# Identification des coefficients aérodynamiques d'un projectile gyrostabilisé à partir de données de vol

Vincent Condaminet, Franck Delvare, Daniel Choï, Christophe Grignon, Settie Heddadj

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Vincent Condaminet, Franck Delvare, Daniel Choï, Christophe Grignon, Settie Heddadj. Identification des coefficients aérodynamiques d'un projectile gyrostabilisé à partir de données de vol. 12e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2015, Giens, France. hal-01516438

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# Identification des coefficients aérodynamiques d'un projectile gyrostabilisé à partir de données de vol

V. Condaminet<fnref n="1" />,<fnref n="3" />, F. Delvare<fnref n="1" />, D. Choï<fnref n="1" />, C. Grignon<fnref n="2" />, S. Heddadj<fnref n="3" />

**Résumé** — Une méthode d'identification des coefficients aérodynamiques d'un projectile gyrostabilisé, à partir de données de vol, est proposée. Le modèle balistique utilisé pour représenter le vol du projectile est celui du Point Matériel Modifié (PMM). La technique d'identification est basée sur des problèmes d'optimisation non linéaire sous contraintes. Les coefficients aérodynamiques variant au cours du vol puisqu'ils dépendent du nombre de Mach et de l'obliquité, un fenêtrage temporel est donc réalisé de sorte à considérer les coefficients constants sur chaque intervalle de temps.

**Mots clés** — Coefficients aérodynamiques, méthode inverse, identification de paramètres, optimisation non linéaire.

## 1 Introduction

La connaissance des coefficients aérodynamiques d'un projectile gyrostabilisé est essentielle pour la compréhension, le contrôle et la prédiction de son comportement en vol. Différents moyens peuvent être utilisés pour déterminer ces coefficients. Les codes de calcul de type CFD (Computational Fluid Dynamics) permettent d'étudier la physique de l'écoulement de l'air autour du projectile [1] mais nécessitent un nombre important de simulations correspondant à différentes configurations rencontrées au cours des vols. Les essais en soufflerie permettent la réalisation d'études paramétriques ainsi que l'étude des phénomènes physiques. Cependant, ils présentent une similitude qui n'est que partielle avec les configurations réelles ainsi qu'une perturbation de l'écoulement due à la fixation de la maquette dans la veine d'écoulement. De manière complémentaire, les essais instrumentés sur champs de tir permettent de reproduire des conditions de vol réelles. Toutefois, les méthodes actuelles de dépouillement pour obtenir les coefficients aérodynamiques sont empiriques et nécessitent un niveau d'expertise important. Le développement d'outils automatisés pour identifier les coefficients aérodynamiques, à partir de mesures issues de vols instrumentés, est donc d'une grande importance pour l'industriel qui souhaite caractériser ces projectiles.

Plusieurs techniques d'identification ont été développées [2, 3, 4, 5, 6, 7]. Certaines consistent à utiliser un filtre de Kalman dans le but de réduire les estimations dues au bruit de mesure [2, 5], d'autres sont basées sur une optimisation au sens des moindres carrés minimisant l'écart entre les paramètres d'états calculés et mesurés. C'est le cas de Demailly et al [4], qui pour un projectile empenné ou "de type flèche", propose une technique d'identification minimisant l'écart aux mesures tout en imposant les équations de la mécanique du vol par l'intermédiaire d'un terme de pénalisation dans la fonction coût. L'originalité de cette méthode est qu'elle permet, en plus d'identifier les coefficients aérodynamiques, de reconstruire la trajectoire du projectile. Une autre étude sur le projectile "flèche" réalisée par Condaminet et al [3] a montré que l'utilisation de multiplicateurs de Lagrange au lieu d'un terme de pénalisation pour prendre en compte les équations du vol réduisait l'erreur obtenue sur les coefficients identifiés. Pour ces études sur le projectile flèche [3, 4], la durée et la portée du vol étant courtes, les coefficients aérodynamiques sont considérés comme constants au cours du vol.

Dans cette étude, nous nous intéressons à l'identification des coefficients aérodynamiques d'un projectile gyrostabilisé. Ces projectiles peuvent atteindre une altitude et une portée très élevées, ce qui nécessite de considérer la variabilité des coefficients aérodynamiques avec le nombre de Mach mais aussi

<footnote n="1">¹ LMNO, Université de Caen, {vincent.condaminet,franck.delvare,daniel.choi}@unicaen.fr</footnote>

<footnote n="2">² DGA Land Systems, christophe.grignon@intradef.gouv.fr</footnote>

<footnote n="3">³ Nexter Munitions, s.heddadj@nexter-group.fr</footnote>
celle de la pression atmosphérique ou de la célérité du son dans l'air. L'identification des coefficients aérodynamiques nécessite tout d'abord de définir le modèle le plus représentatif de l'attitude du projectile au cours de son vol afin de pouvoir ensuite formuler un problème d'optimisation non linéaire sous contraintes. Quelques résultats numériques obtenus par application de la technique d'identification, en utilisant un fenêtrage temporel, sont ensuite présentés pour un projectile gyrostabilisé.

## 2 Méthode d'identification des coefficients aérodynamiques d'un projectile gyrostabilisé [5]

La méthode d'identification des coefficients aérodynamiques proposée utilise le modèle balistique du Point Matériel Modifié (PMM) introduit par Lieske et al [5] pour représenter la trajectoire du projectile gyrostabilisé. Ce modèle permet de générer l'espace des solutions dans lequel est recherchée la trajectoire qui s'approche aux mieux des données issues du vol. Ceci amène donc à des problèmes d'optimisation non linéaire sous contraintes qui permettent simultanément d'identifier les coefficients aérodynamiques et de reconstruire la trajectoire.

### 2.1 Modèle balistique du Point Matériel Modifié

Le projectile est un solide de révolution considéré comme rigide. Lieske et al [5] ont proposé un modèle simplifié, standardisé par l'OTAN, à cinq degrés de liberté (trois paramètres de position et deux paramètres angulaires caractérisant les mouvement de roulis et de tangage). Ce modèle ne prend pas en compte le moment de Magnus qui est supposé négligeable. Les efforts aérodynamiques exercés par l'air sur le projectile au cours de son vol sont constitués de :

- trois forces aérodynamiques que sont la force de traînée (D) qui agit sur le projectile suivant le sens opposé à son vecteur vitesse v, la force de portance (L) et la force de Magnus (K)

- deux moments aérodynamiques que sont le moment d'amortissement en roulis ($M_R$), produit par le frottement visqueux de l'air sur la surface de l'obus en rotation, tendant à réduire la rotation axiale et le moment de tangage ($M_A$) qui induit un mouvement de pendulation du projectile.

Chacun de ces efforts aérodynamiques fait intervenir un coefficient aérodynamique, qu'il est nécessaire d'identifier, et qui dépend du nombre de Mach M et de l'orientation du projectile par rapport à sa trajectoire. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, nous obtenons un système différentiel (1) composé de sept équations non linéaires.

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
\dot{\underline{v}} &= -\frac{\pi \rho D^2}{8m} C_x v \underline{v} + \frac{\pi \rho D^2}{8m} C_{z\alpha} v^2 \underline{\alpha}_e + \frac{\pi \rho D^3 \omega_c}{8m} C_{yp\alpha} (\underline{\alpha}_e \wedge \underline{v}) + \underline{g} \\
\omega_c &= -\frac{\pi \rho D^4 v \omega_c C_{lp}}{8I_1} \\
\underline{\alpha}_e &= -\frac{8 \omega_c I_1 (\underline{v} \wedge \dot{\underline{v}})}{\pi \rho D^3 v^4 C_m}
\end{aligned}
\right. 
\qquad (1) 
$$

Où $q = \frac{1}{2}\rho v^2$ désigne la pression dynamique, $\rho$ la masse volumique de l'air, $v$ la norme du vecteur vitesse $\underline{v}$ et $\omega_c$ la vitesse de roulis du projectile. S le maître couple du projectile, $D$ son diamètre, $I_1$ l'inertie longitudinale du projectile et $g$ la gravité. Le vecteur $\underline{t}$ est le vecteur unitaire correspondant à la vitesse $\underline{v}$, le vecteur $\underline{c}$ est le vecteur unitaire définissant l'axe longitudinal du projectile et $\underline{\alpha}_e$ est le vecteur obliquité.

Ce système peut s'écrire sous forme réduite :

$$ M(\underline{C}, \underline{U}, \dot{\underline{U}}) = 0 \qquad (2) $$

en posant : $\underline{U} = [v_i, v_j, v_k, \omega_c, \alpha_{e_j}, \alpha_{e_k}]$ et $\underline{C} = [C_x, C_{z\alpha}, C_{yp\alpha}, C_{lp}, C_m]$.
## 2.2 Formulation du problème d'optimisation non linéaire sous contrainte

Dans le cadre de notre étude, nous cherchons à identifier les coefficients aérodynamiques C à partir de Ű, mesures discrètes et partielles enregistrées au cours du vol des paramètres d'état U. Le principe de la méthode d'identification est de chercher les coefficients aérodynamiques C tels que la trajectoire correspondante soit la plus proche, au sens des moindres carrés, des données mesurées Ű. L'introduction d'une contrainte égalité impose que la solution soit compatible avec le système (2) caractérisant la mécanique du vol. La formulation continue du problème d'optimisation non linéaire est donc :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \min_{C,U} J = \|U - \tilde{U}\|^2 \\ \text{sous la contrainte égalité (2)} \end{array} \right. \qquad (3) $$

Pour la résolution, il est nécessaire de discrétiser le problème continu (3). Les équations différentielles non linéaires sont approximées en utilisant un schéma d'intégration temporelle (le plus simple pouvant être le schéma d'Euler explicite). A chaque pas de temps, nous avons donc sept contraintes égalités à satisfaire. La prise en compte de ces contraintes égalités est faite en introduisant, pour chacune d'entre elles, un multiplicateur de Lagrange. L'écriture des équations d'optimalité associées à chaque inconnue amène à un système d'équations non linéaires qui est résolu par la méthode de Newton-Raphson. Nous précisons que les gradients du premier et du deuxième ordre de la fonction de coût J sont calculés analytiquement. Les coefficients aérodynamiques étant dépendants du nombre de Mach et de l'obliquité, nous avons dans cette étude divisé le vol en plusieurs fenêtres temporelles sur lesquelles nous considérons les coefficients aérodynamiques comme constants.

## 2.3 Un exemple de reconstruction

Afin d'illustrer la méthode d'identification, nous nous sommes fixés un jeu de coefficients aérodynamiques de référence qui nous a permis de générer des mesures simulées Ű grâce à l'intégration temporelle du système (1). Nous nous basons ensuite uniquement sur ces données simulées Ű, en utilisant différents fenêtrages, pour identifier les coefficients aérodynamiques et reconstruire la trajectoire. Les résultats sont présentés sur les figures 1 et 2. $N_f$ désigne le nombre de fenêtres et $\Delta t$ le pas de temps utilisé lors de l'identification. Il est à noter que pour des raisons de confidentialité les échelles des graphiques sont adimensionalisées. On observe que la méthode d'identification formulée ci-dessus permet non seulement d'identifier les coefficients aérodynamiques mais aussi de reconstruire les paramètres d'états.

## Références

[1] R. Cayzac, E. Carette, P. Champigny, R. Thepot, O. Donneaud. *Recent developments on aeroballistics of yawing and spinning projectiles*, 20th International Symposium on Ballistics, Orlando, USA, 2002.

[2] G.T. Chapman, D. Kirk. *A method for extracting aerodynamic coefficients from free-flight data*, AIAA J. 8, 753-758, 1970.

[3] V. Condaminet, F. Delvare, D. Choï, H. Demailly, C. Grignon, S. Heddadj. *Identification of aerodynamic coefficients of a projectile and reconstruction of its trajectory from partial flight data*, Conference Proceedings, ICIPE2014, 71-78, 2014.

[4] H. Demailly, F. Delvare, C. Grignon, S. Heddadj, P. Bailly. *Identification of aerodynamic coefficients of a kinetic energy projectile from flight data*, Inverse Problems in Science and Engineering, 21, 1, 63-83, 2013.

[5] R.F. Lieske, A.M. Mackenzie. *Determination of aerodynamic drag from radar data*, Aberdeen Proving Ground Tech. Rep., Memorandum rept no. 0465057, Institut Saint-Louis, 1982.

[6] G. Mahmutyazicioglu, B.E. Platin. *Aerodynamic Data Identification Using Linear Aeroballistic Theory*, System Identification for Integrated A/C Development and Flight Testing, RTO Symposium, RTO MP-11, Madrid, Spain May, Research and Technology Organization, 1998.

[7] J. Quanwei, C. Qiongkang. *Dynamic model for real-time estimation of aerodynamic characteristics*, J. Aircraft, 26, 315-321, 1986.
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Exemples de reconstruction des coefficients aérodynamiques</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Exemples de reconstruction des paramètres d'états sur une partie du vol</figcaption></figure>