(57)【要約】【課題】二酸化炭素の半球型拡散による半球状コンクリートの中性化進行過程の数学的定式化と可視化を行う。【解決手段】球面関数に基づくフーリエ級数による展開法およびラプラス変換法を利用して、擬１次炭酸化反応を伴う二酸化炭素の半球型拡散の二階偏微分方程式の数学的解析解を求め、中性化進行状況を、数学的に理解できるようにする。数学演算ソフトMathematicaのプログラムであるNDSolveおよびNDSolveValueによる数値解法とそのグラフ表示のプログラムであるPlot,Plot3D,SphericalPlot3D,Showなどに基づいてコンクリートの中性化の可視化を行う。【選択図】なし【特許請求の範囲】
【請求項１】
半球形状のコンクリート構造物の球面外部から中心方向へ、二酸化炭素がコンクリート構造物の内部に拡散する半球型拡散によるコンクリートの中性化を解析する方法であって、
前記二酸化炭素のコンクリートの中性化の進行を二酸化炭素濃度を一定とした擬１次炭酸化反応によるものとし、二酸化炭素がコンクリート内に拡散する二階偏微分方程式（ａ）を設定し、前記二階偏微分方程式（ａ）を変換条件（ｂ）、（ｃ）によって変数変換して基礎方程式（ｄ）とした後、前記基礎方程式（ｄ）を球面関数によるフーリエ級数展開又はラプラス変換によって解析することを特徴とする二酸化炭素によるコンクリートの中性化の解析方法。
【数１】
2020122724.tif 000127
上記において、α：球の半径、ｒ：球中心から動径方向への距離、θ：球の動径がｚ軸となす球面角、ｔ：経過時間、ＣＡ（γ、θ、ｔ）：コンクリート中の二酸化炭素の濃度関数、CA0：二酸化炭素の大気中の一定濃度、DＡ：コンクリート中の二酸化炭素の有効拡散係数、ｋ１’：擬１次炭酸化反応速度定数である。また、Finiteは、関数値が有限であることを意味する。
【数２】
2020122724.tif 000128
【数３】
2020122724.tif 000129
【請求項２】
請求項１の解析方法における有効拡散係数及び擬１次炭酸化反応速度定数の数値を設定して、中性化進行状況を、経過時間をパラメータとして、二酸化炭素の換算濃度と半球の動径との関係を2次元プロットにより表示することを特徴とする二酸化炭素によるコンクリートの中性化の解析方法。
【請求項３】
請求項１の解析方法における有効拡散係数及び擬１次炭酸化反応速度定数の数値を設定して、中性化進行状況を、半球の動径をパラメータとして、二酸化炭素の換算濃度と経過時間との関係を２次元プロットにより表示することを特徴とする二酸化炭素によるコンクリートの中性化の解析方法。
【請求項４】
請求項１の解析方法における有効拡散係数及び擬１次炭酸化反応速度定数の数値を設定して、中性化進行状況を、右の斜め真横から眺めた３次元球面プロットにより表示することを特徴とする二酸化炭素によるコンクリートの中性化の解析方法。
【請求項５】
請求項１の解析方法における有効拡散係数及び擬１次炭酸化反応速度定数の数値を設定して、中性化進行状況を、右の斜め上から眺めた３次元球面プロットにより表示することを特徴とする二酸化炭素によるコンクリートの中性化の解析方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、コンクリートを中性化させる二酸化炭素のコンクリート内への拡散を解析する方法に関し、特にコンクリート構造物が半球形状の場合に対するコンクリートの中性化の解析方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
コンクリート構造物中の鉄筋は、コンクリートの強アルカリ性雰囲気下では不動態被膜に覆われているため腐食しにくい状態となっているが、大気中の二酸化炭素等のコンクリート内への浸透によってコンクリートが中性化し、この中性化によって不動態被膜が破壊されて腐食し易くなる。コンクリートの中性化は、コンクリート中のＣａ（ＯＨ）２等のセメント水和生成物がセメント内に拡散した大気中の二酸化炭素と反応して炭酸カルシウムＣａＣＯ３を生成することによりなされる。このようなコンクリートの中性化とそれに伴う鉄筋腐食の進行は、鉄筋コンクリート（ＲＣ）部材や建築・土木構造物等のコンクリート構造物の寿命設定の基礎となっている。
【０００３】
従来、コンクリートの中性化は非特許文献１に記載されるように、二酸化炭素のコンクリートへの１次元１方向の拡散による経過時間に関する放物線則（√ｔ則）によって解析されている。
【０００４】
すなわちコンクリートの中性化深さをｘとし、そのときの中性深さの時間変化ｄｘ／ｄｔ がそのときまでの中性深さに反比例すると考えると、次の常微分方程式が成り立つ( kは、比例定数)。
【数４】
2020122724.tif 000002
これを変数分離して積分すると、
【数５】
2020122724.tif 000003
すなわち
【数６】
2020122724.tif 000004
となり、これから、次のコンクリートの中性化進行に関する経過時間と中性化深さの関係が得られる（Ａは、中性化進行速度係数（［距離／時間１／２］の次元を持つ）である）。この法則は、放物線則（√ｔ則）と呼ばれ、セメントの種類、水−セメント比、温・湿度、二酸化炭素濃度等の色々な外的・内的因子が影響する。
【数７】
2020122724.tif 000005
【０００５】
非特許文献２には、以上の放物線則に基づき、水−セメント６０％の普通ポルトランドセメントコンクリートの日本の屋外の雨の降りかかる状態でのコンクリートの中性化進行に関する以下の浜田則が記載されている。
【数８】
2020122724.tif 000006
【０００６】
特許文献１には、コンクリート中の二酸化炭素の短期における拡散状態に基づいて、長期にわたる拡散状態を予測する方法が記載されている。この方法は、コンクリートを二酸化炭素に短期間さらして二酸化炭素が浸透した浸透距離を呈色反応によって測定し、浸透距離及び浸透期間を変数に用いたフィックの第２法則に基づく拡散方程式の解を用いることにより、任意の距離及び時間における二酸化炭素の濃度を予測するものである。
【０００７】
特許文献２には、２方向拡散、３方向拡散、４方向拡散の場合も含めて、二酸化炭素の多方向拡散による中性化進行状況を、予測し、可視化を行う方法が示されている。この方法は、ラプラス変換法やフーリエ級数による展開法を利用して、擬１次炭酸化反応を伴う二酸化炭素のフィックの拡散の二階偏微分方程式の数学的解析解を求め、中性化進行状況を、数学的に理解できるようにするとともに、数学演算ソフトMathematicaのプログラムであるNDSolveによる数値解法とそのグラフ表示のプログラムである3DPlot、DensityPlot,  ContourPlot、Showなどに基づいてコンクリートの中性化の可視化を行うものである。
特許文献３には、二酸化炭素の円筒型拡散による中性化進行状況を、予測し、可視化を行う方法が示されている。この方法は、フーリエ・ベッセル級数による展開法およびラプラス変換法を利用して、擬１次炭酸化反応を伴う二酸化炭素の円筒型拡散の二階偏微分方程式の数学的解析解を求め、中性化進行状況を、数学的に理解できるようにするとともに、数学演算ソフトMathematicaのプログラムであるNDSolveによる数値解法とそのグラフ表示のプログラムであるRevolutionalPlot3D、Showなどに基づいてコンクリートの中性化の可視化を行うものである。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００８】
【特許文献１】特開２０１２−２０２７３１号公報
【特許文献２】特開２０１５−１４５７９４号公報
【特許文献３】特開２０１７−１３３９４１号公報
【非特許文献】
【０００９】
【非特許文献１】R. Kondo,  K. Daimon, and T. Akiba: Mechanisms and Kinetics on Carbonation of Hardened Cement, Proceedings of the 5th International Symposium on Chemistry of Cement, Tokyo, Japan, 3 , pp.402-409(1968)
【非特許文献２】M. Hamada: Neutralization (Carbonation) of Concrete and Corrosion of Reinforcing Steel, ibid, pp. 343-369(1968)
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００１０】
非特許文献１、２及び特許文献１に記載されている従来の二酸化炭素のコンクリート内への拡散の解析は、コンクリート内への１次元一方向の拡散に関するものである。このような１次元一方向の拡散だけでは、コンクリート構造物が地上に施工されるという現実を考慮したものではない。すなわち地上に独立して施工されたコンクリート構造物に対しては、大気中の二酸化炭素は一方向だけなく全周囲から浸透するものであり、二酸化炭素のコンクリートへの拡散を１次元一方向で解析する従来の方法は、中性化の進行に対してある程度の示唆が可能であるとしても現実的とはかけ離れた解析となっている。他方、特許文献２では、２方向拡散、３方向拡散、４方向拡散の場合も含めて、二酸化炭素の多方向拡散による中性化進行状況を、予測し、可視化を行う方法が示されている。また、特許文献３では、円形柱や橋脚などの円柱状のコンクリート構造物においては、大気との接触面は、円周全体となり、その露出面から二酸化炭素が浸透する場合の中性化進行状況を、予測し、可視化を行う方法が示されている。しかし。半球のシェル構造においては、大気との接触面は、半球面となり、その露出面から浸透するため、これらの特許文献に示されている方法では対応できない。
【００１１】
本発明は１次元一方向の拡散に対して視点を変えてなされたものであり、コンクリート構造物の実際の施工状況を考慮し、二酸化炭素の浸透によるコンクリートの中性化の進行をコンクリートへの半球型拡散に基づいて解析する新たな解析方法を提供することを目的としている。
【課題を解決するための手段】
【００１２】
本発明は、半球形状のコンクリート構造物の球面外部から中心方向へ、二酸化炭素がコンクリート構造物の内部に拡散する半球型拡散によるコンクリートの中性化を解析する方法であって、
前記二酸化炭素のコンクリートの中性化の進行を二酸化炭素濃度を一定とした擬１次炭酸化反応によるものとし、二酸化炭素がコンクリート内に拡散する二階偏微分方程式（ａ）を設定し、前記二階偏微分方程式（ａ）を変換条件（ｂ）、（ｃ）によって変数変換して基礎方程式（ｄ）とした後、前記基礎方程式（ｄ）を球面関数によるフーリエ級数又はラプラス変換によって解析することを特徴とする。
【数９】
2020122724.tif 000007
上記において、α：球の半径、ｒ：球中心から動径方向への距離、θ：球の動径がｚ軸となす球面角、ｔ：経過時間、ＣＡ（γ、θ、ｔ）：コンクリート中の二酸化炭素の濃度関数、CA0：二酸化炭素の大気中の一定濃度、DＡ：コンクリート中の二酸化炭素の有効拡散係数、ｋ１’：擬１次炭酸化反応速度定数である。また、Finiteは、関数値が有限であることを意味する。
【数１０】
2020122724.tif 000008
【数１１】
2020122724.tif 000009
【００１３】
本発明は、上記解析方法における有効拡散係数及び擬１次炭酸化反応速度定数等の数値を設定して、中性化進行状況を、経過時間をパラメータとして、二酸化炭素の換算濃度と半球の動径との関係を２次元プロットにより表示することを特徴とする。
【００１４】
また、本発明は、上記解析方法における有効拡散係数及び擬１次炭酸化反応速度定数等の数値を設定して、中性化進行状況を、半球の動径をパラメータとして、二酸化炭素の換算濃度と経過時間との関係を２次元プロットにより表示することを特徴とする。
【００１５】
また、本発明は、上記解析方法における有効拡散係数及び擬１次炭酸化反応速度定数等の数値を設定して、中性化進行状況を、右の斜め真横から眺めた３次元球面プロットによる経時変化として表示することを特徴とする。
【００１６】
また、本発明は、上記解析方法における有効拡散係数及び擬１次炭酸化反応速度定数等の数値を設定して、中性化進行状況を、右の斜め上方向から眺めた３次元球面プロットによる経時変化として表示することを特徴とする。
【発明の効果】
【００１７】
本発明によれば、二酸化炭素の拡散浸透によるコンクリートの中性化の進行をコンクリートへの半球型拡散に基づいて解析するため、半球形状のシェル型コンクリート構造物の実際の施工状況に良好に対応することができる。
【図面の簡単な説明】
【００１８】
【図１】本発明の解析の対象となるコンクリート構造物の半球形状を示す図である。
【図２】二酸化炭素濃度の一定値を設定して、経過時間をパラメータとして、二酸化炭素の換算濃度と半球の動径との関係を示す、２次元プロットにより表示したグラフである。
【図３】二酸化炭素濃度の一定値を設定して、半球の動径をパラメータとして、二酸化炭素の換算濃度と経過時間との関係を2次元プロットにより表示したグラフである。
【図４】二酸化炭素濃度の一定値を設定して、中性化進行状況を、右の斜め真横から眺めた３次元球面プロットによる経時変化として表示したグラフである。
【図５】二酸化炭素濃度の一定値を設定して、中性化進行状況を、右の斜め上方向から眺めた３次元球面プロットによる経時変化として表示したグラフである。
【発明を実施するための形態】
【００１９】
コンクリートの中性化の進行が起こる状況は、建築物の屋外・屋内側の半球屋根、土木構造物の屋外の半球構造体、促進中性化試験における半球試験体など、様々なものがある。本発明においては、図１に示す半径がａの半球のコンクリート構造物に基づいて解析するものである。
この実施形態のコンクリートの中性化の解析においては、半球形状の球面外部から中心方向に二酸化炭素が半球型拡散する状況で、コンクリートと接触する大気の二酸化炭素濃度が、一定である場合である。
【００２０】
まず、本発明の基礎となる炭酸化反応を伴う二酸化炭素の１次元一方向における拡散方程式を示す。
コンクリートの中性化では、数学的定式化は、水酸化カルシウム（Ca(OH)2）との炭
酸化反応を伴う二酸化炭素（CO２）の内層部への非定常拡散過程に帰着する。コンクリートの中性化に関連した二酸化炭素（CO２）と水酸化カルシウム（Ca(OH)２）の炭酸化反応は、次の様に表せる。
CaCO3は、炭酸化反応の生成物である炭酸化カルシウム、H2Oは、副生成物の水である。
〔化１〕
Ca(OH)2＋CO２＝CaCO３＋H２O
【００２１】
炭酸化反応はCa(OH)2とCO２の２次反応になるが，コンクリートの炭酸化フロント近傍では、CO２濃度に比して、Ca(OH)2の濃度が圧倒的に大きく、事実上、CO２濃度に関する擬１次反応と見なしてよい。また、炭酸化反応はCO２濃度の減少になるので、この反応は、負となる。すなわち、炭酸化反応速度をRＡ、コンクリート中のＣＯ２濃度をCＡ(x,t)、Ca(OH)2濃度をCB、コンクリート中のCa(OH)2の初濃度をCB0、２次反応速度定数をｋ２、擬１次反応速度定数をｋ１‘CAとすると、
【数１１−１】
2020122724.tif 000010
従って、擬1次炭酸化反応を伴う二酸化炭素の１次元一方向拡散の場合の二階偏微分方程式は、次のようになる。
【００２２】
【数１２】
2020122724.tif 000011
上記において、ｘ：コンクリート内部への拡散の距離、ｔ：拡散時間、CA (x,t)：コンクリート中の二酸化炭素の濃度関数、CA0：二酸化炭素のコンクリート表面での初濃度、DＡ：コンクリート中の二酸化炭素の有効拡散係数、ｋ１’：擬１次炭酸化反応速度定数である。
【００２３】
式（１）に対し、半無限固体近似で、次のような初期条件と境界条件を設定する。
【数１３】
2020122724.tif 000012
【００２４】
式（１）にラプラス変換を行い、
【数１４】
2020122724.tif 000013
【００２５】
よって、
【数１４−１】
2020122724.tif 000014
すなわち、
【数１４−２】
2020122724.tif 000015
この常微分方程式の一般解は、A、Bを積分定数として、次のように与えられる。
【数１５】
2020122724.tif 000016
境界条件(4)から、Ａ＝０
また、このとき、境界条件(3)から、
【数１６】
2020122724.tif 000017
【００２６】
よって、
【数１６−１】
2020122724.tif 000018
【００２７】
よって、
【数１６−２】
2020122724.tif 000019
【００２８】
式(10)にラプラス逆変換を行うと、次の数学的解析解が得られる。
【数１７】
2020122724.tif 000020
【００２９】
この式で、コンクリート表面からの距離をパラメータとして、その時間変化を表したものと、浜田則との比較により、
【数１８】
2020122724.tif 000021
のときのxが中性化深さXに対応することが、明らかとなった。
また、表１に示されるように、各種のコンクリートにおいて、CO２の拡散係数は、水―セメントと指数関数の関係がある。
【００３０】
【表１】
2020122724.tif 000022
他方、大気中の二酸化炭素濃度の増大傾向に見られるように、コンクリート表面の二酸化炭素濃度が一定値でなく、次のように、時間的に変化する関数
2020122724.tif 000023
で与えられる場合には、
【数１９】
2020122724.tif 000024
デユアメル（Duhamel）の定理により、次のような積分方程式の解で与えられる。
【数２０】
2020122724.tif 000025
【００３１】
［第１実施形態］
本発明では、図１に示す半球形状のコンクリート構造物に対して、二酸化炭素濃度の一定値を設定するコンクリートの中性化を解析する。半球形状の球周辺部から中心方向へ二酸化炭素が半球型拡散する状況で、コンクリートと接触する大気の二酸化炭素濃度が、一定である場合である。上述したように二酸化炭素によるコンクリートの中性化の進行を二酸化炭素の擬１次炭酸化反応とするものである。フィックの拡散方程式からコンクリート内に拡散する二酸化炭素の二階偏微分方程式を下記のように設定し、コンクリートの中性化の進行を解析する。
【数２１】
2020122724.tif 000026
上記において、α：球の半径、ｒ：球中心から動径方向への距離、θ：球の動径がｚ軸となす球面角、ｔ：経過時間、ＣＡ（γ、θ、ｔ）：コンクリート中の二酸化炭素の濃度関数、CA0：二酸化炭素の大気中の一定濃度、DＡ：コンクリート中の二酸化炭素の有効拡散係数、ｋ１’：擬１次炭酸化反応速度定数である。また、Finiteは、関数値が有限であることを意味する。
【００３２】
次に、式（１５）を以下の変数変換によって簡略化する。
【００３３】
【数２２】
2020122724.tif 000027
と変数変換すると、
【００３４】
【数２３】
2020122724.tif 000028
【００３５】
従って、変数変換により次のように簡略化した基礎方程式を得ることができる。
【００３６】
【数２４】
2020122724.tif 000029
【００３７】
次に、基礎方程式を球面関数によるフーリエ級数によって数学的解析解を導出する。
式（２１）の基礎方程式において、解が、次のような変数分離形式で与えられるものとする。
【数２５】
2020122724.tif 000030
【００３８】
【数２６】
2020122724.tif 000031
【００３９】
両辺を
【数２６−１】
2020122724.tif 000032
【００４０】
【数２７】
2020122724.tif 000033
【００４１】
式（３３）が恒等的に成り立つためには、式（３３）の左辺及び右辺の１番目の式が定数でなければならない。
【００４２】
−λ２を分離定数とすると、
【００４３】
【数２８】
2020122724.tif 000034
すなわち、
【００４４】
【数２９】
2020122724.tif 000035
【００４５】
このときの境界条件は、
【数２９−１】
2020122724.tif 000036
【００４６】
(35) の一般解は、Aを積分定数として次のように与えられる.
【数３０】
2020122724.tif 000037
【００４７】
（３７）において、次のように、変数分離すると、
【数３１】
2020122724.tif 000038
【００４８】
両辺を
【数３１−１】
2020122724.tif 000039
【数３２】
2020122724.tif 000040
【００４９】
【数３２−１】
2020122724.tif 000041
【００５０】
解析の便宜上、分離定数を、ｎ（ｎ＋１）とすると、
【数３３】
2020122724.tif 000042
【００５１】
このときの境界条件は、
【数３４】
2020122724.tif 000043
【００５２】
他方、
【数３５】
2020122724.tif 000044
【００５３】
このときの境界条件は、
【数３６】
2020122724.tif 000045
【００５４】
（５０−ｂ）の解は、次のように、cosθに関するルジャンドルの多項式で与えられる。
【数３７】
2020122724.tif 000046
【００５５】
境界条件(51)から、
【数３８】
2020122724.tif 000047
【００５６】
よって、
【数３９】
2020122724.tif 000048
【００５７】
(47-c)において、次のような変数変換を行うと
【数４０】
2020122724.tif 000049
【数４１】
2020122724.tif 000050
【００５８】
このときの境界条件は、
【数４２】
2020122724.tif 000051
【００５９】
【数４２−１】
2020122724.tif 000052
【数４３】
2020122724.tif 000053
【００６０】
【数４３−１】
2020122724.tif 000054
【数４４】
2020122724.tif 000055
【００６１】
また、境界条件 (60) から,
【数４５】
2020122724.tif 000056
すなわち、
【数４６】
2020122724.tif 000057
【００６２】
よって、
【数４７】
2020122724.tif 000058
【００６３】
したがって、
【数４８】
2020122724.tif 000059
【００６４】
従って、
【数４８−１】
2020122724.tif 000060
【００６５】
式 (56)から
【数４９】
2020122724.tif 000061
【００６６】
よって、
【数５０】
2020122724.tif 000062
【００６７】
重ね合わせの原理から、
【数５１】
2020122724.tif 000063
【００６８】
【数５２】
2020122724.tif 000064
【数５３】
2020122724.tif 000065
【００６９】
変数変換を行い、
【数５４】
2020122724.tif 000066
とおくと、
【数５５】
2020122724.tif 000067
【００７０】
初期条件で
【数５６】
2020122724.tif 000068
【００７１】
【数５７】
2020122724.tif 000069
【数５８】
2020122724.tif 000070
【００７２】
左辺の積分は、
【数５８−１】
2020122724.tif 000071
【００７３】
右辺の積分は、ベッセル関数の直交性から、
【数５９】
2020122724.tif 000072
【００７４】
よって
【数６０】
2020122724.tif 000073
【００７５】
【数６０−１】
2020122724.tif 000074
【数６１】
2020122724.tif 000075
【００７６】
よって、
【数６２】
2020122724.tif 000076
【数６３】
2020122724.tif 000077
【数６４】
2020122724.tif 000078
【００７７】
よって、u（ap,θ，t）のフーリエ級数による数学的解析解は、次のように得られる。
【数６５】
2020122724.tif 000079
【００７８】
【数６６】
2020122724.tif 000080
【００７９】
一方、ラプラス変換法による数学的解析解は以下のように導出される。
【００８０】
式（２１）の基礎方程式にラプラス変換を行い、
【数６７】
2020122724.tif 000081
【数６８】
2020122724.tif 000082
【００８１】
【数６９】
2020122724.tif 000083
【数７０】
2020122724.tif 000084
【数７１】
2020122724.tif 000085
【００８２】
よって、
【数７２】
2020122724.tif 000086
【００８３】
すなわち、
【数７３】
2020122724.tif 000087
【００８４】
この解が変数分離で与えられるものと仮定し、
【数７４】
2020122724.tif 000088
とおくと、
【数７５】
2020122724.tif 000089
【００８５】
【数７６】
2020122724.tif 000090
【００８６】
この式が恒等的に成り立つためには,
【数７７】
2020122724.tif 000091
【００８７】
【数７８】
2020122724.tif 000092
【数７９】
2020122724.tif 000093
【００８８】
ここで、境界条件は、
【数８０】
2020122724.tif 000094
【００８９】
他方、
【数８１】
2020122724.tif 000095
【数８２】
2020122724.tif 000096
【００９０】
他方、境界条件は、
【数８３】
2020122724.tif 000097
【００９１】
【数８４】
2020122724.tif 000098
【数８５】
2020122724.tif 000099
【００９２】
境界条件は、次のようなる。
【数８６】
2020122724.tif 000100
【００９３】
【数８７】
2020122724.tif 000101
【００９４】
【数８８】
2020122724.tif 000102
【００９５】
境界条件（116）から、
【数８９】
2020122724.tif 000103
【００９６】
【数９０】
2020122724.tif 000104
【００９７】
従って、
【数９１】
2020122724.tif 000105
【００９８】
他方、式(111-b)の解は、
【数９２】
2020122724.tif 000106
【００９９】
【数９２−１】
2020122724.tif 000107
【０１００】
これが成り立つためには、nは、奇数でないといけない。
よって、
【数９３】
2020122724.tif 000108
【０１０１】
【数９４】
2020122724.tif 000109
【０１０２】
式（127）について、ラプラス逆変換に関するヘビサイドの展開定理に基づいて、留数を求め、ラプラス逆変換により、数学的解析解を求める。
【数９５】
2020122724.tif 000110
【数９６】
2020122724.tif 000111
【０１０３】
【数９７】
2020122724.tif 000112
【０１０４】
ヘビサイド(Heaviside)の展開定理により、
【数９８】
2020122724.tif 000113
【０１０５】
１）s=0(単極)での留数は、次のように得られる。
【０１０６】
【数９９】
2020122724.tif 000114
【０１０７】
２）一方、下記式 (単極)での留数は、次のように得られる。
【０１０８】
【数１００】
2020122724.tif 000115
【数１０１】
2020122724.tif 000116
【数１０２】
2020122724.tif 000117
【０１０９】
【数１０３】
2020122724.tif 000118
【数１０４】
2020122724.tif 000119
【０１１０】
よって、ｓ＝ｓｎにおける留数は、
【数１０５】
2020122724.tif 000120
【０１１１】
【数１０６】
2020122724.tif 000121
【０１１２】
【数１０７】
2020122724.tif 000122
【０１１３】
式（96）のフーリエ級数による数学的解析解と式（143）のラプラス変換法による数学的解析解は、一見すると、違う形であるが、本質的には、同じものである。
【０１１４】
次に、可視化について、説明する。可視化は、数学演算ソフトMathematicaのプログラムであるNDSolveおよびNDSolveValueによる数値解法とそのグラフ表示のプログラムであるPlot,Plot3D,SphericalPlot3D,Showなどに基づいて、行うものである。
【０１１５】
数学演算ソフトMathematicaのNDSolveValueによる２階偏微分方程式の数値解法
（有効係数拡散DAと擬１次炭酸化反応速度定数k1’の数値の設定）
拡散係数ＤＡは、半球の鉄筋コンクリート構造（RC造）の水セメント比45％の普通ポルトランドセメントコンクリートに対応する数値として3.1536mm2/yearを用いた（ただ、可視化の便宜上、拡散係数を100倍に設定した）。擬１次炭酸化反応速度定数k1’ は、0.01year-1を用いた。
【０１１６】
（数値解法）
次の式は、Mathemaicaによる二酸化炭素濃度を一定とする場合の半球型拡散の二階偏微分方程式の表現である。
【０１１７】
【数１０８】
2020122724.tif 000123
【０１１８】
次の式がNDSolveVallueによる数値解法である。２つめの式は、二酸化炭素と接触する半球部での初期条件を与えている。数学的解析解を求める場合と異なり、井戸型の不連続の設定でなく、滑らかだが急激に減衰する指数関数を用いるのがポイントである。また、３つめの式が、直径80cmの半球部における境界条件の設定であり、その次が、関数u［t,r］の定義領域を定めている。
【０１１９】
【数１０９】
2020122724.tif 000124
【０１２０】
式（144）、（145）を解くと、関数u[t,r]は、具体的な数式では、明示されないが、その特性の詳細は、コンピュータに内蔵された形になる。
【０１２１】
【数１１０】
2020122724.tif 000125
【０１２２】
（可視化の方法）
PlotおよびSphericalPlot3Dのプログラムにより、二酸化炭素の半球型拡散によるコンクリートの中性化進行状況を可視化することができる。
図２および３は、Plotによる可視化のグラフを示すものである。
図２は、二酸化炭素濃度の一定値を設定し、経過時間をパラメータとして、二酸化炭素の換算濃度と半球の動径との関係を2次元プロットにより表示したグラフである。図３は、二酸化炭素濃度の一定値を設定し、動径方向の距離をパラメータとして、二酸化炭素の換算濃度と半球の動径との関係を2次元プロットにより表示したグラフである。
【０１２３】
図２において、ｒは半球の動径をｃｍで示しており、この２次元プロットにより、半球形状のコンクリート中に拡散する二酸化炭素の濃度分布の経時変化を可視化することができる。９つの曲線群で、ｔ＝１０は１０年後の状況、ｔ＝２０は２０年後の状況、ｔ＝３０は３０年後の状況であり、図２では１０〜９０年後の状況を示している。なお、図２はモノクロのグラフとなっているが、カラー表示では、黒、紫、茶、緑、橙、青、マゼンダ、シアン、赤等の９つの色分けで、濃度分布が、識別されている。二酸化炭素の濃度をカラー表示することにより、より鮮明に濃度分布の経時変化を可視化することが可能となる。
【０１２４】
図３において、ｔは経過年数を年数で示しており、この２次元プロットにより半球形状のコンクリート中に拡散する二酸化炭素の濃度分布の経時変化を可視化することができる。なお、図３は、モノクロのグラフとなっているが、カラー表示では、黒、紫、緑、青、赤の５つのの色分けで、濃度分布が、識別されている。やはり、二酸化炭素の濃度をカラー表示することにより、より鮮明に濃度分布の経時変化を可視化することが可能となる。
【０１２５】
同様に、ShericalPlot3Dによってによって、コンクリート中に拡散する二酸化炭素の濃度分布の経時変化の状況が、可視化ができる。ShericalPlot3Dによる可視化の方法は、次の表現になる。30年経過後の、半径20,25,30,35,40cmの位置におけるコンクリート中のCO2の換算濃度を与える。
【数１１１】
2020122724.tif 000126
【０１２６】
図４は、ShericalPlot3Dのプログラムを用いて、右の斜め真横から眺めた３次元球面プロットの図である。半径20,25,30,35,40cmの位置におけるコンクリート中のCO2の換算濃度が、経時変化してゆく状況を示している。図４においても、モノクロのグラフとなっているが、二酸化炭素の濃度をカラー表示することにより、より鮮明に濃度分布の経時変化を可視化することが可能となる。通常の１次元１方向拡散の場合と比較すると、中性化が、半球の外部から、内層部に向かって徐々に進行してゆく状況をよく理解できる。
【０１２７】
図５は、ShericalPlot3Dのプログラムを用いて、右の斜め上方向から眺めた３次元球面プロットの図である。半径20,25,30,35,40cmの位置におけるコンクリート中のCO2の換算濃度が、経時変化してゆく状況を示している。図４においても、モノクロのグラフとなっているが、二酸化炭素の濃度をカラー表示することにより、より鮮明に濃度分布の経時変化を可視化することが可能となる。通常の１次元１方向拡散の場合と比較すると、中性化が、半球の外部から、内層部に向かって徐々に進行してゆく状況をよく理解できる。
【図１】
2020122724.tif 000130
【図２】
2020122724.tif 000131
【図３】
2020122724.tif 000132
【図４】
2020122724.tif 000133
【図５】
2020122724.tif 000134
【手続補正書】
【提出日】平成31年2月6日(2019.2.6)
【手続補正１】
【補正対象書類名】図面
【補正対象項目名】全図
【補正方法】変更
【補正の内容】
【図１】
2020122724.tif 000135
【図２】
2020122724.tif 000136
【図３】
2020122724.tif 000137
【図４】
2020122724.tif 000138
【図５】
2020122724.tif 000139