# Décomposition tensorielle de rang faible pour l'imagerie de Stokes polarimétrique

Saulo Cardoso Barreto, Julien Flamant, Sebastian Miron, David Brie

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Saulo Cardoso Barreto, Julien Flamant, Sebastian Miron, David Brie. Décomposition tensorielle de rang faible pour l'imagerie de Stokes polarimétrique. XXIXème Colloque Francophone de Traitement du Signal et des Images, GRETSI 2023, Aug 2023, Grenoble, France. hal-04297522

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# Décomposition tensorielle de rang faible pour l'imagerie de Stokes polarimétrique

Saulo CARDOSO BARRETO<fnref n="1" /> Julien FLAMANT<fnref n="1" /> Sebastian MIRON<fnref n="1" /> David BRIE<fnref n="1" />

¹Université de Lorraine, CNRS, CRAN, F-54000 Nancy, France

**Résumé** – Nous présentons une nouvelle approche pour l'analyse et la segmentation d'images polarimétriques de Stokes. Notre approche repose sur un modèle tensoriel de rang faible, qui intègre des contraintes physiques liées à l'acquisition des données. Nous proposons également un algorithme rapide fondé sur une procédure de gradient proximal permettant une estimation efficace des paramètres du modèle. Les résultats numériques démontrent le fort potentiel de cette approche pour les applications en imagerie polarimétrique passive et active.

**Abstract** – We present a novel approach for the analysis and segmentation of Stokes polarimetric images. Our approach is based on a low-rank tensor model that incorporates physical constraints related to data acquisition. We also propose a fast algorithm based on a proximal gradient procedure allowing for efficient estimation of the model parameters. Numerical results demonstrate the high potential of this approach for passive and active polarimetric imaging applications.

## 1 Introduction

L'imagerie polarimétrique repose sur l'exploitation des propriétés de polarisation de la lumière. A l'instar de l'intensité et de la longueur d'onde, la polarisation définit un attribut physique fondamental qui a la particularité d'être vectoriel. En effet, la polarisation décrit la trajectoire (en général elliptique) du champ électromagnétique dans le plan 2D perpendiculaire à la direction de propagation. L'interaction de la lumière polarisée avec un milieu mène dans de nombreux cas à une évolution des propriétés géométriques de cette ellipse, fournissant ainsi des informations décisives quant au milieu observé, souvent inaccessibles aux modalités d'imageries conventionnelles. L'imagerie polarimétrique est ainsi une modalité clé pour de nombreuses applications, telles que la caractérisation d'échantillons biologiques [1], la télédétection [2], ou encore le diagnostic précoce de tissus cancéreux [3].

En imagerie optique<fnref n="1" />, un état de polarisation est représenté par 4 valeurs expérimentalement mesurables appelées paramètres de Stokes [5]. Dans une image polarimétrique dite de Stokes, chaque pixel porte alors une information vectorielle, sous la forme d'un vecteur de paramètres de Stokes à 4 composantes. Ainsi, une image polarimétrique de Stokes définit naturellement un tableau tri-dimensionnel, que l'on appellera *tenseur* de Stokes. Il est alors possible d'envisager l'utilisation d'outils d'algèbre multilinéaire ou tensoriels [6] pour analyser et traiter ces données polarimétriques. Cette approche n'a, à notre connaissance, reçu que peu d'attention jusqu'à présent; nous étudions ici son potentiel.

Cet article propose un modèle tensoriel de rang faible dédié pour l'analyse et le traitement d'images polarimétriques de Stokes. Le modèle s'appuie sur une décomposition tensorielle de type bloc (BTD) [7] qui assure l'identifiabilité de la décomposition sous des conditions très générales. Les contributions de ce travail sont doubles : l'identification de contraintes de type non-négativité assurant l'interprétabilité physique des différents

facteurs du modèle, d'une part ; d'autre part la formulation d'un algorithme proximal par blocs permettant une décomposition rapide et efficace d'un tenseur de Stokes, assortie de garanties théoriques. Une expérience numérique sur données simulées illustre la pertinence de l'approche.

**Notations.** Les vecteurs et matrices sont représentés en gras miniscule **v** et gras majuscule M. Les tenseurs correspondent ici à des tableaux tridimensionnels et sont notés en lettres scriptes $\mathcal{T}$. Un vecteur colonne de « 1 » de taille $N$ est noté $1_N$. La norme de Frobenius d'un vecteur, matrice ou tenseur est notée $\|\cdot\|$. Le produit extérieur (ou tensoriel) est noté par $\circ$ ; le produit de Khatri-Rao de deux matrices $A$ et $B$ est donné par $A \odot B$ suivant les conventions de [8]. On note par $T_{(n)}$ le dépliement matriciel d'un tenseur $\mathcal{T}$ suivant son $n$-ième mode.

## 2 Modèle tensoriel de rang-faible pour l'imagerie polarimétrique

### 2.1 Paramètres de Stokes

On note par $S_0, S_1, S_2$ et $S_3$ les paramètres de Stokes. Ces 4 grandeurs sont à valeurs réelles, mesurables expérimentalement et peuvent être interprétées comme suit. Le premier paramètre, $S_0$, donne l'intensité totale de la lumière, à l'instar de l'imagerie d'intensité classique. Les trois paramètres restants $S_1, S_2$ et $S_3$ décrivent sa *polarisation*. La différence d'intensité entre polarisation linéaire horizontale et verticale est donnée par $S_1$, alors que $S_2$ donne la composante polarisée suivant les axes 45°/135°. Enfin $S_3$ indique la prépondérance entre les polarisations circulaires gauche et droite.

La Fig. 1 présente la sphère de Poincaré, un outil graphique permettant une visualisation géométrique des états de polarisation. A chaque point de la sphère correspond un état de polarisation donné, auquel peut être associée une ellipse de polarisation dont la géométrie est définie par l'orientation $\theta$ et l'ellipticité $\chi$. Un changement de repère cartésien - sphérique donne l'expression

<footnote>Travail soutenu par le projet ANR RICOCHET n°ANR-21-CE48-0013.</footnote>

<footnote n="1">¹Par opposition au domaine radar, où l'imagerie est dite "active" et fait appel à des outils et représentations spécifiques, voir [4].</footnote>
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1 : a) Ellipse de polarisation b) Sphère de Poincaré.</figcaption></figure>

sion des paramètres de Stokes

$$
\begin{align}
S_1 &= S_0 \Phi \cos 2\theta \cos 2\chi, \nonumber \\
S_2 &= S_0 \Phi \sin 2\theta \cos 2\chi, \tag{1} \\
S_3 &= S_0 \Phi \sin 2\chi, \nonumber
\end{align}
$$

où le degré de polarisation $\Phi = (S_1^2 + S_2^2 + S_3^2)^{1/2}/S_0 \in [0, 1]$
quantifie le rapport entre intensité polarisée et intensité totale.
Les états de polarisation totale ($\Phi = 1$) correspondent à la
surface de la sphère; pour $0 < \Phi < 1$, l'état est partiellement
polarisé et se trouve à l'intérieur; le cas $\Phi = 0$, correspondant
au centre de la sphère, est dit non-polarisé. A partir de la Fig. 1,
on remarque qu'une polarisation circulaire totale ($\Phi = 1, \chi =$
$\pm\pi/4$) donne $S_3/S_0 = \pm 1$ et $S_1 = S_2 = 0$, tandis qu'une
polarisation linéaire horizontale totale ($\Phi = 1, \theta = \chi = 0$)
donne $S_1/S_0 = 1$ et $S_2 = S_3 = 0$.

**Contraintes physiques.** Les paramètres de Stokes obéissent
à de fortes contraintes et ne peuvent donc être arbitraires. En
particulier, puisque $S_0$ est une intensité et que le degré de polari-
sation ne peut excéder 1, un vecteur de Stokes $[S_0, S_1, S_2, S_3]^\top$
doit satisfaire

$$
S_0 \ge 0 \quad \text{et} \quad S_0^2 \ge S_1^2 + S_2^2 + S_3^2. \qquad (S)
$$

On notera par $\mathbb{R}_S^4$ l'ensemble des vecteurs obéissant à la
contrainte (S). Cette dernière défini un cône du second-ordre
dans $\mathbb{R}^4$ et qui peut être interprétée comme une extension de la
contrainte de non-négativité usuelle au cas vectoriel. Introdui-
sons la matrice de cohérence $\mathbf{J} \in \mathbb{C}^{2 \times 2}$ qui, par construction
physique [5], correspond à la matrice de corrélation statistique
du champ électromagnétique 2D. On peut alors montrer

$$
\mathbf{J}(S_0, S_1, S_2, S_3) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} S_0 + S_1 & S_2 + iS_3 \\ S_2 - iS_3 & S_0 - S_1 \end{bmatrix}. \quad (2)
$$

La matrice **J** est semi-définie positive par construction. Un
calcul direct montre que **J** ≥ 0 ⇔ Tr **J** et det **J** ≥ 0 ⇔ (S).
Cette équivalence sera utile par la suite pour l'implémentation
pratique de la contrainte (S).

## 2.2 Décomposition tensorielle par blocs sous contraintes physiques

Considérons une image polarimétrique de taille $I \times J$ où chaque
pixel est un vecteur de Stokes dans $\mathbb{R}_S^4$. Cette image définit un

tenseur $\mathcal{T} \in \mathbb{R}_S^{I \times J \times 4}$ de telle sorte que le pixel d'indice $(i, j)$ s'écrit

$$
\mathcal{T}_{ij} := [S_0(i, j), S_1(i, j), S_2(i, j), S_3(i, j)]^\top \in \mathbb{R}_S^4. \quad (3)
$$

Une hypothèse raisonnable est de supposer un modèle de mé-
lange linéaire pour **T**, i.e., le vecteur de Stokes mesuré à un
pixel (i, j) donné peut s'écrire comme la combinaison linéaire
de *R* vecteurs de Stokes élémentaires **c**₁, ..., **c**<sub>*R*</sub> ∈ ℝ<sub>S</sub><sup>4</sup> tel
que **T**<sub>ij</sub>: = ∑<sub>r=1</sub><sup>*R*</sup> (T<sub>r</sub>)<sub>ij</sub> · **c**<sub>r</sub>, où T<sub>1</sub>, ..., T<sub>*R*</sub> ∈ ℝ<sub>+</sub><sup>*I*×*J*</sup> sont les
matrices de mélange spatiales associées aux *R* états de polarisa-
tion. Ce modèle correspond a la superposition incohérente des
vecteurs de Stokes associés aux différentes régions de l'image
polarimétrique [5]. Le modèle de mélange linéaire s'écrit ainsi
de manière compacte

$$
\mathcal{T} \approx \sum_{r=1}^{R} \mathbf{T}_r \circ \mathbf{c}_r, \qquad (4)
$$

où ◦ est le produit tensoriel. Les matrices T_r sont supposées
non-négatives : cela assure d'une part leur interprétabilité en
tant que carte d'activation de l'état de polarisation c_r associé;
d'autre part, cela assure que (4) définit une combinaison conique
d'éléments de R_4, et ainsi chaque pixel de l'image polarimé-
trique reconstruite est un vecteur de Stokes, i.e., un vecteur de
R^4 vérifiant (S).

**Décomposition tensorielle par blocs.** Une hypothèse cou-
rante consiste à modéliser chaque matrice de mélange par une
approximation de rang faible telle que T_r ≈ A_r B_r^T, avec
A_r ∈ ℝ_+^{I×L} et B_r ∈ ℝ_+^{J×L} et L ≪ I, J où A_r et B_r héritent
des contraintes de non-négativité sur T_r. On définit alors le
modèle de rang-faible par bloc (BTD) suivant

$$
\mathcal{T} \approx \sum_{r=1}^{R} (\mathbf{A}_r \mathbf{B}_r^{\top}) \circ \mathbf{c}_r, \qquad (5)
$$

qui est un modèle LL1 [8] particulier avec des contraintes
de non-négativité (en un sens généralisé) sur les facteurs. On
pose T = [A, B, C ΨL], avec A = [A1 ... AR] ∈ R+I×LR,
B = [B1 ... BR] ∈ R+J×LR, et C = [c1 ... cR] ∈ R4×R
(chaque colonne est un vecteur de Stokes). La matrice ΨL per-
met d'associer un unique état de polarisation cr aux activations
spatiales ArBτ en répétant L fois chaque colonne de C tel
que ΨL = blkdiag(1L ... 1L) ∈ NR×RL. Les dépliements
matriciels du modèle proposé (5) sont alors donnés par [7] :

$$
\mathbf{T}_{(1)} = (\mathbf{B} \odot \mathbf{C}\mathbf{\Psi}_L)\mathbf{A}^{\top} \in \mathbb{R}^{JK \times I}, \quad (6)
$$

$$
\mathbf{T}_{(2)} = (\mathbf{C}\mathbf{\Psi}_L \odot \mathbf{A})\mathbf{B}^{\top} \in \mathbb{R}^{KI \times J}, \quad (7)
$$

$$
\mathbf{T}_{(3)} = (\mathbf{A} \odot \mathbf{B}) \mathbf{\Psi}_L^\top \mathbf{C}^\top \in \mathbb{R}^{IJ \times K}. \quad (8)
$$

**Garanties d'identifiabilité.** Une décomposition tensorielle est dite identifiable si les seules ambiguïtés sont des ambiguïtés trivialies du modèle. En particulier, pour le modèle (5), celles-ci correspondent à une permutation des différents termes, ou un facteur d'échelle $\lambda_r$ tel que $(\lambda_r \mathbf{A}_r \mathbf{B}_r^\top) \circ (\lambda_r^{-1} \mathbf{c}_r) = \mathbf{A}_r \mathbf{B}_r^\top \circ \mathbf{c}_r$. En outre seul le sous-espace engendré par $\mathbf{A}_r$ et $\mathbf{B}_r$ est identifiable car il est toujours possible de trouver une matrice inversible D telle que $\mathbf{A}_r \mathbf{B}_r^\top = \mathbf{A}_r \mathbf{D} \mathbf{D}^{-1} \mathbf{B}_r^\top$. Plusieurs conditions suffisantes d'identifiabilité pour le modèle LL1 peuvent être obtenues [7]. On donne ici la suivante, adaptée au modèle (5) :

$$
\left[ \frac{I J}{L^2} \right] \geq R \text{ et } \left( \min \left( \lfloor I/L \rfloor, R \right) + \min \left( \lfloor J/L \rfloor, R \right) + \min \left( 4, R \right) \geq 2R + 2. \right) \quad (9)
$$
avec $[\cdot]$ la partie entière inférieure.

## 2.3 Algorithme de gradient proximal par blocs

**Problème d'optimisation.** La résolution du modèle BTD (5) se formule comme le problème d'optimisation non-convexe

$$ \min_{\mathbf{A}, \mathbf{B} \ge 0, \mathbf{C} \in \mathbb{R}_S^{4 \times R}} \|\mathcal{T} - [\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C} \Psi_L]\|^2. \quad (10) $$

Pour résoudre (10), on adopte une approche de minimisation alternée sur chacun des facteurs du modèle, qui consiste à ité- rer successivement sur **A**, **B** et **C** de telle sorte qu’à partir de l’itération *k* on calcule dans l’ordre

$$ \mathbf{A}^{k+1} \leftarrow \underset{\mathbf{A} \in \mathbb{R}_+^{I \times RL}}{\operatorname{argmin}} \|\mathbf{T}_{(1)} - (\mathbf{B}^k \odot \mathbf{C}^k \Psi_L)\mathbf{A}^\top\|^2, \quad (11) $$

$$ \mathbf{B}^{k+1} \leftarrow \underset{\mathbf{B} \in \mathbb{R}_+^{J \times RL}}{\operatorname{argmin}} \|\mathbf{T}_{(2)} - (\mathbf{C}^k \Psi_L \odot \mathbf{A}^{k+1})\mathbf{B}^\top\|^2, \quad (12) $$

$$ \mathbf{C}^{k+1} \leftarrow \underset{\mathbf{C} \in \mathbb{R}_S^{4 \times R}}{\operatorname{argmin}} \|\mathbf{T}_{(3)} - (\mathbf{A}^{k+1} \odot \mathbf{B}^{k+1}) \mathbf{\Psi}_L^\top \mathbf{C}^\top\|^2, \quad (13) $$

où l’on a utilisé les dépliement matriciels (6)–(8) pour la dé- finition des fonctions coût $f_X^k(\cdot)$ associées à chacun des sous- problèmes. Les trois sous-problèmes sont convexes, $f_X^k(\cdot)$ étant convexe (coût quadratique) et les contraintes l’étant également. On peut ainsi résoudre (11)-(13) à l’aide de méthodes géné- riques, telles qu’un algorithme de gradient proximal par blocs, où la résolution d’un des sous-problèmes est décrite ci-dessous. Ce choix est motivé par la simplicité de l’implémentation, son faible coût computationnel, et les garanties de convergence [9] vers un point stationaire de la fonction objectif (10) de la sé- quence (11)-(13).

**Gradient proximal.** En posant $\mathbf{X} \in \{\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}\}$, chaque sous- problème (11)-(13) peut se mettre sous la forme d’un problème d’optimisation convexe sous contrainte d’appartenance à en- semble convexe $G: \min_{\mathbf{X} \in G} f_X(\mathbf{X})$. Dans ce cas, l’algorithme du gradient proximal se réduit à l’algorithme du gradient projeté [9, Ch. 10], soit à une itération *n* donnée,

$$ \mathbf{X}^{n+1} = P_X \left( \mathbf{X}^n - \alpha_n \nabla f_X(\mathbf{X}^n) \right), \quad (14) $$

avec $\alpha_n$ le pas de descente et $P_X$ la projection sur $G$. Les opérateurs de projection pour chacun des sous-problèmes sont explicités ci-après. En pratique, on utilise une version accélérée de cet algorithme appelée FISTA, et dont les itérations sont don- nées explicitement dans l'**Algorithme 1**. Le pas $\alpha_n$ est contrôlé par *backtracking* suivant l'approche décrite dans [9, p. 150] de façon à assurer une condition de décroissance suffisante sur la fonction objectif.

**Projections.** Les projections $P_A$ et $P_B$ assurent que les en- trées de **A** et **B** sont non-négatives. Leur expression est clas- sique $P_A(\mathbf{A}) = \max(0, \mathbf{A})$ et $P_B(\mathbf{A}) = \max(0, \mathbf{B})$ où le maximum est défini élément par élément. A l’inverse, la projec- tion de **C** sur l’ensemble $\mathbb{R}_S^{4 \times R}$ est moins usuelle. Elle consiste à projeter chaque colonne $\mathbf{c}_1, \dots, \mathbf{c}_R$ de la matrice **C** sur $\mathbb{R}_S^4$. Comme expliqué en Section 2.1, cela est équivalent à calculer la projection de la matrice **J** définie en (2) sur l’ensemble des

**Algorithme 1 : FISTA pour $\min_{\mathbf{X} \in G} f_X(\mathbf{X})$**

**Input :** initialisation $\mathbf{X}^0$

1. $\mathbf{Y}^0 \leftarrow \mathbf{X}^0$

2. $t_0 = 1$

3. while critère d'arrêt non satisfait do

4. $\mathbf{X}^{n+1} \leftarrow P_X(\mathbf{Y}^n - \alpha_n \nabla f_X^k(\mathbf{Y}^n))$

5. $t_{n+1} = \frac{1+\sqrt{1+4t_n^2}}{2}$

6. $\mathbf{Y}^{n+1} \leftarrow \mathbf{X}^{n+1} + \left( \frac{t_n - 1}{t_{n+1}} \right) (\mathbf{X}^{n+1} - \mathbf{X}^n)$

7. end

matrices semidefinie positives de taille $2 \times 2$ complexes $\mathbb{C}_{++}^{2 \times 2}$. Cette projection s'écrit simplement

$$ P_{\mathbb{C}_{++}^{2 \times 2}}(\mathbf{J}(\mathbf{c}_r)) = \sum_{i=1}^{2} \max(0, \eta_i) \mathbf{v}_i \mathbf{v}_i^\dagger = \begin{bmatrix} \sigma & \gamma \\ \bar{\gamma} & \beta \end{bmatrix} \quad (15) $$

avec $\eta$ et $\mathbf{v}$ les valeurs propres et vecteurs propres de $\mathbf{J}(\mathbf{c}_r)$. Cette projection est unique. Puisque $\mathbf{c}_r \mapsto \mathbf{J}(\mathbf{c}_r)$ est bijectif, on obtient $P_c(\mathbf{c}_r)$ comme

$$ P_c(\mathbf{c}_r) = [(\sigma + \beta), (\sigma - \beta), 2 \operatorname{Re}(\gamma), 2 \operatorname{Im}(\gamma)]^\top. \quad (16) $$

Enfin, on obtient la projection $P_C(\mathbf{C})$ en appliquant $P_c(\mathbf{c}_r)$ à chacune des colonnes de **C**.

## 3 Validation expérimentale

Dans cette section, nous illustrons l’approche présentée sur des donnés de Stokes simulées. Un tenseur de Stokes synthétique avec $I = J = 160$ a été généré. Les valeurs d’intensité ont été tirées à partir d’une distribution uniforme, et pour la simplicité, des états totalement polarisés ont été utilisés pour les vecteurs de Stokes. Les résultats des deux décompositions, pour deux valeurs différentes de $L$, sont montrés. Dans les deux cas, la condition suffisante d’unicité (9) est respectée.

Pour une convergence plus rapide, la matrice de facteurs **C** a été initialisée avec le résultat d’un algorithme des *k*-moyennes, dans lequel, le nombre de clusters correspond au nombre de termes *R* de la décomposition. Les centroïdes des clusters dé- finissent les valeurs initiales des colonnes de **C**. La projection $P_C$ a été ensuite appliquée à **C** pour s’assurer que la condition (*S*) est satisfaite. Une factorisation en matrices non-négatives (NMF) avec un rang *L* est également appliquée sur les *R* ma- trices de mélange spatiales identifiées par l’algorithme des *k*- moyennes, et utilisée comme initialisation pour $\mathbf{A}_r$ et $\mathbf{B}_r$. Ces étapes nous permettent d’observer une convergence rapide de l’algorithme pour les deux valeurs de *L* utilisées.

La Fig. 2a) illustre les données d'entrée; les résultats de la dé- composition sont présentés dans la Fig. 2b). Comme attendu, il y a une relation directe entre la valeur de *L* et la capacité du mo- dèle à représenter des informations spatiales complexes. Néan- moins, même pour de faibles valeurs du paramètre *L* (*L* = 3), les composantes sont reconstruites de manière satisfaisante et leurs états de polarisation sont correctement estimés, malgré une reconstruction de qualité moyenne de l'arrière-plan (en raison de sa complexité). L'utilisation d'une valeur de *L* plus élevée (*L* = 15) permet d'améliorer la résolution spatiale, tout en conservant l'identifiabilité du modèle. La projection sur les contraintes définies par (*S*) a permis une estimation des états de
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 : Décomposition du tenseur de Stokes construit en utilisant des états de polarisation élémentaires. a) Visualisation de l'intensité ($S_0$) tirée aléatoirement à partir d'une loi uniforme $0.5 \ge S_0 \ge 1$ et des paramètres $S_1, S_2, S_3$ normalisés. b) Résultat de la décomposition avec $R = 5$ pour deux valeurs différentes de $L$. Chaque ellipse correspond à une colonne $c_r$ de $C$, et caractérise l'état de polarisation de l'image $A_r B_r^\top$ correspondante.</figcaption></figure>

polarisation interprétables, comme le montrent les ellipses de polarisation de la Fig. 2b). Nous pouvons également constater que les vecteurs de Stokes $c_r$ estimés par les deux décompositions sont légèrement différents. Pour $L = 15$, la récupération des états de polarisation élémentaires est un peu meilleure par rapport à la décomposition avec un rang plus petit. Il est important aussi de mentionner que, grâce au modèle tensoriel, nous avons pu utiliser un rang de décomposition $R = 5$, supérieur à la dimension originale du dernier mode du tenseur de Stokes.

# 4 Conclusions et perspectives

Nous avons introduit dans cette communication une nouvelle approche pour l'analyse d'images polarimétriques de Stokes, fondée sur un modèle tensoriel de rang faible de type LL1 avec des contraintes physiques. Nous avons développé également un algorithme de gradient proximal par blocs pour ajuster le modèle aux données, permettant de prendre en compte de façon simple et efficace les contraintes. On a obtenu ainsi une approche rapide permettant de décomposer une image polarimétrique en termes élémentaires, avec des garanties d'identifiabilité. Plus qu'une simple segmentation visant à associer chaque point à une classe, nous avons proposé une approche qui estime conjointement les états de polarisation et les cartes d'activation spatiales associées. L'interprétabilité des résultats est garantie grâce aux contraintes physiques imposées directement lors de la décomposition.

La flexibilité et les garanties d'unicité du modèle LL1, ainsi que les garanties de convergence de l'algorithme de gradient proximal, illustrent le potentiel de l'approche proposée pour d'autres types d'applications en optique, à fort impact applicatif, e.g., l'imagerie active par matrices de Mueller.

# Références

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