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# Quelques remarques sur les variétés, fonctions de Green et formule de Stokes.

Samy Skander Bahoura

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Samy Skander Bahoura. Quelques remarques sur les variétés, fonctions de Green et formule de Stokes.. 2026. hal-01635538v31

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Preprint submitted on 19 Jan 2026

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## QUELQUES REMARQUES SUR LES VARIÉTÉS, FONCTIONS DE GREEN ET FORMULE DE STOKES.

### SAMY SKANDER BAHOURA

RÉSUMÉ. On donne quelques remarques sur les surfaces K3, projectifs complexe, réels, le Tore, la topologie des surfaces réelles de dimension 2, la fonction distance au bord, l'orientabilité des boules geodesiques, traces de Sobolev et fonctions de Green et un Théorème de Dualité, le degré topologique de Leray-Schauder et des points fixes topologiques (en particulier, application en dimension 2), les solutions topologiques dans le cas negatif (critique et supercritique, Eq de courbure scalaire prescrite negatif et Eq. supercritique negatif), la metrique induite sur un ouvert Lipschitzien, les coordonnées geodesiques polaires et la formule de Gauss-Bonnet et sur le Théorème de la masse positive en dimension 3 et dans le cas conformément plat. Et le flot de Ricci et sur les inégalités du type $\sup u = f(\inf u)$, et sur la théorie de Yang-Mills et la relativité générale et la cosmologie quantique et leur relation avec l'équation de Yamabe et de la courbure prescrite et du type courbure prescrite. Et des obstructions d'astronomie. Et sur les cordes, supercordes et D-branes et la symétrie. Et géométrisation.

### 1. QUELQUES REMARQUES :

1) Sur les mesures de Haussdorf et la formule d'integration par parties (Pourquoi la version Fusco est equivalente a celle de Necas ?) : $H^{n-1}(\partial\Omega) < +\infty$ alors la mesure $H_{|\partial\Omega}^{n-1}$ est une mesure de Radon, donc reguliere.

Soit $A \subset \partial\Omega$, $H_{|\partial\Omega}^{n-1}$ mesurable, comme la mesure est une mesure de Radon, elle est reguliere :

$$ \forall \epsilon > 0 \exists K_{\epsilon}, O_{\epsilon}, K_{\epsilon} \subset A \subset O_{\epsilon}, H_{|\partial\Omega}^{n-1}(O_{\epsilon} - K_{\epsilon}) \le \epsilon. $$

On a, $O_{\epsilon} = V_{\epsilon} \cap \partial\Omega$, avec $V_{\epsilon}$ ouvert de $\mathbb{R}^n$.

Dapres le Theoreme d'Urysohn;

$$ \exists f_{\epsilon} \in C^0(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^+), 0 \le f_{\epsilon} \le 1, f_{\epsilon} \equiv 1, \text{ sur } K_{\epsilon}, \text{ supp } f_{\epsilon} \subset V_{\epsilon}, $$

Soient $\nu_1, \nu_2$ les normales (interieures) dans la formulation de Fusco et Necas :

$\Omega$ est un ouvert Lipschitzien, on écrit la formule d'integration par parties, dans les deux formulation, la mesure sur le bord est la mesure de Haussdorf $H_{|\partial\Omega}^{n-1}$, ceci est du a la formule de l'aire appliquée localement dans des cartes. De plus par Fusco le bord reduit est égal au bord usuel et $|D\chi_{\Omega}| = H_{|\partial\Omega}^{n-1}$ :

$$ \int_{\Omega} \mathrm{div} \varphi = - \int_{\partial \Omega} \varphi \nu_1 dH^{n-1} = - \int_{\partial \Omega} \varphi \nu_2 dH^{n-1}, \forall \varphi \in C_c^1(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n), $$

Avec $\nu_1, \nu_2 \in L^{\infty}(\partial\Omega)$.

Donc,

$$ \int_{\partial \Omega} \varphi(\nu_1 - \nu_2) dH^{n-1} = 0, \forall \varphi \in C_c^1, $$

Comme $C_c^1$ est dense dans $C_c^0$, la formule precedente est vraie pour $\varphi \in C_c^0$.

On applique cette formule a $f_{\epsilon}$, on obtient pour tout mesurable A :

$$ \int_A (\nu_1 - \nu_2) dH^{n-1} = O(\epsilon) \to 0, $$

Donc,

$$ \nu_1 = \nu_2, H_{|\partial\Omega}^{n-1}, p.p. $$

Ce qu'on a montré c'est que la normale explicite de la formulation Necas est égale a la normale théorique de la formulation de Fusco.
Dans la formulation de Fusco, la normale est obtenue comme "blow-up" autour d'un point du bord, cela revient à prendre la normale à la tangente au bord, par des cartes Lipschitziennes, on voit par ce procédé "blow-up", que la normale exterieure est la normale exterieure usuelle. (Car, l'espace tangent à la mesure"("blow-up") est l'espace tangent usuel).

La formule d'integration par parties est bien connues. Pour sa preuve, voir les livres de Fusco (bords avec singularités par recouvrement et suite de compacts $K_n \to \partial\Omega - \{x_1, x_2, \dots, x_k\}$ dans le cas où il n'y a qu'un nombre fini de points singuliers), Necas et Azé.

La formule d'integration par parties sur un domaine singulier en un nombre fini de points en dimension 2 (par exemple) :

La formule est locale, on considere $B(x_j, 1/n)$ avec $x_j$ un point singulier du bord. La formule est locale, par un recouvrement et une partition de l'unité on ecrit que (voir le Azé, dans chaque partie du recouvrement et on rajoute la boule où il y a la singularité $B(x_j, 1/n)$) :

$$ \int_{\Omega} \mathrm{div}((1 - \alpha_n)u)dx = \int_{\partial\Omega} (1 - \alpha_n)ud\sigma, $$

avec $\alpha_n$ une fonction reguliere et à support compact dans $B(x_j, 1/n)$, $\alpha_n \equiv 1$ dans $B(x_j, 1/2n)$. Avec le fait, $|\nabla \alpha_n| \le Cn$ et $\mu_L(B(x_j, 1/n)) \le C/n^2$ et $H_1(\{x_j\}) = 0$, la mesure de Hausdorff 1-dimensionnelle (ici, on l'a fait pour le point $x_j$). Puis on fait tendre $n \to +\infty$. On obtient la formule de Stokes ou Green-Riemann pour un domaine contenant un nombre fini de singularités au bord.

2) Pourquoi quand on a $u \in W^{1,p} \cap C^0(\bar{\Omega})$, $\mathrm{tr}(u) = u$ ? on utilise Necas et Brezis :

On a :

$\Omega$ est un ouvert Lipschitzien $\Rightarrow$ cartes Lipschitziennes $\Rightarrow$ un opérateur de Prolongement $Pu \in C_c^0(\mathbb{R}^n) \cap W^{1,p}(\mathbb{R}^n)$, d'après la consturation de l'opérateur de Prolongement dans des cartes, $Pu|_{\bar{\Omega}} = u$ et, $\chi_n(\rho_n * Pu) \to Pu$ dans $C_K^0(\mathbb{R}^n)$ et dans $W^{1,p}$ où $K$ est un compact de $\mathbb{R}^n$, donc :

$$ ||\mathrm{Tr}(\chi_n(\rho_n * Pu)) - \mathrm{Tr}(u)||_{L^p(\partial\Omega)} \to 0, $$

Et,

$$ ||\mathrm{Tr}(\chi_n(\rho_n * Pu)) - u||_{C^0(\partial\Omega)} \to 0, $$

Doù,

$$ \mathrm{Tr}(u) = u, \quad H_{|\partial\Omega}^{n-1} p.p, $$

Remarque : Par la formulation de Fusco,

$$ \mathrm{Tr}(u) = u_{\Omega} = \lim_{\rho \to 0} \frac{\int_{B_{\rho}(x)} u(y) dy}{|B_{\rho}(x)|} $$

on voit que si $u \in C^0(\bar{\Omega})$, $\mathrm{Tr}(u) = u$.

3) Pourquoi $W_0^{1,1} = \{u \in W^{1,1}, \mathrm{tr}(u) = 0\}$ avec $\Omega$ ouvert Lipschitzien. Voir le livre de Necas. On raisonne par rapport aux suites $(\exists u_i \in C^\infty(\mathbb{R}^n), u_i \to u \in W^{1,p}(\Omega)$ pour les traces et la restrictions a des sous ensembles d'ouverts Lipschitzien)).

a) On considere $\tilde{u} = u \times 1_{\Omega} \in W^{1,1}(\mathbb{R}^n)$ par integration par parties et formule de Stokes.

b) Par des cartes et on multipliant par une fonction test a support compact, localement $\tilde{u} \in W^{1,1}(Q)$ avec $Q$ un n-cube "au dela" du bord et nulle avant d'atteindre les cotes du bord qui sont interieurs.

On considere alors $\tilde{u}_\lambda$, "la translatée" de $\tilde{u}$ suivant la direction normale au bord. le support de $\tilde{u}_\lambda$ est compact et strictement á l'interieur du domaine.

On a : (on applique ces idées à un cube infini dans la direction normale au bord image (locale) de $\partial\Omega$, puis on se restreint au n-cube de depart. Sur les bords, la restriction de l'homeorphisme Lipschitzien envoie les traces sur les traces par la formule de l'aire ou coaire. (par convergence de suites sur des ouverts Lipschitziens).).

$\tilde{u}_\lambda \in W^{1,1}(Q_{-\lambda})$ avec,

$$ \nabla(\tilde{u}_\lambda) = (\nabla \tilde{u})_\lambda. $$

puis en utilisant des fonctions tests dans $Q$ on obtient :
$\tilde{u}_{\lambda} \in W^{1,1}(Q)$ pour $\lambda$ assez petit.

Le support de $\tilde{u}_{\lambda}$ est strictement dans $Q$, on obtient alors, $\tilde{u}_{\lambda} \in W_{0}^{1,1}(Q)$.

Par un theoreme de la moyenne (voir Necas, $\tilde{u}$ s'annule en dehors de $Q$), on obtient $\tilde{u}_{\lambda} \to \tilde{u}$ dans $W^{1,1}$. Donc, $\tilde{u} \in W_{0}^{1,1}$ et $u \in W_{0}^{1,1}$.

4) Soit $(M, g)$ une variete riemannienne et soit $B_r(x)$ une boule geodesique tres petite, telle que l'exponentielle realise un diffeomorphisme sur la boule de $\mathbb{R}^n$: pourquoi, la normale exterieure $\nu = \partial_r$ ?

On a : l'image de la base canonique par l'exponentielle est la base canonique :

$d(exp_x)(\partial_i) = \tilde{\partial}_i$, on identifie les 1-formes $dx_i$ et $d\tilde{x}_i$.

Soit $B^0$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$ et $\tilde{B}^0$ la base $\{\tilde{\partial}_1, ..., \tilde{\partial}_n\}$ la base canonique de la boule geodesique $B_r(x)$, alors $d(exp_x)(B^0) = \tilde{B}^0$.

La base $B_{0,r} = \{\partial_{0,r}, \partial_{\theta_1}, ..., \partial_{\theta_{n-1}}\}$ est directe, donc $det_{B^0}(B_{0,r}) > 0$.

Soit $\tilde{B}_r = \{d(exp_x)(\partial_{0,r}), \tilde{\partial}_{\theta_1} = d(exp_x)(\partial_{\theta_1}), ..., \tilde{\partial}_{\theta_{n-1}} = d(exp_x)(\partial_{\theta_{n-1}})\}$, alors :

$$det_{\tilde{B}^0}(\tilde{B}_r) = [det : B_r \to B_{0,r}]o[det : B_{0,r} \to B_r, \text{ qui est directe}]o[det : B_r \to \tilde{B}_{0,r}] > 0$$

La premiere est $d(exp_x)^{-1}$ et la derniere $d(exp_x)$ le determinant selimine, il reste celui de $B_{0,r}$ vers $B^0$ qui est direct.

Donc la base $\tilde{B}_r$ est directe par rapport a la base $\tilde{B}^0$.

$n_{ext}$ est definit precisement comme cela tel que $(n_{ext}, \tilde{\partial}_{\theta_1}, ..., \tilde{\partial}_{\theta_{n-1}})$ est directe par rapport a $\tilde{B}^0$.

On peut utiliser la formulation de S. Lang :

Soient $\omega_{\theta}$ et $\Omega$ les formes volumes sur la sphere $S_r(x)$ et la boule $B_r(x)$ $n_{ext}$ est tel que son dual $n_{ext}^*$ verifie :

$$n_{ext}^* \wedge \omega_{\theta} = \Omega,$$

C'est-a-dire que à des constantes multiplicatives pres (determinant des metriques)) :

$$n_{ext}^* \wedge d\tilde{\theta}_1 \wedge \dots \wedge d\tilde{\theta}_{n-1} = d\tilde{x}_1 \wedge \dots \wedge d\tilde{x}_n$$

cela veut dire que :

$$\Omega(n_{ext}, \tilde{\partial}_{\theta_1}, ..., \tilde{\partial}_{\theta_{n-1}}) > 0$$

c'est a dire que la base $\{n_{ext}, \tilde{\partial}_{\theta_1}, ..., \tilde{\partial}_{\theta_{n-1}}\}$ est directe par rapport a la base $\{\tilde{\partial}_1, ..., \tilde{\partial}_n\}$ et donc $n_{ext} = \partial_r$.

Voir aussi le livre de Gallot-Hulin-Lafontaine où la normale exterieure est definie par le produit interieur. (Par rapport à la base du bord et l'element de volume du bord) On a le meme resultat.

Par sa construction, la boule geodesique est orientable et orientée. En chaque point, l'exponentielle conserve l'orientation et induit une orientation par raport à la carte $(\Omega, \varphi)$ à partir de laquelle elle construite. Par un argument de recouvrement, si on raisonne sur un compact $K$ en utilisant l'exopentielle et cette propriété d'orientabilité des boules geodesiques via l'exponentielle, il faudera supposé la variété orientable.

5) Dans la construction de la fonction de Green pour un operateur coercif $\Delta + a$ voir le livre d'Aubin et le monograph de Frederic Robert, on utilise le produit de convolution et le fait que les traces des fonctions sont nulles jusqu'à l'étape :

$$-\Delta V_x + aV_x = 0, \text{ dans } M, V_x = -G_x, \text{ sur } \partial M,$$

Alors la fonction $G_x \in C^{1,\theta} \cap W^{2,p}(M - \{x\})$, car la parmetrix $H_x$ verifie au sens $C_0^2$ (Agmon),

$$-\Delta_{dist} H_x = \delta_x - \Delta_y H_x \in L^{\infty}(M - \{x\})$$

Les $\Gamma_i$ verifient cette proprité, elles sont nulles au bord car leur support est dans $B(m, \delta_m/2)$ et le rayon dinjectivité $\le \delta_m \le d(m, \partial\Omega)$. Puis on utlise des cartes pour se ramener au demi-espace et utiliser les estimations de Agmon-Douglis-Nirenberg.

On peut aussi, utiliser $G_x$ dans le equation et utiliser les Theoremes de Gilbarg-Trudinger :
$$ \Delta(V_x - \eta G_x) + a(V_x - \eta G_x) = -\Delta(\eta G_x) + a(\eta G_x) \in L^p, \text{ et } (V_x - \eta G_x) = 0, \text{ sur } \partial M, $$

Avec $\eta$ une fonction cutoff egale a 1 dans un voisinage de $\partial M$ et 0 au voisinage de $x$ (nulle au voisinage de la singularité).

On obtient $V_x - \eta G_x \in W^{2,p}(M)$ et comme $\eta G_x \in W^{2,p}(M)$, alors : $V_x \in W^{2,p}(M)$.

Remarques :

1) Dans la formulation variationnelle on pour une solution $u \in W_0^{1,2}$ de :

$$ -\Delta u + au = f, \text{ et } u = 0 \text{ sur } \partial M, $$

Dans le monograph de Brezis-Marcus-Ponce (ils supposent les solutions $W_0^{1,1}$), ils prouvent que ces solutions sont au sens $C_0^2$ (Agmon), d'où on peut prouver qu'elles sont $W^{2,p}$ et qu'on a les estimations a priori dans $W^{2,p}$ d'Agmon (méthode des quotients differentiels) ou en sachant qu'elles sont $W^{2,p}$ qu'on a les estimations a priori par Calderon-Zygmund ecrits dans le Gilbarg-Trudinger.

Dans le cas du Laplacien, la constante dans l'inegalité de Calderon-Zygmund, ne depend pas de $\Omega$ ce qui fait qu'on peut par continuité obtenir l'estimation $W^{2,p}$ d'un opérateur général à partir du Laplacien. On approche l'opérateur par un opérateur constant.

2) Les estimations d'Agmon-Douglis-Nirenberg, dans ce cas sont basées (sur de l'intergation par parties, par rapport à la variable $t > 0$) et sur les intégrales singulieres de Calderon-Zygmund.

C'est une autre preuve par le potentiel du demi-espace.

Par exemple :

En effet, on considère le problème suivant :

$$ -Lu = 0, \quad u = \varphi \text{ sur } \partial\Omega $$

On peut supposer $L$ le Laplacien euclidien, le cas général se ramène au cas constant (voir Gilbarg-Trudinger, par continuité on approche l'opérateur général par un opérateur constant).

De même pour Agmon-Douglis-Nirenebrg, ils considerent des opérateurs a coefficients constants, et dans le cas du Laplacien, la constante dans l'inegalité obtenue ne depend pas de $\Omega$ ce qui fait qu'on peut par continuité obtenir l'estimation $W^{2,p}$ d'un opérateur général à partir du Laplacien. On approche l'opérateur par un opérateur constant.

Par exemple on ecrit à l'ordre 1 :

Il suffit, par des cartes, de consider le demi-espace et on utilise le noyau de Poisson $P(x, t) = \frac{t}{(t^2 + |x|^2)^{(n+1)/2}}$.

On suppose que $\varphi \in C^2 \cap W^{2,p}$. On ecrit :

$$ \partial_s(P(x - y, t + s)\varphi(y, s)) = \partial_s P\varphi + P\partial_s\varphi, $$

On intergère en $y$ et $s$ et on obtient (on utilise la représentation intégrale de $u$ en fonction du noyau de Poisson) :

$$ u(x, t) = \int_{\mathbb{R}^n} P(x - y, t)\varphi(y, 0)dy = \int P(x - y, t + T)\varphi(y, T) + \iint \partial_t P\varphi + \iint P\partial_t\varphi, $$

On a $\partial_t P = \frac{1}{|Q|^{n+1}}$, $Q$ un point quelconque, et $dim(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}) = n + 1$, on utilise l'intégrale singulière de Calderon-Zygmund.

Pour $\partial_t u, \partial_x u$, on derive sous le signe $\int$ et puis on intègre par parties sur $\mathbb{R}^n$. On obtient des intégrales du type,

$$ \iint \partial_t P \partial_t \varphi, \quad \iint \partial_t P \partial_x \varphi, \quad \text{et} \quad \iint \partial_x P \partial_t \varphi $$

On elimine $\int P(x - y, t + T)\varphi(y, T)$ par son estimation en $c(T) \to 0$ quand $T \to +\infty$.

On obtient des estimations du type :

$$ ||\partial u||_{L^p} \leq C ||\varphi||_{W^{1,p}}, $$
On refait la même chose en derivant une deuxième fois.

Comme dans le Gilbarg-Trudinger, on écrit les solutions en fonction du potentiel du demi-espace (voir chapitre 4 de Gilbarg-Trudinger). Dans le cas d'Agmon-Douglis-Nirenberg, ils considerent le demi-espace.

6) Sur le degré topologique et l'article de De Figueiredo-Lions-Nussbaum : ils utilisent la
definition du degré topologique de Leray-Schauder :

$\exists T_0 \in \mathbb{R}^+$, deg[$x - F(x, T_0)B_{R_2}$, 0] = 0 cela veut dire qu'il n'y a pas de solution a cette
equation.

$x - F(x, t) \neq 0, t \in \mathbb{R}^{+}, x \in \partial B_{R_2}, \text{ cela veut dire quon peut utiliser l'homotopie :}$

$$
\deg[x - F(x, t), B_{R_2}, 0] = \deg[x - F(x, 0), B_{R_2}, 0] = \deg[x - F(x, T_0), B_{R_2}, 0] = 0,
$$

$t = 0$, $F(x, 0) = \Phi(x)$ et par Nussbaum et la propriété d'excision et d'additivité, on peut décomposer le degre en 2, la condition est que $\Phi(x) \neq x$ sur $\partial B_{R_1}$ et $\Phi(x) = F(x, 0) \neq x$ sur $\partial B_{R_2}$, alors :

$$
0 = \deg[x - \Phi(x), B_{R_2}, 0] = \deg[x - \Phi(x), B_{R_1}, 0] + \deg[x - \Phi(x), \{R_1 < \|x\| < R_2\}, 0],
$$

La dernière condition est celle de l'homotopie avec l'identité et le degré de l'identité est 1.

$$
\deg[x - \beta\Phi(x), B_{R_1}, 0] = \deg[x - \Phi(x), B_{R_1}, 0] = \deg[x, B_{R_1}, 0] = 1,
$$

Donc,

$$
\deg[x - \Phi(x), \{R_1 < \|x\| < R_2\}, 0] = -1,
$$

Dans leur exemple, De Figueiredo-Lions-Nussbaum, utilisent l'estimation integrale $\int_{\Omega} f(u(x)+t)dx \le C$, $C$ independante de $t$ et les estimations a priori pour vérifier que les conditions d'appli-cations du degré topologique sont verifiées, dans ce cas les $t$ et les solutions sont uniformément bornés.

Concernant l'article de Crandall-Rabinowitz, il traite du cas où en particulier on a un terme
nonlineaire du type exponentiel. Grace à la condition de stabilité (ils prennent des fonctions
tests particulieres), ils prouvent que la masse et le volume ou energie, sont bornées (jusqu'a la
dimension 10).

La formulation du degré précédente s'applique aux equations en sinh sans poids ou avec poids, pour le laplacien ou l'operateur plus general que le laplacien, en dimension 2 par exemple. Voir l'article de Brezis-Turner et vers la fin de ce print, sur le degré en dimnension 2 et pour des systemes avec singualrités.

7) Sur les surfaces K3. Soit E un fiber bundle (fibré vectoriel) et M une variété Complexe de
metrique h.

Remarquons dabord que cette varitété est orientable car les changements de cartes sont ho-
lomorphes donc le Jacobien réel est le carré du Jacobien complexe, cest du a l'holomorphie,
comme en dimension 2 (equation de Cauchy-Riemann).

Pour ce fibre bundle E, il existe une unique connexion compatible avec l'holomorphie et la
metrique, c'est l'analogue complexe de la connexion de Levi-Cevita :

$$
\pi^{0,1} \nabla = \bar{\partial}
$$

et,

$$
\nabla h = 0
$$

C'est la connexion hermitienne ou connexion de Chern, semblable a la connexion de Levi-Civita dans le cas Riemannien.

Des qu'on a une connexion, une derivee covariante, on a la courbure, on derive 2 fois, comme
dans le cas Riemannien, on a la courbure et donc la courbure de Ricci et la classe de Chern , cest
la classe de Ricci.

Connexion de Chern $\Rightarrow$ symboles de Christofels $\Rightarrow$ Connexion form, $\omega$, $\Rightarrow$ Curvature form,

Dans le cas $E = \wedge^2 T^*(M)$ les 2-formes alternees :

$\omega = \omega_i dx^i \otimes (dx^j \wedge dx^k)$, car ici, ce qui joue le rôle de champs de vecteurs (pour la connexion de Levi-Cevita), c'est les sections sur $E$ (les vecteurs de base sont les 2-formes alternees), les champs de 2-formes aleternees,
$d\omega = \Omega_{ij} dx^i \wedge dx^j \otimes dx^l \wedge dx^m$, des qu'on dérive encore deuxième fois on obtient la courbure.

Dans le cas des surfaces $K3$, $E = \wedge^2 T^*(M) = 0$, 2 formes alternees :

Si $E = 0$, la connexion nulle convient pour la derivation sur $E$ or la connexion de Chern est unique dou $\nabla \equiv 0$. Donc, il ny a pas de courbure do la classe de Chern est nulle, $c_1 = 0$.

Les groupes de cohomologies sont connues :

faire attention :

1) ici, c'est les coherent sheaves sur les varietes complexe, il faut prendre la dimension complexe 2 et non reelle pour les groupes de Cohomologie du Sheaf et pour la dualite de Serre, cela va de 0 à 2, par contre pour les nombres de Betti et la theorie de Hodge, on prend la dimension reelle 4, avec la convention $H^r = \sum_{\{p+q=r, 0 \le p, q \le 2\}} H^{p,q}$, $p, q$ varient selon la dimension complexe, quand on inverse $p$ et $q$ on a par la conjugaison complexe, la meme dimension.

2) Par la cohomologie et dualité de Dolbeault, $H^{0,1}$ est isomorphe à la cohomologie de Cech $H^1(S = K3, \Omega^0) = H^1(S = K3, O_S)$ car les 0-formes sont les fonctions et on prend la cohomologie dans le faisceau de fonctions $O_S$ et par définition $H^1(S, O_S) = 0$ d'ou $h^{0,1} = \dim H^{0,1} = \dim H^1(S, O_S) = 0$. On voit que les groupes de cohomologie de sheaf (faisceau) sont des données et par la dualité de Serre (dimension complexe), on les connait tous, il n'y a que le premier et le dernier, doû la carcateristique Sheaf egale a 2.

De même pour la cohomologie de Hodge (dimension reelle 4) on les connait tous ainsi que les nombres de Betti.

Le theoreme de Max Noether donne $X = S = K3$ :

$\chi(X, O_X) = \chi(S, O_S) = 2 = \frac{\int c_1 \wedge c_1 + \int c_2}{12}$, avec $c_1$ la première classe de Chern et $c_2$ la deuxième classe de Chern, définies dans le développement de la courbure $\Omega$

$$ \det(\Omega - tI) = 1 + \mathrm{tr}(\Omega) + \Omega \wedge \dots = 1 + c_1 + c_2, $$

L'intégrale $\int c_2$ est le 2ème nombre de Chern dans le cas d'une surface il est égale à la caractéristique d'Euler-Poincaré, dans le cas d'une surface $K3$, c'est donc $\chi(K3) = \int c_2 = 24$.

Ici, quand on contracte on elimine des termes du type $dx^j \wedge dx^k$ et $c_2$ est une quatre forme ("forme volume") car on a contracte une 8-forme.

Plus généralement, on définit les nombres de Chern comme : $\int c_k$ avec $c_k$ la k-ième classe de Chern.

Comme la surface $K3$ est de dimension 4 et de classe de Chern nul, il existe une métrique d'Einstein-Kahler de constante 0, voir le livre d'Aubin. Donc, cette variété possède une métrique d'Einstein de constante nulle, donc la courbure de Ricci est nulle et donc la courbure scolaire aussi.

(Remarquons d'abord qu'avec $(K3, h, \nabla)$ on a une structure hermitienne et par Siu, $K3$ est Kahler, c'est à dire que la structure Riemannienne $(K3, g = \mathrm{Re}(h), \nabla_g)$ est compatible avec la structure complexe, les connexions de Chern et Levi-Civita coincident.

On sait que la classe de Chern est nulle et donc, il existe une métrique d'Einstein-Kahler de constante 0).

On utilise la formule donnant la caractéristique d'Euleur-Poincaré en fonction du tenseur de Weyl et de la courbure de Ricci et Scalaire, pour enfin dire que le tenseur de Weyl est non nul.

$$ 0 \neq \chi(K3) \equiv \int |Weyl|^2 + (Ricci_g, S_g) = \int |Weyl|^2 $$

Donc, une surface $K3$ possède une métrique non-localement conformement plate.

a) Le Projectif complexe de dimension complexe $n \ge 2$ est une variete Kahlerienne, c'est dire qu'elle possède (3 structures) dont la Riemannienne et complexe, qui sont compatibles, les connexions de Levi-Civita et de Chern sont les memes, pour la métrique de Fubini-Study. Il est d'Einstein et de courbure sectionelle non constante, donc non localement conformement plat. Il est orientable.

Pourquoi la courbure sectionelle du projectif complexe de dimension $n \ge 2$ est non-constante : C'est écrit dans le Gallot-Hulin-Lafontaine.

a) Ils utlisent l'équation des champs de Jacobi, pour déterminer le tenseur de Riemann.

b) Ils utlisent la multiplication par le nombre complexe, $i$, la structure complexe, $J$. Et le fait que $H_x$ sont les vecteurs orthogonaux a $z$ et $iz$, $z \in \mathbb{S}^{2n+1}$.

Ils utilisent la variations $H(t, s)$ et les champs de Jacobi.
La courbure sectionnelle pour $u, v$ est calculée à partir du champs de Jacobi, $Y(s) = cossu + sinsJv$ :

$$K(u, v) = 1 + 3\sin^2 s.$$

qui n'est pas constante.

b) Le Projectif complexe de dimension complexe 1, est isometrique à la sphere de dimension 2 reelle et donc de courbure sectionnelle constante. C'est une surface de Riemann reelle (donc localement plate).

Pourquoi, le Projectif complexe de dimension 2 est isometrique à la sphere de dimension 2. Voir le Gallot-Hulin-Lafontaine :

1-On utilise le quotient par un groupe de Lie. Comme le groupe de Lie agit proprement et transitivement et..., cela veut dire qu'il existe une structure de variété sur le quotient $\mathbb{S}^3/\mathbb{S}^1$ telle que l'application de passage au quotient soit une submersion.

2-Le fait qu'on ait une submersion, on utilise la définition, localement, on a des sous-variétés, on construit, par des cartes, une base du noyau et après un procédé d'orthogonalisation de Gramm-Schmidt, on construit un supplémentaire orthogonal. L'application de passage au quotient est bijective sur ce supplémentaire. Ce qui permet de constuire localement un "lift".

3-On définit la métrique sur le quotient de telle manière que l'application de passage au quotient soit une isométrie, on la construit à partir du lift et par projection sur $H_x$.

(Remarque : soit $p(x) = [x]$ l'application de passage au quotient et $\gamma$ une isométrie, $x = \gamma^{-1}\gamma(x) \Rightarrow [x] = [\gamma(x)] \Leftrightarrow p(x) = \rho\gamma(x)$, ceci est important dans la construction de l'isométrie en prouvant que cela ne dépend pas de point de la fibre).

On voit que pour le cas de $\mathbb{S}^3$ et $\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \equiv \mathbb{S}^3/\mathbb{S}^1$, que la métrique du projectif est celle de la 3-sphere pour des vecteurs particuliers $v, w$, par exemple orthogonaux à $z$ et $iz$ avec $z \in \mathbb{S}^3$. (Le produit scalaire sur $H_x$ est égal à celui pour l'espace tangent au quotient).

Par exemple si on prend $z = (1,0) = [(1,0), (0,0)]$ en notation complexe, les $v, w$ sont de la forme $v = (0, v_1)$, $w = (0, w_1)$. Puis en utilisant l'application $H$ du Gallot-Hulin-Lafontaine $H(u, v) = (2u\bar{v}, |u|^2 - |v|^2)$ et les chameaus $u(t) = costz + sintv, w(t) = costw + sintw$, (on se ramène à ce cas par une rotation car la variété est invariante par $U(n+1)$, les rotations complexes, (elle est construite à partir de $S^{2n+1}$), on a :

$$<H(u(t))', H(v(t))'>_{\mathbb{S}^2_{t=0}} = <v, w>_{\mathbb{S}^3} = <v, w>_{\mathbb{P}^1(\mathbb{C})}.$$

Cela veut dire que,

$$H^*(g_{\mathbb{S}^2}) = g_{\mathbb{P}^1(\mathbb{C})}.$$

Remarque : Les revetements riemanniens, sont similaires, au lieu d'avoir une submersion, on a un diffeomeorphismme local. Voir, le Gallot-Hulin-Lafontaine, pour la construction du Tore et des projectifs reels (leur métriques).

Dans le cas des revetements, puisqu'il y a un diffeomorphismme local, la courbure sectionnelle se conserve (voir le Hebey). On voit alors, dans la construction du projectif réel et le Tore, que la courbure sectionnelle est constante, donc, elles sont conformément plates.

On a la même chose avec les groupes de Lie et les espaces homogènes. On a une fibration qui est une submersion et on construit une métrique $G$ - invariante par le même procédé que les submersions et les revetements. De plus, si par exemple, on considère $P_n(C)$, les groupes unitaires (les rotations comlexes) $U(n+1)$ et $SU(n+1)$ agissent transitivement et proprement sur $P_n(C)$ par l'intermédiaire de la sphere $\mathbb{S}^{2n+1}$.

1- $P_n(C)$ est à la fois identifiable à $U(n+1)/U(1) \times U(n)$ et $SU(n+1)/S(U(1) \times U(n))$. De plus, comme on la vu dans le cas des submersions, pour connaître la métrique de $P_n(C)$, il suffit de se placer sur la sphere $S^{2n+1}$, car on prend $H_x$ l'orthogonal de $z$ et $iz$, avec $z \in S^{2n+1}$. Pour ce qui concerne les groupes de Lie, la formule donnant la métrique $G$ - invariante est égale à $(C$ designe le produit scalaire dans $\mathbb{C}$) :

$$<x|y>_{[e], P_n(C)} = \int_{H_1} <Adh_1.x|Adh_1.y>_C dv_{H_1}$$

Or, dans l'espace des matrices, la dérivation de l'adjoint est connue et est égale, (on raisonne par rapport aux chemins et en particulier de l'exponentielle) :
$$Adh_1.x = Ad_{G/H}h_1.x = h_1^{-1}.x.h_1, \quad Adh_1.y = h_1^{-1}.y.h_1,$$

avec l'identification, $x = [x] = u$, $[x] \in SU(n+1)/S(U(1) \times U(n))$ et $x = u \in H_x \subset \mathbb{C} \equiv P_n(C)$.

Car ici, $G/H = P_n(C)$ et on prend le plan tangent et dans ce cas il faut prendre des vecteurs de $H_x$ donc de $S^{2n+1}$, (raisonner par rapport à l'exponentielle et les chemins). ($t \to \exp(tx)$ est un bon chemin et en plus quand on derive on a l'adjoint). (on se ramène au produit scalaire de $S^{2n+1}$.

$$G = SU(n + 1), H = G_m = S(U(1) \times U(n)).$$

**Remarque :** La metrique sur $G/H$ est définie de telle manière que la correspondance : $F : [x] \in G/H \to u \in P_n(C)$ soit une isometrie. (voir le livre de Gallot-Hulin-Lafontaine, sur la correspondance via $S^{2n+1}$ entre $SU(n+1)/S(U(1) \times U(n))$ en tant que groupe de Lie et $P_n(C)$ via $S^{2n+1}$. Donc, on retrouve le fait que les metriques sont proportionnelles. (Eux, ils notent $U(n+1)/U(1) \times U(n)$).

Gallot-Hulin-Lafontaine disent qu'on peut prendre "any scalar product on $T_e(G/H)$$. Comme $G/H$ s'identifie par $F$ à $P_n(C)$, on choisit le produit scalaire tel que $F$ soit une isometrie vers le projectif complexe. Ce qui revient à obtenir le produit scalaire du projectif complexe.

Finalement, on écrit, puisque $\bar{h}_1^t h_1 = 1$ et $(\bar{h}_1^{-1})^t h_1^{-1} = 1$ :

$$ \begin{align*} \langle x|y \rangle_{[e],P_n(C)} &= \int_{H_1} \langle (h_1^{-1}.y.h_1)^t |h_1^{-1}.x.h_1 \rangle_C dv_{H_1} \\ &= \int_{H_1} \langle (h_1^{-1})^t.y^t.(h_1^{-1})^t |h_1^{-1}.x.h_1 \rangle_C dv_{H_1} \\ &= \int_{H_1} \langle y^t|x \rangle_C dv_{H_1} = \mu \langle x|y \rangle_C, \end{align*} $$

avec, $\mu > 0$ et $x, y \in H_x$, on reconnaît le produit de deux vecteurs de $S^{2n+1}$ qui donne le produit scalaire dans $P_n(C)$.

Ce qui a été prouvé est que la metrique $G$-invariante est egale à la metrique usuelle du projectif complexe.

Pour savoir directement, que le projectif complexe est d'Einstein et de courbure sectionnelle non constante. Utiliser le livre de Kobayashi-Nomizu, tome 2, pour avoir l'expression de la metrique ou et le livre d'Aubin, pour avoir l'expression du tenseur de Ricci, et par les calculs, directement, on prouve qu'il est d'Einstein. Pour a courbure sectionnelle, voir aussi dans, le livre de Kobayashi-Nomizu, $K$, $K_0$, dans le chapitre Complex manifolds. Avec la metrique tirée du livre de Kobayashi-Nomizu, la courbure sectionnelle holomorphe est constante, ce qui induit que la courbure sectionnelle Riemannienne est de la forme :

$$K(X, Y) = (1 + 3(\cos a)^2)/4, \text{ a, l'angle de } g(X, JY).$$

Ici, par la formule de Gallot-Hulin-Lafontaine avec la phrase "any scalar product", on transporte la metrique du projectif, pour avoir une structure d'espace homogène, une structure de plus sur le projectif complexe par l'isometrie (par définition et choix) de $SU(n+1)/S(U(1) \times U(n))$.

(On a une isometrie $F$ entre la variété homogène $SU(n+1)/S(U(1) \times U(n))$ et $P_n(C)$, la courbure de la variété homogène est alors $RiccioF$ (voir le Hebey), elle constante).

En tant que submersion :

Pour voir que la metrique de $P_n(C)$ est celle de $S^{2n+1}/S^1$, du Gallot-Hulin-Lafontaine, on écrit que la metrique $ds$ du Kobayashi-Nomizu est à la fois invariante par "rotation", on se place alors dans la carte de $z = (1, 0, \dots, 0)$ avec la carte $(t_i) = (z_i/z_0)_{(1\le i\le n)}$, on écrit alors $ds$ en coordonnées $z_i$ et la metrique en $z$ est euclidienne sur les vecteurs de $\mathbb{C}^n = H_x$, or la metrique de $S^{2n+1}/S^1$ dans $H_x$ est la metrique de $S^{2n+1}$ qui est la metrique euclidienne de $\mathbb{C}^n = H_x$. Donc la metrique $ds$, dite de Fubini-Study dans le Kobayashi-Nomizu est la metrique dite de Fubini-Study dans le Gallot-Hulin-Lafontaine.

**Remarque sur les espaces homogènes :** Tout ce travail sur les groupes de Lie, sert en fait pour les ensembles de matrices. Cette Théorie est construite pour les groupes matriciels, $SU(n+1)$, $SO(n)$... (pour ces cas particuliers, les variétés sont de dimensions finies).
(Remarque sur les actions de groupes : le fait d'écrire ., le point, dans l'action de groupe, c'est une notation, pour dire que le groupe agit sur cet ensemble, comme c'est écrit dans le debut du chapitre sur les groupes de Lie dans le Dieudonné, c'est une notation d'écrire la derivation, $s \cdot k_x$ dans l'espace tangent $T_e(G)$, pour écrire la composition de la derivation, $\partial\psi/\partial\xi_j(s, \xi_1, ..., \xi_n)k_j$. On voit bien par la formule de derivation de la composition, on a $s \cdot (t \cdot k_x)$ remplace $\partial_{\rho_1}(s, \rho)\partial_{\xi_j}^i(t, ...)$)

(Cette notation, (d'action de groupe, ., le point), permet d'expliquer pourquoi l'espace tangent $T_e(G/H)$ s'identifie à $T_e(G)/T_e(H) = G_-/H_-$.) Car en prenant des chemins, $c : t \to [g(t)]$ dans $G/H$ et en les derivant cela revient à prendre l'action de la classe dans le quotient :

$$ \frac{dc(t)}{dt} = \left\{ \frac{d(g(t) \cdot h)}{dt} \cdot h, h \in H \right\} = \{g' \cdot h, h \in H\} = [g'] \cdot T_e(H) = \text{classe de } g', \text{ car on derive un chemin suivant } H \text{ donc dans l'espace tangent à } H.) $$

Le paragraphe suivant, traite du cas du projectif complexe et l'exercice proposé dans le Gallot-Hulin-Lafontaine, on a vu comment la submersion construite permet d'identifier $P_n(C)$ et $S^{2n+1}/S^1$, on regarde aussi comment le projectif est vu comme un espace homogène en comparant $S^{2n+1}/S^1$ et $SU(n+1)/S(U(1) \times U(n))$ :

(***Voir l'exercice sur le projectif complexe dans le Gallot-Hulin-Lafontaine, ici, aussi, on utilise les chemins dans la determination des espaces tangents en $e = I_n$ ou algebre de Lie, on derive par exemple $(I_n+H)(I_n+H^t) = I_n$ en prenant $dH/dt_{t=0} = A$, pour $U(n)$, on voit alors que $A$ est antihermitienne. Pour $SU(n)$, on derive le determinant en $I_n$ on a de plus $\text{Tr}(A) = 0$ et l'application adjointe est l'application adjointe reellement, quand on calcule $hxh^{-1}$ avec $x =$

$$ \begin{pmatrix} 0 & -\bar{v} \\ v & 0 \end{pmatrix}; h = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & A \end{pmatrix}; h^{-1} = \bar{h}^t = \begin{pmatrix} \bar{\lambda} & 0 \\ 0 & \bar{A} \end{pmatrix} \\ h \cdot x \cdot h^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -\lambda A \bar{v} \\ \bar{\lambda} A \bar{v} & 0 \end{pmatrix}, $$

De plus pour voir que $x \in T_e(G)/T_e(H) = G_-/H_-$ est de la forme precedente, on a $T_e(G)$ est l'ensemble des matrices antihermitiennes de trace nulles et $H = S(U(1) \times U(n))$, $T_e(H)$ est l'ensemble des matrices antihermitinnes, comme on quotient par $T_e(H)$ on elimine les termes centraux et $x$ a la forme precedente. On voit alors que la condition d'irreductibilité isotope est vraie ici, la definition est : $\forall \lambda, \forall A, \forall w \in W, \bar{\lambda}A w \in W \Rightarrow W = \{0\}$ ou $W = G_-/H_-$. Et aussi, pour le produit scalaire dans $\mathbb{C}^n$ des matrices est invariant par l'adjoint, $hxh^{-1}$, le produit scalaire choisit fait reference à la phrase du Gallot-Hulin-Lafontaine "any scalar product", ici c'est le plus simple, celui des matrices. En outre, ici, si on considère la matrice de la courbure de Ricci, Ricci c'est une matrice symétrique donc diagonalisable. Ici, pour le cas du projectif complexe, on prend le produit scalaire $(M_1 \cdot M_2)$ avec $M_1, M_2$ deux matrices de la forme $hxh^{-1}$ avec $h, x, y$ trois matrices comme ci-dessus, cela revient à avoir le produit scalaire usuel $\langle \bar{\lambda}\lambda\bar{v}^t \bar{A}^t A w \rangle_{\mathbb{C}} = \langle v|w \rangle$, car $A \in U(n)$ et $\lambda \in U(1)$, $|\lambda| = 1$.

On regarde alors si l'application $\tilde{F}$ du livre de Gallot-Hulin-Lafontaine est une isometrie avec les bons produits scalaire (ce qu'on a dit au debut de ce point avec $[x] \in G/H = SU(n+1)/S(U(1) \times U(n))$ et $u \in P_n(C) = S^{2n+1}/S^1$) :

Soit $\tilde{F}$, l'application du livre de Gallot-Hulin-Lafontaine ; $[x] \to [\tilde{x} \cdot m] = q(x \cdot m)$, $[x] \in G/H = SU(n+1)/S(U(1) \times U(n))$, $[\tilde{x} \cdot m] \in S^{2n+1}/S^1$ et $q : y \to [y]$, l'application du passage au quotient de $S^{2n+1} \to S^{2n+1}/S^1$. $\tilde{F}$ est un diffeomorphisme. On prend alors $m = z = (1, 0, ..., 0)$ et on se place dans la carte de $m, (t_k) = (z_k/z_0)$, voir le Gallot-Hulin-Lafontaine dans la construction de la métrique de Fubini-Study de $S^{2n+1}/S^1$.

Alors $T_m(S^{2n+1}) = \{(i\eta, \xi^1, ..., \xi^n), \eta \in \mathbb{R}, \xi^j \in \mathbb{C}, 1 \le j \le n\}$. Si on prend $t \to x(t)$ un chemin dans $SU(n+1)$ alors $x'(t) = dx/dt \in T_e(SU(n+1))$ est une matrice antisymétrique de trace nulle et $(dx/dt) \cdot m = (0, v_1, v_2, ... v_n) = (0, v)$ est orthogonal à $m$ et $i \cdot m$, et donc, $(dx/dt) \cdot m \in H_m$, le sous espace vectoriel qui permet de définir le produit scalaire dans $S^{2n+1}/S^1$, de même pour $(dy/dt) \cdot m = (0, w_1, ..., w_n) = (0, w) \in H_m$. (Ne pas confondre $H_m$ l'espace vectoriel ici dans la définition de la métrique de Fubini-Study et $H_m$ l'espace isotrope dans la définition de $G/H = G/G_m$). (On peut prendre $x$ tel que $dx/dt = x$ avec des termes centraux nuls, comme ci-dessus).

Comme par définition $q$ est une isometrie sur $H_m$, on a :

$$ \langle (dx/dt) \cdot m | (dy/dt) \cdot m \rangle = \langle dq[(dx/dt) \cdot m] | dq[(dy/dt) \cdot m] \rangle = $$
$$ 
\begin{aligned}
&= \langle (d/dt)[q(x.m)] | (d/dt)[q(y.m)] \rangle 
= \langle (d/dt)[\tilde{F}(x)] | (d/dt)[\tilde{F}(y)] \rangle \\
&= \langle d\tilde{F}(dx/dt) | d\tilde{F}(dy/dt) \rangle,
\end{aligned}
$$

donc, $\tilde{F}$ est une isometrie, ce qui permet de transporter la metrique de Fubini-Study.
De plus, le produit scalaire :

$$ 
\begin{aligned}
& \langle (dx/dt) \cdot m | (dy/dt) \cdot m \rangle 
= \langle (dx/dt) \cdot m | (dy/dt) \cdot m \rangle_{H_m} 
= \langle v | w \rangle_{\mathbb{C}} \\
& = [(dx/dt) \cdot (dy/dt)] = \langle (dx/dt) | (dy/dt) \rangle,
\end{aligned}
$$

est le produit scalaire sur les matrices et coincide avec $(M_1 \cdot M_2)$ de ce qu'on a dit précédem- ment et avec le produit scalaire dans $\mathbb{C}^n = H_m$, de la metrique de Fubini-Study, si on prend par exemple $dx/dt = x$ avec des termes contraux nuls. Le produit scalaire choisit sur l'espace ho- mogene (de matrices) induit que, $\tilde{F}$, une isometrie sur $S^{2n+1}/S^1$. C'est ce qu'on disait au debut de cette section sur les espaces homogenes, de manière théorique, on choisit le produit scalaire de sorte que $\tilde{F}$ soit une isometrie et donc on transporte la metrique. Ici, pour le cas du projectif complexe, le produit scalaire qu'on pris, fait de $\tilde{F}$ une isometrie.***)

Concernant la courbure de Ricci et le fait qu'on a le projectif comme espace homogene d'Einstein, sans les calculs :

On a parlé de la notation $\cdot$ d'action de de groupe, comme le groupe de Lie agit par isometries, dans la derivation on obtient des termes du type, dans le tenseur de courbure :

$$ R(h'.X, h'.Y, h'.Z, h'.T) = R(X, Y, Z, T) $$

en composant à droite par l'inverse, on obtient l'application adjointe :

$$ R(h'.X.h'^{-1}, h'.Y.h'^{-1}, h'.Z.h'^{-1}, h'.T.h'^{-1}) = R(X, Y, Z, T) $$

ce qui veut dire que le tenseur de courbure est invariant par l'application adjointe $h.x.h'^{-1}$, donc la courbure de Ricci aussi et par invariance des sous-espaces propres, on a $R = cg$ d'Einstein. Ceci est dit dans le livre de Besse, dans le cas des metriques $G$-invariantes, lorsque $H, G$ agissent par isometries. Pour le cas particulier du projectif complexe, on savait par les calculs que c'est une variété d'Einstein, et par l'identification isométrique du Gallot-Hulin-Lafontaine, à $SU(n+1)/S(U(1) \times U(n))$, c'est une variété ou espace homogène, une propriété supplémentaire du projectif complexe d'être un espace homogène et d'Einstein.)

Le fait que la metrique soit invariante par l'adjoint, fait qu'elle invariante à droite et à gauche. C'est construit pour qu'elle soit bi-invariante. Ce qui induit des propriétés sur la courbure, car on a des isometries à droites et à gauche. C'est construit pour :

a) Les actions a droites et a gauches sont des isometries, soit $s$ la metrique et $L_g : x \to g.x : L_g^*(s) = s \Rightarrow L_g^*(R) = R$ voir le livre de Hebey pour l'expression de la courbure quand on a une isometrie Riemannienne. On obtient l'expression ci-dessus.

b) Ici pour le cas particulier du projectif, on a des matrices, l'application $h \to hx$ avec $h$ une matrice et $x$ un vecteur, est linéaire, donc sa derivée est elle même, d'où le fait que ce qu'on a écrit ci-dessus, $h' = h$.

l'application : $x(t) \to h.x(t)$, sa derivée est $h.x'(t) = h.x$ avec $x$ un vecteur.

Ce qui fait qu'ici pour le projectif complexe, on a $h'.X.h'^{-1} = hxh'^{-1}$ avec le fait que pour la courbure de Ricci, $Ricci(hxh'^{-1}, hyh'^{-1}) = Ricci(x, y) \forall h$, l'invariance de la courbure de Ricci par l'adjoint.

C'est une formule générale qu'on applique au cas particulier du projectif complexe et des matrices. $SU(n+1)/S(U(1) \times U(n))$.

(On a, soit $x$ un vecteur propre de $R$ pour le valeur propre $\lambda$, $R(x) = \lambda x$, on ecrit :

$$ 
\begin{aligned}
R(h.x.h^{-1}, h.y.h^{-1}) &= R(x, y) = \langle y^t | Rx \rangle = \lambda \langle y^t | x \rangle = \lambda \langle (h.y.h^{-1})^t | h.x.h^{-1} \rangle \\
&= \langle (h.y.h^{-1})^t | R(h.x.h^{-1}) \rangle, \forall h, \forall y \\
&\Rightarrow R(h.x.h^{-1}) = \lambda(h.x.h^{-1}).
\end{aligned}
$$
Donc, si on note $F_λ$ le sous-espace propre de $R$ de valeur propre $λ$, alors $Ad(h)(F_λ) \subset F_λ, \forall h$, il vérifie la propriété d'invariance. d'où la conclusion.)

Donc, le projectif complexe vu du point de vue $SU(n+1)/S(U(1) \times U(n))$ comme espace homogène et d'Einstein de constante $s_0$. Pour connaitre le signe de $s_0$, on utilise le Théorème du livre de Besse qui dit que si $s_0 < 0$, il ne serait pas compact, ce qui n'est pas possible. Si $s_0 = 0$, il serait plat et donc Einstein et Conformement plat, par le résultat du livre de Hebey, il serait de courbure sectionelle constante, ce n'est pas possible. Donc, $s_0 > 0$.

Donc :

1-les revetements Riemanniens dans la construction des metriques de courbures sectionnelles constantes, comme les projectifs réels, le Tore, les variétés Hyperboliques.

2-les submersions riemanniennes, dans la construction des projectifs complexes.

3-les fibrations, et groupes de Lie, dans la constructions, des variétés homogènes, puis par exemples, on compare, les metriques, comme pour le projectif complexe, qui est d'Einstein de constante $s_0 > 0$. (La fibration est construite de telle manière qu'on a une strucutre de variété lisse pour la variété quotient. La fibration sert dans la construction de la métrique, les sections.).

(Par exemple, pour les revetements, il aisé d'avoir une structure de variété lisse sur le quotient. Un peu moins pour les submersions et les fibrations. De plus, dans la construction des metriques du quotient on s'assure que ca ne depend pas du point de la fibre).

4-On a les variétés de courbures sectionnelles constantes, qui sont localement conformement plates. Le produit d'un cercle et d'une variété de courbure sectionnelle constante, est plate.

5-Les sommes connexes, de variétés conformement plates, peuvent etre plates.

6-Les sommes connexes, par le theoreme de D. Joyce, peuvent avoir une partie plate et une partie non plate et de courbure scalaire $-1$.

7-Pour construire une variété nonlocalement conformement plate, on construit des produit. On a l'a fait à partir des surfaces réelles de dimension 2. Et en considifiant des produit dont un n'est pas plat.

8-Les surfaces $K^3$. La variété de W. Goldman en dimension 3 sur laquelle on peut mettre n'importe qu'elle metrique, elle sera non plate.

8) La formule d'integration par parties est valable quand la variété est compacte sans bord et non orientable, voir le livre d'Hebey. Cela veut dire que dans les problemes variationels de degré 2, il est possible de resoudre par la formulation variationelle un probleme elliptique comme dans le cas du Projectif en dimension 2, c'est fait dans le livre d'Aubin et ceci sur une varieté non orientable.

Par contre quand il sagit de fonction de Green, sur une varieté compacte, il est imperatif de supposer la verieté orientable car, par exemple, pour la Parametrix, on a besoin d'utiliser l'intégration par parties en dehors de petites boules, on se ramene a une varieté à bord, d'où, il faut utiliser la formule de Stokes et donc une orientation.

9) Pour les variétés de dimension 3. On considere un Torus bundle $M_φ$ d'application $φ$ (voir le Hatcher pour la definition, $φ$ est la monodromy map), il est orientable si et seulement si $φ \in SL_2(\mathbb{Z})$. William Goldman prouve qu'il existe un Torus bundle orientable ne possedant pas de structure conformement plate, $φ$ non periodique, (de valeur propres réelles) (par exemple, $φ = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ il n'y a pas de metrique localemeent conformement plate, comme une variete lisse possede toujours une metrique Riemannienne $g$, elle est dans ce cas non localement conforme-ment plate, $Weyl_g \neq 0$. Ce theoreme dit qu'il n'existe pas de metrique localement conforme-ment plate sur cette variété.

1-Une structure est conformement plate s'il existe une metrique conforme à la metrique euclidienne. Cette definition est equivalente à celle qui dit qu'une structure conformement plate s'il existe un atlas dont les changements de cartes sont des applications de Mobius (composeée de translation, rotation et inversion). Cette equivalence est demontrée dans l'article de Kuiper (1949).

2-Cela veut dire que si on veut savoir si une variété a une structure conformement plate, il suffit d'étudier les tranformations conformes, donc le groupe conforme. C'est l'idée de William Goldman, il caracterise le groupe fondamental et le groupe de transfomrmations conforme des varietes conformment plate (il y a une relation entre le groupe fondamental ete le groupe des
transformations conformes). Si cette condition n'est pas satisfaite alors, la variete n'a pas de
structure conformment plate. (le groupe fondamentale doit etre polycyclique...).

10) Voir aussi, dans le livre d'aubin ou la caracterisation de Kuiper de la structure conforme par une isometrie, sert à prouver le Theoreme de la masse positive dans le cas conformement plat. En effet :

a) Quand on a une variété complete, conformément plate et simplement connexe, elle est
conformément isometrique à une partie de la sphere dont on connait la masse $m_0 = 0$, par la
formule donnée dans le livre d'Aubin, $\alpha_0(P) = k \times \alpha_{\mathbb{R}^n}(P) = k \times 0 = 0$.

b) On considere une variété M compacte, conformemnt plate. Alors le revetement universel
M̃, verfie les conditions du point a) precedent. Donc la masse est nulle.

c) Si de plus M n'est pas conformément diffeomorphe à la sphere, le revetement universel contient plus de deux feuillets.(Par Kuiper une variété compacte connexe, conformément plate et simplement connexe, est diffeomorphe à la sphere. Donc, ici, elle ne peut pas être simplement connexe). Ce qui fait que l'ensemble noté W = Π⁻¹(Π(P)) dans le livre d'Aubin n'est pas réduit à {P}. Par la construction de la fonction de Green minimale (notée G̃ₚ de M̃) et le principe du maximum, il existe une fonction H̃, qu'on peut prendre ici pour GₚoΠ, (g̃ = Π*(g) qui est conforme a g̃ = Φ*(g₀) donc de la forme u⁻¹HoΦ...), telle que on ait H̃ > G̃ₚ en P. Or M̃ = Π*(M) et donc la fonction de Green de M, verifie au moins l'inégalité. αₚ(GₚoΠ) > α̃ₚ = 0, car pour le revetement universel, d'après le point a), la masse est nulle (et la distance se conserve localement, car on a un revetement donc une isometrie locale). Ainsi la masse de M en P, αₚ(Gₚ) > 0, dans le cas où M n'est pas conformément diffeomorphe à la sphere.

**Remarques :** Sur la partie de la preuve du livre de Aubin (communication de M.Vaugon) concernant l'effet du changement conforme sur la masse $\alpha$. On $\tilde{g} = \varphi^{4/(n-2)}g$ avec $\tilde{g}$ et $g$ des metriques conformément plates $\tilde{d}$ et $d$. on se ramene au cas où le facteur conforme est constant. La variété est localement conformément plate. Donc la masse $m$ ne depend pas des coordonnées (Bartnik). Comme :

$$
\begin{align*}
\tilde{\alpha}(P) &= m(\tilde{G}_P^{4/(n-2)}\tilde{g}) = \\
&= m(G_P \frac{g}{\varphi(P)^{4/(n-2)}}) = m(G_{P,\lambda}^{4/(n-2)}g^\lambda) = \alpha(P)/(\varphi(P)^2).
\end{align*}
$$

Car le raisonnement dans le livre d'Aubin reste vrai so considere une metrique conforme du type $g^\lambda = \lambda^{4/(n-2)}g$ avec $\lambda$ un constante > 0. Ici, $\lambda = \varphi(P)$ et $G_{P,\lambda} = G_P/\lambda^2$.

Pour le Theoreme de la masse positive de Schoen-Yau en dimension 3, ils prouvent qu'il exsite
une surface minimale complete ayant une propriete (integrale de la courbure de Gauss positive)
alors que par les calculs cette inetgrale est negative ou nulle. Pour cela ils utilisent le theoreme
d'existence de surfaces minimales et leur proprietes (Formule de Gauss-Bonnet et Travail de
Huber, inegalites isoperimetriques classiques et de Huber, la metrique est voisine de la metrique
euclidienne ce qui fait qu'on peut approcher ces deux notions (inegalites isoperimetrique clas-
sique)). En particulier, ils prouvent qu'elle est complete dans la premiere etape.(les fermés bornés
sont compacts.

La positivité de la courbure scalaire implique que la surface minimale construite a son intégrales de Gauss Positive. Et puisque la metrique est "presque" euclidienne, il y a conservation de l'inegalité isoperimetrique et par la formule de Gauss-Bonnet, elle serait negative ou nulle. Ce qui n'est pas possible.

Il s'agit de construire une metrique conforme avec une propriété de la courbure scalaire.

Il s'agit de construire une surface minimale ayant une propriété qui decoule de la courbure
scalaire.

Cette surface minimale complete n'exite pas, car cette propriété n'est pas vraie, par le fait que la metrique est "presque" plate et que l'inegalité isoperimetrique euclidienne se conserve et la fromule de Gauss-Bonnet.

**Remarques :**

a) Ils prouvent que la masse $m \ge 0$, par l'absurde :

1-La masse < 0 intervient dans la construction de la surface minimale complete. (raisonne-
ment par l'absurde). (Ils prouvent qu'elle complete dans cette etape, car, en dehors des bouts,
elle est dans un compact, et dans les bouts elle est entre deux plans et la metrique est equivalente à la metrique euclidienne.(les fermés bornés sont compacts)).

2-Une surface est dite de type fini, si $\int |K| < +\infty$ : c'est le cas ds la demonstration de la masse positive de Schoen Yau.

3-Quand on a une surface de type fini, si $\chi(S') > 0$ (la caracteristique d'Euler-Poincaré > 0, ce qui est le cas ici par Cohn-Vossen), alors $S'$ est diffeomeorphe au plan. C'est ecrit dans Hulin-Troyanov(1992), premier theoreme, qui dit que, $S'$ est diffeomorphe à une variété compacte $S$ sans bord, sans un nombre fini de points. De plus il y a une formule de Gauss Bonnet, on a alors $S'$ est la sphere moins un au plus un point d'apres cette formule de Gauss-Bonnet. Donc, c'est le plan. Il s'agit d'un diffeomorphisme entre $S'$ et le plan.

On a d'abord une isometrie $i$, puis une application conforme, $F_1$. la courbure de Gauss "se conserve". D'abord $K_{i(S')} = K_{oi}$, puis par l'application conforme on a un facteur $|F_1'|^2$, qui s'elimine dans le changement de variable. $\int K = \int K_{F_1oi} = \int K_o F_1oi |F_1'|^2$, cette dernière inетgrale est la courbure de Gauss de $F_1oi(S')$. Puis on applique le result d'Huber. (On considère $i(S')$ au lieu de $S'$, car on a une isometrie et la courbure de Gauss "se conserve", $\int_{S'} K = \int_{i(S')} K_{oi}$ et $(F_1^{-1})^*(g_{i(S')}) = |F_1^{-1}|^2 g_{\mathbb{C}}$, car $F_1$ est conforme, la metrique se transporte suivant un facteur de la metrique de $\mathbb{C}$, on a des coordonnees isothermes globales, on peut appliquer ce que fait Huber (1957)).

(Pour obtenir l'application conforme, on raisonne par rapport au revetement universel et la caracteristique d'Euler-Poincaré).

4-Dans un article de Huber, il prouve que sur une surface ouverte, la formule de "Gauss-Bonnet", pour une suite de domaines :

$$ \int K = 2\pi - \lim_{\sigma \to +\infty} L_{\sigma}^2 / 2A_{\sigma}. $$

5-La construcion de la surface est en fait une construction d'un courant (surface avec singualité, par une minimisation d'une fonctionelle relativement à une metrique), puis, voir le livre de Federer, la surface est reguliere en dehors du bord. $\partial(N \cap S) = (\partial N \cap S) \cup (\partial S \cap N)$, par la formule de Stokes, $S$ est loin du bord, car la courbure moyenne est positive (c'est une hypothese).

(Voir aussi, le livre de Sa Earp-Tubiana, sur le theoreme de Poincaré-Koebe et la calssification par le revetement universel).

Un theoreme d'uniformisation de Poincaré-Koebe, dit que une surface non compacte simplement connexe est conforme au disque unité ou au plan. (voir l'article de Hulin-Troyanov(1992)).

b) Ils prouvent que si la masse est nulle, $m = 0$, alors l'espace est isometrique à $\mathbb{R}^3$. la preuve de ce point est assez claire dans l'article de Schoen-Yau, ils se ramenent au cas de masse $< 0$ et de courbure scalaire $\ge 0$ par des changement de metriques conformes..., ce n'est pas possible, ou bien la courbure sculaire et de Ricci seraient nulles comme on est en dimension $3$ $Weyl \equiv 0$, donc c'est la cas plat. Puis il faut utiliser l'argument sur le volume de Bishop : Ricci $\ge 0$ (ici, Ricci $\equiv 0$), la fonction $f: r \to Vol_g(B_g(r))/Vol_\delta(B_\delta(r))$ est decroissante sur la variété complete de depart $M$, et tend vers 1 quand $r \to 0$ et $r \to +\infty$ (par l'hypothese que la variété est asymptotiquement plate, la metrique tend vers la metrique euclidienne quand $r \to +\infty$), $f$ est constante egale à 1 et le theoreme de comparaison de Bishop dit dans ce que que $M$ est isometrique a $(\mathbb{R}^3, \delta)$.

**Ceci s'applique a une variété compacte sans bord :**

En effet, soit $M$ cette variété compacte sans bord. $P \in M$, en se palcant au voisinage de $P$ et si considere les coordonnees geodesiques polaires alors la metrique est du type $g_{ij} = \delta_{ij} + (termes)r^2 + \dots$, si on fait le changement de variable $r = 1/\rho$, alors :

1-on exclut le point $P$ et la variété devient asymptoique, car pour $r = 0$ (en $P$), ce n'est pas bien definit.

2-$M - \{P\}$ ressemble a $\mathbb{R}^n$.

3-on sait que les boules geodesiques sont de courbure moyenne $< 0$ concave, voir la preuve dans un des livres sur la conjecture de Poincaré (Chow and al, par exemple). Mais le changement de variable $r = 1/\rho$ inverse le signe. Ces boules $B_P(r) - \{P\}$ sont les bouts du cas général de la masse positive les $N_k$ qui sont convexes. Cette hypothese de courbure moyenne positives de la variété $N = B_P(r_0) - \{P\}$ est verifiee dans le cas compact sans bord en se placant en un point $P$ et changeant de variable.
4-C'est écrit dans le livre d'Aubin, que la masse $m = cte \times A = 4(n-1)A$ avec A la partie regulière de la fonction de Green. Donc elle est positive si $m > 0$.

5-Reste a voir ce qu'est la métrique $g$ comme c dit dans le livre de Aubin, ils considerent $G_P^{4/(n-2)} \times g \equiv r^{-4}g$ avec $G_P$ la fonction de Green, et le changement de variable $\rho = 1/r$ ou $r = 1/\rho$ on a le comportement asymptotique, une variété asymptotique d'ordre 2 en coordonnées geodesiques polaires.

(Dans le changement de variable $\rho = 1/r$, on écrit, $\partial_\rho = -\frac{1}{r^2}\partial_r$, puisque c'est un changement de variable, on calcule alors $g_{\rho\rho}$, de même que pour $g_{\theta\theta}$ et finalement $g_{\theta\theta}$ qui se conserve, puiqu'il n'y a pas changement angulaire).

Donc, on voit que le cas compact sans bord se deduit du cas général. (Au voisinage du point P on est dans les bouts, mais ces vosinages sont des boules geodesiques dont on connaît la courbure moyenne < 0, et avec le changement de variables, pour avoir des coordonnées asymptotiques, ces boules deviennent de la variété N avec le bon signe sur la courbure moyenne > 0.

On a : $N = B_P(r_0) - \{P\}$, $N_k = B_P(r) - \{P\} = B_P(1/\rho) - \{P\}$ et $\partial N_k = S_P(r) = S_P(1/\rho)$ avec orientation inversée.

**Remarque :** Sur la courbure moyenne de la sphere de rayon $r$, $S_P(r)$. On écrit $B$ est la seconde forme fondamentale :

$$H = \operatorname{trace}(B)$$

Mais,

$$B(e_i, e_j) = \langle \nabla_{e_i}(e_j) | N \rangle,$$

avec $e_i, e_j$ les éléments de la base de l'espace tangent à la sphere et $N$ la normale à la sphere.

On prend alors $e_i, e_j \in \{\partial_\theta\}$ et on utilise la dérivée covariante et le produit scalaire $\langle e_i, N \rangle = 0$, en permutant la dérivée covariante, jusqu'à obtenir :

$$ \begin{aligned} \operatorname{trace}(B) = \operatorname{trace}[\nabla_N(\langle \partial_\theta | \partial_\theta \rangle)] &= \nabla_r(\langle \partial_\theta | \partial_\theta \rangle) = \\ &= \frac{1}{r^2} \times r \times g^{\theta_i \theta_j} g_{\theta_i \theta_j} + \dots = \frac{n-1}{r} + \dots \end{aligned} $$

Donc (avec l'orientation positive),

$$H = \frac{n-1}{r} + \dots$$

(Aussi, en permutant la dérivation covariante dans $\langle e_i | N \rangle = 0$, on retrouve l'expression de la courbure moyenne (positive) écrite dans l'article de Schoen-Yau, $\operatorname{div}(N) > 0$).

11) Conernant les sommes connexes, $M\sharp N$ de deux variétés $M, N$, elles sont définies à partir d'une relation d'équivalence qui donne une variété quotient Topologique, c'est à dire $C^0$, à l'ordre 0 il n'y a pas de problème, car par continuité le recollement se fait naturellement, mais des qu'on cherche une structure différentiable ou $C^k$, $k \ge 1$, c'es plus compliqué, dans ce cas on utilise le Disc Theorem de Palais, qui dit qu'on peut trouver une isotopie, c'est à dire une homotopie lisse entre les bords et donc le recollement se fait de manière lisse.

Remarquons que finshors de la sphere ou se fait le recollement, la variété est égale à $M$ ou $N$.

Lorsque on met une métrique sur $M$ et $N$ alors par des fonctions cutoff on peut mettre une métrique, par recollement, sur $M\sharp N$ et elle coincide avec celles de $M$ et $N$ en dehors des boules de recollement. voir par exemple les articles de Dominic Joyce (2001) et Mazzeo (1995).

Dans le cas Riemannien, en utilisant les cartes exponentielles en $p \in B(p, 2\epsilon) \subset M$ et $q \in B'(q, 2\epsilon) \subset N$, on a deux injections naturelles $i_1, i_2$ et on doit faire le recollement entre $\mathrm{Id}_{B(p, 2\epsilon)}$ et $i_2 o i_1^{-1}$. On définit une relation dequivalence en partant de couronnes $B(p, 2\epsilon) - B(p, \epsilon)$, $B(q, 2\epsilon) - B(q, \epsilon)$ vers les varietés $M$ et $N$. On choisit une carte pour $N$ renversant l'orientation et puis on compose par une inversion et on obtient $i_2$.

alors on recolle les deux applications de cartes et le changement de cartes, $i_2 o i_1^{-1}$ est lisse, ce qui permet le passage de l'atlas de $M$ à celui de $N$ de manière lisse. (Les changements de cartes sont lisses de $M, N$ et $M - B(p, \epsilon) \cup N - B'(q, \epsilon)$, par $i_2 o i_1^{-1}$.)
Comme cette carte permet le passage au deux atlas de M et N, alors $M \sharp N$ est orientable.

On a : $X = M \setminus B(p, \epsilon) \cup N \setminus B'(q, \epsilon)$ est compact, le graphe de la relation $Gr = \{(x, x), x\} \cup \{(x, i_2 o i_1^{-1}(x)), x\}$ est fermé, donc, $X \setminus \sim$ est séparé. Soit $O = B(p, 2\epsilon) \setminus B(p, \epsilon) \cup B'(q, 2\epsilon) \setminus B'(q, \epsilon)$, et $\pi$ l'application de passage au quotient. Alors $\pi(O)$ est un ouvert de $X \setminus \sim$ car $\pi^{-1}[\pi(O)] = O$.

Soit $\Phi$ l'application de recollement de cartes, definit precedemment sur $\pi(O)$, alors $\Phi$ est bien definit et est un homeomorphisme sur son image qui est un ouvert de $\mathbb{R}^n$, par le theoreme d'invariance du domaine de Brower (car $i_2$ et $i_1$ se recollent au bord qui est une sphere, par definition). C'est une carte, compatible avec l'orientation car, les changement de cartes à droite et à gauche sont l'identité.

$$ \Phi([x]) = i_1(x), \quad x \in B(p, 2\epsilon) \setminus B(p, \epsilon), \quad \Phi([x]) = \frac{i_2(x)}{|i_2(x)|^2}, \quad x \in B'(q, 2\epsilon) \setminus B'(q, \epsilon), $$

avec $[x] = \pi(x)$, l'application de passage au quotient. $i_2$ inverse l'orientation de N. Comme on compose avec une inversion, au final, on a des jacobiens de determinant positifs, de plus, sur la sphere, les orientations sont inversées, ce qui permet un recollement correct (car sur le premier bout on a $i_1$ avec la bonne orientation et sur le deuxième bout on a $i_2$ qui inverse l'orientation, et sur la sphere $|i_2| = 1$).

On voit que $\Phi \circ \pi$ est continue par definition et donc $\Phi$ est continue.

On a bien, $(\Phi, \pi(O))$ une carte de recollement.

Elle permet le passage au deux atlas. Comme M et N sont orientables, $M \sharp N$ est orientable.

Avec $(\Phi, \pi(O))$ on a une carte de recollement, et,

$$ \Phi o [i_1]^{-1} = \Phi o [i_1^{-1}] = \mathrm{Id}_{B(p, 2\epsilon) \setminus \bar{B}(p, \epsilon)}, $$

$$ \Phi o [i_2 / |i_2|^2]^{-1} = \Phi o [(i_2 / |i_2|^2)^{-1}] = \mathrm{Id}_{B'(q, 2\epsilon) \setminus \bar{B}'(q, \epsilon)}, $$

On voit que les changements de cartes sont lisses et conservent l'orientation.

En considerant les metriques $g_M, g_N$ et $\Phi^*(\delta_{\mathbb{R}^n})$, par des fonctions cutoff, on a par recollement, une metrique sur $M \sharp N$ :

$$ g_{M \sharp N} = \chi_1 g_M + \chi_0 \Phi^*(\delta_{\mathbb{R}^n}) + \chi_2 g_N, $$

par exemple.

Pour voir que sur les bords, les inversions sont inversées, on considere un observateur $a$ de M tel que le repere $(a, T)$ est direct avec $T$ une orientation du bord. on deplace par une rotation, ou selon un chemin circulaire, vers un observateur $b$ de N alors le repere $(b, T')$ est direct si et seulement si $T' = -T$.

D'autre part, on voit que dans la carte de recollement, on a composé avec une inversion. Si M et N ont des structures locallement conformément plates, par Kuiper, il existe pour chaque variété un atlas dont les changement de cartes sont des applications de Mobius. En utlisant la carte de recollement, on obtient un atlas sur $M \sharp N$ formé d'applications de Mobius. Donc, sur la somme sonnexe on a une structure locallement conformément plate. (ceci est dit dans la papier de Kulkarni).

12) Concernant la classification des surfaces. Cela peut se faire grâce aux fonctions de Morse. Par recurrence sur le nombre de point critiques.

1- On verifie que sous certaines hypotheses d'orientabilité des bords et quand on a deux homeomorphismes entre deux ensembles, alors on a un homeomorphismes entre les recollés.

2- On utilise une recurrence sur le nombre de points critiques des fonctions de Morse.

On note $g_1, g_2$ les applications de recollement, dans le Gramain, $g_1 = f, g_2 = f'$. Ici, dans le cas des recollements, on prend, $g_1 = \mathrm{id}$ et $g_2 = \mathrm{id}$, les recollés sont les ensembles de depart (en fait ils sont difféomorphes aux ensembles de depart et $f_* = \mathrm{id}, f'_* = \mathrm{id}$, on a inversion des orientations quand on recolle, et, $h_* = \mathrm{id}, h'_* = \mathrm{id}, h$ et $h'$ conserve l'orientation et l'inversion de l'orientation, respectivement). Les ensembles $A$ et $A'$, sont des ensembles de niveau pour une fonction de Morse $C^\infty$, donc ce sont des variétés compactes $C^\infty$, il y a un nombre fini de composantes connexes, sinon (en se placant sur le bord, vecteur tangent et vecteur rentrant, on aurait un point critique dans l'intersection de 2 lignes de niveaux), il y aurait un point critique.
Pour l'orientabilité des bords, $A$ et $A'$ sont (homéomorphes implique difféomorphes en dimension 1) difféomorphes à des cerles et, á droite (pour les sommes connexes), les orientations sont inversées, donc le difféomrphisme conserve l'inversion d'orientation, son Jacobien est positif. D'où, l'application $k_0$ conserve l'ororientation. Ce n'est pas toujours vrai, car on n'a pas un diffoemorphisme global $h$ et $h'$, par contre il y a une définition par l'homologie de l'orientation. Voir ci-dessus.

(on pouvait le voir en remarquant qu'on inverse deux fois l'orientation, donc au final on conserve l'orienation pour $k_0$).

Par exemple, on suppose que toute surface orientable ayant $p \le q - 1$ point critiques avec un maximum et un minimum et $p - 2$ points critiques d'indice 1 est homeomorphe à $T_p$. On peut commencer la recurrence pour $p = 0$, la fonction de Morse a un maximum et un minimum et les ensembles de niveaux sont homeomorphes a des demi-disques et par recollement on a une sphere. A l'ordre $p = 1$, pour le Tore, c'est ecrit dans le Gramain, la fonction "cote" a 4 points critiques, un maximum, un minimum et deux points critiques d'indice 1 (au milieu), dans le Gramain, il colle deux cylindres (les cylindres eux-memes sont obtenues par recollement d'un ensemble d'indice 0 ou 2 avec un ensemble d'indice 1) et il obtient un Tore. Ou bien si on commence la recurrence a partir du Tore, il suffit de voir que la surface est homeomorphe par recollement, au recollement de deux cylindres (les cylindres sont eux-memes obtenus par recollement d'ensembles d'indice 0 ou 2 et d'un ensemble d'indice 1, 0-1 et 1-2, de haut(0) en bas(1) ou de bas (2) vers le haut (1)) avec l'application de recollement $g_1 = id, g_2 = id$, et on obtient le Tore, $g_2$ est la deuxieme application de recollement). Dans le cas general, on sait qu'il existe une fonction de Morse $u$, on decompose en deux, la partie de $u$ ayant $p-1$ points critiques, on lui recolle un disque et par recurrence, elle homeomorphe à $T_{q-1}$ et le reste possede 4 point critiques, un maximum, un minimum et deux points critiques d'indice 1, on lui recolle un disque, qui est, par recurrence, homeomorphe au Tore, $T_1$. Donc, comme c'est ecrit dans le Gramain, en revenant à $u$, il y a une partie homeomoprh à $V_{p-1}$ et l'autre à $V_1$ et sur $V_1$ on inverse l'orientation. Or aussi sur une partie de la surface considérée, on inverse l'orientation, donc, on inverse l'orientation deux fois (se placer à droite, $Y - g_1(A)$ et $V_1 = T_1 - B, B$ un disque), ce qui revient à conserver l'orientation en considerant la composée des deux homeomrphismes (c'est l'homeomorphisme $k_0 = h'og_1og_2^{-1}oh^{-1}$ du Gramain). Il reste a voir donc avec ces hypothèses, qu'il y a homeomorphismes entre les recollements, $S = (S - A)\#(S' - B) = (X - A)\#(Y - g_1(A)) = (X - A) \cup (Y - A)$, $g_1 = id$, et $V_{p-1}\#V_1$, ce qui est fait dans le cas orientable (A homeomorphe au cercle dans le Gramain).

On ecrit $(X-A) \cup (Y-A)$ pour dire qu'on recolle $X$ et $Y$ via $A$. Les applications du Gramain, $f = g_1 = id, f' = g_2 = id$ et le recollé (pour la relation d'équivalence, $x \equiv f(x) = x, x \in A, f_* = -id, f'_* = -id$, est diffeomorphes à l'ensemble de depart. On a $f_* = -id$ et $f'_* = -id$ car on inverse les orientations de depart quand on recolle $(+, h, A \to A'$, conservation de l'orientation, $f', A' \to f'(A')$, – inversion de l'orientation, $h'^{-1}, f'(A') \to f(A), +$, conservation de l'orientation, $f^{-1}, f(A) \to A, -$, inversion de l'oriенation). Donc, on a, $h_* = id, f'_* = -id, (h'^{-1})_* = id$ et $(f^{-1})_* = -id$. Et on ecrit car $f = id, f' = id, f_* = id, f'_* = id$, pour dire qu'on envoie un generateur d'orientation vers un generateur d'orientation (meme si elle inversée).

On peut raisonner par les generateurs, si $e_1$ est genrateur de $H_{1,A,X} = H_1(A, A - x_0, Z)$ et $e_2$ est gnerateur de $H_{1,A',X'} = H_1(A', A' - x'_0, Z)$, alors, comme sur la partie de $Y$ et $Y'$ on inverse les orientations, on a $-e_1$ est genrateur de $H_{1,A,Y}$ et $-e_2$ est genrateur de $H_{1,A',Y'}$, comme $f = id$ alors, $f_*(e_1) = -e_1$. On ecrite, $f_* = id$ dans le sens qu'elle envoie un genrateur d'orientation vers un genrateur d'orientation. et on ecrit $f_* = -id$, pour dire que $f_*$ inverse l'orientation de depart sur $A$.

On a la meme chose pour $A'$ et $f'$.

Des le depart on a deux homeomorphismes $h$ et $h'$, supposons pas exemple que $h_* = -id$, $h_*(e_1) = -e_2$, comme pour $A'$ on est dans l'epsace euclidien, il suffit de composer avec une symetrie $t$ pour avoir $t_*(e_2) = -e_2$ donc, hot conserve l'orientation sur le bord. $(hot)_*(e_1) = e_2$ et on fait la meme chose avec $h'$. Finalement, on a deux homeomorphismes hot et $h'ot'$ ou $h'$ (si $h'$ conserve l'inversion de l'orientation); qui conservent l'orientation sur les bords.

On a utilisé l'orientation définie par l'homologie pour prouver, par recollement que la surface $S$ est homeorphe à la somme connexe de $q$ Tores, muni d'une orientation homologique. Or La somme connxe de Tore est une varieté differentiable et donc, cette orientation homologique est
equivalente à l'orientation usuelle du Tore. (On pouvait prouver ceci à chaque etape, en utilisant,
le fait que la surface de depart est orientable et donc s'injecte dans $\mathbb{R}^3$, utiliser des "doubles",
(voir le Vick, pour l'orientation homologique des variétés sans bord et des varietés a bord), pour
orienter les surfaces a bord de chaque etape, puis, obtenir des surfaces munies d'orientation ho-
mologiques et diffenrentiables). L'équivalence entre orientation homologique et differentiable
pour une variété lisse est écrite dans le livre de Bredon (geometry and topology). Remarquons
qu'une variété a bord $W$ est orientable si et seulement si son interieur $\dot{W}$ est orientable, il y a in-
duction de l'orientation sur le bord $\partial W$ et II y a equivalence aussi entre orientation homologique
et differentiable.(il y a un isomorphisme entre $H_n(W, \partial W, Z)$ et $H_n(W, W - x, Z)$).

Concernant la structure diffentiable sur le recollé de $X - A \cup_{f,A} Y - A$, dans Milnor (Somme
connexe et structure differentiable et Differentiable manifolds which are homotopy spheres), ils
prouvent que les voisinages des bords de $X - A$ et $Y - A$, sont diffeomorphes a des tubes, puis
recollent les tubes, c'est une carte de recollement, pour avoir une structure differentiable. Or, pour
la somme connexe de deux variétés riemannniennes, les cartes exponentielles sont des voisinages
tubulaires des bords, il n'y a pas besoin d'utiliser ce que dit Milnor. Quant à ici, le recollé $X -
A \cup_{f,A} Y - A$ est diffeomorphe à $X - A \cup Y - A$, on a deja une strucuture diffenrentiable sur
le recollé, via ce difféomorphisme. (la projection $p: x \to [x]$ est un difféomorphisme).

Quant a l'écriture $T_{q-1} \sharp T_1$, c'est la somme connexe, comme on est dans $\mathbb{R}^3$, somme connexe
et recollement coincident.

Quand on a une application $s$ qui conserve l'orientation, cela veut dire qu'on a, sur une variete
$M_1$ compacte sans bord de dimension 1, $s_* = id$. Pour le voir, on a si l'orientation est inversée
sur $M_1$ et $M_2 = s(M_1)$, cela veut dire que : $-1$ est generateur de $H_1(M_1, M_1 - x_0)$ et de
$H_1(M_2, M_2 - s(x_0), Z) = H_1(s(M_1), s(M_1) - s(x_0), Z) = s_*(H_1(M_1, M_1 - x_0, Z))$. Donc,
$s_*(-1) = -1$, c'est a dire que $s_* = id$. Lorsque $\varphi_1$ inverse l'orientation alors $(\varphi_1)_* = -id$.

En utilisant une suite de Mayer-Vietoris, et le fait que $M_1 - x_0$ est d'homotopie un segment
donc a un point, donc d'homologie nulle on a :

$s_*$ est un isomorphisme de $H_1(M_1)$ vers $H_1(M_2)$, comme il conserve l'orientation $s_* = id$.

Pour le voir il suffit de raisonner sur les genrateurs $s_*(e_1) = ke_2$ et $(s^{-1})_*(e_2) = k'e_1$, donc,
$kk' = 1$, comme ces des entiensk = 1 ou $k = -1$, comme s conserve l'orientation $k = 1$. On
fait la meme chose pour $\varphi_1$ et on obtient $k = -1$.

On utilise l'homomorphisme surjectif d'Hurwicz qui est bijectif sur le cercle. De $\pi_1(S_1)$ dans
$H_1(S_1)$

$$
\bar{h} : [\gamma] \to [\tilde{\gamma}]
$$

On applique cela aux applications du Gramain, $s = h'^{-1}oh$ (conserve l'orientation) et $\varphi_1 = \varphi$,
$A = \varphi(S_1 \times \{0\})$, ici, $f = id, f' = id$ et $M_1 = M_2 = A$, puis on raisonne en considerant
$S_1 \times \{0\}$ au lieu de $S_1$.

$k = \varphi^{-1}oso\varphi,$

$$
\pi(k)[\gamma] = [\varphi^{-1}oso\varphi\gamma] =
$$

$$
\bar{h}^{-1}(\tilde{[}\varphi^{-1}oso\varphi\gamma]) =
$$

$$
= \bar{h}^{-1}((((\varphi_1)^{-1})_* o s_* o \varphi_*(\tilde{[\gamma]]))) =
$$

$$
= \bar{h}^{-1}[\tilde{\gamma}] = \bar{h}^{-1}\bar{h}([\gamma]) = [\gamma],
$$

Où on a utilisé le fait que $\varphi_* = id$ si on se place sur $X$ (on conserve l'orientation) ou $\varphi_* = -id$
si on se place de coté de $Y$ (on inverse l'orientation).

On pouvait remplacer $[\gamma]$ par un generateur $e_1 = [\gamma_1]$ et raisonner sur les generateurs.

Donc,

$\pi(k) = id$
Ceci dans le cas ou $k(a) = a$, $k$ fixe un point. Sinon, ($k$ ne fixe pas $a$), on compose avec une rotation $r(e^{i\theta}) = e^{iu}e^{i\theta}$, or en considerant $F(e^{i\theta}, s) = e^{isu}e^{i\theta}$, $s \in [0, 1]$, on a une homotopie entre $r$ et l'identité $id$, Donc, $r_* = id$ de $H_1(S_1) \to H_1(S_1)$.

Donc, $k'_* = id$, puis on utilise le même groupe fondamental en $a$, $\pi_1(S_1, a)$ et l'application d'Hurwicz, comme précédemment pour prouver que $\pi(k') = id$.

On peut utiliser le lift dans le livre de Gramain et prolonger $k$.

L'autre cas, $Y$ rectangle et $g_1(A)$, deux segments, correspond au cas non orientable. Pour le voir, on choisit une orientation (choisir un repère mobile) sur $Y$, celle-ci change quand on part de $X$ et on lui recolle $Y$ via $A$. (ici, $g_1 = f$ est l'application de recollement).

Notons que par Moise-Rado, homeomorphe implique diffeomorphe en dimension $\le 3$.

13) Pour l'inegalité de Kato : on a $u \in L_{loc}^1$ et $\Delta u \in L_{loc}^1$ alors : $u \in W_{loc}^{1,1}$, pourquoi ?

Comme c'est local, on écrit dans une boule $u$ en fonction de la fonction de Green (de la boule par exemple et $n \ge 3$ par exemple, $n = 2$ c'est la même chose) :

$$u = \frac{1}{r^{n-2}} * \Delta u + \int_{\partial B} P * u,$$

Par Fubini, Fubini-Tonelli,

$$\partial u = \partial\left(\frac{1}{r^{n-2}}\right) * \Delta u + \int_{\partial B} (\partial P) u,$$

avec $\partial P$ regulier des qu'on considère des points interieurs et donc on peut dériver sous le signe $\int$ pour cette partie.

On a,

$$u \in L_{loc}^1 \Rightarrow \exists r \int_{\partial B_r} u(\sigma) d\sigma < +\infty,$$

Au sens des distributions on a pour $\varphi \in D(B_{r/2})$ :

$$\int (-\partial \varphi) u = \int (-\Delta u) \int (-\partial \varphi) \left(\frac{1}{r^{n-2}}\right) + \text{termes reguliers de la fonction de Green}$$

Donc, après integration par parties pour le noyau Newtonien,

$$\int (\partial \varphi) u = \iint \left(\partial \left(\frac{1}{r^{n-2}}\right) (-\Delta u) \right) \varphi + \iint \partial P u \varphi dxd\sigma = \int a\varphi, \ a \in L^1,$$

Donc,

$$u \in W_{loc}^{1,1},$$

Ceci est valable pour $u$ regulière. Soit $\rho_n$ un mollificateur, alors :

Si $u \in L^1(B_r)$, alors :

$$\rho_n * u(x) = \int_{B_r} \rho_n(x - y)u(y)dy,$$

et pour $x \in B_{r/2}$ :

$$\Delta(\rho_n * u)(x) = (\rho_n * \Delta u)(x),$$

On a aussi,

$$\rho_n * u \to u, \text{ dans } L_{loc}^1(B_r),$$

et,

$$\Delta(\rho_n * u) = \rho_n * (\Delta u) \to \Delta u, \text{ dans } L_{loc}^1(B_{r/2}),$$

On fait ce qu'on a fait avec $u$, avec $\rho_n * u$, comme on a des bornes uniformes en $L_{loc}^1$, alors,

$$\rho_n * u \in W_{loc}^{1,1}, \text{ et } \nabla(\rho_n * u) \to v \in L_{loc}^1,$$

Donc,
$$\int u \partial \varphi = \lim_{n} \int (\rho_{n} * u) \partial \varphi = - \lim_{n} \int \partial(\rho_{n} * u) \varphi \to - \int v \varphi,$$

Donc,

$$u \in W_{loc}^{1,1},$$

On a la meme chose si on considere un probleme variationel $-\Delta u = f$, $f \in L_{loc}^1$ et $u \in L_{loc}^1$. On a meme mieux, $u \in W_{loc}^{1,q}$. Une partie du travail de Brezis-Merle suppose ces hypotheses, par ce qu'on vient de voir, on utilise le theeurème 1 de Brezis-Merle et les estimations elliptiques, pour poser le probleme quand on n'a pas de condition aux bord dans la formulation de Brezis et Merle.

On peut retrouver ce resultat en se ramenant a une fonction harmonique en soustrayant une solution d'un probleme de Dirichlet.

Soit $f \in L^1$, $\exists f_j \to f$ dans $L^1$ avec $f_j \in C_c^\infty$, on resout :

$$-\Delta u_j = f_j, \text{ avec } u_j = 0, \text{ sur } \partial \Omega,$$

Alors, par Stampacchia ou Brezis-Strauss, on a :

$$\|u_j\|_{W_0^{1,q}} \leq C_q,$$

En passant à la limite en $j$, on a l'existence de $u_0 \in W_0^{1,q}$ tel que :

$$-\Delta u_0 = f,$$

Alors,

$$-\Delta(u - u_0) = 0, \text{ et } u - u_0 \in L^1,$$

On utilise le theoreme de Weyl pour avoir,

$$u - u_0 \in C^\infty$$

Donc,

$$u \in W_{loc}^{1,q},$$

On retrouve le Theoreme dans le livre de Dautray-Lions.

On fait la meme chose avec le Theoreme 1 de Brezis-Merle, sauf que les relations ne sont pas locales.

On a :

$$-\Delta u = f \in L^1, u \in W_0^{1,1}(\Omega).$$

On resout pour $f_j \to f$ dans $L^1$. $f_j \in C_c^\infty(\Omega)$. (la regularité du bord est au moins $C^2$ pour pouvoir appliquer le theoreme de dualité de Stampacchia).

$$-\Delta u_j = f_j, \quad u_j \in H_0^1(\Omega),$$

On a :

$$\|\nabla u_j\|_q \leq C_q, \quad 1 \leq q < 2.$$

On passe a la limite en $j$.

On a :

$$-\Delta u_0 = f, \quad u_0 \in W_0^{1,q}(\Omega).$$

Finalement :

$$-\Delta(u - u_0) = 0, u - u_0 \in W_0^{1,1}(\Omega).$$

Soit on utilise le principe du maximum dans $W_0^{1,1}$ pour avoir $u = u_0$ p.p.

Soit, on utilise le theoreme de regularité d'Agmon pour avoir $u - u_0$ reguliere et appliquer le principe du maximum usuel.
Pour, $u_j, f_j, |f_j|$ on applique le raisonnement de Brezis Merle (theoreme 1, on ne peut utiliser le potentiel Newtonien qu'avec des hypothèses sur $f_j$; integrables et bornées, par exemple, voir le livre de Gilbarg-Trudinger). Puis par le lemme de Fatou, l'inegalité de Brezis Merle est valide pour $u_j$ et $u_0$ donc pour $u$. ($u = u_0$, p.p).

14) Sur la fonction distance au bord : c'est bien écrit dans le Gilbarg-Trudinger. Grace a la propriété de la sphere interieure, il existe un voisnage du bord assez petit tel que la fonction distance est $C^k$ et est égale à la distance (pour chaque point) à un point unique du bord, car on fait varier des spheres le long du bord. Voir, Gilbarg-Trudinger. Le domaine (et le bord) doit être par exemple au moins $C^2$.

Par des cartes, on a un segment, on peut faire rouler une sphere. On prend son image par l'application de carte, qui est suffisamment regulière pour que le domaine d'arrivée contienne des ellipses, donc des cercles.

15) Pour le theoreme de Dualité de Stampacchia :

On part de l'équation :

$$-\Delta u_i = V_i e^{u_i},$$

avec la condition de Dirichlet. ($\Delta = \partial_{11} + \partial_{22}$).

On a :

$$u_i \in W^{2,k} \cap C^{1,\epsilon}(\bar{\Omega}), \quad u_i = 0 \text{ on } \partial\Omega.$$

On a :

$$\int_{\Omega} |\Delta u_i| dx \le bC.$$

On considère un vecteur $f = (f_1, f_2) \in L^{q'}(\Omega)$ avec $q' > 2$. On utilise le Theoreme de Lax-Milgram dans les Hilbert, (voir Gilbarg-Trudinger), pour avoir une solution de $z \in W_0^{1,2}(\Omega)$ de l'équation :

$$-\Delta z = \operatorname{div}(f),$$

avec la propriété suivante (voir la preuve de l'inégalité de Harnack dans le Gilbarg-Trudinger) :

$$\|z\|_{L^{\infty}} \le C \|f\|_{q'}.$$

On met $u_i$ comme fonction test dans l'équation de $z$, on a, en valeur absolue à l'extérieur des integrales :

$$\int_{\Omega} f \cdot \nabla u_i dx = \int_{\Omega} \nabla z \cdot \nabla u_i dx = - \int_{\Omega} z \Delta u_i dx \le C' \|f\|_{q'}.$$

On prend le supremum dans $L^{q'}$, et on a :

$$\|\nabla u_i\|_q \le C_q, \forall 1 \le q < 2.$$

Dans le problème de Brezis-Merle, on a :

$$\|\nabla(u_i - u)\|_{L^q(\Omega_\epsilon)} = o(1),$$

c'est la convergence interieure dûe au travail de Brezis et Merle. Après, par l'inegalité de Hölder :

$$\|\nabla(u_i - u)\|_{L^q(\Omega - \Omega_\epsilon)} \le |\Omega - \Omega_\epsilon|^{1/q - 1/r} \|\nabla(u_i - u)\|_{L^r} \le C_r |\Omega - \Omega_\epsilon|^{1/q - 1/r} = o(1), \quad 1 \le q < r < 2.$$

On obtient finalement :

$$\|\nabla(u_i - u)\|_q = o(1).$$

16) Pourquoi dans le livre d'Aubin, il considère les solutions $u$ pour un opérateur du type :

$$a_{ij}(M) \partial_{ij} u + b_j(M) \partial_j u + c(M) u = f(M) ?$$

Dans le livre d'aubin $a_{ij}(M), b_j(M)$ sont des champs de tenseurs, pourquoi tenseur ?
C'est lié au cartes et au changements par cartes et à la formulation variationelle.

1) Dans le livre d'Hebey, il donne la définition d'un problème posé de manière variationnelle : Pour les variétés :

$$ \int_M a_{ij} \partial u \partial \varphi dV_g + b_j u \partial \varphi dV_g + c u \varphi dV_g = \int f \varphi dV_g $$

a) Il faut que le problème soit posé sur une variété de manière globale, donc independemment des cartes. C pour cela que dans le livre d'Hebey, il dit pour toute carte $h$.

b) Si on revient à un problème posé sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$, il y a déjà une carte disponible, la carte euclidienne, $(\Omega, id)$. Donc pour $\mathbb{R}^n$, il suffit que le problème soit posé en coordonnées cartesiennes.

Et après, par la formule de changement de variable, on se ramène à toute carte de l'ouvert. Notons que la notation $dV_g$ l'explique bien car par un changement de variable, on retrouve la Jacobien, qui donne l'élément de volume pour la métrique euclidienne.

Maintenant quand on fait le changement de variables, il faut que le problème soit invariant, c'est à dire que les coefficients ne changent par or ceci est possible si on les suppose comme champs de tenseurs.

on écrit par exemple :

$$ a_{ij}(M) = a_{ij}[x(M)] = a_{kl}[y(M)] \partial_x y_i^k \partial_x y_j^l, $$

dans le changement de variables, cette loi est celle des tenseurs.

C'est pour cela qu'on suppose les coefficients, des champs de tenseurs. Pour que par changement de variables, ils soit invariants et ceci est possible si ils obeissent à la loi des tenseurs.

Et pour les ouverts de $\mathbb{R}^n$. Il suffit que le problème soit posé en coordonnés cartesiennes. Alors on la pour toute carte.

Une forme bilinéaire est un tenseur. Un champ de formes bilinéaires est un champ de tenseurs. Un champ de vecteurs est un champ de tenseurs.

17) Pour quoi, quand on veut appliquer le principe du maximum sur une variété, on a besoin d'un opérateur global :

a) C'est parce qu'on a considéré une variété, qui est cosntituée de cartes. Il ne faut pas que ca dépende de la carte.

Par exemple, si on veut appliquer la principe du maximum en $P$,

On écrit : $Lu(P) = L(uo\varphi^{-1}(x_1, x_2))$, on voit que dans l'écriture même, il ne faut pas que ca dépende de la carte et de l'application de carte $\varphi$.

b) Par recouvrement, dans l'intersection d'ouvert de carte, on écrit :

$$ Lu(P) = L[uo\varphi^{-1}] = L[uo\psi^{-1}] $$

dans cette écriture, on a deux cartes, et il ne faut pas que ca dépende des deux cartes, pour cela il faut que l'opérateur soit global.

c) On a la même chose, si on raisonne que la dérivée normale et le principe du maximum de Hopf.

18) Sur les applications conformes du bord en dimension 2.

On a parlé d'application conforme en dimension 2 :

Pourquoi la définition d'un domaine analytique permet d'avoir une carte conforme locale du bord ?

a)-Sur le disque unité, on a une transformation conforme directe du disque sur le demi-plan de Poincaré. Il n'y a pas besoin de définir l'application $\psi$ (voir ci-dessous).

b)-L'application $\psi$, permet de définir des coordonnées qui permettent d'utiliser une application conforme.

Ce qui suit est la traduction de ce qui a été écrit dans les préprints sur arXiv. Pour définir un carte "conforme" $\gamma$, en dimension 2.

1-Il suffit de prouver que $\gamma_1((-\epsilon, \epsilon)) = \partial\Omega \cap \tilde{\gamma}_1(B_\epsilon) = \partial\Omega \cap \tilde{\gamma}_1(B_\epsilon) \cap \{|abscisse| < \epsilon\}$, pour $\epsilon > 0$ assez petit. Avec $\tilde{\gamma}_1$ l'extension holomorphe de $\gamma_1(t) = t + i\varphi(t)$.

Pour voir ça, on raisonne par l'absurde. On a pour $z_\epsilon \in B_\epsilon$, $\tilde{\gamma}_1(z_\epsilon) = (t_\epsilon, \varphi(t_\epsilon))$ avec $|t_\epsilon| \ge \epsilon$. Comme $\tilde{\gamma}_1$ est injective sur une boule fixée au départ par le théorème d'inversion locale, $B_1$ et
$\tilde{\gamma}_1 = \gamma_1 = t+i\varphi(t)$ sur l'axe réel, on a nécessairement $|t_\epsilon| \ge 1$. Mais par continuité $|\tilde{\gamma}_1(z_\epsilon)| \to 0$ parce que $z_\epsilon \to 0$. Et on utilise le fait que $|\tilde{\gamma}_1(z_\epsilon)| = |(t_\epsilon, \varphi(t_\epsilon))| \ge |t_\epsilon| \ge 1$, pour avoir une contradiction.) (Cela veut dire que pour un rayon assez petit quand le graphe sort de la boule, il n'y retourne plus). (Ce fait implique, en raisonnant avec des chemins, quand un a chemin qui coupe $\partial\Omega$ en $\tilde{\gamma}_1(B_\epsilon)$ en un point ce point a pour abscisse $|abscisse| < \epsilon$. Encore, une fois, ce fait (par un raisonnement par l'absurde avec le fait que $\partial\bar{\Omega} = \partial\Omega$, il faut raisonner avec des chemins), implique que l'image de la partie superieure est entierement d'un coté de la courbe et l'image de l'autre est de l'autre coté de la courbe.)

2- Posons : $\psi : (\lambda_1, \lambda_2) \to M \in \Omega$ telle que : $\overrightarrow{x_0M} = \lambda_1 i'_1 + \lambda_2 j'_1$ avec $(i'_1, j'_1)$ est une base telle que $i'_1 = e^{-i\theta}i_1, j'_1 = e^{-i\theta}j_1$. Et, $\varphi = id : (x_1, x_2) \to M$ telle que : $\overrightarrow{OM} = x_1i_1 + x_2i_2$ la base canonique $(i_1, j_1)$. Alors on a deux cartes de $\Omega$, $\varphi$ et $\psi$ et les affixes $T_M = \lambda_1 + i\lambda_2$ et $z_M = x_1 + ix_2$ sont tels que :(l'application de changement de cartes) :

$$T_M/e^{i\theta} + x_0 = z_M = \varphi^{-1}o\psi(\lambda_1, \lambda_2),$$

On a :

$$\partial_{\lambda_1} = \cos \theta \partial_{x_1} + \sin \theta \partial_{x_2},$$

$$\partial_{\lambda_2} = -\sin \theta \partial_{x_1} + \cos \theta \partial_{x_2},$$

Donc, la métrique dans la carte $\psi$ ou en coordonnées $(\lambda_1, \lambda_2)$ est : $g_{ij}^\lambda = \delta_{ij}$ et le Laplacien dans les deux cartes (coordonnées), $\psi$ et $\varphi$ est le Laplacien usuel $\partial_{\lambda_1\lambda_1} + \partial_{\lambda_2\lambda_2}$.

On écrit :

$$\Delta u(M) = \Delta_\lambda(uo\psi(\lambda_1, \lambda_2))$$

Puis on applique l'application conforme $\tilde{\gamma}_1$ qui envoie l'affixe $T_M, M$ dans un voisinage de of $x_0 \in \partial\Omega$ vers $B_\epsilon$ et envoie $T_M, M \in \partial\Omega$ sur l'axe réel $(-\epsilon, \epsilon)$ et l'autre partie vers l'autre partie de $\Omega$ et $\bar{\Omega}^c$.

On a : $\psi : (\lambda_1, \lambda_2) \to M$ et $\tilde{\gamma}_1 : (\lambda_1, \lambda_2) \to (\mu_1, \mu_2)$. L'application considérée est : $\psi o \tilde{\gamma}_1^{-1}$. C'est bien une carte. Pour le voir :

La première carte (carte usuelle) est : $\psi o \tilde{\gamma}_1^{-1}$ avec $g$ est l'application $g : (\lambda_1, \lambda_2) \to [\lambda_1, \lambda_2 + \varphi_0(\lambda_1)]$ et $\varphi_0$ l'application qui permet de definir $\partial\Omega$ comme un graphe.

L'application de changement de carte est :

$$go\tilde{\gamma}_1^{-1}$$

elle est reguliere d'un voisinage de 0 vers un autre voisinage de 0 et envoie la partie superieure du premier voisinage vers la partie superieure de l'autre voisinage (ainsi que les parties inferieures).

On voit bien que $\psi o \tilde{\gamma}_1^{-1}$ est une carte avec la propriété que $\tilde{\gamma}_1$ est conforme.

(l'application $\psi o \tilde{\gamma}_1^{-1}$ est aussi la composée de, une rotation et une translation (donc conforme) et de $\tilde{\gamma}_1^{-1}$ qui est conforme, si on se placait en coordonnées cartésiennes au départ. Mais, il faut voir que la carte $\psi$ definit des coordonnés qui permettent la construction d'une application conforme. On n'a pas besoin de cela pour le disque unité, on a directement l'application du demi-plan de Poincaré).

Remarque : $\psi$ et $\varphi = id$ sont des cartes de $\Omega$ et $\psi$ est "presque" une carte de $\partial\Omega$. Mais $\psi o \tilde{\gamma}_1^{-1}$ et $\psi o \tilde{\gamma}_1^{-1}$ sont des cartes du bord.

Le problème elliptique peut être vu de deux manières : donc, si on considère, au départ, les coordonnées cartésiennes, on a une transformation conforme. Si, on considère le problème posé sur une variété a bord, on a une carte analytique.

3- "Charactersation des domaines $C^k$" : On peut dire que la définition d'un domaine $C^k, k \ge 1$ est équivalente à la définition d'une sous-variété + la condition : $\partial\bar{\Omega} = \partial\Omega$ or $\dot{\bar{\Omega}} = \Omega$.

19) Concernant l'element de volume et la mesure de Hausdorff sur le bord :

Avec le point 18), la carte usuelle du bord est : $h = \psi o \tilde{\gamma}_1^{-1}$ avec,

$\psi : (\lambda_1, \lambda_2) \to M \in \Omega$ telle que : $\overrightarrow{x_0M} = \lambda_1 i'_1 + \lambda_2 j'_1$ avec $(i'_1, j'_1)$ est une base telle que $i'_1 = e^{-i\theta}i_1, j'_1 = e^{-i\theta}j_1$. Et, $\varphi = id : (x_1, x_2) \to M$ telle que : $\overrightarrow{OM} = x_1i_1 + x_2i_2$ la
base canonique $(i_1, j_1)$. Alors on a deux cartes de $\Omega$, $\varphi$ et $\psi$ et les affixes $T_M = \lambda_1 + i\lambda_2$ et $z_M = x_1 + ix_2$ sont tels que :(l'application de changement de cartes) :

$$T_M/e^{i\theta} + x_0 = z_M = \varphi^{-1}o\psi(\lambda_1, \lambda_2),$$

et,

$g$ est l'application $g : (\lambda_1, \lambda_2) \to [\lambda_1, \lambda_2 + \varphi_0(\lambda_1)]$ et $\varphi_0$ l'application qui permet de definir $\partial\Omega$ comme un graphe.

La metrique sur le bord $\partial\Omega$ s'écrit localement :

$$h^*(i^*(\delta)) = \sqrt{1 + [\varphi'_0(\lambda)]^2} d\lambda,$$

avec $\delta$ la metrique euclidienne de $\mathbb{R}^2$. (la metrique sur le bord est $i^*(\delta)$ avec $i : \partial\Omega \to \mathbb{R}^2$, $x \to x$).

On l'a explicitement, en calculant (le determinant contient un terme car on est en dimension 1, c la meme chose en dimension superieure), $h^*(i^*(\delta)) = \delta(dh(\partial_\lambda), dh(\partial_\lambda)) = [1 + [\varphi'_0(\lambda)]^2]$.

Avec $i : \partial\Omega \to \mathbb{R}^2$, $x \to x$ l'inclusion.

Et considerant l'application Lipschitzienne (c'est aussi l'application de carte, locale, du bord $\partial\Omega$ qui permet aussi de calculer $g_{11}$, ce qu'on a fait precedemment) :

$$\lambda \to (\lambda, \varphi_0(\lambda)) = h(\lambda, 0),$$

on a par la formule de l'aire, l'egalité entre la mesure de Hausdorff et le Jacobien (element d'aire) :

$$\int_{[a,b]} \sqrt{1 + [\varphi'_{0}(\lambda)]^2} d\lambda = \int_{h([a,b],0) \subset \partial\Omega} dH_1,$$

Finalement, on a l'egalité suivante :

$$d\sigma = \sqrt{1 + [\varphi'_{0}(\lambda)]^2} d\lambda = dH_{1|\partial\Omega}.$$

avec cette remarque, on voit par exemple que $H_1(\partial\Omega) < +\infty$, dans le cas $\partial\Omega$ compact.

20) Quand y a il une relation entre $W^{1,\infty}$ et $C^{0,1}(\bar{\Omega}) = Lipschitz(\bar{\Omega})$.

a) Dans le cas d'un convexe ou une boule, c'est écrit dans le livre de Brezis quand il approxime $L^\infty$ par $L^p$, dans le critere pour qu'une fonction soit $W^{1,p}$.

b) Quand l'ouvert est Lipschitzien ou au moins $C^1$, c'est un exercice dans livre d'Otared Kavian. On utilise l'operateur de prolongement (Notez que la constante de prolongement ne depend pas de $p$, on peut utiliser le proceder de Brezis $p \to +\infty$), puis on se ramene à un convexe, une boule, puis on revient aux fonctions de depart.

Dans les cas precedents, il y a egalité entre les deux ensembles.

21) pourquoi on ecrit dan la derivation (ici $\nabla = \nabla_X$ pour un vecteur $X$) :

$$\nabla(<a|b>) = <\nabla a|b> + <a|\nabla b>$$

ceci est du à ($g$ est la metrique et $C$ la contraction) :

$$<a|b> = C_1^3 C_2^4 (g \otimes a \otimes b)$$

La derivée covariantes commute avec la contarction et $\nabla g = 0$, car c la connexion de Levi-Civita :

$$\nabla(<a|b>) = C_1^3 C_2^4 (\nabla g \otimes a \otimes b + g \otimes \nabla a \otimes b + g \otimes a \otimes \nabla b)$$

Donc,

$$\nabla(<a|b>) = C_1^3 C_2^4 (g \otimes \nabla a \otimes b + g \otimes a \otimes \nabla b) = <\nabla a|b> + <a|\nabla b>.$$
22) Sur les coordonnées geodesiques polaires : elles sont définies à partir de la carte exponentielle. Il existe un voisinage du point tel que pour $y \in B(x, \epsilon)$, $z \to \exp_y(z)$ est un diffeomorphisme. On a alors une carte. On définit les coordonnées geodesiques polaires. On s'assure que (lemme de Gauss) :

a)

$$ \frac{d}{dt}(<\nabla_t|\nabla_t>) = \nabla_t(<\nabla_t|\nabla_t>) = 2 <\nabla_t(\nabla_t)|\nabla_t> = 0 $$

Car c'est une geodesique $\nabla_t(\nabla_t) = 0$. Donc, $<\nabla_t|\nabla_t> \equiv cte = \lim_{t \to 0} <\nabla_t|\nabla_t> = 1$, car la carte exponentielle est normale en y.

$$ \nabla_t(<\nabla_t|\nabla_t>) = \frac{1}{2}\nabla_\theta(<\nabla_t|\nabla_t>) = \frac{1}{2}\nabla_\theta(1) = 0, $$

Ici, on utilise le fait que la connexion est sans torsion pour permuter la derivation en t et angulaire. Donc,

$$ <\nabla_t|\nabla_\theta> \equiv cte = \lim_{t \to 0} (<\nabla_t|\nabla_\theta>) = 0 $$

C'est le lemme de Gauss.

On pouvait ecrire $\nabla_{\partial_i}(\partial_j)$ avec $\partial_i, \partial_j \in \{\partial_t, \partial_{\theta_j}\}$.

b) Les geodesiques sont minimisantes, c bien ecrit dans le livre d'Hebey et Gallot-Hulin-Lafontaine, remarquons, comme c ecrit dans le Do Carmo. Pour calculer la longueur d'un chmin passant par l'origine, on prend $\int_{\epsilon}^{1}$, puis on fait tendre $\epsilon$ vers 0. Car les coordonnées geodesiques polaires sont definit en dehors de 0, origine, puis on fait tendre le rayon $r$ vers 0.

c) On voit comme c dit dans le Hebey, que les geodesiques sont minimisantes, l'image de boules ouvertes sont des boules ouvertes, de boules fermees, sont des boules fermees, l'image de spheres, sont des spheres.

Soit, $\tilde{z}$ l'application de $S_{n-1}$ vers $S_{n-1}^r$ définie par $\theta \to r\theta$.

Par définition, pour $h$ une fonction définie au voisinage de $x$ :

$$ \partial_{j,\varphi_0}(h) = \frac{\partial(ho\varphi_0)}{\partial\bar{\theta}_j} = \frac{\partial(ho\exp_x\circ\text{oz}\circ\psi^{-1})}{\partial\bar{\theta}_j} = \frac{\partial(ho\exp_x)}{\partial z_k} \times r \frac{\partial(\psi^{-1})^k}{\partial\bar{\theta}_j}. $$

avec $\varphi_0 = \exp_x \circ\text{oz}\circ\psi^{-1}$.

Ce qu'on peut ecrire :

$$ \partial_{j,\varphi_0}(h) = \frac{\partial(ho\exp_x)}{\partial z_k} \times r \frac{\partial\theta^k}{\partial\bar{\theta}_j}. $$

et,

$$ \partial_{\theta^i,x} = r b_i^k(\theta) \partial_{z^k,x}. $$

On a donc, pour tout $x \in B(x_0, \epsilon_0)$, $[B(x, \epsilon_0), \exp_x^{-1}]$ est une carte normale en $x$. Pour tout $x \in B(x_0, \epsilon_0)$ :

$$ g_{x,ij}(z) = g(z)(\partial_{z^i,x}, \partial_{z^j,x}), $$

où $\partial_{z^i,x}$ est le champ de vecteur locale canonique lié à la carte exponentielle.

On note, $a_i^k(z, x) = \frac{(\varphi \circ \exp_x)^k}{\partial z^i} [\exp_x^{-1}(z)]$, alors, $\partial_{z^i,x} = a_i^k(z, x) \partial_{u^k, \varphi}$,

avec, $\partial_{u^k, \varphi}$, le champ de vecteur canonique relatif à la carte $(\Omega, \varphi)$, ce dernier ne dépend pas du point $x$, contrairement à celui de la carte exponentielle en $x$. Quant aux fonctions $a_i^k$ elles sont $C^\infty$ de $z$ et $x$. On obtient,

$$ g_{x,ij}(z) = g(z)[a_i^k(z, x)\partial_{u^k, \varphi}; a_j^l(z, x)\partial_{u^l, \varphi}] = a_i^k(z, x)a_j^l(z, x)g_{kl}(z), $$

où les $g_{kl}$ sont les composantes de $g$ dans la carte $(\Omega, \varphi)$.

On a, $z = \exp_x(y)$, $y \in B(0, \epsilon_0) \subset \mathbb{R}^n$ et $y = r\theta$ en coordonnées polaires, ainsi, la fonction $(x, r, \theta) \to g_{x,ij}[\exp_x(r\theta)]$ est $C^\infty$ des variables $x, r$ et $\theta$.
D'autre part, par définition, $g_{ij}^k(r\theta) = g_{[\exp_x(r\theta)]}(\partial_{\theta^i,x}, \partial_{\theta^j,x})$, (champs de vecteurs canoniques).

En utilisant le même type de calcul que précédemment, on a,

$$ \partial_{\theta^i, x} = r b_i^k(\theta) \partial_{z^k, x}, $$

avec, $b_i^j$ des fonction très régulières. Donc,

$$ g_{ij}^k(r, \theta) = r^2 g[\exp_x(r\theta)](b_i^k \partial_{z^k, x}, b_j^l \partial_{z^l, x}), $$

d'où,

$$ g_{ij}^k(r, \theta) = r^2 b_i^k(\theta) b_j^l(\theta) g_{x,kl}[\exp_x(r\theta)]. $$

Donc, l'application, $\tilde{g}_{ij}^k : (x, r, \theta) \to b_j^k b_j^l g_{x,kl}[\exp_x(r\theta)]$ est $C^\infty$ des trois variables $x, r$ et $\theta$. On a,

$$ \partial_r \tilde{g}_{ij}^k(x, 0, \theta) = b_i^k(\theta) b_j^k(\theta) c^m(\theta) \partial_m g_{x,kl}(x) = 0, $$

car, la carte exponentielle est normale en $x$ et les $g_{x,kl}$ sont les composantes de $g$ dans cette même carte. On a aussi,

$$ \partial_{\theta^m} \tilde{g}_{ij}^k(x, r, \theta) = \tilde{b}_i^k(\theta) \tilde{b}_j^l(\theta) g_{x,kl}[\exp_x(r\theta)] + r \bar{b}_i^k(\theta) \bar{b}_j^l(\theta) \tilde{c}_m^s(\theta) \partial_s g_{x,kl}[\exp_x(r\theta)], $$

En redérivant en $r$, on obtient,

$$ \partial_r \partial_{\theta^m} \tilde{g}_{ij}^k(x, r, \theta) = u_{ijmr}^{klq}(\theta) \partial_q g_{x,kl}[\exp_x(r\theta)] + v_{ijmr}^{kl}(\theta) w^s(t) \partial_s g_{x,kl}[\exp_x(r\theta)] + r h_{ijrm}^{klst}(\theta) \partial_{st} g_{x,kl}[\exp_x(r\theta)]. $$

Donc,

$$ \partial_r \partial_{\theta^m} \tilde{g}_{ij}^k(x, 0, \theta) = 0, \quad \forall x \in B(x_0, \epsilon_0), \quad \forall \theta \in U^k. $$

Ainsi, on obtient :

$$ \partial_r \tilde{g}_{ij}^k(x, 0, \theta) = \partial_r \partial_{\theta^m} \tilde{g}_{ij}^k(x, 0, \theta) = 0, \quad \forall x \in B(x_0, \epsilon_0), \quad \forall \theta \in U^k. \quad (*) $$

On a la même chose en considérant le déterminant :

Comme, $\sqrt{|\tilde{g}^k|} = \alpha^k(\theta) \sqrt{[\det(g_{x,ij})]}$, on en déduit,

$$ \partial_r(\log \sqrt{|\tilde{g}^k|}) = \partial_r[\log(\sqrt{[\det(g_{x,ij})]})]. $$

Par définition du déterminant et en développant par rapport à ligne 1 par exemple, on obtient,

$$ \det[g_{x,ij}][\exp_x(r\theta)] = \sum \prod g_{x,kl}[\exp_x(r\theta)], $$

d'où,

$$ \partial_r \det[g_{x,ij}](x) = \sum \prod [g_{x,kl}(x)] a^s(\theta) \partial_s g_{x,mn}(x) = 0, $$

Car, la carte exponentielle est normale en $x$.

Finalement,

$$ \partial_r |\tilde{g}^k|(x, 0, \theta) = 0, \quad \forall x \in B(x_0, \epsilon_0), \quad \forall \theta \in U^k. $$

En utilisant le même raisonnement que celui qu'on utilisé pour calculer, $\partial_r \partial_{\theta^m} \tilde{g}_{ij}^k(x, 0, \theta)$, on prouve que,

$$ \partial_r \partial_{\theta^m} |\tilde{g}^k|(x, 0, \theta) = 0. $$

En conclusion,
$$
\partial_r \tilde{g}_{ij}^k(x, 0, \theta) = \partial_r \partial_{\theta^m} \tilde{g}_{ij}^k(x, 0, \theta) = 0 \quad \forall x \in B(x_0, \epsilon_0), \forall \theta \in U^k. \quad (**)
$$

$$
\partial_r |\tilde{g}^k|(x, 0, \theta) = \partial_r \partial_{\theta^m} |\tilde{g}^k|(x, 0, \theta) = 0 \quad \forall x \in B(x_0, \epsilon_0), \forall \theta \in U^k. \quad (***)
$$

$$
\partial_r \partial_{\theta_m} \left[ \frac{\sqrt{|\tilde{g}^k|}}{\alpha^k(\theta)} \right] (x, 0, \theta) = \partial_r \partial_{\theta_m} \partial_{\theta_m'} \left[ \frac{\sqrt{|\tilde{g}^k|}}{\alpha^k(\theta)} \right] (x, 0, \theta) = 0 \quad \forall x \in B(x_0, \epsilon_0), \quad \forall \theta \in U^k. \quad (****)
$$

L'ouvert $U^k$ est choisi de telle manière qu'en le réduisant un peu, il reste un ouvert de carte.

On utilise alors, l'uniforme continuité des dérivées succéssives pour obtenir les résultats de la
proposition 1.

Remarque :

$\partial_r[\log \sqrt{|\tilde{g}^k|}]$ qui est une fonction locale de $\theta$, est la restriction d'une fonction globale, définie sur toute la sphère $\mathbb{S}^{n-1}$ à savoir $\partial_r[\log \sqrt{\det(g_{x,ij})}]$. On notera, $J(x, r, \theta) = \sqrt{\det(g_{x,ij})}$.

23) Le Laplacien en polaires :

Ecrivons le laplacien dans ]0, ϵ₁[×U^k,

$$
-\Delta = \partial_{rr} + \frac{n-1}{r} \partial_r + \partial_r[\log \sqrt{|\tilde{g}^k|}] \partial_r + \frac{1}{r^2 \sqrt{|\tilde{g}^k|}} \partial_{\theta^i} (\tilde{g}^{\theta^i \theta^j} \sqrt{|\tilde{g}^k|} \partial_{\theta^j}).
$$

On a,

$$
-\Delta = \partial_{rr} + \frac{n-1}{r}\partial_r + \partial_r \log J(x, r, \theta)\partial_r + \frac{1}{r^2\sqrt{|\tilde{g}^k|}}\partial_{\theta^i}(\tilde{g}^{\theta^i\theta^j}\sqrt{|\tilde{g}^k|}\partial_{\theta^j}).
$$

Le laplacien s'écrit ( décomposition radiale et angulaire),

$$
-\Delta = \partial_{rr} + \frac{n-1}{r} \partial_r + \partial_r[\log J(x, r, \theta)] \partial_r - \Delta_{S_r(x)},
$$

où $\Delta_{S_r(x)}$ est le laplacien sur la sphère $S_r(x)$.

$\Delta_{S_r(x)}$, s'écrit localement,

$$
-\Delta_{S_r(x)} = \frac{1}{r^2 \sqrt{|\tilde{g}^k|}} \partial_{\theta^i} (\tilde{g}^{\theta^i \theta^j} \sqrt{|\tilde{g}^k|} \partial_{\theta^j}).
$$

On coclut que l'opérateur de droite en θ, dans la première expression du laplacien, n'est que l'écriture locale d'un opérateur global.

On pose, $L_{\theta}(x, r)(\dots) = r^2 \Delta_{S_r(x)}(\dots)[\exp_x(r\theta)]$.

L'opérateur $L_\theta(x, r)$ est un opérateur définie sur les fonctions $C^2(\mathbb{S}_{n-1})$ de manière globale
-il ne dépend pas de la carte choisie sur $\mathbb{S}_{n-1}$ et vaut localement,

$$
L_{\theta}(x, r) = - \frac{1}{\sqrt{|\tilde{g}^k|}} \partial_{\theta^i} [\tilde{g}^{\theta^i \theta^j} \sqrt{|\tilde{g}^k|} \partial_{\theta^j}].
$$

De plus cet opérateur est elliptique, on écrit alors,

$$
\Delta = \partial_{rr} + \frac{n-1}{r} \partial_r + \partial_r[\log J(x, r, \theta)] \partial_r - \frac{1}{r^2} L_{\theta}(x, r).
$$

Si, maintenant, $u$ est une fonction définie sur $M$, alors, $\bar{u}(r, \theta) = u_0 \exp_x(r\theta)$ est la fonction
qui lui correspond en coordonnés polaires centrées en $x$.

$$
-\Delta u = \partial_{rr}\bar{u} + \frac{n-1}{r}\partial_r\bar{u} + \partial_r[\log J(x, r, \theta)]\partial_r\bar{u} - \Delta_{S_r(x)}(u|_{S_r(x)})[\exp_x(r\theta)],
$$
$$
r^2 \Delta_{S_r(x)} (u_{|S_r(x)}} [\exp_x(r\theta)] = -\frac{1}{\sqrt{|\tilde{g}^k|}} \partial_{\theta^i} \left[ \tilde{g}^{\theta^i \theta^j} \sqrt{|\tilde{g}^k|} \partial_{\theta^j} [u_o \exp_x(r\theta)] \right] = L_{\theta}(x, r) \bar{u}.
$$

Ainsi,

$$
-\Delta u = \partial_{rr} \bar{u} + \frac{n-1}{r} \partial_r \bar{u} + \partial_r [\log J(x, r, \theta)] \partial_r \bar{u} - \frac{1}{r^2} L_{\theta}(x, r) \bar{u}.
$$

D'autre part, il est clair qu'en se placent dans la carte exponentielle, on transporte la métrique dans l'espace euclidien. Puis, en considérant les coordonnées géodésiques polaires, on voit que la métrique se decompose suivant les champs de vecteurs radial et angulaires. Comme l'espace se decompose suivant la partie radiale et angulaire sur la sphere, il est clair qu'en considérant les champs de vecteur $\partial_r$, $\partial_{\theta_j}$, on retrouve localement le laplacien radial et angulaire, qui est un laplacien global par la carte exponentielle. On retrouve par l'intermédiaire de la carte exponentielle un laplacien global qu'on decompose en coordonnées géodésiques polaires en partie radiale et angulaire par le lemme de Gauss.

L'opérateur $L_{\theta}(x, r)$ est un laplacien sur $\mathbb{S}_{n-1}$ pour une certaine métrique qui dépend du paramètre $r$.

On a, $\Delta_{S_r(x)} = \Delta_{i_{x,r}^*(g)}$ où, $i_{x,r}$ est l'application identité de $S_r(x)$ dans $M$ et $i_{x,r}^*(g) = \tilde{g}$ est la métrique induite sur la sous-variété $S_r(x)$ de $M$.

Comme $\exp_x$ induit un difféomorphisme de $S_r(x)$ vers $\mathbb{S}_{n-1}^r$, on a :

$$
\Delta_{S_r(x)} u_{|S_r(x)} = \Delta_{i_{x,r}^*(g)} u_{|S_r(x)} = \Delta_{\tilde{g}} u_{|S_r(x)} = \Delta_{\exp_*^*(\tilde{g})} \mathbb{S}_{n-1}^r u_o \exp_x(v),
$$

Soit, $\tilde{z}$ l'application de $\mathbb{S}_{n-1}$ vers $\mathbb{S}_{n-1}^r$ définie par $\theta \to r\theta$. Alors,

$$
\Delta_{\exp_{*}^{r}(\tilde{g})} u_o \exp_x(v) = \Delta_{\tilde{z}^{*}[\exp_{*}^{r}(\tilde{g})]} u_o \exp_x(r\theta),
$$

Pour le choix de la carte $(\psi, U^k)$, sur $\mathbb{S}_{n-1}$, la carte locale en coordonnées polaires pour le point $x$ est, $(\varphi_0, ]0, \epsilon_0[\times U^k)$, où $\varphi_0 = \exp_x o\tilde{z}o\psi^{-1}$. Les $g_{jl}^k$ sont par définition :

$$
g_{jl}^{k}(r, \theta) = g_{\exp_{x}(r\theta)}(\partial_{j,\varphi_{0}}, \partial_{l,\varphi_{0}}),
$$

avec, $\partial_{j,\varphi_0}$, $\partial_{l,\varphi_0}$ les champs de vecteurs canoniques correspondant à la carte $(\varphi_0, ]0, \epsilon_0[\times U^k)$.

Par définition, pour $h$ une fonction définie au voisinage de $x$ :

$$
\partial_{j,\varphi_0}(h) = \frac{\partial(h_o\varphi_0)}{\partial\bar{\theta}_j} = \frac{\partial(h_o\exp_x o\tilde{z}o\psi^{-1})}{\partial\bar{\theta}_j},
$$

Rappelons, qu'on écrit, $\psi(\theta) = (\bar{\theta}_1, \dots, \bar{\theta}_{n-1})$ et $\theta_0 = r$ (dérivations angulaires et radiale).

Si, on s'occupe des composantes angulaires, c'est à dire les champs de vecteurs, $\partial_{j,\varphi_0}$ avec
$1 \le j \le n-1$, $j \in \mathbb{N}$, alors,

$$
\partial_{j, \varphi_0}(h) = \frac{\partial(h_{o i_{x,r} o} \exp_x o \tilde{z} o \psi^{-1})}{\partial \theta_j},
$$

$$
\frac{\partial(h_o\varphi_0)}{\partial\bar{\theta}_j} = \frac{\partial(h_{oi_{x,r}o}\varphi_0)}{\partial\bar{\theta}_j},
$$

Donc, si on note $\bar{\partial}_j$, $\bar{\partial}_l$ les champs de vecteurs canoniques de la sphère par rapport à la carte $(\psi, U^k)$, on obtient, en notant $d$ désigne la différentielle,

$$
\partial_{j, \varphi_0} = d(i_{x,r} o \exp_x o \tilde{z}) (\bar{\partial}_j),
$$

Donc,

$$
g_{jl}^{k}(r, \theta) = g_{\exp_{x}(r\theta)}[d(i_{x,r}o \exp_{x} o\tilde{z})(\bar{\partial}_{j}), d(i_{x,r}o \exp_{x} o\tilde{z})(\bar{\partial}_{l})],
$$

d'où, en utilisant la définition du pull-back,

$$
g_{jl}^{k}(r, \theta) = \tilde{z}^{*}[\exp_{x}^{*}[i_{x,r}^{*}(g)]](\bar{\partial}_{j}, \bar{\partial}_{l}) = \tilde{z}^{*}[\exp_{x}^{*}(\tilde{g})](\bar{\partial}_{j}, \bar{\partial}_{l}),
$$
le dernier terme à droite dans l'expression précédente, n'est que la composante $j, l$, de la métrique $\tilde{z}^*[\exp_x^*(\tilde{g})]$ définie sur la sphère unité $\mathbb{S}_{n-1}$.

Finalement, on peut comparer les expressions locales et globales,

$$ -\Delta_{\tilde{z}^*[\exp_x^*(\tilde{g})], \mathbb{S}_{n-1}} u \exp_x(r\theta) = \frac{1}{r^2\sqrt{|\tilde{g}^k|}} \partial_{\theta^i} [\tilde{g}^{\theta^i \theta^j} \sqrt{|\tilde{g}^k|} \partial_{\theta^j} u \exp_x(r\psi^{-1})], $$

Maintenant, si on prend la nouvelle métrique sur $\mathbb{S}_{n-1}$ définie par,

$$ g_{x,r,\mathbb{S}_{n-1}} = r^{-2} \tilde{z}^*[\exp_x^*(\tilde{g})], $$

cette métrique est bien définie et de plus,

$$ g_{x,r,\mathbb{S}_{n-1}jl} = r^{-2} g_{jl}^k = \tilde{g}_{jl}^k, $$

Nos raisonnements futurs se ferons avec $r > 0$. On obtient,

$$ \Delta_{g_{x,r,\mathbb{S}_{n-1}}} = r^2 \Delta_{\tilde{z}^*[\exp_x^*(\tilde{g})], \mathbb{S}_{n-1}} = L_{\theta}(x, r). $$

**Remarque :** Dans le cas plat, un ouvert de $\mathbb{R}^n$, on n'a pas besoin de tout cela. Dès qu'on a une boule, on peut définir les coordonnées polaires. On ecrit $x = a_i + r\theta$ en polaires. Alors, on passe aux différentielles, on obtient : $dx = dr\theta + rd\theta$ et quand on prend la norme euclidienne, $dx^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2$, on voit bien que $d\theta^2$ est la métrique euclidienne restreinte à la sphere, qui est la métrique de la sphere. On obtient alors la formule du Laplacien en polaires dans le cas euclidien, un ouvert de $\mathbb{R}^n$ (formule usuelle dans des cartes, ici, la carte polaire, $(r, \theta)$). $(\Delta = \partial_{rr} + \frac{n-1}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \Delta_{\theta}, \Delta_{\theta}$ est la laplacien de la métrique de la sphere $d\theta^2 = g_{ij}(\theta)d\theta^i d\theta^j)$.

### 24) Sur les fonctions Green :

Le monograph de Druet-Hebey-Robert est assez clair et precis. On donne quelques explications sur les fonctions de Green et sur le fait que le dernier terme dans la decomposition de cette fonction est de classe $C^1$. C'est essentiellement du au fait que le premier terme est donné explicitement et on utilise une recurrence pour prouver que les termes dela decompostion sont Sobolev et continues en dehors de la digaonale. (Ou bien comme dans le monograph de Druet-Hebey-Robert, on fait la difference des fonctions en deux points et on remarque qu'on a des fonctions Lipschitziennes, Notons comme c'est ecrit dans Ambrosio-Fusco-Pallara,pour pouvoir savoir si une fonction est Sobolev, il suffit qu'on ait des derivees directionnelles).

Les fonctions qu'on considere sont continues en dehors d'un ensemble de mesure nulle (un point ou la diagonale). Elles sont mesurables. Elles sont integrables par les theoremes de comparaisons.

Soit $(\bar{W}, g)$ une variété Riemannienne compacte avec ou sans bord. Dans le cas sans bord, on la note $(M, g)$.

Soit $H$ la fonction définie comme dans le livre d'Aubin. Cette fonction ne depend pas de la fonction rayon d'injectivé dans le cas d'une variété compacte sans bord. Elle depend (à gauche en P) du rayon d'injectivé dans le cas d'une variété à bord. On sait que la fonction rayon d'injectivité est continue sur $\bar{W}$ avec $\delta(P) \le d(P, \partial W)$, on peut alors la prolonger par 0 sur $\partial W$. Alors $\delta(P)$ est continue sur $\bar{W}$.

On pose :

$$ \Gamma_1(P, Q) = -\Delta_Q H(P, Q), \quad \Gamma_{i+1}(P, Q) = \int_W \Gamma_i(P, R)\Gamma_1(R, Q)dR. $$

Alors,

$$ |\Gamma_1| \le C[d(P, Q)]^{2-n}. $$

Explicitement et par recurrence les $\Gamma_i$ sont continues en dehors de la diagonale et pour $P$ ou $Q$ proche du bord, elles sont nulles (conditions au bord). On les prolonge par 0 au bord. Par le theoreme de la convergence dominee de Lebesgue, on prouve qu'elles sont $W^{1,\infty}$ en dehors de la diagonale en $Q$ car elles sont Sobolev est leur derivees bornees. La fonction $d(P, Q) = d_P(Q)$
est reguliere en $Q$ en dehors de $P$ et en fixant $Q$ elle est Lipschitzienne en $P$, on alors le fait que $(R, Q) \to \partial_Q dR(Q)$ est continue en dehors de la diagonale et $L_{loc}^\infty$. Donc, par le theoreme de convergence dominee (enlever de petites boules) $\Gamma_i * \partial_Q \Gamma_1$ et $\Gamma_i * \partial_Q H$ sont $C^0$ en dehors de la diagonale. Donc, les $\Gamma_i$ et $\Gamma_i * H$ sont $C^1$ en dehors de la diagonale.(Le point essentiel est la fonction distance).(Concernant la fonction distance, $(R_i, Q) \to d(R_i, Q) = d(R_i, \exp_{R_i}(r\theta))$, $Q = \exp_{R_i}(r\theta)$, $\epsilon_0/2 \le r \le \delta(R_i)/3$, $\theta \in \mathbb{S}_{n-1}$ et la carte de reference est $[B(R_0, \delta(R_0)/3), \exp_{R_0}]$ avec $R_i \to R_0$. On voit alors qu'en coordonnes geodesiques polaires centrees en $R_i$ un calcul de $\Delta_{g,Q}d(R_i, Q) \in L^\infty$ et $d(R_i, \cdot) \to d(R_0, \cdot)$ et par les estimations elliptiques on a $\partial_Q d(R_i, Q) \to \partial_Q d(R_0, Q)$ pour $d(R_i, Q) \ge \epsilon_0 > 0$.)

Dans le cas où $W = M$ sans bord :

D'après sa formule explicite $H$ est $C^1$ en dehors de la diagonale. Elle est $W^{1,1+\epsilon}$ de chaque variable pour un $\epsilon > 0$ assez petit, par recurrence et par Fubini, Fubini-Tonnelli :

$$ \partial_P \Gamma_{i+1}(P, Q) = \int_M \partial_P \Gamma_i(P, R) \Gamma_1(R, Q) dR, $$

et,

$$ \partial_Q \Gamma_{i+1}(P, Q) = \int_M \Gamma_i(P, R) \partial_Q \Gamma_1(R, Q) dR. $$

Pour une varieté avec bord, on ne peut pas deriver par rapport $P$, car l'expression de $\Gamma_i$ et en paticulier de $\Gamma_1$ contient $\delta_P$ qu'on sait seulement continue et pas forcement differentiable. Dans le cas avec bord, les fonctions $\Gamma_i$ sont continues en $P$ en dehors de la diagonales et $L^{1+\epsilon}$, $\epsilon > 0$ seulement, mais ceci suffit pour prouver la symetrie par le theoreme d'Agmon)

On a aussi, les estimees de Giraud. Ainsi de proche en proche, les $\Gamma_i$ deviennent de plus en plus regulieres. on utilise le theoreme de Giraud pour prouver que $\Gamma_k = r^{\lambda-n} * r^{2-n}$ avec $\lambda + 2 > n$ (donc $\ge n+1$ car $\lambda$ est entier puisqu'on derive les $\Gamma_i$). ( Si $\lambda > n-1$ ($\lambda \ge n$) c'est fini (on regarde $\Gamma_{k-1}$), si $\lambda = n-1$ alors : $\Gamma_k = r^{-1} * r^{2-n}$ et $\partial_P \Gamma_k = r^{-2} * r^{2-n}$ et $\partial_Q \Gamma_k = r^{-1} * r^{1-n}$ qui est en log par Giraud et donc $\partial_P \Gamma_{k+1}$ et $\partial_Q \Gamma_{k+1}$ sont $C^0(M \times M)$ par Giraud et donc $\Gamma_{k+1}$ est $C^1(M \times M)$. (Utiliser le produit de convolution, car $\Gamma_{k+1}$ et sa derivée Sobolev, est continue pour ecrire qu'elle est $\int \partial_P$, l'integrale d'une fonction continue donc $C^1$, il a convergence uniforme de la convolution, car la fonction et son Sobolev sont continues). Dans le cas avec bord, $\Gamma_k$ continue implique que $\Gamma_{k+1}$ est $W^{1,\infty}$ en $Q$. (On a mieux $C^1$ en $Q$ car la fonction $(R, Q) \to \partial_Q d(R, Q)$ est $C^0$ en dehors de la diagonale de $W$ et $H$ est a support compact (elle s'annule avant le bord) et donc $(\Gamma_k * \partial_Q H)$ est $C^0$ en dehors de la diagonale de $\bar{W}$)).

Dans le cas d'un operateur $-L = -\Delta + h$, la regualrite de $\Gamma_{k+1}$ depend de celle de $h$. Si par exemple $h$ est $C^1$ alors comme precedemment $\Gamma_{k+1}$ est $C^1$ de $P$ et $Q$. Bien sur le $\Gamma_1$ change :

$$ \Gamma_1(P, Q) = -\Delta_Q H(P, Q) + h(Q)H(P, Q). $$

**Remarque :** a) sur la borne inferieure de la fonction de Green $G_\epsilon$ de $-\Delta + \epsilon = -\nabla^i(\nabla_i) + \epsilon$, $\epsilon > 0$.

1) On a $G_\epsilon \ge 0$ donc par la propriété de la borne inferieure $m_\epsilon = \inf_{M \times M} G_\epsilon$ existe.

2) Par definition $m_\epsilon = \lim_{\delta \to 0} G_\epsilon(x_\delta, y_\delta)$. Si on suppose que $d(x_\delta, y_\delta) \to 0$, par la propriété du monograph de Druet-Hebey-Robert, $m_\epsilon = +\infty$, ceci n'est pas possible et Comme $G_\epsilon$ est continue en dehors de la diagonale. $m_\epsilon = G_\epsilon(x_\epsilon, y_\epsilon)$ avec $x_\epsilon \ne y_\epsilon$.

Si on met un indice $i$, alors on peut supposer que, $G_i = G_{\epsilon_i}$ :

$$ \inf_{M \times M} G_i = m_i = G_i(x_i, y_i), \quad x_i \ne y_i, $$

Apres, on peut raisonner sur la borne inferieure globale sur tout $M \times M$, au lieu de prendre l'inf sur $M$ en $x$ puis en $y$.

b) sur les fonctions de Green des variétés à bord. on remarque que par exemple que pour les varietes à bord, la parametrix est solution d'une EDP elliptique en dehors de la singularité, on utilise les theoremes d'Agmon et de regularité dans la construction complete de la fonction de Green dans le cas des varietes à bord, voir le monograph de F.Robert, c'est essentielement l'utilisation des noyaux, la formule sommatoire et les théorèmes d'Agmon.
25) Sur la formule de Gauss-Bonnet :

C'est bien écrit dans le livre de J.Lafontaine, édition 2010.

1) relation entre l'indice d'un champ de vecteurs et la courbure de Gauss.

2) relation entre indice d'un champ de vecteur, fonction de Morse et caractéristique d'Euler-Poincaré.

On a une surface riemannienne compacte sans bord $(M, g)$.

On part d'un champ de vecteur $X$ ayant des zeros. On considère le normalisé $X_1 = X/||X||$, il n'est pas definit aux zeros de $X$. Puisqu'il y a produit scolaire, on considère $X_2$ son orthoganle de sorte qu'on ait un repere orthonormé.

$(X_1, X_2)$ est un repere mobile ou "moving-frame". On a une connexion, donc on a de nouveaux symboles de Christoffel et une connexion forme $\omega$. de sorte que $d\omega = \Omega$ la courbure. celle-ci n'est pas définie aux zeros de $X$, puisqu'on considère $X_1$ et on divise par $||X||$.

(Comme on l'a dit pour la surface $K^3$, on a une connexion $\Rightarrow$ symboles de Christoffel $\Rightarrow$ connexion forme (par dualité). Puis on derive $d\omega$ on retrouve la courbure ou forme volume par dualité. C'est bien écrit dans le livre de J. Lafontaine quand il considère $\nabla_{X_i}(X_j)$. Dans certains livres on note $\omega = \omega_1^2$. On peut le voir comme : quand on calcule $\nabla_i dx^j = -\Gamma^j_{ik} dx^k$ pour les champs de vecteurs et les formes différentielles usuelles, ici pour $X$ la forme $\omega$, on calcule $\nabla_X \omega_i = -\omega_i^k(X) \omega_k$, changements de bases, nouveaux symboles de Christoffel.)

Mais au voisinage des zeros on a une carte (canonique si on veut, normalisé) et le passage des champs issus de cette carte notés $(Z_1, Z_2)$ à $(X_1, X_2)$ se fait via un champ de rotations $R = e^{i\varphi}$ (plus précisement de $Z_1$ à $X_1$, on voit bien que $X_1 = e^{i\varphi}Z_1$ se contracte vers un vecteur du type $e_1 \times e^{i\varphi}$ car $Z_1$ est definit sur un voisinage de la singularité et qu'on peut le contracter en un vecteur fixe). (On voit ici que $R$ est homotope à $X_1$). On note $\omega_0$ la connexion forme pour ce repere mobile ou "moving-frame" $(Z_1, Z_2)$. Alors on a la relation :

$$ \omega = \omega_0 - d\varphi. $$

Avec, $\omega_0$ définie au voisinage de la singularité contrairement à $\omega$. (on peut passer à la limite dans la formule de Stokes, voir ci-dessous).

La rotation $R$ est homotope au champ $X_1$ donc : on a le même degré topologique.

$$ \deg(R) = \deg(X_1). $$

Or,

$$ \deg(R) = \deg(\text{rotation}) = \int d\varphi, $$

et par définition,

$$ \deg(X_1) = \text{indice}(X). $$

(Pour une fonction de Morse $f$, on considérera $X = \nabla f$ et l'indice se calcule explicitement dans une carte particulière, car il ne dépend pas de la carte).

Maintenant la formule de Stokes donne, c'est bien écrit dans le Lafontaine :

$$ \int \Omega = \int d\omega = \int \omega \to \int d\varphi = \text{indice}(X). $$

Ceci pour la relation entre courbure et indice de champs de vecteurs. (c'est lié à la connexion forme, qui induit la courbure et qui est produite par le repere mobile issu de $X$).

Maintenant un theoreme, voir le Gramain ou Hirsch (Differential Topology), dit que sur une surface compacte, il y a une fonction de Morse $f$. On applique, ce qui précède à $\nabla f$. Ceci revient à calculer un nombre lié aux différents indice le la fonction de Morse et qui est bien détaillé dans le livre de Hirsch (Differential Topology). Ceci revient à calculer l'homologie d'un complexe cellulaire et qui donne la caractéristique d'Euler-Poincaré.

Pour ce qui est du calcul de la caractéristique d'Euler d'une somme connexe. C'est bien connu. Voir aussi dans le livre de J. Lafontaine.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
26) Equation de Liouville : Pourquoi, lorsque la courbure de Gauss d'une surface est constante, $K$ alors $K > 0$ la surface est localement isometrique a la sphere (un ouvert de la sphere), $K = 0$ elle est isometrique au plan (un ouvert du plan), $K < 0$ elle est isometrique a un ouvert de l'espace hyperbolique ?

En effet soit $S$ une surface de metrique $g$, alors, on peut definir des coordonnées geodesiques polaires, $(r, \theta)$, dans ses coordonnés $g = dr^2 + G(r, \theta)d\theta^2$. Alors la courbure de Gauss vérifie l'équation différentielle suivante $\partial_{rr}(\sqrt{G}) + K\sqrt{G} = 0$, avec les conditions a l'origine $\sqrt{G}(0, \theta) = 0$ et $\partial_r(\sqrt{G}(0, \theta)) = 1$. Clairement lorsque $K$ est une constante, cette equation différentielle s'integre facilement et donne la metrique de la sphere ou du plan ou du plan hyperbolique. (($\sin r)^2$, ou $r^2$ ou $(\sinh r)^2$).

Si on note $\varphi : (r, \theta) \to \exp_x(r\theta)$, la carte definissant les coordonnées geodesiques polaires pour la surface $S$, on ecrit alors, $\varphi^*(g) = dr^2 + G(r, \theta)d\theta^2 = \psi^*(g_0)$, avec $\psi$ la carte définissant les coordonnees geodesiques polaires, selon qu'on soit sur la sphere, le plan, ou le plan hyperbolique (a partir de la carte exponentielle, $\psi : (r, \theta) \to e^{\tilde{\phi}}\psi_y(r\theta)$).

Alors, $\varphi, \psi$, qui sont des cartes, sont des diffeomorphisme avec $(\varphi\circ\psi^{-1})^*(g) = g_0$ et $\varphi\circ\psi^{-1}$ est l'isometrie cherchée.(Par exemple si $K > 0$, $\varphi : \Omega_1 \subset S \to ]0, r_0[\times]a, b[, ]a, b[\subset \mathbb{S}_1$ et $\psi : \Omega_2 \subset \mathbb{S}_2 \to ]0, r_0[\times]a, b[, ]a, b[\subset \mathbb{S}_1$, sont deux cartes dont les images sont les memes dans $]0, r_0[\times]a, b[, ]a, b[\subset \mathbb{S}_1$ et $\psi^{-1}\circ\varphi : \Omega_1 \subset S \to \Omega_2 \subset \mathbb{S}_2$).

27) Sur le flot de Ricci et la conjecture de Poincaré : l'idée est qu'on déforme une metrique, a partir de l'équation du flot de Ricci pour obtenir une metrique de courbure de Ricci strictement positive, puis on réutilise le flot de Ricci pour deformer la metrique pour obtenir une metrique de courbure sectionelle constante positive, (la variété est simplement connexe et compacte), elle est alors diffeomorphe a la 3-sphere :

a) On part du Resultat de Gao et Yau ou Lohkamp, il existe toujours une metrique de courbure de Ricci strictement negative. Puis on utilise le flot de Ricci.

b) Par le blow-up et les estimations de Hamilton, on deforme la metrique pour obtenir une metrique de courbure de Ricci positive ou nulle (blow-up, a la limite). Ici, c'est dit dans le monograph de John-W Morgan et Gang Tian (Ricci flow and The Poincaré conjecture), on étend petit a petit le flot de Ricci par chirurgie (le travail de Perlman). La conjecture de Geometrisation. On passe d'une variété de courbure negative strictement à une variété de courbure positive ou nulle. (on change de metrique). (heuristiquement, si on note $R_k = \max R_t$ avec $R_t$ la courbure scalaire, en divisant par $R_k$, on aurait, $Ricci < b(n) < 0 \Rightarrow \frac{Ricci}{R_k} > \frac{b(n)}{R_k} \to 0$, si $k \to +\infty$. En faisant le blow-up, a) on change d'échelle, b) il faut "recoller" les morceaux a la limite, pour avoir une variété et une metrique reguliere qui sera de courbure sectionelle positive ou nulle, c) la variété en question est notée $\mathbb{M}$ de metrique $g$, dependant du temps et de l'espace et obtenue par chirurgie (à la limite), telle que $\mathbb{M}(0) = \mathbb{M}_{\infty}(0) = M$ et $g(0) = g_{\infty}(0)$, avec $M$ la variété de départ sur laquelle on a une nouvelle metrique, $g(0) = g_{\infty}(0)$ de courbure positive ou nulle.)

(Dans le cas blow-up avec $R_k \not\to +\infty$, voir l'article de Hamilton, référence 36 dans Morgan-Tian, on ne peut pas avoir collapse par les théorèmes de comparaison, voir Morgan-Tian (derniers chapitres, 15-16-17), on ne peut pas avoir $(0 \neq \pi_1(H_1) \subset \text{ou } \pi_1(M) = 0)$, $H_1$ non compacte est diffeomorphe à $M$ qui est compacte, ce n'est pas possible, voir l'article de Hamilton, référence 36 de Morgan-Tian et on obtient alors la convergence. Notons le flot de Ricci ici est défini sur $(0, +\infty)$, sinon, on l'étend petit a petit, comme pour le Theoerme des equations différentielles, de Cauchy, ou le Theoreme des Geodesiques avec en plus le tenseur de *Riemann* uniformement borné (derniers chapitres de Morgan-Tian, pour la non collapse et donc convergence dans ce cas $R_k \not\to +\infty$). C'est ce qu'on a ecrit avant, dans l'écriture ci-dessus entre *Ricci*, $R_k$, $b(n)$, c'est la convergence vers une metrique de courbure de $Ricci > 0$ partout.)

c) Dès qu'on a une metrique de courbure de Ricci positive ou nulle, elle doit etre strictement positive quelque part, car comme on est en dimension 3 ($Weyl = 0$), si $Ricci = 0$, la variété ne peut pas être compacte, car elle serait de courbure sectionelle nulle et simplement connexe, elle serait difféomorphe à $\mathbb{R}^3$ (On a $\textit{Riemann} \geq 0$. Si $\textit{Riemann} = 0 \Rightarrow \textit{Ricci} = 0$ la variété compacte $M$ serait diffeomorphe à l'espace euclidien, ce n'est pas possible. Donc $\exists x_0$ tel que $\textit{Riemann}_{x_0} \neq 0$ et $\geq 0$, en utilisant les valeurs propres de $\textit{Riemann} \geq 0$ qui devient alors symétrique (Voir Morgan-Tian), il y a au moins une valeur propre $\lambda_{x_0} > 0$, comme $Ricci_{x_0} =$
trace(Riemann$x_0$) alors, (la trace ne depend pas de la base), Ricci$x_0$ = $\lambda_{x_0}$ + $\mu_{x_0}$ + $\nu_{x_0}$ ≥ $\lambda_{x_0}$ > 0 et donc, Ricci$x_0$($\theta$, $\theta$) > 0, ∀$\theta$ ∈ S₂). Par un argument d'Aubin, il existe une métrique conforme telle que la courbure de Ricci est partout strictement positive.

d) On conclut grâce au travail de Hamilton, on déforme la metrique par le flot de Ricci jus-
qu'a obtenir une metrique de courbure sectionnelle constante positive. la variété est simplement
connexe et compacte, c'est la 3-sphere.

28) Sur l'article de Chen-Li :

On a aussi la compacité globale de Chen-Li, cité dans la section 4.1. Le résultat de Chen-Li
utilise le fait qu’on a compacité au voisinage du bord lorsque $||\nabla \log V|| \le A$, puis il etend
ce résultat lorsque $||\nabla V|| \le A_1$, pour cela il utilise l’extension des résultats de Brezis-Merle
(Theorem 1 de Brezis Merle), qui reste vrai dans des domaines Lipschitzien dès qu’on a la
regularité des solutions dans $W_0^{1,2}$, car le principe du maximum est valable dans ce cas (on utilise
l’integration par parties, qui est vrai des que la regularité du bord est Lipschitzien. Pour l’inegalité
de Sobolev aussi et la resolution d’un problème variationnel dans $L^2$. Lipschitz suffit). Ceci pour
la fonction $u_2$ du début de preuve de Chen-Li. (et aussi l’extension des fonctions harmoniques
et la formule de Poisson, pour $u_1$ qui necessite une application conforme). Voir la preuve du
corollaire de l’article de Chen-Li.

(Voir l'article de Sweers-Nazarov. Journal.Diff.Equations. 2007. Pour les conditions de régularité $W^{2,p}$ des problemes sur des ouverts Lipschitziens.)

Remarque sur la preuve de Chen-Li : pour etendre la partie $u_1$ harmonique, il faut supposer le domaine analytique, pour pouvoir utiliser une transformation conforme qui reste invariante par le Laplacien. Principe de symetrisation de Schwarz. Donc, le résultat de compacité reste vrai avec la regularité smooth, lorsque on suppose $||\nabla \log V|| \le A$. Mais la regularité du domaine doit être supposée analytique lorsqu'on passe à $||\nabla V|| \le A_1$.

Dans leur preuve Chen-Li, utilisent le fait que l'operateur est invariant par application de carte, ceci est possible si cette application est conforme, elle preserve le Laplacien. Puis, symétrise la fonction en symetrisant un problème de Dirichlet, puis soustrayent les valeurs aux bords et ils obtiennent l'image de $v_1$. Alors $u_1$ est l'image de $v_1$ par l'application de carte. Maintenant pour construire $v_1$ ils utilisent une symetrisation d'un problème de Dirichlet, qui requiert les solutions dans $W^{2,p} \cap C^2(B_\epsilon) \cap C^1(\bar{B}_\epsilon)$, $p > 2$ (la formule de representation de Green reste valable, dans ce cas, voir la preuve dans Gilbarg-Trudinger). Puis, ils utilisent la formule intégrale de Poisson (qui nécessite d'avoir l'operateur Laplacien).

a) Pour utiliser la formule de Poisson, on conserve le Laplacien : transformation conforme $\varphi$.

b) Ils symetrisent $uo\varphi$ ils obtiennent une fonction $u_v \in C^1(\bar{B}_\epsilon(0)) \cap W^{2,p}$.

c) Ils resolvent : $-\Delta v_1 = -\Delta u_v$ avec condition de Dirichlet sur $B_\epsilon(0)$.

d) Ils utilisent la formule intégrale de Poisson pour $v_1 - u_v \in W^{2,p} \cap C^2(B_\epsilon) \cap C^1(\bar{B}_\epsilon)$, $p > 2$. Sur le bord, il n'y a que les valeurs de $u$.

(Ce travail revient à symmetrer une fonction harmonique qui nécessite le theoreme de symé-
trisation de Schwarz , qui necessite une application conforme, donc un domaine de depart Ω
analytique).

Remarque : sur le fait que la régularité du domaine dans (De Figueiredo-Lions-Nussbaum et Chen-Li) est au moins $C^{2,\beta}$, $\beta > 0$. Soit $\alpha_y = < \nu_1|\nu(y) >$, l'angle avec la normale qui doit être > 0, avec $y \in \partial\Omega$, qu'on devrait obtenir pour appliquer la méthode moving-plane. Ici, $\nu(y)$ est la normale au bord en $y$: Pour définir l'angle, il suffit d'avoir une tangente a la courbe de $y \to \nu(y)$, et donc une dérivée de $\nu(y)$, (l'application de carte $\varphi$ est au moins deux fois dérivable). Pour avoir une branche continue de 'cones', il suffit que $y \to (\nu(y))'$ soit continue, (l'application de carte $\varphi$ est $C^2$, $\varphi''$ continue). Pour que l'angle $\alpha_y > 0$ soit strictement positif, il suffit que la tangente a la courbe de $\nu(y)$ soit non nulle, il suffit alors d'avoir la regularité $C^{0,\beta}$, $\beta > 0$ de la tangente (forme arrondie : continue et arrondie : $C^{0,\beta}$). (Donc, il suffit que l'application de carte soit $C^{2,\beta}$, $\beta > 0$).

29) Sur l'article de C.C. Chen et C.S. Lin : (Comm. Pure. Appli. Math. 1997) :

1) Application du principe du maximum et le lemme de Hopf

2) Fonction auxilière pour attenuer la perturbation due à la variation de la courbure scolaire prescrite et les conditions aux bords.
3) Ils s'assurent de la positivité de la fonction finale obtenue comme somme d'une fonction et la fonction auxilière. La positivité sert dans le raisonnement par l'absurde quand on prend le sup des $\lambda$ tel que ..., le fait de prendre un sup signifie qu'au dela du sup les fonctions sont negatives ou nulles en des points, les conditions dans cet articles assurent que le point limite reste dans le domaine (car les fonctions sont strictement positives au voisinage du bord), ils appliquent le principe du maximum et (ou) le lemme de Hopf au point limite (point minimum, on peut parler de principe du minimum ou principe du maximum). (raisonnement par l'absurde ($\sup \lambda < \lambda_1 = -1/4$) et application du principe du maximum et le lemme de Hopf au point limite qui est censé etre à l'interieur du domaine).

De plus, les fonctions $h_\lambda$ sont $C^1$, pour le voir, elles sont definies par la representation integrale de fonction de Green, elles verifient au sens des distributions et d'Agmon $C_0^2$, une EDP, ici aussi on utlise Fubini, Fubini-Tonelli et les definitions des fonctions de Green au sens $C_0^2$ pour les fonctions test, pour se ramener au Theoreme d'Agmon et conclure que $h_\lambda$ sont $C^1$. (Ecrire $\Delta(h^\lambda - h^\mu) = \hat{Q}_\lambda - \hat{Q}_\mu$, pour la continuité en $\lambda$). Aussi, $h^\lambda \ge 0$ sont nulles au bord $\Rightarrow \partial_{x_1} h^\lambda \ge 0$ et par le lemme de Hopf $\partial_\nu(w_\lambda - h^\lambda) < 0$, (principe du minimum), avec $\partial_\nu = -\partial_e = -\partial_{x_1}$, donc, $\partial_{x_1} w_\lambda > \partial_{x_1} h^\lambda \ge 0$).

4) pour prouver que les courbures prescrites sont nulles au point "blow-up", ils utilisent un raisonnement du type $K(y) = \int_0^1 < \nabla K(y_i + sM_i^{-2/(n-2)}I_\delta(y))|M_i^{-2/(n-2)}I_\delta(y) > ds$ puis font la difference :

$$ K(y) = \int_0^1 < [\nabla K(y_i + sM_i^{-2/(n-2)}I_\delta(y)) - \nabla K(y_i)]|M_i^{-2/(n-2)}I_\delta(y) > ds + M_i^{-2/(n-2)} < \nabla K(y_i)|I_\delta(y) > $$

a) Dans le premier ensemble $I_\delta(y)$ est borné car $y$ est borné, et son symetrisé aussi, car $\lambda_0 \le \lambda \le -1/4$.

b) Dans la preuve de l'estimation asymptotique $M_i^{2/(n-2)}|\nabla K_i(y)|^{1/(\alpha-1)} \le C$, on utilise le raisonnement ci-dessus des que le gradient est holderien ou $C^2$. (comme la difference ci-dessus et un raisonnement du type $|\nabla K(y_i + M_i^{-2/(n-2)}I_\delta(y)) - \nabla K(y_i)| \le BM_i^{-2\alpha/(n-2)}|I_\delta(y)|^\alpha$ dans la formule de Taylor integrale (ci-dessus). Et apres les integrales du type Giraud. Dans la partie qu'ils considere, les $M_i^{-2/(n-2)}I_\delta$ sont bornées.

30) Sur le probleme de Brezis-Merle : Pourquoi la condition sur le potentiel $V$ est $W^{1,\infty}$ pour obtenir la compacité des solutions $u > 0$ ?

1) On a $e^u$ et le potentiel $V$ sont liés par dualité $\int V e^u < +\infty$, $e^u \in L^1, V \in L^\infty$. on considere le potentiel $V$ comme une forme lineaire, une distribution et donc de possibles derivées (entieres).

Par dualité et le fait qu'on considere le probleme de maniere globale : on a : la condition maximale et globale $e^u \in L^1 = W^{0,1}$, par dualité des Sobolev, le minimum requis pour le potentiel $V$ est $W^{1,\infty}$. Si on veut diminuer la régularité de $V \in W^{1-s,\infty}$, $1 > s > 0$, qui est presque l'espace $(1-s)$-holderien, alors par dualité, $e^u$ doit etre $e^u \in W^{s,1} > W^{0,1} = L^1$, or la condition $e^u \in L^1$ est maximale.

a) $e^u \in L^1 = W^{0,1}$ : pas de derivée pour $e^u$ et $e^u \in L^1 \Rightarrow$ au moins une derivée pour $V$ et $V, \nabla V \in L^\infty \Leftrightarrow V \in W^{1,\infty}$ au minimum :

b) Si on veut diminuer la régularité de $V$ et utiliser la dualité et l'integration par parties, on part aussi du fait qu'on a la compacité pour $V \in W^{1,\infty}$ :

$$ \int \nabla V \cdot e^u < +\infty \Rightarrow \int \nabla^{1-s} V \cdot \nabla^s (e^u) < +\infty \Rightarrow e^u \in W^{s,1} > W^{0,1} = L^1, \text{ or la condition } e^u \in L^1 \text{ est maximale.} $$

2) Le cas holderien depend du point et du nombre de points, il est local. On a la compacité avec $\int V e^u \le bC < 16\pi$ ou $\int V e^u \le bC < 24\pi$ et $V$ holderien uniformement. Brezis et Merle donnent des exemples de $(u, V)$ qui blow-up avec $\int V e^u \le bC < 16\pi$ ou $\int V e^u \le bC < 24\pi$.

31) **Remarques** : Du point de vue de la logique mathématique (donc du point de vue mathématique), sur le blow-up et la compacité en dimension 2 et concernant l'article de Wei-Ye-Zhou (dans An- nales de l'IHP, 2008) :
i) On donne des conditions pour qu'un raisonnement blow-up au bord soit possible (En plus, il y a des exemples comme celui de Brezis-Merle).

ii) On donne des conditions pour que le raisonnement mis en defaut par Wei-Ye-Zhou (voir point, iv, ci-dessous), de compacité soit possible.

iii) On donne des conditions pour qu'un raisonnement par l'absurde soit possible.

iv) Dans Wei-Ye-Zhou (Annales de l'IHP, 2008), lorsque $a = \text{constante}$ au voisinage du bord, les solutions sont bornées au voisinage du bord, par la méthode directe, moving-plane, de, De Figueiredo-Lions-Nussbaum (sous-critique, 1982), Suzuki (1990), Chen-Li(1993) et Ma-Wei(2001), (Ma-Wei, en donnent une nouvelle preuve directe, dans convergence for Liouville Eq.). Il n'y a pas d'analyse blow-up a faire. Il n'y a pas de raisonnement par l'absurde à faire. Et dans la compacité, on obtient à la limite $0 = 0$, dans l'identité de Pohozaev-Rellich, ce qui ne veut rien dire.

(Assertion, $A : \exists U$ un voisinage du bord $\partial\Omega$, $\exists C > 0$, pour toute solution $u > 0$ de l'Eq avec condition de Dirichlet, $||u||_{L^\infty(U)} \le C$. Wei-Ye-Zhou disent que $A$ est vraie, ils ne peuvent pas supposer $\text{non } A$ vraie, ils ne peuvent pas faire un raisonnement par l'absurde)

(Argument supplémentaire à l'article de Wei-Ye-Zhou (Annales de l'IHP, 2008) : Lorsqu'on met un potentiel $V : \text{l'analyse blow-up est possible. Par contre la compacité, elle est donnée par Chen-Li, dans le cas } V \text{ Lipschitzien, par la méthode directe, moving-plane. Il n'y a pas de raisonnement par l'absurde à faire. Dans la compacité, qui nécessite } V \text{ Lipschitzien, dans Wei-Ye-Zhou, on obtient à la limite } 0 = 0, \text{ ce qui ne veut rien dire.)}

Ceci dans le cas $a = \text{constante}$ au voisinage du bord et le potentiel constant. Wei-Ye-Zhou, mettent en defaut ce raisonnement par l'absurde. On donne des conditions pour que le raisonnement par l'absurde soit possible.

Dans le cas $a \neq \text{constante}$, au voisinage du bord et le potentiel constant (le but de l'article de Wei-Ye-Zhou, Annales de l'IHP, 2008), la preuve n'est pas correcte, ce qui veut dire que le raisonnement par l'absurde n'est pas possible.

Concernant l'article : Note on the Chen-Lin result with the Li-Zhang method. Là aussi, on dit que le raisonnement par l'absurde est possible. C'est ce que prouvent Chen-Lin.

L'assertion : $(A : \sup + \inf < +\infty)$. Alors : $(\text{non } A : \sup + \inf \to +\infty)$.

Chen-Lin font :

Étape 1 : $(\text{non } A : \text{fausse})$ (Chen-Lin).

Étape 2 : $(\text{non } A : \text{fausse}) \Rightarrow (A : \text{vraie})$.

Dans, Note on the Chen-Lin result with the Li-Zhang method : on dit que l'étape 1 est vraie ou possible ; ($(\text{non } A : \text{fausse}) : \text{vraie}$).(hypothèse $\text{non } A : \text{vraie}$, implique contradiction). Le raisonnement par l'absurde est possible dans Chen-Lin.

Pour revenir à l'article de Wei-Ye-Zhou :

1) Supposons qu'on puisse définir ou considérer, $v$, la symétrisée de Schwarz par rapport à l'axe des ordonnées de $u$. Alors, $v$ et ses derivées successives à droites et à gauche sont bornées. De plus $v$ est solution au sens des distributions :

$$-\Delta_{\text{distr}} v = W e^{|v|} = \text{Heaviside}$$

On se place au voisinage de 0. Si on derive une fois par rapport à la première variable, $\partial_1 v$ est solution au sens des distributions, un dirac sur l'axe des ordonnées :

$$-\Delta_{\text{distr}}(\partial_1 v) = -\partial_{1,\text{distr}}(\Delta v) = -\partial_1(\Delta v) + \int_{-\epsilon}^{\epsilon} k\varphi(0, x_2)dx_2,$$

avec $k = -2\Delta u(0, x_2) > 0$, $x_2 \in (-\epsilon, \epsilon)$, au voisinage de 0,

$$-\Delta_{\text{distr}}(\partial_1 v) = -\partial_1(\Delta v) + \int_{-\epsilon}^{\epsilon} k\delta_{(0,x_2)}dx_2$$

On note $G((0, x_2), y) = -\frac{1}{2\pi} \log ||(0, x_2) - y|| = -\frac{1}{2\pi} \log |(x_2 - y_2)^2 + y_1^2|$ le potentiel Newtonien et $h_0(y) = \int_{-\epsilon}^{\epsilon} kG((0, x_2), y)dx_2, h_0 \in L^p, p > 1$ :

$$\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \varphi(0, x_2)dx_2 = \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \delta_{(0,x_2)}dx_2 = \int_{B(0,\epsilon)} -h_0(y)\Delta\varphi(y)dy,$$
C'est a dire que :

$$-\Delta_{\text{ distr}}(\partial_1 v - h_0) = -\partial_1(\Delta v) \in L^{\infty}$$

On a par les estimations elliptiques :

$$\partial_1 v - h_0 \in C^1(B(0, \epsilon))$$

Or, $\partial_{11}v$ est reguliere et bornée en dehors de l'axe des ordonnées et $h_0$ est reguliere en dehors de l'axe des ordonnées.

Donc, $\partial_1 h_0$ serait bornée en dehors de l'axe des ordonnées. $\exists C > 0, \forall y \in B(0, \epsilon) - \{(0, x_2), x_2 \in (-\epsilon, \epsilon)\}, |\partial_1 h_0(y)| \le C$.

Or, $h_0(y) = -\frac{1}{2\pi} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|(x_2 - y_2)^2 + y_1^2| dx_2$, et si on derive par rapport à $y_1$ on a :

$$\partial_1 h_0(y)|_{\{y_1 \to 0, y_2 \to 0, y_1 \neq 0\}} \equiv \frac{1}{y_1} \to +\infty$$

Ce qui est contradictoire avec le fait qu'en dehors de l'axe des ordonnées, $\partial_1 h_0$ est bornée.

Donc, on ne peut pas considerer $v, v$ n'est pas definie, n'existe pas, avec autant d'informations.

2) De même, si on considère $w$ la fonction réflexion par rapport à l'axe des ordonnées, son laplacien serait comme précédemment une somme de Dirac + une fonction $L^\infty$. Si on considère $\partial_1 w - \partial_1 h_0$ elle serait $C^0(B(0, \epsilon))$, ce qui impliquerait que $\partial_1 h_0$ serait bornée en dehors de l'axe des ordonnées, comme précédemment, c'est pas possible.

$$-\Delta_{\text{ distr}} w = -\Delta w + \int_{-\epsilon}^{\epsilon} k_0 \varphi(0, x_2) dx_2, \quad k_0 > 0,$$

$$-\Delta_{\text{ distr}} w = -\Delta w + \int_{-\epsilon}^{\epsilon} k_0 \delta_{(0, x_2)} dx_2$$

Donc pour 1) et 2) on ne peut pas considerer, $v$ et $w$, ces fonctions n'existent pas, avec autant d'informations.

Concernant le "blow-up" au bord :

### Il faut fixer une mesure :

On veut qu'il existe une sous-suite $(u_{ij})_j$ et des points $y_1, \dots, y_m$ telle que cette sous suite converge sur tout compact de $D_m = \bar{\Omega} - \{y_1, \dots, y_m\}$. Pour cela on fixe un nombre maximal $m$. Qui dit que ce $m$ existe ? et faut que toute sous-suite de la sous-suite converge aussi, cela veut dire qu'il faut que $V_{ij} e^{u_{ij}}$ converge, au moins faiblement. Cela veut dire, que c'est possible si on a au moins, de la convergence, même faible $V_{ij} e^{u_{ij}} \to \mu$. Cela est possible si il y a convergence faible vers une quantité $\mu$.

Par exemple, on fixe, les points de concentration et $D_m$, soit $(K_n)$ une suite exhaustive de compacts de $D_m$. On doit avoir, $\lim \inf_{\epsilon \to 0} \int_{B(y_k, \delta)} \epsilon_{ij} e^{u_{ij}} dx \ge \alpha > 0$, on prend le sup sur chaque compact $K_n$, ces points convergent vers $y_0 \in K_n$ pour une sous-suite, il faut alors que la sous-suite $(u_{ij,k})_k$ verifie :

$$\lim \inf_{\epsilon \to 0} \int_{B(y_0, \delta_0)} \epsilon_{ij,k} e^{u_{ij,k}} dx < \alpha, \text{ qui dit que c'est vrai ?}$$

c'est a dire que la nouvelle sous-suite, conserve, la notion de convergence, en dehors des points de concentrations de depart, $y_1, \dots, y_m$. cela veut que, a chaque fois qu'on extrait une sous-suite, cette suite converge sur les compacts de $D_m$. Or ceci n'est que la définition de la convergence vers une quantité fixée, de la suite de depart. (Sinon, on aurait un autre point de concentration, et on arrive pas à fixer une sous-suite qui converge, car se casse a un certain moment, on n'aura pas construit de sous-suite concerente et l'arret dit qu'on n'a pas construit de sous-suite convergente, ce n'est pas le bon candidat à la convergence).

Quand on a une suite pour laquelle, toute sous-suite, converge et est stable, cela veut dire que la suite de depart converge vers une quantité fixée. Ceci est possible si on a au moins la convergence faible. C'est ce qu'on a dit précédemment.
**On ne peut pas considérer une mesure sur $\bar{\Omega}$, comme dans le deuxième livre de Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and PDEs :**

Supposons qu'on puisse considérer une mesure sur $\bar{\Omega}$. L'espace total sur lequel on se place et sur lequel on considère les mesures (de Radon) est : $X = \bar{\Omega}$. On se place donc sur $X = \bar{\Omega}$. les fonctions $u_{\epsilon} \in C^0(\bar{\Omega})$, c'est a dire qu'il faut prendre en compte les points de $\partial\Omega$ et les voisinages $V_{\partial\Omega}$ des points de $\partial\Omega$. Il faut définir ce que c'est $L^p(\bar{\Omega})$ et en particulier $L^1(\bar{\Omega})$, pour cela il faut une mesure de Radon $\mu_0$ sur $\bar{\Omega}$, c'est difficile à définir, comme dans le livre d'Aubin et définir l'intégrale Riemannienne, par des cartes. Supposons qu'on puisse définir $\mu_0$. Alors, comme $u_{\epsilon} \in C^0(\bar{\Omega})$, cette fonction $\epsilon e^{u_{\epsilon}} \in L^1(\bar{\Omega})$ qui est un espace qui n'a pas beaucoup de sens, or on sait d'après l'hypothèse du problème que : $\epsilon e^{u_{\epsilon}} \in L^1(\bar{\Omega}) \neq L^1(\bar{\Omega})$. On voit alors que $\epsilon e^{u_{\epsilon}}$ est dans deux espaces qui n'ont rien avoir l'un avec l'autre, ce qui veut dire que c'est pas bien definit. De plus $L^1(\bar{\Omega})$ n'a pas beaucoup de sens (on le définit comme dans le livre d'Aubin par des cartes, localement, on définit $\mu_0$ localement par des cartes, comme dans le livre d'Aubin. Cet espace $L^1(\bar{\Omega})$ n'est pas familier, c'est pour cela qu'on dit qu'il n'a pas de sens, mais si on se place sur l'espace total $X = \bar{\Omega}$, il faut bien définir $\mu_0$). On a quelque chose du type : $\epsilon e^{u_{\epsilon}} \in L^1(\bar{\Omega}) \neq L^1(\bar{\Omega}) \ni \epsilon e^{u_{\epsilon}}$, avec deux espaces $L^1(\bar{\Omega})$ et $L^1(\bar{\Omega})$, qui n'ont rien a avoir l'un avec l'autre, car, les tribus Boreliennes sont différentes et n'ont rien avoir l'une avec l'autre, et les mesures sont différentes, une définie sur l'espace localement compact $\Omega$, pour la mesure de Lebesgue, et l'autre, $\mu_0$ définie sur $\bar{\Omega}$. Alors qu'il faut considérer les mesures de Radon sur $\bar{\Omega}$, ce qui n'est pas le cas de celle de $L^1(\bar{\Omega})$. (+ classes de fonctions qui n'ont rien a voir les unes avec les autres, il faut voir aussi par rapport aux classes de fonctions).

Pour la construction d'une mesure de Radon par les cartes sur un domaine a bord regulier $\bar{\Omega}$, comme dans le livre d'Aubin. On a dit que ce n'est pas naturel, ceci est du à la partition de l'unité. Il se peut que le support d'une des fonctions de la partitions touche le bord $\partial\Omega$. Il y a un problème avec la partition de l'unité.

**Sur le blow-up concernant les articles : "About Brezis-Merle Problem with Holderian condition" et les autres articles en dimension 2, et en particulier "A compactness result for an equation with Holderian condition".**

Concernant l'article "About Brezis-Merle Problem with Holderian condition" :

1) Rescaling : ou changement d'échelle : on se ramene à la situation d'un espace localement compact, $\Omega_0 = B(0, \epsilon)$, $\epsilon > 0$, plus précisément : $B(0, \epsilon_1)$, $\epsilon_1 > 0$, ..., $B(0, \epsilon_k)$, $\epsilon_k > 0$ et ici il faut, à chaque étape, fixer une mesure, c'est implicite, on se ramene à Brezis-Merle à chaque étape. En faisant un *blow-up* de première espèce ou un éclatement de première espèce.

2) Nombres fini d'étapes. Et chaque étape, on se ramene à un espace localement compact sur lequel une mesure se concentre. Tendant vers le bord. Processus déscendant ou décroissant.

Concernant l'article "A compactness result for an equation with Holderian condition" :

1) Hierarchie : on ramene la concentration de la mesure d'un espace $\Omega$ de dimension 2 à une concentration de la mesure sur une sous-variété compacte sans bord de dimension 1 (qui est une variété compacte sans bord de dimension 1), par la formule de Stokes.

On "transporte" la mesure 2-dimensionnelle en une mesure 1-dimensionnelle sur une variété sans bord par la formule de Stokes. La masse totale sur $\Omega$ se "transporte" en la masse totale sur $\partial\Omega$.

Dans ces articles, on resout le problème de conc concentration de la mesure ou "blow-up" sur le bord : sur tout le domaine à bord, ou, sur la variété compacte à bord de dimension 2, $\bar{\Omega}$.

2) Il y a deux mecanismes :

-soit on se ramene à un espace localement compact sur plusieurs etapes en nombre fini. Par blow-up ou éclatement.

-soit on se ramene à une variété compacte sans bord de dimension strictement inférieure, par "transport" de la mesure par la formule de Stokes.

3) Dans le blow-up, on ne peut pas utiliser n'importe quelle fonction cutoff, $\eta_{\epsilon}$, il faut prendre une fonction solution d'un problème de Dirichlet $\tilde{\eta}_{\epsilon}$ : car on met la valeur absolue quand on évalue $\int_{\Omega} | - \Delta[(u_i - u)\tilde{\eta}_{\epsilon}]| dx$. Il y a un problème de valeur absolue et quand on utilise la formule de Stokes. Il y a 2 possibiltés, soit on prend une solution d'un problème de Dirichlet. Soit on prend directement $\eta_{\epsilon}$, mais il faut utiliser : a) L'inégalité de Poincaré, et b) prouver
que $||\nabla(u_i - u)||_q = o(1), 1 \le q < 2$. Dans tous les cas, il faut une fonction test, et ces deux procédés (soit $\tilde{\eta}_\epsilon$ solution d'un probleme de Dirichlet, soit directement $\eta_\epsilon$ avec inégalité de Poincaré et $||\nabla(u_i - u)||_q = o(1), 1 \le q < 2$), sont equivalents, du point de vue, nombre d'etapes et nombre de notions :

Fonction test + :

a) $\tilde{\eta}_\epsilon$ + probleme de Dirichlet, (Données effectives : ne dépendent pas de la solution), ou,

b) $\eta_\epsilon$ + inégalité de Poincaré (Donnée fictive : dépend de la solution) et $||\nabla(u_i - u)||_q = o(1), 1 \le q < 2$.

Les points de vue a) et b) sont equivalents : en tant que : nombre d'etapes, nombre de notions.

Hierarchie dans la théorie de la démonstration :

c) preuve avec données effectives : données réelles, est meilleure que :

d) preuve avec données fictives.

Par exemple : dans la modelisation : donnée fictive, on approxime quelque chose d'approchée (la solution, qu'on modelise), le taux d'erreur est plus grand. Donnée effective : on n'approxime pas quelque chose d'approchée, le taux d'erreur est plus petit. Il faut aussi estimer l'erreur : estimation d'erreur.

4) Dans la Compacité : il y a 2 etapes.

Par exemple, pour ce qui concerne les articles "A compactness result for an equation with Holderian condition" et "A uniform boundedness result for solutions to the Liouville type equation with boundary singularity", il y a deux etapes :

Étape 1 :

a1) blow-up,

a2) Transformation conforme, la partie du bord devient plate, un segment.

a3) Formule de Rellich-Pohozaev.

a4) masse $m = 0$.

Étape 2 :

b1) blow-up,

b2) Formule de Stokes, apparition de la mesure sur le bord.

b3) Concentration de la mesure.

b4) masse $m = \alpha_1 > 0$.

Dans le blow-up, on a l'existence d'une mesure de Radon $\mu \ge 0$ sur $\partial\Omega$, puis, on montre une decomposition de Lebesgue : (mesure Riemannienne de Lebesgue sur le bord + mesures singulieres) : $\mu = \mu_L + \mu_s$, avec $\mu(\cdot) = \int_{\partial\Omega}(\partial_\nu u)(\cdot)d\sigma + \sum_{j=1}^N \alpha_j \delta_{x_j}$.

(32) Sur le degré topologique et l'équation avec non linearité exponentielle :

Voir l'article de Brezis-Turner. Comme on l'a dit concernant l'article de De Figueiredo-Lions-Nussbaum, ils considerent un opérateur $M$ tel que $M(0) = 0$, nulle en 0. On peut considerer :

$$-Lu = V(x)(e^u - 1), \quad 0 < a \le V(x) \le b < \lambda_1, \quad ||\nabla V||_\infty \le A$$

$f(u) = e^u - 1$ et $f(0) = 0, (-L)^{-1}$ un opérateur compact. voir l'article de De Figueiredo-Lions-Nussbaum : $M = (-L)^{-1}(V(x)f(u))$. $\lambda_1$ première valeur propre de $-L$ avec condition de Dirichlet.

Voir l'article de Brezis-Turner. Une des conditions pour prouver l'existence de solutions est : $g(x, u, p)/u < \lambda_1$ pour $u$ voisin de 0. et la presence de la nonlinearité exponentielle en $+\infty$ assure que les $t \ge 0$ de l'article de Brezis-Turner sont uniformément bornés. Il reste à borner les solutions $u$ positives ou nulles pour appliquer la théorie du degré topologique. Ceci se fait par l'identité de Pohozaev en ramenant l'équation précédente a l'équation qu'on a considéré dans des articles précédents avec seulement $e^u$ et non $e^u - 1$. En resolvant $-Lw_1 = V, -Lw_2 = tJ$ avec condition de Dirichlet, ($J = \varphi_1$ première fonction propre) ces fonctions $w_1, w_2$ sont uniformément bornées dans $C^2(\bar{\Omega})$ car $t$ est borné unifromément et $V$ aussi. Donc, on s'est ramené, dans un domaine régulier etoilé par rapport a l'origine a notre équation considrée dans des articles précédents et l'identité de Pohozaev donne le résultat de borne uniforme de $u$, comme voulu dans Brezis-Turner.

Voir l'article de De Figueiredo-Lions-Nussbaum, pour l'idée sur le degré topologique et son applications.
Voir l'article de : H.H.Zou dans Calculus of variation. Pour une idée sur l'application du degré topologique.

Voir aussi, l'article de Brezis-Turner.

Donc :

Degré topologique $\Rightarrow \forall V \in C^\infty, 0 < a \le V \le b < \lambda_1, ||\nabla V||_\infty \le A, \exists u \in C_0^2(\bar{\Omega}), -Lu = V(x)(e^u - 1)$, et $u > 0$ dans $\Omega$.

Soit $w$ tel que $-Lw = V$ avec condition de Dirichlet. Par le principe du maximum, théorème de Dualité et les estimations elliptiques, $w \ge 0$ et $w > 0$ dans $\Omega$ et $||w||_{C^2(\bar{\Omega})} \le c_1(a, b, A, \Omega)$. Soit $W = Ve^{-w}$, alors $w$ et $u+w$ sont deux solutions distinctes de $-Lv = We^v$ avec conditions de Dirichlet et $0 < a_1 \le W \le b < \lambda_1$, et $||\nabla W||_\infty \le A_1$ et $||v||_{C^2(\bar{\Omega})} \le c(a, b, A, \Omega)$.

Donc : Pour tout $V$ on a $W$ dans le même type de classe avec deux solutions distinctes par le degré topologique et l'ensemble des solutions est borné dans $C^2(\bar{\Omega})$.

On a : Pour tout $V$ il existe $W$ dans la même classe que $V$ tel que l'équation $-Lv = We^v$ (avec condition de Dirichlet), possède au moins 2 solutions distinctes dont une topologique et ces solutions sont bornées uniformément dans $C^2(\bar{\Omega})$.

Donc : si on note $C$ le cone $C = \{u \in C^1(\bar{\Omega}), u \ge 0\}$.

Degré topologique $\Rightarrow \deg = i_C = -1 \Rightarrow$ il y a un point fixe pour $u \to M(u) \Rightarrow \forall V \in C^\infty, \exists W \in C^\infty, W(x) = V(x)e^{-w}$, tel que l'équation $-Lv = We^v$ possède 2 solutions distinctes dans $C_0^2(\bar{\Omega})$ pour $W$ avec $0 < a_1 \le W \le b_1 < \lambda_1$ et $||\nabla W||_\infty \le A_1$ et $||v||_{C^2(\bar{\Omega})} \le c(a, b, A, \Omega)$.

1) Donc on a : Pour tout $V$ il existe $W$ dans la même classe que $V$ tel que l'équation $-Lv = We^v$ (avec condition de Dirichlet), possède au moins 2 solutions distinctes dont une topologique et ces solutions sont bornées uniformément dans $C^2(\bar{\Omega})$.

2) a) (Equation sinh-Poisson en mécanique statistique et en physique des plasmas). On peut prendre $M = (-\Delta)^{-1}(V(x)g(u))$ avec $g(u) = \sinh(u)$. On obtient alors $u > 0$ solution par le degré topologique de l'équation sinh-Poisson, qui modelise la 2d-turbulence en mécanique statistique et apparaît en physique des plasmas. Voir les prints de Pablo Figueroa et de Joel Spruck. Donc : si on note $C$ le cone $C = \{u \in C^1(\bar{\Omega}), u \ge 0\}$, on a $\deg = i_C = -1$ et l'application $u \to M(u)$ possède un point fixe. (Voir l'article de De Figueiredo-Lions-Nussbaum et ce qu'on a écrit sur le degré topologique, au début de ce print). Et on a une solution topologique de : $-\Delta u = V(x) \sinh(u)$ avec condition de Dirichlet et $u \ne 0$, $u \ge 0$ (par le principe du maximum $u > 0$ dans $\Omega$), pour $0 < a \le V(x) \le b < \lambda_1$ et $||\nabla V||_\infty \le A$ ou $V$ avec poids holderien $(1 + |x - x_0|^{2\beta})$, $\beta \in (0, 1/2)$, $x_0 \in \partial\Omega$ avec $\Omega$ particulier, une couronne et, $A = \frac{a}{2(1+2^{2\beta})}$, la solution $u$ est uniformément bornée dans $C^2(\bar{\Omega})$, $||u||_{C^2(\bar{\Omega})} \le c(a, b, \beta, \Omega)$.

b) On peut faire la même chose en considérant une singularité au bord. On peut prendre $M = (-\Delta)^{-1}(\frac{V(x)}{|x-x_0|^{2\alpha}}g(u))$ avec $g(u) = \sinh(u)$, $x_0 \in \partial\Omega$, $\Omega$ une couronne et $\alpha \in (0, 1/2)$, (ca reste vrai avec $\alpha \in (-\infty, 0)$), et $\lambda_1$ première valeur propre avec condition de Dirichlet et avec poids singulier, $(-\Delta\varphi_1 = \lambda_1\varphi_1\frac{1}{|x-x_0|^{2\alpha}}$, qu'on resout par la méthode variationnelle comme dans le cas régulier), et $0 < a \le V(x) \le b < \lambda_1$, $||\nabla V||_\infty \le A = \frac{(-\alpha + 1)a}{2}$. Si on note $C$ le cone $C = \{u \in C^1(\bar{\Omega}), u \ge 0\}$, on a $\deg = i_C = -1$ et l'application $u \to M(u)$ a un point fixe et on obtient une solution topologique de : $-\Delta u = \frac{V(x)}{|x-x_0|^{2\alpha}}\sinh(u)$, $u \ne 0$ et $u \ge 0$ (par le principe du maximum $u > 0$ dans $\Omega$) avec condition de Dirichlet et la solution $u$ est uniformément bornée dans $C^1(\bar{\Omega})$, $||u||_{C^1(\bar{\Omega})} \le c(a, b, \alpha, \Omega)$.

c) On obtient la même chose avec $\alpha \in (-\infty, 0)$ avec une solution topologique avec singularité au bord et bornée uniformément dans $C^2(\bar{\Omega})$.

d) On peut faire la même chose que dans le point a) avec l'opérateur $L$ du point 1), on prend $M = (-L)^{-1}(V(x)g(u))$ avec $g(u) = \sinh(u)$. On obtient dans le cone $C = \{u \in C^1(\bar{\Omega}), u \ge 0\}$, $\deg = i_C = -1$ et $u \to M(u)$ a un point fixe. On obtient une solution topologique de : $-Lu = V(x) \sinh(u)$ avec condition de Dirichlet et $u \ne 0$ et $u \ge 0$ (par le principe du maximum $u > 0$ dans $\Omega$), pour $V$ tel que, $0 < a \le V(x) \le b < \lambda_1$ et $||\nabla V||_\infty \le A$, $\Omega$ un domaine régulier etoilé par rapport à l'origine, $\lambda_1$ première valeur propre de $-L$ avec condition de Dirichlet, la solution $u$ est uniformément bornée dans $C^2(\bar{\Omega})$, $||u||_{C^2(\bar{\Omega})} \le c(a, b, A, \Omega)$.

**Remarque** : Lorsque $V \equiv a = b \ge \lambda_1$, par un argument d'intégration et intégration par parties de la solution l'Eq si elle existe ; avec la fonction propre et de positivité, il n'y a pas de
solution à l'Eq. De même pour $b \ge V \ge a \ge \lambda_1$, il n'y a pas de solutions. Par contre Il y a des solutions si $b < \lambda_1$.

c) Ceci s'applique aux systemes du type $-\Delta u = V e^v, -\Delta v = W e^u$ avec conditions de Dirichlet en considerant un opérateur de vecteurs :

$M(u, v) = (-\Delta)^{-1}(V \sinh v, W \sinh u) + t(\varphi_1, \psi_1)$, $t \ge 0$, avec singularité interieure $x_0$, (pour le cas holderien d'odre $\beta > 0$, ca marche avec une singualité pour une equation dans un systeme, reste le cas ou on a la singularité interieure holderienne dans les deux equations du systeme.) ou singularité au bord $x_0$ et $\varphi_1, \psi_1$ premieres fonctions propres du Laplacien avec conditions de Dirichlet. avec singularité ou pas, $(-\Delta)^{-1}$ s'applique aux deux equations du systeme.

Dans le cas de singularité interieure $0 = x_0 \in \Omega$, l'estimation a priori au voisinage du bord est obtenue dans les articles de, De Figueiredo-Do O-Ruf au bord et interieure (Par la methode moving-plane, comme dans De Figueiredo-Lions-Nussbaum, De Figueiredo-Do O-Ruf le font et le disent dans leur article) et Bartolucci-Tarantello-Chen-Lin (eux utilisent Pohozaev-Rellich pour quantifier, calculer la masse) pour une equation et $x_0$ singularité a l'interieure, c'est vrai pour une equation (reste le cas d'un systeme avec $0$ comme singularité positive dans les deux equations du systeme).

Ici, on s'interesse au cas avec singularité au bord, pour des systemes avec singularité au bord ou poids Holderien avec singualité au bord, sur une couronne c'est possible.

**Remarque sur les inégalités du type Harnack sup inf :**

a) La théorie des cordes (string theory) unifie les théories de Jauge (des champs), des champs conformes, (théorie des champs de Liouville), de Yang-Mills, et la gravitation quantique (Kaluza-Klein, $n + 1, n = 3, 4, 5, 6, 9, 10$ ou plus générale $n \ge 3$). Les inégalités du type Harnack apparaissent dans ces trois théories, on peut considerer alors que cette notion est une notion de la théorie des cordes. Corde qui est un 'fil' ou un ensemble de particules.

b) Concernant la minoration du $\sup \times \inf$, on a les exemples dans le livre d'Aubin (cas compact). Dans le cas plat, on utilise l'exemple de C.Chen-C.S.Lin dans Commun.Pure.Appl.math.1997, ici, $n \ge 3$ et aussi l'article de C.C.Chen et C.S.Lin de 1999, "Blowing-up...".

### 33) Equation de la courbure scalaire prescrite (et du type Yamabe) en dimension 4 et champs de Yang-Mills :

a) exemple : 1-si on note $SW$ la variété hyperbolique sans bord et orientable de dimension 3, de Seifert-Weber, alors $SW \times S_1$ est une variété loc.conf.plate de courbure scalaire constante stric.negative de dimension 4, elle est lié aux champs de Yang-Mills. 2- En dimension 4, aussi on considere, la variété de Davis ou le produit de deux surfaces de courbure sectionelle non opposées et de courbure scalaire strc.negative (donc, non-loc-conf.plate $S_{-1} \times S_{-1}$ (elle est d'Einstein) avec $S_{-1}$ une surface de courbure scalaire constante < 0), on obtient une variété Riemmannienne lié aux champs de Yang-Mills. On peut considerer sur ses variétés l'Equation de la courbure scalaire prescrite (dimension 4).

Dans le cas positif (pour l'equation de Yamabe et du type Yamabe), $S_2 \times S_2, S_3 \times S_1$.

b) En physique (description de la force nucléaire responsable de la cohesion des protons-neutrons dans le noyau) le cas le plus important est porté aux variétés de dimension 4 avec une metrique Riemannienne ou Lorentzienne.

c) Regarder l'article de, Andrzej Derdzinski, dont le titre est : "Riemannian manifolds with harmonic curvature", il y a la fonctionnelle de Yang-Mills et pour lui la derivée du tenseur de courbure donne les points critiques de la fonctionelle de Yang-Mills. En fait il s'agit de la variété, de la metrique et de la connection. C'est la courbure de Riemann qui est un champ de Yang-Mills.

d) Pour ce qui est des champs de Yang-Mills en dimension 4 et la théorie de Seiberg-Witten, apparaît la fonctionelle de Yamabe et l'invariant de Yamabe et la courbure scalaire et les metriques conformes, dans des articles de M.Gursky par exemple en dimension 4 :

Si on prend une variété Riemannienne compacte sans bord ($M^4, g$), de dimension 4 avec champ de Yang-Mills, cela veut dire que le tenseur de Riemann, $Riem = F_\nabla$ est un champ de Yang-Mills. Comme la courbure scalaire $S_g$ se déduit du tenseur de Riemann (elle est liée
au tenseur de Riemann), alors, $S_g$ est un objet de la physique et l'Equation de la courbure scalaire prescrite, en dimension 4, sur les variétés de Yang-Mills, est liée à la physique puisqu'elle contient $S_g$. De même pour la metrique conforme, qui est liée à $g$, la metrique Riemannienne $g$ est appelée en dimension 4 un instanton.

La théorie de Yang-Mills existe sur des variétés non-compactes ou completes. (non compact, or complete Manifolds with harmonic curvature). Voir Taubes et les articles de Gabor Etesi et Yawei Chu. Exemples : variétés d'Einstein (Einstein manifolds) $n \ge 3$ et les variétés loc.conf.plates de courbure scalaire constante (pour $n \ge 4$, en particulier pour $n = 4$) ou Ricci parallel, en particulier les variétés de courbure sectionnelle constante.

Du point de vue de la physique, en dimension 4, on peut considerer les champs de Yang-Mills sur une variété compacte ou complete ou non compacte et localement on a une notion de champs de Yang-Mills. On peut considerer au depart la variété et puis on regarde ce qui se passe localement, on a encore des champs de Yang-Mills. Puis, on regarde ce qui se passe globalement ou localement (mesures, obsevation, à partir des données et du champs de Yang-Mills).

Comme pour l'équation de Schrodinger : La donnée est la courbure scalaire prescrite $V$ (elle est prescrite, pulsion ou signal ou potentiel), la solution $u$ est une "fonction d'onde" qui lie $V$ à $S_g$, $S_g$ est un "champ scalaire de Yang-Mills". L'équation de la courbure scalaire prescrite en dimension 4 et sur une variété de Yang-Mills de dimension 4 est un objet de la physique.

Aussi, c'est écrit dans l'article de T.H. Parker (Gauge Theories on four dimensional Riemannian manifold, Comm.Math.Physics, 1982), si on considère un terme ("potentiel de Higgs") du type $P(u) = au^4 + mu^2$ avec $u > 0$ la solution et $a, m$ deux fonctions réelles avec $m \le 0$ possible, l'équation bosonique dans un champ de Yang-Mills devient du type Yamabe (ou de type courbure scalaire prescrite). ($\Delta_g u + (\frac{sg}{6} + 2m)u = -4au^3$, $\Delta_g = -\nabla^i\nabla_i$ et $s_g$ la courbure scalaire). On conclut, voir l'article de T.H. Parker (dans un champ de Yang-Mills, l'équation bosonique, induit (avec le fait qu'on a un champ de Yang-Mills, les lagrangiens s'annulent et la dérivée par rapport à la connexion est nulle), que le résidu est nul et constante une solution de couplage des champs). (le lagrangien Yang-Mills bosonique, $Y = B_1 + B_2$ avec $B_1$ la fonctionnelle de Yang-Mills et $B_2$ la lagrangien bosonique, la loi de la particule : $\dot{Y} = dY = 0 = dB_1 + dB_2 = 0$, si on se place dans un champ de Yang-Mills, alors, $dB_1 = 0$, ce qui implique que $dB_2 = 0$, si de plus, $u > 0$ est solution de l'équation bosonique (cela veut dire que $\frac{\partial B_2}{\partial u} = 0$), ceci implique que $\frac{\partial B_2}{\partial V} = 0$ et le résidu est nul : $\Sigma < \nabla_j u | \rho(e_i) u > = 0$ et donc, les deux équations du système de couplage sont vérifiées. Donc l'équation bosonique (du type courbure prescrite) dans un champ de Yang-Mills suffit à déterminer le système. Ces deux conditions, champs de Yang-Mills et équation bosonique constituent une solution particulière du système.)

On peut aussi considerer chaque lagrangien seul dans l'importe quelle formulation, par exemple ici, celui de Yang-Mills seul et celui bosonique seul. Ici (dans l'article de Parker, T.H) on a le lagrangien de Yang-Mills bosonique.

### 34) En dimension 2 : équation de Liouville :

a) Equation de la courbure scalaire prescrite sur la sphere de dimension 2 (vortex equation) ou un ouvert de $\mathbb{R}^2$ (vortex equation) ou surface de dimension 2 (vortex equation). Mean-Field-equation.

b) Voir les articles de Crandall-Rabinowitz, De Figueiredo-Lions-Nussbaum, Chen-Li, pour la provenance de ses équations : Géometrie (courbure de Gauss), Gazs, combustion, astronomie et astrophysique.

c) En dimension 2, aussi, c'est un cas particulier des champs de Yang-Mills, la théorie de Glashow-Weinberg-Salam, modelise les interactions (faibles) électromagnétiques des particules. C'est la théorie de jauge (théorie de champs) avec un groupe de jauge (groupe de symétries locales) $U(1) \times SU(2)$

voir le livre de G. Tarantello *Self-dual Gauge theories*.

d) L'équation de Liouville ou de type Liouville apparaît aussi dans le phénomène de "cordes cosmiques", un objet de l'univers "cosmic strings" et à ne pas confondre avec la théorie des cordes. Voir l'article de J. Spruck et Yisong Yang (cosmic strings). (On prend une metrique Lorentzienne $ds^2 = -dt^2 + dz^2 + g_{ij}dx^i dx^j$, la metrique $g_{ij}$ est définie sur une surface, M de
dimension 2 et apres on peut choisir $g_{ij}$ conforme a une autre metrique, par exemple $g_{ij} = e^u \delta_{ij}$ et on choisit le champ particulier). C'est là, par exemple l'idée générale.

e-En dimension 2 : c'est aussi, la theorie des champs de Liouville en dimension 2. Qui a été etudiée pour des surfaces à courbure négative et plus récemment sur la sphere de dimension 2. (LCFT, Liouville conformal field theory (2+1)).

De même ici, du point de vue de la physique, de la chimie, astronomie ou la physique quantique, en dimension $n = 2$, on peut considerer des sources, des champs sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$ ou une surface compacte ou complète ou non compacte et localement on a une notion de champs local. On peut considerer au départ l'ouvert ou la surface et puis on regarde ce qui se passe localement, on a encore des champs. Puis, on regarde ce qui se passe globalement ou localement (mesures, obsevation, à partir des données et du champs ou des paramètres).

Ici aussi, comme pour l'équation de Schrodinger : La donnée est la fonction $V$, ($V$ est la source ou pulsion ou le signal ou le potentiel), la solution $u$ est une "fonction d'onde" ou émission, qui lie $V$ à la donnée de départ, par exemple $S_g$ (dans le cas d'un ouvert $S_g = 0$), $S_g$ est un "champ scalaire". Il se peut que ce ne soit pas $S_g$ comme pour l'opérateur $\Delta + \epsilon(x_1\partial_1 + x_2\partial_2)$, $\Delta = \partial_{11} + \partial_{22}$.

### 35) En dimension $n \ge 3$ : Relativité générale ($n = 3$) et Cosmologie quantique ($n \ge 3$) :

Cette idée de partir d'un espace Lorentzien $n + 1$ et de choisir une metrique conforme, sur la variété $M$, en partant de l'espace temps $M \times (0, \delta)$, se généralise aux dimensions superieures. (Il y a la correspondance, ADS-CFT(Anti-de-Sitter, Conformal field theory) proposée par Juan Maldacena ($\Lambda < 0$, constante cosmologique strictement négative dans l'équation d'Einstein). Les équations d'Einstein classiques et quand la dimension $n \ge 3$ c'est la "quantum-cosmology qui correspond au cas $\Lambda = 0$, équation d'Einstein du début, (1915)). On a $ds^2 = -dt^2 + g_{ij}dx^i dx^j$ avec $g_{ij} = u^{4/(n-2)}g_0$, une metrique conforme a celle de départ $g_0$ sur $M$.

L'idée générale est la suivante : (On part de la formulation Lorentzienne ($n + 1$), $M \times (0, \delta)$, d'Einstein en relativité générale et on introduit sur la variable espace des metriques conformes dans la fonctionelle du champ (ici au lieu de la fonctionelle du champ comme dans la théorie de Yang-Mills, on a l'équation d'Einstein), on a des champs particuliers liés au changement de metriques conformes, tout cela dans le but d'étudier les interactions des particules et des astres (gravitation dûe à la courbure de l'espace temps ou à la formulation en $n + 1$ et les ondes qui sont les effets de la gravitation ou des champs, en particulier gravitationnel, un autre champ est le champ $T$ d'énergie-impulsion, peut être vu comme une donnée, l'interaction est écrite dans l'équation d'Einstein ci-dessous, gravitation, $Ricci^\gamma$, $R^\gamma$, et les données ou un autre champ, est le tenseur $T$). C'est l'adpatation à ($n + 1$) de la théorie d'Einstein, en relativité générale, qui est en ($3 + 1$). L'espace Anti-de-Sitter est une solution particulière des équations d'Einstein, comme l'espace de Minkowski ou la metrique de Schwazrchild, l'inconnu ici est un espace Lorentzien ($V, \gamma$) de metrique Lorentzienne $\gamma$, qui vérifie l'équation d'Einstein $Ricci^\gamma - \frac{1}{2}R^\gamma\gamma = T$, avec $Ricci^\gamma, R^\gamma, T$ respectivement le tenseur de Ricci et la courbure scalaire et le tenseur d'Energie-impulsion. Dans certains cas, cela revient à resoudre ce qu'on appelle le problème de Cauchy en relativité. Par exemple $T = 0 \Rightarrow Ricci^\gamma = 0$. Un autre cas particulier, on en parlé ci-dessus, est de trouver des solutions du type $V = M \times (0, \delta)$ et $\gamma = -dt^2 + g_{ij}dx^i dx^j$ avec $g = u^{4/(n-2)}g_0$. Resoudre les équations des contraintes pour ($V, \gamma$) particuliers avec la méthode conforme de Lichnerowicz. On prend $V = M \times (0, \delta)$ avec $\gamma = -dt^2 + g_{ij}dx^i dx^j$, on transfome les équations d'Einstein en 2 Équations des contraintes (Problème de Cauchy, par les relations Gauss-Codazzi), puis on prend $g = u^{4/(n-2)}g_0$ sur $M$, on transforme les 2 équations des contraintes en un système de deux équations elliptiques. Einstein scalar field Lichnerowicz équations. Voir, Hebey, Pollack, Pacard, Choquet-Bruhat, Bartnik.)

**Remarque** : Pour ce qui est de la théorie de Yang-Mills, on s'interesse à une fonctionelle du champ, on peut se ramener à la dimension 2 et utiliser la méthode conforme comme dans Spruck-Yisong (cosmic-strings) ou d'autres théories avec fonctionnelle de champs sur une variété Lorentzienne de dimension 4. ($ds^2 = -dt^2 + dz^2 + g_{ij}dx^i dx^j$) (exemple, Glashow-Weinberg-Salam, combine fonctionnelle de Yang-Mills et théorie conforme en 2 dimensions). Ici dans ADS-CFT ($\Lambda < 0$ ou bien $\Lambda = 0$ et on retrouve les Équations d'Einstein classiques avec $n = 3$ pour la relativité générale et $n \ge 3$ pour la cosmologie quantique ou "quantum cosmology"),
on remplace la fonctionnlle par l'équation d'Einstein. De même, ici, dans la relativité générale ($n = 3$) et pour la cosmologie quantique ou "quantum cosmology" ($n \ge 3$), on remplace la fonctionnlle par l'équation d'Einstein.

a) il y a une application et réalisation en physique, en (3 + 1) et (4 + 1) et (6 + 1) de la correspondance de ADS-CFT, de Juan.Maldacena (on voit bien le problème du bon espace-temps). Et aussi (2 + 1) (LCFT, Liouville conformal field theory).

La correspondance ADS-CFT correspond à l'équation d'Einstein avec une constante cosmologique $\Lambda < 0$ (Anti-de-Sitter) : $Ricci^\gamma - \frac{1}{2}R^\gamma g + \Lambda g = T = 0$. Si $\Lambda = 0$, on retrouve l'équation d'Einstein (1915) écrite plus haut, et les théories en question sont : $n = 3$, la relativité générale et $n \ge 3$ la cosmologie quantique ou "quantum cosmology".

Il y a des auteurs qui font référence à la correspondance ADS-CFT, qui essaie de trouver le bon espace-temps avec $\Lambda < 0$. Dans la théorie classique d'Einstein ($\Lambda = 0$), c'est la "quantum cosmology", trouver le bon espace-temps pour $n \ge 3$.

b) Pour ce qui est des equations d'Einstein et methode conforme : ($n \ge 3$ ("quantum-cosmology") et $n = 3$ qui correspond à la théorie de la relativité générale :) Voir les articles de Choquet-Bruhat-Isenberg-Pollack, dans general relativity and quantum cosmology. Cosmologie quantique pour $n \ge 3$. (il y a des auteurs qui font référence à la correspondance ADS-CFT, qui essaie de trouver le bon espace-temps pour $n \ge 3$ avec $\Lambda < 0$. Ici, on a la théorie classique d'Einstein ($n = 3$ relativité générale et "quantum cosmology" pour $n \ge 3$ avec $\Lambda = 0$)).

(Equation d'Einstein classique : $\Lambda = 0$, (1915) cosmologie). Voir le monograph de : E.Hebey, D. Pollack, F. Pacard, Y. Choquet-Bruhat, R. Bartnik : dans la théorie des champs de Klein-Gordon massive le potentiel $V(\Psi) = \frac{1}{2}m^2\Psi^2$. (les données $(\Psi, \sigma, \tau, \pi)$ peuvent être choisies librement ainsi que la métrique $g_0$ de la variété Riemannienne).

Voir aussi les articles de Choquet-Bruhat-Isenberg-Pollack, la variété Riemannienne ($M, g_0$) peut être compacte sans bord ou non compacte. Voir la These de C.Valcu.

c) On part des equations de contraintes qui derivent des equations d'Einstein et qui sont obtenues par les equations de Gauss-Codazzi (on contracte le tenseur de Riemann dans les equations de Gauss-Codazzi pour avoir le tenseur de Ricci). On contracte le tenseur de Ricci pour faire apparaître la courbure scalaire et on sépare les termes en variables temporelles et spatiales. Puis on utilise une métrique conforme.

d) Inversement, dès qu'on a une solution des equations de contraintes avec champ scalaire, il existe une solution des equations d'Einstein, un espace-temps maximal unique avec une métrique Lorentzienne, d'après Choquet-Bruhat et Choquet-Bruhat-Geroch. C'est ce qu'on appelle le formalisme de Choquet-Bruhat-Geroch-Lichnerowicz. (Il existe un espace temps ($L, \gamma$) maximal et unique à isometrie près avec $\gamma$ Lorentzienne, et un plongement $i : M \to L$, tel que $i^*(\gamma) = g$, ($L, \gamma$) 'prolonge' ($M, g$) et les autres paramètres, comme le champ scalaire par exemple). Voir le print de B. Premoselli et l'article de A. Carlotto (The general relativistic constraints equations).

Pour chaque solution des equations des contraintes on a une solution des équation d'Einstein, on a une multitude d'univers ou plusieurs espace-temps. La multitude d'espace-temps, modelise aussi la multitude d'etats quantiques, en particulier c'est la combinaison entre la gravité et les différents champs dont le champ électromagnétique et d'autres champs : Yang-Mills, Klein-Gordon, fluides, etc. Cela veut dire que du point de vue mathématique on a plusieurs espace-temps alors que, du point de vue de la physique, il y a plusieurs états quantiques ou plusieurs fonctions d'ondes à l'instant $t = 0$, dans le même espace ou variété $M$ avec des propriétés concernant les fonctions d'ondes ou états quantiques (Plusieurs ondes au même instant qui sont dans un espace commun, et, différents au même temps). Ceci est un modèle mathématique pour expliquer l'existence de plusieurs états quantiques ou fonctions d'ondes, qui sont à la fois différents, dans plusieurs espaces différents, et dans un même espace au même temps : ($M, g_0, \psi, \sigma, \tau, \pi$), modèle de base commun à tous les espaces, qui est lui même un 'univers' de 'paramètres'. Phénomène physique $\leftrightarrow$ Propriété mathématique : i) Etat quantique $\leftrightarrow$ fonction d'onde $u > 0$, et, ii) extra-dimensions ou dimensions supplementaires $\leftrightarrow$ propriété des fonctions d'ondes : $\sup u = f(\inf u)$, (notion d'enroulement, de torsion), et les 2 valeurs ($\sup, \inf$).
Dans un article de Choquet-Bruhat (1968), on ne peut pas avoir existence globale d'un espace
temps car d'apres Penrose et Hawking, les Eq de la relativite d'Einstein developpent des singu-
larites. Mais on a existence locale d'un espace temps $(-t_0, t_0) \times M, t_0 > 0$ et unicite locale et
globale.

Théorie de la gravitation quantique : du type Kaluza-Klein. La théorie de Kaluza-Klein c'est en (4 + 1) comme espace-temps avec une dimension cachée. Les théories du 'type' Kaluza-Klein, c'est en (5 + 1), (6 + 1), (n+1), n = 9, 10 ou (n + 1), n ≥ 3 avec plusieurs dimensions cachées.

Pour ce qui est des solutions des Equations d'Einstein par la méthode conforme de Lichnerowicz-
Choquet-Bruhat-York : on a :

i) Si on prend $\Psi = 0$, $\tau \equiv \text{constante} \neq 0$, $\sigma = \pi = 0$, alors $W = 0$ est une solution et $u > 0$ est solution de l'équation de Yamabe (dans "le cas négatif", la variété n'est pas nécessairement, compacte sans bord).

ii) Si on prend $\Psi \equiv \text{constante} \neq 0$, $\tau = 0$, $\sigma = \pi = 0$, alors $W = 0$ est une solution et $u > 0$ est solution de l'équation de Yamabe (dans "le cas positif", la variété n'est pas nécessairement, compacte sans bord).

iii) Si on prend $\Psi \not\equiv \text{constante}$, $\sigma = \pi = 0$ et $\tau = 0$ alors $W = 0$ est une solution et $u > 0$ est solution de l'équation du type courbure scalaire prescrite avec $h = S_{g_0} - |\nabla\psi|_{g_0}^2 \le S_{g_0}$ (dans "le cas positif", la variété n'est pas nécessairement, compacte sans bord).

On choisit $W$ champ de vecteur de Killing conforme ($DW = 0$, conformal Killing vector field), pour avoir un champ conforme et être compatible avec la théorie des champs conformes. Ici, on a pris $W = 0$ (pour dire qu'il y a au moins toujours une solution), mais on peut prendre $DW = 0$. On a une théorie des champs, gravitation+Klein-Gordon, ou Yang-Mills, ou Electro-magnetique, et une théorie conforme des champs (on avait déjà une métrique conforme introduite par la méthode de Lichnerowicz-York-Choquet-Bruhat-Isenberg-Pollack, c'est le contexte conforme. Ici conforme pour dire que les objets sont invariants par transformations conformes, 'Scale invariants' ou 'Zoom invariants').

De même ici, du point de vue de la physique, de l'astronomie ou de la cosmologie ou de la cosmologie quantique, en dimension $n = 3$ ou $n \ge 3$, on peut considerer les champs sur une variété compacte ou complète ou non compacte et localement on a une notion de champs local. On peut considerer au départ la variété et puis on regarde ce qui se passe localement, on a encore des champs. Puis, on regarde ce qui se passe globalement ou localement (mesures, obsevation, à partir des données et du champs ou des paramètres, comme $(\Psi, \sigma, \tau, \pi)$ et $(M, g_0)$).

Ici aussi, comme pour l'équation de Schrödinger : La donnée est la fonction $V$ (du type courbure scalaire prescrite) qui peut être constante (Yamabe), $V$ est prescrite (ou Yamabe, $V \equiv \text{constante}$)), on peut prendre $V = \frac{1}{2}m^2\Psi^2$, $V$ est la pulsion ou le signal ou le potentiel), la solution $u$ est une "fonction d'onde" qui lie $V$ à $S_{g_0}$ ou $S_{g_0} - |\nabla\psi|_{g_0}^2$, $S_{g_0}$ est un "champ scalaire".

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

36) **En dimension $n \ge 3$ : résultat d'unicité et de rigidité : en Biologie Mathématique :**

Interpretation en Biologie Mathématique : la Chimiotaxie (Chemotaxis en anglais), est l'étude du mouvement de certaines cellules (les amibes, amoebae en anglais) dans leur environnement, mouvement dû à la libération de substances chimiques par les amibes. Les amibes se déplacent vers les endroits où la concentration de cette substance chimique est la plus grande et s'agregent, forment des agregats. L'interpretation biologique du résultat d'unicité est que les amibes ne peuvent pas former des agregats (ne se concentrent pas) quand on a une solution unique et constante au système de Keller-Segel. Voir l'article de Lin-Ni-Takagi. Le système de Keller-Segel peut se réduire à l'étude d'une seule équation, voir l'article de Lin-Ni-Takagi, Journal of Diff. Equations, 1988. Cette formulation existe sur les variétés compactes sans bord de dimension $n \ge 3$, voir T. Hillen et K Painter.

**Remarque 1** : Il y a aussi les D-branes en dimension 2, cordes ouvertes avec condition de Dirichlet.(fait reference a l'équation du type Liouville (équation de mouvement des particules ou de la corde) avec condition de Dirichlet). Pour la théorie conforme des champs de Liouville. Il y a aussi les D-branes en dimension $n \ge 3$, on a la Kaluza-Klein avec conditions de Dirichlet.
**Remarque 2** : En ce qui concerne l'existence de dimensions supplementaires (extra-dimensions) dans les théories du type Kaluza-Klein : ceci est lié a l'existence d'une nouvelle particule qui est l'axion qui se deplace dans ces dimensions cachées, on peut les detecter ou savoir comment les eliminer avec des outils, des telescopes, voir les articles ou preprint de Horvat, Krcmar, Lakic. Il y a le telescope du CERN, et aussi d'autres appareils, pour essayer de detecter ou eliminer ces particules que sont les axions. C'est dit dans le print de Horvat, Krcmar, Lakic, les dimensions supplementaires (5 + 1), (6 + 1) sont liés a l'astrophysique, elles ont des réalisations. (4+1) c'est la formulation Kaluza-Klein initiale.

"Du type courbure scalaire prescrite"↔ Schrodinger=Dynamique d'une particule non relativiste.

"Du type Yamabe"↔ Schrodinger=Dynamique d'une particule non relativiste.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

37) Des Remarques sur le tenseur metrique en polaires à l'ordre 2 :

Pour ce point voir l'expression du tenseur metrique en coordonnées géodesiques polaires. On le calcule pour des vecteurs de la sphere particuliers en utilisant des transformations orthogonales. La carte choisit sur la sphere est celle des coordonnées spheriques sur la (n-1)-sphere :

Ici, on utilise la formule suivante qui donne le coefficient de la metrique d'ordre $r^2$ :

$$ \frac{1}{3} R_{kpql}(y_i) \theta^p \theta^q \partial_i \theta^k \partial_j \theta^l. $$

On a : $\theta_1 = \cos \tilde{\theta}_1$, $\theta_2 = \sin \tilde{\theta}_1 \cos \tilde{\theta}_2$, ..., $\theta_{n-1} = \sin \tilde{\theta}_1 \sin \tilde{\theta}_2 \dots \sin \tilde{\theta}_{n-1} \cos \tilde{\theta}_{n-1}$, $\theta_n = \sin \tilde{\theta}_1 \sin \tilde{\theta}_2 \dots \sin \tilde{\theta}_{n-2} \sin \tilde{\theta}_{n-1}$. Le $(n-1)$-uplet est $(\pi/2, \pi/2, \dots, \pi/2)$, le vecteur $e_n = (0, 0, \dots, 1)$. Alors le terme d'ordre $r^2$ de la metrique est $R_{innj}(t_0)$, $t_0 = P_0 = x = y_i$.

On prend le $(n-1)$-uplet, $(\pi/2, \pi/2, \dots, \pi/2)$.

Quand on remplace la composante *i* par celle de *n* et celle de *n* par celle de 1, on a $\tilde{g}_{11} = R_{niin}$, $1 \le i \le n-1$ (et on sait que $R_{nnnn} = 0$). On avait un terme contenant $R_{1nn1}$.

Quand on conserve les composantes 1 et 2 et on remplace la composante *i* par celle de *n*, on a $\tilde{g}_{12} = R_{1ii2}$, $3 \le i \le n$ et on sait que $R_{1112} = R_{1222} = 0$.

De meme, pour $\tilde{g}_{mm}$, on remplace la composante *i* par celle de *n* et celle de *n* par celle de *m*. On obtient $\tilde{g}_{mm} = R_{niin}$, pour $i \ne m$ et on avait un terme $= R_{mnnm}$, et on sait que $R_{mnnm} = R_{nmnm}$. Avec, $R_{nnnn} = 0$.

De meme, pour $\tilde{g}_{ij}$, on conserve les composantes, *i* et *j* et pour $k \ne i, j$, on remplace la composante *k* par celle de *n*. On a alors, $\tilde{g}_{ij} = R_{ikkj}$ pour $k \ne i, j$, mais on sait que $R_{iiij} = R_{ijjj} = 0$. On avait un terme contenant $R_{innj}$.

1) ce n'est pas vrai, que l'ordre soit forcément superieur a $r^2$, on ne sait rien de cela, dans le theoreme 1.53 du livre d'Aubin, on doit prendre $b > 0$, $a > 0$. Le tenseur metrique est de l'odre de $r^2$ et sa derivée est de l'ordre de $r$. Il n'y a plus rien a faire.

2) Si on suppose que $Ricci \ne 0$, il y a au moins un terme $Ricci_{ij} \ne 0$, cela veut dire qu'il y a au moins un terme de la courbure de Riemann $R_{ikkj} \ne 0$. Or on a vu par les transormations orthogonales qu'en se placant en un des vecteurs de base $e_i$, on a le terme d'ordre $r^2$ de la metrique est un $R_{ikkj} \ne 0$. Cela veut dire qu'on ne peut pas l'eliminer.

Donc, on ne peut pas ameliorer l'ordre de la derivée du tenseur metrique, sur une variété quelconque en particulier $Ricci \ne 0$. Sur une variété quelconque, on ne peut pas depasser l'odre $r^2$ dans la metrique en coordonnées geodesiques polaires. Il faut supposer au moins que $Ricci \equiv 0$. Mais dans le cas general ce n'est pas possible.

3) Pour arriver par un changement de metrique conforme a avoir $Ricci = 0$, voir le livre de Hebey, il faut avoir $Weyl = 0$ et resoudre une equation en utlisant les conditions de Frobinius, donc, il faut supposer une condition sur $Weyl$ ou supposer que $Weyl = 0$, ce qui veut dire que la variété est loc.conf.plat, ce qui ne sert a rien car on est dans le cas, non.loc.conf.plat.

4) Meme si on suppose par exemple tous les termes de la forme $R_{ikkj} = 0$, avec un double indice quelque part, ce qui implique que $Ricci = 0$, alors il y aura toujours un point ou on a un terme du type $R_{ijkl}$, comme le tenseur de Riemann est non nul ceci implique que la metrique a un terme d'ordre $r^2$. Par exemple avec $\tilde{\theta}_1 \ne 0$, $\pi/2$ et $\tilde{\theta}_2 = \dots = \tilde{\theta}_{n-1} = \pi/2$, on conserve le terme $R_{2n13}$, en permutant les lignes, on conserve $R_{2kl3}$, comme les indices 2 et 3 sont quelconques, on a au moins un point avec $R_{1234}$ ou plus généralement $R_{ijkl}$.
En fait, on a soit $R_{2n13}$ soit $R_{21n3}$ (on a calculé $g_{23}$) et on regarde aussi $R_{23n1}$ et $R_{2n31} = -R_{2n13}$ (on echange certaines lignes, et on calcul $g_{23}$), et on utlise l'identité de Bianchi.

5) Quand on considère l'équation de Yamabe, cela veut dire qu'on considère une courbure prescrite $\equiv 1$. Le gradient est nul dans toutes les directions. Cela veut dire que toutes les directions sont prises en compte ou bien aucune direction n'est prévilégiée, la symétrie de la sphere. La technique utilisée dans la recherche d'estimation a priori est la technique moving-sphere, elle optimise la recherche d'estimations a priori et ne préviliege aucune direction. Pour les dimensions $n = 3, n = 4, n = 5, n = 6$, l'ordre d'annulation du tenseur métrique en polaire, permet d'avoir l'estimation a priori, jusqu'à l'ordre $r^2$, a partir de cet ordre, il y a une direction prévilégie, or ceci n'est pas possible car on a supposé qu'aucune direction n'est prévilégiee. Donc le cas limite est $n = 6$, pour les dimensions superieures à 7, il faut supposer des hypothèses supplementaires. Pour le cas général, le cas limite est $n = 6$.

Pour le cas limite, $n = 6$, on a utilisé cette invariance par symétrie de la sphere, car les solutions tendent vers une fonction radiale.

Pour la dimension $n = 4$ et l'Eq. de la courbure prescrite ou du type courbure prescrite (presence d'un potentiel), on donne des conditions sur le potentiel (petit en norme Lipschitz, proche d'une constante et la constante $> 0$ est quelconque, petite ou grande, oscille autour d'une constante $> 0$), pour pouvoir appliquer cette méthode moving-sphere en présence d'un potentiel (possibilité d'une direction prévilégiée).

6) Si, on regarde la théorie de Kaluza-Klein, ou des extra-dimensions, il faut que la propriété soit vraie pour toute variété, pour que la Probabilité que la formulation soit vraie, soit de 1. Ceci est possible en dimensions, $n = 3, n = 4, n = 5, n = 6$, ou bien les conditions supplementaires soit compatibles avec la théorie de Kaluza-Klein, par exemple, la compacité de la variété et opérateur conforme coercif (ce qui est prouvé dans ce cas, par YY.Li-L.Zhang, par contre Choquet-Bruhat-York-Isenberg-Pollack ont considéré le cas ou la variété n'est pas nécessairement compacte). Pour le cas général, le cas limite est $n = 6$.

-On a vu ci-dessus qu'il y avait une obstruction géométrique, de la courbure de Riemann (tenseur de Riemann) : "obstruction de la gravité" liée à la courbure, car la gravité est liée à la courbure ; obstruction d'astronomie, théorique.

-On a aussi des conditions astrophysiques, obstructions numeriques, obstructions astrophysiques, concretes, expérimentales, en, $5+1, 6+1$, voir l'article de, G.F. Giudice et J.D. Wells ; et le cas $4+1$ aussi ; Extra-dimensions, dans Review of Particle Physics, 2005-2006. Dans, Particle Data Group, nouvelle édition en 2021.

En ce qui nous concerne, la Théorie de Kaluza-Klein, c'est en $4+1, 5+1, 6+1$. Et le cas $3+1$, c'est la relativité générale. On a bien le cas limite est $n = 6$.

Dans la Théorie des Supercordes c'est en $9+1 = 10$ dimensions spatio-temporelles et les dimensions supplementaires forment un espace à 6 dimensions du type Aubin-Calabi-Yau.

Chaque Théorie explique des phénomènes de la physique, d'astronomie, d'astrophysique (comme le disent Horvat, Krcmar, Lakic, voir leur prints sur les axions et les extra-dimensions) ou(et) les interactions des particules.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

On va mieux expliquer en utilisant les contre-exemples de, C.C.Chen-C.S.Lin, Journal of Diff.Geometry.1998 :

On considère des métriques conformes (au sens des matrices) :

$$g_u = u^{4/(n-2)}g = u^{4/(n-2)}(dr^2 + r^2(1 + Weyl \cdot r^2 + \dots)d\theta^2),$$

la courbure scolaire de $g_u$ est $V$, les contre exemples de Chen-Lin, sont possibles si la platitude est d'ordre $[(n-2)/2]$, avec un coefficient ne tendant pas vers 0. La courbure scolaire est deduite du tenseur de Riemann, qui est deduit de la métrique en derivant 2 fois. Donc, pour obtenir $V$, il faut deriver 2 fois $g_u$, donc il faut deriver 2 fois $g$, or le développement de $g$ contient le tenseur de Weyl, à l'ordre 2, donc, quand on derive 2 fois $g$, on obtient $Weyl \neq 0$. Donc la platitude est possible jusqu'à l'ordre 2. Cela veut dire que du point de vue de la dimension, $[(n-2)/2] = 2$, donc, la platitude est possible jusqu'à la dimension $n = 6$, comme les coefficients devant le tenseur de Weyl, tendent vers 0, la dimension $n = 6$ est incluse dans la platitude. Cela veut dire que la dimension $n = 6$ est le cas limite dans la notion de platitude. De plus l'exemple de Chen-Lin, dit que le meilleur qu'on puisse obtenir est sup majoré si inf minoré, c'est a dire que
l'inégalité de Harnack explicite n'est pas facilement possible, c'est a dire que c'est difficile de
l'obtenir.

Pour Chen-Lin, les contre exemples, commencent des que la platitude est d'ordre [(n - 2)/2]
pour V, avec des coefficients ne tendant pas vers 0. Or il faut deriver g<sub>u</sub> 2 fois pour obtenir V,
mais g<sub>u</sub> = u<sup>4/(n-2)</sup>g = u<sup>4/(n-2)</sup>(dr<sup>2</sup>+r<sup>2</sup>(1+Weyl·r<sup>2</sup>+...))dθ<sup>2</sup>) (au sens des matrices), donc,
il faut deriver 2 fois g, or, deriver 2 fois g c'est obtenir Weyl ≠ 0. Donc, les contre-exemples
commencent des que [(n - 2)/2] = 2. Comme, pour le cas n = 6, les coefficients devant Weyl
tendant vers 0, les contre exemples, ne commencent que pour n ≥ 7. De plus, Chen-Lin, disent
que pour la platitude [(n - 2)/2], le meilleur qu'on puisse obtenir est sup majoré si inf est
minoré.(on n'a pas cela). Ce qui veut dire que le cas limite n = 6, ce cas est inclus dans les cas
ou l'inégalité est possible et que le meilleur qu'on puisse obtenir est sup majoré si inf est minoré.

(La platitude de V est liée à la platitude de ∂<sub>rr</sub>(g), considerer la platitude de V, c'est aussi
considerer la platitude dans la classe : ∂<sub>rr</sub>(g), il faut deriver 2 fois g, c'est "dans la classe de
derivation 2 fois". Si on prend V = 1, il faut que cette platitude soit compatible avec la platitude
de ∂<sub>rr</sub>(g)).

Donc, avec la notion de platitude et en particulier $V = 1$ (equation de Yamabe), le cas limite est $n = 6$ et le mieux qu'on puisse obtenir est sup majoré si inf est minoré. On n'a pas forcement $(\sup)^\alpha \times \inf \le c$. On a (le mieux qu'on puisse obtenir) : sup majoré si inf est minoré pour le cas limite $n = 6$, une inégalité de Harnack implicite.

Donc, avec la notion de platitude, il faut considerer une classe de metriques plus petite. Pour $n = 6$, en considerant n'importe quelle metrique $g$ sur $M$, le mieux qu'on puisse avoir c'est sup majoré si inf est minoré, une inégalité de Harnack implicite, on n'a pas forcément une inégalité explicite ($\sup)^\alpha \times \inf \le c$. Il faut diminuer la quantité de metriques sur la variété $M$. Par exemple pour les potentiels $C1$, en dimension 4, il faut prendre un espace symétrique, Ricci plat. Quand on prend un espace symétrique, on inclut, les espaces euclidien pour lesquels, il y a des contre exemples de Chen-Lin à l'ordre : $(n-2)/2, n \ge 5$. Donc, il faut faire attention avec les espaces symetriques.

(Dans les contre-exemples de Chen-Lin (1998), il faut que : $\int_{\mathbb{R}^n} Q(\xi + y) U_0^{2n/(n-2)} dy < 0$, donc, les contre exemples sont valables, par exemples, qu'avec $Q < 0$, par exemple, le blow-up, ne peut pas etre un minimum ($Q > 0$, ca ne peut pas blow-up). D'où, les resultats de Chen-Lin (1997) et L.Zhang (2007), avec $Q = \Delta V > 0$ positive. Ca peut etre d'ordre $(n-2)/2$ et $Q > 0$. Les contre exemples, sont construits pour l'ordre $\alpha \ge (n-2)/2$, $\alpha > 1$ et $Q < 0$).

Donc, avec la notion de platitude on n'a pas l'inégalité de Harnack explicite pour $n = 6$ et les
contre-exemples commencent à partir de $n \ge 7$.

Pour obtenir des résultats plus généraux concernant le $\sup \times \inf$, voir la partie et la notion de :
géomérisation.

38) Sur, $\sup u_i \le f(\inf u_i)$, en dimension 4 pour l'Eq. de courbure scalaire prescrite ou du type courbure scalaire prescrite en dimension 4.

On a une sorte de "compacité" dans l'espace des solutions (u, V) avec 0 < a ≤ V ≤ b < +∞ et ∇V petit, V proche d'une constante : La propriété est vraie pour tout ensemble denombrable de solutions avec V proche d'une constante. Si, on prend un "ensemble continu" de solutions, on peut en extraire une suite pour laquelle $\sup u_i \le f(\inf u_i)$. Si $(u_t)_{(t \in I)}$ est un ensemble de solutions relativement à $(V_t)_{(t \in I)}$ proche d'une constante, alors "on peut avoir pour un sous ensemble denombrable" $J \approx \mathbb{N}$, $J \subset I$, $J$ dénombrable, avec V proche d'une constante, $\sup u_i \le c_J(\inf u_i)$, $i \in J$. Dans l'ensemble des solutions (u, V), pour une suite denombrable de solutions J, $\sup u_i \le c_J(\inf u_i)$, c'est une sorte de compacité de la propriété $P_{\{sup,inf\}} = \{\sup u \le c(\inf u)\}$, dans l'ensemble des solutions : (u, V) avec V proche d'une constante. Ceci est coherent avec la notion d'estimation a priori, car on a la compacité après extraction de sous-suite d'un ensemble donné.

-Le dénombrable et les ondes : dualité onde-corpuscule. Pour les ondes on a un flot continu d'emissions, alors que pour les corpuscules on a un nombre dénombrable d'emissions distinctes. Les deux interpretations de la matière sont possibles en physique, donc, il suffit d'avoir la propriété pour un nombre dénombrable ou une suite. Ce qui est le cas en dimension 4, pour l'Eq. de