(57)【要約】【課題】  非対称性を持つ非類似度データをも扱えるよう、ＭＤＳを拡張する従来の技術では、いずれも古典的ＭＤＳとは異なる方法でデータが扱われてきた。このため、固有値分解による寄与率の評価が直接できるという古典的ＭＤＳの利点が活かせないという問題点があった。本発明は、このような古典的ＭＤＳの利点を活かしつつ、非対称性を持つ非類似度データを表現するという課題を解決する。【解決手段】  与えられた非類似度データに対して、前記非類似度データで表される対象の個数ｎに応じて（ｎ−１）個以下の座標軸からなる空間における２ｎ個の点の座標を計算する。【選択図】図３
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
入力された非類似度データに対して、前記非類似度データで表される対象の個数ｎに応じて（ｎ−１）個以下の座標軸からなる空間における２ｎ個の点の座標を出力する計算機であって、前記対象それぞれは、第１のグループに属する１個の点と、第２のグループに属する１個の点からなる点の対に対応付けられ、相異なる２個の前記対象の組合せについて、前記組合せを構成する第１の対象に対応付けられた前記第１のグループに属する点から前記組合せを構成する第２の対象に対応付けられた前記第２のグループに属する点までの距離が、前記入力された非類似度データにおける前記第１の対象に対する前記第２の対象の非類似度への単調写像として表され、前記組合せを構成する第１の対象に対応付けられた前記第２のグループに属する点から前記組合せを構成する第２の対象に対応付けられた前記第１のグループに属する点までの距離が、前記入力された非類似度データにおける前記第２の対象に対する前記第１の対象の非類似度への単調写像として表されるよう、前記２ｎ個の点の座標を出力することを特徴とする計算機。
【請求項２】
与えられた非類似度データに対して、前記非類似度データで表される対象の個数ｎに応じて（ｎ−１）個以下の座標軸からなる空間における２ｎ個の点の座標を計算する方法であって、前記対象それぞれは、第１のグループに属する１個の点と、第２のグループに属する１個の点からなる点の対に対応付けられ、相異なる２個の前記対象の組合せについて、前記組合せを構成する第１の対象に対応付けられた前記第１のグループに属する点から前記組合せを構成する第２の対象に対応付けられた前記第２のグループに属する点までの距離が、前記入力された非類似度データにおける前記第１の対象に対する前記第２の対象の非類似度への単調写像として表され、前記組合せを構成する第１の対象に対応付けられた前記第２のグループに属する点から前記組合せを構成する第２の対象に対応付けられた前記第１のグループに属する点までの距離が、前記入力された非類似度データにおける前記第２の対象に対する前記第１の対象の非類似度への単調写像として表されるよう、前記２ｎ個の点の座標を計算することを特徴とする計算方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】  本発明は、対象間の関連性を表すデータが与えられた場合に、各対象に空間的な座標を与える技術に関する。
【背景技術】
【０００２】  多次元尺度構成法（ＭＤＳ）は、対象間の相互の関連性を表すデータが与えられたときに対象の空間的布置によって関連性を視覚的に表現するデータ解析手法であり、マーケティングや心理学などの分野で応用されている。【０００３】  ＭＤＳの手法としては、さまざまなものが考案されているが、特に、関連性が非類似度として表されたときに、非類似度を、対象を表す点の間の距離ととらえ、各点の位置ベクトル間の内積行列の固有値分解により各点の座標を復元する、主座標分析（ＰＣＯ）と呼ばれる手法に基づくものが、古典的ＭＤＳとしてよく知られている。【０００４】  古典的ＭＤＳでは、非類似度を距離と対応付けることを特徴とするが、実際扱われる非類似度データには、非対称性を持つなど、距離に直接対応付けられないものも多い。非対称性をもつ非類似度データの例としては、複数の国の間の相互の貿易収支や、マーケティングにおけるブランドスイッチング行列などが挙げられる。このような非対称性をもつデータをも扱えるべくＭＤＳを拡張するためのさまざまな工夫が、これまでに行われてきた。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００５】
【非特許文献１】千野：非対称多次元尺度構成法，現代数学社，１９９７．
【非特許文献２】Ｃｏｘ  ａｎｄ  Ｃｏｘ，Ｍｕｌｔｉｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ  Ｓｃａｌｉｎｇ，Ｃｈａｐｍａｎ  ＆  Ｈａｌｌ／ＣＲＣ，２００１．
【非特許文献３】Ｂｏｒｇ  ａｎｄ  Ｇｒｏｅｎｅｎ，Ｍｏｄｅｒｎ  Ｍｕｌｔｉｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ  Ｓｃａｌｉｎｇ，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，２００５．
【非特許文献４】Ｓａｉｔｏ  ａｎｄ  Ｙａｄｏｈｉｓａ，Ｄａｔａ  Ａｎａｌｙｓｉｓ  ｏｆ  Ａｓｙｍｍｅｔｒｉｃ  Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，Ｍａｒｃｅｌ  Ｄｅｋｋｅｒ，２００５．
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】  上述の古典的ＭＤＳでは、対象を表す点の位置ベクトルの相互の内積からなる内積行列の固有値を計算することで、各座標軸の重要度を寄与率という形で評価できる利点がある。これにより、寄与率の低い座標軸を省略し、より低次元の空間で対象を近似的に表現した場合の近似の精度を容易に評価することができる。特に実用上、対象は２次元あるいは３次元の空間にプロットして視覚的に表現する場合が多く、そのためには寄与率の高い順に２個あるいは３個の座標軸を選び、他の座標軸を省略すればよいことになる。【０００７】  一方、非対称性を持つ非類似度データをも扱えるよう、ＭＤＳを拡張する従来の技術は、いずれも古典的ＭＤＳとは異なる方法でデータを処理し対象を表現するものであった。このため、固有値分解による寄与率の評価が直接できるという上述のような古典的ＭＤＳの利点が活かせないという問題点があった。【０００８】  本発明は、上で述べた古典的ＭＤＳの利点を活かしつつ、非対称性を持つ非類似度データを表現するという課題を解決するものである。
【課題を解決するための手段】
【０００９】  以上の課題を解決するため、本発明では、与えられた非類似度データに対して、前記非類似度データで表される対象の個数ｎに応じて（ｎ−１）個以下の座標軸からなる空間における２ｎ個の点の座標を計算する。前記対象それぞれは、第１のグループに属する１個の点と、第２のグループに属する１個の点からなる点の対に対応付けられ、相異なる２個の前記対象の組合せについて、前記組合せを構成する第１の対象に対応付けられた前記第１のグループに属する点から前記組合せを構成する第２の対象に対応付けられた前記第２のグループに属する点までの距離が、前記入力された非類似度データにおける前記第１の対象に対する前記第２の対象の非類似度への単調写像として表され、前記組合せを構成する第１の対象に対応付けられた前記第２のグループに属する点から前記組合せを構成する第２の対象に対応付けられた前記第１のグループに属する点までの距離が、前記入力された非類似度データにおける前記第２の対象に対する前記第１の対象の非類似度への単調写像として表されるよう、前記２ｎ個の点の座標を計算する。【００１０】  具体的には以下のようにして計算する。ｎ個の対象ｉ（ｉ＝１，…，ｎ）が存在し、相異なる対象ｉ，ｊの間の非類似度ｄｉｊが与えられている状況を考える。本発明では、対象ｉを点Ｐｉ（ｉ＝１，…，ｎ）
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最適化問題の解として得られるものとする。
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ここでλｉ（ｉ＝１，…，ｎ）は任意に与えることのできる正の定数である。この最適化問題は、
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る内積行列が求まるので、古典的ＭＤＳと同様の考え方で点ＰｉおよびＱｉの座標が求まる。【００１１】  さて、Ｐｉ，Ｑｉで表される２ｎ個の点を配置するのに必要な空間の次元の数について以下で考察する。上述の最適化問題を扱うためＬａｇｒａｎｇｅ未定乗数λｉｊ（ｉ≠ｊ）を導入し、以下のＬａｇｒａｎｇｅ関数Ｌを考える。
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すると以下が得られる。
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点は（ｎ−１）次元ユークリッド空間に配置することが可能であることが分かる。
【発明の効果】
【００１２】  非対称な関連性データを扱えるようＭＤＳを拡張する従来の技術と比べると、本発明では古典的ＭＤＳと同じように内積行列の固有値分解に基づいて各対象を表す点の座標を求めているため、任意の次元で対象を表した場合の近似の精度が累積寄与率という尺度を通して評価できるという効果がある。また本発明では、全対象を２ｎ個の点で表すが、必要な次元数は、ｎ個の点に対する古典的ＭＤＳの場合と同じく最大でｎ−１である。特に非類似度が距離の公理を満たす場合、各対象を表す２点の座標は同一となり、これを単一の点とみなせば、従来の古典的ＭＤＳと全く同じものとなる。このように、本発明は古典的ＭＤＳを特殊な場合として包含するものともいえる。
【図面の簡単な説明】
【００１３】
【図１】実施例１におけるシステムを示した構成図である。
【図２】メモリが格納するデータおよびプログラムを示した構成図である。
【図３】データ処理プログラムの動作を示したフローチャートである。
【図４】非類似度データの２乗の例を示す図である。
【図５】対象を表す点のプロットの出力例を示した図である。
【図６】固有値、寄与率および累積寄与率の出力例を示した図である。
【図７】実施例２におけるシステムを示した構成図である。
【発明を実施するための形態】
【００１４】  本発明を実施するための形態を、以下例を挙げながら説明する。
【実施例１】
【００１５】  図１は、本発明の第１の実施例におけるシステム構成図である。本システムは、入力装置１０１、計算機１０２、出力装置１０７からなる。入力装置１０１は、キーボードやマウスなどの、計算機１０２にデータを入力するための機器である。計算機１０２は、入力されたデータを処理し結果を出力するためのＰＣやサーバなどの機器であり、入力インタフェース１０３、ＣＰＵ１０４、メモリ１０５、出力インタフェース１０６等からなる。入力インタフェース１０３は、入力装置１０１を計算機１０２に接続するためのインタフェースである。ＣＰＵ１０４は、メモリ１０５に格納されているデータやプログラムを参照し計算などを行う装置である。メモリ１０５は、入出力データなどのデータやプログラムを格納する装置である。出力インタフェース１０６は、出力装置１０７を計算機１０２に接続するためのインタフェースである。出力装置１０７は、データ入力を促す画面を表示したり、計算機１０２が処理した結果を表示したりする、ディスプレイなどの機器である。【００１６】  図２は、メモリ１０５が格納するデータおよびプログラムを示した構成図である。メモリ１０５には入力データ２０１、データ処理プログラム２０２、出力データ２０３が格納される。入力データ２０１は、入力装置１０１によって入力されるデータであり、その具体例については図４を用いて後述する。データ処理プログラム２０２は、ＣＰＵ１０４が入力データ２０１を処理してその結果を出力装置１０７へ出力できるようにするためのプログラムである。出力データ２０３は、ＣＰＵ１０４がデータ処理プログラム２０２を実行して生成する出力データである。【００１７】  図３は、データ処理プログラム２０２の動作を示したフローチャートである。ステップ３０１では、入力データから対象の数ｎを特定した後、２ｎ×２ｎ行列Ｘの（ｉ，ｊ）成分ｘｉｊを変数とする以下の半正定値計画問題を解き、その解として行列Ｘ＊を求める。
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値行列であることを意味する。ｄｉｊ２は非類似度データを２乗したものとして入力される入力データ２０１である。ステップ３０２では、Ｘ＊を固有値分解し、点Ｐｉ（ｉ＝１，…，ｎ）およびＱｉ（ｉ＝１，…，ｎ）の座標と固有値、またそれらから生成される値を出力データ２０３としてメモリ１０５に格納する。ステップ３０３では、出力データ２０３として格納されたデータを出力インタフェース１０６を通して出力装置１０７へ出力する。【００１８】  以下、入力装置１０１によって入力された具体的な入力データ２０１から出力データ２０３を求め、出力装置１０７へ出力する例について記述する。ここでは、任意に与えられる正の定数λｉ（ｉ＝１，…，ｎ）の値はすべて１とする。【００１９】  図４は、入力データ２０１の元になる非類似度データをそれぞれ２乗して表した例である。この例では対象Ａ、対象Ｂ、対象Ｃ、対象Ｄの相互の非類似度が２乗されて表さ
れており、例えば、対象Ａの対象Ｂに対する非類似度は３であり、対象Ｂの対象Ａに対
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れる入力データ２０１は、ｄ１２２＝９，ｄ１３２＝４，ｄ１４２＝５，ｄ２１２＝１２，ｄ２３２＝１６，ｄ２４２＝５，ｄ３１２＝４，ｄ３２２＝２０，ｄ３４２＝２５，ｄ４１２＝６，ｄ４２２＝６，ｄ４３２＝１５という等式などとして入力される。ここでは、対象Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄにそれぞれ１，２，３，４という添字を割り当てて入力データ２０１を表している。ステップ３０１では、上記の入力データ２０１から対象の数を４であると特定し、以下の半正定値計画問題を解く。
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ｓ．ｔ．ｘ１１＋ｘ６６−２ｘ１６＝９，ｘ１１＋ｘ７７−２ｘ１７＝４，ｘ１１＋ｘ８８−２ｘ１８＝５，
ｘ２２＋ｘ５５−２ｘ２５＝１２，ｘ２２＋ｘ７７−２ｘ２７＝１６，ｘ２２＋ｘ８８−２ｘ２８＝５，
ｘ３３＋ｘ５５−２ｘ３５＝４，ｘ３３＋ｘ６６−２ｘ３６＝２０，ｘ３３＋ｘ８８−２ｘ３８＝２５，
ｘ４４＋ｘ５５−２ｘ４５＝６，ｘ４４＋ｘ６６−２ｘ４６＝６，ｘ４４＋ｘ７７−２ｘ４７＝１５，
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一般的に半正定値計画問題には計算機を用いて数値的に解くための効率的なアルゴリズムがいくつか知られているので、上記問題は容易に解くことができ、解として以下の行列を得る。
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【００２０】  次にステップ３０２では、よく知られている古典的ＭＤＳと同様、行列Ｘ＊をＸ＊＝ＡＡ′と分解する。ここでＡ′はＡの転置行列を意味する。このようなＡは、Ｘ＊の固有値分解を経て以下のように求まる。
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これにより、各対象を表す点Ｐｉ，Ｑｉ（ｉ＝１，２，３，４）の位置ベクトルが以下のように求まる。
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に２４．４，６．６３，２．１０，０，０，０，０，０と計算される。【００２１】  計算機１０２は、出力データ２０３を、上記のように計算した点Ｐｉ，Ｑｉ（ｉ＝１，２，３，４）の座標や、計算の過程で得られる行列Ａ，Ｘ＊などの中間データとして、あるいは図５や図６に示す形態で生成し、出力装置１０７へ出力する。【００２２】  図５は、ステップ３０３において、以上のようにして求められた点Ｐｉ，Ｑｉ（ｉ＝１，２，３，４）の座標のプロットを出力装置１０７に出力した例である。白丸および黒丸でプロットした点がそれぞれ、点ＰｉおよびＱｉを表す。ここでは、各座標の第３の成分を省略し、２次元的なプロットを行った例を示しているが、第３の座標を含め、３次元的なプロットを行うものであってもよい。【００２３】  図６は、ステップ３０３において、Ｘ＊の固有値とそれによって計算される寄与率および累積寄与率を出力装置１０７に出力した例である。この例では、第２の座標軸までの累積寄与率が９３．７％であり、図５のような２次元プロットを行った場合に省略されている第３の座標軸による寄与率が６．３％であることが表されている。
【実施例２】
【００２４】  図７は、本発明の第２の実施例におけるシステム構成図である。本システムは、クライアント７０１、サーバ７０２、ネットワーク７０６からなる。クライアント７０１は、ＰＣなどの計算機である。サーバ７０２は、クライアント７０１からの要求に応じてサービスを提供する計算機であり、ネットワークインタフェース７０３、ＣＰＵ７０４、メモリ７０５などからなる。ネットワークインタフェース７０３は、サーバ７０２をネットワーク７０６に接続するための、ネットワークカード等のインタフェースである。ＣＰＵ７０４は、メモリ７０５に格納されているデータやプログラムを参照し計算などを行う装置である。メモリ７０５は、入出力データなどのデータやプログラムを格納する装置である。ネットワーク７０６は、ＬＡＮやインターネットなどであり、スイッチやルータなどの中継機器やケーブルなどからなる。【００２５】  メモリ７０５が格納するデータおよびプログラムは、実施例１において図２を用いて説明したものと同じであり、データ処理プログラム２０２の動作も、実施例１において図３を用いて説明したものと同じである。【００２６】  実施例１では、計算機１０２が、入力装置１０１によって入力された入力データ２０１を処理してその結果を出力データ２０３として出力装置１０７に出力したのに対し、本実施例では、サーバ７０２が、クライアント７０１から受信した入力データ２０１を処理してその結果を出力データ２０３としてクライアント７０１へ送信する。ＣＰＵ７０４が、クライアント７０１から受信した入力データ２０１を元にデータ処理プログラムを実行することで出力データ２０３を求める方法は、実施例１で説明したものと同様である。ＣＰＵ７０４は、ステップ３０３において、出力データ２０３を、点Ｐｉ，Ｑｉ（ｉ＝１，２，３，４）の座標や、計算の過程で得られる行列Ａ，Ｘ＊などの中間データとして、あるいは図５や図６に示す形態で生成し、クライアント７０１へ送信する。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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