパターン形成デバイス２０を選択的に変形させることにより、パターンまたは画像の歪みがあれば、それを解消できないまでも最小にすることにより、オーバーレイ誤差を小さくすることができる。そのためには、周知の画像配置設定システムまたは画像レジストレーションシステム、例えば米国イリノイ州バノックバーンのライカ・マイクロシステムズ社から入手可能なＬＭＳ  ＩＰＲＯ３を用いてパターン形成デバイス２０を検査する。パターン形成デバイス２０上のフィーチャ位置に関する測定情報４４は、例えば記憶装置４２にマッピングすることになろう。測定情報４４が表すフィーチャは、オーバーレイとアラインメント法を容易にするためのパターン形成デバイス２０上にある基準マークである。これらのフィーチャとしては、ボックス・イン・ボックスマーク、クロスイン・クロスマークおよび／または副尺マークのような周知の任意のアラインメントマークがあり、オーバーレイフィーチャと称する。これらのオーバーレイフィーチャは、スペース的に可能な限り、通常パターン形成デバイス２０の異なる領域に置かれ、矩形格子状他の多角形状に配置される。
【００１２】
記憶装置４２には、測定情報４４を比較する基準を与える基準情報４２をロードすることもある。基準情報４６には、例えば、オーバーレイフィーチャ、したがってパターン形成デバイス２０上のパターンの最適位置あるいは所望位置に関する情報を含めることになろう。この情報は、パターン形成デバイス２０を測定する基準として用いることが可能な現行の基準パターン形成デバイス（図示省略）から得ることができる。別の態様として、基準情報４６は、パターン形成デバイス２０上にパターンを形成するために用いられるＧＤＳファイルから得ることも可能である。パターン形成デバイス２０上のパターンの誤差あるいはひずみが書き込みやエッチングプロセスに起因すると考えれば、コンピュータ支援設計ソフトウェアで使用されるタイプのコンピュータデータによって、最適パターンを最も正確に反映する基準情報４６を得ることが可能である。このような典型的なコンピュータデータとしては、米国カリフォルニア州マウンテンビューのシノプシス、インク．（Ｓｙｎｏｐｓｉｓ，Ｉｎｃ．）社が販売するＣＡＴＳTMソフトウェアで使用されているコンピュータデータがある。
【００１３】
図２および３において、記憶装置４２は、測定情報４４と基準情報４６との比較を容易にするルーチン４８も記憶する。ルーチン４８は、測定情報４４におけるフィーチャと基準情報４６における対応フィーチャとの間のＸ軸方向とＹ軸方向の位置変動に関するルーチンを含み、次表に示す画像配置設定の変動データを生成する。
【表１】
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画像配置設定の誤差（変動）表のデータから、ひずみベクトル５０を生成する。ひずみベクトル５０は、測定情報４４に関連したオーバーレイフィーチャの基準情報４６に関連した対応オーバーレイフィーチャに対する空間位置の差のベクトル表現である。このため、ひずみベクトル５０は、パターン形成デバイス２０上のパターンのフィーチャの空間位置５４に関する記憶装置４２にマッピングされたデータ５２からなる。画像配置設定の変動データから生成される典型的なひずみベクトル５０は、下記のように、各フィーチャのＸ軸方向とＹ軸方向変動を特定的に指示するフィーチャ１で始まりフィーチャ３６で終わるデータシリーズとして記憶装置にマッピングする。｛０．０１，−０．０１２，０，−０．００３，…，０．０１９，−０．００６｝
【００１４】
空間位置５４は、パターン形成デバイス２０上のオーバーレイフィーチャの空間位置を表す。データ５２は、測定情報４４と基準情報４６との差の方向特性と大きさ特性を含む。詳しく言うと、データ５２には、パターン形成デバイス２０上の各オーバーレイフィーチャの空間位置５４と最適／所望のパターンの対応するオーバーレイフィーチャの空間位置との間の直交する２軸方向沿いの距離に関する情報が入っている。
【００１５】
プロセッサ４０は、ルーチン４８を実行してひずみベクトル５０に関するデータを処理し、信号を発生するが、アクチュエータ２６はその信号を検出してパターン形成デバイス２０を選択的に変形させることにより、測定情報４４と基準情報４６との間の差を解消はしないまでも低減し、これによってパターン形成デバイス上のパターンの最適／所望パターンに対するオーバーレイ変動を最小化する。測定情報４４に関連したオーバーレイフィーチャと基準情報４６に関連した対応するオーバーレイフィーチャとの間の距離は、空間位置５４の並進運動を作り出すことにより最小限に抑えられる。そのため、ルーチン４８は、パターン形成デバイス２０を選択的に変形させるためにアクチュエータで加える荷重を下記の逆変換関数を解くことにより求める。
[A]{f} = {u}            （１）
式中、［Ａ］はパターン形成デバイス２０について指定するべきコンプライアンス行列を表し、｛ｆ｝は要素ｆiの１次元行列で、力ベクトルと称する（ｉは１〜ｍの整数、ｍは力の対の数）。力ベクトル｛ｆ｝の要素ｆiは重み係数で、これから所望の荷重が求まる。｛ｕ｝は、測定情報４４に関連したフィーチャが基準情報４６における対応フィーチャの空間位置と合致するまでに経なければならない空間並進を表す。すなわち、｛ｕ｝はひずみベクトル５０の加法に関する逆元を表す。コンプライアンス行列［Ａ］が求まったならば、上式から力ベクトル｛ｆ｝が求まる。プロセッサ４０は、アクチュエータ２６に力ベクトル｛ｆ｝の関数である必要荷重をパターン形成デバイス２０へ加えさせるための信号を発生する。このようにして、パターン形成デバイス２０のひずみは、解消はされないにしても最小化される。
【００１６】
コンプライアンス行列［Ａ］は、パターン形成デバイス２０を形成する材料の関数である。詳しく言うと、コンプライアンス行列［Ａ］は、一部、パターン形成デバイス２０を形成する材料に付随したヤング率とポアソン比によって定義される。この実施形態ではパターン形成デバイス２０は溶融石英で形成されているが、水晶、サファイヤ、ケイ素、金属等で形成することも可能である。コンプライアンス行列［Ａ］を求める一つ方法は、有限要素解析法（ＦＥＡ）を採用している。そのためには、商品名Ｐｒｏ／ＥｎｇｉｎｅｅｒTMで販売されているソフトウェアや商品名Ｐｒｏ／ＭｅｃｈａｎｉｃａTMで販売されている有限要素解法ソフトウェアのような周知の任意のモデル化技術を用いて、パターン形成デバイス２０のＦＥＡモデル（モデル化デバイス５６と称する）を生成し、記憶装置に保存する。
【００１７】
ＦＥＡ法を用いて、アクチュエータ２６による荷重負荷シミュレーションに応答するモデル化デバイス５６における複数の各データポイント５８の空間変位測定値を得る。空間位置５８は、モデル化デバイス５６上のパターンのオーバーレイフィーチャの空間位置を表す。有用な情報を得るために、データポイント５８が関連するオーバーレイフィーチャは、空間位置５４に関連したパターン形成デバイス２０の同じフィーチャに対応する。この実施形態においては、各データポイント５８は空間位置５４の中の１つの位置と関連づけられ、その場合に、各データポイント５８が他のデータポイント５８に関連した空間位置５４と異なる１つの空間位置５４と対応するようになっている。
【００１８】
コンプライアンス行列［Ａ］を求めるときには、一対のアクチュエータが、下記の条件が満たされるように力とモーメントの均衡を保つよう、互いに向きが反対の等しい力を加えるものと仮定する。
ΣＦx＝０            （２）
ΣＦy＝０            （３）
ΣＭz＝０            （３）
式中、ＦｘはＸ軸方向の力、ＦｙはＹ軸方向の力、ＭｚはＺ軸回りのモーメントである。各データポイント５８について、Ｘ軸およびＹ軸方向の変位は次式で定義することができる。
Ｘn＝ｆ1ｘ1n＋ｆ2ｘ2n＋…＋ｆmｘmn      （５）
Ｙn＝ｆ1ｙ1n＋ｆ2ｙ2n＋…＋ｆmｙmn      （６）
式中、ｆiはアクチュエータ対ｉから加わる力の大きさであり、ｎはデータポイントを示し、ｘin、ｙinはアクチュエータ対ｉからの単位力に応動したデータポイントｎのＸ軸、Ｙ軸方向の移動量をミリメートル／ニュートンで表す。この実施形態においては、ｎは１〜４の整数、ｉは１〜８の整数である。オーバーレイフィーチャが４つの場合に、前記式（２）〜（６）で与えられる条件に基づく典型的なコンプライアンス行列［Ａ］を下記に示す。
−0.0350 −0.3316 −0.6845 −0.4965  0.4924  0.2550  0.2025 −0.5387
0.4923  0.2551  0.2028 −0.5388 −0.0349 −0.3316 −0.6845 −0.4957
0.0311  0.3313  0.6848  0.4965  0.5387 −0.2034 −0.2557 −0.4926
A＝le−5*    0.4930  0.2550  0.2026 −0.5389 −0.4989 −0.6846 −0.3310 −0.0323
0.4992 −0.6846 −0.3310 −0.0329  0.4931  0.2549  0.2025 −0.5388
0.5385 −0.2033 −0.2556 −0.4925  0.0313  0.3313  0.6848  0.4973
0.4938  0.6847  0.3318  0.0333  0.5393 −0.2036 −0.2560 −0.4925
0.5393 −0.2034 −0.2559 −0.4927  0.4941  0.6846  0.3319  0.0338
【００１９】
コンプライアンス行列［Ａ］が既知であれば、ルーチン４８は、オーバーレイ誤差を最小化するためにアクチュエータ２６に発生させる力の大きさを力ベクトル｛ｆ｝の形で求めることができる。具体的には、ルーチン４８は前記の式（１）から力ベクトル｛ｆ｝を次式のように解く。
｛ｆ｝＝［Ａ］-1｛ｕ｝            （７）
式中、［Ａ］は正方行列である。［Ａ］が正方行列でない場合、すなわちコンプライアンス行列［Ａ］の行数（行数＝２×データポイント数）が力の対の数（列数＝力の対の数）より大きい場合、上式（７）は次のように表される。
｛ｆ｝＝｛ＡTＡ｝-1ＡT｛ｕ｝      （８）
式中、ＡTはコンプライアンス行列［Ａ］の転置行列である。
【００２０】
しかしながら、大きさや方向のような一定の定義済み拘束条件を満たす力ベクトル｛ｆ｝をルーチン４８に求めさせたい場合がある。例えば、張力を加えるためには、好ましくない機械的結合、例えばアクチュエータ２６の中の１つをパターン形成デバイス２０に接着するなどによってオーバーレイ調節を行う必要が生じ得るので、張力の利用は避けることが望ましい場合がある。
【００２１】
さらに、張力を用いるか圧縮力を用いるかにかかわらず、パターニングデバイスの構造的完全性を危うくする可能性のある余分な力を最小限に抑えることが望ましいことも考えられる。そのために求められるのは、ルーチン４８に力ベクトル｛ｆ｝を下記の拘束条件で求めさせることである。
Ｆi≧０                       （９）
ｆi≦ｆmax            （１０） 
式中、ｆiは、上に説明したように、｛ｆ｝ベクトルの要素である。ここで、慣用的に、正の要素ｆiはパターン形成デバイス２０にかかる圧縮荷重を表すものとする。ルーチン４８は、パターニングデバイス２０の材料の既知の機械的性質から力の最大限ｆmaxを計算することができる。上記の式（９）と（１０）で与えられる拘束条件によって、前出の式（１）は下記のように変形することができる。
［Ａ］｛ｆ｝−｛ｕ｝＝｛ｅ｝            （１１）
それ故、問題は、誤差ベクトル｛ｅ｝が最小となるような力ベクトル｛ｆ｝を見つけることになる。［Ａ］は上に説明したコンプライアンス行列である。ルーチン４８は、次式によって与えられる無限ノルム上で誤差ベクトル｛ｅ｝を最小化することができる。
ｍａｘ（｜［Ａ］｛ｆ｝−｛ｕ｝｜）        （１２）
無限ノルムを最小化することを選択する理由は、オーバーレイ誤差の絶対値の大きさがパターン層が役に立つかどうかを決定すると考えられているためである。前に述べたように、パターン層が所期の通り機能するためには、最大オーバーレイ誤差はパターンの最小フィーチャサイズの３分の１より小さくなければならないと考えられている。それ故、上の式（９）と（１０）で与えられる拘束条件の下で、ルーチン４８に最大絶対誤差、すなわち無限ノルムを下記のように最小化させることが求められる。
Ｍｉｎ（｜ｍａｘ［Ａ］｛ｆ｝−｛ｕ｝｜）        （１３）
【００２２】
目的関数（１３）は、決定変数、すなわち力ｆｉに関して区分的に線形性の凸関数である。区分的に線形性の凸関数は、定義によれば非線形である。したがって、その集合の中の差の変域にはいくつかの極小が含まれる。ルーチン４８に、全域的最小、すなわち上式（１３）を上式（９）および（１０）の拘束条件下で解くことにより得られる最小値を見つけさせることが求められる。そのためには、ルーチン４８は、一定範囲の試行／推定開始ベクトルでいくつかの反復処理を行うと共に、方向探索ルーチンを実行することが必要な場合がある。本発明による代表的な反復法は、関数値を計算する始点から開始される。この反復法は、関数がより低い値を取る解を繰り返し求めることにより行われる。その結果、ルーチン４８は、収束点が見つかるまでその関数に関する情報を計算することになる。ルーチン４８は、許容範囲内の関数値の減少がそれ以後見られない最小値で反復法を終了する。
【００２３】
ニュートン−ラフソン法、共役勾配法、疑似ニュートン法のような周知の任意の反復方向探索法等の技術を用いて最適な力ベクトル｛ｆ｝を得ることができる。これらの技術を実施する１つの方法は、記憶装置４２に保存したマイクロソフトエクセルを、マイクロソフト・コーポレーション社から入手可能なＷＩＮＤＯＷＳ（登録商標）のような標準のオペレーティングシステムを用いてプロセッサ４０により実行する方法である。前に説明した有限要素解析法で得られたデータを行列形式でコレートして入力し、それらの行列同士を例えば前出の式（１）によって適切に関係づける。
【００２４】
力ベクトル｛ｆ｝の計算法を改善する１つの方法は、非線形方程式（１３）を線形の問題に変換することによる方法である。そのためには、式（１１）を式（１３）に代入する。すると、ルーチン４８は、シリーズをなすデータ５２について式（１３）を下記のように表すことができる。
Ｍｉｎｉｍｉｚｅ（Ｍａｘｉｍｕｍ（｜ｅ1｜，｜ｅ2｜…｜ｅn｜）    （１４）
式中、ｅiは誤差ベクトル｛ｅ｝の要素である。ルーチン４８を用いて式（１４）を展開すると、次式が得られる。
Ｍｉｎｉｍｉｚｅ（Ｍａｘｉｍｕｍ  ｅ1，−ｅ1，ｅ2，−ｅ2，…ｅn，−ｅn）（１５）
ルーチン４８によって（Ｍａｘｉｍｕｍ  ｅ1，−ｅ1，ｅ2，−ｅ2，…ｅn，−ｅn）に変数ｗを代入すると、式（１５）は下記のように書くことができる。
Ｍｉｎｉｍｉｚｅ（ｗ）            （１６）
そして、下記の拘束条件が得られる。
ｗ≧ｅi          （１７）
ｗ≧−ｅi        （１８）
【００２５】
すなわち、ルーチン４８は、式（１６）として表された非線形方程式（１３）を、前出の式（１）、（９）、１０の拘束条件に加えて下記の拘束条件で解くことができる。
ｗ≧［Ａ］｛ｆ｝−｛ｕ｝        （１９）
ｗ≧｛ｕ｝−［Ａ］｛ｆ｝        （２０）
式（１３）を線形問題として変形する利点は、線形問題は、シンプレクス法（単体法）のような疑似多項式アルゴリズムの下では有限のステップ数で全域的最小に収束するということである。これによって、ルーチン４８が全域的最小を求めるのに要する計算パワーが最小化される。反復探索技術もなおかつ使用することができる。また、ほとんどの場合、非線形プログラミング法は、注意深くチェックしない限り、局所最適解に収束する。このことは、ＥＸＣＥＬ（商標）で非線形問題を解こうとするときに起きるということが認められている。それ故、線形問題として変形した式（１３）は、データ５２中の最小値を得やすくする一方で、必要な計算パワーを最小限に抑えることを可能にするものである。
【００２６】
以上、本発明の代表的な実施形態について説明した。上に記載した開示技術に対しては、本発明の範囲を逸脱することなく多くの変更および修正をなすことが可能である。例えば、前述の方法は、インプリントリソグラフィの場合における拡大誤差、直交性誤差および台形誤差のような画像配置設定特性およびその他の特性から生じるオーバーレイ誤差を、完全に解消しないまでも、低減する技術について説明した。例えば光リソグラフィの場合で、拡大誤差、直交性および／または台形誤差が他の方法では解消あるいは補正されない場合に、上に説明した本発明を使用してそれらの補正されていないオーバーレイ誤差を最小化することができる。したがって、本発明の範囲は、上記説明によって限定するべきではなく、特許請求の範囲と共にその全般的均等物に基づいて決定するべきである。 
【図１】
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【図２】
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【図３】
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