(57)【要約】  Ｇ，Ｈを群、ｆ（ｘ）をｘ∈Ｈに対して群Ｇの元を得る関数、Ｘ1，Ｘ2を群Ｇに値を持つ確率変数、ｘ1を確率変数Ｘ1の実現値、ｘ2を確率変数Ｘ2の実現値、計算装置が、暗号文ｘに対応するτ1及びτ2を出力し、能力提供装置が、τ1を用い、或る確率より大きな確率でｆ（τ1）を正しく計算し、計算結果をｚ1とし、τ2を用い、或る確率より大きな確率でｆ（τ2）を正しく計算し、計算結果をｚ２とし、計算装置が、ｚ１から計算結果ｕ＝ｆ（ｘ）bｘ1を生成し、ｚ2から計算結果ｖ＝ｆ（ｘ）aｘ2を生成し、計算結果ｕ及びｖが特定の関係を満たす場合にｕb’ｖa’を出力する。
2012057134.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
計算装置と能力提供装置とを有し、
Ｇ，Ｈが群、ｆ（ｘ）が前記群Ｈの元である暗号文ｘを特定の復号鍵で復号して前記群Ｇの元を得るための復号関数、Ｘ1，Ｘ2が前記群Ｇに値を持つ確率変数、ｘ1が確率変数Ｘ1の実現値、ｘ2が確率変数Ｘ2の実現値、ａ，ｂが互いに素である自然数であり、
前記計算装置が、
前記暗号文ｘに対応する、前記群Ｈの元である第一入力情報τ1及び第二入力情報τ2を出力する入力情報提供部を含み、
前記能力提供装置が、
前記第一入力情報τ1を用い、或る確率より大きな確率でｆ（τ1）を正しく計算し、得られた計算結果を第一出力情報ｚ1とする第一出力情報計算部と、
前記第二入力情報τ2を用い、或る確率より大きな確率でｆ（τ2）を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報ｚ2とする第二出力情報計算部と、を含み、
前記計算装置が、さらに
前記第一出力情報ｚ1から計算結果ｕ＝ｆ（ｘ）bｘ1を生成する第一計算部と、
前記第二出力情報ｚ2から計算結果ｖ＝ｆ（ｘ）aｘ2を生成する第二計算部と、
前記計算結果ｕ及びｖがｕa＝ｖｂを満たす場合に、ａ’ａ＋ｂ’ｂ＝１を満たす整数ａ’，ｂ’についてのｕb’ｖa’を出力する最終出力部と、を含む、代理計算システム。
【請求項２】
請求項１の代理計算システムにおいて、
前記計算装置が、前記自然数ａ，ｂの少なくとも一方を選択する自然数選択部を含み、
前記第一入力情報τ1が、前記自然数ｂにさらに対応し、前記第二入力情報τ2が、前記自然数ａにさらに対応する、代理計算システム。
【請求項３】
請求項２の代理計算システムにおいて、
前記入力情報提供部は、前記暗号文ｘとの関係をかく乱させた情報を前記第一入力情報τ1及び前記第二入力情報τ2とする、代理計算システム。
【請求項４】
請求項１の代理計算システムにおいて、
前記入力情報提供部は、前記暗号文ｘとの関係をかく乱させた情報を前記第一入力情報τ1及び前記第二入力情報τ2とする、代理計算システム。
【請求項５】
請求項１から４の何れかの代理計算システムにおいて、
前記復号関数ｆ（ｘ）が準同型関数、前記群Ｈが巡回群で、前記巡回群Ｈの生成元がμｈ、前記巡回群Ｈの位数がＫH、ν＝ｆ（μh）であり、
前記入力情報提供部が、
０以上の自然数の乱数ｒ1を生成する第一乱数生成部と、
前記第一入力情報τ1としてμhr1ｘbを計算する第一入力情報計算部と、
０以上の自然数の乱数ｒ2を生成する第二乱数生成部と、
前記第二入力情報τ2としてμhr2ｘaを計算する第二入力情報計算部と、を含み、
前記第一出力情報計算部が、前記第一入力情報μhr1ｘbを用い、或る確率より大きな確率でｆ（μhr1ｘb）を正しく計算し、得られた計算結果を前記第一出力情報ｚ１とし、
前記第二出力情報計算部は、前記第二入力情報μhr2ｘaを用い、或る確率より大きな確率でｆ（μhr2ｘa）を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報ｚ２とし、
前記第一計算部は、ｚ1ν-r1を計算して前記計算結果ｕを得、
前記第二計算部は、ｚ2ν-r2を計算して前記計算結果ｖを得る、代理計算システム。
【請求項６】
請求項５の代理計算システムにおいて、
前記第一乱数生成部が、ｂ≠１のときに前記乱数ｒ1を生成し、
前記第一入力情報計算部が、ｂ≠１のときに前記第一入力情報τ1として前記μhr1ｘbを計算し、
前記第一出力情報計算部が、ｂ≠１のときに前記第一入力情報μhr1ｘbを用いて得られた前記計算結果を前記第一出力情報ｚ１とし、
前記第一計算部が、ｂ≠１のときにｚ1ν-r1を計算して前記計算結果ｕを得、
前記第二乱数生成部が、ａ≠１のときに前記乱数ｒ2を生成し、
前記第二入力情報計算部が、ａ≠１のときに前記第二入力情報τ２としてμhr2ｘaを計算し、
前記第二出力情報計算部が、ａ≠１のときに前記第二入力情報μhr2ｘaを用いて得られた前記計算結果を第二出力情報ｚ2とし、
前記第二計算部が、ａ≠１のときにｚ2ν-r2を計算して前記計算結果ｖを得、
前記入力情報提供部が、
０以上の自然数の乱数ｒ3を生成する第三乱数生成部と、
ｂ＝１のときにｘr3を前記第一入力情報τ1とし、ａ＝１のときにｘr3を前記第二入力情報τ2とする第三入力情報計算部と、を含み、
前記能力提供装置が、
前記ｘr3を用い、或る確率より大きな確率でｆ（ｘr3）を正しく計算し、得られた計算結果を第三出力情報ｚ3とする第三出力情報計算部を含み、
前記能力提供装置が、
ｂ＝１のときにｚ31/r3を前記計算結果ｕとし、ａ＝１のときにｚ31/r3を前記計算結果ｖとする第３計算部を含む、代理計算システム。
【請求項７】
請求項１から４の何れかの代理計算システムにおいて、
前記群Ｈが前記群Ｇの直積群Ｇ×Ｇであり、前記復号関数ｆ（ｘ）が準同型関数、前記群Ｇが巡回群で前記巡回群Ｇの生成元がμg、前記巡回群Ｇの位数がＫG、ｘ＝（ｃ1，ｃ2），（Ｖ，Ｗ）が前記群Ｈの元、ｆ（Ｖ，Ｗ）＝Ｙであり、
前記入力情報提供部が、
０以上の自然数の乱数ｒ4を生成する第四乱数生成部と、
０以上の自然数の乱数ｒ5を生成する第五乱数生成部と、
前記第一入力情報τ1としてｃ2bＷr4及びｃ1bＶr4μgr5を計算する第一入力情報計算部と、
０以上の自然数の乱数ｒ6を生成する第六乱数生成部と、
０以上の自然数の乱数ｒ7を生成する第七乱数生成部と、
前記第二入力情報τ2としてｃ2aＷr6及びｃ1aＶr6μgr7を計算する第二入力情報計算部と、を含み、
前記第一出力情報計算部が、前記第一入力情報ｃ1bＶr4μgr5及びｃ2bＷr4を用い、或る確率より大きな確率でｆ（ｃ1bＶr4μgr5，ｃ2bＷr4）を正しく計算し、得られた計算結果を前記第一出力情報ｚ1とし、
前記第二出力情報計算部が、前記第二入力情報ｃ1aＶr6μgr7及びｃ2aＷr6を用い、或る確率より大きな確率でｆ（ｃ1aＶr6μgr7，ｃ2aＷr6）を正しく計算し、得られた計算結果を前記第二出力情報ｚ2とし、
前記第一計算部が、ｚ1Ｙ-r4μg-r5を計算して前記計算結果ｕを得、
前記第二計算部が、ｚ2Ｙ-r6μg-r7を計算して前記計算結果ｖを得る、代理計算システム。
【請求項８】
請求項１から４の何れかの代理計算システムにおいて、
前記計算結果ｕのｆ（ｘ）bに対する誤差の確率分布が前記自然数ｂに依存しない、及び／若しくは、前記計算結果ｖのｆ（ｘ）aに対する誤差の確率分布が前記自然数ａに依存しない、又は、前記計算結果ｕのｆ（ｘ）bに対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ｂに依存しない確率分布が存在する、及び／若しくは、前記計算結果ｖのｆ（ｘ）aに対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ａに依存しない確率分布が存在する、代理計算システム。
【請求項９】
請求項５の代理計算システムにおいて、
前記計算結果ｕのｆ（ｘ）bに対する誤差の確率分布が前記自然数ｂに依存しない、及び／若しくは、前記計算結果ｖのｆ（ｘ）aに対する誤差の確率分布が前記自然数ａに依存しない、又は、前記計算結果ｕのｆ（ｘ）bに対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ｂに依存しない確率分布が存在する、及び／若しくは、前記計算結果ｖのｆ（ｘ）aに対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ａに依存しない確率分布が存在する、代理計算システム。
【請求項１０】
請求項７の代理計算システムにおいて、
前記計算結果ｕのｆ（ｘ）bに対する誤差の確率分布が前記自然数ｂに依存しない、及び／若しくは、前記計算結果ｖのｆ（ｘ）aに対する誤差の確率分布が前記自然数ａに依存しない、又は、前記計算結果ｕのｆ（ｘ）bに対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ｂに依存しない確率分布が存在する、及び／若しくは、前記計算結果ｖのｆ（ｘ）aに対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ａに依存しない確率分布が存在する、代理計算システム。
【請求項１１】
請求項１から４の何れかの代理計算システムにおいて、
前記自然数ａ又は前記自然数ｂが定数である、代理計算システム。
【請求項１２】
請求項５の代理計算システムにおいて、
前記自然数ａ又は前記自然数ｂが定数である、代理計算システム。
【請求項１３】
請求項７の代理計算システムにおいて、
前記自然数ａ又は前記自然数ｂが定数である、代理計算システム。
【請求項１４】
請求項１から４の何れかの代理計算システムにおいて、
復号制御装置をさらに有し、
前記復号制御装置は、前記計算装置の復号処理を制御する復号制御命令を前記能力提供装置に出力する出力部を含み、
前記能力提供装置は、前記復号制御命令に従って、前記第一出力情報計算部及び前記第二出力情報計算部から、前記第一出力情報ｚ1及び前記第二出力情報ｚ2の両方が出力されるか否かを制御する制御部を含む、代理計算システム。
【請求項１５】
請求項５の代理計算システムにおいて、
復号制御装置をさらに有し、
前記復号制御装置は、前記計算装置の復号処理を制御する復号制御命令を前記能力提供装置に出力する出力部を含み、
前記能力提供装置は、前記復号制御命令に従って、前記第一出力情報計算部及び前記第二出力情報計算部から、前記第一出力情報ｚ1及び前記第二出力情報ｚ2の両方が出力されるか否かを制御する制御部を含む、代理計算システム。
【請求項１６】
請求項７の代理計算システムにおいて、
復号制御装置をさらに有し、
前記復号制御装置は、前記計算装置の復号処理を制御する復号制御命令を前記能力提供装置に出力する出力部を含み、
前記能力提供装置は、前記復号制御命令に従って、前記第一出力情報計算部及び前記第二出力情報計算部から、前記第一出力情報ｚ1及び前記第二出力情報ｚ2の両方が出力されるか否かを制御する制御部を含む、代理計算システム。
【請求項１７】
請求項１の代理計算システムにおいて、
復号制御装置をさらに有し、
Ｇι，Ｈιが群、ωが２以上の整数、ι＝１，・・・，ω、ｆι（λι）が前記群Ｈιの元である暗号文λιを特定の復号鍵ｓιで復号して前記群Ｇιの元を得るための復号関数、Ｘι,1，Ｘι,2が前記群Ｇιに値を持つ確率変数、ｘι,1が確率変数Ｘι,1の実現値、ｘι,2が確率変数Ｘι,2の実現値、ａ（ι），ｂ（ι）が互いに素である自然数であり、前記群Ｇが群Ｇ1、前記群Ｈが群Ｈ1、前記暗号文ｘが暗号文λ1、前記復号関数ｆ（ｘ）が復号関数ｆ1（λ1）、前記確率変数Ｘ1が確率変数Ｘ1,1、前記確率変数Ｘ2が確率変数Ｘ1,2、前記実現値ｘ1が実現値ｘ1,1、前記実現値ｘ2が実現値ｘ1,2、前記自然数ａが自然数ａ（１）、前記自然数ｂが自然数ｂ（１）であり、
前記計算装置が、
前記暗号文λιに対応する、前記群Ｈιの元である第一入力情報τι,1及び第二入力情報τι,2を出力する入力情報提供部を含み、
前記能力提供装置が、
前記第一入力情報τι,1を用い、或る確率より大きな確率でｆι（τι,1）を正しく計算し、得られた演算結果を第一出力情報ｚι,1として出力する第一出力情報計算部と、
前記第二入力情報τι,2を用い、或る確率より大きな確率でｆι（τι,2）を正しく計算し、得られた演算結果を第二出力情報ｚι,2として出力する第二出力情報計算部と、を含み、
前記第一計算部が、前記第一出力情報ｚι,1から演算結果ｕι＝ｆι（λι）b(ι)ｘι,1を生成し、
前記第二計算部が、前記第二出力情報ｚι,2から演算結果ｖι＝ｆι（λι）a(ι)ｘι,2を生成し、
前記最終出力部が、前記演算結果ｕι及びｖιがｕιa(ι)＝ｖιb(ι)を満たす場合に、ａ’（ι）ａ（ι）＋ｂ’（ι）ｂ（ι）＝１を満たす整数ａ’（ι），ｂ’（ι）についてのｕιb’(ι)ｖιa’(ι)を出力し、
前記復号制御装置が、前記計算装置の復号処理を制御する復号制御命令を前記能力提供装置に出力する出力部を含み、
前記能力提供装置が、さらに、
前記復号制御命令に従って、前記第一出力情報計算部及び前記第二出力情報計算部から、前記第一出力情報ｚι,1及び前記第二出力情報ｚι,2の両方が出力されるか否かを制御する制御部を含む、代理計算システム。
【請求項１８】
請求項１７の代理計算システムにおいて、
前記復号制御命令は、何れかの前記復号関数ｆιに対応し、
前記制御部は、前記復号制御命令に対応する前記復号関数ｆι、に対応する前記第一出力情報ｚι,1及び前記第二出力情報ｚι,2の両方の出力の有無を制御する、代理計算システム。
【請求項１９】
請求項１７の代理計算システムにおいて、
前記計算装置が、さらに
前記最終出力部から出力された各ι＝１，・・・，ωについてのｕιb’(ι)ｖιa’(ι)を用い、各ι＝１，・・・，ωについての前記暗号文λιを前記復号鍵ｓιで復号して得られる復号値がすべて得られた場合にのみ復元可能な復元値を生成する復元処理を行う復元部を含む、代理計算システム。
【請求項２０】
請求項１８の代理計算システムにおいて、
前記計算装置が、さらに
前記最終出力部から出力された各ι＝１，・・・，ωについてのｕιb’(ι)ｖιa’(ι)を用い、各ι＝１，・・・，ωについての前記暗号文λιを前記復号鍵ｓιで復号して得られる復号値がすべて得られた場合にのみ復元可能な復元値を生成する復元処理を行う復元部を含む、代理計算システム。
【請求項２１】
請求項１７から２０の何れかの代理計算システムにおいて、
前記計算装置が、前記自然数ａ（ι），ｂ（ι）の少なくとも一部を選択する自然数選択部を含み、
前記第一入力情報τι,1が前記自然数ｂ（ι）にさらに対応し、前記第二入力情報τι,2が前記自然数ａ（ι）にさらに対応する、代理計算システム。
【請求項２２】
請求項２１の代理計算システムにおいて、
前記入力情報提供部は、前記暗号文λιとの関係をかく乱させた情報を前記第一入力情報τι,1及び前記第二入力情報τι,2とする、代理計算システム。
【請求項２３】
請求項１７から２０の何れかの代理計算システムにおいて、
前記入力情報提供部は、前記暗号文λιとの関係をかく乱させた情報を前記第一入力情報τι,1及び前記第二入力情報τι,2とする、代理計算システム。
【請求項２４】
請求項１７から２０の何れかの代理計算システムにおいて、
前記復号関数ｆιが準同型関数、前記群Ｈιが巡回群で、前記巡回群Ｈιの生成元がμι,h、前記巡回群Ｈιの位数がＫι,H、νι＝ｆι（μι,h）であり、
前記入力情報提供部が、
０以上の自然数の乱数ｒ（ι，１）を生成する第一乱数生成部と、
前記第一入力情報τι,1としてμι,hr(ι,1)λιb(ι)を計算する第一入力情報計算部と、
０以上の自然数の乱数ｒ（ι，２）を生成する第二乱数生成部と、
前記第二入力情報τι,2としてμι,hr(ι,2)λιa(ι)を計算する第二入力情報計算部と、を含み、
前記第一出力情報計算部は、前記第一入力情報μι,hr(ι,1)λιb(ι)を用い、或る確率より大きな確率でｆι（μι,h(ι,1)λιb(ι)）を正しく計算し、得られた計算結果を前記第一出力情報ｚι,1とし、
前記第二出力情報計算部は、前記第二入力情報μι,hr(ι,2)λιa(ι)を用い、或る確率より大きな確率でｆι（μι,hr(ι,2)λιa(ι)）を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報ｚι,2とし、
前記第一計算部は、ｚι,1νι-r(ι,1)を計算して前記計算結果ｕιを得、
前記第二計算部は、ｚι,2νι-r(ι,2)を計算して前記計算結果ｖιを得る、代理計算システム。
【請求項２５】
請求項２４の代理計算システムにおいて、
前記第一乱数生成部が、ｂ（ι）≠１のときに前記乱数ｒ（ι，１）を生成し、
前記第一入力情報計算部が、ｂ（ι）≠１のときに前記第一入力情報τι,1として前記μι,hr(ι,1)λιb(ι)を計算し、
前記第一出力情報計算部が、ｂ（ι）≠１のときに前記第一入力情報μι,hr(ι,1)λιb(ι)を用いて得られた前記計算結果を前記第一出力情報ｚι,1とし、
前記第一計算部が、ｂ（ι）≠１のときにｚι,1νι-r(ι,1)を計算して前記計算結果ｕιを得、
前記第二乱数生成部が、ａ（ι）≠１のときに前記乱数ｒ（ι，２）を生成し、
前記第二入力情報計算部が、ａ（ι）≠１のときに前記第二入力情報τι,2としてμι,hr(ι,2)λιa(ι)を計算し、
前記第二出力情報計算部が、ａ（ι）≠１のときに前記第二入力情報μι,hr(ι,2)λιa(ι)を用いて得られた前記計算結果を第二出力情報ｚι,2とし、
前記第二計算部が、ａ（ι）≠１のときにｚι,2νι-r(ι,2)を計算して前記計算結果ｖιを得、
前記入力情報提供部が、
０以上の自然数の乱数ｒ（ι，３）を生成する第三乱数生成部と、
ｂ（ι）＝１のときにλιr(ι,3)を前記第一入力情報τι,1とし、ａ（ι）＝１のときにλιr(ι,3)を前記第二入力情報τι,2とする第三入力情報計算部と、を含み、
前記能力提供装置が、
前記ｘr(ι,3)を用い、或る確率より大きな確率でｆι（λιr(ι,3)）を正しく計算し、得られた計算結果を第三出力情報ｚι,3とする第三出力情報計算部を含み、
前記計算装置が、
ｂ（ι）＝１のときにｚι,31/r(ι,3)を前記計算結果ｕιとし、ａ（ι）＝１のときにｚι,31/r(ι,3)を前記計算結果ｖιとする第三計算部を含む、代理計算システム。
【請求項２６】
請求項２１の代理計算システムにおいて、
前記復号関数ｆιが準同型関数、前記群Ｈιが巡回群で、前記巡回群Ｈιの生成元がμι,h、前記巡回群Ｈιの位数がＫι,H、νι＝ｆι（μι,h）であり、
前記入力情報提供部が、
０以上の自然数の乱数ｒ（ι，１）を生成する第一乱数生成部と、
前記第一入力情報τι,1としてμι,hr(ι,1)λιb(ι)を計算する第一入力情報計算部と、
０以上の自然数の乱数ｒ（ι，２）を生成する第二乱数生成部と、
前記第二入力情報τι,2としてμι,hr(ι,2)λιa(ι)を計算する第二入力情報計算部と、を含み、
前記第一出力情報計算部は、前記第一入力情報μι,hr(ι,1)λιb(ι)を用い、或る確率より大きな確率でｆι（μι,h(ι,1)λιb(ι)）を正しく計算し、得られた計算結果を前記第一出力情報ｚι,1とし、
前記第二出力情報計算部は、前記第二入力情報μι,hr(ι,2)λιa(ι)を用い、或る確率より大きな確率でｆι（μι,hr(ι,2)λιa(ι)）を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報ｚι,2とし、
前記第一計算部は、ｚι,1νι-r(ι,1)を計算して前記計算結果ｕιを得、
前記第二計算部は、ｚι,2νι-r(ι,2)を計算して前記計算結果ｖιを得る、代理計算システム。
【請求項２７】
請求項２６の代理計算システムにおいて、
前記第一乱数生成部が、ｂ（ι）≠１のときに前記乱数ｒ（ι，１）を生成し、
前記第一入力情報計算部が、ｂ（ι）≠１のときに前記第一入力情報τι,1として前記μι,hr(ι,1)λιb(ι)を計算し、
前記第一出力情報計算部が、ｂ（ι）≠１のときに前記第一入力情報μι,hr(ι,1)λιb(ι)を用いて得られた前記計算結果を前記第一出力情報ｚι,1とし、
前記第一計算部が、ｂ（ι）≠１のときにｚι,1νι-r(ι,1)を計算して前記計算結果ｕιを得、
前記第二乱数生成部が、ａ（ι）≠１のときに前記乱数ｒ（ι，２）を生成し、
前記第二入力情報計算部が、ａ（ι）≠１のときに前記第二入力情報τι,2としてμι,hr(ι,2)λιa(ι)を計算し、
前記第二出力情報計算部が、ａ（ι）≠１のときに前記第二入力情報μι,hr(ι,2)λιa(ι)を用いて得られた前記計算結果を第二出力情報ｚι,2とし、
前記第二計算部が、ａ（ι）≠１のときにｚι,2νι-r(ι,2)を計算して前記計算結果ｖιを得、
前記入力情報提供部が、
０以上の自然数の乱数ｒ（ι，３）を生成する第三乱数生成部と、
ｂ（ι）＝１のときにλιr(ι,3)を前記第一入力情報τι，１とし、ａ（ι）＝１のときにλιr(ι,3)を前記第二入力情報τι,2とする第三入力情報計算部と、を含み、
前記能力提供装置が、
前記ｘr(ι,3)を用い、或る確率より大きな確率でｆι（λιr(ι,3)）を正しく計算し、得られた計算結果を第三出力情報ｚι,3とする第三出力情報計算部を含み、
前記計算装置が、
ｂ（ι）＝１のときにｚι,31/r(ι,3)を前記計算結果ｕιとし、ａ（ι）＝１のときにｚι,31/r(ι,3)を前記計算結果ｖιとする第三計算部を含む、代理計算システム。
【請求項２８】
請求項１７から２０の何れかの代理計算システムにおいて、
前記群Ｈιが直積群Ｇι×Ｇι、前記復号関数ｆιが準同型関数、前記群Ｇιが巡回群で、前記巡回群Ｇιの生成元がμι,g、前記巡回群Ｇιの位数がＫι,G、λι＝（ｃι,1，ｃι,2），（Ｖι，Ｗι）が前記群Ｈιの元、ｆι（Ｖι，Ｗι）＝Ｙιであり、
前記入力情報提供部が、
０以上の自然数の乱数ｒ（ι，４）を生成する第四乱数生成部と、
０以上の自然数の乱数ｒ（ι，５）を生成する第五乱数生成部と、
前記第一入力情報τι,1としてｃι,2b(ι)Ｗιr(ι,4)及びｃι,1b(ι)Ｖιr(ι,4)μι,gr(ι,5)を計算する第一入力情報計算部と、
０以上の自然数の乱数ｒ（ι，６）を生成する第六乱数生成部と、
０以上の自然数の乱数ｒ（ι，７）を生成する第七乱数生成部と、
前記第二入力情報τι,2としてｃι,2a(ι)Ｗιr(ι,6)及びｃι,1a(ι)Ｖιr(ι,6)μι,gr(ι,7)を計算する第二入力情報計算部と、を含み、
前記第一出力情報計算部が、前記第一入力情報ｃι,1b(ι)Ｖιr(ι,4)μι,gr(ι,5)及びｃι,2b(ι)Ｗιr(ι,4)を用い、或る確率より大きな確率でｆι（ｃι,1b(ι)Ｖιr(ι,4)μι,gr(ι,5)，ｃι,2b(ι)Ｗιr4）を正しく計算し、得られた計算結果を前記第一出力情報ｚι,1とし、
前記第二出力情報計算部が、前記第二入力情報ｃι,1a(ι)Ｖιr(ι,6)μι,gr(ι,7)及びｃι,2a(ι)Ｗιr(ι,6)を用い、或る確率より大きな確率でｆι（ｃι,1a(ι)Ｖιr(ι,6)μι,gr(ι,7)，ｃι,2a(ι)Ｗιr(ι,6)）を正しく計算し、得られた計算結果を前記第二出力情報ｚι,2とし、
前記第一計算部が、ｚι,1Ｙι-r(ι,4)μι,g-r(ι,5)を計算して前記計算結果ｕιを得、
前記第二計算部が、ｚι,2Ｙι-r(ι,6)μι,g-r(ι,7)を計算して前記計算結果ｖιを得る、代理計算システム。
【請求項２９】
請求項２１の代理計算システムにおいて、
前記群Ｈιが直積群Ｇι×Ｇι、前記復号関数ｆιが準同型関数、前記群Ｇιが巡回群で、前記巡回群Ｇιの生成元がμι,g、前記巡回群Ｇιの位数がＫι,G、λι＝（ｃι,1，ｃι,2），（Ｖι，Ｗι）が前記群Ｈιの元、ｆι（Ｖι，Ｗι）＝Ｙιであり、
前記入力情報提供部が、
０以上の自然数の乱数ｒ（ι，４）を生成する第四乱数生成部と、
０以上の自然数の乱数ｒ（ι，５）を生成する第五乱数生成部と、
前記第一入力情報τι,1としてｃι,2b(ι)Ｗιr(ι,4)及びｃι,1b(ι)Ｖιr(ι,4)μι,gr(ι,5)を計算する第一入力情報計算部と、
０以上の自然数の乱数ｒ（ι，６）を生成する第六乱数生成部と、
０以上の自然数の乱数ｒ（ι，７）を生成する第七乱数生成部と、
前記第二入力情報τι,2としてｃι,2a(ι)Ｗιr(ι,6)及びｃι,1a(ι)Ｖιr(ι,6)μι,gr(ι,7)を計算する第二入力情報計算部と、を含み、
前記第一出力情報計算部が、前記第一入力情報ｃι,1b(ι)Ｖιr(ι,4)μι,gr(ι,5)及びｃι,2b(ι)Ｗιr(ι,4)を用い、或る確率より大きな確率でｆι（ｃι,1b(ι)Ｖιr(ι,4)μι,gr(ι,5)，ｃι,2b(ι)Ｗιr4）を正しく計算し、得られた計算結果を前記第一出力情報ｚι,1とし、
前記第二出力情報計算部が、前記第二入力情報ｃι,1a(ι)Ｖιr(ι,6)μι,gr(ι,7)及びｃι,2a(ι)Ｗιr(ι,6)を用い、或る確率より大きな確率でｆι（ｃι,1a(ι)Ｖιr(ι,6)μι,gr(ι,7)，ｃι,2a(ι)Ｗιr(ι,6)）を正しく計算し、得られた計算結果を前記第二出力情報ｚι,2とし、
前記第一計算部が、ｚι,1Ｙι-r(ι,4)μι,g-r(ι,5)を計算して前記計算結果ｕιを得、
前記第二計算部が、ｚι,2Ｙι-r(ι,6)μι,g-r(ι,7)を計算して前記計算結果ｖιを得る、代理計算システム。
【請求項３０】
請求項１７から２０の何れかの代理計算システムにおいて、
前記演算結果ｕιのｆι（λι）b(ι)に対する誤差の確率分布が前記自然数ｂ（ι）に依存しない、及び／若しくは、前記演算結果ｖιのｆι（λι）a(ι)に対する誤差の確率分布が前記自然数ａ（ι）に依存しない、又は、前記演算結果ｕιのｆι（λι）b(ι)に対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ｂに依存しない確率分布が存在する、及び／若しくは、前記演算結果ｖιのｆι（λι）a(ι)に対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ａに依存しない確率分布が存在する、代理計算システム。
【請求項３１】
請求項２４の代理計算システムにおいて、
前記演算結果ｕιのｆι（λι）b(ι)に対する誤差の確率分布が前記自然数ｂ（ι）に依存しない、及び／若しくは、前記演算結果ｖιのｆι（λι）a(ι)に対する誤差の確率分布が前記自然数ａ（ι）に依存しない、又は、前記演算結果ｕιのｆι（λι）b(ι)に対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ｂに依存しない確率分布が存在する、及び／若しくは、前記演算結果ｖιのｆι（λι）a(ι)に対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ａに依存しない確率分布が存在する、代理計算システム。
【請求項３２】
請求項２６の代理計算システムにおいて、
前記演算結果ｕιのｆι（λι）b(ι)に対する誤差の確率分布が前記自然数ｂ（ι）に依存しない、及び／若しくは、前記演算結果ｖιのｆι（λι）a(ι)に対する誤差の確率分布が前記自然数ａ（ι）に依存しない、又は、前記演算結果ｕιのｆι（λι）b(ι)に対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ｂに依存しない確率分布が存在する、及び／若しくは、前記演算結果ｖιのｆι（λι）a(ι)に対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ａに依存しない確率分布が存在する、代理計算システム。
【請求項３３】
請求項２８の代理計算システムにおいて、
前記演算結果ｕιのｆι（λι）b(ι)に対する誤差の確率分布が前記自然数ｂ（ι）に依存しない、及び／若しくは、前記演算結果ｖιのｆι（λι）a(ι)に対する誤差の確率分布が前記自然数ａ（ι）に依存しない、又は、前記演算結果ｕιのｆι（λι）b(ι)に対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ｂに依存しない確率分布が存在する、及び／若しくは、前記演算結果ｖιのｆι（λι）a(ι)に対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ａに依存しない確率分布が存在する、代理計算システム。
【請求項３４】
請求項２９の代理計算システムにおいて、
前記演算結果ｕιのｆι（λι）b(ι)に対する誤差の確率分布が前記自然数ｂ（ι）に依存しない、及び／若しくは、前記演算結果ｖιのｆι（λι）a(ι)に対する誤差の確率分布が前記自然数ａ（ι）に依存しない、又は、前記演算結果ｕιのｆι（λι）b(ι)に対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ｂに依存しない確率分布が存在する、及び／若しくは、前記演算結果ｖιのｆι（λι）a(ι)に対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ａに依存しない確率分布が存在する、代理計算システム。
【請求項３５】
請求項１７から２０の何れかの代理計算システムにおいて、
前記自然数ａ（ι）又は前記自然数ｂ（ι）が定数である、代理計算システム。
【請求項３６】
請求項２４の代理計算システムにおいて、
前記自然数ａ（ι）又は前記自然数ｂ（ι）が定数である、代理計算システム。
【請求項３７】
請求項２６の代理計算システムにおいて、
前記自然数ａ（ι）又は前記自然数ｂ（ι）が定数である、代理計算システム。
【請求項３８】
請求項２８の代理計算システムにおいて、
前記自然数ａ（ι）又は前記自然数ｂ（ι）が定数である、代理計算システム。
【請求項３９】
請求項２９の代理計算システムにおいて、
前記自然数ａ（ι）又は前記自然数ｂ（ι）が定数である、代理計算システム。
【請求項４０】
計算装置と能力提供装置とを有し、
ＧM，ＨMが行列の集合、ｆM（ｘM）が集合ＨMの元である暗号文ｘMを特定の復号鍵で復号して集合ＧMの元を得るための復号関数、MＸ1，MＸ2が集合ＧMに値を持つ確率変数、Mｘ1が確率変数MＸ1の実現値、Mｘ2が確率変数MＸ2の実現値、ａMが集合ＨMの元であり、
前記計算装置が、
前記暗号文ｘMに対応する、集合ＨMの元である第一入力情報Mτ1及び第二入力情報Mτ2を出力する入力情報提供部を含み、
前記能力提供装置が、
前記第一入力情報Mτ1を用い、或る確率より大きな確率でｆM（Mτ1）を正しく計算し、得られた計算結果を第一出力情報Mｚ1とする第一出力情報計算部と、
前記第二入力情報Mτ2を用い、或る確率より大きな確率でｆM（Mτ2）を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報Mｚ2とする第二出力情報計算部と、を含み、
前記計算装置が、さらに
前記第一出力情報Mｚ1から計算結果ｕM＝ｆM（ｘM）＋Mｘ1を生成する第一計算部と、
前記第二出力情報Mｚ2から計算結果ｖM＝ｆM（ｘM）ａM＋Mｘ2を生成する第二計算部と、
前記計算結果ｕM及びｖMがｕM・ａM＝ｖMを満たす場合にｕMを出力する最終出力部と、を含む、代理計算システム。
【請求項４１】
請求項４０の代理計算システムにおいて、
前記計算装置が、前記集合ＨMの元ａMを選択する行列選択部を含み、
前記第二入力情報Mτ2が、前記元ａMにさらに対応する、代理計算システム。
【請求項４２】
請求項４１の代理計算システムにおいて、
前記入力情報提供部は、前記暗号文ｘMとの関係をかく乱させた情報を前記第一入力情報Mτ1及び前記第二入力情報Mτ2とする、代理計算システム。
【請求項４３】
請求項４０の代理計算システムにおいて、
前記入力情報提供部は、前記暗号文ｘMとの関係をかく乱させた情報を前記第一入力情報Mτ1及び前記第二入力情報Mτ2とする、代理計算システム。
【請求項４４】
請求項４０から４３の何れかの代理計算システムにおいて、
κ，ι，ｑが正整数、・Tが・の転置行列、ＧMがι×ι行列の集合、ＨMがι×ι行列の集合、ＰＫが暗号化鍵であるι×κ行列、ＳＫがＰＫ・ＳＫ＝０を満たすι×ι行列である前記復号鍵、ＣＭがκ×ι行列、ＮＭがι×ι行列、ＵＭがι×ι単位行列、前記復号関数ｆMがＳＫ-1｛ＳＫ・ｘM・ＳＫT（ｍｏｄ ｑ）｝（ＳＫT）-1（ｍｏｄ ２）であり、
前記入力情報提供部が、
前記集合ＧMの元ＭR1をランダムに選択する第一ランダム行列選択部と、
κ×ιのランダムな行列ＣＭ11及びＣＭ12を選択する第二ランダム行列選択部と、
第一暗号文ＣR1＝ＰＫ・ＣＭ＋２・ＮＭ＋ＭR1（ｍｏｄ ｑ）を生成する第一暗号化部と、
第二暗号文ＣUM＝ＰＫ・ＣＭ＋２・ＮＭ＋ＵＭ（ｍｏｄ ｑ）を生成する第二暗号化部と、
前記第一入力情報Mτ1として（ｘM・ＣUM＋ＣR1）＋ＰＫ・ＣＭ11＋２・ＮＭ＋ＣＭ12T・ＰＫTを得る第一入力情報計算部と、
前記集合ＧMの元ＭR2をランダムに選択する第三ランダム行列選択部と、
κ×ιのランダムな行列ＣＭ21及びＣＭ22を選択する第四ランダム行列選択部と、
第三暗号文ＣR2＝ＰＫ・ＣＭ＋２・ＮＭ＋ＭR2（ｍｏｄ ｑ）を生成する第三暗号化部と、
第四暗号文Ｃa＝ＰＫ・ＣＭ＋２・ＮＭ＋ａM（ｍｏｄ ｑ）を生成する第四暗号化部と、
前記第二入力情報Mτ2として（ｘM・Ｃa＋ＣR2）＋ＰＫ・ＣＭ21＋２・ＮＭ＋ＣＭ22T・ＰＫTを得る第二入力情報計算部と、を含み、
前記第一計算部が前記計算結果ｕMとしてMｚ1−ＭR1を生成し、
前記第二計算部が前記計算結果ｖMとしてMｚ2−ＭR2を生成する、代理計算システム。
【請求項４５】
請求項４０から４３の何れかの代理計算システムにおいて、
復号制御装置をさらに有し、
前記復号制御装置は、前記計算装置の復号処理を制御する復号制御命令を前記能力提供装置に出力する出力部を含み、
前記能力提供装置は、前記復号制御命令に従って、前記第一出力情報計算部及び前記第二出力情報計算部から、前記第一出力情報Mｚ1及び前記第二出力情報Mｚ2の両方が出力されるか否かを制御する制御部を含む、代理計算システム。
【請求項４６】
請求項４４の代理計算システムにおいて、
復号制御装置をさらに有し、
前記復号制御装置は、前記計算装置の復号処理を制御する復号制御命令を前記能力提供装置に出力する出力部を含み、
前記能力提供装置は、前記復号制御命令に従って、前記第一出力情報計算部及び前記第二出力情報計算部から、前記第一出力情報Mｚ1及び前記第二出力情報Mｚ2の両方が出力されるか否かを制御する制御部を含む、代理計算システム。
【請求項４７】
第一計算部と、第二計算部と、最終出力部とを有し、
Ｇ，Ｈが群、ｆ（ｘ）が前記群Ｈの元である暗号文ｘを特定の復号鍵で復号して前記群Ｇの元を得るための復号関数、Ｘ1，Ｘ2が前記群Ｇに値を持つ確率変数、ｘ1が確率変数Ｘ1の実現値、ｘ2が確率変数Ｘ2の実現値、ａ，ｂが互いに素である自然数であり、
前記第一計算部が、計算結果ｕ＝ｆ（ｘ）bｘ1を生成し、
前記第二計算部が、計算結果ｖ＝ｆ（ｘ）aｘ2を生成し、
前記最終出力部が、前記計算結果ｕ及びｖがｕa＝ｖbを満たす場合に、ａ’ａ＋ｂ’ｂ＝１を満たす整数ａ’，ｂ’についてのｕb’ｖa’を出力する、を有する計算装置。
【請求項４８】
請求項４７の計算装置において、
前記暗号文ｘに対応する、前記群Ｈの元である第一入力情報τ1及び第二入力情報τ2を出力する入力情報提供部をさらに有し、
前記第一計算部が、或る確率より大きな確率で正しくｆ（τ1）を計算して得られた計算結果である第一出力情報ｚ1から、前記計算結果ｕ＝ｆ（ｘ）bｘ1を生成し、
前記第二計算部が、或る確率より大きな確率で正しくｆ（τ2）を正しく計算して得られた計算結果である第二出力情報ｚ2から、前記計算結果ｖ＝ｆ（ｘ）aｘ2を生成する、計算装置。
【請求項４９】
請求項４８の計算装置において、
前記自然数ａ，ｂの少なくとも一方を選択する自然数選択部をさらに有し、
前記第一入力情報τ1が、前記自然数ｂにさらに対応し、前記第二入力情報τ2が、前記自然数ａにさらに対応する、計算装置。
【請求項５０】
請求項４９の計算装置において、
前記入力情報提供部は、前記暗号文ｘとの関係をかく乱させた情報を前記第一入力情報τ1及び前記第二入力情報τ2とする、計算装置。
【請求項５１】
請求項４８の計算装置において、
前記入力情報提供部は、前記暗号文ｘとの関係をかく乱させた情報を前記第一入力情報τ1及び前記第二入力情報τ2とする、計算装置。
【請求項５２】
請求項４８から５１の何れかの計算装置において、
前記復号関数ｆ（ｘ）が準同型関数、前記群Ｈが巡回群で、前記巡回群Ｈの生成元がμh、前記巡回群Ｈの位数がＫH、ν＝ｆ（μh）であり、
前記入力情報提供部が、
０以上の自然数の乱数ｒ1を生成する第一乱数生成部と、
前記第一入力情報τ1としてμhr1ｘbを計算する第一入力情報計算部と、
０以上の自然数の乱数ｒ２を生成する第二乱数生成部と、
前記第二入力情報τ2としてμhr2ｘaを計算する第二入力情報計算部と、を含み、
前記第一出力情報ｚ1は、或る確率より大きな確率でｆ（μhr1ｘb）を正しく計算して得られた計算結果であり、
前記第二出力情報ｚ2は、或る確率より大きな確率でｆ（μhr2ｘa）を正しく計算して得られた計算結果であり、
前記計算結果ｕは、ｚ1ν-r1であり、
前記計算結果ｖは、ｚ2ν-r2である、計算装置。
【請求項５３】
請求項４８から５１の何れかの計算装置において、
前記群Ｈが直積群Ｇ×Ｇで、前記復号関数ｆ（ｘ）が準同型関数、前記群Ｇが巡回群で、前記巡回群Ｇの生成元がμｇ、前記巡回群Ｇの位数がＫＧ、ｘ＝（ｃ1，ｃ2），（Ｖ，Ｗ）が前記群Ｈの元、ｆ（Ｖ，Ｗ）＝Ｙであり、
前記入力情報提供部が、
０以上の自然数の乱数ｒ4を生成する第四乱数生成部と、
０以上の自然数の乱数ｒ5を生成する第五乱数生成部と、
前記第一入力情報τ1としてｃ2bＷr4及びｃ1bＶr4μgr5を計算する第一入力情報計算部と、
０以上の自然数の乱数ｒ6を生成する第六乱数生成部と、
０以上の自然数の乱数ｒ7を生成する第七乱数生成部と、
前記第二入力情報τ2としてｃ2aＷr6及びｃ1aＶr6μgr7を計算する第二入力情報計算部と、を含み、
前記第一出力情報ｚ1は、或る確率より大きな確率でｆ（ｃ1bＶr4μgr5，ｃ2bＷr4）を正しく計算して得られた計算結果であり、
前記第二出力情報ｚ2は、或る確率より大きな確率でｆ（ｃ1aＶr6μgr7，ｃ2aＷr6）を正しく計算して得られた計算結果であり、
前記計算結果ｕは、ｚ1Ｙ-r4μg-r5であり、
前記計算結果ｖは、ｚ2Ｙ-r6μg-r7である、計算装置。
【請求項５４】
請求項４８から５１の何れかの計算装置において、
前記計算結果ｕのｆ（ｘ）bに対する誤差の確率分布が前記自然数ｂに依存しない、及び／若しくは、前記計算結果ｖのｆ（ｘ）aに対する誤差の確率分布が前記自然数ａに依存しない、又は、前記計算結果ｕのｆ（ｘ）bに対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ｂに依存しない確率分布が存在する、及び／若しくは、前記計算結果ｖのｆ（ｘ）aに対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ａに依存しない確率分布が存在する、計算装置。
【請求項５５】
請求項５２の計算装置において、
前記計算結果ｕのｆ（ｘ）bに対する誤差の確率分布が前記自然数ｂに依存しない、及び／若しくは、前記計算結果ｖのｆ（ｘ）aに対する誤差の確率分布が前記自然数ａに依存しない、又は、前記計算結果ｕのｆ（ｘ）bに対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ｂに依存しない確率分布が存在する、及び／若しくは、前記計算結果ｖのｆ（ｘ）aに対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ａに依存しない確率分布が存在する、計算装置。
【請求項５６】
請求項５３の計算装置において、
前記計算結果ｕのｆ（ｘ）bに対する誤差の確率分布が前記自然数ｂに依存しない、及び／若しくは、前記計算結果ｖのｆ（ｘ）aに対する誤差の確率分布が前記自然数ａに依存しない、又は、前記計算結果ｕのｆ（ｘ）bに対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ｂに依存しない確率分布が存在する、及び／若しくは、前記計算結果ｖのｆ（ｘ）aに対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ａに依存しない確率分布が存在する、計算装置。
【請求項５７】
請求項４８から５１の何れかの計算装置において、
前記自然数ａ又は前記自然数ｂが定数である、計算装置。
【請求項５８】
請求項５２の計算装置において、
前記自然数ａ又は前記自然数ｂが定数である、計算装置。
【請求項５９】
請求項５３の計算装置において、
前記自然数ａ又は前記自然数ｂが定数である、計算装置。
【請求項６０】
第一計算部と、第二計算部と、最終出力部とを有し、
ＧM，ＨMが行列の集合、ｆM（ｘM）が集合ＨMの元である暗号文ｘMを特定の復号鍵で復号して集合ＧMの元を得るための復号関数、MＸ1，MＸ2が集合ＧMに値を持つ確率変数、Mｘ1が確率変数MＸ1の実現値、Mｘ2が確率変数MＸ2の実現値、ａMが集合ＨMの元であり、
前記第一計算部が、計算結果ｕM＝ｆM（ｘM）＋Mｘ1を生成し、
前記第二計算部が、計算結果ｖM＝ｆM（ｘM）ａM＋Mｘ2を生成し、
前記最終出力部が、前記計算結果ｕM及びｖMがｕM・ａM＝ｖMを満たす場合にｕMを出力する、計算装置。
【請求項６１】
請求項６０の計算装置において、
前記暗号文ｘMに対応する、集合ＨMの元である第一入力情報Mτ1及び第二入力情報Mτ2を出力する入力情報提供部をさらに含み、
前記第一計算部が、或る確率より大きな確率でｆM（Mτ1）を正しく計算して得られた計算結果である第一出力情報Mｚ1から、前記計算結果ｕM＝ｆM（ｘM）＋Mｘ1を生成し、
前記第二計算部が、或る確率より大きな確率でｆM（Mτ2）を正しく計算して得られた計算結果である第二出力情報Mｚ2から、前記計算結果ｖM＝ｆM（ｘM）ａM＋Mｘ2を生成する、計算装置。
【請求項６２】
請求項６１の計算装置において、
前記集合ＨMの元ａMを選択する行列選択部を更に有し、
前記第二入力情報Mτ2が、前記元ａMにさらに対応する、計算装置。
【請求項６３】
請求項６２の計算装置において、
前記入力情報提供部は、前記暗号文ｘMとの関係をかく乱させた情報を前記第一入力情報Mτ1及び前記第二入力情報Mτ2とする、計算装置。
【請求項６４】
請求項６１の計算装置において、
前記入力情報提供部は、前記暗号文ｘMとの関係をかく乱させた情報を前記第一入力情報Mτ1及び前記第二入力情報Mτ2とする、計算装置。
【請求項６５】
請求項６１から６４の何れかの計算装置において、
κ，ι，ｑが正整数、・Tが・の転置行列、ＧMがι×ι行列の集合、ＨMがι×ι行列の集合、ＰＫが暗号化鍵であるι×κ行列、ＳＫがＰＫ・ＳＫ＝０を満たすι×ι行列である前記復号鍵、ＣＭがκ×ι行列、ＮＭがι×ι行列、ＵＭがι×ι単位行列、前記復号関数ｆMがＳＫ-1｛ＳＫ・ｘM・ＳＫT（ｍｏｄ ｑ）｝（ＳＫT）-1（ｍｏｄ ２）であり、
前記入力情報提供部が、
前記集合ＧMの元ＭR1をランダムに選択する第一ランダム行列選択部と、
κ×ιのランダムな行列ＣＭ11及びＣＭ12を選択する第二ランダム行列選択部と、
第一暗号文ＣR1＝ＰＫ・ＣＭ＋２・ＮＭ＋ＭR1（ｍｏｄ ｑ）を生成する第一暗号化部と、
第二暗号文ＣUM＝ＰＫ・ＣＭ＋２・ＮＭ＋ＵＭ（ｍｏｄ ｑ）を生成する第二暗号化部と、
前記第一入力情報Mτ1として（ｘM・ＣUM＋ＣR1）＋ＰＫ・ＣＭ11＋２・ＮＭ＋ＣＭ12T・ＰＫTを得る第一入力情報計算部と、
前記集合ＧMの元ＭR2をランダムに選択する第三ランダム行列選択部と、
κ×ιのランダムな行列ＣＭ21及びＣＭ22を選択する第四ランダム行列選択部と、
第三暗号文ＣR2＝ＰＫ・ＣＭ＋２・ＮＭ＋ＭR2（ｍｏｄ ｑ）を生成する第三暗号化部と、
第四暗号文Ｃa＝ＰＫ・ＣＭ＋２・ＮＭ＋ａM（ｍｏｄ ｑ）を生成する第四暗号化部と、
前記第二入力情報Mτ2として（ｘM・Ｃa＋ＣR2）＋ＰＫ・ＣＭ21＋２・ＮＭ＋ＣＭ22T・ＰＫTを得る第二入力情報計算部と、を含み、
前記第一計算部が前記計算結果ｕMとしてMｚ1−ＭR1を生成し、
前記第二計算部が前記計算結果ｖMとしてMｚ2−ＭR2を生成する、計算装置。
【請求項６６】
第一出力情報計算部と、第二出力情報計算部とを有し、
Ｇ，Ｈが群、ｆ（ｘ）が前記群Ｈの元である暗号文ｘを特定の復号鍵で復号して前記群Ｇの元を得るための復号関数、Ｘ1，Ｘ2が前記群Ｇに値を持つ確率変数、ｘ1が確率変数Ｘ1の実現値、ｘ2が確率変数Ｘ2の実現値、ａ，ｂが互いに素である自然数であり、
前記第一出力情報計算部が、前記暗号文ｘに対応する、前記群Ｈの元である第一入力情報τ1を用い、或る確率より大きな確率でｆ（τ1）を正しく計算し、得られた計算結果を第一出力情報ｚ1とし、
前記第二出力情報計算部が、前記暗号文ｘに対応する、前記群Ｈの元である第二入力情報τ2を用い、或る確率より大きな確率でｆ（τ2）を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報ｚ2とする、
を有する能力提供装置。
【請求項６７】
請求項６６の能力提供装置において、
前記復号関数ｆ（ｘ）が準同型関数、前記群Ｈが巡回群で、前記巡回群Ｈの生成元がμh、前記巡回群Ｈの位数がＫH、ν＝ｆ（μh）であり、ｒ1及びｒ2が０以上の自然数の乱数であり、
前記第一出力情報計算部が、前記第一入力情報μhr1ｘbを用い、或る確率より大きな確率でｆ（μhr1ｘb）を正しく計算し、得られた計算結果を前記第一出力情報ｚ１とし、
前記第二出力情報計算部が、前記第二入力情報μhr2ｘaを用い、或る確率より大きな確率でｆ（μhr2ｘa）を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報ｚ2とする、能力提供装置。
【請求項６８】
請求項６６の能力提供装置において、
前記群Ｈが直積群Ｇ×Ｇで、前記復号関数ｆ（ｘ）が準同型関数、前記群Ｇが巡回群で、前記巡回群Ｇの生成元がμg、前記巡回群Ｇの位数がＫG、ｘ＝（ｃ1，ｃ2），（Ｖ，Ｗ）が前記群Ｈの元、ｆ（Ｖ，Ｗ）＝Ｙであり、ｒ4，ｒ5，ｒ6及びｒ7が０以上の自然数の乱数であり、
前記第一出力情報計算部が、前記第一入力情報ｃ1bＶr4μgr5及びｃ2bＷr4を用い、或る確率より大きな確率でｆ（ｃ1bＶr4μgr5，ｃ2bＷr4）を正しく計算し、得られた計算結果を前記第一出力情報ｚ1とし、
前記第二出力情報計算部が、前記第二入力情報ｃ1aＶr6μgr7及びｃ2aＷr6を用い、或る確率より大きな確率でｆ（ｃ1aＶr6μgr7，ｃ2aＷr6）を正しく計算し、得られた計算結果を前記第二出力情報ｚ2とする、能力提供装置。
【請求項６９】
請求項６６から６８の何れかの能力提供装置において、
入力された復号制御命令に従って、前記第一出力情報計算部及び前記第二出力情報計算部から、前記第一出力情報ｚ1及び前記第二出力情報ｚ2の両方が出力されるか否かを制御する制御部をさらに有する、能力提供装置。
【請求項７０】
請求項６６の能力提供装置において、
Ｇι，Ｈιが群、ωが２以上の整数、ι＝１，・・・，ω、ｆι（λι）が前記群Ｈιの元である暗号文λιを特定の復号鍵ｓιで復号して前記群Ｇιの元を得るための復号関数、Ｘι,1，Ｘι,2が前記群Ｇιに値を持つ確率変数、ｘι,1が確率変数Ｘι,1の実現値、ｘι,2が確率変数Ｘι,2の実現値、ａ（ι），ｂ（ι）が互いに素である自然数であり、前記群Ｇが群Ｇ1、前記群Ｈが群Ｈ1、前記暗号文ｘが暗号文λ1、前記復号関数ｆ（ｘ）が復号関数ｆ1（λ1）、前記確率変数Ｘ1が確率変数Ｘ1,1、前記確率変数Ｘ2が確率変数Ｘ1,2、前記実現値ｘ1が実現値ｘ1,1、前記実現値ｘ2が実現値ｘ1,2、前記自然数ａが自然数ａ（１）、前記自然数ｂが自然数ｂ（１）であり、
前記第一出力情報計算部は、前記第一入力情報τι,1を用い、或る確率より大きな確率でｆι（τι,1）を正しく計算し、得られた演算結果を第一出力情報ｚι,1として出力し、
前記第二出力情報計算部は、前記第二入力情報τι,2を用い、或る確率より大きな確率でｆι（τι,2）を正しく計算し、得られた演算結果を第二出力情報ｚι,2として出力し、
当該能力提供装置は、入力された復号制御命令に従って、前記第一出力情報計算部及び前記第二出力情報計算部から、前記第一出力情報ｚι,1及び前記第二出力情報ｚι,2の両方が出力されるか否かを制御する制御部をさらに有する、能力提供装置。
【請求項７１】
請求項７０の能力提供装置において、
前記復号制御命令は、何れかの前記復号関数ｆιに対応し、
前記制御部は、前記復号制御命令に対応する前記復号関数ｆι、に対応する前記第一出力情報ｚι,1及び前記第二出力情報ｚι,2の両方が出力されるか否かを制御する、能力提供装置。
【請求項７２】
第一出力情報計算部と、第二出力情報計算部とを有し、
ＧM，ＨMが行列の集合、ｆM（ｘM）が集合ＨMの元である暗号文ｘMを特定の復号鍵で復号して集合ＧMの元を得るための復号関数、MＸ1，MＸ2が集合ＧMに値を持つ確率変数、Mｘ1が確率変数MＸ1の実現値、Mｘ2が確率変数MＸ2の実現値、ａMが集合ＨMの元であり、
前記第一出力情報計算部が、前記暗号文ｘMに対応する第一入力情報Mτ1を用い、或る確率より大きな確率でｆM（Mτ1）を正しく計算し、得られた計算結果を第一出力情報Mｚ1とし、
前記第二出力情報計算部が、前記暗号文ｘMに対応する第二入力情報Mτ2を用い、或る確率より大きな確率でｆM（Mτ2）を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報Mｚ2とする、
を有する能力提供装置。
【請求項７３】
請求項７２の能力提供装置において、
κ，ι，ｑが正整数、・Tが・の転置行列、ＧMがι×ι行列の集合、ＨMがι×ι行列の集合、ＰＫが暗号化鍵であるι×κ行列、ＳＫがＰＫ・ＳＫ＝０を満たすι×ι行列である前記復号鍵、ＣＭがκ×ι行列、ＮＭがι×ι行列、ＵＭがι×ι単位行列、前記復号関数ｆMがＳＫ-1｛ＳＫ・ｘM・ＳＫT（ｍｏｄ ｑ）｝（ＳＫT）-1（ｍｏｄ ２）である、能力提供装置。
【請求項７４】
請求項７２又は７３の能力提供装置において、
入力された復号制御命令に従って、前記第一出力情報計算部及び前記第二出力情報計算部から、前記第一出力情報Mｚ1及び前記第二出力情報Mｚ2の両方が出力されるか否かを制御する制御部を含む、能力提供装置。
【請求項７５】
代理計算方法において、
計算装置で、暗号文ｘに対応する、前記群Ｈの元である第一入力情報τ1及び第二入力情報τ2を出力するステップと、
能力提供装置で、前記第一入力情報τ1を用い、或る確率より大きな確率でｆ（τ1）を正しく計算し、得られた計算結果を第一出力情報ｚ1とするステップと、
前記能力提供装置で、前記第二入力情報τ2を用い、或る確率より大きな確率でｆ（τ2）を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報ｚ2とするステップと、
前記計算装置で、前記第一出力情報ｚ1から計算結果ｕ＝ｆ（ｘ）bｘ1を生成するステップと、
前記計算装置で、前記第二出力情報ｚ2から計算結果ｖ＝ｆ（ｘ）aｘ2を生成するステップと、
前記計算装置で、前記計算結果ｕ及びｖがｕa＝ｖbを満たす場合に、ａ’ａ＋ｂ’ｂ＝１を満たす整数ａ’，ｂ’についてのｕb’ｖa’を出力するステップと、を有し、
Ｇが群、ｆ（ｘ）が前記群Ｈの元である暗号文ｘを特定の復号鍵で復号して前記群Ｇの元を得るための復号関数、Ｘ1，Ｘ2が前記群Ｇに値を持つ確率変数、ｘ1が確率変数Ｘ1の実現値、ｘ2が確率変数Ｘ2の実現値、ａ，ｂが互いに素である自然数である、代理計算方法。
【請求項７６】
請求項７５の代理計算方法において、
復号制御装置が、前記計算装置の復号処理を制御する復号制御命令を前記能力提供装置に出力するステップと、
前記能力提供装置が、前記復号制御命令に従って、前記第一出力情報計算部及び前記第二出力情報計算部から、前記第一出力情報ｚ1及び前記第二出力情報ｚ2の両方が出力されるか否かを制御するステップと、
をさらに有する代理計算方法。
【請求項７７】
請求項７５の代理計算方法において、
Ｇι，Ｈιが群、ωが２以上の整数、ι＝１，・・・，ω、ｆι（λι）が前記群Ｈιの元である暗号文λιを特定の復号鍵ｓιで復号して前記群Ｇιの元を得るための復号関数、Ｘι,1，Ｘι,2が前記群Ｇιに値を持つ確率変数、ｘι,1が確率変数Ｘι,1の実現値、ｘι,2が確率変数Ｘι,2の実現値、ａ（ι），ｂ（ι）が互いに素である自然数であり、前記群Ｇが群Ｇ1、前記群Ｈが群Ｈ1、前記暗号文ｘが暗号文λ1、前記復号関数ｆ（ｘ）が復号関数ｆ1（λ1）、前記確率変数Ｘ1が確率変数Ｘ1,1、前記確率変数Ｘ2が確率変数Ｘ1,2、前記実現値ｘ1が実現値ｘ1,1、前記実現値ｘ2が実現値ｘ1,2、前記自然数ａが自然数ａ（１）、前記自然数ｂが自然数ｂ（１）であり、
（Ａ）前記計算装置で、前記暗号文λιに対応する、前記群Ｈιの元である第一入力情報τι,1及び第二入力情報τι,2を出力するステップと、
（Ｂ）前記能力提供装置で、前記第一入力情報τι,1を用い、或る確率より大きな確率でｆι（τι,1）を正しく計算し、得られた演算結果を第一出力情報ｚι,1として出力するステップと、
（Ｃ）前記能力提供装置で、前記第二入力情報τι,2を用い、或る確率より大きな確率でｆι（τι,2）を正しく計算し、得られた演算結果を第二出力情報ｚι,2として出力するステップと、
（Ｄ）前記計算装置で、前記第一出力情報ｚι,1から演算結果ｕι＝ｆι（λι）b(ι)ｘι,1を生成するステップと、
（Ｅ）前記計算装置で、前記第二出力情報ｚι,2から演算結果ｖι＝ｆι（λι）a(ι)ｘι,2を生成するステップと、
（Ｆ）前記計算装置で、前記演算結果ｕι及びｖιがｕιa(ι)＝ｖιb(ι)を満たす場合に、ａ’（ι）ａ（ι）＋ｂ’（ι）ｂ（ι）＝１を満たす整数ａ’（ι），ｂ’（ι）についてのｕιb’(ι)ｖιa’(ι)を出力するステップと、を有し、
前記ステップ（Ｂ）及び前記ステップ（Ｃ）は、
復号制御装置から出力された前記計算装置の復号処理を制御する復号制御命令に従って、前記第一出力情報計算部及び前記第二出力情報計算部から、前記第一出力情報ｚι,1及び前記第二出力情報ｚι,2の両方が出力されるか否かを制御するステップである、代理計算方法。
【請求項７８】
代理計算方法において、
計算装置で、暗号文ｘMに対応する、集合ＨMの元である第一入力情報Mτ1及び第二入力情報Mτ2を出力するステップと、
能力提供装置で、前記第一入力情報Mτ1を用い、或る確率より大きな確率でｆM（Mτ1）を正しく計算し、得られた計算結果を第一出力情報Mｚ1とするステップと、
前記能力提供装置で、前記第二入力情報Mτ2を用い、或る確率より大きな確率でｆM（Mτ2）を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報Mｚ2とするステップと、
前記計算装置で、前記第一出力情報Mｚ１から計算結果ｕM＝ｆM（ｘM）＋Mｘ1を生成するステップと、
前記計算装置で、前記第二出力情報Mｚ2から計算結果ｖM＝ｆM（ｘM）ａM＋Mｘ2を生成するステップと、
前記計算装置で、前記計算結果ｕM及びｖMがｕM・ａM＝ｖMを満たす場合にｕMを出力するステップと、を有し、
ＧM，ＨMが行列の集合、ｆM（ｘM）が集合ＨMの元である暗号文ｘMを特定の復号鍵で復号して集合ＧMの元を得るための復号関数、MＸ1，MＸ2が集合ＧMに値を持つ確率変数、Mｘ1が確率変数MＸ1の実現値、Mｘ2が確率変数MＸ2の実現値、ａMが集合ＨMの元である、代理計算方法。
【請求項７９】
請求項７８の代理計算方法において、
復号制御装置が、前記計算装置の復号処理を制御する復号制御命令を前記能力提供装置に出力するステップと、
前記能力提供装置が、前記復号制御命令に従って、前記第一出力情報計算部及び前記第二出力情報計算部から、前記第一出力情報Mｚ1及び前記第二出力情報Mｚ2の両方が出力されるか否かを制御するステップと、
をさらに有する代理計算方法。
【請求項８０】
第一計算部で、計算結果ｕ＝ｆ（ｘ）bｘ1を生成するステップと、
第二計算部で、計算結果ｖ＝ｆ（ｘ）aｘ2を生成するステップと、
最終出力部で、前記計算結果ｕ及びｖがｕa＝ｖbを満たす場合に、ａ’ａ＋ｂ’ｂ＝１を満たす整数ａ’，ｂ’についてのｕb’ｖa’を出力するステップと、を有し、
Ｇ，Ｈが群、ｆ（ｘ）が前記群Ｈの元である暗号文ｘを特定の復号鍵で復号して前記群Ｇの元を得るための復号関数、Ｘ1，Ｘ2が前記群Ｇに値を持つ確率変数、ｘ1が確率変数Ｘ1の実現値、ｘ2が確率変数Ｘ2の実現値、ａ，ｂが互いに素である自然数である、計算方法。
【請求項８１】
第一計算部で、計算結果ｕM＝ｆM（ｘM）＋Mｘ1を生成するステップと、
第二計算部で、計算結果ｖM＝ｆM（ｘM）ａM＋Mｘ2を生成するステップと、
最終出力部で、前記計算結果ｕM及びｖMがｕM・ａM＝ｖMを満たす場合にｕMを出力するステップと、を有し、
ＧM，ＨMが行列の集合、ｆM（ｘM）が集合ＨMの元である暗号文ｘMを特定の復号鍵で復号して集合ＧMの元を得るための復号関数、MＸ1，MＸ2が集合ＧMに値を持つ確率変数、Mｘ1が確率変数MＸ1の実現値、Mｘ2が確率変数MＸ2の実現値、ａMが集合ＨMの元である、計算方法。
【請求項８２】
第一出力情報計算部で、暗号文ｘに対応する、群Ｈの元である第一入力情報τ1を用い、或る確率より大きな確率でｆ（τ1）を正しく計算し、得られた計算結果を第一出力情報ｚ1とするステップと、
第二出力情報計算部で、前記暗号文ｘに対応する、前記群Ｈの元である第二入力情報τ2を用い、或る確率より大きな確率でｆ（τ2）を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報ｚ2とするステップと、を有し、
Ｇが群、ｆ（ｘ）が前記群Ｈの元である暗号文ｘを特定の復号鍵で復号して前記群Ｇの元を得るための復号関数、Ｘ1，Ｘ2が前記群Ｇに値を持つ確率変数、ｘ1が確率変数Ｘ1の実現値、ｘ2が確率変数Ｘ2の実現値、ａ，ｂが互いに素である自然数である、能力提供方法。
【請求項８３】
請求項８２の能力提供方法において、
入力された復号制御命令に従って、前記第一出力情報計算部及び前記第二出力情報計算部から、前記第一出力情報ｚ1及び前記第二出力情報ｚ2の両方が出力されるか否かを制御するステップを含む、能力提供方法。
【請求項８４】
請求項８２の能力提供方法において、
Ｇι，Ｈιが群、ωが２以上の整数、ι＝１，・・・，ω、ｆι（λι）が前記群Ｈιの元である暗号文λιを特定の復号鍵ｓιで復号して前記群Ｇιの元を得るための復号関数、Ｘι,1，Ｘι,2が前記群Ｇιに値を持つ確率変数、ｘι,1が確率変数Ｘι,1の実現値、ｘι,2が確率変数Ｘι,2の実現値、ａ（ι），ｂ（ι）が互いに素である自然数であり、前記群Ｇが群Ｇ1、前記群Ｈが群Ｈ1、前記暗号文ｘが暗号文λ1、前記復号関数ｆ（ｘ）が復号関数ｆ1（λ1）、前記確率変数Ｘ1が確率変数Ｘ1,1、前記確率変数Ｘ2が確率変数Ｘ1,2、前記実現値ｘ1が実現値ｘ1,1、前記実現値ｘ2が実現値ｘ1,2、前記自然数ａが自然数ａ（１）、前記自然数ｂが自然数ｂ（１）であり、
（Ａ）第一出力情報計算部で、前記暗号文λιに対応する第一入力情報τι,1を用い、或る確率より大きな確率でｆι（τι,1）を正しく計算し、得られた演算結果を第一出力情報ｚι,1とするステップと、
（Ｂ）第二出力情報計算部で、前記暗号文λιに対応する第二入力情報τι，２を用い、或る確率より大きな確率でｆι（τι,2）を正しく計算し、得られた演算結果を第二出力情報ｚι,2とするステップと、を有し、
前記ステップ（Ａ）及び前記ステップ（Ｂ）は、
入力された復号制御命令に従って、前記第一出力情報計算部及び前記第二出力情報計算部から、前記第一出力情報ｚι,1及び前記第二出力情報ｚι,2の両方が出力されるか否かを制御するステップを含む、能力提供方法。
【請求項８５】
第一出力情報計算部で、暗号文ｘMに対応する第一入力情報Mτ1を用い、或る確率より大きな確率でｆM（Mτ1）を正しく計算し、得られた計算結果を第一出力情報Mｚ1とするステップと、
第二出力情報計算部で、前記暗号文ｘMに対応する第二入力情報Mτ2を用い、或る確率より大きな確率でｆM（Mτ2）を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報Mｚ2とするステップと、を有し、
ＧM，ＨMが行列の集合、ｆM（ｘM）が集合ＨMの元である暗号文ｘMを特定の復号鍵で復号して集合ＧMの元を得るための復号関数、MＸ1，MＸ2が集合ＧMに値を持つ確率変数、Mｘ1が確率変数MＸ1の実現値、Mｘ2が確率変数MＸ2の実現値、ａMが集合ＨMの元である、能力提供方法。
【請求項８６】
請求項８５の能力提供方法において、
入力された復号制御命令に従って、前記第一出力情報計算部及び前記第二出力情報計算部から、前記第一出力情報Mｚ1及び前記第二出力情報Mｚ2の両方が出力されるか否かを制御するステップを含む、能力提供方法。
【請求項８７】
能力提供装置とΦ個の計算装置φとを有し、
φ＝１，…，Φ、Φが２以上の整数、Ｇφ，Ｈφが群、ｆφが前記群Ｈφの元を前記群Ｇφの元へ写す関数、ａ（φ），ｂ（φ）が互いに素である自然数、前記群Ｈφの元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）が前記群Ｇφの元ｆφ（Ｍφ）a(φ)b(φ)を要素とする集合、Ｘφ,1，Ｘφ,2が前記群Ｇφに値を持つ確率変数、ｘφ,1が確率変数Ｘφ,1の実現値、ｘφ,2が確率変数Ｘφ,2の実現値であり、
前記計算装置φのそれぞれが、前記群Ｈφの元ｘφに対応する、前記群Ｈφの元である第一入力情報τφ,1及び第二入力情報τφ,2を出力する入力情報提供部を含み、
前記能力提供装置が、
前記第一入力情報τφ,1を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（τφ,1）を正しく計算し、得られた演算結果を第一出力情報ｚφ,1とする第一出力情報計算部と、
前記第二入力情報τφ,2を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（τφ,2）を正しく計算し、得られた演算結果を第二出力情報ｚφ,2とする第二出力情報計算部と、を含み、
前記計算装置φのそれぞれが、さらに
前記第一出力情報ｚφ,1から演算結果ｕφ＝ｆφ（ｘφ）b(φ)ｘφ,1を生成する第一計算部と、
前記第二出力情報ｚφ,2から演算結果ｖφ＝ｆφ（ｘφ）a(φ)ｘφ,2を生成する第二計算部と、
前記演算結果ｕφに対する値ｕφa(φ)と前記演算結果ｖφに対する値ｖφb(φ)とが互いに同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属する場合の前記演算結果ｕφ及び前記演算結果ｖφと、ａ’（φ）ａ（φ）＋ｂ’（φ）ｂ（φ）＝１を満たす整数ａ’（φ），ｂ’（φ）とに対する、値ｕφb’(φ)ｖφa’(φ)を出力する最終出力部と、を含む、代理計算システム。
【請求項８８】
請求項８７の代理計算システムにおいて、
すべての前記群Ｇφ（φ＝１，…，Φ）が同一であり、すべての前記群Ｈφ（φ＝１，…，Φ）が同一であり、すべての前記関数ｆφ（φ＝１，…，Φ）が同一であり、
前記第一出力情報計算部は、φごとに独立に、或る確率より大きな確率でｆφ（τφ,1）を正しく計算し、
前記第二出力情報計算部は、φごとに独立に、或る確率より大きな確率でｆφ（τφ,2）を正しく計算する、代理計算システム。
【請求項８９】
請求項８８の代理計算システムにおいて、
前記計算装置φのそれぞれが、前記自然数ａ（φ），ｂ（φ）の少なくとも一方を選択する自然数選択部を含み、
前記第一入力情報τφ,1が前記自然数ｂ（φ）にさらに対応し、前記第二入力情報τφ,2が前記自然数ａ（φ）にさらに対応する、代理計算システム。
【請求項９０】
請求項８７の代理計算システムにおいて、
前記計算装置φのそれぞれが、前記自然数ａ（φ），ｂ（φ）の少なくとも一方を選択する自然数選択部を含み、
前記第一入力情報τφ,1が前記自然数ｂ（φ）にさらに対応し、前記第二入力情報τφ,2が前記自然数ａ（φ）にさらに対応する、代理計算システム。
【請求項９１】
請求項８７の代理計算システムにおいて、
前記入力情報提供部が、前記元ｘφとの関係をかく乱させた情報を前記第一入力情報τφ,1及び前記第二入力情報τφ,2とする、代理計算システム。
【請求項９２】
請求項８８の代理計算システムにおいて、
前記入力情報提供部が、前記元ｘφとの関係をかく乱させた情報を前記第一入力情報τφ,1及び前記第二入力情報τφ,2とする、代理計算システム。
【請求項９３】
請求項８９の代理計算システムにおいて、
前記入力情報提供部が、前記元ｘφとの関係をかく乱させた情報を前記第一入力情報τφ,1及び前記第二入力情報τφ,2とする、代理計算システム。
【請求項９４】
請求項９０の代理計算システムにおいて、
前記入力情報提供部が、前記元ｘφとの関係をかく乱させた情報を前記第一入力情報τφ,1及び前記第二入力情報τφ,2とする、代理計算システム。
【請求項９５】
請求項８７から９４の何れかの代理計算システムにおいて、
前記関数ｆφが準同型関数である、代理計算システム。
【請求項９６】
請求項９５の代理計算システムにおいて、
前記関数ｆφが準同型関数、前記群Ｈφが巡回群で、μφ,hが前記巡回群Ｈφの生成元、Ｋφ,Hが前記巡回群Ｈφの位数、νφ＝ｆφ（μφ,h）であり、
前記入力情報提供部は、
０以上の自然数の乱数ｒ（φ，１）を生成する第一乱数生成部と、
前記第一入力情報τφ,1としてμφ,hr(φ,1)ｘφb(φ)を計算する第一入力情報計算部と、
０以上の自然数の乱数ｒ（φ，２）を生成する第二乱数生成部と、
前記第二入力情報τφ,2としてμφ,hr(φ,2)ｘφa(φ)を計算する第二入力情報計算部と、を含み、
前記第一出力情報計算部は、前記第一入力情報μφ,hr(φ,1)ｘφb(φ)を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（μφ,hr(φ,1)ｘφb(φ)）を正しく計算し、得られた計算結果を前記第一出力情報zφ,1とし、
前記第二出力情報計算部は、前記第二入力情報μφ,hr(φ,2)ｘφa(φ)を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（μφ,hr(φ,2)ｘφa(φ)）を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報ｚφ,2とし、
前記第一計算部は、ｚφ,1νφ-r(φ,1)を計算して前記演算結果ｕφを得、
前記第二計算部は、ｚφ,2νφ-r(φ,2)を計算して前記演算結果ｖφを得る、代理計算システム。
【請求項９７】
請求項９６の代理計算システムにおいて、
前記第一乱数生成部は、ｂ（φ）≠１のときに前記乱数ｒ（φ，１）を生成し、
前記第一入力情報計算部は、ｂ（φ）≠１のときに前記第一入力情報τφ，１として前記μφ,hr(φ,1)ｘφb(φ)を計算し、
前記第一出力情報計算部は、ｂ（φ）≠１のときに前記第一入力情報μφ,hr(φ,1)ｘφb(φ)を用いて得られた前記計算結果を前記第一出力情報ｚφ,1とし、
前記第一計算部が、ｂ（φ）≠１のときにｚφ,1νφ-r(φ,1)を計算して前記演算結果ｕφを得、
前記第二乱数生成部が、ａ（φ）≠１のときに前記乱数ｒ（φ，２）を生成し、
前記第二入力情報計算部が、ａ（φ）≠１のときに前記第二入力情報τφ,2としてμφ,hr(φ,2)ｘφa(φ)を計算し、
前記第二出力情報計算部が、ａ（φ）≠１のときに前記第二入力情報μφ,hr(φ,2)ｘφa(φ)を用いて得られた前記計算結果を第二出力情報ｚφ，２とし、
前記第二計算部が、ａ（φ）≠１のときにｚφ,2νφ-r(φ,2)を計算して前記演算結果ｖφを得、
前記入力情報提供部が、
０以上の自然数の乱数ｒ（φ，３）を生成する第三乱数生成部と、
ｂ（φ）＝１のときにｘφr(φ,3)を前記第一入力情報τφ,1とし、ａ（φ）＝１のときにｘφr(φ,3)を前記第二入力情報τφ，２とする第三入力情報計算部と、を含み、
前記能力提供装置が、
前記ｘφr(φ,3)を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（ｘφr(φ,3)）を正しく計算し、得られた計算結果を第三出力情報ｚφ，３とする第三出力情報計算部を含み、
前記計算装置φのそれぞれが、
ｂ（φ）＝１のときにｚφ,31/r(φ,3)を前記演算結果ｕφとし、ａ（φ）＝１のときにｚφ,31/r(φ,3)を前記演算結果ｖφとする第三計算部を含む、代理計算システム。
【請求項９８】
請求項８７から９４の何れかの代理計算システムにおいて、
前記群Ｈφが直積群Ｇφ×Ｇφで、前記関数ｆφが準同型関数、前記群Ｇφが巡回群で、前記巡回群Ｇφの生成元がμφ,g、前記巡回群Ｇφの位数がＫφ,G、ｘφ＝（ｃφ,1，ｃφ,2），（Ｖφ，Ｗφ）が前記群Ｈφの元、ｆφ（Ｖφ，Ｗφ）＝Ｙφであり、
前記入力情報提供部が、
０以上の自然数の乱数ｒ（φ，４）を生成する第四乱数生成部と、
０以上の自然数の乱数ｒ（φ，５）を生成する第五乱数生成部と、
前記第一入力情報τφ,1としてｃφ,2b(φ)Ｗφr(φ,4)及びｃφ,1b(φ)Ｖφr(φ,4)μφ,gr(φ,5)を計算する第一入力情報計算部と、
０以上の自然数の乱数ｒ（φ，６）を生成する第六乱数生成部と、
０以上の自然数の乱数ｒ（φ，７）を生成する第七乱数生成部と、
前記第二入力情報τφ,2としてｃφ,2a(φ)Ｗφr(φ,6)及びｃφ,1a(φ)Ｖφr(φ,6)μφ,gr(φ,7)を計算する第二入力情報計算部と、を含み、
前記第一出力情報計算部が、前記第一入力情報ｃφ,1b(φ)Ｖφr(φ,4)μφ,gr(φ,5)及びｃφ,2b(φ)Ｗφr(φ,4)を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（ｃφ,1b(φ)Ｖφr(φ,4)μφ,gr(φ,5)，ｃφ,2b(φ)Ｗφr(φ,4)）を正しく計算し、得られた計算結果を前記第一出力情報ｚφ,1とし、
前記第二出力情報計算部が、前記第二入力情報ｃφ,1a(φ)Ｖφr(φ,6)μφ,gr(φ,7)及びｃφ,2a(φ)Ｗφr(φ,6)を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（ｃφ,1a(φ)Ｖφr(φ,6)μφ,gr(φ,7)，ｃφ,2a(φ)Ｗφr(φ,6)）を正しく計算し、得られた計算結果を前記第二出力情報ｚφ，２とし、
前記第一計算部が、ｚφ,1Ｙφ-r(φ,4)μφ,g-r(φ,5)を計算して前記演算結果ｕを得、
前記第二計算部が、ｚφ,2Ｙφ-r(φ,6)μφ,g-r(φ,7)を計算して前記演算結果ｖを得る、代理計算システム。
【請求項９９】
請求項８７から９４の何れかの代理計算システムにおいて、
前記関数ｆφ（ｘφ）が前記群Ｈφの元である前記元ｘφ＝Ｃφ,1（ｙ（φ，１），ｍφ）を前記群Ｇφの元ｆφ（ｘφ）＝Ｃφ,2（ｙ（φ，２），ｍφ）に変換するための準同型関数、φ＝１，…，Φ、Ｃφ,1（ｙ（φ，１），ｍφ）が第一暗号化方式ＥＮＣφ,1に則って平文ｍφを第一暗号化鍵ｙ（φ，１）で暗号化した暗号文、Ｃφ,2（ｙ（φ，２），ｍφ）が第二暗号化方式ＥＮＣφ，２に則って前記平文ｍφを第二暗号化鍵ｙ（φ，２）で暗号化した暗号文であり、
前記入力情報提供部が、
前記群Ｈφの任意の元ｈｒφ，１を生成する第一乱数生成部と、
前記第一入力情報τφ,1としてｘφb(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,1）を計算する第一入力情報計算部と、
前記群Ｈφの任意の元hｒφ,2を生成する第二乱数生成部と、
前記第二入力情報τφ,2としてｘφa(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,2）を計算する第二入力情報計算部と、
前記第一出力情報計算部は、前記第一入力情報ｘφb(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,1）を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（ｘφb(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,1））を正しく計算し、得られた計算結果を前記第一出力情報ｚφ,1とし、
前記第二出力情報計算部は、前記第二入力情報ｘφa(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,2）を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（ｘφa(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,2））を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報ｚφ,2とし、
前記第一計算部は、ｚφ,1（Ｃφ,2（ｙ（φ，２），hｒφ,1））-1を計算して前記演算結果ｕφを得、
前記第二計算部は、ｚφ,2（Ｃφ,2（ｙ（φ，２），hｒφ,2））-1を計算して前記演算結果ｖφを得る、代理計算システム。
【請求項１００】
請求項９９の代理計算システムにおいて、
前記群Ｇφが巡回群Ｇφ,1，Ｇφ,2の直積群Ｇφ,1×Ｇφ,2、μφ,g1が前記巡回群Ｇφ,1の生成元、μφ,g2が前記巡回群Ｇφ,2の生成元、ｓ（φ，２）が前記第二暗号化鍵ｙ（φ，２）に対応する復号鍵、前記第二暗号化鍵ｙ（φ，２）がμφ，ｇ２ｓ（φ，２）、ｒ（φ）が整数の乱数、前記元Ｃφ,2（ｙ（φ，２），ｍφ）が（μφ,g1r(φ)，ｍφｙ（φ，２）r(φ)）、前記値ｕφa(φ)が（ｃφ,1u，ｃφ,2u）∈Ｇφ,1×Ｇφ,2、前記値ｖφb(φ)が（ｃφ,1v，ｃφ,2v）∈Ｇφ,1×Ｇφ,2、ｅφ（α，β）が（α，β）∈Ｇφ,1×Ｇφ,2に対して巡回群Ｇφ,Tの元を与える双線形写像であり、
前記最終出力部は、関係ｅφ（μφ,g1，ｃφ,2u）／ｅφ（ｃφ,1u，ｙ（φ，２））＝ｅφ（μφ,g1，ｃφ,2v）／ｅφ（ｃφ,1v，ｙ（φ，２））を満たす場合の前記値ｕφb’(φ)ｖφa’(φ)を出力する、代理計算システム。
【請求項１０１】
請求項１００の代理計算システムにおいて、
Ｎφが素数ωφと素数ιφの合成数、前記前記巡回群Ｇφ,1，Ｇφ,2がそれぞれ前記合成数Ｎφを法とした剰余環上で定義された第一楕円曲線Ｅφ，１上の点からなる部分群、Ｇφ,1ω，Ｇφ,2ωが前記素数ωφを法とした剰余体上で定義された第二楕円曲線Ｅφ,2上の点からなる部分群、Ｇφ,1ι，Ｇφ,2ιが前記素数ιφを法とした剰余体上で定義された第三楕円曲線Ｅφ,3上の点からなる部分群、ｅφ,ω（αω，βω）が（αω，βω）∈Ｇφ,1ω×Ｇφ,2ωに対して巡回群Ｇφ,Tωの元を与える第二双線形写像、ｅφ,ι（αι，βι）が（αι，βι）∈Ｇφ,1ι×Ｇφ,2ιに対して巡回群Ｇφ,Tιの元を与える第三双線形写像、ＨＭφが前記第一楕円曲線Ｅφ,1上の点を前記第二楕円曲線Ｅφ,2上の点と前記第三楕円曲線Ｅφ,3上の点とに写す同型写像、ＨＭφ-1が前記同型写像ＨＭφの逆像であり、
前記計算装置φのそれぞれは、
前記同型写像ＨＭφを用いて前記第一楕円曲線Ｅφ,1上の点αを前記第二楕円曲線Ｅφ,2上の点θω（α）と前記第三楕円曲線Ｅφ,3上の点θι（α）とに写し、前記同型写像ＨＭφを用いて前記第一楕円曲線Ｅφ,1上の点βを前記第二楕円曲線Ｅφ,2上の点θω（β）と前記第三楕円曲線Ｅφ,3上の点θι（β）とに写し、ｅφ,ω（θω（α），θω（β））及びｅφ,ι（θι（α），θι（β））を求め、ｅφ,ω（θω（α），θω（β））及びｅφ,ι（θι（α），θι（β））に対する前記逆像ＨＭφ-1をｅφ（α，β）として求め、前記関係を満たすか否かを判定する判定部をさらに含む、代理計算システム。
【請求項１０２】
請求項８７から９４の何れかの代理計算システムにおいて、
前記群Ｈφが巡回群Ｈ1,φ,Ｈ2,φの直積群Ｈ1,φ×Ｈ2,φ、前記巡回群Ｈ1,φの生成元がη1,φ、前記巡回群Ｈ2,φの生成元がη2,φ、ｆφが前記巡回群Ｈ1,φの元と前記巡回群Ｈ2,φの元との組を前記群Ｇφの元へ写す双準同型写像、前記群Ｈφの元ｘφが前記巡回群Ｈ1,φの元λ1,φと前記巡回群Ｈ2,φの元λ2,φとの組、Ωφ=ｆφ（η1,φ，η2,φ）であり、
前記入力情報提供部が、
０以上の自然数の乱数ｒ（φ，１１），ｒ（φ，１２），ｒ（φ，１３），ｒ（φ，１４），ｒ（φ，１５），ｒ（φ，１６）を生成する第一乱数生成部と、
前記第一入力情報τφ,1として、（λ1,φη1,φr(φ,11)・r(φ,12)，λ2,φb(φ)η2,φr(φ,13)・r(φ,14)）、（η1,φr(φ,11)，λ2,φ-b(φ)・r(φ,12)η2,φr(φ,15)）及び（λ1,φ-r(φ,14)η1,φr(φ,16)，η2,φr(φ,13)）を計算する第一入力情報計算部と、
０以上の自然数の乱数ｒ（φ，２１），ｒ（φ，２２），ｒ（φ，２３），ｒ（φ，２４），ｒ（φ，２５），ｒ（φ，２６）を生成する第二乱数生成部と、
前記第二入力情報τφ,2として、（λ1,φη1,φr(φ,21)・r(φ,22)，λ2,φa(φ)η2,φr(φ,23)・r(φ,24)）、（η1,φr(φ,21)，λ2,φ-a(φ)・r(φ,22)η2,φr(φ,25)）及び（λ1,φ-r(φ,24)η1,φr(φ,26)，η2,φr(φ,23)）を計算する第二入力情報計算部と、を含み、
前記第一出力情報計算部は、前記第一入力情報τφ,1を用い、或る確率より大きな確率で、ｆφ（λ1,φη1,φr(φ,11)・r(φ,12)，λ2,φb(φ)η2,φr(φ,13)・r(φ,14)）、ｆφ（η1,φr(φ,11)，λ2,φ-b(φ)・r(φ,12)η2,φr(φ,15)）及びｆφ（λ1,φ-r(φ,14)η1,φr(φ,16)，η2,φr(φ,13)）を正しく計算し、得られた演算結果ｚφ,1,1、ｚφ,1,2及びｚφ,1,3を前記第一出力情報ｚφ,1とし、
前記第二出力情報計算部は、前記第二入力情報τφ,2を用い、或る確率より大きな確率で、ｆφ（λ1,φη1,φr(φ,21)・r(φ,22)，λ2,φa(φ)η2,φr(φ,23)・r(φ,24)）、ｆφ（η1,φr(φ,21)，λ2,φ-a(φ)・r(φ,22)η2,φr(φ,25)）及びｆφ（λ1,φ-r(φ,24)η1,φr(φ,26)，η2,φr(φ,23)）を正しく計算し、得られた演算結果ｚφ,2,1、ｚφ,2,2及びｚφ,2,3を前記第二出力情報ｚφ,2とし、
前記第一計算部は、ｚφ,1,1ｚφ,1,2ｚφ,1,3Ωφ-r(φ,11)・r(φ,12)・r(φ,13)・r(φ,14)-r(φ,11)・r(φ,15)-r(φ,13)・r(φ,16)を計算して前記演算結果ｕφを得、
前記第二計算部は、ｚφ,2,1ｚφ,2,2ｚφ,2,3Ωφ-r(φ,21)・r(φ,22)・r(φ,23)・r(φ,24)-r(φ,21)・r(φ,25)-r(φ,23)・r(φ,26)を計算して前記演算結果ｖφを得、
前記最終出力部は、前記演算結果ｕφ，ｖφがｕφa(φ)=ｖφb(φ)を満たす場合に、ａ’（φ）ａ（φ）＋ｂ’（φ）ｂ（φ）＝１を満たす整数ａ’（φ），ｂ’（φ）についての値ｕφb’(φ)ｖφa’(φ)を出力する、代理計算システム。
【請求項１０３】
請求項８７から９４の何れかの代理計算システムにおいて、
前記演算結果ｕφのｆφ（ｘφ）b(φ)に対する誤差の確率分布が前記自然数ｂ（φ）に依存しない、及び／若しくは、前記演算結果ｖφのｆφ（ｘφ）a(φ)に対する誤差の確率分布が前記自然数ａ（φ）に依存しない、又は、前記演算結果ｕφのｆφ（ｘφ）b(φ)に対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ｂ（φ）に依存しない確率分布が存在する、及び／若しくは、前記演算結果ｖφのｆφ（ｘφ）a(φ)に対する誤差の確率分布と区別することができない前記自然数ａ（φ）に依存しない確率分布が存在する、代理計算システム。
【請求項１０４】
請求項８７から９４の何れかの代理計算システムにおいて、
前記自然数ａ（φ）又は前記自然数ｂ（φ）が定数である、代理計算システム。
【請求項１０５】
第一出力情報計算部と、第二出力情報計算部とを有し、
φ＝１，…，Φ、Φが２以上の整数、Ｇφ，Ｈφが群、ｆφが前記群Ｈφの元を前記群Ｇφの元へ写す関数、ａ（φ），ｂ（φ）が互いに素である自然数、前記群Ｈφの元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）が前記群Ｇφの元ｆφ（Ｍφ）a(φ)b(φ)を要素とする集合、Ｘφ,1，Ｘφ,2が前記群Ｇφに値を持つ確率変数、ｘφ,1が確率変数Ｘφ,1の実現値、ｘφ,2が確率変数Ｘφ,2の実現値であり、
前記第一出力情報計算部が、前記巡回群Ｈφの元ｘφに対応する、前記群Ｈφの元である第一入力情報τφ,1を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（τφ,1）を正しく計算し、得られた演算結果を第一出力情報ｚφ,1とし、
前記第二出力情報計算部が、前記群Ｈφの元ｘφに対応する、前記群Ｈφの元である第二入力情報τφ,2を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（τφ,2）を正しく計算し、得られた演算結果を第二出力情報ｚφ,2とする、能力提供装置。
【請求項１０６】
請求項１０５の能力提供装置において、
すべての前記群Ｇφ（φ＝１，…，Φ）が同一であり、すべての前記群Ｈφ（φ＝１，…，Φ）が同一であり、すべての前記関数ｆφ（φ＝１，…，Φ）が同一であり、
前記第一出力情報計算部は、φごとに独立に、或る確率より大きな確率でｆφ（τφ,1）を正しく計算し、
前記第二出力情報計算部は、φごとに独立に、或る確率より大きな確率でｆφ（τφ,2）を正しく計算する、能力提供装置。
【請求項１０７】
請求項１０５又は１０６の能力提供装置において、
前記関数ｆφが準同型関数、前記群Ｈφが巡回群で、μφ,hが前記巡回群Ｈφの生成元、Ｋφ,Hが前記巡回群Ｈφの位数、νφ＝ｆφ（μφ,h）であり、
前記第一出力情報計算部は、前記第一入力情報μφ,hr(φ,1)ｘφb(φ)を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（μφ,hr(φ,1)ｘφb(φ)）を正しく計算し、得られた計算結果を前記第一出力情報ｚφ,1とし、
前記第二出力情報計算部は、前記第二入力情報μφ,hr(φ,2)ｘφa(φ)を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（μφ,hr(φ,2)ｘφa(φ)）を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報ｚφ,2とする、能力提供装置。
【請求項１０８】
請求項１０５又は１０６の能力提供装置において、
前記群Ｈφが直積群Ｇφ×Ｇφで、前記関数ｆφが準同型関数、前記群Ｇφが巡回群で、前記巡回群Ｇφの生成元がμφ,g、前記巡回群Ｇφの位数がＫφ,G、ｘφ＝（ｃφ,1，ｃφ,2），（Ｖφ，Ｗφ）が前記群Ｈφの元、ｆφ（Ｖφ，Ｗφ）＝Ｙφであり、ｒ（φ，４），ｒ（φ，５），ｒ（φ，６）及びｒ（φ，７）が０以上の自然数の乱数であり、
前記第一出力情報計算部が、前記第一入力情報ｃφ,1b(φ)Ｖφr(φ,4)μφ,gr(φ,5)及びｃφ,2b(φ)Ｗφr(φ,4)を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（ｃφ,1b(φ)Ｖφr(φ,4)μφ,gr(φ,5)，ｃφ,2b(φ)Ｗφr(φ,4)）を正しく計算し、得られた計算結果を前記第一出力情報ｚφ,1とし、
前記第二出力情報計算部が、前記第二入力情報ｃφ,1a(φ)Ｖφr(φ,6)μφ,gr(φ,7)及びｃφ,2a(φ)Ｗφr(φ,6)を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（ｃφ,1a(φ)Ｖφr(φ,6)μφ,gr(φ,7)，ｃφ,2a(φ)Ｗφr(φ,6)）を正しく計算し、得られた計算結果を前記第二出力情報ｚφ,2とする、能力提供装置。
【請求項１０９】
請求項１０５又は１０６の能力提供装置において、
前記関数ｆφ（ｘφ）が前記群Ｈφの元である前記元ｘφ＝Ｃφ,1（ｙ（φ，１），ｍφ）を前記群Ｇφの元ｆφ（ｘφ）＝Ｃφ,2（ｙ（φ，２），ｍφ）に変換するための準同型関数、φ＝１，…，Φ、Ｃφ，１（ｙ（φ，１），ｍφ）が第一暗号化方式ＥＮＣφ,1に則って平文ｍφを第一暗号化鍵ｙ（φ，１）で暗号化した暗号文、Ｃφ,2（ｙ（φ，２），ｍφ）が第二暗号化方式ＥＮＣφ，２に則って前記平文ｍφを第二暗号化鍵ｙ（φ，２）で暗号化した暗号文であり、hｒφ,1及びhｒφ,2が前記群Ｈφの任意の元であり、
前記第一出力情報計算部が、前記第一入力情報ｘφb(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,1）を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（ｘφb(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,1））を正しく計算し、得られた計算結果を前記第一出力情報ｚφ,1とし、
前記第二出力情報計算部が、前記第二入力情報ｘφa(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,2）を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（ｘφa(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,2））を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報ｚφ,2とする、能力提供装置。
【請求項１１０】
請求項１０５又は１０６の能力提供装置において、
前記群Ｈφが巡回群Ｈ1,φ,Ｈ2,φの直積群Ｈ1,φ×Ｈ2,φ、前記巡回群Ｈ1,φの生成元がη1,φ、前記巡回群Ｈ2,φの生成元がη2,φ、ｆφが前記巡回群Ｈ1,φの元と前記巡回群Ｈ2,φの元との組を前記群Ｇφの元へ写す双準同型写像、前記群Ｈφの元ｘφが前記巡回群Ｈ1,φの元λ1,φと前記巡回群Ｈ2,φの元λ2,φとの組、Ωφ=ｆφ（η1,φ，η2,φ）、ｒ（φ，１１），ｒ（φ，１２），ｒ（φ，１３），ｒ（φ，１４），ｒ（φ，１５），ｒ（φ，１６），ｒ（φ，２１），ｒ（φ，２２），ｒ（φ，２３），ｒ（φ，２４），ｒ（φ，２５），ｒ（φ，２６）が０以上の自然数の乱数、前記第一入力情報τφ,1が（λ1,φη1,φr(φ,11)・r(φ,12)，λ2,φb(φ)η2,φr(φ,13)・r(φ,14)）、（η1,φr(φ,11)，λ2,φ-b(φ)・r(φ,12)η2,φr(φ,15)）及び（λ1,φ-r(φ,14)η1,φr(φ,16)，η2,φr(φ,13)）、前記第二入力情報τφ,2が（λ1,φη1,φr(φ,21)・r(φ,22)，λ2,φa(φ)η2,φr(φ,23)・r(φ,24)）、（η1,φr(φ,21)，λ2,φ-a(φ)・r(φ,22)η2,φr(φ,25)）及び（λ1,φ-r(φ,24)η1,φr(φ,26)，η2,φr(φ,23)）であり、
前記第一出力情報計算部は、前記第一入力情報τφ，１を用い、或る確率より大きな確率で、ｆφ（λ1,φη1,φr(φ,11)・r(φ,12)，λ2,φb(φ)η2,φr(φ,13)・r(φ,14)）、ｆφ（η1,φr(φ,11)，λ2,φ-b(φ)・r(φ,12)η2,φr(φ,15)）及びｆφ（λ1,φ-r(φ,14)η1,φr(φ,16)，η2,φr(φ,13)）を正しく計算し、得られた演算結果ｚφ,1,1、ｚφ,1,2及びｚφ,1,3を前記第一出力情報ｚφ,1とし、
前記第二出力情報計算部は、前記第二入力情報τφ，２を用い、或る確率より大きな確率で、ｆφ（λ1,φη1,φr(φ,21)・r(φ,22)，λ2,φa(φ)η2,φr(φ,23)・r(φ,24)）、ｆφ（η1,φr(φ,21)，λ2,φ-a(φ)・r(φ,22)η2,φr(φ,25)）及びｆφ（λ1,φ-r(φ,24)η1,φr(φ,26)，η2,φr(φ,23)）を正しく計算し、得られた演算結果ｚφ,2,1、ｚφ,2,2及びｚφ,2,3を前記第二出力情報ｚφ,2とする、能力提供装置。
【請求項１１１】
Φ個の計算装置φのそれぞれで、群Ｈφの元ｘφに対応する、前記群Ｈφの元である第一入力情報τφ,1及び第二入力情報τφ,2を出力する入力情報提供ステップと、
能力提供装置で、前記第一入力情報τφ,1を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（τφ,1）を正しく計算し、得られた演算結果を第一出力情報ｚφ,1とする第一出力情報生成ステップと、
前記能力提供装置で、前記第二入力情報τφ,2を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（τφ,2）を正しく計算し、得られた演算結果を第二出力情報ｚφ,2とする第二出力情報生成ステップと、
前記計算装置φのそれぞれで、前記第一出力情報ｚφ，１から演算結果ｕφ＝ｆφ（ｘφ）b(φ)ｘφ,1を生成する第一計算ステップと、
前記計算装置φのそれぞれで、前記第二出力情報ｚφ,2から演算結果ｖφ＝ｆφ（ｘφ）a(φ)ｘφ,2を生成する第二計算ステップと、
前記計算装置φのそれぞれで、前記演算結果ｕφに対する値ｕφa(φ)と前記演算結果ｖφに対する値ｖφb(φ)とが互いに同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属する場合の前記演算結果ｕφ及び前記演算結果ｖφと、ａ’（φ）ａ（φ）＋ｂ’（φ）ｂ（φ）＝１を満たす整数ａ’（φ），ｂ’（φ）とに対する、値ｕφb’(φ)ｖφa’(φ)を出力する最終出力ステップと、を有し、
φ＝１，…，Φ、Φが２以上の整数、Ｇφが群、ｆφが前記群Ｈφの元を前記群Ｇφの元へ写す関数、ａ（φ），ｂ（φ）が互いに素である自然数、前記群Ｈφの元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）が前記群Ｇφの元ｆφ（Ｍφ）a(φ)b(φ)を要素とする集合、Ｘφ,1，Ｘφ,2が前記群Ｇφに値を持つ確率変数、ｘφ,1が確率変数Ｘφ,1の実現値、ｘφ,2が確率変数Ｘφ,2の実現値である、代理計算方法。
【請求項１１２】
請求項１１１の代理計算方法において、
すべての前記群Ｇφ（φ＝１，…，Φ）が同一であり、すべての前記群Ｈφ（φ＝１，…，Φ）が同一であり、すべての前記関数ｆφ（φ＝１，…，Φ）が同一であり、
前記第一出力情報計算部は、φごとに独立に、或る確率より大きな確率でｆφ（τφ,1）を正しく計算し、
前記第二出力情報計算部は、φごとに独立に、或る確率より大きな確率でｆφ（τφ,2）を正しく計算する、代理計算方法。
【請求項１１３】
第一出力情報計算部が、群Ｈφの元ｘφに対応する、前記群Ｈφの元である第一入力情報τφ,1を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（τφ,1）を正しく計算し、得られた演算結果を第一出力情報ｚφ,1とするステップと、
第二出力情報計算部が、前記群Ｈφの元ｘφに対応する、群Ｈφの元である第二入力情報τφ,2を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（τφ,2）を正しく計算し、得られた演算結果を第二出力情報ｚφ,2とするステップと、を有し、
φ＝１，…，Φ、Φが２以上の整数、Ｇφが群、ｆφが前記群Ｈφの元を前記群Ｇφの元へ写す関数、ａ（φ），ｂ（φ）が互いに素である自然数、前記群Ｈφの元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）が前記群Ｇφの元ｆφ（Ｍφ）a(φ)b(φ)を要素とする集合、Ｘφ,1，Ｘφ,2が前記群Ｇφに値を持つ確率変数、ｘφ,1が確率変数Ｘφ,1の実現値、ｘφ,2が確率変数Ｘφ,2の実現値である、能力提供方法。
【請求項１１４】
請求項１１３の能力提供方法において、
すべての前記群Ｇφ（φ＝１，…，Φ）が同一であり、すべての前記群Ｈφ（φ＝１，…，Φ）が同一であり、すべての前記関数ｆφ（φ＝１，…，Φ）が同一であり、
前記第一出力情報計算部は、φごとに独立に、或る確率より大きな確率でｆφ（τφ,1）を正しく計算し、
前記第二出力情報計算部は、φごとに独立に、或る確率より大きな確率でｆφ（τφ,2）を正しく計算する、能力提供方法。
【請求項１１５】
請求項４７又は６０の計算装置としてコンピュータを機能させるためのプログラム。
【請求項１１６】
請求項６６、７２及び１０５の何れかの能力提供装置としてコンピュータを機能させるためのプログラム。
【請求項１１７】
請求項４７又は６０の計算装置としてコンピュータを機能させるためのプログラムを格納したコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
【請求項１１８】
請求項６６、７２及び１０５の何れかの能力提供装置としてコンピュータを機能させるためのプログラムを格納したコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、他の装置で行われた計算結果を用いて計算を行う技術に関する。
【背景技術】
【０００２】
公開鍵暗号方式や共通鍵暗号方式などの暗号方式で暗号化された暗号文を復号するためには、特定の復号鍵が必要である（例えば、非特許文献１参照）。復号鍵を保持していない第一装置が暗号文の復号結果を得るための従来方法の一つは、復号鍵を保持している第二装置が第一装置に復号鍵を提供し、第一装置がその復号鍵を用いて暗号文の復号を行う方法である。第一装置が暗号文の復号結果を得るための他の従来方法は、第一装置が暗号文を第二装置に提供し、第二装置が暗号文を復号してその復号結果を第一装置に提供する方法である。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００３】
【非特許文献１】Taher Elgamal, A Public-Key Cryptosystem and a Signature Scheme Based on Discrete Logarithms, IEEE Transactions on Information Theory, v. IT-31, n. 4, 1985, pp. 469-472 or CRYPTO 84, pp. 10-18, Springer-Verlag.
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
しかしながら、第二装置が第一装置に復号鍵を提供する方法では、復号鍵を第二装置の外部に取り出さなければならず、安全上の問題がある。一方、第一装置が暗号文を第二装置に提供し、第二装置が暗号文を復号する方法では、第一装置が第二装置の復号処理の正当性を検証することができない。このような課題は復号処理以外に一般化できる。すなわち、第二装置が秘密情報を漏洩することなく計算能力のみを第一装置に提供し、第一装置がその計算能力を用いて正しく計算を行う技術は存在しなかった。
【課題を解決するための手段】
【０００５】
本発明では、Ｇ，Ｈを群、ｆ（ｘ）を群Ｈの元である暗号文ｘを特定の復号鍵で復号して群Ｇの元を得るための復号関数、Ｘ1，Ｘ2を群Ｇに値を持つ確率変数、ｘ1を確率変数Ｘ1の実現値、ｘ2を確率変数Ｘ2の実現値、ａ，ｂを互いに素である自然数として、計算装置が、暗号文ｘに対応する、群Ｈの元である第一入力情報τ1及び第二入力情報τ2を出力し、能力提供装置が、第一入力情報τ1を用い、或る確率より大きな確率でｆ（τ1）を正しく計算し、計算結果を第一出力情報ｚ1とし、第二入力情報τ2を用い、或る確率より大きな確率でｆ（τ2）を正しく計算し、計算結果を第二出力情報ｚ2とし、計算装置が、第一出力情報ｚ1から計算結果ｕ＝ｆ（ｘ）bｘ1を生成し、第二出力情報ｚ2から計算結果ｖ＝ｆ（ｘ）aｘ2を生成し、計算結果ｕ及びｖがｕa＝ｖbを満たす場合に、ａ’ａ＋ｂ’ｂ＝１を満たす整数ａ’，ｂ’についてのｕb’ｖa’を出力する。
【発明の効果】
【０００６】
本発明では、能力提供装置が秘密情報を漏洩することなく計算能力のみを計算装置に提供し、計算装置がその計算能力を用いて正しく計算を行うことができる。
【図面の簡単な説明】
【０００７】
【図１】実施形態の代理計算システムの構成を説明するためのブロック図。
【図２】実施形態の計算装置の構成を説明するためのブロック図。
【図３】実施形態の能力提供装置の構成を説明するためのブロック図。
【図４】実施形態の入力情報提供部の構成を説明するためのブロック図。
【図５】実施形態の入力情報提供部の構成を説明するためのブロック図。
【図６】実施形態の計算装置の処理を説明するためのフローチャート。
【図７】実施形態の能力提供装置の処理を説明するためのフローチャート。
【図８】ステップＳ２１０３（Ｓ３１０３）の処理を説明するためのフローチャート。
【図９】ステップＳ４１０３の処理を説明するためのフローチャート。
【図１０】実施形態の計算装置の構成を説明するためのブロック図。
【図１１】実施形態の計算装置の処理を説明するためのフローチャート。
【図１２】実施形態の計算装置の構成を説明するためのブロック図。
【図１３】実施形態の能力提供装置の構成を説明するためのブロック図。
【図１４】実施形態の入力情報提供部の構成を説明するためのブロック図。
【図１５】実施形態の計算装置の処理を説明するためのフローチャート。
【図１６】ステップＳ６１０３の処理を例示するためのフローチャート。
【図１７】実施形態の能力提供装置の処理を説明するためのフローチャート。
【図１８】実施形態の代理計算システムの構成を説明するためのブロック図。
【図１９】実施形態の計算装置の構成を説明するためのブロック図。
【図２０】実施形態の能力提供装置の構成を説明するためのブロック図。
【図２１】実施形態の復号制御装置の構成を説明するためのブロック図。
【図２２】実施形態の入力情報提供部の構成を説明するためのブロック図。
【図２３】実施形態の入力情報提供部の構成を説明するためのブロック図。
【図２４】実施形態の暗号化処理を説明するためのフローチャート。
【図２５】実施形態の復号処理を説明するためのフローチャート。
【図２６】実施形態の復号能力提供処理を説明するためのフローチャート。
【図２７】ステップＳ１２１０３（Ｓ１３１０３）の処理を説明するためのフローチャート。
【図２８】ステップＳ１４１０３の処理を説明するためのフローチャート。
【図２９】実施形態の計算装置の構成を説明するためのブロック図。
【図３０】実施形態の復号処理を説明するためのフローチャート。
【図３１】実施形態の代理計算システムの構成を説明するためのブロック図。
【図３２】実施形態の計算装置の構成を説明するためのブロック図。
【図３３】実施形態の能力提供装置の構成を説明するためのブロック図。
【図３４】実施形態の入力情報提供部の構成を説明するためのブロック図。
【図３５】実施形態の入力情報提供部の構成を説明するためのブロック図。
【図３６】実施形態の入力情報提供部の構成を説明するためのブロック図。
【図３７】実施形態の計算装置の処理を説明するためのフローチャート。
【図３８】実施形態の能力提供装置の処理を説明するためのフローチャート。
【図３９】ステップＳ２２１０３（Ｓ２３１０３）の処理を説明するためのフローチャート。
【図４０】ステップＳ２４１０３の処理を説明するためのフローチャート。
【図４１】ステップＳ２５１０３の処理を説明するためのフローチャート。
【図４２】実施形態の入力情報提供部の構成を説明するためのブロック図。
【図４３】ステップＳ２７１０３の処理を説明するためのフローチャート。
【図４４】実施形態の計算装置の構成を説明するためのブロック図。
【図４５】実施形態の計算装置の処理を説明するためのフローチャート。
【発明を実施するための形態】
【０００８】
以下、図面を参照して本発明の実施形態を説明する。
［第一実施形態］
本発明の第一実施形態を説明する。
＜構成＞
図１に例示するように、第一実施形態の代理計算システム１は、例えば、復号鍵を保持していない計算装置１１と復号鍵を保持する能力提供装置１２とを有し、計算装置１１が能力提供装置１２に暗号文の復号能力の提供を依頼し、能力提供装置１２から提供された復号能力を用いて暗号文を復号する。計算装置１１と能力提供装置１２とは情報のやり取りが可能なように構成される。例えば、計算装置１１と能力提供装置１２とは、伝送線やネットワークや可搬型記録媒体などを経由した情報のやり取りが可能とされている。
【０００９】
図２に例示するように、第一実施形態の計算装置１１は、例えば、自然数記憶部１１０１と自然数選択部１１０２と整数計算部１１０３と入力情報提供部１１０４と第一計算部１１０５と第一べき乗計算部１１０６と第一リスト記憶部１１０７と第二計算部１１０８と第二べき乗計算部１１０９と第二リスト記憶部１１１０と判定部１１１１と最終出力部１１１２と制御部１１１３とを有する。計算装置１１の例は、カードリーダライタ装置や携帯電話などの計算機能と記憶機能とを備えた機器や、特別なプログラムが読み込まれたＣＰＵ（central processing unit）やＲＡＭ（random-access memory）を備えた公知又は専用のコンピュータなどである。
【００１０】
図３に例示するように、第一実施形態の能力提供装置１２は、例えば、第一出力情報計算部１２０１と第二出力情報計算部１２０２と鍵記憶部１２０４と制御部１２０５とを有する。能力提供装置１２の例は、ＩＣカードやＩＣチップなどの耐タンパ性モジュールや、携帯電話などの計算機能と記憶機能とを備えた機器や、特別なプログラムが読み込まれたＣＰＵやＲＡＭを備えた公知又は専用のコンピュータなどである。
【００１１】
＜処理＞
次に本形態の処理を説明する。処理の前提として、Ｇ，Ｈを群（例えば、可換群）、ｆ（ｘ）を群Ｈの元である暗号文ｘを特定の復号鍵ｓで復号して群Ｇの元を得るための復号関数、群Ｇ，Ｈの生成元をそれぞれμg，μh、Ｘ1，Ｘ2を群Ｇに値を持つ確率変数、確率変数Ｘ1の実現値をｘ1、確率変数Ｘ2の実現値をｘ2とする。計算装置１１の自然数記憶部１１０１には、互いに素である２つの自然数ａ，ｂの組（ａ，ｂ）が複数種類記憶されているものとする。「自然数」とは０以上の整数を意味する。Ｉを群Ｇの位数未満の２つの自然数の組で互いに素なものの集合とすると、自然数記憶部１１０１にはＩの部分集合Ｓに対応する自然数ａ，ｂの組（ａ，ｂ）が記憶されていると考えることができる。能力提供装置１２の鍵記憶部２１０４には、特定の復号鍵ｓが安全に格納されているものとする。計算装置１１の各処理は制御部１１１３の制御のもとで実行され、能力提供装置１２の各処理は制御部１２０５の制御のもとで実行される。
【００１２】
図６に例示するように、まず、計算装置１１（図２）の自然数選択部１１０２が、自然数記憶部１１０１に記憶された複数の自然数の組（ａ，ｂ）から１つの自然数の組（ａ，ｂ）をランダムに読み込む。読み込まれた自然数の組（ａ，ｂ）少なくとも一部の情報は、整数計算部１１０３、入力情報提供部１１０４、第一べき乗計算部１１０６及び第二べき乗計算部１１０９に送られる（ステップＳ１１００）。
【００１３】
整数計算部１１０３は、送られた自然数の組（ａ，ｂ）を用いて、ａ’ａ＋ｂ’ｂ＝１の関係を満たす整数ａ’，ｂ’を計算する。自然数ａ，ｂは互いに素であるため、ａ’ａ＋ｂ’ｂ＝１の関係を満たす整数ａ’，ｂ’は必ず存在する。自然数の組（ａ’，ｂ’）の情報は、最終出力部１１１２に送られる（ステップＳ１１０１）。
【００１４】
制御部１１１３は、ｔ＝１とする（ステップＳ１１０２）。
入力情報提供部１１０４は、入力された暗号文ｘにそれぞれ対応する群Ｈの元である第一入力情報τ1及び第二入力情報τ2を生成して出力する。好ましくは、第一入力情報τ1及び第二入力情報τ2はそれぞれ暗号文ｘとの関係をかく乱させた情報である。これにより、計算装置１１は、暗号文ｘを能力提供装置１２に対して隠蔽できる。好ましくは、本形態の第一入力情報τ1は自然数選択部１１０２で選択された自然数ｂにさらに対応し、第二入力情報τ2は自然数選択部１１０２で選択された自然数ａにさらに対応する。これにより、能力提供装置１２から提供された復号能力を計算装置１１が高い精度で評価することが可能となる（ステップＳ１１０３）。
【００１５】
図７に例示するように、第一入力情報τ1は能力提供装置１２（図３）の第一出力情報計算部１２０１に入力され、第二入力情報τ2は第二出力情報計算部１２０２に入力される（ステップＳ１２００）。
【００１６】
第一出力情報計算部１２０１は、第一入力情報τ1と鍵記憶部１２０４に格納された復号鍵ｓとを用い、或る確率より大きな確率でｆ（τ1）を正しく計算し、得られた計算結果を第一出力情報ｚ1とする（ステップＳ１２０１）。第二出力情報計算部１２０２は、第二入力情報τ2と鍵記憶部１２０４に格納された復号鍵ｓとを用い、或る確率より大きな確率でｆ（τ2）を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報ｚ2とする（ステップＳ１２０２）。なお、「或る確率」は１００％未満の確率である。「或る確率」の例は無視することができない確率であり、「無視することができない確率」の例は、セキュリティパラメータｋについての広義単調増加関数である多項式を多項式ψ（ｋ）とした場合の１／ψ（ｋ）以上の確率である。すなわち、第一出力情報計算部１２０１や第二出力情報計算部１２０２は、意図的又は意図的ではない誤差を含んだ計算結果を出力する。言い換えると、第一出力情報計算部１２０１での計算結果がｆ（τ1）の場合もあればｆ（τ1）でない場合もあり、第二出力情報計算部１２０２での計算結果がｆ（τ2）の場合もあればｆ（τ2）でない場合もある。
【００１７】
第一出力情報計算部１２０１は第一出力情報ｚ1を出力し、第二出力情報計算部１２０２は第二出力情報ｚ2を出力する（ステップＳ１２０３）。
図６に戻り、第一出力情報ｚ1は計算装置１１（図２）の第一計算部１１０５に入力され、第二出力情報ｚ2は第二計算部１１０８に入力される。これらの第一出力情報ｚ1及び第二出力情報ｚ2が、能力提供装置１２から計算装置１１に与えられた復号能力に相当する（ステップＳ１１０４）。
第一計算部１１０５は、第一出力情報ｚ1から計算結果ｕ＝ｆ（ｘ）bｘ1を生成する。ここで、ｆ（ｘ）bｘ1を生成（計算）するとは、ｆ（ｘ）bｘ1と定義される式の値を計算することである。式ｆ（ｘ）bｘ1の値を最終的に計算することができれば、途中の計算方法は問わない。これは、この出願で登場する他の式の計算についても同様である。第一実施形態では群で定義された演算を乗法的に表現する。すなわちα∈Ｇに対する「αb」は、群Ｇで定義された演算をαに対してｂ回作用させることを意味し、α1，α2∈Ｇに対する「α1α2」は、α1とα2とを被演算子とした群Ｇで定義された演算を行うことを意味する（後述する第二から第五実施形態も同様）。計算結果ｕは第一べき乗計算部１１０６に送られる（ステップＳ１１０５）。
【００１８】
第一べき乗計算部１１０６はｕ’＝ｕaを計算する。計算結果ｕとその計算結果に基づいて計算されたｕ’との組（ｕ，ｕ’）は、第一リスト記憶部１１０７に記憶される（ステップＳ１１０６）。
【００１９】
判定部１１１１は、第一リスト記憶部１１０７に記憶された組（ｕ，ｕ’）及び第二リスト記憶部１１１０に記憶された組（ｖ，ｖ’）の中で、ｕ’＝ｖ’となるものがあるか判定する（ステップＳ１１０７）。もし、第二リスト記憶部１１１０に組（ｖ，ｖ’）が記憶されていない場合には、このステップＳ１１０７の処理を行わずに、次のステップＳ１１０８の処理を行う。ｕ’＝ｖ’となるものがあった場合には、ステップＳ１１１４に進む。ｕ’＝ｖ’となるものがなかった場合には、ステップＳ１１０８に進む。
ステップＳ１１０８では、第二計算部１１０８が、第二出力情報ｚ2から計算結果ｖ＝ｆ（ｘ）aｘ2を生成する。計算結果ｖは第二べき乗計算部１１０９に送られる（ステップＳ１１０８）。
【００２０】
第二べき乗計算部１１０９はｖ’＝ｖｂを計算する。計算結果ｖとその計算結果に基づいて計算されたｖ’との組（ｖ，ｖ’）は、第二リスト記憶部１１１０に記憶される（ステップＳ１１０９）。
【００２１】
判定部１１１１は、第一リスト記憶部１１０７に記憶された組（ｕ，ｕ’）及び第二リスト記憶部１１１０に記憶された組（ｖ，ｖ’）の中で、ｕ’＝ｖ’となるものがあるか判定する（ステップＳ１１１０）。ｕ’＝ｖ’となるものがあった場合には、ステップＳ１１１４に進む。ｕ’＝ｖ’となるものがなかった場合には、ステップＳ１１１１に進む。
【００２２】
ステップＳ１１１１では、制御部１１１３がｔ＝Ｔmaxであるか判定する（ステップＳ１１１１）。Ｔmaxは予め定められた自然数である。ｔ＝Ｔmaxであれば、制御部１１１３は、計算をすることができなかった旨の情報、例えば記号「⊥」を出力して（ステップＳ１１１３）、処理を終える。ｔ＝Ｔmaxでない場合には、制御部１１１３は、ｔを１だけインクリメント、すなわちｔ＝ｔ＋１として（ステップＳ１１１２）、ステップＳ１１０３に戻る。
【００２３】
計算をすることができなかった旨の情報（この例では記号「⊥」）は、能力提供装置１２が正しく計算を行う信頼性がＴmaxで定められる基準を下回るということを意味する。言い換えれば、Ｔmax回の繰り返しで正しい演算を行うことができなかったということを意味する。
【００２４】
ステップＳ１１１４では、最終出力部１１１２が、ｕ’＝ｖ’であると判定されたｕ’及びｖ’に対応するｕ及びｖを用いてｕb’ｖa’を計算して、出力する（ステップＳ１１１４）。このように計算されたｕb’ｖa’は高い確率で暗号文ｘを特定の復号鍵ｓで復号した復号結果ｆ（ｘ）となる（高い確率でｕb’ｖa’＝ｆ（ｘ）となる理由については後述する）。よって、上述した処理を複数回繰り返し、ステップＳ１１１４で得られた値のうち最も頻度の高い値を復号結果とすればよい。後述するように、設定によっては圧倒的な確率でｕb’ｖa’＝ｆ（ｘ）となる。その場合にはステップＳ１１１４で得られた値をそのまま復号結果としてよい。
【００２５】
≪高い確率でｕb’ｖa’＝ｆ（ｘ）となる理由について≫
Ｘを群Ｇに値を持つ確率変数とする。ｗ∈Ｇについて、要求を受けるたびに確率変数Ｘに従った標本ｘ’に対応するｗｘ’を返すものを、ｗについて誤差Ｘを持つ標本器（sampler）と呼ぶ。
【００２６】
ｗ∈Ｇについて、自然数ａが与えられるたびに確率変数Ｘに従った標本ｘ’に対応するｗaｘ’を返すものを、ｗについて誤差Ｘを持つ乱数化可能標本器（randomizable sampler）と呼ぶ。乱数化可能標本器はａ＝１として用いられれば標本器として機能する。
【００２７】
本実施形態の入力情報提供部１１０４と第一出力情報計算部１２０１と第一計算部１１０５との組み合わせが、ｆ（ｘ）について誤差Ｘ1を持つ乱数化可能標本器（「第一乱数化可能標本器」と呼ぶ）であり、入力情報提供部１１０４と第二出力情報計算部１２０２と第二計算部１１０８との組み合わせが、ｆ（ｘ）について誤差Ｘ2を持つ乱数化可能標本器（「第二乱数化可能標本器」と呼ぶ）である。
【００２８】
ｕ’＝ｖ’が成立するのは、すなわちｕa＝ｖbが成立するのは、第一乱数化可能標本器がｕ＝ｆ（ｘ）bを正しく計算しており、第二乱数化可能標本器がｖ＝ｆ（ｘ）aを正しく計算している（ｘ1及びｘ2が群Ｇの単位元ｅgである）可能性が高いことを発明者は見出した。説明の簡略化の観点から、この証明は五実施形態で行う。
【００２９】
第一乱数化可能標本器がｕ＝ｆ（ｘ）bを正しく計算しており、第二乱数化可能標本器がｖ＝ｆ（ｘ）aを正しく計算しているとき（ｘ1及びｘ2が群Ｇの単位元ｅgであるとき）、ｕb’ｖa’＝（ｆ（ｘ）bｘ1）b’（ｆ（ｘ）aｘ2）a’＝（ｆ（ｘ）bｅg）b’（ｆ（ｘ）aｅg）a’＝ｆ（ｘ）bb’ｅgb’ｆ（ｘ）aa’ｅga’＝ｆ（ｘ）(bb’+aa’)＝ｆ（ｘ）となる。
【００３０】
（ｑ1，ｑ2）∈Ｉについて、ｉ＝１，２の各々について関数πiをπi（ｑ1，ｑ2）＝ｑiで定義する。Ｌ＝ｍｉｎ（♯π1（Ｓ），♯π2（Ｓ））とする。♯・は、集合・の位数である。群Ｇが巡回群や位数の計算が困難な群であるときには、計算装置１１が「⊥」以外を出力するときの出力がｆ（ｘ）ではない確率は、無視できる程度の誤差の範囲で高々Ｔmax2Ｌ／♯Ｓ程度と期待することができる。もしＬ／♯Ｓが無視できる量でＴmaxが多項式オーダー程度の量であれば、計算装置１１は圧倒的な確率で正しいｆ（ｘ）を出力する。Ｌ／♯Ｓが無視できる量になるようなＳの例には、例えばＳ＝｛（１，ｄ）｜ｄ∈［２，｜Ｇ｜−１］｝がある。
【００３１】
［第二実施形態］
第二実施形態の代理計算システムは、上述した第一乱数化可能標本器及び第二乱数化可能標本器を具体化した例である。以下、第一実施形態と異なる部分を中心に説明し、共通する部分については重複説明を省略する。以下の説明において、同一の参照番号が付された部分は同一の機能を持つものとし、同一の参照番号が付されたステップは同一の処理を表すものとする。
【００３２】
＜構成＞
図１に例示するように、第二実施形態の代理計算システム２は、計算装置１１が計算装置２１に置換され、能力提供装置１２が能力提供装置２２に置換されたものである。
【００３３】
図２に例示するように、第二実施形態の計算装置２１は、例えば、自然数記憶部１１０１と自然数選択部１１０２と整数計算部１１０３と入力情報提供部２１０４と第一計算部２１０５と第一べき乗計算部１１０６と第一リスト記憶部１１０７と第二計算部２１０８と第二べき乗計算部１１０９と第二リスト記憶部１１１０と判定部１１１１と最終出力部１１１２と制御部１１１３とを有する。図４に例示するように、本形態の入力情報提供部２１０４は、例えば、第一乱数生成部２１０４ａと第一入力情報計算部２１０４ｂと第二乱数生成部２１０４ｃと第二入力情報計算部２１０４ｄとを有する。
【００３４】
図３に例示するように、第二実施形態の能力提供装置２２は、例えば、第一出力情報計算部２２０１と第二出力情報計算部２２０２と鍵記憶部１２０４と制御部１２０５とを有する。
【００３５】
＜処理＞
次に本形態の処理を説明する。第二実施形態では、復号関数ｆ（ｘ）を準同型関数とし、群Ｈを巡回群とし、群Ｈの生成元をμh、群Ｈの位数をＫH、ν＝ｆ（μh）とする。その他の前提は、計算装置１１が計算装置２１に置換され、能力提供装置１２が能力提供装置２２に置換されている以外、第一実施形態と同一である。
【００３６】
図６及び図７に例示するように、第二実施形態の処理は第一実施形態のステップＳ１１０３〜Ｓ１１０５，Ｓ１１０８，Ｓ１２００〜Ｓ１２０３が、それぞれ、ステップＳ２１０３〜Ｓ２１０５，Ｓ２１０８，Ｓ２２００〜Ｓ２２０３に置換されたものである。以下ではステップＳ２１０３〜Ｓ２１０５，Ｓ２１０８，Ｓ２２００〜Ｓ２２０３の処理のみを説明する。
【００３７】
《ステップＳ２１０３の処理》
計算装置２１（図２）の入力情報提供部２１０４は、入力された暗号文ｘにそれぞれ対応する群Ｈの元である第一入力情報τ1及び第二入力情報τ2を生成して出力する（図６／ステップＳ２１０３）。以下、図８を用いて本形態のステップＳ２１０３の処理を説明する。
【００３８】
第一乱数生成部２１０４ａ（図４）は、０以上ＫH未満の自然数の一様乱数ｒ1を生成する。生成された乱数ｒ1は、第一入力情報計算部２１０４ｂ及び第一計算部２１０５に送られる（ステップＳ２１０３ａ）。第一入力情報計算部２１０４ｂは、入力された乱数ｒ１と暗号文ｘと自然数ｂとを用いて第一入力情報τ1＝μhr1ｘbを計算する（ステップＳ２１０３ｂ）。ここで、μhの右肩のｒ１は、ｒ1のことである。このように、この出願において、αを第一の文字、βを第二の文字、γを数字として、αβγと表記した場合には、そのβγはβγ、すなわちβの下付きγを意味する。
【００３９】
第二乱数生成部２１０４ｃは、０以上ＫH未満の自然数の一様乱数ｒ2を生成する。生成された乱数ｒ2は、第二入力情報計算部２１０４ｄ及び第二計算部２１０８に送られる（ステップＳ２１０３ｃ）。第二入力情報計算部２１０４ｄは、入力された乱数ｒ2と暗号文ｘと自然数ａとを用いて第二入力情報τ2＝μhr2ｘaを計算する（ステップＳ２１０３ｄ）。
【００４０】
第一入力情報計算部２１０４ｂ及び第二入力情報計算部２１０４ｄは、以上のように生成した第一入力情報τ1及び第二入力情報τ2を出力する（ステップＳ２１０３ｅ）。なお、本形態の第一入力情報τ1及び第二入力情報τ2は、それぞれ、乱数ｒ1，ｒ2によって暗号文ｘとの関係をかく乱させた情報である。これにより、計算装置２２は、暗号文ｘを能力提供装置２２に対して隠蔽できる。本形態の第一入力情報τ1は自然数選択部１１０２で選択された自然数ｂにさらに対応し、第二入力情報τ2は自然数選択部１１０２で選択された自然数ａにさらに対応する。これにより、能力提供装置２２から提供された復号能力を計算装置２１が高い精度で評価することが可能となる。
【００４１】
《ステップＳ２２００〜Ｓ２２０３の処理》
図７に例示するように、まず、第一入力情報τ1＝μhr1ｘbが能力提供装置２２（図３）の第一出力情報計算部２２０１に入力され、第二入力情報τ2＝μhr2ｘaが第二出力情報計算部２２０２に入力される（ステップＳ２２００）。
【００４２】
第一出力情報計算部２２０１は、第一入力情報τ1＝μhr1ｘbと鍵記憶部１２０４に格納された復号鍵ｓとを用い、或る確率より大きな確率でｆ（μhr1ｘb）を正しく計算し、得られた計算結果を第一出力情報ｚ1とする。この計算結果は正しい場合もあれば正しくない場合もある。すなわち、第一出力情報計算部２２０１での計算結果がｆ（μhr1ｘb）となる場合もあれば、ｆ（μhr1ｘb）とならない場合もある（ステップＳ２２０１）。
【００４３】
第二出力情報計算部２２０２は、第二入力情報τ2＝μhr2ｘaと鍵記憶部１２０４に格納された復号鍵ｓとを用い、或る確率より大きな確率でｆ（μhr2ｘa）を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報ｚ2とする。この計算結果は正しい場合もあれば正しくない場合もある。すなわち、第二出力情報計算部２２０２での計算結果がｆ（μhr2ｘa）となる場合もあれば、ｆ（μhr2ｘa）とならない場合もある（ステップＳ２２０２）。第一出力情報計算部２２０１は第一出力情報ｚ1を出力し、第二出力情報計算部２２０２は第二出力情報ｚ2を出力する（ステップＳ２２０３）。
【００４４】
《ステップＳ２１０４及びＳ２１０５の処理》
図６に戻り、第一出力情報ｚ1は計算装置２１（図２）の第一計算部２１０５に入力され、第二出力情報ｚ2は第二計算部２１０８に入力される。これらの第一出力情報ｚ1及び第二出力情報ｚ2が、能力提供装置２２から計算装置２１に与えられた復号能力に相当する（ステップＳ２１０４）。
第一計算部２１０５は、入力された乱数ｒ1及び第一出力情報ｚ1を用いてｚ1ν-r1を計算してその計算結果をｕとする。計算結果ｕは、第一べき乗計算部１１０６に送られる。ここで、ｕ＝ｚ1ν-r1＝ｆ（ｘ）bｘ1となる。すなわち、ｚ1ν-r1は、ｆ（ｘ）について誤差Ｘ１を持つ乱数化可能標本器の出力となる。その理由については後述する（ステップＳ２１０５）。
【００４５】
《ステップＳ２１０８の処理》
第二計算部２１０８は、入力された乱数ｒ2及び第二出力情報ｚ2を用いてｚ2ν-r2を計算してその計算結果をｖとする。計算結果ｖは、第二べき乗計算部１１０９に送られる。ここで、ｖ＝ｚ2ν-r2＝ｆ（ｘ）aｘ2となる。すなわち、ｚ2ν-r2は、ｆ（ｘ）について誤差Ｘ2を持つ乱数化可能標本器の出力となる。その理由については後述する（ステップＳ２１０８）。
【００４６】
≪ｚ1ν-r1，ｚ2ν-r2がｆ（ｘ）についてそれぞれ誤差Ｘ1，Ｘ2を持つ乱数化可能標本器の出力となる理由について≫
ｃを自然数、Ｒ及びＲ’を乱数として、能力提供装置２２がμhRｘcを用いて行う計算の計算結果をＢ（μhRｘc）とする。すなわち、第一出力情報計算部２２０１や第二出力情報計算部２２０２が計算装置２１に返す計算結果をｚ＝Ｂ（μhRｘc）とする。さらに、群Ｇに値を持つ確率変数ＸをＸ＝Ｂ（μhR’）ｆ（μhR’）-1と定義する。
【００４７】
このとき、ｚν-R＝Ｂ（μhRｘc）ｆ（μh）-R＝Ｘｆ（μhRｘc）ｆ（μh）-R＝Ｘｆ（μh）Rｆ（ｘ）cｆ（μh）-R＝ｆ（ｘ）cＸとなる。すなわち、ｚν-Rは、ｆ（ｘ）について誤差Ｘを持つ乱数化可能標本器の出力となる。
【００４８】
上記式展開において、Ｘ＝Ｂ（μhR’）ｆ（μhR’）-1＝Ｂ（μhRｘc）ｆ（μhRｘc）-1であり、Ｂ（μhRｘc）＝Ｘｆ（μhRｘc）であるという性質を用いている。この性質は、関数ｆ（ｘ）が準同型関数であり、Ｒ及びＲ’が乱数であることに基づく。
【００４９】
したがって、ａ，ｂが自然数、ｒ1，ｒ2が乱数であることを考慮すると、同様に、ｚ1ν-r1，ｚ2ν-r2がｆ（ｘ）についてそれぞれ誤差Ｘ1，Ｘ2を持つ乱数化可能標本器の出力となるのである。
【００５０】
［第三実施形態］
第三実施形態は第二実施形態の変形例であり、ａ＝１やｂ＝１のときに前述した標本器によってｕ又はｖの値を計算する。一般に乱数化可能標本器よりも標本器の計算量は小さい。ａ＝１やｂ＝１のときに乱数化可能標本器に代わり、標本器が計算を行うことで、代理計算システムの計算量を小さくすることができる。以下、第一実施形態及び第二実施形態と異なる部分を中心に説明し、共通する部分については重複説明を省略する。
【００５１】
＜構成＞
図１に例示するように、第三実施形態の代理計算システム３は、計算装置２１が計算装置３１に置換され、能力提供装置２２が能力提供装置３２に置換されたものである。
【００５２】
図２に例示するように、第三実施形態の計算装置３１は、例えば、自然数記憶部１１０１と自然数選択部１１０２と整数計算部１１０３と入力情報提供部２１０４と第一計算部２１０５と第一べき乗計算部１１０６と第一リスト記憶部１１０７と第二計算部２１０８と第二べき乗計算部１１０９と第二リスト記憶部１１１０と判定部１１１１と最終出力部１１１２と制御部１１１３と第三計算部３１０９とを有する。
【００５３】
図３に例示するように、第三実施形態の能力提供装置３２は、例えば、第一出力情報計算部２２０１と第二出力情報計算部２２０２と鍵記憶部１２０４と制御部１２０５と第三出力情報計算部３２０３とを有する。
【００５４】
＜処理＞
次に本形態の処理を説明する。第二実施形態との相違点を説明する。
図６及び図７に例示するように、第三実施形態の処理は第二実施形態のステップＳ２１０３〜Ｓ２１０５，Ｓ２１０８，Ｓ２２００〜Ｓ２２０３が、それぞれ、ステップＳ３１０３〜Ｓ３１０５，Ｓ３１０８，Ｓ２２００〜Ｓ２２０３及びＳ３２０５〜Ｓ３２０９に置換されたものである。以下ではステップＳ３１０３〜Ｓ３１０５，Ｓ３１０８，Ｓ２２００〜Ｓ２２０３及びＳ３２０５〜Ｓ３２０９の処理を中心に説明する。
【００５５】
《ステップＳ３１０３の処理》
計算装置３１（図２）の入力情報提供部３１０４は、入力された暗号文ｘにそれぞれ対応する群Ｈの元である第一入力情報τ1及び第二入力情報τ2を生成して出力する（図６／ステップＳ３１０３）。
【００５６】
以下、図８を用いて本形態のステップＳ３１０３の処理を説明する。
制御部１１１３（図２）は、自然数選択部１１０２で選択された自然数（ａ，ｂ）に応じて入力情報提供部３１０４を制御する。
【００５７】
制御部１１１３でｂが１であるかが判定され（ステップＳ３１０３ａ）、ｂ≠１であると判定された場合、前述のステップＳ２１０３ａ及びＳ２１０３ｂの処理が実行され、ステップＳ３１０３ｇに進む。
一方、ステップＳ３１０３ａでｂ＝１であると判定された場合、第三乱数生成部３１０４ｅが、０以上ＫH未満の自然数の乱数ｒ3を生成する。生成された乱数ｒ3は第三入力情報計算部３１０４ｆ及び第三計算部３１０９に送られる（ステップＳ３１０３ｂ）。第三入力情報計算部３１０４ｆは、入力された乱数ｒ3と暗号文ｘとを用いてｘr3を計算し、これを第一入力情報τ1とする（ステップＳ３１０３ｃ）。その後、ステップＳ３１０３ｇに進む。
【００５８】
ステップＳ３１０３ｇでは、制御部１１１３でａが１であるかが判定され（ステップＳ３１０３ｇ）、ａ≠１であると判定された場合、前述のステップＳ２１０３ｃ及びステップＳ２１０３ｄの処理が実行される。
一方、ステップＳ３１０３ｇでａ＝１であると判定された場合、第三乱数生成部３１０４ｅが、０以上ＫH未満の自然数の乱数ｒ3を生成する。生成された乱数ｒ3は第三入力情報計算部３１０４ｆに送られる（ステップＳ３１０３ｈ）。第三入力情報計算部３１０４ｆは、入力された乱数ｒ3と暗号文ｘとを用いてｘr3を計算し、これを第二入力情報τ2とする（ステップＳ３１０３ｉ）。
【００５９】
第一入力情報計算部２１０４ｂ、第二入力情報計算部２１０４ｄ、第三入力情報計算部３１０４ｆは、以上のように生成した第一入力情報τ1及び第二入力情報τ2を対応する自然数（ａ，ｂ）の情報とともに出力する（ステップＳ３１０３ｅ）。なお、本形態の第一入力情報τ1及び第二入力情報τ2は、それぞれ、乱数ｒ1，ｒ2，ｒ3によって暗号文ｘとの関係をかく乱させた情報である。これにより、計算装置３１は、暗号文ｘを能力提供装置３２に対して隠蔽できる。
【００６０】
《Ｓ２２００〜Ｓ２２０３及びＳ３２０５〜Ｓ３２０９の処理》
以下、図７を用いて本形態のＳ２２００〜Ｓ２２０３及びＳ３２０５〜Ｓ３２０９の処理を説明する。
制御部１２０５（図３）は、入力された自然数（ａ，ｂ）に応じ、第一出力情報計算部２２０１、第二出力情報計算部２２０２、及び第三出力情報計算部３２０３を制御する。
制御部１２０５の制御に基づき、ｂ≠１の場合の第一入力情報τ1＝μhr1ｘbは能力提供装置３２（図３）の第一出力情報計算部２２０１に入力され、ａ≠１の場合の第二入力情報τ2＝μhr2ｘaは第二出力情報計算部２２０２に入力される。ｂ＝１の場合の第一入力情報τ1＝ｘr3やａ＝１の場合の第二入力情報τ2＝ｘr3は第三出力情報計算部３２０３に入力される（ステップＳ３２００）。
【００６１】
制御部１１１３でｂが１であるかが判定され（ステップＳ３２０５）、ｂ≠１であると判定された場合、前述のステップＳ２２０１の処理が実行される。その後、制御部１１１３でａが１であるかが判定され（ステップＳ３２０８）、ａ≠１であると判定された場合、前述したステップＳ２２０２の処理が実行されてステップＳ３２０３に進む。
【００６２】
一方、ステップＳ３２０８でａ＝１であると判定された場合、第三出力情報計算部３２０３は、第二入力情報τ2＝ｘr3を用い、或る確率より大きな確率でｆ（ｘr3）を正しく計算し、得られた計算結果を第三出力情報ｚ３とする。この計算結果は正しい場合もあれば正しくない場合もある。すなわち、第三出力情報計算部３２０３での計算結果がｆ（ｘr3）となる場合もあれば、ｆ（ｘr3）とならない場合もある（ステップＳ３２０９）。その後、ステップＳ３２０３に進む。
【００６３】
ステップＳ３２０５でｂ＝１であると判定された場合、第三出力情報計算部３２０３は、第二入力情報τ1＝ｘr3を用い、或る確率より大きな確率でｆ（ｘr3）を正しく計算し、得られた計算結果を第三出力情報ｚ3とする。この計算結果は正しい場合もあれば正しくない場合もある。すなわち、第三出力情報計算部３２０３での計算結果がｆ（ｘr3）となる場合もあれば、ｆ（ｘr3）とならない場合もある（ステップＳ３２０６）。
【００６４】
その後、制御部１１１３でａが１であるかが判定され（ステップＳ３２０７）、ａ＝１であると判定された場合にはステップＳ３２０３に進み、ａ≠１であると判定された場合にはステップＳ２２０２に進む。
【００６５】
ステップＳ３２０３では、第一出力情報ｚ１を生成した第一出力情報計算部２２０１は第一出力情報ｚ１を出力し、第二出力情報ｚ2を生成した第二出力情報計算部２２０２は第二出力情報ｚ2を出力し、第三出力情報ｚ3を生成した第三出力情報計算部３２０２は第三出力情報ｚ3を出力する（ステップＳ３２０３）。
【００６６】
《ステップＳ３１０４及びＳ３１０５の処理》
図６に戻り、制御部１１１３の制御のもと、第一出力情報ｚ1は計算装置３１（図２）の第一計算部２１０５に入力され、第二出力情報ｚ2は第二計算部２１０８に入力され、第三出力情報ｚ3は第三計算部３１０９に入力される（ステップＳ３１０４）。
【００６７】
ｂ≠１であれば、第一計算部２１０５が、前述のステップＳ２１０５の処理によってｕを生成し、ｂ＝１であれば、第三計算部３１０９が、ｚ31/r3を計算してその計算結果をｕとする。計算結果ｕは第一べき乗計算部１１０６に送られる。ここで、ｂ＝１の場合、ｕ＝ｚ31/r3＝ｆ（ｘ）ｘ3となる。すなわち、ｚ31/r3は、ｆ（ｘ）について誤差Ｘ3を持つ標本器となる。その理由については後述する（ステップＳ３１０５）。
【００６８】
《ステップＳ３１０８の処理》
ａ≠１であれば、第二計算部２１０８が、前述のステップＳ２１０８の処理によってｖを生成し、ａ＝１であれば、第三計算部３１０９が、ｚ31/r3を計算してその計算結果をｖとする。計算結果ｖは第二べき乗計算部１１０９に送られる。ここで、ａ＝１の場合、ｖ＝ｚ31/r3＝ｆ（ｘ）ｘ3となる。すなわち、ｚ31/r3は、ｆ（ｘ）について誤差Ｘ3を持つ標本器となる。その理由については後述する（ステップＳ３１０８）。
【００６９】
なお、ｚ31/r3の計算、すなわちｚ3のべき乗根の計算が困難な場合には、次のようにしてｕ及び／又はｖを計算してもよい。第三計算部３１０９は、乱数ｒ3とその乱数ｒ3に基づいて計算されたｚ3の組を順次（α1，β1），（α2，β2），…，（αｍ，βｍ），…として図示していない記憶部に記憶する。ｍは自然数である。第三計算部３１０９は、α1，α2，…，αmの最小公倍数が１になれば、γ1，γ2，…，γmを整数としてγ1α1＋γ2α2＋…＋γmαm＝１となるγ1，γ2，…，γmを計算して、そのγ1，γ2，…，γmを用いてΠi=1mβiγi＝β1γ1β2γ2…βmγmを計算して、その計算結果をｕ及び／又はｖとしてもよい。
【００７０】
≪ｚ31/r3がｆ（ｘ）について誤差Ｘ3を持つ標本器となる理由について≫
Ｒを乱数として、能力提供装置３２がｘRを用いて行う計算の計算結果をＢ（ｘR）とする。すなわち、第一出力情報計算部２２０１や第二出力情報計算部２２０２や第三出力情報計算部３２０３が計算装置３１に返す計算結果をｚ＝Ｂ（xR）とする。さらに、群Ｇに値を持つ確率変数ＸをＸ＝Ｂ（ｘR）1/Rｆ（ｘ）-1と定義する。
【００７１】
このとき、ｚ1/R＝Ｂ（ｘR）1/R＝Ｘｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）Ｘとなる。すなわち、ｚ1/Rは、ｆ（ｘ）について誤差Ｘを持つ標本器となる。
上記式展開において、Ｘ＝Ｂ（ｘR）1/Rｆ（ｘR）-1であり、Ｂ（ｘR）1/R＝Ｘｆ（ｘR）であるという性質を用いている。この性質は、Ｒが乱数であることに基づく。
したがって、ｒ3が乱数であることを考慮すると、同様に、ｚ1/Rがｆ（ｘ）について誤差Ｘ3を持つ標本器となるのである。
【００７２】
［第四実施形態］
第四実施形態の代理計算システムは、上述した第一乱数化可能標本器及び第二乱数化可能標本器を具体化した他の例である。具体的には、Ｈ＝Ｇ×Ｇ、復号関数ｆ（ｘ）がＥｌＧａｍａｌ暗号の復号関数、すなわち復号鍵ｓ及び暗号文ｘ＝（ｃ1，ｃ2）に対してｆ（ｃ1，ｃ2）＝ｃ1ｃ2-sである場合の第一乱数化可能標本器及び第二乱数化可能標本器の例を具体化したものである。以下、第一実施形態と異なる部分を中心に説明し、共通する部分については重複説明を省略する。
【００７３】
図１に例示するように、第四実施形態の代理計算システム４は、計算装置１１が計算装置４１に置換され、能力提供装置１２が能力提供装置４２に置換されたものである。
図２に例示するように、第四実施形態の計算装置４１は、例えば、自然数記憶部１１０１と自然数選択部１１０２と整数計算部１１０３と入力情報提供部４１０４と第一計算部４１０５と第一べき乗計算部１１０６と第一リスト記憶部１１０７と第二計算部４１０８と第二べき乗計算部１１０９と第二リスト記憶部１１１０と判定部１１１１と最終出力部１１１２と制御部１１１３とを有する。図５に例示するように、本形態の入力情報提供部４１０４は、例えば、第四乱数生成部４１０４ａと第五乱数生成部４１０４ｂと第一入力情報計算部４１０４ｃと第六乱数生成部４１０４ｄと第七乱数生成部４１０４ｅと第二入力情報計算部４１０４ｆとを有する。第一入力情報計算部４１０４ｃは、例えば、第四入力情報計算部４１０４ｃａと第五入力情報計算部４１０４ｃｂとを有し、第二入力情報計算部４１０４ｆは、第六入力情報計算部４１０４ｆａと第七入力情報計算部４１０４ｆｂとを有する。
【００７４】
図３に例示するように、第四実施形態の能力提供装置４２は、例えば、第一出力情報計算部４２０１と第二出力情報計算部４２０２と鍵記憶部１２０４と制御部１２０５とを有する。
【００７５】
＜処理＞
次に本形態の処理を説明する。第四実施形態では、群Ｈが群Ｇの直積群Ｇ×Ｇ、群Ｇが巡回群、暗号文ｘ＝（ｃ1，ｃ2）∈Ｈであり、ｆ（ｃ1，ｃ2）が準同型関数であり、群Ｇの生成元をμgとし、群Ｇの位数をＫGとし、同じ復号鍵ｓに対する暗号文（Ｖ，Ｗ）∈Ｈとその暗号文を復号した復号文ｆ（Ｖ，Ｗ）＝Ｙ∈Ｇとの組が計算装置４１及び能力提供装置４２に事前設定され、計算装置４１及び能力提供装置４２がこの組を利用可能とされているものとする。
【００７６】
図６及び図７に例示するように、第四実施形態の処理は第一実施形態のステップＳ１１０３〜Ｓ１１０５，Ｓ１１０８，Ｓ１２００〜Ｓ１２０３が、それぞれ、ステップＳ４１０３〜Ｓ４１０５，Ｓ４１０８，Ｓ４２００〜Ｓ４２０３に置換されたものである。以下ではステップＳ４１０３〜Ｓ４１０５，Ｓ４１０８，Ｓ４２００〜Ｓ４２０３の処理のみを説明する。
【００７７】
《ステップＳ４１０３の処理》
計算装置４１（図２）の入力情報提供部４１０４は、入力された暗号文ｘ＝（ｃ1，ｃ2）に対応する、群Ｈの元である第一入力情報τ1及び暗号文ｘ＝（ｃ1，ｃ2）に対応する群Ｈの元である第二入力情報τ2を生成して出力する（図６／ステップＳ４１０３）。以下、図９を用いて本形態のステップＳ４１０３の処理を説明する。
【００７８】
第四乱数生成部４１０４ａ（図５）は、０以上ＫＧ未満の自然数の一様乱数ｒ4を生成する。生成された乱数ｒ4は、第四入力情報計算部４１０４ｃａ、第五入力情報計算部４１０４ｃｂ、及び第一計算部４１０５に送られる（ステップＳ４１０３ａ）。第五乱数生成部４１０４ｂは、０以上ＫG未満の自然数の一様乱数ｒ5を生成する。生成された乱数ｒ5は、第五入力情報計算部４１０４ｃｂ、及び第一計算部４１０５に送られる（ステップＳ４１０３ｂ）。
【００７９】
第四入力情報計算部４１０４ｃａは、自然数選択部１１０２で選択された自然数ｂ、暗号文ｘが含むｃ2、及び乱数ｒ4を用い、第四入力情報ｃ2bＷr4を計算する（ステップＳ４１０３ｃ）。第五入力情報計算部４１０４ｃｂは、自然数選択部１１０２で選択された自然数ｂ、暗号文ｘが含むｃ１、及び乱数ｒ4，ｒ5を用い、第五入力情報ｃ1bＶr4μgr5を計算する（ステップＳ４１０３ｄ）。
【００８０】
第六乱数生成部４１０４ｄは、０以上ＫG未満の自然数の一様乱数ｒ6を生成する。生成された乱数ｒ6は、第六入力情報計算部４１０４ｆａ、第七入力情報計算部４１０４ｆｂ、及び第二計算部４１０８に送られる（ステップＳ４１０３ｅ）。第七乱数生成部１２５は、０以上ＫG未満の自然数の一様乱数ｒ7を生成する。生成された乱数ｒ7は、第六入力情報計算部４１０４ｆａ、及び第二計算部４１０８に送られる（ステップＳ４１０３ｆ）。
第六入力情報計算部４１０４ｆａは、自然数選択部１１０２で選択された自然数ａ、暗号文ｘが含むｃ2、及び乱数ｒ6を用い、第六入力情報ｃ2aＷr6を計算する（ステップＳ４１０３ｇ）。第七入力情報計算部４１０４ｆｂは、自然数選択部１１０２で選択された自然数ａ、暗号文ｘが含むｃ1、及び乱数ｒ7を用い、第七入力情報ｃ1aＶr6μgr7を計算する（ステップＳ４１０３ｈ）。
【００８１】
第一入力情報計算部４１０４ｃは、以上のように生成した第四入力情報ｃ2bＷr4及び第五入力情報ｃ1bＶr4μgr5を第一入力情報τ1＝（ｃ2bＷr4，ｃ1bＶr4μgr5）として出力する。第二入力情報計算部４１０４ｆは、以上のように生成した第六入力情報ｃ2aＷr6及び第七入力情報ｃ1aＶr6μgr7を第二入力情報τ2＝（ｃ2aＷr6，ｃ1aＶr6μgr7）として出力する（ステップＳ４１０３ｉ）。
【００８２】
《ステップＳ４２００〜Ｓ４２０３の処理》
図７に例示するように、まず、第一入力情報τ1＝（ｃ2ｂＷr4，ｃ1bＶr4μgr5）が能力提供装置４２（図３）の第一出力情報計算部４２０１に入力され、第二入力情報τ2＝（ｃ2ａＷr6，ｃ1aＶr6μgr7）が第二出力情報計算部４２０２に入力される（ステップＳ４２００）。
第一出力情報計算部４２０１は、第一入力情報τ1＝（ｃ2bＷr4，ｃ1bＶr4μgr5）と鍵記憶部１２０４に格納された復号鍵ｓとを用い、或る確率より大きな確率でｆ（ｃ1bＶr4μgr5，ｃ2bＷr4）を正しく計算し、計算結果を第一出力情報ｚ１とする。この計算結果は正しい場合もあれば正しくない場合もある。すなわち、第一出力情報計算部４２０１での計算結果がｆ（ｃ1bＶr4μgr5，ｃ2bＷr4）となる場合もあれば、ｆ（ｃ1bＶr4μgr5，ｃ2bＷr4）とならない場合もある（ステップＳ４２０１）。
【００８３】
第二出力情報計算部４２０２は、第二入力情報τ2＝（ｃ2aＷr6，ｃ1aＶr6μgr7）と鍵記憶部１２０４に格納された復号鍵ｓとを用い、或る確率より大きな確率でｆ（ｃ1aＶr6μgr7，ｃ2aＷr6）を正しく計算可能であり、得られた計算結果を第二出力情報ｚ2とする。この計算結果は正しい場合もあれば正しくない場合もある。すなわち、第二出力情報計算部４２０２での計算結果がｆ（ｃ1aＶr6μgr7，ｃ2aＷr6）となる場合もあれば、ｆ（ｃ1aＶr6μgr7，ｃ2aＷr6）とならない場合もある（ステップＳ４２０２）。第一出力情報計算部４２０１は第一出力情報ｚ１を出力し、第二出力情報計算部４２０２は第二出力情報ｚ2を出力する（ステップＳ４２０３）。
【００８４】
《ステップＳ４１０４及びＳ４１０５の処理》
図６に戻り、第一出力情報ｚ１は計算装置４１（図２）の第一計算部４１０５に入力され、第二出力情報ｚ2は第二計算部４１０８に入力される（ステップＳ４１０４）。
第一計算部４１０５は、入力された第一出力情報ｚ1及び乱数ｒ4，ｒ5を用い、ｚ1Ｙ-r4μg-r5を計算してその計算結果をｕとする（ステップＳ４１０５）。計算結果ｕは、第一べき乗計算部１１０６に送られる。ここで、ｕ＝ｚ1Ｙ-r4μg-r5＝ｆ（ｃ1，ｃ2）bｘ1となる。すなわち、ｚ1Ｙ-r4μg-r5は、ｆ（ｃ1，ｃ2）について誤差Ｘ１を持つ乱数化可能標本器の出力となる。その理由については後述する。
【００８５】
《ステップＳ４１０８の処理》
第二計算部４１０８は、入力された第二出力情報ｚ2及び乱数ｒ6，ｒ7を用い、ｚ2Ｙ-r6μg-r7を計算してその計算結果をｖとする。計算結果ｖは、第二べき乗計算部１１０９に送られる。ここで、ｖ＝ｚ2Ｙ-r6μg-r7＝ｆ（ｃ1，ｃ2）aｘ2となる。すなわち、ｚ2Ｙ-r6μg-r7は、ｆ（ｃ1，ｃ2）について誤差Ｘ2を持つ乱数化可能標本器の出力となる。その理由については後述する。
【００８６】
≪ｚ1Ｙ-r4μg-r5，ｚ2Ｙ-r6μg-r7がｆ（ｃ1，ｃ2）についてそれぞれ誤差Ｘ1，Ｘ2を持つ乱数化可能標本器の出力となる理由について≫
ｃを自然数、Ｒ1、Ｒ2、Ｒ1’及びＲ2’を乱数として、能力提供装置４２がｃ1cＶR1μgR2及びｃ2cＷR1を用いて行う計算の計算結果をＢ（ｃ1cＶR1μgR2，ｃ2cＷR1）とする。すなわち、第一出力情報計算部４２０１や第二出力情報計算部４２０２が計算装置４１に返す計算結果をｚ＝Ｂ（ｃ1cＶR1μgR2，ｃ2cＷR1）とする。さらに、群Ｇに値を持つ確率変数ＸをＸ＝Ｂ（ＶR1’μgR2’，ＷR1’）ｆ（ＶR1’μgR2’，ＷR1’）-1と定義する。
【００８７】
このとき、ｚＹ-R1μg-R2＝Ｂ（ｃ1cＶR1μgR2，ｃ2cＷR1）Ｙ-R1μg-R2＝Ｘｆ（ｃ1cＶR1μgR2，ｃ2cＷR1）Ｙ-R1μg-R2＝Ｘｆ（ｃ1，ｃ2）cｆ（Ｖ，Ｗ）R1ｆ（μg，ｅg）R2Ｙ-R1μg-R2＝Ｘｆ（ｃ1，ｃ2）ｃＹR1μgR2Ｙ-R1μg-R2＝ｆ（ｃ1，ｃ2）cＸとなる。すなわち、ｚＹ-R1μg-R2は、ｆ（ｘ）について誤差Ｘを持つ乱数化可能標本器の出力となる。なお、ｅgは、群Ｇの単位元である。
【００８８】
上記式展開において、Ｘ＝Ｂ（ＶR1’μgR2’，ＷR1’）ｆ（ＶR1’μgR2’，ＷR1’）-1＝Ｂ（ｃ1cＶR1μgR2，ｃ2cＷR1）ｆ（ｃ1cＶR1μgR2，ｃ2cＷR1）であり、Ｂ（ｃ1cＶR1μgR2，ｃ2cＷR1）＝Ｘｆ（ｃ1cＶR1μgR2，ｃ2cＷR1）であるという性質を用いている。この性質は、Ｒ1、Ｒ2、Ｒ1’及びＲ2’が乱数であることに基づく。
【００８９】
したがって、ａ，ｂが自然数、ｒ4，ｒ5，ｒ6及びｒ7が乱数であることを考慮すると、同様に、ｚ1Ｙ-r4μg-r5，ｚ2Ｙ-r6μg-r7がｆ（ｃ1，ｃ2）についてそれぞれ誤差Ｘ1，Ｘ2を持つ乱数化可能標本器の出力となるのである。
【００９０】
［第五実施形態］
上述の各実施形態では、計算装置の自然数記憶部１１０１に、互いに素である２つの自然数ａ，ｂの組（ａ，ｂ）が複数種類記憶され、これらの組（ａ，ｂ）を用いて各処理が実行されることとした。しかしながら、ａ，ｂの一方が定数であってもよい。例えば、ａが１に固定されていてもよいし、ｂが１に固定されていてもよい。言い換えると、第一乱数化可能標本器又は第二乱数化可能標本器の一方が標本器に置換されていてもよい。ａ，ｂの一方が定数である場合、定数とされたａ又はｂを選択する処理が不要となり、各処理部は定数とされたａ又はｂが入力されることなく、それを定数として扱って計算を行うことができる。定数とされたａ又はｂが１である場合には、ａ’やｂ’を用いることなく、ｆ（ｘ）＝ｕｂ’ｖａ’をｆ（ｘ）＝ｖ又はｆ（ｘ）＝ｕとして得ることができる。
【００９１】
第五実施形態は、そのような変形の一例であり、ｂが１に固定され、第二乱数化可能標本器が標本器に置換された形態である。以下では、第一実施形態との相違点を中心に説明する。第一乱数化可能標本器や標本器の具体例は、第二実施形態から第四実施形態で説明したのと同様であるため、説明を省略する。
【００９２】
＜構成＞
図１に例示するように、第五実施形態の代理計算システム５は、第一実施形態の計算装置１１が計算装置５１に置換され、能力提供装置１２が能力提供装置５２に置換されたものである。
【００９３】
図１０に例示するように、第五実施形態の計算装置５１は、例えば、自然数記憶部５１０１と自然数選択部５１０２と入力情報提供部５１０４と第一計算部５１０５と第一べき乗計算部１１０６と第一リスト記憶部１１０７と第二計算部５１０８と第二リスト記憶部５１１０と判定部５１１１と最終出力部１１１２と制御部１１１３とを有する。
【００９４】
図３に例示するように、第五実施形態の能力提供装置５２は、例えば、第一出力情報計算部５２０１と第二出力情報計算部５２０２と鍵記憶部１２０４と制御部１２０５とを有する。
【００９５】
＜処理＞
次に本形態の処理を説明する。処理の前提として、Ｇ，Ｈを群（例えば、可換群）、ｆ（ｘ）を群Ｈの元である暗号文ｘを特定の復号鍵ｓで復号して群Ｇの元を得るための復号関数、群Ｇ，Ｈの生成元をそれぞれμg，μh、Ｘ1，Ｘ2を群Ｇに値を持つ確率変数、確率変数Ｘ１の実現値をｘ1、確率変数Ｘ2の実現値をｘ2とする。計算装置５１の自然数記憶部５１０１には、自然数ａが複数種類記憶されているものとする。
【００９６】
図１１に例示するように、まず、計算装置５１（図１０）の自然数選択部５１０２が、自然数記憶部５１０１に記憶された複数の自然数ａから１つの自然数ａをランダムに読み込む。読み込まれた自然数ａの情報は、入力情報提供部５１０４及び第一べき乗計算部１１０６に送られる（ステップＳ５１００）。
【００９７】
制御部１１１３は、ｔ＝１とする（ステップＳ１１０２）。
入力情報提供部５１０４は、入力された暗号文ｘにそれぞれ対応する群Ｈの元である第一入力情報τ1及び第二入力情報τ2を生成して出力する。好ましくは、第一入力情報τ1及び第二入力情報τ2はそれぞれ暗号文ｘとの関係をかく乱させた情報である。これにより、計算装置５１は、暗号文ｘを能力提供装置５２に対して隠蔽できる。好ましくは、本形態の第二入力情報τ2は自然数選択部５１０２で選択された自然数ａにさらに対応する。これにより、能力提供装置５２から提供された復号能力を計算装置５１が高い精度で評価することが可能となる（ステップＳ５１０３）。第一入力情報τ1及び第二入力情報τ2の組みの具体例は、第二実施形態から第四実施形態の何れかのｂ＝１とした第一入力情報τ1及び第二入力情報τ2の組みである。
【００９８】
図７に例示するように、第一入力情報τ1は能力提供装置５２（図３）の第一出力情報計算部５２０１に入力され、第二入力情報τ2は第二出力情報計算部５２０２に入力される（ステップＳ５２００）。
第一出力情報計算部５２０１は、第一入力情報τ1と鍵記憶部１２０４に格納された復号鍵ｓとを用い、或る確率より大きな確率でｆ（τ1）を正しく計算し、得られた計算結果を第一出力情報ｚ１とする（ステップＳ５２０１）。第二出力情報計算部５２０２は、第二入力情報τ2と鍵記憶部１２０４に格納された復号鍵ｓとを用い、或る確率より大きな確率でｆ（τ2）を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報ｚ2とする（ステップＳ５２０２）。すなわち、第一出力情報計算部５２０１や第二出力情報計算部５２０２は、意図的又は意図的ではない誤差を含んだ計算結果を出力する。言い換えると、第一出力情報計算部５２０１での計算結果がｆ（τ1）の場合もあればｆ（τ1）でない場合もあり、第二出力情報計算部５２０２での計算結果がｆ（τ2）の場合もあればｆ（τ2）でない場合もある。第一出力情報ｚ1及び第二出力情報ｚ2の組の具体例は、第二実施形態から第四実施形態の何れかのｂ＝１とした第一出力情報ｚ1及び第二出力情報ｚ2の組である。
【００９９】
第一出力情報計算部５２０１は第一出力情報ｚ1を出力し、第二出力情報計算部５２０２は第二出力情報ｚ2を出力する（ステップＳ５２０３）。
図１１に戻り、第一出力情報ｚ1は計算装置５１（図１０）の第一計算部５１０５に入力され、第二出力情報ｚ2は第二計算部５１０８に入力される。これらの第一出力情報ｚ1及び第二出力情報ｚ2が、能力提供装置５２から計算装置５１に与えられた復号能力に相当する（ステップＳ５１０４）。
【０１００】
第一計算部５１０５は、第一出力情報ｚ1から計算結果ｕ＝ｆ（ｘ）ｘ１を生成する。計算結果ｕの具体例は、第二実施形態から第四実施形態の何れかのｂ＝１とした計算結果ｕである。計算結果ｕは第一べき乗計算部１１０６に送られる（ステップＳ５１０５）。
【０１０１】
第一べき乗計算部１１０６はｕ’＝ｕaを計算する。計算結果ｕとその計算結果に基づいて計算されたｕ’との組（ｕ，ｕ’）は、第一リスト記憶部１１０７に記憶される（ステップＳ１１０６）。
【０１０２】
第二計算部５１０８は、第二出力情報ｚ2から計算結果ｖ＝ｆ（ｘ）aｘ2を生成する。計算結果ｖの具体例は、第二実施形態から第四実施形態の何れかの計算結果ｖである。計算結果ｖは第二リスト記憶部５１１０に記憶される（ステップＳ５１０８）。
【０１０３】
判定部５１１１は、第一リスト記憶部１１０７に記憶された組（ｕ，ｕ’）及び第二リスト記憶部５１１０に記憶されたｖの中で、ｕ’＝ｖとなるものがあるか判定する（ステップＳ５１１０）。ｕ’＝ｖとなるものがあった場合には、ステップＳ５１１４に進む。ｕ’＝ｖとなるものがなかった場合には、ステップＳ１１１１に進む。
【０１０４】
ステップＳ１１１１では、制御部１１１３がｔ＝Ｔmaxであるか判定する（ステップＳ１１１１）。Ｔmaxは予め定められた自然数である。ｔ＝Ｔmaxであれば、制御部１１１３は、計算をすることができなかった旨の情報、例えば記号「⊥」を出力して（ステップＳ１１１３）、処理を終える。ｔ＝Ｔmaxでない場合には、制御部１１１３は、ｔを１だけインクリメント、すなわちｔ＝ｔ＋１として（ステップＳ１１１２）、ステップＳ５１０３に戻る。
【０１０５】
ステップＳ５１１４では、最終出力部１１１２が、ｕ’＝ｖであると判定されたｕ’に対応するｕを出力する（ステップＳ５１１４）。このように得られたｕは、第一実施形態から第四実施形態でｂ＝１とした場合のｕb’ｖa’に相当する。すなわち、このように得られたｕは高い確率で暗号文ｘを特定の復号鍵ｓで復号した復号結果ｆ（ｘ）となる。よって、上述した処理を複数回繰り返し、ステップＳ５１１４で得られた値のうち最も頻度の高い値を復号結果とすればよい。後述するように、設定によっては圧倒的な確率でｕ＝ｆ（ｘ）となる。その場合にはステップＳ５１１４で得られた値をそのまま復号結果としてよい。
【０１０６】
≪復号結果ｆ（ｘ）が得られる理由について≫
次に、本形態の計算装置５１で復号結果ｆ（ｘ）が得られる理由を説明する。まず、説明に必要な事項を定義する。
ブラックボックス（black-box)：
ｆ（τ）のブラックボックスＦ（τ）とは、τ∈Ｈを入力としてｚ∈Ｇを出力する処理部を意味する。本形態では、第一出力情報計算部５２０１及び第二出力情報計算部５２０２が、それぞれ復号関数ｆ（τ）のブラックボックスＦ（τ）に相当する。群Ｈから任意に選択された元τ∈UＨ及びｚ＝Ｆ（τ）に対してｚ＝ｆ（τ）を満たす確率がδ（０＜δ≦１）よりも大きい場合、すなわち、
Ｐｒ［ｚ＝ｆ（τ）｜τ∈UＨ，ｚ＝Ｆ（τ）］＞δ…(1)
を満たすｆ（τ）のブラックボックスＦ（τ）のことを、信頼性δ（δ-reliable）のｆ（τ）のブラックボックスＦ（τ）という。なお、δは正の値であり、前述した「或る確率」に相当する。
【０１０７】
自己訂正器（self-corrector）：
自己訂正器ＣF（ｘ）とは、ｘ∈Ｈを入力とし、ｆ（τ）のブラックボックスＦ（τ）を用いて計算を行い、ｊ∈Ｇ∪⊥を出力する処理部を意味する。本形態では、計算装置５１が自己訂正器ＣF（ｘ）に相当する。
【０１０８】
オールモスト自己訂正器（almost self-corrector）：
自己訂正器ＣF（ｘ）が、ｘ∈Ｈを入力とし、δ-reliableのｆ（τ）のブラックボックスＦ（τ）を用い、正しい値ｊ＝ｆ（ｘ）を出力する確率が、誤った値ｊ≠ｆ（ｘ）を出力する確率よりも十分大きい場合を想定する。すなわち、
Ｐｒ［ｊ＝ｆ（ｘ）｜ｊ＝ＣF（ｘ），ｊ≠⊥］
＞Ｐｒ［ｊ≠ｆ（ｘ）｜ｊ＝ＣF（ｘ），ｊ≠⊥］＋Δ…(2)
を満たす場合を想定する。なお、Δは或る正の値（０＜Δ＜１）である。このような場合、自己訂正器ＣF（ｘ）はオールモスト自己訂正器であるという。例えば、或る正の値Δ’（０＜Δ’＜１）に対して
Ｐｒ［ｊ＝ｆ（ｘ）｜ｊ＝ＣF（ｘ）］＞（１／３）＋Δ’
Ｐｒ［ｊ＝⊥｜ｊ＝ＣF（ｘ）］＜１／３
Ｐｒ［ｊ≠ｆ（ｘ）かつｊ≠⊥｜ｊ＝ＣF（ｘ）］＜１／３
を満たす場合、自己訂正器ＣF（ｘ）はオールモスト自己訂正器である。Δ’の例はΔ’＝１／１２や１／３である。
【０１０９】
ローバスト自己訂正器（robust self-corrector）：
自己訂正器ＣF（ｘ）が、ｘ∈Ｈを入力とし、δ-reliableのｆ（τ）のブラックボックスＦ（τ）を用い、正しい値ｊ＝ｆ（ｘ）又はｊ＝⊥を出力する確率が圧倒的である場合を想定する。すなわち、無視することができる誤差ξ（０≦ξ＜１）に対して
Ｐｒ［ｊ＝ｆ（ｘ）またはｊ＝⊥｜ｊ＝ＣF（ｘ）］＞１−ξ…(3)
を満たす場合を想定する。このような場合、自己訂正器ＣF（ｘ）はローバスト自己訂正器であるという。なお、無視することができる誤差ξの例は、セキュリティパラメータｋの関数値ξ（ｋ）である。関数値ξ（ｋ）の例は、任意の多項式ｐ（ｋ）について、十分大きいｋに対して｛ξ（ｋ）ｐ（ｋ）｝が０に収束するものである。関数値ξ（ｋ）の具体例は、ξ（ｋ）＝２-kやξ（ｋ）＝２-√kなどである。
【０１１０】
オールモスト自己訂正器からローバスト自己訂正器を構成することができる。すなわち、同一のｘに対してオールモスト自己訂正器を複数回実行させ、⊥を除いて最も頻度が高い出力値をｊとすることで、ローバスト自己訂正器を構成できる。例えば、同一のｘに対してオールモスト自己訂正器をＯ（ｌｏｇ（１／ξ））回実行させ、最も頻度が高い出力値をｊとすることで、ローバスト自己訂正器を構成できる。なお、Ｏ（・）はオー記法を表す。
【０１１１】
擬似自由（pseudo-free）な作用：
群Ｇ、自然数の集合Ω＝｛０，．．．，Ｍ｝（Ｍは１以上の自然数）、群Ｇに値を持つ確率変数Ｘ1，Ｘ2の各実現値α∈Ｘ1（α≠ｅg），β∈Ｘ2、及びａ∈Ωについて、αa＝βとなる確率
Ｐｒ［αa＝βかつα≠ｅg｜ａ∈UΩ，α∈Ｘ1，β∈Ｘ2］…(4)
について、あらゆる可能なＸ1，Ｘ2に関する上限値を、組（Ｇ，Ω）の疑似自由指標とよび、これをＰ（Ｇ，Ω）と表すことにする。ある無視することができる関数ζ（ｋ）が存在して、
Ｐ（Ｇ，Ω）＜ζ（ｋ）…(5)
である場合、組（Ｇ，Ω）によって定義される演算は擬似自由な作用であるという。なお、第５実施形態では群で定義された演算を乗法的に表現する。すなわちα∈Ｇに対する「αa」は、群Ｇで定義された演算をαに対してａ回作用させることを意味する。無視することができる関数ζ（ｋ）の例は、任意の多項式ｐ（ｋ）について、十分大きいｋに対して｛ζ（ｋ）ｐ（ｋ）｝が０に収束するものである。関数ζ（ｋ）の具体例は、ζ（ｋ）＝２-kやζ（ｋ）＝２-√kなどである。例えば、セキュリティパラメータｋに対し、式（４）の確率がＯ（２-k）未満である場合、組（Ｇ，Ω）によって定義される演算は擬似自由な作用である。例えば、任意のα∈Ｇでα≠ｅgであるものについて、集合Ω・α＝｛ａ（α）｜ａ∈Ω｝の要素数｜Ω・α｜が２ｋを超える場合、組（Ｇ，Ω）によって定義される演算は擬似自由な作用といえる。このような具体例は数多く存在する。例えば、群Ｇが素数ｐを法とする剰余群Ｚ／ｐＺであり、素数ｐが２kのオーダーであり、集合Ω＝｛０，．．．，ｐ−２｝であり、ａ（α）がαa∈Ｚ／ｐＺであり、α≠ｅgである場合、Ω・α＝｛αa｜ａ＝０，．．．，ｐ−２｝＝｛ｅg，α1，．．．，αp-2｝となり、｜Ω・α｜＝ｐ−１である。素数ｐが２kのオーダーであるため、ある定数Ｃが存在して、ｋが十分大きければ｜Ω・α｜＞Ｃ２kを満たす。ここで式（４）の確率はＣ-1２-k未満であり、このような組（Ｇ，Ω）によって定義される演算は擬似自由な作用である。
【０１１２】
信頼性δγ（δγ-reliable）の乱数化可能標本器：
自然数ａが与えられるたびに、δ-reliableのｆ（τ）のブラックボックスＦ（τ）を用い、ｗ∈Ｇについて、確率変数Ｘに従った標本ｘ’に対応するｗaｘ’を返す乱数化可能標本器であって、ｗaｘ’＝ｗaである確率がδγよりも大きい（γは正定数）、すなわち、
Ｐｒ［ｗaｘ’＝ｗa］＞δγ…(6)
を満たすものを、信頼性δγの乱数化可能標本器という。本形態の入力情報提供部５１０４と第二出力情報計算部５２０２と第二計算部５１０８との組は、ｗ＝ｆ（ｘ）について、信頼性δγの乱数化可能標本器である。
【０１１３】
次に、これらの定義を用い、本形態の計算装置５１で復号結果ｆ（ｘ）が得られる理由を説明する。
本形態のステップＳ５１１０ではｕ’＝ｖであるか、すなわち、ｕa＝ｖであるかを判定している。本形態の入力情報提供部５１０４と第二出力情報計算部５２０２と第二計算部５１０８との組は信頼性δγの乱数化可能標本器であるため（式（６））、Ｔmaxをｋ、δ、γから定まる一定値よりも大きい値とすれば、漸近的に大きい確率でｕa＝ｖが成立する（ステップＳ５１１０でｙｅｓとなる）場合が生じる。たとえば、Ｔmax≧４／δγとすれば、ｕa＝ｖが成立する（ステップＳ５１１０でｙｅｓとなる）確率は１／２よりも大きいことがＭａｒｋｏｖの不等式によってわかる。
【０１１４】
本形態ではｕ＝ｆ（ｘ）ｘ1及びｖ＝ｆ（ｘ）aｘ2なのであるから、ｕa＝ｖが成立する場合にはｘ1a＝ｘ2が成立する。ｘ1a＝ｘ2が成立する場合には、ｘ1＝ｘ2＝ｅgである場合とｘ1≠ｅgである場合とがある。ｘ1＝ｘ2＝ｅgである場合には、ｕ＝ｆ（ｘ）となるのであるから、ステップＳ５１１４で出力されるｕは正しい復号結果ｆ（ｘ）となる。一方、ｘ1≠ｅgである場合には、ｕ≠ｆ（ｘ）となるのであるから、ステップＳ５１１４で出力されるｕは正しい復号結果ｆ（ｘ）ではない。
【０１１５】
群Ｇと自然数ａが属する集合Ωとの組（Ｇ，Ω）によって定義される演算が擬似自由な作用であるか、疑似自由指標Ｐ（Ｇ，Ω）についてＴmax2Ｐ（Ｇ，Ω）が漸近的に小さい場合、ｕa＝ｖの場合にｘ1≠ｅgである確率（式（４））は漸近的に小さい。したがって、ｕa＝ｖの場合にｘ1＝ｅgである確率は漸近的に大きい。よって、組（Ｇ，Ω）によって定義される演算が擬似自由な作用であるか、Ｔmax2Ｐ（Ｇ，Ω）が漸近的に小さい場合、ｕa＝ｖの場合に誤った復号結果ｆ（ｘ）が出力される確率は、ｕa＝ｖの場合に正しい復号結果ｆ（ｘ）が出力される確率よりも十分小さい。この場合の計算装置５１はオールモスト自己訂正器であるといえる（式（２）参照）。そのため、前述のように、計算装置５１からローバスト自己訂正器を構成することが可能であり、圧倒的な確率で正しい復号結果ｆ（ｘ）を得ることができる。（Ｇ，Ω）で定義される演算が疑似自由な作用である場合には、ｕa＝ｖの場合に誤った復号結果ｆ（ｘ）が出力される確率も無視できる。この場合の計算装置５１は、圧倒的な確率で正しい復号結果ｆ（ｘ）または⊥を出力する。
【０１１６】
なお、任意の定数ρに対してｋ0が定まり、このｋ0に対してｋ0＜ｋ’を満たす任意のｋ’に対する関数値η（ｋ’）がρ未満となる場合「η（ｋ’）が漸近的に小さい」という。ｋ’の例はセキュリティパラメータｋである。
任意の定数ρに対してｋ0が定まり、このｋ0に対してｋ0＜ｋ’を満たす任意のｋ’に対する関数値１−η（ｋ’）がρ未満となる場合「η（ｋ’）が漸近的に大きい」という。
【０１１７】
《信頼性δγの乱数化可能標本器と安全性について》
以下のような攻撃を想定する。
・ブラックボックスＦ（τ）又はその部分が意図的に不正なｚを出力する、又は、ブラックボックスＦ（τ）から出力された値が不正なｚに改ざんされる。
・不正なｚに対応するｗaｘ’が乱数化可能標本器から出力される。
・不正なｚに対応するｗaｘ’は、自己訂正器ＣF（ｘ）でｕa＝ｖが成立する（ステップＳ５１１０でｙｅｓとなる）にもかかわらず、自己訂正器ＣF（ｘ）が誤った値を出力する確率を増加させる。
【０１１８】
このような攻撃は、与えられた自然数ａに対して乱数化可能標本器から出力されたｗaｘ’の誤差の確率分布Ｄa＝ｗaｘ’ｗ-aが自然数ａに依存する場合に可能となる。例えば、第二計算部５１０８から出力されるｖがｆ（ｘ）aｘ1aとなるような不正が行われた場合、ｘ１の値にかかわらず、必ずｕa＝ｖが成立することになる。よって、乱数化可能標本器は、与えられた自然数ａに対して乱数化可能標本器から出力されたｗaｘ’の誤差の確率分布Ｄa＝ｗaｘ’ｗ-aが当該自然数ａに依存しないことが望ましい。
【０１１９】
あるいは、集合Ωのいかなる元ａ∈∀Ωについても、ｗaｘ’の誤差の確率分布Ｄa＝ｗaｘ’ｗ-aと区別することができない群Ｇに値を持つ確率分布Ｄが存在する（確率分布Ｄaと確率分布Ｄとが統計的に近似する（statistically-close））乱数化可能標本器であることが望ましい。なお、確率分布Ｄは自然数ａに依存しない。確率分布Ｄaと確率分布Ｄとを区別することができないとは、多項式時間アルゴリズムによって確率分布Ｄaと確率分布Ｄとを区別することができないことを意味し、例えば、無視することができるζ（０≦ζ＜１）に対して
Σｇ∈G｜Ｐｒ［ｇ∈Ｄ］−Ｐｒ［ｇ∈Ｄa］｜＜ζ…(7)
を満たすならば、多項式時間アルゴリズムによって確率分布Ｄaと確率分布Ｄとを区別することができない。無視することができるζの例は、セキュリティパラメータｋの関数値ζ（ｋ）である。関数値ζ（ｋ）の例は、任意の多項式ｐ（ｋ）について、十分大きなｋに対して｛ζ（ｋ）ｐ（ｋ）｝が０に収束するものである。関数値ζ（ｋ）の具体例は、ζ（ｋ）＝２-kやζ（ｋ）＝２-√kなどである。これらの点は自然数ａ及びｂを使用する第一実施形態から第四実施形態についても同様である。
【０１２０】
［第六実施形態］
本形態は、格子暗号の一種であるGHV暗号化方式（参考文献１「C. Genrty, S. Halevi and V. Vaikuntanathan, “A Simple BGNType Cryptosystem from LWE,”Advances in Cryptology - EUROCRYPT 2010, LNCS 6110, pp.506-522, Springer-Verlag, 2010.」等参照）の復号処理に本発明を適用する形態である。以下では上述の各実施形態との相違点を中心に説明を行う。
【０１２１】
＜構成＞
図１に例示するように、第六実施形態の代理計算システム６は、第一実施形態の計算装置１１が計算装置６１に置換され、能力提供装置１２が能力提供装置６２に置換されたものである。
【０１２２】
図１２に例示するように、第六実施形態の計算装置６１は、例えば、行列記憶部６１０１と行列選択部６１０２と入力情報提供部６１０４と第一計算部６１０５と行列積計算部６１０６と第一リスト記憶部６１０７と第二計算部６１０８と第二リスト記憶部６１１０と判定部６１１１と最終出力部６１１２と制御部１１１３とを有する。
【０１２３】
図１４に例示するように、本形態の入力情報提供部６１０４は、例えば、第一ランダム行列選択部６１０４ａと第二ランダム行列選択部６１０４ｂと第一暗号化部６１０４ｃと第二暗号化部６１０４ｄと第一入力情報計算部６１０４ｅと第三ランダム行列選択部６１０４ｆと第四ランダム行列選択部６１０４ｇと第三暗号化部６１０４ｈと第四暗号化部６１０４ｉと第二入力情報計算部６１０４ｊとを有する。
【０１２４】
図１３に例示するように、第六実施形態の能力提供装置６２は、例えば、第一出力情報計算部６２０１と第二出力情報計算部６２０２と鍵記憶部６２０４と制御部１２０５とを有する。
【０１２５】
＜処理＞
次に本形態の処理を説明する。本形態では、ＧMをι×ι行列の集合、ＨMをι×ι行列の集合、MＸ1，MＸ2を集合ＧMに値を持つ確率変数、Mｘ１を確率変数MＸ1の実現値、Mｘ2を確率変数MＸ2の実現値、ａMを集合ＨMの元とする。本形態では、ＰＫを暗号化鍵（公開鍵）であるι×κ行列、ＳＫをＰＫ・ＳＫ＝０を満たすι×ι行列である復号鍵（秘密鍵）、ＣＭをκ×ι行列、ＮＭをι×ι行列、ＵＭをι×ι単位行列、ＰＴを集合ＧMの元である平文ＰＴ∈ＧM、ｘMを集合ＨＭの元である暗号文ｘM∈ＨM、ＥＮＣＭを集合ＧMの元である平文ＰＴを暗号化して暗号文ｘM∈ＨMを得るための暗号化関数、ｆM（ｘM）を暗号文ｘM∈ＨMを特定の復号鍵ＳＫで復号して集合ＧMの元である平文ＰＴを得るための復号関数とする。復号関数ｆM（ｘM）は準同型関数である。例えば、ＧMをι×ι行列（Ｚ／２Ｚ）ι×ιの集合、ＨMをι×ι行列（Ｚ／ｑＺ）ι×ιの集合、暗号化鍵ＰＫをι×κ行列（Ｚ／ｑＺ）ι×κ、復号鍵ＳＫをι×ι行列（Ｚ／ｑＺ）ι×ι、ＣＭをランダムに選択されたκ×ι行列（Ｚ／ｑＺ）κ×ι、ＮＭをガウス分布に従うι×ι行列（Ｚ／ｑＺ）ι×ι、ＵＭをι×ι単位行列（Ｚ／２Ｚ）ι×ιとし、暗号化関数ＥＮＣM（ＰＴ）をＰＫ・ＣＭ＋２・ＮＭ＋ＰＴ（ｍｏｄ ｑ）とし、復号関数ｆM（ｘM）をＳＫ-1｛ＳＫ・ｘM・ＳＫT（ｍｏｄ ｑ）｝（ＳＫT）-1（ｍｏｄ ２）とする。ただし、κ，ι，ｑは正整数、κ，ι，ｑは正整数、・Tは・の転置行列、（Ｚ／ｑＺ）κ×ιはｑを法とする剰余環Ｚ／ｑＺを要素とするκ行ι列行列である。第六実施形態では行列α1，α2間の積をα1・α2と表し、和をα1＋α2と表現する。行列αの各要素を自然数β倍した行列をβ・αと表す。
【０１２６】
本形態の処理の前提として、計算装置６１（図１２）の行列記憶部６１０１には、行列ａM∈ＨMが複数種類記憶されているものとする。能力提供装置６２（図１３）の鍵記憶部６２０４には、復号鍵ＳＫが安全に記憶されているものとする。図１５に例示するように、まず、計算装置６１（図１２）の行列選択部６１０２が、行列記憶部６１０１に記憶された複数の行列から一様ランダムに１つの行列ａMを選択して読み込む。読み込まれた行列ａMの情報は、入力情報提供部６１０４及び行列積計算部６１０６に送られる（ステップＳ６１００）。
【０１２７】
制御部１１１３は、ｔ＝１とする（ステップＳ１１０２）。
入力情報提供部６１０４は、入力された暗号文ｘMにそれぞれ対応する対応する集合ＨMの元である第一入力情報Mτ1及び第二入力情報Mτ2を生成して出力する。好ましくは、第一入力情報Mτ1及び第二入力情報Mτ2はそれぞれ暗号文ｘMとの関係をかく乱させた情報である。これにより、計算装置６１は暗号文ｘMを能力提供装置６２に対して隠蔽できる。第二入力情報Mτ2は元ａMにさらに対応する。これにより、能力提供装置６２から提供された復号能力を計算装置６１が高い精度で評価することが可能となる（ステップＳ６１０３）。以下、図１６を用いてステップＳ６１０３の具体例を説明する。
【０１２８】
［ステップＳ６１０３の具体例］
入力情報提供部６１０４（図１４）の第一ランダム行列選択部６１０４ａが集合ＧMの元ＭR1を一様ランダムに選択する（ステップＳ６１０３ａ）。選択されたＭR1は第一暗号化部６１０４ｃと第一計算部６１０５に送られる（ステップＳ６１０３ａ）。第二ランダム行列選択部６１０４ｂがκ×ιの一様ランダムな行列ＣＭ11及びＣＭ12∈（Ｚ／ｑＺ）κ×ιを選択する。選択されたＣＭ11及びＣＭ12は第一入力情報計算部６１０４ｅに送られる（ステップＳ６１０３ｂ）。第一暗号化部６１０４ｃが公開鍵ＰＫを用い、ＭR1の暗号文ＥＮＣM（ＭR1）である第一暗号文ＣR1＝ＰＫ・ＣＭ＋２・ＮＭ＋ＭR1（ｍｏｄ ｑ）を生成する。第一暗号文ＣR1は第一入力情報計算部６１０４ｅに送られる（ステップＳ６１０３ｃ）。第二暗号化部６１０４ｄが公開鍵ＰＫを用い、単位行列ＵＭの暗号文ＥＮＣM（ＵＭ）である第二暗号文ＣUM＝ＰＫ・ＣＭ＋２・ＮＭ＋ＵＭ（ｍｏｄ ｑ）を生成する。第二暗号文ＣＵＭは第一入力情報計算部６１０４ｅに送られる（ステップＳ６１０３ｄ）。第一入力情報計算部６１０４ｅにはさらに暗号文ｘMが入力される。第一入力情報計算部６１０４ｅは、第一入力情報Mτ1として（ｘM・ＣUM＋ＣR1）＋ＰＫ・ＣＭ11＋２・ＮＭ＋ＣＭ12T・ＰＫTを得て出力する。なお、行列の積の順序に特段の必然性はない。すなわち第一入力情報計算部６１０４ｅは、ＣＸ＝ｘM・ＣUM＋ＣR1としたＲｅ（ＣＸ）＝ＣX＋ＰＫ・ＣＭ11＋２・ＮＭ＋ＣＭ12T・ＰＫTを計算して第一入力情報Mτ1を生成してもよいし、ＣX＝ＣUM・ｘM＋ＣR1としたＲｅ（ＣＸ）を計算して第一入力情報Mτ1を生成してもよい（ステップＳ６１０３ｅ）。
【０１２９】
第三ランダム行列選択部６１０４ｆが集合ＧMの元ＭR2を一様ランダムに選択する。選択されたＭR2は第三暗号化部６１０４ｈと第二計算部６１０８に送られる（ステップＳ６１０３ｆ）。第四ランダム行列選択部６１０４ｇが、κ×ιのランダムな行列ＣＭ21及びＣＭ22∈（Ｚ／ｑＺ）κ×ιを選択する。選択されたＣＭ21及びＣＭ22は第二入力情報計算部６１０４ｊに送られる（ステップＳ６１０３ｇ）。第三暗号化部６１０４ｈが公開鍵ＰＫを用い、ＭR2の暗号文ＥＮＣM（ＭR2）である第三暗号文ＣR2＝ＰＫ・ＣＭ＋２・ＮＭ＋ＭR2（ｍｏｄ ｑ）を生成する。第三暗号文ＣR2は第二入力情報計算部６１０４ｊに送られる（ステップＳ６１０３ｈ）。第四暗号化部６１０４ｉに行列ａMが入力される。第四暗号化部６１０４ｉは公開鍵ＰＫを用い、行列ａMの暗号文ＥＮＣM（ａM）である第四暗号文Ｃａ＝ＰＫ・ＣＭ＋２・ＮＭ＋ａM（ｍｏｄ ｑ）を生成する。第四暗号文Ｃａは第二入力情報計算部６１０４ｊに送られる（ステップＳ６１０３ｉ）。第二入力情報計算部６１０４ｊにはさらに暗号文ｘMが入力される。第二入力情報計算部６１０４ｊは、第二入力情報Mτ2として（ｘM・Ｃａ＋ＣR2）＋ＰＫ・ＣＭ21＋２・ＮＭ＋ＣＭ22T・ＰＫTを得て出力する。第二入力情報計算部６１０４ｊは、ＣX＝ｘM・Ｃa＋ＣR2としたＲｅ（ＣＸ）を計算して第二入力情報Mτ2を生成してもよいし、ＣX＝ｘM・Ｃａ＋ＣR2としたＲｅ（ＣＸ）を計算して第二入力情報Mτ2を生成してもよい（（ステップＳ６１０３ｊ）／［ステップＳ６１０３の具体例］の説明終わり）。
【０１３０】
図１７に例示するように、第一入力情報Mτ1は能力提供装置６２（図１３）の第一出力情報計算部６２０１に入力され、第二入力情報Mτ2は第二出力情報計算部６２０２に入力される（ステップＳ６２００）。
【０１３１】
第一出力情報計算部６２０１は、第一入力情報Mτ1と鍵記憶部６２０４に格納された復号鍵ＳＫとを用い、或る確率より大きな確率でｆM（Mτ1）＝ＳＫ-1｛ＳＫ・Mτ1・ＳＫT（ｍｏｄ ｑ）｝（ＳＫT）-1（ｍｏｄ ２）を正しく計算し、得られた計算結果を第一出力情報Mｚ1とする（ステップＳ６２０１）。第二出力情報計算部６２０２は、第二入力情報Mτ2と鍵記憶部６２０４に格納された復号鍵ＳＫとを用い、或る確率より大きな確率でｆM（Mτ2）＝ＳＫ-1｛ＳＫ・Mτ2・ＳＫT（ｍｏｄ ｑ）｝（ＳＫT）-1（ｍｏｄ ２）を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報Mｚ2とする（ステップＳ６２０２）。すなわち、第一出力情報計算部６２０１や第二出力情報計算部６２０２は、意図的又は意図的ではない誤差を含んだ計算結果を出力する。言い換えると、第一出力情報計算部６２０１での計算結果がｆM（Mτ1）の場合もあればｆM（Mτ1）でない場合もあり、第二出力情報計算部６２０２での計算結果がｆM（Mτ2）の場合もあればｆM（Mτ2）でない場合もある。
【０１３２】
第一出力情報計算部６２０１は第一出力情報Mｚ1を出力し、第二出力情報計算部６２０２は第二出力情報Mｚ2を出力する（ステップＳ６２０３）。
図１５に戻り、第一出力情報Mｚ1は計算装置６１（図１２）の第一計算部６１０５に入力され、第二出力情報Mｚ2は第二計算部６１０８に入力される。これらの第一出力情報Mｚ1及び第二出力情報Mｚ2が、能力提供装置６２から計算装置６１に与えられた復号能力に相当する（ステップＳ６１０４）。
【０１３３】
第一計算部５１０５は、第一出力情報Mｚ1を用いてMｚ1−ＭR1を計算してその計算結果をｕMとする。計算結果ｕMは行列積計算部６１０６に送られる。ここで、ｕM＝Mｚ1−ＭR1＝ｆM（ｘM）＋Mｘ１となる。すなわち、ｕMはｆM（ｘM）について誤差MＸ１を持つ標本器となる。その理由については後述する（ステップＳ６１０５）。
【０１３４】
行列積計算部６１０６はｕM’＝ｕM・ａMを得る。なお、行列積計算部６１０６はｕM・ａMの計算によってｕM’を得てもよいし、ａM・ｕMの計算によってｕM’を得てもよい。計算結果ｕMとその計算結果に基づいて計算されたｕM’との組（ｕM，ｕM’）は、第一リスト記憶部６１０７に記憶される（ステップＳ６１０６）。
【０１３５】
第二計算部６１０８は、第二出力情報Mｚ2を用いてMｚ2−ＭR2を計算してその計算結果をｖMとする。計算結果ｖMは第二リスト記憶部６１１０に記憶される。ここで、ｖM＝Mｚ2−ＭR2＝ｆM（ｘM）・ａM＋Mｘ２となる。すなわち、ｖMはｆM（ｘM）について誤差MＸ2を持つ乱数化可能標本器の出力となる。その理由については後述する（ステップＳ６１０８）。
【０１３６】
判定部６１１１は、第一リスト記憶部６１０７に記憶された組（ｕM，ｕM’）及び第二リスト記憶部６１１０に記憶されたｖMの中で、ｕM’＝ｖMとなるものがあるか判定する（ステップＳ６１１０）。ｕM’＝ｖMとなるものがあった場合には、ステップＳ６１１４に進む。ｕM’＝ｖMとなるものがなかった場合には、ステップＳ１１１１に進む。
【０１３７】
ステップＳ１１１１では、制御部１１１３がｔ＝Ｔmaxであるか判定する（ステップＳ１１１１）。Ｔmaxは予め定められた自然数である。ｔ＝Ｔmaxであれば、制御部１１１３は、計算をすることができなかった旨の情報、例えば記号「⊥」を出力して（ステップＳ１１１３）、処理を終える。ｔ＝Ｔmaxでない場合には、制御部１１１３は、ｔを１だけインクリメント、すなわちｔ＝ｔ＋１として（ステップＳ１１１２）、ステップＳ６１０３に戻る。
【０１３８】
ステップＳ６１１４では、最終出力部６１１２が、ｕM’＝ｖMであると判定されたｕM’に対応するｕMを出力する（ステップＳ６１１４）。このように得られたｕMは高い確率で暗号文ｘMを復号鍵ＳＫで復号した復号結果ｆＭ（ｘM）となる（その理由は後述する）。よって、上述した処理を複数回繰り返し、ステップＳ６１１４で得られた値のうち最も頻度の高い値を復号結果とすればよい。設定によっては圧倒的な確率でｕM＝ｆM（ｘM）となる。その場合にはステップＳ６１１４で得られた値をそのまま復号結果としてよい。
【０１３９】
≪Mｚ1−ＭR1，Mｚ2−ＭR2がｆM（ｘM）についてそれぞれ誤差MＸ１，MＸ２を持つ標本器，乱数化可能標本器の出力となる理由について≫
ｆM（ｘM）の準同型性より、ｆM（ｘM・Ｃａ＋ＣR2）＝ｆM（ｘM）・ｆM（Ｃａ）+ｆM（ＣR2）＝ｆM（ｘＭ）・ａM+ＭR2を満たし、ｆM（ｘＭ）・ａM＝ｆM（ｘM・Ｃａ＋ＣR2）−ＭR2＝ｆM（Mτ2）−ＭR2を満たし、ＭR2＝ｆM（Mτ2）−ｆM（ｘM）・ａMを満たす。よってMｚ2＝ＦM（Mτ2）とおくと、Mｚ2−ＭR2＝ＦM（Mτ2）−ｆM（Mτ2）＋ｆM（ｘM）・ａM＝ｆM（ｘM）・ａM＋｛ＦM（Mτ2）−ｆM（Mτ2）｝を満たす。Mτ2に対応するＣＭ21，ＣＭ22，ＭR2の一様ランダム性から、Mｚ2−ＭR2はｆM（ｘM）・ａM＋Mｘ２と統計的に近似する。ただし、Mｘ2は確率変数MＸ2＝ＦM（ＥＮＣM（MＵ2））−MＵ２（MＵ2はＧM上で一様ランダムに分布）の実現値である。したがって、Mｚ2−ＭR2はｆM（ｘM）についてそれぞれ誤差MＸ2を持つ乱数化可能標本器の出力となる。
【０１４０】
同様にｆM（ｘM・ＣUM＋ＣR1）＝ｆM（ｘM）・ｆM（ＣUM）+ｆM（ＣR1）＝ｆM（ｘM）・ＵＭ+ＭR1を満たし、ｆM（ｘM）＝ｆM（ｘM・ＣUM＋ＣR1）−ＭR1＝ｆM（Mτ1）−ＭR1を満たし、ＭR1＝ｆM（Mτ1）−ｆM（ｘM）を満たす。よってMｚ1＝ＦM（Mτ1）とおくと、Mｚ1−ＭR1＝ＦM（Mτ1）−ｆM（Mτ1）＋ｆM（ｘM）＝ｆM（ｘM）＋｛ＦM（Mτ1）−ｆM（Mτ1）｝を満たす。Mτ1に対応するＣＭ１１，ＣＭ12，ＭR1の一様ランダム性から、Mｚ1−ＭR1はｆM（ｘM）＋Mｘ1と統計的に近似する。ただし、Mｘ1は確率変数MＸ１＝ＦM（ＥＮＣM（MＵ1））−MＵ1（MＵ1はＧM上で一様ランダムに分布）の実現値である。したがって、Mｚ1−ＭR1を出力する上記の構成はｆM（ｘM）についてそれぞれ誤差MＸ１を持つ標本器となる。
【０１４１】
≪復号結果ｆM（ｘM）が得られる理由について≫
第五実施形態の≪復号結果ｆ（ｘ）が得られる理由について≫で説明したのと同様な理由により、本形態でも正しい復号結果ｆM（ｘM）が得られる。ただし本形態では行列を扱う関係上、第五実施形態の≪復号結果ｆ（ｘ）が得られる理由について≫のＧ，ＨがＧM，ＨMに、ｆ（ｘ）がｆM（ｘM）に、τがMτに、Ｆ（τ）がＦM（Mτ）に、ｚがMｚに、ｘがｘMに、Ｘ1，Ｘ2がMＸ1，MＸ2に、ｘ1，ｘ2がMｘ1，Mｘ2に、ｅｇがι×ιの単位行列Mｅgに、乗法的表現が加法的表現に（例えばαβγがα・β＋γに）それぞれ置き換えられる。さらに本形態では「擬似自由（pseudo-free）な作用」の定義が以下のようにされる。
【０１４２】
擬似自由（pseudo-free）な作用：
ＧM、行列の集合ΩM＝｛０M，．．．，ＭM｝、ＧM上の確率変数MＸ1，MＸ2の各実現値αM∈MＸ1（αM≠Mｅｇ），βM∈MＸ２、及びａM∈ΩMについて、αM・ａM＝βMとなる確率
Ｐｒ［αM・ａMかつαM≠Mｅｇ｜ａM∈UΩM，αM∈MＸ1，βM∈MＸ2］
について、あらゆる可能なMＸ1，MＸ2に関する上限値を、組（ＧM，ΩM）の疑似自由指標とよび、これをＰ（ＧM，ΩM）と表すことにする。ある無視することができる関数ζ（ｋ）が存在して、
Ｐ（ＧM，ΩM）＜ζ（ｋ）
である場合、組（ＧM，ΩM）によって定義される演算は擬似自由な作用であるという。
【０１４３】
［第一実施形態から第六実施形態の変形例］
以上のように、上記の各実施形態では、能力提供装置が復号鍵を提供することなく、第一出力情報ｚ1及び第二出力情報ｚ2を計算装置に提供し、計算装置がｕb’ｖa’を出力する。ｕb’ｖa’は高い確率で暗号文ｘの復号値となる。このように、能力提供装置が復号鍵を提供することなく計算装置に復号能力を提供できる。
【０１４４】
なお、本発明は上述の実施の形態に限定されるものではない。例えば、確率変数Ｘ1、Ｘ2及びＸ3は、同じでも異なっていてもよい。同様に、確率変数MＸ1及びMＸ2は、同じでも異なっていてもよい。
【０１４５】
第一乱数生成部、第二乱数生成部、第三乱数生成部、第四乱数生成部、第五乱数生成部、第六乱数生成部及び第七乱数生成部のそれぞれは、一様乱数を生成することにより、代理計算システムの安全性が最も高くなる。しかし、求める安全性のレベルがそれほど高くない場合には、第一乱数生成部、第二乱数生成部、第三乱数生成部、第四乱数生成部、第五乱数生成部、第六乱数生成部及び第七乱数生成部の少なくとも一部が、一様乱数ではない乱数を生成してもよい。同様に、第六実施形態で行列を一様ランダムに選択する代わりに、一様ではないランダムな行列が選択されてもよい。演算効率上からは、上述の各実施形態のように０以上ＫH未満の自然数である乱数や０以上ＫG未満の自然数である乱数が選択されることが望ましいが、それらの代わりにＫH以上やＫG以上の自然数の乱数が選択されてもよい。
【０１４６】
計算装置が同一のａ，ｂに対応する、群Ｈの元である第一入力情報τ1及び第二入力情報τ2を能力提供装置に提供するたびに、能力提供装置の処理が複数回実行させてもよい。これにより、計算装置が第一入力情報τ1及び第二入力情報τ2を能力提供装置に一回提供するたびに、計算装置は第一出力情報ｚ1や第二出力情報ｚ2や第三出力情報ｚ3を複数個得ることができる。これにより、計算装置と能力提供装置との間のやり取り回数や通信量を減らすことができる。第六実施形態の第一入力情報Mτ1及び第二入力情報Mτ2についても同様である。
【０１４７】
計算装置が複数種類の第一入力情報τ1及び第二入力情報τ2を能力提供装置にまとめて提供し、対応する第一出力情報ｚ1や第二出力情報ｚ2や第三出力情報ｚ3を複数個まとめて取得してもよい。これにより、計算装置と能力提供装置との間のやり取り回数を減らすことができる。第六実施形態の第一入力情報Mτ1及び第二入力情報Mτ2についても同様である。
【０１４８】
第一実施形態から第五実施形態の第一計算部や第二計算部において得られたｕやｖが群Ｇの元であるかを確認し、群Ｇの元であった場合には上述した処理を続行し、ｕ又はｖが群Ｇの元でなかった場合には、計算をすることができなかった旨の情報、例えば記号「⊥」が出力されてもよい。同様に、第六実施形態の第一計算部や第二計算部において得られたｕMやｖMがＧMの元であるかを確認し、ＧMの元であった場合には上述した処理を続行し、ｕM又はｖMがＧMの元でなかった場合には、計算をすることができなかった旨の情報、例えば記号「⊥」が出力されてもよい。
【０１４９】
計算装置の各部間のデータのやり取りは直接行われてもよいし、図示していない記憶部を介して行われてもよい。同様に、能力提供装置の各部間のデータのやり取りは直接行われてもよいし、図示していない記憶部を介して行われてもよい。
その他、例えば、上述の各種の処理は、記載に従って時系列に実行されるのみならず、処理を実行する装置の処理能力あるいは必要に応じて並列的にあるいは個別に実行されてもよい。その他、本発明の趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更が可能であることはいうまでもない。
【０１５０】
［第七実施形態］
本発明の第七実施形態を説明する。
＜構成＞
図１８に例示するように、第七実施形態の代理計算システム１０１は、例えば、復号鍵を保持していない計算装置１１１と、復号鍵ｓ1，・・・，ｓΓをそれぞれ保持する能力提供装置１１２−１，・・・，１１２−Γ（Γは２以上の整数）と、計算装置１１１の復号能力を制御する復号制御装置１１３とを有する。復号制御装置１１３は能力提供装置１１２−１，・・・，１１２−Γから計算装置１１１へ提供される復号能力を制御し、計算装置１１１は能力提供装置１１２−１，・・・，１１２−Γから提供された復号能力を用いて暗号文を復号する。計算装置１１１と能力提供装置１１２−１，・・・，１１２−Γと復号制御装置１１３とは情報のやり取りが可能なように構成される。例えば、計算装置１１１と能力提供装置１１２−１，・・・，１１２−Γと復号制御装置１１３とは、伝送線やネットワークや可搬型記録媒体などを経由した情報のやり取りが可能とされている。
【０１５１】
図１９に例示するように、第七実施形態の計算装置１１１は、例えば、自然数記憶部１１１０１と自然数選択部１１１０２と整数計算部１１１０３と入力情報提供部１１１０４と第一計算部１１１０５と第一べき乗計算部１１１０６と第一リスト記憶部１１１０７と第二計算部１１１０８と第二べき乗計算部１１１０９と第二リスト記憶部１１１１０と判定部１１１１１と最終出力部１１１１２と復元部１１１００と制御部１１１１３とを有する。計算装置１１１の例は、カードリーダライタ装置や携帯電話などの計算機能と記憶機能とを備えた機器や、特別なプログラムが読み込まれたＣＰＵ（central processing unit）やＲＡＭ（random-access memory）を備えた公知又は専用のコンピュータなどである。
【０１５２】
図２０に例示するように、第七実施形態の能力提供装置１１２−ι（ι＝１，・・・，ω、ωは２以上Γ以下の整数）は、例えば、第一出力情報計算部１１２０１−ιと第二出力情報計算部１１２０２−ιと鍵記憶部１１２０４−ιと制御部１１２０５−ιとを有する。能力提供装置１１２−ιの例は、ＩＣカードやＩＣチップなどの耐タンパ性モジュールや、携帯電話などの計算機能と記憶機能とを備えた機器や、特別なプログラムが読み込まれたＣＰＵやＲＡＭを備えた公知又は専用のコンピュータなどである。後述するように、能力提供装置１１２−１，・・・，１１２−ωは能力提供装置１１２−１，・・・，１１２−Γから選択されたものである。能力提供装置１１２−（ι＋１），・・・，１１２−Γが存在する場合、これらの構成は能力提供装置１１２−ιと同様である。
【０１５３】
図２１に例示するように、第七実施形態の復号制御装置１１３は、例えば、暗号文記憶部１１３０１と制御命令部１１３０２と出力部１１３０３と制御部１１３０４と鍵記憶部１１３０５と暗号化部１１３０６とを有する。復号制御装置１１３の例は、携帯電話などの計算機能と記憶機能とを備えた機器や、特別なプログラムが読み込まれたＣＰＵやＲＡＭを備えた公知又は専用のコンピュータなどである。
【０１５４】
＜処理＞
次に本形態の処理を説明する。処理の前提として、Ｇι，Ｈιを群（例えば、可換群）、ωを２以上の整数、ι＝１，・・・，ω、ｆι（λι）を群Ｈιの元である暗号文λιを特定の復号鍵ｓιで復号して群Ｇιの元を得るための復号関数、群Ｇι，Ｈιの生成元をそれぞれμι,g，μι,h、Ｘι,1，Ｘι,2を群Ｇιに値を持つ確率変数、確率変数Ｘι,1の実現値をｘι,1、確率変数Ｘι,2の実現値をｘι,2とする。なお、本形態のωは定数である。計算装置１１１の自然数記憶部１１１０１には、互いに素である２つの自然数ａ（ι），ｂ（ι）の組（ａ（ι），ｂ（ι））が複数種類記憶されているものとする。「自然数」とは０以上の整数を意味する。Ｉιを群Ｇιの位数未満の２つの自然数の組で互いに素なものの集合とすると、自然数記憶部１１１０１にはＩιの部分集合Ｓιに対応する自然数ａ（ι），ｂ（ι）の組（ａ（ι），ｂ（ι））が記憶されていると考えることができる。能力提供装置１１２−ιの鍵記憶部１２１０４には、特定の復号鍵ｓιがそれぞれ安全に記憶されているものとする。復号制御装置１１３の鍵記憶部１１３０５には、復号鍵ｓ１，・・・，ｓΓにそれぞれ対応する暗号鍵ｐｋ１，・・・，ｐｋΓが記憶されているものとする。復号鍵ｓι及び暗号鍵ｐｋιの一例は公開鍵暗号方式の秘密鍵及び公開鍵である。なお、計算装置１１１の各処理は制御部１１１１３の制御のもとで実行され、能力提供装置１１２−ιの各処理は制御部１１２０５−ιの制御のもとで実行され、復号制御装置１１３の各処理は制御部１１３０４の制御のもとで実行される。
【０１５５】
＜暗号化処理＞
図２４に例示するように、まず、復号制御装置１１３（図２１）の暗号化部１１３０６にメッセージｍｅｓが入力される。暗号化部１１３０６は、暗号鍵ｐｋ1，・・・，ｐｋΓからω個の暗号鍵ｐｋ１，・・・，ｐｋωをランダムに選択する（ステップＳ１１３０１）。暗号化部１１３０６は、メッセージｍｅｓからω個の分散情報ｓｈａ1，・・・，ｓｈａωを生成する（ステップＳ１１３０２）。以下に分散情報ｓｈａ1，・・・，ｓｈａωの生成方法を例示する。
【０１５６】
《分散情報の例１》
ω個の分散情報ｓｈａ1，・・・，ｓｈａωのビット結合値ｓｈａ1｜・・・｜ｓｈａωがメッセージｍｅｓとなるように分散情報ｓｈａ1，・・・，ｓｈａωを生成する。
《分散情報の例２》
ω個の分散情報ｓｈａ1，・・・，ｓｈａωの排他的論理和がメッセージｍｅｓとなるように分散情報ｓｈａ1，・・・，ｓｈａωを生成する。
《分散情報の例３》
Shamirの秘密分散のような秘密分散方式によってメッセージｍｅｓを秘密分散して分散情報ｓｈａ1，・・・，ｓｈａωを生成する（分散情報の生成方法を例示終わり）。
【０１５７】
次に、暗号化部１１３０６は、各ι＝１，・・・，ωについて、暗号鍵ｐｋιを用いて分散情報ｓｈａιを暗号化して暗号文λιを生成する。生成された暗号文λ1，・・・，λωは暗号文記憶部１１３０１に記憶される（ステップＳ１１３０３）。
【０１５８】
その後、暗号文記憶部１１３０１に記憶されている暗号文λ1，・・・，λωが出力部１１３０１から出力され、計算装置１１１（図１９）に入力される（ステップＳ１１３０４）。暗号文λ1，・・・，λωは同時に送られてもよいし、同時に送られなくてもよい。
【０１５９】
＜復号処理＞
図２５を用いて本形態の暗号文λιの復号処理を説明する。以下に説明する処理は各ι＝１，・・・，ωについてそれぞれ実行される。
まず、計算装置１１１（図１９）の自然数選択部１１１０２が、自然数記憶部１１１０１に記憶された複数の自然数の組（ａ（ι），ｂ（ι））から１つの自然数の組（ａ（ι），ｂ（ι））をランダムに読み込む。読み込まれた自然数の組（ａ（ι），ｂ（ι））の少なくとも一部の情報は、整数計算部１１１０３、入力情報提供部１１１０４、第一べき乗計算部１１１０６及び第二べき乗計算部１１１０９に送られる（ステップＳ１１１００）。
【０１６０】
整数計算部１１１０３は、送られた自然数の組（ａ（ι），ｂ（ι））を用いて、ａ’（ι）ａ（ι）＋ｂ’（ι）ｂ（ι）＝１の関係を満たす整数ａ’（ι），ｂ’（ι）を計算する。自然数ａ（ι），ｂ（ι）は互いに素であるため、ａ’（ι）ａ（ι）＋ｂ’（ι）ｂ（ι）＝１の関係を満たす整数ａ’（ι），ｂ’（ι）は必ず存在して、その計算方法もよく知られている。たとえば拡張互除法などのよく知られたアルゴリズムによって整数ａ’，ｂ’が計算され、自然数の組（ａ’（ι），ｂ’（ι））の情報は、最終出力部１１１１２に送られる（ステップＳ１１１０１）。
【０１６１】
制御部１１１１３は、ｔι＝１とする（ステップＳ１１１０２）。
計算装置１１１の入力情報提供部１１１０４は、入力された暗号文λιにそれぞれ対応する群Ｈιの元である第一入力情報τι,1及び第二入力情報τι,2を生成して出力する。好ましくは、第一入力情報τι,1及び第二入力情報τι,2はそれぞれ暗号文λιとの関係をかく乱させた情報である。これにより、計算装置１１１は、暗号文λιを能力提供装置１１２−ιに対して隠蔽できる。好ましくは、本形態の第一入力情報τι,1は自然数選択部１１１０２で選択された自然数ｂ（ι）にさらに対応し、第二入力情報τι,2は自然数選択部１１１０２で選択された自然数ａ（ι）にさらに対応する。これにより、能力提供装置１１２−ιから提供された復号能力を計算装置１１１が高い精度で評価できる（ステップＳ１１１０３）。
【０１６２】
図２６に例示するように、第一入力情報τι,1は能力提供装置１１２−ι（図２０）の第一出力情報計算部１１２０１−ιに入力され、第二入力情報τι,2は第二出力情報計算部１１２０２−ιに入力される（ステップＳ１１２００）。
【０１６３】
第一出力情報計算部１１２０１は、第一入力情報τι,1と鍵記憶部１１２０４に記憶された復号鍵ｓιとを用い、或る確率より大きな確率でｆι（τι,1）を正しく計算し、得られた計算結果を第一出力情報ｚι,1とする（ステップＳ１１２０１）。第二出力情報計算部１１２０２−ιは、第二入力情報τι,2と鍵記憶部１１２０４−ιに記憶された復号鍵ｓιとを用い、或る確率より大きな確率でｆι（τι,2）を正しく計算し、得られた演算結果を第二出力情報ｚι,2とする（ステップＳ１１２０２）。なお、「或る確率」は１００％未満の確率である。「或る確率」の例は無視することができない確率であり、「無視することができない確率」の例は、セキュリティパラメータｋについての広義単調増加関数である多項式を多項式ψ（ｋ）とした場合の１／ψ（ｋ）以上の確率である。すなわち、第一出力情報計算部１１２０１−ιや第二出力情報計算部１１２０２−ιは、意図的又は意図的ではない誤差を含んだ計算結果を出力し得る。言い換えると、第一出力情報計算部１１２０１−ιでの計算結果がｆι（τι,1）の場合もあればｆι（τι,1）でない場合もあり、第二出力情報計算部１１２０２−ιでの計算結果がｆι（τι,2）の場合もあればｆι（τι,2）でない場合もある。第一出力情報計算部１１２０１−ιは第一出力情報ｚι,1を出力し、第二出力情報計算部１１２０２−ιは第二出力情報ｚι,2を出力する（ステップＳ１１２０３）。
【０１６４】
図２５に戻り、第一出力情報ｚι,1は計算装置１１１（図１９）の第一計算部１１１０５に入力され、第二出力情報ｚι,2は第二計算部１１１０８に入力される。これらの第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2が、能力提供装置１１２−ιから計算装置１１１に与えられた復号能力に相当する（ステップＳ１１１０４）。
【０１６５】
第一計算部１１１０５は、第一出力情報ｚι,1から演算結果ｕι＝ｆι（λι）b(ι)ｘι,1を生成する。ここで、ｆι（λι）b(ι)ｘι,1を生成（計算）するとは、ｆι（λι）b(ι)ｘι,1と定義される式の値を計算することである。式ｆι（λι）b(ι)ｘι,1の値を最終的に計算することができれば、途中の計算方法は問わない。これは、この出願で登場する他の式の計算についても同様である。演算結果ｕιは第一べき乗計算部１１１０６に送られる（ステップＳ１１１０５）。
【０１６６】
第一べき乗計算部１１１０６はｕι’＝ｕιa(ι)を計算する。計算結果ｕιとその計算結果に基づいて計算されたｕι’との組（ｕι，ｕι’）は、第一リスト記憶部１１１０７に記憶される（ステップＳ１１１０６）。
【０１６７】
判定部１１１１１は、第一リスト記憶部１１１０７に記憶された組（ｕι，ｕι’）及び第二リスト記憶部１１１１０に記憶された組（ｖι，ｖι’）の中で、ｕι’＝ｖι’となるものがあるか判定する（ステップＳ１１１０７）。もし、第二リスト記憶部１１１１０に組（ｖι，ｖι’）が記憶されていない場合には、このステップＳ１１１０７の処理を行わずに、次のステップＳ１１１０８の処理を行う。ｕι’＝ｖι’となるものがあった場合には、ステップＳ１１１１４に進む。ｕι’＝ｖι’となるものがなかった場合には、ステップＳ１１１０８に進む。
【０１６８】
ステップＳ１１１０８では、第二計算部１１１０８が、第二出力情報ｚι,2から演算結果ｖι＝ｆι（λι）a(ι)ｘι,2を生成する。演算結果ｖιは第二べき乗計算部１１１０９に送られる（ステップＳ１１１０８）。
【０１６９】
第二べき乗計算部１１１０９はｖι’＝ｖιb(ι)を計算する。計算結果ｖιとその計算結果に基づいて計算されたｖι’との組（ｖι，ｖι’）は、第二リスト記憶部１１１１０に記憶される（ステップＳ１１１０９）。
【０１７０】
判定部１１１１１は、第一リスト記憶部１１１０７に記憶された組（ｕι，ｕι’）及び第二リスト記憶部１１１１０に記憶された組（ｖι，ｖι’）の中で、ｕι’＝ｖι’となるものがあるか判定する（ステップＳ１１１１０）。ｕι’＝ｖι’となるものがあった場合には、ステップＳ１１１１４に進む。ｕι’＝ｖι’となるものがなかった場合には、ステップＳ１１１１１に進む。
【０１７１】
ステップＳ１１１１１では、制御部１１１１３がｔι＝Ｔιであるか判定する（ステップＳ１１１１１）。Ｔιは予め定められた自然数である。ｔι＝Ｔιであれば、最終出力部１１１１２が、計算をすることができなかった旨の情報、例えば記号「⊥」を出力して（ステップＳ１１１１３）、処理を終える。ｔι＝Ｔιでない場合には、制御部１１１１３は、ｔιを１だけインクリメント、すなわちｔι＝ｔι＋１（ｔι＋１を新たなｔι）として（ステップＳ１１１１２）、ステップＳ１１１０３に戻る。
【０１７２】
計算をすることができなかった旨の情報（この例では記号「⊥」）は、能力提供装置１１２−ιが正しく計算を行う信頼性がＴιで定められる基準を下回るということを意味する。言い換えれば、Ｔι回の繰り返しで正しい演算を行うことができなかったということを意味する。
【０１７３】
ステップＳ１１１１４では、最終出力部１１１１２が、ｕι’＝ｖι’であると判定されたｕι’及びｖι’に対応するｕι及びｖιを用いてｕιb’(ι)ｖιa’(ι)を計算して、出力する（ステップＳ１１１１４）。このように計算されたｕιb’(ι)ｖιa’(ι)は高い確率で暗号文λιを特定の復号鍵ｓιで復号した復号結果ｆι（λι）となる（高い確率でｕιb’(ι)ｖιa’(ι)＝ｆι（λι）となる理由については後述する）。よって、上述した処理を複数回繰り返し、ステップＳ１１１１４で得られた値のうち最も頻度の高い値を復号結果ｆι（λι）とすればよい。後述するように、設定によっては圧倒的な確率でｕιb’(ι)ｖιa’(ι)＝ｆι（λι）となる。その場合にはステップＳ１１１１４で得られた値をそのまま復号結果ｆι（λι）としてよい。
【０１７４】
以上の処理が各ι＝１，・・・，ωについてそれぞれ実行されることで得られた各復号結果ｆι（λι）は復元部１１１００に入力される。復元部１１１００は、各ι＝１，・・・，ωについてのｆι（λι）＝ｕιb’(ι)ｖιa’(ι)を用い、各ι＝１，・・・，ωについての暗号文λιを復号鍵ｓιで復号して得られる復号値がすべて得られた場合にのみ復元可能な復元値の復元処理を行う。例えば、前述した《分散情報の例１》によって分散情報が生成されていたのであれば、復元部１１１００はビット結合値ｆ１（λ１）｜・・・｜ｆω（λω）を復元値ｍｅｓ’として生成する。例えば、前述した《分散情報の例２》によって分散情報が生成されていたのであれば、復元部１１１００は各復号結果ｆ１（λ１），・・・，ｆω（λω）の排他的論理和を復元値ｍｅｓ’として生成する。例えば、前述した《分散情報の例３》によって分散情報が生成されていたのであれば、復元部１１１００は、秘密分散方式に対応する復元方法を用い、各復号結果ｆ１（λ１），・・・，ｆω（λω）から復元値ｍｅｓ’を生成する。
【０１７５】
復号結果ｆ１（λ１），・・・，ｆω（λω）がすべて正しい場合、復元部１１１００で得られる復元値ｍｅｓ’はメッセージｍｅｓと等しい。一方、復号結果ｆ１（λ１），・・・，ｆω（λω）のすべてが誤りであった場合、復元部１１１００で得られる復元値ｍｅｓ’がメッセージｍｅｓと等しくなる確率は無視できるほど小さい。
【０１７６】
≪高い確率でｕιb’(ι)ｖιa’(ι)＝ｆι（λι）となる理由について≫
ここでは表記の簡略化のためιを省略して説明する。
Ｘを群Ｇに値を持つ確率変数とする。ｗ∈Ｇについて、要求を受けるたびに確率変数Ｘに従った標本ｘ’に対応するｗｘ’を返すものを、ｗについて誤差Ｘを持つ標本器（sampler）と呼ぶ。
【０１７７】
ｗ∈Ｇについて、自然数ａが与えられるたびに確率変数Ｘに従った標本ｘ’に対応するｗａｘ’を返すものを、ｗについて誤差Ｘを持つ乱数化可能標本器（randomizable sampler）と呼ぶ。乱数化可能標本器はａ＝１として用いられれば標本器として機能する。
【０１７８】
本実施形態の入力情報提供部１１１０４と第一出力情報計算部１１２０１と第一計算部１１１０５との組み合わせが、ｆ（λ）について誤差Ｘ1を持つ乱数化可能標本器（「第一乱数化可能標本器」と呼ぶ）であり、入力情報提供部１１１０４と第二出力情報計算部１１２０２と第二計算部１１１０８との組み合わせが、ｆ（λ）について誤差Ｘ2を持つ乱数化可能標本器（「第二乱数化可能標本器」と呼ぶ）である。
【０１７９】
ｕ’＝ｖ’が成立するのは、すなわちｕa＝ｖbが成立するのは、第一乱数化可能標本器がｕ＝ｆ（λ）bを正しく計算しており、第二乱数化可能標本器がｖ＝ｆ（λ）aを正しく計算している（ｘ1及びｘ2が群Ｇの単位元ｅｇである）可能性が高いことを発明者は見出した。説明の簡略化の観点から、この証明は第十一実施形態で行う。
【０１８０】
第一乱数化可能標本器がｕ＝ｆ（λ）bを正しく計算しており、第二乱数化可能標本器がｖ＝ｆ（λ）aを正しく計算しているとき（ｘ1及びｘ2が群Ｇの単位元ｅｇであるとき）、ｕb’ｖa’＝（ｆ（λ）bｘ1）b’（ｆ（λ）aｘ2）a’＝（ｆ（λ）bｅg）b’（ｆ（λ）aｅg）a’＝ｆ（λ）bb’ｅgb’ｆ（λ）aa’ｅga’＝ｆ（λ）(bb’+aa’)＝ｆ（λ）となる。
【０１８１】
（ｑ１，ｑ２）∈Ｉについて、ｉ＝１，２の各々について関数πｉをπｉ（ｑ１，ｑ２）＝ｑｉで定義する。さらに、Ｌ＝ｍｉｎ（♯π１（Ｓ），♯π2（Ｓ））とする。♯・は、集合・の位数である。群Ｇが巡回群や位数の計算が困難な群であるときには、計算装置１１１が「⊥」以外を出力するときの出力がｆ（λ）ではない確率は、無視できる程度の誤差の範囲で高々Ｔ2Ｌ／♯Ｓ程度と期待することができる。もしＬ／♯Ｓが無視できる量でＴが多項式オーダー程度の量であれば、計算装置１１１は圧倒的な確率で正しいｆι（λ）を出力する。Ｌ／♯Ｓが無視できる量になるようなＳの例には、例えばＳ＝｛（１，ｄ）｜ｄ∈［２，｜Ｇ｜−１］｝がある。
【０１８２】
＜復号制御処理＞
次に、本形態の復号制御処理を説明する。
復号制御装置１１３が計算装置１１１の復号処理を制御する場合、復号制御装置１１３は、計算装置１１１の復号処理を制御する復号制御命令をすべての能力提供装置１１２−ιに出力する。復号制御命令が入力された能力提供装置１１２−ιは、入力された復号制御命令に従って、第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2の両方の出力の有無を制御する。計算装置１１１は、第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2が与えられなければ暗号文λιを復号することができない。そのため、第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2の両方の出力の有無を制御することで、計算装置１１１の復号能力を制御できる。以下に復号処理の制御方法を例示する。
【０１８３】
≪復号処理の制御方法の例１≫
復号処理の制御方法の例１では、復号制御命令が計算装置１１１の復号能力を制限するための復号制限命令ｃｏｍ１−ιを含む。復号制限命令ｃｏｍ１−ιが能力提供装置１１２−ιの制御部１１２０５−ιに入力された場合、制御部１１２０５−ιが第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2の両方の出力を禁止する。
【０１８４】
計算装置１１１の復号能力を制限する場合、復号制御装置１１３（図２１）の制御命令部１１３０２は、すべてのιについて復号制限命令ｃｏｍ１−ιを出力する。復号制限命令ｃｏｍ１−ιは出力部１１３０３から能力提供装置１１２−ιに出力される。
【０１８５】
能力提供装置１１２−ι（図２０）の制御部１１２０５−ιは、復号制限命令ｃｏｍ１−ιが入力されたか否かを判断し、復号制限命令ｃｏｍ１−ιが制御部１１２０５−ιに入力されない場合には復号制御処理を行わない。一方、復号制限命令ｃｏｍ１−ιが制御部１１２０５−ιに入力された場合には、制御部１１２０５−ιは第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2の両方の出力を禁止する制御を行う（復号制限モード）。
【０１８６】
復号制限モードでは、制御部１１２０５−ιが第一出力情報計算部１１２０１−ιによる第一出力情報ｚι,1の出力及び第二出力情報計算部１１２０１−ιによる第二出力情報ｚι,2の出力の両方を禁止する。第一出力情報ｚι,1及び／又は第二出力情報ｚι,2の出力を禁止する制御の一例は、第一出力情報ｚι,1及び／又は第二出力情報ｚι,2の生成は禁止しないがこれらの出力を禁止する制御である。第一出力情報ｚι,1及び／又は第二出力情報ｚι,2の出力を禁止する制御の他の例は、第一出力情報ｚι,1及び／又は第二出力情報ｚι,2の代わりにダミー情報を出力させる制御である。なお、ダミー情報の例は、乱数その他の暗号文λιに依存しない情報である。第一出力情報ｚι,1及び／又は第二出力情報ｚι,2の出力を禁止する制御の別の例は、第一出力情報ｚι,1及び／又は第二出力情報ｚι,2の生成自体を禁止する制御である。第一出力情報ｚι,1及び／又は第二出力情報ｚι,2の生成自体を禁止する制御を行う場合には、第一出力情報ｚι,1及び／又は第二出力情報ｚι,2の生成を行うために必要な情報を無効又は削除してもよいし、しなくてもよい。例えば、鍵記憶部１１２０４−ιに記憶された復号鍵ｓιを無効又は削除してもよいし、しなくてもよい。
【０１８７】
第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2の両方の出力が禁止された場合、能力提供装置１１２−ιはステップＳ１１２０３で第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2の両方を出力しない。そのため、計算装置１１１はステップＳ１１１０４で第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2の両方を取得できず、演算結果ｕι及びｖιを計算できないため、正しい復号結果ｆι（λ）を得ることができない。すべてのιについて正しい復号結果ｆι（λ）が得られなかった場合、復元部１１１００で得られる復元値ｍｅｓ’がメッセージｍｅｓと等しくなる確率は無視できるほど小さい。これにより、計算装置１１１の復号能力を制限できる。
【０１８８】
≪復号処理の制御方法の例２≫
復号処理の制御方法の例２では、復号制御命令が計算装置１１１の復号能力の制限を開放するための復号開放命令ｃｏｍ２−ιを含み、復号開放命令ｃｏｍ２−ιが能力提供装置１１２−ιの制御部１１２０５−ιに入力された場合、制御部１１２０５−ιは第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2の少なくとも一方の出力を許可する。復号処理の制御方法の例２は、例えば、復号処理の制御方法の例１によって第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2の両方の出力が禁止された後、再び、第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2の出力を許可する場合に行われる。この際、第一出力情報ｚι,1及び／又は第二出力情報ｚι,2の生成を行うために必要な情報が無効又は削除されていた場合には、復号開放命令ｃｏｍ２−ιが当該情報を含み、当該情報を能力提供装置１１２−ιに再設定することにしてもよい。その他、復号処理の制御方法の例２は、例えば、初期状態において第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2の両方が禁止されている場合に、第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2の出力を許可する場合に行われてもよい。
【０１８９】
計算装置１１１の復号能力の制限を開放する場合、復号制御装置１１３（図２１）の制御命令部１１３０２がすべてのιについて復号開放命令ｃｏｍ２−ιを出力する。復号制限命令ｃｏｍ２−ιは出力部１１３０３から能力提供装置１１２−ιに出力される。
【０１９０】
能力提供装置１１２−ι（図２０）の制御部１１２０５−ιは、復号開放命令ｃｏｍ2−ιが入力されたか否かを判断し、復号開放命令ｃｏｍ2−ιが制御部１１２０５−ιに入力されていない場合には復号制御処理を行わない。一方、復号開放命令ｃｏｍ2−ιが制御部１１２０５−ιに入力された場合には、制御部１１２０５−ιは第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2の両方の出力を許可する制御を行う（復号許可モード）。
【０１９１】
第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2の両方の出力が許可された場合、能力提供装置１１２−ιはステップＳ１１２０３で第一出力情報ｚι,1又は第二出力情報ｚι,2の両方を出力する。そのため、計算装置１１１はステップＳ１１１０４で第一出力情報ｚι,1又は第二出力情報ｚι,2の両方を取得でき、演算結果ｕι又はｖιを計算できるため、高い確率で復号結果を得ることができる。これにより、計算装置１１１の復号能力の制限を開放することができる。
【０１９２】
≪復号処理の制御方法の例３≫
復号処理の制御方法の例１，２では、各復号制御命令が何れかの１つのιに対応し（復号関数ｆιに対応し）、能力提供装置１１２−ιの制御部１１２０５−ιが復号制御命令に対応する（復号制御命令に対応する復号関数ｆιに対応する）第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2のすべての出力の有無を制御することとした。しかしながら、復号制御命令が複数のιに対応し、能力提供装置１１２−ιの制御部１１２０５−ιが復号制御命令に対応する第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2の出力の有無を制御することとしてもよい。
【０１９３】
［第八実施形態］
第八実施形態の代理計算システムは、上述した第一乱数化可能標本器及び第二乱数化可能標本器を具体化した例である。以下、第七実施形態と異なる部分を中心に説明し、復号制御処理などの共通する部分については重複説明を省略する。以下の説明において、同一の参照番号が付された部分は同一の機能を持つものとし、同一の参照番号が付されたステップは同一の処理を表すものとする。
【０１９４】
＜構成＞
図１８に例示するように、第八実施形態の代理計算システム１０２は、計算装置１１１が計算装置１２１に置換され、能力提供装置１１２−１，・・・，１１２−Γが能力提供装置１２２−１，・・・，１２２−Γに置換されたものである。
【０１９５】
図１９に例示するように、第八実施形態の計算装置１２１は、例えば、自然数記憶部１１１０１と自然数選択部１１１０２と整数計算部１１１０３と入力情報提供部１２１０４と第一計算部１２１０５と第一べき乗計算部１１１０６と第一リスト記憶部１１１０７と第二計算部１２１０８と第二べき乗計算部１１１０９と第二リスト記憶部１１１１０と判定部１１１１１と最終出力部１１１１２と制御部１１１１３とを有する。図２２に例示するように、本形態の入力情報提供部１２１０４は、例えば、第一乱数生成部１２１０４ａと第一入力情報計算部１２１０４ｂと第二乱数生成部１２１０４ｃと第二入力情報計算部１２１０４ｄとを有する。
【０１９６】
図２０に例示するように、第八実施形態の能力提供装置１２２−ι（ι＝１，・・・，ω、ωは２以上Γ以下の整数）は、例えば、第一出力情報計算部１２２０１−ιと第二出力情報計算部１２２０２−ιと鍵記憶部１１２０４−ιと制御部１１２０５−ιとを有する。能力提供装置１２２−（ι＋１），・・・，１２２−Γが存在する場合、これらの構成は能力提供装置１２２−ιと同様である。
【０１９７】
＜復号処理＞
次に本形態の復号処理を説明する。第八実施形態では、復号関数ｆιを準同型関数とし、群Ｈを巡回群とし、群Ｈの生成元をμι,h、群Ｈの位数をＫι,H、νι＝ｆι（μι,h）とする。復号関数ｆιが準同型関数である例はＲＳＡ暗号などである。その他の前提は、計算装置１１１が計算装置１２１に置換され、能力提供装置１１２−１，・・・，１１２−Γが能力提供装置１２２−１，・・・，１２２−Γに置換されている以外、第七実施形態と同一である。
【０１９８】
図２５及び図２６に例示するように、第八実施形態の処理は第七実施形態のステップＳ１１１０３〜Ｓ１１１０５，Ｓ１１１０８，Ｓ１１２００〜Ｓ１１２０３が、それぞれ、ステップＳ１２１０３〜Ｓ１２１０５，Ｓ１２１０８，Ｓ１２２００〜Ｓ１２２０３に置換されたものである。以下ではステップＳ１２１０３〜Ｓ１２１０５，Ｓ１２１０８，Ｓ１２２００〜Ｓ１２２０３の処理のみを説明する。
【０１９９】
《ステップＳ１２１０３の処理》
計算装置１２１（図１９）の入力情報提供部１２１０４は、入力された暗号文λιにそれぞれ対応する第一入力情報τι,1及び第二入力情報τι,2を生成して出力する（図２５／ステップＳ１２１０３）。以下、図２７を用いて本形態のステップＳ１２１０３の処理を説明する。
【０２００】
第一乱数生成部１２１０４ａ（図２２）は、０以上Ｋι，H未満の自然数の一様乱数ｒ（ι，１）を生成する。生成された乱数ｒ（ι，１）は、第一入力情報計算部１２１０４ｂ及び第一計算部１２１０５に送られる（ステップＳ１２１０３ａ）。第一入力情報計算部１２１０４ｂは、入力された乱数ｒ（ι，１）と暗号文λιと自然数ｂ（ι）とを用いて第一入力情報τι,1＝μι,hr(ι,1)λιb(ι)を計算する（ステップＳ１２１０３ｂ）。
【０２０１】
第二乱数生成部１２１０４ｃは、０以上ＫH未満の自然数の一様乱数ｒ（ι，２）を生成する。生成された乱数ｒ（ι，２）は、第二入力情報計算部１２１０４ｄ及び第二計算部１２１０８に送られる（ステップＳ１２１０３ｃ）。第二入力情報計算部１２１０４ｄは、入力された乱数ｒ（ι，２）と暗号文λιと自然数ａ（ι）とを用いて第二入力情報τι,2＝μι,hr(ι,2)λιa(ι)を計算する（ステップＳ１２１０３ｄ）。
【０２０２】
第一入力情報計算部１２１０４ｂ及び第二入力情報計算部１２１０４ｄは、以上のように生成した第一入力情報τι,1及び第二入力情報τι,2を出力する（ステップＳ１２１０３ｅ）。なお、本形態の第一入力情報τι,1及び第二入力情報τι,2は、それぞれ、乱数ｒ（ι，１），ｒ（ι，２）によって暗号文λιとの関係をかく乱させた情報である。これにより、計算装置１２２−ιは、暗号文λιを能力提供装置１２２−ιに対して隠蔽できる。本形態の第一入力情報τι,1は自然数選択部１１１０２で選択された自然数ｂ（ι）にさらに対応し、第二入力情報τι,2は自然数選択部１１１０２で選択された自然数ａ（ι）にさらに対応する。これにより、能力提供装置１２２−ιから提供された復号能力を計算装置１２１が高い精度で評価できる。
【０２０３】
《ステップＳ１２２００〜Ｓ１２２０３の処理》
図２６に例示するように、まず、第一入力情報τι,1＝μι,hr(ι,1)λιb(ι)が能力提供装置１２２−ι（図２０）の第一出力情報計算部１２２０１−ιに入力され、第二入力情報τι,2＝μι,hr(ι,2)λιa(ι)が第二出力情報計算部１２２０２−ιに入力される（ステップＳ１２２００）。
【０２０４】
第一出力情報計算部１２２０１−ιは、第一入力情報τι,1＝μι,hr(ι,1)λιb(ι)と鍵記憶部１１２０４−ιに記憶された復号鍵ｓιとを用い、或る確率より大きな確率でｆι（μι,hr(ι,1)λιb(ι)）を正しく計算し、得られた計算結果を第一出力情報ｚι,1とする。この計算結果は正しい場合もあれば正しくない場合もある。すなわち、第一出力情報計算部１２２０１−ιでの計算結果がｆι（μι,hr(ι,1)λιb(ι)）となる場合もあれば、ｆι（μι,hr(ι,1)λιb(ι)）とならない場合もある（ステップＳ１２２０１）。
【０２０５】
第二出力情報計算部１２２０２−ιは、第二入力情報τι,2＝μι,hr(ι,2)λιa(ι)と鍵記憶部１１２０４−ιに記憶された復号鍵ｓιとを用い、或る確率より大きな確率でｆι（μι,hr(ι,2)λιa(ι)）を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報ｚι,2とする。この計算結果は正しい場合もあれば正しくない場合もある。すなわち、第二出力情報計算部１２２０２−ιでの計算結果がｆι（μι,hr(ι,2)λιa(ι)）となる場合もあれば、ｆι（μι,hr(ι,2)λιa(ι)）とならない場合もある（ステップＳ１２２０２）。
【０２０６】
第一出力情報計算部１２２０１−ιは第一出力情報ｚι,1を出力し、第二出力情報計算部１２２０２−ιは第二出力情報ｚι,2を出力する（ステップＳ１２２０３）。
【０２０７】
《ステップＳ１２１０４及びＳ１２１０５の処理》
図２５に戻り、第一出力情報ｚι,1は計算装置１２１（図１９）の第一計算部１２１０５に入力され、第二出力情報ｚι,2は第二計算部１２１０８に入力される。これらの第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2が、能力提供装置１２２−ιから計算装置１２１に与えられた復号能力に相当する（ステップＳ１２１０４）。
【０２０８】
第一計算部１２１０５は、入力された乱数ｒ（ι，１）及び第一出力情報ｚι,1を用いてｚι,1νι-r(ι,1)を計算してその計算結果をｕιとする。計算結果ｕιは、第一べき乗計算部１１１０６に送られる。ここで、ｕι＝ｚι,1νι-r(ι,1)＝ｆι（λι）b(ι)ｘι,1となる。すなわち、ｚι,1νι-r(ι,1)は、ｆι（λι）について誤差Ｘι,1を持つ乱数化可能標本器の出力となる。その理由については後述する（ステップＳ１２１０５）。
【０２０９】
《ステップＳ１２１０８の処理》
第二計算部１２１０８は、入力された乱数ｒ（ι，２）及び第二出力情報ｚι,2を用いてｚι,2νι-r(ι,2)を計算してその計算結果をｖιとする。計算結果ｖιは、第二べき乗計算部１１１０９に送られる。ここで、ｖι＝ｚι，２νι-r(ι,2)＝ｆι（λι）a(ι)ｘι,2となる。すなわち、ｚι,2νι-r(ι,2)は、ｆι（λι）について誤差Ｘι,2を持つ乱数化可能標本器の出力となる。その理由については後述する（ステップＳ１２１０８）。
【０２１０】
≪ｚι,1νι-r(ι,1)，ｚι,2νι-r(ι,2)がｆι（λι）についてそれぞれ誤差Ｘι,1，Ｘι,2を持つ乱数化可能標本器の出力となる理由について≫
ｃを自然数、Ｒを乱数として、能力提供装置１２２がμhRλcを用いて行う計算の計算結果をＢ（μhRλc）とする。すなわち、第一出力情報計算部１２２０１−ιや第二出力情報計算部１２２０２−ιが計算装置１２１に返す計算結果をｚ＝Ｂ（μhRλc）とする。さらに、群Ｇに値を持つ確率変数ＸをＸ＝Ｂ（μhR’）ｆ（μhR’）-1と定義する。
このとき、ｚν-R＝Ｂ（μhRλc）ｆ（μh）-R＝Ｘｆ（μhRλc）ｆ（μh）-R＝Ｘｆ（μh）Rｆ（λ）cｆ（μh）-R＝ｆ（λ）cＸとなる。すなわち、ｚν-Rは、ｆ（λ）について誤差Ｘを持つ乱数化可能標本器の出力となる。
【０２１１】
上記式展開において、Ｘ＝Ｂ（μhR’）ｆ（μhR’）-1＝Ｂ（μhRλc）ｆ（μhRλc）-1であり、Ｂ（μhRλc）＝Ｘｆ（μhRλc）であるという性質を用いている。この性質は、関数ｆιが準同型関数であり、Ｒが乱数であることに基づく。
【０２１２】
したがって、ａ（ι），ｂ（ι）が自然数、ｒ（ι，１），ｒ（ι，２）が乱数であることを考慮すると、同様に、ｚι,1νι-r(ι,1)，ｚι,2νι-r(ι,2)がｆι（λι）についてそれぞれ誤差Ｘι,1，Ｘι,2を持つ乱数化可能標本器の出力となるのである。
【０２１３】
［第九実施形態］
第九実施形態は第八実施形態の変形例であり、ａ（ι）＝１やｂ（ι）＝１のときに前述した標本器によってｕι又はｖιの値を計算する。一般に乱数化可能標本器よりも標本器の計算量は小さい。ａ（ι）＝１やｂ（ι）＝１のときに乱数化可能標本器に代わり、標本器が計算を行うことで、代理計算システムの計算量を小さくすることができる。以下、第七実施形態及び第八実施形態と異なる部分を中心に説明し、復号制御処理などの共通する部分については重複説明を省略する。
【０２１４】
＜構成＞
図１８に例示するように、第九実施形態の代理計算システム１０３は、計算装置１２１が計算装置１３１に置換され、能力提供装置１２２−１，・・・，１２２−Γが能力提供装置１３２−１，・・・，１３２−Γに置換されたものである。
【０２１５】
図１９に例示するように、第九実施形態の計算装置１３１は、例えば、自然数記憶部１１１０１と自然数選択部１１１０２と整数計算部１１１０３と入力情報提供部１２１０４と第一計算部１２１０５と第一べき乗計算部１１１０６と第一リスト記憶部１１１０７と第二計算部１２１０８と第二べき乗計算部１１１０９と第二リスト記憶部１１１１０と判定部１１１１１と最終出力部１１１１２と制御部１１１１３と第三計算部１３１０９とを有する。
【０２１６】
図２０に例示するように、第九実施形態の能力提供装置１３２−ιは、例えば、第一出力情報計算部１２２０１−ιと第二出力情報計算部１２２０２−ιと鍵記憶部１１２０４−ιと制御部１１２０５−ιと第三出力情報計算部１３２０３−ιとを有する。
【０２１７】
＜復号処理＞
次に本形態の復号処理を説明する。第八実施形態との相違点を説明する。
図２５及び図２６に例示するように、第九実施形態の処理は第八実施形態のステップＳ１２１０３〜Ｓ１２１０５，Ｓ１２１０８，Ｓ１２２００〜Ｓ１２２０３が、それぞれ、ステップＳ１３１０３〜Ｓ１３１０５，Ｓ１３１０８，Ｓ１２２００〜Ｓ１２２０３及びＳ１３２０５〜Ｓ１３２０９に置換されたものである。以下ではステップＳ１３１０３〜Ｓ１３１０５，Ｓ１３１０８，Ｓ１２２００〜Ｓ１２２０３及びＳ１３２０５〜Ｓ１３２０９の処理を中心に説明する。
【０２１８】
《ステップＳ１３１０３の処理》
計算装置１３１（図１９）の入力情報提供部１３１０４は、入力された暗号文λιにそれぞれ対応する第一入力情報τι,1及び第二入力情報τι,2を生成して出力する（図２５／ステップＳ１３１０３）。
以下、図２７を用いて本形態のステップＳ１３１０３の処理を説明する。
【０２１９】
制御部１１１１３（図１９）は、自然数選択部１１１０２で選択された自然数（ａ（ι），ｂ（ι））に応じて入力情報提供部１３１０４を制御する。
【０２２０】
制御部１１１１３でｂが１であるかが判定され（ステップＳ１３１０３ａ）、ｂ≠１であると判定された場合、前述のステップＳ１２１０３ａ及びＳ１２１０３ｂの処理が実行され、ステップＳ１３１０３ｇに進む。
一方、ステップＳ１３１０３ａでｂ（ι）＝１であると判定された場合、第三乱数生成部１３１０４ｅが、０以上Ｋι,H未満の自然数の乱数ｒ（ι，３）を生成する。生成された乱数ｒ（ι，３）は第三入力情報計算部１３１０４ｆ及び第三計算部１３１０９に送られる（ステップＳ１３１０３ｂ）。第三入力情報計算部１３１０４ｆは、入力された乱数ｒ（ι，３）と暗号文λιとを用いてλι(ι,3)を計算し、これを第一入力情報τι,1とする（ステップＳ１３１０３ｃ）。その後、ステップＳ１３１０３ｇに進む。
【０２２１】
ステップＳ１３１０３ｇでは、制御部１１１１３でａ（ι）が１であるかが判定され（ステップＳ１３１０３ｇ）、ａ（ι）≠１であると判定された場合、前述のステップＳ１２１０３ｃ及びステップＳ１２１０３ｄの処理が実行される。
一方、ステップＳ１３１０３ｇでａ（ι）＝１であると判定された場合、第三乱数生成部１３１０４ｅが、０以上Ｋι,H未満の自然数の乱数ｒ（ι，３）を生成する。生成された乱数ｒ（ι，３）は第三入力情報計算部１３１０４ｆに送られる（ステップＳ１３１０３ｈ）。第三入力情報計算部１３１０４ｆは、入力された乱数ｒ（ι，３）と暗号文λιとを用いてλι(ι,3)を計算し、これを第二入力情報τι,2とする（ステップＳ１３１０３ｉ）。
【０２２２】
第一入力情報計算部１２１０４ｂ、第二入力情報計算部１２１０４ｄ、第三入力情報計算部１３１０４ｆは、以上のように生成した第一入力情報τι,1及び第二入力情報τι,2を対応する自然数（ａ（ι），ｂ（ι））の情報とともに出力する（ステップＳ１３１０３ｅ）。なお、本形態の第一入力情報τι,1及び第二入力情報τι,2は、それぞれ、乱数ｒ（ι，１），ｒ（ι，２），ｒ（ι，３）によって暗号文λιとの関係をかく乱させた情報である。これにより、計算装置１３１は、暗号文λιを能力提供装置１３２−ιに対して隠蔽できる。
【０２２３】
《Ｓ１２２００〜Ｓ１２２０３及びＳ１３２０５〜Ｓ１３２０９の処理》
以下、図２６を用いて本形態のＳ１２２００〜Ｓ１２２０３及びＳ１３２０５〜Ｓ１３２０９の処理を説明する。
制御部１１２０５−ι（図２０）は、入力された自然数（ａ（ι），ｂ（ι））に応じ、第一出力情報計算部１２２０１−ι、第二出力情報計算部１２２０２−ι、及び第三出力情報計算部１３２０３−ιを制御する。
【０２２４】
制御部１１２０５−ιの制御に基づき、ｂ（ι）≠１の場合の第一入力情報τι,1＝μι,hr(ι,1)λιb(ι)は能力提供装置１３２−ι（図２０）の第一出力情報計算部１２２０１−ιに入力され、ａ（ι）≠１の場合の第二入力情報τι,2＝μι,hr(ι,2)λιa(ι)は第二出力情報計算部１２２０２−ιに入力される。ｂ（ι）＝１の場合の第一入力情報τι,1＝λιr(ι,3)やａ（ι）＝１の場合の第二入力情報τι,2＝λιr(ι,3)は第三出力情報計算部１３２０３−ιに入力される（ステップＳ１３２００）。
【０２２５】
制御部１１１１３でｂ（ι）が１であるかが判定され（ステップＳ１３２０５）、ｂ（ι）≠１であると判定された場合、前述のステップＳ１２２０１の処理が実行される。その後、制御部１１１１３でａが１であるかが判定され（ステップＳ１３２０８）、ａ≠１であると判定された場合、前述したステップＳ１２２０２の処理が実行されてステップＳ１３２０３に進む。
【０２２６】
一方、ステップＳ１３２０８でａ（ι）＝１であると判定された場合、第三出力情報計算部１３２０３−ιは、第二入力情報τι,2＝λιr(ι,3)を用い、或る確率より大きな確率でｆι（λιr(ι,3)）を正しく計算し、得られた計算結果を第三出力情報ｚι,3とする。この計算結果は正しい場合もあれば正しくない場合もある。すなわち、第三出力情報計算部１３２０３−ιでの計算結果がｆι（λιr(ι,3)）となる場合もあれば、ｆι（λιr(ι,3)）とならない場合もある（ステップＳ１３２０９）。その後、ステップＳ１３２０３に進む。
【０２２７】
ステップＳ１３２０５でｂ（ι）＝１であると判定された場合、第三出力情報計算部１３２０３−ιは、第二入力情報τι,1＝λιr(ι,3)を用い、或る確率より大きな確率でｆι（λιr(ι,3)）を正しく計算し、得られた計算結果を第三出力情報ｚι,3とする。この計算結果は正しい場合もあれば正しくない場合もある。すなわち、第三出力情報計算部１３２０３−ιでの計算結果がｆι（λιr(ι,3)）となる場合もあれば、ｆι（λιr(ι,3)）とならない場合もある（ステップＳ１３２０６）。
【０２２８】
その後、制御部１１１１３でａ（ι）が１であるかが判定され（ステップＳ１３２０７）、ａ（ι）＝１であると判定された場合にはステップＳ１３２０３に進み、ａ（ι）≠１であると判定された場合にはステップＳ１２２０２に進む。
【０２２９】
ステップＳ１３２０３では、第一出力情報ｚι,1を生成した第一出力情報計算部１２２０１−ιは第一出力情報ｚι,1を出力し、第二出力情報ｚι,2を生成した第二出力情報計算部１２２０２−ιは第二出力情報ｚι,2を出力し、第三出力情報ｚι,3を生成した第三出力情報計算部１２２０２−ιは第三出力情報ｚι,3を出力する（ステップＳ１３２０３）
【０２３０】
《ステップＳ１３１０４及びＳ１３１０５の処理》
図２５に戻り、制御部１１１１３の制御のもと、第一出力情報ｚι,1は計算装置１３１（図１９）の第一計算部１２１０５に入力され、第二出力情報ｚι,2は第二計算部１２１０８に入力され、第三出力情報ｚι,3は第三計算部１３１０９に入力される（ステップＳ１３１０４）。
【０２３１】
ｂ（ι）≠１であれば、第一計算部１２１０５が、前述のステップＳ１２１０５の処理によってｕιを生成し、ｂ（ι）＝１であれば、第三計算部１３１０９が、ｚι,31/r(ι,3)を計算してその計算結果をｕιとする。計算結果ｕιは第一べき乗計算部１１１０６に送られる。ここで、ｂ（ι）＝１の場合、ｕι＝ｚι,31/r(ι,3)＝ｆι（λι）ｘι,3となる。すなわち、ｚι,31/r(ι,3)は、ｆι（λι）について誤差Ｘι,3を持つ標本器となる。その理由については後述する（ステップＳ１３１０５）。
【０２３２】
《ステップＳ１３１０８の処理》
ａ（ι）≠１であれば、第二計算部１２１０８が、前述のステップＳ１２１０８の処理によってｖιを生成し、ａ（ι）＝１であれば、第三計算部１３１０９が、ｚι,31/r(ι,3)を計算してその計算結果をｖιとする。計算結果ｖιは第二べき乗計算部１１１０９に送られる。ここで、ａ（ι）＝１の場合、ｖι＝ｚι,31/r(ι,3)＝ｆι（λι）ｘι,3となる。すなわち、ｚι,31/r(ι,3)は、ｆι（λι）について誤差Ｘι,3を持つ標本器となる。その理由については後述する（ステップＳ１３１０８）。
【０２３３】
なお、ｚι,31/r(ι,3)の計算、すなわちｚι,3のべき乗根の計算が困難な場合には、次のようにしてｕι及び／又はｖιを計算してもよい。第三計算部１３１０９は、乱数ｒ（ι，３）とその乱数ｒ（ι，３）に基づいて計算されたｚι,3の組を順次（α1，β1），（α2，β2），…，（αｍ（ι），βｍ（ι）），…として図示していない記憶部に記憶する。ｍ（ι）は１以上の自然数である。第三計算部１３１０９は、α1，α2，…，αm(ι)の最小公倍数が１になれば、γ1，γ2，…，γｍ（ι）を整数としてγ１α１＋γ2α2＋…＋γm(ι)αm(ι)＝１となるγ1，γ2，…，γm(ι)を計算して、そのγ1，γ2，…，γｍ（ι）を用いてΠi=1m(ι)βiγi＝β1γ1β2γ2…βm(ι)γm(ι)を計算して、その計算結果をｕι及び／又はｖιとしてもよい。なお、この出願において、αを第一の文字、βを第二の文字、γを数字として、αβγと表記した場合には、そのβγはβγ、すなわちβの下付きγを意味する。
【０２３４】
≪ｚι,31/r(ι,3)がｆι（λι）について誤差Ｘι,3を持つ標本器となる理由について≫
Ｒ及びＲ’を乱数として、能力提供装置１３２−ιがλRを用いて行う計算の計算結果をＢ（λR）とする。すなわち、第一出力情報計算部１２２０１−ιや第二出力情報計算部１２２０２−ιや第三出力情報計算部１３２０３−ιが計算装置１３１に返す計算結果をｚ＝Ｂ（λR）とする。さらに、群Ｇに値を持つ確率変数ＸをＸ＝Ｂ（λR）1/Rｆ（λ）-1と定義する。
【０２３５】
このとき、ｚ1/R＝Ｂ（λR）1/R＝Ｘｆ（λ）＝ｆ（λ）Ｘとなる。すなわち、ｚ1/Rは、ｆ（λ）について誤差Ｘを持つ標本器となる。
上記式展開において、Ｘ＝Ｂ（λR）1/Rｆ（λR）-1であり、Ｂ（λR）1/R＝Ｘｆ（λR）であるという性質を用いている。この性質は、Ｒ及びＲ’が乱数であることに基づく。
したがって、ｒ（ι，３）が乱数であることを考慮すると、同様に、ｚι,31/r(ι,3)がｆι（λι）について誤差Ｘι,3を持つ標本器となるのである。
【０２３６】
［第十実施形態］
第十実施形態の代理計算システムは、上述した第一乱数化可能標本器及び第二乱数化可能標本器を具体化した他の例である。具体的には、Ｈι＝Ｇι×Ｇι、復号関数ｆιがＥｌＧａｍａｌ暗号の復号関数、すなわち復号鍵ｓι及び暗号文λι＝（ｃι,1，ｃι,2）に対してｆι（ｃι,1，ｃι,2）＝ｃι,1・ｃι,2-sιである場合の第一乱数化可能標本器及び第二乱数化可能標本器の例を具体化したものである。以下、第七実施形態と異なる部分を中心に説明し、復号制御処理などの共通する部分については重複説明を省略する。
【０２３７】
図１８に例示するように、第十実施形態の代理計算システム１０４は、計算装置１１１が計算装置１４１に置換され、能力提供装置１１２−１，・・・，１１２−Γが能力提供装置１４２−１，・・・，１４２−Γに置換されたものである。
【０２３８】
図１９に例示するように、第十実施形態の計算装置１４１は、例えば、自然数記憶部１１１０１と自然数選択部１１１０２と整数計算部１１１０３と入力情報提供部１４１０４と第一計算部１４１０５と第一べき乗計算部１１１０６と第一リスト記憶部１１１０７と第二計算部１４１０８と第二べき乗計算部１１１０９と第二リスト記憶部１１１１０と判定部１１１１１と最終出力部１１１１２と制御部１１１１３とを有する。図２３に例示するように、本形態の入力情報提供部１４１０４は、例えば、第四乱数生成部１４１０４ａと第五乱数生成部１４１０４ｂと第一入力情報計算部１４１０４ｃと第六乱数生成部１４１０４ｄと第七乱数生成部１４１０４ｅと第二入力情報計算部１４１０４ｆとを有する。第一入力情報計算部１４１０４ｃは、例えば、第四入力情報計算部１４１０４ｃａと第五入力情報計算部１４１０４ｃｂとを有し、第二入力情報計算部１４１０４ｆは、第六入力情報計算部１４１０４ｆａと第七入力情報計算部１４１０４ｆｂとを有する。
【０２３９】
図２０に例示するように、第十実施形態の能力提供装置１４２−ιは、例えば、第一出力情報計算部１４２０１−ιと第二出力情報計算部１４２０２−ιと鍵記憶部１１２０４−ιと制御部１１２０５−ιとを有する。能力提供装置１４２−（ι＋１），・・・，４２−Γが存在する場合、これらの構成は能力提供装置１４２−ιと同様である。
【０２４０】
＜復号処理＞
次に本形態の復号処理を説明する。第十実施形態では、群Ｈιが群Ｇιの直積群Ｇι×Ｇι、群Ｇιが巡回群、暗号文λι＝（ｃι,1，ｃι,2）∈Ｈιであり、ｆι（ｃι,1，ｃι,2）が準同型関数であり、群Ｇιの生成元をμι,gとし、群Ｇιの位数をＫι，Ｇとし、同じ復号鍵ｓιに対する暗号文（Ｖι，Ｗι）∈Ｈιとその暗号文を復号した復号文ｆι（Ｖι，Ｗι）＝Ｙι∈Ｇιとの組が計算装置１４１及び能力提供装置１４２−ιに事前設定され、計算装置１４１及び能力提供装置１４２−ιがこの組を利用可能とされているものとする。
図２５及び図２６に例示するように、第十実施形態の処理は第七実施形態のステップＳ１１１０３〜Ｓ１１１０５，Ｓ１１１０８，Ｓ１１２００〜Ｓ１１２０３が、それぞれ、ステップＳ１４１０３〜Ｓ１４１０５，Ｓ１４１０８，Ｓ１４２００〜Ｓ１４２０３に置換されたものである。以下ではステップＳ１４１０３〜Ｓ１４１０５，Ｓ１４１０８，Ｓ１４２００〜Ｓ１４２０３の処理のみを説明する。
【０２４１】
《ステップＳ１４１０３の処理》
計算装置１４１（図１９）の入力情報提供部１４１０４は、入力された暗号文λι＝（ｃι,1，ｃι,2）に対応する第一入力情報τι,1及び暗号文λι＝（ｃι,1，ｃι,2）に対応する第二入力情報τι,2を生成して出力する（図２５／ステップＳ１４１０３）。以下、図２８を用いて本形態のステップＳ１４１０３の処理を説明する。
【０２４２】
第四乱数生成部１４１０４ａ（図２３）は、０以上Ｋι,G未満の自然数の一様乱数ｒ（ι，４）を生成する。生成された乱数ｒ（ι，４）は、第四入力情報計算部１４１０４ｃａ、第五入力情報計算部１４１０４ｃｂ、及び第一計算部１４１０５に送られる（ステップＳ１４１０３ａ）。第五乱数生成部１４１０４ｂは、０以上Ｋι，Ｇ未満の自然数の一様乱数ｒ（ι，５）を生成する。生成された乱数ｒ（ι，５）は、第五入力情報計算部１４１０４ｃｂ、及び第一計算部１４１０５に送られる（ステップＳ１４１０３ｂ）。
【０２４３】
第四入力情報計算部１４１０４ｃａは、自然数選択部１１１０２で選択された自然数ｂ（ι）、暗号文λιが含むｃι,2、及び乱数ｒ（ι，４）を用い、第四入力情報ｃι,2b(ι)Ｗιr(ι,4)を計算する（ステップＳ１４１０３ｃ）。第五入力情報計算部１４１０４ｃｂは、自然数選択部１１１０２で選択された自然数ｂ（ι）、暗号文λιが含むｃι,1、及び乱数ｒ（ι，４），ｒ（ι，５）を用い、第五入力情報ｃι,1b(ι)Ｖιr(ι,4)μι,gr(ι,5)を計算する（ステップＳ１４１０３ｄ）。
【０２４４】
第六乱数生成部１４１０４ｄは、０以上Ｋι,G未満の自然数の一様乱数ｒ（ι，６）を生成する。生成された乱数ｒ（ι，６）は、第六入力情報計算部１４１０４ｆａ、第七入力情報計算部１４１０４ｆｂ、及び第二計算部１４１０８に送られる（ステップＳ１４１０３ｅ）。第七乱数生成部１４１０４ｅは、０以上ＫG未満の自然数の一様乱数ｒ（ι，７）を生成する。生成された乱数ｒ（ι，７）は、第七入力情報計算部１４１０４ｆｂ、及び第二計算部１４１０８に送られる（ステップＳ１４１０３ｆ）。
【０２４５】
第六入力情報計算部１４１０４ｆａは、自然数選択部１１１０２で選択された自然数ａ（ι）、暗号文λιが含むｃι,2、及び乱数ｒ（ι，６）を用い、第六入力情報ｃι,2a(ι)Ｗιr(ι,6)を計算する（ステップＳ１４１０３ｇ）。第七入力情報計算部１４１０４ｆｂは、自然数選択部１１１０２で選択された自然数ａ（ι）、暗号文λιが含むｃι,1、及び乱数ｒ（ι，６），ｒ（ι，７）を用い、第七入力情報ｃι,1a(ι)Ｖιr(ι,6)μι,gr(ι,7)を計算する（ステップＳ１４１０３ｈ）。
【０２４６】
第一入力情報計算部１４１０４ｃは、以上のように生成した第四入力情報ｃι,2b(ι)Ｗιr(ι,4)及び第五入力情報ｃι,1b(ι)Ｖιr(ι,4)μι,gr(ι,5)を第一入力情報τι,1＝（ｃι,2b(ι)Ｗιr(ι,4)，ｃι,1b(ι)Ｖιr(ι,4)μι,gr(ι,5)）として出力する。第二入力情報計算部１４１０４ｆは、以上のように生成した第六入力情報ｃι,2a(ι)Ｗιr(ι,6)及び第七入力情報ｃι,1a(ι)Ｖιr(ι,6)μι,gr(ι,7)を第二入力情報τι,2＝（ｃι,2a(ι)Ｗιr(ι,6)，ｃι,1a(ι)Ｖιr(ι,6)μι,gr(ι,7)）として出力する（ステップＳ１４１０３ｉ）。
【０２４７】
《ステップＳ１４２００〜Ｓ１４２０３の処理》
図２６に例示するように、まず、第一入力情報τι,1＝（ｃι,2b(ι)Ｗιr(ι,4)，ｃι,1b(ι)Ｖιr(ι,4)μι,gr(ι,5)）が能力提供装置１４２−ι（図２０）の第一出力情報計算部１４２０１−ιに入力され、第二入力情報τι,2＝（ｃι,2a(ι)Ｗιr(ι,6)，ｃι,1a(ι)Ｖιr(ι,6)μι,gr(ι,7)）が第二出力情報計算部１４２０２−ιに入力される（ステップＳ１４２００）。
【０２４８】
第一出力情報計算部１４２０１−ιは、第一入力情報τι,1＝（ｃι,2b(ι)Ｗιr(ι,4)，ｃι,1b(ι)Ｖιr(ι,4)μι,gr(ι,5)）と鍵記憶部１１２０４−ιに記憶された復号鍵ｓιとを用い、或る確率より大きな確率でｆι（ｃι,1b(ι)Ｖιr(ι,4)μι,gr(ι,5)，ｃι,2b(ι)Ｗιr(ι,4)）を正しく計算し、計算結果を第一出力情報ｚι,1とする。この計算結果は正しい場合もあれば正しくない場合もある。すなわち、第一出力情報計算部１４２０１−ιでの計算結果がｆι（ｃι,1b(ι)Ｖιr(ι,4)μι,gr(ι,5)，ｃι,2b(ι)Ｗιr(ι,4)）となる場合もあれば、ｆι（ｃι,1b(ι)Ｖιr(ι,4)μι,gr(ι,5)，ｃι,2b(ι)Ｗιr(ι,4)）とならない場合もある（ステップＳ１４２０１）。
【０２４９】
第二出力情報計算部１４２０２−ιは、第二入力情報τι,2＝（ｃι,2a(ι)Ｗιr(ι,6)，ｃι,1a(ι)Ｖιr(ι,6)μι,gr(ι,7)）と鍵記憶部１１２０４に記憶された復号鍵ｓιとを用い、或る確率より大きな確率でｆι（ｃι,1a(ι)Ｖιr(ι,6)μι,gr(ι,7)，ｃι,2a(ι)Ｗιr(ι,6)）を正しく計算可能であり、得られた計算結果を第二出力情報ｚι,2とする。この計算結果は正しい場合もあれば正しくない場合もある。すなわち、第二出力情報計算部１４２０２−ιでの計算結果がｆι（ｃι,1a(ι)Ｖιr(ι,6)μι,gr(ι,7)，ｃι,2a(ι)Ｗιr(ι,6)）となる場合もあれば、ｆι（ｃι,1a(ι)Ｖιr(ι,6)μι,gr(ι,7)，ｃι,2a(ι)Ｗιr(ι,6)）とならない場合もある（ステップＳ１４２０２）。
【０２５０】
第一出力情報計算部１４２０１−ιは第一出力情報ｚι,1を出力し、第二出力情報計算部１４２０２−ιは第二出力情報ｚι,2を出力する（ステップＳ１４２０３）。
【０２５１】
《ステップＳ１４１０４及びＳ１４１０５の処理》
図２５に戻り、第一出力情報ｚι,1は計算装置１４１（図１９）の第一計算部１４１０５に入力され、第二出力情報ｚι,2は第二計算部１４１０８に入力される（ステップＳ１４１０４）。
【０２５２】
第一計算部１４１０５は、入力された第一出力情報ｚι,1及び乱数ｒ（ι，４），ｒ（ι，５）を用い、ｚι,1Ｙι-r(ι,4)μι,g-r(ι,5)を計算してその計算結果をｕιとする（ステップＳ１４１０５）。計算結果ｕιは、第一べき乗計算部１１１０６に送られる。ここで、ｕι＝ｚι,1Ｙι-r(ι,4)μι,g-r(ι,5)＝ｆι（ｃι,1，ｃι,2）b(ι)ｘι,1となる。すなわち、ｚι,1Ｙι-r(ι,4)μι,g-r(ι,5)は、ｆι（ｃι,1，ｃι,2）について誤差Ｘι,1を持つ乱数化可能標本器の出力となる。その理由については後述する。
【０２５３】
《ステップＳ１４１０８の処理》
第二計算部１４１０８は、入力された第二出力情報ｚι,2及び乱数ｒ（ι，６），ｒ（ι，７）を用い、ｚι,2Ｙι-r(ι,6)μι,g-r(ι,7)を計算してその計算結果をｖιとする。計算結果ｖιは、第二べき乗計算部１１１０９に送られる。ここで、ｖι＝ｚι,2Ｙι-r(ι,6)μι,g-r(ι,7)＝ｆι（ｃι,1，ｃι,2）a(ι)ｘι，2となる。すなわち、ｚι,2Ｙι-r(ι,6)μι,g-r(ι,7)は、ｆι（ｃι,1，ｃι,2）について誤差Ｘι,2を持つ乱数化可能標本器の出力となる。その理由については後述する。
【０２５４】
≪ｚι,1Ｙι-r(ι,4)μι,g-r(ι,5)，ｚι,2Ｙι-r(ι,6)μι,g-r(ι,7)がｆι（ｃι,1，ｃι,2）についてそれぞれ誤差Ｘι,1，Ｘι,2を持つ乱数化可能標本器の出力となる理由について≫
ｃを自然数、Ｒ1、Ｒ2、Ｒ1’及びＲ2’を乱数として、能力提供装置１４２−ιがｃ1cＶR1μgR2及びｃ2cＷR1を用いて行う計算の計算結果をＢ（ｃ1cＶR1μgR2，ｃ2cＷR1）とする。すなわち、第一出力情報計算部１４２０１−ιや第二出力情報計算部１４２０２−ιが計算装置１４１に返す計算結果をｚ＝Ｂ（ｃ1cＶR1μgR2，ｃ2cＷR1）とする。さらに、群Ｇに値を持つ確率変数ＸをＸ＝Ｂ（ＶR1’μgR2’，ＷR1’）ｆ（ＶR1’μgR2’，ＷR1’）-1と定義する。
【０２５５】
このとき、ｚＹ-R1μg-R2＝Ｂ（ｃ1cＶR1μgR2，ｃ2cＷR1）Ｙ-R1μg-R2＝Ｘｆ（ｃ1cＶR1μgR2，ｃ2cＷR1）Ｙ-R1μg-R2＝Ｘｆ（ｃ1，ｃ2）cｆ（Ｖ，Ｗ）R1ｆ（μg，ｅg）R2Ｙ-R1μg-R2＝Ｘｆ（ｃ1，ｃ2）cＹR1μgR2Ｙ-R1μg-R2＝ｆ（ｃ1，ｃ2）cＸとなる。すなわち、ｚＹ-R1μg-R2は、ｆ（ｘ）について誤差Ｘを持つ乱数化可能標本器の出力となる。なお、ｅgは、群Ｇの単位元である。
【０２５６】
上記式展開において、Ｘ＝Ｂ（ＶR1’μgR2’，ＷR1’）ｆ（ＶR1’μgR2’，ＷR1’）-1＝Ｂ（ｃ1cＶR1μgR2，ｃ2cＷR1）ｆ（ｃ1cＶR1μgR2，ｃ2cＷR1）であり、Ｂ（ｃ1cＶR1μｇR2，ｃ2cＷR1）＝Ｘｆ（ｃ1cＶR1μgR2，ｃ2cＷR1）であるという性質を用いている。この性質は、Ｒ１、Ｒ２、Ｒ１’及びＲ２’が乱数であることに基づく。
【０２５７】
したがって、ａ（ι），ｂ（ι）が自然数、ｒ（ι，４），ｒ（ι，５），ｒ（ι，６）及びｒ（ι，７）が乱数であることを考慮すると、同様に、ｚι,1Ｙι-r(ι,4)μι,g-r(ι,5)，ｚι,2Ｙι-r(ι,6)μι,g-r(ι,7)がｆι（ｃι,1，ｃι,2）についてそれぞれ誤差Ｘι,1，Ｘι,2を持つ乱数化可能標本器の出力となるのである。
【０２５８】
［第十一実施形態］
上述の第七実施形態から第十実施形態では、計算装置の自然数記憶部１１１０１に、互いに素である２つの自然数ａ（ι），ｂ（ι）の組（ａ（ι），ｂ（ι））が複数種類記憶され、これらの組（ａ（ι），ｂ（ι））を用いて各処理が実行されることとした。しかしながら、ａ（ι），ｂ（ι）の一方が定数であってもよい。例えば、ａ（ι）が１に固定されていてもよいし、ｂ（ι）が１に固定されていてもよい。ιごとに自然数ａ（ι），ｂ（ι）のどちらが定数であるかが異なっていてもよい。言い換えると、第一乱数化可能標本器又は第二乱数化可能標本器の一方が標本器に置換されていてもよい。ａ（ι），ｂ（ι）の一方が定数である場合、定数とされたａ（ι）又はｂ（ι）を選択する処理が不要となり、各処理部は定数とされたａ（ι）又はｂ（ι）が入力されることなく、それを定数として扱って計算を行うことができる。定数とされたａ（ι）又はｂ（ι）が１である場合には、ａ’（ι）やｂ’（ι）を用いることなく、ｆι（λι）＝ｕιb’(ι)ｖιa’(ι)をｆι（λι）＝ｖι又はｆι（λι）＝ｕιとして得ることができる。
【０２５９】
第十一実施形態は、そのような変形の一例であり、ｂ（ι）が１に固定され、第二乱数化可能標本器が標本器に置換された形態である。以下では、第七実施形態との相違点を中心に説明し、復号制御処理などの第七実施形態と共通する事項については説明を省略する。第一乱数化可能標本器や標本器の具体例も、第八実施形態から第十実施形態で説明したのと同様であるため、説明を省略する。
【０２６０】
＜構成＞
図１８に例示するように、第十一実施形態の代理計算システム１０５は、第七実施形態の計算装置１１１が計算装置１５１に置換され、能力提供装置１１２−１，・・・，１１２−Γが能力提供装置１５２−１，・・・，１５２−Γに置換されたものである。
【０２６１】
図２９に例示するように、第十一実施形態の計算装置１５１は、例えば、自然数記憶部１５１０１と自然数選択部１５１０２と入力情報提供部１５１０４と第一計算部１５１０５と第一べき乗計算部１１１０６と第一リスト記憶部１１１０７と第二計算部１５１０８と第二リスト記憶部１５１１０と判定部１５１１１と最終出力部１５１１２と制御部１１１１３とを有する。
図２０に例示するように、第十一実施形態の能力提供装置１５２−ιは、例えば、第一出力情報計算部１５２０１−ιと第二出力情報計算部１５２０２−ιと鍵記憶部１１２０４−ιと制御部１１２０５−ιとを有する。能力提供装置１５２−（ι＋１），・・・，５２−Γが存在する場合、これらの構成は能力提供装置１５２−ιと同様である。
【０２６２】
＜復号処理＞
次に本形態の復号処理を説明する。復号処理の前提として、Ｇι，Ｈιを群（例えば、可換群）、ｆι（λι）を群Ｈιの元である暗号文λιを特定の復号鍵ｓιで復号して群Ｇιの元を得るための復号関数、群Ｇι，Ｈιの生成元をそれぞれμι,g，μι,h、Ｘι,1，Ｘι,2を群Ｇιに値を持つ確率変数、確率変数Ｘι,1の実現値をｘι,1、確率変数Ｘι,2の実現値をｘι,2とする。計算装置１５１の自然数記憶部１５１０１には、自然数ａ（ι）が複数種類記憶されているものとする。
【０２６３】
図３０に例示するように、まず、計算装置１５１（図２９）の自然数選択部１５１０２が、自然数記憶部１５１０１に記憶された複数の自然数ａ（ι）から１つの自然数ａ（ι）をランダムに読み込む。読み込まれた自然数ａ（ι）の情報は、入力情報提供部１５１０４及び第一べき乗計算部１１１０６に送られる（ステップＳ１５１００）。
【０２６４】
制御部１１１１３は、ｔι＝１とする（ステップＳ１１１０２）。
入力情報提供部１５１０４は、入力された暗号文λιにそれぞれ対応する第一入力情報τι,1及び第二入力情報τι,2を生成して出力する。好ましくは、第一入力情報τι,1及び第二入力情報τι,2はそれぞれ暗号文λιとの関係をかく乱させた情報である。これにより、計算装置１５１は、暗号文λιを能力提供装置１５２−ιに対して隠蔽できる。好ましくは、本形態の第二入力情報τι,2は自然数選択部１５１０２で選択された自然数ａ（ι）にさらに対応する。これにより、能力提供装置１５２−ιから提供された復号能力を計算装置１５１が高い精度で評価できる（ステップＳ１５１０３）。第一入力情報τι,1及び第二入力情報τι,2の組みの具体例は、第八実施形態から第十実施形態の何れかのｂ（ι）＝１とした第一入力情報τι,1及び第二入力情報τι,2の組みである。
【０２６５】
図２６に例示するように、第一入力情報τι,1は能力提供装置１５２−ι（図２０）の第一出力情報計算部１５２０１−ιに入力され、第二入力情報τι,2は第二出力情報計算部１５２０２−ιに入力される（ステップＳ１５２００）。
【０２６６】
第一出力情報計算部１５２０１−ιは、第一入力情報τι,1と鍵記憶部１１２０４−ιに記憶された復号鍵ｓιとを用い、或る確率より大きな確率でｆι（τι,1）を正しく計算し、得られた計算結果を第一出力情報ｚι,1とする（ステップＳ１５２０１）。第二出力情報計算部１５２０２−ιは、第二入力情報τι,2と鍵記憶部１１２０４−ιに記憶された復号鍵ｓιとを用い、或る確率より大きな確率でｆι（τι,2）を正しく計算し、得られた演算結果を第二出力情報ｚι,2とする（ステップＳ１５２０２）。すなわち、第一出力情報計算部１５２０１−ιや第二出力情報計算部１５２０２−ιは、意図的又は意図的ではない誤差を含んだ計算結果を出力する。言い換えると、第一出力情報計算部１５２０１−ιでの計算結果がｆι（τι,1）の場合もあればｆι（τι,1）でない場合もあり、第二出力情報計算部１５２０２−ιでの計算結果がｆι（τι,2）の場合もあればｆι（τι,2）でない場合もある。第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2の組の具体例は、第八実施形態から第十実施形態の何れかのｂ（ι）＝１とした第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2の組である。
【０２６７】
第一出力情報計算部１５２０１−ιは第一出力情報ｚι,1を出力し、第二出力情報計算部１５２０２−ιは第二出力情報ｚι,2を出力する（ステップＳ１５２０３）。
【０２６８】
図３０に戻り、第一出力情報ｚι,1は計算装置１５１（図２９）の第一計算部１５１０５に入力され、第二出力情報ｚι,2は第二計算部１５１０８に入力される。これらの第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2が、能力提供装置１５２−ιから計算装置１５１に与えられた復号能力に相当する（ステップＳ１５１０４）。
【０２６９】
第一計算部１５１０５は、第一出力情報ｚι,1から演算結果ｕι＝ｆι（λι）ｘι,1を生成する。演算結果ｕιの具体例は、第八実施形態から第十実施形態の何れかのｂι＝１とした演算結果ｕιである。演算結果ｕιは第一べき乗計算部１１１０６に送られる（ステップＳ１５１０５）。
【０２７０】
第一べき乗計算部１１１０６はｕι’＝ｕιa(ι)を計算する。計算結果ｕιとその計算結果に基づいて計算されたｕι’との組（ｕι，ｕι’）は、第一リスト記憶部１１１０７に記憶される（ステップＳ１１１０６）。
【０２７１】
第二計算部１５１０８は、第二出力情報ｚι,2から演算結果ｖι＝ｆι（λι）a(ι)ｘι,2を生成する。演算結果ｖιの具体例は、第八実施形態から第十実施形態の何れかの演算結果ｖιである。演算結果ｖιは第二リスト記憶部１５１１０に記憶される（ステップＳ１５１０８）。
【０２７２】
判定部１５１１１は、第一リスト記憶部１１１０７に記憶された組（ｕι，ｕι’）及び第二リスト記憶部１５１１０に記憶されたｖιの中で、ｕι’＝ｖιとなるものがあるか判定する（ステップＳ１５１１０）。ｕι’＝ｖιとなるものがあった場合には、ステップＳ１５１１４に進む。ｕι’＝ｖιとなるものがなかった場合には、ステップＳ１１１１１に進む。
【０２７３】
ステップＳ１１１１１では、制御部１１１１３がｔι＝Ｔιであるか判定する（ステップＳ１１１１１）。Ｔιは予め定められた自然数である。ｔι＝Ｔιであれば、最終出力部１５１１２が、計算をすることができなかった旨の情報、例えば記号「⊥」を出力して（ステップＳ１１１１３）、処理を終える。ｔι＝Ｔιでない場合には、制御部１１１１３は、ｔιを１だけインクリメント、すなわちｔι＝ｔι＋１として（ステップＳ１１１１２）、ステップＳ１５１０３に戻る。
【０２７４】
ステップＳ１５１１４では、最終出力部１５１１２が、ｕι’＝ｖιであると判定されたｕι’に対応するｕιを出力する（ステップＳ１５１１４）。このように得られたｕιは、第七実施形態から第十実施形態でｂ（ι）＝１とした場合のｕιb’(ι)ｖιa’(ι)に相当する。すなわち、このように得られたｕιは高い確率で暗号文λιを特定の復号鍵ｓιで復号した復号結果ｆι（λι）となる。よって、上述した処理を複数回繰り返し、ステップＳ１５１１４で得られた値のうち最も頻度の高い値を復号結果ｆι（λι）とすればよい。後述するように、設定によっては圧倒的な確率でｕι＝ｆι（λι）となる。その場合にはステップＳ１５１１４で得られた値をそのまま復号結果ｆι（λι）としてよい。その後の処理は第七実施形態で説明したとおりである。
【０２７５】
≪復号結果ｆι（λι）が得られる理由について≫
次に、本形態の計算装置１５１で復号結果ｆι（λι）が得られる理由を説明する。ここでは表記の簡略化のためιを省略して説明する。まず、説明に必要な事項を定義する。
【０２７６】
ブラックボックス（black-box）：
ｆ（τ）のブラックボックスＦ（τ）とは、τ∈Ｈを入力としてｚ∈Ｇを出力する処理部を意味する。本形態では、第一出力情報計算部１５２０１及び第二出力情報計算部１５２０２が、それぞれ復号関数ｆ（τ）のブラックボックスＦ（τ）に相当する。群Ｈから任意に選択された元τ∈UＨ及びｚ＝Ｆ（τ）に対してｚ＝ｆ（τ）を満たす確率がδ（０＜δ≦１）よりも大きい場合、すなわち、
Ｐｒ［ｚ＝ｆ（τ）｜τ∈UＨ，ｚ＝Ｆ（τ）］＞δ…(8)
を満たすｆ（τ）のブラックボックスＦ（τ）のことを、信頼性δ（δ-reliable）のｆ（τ）のブラックボックスＦ（τ）という。なお、δは正の値であり、前述した「或る確率」に相当する。
【０２７７】
自己訂正器（self-corrector）：
自己訂正器ＣF（λ）とは、λ∈Ｈを入力とし、ｆ（τ）のブラックボックスＦ（τ）を用いて計算を行い、ｊ∈Ｇ∪⊥を出力する処理部を意味する。本形態では、計算装置１５１が自己訂正器ＣF（λ）に相当する。
【０２７８】
オールモスト自己訂正器（almost self-corrector）：
自己訂正器ＣＦ（λ）が、λ∈Ｈを入力とし、δ-reliableのｆ（τ）のブラックボックスＦ（τ）を用い、正しい値ｊ＝ｆ（λ）を出力する確率が、誤った値ｊ≠ｆ（λ）を出力する確率よりも十分大きい場合を想定する。すなわち、
Ｐｒ［ｊ＝ｆ（λ）｜ｊ＝ＣF（λ），ｊ≠⊥］
＞Ｐｒ［ｊ≠ｆ（λ）｜ｊ＝ＣF（λ），ｊ≠⊥］＋Δ…(9)
を満たす場合を想定する。なお、Δは或る正の値（０＜Δ＜１）である。このような場合、自己訂正器ＣF（λ）はオールモスト自己訂正器であるという。例えば、或る正の値Δ’（０＜Δ’＜１）に対して
Ｐｒ［ｊ＝ｆ（λ）｜ｊ＝ＣF（λ）］＞（１／３）＋Δ’
Ｐｒ［ｊ＝⊥｜ｊ＝ＣF（λ）］＜１／３
Ｐｒ［ｊ≠ｆ（λ）かつｊ≠⊥｜ｊ＝ＣF（λ）］＜１／３
を満たす場合、自己訂正器ＣF（λ）はオールモスト自己訂正器である。Δ’の例はΔ’＝１／１２や１／３である。
【０２７９】
ローバスト自己訂正器（robust self-corrector）：
自己訂正器ＣF（λ）が、λ∈Ｈを入力とし、δ-reliableのｆ（τ）のブラックボックスＦ（τ）を用い、正しい値ｊ＝ｆ（λ）又はｊ＝⊥を出力する確率が圧倒的である場合を想定する。すなわち、無視することができる誤差ξ（０≦ξ＜１）に対して
Ｐｒ［ｊ＝ｆ（λ）またはｊ＝⊥｜ｊ＝ＣF（λ）］＞１−ξ…(10)
を満たす場合を想定する。このような場合、自己訂正器ＣＦ（λ）はローバスト自己訂正器であるという。なお、無視することができる誤差ξの例は、セキュリティパラメータｋの関数値ξ（ｋ）である。関数値ξ（ｋ）の例は、任意の多項式ｐ（ｋ）について、十分大きいｋに対して｛ξ（ｋ）ｐ（ｋ）｝が０に収束するものである。関数値ξ（ｋ）の具体例は、ξ（ｋ）＝２-kやξ（ｋ）＝２-√kなどである。
【０２８０】
オールモスト自己訂正器からローバスト自己訂正器を構成することができる。すなわち、同一のλに対してオールモスト自己訂正器を複数回実行させ、⊥を除いて最も頻度が高い出力値をｊとすることで、ローバスト自己訂正器を構成できる。例えば、同一のλに対してオールモスト自己訂正器をＯ（ｌｏｇ（１／ξ））回実行させ、最も頻度が高い出力値をｊとすることで、ローバスト自己訂正器を構成できる。なお、Ｏ（・）はオー記法を表す。
【０２８１】
擬似自由（pseudo-free）な作用：
群Ｇ、自然数の集合Ω＝｛０，．．．，Ｍ｝（Ｍは１以上の自然数）、群Ｇに値を持つ確率変数Ｘ1，Ｘ2の各実現値α∈Ｘ1（α≠ｅg），β∈Ｘ2、及びａ∈Ωについて、αa＝βとなる確率
Ｐｒ［αa＝βかつα≠ｅg｜ａ∈UΩ，α∈Ｘ1，β∈Ｘ2］…(11)
について、あらゆる可能なＸ1，Ｘ2に関する上限値を、組（Ｇ，Ω）の疑似自由指標とよび、これをＰ（Ｇ，Ω）と表すことにする。ある無視することができる関数ζ（ｋ）が存在して、
Ｐ（Ｇ，Ω）＜ζ（ｋ）…(12)
である場合、組（Ｇ，Ω）によって定義される演算は擬似自由な作用であるという。なお、「αa」は、群Ｇで定義された演算をαに対してａ回作用させることを意味する。無視することができる関数ζ（ｋ）の例は、任意の多項式ｐ（ｋ）について、十分大きいｋに対して｛ζ（ｋ）ｐ（ｋ）｝が０に収束するものである。関数ζ（ｋ）の具体例は、ζ（ｋ）＝２-kやζ（ｋ）＝２-√kなどである。例えば、セキュリティパラメータｋに対し、式（１１）の確率がＯ（２−k）未満である場合、組（Ｇ，Ω）によって定義される演算は擬似自由な作用である。例えば、任意の∀α∈Ｇでα≠ｅｇであるものについて、集合Ω・α＝｛ａ（α）｜ａ∈Ω｝の要素数｜Ω・α｜が２kを超える場合、組（Ｇ，Ω）によって定義される演算は擬似自由な作用といえる。なお、ａ（α）は、ａとαに所定の演算を作用させた結果を表す。このような具体例は数多く存在する。例えば、群Ｇが素数ｐを法とする剰余群Ｚ／ｐＺであり、素数ｐが２kのオーダーであり、集合Ω＝｛０，．．．，ｐ−２｝であり、ａ（α）がαa∈Ｚ／ｐＺであり、α≠ｅgである場合、Ω・α＝｛αａ｜ａ＝０，．．．，ｐ−２｝＝｛ｅg，α1，．．．，αp-2｝となり、｜Ω・α｜＝ｐ−１である。素数ｐが２kのオーダーであるため、ある定数Ｃが存在して、ｋが十分大きければ｜Ω・α｜＞Ｃ２kを満たす。ここで式（１１）の確率はＣ-1２-k未満であり、このような組（Ｇ，Ω）によって定義される演算は擬似自由な作用である。
【０２８２】
信頼性δγ（δγ-reliable）の乱数化可能標本器：
自然数ａが与えられるたびに、δ-reliableのｆ（τ）のブラックボックスＦ（τ）を用い、ｗ∈Ｇについて、確率変数Ｘに従った標本ｘ’に対応するｗaｘ’を返す乱数化可能標本器であって、ｗaｘ’＝ｗaである確率がδγよりも大きい（γは正定数）、すなわち、
Ｐｒ［ｗaｘ’＝ｗa］＞δγ…(13)
を満たすものを、信頼性δγな乱数化可能標本器という。本形態の入力情報提供部１５１０４と第二出力情報計算部１５２０２と第二計算部１５１０８との組は、ｗ＝ｆ（λ）について、信頼性δγな乱数化可能標本器である。
【０２８３】
次に、これらの定義を用い、本形態の計算装置１５１で復号結果ｆ（λ）が得られる理由を説明する。
本形態のステップＳ１５１１０ではｕ’＝ｖであるか、すなわち、ｕa＝ｖであるかを判定している。本形態の入力情報提供部１５１０４と第二出力情報計算部１５２０２と第二計算部１５１０８との組は信頼性δγな乱数化可能標本器であるため（式（１３））、Ｔをｋ，δ，γから定まる一定値よりも大きい値とすれば、漸近的に大きい確率でｕa＝ｖが成立する（ステップＳ１５１１０でｙｅｓとなる）場合が生じる。たとえば、Ｔ≧４／δγとすれば、ｕa＝ｖが成立する（ステップＳ１５１１０でｙｅｓとなる）確率は１／２よりも大きいことがＭａｒｋｏｖの不等式によってわかる。
【０２８４】
本形態ではｕ＝ｆ（λ）ｘ1及びｖ＝ｆ（λ）aｘ2なのであるから、ｕa＝ｖが成立する場合にはｘ1a＝ｘ2が成立する。ｘ1a＝ｘ2が成立する場合には、ｘ1＝ｘ2＝ｅgである場合とｘ1≠ｅgである場合とがある。ｘ1＝ｘ2＝ｅgである場合には、ｕ＝ｆ（λ）となるのであるから、ステップＳ１５１１４で出力されるｕは正しい復号結果ｆ（λ）となる。一方、ｘ1≠ｅgである場合には、ｕ≠ｆ（λ）となるのであるから、ステップＳ１５１１４で出力されるｕは正しい復号結果ｆ（λ）ではない。
【０２８５】
群Ｇと自然数ａが属する集合Ωとの組（Ｇ，Ω）によって定義される演算が擬似自由な作用であるか、疑似自由指標Ｐ（Ｇ，Ω）についてＴ2Ｐ（Ｇ，Ω）が漸近的に小さい場合、ｕa＝ｖの場合にｘ1≠ｅgである確率（式（１１））は漸近的に小さい。したがって、ｕa＝ｖの場合にｘ1＝ｅgである確率は漸近的に大きい。よって、組（Ｇ，Ω）によって定義される演算が擬似自由な作用であるか、Ｔ2Ｐ（Ｇ，Ω）が漸近的に小さい場合、ｕa＝ｖの場合に誤った復号結果ｆ（λ）が出力される確率は、ｕa＝ｖの場合に正しい復号結果ｆ（λ）が出力される確率よりも十分小さい。この場合の計算装置１５１はオールモスト自己訂正器であるといえる（式（９）参照）。そのため、前述のように、計算装置１５１からローバスト自己訂正器を構成することが可能であり、圧倒的な確率で正しい復号結果ｆ（λ）を得ることができる。（Ｇ，Ω）で定義される演算が疑似自由な作用である場合には、ｕa＝ｖの場合に誤った復号結果ｆ（λ）が出力される確率も無視できる。この場合の計算装置１５１は、圧倒的な確率で正しい復号結果ｆ（λ）または⊥を出力する。
【０２８６】
なお、任意の定数ρに対して0が定まり、このｋ0に対してｋ0＜ｋ’を満たす任意のｋ’に対する関数値η（ｋ’）がρ未満となる場合「η（ｋ’）が漸近的に小さい」という。ｋ’の例はセキュリティパラメータｋである。
【０２８７】
任意の定数ρに対してｋ0が定まり、このｋ0に対してｋ0＜ｋ’を満たす任意のｋ’に対する関数値１−η（ｋ’）がρ未満となる場合「η（ｋ’）が漸近的に大きい」という。
【０２８８】
なお、ａをａ／ｂに置換すれば分かるように、上述の証明は第七実施形態で述べた「ｕ’＝ｖ’が成立するのは、第一乱数化可能標本器がｕ＝ｆ（λ）bを正しく計算しており、第二乱数化可能標本器がｖ＝ｆ（λ）aを正しく計算している（ｘ1及びｘ2が群Ｇの単位元ｅgである）可能性が高い」ことの証明ともなる。
【０２８９】
《信頼性δγな乱数化可能標本器と安全性について》
以下のような攻撃を想定する。
・ブラックボックスＦ（τ）又はその部分が意図的に不正なｚを出力する、又は、ブラックボックスＦ（τ）から出力された値が不正なｚに改ざんされる。
・不正なｚに対応するｗaｘ’が乱数化可能標本器から出力される。
・不正なｚに対応するｗaｘ’は、自己訂正器ＣF（λ）でｕa＝ｖが成立する（ステップＳ１５１１０でｙｅｓとなる）にもかかわらず、自己訂正器ＣＦ（λ）が誤った値を出力する確率を増加させる。
このような攻撃は、与えられた自然数ａに対して乱数化可能標本器から出力されたｗaｘ’の誤差の確率分布Ｄa＝ｗaｘ’ｗ-aが自然数ａに依存する場合に可能となる。例えば、第二計算部１５１０８から出力されるｖがｆ（λ）aｘ1aとなるような不正が行われた場合、ｘ1の値にかかわらず、必ずｕa＝ｖが成立することになる。よって、与えられた自然数ａに対して乱数化可能標本器から出力されたｗaｘ’の誤差の確率分布Ｄa＝ｗaｘ’ｗ-aが当該自然数ａに依存しないことが望ましい。
【０２９０】
あるいは、集合Ωのいかなる元ａ∈∀Ωについても、ｗaｘ’の誤差の確率分布Ｄa＝ｗaｘ’ｗ-aと区別することができない群Ｇに値を持つ確率分布Ｄが存在する（確率分布Ｄaと確率分布Ｄとが統計的に近似する（statistically-close））乱数化可能標本器であることが望ましい。なお、確率分布Ｄは自然数ａに依存しない。確率分布Ｄaと確率分布Ｄとを区別することができないとは、多項式時間アルゴリズムによって確率分布Ｄaと確率分布Ｄとを区別することができないことを意味し、例えば、無視することができるζ（０≦ζ＜１）に対して
Σg∈G｜Ｐｒ［ｇ∈Ｄ］−Ｐｒ［ｇ∈Ｄa］｜＜ζ…(14)
を満たすならば、多項式時間アルゴリズムによって確率分布Ｄaと確率分布Ｄとを区別することができない。無視することができるζの例は、セキュリティパラメータｋの関数値ζ（ｋ）である。関数値ζ（ｋ）の例は、任意の多項式ｐ（ｋ）について、十分大きいｋに対して｛ζ（ｋ）ｐ（ｋ）｝が０に収束するものである。関数値ζ（ｋ）の具体例は、ζ（ｋ）＝２-kやζ（ｋ）＝２-√kなどである。これらの点は自然数ａ及びｂを使用する第七実施形態から第十実施形態についても同様である。
【０２９１】
［第七実施形態から第十一実施形態の変形例］
第七実施形態から第十一実施形態では、第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2が計算装置に与えられた場合、計算装置はある確率でｕιb’(ι)ｖιa’(ι)を出力できる。ｕιb’(ι)ｖιa’(ι)は高い確率で暗号文λιの復号値となる。一方、第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2の両方が復号装置に与えられなかった場合、計算装置は暗号文λιの復号値を得ることができない。
【０２９２】
第七実施形態から第十一実施形態では、能力提供装置による第一出力情報ｚι,1及び第二出力情報ｚι,2の両方の出力の有無を制御することで、計算装置に復号鍵を与えることなく、計算装置による暗号文の復号能力を制御できる。
【０２９３】
本発明は上述の実施形態に限定されるものではない。例えば、上述の各実施形態ではωが２以上の整数であるとしたが、ωが１であってもよい。すなわち、能力提供装置が１つのみ存在する構成であってもよい。この場合の計算装置は復元部を含まなくともよく、最終出力部からの出力値をそのまま出力してもよい。例えば、前述した第一実施形態から第五実施形態の何れかのシステムが復号制御装置をさらに有し、復号制御装置が、計算装置の復号処理を制御する復号制御命令を能力提供装置に出力し、能力提供装置が、復号制御命令に従って、第一出力情報計算部及び前記第二出力情報計算部から、第一出力情報ｚ1及び第二出力情報ｚ2の両方が出力されるか否かを制御してもよい。例えば、前述の第六実施形態のシステムが復号制御装置をさらに有し、復号制御装置が、計算装置の復号処理を制御する復号制御命令を能力提供装置に出力し、能力提供装置が、復号制御命令に従って、第一出力情報計算部及び第二出力情報計算部から、第一出力情報Mｚ1及び第二出力情報Mｚ2の両方が出力されるか否かを制御してもよい。
【０２９４】
確率変数Ｘι,1、Ｘι,2及びＸι,3は、同じでも異なっていてもよい。
第一乱数生成部、第二乱数生成部、第三乱数生成部、第四乱数生成部、第五乱数生成部、第六乱数生成部及び第七乱数生成部のそれぞれが一様乱数を生成することにより、代理計算システムの安全性を高くできる。しかし、求める安全性のレベルがそれほど高くない場合には、第一乱数生成部、第二乱数生成部、第三乱数生成部、第四乱数生成部、第五乱数生成部、第六乱数生成部及び第七乱数生成部の少なくとも一部が、一様乱数ではない乱数を生成してもよい。演算効率上からは、上述の各実施形態のように０以上ＫH未満の自然数である乱数や０以上Ｋι,G未満の自然数である乱数が選択されることが望ましいが、それらの代わりにＫι,H以上やＫι,G以上の自然数の乱数が選択されてもよい。
【０２９５】
計算装置が同一のａ（ι），ｂ（ι）に対応する第一入力情報τι,1及び第二入力情報τι,2を能力提供装置に提供するたびに、能力提供装置の処理が複数回実行させてもよい。これにより、計算装置が第一入力情報τι,1及び第二入力情報τι,2を能力提供装置に一回提供するたびに、計算装置は第一出力情報ｚι,1や第二出力情報ｚι,2や第三出力情報ｚι,3を複数個得ることができる。これにより、計算装置と能力提供装置との間のやり取り回数や通信量を減らすことができる。
【０２９６】
計算装置が複数種類の第一入力情報τι,1及び第二入力情報τι,2を能力提供装置にまとめて提供し、対応する第一出力情報ｚι,1や第二出力情報ｚι,2や第三出力情報ｚι,3を複数個まとめて取得してもよい。これにより、計算装置と能力提供装置との間のやり取り回数を減らすことができる。
【０２９７】
各形態ではωが定数であることとしたが、ωの値を代理計算システム内で共有できるのであれば、ωが変数であってもよい。
計算装置の各部間のデータのやり取りは直接行われてもよいし、図示していない記憶部を介して行われてもよい。同様に、能力提供装置の各部間のデータのやり取りは直接行われてもよいし、図示していない記憶部を介して行われてもよい。
【０２９８】
各実施形態の第一計算部や第二計算部において得られたｕιやｖιが群Ｇιの元であるかを確認し、群Ｇιの元であった場合には上述した処理を続行し、ｕι又はｖιが群Ｇιの元でなかった場合には、計算をすることができなかった旨の情報、例えば記号「⊥」が出力されてもよい。
【０２９９】
その他、例えば、上述の各種の処理は、記載に従って時系列に実行されるのみならず、処理を実行する装置の処理能力あるいは必要に応じて並列的にあるいは個別に実行されてもよい。複数の能力提供装置が１つの装置内に構成されていてもよい。その他、本発明の趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更が可能であることはいうまでもない。
【０３００】
［第十二実施形態］
本発明の第十二実施形態を説明する。本形態では、Φ個（Φは２以上の整数）の計算装置が１個の能力提供装置を共用して計算を行い、能力提供装置が計算装置からその対価を受ける例を説明する。ただし、これは本発明を限定するものではなく、Φ個の計算装置が複数個の能力提供装置を共用して計算を行ってもよい。
【０３０１】
＜構成＞
図３１に例示するように、第十二実施形態の代理計算システム２０１は、例えば、Φ個の計算装置２１１−φ（φ＝１，…，Φ）と１個の能力提供装置２１２とを有する。各装置は情報のやり取りが可能なように構成される。例えば、各装置は伝送線やネットワークや可搬型記録媒体などを経由した情報のやり取りが可能とされている。
【０３０２】
本形態では、能力提供装置２１２が群Ｈφの元を群Ｇφの元へ写す関数ｆφを計算する能力（計算能力）を各計算装置２１１−φに与える。各計算装置２１１−φはこの能力に対する対価を能力提供装置２１２に支払う。各計算装置２１１−φは、提供された能力を用い、群Ｈφの元ｘφに対する群Ｇφの元ｆφ（ｘφ）を計算する。
図３２に例示するように、第十二実施形態の計算装置２１１−φは、例えば、自然数記憶部２１１０１−φと自然数選択部２１１０２−φと整数計算部２１１０３−φと入力情報提供部２１１０４−φと第一計算部２１１０５−φと第一べき乗計算部２１１０６−φと第一リスト記憶部２１１０７−φと第二計算部２１１０８−φと第二べき乗計算部２１１０９−φと第二リスト記憶部２１１１０−φと判定部２１１１１−φと最終出力部２１１１２−φと制御部２１１１３−φとを有する。計算装置２１１−φは、制御部２１１１３−φの制御のもとで各処理を実行する。計算装置２１１−φの例は、特別なプログラムが読み込まれたＣＰＵ（central processing unit）やＲＡＭ（random-access memory）を備えた公知又は専用のコンピュータや、サーバ装置やゲートウェイ装置やカードリーダライタ装置や携帯電話などの計算機能と記憶機能とを備えた機器などである。
【０３０３】
図３３に例示するように、第十二実施形態の能力提供装置２１２は、例えば、それぞれ、第一出力情報計算部２１２０１と第二出力情報計算部２１２０２と制御部２１２０５とを有する。能力提供装置２１２は、制御部２１２０５の制御のもとで各処理を実行する。能力提供装置２１２の例は、特別なプログラムが読み込まれたＣＰＵやＲＡＭを備えた公知又は専用のコンピュータや、携帯電話などの計算機能と記憶機能とを備えた機器や、ＩＣカードやＩＣチップなどの耐タンパ性モジュールなどである。
【０３０４】
＜処理の前提＞
Ｇφ，Ｈφが群（例えば、可換群）であり、Ｘφ,1，Ｘφ,2が群Ｇφに値を持つ確率変数であり、ｘφ,1が確率変数Ｘφ,1の実現値であり、ｘφ,2が確率変数Ｘφ,2の実現値であり、ｆφが群Ｈφの元を群Ｇφの元へ写す関数であり、ａ（φ），ｂ（φ）が互いに素である自然数であるとする。ｆφの具体例は、暗号化関数、復号関数、再暗号化関数、画像処理処理用の関数、音声処理用の関数などである。Ｇφ＝Ｈφであってもよいし、Ｇφ≠Ｈφであってもよい。すべての群Ｇφ（φ＝１，…，Φ）が互いに同一であってもよいし、少なくとも一部のφ’≠φに対する群Ｇφ’が他の群Ｇφと相違してもよい。すべての群Ｈφ（φ＝１，…，Φ）が互いに同一であってもよいし、少なくとも一部のφ’≠φに対する群Ｈφ’が他の群Ｈφと相違してもよい。以下では群Ｇφ，Ｈφ上の演算を乗法的に表現する。ａ（φ），ｂ（φ）は互いに素な自然数であり、「自然数」とは０以上の整数を表す。群Ｈφの元Ｍφに対する群Ｇφの元ｆφ（Ｍφ）ａ（φ）ｂ（φ）を要素とする集合を「元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）」と呼ぶ。ここでＣＬφ（Ｍφ）とＣＬφ’（Ｍφ’）（φ’≠φ）とは互いに異なる類である。関数ｆφ（Ｍφ）が元Ｍφに対する単写関数である場合、同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）には、ａ（φ），ｂ（φ）の組に対して、一つの要素のみが属する。ａ（φ），ｂ（φ）の組みごとに同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に一つの要素のみが属する場合、二つの値が同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属することと当該二つの値が等しいこととが等価となる。すなわち、関数ｆφ（Ｍφ）が元Ｍφに対する単写関数である場合、二つの値が同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属するかの判定は当該二つの値が等しいかを判定することで行うことができる。一方、関数ｆφ（Ｍφ）が元Ｍφに対する単写関数でない場合（例えば、関数ｆφがＥｌＧａｍａｌ暗号方式のような確率暗号方式の暗号化関数の場合）、平文と暗号化鍵との組に対して複数の暗号文が対応するため、同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）には、ａ（φ），ｂ（φ）の組に対して、複数の要素が属する。
【０３０５】
各計算装置２１１−φ（図３２）の自然数記憶部２１１０１−φに、互いに素である２つの自然数ａ（φ），ｂ（φ）の組（ａ（φ），ｂ（φ））が複数種類記憶されているものとする。Ｉφを群Ｇφの位数未満の２つの自然数の組で互いに素なものの集合とすると、自然数記憶部２１１０１−φにはＩφの部分集合Ｓφに対応する自然数ａ（φ），ｂ（φ）の組（ａ（φ），ｂ（φ））が記憶されていると考えることができる。
【０３０６】
＜処理＞
計算装置２１１−φが能力提供装置２１２を利用して行う処理を説明する。これらの処理は処理を行う何れか１つの計算装置２１１−φが能力提供装置２１２を或る時間占有した状態で実行されてもよいし、処理を行う複数の計算装置２１１−φが能力提供装置２１２にアクセスして並列に実行されてもよい。
【０３０７】
群Ｈφの元ｘφが計算装置２１１−φ（図３２）の入力情報提供部２１１０４−φに入力される。既に元ｘφが入力情報提供部２１１０４−φに入力されている場合にはこの処理が省略されてもよい。
図３７に例示するように、元ｘφが入力情報提供部２１１０４−φに入力された計算装置２１１−φの自然数選択部２１１０２−φは、自然数記憶部２１１０１−φに記憶された複数の自然数の組（ａ（φ），ｂ（φ））から１つの自然数の組（ａ（φ），ｂ（φ））をランダムに読み込む。読み込まれた自然数の組（ａ（φ），ｂ（φ））少なくとも一部の情報は、整数計算部２１１０３−φ、入力情報提供部２１１０４−φ、第一べき乗計算部２１１０６−φ及び第二べき乗計算部２１１０９−φに送られる（ステップＳ２１１００）。
【０３０８】
整数計算部２１１０３−φは、送られた自然数の組（ａ（φ），ｂ（φ））を用いて、ａ’（φ）ａ（φ）＋ｂ’（φ）ｂ（φ）＝１の関係を満たす整数ａ’（φ），ｂ’（φ）を計算する。自然数ａ（φ），ｂ（φ）は互いに素であるため、ａ’（φ）ａ（φ）＋ｂ’（φ）ｂ（φ）＝１の関係を満たす整数ａ’（φ），ｂ’（φ）は必ず存在して、その計算方法もよく知られている。たとえば拡張互除法などのよく知られたアルゴリズムによって整数ａ’，ｂ’が計算され、自然数の組（ａ’（φ），ｂ’（φ））の情報は、最終出力部２１１１２−φに送られる（ステップＳ２１１０１）。
【０３０９】
制御部２１１１３−φは、ｔ＝１とする（ステップＳ２１１０２）。
入力情報提供部２１１０４−φは、入力された元ｘφにそれぞれ対応する第一入力情報τφ,1及び第二入力情報τφ,2を生成して出力する。好ましくは、第一入力情報τφ,1及び第二入力情報τφ,2はそれぞれ元ｘφとの関係をかく乱させた情報である。これにより、計算装置２１１−φは、元ｘφを能力提供装置２１２に対して隠蔽できる。好ましくは、本形態の第一入力情報τφ,1は自然数選択部２１１０２−φで選択された自然数ｂ（φ）にさらに対応し、第二入力情報τφ,2は自然数選択部２１１０２−φで選択された自然数ａ（φ）にさらに対応する。これにより、能力提供装置２１２から提供された計算能力を計算装置２１１−φが高い精度で評価することができる（ステップＳ２１１０３）。
【０３１０】
図３８に例示するように、第一入力情報τφ,1は能力提供装置２１２（図３３）の第一出力情報計算部２１２０１に入力され、第二入力情報τφ,2は第二出力情報計算部２１２０２に入力される（ステップＳ２１２００）。
【０３１１】
第一出力情報計算部２１２０１は、第一入力情報τφ,1を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（τφ,1）を正しく計算し、得られた計算結果を第一出力情報ｚφ,1とする（ステップＳ２１２０１）。第二出力情報計算部２１２０２は、第二入力情報τφ,2を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（τφ,2）を正しく計算し、得られた演算結果を第二出力情報ｚφ,2とする（ステップＳ２１２０２）。なお、「或る確率」は１００％未満の確率である。「或る確率」の例は無視することができない確率であり、「無視することができない確率」の例は、セキュリティパラメータｋについての広義単調増加関数である多項式を多項式ψ（ｋ）とした場合の１／ψ（ｋ）以上の確率である。すなわち、第一出力情報計算部２１２０１や第二出力情報計算部２１２０２は、意図的又は意図的ではない誤差を含んだ計算結果を出力し得る。言い換えると、第一出力情報計算部２１２０１での計算結果がｆφ（τφ,1）の場合もあればｆφ（τφ,1）でない場合もあり、第二出力情報計算部２１２０２−φでの計算結果がｆφ（τφ,2）の場合もあればｆφ（τφ,2）でない場合もある。第一出力情報計算部２１２０１は第一出力情報ｚφ,1を出力し、第二出力情報計算部２１２０２は第二出力情報ｚφ,2を出力する（ステップＳ２１２０３）。
【０３１２】
図３７に戻り、第一出力情報ｚφ,1は計算装置２１１−φ（図３２）の第一計算部２１１０５−φに入力され、第二出力情報ｚφ,2は第二計算部２１１０８−φに入力される。これらの第一出力情報ｚφ,1及び第二出力情報ｚφ,2が、能力提供装置２１２から計算装置２１１−φに与えられた計算能力に相当する（ステップＳ２１１０４）。計算能力が与えられた計算装置２１１−φの利用者は、その対価を能力提供装置２１２に対して支払う。対価の支払い方法は、例えば、公知の電子決済処理などによって行えばよい。
【０３１３】
第一計算部２１１０５−φは、第一出力情報ｚφ,1から演算結果ｕφ＝ｆφ（ｘφ）b(φ)ｘφ,1を生成する。ここで、ｆφ（ｘφ）b(φ)ｘφ,1を生成（計算）するとは、ｆφ（ｘφ）b(φ)ｘφ,1と定義される式の値を計算することである。式ｆφ（ｘφ）b(φ)ｘφ,1の値を最終的に計算することができれば、途中の計算方法は問わない。これは、この出願で登場する他の式の計算についても同様である。演算結果ｕφは第一べき乗計算部２１１０６−φに送られる（ステップＳ２１１０５）。
【０３１４】
第一べき乗計算部２１１０６−φはｕφ’＝ｕφa(φ)を計算する。計算結果ｕφとその計算結果に基づいて計算されたｕφ’との組（ｕφ，ｕφ’）は、第一リスト記憶部２１１０７−φに記憶される（ステップＳ２１１０６）。
【０３１５】
判定部２１１１１−φは、第一リスト記憶部２１１０７−φに記憶された組（ｕφ，ｕφ’）及び第二リスト記憶部２１１１０−φに記憶された組（ｖφ，ｖφ’）の中で、ｕφ’とｖφ’とが互いに同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属するものがあるかを判定する。Ｍφ＝ｘφであることまでは判定できなくてもよい（以下同様）。言い換えると、判定部２１１１１−φは、同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属するｕφ’とｖφ’との組があるか判定する。例えば、関数ｆφ（Ｍφ）が元Ｍφに対する単写関数である場合、判定部２１１１１−φはｕφ’＝ｖφ’であるかを判定する（ステップＳ２１１０７）。もし、第二リスト記憶部２１１１０−φに組（ｖφ，ｖφ’）が記憶されていない場合には、このステップＳ２１１０７の処理を行わずに、次のステップＳ２１１０８の処理を行う。同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属するｕφ’とｖφ’との組があった場合には、ステップＳ２１１１４に進む。同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属するｕφ’とｖφ’との組がなかった場合には、ステップＳ２１１０８に進む。
【０３１６】
ステップＳ２１１０８では、第二計算部２１１０８−φが、第二出力情報ｚφ,2から演算結果ｖφ＝ｆφ（ｘφ）a(φ)ｘφ,2を生成する。演算結果ｖφは第二べき乗計算部２１１０９−φに送られる（ステップＳ２１１０８）。
【０３１７】
第二べき乗計算部２１１０９−φはｖφ’＝ｖφb(φ)を計算する。計算結果ｖφとその計算結果に基づいて計算されたｖφ’との組（ｖφ，ｖφ’）は、第二リスト記憶部２１１１０−φに記憶される（ステップＳ２１１０９）。
【０３１８】
判定部２１１１１−φは、第一リスト記憶部２１１０７−φに記憶された組（ｕφ，ｕφ’）及び第二リスト記憶部２１１１０−φに記憶された組（ｖφ，ｖφ’）の中で、ｕφ’とｖφ’とが互いに同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属するものがあるかを判定する。例えば、関数ｆφ（Ｍφ）が元Ｍφに対する単写関数である場合、判定部２１１１１−φはｕφ’＝ｖφ’であるかを判定する（ステップＳ２１１１０）。同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属するｕφ’とｖφ’との組があった場合には、ステップＳ２１１１４に進む。同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属するｕφ’とｖφ’との組がなかった場合には、ステップＳ２１１１１に進む。
【０３１９】
ステップＳ２１１１１では、制御部２１１１３−φがｔ＝Ｔであるか判定する（ステップＳ２１１１１）。Ｔは予め定められた自然数である。Ｔはすべてのφについて同一値であってもよいし、φについての自己訂正処理でのＴの値と、φ’（σ’≠σ，σ’＝１，…，Φ）についての自己訂正処理でのＴの値が相違する場合があってもよい。ｔ＝Ｔであれば、最終出力部２１１１２−φが、計算をすることができなかった旨の情報、例えば記号「⊥」を出力して（ステップＳ２１１１３）、処理を終える。ｔ＝Ｔでない場合には、制御部２１１１３−φは、ｔを１だけインクリメント、すなわちｔ＝ｔ＋１（ｔ＋１を新たなｔ）として（ステップＳ２１１１２）、ステップＳ２１１０３に戻る。
【０３２０】
計算をすることができなかった旨の情報（この例では記号「⊥」）は、能力提供装置２１２が正しく計算を行う信頼性がＴで定められる基準を下回るということを意味する。言い換えれば、Ｔ回の繰り返しで正しい演算を行うことができなかったということを意味する。
【０３２１】
ステップＳ２１１１４では、最終出力部２１１１２−φが、同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属すると判定されたｕφ’とｖφ’との組に対応するｕφ及びｖφを用いてｕφb’(φ)ｖφa’(φ)を計算して、出力して処理を終える（ステップＳ２１１１４）。
【０３２２】
以上のように計算されたｕφb’(φ)ｖφa’(φ)は、高い確率でｆφ（ｘφ）∈Ｇφとなる（高い確率でｕφb’(φ)ｖφa’(φ)＝ｆφ（ｘφ）となる理由については後述する）。よって、少なくともφについての上述処理を複数回繰り返し、ステップＳ２１１１４で得られた値のうち最も頻度の高いｕφb’(φ)ｖφa’(φ)を選択すれば、ｕφb’(φ)ｖφa’(φ)＝ｆφ（ｘφ）であることの信頼度（確率など）は所定値以上となる。後述するように、設定によっては圧倒的な確率でｕφb’(φ)ｖφa’(φ)＝ｆφ（ｘφ）となる。このことは能力提供装置２１２が必ずしも正しい返答をするとは限らない場合にも成り立つため、計算装置２１１−φは能力提供装置２１２の正当性を確認するための認証処理を必要としない。他の計算装置２１１−φ’（φ’≠φ）と能力提供装置２１２との処理内容が計算装置２１１−φと能力提供装置２１２との間の処理内容に影響を与えたとしても、能力提供装置２１２が或る確率より大きな確率で正しい返答をするのであれば計算装置２１１−φは正しい答えを計算結果ｆφ（ｘφ）を得ることができる。
【０３２３】
≪高い確率でｕφb’(φ)ｖφa’(φ)＝ｆφ（ｘφ）となる理由について≫
Ｘφを群Ｇφに値を持つ確率変数とする。ｗφ∈Ｇにφついて、要求を受けるたびに確率変数Ｘφに従った標本ｘφ’に対応するｗφｘφ’を返すものを、ｗφについて誤差Ｘφを持つ標本器（sampler）と呼ぶ。
ｗφ∈Ｇφについて、自然数ａ（φ）が与えられるたびに確率変数Ｘφに従った標本ｘφ’に対応するｗφa(φ)ｘφ’を返すものを、ｗφについて誤差Ｘφを持つ乱数化可能標本器（randomizable sampler）と呼ぶ。乱数化可能標本器はａ（φ）＝１として用いられれば標本器として機能する。
【０３２４】
本実施形態の入力能力提供部２１１０４−φと第一出力情報計算部２１２０１と第一計算部２１１０５−φとの組み合わせが、ｆφ（ｘφ）について誤差Ｘφ,1を持つ乱数化可能標本器（「第一乱数化可能標本器」と呼ぶ）であり、入力能力提供部２１１０４−φと第二出力情報計算部２１２０２と第二計算部２１１０８−φとの組み合わせが、ｆφ（ｘφ）について誤差Ｘφ,2を持つ乱数化可能標本器（「第二乱数化可能標本器」と呼ぶ）である。
【０３２５】
ｕφ’とｖφ’とが互いに同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属するのは、第一乱数化可能標本器がｕφ＝ｆφ（ｘφ）b(φ)を正しく計算しており、第二乱数化可能標本器がｖφ＝ｆφ（ｘφ）a(φ)を正しく計算している（ｘφ,1及びｘφ,2が群Ｇφの単位元ｅφ,gである）可能性が高いことを発明者は見出した。説明の簡略化の観点から、この証明は第十八実施形態で行う。
【０３２６】
第一乱数化可能標本器がｕφ＝ｆφ（ｘφ）b(φ)を正しく計算しており、第二乱数化可能標本器がｖφ＝ｆφ（ｘφ）a(φ)を正しく計算しているとき（ｘφ,1及びｘφ,2が群Ｇφの単位元ｅφ,gであるとき）、ｕφb’(φ)＝（ｆφ（ｘφ）b(φ)ｘφ,1）b’(φ)＝（ｆφ（ｘφ）b(φ)ｅφ,g）b’(φ)＝ｆφ（ｘφ）b(φ)b’(φ)となり、ｖφa’(φ)＝（ｆφ（ｘφ）a(φ)ｘφ,2）a’(φ)＝（ｆφ（ｘφ）a(φ)ｅφ,g）a’(φ)＝ｆφ（ｘφ）a(φ)a’(φ)となる。そのため、関数ｆφ（Ｍφ）が元Ｍφに対する単写関数である場合、ｕφb’(φ)ｖφa’(φ)＝ｆφ（ｘφ）(b(φ)b’(φ)+a(φ)a’(φ))＝ｆφ（ｘφ）となる。一方、関数ｆφ（Ｍφ）が元Ｍφに対する単写関数でない場合であったとしても準同型関数なのであれば、ｕφb’(φ)ｖφa’(φ)＝ｆφ（ｘφ(b(φ)b’(φ)+a(φ)a’(φ))）＝ｆφ（ｘφ）となる。
【０３２７】
（ｑ1，ｑ2）∈Ｉについて、ｉ＝１，２の各々について関数πiをπi（ｑ１，ｑ２）＝ｑiで定義する。さらに、Ｌ＝ｍｉｎ（♯π1（Ｓ），♯π2（Ｓ））とする。♯・は、集合・の位数である。群Ｇφが巡回群や位数の計算が困難な群であるときには、計算装置２１１−φが「⊥」以外を出力するときの出力がｆφ（ｘφ）ではない確率は、無視できる程度の誤差の範囲で高々Ｔ２Ｌ／♯Ｓ程度と期待することができる。もしＬ／♯Ｓが無視できる量でＴが多項式オーダー程度の量であれば、計算装置２１１−φは圧倒的な確率で正しいｆφ（ｘφ）を出力する。Ｌ／♯Ｓが無視できる量になるようなＳの例には、例えばＳ＝｛（１，ｄ）｜ｄ∈［２，｜Ｇφ｜−１］｝がある。
【０３２８】
［第十三実施形態］
第十三実施形態の代理計算システムは、上述した第一乱数化可能標本器及び第二乱数化可能標本器を具体化した例である。以下、第十二実施形態と異なる部分を中心に説明し、共通する部分については重複説明を省略する。以下の説明において、同一の参照番号が付された部分は同一の機能を持つものとし、同一の参照番号が付されたステップは同一の処理を表すものとする。
【０３２９】
＜構成＞
図３１に例示するように、第十三実施形態の代理計算システム２０２は、計算装置２１１−φが計算装置２２１−φに置換され、能力提供装置２１２が能力提供装置２２２に置換されたものである。
【０３３０】
図３２に例示するように、第十三実施形態の計算装置２２１−φは、例えば、自然数記憶部２１１０１−φと自然数選択部２１１０２−φと整数計算部２１１０３−φと入力情報提供部２１０４−φと第一計算部２１０５−φと第一べき乗計算部２１１０６−φと第一リスト記憶部２１１０７−φと第二計算部２１０８−φと第二べき乗計算部２１１０９−φと第二リスト記憶部２１１１０−φと判定部２１１１１−φと最終出力部２１１１２−φと最終出力部２１１１２−φと制御部２１１１３−φとを有する。図３４に例示するように、本形態の入力情報提供部２２１０４−φは、例えば、第一乱数生成部２２１０４ａ−φと第一入力情報計算部２２１０４ｂ−φと第二乱数生成部２２１０４ｃ−φと第二入力情報計算部２２１０４ｄ−φとを有する。
【０３３１】
図３３に例示するように、第十三実施形態の能力提供装置２２２は、例えば、それぞれ、第一出力情報計算部２２２０１と第二出力情報計算部２２２０２と制御部２１２０５とを有する。
【０３３２】
＜処理の前提＞
第十三実施形態では、関数ｆφを準同型関数とし、群Ｈφを巡回群とし、群Ｈφの生成元をμφ，ｈ、群Ｈφの位数をＫφ，Ｈ、νφ＝ｆφ（μφ，ｈ）とする。その他の前提は、計算装置２１１−φが計算装置２２１−φに置換され、能力提供装置２１２が能力提供装置２２２に置換されている以外、第十二実施形態と同一である。
【０３３３】
＜処理＞
図３７及び図３８に例示するように、第十三実施形態の処理は第十二実施形態のステップＳ２１１０３〜Ｓ２１１０５，Ｓ２１１０８，Ｓ２１２００〜Ｓ２１２０３が、それぞれ、ステップＳ２２１０３〜Ｓ２２１０５，Ｓ２２１０８，Ｓ２２２００〜Ｓ２２２０３に置換されたものである。以下ではステップＳ２２１０３〜Ｓ２２１０５，Ｓ２２１０８，Ｓ２２２００〜Ｓ２２２０３の処理のみを説明する。
【０３３４】
《ステップＳ２２１０３の処理》
計算装置２２１−φ（図３２）の入力情報提供部２２１０４−φは、入力された元ｘφにそれぞれ対応する第一入力情報τφ,1及び第二入力情報τφ,2を生成して出力する（図３７／ステップＳ２２１０３）。以下、図３９を用いて本形態のステップＳ２２１０３の処理を説明する。
【０３３５】
第一乱数生成部２２１０４ａ−φ（図３４）は、０以上Ｋφ,H未満の自然数の一様乱数ｒ（φ，１）を生成する。生成された乱数ｒ（φ，１）は、第一入力情報計算部２２１０４ｂ−φ及び第一計算部２２１０５−φに送られる（ステップＳ２２１０３ａ）。第一入力情報計算部２２１０４ｂ−φは、入力された乱数ｒ（φ，１）と元ｘφと自然数ｂ（φ）とを用いて第一入力情報τφ,1＝μφ,hr(φ,1)ｘφb(φ)を計算する（ステップＳ２２１０３ｂ）。
【０３３６】
第二乱数生成部２２１０４ｃ−φは、０以上Ｋφ,H未満の自然数の一様乱数ｒ（φ，２）を生成する。生成された乱数ｒ（φ，２）は、第二入力情報計算部２２１０４ｄ−φ及び第二計算部２２１０８−φに送られる（ステップＳ２２１０３ｃ）。第二入力情報計算部２２１０４ｄ−φは、入力された乱数ｒ（φ，２）と元ｘφと自然数ａ（φ）とを用いて第二入力情報τφ,2＝μφ,hr(φ,2)ｘφa(φ)を計算する（ステップＳ２２１０３ｄ）。
【０３３７】
第一入力情報計算部２２１０４ｂ−φ及び第二入力情報計算部２２１０４ｄ−φは、以上のように生成した第一入力情報τφ,1及び第二入力情報τφ,2を出力する（ステップＳ２２１０３ｅ）。なお、本形態の第一入力情報τφ,1及び第二入力情報τφ,2は、それぞれ、乱数ｒ（φ，１），ｒ（φ，２）によって元ｘφとの関係をかく乱させた情報である。これにより、計算装置２２２は、元ｘφを能力提供装置２２２に対して隠蔽できる。本形態の第一入力情報τφ,1は自然数選択部２１１０２−φで選択された自然数ｂ（φ）にさらに対応し、第二入力情報τφ,2は自然数選択部２１１０２−φで選択された自然数ａ（φ）にさらに対応する。これにより、能力提供装置２２２から提供された計算能力を計算装置２２１−φが高い精度で評価することができる。
【０３３８】
《ステップＳ２２２００〜Ｓ２２２０３の処理》
図３８に例示するように、まず、第一入力情報τφ,1＝μφ,hr(φ,1)ｘφb(φ)が能力提供装置２２２（図３３）の第一出力情報計算部２２２０１に入力され、第二入力情報τφ,2＝μφ,hr(φ,2)ｘφa(φ)が第二出力情報計算部２２２０２に入力される（ステップＳ２２２００）。
【０３３９】
第一出力情報計算部２２２０１は、第一入力情報τφ,1＝μφ,hr(φ,1)ｘφb(φ)を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（μφ,hr(φ,1)ｘφb(φ)）を正しく計算し、得られた計算結果を第一出力情報ｚφ,1とする。この計算結果は正しい場合もあれば正しくない場合もある。すなわち、第一出力情報計算部２２２０１での計算結果がｆφ（μφ,hr(φ,1)ｘφb(φ)）となる場合もあれば、ｆφ(μφ,hr(φ,1)ｘφb(φ)）とならない場合もある（ステップＳ２２２０１）。
【０３４０】
第二出力情報計算部２２２０２は、第二入力情報τφ,2＝μφ,hr(φ,2)ｘφa(φ)を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（μφ,hr(φ,2)ｘφa(φ)）を正しく計算し、得られた計算結果を第二出力情報ｚφ,2とする。この計算結果は正しい場合もあれば正しくない場合もある。すなわち、第二出力情報計算部２２２０２での計算結果がｆφ（μφ,hr(φ,2)ｘφa(φ)）となる場合もあれば、ｆφ（μφ,hr(φ,2)ｘφa(φ)）とならない場合もある（ステップＳ２２２０２）。
【０３４１】
第一出力情報計算部２２２０１は第一出力情報ｚφ,1を出力し、第二出力情報計算部２２２０２は第二出力情報ｚφ,2を出力する（ステップＳ２２２０３）。
【０３４２】
《ステップＳ２２１０４及びＳ２２１０５の処理》
図３７に戻り、第一出力情報ｚφ,1は計算装置２２１−φ（図３２）の第一計算部２２１０５−φに入力され、第二出力情報ｚφ，２は第二計算部２２１０８−φに入力される。これらの第一出力情報ｚφ,1及び第二出力情報ｚφ,2が、能力提供装置２２２から計算装置２２１−φに与えられた計算能力に相当する（ステップＳ２２１０４）。
【０３４３】
第一計算部２２１０５−φは、入力された乱数ｒ（φ，１）及び第一出力情報ｚφ,1を用いてｚφ,1νφ-r(φ,1)を計算してその計算結果をｕφとする。計算結果ｕφは、第一べき乗計算部２１１０６−φに送られる。ここで、ｕφ＝ｚφ,1νφ-r(φ,1)＝ｆφ（ｘφ）b(φ)ｘφ,1となる。すなわち、ｚφ,1νφ-r(φ,1)は、ｆφ（ｘφ）について誤差Ｘφ,1を持つ乱数化可能標本器の出力となる。その理由については後述する（ステップＳ２２１０５）。
【０３４４】
《ステップＳ２２１０８の処理》
第二計算部２２１０８−φは、入力された乱数ｒ（φ，２）及び第二出力情報ｚφ,2を用いてｚφ,2νφ-r(φ,2)を計算してその計算結果をｖφとする。計算結果ｖφは、第二べき乗計算部２１１０９−φに送られる。ここで、ｖφ＝ｚφ,2νφ-r(φ,2)＝ｆφ（ｘφ）a(φ)ｘφ,2となる。すなわち、ｚφ,2νφ-r(φ,2)は、ｆφ（ｘφ）について誤差Ｘφ,2を持つ乱数化可能標本器の出力となる。その理由については後述する（ステップＳ２２１０８）。
【０３４５】
≪ｚφ,1νφ-r(φ,1)，ｚφ,2νφ-r(φ,2)がｆφ（ｘφ）についてそれぞれ誤差Ｘφ,1，Ｘφ,2を持つ乱数化可能標本器の出力となる理由について≫
ｃを自然数、Ｒ及びＲ’を乱数として、能力提供装置２２２がμφ,hRｘφcを用いて行う計算の計算結果をＢ（μφ,hRｘφc）とする。すなわち、第一出力情報計算部２２２０１や第二出力情報計算部２２２０２が計算装置２２１−φに返す計算結果をｚφ＝Ｂ（μφ,hRｘφc）とする。さらに、群Ｇφに値を持つ確率変数ＸφをＸφ＝Ｂ（μφ,hR’）ｆφ（μφ,hR’）-1と定義する。
【０３４６】
このとき、ｚφνφ-R＝Ｂ（μφ,hRｘφc）ｆ（μφ,h）-R＝Ｘφｆφ（μφ,hRｘφc）ｆφ（μφ,h）-R＝Ｘφｆφ（μφ,h）Rｆφ（ｘφ）cｆφ（μφ,h）-R＝ｆφ（ｘφ）cＸφとなる。すなわち、ｚφνφ-Rは、ｆφ（ｘφ）について誤差Ｘφを持つ乱数化可能標本器の出力となる。
【０３４７】
上記式展開において、Ｘφ＝Ｂ（μφ,hR’）ｆφ（μφ,hR’）-1＝Ｂ（μφ,hRｘφc）ｆφ（μφ,hRｘφc）-1であり、Ｂ（μφ,hRｘφc）＝Ｘφｆφ（μφ,hRｘφc）であるという性質を用いている。この性質は、関数ｆφが準同型関数であり、Ｒ及びＲ’が乱数であることに基づく。
【０３４８】
したがって、ａ（φ），ｂ（φ）が自然数、ｒ（φ，１），ｒ（φ，２）が乱数であることを考慮すると、同様に、ｚφ,1ν-r(φ,1)，ｚφ,2ν-r(φ,2)がｆφ（ｘφ）についてそれぞれ誤差Ｘφ,1，Ｘφ,2を持つ乱数化可能標本器の出力となるのである。
【０３４９】
［第十四実施形態］
第十四実施形態は第十三実施形態の変形例であり、ａ（φ）＝１やｂ（φ）＝１のときに前述した標本器によってｕφ又はｖφの値を計算する。一般に乱数化可能標本器よりも標本器の計算量は小さい。ａ（φ）＝１やｂ（φ）＝１のときに乱数化可能標本器に代わり、標本器が計算を行うことで、代理計算システムの計算量を小さくすることができる。以下、第十二実施形態及び第十三実施形態と異なる部分を中心に説明し、共通する部分については重複説明を省略する。
【０３５０】
＜構成＞
図３１に例示するように、第十四実施形態の代理計算システム２０３は、計算装置２２１−φが計算装置２３１−φに置換され、能力提供装置２２２が能力提供装置２３２に置換されたものである。
【０３５１】
図３２に例示するように、第十四実施形態の計算装置２３１−φは、例えば、自然数記憶部２１１０１−φと自然数選択部２１１０２−φと整数計算部２１１０３−φと入力情報提供部２２１０４−φと第一計算部２２１０５−φと第一べき乗計算部２１１０６−φと第一リスト記憶部２１１０７−φと第二計算部２２１０８−φと第二べき乗計算部２１１０９−φと第二リスト記憶部２１１１０−φと判定部２１１１１−φと最終出力部２１１１２−φと制御部２１１１３−φと第三計算部２３１０９−φとを有する。
【０３５２】
図３３に例示するように、第十四実施形態の能力提供装置２３２は、例えば、第一出力情報計算部２２２０１と第二出力情報計算部２２２０２と制御部２１２０５と第三出力情報計算部２３２０３とを有する。
【０３５３】
＜処理＞
次に本形態の処理を説明する。第十三実施形態との相違点を説明する。
図３７及び図３８に例示するように、第十四実施形態の処理は第十三実施形態のステップＳ２２１０３〜Ｓ２２１０５，Ｓ２２１０８，Ｓ２２２００〜Ｓ２２２０３が、それぞれ、ステップＳ２３１０３〜Ｓ２３１０５，Ｓ２３１０８，Ｓ２２２００〜Ｓ２２２０３及びＳ２３２０５〜Ｓ２３２０９に置換されたものである。以下ではステップＳ２３１０３〜Ｓ２３１０５，Ｓ２３１０８，Ｓ２２２００〜Ｓ２２２０３及びＳ２３２０５〜Ｓ２３２０９の処理を中心に説明する。
【０３５４】
《ステップＳ２３１０３の処理》
計算装置２３１−φ（図３２）の入力情報提供部２３１０４−φは、入力された元ｘφにそれぞれ対応する第一入力情報τφ,1及び第二入力情報τφ,2を生成して出力する（図３７／ステップＳ２３１０３）。
【０３５５】
以下、図３９を用いて本形態のステップＳ２３１０３の処理を説明する。
制御部２１１１３−φ（図３２）は、自然数選択部２１１０２−φで選択された自然数（ａ（φ），ｂ（φ））に応じて入力情報提供部２３１０４−φを制御する。
【０３５６】
制御部２１１１３−φでｂ（φ）が１であるかが判定され（ステップＳ２３１０３ａ）、ｂ（φ）≠１であると判定された場合、前述のステップＳ２２１０３ａ及びＳ２２１０３ｂの処理が実行され、ステップＳ２３１０３ｇに進む。
【０３５７】
一方、ステップＳ２３１０３ａでｂ（φ）＝１であると判定された場合、第三乱数生成部２３１０４ｅ−φが、０以上Ｋφ,H未満の自然数の乱数ｒ（φ，３）を生成する。生成された乱数ｒ（φ，３）は第三入力情報計算部２３１０４ｆ−φ及び第三計算部２３１０９−φに送られる（ステップＳ２３１０３ｂ）。第三入力情報計算部２３１０４ｆ−φは、入力された乱数ｒ（φ，３）と元ｘφとを用いてｘφr(φ,3)を計算し、これを第一入力情報τφ,1とする（ステップＳ２３１０３ｃ）。その後、ステップＳ２３１０３ｇに進む。
【０３５８】
ステップＳ２３１０３ｇでは、制御部２１１１３−φでａ（φ）が１であるかが判定され（ステップＳ２３１０３ｇ）、ａ（φ）≠１であると判定された場合、前述のステップＳ２２１０３ｃ及びステップＳ２２１０３ｄの処理が実行される。
一方、ステップＳ２３１０３ｇでａ（φ）＝１であると判定された場合、第三乱数生成部２３１０４ｅ−φが、０以上Ｋφ,H未満の自然数の乱数ｒ（φ，３）を生成する。生成された乱数ｒ（φ，３）は第三入力情報計算部２３１０４ｆ−φに送られる（ステップＳ２３１０３ｈ）。第三入力情報計算部２３１０４ｆ−φは、入力された乱数ｒ（φ，３）と元ｘφとを用いてｘφr(φ,3)を計算し、これを第二入力情報τφ,2とする（ステップＳ２３１０３ｉ）。
【０３５９】
第一入力情報計算部２２１０４ｂ−φ、第二入力情報計算部２２１０４ｄ−φ、第三入力情報計算部２３１０４ｆ−φは、以上のように生成した第一入力情報τφ,1及び第二入力情報τφ,2を対応する自然数（ａ（φ），ｂ（φ））の情報とともに出力する（ステップＳ２３１０３ｅ）。なお、本形態の第一入力情報τφ,1及び第二入力情報τφ,2は、それぞれ、乱数ｒ（φ，１），ｒ（φ，２），ｒ（φ，３）によって元ｘφとの関係をかく乱させた情報である。これにより、計算装置２３１−φは、元ｘφを能力提供装置２３２に対して隠蔽できる。
【０３６０】
《Ｓ２２２００〜Ｓ２２２０３及びＳ２３２０５〜Ｓ２３２０９の処理》
以下、図３８を用いて本形態のＳ２２２００〜Ｓ２２２０３及びＳ２３２０５〜Ｓ２３２０９の処理を説明する。
【０３６１】
制御部２１２０５（図３３）は、入力された自然数（ａ（φ），ｂ（φ））に応じ、第一出力情報計算部２２２０１、第二出力情報計算部２２２０２、及び第三出力情報計算部２３２０３を制御する。
制御部２１２０５の制御に基づき、ｂ（φ）≠１の場合の第一入力情報τφ,1＝μφ,hr(φ,1)ｘφb(φ)は能力提供装置２３２（図３３）の第一出力情報計算部２２２０１に入力され、ａ（φ）≠１の場合の第二入力情報τφ,2＝μφ，hr(φ,2)ｘφa(φ)は第二出力情報計算部２２２０２に入力される。ｂ（φ）＝１の場合の第一入力情報τφ,1＝ｘφr(φ,3)やａ（φ）＝１の場合の第二入力情報τφ,2＝ｘφr(φ,3)は第三出力情報計算部２３２０３に入力される（ステップＳ２３２００）。
【０３６２】
制御部２１１１３−φでｂ（φ）が１であるかが判定され（ステップＳ２３２０５）、ｂ（φ）≠１であると判定された場合、前述のステップＳ２２２０１の処理が実行される。その後、制御部２１１１３−φでａ（φ）が１であるかが判定され（ステップＳ２３２０８）、ａ（φ）≠１であると判定された場合、前述したステップＳ２２２０２の処理が実行されてステップＳ２３２０３に進む。
【０３６３】
一方、ステップＳ２３２０８でａ（φ）＝１であると判定された場合、第三出力情報計算部２３２０３は、第二入力情報τφ,2＝ｘφr(φ,3)を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（ｘφr(φ,3)）を正しく計算し、得られた計算結果を第三出力情報ｚφ,3とする。この計算結果は正しい場合もあれば正しくない場合もある。すなわち、第三出力情報計算部２３２０３での計算結果がｆφ（ｘφr(φ,3)）となる場合もあれば、ｆφ（ｘφr(φ,3)）とならない場合もある（ステップＳ２３２０９）。その後、ステップＳ２３２０３に進む。
【０３６４】
ステップＳ２３２０５でｂ（φ）＝１であると判定された場合、第三出力情報計算部２３２０３は、第二入力情報τφ,1＝ｘφr(φ,3)を用い、或る確率より大きな確率でｆφ（ｘφr(φ,3)）を正しく計算し、得られた計算結果を第三出力情報ｚφ，３とする。この計算結果は正しい場合もあれば正しくない場合もある。すなわち、第三出力情報計算部２３２０３での計算結果がｆφ（ｘφr(φ,3)）となる場合もあれば、ｆφ（ｘφr(φ,3)）とならない場合もある（ステップＳ２３２０６）。
【０３６５】
その後、制御部２１１１３−φでａ（φ）が１であるかが判定され（ステップＳ２３２０７）、ａ（φ）＝１であると判定された場合にはステップＳ２３２０３に進み、ａ（φ）≠１であると判定された場合にはステップＳ２２２０２に進む。
【０３６６】
ステップＳ２３２０３では、第一出力情報ｚφ,1を生成した第一出力情報計算部２２２０１は第一出力情報ｚφ,1を出力し、第二出力情報ｚφ,2を生成した第二出力情報計算部２２２０２は第二出力情報ｚφ,2を出力し、第三出力情報ｚφ,3を生成した第三出力情報計算部２３２０２は第三出力情報ｚφ,3を出力する（ステップＳ２３２０３）。
【０３６７】
《ステップＳ２３１０４及びＳ２３１０５の処理》
図３７に戻り、制御部２１１１３−φの制御のもと、第一出力情報ｚφ,1は計算装置２３１−φ（図３２）の第一計算部２２１０５−φに入力され、第二出力情報ｚφ,2は第二計算部２２１０８−φに入力され、第三出力情報ｚφ,3は第三計算部２３１０９−φに入力される（ステップＳ２３１０４）。
【０３６８】
ｂ（φ）≠１であれば、第一計算部２２１０５−φが、前述のステップＳ２２１０５の処理によってｕφを生成し、ｂ（φ）＝１であれば、第三計算部２３１０９−φが、ｚφ,31/r(φ,3)を計算してその計算結果をｕφとする。計算結果ｕφは第一べき乗計算部２１１０６−φに送られる。ここで、ｂ（φ）＝１の場合、ｕφ＝ｚφ,31/r(φ,3)＝ｆφ（ｘφ）ｘφ,3となる。すなわち、ｚφ,31/r(φ,3)は、ｆφ（ｘφ）について誤差Ｘφ,3を持つ標本器となる。その理由については後述する（ステップＳ２３１０５）。
【０３６９】
《ステップＳ２３１０８の処理》
ａ（φ）≠１であれば、第二計算部２２１０８−φが、前述のステップＳ２２１０８の処理によってｖφを生成し、ａ（φ）＝１であれば、第三計算部２３１０９−φが、ｚφ,31/r(φ,3)を計算してその計算結果をｖφとする。計算結果ｖφは第二べき乗計算部２１１０９−φに送られる。ここで、ａ（φ）＝１の場合、ｖφ＝ｚφ,31/r(φ,3)＝ｆφ（ｘφ）ｘφ,3となる。すなわち、ｚφ,31/r(φ,3)は、ｆφ（ｘφ）について誤差Ｘφ,3を持つ標本器となる。その理由については後述する（ステップＳ２３１０８）。
【０３７０】
なお、ｚφ,31/r(φ,3)の計算、すなわちｚφ,3のべき乗根の計算が困難な場合には、次のようにしてｕφ及び／又はｖφを計算してもよい。第三計算部２３１０９−φは、乱数ｒ（φ，３）とその乱数ｒ（φ，３）に基づいて計算されたｚφ,3の組を順次（α1，β1），（α2，β2），…，（αm，βm），…として図示していない記憶部に記憶する。ｍは自然数である。第三計算部２３１０９−φは、α1，α2，…，αmの最小公倍数が１になれば、γ1，γ2，…，γmを整数としてγ１α１＋γ2α2＋…＋γmαm＝１となるγ1，γ2，…，γmを計算して、そのγ1，γ２，…，γmを用いてΠi=1mβiγi＝β1γ1β2γ2…βmγmを計算して、その計算結果をｕφ及び／又はｖφとしてもよい。
【０３７１】
≪ｚφ,31/r(φ,3)がｆφ（ｘφ）について誤差Ｘφ,3を持つ標本器となる理由について≫
Ｒを乱数として、能力提供装置２３２がｘφRを用いて行う計算の計算結果をＢ（ｘφR）とする。すなわち、第一出力情報計算部２２２０１や第二出力情報計算部２２２０２や第三出力情報計算部２３２０３が計算装置２３１−φに返す計算結果をｚφ＝Ｂ（xφR）とする。さらに、群Ｇφに値を持つ確率変数ＸφをＸφ＝Ｂ（ｘφR）1/Rｆφ（ｘφ）-1と定義する。
【０３７２】
このとき、ｚφ1/R＝Ｂ（ｘφR）1/R＝Ｘφｆφ（ｘφ）＝ｆφ（ｘφ）Ｘφとなる。すなわち、ｚφ1/Rは、ｆφ（ｘφ）について誤差Ｘφを持つ標本器となる。
上記式展開において、Ｘφ＝Ｂ（ｘφR）1/Rｆφ（ｘφR）-1であり、Ｂ（ｘφR）1/R＝Ｘφｆφ（ｘφR）であるという性質を用いている。この性質は、Ｒが乱数であることに基づく。
したがって、ｒ（φ，３）が乱数であることを考慮すると、同様に、ｚφ1/Rがｆφ（ｘφ）について誤差Ｘφ,3を持つ標本器となるのである。
【０３７３】
［第十五実施形態］
第十五実施形態の代理計算システムは、上述した第一乱数化可能標本器及び第二乱数化可能標本器を具体化した他の例である。具体的には、本形態では、ｆφ（ｘφ）が第一暗号文である群Ｈφの元ｘφ＝Ｃφ,1（ｙ（φ，１），ｍφ）を群Ｇφの元である第二暗号文ｆφ（ｘφ）＝Ｃφ,2（ｙ（φ，２），ｍφ）に変換するための関数とする。ただし、第一暗号文Ｃφ,1（ｙ（φ，１），ｍφ）は第一暗号化方式ＥＮＣφ,1に則って平文ｍφを第一暗号化鍵ｙ（φ，１）で暗号化した暗号文であり、第二暗号文Ｃφ,2（ｙ（φ，２），ｍφ）は第二暗号化方式ＥＮＣφ,2に則って平文ｍφを第二暗号化鍵ｙ（φ，２）で暗号化した暗号文である。第二暗号化方式ＥＮＣφ,2がＥｌＧａｍａｌ暗号方式であり、関数ｆφ（ｘφ）が準同型関数である。なお、第一暗号化方式ＥＮＣφ,1には特に限定はなく、第一暗号化方式ＥＮＣφ,1はＥｌＧａｍａｌ暗号方式のような確率暗号方式であってもよいし、ＲＳＡ暗号方式のような確定暗号方式であってもよい。
【０３７４】
以下、第十二実施形態と異なる部分を中心に説明し、共通する部分については重複説明を省略する。
図３１に例示するように、第十五実施形態の代理計算システム２０４は、計算装置２１１−φが計算装置２４１−φに置換され、能力提供装置２１２が能力提供装置２４２に置換されたものである。
【０３７５】
図３２に例示するように、第十五実施形態の計算装置２４１−φは、例えば、自然数記憶部２１１０１−φと自然数選択部２１１０２−φと整数計算部２１１０３−φと入力情報提供部２４１０４−φと第一計算部２４１０５−φと第一べき乗計算部２１１０６−φと第一リスト記憶部２１１０７−φと第二計算部２４１０８−φと第二べき乗計算部２１１０９−φと第二リスト記憶部２１１１０−φと判定部２４１１１−φと最終出力部２１１１２−φと制御部２１１１３−φとを有する。図３５に例示するように、本形態の入力情報提供部２４１０４−φは、例えば、第一乱数生成部２４１０４ａ−φと第一入力情報計算部２４１０４ｂ−φと第二乱数生成部２４１０４ｃ−φと第二入力情報計算部２４１０４ｄ−φとを有する。
【０３７６】
図３３に例示するように、第十五実施形態の能力提供装置２４２は、例えば、第一出力情報計算部２４２０１と第二出力情報計算部２４２０２と制御部２１２０５とを有する。
【０３７７】
＜処理の前提＞
第十五実施形態では、群Ｇφが巡回群Ｇφ,1，Ｇφ,2の直積群Ｇφ,1×Ｇφ,2、μφ,g1が群Ｇφ,1の生成元、μφ,g2が群Ｇφ,2の生成元、第二暗号化鍵ｙ（φ，２）がμφ,g2s(φ,2)、元Ｃφ,2（ｙ（φ，２），ｍφ）が（μφ,g1r(φ)，ｍφｙ（φ，２）r(φ)）∈Ｇφ,1×Ｇφ,2、ｒ（φ）が整数の乱数、値ｕφa(φ)が（ｃφ,1u，ｃφ,2u）∈Ｇφ,1×Ｇφ,2、値ｖφb(φ)が（ｃφ,1v，ｃφ,2v）∈Ｇφ,1×Ｇφ,2である。Ｇφ,1＝Ｇφ,2であってもよいし、Ｇφ,1≠Ｇφ,2であってもよい。前述のように第一暗号化方式ＥＮＣφ,1には限定はないが、例えば第一暗号化方式ＥＮＣφ,1がＥｌＧａｍａｌ暗号方式である場合には、群Ｈφが巡回群Ｈφ,1，Ｈφ,2の直積群Ｈφ,1×Ｈφ,2、ｒ’（φ）が整数の乱数、μφ,h1が群Ｈφ,1の生成元、μφ,h2が群Ｈφ,2の生成元、第一暗号化鍵ｙ（φ，１）がμφ,h2s(φ,1)、第一暗号文Ｃφ,1（ｙ（φ，１），ｍφ）が（μφ,h1r’(φ)，ｍφｙ（φ，１）r’(φ)）∈Ｈφ,1×Ｈφ,2となる。Ｈφ,1＝Ｈφ,2であってもよいし、Ｈφ,1≠Ｈφ,2であってもよい。
【０３７８】
なお、Α＝（α１，α２）∈Ｇφ,1×Ｇφ,2，Β＝（β１，β２）∈Ｇφ,1×Ｇφ,2，及びεが自然数である場合、Αεは（α１ε，α２ε）を表し、Α-εは（α1-ε，α2-ε）を表し、ΑΒは（α１β１，α２β２）を表す。同様に、εが自然数、Α＝（α1，α2）∈Ｈφ,1×Ｈφ,2，Β＝（β１，β２）∈Ｈφ,1×Ｈφ,2である場合、Αεは（α1ε，α2ε）を表し、Α-εは（α1-ε，α2-ε）を表し、ΑΒは（α1β1，α2β2）を表す。ｅφ（α，β）を（α，β）∈Ｇφ,1×Ｇφ,2に対して巡回群Ｇφ,Tの元を与える双線形写像とする。双線形写像の例は、WeilペアリングやTateペアリングなどのペアリング演算を行うための関数やアルゴリズムである（参考文献２：Alfred. J. Menezes，"ELLIPTIC CURVE PUBLIC KEY CRYPTOSYSTEMS，" KLUWER ACADEMIC PUBLISHERS， ISBN0-7923-9368-6，pp. 61-81や、参考文献３：RFC 5091, "Identity-Based Cryptography Standard (IBCS) #1," Supersingular Curve Implementations of the BF and BB1 Cryptosystems等参照）。
【０３７９】
＜処理＞
図３７及び図３８に例示するように、第十五実施形態の処理は第十二実施形態のステップＳ２１１０３〜Ｓ２１１０５，Ｓ２１１０７，Ｓ２１１０８，Ｓ２１１１０，Ｓ２１２００〜Ｓ２１２０３が、それぞれ、ステップＳ２４１０３〜Ｓ２４１０５，Ｓ２４１０７，Ｓ２４１０８，Ｓ２４１１０，Ｓ２４２００〜Ｓ２４２０３に置換されたものである。以下ではステップＳ２４１０３〜Ｓ２４１０５，Ｓ２４１０７，Ｓ２４１０８，Ｓ２４１１０，Ｓ２４２００〜Ｓ２４２０３の処理のみを説明する。
【０３８０】
《ステップＳ２４１０３の処理》
計算装置２４１−φ（図３２）の入力情報提供部２４１０４−φは、入力された元ｘφ＝Ｃφ,1（ｙ（φ，１），ｍφ）に対応する第一入力情報τφ,1及び第二入力情報τφ,2を生成して出力する（図３７／ステップＳ２４１０３）。以下、図４０を用いて本形態のステップＳ２４１０３の処理を説明する。
【０３８１】
第一乱数生成部２４１０４ａ−φ（図３５）は、群Ｈφの任意の元ｈｒφ,1∈Ｈφを生成する。本形態では群Ｈφからランダムかつ一様に元ｈｒφ,1が選択される（一様乱数）。生成された元ｈｒφ,1は、第一入力情報計算部２４１０４ｂ−φ、及び第一計算部２４１０５−φに送られる（ステップＳ２４１０３ａ）。
【０３８２】
第一入力情報計算部２４１０４ｂ−φは、自然数選択部２１１０２−φで選択された自然数ｂ（φ）、元ｘφ、元ｈｒφ,1、及び第一暗号化鍵ｙ（φ，１）を用い、第一入力情報τφ,1としてｘφb(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,1）を計算する（ステップＳ２４１０３ｂ）。
【０３８３】
第二乱数生成部２４１０４ｃ−φは、群Ｈφの任意の元hｒφ,2∈Ｈφを生成する。本形態では群Ｈφからランダムかつ一様に元hｒφ,2が選択される（一様乱数）。生成された元hｒφ,2は、第二入力情報計算部２４１０４ｄ−φ、及び第二計算部２４１０８−φに送られる（ステップＳ２４１０３ｃ）。
【０３８４】
第二入力情報計算部２４１０４ｂ−φは、自然数選択部２１１０２−φで選択された自然数ａ（φ）、元ｘφ、元hｒφ,2、及び第一暗号化鍵ｙ（φ，１）を用い、第二入力情報τφ,2としてｘφa(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,2）を計算する（ステップＳ２４１０３ｄ）。
【０３８５】
第一入力情報計算部２４１０４ｂ−φは、以上のように生成した第一入力情報τφ,1＝ｘφb(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,1）を出力する。第二入力情報計算部２４１０４ｄ−φは、以上のように生成した第二入力情報τφ,2＝ｘφa(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,2）を出力する（ステップＳ２４１０３ｅ）。
【０３８６】
《ステップＳ２４２００〜Ｓ２４２０３の処理》
図３８に例示するように、まず、第一入力情報τφ,1＝ｘφb(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,1）が能力提供装置２４２（図３３）の第一出力情報計算部２４２０１に入力され、第二入力情報τφ,2＝ｘφa(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,2）が第二出力情報計算部２４２０２に入力される（ステップＳ２４２００）。
【０３８７】
第一出力情報計算部２４２０１は、第一入力情報τφ,1＝ｘφb(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），ｈｒφ,1）と第一暗号化鍵ｙ（φ，１）に対応する第一復号鍵ｓ（φ，１）と第二暗号化鍵ｙ（φ，２）とを用い、或る確率より大きな確率でｆφ（ｘφb(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,1））を正しく計算し、計算結果を第一出力情報ｚφ,1とする。この計算結果は正しい場合もあれば正しくない場合もある。すなわち、第一出力情報計算部２４２０１での計算結果がｆφ（ｘφb(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,1））となる場合もあれば、ｆφ（ｘφb(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,1））とならない場合もある（ステップＳ２４２０１）。
【０３８８】
なお、本形態の関数ｆφは、第一暗号化方式ＥＮＣφ,1に則って第一復号鍵ｓ（φ，１）で暗号文を復号して得られる値をＥｌＧａｍａｌ暗号方式に則って第二暗号化鍵ｙ（φ，２）で暗号化するための準同型関数である。例えば、第一暗号化方式ＥＮＣφ,1も第二暗号化方式ＥＮＣφ,2もＥｌＧａｍａｌ暗号方式で或る場合、関数ｆφは、ＥｌＧａｍａｌ暗号方式に則って第一復号鍵ｓ（φ，１）で暗号文を復号して得られる値を、ＥｌＧａｍａｌ暗号方式に則って第二暗号化鍵ｙ（φ，２）で暗号化するための準同型関数である。
【０３８９】
第二出力情報計算部２４２０２は、第二入力情報τφ,2＝ｘφa(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,2）と第一復号鍵ｓ（φ，１）と第二暗号化鍵ｙ（φ，２）とを用い、或る確率より大きな確率でｆφ（ｘφa(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），ｈｒφ,2））を正しく計算可能であり、得られた計算結果を第二出力情報ｚφ,2とする。この計算結果は正しい場合もあれば正しくない場合もある。すなわち、第二出力情報計算部２４２０２での計算結果がｆφ（ｘφa(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,2））となる場合もあれば、ｆφ（ｘφa(φ)Ｃφ,1（ｙ（φ，１），hｒφ,2））とならない場合もある（ステップＳ２４２０２）。
【０３９０】
第一出力情報計算部２４２０１は第一出力情報ｚφ,1を出力し、第二出力情報計算部２４２０２は第二出力情報ｚφ,2を出力する（ステップＳ２４２０３）。
【０３９１】
《ステップＳ２４１０４及びＳ２４１０５の処理》
図３７に戻り、第一出力情報ｚφ,1は計算装置２４１−φ（図３２）の第一計算部２４１０５−φに入力され、第二出力情報ｚφ,2は第二計算部２４１０８−φに入力される（ステップＳ２４１０４）。
第一計算部２４１０５−φは、入力された第一出力情報ｚφ,1、元ｈｒφ,1、及び第二暗号化鍵ｙ（φ，２）を用い、ｚφ,1（Ｃφ,2（ｙ（φ，２），hｒφ,1））-1を計算してその計算結果をｕφとする（ステップＳ２４１０５）。計算結果ｕφは、第一べき乗計算部２１１０６−φに送られる。ここで、ｕφ＝ｚφ,1（Ｃφ,2（ｙ（φ，２），hｒφ,1））-1＝ｆφ（ｘφ）b(φ)ｘφ,1となる。すなわち、ｚφ,1（Ｃφ,2（ｙ（φ，２），hｒφ,1））-1は、ｆφ（ｘφ）について誤差Ｘφ,1を持つ乱数化可能標本器の出力となる。その理由については後述する。
【０３９２】
《ステップＳ２４１０８の処理》
第二計算部２４１０８−φは、入力された第二出力情報ｚφ,2、元hｒφ,2、及び第二暗号化鍵ｙ（φ，２）を用い、ｚφ,2（Ｃφ,2（ｙ（φ，２），hｒφ,2））-1を計算してその計算結果をｖφとする。計算結果ｖφは、第二べき乗計算部２１１０９−φに送られる。ここで、ｖφ＝ｚφ,2（Ｃφ,2（ｙ（φ，２），hｒφ,2））-1＝ｆφ（ｘφ）a(φ)ｘφ,2となる。すなわち、ｚφ,2（Ｃφ,2（ｙ（φ，２），hｒφ,2））-1は、ｆφ（ｘφ）について誤差Ｘφ,2を持つ乱数化可能標本器の出力となる。その理由については後述する。
【０３９３】
《ステップＳ２４１０７の処理》
判定部２４１１１−φは、第一リスト記憶部２１１０７−φに記憶された組（ｕφ，ｕφ’）及び第二リスト記憶部２１１１０−φに記憶された組（ｖφ，ｖφ’）の中で、ｕφ’とｖφ’とが互いに同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属するものがあるかを判定する。本形態の判定部２４１１１−φは、ｕφ’＝（ｃφ,1u，ｃφ,2u）及びｖφ’＝（ｃφ,1v，ｃφ,2v）に対して、関係ｅφ（μφ,g1，ｃφ,2u）／ｅφ（ｃφ,1u，ｙ（φ，２））＝ｅφ（μφ,g1，ｃφ,2v）／ｅφ（ｃφ,1v，ｙ（φ，２））を満たすものがあるかを判定する（ステップＳ２４１０７）。ｕφ’とｖφ’がこの関係を満たすかを判定することで、ｕφ’とｖφ’とが互いに同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属することを判定できる理由については後述する。
【０３９４】
もし、第二リスト記憶部２１１１０−φに組（ｖφ，ｖφ’）が記憶されていない場合には、このステップＳ２４１０７の処理を行わずに、次のステップＳ２１１０８の処理を行う。同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属するｕφ’とｖφ’との組があった場合（上記の関係を満たすｕφ’とｖφ’との組があった場合）には、ステップＳ２１１１４に進む。同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属するｕφ’とｖφ’との組がなかった場合には、ステップＳ２４１０８に進む。
【０３９５】
《ステップＳ２４１１０の処理》
判定部２４１１１−φは、第一リスト記憶部２１１０７−φに記憶された組（ｕφ，ｕφ’）及び第二リスト記憶部２４１１０−φに記憶された組（ｖφ，ｖφ’）の中で、ｕφ’とｖφ’とが互いに同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属するものがあるかを判定する。本形態の判定部２４１１１−φは、ｕφ’＝（ｃφ,1u，ｃφ,2u）及びｖφ’＝（ｃφ,1v，ｃφ,2v）に対して、関係ｅφ（μφ，ｇ１，ｃφ,2u）／ｅφ（ｃφ,1u，ｙ（φ，２））＝ｅφ（μφ,g1，ｃφ,2v）／ｅφ（ｃφ,1v，ｙ（φ，２））を満たすものがあるかを判定する（ステップＳ２４１１０）。同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属するｕφ’とｖφ’との組があった場合には、ステップＳ２１１１４に進む。同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属するｕφ’とｖφ’との組がなかった場合には、ステップＳ２１１１１に進む。
【０３９６】
なお、特殊な群Ｇφ,1，Ｇφ,2や双線形写像ｅφを用いた場合、ステップＳ２４１０７及びＳ２４１１０の処理を計算装置２４１−φに実行させることができる者を制限できる。この詳細については後述する。
【０３９７】
《ｚφ,1（Ｃφ,2（ｙ（φ，２），ｈｒφ,1））-1，ｚφ,2（Ｃφ,2（ｙ（φ，２），ｈｒφ,2））-1がｆφ（ｘφ）についてそれぞれ誤差Ｘφ,1，Ｘφ,2を持つ乱数化可能標本器の出力となる理由について》
任意の元ｈｒφ,1を固定して考えると、元Ｃφ,2（ｙ（φ，２），ｍφ）＝（μφ,g1r(φ)，ｍφｙ（φ，２）r(φ)）における乱数ｒ（φ）を確率空間とする確率分布について、以下の関係が成り立つ。ただし、以下の関係において［Ψ1］＝［Ψ2］とは、Ψ1とΨ2とが乱数ｒを確率空間とする確率分布として等しいことを意味する。Ｄφ,1（ｓ（φ，１），ｘφ）は、第一暗号化方式ＥＮＣφ,1に則って元ｘφを第一復号鍵ｓ（φ，１）で復号するための関数を表す。ｈｒφ,2’＝Ｄφ,1（ｓ（φ，１），ｘφ）a(φ) ｈｒφ,2とする。
［ｚφ,2（Ｃφ,2（ｙ（φ，２），ｈｒφ,2））-1］
＝［ｆφ（ｘφa(φ)Ｃφ,2（ｙ（φ，１），ｈｒφ,2））（Ｃφ,2（ｙ（φ，２），ｈｒφ,2））-1］
＝［ｆφ（Ｃφ,2（ｙ（φ，１），Ｄφ,1（ｓ（φ，１），ｘφ）a(φ) ｈｒφ,2））（Ｃφ,2（ｙ（φ，２），hｒφ,2））-1］
＝［ｆφ（Ｃφ,2（ｙ（φ，１），Ｄφ,1（ｓ（φ，１），ｘφ）a(φ) ｈｒφ,2））Ｃφ,2（ｙ（φ，２），Ｄφ,1（ｓ（φ，１），ｘφ）a(φ) hｒφ,2）-1Ｃφ,2（ｙ（φ，２），Ｄφ,1（ｓ（φ，１），ｘφ）a(φ)）］
＝［ｆφ（Ｃφ,2（ｙ（φ，１），ｈｒφ,2’））Ｃφ,2（ｙ（φ，２），hｒφ,2’）-1Ｃφ,2（ｙ（φ，２），Ｄφ,1（ｓ（φ，１），ｘφ）a(φ)）］
【０３９８】
したがって、乱数ｒ（φ）と群Ｇφ上の一様かつランダムな元gｒφとの両方を確率空間とし、群Ｇφに値を持つ確率変数をＸφ,2＝ｆφ（Ｃφ,2（ｙ（φ，１），ｈｒφ,2’））Ｃφ,2（ｙ（φ，２），hｒφ,2’）-1と考えると、ｘφ,2∈Ｘφ,2について以下の関係が成り立つ。
ｚφ,2（Ｃφ,2（ｙ（φ，２），hｒφ,2））-1
＝ｘφ,2Ｃφ,2（ｙ（φ，２），Ｄφ,1（ｓ（φ，１），ｘφ）a(φ)）
＝ｘφ,2ｆφ（ｘφa(φ)）
＝ｆφ（ｘφ）a(φ)ｘφ,2
同様に、ｘφ,1∈Ｘφ，１についてｚφ,1（Ｃφ,2（ｙ（φ，２），hｒφ,1））-1＝ｆφ（ｘφ）b(φ)ｘφ,1の関係が成り立つ。したがって、ｚφ,1（Ｃφ,2（ｙ（φ，２），hｒφ,1））-1，ｚφ,2（Ｃφ,2（ｙ（φ，２），hｒφ,2））-1はｆφ（ｘφ）についてそれぞれ誤差Ｘφ,1，Ｘφ,2を持つ乱数化可能標本器の出力となる。
【０３９９】
《関係ｅφ（μφ,g1，ｃφ,2u）／ｅφ（ｃφ,1u，ｙ（φ，２））＝ｅφ（μφ,g1，ｃφ,2v）／ｅφ（ｃφ,1v，ｙ（φ，２））を満たすかを判定することで、ｕφ’とｖφ’とが互いに同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属することを判定できる理由》
ｕφ’とｖφ’とが互いに同一の元Ｍφ＝ｘφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属すると仮定する。この場合には第一乱数化可能標本器がｕφ＝ｆ（ｘφ）b(φ)を正しく計算しており、第二乱数化可能標本器がｖφ＝ｆφ（ｘφ）a(φ)を正しく計算している（ｘφ,1及びｘφ,2が群Ｇφの単位元ｅφ,gである）可能性が高い。よって、ｕφ’＝（μφ,g1r’’(φ)，ｍφｙ（φ，２）r’’(φ)）かつｖφ’＝（μφ,g1r’’’(φ)，ｍφｙ（φ，２）r’’’(φ)）である可能性が高い。ただし、ｒ’’（φ）及びｒ’’’（φ）は、ＥｌＧａｍａｌ暗号方式の乱数成分と自然数選択部２１１０２−φで選択された自然数の組とによって定まる値である。その場合、双線形写像ｅφの性質から、ｕφ’＝（ｃφ,1u，ｃφ,2u）に対して
ｅφ（μφ,g1，ｃφ,2u）／ｅφ（ｃφ,1u，ｙ（φ，２））
＝ｅφ（μφ,g1，ｍφｙ（φ，２）r’’(φ)）／ｅφ（μφ,g1r’’(φ)，ｙ（φ，２））
＝ｅφ（μφ,g1，ｍφｙ（φ，２））r’’(φ)／ｅφ（μφ,g1，ｙ（φ，２））r’’(φ)
＝ｅφ（μφ,g1，ｍφ）ｅφ（μφ,g1，ｙ（φ，２））／ｅφ（μφ,g1，ｙ（φ，２））
＝ｅφ（μφ,g1，ｍφ）
を満たす可能性が高い。ｖφ’＝（ｃφ,1v，ｃφ,2v）に対して
ｅφ（μφ,g1，ｃφ,2v）／ｅφ（ｃφ,1v，ｙ（φ，２））
＝ｅφ（μφ,g1，ｍφｙ（φ，２）r’’’(φ)）／ｅφ（μφ,g1r’’’(φ)，ｙ（φ，２））
＝ｅφ（μφ,g1，ｍφｙ（φ，２））r’’’(φ)／ｅφ（μφ,g1，ｙ（φ，２））r’’’(φ)
＝ｅφ（μφ,g1，ｍφ）ｅφ（μφ,g1，ｙ（φ，２））／ｅφ（μφ,g1，ｙ（φ，２））
＝ｅφ（μφ,g1，ｍφ）
を満たす可能性が高い。よって、ｕφ’とｖφ’とが互いに同一の元Ｍφに対する類ＣＬφ（Ｍφ）に属する場合、関係ｅφ（μφ,g1，ｃφ,2u）／ｅφ（ｃφ,1u，ｙ（φ，２））＝ｅφ（μφ,g1，ｃφ,2v）／ｅφ（ｃφ,1v，ｙ（φ，２））を満たす可能性が高い。
【０４００】
次に、ｕφ’とｖφ’とが互いに異なる元に対する類に属すると仮定する。すなわち、ｕφ’が元ｍφ，ｕに対する類ＣＬφ（ｍφ，ｕ）に属し、ｖφ’が元ｍφ，ｖ（ｍφ，ｖ≠ｍφ，ｕ）に対する類ＣＬφ（ｍφ，ｖ）に属すると仮定する。すると、ｕφ’＝（μφ,g1r’’(φ)，ｍφ，ｕｙ（φ，２）r’’(φ)）ｘφ,1かつｖφ’＝（μφ,g1r’’’(φ)，ｍφ，ｖｙ（φ，２）r’’’(φ)）ｘφ,2となる。そのため、ｕφ’＝（ｃφ,1u，ｃφ,2u）に対してｅφ，（μφ,g1，ｃφ,2u）／ｅφ（ｃφ,1u，ｙ（φ，２））＝ｅφ（μφ,g1，ｍφ，ｕ）ｘφ,1を満たし、ｖφ’＝（ｃφ,1v，ｃφ,2v）に対してｅφ（μφ,g1，ｃφ,2v）／ｅφ（ｃφ,1v，ｙ（φ，２））＝ｅφ（μφ,g1，ｍφ，ｖ）ｘφ,2を満たす。よって、ｕφ’とｖφ’とが互いに異なる元に対する類に属する場合、関係ｅφ（μφ,g1，ｃφ,2u）／ｅφ（ｃφ,1u，ｙ（φ，２））≠ｅφ（μφ,g1，ｃφ,2v）／ｅφ（ｃφ,1v，ｙ（φ，２））となる可能性が高い。
【０４０１】
《特殊な群Ｇφ,1，Ｇφ,2や双線形写像ｅφ》
群Ｇφ,1，Ｇφ,2や双線形写像ｅφの構成を以下のように限定した場合、ステップＳ２４１０７及びＳ２４１１０の処理を計算装置２４１−φに実行させることができる者を制限することができる。以下にその詳細を述べる。
【０４０２】
この特殊な例では、Ｎφが素数ωφと素数ιφの合成数、群Ｇφ,1，Ｇφ,2がそれぞれ合成数Ｎφを法とした剰余環Ｚ／ＮφＺ上で定義された第一楕円曲線Ｅφ,1上の点からなる部分群、Ｇφ,1ω，Ｇφ,2ωが素数ωφを法とした剰余体Ｚ／ωφＺ上で定義された第二楕円曲線Ｅφ,2上の点からなる部分群、Ｇφ,1ι，Ｇφ,2ιが素数ιφを法とした剰余体Ｚ／ιφＺ上で定義された第三楕円曲線Ｅφ,3上の点からなる部分群、ｅφ（α，β）が（α，β）∈Ｇφ,1×Ｇφ,2に対して巡回群Ｇφ，Ｔの元を与える双線形写像、ｅφ，ω（αω，βω）が（αω，βω）∈Ｇφ,1ω×Ｇφ,2ωに対して巡回群Ｇφ，Ｔωの元を与える第二双線形写像、ｅφ，ι（αι，βι）が（αι，βι）∈Ｇφ,1ι×Ｇφ,2ιに対して巡回群Ｇφ,Tιの元を与える第三双線形写像、ＨＭφが第一楕円曲線Ｅφ,1上の点を第二楕円曲線Ｅφ,2上の点と第三楕円曲線Ｅφ,3上の点とに写す同型写像、ＨＭφ-1が同型写像ＨＭφの逆像である。
【０４０３】
この例の場合、双線形写像ｅφ（α，β）は剰余環Ｚ／ＮφＺ上で定義された第一楕円曲線Ｅφ,1上で定義される。しかしながら、剰余環上で定義された楕円曲線上で定義された双線形写像ｅφ（α，β）を多項式時間で計算する方法は知られておらず、多項式時間で計算可能な剰余環上で定義された楕円曲線上で定義された双線形写像ｅφ（α，β）の構成方法も知られていない（参考文献４：Alexander W. Dent and Steven D. Galbraith, "Hidden Pairings and Trapdoor DDH Groups," ANTS 2006, LNCS 4076, pp. 436-451, 2006.）。このような設定の場合、判定部２４１１１は、双線形写像ｅφを剰余環Ｚ／ＮφＺ上で直接計算して関係ｅφ（μφ,g1，ｃφ,2u）／ｅφ（ｃφ,1u，ｙ（φ，２））＝ｅφ（μφ,g1，ｃφ,2v）／ｅφ（ｃφ,1v，ｙ（φ，２））を満たすか否かを判定することができない。
【０４０４】
一方、剰余体Ｚ／ωφＺ，Ｚ／ιφＺ上で定義された楕円曲線上で定義されたｅφ,ω（αω，βω）やｅφ,ι（αι，βι）としては、多項式時間で計算可能なWeilペアリングやTateペアリングなどが存在する（参考文献２，３等参照）。このようなｅφ,ω（αω，βω）やｅφ,ι（αι，βι）を多項式時間で行うアルゴリズムとしてMiller のアルゴリズム（参考文献５：V. S. Miller, “Short Programs for functions on Curves,”1986，インターネット＜http://crypto.stanford.edu/miller/miller.pdf＞」などがよく知られている。さらに、このようなｅφ,ω（αω，βω）やｅφ,ι（αι，βι）を効率的に行うための楕円曲線や巡回群の構成方法もよく知られている（例えば、参考文献３、参考文献６：A. Miyaji, M. Nakabayashi, S.Takano, "New explicit conditions of elliptic curve Traces for FR-Reduction," IEICE Trans. Fundamentals, vol. E84-A, no05, pp. 1234-1243, May 2001」、参考文献７：P.S.L.M. Barreto, B. Lynn, M. Scott, "Constructing elliptic curves with prescribed embedding degrees," Proc. SCN '2002, LNCS 2576, pp.257-267, Springer-Verlag. 2003」、参考文献８：R. Dupont, A. Enge, F. Morain, "Building curves with arbitrary small MOV degree over finite prime fields," http://eprint.iacr.org/2002/094/等参照）。
【０４０５】
中国人の剰余定理（Chinese remainder theorem）に基づき、合成数Ｎφ（Ｎφ＝ωφ・ιφ）を法とした剰余環Ｚ／ＮφＺから剰余体Ｚ／ωφＺと剰余体Ｚ／ιφＺとの直積に写す同型写像が存在すること、及び剰余体Ｚ／ωφＺと剰余体Ｚ／ιφＺとの直積から剰余環Ｚ／ＮφＺに写す同型写像が存在することがよく知られている（参考文献９：ヨハネス ブーフマン，”暗号理論入門”，シュプリンガー・フェアラーク東京 (2001/07)， ISBN-10: 4431708669 ISBN-13，pp. 52-56）。すなわち、第一楕円曲線Ｅφ,1上の点を第二楕円曲線Ｅφ,2上の点と第三楕円曲線Ｅφ,3上の点とに写す同型写像ＨＭφ、及びその逆像ＨＭφ-1が存在する。一例を挙げると、剰余環Ｚ／ＮφＺの元κ ｍｏｄ Ｎφを剰余体Ｚ／ωφＺの元κ ｍｏｄ ωφと剰余体Ｚ／ιφＺの元κ ｍｏｄ ιφとに写す同型写像をＨＭφとし、剰余体Ｚ／ωφＺの元κω ｍｏｄ ωφと剰余体Ｚ／ιφＺの元κι ｍｏｄ ιφとを剰余環Ｚ／ＮφＺの元κωιφιφ’+κιωφωφ’ｍｏｄ Ｎφに写す写像をＨＭφ−１とすることができる。ただし、ωφ’及びιφ’はωφωφ’＋ιφιφ’＝１を満たす自然数である。このようなωφ’，ιφ’は拡張ユークリッドの互除法を用いて容易に生成できる。ωφωφ’＋ιφιφ’＝１の関係から、κωιφιφ’+κιωφωφ’ｍｏｄ ＮにＨＭφを作用させると
κωιφιφ’+κιωφωφ’ ｍｏｄ ωφ＝κωιφιφ’ｍｏｄ ωφ＝κω（１−ωφωφ’）ｍｏｄ ωφ＝κωｍｏｄ ωφ∈Ｚ／ωφＺ
κωιφιφ’+κιωφωφ’ ｍｏｄιφ＝κιωφωφ’ ｍｏｄιφ＝κι（１−ιφιφ’） ｍｏｄιφ＝κιｍｏｄιφ∈Ｚ／ιφＺ
となり、この一例での写像はＨＭφとＨＭφ-1との関係にあることが分かる。
【０４０６】
そのため、合成数Ｎφを素因数分解した値、すなわち素数ωφと素数ιφとの値が与えられるのであれば、判定部２４１１１は、以下のステップＡ〜Ｄの処理によって、剰余環Ｚ／ＮφＺ上で定義された第一楕円曲線Ｅφ,1上の双線形写像ｅφ（α，β）を計算することができる。
【０４０７】
（ステップＡ）判定部２４１１１は、同型写像ＨＭφを用い、剰余環Ｚ／ＮφＺ上で定義された第一楕円曲線Ｅφ,1上の点α∈Ｇφ,1を、剰余体Ｚ／ωφＺ上で定義された第二楕円曲線Ｅφ,2上の点θω（α）∈Ｇφ,1ωと剰余体Ｚ／ιφＺ上で定義された第三楕円曲線Ｅφ,3上の点θι（α）∈Ｇφ,1ιとに写す。
【０４０８】
（ステップＢ）判定部２４１１１は、同型写像ＨＭφを用い、剰余環Ｚ／ＮφＺ上で定義された第一楕円曲線Ｅφ,1上の点β∈Ｇφ,2を、剰余体Ｚ／ωφＺ上で定義された第二楕円曲線Ｅφ,2上の点θω（β）∈Ｇφ,2ωと剰余体Ｚ／ιφＺ上で定義された第三楕円曲線Ｅφ,3上の点θι（β）∈Ｇφ,2ιとに写す。
【０４０９】
（ステップＣ）判定部２４１１１は、第二楕円曲線Ｅφ,2及び第三楕円曲線Ｅφ,3でのｅφ，ω（θω（α），θω（β））及びｅφ,ι（θι（α），θι（β））を求める。
【０４１０】
（ステップＤ）判定部２４１１１は、得られた演算結果ｅφ，ω（θω（α），θω（β））及びｅφ，ι（θι（α），θι（β））に逆像ＨＭφ−１を作用させた値をｅφ（α，β）とする。
【０４１１】
よって素数ωφと素数ιφとの値が与えられるのであれば、判定部２４１１１は、ステップＡ〜Ｄに従ってｅφ（μφ,g1，ｃφ,2u），ｅφ（ｃφ,1u，ｙ（φ，２）），ｅφ（μφ,g1，ｃφ,2v），ｅφ（ｃφ,1v，ｙ（φ，２））を計算し、関係ｅφ（μφ,g1，ｃφ,2u）／ｅφ（ｃφ,1u，ｙ（φ，２））＝ｅφ（μφ,g1，ｃφ,2v）／ｅφ（ｃφ,1v，ｙ（φ，２））を満たすか否かを判定することができる。
【０４１２】
一方、大きな合成数Ｎφの素因数分解を多項式時間で行う方法は知られていない。よって、この設定の場合、素数ωφ及び素数ιφの少なくとも一方が与えられていない判定部２４１１１は、関係ｅφ（μφ,g1，ｃφ,2u）／ｅφ（ｃφ,1u，ｙ（φ，２））＝ｅφ（μφ,g1，ｃφ,2v）／ｅφ（ｃφ,1v，ｙ（φ，２））を満たすか否かを判定することができない。
【０４１３】
以上のような特殊な群Ｇφ,1，Ｇφ,2や双線形写像ｅφを用いた場合、ステップＳ２４１０７及びＳ２４１１０の処理を計算装置２４１−φに実行させることができる者を素数ωφ及び素数ιφの少なくとも一方を知る者に制限することができる。
【０４１４】
［第十六実施形態］
第十六実施形態の代理計算システムは、上述した第一乱数化可能標本器及び第二乱数化可能標本器を具体化した他の例である。具体的には、Ｈφが群Ｇφの直積群Ｇφ×Ｇφ、群Ｇφが巡回群、関数ｆφ（ｘφ）がＥｌＧａｍａｌ暗号の復号関数、すなわち暗号文である元ｘφ＝（ｃφ,1，ｃφ,2）及び復号鍵ｓ（φ）に対してｆφ（ｃφ,1，ｃφ,2）＝ｃφ,1ｃφ,2-s(φ)である場合の第一乱数化可能標本器及び第二乱数化可能標本器の例を具体化したものである。以下、第十二実施形態と異なる部分を中心に説明し、共通する部分については重複説明を省略する。
【０４１５】
図３１に例示するように、第十六実施形態の代理計算システム２０５は、計算装置２１１−φが計算装置２５１−φに置換され、能力提供装置２１２が能力提供装置２５２に置換されたものである。
【０４１６】
図３２に例示するように、第十六実施形態の計算装置２５１−φは、例えば、自然数記憶部２１１０１−φと自然数選択部２１１０２−φと整数計算部２１１０３−φと入力情報提供部２５１０４−φと第一計算部２５１０５−φと第一べき乗計算部２１１０６−φと第一リスト記憶部２１１０７−φと第二計算部２５１０８−φと第二べき乗計算部２１１０９−φと第二リスト記憶部２１１１０−φと判定部２１１１１−φと最終出力部２１１１２−φと制御部２１１１３−φとを有する。図３６に例示するように、本形態の入力情報提供部２５１０４−φは、例えば、第四乱数生成部２５１０４ａ−φと第五乱数生成部２５１０４ｂ−φと第一入力情報計算部２５１０４ｃ−φと第六乱数生成部２５１０４ｄ−φと第七乱数生成部２５１０４ｅ−φと第二入力情報計算部２５１０４ｆ−φとを有する。第一入力情報計算部２５１０４ｃ−φは、例えば、第四入力情報計算部２５１０４ｃａ−φと第五入力情報計算部２５１０４ｃｂ−φとを有し、第二入力情報計算部２５１０４ｆ−φは、第六入力情報計算部２５１０４ｆａ−φと第七入力情報計算部２５１０４ｆｂ−φとを有する。
【０４１７】
図３３に例示するように、第十六実施形態の能力提供装置２５２は、例えば、第一出力情報計算部２５２０１と第二出力情報計算部２５２０２と制御部２１２０５とを有する。
【０４１８】
＜処理＞
次に本形態の処理を説明する。第十六実施形態では、群Ｈφ＝Ｇφ×Ｇφ、元ｘφ＝（ｃφ,1，ｃφ,2）∈Ｈφであり、ｆφ（ｃφ,1，ｃφ,2）が準同型関数であり、群Ｇφの生成元をμφ,gとし、群Ｇφの位数をＫφ,Gとし、同じ復号鍵ｓ（φ）に対する暗号文（Ｖφ，Ｗφ）∈Ｈφとその暗号文を復号した復号文ｆφ（Ｖφ，Ｗφ）＝Ｙφ∈Ｇφとの組が計算装置２５１−φ及び能力提供装置２５２に事前設定され、計算装置２５１−φ及び能力提供装置２５２がこの組を利用可能とされているものとする。
【０４１９】
図３７及び３８に例示するように、第十六実施形態の処理は第十二実施形態のステップＳ２１１０３〜Ｓ２１１０５，Ｓ２１１０８，Ｓ２１２００〜Ｓ２１２０３が、それぞれ、ステップＳ２５１０３〜Ｓ２５１０５，Ｓ２５１０８，Ｓ２５２００〜Ｓ２５２０３に置換されたものである。以下ではステップＳ２５１０３〜Ｓ２５１０５，Ｓ２５１０８，Ｓ２５２００〜Ｓ２５２０３の処理のみを説明する。
【０４２０】
《ステップＳ２５１０３の処理》
計算装置２５１−φ（図３２）の入力情報提供部２５１０４−φは、入力された元ｘφ＝（ｃφ,1，ｃφ,2）に対応する第一入力情報τφ,1及び元ｘφ＝（ｃφ,1，ｃφ,2）に対応する第二入力情報τφ,2を生成して出力する（図３７／ステップＳ２５１０３）。以下、図４１を用いて本形態のステップＳ２５１０３の処理を説明する。
【０４２１】
第四乱数生成部２５１０４ａ−φ（図３６）は、０以上Ｋφ,G未満の自然数の一様乱数ｒ（φ，４）を生成する。生成された乱数ｒ（φ，４）は、第四入力情報計算部２５１０４ｃａ−φ、第五入力情報計算部２５１０４ｃｂ−φ、及び第一計算部２５１０５−φに送られる（ステップＳ２５１０３ａ）。第五乱数生成部２５１０４ｂ−φは、０以上Ｋφ,G未満の自然数の一様乱数ｒ（φ，５）を生成する。生成された乱数ｒ（φ，５）は、第五入力情報計算部２５１０４ｃｂ−φ、及び第一計算部２５１０５−φに送られる（ステップＳ２５１０３ｂ）。
第四入力情報計算部２５１０４ｃａ−φは、自然数選択部２１１０２−φで選択された自然数ｂ（φ）、元ｘφが含むｃφ,2、及び乱数ｒ（φ，４）を用い、第五入力情報ｃφ，２ｂ（φ）Ｗr(φ,4)を計算する（ステップＳ２５１０３ｃ）。第五入力情報計算部２５１０４ｃｂ−φは、自然数選択部２１１０２−φで選択された自然数ｂ（φ）、元ｘφが含むｃφ,1、及び乱数ｒ（φ，４），ｒ（φ，５）を用い、第五入力情報ｃφ,1b(φ)Ｖr(φ,4)μφ,gr(φ,5)を計算する（ステップＳ２５１０３ｄ）。
【０４２２】
第六乱数生成部２５１０４ｄ−φは、０以上Ｋφ,G未満の自然数の一様乱数ｒ（φ，６）を生成する。生成された乱数ｒ（φ，６）は、第六入力情報計算部２５１０４ｆａ−φ、第七入力情報計算部２５１０４ｆｂ−φ、及び第二計算部２５１０８−φに送られる（ステップＳ２５１０３ｅ）。第七乱数生成部２５１０４ｅ−φは、０以上Ｋφ,G未満の自然数の一様乱数ｒ（φ，７）を生成する。生成された乱数ｒ（φ，７）は、第七入力情報計算部２５１０４ｆｂ−φ、及び第二計算部２５１０８−φに送られる（ステップＳ２５１０３ｆ）。
【０４２３】
第六入力情報計算部２５１０４ｆａ−φは、自然数選択部２１１０２−φで選択された自然数ａ（φ）、元ｘφが含むｃφ,2、及び乱数ｒ（φ，６）を用い、第六入力情報ｃφ,2a(φ)Ｗr(φ,6)を計算する（ステップＳ２５１０３ｇ）。第七入力情報計算部２５１０４ｆｂ−φは、自然数選択部２１１０２−φで選択された自然数ａ（φ）、元ｘφが含むｃφ,1、及び乱数ｒ（φ，６），ｒ（φ，７）を用い、第七入力情報ｃφ,1a(φ)Ｖr(φ,6)μgr(φ,7)を計算する（ステップＳ２５１０３ｈ）。
【０４２４】
第一入力情報計算部２５１０４ｃ−φは、以上のように生成した第五入力情報ｃφ,2b(φ)Ｗφr(φ,4)及び第五入力情報ｃφ,1b(φ)Ｖφr(φ,4)μφ,gr(φ,5)を第一入力情報τφ,1＝（ｃφ,2b(φ)Ｗφr(φ,4)，ｃφ,1b(φ)Ｖφr(φ,4)μφ,gr(φ,5)）として出力する。第二入力情報計算部２５１０４ｆ−φは、以上のように生成した第六入力情報ｃφ,2a(φ)Ｗr(φ,6)及び第七入力情報ｃφ,1a(φ)Ｖφr(φ,6)μφ,gr(φ,7)を第二入力情報τφ,2＝（ｃφ,2a(φ)Ｗφr(φ,6)，ｃφ,1a(φ)Ｖφr(φ,6)μφ,gr(φ,7)）として出力する（ステップＳ２５１０３ｉ）。
【０４２５】
《ステップＳ２５２００〜Ｓ２５２０３の処理》
図３８に例示するように、まず、第一入力情報τφ,1＝（ｃφ,2b(φ)Ｗφr(φ,4)，ｃφ,1b(φ)Ｖφr(φ,4)μφ,gr(φ,5)）が能力提供装置２５２（図３３）の第一出力情報計算部２５２０１に入力され、第二入力情報τφ,2＝（ｃφ,2a(φ)Ｗr(φ,6)，ｃφ,1a(φ)Ｖr(φ,6)μφ,gr(φ,7)）が第二出力情報計算部２５２０２に入力される（ステップＳ２５２００）。
【０４２６】
第一出力情報計算部２５２０１は、第一入力情報τφ,1＝（ｃφ,2b(φ)Ｗφr(φ,4)，ｃφ,1b(φ)Ｖφr(φ,4)μφ,gr(φ,5)）と復号鍵ｓ（φ）とを用い、或る確率より大きな確率でｆφ（ｃφ,1b(φ)Ｖφr(φ,4)μφ,gr(φ,5)，ｃφ,2b(φ)Ｗφr(φ,4)）を正しく計算し、計算結果を第一出力情報ｚφ,1とする。この計算結果は正しい場合もあれば正しくない場合もある。すなわち、第一出力情報計算部２５２０１での計算結果がｆφ（ｃφ,1b(φ)Ｖφr(φ,4)μφ,gr(φ,5)，ｃφ,2b(φ)Ｗφr(φ,4)）となる場合もあれば、ｆφ（ｃφ,1b(φ)Ｖφr(φ,4)μφ,gr(φ,5)，ｃφ,2b(φ)Ｗφr(φ,4)）とならない場合もある（ステップＳ２５２０１）。
【０４２７】
第二出力情報計算部２５２０２は、第二入力情報τφ,2＝（ｃφ,2a(φ)Ｗφr(φ,6)，ｃφ,1a(φ)Ｖφr(φ,6)μφ,gr(φ,7)）と復号鍵ｓ（φ）とを用い、或る確率より大きな確率でｆφ（ｃφ,1a(φ)Ｖφr(φ,6)μφ,gr(φ,7)，ｃφ,2a(φ)Ｗφr(φ,6)）を正しく計算可能であり、得られた計算結果を第二出力情報ｚφ,2とする。この計算結果は正しい場合もあれば正しくない場合もある。すなわち、第二出力情報計算部２５２０２での計算結果がｆφ（ｃφ,1a(φ)Ｖφr(φ,6)μφ,gr(φ,7)，ｃφ,2a(φ)Ｗφr(φ,6)）となる場合もあれば、ｆφ（ｃφ,1a(φ)Ｖφr(φ,6)μφ,gr(φ,7)，ｃφ,2a(φ)Ｗφr(φ,6)）とならない場合もある（ステップＳ２５２０２）。
第一出力情報計算部２５２０１は第一出力情報ｚφ,1を出力し、第二出力情報計算部２５２０２は第二出力情報ｚφ,2を出力する（ステップＳ２５２０３）。
【０４２８】
《ステップＳ２５１０４及びＳ２５１０５の処理》
図３７に戻り、第一出力情報ｚφ,1は計算装置２５１−φ（図３２）の第一計算部２５１０５−φに入力され、第二出力情報ｚφ,2は第二計算部２５１０８−φに入力される（ステップＳ２５１０４）。
【０４２９】
第一計算部２５１０５−φは、入力された第一出力情報ｚφ,1及び乱数ｒ（φ，４），ｒ（φ，５）を用い、ｚφ,1Ｙ-r(φ,4)μφ,g-r(φ,5)を計算してその計算結果をｕφとする（ステップＳ２５１０５）。計算結果ｕφは、第一べき乗計算部２１１０６−φに送られる。ここで、ｕφ＝ｚφ，４Ｙφ-r(φ,4)μφ,g-r(φ,5)＝ｆφ（ｃφ,1，ｃφ,2）b(φ)ｘφ,1となる。すなわち、ｚφ，４Ｙφ-r(φ,4)μφ,g-r(φ,5)は、ｆφ（ｃφ,1，ｃφ,2）について誤差Ｘφ,1を持つ乱数化可能標本器の出力となる。その理由については後述する。
【０４３０】
《ステップＳ２５１０８の処理》
第二計算部２５１０８−φは、入力された第二出力情報ｚφ,2及び乱数ｒ（φ，６），ｒ（φ，７）を用い、ｚφ,2Ｙφ-r(φ,6)μφ,g-r(φ,7)を計算してその計算結果をｖφとする。計算結果ｖφは、第二べき乗計算部２１１０９−φに送られる。ここで、ｖφ＝ｚφ，５Ｙφ-r(φ,6)μφ,g-r(φ,7)＝ｆφ（ｃφ,1，ｃφ,2）ａ（φ）ｘφ,2となる。すなわち、ｚφ，５Ｙφ-r(φ,6)μφ,g-r(φ,7)は、ｆφ（ｃφ,1，ｃφ,2）について誤差Ｘφ,2を持つ乱数化可能標本器の出力となる。その理由については後述する。
【０４３１】
≪ｚφ，４Ｙφ-r(φ,4)μφ,g-r(φ,5)，ｚφ,5Ｙφ-r(φ,6)μφ,g-r(φ,7)がｆφ（ｃφ,1，ｃφ,2）についてそれぞれ誤差Ｘφ,1，Ｘφ,2を持つ乱数化可能標本器の出力となる理由について≫
ｃを自然数、Ｒ1、Ｒ2、Ｒ1’及びＲ2’を乱数として、能力提供装置２５２がｃφ,1ｃＶφR1μφ,gR2及びｃφ,2cＷφR1を用いて行う計算の計算結果をＢ（ｃφ,1cＶφR1μφ,gR2，ｃφ,2cＷφR1）とする。すなわち、第一出力情報計算部２５２０１や第二出力情報計算部２５２０２が計算装置２５１−φに返す計算結果をｚφ＝Ｂ（ｃφ,1cＶφR1μφ,gR2，ｃφ,2cＷφR1）とする。さらに、群Ｇφに値を持つ確率変数ＸφをＸφ＝Ｂ（ＶφR1’μφ,gR2’，ＷφR1’）ｆφ（ＶφR1’μφ,gR2’，ＷφR1’）-1と定義する。
【０４３２】
このとき、ｚφＹφ-R1μφ,g-R2＝Ｂ（ｃφ,1cＶφR1μφ,gR2，ｃφ,2cＷφR1）Ｙφ-R1μφ,g-R2＝Ｘφｆφ（ｃφ,1cＶφR1μφ,gR2，ｃφ,2cＷφR1）Ｙφ-R1μφ,g-R2＝Ｘφｆφ（ｃφ,1，ｃφ,2）cｆφ（Ｖφ，Ｗφ）R1ｆφ（μφ,g，ｅφ,g）R2Ｙφ-R1μφ,g-R2＝Ｘφｆφ（ｃφ,1，ｃφ,2）cＹφR1μφ,gR2Ｙφ-R1μφ,g-R2＝ｆφ（ｃφ,1，ｃφ,2）cＸφとなる。すなわち、ｚφＹφ-R1μφ,g-R2は、ｆφ（ｘφ）について誤差Ｘφを持つ乱数化可能標本器の出力となる。なお、ｅφ,gは、群Ｇφの単位元である。
【０４３３】
上記式展開において、Ｘφ＝Ｂ（ＶφR1’μφ,gR2’，ＷφR1’）ｆφ（ＶφR1’μφ,gR2’，ＷφR1’）-1＝Ｂ（ｃφ,1cＶφR1μφ,gR2，ｃφ,2cＷφR1）ｆφ（ｃφ,1cＶφR1μφ,gR2，ｃφ,2cＷφR1）であり、Ｂ（ｃφ,1cＶφR1μφ,gR2，ｃφ,2cＷφR1）＝Ｘφｆφ（ｃφ,1cＶφR1μφ,gR2，ｃφ,2cＷφR1）であるという性質を用いている。この性質は、Ｒ1、Ｒ2、Ｒ1’及びＲ2’が乱数であることに基づく。
【０４３４】
したがって、ａ（φ），ｂ（φ）が自然数、ｒ（φ，４），ｒ（φ，５），ｒ（φ，６）及びｒ（φ，７）が乱数であることを考慮すると、同様に、ｚφ,4Ｙφ-r(φ,4)μφ,g-r(φ,5)，ｚφ,5Ｙφ-r(φ,6)μφ,g-r(φ,7)がｆφ（ｃφ,1，ｃφ,2）についてそれぞれ誤差Ｘφ,1，Ｘφ,2を持つ乱数化可能標本器の出力となるのである。
【０４３５】
［第十七実施形態］
第十七実施形態の代理計算システムは、上述した第一乱数化可能標本器及び第二乱数化可能標本器を具体化した他の例である。具体的には、群Ｈφが巡回群Ｈ1,φ,Ｈ2,φの直積群Ｈ1,φ×Ｈ2,φ、巡回群Ｈ1,φの生成元がη1,φ、巡回群Ｈ2,φの生成元がη2,φ、ｆφが巡回群Ｈ1,φの元と巡回群Ｈ2,φの元との組を巡回群Ｇφの元へ写す双準同型写像、巡回群Ｈφの元ｘφが巡回群Ｈ1,φの元λ1,φと巡回群Ｈ2,φの元λ2,φとの組、Ωφ=ｆφ（η1,φ，η2,φ）である場合の第一乱数化可能標本器及び第二乱数化可能標本器の例を具体化したものである。双準同型写像ｆφの例には、Weilペアリングやtateペアリングなどのペアリング演算を行うための関数やアルゴリズムがある。以下、第十二実施形態と異なる部分を中心に説明し、共通する部分については重複説明を省略する。
【０４３６】
図３１に例示するように、第十七実施形態の代理計算システム２０７は、計算装置２１１−φが計算装置２７１−φに置換され、能力提供装置２１２が能力提供装置２７２に置換されたものである。
【０４３７】
図３２に例示するように、第十七実施形態の計算装置２７１−φは、例えば、自然数記憶部２１１０１−φと自然数選択部２１１０２−φと整数計算部２１１０３−φと入力情報提供部２７１０４−φと第一計算部２７１０５−φと第一べき乗計算部２１１０６−φと第一リスト記憶部２１１０７−φと第二計算部２７１０８−φと第二べき乗計算部２１１０９−φと第二リスト記憶部２１１１０−φと判定部２７１１１−φと最終出力部２１１１２−φと制御部２１１１３−φとを有する。図４２に例示するように、本形態の入力情報提供部２７１０４−φは、例えば、第一乱数生成部２７１０４ａ−φと第二乱数生成部２７１０４ｃ−φと第一入力情報計算部２７１０４ｂ−φと第二入力情報計算部２７１０４ｄ−φとを有する。
【０４３８】
図３３に例示するように、第十七実施形態の能力提供装置２７２は、例えば、第一出力情報計算部２７２０１と第二出力情報計算部２７２０２と制御部２１２０５とを有する。
【０４３９】
＜処理＞
次に本形態の処理を説明する。第十七実施形態では、群Ｈφが巡回群Ｈ1,φ,Ｈ2,φの直積群Ｈ1,φ×Ｈ2,φ、巡回群Ｈ1,φの生成元がη1,φ、巡回群Ｈ2,φの生成元がη2,φ、ｆφが巡回群Ｈ1,φの元と巡回群Ｈ2,φの元との組を巡回群Ｇφの元へ写す双準同型写像、群Ｈφの元ｘφが巡回群Ｈ1,φの元λ1,φと巡回群Ｈ2,φの元λ2,φとの組、Ωφ=ｆφ（η1,φ，η2,φ）である。Ωφ=ｆφ（η1,φ，η2,φ）は例えば事前計算されたものである。
【０４４０】
図３７及び３８に例示するように、第十七実施形態の処理は第十二実施形態のステップＳ２１１０３〜Ｓ２１１０５，Ｓ２１１０７，Ｓ２１１０８，Ｓ２１１１０，Ｓ２１２００〜Ｓ２１２０３が、それぞれ、ステップＳ２７１０３〜Ｓ２７１０５，Ｓ２７１０７，Ｓ２７１０８，Ｓ２７１１０，Ｓ２７２００〜Ｓ２７２０３に置換されたものである。以下ではステップＳ２７１０３〜Ｓ２７１０５，Ｓ２７１０７，Ｓ２７１０８，Ｓ２７１１０，Ｓ２７２００〜Ｓ２７２０３の処理のみを説明する。
【０４４１】
《ステップＳ２７１０３の処理》
計算装置２７１−φ（図볯銼볯꺁藥鮊菦놠迦鮾菩銼볯醼볯钼裢쾒꾁胣ꖅ諥閁苣龁럥麛뻧ꢼ猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰ㄾ켬㲆猯扵꺁藥캃㲻畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰱ蛏⼼畳㹢臣ꆷ鯥꒾볯㲨畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰲ蛏⼼畳㹢臣莅믎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰㈾켬㲆猯扵ꢁ臣蒵뷯㲘畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢蛏⼼畳㹢볯袼믎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰ㄾ켬㲆猯扵貼믎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰㈾켬㲆猯扵覼臣뺯뿥馁苣견룤ꖅ諥薃ꃥ쾱㲄畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢蛏ㄬ⼼畳㹢迥뎁뷯㲘畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢蛏⼼畳㹢볯袼믎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰ㄾ켬㲆猯扵貼믎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰㈾켬㲆猯扵覼臣뺯뿥馁苣견뫤ꖅ諥薃ꃥ쾱㲄畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢蛏㈬⼼畳㹢苣龔裦鞁臣몇諥馁苣袼鯥鎼볯込苣蚃菣鞃볯銼볯醼볯鎼볯芀믤许胣뎛볯鎼苣ꢔ臣ꚁ鳦ꊽ藦꺁苣蚃菣鞃볯銼볯醼볯鎼臣ꚇ郧銂ꫨ躘臣讂胣㲂䐯噉ਾ䐼噉㰾䥄㹖胣邼볯钼볯醀⼼䥄㹖 견룤놹闦龔裦ꢃ볯鞼볯邼볯膽裢쾒袼鯥钼볯覼臣膀볯ꖻ룤銼猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰츾⢼⥫欫⼼畳㹰믤许臣ꪇ蓧낕臣肸꟦놹闦銽볯쾈貼볯醼볯貼뷯袼蛏볯醼볯覼볯銽볯쾈貼볯鎼볯貼뷯袼蛏볯醼볯覼볯銽볯쾈貼볯閼볯貼뷯袼蛏볯醼볯覼苣龔裦馁苣芀臣ꂁ臣膀볎볯讽볯꾁苣궂菣ꪃ菣ꎂ菣ꦃ菣벃苣讽臣ꊖ闦ꒀ苣辄釥馁苣芀铧邈臣貂臣놹闦銽볯쾈貼볯醼볯貼뷯袼蛏볯醼볯覼볯銽볯쾈貼볯鎼볯貼뷯袼蛏볯醼볯覼볯銽볯쾈貼볯閼볯貼뷯袼蛏볯醼볯覼臣膀곧肸藥鮊菦놠꣨鞮菩銼볯醼볯钼뷯銈蛏迥뎁곧肸꣨鞮菩銼볯醼볯閼裢쾒ꮁ胩覂苣讂볯릂菣莃菣뎼볯鞼볯邼볯膽볯芀⼼䥄㹖㰊䥄㹖䐼噉邀볯钼볯鎼胣㲑䐯噉ਾ†곧肸藥鮊菦놠꣨鞮菩銼볯醼볯钼뷯銈蛏臣膀蟨뚄闦뢁諦ꢃ볯醼볯邼볯銈蛏臣뢁諦閁苣龁蟨뚄闦芽볯쾈覼胣ꖅ諥閁苣龁胥颽猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰켾㲆猯扵鶼볯캈㲻畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰱ蛏⼼畳㹢볯캌㲻畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰲ蛏⼼畳㹢볯膀铧邈藥캃㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰱ蛏⼼畳㹢볯캌㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰲ蛏⼼畳㹢迥뎁매낕뷯袼蛏볯醼볯覼볯銽볯쾈貼볯銼볯貼뷯袼蛏볯醼볯覼볯銽볯쾈貼볯钼볯貼뷯袼蛏볯醼볯覼볯銽볯쾈貼볯隼볯銂铧蒁胣견룤ꖅ諥薃ꃥ쾱㲄畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢蛏ㄬ⼼畳㹢臣鞁臣膀볯캈㲻畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰱ蛏⼼畳㹢럎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰ㄾ켬㲆猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢⡲蛏ㄬ⤱菣犻켨Ⲇ㈱㰩猯灵貼믎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰㈾켬㲆猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢⡢蛏㰩猯灵츾㲷���⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰲ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰爾켨Ⲇ㌱뮃⡲蛏ㄬ⤴⼼畳㹰볯膀볯캈㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰱ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰爾켨Ⲇㄱ㰩猯灵貼믎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰㈾켬㲆猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢戭켨⦆菣犻켨Ⲇ㈱㰩猯灵츾㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰲ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰爾켨Ⲇ㔱㰩猯灵覼迥뎁볯캈㲻畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰱ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰ⴾ⡲蛏ㄬ⤴⼼畳㹰럎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰ㄾ켬㲆猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢⡲蛏ㄬ⤶⼼畳㹰볯캌㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰲ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰爾켨Ⲇ㌱㰩猯灵覼苣袨껧馁苣袼苣蚃菣鞃볯銼볯醼볯鎼뷯鲀볯銼볯醼볯鎼뷯覼胣㲂䐯噉ਾ䐼噉㰾䥄㹖胣邼볯钼볯醀⼼䥄㹖 견뫤놹闦龔裦ꢃ볯鞼볯邼볯莽裢쾒袼鯥钼볯覼臣膀볯ꖻ룤銼猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰츾⢼⥫欫⼼畳㹰믤许臣ꪇ蓧낕臣肸꟦놹闦銽볯쾈貼볯醼볯貼뷯袼蛏볯銼볯覼볯銽볯쾈貼볯鎼볯貼뷯袼蛏볯銼볯覼볯銽볯쾈貼볯閼볯貼뷯袼蛏볯銼볯覼苣龔裦馁苣芀铧邈臣貂臣놹闦銽볯쾈貼볯醼볯貼뷯袼蛏볯銼볯覼볯銽볯쾈貼볯鎼볯貼뷯袼蛏볯銼볯覼볯銽볯쾈貼볯閼볯貼뷯袼蛏볯銼볯覼臣膀곧貺藥鮊菦놠꣨鞮菩銼볯醼볯钼뷯銈蛏迥뎁곧貺꣨鞮菩銼볯醼볯颼裢쾒ꮁ胩覂苣讂볯릂菣莃菣뎼볯鞼볯邼볯薽볯芀⼼䥄㹖㰊䥄㹖䐼噉邀볯钼볯閼胣㲑䐯噉ਾ†곧貺藥鮊菦놠꣨鞮菩銼볯醼볯钼뷯銈蛏臣膀蟨뚄闦뢁諦ꢃ볯醼볯邼볯銈蛏臣뢁諦閁苣龁蟨뚄闦膽볯쾈覼胣ꖅ諥閁苣龁胥颽猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰켾㲆猯扵鶼볯캈㲻畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰱ蛏⼼畳㹢볯캌㲻畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰲ蛏⼼畳㹢볯膀铧邈藥캃㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰱ蛏⼼畳㹢볯캌㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰲ蛏⼼畳㹢迥뎁매낕뷯袼蛏볯銼볯覼볯銽볯쾈貼볯銼볯貼뷯袼蛏볯銼볯覼볯銽볯쾈貼볯钼볯貼뷯袼蛏볯銼볯覼볯銽볯쾈貼볯隼볯銂铧蒁胣견뫤ꖅ諥薃ꃥ쾱㲄畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢蛏㈬⼼畳㹢臣鞁臣膀볯캈㲻畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰱ蛏⼼畳㹢럎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰ㄾ켬㲆猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢⡲蛏㈬⤱菣犻켨Ⲇ㈲㰩猯灵貼믎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰㈾켬㲆猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢⡡蛏㰩猯灵츾㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰲ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰爾켨Ⲇ㌲뮃⡲蛏㈬⤴⼼畳㹰볯膀볯캈㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰱ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰爾켨Ⲇㄲ㰩猯灵貼믎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰㈾켬���猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢愭켨⦆菣犻켨Ⲇ㈲㰩猯灵츾㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰲ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰爾켨Ⲇ㔲㰩猯灵覼迥뎁볯캈㲻畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰱ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰ⴾ⡲蛏㈬⤴⼼畳㹰럎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰ㄾ켬㲆猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢⡲蛏㈬⤶⼼畳㹰볯캌㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰲ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰爾켨Ⲇ㌲㰩猯灵覼苣袨껧馁苣袼苣蚃菣鞃볯銼볯醼볯鎼뷯鲀볯銼볯醼볯鎼뷯覼胣㲂䐯噉ਾ䐼噉㰾䥄㹖胣邼볯钼볯醀⼼䥄㹖 견룤ꖅ諥薃ꃥ袨껧ꢃ볯鞼볯邼볯芽裢쾒꾁胣견룤ꖅ諥薃ꃥ쾱㲄畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢蛏ㄬ⼼畳㹢臣鞁臣膀볯캈㲻畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰱ蛏⼼畳㹢럎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰ㄾ켬㲆猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢⡲蛏ㄬ⤱菣犻켨Ⲇ㈱㰩猯灵貼믎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰㈾켬㲆猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢⡢蛏㰩猯灵츾㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰲ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰爾켨Ⲇ㌱뮃⡲蛏ㄬ⤴⼼畳㹰볯膀볯캈㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰱ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰爾켨Ⲇㄱ㰩猯灵貼믎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰㈾켬㲆猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢戭켨⦆菣犻켨Ⲇ㈱㰩猯灵츾㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰲ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰爾켨Ⲇ㔱㰩猯灵覼迥뎁볯캈㲻畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰱ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰ⴾ⡲蛏ㄬ⤴⼼畳㹰럎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰ㄾ켬㲆猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢⡲蛏ㄬ⤶⼼畳㹰볯캌㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰲ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰爾켨Ⲇ㌱㰩猯灵覼苣몇諥馁苣芀곧貺藥鮊菦놠꣨鞮菩銼볯醼볯钼뷯銈蛏臣膀곧貺藥鮊菦놠蓏猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰켾Ⲇ㰲猯扵ꢁ臣ꚁ胣袼믎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰ㄾ켬㲆猯扵츾㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰱ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰爾켨Ⲇㄲ뮃⡲蛏㈬⤲⼼畳㹰볯캌㲻畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰲ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰愾켨⦆⼼畳㹰럎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰㈾켬㲆猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢⡲蛏㈬⤳菣犻켨Ⲇ㐲㰩猯灵覼胣袼럎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰ㄾ켬㲆猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢⡲蛏㈬⤱⼼畳㹰볯캌㲻畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰲ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰ⴾ⡡蛏뮃⡲蛏㈬⤲⼼畳㹰럎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰㈾켬㲆猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢⡲蛏㈬⤵⼼畳㹰볯誏臣袼믎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰ㄾ켬㲆猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢爭켨Ⲇ㐲㰩猯灵츾㲷畳⁢浸���㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰱ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰爾켨Ⲇ㘲㰩猯灵貼럎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰㈾켬㲆猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢⡲蛏㈬⤳⼼畳㹰볯銂蟥鮊臣讂볯릂菣莃菣뎼볯銼볯醼볯鎼뷯覼胣㲂䐯噉ਾ䐼噉㰾䥄㹖胣邼볯钼볯醀⼼䥄㹖 誀苣蚃菣鞃볯銼볯銼볯邼胣뎼볯鞼볯邼볯꺁蟥蚐胣㲋牢ਾ†鯥鎼볯ꮁ뻤몤臣讂苣蚁臣膀곧肸藥鮊菦놠蓏猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰켾貼볯㲑猯扵ꞁ臣讂볯캈㲻畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰱ蛏⼼畳㹢럎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰ㄾ켬㲆猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢⡲蛏ㄬ⤱菣犻켨Ⲇ㈱㰩猯灵貼믎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰㈾켬㲆猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢⡢蛏㰩猯灵츾㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰲ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰爾켨Ⲇ㌱뮃⡲蛏ㄬ⤴⼼畳㹰볯膀볯캈㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰱ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰爾켨Ⲇㄱ㰩猯灵貼믎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰㈾켬㲆猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢戭켨⦆菣犻켨Ⲇ㈱㰩猯灵츾㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰲ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰爾켨Ⲇ㔱㰩猯灵覼迥뎁볯캈㲻畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰱ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰ⴾ⡲蛏ㄬ⤴⼼畳㹰럎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰ㄾ켬㲆猯扵㰾畳⁰浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢⡲蛏ㄬ⤶⼼畳㹰볯캌㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰲ蛏⼼畳㹢猼灵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰爾켨Ⲇ㌱㰩猯灵覼臣붃諥邏뻤薣뷧銼볯銼볯뎛볯鎼볯꺁곧肸蟥鮊菦놠꣨鞮菩銼볯銼볯醼臣ꖅ諥閁苣讂胣견뫤ꖅ諥薃ꃥ쾱㲄畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢蛏㈬⼼畳㹢臣芁苣袼믎猼扵砠汭獮樺㵰栢瑴㩰⼯睷⹷灪⹯潧樮≰ㄾ켬㲆猯扵츾㲷畳⁢浸湬㩳灪∽瑨灴⼺眯睷樮潰朮⹯灪㸢ⰱ蛏⼼畳㹢猼灵砠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