# Atraminių linearų erdvių geodeziniai atvaizdžiai

Juozas ŠINKŪNAS (VPU)

el. paštas: sinkunas@vpu.lt

A. Ferzalijevas tyrė tenzorinių atraminių elementų erdvių su nepilna afiniaja sietimi geodezinius atvaizdžius ir surado būtinas bei pakankamas tokių atvaizdžių egzistavimo sąlygas [2]. Šiame straipsnelyje nagrinėjami atraminių linearų erdvių su bendraja afiniaja sietimi geodeziniai atvaizdžiai. Surastos būtinos ir pakankamos tokių atvaizdžių egzistavimo sąlygos, ištirta atskira atraminių linearų erdvių klasė.

## 1. Invariantinės išvestinės

Atraminių linearų erdvėje $L_{n,v}(x^{\alpha}, v^{i\beta})$ [3] afinioji sietis apibrėžiama formomis

$$ \tilde{\omega}_{\beta}^{\alpha} = \omega_{\beta}^{\alpha} + L_{\beta\gamma}^{\alpha} \omega^{\gamma} + C_{k\beta\gamma}^{\alpha} \theta^{k\gamma} \quad (1.1) $$

$$ (\alpha, \beta, \gamma, \dots = 1, 2, 3, \dots; \quad i, j, k, \dots = 1, 2, 3, \dots, N). $$

Afinioji sietis erdvėje $L_{n,v}$ indukuoja tiesinę sietį

$$ \tilde{\theta}^{i\alpha} = \Pi_{j\gamma}^{i\alpha} \theta^{j\gamma} + \Pi_{\gamma}^{i\alpha} \omega^{\gamma}, \quad (1.2) $$

kur

$$ \Pi_{j\gamma}^{i\alpha} = \delta_{j}^{i} \delta_{\gamma}^{\alpha} + v^{k\epsilon} (\delta_{k}^{i} C_{j\epsilon\gamma}^{\alpha} + \delta_{\epsilon}^{\alpha} c_{k}^{i} C_{j\sigma\gamma}^{\sigma}), \quad (1.3) $$

$$ \Pi_{\gamma}^{i\alpha} = v^{k\epsilon} (\delta_{k}^{i} L_{\gamma\epsilon}^{\alpha} + \delta_{\epsilon}^{\alpha} c_{k}^{i} L_{\sigma\gamma}^{\sigma}). \quad (1.4) $$

Toliau nagrinėsime tik tokias sietis, kurioms

$$ \Pi_{j\gamma}^{i\alpha} = \delta_{j}^{i} \delta_{\gamma}^{\alpha}. $$

Pirmoje formulėje formas $\theta^{k\gamma}$ pakeitę formomis $\tilde{\theta}^{k\gamma}$, gauname:

$$ \tilde{\omega}_{\beta}^{\alpha} = \omega_{\beta}^{\alpha} + \Gamma_{\beta\epsilon}^{\alpha} \omega^{\epsilon} + C_{k\beta\gamma}^{\alpha} \tilde{\theta}^{k\gamma}, \quad (1.5) $$

kur

$$ \Gamma_{\beta\epsilon}^{\alpha} = L_{\beta\epsilon}^{\alpha} - C_{k\beta\gamma}^{\alpha} \Pi_{\epsilon}^{k\gamma}. \quad (1.6) $$
Linearo $T^{i\alpha}$ pirmos ir antros rūšies invariantinės išvestinės apibrėžiamos šitaip:

$$ \nabla_{\varepsilon} T^{i\alpha} = \frac{\partial T^{i\alpha}}{\partial x^{\varepsilon}} - \frac{\partial T^{i\alpha}}{\partial v^{k\gamma}} \cdot \Pi_{\varepsilon}^{k\gamma} + T^{i\gamma} \Gamma_{\gamma\varepsilon}^{\alpha} + c_{k}^{i} T^{k\alpha} \Gamma_{\sigma\varepsilon}^{\sigma}, \quad (1.7) $$

$$ \nabla_{k\varepsilon} T^{i\alpha} = \frac{\partial T^{i\alpha}}{\partial v^{k\varepsilon}} + T^{i\gamma} C_{k\gamma\varepsilon}^{\alpha} + c_{k}^{i} T^{i\alpha} C_{k\gamma\varepsilon}^{\gamma}. \quad (1.8) $$

Alternnuodami linearo $T^{i\alpha}$ pirmos ir antros rūšies antrąsias invariantines išvestines, gauname Riči tapatybes:

$$ 2\nabla_{[\gamma} \nabla_{\varepsilon]} T^{i\alpha} = T^{i\sigma} R_{\sigma\gamma\varepsilon}^{\alpha} + c_{k}^{i} T^{k\alpha} R_{\sigma\gamma\varepsilon}^{\sigma} - \nabla_{\sigma} T^{i\alpha} R_{\gamma\varepsilon}^{\sigma} - \frac{\partial T^{i\alpha}}{\partial v^{k\sigma}} R_{\gamma\varepsilon}^{k\sigma}, \quad (1.9) $$

$$ 2\nabla_{\{k\varepsilon} \nabla_{j\gamma\}} T^{i\alpha} = T^{i\sigma} \sigma_{kj\sigma\varepsilon\gamma} + c_{l}^{i} T^{l\alpha} \sigma_{kj\sigma\varepsilon\gamma} - \frac{\partial T^{i\alpha}}{\partial v^{l\sigma}} \cdot S_{kj\varepsilon\gamma}^{l\sigma}, \quad (1.10) $$

$$ \begin{aligned} \nabla_{\varepsilon} \nabla_{j\gamma} T^{i\alpha} - \nabla_{j\gamma} \nabla_{\varepsilon} T^{i\alpha} = & T^{i\sigma} Q_{j\sigma\varepsilon\gamma}^{\alpha} + c_{k}^{i} T^{k\alpha} Q_{j\sigma\varepsilon\gamma}^{\sigma} \\ & - \nabla_{\sigma} T^{i\alpha} C_{j\varepsilon\gamma}^{\sigma} - \frac{\partial T^{i\alpha}}{\partial v^{k\gamma}} \cdot P_{j\varepsilon\gamma}^{k\sigma}, \end{aligned} \quad (1.11) $$

kur

$$ R_{\sigma\gamma\varepsilon}^{\alpha} = 2 \left( \partial_{[\gamma} \Gamma_{\varepsilon] \sigma}^{\alpha} - \Gamma_{[\gamma|\tau|\gamma]}^{\alpha} \right), \quad (1.12) $$

$$ \frac{1}{2} \sigma_{kj\sigma\varepsilon\gamma}^{\alpha} = \nabla_{\{k\varepsilon} C_{j|\sigma|\gamma\}}^{\alpha} - C_{\{k|\sigma|\varepsilon} C_{j|\tau|\gamma\}}^{\alpha}, \quad (1.13) $$

$$ Q_{j\sigma\gamma\varepsilon}^{\alpha} = -\nabla_{\varepsilon} C_{j\sigma\gamma}^{\alpha} + \frac{\partial \Gamma_{\sigma\varepsilon}^{\alpha}}{\partial v^{j\gamma}}, \quad (1.14) $$

$$ R_{\gamma\varepsilon}^{\sigma} = 2\Gamma_{[\gamma\varepsilon]}^{\sigma}, \quad (1.15) $$

$$ \partial_{\gamma}^{E} \Gamma_{\varepsilon\sigma}^{\alpha} = \frac{\partial \Gamma_{\varepsilon\sigma}^{\alpha}}{\partial x^{\gamma}} - \frac{\partial \Gamma_{\sigma\varepsilon}^{\alpha}}{\partial v^{k\beta}} \Pi_{\gamma}^{k\beta}. \quad (1.16) $$

**Pastaba.** Linearų $R_{\gamma\varepsilon}^{k\sigma}$, $S_{kj\varepsilon\gamma}^{l\sigma}$, $P_{j\varepsilon\gamma}^{k\sigma}$ išraiškos neišrašytos, nes šie linearai šiame straips-
nelyje nebus nagrinėjami.

Tenzorius $R_{\sigma\gamma\varepsilon}^{\alpha}$ vadinamas pirmuoju kreivumo tenzoriumi, o linearai $\sigma_{kj\sigma\gamma\varepsilon}^{\alpha}$ ir $Q_{j\sigma\gamma\varepsilon}^{\alpha}$ – antruoju ir trečiuoju kreivumo linearais.

## 2. Atraminių linearų erdvių geodeziniai atvaizdžiai

**1 apibrėžimas.** Erdvės $L_{n,v}$ su afiniaja sietimi be sukinio ($R_{\beta\gamma}^{\alpha} = 0$) kreivė

$$ \begin{cases} x^{\alpha} = x^{\alpha}(t), \\ v^{i\beta} = v^{i\beta}(t) \end{cases} $$
vadinama afiniuoju keliu, jeigu liečiamasis vektorius $\frac{dx^\alpha}{dt}$ ir atraminis linearas $v^{i\beta}$ šia kreive pernešami lygiagrečiai.

Afiniųjų kelių lygtys yra:

$$ \left\{ \frac{d^2 x^\alpha}{dt^2} + \Gamma^\alpha_{\beta\gamma}(x, v) \frac{dx^\beta}{dt} \frac{dx^\gamma}{dt} = \lambda_1 \frac{dx^\alpha}{dt}, \right. \qquad (2.1) $$

$$ \frac{dv^{i\alpha}}{dt} + \left( \delta_k^i \Gamma^\alpha_{\beta\gamma}(x, v) + c_k^i \delta^\alpha_\beta \Gamma^\sigma_{\sigma\gamma}(x, v) \right) \frac{dx^\gamma}{dt} v^{k\beta} = 0; \qquad (2.2) $$

čia $\lambda_1$ – skaliaras.

**2 apibrėžimas.** Atvaizdis $f: L_{n,v} \rightarrow \bar{L}_{n,v}$ vadinamas geodeziniu atvaizdžiu, jeigu jis vienos erdvės afiniuosius kelius atvaizduoja į kitos erdvės afiniuosius kelius.

Jeigu erdvė $L_{n,v}$ su sietimi $(\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}, C^\alpha_{k\beta\gamma})$ be sukinio geodeziniu atvaizdžiu f atvaizduojama į erdvę $\bar{L}_{n,v}$ su sietimi $(\bar{\Gamma}^\alpha_{\beta\gamma}, \bar{C}^\alpha_{k\beta\gamma})$ be sukinio, tai atvaizdžio f atžvilgiu bendroje koordinačių sistemoje sistemos (2.1), (2.2) sprendiniai yra ir sistemos

$$ \left\{ \frac{d^2 x^\alpha}{dt^2} + \bar{\Gamma}^\alpha_{\beta\gamma}(x, v) \frac{dx^\beta}{dt} \cdot \frac{dx^\gamma}{dt} = \lambda_2 \frac{dx^\alpha}{dt}, \right. \qquad (2.3) $$

$$ \frac{dv^{i\alpha}}{dt} + \left( \delta_k^i \bar{\Gamma}^\alpha_{\beta\gamma}(x, v) + c_k^i \delta^\alpha_\beta \bar{\Gamma}^\sigma_{\sigma\gamma}(x, v) \right) \frac{dx^\gamma}{dt} v^{k\beta} = 0 \text{ sprendiniai;} \qquad (2.4) $$

čia $\lambda_2$ – skaliaras.

Tenzorius

$$ T^\alpha_{\beta\gamma}(x, v) = \bar{\Gamma}^\alpha_{\beta\gamma}(x, v) - \Gamma^\alpha_{\beta\gamma}(x, v) \qquad (2.5) $$

vadinamas afiniosios deformacijos tenzoriumi.

Jo komponentės tenkina lygčių sistemą

$$ T^\alpha_{\beta\gamma} \frac{dx^\beta}{dt} \cdot \frac{dx^\gamma}{dt} = \lambda \frac{dx^\alpha}{dt}, \qquad (2.6) $$

$$ \left( \delta_k^i T^\alpha_{\beta\gamma} + c_k^i \delta^\alpha_\beta T^\sigma_{\sigma\gamma} \right) v^{k\beta} \frac{dx^\gamma}{dt} = 0. \qquad (2.7) $$

Šios sistemos (2.6) lygtis galima užrašyti šitaip:

$$ \delta_{\sigma}^{[\epsilon} T_{\beta\gamma}^{\alpha]} \frac{dx^{\sigma}}{dt} \frac{dx^{\beta}}{dt} \frac{dx^{\gamma}}{dt} = 0. \qquad (2.8) $$

Lygybės (2.7) ir (2.8) yra teisingos su bet kuriais $\frac{dx^\alpha}{dt}$, todėl

$$ \delta_{(\sigma}^{[\epsilon} T_{\beta\gamma)}^{\alpha]} = 0, \qquad (2.9) $$

$$ (\delta_k^i T^\alpha_{\beta\gamma} + c_k^i \delta^\alpha_\beta T^\sigma_{\sigma\gamma}) v^{k\beta} = 0. \qquad (2.10) $$
Iš (2.5) ir (2.9) lygybių išplaukia, kad:

$$ \bar{\Gamma}_{\beta\gamma}^{\alpha} = \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha} + T_{\beta\gamma}^{\alpha}, \qquad (2.11) $$

$$ T_{\beta\gamma}^{\alpha} = 2\delta_{(\beta}^{\alpha} \psi_{\gamma)}, \qquad (2.12) $$

kur

$$ \psi_{\gamma}(x, v) = \frac{1}{n+1} T_{\sigma\gamma}^{\sigma}(x, v). \qquad (2.13) $$

Dabar (2.10) lygybes galima perrašyti šitaip:

$$ (\delta_k^i + (n+1)c_k^i) \delta_{(\beta}^\alpha \psi_{\gamma)} \cdot v^{k\beta} = 0. \qquad (2.14) $$

Taigi įrodėme šitokią teoremą:

**Teorema.** Tarp dviejų atraminių linearų erdvių su afininėmis sietimis be sukinio egzistuoja geodezinis atvaizdis tada ir tik tada, kai galioja (2.11) – (2.14) sąlygos.

### 3. Kreivumo tenzorius ir trečiojo kreivumo linearo struktūra

Ištirsime kaip keičiasi kreivumo tenzorius (1.12) ir trečiasis kreivumo linearas (1.14), kai prie afiniosios sieties objekto $\Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha}$ pridedamas simetrinis tenzorius $T_{\beta\gamma}^{\alpha}$. Nagrinėsime tik tokias afiniasias sietis $(\Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha}, C_{k\beta\gamma}^{\alpha})$, kurios pasižymi savybe:

$$ \nabla_{\varepsilon} C_{k\beta\gamma}^{\alpha} = 0. \qquad (3.1) $$

Šiuo atveju trečiasis kreivumo linearas yra:

$$ Q_{j\beta\gamma\varepsilon}^{\alpha} = \frac{\partial \Gamma_{\beta\varepsilon}^{\alpha}}{\partial v^{j\gamma}} \stackrel{\text{def}}{=} \partial_{j\gamma} \Gamma_{\beta\varepsilon}^{\alpha}. \qquad (3.2) $$

Į formulę

$$ \bar{R}_{\beta\gamma\varepsilon}^{\alpha} = 2(\partial_{[\gamma} \bar{\Gamma}_{\varepsilon] \beta}^{\alpha} - \bar{\Gamma}_{[\varepsilon] \beta | \gamma}^{\tau} \bar{\Gamma}_{\gamma] \tau}^{\alpha}) \qquad (3.3) $$

įrašę $\bar{\Gamma}_{\varepsilon\beta}^{\alpha}$ išraišką iš (2.11) (2.12) ir naudodamiesi (1.9) formule, gauname:

$$ \bar{R}_{\beta\gamma\varepsilon}^{\alpha} = R_{\beta\gamma\varepsilon}^{\alpha} + 2\delta_{\beta}^{\alpha} \psi_{[\gamma\varepsilon]} + 2\delta_{[\gamma}^{\alpha} \psi_{|\beta|\varepsilon]}, \qquad (3.4) $$

kur

$$ \psi_{\alpha\beta} = \nabla_{\beta}\psi_{\alpha} - \psi_{\alpha} \cdot \psi_{\beta}. \qquad (3.5) $$
Diferencijuodami lygybes

$$ \bar{\Gamma}_{\beta\gamma}^{\alpha}(x, v) = \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha}(x, v) + 2\delta_{(\beta}^{\alpha} \psi_{\gamma)}(x, v) \quad (3.6) $$

pagal atraminį linearą $v^{k\epsilon}$, gauname:

$$ \partial_{k\epsilon} \bar{\Gamma}_{\beta\gamma}^{\alpha} = \partial_{k\epsilon} \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha} + 2\partial_{k\epsilon} (\delta_{(\beta}^{\alpha} \psi_{\gamma)}). \quad (3.7) $$

Taigi pirmasis kreivumo tenzorius $R_{\beta\gamma\epsilon}^{\alpha}$ ir trečiasis kreivumo linearas, transformuo-
jant afiniosios sieties objektą $\Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha}$ pagal (3.6) formules, keičiasi pagal (3.4) ir (3.7)
dėsnius; be to, vektorius $\psi_{\alpha}$ tenkina (2.14) ir (3.5) sąlygas.

## 4. Projektyviai euklidinių erdvių analogai

Sakykime, kad erdvė $L_{n,v}$ geodeziniu atvaizdžiu atvaizduojama į erdvę $\bar{L}_{n,v}$, kurios:

$$ \bar{R}_{\beta\gamma\epsilon}^{\alpha} = 0, \quad \partial_{k\epsilon} \bar{\Gamma}_{\beta\gamma}^{\alpha} = 0. \quad (4.1) $$

Šiuo atveju iš (3.3) ir (3.7) lygybių račame:

$$ R_{\beta\gamma\epsilon}^{\alpha} = 2\delta_{\beta}^{\alpha} \psi_{[\gamma\epsilon]} + 2\delta_{[\epsilon}^{\alpha} \psi_{|\beta|\gamma)}, \quad (4.2) $$

$$ \partial_{k\epsilon} \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha} = -2\partial_{k\epsilon} \left( \delta_{(\beta}^{\alpha} \psi_{\gamma)} \right). \quad (4.3) $$

**Apibrėžimas.** Erdvę $L_{n,v}$, kurios kreivumo tenzorius $R_{\beta\gamma\epsilon}^{\alpha}$ ir trečiasis kreivumo linearas $\partial_{k\epsilon}\Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha}$ apibrėžiami (4.2) ir (4.3) lygybėmis, o $\psi_{\alpha}$ tenkina (2.14) ir (3.5) lygtis, vadinsime $L_{n,v}^0$ erdve.

Tai projektyviai euklidinės taškinės erdvės analogas.

Kaip ir projektyviai euklidinių taškinių erdvių atveju, $\psi_{\alpha\beta}$ galima išreikšti Riči ten-
zoriumi $R_{\alpha\beta} = R_{\alpha\beta\gamma}^\gamma$ [1]:

$$ \psi_{\alpha\beta} = \frac{nR_{\alpha\beta} + R_{\beta\alpha}}{n^2 - 1}. \quad (4.4) $$

Tenzorius

$$ W_{\beta\gamma\epsilon}^{\alpha} = R_{\beta\gamma\epsilon}^{\alpha} + \delta_{\beta}^{\alpha} \frac{R_{\gamma\epsilon} - R_{\epsilon\gamma}}{n+1} + \delta_{\gamma}^{\alpha} \frac{nR_{\beta\epsilon} + R_{\epsilon\beta}}{n^2-1} - \delta_{\epsilon}^{\alpha} \frac{nR_{\beta\gamma} + R_{\gamma\beta}}{n^2-1} \quad (4.5) $$

ir linearas

$$ W_{\beta\gamma\cdot k\epsilon}^{\alpha} = \partial_{k\epsilon} \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha} - \frac{2}{n+1} \delta_{(\beta}^{\alpha} \partial_{|k\epsilon} \Gamma_{\sigma|\gamma)}^{\sigma} \quad (4.6) $$
yra projektyvinio kreivumo Veilio tenzoriaus ir Veilio linearo analogai. Jų lygybė nuliui ekvivalenti (4.2) ir (4.3) lygybėms.

Taigi teisinga teorema:

**Teorema.** Erdvė $L_{n,v}$ yra $L_{n,v}^0$ erdve tada ir tik tada, kai Veilio tenzorius (4.5) ir Veilio linearas (4.6) lygūs nuliui.

## Literatūra

[1] П. К. Рашевский, Риманова геометрия и тензорный анализ, Наука, Москва (1967).

[2] А. С. Ферзалиев, О некоторых аналогах проективно-евклидовых пространств тензорных опорных элементов, Труды семинара кафедры геометрии, Из-во Казанского ун-та, вып. ВИ, 89-102 (1971).

[3] Ю. Шинкунас, О пространстве опорных линеаров, Liet. mat. rink., 3(6), 449-455 (1966).

## Les applications géodésiques des espaces des linéars d'appuis

### J. Šinkūnas

Dans cet article on a étudie les applications géodésiques des espaces des linéars d'appuis avec la connexion affine. On a trouvé les conditions nécessaires et suffisantes de l'existence tels applications.