(57)【要約】【課題】所定の信頼性のある粒径分布を得るために母集団から抽出すべき標本の粒子総数を決定する方法及びそのプログラムを提供すること。【解決手段】母幾何平均径μｇについての信頼区間の下限値μｇ１、上限値μｇ２の、標本の幾何平均径ｘｇに対する割合、及び母幾何標準偏差σｇについての信頼区間の下限値σｇ１、上限値σｇ２の、標本の幾何標準偏差ｓｇに対する割合を定め、下記式からそれぞれ粒子個数Ｎを求め、その中の最大値を、母集団から抽出する標本の粒子総数とする。2010286416.tif 0000412010286416.tif 000042【選択図】図１
2010286416.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
コンピュータを用いて、粉体の粒度分布を測定する際の、母集団から抽出する標本の粒子総数の決定方法であって、
（１）母集団から試し抽出した標本について、幾何平均径ｘｇ及び幾何標準偏差ｓｇを下記式から算出する工程、
【数１】
2010286416.tif 000031
（式中、ｎｉは粒子径ｘｉにおける粒子個数、ｆ(x)は次式で表される。）
【数２】
2010286416.tif 000032
（２）母集団の母幾何平均径μｇ及び母幾何標準偏差σｇについての、所定の信頼係数（１−α）をもつ信頼区間の下限値及び上限値を次式からそれぞれ粒子個数Ｎの関数として算出する工程、
所定の信頼係数における母幾何平均径μｇについての、下限値μｇ１及び上限値μｇ２
【数３】
2010286416.tif 000033
所定の信頼係数における母幾何標準偏差σｇについての、下限値σｇ１及び上限値σｇ２
【数４】
2010286416.tif 000034
（式中、μ１、μ２、σ１、σ２は下記式で表される）
【数５】
2010286416.tif 000035
（式中、Ｚα／２：αと標準正規分布の数表とから求まる値、ｄｆ：自由度（＝ｎ−１），ｎ：標本の粒子個数，χ２は、”ｄｆ”と”α”の関数として与えられ、カイ二乗分布表から求まる数。ただし，αは有意水準である。）
（３）母幾何平均径μｇについての信頼区間の下限値μｇ１・上限値μｇ２の、標本の幾何平均径ｘｇに対する割合、及び母幾何標準偏差σｇについての信頼区間の下限値σｇ１・上限値σｇ２の、標本の幾何標準偏差ｓｇに対する割合を定め、上記式からそれぞれ粒子個数Ｎを求め、その中の最大の粒子個数Ｎを、母集団から抽出する標本の粒子総数とする工程
とを有することを特徴とする母集団から抽出する標本の粒子総数の決定方法。
【請求項２】
粉体の粒度分布を測定する際の、母集団から抽出する標本の粒子総数を決定するためのプログラムであって、
（１）試し抽出した標本について、幾何平均径ｘｇ及び幾何標準偏差ｓｇを下記式から算出する工程、
【数６】
2010286416.tif 000036
（式中、ｎｉは粒子径ｘｉにおける粒子個数、f(x)は次式で表される。）
【数７】
2010286416.tif 000037
（２）母集団の母幾何平均径μｇ及び母幾何標準偏差σｇについての、所定の信頼係数（１−α）をもつ信頼区間の下限値及び上限値を次式からそれぞれ粒子個数Ｎの関数として算出する工程、
所定の信頼係数における母幾何平均径μｇについての、下限値μｇ１及び上限値μｇ２
【数８】
2010286416.tif 000038
所定の信頼係数における母幾何標準偏差σｇについての、下限値σｇ１及び上限値σｇ２
【数９】
2010286416.tif 000039
（式中、μ１、μ２、σ１、σ２は下記式で表される）
【数１０】
2010286416.tif 000040
（３）母幾何平均径μｇについての信頼区間の下限値μｇ１・上限値μｇ２の標本の幾何平均径ｘｇに対する割合、及び母幾何標準偏差σｇについての信頼区間の下限値σｇ１・上限値σｇ２の標本の幾何標準偏差ｓｇに対する割合を定め、上記式からそれぞれ粒子個数Ｎを求め、その中の最大の粒子個数Ｎを、母集団から抽出する標本の粒子総数とする工程と
をコンピュータに実行させることを特徴とする標本の粒子総数を決定するためのプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、粒子の集合体である粉体の粒度分布を測定する際の、母集団から抽出する標本の粒子総数を決定する方法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
粉体、液体に分散した粉体（粒子懸濁液）、気体中に浮遊する粉体（粉じん）などの粒径分布を測定する場合、粉体を構成するすべての粒子の粒径を測定することは困難である。このため、通常、母集団としての粉体から標本を抽出して、その標本の粒径分布を測定しこれを母集団の粒径分布と推測している（例えば、非特許文献１、非特許文献２）。
【０００３】
しかしながら、標本の粒径分布が母集団の粒径分布と一致するとは限らず、標本の粒径分布から推測する母集団の粒径分布は、ある不確かさ、すなわち、信頼区間を有することになる。
【０００４】
標本の粒径分布を母集団の粒径分布とする推測の信頼性を高めるには、抽出する粒子数を多くすればよいが、抽出する粒子数を多くすればする程、粒径分布の測定時間が長くなる。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００５】
【非特許文献１】石村貞夫著、すぐわかる統計解析、東京図書（株）（1993）。
【非特許文献２】北川敏男著、推測統計学I、岩波書店（1958）。
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
本発明は、所定の信頼性のある粒径分布を得るために母集団から抽出すべき標本の粒子総数を決定する方法及びそのプログラムを提供することをその目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
本発明者は、前記目的を達成すべく鋭意検討を重ねた結果、本発明に至った。すなわち、本発明に係る標本の粒子総数の決定方法は、コンピュータを用いて、粉体の粒度分布を測定する際の、母集団から抽出する標本の粒子総数の決定方法であって、
（１）母集団から試し抽出した標本について、幾何平均径ｘｇ及び幾何標準偏差ｓｇを下記式から算出する工程、
【数１】
2010286416.tif 000003
（式中、ｎｉは粒子径ｘｉにおける粒子個数、ｆ(x)は次式で表される。）
【数２】
2010286416.tif 000004
（２）母集団の母幾何平均径μｇ及び母幾何標準偏差σｇについての、所定の信頼係数（１−α）をもつ信頼区間の下限値及び上限値を次式からそれぞれ粒子個数Ｎの関数として算出する工程、
所定の信頼係数における母幾何平均径μｇについての、下限値μｇ１及び上限値μｇ２
【数３】
2010286416.tif 000005
所定の信頼係数における母幾何標準偏差σｇについての、下限値σｇ１及び上限値σｇ２
【数４】
2010286416.tif 000006
（式中、μ１、μ２、σ１、σ２は下記式で表される）
【数５】
2010286416.tif 000007
（式中、Ｚα／２：αと標準正規分布の数表とから求まる値、ｄｆ：自由度（＝ｎ−１），ｎ：標本の粒子個数，χ２は、”ｄｆ”と”α”の関数として与えられ、カイ二乗分布表から求まる数。ただし，αは有意水準である。）
（３）母幾何平均径μｇについての信頼区間の下限値μｇ１・上限値μｇ２の、標本の幾何平均径ｘｇに対する割合、及び母幾何標準偏差σｇについての信頼区間の下限値σｇ１・上限値σｇ２の、標本の幾何標準偏差ｓｇに対する割合を定め、上記式からそれぞれ粒子個数Ｎを求め、その中の最大の粒子個数Ｎを、母集団から抽出する標本の粒子総数とする工程とを有することを特徴とする。
【０００８】
また、本発明に係るプログラムは、粉体の粒度分布を測定する際の、母集団から抽出する標本の粒子総数を決定するためのプログラムであって、
（１）試し抽出した標本について、幾何平均径ｘｇ及び幾何標準偏差ｓｇを下記式から算出する工程、
【数６】
2010286416.tif 000008
（式中、ｎｉは粒子径ｘｉにおける粒子個数、f(x)は次式で表される。）
【数７】
2010286416.tif 000009
（２）母集団の母幾何平均径μｇ及び母幾何標準偏差σｇについての、所定の信頼係数（１−α）をもつ信頼区間の下限値及び上限値を次式からそれぞれ粒子個数Ｎの関数として算出する工程、
所定の信頼係数における母幾何平均径μｇについての、下限値μｇ１及び上限値μｇ２
【数８】
2010286416.tif 000010
所定の信頼係数における母幾何標準偏差σｇについての、下限値σｇ１及び上限値σｇ２
【数９】
2010286416.tif 000011
（式中、μ１、μ２、σ１、σ２は下記式で表される）
【数１０】
2010286416.tif 000012
（３）母幾何平均径μｇについての信頼区間の下限値μｇ１・上限値μｇ２の標本の幾何平均径ｘｇに対する割合、及び母幾何標準偏差σｇについての信頼区間の下限値σｇ１・上限値σｇ２の標本の幾何標準偏差ｓｇに対する割合を定め、上記式からそれぞれ粒子個数Ｎを求め、その中の最大の粒子個数Ｎを、母集団から抽出する標本の粒子総数とする工程とをコンピュータに実行させることを特徴とする。
【発明の効果】
【０００９】
本発明の決定方法及びプログラムによれば、所定の信頼性のある粒径分布を得るために、母集団から抽出すべき標本の粒子総数が決定されるので、最小限の労力・時間で信頼性のある粒径分布を測定できるようになる。
【図面の簡単な説明】
【００１０】
【図１】本発明の決定方法の手順を示すフローチャートである。
【図２】数値計算シミュレーションを用いて発生させた母集団の粒径分布図である。
【図３】標本の幾何平均径とその信頼区間を示す図である。
【図４】標本の幾何標準偏差とその信頼区間を示す図である。
【図５】標本の粒子個数に対する（μｇ２／ｘｇ）及び（μｇ１／ｘｇ）の変化を示す図である。
【図６】標本の粒子個数に対する（σｇ２／ｓｇ）及び（σｇ１／ｓｇ）の変化を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００１１】
本発明の決定方法の対象となる粉体としては、例えば、エマルション、サスペンション等の固体の水分散液、例えば、粉塵などの固体が浮遊する気体等が挙げられる。粉体としては、粉体の粒径分布が対数正規分布に略従うものであることが好ましい。そこで、粉体の粒径分布が対数正規分布に略従う場合における、対数正規分布に対する信頼区間の導出について始めに説明する。
【００１２】
（母集団の粒径分布が正規分布の場合）
まず、母集団の粒径分布が正規分布に従っているとした場合、母算術平均径μ及び母標準偏差σの信頼区間の求め方について説明する。
【００１３】
（母算術平均径μの信頼区間）
母集団の粒径分布が正規分布に従っているとした場合、母算術平均径μの信頼係数１００（１−α）％の信頼区間は下記式となる。
【００１４】
【数１１】
2010286416.tif 000013
（式中、ｎ：標本の粒子個数，ｘｍ：標本の算術平均径，ｓ：標準偏差，
ｔα／２：ｔ分布の(100×α/2)％点）
【００１５】
ここでｔα／２は、”ｄｆ（自由度（＝ｎ−１））”と”α”の関数として与えられ、”ｄｆ”が３０個以上になると、ｔα／２はｚα／２に等しくなる。よって上記式は通常は次式に書き換えられる。
【００１６】
【数１２】
2010286416.tif 000014
【００１７】
ここで、Ｚα／２の値は”α”のみによって決まる値であり、標準正規分布の数表から求まる。例えば、α＝０．０１，０．０５，０．１０の場合、Ｚα／２＝２．５８，１．９６，１．６５となる。したがって、上記式から、標本の粒径分布測定結果(標準偏差ｓ，粒子個数ｎ)およびα(たとえば０．０５)を代入すれば、母集団の母算術平均径μの信頼区間が求まる。
【００１８】
（母標準偏差σの信頼区間）
母標準偏差σの信頼係数１００（１−α）％の信頼区間は下記式で与えられる。
【００１９】
【数１３】
2010286416.tif 000015
（式中、ｄｆ：自由度（＝ｎ−１），ｎ：標本の粒子個数，ｓ：標本の標準偏差，
χ２は、”ｄｆ”と”α”の関数として与えられ、カイ二乗分布表から求まる数）
【００２０】
（母集団の粒径分布が対数正規分布の場合）
次に、母集団の粒径分布が対数正規分布に従っているとした場合、母幾何平均径μｇ及び母幾何標準偏差σｇの信頼区間の求め方について説明する。
【００２１】
対数正規分布は下記式（２）で表され、標本の幾何平均径ｘｇ及び幾何標準偏差ｓｇは下記式（１−１）、式（１−２）で表される。
【００２２】
【数１４】
2010286416.tif 000016
【数１５】
2010286416.tif 000017
（式中、ｎｉは粒子径ｘｉにおける粒子個数）
【００２３】
そして次に、式（２）、式（１−１）及び式（１−２）を用いて、標本の算術平均径ｘｍ及び標準偏差ｓを標本の幾何平均径ｘｇ及び幾何標準偏差ｓｇで表す。
【００２４】
まず、算術平均径ｘｍの定義式に対数正規分布の関数を代入すると下記式となる。
【００２５】
【数１６】
2010286416.tif 000018
ここで、u=ln x , ug=ln xg , su=ln sg で置き換えると次式となる。
2010286416.tif 000019
さらに、t={u-(ug+su2)}2/21/2su とすると、
2010286416.tif 000020
上記式の積分項はπ1/2であるから、
2010286416.tif 000021
となる。
【００２６】
一方、標準偏差ｓの定義式を変形すると次のようになる。
2010286416.tif 000022
ここで、次式で示される平均面積径(XS)の定義
2010286416.tif 000023
を利用すると、下記式が得られる。
2010286416.tif 000024
そして、前記導出した
2010286416.tif 000025
を代入してｘｇを消去すると、
2010286416.tif 000026
となる。
【００２７】
以上のようにして導出した標本の場合の式（８−１）と式（８−２）とは、母集団の場合についても当てはまるから、下記式のように表すこともできる。
2010286416.tif 000027
【００２８】
式（８−１）と式（８−２）とを、式（７−１）と式（７−２）に代入すると、信頼係数１００（１−α）％の、母集団の母算術平均径μの信頼区間（μ１≦μ≦μ２）及び母標準偏差σ（σ１≦σ≦σ２）の信頼区間は下記式となる。
【００２９】
【数１７】
2010286416.tif 000028
【００３０】
さらに、式（９−１）と式（９−２）とを、式（５−１），式（５−２），式（６−１），式（６−２）に代入すると、母集団の母幾何平均径μｇについての、信頼係数１００（１−α）％の信頼区間（μｇ１≦μｇ≦μｇ２）及び母幾何標準偏差σｇについての、信頼係数１００（１−α）％の信頼区間（σｇ１≦σｇ≦σｇ２）は下記式となる。
【００３１】
2010286416.tif 000029
【００３２】
2010286416.tif 000030
【００３３】
以上から、母集団の母幾何平均径μｇ及び母幾何標準偏差σｇの、信頼係数１００（１−α）％の信頼区間は、標本の幾何平均径ｘｇ、幾何標準偏差ｓｇ及び自由度ｄｆから求まることがわかる。
【００３４】
本発明は、以上のようにして求めた理論的数式にもとづき、母集団の粒径分布として所定の信頼性を有するための標本の粒子総数を決定するものである。図１に、本発明の決定方法の処理手順を示すフローチャート例を示す。なお、実際の処理は、汎用のコンピュータを用い、下記のような処理を行うプログラムを記憶させておき、これを実行することによって行う。
【００３５】
図１のフローチャートにおいて、まず、母集団から標本を試し抽出する（ステップＳ１０１）。そして、有意水準αを設定し入力する（ステップＳ１０２）。次に、式（１−１）と式（１−２）とから、この試し抽出した標本についての幾何平均径ｘｇ及び幾何標準偏差ｓｇを算出する（ステップ１０３）。
【００３６】
次いで、式（３−１）及び式（３−２）から、母集団の母幾何平均径μｇについての、所定の信頼係数をもつ信頼区間の下限値μｇ１及び上限値μｇ２を、粒子個数Ｎの関数として算出する（ステップＳ１０４）。同様に。式（４−１）及び式（４−２）から、母集団の母幾何標準偏差σｇについての、所定の信頼係数をもつ信頼区間の下限値σｇ１及び上限値σｇ２を、粒子個数Ｎの関数として算出する（ステップＳ１０５）。
【００３７】
次いで、母幾何平均径μｇの信頼区間の下限値μｇ１及び上限値μｇ２の、標本の幾何平均径ｘｇに対する割合、母集団の母幾何標準偏差σｇの信頼区間の下限値σｇ１及び上限値σｇ２の、幾何標準偏差ｓｇに対する割合を定めて入力する（ステップＳ１０６）。
【００３８】
設定入力値に基づいて、式（３−１）、式（３−２）、式（４−１）及び式（４−２）から、粒子個数Ｎをそれぞれ算出する（ステップＳ１０７）。そして、算出された４つの粒子個数のうち最大の粒子個数Ｎを母集団から抽出すべき標本の粒子総数とする（ステップＳ１０８）。
【００３９】
なお、最初に母集団から試し抽出した標本の粒子個数が、上記決定された粒子総数よりも多ければ、最初に抽出した標本によって母集団の粒径分布を推測すればよい。逆に、最初に母集団から試し抽出した標本の粒子個数が、上記決定された粒子総数よりも少なければ、不足している粒子個数を母集団からさらに抽出し、最初に抽出した標本に加えて新たな標本とし、この新たな標本によって母集団の粒径分布を推測すればよい。
【００４０】
また、例えば、コンベアなどで流れている粒体を母集団とし、最初に母集団から試し抽出した標本の粒子個数が、上記決定された粒子総数よりも少ない場合がある。この場合、母集団が変化していることから、不足している粒子個数を変化した母集団からさらに抽出するよりも、上記粒子総数よりも多い粒子個数を再び、母集団から試し抽出し、得られた標本の粒子個数に基づいて母集団の粒径分布を推測することが好ましい。
【実施例】
【００４１】
実際に粒径分布測定を行ったとしても母集団の真の粒径分布は測定できないので、数値計算シミュレーションを用いて本発明の決定方法の確からしさを検証した。
【００４２】
（母幾何平均径μｇと母幾何標準偏差σｇの信頼区間の算出式の確からしさの検証）
前記の導出した、母集団の母幾何平均径μｇと母幾何標準偏差σｇの信頼区間の算出式（３−１），式（３−２），式（４−１）及び式（４−２）の確からしさを検証した。具体的には、１０８個からなる母集団の粒子を計算機内で作成し、その中から粒子を無作為に抽出して標本とした。抽出した標本の粒径分布(幾何平均径ｘｇと幾何標準偏差ｓｇ)を求めた。そして、有意水準αを統計学で最もよく用いられる０．０５とすると共に、標本の幾何平均径ｘｇ及び幾何標準偏差ｓｇを式（３−１），式（３−２），式（４−１）及び式（４−２）に代入して、母集団の母幾何平均径μｇと母幾何標準偏差σｇの信頼区間を計算した。
【００４３】
図２に、母集団として設定した粒径分布を示す。現実的な例となるように対数正規分布(図の曲線)に対してばらつきを持たせた。母幾何平均径μｇは１００μｍ、母幾何標準偏差σｇは２．５とした。
【００４４】
図３に、前記無作為に抽出した標本の幾何平均径ｘｇ(図の「○」印)とその信頼区間(縦の棒)の結果を示す。この図から、標本の粒子総数が大きくなると、信頼性が増して信頼区間が狭くなることがわかる。また、信頼区間(縦の棒)のほぼ真ん中に、母集団の真の母幾何平均径(図中、水平な破線で表す)が位置するように信頼区間が得られていることから、式（３−１）及び式（３−２）が、母集団が対数正規分布に従う場合の母幾何平均径の信頼区間を推定するのに利用できることがわかる。
【００４５】
図４に、前記無作為に抽出した標本の幾何標準偏差ｓｇ(図の「○」印)とその信頼区間(縦の棒)の結果を示す。標本の粒子総数Ｎが大きくなると、信頼性が増して信頼区間が狭くなることがわかる。また、信頼区間(縦の棒)のほぼ真ん中に、母集団の真の母幾何標準偏差(図中、水平な破線で表す)が位置するように信頼区間が得られていることから、式（４−１）及び式（４−２）が、母集団が対数正規分布に従う場合の母幾何標準偏差の信頼区間を推定するのに利用できることがわかる。
【００４６】
（母集団から抽出する標本の粒子総数の決定）
上記確からしさの検証された母幾何平均径μｇと母幾何標準偏差σｇの信頼区間の算出式（３−１），式（３−２），式（４−１）及び式（４−２）を用いて、母集団から抽出する標本の粒子総数Ｎを決定したので、以下に具体例で説明する。種々の値のＮに対して前述の数値計算シミュレーションで、式（３−１），式（３−２），式（４−１）及び式（４−２）を用いて、例えば、１０８個からなる母集団の粒子を計算機内で作成し、その中から粒子を無作為に試し抽出して標本とした。そして、抽出した標本の粒径分布(幾何平均径ｘｇと幾何標準偏差ｓｇ)を求めた。次いで、標本の幾何平均径ｘｇ及び幾何標準偏差ｓｇを式（３−１），式（３−２），式（４−１）及び式（４−２）に代入して、所定の信頼係数（１−α）をもつ、母集団の母幾何平均径μｇの信頼区間の下限値μｇ１及び上限値μｇ２と、母幾何標準偏差σｇの信頼区間の下限値σｇ１及び上限値σｇ２を算出した。
【００４７】
次に、有意水準αを統計学で最もよく用いられる０．０５とした（信頼係数０．９５）。母幾何平均径μｇの信頼区間の下限値μｇ１及び上限値μｇ２の、標本の幾何平均径ｘｇに対する割合を定めることにより、粒子個数Ｎをそれぞれ求めた。
【００４８】
図５に、式（３−１）と式（３−２）の計算結果、すなわち、縦軸を、（母幾何平均径μｇの信頼区間の下限値μｇ１又は上限値μｇ２）／（幾何平均径ｘｇ）とし、横軸を、抽出する標本の粒子個数として、標本の粒子個数に対する（μｇ２／ｘｇ）及び（μｇ１／ｘｇ）の変化を示す。図５では、標本の幾何標準偏差ｓｇが１．１，１．３，１．５，２．０である場合について示している。（μｇ２／ｘｇ）及び（μｇ１／ｘｇ）が「１」に近づくほど、幾何平均径ｘｇが母集団の母幾何平均径μｇである確からしさが高くなる。この図から理解されるように、標本の粒子個数を多くするほど、標本の幾何平均径ｘｇが母集団の母幾何平均径μｇである確からしさは高くなる。例えば、（μｇ２／ｘｇ）を「１．０５」、（μｇ１／ｘｇ）を「０．９５」と定めると、図５から、粒子個数はいずれも約５００個となる。
【００４９】
図６に、式（４−１）と式（４−２）の計算結果、すなわち、縦軸を、（母幾何標準偏差σｇの信頼区間の下限値σｇ１又は上限値σｇ２）／（幾何標準偏差ｓｇ）とし、横軸を、抽出する標本の粒子個数として、標本の粒子個数に対する（σｇ２／ｓｇ）及び（σｇ１／ｓｇ）の変化を示す。図６では、標本の幾何標準偏差ｓｇが１．１，１．３，１．５，２．０である場合について示している。（σｇ２／ｓｇ）及び（σｇ１／ｓｇ）が「１」に近づくほど、幾何標準偏差ｓｇが母集団の母幾何標準偏差σｇである確からしさが高くなる。この図から理解されるように、標本の粒子個数を多くするほど、標本の幾何標準偏差ｓｇが母集団の母幾何標準偏差σｇである確からしさは高くなる。例えば、（σｇ２／ｓｇ）を「１．０５」と定めると、図６から粒子個数は約３５０個となり、（σｇ１／ｓｇ）を「０．９５」と定めると、粒子個数は約２００個となる。
【００５０】
以上のようにして求められた４つの粒子総数の中で最も多い粒子総数を、母集団から抽出する標本の粒子総数とする。図５及び図６で示した例では５００個が、母集団から抽出する標本の粒子総数となる。
【産業上の利用可能性】
【００５１】
本発明に係る決定方法及びプログラムでは、所定の信頼性のある粒径分布を得るために、母集団から抽出すべき標本の粒子総数を決定できるので有用である。
【図１】
2010286416.tif 000043
【図２】
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【図３】
2010286416.tif 000045
【図４】
2010286416.tif 000046
【図５】
2010286416.tif 000047
【図６】
2010286416.tif 000048