methode) de Druet n'est pas vraie pour $0 < \epsilon \le \epsilon_0$, donc on ne peut pas parler de la preuve de Druet dans ce cas, car elle n'est pas vraie. On ne peut pas distinguer les cas $0 < \epsilon \le \epsilon_1$ et $0 < \epsilon_1 \le \epsilon \le \epsilon_0$. Car des qu'on parle de $\epsilon_0$ cela fait reference au point 2) precedent qui dit qu'on a la compacité dans ce cas et que la preuve de Druet n'est pas vrai dans ce cas.

On ne peut pas parler de $\epsilon_0$ et $\epsilon_1$ ou de $\epsilon_0$, et du résultat de Druet, au même temps, ce n'est pas compatible.

(Par exemple, considerer $\epsilon_0 > 0$ du point 2), c'est prendre en compte les fonctions $u_\epsilon$ avec $\epsilon > 0$ voisin de 0, ce qui n'est pas le cas du résultat de Druet).

Tout ceci pour dire qu'on a bien un résultat de compacité dans l'article du Bull.Sci.Math. de 2009, sans faire reference au résultat de Druet et sans faire reference à l'unicité. L'unicité vient apres.

Si on considère les operateurs : $L_t(u) = u - (\Delta + t)^{-1}(u^{N-1})$, $0 < \epsilon_1 \le t \le \epsilon_0$, $\Delta = -\nabla^i \nabla_i$, $u \in C = \{u \in C^{2,\alpha}(M), u > 0, ||u||_{C^{2,\alpha}(M)} \le 2m_0\}$, par les estimations elliptiques et homotopie et en $t = \epsilon_1$, $(L_{\epsilon_1})'$ est un isomorphisme et l'eq. $L_{\epsilon_1}(u) = 0$ a une solution unique d'où en $\epsilon_1$ le degré $L_{\epsilon_1}$ est son indice et il est égal à $\pm 1$ :

$$ deg(L_t, C, 0) = deg(L_{\epsilon_0}, C, 0) = deg(L_{\epsilon_1}, C, 0) = \pm 1. $$

Donc, on a des solutions topologiques à $\Delta u + tu = u^{N-1}$, $u > 0$ pour $0 < \epsilon_1 \le t \le \epsilon_0$ et elles sont bornées en norme $C^{2,\alpha}$, $||u||_{C^{2,\alpha}(M)} \le 2m_0$.

## Sur la 2ème note aux Comptes Rendus Math. Acad. Sci. Paris. 2006 :

On a l'inégalité de Brezis-Gallouet, qui prend en compte les derivées d'ordre 2, $H_2^2$ et la norme sup. On peut voir dans le dernier th de la note de 2006 (on utilise la borne uniforme des solutions au voisinage du bord, de l'equation $(\Delta^2 u = u^{p-\epsilon}, p = \frac{(n+4)}{(n-4)}, n \ge 5$ dans $\Omega$ et avec les conditions au bord $u = \Delta u = 0$ sur $\partial\Omega$, sur un ouvert regulier strictement convexe, par exemple une boule ou un ellipsoide)) :

$$ \sup_{\Omega} u \times \inf_{K} u \ge c(K, \Omega, n) \int_{\Omega} (\Delta u)^2 dx \ge \tilde{c}(K, \Omega, n) > 0, $$

C'est une inégalité liant les normes essentielles et la norme $H_2^2(\Omega)$.

## Sur le résultat de compacité locale en dimension 4 : eq.de la courbure scalaire prescrite : application : problème de Cherrier

C'est sous-entendu, par la citation du livre d'Aubin.

Dans le cas plat et non plat.

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \Delta u_i + \frac{1}{6} R_g u_i = V_i u_i^3, & u_i > 0 \quad \text{dans } M, \\ \partial_\nu u_i + h u_i = \tilde{h}_i u_i^2, & u_i > 0 \quad \text{sur } \partial M. \end{array} \right. $$

ici, c'est la normale extérieure. $\Delta = -\nabla^i \nabla_i$, $0 < a \le V_i \le b < +\infty$, $||\nabla V_i|| \le A_i \to 0$.

Question : peut on avoir, courbures scalaires $\ge 0$ et courbures moyennes $\le 0$ ? Est ce compatible ? c'est peut être vrai, car quand on prend un objet convexe, sa courbure scalaire est $> 0$ cela veut dire que le bord est concave et donc courbure $< 0$ (en se placant au bord, le bord devient concave), par exemple une boule (au voisinage du bord).

Exemple de solutions du problème de Cherrier+ exemple concernant la question precedente : on considère la première valeur propre du laplacien conforme(ici, il est censé être coercif), avec condition de Dirichlet. Si, $f > 0$ est la fonction propre, on prend $g = f + \epsilon > 0$, $\epsilon > 0$. Exemple de J.Escobar, première valeur propre.

Par le principe du maximum de Hopf (ici l'opérateur laplacien est coercif), si $x_i$ est un point ou la solution $u_i > 0$ atteint son minimum : $\partial_\nu u_i(x_i) < 0$. Si, $h < 0$ et $-\infty < c \le \tilde{h}_i \le d < 0 \Rightarrow \min_M u_i = u_i(x_i) \ge k > 0$.

Donc, dans le cas plat et non plat :

Dans le cas d'un ouvert borné de $\mathbb{R}^4$, une boule par exemple (courbure moyenne $< 0$) :
$$
\begin{cases}
\Delta u_i = V_i u_i^3, & u_i > 0 \quad \text{dans } \Omega, \\
\partial_\nu u_i + h u_i = \tilde{h}_i u_i^2, & u_i > 0 \quad \text{sur } \partial\Omega.
\end{cases}
$$

alors,

$$
\|u_i\|_{L^{\infty}(K)} \le c(a, b, c, d, (A_i), K, \Omega), \quad \forall K \subset \subset \Omega \subset \mathbb{R}^4,
$$

et dans le cas non plat, qaund le principe du maximum est vrai (le minimum est atteint sur le
bord) :

$$
\|u_i\|_{L^{\infty}(K)} \le c(a, b, c, d, (A_i), K, M), \quad \forall K \subset \subset M.
$$

On a : <u>Compacité locale pour un problème de Neumann non-lineaire.</u>

1) On a donné un exemple de solution de problème de Cherrier avec $h < 0$, $\tilde{h} < 0$ sur une boule : $u_{\epsilon} = g = f + \epsilon$, $\epsilon > 0$. On veut voir si il y a des solutions qui blow-up :

Pour cela il suffit de prendre $\epsilon \to +\infty$, on a blow-up total :

Pour chaque $\epsilon \gg 1$, tres grand, il existe une solution au probleme de Cherrier, tel que :

$$
\max_{\Omega} u_{\epsilon} \geq \max_{\partial \Omega} u_{\epsilon} = \epsilon \rightarrow +\infty,
$$

cela veut dire qu'on depasse n'importe quel rang $A \gg 1$, tres grand, en ayant une solution
du probleme de Cherrier.

Ici, $0 < a_{\epsilon} \le V_{\epsilon} \le b_{\epsilon} < +\infty$ et $-\infty < c_{\epsilon} \le \tilde{h}_{\epsilon} \le d_{\epsilon} < 0$, ces nombres peuvent
etre tres petits en valeurs absolues. Par exemple ici, en dimension 4 sur une boule, $h < 0$,
$V_{\epsilon} = \frac{\lambda_1 f}{(f+\epsilon)^3}, \lambda_1 > 0, \tilde{h}_{\epsilon} = \frac{\partial_{\nu} f + \epsilon h}{\epsilon^2}$.

On peut prendre aussi $f > 0$ solution de $\Delta f = \lambda_1 f$, $\Omega$, $f = 1$, $\partial\Omega$ pour eviter d'avoir $V_\epsilon = 0$ sur $\partial\Omega$.

2) Cela veut dire que :

Pour chaque rang $A \gg 1$ tres grand, il existe une solution du probleme de Cherrier, dont le
maximum depasse ce rang $A \gg 1$.

Cela veut dire que le blow-up pour le probleme de Cherrier est possible. En plus, on le deter-
mine a partir du bord (et de l'interieur) : on a à la fois blow-up interieur et au bord.

$$
\forall \epsilon \gg 1, \exists u_{\epsilon} : \text{solution blow-up} = \text{solution avec maximum grand.}
$$

Par exemple, on peut considerer l'ensemble des solutions $v$ du problème de Cherrier, pour chaque $\epsilon \gg 1$ fixé. Alors, on a la compacité locale tout en ayant un élément dont le maximum depasse le rang $\epsilon \gg 1$.

On a considerer le cas d'une boule de $\mathbb{R}^4$, mais on peut prendre une boule d'une variété Rie-
mannienne $M$ de dimension 4. Ici , on s'est intéressé au cas de la dimension 4, on a la même
chose , pour un opérateur (laplacien) coercif, pour l'eq. de Yamabe, en dimension 6, par exemple.

**Remarque :** 1) dans le cas des ouverts de l'espace euclidien, quand on considere le laplacien,
le principe du maximum s'applique, le minimum est bien atteint sur le bord et on a le lemme de
Hopf. Par contre quand on considere un opérateur general avec terme linaire, on a la condition
"non positive minimum". Donc, il faut faire attention dans le cas general, ce qu'on a dit n'est
pas vrai toujours, il faut que le minimum soit atteint à l'interieur(par exemple on considere le cas
$R_g \equiv 0$ ou le laplacien seul et coercif, petites boules geodesiques), mais pour le laplacien sur des
ouverts de l'espace euclidien, c'est vrai. En particulier, on a l'estimation locale en dimension 4
pour un ouvert regulier avec $h < 0$ sur le bord, par exeple une boule.

2) Dans le cas plat, en dimension 4, on a une estimation uniforme $L_{oc}^{\infty}$, obtenue, par blow-up,
a l'interieur ou eclatement, sans concentration de la mesure. En dimension 2, dans Brezis-Merle,
ils ont utilise la concentration de la mesure. Ici, en dimension 4, sans concentration de la mesure.

3) On a : **Compacité locale avec condition de Neumann non-lineaire.**

On regarde maintenant : la compacité locale, et, si il y a blow-up au bord :

Par exemple, considerons le probleme de Cherrier suivant :
$$
\begin{cases}
\Delta u_i = au_i^3, & u_i > 0 \quad \text{dans } \Omega, \\
\partial_\nu u_i - u_i = -u_i^2, & u_i > 0 \quad \text{sur } \partial\Omega.
\end{cases}
$$

Avec $\Delta = - \sum \partial_{jj}$, et $a > 0$.

Soit $\lambda_1 > 0$, la première valeur propre du Laplacien avec condition de Dirichlet.

Comme on l'a fait precedemment, avec la derivée normale et le principe du maximum, en
utilisant la deuxième equation, on a :

$$
\min_{\Omega} u_i > 1.
$$

En utilisant, la première fonction propre et une integration par parties, comme dans Brezis-
Merle. On obtient :

$$
a \cdot (\min_{\Omega} u_i)^2 \leq \lambda_1,
$$

On voit alors que le système n'a pas de solution si $a \ge \lambda_1$.

Placons nous autour de $\lambda_1 > 0$. Alors, soit le problème de Cherrier n'a pas de solutions autour de $\lambda_1 : \exists \epsilon_0 > 0$, tel que pour $a \in ]\lambda_1 - \epsilon_0, \lambda_1]$, le problème de Cherrier n'a pas de solutions. Ou bien, il y a une infinité de solutions du problème de Cherrier avec $a = \lambda - \epsilon$, $\epsilon \to 0$, et comme ce paramètre converge vers $\lambda_1$, ou il n'y a pas de solutions au problème de Cherrier, les solutions blow-up (sinon on aurait une solution au problème de Cherrier en $\lambda_1$, ce qui n'est pas possible).

D'après le résultat qu'on a donné ci-dessus, de compacité locale pour le problème de Cherrier,
il y a compacité interieure et donc blow-up au bord.

Donc, en placant, $a > 0$, autour de $\lambda_1 > 0$, on a :

a) Soit il n'y a pas de solutions au probleme de Cherrier, sur un intervalle ]$\lambda_1 - \epsilon_0, \lambda_1$], $\epsilon_0 > 0$.
Un résultat de non-existence.

b) Soit on a un exemple de compacité interieure sans compacité globale : blow-up au bord.

Du point de vue Mathemtiques : on a 2 possibilités : c'est possible.

Du point de vue de la physique : la théorie du tout : cela veut dire, que c'est vrai physiquement.
Donc, les 2 possibilités peuvent se realiser.

Il faut voir comment le phénomène peut se réaliser, comment il se produit, a partir de quoi.

Ici, on a montré que, (du point de vue des maths), comment on peut les obtenir : il suffit de se
placer autour d'un point $a > 0$ où il n'y a pas de solution. Ici on a pris $a = \lambda_1 > 0$.

On montre comment on obtient : cet exemple (compacité interieure avec blow-up au bord),
c'est un exemple de la physique, qui se réalise physiquement. Il suffit de se placer autour de
a > 0 où il n'y a pas de solution, ici on a pris a = λ₁ > 0.

Notons, que pour utiliser le résultat de compacité locale : on a supposé que les solutions existent.

De manière similaire, on se place autour de $a > 0$ où la solution n'existe pas (singularité),
(pour $a = \lambda_1$, on est sur qu'il existe), et on suppose qu'il y des solutions autour de $a > 0$ :
donc : on a la compacité locale sans compacité globale : blow-up au bord. C'est un résultat
mathématique, c'est aussi, un exemple de phénomène physique.

L'alternative ci-dessus, a) ou b), est mathematique et le fait de la prouver fait que c'est possible
mathematiquement. Le a) est possible et physiquement realisable, le b) est possible et physique-
ment realisable. Dans la theorie du tout : le b) est un exemple de la physique.

Non existence de solutions : singularité, vide (ce phenomène physique est possible), singularité essentielle (pas de solution en un point, mais autour une infinité de solutions, ce phenomène physique est possible).

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Une consequence de l'inégalité : $(\sup_K u)^\alpha \times \inf_M u \le c$. On regarde par exemple $n = 4$, alors $\alpha = 1/3$ : On a :

$$
\inf_{B_{2R}(0)} u \ge c_1 \int_{B_R(0)} u^3 dx = c_1 \int_0^R \left( \int_{\partial B_r(0)} u^3 d\sigma_r \right) dr,
$$
$$ \sup_{B_R(0)} u \times \inf_{B_{2R}(0)} u \geq c_2 \int_{B_R(0)} u^4 dx, $$

donc,

$$ c \geq (\sup_{B_R(0)} u)^{1/3} \times \inf_{B_{2R}(0)} u \geq c_3 (\int_{B_R(0)} u^4 dx)^{1/3} \times (\inf_{B_{2R}(0)} u)^{2/3} \geq \\ \geq c_4 (\int_{B_R(0)} u^4 dx)^{1/3} \times (\int_0^R (\int_{\partial B_r(0)} u^3 d\sigma_r) dr)^{2/3}, $$

On obtient :

$$ (\int_{B_R(0)} u^4 dx)^{1/3} \times \left( \int_0^R (\int_{\partial B_r(0)} u^3 d\sigma_r) dr \right)^{2/3} \leq c_5. $$

On a :

$$ [Vol(u^2 \cdot g, B_R(0))]^{1/3} \times \left[ \int_0^R (Aire(u^2 \cdot g, \partial B_r(0))) dr \right]^{2/3} \leq c_6. $$

On a :

$$ [Vol_{(u^2 \cdot g)}(B_R(0))]^{1/3} \times \left[ \int_0^R (Aire_{(u^2 \cdot g)}(\partial B_r(0))) dr \right]^{2/3} \leq c_6. $$

C'est une inégalité isoperimetrique entre volume conforme et aire conforme pour la metrique conforme $u^2 \cdot g$.

Quand $\alpha = 1$, on a l'inégalité optimale $\sup \times \inf$ qui implique la majoration uniforme du volume local.

Ici, $n = 4$ et $\alpha = 1/3$, on a une relation entre le volume conforme local et l'aire conforme locale, c'est une inégalité isopérimétrique pour la metrique conforme $u^2 \cdot g$.

Il est possible d'avoir des résultats de ce type pour $n = 3, 5$. On peut avoir des résultats de ce type en dimension $n \geq 5$ dès qu'on a l'inégalité $(\sup)^\alpha \times \inf \leq c$.

Lorsque $\alpha = 1$ et l'opérateur conforme est coercif et $V = 1$, Y.Y.Li-L.Zhang ont prouvé l'inégalité optimale, il borne le volume local dans ce cas.

Ici, on suppose qu'on considère l'eq. suivante ($R_g = -6$) :

$$ \Delta u - u = u^3, u > 0, $$

avec $\Delta = -\nabla^i \nabla_i$.

l'opérateur conforme n'est pas nécessairement coercif. Donc, on n'est pas dans le cas Li-Zhang, on n'a pas l'inégalité optimale. Si de plus on suppose que le laplacien est coercif, petites boules geodesiques, alors on peut appliquer ce qu'on a dit précédemment, l'inégalité isoperimetrique ci-dessus. C'est un cas, ou n'a pas l'inégalité optimale, où on peut appliquer ce qu'on a dit avant.

## Sur les articles de compactité en dimension 2 :

Sur l'article de 2016. J.M.S.U.Tokyo. Avec singularité au bord. et,

Sur l'article de 2022.Elect.Journal.Diff.Eq.

Pour avoir la compactité interieure, il est nécessaire de supposer $\int_{\Omega} |x|^{-2\alpha} e^u dx \leq C < +\infty$. Pour appliquer le résultat de Brezis-Merle, corollaire 7. Sans cette condition, on ne peut pas parler de compactité interieure.

Compactité interieure :

a)

Étape 1 : définition du problème : $u \in W_0^{1,1}(\Omega)$, $V \in L^\infty(\Omega)$, $|x|^{-2\alpha} e^u \in L^1(\Omega)$, d'où la regularité.
Etape 2 : $V \ge 0$ d'où par le principe du maximum, la solution $u \ge 0$.

Etape 3 : $\int_{\Omega} |x|^{-2\alpha} e^u dx \le C < +\infty \Rightarrow \forall x_0 \in \Omega, \forall r > 0, \int_{B_r(x_0)} e^u dx \le C' = C'(\alpha, r, \Omega) < +\infty, 0 \le \tilde{V} = V \cdot |x|^{-2\alpha} \le \tilde{b}$. Ici, ca depend du poids, de la nature du probleme.

Etape 4 : application du résultat de compacité interieure de Brezis-Merle, corollaire 7.

D'où la compacité interieure.

Tout ceci pour dire, que la nature du probleme (singularité au bord, poids, l'étape 2 depend de l'étape 1) et la condition de l'étape 3 sont nécessaire à l'obtention de la compacité interieure, etape 4.

b)

De même pour l'article au Electronic.Journ.Diff.Eq, (quand $\epsilon > 0$) : il y a des étapes pour obtenir la compacité interieure.

c)

Pour les 2 autres articles de la dimension 2 : la compacité interieure est due au résultat de Brezis-Merle. Ici, il s'agit du problème 1 de Brezis-Merle.

Sur la compacité globale $L^\infty(\Omega)$ en dimension 2 : par exemple, on regarde :

$$||u_i||_{L^\infty(\Omega)} = u_i(x_i)$$

On suppose par exemple que : $x_i \to x_0 \in \tilde{\Omega}$ :

a) si $x_0 \in \Omega$ alors on a la compacité par Brezis-Merle.

b) si $x_0 \in \partial\Omega$, on ne sait pas.

1) le fait de ne pas savoir ou se situe $x_0$, fait qu'on a considerer et essayer de prouver la compacité globale sans le résultat de Brezis-Merle. On sait pas si a) ou b) sont vrais, donc, on regarde $||u_i||_{L^\infty(\Omega)}$ sans le résultat de compacité locale de Brezis-Merle.

2)

2-1) Quand on a essayé de montrer la compacté globale, on supposer par l'absurde que $\max_{\Omega} u_i \to +\infty \Rightarrow x_0 \in \partial\Omega$, par le résultat de Brezis-Merle. Donc on a utilisé Brezis-Merle dans la preuve. Mais ce qu'on a essayé de montrer, c'est un résultat de compacité globale sans faire reference au résultat de Brezis-Merle au début, car on a soit a) soit b) et le fait de ne pas savoir, fait qu'on a essayé de prouver un résultat de compacité globale (sans compacité locale de Brezis-Merle, au début).

2-2) Par exemple, on pourrait dire : pourquoi on ne considère pas $L^\infty(\bar{\omega})$, avec $\omega$, un voisinage relativement compact de $\partial\Omega$. En effet, il suffit de considerer directement $L^\infty(\Omega)$, car considerer, $\omega$, c'est utiliser le résultat de Brezis-Merle, de compacité interieure, ce fait est possible si on se place dès le début sur tout $\Omega$. Cela veut dire qu'on s'est placé au début sur tout $\Omega$ : considerer $\omega$, c'est utiliser Brezis-Merle et cela veut dire qu'on a considerer des le début $\Omega$ tout entier. On a bien deux espaces : $L^\infty(\Omega - \bar{\omega})$, $L^\infty(\bar{\omega})$, soit, $L^\infty(\Omega)$.

Donc, il suffit de prendre $L^\infty(\Omega)$.

3)

3-1) quand on a dit compacité avec contrainte, c'est pour mettre en evidence qu'il y a une contrainte : energie bornée. Mais c'est un résultat de compacité, car dans le print "Cas d'existence de solutions d'edp", on a mis en evidence un exemple avec energies non-bornées et $V_i \equiv b_i = constantes > 0, b_i \to 0$, (l'exemple de Brezis-Merle, avec condition de Dirichlet au bord) :

$$u_i(r) = \log \frac{8c_i^2}{(1 + c_i^2 r^2)^2} - \log \frac{8c_i^2}{(1 + c_i^2)^2}, c_i \to +\infty.$$

3-2) Puis il y a l'exemple de Brezis-Merle avec energies bornées, mais blow-up au bord. Donc, il faut rajouter des conditions.

Dans la compacité des solutions de l'eq. de Yamabe. Il n'y a pas de contrainte, car c'est la dimension $n \ge 3$, sauf pour la sphere. Soit il faut avoir un exemple avec energies divergentes, soit il faut le prouver directement. Alors, on aura comme consequence, les energies sont bornées.

En dimension 2, on a un exemple avec energies divrgentes. Donc : compacité. Avec energies bornées. ici, il y a bien compacité, ce n'est pas seulement un critère de compacité, il y aussi, compacité.
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On regarde pourquoi, il n'y a pas forcement de compacité pour le problème de Liouville avec
singularité au bord quand $\alpha \in [1/2, 1[$ :

Au sens des distributions, au sens faible, au sens usuel :

On écrit : soustraire le potentiel Newtonnien : $u = \log r * \frac{1}{|x|^{2\alpha}} + O(1)$, donc :

$\nabla u = \frac{1}{r} * \frac{1}{|x|^{2\alpha}} + O(1)$, par Giraud, voir le livre d'Aubin, $\nabla u, 1+(2-2\alpha) = 3-2\alpha \in (1, 2]$,
est de l'ordre de : $1/r^{2\alpha-1}$ si $\alpha \in (1/2, 1)$, $\log r$, si $\alpha = 1/2$, qui est singulier pour $\alpha \in [1/2, 1[$.
Donc, $u \notin C^1$. On sait que par les estimations elliptiques que $u \in C^0$.

Supposons que pour tout potentiel $V$, Lipschitzien, on peut avoir la compacité $C^0$, on sait qu'elle ne peut pas être $C^1$. On prend le cas particulier $V = |x-x_0|^{2\alpha}$, dans ce problème d'ordre $2\alpha$. Pour $\alpha \in [1/2, 1[$, $V$ est bien Lipschitzien. Les solutions deviennent $C^1$ uniformément, ce qui n'est pas vrai, d'après ce qu'on a dit avant.

Donc, pour $\alpha \in [1/2, 1[$, on n'a pas forcément la compacité.

Dans le produit de convolution, le potentiel $V$ est au sens $L^\infty: V \in [0, b]$, il oscille entre les valeurs $0$ et $b > 0$. Donc, ce qu'il faut considerer, c'est $k_1 = \log r * \frac{1}{|x|^{2\alpha}}$ et $k_2 = \frac{1}{r} * \frac{1}{|x|^{2\alpha}}$, qui oscille entre $0$ et $+\infty$, $k_2 \in [0, +\infty]$, il peut prendre des valeurs infinies.

Par les estimations elliptiques, on a, $u \in C^0$, on n'arrive pas à prouver qu'il n'est pas $C^1$, mais en ecrivant avec le potentiel Newtonien, on voit bien que $u \notin C^1$. Le potentiel $V$ n'agit qu'au sens $L^\infty$.

Ce probleme à l'ordre $2\alpha$, $\alpha \in [1/2, 1[$, a comme propriété d'avoir les solutions $u \in C^0$ et $u \notin C^1$. Il faut voir le terme : $k_2 = \frac{1}{r} * \frac{1}{|x|^{2\alpha}}$ : terme principal.

Après, pour la compacité, on fait agir un potentiel particulier, qui fait que $u$ devient $C^1$, ce qui n'est pas vrai.

Donc, pour $\alpha \in [1/2, 1[$, on n'a pas forcément la compacité.

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**Remarque :** La compacité locale, dans Brezis-Merle est liée à la notion de (sup, inf), Brezis-Merle prouvent un résultat de concentration-compacité qui implique la compacité locale si les solutions ont un signe constant (par exemple positif ou nul). La condition de Dirichlet et le principe du maximum impliquent la compacité locale. Ceci est lié à la notion de (sup, inf). Brezis-Merle donnent un exemple de solutions divergentes au voisinage du bord. Ce qui veut dire que la notion de (sup, inf) n'est plus suffisante pour avoir la compacité globale. Donc, la notion de (sup, inf) n'implique pas directement la compacité globale, elle n'est plus suffisante.

C'est l'étape suivante : compacité globale : après la notion de (sup, inf). On a :

a) Principe de concentration compacité.

b) positivité des solutions, ou, condition de Dirichlet : (sup, inf) ⇒ : compacité locale.

c) condition de Dirichlet, (sup, inf) : ≠ : compacité globale.

On peut s'arreter la : compacité locale et blow-up au bord.

Si on veut la compacité globale. Par exemple :

d) Potentiel $C^1$ ou Lipschitzien : ⇒ : compacité globale.

e) L'inégalité (sup, inf) n'est pas en relation avec la compacité globale. La compacité globale n'est pas en relation avec la notion de (sup, inf). (Dans la preuve ces deux notions sont liées, mais, ceci n'est pas vrai directement).

La compacité globale n'a rien à voir avec l'inégalité (sup, inf), dans la preuve elles sont liés, mais directement, elles ne sont pas liés. On ne deduit pas la compacité globale, directement de l'inégalité (sup, inf).

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Sur le 2ème preprint de 2024 : "Blow-up analysis..." : on a une solution $v \in \dot{H}_1^q(M)$, au sens des distributions de :
$$ \Delta v + hv = \sum_{j=1}^{k} \alpha_j \delta_{x_j}, \alpha_j > 0, $$

On a dit qu'en comparant $v$ et $\sum_{j=1}^{k} \alpha_j G(x_j, \cdot)$, on obtient :

$$ v = \sum_{j=1}^{k} \alpha_j G(x_j, \cdot), \quad \text{p.p.,} $$

Soit $u = v - \sum_{j=1}^{k} \alpha_j G(x_j, \cdot)$, alors : $u \in \dot{H}_1^q(M)$, $q > 1$, est solution au sens des distributions de :

$$ \Delta u + hu = 0, $$

on a, $\forall \varphi \in C_c^\infty(M)$, par une integration par parties :

$$ \int_M u(\Delta\varphi + h\varphi) = 0 = \int_M (\nabla u \cdot \nabla\varphi + hu\varphi) = 0, $$

Comme $q > 1$, par des theoremes de densite dans $\dot{H}_1^{q'}(M)$, et une partition de l'unité, on se ramene a des boules de $\mathbb{R}^n$, on peut prendre $\varphi \in C_c^2(M)$.

On veut utiliser le th. de regularité d'Agmon : "The $L^p$ approach to the Dirichlet problem" :

Pour le bord, dans des cartes, on se ramene, à des demi-boules, $u$ est localement solutions de, au voisinage de points du bord :

$$ \int_{B^+} g^{ij}(\partial_i u \partial_j \varphi + h u \varphi) \sqrt{|g|} dx = 0, \forall \varphi \in C_c^2(B^+), $$

On utilise l'argument de : Brezis-Marcus-Ponce, on prenant $\varphi = \psi\gamma_n$, avec $\psi \in C^2(B^+)$, nulle au voisinage de $\partial^+B^+$ et nulle sur $\partial^-B^+ = B^+ \cap \mathbb{R}_+^n$. La fonction $\gamma_n$ est du type Brezis-Marcus-Ponce, s'annule avant d'atteindre la partie de $\mathbb{R}_+^n$, et fonction elementaire de $d(x, \partial^-B^+)$, $0 < d(x, \partial^-B^+) \le 1/n$.

On a : pour tout $\psi \in C_0^2(B^+)$, comme dans le th. 6.2 d'Agmon :

$$ 0 = \int_{B^+} g^{ij}(\partial_i u \partial_j (\psi \gamma_n) + h u (\psi \gamma_n)) \sqrt{|g|} dx \rightarrow \int_{B^+} g^{ij}(\partial_i u \partial_j \psi + h u \psi) \sqrt{|g|} dx, $$

La fonction $\psi$ est a support dans $B^+$, on la prolonge par 0 sur tout $M$, puis on revient à l'integration dans $M$ : puis on utlise Stokes, (trace($u$) = 0), puis on revient dans la boule $B^+$, pour appliquer le th. 6.2, d'Agmon :

$$ \begin{aligned} 0 &= \int_{B^+} g^{ij}(\partial_i u \partial_j \psi + h u \psi) \sqrt{|g|} dx = \int_M (\nabla u \cdot \nabla \psi + h u \psi) dV_g = \\ &= \int_M (u \Delta \psi + h u \psi) dV_g = \int_{B^+} (u \partial_i (g^{ij} \sqrt{|g|} \partial_j \psi) + \tilde{h} u \psi) dx = 0. \end{aligned} $$

On peut alors appliquer le th.6.2 d'Agmon pour avoir $u \in H_2^p$, $p > n$ et par les injections de Sobolev on a $u \in C^1$, puis on a globalement $u$ presque partout egale a une fonction $C^1$, on peut alors utiliser la coercivité de l'operateur dans $\dot{H}_1^2$, pour avoir $u = 0, p, p$.

## Résumé sur les théories en questions, les equations associées et les notions associées :

- "Liouville setting" : dimension 2.

- "Einstein-Lichnerowicz setting" : dimension $n \ge 3$.

### 1) Les différentes théories et les différents themes :

- Théorie de Yang-Mills, Equations de Yang-Mills.

- Théorie conforme des champs de Liouville. Théorie de la gravitation quantique de Liouville.

- Théorie de la gravitation quantique; en relativité générale($n = 3$), de Kaluza-Klein ($n = 4$), dans la théorie des cordes ($n = 5, 6$) et des supercordes ($n = 9$). Particules : Axion, graviton.
Supersymetrie, symétrie de la garviations (incorporées dans l'eq d'Einstein) + symetrie quantique(symetrie conforme) : Eq. de Yamabe. Eq. d'Einstein-Lichnerowicz (quantique relativiste).

Eq de Yamabe; Eq. de la courbure scalaire prescrite : equations de la supersymetrie : particules de spin entier et de spin demi-entier.

-Eq. de Schrodinger(quantique non relativiste).

-Modele des interactions des particules.

-Modele cosmologique. Trous noirs.

-Modele de Liouville en dimension 2 : théorie de Liouville. Théorie quantique des champs conforme de Liouville.

-Modele D'Einstein-Lichnerowicz en dimensions $n \ge 3$. Théorie conforme des champs : en relativité générale. Dimensions supplementaires. Ondes gravitationnelles(tenseur de Weyl non nul). Particules : Axion, Graviton. Quantique relativiste.

## 2) Les Equations en questions :

-Eq. de Liouville. Eq.du type Liouville (Eq. de la courbure scalaire prescrite en dimension 2).

-Eq. de Yamabe, Eq. de la courbure scalaire prescrite en dimensions $n \ge 3$ : (Equations de la supersymetrie). Eq. du type courbure scalaire prescrite. Eq.d'Einstein-Lichnerowicz (dans un certain cas, Equation de la brisure de symetrie).

## 3) Les différentes notions :

D-Branes : Eq. avec condition de Dirichlet au bord (variété à bord, bord regulier : $n = 2$ Eq. de Liouville ou de courbure scalaire et $n \ge 3$ Eq. d'Einstein-Lichnerowicz, Eq. de Yamabe).

Masse positive, expansion de l'univers. Operateurs coercif.

## 4) Les différentes notions :

-Enroulement. Torsion. Distrotion. Noeuds.

-Stabilité. Cohérence.

-Effondrement d'espaces : blow-up. Non-effondrement d'espaces : compacité, rigidité.

Le blow-up a plusieurs sens : eclatement : en mathematique et en physique : en physique une corde qui tend à eclater, c'est une limite. Espace qui s'effondre. ou en mathematiques : une transformation, rescaling ou changement d'echelle : eclatement mathématique.

#### // disbility //

a) relativistic and geometric quantum theory (physics and astronomy) : eq.Yamabe. eq; de la courbure scalaire prescrite.

b) relativistic and non geometric quantum theory (physics and astronomy) : eq; d'Einstein-Lichnerowicz, generale($\Psi \neq constante, \nabla\Psi \neq 0$).

c) non-relativistic and non geometric quantum theory (physics) : eq. de Schrodinger (par exemple ce qu'on a appelé eq; du type Yamabe ou du type courbure scalaire prescrite ou avec termes non lineaires, sous-critiques).

#### // disability //

## 2. QUELQUES PROBLEMES :

### Concernant les inégalités de Harnack :

Fixant un minorant $m > 0$, on a une relation entre $\sup_K v$ et $m$ pour toute $v > 0$ relativement a un $W$ avec des conditions a priori sur $W$, $v$ et $W$ sont liés par une equation ou plusieurs equations. Or, en prenant le minorant $m = \inf_M u > 0$, on a l'inegalité pour $v > 0$ or $u > 0$ est déja une solution du probleme, donc $\sup_K u$ est fonction de $\inf_M u$ et des autres paramètres.

Pour l'equation de la courbure scalaire prescrite en dimensions 3 et 4 :

a) En dimension 3, on a la dependance explicite du sup en fonction du inf, ici, l'operateur n'est pas coercif et le bord n'est pas necessairement regulier,

$$ (\sup_K u)^{1/3} \times \inf_M u \le c. $$

On voit alors l'influence de la courbure : scalaire, Ricci, Weyl, et l'influence de la courbure scalaire prescrite $V$ et de la non coercivité de l'operateur, dans tous les cas : on n'a pas forcément
l'inégalité optimale, sup × inf, mais on a l'inégalité sup<fnref n="1" />/³ × inf. L'energie ou le volume, ne sont pas nécessairement bornés. (Pour l'inégalité optimale sup × inf, et, le volume local=energie locale uniform. bornés, voir, la partie géométrisation).

b) En dimension 4, on a une estimation a priori. On plus on a des exemples pour ce cas. Dans le cas ou la courbure scalaire prescrite est constante strict.positive. On a une inégalité de Harnck implicite, cette inégalité est différente de celle explicite, ce sont pas les memes constantes, c, c : m → c(m).

En general, dans le cas d'une variété Riemannienne M de dimension 4, on a une estimation a priori. on peut se ramener a une estimation du sup en fonction du inf en ecrivant :

$$
\sup_K u \le c(a, b, \inf_M u, K, \Omega),
$$

pour toute $u > 0$ solution de l'équation de la courbure prescrite en dimension 4 sur $M$, relativement a $V$ (Lipschitzienne) verifiant :

$$
\|\nabla V\|_{\infty} \le \frac{3a\sqrt{a}}{32e^2\sqrt{2}} \inf_M u,
$$

et,

$0 < a \leq V \leq b < +\infty,$

En effet, $u > 0$ et $V$ sont liés par l'équation, on peut supposer que le gradient de $V$ et $\inf_M u$ sont aussi liés, ici on a deux équations liant $u > 0$ et $V$, une contrainte de plus. On a des exemples quand $||\nabla V_i||_\infty \le A_i \to 0$ et $\inf_M u_i \ge m > 0$, on a une estimation locale uniforme.

Ici, la constante $k(a) = \frac{32e^2\sqrt{2}}{3a\sqrt{a}}$ entre $\min_M u$ et la norme du gradient est plus grande que dans le cas plat(ouvert de $\mathbb{R}^4$). Il faut faire la preuve pour $\min_M u \ge m > 0$, car on doit eliminer des termes en $o(1)$. Dans le cas d'un ouvert de $\mathbb{R}^4$, la constante $k(a) = \frac{8e^2\sqrt{2}}{3a\sqrt{a}}$.

**Remarque :** Dans le cas d'un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^4$, la deuxième contrainte est "vérifiée" (après blow-up), dans l'article de C.C.Chen et C.S.Lin, si on suppose $V \in C^2$ uniformément. Ils obtiennent une inégalité entre $\nabla V(y_i)$ et $[u_i(y_i)]^{-1}$, dans ce cas ils obtiennent l'inégalité optimale $\sup \times \inf$. (les points $y_i$ sont les points blow-up).

i) Un exemple, ce résultat s'applique lorsque $V \equiv \text{constante} > 0$. On retrouve le résultat de YY.Li et L. Zhang, eux obtiennent l'inégalité optimale $\sup \times \inf$.

ii) Un autre cas, on l'a dit ci-dessus, c'est celui où $||\nabla V_i||_\infty \le A_i \to 0$ et $\min_M u_i \ge m > 0$, on obtient une estimation locale uniforme.

iii) On a un résultat analogue a celui de Brezis-Merle en dimension 2, en dimension 4 :
pour deux suites $(u_i)$, $(V_i)$ solutions de l'équation de la courbure scalaire prescrite en dimen-
sion 4, $0 < a \le V_i \le b$ et $||\nabla V_i||_\infty \le A_i \to 0$, alors $u_i \ge m > 0 \Rightarrow \sup_K u_i \le$
$c(a, b, (A_i), m, K, M)$. En particulier, si on prend $m = \inf_M u_i > 0$, on a l'inégalité de Har-
nack implicite, $\sup_K u_i \le c(a, b, (A_i), \inf_M u_i, K, M)$ (La fonction $m \to c$ est decroissante de
$m > 0$ et change en une autre fonction $\tilde{c}$ si on remplace les suites $(u_i, V_i)$ par une d'autres suites
$(v_i, W_i)$ avec des hypothèses similaires, et on obtient : $\sup_K v_i \le \tilde{c}(\tilde{a}, \tilde{b}, (\tilde{A}_i), \inf_M v_i, K, M)$).

<footnote n="1">1. Pour la preuve, comme c'est locale, on prend $x_0 \in M$, on fait un changement de metrique conforme $\tilde{g} = e^f g = \varphi^3 g$ de sorte que $\tilde{Ricci}_{x_0} = 0$, on a (voir le livre d'Aubin) $f(x_0) = 0$ et $\varphi(x_0) = 1$. On prouve l'estimation en supposant $\min_M u \ge m > 0$ pour la nouvelle fonction $v = u/\varphi$ pour $m > 0$ (car, voir l'article de la preuve du cas general en dimension 4, il y a des termes $\tilde{Ricci}_{y_i}$ et $\tilde{R}_{\tilde{g}}(y_i)$, des termes en $o(1)$), comme $\varphi(x_0) = 1$, $\min_{B_{\tilde{g}}(x_0)} v \ge (\min_M u)/2 \ge m/2 > 0$. Comme on fait un changement de metrique conforme, au voisinage de $x_0$, tout est de "l'ordre" de $u$ et $m$ car $\varphi(x_0) = 1$, $f(x_0) = 1$, l'exponentielle (en norme de matrices) est $(1+\epsilon)$- Lipschitzienne, on a changé de metrique, les majorants restent de l'ordre de $1+\epsilon$ au voisinage de $x_0$ car $\varphi(x_0) = 1$, ($f(x_0) = 0$), et la constante $k(a)$ entre $\min_M u$ et la norme du gradient de $V$ est plus grande.</footnote>

<footnote>On prouve alors, en supposant l'inégalité entre le $\min_M u$ et le gardient de $V : \min_M u \ge m > 0 \Rightarrow \sup_{B_{\tilde{g}}(x_0)} v \le c \Rightarrow \sup_K u \le c(a, b, m, K, M)$. Apres on remplace $m$ par $\min_M u$.</footnote>

<footnote n="2">2. Concernant l'exponentielle dans le preuve du résultat ci-dessus. On commence par changer la metrique $d_g \to d_{\tilde{g}}$, on a un facteur $(1+\epsilon)$, puis on considere $e^{\tilde{\phi}}_{y_i}$, l'exponentielle pour la metrique $\tilde{g}$, construite a partir d'une carte $(\Omega, \psi)$ normale en $x_0$ pour la metrique $\tilde{g}$, on passe de $d_{\tilde{g}}$ à $||\psi\phi e^{\tilde{\phi}}p||_{\mathbb{R}^4}$, on a un majorant $(1+\epsilon)$, puis on utlise le fait</footnote>
La formulation précédente en dimension 4 s'applique lorsqu'on suppose en $x_0$ point critique de $V > 0$ $V \in C^1(M)$. on fait la preuve avec $\min_M u \ge m > 0$ pour $v = u/\varphi$ avec $\varphi > 0$ duc changement de metrique conforme telle que $\tilde{Ricci}_{\tilde{g}}(x_0) = 0$, on obtient :

$$ \exists c, R > 0, \sup_{B_R(x_0)} v \le c, $$

Donc,

$$ \exists c, R > 0, u(x_0) \le \sup_{B_R(x_0)} u \le c, \forall u > 0 $$

Donc, on obtient une inégalité du type :

$$ u(x_0) \le c(x_0, V, \inf_M u, M, g), $$

pour toute solution $u > 0$ de l'équation de la courbure scalaire prescrite en dimension 4 relativement à un $V > 0$, $V \in C^1(M)$ fixé ayant le point $x_0$ comme point critique, $\nabla V(x_0) = 0$. Ou bien $V \in C^{1,\alpha}(M)$, $0 < \alpha \le 1$, $0 < a \le V \le b < +\infty$ et $||V||_{C^{1,\alpha}} \le A$ et $\nabla V(x_0) = 0$, on obtient :

$$ \forall u > 0, u(x_0) \le c(a, b, A, \alpha, x_0, \inf_M u, M, g). $$

Il y a des exemples de solutions de l'équation de la courbure prescrite en dimension 4 avec $x_0$ point où $V$ est maximum et $M$ compacte sans bord dans le livre d'Aubin.

Quand on prend les notations de YY.Li et L.Zhang : $(M, g) = (B_1(0) \subset \mathbb{R}^4, g)$ et $0 < V \in C^1(B_1(0))$ avec $\nabla V(0) = 0$, on obtient l'estimation a priori dans un voisinage de 0 en supposant le minimum unifromément minoré et aussi :

$$ (5) \qquad u(0) \le c(V, B_1(0), g, \inf_{B_1(0)} u), $$

pour toute solution $u > 0$ de l'équation de la courbure scalaire prescrite en dimension 4 relativement à $V$ avec les conditions precedentes ou $V \in C^{1,\alpha}(B_1(0))$ avec $0 < \alpha \le 1$, $0 < a \le V \le b < +\infty$ et $||V||_{C^{1,\alpha}} \le A$ et $\nabla V(0) = 0$.

$$ (6) \qquad \forall u > 0, u(0) \le c(a, b, A, \alpha, \inf_{B_1(0)} u, B_1(0), g). $$

Pour l'équation de Yamabe en dimensions 5 et 6 :

On voit l'effet des courbures scalaire, de Ricci et de Weyl et de la non-coercivité (l'opérateur conforme n'est pas nécessairement coercif) : on n'a pas l'inégalité optimale $\sup \times \inf$, mais on a des inégalités intermédiaires. L'energie ou le volume ne sont pas nécessairement bornés.

c) En dimension 5, il y a une relation explicite entre $\sup_K u$ et $\inf_M u$,

$$ (\sup_K u)^{1/7} \times \inf_M u \le c. $$

d) En dimension 6, on a une estimation a priori et une relation non explicite entre $\sup_K u$ et $\inf_M u$. Pour toute solution $u > 0$ de l'équation de Yamabe en dimension 6 :

$$ (7) \qquad \sup_K u \le c(K, M, g, \inf_M u). $$

Pour l'équation de Yamabe et du type Yamabe en dimension 4, on a l'inégalité :

<footnote>que $\frac{d}{dz}[z \to e^{\tilde{\rho}}x_0(z)]|_{z=0} = id_{\mathbb{R}^4}$, c'est à dire que c'est vrai pour la différentielle de $\psi o e^{\tilde{\rho}}p$ et par continuité des différentielle, (en $y$ et $z$ assez petits), on a un majorant $(1 + \epsilon)$, puis on utilise la norme matricielle sup des matrices et on ecrit que : $\psi o e^{\tilde{\rho}}p_y(z_1) - \psi o e^{\tilde{\rho}}p_y(z_2) = \int_0^1 \partial_s [\psi o e^{\tilde{\rho}}p_y(s(z_1 - z_2) + z_2)]ds = \int_0^1 [(\partial_z(\psi o e^{\tilde{\rho}}p_y)(s(z_1 - z_2) + z_2)) \cdot (z_1 - z_2)]ds$ et on obtient ; $||\psi o e^{\tilde{\rho}}p_y(z_1) - \psi o e^{\tilde{\rho}}p_y(z_2)||_{\mathbb{R}^4} \le (1 + \epsilon)||z_1 - z_2||_{\mathbb{R}^4}$, uniformément en $y$ voisin de $x_0$ et $|z_1| \le r, |z_2| \le r, r > 0$ assez petit.</footnote>
$$ (\sup_K u)^{1/3} \times \inf_M u \le c. $$

L'energie ou le volume ne sont pas nécessairement bornés.

(Pour l'inégalité optimale sup × inf et le volume local=energie locale, uniform.bornés, voir, la partie géométrisation).

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

Concernant l'article : "Some uniform estimates for scalar curvature type equations". En dimension 4, on a en plus de l'estimation a priori une dependance non explicite du sup<sub>K</sub> u en fonction du inf<sub>Ω</sub> u :

$$ (8) \qquad \sup_K u \le c(a, b, A, \alpha, K, \Omega, \inf_{\Omega} u), $$

pour le theoreme 3

et,

$$ (9) \qquad \sup_K u \le c(a, V, K, \Omega, \inf_{\Omega} u). $$

pour le theoreme 4.

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

**Remarque :** On a bien une fonction $c$ de l'inf car, pour chaque $m$ on a une constante $c_0$ majorant de $\sup_K u$ et l'ensemble des majorants est lui même minoré par $\sup_K u$, $c$ est alors l'inf des majorants de $\sup_K u$, qui est unique. On voit alors que cette correspondance $m \to c$ est bien une fonction et aussi la correspondance $(a, b, K, \Omega, m) \to c$ est une fonction. Après on remplace $m$ par $\inf_{\Omega} u$ comme on l'a dit ci-dessus. On a bien la correspondance $(a, b, K, \Omega, \inf_{\Omega} u) \to c$ est une fonction.

De plus la fonction $m \to c$ est décroissante en $m > 0$. On a alors, si $\inf_{\Omega} u \ge m > 0$ (ou $\inf_M u \ge m > 0$, si on considère une variété Riemannienne $M$), alors $c(a, b, K, \Omega, \inf_{\Omega} u) \le c(a, b, K, \Omega, m) < +\infty$, ou $(c(a, b, K, M, \inf_M u) \le c(a, b, K, M, m)$, si on est sur une variété Riemannienne $M$), on obtient alors l'estimation a priori lorsque l'inf est uniformément minoré.

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Dans leur articles de 1998. Journal of Differential Geometry. C.C.Chen-C.S.Lin, montrent qu'on n'a pas forcément sup majoré si inf est minoré, puis, donnent des conditions pour avoir l'inégalité optimale sup × inf. Selon certaines hypotheses, les energies peuvent être bornées ou non.

On a aussi les faits suivants :

1) Conditions de platitudes d'ordre $C^{n-2}$ de Yanyan Li $\Rightarrow$ :

1-1) blow-up,

1-2) blow-up isolé,

1-3) blow-up isolé simple $\Rightarrow$,

1-3-1) $\sup \times \inf < +\infty$,

1-3-2) Energies bornées, $\int u^{2n/(n-2)} < +\infty$.

Voir les articles de Yanyan Li sur la sphere et de C.C.Chen-C.S.Lin, commun.pure.appl.math. 1997.

2) Conditions de platitudes d'ordre $C^\alpha$, $\frac{(n-2)}{2} \le \alpha < n - 2$ de C.C.Chen-C.S.Lin $\Rightarrow$ :

2-1) blow-up,

2-2) blow-up isolé,

2-3) Pas de blow-up isolé simple $\Rightarrow$,

2-3-1) $\sup \times \inf \to +\infty$,

2-3-2) Energies bornées, $\int u^{2n/(n-2)} < +\infty$.

Voir les articles de C.C.Chen-C.S.Lin, J.Differential Geometry.1998.

3) Conditions de platitudes d'ordre $C^\alpha$, $1 \le \alpha < \frac{(n-2)}{2}$ de C.C.Chen-C.S.Lin $\Rightarrow$ :

3-1) blow-up,

3-2) Energies non bornées, $\int u^{2n/(n-2)} \to +\infty$.
Voir les articles de C.C.Chen-C.S.Lin, J.Differential GEOMETRY.1998.

4) *Propriété intermédiaire* : Propriété intermédiaire entre les points 1) et 2) : Inégalités du type $(\sup)^\alpha \times \inf < +\infty$. Voir travail de Thèse et Journal.Funct.Analysis.

II) Concernant les inégalités du type $(\sup)^\alpha \times \inf < +\infty$ : Il faut considerer $M_i^\beta$ dans les methodes, avec $M_i = u_i(y_i)$, $y_i$ les poins blow-ups et résoudre une equation en $\beta$ du premier ordre liée a la positivité de la fonction $(+-)$ la fonction auxiliaire.

Ceci s'applique aux methodes de :

a) Brezis-Li-Shafrir.

b) YY.Li-L.Zhang,

c) C.C.Chen-C.S.Lin.

Voir travail de Thèse et Journ.Funct.Analysis. Acta.Math.Scientia. Analysis in Theory and Applications.

III) Assertion minimale : $\sup < +\infty$ si $\inf > 0$ : c'est vrai en dimension $n = 6$ Eq.de Yamabe. et en dimension $n = 4$ Eq de Yamabe et Eq de la courbure scalaire prescrite. Comme consequence $\sup_K u \le f(\inf_M u)$ pour l'Eq de Yamabe en dimensions 4 et 6, et, $\sup_K u_i \le f(\inf_M u_i)$, pour chaque suite $(u_i)$ relativement a une suite $(V_i)$ avec, $0 < a \le V_i \le b < +\infty$ et $|\nabla V_i| \le A_i \to 0$, pour l'Eq de la courbure scalaire prescrite en dimension 4. Si on a une autre suite $(v_i)$ relativement à une suite $(W_i)$ Lipschitztiennes avec $0 < c \le W_i \le d < +\infty$, de constantes de Lipschitz $B_i \to 0$ alors $\sup_K v_i \le g(\inf_M v_i)$. Voir Travail de Thèse en dimension 4 (Eq. courbure scalaire prescrite en dimension 4, cas plat) et Journal. Funct. Analysis. et Journal.Math.Anal.Applications.

**Consequence du résultat donnant une solution unique : inégalité de Sobolev et inégalité interpolation**

Soit $(M, g)$ une variété Riemannienne compacte sans bord de dimension $n \ge 4$ et de courbure scalaire $S_g > 0$ partout sur $M$ et orientable. Alors, voir le livre d'Aubin pour $\epsilon > 0$ assez petit $\epsilon < S_g$, l'equation $4\frac{(n-1)}{n-2}\Delta u + \epsilon u = u^{n-1}$, $u > 0$ a une solution et le résultat d'unicité dit que cette solution est unique. (Voir le livre d'Aubin, la fonctionnelle associée à cette equation possède un infimum atteint par cette solution unique). On a alors (voir aussi l'article de L.Veron et J.R. Licois et l'article sur Hal de J.Dolbeault, Esteban, Loss), une inégalité d'interpolation et une inégalité de Sobolev :

$$ \exists \epsilon_0 = \epsilon_0(n, M, g) > 0, \text{ tel que pour } 0 < \epsilon < \epsilon_0 \text{ on ait :} $$

$$ \inf_{u \in H^1(M) - \{0\}} \frac{4 \frac{(n-1)}{n-2} \int_M |\nabla u|^2 dV_g + \epsilon \int_M u^2 dV_g}{\left(\int_M |u|^N dV_g\right)^{2/N}} = \epsilon (\text{vol}(M))^{2/n}, $$

Qu'on peut écrire :

Pour tout $u \in H^1(M)$, on a :

$$ 4 \frac{(n-1)}{n-2} \int_M |\nabla u|^2 dV_g \ge \epsilon \left( \left( \int_M |u|^N dV_g \right)^{2/N} (\text{vol}(M))^{2/n} - \int_M u^2 dV_g \right), $$

ou encore,

$$ \forall u \in H^1(M), 4 \frac{(n-1)}{n-2} \|\nabla u\|_2^2 \ge \epsilon \left( (\text{vol}(M))^{2/n} \|u\|_{2^*}^2 - \|u\|_2^2 \right) \ge 0, $$

$$ \text{avec } 2^* = N = \frac{2n}{n-2} \text{ pour } n \ge 4. $$

Finalement : il existe $C = C(n, M, g) > 0$ telle que :

$$ \forall u \in H^1(M), \quad \|\nabla u\|_2^2 \ge C \left( (\text{vol}(M))^{2/n} \|u\|_{2^*}^2 - \|u\|_2^2 \right) \ge 0, $$

$$ \text{avec } 2^* = N = \frac{2n}{n-2} \text{ pour } n \ge 4. $$

On a une interpretation du point de vue de la physique de cette inégalité. Pour les inégalités isopérimétriques, on a une relation entre le perimètre et l'aire, du point de vue de la géométrie.
Ici, on a une relation entre l'énergie et le N-volume pour une distribution Sobolev $H^1(M)$.
Distributions, énergie (normes $H^1$) et N-volume généré par cette distribution.

## 2.1. Sur les problemes du type sup × inf :

### 1) Probleme de Li-Zhang :

Soit $(M, g)$ une variété Riemannienne de dimension $n \ge 5$ de courbure scalaire $S_g$, on considère l'équation de Yamabe :

$$ \frac{4(n-1)}{n-2} \Delta u + S_g u = u^{N-1}, \quad u > 0, \quad N = 2n/(n-2). $$

$\Delta = -\nabla^i(\nabla_i) \text{ l'opérateur de Laplace-Beltrami.}$

a) Est il vrai d'avoir pour tout compact $K \subset M$,

$$ \sup_K u \times \inf_M u \le c(K, M, g)? $$

b) En particulier pour $n = 6$ (inégalité explicite), est il vrai qu'on a :

$$ (\sup_K u)^\alpha \times \inf_M u \le c, \quad 0 < \alpha \le 1? $$

Voir le point 37), ce n'est pas forcément possible d'avoir ce type d'inégalités en considerant la classe de metrique $g$ quelconque, avec la notion de platitude. Il faut considerer une classe de metriques plus petite quand on utilise la notion de platitude.

2) Soit $(M, g)$ une variété Riemannienne de dimension 4 de courbure scalaire $S_g$, on considère l'équation de la courbure scalaire prescrite $V$ :

$$ \Delta u + \frac{1}{6} S_g u = V u^3, \quad u > 0. $$

$\Delta = -\nabla^i(\nabla_i) \text{ l'opérateur de Laplace-Beltrami. On suppose :}$

$$ 0 < a \le V_i \le b < +\infty, \quad ||\nabla V_i||_\infty \le A_i \to 0 $$

a) Est il vrai que :

$$ \exists \alpha \in (0, 1], \quad (\sup_K u_i)^\alpha \times \inf_M u_i \le c = c(a, b, (A_i)_i, K, M, g)? $$

Voir le point 37)

b) Qu'en est il du cas $(M, g) = (\Omega \subset \mathbb{R}^4, \delta)$ ?

Voir le point 37)

c) (Résultat du type CC.Chen-CS.Lin du cas plat), qu'en t il si on suppose que $V$ verifie :

$$ 0 < a \le V_i \le b < +\infty, \quad ||\nabla V_i||_\infty \le A, \quad ||\nabla^2 V_i||_\infty \le B? $$

Plus précisement, a t on :

$$ \exists \alpha \in (0, 1], \quad (\sup_K u)^\alpha \times \inf_M u \le c = c(a, b, A, B, K, M)? $$

## 2.2. Probleme de Brezis-Li-Shafrir :

Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^2$, ici, $\Delta = \partial_{11} + \partial_{22}$, on considère l'équation suivante :

$$ -\Delta u = V e^u, $$

avec $V > 0$ et continue sur $\Omega$.

A t on, pour tout compact $K \subset \Omega$ :

$$ \sup_K u + \inf_\Omega u \le c = c(K, V, \Omega)? $$
2.3. **Problèmes du type Brezis-Merle :**

Soit Ω un ouvert regulier de R², ici, Δ = ∂₁₁ + ∂₂₂. On considere les equations suivantes :

$$
-\Delta u - \epsilon(x_1 \partial_1 u + x_2 \partial_2 u) = |x - x_0|^{2\beta} V e^u, \epsilon \in (0, 1], x_0 \in \partial\Omega,
$$

avec,

$$
\beta \ge 0, 0 \le V \le b, |x - x_0|^{2\beta} e^u \in L^1(\Omega), u \in W_0^{1,1}(\Omega).
$$

a) Donner le comportement "blow-up" au bord et un critère de compacité des solutions en u.

b) Qu'en est-il si V est Lipschitzienne ?

c) De même, donner le comportement "blow-up" et un critère de compacité pour les solutions
de :

$$
-\Delta u - \epsilon(x_1 \partial_1 u + x_2 \partial_2 u) = |x - x_0|^{-2\alpha} V e^u, \epsilon \in (0, 1], x_0 \in \partial\Omega.
$$

Ici $\alpha \in (0, 1)$ ou $\alpha \in (0, 1/2)$ et,

$$
0 \le V \le b, |x - x_0|^{-2\alpha} e^u \in L^1(\Omega), u \in W_0^{1,1}(\Omega)
$$

d) Qu'en est-il si on suppose V Lipschitzienne ?

e) Memes questions avec le cas regulier ; equation elliptique avec poids holderien et singualtité
au bord :

$$
-\Delta u - \epsilon(x_1 \partial_1 u + x_2 \partial_2 u) = (1 + |x - x_0|^{2\beta}) V e^u, \epsilon \in (0, 1], x_0 \in \partial\Omega,
$$

avec,

$$
1/2 > \beta \ge 0, 0 \le V \le b, e^u \in L^1(\Omega), u \in W_0^{1,1}(\Omega).
$$

RÉFÉRENCES

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