# Etude de la méthode dite par sparkostriction pour l'utilisation d'une chambre à fils dans un champs magnétique

Norbert Codréanu

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Norbert Codréanu. Etude de la méthode dite par sparkostriction pour l'utilisation d'une chambre à fils dans un champs magnétique. Physique [physics]. Faculté des sciences de l'Université de Paris, 1971. Français. NNT: tel-04008315

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T H E S E

présentée

A LA FACULTE DES SCIENCES DE L'UNIVERSITE DE PARIS

Pour obtenir le titre de Docteur 3ᵉ Cycle

SPECIALITE : Physique Corpusculaire

par Norbert CODREANU

Thèse : "Etude de la méthode dite par sparkostriction pour l'utilisation d'une chambre à fils dans un champ magnétique"

Soutenue le 6 Janvier 1971 devant la Commission d'Examen

A.BERTHELOT ) Président

J.F.DETOEUF ) Examineurs

B.GROSSETETE )
Ce travail a été effectué dans le Service d'Expérimentation
par l'Electronique (SEE) du Département de Physique des Particules
Elémentaires (DPhPE), sous la direction de Monsieur le Professeur
A.BERTHELOT, que je tiens à remercier d'avoir bien voulu m'y
accueillir.

Monsieur le Professeur R.GUILLIEN, Directeur de l'Institut
de Génie Biologique et Médical, ancien Directeur de l'Ecole Natio-
nale Supérieure d'Electricité et Mécanique, m'a permis de m'initier à
l'électronique et à la physique nucléaire par son enseignement, puis
à la recherche en travaillant dans son laboratoire. Je tiens à lui
exprimer ici ma profonde gratitude.

Je tiens également à exprimer ma reconnaissance à Monsieur J.F.DETOEUF pour ses conseils et ses encouragements qui m'ont été très précieux pour mener à bien ce travail, à Monsieur J.ZSEMBERY qui m'a guidé dans cette étude, ainsi qu'à Messieurs J.B.CHEZE, J.L.HAMEL, J.TEIGER, B.THEVENET, G.MATICHARD et G.THION pour leur collaboration et leurs conseils.

Madame O.LEBEY et Madame CARDON se sont chargées de la
présentation de ce texte; je les remercie pour leur aide et leur
amabilité.
# TABLE DES MATIERES

## INTRODUCTION

### PREMIERE PARTIE

#### CHAPITRE I

A - DESCRIPTION ET FONCTIONNEMENT DE LA CHAMBRE

I - Description de la chambre

II - Principe de la détection par "sparkostriction"

III - Schéma d'utilisation de la chambre

1) Détection et identification des particules à étudier

2) Transformateur et répartiteur d'impulsion
(Maître-éclateur)

3) Circuit de mise sous tension d'un élément de chambre

B - CHOIX DES TRANSDUCTEURS

I - Position du problème

II - Transducteur piézoélectrique

III - Transducteur magnétique

#### CHAPITRE II

A - ELECTRONIQUE ASSOCIEE

I - Principe

II - Réalisation

1) Horloge

2) Bascule monostable

3) Registre à décalage

4) Echelles de comptage

5) Comparateur

#### CHAPITRE III

A - DISPOSITION DES CHAMBRES POUR LE SPECTROMETRE DE MASSE

I - Diffusion multiple

II - Erreur de pointé
# SECONDE PARTIE

## CHAPITRE I

### A - ESSAIS DE LA CHAMBRE

I - Description du montage de la chambre

II - Essais de la chambre

1) Efficacité de la chambre

2) Détermination de la distance entre le fil de lecture et le plan de fil

### B - ESSAIS DU FIL DE LECTURE ET DES TRANSDUCTEURS

I - Description du montage utilisé pour les essais du fil de lecture

II - Etude du fil de lecture

1) Section du fil de lecture

2) Vitesses de propagation

3) Amortissement du fil de lecture

III - Etude des transducteurs

1) Transducteur piézoélectrique

2) Transducteur magnétique

## CONCLUSION
INTRODUCTION

Les chambres à étincelles ont été introduites en physique des hautes énergies entre 1958 [8] et 1960. Leur usage s'est ensuite rapidement développé. L'essor de ces chambres et de l'expérimentation par l'électronique en général tient à ce qu'actuellement on aborde l'étude de réaction à faible section efficace. Il devient alors critique de ne retenir lors d'une expérience que les événements provenant de la réaction que l'on désire étudier. Cette sélection ne peut être effectuée que par une électronique rapide associée à des compteurs, les trajectoires des particules étant déterminées par des chambres à étincelles. Cet appareillage très sélectif est particulièrement bien adapté à l'étude systématique de réaction déjà mise en évidence dans des expériences de chambres à bulles.

Les différents types de chambre à étincelles actuellement employés peuvent être classés suivant plusieurs paramètres : la largueur de l'intervalle entre les électrodes, la nature de la détection de la décharge (détection par moyens acoustiques, électriques ou optiques), la nature de l'enregistrement de cette décharge (analogique ou digitale) ainsi que la nature du support de cet enregistrement (film, ruban magnétique ou mémoires à tores magnétiques). Nous rappelons dans l'appendice 1 les types de chambres les plus utilisés en indiquant brièvement leurs caractéristiques essentielles.

L'étude que nous avons entreprise avait pour but : la mise au point de chambres à étincelles permettant la mesure des trajectoires de plusieurs particules chargées émises dans un grand angle solide en présence d'un champ magnétique intense (Projet MINERVE ou AIMANT GOLIATH).

Les expériences s'effectuant actuellement avec un appareillage de ce type ("X°" avec l'Aimant Goliath) utilisent des chambres à étincelles "optiques".
L'inconvénient majeur de cette solution est qu'elle nécessite, pour la réaction que l'on désirait étudier ($\Lambda^0 \to p e^- \nu e^-$), la prise d'un nombre important de clichés (environ 2 000 000) dont 9 000 seulement correspondant à la réaction nous intéressant.

Il nous fallait donc chercher une chambre à étincelles à lecture digitale, ou facilement digitalisable, afin de pouvoir, après un prétraitement en temps réel des événements par un petit ordinateur, améliorer la sélectivité de l'appareillage. Les seules chambres à étincelles remplissant cette condition et actuellement employées sont les chambres à tores et les chambres à magnétostriction mais, à cause de leur principe de lecture même, elles sont inutilisables en présence d'un champ magnétique intense.

N'étant donc satisfait par aucune des chambres à étincelles actuellement utilisées dans des expériences de physique, nous avons essayé de développer une idée émise par L.KAUFMAN et al. [18].

L.KAUFMAN, V.PEREZ-MENDEZ et J.M.PFAB se sont en effet aperçus accidentellement, en effectuant des essais sur une chambre à fils à lecture par magnétostriction placée dans un champ magnétique, que l'onde de choc engendrée par une étincelle claquant sur un fil métallique produit dans celui-ci une onde mécanique semblable à celle utilisée pour la lecture par magnétostriction.

C'est sur ces bases que nous avons développé l'étude d'une chambre à fils que les auteurs précédemment cités nomment chambre à "sparkostriction".

Cette étude, effectuée dans le Département de Physique des Particules Elémentaires du Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay, au sein du Service d'Expérimentation par l'Electronique, comprend essentiellement deux parties.

Dans la première partie, nous exposerons les principes de fonctionnement de la chambre, de son système de lecture et de l'électronique associée à celui-ci, puis nous décrirons la manière dont doivent être disposées les chambres dans l'aimant afin d'obtenir la précision souhaitée sur la mesure des trajectoires. Dans la seconde partie, nous décrirons et rendrons compte des essais que nous avons effectués sur une chambre prototype et sur son système de lecture.
PREMIERE PARTIE

Dans cette première partie, après avoir décrit dans un premier chapitre la chambre à fils et son système de lecture par "sparkostriction", nous étudierons, dans un second chapitre, l'électronique associée à ce système de lecture. Nous terminerons en consacrant le dernier chapitre à la manière de disposer les chambres dans un aimant afin de constituer un spectromètre de masse.
# CHAPITRE I

## A - DESCRIPTION ET FONCTIONNEMENT DE LA CHAMBRE

### I - Description de la chambre

La configuration générale de la chambre est semblable à celle des chambres à magnétostriction. Un élément de chambre est constitué de deux plans parallèles de fils orthogonaux tendus sur un cadre en araldite moulée (fig. 1). La distance entre les plans de fils est de 1 cm, celle entre deux fils consécutifs d'un même plan est de 1 mm. Nous avons utilisé des fils de 12/100 mm en bronze phosphoré car cet alliage possède une bonne tenue à la corrosion par étincelles. Deux feuilles de mylar de 200 µm, placées sur les plans de fils et collées sur le cadre d'araldite, délinient le volume de l'élément à l'intérieur duquel circule un mélange de gaz rares. Les électrodes permettant l'arrivée de l'impulsion de haute tension sont constituées par deux feuilles de cuivre de quelques dizaines de microns d'épaisseur qui sont tendues sur les feuilles de mylar.

L'une des particularités du montage que nous venons de décrire, par rapport aux autres types de chambres à fils, est la mise sous tension des fils. Dans notre cas, les fils sont isolés les uns des autres et mis sous tension par effet capacitif. Ceci nous permet de les rendre indépendants, ce qui augmente l'efficacité aux traces multiples.

La chambre que nous avons expérimentée est celle que je viens de décrire mais, pour obtenir une chambre opérationnelle, il serait souhaitable de remplacer l'ensemble plan de fils, feuille de mylar et feuille de cuivre par un circuit imprimé avec support de mylar. Ce qui permettrait, outre une construction plus aisée, d'obtenir une meilleure efficacité de la chambre car, comme nous le verrons au chapitre suivant, l'efficacité est très sensible à la distance qui sépare le plan de fils de la feuille de cuivre.

En ce qui concerne la lecture, c'est-à-dire la détermination de la position de l'étincelle, la chambre est équipée de deux
fils appelés fils de lecture (fig. 1). Ceux-ci sont placés perpendiculairement aux fils de chacun des plans constituant la chambre et permettent, par un processus que nous étudierons au paragraphe suivant, de déceler quels ont été les fils touchés par l'étincelle.

Après avoir décrit la chambre dans cette première partie, nous allons maintenant passer à l'étude de son fonctionnement.

## II - Principe de la détection par "sparkostriction"

Lors de l'application de la tension sur la chambre, les fils notés H sur la figure 1 se trouvent au potentiel V - $\xi$ et ceux notés B au potentiel $\xi$. $\xi$ représente le potentiel aux bornes de la capacité formée par la feuille de cuivre, la feuille de mylar et le plan de fils (fig. 2).

Lorsque l'étincelle éclate entre les fils h et b, ces deux fils et l'étincelle forment un conducteur isolé qui se trouve au potentiel V/2. Il va donc se former deux étincelles secondaires entre h et $L_H$ et b et $L_B$ ($L_H$ et $L_B$ représentent les fils de lecture). Les impacts des ondes de choc provoqués par les étincelles en I et J provoquent sur les fils $L_H$ et $L_B$ des ondes élastiques. C'est le temps que mettent ces ondes pour parcourir les distances $ID_H$ et $JD_B$ qui nous permet de déterminer les coordonnées X et Y de l'étincelle. Plus précisément, on produit à chaque déclenchement deux autres étincelles, l'une entre $f_H$ et $L_H$ et l'autre entre $g_H$ et $L_H$ ($f_H$ et $g_H$ étant les fils fiduciels du plan H); la coordonnée X est proportionnelle au temps qui sépare l'arrivée des impulsions provenant de $f_H$ et de I. L'arrivée de l'impulsion provenant de $g_H$ nous permet de vérifier que la vitesse de propagation dans le fil reste constante et si elle varie pour des causes diverses (variation de température, de tension du fil ou autres), cette mesure nous permet de faire les corrections nécessaires.

## III - Schéma d'utilisation de la chambre

Nous ne mettons la chambre sous tension que lorsqu'une particule nous intéressant l'a traversée. Cette fonction est remplie
par un circuit de commande constitué essentiellement de trois
parties :

1) Détection et identification des particules à étudier

2) Transformateur et répartiteur d'impulsion
(Maître-éclateur)

3) Circuit de mise sous tension de l'élément de chambre.

1) Détection et identification des particules à étudier

Cette fonction est remplie en général par des compteurs à
scintillations et des compteurs à effet Cérenkov. Cet ensemble de
compteurs délivre, lorsqu'il est traversé par une particule que l'on
désire étudier, une impulsion d'une dizaine de volts.

2) Transformateur et répartiteur d'impulsion
(Maître-éclateur)

Pour déclencher les éléments de chambre, il nous faut une
impulsion de 5 à 8 kV pour chaque élément. Nous disposons à la
sortie de l'ensemble de détection d'une impulsion de 10 V. Le maître-
éclateur va donc avoir pour fonction de transformer cette impulsion
de 10 V en plusieurs impulsions de 5 kV à 8 kV.

Ce maître-éclateur est essentiellement constitué de deux étages (fig.3). Un premier étage, par le basculement d'un tube à émission secondaire (EFP60), fournit à partir de l'impulsion de 10 V une impulsion de 800 V. Le second étage est constitué par un éclateur aux bornes duquel est appliquée une tension comprise entre 5 et 10 kV qui détermine l'amplitude de l'impulsion de sortie. Cet éclateur est déclenché par l'impulsion de 800 V fournie par l'étage précédent. Il existe sur cet éclateur douze sorties parallèles, ce qui nous permet d'attaquer une chambre possédant jusqu'à douze éléments.

3) Circuit de mise sous tension d'un élément de chambre

Le circuit associé à chaque élément de chambre comprend
deux parties : une partie haute tension essentiellement constituée
par un éclateur et une partie basse tension.
La partie haute tension comprend, comme pour le maître-
éclateur, une source de haute tension (0 à 20 kV) qui alimente
l'éclateur au travers d'une batterie de condensateur-tampon. Cet
éclateur est suivi d'un condensateur dont la capacité représente
environ 10 fois celle de la chambre (1000 pF). Cette capacité se
charge au travers des résistances de 2 MΩ et R (fig. 4) puis se
décharge dans l'étincelle de la chambre lorsque l'éclateur conduit.

La partie basse tension a pour objectif de maintenir dans
la chambre un petit champ électrique nécessaire pour balayer les
ions, vestiges des anciennes étincelles. Le "champ de balayage"
d'une centaine de volts/cm est obtenu à partir d'une alimentation
à tension continue débitant faiblement dans une chaîne de deux résis-
tances de 5 kΩ (fig. 5). Le condensateur de 4 µF représente pour
l'impulsion T.H.T. une impédance inférieure à 1Ω. Il a donc pour
but de protéger l'alimentation lorsque l'étincelle n'éclate pas.

Le montage réel est représenté sur la figure 6. Les résis-
tances de charge (2 MΩ et R sur la fig.4) de la capacité C sont
donc constituées par les résistances de 2 MΩ et(5 kΩ + 100Ω). Le
temps de charge de cette capacité est donc d'environ 2 ms.

B - CHOIX DES TRANSDUCTEURS

I - Position du problème

Le problème que nous avons à résoudre est apparemment
simple : il nous faut détecter un ébranlement élastique dans un fil.
Les difficultés apparaissent lorsque l'on regarde de plus près les
qualités que doit posséder le transducteur.

Nous avons vu(1-I.A-II) que l'ébranlement mécanique était
produit par l'impact de l'onde de choc, engendrée par l'étincelle,
avec le fil de lecture. On peut donc raisonnablement penser que les
dimensions de l'ébranlement mécanique seront les mêmes que celles
de l'étincelle, c'est-à-dire 200 à 300 microns; ceci correspond à
une fréquence pour l'onde mécanique d'environ 20 MHz.
Pour transformer cette vibration mécanique en impulsion électrique, plusieurs solutions s'offrent à nous : jauges de contrainte, détecteur à effet piézoélectrique, détecteur magnétique, oscillateur à condensateur variable. Sur ces quatre possibilités, nous n'en avons retenu que deux. Nous avons éliminé pour des motifs techniques les jauges de contraintes - elles ne permettent pas de "passer" une fréquence de 20 MHz - et pour des motifs économiques l'oscillateur à condensateur variable dont le prix de revient est trop élevé. En effet, cet oscillateur devrait fonctionner de la manière suivante : la vibration du fil modifierait la valeur de la capacité du condensateur d'accord d'un oscillateur.

La fréquence de la porteuse pourrait être d'environ 200 MHz avec une excursion de fréquence de 1 MHz, ce qui nous donnerait un indice de modulation de 0,05. La démodulation pourrait être effectuée ensuite par les méthodes classiques utilisées en modulation de fréquence. Il nous faudrait malheureusement deux oscillateurs et deux éléments de démodulation par chambre ce qui représente une électronique trop chère. Nous n'étudierons donc que le transducteur piézoélectrique et le transducteur magnétique.

## II - Transducteur piézoélectrique

La détection de la vibration mécanique par un transducteur piézoélectrique s'effectue de manière différente suivant que l'onde à détecter est longitudinale, transverse ou de cisaillement. Nous avons choisi d'utiliser uniquement la vibration longitudinale; nous justifierons cette option au chapitre suivant. Pour détecter cette onde, il nous faut placer le transducteur perpendiculairement au fil de lecture. Le montage que nous avons utilisé sera décrit et étudié en détail lorsque nous rapporterons les essais qui ont été effectués avec ce transducteur. Nous ne donnerons ici que le principe de ce montage.

Perpendiculairement au fil de lecture est soudée une membrane en cuivre de quelques dizaines de microns d'épaisseur; c'est en plaçant la céramique piézoélectrique contre cette membrane que nous détectons la vibration du fil de lecture.
Les céramiques piézoélectriques les plus sensibles disponibles actuellement sont des céramiques au zirconate et titanate de plomb (PZT). Leur coefficient de fréquence est de l'ordre de 2000 mm\*kHz pour une polarisation en épaisseur. Il faut donc, pour obtenir une fréquence de résonance de la céramique de 20 MHz, qu'elle ait une épaisseur de 100 µm. Avec la technologie actuelle, on ne peut pas descendre en dessous de 250 microns, ce qui correspond à une fréquence de 8 MHz. Le facteur de qualité Q (encore noté $2\pi/k^2$) de la céramique étant de l'ordre de 50, la bande passante est assez grande, environ 160 kHz.

Les constantes caractéristiques de cette céramique sont données dans le tableau ci-dessous :

<table><tr><td>Résistivité</td><td>sup. à 10<sup>11</sup> Ohm.cm</td></tr><tr><td>Constante diélectrique</td><td>3000</td></tr><tr><td>Facteur de pertes</td><td>inf. à 2,5 %</td></tr><tr><td>d<sub>33</sub></td><td>480.10<sup>-12</sup> C/N</td></tr><tr><td>K<sub>r</sub></td><td>0,54</td></tr></table>

Il est rappelé dans l'appendice 2 les définitions de ces constantes ainsi que quelques notions fondamentales sur les céramiques piézoélectriques.

Pour obtenir le rendement maximum du transformateur électromécanique qu'est la céramique, en utilisant un schéma électrique équivalent, nous allons calculer la résistance de charge à employer.

On trouve pour la valeur de cette résistance [18] :

$$R = \frac{1}{W \ Co \ \sqrt{1-k^2}} \quad \text{avec} \quad Co = \frac{\sigma}{\ell} \ (\text{capacité de la céramique}) \\ k = \text{coefficient de couplage} \\ \text{(voir Appendice 3)} \\ W = \text{fréquence circulaire} \ (=2\pi*f)$$

Pour la céramique que nous avons utilisée à la fréquence de résonance (8 MHz) avec un coefficient de couplage $k = 0,70$, on obtient pour la valeur de la résistance de charge $R = 300\Omega$.

Il nous faudra donc placer derrière cette céramique un préamplificateur pour adapter l'impédance des câbles utilisés couramment qui est de $50\Omega$ à la résistance de charge de $300\Omega$. Le signal sortant de ce préamplificateur pourra alors être utilisé par une électronique associée à ce système de lecture. Cette électronique, qui sera décrite au chapitre 1-II, nous donnera les coordonnées des étincelles qui se sont produites dans la chambre.
### III - Transducteur magnétique

Le second type de transducteur que nous avons envisagé d'étudier est le transducteur magnétique qui possèdera une bande passante certainement meilleure que le transducteur piézoélectrique mais qui, par contre, nécessitera d'être blindé pour pouvoir être placé dans un champ magnétique.

Le principe de ce transducteur magnétique est identique à celui utilisé par la détection magnétostrictive. Un fil ayant une grande perméabilité magnétique est placé dans une bobine et l'on crée à l'aide de deux petits aimants permanents un champ magnétique parallèle au fil. Une vibration longitudinale étant accompagnée d'une variation de la section du fil, le flux d'induction magnétique traversant la bobine est grand lorsque l'on est au maximum d'élongation (fig.A) et petit lorsque l'on est au minimum d'élongation (fig.B).

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Pour que le raisonnement que nous venons de faire soit valable, il faut que la largeur de la bobine soit inférieure ou égale à la demi longueur d'onde de la vibration.
Le problème qui nous reste alors à résoudre est celui du choix du fil. Le fil de lecture doit avoir une perméabilité magnétique très faible car la chambre est étudiée pour être placée dans un champ magnétique intense. Quant au fil traversant la bobine, nous venons de voir qu'il doit posséder une grande perméabilité magnétique. Nous voyons deux solutions pour résoudre ce problème. La première qui vient à l'esprit est de prendre deux fils différents que l'on raccordera par collage, soudure ou brasure. La seconde solution est de rendre ce fil perméable ce qui n'est possible qu'en lui adjoignant un matériau perméable (en collant dessus une mince feuille de mumétal, par exemple).
# CHAPITRE II

## A - ELECTRONIQUE ASSOCIEE

Après avoir détecté l'étincelle, il nous faut traiter les informations délivrées par les fils de lecture pour reconstituer les coordonnées de celle-ci. Tel est le rôle de l'électronique que nous allons étudier dans ce chapitre, électronique utilisable aussi bien pour une lecture par sparkostriction que pour une lecture par magnétostriction.

### I - Principe

A la sortie du transducteur, nous disposons d'impulsions se succédant dans le temps et provenant d'étincelles qui ont éclaté au même instant en divers points du fil de lecture. La vitesse de propagation des impulsions le long de ce fil étant connue (3750 m/s), pour déterminer les positions respectives des étincelles, il nous suffit de déterminer le temps qu'elles ont mis pour atteindre le détecteur. A cette fin, lorsque l'impulsion provenant du fil fiduciel arrive au détecteur, on déclenche une horloge qui délivre des impulsions toutes les 54 nanosecondes et des échelles qui comptent ces impulsions. Chaque impulsion arrivant ensuite du fil de lecture arrête une échelle. On peut ainsi lire sur cette échelle le nombre d'impulsions d'horloge séparant l'impulsion provenant du fil fiduciel de celle provenant de l'étincelle, c'est-à-dire le temps qui s'est écoulé entre les deux. On en déduit facilement la distance. La précision est de 54 ns, ce qui correspond à 0,2 mm. Les fils de la chambre étant distants de 1 mm, cette erreur de + 0,1 mm est négligeable par rapport à l'incertitude de + 0,5 mm due à la structure de la chambre.

### II - Réalisation

Les impulsions provenant de la tête de lecture se succèdent comme il est indiqué sur la figure C. La première impulsion ($F_1$) provenant du premier fil fiduciel déclenche une horloge et les échelles. La seconde impulsion ($E_1$) provenant de la première étincelle arrête la première échelle; on peut donc lire sur celle-ci
un nombre proportionnel au temps $t_1$ donc à la distance $x_1$ séparant
le fil fiduciel du fil touché par la particule incidente. La seconde
échelle est arrêtée par $(E_2)$; on en déduit $x_2$ et ainsi de suite.
Le schéma synoptique du montage est représenté sur la figure 7.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig. C</figcaption></figure>

Au temps $t_0$, l'impulsion déclenchant la chambre arrive en D sur une bascule monostable. Celle-ci délivre une impulsion de largeur $\delta$ qui remet et maintient à zéro pendant le temps $\delta$ un registre à décalage et les échelles de comptage. Cette précaution a été prise pour isoler l'électronique de comptage des parasites causés par la mise sous tension de la chambre et l'éclatement des étincelles.

La sortie de la tête de lecture est envoyée en X (voir fig. 7). La première impulsion arrivant dans le registre à décalage déclenche l'horloge, les échelles $A_1$, $A_2$ et B. (Nous n'avons utilisé que deux échelles pour cette première étape). Le contenu de l'échelle B est comparé à une valeur affichée L correspondant à la longueur de la chambre. Dès que cette valeur est atteinte, on arrête les comptages et l'on remet à zéro l'échelle B et le registre à décalage.

La seconde impulsion arrivant en X arrête l'échelle $A_1$. La troisième impulsion arrête l'échelle $A_2$. Les impulsions arrivant ensuite n'ont aucun effet si ce n'est de nous signaler, en positionnant une bascule, qu'il y a eu plus de deux étincelles dans la chambre. On peut donc lire sur les échelles, s'il y a eu deux
étincelles ou plus, les coordonnées des deux premières étincelles. S'il n'y a eu qu'une étincelle, on lit les coordonnées de cette étincelle et la distance L entre les fils fiduciels affichée par $A_2$ et, s'il n'y a pas eu d'étincelle, les deux échelles indiquent L.

### 1) Horloge

Le rôle de l'horloge est de fournir des impulsions régulièrement dans le temps (dans notre cas toutes les 54 nanosecondes). En totalisant à l'aide d'une échelle de comptage le nombre n d'impulsions arrivées pendant le temps t, on détermine la valeur de t : $t = 54 \text{ n } + 0 \text{ s} - 53 \text{ nanosecondes.}$

Cette horloge est constituée par deux circuits logiques NI. Un circuit NI à deux entrées E et Y donne comme signal de sortie $X = E \cdot Y$. (La notation $\overline{U}$ signifie le complément logique de U, c'est-à-dire si $U = 0$, alors $\overline{U} = 1$ et si $U = 1$, alors $\overline{U} = 0$).

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig D</figcaption></figure>

- Si la commande E de l'horloge est au niveau logique "0", quel que soit le niveau de la seconde entrée Y du premier circuit NI, on a $X = E \cdot Y = 1$, donc $S = \overline{X} = 0$. L'horloge est à l'arrêt.

- Si la commande E est au niveau logique "1", $X = \overline{Y}$, il y a instabilité. Au départ, $Y = 1$, $E = 1$, donc $X = 0$ et $S = 1$; au bout d'un temps $T_s$ (temps de transit dans la ligne à retard), Y passe à 0. Comme $E = 1$, X passe à 1 et S à 0 et ainsi de suite.
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig.E</figcaption></figure>

Le circuit que nous avons utilisé est un circuit intégré SN 74 H00; il contient quatre circuits logiques NI. La période, fixée par la ligne à retard de 27 ns, est $T = 2 T_s = 54$ ns, ce qui correspond à une fréquence de 18,5 MHz.

### 2) Bascule monostable

Une bascule monostable est une bascule ne possédant q'un niveau stable, le niveau logique "0" par exemple. Lorsque l'on porte la bascule au niveau logique "1", elle revient à son niveau stable "0" au bout du temps $\delta$. Cette constante de temps est définie par une résistance et une capacité extérieure au circuit intégré (SN 74 121 N) constituant la bascule.

Le rôle de cette bascule est de maintenir les échelles à zéro pendant un temps $\delta$ (variable entre 3 µs et 30 µs) car le classement de l'étincelle dans la chambre, qui libère une puissance de l'ordre du mégawatt, provoque des parasites de grande amplitude pendant vingt à trente microsecondes.

### 3) Registre à décalage

Le registre à décalage est un peu le cerveau de cette électronique. On peut dire qu'il aiguille les impulsions arrivant du fil de lecture vers les fonctions qu'elles ont à remplir : déclencher ou arrêter l'horloge ou les échelles de comptage.
<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Le registre à décalage est constitué par cinq bascules "JK". Une bascule "JK" est un circuit logique (fig. H) possédant deux commandes J et K, une entrée H pour l'impulsion d'horloge, une entrée c<sub>1</sub> pour la remise à zéro de la bascule et deux sorties, l'une directe Q et l'autre complémentaire de la précédente Q. Le fonctionnement de cette bascule est résumé dans le "tableau de vérité" (fig. G).

Si les entrées J et K sont respectivement aux niveaux logiques "1" et "0" au temps t<sub>n</sub>, c'est-à-dire entre les impulsions d'horloge t<sub>n</sub> et t<sub>n+1</sub>, on voit sur la troisième ligne du "tableau de vérité" qu'au temps t<sub>n+1</sub>, la sortie Q sera au niveau logique "1", donc Q au niveau logique 0.

On peut lire aussi sur ce tableau deux fonctionnements particuliers que nous n'utiliserons pas sur les lignes 1 et 4. Lorsque J=K=0, la sortie étant Q<sub>n</sub> (0 ou 1) à l'instant t<sub>n</sub> ne change pas à l'instant t<sub>n+1</sub> : Q<sub>n+1</sub> = Q<sub>n</sub>, alors que pour J=K=1, la sortie étant Q<sub>n</sub> à l'instant t<sub>n</sub> devient à l'instant t<sub>n+1</sub> : Q<sub>n+1</sub> = Q&#773;<sub>n</sub>.

<table><caption>fig. G</caption><thead><tr><th rowspan="2">temps</th><th colspan="3">t<sub>n</sub></th><th>t<sub>n+1</sub></th></tr><tr><th>Q</th><th>J</th><th>K</th><th>Q</th></tr></thead><tbody><tr><td></td><td>Q<sub>n</sub></td><td>0</td><td>0</td><td>Q<sub>n</sub></td></tr><tr><td></td><td>Q<sub>n</sub></td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td></td><td>Q<sub>n</sub></td><td>1</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td></td><td>Q<sub>n</sub></td><td>1</td><td>1</td><td>Q&#773;<sub>n</sub></td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Fig. H</figcaption></figure>
La bascule fonctionne au front de descente de l'impulsion d'horloge. Pour c'l au niveau logique "0", la sortie Q est au niveau logique "0" quels que soient les niveaux de J et K et indépendamment de l'horloge.

Le fonctionnement du registre à décalage est le suivant :

$$ - \text{Au repos, } Q_1 = Q_2 = Q_3 = Q_4 = Q_5 = 0 \quad (\text{fig. F}) $$

$Q_i$ représente maintenant la sortie directe de la i-ième bascule.

- La première impulsion arrivant sur le fil de lecture en X nous donne $Q_1 = 1$, $Q_2 = Q_3 = Q_4 = Q_5 = 0$ car $J_1 = 1$ et $K_1 = 0$, alors que $J_i = 0$ et $K_i = 0$ pour i variant de 2 à 5 (voir "tableau de vérité", fig. G). Donc, la sortie $Q_1$ déclenchera l'horloge et toutes les échelles de comptage.

- La seconde impulsion arrivant en X nous donnera :

$$ Q_1 = Q_2 = 1, \quad Q_3 = Q_4 = Q_5 = 0 $$

car on a alors $J_1 = J_2 = 1$ et $K_1 = K_2 = 0$ ainsi que $J_3 = J_4 = J_5 = 0$ et $K_3 = K_4 = K_5 = 1$. La sortie $Q_2$ arrêtera la première échelle de comptage (échelle $A_1$).

- La troisième impulsion arrivant en X nous donnera :

$$ Q_1 = Q_2 = Q_3 = 1, \quad Q_4 = Q_5 = 0 $$

La sortie $Q_3$ arrêtera la seconde échelle de comptage (échelle $A_2$) et affichera la première échelle (échelle $A_1$).

- La quatrième impulsion nous donnera :

$$ Q_1 = Q_2 = Q_3 = Q_4 = 1, \quad Q_5 = 0 $$

La sortie $Q_4$ affichera l'échelle $A_2$. A ce stade, nous avons eu quatre impulsions donc au moins deux étincelles.

- La cinquième impulsion nous donnera :

$$ Q_1 = Q_2 = Q_3 = Q_4 = Q_5 = 0 $$

Nous avons eu plus de deux étincelles. La sortie $Q_5$ va donc être utilisée pour les dépassements de capacité.
### 4) Echelles de comptage

Les échelles de comptage ont pour fonction la détermination du nombre d'impulsions délivrées par l'horloge entre deux signaux provenant du fil de lecture. Ce nombre d'impulsions est proportionnel au temps séparant les arrivées des deux signaux donc aussi proportionnel à la distance séparant dans la chambre les sources de ces deux signaux (fil fiduciel ou étincelle).

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Fig. I</figcaption></figure>

Ces échelles sont constituées par cinq compteurs placés en série. Les quatre derniers circuits sont des compteurs décimaux codés en binaire (circuits intégrés SN 7490) fonctionnant jusqu'à 15 MHz. On a dû utiliser comme premier compteur une bascule (circuit intégré SN 74 H 72) fonctionnant jusqu'à 30 MHz car, l'horloge fonctionnant à 18,5 MHz, on ne pouvait pas utiliser des compteurs décimaux codés en binaire qui ne fonctionnent que jusqu'à 15 MHz. (On trouvera sur la fig. 8 le schéma complet d'une échelle de comptage).
### 5) Comparateur

Après avoir vu les circuits nous permettant de lire et de coder les distances entre les étincelles et le fil fiduciel c'est-à-dire les coordonnées des étincelles, il nous reste à décrire le circuit qui nous indique que la mesure est terminée et qui prépare l'électronique pour une nouvelle mesure. Cette fonction est remplie par le comparateur.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

Le comparateur est constitué d'une échelle de comptage B semblable à celles décrites au paragraphe précédent, d'une "contraves" (circuit sur lequel on peut afficher un nombre L de quatre chiffres), d'un additionneur permettant de calculer $Σ = L + Σ$ ($L$ étant le complément logique de L écrit en binaire et $Σ$ représentant l'information donnée par l'échelle de comptage B) et enfin d'un circuit logique "ET".

L'échelle de comptage est déclenchée par la première impulsion arrivant du fil de lecture (cette impulsion provient du fil fiduciel). Si nous désignons par $ℓ$ l'information délivrée par l'échelle B au temps t, nous avons entre $ℓ$ et t la relation $t = 54ℓ$ (voir I-II.A-II.1). Si t représente le temps mis par une impulsion provenant d'une étincelle ayant claqué à la distance $λ$ du
fil fiduciel pour parvenir jusqu'à celui-ci, nous avons entre $\lambda$
et t la relation : $\lambda = v \cdot t$ (v étant la vitesse de propagation
dans le fil de lecture : v = 3750 m/s). Donc nous avons entre
$\ell$ et $\lambda$ la relation : $\lambda = 3750 \cdot 54 \cdot 10^{-9} \ell$ soit $\lambda$ étant exprimé
en mètre ; $\lambda = 0,2025 \cdot 10^{-3} \ell$.

La valeur affichée par l'échelle B pour une distance $\lambda$
égale à la longueur de la chambre est $L = 0,60/0,2025 \cdot 10^{-3}$ soit
$L = 2963$. Donc, en affichant sur la "contraves" le nombre
$L = 2965$, lorsque l'échelle de comptage arrivera à $\ell = 2965$, il
nous faudra arrêter l'électronique. On aura alors $\Sigma = \overline{L} + L$
($\overline{L}$ étant le complément logique de L écrit en décimal codé binaire)
composé uniquement de 1. On peut voir cela facilement sur l'exemple
d'un nombre de deux chiffres : $L = 73$. En décimal codé binaire,
cela nous donne $L : 0111 0011$ donc $\overline{L} : 1000 1100$ et $\Sigma = \overline{L} + L =
1111 1111$.

En mettant un circuit logique "ET" sur les sorties de
l'additionneur, nous aurons à la sortie de ce circuit une impulsion
lorsque $\ell$ sera égal à L. C'est cette impulsion qui arrêtera l'hor-
loge et remettra à zéro le registre à décalage.

On peut voir sur la fig. 9 le schéma global de l'élec-
tronique associée à ces chambres.
# CHAPITRE III

## A - DISPOSITION DES CHAMBRES POUR LE SPECTROMETRE DE MASSE

Nous allons dans ce chapitre donner un aperçu de la manière dont on peut utiliser des chambres à étincelles pour constituer un spectromètre de masse permettant d'obtenir une précision de 2 à 3 % sur la mesure de l'impulsion de particules chargées.

Pour constituer ce spectromètre, nous utiliserons dix chambres contenant chacune deux éléments de 1 cm d'épaisseur, les dimensions transversales étant 1 m x 1 m (les épaisseurs des différents matériaux constituant la chambre sont données dans le tableau 1 de l'appendice 1).

Les facteurs limitant la précision que l'on peut espérer obtenir sur la mesure de l'impulsion sont de deux ordres. Il y a tout d'abord la diffusion des particules sur les matériaux se trouvant sur leurs lignes de vol que nous étudierons au paragraphe I; il y a ensuite les incertitudes provenant de la mesure de la trajectoire que nous avons appelées "erreurs de pointé" et qui seront étudiées au paragraphe II.

### I - Diffusion multiple

L'incertitude, due à la diffusion multiple, sur la connaissance de la trajectoire des particules, est calculée dans l'appendice 3.

On trouve, pour un appareillage composé de 10 éléments de chambre équidistants les uns des autres :

$$ \frac{\Delta r}{r} = \frac{\sqrt{1 + 10^{-2} \left[ \frac{\lambda - 20}{9} \right]^3}{Br^2} \left( 1 + \frac{1}{8} \left( \frac{r}{\lambda} \right)^2 \right) $$

($\lambda$ représentant la distance entre le premier et le dernier élément de chambre).
L'impulsion p d'une particule est reliée au rayon de courbure r de sa trajectoire par la relation $p = 3Br$ (p en MeV, B en Tesla, r en cm).

L'incertitude due à la diffusion multiple sur p est :

$$ \frac{\Delta p}{p} = \frac{\Delta r}{r} = \frac{\sqrt{1 + 10^{-2} \left(\frac{\lambda - 20}{9}\right)^3}}{Br^2} \left(1 + \frac{1}{8} \left(\frac{r}{\lambda}\right)^2\right) $$

Nous avons représenté sur la fig. 10 les variations de $\Delta p/p$ en fonction de $\lambda$ pour $B = 2$ Tesla avec r comme paramètre. Cette incertitude est très faible ($\lambda < 0,1 \%$). En étudiant maintenant les erreurs de pointé, nous allons montrer qu'elle est même pratiquement négligeable.

## II - **_Érreur de pointé_**

L'incertitude sur l'impulsion est égale à l'incertitude sur le rayon de courbure de la trajectoire ($p = 3$ B.r). Elle est donc aussi égale à l'incertitude sur la flèche de la trajectoire ($s$ représente la flèche, $s = \lambda^2/8r$) :

$$ \frac{\Delta p}{p} = \frac{\Delta s}{s} $$

On peut estimer l'erreur sur la flèche par une formule empirique

$$ \Delta s = \frac{3,5 d}{N^{1/2}} $$

$d$ représentant l'erreur quadratique moyenne individuelle sur chacun des N points déterminant la trajectoire [15], [16].
Nous avons donc comme incertitude sur p :

$$ \frac{\Delta p}{p} = \frac{3,5 \, d}{\sqrt{N} \, s} $$

soit, en tenant compte de s = λ²/8r :

$$ \frac{\Delta p}{p} = \frac{3,5 \times 8 \times d}{\sqrt{N}} \cdot \frac{r}{\lambda^2} $$

Pour un champ de 20 000 gauss, le rayon de courbure des trajectoires peut atteindre 3,5 mètres pour une particule d'impulsion 2 GeV/c. Sur la figure 10, nous avons tracé l'incertitude Δp/p en fonction de λ pour la diffusion multiple et pour l'incertitude de pointé (avec comme paramètre r ou p). Les courbes notées 3 % et 2 % représentent les limites sur l'erreur de pointé pour que l'erreur totale soit respectivement de 3 % et 2 %.

On peut, à l'aide de la fig. 10 déterminer la disposition optimale des chambres. Si l'on désire mesurer des impulsions inférieures à 1,8 GeV/c avec une précision supérieure à 3 %, il faudra prendre λ ≥ 67 cm.

Pour des chambres équidistantes les unes des autres, nous avons, si $\ell$ représente la distance entre deux chambres consécutives :

$$ \ell = \frac{\lambda - 20}{9} $$

soit $\ell = 5,2$ cm pour le cas étudié. Les chambres devront être distantes les unes des autres de plus de 5,2 cm.

Si l'on désire une précision supérieure à 2 %, il faudra prendre $\lambda \ge 82$ cm, c'est-à-dire que les chambres devront être espacées d'au moins 6,9 cm.
## SECONDE PARTIE

Nous avons construit un prototype de la chambre puis nous l'avons expérimenté. Ce sont ces essais que nous allons rapporter dans cette seconde partie.

Ces essais ont été regroupés sous deux titres :

- Essais de la chambre, ceux-ci comprenant essentiellement des tests d'efficacité

et
- Essais du système de lecture qui comprennent la mise au point et la détermination des performances de la lecture.
# CHAPITRE I

## A - ESSAIS DE LA CHAMBRE

### I - Description du montage de la chambre

Sur un cadre de 60 cm x 60 cm en araldite armée, nous avons tendu deux réseaux orthogonaux de fils parallèles en bronze phosphoré de 120 microns de diamètre, espacés les uns des autres de 1 mm. Nous avons ensuite collé de chaque côté de ce cadre une feuille de mylar de 200 microns. Puis, par-dessus le mylar, nous avons tendu un grillage en acier inoxydable à maille très fine (la maille était d'environ 0,5 mm) (fig. 1). Nous avons choisi des électrodes en grillage afin de pouvoir observer l'intérieur de la chambre pour détecter les anomalies de fonctionnement.

Comme nous l'avons vu au chapitre précédent, le bon fonctionnement de la chambre requiert la présence d'un gaz noble. Nous avons donc fait passer dans la chambre de l'hélium sous faible pression (environ 100 g/cm²) avec un débit de quelques litres par heure.

### II - Essais de la chambre

Les essais que nous avons fait subir à cette chambre sont essentiellement des contrôles d'efficacité que nous avons effectués en détectant des rayons cosmiques. Pour déclencher la chambre sur les rayons cosmiques, nous avons placé deux compteurs à scintillation de 10 cm sur 10 cm, l'un au-dessus de la chambre et l'autre au-dessous. Les impulsions arrivant des compteurs en coïncidence nous permettaient de déclencher la chambre sur des rayons cosmiques bien localisés. L'électronique de déclenchement est celle décrite au paragraphe 1-I.A-III.

#### 1) Efficacité de la chambre

En déplaçant nos deux compteurs, nous avons pu étudier l'efficacité de la chambre sur toute sa surface.
Les premiers essais effectués avec le montage que nous venons de décrire ont montré une bonne efficacité sur les bords de la chambre et une efficacité défaillante au centre.

Cette variation d'efficacité étaie due à ce que la distance entre le grillage et le plan de fils n'était pas constante. Malgré toutes les précautions que nous avions prises pour bien tendre le grillage et malgré le faible débit du gaz, le mylar se gonflait légèrement ce qui éloignait l'électrode en grillage du plan de fils.

Afin de vérifier cette hypothèse, nous avons placé deux plaques de plexiglass de part et d'autre de la chambre pour maintenir constante la distance séparant les fils des électrodes. Nous avons alors obtenu une efficacité uniforme sur toute la surface de la chambre.

Pour constituer une chambre opérationnelle, il nous faudra remplacer l'électrode, la feuille de mylar et le plan de fils par un circuit imprimé à support en mylar. Ce circuit imprimé devra comporter, sur une feuille de mylar de 150 à 200 microns d'épaisseur, d'un côté une électrode en cuivre d'une vingtaine de microns et, de l'autre, un réseau de bandelettes de cuivre d'environ un demi millimètre de largeur, espacées les unes des autres d'un millimètre.

Après avoir trouvé une solution pour ce premier problème, nous avons mis en évidence une seconde source d'inefficacité de la chambre, la variation d'efficacité étant liée cette fois-ci à la distance séparant le fil de lecture du plan de fils. Nous allons maintenant chercher une solution à ce problème.

## 2) Détermination de la distance entre le fil de lecture et le plan de fils

Pour les essais de la chambre, les fils de lecture étaient constitués par des fils de cuivre sans transducteur. Ces fils étaient isolés des plans de fils par un tissu en fibre de verre à maille très fine (2 mailles par millimètre) d'une épaisseur de 50 microns. Le bon fonctionnement de la chambre est sensible à la distance d séparant le fil de lecture du plan de fils.
Nous allons déterminer cette distance en utilisant un
circuit électrique équivalent à la chambre. Nous avons représenté
parallèlement une coupe de la chambre (fig. K) et son schéma élec-
trique équivalent (fig. M).

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

La figure L représente les tensions aux différents points
de la figure M (les tensions étant identiques sur une ligne hozi-
zontale) lorsqu'on applique une impulsion de haute tension d'ampli-
tude V sur la chambre et qu'il n'éclate pas d'étincelle dans
celle-ci.

Par contre, lorsqu'une étincelle éclate dans la chambre,
les deux fils h et b reliés par l'étincelle constituant un conduc-
teur isolé placé au milieu du condensateur passent au potentiel V/2.
La répartition des tensions est alors représentée sur la figure N.

Lorsqu'une étincelle éclate dans la chambre (entre les
fils h et b), il est nécessaire pour la détecter que deux petites
étincelles secondaires éclatent (entre les fils h et L<sub>H</sub> et entre
b et L<sub>B</sub>). Par contre, lorsqu'il n'y a pas d'étincelle dans la
chambre, il ne doit pas y en avoir entre les fils de la chambre
(h et b) et les fils de lecture (L<sub>H</sub> et L<sub>B</sub>).
La différence de potentiel entre les fils (h, b) et leur fil de lecture ($L_H$, $L_B$) étant V/2 lorsqu'une étincelle a éclaté et $\xi$ lorsqu'il n'y a pas eu d'étincelle dans la chambre, il faut que pour la distance d séparant les fils de lecture ($L_H$, $L_B$) de leur plan de fils (h, b), V/2 soit une tension disruptive alors que $\xi$ ne doit pas l'être. Dans les conditions de fonctionnement normal, V/2 est de l'ordre de 4 000 volts et $\xi$ de l'ordre d'une centaine de volts. Pour une distance d de cinquante microns, la tension disruptive est théoriquement [23] de 600 volts, donc bien supérieure à $\xi$ et inférieure à V/2.

Malheureusement, pour une distance d donnée, la tension disruptive dans l'air varie beaucoup avec les conditions hydrologiques et les ions qui peuvent momentanément être présents. Il est donc très difficile de faire un éclateur fiable à l'air libre.

En supposant même ce problème résolu, un second problème se pose : il faut maintenir la distance entre le fil de lecture et le plan de fils bien constante à 50 microns. Ceci est pratiquement impossible pour des chambres dépassant 10 cm de côté. La chambre que nous avons utilisée était plane à ± 0,5 mm et il est très difficile de faire beaucoup mieux à cause des contraintes que font subir au cadre les deux réseaux de fils. Il est d'autre part nécessaire d'isoler suffisamment le fil de lecture pour qu'il ne risque pas de se mettre en court-circuit avec une partie des fils de la chambre.

Pour essayer de résoudre ces deux problèmes, nous avons placé entre le fil de lecture et le plan de fils un tissu en laine de verre de 50 microns d'épaisseur à mailles suffisamment fines pour ne pas trop dévier les étincelles (l'incertitude sur la mesure de la position de l'étincelle due à ce tissu est inférieure à 0,25 mm). Pour maintenir la distance entre le fil de lecture et le plan de fils, nous avons été obligés de plaquer le fil de lecture sur le tissu. Nous avions dans ces conditions un bon fonctionnement de la chambre. Mais ce fonctionnement est impossible avec un vrai fil de lecture car le signal serait considérablement amorti (environ 1,5 db/cm, c'est-à-dire qu'après 30 cm, on n'a pratiquement plus de signal détectable).
Comme nous venons de le voir, avec la méthode de détection par un fil de lecture à l'air libre, il est indispensable de bien faire fonctionner des chambres dépassant 20 cm de côté.

Pour les petites chambres, le problème de la coplanarité est soluble et il est possible d'utiliser le tissu de laine de verre pour maintenir bien constante la distance entre le fil de lecture et le plan de fils.

Par contre, pour les grandes chambres, la seule possibilité s'offrant encore à nous est de placer le fil de lecture sous atmosphère de gaz noble. Ceci nous permet d'augmenter la distance entre le fil de lecture et le plan de fils car la tension disruptive est environ cent fois plus faible dans un gaz rare que dans l'air [23]. Cette distance peut être portée à environ 5 millimètres, l'incertitude sur la coplanarité de la chambre devient alors négligeable devant d, mais il faut mettre une enveloppe étanche autour des deux systèmes de lecture ainsi qu'un circuit de gaz, ce qui complique beaucoup le montage donc diminue la fiabilité de ces chambres.

# B - ESSAIS DU FIL DE LECTURE ET DES TRANSDUCTEURS

## I - Description du montage utilisé pour les essais du fil de lecture

Le montage que nous avons utilisé pour les essais du fil de lecture était constitué d'une baguette de plexiglass d'un mètre et demi de longueur sur laquelle était tendu le fil à étudier (fig. 11). A l'une des extrémités, nous avons placé le transducteur. Les différents montages de celui-ci seront présentés au paragraphe suivant. Sur un curseur en plexiglass pouvant se déplacer tout le long de la baguette était fixé un fil simulant les fils de la chambre. Comme nous l'avons vu au paragraphe 2-I.A-II.2, la tension des fils entre lesquels a claqué une étincelle dans la chambre est de 4 000 volts. Nous avons donc alimenté le fil fixé au curseur
du transducteur produit au niveau de celui-ci un ébranlement infé-
rieur au seuil de détection alors que pour les fils de faible
section, une étincelle standard est aussi bien détectée à 1,50 m
qu'à 30 cm du transducteur. La longueur d'onde de l'ébranlement
étant de l'ordre d'un millimètre, la propagation de celui-ci dans
un fil dont les dimensions transverses sont faibles devant la lon-
gueur d'onde pourra, en première approximation, être décomposée en
une onde longitudinale et une onde de cisaillement (voir Appendice 4)
et ceci quelle que soit la forme géométrique de la section du fil.

Nous avons effectué des essais avec un fil à section rectangulaire (500 µm * 50 µm) et un fil à section circulaire (250 µm de diamètre). Ces essais valident l'approximation faite. Les vitesses de propagation de l'onde longitudinale trouvées sont les mêmes pour les deux fils et sont en parfait accord avec la formule donnée en Appendice 4, comme nous allons le voir au paragraphe suivant.

2) Vitesses de propagation

Les mesures de vitesses de propagation que nous avons
effectuées n'ont pas pour but de déterminer avec précision ces
vitesses qui sont des constantes bien connues. Elles ont deux
fonctions : d'une part, vérifier que l'onde détectée est bien une
onde longitudinale et, d'autre part, montrer que les vitesses de
propagation sont identiques pour les deux fils à sections circu-
laire et rectangulaire.

Ces vitesses ont été mesurées en déterminant sur un
oscilloscope les temps de propagation de l'impulsion pour deux
positions différentes du curseur.

Sur la figure 12, les oscillogrammes représentent les
impulsions obtenues à l'aide d'un fil à section rectangulaire
(500 µm x 50 µm) et d'un transducteur piézoélectrique avec une
membrane épaisse (50 µm). La vitesse de propagation est
v = 3850 + 330 m/s.

Sur la figure 13, les oscillogrammes représentent les
impulsions provenant d'un fil à section circulaire (250 µm) avec
un détecteur piézoélectrique et une membrane mince (20 µm). La
vitesse de propagation est v = 4000 + 340 m/s.
Ces deux mesures confirment que l'onde détectée est une
onde longitudinale, la vitesse de propagation théorique étant de
3750 m/s (voir Appendice 4). Les deux vitesses de propagation étant
identiques, la propagation s'effectue de la même manière que dans
les deux fils contrairement à ce qui semble être dit dans la réfé-
rence [17].

On peut donc utiliser indifféremment des fils à section
rectangulaire ou circulaire. En ce qui nous concerne, nous avons
utilisé des fils à section circulaire uniquement parce que l'appro-
visionnement en était plus aisé.

Après avoir étudié la propagation de l'onde dans le fil
de lecture, nous allons envisager le problème de l'amortissement
de celui-ci à chacune de ses extrémités. Il est en effet indispen-
sable d'amortir le fil si l'on veut déterminer les coordonnées de
plusieurs étincelles car, sans amortissement, on confrondra les
impulsions réfléchies avec les impulsions provenant des étincelles.

3) Amortissement du fil de lecture

Ces essais d'amortissement se font de manière totalement
empirique. On peut voir par exemple, dans l'article de L.R.SULAK
[17], que le meilleur moyen qu'il ait trouvé pour amortir le fil de
lecture à ses deux extrémités est d'employer du chewing-gum.

En ce qui nous concerne, nous avons expérimenté de nom-
breux amortisseurs. Nous avons tout d'abord essayé de presser le
fil entre deux morceaux de caoutchouc. Si l'on presse trop fort,
l'onde se réfléchit sur l'amortisseur et si l'on ne presse pas assez,
il n'y a bien sûr pas d'amortissement. Un réglage délicat permet ce-
pendant d'amortir convenablement le signal.

Nous avons expérimenté aussi un amortisseur formé d'une
petite feuille de cuivre (5 mm x 5 mm x 20 µm) soudée parpendicu-
lairement au fil et placée dans de la graisse silicone. Mais cet
amortisseur n'est utilisable qu'à des fréquences plus faibles car
l'onde se réfléchissait sans pratiquement être amortie.
Nous avons donc arrêté notre choix sur l'amortisseur en caoutchouc en essayant de lui adjoindre quelque chose d'autre pour augmenter son efficacité. Après avoir essayé la graisse silicone et une pâte à base de silicones utilisée comme joint étanche (pour les pare-brises des automobiles par exemple), nous avons trouvé qu'en collant un simple morceau de ruban adhésif (scotch électrique), nous amortissions complètement l'onde réfléchie (fig. 14).

Après avoir déterminé notre choix en ce qui concerne le fil de lecture, il nous reste à étudier l'organe essentiel de ce système de lecture : le transducteur.

### III - Etude des transducteurs

#### 1) Transducteur piézoélectrique

Le problème technique le plus délicat que nous ayons eu à résoudre pour ce système de lecture est le montage de la céramique piézoélectrique. C'est ce que nous allons décrire dans un premier paragraphe puis, dans un second paragraphe, nous rendrons compte des essais que nous avons effectués avec cette céramique.

Comme nous l'avons déjà expliqué, nous ne détectons que l'onde mécanique longitudinale. A cette fin, nous pourrions théoriquement fixer la céramique perpendiculairement au fil, à l'une de ses extrémités. Mais, malheureusement, cette solution simple est techniquement très difficile à réaliser. Il est pratiquement impossible de fixer solidement un fil de 250 µm (qui doit être ensuite tendu) sur une céramique de 1 mm x 1 mm. En effet, les deux faces de la céramique étant rendues conductrices par un dépôt d'argent obtenu par évaporation sous vide, lorsqu'on fixe solidement le fil sur cette pellicule d'argent et que l'on tend légèrement celui-ci, la pellicule d'argent se détache de la céramique. Ce premier montage a aussi un autre inconvénient : la céramique est placée en série avec un fil dans lequel passe, lors du claquage de l'étincelle, un très grand courant. Il est donc indispensable de relier le fil de lecture à la masse et ceci avant la céramique sinon, nous recueillerons aux bornes de celle-ci une impulsion de grande amplitude (la céramique se comportant alors comme un simple condensateur). D'autre part, la présence de cette discontinuité dans le fil va provoquer des réflexions qui pertuberont la lecture.
Nous avons essayé un second montage qui est celui décrit au par.1-I.B-II. Perpendiculairement au fil de lecture et près de l'une de ses extrémités, nous avons fixé une membrane de cuivre et ce sont les vibrations de cette membrane que la céramique détecte. Ce système n'est ainsi sensible qu'aux vibrations longitudinales car la membrane fixée sur sa circonférence ne peut vibrer que suivant l'axe du fil. De plus, cette membrane étant électriquement reliée à la masse, la céramique placée derrière sera peu soumise aux tensions parasites provoquées par le claquage de l'étincelle.

Nous avons expérimenté pour cette configuration du montage trois épaisseurs de membrane (50 µm, 30 µm et 20 µm) et deux solutions pour la fixation de la céramique sur la membrane (soudure et collage).

Avec la membrane épaisse (50 µm) et la céramique soudée à celle-ci, nous avons obtenu une impulsion d'environ 5mV et de largeur 3 µs (fig. 15). Cet assemblage était trop lourd, il absorbait trop d'énergie.

Pour alléger l'assemblage de détection, nous avons utilisé une membrane de 30 µm et nous avons collé la céramique à l'aide de colle cyanolite. Nous avons ainsi obtenu une impulsion d'environ 10 mV d'amplitude et 2µs de largeur (fig. 16). Malheureusement, cette impulsion était suivie de nombreux rebondissements probablement dus à ce que la cyanolite est trop élastique.

Nous sommes donc revenus à une céramique soudée mais en allégeant au maximum la membrane. Le dernier assemblage que nous avons essayé était donc constitué par une céramique soudée à une membrane de 20 µm. Nous avons obtenu une impulsion de 10 mV d'amplitude et 2 µs de largeur (fig. 17). La résolution que permet d'obtenir ce transducteur piézoélectrique n'est pas suffisante pour l'utilisation que nous désirons en faire. En effet, 2 µs correspondent à 8 mm dans l'espace et il nous faut une résolution de 1 à 2 mm. Il nous fallait donc trouver un autre transducteur plus rapide.
## 2) Transducteur magnétique

C'est ainsi que nous nous sommes tournés vers le transducteur utilisé pour la lecture par magnétostriction en essayant de l'adapter à notre problème. Ce transducteur, comme nous l'avons vu au par. 1-I.B-III, est essentiellement constitué par une bobine dans laquelle passe le fil magnétostrictif. De part et d'autre de cette bobine sont placés deux aimants permanents qui produisent à l'intérieur de celle-ci un champ magnétique uniforme. Les déformations que le passage de l'onde mécanique fait subir au fil produisent une variation du flux magnétique passant au travers de la bobine ce qui induit une tension aux bornes de celle-ci.

Pour notre problème, nous avons remplacé le fil de lecture magnétostrictif par un fil de cuivre, sauf en ce qui concerne la partie traversant la bobine car il faut à cet endroit un matériau perméable au champ magnétique. Le problème le plus délicat a été de relier entre eux le fil de cuivre au petit morceau de fil présentant une grande perméabilité magnétique. Nous avons envisagé à cette fin trois méthodes : la brasure à l'argent, la soudure à l'étain et le collage. Seuls, le collage par de la colle cyanolite et la soudure à l'étain ont conduit à des résultats; il s'est avéré en effet impossible de braser deux fils de 200 µm de diamètre.

Avec deux fils soudés entre eux à l'étain, nous avons obtenu une impulsion de 1 mV d'amplitude et 1,5 µs de largeur (fig. 18).

Avec deux fils collés bout à bout par une goutte de colle cyanolite, l'impulsion obtenue a une amplitude de 1 mV et une largeur de 1 µs (fig. 19).

On perd donc par rapport au transducteur piézoélectrique un facteur 10 en amplitude et l'on gagne un facteur 2 en largeur, ce qui n'est malgré tout pas suffisant. La résolution spatiale n'est que de 4 mm alors que pour une chambre à lecture magnétostrictive on obtient une largeur d'impulsion d'environ 200 ns, c'est-à-dire une résolution inférieure à 1 mm. La bande passante du transducteur
magnétique est grande (supérieure à 10 MHz) donc la largeur de l'impulsion n'est pas limitée ici par le transducteur mais par la largeur de l'ébranlement mécanique dans le fil. Pour diminuer cette largeur, il serait souhaitable d'utiliser un seul fil que l'on rendrait très perméable à l'emplacement de la bobine de lecture. Nous n'avons pas encore réussi à résoudre ce problème.

Avant de terminer ce chapitre et pour être complets, il nous faut mentionner un problème qui est inhérent à la lecture par "sparkostriction" : le problème des parasites. Ceux-ci sont créés par le claquage de l'étincelle sur le fil de lecture et provoquent sur le transducteur une impulsion de grande amplitude (fig. 20). On élimine électroniquement ces parasites en ne tenant pas compte des impulsions sortant du transducteur pendant les 50 µs suivant le déclenchement de la chambre. Mais ceci nous oblige à éloigner le transducteur d'au moins 30 cm du premier fil fiduciel pour que l'impulsion mécanique provenant de celui-ci parvienne au transducteur après les 50 µs.

On peut conclure ce compte rendu des essais du système de lecture par "sparkostriction" en rappelant que les résultats que nous avons obtenus montrent que la résolution spatiale est de ± 2 mm sur chacune des coordonnées.
## CONCLUSION

De l'étude que nous avons effectuée, il ressort essentiellement deux conclusions.

La première concerne les chambres de grandes dimensions (longueur et largeur supérieures à une cinquantaine de centimètres). Pour ce type de chambre, la lecture par "sparkostriction" est d'une mise en oeuvre extrêmement délicate (nous rappellerons pour mémoire que la tolérance sur la planéité de la chambre doit être inférieure à 10 µm), ce qui est peu compatible avec la fiabilité exigée pour l'utilisation d'une telle chambre dans une expérience de physique. Mais un problème encore plus grave est celui concernant la résolution spatiale. La lecture par "sparkostriction" ne permet d'obtenir qu'une résolution de ± 2 mm sur les coordonnées de l'étincelle, résolution que l'on doit comparer à ± 0,5 mm obtenue par la lecture par magnétostriction. Cette mauvaise résolution ne nous semble pas compensée par le fait que le système de lecture par "sparkostriction" soit insensible au champ magnétique.

La seconde conclusion à laquelle nous a conduits cette étude concerne les chambres de petites dimensions (longueur et largeur inférieures à une vingtaine de centimètres). Pour ce type de chambre, la construction est beaucoup plus aisée car les tolérances sur la planéité de la chambre sont bien plus facilement obtenues. Malheureusement, la résolution spatiale restant la même, le domaine d'utilisation de telles chambres semble assez restreint.

En résumé, on peut dire que l'état actuel de la technique des céramiques piézoélectriques, et peut-être aussi le phénomène physique lui-même, ne permettent pas d'espérer une amélioration sensible de la résolution de ce système de lecture. Les chambres à fil à lecture par "sparkostriction" ne nous semblent donc pas promues à un grand avenir.
En ce qui concerne la constitution d'un spectromètre de masse, la solution nous paraissant actuellement la plus raisonnable semble être l'utilisation de chambres "optiques". C'est aussi la conclusion à laquelle a abouti le groupe du C.E.R.N. responsable du projet Ω.
- Appendice 1 -

Dans cet appendice, après avoir rappelé brièvement la principe de la formation de la décharge dans une chambre à étincelles, nous passons rapidement en revue les types de chambres à étincelles les plus employés.

### MECANISME DE PRODUCTION DE LA DECHARGE

Les électrons libres produits par l'ionisation du gaz sur le trajet de la particule sont accélérés par le champ électrique. Ils ionisent à leur tour les molécules et produisent d'autres électrons libres. La répétition de ce processus crée un nombre d'électrons libres qui croît exponentiellement (c'est l'avalanche de TOWNSEND) [10, 11, 13, 14]. Ceci se poursuit jusqu'à ce que le champ dû à la charge d'espace soit égal au champ extérieur (le nombre d'électrons de l'avalanche critique est alors de l'ordre de $10^8$). Le mécanisme qui se développe ensuite a été étudié par RAËTHER [12]. Des photons sont émis lors de la recombinaison des ions positifs et des électrons et ceci principalement dans l'axe de l'avalanche en tête et en queue car à ces endroits le champ électrique dû à la charge d'espace s'ajoute au champ extérieur. Ces photons créent des photo-électrons qui, à leur tour, forment des avalanches secondaires très rapidement critiques du fait du champ électrique très élevé. Ces avalanches secondaires produisent à leur tour des photons et le processus s'amplifie.

Les avalanches se mélangeant forment alors un canal ionisé se dirigeant vers l'anode et un autre vers la cathode (RAËTHER a montré expérimentalement que la vitesse de ce déplacement était de l'ordre de $10^8$ cm/s). Lorsque les deux canaux très ionisés, donc conducteurs, ont atteint les électrodes, la différence de potentiel entre celles-ci s'annule brutalement : c'est l'étincelle proprement dite.
## CHAMBRES A LONGUES ETINCELLES

L'intervalle entre les électrodes peut varier entre 5 et 50 cm [1, 2, 3]. Pour ce type de chambre, l'étincelle suit la trajectoire de la particule tant que celle-ci fait avec le champ électrique un angle inférieur à un angle limite qui dépend surtout de la largeur de l'espace interélectrode et qui, pour un espace de 8 cm, est de 35° [10]. En plaçant ces chambres dans un champ magnétique, la courbure de l'étincelle permet de déterminer l'impulsion de la particule. La précision obtenue avec ces chambres semble être un peu supérieure à celle obtenue avec des chambres à petit intervalle interélectrode mais il faut pour cela corriger le déplacement de l'étincelle dans les directions de $\vec{E}$ et de $\vec{E} \times \vec{B}$ [9].

## CHAMBRES A STREAMER

L'espace interélectrode varie de 5 à 10 cm et ces chambres sont en général planes (le groupe de DESY [4] en a construit une cylindrique). Contrairement aux autres chambres à étincelles, les trajectoires des particules sont ici parallèles aux équipotentielles et sont rendues visibles par des décharges qui courent le long des lignes de force du champ électrique. On appelle aussi ces chambres "chambres à projection" car lorsqu'on regarde les traces au travers des électrodes, celles-ci étant soit en verre conducteur [5] soit en grillage [6], la trajectoire est visualisée par une guirlande de points lumineux, ces points étant les projections des décharges sur les électrodes. Ces chambres nous délivrent donc la la projection de la trajectoire sur les équipotentielles. Elles sont principalement conçues pour des faisceaux intenses. On ne note pas de diminution de leurs efficacités jusqu'à $10^7$ particules/cm.s [5] et, à partir de $10^8$ part./cm.s, les traces cessent d'être visibles. Ces chambres, ne permettant d'obtenir qu'une projection de la trajectoire, servent uniquement à observer des régions restreintes de l'espace avec une bonne résolution.
## - CHAMBRES A PETIT INTERVALLE INTERELECTRODE ($\leq$ 2 cm)

Les chambres optiques, à petit intervalle interélectrode, c'est-à-dire les chambres pour lesquelles l'enregistrement de l'étincelle se fait par photographie, sont de plus en plus remplacées par des chambres à fil à enregistrement automatique [7]. Il existe deux types essentiels de telles chambres : les chambres à lecture par tores et les chambres à lecture analogique (magnétostriction ou "sparkostriction"). Les chambres à lecture par tores utilisent le courant qui passe dans le fil sur lequel a éclaté l'étincelle pour faire basculer un tore magnétique. Quant aux chambres à lecture analogique, elles utilisent la propagation d'une vibration mécanique dans un fil de lecture. Pour la magnétostriction, ce signal est engendré par la variation du champ magnétique que crée le courant qui passe dans le fil touché par l'étincelle. Cette variation de champ magnétique provoque un pincement d'une ligne magnétostrictive placée à proximité des fils de la chambre. Pour la "sparkostriction", le signal est engendré par l'impact de l'onde de choc provoquée par l'éclatement d'une petite étincelle secondaire entre le fil de lecture et le fil de la chambre qui a été touché par l'étincelle.

Les chambres à lecture analogique ont l'avantage sur les chambres à lecture digitale (chambres à tores) de pouvoir être très grandes sans que le prix de la construction soit démesuré. Multiplier par deux la longueur d'une ligne de lecture est sans commune mesure avec le fait de multiplier par deux le nombre de tores.

## - CHAMBRES PROPORTIONNELLES

Nous terminerons cette revue rapide par les chambres proportionnelles qui permettent d'obtenir l'énergie perdue par la particule à la traversée de la chambre ainsi que la position de cette particule. Mais il faut pour cela deux amplificateurs linéaires par fil ce qui, dans l'état actuel de la technique des circuits intégrés, commence à peine à être réalisable et est encore d'un prix assez élevé.
- Appendice 2 -

## QUELQUES PROPRIETES DES MATERIAUX PIEZOELECTRIQUES

Nous ne considérerons que le cas d'une céramique polarisée suivant Oz et dont les électrodes sont situées sur les faces A et B perpendiculaires à Oz.

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

La céramique a une épaisseur $l$ suivant Oz et les électrodes ont une surface $σ = t_1 × t_2$.

Le mode principal de vibration est dirigé suivant Oz.

### 1- Équations de fonctionnement

Les équations de fonctionnement de cette céramique peuvent s'écrire en première approximation (c'est-à-dire en ne considérant que le mode principal de vibration) :
$$S_3 = s_{33}^T T + d_{33} E$$

$$D_z = d_{33} T + \epsilon_3^T E$$

T est l'élément du tenseur des contraintes qui correspond à une pression sur les faces A et B (l'unité est le Newton/m²).

E est le champ électrique appliqué entre les faces A et B (l'unité est le volt/m).

$S_3$ est l'élément du tenseur des déformations correspondant à une compression suivant $Oz$ ($S_3$ est sans dimension, c'est une déformation relative).

$D_z$ est l'induction électrique suivant $Oz$ (l'unité est le Coulomb/m²).

$S_{33}^T$ est une constante d'élasticité pour une contrainte appliquée sur une face perpendiculaire à $Oz$ et une déformation mesurée suivant $Oz$ pour un champ électrique appliqué constant ($E = C^{ste}$), (l'unité est le m²/Newton).

$d_{33}$ est une constante piézoélectrique qui fait correspondre à une contrainte sur les faces perpendiculaires à $Oz$, une induction électrique suivant $Oz$, (l'unité est le Coulomb/Newton).

$\epsilon_3^T$ est la constante diélectrique de la céramique mesurée suivant $Oz$ avec une contrainte sur les faces perpendiculaires à $Oz$ constantes ($T = C^{ste}$), (l'unité est le Farad/m).

En résolvant la première équation pour une contrainte nulle puis pour une déformation nulle on obtient :

- l'allongement relatif :

$$\frac{\Delta \ell}{\ell} = d_{33} E \quad \text{soit} \quad \frac{\Delta \ell}{\ell} = d_{33} \frac{V}{\ell}$$

(V représentant la tension appliquée aux barres de la céramique)
- la force que développe la céramique

$$F = T_3 \sigma \quad \text{et} \quad T_3 = - \frac{d_{33} E}{s_{33} T}$$

soit

$$F = - \frac{d_{33}}{s_{33} E} \cdot \frac{V\sigma}{\ell}$$

(la force est positive si elle tend à dilater la céramique)

En résolvant la seconde équation pour une force appliquée F fixée, nous obtenons pour la céramique en circuit ouvert : le potentiel, et pour la céramique en court-circuit : la charge électrique produite.

$$E_z = - \frac{d_{33}}{\varepsilon T} \cdot \frac{F}{\sigma} \quad \text{et en posant} \quad \varepsilon_{33} = \frac{d_{33}}{\varepsilon T} \quad (\text{m/Coulomb}),$$

nous obtenons :

$$V = - \varepsilon_{33} \frac{F\ell}{\sigma}$$

la charge électrique est donnée par :

$$Q = \int_{0}^{t_1} \int_{0}^{t_2} D_z dt_1 dt_2 \quad \text{soit} \quad Q = d_{33} F$$

## 2- Constante de couplage électromécanique

L'une des propriétés essentielles des céramiques piézoélectriques est leur rôle de transformateur d'énergie mécanique en énergie électrique. Cette propriété est caractérisée par une constante de couplage $k^2$ égale au rapport de l'énergie mécanique emmagasinée à l'énergie électrique totale à l'entrée

$$k^2 = \frac{W_M}{W_E}$$
avec

$$W_M = - \int_0^{\Delta\ell} F \, d\ell = \frac{1}{2} F \cdot \Delta\ell$$

et

$$W_E = \frac{1}{2} \int_0^\ell \int_0^{t_1} \int_0^{t_2} D_z E \, dt_1 \, dt_2 \, d\ell = \frac{1}{2} QV$$

soit

$$W_M = \frac{1}{2} \frac{(d_{33})^2}{s_{33}^E} \cdot V^2 \frac{\sigma}{\ell}$$

et

$$W_E = \frac{1}{2} \epsilon^T \frac{\sigma}{\ell} V^2$$

ce qui nous donne

$$k^2 = \frac{(d_{33})^2}{s_{33}^E \epsilon^T}$$
# CALCUL DE LA DIFFUSION MULTIPLE

## 1 - PROPRIETES GENERALES

Soient x et y les coordonnées transverses du point de sortie de la trajectoire d'une particule ayant traversé une épaisseur z de matière - la trajectoire incidente étant colinéaire à l'axe OZ - et soient θx et θy les projections, respectivement sur les plans XOZ et YOZ, de l'angle que fait la trajectoire au point (x,y) avec l'axe OZ.

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

La probabilité pour que la trajectoire passe au point (x, y, z) en faisant avec l'axe OZ les angles projetés θx et θy s'écrit :

$$ \mathcal{P}(x,y,z,\theta_x,\theta_y)dxdyd\theta_x d\theta_y = P_x(z,x,\theta_x)dxd\theta_x \cdot P_y(z,y,\theta_y)dyd\theta_y $$

Les distributions projetées sur les plans XOZ et YOZ sont donc indépendantes. Les densités de probabilité P_x et P_y sont identiques et s'écrivent :

$$ P(z,x,\theta_x) = \frac{2\sqrt{3}}{\pi\alpha^2 z^2} \exp \left\{ -\frac{4}{\alpha^2 z} \left( \theta_x^2 - 3\frac{x}{z}\theta_x + \frac{3x^2}{z^2} \right) \right\} $$

avec $\alpha^2 = \left(\frac{21}{p \beta c}\right)^2 \frac{1}{Z_o}$, Z_o étant la longueur de radiation caractéristique des matériaux traversés [25]
<figure><img src="image_14.png" /></figure>
Si l'on intègre la densité de probabilité $P(z,x,\theta_x)$ par rapport au déplacement latéral $x$, on obtient une fonction $Q(z,\theta_x)$ qui représente la distribution angulaire :

$$Q(z, \theta_x) = \int_{-\infty}^{+\infty} P(z, x, \theta_x) d_x = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{1}{\alpha \sqrt{z}} e^{-\frac{(\theta_x)^2}{\alpha^2 z}}$$

Cette distribution est gaussienne avec une moyenne nulle et un écart-type $\overline{\Delta\theta_x^2} = \frac{\alpha^2 z}{2} = \left(\frac{15}{\beta cp}\right)^2 \frac{z}{z_o}$

Si, par contre, on intègre la densité de probabilité $P(z,x, \theta_x)$ par rapport à $\theta_x$, on obtient une fonction $S(z,x)$ qui représente la distribution du déplacement latéral $x$ :

$$S(z, x) = \int_{-\infty}^{+\infty} P(z, x, \theta_x) d\theta_x = \sqrt{\frac{3}{\pi}} \frac{1}{\alpha z^{3/2}} e^{-\frac{3x^2}{\alpha^2 z^3}}$$

Cette distribution est gaussienne avec une moyenne nulle et un écart-type $\overline{\Delta x^2} = \frac{\alpha^2 z^3}{6} = \frac{1}{3} \left(\frac{15}{\beta cp}\right)^2 \frac{z^3}{z_o}$

L'introduction des distributions $S(z,x)$ et $Q(z,\theta_x)$ présente deux avantages :

1. Ces distributions sont gaussiennes -

2. Nous allons démontrer que la distribution $S(z_2,x_2)$, $[\text{respectivement } Q(z_2,\theta_2)]$ résultant de la traversée par la particule de deux matériaux différents, est obtenue en faisant simplement le produit de convolution des distributions $S(z_1,x_1)$ et $S(z_2-z_1, x_2-x_1)$ $[\text{respectivement } Q(z_1,\theta_1)$ et $Q(z_2-z_1, \theta_2-\theta_1)]$, celles-ci représentant les distributions calculées pour chacun des matériaux séparément. Le produit de convolution de deux gaussiennes étant encore une gaussienne, on peut traiter facilement, avec les distributions $S(z,x)$ et $Q(z,\theta_x)$, la diffusion multiple d'une particule traversant un nombre quelconque de matériaux, alors qu'en utilisant la distribution $P(z,x,\theta_x)$, ceci est très difficile.

Démonstration :

$$S(z_2, x_2) = \int_{-\infty}^{+\infty} d\theta_2 \cdot \iint P(z_1, x_1, \theta_1) \cdot P(z_2-z_1, x_2-x_1, \theta_2, \theta_1) d\theta_1 dx_1$$
Nous obtenons pour l'élément de chambre :

$$ \overline{\Delta \theta^2} \approx \left(\frac{15}{p \beta c}\right)^2 \qquad 132,07 \ 10^{-4} \text{ rad}^2 $$

$$ \overline{\Delta x^2} \approx \left(\frac{15}{p \beta c}\right)^2 \qquad 9,7610^{-4} \text{ cm}^2 $$

<table><caption>TABLEAU 1</caption><thead><tr><th>Matériaux</th><th>Epaisseur<br>ξ<sub>i</sub> en<br>10<sup>-4</sup> cm</th><th>Longueur<br>de<br>radiation<br>Z<sub>oi</sub> en cm</th><th>Δθ<sup>2</sup><br>(15/pβc)<sup>2</sup><br>10<sup>-4</sup> rad<sup>2</sup></th><th>Δx<sup>2</sup><br>(15/pβc)<sup>2</sup><br>10<sup>-12</sup> cm<sup>2</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>Cuivre</td><td>20</td><td>1,34</td><td>14,93</td><td>1991</td></tr><tr><td>Mylar</td><td>200</td><td>28,7</td><td>6,97</td><td>92931</td></tr><tr><td>Fil</td><td>11,3</td><td>1,5</td><td>7,53</td><td>321</td></tr><tr><td>Gaz (Hélium)</td><td>10000</td><td>683</td><td>14,64</td><td>4,876710<sup>8</sup></td></tr><tr><td>Fil</td><td>11,3</td><td>1,5</td><td>7,53</td><td>321</td></tr><tr><td>Mylar</td><td>200</td><td>28,7</td><td>6,97</td><td>92931</td></tr><tr><td>Cuivre</td><td>20</td><td>1,34</td><td>14,93</td><td>1991</td></tr><tr><td>Mylar</td><td>200</td><td>28,7</td><td>6,97</td><td>92931</td></tr><tr><td>Fil</td><td>11,3</td><td>1,5</td><td>7,53</td><td>321</td></tr><tr><td>Gaz (Hélium)</td><td>10000</td><td>683</td><td>14,64</td><td>4,876710<sup>8</sup></td></tr><tr><td>Fil</td><td>11,3</td><td>1,5</td><td>7,53</td><td>321</td></tr><tr><td>Mylar</td><td>200</td><td>28,7</td><td>6,97</td><td>92931</td></tr><tr><td>Cuivre</td><td>20</td><td>1,34</td><td>14,93</td><td>1991</td></tr></tbody><tfoot><tr><td colspan="3"></td><td>132,07 10<sup>-4</sup> rad<sup>2</sup></td><td>9,757 10<sup>-4</sup> cm<sup>2</sup></td></tr></tfoot></table>

$$ \overline{\Delta \theta_i^2} = \left(\frac{15}{p \beta c}\right)^2 \times \frac{\xi_i}{Z_{oi}} \qquad \overline{\Delta x^2} = \left(\frac{15}{p \beta c}\right)^2 \frac{1}{3} \frac{\xi_i^3}{Z_{oi}} = \overline{\Delta \theta_i^2} \cdot \frac{\xi_i^2}{3} $$
### 3 - DIFFUSION MULTIPLE SANS CHAMP MAGNETIQUE

Considérons l'appareillage constitué par 10 éléments de chambre séparés les uns des autres par $l$ centimètres d'air.

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

La distribution en déplacement à la sortie de l'appareillage sera une distribution gaussienne $S(z,x)$ avec un écart-type $\overline{\Delta x}^2 = \sum_{i=1}^{19} \overline{\Delta x_i}^2$ et $\overline{\Delta x}^2$ étant l'écart-type individuel pour une chambre ou pour l'air

On obtient donc :

$$ \overline{\Delta x}^2 = 10 \overline{\Delta x}^2_{ch} + 9 \overline{\Delta x}^2_{air} $$

$$ \text{avec } \overline{\Delta x}^2_{ch} = \left(\frac{15}{p \beta c}\right)^2 10^{-3} \quad \text{et} \quad \overline{\Delta x}^2_{air} = \left(\frac{15}{p \beta c}\right)^2 \frac{1}{3} \frac{l^3}{30290} $$

On obtient alors :

$$ \overline{\Delta x}^2 = \left(\frac{15}{p \beta c}\right)^2 \left\{ 10^{-2} + \frac{3}{30290} l^3 \right\} = \left(\frac{15}{p \beta c}\right)^2 \left\{ 10^{-2} + 10^{-4} l^3 \right\} $$

### 4 - DIFFUSION MULTIPLE AVEC CHAMP MAGNETIQUE

Si l'on passe à l'aide de la transformation conforme $X+iZ = e^{X+iZ}$ du plan xoz au plan XOZ, les courbes x constant sont transformées en cercles de rayon $R = e^X$. Nous pourrons donc, par cette transformation, passer de l'étude de la diffusion multiple sans champ magnétique à celle avec champ magnétique.

La diffusion multiple n'entraînant que de petites modifications de la trajectoire, nous allons imposer à la transformation d'être autour de la trajectoire sans diffusion multiple localement isométrique.
Si l'on choisit dans le plan XOZ les coordonnées polaires $R, \Theta$, la transformation s'écrit $R = e^x$ et $\Theta = z$. Dans le plan xoz, la trajectoire sans diffusion multiple étant $x = 0$, nous voulons qu'il lui corresponde dans le plan XOZ un cercle de rayon $R_0$ (avec $p=3BR_0$). Si nous écrivons la transformation avec deux facteurs d'échelle $\alpha$ et $\beta$.

$$ \frac{X+iZ}{\alpha} = \exp\left(\frac{x+iz}{\beta}\right) \text{ nous avons } \frac{R}{\alpha} = e^{x/\beta} \text{ et } \frac{\Theta}{\beta} = z/\beta $$

$$ \text{Pour } x = 0 \text{ on veut } R = R_0, \text{ il faut donc } \alpha = R_0 $$

$$ \text{Pour que la transformation soit isométrique dans un voisinage de } R = R_0, \text{ il faut : } dS = ds \text{ avec } ds = \sqrt{dR^2+d\Theta^2} = \frac{R}{\beta} ds \\ \text{avec } ds = \sqrt{dx^2+dy^2} $$

$$ \text{Pour } R = R_0 \text{ on a } dS = \frac{R_0}{\beta} ds, $$

$$ \text{il faut donc prendre } \beta = R_0. $$

La transformation que nous recherchions s'écrit donc :

$$ \frac{R}{R_0} = e^{x/R_0} \text{ et } \Theta = z/R_0 \text{ avec } R_0 = p/3B \quad (p \text{ en MeV, B en Tesla, } R_0 \text{ en cm}) $$

## 5 - INCERTITUDE SUR LE RAYON DE COURBURE DE LA TRAJECTOIRE

Pour déterminer l'impulsion des particules, c'est-à-dire le rayon de courbure de leurs trajectoires, nous interpolerons dans le plan XOZ les vingt points mesurés par un cercle.

Dans le plan xoz, la trajectoire sans diffusion multiple est la droite $x = 0$. L'incertitude due à la diffusion multiple à la sortie de la chambre i est :

$$ \sqrt{\Delta x_i^2} = \frac{15}{p \beta c} \sqrt{i \cdot 10^{-3} + \frac{i-1}{3} \cdot \frac{3}{30290}} $$

Nous avons porté ces valeurs sur la figure A

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Fig. 1</figcaption></figure>
La trajectoire avec diffusion multiple passe entre les courbes AB et CD. Pour simplifier les calculs, nous prendrons comme courbes-limites les droites B'B et D'D. ($x = \pm\sqrt{\Delta x_t^2}$ tot.

Dans le plan XOZ, ces courbes-limites sont les deux cercles ($C_1$ et $C_2$)

$$ \text{de rayon } R_2 = R_0 \exp\left(\frac{+\sqrt{\Delta x_t^2}}{R_0}\right) \text{ et } R_1 = R_0 \exp\left(-\sqrt{\Delta x_t^2}\right) $$

Le cercle interpolant la trajectoire doit passer entre $C_1$ et $C_2$.

Le cercle interpolant une trajectoire, donc passant entre $C_1$ et $C_2$, et qui possède le plus grand rayon de courbure possible est $C_2$; celui possédant le plus petit rayon de courbure possible est $C'$.

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

Si $\lambda$ désigne la distance D'D, nous avons la relation $r=8\lambda^2/s$ entre le rayon r et la flèche s.

$$ \text{Pour } C_1: R_1 = \frac{8\lambda^2}{s_1} \quad \text{pour } C': R' = \frac{8\lambda^2}{s_1+R_2-R_1} \\ \text{soit } \frac{1}{R_1} = \frac{1}{R_1} + \frac{R_2-R_1}{8\lambda^2} $$

Comme $\sqrt{\Delta x_t^2/R_0}$ est très petit, on peut approcher les exponentielles au 1° ordre

$$ R_1 \approx R_0 \left(1 - \sqrt{\Delta x_t^2 / R_0}\right) \quad \text{et} \quad R_2 \approx R_0 \left(1 + \sqrt{\Delta x_t^2 / R_0}\right) $$

ce qui nous donne : $$ R' \approx R_0 \left[ 1 - \frac{\sqrt{\Delta x^2}}{R_0} \left( 1 + \frac{1}{4} \left( \frac{R_0}{\lambda} \right)^2 \right) \right] $$

Nous obtenons donc :

$$ \frac{\Delta R}{R_0} = \frac{R_2 - R'}{R_0} = \frac{\sqrt{\Delta x_t^2}}{R_0} \left( 2 + \frac{1}{4} \left( \frac{R_0}{\lambda} \right)^2 \right) $$
Soit :

$$ \frac{\Delta R}{R} = \frac{1}{BR^2} \sqrt{1 + 10^{-2}\left(\frac{\lambda-20}{9}\right)^2 \left(1 + \frac{1}{8}\left(\frac{R}{\lambda}\right)^2\right)} $$

R, λ en cm, B en Tesla.

Dans cette formule, on a remplacé $l$ par $\frac{\lambda-20}{9}$
$l$ étant l'épaisseur d'air entre deux chambres successives,
λ étant la longueur hors tout de l'appareillage, c'est-à-dire
10 chambres de 2 cm soit 20 cm plus 9 intervalles d'air
d'épaisseur $l$.
# QUELQUES PROPRIETES DES ONDES MECANIQUES DANS LES SOLIDES

## 1- PROPAGATION

Dans un solide infini isotrope, ou dans un solide dont les dimensions dans le plan perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde sont grandes par rapport à la longueur d'onde, les vitesses de propagation de l'onde longitudinale et de l'onde de cisaillement sont :

$$v_{\text{ext}} = \sqrt{\frac{\lambda + 2\mu}{\rho}}$$

$$v_c = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}$$

* $\rho$ représente la masse volumique

* $\mu$ représente la constante de cisaillement (shear modulus)

* $\lambda = k - 2\mu/3$ k étant la constante d'élasticité volumique (Bulk modulus)

Pour des fils de section circulaire dont le diamètre est petit devant la longueur d'onde, les vitesses de propagation des ondes longitudinale et de torsion sont :

$$v_{\ell} = \sqrt{\frac{\gamma_o}{\rho}}$$

$$v_t = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}$$

$$\text{avec } \gamma_o = \mu \left( \frac{3\lambda + 2\mu}{\lambda + \mu} \right)$$

L'impédance caractéristique d'un fil est, pour une onde dont la vitesse de propagation est $v : Z = \rho v$.
Les coefficients de réflexion et de transmission entre les milieux 1 et 2 sont définis par :

$$R = \frac{Z_1 - Z_2}{Z_1 + Z_2}$$

$$T = 1 - R = \frac{2Z_2}{Z_1 - Z_2}$$

## 2- ATTENUATIONS

Lorsque le son se propage dans un solide, il se produit une transformation d'énergie mécanique en énergie calorifique. Nous allons passer en revue dans ce paragraphe les principales causes de dégradation de cette énergie.

### a- Perte par flux de chaleur entre zones en compression et dilatation

La compression et la dilatation du solide rechauffent et refroidissent celui-ci, ce qui fait varier les constantes d'élasticité. En évaluant l'énergie dissipée par le flux de chaleur entre les parties chaudes et les parties froides, on trouve comme atténuation pour l'onde longitudinale :

$$A = \frac{2\pi f^2}{\rho v^3} \frac{K}{C_v} \frac{Y_o^\sigma - Y_o^\theta}{Y_o^\theta}$$

A est exprimé en Nepers/m

Les indices $\theta$ et $\sigma$ signifient isotherme et adiabatique, f représente la fréquence, v la vitesse, $\rho$ la masse volumique, K la conductivité calorifique et $C_v$ la capacité calorifique à volume constant. Les unités étant celles du système M.K.S.A.

### b- Perte par flux de chaleur entre grains adjacents

Dans un solide polycristallin, lorsque deux grains adjacents ne sont pas soumis à la même compression ou dilatation lors du passage de l'onde, il s'établit un flux de chaleur entre ceux-ci. Les pertes dues à ce phénomène peuvent s'écrire :
$$ \frac{1}{Q} = \frac{C_p - C_v}{C_v} \cdot R \cdot \frac{f_o f}{f_o^2 + f^2} $$

Q représente le facteur de qualité (par définition voir réf. [24])

$$ \frac{2\pi}{Q} = \frac{\text{Energie dissipée par cycle}}{\text{Energie emmagasinée par cycle}} $$

f₀ représente la fréquence de relaxation (typiquement de l'ordre de 100 MHz)

f représente la fréquence de l'onde

R représente la fraction de l'énergie mécanique associée aux fluctuations de dilatation

### c- Perte par diffusion de l'onde sur les grains

Lorsque les grains sont de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde, l'orientation différente de grains adjacents produit des impédances différentes pour l'onde. Une formule approchée nous permet d'estimer, lorsque la longueur d'onde est au moins trois fois plus grande que les grains, les pertes dues à ce phénomène

$$ \alpha_d = \frac{8\pi^4 L_G^3 f^4}{9 v^4} \quad \text{en Nepers/m} $$

L<sub>G</sub> représente le diamètre moyen des grains

S représente le facteur de diffusion lié à l'anisotropie du solide

On trouvera dans le tableau 2 les valeurs relatives de α<sub>d</sub> (il a été choisi comme référence α<sub>d</sub> = 0 pour le tungstène).

### CONCLUSION

Les pertes dues à la diffusion de l'onde sur les grains étant assez faibles par rapport aux autres. Pour comparer les trois métaux susceptibles d'être utilisés pour le fil de lecture, nous ne tiendrons compte en première approximation que des pertes a) et b).
Pour un mètre de fil et pour une fréquence de un mégahertz, nous obtenons pour les atténuations exprimées en Nepers (et en décibels)

$$A_{Cu} = -4,45 \times 10^{-4} + \log\left(1 - \frac{2\pi}{Q_{Cu}}\right) = -5,31 \times 10^{-4} \text{ Neper} \quad [4,6 \times 10^{-3} \text{ db}]$$

$$A_{Ag} = -19,51 \times 10^{-4} + \log\left(1 - \frac{2\pi}{Q_{Ag}}\right) = -20,71 \times 10^{-4} \text{ Neper} \quad [1,8 \times 10^{-2} \text{ db}]$$

$$A_{Au} = -19,51 \times 10^{-4} + \log\left(1 - \frac{2\pi}{Q_{Au}}\right) = -20,31 \times 10^{-4} \text{ Neper} \quad [1,8 \times 10^{-2} \text{ db}]$$

Ces atténuations sont très faibles. Les causes des pertes n'étant pas toutes connues même si nous avions sous évalué d'un facteur 5 les atténuations, ce qui est très pessimiste, celles-ci resteraient négligeables (inférieures à 0,1 db, donc inférieure à environ 1 %).

<table><caption>Tableau 2</caption><thead><tr><th></th><th><i>V</i><sub>ext</sub></th><th><i>V</i><sub>l</sub><br>m/s</th><th><i>V</i><sub>t</sub><br>m/s</th><th><i>Z</i><sub>l</sub><br>10<sup>-6</sup><br>kg/sm<sup>2</sup></th><th><i>A</i>/<i>f</i><sup>2</sup><br>Nepers/m</th><th><sup><i>C</i><sub>p</sub> - <i>C</i><sub>v</sub></sup>/<i>C</i><sub>v</sub> R</th><th><i>α</i><sub>d</sub><sup>*</sup><br>Nepers/m</th></tr></thead><tbody><tr><td>Cu</td><td>5010</td><td>3750</td><td>2270</td><td>44,6</td><td>4,45 &times; 10<sup>-16</sup></td><td>8,7 &times; 10<sup>-4</sup></td><td>7,4 &times; 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>Ag</td><td>3650</td><td>2680</td><td>1610</td><td>38,0</td><td>1,95 &times; 10<sup>-15</sup></td><td>1,2 &times; 10<sup>-3</sup></td><td>5,1 &times; 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>Au</td><td>3240</td><td>2030</td><td>1200</td><td>62,5</td><td>1,95 &times; 10<sup>-15</sup></td><td>5,3 &times; 10<sup>-4</sup></td><td>1,78 &times; 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>Ni-Co</td><td></td><td></td><td></td><td>54,0</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

* Il a été choisi $\alpha_d = 0$ pour le tungstène, ce sont donc des valeurs relatives qui sont données dans ce tableau (Réf. [21]).
# BIBLIOGRAPHIE

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[3] STRAUCH K., IEEE Trans. NS12, (4), 1, (1965) (donne une liste de références sur les chambres à larges intervalles)

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## Corrections suivant E et Ē

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### Propriétés acoustiques des solides

#### Généralités

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[20] MASON W.P., *Piezoelectric crystals and their application to ultrasounds*, D.Van Nostrand Company Inc., New York (1950)

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[23] G.BRUHAT, *Electricité*, p.764, Masson 8ème édition, Paris (1963)

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[25] B.ROSSI and K.GREISEN, *Rev. of Modern Physics* 13, 265 (1941)
## LEGENDES des FIGURES

Figure 1 - Vue générale de la chambre

Figure 2 - Schéma électrique équivalent à la chambre

Figure 3 - Schéma électrique d'un éclateur

Figure 4 - Schéma d'alimentation de la chambre en très haute tension

Figure 5 - Schéma de principe de l'alimentation de la chambre en basse tension

Figure 6 - Schéma du montage réel du "champ de balayage"

Figure 7 - Schéma synoptique de l'électronique associée à la chambre

Figure 8 - Schéma complet d'une échelle de comptage

Figure 9 - Schéma global de l'électronique

Figure 10 - Errer relative sur l'impulsion en fonction de la longueur de la chambre. La courbe du bas représente la diffusion multiple et celle du haut l'erreur de pointé en prenant comme paramètre le rayon de courbure de la trajectoire ou l'impulsion. Les courbes marquées 3% et 2% représentent les limites supérieures sur l'erreur de pointé pour que la précision sur la mesure de l'impulsion soit respectivement de 3% et 2%

Figure 11 - Montage du fil de lecture

Figure 12 - Oscillogrammes permettant la mesure de la vitesse de propagation d'une onde mécanique dans un fil à section rectangulaire

Figure 13 - Mêmes oscillogrammes que la figure précédente mais pour un fil à section circulaire

Figure 14 - Oscillogrammes obtenus avec et sans amortissement du fil de lecture
Figure 15 - Impulsion obtenue avec une céramique piézoélectrique soudée à une membrane de 50 µm

Figure 16 - Impulsion obtenue avec une céramique piézoélectrique collée à une membrane de 30 µm

Figure 17 - Impulsion obtenue avec une céramique piézoélectrique soudée à une membrane de 20 µm

Figure 18 - Impulsion obtenue avec un transducteur magnétique, le fil de lecture étant soudé au fil à grande perméabilité magnétique

Figure 19 - Impulsion obtenue avec un tranducteur magnétique, le fil de lecture étant collé au fil à grande perméabilité magnétique

Figure 20 - Impulsion parasite due au claquage de l'étincelle dans la chambre
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Fig. 1</figcaption></figure>
Coupe schématique de la chambre

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Schéma électrique
équivalent

<caption>Fig. 2</caption>
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Fig. 3</figcaption></figure>

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Fig. 4</figcaption></figure>

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Fig. 5</figcaption></figure>

<caption>Fig. 6</caption>
<figure><img src="image_23.png" /></figure>

Schema synoptique

<caption>Fig. 7</caption>
ECHELLE 30 Minz

119 bleu

<figure><img src="image_24.png" /></figure>
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Fig. 9</figcaption></figure>
<figure><img src="image_26.png" /></figure>

Fig. 10
<figure><img src="image_27.png" /></figure>

Montage du fil de lecture

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

detail

Fig. 11
<figure><img src="image_29.png" /></figure>

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>Fig. 12</figcaption></figure>
<figure><img src="image_32.png" /></figure>

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>Fig. 13</figcaption></figure>
<figure><img src="image_35.png" /></figure>

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>Fig. 14</figcaption></figure>
<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>Fig. 15</figcaption></figure>

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>Fig. 16</figcaption></figure>

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>Fig. 17</figcaption></figure>
<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>Fig. 18</figcaption></figure>

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>Fig. 19</figcaption></figure>

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>Fig. 20</figcaption></figure>