# Théorème de densité de Tchebotareff et monogénéité de modules sur l'algèbre d'un groupe métacyclique

par

NICOLE MOSER (Grenoble)

Soit $\mathcal{G}$ un groupe métacyclique, c'est-à-dire un produit semi-direct de groupes cycliques. Le théorème de densité de Tchebotareff permet de démontrer la monogénéité de certains $\mathbb{Z}[\mathcal{G}]$-modules construits à partir d'idéaux de corps cyclotomiques $\mathcal{Q}^{(d)}$, pour $d$ diviseur de l'ordre de $\mathcal{G}$. On en déduit une classification complète des $\mathbb{Z}[\mathcal{G}]$-modules monogènes, dans le cas où $\mathcal{G}$ est un groupe diédral d'ordre $2p$, $p$ premier. Une conséquence arithmétique intéressante de cette classification porte sur les unités de Minkowski. On rappelle qu'une extension galoisienne $K/\mathcal{Q}$, de groupe de Galois $\mathcal{G}$, possède une unité de Minkowski si le $\mathbb{Z}[\mathcal{G}]$-module quotient du groupe des unités de $K$ par le sous-groupe des unités de torsion, est monogène. On sait déjà (voir [3]) que si le sous-corps réel maximal du $p$-ième corps cyclotomique $\mathcal{Q}^{(p)}$ est principal, toute extension diédrale imaginaire de degré $2p$ de $\mathcal{Q}$ admet une unité de Minkowski. Le résultat démontré dans cet article permet de supprimer l'hypothèse sur $\mathcal{Q}^{(n)}$: toute extension diédrale imaginaire de degré $2p$ de $\mathcal{Q}$ admet une unité de Minkowski. Les unités de Minkowski rencontrées dans les travaux antérieurs appartenaient au sous-corps réel de $K$, ou étaient de norme triviale sur ce sous-corps; on en construit ici de nouveaux types.

Tous les modules considérés dans cet article sont des $\mathbb{Z}$-modules sans torsion et de type fini; si $\Gamma$ est un groupe fini, on utilise uniquement des structures de $\mathbb{Z}[\Gamma]$-modules à gauche. Enfin, pour tout entier $d$, on note $\zeta_d$ une racine primitive $d$-ième de l'unité, $\mathcal{Q}^{(d)} = \mathcal{Q}(\zeta_d)$ le $d$-ième corps cyclotomique, et $A_d$ l'anneau des entiers de $\mathcal{Q}^{(d)}$.

**1. Quelques lemmes généraux.** Soit $\Gamma$ un groupe fini; étudier les représentations entières de $\Gamma$, c'est déterminer les $\mathbb{Z}[\Gamma]$-modules indécomposables. Pour la construction de ces modules, on utilise les deux opérations de somme directe de sous-modules, et d'extension d'un sous-module par un autre. Le comportement de la propriété de $\mathbb{Z}[\Gamma]$-monogénéité, relativement à ces deux opérations, est décrit dans les lemmes ci-dessous:
LEMME 1. Soient $\Gamma$ un groupe fini, et $M$ un $Z[\Gamma]$-module somme directe de deux sous $Z[\Gamma]$-modules $N_1$ et $N_2$.

(i) Si $M$ est $Z[\Gamma]$-monogène, de générateur $(\alpha, \beta)$, alors $N_1$ (resp. $N_2$) est $Z[\Gamma]$-monogène de générateur $\alpha$ (resp. $\beta$);

(ii) On suppose $N_1$ et $N_2$ $Z[\Gamma]$-monogènes; soient $\alpha$ un générateur de $N_1$, d'annulateur $\mathcal{A}$ dans $Z[\Gamma]$, et $\beta$ un générateur de $N_2$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

(a) $(\alpha, \beta)$ est générateur de $M$;

(b) $\mathcal{A} \cdot \beta = N_2$.

Démonstration. L'assertion (i) est immédiate.

Si l'on suppose $(\alpha, \beta)$ générateur de $M$, quel que soit $(0, y)$ dans $M$, il existe $\lambda$ élément de $Z[\Gamma]$ tel que

$$ \lambda(\alpha, \beta) = (0, y), $$

et $\mathcal{A} \cdot \beta$ est égal à $N_2$.

Réciproquement, si $\mathcal{A} \cdot \beta = N_2$, quel que soit $(x, y) \in M$, il existe $\lambda$ dans $Z[\Gamma]$ et $\mu$ dans $\mathcal{A}$ tels que

$$ \lambda \cdot a = x \quad \text{et} \quad \mu \cdot \beta = y - \lambda\beta, $$

et on a $(\lambda + \mu)(\alpha, \beta) = (x, y)$. ■

On considère ensuite le $Z[\Gamma]$-module $M$, extension du $Z[\Gamma]$-module $N_2$ par le $Z[\Gamma]$-module $N_1$ construite à l'aide du cocycle $f \in Z^1(\Gamma, \text{Hom}_Z(N_2, N_1))$. Une telle extension est notée $(N_1, N_2, f)$, ou $(N_1, N_2)$ lorsqu'il n'y a pas ambiguïté sur le choix du cocycle. On rappelle que $(N_1, N_2, f)$ est le $Z$-module $N_1 \oplus N_2$, sur lequel $\Gamma$ agit de la manière suivante: quels que soient $x \in N_1$, $y \in N_2$, $\sigma \in \Gamma$, on a

$$ \sigma(x, y) = (\sigma x + f_{\sigma}(\sigma y), \sigma y). $$

DEFINITION 1. Etant donné l'extension $(N_1, N_2, f)$, soit $\beta$ un élément de $N_2$. On appelle $\Phi_{f,\beta}$ l'application $Z$-linéaire de $Z[\Gamma]$ dans $N_1$ définie par :

$$ \Phi_{f,\beta} \left( \sum_{\sigma \in \Gamma} a_{\sigma} \sigma \right) = \sum_{\sigma \in \Gamma} a_{\sigma} f_{\sigma} (\sigma \beta) \quad (a_{\sigma} \in Z). $$

LEMME 2. Soit $M$ le $Z[\Gamma]$-module $(N_1, N_2, f)$, où $f \in Z^1(\Gamma, \text{Hom}_Z(N_2, N_1))$.

(i) Si $M$ est $Z[\Gamma]$-monogène, de générateur $(\alpha, \beta)$, $N_2$ est $Z[\Gamma]$-monogène, de générateur $\beta$.

(ii) On suppose $N_2$ $Z[\Gamma]$-monogène; soit $\beta$ un générateur de $N_2$, d'annulateur $\mathcal{A}$ dans $Z[\Gamma]$. Si $\Phi_{f,\beta}(\mathcal{A}) = N_1$, $M$ est $Z[\Gamma]$-monogène de générateur $(0, \beta)$.

Démonstration. Le premier résultat provient de la définition de l'action de $\Gamma$ sur $M$.

Si $(x, y)$ est un élément arbitraire de $(N_1, N_2, f)$ sous les hypothèses de (ii), il existe $\lambda$ dans $Z[\Gamma]$ avec $\lambda\beta = y$, et $\mu$ dans $\mathcal{A}$ tel que

$$ \Phi_{f,\beta}(\mu) = x - \Phi_{f,\beta}(\lambda). $$

Donc

$$ (\lambda + \mu)(0, \beta) = (x, y). \quad \blacksquare $$

Lorsque le $Z$-rang de l'annulateur $\mathcal{A}$ de $\beta$ est plus grand que celui de $N_1$, la structure de $N_1$ ne semble pas intervenir dans le fait que $(N_1, N_2, f)$ soit monogène ou non.

LEMME 3. Soient $N_1, N_2$ et $N_3$ des $Z[\Gamma]$-modules. Si $N_1 \oplus N_2$ n'est pas $Z[\Gamma]$-monogène, quelle que soit l'extension $(N_3, N_2, f)$ considérée, le module $N_1 \oplus (N_3, N_2, f)$ n'est pas $Z[\Gamma]$-monogène.

Démonstration. D'après le lemme 1, il suffit d'examiner le cas où $N_1$ et $N_2$ sont $Z[\Gamma]$-monogènes. Tout élément $(\gamma, \beta)$ susceptible de fournir un générateur de $(N_3, N_2, f)$ est construit à l'aide d'un générateur $\beta$ de $N_2$ (lemme 2); l'annulateur de $(\gamma, \beta)$ est un sous $Z[\Gamma]$-module de l'annulateur $\mathcal{A}$ de $\beta$. Or, d'après le lemme 1, quel que soit le générateur $\alpha$ de $N_1$ considéré, $\mathcal{A} \cdot \alpha$ est un sous-module strict de $N_1$. ■

2. Où intervient le théorème de densité de Tchebotareff. Soit $G$ un groupe métacyclique d'ordre $m \times n$, $m$ et $n$ entiers; il est engendré par deux éléments $\sigma$ et $\tau$ liés par les relations

$$ \sigma^m = \tau^n = 1 \quad \text{et} \quad \tau\sigma\tau^{-1} = \sigma^r, $$

où $r$ est une racine $n$-ième de l'unité modulo $m$ dont l'order $l$ est un diviseur commun à $n$ et à $\varphi(m)$; ($\varphi$ désigne l'indicateur d'Euler). Si $l$ est égal à 1, alors $G$ est le produit direct de deux groupes cycliques. Tout élément de $G$ s'écrit de manière unique $\sigma^l \tau^j$, ou $\tau^j \sigma^l$, avec $0 \le i \le m-1$ et $0 \le j \le n-1$.

Plusieurs auteurs ont étudié les représentations entières de groupes métacycliques particuliers, par exemple M. P. Lee ([2]), pour $m$ premier et $n$ égal à 2, ou S. Galovitch, I. Reiner et S. Ullom ([1]), pour $m$ premier et $r$ racine primitive $n$-ième de 1 modulo $m$. Les $Z[G]$-modules indécomposables obtenus sont construits à partir d'idéaux de corps cyclotomiques munis de l'une des structures de $Z[G]$-module décrites dans les propositions 4 et 5.

PROPOSITION 4. Soient $d$ un diviseur de $n$, et $\alpha$ un idéal de $Q^{(a)}$. Lorsque $\sigma$ opère triviallement sur $\alpha$, et que $\tau$ agit par multiplication par $\zeta_d$, le $Z[G]$-module $\alpha$ est monogène si et seulement si l'idéal $\alpha$ est principal.
Démonstration. Soit $\lambda = \sum_{j=0}^{n-1} \sum_{i=0}^{m-1} a_{ij} \sigma^i \tau^j$, $a_{ij} \in \mathbb{Z}$, un élément arbitre de $\mathbb{Z}[G]$; pour $\alpha$ élément de $\alpha$, on a

$$ \lambda \cdot \alpha = \sum_{j=0}^{n-1} \left( \sum_{i=0}^{m-1} a_{ij} \right) \zeta_d^j \alpha. $$

Comme les éléments $\{1, \zeta_d, \dots, \zeta_d^{(d-1)}\}$ constituent une $\mathbb{Z}$-base de $A$ est donc clair que:

$$ \mathbb{Z}[G] \cdot \alpha = A_d \alpha. $$

Le $\mathbb{Z}[G]$-module $\alpha$ est monogène si et seulement si l'idéal $\alpha$ est princé et les générateurs de $\alpha$ en tant que $\mathbb{Z}[G]$-module sont les générateur l'idéal $\alpha$ de $Q^{(d)}$. ■

**PROPOSITION 5.** Soit $\delta$ un diviseur de m tel que l' divise $\varphi(\delta)$. On s'l' élément de Gal($Q^{(\delta)}|Q$) défini par $s(\zeta_{\delta}) = \zeta_{\delta}^{\tau_{\delta}}$, et b un idéal non nul $Q^{(\delta)}$ fixe par $s$, sur lequel $\sigma$ agit par multiplication par $\zeta_{\delta}$, et $\tau$ comme l'élément $s$. Si $r$ est distinct de 1, le $\mathbb{Z}[G]$-module $b$ est monogène; un élément $\beta \in$ générateur de $b$ si et seulement si

$$ \beta A_d = bq, $$

$$ \text{avec } q + q^s + \dots + q^{s^{l-1}} = A_d. $$

Démonstration. D'après le théorème de densité de Tchebotare, densité analytique des idéaux de degré résiduel 1 et d'indice de ramification 1, appartenant à une classe d'idéaux fixée de $Q^{(\delta)}$, est non nulle particulier, il existe un tel idéal $q$ dans la classe de $b^{-1}$, et l'idéal $b$ principal; soit $\beta$ un de ses générateurs, et soit $\lambda = \sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-1} a_{ij} \sigma^i \tau^j$ un élément de $\mathbb{Z}[G]$:

$$ \lambda \cdot \beta = \sum_{j=0}^{n-1} \left( \sum_{i=0}^{m-1} a_{ij} \zeta_d^i \right) s^j(\beta). $$

Donc

$$ \begin{aligned} \mathbb{Z}[G]\beta &= \sum_{j=0}^{n-1} A_d s^j(\beta) = bq + (bq)^s + \dots + (bq)^{s^{n-1}} \\ &= b(q + q^s + \dots + q^{s^{l-1}}) = b. \end{aligned} $$

Ce calcul permet aussi de caractériser les générateurs du $\mathbb{Z}[G]$-module $b$. ■

**PROPOSITION 6.** On suppose que $m$ est un nombre premier $p$, et $r$ est distinct de 1. Soient $p$ l'idéal premier de $Q^{(p)}$ au-dessus de $p$, $\alpha$ et $b$ idéaux du sous-corps de $Q^{(p)}$ fixe par $s(\zeta \to \zeta^r)$, et $e$ un entier tel que $(e \le l-1)$. On munit les idéaux $p^\alpha$ et $p^\beta$ de la structure de $\mathbb{Z}[G]$-module dé

à la proposition 5, pour $\delta = p$. Alors, le $\mathbb{Z}[G]$-module $p^\alpha a \oplus p^\beta b$ n'est pas monogène.

Démonstration. A $\mathbb{Z}[G]$-isomorphisme près, seules comptent les classes des idéaux $\alpha$ et $b$; on peut donc choisir ces idéaux premiers à $p$. D'après la proposition 5, le module $p^\alpha$ est $\mathbb{Z}[G]$-monogène; soit $(1-\zeta)^e u$ un de ses générateurs: $u$ n'appartient pas à $p$. Soit $\lambda = \sum_{i=0}^{p-1} \sum_{j=0}^{n-1} a_{ij} \sigma^i \tau^j$ un élément de $\mathbb{Z}[G]$. Si l'on pose $A_j = \sum_{i=0}^{p-1} a_{ij} \zeta_i^j$, on a:

$$ \lambda \cdot (1 - \zeta)^e u = \sum_{j=0}^{n-1} A_j s^j [(1 - \zeta)^e u] = \sum_{j=0}^{n-1} A_j (1 - \zeta^j)^e s^j(u). $$

On note $\eta_{r,j} = (1-\zeta^j)(1-\zeta)^{-1}$; comme $s^j(u)$ est congru à $u \mod p$, si $\lambda$ appartient à l'annulateur de $(1-\zeta)^e u$, on a:

$$ \sum_{j=0}^{n-1} A_j \eta_{r,j}^e \equiv 0 \mod p. $$

Tout générateur de $p^\beta b$ est de la forme $(1-\zeta)^e v$, où $v$ n'appartient pas à $p$. Si $\lambda$ est dans l'annulateur de $(1-\zeta)^e u$,

$$ \lambda \cdot (1 - \zeta)^e v = (1 - \zeta)^e \sum_{j=0}^{n-1} A_j \eta_{r,j}^e s^j(v). $$

Comme $s^j(v) - v$ appartient à $p$, $\lambda \cdot (1-\zeta)^e v$ appartient à $p^{e+1}$, et d'après le lemme 1, $p^\alpha a \oplus p^\beta b$ ne peut être $\mathbb{Z}[G]$-monogène. ■

**3. Application au cas $G$ diédral d'ordre $2p$.** Si $G$ est un groupe diédral d'ordre $2p$, $p$ nombre premier impair, il est engendré par deux éléments $\sigma$ et $\tau$ vérifiant les relations:

$$ \begin{aligned} \sigma^p &= \tau^2 = 1, \\ \tau\sigma &= \sigma^{-1}\tau. \end{aligned} $$

Un $\mathbb{Z}[G]$-module monogène $M$ est un $\mathbb{Z}$-module de rang inférieur ou égal à $2p$; il se décompose en somme directe (non nécessairement unique) de $\mathbb{Z}[G]$-modules indécomposables. Or M. P. Lee a dénombré, à isomorphisme près, $7h+3 \mathbb{Z}[G]$-modules indécomposables, où $h$ désigne le nombre de classes du sous-corps réel maximal de $Q^{(p)}$ (cf. [2]). Dans cette classification, on rencontre d'abord trois $\mathbb{Z}[G]$-modules sur lesquels $\sigma$ agit triyalement:

$S_1 = \mathbb{Z}$, sur lequel $\tau$ opère triviallement;

$S_2 = \mathbb{Z}$, sur lequel $\tau$ opère par multiplication par $-1$;

$S_3 = \mathbb{Z} + \mathbb{Z}\tau$, sur lequel $\tau$ opère par multiplication par $\tau$.
**PROPOSITION 7.** (i) Les trois $Z[G]$-modules $S_1, S_2$ et $S_3$ sont monogènes. Tout générateur de $S_1$ (resp. $S_2$, resp. $S_3$) admet comme annulateur de $Z[G]$ l'idéal $Z[G](1-\sigma, 1-\tau)$ (resp. $Z[G](1-\sigma, 1+\tau)$, resp. $Z[G](1-\sigma, 1+\tau)$). (ii) Si $M$ est un $Z[G]$-module monogène, son écriture comporte au $\lambda$ un des modules $S_i$.

Démonstration. (i) Les modules $S_1$ et $S_2$ vérifient les hypothètes de la proposition 4; ils sont $Z[G]$-monogènes, et admettent uniquem comme générateurs $+1$ et $-1$. Soit $\varepsilon$ l'un de ces générateurs et soit $\sum_{i=0}^{p-1} \sigma^i(a_i+b_i\tau)$ un élément arbitraire de $Z[G]$.

Si $\lambda$ appartient à l'annulateur de $\varepsilon$, générateur de $S_1$, on a:

$$ \lambda \cdot \varepsilon = \sum_{i=0}^{p-1} (a_i + b_i) \varepsilon = 0; $$

donc $\lambda = \sum_{i=0}^{p-1} a_i(\sigma^i - \tau\sigma^{i-1}) + \sum_{i=0}^{p-2} b_i\tau(\sigma^i - \sigma^{i-1})$; or $\sigma^i - \tau\sigma^{i-1} = \sigma(\sigma^{i-1} - \sigma(\sigma^{i-1}-1)+1-\tau)$. Donc $\lambda$ appartient à $Z[G](1-\sigma, 1-\tau)$; la réciproque est évidente.

Si l'on considère ensuite $\varepsilon$ comme générateur de $S_2$, et si $\lambda\varepsilon = 0$ on a:

$$ \sum_{i=0}^{p-1} (a_i - b_i) \varepsilon = 0; \\ \lambda = \sum_{i=0}^{p-1} a_i(\sigma^i + \tau\sigma^{i-1}) + \sum_{i=0}^{p-2} b_i\tau(\sigma^i - \sigma^{i-1}) \\ = \sum_{i=0}^{p-1} a_i\sigma(\sigma^{i-1} - 1 + \tau) + \sum_{i=0}^{p-2} b_i\tau(\sigma^i - \sigma^{i-1}). $$

Donc $\lambda$ est un élément de $Z[G](1-\sigma, 1+\tau)$; il est clair que cet idéal inclus dans l'annulateur de $\varepsilon$.

Enfin, par définition de l'action de $G$ sur $S_3$, 1 engendre le $Z$[module $S_3$; supposons que $x+y\tau$, $x$ et $y$ dans $Z$, soit un autre générateur de $S_3$: il existe $\lambda = \sum_{i=0}^{p-1} \sigma^i(a_i+b_i\tau)$ dans $Z[G]$ tel que $\lambda(x+y\tau) = 1$. posant $A = \sum_{i=0}^{p-1} a_i$ et $B = \sum_{i=0}^{p-1} b_i$, on obtient le système
$$ \begin{cases} Ax+By=1, \\ Ay+Bx=0. \end{cases} $$
Donc $1 = (Ax+By)^2 - (Ay+Bx)^2 = (A^2-B^2)(x^2-y^2)$, d'où $x^2-1 = \pm 1$.

Donc l'un des deux entiers $x$ et $y$ vaut 0, et l'autre $\pm 1$. Les seuls générateurs de $S_3$ sont 1, $-1$, $\tau$ et $-\tau$; soit $g$ l'un d'eux.

Soit $\lambda = \sum_{i=0}^{p-1} \sigma^i (a_i + b_i \tau)$ un élément de l'annulateur de $g$:

$$ \sum_{i=0}^{p-1} \sigma^i (a_i + b_i \tau) g = \sum_{i=0}^{p-1} a_i g + \sum_{i=0}^{p-1} b_i \tau g; \\ \lambda = \sum_{i=0}^{p-2} [a_i(\sigma^i - \sigma^{i-1}) + b_i \tau(\sigma^i - \sigma^{i-1})]. $$

Donc $\lambda$ appartient à l'idéal $Z[G](1-\sigma)$; inversement, cet idéal annule $g$.

(ii) On suppose que deux des modules $S_i$ interviennent dans l'écriture du $Z[G]$-module $M$. D'après les résultats de M. P. Lee [2], on rencontre soit la somme directe $\tilde{S}_i \oplus S_j$, soit la somme directe de $S_i$ et d'une extension de $S_j$ par un module $N$, $S_i \oplus (N, S_j)$. Comme on vient de montrer que l'annulateur d'un générateur de $S_i$ est en fait l'annulateur du module, d'après les lemmes 1 et 2, le cas $i=j$ est exclu pour $M$ monogène.

D'autre part, l'annulateur de $S_3$ est contenu dans l'annulateur de $S_1$ et dans celui de $S_2$, donc toujours d'après les mêmes lemmes, l'écriture d'un module $M Z[G]$-monogène ne peut contenir $S_3$ en même temps que $S_1$ ou $S_2$.

Enfin, on élimine les cas $(i, j) = (1, 2)$ et $(i, j) = (2, 1)$ en utilisant les deux inclusions

$$ Z[G](1-\sigma, 1-\tau)S_2 \subset 2S_2 \text{ et } Z[G](1-\sigma, 1+\tau)S_1 \subset 2S_1. \blacksquare $$

Pour écrire les autres modules indécomposables obtenus par M. P. Lee, on utilise les notations suivantes:

$\zeta$: une racine primitive $p$-ième de l'unité; $A = Z[\zeta]$; $p = (1-\zeta)A$; $h$ = nombre de classes du sous-corps réel maximal de $Q^{(p)}$; $\{a_i\}_{1\le i \le h} = \text{un système de représentants des classes d'idéaux du sous-corps réel maximal de } Q^{(p)}, \text{ formé d'idéaux premiers à } p$. Les $7h Z[G]$-modules indécomposables restant sont:

* $a_i A$ et $a_i p$, où $\sigma$ agit par multiplication par $\zeta$, et $\tau$ comme la conjugaison complexe, notée $s$;

* $(a_i A, S_2, f)$, avec $f \in Z^1(G, \text{Hom}_Z(S_2, a_i A))$, tel que $f_\sigma(1) \in a_i A \setminus a_i p$;

* $(a_i p, S_1, g)$, avec $g \in Z^1(G, \text{Hom}_Z(S_1, a_i p))$, tel que $g_\sigma(1) \in a_i p \setminus a_i p^2$;

* $(a_i A, S_3, f_1)$, avec $f_1 \in Z^1(G, \text{Hom}_Z(S_3, a_i A))$ tel que $f_{1\sigma}(1) \in a_i A \setminus a_i p$;

* $(a_i p, S_3, g_1)$, avec $g_1 \in Z^1(G, \text{Hom}_Z(S_3, a_i p))$ tel que $g_{1\sigma}(1) \in a_i p \setminus a_i p^2$;

* $(A \oplus a_i p, S_3, f_1 + g_1)$.
PROPOSITION 8. Si $\mathcal{G}$ est un groupe diédral d'ordre $2p$, tous les $\mathbb{Z}[\mathcal{G}]$-modules indécomposables de $\mathbb{Z}$-rang inférieur ou égal à $p+1$ sont monogènes.

Démonstration. Le travail est fait dans la proposition 7 pour $S_1, S_2$ et $S_3$. La proposition 5 donne la monogénéité des modules $\mathfrak{a}_i\mathcal{A}$ et $\mathfrak{a}_i p$.
Soit $\alpha$ un générateur du $\mathbb{Z}[\mathcal{G}]$-module $\mathfrak{a}_i\mathcal{A}$:

$$ \alpha \mathcal{A} = \mathfrak{a}_i \mathfrak{b}, \quad \mathfrak{b} + \mathfrak{b}^s = \mathcal{A}; $$

donc $\alpha$ n'appartient pas à $\mathfrak{a}_i p$, et l'extension de $S_2$ par $\mathfrak{a}_i \mathcal{A}$ construite à l'aide du cocycle défini par $f_\sigma(1) = \alpha$ est indécomposable. Par définition de l'action de $\mathcal{G}$ sur $\operatorname{Hom}_Z(S_2, \mathfrak{a}_i \mathcal{A})$, pour tout $x \in \mathcal{G}$ et tout $\psi \in \operatorname{Hom}_Z(S_2, \mathfrak{a}_i \mathcal{A})$, on a:

$$ x * \psi = w * x * x^{-1}; $$

en particulier:

$$ \sigma * \psi = \zeta \psi \quad \text{et} \quad \tau * \psi = -s \circ \psi. $$

Donc $f_{\sigma i}(1) = (1 + \zeta + \dots + \zeta^{i-1})\alpha = \eta_i \alpha$ si $1 \le i \le p-1$, et de l'égalité $\tau\sigma = \sigma^{p-1}\tau$, on déduit:

$$ \tau * f_{\sigma} + f_{\tau} = \sigma^{p-1} * f_{\tau} + f_{\sigma p-1}, $$

et

$$ f_{\tau}(1) = \frac{s(\alpha) + \eta_{p-1} \alpha}{1 - \zeta^{p-1}} = \beta. $$

Enfin, pour $1 \le i \le p-1$,

$$ f_{\sigma i \tau}(1) = \sigma^i f_{\tau}(1) + f_{\sigma i}(1) = \zeta^i \beta + \eta_i \alpha. $$

L'image de l'élément $\lambda = \sum_{i=0}^{p-1} \sigma^i (a_i + b_i \tau)$ de $\mathbb{Z}[\mathcal{G}]$ par l'application $\Phi_{f,1}$ de la définition 1 est égale à:

$$ \Phi_{f,1}(\lambda) = \sum_{i=0}^{p-1} (a_i - b_i) \eta_i \alpha - \sum_{i=0}^{p-1} b_i \zeta^i \beta. $$

On suppose que $\lambda$ appartient à l'annulateur $\mathcal{A}$ de $S_2$; alors:

$$ \sum_{i=0}^{p-1} (a_i - b_i) = 0, $$

et

$$ \Phi_{f,1}(\lambda) = \sum_{i=1}^{p-1} [(a_i - b_i) \eta_i \alpha - (b_i - b_0) \zeta^i \beta]. $$

Comme les $\eta_i$, pour $1 \le i \le p-1$, constituent une $\mathbb{Z}$-base de $\mathcal{A}$, on en déduit que:

$$ \Phi_{f,1}(\mathcal{A}) = A\alpha + A\beta. $$

Comme $s(\alpha) + \eta_{p-1} \alpha$ appartient à $p$, $\beta$ appartient à $\mathcal{A}$; ce dernier est aussi un élément de $\mathfrak{a}_i \mathcal{A}$, et grâce à la condition $\mathfrak{b} + \mathfrak{b}^s = \mathcal{A}$, on vérifie qu'il n'est dans aucun diviseur premier de $\mathfrak{b}$. Donc si $\beta \ne 0$:

$$ A\beta = \mathfrak{a}_i q, \quad \text{avec } (q, \mathfrak{b}) = 1, $$

et

$$ \Phi_{f,1}(\mathcal{A}) = \mathfrak{a}_i \mathcal{A}. $$

D'après le lemme 2, (0, 1) est générateur de $(\mathfrak{a}_i \mathcal{A}, S_2, f)$. (Si $\beta$ est nul, les idéaux $A\alpha$ et $A\mathcal{s}(\alpha)$ sont identiques, donc $\mathfrak{b} = \mathcal{A}$, et le résultat est encore vrai.)

Pour l'extension $(\mathfrak{a}_i p, S_1, g)$, on utilise des calculs analogues, en re-
marquant que $\tau$ agit sur $\psi \in \operatorname{Hom}_Z(S_1, \mathfrak{a}_i p)$ par:

$$ \tau * \psi = s \circ \psi. $$

On définit le cocycle $g$ par l'égalité:

$$ g_{\sigma}(1) = (1 - \zeta)\alpha, \quad \text{avec } (1 - \zeta)\alpha \mathcal{A} = \mathfrak{a}_i p \mathfrak{b}, \quad \text{et } \mathfrak{b} + \mathfrak{b}^s = \mathcal{A}. $$

Donc:

$$ g_{\sigma i}(1) = (1 + \zeta + \dots + \zeta^{i-1})(1 - \zeta)\alpha = \eta_i(1 - \zeta)\alpha \quad \text{si } 1 \le i \le p-1; $$

$$ g_{\tau}(1) = \alpha - s(\alpha) = \beta. $$

Si $\lambda$ est un élément de l'annulateur $\mathcal{A}'$ de $S_1$, on a:

$$ \lambda = \sum_{i=0}^{p-1} \sigma^i (a_i + b_i \tau), \quad \sum_{i=0}^{p-1} (a_i + b_i) = 0, $$

$$ \Phi_{g,1}(\lambda) = \sum_{i=0}^{p-1} [(a_i + b_i) \eta_i (1 - \zeta) \alpha + (b_i - b_0) \zeta^i \beta]. $$

Donc $\Phi_{g,1}(\mathcal{A}') = (1-\zeta)\alpha \mathcal{A} + \beta \mathcal{A} = p \mathfrak{a}_i$, et (0, 1) est générateur de $(\mathfrak{a}_i p, S_1, g)$.

On considère enfin un cocycle $j$ de $Z^1(\mathcal{G}, \operatorname{Hom}_Z(S_3, \mathfrak{a}_i p^e))$, égal à $f_1$ si $e=0$, et à $g_1$ si $e=1$. Comme $\sigma$ agit par multiplication par $\zeta$, $H^1(\mathcal{G}, \operatorname{Hom}_Z(S_3, \mathfrak{a}_i p^e))$ est isomorphe à $H^1(\langle\sigma\rangle, \operatorname{Hom}_Z(S_3, \mathfrak{a}_i p^e))^{G/\langle\sigma\rangle}$; donc $j$ est déterminé si l'on connait $j_\sigma$. En posant par exemple:

$$ j_{\sigma}(1) = \alpha, \quad \text{avec } \alpha \mathcal{A} = p^{\sigma} \mathfrak{a}_{i} \mathfrak{b} \quad \text{et} \quad \mathfrak{b} + \mathfrak{b}^{s} = \mathcal{A}, $$

$$ j_{\sigma}(\tau) = -\zeta s(\alpha), $$

on vérifie qu'on obtient un représentant d'une classe non triviale fixe par $\tau$. Le calcul de $j_\tau$ se fait à partir de la relation:

$$ \tau * j_{\sigma} + j_{\tau} = \sigma^{p-1} * j_{\tau} + j_{\sigma p-1}. $$
Quels que soient $a$ et $b$ dans $Z$, on a:

$$ (1 - \zeta^{p-1}) j_{\tau}(a + b\tau) = j_{\sigma p-1}(a + b\tau) - s[j_{\sigma}(b + a\tau)] \\ = a\eta_{p-1}a - \zeta b\eta_{p-1}s(a) - bs(a) + \zeta^{p-1}aa = 0. $$

Soit $\lambda = \sum_{i=0}^{p-1} \sigma^i (a_i + b_i \tau)$ un élément de l'annulateur $\mathcal{A}''$ de $S_3$:

$$ \sum_{i=0}^{p-1} a_i = \sum_{i=0}^{p-1} b_i = 0, \\ \Phi_{j,1}(\lambda) = \sum_{i=1}^{p-1} a_i \eta_i a - \sum_{i=1}^{p-1} b_i \eta_i \zeta s(a). $$

Donc

$$ \Phi_{j,1}(\mathcal{A}'') = A\alpha + A\beta(s) = a_i p^e. $$

D'après le lemme 2, les $2h Z[G]$-modules $(a_i A, S_3, f_1)$ et $(a_i p, S_3, g_1)$ sont monogènes. ■

**PROPOSITION 9.** (i) Les modules $a_i A \oplus S_2$ et $a_i p \oplus S_1$ sont $Z[G]$-monogènes.

(ii) Les modules $a_i A \oplus S_1$, $a_i p \oplus S_2$, $a_i A \oplus S_3$ et $a_i p \oplus S_3$ ne sont pas $Z[G]$-monogènes.

Démonstration. Par définition de l'action de $G$ sur les idéaux de la forme $a_i p^e$, pour tout élément $x$ d'un tel idéal, on a:

$$ Z[G] \cdot x = A x + A s(x). $$

On choisit un élément $a$ tel que:

$$ aA = p^e a_i b, \quad b + b^s = A. $$

Alors:

$$ Z[G](1-\sigma)\alpha = p^{e+1}\alpha_i b + p^{e+1}\alpha_i b^s = p^{e+1}\alpha_i. $$

D'après la proposition 7 et le lemme 1, les modules $a_i A \oplus S_3$ et $a_i p \oplus S_3$ ne sont pas $Z[G]$-monogènes.

Toujours pour le même élément $\alpha$, on a:

$$ (1-\tau)\alpha = \alpha - s(\alpha) \quad \text{et} \quad Z[G](1-\tau)\alpha = A(\alpha - s(\alpha)). $$

Il est clair que $\alpha - s(\alpha)$ appartient à $a_i$ et à $p$, donc:

$$ A(a - s(a)) = p\alpha_i c. $$

Si $e=0$, $Z[G](1-\sigma, 1-\tau)\alpha = p\alpha_i$, et les modules $a_i A \oplus S_1$ ne sont pas monogènes. Si $e=1$, on pose:

$$ \alpha = (1 - \zeta)\beta, \quad \beta \notin p; $$

$$ \alpha - s(a) = (1 - \zeta)(\beta - \eta_{p-1}s(\beta)) = (1 - \zeta)^t(\beta + \zeta^{p-1}s(\beta)). $$

L'élément $\beta + \zeta^{p-1}s(\beta)$ n'appartient pas à $p$, et:

$$ A(a - s(a)) = p\alpha_i c, \quad \text{avec } (c, p) = 1. $$

D'où $Z[G](1-\sigma, 1-\tau)\alpha = a_i p$, et les modules $a_i p \oplus S_1$ sont $Z[G]$-monogènes.

Enfin, $Z[G](1+\tau)\alpha = A(\alpha + \beta(a))$. Si $e=0$, $\alpha + s(a)$ appartient à $a_i$, mais non à $p$, donc:

$$ A(a+s(a)) = a_i c, \quad (c, p) = 1, $$

$$ Z[G](1-\sigma, 1+\tau)\alpha = p\alpha_i + a_i c = a_i A; $$

les $Z[G]$-modules $a_i A \oplus S_2$ sont monogènes. Si $e=1$, on pose encore:

$$ \alpha = (1 - \zeta)\beta, \quad \beta \notin p, $$

$$ a+s(a) = (1-\zeta)(\beta+\eta_{p-1}s(\beta)); $$

comme $\beta + \eta_{p-1}s(\beta)$ appartient à $p$, on a:

$$ A(a+s(a)) = a_i p^2 c, $$

et

$$ Z[G](1-\sigma, 1+\tau)\alpha = a_i p^2 + a_i p^2 c = a_i p^2; $$

les $Z[G]$-modules $a_i p \oplus S_2$ ne sont pas monogènes. ■

**PROPOSITION 10.** Parmi les modules $(A \oplus a_i p, S_3, f_1+g_1)$ (resp. $A \oplus (a_i A, S_2, f)$, resp. $p \oplus (a_i p, S_1, g)$), il existe un, et un seul, $Z[G]$-module monogène $(A \oplus p, S_2, f_1+g_1)$ (resp. $A \oplus (A, S_2, f)$, resp. $p \oplus (p, S_1, g)$).

Démonstration. Il est clair que tout $Z[G]$-module monogène de $Z$-rang $2p$ est $Z[G]$-isomorphe à $Z[G]$. Comme M. P. Lee a démontré dans [2] que $Z[G]$ est isomorphe à $(A \oplus p, S_3, f_1+g_1)$, la première partie de la proposition est justifiée.

Les $h Z[G]$-modules $A \oplus (a_i A, S_2, f)$ sont de $Z$-rang $2p-1$; on vérifie facilement qu'ils sont annulés par $(1+\tau)(1+\sigma+\dots+\sigma^{p-1})$; or, tout $Z[G]$-module monogène de rang $2p-1$, annulé par $(1+\tau)(1+\sigma+\dots+\sigma^{p-1})$, est isomorphe à $Z[G]/Z[G](1+\tau)(1+\sigma+\dots+\sigma^{p-1})$. Parmi les modules considérés, il y a au plus un $Z[G]$-module monogène.

D'après les calculs de la proposition 8, si l'on pose $f_\sigma(1) = \alpha = 1+\zeta$, on a:

$$ \beta = f_{\tau}(1) = 0. $$

L'élément $(0, 1)$ de $(A, S_2, f)$ est un générateur, et on voit facilement que tout élément $\lambda$ de son annulateur $\mathcal{A}$ s'écrit:

$$ \lambda = \sum_{i=0}^{p-1} a_i \sigma^i (1 + \tau). $$
Comme l'extension $Q^{(\nu)}/Q$ est modérément ramifiée, la trace est une surjection de $\mathcal{A}$ sur l'anneau des entiers du sous-corps réel maximal de $Q^{(\nu)}$; soit $\gamma \in \mathcal{A}$ un élément de trace 1 sur ce sous-corps; il est clair que $\gamma$ engendre le $Z[G]$-module $\mathcal{A}$, et que $\mathcal{A} \cdot \gamma = \mathcal{A}$. Donc le $Z[G]$-module $\mathcal{A} \oplus (\mathcal{A}, S_1, f)$ est monogène.

On procède de même pour les modules $p \oplus (a_i p, S_1, g)$: ils ont pour $Z$-rang $2p-1$, sont annulés par $(1-\tau)(1+\sigma+\dots+\sigma^{p-1})$; tout $Z[G]$-module monogène possédant ces propriétés est isomorphe à $Z[G]/Z[G](1-\tau)(1+\sigma+\dots+\sigma^{p-1})$.

Si l'on choisit $g_\sigma(1) = 1-\zeta$, $g_\tau(1)$ est nul. Le générateur $(0, 1)$ de $(p, S_1, g)$ admet comme annulateur l'idéal $\mathcal{A}'$ de $Z[G]$ formé des éléments $\lambda$ s'écrivant:

$$ \lambda = \sum_{i=0}^{p-1} a_i \sigma^i (1-\tau). $$

$$ Z[G](1-\tau)(1-\zeta) = \mathcal{A}(1-\zeta)(1+\zeta^{p-1}) = p. $$

Donc $p \oplus (p, S_1, g)$ est $Z[G]$-monogène. ■

**THÉORÈME.** Soient $\mathcal{G}$ un groupe diédral d'ordre $2p$, et $h$ le nombre de classes du sous-corps réel maximal de $Q^{(p)}$. Tout $Z[G]$-module monogène $M$ est isomorphe à l'un, et à l'un seul, des $8h+7$ modules ci-dessous:

$$ \begin{aligned} S_1, S_2, S_3, \\ a_i \mathcal{A}, pa_i, (a_i \mathcal{A}, S_2, f), (a_i p, S_1, g), \\ a_i \mathcal{A} \oplus S_2, pa_i \oplus S_1, (a_i \mathcal{A}, S_3, f_1), (a_i p, S_3, g_1), \\ \mathcal{A} \oplus p, (p, S_1, g) \oplus p, (\mathcal{A}, S_2, f) \oplus \mathcal{A}, (\mathcal{A} \oplus p, S_3, f_1 + g_1). \end{aligned} $$

**Démonstration.** D'après la proposition 7, l'écriture d'un module $M$ monogène comporte au plus un $S_i$, donc les seuls $Z[G]$-modules monogènes de rang inférieur ou égal à $p-1$ sont indécomposables, et l'on utilise la proposition 8.

Les $Z[G]$-modules monogènes de rang $p$ ou $p+1$ sont soit indécomposables (voir proposition 8), soit somme d'un module de rang $p-1$ et d'un $S_i$ (voir proposition 9).

Tous les modules restant contiennent au moins deux sous $Z[G]$-modules indécomposables de rang $p-1$. Parmi ceux de rang $2(p-1)$, d'après la proposition 6, les seuls susceptibles d'être monogènes sont de la forme $\mathcal{A} \oplus a_i p$. Soit $\alpha$ un générateur de $\mathcal{A}$:

$$ a\mathcal{A} = \mathfrak{b} \quad \text{avec} \quad \mathfrak{b} + \mathfrak{b}^s = \mathcal{A}. $$

Pour tout élément $\lambda = \sum_{i=0}^{p-1} \sigma^i (a_i + b_i \tau)$ de $Z[G]$, on pose

$$ x = \sum_{i=0}^{p-1} a_i b^i \quad \text{et} \quad y = \sum_{i=0}^{p-1} b_i \zeta^i; $$

par définition de l'action de $\mathcal{G}$ sur $\mathcal{A}$, l'élément $\lambda \cdot \alpha$ est égal à $\alpha\mathcal{a} + \mathcal{y}\mathcal{s}(\alpha)$. Comme $\alpha$ et $\mathcal{s}(\alpha)$ engendrent deux idéaux étrangers, pour que $\lambda$ appartienne à l'annulateur $\text{ann}(\alpha)$ de $\alpha$, il faut et il suffit qu'il existe $z \in \mathcal{A}$ tel que

$$ x = \mathcal{z}\mathcal{s}(\alpha) \quad \text{et} \quad y = -\alpha z. $$

Donc quel que soit le générateur $\beta$ de $a_i p$ choisi,

$$ \text{ann}(\alpha) \cdot \beta = \mathcal{A}[\mathcal{s}(\alpha)\beta - \alpha\mathcal{s}(\beta)]. $$

D'après le lemme 1, pour que $\mathcal{A} \oplus a_i p$ soit monogène, il faut que $a_i p$ soit principal. Réciproquement, il est facile de vérifier que $\mathcal{A} \oplus p$ est monogène, en choisissant pour $\alpha$ la valeur 1, et pour $\beta$, $1-\zeta$; on a alors

$$ \text{ann}(\alpha) = Z[G](1-\tau, 1+\sigma+\dots+\sigma^{p-1}), $$

et

$$ Z[G](1-\tau)\beta = p. $$

Quant aux modules de rang $2p-1$ ou $2p$, on montre grâce au lemme 3 et aux propositions 8 et 9 qu'il suffit d'étudier ceux de la proposition 10.

Enfin, il n'existe pas de $Z[G]$-isomorphisme entre deux quelconques des $8h+7$ modules cités: c'est clair pour les modules de rang inférieur ou égal à $p-1$; pour les modules de rang supérieur, on détermine le sous-ensemble annulé par $1+\sigma+\dots+\sigma^{p-1}$. ■

**COROLLAIRE.** Toute extension diédrale imaginaire $K/Q$, de degré $2p$, admet une unité de Minkowski.

**Démonstration.** D'après la proposition III.1 de [3], le quotient du groupe des unités de $K$ par le sous-groupe des unités de torsion est un $Z[G]$-module isomorphe soit à $a_i \mathcal{A}$, soit à $a_i p$; c'est donc un $Z[G]$-module monogène.

Le résultat de la proposition 5 donne tous les types d'unités de Minkowski possibles. ■

Bibliographie

[1] S. Galovitch, I. Reiner et S. Ullom, Class groups for integral representations of metacyclic groups, Mathematika 19 (1972), pp. 105-111.

[2] M. P. Lee, Integral representations of dihedral groups of order $2p$, Trans. Amer. Math. Soc. 110 (1964), pp. 213-231.

[3] N. Moser, Unités et nombre de classes d'une extension galoisienne diédrale de $\mathcal{Q}$, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 48 (1979), pp. 54-75.

Reçu le 7. 12. 1981 (1283)