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- Volume 362 (2024)

- p. 799-806

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Recently, Steinbach et al. introduced a novel operator ℋ T :L 2 (0,T)→L 2 (0,T), known as the modified Hilbert transform. This operator has shown its significance in space-time formulations related to the heat and wave equations. In this paper, we establish a direct connection between the modified Hilbert transform ℋ T and the canonical Hilbert transform ℋ. Specifically, we prove the relationship ℋ T φ=-ℋφ ˜, where φ∈L 2 (0,T) and φ ˜ is a suitable extension of φ over the entire ℝ. By leveraging this crucial result, we derive some properties of ℋ T , including a new inversion formula, that emerge as immediate consequences of well-established findings on ℋ.

Récemment, Steinbach et al. ont introduit un nouvel opérateur ℋ T :L 2 (0,T)→L 2 (0,T), connu sous le nom de transformée de Hilbert modifiée. Cet opérateur a montré son importance dans les formulations spatio-temporelles liées aux équations de la chaleur et des ondes. Dans cet article, nous établissons un lien direct entre la transformée de Hilbert modifiée ℋ T et la transformée de Hilbert canonique ℋ. Plus précisément, nous prouvons la relation ℋ T φ=-ℋφ ˜, où φ∈L 2 (0,T) et φ ˜ est une extension appropriée de φ sur l’ensemble de ℝ. En tirant parti de ce résultat crucial, nous déduisons certaines propriétés de ℋ T , y compris une nouvelle formule d’inversion, qui émergent comme des conséquences immédiates de résultats bien établis sur ℋ.

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Matteo Ferrari 1

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