# Approche par la dynamique moléculaire pour la conception de VER 3D et variations autour de la pixellisation

Vladimir Salnikov, Sophie Lemaitre, Daniel Choï, Philippe Karamian

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Vladimir Salnikov, Sophie Lemaitre, Daniel Choï, Philippe Karamian. Approche par la dynamique moléculaire pour la conception de VER 3D et variations autour de la pixellisation. 12e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2015, Giens, France. hal-01516452

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Submitted on 1 May 2017

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<figure><img src="image_1.png" /></figure>
# Approche par la dynamique moléculaire pour la conception de VER 3D et variations autour de la pixellisation.

V. Salnikov <fnref n="1" />, S. Lemaitre <fnref n="1" />, D. Choi <fnref n="1" />, Ph. Karamian <fnref n="1" />

**Résumé** — Nous présentons une nouvelle approche de génération de VER <fnref n="1" /> représentant un composite multiphase en 3D. La méthode de génération de VER basée sur la dynamique moléculaire [4] permet de concevoir un matériau composite renforcé de cylindres et/ou de sphères de fraction volumique atteignant au maximum 50% du VER. Grâce à un post-traitement, les VER peuvent être altérés de trois façons différentes. Les VER sont parfaitement adaptés au calcul des propriétés effectives par les techniques d'homogénéisation utilisant tant la FFT <fnref n="2" /> que les éléments finis.

**Mots clés** — génération aléatoire, dynamique moléculaire, homogénéisation, composites

# 1 Génération de VER en 3D [4]

## 1.1 Motivations

La génération des VER est un point fondamental dans l'étude des composites ; c'est pourquoi, nous présentons un nouvel outil efficace, fiable, rapide, modulable et simple d'utilisation pour construire des VER. Afin d'étendre la méthode RSA <fnref n="3" /> utilisée jusqu'à des fractions volumiques de l'ordre de 30%, nous présentons une méthode basée sur la MD <fnref n="4" /> permettant d'atteindre des fractions volumiques allant jusqu'à 50% dans un laps de temps raisonnable et permettant des études stochastiques. Dans cette nouvelle approche, nous pouvons combiner des cylindres et des sphères (cf. figure 1). En fonction du contexte, la méthode développée permet de jouer sur différents paramètres : la fraction volumique des inclusions, leurs orientations, leurs intersections à angle fixé et leurs répartitions spatiales.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1 — Exemple de VER 3D maillé à 3 phases (matrice, inclusion, pellicule) généré par la méthode MD de fraction volumique égale à 50% et trois sections de la pixellisation 3D (dessus, 1er quart, milieu)</figcaption></figure>

## 1.2 De la méthode RSA à la méthode MD

Dans l'espace 3D, nous étudions d'un point de vue géométrique l'intersection des inclusions sphériques et cylindriques. Nous avons construit deux algorithmes (1 et 4 dans [4]) déterminant s'il y a ou non intersection entre une sphère et un cylindre, deux cylindres et deux sphères. Pour la génération d'un VER, nous nous donnons une fraction et un nombre de cylindres (resp. de sphères). La méthode RSA consiste alors à remplir le volume par les cylindres successivement en testant à chaque pas la non intersection puis

<footnote n="1">¹ LMNO-GM3N, Université Caen Basse-Normandie Bld Maréchal Juin CS 14032, 14032 Caen Cedex 5, France
vladimir.salnikov@unicaen.fr, sophie.lemaitre@unicaen.fr, daniel.choi@unicaen.fr, philippe.karamian@unicaen.fr</footnote>

<footnote n="1">1. Volume élémentaire représentatif</footnote>

<footnote n="2">2. Fast Fourier transform</footnote>

<footnote n="3">3. Random sequential adsorption</footnote>

<footnote n="4">4. Molecular dynamics</footnote>
par les sphères de la même manière. L'efficacité est démontrée pour des fractions inférieures à 30%, mais au-delà, des problèmes surviennent, c'est pourquoi nous présentons une nouvelle méthode inspirée de la dynamique moléculaire permettant une génération pour des fractions allant jusqu'à 50%. Cette méthode MD se décompose en trois temps. La première étape est fondée sur une génération purement aléatoire des cylindres et des sphères donnés, puis nous introduisons les forces d'intéractions et les vitesses entre les inclusions qui s'intersectent en les considérant comme des objets mobiles. Enfin, nous résolvons le système dynamique de cet ensemble mobile dont les détails figurent dans [4]. Nous obtenons une nouvelle répartition des inclusions sans intersection les unes avec les autres. L'algorithme donne la liste des cylindres et des sphères avec leurs caractéristiques (centre, rayon, axe).

## 2 Bruit, déformation et fragmentation : pixellisation à partir de la génération de VER

Nous avons mis au point un algorithme permettant d'altérer en post-traitement les VER générés. Nous pouvons produire un VER bruité, déformer les inclusions, ou bien encore les fragmenter par ar-rachements. Les figures 2 montrent respectivement le maillage bruité du VER de la figure 1, un cylindre déformé par ondulation, et un cylindre altéré par fragmentation. Les altérations sont modulables en niveau de bruit, en amplitude pour les ondulations et en proportion pour les fragments.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Altérations : exemples de maillages</figcaption></figure>

Les figures 3 illustrent des exemples de sections de VER altérées par les procédés pré-cités.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Altérations : exemples de sections</figcaption></figure>

Dans la suite, nous prenons le cas d'un matériau constitué de deux phases (matrice / inclusion) pour exposer les raisonnements mis en oeuvre ; en commençant par l'algorithme de pixellisation initial de la génération d'un VER, puis, par les modifications à y apporter pour obtenir les effets souhaités. Nous choisissons également le label 1 (resp. 0) pour un voxel de type inclusion (resp. matrice) et nous supposons choisie la résolution de la pixellisation. Nous noterons un voxel V et $p_v$ le point dans $\mathbb{R}^3$ associé.
## 2.1 Algorithme de pixellisation initial

### Algorithme 1

1. Génération d'un VER de fractions $f_s$ et $f_c$, de $n_s$ sphères et de $n_c$ cylindres donnés

2. Boucle sur chaque voxel V

(a) Boucle sur les $n_s$ sphères de centre $\mathbf{p}_s$, de rayon $r_s$

i. Si la distance de $\mathbf{p}_v$ à $\mathbf{p}_s$ est inférieure à $r_s$

ii. Alors le label de V est égal à 1 et on avance au voxel suivant

(b) Boucle sur les $n_c$ cylindres de centre $\mathbf{p}_c$, de rayon $r_c$, de demi-axe $\mathbf{l}_c$

i. Si la distance de $\mathbf{p}_v$ à $\mathbf{l}_c$ est inférieure à $r_c$ et si la distance de la projection de $\mathbf{p}_v$ sur $\mathbf{l}_c$ au centre $\mathbf{p}_c$ est inférieure à $||\mathbf{l}_c||$

ii. Alors le label de V est égal à 1 et on avance au voxel suivant

(c) Le label de V est égal à 0

(d) On avance au voxel suivant

## 2.2 Pixellisation des VER altérés

Ensuite, pour obtenir des géométries altérées, nous dissociions l'effet bruité des autres altérations. Bruiter un VER est une action finale.

### - Ondulation

Nous détaillons ici le cas d'ondulation sur la surface latérale des cylindres tout en conservant une géométrie de révolution. Il est possible de faire ce travail sur les bords des cylindres et sur les sphères. Nous choisissons une fréquence et une amplitude d'ondulation pour chaque cylindre. Pour conserver la non-intersection des inclusions, nous déterminons le rayon du cylindre permettant de générer un VER en amont respectant cette condition (voir figure 4).

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 4 – Principe des cylindres ondulés</figcaption></figure>

### **Algorithme 2 Modifications à apporter à l'algorithm 1 au niveau de la boucle sur les cylindres)**

Boucle sur les $n_c$ cylindres de centre $\mathbf{p}_c$, de rayon $r_c$, de demi-axe $\mathbf{l}_c$, de fréquence $\omega_c$ et d'amplitude $A_c$

1. Projection de $\mathbf{p}_v$ sur $\mathbf{l}_c : \mathbf{h}_{vc}$

2. Calcul du rayon $r_{eff}$ du disque de centre $\mathbf{h}_{vc}$

3. Si la distance de $\mathbf{p}_v$ à son projeté $\mathbf{h}_{vc}$ est inférieure à $r_{eff}$

Alors le label de V est égal à 1
## Fragmentation

Pour les fragments, nous choisissons une fraction volumique du VER que l'on souhaite altérer, notée $F_s$. L'idée est de générer un VER comme il est décrit à la section 1 et un VER contenant uniquement des sphères de fraction $F_s$ qui permet de créer les fragments, puis selon un test d'appartenance, de changer ou non le label du voxel.

### Algorithm 3

1. Génération d'un VER de fractions $f_s$ et $f_c$, de $n_s$ sphères et de $n_c$ cylindres donnés

2. Génération d'une liste de $N_s$ sphères de fraction $F_s$

3. Boucle sur tous les voxels V du VER

(a) Boucle sur les $N_s$ sphères $S_i$

i. Si $\mathbf{p}_v$ appartient à la sphère $S_i$

ii. Alors on remplace $\mathbf{p}_v$ par $\text{sym}(\mathbf{p}_v)$ (symétrique de $\mathbf{p}_v$ par rapport au centre de la sphère $S_i$)

iii. Sinon on avance à la sphère $S_i$ suivante

(b) On applique l'algorithme 1 (étape 2) à V

## Bruit

Le cas du bruit est une modification dans l'algorithme de pixellisation uniquement, c'est une altération qui intervient si nous la souhaitons en dernier. Nous présentons ici le principe de l'algorithme. Nous choisissons le niveau de bruit désigné par un réel positif $k$. Si $k$ est nul, il n'y a aucun bruit et donc pas d'effet ; mais plus $k$ est "grand" et plus l'effet est du même ordre. Nous décidons qu'après l'effet, la fraction volumique relative aux inclusions doit être conservée statistiquement. En ce sens, nous définissons une loi de probabilité $p_i$ (resp. $p_m$) agissant sur les voxels de type inclusion (resp. sur les voxels de type matrice) de sorte que $p_i = k \times f_m$ (resp. $p_m = k \times f_i$) et telle qu'un voxel de type inclusion (resp. matrice) ait la probabilité $p_i$ (resp. $p_m$) d'être modifié. Le choix de $k$ doit être cohérent avec la nature même de $p_i$ et $p_m$, à savoir des réels compris entre 0 et 1.

## 3 Conclusion et application

La méthode MD se révèle performante pour la génération de VER à des fractions volumiques importantes. Elle vient compléter la méthode RSA. Elle permet la génération fiable, rapide et efficace des VER répondant aux exigences fixées (fractions volumiques, type de géométries, taille, orientation, intersection des inclusions...). Les adaptations décrites à la section 2 offrent une multitude de possibilités en fonction des applications souhaitées. Les VER générés se prêtent au calcul des propriétés effectives des composites utilisant tant les éléments finis que les schémas FFT ([1] [2] [3]).

### Remerciements

Nous remercions le CRIHAN pour ses ressources informatiques. Ce travail est financé en partie par le projet ACCEA dans le cadre du FUI (Fonds Unique Interministériel) 15 (18/03/2013).

### Références

[1] E. Ghossein et M. Lévesque A fully automated numerical tool for a comprehensive validation of homogenization models and its application to spherical particles reinforced composites, International Journal of Solids and Structures, 49 : 1387-1398, 2012

[2] J.C. Michel et M. Moulinec et P. Suquet A computational scheme for linear and non-linear composites with arbitrary phase contrast, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 52 : 139-160, 2001

[3] V. Monchiet et G. Bonnet A polarization based FFT iterative scheme for computing the effective properties of elastic composites with arbitrary contrast, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 89 (11) 1419-1436, 2012

[4] V. Salnikov et D. Choi et Ph. Karamian-Surville On efficient and reliable stochastic generation of RVEs for analysis of composites within the framework of homogenization, Computational Mechanics, accepté, DOI : 10.1007/s00466-014-1086-1, http://arxiv.org/abs/1408.6074, 2014