la courbure scalaire prescrite et l'Eq. du type courbure scalaire prescrite avec un potentiel proche d'une constante > 0. On a encore les notions d'enroulement, de torsion (et extra-dimensions) et les valeurs (sup, inf), en dénombrable.

-Le continu et minorant-majorant. Dans le cas du continu, emissions continues, on utilise l'estimation a priori, qui, à partir du minorant $m_0 > 0$ donne le majorant $M_0 = c(m_0) = c(a, b, m_0, K, M)$ et cette fonction est décroissante de $m_0 > 0$, donc, quand on prend $m_0 > 0$ petit et voisin de 0, $0 < m_0 \to 0$, $c(m_0)$ croit, $m_0 \searrow 0 \Rightarrow c(m_0) \nearrow$, on voit alors l'amplitude générée par la variation du minorant $m_0 > 0$, ainsi que l'enroulement et la torsion et les valeurs, $(majorant, minorant) = (M_0, m_0)$, $M_0 = c(m_0)$, (et extra-dimensions). Avec ici, $u > 0$ solution relativement à $V > 0$ proche d'une constante, dans le cas continu. On a une "inégalité de Harnack" implicite entre minorant et majorant dans le cas continu : il existe une relation entre le minorant et le majorant, notée $c = c(m_0) = M_0$, décroissante, avec l'inégalité suivante $0 < m_0 \le M_0 = c(m_0) < +\infty$ :

$$0 < m_0 \le \inf_M u \le \sup_K u \le M_0 = c(m_0) < +\infty.$$

Ici, on resout le probleme du cas $n = 4$ de sup majoré si inf est minoré de Chen-Lin, voir le point 37) precedent. Dans les contre exemples de Chen-Lin, la regularité est $C^\alpha$, $\alpha = (n - 2)/2$, $\alpha > 1$, pour ne pas avoir sup majoré si inf est minoré, qui correspond aux cas $n \ge 5$. Il reste le cas de la dimension $n = 4$. Alors, l'article de Journal.Math.Anal.Appl.2012, repond a cette question : on a bien sup majoré si inf minoré pour des solutions avec un potentiel $V$ voisin d'une constante, sans etre une constante forcément, Lipschitzien et petit en norme Lipschitz. On traite alors, le cas de la dimension $n = 4$ (sur toute variété Riemannienne, non necessairement sans bord, on donne des conditions sur $V$ : Lipschitzien et petit en norme Lipschitz, qui correspond à une hypothese plus faible que $C^\alpha$, $\alpha = (n - 2)/2 = 1$, $n = 4$, mais la constante de Lipschitz est petite). Dans le print avec potentiel $C^1$, on traite aussi, du cas $n = 4$ avec un potentiel avec amplitude non necessierment petite, pour un espace localement symetrique Ricci plat.

Comme les contre-exemples de Chen-Lin sont faits avec des suites. Pour mieux expliquer le résultat de la dimension 4, il faut utiliser des suites : On prend $(u_i, V_i)$ avec $|\nabla V_i| \le A_i \to 0$, alors, pour chaque $m > 0$, il existe un rang tel que $A_i \le \epsilon_0 = \epsilon_0(a, b, m)$, $\epsilon_0 > 0$, donc on a la compatibilité locale à partir d'un certain rang : $\sup_K u_i \le c$ si $\inf_M u_i \ge m > 0$, pour $i \ge i_0$.

Les contre-exemples de Chen-Lin, c'est pour $n \ge 5$. Pour $n = 4$, dans le print de 2024; "Harnack inequalities for equations of type...", quand le potentiel $V$ a une amplitude quelconque ($|\nabla V| \le A$, $A$ quelconque), on ne prouve pas : sup majoré si inf minoré, ce qui veut dire qu'il est peu probable de prouver sup majoré si inf minoré pour n'importe quelle variété riemannienne $(M, g)$ et $n = 4$. On prouve sup majoré si inf minoré si l'amplitude de $V$, $A \to 0$. Mais si $A > 0$ est quelonque ceci est peu probable que ca soit vrai, pour n'importe qu'elle variété. D'où le résultat avec potentiel $C^1$, sur les espaces localement symetriques Ricci plats. Donc, pour $n = 4$, on n'a pas de contre exemples, et les contre exemples de Chen-Lin, sont vrais pour $n \ge 5$, mais, le print de 2024, "Harnack inequalities for equations of type..." peut être considerer comme un exemple illustrant l'impossibilité de prouver sup majoré si inf minoré pour $n = 4$ avec potentiel $V$ d'amplitude quelconque $A > 0$ et sur n'importe quelle variété Riemannienne. D'où le print sur les potentiels $C^1$, sur les espaces localement symetriques Ricci plats.

(Explication pour la dimension ($n = 4$). On a :

preprint de 2024 : "Harnack inequalities for equations of type prescribed scalar curvature" : dans la platitude : $V$ tels que : $0 < a \le V \le b < +\infty$, $|\nabla V| \le A < +\infty$ :

le cas ($n = 4$) de "Harnack inequalities for equations of type..." : ($P$) : Pour toute variété Riemannienne $(M, g)$ : il y a une relation entre sup et inf : $\Rightarrow : (Q)$ : cela revient à considerer, par blow-up, des solutions relativement à des potentiels $\tilde{V}_i$ d'amplitude tendant vers 0, $|\nabla \tilde{V}_i| \to 0$. Donc :

$non(Q)$ : si on considère les solutions relativement à des potentiels d'amplitude ne tendant pas vers 0, $V > 0$, $\nabla V \ne 0$ (pas de rescaling ou changement d'échelle, avec $\lambda \to +\infty$, ou pas de blow-up) : $\Rightarrow : non(P)$ : $\Rightarrow :$ il existe une variété Riemannienne $(M_0, g_0)$ pour laquelle le sup et l'inf ne sont pas liés : $\Rightarrow :$ pour cette variété Riemannienne $(M_0, g_0)$, sup majoré si inf
minoré, n'est pas vrai. Comme sup majoré si inf minoré est vrai dans le cas plat, alors, la variété Riemannienne $(M_0, g_0)$ est non.loc.conf.plate).

Le preprint de 2024, cité ci-dessus, permet d'avoir des contre-exemples, en dimension $n \ge 4$, en particulier, $n = 4$, comme on vient de le voir, et $n \ge 5$. (potentiel $V > 0$, $\nabla V \ne 0$, pas de rescaling ou changement d'échelle, avec $\lambda \to +\infty$ ou pas de blow-up).

(Explication : on a un ensemble de fonctions : $E = \{V \in C^1, V > 0, \nabla V \ne 0, \text{ou}, 0 < c_2 \le |\nabla V| \le c_1 < +\infty\}$, et un groupe de transformations : $G = \{g : x \to x_0 + x/\lambda\}$, agissant sur $E$, alors on doit avoir $g \cdot E \subset E$, alors, quand $\lambda \to +\infty$, il n'est plus possible que $G$ agisse sur $E : g \cdot E \not\subset E$, homogenéité de l'ensemble $E$ ou invariance de $E$. Donc, il n'est plus possible de faire le rescaling ou le changement d'échelle pour $\lambda \to +\infty$).

//////

On peut fixer chaque variété $(M, g)$ et avoir des contre-exemples pour cette variété Riemannienne $(M, g)$, pour $n \ge 4$, avec, $E = \{V \in C^1, V > 0, \nabla V \ne 0, \text{ou}, 0 < c_2 \le |\nabla V| \le c_1 < +\infty\}$ : impossibilité de faire le blow-up.

Ici, comme, pour toute variété Riemannienne $(M, g)$, $n \ge 4$, on a des contre-exemples, (on a : sup et inf ne sont pas liés, donc, on n'a pas : sup majoré si inf est minoré), il faut determiner les variétés sur les quelles, par exemple, en dimension $n = 4$, sup majoré si inf est minoré est vrai, c'est l'objet du preprint des potentiels $C^1$, espaces localement symetriques Ricci plat de dimension 4.

//////

On peut appliquer cela aussi à l'article : "About Brezis-Merle problem with Holderian condition", en considerant l'ensemble $E = \{V \in C^1(\bar{B}_1(0)), b \ge V \ge 0, \nabla V \ne 0, \text{ou}, 0 < c_2 \le |\nabla V| \le c_1 < +\infty\}$ et $\int_{\bar{B}_1(0)} e^u dx \le C$ avec $bC < 16\pi$ ou $bC < 24\pi$, on a des contre-exemples en dimension 2 : impossibilité de faire le blow-up.

//////

On peut appliquer cela aussi à l'article : "Harnack inequalities for Yamabe type equations", en considerant l'ensemble, $R = R_g$ est la courbure scalaire : $E = \{R > 0, 0 < c_2 \le |\nabla R| \le c_1 < +\infty\}$ : impossibilité de faire le blow-up.

D'après un Theoreme d'Aubin, on a existence de solutions quand : $\epsilon < \frac{(n-2)R}{4(n-1)} = \frac{(n-2)R_g}{4(n-1)}$. On a aussi, les solutions constantes. Pour l'eq : $-\Delta u_\epsilon + \epsilon u_\epsilon = u_\epsilon^{N-1}$, $N = \frac{2n}{n-2}$, $n \ge 3$, sur $(M, g)$, $n \ge 4$, $\Delta = \nabla^j \nabla_j$. Rien ne prouve que les solutions constantes et les solutions d'Aubin coincident. (On a considéré l'ensemble $E$).

Comme on a considéré l'ensemble $E$ : on a alors, l'existence d'une sous-suite, quand $\epsilon_i \to 0$, de solutions non constantes de $-\Delta u_{\epsilon_i} + \epsilon_i u_{\epsilon_i} = u_{\epsilon_i}^{N-1}$, $N = \frac{2n}{n-2}$, $n \ge 3$, sur $(M, g)$, $n \ge 4$, compactes sans bord, relatives à l'ensemble $E$, $\Delta = \nabla^j \nabla_j$, car, on a : $\sup_M u_{\epsilon_i} \times \inf_M u_{\epsilon_i} \to +\infty$.

Donc, $R = R_g > 0$ sur $(M, g)$ compacte sans bord de dimension $n \ge 4$ est une condition nécessaire et suffisante (si, seulement si) pour obtenir le résultat d'unicité. C'est une réponse au problème 2 de Brezis-Li.

//////

On peut appliquer cela, au cas négatif, en considerant l'ensemble : $E = \{V \in C^1, V < 0, \nabla V \ne 0, \text{ou}, 0 < c_2 \le |\nabla V| \le c_1 < +\infty\}$ : impossibilité de faire le blow-up. Ici, on a la notion de potentiel hyperbolique ou de noyau hyperbolique, sans qu'on ait explicitement ce potentiel ou ce noyau.

(On a : $\exists(u_i)$, $u_i > 0$, $-\Delta u_i + R u_i = V_i u_i^{N-1}$, $V_i < 0$, $\exists K_0 \subset M$, $\sup_{K_0} u_i \to +\infty$. On a la notion suivante : $u_0 > 0$, $\Delta u_0 = \delta_{x_0}$, $\Delta = \nabla^i(\nabla_i)$ avec $u_0 > 0$ un objet mathémtique et de la physique non explicité).

//////

Concernant le contre-exemple du problème de Brezis-Merle et "About Brezis-Merle problem with Holderian condition" : (on en a parlé dans le preprint "Cas d'existence de solutions d'edp", concernant l'existence de solutions au problème variationnel en dimension 2, equation du type Liouville, avec potentiel)

On a : on prend $\Omega = B_1(0)$ et $0 < a \le V_\epsilon \le b < +\infty$ avec $b|\Omega| = b\pi < 1$.

Soit $\mu_\epsilon \ge 0$ :
$$
\mu_{\epsilon} = \inf\{||\nabla u||^2, u \in H_0^1(\Omega), \int_{\Omega} V_{\epsilon} e^u = 1\}.
$$

En utilisant la condition $b|\Omega| < 1$ et l'injection de Moser-Trudinger, on obtient (par l'absurde) :

$$
\mu_{\epsilon} \geq \mu_{0} > 0, \forall \epsilon > 0,
$$

En utilisant les multiplicateur d'Euler-Lagrange, on obtient :

$$
\exists \lambda_{\epsilon}, \exists u_{\epsilon} \in H_{0}^{1}(\Omega), -\Delta u_{\epsilon} = \lambda_{\epsilon} V_{\epsilon} e^{u_{\epsilon}},
$$

avec condition de Dirichlet au bord.

On utilise la condition $b|\Omega| < 1$ et le principe du maximum, on obtient $\lambda_{\epsilon} > 0$ et $u_{\epsilon} > 0$. (par l'absurde).

En utilisant le Theoreme 1 de Brezis-Merle, on a : $\lambda_{\epsilon} \not\to 0$. (par l'absurde on aurait $\mu_{\epsilon} \to 0$, ce n'est pas possible). Donc : $\lambda_{\epsilon} \ge \lambda_{0} > 0$. En utilisant la première valeur propre du laplacien avec condition de Dirichlet (pour le disque unité $\lambda_{1} \le 6$, on prend une fonction test dans le problème variationnel $u = 1 - r$.) et une integration par parties, on obtient :

$$
\lambda_{\epsilon} \times a \leq \lambda_{1} \leq 6,
$$

On pose $W_{\epsilon} = \lambda_{\epsilon}V_{\epsilon}$ :

On prend $b = 1/2\pi$ et $a = 2b/3$ et $0 < c_2 \le |\nabla V_\epsilon| \le c_1 < +\infty$. (On a alors : $\int_\Omega W_\epsilon e^{u_\epsilon} dx = \lambda_\epsilon \le 18\pi < 24\pi$). (on peut prendre $b = 1/2\pi$ et $a = 4b/5$ pour avoir $\int_\Omega W_\epsilon e^{u_\epsilon} dx = \lambda_\epsilon \le 15\pi < 16\pi$)

On obtient :

$$
\int_{\Omega} W_{\epsilon} e^{u_{\epsilon}} dx = \lambda_{\epsilon} \leq 15\pi < 16\pi \text{ ou}
$$

$$
\int_{\Omega} W_{\epsilon} e^{u_{\epsilon}} dx = \lambda_{\epsilon} \leq 18\pi < 24\pi
$$

$$
\text{et : } 0 < \tilde{c}_2 \leq |\nabla W_{\epsilon}| \leq \tilde{c}_1 < +\infty.
$$

On peut alors appliquer ce qu’on a dit sur l’impossibilité de faire le blow-up en utilisant l’ar-
ticle ”About Brezis-Merle problem with holderian condition”. Donc, pour une sous-suite :

$$
\sup_{\Omega} u_{\epsilon} \to +\infty,
$$

D'après Brezis-Merle, on a la compacité locale, d'où le blow-up au bord. Ceci est un exemple
et un contre-exemple aux problemes 1 et 2 de Brezis-Merle. C'est une réponse aux problemes 1
et 2 de Brezis-Merle.

**Remarque :** On veut voir si, quand on a la condition au bord de Dirichlet, on peut quand meme, utiliser Brezis-Li-Shafrir : conernant l'impossibilité d'utiliser le blow-up : est ce qu'on peut utiliser Brezis-Li-Shafrir, en ayant une condtion supplementaire, qu'on n'utilise pas ?

En prenant l'exemple de $u_\epsilon(r) = \epsilon(1 - r^2)$, $\epsilon > 0$, dans la couronne $B_1(0) - B_{\epsilon'}(0)$, $\epsilon' > 0$, on a $V_\epsilon(r) = 4\epsilon e^{(r^2-1)\epsilon}$, avec $0 < c_2 \le |\nabla V_\epsilon(r)| \le c_1 < +\infty$, avec $u_\epsilon$, une suite bornée ou compacte :

On ne peut pas appliquer Brezis-Li-Shafrir de l'impossibilité d'utiliser le blow-up. Ici, on a la condition au bord $u_\epsilon(1) = 0$. En particulier : quand on a une condition supplementaire qu'on n'a pas utilisé, comme la condition au bord, on ne peut pas appliquer Brezis-Li-Shafrir.

Aussi, la contraposée de l'assertion (P) : $\forall (u_k)_k, \dots$ : est dans le sens : il existe une suite telle que $\text{non}(P)$ est vraie : $\exists (u_k)_k, \dots$, et non, pour toute suite, il y a divergence.

/////// Plus précisément, on considère : Brezis-Li-Shafrir et le problème de Dirichlet : on explique mieux tout ceci :

Soit $E = \{-\Delta u = V e^u\}$ et $(P)$ : $\sup + \inf \le c$ : alors considerer $(E)$ : on a $(P)$ et non$(P)$.

Soit $\tilde{E}$ : le probleme aux limites de Dirichlet : $\tilde{E} = \{-\Delta \tilde{u} = \tilde{V} e^{\tilde{u}}, \tilde{u} = 0$ sur le bord} :$

alors on ne peut pas definir la propriété (P') : $\tilde{u} : \sup_K \tilde{u} \le c$ : la compacité locale, à partir de Brezis-Li-Shafrir, car :

si on pose le probleme (P') : rien ne dit qu'on ne tombe pas sur une solution telle que :
$\tilde{u} = (u_i)$ verifiant non$(P) : \sup_K u_i \to +\infty$.
ou changement d'échelle, conserve le type de fonction $c(t) \approx t^{-\gamma}$, $\gamma > 0$ (invariance de l'équation), alors : $u_i(0)^{1-\alpha} \approx (\inf_M u_i)^{-\gamma(k\alpha+1)}$ : on obtient le même type d'inégalité qu'au départ.

Tout ceci pour dire qu'il y a conservation du type d'inégalité, après avoir utilisé le procédé de rescaling, ou changement d'échelle. Et le rescaling, ou changement d'échelle, permet d'avoir une vraie inégalité de Harnack, tout à la fin. (pas seulement pour les fonctions nouvelles, du rescaling, $v_i$, mais pour les fonctions $u_i$, après avoir effectué ce procédé (le rescaling, ou changement d'échelle)).

Si au départ on avait une relation explicite ou implicite entre sup et inf, alors, le rescaling ou changement d'échelle, conserve, ce type de relations entre le sup et l'inf.

Si on utilise le fait qu'il y a une relation entre sup et inf, après rescaling, cela veut dire qu'on avait au départ, une relation entre sup et inf, pour les fonctions de départ (invariance de l'équation par rescaling), et plutôt raisonner sur la dependance de $u_i(0)$ en fonction de $m > 0$, $m = \inf_M u_i$.

////OPER//////) Il ne faut pas faire le raisonnement : "Si on a $u_i(0)^{1-\alpha} \le c[u_i(0)^\alpha/(\inf_M u_i)]^k$, $\alpha > 1 - \alpha$, $k > 1$" et obtenir une inégalité evidente, qui ne donne rien sur le sup et inf : apres simplification par $u_i(0) : 1 \le c/(\inf_M u_i)$, mais considerer $u_i(0)$, comme une fonction decroissante, explicite ou implicite, de $m > 0$ avec $m = \inf_M u_i$ et dans cas on ecrit plutôt : $u_i(0)^{1-\alpha} \le cm^{-\gamma_1}$, $\gamma_1 \ge 1$, avec $m = \inf_M u_i$ et à la fin, on obtient, une relation entre sup et inf : $u_i(0)^{1-\alpha} \le c(\inf_M u_i)^{-\gamma_1}$, $\gamma_1 \ge 1$. Ce raisonnement reste valable, si $u_i(0)$ est fonction decoirssante implicite de $m > 0$ avec $m = \inf_M u_i$.

Pourquoi on fait ce raisonnement : parce qu'on utilisé $[1/u_i(0)^\alpha]$ avec le inf pour controler le sup donc, la quantité : $[1/u_i(0)^\alpha]$, doit être liée à l'inf.

Ceci pour dire qu'on a bien une inégalité de Harnack entre sup et inf avec le procédé de rescaling ou changement d'échelle, pour les fonctions de départ : $u_i$.

On a la relation : $(\sup u_i)^{1-\alpha} = c(\inf u_i/(\sup u_i)^\alpha)$, si on pose : $x = \sup u_i$, $m = \inf u_i$, alors : $x^{1-\alpha} = c(m/x^\alpha)$, $m > 0$, $x > 0$, $\alpha \in ]0, 1[$.

////OPER//////) Maintenant, on s'intéresse à la fonction $c > 0$, de cette inégalité : si on note $\tilde{u} = (u_k)_k$, la suite, alors la constante $c$ depend de la suite choisie, mais pas de l'indice $k \in \mathbb{N}$ : $\exists c > 0$, $\forall k \in \mathbb{N}$. Soit on ne met pas la dependance de $c$ en $\tilde{u}$, soit on rajoute une nouvelle variable $c = c_{\tilde{u}} = c(\tilde{u}, K, ..., ) > 0$, mais comme on a fixé la suite et on a essayé de voir s'il existe une constante qui lie le sup et l'inf, indépendemment de l'indice $k$, alors, on a enlevé la dependence de $c$ en $\tilde{u} = (u_k)_k$.

Pour chaque suite $\tilde{u} = (u_k)_k$ et pour chaque compact $K$, on a déterminé, une suite $t = (t_k)_k$, de points telle que : $\forall k \in \mathbb{N}$, $u_k(t_k)$ et $\inf_M u_k$, sont liés. On peut faire la même chose avec $t = (t_k)_k = t(\tilde{u}, K)$, $t$ est fonction de la suite $(u_k)_k = \tilde{u}$ et du compact $K$. Comme on a fixé la suite $\tilde{u} = (u_k)_k$, alors : il ne reste que la dependance en le compact $K$. Ou bien on rajoute une nouvelle variable :

$$ \forall \tilde{u} = (u_k)_k, \forall K, \exists t = (t_k)_k = t(\tilde{u}, K), \exists c = c(\tilde{u}, t(\tilde{u}, K), K, ..., ) > 0, ..., \forall k \in \mathbb{N} : ... $$

On éfface la dependance en la variable $\tilde{u} = (u_k)_k$, pour écrire :

$$ \forall K, \exists c = c(K, ..., ) > 0, ..., \forall k \in \mathbb{N} : ..., $$

parce qu'on a fixé la suite $(u_k)_k = \tilde{u}$. On a alors une relation entre le sup et l'inf.

////OPER//////) Maintenant, on s'intéresse à la fonction $c > 0$, de cette inégalité : si on note $\tilde{u} = (u_k)_k$, la suite, alors la constante $c$ depend de la suite choisie, mais pas de l'indice $k \in \mathbb{N}$ : $\exists c > 0$, $\forall k \in \mathbb{N}$. Soit on ne met pas la dependance de $c$ en $\tilde{u}$, soit on rajoute une nouvelle variable $c = c_{\tilde{u}} = c(\tilde{u}, K, ..., ) > 0$, mais comme on a fixé la suite et on a essayé de voir s'il existe une constante qui lie le sup et l'inf, indépendemment de l'indice $k$, alors, on a enlevé la dependence de $c$ en $\tilde{u} = (u_k)_k$.

Dans le preprint de 2024 : "Harnack inequalities for equations of type prescribed scalar curvature" : dans le theoreme 1.1. on ne peut pas prendre n'importe quel compact $K$, car, on a par l'argument de la première valeur propre et fonction propre et le lemme de Fatou : $\int_B u_k^{N-1} dx \le c \Rightarrow \int_B \liminf_{k \to +\infty} u_k^{N-1} dx \le \liminf_{k \to +\infty} \int_B u_k^{N-1} dx \le c \Rightarrow \text{preque partout } y \in B : \liminf_{k \to +\infty} u_k(y) < +\infty \Rightarrow \text{presque partout } y \in B : \Rightarrow \text{si on prend des singletons, } K = \{y\}$, alors $\liminf_{k \to +\infty} \sup_K u_k = \liminf_{k \to +\infty} u_k(y) < +\infty$. Donc pour toute suite $(u_k)_k$ on a le point 1) seulement, du theoreme 1.1 du preprint de 2024, on n'a pas le point 2) du theoreme 1.1 du preprint de 2024. Donc, il faut prendre un compact plus grand, par exemple, comme on l'a dit, des compact d'interieurs non vide, alors on ne peut pas faire ce qu'on vient de dire, avec la valeur propre et le lemme de Fatou.
**Sur les relations sup, inf, explicites et implicites :**

Relation explicite (il y a plus d'informations : notions d'enroulement+ de torsion). Relation implicite (il y a moins d'informations : notion d'enroulement). (On l'a deja dit dans la partie relativité generale et cosmologie quantique, notion d'enroulement et de torsion et les valeurs (sup, inf)).

a) **Relation explicite** entre sup et inf : sup et inf liés. Enroulement+Torsion. Type liaison :
sup $\downarrow$ inf, ou sup $\leftrightarrow$ inf. Type de torsion en une fonction : $x \to \frac{1}{x^\epsilon}$, $t > 0$.

a1) Relation explicite. sup et inf se controlent mutuellement. Stabilité. Stabilté des vibra-
tions : en sup et inf. Premier type de stabilité : stabilité en normes essentielles, entre sup et inf.
Deuxieme type de stabilité : en norme $L_{loc}^p$, $p > N - 1$, $N = \frac{2n}{n-2}$, stabilité en norme $W_{loc}^{1,1+\epsilon}$,
pour ces normes, il y a un "tunnel" dans lequel, les ondes, leurs vibrations, leurs oscillations, sont
stables, avec le fait que le sup et inf peuvent avoir de grandes amplitudes, mais restent confinées
ou leur p-volume reste borné, stable, maitrisable : stabilité des vibrations.

a2) **relation ouverte** entre sup et inf : de sup vers inf et de inf vers sup, sup $\leftrightarrow$ inf

a3) sup controle inf et inf controle sup. Intervalles de precisions de nombres pour sup et pour inf.

a4) Bornes uniformes pour les normes, $L_{loc}^p$, $p > N - 1$, $N = \frac{2n}{n-2}$ et $W_{loc}^{1,1+\epsilon}$.

a5) estimations a priori explicites : sup $\le c < +\infty$ si inf $\ge m > 0$ et inf $\le c < +\infty$ si sup $\ge M_0$. On peut quantifier explicitement $c$ en fonction de $m$ ou $M_0$.

b) **Relation implicite** entre sup et inf : sup et inf liés. Enroulement. Type liaison : sup ↑ inf ou sup ← inf.

b1) Relation implicite. sup est controlé par inf. Dans un sens seulement. Stabilté dans un sens, du inf vers sup.

b2) **relation semi-ouverte** entre sup et inf : de inf vers sup, sup $\leftarrow$ inf

b3) inf controle sup. Pas necessairement d'intervalles de precisions de nombres pour sup et pour inf.

b4) estimation a priori implicite : sup $\le c < +\infty$ si inf $\ge m > 0$, ca va dans un sens.

39) Sur l'estimation asymptotique de l'article de D.Holcman : on ecrit : $l_\epsilon = \epsilon^{(n-2)/2}\mu_\epsilon$, on sépere l'integrale en deux, la partie sur $B_P(\delta)$ et celle sur $M - B_P(\delta)$, puis on fait une changement de variable $u = \epsilon r$ dans $B_P(\delta)$ :

1)

$$
\epsilon^{-(n/2)+1}(\mu_{\epsilon})^{N-1} = \frac{l_{\epsilon}^{N-1}}{\epsilon^{n}} =
$$

$$
\begin{align*}
&= \int_0^{\delta/\epsilon} r^{n-1} \left| \frac{1}{(1+r^2)^{(n-2)/2}} - \frac{\epsilon^{n-2}}{(\epsilon^2 + \delta^2)^{(n-2)/2}} - \epsilon^{(n-2)/2} \mu_{\epsilon} \right|^{4/(n-2)} \\
&\qquad \times \left( \frac{1}{(1+r^2)^{(n-2)/2}} - \frac{\epsilon^{n-2}}{(\epsilon^2 + \delta^2)^{(n-2)/2}} - \epsilon^{(n-2)/2} \mu_{\epsilon} \right) \\
&\le C + O(\delta^2) \frac{l_{\epsilon}^{N-2}}{\epsilon^2} + O(\delta^n) \frac{l_{\epsilon}^{N-1}}{\epsilon^n} + O(\delta^n) \frac{l_{\epsilon}}{\epsilon^{n-4}}
\end{align*}
$$

Avec $C > 0$, on a développé l'inégalité précédente et on a utilisé : $|x+y|^\alpha \le |x|^\alpha + |y|^\alpha$, $\alpha = \frac{4}{n-2} \le 1$ ($n \ge 6$). Si, $l_\epsilon \to +\infty$, on multiplie par $\epsilon^n > 0$ on divise par $l_\epsilon^{N-1}$ puis on fait tendre $\epsilon$ vers 0, on obtient $0 < C' \le 0$ c'est pas possible. Donc $l_\epsilon \to k \ge 0$, $k < +\infty$, on multiplie l'inégalité precedente par $\epsilon^n$ et on fait tendre $\epsilon$ vers 0, on obtient $l_\epsilon \to 0$ quand $\epsilon \to 0$.

2) $l_{\epsilon} \to 0 \Rightarrow \exists r_{\epsilon} \to +\infty$ tel que :

$$
\frac{1}{(1 + r_{\epsilon}^{2})^{(n-2)/2}} = l_{\epsilon} = \epsilon^{(n-2)/2} \mu_{\epsilon},
$$

2-1) Si $0 < r_{\epsilon} < \frac{\delta}{\epsilon}$ : $0 \le r \le r_{\epsilon} \Rightarrow (r^2 + 1)^{-(n-2)/2} \ge (r_{\epsilon}^2 + 1)^{-(n-2)/2}$ et $r \ge r_{\epsilon} \Rightarrow (r^2 + 1)^{-(n-2)/2} \le (r_{\epsilon}^2 + 1)^{-(n-2)/2} = \epsilon^{(n-2)/2}\mu_{\epsilon}$, apres on utilise le theoreme de convergence dominée de Lebesgue :
$$ \epsilon^{-(n/2)+1}(\mu_{\epsilon})^{N-1} = \frac{l_{\epsilon}^{N-1}}{\epsilon^n} = $$

$$ = \int_{0}^{r_{\epsilon}} \frac{r^{n-1}}{(1+r^2)^{(n+2)/2}} \left(1 + O\left(\frac{\epsilon^{(n-2)/2} \mu_{\epsilon}}{\frac{1}{(1+r_{\epsilon}^2)^{(n-2)}}}\right)\right) + \int_{r_{\epsilon}}^{\delta/\epsilon} r^{n-1} \left(3\epsilon^{(n-2)/2} \mu_{\epsilon}\right)^{(N-1)} = \\ = C + O(\delta^n) \frac{\epsilon^{(n-2)/2} \mu_{\epsilon})^{N-1}}{\epsilon^n} = C + O(\delta^n) \epsilon^{-(n-2)/2} \mu_{\epsilon}^{N-1} $$

avec $C > 0$. Donc,

$$ \mu_{\epsilon} \equiv \epsilon^{(n-2)^2/2(n+2)}, $$

2-2) Si, $r_{\epsilon} \ge \frac{\delta}{\epsilon}$, on utilise le même type de calcul que dans le, 2-1) et le Theoreme de convergence dominée de Lebesgue :

$$ \epsilon^{-(n/2)+1}(\mu_{\epsilon})^{N-1} = \frac{l_{\epsilon}^{N-1}}{\epsilon^n} = $$

$$ = \int_{0}^{\delta/\epsilon} r^{n-1} \left( \frac{1}{(1+r^2)^{(n-2)/2}} + \dots \right)^{N-2} \left( \frac{1}{(1+r^2)^{(n-2)/2}} + \dots \right) = \int_{0}^{\delta/\epsilon} \frac{r^{n-1}}{(1+r^2)^{(n+2)/2}} \left( 1 + O\left( \frac{\epsilon^{(n-2)/2} \mu_{\epsilon}}{\frac{1}{(1+r^2)^{(n-2)}}} \right) \right) \to C > 0, $$

avec, $r \le \frac{\delta}{\epsilon} \le r_{\epsilon} \Rightarrow \epsilon^{(n-2)/2} \mu_{\epsilon} = (1+r_{\epsilon}^2)^{-(n-2)/2} \le (1+r^2)^{-(n-2)/2}$. Donc,

$$ \mu_{\epsilon} \equiv \epsilon^{(n-2)^2/2(n+2)}. $$

### 40) D-Branes, cordes, supercordes, Yamabe, courbure scalaire, Kaluza-Klein :

Sur les D-Branes, c'est des cordes avec condition de Dirichlet au bord. C'est construit comme pour Kaluza-Klein, $(n+1)$. D'après Bennequin, dans Astérisque, Seminaire Bourbaki, 2003, voir aussi, Collion-Vaugon, pour la fibration. On prend la variété totale, $W$ en $(n+1)$ de la forme $W = X \times M$, avec $M$ une variété de Kahler-Einstein ou Aubin-Calabi-Yau, $K_6$ de dimension complexe 3 et réelle 6. Donc, Ricci plate donc scalaire plate. Et, $X$ l'espace temps de dimension 4 de la forme $(3+1)$, $X = Y \times \mathbb{R}$ avec $Y$ de courbure scalaire $\ge 0$ et du au théorème de la masse positive, la courbure scalaire est quelque part $> 0$, car la courbure agit et courbe l'espace (aussi, mesures experiementales sur l'existence d'ondes gravitationnelles, donc, $Weyl \neq 0$ ici en dimension 3 pour l'espace $Y$ le tenseur de Cotton non nul quelque part, se rappeler aussi que la courbure scalaire est liée à la courbure ou l'inverse du rayon de courbure et la masse est $> 0$) et de masse $m > 0$, voir le monographe de Jonathan.Rosenberg et David.Wraith, sur le fait que la courbure scalaire est $> 0$ quelque part et est $\ge 0$ (Titre : Positive Scalar curvature). Comme le formalisme des D-branes, est aussi lié à la réduction de Kaluza-Klein, on a l'équation de Yamabe ou de type courbure scalaire prescrite avec conditions de Dirichlet au bord, comme $S_g \ge 0$ et $S_g > 0$ quelque part, on voit qu'on est dans le cas d'un opérateur coercif pour les D-branes avec formalisme ou réduction de Kaluza-Klein, car on a $Y \times M$ et $S_g = \text{Scalaire}_Y + \text{Scalaire}_M = \text{Scalaire}_Y + 0 = \text{Scalaire}_Y \ge 0$ et $> 0$ quelque part. L'invariant de Yamabe est $> 0$ ou opérateur conforme coercif. (on peut prendre aussi, $M = K_6 = T_6$ le tore de dimension 6, Einstein-Kahler).

Voir aussi le print de, Mariana Grana et Hagen Triendl, Saclay. Kaluza-Klein mechanism and d-branes. Titre : String Theory compactifications. (ils disent que le monde ou espace est un brane, $Y \times M$, c'est censé être une variété à bord.).

Voir aussi l'article de Schoen-Yau sur le th. de masse positive, ils disent que la variété de dimension 3 est sans bord ou avec bord, avec une métrique complète, $\mathbb{R}^n$ n'est ni avec bord ni sans bord, car "son bord" est $\infty$, un point, mais cela ne peut pas être un bord, car une variété à bord, son bord est une variété sans bord de dimension 2. On peut considerer par exemple la boule unité diffeomorphe à $\mathbb{R}^3$ avec l'application $x \mapsto x/(1-||x||)$, ou bien sans bord avec une variété proche de la sphère de dimension 3, ou une déformation de la sphère de dimension 3. (par la projection stereographique, on en leva un point, le pole nord et l'hemisphere sud, et on applique la projc.steorographique de pole, le pole nord, c'est un bout, par exemple). Comme Schoen-Yau
disent que la variété est soit sans bord ou avec bord, mais avec des coordonnées asymptotiques dans les bouts, avec une metrique asymptotique qui la rend complete, et ici, c'est censé etre un brane, avoir une membrane, ou un bord. On est dans le cas avec bord dans le théorème de la masse positve, mais on a toujours, la courbure scalaire $\ge 0$ et $> 0$ quelque part.

Pour l'Eq. de Yamabe, on a un potentiel constant $> 0$ et l'operateur est l'operateur conforme, $\frac{4(n-1)}{n-2}\Delta + S_g$, $\Delta = -\nabla^i\nabla_i$, l'operateur conforme est coercif. mais quand le potentiel varie, l'operateur devient $\frac{4(n-1)}{n-2}\Delta + h$ avec $h = S_g - |\nabla\Psi|^2 \le S_g$. Ce nouvel operateur reste encore coercif, car du point de vue de la physique, l'impulsion est proche d'une constante et diminue progressivement, un observateur exterieur, regarde l'effet de l'impulsion a l'instant $t$ où elle est maximale et au voisinage de l'impulsion maximale, c'est à dire voisine d'une constante. C'est à dire $\Psi(x_0) + \epsilon$ avec $\epsilon > 0$ petit. Il y a une impulsion à l'instant $t$, qui est constante et après on regarde au voisinage de $a = \Psi(x_0) = \text{constante}$ à instant $t$.

Ceci confirme et explique ce qu'on a dit au point (37), sur Kaluza-Klein classique en présence d'un potentiel en dimension $n=4$ ou plus généralement $n \neq 4$. Du point de vue de la physique, un observateur exterieur regarde ce qui se passe pour une impulsion à l'instant $t$ et au voisinage de l'impulsion. Oscillation autour d'une constante. Il y a impulsion, observateur, puis le potentiel diminue de $\epsilon > 0$ petit. Quand on met un potentiel, un observateur exterieur regarde ce qui se passe autour d'une impulsion, c'est à dire autour d'une constante.

**Remarque :** Ceci est une interpretation assez intuitive (les espaces sont **independants les uns des autres**), mais forment des espaces-temps dont la restriction a la variété voulue ou cherchée, est Riemannienne). Concernant la formulation en $(n+1)$, on écrit : $W = M \times X = M \times (Y \times \mathbb{R})$ et par Jonathan. Rosenberg et David. Wraith (title : positive scalar curvature), on a $X = Y \times \mathbb{R}$ est un espace temps tel que la metrique Lorentzienne sur $X$ est Riemannienne sur $Y$ ou sa restriction. Puis on regroupe $M$ et $Y$ en un produit, car les espaces sont independants l'un de l'autre. Donc, on obtient un espace temps total $W$ tel qu'on ait une metrique produit sur $M \times Y$, ainsi, les courbures scalaires s'additionnent et donnent une courbure scalaire totale, $S_g \ge 0$ et $> 0$ quelque part par la contribution de la courbure scalaire de $Y$, donnée par le th. de la masse positive.

Cas 1 : $Y$ compacte sans bord, alors la variété Riemannienne $M \times Y$ est compacte sans bord. Ici les cordes sont fermées.

Cas 2 : $Y$ compacte à bord, alors la variété Riemannienne $M \times Y$ est compacte à bord. Ici les cordes sont ouvertes. avec condition de Dirichlet. C'est le cas traité dans ce point.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

41) Sur le cas négatif de l'Eq. de courbure scalaire (et sous-critique) (solutions positives) et supercritique négatif (pour ce cas les solutions peuvent changer de signe) : Ici on prouve la compacité locale sans conditions sur la courbure ou la variété Riemannienne. Les estimations a priori locales dans le cas négatif ne dependent pas de la courbure ou de la nature de la variété Riemannienne. Il n'y a pas de conditions sur la courbure, on a des estimations du type Keller-Osserman. Dans l'article de Marco Rigoli : il a supposé la variété complète et a imposé une condition sur la courbure de Ricci, pour obtenir des estimations asymptotiques a l'infini du type Keller-Osserman, à la distance à un point : $|u| \le C/[d(x, x_0)]^\tau, \tau > 0$, par principe du maximum et des raisonnement du type theoremes de comparaisons, ici la notation $|u|$ signifie qu'ils majorent et ils minorent les solutions, d'autres estimations sont données pas L.Véron et M.F.Bidaut-Véron, pour d'autres types d'équations ou systemes. Estimations asymptotiques aussi pour la complétude. Aussi, l'article de L.Véron, 1992, Journal d'Analyse Mathématique, ici, sur un domaine de $\mathbb{R}^n$ et operateur "strongly elliptic" pour se ramener au laplacien dans $\mathbb{R}^n$, operateur non en divergence forme.

Il y a aussi l'article de Aviles-McOwen, Journ.Diff.Geometry.1988.(Examen de DEA). Ici, ils considerent le potentiel constant $K \equiv -1$ sur une variété complète et considerent une suite exhaustive de compacts.

Il y a aussi l'article de Ratto.Rigoli.Véron. Math Zeitschrift. 1997. Ils prennent le cas ou la courbure prescrite $0 > K \in C^\infty(M)$ fixée et sur une variété complète $M$ non-compacte et disent qu'ils s'inspirent de la méthode de Aviles-McOwen, donc aussi avec une suite exhaustive de compacts.

A aucun moment ces auteurs, ne posent le problème de l'estimation a priori et de compacité locale(ne dependant que des parmetres extérieurs, $a, b, A, M, B, g$, avec $B$ le compact), avec ou
sans conditions sur la courbure(courbure de Ricci, de Riemann...) ou la variété Riemannienne (localement conformément plate ou non, complète, à bord, sans bord...). On a aussi, des estimations du type Keller-Osserman : pour toute carte normale en $y_0$, $\sup_{B_R(y_0)} u_0\varphi^{-1} \le \frac{c}{R^{2/(q-2)}}$ par un la technique "blow-up" ou eclatement, on sépare les constantes, une estimation a priori du type inégalité de Harnack (dans l'inégalité de Harnack, il y a majoration par l'integrale, ici, il n'y en a pas, c'est une estimation a priori du type inégalité de Harnack sans condition sur l'integrale. Autre chose, la constante $c$ depend du point, car on est sur une variété, ca depend du point, alors que sur $\mathbb{R}^n$, en tout point on a une carte normale et c'est invariant par translation, ce qui fait que les constantes ne dependant pas du point, l'inegalité de Harnack usuelle ne depend pas du point, ceci est lié au fait que l'espace est plat partout, c'est une hypothese forte, en tout point la carte est normale, c'est l'identité. Mais la constante de l'inegalité de Harnack depend du rayon. La technique blow-up qu'on a utilisé fait que $c$ et $R$ sont séprées, la constante totale est plus explicite $C = \frac{c}{R^{2/(q-2)}}$, on explicite la dependance en $R$ de $C$, et aussi en $c$ de $C$. Et l'estimation a priori est vraie pour tout point $y_0 \in \mathbb{M}$ et toute carte normale, il y a l'influence de la géometrie, ce qui était sous-entendu dans $\mathbb{R}^n$. Pour tout $y_0$ et toute carte normale, on a l'estimation a priori au voisinage de $y_0$ c'est a dire qu'a l'interieur d'un voisinage de $y_0$ ca ne depend pas du point $y \in V_{y_0}$, cela suffit comme estimation a priori, ca depend d'un rayon maximal $R$ du point $y_0$ et la forme explicite de $C$ fait que c'est une estimation a priori du type Harnack, comme on l'a dit ci-dessus, uniforme en $y \in V_{y_0}$, comme si on etait dans le cas plat, localement uniforme avec dependance du type Harnack en $R$ rayon maximal). Non seulement on a l'estimation locale globale dans une boule $B(y_0, R)$, mais aussi, dans toute petite boule $B_{R'}(y)$ de $V_{y_0} = B(y_0, R)$ :

$$ \sup_{B_{R'}(y)} u_i o \varphi^{-1} \le \frac{c}{R'^{2/(q-2)}}, \quad (**) $$

avec $c = c(y_0, a, b, A, \alpha, M, g)$, c'est une estimation a priori du type Harnack. On peut l'eccrire aussi pour la distance geodesique en comparant les boules pour les metriques $g, \varphi^*(g) = h$. ici, on a melangé boules de cartes, euclidiennes et boules geoedesiques, mais on a toujours l'estimation a priori du type Harnack :

a) Pour un point $y \in V_{y_0} = B(y_0, R)$ et un réel $R' > 0$ donnés : on a l'estimation a priori globale par rapport à un rayon maximal $R > 0$ lié à $y_0$. Estimation par rapport à un rayon maximal $R > 0$ lié au point $y_0$. A la Bonnesen, du type inégalité de Bonnesen, par rapport à un rayon maximal.

b) Soit par soucis d'homogénéité, l'inégalité (**) qui exprime comment les solutions $u_i$ evoluent en fonction de $y$ et $R' > 0$ uniformément dans $V_{y_0} = B(y_0, R)$, ici $R > 0$ est lié au point $y_0$, alors que $y$ et $R' > 0$ sont pris de manière quelconque dans $V_{y_0} = B(y_0, R)$. On a la formule (**) vraie pour tout $y$ et $R' > 0$ dans $V_{y_0} = B(y_0, R)$. Estimation qui peut être interieure et spherique. Par soucis d'homogéneité, pour $y$ et $R'$, on veut voir comment evoluent les solutions $u_i$ en fonctions de $y$ et $R'$ : il n'y a pas de dependance en $y$, mais ca depend d'un rayon maximal qui est lié à $y_0$, un autre point. (***) permet d'exprimer l'evolution de $u_i$ en fonction de $R'$, on considère une boule $B_{R'}(y)$ et on regarde comment evoluent $u_i$ en fonction des paramètres de cette boule, donc, en fonction de $y$ et $R'$, ca ne depend pas de $y$ dans $V_{y_0}$ mais ca depend de $R'$. On a, $y_0 \leftrightarrow R$ et $y \leftrightarrow R'$.

c) Ces assertions sont equivalentes, l'estimation a priori locale globale dans $V_{y_0} = B(y_0, R)$ est equivalente à l'estimation a priori du type Harnack :

$$ \sup_{B(y_0, R)} u_i o \varphi^{-1} \le \frac{c}{R^{2/(q-2)}} \iff \sup_{B_{R'}(y)} u_i o \varphi^{-1} \le \frac{c}{R'^{2/(q-2)}}, $$

avec, $B_{R'}(y) \subset B(y_0, R), \forall R' \le R, \forall y \in B(y_0, R)$.

Dans le cas super-critique negatif, on a comme consequence, un principe d'Harnack. On a un critère de compacité si la variété est compacte sans bord et $\int_M R < 0$ avec $R$ la fonction de l'Eq. $\Delta u + R = V e^u, \Delta = -\nabla^i \nabla_i, a \le V \le b < 0$.

Pour ce qui nous concerne, la compacité locale ne nécessite pas de conditions sur la courbure ou la variété Riemannienne. Les estimations a priori locales, compacité locale, dans le cas négatif, ne nécessitent pas de conditions sur la courbure ou sur la variété Riemannienne.

(Ce qui suit, a été dit dans l'introduction du print "Cas d'existence de solutions d'EDP", quand on a parlé l'elimination des blow-up isolés simples par le th. de la masse positive. Mais cela reste
vrai dans le cas strictement négatif, sans th.de la masse positive. On l'a dit, compatibilité : résultat d'existence par le degré topologique et par consequent l'estimation a priori. Voir aussi pour les solutions variationnelles dans le livre d'Aubin chapitre 6, cas strictement négatif.)

1) Consequence pour le cas strictement négatif avec potentiel négatif strictement et sur une variété compacte sans bord : ($\Delta = -\nabla^t \nabla_i$, $c_n$ la constante de l'operateur conforme, on se ramene a la courbure scalaire $S = -1$) :

On a une solution topologique pour $c_n\Delta u - u = Vu^{N-1}$, $u > 0$, $-\infty < a \le V \le b < 0$, $||V||_{C^{\alpha+\epsilon}} \le A, \epsilon > 0$. Pour cela on considere l'homotopie d'operateurs compact : $K_t(u) = (c_n\Delta + 1)^{-1}(V_tu^{N-1} + 2u)$, avec $V_t = -(1-t) + tV, t \in [0, 1]$. On a la compatibilité, implique qu'on peut considerer le degré de Leray-Schauder dans $X = \{u \in C^{2,\alpha}(M), u \ge 0, ||u||_{C^{2,\alpha}} \le 2c_0\}$, de sorte que $(Id - K_t)(u) = 0$ n'a pas de solution $u$ dans $\partial X$, on peut alors considerer le degré de Leray-Schauder dans $X$. Par homotopie :

$$ deg(Id - K_1, X, 0) = deg(Id - K_0, X, 0), $$

Or, $f = Id - K_0$ a une derivée qui est un isomorphisme, car dans le cas négatif, la seul solution de $(Id - K_0)(u) = 0$ est $u = u_0 \equiv 1$ (l'eq. est : $c_n\Delta u - u = -u^{N-1}$, soit on utilise le résultat d'unicité dans le livre d'Aubin, Kadzdan-Warner, chapitre 6, soit, se placer au maximum et au minimum on a la fois $u \le 1$ et $u \ge 1$, voir le livre d'Aubin, pour l'unicité dans le cas négatif, chapitre 6). Et en $u_0 = 1$, $f'(h) = f'(u_0)(h)$, $u_0 = 1$, est un isomorphisme $f'(h) = h - (c_n\Delta + 1)^{-1}(-(N-3)h)$ et en appliquant $c_n\Delta + 1$ le noyau est reduit a 0 et $f'$ est surjectif. Car l'operateur $c_n\Delta + (N-2)$ est inversible. Donc le degré de $f$ est l'index de $f' = I - \tilde{K}_0$, $\tilde{K}_0$ compact et $f'$ est un isomorphisme et est egal à $+1$ ou $-1$, voir l'article de Leray-Schauder, 1934, titre : Topologie et équations fonctionnelles, Annales de l'E.N.S, voir aussi l'article resumé de Jean Mawhin, donc le degré est non nul. Donc : le degré de $Id - K_1$ est non nul ce qui veut dire que l'eq. $c_n\Delta u - u = Vu^{N-1}$, $u > 0$, a une solution topologique, et on a l'estimation a priori.

Si on divise l'eq. par $u > 0$ et on integre, on obient que l'integrale de $u^{N-2}$ est uniformement minorée par une constante $> 0$ et par le principe du maximum les solutions sont alors unifromément minorées par une constante $> 0$, on utilise la compatibilité et la convergence vers une fonction non identiquement nulle, puis le principe du maximum implique qu'elle est $> 0$. On pouvait prendre l'ensemble $X = \{u \in C^{2,\alpha}(M), u \ge \frac{c_0}{2} > 0, ||u||_{C^{2,\alpha}} \le 2c_0\}$, c'est cet ensemble qu'il faut prendre.

Ici, on n'a pas utilisé l'idée du livre d'Aubin, dans le cas compact, se placer au maximum et au minimum, pour majorer et minorer les solutions, c'est une methode differente.

2) Pour le cas super critique et négatif, sur une variété compacte sans bord, on a la meme chose avec l'eq. $\Delta u - 1 = Ve^u$, $u \ge 0$. Ici on a imposé un signe, mais le fait que la variété soit compacte, implique que les solutions sont minorées, en se placant au point minimum, $Q$, $\Delta u(Q) \le 0$. Ici aussi on peut se passer de cette idée du livre d'Aubin : en effet, on utilise la majoration uniforme des solutions, on resout un probleme de Dirichlet, $w$, car $Ve^u + 1$ est uniformement bornée (On se place dans des ouverts de cartes de bords réguliers $(U_x, \varphi_x)$, $x \in M$ et $w = w_x$, onse ramene a $\mathbb{R}^n$)et on soustrait $w, u - w$, on se ramene a des fonctions harmoniques, puis on utilise le principe de Harnack. Donc, soit $u$ converge, soit, elle tend vers $-\infty$, or l'intergrale de $u$ est uniformement minorée par une constante $> 0$, ce qui n'est pas possible.(on est sur une variété compacte sans bord, on integre l'eq de $u$). Donc, les $u$ sont uniformément minorées.

L'application $K_t(u) = (\Delta + 1)^{-1}(V_t e^u + 1 + u)$ et $X = \{u \in C^{2,\alpha}(M), u \ge \frac{k_0}{2}, ||u||_{C^{2,\alpha}} \le 2k_0\}$. Avec, $V_t = -(1-t) + tV$ et $-\infty < a \le V \le b < 0$ et $||V||_{C^{\alpha+\epsilon}} \le A, \epsilon > 0$. Avec, $g(u) = K_0(u) = (\Delta + 1)^{-1}(-e^u + 1 + u)$ et $g'_{u_0=0}(h) \equiv 0$, donc, $(Id - g)'_{u_0=0}(h) = h = Id$.

**Remarques :** a) En ce qui concerne l'unicité pour l'eq. $\Delta u - 1 = -e^u$ sur une variété compacte. On veut prouver que $u \equiv 0$. Alors on ecrit $\Delta u = (1 - e^u)$, on multiplie par $u$ et on integre, on obtient : on a toujours $(1 - e^u)u \le 0$ :

$$ 0 \le \int_M |\nabla u|^2 = \int_M (1 - e^u)u \le 0. $$

Donc : $u(1 - e^u) \equiv 0$, donc, $u \equiv 0$.
b) On a la même chose avec l'eq. $c_n \Delta u - u = -u^{N-1}$, $u > 0$, on déplace $u$ au second membre et on multiplie par $u-1$ et on intégre, on obtient un terme positif ou nul égal à un terme négatif ou nul, donc, nul et donc, $u \equiv 1$.

$$c_n \Delta u = u(1 - u^{N-2}),$$

on multiplie par $u-1$ (on a toujours $u(1 - u^{N-2})(u-1) \le 0$) et on intégre :

$$0 \le c_n \int_M |\nabla u|^2 = \int_M u(1 - u^{N-2})(u-1) \le 0.$$

Donc, $u(1 - u^{N-2})(u-1) = 0$, d'ou, $u \equiv 1$.

c) Tout ceci pour ne pas utiliser l'idée du livre d'Aubin : se placer au minimum et au maximum des solutions. Dans le cas d'un potentiel, on a l'unicité aussi, par la technique du point a) et b).

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42) Sur l'article de Brezis-Merle et le problème 1 de Brezis-Merle. Dans leur introduction Brezis-Merle commencent par se poser le problème des estimations a priori. ($p = +\infty$)

a) Ils trouvent une condition sur les bornes $C_1$ et $C_2$ pour avoir la compacité jusqu'au bord. Ici, les potentiels peuvent changer de signe et $C_1$ et $C_2$ sont quelconques, mais $C_1 \cdot C_2 < 4\pi$, c'est une condition sur la "masse" ou l'invariant conforme qui est la masse. C'est une condition à la Bol ou à la Fiala ou à la Alexandrov pour les inégalités isopérimetriques.

C'est une condition "masse-niveau d'energie" comme pour les inégalités isoperimetriques. Et sur un invariant conforme. Pour avoir la compacité globale.

b) Comme Brezis-Merle ont restreint le champ des possibilités pour $C_1$ et $C_2$. Ils ont trouvé une condition sur le potentiel $V$ pour qu'il n'y ait pas de conditions sur $C_1$ et $C_2$ et l'invariant conforme $C_1 \cdot C_2$. Cette condition est la positivité de $V$. Ils obtiennent la compacité locale. Mais la compacité globale n'est pas vraie, comme le montre leur exemple et contre-exemple de la fin de l'article.

C'est un exemple d'existence de solutions d'un problème aux limites avec conditions de Dirichlet, avec les conditions de Brezis-Merle qui illustre bien la compacité locale et met en défaut la compacité globale. Ces exemples existent pour toute masse $m = 4\pi A$, $A > 1$.

**Masse ou invariant conforme, conditions sur V (et ou $C_1$) et niveau d'energie ou masse.**
(Pour ce qui est de l'inégalité isoperimetrique de Bol, Fiala, Alexandrov).

c) Donc, pour le problème 1 de Brezis-Merle, se pose la question de la compacité globale, jusqu'au bord. Pour cela, il faut des conditions :

c1) Soit une condition sur $C_1$ et $C_2$ ? Comme la positivité de $V$ pour la compacité locale, qui est une sorte de condition sur la borne inférieure de $V$, comme pour les inégalités, sup, inf.

Ou comme pour les espaces uniformément convexes. Des valeurs explicites pour caractériser un ensemble.

c2) Soit une condition sur la masse $C_1 \cdot C_2$ ? Comme pour les inégalités isoperimetriques de Bol, Fiala, Alexandrov. Ou Comme pour les espaces uniformément convexes, des valeurs explicites pour caractériser un ensemble. Ou les conditions sur l'invariant de Yamabe de Aubin en dimensions $\ge 3$.

Brezis-Merle dans leur exemple et contre-exemple insistent sur le fait que la masse $m = 4\pi A$, $A > 1$ est arbitraire.

c3) Soit une condition sur $V$ ? C'est en partie le problème 1 de Brezis-Merle, les potentiels convergent en norme $C^0(\bar{\Omega})$ ou comme dans la remarque qui le précède, des conditions fortes sur $V$.

c4) Soit une condition sur les solutions $u$ ? comme pour les theoremes dans les $L^p$, Lebesgue, Beppo-Levi, Fatou, ou d'Ascoli-Arzela ou Dunford-Pettis, ou les inégalités sup, inf.

d) Chen-Li, donnent une réponse à ce problème (le problème 1 de Brezis-Merle) en imposant à $V$ d'être $C^1$ uniformément. On voit alors qu'a partir de la différence $|V(x) - V(y)| \le A|x-y|$, on a au moins, aussi, la condition sur $C_1 \le A \cdot \text{diam}re(\Omega)$. Ici, on a trois conditions, $V$, $C^1$, uniformément, et sur $C_1$. Et ils obtiennent la compacité globale pour toute valeur de la masse, $m = C_1 \cdot C_2 > 0$ quelconque. Independemment de la masse.

On a aussi, les articles de, De Figueiredo-Lions-Nussbaum, cas sous critique et Suzuki, cas $V$ constant et Ma-Wei, cas $V$ constant. Compacité globale par la méthode moving-plane.
$$ \sup_K u_i \geq m > 0 \Rightarrow \sup_M u_i \times \inf_K u_i \geq c, $$

On remplace $m = \sup_K u$, on obtient l'inégalité de Harnack "enroulement-torsion", suivante :

$$ \sup_M u \times \inf_K u \geq c(a, b, \sup_K u, K, M, g) > 0, $$

la fonction $m \to c$ est croissante de $m > 0$. (dans le cas de dépendance linéaire, on a l'inegalité de Harnack classique d'un coté).

On a la fois l'enroulement et la torsion et c'est une inégalité "harmonique-Yamabe", car elle met en relation $\inf_K u$ et $\sup_K u$ pour ce qui est harmonique, et $\sup \times \inf$ pour ce qui est Yamabe. ici, relation entre $\sup_M u$, $\sup_K u$, $\inf_K u$. ou dans le sens $\sup_M u$, $\inf_K u$, $\sup_K u$. On a les relations suivantes : ouverte+semi-ouverte : $\sup_M u \leftrightarrow \inf_K u \leftrightarrow \sup_K u$. Ou si, on place tout ce qui est inf d'un coté et tout ce qui sup de l'autre :

$$ \inf_K u \geq \frac{c(a, b, \sup_K u, K, M, g)}{\sup_M u} = C(a, b, \sup_K u, \sup_M u, K, M, g) > 0, $$

ou Formelement, on ecrit :

$$ \inf K \geq c(\sup) > 0, $$

ou si on revient a l'écriture initiale,

$$ \sup_M u \times \inf_K u \geq c(a, b, \sup_K u, K, M, g) > 0. $$

On voit alors pour ce qui est $n + 1$ avec $n \geq 3$ (et en particulier $n = 9$), concernant les supercordes et Kaluza-Klein, l'enroulement, la torsion, qui sont mélangés, et, harmonique-Yamabe, les différentes relations d'Harnack mélangées et ceci sans nécessairement avec conditions au bord, Dirichlet ou Neumann ou mixtes.

### Remarques : quelques exemples

1) Pour les fonctions solutions d'edp du type :

$$ Lu = f, $$

On a des inégalités de Harnack avec une contribution de la norme $L^n$ de $f$ :

$$ \sup_K u \leq C_1 \inf_K u + C_2 \|f\|_n, $$

Si $f = Vu^{N-1}$, on voit qu'on doit avoir une contribution de $\|u\|_p, p = nN$, dans l'inégalité de Harnack. Pour des equations plus generales que les fonctions harmoniques (presence d'un $f$), il faut une information ou une contribution de $f$, si de plus on suppose $f$ dependant de $u$ alors, dans l'inégalité de Harnack classique il faut une contribution d'une integrale de $u$. Voir le Gilbarg-Trudinger pour les inégalités de Harnack classiques avec une fonction $f$.

On explique ainsi l'inégalité de Harnack a trois paramètres, ci-dessus, avec, $\sup_M u$, $\inf_K u$, $\sup_K u$. La presence de 3 paramètres.

2) Dans le Gilbarg-Trudinger, il y a l'inégalité d'oscillation, dans la solution de, De Giorgi et Nash, de régularité holderienne. Le lemme d'oscillation : il fait apparaître $\sup_{B_R} u$, $\inf_{B_R} u$ et $\sup_{B_{R_0}} |u|$, avec $R_0$ fixé plus grand ou égal que $R$. Voir livre de Gilbarg-Trudinger, les chaî pitres.8 et 9 et en particulier le theroreme.15.7.

On explique que dans l'inégalité de Harnack a 3 paramètres, ci-dessus, on prend $M$ plus grand que $K$ avec presence de $\sup_K u$, $\inf_K u$ et $\sup_M u$. 3 paramètres dont deux d'Harnack harmonique et deux de Yamabe.

3) on explique la presence de 3 paramètres dans l'inégalité de Harnack harmonique-Yamabe, qui est du a la non linearité de l'equation.

4) Il y a l'exemple suivant :

$$ u_{\mu}(x) = \frac{\mu^{(n-2)/2}}{(\mu^2 + |x|^2)^{(n-2)/2}}, $$

a) quand $\mu \to +\infty$, on a l'inégalité $\sup_{B_k(0)} u_\mu \leq c \inf_{B_k(0)} u_\mu$, $c > 0$,
b) quand $\mu \to 0$, on a l'inégalité $\sup_{B_1(0)} u_\mu \times \inf_{B_k(0)} u_\mu \ge c > 0$, L'inégalité ci-dessus, melange ce type d'inégalités de Harnack. Fraction et produit.

Formelement, on ecrit :

$$ \inf \geq c(\sup) > 0, $$

ou si on revient a l'écriture initiale,

$$ \sup_M u \times \inf_K u \geq c(a, b, \sup_K u, K, M, g) > 0. $$

On voit alors l'enroulement et la torsion en ce qui concerne les supercordes. On a alors les 2 relations suivantes à la fois : $\leftarrow$ et $\uparrow$, en une relation. Comme ces deux relations sont melangées, on a alors l'enroulement dans la torsion.

On a :

$$ (1) \quad \sup_K u \times \inf_M u \leq c, \text{ ou, } \sup_M u \times \inf_K u \geq c > 0 : \textit{inegalites tres fortes,} $$

$$ (2) \quad (\sup_K u)^\alpha \times \inf_M u \leq c, \text{ ou, } (\sup_M u)^{1/\alpha} \times \inf_K u \geq c > 0 : \textit{inegalites fortes,} $$

$$ (3) \quad \sup_K u \leq c(\inf_M u), \text{ ou, } \inf_K u \geq c(\sup_M u) > 0 : \textit{inegalites faibles,} $$

$$ (4) \quad \sup_M u \times \inf_K u \geq c(\sup_M u) > 0 : \textit{inegalites tres faibles.} $$

a) Pour le (3) et (4), pour le (3), le sup controle l'inf. Pour le (4) le sup local controle l'inf $\times$ sup, l'inf doit etre difficile a controler. Donc, (4) est plus faible que (3) qui est plus faible que (2) qui est plus faible que (1).

L'inégalité (4) est une inégalité très faible, on voit bien l'enroulement dans la torsion, mélange d'enroulement et de torsion.

On l'a dit précédemment, à l'origine, Kaluza-Klein c'est en 4 + 1 puis le model à evolué et on considère 5 + 1, 6 + 1, puis il y a d'autres formulations en 9 + 1. L'operateur en question est $c_n\Delta + \tilde{h}$, $c_n$ une constante universelle, celle de l'Eq de Yamabe, il est censé être coercif. On peut ne pas avoir de bord, cas d'une variété compacte sans bord, ou bien, on peut avoir un bord. Ceci est lié au Th. de la masse positive, qui implique la coercivité de l'operateur et la présence ou non de bord. Puis, l'Eq. du modèle est : $c_n\Delta u + \tilde{h}u = Vu^{N-1}$, $h = S_g - |\nabla\Psi|^2$, $V = \frac{1}{2}m\Psi^2$, $N = \frac{2n}{n-2}$, avec $S_g$, la courbure scolaire. Dans le cas $\Psi \equiv \text{constante}$, on retrouve l'Eq. de Yamabe. On pose par exemple, pour être coherent avec les Eq qu'on a considéré : $h = \frac{\tilde{h}}{c_n}$. Sur la variété Riemannienne $(M, g)$, qui peut être un produit, comme on l'a dit, sur le Th. de la masse positive.

b) On a :

$$ (1) : 1 - \textit{Torsion - Enroulement,} $$

$$ (2) : \alpha - \textit{Torsion - Enroulement,} $$

$$ (3) : \textit{Enroulement,} $$

$$ (4) : \textit{Enroulement - Torsion, enroulement dans la torsion} $$

L'inégalité (4), enroulement dans la torsion, on a 3 paramètres, peut être vu comme liant 2 paramètres, le (sup local) et l'(inf local $\times$ sup global). Le sup global est une barrière qui permet l'oscillation entre le sup local et l'inf local. L'inégalité (4) est une inégalité très faible, car le sup local controle l'inf $\times$ sup, l'inf doit être difficile à controler.

Si on a une idée sur l'inf local et le sup global, il est possible d'avoir une idée sur le sup local qui est intermédiaire. Inégalité (4) : inégalité à 2 paramètres indirecte. Intervalle de précisions de nombres.
Inégalité (4) : comme la fonction $m \to c(m)$, $m > 0$ est croissante de $m > 0$ et que $\sup_K u \ge u(z) > 0$, $z \in K$, le point intermédiaire peut être $z$, si $C_{x,y}$ est une corde qui passe par $z$ (si $z \notin K$, on agrandit $K$), on écrit : $\sup_M u \times \inf_K u \ge c(\sup_K u) \ge c(u(z)) > 0$, on voit alors que le point $z$ est un point intermédiaire et que $u(z)$ est une valeur intermédiaire entre $\inf_K u$ et $\sup_M u$. Le $\sup_K u$ est alors, une valeur moyenne dans l'ensemble des valeurs intermédiaires.

L'inégalité (4) est une inégalité à 2 paramètres indirecte entre $\inf_K u$ et $\sup_M u$. La valeur $\sup_K u$ est une valeur moyenne parmi les valeurs intermédiaires. La fonction $m \to c(m)$, $m > 0$ mesure la dilatation de la corde. On a bien une **inégalité à 2 paramètres indirecte ou dilatée**. (Dilatation de la corde $C_{x,y}$ en $z \ \forall z$ et si on prend les poids $\inf_K u$ et $\sup_M u$, on a dilatation de la corde $C_{x \in \inf_K u, y \in \sup_M u}$, de poids $\sup_K u$ et **amplitutde de la dilatation :** $c(\sup_K u)$). Ce phénomène de dilatation ne se voit dans le cas d'une variété compacte sans bord, car la dilatation possède une borne inférieure, une limite ainsi que l'amplitude de la dilatation.

L'inégalité (4) : **inégalité à 2 paramètres indirecte ou dilatée**; avec amplitutde variable.

Dans un travail récent, si on suppose les D-branes, conditions de Dirichlet, on a l'inégalité (3), moins tordue, qui met en relation 2 paramètres directement : inégalité à 2 paramètres directe.

========================================================

**Sur l'article au Bulletin des Sciences Math. 2006. et le print 2024, Harnack inequalities for equations of type prescribed scalar curvature. arXiv 2024.**

Voir l'article. Exotic origins of tensionless superstrings. Du point de vue de la physique, il y a 2 possibilités : soit la convergence, soit l'éclatement, le blow-up. Le cas le plus interessant et important est le blow-up, à la limite, le blow-up, la corde, se tend et "eclate" :

1) On voit bien que du point de vue de la physique l'éclatement à lieu à l'interieur de la variété $M$ : l'hypothèse de la Physique est :

$$ \exists x_0 \in M, \exists (x_k)_k \subset M, x_k \to x_0, u_k(x_k) \to +\infty. $$

Or ceci, implique d'après l'article du Bulletin. Sci. Math. 2006 que :

$$ \exists c > 0, \forall K \subset M, \forall k, \sup_M u_k \times \inf_K u_k \ge c > 0, $$

Donc, du point de vue de la Physique, ou sous les hypothèses de la physique, l'article du Bull.Sci.Math. 2006. suffit, on a bien $n + 1, n = 9$.

Le blow-up est une condition de la Physique.

**Du point de vue Mathematique, il y a 3 paramètres,** mais on voit comme on l'a dit dans le print, "Quelques remarques sur les variétés, fonctions de Green, formule de Stokes". **Il y a principalement 2 paramètres, le 3ème est un paramètre d'amplitude,** mais qui est en fait une donnée du point de vue de la Physique, donc, il s'auto-élimine pour faire apparaître 2 paramètres.

Ici, dans le point de vue de la physique, le sup local s'auto-elimine, car il est minoré, dans le sens de la donnée.

1-1) Point de vue Mathematique :

Hypothèse : ($\sup_K u_k \ge m > 0$) : 1 paramètre + $\Rightarrow$ ($\sup_M u_k \times \inf_K u_k \ge c(m) > 0$) : 2 paramètres = 3 paramètres au total : ($\sup_K u_k, \sup_M u_k, \inf_K u_k$).

1-2) Point de vue de la Physique :

Donnée : ($\sup_K u_k \to +\infty$) $\Rightarrow$ : $\sup_M u_k \times \inf_K u_k \ge c > 0 := 2$ paramètres ($\sup_M u_k, \inf_K u_k$).

‘Point de vue Mathematique’ $\neq$ ‘Point de vue de la Physique’.

2) Dans le print, arXiv 2024. On a une alternative, qui confirme ce qui a été dit dans l'introduction de l'article. Exotic origins of tensionless superstrings. Du point de vue de la physique, il y a 2 possibilités : soit la convergence, soit une inégalité de Harnack.

**Ici, on a 2 paramètres** et la condition blow-up ou éclatement est dans l'inégalité de Harnack. On a au plus 2 paramètres et au moins 1 paramètre.

Du point de vue de la physique, le blow-up est inclu dans le nombre de paramètres, soit, 2. Ici, il y a 2 paramètres au maximum et la condition de la Physique, blow-up, est incluse directement dans l'inégalité.
Ici, on ne peut pas eliminer la sup local, car, on cherche à l'estimer, à le majorer (sens de l'inégalité : la majoration). On estime et majore le sup local par une quantité dependant de l'inf global.

2-1) Point de vue Mathematique :

**Inégalité de Harnack à 2 paramètres : point de vue mathématique.**

Hypothèse : ($\sup_K u_k \to +\infty$) $\Rightarrow$ relation entre ($\sup_K u_k, \inf_M u_k$) = 2 paramètres au total = ($\sup_K u_k, \inf_M u_k$).

2-2) Point de vue de la Physique :

**Le blow-up est dans l'inégalité à 2 paramètres : point de vue physique.**

Donnée : ($\sup_K u_k \to +\infty$) $\Rightarrow$ relation entre ($\sup_K u_k, \inf_M u_k$) = 2 paramètres au total = ($\sup_K u_k, \inf_M u_k$).

Finalement :

a) Ici, 'le point de vue Mathematique' et 'le point de vue de la Physique' sont les memes.

b) Point de vue de la Physique est **cohérent** avec le point de vue Mathematique.

c) 'Point de vue Mathematique' = 'Point de vue de la Physique' = inégalité à 2 paramètres.

3)

3-1) On peut dire que le point de vue de la Physique etait deja resolu dans l'article au Bull.Sci.Math. 2006.

3-2) Dans le print, arXiv 2024. L'aletrnative, confirme, l'article de la physique, "Exotic origins of tensionless superstrings" et Les points de vue Mathematique et Physique sont les memes. (En plus de l'inégalité de Harnack, nouvelle et de nouveau type et dans le sens de la majoration).

On peut dire que la cohérence entre le point de vue Mathematique et le point de vue de la Physique, est resolu dans le preprint 2024.

**Concernant l'article aux Bull.Sci.Math.2006 :**

Du point de vue EDP et inégalités de Harnack : il y a la contrainte $x_0 \in M, u_i(x_0) \ge m > 0$ : ceci est coherant avec ce qu'on appelle inégalité de Harnack.

Pour les fonctions harmoniques, dans le Gilbarg-Trudinger, ils disent "non-negative harmonic functions" : donc on a la condition $m \ge 0$ implique cequ'on appelle inégalité de Harnack pour les fonctions harmoniques positive ou nulles. Il y a bien une contrainte : la positivité de la fonction harmonique. On a bien 2 paramètres $\sup_K u$ et $\inf_K u$ avec la contrainte : $m \ge 0$.

Il y a aussi l'exemple de Brezis-Merle, corollaire 7, avec volume borné uniform. et potentiel $C \ge V(x) \ge 0$. Ils ont une contrainte sur le volume et ils obtiennent une inégalité de Harnack à 2 paramètres.

Dans la'article du Bull.Sci.Math. 2006 : on a une contrainte : $u_i(x_0) \ge m > 0$, avec 2 paramètres : $\sup_M u_i$ et $\inf_K u_i$.

Donc, c'est coherent avec cequ'on appelle inégalités de Harnack. On a une condition qui implique une inégalité à 2 paramètres.(exemple, c'est ce qu'on a dit sur les fonctions harmoniques : positivité des fonctions). Cette condition est compatible avec le phenomene physique de blow-up.

Inégalité de Harnack de, Bull.Sci.Math.2006 :

a) elle caracterise, l'enroulement et la torsion ou l'enroulment et la distortion.

b) Elle montre la stabilité du systeme.

c) C'est vrai en toute dimension $n \ge 3$ : qui inclut : la relativité, Kaluza-Klein, la théorie des cordes et la théorie des supercordes. $n = 3, 4, 5, 6, 9$.

C'est bien une inégalité de Harnack à 2 paramètres. C'est coherent avec ce qu'on appelle inégalités de Harnack.

Tout ceci pour dire que ces inégalités, selon le point de vue, font apparaitre 2 paramètres ou 3 paramètres. L'exemple de fonctions harmoniques, positive ou nulles (contrainte), avec 2 paramètres, est l'exemple typique. $\Rightarrow$ l'inégalité de Harnack à 2 paramètres, avec une contrainte de l'article du, Bull.Sci.Math.2006. C'est coherent avec ce qui est appelé inégalité de Harnack.

Dans la preuve de ce resultat (du theoreme 2 de cet article), on a utilisé aussi, comme dans le cas negatif(critique, dimension 2 et supercritique) de l'article de 2003, l'integration par parties, localement dans une boule geodesique petite : sous variété Riemannienne compacte á bord $C^\infty$ plongée dans une variété Riemannienne, plongement obtenu par la carte exponentielle.
Il y a aussi, le point de vue "metric geometry", de Cheeger, Anderson, Peters, Gromov: Eux ils donnent des conditions sur le volume, la courbure de Ricci, le diamètre, donc, la métrique, ...etc... pour montrer un résultat de compacité. Ici, on donne une condition sur la métrique conforme : une condition de saut, ou de concentration en un point, pour avoir une inégalité sur le sup, inf, de la métrique conforme, donc, un résultat sur la métrique conforme, une formule de la moyenne, stabilité en norme essentielles du sup et inf : "mean value theorem", "oscillation", "conformal metrics", "stability".

Ici, c'est une équation plus générale, qui inclut, les métriques conformes. Donc, ça inclut la "metric geometry", si on considère en particulier, l'eq. de la courbure scalaire prescrite ou de Yamabe.

**Remarque :**

On a vu dans l'article. Bull.Sci.Math.2006, qu'on peut avoir, selon le point de vue une inégalité de Harnack à 3 paramètres ou 2 paramètres.

Si on suppose la condition de Brezis-Merle ou Brezis-Li-Shafrir : $\inf_M u > 0$, on a, à partir de l'inégalité à 3 paramètres :

$$ \sup_M u \times \inf_K u \geq c(\sup_K u) > 0, $$

avec $m \to c(m) > 0$ une fonction croissante de $m > 0$, $\sup_K u \geq \inf_K u \geq \inf_M u > 0$, (positivité stricte) :

$$ \sup_M u \times \inf_K u \geq c(\inf_K u) > 0, $$

On a bien une inégalité de Harnack à 2 paramètres entre $\sup_M u$ et $\inf_K u$, en admettant la condition de Brezis-Merle ou Brezis-Li-Shafrir : $\inf_M u > 0$. Qui est possible en considerant le problème sur $(M, g)$ avec $u > 0$ sur $M$, puis on prend un sous-ensemble ouvert connexe, $\tilde{M}$, alors on aura : $\inf_{\tilde{M}} u > 0$. (Par exemple autour d'un point, comme le font Li-Zhang).

Comme le problème se pose autour de chaque point $x_0 \in M$, comme le font Li-Zhang. On prenant un ouvert relativement compact de $M$, $\tilde{M} \subset \subset M$. On a toujours $\inf_{\tilde{M}} u > 0$. On a :

$$ \forall K \subset \subset \tilde{M}, \quad \sup_{\tilde{M}} u \times \inf_K u \geq c(\inf_K u) > 0, $$

1) Ici, comme l'opérateur est coercif, par le principe du maximum, on a toujours : pour tout compact $K$ de $M$ : $\inf_K u > 0$. Il n'y a pas besoin de supposer la condition, de Brezis-Merle ou de Brezis-Li-Shafrir.

Par le principe du maximum, on a toujours : $\inf_K u > 0$ (aussi, ici, on a directement $\inf_K u > 0$, car $u > 0$ est strict.positive sur $M$ et continue sur $\tilde{M}$ et $K$ est compact). Donc, on a l'inégalité de Harnack sans la condition de Brezis-Merle ou de Brezis-Li-Shafrir.

2) Ce qui paraît ambigu, est que la fonction $m \to c(m)$ est croissante de $m > 0$, on ne connaît pas sa forme explicite. Par exemple, on ne peut pas avoir une fonction linaire, $c(m) = c_0m$, car l'exemple qu'on a donné avant : $x \to (\mu/\mu^2 + |x|^2)^{(n-2)/2}$, $\mu \to +\infty$, implique qu'on a : $\sup_M u \geq c_0 \frac{\sup_K u}{\inf_K u} \to c_0 > 0$, alors que $\sup_M u \to 0$, $\mu \to +\infty$ (et aussi le cas $\mu \to 0$, on ne peut pas avoir $c(m) = c_0m^k$, $k > 1$, une puissance). Donc, parfois, on ne peut pas avoir $c(m)$ linaire. Ce qui veut dire aussi, que l'inégalité qu'on a obtenue, est une vraie inégalité de Harnack. Par exemple, on n'a pas une inégalité triviale du type $\sup_m u \geq c_0 > 0$.

3) on a :

$$ \forall K \subset \subset M, \quad \sup_M u \times \inf_K u \geq c(\inf_K u) > 0, $$

ou bien :

$$ \forall K \subset \subset M, \quad \sup_M u \geq \frac{c(\inf_K u)}{\inf_K u} > 0, $$

avec, $m \to c(m) > 0$ fonction croissante de $m > 0$.

Cette inégalité à 2 paramètres se deduit du 2 de l'article du Bull.Sci.Math.2006. en prenant $x_0 \in K$ et $m = \inf_K u > 0$. Ce qui était ambigu : il ne faut pas prouver l'inégalité en prenant $v > 0$, $\inf_K v > 0$, mais en considerant un point $x_0$ et on la prouve en prenant $v(x_0) \geq m > 0$.
Si on suppose $\inf_K v = m > 0$, il n'y a rien a prouver. Mais en prenant $v(x_0) \ge m > 0$, on prouve l'inégalité en prenant $m = \inf_K u > 0$, puis on l'applique à $v = u$, $v$ particulière, $v = u$, comme $x_0 \in K$, on a bien $v(x_0) = u(x_0) \ge \inf_K u > 0$.

Le th 2 de l'article du Bull.Sci.Math.2006. ecrit, permet de deduire l'inégalité à 2 paramètres,
en prenant, $x_0 \in K$, $m = \inf_K u > 0$ et $u_i = u$.

Comme on l'a dit, la fonction $c(m)$ ne peut pas être triviale, en prenant, les fonctions particulières ci-dessus. $x \to (\mu/\mu^2 + |x|^2)^{(n-2)/2}$, $\mu \to +\infty$ ou $\mu \to 0$.

**Important** : Cette inégalité est obtenue, **sans concentration de la mesure**. On n'a pas de notion de concentration de la mesure à l'interieur et au bord. On ne sait pas si la concentration de la mesure est vraie ou pas.

Notions utilisées :

Cette inégalité est obtenue avec la notion de fonction de Green d'un opérateur coercif dans $H^1(M)$ (ce qui inclut, la condition de Dirichlet, de Neumann, mixte, conditions au bord linéaires, non linéaires (problème de Cherrier), c'est à dire, avec n'importe quelle condition au bord telle que l'opérateur soit coercif) : ici ce qui compliqué est la construction de la fonction de Green avec condition de Dirichlet. On a aussi la notion d'intégrale Riemannienne de Lebesgue, espace de Lebesgue $L^p$, espaces de Sobolev et injections de Sobolev, cas de l'exposant critique et l'intégration pas parties; formule de Stokes-Green-Gauss-Riemann, procédé d'itération. Raisonnement par l'absurde : énergies tendant vers 0.

On a :

$$
\forall K \text{ compact de } M, x_0 \in K, \sup_M u \times \inf_K u \ge c(\inf_K u) > 0,
$$

avec $m \to c(m)$ croissante de $m > 0$.

On ecrit cela pour mettre en evidence l'enroulement et la distrotion, la rigidité, la stabilité,
l'inégalité (sup, inf) en dimension $n \ge 3$, **inégalité à 2 paramètres**, avec la notion de pincement
(pinching).

L'opérateur coercif considéré est $\Delta + h$, ce qui inclut l'opérateur conforme, l'eq. de Yamabe,
de la courbure scalaire prescrite, l'eq. d'Einstein-Lichnerowicz, l'eq. de Schrodinger ($n \ge 3$,
Schrodinger c'est $n \ge 2$, il est possible de completer le cas $n = 2$). Ici, l'exposant est critique
de Sobolev et la dimension de la variété est $n \ge 3$, ce qui résout le problème du (sup, inf) dans
le cas coercif, dans tous les cas (pour ce qui concerne les equations) : Yamabe, Courbure scalaire
prescrite, Einstein-Lichnerowicz, Schrodinger ($n \ge 3$, il est possible de completer Schrodinger
$n = 2$ et exposant sous-critique pour $n = 2$).

RÉFÉRENCES

[1] Bagchi.A, Banerjee.A, Chakraborty.S, Parekh.P. Exotic origins of tensionless superstrings. Physics Letters B, 801, 2020, 135139.

[2] S.S.Bahoura. Estimations du type $\sup \times \inf$ sur une variété compacte. Bull.Sci.math. 130 (7), 2006, pp 624-636.

[3] S.S.Bahoura. Harnack inequalities for equations of type prescribed scalar curvature. arXiv :2401.04123.

[4] S.S.Bahoura. Quelques remarques sur les variétés, fonction de Green et formule de Stokes. arXiv :1804.09024v19.

44) les Équations, apparition et provenance : voir, Aubin, T. Lions, P-L. Rabinowitz, P-H.

a) Equation de Yamabe : precisement elle s'appelle Eq de Yamabe. En Géometrie et Physique et Astronomie. Kaluza-Klein, cordes, supercordes et D-branes, en dimension 4, Yang-Mills. **Dynamique relativiste.**, energie, volume, potentiel...convexité(minoré ou cas positif courbure scalaire prescrite positive+majoré, par exemple Eq.Yamabe dim 4,5,6), concavité (majoré, ou cas négatif, ou courbure scalaire prescrite negative+majoré)...

b) Equation de la courbure scalaire prescrite : on peut la nommer "Eq de Schrodinger par-
ticuliere". En Géometrie et en Physique, en dimension 4, Yang-Mills., energie, volume, poten-
tiel...convexité(minoré ou cas positif courbure scalaire positive prescrite+majoré, Par exemple,
Eq. dim 4, courbure prescrite), concavité (majoré)...

c) Equation de type courbure scalaire, comme on en a parlé. En cosmologie, Astronomie, Kaluza-Klein, cordes, supercordes, D-branes. En dimension 4, Yang-Mills., energie, potentiel...
d) Equation de Lane-Emden-Fowler : $\Delta u = V(x)u^p; u > 0, p > 1$, en astronomie.

e) Equation de Schrodinger : (stationnaire : du type Yamabe ; du type courbure scalaire prescrite) : $\Delta u + b(x)u = f(x, u)$, $u > 0$ avec $f$ avec des combinaisons de termes avec exposant critique et sous-critique, $n \ge 3$, par exemple, $f(x, u) = V(x)u^{N-1} + W(x)u^\alpha$, $1 < \alpha < N - 1 = \frac{n+2}{n-2}$. En physique, en optique non-linéaire (du type Yamabe), **Eq de Schrodinger : dynamique d'une particule non relativiste.** Energie, potentiel...

f) Eq de Liouville ou du type Liouville (courbure de Gauss) : En Géometrie et Physique et Chimie et Astronomie. Gaz, Cordes, D-branes, en dimension 2., energie, volume, potentiel...convexité(minoré ou cas positif courbure prescrite+majoré), concavité(majoré)...

Par exemple : Du point de vue de la géometrie, par exemple, Dans le cas positif : courbure scalaire prescrite positive, notion de convexité, et aussi le fait suivant : $\sup < +\infty$ si $\inf > 0$ : cela veut dire que si la variété est uniformement convexe alors elle loc. uniformement concave...

*/

45) Sur l'article de C.C.Chen. C.S.Lin. Communications on pure and applied math, 1997. Ils supposent les potentiels V, C¹ :

Ceci est du au fait suivant : Ils cherchent a avoir comme donnée, dans la convergence des fonctions blow-up, $R_i^{n-2} \|v_i - U\|_{C^2(B_{2R_i}(0))} \to 0$. En faisant le rescaling, ou changement d'échelle, $x = R_i y$, $y \in B_3(0)$, il suffit et il faut que, la différence, $w_i(y) = v_i(R_i y) - U(R_i y)$ tend vers 0 et appliquer les estimations de Schauder, aux fonctions, $w_i$, $\Delta(w_i - U) \to 0$, or, $-\Delta(w_i - U) = R_i^2 (V_i(y_i + R_i y) - V_i(y_i))(v_i)^{N-1} + \dots \to 0$. C'est a dire qu'il faut que $R_i^2 (V_i(y_i + R_i y) - V_i(y_i)) \to 0$, or cette différence n'est que la derivée de $V_i$ au point blow-up : $\frac{V_i(y_i+h)-V_i(y_i)}{h}$ avec $h = \frac{1}{R_i^2}$. Donc, il faut que $V_i$ soit derivable en $y_i$ et $V_i'(y_i) = 0$ et par le theoreme des accroissement fini, $V_i'(c_h) \to 0$ avec $0 < c_h < h = \frac{1}{R_i^2}$ et la derivée en 0 doit être continue. Donc, $V_i$ doit être $C^1$ en $y_i$, comme le point $y_i$ est quelconque, il faut que $V_i$ et sa limite $V$ soient $C^1$. Il faut que pour toute suite $(V_i)$ convergeant dans $C^\alpha$ vers $V$, il faut que $V$ soit $C^1$, pour que ceci soit possible, il faut que $\alpha = 1$, il faut que $(V_i)$ soient $C^1$ et convergent dans $C^1$ vers $V$, $C^1$. Donc, il faut que $(V_i)$ soient $C^1$ et convergent vers $V \in C^1$ dans $C^1$.

a) On a la condition de départ pour les $V_i$. (Par exemple : $1 + a_i |x|^\alpha \to 1$, $a_i \to 0$).

b) On a la condition : *pour toute suite* $V_i$ dans $C^\alpha$ qui converge dans $C^\alpha$ vers $V$, $V$ doit être $C^1$.

Pour que ce soit possible il faut que $\alpha = 1$, $V_i$ soit $C^1$ et converge dans $C^1$ vers $V$. On a alors $V$ est $C^1$.

*/

46) **Volume=Energie en dimension 2. Eq. de la courbure scalaire prescrite :** Sur le volume et energie en dimension 2 : dans le cas d'une surface riemennienne compacte sans bord, lorsque le potentiel est entre 2 nombres strict.positifs, on utilise la formule de Gauss-Bonnet. Lorsqu'on se place sur un domaine à bord (surface à bord particulière), avec potentiel Lispchitzien(+poids Holderien ou domaine etoilé, par exemple dans l'article "A compactness result for an equation with Holderian condition") ou potentiel C1(+poids Holderien ou Lipschitzien) et avec des poids holderiens, on a la borne uniforme du volume=energie sans utiliser la formule de Gauss-Bonnet.

Avec condition de Dirichlet. la condition de Dirichlet est aussi une deuxième contrainte.

Volume global ou total=Energie globale ou totale.

*/

47) **Volume local=Energie locale en dimension 4. Eq. de la courbure scalaire prescrite, cas plat :** En ce qui concerne l'eq. en dimension 4, $-\Delta u = Vu^3$, $u > 0$, $\Delta = \nabla^i(\nabla_i)$ sur un domaine $\Omega \subset \mathbb{R}^4$. On a une condition sur $u_i : u_i \ge k(a) \cdot A_i, k(a) = \frac{8e^2\sqrt{2}}{3a\sqrt{a}} > 0$, $A_i$ la constante de Lipschitz de $V = V_i$, pour avoir l'estimation optimale $\sup_K u_i \times \inf_\Omega u_i \le c$, en particulier le volume=energie est localement uniformement borné. Brezis-Merle, donnent le même type de conditions pour borner localement le volume=energie en dimension 2 et en deduisent la compacité locale.

Pour la dimension 4 (ce fait est illustré par l'exemple suivant), il y a l'exemple usuel de volume localement borné sans compacité locale : $n = 4$, $u_\mu(x) = \frac{\mu}{\mu^2+|x|^2}$, $x \in B_1(0)$, $\mu \to 0$.
a) Lorsque $A_i \to 0$: volume local=energie locale borné(e).

b) Lorsque $A_i \to A > 0$: compacité locale.

En dimension 2, on avait une condition de Dirichlet qui était aussi une deuxième contrainte. Ici, en dimension 4, on a une deuxième contrainte qui permet d'avoir la borne uniforme locale du volume=energie. Brezis-Merle aussi, imposent une deuxième contrainte pour majorer localement le volume=energie, et obtiennent la compacité locale.

Volume local=Energie locale.

**48) Energie et volume. Eq. du type Liouville. en dimension 2 avec condition de Dirichlet. :**
il s'agit de l'Eq. $-\Delta u + \epsilon(x \cdot \nabla u) = V e^u$ avec condition de Dirichlet. $\Delta = \partial_{11} + \partial_{22}$, $0 \le \epsilon \le 1$, domaine etoilé par rapport à l'origine. On a une deuxième contrainte, qui est la condition de Dirichlet.

**49) Energie locale. Eq. de Schrodinger :** En ce qui concerne l'eq. de Schrodinger $-\Delta u = Vu^{N-1} + W u^\alpha$, $u > 0$, $n \ge 3$, $\frac{n}{n-2} \le \alpha < N = \frac{2n}{n-2}$ ou l'Eq. de Schrodinger sur les variétés, $-\Delta u - \lambda u = n(n-2)u^{N-1}$, $n \ge 3$, $N = \frac{2n}{n-2}$. $\Delta = \nabla^i(\nabla_i)$. On a les inégalités optimales ; $\sup_K u \times \inf_\Omega u \le c$ et $\sup_K u \times \inf_M u \le c$. On en déduit la borne uniforme locale des energies.

**Eq. de Schrodinger :** dynamique d'une particule non relativiste.

Energie locale.

La solution $u > 0$ n'est pas solution de l'eq. de Yamabe, mais on peut considerer les metriques conformes $\tilde{g} = u^{4/(n-2)}g$, alors on a, (si l'operateur $\Delta - \lambda$ est coercif), le volume conforme est borné. On peut parler de volume conforme, en considerant les metriques conformes, sans que $u > 0$ soit solution de l'equation de Yamabe. Mais $u > 0$ est solution de l'equation de la courbure scalaire prescrite.

Ici, on géométrise l'equation ou le probleme. On prescrit une quantité mathematique ou physique, qui donne une equation de Schrodinger. Puis, on la rend géometrique, en considerant le potentiel $V = [n(n-2) + (\frac{n-2}{4(n-1)}R_g + \lambda)u^{2-N}]$, alors $V \ge n(n-2) > 0$, on obtient l'equation de la courbure scalaire prescrite $-\Delta u + \frac{(n-2)}{4(n-1)}R_g u = Vu^{N-1}$, $u > 0$, pour laquelle on a l'inégalité de Harnack $\sup \times \inf$ optimale et le volume local = energie locale, uniformément bornés : on ainsi géometriser le probleme et la solution. Avec la metrique conforme $\tilde{g} = u^{4/(n-2)}g$, $u > 0$, $n \ge 3$.

On part d'un probleme ou d'une solution, mathematique ou physique (calculs) et on obtient un probleme ou une solution géométrique (equation de la courbure scalaire prescrite, mathematique ou physique) : géométrisation du probleme ou de la solution.

**Remarque :** on a dit qu'on n'obtient pas forcément l'eq.de Yamabe (astronomie), mais on a l'eq. de la courbure scalaire prescrite (physique, Schrodinger). Comme le potentiel s'ecrit : $V = [n(n-2) + (\frac{n-2}{4(n-1)}R_g + \lambda)u^{2-N}]$, le terme $u^{2-N}$ peut tendre vers 0 aux points blow-up, et la fonction $u$ converge faiblement vers $u_0$, il se peut que $u_0$ soit constante. Si on se place en des points blow-up $x_0$, il tend vers 0. (On se place autour de points blow-up), il se peut qu'il y ait un nombre infini d'autres points $y_j$ autour de $x_0$, $V$ oscille autour d'une constante. Donc, $V \approx n(n-2) + k, k > 0$, autour de $x_0$, au moins, presque partout. C'est presque partout le potentiel constant et donc l'equation de Yamabe.

A la limite, on peut avoir comme solutions, les constantes, ou fonction constante par morceaux, donc, Yamabe par morceaux. Donc, on a bien l'eq. de la courbure scalaire prescrite (physique, Schrodinger), mais aussi, il se peut que ce soit l'eq. de Yamabe (astronomie) (à la limite, fonction constante, ou constante par morceaux). Obtenir l'eq.de Yamabe est un phénomène possible.

Hebey-Vaugon-Druet-Robert ont montré que quand on a blow-up, il se peut que la fonction limite soit nulle, donc, constante nulle. ici $u$ converge, au moins presque partout vers une fonction, il se peut que la fonction limite soit constante > 0. Ceci est en relation avec la Théorie physique du tout. On a au moins la convergence faible de $u > 0$ vers une fonction, il se peut que la fonction limite soit constante > 0 et donc le potentiel converge presque partout vers une
Sur l'existence de solutions par le degré topologique : ici, dans le cas positif :

(On peut faire la même chose que pour l'eq.de la courbure scal.prescrite : dans le cas d'une variété compacte sans bord $M$, loc.conf.plat. avec compacité pour $V \equiv 1$, pour l'eq. $-\Delta u + R_g u = u^{N-1} + W(x)u^\alpha$, $\frac{n+2}{n-2} < \alpha < N-1$, l'energie bornée implique qu'il n'y a que des blow-up isolé et isolés simples, en nombre fini, en combinant avec l'article ; inégalité de Harnack et phenomène de concentration, on a la compacité par le th. de la masse positive dans le cas plat et la formule de Pohozaev, voir les articles de Y.Y.Li, et, le degré topologique. Mais ici, on prefère parler d'energie locale, volume lcoal, pour cette eq.de Schrodinger sur une ouvert borné de $\mathbb{R}^n$. Il y a des applications, dans la compacité et le degré topologique, voir les articles de Y.Y.Li, par le th.masse positive dans le cas plat et formule de Pohozaev, pour une variété compacte sans bord, loc.conf.plat. On a préféré se limiter à la notion de $\sup \times \inf$ et d'energie locale, volume local.)

Si on veut être plus précis et expliquer mieux : on commence par poser la question suivante :
Trouver $(u, V)$, $u > 0$, $V > 0$ solutions de :

$$ -\Delta u + \frac{(n-2)}{4(n-1)} R_g u = V u^{N-1}, u > 0, N = \frac{2n}{n-2}, n \ge 3, \quad (*) $$

tels que $(K)$ désigne un compact quelconque de la variété Riemannienne $(M, g)$ non necessairement compacte sans bord) :

$$ \sup_K u \times \inf_M u \le c, $$

et,

$$ \int_K u^{2n/(n-2)} dV_g \le c, $$

Ici on est dans le cas positif. Ceci inclut le cas non loc.conf.plat.

a) Dans le cas negatif on a :

$$ -\Delta u + \frac{(n-2)}{4(n-1)} R_g u = -u^{N-1}, u > 0, \text{ ici, } V \equiv -1, $$

avec la compacité locale :

$$ \sup_K u \le c. $$

b) Dans le cas nul, on a :

$$ -\Delta u + \frac{(n-2)}{4(n-1)} R_g u = 0, u > 0, \text{ ici, } V \equiv 0. $$

avec l'inégalité de Harnack usuelle :

$$ \sup_K u \le c \inf_K u, $$

et,

principe d'Harnack.

Ici, on s'intéresse au cas positif et l'équation (*) ci-dessus. Alors on commence par resoudre l'équation suivante :

$$ -\Delta v - \lambda v = n(n-2)v^{N-1}, v > 0, $$

$$ \text{avec, } 0 < m \le \lambda + \frac{(n-2)}{4(n-1)} R_g \le 1/m. $$

Géométrisation du problème et de la solution : on prend alors :
Mais le fait que tout cela soit possible pour l'eq. de la courbure scalaire prescrite, comme on vient de le voir avec cette procedure de géométrisation, est largement suffisant.

Ici, l'inégalité de Harnack (mathématique) et l'inégalité au sens de l'astronomie et physique (théorie des cordes, cosmologie), se confondent. On a : en une inégalité, 2 inégalités, au sens mathématique et astronomie, physique, ces 2 inégalités (mathématique, astronomie, physique) se confondent.

On écrit cela pour dire que le probleme du sup × inf ≤ c, inégalité optimale, pour l'eq. de la courbure scalaire prescrite, est résolu, avec volume local=énergie locale uniform.borné, pour l'eq. de la courbure scalaire prescrite, est résolu aussi.

Le couple (u, V) est solution de l'eq. (*) ci-dessus, en dimension n ≥ 3, ceci inclut le cas : non.loc.conf.plat.

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Dans le cas de la dimension 2, il y a inégalité de Harnack que dans le cas nul. Il y a compacité locale dans le cas négatif et le cas positif. Ceci quand les solutions sont ≥ 0.

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

La notion d'inégalités de Harnack est liée à la positivité des solutions. Quand les solutions changent de signe, on a des inégalités mathematiques, nouvelles, dites de type Harnack, car elles lient le supremum est l'infimum : exemple, inégalités de Siu, Tian, (sup ≤ −n inf +c), pour l'eq. de Monge-Ampère complexe. Mais ce ne sont pas des inégalités de Harnack au sens usuel, qui sont liées à la positivité des solutions.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

Equations de la courbure scalaire prescrite en dimension 2 : inégalités de Harnack : n = 2.
Quand les solutions sont ≥ 0, on l'a seulement dans le cas nul :

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

a) Cas négatif :

$$
-\Delta u + R = V e^u, u \ge 0, -\infty < a \le V < b < 0,
$$

compacité locale :

$$
\sup_K u \leq c.
$$

Voir l'article de 2003.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

b) Cas nul :

$$
-\Delta u = 0, u \ge 0, V \equiv 0,
$$

inégalité de Harnack et principe de Harnack :

$$
\sup_K u \le c \inf_K u, c > 0,
$$

seul cas où on a l'inégalité de Harnack.

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

c) Cas positif :

$$
-\Delta u = V e^u, u \ge 0, 0 < a \le V \le b < +\infty,
$$

compacité locale dûe au résultat de Brezis-Merle :

$$
\sup_K u \le c, c > 0.
$$

Les conditions de Brezis-Merle sont trop fortes : 0 < a ≤ V ≤ b < +∞. Avec ces conditions on a la compacité locale.

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

Illustration et exemples en dimension $n = 2$ :

On peut utiliser le procédé de géométrisation en dimension 2, pour avoir une inégalité (sup, inf), en dimension 2 à partir de la minoration du sup × inf, qu'on a évoqué pour le cas n = 2 de l'eq.de
Schrodinger. Bull.Sci.math.2006. Là où on a essayé de compléter le cas, $n = 2$, sous-critique et $n = 2$ :

On part de :

$$-\Delta v = Vv^q, q > 1, v > 0, n = 2,$$

on obtient :

$$\sup_M v \times \inf_K v \geq c(\inf_K v) > 0,$$

On géometrie cette equation en ecrivant :

$$-\Delta v = Vv^q e^{-v} e^v, q > 1, v > 0, n = 2,$$

On obtient :

$$\tilde{V} = Vv^q e^{-v}, v > 0, q > 1, u = v > 0$$

$\tilde{V}$ n'est pas nécessairement uniformément borné. Ce ne sont pas les conditions de Brezis-Merle sur $\tilde{V}$.

et,

$$-\Delta u = \tilde{V}e^u, u > 0, n = 2,$$

avec, l'inégalité de Harnack implicite suivante :

$$\sup_M u \times \inf_K u \geq c(\inf_K u) > 0,$$

On voit alors qu'avec ce procédé de géométrisation, on étend la notion d'inégalité de Harnack à la dimension 2 pour la nonlinérité exponentielle. Les conditions de Brezis-Merle sont très fortes. Elles permettent d'avoir la compacité locale, sans notion d'inégalité de Harnack.

Dans le sens de la minoration on étend, par le procédé de géometrisation, la notion d'inégalité de Harnack à la dimension 2. Cette inégalité est implicite. Cette inégalité est dans le sens de la minoration.

Dans le sens de la minoration, la géometrisation du cas sous-critique, $n = 2$, permet la cohérence du cas $n = 2$ avec le cas $n \geq 3$, concernant les inégalités de Harnack pour des solutions $u > 0$, au sens usuel des inégalités de Harnack. Ces inégalités de Harnack sont implicites.

Dans le sens de la majoration, voir ci-dessous, même si on essaie de geometriser le cas sous-critique, $n = 2$, on aboutit à la compacité locale.

*/*/

Dans le sens de la majoration, si on veut géométriser l'eq. sous-critique en dimension $n = 2$, alors on aura quand même la compacité locale, comme pour Brezis-Merle : en effet : on considère :

$$-\Delta v = Vv^q, v > 0, 0 < V \in L^\infty, q > 1, n = 2,$$

alors, pour borner l'energie, $|\nabla v|^2$, il faut borner unifor.loc, la norme $L^{q+1}$, l'inegalité optimale qu'on doit obtenir est : la majoration de $\sup_K v \times \inf_M v$. Or, ceci implique bien, borner unifor.loc, la norme $L^{q+1}$, et aussi, par les estimations elliptiques et le fait qu'on soit en dimension $n = 2$, que les solutions sont loc.uniform.bornées :

$$\sup_K v \leq c,$$

Donc, si on part de l'eq. sous-critique et on veut l'inégalité optimale $\sup \times \inf$, dans le sens de la majoration, cela revient à la compacité locale. Donc, la géométrisation, dans le sens de la majoration, ne permet pas d'obtenir l'inégalité de Harnack voulue.

Donc, la géometrisation du cas sous-critique, est possible dans le sens de la minoration. Dans le sens de la majoration elle aboutit à la compacité locale, comme Brezis-Merle.

Il se peut qu'un autre procédé permette la géometrisation avec la majoration optimale de $\sup \times \inf$.
Il se peut aussi, que dans le sens de la majoration, on n'ait pas l'inégalité de Harnack optimale $\sup_K u \times \inf_M u \le c$. On vient de le voir avec Brezis-Merle et la géométrisation du cas sous-critique.

Géometriser le cas sous-critique, est le seul moyen simple, à notre disposition, qui nous permet de voir si on a l'inégalité de Harnack usuelle, en dimension, $n = 2$. Dans le sens de la majoration on obtient la même conclusion que Brezis-Merle : la compacité locale.

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Par contre quand les solutions changent de signe : on a quand $n = 2$ : ceci est lié au potentiel logarithmique, qui peut changer de signe : $r \to \log r, r > 0$. Cette fonction peut changer de signe.

Comme en dimension 2, le potentiel logarithmique peut changer de signe, il est nécessaire de considerer, des solutions qui changent de signe pour l'eq. de la courbure scalaire prescrite, avec non linéarité exponentielle.

**Important : //**) On regarde maintenant, pourquoi, les solutions doivent changer de signe, et, la minoration, majoration. C'est lié au potentiel $r \to -\log r, r > 0$.

**) Quand les solutions blow-up : $B_1 \approx -\log r, r \to 0$, pour trouver $B_2$ tel que $B_2 + B_1$ soit majoré, il faut que $B_2$ prenne des valeurs négatives. Cela ne sert à rien de multiplier, car $B_2 \times B_1 \to +\infty$, car $B_2 \approx -\log(r+r_0), r_0 > 0$, petit, alors qu'on doit trouver $B_2$ qui controle $B_1$. ($B_2$ pris dans un voisinage de 0, pour le produit on prend des points voisins : $(r, r+r_0)$, pour une somme on prend des points eloignés $(r, 1/r)$). Pour le produit on prend des boules $B_r(0), B_{r+r_0}(0) : [r, r+r_0]$, pour la somme : $B_r(0), B_{1/r}(0) : [r, 1/r]$.

**) Dans le sens de la minoration, quand les solutions blow-up, $B_1 \approx -\log r, r \to 0$, c'est deja minoré, donc, quand on multiplie par une quantité > 0 cela reste minorable, il suffit de trouver $B_2 > 0$ petit tel que $B_2 \times B_1$ soit minorable.

**) Donc, en dimension $n = 2$, dans le sens de la majoration, quand il y a blow-up, il faut que les solutions changent de signe.

**) Et aussi, en dimension $n = 2$, dans le sens de la minoration, on a l'inégalité de Harnack, au sens usuel.

**) Tout cela explique, ce qu'on a dit auparavant, sur la minoration, majoration et la géométrisation du cas sous-critique et Brezis-Merle.

**) Pourquoi, on écrit $B_1 \approx -\log r, r \to 0$, car par la représentation intégrale du potentiel, et le fait que, l'intégrale soit une somme de quantités petites, + au point blow-up :

$$B_1 = \int -\log r * V e^u + O(1) \approx \sum_i -\log r \times b_i + O(1).$$

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On a aussi 3 cas quand les solutions changent de signe, en dimension 2. C'est lié à la fonction logarithme, qui peut changer de signe : $r \to -\log r, r > 0$.

**) a) Cas négatif :

$$-\Delta u + R = V e^u, \quad -\infty < a \le V \le b < 0,$$

majoration locale+principe de Harnack :

$$\sup_K u \le c.$$

Voir l'article de 2003.

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**) b) Cas nul :

$$-\Delta u = 0, \quad V \equiv 0,$$

de l'égalité de la moyenne, on obtient une inégalité :
c'est un cas où on a l'inégalité de Harnack.

========================

c) Cas positif :

$$
-\Delta u = V e^u, u \ge 0, \text{ dans } B_R(0),
$$

avec,

$$
0 < V \le \lambda, \quad \Sigma = \int_{B_R(0)} \lambda e^u dx < 8\pi, \quad \lambda > 0,
$$

alors, on a l'inégalité de Harnack de T. Suzuki :

$$
u(0) \le \frac{1}{2\pi R} \int_{\partial B_R(0)} u d\sigma - 2 \log \left(1 - \frac{\Sigma}{8\pi}\right),
$$

on peut prendre $\Omega = B_{R'}(0)$, $R' > R$, avec les inégalités de Harnack pour $R < R'$.

Par l'identité de Pohozaev appliquée dans la boule unité ($R' = 1$), par exemple, avec $V \equiv \lambda \to 0$, $\lambda > 0$, on obtient :

$$
\Sigma \cdot (\Sigma - 8\pi) \leq -c\lambda < 0, c > 0,
$$

Donc, $0 < \Sigma < 8\pi$. Donc, selon que $\Sigma \to \Sigma_0 \in [0, 8\pi]$, on a l'inégalité de Harnack dans des boules $B_R(0)$, $0 < R < 1$, avec le paramètre : $-2 \log(1 - \frac{\Sigma}{8\pi}) \to y_0 \in [0, +\infty]$, qui peut tendre vers une valeur finie ou infinie.

Dans le cas négatif, on a la compacité directement, c'est pour cela qu'on ne parle pas de l'inégalité de la moyenne pour les fonctions sur-harmonique. Contrairement au cas positif, pour lequel, les solutions peuvent diverger, ou blow-up, on parle bien d'inégalité de Harnack dans ce cas.

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Il faut voir aussi, qu'ici on a l'eq. de la courbure scalaire prescrite en dimension $n \ge 2$. Alors,
en dimension $n = 2$ on a l'inégalité sup + inf optimale de Brezis-Li-Shafrir avec le fait que les
solutions changent de signe. Et en dimension $n \ge 3$, on a l'inégalité optimale sup $\times$ inf pour les
solutions positives. L'eq. de la courbure scalaire prescrite unifie ces 2 type d'inégalités, avec le
fait qu'en dimension $n = 2$, les solutions changent de signe, et en dimension $n \ge 3$ les solutions
sont positives.

On peut s'arreter la : c'est à dire, considerer l'eq. de la courbure scalaire prescrite. On a :
sup + inf et sup $\times$ inf, en théorie des cordes et des supercordes. Ces notions sont liées à cette
phénomènologie : théorie des cordes, cordes cosmiques, théorie des supercordes. On peut s'ar-
reter la. Sans classification mathematique en inégalités de Harnack.

On peut s'arreter la : le modele de Liouville et le modele d'Einstein-Lichnerowicz : Eq. de la courbure scalaire prescrite.

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Ce sont des inégalités nouvelles : avec notion de preuve ou démonstration :

Pour le sup + inf ≤ c, la preuve permet d'obtenir cette inégalité directement, la preuve ne
permet pas d'avoir sup ≤ − inf + c ou inf ≤ − sup + c, mais, sup + inf ≤ c, dans ce sens.

De meme pour l'inégalité sup × inf. On n'obtient pas, sup ≤ c/inf ou inf ≤ c/ sup, mais
directement : sup × inf ≤ c.

Ici, ce sont des _preuves par l'absurde_ afin d'obtenir sup + inf ≤ c et sup × inf ≤ c.

Il y a aussi, les résultats de Shafrir.I. dans la note aux comptes rendus.math.1992. qui montre
une inégalité : sup + C inf ≤ c (0 < a ≤ V ≤ b < +∞, potentiel non nécessairement
constant) et une autre inégalité optimale : sup + inf ≤ c (V ≡ constante, equation de Liou-
ville), preuves directes.

On a fait ce type de raisonnement dans le premier article de 2003, voir la proposition de l'article de 2003. Sur la sphère de dimension 2 : on a une preuve directe de sup + inf ≥ c. Dans ce sens : sup + inf ≥ c. Inégalité optimale avec un potentiel 0 ≤ V ≤ b < +∞, non nécessairement constant en incluant les constantes.

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Pour ce qui concerne les classifications :

1) Classification mathématique pour l'eq. de la courbure scalaire prescrite :

Cas $n = 2$ : les solutions changent de signe : inégalité $\sup + \inf$ de Brezis-Li-Shafrir (cas positif), inégalité de la moyenne (cas nul), majoration locale (cas négatif).

Cas $n \ge 3$ : les solutions sont positives : inégalité optimale $\sup \times \inf$ (cas positif), inégalité de Harnack usuelle (cas nul), compacité locale (cas négatif).

2) Classification mathématique en inégalités de Harnack :

Cas $n = 2$ : inégalité de T. Suzuki (cas positif), inégalité de Harnack usuelle (cas nul), compacité locale (cas négatif).

Cas $n \ge 3$ : inégalité optimale $\sup \times \inf$ (cas positif), inégalité de Harnack usuelle (cas nul), compacité locale (cas négatif).

Remarquons la particularité de la dimension 2 : il y a 2 classifications possibles. Alors que pour la dimension $n \ge 3$, il n'y en a qu'une. Pour la dimension 2, il y a plus de propriétés que la dimension $n \ge 3$. Alors que la dimension $n \ge 3$ unifie 2 classifications.

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Dans le cas des variétés compactes sans bord, dans le cas positif, une deuxième contrainte est l'absence de bord. On a alors la compacité globale. Ce fait se produit aussi dans le cas negatif, supercritique (pour l'equation $-\Delta u + R = V e^u, R < 0, V < 0, \Delta = \nabla^i(\nabla_i)$).

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50) Sur l'article de Korevaar-Mazzeo-Pacard-Schoen :

Concerant la proposition avec l'inégalité $u(x) \le d(x, \Lambda)^{(2-n)/2} (\inf_{\partial B(0,3/4)} u)^{-1}$.

Ce n'est pas correct. Ils ont écrit n'importe quoi.

1)(/////) Le "blow-up" est mal écrit : il n'est pas explicité correctement. Ici, ils ont écrit n'importe quoi. Ils n'expliquent pas le blow-up.

2)(/////) Ils n'expliquent pas le processus du commencement "moving-plane".

la phrase "strating with $t_1$ very positive, and continuing as far as possible" veut dire qu'il existe un $\lambda \gg 1$ tres grand, puis on decroit les valeurs de $\lambda$, jusqu'a ce que le processus se termine. Ca va dans le sens decroissant et non croissant.

Mais ce n'est pas ce qu'il faut dire : il faut dire d'abord, qu'il existe un rang $\nu$ qui enclenche le processus "moving-plane".

Le cas de la dimension 2 et le cas de la dimension $n \ge 3$ ont des preuves différentes. Ils ne disent pas comment faire et ils ne parlent meme pas de rang.

3)(/////) Ils n'expliquent pas le $t_1 = \sup\{\lambda\dots\}$ de la technique "moving-plane".

Ils ecrivent : $\inf v(t_i, \theta) < \sup v(t, \theta), t > -2 - t_i, t_i = -\log \frac{\lambda^{-1}}{16}$. Premièrement ce n'est pas correct, et ici, ils prennent le sup egal à -1, qui dit que le sup est egal a -1. Puis parlent de theoreme de la moyenne, qui n'a rien a avoir ici avec ce qui est voulu.

4)(/////) Ils ne disent pas s'ils considerent une metrique sur $\mathbb{R} \times \mathbb{S}_{n-1}$, en fait ils en parlent au debut de l'article avec "cylindrical metric", mais n'exliquent pas comment on utlise le principe du maximum et le lemme de Hopf.

5)(/////) Ils ne disent pas comment appliquer le principe du maximum :

5a)(/////) Ils ne disent pas si, il faut considerer une variété Riemannienne $\mathbb{R} \times \mathbb{S}_{n-1}$ avec le lemme de Hopf où il faut considerer la derivée normale, donc un produit scalaire, donc une metrique Riemannienne, comme c'est écrit dans le livre d'Aubin (en ce qui concerne le principe du maximum et le lemme de Hopf sur les variétés à bord).

5b)(/////) Ils ne disent pas s'il faut un procédé local.

6)(/////) Ils n'expliquent pas les points 39), 40) et 41) et 43) de l'article de Brezis-Li-Shafrir.

Par exemple, pourquoi ils n'expliquent pas le point 39) de Brezis-Li-Shafrir ? de meme pourquoi, Y.Y.Li repete le meme argument dans l'article de 1999, comm.math.phys. ? :

C'est parce qu'ils ont considéré la sphere comme une variété constituée de 2 cartes :

Soit $u_n$ la fonction definie sur $[\lambda, 0] \times S^{n-1}$, sur $S^{n-1}$ on a 2 cartes $(U_1, \varphi_1)$ et $(U_2, \varphi_2)$. La differentiabilité en $(t_0, \theta_0)$ est definie comme ceci :

a0) Si $\theta_0 \in U_1$ alors, on peut considérer :
$$
\nabla u_n(t_0, \theta_0) = [\partial_t[u_n(t, \varphi_1(\theta_{01}, \theta_{02}, \dots, \theta_{0(n-1)}))], \dots, \partial_{\theta_j}[u_n(t, \varphi_1(\theta_{01}, \theta_{02}, \dots, \theta_{0(n-1)}))]]
$$

al) Si $\theta_0 \in U_2$ alors, on peut considérer :

$$
\nabla u_n(t_0, \theta_0) = [\partial_t[u_n(t, \varphi_2(\theta_{01}, \theta_{02}, \dots, \theta_{0(n-1)}))], \dots, \partial_{\theta_j}[u_n(t, \varphi_2(\theta_{01}, \theta_{02}, \dots, \theta_{0(n-1)}))]]
$$

Il y a deux fonctions : $u_{n1} = u_n(t, \varphi_1(\cdot))$ et $u_{n2} = u_n(t, \varphi_2(\cdot))$. Selon qu'on se place dans les ouverts de cartes $U_1$ ou $U_2$, quand on utilise la definition de la differentiablité en un point $(t_0, \theta_0)$.

Par exemple en dimension 2, sur le cercle, "par un dessin", on a 2 applications de cartes, "qui n'en est qu'une", c'est une seule fonction : $\theta \to e^{i\theta}$, $\theta \in \mathbb{R}$. On a : $\theta \in ]0, 2\pi[ \to (\cos\theta, \sin\theta)$ et $\theta \in ]-\pi, \pi[ \to (\cos\theta, \sin\theta)$.

====================

**Remarque importante :** Dans l’article de Brezis-Li-Shafrir, ils parlent de coordonnées polaires, $(r, \theta) \rightarrow (r \cos \theta, r \sin \theta)$. Ce n’est pas cela les coordonnées polaires, car, un système de coordonnées est definit, par le fait que tout point, a, un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert (connexe, définition d’application : tout point a une unique image, ici un point peut avoir 2 images différentes, ce qui n’est pas possible) de $\mathbb{R}^2$, or ici il y a un problème au point $(1, 0) = e^{i0} = e^{i2\pi}$, il faut sortir du domaine de définition $[0, 2\pi]$ au voisinage de 0. Il faut considerer des ouverts (connexes), ou en $(1, 0)$ il n’est pas possible de définir un voisinage de 0. Si on sort de $[0, 2\pi]$, alors il faut considerer 2 cartes comme on l’a dit précédemment, ] $-\pi, \pi$[ et $]0, 2\pi[$. Donc, on définit 2 fonctions, alors qu’il faut définir une seule fonction.

Ce qu’ont fait Brezis-Li-Shafrir, c’est un raisonnement avec le revetement : $p : \theta \to e^{i\theta}, \theta \in [0, 2\pi[$, l’intervalle est semi-ouvert, semi-fermé, il n’est pas ouvert, alors que pour définir un système de coordonnées, il faut avoir des ouverts(connexes). Ce n’est pas un raisonnement avec les coordonnées polaires, mais un raisonnement avec le revetement, l’application $p$ doit être bijective, pour pouvoir avoir une seule fonction, or pour qu’elle soit bijective, il faut un intervalle semi-ouvert, semi-fermé. Donc, l’intervalle n’est pas ouvert, on ne peut pas parler de coordonnées.

(On a : $\theta \to (\cos \theta, \sin \theta)$ est une carte particulière du cercle, alors que pour définir un système de coordonnées, il ne faut pas que ca depende d'une carte particulière.)

Brezis-Li-Shafrir, ce n’est pas un système de coordonnées, il faut des ouverts et si on considère des ouverts, il faut sortir de l’intervalle, c’est à dire considerer 2 fonctions, alors qu’il faut considerer une seule fonction. Brezis-Li-Shafrir, c’est un raisonnement avec le revetement.

(Par exemple :

1) si on considère 2 cartes, ou 2 fonctions, on n'a plus une fonction du cercle dans $\mathbb{R}$, car, comme, l'application, la définition d'une fonction, c'est un point a une seule image, or ici, on aurait des points qui auraient 2 images distinctes, ici en dimension 2, on a : $p(\theta) = e^{i\theta}$ avec 2 inverses, $\varphi_1, \varphi_2 : \varphi_1(z = e^{i\theta}) = \theta$, si $\theta \in ]0, 2\pi[$ (origine 0) et $\varphi_2(z = e^{i\theta'}) = \theta' = \theta - \pi$, si $\theta' \in ] -\pi, \pi[$ (origine $-\pi$). Avec, $p(\varphi_1(e^{i\theta})) = e^{i\theta}$, $p(\varphi_2(e^{i\theta'})) = e^{i\theta'} = -e^{i\theta}$.

2) si on prend un intervalle fermé en 0 ou $2\pi$, ou on étend l'intervalle au delà de 0 ou $2\pi$, on a dit qu'on n'avait plus d'ouverts connexes, on n'a plus d'applications de cartes, dans ce cas la il n'est pas possible de définir la métrique dans des cartes, par transport, ou pull-back, soit ce n'est pas un ouvert, soit 2 expressions distinctes.

Donc, Brezis-Li-Shafrir, ce n’est pas cela les coordonnées polaires, c’est un raisonnement avec revetement.)

En dimension $n \ge 3$, on ne peut pas faire avec la sphere, ce raisonnement avec un revetement, car il y a 2 applications de cartes distinctes, il n'y a pas une application $p$ semblable à : $p : \theta \to e^{i\theta}, \theta \in [0, 2\pi[$ avec $p$ bijective, pour la sphere $S^{n-1}$, $n-1 \ge 3-1=2$, pas de parmetrisation globale en dimension $n-1 \ge 3-1=2$.

Ils confondent carte particulière en "coordonnées" spheriques ou hyperspheriques et système de coordonnées polaires. En dimension $n \ge 3$, on ne peut pas parametrer globalement la sphere par les "coordonnées" spheriques ou hyperspheriques. On ne peut pas faire le raisonnement du
revetement de la dimension 2. Les "coordonnées" spheriques ou hyperspheriques, sont des cartes
particulieres du systme de coordonées polaires.

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

Il y a deux fonctions : $u_{n1} = u_n(t, \varphi_1(\cdot))$ et $u_{n2} = u_n(t, \varphi_2(\cdot))$. Selon qu'on se place dans les ouverts de cartes $U_1$ ou $U_2$, quand on utilise la definition de la differentiablité en un point $(t_0, \theta_0)$.

C'est pour cela qu'ils (Korevaar-Mazzeo-Pacard-Schoen) considerent la fonction blow-up, et
utilisent la converence dans $C^2$. Alors qu'il n'y a pas besoin de convergence dans $C^2$.

La convergence dans $C^2$ utilise la notion de cartes locale pour la variété compacte sans bord
qui est la sphere $S^{n-1}$. Comme la fonction limite est radiale, la derivée par rapport à $t$ ne depen-
dera plus de la variable angulaire.

Comme pour l'integration (Schoen a utilisé l'integration dans son article de 1984, probleme de Yamabe), on a bien une fonction definie sur toute la variété produit $[\lambda, 0] \times S^{n-1}$, en particulier la partie angulaire, mais l'integration est definie de manière globale mais à l'aide cartes locales, on peut alors considérer les fonctions : $u_{n1} = u_n(t, \varphi_1(\cdot))$ et $u_{n2} = u_n(t, \varphi_2(\cdot))$, mais, on a une notion globale, l'intégrale, qui inclut le local.

Aussi sur le fait d'avoir 2 cartes et donc 2 fonctions $u_{n1}$, $u_{n2}$ et aussi l'utilisation de blow-up :

C.C.Chen et C.S.Lin, ont eu le même problème, après utilisation de la fonction blow-up, il y a bien convergence uniforme sur une partie et il reste une autre partie sur laquelle, il n'y a pas de convergence, pour laquelle on ne connaît pas le signe de la derivée. C'est pour cela qu'ils utilisent l'hypothèse de l'absurde, sur la partie où il n'y a pas de convergence ni de signe constant de la derivée. Voir leur article de : Comm.Pure.Appl.Math. 1997.

(Pour C.C.Chen et C.S.Lin. Comm.Pure.Appl.Math.1997. Cette incomprehension, leur a per-
mis de definir une hypothese de l'absurde et de prouver par une autre methode, moving-planes
en coordonnées cartésiennes, l'inégalité optimale sup × inf dans le cas de la boule unité de Rⁿ).

Ici : (solution à ces problemes et en particulier la notion de coordonnées polaires) : il suffisait
de dire qu'on fixe la variable angulaire $\theta$ (variable globale sur la sphere unité, le cercle unité,
$S^{n-1} \ni \theta = (\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_n) \in \mathbb{R}^n$, $|\theta| = 1$, la sphere ou le cercle, ne sont pas seulement
determinés par 2 cartes (c'est ce qu'on a l'habitude de voir par exemple pour le cercle ou la
sphere), c'est aussi une partie de $\mathbb{R}^n$), donc, on fixe la variable angulaire $\theta$, car on derive par
rapport à $t$ et non $\theta$, car l'accroissement des fonctions, ou la methode moving-plane, ou moving-
sphere, se fait par rapport à $t$, la variable radiale.

Ici : (en ce qui concerne le blow-up) :

On utilise la technique de Schoen avec modification. On met un facteur $c_i$ dans l'expression
des $L_i = \frac{l_i}{c_i^{1/2(n-2)}} [u_i(a_i)]^{2/(n-2)}$, et le majorant, $\beta_i \to 1$, de la fonction blow-up, pour avoir
0 comme point critique de la fonction limite. Il suffit que 0 soit point critique de la fonction
limite et non de chaque terme de la suite. On n'a pas à changer de suite de points, comme le font
Brezis-Li-Shafrir : $x = a_i + M_i^{-2/(n-2)} y \to \tilde{x} = [a_i + M_i^{-2/(n-2)} y_i] + \tilde{M}_i^{-2/(n-2)} \tilde{y}$, dans le
cas 1, du blow-up, de l'article de Brezis-Li-Shafrir. Cette idée de Brezis-Li-Shafrir, a été reprise
par C.C.Chen-C.S.Lin (Comm.Pure.Appl.Math.1997) et L.Zhang (JFA, 2002, Zhang, l'ecrit bien
dans son article et explique la technique de Brezis-Li-Shafrir, reprise par Chen-Lin).

Pour ce qui nous concerne : On modifie un peu la technique de Schoen, pour que 0 soit seule-
ment point critique et maximum de la fonction limite. Il n'est pas nécessaire qu'il soit maximum
local de tous les termes de la suite, comme dans Brezis-Li-Shafrir, Chen-Lin, L.Zhang. la tech-
nique de Brezis-Li-Shafrir, reprise par Chen-Lin, Zhang, avec la technique de Schoen, marche
dans le cas d'un ouvert de $\mathbb{R}^n$, elle n'est plus possible sur les variétés ouvertes.

Ceci, cette modification de la technique de Schoen, nous permet de faire le blow-up, dans le cas général, sur les variétés. On résout ainsi, le blow-up, sur les variétés : les variétés ouvertes, non necessairment compacte sans bord.

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

Pourquoi le résultat de compacité dans le cas négatif, en dimension $n \ge 3$, sur une variété non necessairement compacte sans bord, bord non regulier, n'a pas été fait ? ceci est lié au blow-up, la technique blow-up et à l'hypothèse de l'absurde et le rayon des boules :
En effet, on veut prouver la compacité dans le cas negatif, cela veut dire que dans l'hypothèse de l'absurde de :

$$ \exists c > 0, R^{2/(q-2)} \sup_{B_R(x_0)} u \le c, \forall 0 < R \le \frac{\mathrm{inj}(x_0)}{2}, $$

le rayon des boules est forcement dans **tout l'intervalle** $]0, \frac{\mathrm{inj}(x_0)}{2}]$ avec $\mathrm{inj}(x_0)$, le rayon d'injectivité en $x_0$, c'est une condition nécessaire de prouver cette assertion dans **tout l'intervalle**. Or cette hypothèse de l'absurde n'est pas demonstrable, pour l'intervalle entier, $]0, \frac{\mathrm{inj}(x_0)}{2}]$, car dans la technique blow-up, il y a un problème avec la fonction blow-up, $s_i(x) = (R - d(x, x_i))^{2/(q-2)} u_i(x)$.

Ces hypotheses de l'absurde sont possibles dans le cas euclidien, comme l'ont fait. C.C.Chen-C.S.Lin, comm.pure.Appl.math.1997.

Dans le cas des variété ouvertes, il y a un problème.

Le rayon des boules n'est pas suffisamment petit pour que les exponentielles soient definies, dans un voisinage de $x_0$, ces voisianges ne sont pas necessairment assez petits.

La solution à ce problème, si on considère les coordonnees geodesiques normales, c'est a dire en considerant, les cartes exponentielles, est de prendre les rayon tendant vers 0. (voisinage geodesiquement convexe, th. de Whitehead, avec des rayons tendant vers 0, on sera sur d'etre dans un $\epsilon$-voisinage de Whitehead, geodesiquement convexe). Ceci a été dit et a été fait dans le cas particulier d'un ouvert de l'espace euclidien, dans le cas positif, dans l'article de 2004.

On a aussi, une autre solution. La solution a ce problème, si on considère une carte quelconque, comme on l'a fait, est de choisir une carte normale en $x_0$, puis prendre des rayons tendant vers 0. Ceci a été fait dans l'article de 2003.

Donc, la solution aussi, est de considerer l'hypothèse de l'absurde suivante de :

$$ \exists R, c > 0, R^{2/(q-2)} \sup_{B_R(x_0)} u \le c. $$

Dans ce cas $R > 0$ peut être petit. Ceci (cette hypothèse de l'absurde) a été dit et fait dans les articles de 2003 et 2004.

## Sur la formule de Stokes et l'article non correct de W.Chen et Congming Li de 2003 :

Ils utilisent un théoreme avec solutions $u \in W^{2,n}$ : (definies au sens des distributions, au sens faible, mais ici aussi, elles sont regulières) :

- Ils intègrent $u$ dans $\Omega$, donc, le domaine de définition de $u$ est au moins $\Omega$.

- Le fait de considerer $u \in W^{2,n}$ : il faut que les dérivées secondes soient intégrables, on ne peut pas supposer seulement $u \in C^2(\bar{\Omega})$, il faut que ce soit au moins $\bar{\Omega}$, c'est a dire $C^2(\bar{\Omega})$, or ceci veut dire que c'est régulier dans un voisinage de $\bar{\Omega}$.

- Comme on l'a dit, le fait de prendre $u \in W^{2,n}$, veut dire que c'est au sens des distributions. En particulier le laplacien : $\Delta u$ doit être au sens des distributions.

Ils disent qu'il faut multiplier l'eq. 9 par la fonction et intégrer :

1) la fonction propre $\varphi^\alpha$ n'est pas une fonction test car si $p \to +\infty$, $3 > \alpha \to 2$ et elle n'est pas une fonction test. Le problème doit être posé au sens des distributions, c'est dire prendre des fonction $C_c^\infty$, smooth $C^\infty$ a support compact. Ou bien au moins $C^3$, ce qui n'est pas vrai ici.

1) a) Pourquoi au moins $C^3$, car si le potentiel $V \in C^s$, le potentiel newtonien est $C^2$, par soustration cela revient à chercher la regularité d'une équation du type $\Delta u = 0$, or ici, il faut au moins qu'on derive l'équation pour avoir une regularité $C^2$, par les Sobolev, c'est a dire $H^3$ en tant que Sobolev, c'est a dire que les fonction test doivent être au moins $C^3$. Ce qui n'est pas le cas de la fonction propre qu'ils ont prise.

1) b) de manière générale, quand on a un opérateur d'ordre $k$, il faut une regularité au moins d'ordre $k+1$, pour les Sobolev pour avoir une régularité au final d'ordre $k$. En soustrayant un potentiel Newtonnien. Comme à l'ordre 2.

Pour la cohérence de la théorie. C'est pour cela qu'ils prennent $C_c^\infty$ comme fonction tests.

- Donc : il faut prendre les fonctions $C_c^\infty$. Ce qui n'est pas le cas de $\varphi^\alpha$.
2) La formule d'integration par parties dans des domaines de $\mathbb{R}^n$, ou la formule de Green-Riemann sur les variétés. Ici, il y a un probleme de definition du gradient.

a) Soit : la formule de Green-Riemann, comme c'est prouvé dans le Azé. Le gradient est definit des le depart, par definition.

b) Soit : la formule de Green-Riemann, qu'on peut trouver dans la Gallot-Hulin-Lafontaine. A partir de la formule de Stokes. Il faut une notion de gradient, a partir de la metrique Riemannienne.

3) Dans le livre de Azé Dominique ils prennent des fonctions $f \in C^1(\bar{\Omega})$, c'est une definition, c'est a dire qu'il existe une fonction reguliere dans une voisinage de $\bar{\Omega}$, qui prolonge $f$, $\tilde{f} \in C^1(V_{\bar{\Omega}})$. Ils considerent les derivés partielles qui sont bien definies sur $\Omega$ puis prennent les primitives et la limite ils ont les fonctions au bord.

Dans cette preuve, il n'y a pas besoin de definir un champ de gradient, car par les theoremes de Sobolev et les theoremes d'extensions, dans les problemes elliptiques, on a toujours ce cas la. C'est a dire des fonctions definies dans une voisinage de $\bar{\Omega}$ qui prolongent les fonctions de depart.

4) La formule de Stokes, c'est bien ecrit dans le livre de Hebey. On se ramene localement a des demi espaces. Ici aussi la notion de primitive est utilisée. Ils utilisent le th d'extension de Whitney, qui est valable dans les portions de demi-espaces. on se ramene a calculer les primitives de fonctions regulieres et on obtient les fonctions sur le bord qui coincdent avec les fonctions de depart.

La formule de Green-Riemann, se deduit de la formule de Stokes, il faut avoir un champ de Gradient global, jusqu'au bord, car la variété n'est pas immergée dans un espace plus grand. Il faut definir un gradient partout, cela se fait a partir de la metrique et des cartes localement et on a gradient global.

On a : $C^k(\bar{\Omega})$, a plusieurs definitions : dans certains cas : c'est $C^k(\Omega)$, avec des derivées qui ont une limite quand le point tend vers le bord. Cette definition est equivalente a celle qui dit que c'est la restriction de fonctions $C^k(\Omega')$ avec $\bar{\Omega} \subset \Omega'$, ouvert contenant $\bar{\Omega}$, ceci est vrai lorsque $\Omega$ est un domaine regulier $C^{k,\alpha}$. Voir, le gilbarg-trudinger, chapitre 6, sur les extensions.

En general, on prend la definition de l'extension a un ouvert plus grand, par exemple, quand $\Omega$ n'est pas regulier.

Pour la formule de Stokes, sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$, on peut prendre les 2 definitions, il suffit qu'il y ai une limite quand les points tendent vers le bord. Il veut mieux prendre la definition avec les extensions, on est sur, qu'il y a une limite vers le bord.

Mais, en general, on prend la definition de l'extension. Comme dans l'article d'Agmon : "The $Lp$ approach for the Dirichlet problem" : car une fonction possedant des derivées sur $\bar{\Omega}$, cette defintion est possible, si cette fonction possede des derivées sur un ouvert plus grand $\Omega'$ contenant $\Omega$. Il suffit de voir comment le th.6.2. est appliqueé, pour cela, il faut considrer le th.8.1.

La notion d'extension, est locale, par exemple pour les problemes de regularité, par exemple au voisinage d'un point du bord, il suffit que le domaine soit $C^{k,\alpha}$, au voisinage de ce point. Les 2 definitions sont equivalentes localement, des que, le domaine est regulier localement. D'ou le passage du local au global, en utilisant les 2 definitions. Par exemple, on peut, partir de la premiere definition pour, une demi-boule, un domaine Lipschitzien, et, avoir finalement la regularité globalement avec la 2eme defintion, des extensions, globalement, sur l'ouvert regulier, ou la variété réguliere.

Pour la definition 1, par exemple, pour la regularité $C^1$ de la fonction, on utilise (comme on l'a dit pour la fonction de Green), qu'on a une fonction continue et Sobolev, si son Sobolev est continue, alors, elle est $C^1$. Pour $C^k$, on itère le procedé. Ceci est vrai, si le domaine de départ est Lipschitzien.

Par exemple : pour prouver que la definition 1 est equivalente à la definition 2, ou pour utiliser la defintion 1, il faut une notion de carte reguliere, pour redresser le bord, et avoir des derivées directionnelles, par exemple : pour appliquer la formule de la moyenne à la fonction, et ses derivées, et passer à la limite, jusqu'au bord : ceci est possible, si on a des directions. Apres, si on suppose le domaine de départ $C^k$, en se ramenant à une demi-boule, on peut peut faire l'extension, après avoir prouver que la definition 1 implique que la fonction est $C^k$, dans la
demi-boule, suivant les directions existentes. Puis, on l'etant, comme dans le Gilbarg-Trudinger
à la boule entiere.

Donc, on ne peut pas prouver qu'une fonction est $C^k$, avec seulement, la definiton 1, car il faut des directions.

(Une fonction a des derivées continues sur $\tilde{\Omega}$, ssi, elle a une extension sur $\Omega' \supset \tilde{\Omega}$. Par exemple, concernant l'article d'Agmon : th.6.2. il faut voir comment il est appliqué, quand on considere un domaine $\Omega$, pour cela il suffit de se referer au th.8.1. on aura alors, la definition : avec extensions.)

RÉFÉRENCES

[1] W.Chen, Congming.Li. Moving planes, moving spheres, and a priori estimates. J. Diff.Eq. 195, 1, (2003), pp 1-13.

[2] Dominique. Azé. Elements d'analyse convexe et variationnelle Ellipse. 1997.

[3] E. Hebey. Introduction a l'analyse non lineaire sur les variétés. Diderot. 1997.

[4] Gallot. Hulin. Lafontaine.Riemannian Geometry. Springer.

Solutions au sens faible : weak solutions :

Soit $L$ un operateur differentiel. On veut definir une solution $u \in E$ faible d'une equation ou inéquation. Pour cela on doit utiliser l'operateur $L$, la seule possibilité est de definir $u \in E$, en utilisant l'adjoint $L^*$, car $L$ peut ne pas etre mis sous forme divergence. Il faut definir l'equation faiblement a partir de l'operateur $L$, la seule donnée est l'operateur $L$. Dans ce cas, on utilise l'adjoint $L^*$. Rien ne dit que l'operateur $L$ peut etre mis sous forme de divergence. De manière generale, pour un operateur $L$.

Au sens des distributions :

$$
\int u L^* \varphi dV = \int f \varphi dV, \forall \varphi \in C_c^\infty(\Omega),
$$

C'est vrai si $u \in E = L_{\text{loc}}^1(\Omega)$. Pour le laplacien, $L^* = L = \Delta$, donc, on ecrit que $u$ est
solution faible si :

$$
\int u \Delta \varphi dV = \int f \varphi dV, \forall \varphi \in C_c^\infty(\Omega),
$$

Exemple : les fonctions de Green.

Lorsque $u \in \tilde{E} = H_1^2(\Omega)$ et $\partial\Omega \in C^\infty$, on peut integrer par parties et ecrire :

$$
\int \nabla u \cdot \nabla \varphi dV = \int f \varphi dV, \forall \varphi \in C_c^\infty(\Omega),
$$

-Il se peut que la definition de solutions faibles soit ce qui a été dit dans cette dernière ligne, avec le gradient. Mais il faut prendre $\varphi \in C_c^\infty(\Omega)$. Or pour Aviles-McOwen, la fonction $u\varphi^q \notin C_c^\infty(\Omega)$, pour cela il faut vérifier qu'elle est $\dot{H}_1^2(\Omega)$, or cet ensemble est definit par la notion de trace (au moins, si on n'arrive pas a prouver la densité, il faut prouver que $u\varphi^q = \lim_i u_i$, $u_i \in C_c^\infty(\Omega)$), ce qui fait appel a la notion de trace donc de bord regulier.

-Il y a une différence entre les variétés et les ouverts de $\mathbb{R}^n$, par densité et convolution, il suffit que les fonctions tests soient $C_c^1(\Omega)$ pour $\dot{H}_1^2$ sans passer par les traces directement. Mais pour une variété quelconque de bord pas regulier, cette densité n'est pas forcément possible à prouver.

-Il faut prendre aussi $\varphi \in H_1^2(\Omega)$, car l'espace total qu'on considère est $\tilde{E} = H_1^2(\Omega)$. Donc, si on veut que la formulation soit vraie avec $\varphi \in C_c^1(\Omega)$, il ne faut pas oublier de prendre aussi $\varphi \in H_1^2(\Omega)$. (c'est pour cela, qu'ils considerent directement $C_c^\infty(\Omega)$ : à support compact en etant smooth $C^\infty$. Or ici, la fonction "test" n'est pas $C^\infty$. Il faut prouver qu'elle limite d'une suite $C^\infty$, ce qui est pas très possible, ou bien considérer des cartes, ce qui veut dire que la variété doit être régulière.)

-Donc, les fonctions tests doivent être dans $C_c^\infty(\Omega)$ pour une variété quelconque et pour utiliser $u\varphi^q$ comme fonctions test, il faut passer par la notion de trace, donc, de bord regulier.

-Soit on doit appliquer la formule de Stokes, il faut un bord regulier. Soit, la densité, prou-
ver que la fonction est limite d'une suite regulière smooth a support compact. Soit considerer,
l'espace $\dot{H}_1^2(\Omega)$, avec la notion de trace, ce qui nécessite un bord regulier.

-Pour la formule $\nabla(u\varphi^q) = u[\nabla(\varphi^q)] + (\nabla u)\varphi^q :$ soit on la considere ainsi dans $H_1^2(M)$ avec la notion de trace, donc de bord regulier.
Soit, on la prouve dans $\dot{H}_1^2(M)$ : c'est a dire pour la norme de $\dot{H}_1^2(M)$, par densité c'est a dire qu'elle limite de fonctions $C_c^\infty(M)$, ce qui n'est pas possible, car $u$ ne peut pas etre approchée par des fonctions smooth à support compact.

Le seul moyen est de la considérer dans $H_1^2(M)$ avec la notion de trace. Ce qui nécessite un bord regulier.

Aviles-McOwen, dans leur theoreme d'estimation apriori, considerent le probleme au sens faible(avec des gradients, car ils considerent des problemes variationnels, $H_2^1(\Omega)$ avec $\partial\Omega$ régulier) et non tres faible. Ils ne veulent pas utiliser la formule de Stokes.

## Sur l'article de Aviles-McOwen et leur Theoreme de majoration locale et de capacité locale :

le Th. de majoration locale et de capacité locale d'Aviles-McOwen :

1-Le probleme est posé au sens des distributions : il faut faire une integration par parties pour se ramener au Th de Gilbarg-Trudinger. Pour cela il faut un bord lisse et la notion de trace pour appliquer la formule d'integration par parties ou formule de Stokes.

Aviles-McOwen, considerent le probleme au sens faible(avec les gradients, car ils considerent des problemes variationnels) et non tres faible. Ils ne veulent pas utiliser la formule de Stokes.

a) $(\Omega, g) \in C^\infty$ avec $\partial\Omega \in C^\infty$.

b) les solutions $u \in H_1^2(\Omega) \Rightarrow \text{trace, Tr}(u)$.

2-Le resultat est local dans du global, sur tout $\Omega$. (en particulier, ils obtiennent une sorte d'inégalité de Sobolev à poids).

Pour ce qui nous concerne : on prend $(M, g) = (\Omega, g) \in C^\infty$, avec un bord quelconque, qui n'est pas forcément regulier. Que se passe t il ?

1-Dans le cas négatif : sous-critique et critique et $\partial\Omega \notin C^\infty$ bord non regulier :

On donne des conditions pour avoir un résultat local, pour qu'on conserve l'inégalité locale.

a) $u \in C^{2,\alpha}$, $\alpha > 0$ (préfaisceau particulier), et $\partial\Omega \notin C^\infty$, bord non regulier : il n'y a plus de notion de trace et le bord n'est pas regulier. On ne peut pas utiliser la formule de Stokes et conserver la nature globale du problème.

Le probleme d'Aviles-McOwen(posé au sens faible, au sens des distributions), est alors : pas bien posé, n'est pas posé correctement, il n'est pas défini.

b) On a donné des conditions suffisantes pour avoir le résultat de capacité locale.

c) Le résultat est local et obtenu de manière locale : dans des cartes. Au début de la procédure on a : dessin + flèche. cartes normales.

La théorie des catégories commence avec l'observation que de nombreuses propriétés des systèmes mathématiques peuvent être unifiées et simplifiées par des dessins avec des flèches.

d) La technique blow-up. On obtient une estimation a priori du type Harnack : un th de la moyenne a priori. Voir tout au début du livre de Gilbarg-Trudinger, pour les fonctions harmoniques : solid mean value inequalities.

2-Pour ce qui concerne le cas négatif supercritique et critique(non-linearité exponentielle), dimension $n \ge 2$, (aussi $n = 1$) : ici le bord peut être regulier ou non : $\partial\Omega \in C^\infty$ ou $\partial\Omega \notin C^\infty$, bord regulier ou non :

a) On donne des conditions pour avoir un résultat de majoration locale : $u \in C^{2,\alpha}$, $\alpha > 0$ (préfaisceau par ticulier).

Avec nos conditions, ce n'est pas le même type d'equation. Pour nous c'est supercritique. De plus le Probleme d'Aviles-McOwen n'est pas bien défini ici pour l'Eq. supercritique et critique (non-linearité exponentielle).

Avec la condition $\partial\Omega \notin C^\infty$, le probleme d'Aviles-McOwen n'est pas bien posé et n'est pas défini.

b) Dans ce cas (négatif supercritique et critique, non-linearité exponentielle), le probleme n'implique pas Gilbarg-Trudinger. Il faut faire un changement de fonction $z = e^u$.

b) il faut faire l'integration par parties pour $z$ et avoir la majoration locale de l'intégrale de $z^2$, ce qui correspond à l'intégrale locale de $u^\alpha$ dans le problème d'Aviles-McOwen.

c) Principe d'Harnack, les solutions $u$ peuvent changer de signe.

d) Le résultat est local et obtenu de manière locale : dans des cartes. ( On construit une sous-variété Riemannienne compacte à bord $C^\infty$ d'une variété Riemannienne, à partir de la carte :
image reciproque d'une boule fermée de $\mathbb{R}^n$, par exemple : smooth $C^\infty$ compact Riemannian submanifold with boundary of a Riemannian manifold (of dimension $n$ in dimension $n$). Ce fait est connu pour les petites boules géodesiques, dans l'existence de la première valeur propre des petites boules geoedesiques, voir par exemple : Karp-Pinsky, 1987. On a bien, par la carte exponentielle, une sous-variété Riemannienne compacte à bord plongée dans une variété Riemannienne. Ici, c'est une carte quelconque. On admet que : l'existence d'une sous-variété compacte à bord plongée dans une variété Riemannienne, est un fait connu, Karp-Pinsky.1987).

Dans ce point, on a : dessin + flèche : La théorie des catégories commence avec l'observation que de nombreuses propriétés des systèmes mathématiques peuvent être unifiées et simplifiées par des dessins avec des flèches.

Pourquoi ce résultat n'a pas été fait avant : il se peut que la raison soit la suivante : si on suppose que la solution est minorée, $u \ge -M > -\infty$, il suffit de considerer le cas où $u \ge 0$, alors en multipliant par une bonne fonction test $\eta^4$, on arrive directement à prouver que l'intégrale de $e^u$ est loc.uniform.bornée et par l'inégalité de Harnack pour les fonctions sur-harmoniques, les solutions sont loc.uniform.majorées. Ce qu'on vient de voir est, qu'on a une relation du type $\sup_K u \le c(-M)$, ou bien $\sup_K u \le c(\inf u)$. C'est du Brezis-Merle. Comme Brezis-Merle ont traité le cas positif, il se peut que le cas negatif eut été evident et n'eut nécessité une preuve complete, car on le déduit des inégalités de Harnack usuelles et de la méthode de Brezis-Merle (integration et première fonction propre et première valeur propre). Ceci est peut être la raison pour laquelle ce cas n'a pas été traité.

Mais ce qu'il faut voir est que, ce qu'on a prouvé, est plus précis, on n'a pas $\sup_K u = c(\inf u)$, mais : $\sup_K u \le c$, le sup est majoré par une constante qui ne dépend pas de l'inf. Effectivement, on l'a écrit pour mettre en evidence cela, cette différence. Le sup local est majoré par une constante ne dépendant pas de l'inf.

## Sur l'article de Aviles-McOwen :

Pourquoi ils n'ont pas consideré, comme on l'a fait, dans une carte, (obtenue par un plongement), une sous-variété Riemannienne compacte à bord $C^\infty$ de la variété Riemannienne $(M, g)$ ?

1) Aviles-McOwen, ont consideré une varieté compacte à bord $(\bar{\Omega}, g)$ : leur variété de départ $M$ s'écrit comme $M = \cup_k \Omega_k$, une union denombrable de variétés ouvertes (avec bords). Ceci est lié et est illustré par leurs exemples à la fin de l'article où ils considerent des cylindres : on voit bien que leur variété $M$ est une union denombrable de cylindres, on prend un cylindre et on on le prolongent indefinement. Ils considerent le problème, au sens des distributions, d'où, ils ont besoin de la connexion à l'interieur des domaines, il n'y a pas besoin de bord. Sur les bord, il y a la notion de trace ou valeurs limites.

Le fait d'écrire $M = \cup_k \Omega_k$ : est une donnée. Pour dire que ce qu'ils font sur $M$ est en fait ce qu'ils font sur chaque $\Omega_k$. C'est une hypothèse. Ceci est vrai pour un cylindre infini qu'ils découpent en une suite exhaustive de compacts $\Omega_k$. C'est aussi lié à leur exemples à la fin : des cylindres.

C'est une hypothèse d'écrire : $M = \cup_k \Omega_k$ (les bords sont non compris, car le problème se pose au sens des distributions, integration à l'interieur de $\Omega_k$, avec la notion de trace ou valeurs limites au bord) : pour dire que ce qu'ils font sur $M$ est en fait ce qu'ils font sur chaque $\Omega_k$. La connexion de $M$, est celle des ouverts $\Omega_k$, pour tout $k$, $\nabla = \nabla^M = \nabla^{\Omega_k}, \forall k$ et donc : non pas la connexion sur tout $\bar{\Omega}_k$, c'est à dire sans le bord. Car le problème est posé au sens des distributions, ce qui importe c'est à l'interieur du domaine, avec la notion de trace, ou valeurs limites au bord. (Pour la trace, on a besoin de l'inégalité de Sobolev à trace, qui s'obtient par densité des fonctions $C^\infty(\bar{\Omega})$, localment dans des cartes, mais ce qui importe ce sont les valeurs limites des fonctions au bord et la gradient $L^p(\Omega)$ des fonctions, donc, le gradient à l'interieur de $\Omega$, comme la formule d'integration par parties, l'inégalité de Sobolev à trace, est une formule de trace, ce qui importe, sont les valeurs à l'interieur, puis, on passe à la limite, pour obtenir les valeurs au bord. $\int_{\bar{\Omega}} = \lim_{\epsilon \to 0} [\int_{\Omega_\epsilon} = \text{integration reelle} \int_{\partial\Omega_\epsilon}] = \int_{\partial\Omega}$. Ceci veut dire qu'ils utilisent les valeurs à l'interieur, puis passent à la limite pour avoir les valeurs au bord).

Ils(Aviles-McOwen) ne font pas d'integration par parties et ils considerent le problème au sens faible (avec les gradients) et non très faible.

Ils n'utilisent pas le gradient jusqu'au bord (bord compris), la connexion de départ (sur l'espace total $M$) est celle de chaque ouvert, sans tenir compte des bords.
Leur theoreme d'estimation a priori, ne nécessite pas l'integration par parties et est fait sans notion de gradient jusqu'au bord (bord compris). Ici ils ont pris $H_2^1(\Omega)$ avec $\partial\Omega$ regulier.

Cela veut dire :

toute carte de $M$ en $x \Leftrightarrow$ est une carte de $\Omega_k$ en $x \in \Omega_k \forall k$.

Ceci est vrai pour les cylindres. Et donc, tout coincide : la metrique sur $\Omega_k$ est celle de $M$ restreinte à $\Omega_k$. Il n'y a pas besoin de comparer les symboles de Christoffels en ce qui concenrne le bord de $\Omega_k$, car ce qui est important, c'est la connexion à l'interieur du domaine $\Omega_k$ et elle coincide avec celle de $M$, car c'est un ouvert de $M$, il n'y a pas à regarder au bord pour ce qui est de la connexion(contrairement à la trace).

(les bords sont non compris, car le probleme se pose au sens des distributions, intégration à l'interieur de $\Omega$ dans le theoreme de la premiere section, avec la notion de trace ou valeurs limites au bord)

Donc, considerer $M$, c'est equivalent à : considerer $\Omega_k, \forall k$. C'est illustré par les exemples : des cylindres.

2) Pour ce qui nous concerne : on a consideré une sous-variété Riemannienne compacte à bord $\tilde{M}$ (plongée) dans une variété Riemannienne $(M, g)$ : ici il y a la connexion $\nabla^1 = \nabla_{|\tilde{M}}^M$; de $M$ restreinte à $\tilde{M}$, (bord compris), et la connexion intrinsèque de $\tilde{M}$ en tant que variété Riemannienne : $\nabla^2$ (bord compris).(Il faut qu'il existe une et une seule connexion de Levi-Civita, elle doit etre unique, ici, il y a probleme de choix de connexion).

Ces deux connexions sont egales, en utlisant les symboles de Christoffels et le fait que les cartes de $\tilde{M}$ (bord compris), sont construites a partir de la carte $(\Omega, \varphi)$ du plongement.

Ici, la carte $(\Omega, \varphi)$ du plongement, est une carte de $M$ mais pas nécessairement celle de $\tilde{M}$ (bord compris).

(En ce qui nous concerne), Ici, on fait l'integration par parties et nécessité du gradient jusqu'au bord (bord compris). Le raisonnement d'Aviles-McOwen, sans notion de gradient au bord, sans integration par parties, n'est plus possible, ici, $\partial M$ n'est pas regulier $\Rightarrow$ les solutions doivent etre prises regulieres...etc...

*/****************************/

1) On a : **on ne peut pas dire qu'on peut utiliser le theoreme d'Aviles-McOwen dans le th.2 de l'article de 2003** (apres avoir definit la sous-variété à bord compacte reguliere plongée dans une variété Riemannienne, on admet que l'existence de cette sous-variété plongée, est un fait connu, voir Karp-Pinsky. premiere valeur propre des petites boules géodesiques.1987) : car :

**Theoreme d'Aviles-McOwen :** $\Leftrightarrow$ **pas d'integration par parties**

Dans notre hypothese : les solutions $u$ sont regulieres $\Rightarrow$ pour se ramener à des solutions au sens $H^1$, il faut faire une integration par parties.

Donc : on a : **(on utilise l'integration par parties) et (on n'utilise pas l'integration par parties)**. Ce qui veut dire qu'on fait : **A et non A** : ce qui n'est pas possible.

*/****************************/

2) On regarde maintenant, si le th.1 de l'article de 2003 est compatible avec le th.2 de l'article de 2003 :

2-1) Pour le th.1 de 2003, on a utilisé des potentiels $C^\alpha, \alpha > 0$, uniformément : condition sur les fonctions. Dans le th.2 de 2003, on n'a pas utlisé cette condition uniforme.

2-2) Pour le th.2 de 2003, on a utilisé la structure de variété de $M$, on se ramène à $\mathbb{R}^n$, puis, on sait que les boules fermées de cet espace sont des sous-variétés à bord, bord compris, smooth : condition topologique et geometrique. Puis on construit, la sous-variété Riemannienne plongée dans la variété Riemannienne $M$. Dans le th.1 de 2003, on n'a pas utlisé le bord de la variété à bord.

On a tendance à dire qu'il y a plus d'hypothèses dans le th.1 que dans le th.2, de l'article de 2003. Ce n'est pas vrai, pour le th.1 : donnée de fonction, holderienne uniform., pour le th.2 : donnée topologique et geometrique, bord d'une variété à bord.

On voit que du point de vue des données : les th.1 et th.2 de l'article de 2003, sont compatibles.

*/****************************/
## Remarques :

Sur le premier article, 2003, "Differentes estimations de..."

Dans le print : "Quelques remarques dur les variétés, fonction de Green et formule de Stokes" on a dit que lorsque $\partial M$ n'est pas regulier, on ne peut plus utliser la formule de Stokes et le problème d'Aviles-McOwen n'est pas definit :

Donc, il faut supposer les solutions $u \in C^2$.

Dans ce cas on plusieurs points de vues :

Le point de vue d'analyse fonctionnelle et EDP, et le point de vue groupes topologiques.

On suppose donc que les solutions $u \in C^2$ : le but est de prouver des estimations a priori : dans $L_{loc}^{\infty}, C_{loc}^{0}, C_{loc}^{1}, C_{loc}^{2}$.

a) Le point de vue groupe topologique : l'estimation dans $C_{loc}^0$ suffit, pour avoir la notion de groupe topologique localement compact : c'est une bonne estimation.

b) Par contre, pour le point de vue analyse fonctionnelle, EDP, ou de fonctions, comme on a supposé les solutions $u \in C^2$, il faut que l'estimation a priori cherchée soit de la taille de l'hypothèse, c'est à dire $C_{loc}^2$. Or pour avoir $C_{loc}^2$, il faut utiliser les estimations de Schauder, c'est a dire qu'il faut supposer $C^{2,\alpha}$, $\alpha > 0$, or cela necessite que le potentiel $V$ soit $C^\alpha$ uniformément.

c) Tout ceci pour dire que selon le point de vue, la regularité forte uniforme du potentiel est nécessaire.(Par exemple pour $-\infty < a \le V \le b < 0$, si on suppose par exemple qu'on peut avoir $0 < b \ge V_i \ge a_i \to -\infty$, il se peut qu'on ait uniform. sur une boule ouverte $0 > a_i/2 \ge V_i \ge a_i \to -\infty$, et en multipliant l'eq. par une fonction test et en integrant par parties, (il se peut aussi que les solutions $u_i$ restent bornées), et on aurait, un terme qui tend vers $-\infty$, et est egal a un terme borné uniform. Donc, pour qu'on soit sur qu'il n'y ait pas de contradiction, il faut supposer $-\infty < a \le V_i \le b < 0$ uniform.)

Dans tous les cas $V$ doit être régulier $C^\alpha$, $\alpha > 0$. Pour le point de vue groupe topologique, ce n'est pas nécessaire de supposer la regularité $C^\alpha$ uniforme. Alors que pour le point de vue analyse fonctionnelle, EDP, et des fonctions, il est nécessaire de supposer la regularité $C^\alpha$, $\alpha > 0$, uniforme.

d) Quand on considère les solutions $C^2$ et on veut obtenir, des estimations $C^2$, il faut considérer une eq et non une inequation. Ce n'est plus possible de considerer des inéquations dans ce cas.

e) Quand on considère la regularité $C^2$, une inéquation peut s'éccrire comme une équation. En posant $V = [(\Delta u + Ru)/(u^{q-1})] \in C^0$ ou $V = [(\Delta u + R)e^{-u}] \in C^0$, $\Delta = -\nabla^i \nabla_i$.

En ce qui concerne le théorème 1 de l'article de 2003. Dans le raisonnement par l'absurde : pour obtenir une contradiction : On utilise l'inégalité de Holder au lieu de l'inégalité de Jensen, car les fonctions peuvent toucher 0. On ne peut utiliser l'inégalité de Jensen, car une fonction convexe, doit l'être dans un intervalle ouvert, or le procédé diagonal, implique l'existence d'une fonction $v \ge 0$ sur tout $\mathbb{R}^n$ solution de $\Delta v = W(x_0)v^{q-1}$, $2 < q \le N$, $\Delta = -\nabla^i \nabla_i$, après on utilise les integrales superficielles, sur les spheres. On ne peut pas appliquer la formule de Jensen, car la fonction $v$ peut parfois s'annuler, elle n'est pas strict.positive, et ses valeurs sont dans $[0, +\infty[$ qui n'est pas ouvert, et la convexité nécessite des intervalles ouverts.

Les articles en question sont :

## RÉFÉRENCES

[1] P. Aviles. R.C. McOwen. Conformal deformation to constant negative scalar curvature on noncompact Riemannian manifolds. J. Differential Geom. 27(2) : 225-239 (1988).

[2] S.S.Bahoura. Différentes estimations du sup $u \times \inf u$ pour l'équation de la courbure scalaire prescrite en dimension $n \ge 3$. J. Math. Pures Appl. (9), 82 (1) (2003), pp. 43-66

Quelques remarques sur les 2 premiers articles : "Differentes estimations...." de 2003 et "Maj orations..." de 2004 :

1) Remarques sur l'article "Differentes estimations" : 2003 : sur une variété Riemannienne :

1) théorème 1 : cas négatif sous-critique et critique, cas positif sous-critique :

a) Blow-up.

b) compacité locale.
c) La variété peut posséder un bord non nécéssairment regulier : smooth $C^\infty$ à l'interieur et pas forcément smooth au bord.

d) Estimation a priori du type Harnack : th de la moyenne a priori.

2) théorème 2 : cas négatif critique (dimension 2) et supercritique :

a) majoration locale.

b) principe d'Harnack.

c) cas compact sans bord : existence par le degré topologique de solutions topologiques : degré =+1.(Pour le sous-critique positif aussi on a un résultat d'existence avec un potentiel V, voir YY.Li pour le degré =-1). C'est une conséquence.

3) théorème 3 : cas positif.

a) Minoration de sup × inf.

b) inégalité optimale.

4) théorème 4 ou proposition : cas positif.

a) 2-sphère.

b) Minoration de sup + inf

c) inégalité optimale.

II) Remarques sur l'article "Majorations..." : 2004 : sur un ouvert borné de $\mathbb{R}^n$ :

1) théorème 1 et corollaire 1 : Cas positif, sous-critique tendant vers le critique. Eq.Lane-
Emden-Fowler.

a) estimation asymptotique...Soit, le controle du sup : inégalité asymptotique. Soit la constante de majoration : constante asymptotique.

b) corollaire 1 : inégalité du type (sup) $\alpha$ × inf, $\alpha \in (0, 1)$.

c) critère pour avoir une inégalité du type sup × inf : corollaire 1. Critère d'un nouveau type.(en general on a des critieres de compacité).

2) théorème 2 et corllaire 2 : cas critique :

a) inégalité du type (sup)$^{1/3}$ × inf en dimension 3.

b) potentiel V lipschitzien non $C^1$ en dimensions 3 et 4.

c) avec une deuxième contrainte : inégalité optimale sup × inf en dimension 4.

d) Critère de compacité : quand les constantes de Lipschitz $A_i \to A > 0$. C'est une conséquence.

e) Volume local = Energie locale borné(e). C'est une conséquence.

f) sup local majoré si inf minoré par $m > 0$ avec constante de Lipschitz $A_i \to 0$. Critère de compacité.

g) Inégalité de Harnack implicite pour une suite. C'est une conséquence.

3) théorème 3 : cas critique : cas radial :

a) inégalité du type (sup) $\alpha$ × inf.

4) théorème 4 : perturbation de l'équation par un terme sous-critique : Eq. de Schrodinger :

a) inégalité optimale.

b) Energie locale bornée. C'est une conséquence.

Les articles en question sont :

RÉFÉRENCES

[1] S.S.Bahoura. Différentes estimations du sup $u \times \inf u$ pour l'équation de la courbure scalaire prescrite en dimension $n \ge 3$. J. Math. Pures Appl. (9), 82 (1) (2003), pp. 43-66

[2] S.S.Bahoura. Majorations du type sup $u \times \inf u \le c$ pour l'équation de la courbure scalaire sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$, $n \ge 3$. J. Math. Pures. Appl.(9) 83 2004 no, 9, 1109-1150.

Sur la dimension 4 : voir le print "Cas d'existence de solutions d'EDP".

I) Inégalité de Harnack avec 2 contraintes liant $u$ et $V$, voir ci-dessus. Exemples : voir Brezis-Merle, corollaire 4, la contrainte de masse, $\int_{\Omega} |V|e^u dx \le \epsilon_0 < 4\pi$, il y a deux contraintes liant $u$ et $V$, l'Eq et la contrainte de masse, on a $||u^+||_{L_{\text{loc}}^{\infty}} \le c < +\infty$, cela veut dire que si $u \ge -M > -\infty$, on a la compacité locale. Or ceci peut s'interpreter aussi comme $\sup_K u \le c(\inf_{\Omega} u) < +\infty$.

II) On a écrit qu'il y a une inégalité de Harnack pour une suite $(u_i)$ relativement à une suite $(V_i)$, telle que $0 < a \le V_i \le b < +\infty$, $||\nabla V_i||_\infty \le A_i \to 0$ :
$$
\forall K \subset \subset M, \exists + \infty > c(\cdot, K, M, g) > 0, \sup_K u_i \le c(\inf_M u_i, K, M, g),
$$

la fonction $m \to c(m, K, M, g)$ est décroissante de $m > 0$. Il se peut que la suite soit très longue, dense, comme $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$.

Si on considère l'ensemble : $E = \{u_i \in C^{2,\alpha}(M), u_i > 0, \Delta u_i + \frac{1}{6} R_g u_i = V_i u_i^3, 0 < a \le V_i \le b < +\infty, ||\nabla V_i||_\infty \le A_i \to 0\}$, ou tout simplement, $E = \{u_i\}$, la suite, alors :

$$
\forall K \subset \subset M, \exists + \infty > c(\cdot, K, M, g) > 0, \forall u \in E, \sup_K u \le c(\inf_M u, K, M, g).
$$

la fonction $m \to c(m, K, M, g)$ est décroissante de $m > 0$.

Si on prend une autre suite $v_i$ relativement à une suite $W_i$ avec les memes hypotheses, en
notant $F = \{v_i\}$, on a :

$$
\forall K \subset \subset M, \exists + \infty > \tilde{c}(\cdot, K, M, g) > 0, \forall u \in F, \sup_K u \le \tilde{c}(\inf_M u, K, M, g).
$$

la fonction $m \to \tilde{c}(m, K, M, g)$ est décroissante de $m > 0$.

Exemples :

1) Densité, il se peut que l'ensemble E soit trés "dense", comme Q dans R. Et le complété de E soit consistant comme R par rapport à Q, ou les fonctions $C_c^\infty$ à support compact dans les Sobolev. Il faut voir les complétés pour les norme $C^{2,\alpha}(M)$, $C^{1,\alpha}(M)$, $C^{0,\alpha}(M)$, $C^0(M)$.

2) Les fonctions Harmoniques, on connait pas bien la taille de cet ensemble, il se peut qu'il soit de "mesure nulle" dans un espace plus grand. Comme $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$. Bien qu'il soit consistant.

3) L'inégalité de Harnack de Siu, pour l'Equation de Monge-Ampère, portant sur les fonctions $\varphi_t$ indexée par un paramètre $t \in [\epsilon, t_0[$. Indexation et inégalité de Harnack.

4) Cela depend de l'ensemble des solutions, ici, on a pris E, on a bien une inégalité de Harnack pour les éléments de E.

RÉFÉRENCES

[1] Bahoura. S.S. Cas d'existence de solutions d'EDP. arXiv.

**Sur le print 2024 : Harnack inequalities for equations of type prescribed scalar curvature :**

1) Blow-up, technique blow-up, ou technique eclatement et eclatement : plusieurs type d'eclatements.

2) Technique moving-sphere. symetrie sphérique. Enroulement.

3) Tenseur de Weyl : n'y apparaît pas, n'y intervient pas, c'est du à l'eclatement et à l'enroulement. Pas de conditions sur le tenseur de Weyl. Eclatement et Enroulement.

4) Conditions de platitude du potenetiel $V$: n'y apparaît pas, n'y intervient pas, c'est du à l'eclatement et à l'enroulement. Pas de condition sur le potentiel $V$. Eclatement et Enroulement.

5) Pas de changement de metrique conforme tel que Ricci($x_0$) = 0, pas de changement de metrique conforme. c'est du à l'eclatement et l'enroulement.

6) Operateur $\Delta + h$ quelconque, non nécessairement coercif + operateur principal : le laplacien.

7) On a bien une fonction $m \to c(m)$ décroissante de $m > 0$, mais cette fonction, qui, après avoir fait l'eclatement, (apres avoir introduit le coefficient $r_k$ de l'eclatement), $c(r_k \inf_M u_k)$, n'est plus decroissante, on ne connait pas sa monotonie. Il y a rigidité dans(le sens) la torsion (rigidité à la torsion).

On a :

7)a) relation ouverte : $\sup \times \inf$, pas d'enroulement dans la rigidité. Enroulement et torsion.

7)b) relation semi-ouverte : $\sup = c(\inf)$, _avec c decroissante_, enroulement dans la rigidité. Enroulement.

7)c) relation semi-ouverte avec eclatement : $(\sup)^{1-\epsilon} = c(\frac{\inf}{(\sup)^{\epsilon}})$, la fonction finale c

n'est plus decroissante, rigidité dans(le sens) la torsion et de l'enroulement. Pas de torsion, pas d'enroulement. Rigidité.
7)b) est plus faible que 7)a) et 7)c) est encore plus faible que 7)b).

7)c) : Rigidité.

On voit l'effet de la courbure, scalaire, de Ricci, Weyl, de la non coercivité de l'operateur :
on n'a pas l'inégalité optimale $\sup \times \inf$. Mais on a une inégalité de Harnack implicite in-
termédiaire.

En relation avec l'exemple de C.C.Chen-C.S.Lin : sup majoré si inf minoré, cette assertion
n'est pas toujours vraie, voir l'exemple dans l'article de C.C.Chen-C.S.Lin.1998.Journal.Diff Geometry.

On va essayer d'expliquer, l'inégalité : $(\sup_K u)^{1-\epsilon} \le c[\frac{\inf_M u}{(\sup_K u)^\epsilon}]$ du print de 2024.

**Critere de compactité** : Si $(u_k)$ est une suite qui verifie l'inégalité de Harnack usuelle en $x_0$, alors, elle verifie le point 1) du print de 2024.

Inégalité de Harnack usuelle au sens suivant :

$$
\forall (x_k), (y_k), x_k \to x_0, y_k \to x_0, \exists m > 0 : u_k(x_k) \ge m \cdot u_k(y_k).
$$

Alors en appliquant ceci aux points $(t_k)$ et $(\tilde{t}_k)$, $\inf_{B(t_k, r_k^{2/(n-2)})} u_k = u_k(\tilde{t}_k)$, on ne peut pas avoir $u_k(t_k) \to +\infty$. Donc, on a le point 1) du print de 2024. Alors, il existe un voisinage de $x_0$ relativement compact, $K_0$ et une sous-suite $i_j$ et un reel $C > 0$, tels que :

$$
\sup_{K_0} u_{i_j} \le C.
$$

Donc : on a le critère de compactité suivant : Si la suite $(u_k)$ verifie l'inégalité de Harnack usuelle en $x_0$, alors, on a compacté autour de $x_0$.

Donc, on n'a pas forcément sup majoré si inf minoré, comme on l'a dit et ce que disent
Chen-Lin avec leur exemple. Mais, on a le critère de compacté autour de $x_0$, si la suite verifie
l'inégalité de Harnack usuelle en $x_0$.

Donc : si $(u_k)$ est une suite qui verifie en $x_0$ l'inégalité de Harnack usuelle, alors, on a compacté autour de $x_0$.

En conclusion : Donc : on a l'inégalité de Harnack, $\sup^{1-\epsilon} = c(\frac{\inf}{\sup^\epsilon})$. De plus, on a le critère de compacté suivant, et le résultat de compacté suivant : si en $x_0$, la suite $(u_k)$ verifie l'inégalité de Harnack usuelle, alors, on a compacté autour de $x_0$.

Ce n'est pas seulement un critère de compacté, mais un résultat de compacté, car on dis-
pose de l'exemple suivant : $x \to [\epsilon/(\epsilon^2 + |x|^2)]^{(n-2)/2}$, cette suite de fonctions ne verifie pas
l'inégalité de Harnack usuelle en 0. Elle diverge en 0.

Important :

1) L'inégalité de Harnack est obtenue sans concentration de la mesure. Pas de notion de concentration de la mesure à l'interieur. Pas de notion de concentration de la mesure au bord. On ne sait pas si il y a concentration de la mesure ou pas.

2) L'inégalité de Harnack est obtenue sans la notion de fonction de Green.

3) On reste dans le cadre de la "metric Geometry", car le potentiel est Lipschitzien pour la
distance géodésique.

4) On voit l'effet des courbures, scalaires, de Ricci, de Weyl, du potentiel V, de la non coerci-
vité : on n'a pas l'inégalité optimale sup × inf. L'énergie ou le volume ne sont pas nécessairement
bornés. (Ceci est une simple remarque : car l'inégalité optimale n'est pas nécessairement possible
avec autant de contraintes : courbures, scalaire, de Ricci, de Weyl, et le potentiel V. Meme si on
met des conditions fortes sur le potentiel V, il y aura les contraintes de depart : les courbures,
scalaires, de Ricci, de Weyl. Aussi, meme si on suppose que la courbure de Ricci est nulle, il reste
la contrainte, de la courbure de Weyl et aussi la contrainte de coercivité de l'operateur. L'equa-
tion de Yamabe le montre bien, ici, le potentiel est V ≡ 1, il reste les contraintes de courbures,
scalaire, de Ricci, de Weyl, et la coercivité de l'operateur conforme). (Pour l'inégalité sup × inf
optimale et volume local=energie locale bornés uniform. voir, la partie géométrisation).

Mais ici, on a une inégalité de Harnack et le critère de compacté associé : inégalité de Harnack usuelle.
A cette inégalité de Harnack implicite, on associé un critère de compatibilité. Inégalité dans le sens de la majoration. Controle du supremum local. (en ayant à l'esprit l'exemple : $x \to [\epsilon/(\epsilon^2 + |x|^2)]^{(n-2)/2}$).

5) Ceci inclut les eq. Yamabe, de courbure scalaire prescrite, d'Einstein-Lichnerowicz, de Schrodinger.

Notions utilisées :

Blow-up : eclatement mathématique. Changement d'échelle : rescaling : eclatement de première espèce. technique blow-up de Schoen modifiée.

Alternative. Supremum local divergeant. (permet de definir l'hypothèse de l'absurde après).

Reduction des supremums à des valeurs ponctuelles : rescaling. (permet de definir les objets : points et exponentielles : pour definir l'hypothèse de l'absurde après rescaling).

Rayon d'injectivité. Fonction rayon d'injectivité, carte exponenetielle.

Raisonnement pas l'absurde : hypothèse de l'absurde : après rescaling : infinité d'infimum minorés. Quantité majorée si inf minoré.

Résultat de classification de Caffarelli-Gidas-Spruck.

Le rescaling : le blow-up, l'eclatement, permet de reduire l'effet, d'annuler l'effet, des courbures, scalaire, de Ricci, de Weyl, et du potentiel $V$.

"moving-sphere" method, deplacement de sphere : principe du maximum sur une variété différentielle compacte à bord, cylindrique, Lemme de Hopf. Opérateur elliptique sur une variété différentielle. Fonction auxiliaire. Exposant critique de Sobolev.

Opérateur de Laplace-Beltrami sur une variété Riemannienne. Coordonnées géodesiques polaires : ces coordonnées permettent de definir la fonction blow-up ($w = e^{(n-2)t/2}u(e^t\theta)$) liée à l'exposant critique de Sobolev.

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

## Sur les Pbs du type Brezis-Merle et la compatibilité (eq de courbure scalaire) et le cas négatif pour l'Eq. de la courbure scalaire prescrite : groupes topologiques

### On regarde les résultats de compatibilité d'une autre manière : un autre point de vue

1) a) On peut considerer le groupe conforme $C(\Omega) = \{f \in C^2(\Omega, \Omega), f^*(g) = e^u g\}$. Ici, $C^2(\Omega, \Omega)$ est l'ensemble des transformations conformes de $\Omega$ vers $\Omega$, avec condition de Dirichlet. Sans nuire à la generalité : se donner $f$ est equivalent à la donnée de $u$ avec condition de Dirichlet.

Dans le cas $g = \delta$, Cet ensemble ($C(\Omega)$) n'est pas bien défini, car $\text{Scalaire}(f^*(\delta)) = \text{Scalaire}(\delta)of \equiv 0$, alors que $\text{Scalaire}(e^u\delta) \neq 0$. voir le livre de Hebey, isometrie riemannienne.

On suppose par exemple, que $C(\Omega)$ est bien défini (ce qui n'est toujours pas le cas), on a alors : résultat de compatibilité = injection compacte dans ce groupe topologique.

Cet ensemble est un groupe. Muni de la metrique ou norme essentielle locale (sup local), comme pour les distributions, il suffit de regarder au voisinage de l'element neutre, qui est l'identité. Ce groupe devient topologique. (en réalité la topologie réelle est la topologie compacte-ouverte, voir le livre de Hebey).

La compatibilité pour $u > 0$ avec condition de Dirichlet, implique la compatibilité pour $f$. Ceci implique que ce groupe topologique devient compact. C'est un groupe de Lie. On a alors une mesure de Haar.

b) Dans le cas de l'Eq. de la courbure scalaire prescrite (cas négatif), on a la compatibilité locale des $u > 0$ dans $C(M) = \{f \in C^2(M, M), f^*(g) = e^{u/(n-2)}g, u > 0\}$, implique la compatibilité locale des $f$. Le groupe est topologique (comme pour les distributions, au voisinage de l'element neutre, l'identité, puis par multiplication), ce groupe topologique devient localement compact. d'ou l'existence d'une mesure de Haar. Il est alors possible de faire de l'analyse sur ce groupe de Lie localement compact.

Le cas négatif de l'Eq. de la courbure scalaire prescrite : On note $R_g$ la courbure scalaire

Le groupe topologique :

*C(M) est un groupe de Lie localement compact*
$R_{f^*(g)} = R_{gof}$, si $R_{gof} \in [a, b] \subset] -\infty, 0[$, $||\nabla(R_{gof})|| \le A$, $C(M)$ en tant groupe topologique et la compacité locale implique que c'est un groupe localement compact.

$$f \in C(M) \Rightarrow \exists u > 0, f^*(g) = u^{4/(n-2)}g$$

On suppose que les $u > 0$ sont tels que : $R_{u^{4/(n-2)}g} = V$ des hypotheses de compacité locale : $V \in [\tilde{a}, \tilde{b}] \subset] -\infty, 0[$, $||\nabla^\alpha V||_\infty \le \tilde{A}$. Pour chaque diffeomorphisme $f$, il existe un $u > 0$ tel que $V$ soit comme ci-dessus. Il se peut qu'il existe plusieurs $u > 0$, mais on suppose que parmi les $u > 0$ il y en a un tel que les hypotheses sur $V$ ci-dessus soient vraies. Alors, il y a compacité locale et le groupe topologique $C(M)$ est alors localement compact. (Il se peut que $C(M)$ soit reduit a un seul element $\{id\}$, qui est compact, donc on peut supposer qu'il a d'autres elements).

Pour voir si il y a compacité locale, on se place au voisinage de chaque element $f_0 \in C(M)$, ce qui veut dire les conditions sur $R_{gof}$ sont verifiées pour $f$ dans le voisinage de $f_0$, alors les $u > 0$ qui proviennent des $f$ dans un voisinage de $f_0$ fixé, sont localement compact. On a la compacité avec les conditions suivantes sur $R_g : R_g \in [a', b'] \subset] -\infty, 0[$, $||\nabla R_g|| \le A'$. Alors au voisinage de $f_0 \in C(M)$, les conditions sur $R_{gof}$ ci-dessus sont vérifiées.

D'après le livre de Hebey. La topologie sur $C(M)$ est la topologie compacte-ouverte. Or, ce qu'on a dit precedemment concerne la topologie $C_{loc}^1(M)$, or d'après Ascoli-Arzela, on voit qu'on a directement la compacité si on met la topologie $C_{loc}^1(M)$. Il n'y a pas besoin du résultat de compacité locale des metriques conformes.

La topologie réelle est la topologie compacte-ouverte. La compacité locale est vraie si on arrive a prouvé la compacité dans $C_{loc}^0(M)$. Alors, les conditions sur $R_g$ sont : $R_g \in [a', b'] \subset] -\infty, 0[$. (Il ne faut pas supposer $C^1$, car on a la compacité locale directement, sans passer par les metriques conformes).(voir, cas negatif, Bahoura). C'est une consequence.

On a aussi : sa s'applique aussi à :

a) En dimension 2, dans le cas négatif, sur une surface Riemannienne de courbure $R_g \in [a', b'] \subset] -\infty, 0[$. L'eq est : $\Delta u + R_g = V e^u$, $\Delta = -\nabla^i(\nabla_i)$, $V = R_{gof} \in [a', b'] \subset] -\infty, 0[$, ici, la surface n'est pas forcément sans bord, de bord non nécessairement regulier. Ici, $R_g$ n'est pas constante negative forcement, elle peut l'être si la surface n'est pas fermée ou de bord non regulier.(voir,cas negatif, Bahoura). C'est une consequence.

b) Ca ne marche pas forcément pour un potentiel quelconque, car $V = R_{gof}$ et il faut controler $f$, ce qui n'est pas possible. Sauf le cas constant : $R_g \equiv \text{constante} < 0$. En particulier c'est vrai pour le résultat de YY.Li, sur une surface Riemannienne compacte sans bord de courbure scalaire constante stric.negative.(voir, cas negatif constant, surface fermée, YY.Li, Harnack inequality, the method of moving-plane 1999). Ou bien voir le livre d'Aubin, dans ce cas, (surface fermée et $R_g = \text{constante} < 0$, la solution est unique, il y a une seule solution, c'est $u = 0$, dans ce cas c'est le groupe d'isometries, la surface est compacte sans bord, il est compact). C'est une consequence.

c) Pour ce qui est du résultat de compacité locale de Brezis-Merle. Il faut consider une surface Riemannienne, une metrique $g$ dans le cas positif (toute surface Riemannienne est loc.conf.plat, on prend un voisinage dans lequel on peut appliquer le cas du changement de metrique conforme, conf.plat) :

On a :

$$\varphi^*(g) = e^v \delta, C(\Omega) = \{f \in \text{Diff}(\tilde{\Omega}), f^*(g) = e^u g, \}$$

avec condition de Dirichlet. Avec $R_g \in [a, b] \subset] 0, +\infty[$, c'est une consequence.

d) Avec ce procédé, c'est vrai pour l'Eq. de Yamabe. avec condition de Dirichlet $u = 1$ sur le bord. Ou variété compacte sans bord, (voir cas positif, YY.Li, M.Zhu, L.Zhang, C.C.Chen-C-S.Lin, T.Aubin, Bahoura). C'est une consequence.

Ce procédé de comapcié de diffeomorphismes, fonctionne si on considère une variété fermée ou une variété ouverte. Par contre pour une variété à bord, il y a un problème, soit on a la cmapcité sur toute la variété y compris au voisinage du bord, soit c'est pas possible. Car, on ne peut pas considérer le bord, puis se limiter à l'interieur, car une base de voisinage qui engnedre les voisiange de $f_0 \in \text{Diff}(\tilde{\Omega})$, peuvent contenir une partie du bord, donc, il faut avoir la compacité au voisinage du bord (pour la metrique de la variété, meme en dimension 2, meme si loc.conf.plat, dès qu'on se place au voisinage du bord, on n'a pas forcement une metrique du
voisinage du bord plate), et si on considère le bord, il faut avoir la compatibilité au voisinage du bord.

Pour une variété fermée $M$ (sans bord), la topologie de $Diff(M)$ est connue, il suffit d'avoir la compatibilité dans $C^0(M, M)$.

Pour une variété ouverte, de même, on $C_{\text{loc}}^0(M, M)$.

Par contre pour une variété à bord, on ne peut pas considerer le bord inclus, et faire de la convergence dans $C_{\text{loc}}^0$. Car on considère $f_0 \in \text{Diff}(\Omega)$, le bord est pris en compte, donc, pour la convergence, on a besoin de l'information au voisinage du bord.

e) En dimension 2, une surface compacte fermée c'est la sphere, il se peut que ca blow-up, alors que, par exemple, le résultat d'Aubin, la compatibilité, c'est précisément, pour une variété fermée non conf.diffeo, a la sphere (en dimension $n \ge 3$). En dimension 2, il n'y a qu'une possibilité, c'est précisément la sphere de dimension 2.

De plus, dans le cas positif, on le sup dépend de l'inf. Et c'est la sphere. Le problème ne se pose pas directement en prenant $R_g \in [a, b] \subset ]0, +\infty[$.

f) On a dit que le problème ne se pose pas aussi, avec des conditions sur le gradient de $R_g$, car, pour un diffeomorphism, $f$, il faut contrôler $f$ en norme $C^1$, c'est pas possible. Or les conditions, doivent être prise sur $V = R_g \text{of}$, pour qu'on ait des conditions sur $V$ d'ordre $C^1$, il faut des conditions d'ordre $C^1$ sur $f$, or ceci n'est pas forcément possible. La seule possibilité d'utiliser $f$ est que $R_g \equiv \text{constante} \neq 0$, alors $R_g \text{of} = \text{constante} \neq 0$, alors $\nabla(R_g \text{of}) = 0$.

g) Les conditions les plus naturelles sont $R_g \in [a', b']$, dans le cas positif en dimension 2, ca ne suffit pas et ca ne se pose pas, car sup dépend de inf, et c'est sur la sphere, il se peut que ca blow-up.

Par contre en dimension $n \ge 3$, c'est possible sur une variété fermée non conf.diffeomorph. à la sphere, $R_g \equiv 1$, Eq. de Yamabe, résultat de, YY.Li-M.Zhu, Druet, Marques, Schoen, Au-bin.(loc.conf.plat et non loc.conf.plat, non conf.diffeo.à la sphere).

h) Il y a le cas négatif où c'est possible avec la condition $R_g \in [a', b'] \subset ] -\infty, 0[$ et (ou) en particulier, $R_g \equiv \text{constante} = a' = b' < 0$, en dimension 2 et en dimension $n \ge 3$. (voir, cas négatif, variété non nécessairement à bord régulier en dimension $n = 2$ et $n \ge 3$, Bahoura). C'est une conséquence.

i) Brezis-Merle et C.Li-W.Chen, en prenant une métrique de la forme : $\varphi^*(g) = e^v \delta$ avec $R_g \equiv k = \text{constante} > 0$. avec condition de Dirichlet. L'équation devient, $f^*(g) = e^u g$ :

$$ \Delta_g u + R_g = R_g \text{ of } e^u, $$

avec condition de Dirichlet. Ici, $R_g = k > 0$. Il y a au moins une solution $f = id$ et $u = 0$.

$$ \Delta_{\varphi^*(g)}(uo\varphi) + (R_g \text{ of } \varphi) = (R_g \text{ of } fo\varphi)e^{uo\varphi}, $$

avec condition de Dirichlet. On peut écrire :

$$ \Delta_{\varphi^*(g)}(uo\varphi) + k = ke^{uo\varphi}, $$

avec condition de Dirichlet. Avec $\Omega$ domaine $C^2$ au moins. Comme $\varphi^*(g) = e^v \delta$.

L'équation devient :

$$ \Delta_{\delta}(uo\varphi) + ke^{v} = ke^{v}e^{uo\varphi}, $$

avec condition de Dirichlet. On elimine le terme $ke^v$ en résolvant un problème de Dirichlet.

Cette nouvelle équation sur un domaine au moins $C^2$ de $\mathbb{R}^2$, permet d'avoir la compatibilité jusqu'au bord.

Donc le groupe conforme $C(\Omega)$ est compact, si le th. de Myers-Steenrod est vrai pour la variété à bord, y compris le bord.

Dans l'article, "Compactness of the set of solutions to elliptic equations in 2 dimensions", le domaine $\Omega$ est étoilé par rapport à un point et de classe au moins $C^2$. On a la compatibilité dans ce cas.

**Remarque** : ici aussi il y a un problème avec le bord. On ne sait pas si le théorème de Myers-Steenrod est vrai pour une variété à bord, bord compris. Donc, ce résultat, la compatibilité de $C(\Omega)$, n'est pas vrai(e) pour les domaines à bord, bord compris.
2) Pour ce qui concerne les resultats sur les problemes du type Brezis-Merle, d'habitude on considere des espaces vectoriels normés complets ou Banach, ici, pour ce type d'eq. Il faut considerer des groupes topologiques. On a alors l'injection compacte de $e^u \ni L^1 \hookrightarrow L^\infty$, par abus de language, considerer $u > 0$ c'est considerer $f$ la transformation conforme.

Donc, pour ce qui concerne le Probleme du type Brezis-Merle on a :

Dans le groupe topologique $C(\Omega)$, qu'on suppose bien defini (voir point i) ci-dessus, ce qui précède) :

En termes de $u$ :

$L^1(e^{\cdot}) \hookrightarrow L^\infty$ est une injection compacte

ou bien en termes de $f$ :

$L^1(Jac(\cdot)) \hookrightarrow L^\infty$ est une injection compacte

Dans le print "About Brezis-Merle problem with Lipschitz condition". Le domaine est au moins de classe $C^2$, s'il n'est pas etoilé par rapport à un point, on ne borne pas forcément le volume, mais on a l'injection compacte. En termes de $u$ il y a compacié. Mais en termes de $f$ il n'y a pas de comapcité.

Pour la structure de groupe des $u$ :

**Remarques :**

1) Chaque $u$ est associé à un $f$ un diffeomorphisme, $0$ est associé à $id(n=2)$, $1$ est associé à $id(n \ge 3)$ :

$$u_1 \star u_2 = u_2 of_1 + u_1, \ n=2, \ \text{et} \ u_1 \star u_2 = u_2 of \cdot u_1, \ n \ge 3.$$

La loi de composition $\star$ n'est pas forcément commutative.

On a : $u \star v = vof + u$, si on essaie de prouver que le groupe est topologique, on doit voir si $(u, v) \to u \star v$ est continue, or il y a le diffeomorphisme $f$ qu'on ne peut pas forcément controler. Soit en $L_{\text{loc}}^{\infty}$, donc c'est lié a la compacité au voisinage du bord. Soit en $L^{\infty}$, c'est lié au th. de Myers-Steenrod. De meme pour l'application inverse, $u \to u^{-1} = -uof$.

Aussi, on ne peut pas forcément le prouver localement, (quand on a $||df|| \le c < +\infty$), car quand on ecrit $f(B_1) \subset B_2$, pour des voisinages, $B_1$ de $x_0$ et $B_2$ de $f(x_0)$, on a pas forcément des voisinages geodesiquement convexes, car :

a) les metriques changent, quand on les restreint à $B_1$ et $B_2$, $i_1^*(g), i_2^*(g)$ avec, $i_1 : B_1 \to \bar{\Omega}, x \to x, i_2 : B_2 \to \bar{\Omega}, x \to x$, ce n'est plus la metrique de depart $g$, alors qu'il faut considerer la metrique $g$.

b) au voisinage du bord, on n'a pas le th. des voisinages geodesiquement convexes.

2) On regarde le groupe comme "généré" par les elements $u$. Les metriques conformes. C'est un abus d'ecriture : on considere les $u$ associées aux $f \in C(\Omega)$, ou bien les metriques confromes.

3) Comme on l'a deja dit, en dimension 2, une surface compacte est isomorphe à la sphere. Il n'y a qu'une possibilté la topologie et la géometrie de la sphere, pour laquelle il y a l'inégalité sup, inf. On peut dire que dans le cas positif, en dimension 2, ca ne se pose pas, la compacité, il se peut que ca blow-up. En dimension $n \ge 3$, il y a les cas non-conf diffeom à la sphere et non.loc.conf.plat. pour lesquelles il y a possibilté de compacité.

**Sur la symetrie : pourquoi ?**

a) On considere un systeme : il est régit par des equations. Par exemple, Kaluza-Klein ou supercordes : eq.de Yamabe et eq.du type courbure scalaire prescrite (cas potentiel non constant).

b) Maintenant, on considere plusieurs points de vue du systeme : cela veut dire : point de vue=symetrie en physique ou invariance=en math faire agir une transformation=d'autres points de vue du systeme.

Le point a) precedent veut dire qu'on considere un systeme en lui-meme sans actions.

b-1) Une theorie physique est dite symetrique si l'eq. du systeme prend en compte la particule et son symetrique. Par exemple, ce qu'on vient de voir ci-dessus. l'eq. de la courbure scalaire
prescrite avec $R_g$ et $V = R_g of$, $f$ la symetrie physique ou transformation conforme. On a bien une equation qui prend en compte $x$ et $f(x)$.

b-2) Par exemple, en theorie des cordes ou supercodes, la supersymetrie, etablit un lien entre des particules de spin entier et des particules de spin demi-entier. C'est un exemple concret d'apparition de la symetrie physique.

b-3) Le but est de determiner les caracteristiques physique du systeme : propriétés du systeme : en d'autres termes, les caracteristiques du groupe de symetrie puisqu'il concerne un meme systeme. Par exemple, le cas de la sphere : le groupe de symetrie ici est le groupe conforme : il est non compact.

b-3-1) La dimension 2, une surface fermée c'est isomorphe a la sphere : groupe conforme "de dimension infinie"= groupe conforme non-compact. Aussi, la relation ou inégalité de Harnack sup, inf.

b-3-2) Par exemple, ce qu'on a vu ci-dessus, dans le cas negatif. groupe conforme est locallement compact : le systeme est localement compact, rigide, epais, consistant, homogene, locallement.

b-3-3) Par exemple, le cas positif, eq. Yamabe, cas non loc.conf.diff.à la sphere, le groupe conforme est compact : le systeme est compact, rigide, epais, consistant, homogene, globalement.

b-3-4) La compacité locale (cas negatif et existence de mesure de Haar, le systeme dans cas est mesurable) et la compacité (cas positif, non-conf.diffeomorph a la sphere) : sont des caracteristiques du systeme physique avec symetrie physique ou invariant ou quand fait agir des transoformations conformes ou plusieurs poins de vues.

b-3-5) De meme pour les inégalités de Harnack sup, inf quand on n'a pas la compacité. En particulier en absence ou presence de symetrie. (par exemple l'eq. Yamabe avec $R_g = 1$ en presence de symetrie on a encore $V = R_g of = 1$, c'est caché. Mais on peut consider l'eq. de Yamabe en absence de symetrie aussi).

Si on considere Kaluza-Klein ou cordes ou supercordes en presence de symetrie (c'est a dire considerer le groupe conforme, c'est a dire l'eq. de la courbure scalaire prescrite), la seule possibilité de combiner le tout est de considerer l'eq. de Yamabe.

c)

c-1) Dans Kaluza-Klein ou cordes ou supercordes : il y a 2 types de symetries. Les symetries dues à la gravitation, elle sont incorporées dans l'eq. puisqu'on a consideré la gravitation dans les equations : rotations, translations, groupe de Lorentz. Et la symetrie quantique, due aux champs exterieurs, comme l'electromagnetisme, ou Klein-Gordon, Yang-Mills. La symetrie quantique est dite symetrie de jauge, ici, c'est la symetrie conforme. Cela se passe comme pour la theorie conforme des champs de Liouville en dimension 2, le groupe conforme est le groupe de jauge ou groupe de symetrie quantique.

On voit alors, que faire agir une symetrie dans la theorie de Kaluza-Klein, c'est considerer, l'eq. du probleme, comme l'eq. de Kaluza-Klein ou cordes ou supercordes et l'eq. de la courbure scalaire prescrite qui est l'eq. de l'invariant conforme ou de jauge.

Ce qu'on a dit avant, cela revient a consider l'eq. de Yamabe.

La supersymetrie est l'unifcation des 2 types de symetries ou ce qui revient à dire, considerer l'eq. de Yamabe. Comme on l'a dit precedentment, cette symetrie lie les particules de spin entier (les bosons) et les particules de spin demi-entier (les fermions).

c-2) Quand il n'y a pas de symetrie, on dit qu'il y a brisure de symetrie. Cela revient a considerer le systeme en lui-meme, sans actions de groupe conforme ou de symetrie conforme. Ou si on veut, l'eq. de Yamabe ou l'eq. du type courbure scalaire prescrite.

## Sur la dimension 3 et l'article YY.Li-L.Zhang, dans calculus of variations 2004.

Il faut supposer l'operateur $L_g$ coercif, pour $n = 3, 4$ :

Pour $n = 3$ c'est du à :

[Preuve] : { Hypothese de l'absurde : (Etape 1 : blow-up analysis)...(Etape n) ...(Fin) }

a) Il y a un probleme par rapport à la preuve : Toutes les etapes sont censées etre vraies, jusqu'à obtenir une contradiction.
b) Ils utilisent comme **donnée** : comparer le minimum sur la boule fermée et le minimum sur le bord. (Il faut voir si ce n'est pas en contradiction avec le principe du maximum).

c) Si l'inf peut etre atteint a l'interieur, alors (il se peut que l'operateur soit coercif et les solutions seraient constantes et bornées), on ne peut pas commencer la preuve : l'etape 1, le blow-up analysis n'est pas possible. "il n'ya rien à prouver". Ce qui n'est pas vrai.

c-1) Si l'inf est atteint à l'interieur, les solutions sont constantes et ceci bloque l'etape 1 : blow-up analysis.

c-2) Supposons que la preuve est vraie : alors toutes les etapes sont vraies, jusqu'à la fin et on obtient la contradiction. Pour que ce soit vrai : il faut chaque etape soit vraie, en particulier l'etape 1 : le blow-up analysis. Or en supposant l'inf atteint à l'interieur, (l'operateur peut etre coercif), les solutions sont alors constantes et bornées, ce qui fait que l'etape 1 : le blow-up analysis n'est pas vrai.

d) Pour $n = 4$ c'est du au même fait que $n = 3 + $ à la fonction de Green. Pour la fonction de Green, ils utilisent le théorème 1.36 du livre d'Aubin (il y a la distance géodesique de l'espace ambiant de départ $M$ et la distance de l'espace, ou ouvert de carte $d_Ω$, le théorème, 1.36 du livre d'Aubin dit qu'on peut toujours se ramener à cette distance de l'espace ambiant de départ).(De plus, ici, on a besoin de comparer des quantités en fixant 2 points, la carte exponentielle sert quand on compare des quantités en fixant un point, l'autre c'est l'origine. Alors que pour, Y.Y.Li-L.Zhang, ils veulent comparer des quantités en fixant 2 points, pour cela, le théorème 1.36 du livre d'Aubin est nécessaire). On ne peut pas utiliser les valeurs propres des petites boules géodesiques, car, 1) on ne se retrouve plus dans l'espace ambiant de départ qui est $M$, mais dans des petites boules, alors qu'ils utilisent $\exp_{x_k}(y)$, donc c'est par rapport à l'espace ambiant de départ. 2) En comparant les rayons des petites boules géodesiques, pour les quelles, les valeurs propres sont grandes, il se peut qu'ils soient (ces rayons), plus ou moins grands que les rayons des boules $B(x_k, 2\epsilon_k)$, pour les quels on veut appliquer le principe du maximum. (Il faut comparer les rayons des différentes boules).

e) Donc, pour $n = 3, 4$ l'operateur $L_g$ doit vérifier le principe du maximum, donc doit être coercif. Si on considère un autre operateur elliptique pas forcément l'operateur conforme, le nouvel operateur doit vérifier le principe du maximum, donc, doit être aussi coercif, pour la dimension 3, 4, c'est à dire dans la preuve de YY.Li-L.Zhang, l'operateur doit être coercif.

## Remarques : sur la dimension 3 :

Cas plat : dans l'article "Majorations du type..." de 2004 : le potentiel $V$ est Lipschitzien et le bord du domaine borné est quelconque (le bord n'est pas nécessairement régulier).

Alors que dans la methode de C.C.Chen-C.S.Lin : le potentiel doit être $C^1$ et uniformement $C^1$. On l'a dit déjà.

Alors que dans la methode de Li-Zhang : le bord du domaine doit être régulier. C'est du à :

1) Inégalité de Poincaré : le domaine doit être au moins Lipschitzien. Quand on considère un problème elliptique ou le principe du maximum.

2) Le principe du maximum de Hopf : les solutions doivent être $C^2(\Omega) \cap C^1(\bar{\Omega})$, pour avoir la regularité des solutions jusqu'au bord, il faut qu'il y ait une notion de bord régulier.

3) L'operateur doit être coercif : on l'a déjà dit, mais ceci inclus le point 1) et 2).

Dans la methode Li-Zhang, dans le cas plat aussi : il y a une contrainte : il faut que le bord soit régulier. Operateur coercif. Il faut que le principe du maximum soit possible. (D'où la citation de l'article de Berestycki-Varadhan-Nirenberg).

Dans la methode de Li-Zhang, dans le cas plat aussi : ils ont cherché à comparer le minimum sur le bord et à l'interieur (des boules) :

a) il se peut que le minimum soit atteint à l'interieur des boules, et aussi :

b) il se peut que le minimum soit un minimum global (d'où par exemple, la nécessité du principe du maximum sur tout l'ouvert $\Omega$, ou espace ambiant).

c) le principe du maximum doit être vrai localement partout, d'où il faut une condition globale, il doit être vrai sur l'espace ambiant. (et après on l'applique localement. On considère des conditions sur les fonctions du type : $C^2(\Omega') \cap C^1(\bar{\Omega}')$, $\forall \Omega' \subset \subset \Omega$ : alors soit on a une infinité de conditions, soit on considère une condition simple qui est $C^2(\Omega) \cap C^1(\bar{\Omega})$, qui englobe tout,
et puisque on a pris $C^1(\bar{\Omega})$, il faut que le bord soit regulier, car une fonction reguliere, bord compris, implique, que le bord est regulier).

Tout cela necessite un bord regulier pour l'espce ambiant $\Omega$.

Cas non plat : Concernant l'article de Math.Aeterna. 2011. Tout d'abord, c'est le cas non plat.

L'operateur n'est pas necessairement coercif et le bord n'est pas necessairment regulier.

Difference avec l'article de 2004 : "Majorations du type..."

Dans le cas non plat, il y a moins de possibilités. Dans le cas plat, il y a plus de compacts, les fermés bornés sont compacts. Alors que sur une variété Riemannienne, il y a moins de possibilités de caracteriser les compacts : Dénombrabilité. Possibilités. Aussi, potentiel Lipschitz pour une metrique Riemannienne n'implique pas potentiel Lipschitz pour la distance de $\mathbb{R}^3$. Dans l'article de Math.Aeterna 2011, en dimension 3, le potentiel est Lipschitz pour la distance geo-desique, (les solutions) dependent de la metrique Riemannienne, aussi pour le cas où la metrique Riemannienne est euclidienne. Alors que pour le cas d'un ouvert de $\mathbb{R}^3$, dans l'article de 2004, le potentiel est Lipschitz pour la distance usuelle de $\mathbb{R}^3$, (les solutions) dependent de la structure d'espace metrique pour la distance usuelle. Ce ne sont pas les memes ensembles de solutions.

On ne retrouve pas le résultat de l'article de 2004, de la dimension 4, en uitlisant la technique de Li-Zhang :

Dans la technique blow-up, la fonction, $s_i(x) = (R_i - d(x, x_i))^{(n-2)/2} u_i(x)$ : on ne peut pas considerer n'importe quel exposant $\alpha > 0$ de $R_i - d(x, x_i)$, il faut prendre un exposant $\alpha$ lié à l'exposant de l'équation. Si on conidere $\Delta u = Vu^q, q > 2, \Delta = -\sum \partial_{jj}$, alors $\alpha = 2/(q-2)$, pour l'exposant critique, $N = 2n/(n-2)$, il faut prendre, $\alpha = (n-2)/2$. Tout ceci est lié au changement d'échelle, ou rescaling ou invariance : la distance $d_R \cdot M_i^{-2/(n-2)} \approx R \leftrightarrow |x| \cdot M_i^{-2/(n-2)} \approx |y| \leftrightarrow \tilde{d} \cdot M_i^{-2/(n-2)} \approx d$, dans le blow-up.

Ce qui veut dire que la technique de Li-Zhang, n'est pas possible en dimension 3, avec des potentiels $1/2$- holderien et aussi n'est pas possible en dimension 4 avec condition de Lipschitz. Car par exemple, en dimension 4 : la condtion au bord s'ecrit, on n'a pas necessairement : $M_i^{-(1/2)} \le 2R_i$. La boule de rayon, $M_i^{-1/2}$ n'est pas forcément incluse dans la boule de rayon $2R_i$.

De meme, en dimension 3 aussi, la condition au bord s'ecrit : on n'a pas necessairement : $M_i^{-1} \le 2R_i$. D'ou par exemple la modification dans le th 4 de l'article de 2008, dans acta.math.sci. 2008. on a pris la sphere en dimension 3, pour le th 4.

Cela veut dire qu'on ne retrouve pas le résultat de la dimension 4, dans, l'article de 2004, avec la methode de Li-Zhang. La technique de Li-Zhang, ne permet pas de reprouver ou de retrouver le résultat de la dimension 4 de l'article de 2004, avec des potentiels Lipschitziens tendant vers 0.

De meme, pour le th.4 de l'article de 2019 dans Pac.Journ.Math. On retrouve pas ce theoreme a partir de l'article de C.C.Chen-C.S.Lin.1997. Car :

- le theoreme 1 de Chen-Lin.1997 : le domaine de definition de la fonction blow-up est lié au domaine de definition de la fonction dans l'hypothese de l'absurde. Or, dans le th.1 de C.C.Chen-C.S.Lin.1997 : il n'y a pas de restriction dans le domaine de definition de la fonction : la boule $B_2(0) = 2B_1(0)$.

- le theoreme 2 de Chen-Lin.1997 : il y a une restriction dans le domaine de Def. dans l'hypothese de l'absurde pour la fonction de depart $u_i : B_R(0)$. Donc, le domaine de def, de la fonction blow-up, doit etre restreint apres rescaling à : $B_{2R}(0) = 2B_R(0)$. Ici, on ne peut pas appliquer ce th.2 de Chen-Lin.1997 au th.4. de Pac.journ.Math.2019. pour la meme raison que ci-dessus($M_i^{-(1/2)} \le 2R_i$, c'est dû a la fonction $s_i$, de la technique blow-up).

Ce qui veut dire qu'on ne peut appliquer le th.1 de Chen-Lin.1997. au th.4 de l'article de 2019. dans Pac.Journ.Math.

Ce qui veut dire qu'on ne retrouve pas le th.4. de l'article de 2019. Pac.Journ.Math. entierement avec la technique de Chen-Lin.1997. On utilise le résultat de platitude d'ordre 1 de Chen-Lin dans ce th.4 de l'article de 2019.
## Sur les différentes topologies des variétés à bord :

1) Sur l'équivalence des topologies. Sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ avec bord regulier : la topologie des cartes est equivalente à la topologie des distances locales qui est equivalentes à la topologie de la distance Riemannienne qui est equivalente à la topologie de la distance de $\mathbb{R}^n$ sur le domaine regulier. Et ceci jusqu'au bord, en incluant les cartes du bord.

2) Sur une variété Riemannienne à bord, intrinseque (non nécessairement plongée dans un espace plus grand). La topologie des cartes est equivalente à la topologie locale des distances qui est equivalente à la topoologie de la distance Riemannienne y compris le bord et la distance Riemannienne jusqu'au bord, bord compris. Le theoreme du livre de Hebey, fonctionne, avec les cartes du bord, quand on cherche à comparer les topologies des cartes du bord et la topologie des distances, bord compris.

## Sur le résultat de compacité en dimension 2 : application de la compacité avec energie ou volume bornés :

### Compacité avec contrainte :

1) Topologie des espaces de domaines à bord : en plus du fait qu'on a convergence de domaines avec bord et metriques conformes, suites de domaines à bord. geometrie metrique. Espaces d'espace ou espaces de domaines a bord muni de metriques Riemanniennes. Volume fixé : metrique blow-up, eclatement, ou effondrement d'espaces. ou compacité de metriques, non effondrement d'espaces.

2) Resultat de compacité de fonctions dans les EDP. et les espaces de fonctions. En topologie et en analyse fonctionnelle.

3) En chimie : emballement thermique (thermal runaway, jusqu'à l'éclatement, tend vers l'abime) ou non emballement (compacité : objet ne s'abime pas)

4) Problemes variationnels :

Par exemple, regardons le cas regulier, sans singularité :

On a vu dans le print,"Cas d'existence de solutions d'EDP" : que la probleme variationnel :

$$ \mu = \inf\{||\nabla u||_2, u \in \dot{H}_1^2(\Omega), \int_{\Omega} V e^u = 1, \} $$

a une solution positive $u > 0$ avec la condition $b|\Omega| < 1$.

$$ \Delta u = \lambda V e^u, u = 0, \text{ au bord, } \lambda > 0, $$

a) En supposant : $0 < a \le V \le b < +\infty$ avec la fonction propre, le coefficient, le multiplicateur de lagrange verifie $\lambda \times a \le C < +\infty$

b) En supposant V Lipschitz, on a la compacité. et en fait $\lambda \not\to 0$ uniformément. Donc, on a : $\mu > 0$ uniformément en $u \in \dot{H}_1^2(\Omega)$ avec $\int_{\Omega} V e^u = 1$.

Donc avec la condition $b|\Omega| < 1$ :

$$ \forall u \in \dot{H}_1^2(\Omega), \int_{\Omega} V e^u = 1 \Rightarrow ||\nabla u||_2 \ge \mu > 0. $$

Donc, la contraposée donne :

$$ ||\nabla u||_2 < \mu \Rightarrow \int_{\Omega} V e^u \ne 1. $$

On va voir qu'on peut avoir une inégalité du type Moser-Trudinger, et les constantes, et V déterminent cette nouvelle inégalité.

Soit : $u \in \dot{H}_1^2(\Omega)$, $u \ne 0$, et $v = \frac{u}{2||\nabla u||_2}$. Alors, $||\nabla v||_2 = \mu/2 < \mu$, donc, $\int_{\Omega} V e^v \ne 1$.

Supposons qu'il existe $u_0$ et $u_1$ non nuls tels que $\int_{\Omega} V e^{v_0} < 1$, $\int_{\Omega} V e^{v_1} > 1$, avec $v_0, v_1$, les fonctions construites a partir de $u_0, u_1$, comme u et v. On a : $v_0 = \frac{u_0}{2||\nabla u_0||_2}$, $v_1 = \frac{u_1}{2||\nabla u_1||_2}$.

Alors, on considere le chemin $w_t = tv_0 + (1-t)v_1$, alors, $||\nabla w_t|| \le \mu/2 < \mu$, d'ou, $\int_{\Omega} V e^{w_t} \ne 1, \forall t \in [0, 1]$, or par le theoreme des valeurs intermdiaires en considerant la fonction continue de t, g(t) = $\int_{\Omega} V e^{w_t} dx$, on aura un $t_0$ tel que $g(t_0) = 1 = \int_{\Omega} V e^{w_{t_0}}$, ce qui est constardictoire.

c) Donc, on a soit tout le temps $\int_{\Omega} V e^v < 1$ ou tout le temps, $\int_{\Omega} V e^v > 1$.
Or, en considerant les fonctions $h \le 0, h \ne 0$, on $\int_{\Omega} V e^{h} \le b|\Omega| < 1$. (Par exemple si $u \in \dot{H}_{1}^{2}(\Omega)$, $u \ne 0$, $|\nabla(|u|)| = |\nabla u|$, on peut prendre $h = \frac{\mu}{2} \frac{-|u|}{||\nabla u||_{2}}$)

d) Donc, on a tout le temps :

$$ \int_{\Omega} V e^{v} < 1. $$

e) Soit,

$$ v = \sup\{\int_{\Omega} V e^{v}, v = \frac{\mu}{2} \frac{u}{||\nabla u||_{2}}, u \in \dot{H}_{1}^{2}(\Omega), u \neq 0\}, $$

Par la compacité de l'injection de Moser Trudinger, ce sup est atteint : $||\nabla v||_{2} \le \lim \inf_{i} ||\nabla v_{i}||_{2} = \mu/2 < \mu$ et la compacité de l'injection de Moser-Tridinger : $\int_{\Omega} V e^{v_{i}} \to \int_{\Omega} V e^{v} = \nu \le 1$. Alors, $v \in \dot{H}_{1}^{2}(\Omega)$, $||\nabla v||_{2} \le \mu/2 < \mu$, d'ou, $\int_{\Omega} V e^{v} \ne 1$. Donc $\nu < 1$.

f) Finalement :

$$ \forall a, b, A > 0, b|\Omega| < 1, \exists \mu > 0, \exists 0 < \nu < 1, \forall u \in \dot{H}_{1}^{2}(\Omega) - \{0\}, \quad \int_{\Omega} V e^{\frac{\mu}{2} \frac{u}{||\nabla u||_{2}}} dx \le \nu < 1. $$

C'est une inégalité du type Moser-Trudinger, la condition, $b|\Omega| < 1$ et les constantes $\mu > 0, 0 < \nu < 1$ determinent cette inégalité. Donc, pour $a, b, A > 0$ avec la condition $b|\Omega| < 1$, on obtient :

$$ \exists \mu > 0, \exists 0 < \nu < 1, \forall u \in \dot{H}_{1}^{2}(\Omega) - \{0\}, \quad \int_{\Omega} V e^{\frac{\mu}{2} \frac{u}{||\nabla u||_{2}}} dx \le \nu < 1. $$

g) On peut faire la même chose avec, le résultat de compacité avec singualité au bord. On a une inégalité du type Moser-Trudinger avec singularité au bord, avec des constantes $\mu > 0, 0 < \nu < 1$ et la condition sur $b : b \times \int_{\Omega} \frac{1}{|x-x_0|^{2\alpha}} dx < 1, \alpha \in ]0, 1/2[, x_0 \in \partial\Omega$ et $\Omega$ domaine analytique :

$$ \exists \mu > 0, \exists 0 < \nu < 1, \forall u \in \dot{H}_{1}^{2}(\Omega) - \{0\}, \quad \int_{\Omega} \frac{V}{|x-x_0|^{2\alpha}} e^{\frac{\mu}{2} \frac{u}{||\nabla u||_{2}}} dx \le \nu < 1. $$

h) On peut mettre la valeur absolue pour $u$ et remplacer $u$ par $|u|$ dans ces inégalités.

Ces fonctions $u$ font apparaître l'Eq. de la courbure scalaire prescrite en dimension 2. Donc : pour un $u \in \dot{H}_{1}^{2}(\Omega)$, $\int_{\Omega} e^{ku} dx \approx |\Omega|_{g=e^{u}\delta}^{k}$ correspond à un volume ou une surface, à un réel positif, $k > 0$ prés (en utilisant l'inégalité de Holder par exemple). Le terme $||\nabla u||_{2}^{2} \approx |\partial\Omega|_{g=e^{u}\delta}^{2}$, (en utilisant l'inegalité de Cauchy-Schwarz par exemple), correspond au perimètre, en passant par les fonctions BV, voir l'article de O. Druet dans Numdam, 2001-2002 : inégalités de Sobolev et inégalités isopérimetriques.

Dans le cas avec singularité au bord, on a des inégalités entre surface et perimètre avec la metrique $g = \frac{e^{u}}{|x-x_0|^{2\alpha}}$, $\alpha \in ]0, 1/2[, x_0 \in \partial\Omega$ et $\Omega$ analytique.

Cela s'applique aussi à l'opérateur : $-div(e^{\epsilon|x|^2/2}\nabla)$. La fonctionnelle est : $\int_{\Omega} e^{\epsilon|x|^2/2} |\nabla u|^2 dx$.

Donc, ces inégalités en dimension 2 de Moser-Trudinger, mettent en relation la surface conforme (volume conforme) et le périmètre (conforme) : ce sont des inégalités isoperimetriques particulières.

Il y a aussi l'interpretation en physique, en termes d'energies. (Qui correspond aussi au cas ou l'opérateur n'est pas nécessairement le laplacien).

On peut prendre comme contrainte : $\int_{\Omega} V e^{u} = k, k \ge 1$ au lieu de 1. Dans ce cas, la condition sur $b$ est : $b|\Omega| < k$.

En mettant la valeur absolue dans $u$, on obtient : inégalités du type Moser-Trudinger :

Avec, $a, b, A > 0$, $V$ et $b|\Omega| < 1$ :

$$ \exists \mu > 0, \exists 0 < \nu < 1, \forall u \in \dot{H}_{1}^{2}(\Omega) - \{0\}, \quad \int_{\Omega} V e^{\frac{\mu}{2} \frac{|u|}{||\nabla u||_{2}}} dx \le \nu < 1. $$

et, avec $a, b, A > 0$, $\alpha \in ]0, 1/2[, V, b \int_{\Omega} \frac{1}{|x-x_0|^{2\alpha}} dx < 1$ et $\Omega$ analytique :
$$ \exists \mu > 0, \exists 0 < \nu < 1, \forall u \in \dot{H}_1^2(\Omega) - \{0\}, \int_{\Omega} \frac{V}{|x - x_0|^{2\alpha}} e^{\frac{\alpha}{2} \frac{|u|}{|\nabla u|}} dx \le \nu < 1. $$

De même pour l'article avec V holderian et avec condition sur la masse : "About Brezis-Merle Problem with Holderian condition" on a une inégalité du type Moser-Trudinger.

## Sur l'article de Brezis-Merle et leurs problemes dans l'introduction et le problème 1 :

1) Brezis et Merle ont considérer leur problème dans les $L^p$, $1 < p \le +\infty$, or ceci doit inclure le cas $1 < p < +\infty$ et la regularité des solutions est $C^0$ dans ce cas, quand ils utilisent les injections de Sobolev.

Brezis et Merle considerent les fonctions $u_n, u$ dans les $L^p$ avec, quand il y a injections de Sobolev, la regularité $C^0$. ( Ceci pour inclure tous les cas $p$ en particulier $1 < p < +\infty$). (et non les derivées de $u$ et de $u_n$, car les estimations en normes $C^1$ peuvent ne pas exister, au sens usuel et au sens de la regularité). (Aux points du bord, on n'a pas un voisinage dans lequel on puisse considerer le taux d'accroissement, donc, $\nabla u_n$ n'existe pas forcément, mais $\partial_\nu u_n$ existe, de plus, comme on a considerer les coordonnées cartesiennes, ce terme est un terme limite).

Quand on prend un representant $C^1$, $v_n$, il faut voir qu'on considere $(v_n)|_{\bar{\Omega}}$ : le terme de bord dans l'integration par parties est bien un terme limite qui coincide avec $v_n$ aux points du bord.

Brezis et Merle utilisent le theoreme de dualité de Stampacchia, en particulier dans le corollaire 4, pour borner uniform. les fonctions harmoniques. Ils ne precisent par la convergence des $\nabla u_n$ dans $L^q$, $1 \le q < 2$ : ils utilisent la borne uniforme du th de dualité.

Ceci nous amene au fait suivant : ils ne considerent pas la derivée normale, car :

a) La formule d'integration par parties est une formule de trace : le terme de bord est une limite (il coincide avec la derivée normale quand les fonctions sont regulieres, mais c'est tout de même un terme limite, car, le gradient n'existe pas au voisinage du bord, mais la derivée normale existe sans que le gradient existe). En coordonnées cartesiennes.

b) Brezis et Merle considerent $u_n$, au sens strict, et cette fonction est $C^0$ presque partout.

c) Brezis et Merle considerent aussi $u_n$ en coordonnées cartesiennes. Sans notion de cartes. Les coordonnées cartesiennes ne fournissent pas beaucoup d'informations sur $u_n$ au voisinage des points du bord.

d) quand on multiplie par une fonction test : il y a ambiguité dans la definition des points reguliers et non reguliers d'une mesure.

e) En se placant dans un voisinage d'un point du bord, on a "directement" la notion de carte, et ceci implique que dans cette carte l'expression du laplacien change et l'eq; qu'on considere change. Or leur article est ecrit pour le laplacien, d'autre part, l'article de Y.Y.Li-Chanillo, ne fournit rien de nouveau quand on se place au bord. L'article de Y.Y.Li-Chanillo confirme ses arguments de cartes locales et le changement d'expression de l'operateur dans ces nouvelles cartes.

f) Quand on considere les points du bord : on a les cartes du bord : l'eq. change dans cette nouvelle carte et les th de Brezis et Merle ne sont pas utilisables, car c'est le laplacien usuel qui est utlise pour ces theoremes.

g) Brezis et Merle considerent $u_n, u$, en coordonnées cartesiennes. Y.Y.Li-Chanillo, considerent un operateur global en forme divergence (comme le laplacien). En se placant au voisinage d'un point $x_0 \in \partial\Omega$, on a la notion de carte locale ($x_0 \in B_0, \varphi$), la fonction considérée est $u_n o \varphi$, l'operateur laplacien change dans cette nouvelle carte et il faut definir les points reguliers et non reguliers, defintion qui est ambigue.

h) Ils n'utilisent pas l'integration par parties car : elle fait apparaître : soit le gradient de la fonction test, soit le laplacien de la fonction test, or ces termes ne sont pas facilement controlables. Il faut etre precis dans l'estimation de ces termes, en etant precis dans le th. de dualité de Stampacchia. Remarquons que, utiliser la regularité $C^1$ correspond au cas $p = +\infty$ et exclu les cas $1 < p < +\infty$. Et leurs theoremes qui ne prennent en compte que $u_n$ doivent inclure le cas $1 < p < +\infty$, ce qui oblige a considerer la regularité $C^0$ dans les injections de Sobolev. Donc, ils n'utilisent pas la regularité $C^1$ mais $C^0$ : tout cela pour inclure tous les cas $1 < p \le +\infty$, pour le principe du maximum de Stampacchia, il suffit que les solutions soient ici, $W_0^{1,2}(\Omega) \cap C^0(\Omega)$.
Ecrivons les formules d'integration par parties : (c'est en coordonnées cartesiennes et c'est une formule de trace) :

On a le cas :

$$ \int_{\Omega} V_n e^{u_n} \eta dx = \int_{\Omega} -\Delta u_n \eta = \int_{\partial \Omega} \partial_{\nu} u_n \eta + \int_{\Omega} u_n \Delta \eta, $$

et le cas :

$$ \int_{\Omega} V_n e^{u_n} \eta dx = \int_{\Omega} -\Delta u_n \eta = \int_{\partial \Omega} \partial_{\nu} u_n \eta + \int_{\Omega} \nabla u_n \cdot \nabla \eta, $$

et le cas :

$$ \int_{B_R(x_0)} V_n e^{u_n} dx = \int_{B_R(x_0)} -\Delta u_n = \int_{\partial B_R(x_0)} \partial_{\nu} u_n, $$

Or, pris comme ils sont, ces termes ne sont pas controlables avec seulement la borne uniform du th de dualité de Stampacchia. De plus, il faut definir les points reguliers et non reguliers, par rapport aux cartes, definition qui est ambigue.

La masse totale est la somme d'une mesure sur le bord et d'une mesure de Lebesgue : quelle mesure considérer ? quelle nouvelle mesure doit on definir ? et comment definir les points reguliers et non reguliers ?

La troisieme formule d'integration par parties, il y a un terme du bord qu'on controle pas non plus : celui de $\partial B_R(x_0) \cap \Omega$.

La formule d'integration par parties est une formule de trace. En coordonnées cartesiennes. C'est formule de trace, le terme de bord est un terme limite, qui coincide avec le terme usuel, quand c'est regulier. C'est une formule de trace.

Les coordonnées cartesiennes "ne fournissent rien de nouveau" pour les points du bord. En general, pour les points du bord, il faut utliser des cartes locales : ici il y a une ambiguité. Il faut aussi definir, une mesure et les points reguliers et non reguliers de cette mesure pour les points du bord : ici aussi il y a une ambiguité.

Brezis et Merle utilisent seulement la borne uniforme du th de dualité de Stampacchia et la regularité $C^0$ dans les injections de Sobolev : Ils veulent considerer que les cas $L^\infty$ et $L_{loc}^\infty$. Donc : regularité $C^0$ dans les injections de Sobolev. Ils ne considerent que les solutions $u, u_n$ et non les derivées de $u$ et de $u_n$ car les estimations en normes $C^1$ peuvent ne pas exister(en inculuant les cas $1 < p < +\infty$ et $\nabla u_n$ n'est pas forcément definit meme en prenant un representant $C^1$).

2) Brezis et Merle avec les articles suivant et ceux de la dimension $n \ge 3$ pensent qu'il est possible d'utiliser le blow-up et la methode moving-plane sur le bord, qui donne la compacité. Ceci est verifié par l'article de Z-C.Han. et aussi l'article de De Figueiredo-Lions-Nussbaum, et l'article de Suzuki et l'article de W.Chen- Congming.Li : la methode moving-plane sur le bord donne la compacité.

Leurs apporches en dehors du fait de fixer une mesure :

a) Soit il faut utiliser la technique blow-up : faire un eclatement. Ici, ils font l'eclatement à l'interieur.

b) technique moving-plane : compacité au bord par la methode moving-plane.

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## Sur l'article donnant l'unicité au.Bull.Sci.Math.de 2009 :

Remarque sur le th. d'Olivier Druet donnant la compacité et le th. de l'article de 2009 au Bull.Sci.Math. donnant la compacité pour $\epsilon \to 0$.

1) La preuve de Druet est vraie quand $1 \ge \epsilon \ge \tilde{\epsilon}_0 > 0, \forall \tilde{\epsilon}_0 > 0$.

2) La preuve de l'article au Bull.Sci.Math. est vraie lorsque $0 < \epsilon \le \epsilon_0 : \exists m_0 > 0, \exists \epsilon_0 > 0$, tels que pour $0 < \epsilon \le \epsilon_0$, on ait : $\max_M u_\epsilon \le m_0$.

3) En suite on a l'unicité : $\exists \epsilon_1 > 0, 0 < \epsilon_1 \le \epsilon_0$ tel que pour $0 < \epsilon \le \epsilon_1$, on ait : $u_\epsilon \equiv \epsilon^{(n-2)/4}$.

La remarque est la suivante : on ne peut pas dire que le résultat de Druet est vrai, par rapport au résultat du Bull.Sci.Math. 2009, pour $0 < \epsilon_1 \le \epsilon \le \epsilon_0$. Car des qu'on parle de $\epsilon_0$, cela nous amene au point 2) precedent qui dit qu'on a la compacité pour $0 < \epsilon \le \epsilon_0$, or la preuve(la