# Modélisation et commande d'un système Multi machines alimentées par un seul convertisseur

Taieb Bessaad <fnref n="1" />*, Rachid Taleb <fnref n="1" />, Belmadani Bachir <fnref n="2" /> et Abdelkader Mellakhi <fnref n="1" />

(reçu le 10 Janvier 2016 – accepté le 29 Mars 2016)

**Résumé** – Dans ce contexte, le travail présenté porte sur la commande d'un système d'entraînement multi machines mono convertisseur (S3MC). La commande découplée du système d'entraînement multi machines mono convertisseur (S3MC), est possible suivant le modèle mathématique. Ce modèle montre que la commande indépendante de deux machines hexaphasées connectée en série avec triphasé est possible, grâce au contrôle des courants statoriques à la sortie de l'onduleur de tension. Parmi les techniques de commande basées sur le contrôle du courant, en trouve la commande vectorielle qui est largement développée et testée sur des processus industriels de différentes puissances. Ainsi, la commande que nous avons choisie et appliquée au S3MC est basée sur le principe de la commande vectorielle développée pour les machines à courant alternatif.

**Abstract** - In this context, the present work focuses on the command of a multi machine mono converter driving system (S3MC). The decoupled command of the multi machine mono converter driving system (S3MC) is possible according to the mathematical model. This model shows that the independent command of two six-phase machines that are connected in series with a three-phase is possible by controlling stator currents at the output of the voltage inverter. Among the control techniques based on the control of the current, we find the vectorial control which is widely developed and tested on industrial processes of different powers. Thus, the command that we chose and applied on the S3MC is based on the principle of vectorial command developed for alternative current machines.

**Mots clés:** System multi machines - Commande découplée – Monoconvertisseur.

## 1. INTRODUCTION

Les machines asynchrone à courant alternatif dominent assez largement le domaine des machines électriques, par contre depuis longtemps on s'intéresse aux machines ayant un nombre de phases supérieur à trois. Ces machines sont souvent appelées 'machines à grand nombre de phases' ou 'machines multiphasées'. Il est possible de connecter en série plusieurs machines alimentées par un seul convertisseur statique et que chaque machine du groupe avoir un contrôle de vitesse indépendant. Cependant, l'emploi des convertisseurs polyphasés associés aux machines polyphasées, génère des degrés de libertés additionnels. Grâce à ces derniers, plusieurs machines polyphasées peuvent être connectées en série selon une transposition des phases appropriées [1-4].

La mise en série des machines asynchrones polyphasées peut être une solution très intéressante pour certaines applications, telle que la traction électrique. Le système global est alors défini par la dénomination système multi machines mono convertisseur connectées en série (S3MC). Il est compose de plusieurs machines connectées en série

<footnote n="1">¹ Laboratoire Génie Electrique et Energies Renouvelables, LGEER
Université Hassiba Benbouali
Hay Salem, Route Nationale N°19, Chlef, Algérie</footnote>

<footnote n="2">² Laboratoire de développement des entraînements électrique, LDEE
Université des Sciences et de la Technologie d'Oran-Mohamed Boudiaf, USTO-MB
El Mnaouar, BP 1505, Bir El Djir 31000, Oran, Algérie</footnote>

<footnote>* t.bessaad@univ-chlef.dz</footnote>
selon une transposition des phases appropriée, ensemble est alimenté par un seul convertisseur via la première machine. La commande de chaque machine du groupe multi machines doit être indépendante des autres [5-8].

## 2. MODELISATION DU SYSTEME MULTIMACHINES

Le système d'entraînement électrique est composé d'un moteur asynchrone hexaphasé symétrique dont les enroulements sont montés en série avec ceux d'un moteur asynchrone triphasé. Les deux moteurs sont alimentés par un seul onduleur de tension hexaphasé. La figure 1 présente le diagramme de connexion et d'alimentation des deux moteurs [9-11]. Le stator de la machine hexaphasé est constitué de six enroulements identiques et décalés d'un angle électrique ($\alpha = 2\pi/6$).

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Fig. 1: Schéma de connexion en série d'une machine hexaphasée avec une machine triphasée</figcaption></figure>

Notons qu'une simple connexion en série des enroulements statoriques n'aboutit pas au résultat désiré. Une transposition adéquate des phases statoriques est une solution à cette contrainte [12, 13]. En effet, les sorties de chaque des deux enroulements, appartenant à la machine hexaphasée et décalés d'un angle égal à $\pi$, sont connectés au même point et ensuite mises en série avec un enroulement de la machine triphasée [14, 15]. De cette façon, les courants traversant les enroulements de la machine hexaphasée vont se neutraliser aux points de connexions.

De la même manière, chaque courant traversant un enroulement de la machine triphasée se divise par deux en traversant les deux enroulements, de la machine hexaphasée, connectés au même point. Ceci produira des ondes de forces magnétomotrices égales et en opposition de phases, alors la résultante sera nulle au niveau de l'entrefer de la machine hexaphasée. Par conséquent, un découplage naturel des deux moteurs sera possible en adoptant le diagramme de connexion présenté par la figure 1. D'après la figure 1, les tensions statoriques et rotoriques des deux machines peuvent s'écrire comme suit [1-4]:

La relation entre les courants de sources et les courants statoriques de chaque machine sont donnés comme suit:
$$ [v_s] = \begin{bmatrix} V_A \\ V_B \\ V_C \\ V_D \\ V_E \\ V_F \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_{as1} + v_{as2} \\ v_{bs1} + v_{bs2} \\ v_{cs1} + v_{cs2} \\ v_{ds1} + v_{ds2} \\ v_{es1} + v_{es2} \\ v_{fs1} + v_{fs2} \end{bmatrix} \qquad (1) $$

$$ \begin{aligned} [i_s] &= [I_A \ I_B \ I_C \ I_D \ I_E \ I_F] \\ &= [i_{as1} \ i_{bs1} \ i_{cs1} \ i_{ds1} \ i_{es1} \ i_{fs1}] \\ &= [i_{sl}] \end{aligned} \qquad (2) $$

$$ [i_{s2}] = \begin{bmatrix} i_{as2} \\ i_{bs2} \\ i_{cs2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_A + I_D \\ I_B + I_E \\ I_C + I_E \end{bmatrix} \qquad (3) $$

Equations électriques

$$ \left\{ \begin{aligned} [V_{sk}] &= [R_{sk}] [i_{sk}] + \frac{d}{dt} [\varphi_{sk}] \\ [0] &= [R_{rk}] [i_{rk}] + \frac{d}{dt} [\varphi_{rk}] \end{aligned} \right. \qquad (4) $$

où

$$ \left\{ \begin{aligned} [\varphi_{sk}] &= [L_{ssk}] \times [i_{sk}] + [M_{srk}] \times [i_{rk}] \\ [\varphi_{rk}] &= [L_{rrk}] \times [i_{rk}] + [M_{rsk}] \times [i_{sk}] \end{aligned} \right. \qquad (5) $$

Sachant que $k=1$ pour machine hexaphasée et $k=2$ pour machine triphasée.
avec:

$$ [R_{seq}] = [R_{sl}] + \begin{bmatrix} [R_{s2}] & [R_{s2}] \\ [R_{s2}] & [R_{s2}] \end{bmatrix}; \quad [L_{seq}] = [L_{sl}] + \begin{bmatrix} [L_{s2}] & [L_{s2}] \\ [L_{s2}] & [L_{s2}] \end{bmatrix} $$

### 3. MODELE DU S3MC DANS LE REPERE (α,β), (x, y), (o+, o-)

Le S3MC peut être représenter par les sous systèmes $(\alpha, \beta)$, $(x, y)$, $(o+, o-)$ à l'aide de la transformation suivante: $X_{\alpha\beta0} = [T_6(\theta)]^{-1} \cdot X_{abc}$ et $X_{dqo} = [T_6(\theta)]^{-1} \cdot X_{\alpha\beta0}$, où X peut représenté le courant, la tension ou le flux dans le S3MC.

$$ [T_6] = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 & \cos(\alpha) & \cos(2\alpha) & \cos(3\alpha) & \cos(4\alpha) & \cos(5\alpha) \\ 0 & \sin(\alpha) & \sin(2\alpha) & \sin(3\alpha) & \sin(4\alpha) & \sin(5\alpha) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \cos(2\alpha) & \cos(4\alpha) & \cos(6\alpha) & \cos(8\alpha) & \cos(10\alpha) \\ 0 & \sin(2\alpha) & \sin(4\alpha) & \sin(6\alpha) & \sin(8\alpha) & \sin(10\alpha) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \qquad (6) $$
$$ [T_3] = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \begin{bmatrix} 1 & \cos 2\alpha & \cos 4\alpha \\ 0 & \sin \acute{\alpha} & \sin 4\alpha \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{bmatrix} \qquad (7) $$

$$ [\rho(\theta)] = \begin{bmatrix} \cos(\theta_0) & -\sin(\theta_i) \\ -\sin(\theta_i) & \cos(\theta_0) \\ [0]_{4 \times 4} & [I]_{4 \times 4} \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} [0]_{2 \times 4} \\ [I]_{4 \times 4} \end{bmatrix} \quad \dots\dots(8) $$

Alors ces modèles sont:

$$ \left\{ \begin{aligned} [T_6]^{-1} [\phi_s, abcdef] &= [\phi_{s\alpha} \quad \phi_{s\beta} \quad \phi_{sx} \quad \phi_{sy} \quad \phi_{so^+} \quad \phi_{so^-}]^t \\ [T_6]^{-1} [i_s, abcdef] &= [i_{s\alpha} \quad i_{s\beta} \quad i_{sx} \quad i_{sy} \quad i_{so^+} \quad i_{so^-}]^t \end{aligned} \right. \qquad (9) $$

$$ \left\{ \begin{aligned} [T_6]^{-1} [\phi_r] &= [0 \quad 0 \quad 0]^t \\ [T_6]^{-1} [i_r] &= [i_{r\alpha} \quad i_{r\beta} \quad i_{ro^+}]^t \end{aligned} \right. $$

En appliquant la matrice de transformation (6) et (7) aux équations des flux et des tensions, le système d'équations statoriques réel de dimension six sera décomposé en trois sous-systèmes découplés de dimension deux: les systèmes $(\alpha, \beta)$, $(x, y)$ et $(0+, 0−)$. Géométriquement parlant, nous allons 'projeté' les variables statoriques sur trois 'plans' orthogonaux. Le système globale dans le repère $(\alpha, \beta)$, $(x, y)$ et $(0+, 0−)$.

$$ \left\{ \begin{aligned} V_{s\alpha} &= R_{sl} i_{s\alpha l} + L_{sl} \frac{di_{s\alpha l}}{dt} + M_1 \frac{di_{r\alpha l}}{dt} \\ V_{s\beta} &= R_{sl} i_{s\beta l} + L_{sl} \frac{di_{s\beta l}}{dt} + M_1 \frac{di_{r\beta l}}{dt} \end{aligned} \right. \qquad (10) $$

$$ \left\{ \begin{aligned} V_{sx} &= R_{eq} i_{sx1} + (L_{sl} + 2L_{s2}) \frac{di_{sx1}}{dt} + \sqrt{2} M_2 \frac{di_{r\alpha2}}{dt} \\ V_{sy} &= R_{eq} i_{syl} + (L_{sl} + 2L_{s2}) \frac{di_{syl}}{dt} + \sqrt{2} M_2 \frac{di_{r\beta2}}{dt} \end{aligned} \right. \qquad (11) $$

$$ \left\{ \begin{aligned} V_{so^+} &= R_{eq} i_{so+1} + (L_{sl} + 2L_{s2}) \frac{di_{so+1}}{dt} \\ V_{so^-} &= R_{eq} i_{so-1} + L_{sl} \frac{di_{so-1}}{dt} \end{aligned} \right. \qquad (12) $$

Equations rotoriques des tensions

$$ \left\{ \begin{aligned} 0 &= R_{rl} i_{r\alpha l} + L_{ml} \frac{di_{s\alpha l}}{dt} + L_{rl} \frac{di_{r\alpha l}}{dt} + \omega_{rl} (L_{ml} i_{s\beta l} + L_{rl} i_{r\beta l}) \\ 0 &= R_{rl} i_{r\beta l} + L_{ml} \frac{di_{s\beta l}}{dt} + L_{rl} \frac{di_{r\beta l}}{dt} + \omega_{rl} (L_{ml} i_{s\beta l} + L_{rl} i_{r\beta l}) \end{aligned} \right. \qquad (13) $$

$$ \left\{ \begin{aligned} 0 &= R_{r2} i_{r\alpha 2} + \sqrt{2} L_{m2} \frac{di_{sx1}}{dt} + L_{r2} \frac{di_{s\alpha 2}}{dt} + \omega_{r2} (\sqrt{2} L_{m2} i_{syl} + L_{r2} i_{r\beta 2}) \\ 0 &= R2 i_{r\beta 2} + \sqrt{2} L_{m2} \frac{di_{syl}}{dt} + L_{r2} \frac{di_{s\beta 2}}{dt} - \omega_{r2} (\sqrt{2} L_{m2} i_{sx1} + L_{r2} i_{r\alpha 2}) \end{aligned} \right. \qquad (14) $$

Avec,
$$
\left\{
\begin{array}{l}
L_{s1} = l_{s1} + 3/2 L_{ms1} \\
M_1 = 3/\sqrt{2} L_{sr1} \\
L_{r1} = l_{r1} + 3/2 L_{mr1}
\end{array}
\right.
\qquad
\left\{
\begin{array}{l}
L_{s2} = l_{s2} + 3/2 L_2 \\
M_2 = 3/\sqrt{2} L_{sr2} \\
L_{r2} = l_{r2} + 3/2 L_{mr2}
\end{array}
\right.
\qquad (15)
$$

$$
\begin{bmatrix} v_{s\alpha} \\ v_{s\beta} \\ v_{sx} \\ v_{sy} \\ v_{so}^{+} \\ v_{so}^{-} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} T_6 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} v_{sa1} + v_{sa2} \\ v_{sbl} + v_{sb2} \\ v_{scl} + v_{sc2} \\ v_{sdl} + v_{sa2} \\ v_{sel} + v_{sb2} \\ v_{sf1} + v_{sc2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_{s\alpha} \\ v_{s\beta} \\ v_{sx1} + \sqrt{2} v_{s\epsilon2} \\ v_{syl} + \sqrt{2} v_{s\beta2} \\ v_{so}^{+} \\ v_{so}^{-} \end{bmatrix} \quad (16)
$$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
i_{s\alpha} = i_{s\alpha 1} \\
i_{s\beta} = i_{s\beta 1}
\end{array}
\right.
,
\quad
\left\{
\begin{array}{l}
i_x = i_{sx1} = i_{s\alpha 2} / \sqrt{2} \\
i_y = i_{sy1} = i_{s\beta 2} / \sqrt{2}
\end{array}
\right.
,
\quad
\left\{
\begin{array}{l}
i_{o+} = i_{so+1} \\
i_{o-} = i_{so-1}
\end{array}
\right.
\qquad (17)
$$

Le couple électromagnétique fourni par chacune de ces deux machines et donné par:

$$
\begin{cases}
C_{em1} = P_1 M_1 (i_{rd1} i_{sql} + i_{sd} i_{rql}) \\
C_{em2} = P_2 M_2 (i_{rd2} i_{sy1} - i_{sx} i_{rq2})
\end{cases}
\qquad (18)
$$

Les équations différentielles 10, 11, 12, 13 montrent que les systèmes d’axes ( α, β )
et ( x, y ) sont complètement découplés l’un de l’autre, les courants d’ondeleur i$_{sα}$ et
i$_{sβ}$ sont couplés seulement aux courants rotoriques i$_{rα1}$ et i$_{rβ1}$ de la machine
hexaphasée. A l’inverse, les courants d’ondeleur i$_{sα2}$ et i$_{sβ2}$ sont couplés seulement
aux courants rotoriques i$_{rα2}$ et i$_{rβ2}$ de la machine triphasée.

Le système différentiel 10 qui fait intervenir les tensions d'ondeleur $v_{s\alpha}$ et $v_{s\beta}$ est donc représentatif des équations de la machine hexaphasée et que le système différentiel 11 qui fait intervenir les tensions d'ondeleur $v_{sx}$ et $v_{sy}$ est représentatif des équations de Concordia de la machine triphasée.

4. COMMANDE VECTORIELLE DE
DEUX MACHINES ELECTRIQUES

Seules les phases 1, 3 et 5 sont utilisées par la deuxième machine, elles sont
espacées de 2π/3. Cette machine possède alors trois phases. La figure 2, représente le
diagramme de connexion de ce système multi machines.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig. 2: Régulation de courants et de vitesses d'un S3MC commandé par la méthode du flux orienté</figcaption></figure>
## 5. MODELE SIMPLIFIÉ DU S3MC

Si le repère (d,q) est parfaitement orienté, on peut supposer que la composante $\varphi_{rq,k}=0$. Ceci simplifie le modèle du S3MC comme suit:

$$ 
\left\{
\begin{aligned}
\frac{d\varphi_{r\alpha 1}}{dt} &= \frac{M_1}{T_{r1}} i_{s\alpha 1} - \frac{1}{T_{r2}} \varphi_{r\alpha 1} \\
\frac{d\varphi_{r\beta 1}}{dt} &= \frac{M_1}{T_{r1}} i_{s\beta 1} - (\omega_{s1} - p_1 \Omega_{m1}) \varphi_{r\beta 1} \\
\frac{d\Omega_{m1}}{dt} &= \frac{p_1 M_1}{J_1 L_{r1}} \varphi_{r\alpha 1} i_{s\alpha 1} - \frac{1}{J_1} C_{r1}
\end{aligned}
\right.
\qquad (19) $$

$$ 
\left\{
\begin{aligned}
\frac{d\varphi_{r\alpha 2}}{dt} &= \sqrt{2} \frac{M_2}{T_{r2}} i_{sX} - \frac{1}{T_{r2}} \varphi_{r\alpha 2} \\
\frac{d\varphi_{r\beta 2}}{dt} &= \sqrt{2} \frac{M_2}{T_{r2}} i_{sY} - (\omega_{s2} - p_2 \Omega_{m2}) \varphi_{r\beta 2} \\
\frac{d\Omega_{m2}}{dt} &= \sqrt{2} \frac{p_2 M_2}{J_2 L_{r2}} \varphi_{r\alpha 2} i_{s\alpha 2} - \frac{1}{J_2} C_{r2}
\end{aligned}
\right.
\qquad (20) $$

En introduisant les vitesses angulaires de glissement, nous obtenons l'équation:

$$ \frac{d\theta_{s1}}{dt} = \omega_{s1,k} = (\omega_{s,k} - p_k \Omega_{m,k}) = \frac{M_k}{T_{r,k}} \cdot \frac{i^s}{\varphi_{rd,k}} \qquad (21) $$

$$ \text{Avec: } i^s = \begin{cases} i_{s\beta} & \text{pour } k=1 \\ \sqrt{2} i_{sy} & \text{pour } k=2 \end{cases} $$

Selon cette condition, les flux et couples du S3MC sont alors:

$$ 
\left\{
\begin{aligned}
\varphi_{r\alpha 1} &= \frac{M_1}{1 + T_{r1} p} i_{s\alpha 1} \\
C_{em1} &= \frac{p_1 M_1}{L_{r1}} \varphi_{r\alpha 1} i_{s\beta 1}
\end{aligned}
\right.
\qquad
\left\{
\begin{aligned}
\varphi_{r\alpha 2} &= \sqrt{2} \frac{M_2}{1 + T_{r2} p} i_{sX} \\
C_{em2} &= \sqrt{2} \frac{p_2 M_2}{L_{r2}} \varphi_{r\alpha 2} i_{sY}
\end{aligned}
\right.
$$

On peut donc contrôler le flux et le couple de la MAHP à l'aide des composants du courant de la source ($i_{s\alpha}$, $i_{s\beta}$) respectivement, et la même pour la MASTP avec les courants ($i_{sX}$, $i_{sY}$).

## 6. ALIMENTATION DU S3MC

Notre choix peut se porter sur un onduleur hexaphasé de tension, la figure 3 fournit une représentation schématique de cet onduleur. La commande de l'onduleur est par la technique modulation de largeur d'impulsion (MLI) [16-18].

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig. 3: Représentation d'un onduleur hexaphasé</figcaption></figure>
# 7. SIMULATION NUMERIQUE

Les résultats de simulation sont dans le but de prouver le contrôle découplé de deux machines du S3MC. Nous avons tout d'abord simulé le démarrage de deux machines hexaphasé et triphasé, la figure 4 illustre les réponses en vitesses, couples et courants statoriques. Nous remarquons que le démarrage de MAHP n'a pas un impact, ni sur la vitesse de la MASTP, ni sur son couple électromagnétique.

Dans le deuxième test, il est réservé aux changements de sens de rotation de deux machines. En effet, la figure 5 et la figure 6 montrent les résultats obtenus dans le cas où la MAHP tourne à 50 rad/s, puis à t = 1.5s, elle est inversée de +50rad/s à -50rad/s. Nous constatons que le contrôle découplé est toujours conservé, aucune influence sur les caractéristiques des deux machines n'a pas été constatée. La même remarque est déduite lorsque la vitesse de la MASTP est inversé de +100rad/s à -100 rad/s sous une vitesse $N_1 = 50$ rad/s.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 4: Performance de la commande vectorielle indirecte du S3MC démarrage à vide et application une charge à M1 et M2</figcaption></figure>
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. 5: Performance de la commande vectorielle indirecte du S3MC Inversion de vitesse de MAHP N2= -50rd/s</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /></figure>
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Fig. 6: Performance de la commande vectorielle
indirecte du S3MC Inversion de vitesse de MATP N1= -100rd/s</figcaption></figure>

## 8. CONCLUSION

Dans ce contexte, nous avons étudié la modélisation du système multi machines en vue d'une alimentation par convertisseur statiques. Afin de simplifier ce modèle, nous l'avons représenté par les sous systèmes (α,β), (x, y) et (0+, 0−) à l'aide d'une transformation.

Enfin, nous avons élaboré la commande à flux orienté, en boucle fermée à ce système. Les résultats de simulation montrent clairement qu'on peut commander d'une façon indépendante les deux machines connectées en série.

Cependant, le calcul des paramètres de régulateurs, PI, est effectué en considérant des paramètres constants de la machine. Mais si, pour une quelconque erreur de mesure de certains paramètres, ou d'une variation de ces derniers, suite à une élévation de température par exemple, provoque une dégradation de la qualité de réglage.

## REFERENCES

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