(57)【要約】      （修正有）【課題】検出データから、マシンの挙動のため動的モデルを形成するための方法及びシステムを提供する。【解決手段】検出データから、マシンの挙動のため動的モデルを形成するための方法及びシステムは、少なくとも１つのセンサを用いた動作中のマシンの観察ステップ、動作中のマシンの少なくとも１つの特性についての当該少なくとも１つのセンサからのデータの記録ステップ、当該記録されたマシンデータに対するインプット−アウトプットＮ（ＡＲＸ）−ＬＰＶ動的モデルのフィッティングステップ、動的モデルへのＣＶＡ−（Ｎ）ＬＰＶ実現方法の利用ステップ、ＣＶＡ−（Ｎ）ＬＰＶ実現方法の利用に基づく動的状態空間（Ｎ）ＬＰＶ動的モデルの構築ステップ、マシン挙動の動的モデルの生成ステップ、及び、生成したマシン挙動の動的モデルに基づくマシン動的レスポンス特性の制御及び修正ステップを含む。【選択図】図１
2020017293.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
少なくとも１つのセンサを用いて動作中のマシンを観察するステップ、
前記少なくとも１つのセンサからの、前記動作中のマシンの少なくとも１つの特性についてのデータを記録するステップ、
当該記録されたマシンデータに対して、所定の閾値を超える状態オーダーを有する自己回帰インプット−アウトプット非線形パラメータ変動動的モデルをフィッティングするステップ、
修正された未来のアウトプットを生成するため、フィッティングされた前記自己回帰インプット−アウトプット非線形パラメータ変動動的モデルを用いることにより、未来のアウトプットから未来のインプットの影響を除去するステップ、
フィッティングされた前記自己回帰インプット−アウトプット非線形パラメータ変動動的モデルの計算量を低減するため、前記自己回帰インプット−アウトプット非線形パラメータ変動動的モデルに正準判別分析（ｃａｎｏｎｉｃａｌ  ｖａｒｉａｔｅ  ａｎａｌｙｓｉｓ）実現方法を実施するステップ、
前記正準判別分析実現方法の実施に基づいて、動的状態空間非線形パラメータ変動動的モデルを構築するステップ、
マシン挙動の動的モデルを生成するステップ、及び、
生成したマシン挙動の動的モデルに基づく、マシン動的レスポンス特性の制御及び修正の少なくとも一方を行うステップを備え、
前記正準判別分析は、以下の方程式に従って実施され、
【数２９５】
2020017293.tif 000300
ここで、ytは現在のアウトプットの線形予測であり、αi及びβiはパラメータ変動係数であり、ρt−iはパラメータ変動スケジュール関数であり、yt−i及びut−iは恒等行列の次元であり、tは時間であり、vtは共分散行列のホワイトノイズプロセスであり、lは自己回帰インプット−アウトプット線形パラメータ変動プロセスのオーダーである、検出データからマシンの挙動のための動的モデルを形成する方法。
【請求項２】
前記マシンは内燃機関である、請求項１に記載の検出データからマシンの挙動のための動的モデルを形成する方法。
【請求項３】
前記マシンは航空機である、請求項１に記載の検出データからマシンの挙動のための動的モデルを形成する方法。
【請求項４】
前記マシンは振動構造である、請求項１に記載の検出データからマシンの挙動のための動的モデルを形成する方法。
【請求項５】
前記マシンは自動車用サスペンションである、請求項１に記載の検出データからマシンの挙動のための動的モデルを形成する方法。
【請求項６】
マシン挙動の特性を隔離するステップをさらに備える、請求項１に記載の検出データからマシンの挙動のための動的モデルを形成する方法。
【請求項７】
隔離されたマシン挙動の特性は振動である、請求項６に記載の検出データからマシンの挙動のための動的モデルを形成する方法。
【請求項８】
前記マシンの制御システムコンピュータの１以上の信号を修正するステップをさらに備える、請求項６に記載の検出データからマシンの挙動のための動的モデルを形成する方法。
【請求項９】
前記マシンの前記制御システムコンピュータの１以上の信号は、前記マシン挙動の隔離された特性の負値を備えるフィードバックを用いて修正される、請求項８に記載の検出データからマシンの挙動のための動的モデルを形成する方法。
【発明の詳細な説明】
【背景技術】
【０００１】
測定されたアウトプット信号及び可能性のあるインプット信号から、非線形及び経時的に変化する動的プロセスのモデリングは、技術の発展分野である。理論又は応用に従って、統計における時系列分析、光学におけるシステム同定、心理学における縦断的解析、及び、財務分析における予測と呼ばれる。
【０００２】
過去においては、フィードバックシステムに最適な方法、双線形システム及び線形パラメータ変動システムを含む非線形システムの探索方法を含む部分空間同定方法の革新及び相当な発展及び詳細化が行われた。部分空間法は、収束しない双方向の非線形パラメータの最適化を回避することができ、高次の大型システムのための無視できない値の数値的に安定な方法を用いることができる。
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００３】
経時的変化及び非線形システムの領域では、所望する結果には入らないが、実行された研究が存在している。実行された研究は、非線形部分空間法の直接拡張が非線形システムのモデリングに用いられる現在の技術水準の典型であった。このアプローチは、過去と未来とを、過去のインプット及びアウトプットの非線形関数の線形結合として表現する。一連のこのようなアプローチは、過去と未来の次元が、使用された過去のインプット、アウトプット、状態、及び、ラグの数の中で指数関数的に広がる。僅かなこれらの変数が使用される場合、過去の次元は、１０４より大きい又は１０６以上の数にさえなりうる。典型的なこのような産業プロセスの場合、過去の次元は、１０９をゆうに超え又は１０１２さえ超える。このような極端な数字は、せいぜい、無効な活用及び結果となる。
【０００４】
他の技術は、モデルの非線形項を推量するために双方向の部分空間アプローチを用いるため、せいぜい、無効な活用及び結果となる。ヒューリスティックアルゴリズムを必要とし、例えば、ホワイトノイズ特性等のランダムなスケジュール機能を備えるＬＰＶシステムの場合に、高精度なモデル特定に用いられてきた。しかしながら、問題の１つは、ほとんどのＬＰＶシステムのスケジュール機能は、通常、特定のアプリケーションによって決定され、しばしば、性質があまりランダムでない。ランダムではないスケジュール機能の場合に正確性を向上することを意図して実行されるいくつかの修正において、結果として、意図した修正はモデリングの正確性を実質的に向上することに成功しなかった。
【０００５】
より一般的な状況においては、非線形システムの同定の一般的な問題は、ｃａｎｏｎｉｃａｌ  ｖａｒｉａｔｅ  ａｎａｌｙｓｉｓ（ＣＶＡ）手法として知られている。この問題は、ローレンツアトラクタ、シンプルな非線形差分方程式で記述されるカオス的な非線形システムによって示される。したがって、過去および未来の非線形関数は、プロセスの状態、すなわち、システムのための非線形状態を表現するために交代で使用される方程式を記述するために決定される。必要とされる過去および未来の非線形関数の数は、周知のように、指数関数的に広がるため、このアプローチの主な難しさは、可能な計算実行を見つけることである。この難しさは、一般的な線形システムに利用するシステム同定問題の解決を見つける際に、しばしばぶつかるものである。
【０００６】
したがって、下記のいくつかの例示的な実施形態では、かなりの改善を達成でき、観察の「大型サンプル」が可能な場合における最適な結果を算出できる方法及びシステムが記載される。さらに、この方法は、アドホックではないが、最適な統計方法を必要とする。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
検出したデータから、マシンの挙動のための動的モデルを形成する方法及びシステム。当該方法及びシステムは、少なくとも１つのセンサを用いた動作中のマシンの観察、少なくとも１つのセンサからの、動作中のマシンの少なくとも１つの特性についてのデータの記録、当該記録されたマシンデータに対するインプット−アウトプットＮ（ＡＲＸ）−ＬＰＶ動的モデルのフィッティング、当該動的モデルに対するＣＶＡ−（Ｎ）ＬＰＶ実現方法の利用、当該ＣＶＡ−（Ｎ）ＬＰＶ実現方法の利用に基づく、動的状態空間（Ｎ）ＬＰＶ動的モデルの構築、マシン挙動の動的モデルの生成、及び、生成したマシン挙動の動的モデルに基づく、マシン動的レスポンス特性の制御及び修正の少なくとも１つを備えていてもよい。
【図面の簡単な説明】
【０００８】
本発明の実施形態の利点は、後述の例示的な実施形態の詳細な説明から明らかになるであろう。当該説明は、符号が要素を指示した付随する図面とともに考慮されるべきである。当該図面において、
【図１】図１は、マシンの状態空間動的モデルへマシンデータを変換するステップを示す例示的な図である。
【図２】図２は、ＣＶＡ−（Ｎ）ＬＰＶ実現方法におけるステップを示す例示的な図である。
【図３】図３は、マシンデータに比べたマシン動的モデルの利点を示す例示的な図である。
【図４】図４は、特異値分解を示す例示的な図である。
【図５】図５は、Ｃａｎｏｎｉｃａｌ  Ｖａｒｉａｔｅ  Ａｎａｌｙｓｉｓを示す例示的な図である。
【図６】図６は、同定のためのインプットとして用いられる航空機速度のプロファイルを示す例示的な図である。
【図７】図７は、ノイズが無く、真の次数が４である場合における、ＡＩＣを用いたピッチ−プランジ状態空間モデルオーダー選択を示す例示的な図である。
【図８】図８は、ノイズが無い場合に、次数４の最小値を超えたＡＩＣの増加を示すピッチ−プランジ状態空間モデルオーダー選択を示す例示的な図である。
【図９】図９は、ノイズが無い場合における、サンプルカウントに対するプランジの２０ステップ先の予測のＬＰＶ状態空間モデルを示す例示的な図である。
【図１０】図１０は、ノイズが無い場合における、サンプルカウントに対するピッチの２０ステップ先の予測のＬＰＶ状態空間モデルを示す例示的な図である。
【図１１】図１１は、測定ノイズがある場合における、ＡＩＣを用いたピッチ−プランジ状態空間モデルオーダー選択を示す例示的な図である。
【図１２】図１２は、測定ノイズがある場合における、次数６の最小値を超えたＡＩＣの増加を伴うピッチ−プランジ状態空間モデルオーダー選択を示す例示的な図である。
【図１３】図１３は、測定ノイズがある場合における、サンプルカウントに対するプランジの２０ステップ先の予測のＬＰＶ状態空間モデルを示す例示的な図である。
【図１４】図１４は、測定ノイズがある場合における、サンプルカウントに対するピッチの２０ステップ先の予測のＬＰＶ状態空間モデルを示す例示的な図である。
【図１５】図１５は、遅延補償された吸気マニホールド及び燃料インジェクションモデルのＬＰＶシステム同定を示す例示的な図である。
【発明を実施するための形態】
【０００９】
本発明の側面は、下記の説明及び当該発明の特定の実施形態を対象とする関連する図面に開示される。当業者は、クレームのスコープまたは思想の範囲内で代替の実施形態が考案可能であることを認めるであろう。さらに、本発明の関連する詳細を不明瞭にしないため、本発明の例示的な実施形態の周知の要素は、詳細に記載されず、又は、省略される。
【００１０】
ここで、「例示的な」との文言は、「例として提供される、例又は説明」を意味する。ここに記載される実施形態は、限定するものではなく、むしろ、例のみである。記載された実施形態は、他の実施形態を超えて利点を有する又は好適であると解される必要はないことが理解されるべきである。さらに、「本発明の実施形態」、「実施形態」、又は、「発明」との文言は、本発明の全ての実施形態が議論された特徴、利点、又は、動作のモードを含む必要がない。さらに、「必要とする」、「要求する」、「ねばならない」などの絶対的な文言などは、非限定として、及び説明目的のみに用いられたとして、解釈されるべきである。
【００１１】
さらに、ここに記載される実施形態の多くは、例えば計算装置の要素によって処理されるアクションのシークエンスの文言で記載される。当業者は、ここに記載される様々なシークエンスのアクションは特定の回路（特定用途向け集積回路（ＡＳＩＣ））及び／又は少なくとも１つのプロセッサによって実行されるプログラム命令によって処理されることが認識されるべきである。さらに、ここに記載されるシークエンスのアクションは、いかなる形式のコンピュータ可読記録媒体に全て具現化されることが可能であり、当該シークエンスのアクションの実行は、少なくとも１つのプロセッサがここに記載されたように機能的に処理するのを可能にする。さらに、ここに記載されたシークエンスのアクションは、ハードウェアとソフトウェアとの組み合わせで具現化されることが可能である。したがって、本発明の様々な側面は、沢山の異なる形式で具現化されてもよく、それらの全ては、クレームされた手段のスコープ内となっている。さらに、ここに記載されたそれぞれの実施形態のため、そのような実施形態の対応する形式は、記載されたアクションを処理する、例えば、「ように構成されるコンピュータ」として、記載されてもよい。
【００１２】
非限定の例として含まれる、下記のマテリアルは、ｃａｎｏｎｉｃａｌ  ｖａｒｉａｔｅ  ａｎａｌｙｓｉｓを介した非線形パラメータ変動システムの同定のための方法及びシステムのいくつかの例示的な実施形態を記載する。さらに、航空機の線形パラメータ変動フラッターモデルの部分空間同定を記載するさらなる例示的な実施形態が記載される。さらに、全てのこれらの例示的な実施形態は、ここに挙げられた、そのすべてを組み込まれたリファレンスを含む。これらの方法及びシステムの様々な実施は、様々なプラットフォームに実施され、物理的な実施及び様々な種類のアプリケーションを含む。
【００１３】
全体として図１−図１５を参照して、内燃機関の１分当たりの回転速度（ＲＰＭ）又は後記速度及び高度等の直接測定されたマシン構造及び動作条件のパラメータを用いてマシンダイナミクスをパラメータ化することが好ましい。当該データは、様々な形式のいずれかで収集されてもよい。例えば、データを収集し、データが比較され分析されるデータベースにデータを転送するために、所望するプローブ又はセンサが用いられてもよい。例えば、このようなデータを用いて、マシン構造及び動作条件を基にパラメータ化した動的モデルが構築される。一般に、構造及び／又は動作ポイントパラメータは変動し、急速に変動さえし、動的モデルに影響を与えないかもしれないが、より難しい数学的な解決すべき問題を呈する。しかしながら、このような問題の答えは、広範囲の様々な構造のマシン及び／又は一定の条件の変化に適用することができる。このようなアプローチは、ここに利用されているように、一定のモデルの先行するゆっくりとした変化に対して利点を有する。なぜなら、これらのモデルは、パラメータ化された空間におけるポイントのそれぞれのセットにおける測定値を得ることができず、分析下のマシンが現実に訪れ又は行き当たったポイント以外のポイントにおける情報を提供することができない。ここに記載された例示的な実施形態は、高精度な数学的に有効な補間方法及びシステムを提供することができる。
【００１４】
１つの例示的な実施形態では、マシン構造及び動作条件とともにアウトプット及びインプットを含むデータのセットから動的モデルを得る方法及びシステムは、実現方法又はアルゴリズムと呼ばれる。さらに、これは、マシン構造、動作条件、過去のアウトプット及びインプット、及び、未来の挙動を若干の忠実度で予測することを可能にするための結果としての未来のアウトプット、の様々な組み合わせを伴う、マシン状態及び動作条件に関する観察データのマシン挙動を記述する動的モデルへの変換として見られるかもしれない。１つのマシン構造及び固定化された動作条件のみがある線形時間不変（ＬＴＩ）の場合、特異値分解（ＳＶＤ）方法を用いた部分空間システム同定方法を用いて問題は確実に解決される。
【００１５】
他の状況では、様々な構造及び様々な動作条件のマシンに関わるより一般的な問題は、時に部分空間方法の拡張に関わる、とても小さいスケールの問題に関わるだけかもしれない。１つの問題は、多くの現在の実用的な解決が望まれる問題の解決を排除するため、計算上の要求が、例えば、システムのインプット、アウトプット、状態変数及び動作パラメータの数等の問題のサイズに伴って指数関数的に増加することである。したがって、ここに記載された１つの例示的な実施形態では、問題のサイズの３乗で増加する計算上の要求を伴う実現方法及びシステムが、例えば、ＬＴＩのケースが大きいスケールのもんだいに使用されたのと同様に、利用される。
【００１６】
このような実施形態では、様々な構造及び様々な動作条件を有するマシンのダイナミクスの詳細なモデル化を達成することができる。このような詳細な動的モデルは、さらに、動的構造の分析、推定器及びフィルターの構築、システムの変化及び不良の監視及び診断、及び、これらマシンの挙動の制御及び修正のためのグローバルコントローラの構築を可能にする。したがって、ここに記載された例示的な実施形態は、実質的なノイズをしばしば含むダイナミックマシンからのデータのセットを、詳細に数値化された動的挙動を伴う拡張されたマシンに変換することができる。このことは、ノイズの多い変数であってもその正確な推定を可能にし、変化及び不良のダイナミクスの監視を可能にし、進歩した制御方法を用いた動的挙動の変更を可能にする。さらに、このような例示的な実施形態は、マシンデータを、その動的挙動を特徴づける状態空間形式で記述された動的モデルに変換することができ、そして、このような動的モデルを用いることは、当該動的モデルに、例えば、ランダムな変数の推定及びフィルタリング、監視、不良検出、及び、制御等の明らかに異なる機能の収集を可能にする。ここに記載された実施形態の例示的なアプリケーションは、様々なマシン構造及び動作条件を記述するデータと共に、アウトプット及び可能性のあるインプットの測定データに具現化された、非常に特異的な観察可能な自然現象に関与する内燃機関、蒸留プロセス、及び／又は、超音速輸送と共にある。
【００１７】
さらに、ここに記載された実施形態は、線形時間不変（ＬＴＩ）、線形パラメータ変動（ＬＰＶ）、及び非線形パラメータ変動（ＮＬＰＶ）システムのための部分空間システム同定のｃａｎｏｎｉｃａｌ  ｖａｒｉａｔｅ  ａｎａｌｙｓｉｓ（ＣＶＡ）法の実施例を与える。ここに記載された当該実施形態は、ランク拘束回帰としての統計的多変量ＣＶＡにフォローされた特異値分解（ＳＶＤ）を用いて、決定論的ベクトルの決定をランク付けするために、統計的アプローチの第１の原理を採用することができる。そして、これから、ＬＴＩ動的システムが生成されることができ、ＬＰＶ及びＮＬＰＶシステムに直接に拡張されることができる。計算構造及び問題のサイズは、マトリックスの行の次元（過去の遅延変数の数）がパラメータ変動関数の有効数によって乗算されることを除いて、ＬＴＩ部分空間方法と同様である。これは、ＬＰＶシステムの現行の部分空間法を用いた変数の数の指数関数的な爆発と対照的である。現行の方法と比べて、個々に記載された実施形態を用いた結果は、より少ない計算、最尤の正確性、及び、より良い数値安定性を示している。当該方法及びシステムは、フィードバックを備えるシステムに適用され、仮設検定によって最小に近い状態次数及び多項式次数を生成する非線形モデルの沢山の冗長性を自動的に排除することができる。
【００１８】
これらのシステムの同定は、極小及び数値的に不適切な条件付けなどの可能性のある問題を有する非線形反復最適化法に関与するか、指数関数的に増加する計算を伴う部分空間法に関与し、状態次数において問題のサイズが直線的に増加するように、数値的な不正確性の増加に関連する。ＬＰＶ及び非線形モデルのＣＶＡ同定における主な役割を果たすモデル形式の間での変換の静的及び動的依存の考慮できる明確性がある。
【００１９】
ここに記載される新しい方法及びシステムは、ＬＴＩシステムの部分空間ＣＶＡ法に近い関係を有するため、ＣＶＡ−ＬＰＶと呼ばれる。周知のように、ＬＰＶシステム同定問題の解決は、アフィン（加算）形式である、双線形システム、多項式システム、及び、周知の変数または動作条件の周知の非線形関数、しばしばスケジュール機能と呼ばれる、に関与するシステム、を含むより複雑な非線形システムのゲートウェイを提供することができる。
【００２０】
図１−図３を参照すると、ここに記載された方法及びシステムは、様々なステップで行われる。例えば、図１では、マシン動的モデルへのマシンデータの変換が示されている。この実施形態では、まず、ステップ１００において、マシンデータはマシン又は動作中のマシンのいかなる所望の特性に関するマシンデータが収集され、変数が割り当てられる。マシンデータは、様々な方法のいずれかによって収集される。例えば、いずれかの所望の条件、例えば、動き、振動、速度、排出、圧縮等を検出するセンサが採用されてもよい。このようなセンサは、入手可能な又は周知のセンサの何れでもよく、エンジン、モーター、サスペンション構成要素等のマシン又はシステムと所望する様式で連結されていてもよい。データはセンサによって記録され、適切なメモリ又はデータベースに転送され、格納され、後において、レビューされ、分析され、活用される。ステップ１０２において、マシンデータにインプット−アウトプット（Ｎ）ＡＲＸ−ＬＰＶ動的モデルがフィッティングされ、下記の方程式４３に関してさらに反映される。次に、ステップ１０４において、（例示的な図２に関してさらに記載されているように）ＣＶＡ−（Ｎ）ＬＰＶ実現方法が利用される。次に、ステップ１０６において、例えば、方程式３７及び３８に関連する、結果を用いて状態空間−（Ｎ）ＬＰＶ動的モデルの構築が行われる。次に、ステップ１０８において、所望しないマシン特性が隔離され、又は、消去される。これは、動的モデルから生成されたデータを外挿法によって推定することにより、果たされる。いくつかの例示的な実施形態では、マシンは、所望しないマシン特性を隔離、消去するため、さらにキャリブレーションされる。他の例示的な実施形態では、所望しないマシン特性を隔離又は消去するため、マシンは修正又は変更される。例えば、所望するように、自動車用のサスペンションにおいて、スプリングのジオメトリ又は剛性は変更される、又は、異なる材質がサスペンションの構成要素として利用される。エンジンでは、振動を低減するため、又は、所望しない特性を調整するため、重量が所望するように増加又はバランスされる。航空機では、所望しないフラッターを改善するため、又は、その他の所望しない特性を除去するため、翼又は翼の構成要素の形状が変更され、強化され、異なる材質で形成され、あるいは、動的に調整される。さらに他の例示的な実施形態では、何れのマシンでも、所望しない特性を除去するため、フィードバック制御が調整される。例えば、インプットが翼の表面を制御信号である場合、及び、翼に関連した１以上の加速度センサが、翼を加振する又は翼の振動を生じさせる回転を検出する場合、マシン動的モデルの制御システムは、振動をゼロにすることを見込むため、例えば、負の、振動の逆数又は反対である提供されたフィードバックを有する。このような実施例では、徳性を除去するため、及び、翼及びその他のマシンのここに記載された構成要素の物理的変化を伴わずに、結果及びデータを提供するために、フィードバックは動的に提供される。
【００２１】
例示的な図２には、ＣＶＡ−（Ｎ）ＬＰＶ実現方法が記載されている。これは、正しい未来の計算、ＣＶＡの処理、状態推定値のソート、及び、ＡＩＣの計算が含むことができる。これらの要素は以下により詳細に記載される。そして、例示的な図３には、マシンデータに対するマシン動的モデルのいくつかの例示的な利益が示されている。いくつかの例示的な利益は、マシン動的モデルの近似最適（最尤下限）正確性、大型サンプルのための真のモデルオーダーに相当する最適な数付近の沢山の推定されたパラメータを有すること、推定されたパラメータの平方根に反比例するモデル正確性ＲＭＳを有すること、を含む。さらに、インプットなし及びガウスノイズなしでのＬＴＩ問題に対して、ＣＶＡは、大型サンプルサイズの下限にアプローチし、大型サンプルのためのフィードバックが存在する状態で最小分散を有する３つの部分空間法の１つである。また、例えば、カルバック情報量によって測定された際、最適なオーダーにアプローチする、ＣＶＡ及びＡＩＣを用いたランク選択。さらに、以降の監視、フィルタリング、及び、制御手順の正確性は、ＣＶＡ−（Ｎ）ＬＰＶ実現方法の統計的性質に関連し、又は、ＣＶＡ−（Ｎ）ＬＰＶ実現方法の統計的性質によって決定される。したがって、マシン動的モデルは、ダイナミクスの正確性の高い分析の直接の実行、ノイズの多い動的変数のフィルタリング、正確な監視及び不良検出、及び、マシン動的レスポンス特性の正確性の高い制御又は修正を可能にする。
【００２２】
さらに、例示的な図１−図３を参照すると、ここに記載された技術を用いて生成されたマシン動的モデルに関して、マシン動的モデルは、マシン特性の監視、修正、及び制御のために利用される。マシンの挙動の監視は、異なるタイプのマシンに関して、様々な理由において価値がある。例えば、不良に起因するマシン挙動の変化が作られ、有用性を増加させるため、又は、不良のより良い予測のために長期の摩耗が評価され、修正され、ダメージが評価され、ダメージ又は摩耗を回避するためにマシン性能が調整され、故障メンテナンスが記録され、計数される。このように、マシンの動的挙動を評価すること、及び挙動のいかなる変化をできるだけ早く検出することが、望まれる。
【００２３】
ここに記載される動的モデルは、未来の時間間隔において観察されたインプットとアウトプットデータとを比較するためのベースラインとしての正確なモデルを提供することができる。これは、マシン又はマシンの構成要素の特定の側面にさらに関係するマシンのダイナミクスがどのように変化するかを同定するためのツールを提供することができ、どのような改善又は修正が可能かを決定するために調べられる。ここに提供される正しいベースラインの動的モデルがないと、マシンダイナミクスに影響を与える変化の比較又は監視のための基礎が概して無い。
【００２４】
さらにいくつかの実施例では、動的モデルの生成は、様々なタイプのマシンにとって重要である。航空機又は自動車等の速いレスポンスを伴うマシンは動的モデリングを利用することができる。航空機は直線飛行安定性の代価で非常に操作しやすく設計され、又は、航空機のオリジナルの挙動が変化したように、航空機の動的挙動の変化が疲労、ダメージ、摩耗等から生じ、そして、望ましい航空機の特性を維持するため、又は、戻るために、ダイナミクスを増加、修正又は調整する必要となる。ここに記載される動的モデルで、例えば航空機のマシンダイナミクスの物理的変化は決定又は予測され、そして、制御システムの挙動を修正することによって物理的変化を補償するために、このデータは用いられる。いくつかの実施例では、これは、動的モデルの変化を補償するために、例えば、制御フィードバック利得を再設計することができる制御システムコンピュータで特定の信号を変えることに関与するだけかもしれない。これは、「適応制御」と呼ばれる。しかしながら、所望するマシン挙動を与えるベースラインのマシン動的モデルが手に入ることは、フィードバック制御信号を修正することでこれらの変化の一部を補償するためにだけでなくダイナミクスの変化を検出するための双方にとって価値がある。
【００２５】
ＣＶＡ−ＬＰＶは、一般に、ＬＰＶ及び非線形システムの双方の部分空間同定のための最尤法を用いた基幹統計アプローチである。ＬＰＶ及び非線形の場合、双方向の非線形パラメータの最適化を回避し、ＬＴＩの場合のように問題サイズに対する計算要求の直線的な増加を回避する特異値分解タイプの方法を用いたパラメータの直接の推定につながる。結果は、モデル構造、モデル変化、及び、処理不良手順の最適な決定についての、統計的に最適な最尤パラメータ推定値及び尤度比仮説検定である。ここに記載されたように、異なるシステム同定方法の間で比較がなされる。これらは、ＣＶＡ−ＬＰＶ部分空間法、ｐｒｉｏｒ部分空間法、及び、エラー予測及び最尤等の双方向のパラメータ最低化法を含む。また、動的システムのために複数のモデル構造を比較する際に、仮説検定の基本となる赤池情報量基準（ＡＩＣ）も、議論される。
【００２６】
ＣＶＡ−ＬＰＶアプローチの１つの可能性のある実施形態によれば、決定的で、線形で、ノイズのない静的インプット／アウトプット関係（例えば、システムダイナミクスのない関係）を分析するのに、用いることができる。さらなる実施形態では、これらの考えは、個々のノイズの場合に対して、及び、後に、ダイナミクス及び自動で修正されたノイズに対して、拡張することができる。少なくとも１つの例示的な実施形態によれば、インプットとアウトプットの決定論的な関係を損なうノイズがないデータセットを分析するのに、ＣＶＡ−ＬＰＶアプローチが用いられ、当該関係は、特定のランクのマトリックスによって説明される。プロセスが低次元の部分空間に制限される場合、結果として生じるモデルの正確性の大きな増加があるという観察においてノイズがある場合のように、このランクはランク縮小の若干の方法によって最小化される。このような部分空間は推定すべきパラメータが少なく、モデルの正確性は、推定されたパラメータの数に反比例する。
【００２７】
例えば、m × 1インプットベクトルxt及びn × 1アウトプットベクトルytのt = 1, …, Nにおける観察Ｎとすると、これらのベクトルは、行列X = (x1, …, xN)及び行列Y = (y1, …, yN)に配置される。添え字tは、観察数を示すために用いられ、添え字i又はjは、xi,tがXの要素であるように、観察ベクトルの成分のために用いられる。
【００２８】
インプットxとアウトプットyの関係が完全な又は減少したランクであるかどうかにかかわらず、この関係はそのような表記を使用して記述することができる。決定論的な関係は、xと、m × n行列であるCを用いてy = Cxで表されるyと、の間に存在すると仮定できる。変数zと行列AとBの中間のセットも、以下のように仮定できる。
【数１】
2020017293.tif 000003
方程式１
【００２９】
数値的なポテンシャル変数のセットは、当該関係を成立させることができる。例えば、インプット変数x（つまり、A = I及びB = C）自体としての中間の変数のセットを使用することができ、又は、zは、アウトプット変数y（A = C及びB = Iであり）となるように選択できる。しかしながら、zの次元、dim(z)が最小であるようなzの中間のセットを使用することによって、処理の複雑さの削減を達成することができる。Cのランクは、中間の変数のいかなるセットzに対しても方程式１を有し、且つ、満たす、最小の次元と定義される。x又はyの何れかとしてzを選ぶことによって、方程式１は満たされるため、ランク(C) ≦ min(m,n)である。したがって、ランク(z)≦min(m,n)である。なお、直接の置換によって、行列C = BAはAとBの行列積である。行列Cのランクの上記の定義が、線形代数で表される行列のランクの通常の定義と同じことがわかる。上記の定義は、中間の変数のセットがプロセスの状態であり、インプットとアウトプットが、それぞれ、プロセスの過去と将来である、動的プロセスのために、非常に直観的であることを目的とする。
【００３０】
特異値分解（ＳＶＤ）は、中間の変数zのセット及び行列A及びBの構築のカギを与える。この構築は、直交行列の使用を採用する。正方行列U = (u1, …, up)は、カラムベクトルuiがユニット長であり、直交（i≠j のとき
【数２】
2020017293.tif 000004
及び
【数３】
2020017293.tif 000005
であり、これはUTU = Iに等しい。ここで、Iは、恒等行列である。）である場合、直交行列である。直交行列は、この意味において、歪曲の無い座標軸を備える座標軸の厳格な回転である変換を定義する。したがって、これらは、線の間の距離と角度を不変とする新しい座標系を定義するために用いることができる。
【００３１】
いかなるリアル（n × m）行列Cに対して、特異値分解は、以下の方程式２に示すように、直交行列U(n × m)及びV(n × m)を決定する。
【数４】
2020017293.tif 000006
方程式２
【００３２】
ここで、Sは、直交要素s1 ≧ ・・・ sr ≧ s(r+1) = ・・・ = sk = 0及びk = min(m,n)を備えるn × m直交行列である。Cのランクrは、非ゼロの直交要素Sの数である。これは、例示的な図４に示され、特異値変数座標及び低減されたランク関数を示す特異値分解を有する。
【００３３】
ＳＶＤについて以下に説明する。ベクトルg = VTxは、新しい座標フレームにおいては、単にxであり、同様に、新しい座標フレームにおいては、h = UTyは、yである。g及びhからのCの変換は、直交行列Sである。これは、以下の方程式３の置換によって示される。
【数５】
2020017293.tif 000007
方程式３
【００３４】
したがって、Cの変換は、特異値変数(gi,hi)、i = 1, …, rの第１rのペアの間のr = ランク(C)の単一変数の変換hi = sigi、1 ≦ i ≦ rに分解される。なお、ＳＶＤは、特異値ベクトルである行列V及びUで表されるg及びhで定義される、中間の又は特異値変数の２つのセットを産出する。さらに、特異値変数g及びhは、行列Cで与えられる線形関数の特別な表現を提供する。これは、変数(gi,hi)、i = 1, …, rの第１rのペアについての新しいセットの座標におけるx及びyに、非ゼロの関数Cを与える。その他の(gi,hi)の組み合わせはゼロである。これは、正準変数に関する議論において非常に重要であることがわかる。例示的な図６は、(s1,s2,s3) = (0.8,0.6,0)であるケースを示している。
【００３５】
中間の変数zのセットの１つの潜在的な実施形態では、第１r特異値変数が(g1, …, gr)である。これらの値を用いると、行列A及びBは、以下の方程式４で表される。
【数６】
2020017293.tif 000008
方程式４
ここで、Irはr次元恒等行列である。これは、Sは要素sii = 0、i≧rに対して対角であるため、直接の置換BA = U(Ir 0)TS(Ir 0)VT = USVT = Cを介して確定される。
【００３６】
他の実施形態によれば、行列Cは、初めに分からず、上記の観察X = (x1, …, xN)及びY = (y1, …, yN)を介して決定される。ＳＶＤを介したCのランク表現も決定される。全てのtに対してyt = Cxt であるため、Y = CXとなり、XTで乗算されて、YXT = CXXTを産出する。もし行列XXTが非特異である場合（カラムベクトルXはx空間全体に広がることが仮定される場合、これが仮定できる）、行列Cは以下の方程式５で解かれる。
【数７】
2020017293.tif 000009
方程式５
【００３７】
XXT及びYXTの量は、標本分散行列として正規化形式で表されるため、以下の方程式６が成り立つ。
【数８】
2020017293.tif 000010
方程式６
そして、同様に、行列は、sxx及びsyyに対して用いられる。この表記において、
【数９】
2020017293.tif 000011
であり、
【数１０】
2020017293.tif 000012
のランク、及び、インプット変数の全てのセットxの全ての情報を含む、低減された次数の変数の中間のセットは、この値のＳＶＤを計算することによって決定される。
【００３８】
低減されたランクである決定的な関数が、プロセスのインプット及びアウトプットの観察に関して容易に記述されるが、当該アプローチを、ノイズが存在する観察のケースまで広げることはいくらかより複雑である。これは、ノイズに加えて、上記の標本分散行列Sxyが通常フルランクになり、上記のアプローチの有用性を潜在的に低減するためである。ノイズが存在する場合、彼らが「小さく」なるとき、特異値が単に切り捨てられ、しかし、どれくらいの「かなりの」特異値があるかについて、オリジナルの変数のスケーリングがＳＶＤにかなり影響を及ぼすため、これはしばしば不十分であることが示唆される。
【００３９】
特異値が切り捨てられることを必要とすることなくノイズの問題に対処する、他の例示的な実施形態が考慮される。このような実施形態は、ランダムな変数x及びyの２つのベクトルを採用し、ベクトルxは、予測変数のセットであり、ベクトルyは、予測される変数のセットである。xとyが、ゼロ平均の通常の確率変数及び共分散行列
【数１１】
2020017293.tif 000013
、
【数１２】
2020017293.tif 000014
、
【数１３】
2020017293.tif 000015
、
として、共同で分配されると仮定され、xからyの最適な予測を与える関係は線形であると仮定される。非ゼロ平均のケースへの拡張は取るに足らず、ゼロ平均を仮定することは導出を単純化する。上記のように、N観察(xt,yt)、1 ≦ t ≦ Nは与えられ、X = (x1, …, xN)及びY = (y1, …, yN)と書けると仮定する。
【００４０】
先に記載したように、zがyの予測に関連するxにおける全ての情報を含むように、dim(x)より、総計で少ない次元rの変数zの中間のセットを決定することは、役に立つ。これは、xとzの間の、及び、zとyの間の線形関係を定めるパラメータの評価だけでなく、次元又はzのランクrの決定を必要とします。
【００４１】
モデルは以下の方程式７、８で記述される。
【数１４】
2020017293.tif 000016
方程式７
【数１５】
2020017293.tif 000017
方程式８
【００４２】
当該モデルは、t番目の観察(xt,yt)、t = 1, …, Nを保持する。ベクトルetは、行列A(r × m)及びB(n × r)が与えられたxtからのytの線形予測のエラーであり、
【数１６】
2020017293.tif 000018
は、予測エラーetの共分散行列である。異なる観察インデックスs及びtに対して、エラーes及びetは相関していないと仮定される。これらの方程式は、以下のように、xからのyの予測に等しい。
【数１７】
2020017293.tif 000019
方程式９
ここで、行列C = BAはランク拘束ランク (C)≦rを有する。なお、方程式７において更なるノイズが加えられること以外は、このセクションに記載された実施形態は、上記に明瞭に記載されたものと同一である。
【００４３】
最尤（ＭＬ）法は、行列A及びBを決定するのに使用される。最尤手順の最適性は、明細書の後の部分に詳述され、これは、モデルオーダーの選択、すなわち、zのランクrの決定、のきわめて重要な問題を含む。
【００４４】
パラメータ行列A、B、
【数１８】
2020017293.tif 000020
の関数としての結合された尤度X = (x1, …, xN)及びY = (y1, …, yN)は、以下のように、Xが与えられるYの条件付き尤度に関して表される。
【数１９】
2020017293.tif 000021
方程式１０
【００４５】
Xの密度関数p(X)は、未知のパラメータA、B、
【数２０】
2020017293.tif 000022
の関数ではなく、既知のパラメータに基づいて最大化される。なお、YがXに条件づけらる代わりにXがYに条件づけられても、解は同じである。
【００４６】
ｃａｎｏｎｉｃａｌ  ｖａｒｉａｔｅ  ａｎａｌｙｓｉｓ（ＣＶＡ）は、x及びyを、ペアで相関しているだけの独立同分布な（ｉｄｄ）確率変数、すなわち、対角共分散に変換する。表記Ikはk × k恒等行列を意味するために用いられる。
【００４７】
ＣＶＡ定理：
【数２１】
2020017293.tif 000023
と
【数２２】
2020017293.tif 000024
を負ではない一定（共分散行列によって満たされる）とする。次に、以下のように、行列
【数２３】
2020017293.tif 000025
及び
【数２４】
2020017293.tif 000026
が存在する。
【数２５】
2020017293.tif 000027
方程式１１
【数２６】
2020017293.tif 000028
方程式１２
ここで、
【数２７】
2020017293.tif 000029
及び
【数２８】
2020017293.tif 000030
である。これは、問題のかなりの平易化を提供し、例示的な図５に示される。例示的な図５は、正準変数の座標及び正準相関を示すｃａｎｏｎｉｃａｌ  ｖａｒｉａｔｅ  ａｎａｌｙｓｉｓを証明する。
【００４８】
J及びLの変換は、正準変数であるベクトルc = Jx及びd = Lyを定義する。それぞれの正準変数c及びdは、独立しており、恒等共分散マトリックスで等しく分散されるため、
【数２９】
2020017293.tif 000031
方程式１３
【００４９】
c及びdの共分散は、対角であり、以下のように表され、
【数３０】
2020017293.tif 000032
方程式１４
c及びdのi番目の要素は、多い順で、相関piとペアで相関する。したがって、ＣＶＡは、独立して等しく分散された正準変数の間の一組のペアの一変量関係に、xとyの多変量関係を減らす。なお、
【数３１】
2020017293.tif 000033
及び
【数３２】
2020017293.tif 000034
である場合、ＣＶＡは、相関関係J = UT、L = VT、
【数３３】
2020017293.tif 000035
、c = g、d = h、pi = si及びで通常のＳＶＤに低減する。このような挙動は、例示的な図４及び図５に示される。
【００５０】
あるいは、正準変数が無相関であることを重みづけ
【数３４】
2020017293.tif 000036
及び
【数３５】
2020017293.tif 000037
が保証する一般化特異値分解（ＧＳＶＤ）としてＣＶＡは記載される。これは、通常のＳＶＤのための直角に等しい確率ベクトルである。変数xの構成要素は、非常に相関している場合があるか、同一直線上にある場合さえある（ないかもしれないけれども）が、正準変数cの構成要素は、無相関で、y及びdも同様である。これはＳＶＤとの主な違いであり、xの構成要素は、図6の場合のように、直角であると考えられる。結果として、問題が数値的に好調で統計学的に最適な方法で解決されるように、正準変数cとdはそれぞれ無相関な代表をxとyに提供する。
【００５１】
当該例示的な実施形態において、rの所定の選択のため、A、Bと
【数３６】
2020017293.tif 000038
のための最適な選択が、記載される。ＧＳＶＤの方程式１３及び方程式１４の
【数３７】
2020017293.tif 000039
、
【数３８】
2020017293.tif 000040
及び
【数３９】
2020017293.tif 000041
の代わりに、方程式６で定義される標本分散行列Sxx、Syy及びSxyを用いることによって解が得られる。ＧＳＶＤの計算は、J、L及びPを与える。本実施形態におけるAのための最適な選択は、
【数４０】
2020017293.tif 000042
方程式１５
【数４１】
2020017293.tif 000043
はJの第１r行である。同等に、z （yを最適ランクrのプレディクタ）は、第１rの正準変数c1, …, crから成る。yの予想できる（エラーの縮小で）線形組合せは、確率変数d = [Ir 0]Ly、第１rの正準変数d1, …, drによって与えられる。k ≧ rのためにpkをゼロにセットするPとしてPrを表現し、方程式１４に従ってcからのdの最適な予測は、単に
【数４２】
2020017293.tif 000044
となる。cからのdの予測におけるエラーの共分散行列は、
【数４３】
2020017293.tif 000045
である。yへdから行くためにLの逆（又は、Syyが特異値の（
【数４４】
2020017293.tif 000046
によって意味される偽逆）場合には）を適用することによって、Bと
【数４５】
2020017293.tif 000047
の最適な推定値が得られ、以下の方程式１６で表される。
【数４６】
2020017293.tif 000048
方程式１６
【００５２】
なお、XとYの関係は、完全に対称である。その結果、XとYが始めに交換される場合、解において、AとJの役割はBとLで交換される。
【００５３】
A、Bと
【数４７】
2020017293.tif 000049
に対して、又は、同等に、拘束ランクrとC = BAに対して、最大化された最尤度のｌｏｇは、ciとdiの間の第１rの正準相関関係piによって与えられ、
【数４８】
2020017293.tif 000050
方程式１７
【００５４】
ランクに関する最適な統計検定は、尤度比を含む。したがって、最適なランク又はオーダーの選択は、正準相関関係piのみに依存する。ランクの潜在的な選択の比較は、このように、共分散構造に対する一回のＧＳＶＤの計算から決定される。i ≠ jのために無相関なxtとxjとともに平均ゼロのガウス確率ベクトルのため、上記の理論は、正確に保つ。時系列のために、類似した解が利用できるけれども、この仮定は冒涜される。
【００５５】
いくつかの他の統計ランクオーダー手順が、ＣＶＡに密接に関係があり、必要に応じて、又は、要求に応じて使用される。説明のための実施例として、以下の方程式１８で置き換えられる方程式１３とともに一般化特異値分解（ＧＳＶＤ）を考慮する。
【数４９】
2020017293.tif 000051
方程式１８
ここで、重みづけΔ 及び Λは、いずれかの準正定対称行列である。ＣＶＡは、優れた
【数５０】
2020017293.tif 000052
によって与えられる。低減されたランクの回帰は、
【数５１】
2020017293.tif 000053
である。主成分分析（ＰＣＡ）は、
【数５２】
2020017293.tif 000054
である。部分最小二乗法（ＰＬＳ）は、順番に変数zのために解く。第１ステップは、Δ= I、Λ=I及びz1を第１の変数として選択することに等しい。手順は、次の変数ziを得るために、第iステップの誤差を使って繰り返される。
【００５６】
他の統計ランク選択手順を使用することの不利な面は、それらが以前に開発されたような（いろいろな動的システム・モデルに関して以下に記された）最尤法ではなく、スケール不変（すべての議論されているＭＬ手順の場合のように）ではないということである。その結果、例えば、フィートからマイルへの単位の変換等、インプット及び／又はアウトプットが異なって計測される場合、他の全ての方法は異なる解を得る。また、任意の計測は、目標モデルオーダー及び構造選択手順を排除し、これは、任意の計測にも依存する。
【００５７】
ＣＶＡ以外の方法も、測定エラーには特定の共分散構造があるという仮定を必要とする。例えば、ＰＬＳ方法を使用する場合、モデルは、以下の形をとる。
【数５３】
2020017293.tif 000055
方程式１９
ここで、
【数５４】
2020017293.tif 000056
及び
【数５５】
2020017293.tif 000057
の共分散行列は、知られており、推定されないと仮定される。これらのエラーが、仮定より、非常に異なる共分散行列を有する場合、パラメータ推定エラーはより大きい可能性がある。また、ＰＣＡと上記の他の問題は、共分散が既知であると仮定する。当該技術分野において周知であるように、これらの潜在変数方法は共分散構造を仮定しなくてはならず、それは、データから推定することができない。これは、これらの方法の適用における大きな障害である。ＣＶＡを使用するＧＳＶＤの少なくとも１つの実施形態において、ＣＶＡが共分散構造に関して仮定せずに、観察からそれを推定するように、重みは、任意のスペシフィケーションよりもむしろデータによって記述される。
【００５８】
当該技術分野において周知であるように、ＣＶＡは一般化特異値分解によって記述される一般化プロジェクションを効果的に計算する部分空間方法の１つである。いろいろな部分空間方法の違いは重みΔとΛであり、他の部分空間方法はＣＶＡと異なる重みをたいてい用いる。その結果、他の部分空間方法には最適な状態に達せず、潜在的に非常に大規模なエラーを有する可能性がある。
【００５９】
いくつかの例示的な実施形態では、ＣＶＡ方法は、線形時間不変の（ＬＴＩ）動的システムの識別に適用される。上述の理論がｉｉｄ多変量ベクトルのみにあてはまるかもしれないが、相関している時系列ベクトルに拡張される。
【００６０】
ＣＶＡアプローチの概念は、プロセスの過去と将来である。例えば、データが、時間において等しい間隔が空けられた時点t = 1, …, Nにおいて観察されたアウトプットyt及び観察されたインプットutからなって与えられると仮定する。それぞれの時間tに関わるものは、時間tより先に起きた過去のアウトプット及びインプットからなる過去のベクトルpt、時間t以降のアウトプットからなる未来のアウトプットのベクトルft、及び、時間t以降のインプットからなる未来のインプットのベクトルqtであり、詳細には、以下の方程式２０、２１で表される。
【数５６】
2020017293.tif 000058
方程式２０
【数５７】
2020017293.tif 000059
方程式２１
【００６１】
そして、システムへの観察された決定論的なインプットutのない純粋に確率的なプロセスの場合を考慮する。線形、時間不変、有限状態オーダーのガウス・マルコフ・プロセスの基本的特性が、過去のptの一次関数である有限次元状態xtの存在である。
【数５８】
2020017293.tif 000060
方程式２２
【００６２】
状態xtは、過去のptを条件にする将来のftの条件つき確率密度が有限次元状態xtを条件にする将来ftのそれと同一であるという性質を有するため、以下の方程式２３が成り立つ。
【数５９】
2020017293.tif 000061
方程式２３
【００６３】
したがって、過去と将来は、過去の有限数の線形結合のみがプロセスの将来の進化に関連する基本的な役割を果たす。
【００６４】
相関している時系列ベクトルの本実施例に対する多変量確率ベクトルのＣＶＡに関して結果を広げるために、おそらくインプットとともに、尤度関数の過去／将来の形は、展開される。計算のために、過去と未来の次元は十分に大きな限定数lに切り捨てられる。赤池に従って、この次元は自己回帰（ＡＲＸ）モデリングによって決定され、赤池情報量基準（ＡＩＣ）用いた最適なＡＲＸオーダーを決定する。表記
【数６０】
2020017293.tif 000062
は、アウトプット観察、同様にインプット観察
【数６１】
2020017293.tif 000063
を記述するために用いられる。
【００６５】
可能性のある確率的な障害を有する動的インプット−アウトプットシステムについて、要求される１つは、システムのアウトプットの特性に対してインプットを特徴づけることである。関心は、初期状態
【数６２】
2020017293.tif 000064
及びインプット
【数６３】
2020017293.tif 000065
に条件づけられたアウトプット
【数６４】
2020017293.tif 000066
の確率密度
【数６５】
2020017293.tif 000067
の未知のパラメータθについての統計的推論である。
【００６６】
したがって、本実施例において、サンプルNの数は、ある整数をMとすると、N = Ml+lと正確に仮定される。
【００６７】
このように引き続いて条件づけることによって、時間l+1における初期状態pl+1に条件づけられたアウトプットYの尤度関数のｌｏｇ及びアウトプットQは、以下の方程式２４で表される。
【数６６】
2020017293.tif 000068
方程式２４
ここで、
【数６７】
2020017293.tif 000069
であるため、尤度関数は、Ｍ多段階条件付き確率の積に分解する。次に、時間sまでに上記の観察の間隔を移すことによって、観察の尤度
【数６８】
2020017293.tif 000070
が得られる。移行された尤度関数のｌｏｇの平均を考慮すると、以下の方程式２５、２６、２７が得られる。
【数６９】
2020017293.tif 000071
方程式２５
【数７０】
2020017293.tif 000072
方程式２６
【数７１】
2020017293.tif 000073
方程式２７
【００６８】
ここでこの平均におけるそれぞれの尤度関数は、時間間隔に含まれる特定の終点においてのみ異なるN−l点の尤度である。この影響は大型サンプルのサイズのために消え、小さなサンプルサイズでも適当なおおよその尤度関数を与える。
【００６９】
相似なベクトル変数ytとxtが確率的に各々０ゼロ自己相関によるホワイトノイズであるとされるのに対して、ベクトル変数ft |qtとptは典型的に高い自己相関関係がある。違いは、pt、ftとqtが、非常に相関している、時間変化したベクトルytとutのスタックトベクトルであることである。
【００７０】
いくつかの例示的な実施形態における項ft |qtが生じる方法は、ptが
【数７２】
2020017293.tif 000074
を含むことであり、そのため、それらの
【数７３】
2020017293.tif 000075
はptに含まれず、つまり、
【数７４】
2020017293.tif 000076
は別々にftに条件づけられたままである。下記のさらなる例示的な実施形態において、ft |qtは、「削除される将来のインプットの影響を有する将来のアウトプット」または、簡潔のため、「修正された将来のアウトプット」と呼ばれる。この条件付けが、統計的推論において基本的に重要である尤度関数から直接、及び、基本的に生じることに留意されたい。特に、尤度関数は、十分な統計である。つまり、尤度関数は、パラメータθによって示されるクラスにおいて、モデルに関する推論のために、サンプルの全ての情報を含む。当該関係はモデルのクラスについて仮定しないため、それは、サンプルサイズに関して十分に大きい選ばれたlを有する、いかなるモデルクラスのためにも、大型サンプルの中で、一般的に保持する。
【００７１】
さらなる例示的な実施形態において、未来のアウトプットから未来のインプットを除くことが好ましい。上記の尤度理論は、ＣＶＡを行う前に、相関した未来のアウトプットft |qtを計算するための強い統計的な議論を与える。問題は、どのようにして相関を行うかである。過去の有限の切り捨てにおいて用いるために、ＡＲＸモデルは過去のラグlの数を決定するために計算されるため、推定されたＡＲＸモデルに関与するたくさんのアプローチが用いられてきた。
【００７２】
未来のアウトプットから未来のインプットを削除する問題についての他の見通しのために、プロセスの状態空間記述を考慮する。k−オーダーの線形マルコフプロセスが、下記の表現を有するために、方程式２８、２９で表される一般的な状態空間形式で示される。
【数７５】
2020017293.tif 000077
方程式２８
【数７６】
2020017293.tif 000078
方程式２９
ここで、xtは、k−オーダーのマルコフ状態であり、wtとvtは、それぞれ共分散行列QとRを有する独立なホワイトノイズである。状態方程式におけるノイズwtとともに、アウトプット方程式におけるノイズBwt + vtは修正されるため、これらの状態方程式は、典型的に用いられるものより、より一般的である。これは、状態空間方程式の状態がk−オーダーのマルコフ状態であることを必要とする結果である。方程式２８、２９におけるノイズが無相関であることを要求することは、状態がマルコフオーダーkより高い次元である状態空間モデルという結果になる可能性があり、最小オーダーの現実化とならない。
【００７３】
さらなる例示的な実施形態は、インプットutからアウトプットytへのオープンループ動的挙動のモデリングの拘束された同定タスクに焦点を当てる。インプットutは、任意の自己相関を有し、アウトプットytから方程式２８及び方程式２９のシステムのオープンループ特性から離れたインプットutへのフィードバックに関わると仮定する。下記の議論は、このような可能性のある自己相関の影響を排除するための手順をまとめる。
【００７４】
プロセスの未来
【数７７】
2020017293.tif 000079
は、状態xt及び以下の方程式３０で表される形式の中の未来のインプット
【数７８】
2020017293.tif 000080
を通して過去ptに関係する。
【数７９】
2020017293.tif 000081
方程式３０
ここで、xtは、pt、ΨT = (H; HΦ; …; HΦl−1)のいくつかの固定された部分空間の中にあり、及び、ΩのI,j番目のブロックは、HΦj−iGである。未来のインプットqtの存在は、観察された過去及び未来からの状態空間部分空間の決定に主要な問題を作り出す。上記の方程式から、項ΩTqtが除去される場合、状態空間部分空間は正確に推定される。ＣＶＡ法において用いられるアプローチは、ＡＲＸモデルをフィッティングすることであり、推定されたＡＲＸパラメータに基づいてΨの推定値
【数８０】
2020017293.tif 000082
を計算することである。ＡＲＸプロセスは、状態xt = ptを有する状態空間形式で表され、状態空間モデルに関してΩ及びΨの上記の数式もＡＲＸモデルに用いられることに留意されたい。そして、ＡＲＸ状態空間パラメータ(Φ, G, H, A)及びΨ及びΩはそれ自体ＡＲＸモデルパラメータ
【数８１】
2020017293.tif 000083
の関数である。
【００７５】
ここで、未来のアウトプットftに対する未来のインプットqtの影響は、適度なサンプルサイズを有するＡＲＸモデルから正確に予測されるため、項ΩTqtは予測され、方程式３０の両側から減算される。そして、状態xtを決定するために、ＣＶＡは、修正された未来ft − ΩTqt及び過去との間で行われる。このような数々の方法に比べて、ＬＴＩシステムの部分空間システム同定における自己相関及びフィードバックを取り扱うために様々な手順が発展された。
【００７６】
後の例示的な実施形態におけるＬＰＶモデルの発展のため、修正された未来は、それぞれの時間tに対して仮説プロセスはゼロにセットされるインプットqtを有する過去ptを有する、仮説プロセスの単なる結果であることに留意されたい。結果は、修正された未来のアウトプットft − ΩTqt、すなわち、過去ptによって実施された過去の状態の非強制のレスポンスである。ここで、時間tのある範囲の全てのこのようなペア(pt, ft − ΩTqt)をとることによって、ＣＶＡ分析はＣＶＡの変換行列を得て、これから、以下に議論されるように、
【数８２】
2020017293.tif 000084
として状態オーダーkのいかなる選択のために状態推定値が表現される。
【００７７】
最も直接的なアプローチは、１ステップ先の未来のインプットの影響を予測して、これを観察された未来のアウトプットから減算するために、再帰的にＡＲＸモデルを用いることである。こうするための明快な計算は、より一般的なＬＰＶケースのために、本質的に発展される。
【００７８】
過去及び未来についてのＣＶＡは、過去pt及び修正された未来のアウトプットft |qtに関連する正準変数c及びdを特定する変換行列J及びLを及びそれぞれ与える。状態オーダー（ランクr）のそれぞれの選択kのため、プロセス（中間の変数zt）の記録は、過去に関して以下の方程式３１のように定義される。
【数８３】
2020017293.tif 000085
方程式３１
ここで、ベクトルmtは、第１kの正準変数からなる。ベクトルmtは、「状態」というよりむしろ、敢えて「メモリ」と呼ばれる。マルコフプロセスの切り捨て状態は、残っている状態変数のために、一般にマルコフプロセスに帰結しないため、メモリmtの所定の選択は、いかなる良く定義されたkオーダーのマルコフプロセスの状態に相当しない。特に、メモリmtは、mtの未来値、すなわち、mt+1, mt+2, …の予測のために、過去における情報の全てを通常含むというわけではない。システム同定問題に関しては、多くのオーダーkが考慮され、最高な予測が最適なオーダーとして選択されるため、これは問題ではない。この最適なオーダーのメモリは、問題の変わりやすさのサンプリングにおけるマルコフプロセスの状態と一致する。
【００７９】
さらなる例示的な実施形態において、マルコフプロセスの状態空間モデル及び状態空間モデル推定が作られる。モデリングの問題は、関連した確率プロセスut及びytの過去を与えると、オーダーkの状態xtによってytの未来を予測するために、方程式２８及び２９の形式の状態空間モデルが発展することである。ここで、状態空間モデルの推定と、モデルオーダー選択におけるその使用を考慮する。時間tの間隔を超えて、方程式２８及び２９の状態xtがインプットut及びアウトプットytからなるデータとともに与えられる場合、状態空間行列Φ、G、H及びAは、単純な線形重回帰法によって簡単に推定されることに留意されたい。最適に低減されたランクのモデリング問題の解は、正準変数に関して上記に与えられる。ランクの所定の選択kのため、第１kの正準変数は、kオーダーの状態空間モデルの構築における方程式３１のようにメモリmt = Jk ptとして用いられる。
【００８０】
特に、ＣＶＡによって決定されたメモリmtと置換される状態xtを有する状態方程式２８及び２９を考慮する。重回帰方程式は、以下の方程式３２のように、様々なベクトルの間で、共分散に関して表され、
【数８４】
2020017293.tif 000086
によって記述される。
【数８５】
2020017293.tif 000087
方程式３２
ここで、mt = Jk ptの置換によって計算が得られる。行列Q、R及びBとともに、予測エラーの共分散行列は、同様の単純な数式を有する。
【００８１】
さらなる例示的な実施形態において、状態オーダーとともに、客観的なモデル構造選択が決定される。ＣＶＡ方法は、例えば、付加的な決定論的な多項式の存在、システムダイナミクスの状態オーダー、システムのインプットからアウトプットへの瞬間的な又は遅延した影響の存在、及び、１組の変数間のフィードバック及び「因果関係」のような、非常に一般的で多様なモデル構造の比較を許す。以下に議論される方法は、ダイナミックなシステムについてのそのような多様な仮説の正確な統計的な比較を考慮する。
【００８２】
モデル状態オーダーまたはモデル構造に決定するために、例えば、客観的な情報測度に基づく最近の展開が用いられてもよく、例えば、統計モデルの適切なオーダーを決定するために赤池情報量基準（ＡＩＣ）の使用を含む。十分な且つ繰り返されたサンプリングの基本的な統計原理の考察は、モデルフィッティングの客観的な測度としての情報量基準の使用のための堅実な正当化を提供する。特に、真の確率密度がp*であり、近似密度がp1であるとすると、真のp*に対するモデルp1の近似の測度はカルバック判別情報によって与えられ、以下の方程式３３で表される。
【数８６】
2020017293.tif 000088
方程式３３
【００８３】
大型サンプルにたいしては、ＡＩＣは、カルバック情報量の最適なエスティメーターであり、モデルオーダーについての最適な決定を達成できることが示される。それぞれのオーダーkのＡＩＣは、以下の方程式３４で定義される。
【数８７】
2020017293.tif 000089
方程式３４
ここで、pは、N時点における観察(YN, UN)に基づく尤度関数であり、
【数８８】
2020017293.tif 000090
は、パラメータMkを有するkオーダーモデルを用いた最尤パラメータ推定値である。赤池のオリジナルのＡＩＣのため、小さいサンプルの相関因子fは１に等しく、小さいサンプルの場合については下記において議論される。AIC(k)の最小値に相当するモデルオーダーkが選択される。真のシステムオーダー以上で取られるモデル状態オーダーkのため、ＣＶＡの手順は、およその最大尤推定法の解を提供する。真のオーダーより少ないkのために、尤度関数が最大にならないように、システムのＣＶＡ推定は最適な状態に及ばない。しかし、近似値を求める最適な状態オーダーの信頼できる決定が維持されるように、これは、下位のオーダーモデルの計算されたＡＩＣと真のオーダーモデルの違いを強調するだけである。
【００８４】
方程式２８及び方程式２９の状態空間モデルにおけるパラメータの数は、方程式３５で表される。
【数８９】
2020017293.tif 000091
方程式３５
ここで、kは状態の数であり、nはシステムへのアウトプットの数であり、及び、mはシステムへのインプットの数である。同じインプット／アウトプットとノイズ特性を有する状態空間モデルの同値類のサイズを考慮することによって、この結果は展開される。したがって、状態空間モデルの関数的に独立したパラメータの数は、いろいろな状態空間行列の要素の数よりはるかに少ない。ＡＩＣは、かなりのサンプルサイズで最適な手順をモデルのオーダー選択に提供する。
【００８５】
ＡＩＣに対する小さいサンプルの相関はモデルオーダー選択のためさらに展開される。当該小さいサンプルの相関因子fは、以下の方程式３６で表される。
【数９０】
2020017293.tif 000092
方程式３６
有効サンプルサイズNは、同定モデルを用いて１ステップの予測が成された時点の数である。大型サンプルNのために、小さいサンプルの相関因子fは、１にアプローチし、fの値は、ＡＩＣの定義において赤池によって最初に使用された。小さなサンプルの訂正は、モデル近似エラーのカルバック情報量基準によって定められるように、最適に近いモデルオーダー選択を産出することを示した。
【００８６】
さらなるこの例示的な実施形態において記載された、ＣＶＡ−ＬＰＶ方法において実施される非線形システム同定方法は、線形パラメータ変動（ＬＰＶ）モデル記述に基づく。アフィン状態空間ＬＰＶ（ＳＳ−ＬＰＶ）モデル形式は、そのパラメトリックな節減及び制御アプリケーションにおけるその状態空間構造のため、利用される。ＡＲＸ−ＬＰＶ（インプット／アウトプットの自己回帰）モデル形式は初期モデルフィッティングに用いられ、不可欠な役割も果たす。モデル形式の導入の後に、計算必要条件に関する議論だけでなく、ＣＶＡ−ＬＰＶ手順で得られるモデル構造のいろいろな仮説がフィッティングされ比較される。
【００８７】
さらなる例示的な実施形態において、アフィン状態空間ＬＰＶモデルが考慮される。システム行列が、パラメータ変動（ＰＶ）関数とも呼ばれる、スケジューリングパラメータρt = [ρt(1); ρt(2); …; ρt(s)]のベクトルの時間変動関数、である線形システムを以下の方程式３７、３８で表される形式と考える。
【数９１】
2020017293.tif 000093
方程式３７
【数９２】
2020017293.tif 000094
方程式３８
本実施形態において、ＬＰＶシステムのみが、形式A(ρt) =ρt(1) A1 + …+ρt(s) Asのスケジューリングパラメータにアフィン依存を有すると考えられ、B(ρt)、C(ρt)、及びD(ρt)についても同様である。ここで、パラメータ変動行列A(ρt)は、アフィン形式と呼ばれる定数行列A = [A1, …, As]のρt = [ρt(1); ρt(2); …; ρt(s)]で特定される線形結合として表現され、B、C、及びDについても同様である。なお、方程式３７、３８は、ρtによってパラメータ化された線形時間変動システムである。
【００８８】
ＬＰＶモデルは、しばしば、スケジューリング関数ρtがシステムインプットut、アウトプットyt、及び／又は、状態xtの関数でない場合に、拘束される。これらのut、yt、及び、xtの関数を含むより一般化されたケースは、しばしば、準ＬＰＶモデルと呼ばれる。本実施形態では、何れのケースに対しても展開が適用されるため、当該２つのケースを区別する必要はない。
【００８９】
ＬＰＶ方程式は、クロネッカー積の変数
【数９３】
2020017293.tif 000095
及び
【数９４】
2020017293.tif 000096
を含むＬＴＩシステムに対してかなり単純化することができ、以下の方程式３９で表される。
【数９５】
2020017293.tif 000097
方程式３９
ここで、
【数９６】
2020017293.tif 000098
は、mijとして記述されるMの要素i、jで
【数９７】
2020017293.tif 000099
として、ブロックi、jからなる区分行列としてのいかなる行列M及びNのために定義されたクロネッカー積
【数９８】
2020017293.tif 000100
を意味し、[M ; N] = (MT NT)はベクトル又は行列M及びNのスタッキングを意味する。後述の実施形態において、当該ＬＴＩ構造のさらなる活用は、計算の低減とモデリングの正確性の増加のように、ＬＴＩ部分空間となる。
【００９０】
ここで、状態ノイズも、測定されたノイズvtを通して、特に、方程式３９のwtがいくつかのＬＴＩ行列Kに対して
【数９９】
2020017293.tif 000101
を満たす、スケジューリングパラメータρtにアフィン依存する場合を考える。そして、方程式３８のアウトプットにおいて、パラメータ変動が無い場合に対して、単純な並べ替えによって、状態方程式は、以下の方程式４０、４１、及び、４２で表される。
【数１００】
2020017293.tif 000102
方程式４０
【数１０１】
2020017293.tif 000103
方程式４１
【数１０２】
2020017293.tif 000104
方程式４２
上記の形式において、状態方程式におけるノイズは、測定されたアウトプットと、測定方程式の単なる並べ替えである予測されたアウトプットvt =yt − (Cxt + Dut)との差によって置換される。その結果、非線形状態方程式におけるノイズの影響を近似するいかなる必要も排除して、測定されたインプット、アウトプット及び状態のみが状態方程式に現れる。下記のたくさんの例示的な実施形態は、測定されたアウトプット方程式において遅延の無い直接的なフィードスルーがない、D = 0を有する当該形式である。
【００９１】
さらなる実施形態において、ＣＶＡ−ＬＰＶ手順における第１ステップは、高いオーダーのＡＲＸ−ＬＰＶモデルによって、ＬＰＶプロセスを近似することである。本実施形態のため、ＬＰＶ動的システムは、以下の方程式４３の形式の高いオーダーのＡＲＸ−ＬＰＶモデルによって近似される。
【数１０３】
2020017293.tif 000105
方程式４３
当該形式は、過去のアウトプットyt-i及び過去及び可能性のある現在のインプットut-iに関して時間tにおける現在のアウトプットytの線形予測ytを与え、ここで、lはＡＲＸ−ＬＰＶプロセスのオーダーであり、vtは共分散行列
【数１０４】
2020017293.tif 000106
のホワイトノイズプロセスである。システムがインプットとアウトプットとの間に直接結合を持たない場合、すなわち、β0 = 0である場合、第２の合計の下限は、１に等しい。
【００９２】
ＡＲＸ−ＬＰＶ方程式４３は、スケジューリング関数ρt+iの時間変動がインプットut+i及びアウトプットyt+iを中のものと合う、シフトされた形式にある。これは、ＡＲＸ−ＬＰＶモデルに由来するように、結果として生じる状態空間ＬＰＶの記述における動的依存の導入を避けるために、得られるほんの少しのモデル形式の１つである。動的依存の存在は、ＬＰＶモデルにおけるかなりの不正確につながる。
【００９３】
方程式４３においては、パラメータ変動スケジュール関数ρt−iは、定数行列係数αi及びβi、又は、データyt及びutの何れかで、関連づけられ又は乗算されることに留意されたい。第１のケースでは、結果は、それぞれyt−i及びut−iで乗算される、パラメータ変動係数
【数１０５】
2020017293.tif 000107
及び
【数１０６】
2020017293.tif 000108
であり、恒等行列Iy及びIuの次元は、それぞれのy及びu次元である。第２のケースでは、全ての変数yt−i、ut−i及びρt−iにおいてタイムシフトt−iは同じであるため、拡張されたデータ
【数１０７】
2020017293.tif 000109
は、それぞれの時間tに対して１回計算され、以降の全ての計算において利用される。
【００９４】
ＡＲＸ−ＬＰＶプロセスの過去は、j > 0である場合のＬＴＩ係数αi及びβjによって乗算されるＡＲＸ−ＬＰＶモデルに関して、
【数１０８】
2020017293.tif 000110
として定義される。過去ptはプロセスの未来の進展の線形予測のための過去における全ての情報を含むため、過去ptはＡＲＸ−ＬＰＶプロセスの状態である。過去ptは、一般に、最小オーダーではなく、しばしば、最小オーダーより高い。スケジュール
【数１０９】
2020017293.tif 000111
が異なり、そして、対応する状態
【数１１０】
2020017293.tif 000112
が異なる場合、進展はスケジュールρtに依存することに留意されたい。スケジュールρtは任意に選択され、又は、スケジュールの様々な変化が、想到する過去における変化とともに考慮されることに留意されたい。
【００９５】
さらにここに記載されるように、データによるスケジューリング関数ρtの関連付けは、線形時間不変システム（ＬＴＩ）のために、ＬＴＩ法の計算上の及び数値的な長所の全てを含むＬＰＶシステムに、ＣＶＡ部分空間法の直接の適用を許可する。特に、ＡＲＸ−ＬＰＶ方程式は、増大されたデータのＬＴＩとなり、ＡＲＸ−ＬＰＶモデルの係数推定値の計算は、増大されたデータを用いるＡＲＸ−ＬＴＩモデルのための計算とほとんど同じである。
【００９６】
後の実施形態だけでなく本実施形態において、ＬＴＩシステムに提供可能な前述したＣＶＡ部分空間同定法は、ＬＰＶシステムに対して拡張される。以前のＬＰＶシステム同定方法が、正確さ及び／又は収束問題を有する非線形反復最適化を必要とする、又は、インプット、アウトプット、状態とＡＲＸ−ＬＰＶオーダーlの数で指数関数的に増加する部分空間計算法を必要とするため、当該発展はかなりの重要性を有する。ＬＰＶシステムのためのＣＶＡ部分空間同定方法は、指数関数的にというよりむしろ、そのような変数の数の３乗としてのみ増加することが、示される。
【００９７】
ＬＰＶシステムへの当該方法の適用は、以下のステップを含む。
・最適なオーダーを決定するための、十分に高いオーダーのＡＲＸ−ＬＰＶモデルのフィッティング、及び、それぞれのオーダーのためのＡＩＣの計算。
・相関した未来を決定するための、最適なＡＲＸ−ＬＰＶモデルオーダーを用いた、未来のアウトプットに対する未来のインプットの影響の除去。
・最適な候補状態推定値を決定するための、過去と修正された未来との間でのＣＶＡの実施、及び、これらの推定値の予測可能性、すなわち、未来との相関によるこれらの推定値のソート。
・最適な状態オーダーを選択するための、それぞれの状態オーダーのためのＡＩＣの計算。
・最適な状態オーダー、及び、可能性のあるｉｎｔｅｒｅｓｔの他の状態オーダーのためのＳＳ−ＬＰＶモデルの計算。
【００９８】
さらなる実施形態において、未来のインプットは未来のアウトプットから除去される。ここで、所定の時間tに対して、以下の定義が役に立つ；過去の増加したインプット及びアウトプット
【数１１１】
2020017293.tif 000113
、又は、簡単のため単に過去、未来のアウトプットft(y) = [yt+l; yt+l−1; …; yt]、及び未来のインプットqt = [ut+l; ut+l−1; …; ut]。未来のインプット又は未来のアウトプットの項は現在時刻tを含み、及び、過去の長さlは、ＡＩＣが名目上最小である方程式４３のＡＲＸ−ＬＰＶモデルのオーダーlであり、修正された未来と呼ばれ、ft(y)|qtで示される、結果となる未来のアウトプットは、厳密に、効果的にゼロにセットされた未来のインプットqtを有するシステムの時間における過去ptの関数である、「現在状態の自由なレスポンスの結果であることが以下に示される。そのため、以下のように、システムの状態は過去と修正された未来との間でＣＶＡを行うことにより計算される。
【００９９】
先のセクションで発展された最適なＡＲＸ−ＬＰＶモデルを用いることにより、修正された未来はインタラクティブに計算される。いくつかの簡易化が計算をシンプルにする。以下に議論するように、ＡＲＸ係数α及びβ及びパラメータ変動関数ρtを有する方程式４３からＡＲＸ−ＬＰＶシステムを固定化され、及び、インプットシーケンス
【数１１２】
2020017293.tif 000114
からアウトプットシーケンス
【数１１３】
2020017293.tif 000115
を産出するように見ることは有用である。ここで、表記は、t=1からt=Nへの全シーケンス
【数１１４】
2020017293.tif 000116
の短縮形、又は、正の整数の他のいくつかの隣接するサブセットである。慣例から、正でない整数のシーケンスの値は、０スカラー、又は、適切に次元化されたゼロベクトルであると仮定される。２つのシーケンスの合計は、対応する時間インデックスを有する要素の合計となるように、定義される。
【０１００】
まず、方程式４３のＡＲＸ−ＬＰＶのため、
【数１１５】
2020017293.tif 000117
及び
【数１１６】
2020017293.tif 000118
は２つのインプットシークエンスであり、対応するアウトプットシーケンスが
【数１１７】
2020017293.tif 000119
及び
【数１１８】
2020017293.tif 000120
である場合、２つのインプットシークエンスの合計シークエンス
【数１１９】
2020017293.tif 000121
のアウトプットytは、対応するアウトプットシーケンスの合計であり、
【数１２０】
2020017293.tif 000122
である。これは、固定されたＡＲＸ係数α及びβ及びパラメータ変動関数ρt、及び、インプット
【数１２１】
2020017293.tif 000123
を有する方程式２４のアウトプットとして
【数１２２】
2020017293.tif 000124
を示す
【数１２３】
2020017293.tif 000125
を有する下記の定理（以下の定理１）で述べられている。効果的に実施されることは、過去ptに固定されたρtを有するＡＲＸプロセスの非強制のレスポンスを決定することであることに留意されたい。これは、ＬＴＩケースに関して、以前に、修正された未来を計算するためのデバイスである。インプットut、アウトプットytもＰＶ関数ρtも実は変わらない。
【０１０１】
定理１（シークエンスの加法性）：全てのtに対してノイズvt = 0を有する方程式４３のＡＲＸ−ＬＰＶインプット−アウトプット関係は、有限に値が与えられた係数αi及びβiを有し、及び、パラメータ変動関数
【数１２４】
2020017293.tif 000126
は有限に値が与えられ、固定されているとする。
【数１２５】
2020017293.tif 000127
及び
【数１２６】
2020017293.tif 000128
は任意の有限に値が与えられたインプットシークエンスであり、合計は
【数１２７】
2020017293.tif 000129
と示されるとする。そして、アウトプットに対するこれらのインプットシークエンスの影響は、以下の方程式４４で示すように、加法的である。
【数１２８】
2020017293.tif 000130
方程式４４
【０１０２】
当該理論的根拠に続いて、全てのtに対してノイズvt = 0を有する方程式４３のインプット−アウトプット関係は、有限に値が与えられた係数αi及びβi、及び、有限に値が与えられたパラメータ変動関数
【数１２９】
2020017293.tif 000131
を有する。それから、
【数１３０】
2020017293.tif 000132
及び
【数１３１】
2020017293.tif 000133
は、任意の有限に値が与えられたインプットシークエンスであり、合計は
【数１３２】
2020017293.tif 000134
と示されるとする。そして、アウトプットに対するこれらのインプットシークエンスの影響は、以下の方程式４５で示すように、加法的である。
【数１３３】
2020017293.tif 000135
方程式４５
【０１０３】
したがって、方程式４５に示すようなインプットにおいて、過去のインプット及びアウトプットから、方程式４３を用いて現在のアウトプット
【数１３４】
2020017293.tif 000136
を予測することは加法的であることを示すことは十分である。そして、この加法性は、いかなる未来のアウトプットのために対しても加法性を示すために、再帰的に用いられる。
【０１０４】
クロネッカー積が
【数１３５】
2020017293.tif 000137
を満たすため、これは簡易にフォローする。そのため、以下の方程式４６、４７、４８、４９、５０及び、５１が成り立つ。
【数１３６】
2020017293.tif 000138
方程式４６
【数１３７】
2020017293.tif 000139
方程式４７
【数１３８】
2020017293.tif 000140
方程式４８
【数１３９】
2020017293.tif 000141
方程式４９
【数１４０】
2020017293.tif 000142
方程式５０
【数１４１】
2020017293.tif 000143
方程式５１
【０１０５】
yt及びutのシーケンスは、正でない整数に対して０となるように定義されるため、t = 1に対して加法性は保持する。帰納法によって証明するため、我々は、それが所定のt−1のために保つ場合、それはtのために保つことを示せばよい。上記の方程式において、yの加法性の使用の全ては、インデックスt−1と、
【数１４２】
2020017293.tif 000144
の最終的な等式を正当化するものより少ないもの含有を生じさせる。証明終わり。
【０１０６】
上記のアウトプットシーケンスに対するインプットシーケンスの加法性の影響は、下の定理２において述べるように、未来のインプット
【数１４３】
2020017293.tif 000145
から修正された未来ft(y)|(qt = 0)のインプットを得るために、シンプルな加法性修正という結果になる。
【０１０７】
定理２（修正された未来）：オーダーlのＡＲＸ−ＬＰＶプロセスは、全てのtに対してノイズvt = 0を有する方程式４３によって与えられ、有限に値が与えられた係数αi及びβi、及び、有限に値が与えられたパラメータ変動関数
【数１４４】
2020017293.tif 000146
を有するとする。
【数１４５】
2020017293.tif 000147
は、時間tより前のインプットを有する未来のインプット
【数１４６】
2020017293.tif 000148
の結果として、未来のＡＲＸのアウトプットを示すとする。j = 0, 1, …, lに対して、修正は、以下の方程式のように、帰納的に計算される。
【数１４７】
2020017293.tif 000149
そして、修正された未来のアウトプット
【数１４８】
2020017293.tif 000150
は、以下の方程式５２によって与えられる。
【数１４９】
2020017293.tif 000151
方程式５２
【０１０８】
この定理の証明として、また、簡便のため、MからNまでの時間tのゼロベクトルシークエンスは、
【数１５０】
2020017293.tif 000152
として示される。ここで、それぞれの時間tに対して、t−1だけ続行した未来のインプットqtとして、インプットシーケンス
【数１５１】
2020017293.tif 000153
を
【数１５２】
2020017293.tif 000154
を有する０と考える。それから、実際のインプットシーケンス
【数１５３】
2020017293.tif 000155
から
【数１５４】
2020017293.tif 000156
を減算することにより、結果として得られるインプットシーケンスは、以下の方程式５３によって表される。
【数１５５】
2020017293.tif 000157
方程式５３
ここで、インプットシーケンスの未来ftは、正確にゼロシーケンスである。ここで、方程式５４で示される構築によって、
【数１５６】
2020017293.tif 000158
方程式５４
所望する修正された未来のレスポンスは、以下の方程式５５で表されるインプットシーケンスの差に由来するアウトプットシーケンス
【数１５７】
2020017293.tif 000159
から得られる。
【数１５８】
2020017293.tif 000160
方程式５５
【０１０９】
したがって、修正された未来のアウトプットシーケンスは、以下の方程式５９の未来として与えられる修正された未来を備え、以下の方程式５６、５７、５８で表される。
【数１５９】
2020017293.tif 000161
方程式５６
【数１６０】
2020017293.tif 000162
方程式５７
【数１６１】
2020017293.tif 000163
方程式５８
【数１６２】
2020017293.tif 000164
方程式５９
【０１１０】
方程式５９を用いて修正された未来を計算するために、未来のインプットに起因する、ＡＲＸのアウトプット
【数１６３】
2020017293.tif 000165
のみ、計算が必要である。時間tの前ではインプットはゼロであるため、j = 0, 1, …, lに対して、それは、以下の方程式のように、帰納的に容易に計算される。
【数１６４】
2020017293.tif 000166
証明終わり。
【０１１１】
ＬＴＩシステムのＣＶＡの議論のように、修正された未来のアウトプットは、詳細に、未来のインプットqtを有さない、過去ptに対して固定されたρtを有するＡＲＸモデルの非強制の未来のレスポンスである。
【０１１２】
修正された未来を得るために、未来のアウトプットに対する未来のインプットの影響を除去したことによって、修正された未来は、増加された過去の自由なレスポンスである。下記の定理は、ＬＰＶのケースの構造を示すために用いられる。
【０１１３】
定理３（過去の修正された未来のＬＴＩ構造）：ノイズ（vt = 0）なし、オーダーlラグのＡＲＸ−ＬＰＶプロセス方程式４３を考える。そして、l + 1 < t < N − lのような全てのtのため、修正された未来のアウトプット
【数１６５】
2020017293.tif 000167
は、定理２において定義されたように、修正された増加した未来
【数１６６】
2020017293.tif 000168
及び増加した過去
【数１６７】
2020017293.tif 000169
のＬＴＩ関数であり、以下の行列形式で帰納的に表現される。
【数１６８】
2020017293.tif 000170
方程式６０
当該行列方程式は、それぞれのt + j、0 ≦ j ≦ lに対して、修正された未来のアウトプット
【数１６９】
2020017293.tif 000171
の計算における帰納法を記述する。そして、この結果は、修正された増加した未来
【数１７０】
2020017293.tif 000172
の要素
【数１７１】
2020017293.tif 000173
を計算するために、実時間で知られるパラメータ変動関数ρt + jとともに用いられる。そして、t + j + 1のための次の帰納法が計算される。上記の方程式のよりコンパクトな形式は、以下の方程式６１で表される。
【数１７２】
2020017293.tif 000174
方程式６１
【０１１４】
この証明として、以下のステップにおいて、所望する結果が得られる。
【０１１５】
第１に、方程式４３において、tをt + jによって置換し、そして、tを、方程式４３の帰納的計算のためj = 0, 1, …, lの変数として考えられるjを伴う、過去と未来を分ける現在として固定されたと考える。
【０１１６】
第２に、それぞれのjのため、方程式４３の項の計算は、以下の方程式に示すように、（i = 0又は1からjまでの合計を有する）現在−未来の項と（i = j + 1からlまでの合計を有する）過去の項とに分割される。
【数１７３】
2020017293.tif 000175
【０１１７】
第３に、上記の方程式の両側から方程式４５を減算すること、及び、方程式４４を用いることにより、以下の方程式６２、６３で表される結果が得られる。
【数１７４】
2020017293.tif 000176
方程式６２
【数１７５】
2020017293.tif 000177
方程式６３
ここで、項は、t,（i = 1, …, j）より前の時間インデックス、及び、t；（i = j + 1, …, l）以降の時間インデックスを含む項の合計に分割される。これは、行列形式でも示される。
【０１１８】
上述したＬＴＩのケースのように、未来のインプットは、システム同定にエラーを導入し、減算によって方程式の両側から除去される必要がある。これは、過去のインプット及びアウトプットに起因する状態の非強制のレスポンスを残す。方程式２２のコンパクトな形式は、以下の方程式６４のように書き換えられる。
【数１７６】
2020017293.tif 000178
方程式６４
これは、スケジューリングベクトルρtの第１要素は、一定の１であるため、未来の修正されたアウトプットのベクトル
【数１７７】
2020017293.tif 000179
を作る未来の修正された項
【数１７８】
2020017293.tif 000180
、i = 1, …, lのそれぞれは、修正された増加した未来のベクトル
【数１７９】
2020017293.tif 000181
のサブベクトルとして含まれる。
【数１８０】
2020017293.tif 000182
となるように、
【数１８１】
2020017293.tif 000183
とする。
【数１８２】
2020017293.tif 000184
を、
【数１８３】
2020017293.tif 000185
から成る対角ブロックを有する、n × nブロックの対角行列とする。そして、この方程式が方程式６４を含むため、
【数１８４】
2020017293.tif 000186
である。
【０１１９】
方程式２２から、計数行列
【数１８５】
2020017293.tif 000187
及び[αp  βp]はＬＴＩであるため、過去ptと修正された増加した未来
【数１８６】
2020017293.tif 000188
との関係は、全てのtに対して時間不変である。したがって、ＣＶＡは、プロセスの状態を得るためこれらのベクトルがＬＴＩプロセスである場合、これらのベクトル間で行われることが可能である。方程式２２から、過去からの情報は、過去のＬＴＩ関数プラス増加された修正された未来のＬＴＩ関数を通してのみ提供されることに留意されたい。そして、この情報は、スケジュールρtに明確に依存する。後述するＬＰＶ状態方程式３９における定数行列［A B ; C D］の推定、及び、状態オーダー選択における使用のためにＡＲＸ−ＬＰＶプロセスの状態を得るために、この構造はＬＴＩ  ＣＶＡの使用を正当化する。
【０１２０】
さらなる例示的な実施形態において、最尤低減ランク状態推定値が用いられる。インプットのそれを含む様々なケースのための多ステップの尤度関数のｌｏｇの使用、及び、ＬＴＩシステムのフィードバックは、利用される。例えば、インプット又はホワイトノイズインプット無しで、漸近的にＬＴＩシステムのケースの最尤推定値を得るために、ＣＶＡアルゴリズムの漸近収束を証明するために、それは用いられる。下記の定理は、それをＬＰＶシステムのケースまで拡張する。
【０１２１】
定理４（低減されたランクのＭＬ状態の推定）：オーダーlラグのＡＲＸ−ＬＰＶプロセスのため、初期過去plに条件づけられた観察されたアウトプット
【数１８７】
2020017293.tif 000189
及び観察されたインプット
【数１８８】
2020017293.tif 000190
の漸近的なガウス尤度関数ｌｏｇは、及び、低減されたランクの回帰パラメータの関数としては、下記の方程式６５の多ステップ前の形式で表される。
【数１８９】
2020017293.tif 000191
方程式６５
ここで、
【数１９０】
2020017293.tif 000192
は、次元ζの修正された未来のアウトプットのベクトルであり、ptは、定理３におけるような、増加された過去のアウトプット及び可能性のあるインプットのベクトルである。ランクrの状態のための最尤解は、増加された過去ptと修正された未来のアウトプット
【数１９１】
2020017293.tif 000193
との間におけるｃａｎｏｎｉｃａｌ  ｖａｒｉａｔｅ  ａｎａｌｙｓｉｓによって、及び、Jの第１r行によって与えられる第１rの正準変数
【数１９２】
2020017293.tif 000194
によって特定される状態を選択することによって、得られる。
【０１２２】
尤度におけるパラメータ化は、ＬＰＶ状態空間モデルのタイムシフト不変特性を取り入れない、過去と未来との間におけるＣＶＡ回帰パラメータ化である。これは、下記の例示的な実施形態において、さらに洗練され、モデルフィッティングの正確性及び最適な状態オーダーの選択を評価するために用いられる。ＡＲＸからＣＶＡへの、及び、最終的なＳＳ形式への、ＬＴＩのケースのために、ＭＬモデルのプロジェクションは実現化され、ＬＴＩのケースは、現在のＬＰＶのケースに容易に生成される。
【０１２３】
さらなる実施形態においては、状態空間選択及びモデル推定がなされる。過去及び修正された未来のＣＶＡによって決定される正準変数は、候補状態変数を提供する。ランクrの候補状態ベクトル
【数１９３】
2020017293.tif 000195
のため、ＬＰＶ状態方程式は、状態におけるオーダー回帰計算で記述される。なぜなら、状態変数を含むクロネッカー積の要素
【数１９４】
2020017293.tif 000196
は、方程式３９において、A及びCのカラムの
【数１９５】
2020017293.tif 000197
及び
【数１９６】
2020017293.tif 000198
への相当するリオーダーとともに、
【数１９７】
2020017293.tif 000199
としてリオーダーされる。
【０１２４】
状態のためのより良い選択は、状態オーダーのそれぞれの選択のためのＡＩＣの計算によって決定される。プロセスにおけるノイズの場合、適切な状態オーダーが明らかでないように、様々な行列は完全なランクである。ＬＰＶプロセスにおけるガウスノイズの場合のため、ＡＩＣは状態オーダーの最適な選択を提供する。
【０１２５】
次の実施形態において、アフィン非線形システムへのＬＰＶの拡張は、実行される。アフィン非線形システムのクラスは、通常単項式を意味する、基底関数の一次結合として表されるシステムである。このセクションでは、連続したインプット−アウトプットマップ、又は、連続関数を含んでいる状態方程式を有する、一般的な非線形システムの近似が議論される。
第１に、分析関数を含む状態方程式の非線形セットが多項関数によって近似され、ＬＰＶ形式の双線形式で表現される。これは、ＬＰＶシステム同定法の使用を許可する。それから、そのようなアフィン非線形近似法の一般的な特性が、議論される。
【０１２６】
しかしながら、双線形ＬＰＶ形式のスケジューリング関数は、状態の関数であるため、上述のＣＶＡ  ＬＰＶ同定法は適用できない。スケジューリング関数ρtがut、yt及び／又はxtの関数であり、すなわち、ρtは外来ではない準ＬＰＶである、非線形状態アフィンシステムを含むために、理論が拡張される。多項式の次数を含んでおり、状態オーダーによってオーダーされる一組のモデルへの所定の次数の範囲内の階層構造に、これは到達する。
【０１２７】
アフィン多項式のシステムについての考慮すべき文献がある(Ａ．Ｓｃｈｒｅｍｐｆ、Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ  ｏｆ  Ｅｘｔｅｎｄｅｄ  Ｓｔａｔｅ−Ａｆｆｉｎｅ  Ｓｙｓｔｅｍｓ．  Ｐｈ．Ｄ  Ｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎ、  Ｊｏｈａｎｎｅｓ  Ｋｅｐｌｅｒ  Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ、  Ｌｉｎz、  Ａｕｓｔｒｉａ、  ２００４  参照、 参照することにより、その内容の全てがここに組み込まれる。)。ここでは、モデル近似とシステム同定に関連する大きな問題と結果のいくつかが議論される。
【０１２８】
アフィン非線形システムは、かなり重要な万能なアプロキシメータの特性を有する。いかなるＬＴＩシステムでも、十分に高い状態オーダーシステムをアプロキシメータとして選ぶことにより、いかなるそのようなシステムに近似することができる。連続したインプット−アウトプットマップを有する非線形離散的時間システムを離散的時間状態アフィン（多項式）システムによって近似するための、同様の特性が利用可能である。特に、以下の当然の結果は、Ａ．Ｓｃｈｒｅｍｐｆによって述べられている：
【０１２９】
当然の結果２．１：Uは、l∞ (Z)のボールであるUについてのフェードメモリを有する連続したインプット−アウトプットマップ
【数１９８】
2020017293.tif 000200
によって表される全ての非線形システム
【数１９９】
2020017293.tif 000201
は、アウトプット−アフィン差分方程式Saによって一方的に良く近似される。
【０１３０】
そのようなシステムを有限期間に制限することによって、多項式差分方程式係数を決定するために通常の最小二乗法の計算を用いて、決定される厳密に帰納的差分方程式を用いることにより、それらは現実化される。（Ａ．Ｓｃｈｒｅｍｐｆ  定理２．４）。
【０１３１】
彼のストラテジーにおける最終的なステップは、ＣＶＡ方法が本紙で利用される多項式システムのアフィン状態空間の現実化を得ることである。ＣＶＡ手順は、単純な線形帰納計算を解くことによってＮＡＲＸ−ＬＰＶインプット−アウトプットの記述を得ることから始める。そして、アフィンＮＬＰＶ−状態空間モデルの記述を得るために、ＣＶＡ−ＬＰＶ法を用いる。特に、準ＬＰＶシステムに関する以下のセクションで発展されるように、状態アフィン形式は、正確に、いかなる外来のスケジューリング関数とともにパラメータ変動スケジュール関数としてのインプット及び／又は可能性のあるアウトプットにおける高次の多項式を有する双線形式である。
【０１３２】
一般に非線形で、時間変動で、パラメータ変動な動的システムである連続したインプット−アウトプットマップを有するアフィン状態空間モデルは、以下の方程式６６、６７で表される形式の非線形状態方程式のシステムによって説明される。
【数２００】
2020017293.tif 000202
方程式６６
【数２０１】
2020017293.tif 000203
方程式６７
ここで、xtは状態ベクトルであり、utはインプットベクトルであり、ytはアウトプットベクトルであり、vtはホワイトノイズ測定ベクトルである。‘パラメータ変動’システムを取り扱うため、‘スケジューリング’変数ρtは、システムの現在の動作ポイントを記述する時間変動パラメータである。
【０１３３】
単純で、直感的なアピールについては、ρt及びvtがないテイラー展開を認める関数のケースは以下の方程式６８、６９に至る（スカラーであるutのベクトルutであるまで拡張（Ｗ．  Ｒｕｇｈ，非線形システム理論：  ボルテラ／ウィーナーアプローチ、Ｂａｌｔｉｍｏｒｅ：  Ｔｈｅ  Ｊｏｈｎｓ  Ｈｏｐｋｉｎｓ  Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ  Ｐｒｅｓｓ，  １９８１，参照することにより、その内容の全てがここに組み込まれる。）。
【数２０２】
2020017293.tif 000204
方程式６８
【数２０３】
2020017293.tif 000205
方程式６９
ここで、表記
【数２０４】
2020017293.tif 000206
は、帰納的に
【数２０５】
2020017293.tif 000207
として定義され、
【数２０６】
2020017293.tif 000208
についても同様であり、
【数２０７】
2020017293.tif 000209
及び
【数２０８】
2020017293.tif 000210
は、utの次元の１のベクトルとして定義される。
【０１３４】
この方程式は、カーレマン双線形化を介して、状態変数
【数２０９】
2020017293.tif 000211
における双線形ベクトル離散時間方程式、及び、インプットパワー及び関変数
【数２１０】
2020017293.tif 000212
に変換され、最後の方程式は、次数J−1を強調するために用いられ、状態アフィン形式を与える。
【数２１１】
2020017293.tif 000213
方程式７０
【数２１２】
2020017293.tif 000214
方程式７１
これらの双線形方程式は、
【数２１３】
2020017293.tif 000215
を有する状態アフィンＬＰＶ形式で以下のように表現され、D＝0を有し一般により高い次元
【数２１４】
2020017293.tif 000216
を有さない方程式３９の厳密なＬＰＶ形式に一致する、ノイズの無い準ＬＰＶケースのために正確な解を与える。
【数２１５】
2020017293.tif 000217
方程式７２
【数２１６】
2020017293.tif 000218
方程式７３
Ａ．Ｓｃｈｒｅｍｐｆに記載された拡張された状態アフィンシステムは、以下の形式で表される。
【数２１７】
2020017293.tif 000219
方程式７４
【数２１８】
2020017293.tif 000220
方程式７５
ここで、f(ut, yt)及びg(ut)は多項式関数であり、スケジューリング関数をこれらの多項式の、
【数２１９】
2020017293.tif 000221
で表される単項式項にセットし、当該システムは方程式７４及び７５に示す形式まで低減される。
【０１３５】
双線形状態アフィン形式が方程式３９のＳＳ−ＬＰＶ形式のそれの形式に含まれることは留意できる。公知のように、方程式３９の形式の全てのＳＳ−ＬＰＶモデルで、ＡＲＸ−ＬＰＶモデルが、同一のインプット−アウトプット特性を有するシフトされた形式方程式４３に存在し、逆も同じである。したがって、方程式７４−７５の形式で状態アフィンＬＰＶモデルを構築するために、ＡＲＸ−ＬＰＶ形式方程式３９は、まず最小二乗を用いて、いくつかの特定の次数まで、パワー並びにut及びytの積に関する単項式項を含むスケジューリング関数ρtでフィッティングされ、双線形方程式７４−７５はこれらの項を含む可能性があり、非線形ＡＲＸ−ＬＰＶ、すなわち、ＮＡＲＸ−ＬＰＶとして記述される。
【０１３６】
このように、準ＬＰＶケースでは、おそらく様々な単項式項を動的変数に含む方程式３９のフィッティングが考慮され、モデルフィッティングは赤池情報量基準を用いて比較される。これは、ＮＡＲＸ−ＬＰＶモデル方程式３９の構造及びオーダーを決定するため、スケジューリング関数の中に含むため、ut及びytにおいて、より良くフィッティングされるモデル構造及び相当する単項式を決定できる。そして、状態アフィンモデル方程式６８−６９を決定するため、同定されたＮＡＲＸ−ＬＰＶモデルを用いて、ＣＶＡ−ＮＬＰＶ法が、適用される。
【０１３７】
そして、さらなる実施形態において、非線形状態方程式のより一般化された形式が考慮される。このケースでは、スケジューリングパラメータは、インプット積項
【数２２０】
2020017293.tif 000222
とは異なるとして、
【数２２１】
2020017293.tif 000223
によって示される。これらのスケジューリングパラメータ
【数２２２】
2020017293.tif 000224
は、スケジュール関数としての資格を与える、動作点、又は、他の公知の、又は、正確に測定された変数の非線形関数である。そして、インプットの多項式
【数２２３】
2020017293.tif 000225
とスケジューリング関数
【数２２４】
2020017293.tif 000226
との双方を含む合成スケジューリング関数
【数２２５】
2020017293.tif 000227
が定義される。そして、双線形方程式は、このケースを再度含む。
【０１３８】
非線形性の多くがＰＶｓに吸着されるため、アフィン双線形方程式の単純さは、かなりの数の項と複雑さと一致しない。しかし、これはボルテラ・シリーズのインパルスレスポンス項の指数的に増大する数、又は、他のＬＰＶ部分空間方法のQR分割の列の指数的に増大する数の拡大よりはるかにシンプルである。ＬＰＶ方程式の状態
【数２２６】
2020017293.tif 000228
の次元は、r + r2 + ・・・ + rJ = −1 + (rJ+1 − 1) / (r − 1)であり、ここで、rは方程式６６の非線形状態xtの次元であり、簡易には、1 + r + r2 + ・・・ + rJ−1 = (rJ − 1) / (r − 1)の次元
【数２２７】
2020017293.tif 000229
であり、ここで、rは、utの次元である。そのため、
【数２２８】
2020017293.tif 000230
及び
【数２２９】
2020017293.tif 000231
の次元は、次数Jの拡張において、指数的に増大する。
【０１３９】
このように、所望する正確性を達成するのに十分に高いだけの次数を選ぶことが望ましい。ノイズ又は障害がプロセス又はデータにある場合、近似の次数を増やすことが正確性を増加させない点を決定することができる。Jにおいて、帰納的に、ＡＲＸ−ＬＰＶモデルフィッティングオーダーを計算することによって、この状況が検出され、次数を増やすことによる統計的有意性のどんな不足でも低いオーダー線形計算で決定される。同様に、ＰＶ関数の重要性は、様々なＰＶ関数の追加/削除で決定される。ＡＲＸ−ＬＰＶフィッティングでこれらの‘合成スケジューリング関数’の構造選択を使い果たした後に、ＣＶＡ部分空間モデル同定は、自動のオーダー低減を行う。ＬＰＶ状態ベクトル
【数２３０】
2020017293.tif 000232
の様々な状態の必要性はｃａｎｏｎｉｃａｌ  ｖａｒｉａｔｅ  ａｎａｌｙｓｉｓにおいて評価され、統計的有意性のそれらは、最小状態オーダー実現化を得るために捨てられない。
【０１４０】
最初に準ＬＰＶのケースのために結果が述べられ、それから、厳密なＬＰＶのケースのために用いられる方法以外の方法を用いて、証明される。
【０１４１】
このために、及び、後のセクションのために、「オペレーター」と「将来のオペレーター」の項が定義される。いかなる固定された時間t*のためにでも、時間t（例えば、vt）までインデックスを付けられた変数を与え、長さlの未来のオペレーターは、
【数２３１】
2020017293.tif 000233
と定義される。同様に、長さlの過去のオペレーターは、
【数２３２】
2020017293.tif 000234
と定義される。未来のオペレーターが現在の
【数２３３】
2020017293.tif 000235
を実際に含み、未来は、簡便のため、現在−未来の代わりに用いられている点に留意されたい。過去及び未来オペレーターの長さは、特に明記しない限り、ＡＲＸ−ＬＰＶモデルのそれであると解釈されてよく、t*は通常tと示される。
【０１４２】
定義１（修正された未来）：オーダーlのＡＲＸ−ＬＰＶプロセスは、ノイズ（vt = 0）の方程式４３によって与えられ、有限に値が与えられた係数αi及びβiは有限に値が与えられ、スケジューリング関数
【数２３４】
2020017293.tif 000236
は、有限に値が与えられ、インプットut、アウトプットyt、及び状態xtの可能性のある関数（準ＬＰＶのケース）であるとする。全てのtに対して、
【数２３５】
2020017293.tif 000237
は、０である時間tより前のインプットの影響とともに、未来のインプットに起因する未来のアウトプットを示し、j = 0, 1, …, lに対して、以下の方程式のように、帰納的に計算される。
【数２３６】
2020017293.tif 000238
方程式７６
修正された未来のアウトプットをと示し、
【数２３７】
2020017293.tif 000239
として計算する。
【数２３８】
2020017293.tif 000240
方程式７７
【０１４３】
上記の定義における項は、下記の定理で正当化される。
【０１４４】
定理５（過去のＬＴＩ構造＆修正された未来、準ＬＰＶケース）：準ＬＰＶプロセスのため、ノイズ（vt = 0）なし、オーダーlラグの方程式４３で記述されたＡＲＸ−ＬＰＶプロセスを考える。そして、l + 1 < t < N − lのような全てのtのため、修正された未来のアウトプット
【数２３９】
2020017293.tif 000241
は、定義１のように、修正された増加された未来のＬＴＩ関数
【数２４０】
2020017293.tif 000242
であり、増加された過去は、
【数２４１】
2020017293.tif 000243
であり、以下のような行列形式で帰納的に表現される。
【数２４２】
2020017293.tif 000244
方程式７８
【０１４５】
当該行列方程式は、それぞれのt + j、0 ≦ j ≦ lに対して、修正された未来のアウトプット
【数２４３】
2020017293.tif 000245
の計算における帰納法を記述する。そして、この結果は、修正された増加した未来
【数２４４】
2020017293.tif 000246
の要素
【数２４５】
2020017293.tif 000247
を計算するために、実時間で知られるパラメータ変動関数ρt + jとともに用いられる。そして、t + j + 1のための次の帰納法が計算される。上記の方程式のよりコンパクトな形式は、以下の方程式で表される。
【数２４６】
2020017293.tif 000248
【０１４６】
この定理の証明として、第１に、方程式４３において、tをt + jによって置換し、そして、j = 0, 1, …, lであるjが現在時間tに先行するステップの数として考慮される未来のアウトプットyt+jの帰納的計算のため、tを、過去と現在−未来を分ける現在時間tとして考慮する。
【０１４７】
第２に、それぞれのjのため、方程式４３の項の計算は、以下の方程式で示される方程式７９及び方程式８０のそれぞれの行である、（i = 0又は1からjまでの合計を有する）現在−未来の項と（i = j + 1からlまでの合計を有する）過去の項とに分割される。
【数２４７】
2020017293.tif 000249
方程式７９
【数２４８】
2020017293.tif 000250
方程式８０
【０１４８】
ここで、yt+jの予測において固定されたjステップ先を考慮する。方程式７９の第２項が、現在−未来のインプットのみからの寄与を有すること、及び、方程式８０の全ては過去のインプット及びアウトプットのみからの寄与を有することは、これらの方程式から明らかである。i = 1からjまでに対して定義される未来のアウトプットyt+j−iが、方程式７９と方程式８０によって先に帰納的に定義されるため、方程式７９の第１項は、過去と現在−未来との双方からの寄与を有する。そのため、yt+j−iの計算におけるそれぞれの帰納に対して、過去及び現在−未来の寄与は、方程式７９の第１項で、別々に分割される。したがって、以下の補題を証明することは、有益である。
【０１４９】
補題１（アウトプットに対する過去及び現在−未来の影響）：時間tが過去と現在−未来とを分割し、yt+jが0 ≦ j ≦ lを満たす現在−未来のアウトプットとする。そして、yt+jに対する現在−未来のインプットの寄与は、方程式７６のように、
【数２４９】
2020017293.tif 000251
によって与えられ、yt+jに対する過去のインプットの寄与は、方程式７７のように、
【数２５０】
2020017293.tif 000252
によって与えられる。
【０１５０】
補題１の証明として、（ｉ）第１に、補題１が、j = 0に対して真であることが証明される。そして、（ｉｉ）第２に、補題１が、0 ≦ j < j*を満たす全てのjに対して真であるなら、補題１はj = j*に対しても真であることが、0 < j* ≦ lを満たすj*の選択の何れに対しても示される。そのため、（ｉ）及び（ｉｉ）がともに真である場合、帰納法によって、補題１も真である。
【０１５１】
特定の観察されたアウトプットyt+j−iで
【数２５１】
2020017293.tif 000253
であるため、必然的にこうすることが過去からの修正された寄与を決定するため、現在／未来からの寄与の経過を追うことだけが必要である。（ｉ）方程式７６及び方程式７９の双方により与えられる現在／未来からの寄与は、それそれの第１項はゼロであり、第２項は同一であるため、一致する、を示すこと。（ｉｉ）0 ≦ j < j*に対して
【数２５２】
2020017293.tif 000254
及び
【数２５３】
2020017293.tif 000255
の分割は正しいと仮定し、これは、j = j*に対しても新であることを示すことが要求される、を示すこと。方程式７９の第１項において、置換
【数２５４】
2020017293.tif 000256
が成される場合、２つの項の合計であるこの手順は、それぞれ、現在／未来及び過去に関連する。そして、現在／未来と関連する
【数２５５】
2020017293.tif 000257
及び第１行の第２項は、以下の方程式を与える。
【数２５６】
2020017293.tif 000258
方程式８１
【０１５２】
同時に、方程式６０の
【数２５７】
2020017293.tif 000259
を計算するため、過去と関連する
【数２５８】
2020017293.tif 000260
及び方程式８０の第２行は、以下の数式を与える。
【数２５９】
2020017293.tif 000261
方程式８２
【数２６０】
2020017293.tif 000262
方程式８３
【０１５３】
【数２６１】
2020017293.tif 000263
の数式は、方程式７６と一致し、補題１を証明し、方程式８２−８３は、正確に、定理５を証明する行列方程式７８の帰納的形式である。
【０１５４】
準ＬＰＶケースの方程式７８は、厳密なＬＰＶケースの方程式６０と同一であるため、方程式６４によって与えられる方程式のコンパクト形式も準ＬＰＶケースに適用する。特に、方程式６４の後の議論もあてはまるので、過去及びイ修正された未来のＬＴＩ  ＣＶＡは非線形状態アフィンシステムの状態を決定する。
【０１５５】
しかし、厳密なＬＰＶシステムが線形（時間/パラメータ変動）インプット−アウトプットシステムであり、準ＬＰＶシステムが決して線形でない双線形インプット−アウトプットシステムであるため、厳密なＬＰＶと準ＬＰＶシステムの挙動はかなり異なる。準ＬＰＶシステムについては、スケジューリング関数が状態関数である場合、かなりの非線形性がスケジューリング関数で「隠される」。
【０１５６】
定理３及び５が、静的依存に対処するため、新しいツールをに提供することに留意されたい。ノイズのないｆｕｌｌ状態オーダーの場合、静的依存があるように、状態アフィンモデルは正確に同じインプット−アウトプットマップを有することを、これらの定理は保証する。しかし、アウトプットノイズの場合、その他の選択が悪い結果となるように、小さなサンプルにおいてカルバック情報量を最小にする最適多重比較である最小限のＡＩＣで、状態オーダーの最適選択が決定される。ノイズが認められる場合、動的依存に対処するために利用できる他のいかなる方法もないように見える。
【０１５７】
そして、さらにまた例示的な実施形態において、アフィン非線形システムが同定される。システムに関連するいくつかの問題及び結果の下で、同定及びシステム同定のための非線形ＣＶＡ法は、記述される。
【０１５８】
アフィン非線形システムは、かなり重要な万能なアプロキシメータの特性を有している。どんなＬＴＩシステムでも、十分に高い状態オーダーシステムをアプロキシメータとして選ぶことにより、そのようなシステムに近づくことができる。状態アフィン(多項式)システムによって、近似連続非線形のシステムにとって同様の特性が利用可能である。
【０１５９】
状態アフィンシステムの万能な近似特性は、システマティックな近似手順を考案する機会を与える。ＣＶＡ非線形部分空間同定の前後関係では、状態アフィン近似だけでなく連続したインプット−アウトプット差分方程式の記述に、万能な近似特性は適用できる。シンプルな線形帰納計算を解くことによって（Ｎ）ＡＲＸ−ＬＰＶインプット−アウトプットの記述を得て、それから、ＬＰＶ−状態空間モデルの記述を得るためにＣＶＡ−ＬＰＶ法を用いることから、ＣＶＡ手順は始める。特に、状態アフィン形式は、正確に、パラメータ変動関数としてのインプットにおける、より高いオーダーの多項式を有する双線系である。
【０１６０】
そして、非線形モデル構造は、フィッティングされて比較される。ＡＲＸ−ＬＰＶモデルをフィッティングする際、増大したデータを、まるでそれが(N)ARXモデルからのインプットut及びアウトプットytであるように、扱うことによって、パラメータαi、βi、l、及び、
【数２６２】
2020017293.tif 000264
の最尤推定値は、与えられる。（Ｎ）ＡＲＸ−ＬＰＶモデルを計算する際に、モデルがＡＲＸオーダー1, 2, …, maxordのために連続して計算されるように、最も高いオーダーmaxordのみの計算の上にさらなる計算を必要としない効率的な方法を用いて、計算はオーダー−帰納的な様式で構築される。これは、それぞれのＡＲＸ−ＬＰＶモデルオーダーのフィッティングのための赤池情報量基準(ＡＩＣ)の計算を含むことができ、それは、最小のＡＩＣを選択することによって最適なＡＲＸ−ＬＰＶオーダーを選択するのに、その後用いられることができる。最適なオーダーが、考慮される最大のオーダーに近い場合、例えば、２倍にすること、及び、ＡＩＣにより、最大のオーダーmaxordは増加され、より高いオーダーの推定、新しい最小のＡＩＣの決定という結果になる。
【０１６１】
当該同じオーダー−帰納法は、ＰＶ関数ρt = [ρt(1); …; ρt(s)]のサブセットからなるどんな入れ子モデルでも比較することを可能にする。これは、例えば、ｌｅａｐｓ法及びｂｏｕｎｄｓ法を用いるサブセット選択、及び、入れ子オーダーのような、入れ子仮説の非常に効率的なフィッティング及び比較を可能にする。例えば、上述の非線形関数の拡張では、テイラー展開の多項式の次数Jは、入れ子シーケンス（数２６３）H0⊂H1⊂…Hjを生成するために
【数２６４】
2020017293.tif 000265
と一致する仮説Hjを指定する。
【０１６２】
ＡＲＸ−ＬＰＶモデルフィッティングにおいて考慮されるρの構造パラメータに依存するそれぞれのモデル構造Hρのために、最適なＡＲＸ−ＬＰＶオーダーlの自動計算が実行され、ＡＩＣが、仮説の多重比較のために評価される。
【０１６３】
ＳＳ−ＬＰＶモデルをフィッティングするために上記のＣＶＡ手順を実施する際に、一連の入れ子状態の推定値が得られ、様々な状態オーダーの比較のためにＡＩＣが計算される。クロネッカー積状態が、
【数２６５】
2020017293.tif 000266
及び
【数２６６】
2020017293.tif 000267
のような、違ってラベル付けられた単項式を含むかなりの冗長性を有することができるため、特に双線形モデルのために、ＣＶＡによるモデル状態オーダー低減が考慮される。
【０１６４】
ＳＳ−ＬＰＶモデルの部分空間同定の計算要求は、増加された過去ptの次元dim(pt)によって支配される。ＬＰＶケースのため、dim(pt)は、過去の同じ長さlのためのＬＴＩケースのために、より大きな因子dim(ρt)である。主な計算は、[dim(pt)]3に比例するＣＶＡであるため、当該計算は、因子[dim(ρt)]3によって増大し、双線形システムのため、[dim(ρt)]は、[dim(ut)](J−1)として指数的に増大する。
【０１６５】
他の例示的な実施形態において、航空機の線形パラメータ変動フラッターモデルの部分空間同定が説明される。以下の説明と図は、事実上例示的であり、ここに記載されるテクノロジーと実施形態を利用する他の様式は想定される。
【０１６６】
部分空間テクニックを用いた線形パラメータ変動(ＬＰＶ)システムのシステム同定のプロセスは、航空機のフラッターシミュレーションに広く用いられているピッチ−プランジモデルへの適用によって、証明される。同定は、ＬＰＶシステムのために最近発表された部分空間同定(ＳＩＤ)アルゴリズムを用いて、行われる。目的は、状態空間の形式で高精度なモデルを同定するためでなく、システムの状態オーダーを決定するために、この方法の能力を証明することである。同定データがシミュレーションから得られて、
ノイズがないケースとノイズが多いケースとの間で比較がなされ、及び、特にモデルオーダー推定に対する、ノイズの影響が議論される。
【０１６７】
他の例示的な実施形態において、線形パラメータ変動(ＬＰＶ)システムは、制御アプリケーションにおいてだけでなく研究において利用された。ＬＰＶシステムの１つの魅力は、動作パラメータ空間の限られた範囲におけるデータに基づく動作パラメータ空間の拡張された範囲に亘って全体的なモデルを決定する可能性である。航空機シミュレーションのために、例えば、これは、従来において実際のデータが利用できなかった動作パラメータ空間の範囲への飛行特性の予測と推定を可能にする。
【０１６８】
固定された動作点のために、ＬＰＶシステムは、線形で時間不変な(ＬＴＩ)システムのようにふるまう。動作点が変わる場合、線形動的パラメータは、動作点の関数によって変わる。視覚化するのが簡単な例は、線形ダイナミクスを有するばね、質量及び緩衝システムである。これが、道路を走行する車両の一部である場合、システムにおけるレスポンスは、車両の速度に大きく依存する。実質的に、道路からの力は、速度に依存しており、速度の関数によって計測される。より一般的に、ＬＴＩシステムの状態及びインプットは、動作点及びＬＴＩシステムへのフィードバックの関数によって増大される。ダイナミクスは、動作点（例えば、実施例の測度）からＬＴＩ非依存のままである。これは、ＬＰＶシステムの基本的な構造である。実際、動作点の関数として表される物理法則によって、フィードバック・スケーリングは定められる。
【０１６９】
この例示的な実施形態及び以下の例示的な実施形態に記載されるように、オーダー及びパラメータが未知である部分空間法が利用され、状態空間記述された記載は、同定プロセスの結果として形成されることができる。
【０１７０】
部分空間識別(ＳＩＤ)、又は、部分空間に基づく状態空間システム同定(４ＳＩＤ)は、非反復でダイナミックシステムのパラメータだけでなくオーダーを推定するブラックボックス同定法のクラスを示す。同定方法のこのクラスにおける古典的なアルゴリズムは、ｃａｎｏｎｉｃａｌ  ｖａｒｉａｔｅ  ａｎａｌｙｓｉｓ(ＣＶＡ)、部分空間に基づく状態空間システム同定(Ｎ４ＳＩＤ)のための数値的なアルゴリズム、多変量アウトプットエラー状態空間同定(ＭＯＥＳＰ)及びプレディクタに基づく部分空間−同定（ＰＢＳＩＤ)であり、これらの基本的なバージョンにおいて、全て、ＬＴＩシステムの離散的時間状態空間の記述となる。
【０１７１】
さらに、非線形システム、双線形システム又はＬＰＶシステムの特別クラスのための上述のＳＩＤ方法のいくつかの拡張が存在する。ＬＴＩ部分空間同定の古典的な背景を用いたこれらのＬＰＶアルゴリズムの主要な欠点は、過去のラグの数に依存する行列のサイズの指数的な増大であり、それは、統合された信頼できるオーダー選択基準の欠如だけでなく、システムオーダーと同じくらい少なくとも高くなければならない。中で提案されるＬＰＶ−ＰＢＳＩＤの帰納的な変数によって、これらの欠点も受け継がれ、データ行列のサイズは、データサンプルの数に少なくとも独立である。
【０１７２】
ＬＰＶ−ＭＯＥＳＰとＬＰＶ−ＰＢＳＩＤのカーネル・バージョンであるアルゴリズムの範囲内で、それぞれデータ行列のサイズを低減することが導入できる。しかし、それらのアルゴリズムのメモリ必要条件は、ＬＰＶシステムのために高いままである。サンプル及びスケジューリングパラメータの数に応じて、すでに、１０以下の過去の地平線は、今日のハイエンドＰＣにとって挑戦的又は実行不可能でありえる。
【０１７３】
メモリ消費の問題に対処する新しい部分空間方法は、ＣＶＡに基づいて提案される。これらの新しいＬＰＶ部分空間法は、計算必要条件を、線形時間不変モデルの部分空間同定法と同程度とするが、「遅延変数」の数は、パラメータ変動関数の数を加算して１を乗算される。十分なシグナル対ノイズ比及びデータ長があるとき、これらの方法は高精度な統計学的に最適なモデルを生成する。ＬＰＶ部分空間同定プロセスを証明するために、この貢献において、新しい方法ピッチ−プランジシミュレーションのデータに適用する。
【０１７４】
この例示的な実施形態は、中古のＣＶＡに基づくＬＰＶ部分空間方法についてショートレビューを提供することができる。それから、ピッチ−プランジモデルは紹介され、測定ノイズを含むデータセットだけでなくノイズのないケースのための同定結果はあとに続くことができる。
【０１７５】
この例示的な実施形態において、他のＬＰＶ部分空間アプローチに類似したＬＰＶ−ＣＶＡについてのアイデアとともに、ＬＴＩ法が適用できる形式で、ＬＰＶ同定問題を書き直すことが求められるかもしれない。ＬＴＩシステムのためのＣＶＡは、統計学的に基づいた部分空間同定アプローチである。関連したＬＴＩ法、及び、ＣＶＡへのこれらの漸近同等性は、任意のインプットとフィードバックのケースのためだけでなく、ノイズのない又はホワイトノイズのケースのために利用されるかもしれない。
【０１７６】
ＣＶＡを用いるＬＰＶシステム同定は、以下のステップを含むことができる:十分に高いオーダーのＡＲＸ−ＬＰＶモデルのフィッティング、及び、最適なオーダーを決定するための、それぞれのオーダーのＡＩＣの計算;修正された未来を決定するための、最適なＡＲＸ−ＬＰＶモデルオーダーを用いた、未来のアウトプットに対する未来のインプットの影響の除去;最適な候補状態推定値を決定するための、過去と修正された未来との間でのＣＶＡの実行、及び、これらの予測能力、すなわち未来との相関関係、による、これら推定値のソート;最適な状態オーダーを選択するための、それぞれの状態オーダーのＡＩＣの計算;及び、最適な状態オーダー及び可能性のあるｉｎｔｅｒｅｓｔの他の状態オーダーためのＳＳ−ＬＰＶモデルの計算。
【０１７７】
ＬＰＶのピッチ及びプランジの空力弾性シミュレーションモデルの実施例は、ＬＰＶモデルの分析及びＬＰＶモデルの制御システムの設計において、広範囲に用いられた。その最も単純な形式では、当該モデルは、４−状態、１−インプット、２−アウトプットのシステムである。
【０１７８】
本実施例においては、翼のフラッターは、概念的に可動後縁フラップを有する航空機の翼である、剛体の２−次元の自由度から成る。システムのインプットは、自由な流れの桐生に関して翼迎え角αを制御するのに用いられる翼に関するフラップ角度βであり、２つのアウトプットの寸法は、翼重心の高度h及び翼ピッチαである。インプットαは、モデルパラメータの同定可能性を保証する持続的な励起を提供するガウスランダムノイズである。
【０１７９】
連続時間微分方程式は、文献に十分に記載されている。ここで、特定の方程式が用いられる。
【数２６７】
2020017293.tif 000268
方程式８４
【０１８０】
また、対応するパラメータは、表１に再度示される。
【表１】
2020017293.tif 000269
【０１８１】
パラメータ変動システムの動作点は、空気密度ρ（高度に関する関数）、単位kg/m3によって、及び、航空機の対気速度U、単位m/sによって、定義される。
【０１８２】
ＬＰＶシステム同定アルゴリズムを確認する目的で、ピッチ−プランジ翼フラッターシミュレーションモデルは、５０Ｈｚのサンプルレートで、いろいろな動作条件における離散的時間データをシミュレーションするのに用いられた。このＬＰＶモデルの長所は、特定の動作条件のために、システムがシンプルな４−状態の振動システムであることである。動作条件が変わるのに従って、頻度と２つのモードの振動数及び減衰が変わり、そのため、どんな動作条件においても、システムを特徴づけることが単純である。
【０１８３】
ピッチ−プランジフラッターモデルのため、２つのパラメータ変動関数は、rp = [ρU ; ρU2]である。シミュレーションにおいて、空気密度は、表1で与えられる値で一定とされ、速さは、正の傾斜kから負の傾斜−kまででランダムに変えられるランピングインプットの値U = Ut = ktであり、その逆も同じである。また、Utの最大値及び最小値は、
【数２６８】
2020017293.tif 000270
の間で拘束される。さらに、ランダムな測定及び／又は状態ノイズも、おそらく上記のフラッターシミュレーションに加算される。航空機のシミュレーションされた速度プロファイルは、例示的な図６に示される。
【０１８４】
本実施例では、ノイズなしのシステム同定精度を決定するために、シミュレーションされたアウトプットの測定又は状態にノイズが加えられないシミュレーションのケースが考慮される。ＬＰＶシステム同定で、それぞれの可能性がある状態空間オーダーordのため、オーダーordのＬＰＶ状態空間モデルが観察されたシミュレーションされたデータに対してフィッティングされ、モデルフィッティングの赤池情報量基準（ＡＩＣ）測定が計算され、ノイズのないケース及び真のオーダー４の、ＡＩＣを用いたピッチ−プランジ状態空間モデルオーダーの選択を示す図７にプロットされた。ノイズなしのケースで、オーダー４における最小値を超えて増加するＡＩＣを示すピッチ−プランジ状態空間モデルオーダーの選択の詳細図である、例示的な図８に、４状態の真の状態オーダーを越えた後部の拡大図が示される。例示的な図８は、統計的理論によって予測される状態オーダーにつき１５のパラメータの数の２倍である３０をわずかに超える、状態オーダーにつきおよそ４０増加するＡＩＣを示す。したがって、状態オーダー４を超える挙動は、ランダムウォークの理論と一致している−オーダー４を超える統計的に重要なさらなる動的構造はない。
【０１８５】
動的ＳＳ−ＬＰＶモデルのかなりの忠実度を証明するために、例示的な図９（ノイズのないケースの、ＬＰＶ状態空間モデルの観察されたアウトプットに対するプランジの２０ステップ先の予測）及び図１０（ノイズのないケースの、ＬＰＶ状態空間モデルの観察されたアウトプットに対するピッチの２０ステップ先の予測）に、観察されたアウトプットと比較した、２０ステップ先の、アウトプットプランジh及びピッチαの多ステップ予測をそれぞれ示す。予測を計算する際に、２０ステップ先のフラップ角度インプットβは既知とし、２０ステップ先は、視覚的にアウトプット信号振動のおよそ１サイクルである。４００回サンプルのこのサブセットの正確性は、２０，０００サンプルの全体のデータセットの典型である。４００サンプルを超える際、航空機の速度は、約８パーセント増加した。
【０１８６】
観察されたアウトプット信号と予測されたアウトプット信号との唯一の違いは、２０ステップ先に反復されるピッチ−プランジシミュレーションモデルと同定された状態空間モデルとの非常に小さな違いの結果である。信号に観察可能なシステマティックな遅延がないこと、又は、ピーク又は谷におけるオーバーシュート又はアンダーシュートに留意されたい。２０ステップ先の予測と測定されたアウトプットとの間のＲＭＳエラーは、それぞれの信号ＲＭＳの約１パーセントである。線形ダイナミックモデルのパラメータは、空気密度と対気速度の動作パラメータの非線形関数として、連続的に変化しているため、これは、非常に注目に値する。実際に、当該高精度は、２０，０００の観察を用いた４−状態のＬＰＶ状態空間モデルの６９のパラメータのみを推定する結果である。２０ステップ先の予測は、およそ１サイクル先の予測と、一致する。
【０１８７】
ここで、測定ホワイトノイズの影響を決定するため、シミュレーションに測定ホワイトノイズが加えられるシミュレーションのケースを考慮する。ＬＰＶシステム同定において、それぞれの可能性がある状態空間オーダーordごとに、オーダーordのＬＰＶ状態空間モデルが、観察されたシミュレーションデータにフィッティングされる。モデルフィッティングのＡＩＣ測度が計算され、例示的な図１１（測定ノイズのケース、ＡＩＣを用いたピッチ−プランジ状態空間モデルオーダー選択）にプロットされ、ここで、状態オーダー６において最小値のＡＩＣが必然的に生じている。測定ノイズのケースで、オーダー６における最小値を超えて増加するＡＩＣを示すピッチ−プランジ状態空間モデルオーダーの選択の詳細図である、図１２に、状態オーダー６を超える状態の後部の拡大図が示される。これは、統計的理論によって予測される状態オーダーにつき１５のパラメータの数の２倍に近い、状態オーダーにつきおよそ２３増加するＡＩＣを示す。この挙動は、ランダムウォークの理論と一致している。
【０１８８】
前述のサブセクションにおける測定ノイズの無いケースと同様に、データセットの同じセクターの２０ステップ先の予測を、例示的な図１１及び図１２に示す。例示的な図１３は、測定ノイズのケースの、ＬＰＶ状態空間モデルの２０ステップ先の観察されたアウトプットに対するプランジを示し、例示的な図１４は、測定ノイズのケースの、ＬＰＶ状態空間モデルの２０ステップ先の観察されたアウトプットに対するピッチを示す。観察されたアウトプットとＬＰＶ状態空間モデルによって２０ステップ先に予測されたアウトプットとの差は、主に、付加的な測定ホワイトノイズの結果である。２０ステップ先の予測は、測定ノイズのスムージングを提供することが分かる。信号に観察可能なシステマティックな遅延がないこと、又は、ピーク又は谷におけるオーバーシュート又はアンダーシュートに留意されたい。２０ステップ先の予測と測定されたアウトプットとの間のＲＭＳエラーは、それぞれの信号ＲＭＳの約１０パーセントである。線形ダイナミックモデルのパラメータは、空気密度と対気速度の動作パラメータの非線形関数として、連続的に変化しているため、これは、非常に注目に値する。実際に、当該高精度は、２０，０００の観察を用いた６−状態のＬＰＶ状態空間モデルの９９のパラメータのみを推定する結果である。２０ステップ先の予測は、およそ１サイクル先の予測と、一致する。
【０１８９】
上述の測定ノイズのない最初のケースでは、選択される状態オーダーは４つの状態の真の状態オーダーであり、同時に、低い測定ノイズの場合、状態オーダー６に近い最小値が生じる。シミュレーションにおけるインプット−アウトプット状態オーダーが４の真のオーダーである間、赤池情報量基準の計算は、このケースにおいて、測定ノイズのあるダイナミクスの高い精度の予測を得るためには、ＬＰＶ状態空間モデルにおいて、６のより高い状態オーダーを用いることが必要であることを決定する。統計的部分空間法のさらなる長所は、オーダー選択基準としてのＡＩＣの可能性のある利用である。
【０１９０】
他の例示的な実施形態において、自動車エンジンのリアルタイム同定とモニタリングを、ここに記載されるシステムと方法を用いて実行することができる。自動車エンジンをモニターする従来のシステムにおけるいくつかの難点は、主に、エンジン動作条件の変化により、エンジンダイナミクスの非線形性によるものであった。しかし、ここに示されるように、リアルタイムに測定されるか又は得られるパラメータに依存する動作条件によって乗算されるフィードバックを有する時間不変の線形システムとして記述される線形パラメータ変動（ＬＰＶ）システムとして、多くのパワートレインのサブシステムは良く近似される。ＬＰＶ構造は、固定された動作条件において線形ダイナミクスを有し、物理学の既知の準拠法の多くをダイナミックモデルの構造に直接取り込むことが示された。
【０１９１】
よく理解されている線形時間不変部分空間法を用いるより大きなスケールの問題に関して、記載した部分空間法は、効果的な解を与える。更なる利点は、コントローラ実装のために価値があるプロセスの状態オーダーの厳しい決定である。ＬＰＶ形式のエンジンサブシステムモデルの同定には、大きく改善された正確性、大きく低減されたデータ要求性、及び、モデルのフィッティングデータには含まれない条件を外挿する動的可能性を有することができる。他分野における正確なＬＰＶモデルの利用は、保証された全体的な安定性及び改善された性能を有するマージン、従来直面していなかった動作条件下における変化及び欠点を検出するモニタリング方法を有する全体的なコントローラの設計に繋がる。潜在的な問題は、最近開発された準ＬＰＶ部分空間法の使用から利益を得うるいくつかのエンジンモデルのかなりの非線形性である。また、潜在的な高い同定精度を達成することは、リアルタイム・エンジン・モデル同定のために現実的になりつつある非常に大きな行列のＳＶＤの４倍正確な計算の使用でありうる。
【０１９２】
自動車エンジンの正確なモデリングは、モデル・ベースのエンジン制御とモニタリングにおいて大きな価値がある。ほとんど方法は、一般的な非線形の、及び／又は、パラメータ変動の又は時間変動システムに、現在利用できない。ここに議論された線形パラメータ変動（ＬＰＶ）モデルは、固定された動作点でダイナミクスが線形であり、ＬＰＶモデル構造は、線形で時間不変のＬＴＩブロックの同定まで問題を低減するという利点を有する。一旦、このＬＴＩブロックが決定されると、動作点における予め定められた関数によって様々なフィードバック信号を計測することによって、いかなる動作点におけるダイナミクスも得られる。非線形フィードバックを有するこのシンプルな線形（ＬＴＩ）構造は、モデリング、システム同定、モニタリング、及び、制御のための深い含みを有する。
【０１９３】
線形パラメータ変動システムの概念は、モデリング、システム同定、モニタリング、及び、制御への広範囲な実施による大きな簡略化である。基本的な概念は、システムダイナミクスの挙動に関与する物理学の基本法則の中に深く広がる。
【０１９４】
多くの物理的構造は、これらが多くの異なる動作条件で動作する際、非常に複雑であるように見えるシンプルなサブシステムを有する。動作点の範囲によってシステムの挙動をパラメータ化する最近の方法は、システムを動作条件の関数としての非線形相互作用とともに、一般的な線形、時間不変の（ＬＴＩ）サブシステムとして記述され得る。
そのようなシステムの例は、振動構造、航空機空気力学、化学プロセス、その他を含みます。
【０１９５】
実施例は、線形ダイナミクスを有するばね、質量及び緩衝システムである。これが、道路を走行する車両の一部である場合、システムにおけるレスポンスは、車両の速度に大きく依存する。実質的に、道路からの力は、速度の関数によって計測される。
【０１９６】
より一般的には、ＬＴＩサブシステムの状態とインプットは、動作条件の関数によって乗算され、ＬＴＩサブシステムにフィードバックされる。動的なレスポンスは、速度に対してＬＴＩ非依存のままであるが、力は速度に依存する。これは、ＬＰＶシステムの基本的な構造です。実際、動作点の関数として表される物理法則によって、フィードバック・スケーリングは定められる。
【０１９７】
このＬＰＶ構造は、外挿法の理想的な手順である。非線形ダイナミックモデルにおいて、基本的な問題は、状態の軌跡によってあまり訪問されない状態空間の範囲があるということである。外挿法のための基本的な方法なしで、ダイナミクスがほとんど近似されない状態空間の領域がある。ＬＰＶアプローチは、ダイナミクスに関係するＬＴＩサブシステム、及び、動作条件の変化に関係するフィードバック成るＬＰＶモデルに関するこの問題を基本的に回避する。
【０１９８】
ここに議論される正準変数分析(ＣＶＡ)法で実行される非線形システム同定アプローチは、線形パラメータ変動(ＬＰＶ)モデルの記述に基づく。本実施例にかかるアフィン状態空間ＬＰＶ(ＳＳ−ＬＰＶ)モデル形式が、そのパラメトリックな節減及び制御アプリケーションにおけるその状態空間構造のため、利用される。初期モデルフィッティングに用いられるＡＲＸ−ＬＰＶ（インプット／アウトプットの自己回帰）モデル形式も、役割を果たし、まず議論される。展開をシンプルにするため、システムにおける統計的ノイズは、いくつかの議論において含まれない。
【０１９９】
ＣＶＡ−ＬＰＶ手順の第１ステップは、高いオーダーのＡＲＸ−ＬＰＶモデルによって、ＬＰＶプロセスを近似することである。周知であり、しばしば実行されているように、ＬＰＶ動的システムは、以下の形式の、高いオーダーのＡＲＸ−ＬＰＶシステムによって近似される。
【数２６９】
2020017293.tif 000271
方程式８５
当該高いオーダーのＡＲＸ−ＬＰＶシステムは、過去のアウトプットyt−iに関する時間tにおける現在のアウトプットyt及び可能性のある現在のインプットut−i、の線形予測を与える。ここで、lはＡＲＸ−ＬＰＶプロセスのオーダーであり、vtは共分散行列
【数２７０】
2020017293.tif 000272
を有するホワイトノイズプロセスである。システムが、インプットとアウトプットとの間に直接結合を有さない場合、すなわち、β0 = 0である場合、第２の合計の下限は、１に等しい。
【０２００】
スケジューリング関数ρt-iの時間シフトt−iは、ＡＲＸ−ＬＰＶ方程式８５におけるインプットut−i及びアウトプットyt−iのそれに一致する。ＡＲＸ−ＬＰＶモデルからもたらされることは、任意でなく、結果として生じる状態空間ＬＰＶの記述における動的依存の導入を避けるのに必要である。
【０２０１】
方程式８５では、パラメータ変動関数ρt-iが関連することができ、すなわち、定数行列係数αi及びβi又はデータyt及びutの何れかで乗算されることができることに留意されたい。第１のケースでは、結果はyt−i及びut−iによってそれぞれ乗算されるためのパラメータ変動係数
【数２７１】
2020017293.tif 000273
と
【数２７２】
2020017293.tif 000274
であり、ここで、恒等行列IyとIuの次元は、それぞれyとuの次元である。第２のケースでは、時間シフトt−iが全ての変数yt−i、ut−i及びρt-iにおいて同じことであるため、増大されたデータ
【数２７３】
2020017293.tif 000275
が時間tごとに１回計算され、以降の全ての計算において使用されることができる。
【０２０２】
ＰＶｓのデータとの関連は、ＬＰＶシステムに対する線形時間不変(ＬＴＩ)システムのためのＣＶＡ部分空間システム同定方法に、ＬＴＩ法の計算的な及び数値的な利点の全てを含むことを許可する。特に、ＡＲＸ−ＬＰＶ方程式は、増大されたデータにおいてＬＴＩとなり、ＡＲＸ−ＬＰＶモデルの係数推定値の計算は、増大されたデータを用いるＡＲＸ−ＬＴＩモデルのものとほぼ同じである。特に、増大されたデータからの係数行列α及びβの推定には、厳密な線形方程式を解くことが必要である。
【０２０３】
システム行列が、以下の形式の、スケジューリングパラメータρt = [ρt(1); ρt(2); …; ρt(s)]のベクターの時間変動関数、パラメータ変動（ＰＶ）関数とも呼ばれる、である線形システムを考慮する。
【数２７４】
2020017293.tif 000276
方程式８６
【数２７５】
2020017293.tif 000277
方程式８７
【０２０４】
本実施例では、ほとんどの文献で通常であるように、ＬＰＶシステムのみが、形式A(ρt) =ρt(1) A1 + …+ρt(s) Asのスケジューリングパラメータにアフィン依存を有すると考えられ、B(ρt)、C(ρt)、及びD(ρt)についても同様である。ここで、パラメータ変動行列A(ρt)は、アフィン形式と呼ばれる定数行列A = [A1, …, As]のρt = [ρt(1); ρt(2); …; ρt(s)]で特定される線形結合として表現され、B、C、及びDについても同様である。
【０２０５】
議論をシンプルにするため、ＬＰＶ方程式は、ＡＲＸ−ＬＰＶのケースと同様に、以下の形式を得るために、スケジューリングパラメータρtをインプットut及び状態xtと関連させることによって、いくつかのシンプルな形式で記載できる。
【数２７６】
2020017293.tif 000278
方程式８８
ここで、
【数２７７】
2020017293.tif 000279
は、mijとして記述されるMの要素i、jで
【数２７８】
2020017293.tif 000280
として、ブロックi、jからなる区分行列としてのいかなる行列M及びNのために定義されたクロネッカー積
【数２７９】
2020017293.tif 000281
を意味し、[M ; N] = (MT NT)はベクトル又は行列M及びNのスタッキングを意味する。
【０２０６】
インプット、アウトプット、状態、及び、スケジューリング関数、すなわち、モデルの複雑さ、のサイズにおける線形増大とともに、計算時間が指数的に増大する、ＬＰＶシステム同定のための他の利用可能な方法は、反復非線形最適化及び非線形部分空間法を含む。ＬＰＶシステムを同定するためのこれらの新しいＬＴＩ部分空間法の使用によって、これらの困難は避けられる。
【０２０７】
ガソリンエンジン空気燃料比率モデリングのために用いられる例示的なデータは、２つの等しいカム・フェイザー銃を有する６．２ＬのＶ８エンジンに基づく。サブシステムは、例示的な図１５のブロック図で示すように、吸気マニホルド(ＩＭ)と燃料/ラムダ経路のＬＰＶモデルに関連して研究した。ブロック図は、静的非線形ブロックと相互接続され、及び、遅延ブロックに追従される、２つの動的ＬＰＶブロックを有する。これらの動的ＬＰＶモデルは、以下で更に詳細に議論される。
【０２０８】
ストラテジーは、測定可能なインプット及びアウトプット変数と、既知の又は正確に測定可能な動作条件を有するＬＰＶ構造を有する、動的ブロックを決定することである。また、そのようなブロックへのインプットが著しいノイズを持たないと仮定される。そして、ＣＶＡ−ＬＰＶシステム同定法を用いて、これらの方法が最尤法であり最適であるため、そのようなＬＰＶ動的インプット−アウトプットブロックは、十分なインプットの励起で定義可能である。
【０２０９】
パラメータ推定の非常に高い正確性は、ＣＶＡ  ＬＰＶ部分空間法を用いることにより可能であるが、正確性を認識するために、小数点３０桁を超える４倍の(Quad)精度の使用を必要とするかもしれない。１−インプット、２−アウトプット、４−状態、及び、２−スケジューリング関数のシンプルな航空機のフラッター問題のためにでさえ、２０，０００のデータ行列によって５００のＳＶＤを用いた２倍の精度で計算される正準相関関係は、０．９９９９９９９９９（小数点６桁未満を保持し、しばしば、小数点４桁未満を保持する)より大きな正準相関関係を生成した。そのような計算は５分でされ得るか、著しくより速く、例えば、現在利用可能なグラフィックス  プロセッシング  ユニット（ＧＰＵ）ハードウェアを用いて５秒である。
【０２１０】
内燃機関に関連した第２の問題は、システムが厳密なＬＰＶではなく、むしろ準ＬＰＶであるように、潜在的に大きな非線形性である。非線形性は、広く用いられている状態空間エンジンシミュレーションモデルから、直接に示される。これは、エンジンモデルが、実際に、インプットut、アウトプットyt、及び／又は、xtの動的変数の関数である準スケジューリング関数を含む双線形又は多項式であることを意味する。最近開発されたＬＰＶ  ＣＶＡ部分空間システム同定法は、準ＬＰＶケースに応用された。
【０２１１】
以下に議論されるように、パラメータ変動スケジューリング関数ρtを決定するために、２つの異なる方法が用いられる。第１に、状態空間係数行列の時間変動要素を計算する非線形シミュレーションを用いて、関数の数値の計算が行われる。第２は、差分方程式の係数の非線形関数形式の分析的な決定である。
【０２１２】
スロットルダイナミクスとフローブロックの一部として電子スロットルを含む例示的な図１５に、簡略化された吸気マニホールドが示される。電子スロットルは、電気モーターにより駆動され、第２のオーダーの線形システムによってモデル化される専用のコントローラで、ローカルに制御される。スロットル位置センサＴＰＳで測定されるスロットル角度αをアウトプットするために、このさらなるＬＰＶシステムは、インプットスロットル角度セットポイントTASPからも、容易にモデル化される。
【０２１３】
インプットは、マニホールドスロットル気流
【数２８０】
2020017293.tif 000282
（ＭＡＦとも称する）であり、スロットル熱フロー
【数２８１】
2020017293.tif 000283
は、以下のTim式の単純な関数である。行列（A、B、C、D）の要素は、様々な温度、圧力、マスフロー、エンジンＲＰＭ、インプットスロットル命令、及び、サンプリング時間間隔のパラメータ変動（ＰＶ）スケジューリング関数としてはっきりと表される。これらのスケジューリング関数は、かなりの非線形性を持つ。これらのスケジューリング関数がシミュレーションモデルで暗黙的に利用できるため、Simulink（登録商標）モデルの利用可能性のため、はっきりとこれらのスケジューリング関数の計算を実行することは必要でない場合がある。さらに、温度測定値Tim,measのための吸気マニホールドモデルにさらなる状態がある。
【０２１４】
例示的な図１５で示すように、吸気マニホールド圧Pim、吸気マニホールド温度Tim、及び、測定された吸気マニホールド温度Tim,measの状態が関係しているオーダー３のＬＰＶ状態空間モデルとして、吸気マニホールドオープンループ動的モデルは表され、差分方程式として以下で表される。
【数２８２】
2020017293.tif 000284
方程式８９
【数２８３】
2020017293.tif 000285
方程式９０
【数２８４】
2020017293.tif 000286
方程式９１
【数２８５】
2020017293.tif 000287
方程式９２
ここで、
【数２８６】
2020017293.tif 000288
は、Timのサロゲートであり、吸気マニホールドから熱伝達率を表し、最後の方程式は、温度センサ離散時間動的モデルを表す。
【０２１５】
状態方程式の変数は、上流圧力(周囲の)Pa、上流温度(周囲の)Ta、冷却剤温度Tcoolant、下流圧力(吸気マニホールド)Pim、乾燥空気のための比熱の比率κ、及び、乾燥空気のための理想的な気体定数Rairである。
【０２１６】
状態を乗算する係数である、マニホールド下流圧力Pim、マニホールド気温Tim、測定されたマニホールド気温Tim,meas、及び、サロゲート熱伝達率
【数２８７】
2020017293.tif 000289
は、状態方程式の行列Aの要素に対応する。同様に、インプットスロットルマス気流
【数２８８】
2020017293.tif 000290
を乗算する係数は、行列Bに対応する。
【数２８９】
2020017293.tif 000291
と関連する係数は、特に、インプット、アウトプット、及び、状態の動的変数を含む。
【０２１７】
吸気マニホールドの同定におけるストラテジーは、図１５のＭＡＦとして示される高精度なインプット
【数２９０】
2020017293.tif 000292
を得ることである。これが可能であることは、非常に特別な状況のほとんどに対して確かめられた。インプット
【数２９１】
2020017293.tif 000293
は、図１に示すような、スロットル位置センサー（ＴＰＳ）のインプット及びPimのフィードバックを有するスロットル静的非線形性のアウトプットとして得られる。そして、部分空間ＬＰＶシステム同定は、アウトプットPim、Tim、及び、Tim,measを有する吸気マニホールドのバイアスの無いオープンループ動的モデルを得る。
【０２１８】
Simulinkモデルは、以下の形式の時間変動３−状態システムであるスロットル／吸気マニホールドの離散時間線形化状態空間モデルを記述する。
【０２１９】
連続時間電子スロットル（ＥＴ）モデルは、線形時間不変のシステムである。Nnが離散イベントnにおける分当たりのレヴォリューションであるTs,n = 120/(8Nn)によって、エンジン速度Nnに関連するサンプリング期間Ts,nで、対応する離散時間モデルのパラメータは、エンジン速度によって変化する。
【０２２０】
以下に示すように、これは、電子スロットル離散時間モデルがパラメータ変動関数Ts,nによるＬＰＶであることを意味し、最初の命令にとって、そして、漸近的に大きなサンプルAET,n=I+FETTs,n及びBET,n=GETTs,nのために、FETは、AET,nと一致する連続時間状態遷移行列であり、BET,n及びGETについても同様である。結果として、サンプリング期間Ts,nは、Anの要素を考慮することによって得られるスケジューリング関数の１つである。
【０２２１】
C行列が定数であるように、TPS、
【数２９２】
2020017293.tif 000294
、及び、Timのアウトプット測定値は、それぞれの状態プラス測定ノイズの直接測定から得られる。
【０２２２】
D行列はゼロである。
【０２２３】
スロットル／吸気マニホールドSimulinkモデルは、利用できる動作点変数に関して離散時間状態遷移行列Anの要素をはっきりと計算する。下記に議論されるこれらのユニークなサブセットは、ＬＰＶモデルのスケジューリング関数を指定する。
【０２２４】
Simulink  ＬＰＶモデルは、ＬＰＶモデルの一組のパラメータ変動関数をはっきりと提供する状態空間モデル行列Anにおける要素の各々を計算することができる。Anの全２５の要素の間で相関行列を計算することによって決定された可能性のある全ての要素の間に、いくつかの冗長性がある。表２は、定数C、高い相関を有する重複行列D、又は、ユニークな代表行列Uとしての要素を示す。定数行列Cは、機械精度に対して０である標準偏差を有した。重複要素のセットは０．９９０８の相関係数を有するため、ユニークな代表行列Uとして第１が取られ、重複行列Dとして第２が取られる。要素a2,1、a2,4、a3,1、a4,4は、代表行列Uとして取られたa3,1による相関関係１を有し、同様にユニークな代表行列Uであるa5,1とともに、a5,1、a5,2についても同様である。その他のユニークな要素は、a2,2及びa3,2であった。ベクトル[a1,1; a2,2; a3,1; a3,2; a5,1]の全てのユニークな要素の間の層間行列は、表３に示される。
【表２】
2020017293.tif 000295
【表３】
2020017293.tif 000296
【０２２５】
様々なサブシステムダイナミクスと対応するパラメータ変動関数は、遅延補償エンジンSimulinkモデルのために、表４において与えられる。
【０２２６】
完全な吸気マニホールド及び燃料／ラムダサブシステムが図１３に示される。燃料パルス幅FPWs,nとして定量化される燃料インジェクタとフィルムのダイナミクスブロックで燃料が提供される間、可変的なシリンダ給気CACs,nで定量化されるシリンダ内燃焼に、吸気マニホールドは空気を提供する。制御する臨界量は、ラムダの逆数と呼ばれ、λINV,nと示される燃空比として触媒コンバーターの前の排気ガスにおいて測定され、λs,nと示される空燃比である。図１５に示すように、燃料噴射FPWとλINV,nの測定値の双方は、相当な遅延を含む。
【０２２７】
遅延を排除するため、燃料インジェクタ及びフィルムのダイナミクスブロックへのインプット燃料パルス幅FPWは、FPWs,n-6として表される時間ベースTs,nに関係する６つのイベントによって、遅延される。１２のイベント排気ガス輸送遅延により、ラムダ逆センサダイナミクスブロックの時間ベースは、インプットCFCより１２イベント前であることに留意されたい。このように、CFCにおける１２の遅延を排除して進むことによって、ブロックにおける時間ベースは、１２イベントの手順によって、アウトプットλINV,n+12が１２イベントだけ進められること以外は、同じ結果を生む。これは、遅延を取り除いて、各々のブロックの中におけるダイナミクスを維持する。さらに、ラムダ逆のセンサダイナミクスブロックに入るパラメータ変動関数は、同様に１２のイベントによって進められる必要がある。
【０２２８】
部分空間システム同定方法を用いる場合、遅延除去は、システム同定問題の大きな簡略化である。６個の遅延プラス１２イベントは、合計１８イベントであるため、遅延は、遅延の無い５個の状態の全体から遅延のある２３個の状態の全体まで、状態オーダーを増加させる。部分空間同定法を用いる計算時間は、状態オーダーの３乗として増加する傾向がある。
【０２２９】
FPWとλにおける純粋な遅延を取り除くために、上記の簡略化を用いることは、燃料-ラムダ経路を２−状態システムとして表現する。
【数２９３】
2020017293.tif 000297
方程式９３
【数２９４】
2020017293.tif 000298
方程式９４
２−状態燃料ラムダ経路サブシステムは、FPWにおけるオフセットFPWoff,nであり、アウトプットは、測定されたラムダ逆λINV,n+12であり、状態は、燃料壁の質量mw,n、λINV,n+12である。パラメータτ及びXは、プロセスのパラメータに依存する動作条件である。
【０２３０】
方程式９３と９４の２−状態燃料−ラムダモデルのパラメータ変動関数は、表４に示される。当該表の行（３）及び（４）のＰＶ関数は、異なる時間遅延との因子の積を含むことが分かる。これは、珍しいかもしれないが、本明細書の遅延したＬＰＶ動的システムの説明において、厳密に発展される。したがって、ＬＰＶの表現は、離散時間遅延ＬＰＶシステムから遅延を取り除くための力強いツールとなり得て、状態オーダーをかなり低減し得る。最後に、１２イベントの遅延を有するこのシステムのアウトプットλINV,n+12の後で、遅れたアウトプットλINV,nを生じる。
【表４】
2020017293.tif 000299
【０２３１】
本実施例では、測定データから自動車エンジンをモデリングするため、ＬＰＶシステムのシステム識別のための新しい方法のアプリケーションが提示される。ＬＰＶシステム同定のための従来の方法は、動的変数及びスケジューリング関数をほとんど含まないシステムに適用されるだけだった。ＬＴＩ部分空間同定法は、潜在的に、より大きくて複雑なＬＰＶ及び準ＬＰＶシステムまで拡大する。
【０２３２】
これらの例示的な実施形態に関しても、高性能なＬＰＶエンジンSimulinkモデルの詳細な研究は提供された。議論される２つのサブシステムは、吸気マニホールドと燃料−ラムダ経路だった。２つの異なるアプローチが用いられ、一方はスケジューリング関数を計算するためのSimulinkモデルの使用を含み、他方はSimulinkモデルに基づく分析式を直接用いた。
【０２３３】
いくつかのＬＰＶモデルタイプに、及び、若干のエンジンサブシステムに、独特である２つの主要な問題がある。吸気マニホールドは、非常に非線形であり、このことは、スケジューリング関数は、既知の外来の動作状態変数の一次関数よりもむしろインプット、アウトプット、及び／又は状態の動的変数の関数であることを、意味する。これは、大きな推定エラーを同定手続に潜在的にもたらすことができる。他の問題は、スケジューリング関数が非常に複雑なエンジンの挙動に関するかなりの情報でコード化されるため、潜在的に可能な非常に高い正確性である。結果として、いくつかのエンジンパラメータは、非常に高い精度で潜在的に推定されることができる。しかし、これを利用することは、４倍の正確な計算を必要とするかもしれない。
【０２３４】
先の説明および添付の図面は、本発明の動作の原理、実施形態及びモードを示す。しかしながら、本発明は、上記に検討された特定の実施形態に限定されることと解釈されるべきではない。上記に検討された実施形態のさらなる変形例は、当業者によって理解されるだろう。
【０２３５】
したがって、上述の実施形態は、限定ではなく説明として認識されるべきである。よって、これらの実施形態の変形例は、後記のクレームによって定義される発明の範囲から離れることなく、当業者によって想到されることは、理解されるべきである。
【図１】
2020017293.tif 000301
【図２】
2020017293.tif 000302
【図３】
2020017293.tif 000303
【図４】
2020017293.tif 000304
【図５】
2020017293.tif 000305
【図６】
2020017293.tif 000306
【図７】
2020017293.tif 000307
【図８】
2020017293.tif 000308
【図９】
2020017293.tif 000309
【図１０】
2020017293.tif 000310
【図１１】
2020017293.tif 000311
【図１２】
2020017293.tif 000312
【図１３】
2020017293.tif 000313
【図１４】
2020017293.tif 000314
【図１５】
2020017293.tif 000315