(57)【要約】【課題】  コンピュータを用いた数値演算処理により支持構造のない構造体の剛性行列の擬似逆行列の算出に於ける計算コストを低減すること。【解決手段】  本発明の擬似逆行列算出装置は、構造体の剛性行列Ｋを算出し、剛性行列Ｋの対角成分に対して構造体を構成する材料の弾性定数に比して無視し得る程度に小さな弾性定数を加算した近似剛性行列Ｋ_kを算出し、構造体の変位ベクトルの成分を内部変形成分Ｕｂと剛体運動成分ＵＲとに分離し構造体の荷重ベクトルの成分の対称荷重成分Ｆｂと非対称荷重成分とに分離する成分分離行列Ｓを算出し、成分分離行列Ｓと近似剛性行列Ｋ_kの逆行列Ｋ_k-1と成分分離行列Ｓの逆変換行列Ｓ＋との積Ｓ・Ｋ_k-1・Ｓ＋に於ける対称荷重成分Ｆｂを内部変形成分Ｕｂへ変換する成分を抽出することにより擬似逆行列Ｋ＋を算出する。【選択図】        図３
2020016982.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
コンピュータを用いた数値演算処理により支持構造のない構造体の剛性行列の擬似逆行列を算出する擬似逆行列算出装置であって、
前記構造体の寸法を定める変数及び前記構造体を構成する材料の弾性特性を表す物性定数を含む前記構造体の剛性行列Ｋを算出するために必要な条件を設定する条件設定手段と、
前記条件の少なくとも一部を用いて前記構造体の剛性行列Ｋを算出する剛性行列算出手段と、
前記剛性行列Ｋの対角成分に対して前記構造体を構成する材料の弾性定数に比して無視し得る程度に小さな弾性定数を加算した近似剛性行列Ｋ_kを算出する近似剛性行列算出手段と、
前記構造体の寸法を定める変数を用いて前記構造体の変位ベクトルの成分を内部変形成分Ｕｂと剛体運動成分ＵＲとに分離し前記構造体の荷重ベクトルの成分の対称荷重成分Ｆｂと非対称荷重成分ＦＲとに分離する成分分離行列Ｓを算出する成分分離行列算出手段と、
前記成分分離行列Ｓと前記近似剛性行列Ｋ_kの逆行列Ｋ_k-1と前記成分分離行列Ｓの逆変換行列Ｓ＋との積Ｓ・Ｋ_k-1・Ｓ＋に於ける前記対称荷重成分Ｆｂを前記内部変形成分Ｕｂへ変換する成分を抽出することにより前記剛性行列Ｋの擬似逆行列Ｋ＋を算出する擬似逆行列算出手段と
を含む装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、コンピュータを用いて構造体の力学解析或いは構造最適化のための数値演算を実行する装置に係り、より詳細には、構造体に生ずる変位を算出するために用いられる構造体の剛性行列の擬似逆行列を算出する装置に係る。
【背景技術】
【０００２】
コンピュータを用いた有限要素法などの数値計算技術の発展により、任意の設計条件・境界条件下に於ける任意の構造体の変位、歪、応力等を求める力学的解析や構造体の最適な構造又は形状を求める構造最適化演算がコンピュータ上で実施されるようになっている。そのようなコンピュータを用いた構造体の数値解析技術の手法によれば、車両のボディーを初め、種々の機械器具、建築物などの種々の構造体を実際に製作する前に、構造体が要求される特性を備えているか否かの把握、或いは、要求される若しくは好ましい性能を備えた構造体の設計案の取得が可能となる点で有利である。
【０００３】
例えば、特許文献１、２、非特許文献１、２には、或る与えられた領域（設計領域）内に於いて、任意の設計条件・境界条件の下で剛性が最大化される構造を与える材料分布を、有限要素法等による数値解析とその結果から得られる構造体の平均コンプライアンス等の評価関数を最適化する演算処理とを通じて生成する「トポロジー最適化（位相最適化）」と称される手法が記載されている。かかるトポロジー最適化の手法を用いて、特許文献３では、任意の構造体に於いて外力を受ける部分の構造最適化を行うべく、構造最適化の対象となる部分と構造体のその他の部分との間で荷重が伝達されるように構造体の数理モデルを設定することを提案している。また、任意の構造体のコンプライアンスを最小化するように構造体の形状を変化させる形状最適化演算も種々知られている（例えば、特許文献４）。更に、非特許文献３、４に於いては、構造体に対して作用する荷重が不定である場合の最適構造として、想定される最も危険な荷重（最悪荷重）に対して剛性が最大化される構造体の構造を求める「ロバスト構造最適化」と称される手法も提案されている。このロバスト構造最適化の手法に於いては、構造体に於いて荷重の作用する領域内に於ける荷重分布を表す荷重ベクトルを同領域内の変位分布を表す変位ベクトルに変換する行列（局所コンプライアンス行列）の最大固有値が最悪荷重作用時に於ける構造体のコンプライアンスに対応するとの理論的な知見に基づき、構造体の剛性行列の逆行列から算出される局所コンプライアンス行列の固有値解析を行い、その結果得られた最大固有値を与える固有ベクトルを荷重ベクトルとして構造体の剛性行列の逆行列を用いて構造体に於ける変位ベクトルを算出し、算出された変位ベクトルを用いて局所コンプライアンス行列の最大固有値が最小化されるように構造体の構造を決定する設計変数を更新する演算処理が反復される。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００４】
【特許文献１】特開２００２−１８９７６０
【特許文献２】特開２００４−３４８６９１
【特許文献３】特開２０１４−１４９７３３
【特許文献４】特開２０１０−１０８４５１
【非特許文献】
【０００５】
【非特許文献１】計算力学レクチャーコース  トポロジー最適化  一般社団法人日本計算工学会編  西脇眞二・泉井一浩・菊池昇著  丸善出版  ２０１３年
【非特許文献２】カイ・リュウ、アンドレス・トバル（Kai  Liu  Andr´es  Tovar）  ストラクト・マルチディスク・オプティム（Struct  Multidisc  Optim）  2014年  50:1175−1196
【非特許文献３】新居他３名、日本機械学会論文集（Ａ編）77巻775号  2011年  ４７２−４８２頁
【非特許文献４】下田他３名、日本機械学会論文集81巻832号(DOI:10.1299/transjsme.15-00353)  2015年
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
ところで、現実の任意の構造体に荷重が作用する状態を考えたとき、構造体を支持する構造或いは構造体を固定する支点の位置などが不定であることが多い。例えば、ユーザーの手からの荷重を受ける携帯電話の外殻など、実際の構造体は、どのように保持或いは支持されるかは不定であり、そのような場合、構造体に於ける支点の位置は不定となる。
【０００７】
しかしながら、上記の構造体の変位、歪、応力等を求める力学的解析や構造最適化演算の場合、構造体に於いて支持構造或いは支点を明確に規定する拘束条件を与えなければ、演算を実行できないようになっている。或る荷重条件下に於ける構造体の力学的解析では、構造体に於ける変位ベクトルＵと荷重ベクトルＦとを関連付ける剛性方程式：
ＫＵ＝Ｆ      …（１）
に於ける剛性行列Ｋの逆行列Ｋ-1を用いて、
Ｕ＝Ｋ-1Ｆ      …（２）
によって変位ベクトルＵの算出が必要となる場合があり、また、上記の如きロバスト構造最適化演算では、上記の剛性行列Ｋの逆行列Ｋ-1を用いて局所コンプライアンス行列Ｃを算出し、局所コンプライアンス行列Ｃの固有ベクトルを荷重ベクトルとした場合の構造体の変位ベクトルを式（２）によって算出する処理が実行される。だが、構造体を支持する構造又は支点を与える拘束条件がない場合には、剛性行列Ｋの逆行列Ｋ-1が存在しないため、式（２）による変位ベクトルＵの算出ができず、また、ロバスト構造最適化演算に必要な局所コンプライアンス行列Ｃが算出できないこととなっている。これは、物理的には、構造体を支持する構造がない状態では、構造体が剛体として自由に平行又は回転運動し得ることとなり（以下、「剛体運動」と称する。）、構造体内の各点の変位が式（２）の解として一意に決定されないことに相当する。
【０００８】
この点に関し、本発明の発明者は、支持構造又は支点のない構造体の場合でも、式（２）に於ける剛性行列Ｋの逆行列Ｋ-1に代えて、剛性行列Ｋの「擬似逆行列（ムーア・ペンローズの逆行列または一般逆行列とも称される。）」Ｋ＋を用いると、剛体運動を除いた構造体に於いて対称的に生ずる変位分布を表す変位ベクトル（構造体に於いて荷重の合計とモーメントの合計とが０となる分布の荷重が作用した場合に生ずる変位ベクトル）を算出することができ、また、擬似逆行列Ｋ＋を用いて算出された局所コンプライアンス行列Ｃを用いて構造最適化演算が可能であることが見出した。かくして、支持構造のない構造体の力学的解析や構造最適化演算は、構造体の剛性行列の擬似逆行列Ｋ＋を用いて実行することが可能となった（特願２０１８−１３７７３６参照）。
【０００９】
ところが、コンピュータに於いて構造体の剛性行列Ｋから擬似逆行列Ｋ＋を直接に得る演算を実際に実行してみると、逆行列Ｋ-1を演算する場合に比して演算負荷が高く、より多大な計算コストを要することが明らかになった。これは、剛性行列Ｋからの擬似逆行列Ｋ＋の直接演算に於いては、その定義に従って、式（１）から導出される二乗誤差である||ＫＵ−Ｆ||２を最小にするという演算を実行する必要があるためであると考えられる。従って、もし擬似逆行列Ｋ＋をより容易に或いはより低コストに得る手段があると、擬似逆行列Ｋ＋を用いた支持構造のない構造体の力学的解析や構造最適化演算がより低コストに実行できることとなり、有利である。
【００１０】
かくして、本発明の課題は、コンピュータを用いた数値解析技術により支持構造又は支点のない構造体の力学解析又は構造最適化の演算に於いて利用される構造体の剛性行列の擬似逆行列をより低い計算コストに得ることのできる装置を提供することである。
【課題を解決するための手段】
【００１１】
本発明によれば、上記の課題は、コンピュータを用いた数値演算処理により支持構造のない構造体の剛性行列の擬似逆行列を算出する擬似逆行列算出装置であって、
前記構造体の寸法を定める変数及び前記構造体を構成する材料の弾性特性を表す物性定数を含む前記構造体の剛性行列Ｋを算出するために必要な条件を設定する条件設定手段と、
前記条件の少なくとも一部を用いて前記構造体の剛性行列Ｋを算出する剛性行列算出手段と、
前記剛性行列Ｋの対角成分に対して前記構造体を構成する材料の弾性定数に比して無視し得る程度に小さな弾性定数を加算した近似剛性行列Ｋ_kを算出する近似剛性行列算出手段と、
前記構造体の寸法を定める変数を用いて前記構造体の変位ベクトルの成分を内部変形成分Ｕｂと剛体運動成分ＵＲとに分離し前記構造体の荷重ベクトルの成分の対称荷重成分Ｆｂと非対称荷重成分ＦＲとに分離する成分分離行列Ｓを算出する成分分離行列算出手段と、
前記成分分離行列Ｓと前記近似剛性行列Ｋ_kの逆行列Ｋ_k-1と前記成分分離行列Ｓの逆変換行列Ｓ＋との積Ｓ・Ｋ_k-1・Ｓ＋に於ける前記対称荷重成分Ｆｂを前記内部変形成分Ｕｂへ変換する成分を抽出することにより前記剛性行列Ｋの擬似逆行列Ｋ＋を算出する擬似逆行列算出手段と
を含む装置によって達成される。
【００１２】
上記の構成に於いて、「構造体」とは、車両のボディーを初め、種々の機械器具、建築物又はそれらを構成する任意の部材などとして使用される構造体であってよい。構造体の「剛性行列」は、式（１）に示されている如く、構造体に於いて任意に格子状に分割して得られる複数の多面体（又は多角形）の要素を設定した場合の要素の節点の各々に於ける変位を成分とする変位ベクトルＵを節点の各々に於ける荷重を成分とする荷重ベクトルＦへ変換する行列である（節点の数×自由度の次元の正方行列）。「剛性行列」は、通常の有限要素法等の数値解析を用いた構造体の力学解析、構造最適化演算、例えば、トポロジー最適化演算、形状最適化演算などの場合に用いられる剛性行列と同様であってよく、構造体の寸法を定める変数及び構造体を構成する材料の弾性特性を表す物性定数（ヤング率、ポアソン比）によって通常の態様にて決定されてよい。本発明の装置により算出される擬似逆行列が構造最適化演算に使用される場合には、構造体の構造又は形状は、或る空間内に設定される設計領域内にて設計変数によって決定されるところ、「剛性行列」は、設計領域内にて設計変数により表される構造体の構造又は形状と構造体の材料の弾性特性を表す物性定数を用いて決定される。特に、構造最適化演算が密度法を用いたトポロジー最適化演算である場合には、「構造体の寸法を定める変数」は、設計領域内の各要素の「材料密度」であってよく、構造最適化演算の態様によっては、構造体の輪郭を画定する線又は面を決定する変数であってもよい。「擬似逆行列」は、既に触れた如く、剛性行列に対するムーア・ペンローズの逆行列または一般逆行列とも称される行列である。
【００１３】
また、「近似剛性行列Ｋ_k」は、
Ｋ＋ｋＩ      …（３）
により与えられる行列である。ここで、ｋは、「構造体を構成する材料の弾性定数に比して無視し得る程度に小さな弾性定数」であり、Ｉは、単位行列である。この「近似剛性行列Ｋ_k」の算出に於いて剛性行列の対角成分に加算される「構造体を構成する材料の弾性定数に比して無視し得る程度に小さな弾性定数」とは、構造体を構成する材料の弾性定数に比して可能限り小さい値に設定されてよい。後の説明からも理解される如く、かかる加算される「小さな弾性定数」が小さければ小さいほど、本発明の装置で算出される「擬似逆行列」の精度が高くなる。しかしながら、「小さな弾性定数」がコンピュータの計算可能な桁数を下回ると計算できなくなるので、コンピュータの計算可能な桁数に応じて使用者によって適宜設定されてよい。具体的には、「小さな弾性定数」は、構造体を構成する材料のヤング率よりも数桁小さい任意の値であってよく、例えば、構造体を構成する材料のヤング率＝１とした場合には、「小さな弾性定数」は、１０−４〜１０−１２などと設定されてよい。
【００１４】
更に、「成分分離行列Ｓ」とは、構造体の変位ベクトルＵ及び荷重ベクトルＦを、それぞれ、内部変形成分Ｕｂと剛体運動成分ＵＲ、対称荷重成分Ｆｂと非対称荷重成分ＦＲに分離する行列、即ち、次の如き変換：
【数１】
2020016982.tif 000003
を実行する行列である。ここで、内部変形成分Ｕｂとは、変位ベクトルＵに於ける構造体内部にて生ずる各節点の変位（構造体の中心又は重心に対する変位）を成分とするベクトルであり、剛体運動成分ＵＲとは、変位ベクトルＵに於ける構造体の剛体運動（平行移動、回転）による変位を成分とするベクトルである。特に、内部変形成分Ｕｂは、支持構造のない構造体に於いては、その定義から構造体内に於いて対称的な変位成分であり、節点の数×節点の自由度の次元を有する。剛体運動成分ＵＲは、その定義から全ての節点の変位に於いて共通する変位成分であり（構造体の中心に対する各節点の位置によって回転成分の符号は異なる。）、平行移動の次元＋回転運動の次元の次元を有する（三次元空間の場合、６次元のベクトルとなる。）。また、対称荷重成分Ｆｂとは、内部変形成分Ｕｂを生ずる各節点の荷重を成分とするベクトルであり、支持構造のない構造体に於いては、剛体運動を発生しない荷重成分となるので、構造体内に於いて（荷重合計とモーメント合計が共に０となる）対称的な荷重分布を与える成分となる。そして、非対称荷重成分ＦＲとは、剛体運動成分ＵＲを生ずる各節点の荷重を成分とするベクトルであり、全ての節点の荷重に於いて（対称荷重成分Ｆｂを除いた）共通する荷重成分である。対称荷重成分Ｆｂと非対称荷重成分ＦＲの次元は、それぞれ、内部変形成分Ｕｂと剛体運動成分ＵＲの次元に一致する。成分分離行列Ｓは、端的に述べれば、全節点の変位の平均値として剛体運動成分を算出し、その値を各節点の変位から減算する変換を行う行列であり、構造体の変位ベクトル又は剛性行列Ｋの構造が決定されると、一義的に決定されるところ、後述の如く、成分分離行列Ｓの逆変換行列Ｓ＋が容易に構成できるので、本発明の装置の実施形態に於いては、逆変換行列Ｓ＋を構成した後、その逆変換の行列である成分分離行列Ｓがプログラム言語に準備された関数などを用いて算出されるようになっていてよい。
【００１５】
そして、剛性行列Ｋの擬似逆行列Ｋ＋は、上記の如く、行列積Ｓ・Ｋ_k-1・Ｓ＋に於ける対称荷重成分Ｆｂを内部変形成分Ｕｂへ変換する成分を抽出することにより得られる。この点に関し、かかる行列の成分は、成分分離行列Ｓに於いて、剛体運動成分ＵＲを与える行を除いて得られる行列（縮約成分分離行列）Ｓｓを近似剛性行列Ｋ_kの逆行列Ｋ_k-1の前から乗じた行列積Ｓｓ・Ｋ_k-1に一致するので、本発明の装置の実施形態に於いては、擬似逆行列Ｋ＋は行列積Ｓｓ・Ｋ_k-1により与えられてよい。
【００１６】
上記の如く、本発明の装置に於いては、端的に述べれば、支持構造のない構造体の剛性行列の擬似逆行列Ｋ＋の算出が、構造体の剛性行列Ｋの対角成分に対して小さな弾性定数を加算した近似剛性行列Ｋ_kと、構造体の変位ベクトル及び荷重ベクトルの成分を、それぞれ、内部変形成分Ｕｂ及び剛体運動成分ＵＲ、並びに、対称荷重成分Ｆｂ及び非対称荷重成分ＦＲに分離する成分分離行列Ｓとを作成し、行列積Ｓ・Ｋ_k-1・Ｓ＋に於ける対称荷重成分Ｆｂを内部変形成分Ｕｂへ変換する成分を抽出するといった処理によって実行される。
【００１７】
上記の処理に於いて、近似剛性行列Ｋ_kは、後に詳細に説明される如く、支持構造のない構造体の全節点を仮想的に柔らかいばね（ばね係数ｋ）を介して拘束した（壁などに固定した）場合の構造体の剛性行列に相当し、かかる全節点が仮想的なばねで拘束された構造体は、支持構造のある構造体となるので、近似剛性行列Ｋ_kには、逆行列Ｋ_k−１が存在し、比較的低い計算コストにて算出可能である。そして、全節点が仮想的なばねで拘束された構造体に於いて任意の荷重を作用した場合、構造体は剛体として変位すると共に構造体内でも重心に対して相対的に変位が生じた状態となるところ、ばね係数ｋが十分に小さければ、構造体内の変形は、支持構造のない状態での変形と略同等になると考えられる。従って、逆行列Ｋ_k−１に於いて、構造体内の上記の内部変形成分Ｕｂとそれを与える対称荷重成分Ｆｂとを関係付ける部分は、支持構造のない構造体に於いて剛体運動を除いた対称的に生ずる変位を表す変位ベクトル（内部変形成分Ｕｂ）とそれを与える荷重ベクトル（対称荷重成分Ｆｂ）とを関係付ける剛性行列Ｋの擬似逆行列Ｋ＋に近似的に一致することとなるので、上記の如く、成分分離行列Ｓを用いて得られる行列積Ｓ・Ｋ_k-1・Ｓ＋に於ける対称荷重成分Ｆｂを内部変形成分Ｕｂへ変換する成分を抽出することにより、支持構造のない構造体の剛性行列Ｋの擬似逆行列Ｋ＋が得られることとなる。
【発明の効果】
【００１８】
上記の本発明によれば、構造体の力学解析や構造最適化演算に於いて、解析又は最適化の対象となる構造体に支持構造又は支点のない場合、即ち、構造体の剛性行列に逆行列が存在しない場合に演算を可能にする構造体の剛性行列Ｋの擬似逆行列Ｋ＋を、剛性行列Ｋから直接に作成する処理を実行せずに得ることが可能となる。上記の処理の近似剛性行列Ｋ_kから剛性行列Ｋの擬似逆行列Ｋ＋を得る処理に於いては、近似剛性行列Ｋ_kの逆行列Ｋ−１の算出、成分分離行列Ｓの作成（Ｓ＋の逆変換行列の作成）などの処理が含まれるところ、これらの処理は、剛性行列Ｋから直接に擬似逆行列Ｋ＋を算出する場合に比して、大幅に演算負荷が低く、低計算コストにて実行される。従って、本発明の装置に於いては、構造体の剛性行列Ｋの擬似逆行列Ｋ＋をより低い計算コストにて得ることが可能となり、大規模な剛性行列Ｋの擬似逆行列Ｋ＋でもより短時間にて算出が可能となる。なお、本発明の擬似逆行列Ｋ＋の算出装置は、単独の装置であってもよく、また、構造体の力学解析或いは構造最適化のための数値演算を実行する装置の一部に擬似逆行列Ｋ＋の算出のための手段として組み込まれて用いられてよく、そのような場合も本発明の範囲に属する。
【００１９】
本発明のその他の目的及び利点は、以下の本発明の好ましい実施形態の説明により明らかになるであろう。
【図面の簡単な説明】
【００２０】
【図１】図１は、本発明の装置による構造体の剛性行列の擬似逆行列の算出が実行されるコンピュータを模式的に表した図である。
【図２】図２（Ａ）は、構造体における弾性システム（二次元）を模式的に表した図であり、図２（Ｂ）は、図２（Ａ）のシステムに於いて構造体に支持構造がない場合に構造体に於いて作用する荷重の態様のいくつかの例を示したものである。図２（Ｃ）は、図２（Ａ）のシステムに於いて各節点が仮想的に柔らかいばねｋを介して壁に拘束された状態を示している。
【図３】図３は、本発明の装置による擬似逆行列算出の処理をフローチャートの形式にて表した図である。
【符号の説明】
【００２１】
１…コンピュータ本体
２…コンピュータ端末
３…モニター
４…キーボード、マウス（入力装置）
【発明を実施するための最良の形態】
【００２２】
コンピュータ装置の構成
本発明による構造体の剛性行列の擬似逆行列を算出する装置は、この分野で通常使われている形式の、図１に例示されている如き、コンピュータ装置１に於けるコンピュータ・プログラムの作動により実現されてよい。なお、かかる本発明による擬似逆行列の算出の構成は、単独の装置として擬似逆行列の算出を実行する場合だけでなく、数値解析による構造体の力学解析や構造体の構造最適化演算に於いて、特に、解析又は最適化の対象となる構造体が支持構造のない構造体、即ち、自由な剛体運動（平行移動、回転）が許される構造体である場合に、構造体の剛性行列の擬似逆行列を算出するための手段として組み込まれてよい。その場合、本発明による擬似逆行列の算出のためのコンピュータ・プログラムが構造体の力学解析や構造体の構造最適化演算のためのコンピュータ・プログラムの一部として組み込まれてよくも、そのようなコンピュータ・プログラムに従って作動するコンピュータ装置も本発明の範囲に属することは理解されるべきである。
【００２３】
コンピュータ装置１には、通常の態様にて、双方向コモン・バスにより相互に連結されたＣＰＵ、記憶装置、入出力装置（Ｉ／Ｏ）が装備され、記憶装置は、本発明の演算で使用する演算処理を実行する各プログラムを記憶したメモリと、演算中に使用されるワークメモリ及びデータメモリを含んでいる。また、実施者によるコンピュータ装置１への指示及び計算結果その他の情報の表示及び出力は、コンピュータ装置１に接続されたコンピュータ端末装置２を通じて為される。コンピュータ端末装置２には、通常の態様にて、モニター３とキーボード並びにマウスといった入力装置４が設けられ、プログラムが起動されると、実施者は、プログラムの手順に従ってモニター３上の表示に従って、入力装置４を用いてコンピュータ装置１に各種の指示及び入力を行うとともに、モニター３上にてコンピュータ装置１からの演算状態及び演算結果等を視覚的に確認することが可能となる。なお、図示していないその他の周辺機器（結果を出力するプリンタ、計算条件及び演算結果情報等を入出力するための記憶装置など）がコンピュータ装置１及びコンピュータ端末装置２に装備されていてよいことは理解されるべきである。コンピュータ装置１を用いて、以下に述べる各種の処理又は演算を実行する際には、通常の態様にて、各種の処理又は演算に必要なプログラムが起動され、実施者は、コンピュータ端末装置２に於いて、プログラムに於いて準備された入力手順に従って、演算に必要なデータ、演算時の計算条件その他の各種設定を入力し、演算が開始される。そして、演算の実行中又は終了後に、演算結果が、適宜、コンピュータ端末装置２を通じて出力可能となる。
【００２４】
上記のコンピュータ装置１に於いて、本発明による擬似逆行列の算出が行われる場合、例えば、有限要素法などの数値解析を用いて支持構造のない構造体についての力学解析や構造最適化演算を実行する場合、端的に述べれば、まず、入力装置４からの実施者の入力操作によって、解析される構造体の寸法、或いは、構造最適化演算の場合には構造体が生成される設計領域の寸法及び体積制約割合、構造体を形成する材料の特性値（ヤング率、ポアソン比）を含む設計条件や構造体に作用する荷重条件を含む境界条件などの構造体の数値解析を実行するために必要な初期条件の設定が実行される。そうすると、コンピュータ装置１は、演算処理の準備として、プログラムメモリに記憶されたプログラムを用いて、構造体又は設計領域を、典型的には格子状に、複数の要素に分割する処理を実行すると共に、得られた要素の各々への材料の特性値或いは設計変数の初期値（構造最適化演算の場合）の割り当てを実行する。かくして、かかる演算処理の準備が完了すると、コンピュータ装置１は、プログラムメモリに記憶されたプログラムに従い、構造体の剛性行列Ｋと剛性行列Ｋの擬似逆行列Ｋ＋の算出処理（近似剛性行列Ｋ_k、成分分離行列Ｓの作成を含む。）を実行し、算出された擬似逆行列Ｋ＋が構造体の力学解析や構造最適化演算に於いて実行されるべき演算処理に用いられるようになっていてよい。また、上記の演算処理の結果、例えば、擬似逆行列Ｋ＋、構造体の解析結果、構造体の構造又は形状、設計変数の分布などのグラフィック表示がモニター３上に表示されてよい。
【００２５】
支持構造のない構造体の剛性行列の擬似逆行列の概要
「発明の概要」の欄に於いて既に述べた如く、現実の任意の構造体に於いては、ユーザーの手からの荷重を受ける携帯電話の外殻など、構造体を支持し或いは固定する構造や支点の位置が不定な場合がある。従って、数値解析による構造体の力学解析や構造最適化演算に於いては、支持構造が不定である場合、即ち、支持構造のない状態の構造体についても演算が実行できることが好ましい。
【００２６】
しかしながら、構造体に於いて支持構造がない場合、構造体は自由な平行移動及び回転（剛体運動又は剛体変位）が許されるので、或る荷重ベクトルＦが与えられた場合の式（１）［ＫＵ＝Ｆ］の解である変位ベクトルＵは、一意に定まらないこととなる。即ち、支持構造がない構造体に於いて、数学的には、剛性行列Ｋの逆行列Ｋ−１が存在しないため、変位ベクトルＵの算出や構造体のコンプライアンスなど逆行列Ｋ−１を用いて算出する量の算出が実行できないこととなっている。
【００２７】
ところで、式（１）［ＫＵ＝Ｆ］の如き連立一次方程式に於いて、方程式の係数を成分とする行列Ｋに逆行列Ｋ−１が存在しない場合に擬似逆行列Ｋ＋を用いることにより方程式の解を得ることが可能である。擬似逆行列Ｋ＋の性質から、式（１）が解を有するとき、解Ｕは、任意のベクトルＵｗを用いて、
Ｕ＝Ｋ＋・Ｆ＋（Ｉ−Ｋ＋・Ｋ）Ｕｗ      …（５）
により表される（Ｉは、単位行列である。）。ここで、構造体の剛性方程式である式（１）が静的な状態を表し、荷重ベクトルＦによって平行及び回転について加速運動が生じていないとすると、式（５）の右辺の第２項（Ｉ−Ｋ＋・Ｋ）・Ｕｗは、剛性行列Ｋを乗算したとき、擬似逆行列Ｋ＋の定義から
Ｋ・（Ｉ−Ｋ＋・Ｋ）・Ｕｗ＝０      …（６）
となり、構造体に対して力が作用していない状態でも生じ得る構造体の剛体運動を表す変位ベクトルであると考えられる。一方、式（５）の右辺の第１項Ｋ＋・Ｆは、この場合、剛体運動以外の構造体内に生ずる変位（構造体内で上下左右に於ける収縮や伸長、ねじれ）であると考えられ、従って、荷重ベクトルＦは、剛体運動を生じさせない構造体内に於いて対称的に変位を生ずる荷重ベクトル（上下左右から圧縮、引っ張り、ねじれ荷重）となっていると考えられる（もし対照的でない変位があったとすると、支持構造がないので、剛体運動となっているはずである。）。即ち、図２（Ａ）の如く、構造体が支持構造を持たず、自由な剛体運動が許される状態にあるとき、荷重ベクトルＦが、図２（Ｂ）に模式的に例示されている如く、構造体に対して荷重の合計とモーメントの合計とがそれぞれ０となるように作用している荷重ベクトルであるときには、式（５）の右辺の第１項Ｋ＋・Ｆが構造体内部の対称的な変位を表していることとなる。かくして、荷重ベクトルＦが荷重の合計とモーメントの合計とがそれぞれ０となる構造体に対称的に作用する荷重分布を有するベクトルであるとき、構造体内部の対称的な変位Ｕは、擬似逆行列Ｋ＋を用いたＫ＋・Ｆによって算出できることとなる。
【００２８】
また、構造最適化演算（例えば、非特許文献３、４参照）の際に最適化の評価関数として参照される構造体のコンプライアンスｌ：
ｌ＝ＦＴ・Ｕ      …（７）
（上付きの添え字Ｔは、転置を表す。）
も、支持構造のない構造体の場合には、擬似逆行列Ｋ＋を用いて、
ｌ＝ＦＴ・Ｋ＋・Ｆ      …（８）
により与えられるので、評価関数を最適化するために利用される設計変数に対する評価関数の感度の算出に於いても擬似逆行列Ｋ＋が利用可能である。
【００２９】
支持構造のない構造体の剛性行列の擬似逆行列の近似的解法
擬似逆行列Ｋ＋は、その定義により、剛性行列Ｋから一意に決定されるので、剛性行列Ｋが与えられれば、プログラム言語に準備された関数など、既存のアルゴリズムを用いて決定可能である。しかしながら、実際に剛性行列Ｋから直接に擬似逆行列Ｋ＋を算出する場合、演算負荷が高く、演算に時間を要し、計算コストが高くなることがある。特に、構造体が三次元構造であり、要素数が多くなると、剛性行列Ｋの次元数が大きくなり、擬似逆行列Ｋ＋の算出に相当の時間とコストを要することとなる。
【００３０】
ところで、図２（Ｃ）に模式的に描かれている如く、支持構造のない構造体に於いて全ての節点（Ｇ１〜Ｇ４）に対して仮想的にばね（ばね係数ｋ）を接続して壁に対して拘束した状態を考えたとき、構造体は剛体運動が制限されることとなるので、かかる条件下に於ける構造体の剛性行列は、逆行列を有し、その逆行列を用いて、構造体に与えた荷重ベクトルＦから変位ベクトルＵを算出できることとなる。そして、構造体に或る荷重を付与した場合（図２（Ｃ）右）に、仮想的なばねのばね係数ｋが構造体の材料の弾性係数に比して十分に小さい或いは無視し得るほど小さいときには、構造体内で生ずる変位、即ち、剛体としての変位を除いた各節点の変位は、支持構造のない（宙に浮いている如き）構造体（図２（Ａ））に於いて、剛体運動を生じない、構造体内で対称的に分布する荷重（上下左右から圧縮、引っ張り、ねじれ荷重）により生ずる変位（上下左右に於ける収縮や伸長、ねじれ）と近似的に一致することとなる。従って、図２（Ｃ）のような仮想的な柔らかいばねで拘束された構造体の剛性行列の逆行列の成分に於いて、構造体内で対称的に分布する荷重成分から構造体内で対称的に分布する変位成分を与える成分は、構造体に対称的に作用する荷重ベクトルから構造体内部の対称的な変位ベクトルを与える擬似逆行列Ｋ＋の成分に近似的に一致すると考えられる。また、一般に、正則行列の逆行列の算出に要する計算時間と計算コストとは、非正則行列の擬似逆行列を算出する場合よりも大幅に少ない。そこで、本発明の装置に於いては、支持構造のない構造体の剛性行列Ｋの擬似逆行列Ｋ＋を算出するために、構造体の全節点を全自由度についてばね係数が無視し得るほど小さい仮想的なばねを介して固定壁に拘束した状態に於ける剛性行列を作成し、その逆行列に於いて、構造体内で対称的に分布する荷重成分から構造体内で対称的に分布する変位成分を与える成分を抽出することによって、擬似逆行列Ｋ＋が算出される。
【００３１】
上記の解法による擬似逆行列Ｋ＋の算出に於いては、より具体的には、まず、「発明の概要」の欄に簡単に説明されている如く、式（４ａ）に示されているように、構造体の変位ベクトルＵを内部変形成分Ｕｂと剛体運動成分ＵＲとに分離する成分分離行列Ｓが作成される。
【数２】
2020016982.tif 000004
［再掲］
ここで、内部変形成分Ｕｂは、変位ベクトルＵに於ける構造体の中心又は重心に対する各節点の変位を成分とし、対称的な分布となるベクトルであり、剛体運動成分ＵＲは、変位ベクトルＵに於ける各節点の変位に共通に含まれる構造体の剛体運動（構造体全体の平行移動、構造体全体の重心周りの回転）による変位を成分とするベクトルである。成分分離行列Ｓによる変換によって、変位ベクトルＵの成分の数が剛体運動成分ＵＲの分だけ増えるので、成分分離行列Ｓは正方行列ではない。また、この成分分離行列Ｓの下記の如き逆変換行列Ｓ＋も作成できる。
【数３】
2020016982.tif 000005
更に、かかる成分分離行列Ｓによって、構造体に作用する荷重ベクトルＦも、同様に、式（４ｂ）の如く対称荷重成分Ｆｂと非対称荷重成分ＦＲに分離変換される。
【数４】
2020016982.tif 000006
［再掲］
ここで、対称荷重成分Ｆｂは、内部変形成分Ｕｂを生ずる各節点の荷重を成分とするベクトルであり、構造体内に於いて荷重合計とモーメント合計が共に０となる対称的な荷重成分であり、非対称荷重成分ＦＲは、剛体運動成分ＵＲを生ずる各節点の荷重を成分とするベクトルであり、構造体内に於いて対称的な荷重成分を除いた全ての節点の荷重に於いて共通する荷重成分である。なお、式（４ａ）と式（９）から、成分分離行列Ｓとその逆変換行列Ｓ＋に於いては、
Ｓ＋・Ｓ＝Ｉ      …（１０）
の関係が成立する（Ｉは、剛性行列Ｋと同じ次元の単位行列である。）
【００３２】
次に、図２（Ｃ）に模式的に描かれている如く、構造体の全ての節点が全ての自由度についてばね係数ｋのばねを介して固定壁に接続されている状態（全節点がばねを介して拘束されている状態）を考えると、構造体の剛性行列（近似剛性行列と称する。）Ｋ_kは、拘束のない構造体の剛性行列Ｋを用いて、
Ｋ_k＝Ｋ＋ｋＩ      …（３）
［再掲］
により与えられる。［より詳細には、構造体の各節点にばねを介して接続された固定壁上の節点の変位を成分とする変位ベクトルをＵｓとすると、構造体の全節点がばねを介して拘束された状態に於ける固定壁上の節点の変位成分を含めた系全体の変位ベクトルＵｔは、
Ｕｔ＝（Ｕ，Ｕｓ）Ｔ      …（１１ａ）
の形式にて表され、系全体の各節点の荷重成分を表す荷重ベクトルＦｔは、
Ｆｔ＝（Ｆ，Ｆｓ）Ｔ      …（１１ｂ）
の形式にて表され（Ｆｓは、固定壁上の節点に作用する荷重を成分とするベクトルである。）、固定壁と構造体とを含めた系全体の剛性行列Ｋｔは、
Ｆｔ＝ＫｔＵｔ      …（１１ｃ）
の形式にて表される。ここで、構造体に於ける各節点の各自由度方向の荷重ｆｉには、構造体の材料による弾性力の他に、仮想的にばねによるばね力kｕｉ（ｕｉは各節点の各自由度方向の変位）が追加されるので、式（１１ｃ）の系全体の剛性行列Ｋｔに於ける構造体内の各節点の各自由度方向の変位ｕｉを荷重ｆｉに関係付ける成分、即ち、剛性行列Ｋｔに於ける構造体の節点荷重を与える部分の対角成分に於いて、仮想的なばねのばね係数kが加算されることとなる。また、固定壁上の節点の変位は、Ｕｓ＝０となるので、剛性行列Ｋｔを、構造体に於ける節点荷重を与える部分に縮約すると、結局、剛性行列は、上記の式（３）となる。なお、数学的には、Ｋが正則でなくとも、Ｋ＋ｋＩは、正則となる。］
【００３３】
かくして、全節点がばねを介して拘束された状態に於ける構造体に於いては、
Ｆ＝Ｋ_k・Ｕ      …（１２）
が成立するところ、Ｋ_kの逆行列Ｋ_k−１は存在するので、
Ｋ_k−１・Ｆ＝Ｕ      …（１３）
の関係が得られる。ところで、式（１３）に於いて、成分分離行列Ｓを乗算し、式（１０）の関係を参照すると、下記の変換式が得られる。
【数５】
2020016982.tif 000007
更に、式（４ｂ）を参照して、
【数６】
2020016982.tif 000008
の関係が得られることとなる。ここで、仮想ばねのばね係数kが十分に小さく且つ荷重が対称的であるとすると（ＦＲ＝０）、式（１５）に於いて、
Ｋ＋・Ｆｂ＝Ｕｂ      …（１６）
に相当する関係が得られることとなる。以上の考察から、式（１５）は、
【数７】
2020016982.tif 000009
の形式を有しており、行列Ｓ・Ｋ_k−１・Ｓ＋に於いて、Ｆｂが乗じられてＵｂを与える正方行列を成す成分の部分を抽出することにより、行列Ｓ・Ｋ_k−１・Ｓ＋を縮約して得られた部分が、疑似逆行列Ｋ＋に近似的に一致することとなる。なお、上記の表式に於いては、成分分離行列Ｓは、上から内部変形成分Ｕｂ、剛体運動成分ＵＲの順に成分が並べられているが、かかる成分を並べる順序は、任意であってよく、疑似逆行列Ｋ＋は、（式（１７ｂ）の行列の左上の部分に限らず）行列Ｓ・Ｋ_k−１・Ｓ＋のＦｂが乗じられてＵｂを与える正方行列を成す成分の部分を抽出することにより得られることは理解されるべきであり、そのような場合も本発明の範囲に属することは理解されるべきである。
【００３４】
ところで、行列Ｓ及びＳ＋の構造から理解されることであるが、上記の行列Ｓ・Ｋ_k−１・Ｓ＋のＦｂが乗じられてＵｂを与える正方行列を成す成分の部分の抽出に関して、当該部分を与える行列Ｓ＋の成分の部分は、実際にはＫ_k−１と同じ次元の単位行列となり、また、当該部分を与えるＳの成分の部分は、Ｕｂを与える成分の部分だけとなる。そこで、実施の形態に於いては、行列ＳのＵｂを与える成分の部分に縮約した縮約成分分離行列Ｓｓを作成し、疑似逆行列Ｋ＋は、
Ｓｓ・Ｋ_k-1→Ｋ＋      …（１８）
により与えられるようになっていてよい。
【００３５】
装置の作動
図３を参照して、本実施形態の装置に於ける擬似逆行列算出の処理手順は、次のように実行されてよい。なお、本実施形態の処理は、構造体の力学解析や構造最適化演算に於ける擬似逆行列算出のステップ或いはサブルーチンとして実施されてよい。具体的な処理手順に於いては、まず、擬似逆行列算出を実行するために必要な条件の設定が実行される（ステップ１）。既に触れた如く、これらの力学解析の対象となる構造体の寸法の情報、材料の物性定数、或いは、構造最適化に於ける設計領域の寸法等の条件の設定は、演算の実施者により入力装置４を通じて実行される。また、これらの情報は、構造体の力学解析や構造最適化演算の実行の結果に於いて更新された条件であってもよい。
【００３６】
しかる後、コンピュータの作動により、まず、成分分離行列Ｓの逆変換行列Ｓ＋が構造体又は設計領域の節点の数、各節点の位置に基づいて作成されてよい（ステップ２）。逆変換行列Ｓ＋は、要すれば、構造体の剛体運動の変位を構造体の各節点の変位に追加する変換となるので、内部変形成分Ｕｂが乗ぜられる成分の部分は、節点の数×自由度の次元の単位行列の形式となり、剛体運動成分ＵＲの乗ぜられる成分の部分が、適宜、変位ベクトルＵの各成分に加算されるように設定することによって構成される。例えば、三次元の構造体について、剛体運動成分ＵＲは、
【数８】
2020016982.tif 000010
の形式にて与えられるところ（ｕｘ、ｕｙ、ｕｚは、それぞれ、ｘ、ｙ、ｚ方向の平行移動変位であり、θｘ、θｙ、θｚは、それぞれ、ｘ、ｙ、ｚ軸周りの回転変位である。）、行列Ｓ＋に於ける各節点（xi,yi,zi）の変位（ｕｉｘ，ｕｉｙ，ｕｉｚ）Ｔに加算される成分は、
【数９】
2020016982.tif 000011
により与えられる（各節点の座標は、構造体の中心を原点としている。）。そして、その逆変換行列Ｓ＋の逆変換行列となる成分分離行列Ｓがプログラム言語に準備された関数或いはその他のアルゴリズムによって算出され（ステップ３）、成分分離行列ＳからＵｂを与える成分の部分に縮約した縮約成分分離行列Ｓｓが作成される（ステップ４）。
【００３７】
次いで、構造体の剛体行列Ｋが上記の構造体に於ける設定条件を用いて任意のアルゴリズムによって算出され（ステップ５）、式（３）を用いて近似剛性行列Ｋ_kが算出される（ステップ６）。なお、近似剛性行列Ｋ_kに於ける仮想的なばねのばね係数ｋの値は、小さければ小さいほど、本発明の装置で算出される擬似逆行列の精度が高くなるところ、コンピュータの計算可能な桁数を下回ると計算できなくなるので、コンピュータの計算可能な桁数に応じて使用者によって適宜設定されてよい。例えば、構造体を構成する材料のヤング率＝１とした場合に、ｋ＝１０−４〜１０−１２などと設定されてよい。そして、式（１８）により、擬似逆行列Ｋ＋が算出される（ステップ７）。なお、近似剛性行列の逆行列Ｋ_k−１は、プログラム言語によって明示的に算出されず、擬似逆行列Ｋ＋は、縮約成分分離行列Ｓｓを近似剛性行列Ｋ_kにて除算する形式にて算出可能であり、そのような場合も本発明の範囲に属する。かくして、得られた擬似逆行列Ｋ＋は、構造体の力学解析や構造最適化演算に於いて、支持構造のない構造体の変位、コンプライアンスを与える行列、コンプライアンス若しくはその感度等の算出に利用されてよい。算出された擬似逆行列Ｋ＋は、コンピュータのモニター３上に表示され、或いは、任意の記録媒体に保存されるようになっていてよい。また、図３に於いて、ステップ５、６による剛体行列Ｋ、近似剛性行列Ｋ_kの算出は、ステップ２〜４の行列Ｓ＋、Ｓ、Ｓｓの作成又は算出よりも先に実行されてよく、その場合も本発明の範囲に属する。
【００３８】
計算実験例
上記に説明した本発明の装置の有効性を検証するために、図２に例示する二次元の構造体に於ける剛性行列Ｋの擬似逆行列Ｋ＋を本実施形態の処理により算出した例を示す。
【００３９】
まず、図示の構造体の変位ベクトルＵは、下記の形式にて表される。
【数１０】
2020016982.tif 000012
内部変形成分Ｕｂもこれと同じ形式のベクトルとなる。一方、剛体運動成分ＵＲは、
【数１１】
2020016982.tif 000013
の形式となる。そして、図示の構造体に於いて、成分分離行列Ｓとその逆変換行列Ｓ＋は、下記の通りとなる。
【数１２】
2020016982.tif 000014
上記の行列Ｓに於いて、太線で囲んだ領域の成分が、内部変形成分Ｕｂを与える部分であり、行列Ｓ＋に於いて、太線で囲んだ領域の成分が、内部変形成分Ｕｂが乗ぜられる部分である。上記の行列Ｓは、各節点の変位の平均値として剛体運動成分ｕＲＸ，ＲＹを得て、その値をｕｉｘ，ｉｙから減算する事でｕｂｘ，ｂｙを得るようになっている。ＵＲの定義には或る程度の任意性があり、そのためにＳの内容にはそれに対応する任意性がある。
【００４０】
一方、図示の構造体の近似剛性行列Ｋ_kは、下記の通りとなる。
【数１３】
2020016982.tif 000015
【００４１】
かくして、
ｋ１＝ｋ２＝ｋ３＝ｋ４＝ｋ５／２＝ｋ６／２＝１      …（２６）
と設定して、擬似逆行列Ｋ＋を剛性行列Ｋから直接算出した場合と、本実施形態による解法にて算出した場合（仮想ばねのばね係数ｋ＝０．０００１と設定）は、それぞれ、擬似逆行列Ｋ＋は、下記の通りとなった。
（ａ）剛性行列Ｋから直接算出した場合
【数１４】
2020016982.tif 000016
（ｂ）近似剛性行列Ｋ_kの逆行列を使用した場合（本実施形態）
【数１５】
2020016982.tif 000017
式（２７）に於いて、太枠内の領域が擬似逆行列Ｋ＋の近似値として抽出される部分を示している。上記の結果を参照して、本実施形態による解法にて算出した場合の疑似逆行列Ｋ＋の各成分の値（式（２７）の太枠内の成分）は、剛性行列Ｋから直接算出した行列の成分（式（２６）の成分）に略一致した。このことにより、本発明の装置に於いて、支持構造のない構造体に於ける剛性行列の擬似逆行列が算出できることが示された。なお、理論的には、ｋ→０の極限で正確な値になるが、実際には桁落ち等の誤差要因があるので、ｋの小ささには限度が有る。本実施形態の場合、ｋ=１０−１２程度より小さくすると値が不安定になった。実用的には、ｋの値は桁落ちを起こさない程度に十分小さい値が最適であると思われる。例えば、構造体の材料の弾性係数の値に対して数桁程度小さい値を与えることで良い結果が得られると考えられる。また、異なるｋの値で２回または数回の計算を行い、それらの結果の比較からＫ＋の真値を推定することも可能であろう。
【００４２】
以上の説明は、本発明の実施の形態に関連してなされているが、当業者にとつて多くの修正及び変更が容易に可能であり、本発明は、上記に例示された実施形態のみに限定されるものではなく、本発明の概念から逸脱することなく種々の装置に適用されることは明らかであろう。
【図１】
2020016982.tif 000018
【図２】
2020016982.tif 000019
【図３】
2020016982.tif 000020