(57)【要約】【課題】回転楕円体上の曲線を真球上に投影した曲線を精度よく近似する曲線を生成する。【解決手段】サンプル生成部２は、読み込み部１が読み込んだ回転楕円体上の曲線の複数の点を真球上に投影する。フーリエ変換部３は、投影された点を用いて離散フーリエ変換を求める。平面決定部４は、第１の制御点で投影曲線に接する第１の円が属する第１の平面と第２の制御点で投影曲線に接する第２の円が属する第２の平面とを決定する。交点処理部５は、第１及び第２の円が１つの点で交わるかを判定する。回転処理部６は、第１及び第２の円が１点で交わるように第１及び第２の平面を回転する。区間近似処理部７は、第１の制御点と１つの点との間を結ぶ第１の円の円弧と、第２の制御点と１つの点との間を結ぶ第２の円の円弧と、で第１の制御点と第２の制御点との間の投影曲線を近似する。【選択図】図２
2020035087.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
回転楕円体上の曲線を読み込む読み込み部と、
読み込んだ回転楕円体上の曲線上の複数のサンプリングポイントを真球上に投影した投影サンプリングポイントを生成するサンプル生成部と、
前記投影サンプリングポイントを用いて離散フーリエ変換を行い、前記読み込んだ回転楕円体上の曲線を前記真球上に投影した投影曲線を導くための離散フーリエ級数を求めるフーリエ変換部と、
前記フーリエ変換部が求めた前記離散フーリエ級数に基づいた投影曲線上に設けられた複数の制御点のうちの第１の制御点で前記投影曲線に接し、第１の制御点での前記投影曲線の曲率半径に等しい半径を有する第１の円を切り出す第１の平面と、前記複数の制御点のうちの第２の制御点で前記投影曲線に接し、前記複数の制御点のうちの第２の制御点での前記投影曲線の曲率半径に等しい半径を有する第２の円を切り出す第２の平面と、を決定する平面決定部と、
前記第１の円と前記第２の円が１つの点で交わるかを判定する交点処理部と、
前記交点処理部が前記第１の円と前記第２の円が１つの点で交わらないと判定した場合に、前記第１の制御点と前記第２の制御点との間の所定の点にて前記第１の円と前記第２の円とが滑らかに接続するように、前記第１の平面を前記第１の制御点における前記投影曲線の方向を示すベクトルを軸として回転し、前記第２の平面を前記第２の制御点における前記投影曲線の方向を示すベクトルを軸として回転する回転処理部と、
前記第１の制御点と前記所定の点との間を結ぶ前記第１の円の円弧と、前記所定の点と前記第２の制御点との間を結ぶ前記第２の円の円弧と、で前記第１の制御点と前記第２の制御点との間の区間の前記投影曲線を近似する区間近似処理部と、を備える、
地理情報処理装置。
【請求項２】
前記所定の点は、前記第１の円と前記第２の円とが互いに接する点である、
請求項１に記載の地理情報処理装置。
【請求項３】
前記回転楕円体上の曲線は円であり、
前記制御点は、前記回転楕円体上の前記円の中心点を前記真球に投影した点からの方位が異なる、前記投影曲線上の４以上の点である、
請求項１又は２に記載の地理情報処理装置。
【請求項４】
前記制御点は、前記真球体上の前記投影曲線上の北端に対応する点と、南端に対応する点と、東西方向二つの遠点又は近点に対応する点と、を含む、
請求項３に記載の地理情報処理装置。
【請求項５】
前記回転楕円体上の曲線は測地線であり、
前記複数の制御点は、
前記回転楕円体上の前記測地線の始点を前記真球に投影した点と、
前記回転楕円体上の前記測地線の終点を前記真球に投影した点と、
前記回転楕円体上の前記測地線の前記始点を前記真球に投影した前記点からの前記投影曲線上での距離が異なる１以上の点と、からなる、
請求項１又は２に記載の地理情報処理装置。
【請求項６】
回転楕円体上の曲線を読み込み、
読み込んだ回転楕円体上の曲線上の複数のサンプリングポイントを真球上に投影した投影サンプリングポイントを生成し、
前記投影サンプリングポイントを用いて離散フーリエ変換を行い、前記読み込んだ回転楕円体上の曲線を前記真球上に投影した投影曲線を導くための離散フーリエ級数を求め、
前記離散フーリエ級数に基づいた投影曲線上に設けられた複数の制御点のうちの第１の制御点で前記投影曲線に接し、第１の制御点での前記投影曲線の曲率半径に等しい半径を有する第１の円を切り出す第１の平面と、前記複数の制御点のうちの第２の制御点で前記投影曲線に接し、前記複数の制御点のうちの第２の制御点での前記投影曲線の曲率半径に等しい半径を有する第２の円を切り出す第２の平面と、を決定し、
前記第１の円と前記第２の円が１つの点で交わるかを判定し、
前記第１の円と前記第２の円が１つの点で交わらないと判定した場合に、前記第１の制御点と前記第２の制御点との間の所定の点にて前記第１の円と前記第２の円とが滑らかに接続するように、前記第１の平面を前記第１の制御点における前記投影曲線の方向を示すベクトルを軸として回転し、前記第２の平面を前記第２の制御点における前記投影曲線の方向を示すベクトルを軸として回転し、
前記第１の制御点と前記所定の点との間を結ぶ前記第１の円の円弧と、前記所定の点と前記第２の制御点との間を結ぶ前記第２の円の円弧と、で前記第１の制御点と前記第２の制御点との間の区間の前記投影曲線を近似する、
曲線近似方法。
【請求項７】
回転楕円体上の曲線を読み込む処理と、
読み込んだ回転楕円体上の曲線上の複数のサンプリングポイントを真球上に投影した投影サンプリングポイントを生成する処理と、
前記投影サンプリングポイントを用いて離散フーリエ変換を行い、前記読み込んだ回転楕円体上の曲線を前記真球上に投影した投影曲線を導くための離散フーリエ級数を求める処理と、
前記離散フーリエ級数に基づいた投影曲線上に設けられた複数の制御点のうちの第１の制御点で前記投影曲線に接し、第１の制御点での前記投影曲線の曲率半径に等しい半径を有する第１の円を切り出す第１の平面と、前記複数の制御点のうちの第２の制御点で前記投影曲線に接し、前記複数の制御点のうちの第２の制御点での前記投影曲線の曲率半径に等しい半径を有する第２の円を切り出す第２の平面と、を決定する処理と、
前記第１の円と前記第２の円が１つの点で交わるかを判定する処理と、
前記第１の円と前記第２の円が１つの点で交わらないと判定した場合に、前記第１の制御点と前記第２の制御点との間の所定の点にて前記第１の円と前記第２の円とが滑らかに接続するように、前記第１の平面を前記第１の制御点における前記投影曲線の方向を示すベクトルを軸として回転し、前記第２の平面を前記第２の制御点における前記投影曲線の方向を示すベクトルを軸として回転する処理と、
前記第１の制御点と前記所定の点との間を結ぶ前記第１の円の円弧と、前記所定の点と前記第２の制御点との間を結ぶ前記第２の円の円弧と、で前記第１の制御点と前記第２の制御点との間の区間の前記投影曲線を近似する処理と、をコンピュータに実行させる、
曲線近似プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、地理情報処理装置、曲線近似方法及び曲線近似プログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
今日、地球上を移動する航空機等の移動体の監視や運航管理を行うため、様々なナビゲーションシステムが運用されている。輸送機械の中でも移動距離が長大である航空機の運航を管理するには、広範囲での方位、距離の算出を行う必要が有る。航空機のナビゲーションシステムでは、一般に、国家の領土及び領空、又は飛行情報区（ＦＩＲ：Flight Information Region）程度における広域の範囲で、大縮尺の空間情報を正確かつ効率的に処理することが求められる。
【０００３】
このようなナビゲーションシステムで用いる手法の例として、地球の形状を模した回転楕円体上の座標を真球上に投影する真球投影法が提案されている（特許文献１）。この真球投影法によれば、真球上の座標を用いて演算処理を行うことで、回転楕円体上の座標を用いて演算を行う場合と比べて演算を単純化できるので、演算に要する計算量を軽減することができる。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００４】
【特許文献１】特開２０１４−１４９８０７号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
回転楕円体上の特定の地点（中心点）から一定の測地線距離にある地点の集合である円を真球に投影する場合、投影された投影曲線を正確に表すことは比較的困難である。そこで、回転楕円体上の中心点を真球投影法で真球上に投影し、投影した点を中心とする真球上の円で、投影曲線を近似する手法が用いられる。この場合、真球上の円は、投影曲線に比べて単純な形状であるため、投影曲線と近似に用いた円との間で誤差が生じることは避けられない。
【０００６】
また、真球上の円と投影曲線との間の誤差は、回転楕円体上の円の中心点の緯度および測地線距離に依存する。特に、回転楕円体上の円の中心の緯度が真球投影法で設定される基準緯度からの乖離が大きい場合、または、測地線距離が大きい場合には、近似誤差が大きくなってしまう。
【０００７】
本発明は上記の事情に鑑みて成されたものであり、回転楕円体上の曲線を真球上に投影した曲線を、精度よく近似する曲線を生成することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
本発明の一態様である地理情報処理装置は、回転楕円体上の曲線を読み込む読み込み部と、読み込んだ回転楕円体上の曲線上の複数のサンプリングポイントを真球上に投影した投影サンプリングポイントを生成するサンプル生成部と、前記投影サンプリングポイントを用いて離散フーリエ変換を行い、前記読み込んだ回転楕円体上の曲線を前記真球上に投影した投影曲線を導くための離散フーリエ級数を求めるフーリエ変換部と、前記フーリエ変換部が求めた前記離散フーリエ級数に基づいた投影曲線上に設けられた複数の制御点のうちの第１の制御点で前記投影曲線に接し、第１の制御点での前記投影曲線の曲率半径に等しい半径を有する第１の円を切り出す第１の平面と、前記複数の制御点のうちの第２の制御点で前記投影曲線に接し、前記複数の制御点のうちの第２の制御点での前記投影曲線の曲率半径に等しい半径を有する第２の円を切り出す第２の平面と、を決定する平面決定部と、前記第１の円と前記第２の円が１つの点で交わるかを判定する交点処理部と、前記交点処理部が前記第１の円と前記第２の円が１つの点で交わらないと判定した場合に、前記第１の制御点と前記第２の制御点との間の所定の点にて前記第１の円と前記第２の円とが滑らかに接続するように、前記第１の平面を前記第１の制御点における前記投影曲線の方向を示すベクトルを軸として回転し、前記第２の平面を前記第２の制御点における前記投影曲線の方向を示すベクトルを軸として回転する回転処理部と、前記第１の制御点と前記所定の点との間を結ぶ前記第１の円の円弧と、前記所定の点と前記第２の制御点との間を結ぶ前記第２の円の円弧と、で前記第１の制御点と前記第２の制御点との間の区間の前記投影曲線を近似する区間近似処理部と、を有するものである。
【０００９】
本発明の一態様である曲線近似方法は、回転楕円体上の曲線を読み込み、読み込んだ回転楕円体上の曲線上の複数のサンプリングポイントを真球上に投影した投影サンプリングポイントを生成し、前記投影サンプリングポイントを用いて離散フーリエ変換を行い、前記読み込んだ回転楕円体上の曲線を前記真球上に投影した投影曲線を導くための離散フーリエ級数を求め、前記離散フーリエ級数に基づいた投影曲線上に設けられた複数の制御点のうちの第１の制御点で前記投影曲線に接し、第１の制御点での前記投影曲線の曲率半径に等しい半径を有する第１の円を切り出す第１の平面と、前記複数の制御点のうちの第２の制御点で前記投影曲線に接し、前記複数の制御点のうちの第２の制御点での前記投影曲線の曲率半径に等しい半径を有する第２の円を切り出す第２の平面と、を決定し、前記第１の円と前記第２の円が１つの点で交わるかを判定し、前記第１の円と前記第２の円が１つの点で交わらないと判定した場合に、前記第１の制御点と前記第２の制御点との間の所定の点にて前記第１の円と前記第２の円とが滑らかに接続するように、前記第１の平面を前記第１の制御点における前記投影曲線の方向を示すベクトルを軸として回転し、前記第２の平面を前記第２の制御点における前記投影曲線の方向を示すベクトルを軸として回転し、前記第１の制御点と前記所定の点との間を結ぶ前記第１の円の円弧と、前記所定の点と前記第２の制御点との間を結ぶ前記第２の円の円弧と、で前記第１の制御点と前記第２の制御点との間の区間の前記投影曲線を近似するものである。
【００１０】
本発明の一態様である曲線近似プログラムは、回転楕円体上の曲線を読み込む処理と、読み込んだ回転楕円体上の曲線上の複数のサンプリングポイントを真球上に投影した投影サンプリングポイントを生成する処理と、前記投影サンプリングポイントを用いて離散フーリエ変換を行い、前記読み込んだ回転楕円体上の曲線を前記真球上に投影した投影曲線を導くための離散フーリエ級数を求める処理と、前記離散フーリエ級数に基づいた投影曲線上に設けられた複数の制御点のうちの第１の制御点で前記投影曲線に接し、第１の制御点での前記投影曲線の曲率半径に等しい半径を有する第１の円を切り出す第１の平面と、前記複数の制御点のうちの第２の制御点で前記投影曲線に接し、前記複数の制御点のうちの第２の制御点での前記投影曲線の曲率半径に等しい半径を有する第２の円を切り出す第２の平面と、を決定する処理と、前記第１の円と前記第２の円が１つの点で交わるかを判定する処理と、前記第１の円と前記第２の円が１つの点で交わらないと判定した場合に、前記第１の制御点と前記第２の制御点との間の所定の点にて前記第１の円と前記第２の円とが滑らかに接続するように、前記第１の平面を前記第１の制御点における前記投影曲線の方向を示すベクトルを軸として回転し、前記第２の平面を前記第２の制御点における前記投影曲線の方向を示すベクトルを軸として回転する処理と、前記第１の制御点と前記所定の点との間を結ぶ前記第１の円の円弧と、前記所定の点と前記第２の制御点との間を結ぶ前記第２の円の円弧と、で前記第１の制御点と前記第２の制御点との間の区間の前記投影曲線を近似する処理と、をコンピュータに実行させるものである。
【発明の効果】
【００１１】
本発明によれば、回転楕円体上の曲線を真球上に投影した曲線を、精度よく近似する曲線を生成することができる。
【図面の簡単な説明】
【００１２】
【図１】実施の形態１にかかる地理情報処理装置の構成を模式的に示す図である。
【図２】演算装置の基本的構成を模式的に示すブロック図である。
【図３】実施の形態１にかかる曲線近似処理を示すフローチャートである。
【図４】回転楕円体上の円を示す図である。
【図５】制御点を示す図である。
【図６】真球で設定されるベクトルを示す図である。
【図７】円ｃｓｍを切り出す平面ＳＦｍを、制御点Ｐｍを通る方向ベクトルＷｍを軸として回転量ａだけ回転させる例を示す図である。
【図８】北緯５０度東経１４２度を中心とする半径２５０海里（ｎｍ）（約４６０ｋｍ）の回転楕円体上における曲線の回転楕円体上の円の中心点からの距離を示す図である。
【図９】北緯２０度東経１２８度を中心とする半径２５０海里（ｎｍ）（約４６０ｋｍ）の回転楕円体上における曲線の回転楕円体上の円ＣＡの中心点からの距離を示す図である。
【図１０】実施の形態２にかかる曲線近似処理を示すフローチャートである。
【図１１】回転楕円体上の測地線と真球上の投影曲線とを示す図である。
【図１２】真球に設定する座標系を示す図である。
【図１３】真球で設定されるベクトルを示す図である。
【図１４】円ｃｓｍを切り出す平面ＳＦｍを、制御点Ｐｍを通る方向ベクトルＷｍを軸として回転量ａだけ回転させる例を示す図である。
【図１５】北緯１４度東経１２１度（マニラ、フィリピン共和国）と北緯３６度東経１４０度（東京、日本国）とを結ぶ測地線（測地線長３，０８８ｋｍ）を、回転楕円体から真球に投影した場合の、投影曲線と真球上の大円との間の誤差と投影曲線と円弧近似曲線との誤差を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００１３】
以下、図面を参照して本発明の実施の形態について説明する。各図面においては、同一要素には同一の符号が付されており、必要に応じて重複説明は省略される。
【００１４】
実施の形態１
実施の形態１にかかる地理情報処理装置１００について説明する。図１に、実施の形態１にかかる地理情報処理装置１００の構成を模式的に示す。地理情報処理装置１００は、入力装置１０１、記憶装置１０２、演算装置１０３、表示装置１０４及びバス１０５を有する。地理情報処理装置１００は、例えばコンピュータシステムなどのハードウェア資源を用いて構成される。入力装置１０１、記憶装置１０２、演算装置１０３、表示装置１０４は及びバス１０５を介して接続され、相互にデータの受け渡しを行うことが可能である。
【００１５】
一般に、航空機などの地球上を移動する移動体の管制や航法計算は、地図情報を数値化して演算処理を行う必要が有る。本実施の形態では、地理情報処理装置１００は、地球上での曲線を真球上での曲線として精度よく近似するものである。
【００１６】
入力装置１０１は、地理情報処理装置１００に対して外部からデータの入力を行う際に用いられる。例えば、入力装置１０１としては、キーボード、マウス、ＤＶＤ（Digital Versatile Disc）ドライブ、ネットワーク接続などの、各種のデータ入力手段を適用することが可能である。
【００１７】
記憶装置１０２は、入力装置１０１を介して提供されるデータが格納されたデータベースや、演算装置１０３での処理に供されるプログラムを記憶することが可能である。記憶装置１０２は、例えばハードディスクドライブ、フラッシュメモリなどの各種の記憶装置を適用することが可能である。具体的には、記憶装置１０２には、基本形状データベースＤ１、投影情報データベースＤ２が格納される。
【００１８】
基本形状データベースＤ１は、予め与えられる固有の情報である。基本形状データベースＤ１は、例えば真球ＳＰＢ（地球）の半径Ｒを含む。投影情報データベースＤ２は、真球ＳＰＢ上での線分や空域を示す座標情報を含む。投影情報データベースＤ２は、真球ＳＰＢにおける航空機の座標や、回転楕円体ＳＰＡの円や測地線を定義する情報などが含まれる。
【００１９】
また、記憶装置１０２には、後述する演算装置１０３が行う近似処理を規定するプログラムＰＲＧを格納することも可能である。
【００２０】
演算装置１０３は、記憶装置１０２から、プログラム及びデータベースを読み出し、必要な演算処理を行うことができる。演算装置１０３は、例えばＣＰＵ（Central Processing Unit）により構成される。演算装置１０３は、真球で表現される地球上における線分や空域の形状を判定する形状判定装置として構成される。
【００２１】
表示装置１０４は、演算装置１０３での演算結果に応じて、航空機の座標、運航情報などを視認可能に表示する。また、表示装置１０４は、演算装置１０３から出力された処理結果を表示することも可能である。表示装置１０４は、例えば液晶モニタなどの各種の表示装置を適用することが可能である。
【００２２】
以下、地理情報処理装置１００の構成及び動作について具体的に説明する。図２は、演算装置１０３の基本的構成を模式的に示すブロック図である。図３は、実施の形態１にかかる曲線近似処理を示すフローチャートである。演算装置１０３は、読み込み部１、サンプル生成部２、フーリエ変換部３、平面決定部４、交点処理部５、回転処理部６及び区間近似処理部７を有する。
【００２３】
ステップＳ１１：読み込み処理
読み込み部１は、地球の形状を模した回転楕円体ＳＰＡの表面上の円ＣＡを読み込む。円ＣＡを定義する情報は、記憶装置１０２に予め格納されており、読み込み部１が必要に応じて読み込むことができる。図４に、回転楕円体ＳＰＡ上の円ＣＡを示す。ここでは、図４に示すように、円ＣＡは、緯度θｃと経度φｃとで特定される中心点ｐｃからの半径がｒの円として与えられる。
【００２４】
ステップＳ１２：サンプリング
サンプル生成部２は、回転楕円体ＳＰＡの円ＣＡ上に、Ｎ個（Ｎは、４以上の整数）のサンプリングポイントｓｎ（０≦ｎ＜Ｎ）を生成する。ここでは、回転楕円体ＳＰＡ上の円ＣＡ上に、１６個のサンプリングポイントｓ０〜ｓ１５を回転楕円体ＳＰＡ上の円ＣＡの中心点ｐｃから距離ｒ、方位２πｎ／Ｎの位置にある点の座標として設定する。
【００２５】
サンプル生成部２は、回転楕円体ＳＰＡのサンプリングポイントｓ０〜ｓ１５を、例えば特許文献１に開示された座標変換方法などの各種の投影方法を用いて、真球ＳＰＢ上に投影サンプリングポイントＳ０〜Ｓ１５として投影する。そして、真球ＳＰＢ上の投影サンプリングポイントＳ０〜Ｓ１５の位置を示すサンプリングベクトル
【数１】
2020035087.tif 000003
を生成する。
【００２６】
ステップＳ１３：フーリエ変換
フーリエ変換部３は、投影サンプリングベクトルを用いて方位ψをパラメータとする離散フーリエ変換を行い、回転楕円体ＳＰＡ上の円ＣＡを真球ＳＰＢ上に投影した投影曲線ＣＢを求めるための離散フーリエ級数を取得する。
【００２７】
上述のサンプリングベクトルを用いて離散フーリエ変換を行う。ｘ成分については、以下の式で記述される。なお、ｘｃｎ、ｘｓｎはx成分の離散フーリエ変換に対応するフーリエ級数である。
【数２】
2020035087.tif 000004
ｙ成分については、以下の式で記述される。なお、ｙｃｎ、ｙｓｎはy成分の離散フーリエ変換に対応するフーリエ級数である。
【数３】
2020035087.tif 000005
ｚ成分については、以下の式で記述される。なお、ｚｃｎ、ｚｓｎはz成分の離散フーリエ変換に対応するフーリエ級数である。
【数４】
2020035087.tif 000006
【００２８】
式（２）〜式（４）の離散フーリエ変換の結果を用いて、真球ＳＰＢ上に投影した地点Ｐを表すことができる。ここでは、回転楕円体ＳＰＡ上の円ＣＡの中心点ｐｃからの方位がψ、距離がｒの地点ｐを真球ＳＰＢ上に投影した地点Ｐの位置ベクトルを
【数５】
2020035087.tif 000007
とする。地点Ｐの位置ベクトルの各成分は、離散フーリエ逆変換の結果を用いて以下の式で表される。
【数６】
2020035087.tif 000008
【００２９】
真球ＳＰＢ上の地点Ｐの位置ベクトル
【数７】
2020035087.tif 000009
の方位ψについての導関数ベクトルは方向ベクトルであり、以下のベクトルで表される。
【数８】
2020035087.tif 000010
この方向ベクトルの各成分は、以下の式で表される。
【数９】
2020035087.tif 000011
【００３０】
上記の方向ベクトルの方位ψについての導関数ベクトル
【数１０】
2020035087.tif 000012
の各成分は、以下の式で表される。
【数１１】
2020035087.tif 000013
【００３１】
ステップＳ１４：平面決定
平面決定部４は、制御点ベクトルで示される制御点において投影曲線を局地的に近似する円ｃｓｍを切り出す平面ＳＦｍを求める。以下、制御点及び制御点ベクトルについて説明する。制御点は、離散フーリエ変換の結果を用いて表現される投影曲線に設定される点である。制御点は、地理情報処理装置１００の外部から与えられてもよいし、必要に応じて平面決定部４が制御点を設定してもよい。
【００３２】
地点Ｐと投影中心点Ｐｃとの間の真球上での距離ｄは、Ｒを真球の半径とした場合に、以下の式で表される。
【数１２】
2020035087.tif 000014
【００３３】
距離ｄを方位ψで微分した値が０となる地点で、距離ｄは極値をとることとなる。本実施の形態では、距離ｄが極値をとる点を制御点として設定する。距離ｄを方位ψで微分すると、以下の式が得られる。
【数１３】
2020035087.tif 000015
したがって、制御点の条件は、以下の式で表される。
【数１４】
2020035087.tif 000016
式（１４）のＤを方位ψについて微分すると、以下の式が得られる。
【数１５】
2020035087.tif 000017
【００３４】
式（１４）及び式（１５）より、式（１３）を満たす方位ψｅをＮｅｗｔｏｎ法を用いて求めることができる。ここでは、方位ψｅの初期値はπ／２とする。投影中心点Ｐｃからの距離ｄが極値をとる地点の方位は、東西対称性を考慮すると、以下の４つの方位ψ０〜ψ３となる。なお、ここでは、北を方位０とする。
【数１６】
2020035087.tif 000018
【００３５】
図５に、制御点を示す。図５に示すように、真球ＳＰＢ上で、方位ψ０〜ψ３に対応する制御点Ｐ０〜Ｐ３を示す。すなわち、制御点Ｐ０は真球ＳＰＢ上の投影曲線の北端の点であり、制御点Ｐ２は真球ＳＰＢ上の投影曲線の南端の点であり、制御点Ｐ１は真球ＳＰＢ上の投影曲線の西の方向の遠点又は近点であり、制御点Ｐ３は真球ＳＰＢ上の投影曲線の東の方向の遠点又は近点である。なお、回転楕円体上の点ｐ０〜ｐ３は、真球ＳＰＢ上の制御点Ｐ０〜Ｐ３に対応する点である。真球ＳＰＢ上では、投影曲線を実線で示し、真球上の円を破線で示している。
【００３６】
このとき、制御点Ｐｍ（０≦ｍ≦３）を示す制御点ベクトルを以下の式で定義する。
【数１７】
2020035087.tif 000019
【００３７】
ここでは、π／２ずつ方位が異なる４つの制御点を設定する例について説明したが、制御点の数はこの例に限られない。例えば、方位が２π／Ｍ（Ｍは２以上の整数）ずつ異なるＭ個の制御点を設定してもよい。
【００３８】
平面決定部４は、制御点ベクトルで示される制御点において投影曲線を局地的に近似する円ｃｓｍを切り出す平面ＳＦｍを求める。図６は、真球で設定されるベクトルを示す図である。まず、制御点ベクトルで示される地点における方向ベクトル
【数１８】
2020035087.tif 000020
を、式（９）を用いて求める。
【００３９】
次に、方向ベクトル
【数１９】
2020035087.tif 000021
の方位ψについての導関数ベクトル
【数２０】
2020035087.tif 000022
を、式（１１）を用いて求める。
【００４０】
式（１８）の方向ベクトルと式（２０）のベクトルとを用いることで、平面ＳＦｍの単位法線ベクトルを、以下の式（２１）で表すことができる。
【数２１】
2020035087.tif 000023
【００４１】
制御点ベクトルと単位法線ベクトルとの内積は、以下の式で表される。これは制御点で投影曲線に接し、制御点での投影曲線の曲率半径に等しい半径を有する円を切り出す平面を表す。
【数２２】
2020035087.tif 000024
ξｍは制御点ベクトルと単位法線ベクトルとがなす角であり、真球の半径Ｒを用いると、Ｒｓｉｎξｍは制御点ベクトルで示される地点での投影曲線の曲率半径と等しくなる。
【００４２】
制御点ベクトルとこれに対応する方向ベクトルとの内積は、以下の式で表される。
【数２３】
2020035087.tif 000025
方向ベクトルと単位法線ベクトルとに直交する単位直交ベクトルは、以下の式で表される。
【数２４】
2020035087.tif 000026
制御点ベクトルと単位直交ベクトルとの間には、以下の式で示す関係が成立する。
【数２５】
2020035087.tif 000027
【００４３】
ステップＳ１５：交点処理
交点処理部５は、以下の処理を行う。ここで、制御点Ｐｍに隣接する制御点Ｐｈを想定する。制御点Ｐｍで投影曲線に接し、制御点Ｐｍでの投影曲線の曲率半径と等しい半径を有する円ｃｓｍ（第１の円）と制御点Ｐｈで投影曲線に接し、制御点Ｐhでの投影曲線の曲率半径と等しい半径を有する円ｃｓｈ（第２の円）との交点ＰＩの位置ベクトル
【数２６】
2020035087.tif 000028
を求める。
【００４４】
交点ＰＩは、円ｃｓｍ及び円ｃｓｈ上に存在するので、以下の式が成立する。
【数２７】
2020035087.tif 000029
【００４５】
ここで、未知数α、β及びγを導入すると、交点ＰＩは以下の式で表すことができる。
【数２８】
2020035087.tif 000030
式（２８）を式（２７）に代入すると、以下の式が得られる。
【数２９】
2020035087.tif 000031
式（２９）から、α及びβは、以下の式で表すことができる。
【数３０】
2020035087.tif 000032
【００４６】
また、交点ＰＩを示す式（２６）の位置ベクトルは単位ベクトルであるので、以下の式が成立する。
【数３１】
2020035087.tif 000033
したがって、式（２６）の位置ベクトル同士の内積は、以下の式で表される。
【数３２】
2020035087.tif 000034
【００４７】
式（３２）に式（２８）を代入すると、以下の式が成立する。
【数３３】
2020035087.tif 000035
【００４８】
式（３３）、式（３０）のα及びβを代入して整理すると、以下の式が得られる。
【数３４】
2020035087.tif 000036
【００４９】
ステップＳ１６：交点判定
交点処理部５は、以下に示すように、隣接する２つの円ｃｓｍと円ｃｓｈとの交点について判定を行う。式（３４）の右辺第１項が１より小さい場合、γには２つの実数解が存在する。この場合、隣接する２つの円ｃｓｍと円ｃｓｈとは、２つの交点を有する。式（３４）の右辺第１項が１である場合、γ＝０となる。この場合、隣接する２つの円ｃｓｍと円ｃｓｈとは、１点で接する。式（３４）の右辺第１項が１よりも小さい場合、γの実数解は存在しない。この場合、隣接する２つの円ｃｓｍと円ｃｓｈとは、交わらない。
【００５０】
ケース１：円ｃｓｍと円ｃｓｈとが１点で接する場合
以上より、円ｃｓｍと円ｃｓｈとが１点で接する条件は、γ＝０として、以下の式で表される。
【数３５】
2020035087.tif 000037
式（３５）を整理して、以下の式（３７）が得られる。
【数３６】
2020035087.tif 000038
【００５１】
２つの円ｃｓｍと円ｃｓｈとが外接する場合、すなわち正の符号を無視すると、隣接する２つの円ｃｓｍと円ｃｓｈとが内接する条件は、以下の式で表される。
【数３７】
2020035087.tif 000039
【００５２】
円ｃｓｍ及び円ｃｓｈが上式を満たす場合、交点処理部５は、式（３８）及び（３９）で示す処理を行う。交点処理部５は、制御点Ｐｍ（第１の制御点）で投影曲線に接する円を切り出す平面ＳＦｍ（第１の平面）を、平面ＳＦ’ｍとして設定し、制御点Ｐｈ（第２の制御点）で投影曲線に接する円を切り出す平面ＳＦｈ（第２の平面）を、平面ＳＦ’ｈとして設定する。
【数３８】
2020035087.tif 000040
【数３９】
2020035087.tif 000041
【００５３】
ステップＳ１７：回転処理
ケース２：円ｃｓｍと円ｃｓｈとが交わらない場合又は２点で交わる場合
回転処理部６は、以下の示すように、円ｃｓｍと円ｃｓｈとを回転させる処理を行う。
【００５４】
平面ＳＦｍの回転
円ｃｓｍを切り出す平面ＳＦｍを、制御点Ｐｍを通る方向ベクトルＷｍを軸として、未定の回転量ａだけ回転させる状況を考える。平面ＳＦｍを回転量ａだけ回転させた平面をＳＦ’ｍとする。図７は、円ｃｓｍを切り出す平面ＳＦｍを、制御点Ｐｍを通る方向ベクトルＷｍを軸として回転量ａだけ回転させる例を示す図である。ここでは、平面ＳＦ’ｍで切り出される円を、円ｃｓ’ｍとする。
【００５５】
回転後の単位法線ベクトルと単位直交ベクトルとは、以下の式で表される。
【数４０】
2020035087.tif 000042
回転後の単位法線ベクトルと制御点ベクトルとの内積は、以下の式で表される。
【数４１】
2020035087.tif 000043
回転後の単位直交ベクトルと制御点ベクトルとの内積は、以下の式で表される。
【数４２】
2020035087.tif 000044
ここで、制御点ベクトルと単位法線ベクトルとがなす角ξｍについて、以下のように変形する。
【数４３】
2020035087.tif 000045
【００５６】
式（４３）を式（４１）及び式（４２）に代入すると、以下の式が得られる。
【数４４】
2020035087.tif 000046
【００５７】
平面ＳＦｈの回転
同様に、円ｃｓｈを切り出す平面ＳＦｈを、制御点Ｐｈを通る方向ベクトルＷｈを軸として、未定の回転量ｂだけ回転させる状況を考える。平面Ｓｈを回転量ｂだけ回転させた平面をＳＦ’ｈとする。平面ＳＦ’ｈで切り出される円を円ｃｓ’ｈとする。
【００５８】
このとき、回転後の単位法線ベクトルと単位直交ベクトルとは、以下の式で表される。
【数４５】
2020035087.tif 000047
【００５９】
回転後の単位法線ベクトルと制御点ベクトルとの内積は、以下の式で表される。
【数４６】
2020035087.tif 000048
回転後の単位直交ベクトルと制御点ベクトルとの内積は、以下の式で表される。
【数４７】
2020035087.tif 000049
ここで、制御点ベクトルと単位法線ベクトルとがなす角ξｈについて、以下のように変形する。
【数４８】
2020035087.tif 000050
【００６０】
式（４８）を式（４６）及び式（４７）に代入すると、以下の式が得られる。
【数４９】
2020035087.tif 000051
【００６１】
上述した式（３７）、式（４４）より、回転後の２つの円ｃｓ’ｍ及びｃｓ’ｈが１点で接する条件は、以下の式で表される。
【数５０】
2020035087.tif 000052
【００６２】
回転量の決定
式（５０）に式（４０）、式（４３）、式（４５）及び式（４８）を代入すると、以下の式が得られる。
【数５１】
2020035087.tif 000053
式（５１）を展開すると、以下の式が得られる。
【数５２】
2020035087.tif 000054
式（５２）を整理して、以下の式が得られる。
【数５３】
2020035087.tif 000055
【００６３】
ここで、式（５３）において、以下の置き換えを行う。
【数５４】
2020035087.tif 000056
【００６４】
式（５３）に式（５４）を代入すると、以下の式が得られる。式（５５）は、回転後の円ｃｓ’ｍと円ｃｓ’ｈとが接するための条件を表している。
【数５５】
2020035087.tif 000057
【００６５】
ここで、以下の関数を定義する。
【数５６】
2020035087.tif 000058
【００６６】
関数ｇを用いると、回転後の２つの円ｃｓ’ｍ及び円ｃｓ’ｈが１点で接する条件は、以下の式で表される。
【数５７】
2020035087.tif 000059
【００６７】
式（５７）は、２つの変数ａ＋及びａ−についての制約条件であり、解は一意に定まらない。そこで、評価関数ｆ（ａ＋,ａ−）を定義して、この評価関数ｆ（ａ＋,ａ−）が最小となるように、回転量ａ及びｂを決定する。評価関数ｆ（ａ＋,ａ−）は、回転量ａ及びｂの自乗和で表されるものとする。
【数５８】
2020035087.tif 000060
【００６８】
ａ＋及びａ−が１に比べて極めて小さな値である場合、評価関数ｆ（ａ＋,ａ−）は以下の式で近似できる。
【数５９】
2020035087.tif 000061
【００６９】
式（５７）を満たし、かつ、式（５９）を最小にするａ＋及びａ−を求めるため、ラグランジュの未定乗数法を用いる。ラグランジュ乗数をλとし、３つの変数ａ＋、ａ−及びλの関数Ｆを定義する。
【数６０】
2020035087.tif 000062
ラグランジュの未定乗数法により、以下の式が導かれる。
【数６１】
2020035087.tif 000063
【数６２】
2020035087.tif 000064
【数６３】
2020035087.tif 000065
【００７０】
式（６１）より、以下の式が導かれる。
【数６４】
2020035087.tif 000066
【００７１】
式（６２）より、以下の式が導かれる。
【数６５】
2020035087.tif 000067
【００７２】
式（６４）及び式（６５）を式（５７）に代入すると、以下の式が得られる。
【数６６】
2020035087.tif 000068
【００７３】
以上より、関数ｇ（ａ＋,ａ−）を、変数λの関数Ｇ（λ）として表すことができる。
【数６７】
2020035087.tif 000069
【００７４】
関数Ｇ（λ）の変数λで微分した導関数は、以下の式で表される。
【数６８】
2020035087.tif 000070
【００７５】
式（６７）及び式（６８）を利用して、関数Ｇ（λ）＝０を満たす変数λを、ＮＥＷＴＯＮ法を用いて求めることができる。ここで、λの初期値は０とする。求められたλから以下の式で示すように、回転量ａ及びｂを算出する。
【数６９】
2020035087.tif 000071
【００７６】
回転処理部６は、制御点Ｐｍで投影曲線に接する円ｃｓｍを切り出す平面ＳＦｍを、制御点Ｐｍを通る方向ベクトルＷｍを軸として回転量ａだけ回転させた平面を、平面ＳＦ’ｍとして設定する。
【数７０】
2020035087.tif 000072
【００７７】
回転処理部６は、制御点Ｐｈで投影曲線に接する円ｃｓｈを切り出す平面ＳＦｈを、制御点Ｐｈを通る方向ベクトルＷｈを軸として回転量ｂだけ回転させた平面を、平面ＳＦ’ｈとして設定する。
【数７１】
2020035087.tif 000073
【００７８】
ステップＳ１８：区間近似処理
式（２８）及び式（３０）より、円ｃｓｍと円ｃｓｈとの接点（交点）ＰＩは、以下の式で表される。
【数７２】
2020035087.tif 000074
但し、α’及びβ’は、以下の通りである。
【数７３】
2020035087.tif 000075
【００７９】
式（７３）に、式（５０）を代入すると、以下の式が得られる。
【数７４】
2020035087.tif 000076
【００８０】
以上より、区間近似処理部７は、真球上の投影曲線上に設定された隣接する２つの制御点Ｐｍ及びＰｈの間の区間［Ｐｍ,Ｐｈ］を、部分区間［ＰＩ,Ｐｍ］を結ぶ円弧と部分区間［Ｐｈ,ＰＩ］とを結ぶ円弧で近似する。
【００８１】
すなわち、部分区間［Ｐｈ,ＰＩ］では、制御点Ｐｈで接する円ｃｓｈを切り出す平面ＳＦｈを、制御点Ｐｈを通過する方向ベクトルを軸に回転量ｂだけ回転させた平面ＳＦ’ｈで切り出される円ｃｓ’ｈの一部である円弧で近似する。
【００８２】
部分区間［ＰＩ,Ｐｍ］では、制御点Ｐｍで接する円ｃｓｍを切り出す平面ＳＦｍを、制御点Ｐｍを通過する方向ベクトルを軸に回転量aだけ回転させた平面ＳＦ‘ｍで切り出される円ｃｓ’ｍの一部である円弧で近似する。
【００８３】
接点（交点）ＰＩでは、円ｃｓ’ｍとｃｓ’ｈとは内接の関係にある。よって、部分区間［Ｐｈ,ＰＩ］を近似する円ｃｓ’ｈの一部である円弧と、部分区間［ＰＩ,Ｐｍ］を近似する円ｃｓ’ｍの一部である円弧とは、接点（交点）ＰＩで滑らかに接続される。
【００８４】
以上の処理を、投影曲線上に設定された隣接する２つの制御点間の区間のそれぞれについて行うことで、各区間を滑らかに接続される２本の円弧で、近似することができる。
【００８５】
各制御点では、上述の通り、投影曲線を近似する円弧が接している。そのため、各制御点では、２つの円弧が滑らかに接続される。したがって、投影曲線を近似する複数の円弧は、制御点及び２制御点間の接点（交点）において滑らかに接続されることとなる。
【００８６】
区間近似処理部７は、投影曲線を円弧で近似した結果を、記憶装置１０２に出力する。
記憶装置１０２に格納された投影曲線を円弧で近似した結果を示す情報は、必要に応じて、航法システム等によって呼び出され、航空機等の運航に必要な情報の生成に用いることができる。
【００８７】
図８は、北緯５０度東経１４２度を中心とする半径２５０海里（ｎｍ）（約４６０ｋｍ）の回転楕円体上における曲線の回転楕円体上の円ＣＡの中心点からの距離を示す図である。曲線ＣＣは、回転楕円体上の円ＣＡの中心点を真球上に投影し、投影中心点を中心とする円によって回転楕円体上の円ＣＡを近似した場合において、近似に用いた円を回転楕円体上に投影した場合に得られる曲線を示している。円弧近似曲線Ｃ１Ａは、回転楕円体上の円ＣＡを本実施の形態にかかる方法で近似した場合において、滑らかに接続された円弧からなる曲線を回転楕円体上に投影した場合に得られる曲線を示している。
【００８８】
図８に示すように、４つの制御点を設けることで滑らかに接続される円弧で投影曲線を近似できるとともに、曲線ＣＣで生じる１７．７ｍ程度の誤差を−０．９ｍ〜１．０ｍにまで軽減できる。
【００８９】
図９は、北緯２０度東経１２８度を中心とする半径２５０海里（ｎｍ）（約４６０ｋｍ）の回転楕円体上における曲線の回転楕円体上の円ＣＡの中心点からの距離を示す図である。曲線ＣＣは、回転楕円体上の円ＣＡの中心点を真球上に投影し、投影中心点を中心とする円によって回転楕円体上の円ＣＡを近似した場合において、近似に用いた円を回転楕円体上に投影した場合に得られる曲線を示している。円弧近似曲線Ｃ１Ｂは、回転楕円体上の円ＣＡを本実施の形態にかかる方法で近似した場合において、滑らかに接続された円弧からなる曲線を回転楕円体上に投影した場合に得られる曲線を示している。
【００９０】
図９に示すように、４つの制御点を設けることで滑らかに接続される円弧で投影曲線を近似できるとともに、曲線ＣＣで生じる１９．３ｍ程度の誤差を−１．２ｍ〜０．９ｍにまで軽減できる。
【００９１】
以上、本近似処理によれば、回転楕円体上の円を真球に投影した投影曲線に制御点を設定し、隣接する２つの制御点の間を滑らかに接続された２つの円弧で近似することで、投影曲線全体を滑らかに接続された真球上の円弧によって滑らかに接続することができる。また、上述の通り、投影曲線に対する誤差を軽減することも可能である。
【００９２】
実施の形態２
実施の形態２について説明する。実施の形態１においては、回転楕円体ＳＰＡ上の円ＣＡを真球ＳＰＢ上に投影した投影曲線ＣＢを、複数の円弧で近似する場合について説明した。本実施の形態では、回転楕円体ＳＰＡ上の測地線ＧＬＡを、真球ＳＰＢ上に投影曲線ＧＬＢとして投影し、投影曲線ＧＬＢを複数の円弧で近似する場合について説明する。
【００９３】
本実施の形態では、読み込み処理、サンプリング、フーリエ変換及び制御点生成が実施の形態１と異なる。図１０は、実施の形態２にかかる曲線近似処理を示すフローチャートである。図１０では、図３の読み込み処理、サンプリング、フーリエ変換及び制御点生成にかかるステップＳ１１〜Ｓ１３が、ステップＳ２１〜Ｓ２３に置換されている。ステップＳ１４〜Ｓ１８は、実施の形態１と同様である。以下、ステップＳ２１〜Ｓ２３について説明する。
【００９４】
ステップＳ２１：読み込み処理
読み込み部１は、回転楕円体ＳＰＡ上の測地線ＧＬＡを読み込む。測地線ＧＬＡを定義する情報は、記憶装置１０２に予め格納されており、読み込み部１が必要に応じて読み込むことができる。図１１に、回転楕円体ＳＰＡ上の測地線ＧＬＡと真球ＳＰＢ上の投影曲線ＧＬＢを示す。図３に示すように、測地線ＧＬＡは、始点ｐｓと終点ｐｅとの間を結ぶ曲線として与えられる。ここでは、始点ｐｓと終点ｐｅとの間の距離をＲとし、始点ｐｓから終点ｐｅへの方位をψとする。
【００９５】
ステップＳ２２：サンプリング
サンプル生成部２は、回転楕円体ＳＰＡの測地線ＧＬＡ上に、Ｎ＋１個（Ｎは、２以上の整数）のサンプリングポイントｓｎ（０≦ｎ≦Ｎ）を生成する。ここでは、回転楕円体ＳＰＡ上の測地線ＧＬＡ上に９個のサンプリングポイントｓ０〜ｓ８を、回転楕円体ＳＰＡ上の始点ｐｓから距離ｎＲ／Ｎ、方位ψの位置にある点の座標として設定する。
【００９６】
サンプル生成部２は、回転楕円体ＳＰＡのサンプリングポイントｓ０〜ｓ８を、例えば特許文献１に開示された座標変換方法などの各種の投影方法を用いて、真球ＳＰＢ上に投影サンプリングベクトル
【数７５】
2020035087.tif 000077
として投影する。
【００９７】
ステップＳ２３：回転座標系の生成
フーリエ変換部３は、回転座標系上の投影サンプリングベクトルを用いて距離ｌをパラメータとする離散フーリエ変換を行い、回転楕円体ＳＰＡ上の測地線ＧＬＡを真球ＳＰＢ上に投影した投影曲線ＧＬＢを求めるための離散フーリエ級数を取得する。
【００９８】
回転楕円体ＳＰＡ上の測地線ＧＬＡの始点ｐｓを真球ＳＰＢ上に投影した投影始点をＰｓとする。投影始点Ｐｓの位置を示すベクトルを、
【数７６】
2020035087.tif 000078
とする。また、回転楕円体ＳＰＡ上の測地線ＧＬＡの終点ｐｅを真球ＳＰＢ上に投影した投影終点をＰｅとする。投影終点Ｐｅの位置を示すベクトルを、
【数７７】
2020035087.tif 000079
とする。
【００９９】
真球ＳＰＢが設定された空間において、
【数７８】
2020035087.tif 000080
の方向をＸ軸、
【数７９】
2020035087.tif 000081
及び
【数８０】
2020035087.tif 000082
に直交する方向をＺ軸、Ｘ軸とＺ軸に直交する方向をＹ軸とする座標系を設定する。図１２に、真球ＳＰＢに設定する座標系を示す。また、この場合、各軸の単位ベクトルは、以下の式で表される。
【数８１】
2020035087.tif 000083
【０１００】
真球ＳＰＢの中心から見たときに投影始点Ｐｓと投影終点Ｐｅとがなす角度Φ０は、以下の式で表される。
【数８２】
2020035087.tif 000084
回転座標系は投影始点Ｐｓから投影終点Ｐｅへ、ベクトル
【数８３】
2020035087.tif 000085
を軸に対応する回転楕円体上の地点の回転楕円体上始点ｐｓからの距離に比例した角度だけＸ軸とＹ軸が回転する。回転楕円体上の始点ｐｓにおいては、回転座標系のＸ軸は、投影始点ＰＳの位置ベクトル
【数８４】
2020035087.tif 000086
に一致する。回転楕円体上の終点ｐｅにおいては、回転座標系のＸ軸は、投影終点の位置ベクトル
【数８５】
2020035087.tif 000087
に一致する。
【０１０１】
離散フーリエ変換に対応して、９つの回転座標系を考える。それぞれの各軸の単位ベクトルは以下の式で表される。
【数８６】
2020035087.tif 000088
【０１０２】
ステップＳ２３：フーリエ変換
フーリエ変換部３は、投影サンプリングベクトルを用いて距離ｌをパラメータとする離散フーリエ変換を行い、回転楕円体ＳＰＡ上の測地線ＧＬＡを真球ＳＰＢ上に投影した投影曲線ＧＬＢを求めるための離散フーリエ級数を取得する。
【０１０３】
なお、本実施の形態では、実際の測地線と投影曲線との間で、回転座標系において始点（ｎ＝０、Θ＝０）から終点（ｎ＝８、Θ＝π）までの半周期（０〜π）で離散フーリエ変換を行うものとする。残りの半周期（ｎ＝８〜１５、π〜２π）では、離散フーリエ変換を行う半周期（０〜π）と対称であるものとして、仮想的な点（ｎ＝９〜１５）を考えるものとする。この仮想的な点を用いることで、一周期の離散フーリエ変換を実現することができる。
【数８７】
2020035087.tif 000089
ｙ成分については、以下の式で記述される。なお、ｙｃｎ、ｙｓｎはy成分の離散フーリエ変換に対応するフーリエ級数である。
【数８８】
2020035087.tif 000090
ｚ成分については、以下の式で記述される。なお、ｚｃｎ、ｚｓｎはz成分の離散フーリエ変換に対応するフーリエ級数である。
【数８９】
2020035087.tif 000091
【０１０４】
フーリエ変換部３は、フーリエ変換結果を用いて、制御点を生成する。ここでは、回転楕円体ＳＰＡ上の測地線ＧＬＡの始点ｐｓから方位ψ、距離ｌ（０≦ｌ≦Ｌ）の地点を真球ＳＰＢ上に投影した点Ｐｌの位置を示すベクトルは、式（８９）及び式（９０）より、以下の式で表される。
【数９０】
2020035087.tif 000092
地点Ｐ（ｌ）の位置ベクトル
【数９１】
2020035087.tif 000093
の距離ｌについての導関数ベクトルは方向ベクトルであり、以下の式で表される。
【数９２】
2020035087.tif 000094
【０１０５】
上記の方向ベクトルの距離ｌについての導関数ベクトルは、以下の式で表される。
【数９３】
2020035087.tif 000095
【０１０６】
本実施の形態における制御点の設定について説明する。地点Ｐ（ｌ）と真球ＳＰＢ上の大円との間の距離ｄは、Ｒを真球の半径とした場合に、以下の式で表される。
【数９４】
2020035087.tif 000096
【０１０７】
距離ｄを距離ｌで微分した値が０となる地点で、距離ｄは極大値をとることとなる。本実施の形態では、距離ｄが極大値をとる点を制御点として生成する。距離ｄを距離ｌで微分すると、以下の式が得られる。
【数９５】
2020035087.tif 000097
したがって、制御点の条件は、以下の式で表される。
【数９６】
2020035087.tif 000098
式（９６）のＤを距離ｌについて微分すると、以下の式が得られる。
【数９７】
2020035087.tif 000099
【０１０８】
式（９６）及び式（９７）より、式（９５）を満たす距離ｌをＮｅｗｔｏｎ法を用いて求めることができる。ここでは、式（９６）を満たす点（極大点）の距離ｌｅの初期値をＬ／２とする。ここでは、始点Ｐｓ、終点Ｐｅ、式（９６）を満たす点、及び、これらの３点の間の点を制御点として選ぶ。例えば、始点Ｐｓと式（９６）を満たす点との間の距離を均等に分割したときの分割点を制御点として選んでもよい。終点Ｐｅと式（９６）を満たす点との間の距離を均等に分割したときの分割点を制御点として選んでもよい。ここでは、以下の距離の５つの点を、制御点Ｐ０〜Ｐ４として生成する。
Ｐ０（始点），ｌ＝０
Ｐ１（中間点），ｌ＝ｌｅ／２
Ｐ２（極大点），ｌ＝ｌｅ
Ｐ３（中間点），ｌ＝（Ｌ＋ｌｅ）／２
Ｐ４（終点），ｌ＝Ｌ
【０１０９】
制御点ＣＰｍ（０≦ｍ≦４）を示す制御点ベクトル
【数９８】
2020035087.tif 000100
を求める。このベクトルは、例えばＳｏｄａｎｏの方法を利用して求めることができる。
【０１１０】
以降のステップＳ１４〜Ｓ１８では、本実施の形態で生成した制御点を用いて実施の形態１と同様に処理を行う。図１３に、真球で設定されるベクトルを示す。図１４は、円ｃｓｍを切り出す平面ＳＦｍを、制御点Ｐｍを通る方向ベクトルＷｍを軸として回転量ａだけ回転させる例を示す図である。ステップＳ１４〜Ｓ１８では、実施の形態１と同様であるので、説明を省略する。
【０１１１】
図１５に、北緯１４度東経１２１度（マニラ、フィリピン共和国）と北緯３６度東経１４０度（東京、日本国）とを結ぶ測地線（測地線長３，０８８ｋｍ）を、回転楕円体から真球に投影した場合の、投影曲線ＧＬＢと真球上の大円ＧＣとの間の誤差と投影曲線ＧＬＢと円弧近似曲線Ｃ２との誤差を示す。円弧近似曲線Ｃ２は、回転楕円体上の測地線ＧＬＡを本実施の形態にかかる方法で補間した場合に得られる曲線である。
【０１１２】
図１５に示すように、投影曲線ＧＬＢと真球上の大円ＧＣとの間では、マニラからの距離が１，１８０ｋｍ付近の地点で４６．１ｍ程度の誤差が生じている。これに対し、投影曲線ＧＬＢと円弧近似曲線Ｃ２との間では、誤差を−０．５ｍ程度にまで軽減することができる。
【０１１３】
以上、本近似処理によれば、実施の形態１と同様に、回転楕円体上の測地線を真球に投影した投影曲線上に制御点を設定し、隣接する２つの制御点の間を滑らかに接続された２つの円弧で近似することで、投影曲線全体を滑らかに接続された真球上の円弧によって近似することができる。また、上述の通り、投影曲線に対する誤差を軽減することも可能である。
【０１１４】
その他の実施の形態
なお、本発明は上記実施の形態に限られたものではなく、趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更することが可能である。例えば、上述の実施の形態では、地理情報処理装置が、地球上を移動する航空機などの移動体に搭載される場合について説明したが、これは例示に過ぎない。上述の実施の形態にかかる地理情報処理装置は、例えば空中を飛行する航空機以外の移動体、陸上を移動する車両、海上を移動する船舶、海中を移動する潜水艇など、地球上を移動する他の移動体に搭載ができる。また、上述の実施の形態にかかる地理情報処理装置は、移動体に限らず、航空機を管制に用いる管制システムなど移動体の運航管理システムなどに組み込むことも可能である。
【０１１５】
以上では、地理情報処理装置及びこの装置で行われる地理情報処理方法について説明した。しかし、本発明は、これに限定されるものではない。本発明は、任意の処理を、ＣＰＵ（Central Processing Unit）にコンピュータプログラムを実行させることにより実現することも可能である。
【０１１６】
プログラムは、様々なタイプの非一時的なコンピュータ可読媒体（non-transitory computer readable medium）を用いて格納され、コンピュータに供給することができる。非一時的なコンピュータ可読媒体は、様々なタイプの実体のある記録媒体（tangible storage medium）を含む。非一時的なコンピュータ可読媒体の例は、磁気記録媒体（例えばフレキシブルディスク、磁気テープ、ハードディスクドライブ）、光磁気記録媒体（例えば光磁気ディスク）、ＣＤ−ＲＯＭ（Read Only Memory）、ＣＤ−Ｒ、ＣＤ−Ｒ／Ｗ、半導体メモリ（例えば、マスクＲＯＭ、ＰＲＯＭ（Programmable ROM）、ＥＰＲＯＭ（Erasable PROM）、フラッシュＲＯＭ、ＲＡＭ（random access memory））を含む。また、プログラムは、様々なタイプの一時的なコンピュータ可読媒体（transitory computer readable medium）によってコンピュータに供給されてもよい。一時的なコンピュータ可読媒体の例は、電気信号、光信号、及び電磁波を含む。一時的なコンピュータ可読媒体は、電線及び光ファイバ等の有線通信路、又は無線通信路を介して、プログラムをコンピュータに供給できる。
【符号の説明】
【０１１７】
１  読み込み部
２  サンプル生成部
３  フーリエ変換部
４  平面決定部
５  交点処理部
６  回転処理部
７  区間近似処理部
１００  地理情報処理装置
１０１  入力装置
１０２  記憶装置
１０３  演算装置
１０４  表示装置
１０５  バス
ＣＡ  円
ＣＢ  投影曲線
Ｄ１  基本形状データベース
Ｄ２  投影情報データベース
ＧＬＡ  測地線
ＧＬＢ  投影曲線
Ｐｍ  制御点
ｓＮ〜ｓ８  サンプリングポイント
ＳＮ〜Ｓ１５  投影サンプリングポイント
ＳＦｈ、ＳＦｍ
ＳＰＡ  回転楕円体
ＳＰＢ  真球
【図１】
2020035087.tif 000101
【図２】
2020035087.tif 000102
【図３】
2020035087.tif 000103
【図４】
2020035087.tif 000104
【図５】
2020035087.tif 000105
【図６】
2020035087.tif 000106
【図７】
2020035087.tif 000107
【図８】
2020035087.tif 000108
【図９】
2020035087.tif 000109
【図１０】
2020035087.tif 000110
【図１１】
2020035087.tif 000111
【図１２】
2020035087.tif 000112
【図１３】
2020035087.tif 000113
【図１４】
2020035087.tif 000114
【図１５】
2020035087.tif 000115