# Sur certains problèmes aux limites pour l'équation parabolique dans un domaine non cylindrique

par A. PISKOREK (Warszawa)

A la mémoire de Witold Pogorzelski

**1. Introduction.** Dans cet article nous allons resoudre les deux problèmes aux limites concernant l'équation aux dérivées partielles du type parabolique dans un domaine non cylindrique [5].

Nous y considérons un domaine non cylindrique $D_T$ à $n+1$ dimensions ($n \ge 2$) situé dans l'espace-temps de points $(X, t) = (x_1, ..., x_n, t)$ ou $X$ désigne un point variable de l'espace euclidien $E^{(n)}$ à $n$ dimensions, $t$ la coordonnée du temps.

La frontière du domaine $D_T$ est composée des domaines bornés $\Omega_0$ et $\Omega_T$ à $n$ dimensions dans les hyperplans $t=0$ et $t=T$, et d'une surface latérale $s_T$ située entre les hyperplans $t=0$ et $t=T$.

Nous désignons par $S_\tau$ la variété à $n-1$ dimensions formée par l'intersection de la surface latérale $s_T$ et du plan $t=\tau$, et par $\Omega_\tau$ — la variété à $n$ dimensions, formée par l'intersection du domaine $D_T$ et du plan $t=\tau$, pour $0 \le \tau \le T$.

Nous supposons que le domaine $D_T$ est borné et la surface latérale $s_T$ possède l'orientation du temps par rapport à l'équation linéaire aux dérivées partielles du type parabolique

$$ (1) \quad \Psi u = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}(X, t) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{k=1}^{n} b_k(X, t) \frac{\partial u}{\partial x_k} + c(X, t) u - \frac{\partial u}{\partial t} = 0 $$

où les coefficients $a_{ij}(X, t)$, $b_k(X, t)$, $c(X, t)$ sont continus dans le domaine cylindrique (produit cartésien) $\Omega \times (0, T)$, contenant le domaine fermé $D_T$ dans son intérieur, $\Omega$ étant un domaine borné, et vérifient la condition de Hölder

$$ |a_{ij}(X, t) - a_{ij}(\bar{X}, \bar{t})| \le \text{const}(|X\bar{X}|^h + |t - \bar{t}|^{h'}) $$

$$ (2) \quad |b_k(X, t) - b_k(\bar{X}, t)| \le \text{const} |X\bar{X}|^h, \quad i, j, k = 1, \dots, n, $$

$$ |c(X, t) - c(\bar{X}, t)| \le \text{const} |X\bar{X}|^h, \quad 0 < h \le 1; \ 0 < h' \le 1 $$

où $|X\bar{X}|$ désigne la distance euclidienne entre les points $X$ et $\bar{X}$.
Sous l'hypothèse (2) W. Pogorzelski a demontré dans le travail [9] l'existence de la solution fondamentale $\Gamma(X, t; Y, \tau)$ de l'équation (1). Cette solution fondamentale est donnée par les formules suivantes

$$ (3) \qquad \Gamma(X, t; Y, \tau) = w^{(Y,\tau)}(X, t; Y, \tau) + \bar{w}(X, t; Y, \tau), $$

$$ (4) \qquad \bar{w}(X, t; Y, \tau) = \int_{\tau}^{t} \int_{\Omega} \int w^{(M,\theta)}(X, t; M, \theta) \Phi(M, \theta; Y, \tau) dM d\theta $$

où la fonction

$$ (5) \quad w^{(M,\theta)}(X, t; Y, \tau) = (t-\tau)^{-n/2} \exp \left[ - \sum_{i,j=1}^{n} a^{ij}(M, \theta) (x_i - y_i)(x_j - y_j) / 4 (t-\tau) \right] $$

est la quasi-solution, bien connue, $X = (x_1, ..., x_n)$ et $Y = (y_1, ..., y_n)$ sont deux points arbitraires du domaine $\Omega$, $0 \le \tau < t \le T$, $a^{ij}(M, \theta)$ désignent les éléments de la matrice inverse à la matrice $[a_{ij}(M, \theta)]$ fixés au point arbitraire $M$ du domaine $\Omega$ pour $0 \le \theta \le T$, et la fonction $\Phi(X, t; Y, \tau)$ est une solution de l'équation intégrale du type Volterra

$$ (6) \quad \Phi(X, t; Y, \tau) = f(X, t; Y, \tau) + \int_{\tau}^{t} \int_{\Omega} \int K(X, t; M, \theta) \Phi(M, \theta; Y, \tau) dM d\theta $$

où l'on a

$$ K(X, t; M, \theta) = (\det[a^{ij}(X, t)])^{1/2} \Psi w^{(M,\theta)}(X, t; M, \theta), $$

$$ f(X, t; Y, \tau) = (2\sqrt{\pi})^{-n} K(X, t; Y, \tau). $$

La solution fondamentale (3) est déterminée pour tout couple de points $X \neq Y$ du domaine $\Omega$ et pour $0 \le \tau < t \le T$. Elle vérifie l'équation (1), c'est-à-dire on a

$$ (7) \qquad \Psi \Gamma(X, t; Y, \tau) = 0 $$

par rapport aux variables $X, t$, où $X \neq Y$ et $t > \tau$.

D'après les formules (3), (4), (5) et les résultats obtenus dans les travaux [9], [10], [6] les dérivées partielles de la solution fondamentale $\Gamma(X, t; Y, \tau)$ vérifient les inégalités

$$ (8) \qquad \left| \frac{\partial^{k_0+k_1+\dots+k_n}}{\partial t^{k_0} \partial x_1^{k_1} \dots \partial x_n^{k_n}} \Gamma(X, t; Y, \tau) \right| \le \frac{\text{Const}}{(t-\tau)^{\mu} |XY|^{n+2k_0+k_1+\dots+k_n-2\mu}}, $$ $$ 2k_0+k_1+\dots+k_n \le 2, \quad 1-h^* < \mu < 1 $$

et sont continueés pour $X \neq Y$ et $0 \le \tau < t \le T$, où $X, Y$ désignent deux points arbitraires du domaine $\Omega$, $h^* = \min(h, 2h')$.
En s'appuyant sur les propriétés de la solution fondamentale (3) on peut définir les intégrales suivantes de l'équation (1) dans le domaine non cylindrique $D_T$. Nous donnerons les définitions de ces intégrales.

1. On appelle potentiel de simple couche, relatif à l'équation (1), la fonction déterminée par l'intégrale de surface

$$ (9) \qquad U(X, t) = \int_0^t \int_{S_\tau} \int \Gamma(X, t; Q, \tau) \varphi(Q, \tau) dS_Q d\tau $$

où la fonction $\varphi(Q, \tau)$, dite densité de la couche, est définie et intégrable sur la surface laterale $S_T$.

2. On appelle potentiel de charge spatiale, relatif à l'équation (1), l'intégrale de volume suivante

$$ (10) \qquad V(X, t) := \int_0^t \int_{\Omega_\tau} \int \Gamma(X, t; Y, \tau) \rho(Y, \tau) dY d\tau $$

où la fonction $\rho(Y, \tau)$, dite densité de la charge, est définie et intégrable dans le domaine non cylindrique $D_T$.

3. On appelle intégrale de Poisson-Weierstrass généralisée l'intégrale suivante

$$ (11) \qquad J(X, t) = \int_{\Omega_0} \int \int \Gamma(X, t; Y, 0) f(Y) dY d\tau $$

$f(Y)$ étant une fonction définie et intégrable dans le domaine $\Omega_0$.

Plusieurs propriétés de ces intégrales ont été étudiées par W. Pogorzelski [9], [10] dans le cas où le domaine $D_T$ est cylindrique, et dans le cas où $D_T$ est un domaine non cylindrique par M. Gevrey [3] pour $n=1$, par A. Friedman [1] pour $n \ge 2$ et par moi-même [5], [6], [7].

Maintenant, en nous basant sur les propriétés, nous allons résoudre les deux problèmes aux limites concernant l'équation aux dérivées par- tielles (1) dans un domaine non cylindrique $D_T$.

Ce deux problèmes pour le domaine cylindrique ont été resolu par W. Pogorzelski dans ses travaux [10], [11] et par moi-même [8].

Autres problèmes pour le domaine non cylindrique ont été résolu par A. Friedman [2] et par L. I. Kamynin et V. N. Maslennikova [4].

**2. Problème linéaire aux limites.** Dans ce travail nous résoudrons le problème de la recherche d'une fonction $u(X, t)$ qui satisfait à l'équation parabolique

$$ (12) \qquad \Psi u(X, t) = F(X, t) $$
en tout point intérieur $(X, t)$ du domaine non cylindrique $D_T$, vérifie pour $t > 0$ la relation limite à la dérivée transversale (¹)

$$ (13) \qquad \frac{du}{dT_{P_t}} + g(P, t)u = G(P, t) $$

en tout point $(P, t)$ de la surface latérale $s_T$ du domaine $D_T$, qui possède une orientation du temps (²) relative à l'équation (12), et, de plus, satisfait à la condition initiale

$$ (14) \qquad \lim_{t \to 0} u(X, t) = f(X) $$

en tout point intérieur $X$ du domaine $\Omega_0$.

Pour résoudre le problème proposé plus haut nous admettons les suppositions suivantes:

I. La surface latérale $s_T$ vérifie les conditions connues de Liapounoff (v. [5], p. 126), dont l'une, concernant l'angle $(N_{P_t}, N_{Q_t})$ entre les normales aux deux points $(P, t)$, $(Q, \tau)$ de la surface $s_T$, à la forme

$$ (15) \qquad (N_{P_t}, N_{Q_t}) \le \text{const}(|PQ| + |t - \tau|^\alpha), \quad (0 < \alpha \le 1); $$

II. Les exposants de Hölder dans les conditions (2) prenant des valeurs

$$ (16) \qquad h = 1, \quad \frac{1}{2} \le h' \le 1; $$

III. La fonction donnée $F(X, t)$ est déterminée et continuée dans l'intérieur du domaine non cylindrique $D_T$, vérifie l'inégalité

$$ (17) \qquad |F(X, t)| \le m_F t^{-\mu_F} / |XP_X|^{\eta_F} $$

et une condition de Hölder

$$ (18) \qquad |F(X, t) - F(\bar{X}, t)| \le \text{const} |X\bar{X}|^{h_F} $$

dans tout domaine fermé $D_T^*$ situé à l'intérieur du domaine $D_T$, où $P_X$ désigne un point de la variété $S_t$ le plus approché du point $X$ et $m_F, p_F, \mu_F, h_F$ sont des constantes données; on admet que

$$ (19) \qquad 0 \le \mu_F < 1, \quad 0 \le p_F < 1, \quad 0 < h_F \le 1; $$

$$ (i) \qquad u = \lim_{\substack{X \to P \\ t \to 0}} u(X, t), \qquad du/dT_{P_t} = \lim_{\substack{X \to P \\ t \to 0}} \sum_{j,k=1}^{n} a_{jk}(X, t) u_{x_j}(X, t) \cos(x_k, n_j) $$

<footnote>(¹) Nous remarquons que les symboles $u$ et $du/dT_{P_t}$ dans la relation (13) désignent les valeurs limites de la fonction $u(X, t)$ et de la dérivée transversale de cette fonction respectivement, c'est-à-dire</footnote>

<footnote>où $n_P$ désigne la normale intérieure à la variété $S_t$ au point $P$.</footnote>

<footnote>(²) La surface $s_T$ n'est tangente à aucune caractéristique $t = \text{const}$ de l'équation (12).</footnote>
#### IV. Les fonctions $g(P, t)$ et $G(P, t)$ sont définies et continues sur la surface latérale $s_T$ pour $t > 0$ et vérifient les inégalités

$$ (20) \qquad |g(P, t)| \le m_g t^{-\mu_g}, \quad |G(P, t)| \le m_G t^{-\mu_G} $$

$m_g, m_G, \mu_g, \mu_G$, étant des constantes données, en outre on admet que

$$ (21) \qquad 0 \le \mu_g < \frac{1}{2}, \quad 0 \le \mu_G < 1; $$

#### V. La fonction $f(X)$ est continue à l'intérieur de la base $\Omega_0$ et vérifie une inégalité

$$ (22) \qquad |f(X)| \le m_f |X \hat{P}|^{n_f} $$

où $m_f, p_f$ sont des constantes données, $\hat{P}$ désigne un point de la variété $S_0$ le plus approché du point $X$, et l'exposant $p_f$ vérifie l'inégalité $0 \le p_f < 1$.

Nous allons chercher la solution du problème proposé sous la forme d'une somme

$$ (23) \qquad \begin{aligned} u(X, t) = \iint_{\Omega_0} \tilde{\Gamma}(X, t; Y, 0) f(Y) dY \cdot \\ - \int_0^t \iint_{\Omega_\tau} \tilde{\Gamma}(X, t; Y, \tau) F(Y, \tau) dY d\tau + \int_0^t \iint_{S_\tau} \tilde{\Gamma}(X, t; Q, \tau) \varphi(Q, \tau) dS_Q d\tau \end{aligned} $$

de l'intégrale de Poisson-Weierstrass, du potentiel de charge spatiale et du potentiel de simple couche de densité inconnue $\varphi(Q, \tau)$.

On a posé

$$ (24) \qquad \tilde{\Gamma}(X, t; Y, \tau) = (2\sqrt{\pi})^{-n} \Gamma(X, t; Y, \tau) (\det[a^{ij}(Y, \tau)])^{1/2}. $$

La fonction (23) vérifie l'équation (12) en tout point intérieur $(X, t)$ du domaine $D_T$ et la condition initiale (14), quelle que soit la densité $\varphi(Q, \tau)$ de simple couche.

En demandant que la fonction (23) vérifie pour $t > 0$ la condition limite (13) en tout point $(P, t)$ de la surface latérale $s_T$; sous l'hypothèse que la fonction $\varphi(Q, \tau)$ soit continue, nous arrivons à une équation intégrale de Volterra

$$ (25) \qquad \varphi(P, t) - \int_0^t \iint_{S_\tau} N(P, t; Q, \tau) \varphi(Q, \tau) dS_Q d\tau = \Phi(P, t) $$

où l'on a désigné

$$ (26) \qquad N(P, t; Q, \tau) = 2 \left( \frac{d\tilde{\Gamma}(P, t; Q, \tau)}{dT_{P_t}} - g(P, t) \tilde{\Gamma}(P, t; Q, \tau) \right), $$
$$
(27) \quad \Phi(P, t) = -2 \left[ G(P, t) - \int_{\Omega_0} \int \int \frac{d\tilde{\Gamma}(P, t; Y, 0)}{dT_{P_t}} f(Y) dY + \right. \\
\left. \qquad + \int_0^t \int \int \int \frac{d\tilde{\Gamma}(P, t; Y, \tau)}{dT_{P_t}} F(Y, \tau) dY d\tau + g(P, t) \left( \int \int \int_{\Omega_0} \tilde{\Gamma}(P, t; Y, 0) f(Y) dY - \right. \right. \\
\left. \left. \qquad - \int_0^t \int \int \int_{\Omega_\tau} \tilde{\Gamma}(P, t; Y, \tau) F(Y, \tau) dY d\tau \right) \right].
$$

D'après les résultats de travail [5] le noyau $N(P, t; Q, \tau)$ de l'équation (25) vérifie l'inégalité aux singularités séparées

$$
(28) \quad |N(P, t; Q, \tau)| \le \frac{\text{Const}}{t^{\mu\nu}(t-\tau)^{\mu}|PQ'|^{n-2\mu}}
$$

où $\mu$ est une constante positive fixée dans l'intervalle $(\frac{1}{2}, 1)$, $Q'$ — la projection orthogonale du point $Q$ de la variété $S_\tau$ sur le plan au tangente au point $P$ de la variété $S_\tau$, Const — constante positive qui ne dépend que de la surface latérale $s_T$ du domaine $D_T$, des coefficients de l'équation (12), de la constante $\mu$ et des fonctions $g(P, t)$.

Remarquons que les singularités de la limitation (28) sont faibles relativement à l’intégrale de surface et à l’intégrale simple, puisque nous avons

$n - 2\mu < n - 1, \quad \text{si} \quad \frac{1}{2} < \mu < 1.$

Il en résulte, par le raisonnement classique de la théorie des équations intégrales, que nous pouvons resoudre l'équation (25) en basant sur le lemme suivant:

LEMME FONDAMENTAL (³). Si les fonctions $K_1(P, t; Q, \tau)$ et $K_2(P, t; Q, \tau)$ sont intégrables par rapport aux points $(P, t)$, $(Q, \tau)$ sur la surface latérale $s_T$, qui est de classe $C^1$ et possède une orientation du temps relative à l'équation (1), alors l'égalité suivante est satisfaite

$$
(29) \quad \int_0^t \int_{S_\tau} K_1(P, t; Q, \tau) \left[ \int_0^\tau \int_{S_\zeta} K_2(Q, \tau; Z, \zeta) \, dS_Z \, d\zeta \right] dS_Q d\tau \\
\qquad = \int_0^t \int_{S_\zeta} \int_\zeta^t \int K_1(P, t; Q, \tau) K_2(Q, \tau; Z, \zeta) \, dS_Q d\tau \, d\zeta
$$

où $(P, t)$, $(Q, \tau)$, $(Z, \zeta)$ désignent les points de la surface latérale $s_t$.

<footnote>(³) La démonstration de ce lemme base sur la définition de la surface de classe $C^1$, sur la orientation du temps de la surface latérale $s_T$ et sur le théorème sur le changement d'ordre d'intégration aux intégrales itérées.</footnote>
Par conséquent, d'après la théorie classique, écrivons la formule de Volterra pour l'équation (25) sous la forme

$$
(30) \qquad \varphi(P, t) = \Phi(P, t) + \int_0^t \int_{S_\tau} \mathfrak{R}(P, t; Q, \tau) \Phi(Q, \tau) dS_Q d\tau
$$

où $\mathfrak{R}(P, t; Q, \tau)$ est le noyau résolvant du noyau $N(P, t; Q, \tau)$ donné
par la somme de la série des noyaux itérés

$$
(31) \qquad \mathfrak{R}(P, t; Q, \tau) = \sum_{\nu=0}^{\infty} N_{\nu}(P, t; Q, \tau)
$$

déterminés par la relation de récurrence

$$
\begin{equation} \tag{32}
\begin{alignedat}{2}
& N_0(P_0, t; Q, \tau) &&= N(P, t; Q, \tau), \\
& N_{\nu+1}(P, t; Q, \tau) &&= \int_{\tau}^{t} \int_{S_{\zeta}} \int N_0(P, t; Z, \zeta) N_{\nu}(Z, \zeta; Q, \tau) \, dS_Z \, d\zeta \, d\tau,
\end{alignedat}
\qquad \nu = 0, 1, 2, \dots
\end{equation}
$$

La formule (30) présente la solution $\varphi(P, t)$ de l'équation (25), si l'on peut démontrer que les noyaux itérés (32) sont absolument convergents et que la série (31) est absolument et uniformement convergente sur la surface latérale $s_T$.

En s'appuyant sur la limitation (28) et le lemme fondamental on
peut montrer que les termes de la série (31) sont bornés à partir d'un
indice $v_0$ et qu'ils vérifient l'inégalités

$$
(33) \quad |N_{v_0+m}(P, t; Q, \tau)| \le \frac{c_1[c_2 \Gamma(1-\mu)(t-\tau)^{1-\mu}]^m}{m(1-\mu)\Gamma(m(1-\mu))}
$$

où $m = 1, 2, \dots$,

$$
v_0 = \max \left[ E \left( \frac{1}{1-\mu} \right) , E \left( \frac{n-1}{1-2(1-\mu)} \right) \right],
$$

$$
c_1 = \sup_{s_T} |N_{v_0}(P, t; Q, \tau)|, \quad c_2 = \sup_{s_T} \left( \int_{S_\zeta} \int \frac{\text{const} \cdot dS_Z}{|PZ|^{n-2\mu}} \right).
$$

Le dénominateur $\Gamma(m(1-\mu))$ dans la limitation (33) assure la con-
vergence absolue et uniforme de la série (31) pour toute valeur $t-\tau$,
abstraction faite de quelques termes non bornés.

Par conséquent, la formule (30) présente la solution unique de l'équa-
tion (25) pour toute valeur du temps $t > 0$. Cette solution $\varphi(Q, \tau)$ est
continue en tout point intérieur $(Q, \tau)$ de la surface latérale $s_T$ et, d'après
les suppositions (17), (20), (22) et les résultats de notre travail [7], elle vérifie l'inégalité

$$ (34) \qquad |\varphi(Q, \tau)| \le \frac{\text{const}}{\tau^{\mu*}} $$

$$ \text{où } \mu^* = \max \left( \frac{1}{2}(1+p_f), \mu_F + \frac{1}{2}p_F - \frac{1}{2}, \mu_g + \frac{1}{2}p_f, \mu_g + \frac{1}{2}p_F + \mu_F - 1, \mu_G \right). $$

Cette propriété permet de conclure que la substitution de la fonction $\varphi(Q, \tau)$ dans la formule (23) fournit, grâce à la condition (18), la solution cherchée $u(X, t)$ du problème proposé.

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant:

**THÉORÈME 1.** Si la surface latérale $s_T$ du domaine non cylindrique $D_T$, les coefficients de l'équation

$$ \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}(X, t) u_{x_i x_j}^{\prime \prime} + \sum_{k=1}^{n} b_k(X, t) u_{x_k}^{\prime} + c(X, t) u - u^{\prime}_i = F(X, t) $$

et les fonctions $F(X, t)$, $g(P, t)$, $G(P, t)$, $f(X)$ vérifient les hypothèses I, II, III, IV, V, alors il existe au moins une fonction $u(X, t)$, qui vérifie l'équation aux dérivées partielles donnée plus haut en tout point intérieur $(X, t)$ du domaine $D_T$, qui vérifie pour $t > 0$ la condition limite (13) en tout point $(P, t)$ de la surface latérale $s_T$, et vérifie la condition initiale (14) en tout point intérieur $X$ du domaine $\Omega_0$.

**3. Problème semi-linéaire aux limites.** Soit l'équation semi-linéaire aux dérivées partielles du type parabolique de la forme

$$ (35) \qquad \Psi u(X, t) = F \left( X, t, u, \frac{\partial u}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial u}{\partial x_n} \right), $$

$F(X, t, u_0, u_1, \dots, u_n)$ étant une fonction donnée.

Nous posons le problème de la recherche d'une fonction $u(X, t)$, qui satisfait à l'équation semi-linéaire (35) en tout point intérieur $(X, t)$ du domaine non cylindrique $D_T$, vérifie la condition limite à la dérivée transversale

$$ (36) \qquad \frac{du}{dT_{P_t}} + g(P, t)u = G(P, t, u) $$

pour $t > 0$ en tout point $(P, t)$ de la surface latérale $s_T$ du domaine $D_T$, qui possède l'orientation du temps relative à l'équation (35) et, de plus, satisfait à la condition initiale

$$ (37) \qquad \lim_{t \to 0} u(X, t) = f(X) $$

en tout point intérieur $X$ du domaine $\Omega_0$.
Admettons les suppositions suivantes:

(i) La fonction donnée $F(X, t, u_0, u_1, ..., u_n)$ est définie et continue dans le produit cartésien

$$ (38) \qquad D_T \times \{(u_0, u_1, ..., u_n): |u_i| < \infty, i = 0, 1, ..., n\} $$

où elle vérifie l'inégalité

$$ (39) \qquad |F(X, t, u_0, u_1, ..., u_n)| \le \frac{M_F}{t^{\mu_F} |XP|^{p_F}} + M_F \left( \sum_{i=0}^{n} |u_i| \right) $$

et une condition de Hölder de la forme

$$ (40) \qquad \begin{aligned} & |F(X, t, u_0, u_1, ..., u_n) - F(\bar{X}, t, \bar{u}_0, \bar{u}_1, ..., \bar{u}_n)| \\ & \le \text{const} |X\bar{X}|^{h_F} + k_F \left( \sum_{j=0}^{n} |u_j - \bar{u}_j| \right) \end{aligned} $$

dans tout domaine fermé $D_T^* \times U$ situé à l'intérieur du produit cartésien (38), où $\mu_F, p_F, h_F, M_F, M_F, k_F$ sont des constantes données vérifiant les inégalités

$$ (41) \qquad \begin{aligned} & 0 \le \mu_F < 1, \quad 0 \le p_F < 1, \quad 0 < h_F \le 1, \quad 0 < M_F, \\ & 0 < M_F, \quad 0 < k_F \end{aligned} $$

et const est une constante positive, dépendant du domaine $D_T$, qui en général, n'est pas bornée, si ce domaine $D_T^*$ s'approche vers le domaine $D_T$.

(ii) Les fonctions données $y(P, t)$ et $G(P, t, u_0)$ sont définies et continues pour $t > 0$ dans les régions respectives

$$ (42) \qquad s_T \text{ et } s_T \times \{u_0: |u_0| < \infty\} $$

où elles vérifient les inégalités

$$ (43) \qquad \begin{aligned} & |g(P, t)| \le m_g t^{-\mu_g}, \\ & |G(P, t, u_0)| \le m_G t^{-\mu_G} + M_G t^{-p_G} |u_0| \end{aligned} $$

et la fonction $G(P, t, u_0)$ vérifie la condition de Hölder de la forme

$$ (44) \qquad |G(P, t, u_0) - G(P, t, \bar{u}_0)| \le k_G t^{-\mu_G} |u_0 - \bar{u}_0| $$

où $\mu_g, \mu_G, p_G, m_g, M_G, m_G, k_G$ sont des constantes données vérifiant les inégalités

$$ (45) \qquad \begin{aligned} & 0 \le \mu_g < \frac{1}{2}, \quad 0 \le \mu_G < \frac{1}{2}, \quad 0 \le p_G < \frac{1}{2}, \quad 0 < m_g, \\ & 0 < M_G, \quad 0 < m_G, \quad 0 < k_G. \end{aligned} $$
Quant à la surface latérale $s_T$ du domaine non cylindrique $D_T$, aux exposants des coefficients de l'équation (35) et à la fonction donnée $f(X)$ dans la condition initiale (37) nous admettons les mêmes suppositions que dans le problème linéaire (v. p. 104 et 105, les suppositions I, II, et V).

Nous allons chercher la solution du problème proposé plus haut sous la forme d'une (v. p. 105, la formule (23)) somme

$$ (46) \quad u(X, t) = \int_0^t \int_0^t \int_{\Omega_0} \tilde{\Gamma}(X, t; Y, 0) f(Y) dY \, d\tau + \int_0^t \int_0^t \int_{S_\tau} \tilde{\Gamma}(X, t; Q, \tau) \varphi(Q, \tau) dS_Q d\tau \\ - \int_0^t \int_0^t \int_{\Omega_\tau} \tilde{\Gamma}(X, t; Y, \tau) F(Y, \tau, u(Y, \tau), u'_{y_1}(Y, \tau), \dots, u'_{y_n}(Y, \tau)) dY \, d\tau \, d\tau $$

de l'intégrale de Poisson-Weierstrass, du potentiel de simple couche de densité inconnue $\varphi(Q, \tau)$ et du potentiel de charge spatiale.

En demandant que la fonction (46) vérifie la condition limite (36) pour $t>0$ en tout point $(P, t)$ de la surface latérale $s_T$, sous la l'hypothèse que la fonction $\varphi(Q, \tau)$ soit continue, on arrive (v. p. 105, l'équation (25)) à une équation intégro-différentielle de la forme

$$ \begin{aligned} & (47) \quad \varphi(P, t) - \int_0^t \int_{S_\tau} N(P, t; Q, \tau) \varphi(Q, \tau) dS_Q d\tau \\ &= -2 \Biggl[ G(P, t, u(P, t)) - \int_{\Omega_0} \int \int \frac{d\tilde{\Gamma}(P, t; Y, 0)}{dT_{P_t}} f(Y) dY \, d\tau + \\ & \quad + \int_0^t \int \int_{\Omega_\tau} \int \frac{d\tilde{\Gamma}(P, t; Y, \tau)}{dT_{P_t}} F(Y, \tau, u(Y, \tau), u'_{y_1}(Y, \tau), \dots, u'_{y_n}(Y, \tau)) dY \, d\tau \, d\tau + \\ & \quad + g(P, t) \Biggl( \int_0^t \int \int_{\Omega_\tau} \int \tilde{\Gamma}(P, t; Y, \tau) F(Y, \tau, u(Y, \tau), u_{y_1}(Y, \tau), \dots, u_{y_n}(Y, \tau)) dY \, d\tau \, d\tau + \\ & \quad + \int_{\Omega_0} \int \int \tilde{\Gamma}(P, t; Y, 0) f(Y) dY \Biggr) \Biggr] \end{aligned} $$

où le noyau $N(P, t; Q, \tau)$ est donné par la formule (26).

En conséquence nous voyons que le problème proposé se ramène à la résolution du système d'équations intégro-différentielles (46), (47) aux deux fonctions inconnues $u(X, t)$ et $\varphi(P, t)$ — la première définie dans l'intérieur du domaine non cylindrique $D_T$ et la seconde définie pour $t > 0$ sur la surface latérale $s_T$.
Pour résoudre le système d'équations (46), (47) considérons le système de $n+2$ équations intégrales

$$
\begin{align*}
(48) \quad & u_j(X, t) \\
& = - \int_0^t \int \int \int \tilde{\Gamma}_j(X, t; Y, \tau) F(Y, \tau, u_0(Y, \tau), u_1(Y, \tau), \dots, u_n(Y, \tau)) \, dY \, d\tau + \\
& \qquad + \int \int \int \tilde{\Gamma}_j(X, t; Y, 0) f(Y) \, dY + \int_0^t \int \int \tilde{\Gamma}_j(X, t; Q, \tau) \varphi(Q, \tau) \, dS_Q \, d\tau, \tag{2} \\
& j = 0, 1, \dots, n, \\
& \varphi(P, t) - \int_0^t \int \int \int N(P, t; Q, \tau) \varphi(Q, \tau) \, dS_Q \, d\tau \\
& = -2 \, G(P, t, u_0(P, t)) + \int \int \int \int N(P, t; Y, 0) f(Y) \, dY - \\
& \qquad - \int_0^t \int \int \int \int N(P, t; Y, \tau) F(Y, \tau, u_0(Y, \tau), u_1(Y, \tau), \dots, u_n(Y, \tau)) \, dY \, d\tau
\end{align*}
$$

aux fonctions inconnues $u_0(X, t)$, $u_1(X, t)$, ..., $u_n(X, t)$, $\varphi(P, t)$, où on a posè

$$
\tilde{\Gamma}_j(X, t; Y, \tau) = \begin{cases} \tilde{\Gamma}(X, t; Y, \tau), & \text{pour } j = 0, \\ \tilde{\Gamma}'_j(X, t; Y, \tau), & \text{pour } j = 1, \dots, n. \end{cases}
$$

En s'appuyant sur les propriétés des intégrales (v. [6], [7]), qui
figurent dans les équations (48) et en tenant les hypothèses (i), (ii), V,
I, II, on prévoit que les fonctions inconnues sont continues pour $t > 0$
dans les régions $D_T$, $s_T$ respectivement, et qu'elles sont non bornées,
quand le point intérieur $(X, t)$ du domaine non cylindrique $D_T$ tend pour
$t > 0$ vers le point $(P, t)$ de la surface latérale $s_T$ ou quand $t$ tend vers
zero. Ces fonctions vérifient les inégalités

$$
\begin{align*}
& |u_0(X, t)| \le \frac{\text{const}}{t^{\mu_*}}, \\
(49) \qquad & |u_j(X, t)| \le \frac{\text{Const}}{t^{\mu_*} |XP|^{2\theta}}, \quad j = 1, \dots, n, \\
& |\varphi(P, t)| \le \frac{\text{const}}{t^{\mu_*}}
\end{align*}
$$

où

$$
\begin{align*}
\mu_* &= \max(\mu^*, p_G + \mu_F + \frac{1}{2}p_F - 1, p_G + \frac{1}{2}p_I), \\
\max &\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\max\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{2}(1 + \mu_*)\right)\right) < \theta < \frac{1}{2}.
\end{align*}
$$
Pour éviter cette singularité on multiplie les fonctions $u_0(X, t)$ et $\varphi(P, t)$ par $t^\chi$, et les fonctions restantes $u_1(X, t), \dots, u_n(X, t)$ — par $t^\chi |XP|^{2\theta+\kappa}$, où les constantes $\chi$ et $\kappa$ vérifient les inégalités

$$ (50) \qquad \mu_* < \chi < 1, \quad 0 < \kappa < \min(1-2\theta, 2-2\theta-2\mu_G). $$

Nous introduirons donc nouvelles fonctions inconnues

$$ \begin{align} v_0(X, t) &= t^\chi u_0(X, t), \tag{51} \\ v_j(X, t) &= t^\chi |XP|^{2\theta+\kappa} u_j(X, t), \quad j=1, \dots, n, \nonumber \\ \psi(P, t) &= t^\chi \varphi(P, t). \nonumber \end{align} $$

Le système d'équations (48) prendra alors la forme suivante

$$ \begin{align} v_0(X, t) &= \int_0^t \int_0^\tau \int_0^\tau t^\chi \tilde{\Gamma}_0(X, t; Y, 0) f(Y) dY + \int_0^t \int_{S_\tau} \int_0^\tau t^\chi \tilde{\Gamma}_0(X, t; Q, \tau) \frac{\psi(Q, \tau)}{\tau^\chi} dS_Q d\tau - \nonumber \\ &\quad - \int_0^t \int_{\Omega_0} \int_0^\tau \int_0^\tau t^\chi \tilde{\Gamma}_0(X, t; Y, \tau) F \left( Y, \tau, \frac{v_0(Y, \tau)}{\tau^\chi}, \frac{v_1(Y, \tau)}{\tau^\chi |YQ_Y|^{2\theta+\kappa}}, \dots, \frac{v_n(Y, \tau)}{\tau^\chi |YQ_Y|^{2\theta+\kappa}} \right) dY d\tau \nonumber \\ v_j(X, t) &= \int_0^t \int_{\Omega_0} \int_0^\tau \int_0^\tau t^\chi |XP|^{2\theta+\kappa} \tilde{\Gamma}_j(X, t; Y, 0) f(Y) dY + \nonumber \\ &\quad + \int_0^t \int_{S_\tau} \int_0^\tau t^\chi |XP|^{2\theta+\kappa} \tilde{\Gamma}_j(X, t; Q, \tau) \frac{\psi(Q, \tau)}{\tau^\chi} dS_Q d\tau + \nonumber \\ &\quad + \int_0^t \int_{\Omega_\tau} \int_0^\tau t^\chi |XP|^{2\theta+\kappa} \tilde{\Gamma}_j(X, t; Y, \tau) F \left( Y, \tau, \frac{v_0(Y, \tau)}{\tau^\chi}, \frac{v_1(Y, \tau)}{\tau^\chi |YQ_Y|^{2\theta+\kappa}}, \dots \right. \nonumber \\ &\qquad \left. \dots, \frac{v_n(Y, \tau)}{\tau^\chi |YQ_Y|^{2\theta+\kappa}} \right) dY d\tau, \quad j=1, \dots, n, \nonumber \\ \psi(P, t) &= - \int_0^t \int_{S_\tau} \int_0^\tau t^\chi N(P, t; Q, \tau) \frac{\psi(Q, \tau)}{\tau^\chi} dS_Q d\tau \nonumber \\ &= 2 t^\chi G \left( P, t, \frac{v_0(P, t)}{t^\chi} \right) + \int_0^t \int_0^\tau \int_0^\tau t^\chi N(P, t; Y, 0) f(Y) dY - \nonumber \\ &\quad - \int_0^t \int_{\Omega_\tau} \int_0^\tau \int_0^\tau t^\chi N(P, t; Y, \tau) F \left( Y, \tau, \frac{v_0(Y, \tau)}{\tau^\chi}, \frac{v_1(Y, \tau)}{\tau^\chi |YQ_Y|^{2\theta+\kappa}}, \dots \right. \nonumber \\ &\qquad \left. \dots, \frac{v_n(Y, \tau)}{\tau^\chi |YQ_Y|^{2\theta+\kappa}} \right) dY d\tau. \end{align} $$
Pour abreger nous écrivons ce système de la façon suivante

$$
(53) \qquad v = Av
$$

où $v$ désigne le système des fonctions inconnues

$v_0(X, t), v_1(X, t), \dots, v_n(X, t), \psi(P, t),$

A désigne une opération fonctionnelle définie par les membres droits du système (52).

Nous résoudrons le système (52) par la méthode des approximations successive en appliquant le théorème de Banach.

THÉORÈME DE BANACH. Soit A une opération donnée dans l'espace
metrique complet X, A étant la transformation de l'espace X dans lui même.
Pour toutes points $\tilde{v}$, $v$ de l'espace X l'opération A vérifie la condition
de Lipschitz

$$
d(A\tilde{v}, Av) \leq ad(\tilde{v}, v)
$$

avec la constante $\alpha < 1$, où $d(\cdot, \cdot)$ désigne la metrique dans l'espace $X$.

Alors l'équation $u = Au$ admet une solution unique $v^*$ dans l'espace $X$.
Cette solution $v^*$ on peut déterminer par la méthode des approximations
successives d'après la formule

$$
v_{i+1} = Av_i \quad (i = 0, 1, \dots)
$$

où $v_0$ est un point de l'espace $X$ fixé arbitrairement.

Dans ce but considérons l'espace metrique complet $X$ composé de
tous systèmes des fonctions

$$
(54) \quad w = \{w_0(X, t), w_1(X, t), \dots, w_n(X, t), \varrho(P, t)\}
$$

définies et continues sur les fermetures des régions $D_T$ et $s_T$ respective-
ment, avec la metrique définie par la formule

$$
(55) \quad d(w, v) = \max \left( \max_{0 \le r \le n} \left( \sup_{D_T} |w_r(X, t) - v_r(X, t)| \right), \sup_{s_T} |\varrho(P, t) - \psi(P, t)| \right).
$$

En vertu des suppositions I, II, (i), (ii) et d'après la définition (52),
(53) de l'opération A nous avons (v. [7], les théorèmes 1 et 2) les inégalités

$$
\begin{align*}
(56) \quad & |\tilde{w}_0(X, t) - w_0(X, t)| \le C_0 k_F t \sup_{(Y, \tau)} |\tilde{v}_0(Y, \tau) - v_0(Y, \tau)| + \\
& \qquad + C'_0 k_F t^{1-\frac{\theta}{2}\kappa} n \cdot \max_{1 \le r \le n} \left( \sup_{(Y, \tau)} |\tilde{v}_\tau(Y, \tau) - v_\tau(Y, \tau)| \right) + C''_0 t^{\frac{3}{2}} \sup_{(Q, \tau)} |\tilde{\psi}(Q, \tau) - \psi(Q, \tau)|, \\
& |\tilde{w}_j(X, t) - w_j(X, t)| \le C_1 k_F t^{\frac{1}{2}} |XP|^{2\theta+\kappa} \sup_{(Y, \tau)} |\tilde{v}_0(Y, \tau) - v_0(Y, \tau)| + \\
& \qquad + C'_1 k_F t^{1-\frac{\theta}{2}\kappa} |XP|^{2\theta+\kappa} n \cdot \max_{1 \le r \le n} \left( \sup_{(Y, \tau)} |\tilde{v}_\tau(Y, \tau) - v_\tau(Y, \tau)| \right) + \\
& \qquad + C''_1 t^{\theta} |XP|^\kappa \sup_{(Q, \tau)} |\tilde{\psi}(Q, \tau) - \psi(Q, \tau)| \quad (j=1, \dots, n),
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
|\tilde{\rho}(P, t) - \rho(P, t)| &\lesssim C_2 k_G k_F t^{1-\mu_G} \sup_{(Y, \tau)} |\tilde{v}_0(Y, \tau) - v_0(Y, \tau)| + \\
&\quad + C'_2 k_G k_F t^{1-\frac{1}{2}\kappa-\mu_G} \max_{1\le\tau\le n} \left(\sup_{(Y, \tau)} |\tilde{v}_r(Y, \tau) - v_r(Y, \tau)|\right) + \\
&\quad + C''_2 k_G t^{\frac{1}{2}-\mu_G} \sup_{(Q, \tau)} |\tilde{\psi}(Q, \tau) - \psi(Q, \tau)| + C'''_2 k_F t^{\frac{1}{2}} \sup_{(Y, \tau)} |\tilde{v}_0(Y, \tau) - v_0(Y, \tau)| + \\
&\quad + C^{IV}_2 k_F t^{\frac{1}{2}-\theta-\frac{1}{2}\kappa} \max_{1\le\tau\le n} \left(\sup_{(Y, \tau)} |\tilde{v}_r(Y, \tau) - v_r(Y, \tau)|\right)
\end{align*}
$$

où les systèmes des fonctions $\tilde{w} = \{\tilde{w}_0(X, t), \tilde{w}_1(X, t), \dots, \tilde{w}_n(X, t), \tilde{\rho}(P, t)\}$ et $w = \{w_0(X, t), w_1(X, t), \dots, w_n(X, t), \rho(P, t)\}$ désignent les points $A\tilde{v}$ et $Av$ respectivement, $\tilde{v}$ et $v$ étant les points donnés dans l'espace $X$.

Donc, nous voyons que l'opération A satisfait à la condition de Lipschitz

$$
(57) \qquad d(A\tilde{v}, Av) \leqq ad(\tilde{v}, v)
$$

où la constante $\alpha$ ait inférieur à l'unité, si $T$ est suffisamment petite,
c'est-à-dire, si

$$
(58) \qquad T = \min(T'_0, T'_1, T'_2),
$$

$T'_0, T'_1, T'_2$ étant des constantes positives telles que

$$
\begin{align*}
C_0 k_F T_0 + n C'_0 k_F T_0^{1-\theta-\frac{1}{2}\kappa} + C''_0 T_0^{\frac{1}{2}} &< 1, \\
C'_1 k_F T_1^{\frac{1}{2}} + n C'_1 k_F T_1^{\frac{1}{2}-\theta-\frac{1}{2}\kappa} + C''_1 T_1^{\theta} &< 1, \\
C_2 k_G k_F T_2^{1-\mu_G} + n C'_2 k_G k_F T_2^{1-\theta-\frac{1}{2}\kappa-\mu_G} + C''_2 k_G T_2^{\frac{1}{2}-\mu_G} &+ \\
& \qquad + C'''_2 k_F T_2^{\frac{1}{2}} + n C^{IV}_2 k_F T_2^{\frac{1}{2}-\theta-\frac{1}{2}\kappa} < 1.
\end{align*}
$$

En somme toutes les conditions du théorème de Banach étant vé-
rifiées, nous en concluons l'existence et l'unité d'un point

$$
(59) \qquad v^* = \{v_0^*(X, t), v_1^*(X, t), \dots, v_n^*(X, t), \psi^*(P, t)\}
$$

de l'espace $X$, qui constitue la solution du système d'équations inté-
grales (52), parce qu'on a

$$
(60) \qquad v^* = Av^*.
$$

En s'appuyant sur les formules (51) nous arrivons au système des
$n+2$ fonctions

$$
(61) \qquad u^* = \{u_0^*(X, t), u_1^*(X, t), \dots, u_n^*(X, t), \varphi^*(P, t)\},
$$

où

$$
\begin{align*}
u_0^*(X, t) &= v_0^*(X, t)/t^\kappa, \\
u_j^*(X, t) &= v_j^*(X, t^\kappa)/t^\kappa |XP|^{20+\kappa}, \quad j=1, \dots, n, \\
\varphi^*(P, t) &= \psi^*(P, t)/t^\kappa.
\end{align*}
$$
Ces fonctions sont définies en tout point intérieur $(X, t)$ du domaine non cylindrique $D_T$ et pour $t > 0$ en tout point $(P, t)$ de la surface latérale $s_T$ respectivement, en outre ces fonctions constituent une solution du système d'équations intégrales (48).

En s'appuyant sur les propriétés des intégrales, figurant dans ce système (48), exprimées par les théorèmes des travaux [5], [6] nous concluons les relations

$$ (62) \qquad u_j^*(X, t) = \frac{\partial u_0^*(X, t)}{\partial x_j}, \quad j = 1, \dots, n $$

en tout point intérieur $(X, t)$ du domaine non cylindrique $D_T$. Par conséquent les fonctions $u_0^*(X, t)$ et $\varphi^*(P, t)$ constituent la solution du système d'équations intégro-différentielles (46), et (47).

Nous allons prouver que la fonction déterminée $u_0^*(X, t)$ représente une solution du problème aux limites proposé.

En effet, d'après les propriétés des dérivées du potentiel de charge spatiale relatif à l'équation parabolique (1) (v. [10], p. 186, le théorème 6), les dérivées spatiales d'ordre prémier de la fonction $u_0^*(X, t)$ vérifient la condition de Hölder dans tout domaine fermé $D_T^c \subset D_T$, donc grâce à la supposition (40), la fonction

$$ F(Y, \tau, u_0^*(Y, \tau), \frac{\partial u_0^*(Y, \tau)}{\partial y_1}, \dots, \frac{\partial u_0^*(Y, \tau)}{\partial y_n}) $$

vérifie aussi dans tout domaine $D_T^c$ la condition de Hölder par rapport aux variables spatiales. Il en résulte que la fonction $u_0^*(X, t)$ admet des dérivées spatiales d'ordre second qui vérifient l'équation parabolique semilinéaire (35) en tout point intérieur $(X, t)$ du domaine $D_T$.

La fonction $\varphi^*(P, t)$ est continue pour $t > 0$ sur la surface latérale (v. [10], les théorèmes 6, 8 et v. [5], le théorème 4) $s_T$, donc la valeur limite de la dérivée transversale de la fonction $u_0^*(X, t)$ existe pour $t > 0$ en tout point $(P, t)$ de la surface $s_T$ (v. [5], le théorème 1) et, d'après l'équation intégrale (47), la fonction $u_0^*(X, t)$ vérifie la condition limite (36). Elle vérifie évidemment aussi (v. [10], le théorème 8) la condition initiale (37).

Donc nous pouvons énoncer le théorème suivant

**THÉORÈME 2.** Si la surface latérale $s_T$ du domaine non cylindrique $D_T$, les coefficients de l'équation

$$ \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}(X, t) u_{x_i x_j}'' + \sum_{k=1}^{n} b_k(X, t) u_{x_k}' + c(X, t) u - u'_{i} = F(X, t, u, u_{x_1}', \dots, u_{x_n}') $$

et les fonctions $F(X, t, u_0, u_1, \dots, u_n)$, $g(P, t)$, $G(P, t, u_0)$, $f(X)$ vérifient les hypothèses I, II, (i), (ii), V, alors pour $T$ donné par la formule (58) il existe au moins une fonction $u(X, t)$, qui vérifie l'équation aux dérivées partielles
donnée plus haut en tout point intérieur $(X, t)$ du domaine $D_T$, qui vérifie pour $t > 0$ la condition limite (36) en tout point $(P, t)$ de la surface latérale $s_T$ et vérifie la condition initiale (37) en tout point intérieur $X$ du domaine $\Omega_0$.

## Travaux cités

[1] A. Friedman, *Interior estimates for parabolic systems of partial differential equations*, Journ. Math. and Mech. 7, n. 5 (1958), p. 771-791.

[2] — *On quasi-linear parabolic equations of the second order*, II, Journ. Math. and Mech. 9, n. 4 (1960), p. 539-556.

[3] M. Gevrey, *Sur les équations aux dérivées partielles du type parabolique*, Journ. de Math. 78 (1913), p. 305-471.

[4] L. I. Kamynin et V. N. Maslennikova, *Sur la solution du premièr problème aux limites pour l'équation quasi-linéaire dans un domaine non cylindrique* (en russe), Mat. Sbornik 57 (99), (1962), p. 241-262.

[5] A. Piskorek, *Propriétés d'une intégrale de l'équation parabolique dans un domaine non cylindrique*, Ann. Polon. Math. 8 (1960), p. 125-137.

[6] — *Dérivation d'une intégrale de l'équation parabolique dans un domaine non cylindrique*, Ann. Polon. Math. 14 (1963), p. 13-28.

[7] — *Propriétés des intégrales de l'équation parabolique dans un domaine non cylindrique*, Ann. Polon. Math. 12 (1962), p. 301-317.

[8] — *Sur certains problèmes aux limites pour l'équation semi-linéaire parabolique normale*, Bulletin de l'Acad. Pol. d. Sc. vol. VI, n. 8 (1958), p. 505-510.

[9] W. Pogorzelski, *Etude de la solution fondamentale de l'équation parabolique*, Ricerche Mat. 5 (1956), p. 25-57.

[10] — *Sur certaines propriétés des intégrales analogues aux potentiels et un problème aux limites pour l'équation parabolique*, Ricerche Mat. 10 (1961), p. 173-213.

[11] — *Problèmes aux limites pour l'équation parabolique normale*, Ann. Polon. Math. 4 (1957), p. 110-126.

Reçu par la Rédaction le 5. 7. 1963