(57)【要約】【課題】応答特性が改善されたエアアクチュエータおよびエアステージ装置ならびにそれらのコントローラを提供する。【解決手段】サーボバルブを有するエアステージ１００の制御装置が提供される。フィードバックコントローラ３１０Ａは、ステージの位置をメジャーループで制御し、ステージの速度および加速度をマイナーループで制御する。制御装置は、フィードバックコントローラ３１０Ａに組み込まれた多段の位相進み補償器３６０，３６２，３６４を備える。【選択図】図６
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
サーボバルブを有するエアステージの制御装置であって、
ステージの位置をメジャーループで制御し、前記ステージの速度および加速度をマイナーループで制御するフィードバックコントローラと、
前記フィードバックコントローラに組み込まれた多段の位相進み補償器と、
を備えることを特徴とする制御装置。
【請求項２】
前記多段の位相進み補償器は、
前記加速度のフィードバックループに組み込まれた第１位相進み補償器と、
前記速度のフィードバックループに組み込まれた第２位相進み補償器と、
を含むことを特徴とする請求項１に記載の制御装置。
【請求項３】
前記多段の位相進み補償器はさらに、
前記位置のフィードバックループに組み込まれた第３位相進み補償器を含むことを特徴とする請求項２に記載の制御装置。
【請求項４】
前記フィードバックコントローラは、
前記ステージの位置指令値と位置検出値の差分を表す第１誤差を生成し、
前記第１誤差に位置比例ゲインを乗算し、さらに位相進み補償を施して速度指令値を生成し、
前記速度指令値と速度検出値の差分を表す第２誤差を生成し、
前記第２誤差に速度比例ゲインを乗算し、さらに位相進み補償を施して加速度指令値を生成し、
前記加速度指令値と加速度検出値の差分を表す第３誤差を生成し、
前記第３誤差に加速度比例ゲインを乗算し、さらに位相進み補償を施して制御指令を生成し、
前記制御指令に応じた入力を、前記サーボバルブに与えることを特徴とする請求項１から３のいずれかに記載の制御装置。
【請求項５】
前記フィードバックコントローラは、前記位置検出値と前記サーボバルブに対する入力を受ける外乱オブザーバを含み、
前記制御指令と前記外乱オブザーバの出力の差分を、前記サーボバルブに与えることを特徴とする請求項４に記載の制御装置。
【請求項６】
前記サーボバルブに対する指令値の経路に設けられたノッチフィルタをさらに備えることを特徴とする請求項１から５のいずれかに記載の制御装置。
【請求項７】
請求項１から６のいずれかに記載の制御装置を備えることを特徴とするエアステージ装置。
【請求項８】
サーボバルブを有するエアアクチュエータの制御装置であって、
前記エアアクチュエータの可動部の位置をメジャーループで制御し、少なくとも前記可動部の速度および加速度をマイナーループで制御するフィードバックコントローラと、
前記フィードバックコントローラに組み込まれた２段以上の位相進み補償器と、
を備えることを特徴とする制御装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、エアステージ装置やエアアクチュエータに関する。
【背景技術】
【０００２】
対象物の位置決めにステージ装置が用いられる。ステージ装置は、ガイドと、ガイドに沿って可動するスライダと、スライダを駆動するリニアアクチュエータを備える。電子ビームを用いた露光装置において、リニアアクチュエータとしてリニアモータを使用すると、リニアモータが発生する磁場が電子ビームに作用するため、パターンの描画精度が低下するという問題が知られている。測定対象の微弱な磁場を測定する磁場測定装置においても、リニアモータの発生する磁場は測定精度を低下させる。このような装置においては、空気圧を利用したエアステージ装置を使用する場合がある。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００３】
【非特許文献１】榊和敏，渋川崇，「サーボ特性を考慮した空気圧サーボ系の設計」，第17回流体計測第14回流体制御連合シンポジウム，(1999) ,pp.99-102.
【非特許文献２】花房秀郎，「関節系ロボットの制御を目的とした電気油圧サーボ系の設計」，油圧と空気圧，日本油空圧学会編，Vol.13，No.7(1982)，pp.429-436.
【非特許文献３】Jun Li, "Integrated control design of pneumatic servo table considering the dynamics of pipelines and servo valve", International Journal of Automation Technology, Vol.5, No.4(2011), pp.485-491.
【非特許文献４】Richard C. Dorf, "Modern control systems", Prentice Hall; 12 edition (2010), pp.330-339.
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
これまでのエアアクチュエータの代表的な用途として、空圧式除振台が挙げられる。空圧式除振台は、応答が緩慢であることが当然として受け入れられており、高速化の要求もそれほど高くなかった。このような事情もあって、エアアクチュエータの分野においては、応答特性の改善に対する関心・要望が弱く、高速化に有効な制御理論が確立していなかった。言い換えれば、従来のエアステージ装置の応答速度には、改善の余地があると言える。なおこの問題は、エアステージ装置のみでなく、エアアクチュエータやサーボ装置に共通する課題として捉えることができる。
【０００５】
本発明は、こうした状況に鑑みてなされたものであり、そのある態様の例示的な目的のひとつは、応答特性が改善されたエアアクチュエータおよびエアステージ装置ならびにそれらのコントローラの提供にある。
【課題を解決するための手段】
【０００６】
本発明のある態様は、サーボバルブを有するエアステージの制御装置に関する。制御装置は、ステージの位置をメジャーループ（アウターループ）で制御し、少なくともステージの速度および加速度をマイナーループ（インナーループ）で制御するフィードバックコントローラと、フィードバックコントローラに組み込まれた２段以上の位相進み補償器と、を備える。
【０００７】
本発明の別の態様は、サーボバルブを有するエアアクチュエータの制御装置に関する。制御装置は、エアアクチュエータの可動部の位置をメジャーループで制御し、少なくとも可動部の速度および加速度をマイナーループで制御するフィードバックコントローラと、フィードバックコントローラに組み込まれた２段以上の位相進み補償器と、を備える。
【０００８】
なお、以上の構成要素の任意の組み合わせや、本発明の構成要素や表現を方法、装置、などの間で相互に置換したものもまた、本発明の態様として有効である。
【発明の効果】
【０００９】
本発明によれば、エアアクチュエータやエアステージ装置の応答特性を改善できる。
【図面の簡単な説明】
【００１０】
【図１】エアステージの斜視図である。
【図２】エアアクチュエータの断面図である。
【図３】エアステージのＸ軸の開ループ周波数応答を示す図である。
【図４】図４（ａ）、（ｂ）は、エアステージの制御系の基本構成を示すブロック図である。
【図５】図４の制御系の閉ループ周波数応答を示す図である。
【図６】多段位相進み補償を組み込んだ制御系のブロック図である。
【図７】加速度フィードバックループのみに位相進み補償を実装した制御系の閉ループ周波数応答を示す図である。
【図８】加速度のマイナーループの閉ループ特性を示す図である。
【図９】配管共振周波数を１２０Ｈｚに設計した場合の位相進み補償の効果を検証した結果を示す図である。
【図１０】加速度フィードバックループおよび速度フィードバックループに位相進み補償を実装した制御系の閉ループ周波数応答を示す図である。
【図１１】加速度フィードバックループ、速度フィードバックループおよび位置フィードバックループに位相進み補償を実装した制御系の閉ループ周波数応答を示す図である。
【図１２】配管共振を含めたモデルにおける開ループ周波数特性のゲイン特性のシミュレーション結果を示す図である。
【図１３】変形例に係るエアステージのブロック図である。
【図１４】図１３のエアステージの周波数応答を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００１１】
以下、各図面に示される同一または同等の構成要素、部材、工程には、同一の符号を付するものとし、適宜重複した説明は省略する。また、各図面における部材の寸法は、理解を容易にするために適宜拡大、縮小して示される。また、各図面において実施の形態を説明する上で重要ではない部材の一部は省略して表示する。
【００１２】
１．  エアステージ
図１は、エアステージの斜視図である。エアステージ１００は、主として、定盤１０２、除振台１０４、除振装置１０６、ワークテーブル１１０、Ｘ軸の１本のエア（Pneumatic）アクチュエータ１２０、Ｙ軸の２本のエアアクチュエータ１３０Ａ，１３０Ｂを備える。定盤１０２は除振台１０４によって支持されている。エアステージ１００は、エアアクチュエータが上軸にＸ軸、下軸にＹ１，Ｙ２軸の２本が設けられたＨ型の構造である。除振装置１０６は、Ｘ軸エアアクチュエータ１２０やＹ軸エアアクチュエータ１３０の運動に起因する力を吸収し、定盤１０２の振動を抑制する。
【００１３】
Ｘ軸エアアクチュエータ１２０は、ガイド（スクエアシャフト）１２２、スライダ１２４、サーボバルブ（不図示）を有する。同様にＹ軸エアアクチュエータ１３０は、ガイド１３２、スライダ１３４、サーボバルブ１３６を有する。ワークテーブル１１０は、スライダ１２４に設けられている。ガイド１２２はその両端において、Ｙ軸エアアクチュエータ１３０Ａ，１３０Ｂそれぞれのスライダ１３４によって支持される。
【００１４】
位置センサ１４０は、ワークテーブル１１０のＸ軸方向の位置を検出する。また位置センサ１４２は、ワークテーブル１１０のＹ軸方向の位置を検出する。
【００１５】
図２は、エアアクチュエータ１２０の断面図である。Ｘ軸エアアクチュエータ１２０は、ガイド（スクエアシャフト）１２２、スライダ１２４、サーボバルブ（スプールバルブ）１２６を備える。
【００１６】
ガイド１２２には、静圧軸受が設けられ、スライダ１２４は、その内周側の各面に設けられたエアベアリングを用いて浮上しており、Ｘ軸方向に完全非接触にて移動可能に支持される。
【００１７】
スライダ１２４には、内部空間であるサーボチャンバ１５０が設けられ、サーボチャンバ１５０は、ガイド１２２に設けられた受圧プレート１２３によって、正側チャンバ室１５２と負側チャンバ室１５４に区画される。
【００１８】
スライダ１２４は、サーボバルブ１２６により駆動される。サーボバルブ１２６は、スプールの位置により、コントロールポートの吸排気量の制御を行う。図１のエアステージ１００は、各軸の正側と負側にそれぞれ配置された１対のサーボバルブ１２６Ｐ，１２６Ｎを備える。正側のサーボバルブ１２６Ｐのコントロールポートは、正側配管１２８Ｐを介して正側チャンバ室１５２と連通している。負側のサーボバルブ１２６のコントロールポートは、負側配管１２８Ｎを介して、負側チャンバ室１５４と連通している。
【００１９】
サーボバルブ１２６Ｐ，１２６Ｎのスプールの位置を制御することにより、正側チャンバ室１５２、負側チャンバ室１５４に差圧が生ずる。この差圧によりスライダ１２４の位置が制御される。
【００２０】
Ｙ軸エアアクチュエータ１３０もＸ軸エアアクチュエータ１２０と同様に構成することができる。
【００２１】
図３は、エアステージ１００のＸ軸の開ループ周波数応答を示す図である。横軸はサーボバルブ１２６に対する制御指令値の周波数を表す。縦軸の左軸は、制御ゲインであり、エアステージの速度を、制御指令値で除した値に対応する。縦軸の右軸は、位相を表す。
【００２２】
ゲイン特性に着目すると、０．８Ｈｚ付近と６０Ｈｚにピークが存在する。０．８Ｈｚのピークはエアステージ１００の固有振動数であり、固有振動数は式（１）で表される。Ａｐ[ｍ２]は受圧面積、Ｐ０［Ｐａ］は平衡圧（絶対圧基準）、Ｍｓｔ［ｋｇ］はエアステージの質量、Ｖ[ｍ３]はステージ内の空圧回路容積である。
【数１】
2020027311.tif 000003
また、６０Ｈｚのピークは配管共振によるものである。一般に、配管共振Ｇｐ（ｓ）は２次の遅れ系で表され、式（２）で表される（非特許文献３）。ただしζ０は[-]は配管共振の減衰係数、ω０は[rad/s]は配管共振の固有角振動数である。
【数２】
2020027311.tif 000004
【００２３】
配管共振の周波数は、図２における配管１２８の長さによって定まるところ、エアステージ１００を半導体製造プロセスに用いる場合、真空チャンバー内に磁性体を含むサーボバルブを配置できないため、配管長は物理的に制約を受け、したがって配管共振周波数を高域にシフトさせることは困難であるという事情がある。
【００２４】
２．  制御系
図４（ａ）、（ｂ）は、エアステージの制御系３００の基本構成を示すブロック図である。ここではＸ軸方向の制御のみを示すが、Ｙ軸方向も同様である。図４（ａ）を参照すると、制御系３００は、エアステージ１００とフィードバックコントローラ３１０と、を含む。エアステージ１００は制御対象（plant）であり、制御指令（すなわちサーボバルブ入力）ｕを入力、ステージの位置ｘを出力とする。
【００２５】
生産加工装置の製造現場で使用されるステージの位置制御には、広くＰＩＤ（Proportional-Integral-Differential）補償が活用されている。一方、エアステージは積分特性を有することから、フィードバックコントローラ３１０は、ＰＤＤ２（Proportional-Differential-2nd Deriviative）補償器をベースとして構成される。より具体的にはフィードバックコントローラ３１０は、ステージの位置ｘをメジャーループ（アウターループ）で制御し、ステージの速度および加速度をマイナーループ（インナーループ）で制御する。２本のマイナーループのうち、外側のループをミッドループと称し、内側のループを単にマイナーループとも称する。ステージの速度、加速度の検出値はそれぞれ、図１の位置センサ１４０の出力（位置検出値）を１階微分、２階微分することにより得ることができる。もっとも位置センサ１４０に代えて、あるいはそれに加えて、加速度センサを設け、加速度センサの出力を加速度の検出値として用い、その積分値を速度の検出値として用いてもよい。要するに、位置、速度、加速度それぞれの検出値は、十分な検出精度が得られる手段を用いて取得すればよい。
【００２６】
フィードバックコントローラ３１０は、複数の減算器３１２、３１４，３１６、３５２と、複数の乗算器３２０，３２２，３２４と、微分器３３０，３３２、ノッチフィルタ３４０、外乱オブザーバ３５０を備える。なお、フィードバックコントローラ３１０は、ソフトウェアプログラムと、それを実行するハードウェア（すなわちＣＰＵやマイコン）の組み合わせで実装することができ、したがってフィードバックコントローラ３１０の構成要素は、それらの組み合わせにより実現される機能を表す。
【００２７】
減算器３１２は、位置指令値ｘｒｅｆと検出値ｘｆｂの差分（位置誤差信号）を生成する。乗算器３２０は、位置誤差信号に位置比例ゲインＫｐを乗ずる。乗算器３２０の出力は、速度指令値ｖｒｅｆとなる。減算器３１４は、速度指令値ｖｒｅｆと速度検出値ｖｆｂの差分（速度誤差信号）を生成する。乗算器３２２は速度誤差信号に速度比例ゲインＫｖを乗ずる。乗算器３２２の出力は、加速度指令値ａｒｅｆとなる。減算器３１６は、加速度指令値ａｒｅｆと加速度検出値ａｆｂの差分（加速度誤差信号）を生成する。乗算器３２４は、位置誤差信号に加速度比例ゲインＫａを乗ずる。乗算器３２４の出力に応じて、エアステージ１００に対する制御入力ｕが生成される。乗算器３２４の出力は、ノッチフィルタ３４０を経てエアステージ１００に入力される。ノッチフィルタ３４０は、上述した配管共振に起因するピークの影響をキャンセルするために設けられる。
【００２８】
図４（ａ）において、ｄは外乱を表す。フィードバックコントローラ３１０は、外乱オブザーバ３５０を備えてもよい。減算器３５２は、乗算器３２４の出力から外乱オブザーバ３５０の出力を減ずることにより、外乱（たとえばケーブルキャリアなどの外乱）の影響を除去する。なお外乱オブザーバ３５０は公知技術を用いればよく、本発明と直接関連がないため詳細な説明は省略する。
【００２９】
速度検出値ｖｆｂは、微分器３３０により位置検出値ｘｆｂを微分することにより得られる。加速度検出値ａｆｂは速度検出値ｖｆｂを微分器３３２によって微分することにより得られる。具体的には、速度検出値、加速度検出値は、位置検出値を擬似微分した後に、ノイズによる高域な外乱除去のために平均化処理をした信号（１ｍｓ間の信号の平均値）を使用するとよい。
【００３０】
図４（ｂ）は、図４（ａ）と等価的な機能ブロック図である。Ｋｐｂは位置フィードバックループゲイン、Ｋｖｂは速度フィードバックループゲイン、Ｋａｂは加速度フィードバックループゲインであり、図４（ａ）の位置比例ゲインＫｐ、速度比例ゲインＫｖ、加速度比例ゲインＫａを等価交換したものである。
【００３１】
エアステージ１００のモデルは、式（３）で表される。同式において、配管共振のモデルは含まれていない。ここで、Ｋｆ［−］は臨界流れ係数、δ［−］は非チョーク係数、Ｒ［Ｊ／ｇ／Ｋ］は気体定数、θ［Ｋ］は気体温度である。また、サーボバルブは単純ゲインＫｓｖ［ｍｍ２／Ｖ］としている。これは、サーボバルブの応答はエアステージに対して十分速いためである。
【数３】
2020027311.tif 000005
【００３２】
次に、位置指令ｘｒｅｆからスライダ位置ｘまでの伝達関数は式（４）で表される。
【数４】
2020027311.tif 000006
式（４）において、制御パラメータを決定する際には、限界感度法、オートチューニング法、Ｈ無限大制御などを用いることができる。本実施の形態では、３次の制御系に対して２つのパラメータの設定により、任意に閉ループ系の極配置を決定できるα−β線図法（非特許文献２）を採用した。具体的に、式（４）を式（５）に変換し係数比較することにより、式（６）のように理論的にはαおよびβの値により、閉ループの応答特性（極配置）を一意に定められる。なお、実際の調整では、αおよびβに加えて、位置フィードバックループゲインＫｐｂの値により実施する。さらに、配管共振によるピークに対しては、ノッチフィルタ（中心遮断周波数６０Ｈｚ、減衰係数０．３）を適用する。
【数５】
2020027311.tif 000007
【数６】
2020027311.tif 000008
【００３３】
図５は、図４の制御系３００の閉ループ周波数応答を示す図である。ここで、図４（ａ）の位置フィードバックループ比例ゲインＫｐ、速度フィードバックループ比例ゲインＫｖ、そして加速度フィードバックループ比例ゲインＫａは、式（６）により導出される。ただし、α，β，Ｋｎ，ωｎ，Ｋｓｖ，Ｋｐｂはそれぞれ０．８，１．６，０．２８ｍ／ｓ／ｍｍ２，４．７３ｒａｄ／ｓ，２．７ｍｍ２／Ｖ，５５００ｓ−１である。図５に示されるように、応答帯域は９Ｈｚ程度である。ゲイン特性のスロープは、理論上−６０ｄＢ／ｄｅｃであるが、−４０ｄＢ／ｄｅｃとなっており、６５Ｈｚにはピークが見られる。
【００３４】
３．  位相進み補償
上述したように、エアステージ１００の周波数応答は、６０Ｈｚ付近に配管共振によるピークを有する。機械ユニットの配置に関する制約からこの配管共振周波数を高域にシフトさせることは困難である。そのため、エアステージの応答を改善するには、配管共振のピークを制御によって補償する必要がある。
【００３５】
ここで、産業界においては、量産採用された制御系の構成を大幅に変更することは嫌われることが多い。そこで、制御系の骨格を確保したまま改善する手法として、位相進み補償に着目した。この組み込みの検討と実装の結果について述べる。
【００３６】
図６は、多段位相進み補償を組み込んだ制御系３００Ａのブロック図である。制御系３００Ａは、エアステージ１００とフィードバックコントローラ３１０Ａを備える。フィードバックコントローラ３１０Ａの基本構成は図４（ａ）のフィードバックコントローラ３１０と同様であり、フィードバックコントローラ３１０に加えて、それに組み込まれた多段の位相進み補償器３６０，３６２，３６４を備える。
【００３７】
第１位相進み補償器３６０は、加速度のフィードバックループ（すなわちマイナーループ）に組み込まれ、具体的には加速度比例ゲインＫａ（乗算器３２４）の後段に設けることができる。第２位相進み補償器３６２は、速度のフィードバックループ（すなわちミッドループ）に組み込まれ、具体的には速度比例ゲインＫｖ（乗算器３２２）の後段に設けることができる。また第３位相進み補償器３６４は、位置のフィードバックループ（すなわちメジャーループ）に組み込まれ、具体的には位置比例ゲインＫｐ（乗算器３２０）の後段に設けることができる。以上が実施の形態に係る制御系３００Ａの構成である。
【００３８】
続いて、フィードバックループ毎の位相進み補償の効果を、個別に検証する。
【００３９】
（加速度フィードバックループ）
図４（ａ）のような多重のフィードバックをもつ制御系に対して補償器を挿入して周波数応答を整形するという観点からすると、マイナーループにおける補償の方が大きな効果が期待できる。そこで、まず、加速度比例ゲインＫａの後段に設けられた第１位相進み補償器３６０について検討する。第１位相進み補償器３６０の伝達関数は式（７）で表される。
【数７】
2020027311.tif 000009
【００４０】
図７は、加速度フィードバックループのみに位相進み補償を実装した制御系３００の閉ループ周波数応答を示す図である。ここで、α，β，Ｋｐｂ，ωｐｌ，φは、それぞれ０．８，１．６，５５００Ｖ／ｍ，２８２．７ｒａｄ／ｓ，３９ｄｅｇである。図７に示すように、位相特性に関しては、４０〜５０Ｈｚ付近の位相が大きく改善している。一方、ゲイン特性に関しては、応答は９Ｈｚから１０Ｈｚにわずか１Ｈｚの改善が見られるに過ぎない。位相の大きな改善にもかかわらず、ゲイン特性の改善幅が小さい理由は、加速度フィードバックループにおいて、位相進み補償により位相特性を改善する際に、系が不安定となるのに対応するために、加速度フィードバックループ全体のゲインを下げたためである。
【００４１】
検証のために、加速度フィードバックループ特性について検討する。図８は、加速度のマイナーループの閉ループ特性を示す図である。同図のゲイン特性に着目すると、位相進み補償無しの場合と比較すると、ゲインのピークが高域にシフトしているものの同程度である。ピークは１０ｄＢ程度であるが、図７の位相進み補償無しの閉ループ応答を得る際の位置フィードバックループは発振限界となるゲインから１０％下げて調整している。そのため、図８の応答取得時のゲイン調整の目安として、位相進み補償なしの場合のゲイン特性と同程度のピークであれば許容できると判断できる。
【００４２】
次に、図８の位相特性に着目すると、図７の結果と同様に位相が改善している。一方、位相進み補償の有無に関わらず、５０Ｈｚ付近で急激に位相が遅れている。これは、６０Ｈｚ付近にある配管共振のピークを補償するノッチフィルタ（図４のノッチフィルタ３４０）の位相遅れに起因する。そこで、位相進み補償の有効性と配管共振のピークを補償するノッチフィルタの位相遅れの関係性を確認するために、仮想的に配管長を短くすることによって配管共振周波数を高くしたバリエーションについて、位相進み補償の効果を比較検証する。
【００４３】
図９は、配管共振周波数を１２０Ｈｚに設計した場合の位相進み補償の効果を検証した結果を示す図である。ωｐｌ、φは、それぞれ２７６．４ｒａｄ／ｓ、１０ｄｅｇである。同図より、全体的に位相遅れが改善している。さらに、この改善により応答の広帯域化が実現したことにより、応答は３６Ｈｚから３９Ｈｚと３Ｈｚ拡大する。図７と図９の比較により、配管共振がエアステージの応答帯域よりも十分に高域にある場合、位相進み補償による応答特性の改善の効果はより大きいといえる。
【００４４】
（速度フィードバックループ）
周波数応答の整形という観点から考えると、マイナループの次はミドルループの周波数応答の整形が有効である。そこで、速度比例ゲインＫｖの後段に設けられた第２位相進み補償器３６２の効果について検討する。
【００４５】
図１０は、加速度フィードバックループおよび速度フィードバックループに位相進み補償を実装した制御系の閉ループ周波数応答を示す図である。速度フィードバックループにおいて、ωｐｌ＝１３８．２ｒａｄ／ｓ、φ＝１０ｄｅｇであり、加速度フィードバックループにおいて、ωｐｌ＝２０７．３ｒａｄ／ｓ、φ＝１０ｄｅｇである。同図より、速度および加速度フィードバックループの両者に位相進み補償を適用することにより、位相特性がさらに改善する。また、ゲインの応答性は４２Ｈｚまで改善しており、さらなる広帯域化が実現できることがわかる。
【００４６】
（位置フィードバックループ）
マイナループとミドルループの周波数応答の整形を実施した結果、上記のとおり高帯域化が実現できることが確認される。そこで、最後に、図１０のようにいちばん外側のアウタループである位置フィードバックループ比例ゲインＫｐの後段に設けられた第３位相進み補償器３６４の効果について検討する。
【００４７】
図１１は、加速度フィードバックループ、速度フィードバックループおよび位置フィードバックループに位相進み補償を実装した制御系の閉ループ周波数応答を示す図である。位置フィードバックループにおいて、ωｐｌ＝８１．７ｒａｄ／ｓ、φ＝１０ｄｅｇであり、速度フィードバックループにおいてωｐｌ＝１３８．２ｒａｄ／ｓ、φ＝１０ｄｅｇであり、加速度フィードバックループにおいてωｐｌ＝２０７．３ｒａｄ／ｓ、φ＝１０ｄｅｇである。同図より、位置フィードバックループの位相進み補償の追加による、ゲイン特性にさらなる改善は見られない。位置フィードバックループに追加した位相進み補償は１３Ｈｚ（１３８．２ｒａｄ／ｓ）で適用しているが、この帯域の応答は既にフィードバックゲインで応答整形がされており、互いに干渉するため、位置位相進み補償の効果が得られなかったと考えられる。
【００４８】
以上の考察から、エアステージにおいて位相進み補償器の適用は有効であることがわかる。特にＰＤＤ２補償のような複数のフィードバックループをもつ制御系を構成する場合は、多段の位相進み補償を適用することで、さらに応答の広帯域化を実現できる。効果の観点から言えば、少なくともマイナーループ（加速度フィードバックループ）とミッドループ（速度フィードバックループ）には、位相進み補償を組み込むことが望ましい。
【００４９】
メジャーループである位置フィードバックループに関しては、本明細書において検討したエアステージでは、広帯域化に対する貢献は小さいため、位相進み補償を省略してもよい。一方で、エアステージの構成やジオメトリによっては、位置フィードバックループにおける位相進み補償が広帯域化に大きく貢献するケースもありえることに留意されたい。
【００５０】
＜変形例＞
配管共振を考慮してエアステージ１００をモデル化することができる。ここでサーボバルブ指令ｕからスライダの位置ｘまでの開ループ伝達関数は式（８）で表される。
【数８】
2020027311.tif 000010
【００５１】
図１２は、配管共振を含めたモデルにおける開ループ周波数特性のゲイン特性のシミュレーション結果を示す図である。同図より、配管共振を考慮した式（８）から得られるゲイン特性が、全体的に実機の周波数応答と一致することが確認でき、モデルの正しさが裏付けられている。
【００５２】
次に、式（８）に対する制御系について検討する。図１３は、変形例に係るエアステージ４００のブロック図である。エアステージのモデルは５次系であるため、同図のようにスライダ位置ｘを４階微分したフィードバック信号まで用いる制御系が構成される。具体的には、フィードバックコントローラ４１０は、図４（ａ）のフィードバックコントローラ３１０に加えて、複数の乗算器３２６，３２８、複数の減算器３１８，３１９、複数の微分器３３４，３３６をさらに備える。乗算器３２６，３２８のゲインをＫｊ，Ｋｉとする。ここで、位置指令ｘｒｅｆからスライダ位置ｘまでの伝達関数Ｇ１（ｓ）は式（９）、（１０）で表される。
【数９】
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【数１０】
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【００５３】
３次の制御系の場合は、式（５）の変形により、α-β線図法を利用し任意の極配置が得られる各制御ゲインの大きさを決定できた。しかし、５次系の場合は式（９）のように分母の係数が４つに増えるため、これを適用できない。そこで、ITAE(Integral of Time multiplied by the Absolute Error)法(非特許文献４)を適用した。ITAE法は、初期よりも後期に発生する誤差全てに強く重みづけする特徴をもつ。そのため、オーバシュートは大きくなるが、整定時間は短くできる特徴がある。具体的に、ITAE法では、制御系の閉ループ伝達関数が式（９）と表されるとき、式（１０）は式（１１）で表される。なお、ωｃ［ｒａｄ／ｓ］は制御系の目標応答帯域の角周波数となる。
【数１１】
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ここで、式（１０）と（１１）の係数比較により、各ゲインは式（１２）として得ることができる。
【数１２】
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【００５４】
図１４は、図１３のエアステージにおいて、ｆｃ（＝ωｃ／２π）を２０Ｈｚ、配管の固有値および減衰係数を６０Ｈｚ，０．０７としたときの周波数応答を示す図である。図５と図１４を比較すると、５次の制御系の実装により、応答性がさらに改善することがわかる。５次の制御系の実装は、現在利用可能なハードウェアの水準に照らすと容易ではないが、５次の制御系に上述の多段の位相進み補償器を組み込んでもよい。裏を返せば、現在の技術水準で５次の制御系を実装することが困難であるが故に、３次の制御系に多段の位相進み補償を組み込んで応答速度を高めることの意義が高いとも言える。
【符号の説明】
【００５５】
１００  エアステージ
１０２  定盤
１０４  除振台
１０６  除振装置
１１０  ワークテーブル
１２０  Ｘ軸エアアクチュエータ
１３０  Ｙ軸エアアクチュエータ
１２２  ガイド
１２３  受圧プレート
１２４  スライダ
１２６  サーボバルブ
１２８  配管
１３２  ガイド
１３４  スライダ
１３６  サーボバルブ
１４０，１４２  位置センサ
１５０  サーボチャンバ
１５２  正側チャンバ室
１５４  負側チャンバ室
３００  制御系
３１０  フィードバックコントローラ
３１２，３１４，３１６  減算器
３２０，３２２，３２４  乗算器
３３０，３３２  微分器
３４０  ノッチフィルタ
３５０  外乱オブザーバ
３５２  減算器
３６０  第１位相進み補償器
３６２  第２位相進み補償器
３６４  第３位相進み補償器
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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