# Conditions necessaires d'optimalite pour des problemes de controle optimal associes a des inequations variationnelles

Christian Saguez

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## To cite this version:

Christian Saguez. Conditions necessaires d'optimalite pour des problemes de controle optimal associes a des inequations variationnelles. [Rapport de recherche] IRIA-RR-345, IRIA. 1979, pp.16. hal-04716601

HAL Id: hal-04716601

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CONDITIONS NÉCESSAIRES
D'OPTIMALITÉ
POUR DES PROBLÈMES
DE CONTRÔLE OPTIMAL
ASSOCIÉS À DES INÉQUATIONS
VARIATIONNELLES

Christian SAGUEZ

Rapport de Recherche N° 345

Février 1979

<figure><img src="image_5.png" /></figure>
# CONDITIONS NÉCESSAIRES D'OPTIMALITÉ POUR DES PROBLÈMES DE CONTRÔLE OPTIMAL ASSOCIÉS À DES INÉQUATIONS VARIATIONNELLES

Christian Saguez

## Résumé :

Nous considérons un problème de contrôle optimal d'un système gouverné par une inéquation variationnelle parabolique, avec contrainte unilatérale. Sous des hypothèses de régularité suffisante, nous obtenons pour les solutions de ce problème, valeurs d'adhérence de la suite des solutions d'un problème pénalisé régularisé, des conditions nécessaires d'optimalité du même type que celles introduites par F. Mignot dans le cas elliptique.

## Abstract :

We consider an optimal control problem of a system governed by a parabolic variational inequality with unilateral constraint. With sufficient assumptions, we obtain for the solutions, limit points of the sequence of solutions of a regularized penalty problem, optimality necessary conditions. These conditions are similar to those proved by F. Mignot in the elliptic case.
## INTRODUCTION

Nous considérons un problème de contrôle optimal d'un système gouverné par une équation variationnelle parabolique, du même type que celle associée au problème de Stéfan à une phase (J.L. Lions [ ]), soit :

$$ (0.1) \quad \begin{cases} \frac{\partial y}{\partial t} + a(y, \varphi - y) \geq (v, \varphi - y) & \forall \varphi \in K \\ y(0) = 0 ; \quad y \in K \end{cases} \quad \text{avec } K = \{ \varphi \mid \varphi \in H_o^1(\Omega), \varphi \geq 0, \text{ pp. dans } \Omega \} $$

Dans le but d'obtenir des conditions nécessaires d'optimalité, nous introduisons un problème pénalisé régularisé approchant l'inéquation (0.1). En passant à la limite sur les conditions d'optimalité de ce dernier problème, nous obtenons des conditions d'optimalité pour les valeurs d'adhérence de la suite des solutions du problème pénalisé. Nous supposons, si $(\bar{v}, \bar{y})$ est une telle solution, que :

i) l'ensemble $\{(x,t) \mid \bar{v}(x,t)=0\}$ est de mesure de Lebesgue nulle

ii) si $\varphi \in H_o^{1,0}(\Omega \times ]0,T[)$ et $\varphi=0$ p.p. dans F avec
$$ F = \{(x,t) \mid \bar{y}(x,t)=0\}, \quad \text{alors } \varphi \in H_o^{1,0}(\Omega \times ]0,T[ - F) $$

Sous ces hypothèses, en passant à la limite, sur les conditions nécessaires d'optimalité du problème pénalisé, nous obtenons alors des conditions d'optimalité vérifiées par $(\bar{v}, \bar{y})$. Pour cela nous utilisons les résultats de continuité du domaine de contact F, démontrés dans C. Moreno - C. Saguez [5] et C. Saguez [6]. Les conditions d'optimalité obtenues sont du même type que celles démontrées par F. Mignot [4] dans le cas elliptique.

Ce résultat fournit, en particulier, une méthode numérique de résolution (méthode de descente), en utilisant l'état adjoint ainsi introduit. On peut noter enfin qu'un résultat analogue peut être obtenu dans le cas d'un contrôle frontière, l'hypothèse i) devant alors être uniquement vérifiée par le second membre de l'inéquation variationnelle.
# 1. POSITION DU PROBLEME

Soient $\Omega$ un ouvert borné, régulier de $\mathbb{R}^n$, et $a(u,v)$ la forme bi-linéaire continue coercive sur $(H_0^1(\Omega))^2 = V \times V$ définie par $\int_{\Omega} \text{grad}.u \cdot \text{grad}.v \, d\Omega$.

On considère l'inéquation variationnelle :

$$ (1.1) \quad \left\{ \begin{array}{l} \left( \frac{\partial y}{\partial t} , \varphi - y \right) + a(y, \varphi - y) \geq (v, \varphi - y) \quad \forall \varphi \in K \\ y(x, 0) = 0 \quad ; \quad y \in K \end{array} \right. $$

$$ (1.2) \quad y(x,0) = 0 ; y \in K $$

avec

$$ K = \{ \varphi \mid \varphi \in H_0^1(\Omega), \varphi \ge 0 \text{ p.p. dans } \Omega \} $$

On suppose que $v \in L^2(Q) = U$, $V$ étant un espace de Hilbert tel que $U \subset L^2(Q)$ avec injection compacte. On impose d'autre part $p > \text{Sup}(n+2/2,2)$, $p \neq n+2$.

$U$ désigne un convexe fermé borné de $U$ et on introduit la fonctionnelle :

$$ (1.3) \quad J(v) = \|y-z_d\|^2_{L^2(Q)} , \quad z_d \in L^2(Q) \text{ donnée.} $$

On considère le problème de contrôle optimal :

$$ (1.4) \quad \begin{cases} \text{Trouver } \bar{v} \in U_{ad} \text{ tel que :} \\ J(\bar{v}) \le J(v) \quad \forall v \in U_{ad} \end{cases} $$

Ce problème admet au moins une solution. Nous souhaitons obtenir des conditions nécessaires d'optimalité pour les solutions de ce problème.

## Remarque 1 :

Afin de simplifier la présentation, nous étudions ici le cas d'un contrôle distribué. Les résultats resteraient valables pour le cas d'un contrôle frontière, sous des hypothèses de régularité suffisante (C. Moreno - C. Saguez [5]).
On introduit le problème pénalisé suivant :

$$
(1.5) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial y_\varepsilon}{\partial t} - \Delta y_\varepsilon - \frac{1}{\varepsilon} y_\varepsilon^{-} = v \\[1em]
\begin{array}{l}
y_\varepsilon|_{\Sigma=\partial\Omega \times ]0,T[} = 0 \\[1em]
y_\varepsilon(x,0) = 0
\end{array}
\end{array}
\right.
$$

en posant

$$
(1.6) \quad J_{\varepsilon}(v) = \|y_{\varepsilon} - z_{d}\|_{L^{2}(Q)}^{2},
$$

on considère le problème pénalisé :

$$
(1.7) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\text{Trouver } v_{\epsilon} \in \mathcal{L}_{ad} \text{ tel que :} \\
\quad J_{\epsilon}(v_{\epsilon}) \le J_{\epsilon}(v) \quad \forall v \in \mathcal{L}_{ad}
\end{array}
\right.
$$

Ce problème admet au moins une solution et dans un premier temps,
nous nous attachons à l'obtention de conditions nécessaires d'optimalité
pour ce problème.

2. CONDITIONS NECESSAIRES D'OPTIMALITE POUR LE PROBLEME PENALISE

Soit $\varphi_{\eta}(x)$ une régularisation de $\varphi(x) = -x^-$ telle que

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

$$
\varphi_{\eta}(x) \in C^{1}(\mathbb{R}); \varphi_{\eta}(x) \geq 0
$$

$$
\varphi'_{\eta}(x) = 1 \quad \text{si} \quad x \leq \eta
$$

$$
\epsilon [1,0] \text{ si } \eta \le x \le 0
$$

$$
= 0 \quad \text{si} \quad x \ge 0
$$

On a donc en particulier

$$
\varphi_{\eta}(\eta) = c_{\eta} \geq \eta
$$
On considère le problème régularisé :

$$
(2.1) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial y_{\varepsilon}^{n}}{\partial t} - \Delta y_{\varepsilon}^{n} + \frac{1}{\varepsilon} \varphi_{\eta}(y_{\varepsilon}^{n}) = v \\[1em]
\left. y_{\varepsilon}^{n} \right|_{\Sigma} = 0 \\[1em]
\left. y_{\varepsilon}^{n}(x, 0) \right|_{\Sigma} = 0
\end{array}
\right.
$$

$$
(2.2) \quad J_{\varepsilon}^{n}(v) = \left\| y_{\varepsilon}^{n} - z_{d} \right\|_{L^{2}(Q)}^{2}
$$

$$
(2.3) \quad \begin{cases}
\text{Trouver } v_{\varepsilon}^{n} \in \mathcal{U}_{ad} \text{ tel que :} \\
J_{\varepsilon}^{n}(v_{\varepsilon}^{n}) \le J_{\varepsilon}^{n}(v) \quad \forall v \in \mathcal{U}_{ad}
\end{cases}
$$

Ce problème admet au moins une solution et on a les conditions
néc essaires d'optimalité :

$$
(2.4) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial y_{\varepsilon}^{n}}{\partial t} - \Delta y_{\varepsilon}^{n} + \frac{1}{\varepsilon} \varphi_{\eta}(y_{\varepsilon}^{n}) = v_{\varepsilon}^{n} \\[1em]
\left. y_{\varepsilon}^{n} \right|_{\Sigma} = 0 \\[1em]
\left. y_{\varepsilon}^{n}(x, 0) \right|_{\Sigma} = 0
\end{array}
\right.
\\[1em]
(2.5) \quad \left\{
\begin{array}{l}
- \displaystyle \frac{\partial p_{\varepsilon}^{n}}{\partial t} - \Delta p_{\varepsilon}^{n} + \frac{1}{\varepsilon} \varphi'_{\eta}(y_{\varepsilon}^{n}) p_{\varepsilon}^{n} = 2(y_{\varepsilon}^{n} - z_{d}) \\[1em]
\left. p_{\varepsilon}^{n} \right|_{\Sigma} = 0 \\[1em]
\left. p_{\varepsilon}^{n}(x, T) \right|_{\Sigma} = 0
\end{array}
\right.
$$

$$
(2.6) \quad (p_{\epsilon}^{n}, v - v_{\epsilon}^{n}) \ge 0 \quad \forall v \in \hat{\mathcal{U}}_{ad}.
$$

Lemme 1 : $v_{\epsilon}^n$ converge, quand $\eta \to 0$, vers $v_{\epsilon}$ dans $\mathcal{U}$ faible, $v_{\epsilon}$ solution de (1.7).
$v_{\epsilon}^{n}$ appartient à un borné, faiblement fermé de $\tilde{u}$, on peut donc extraire une sous-suite telle que :

$$v_{\epsilon}^{n} \to \tilde{v}_{\epsilon} \quad \text{dans } \tilde{\mathcal{U}} \text{ faible;} \quad \tilde{v}_{\epsilon} \in \tilde{\mathcal{U}}_{\text{ad}}$$

De plus on a :

$$\int_{0}^{T} \left[ \left( \frac{\partial y_{\epsilon}^{n}}{\partial t} , y_{\epsilon}^{n} \right) + a(y_{\epsilon}^{n}, y_{\epsilon}^{n}) + \frac{1}{\epsilon} (\varphi_{\eta}(y_{\epsilon}^{n}), y_{\epsilon}^{n}) \right] dt = \int_{0}^{T} (v_{\epsilon}^{n}, y_{\epsilon}^{n}) dt$$

Comme $\varphi_{\eta}(x) \ge 0$, on en déduit que :

$$(2.7) \quad \left\| |y_{\epsilon}^{n}| \right\|_{L^{2}(O,T;H_{0}^{1}(\Omega))} \le C$$

De plus $\varphi_{\eta}(y)$ peut être considéré comme un opérateur de $L^{2}(Q)$ dans $L^{2}(Q)$ et on a :

$$(2.8) \quad \left\| \varphi_{\eta}(y_{\epsilon}^{n}) \right\|_{L^{2}(Q)} \le \left\| |y_{\epsilon}^{n}| \right\|_{L^{2}(Q)}$$

Donc de (2.7) - (2.8), on déduit que :

$$\left\| \left| \frac{\partial y_{\epsilon}^{n}}{\partial t} \right| \right\|_{L^{2}(O,T;V')} \le C.$$

On peut alors extraire une sous-suite telle que :

$$(2.9) \quad \left\{ \begin{array}{ll} y_{\epsilon}^{n} \to \tilde{y}_{\epsilon} & \text{dans } L^{2}(O,T;V) \text{ faible} \\ \frac{\partial y_{\epsilon}^{n}}{\partial t} \to \frac{\partial \tilde{y}_{\epsilon}}{\partial t} & \text{dans } L^{2}(O,T;V') \text{ faible} \end{array} \right.$$

Montrons que $\tilde{y}_{\epsilon} = y_{\epsilon}(\tilde{v}_{\epsilon})$. On a :

$$\begin{aligned} \left| \varphi_{\eta}(y_{\epsilon}^{n}) - \varphi(\tilde{y}_{\epsilon}) \right| & \le \left| \varphi_{\eta}(y_{\epsilon}^{n}) - \varphi(y_{\epsilon}^{n}) \right| + \left| \varphi(y_{\epsilon}^{n}) - \varphi(\tilde{y}_{\epsilon}) \right| \\ & \le |n| + |y_{\epsilon}^{n} - \tilde{y}_{\epsilon}| \end{aligned}$$
soit

$$
\left| |\varphi_{\eta}(y_{\varepsilon}^{\eta}) - \varphi(\tilde{y}_{\varepsilon})| \right| \leq K_1 |n| + K_2 \left| |y_{\varepsilon}^{\eta} - \tilde{y}_{\varepsilon}| \right| \quad \text{L}^2(Q) \quad \text{L}^2(Q)
$$

Grâce à (2.9) on obtient :

$$
\varphi_{\eta}(y_{\epsilon}^{\eta}) \rightarrow - \tilde{y}_{\epsilon}^{-} = \varphi(\tilde{y}_{\epsilon}) \quad \text{dans } L^2(Q) \text{ fort.}
$$

On peut alors passer à la limite dans l'équation :

$$
\left(\frac{\partial y_{\varepsilon}^{\eta}}{\partial t}, \varphi\right) + a(y_{\varepsilon}^{\eta}, \varphi) + \frac{1}{\varepsilon}(\varphi_{\eta}(y_{\varepsilon}^{\eta}), \varphi) = (v_{\varepsilon}^{\eta}, \varphi) \quad \forall \varphi \in H_o^1(\Omega)
$$

on obtient :

$$
\left(\frac{\partial \tilde{y}_{\epsilon}}{\partial t}, \varphi\right) + a(\tilde{y}_{\epsilon}, \varphi) - \frac{1}{\epsilon}(\tilde{y}_{\epsilon}^{-}, \varphi) = (\tilde{v}_{\epsilon}, \varphi) \quad \forall \varphi \in H_o^1(\Omega)
$$

donc $\tilde{y}_{\epsilon} = y_{\epsilon}(\tilde{v}_{\epsilon})$.

Montrons enfin que $\tilde{v}_\epsilon$ est contrôle optimal. On a :

$$
J_{\epsilon}^{\eta}(v_{\epsilon}^{\eta}) \leq J_{\epsilon}^{\eta}(v) \quad \forall v \in \mathcal{U}_{ad}.
$$

et comme on peut également passer à la limite, on obtient :

$$
J_{\epsilon}^{\eta}(\tilde{v}_{\epsilon}) \leq J_{\epsilon}^{\eta}(v) \quad \forall v \in \mathcal{U}_{\text{ad}}.
$$

ce qui démontre que $\tilde{v}_\epsilon$ est contrôle optimal. On a, en particulier

$$
(2.10) \quad y_{\epsilon}^{\eta} \rightarrow y_{\epsilon}(v_{\epsilon}) \quad \text{dans } L^2(Q) \text{ fort.} \quad \square
$$

Afin de passer à la limite dans (2.5), on introduit les fonc-
tions suivantes :

$$
\chi^{\eta} = \chi_{\{(x,t) | y_{\epsilon}^{\eta} \ge \eta\}} ; \quad \chi^{\epsilon} = \chi_{\{(x,t) | y_{\epsilon} \ge 0\}}
$$

$$
\chi_{\eta} = \chi_{\{(x,t) | y_{\epsilon}^{\eta} \le 0\}} ; \quad \chi^{\epsilon} = \chi_{\{(x,t) | y_{\epsilon} \ge 0\}}
$$
On fait d'autre part l'hypothèse

$$
(2.11) \quad \mathcal{M}\{(x,t) | v_{\varepsilon}(x,t) = 0\} = 0
$$

(2.11) est dense dans $\mathcal{U}$.

On obtient alors le lemme suivant :

Lemme 2 :

$\chi^n \to \chi^\epsilon$ dans $L^2(Q)$ fort

$\chi_{\eta} \to \chi_{\epsilon}$ dans $L^2(Q)$ fort lorsque $\eta$ tend vers 0.

Montrons la première convergence, la démonstration pour la deuxième étant identique. On a

$$
(y_{\epsilon}^{n} - \eta) \chi^{n} = (y_{\epsilon}^{n} - \eta)^{+}
$$

Comme $\chi^n \to \ell$ dans $L^2(Q)$ faible, on obtient à la limite

$$
(2.12) \quad y_{\varepsilon} \ell = y_{\varepsilon}^{+}.
$$

Or grâce à l'hypothèse (2.11) et à la régularité de $y_\epsilon$. on a
$$ \mathcal{M}\{(x,t) | y_\epsilon(x,t)=0\} = 0. $$ On déduit alors de (2.12) que $\ell = \chi^\epsilon$. La convergence forte est immédiate puisque $\chi^\epsilon$ est une fonction caractéristique.

On obtient alors pour l'état adjoint, le résultat de convergence :

Proposition 1 : $p_{\varepsilon}^{n} \to p_{\varepsilon}$ dans $L^2(0,T,H_0^1(\Omega))$ faible, avec $p_{\varepsilon}$ solution de

$$
\begin{cases}
-\frac{\partial p_{\varepsilon}}{\partial t} - \Delta p_{\varepsilon} + \frac{1}{\varepsilon}\chi_{\varepsilon}p_{\varepsilon} = 2(y_{\varepsilon} - z_{\varepsilon}) \\
p_{\varepsilon}|_{\Sigma} = 0 \\
p_{\varepsilon}(x, T) = 0
\end{cases}
$$
Démonstration :

On a, comme $\varphi'_n(x) \in [0,1]$, les estimations à priori :

$$ ||p_{\varepsilon}^{n}||_{L^2(0,T;V)} \leq C $$

$$ ||\frac{\partial p_{\varepsilon}^{n}}{\partial t}||_{L^2(0,T,V')} \leq C $$

On peut donc extraire une sous-suite telle que :

$$ (2.13) \quad \left\{ \begin{array}{ll} p_{\varepsilon}^{n} \to p_{\varepsilon} \quad \text{dans } L^2(0,T,V) \text{ faible} \\ \frac{\partial p_{\varepsilon}^{n}}{\partial t} \to \frac{\partial p_{\varepsilon}}{\partial t} \quad \text{dans } L^2(0,T,V') \text{ faible.} \end{array} \right. $$

De plus on a :

$$ ||\varphi'_{n}(y_{\varepsilon}^{n}) - \chi_{\varepsilon}||_{L^2(Q)} \le ||\varphi'_{n}(y_{\varepsilon}^{n}) - \chi_{n}||_{L^2(Q)} + ||\chi_{\bar{n}} - \chi_{\varepsilon}||_{L^2(Q)} $$

or

$$ ||\varphi'_{n}(y_{\varepsilon}^{n}) - \chi_{n}||_{L^2(Q)}^2 = \int_{\{(x,t) | n \le y_{\varepsilon}^{n} \le 0\}} |1 - \varphi'_{n}(y_{\varepsilon}^{n})|^2 dxdt \le \eta\{(x,t) | n \le y_{\varepsilon} \le 0\} $$

soit

$$ ||\varphi'_{n}(y_{\varepsilon}^{n}) - \chi_{n}||_{L^2(Q)}^2 \le \int_Q \chi_{\eta}^n \chi_{\eta} \to 0 \text{ d'après le lemme 2 et (2.11)} $$

de plus comme $\chi_{\eta} \to \chi_{\varepsilon}$ dans $L^2(Q)$ fort, on obtient

$$ (2.14) \quad \varphi'_n(y_\epsilon^n) \to \chi_\epsilon \text{ dans } L^2(Q) \text{ fort} $$

On peut donc passer à la limite, dans l'équation :

$$ \left(-\frac{\partial p_{\varepsilon}^{n}}{\partial t}, \varphi\right) + a(p_{\varepsilon}^{n}, \varphi) + \frac{1}{\varepsilon}(\varphi'(y_{\varepsilon}^{n})p_{\varepsilon}^{n}, \varphi) = 2(y_{\varepsilon}^{n} - z_{d}, \varphi) \quad \forall \varphi \in V $$

et on obtient que $p_{\varepsilon}$ est solution de :
$$ \left( - \frac{\partial p_{\varepsilon}}{\partial t}, \varphi \right) + a(p_{\varepsilon}, \varphi) + \frac{1}{\varepsilon} \chi_{\varepsilon} \partial_{\varepsilon} \varphi = 2(y_{\varepsilon} - z_{d}, \varphi) \quad \forall \varphi \in V \quad \Box $$

En remarquant qu'à la limite, la condition (2.6) devient

$$ (2.15) \quad (p_{\varepsilon}, v - v_{\varepsilon}) \ge 0 \quad \forall v \in \Omega_{ad} $$

on obtient les conditions nécessaires d'optimalité suivantes :

**Proposition 2** : *Soit $(y_\epsilon, v_\epsilon)$, valeur d'adhérence de $(y_\epsilon^n, v_\epsilon^n)$, solution du problème (1.7). Sous la condition (2.11), $(y_\epsilon, v_\epsilon)$ vérifie les conditions nécessaires d'optimalité :*

$$ \begin{array}{l} \left(2.16\right) \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{\partial y_{\epsilon}}{\partial t} - \Delta y_{\epsilon} - \frac{1}{\epsilon} y_{\epsilon}^{-} = v_{\epsilon} \\ y_{\epsilon}|_{\Sigma} = 0 \\ y_{\epsilon}(x, 0) = 0 \end{array} \right. \\[1.5em] \left(2.17\right) \left\{ \begin{array}{l} - \frac{\partial p_{\epsilon}}{\partial t} - \Delta p_{\epsilon} + \frac{1}{\epsilon} \chi_{\epsilon} p_{\epsilon} = 2(y_{\epsilon} - z_{d}) \\ p_{\epsilon}|_{\Sigma} = 0 \\ p_{\epsilon}(x, T) = 0 \end{array} \right. \end{array} $$

$$ (2.18) \quad (p_{\epsilon}, v - v_{\epsilon}) \ge 0 \quad \forall v \in \Omega_{ad}. $$

### 3. CONDITIONS NECESSAIRES D'OPTIMALITE POUR LE PROBLEME INITIAL (1.4).

On note par $(y,v)$ une solution du problème (1.4), valeur d'adhérence de la suite $(v_\epsilon^\epsilon, y_\epsilon^\epsilon)$.

$$ \text{Soient :} \quad F_{\epsilon} = \{(x,t) | y_{\epsilon}(x,t) = 0\} \\ F = \{(x,t) | y(x,t) = 0\} $$
On fait tout d'abord l'hypothèse que :

$$
(3.1) \quad \mathcal{M}\{(x,t) | v(x,t) = 0\} = 0
$$

Rappelons les deux résultats suivants (C. Moreno - C. Saguez [5],
C. Saguez [6]) :

Lemme 3 : $y_{\varepsilon} \to y \text{ dans } W_p^{2,1}(Q) \text{ faible, lorsque } \varepsilon \text{ tend vers zéro}$

Lemme 4 : $\chi_{\epsilon} \to \chi_{\tilde{F}} \text{ dans } L^2(Q) \text{ fort, lorsque } \epsilon \text{ tend vers zéro.}$

On a d'autre part le résultat suivant :

Lemme 5 : $F_{\varepsilon} \to \tilde{F}$ au sens de Hausdorff, avec $\eta(\tilde{F} \Delta F) = 0, \tilde{F} \subset F$.

On reprend le principe utilisé dans C. Moreno - C. Saguez [5].
D'après les hypothèses faites sur p, on a y<sub>ε</sub> ∈ C(Q), donc F<sub>ε</sub> est un
compact de R<sup>n</sup>.

`{F_ε} étant un famille de compacts de Q, on peut extraire une sous-suite
telle que`

$F_{\epsilon} \to \tilde{F}$ au sens de Hausdorff.

Soient $\mathcal{O}'_\epsilon = Q - F_\epsilon$ ; $\tilde{\mathcal{O}} = Q - \tilde{F}$.

Si $\tilde{y}_{\epsilon}$ représente la restriction de $y_{\epsilon}$ à $\mathcal{O}'_{\epsilon}$, et $\hat{y}_{\epsilon}$ le prolongement de $\tilde{y}_{\epsilon}$ par zéro dans $\tilde{Q}$ (on a $\hat{y}_{\epsilon} = y_{\epsilon}^{+}$) on a alors :

$$
- < \hat{y}_{\epsilon}, \frac{\partial \varphi}{\partial t} > + \int_{0}^{T} a(\hat{y}_{\epsilon}, \varphi) = \int_{0}^{T} (v_{\epsilon}, \varphi) \quad \forall \varphi \in \mathcal{B}_{T}(\tilde{\mathcal{O}}_{\epsilon}) ; \hat{y}_{\epsilon} \in \mathcal{F}(\tilde{\mathcal{O}}_{\epsilon})
$$

$$
\text{avec } \mathcal{F}(\mathcal{O}') = \overline{\mathcal{D}(\mathcal{O})}^{H, 0}(Q) = \mathbb{H}_{0}^{1, 0}(\mathcal{O}')
$$

$$
\mathcal{B}_T(\bar{\mathcal{O}}) = \{ \varphi | \varphi \in \mathcal{F}(\mathcal{O}) , \frac{\partial \varphi}{\partial t} \in \mathcal{F}'(\mathcal{O}) , \varphi(x,T) = 0 \}
$$
Comme $y_{\varepsilon} \in W_p^{2,1}(Q)$ on a :

$$
\begin{align*}
|\hat{y}_{\varepsilon}(x_1, t_1) - \hat{y}_{\varepsilon}(x_2, t_2)| &\le C ||y_{\varepsilon}||_{W_p^{2,1}(Q)} |x_1 - x_2|^{\alpha} |t_1 - t_2|^{\beta} \\
|\hat{y}_{\varepsilon}(x,t)| &\le k ||y_{\varepsilon}||_{W_p^{2,1}(Q)}
\end{align*}
$$

On se retrouve alors dans la même situation que dans C. Moreno -
C. Saguez [5] (Proposition 3). La démonstration s'achève de la même façon.

□

Nous faisons sur F, l'hypothèse suivante :

$$
(3.2) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\varphi \in H_o^{1,0}(Q) & \\
\varphi = 0 \quad \text{p.p. dans } F & \Rightarrow \quad \varphi \in H_o^{1,0}(Q-F)
\end{array}
\right.
$$

On a alors la proposition suivante :

**Proposition 3** : $p_{\varepsilon} \to p$ **dans** $L^2(0,T,V)$ **faible, avec** $p \in H_o^{1,0}(Q-F)$ **solu-**
**tion de**
$$
\left\{
\begin{array}{l}
- < p, \frac{\partial p}{\partial t} > + \int_o^T a(p,\varphi) = \int_o^T 2(y-z_d,\varphi) \quad \forall \varphi \in \mathcal{B}_T(Q-F) \\
p=0 \quad \text{p.p. dans } F
\end{array}
\right.
$$

En effet, on a :

$$
(3.3) \quad \| p_{\epsilon} \|_{L^2(0,T;V)} \le C
$$

d'autre part

$$
(3.4) \quad \| \chi_{\epsilon} p_{\epsilon} \|_{L^2(Q)} \le C \sqrt{\epsilon}
$$
On considère

$$
\begin{gather*}
F_{\varepsilon}^{*} = F_{\varepsilon} \cup S \quad \text{avec } \eta(S) = 0 \quad \text{tel que} \\
\begin{cases}
\chi_{F_{\varepsilon}^{*}} = \chi_{F_{\varepsilon}} \rightarrow \chi_{F} \quad \text{dans } L^{2}(Q) \text{ fort} \\
F_{\varepsilon}^{*} \rightarrow F \quad \text{au sens de Hausdorff.}
\end{cases}
\end{gather*}
$$

On peut remarquer que comme $\mathcal{M}(\partial F_{\varepsilon}) = 0$ et que $F_{\varepsilon}^* \cong F$ converge vers $F$ au sens
de Hausdorff et au sens des fonctions caractéristiques, en utilisant une **condi-**
tion nécessaire et suffisante de G.A. Beer [1], on en déduit que $\mathcal{M}(\partial F) = 0$.

$$
\text{Soit } \mathcal{O}_{\varepsilon}^{*} = Q - F_{\varepsilon}^{*}, \text{ on a}
$$
$$
(3.5) \quad \int_{0}^{T} \left[ \left(p_{\varepsilon}, \frac{\partial \hat{\varphi}}{\partial t}\right) + a(p_{\varepsilon}, \hat{\varphi}) \right] dt = \int_{0}^{T} 2(y_{\varepsilon} - z_{d}, \varphi) \quad \forall \varphi \in \mathcal{B}_{0}(\mathcal{O}_{\varepsilon}^{*})
$$

où $\hat{\varphi}$ désigne le prolongement par zéro de $\varphi$.

On a alors en passant à la limite, puisque $F_{\varepsilon}^* \to F$ au sens de Hausdorff :

$$
(3.6) \quad \int_0^T \left[ \left(p, \frac{\partial \hat{\varphi}}{\partial t}\right) + a(p, \hat{\varphi}) \right] dt = \int_0^T 2(y-z_d, \varphi) \quad \forall \varphi \in \mathcal{B}_0(\mathcal{O})
$$

de plus avec (3.4) on déduit que ;

$$
(3.7) \quad p=0 \quad \text{pp dans } F
$$

et grâce à (3.1) $p \in H_0^{1,0}(\mathcal{O})$, ce qui démontre le résultat.

□

On peut enfin passer à la limite dans (2.18) grâce à l'injection
compacte de $\mathcal{V}$ dans $L^2(Q)$. On obtient :

$$
(p, u-v) \ge 0 \quad \forall u \in \mathcal{U}_{\text{ad}}.
$$
On obtient la proposition :

**Proposition 4** : *Soit (y,v), valeur d'adhérence de la suite $(y_\epsilon^\eta, v_\epsilon^\eta)$, solution du problème (1.4). Sous les conditions (3.1)-(3.2), (y,v) vérifie les conditions nécessaires d'optimalité :*

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \left(\frac{\partial y}{\partial t}, \varphi-y\right) + a(y, \varphi-y) \ge (v, \varphi-y) \quad \forall \varphi \in K \\[1em]
\displaystyle y(0) = 0, \quad y \in K \\[1em]
\begin{cases}
\displaystyle \int_0^T \left[(p, \frac{\partial \varphi}{\partial t}) + a(p, \varphi)\right] dt = \int_0^T 2(y-z_d, \varphi) \quad \forall \varphi \in \mathcal{B}_0(0) \\[1em]
\text{p. }
\begin{cases}
\text{p} \in H_0^{1,0}(\Omega) \\
\text{p=0 pp dans } F = \{(x,t) | y=0\} \text{, avec } \mathcal{C}=Q-F
\end{cases}
\end{cases} \\[1em]
\text{(p,u-v) } \ge 0 \quad \forall u \in \partial_{ad}^1.
\end{array}
\right.
$$

Remarque 2 :

Dans le cas elliptique, la démonstration reste la même et on retrouve ainsi les conditions nécessaires d'optimalité obtenues par F. Mignot (F. Mignot [4]).

Remarque 3 :

Ce résultat permet de justifier l'emploi d'une méthode de des-
cente utilisant l'état adjoint p. D'autre part dans le cas où le pro-
blème admet une solution unique, toute la suite $v_\epsilon^\eta$ converge vers cette
solution, et on obtient des conditions nécessaires d'optimalité pour
le problème (1.4), pourvu que la solution vérifie (3.1)-(3.2).
REFERENCES

[1] G.A. Beer : The Hausdorff metric and convergence in measure (Michigan Math J. 21 (1974)).

[2] J.L. Lions : Sur les problèmes mixtes pour certains systèmes paraboliques dans les ouverts non cylindriques (Annales Institut de Fourier).

[3] J.L. Lions : Introduction to some aspects of free surface problems (Colloque SYNSPADE Maryland 1975).

[4] F. Mignot : Contrôle dans les inéquations variationnelles éliptiques (Thèse Paris VI 1975).

[5] C. Moreno - C. Saguez : Dépendance, par rapport aux données de la frontière libre associée à certaines inéquations variationnelles d'évolution (Rapport Laboria 1978).

[6] C. Saguez : Contrôle optimal d'inéquations variationnelles avec observation de domaine (Rapport Laboria 1978).