# Contrôle par feedback à priori de systèmes régis par des équations aux dérivées partielles de type elliptique

Alfredo Bermudez

► To cite this version:

Alfredo Bermudez. Contrôle par feedback à priori de systèmes régis par des équations aux dérivées partielles de type elliptique. [Rapport de recherche] IRIA-RR-288, IRIA. 1978, pp.29. hal-04716513

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CONTRÔLE PAR
FEEDBACK À PRIORI
DE SYSTÈMES RÉGIS PAR
DES ÉQUATIONS AUX
DÉRIVÉES PARTIELLES
DE TYPE ELLIPTIQUE

Alfredo BERMUDEZ

Rapport de Recherche N° 288

Avril 1978
# CONTRÔLE PAR FEEDBACK A PRIORI DE SYSTÈMES RÉGIS PAR DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DE TYPE ELLIPTIQUE

Alfredo Bermudez

(présenté par M. J-P. Yvon)

## Résumé :

Le contrôle de systèmes par des lois de feedback données a priori est très intéressant du point de vue pratique. L'objet de cet article est de donner une approche assez générale de ce type de problème (pour les systèmes gouvernés par des équations elliptiques) en utilisant la théorie des opérateurs monotones.

## Abstract :

The control of systems by «a priori» given feedback laws is very important for applications. The aim of this paper is to give a general approach of this problem (for systems governed by elliptic equations) by using the theory of monotone operators.
# INTRODUCTION

Le contrôle de systèmes en boucle fermée sous la forme de lois de feedback données a priori, est en général plus interesant, du point de vue pratique, que le contrôle en boucle ouvert, car sa mise en oeuvre est plus simple et d'autre part il se révéle meilleur face aux perturbations aléatoires.

L'étude du comportement de ce type de contrôles vis-à-vis du contrôle optimal a été proposé pour les systèmes distribuées par J.L.LIONS |2|, et en général il semble ouvert.

Dans ce papier nous étudions de façon assez systématique ces problèmes pour des équations aux dérivées partielles elliptiques, en utilisant des méthodes de la théorie d'opérateurs maximaux monotones.

Nous donnons, en particulier, une formulation pour le cas du contrôle frontiere par feedback a priori - du problème de Dirichlet, ainsi que conditions d'optimalité qui ont été déjà obtenues pour un système parabolique non-linéaire et une loi de feedback tout ou rien, dans - BERMUDEZ |1|.

Nous montrons finalement comment choisir la consigne pour que, dans le cas général, certaines lois de feedback réalisent le contrôle optimal du système.
1.- Un problème de contrôle elliptique.

Soit Ω un ouvert de Rⁿ de frontière "régulière" Γ. Nous prenons

$$
(1.1) \qquad V = H^1(\Omega) \qquad H = L^2(\Omega)
$$

et les notations.

(( , )) || || produit escalaire et norme dans V,

( , ) | | produit escalaire et norme dans H.

( , ) || ||\* dualité V, V' et norme dans V'.

On définit l'opérateur A :

$$
(1.2) \qquad A = - \sum_{i,j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_j} \left\{ a_{ij} \frac{\partial}{\partial x_i} \right\} + a_0
$$

où

$$
a_{ij}, a_0 \in L^\infty(\Omega), \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \xi_i \xi_j \ge \alpha (\xi_1^2 + \dots + \xi_n^2)
$$

$$
(1.3) \qquad a_0(x) \ge \alpha_0 > 0 \\
\text{et pour } f \in H \text{ et } v \in L^2(\Gamma) \text{ on notera } y(v) \text{ la solution uni-}
$$

que du problème de Neumann :
$$
(1.4) \quad \left\{
\begin{array}{l}
Ay = f \\[1em]
\frac{\partial y}{\partial v} = v \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \partial v_A
\end{array}
\right.
\qquad (*)
$$

Introduisons maintenant :

$$
(1.5) \qquad U = L^2(\Gamma)
$$

$U_{ad}$ convexe, fermé, borné de U, et la fonction
nelle:

$$
(1.6) \qquad J(v) = \int_{\Gamma} |y(v) - y_d|^2 d\Gamma
$$
où $y_d \in L^2(\Gamma)$.
$$

On définit alors le problème de contrôle :

$$
(1.7) \qquad \begin{array}{l@{\qquad}l}
\text{Trouver } u \in U_{ad} \text{ telle que} & J(u) \le J(v) \quad \forall v \in U_{ad} \\
& a_{ij} \frac{\partial y}{\partial x_i} \cos (n x_j)
\end{array}
$$

$$
(*) \quad \frac{\partial y}{\partial v} = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \frac{\partial y}{\partial x_i} \cos(n x_j)
$$
On a le résultat (LIONS $|1|$):

**Proposition 1.1.-** *Sous les hypothèses (1.1)...(1.6) le problème (1.7) admet solution unique.*

Nous étudions maintenant une loi de feedback pour controler le systeme qui tient compte de l'ecart - entre y et $y_d$ (cf. LIONS $|2|$).

## 2.- Feedback "tout ou rien".

Nous supposerons tout d'abord que $U_{ad}$ est défini par:

$$ (2.1) \qquad U_{ad} = \{ v \in L^2(\Gamma) \mid N \le v(x) \le M \quad \text{p.p.} \} $$

Cette structure de $U_{ad}$ nous conduit à envisager la loi de feedback du type "tout ou rien":

$$ (2.2) \qquad \bar{u}(y; x) = \begin{cases} M & \text{si } y(x) < y_d(x) \\ N & \text{si } y(x) > y_d(x) \end{cases} \quad x \in \Gamma $$
L'état qui correspond à ce contrôle est donc
solution du problème:

$$
(2.3) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\bar{A}y = f \\
- \frac{\partial \bar{y}}{\partial v_A} \in \beta(\bar{y} - y_d)
\end{array}
\right.
$$

$\beta$ étant défini par :

$$
(2.4) \quad x \in \mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \beta(x) = \begin{cases} -M & \text{si } x < 0 \\ [-M, -N] & \text{si } x = 0 \\ -N & \text{si } x > 0 \end{cases}
$$

Nous nous proposons maintenant, tout d'abord -
étudier le problème (2.3) dans un cadre plus général, et
ensuite démontrer un résultat d'optimalité de quelques -
lois de feedback.

3. - Le problème général.

Soit $\beta$ un opérateur maximal monotone dans $\mathbb{R}$.
Il est connu (BREZIS $|1|$) l'existence d'une fonction :
(3.1) $j: \mathbb{R} \longrightarrow (-\infty, \infty]$ convexe, propre, s.c.i. telle -
que $\beta = \partial j$
<figure><img src="image_2.png" /></figure>
**Rémarque 3.2.** Les hypothèses imposées à $\beta$ sont vérifiés par les lois de feedbacks classiques en automatique, par exemple

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

**Théorème 3.1.** Sous les hypothèses ;

$$ (3.6) \qquad f \in V', \quad y_d \in L^2(\Gamma) $$

Il existe $\varphi_0 \in V$ telle que $\partial\Psi(\varphi_0) \neq \emptyset$

Alors le problème (3.4) possède solution unique,

**Démonstration.** Soit $\beta_\lambda$ l'approximation Yosida de $\beta$, c'est à dire,

$$ (3.7) \qquad \beta_{\lambda} = \frac{I - J_{\lambda}}{\lambda} \quad \text{où} \quad J_{\lambda} = (I + \lambda \beta)^{-1} $$

On définit les fonctions :
$$
(3.8) \quad j_{\lambda}(r) = \int_{0}^{r} \beta_{\lambda}(\sigma) d\sigma, \quad \psi_{\lambda}(\varphi) = \int_{\Gamma} j_{\lambda}(\varphi - z_{d}) d\Gamma
$$

Alors on peut considérer le problème approché suivant: trouver $y_{\lambda} \in V$ vérifiant:

$$
(3.9) \quad a(y_{\lambda}, \varphi - y_{\lambda}) + \psi_{\lambda}(\varphi) - \psi_{\lambda}(y_{\lambda}) \ge (f, \varphi - y_{\lambda})
$$

qui équivaut à l'équation variationnelle :

$$
(3.10) \quad a(y_\lambda, \varphi) + \int_\Gamma \beta_\lambda (y_\lambda - z_d) \varphi \, d\Gamma = (f, \varphi) \quad \forall \varphi \in V
$$

Ce problème possède solution unique grâce à -
la continuité et monotonie de $\beta_\lambda$ (LIONS [3]).

Soit $\varphi_0 \in V$ telle que $\partial\psi(\varphi_0) \neq \phi$. En prenant
$\varphi = \varphi_0 - y_\lambda$ dans, (3.10) on a :

$$
(3.11) \quad a(\dot{y}_\lambda, \varphi_0 - y_\lambda) + \int_\Gamma (\beta_\lambda(y_\lambda - y_d) - \beta_\lambda(\varphi_0 - y_d))(\varphi_0 - y_\lambda)d\Gamma = \\
\qquad = (f, \varphi_0 - y_\lambda) + \int_\Gamma \beta_\lambda(\varphi_0 - y_d)(y_\lambda - \varphi_0)d\Gamma
$$

La monotonie de $\beta_\lambda$ et le fait de que (cf. BRE
ZIS $|2|$)
(3.12) $\beta_{\lambda}(\varphi_o - y_d)$ soit borné dans $L^2(\Gamma)$ si $\lambda \to 0$

permettent d'obtenir:

$Y_\lambda$ est dans un borné de V indépendant de $\lambda$ et
donc ilexiste une suite $y_\lambda$ qui converge vers y dans $V$-faible.

Passage à la limite.-

La seule difficulté réside dans les termes
$\Psi_{\lambda}(y_{\lambda})$ et $\Psi_{\lambda}(\varphi)$. On a tout d'abord:

$$
(3.13) \quad \Psi_{\lambda}(\varphi) \underset{\lambda \to 0}{\longrightarrow} \Psi(\varphi) \quad \forall \varphi \in L^2(\Gamma)
$$

et

$$
(3.14) \quad \Psi_{\lambda}(y_{\lambda}) = \frac{\lambda}{2} |\beta_{\lambda}(y_{\lambda} - z_{d})|_{L^2(\Gamma)}^2 + \Psi(J_{\lambda}(y_{\lambda} - y_{d}) + y_{d})
$$

(voir BREZIS loc. cit.).

D'autre part :

$$
(3.15) \quad \int_{\Gamma} \left( (y_{\lambda} - y_d) - J_{\lambda} (y_{\lambda} - y_d) \right) \varphi \, d\Gamma = \lambda \left[ (f, \varphi) - a(y_{\lambda}, \varphi) \right]
$$

et donc
(3.16) $(y_1-y_d)-J_λ(y_λ-y_d) \to 0$ dans $L^2(Γ)$ faible ce qui entraîne:

$$
(3.17) \quad J_{\lambda_n}(y_{\lambda_n} - y_d) \xrightarrow{y-z_d} \text{dans } L^2(\Gamma) \text{ faible}
$$

$\Psi$ étant convexe, elle est bien s.c.i. dans
$L^2(\Gamma)$ faible et donc:

$$
\begin{align*}
(3.18) \quad \liminf_{n} \inf_{y_n} \Psi_{y_n}(y_n) &\ge \liminf_{n} \inf_{y_n} \Psi(J_{y_n}(y_n - y_d) + y_d) \\
&\ge \Psi(\bar{y})
\end{align*}
$$

on peut maintenant passer à la limite dans (3.9) et obte
nir le résultat.

Unicité. - Soient $y_1$ et $y_2$ deux solution du problème
(3.4), on a en particulier :

$$
\begin{equation} \tag{3.19}
\begin{aligned}
a(y_1, y_2 - y_1) + \Psi(y_2) - \Psi(y_1) &\ge (f, y_2 - y_1) \\
a(y_2, y_1 - y_2) + \Psi(y_1) - \Psi(y_2) &\ge (f, y_1 - y_2)
\end{aligned}
\end{equation}
$$

d'où en sommant :

$$
(3.20) \quad a(y_1 - y_2, y_2 - y_1) \ge 0
$$
ce qui entraîre $y_1 = y_2$ grâce à la coercivité de $a$.

**Rémarque 3.3.-** La démonstration du théorème 3.1 nous indique une façon d'obtenir numériquement la solution du problème (3.4) comme limite des solutions des problèmes régularisés.

Pour résoudre un de ces problèmes on peut utiliser une méthode itérative. Nous rémarquons tout d'abord que l'équation (3.10) peut s'écrire :

$$ (3.21) \quad a(y_\lambda, \varphi) + \frac{1}{\lambda} \int_\Gamma (y_\lambda - y_d) \varphi \, d\Gamma - \frac{1}{\lambda} \int_\Gamma (I + \lambda\beta)^{-1} (y_\lambda - y_d) \varphi \, d\Gamma = \\ \qquad = (f, \varphi) \qquad \forall \varphi \in V $$

Alors la suite défini par :

$y_\lambda^0$ quelconque

$y_\lambda^{n+1}$ solution de l'équation

$$ (3.22) \quad a(y_\lambda^{n+1}, \varphi) + \frac{1}{\lambda} \int_{\Gamma} (y_\lambda^{n+1} - y_d) \varphi \, d\Gamma - \\ \qquad - \frac{1}{\lambda} \int_{\Gamma} (I + \lambda\beta)^{-1} (y_\lambda^n - y_d) \varphi \, d\Gamma = (f, \varphi) \quad \forall \varphi \in V $$
(iProblème linéaire!), converge vers la solution de -
(3.10) car l'application:

$$
(3.23) \quad \xi \in L^2(\Gamma) \longrightarrow y \in L^2(\Gamma)
$$

defini par :

$$
\begin{align*}
(3.24) \quad & a(y, \varphi) + \frac{1}{\lambda} \int_{\Gamma} (y-y_d) \varphi \, d\Gamma - \frac{1}{\lambda} \int_{\Gamma} (I+\lambda\beta)^{-1} (\xi-y_d) \varphi \, d\Gamma = \\
&= (f, \varphi) \qquad \forall \varphi \in V
\end{align*}
$$

est contractante. En effet :

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& (3.25) \quad a(y_1 - y_2, \varphi) + \frac{1}{\lambda} \int_{\Gamma} [(y_1 - y_d) - (y_2 - y_d)] \varphi \, d\Gamma - \\
& \quad - \frac{1}{\lambda} \int_{\Gamma} [(I + \lambda\beta)^{-1}(\xi_1 - y_d) - (I + \lambda\beta)^{-1}(\xi_2 - y_d)] \varphi \, d\Gamma = 0
\end{aligned}
\end{equation}
$$

En mettant $\varphi = y_1 - y_2$ on obtient facilement

$$
(3.26) \quad |y_1 - y_2| \le C |\xi_1 - \xi_2| \quad 0 < C < 1 \qquad L^2(\Gamma) \qquad L^2(\Gamma)
$$

compte tenu de que $(I+\lambda\beta)^{-1}$ est bien contractante
(BREZIS |2|).

**Rémarque 3.4.-** Notons que dans le cas où la loi de feedback $\beta$ n'est pas univoque, on peut cependant l'approcher tout ce qu'on veut par une fonction univoque continue – $\beta_{\lambda}$, qui définit donc une loi de feedback réalisable en pratique.

**Rémarque 3.5.-** Le problème d'obtenir une estimation de l'erreur de la solution de (3.10) par rapport à l'état – optimal est ouverte. On a cependant, dans ce sens, les résultats qui suivent.

Nous reprenons le problème de contrôle (1.7). Soit $u$ la solution et $y(u)$ l'état correspondant, on a – alors;

$$ (3.27) \qquad a(y(u), \varphi) = (f, \varphi) + \int_{\Gamma} u \varphi \, d\Gamma, \quad \forall \varphi \in V $$

Notons que $y(u)$ est la solution de l'inéquation (3.4) si et seulement si :

$$ \Psi(\varphi) - \Psi(y(u)) \geq \int_{\Gamma} -u(\varphi - y(u)) \, d\Gamma $$
Par conséquent pour que le contrôle feedback soit optimal il faut et il suffit que :

$$ (3.28) \qquad -u \in \partial\Psi(y(u)) $$

ce qui est equivalent à :

$$ (3.29) \qquad -u \in \beta(y(u)-y_d) $$

En particulier si l'on choisit $U_{ad}$ et $\beta$ - comme dans le §2 on a le suivant :

**Théorème 3.2.-** Si $y_d$ est accesible c'est à dire :

$$ (3.30) \qquad \text{si } y(u)|_{\Gamma} = y_d $$

alors la solution du problème (3.4) est l'état optimal $y(u)$.

**Démonstration.-** On a tout d'abord $\Psi(y(u))=0$. D'autre - part quelque soit $\varphi \in V$

$$ \begin{align*} (3.31) \quad & \Psi(\varphi) + \int_{\Gamma} u(\varphi - y(u)) d\Gamma = \int_{\Gamma} (M-u)(\varphi - y(u))^{-} d\Gamma \\ & + \int_{\Gamma} (u-N)(\varphi - y(u))^{+} d\Gamma \geq 0 \end{align*} $$
<figure><img src="image_4.png" /></figure>
$N \in L(U,U)$, symétrique et coercif

On suppose $U_{ad}$ défini par (2.1). Alors, -
d'après (LIONS $|1|$) il existe un contrôle $u \in U_{ad}$ unique
vérifiant :

$$
(3.35) \qquad \int_{\Gamma} \beta(u) = \inf_{v \in U_{ad}} \int_{\Gamma} \beta(v) \\
\phantom{(3.35) \qquad \int_{\Gamma} \beta(u) = \inf_{v \in U_{ad}} \int_{\Gamma} \beta(v)} \text{Soit y(u) l'état optimal et}
$$

Soit $y(u)$ l'état optimal et

$$
(3.36) \qquad y_d = y(u) \Big|_{\Gamma}
$$

Définissons maintenant la fonctionnelle :

$$
(3.37) \qquad J(v) = \int_{\Gamma} |y(v) - y_d|^2 d\Gamma
$$

qui permet poser un nouveau problème de contrôle associé :

Trouver $\bar{u} \in U_{ad}$ tel que

$$
(3.38) \qquad J(\bar{u}) \le J(v) \quad \forall v \in U_{ad}
$$
**Proposition 3.1.-** Les problèmes de contrôle (3.35) et (3.37) ont la même solution, c'est à dire $u=\bar{u}$, et en plus

$$ (3.39) \qquad J(u)=0 $$

De cette proposition, dont la démonstration est évidente, et du théoreme 3.2 on déduit facilement le:

**Théorème 3.3.-** Le contrôle feedback défini par la loi (2.4) et la consigne $y_d = y(u)|_Γ$ redonne le contrôle optimal $u$. Plus précisement, la solution de l'inéquation variationnelle (3.4) est $y(u)$.

**Rémarque 3.6.-** L'interêt du théorème 3.3 réside dans le fait que, en résolvant un problème "open loop", on peut trouver une loi de feedback qui redonne bien le contrôle optimal.

Notons finalement que, toujours dans les hypothèses du §2, si dans l'inéquation

$$ (3.40) \quad a(y, \varphi - y) + \int_{\Gamma} j(\varphi - z) d\Gamma - \int_{\Gamma} j(y-z) d\Gamma \geq (f, \varphi - y) \quad \forall \varphi \in V $$
z parcours l'ensemble :

$$ \{y(v)\}_{\Gamma} , \ v \in U_{ad} \} $$

le théorème 3.2 nous permet d'affirmer que la solution -
correspondent parcours tout l'ensemble accesible

$$ (3.41) \qquad X = \{y(v) \ , \ v \in U_{ad}\} $$

d'où le suivant (YVON [1]):

**Corollaire 3.2.-** *L'ensemble accesible, défini par (3.41) est l'ensemble des solution de l'inéquation*

$$ a(y, \varphi) + n(\varphi) \geq (f, \varphi) \quad \forall \varphi \in V $$

n étant défini par :

$$ n(\varphi) = \int_{\Gamma} j(\varphi) d\Gamma $$

**Rémarque 3.7.-** Les résultats obtenus dans ce paragraphe restent entièrement valables pour un problème de contrôle le distribué, le contrôle feedback étant pris, dans ce cas, également distribué.
4.- Contrôle frontière d'un problème Dirichlet,

Nous faisons les hypothèses du §1, les coefficients de A étant régulières dans Ω, Soit v ∈ U et y(v) - la solution du problème:

$$
(4.1) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
Ay = f & \text{dans } \Omega \\
\\
y|_{\Gamma} = v & \text{dans } \Gamma
\end{array}
\right.
$$

Alors $\frac{\partial y}{\partial v_A} \in H^{-1}(\Gamma)$, on peut définir la fonction coût :

$$
(4.2) \quad J(v) = \left| \frac{\partial y}{\partial v_A} - y_d \right|_{H^{-1}(\Gamma)}^2, \quad y_d \in H^{-1}(\Gamma) \text{ donnée,}
$$

et poser le problème de contrôle :

Trouver $u \in U_{ad}$ telle que

$$
(4.3) \qquad J(u) \le J(v) \qquad \forall v \in U_{ad}
$$

Il est bien connu (cf. LIONS $|1|$) que ce problème a, au moins, une solution

Supposons maintenant que l'on choisit $U_{ad}$ dé-
fini dans (2,1), Alors un contrôle admissible est, formellement
le suivant

$$
(4.4) \quad \text{si } x \in \Gamma, \quad y(x) =
\begin{cases}
N & \text{si } \frac{\partial y}{\partial v_A}(x) > y_d(x) \\
M & \text{si } \frac{\partial y}{\partial v_A}(x) < y_d(x) \\
[N, M] & \text{si } \frac{\partial y}{\partial v_A}(x) = y_d(x)
\end{cases}
$$

L'état correspondent est solution du problème :

$$
(4,5) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\text{Ay}=f & \\
-\gamma|_{\Gamma} \in \beta\left(\frac{\partial y}{\partial v_A}, -\gamma y_d\right) & \\
\text{si } \frac{\partial y}{\partial v_A}(x) = y_d(x) &
\end{array}
\right.
$$

β étant défini par (2.4), Nous nous proposons maintenant
de résoudre ce type de problèmes.

5. - Le problème général,

Soit $\beta$ un opérateur monotone maximal dans $\mathbb{R}$.

On considère le problème aux limites multivoque :

Trouver y solution de:
$$
(5.1) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
Ay = f & \text{dans } \Omega \\[1em]
-y \mid_{\Gamma} \in \beta \left( \frac{\partial y}{\partial v_A} - y_d \right) & \text{dams } \Gamma
\end{array}
\right.
$$

Il est evident que (5,1) equivaut à;

$$
(5.2) \quad \left\{
\begin{array}{l}
Ay = f \\
- \frac{\partial y}{\partial v_A} \in -\beta^{-1}(-y_1) - y_d
\end{array}
\right.
$$

Soit $j$; $R \longrightarrow (-\infty, \infty]$ une fonction convexe,
s.c.i., propre telle que $\partial j = \beta$, alors on a;

$$
(5.3) \qquad \partial j^*(-x) = -\beta^{-1}(-x)
$$

$j^*$ étant la fonction polaire de $j$,

Par conséquent la fonctionnelle dans $L^2(\Gamma)$

$$
(5.4) \qquad \Psi^*(\varphi) = \int_{\Gamma} j^*(-\varphi) d\Gamma
$$

est convexe, s,c,i., propre et vérifie

$$
(5.5) \quad -\partial \Psi^*(\varphi) = -\beta^{-1}(-\varphi)
$$
Etant données $f \in V$, $y_d \in H^{-1/2}(\Gamma)$ on peut po-
ser le problème:

Trouver $y \in V$ solution de l'inéquation varia-
tionnelle :

$$
(5.6) \quad a(y, \varphi - y) + \Psi^*(\varphi) - \Psi^*(y) \ge (f, \varphi - y) + (y_d, \varphi - y) \quad (1)
$$

$\forall \varphi \in V$

Il est facile de voir l'équivalence formelle
entre ce problème et l'enoncé dans (5.1).

Théorème 5.1. - Sous les hypothèses

$$
(5.7) \qquad
\begin{gathered}
f \in V' \\
y_d \in H^{-1/2}(\Gamma)
\end{gathered}
$$

le problème (5.6) admet solution unique.

Demonstration. - Soit $\gamma_\lambda$ l'approximation Yosida de l'ope-
rateur maximal monotone dans $\mathbb{R}$ :

$$
(5.8) \quad \gamma: x \in \mathbb{R} \rightarrow \gamma(x) = -\beta^{-1}(-x) \in P(\mathbb{R})
$$

<footnote>(1) Dualité H¹/²(Γ), H⁻¹/²(Γ),</footnote>
et $\psi_{\lambda}^*$ la fonctionnelle dans $L^2(\Gamma)$ defini par:

$$ (5.9) \qquad \psi_{\lambda}^{*}(\varphi) = \int_{\Gamma} \gamma_{\lambda}(\varphi) d\Gamma $$

On pose alors le problème approché du (5.6):
trouver $y_{\lambda} \in V$ solution de:

$$ (5.10) \quad a(y_{\lambda}, \varphi - y_{\lambda}) + \psi_{\lambda}^{*}(\varphi) - \psi_{\lambda}^{*}(y_{\lambda}) \ge (f, \varphi - y_{\lambda}) + (y_{d}, \varphi - y_{\lambda}) \\ \forall \varphi \in V $$

Mais, $\psi_{\lambda}^*$ étant differentiable, (5.10) est -
bien l'équation variationnelle:

$$ (5.11) \quad a(y_{\lambda}, \varphi) + \int_{\Gamma} \gamma_{\lambda}(y_{\lambda}) \varphi \, d\Gamma = (f, \varphi) + (y_d, \varphi) \quad \forall \varphi \in V $$
qui possède solution unique $y_{\lambda} \in H^1(\Omega)(voir \ LIONS \ |_3|)$.

D'autre part on obtient comme dans le théorème
3.1: $y_{\lambda}$ est dan un borné de $H^1(\Omega)$ indépendant de $\lambda$.

Le passage à la limite pour obtenir (5.6) -
ainsi que la démonstration de l'unicité sont entièrement
analogues à ceux du théorème 3.1.

En principe, une loi de feedback ne faira pas
le contrôle optimal du système et l'estimation de l'er—
reur par rapport a celui-ci est ouverte. Cependant ils -
existent des cas d'optimalité analogues à ceux du §3.

Théorème 5.2.- Si $y_d$ est un état accesible (c'est à dire
$J(u)=0$, u étant le contrôle optimal) et si

$$
(5.12) \qquad \Psi^*(\varphi) \ge \Psi^*(y(u)) \qquad \forall \varphi \in V
$$

alors $y(u)$ est la solution de l'inéquation (5.6).

Démonstration. - Notons tout d'abord que compte tenue du
fait que :

$$
\frac{\partial y}{\partial v} \bigg|_{A} = y_{d}
$$

$y(u)$ est la solution de l'équation :

$$
(5.13) \qquad a(y, \varphi) = (f, \varphi) + (y_d, \varphi) \qquad \forall \varphi \in V
$$

Le résultat s'obtient en considerant que grâ-

<footnote>(1) Comme $J(u)=0$, $u$ sera unique.</footnote>
ce à l'hypothèse (5.12), cette équation équivaut à (5.6).

Notons maintenant que (5.12) est équivalent à:

$$ (5.14) \qquad \theta \in \partial \Psi^*(y(u)) = -\beta^{-1}(-y(u)) $$

d'autre part si nous prenons $U_{ad}$ défini par (2.1) et $\beta$ défini par (2.4), alors $J(u)=0$ entraine:

$$ (5.15) \qquad -y(u) \in (\frac{\partial y}{\partial v_A} - y_d) $$

d'ou:

$$ \theta = - \frac{\partial y}{\partial v_A} + y_d \in -\beta^{-1} \{-y(u)\} $$

c'est à dire (5.14).

Le théorème 5.2 peut donc s'appliquer et on a le:

**Corollaire 5.1.** Si le contrôle optimal $u$ verifie $J(u)=0$ alors la loi de feedback défini par (4.4) redonne le contrôle optimal, plus précisement, $y(u)$ est la solution de l'inéquation variationnelle (5.6).

Notons que si $\frac{\partial y}{\partial v_A} = y_d$ alors $y \in H^{1/2}(\Gamma)$ et on a donc un résultat de régularité sur le contrôle optimal et en plus le:
**Corollaire 5.2.-** Sous les hypothèses du théorème (5.2) on a :

$$ (5.17) \qquad y_{\lambda}|_{\Gamma} \to u \quad \text{dans } H^{1/2}(\Gamma) \text{ faible} $$

**Rémarque 5.1.-** On a les mêmes résultats pour une fonction coût générale (voir (3.34)) que dans le cas du problème Neumann (cf. §3).
BIBLIOGRAPHIE

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H. BREZIS |1| Opérateurs maximaux monotones et semi-groups de contractions dans les espaces de Hilbert. North-Holland Publishing Company Amsterdam 1973.

|2| Monotonicity Methods in Hilbert spaces and some applications to Nonlinear Functional Equations. Dans "Contributions to Nonlinear Functional Analysis" Edited by E.H. Zarantonello. Academic Press 1971.

G. DUVAUT-J.L. LIONS |1| Les inéquations en méchanique et en physique. Dunod. Paris 1972.

J.L. LIONS |1| Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles. Dunod. Paris 1968.

|2| Various topics in the theory of optimal control of distributed systems. Soc. Math. Canada. London (Canada) 1973.

|3| Quelques méthodes de résolution de problèmes aux limites non-linéaires. Dunod. Paris 1969.

J.P. YVON |1| Communication personnelle.