# Application de la méthode des pas fractionnaires aux problèmes d'élasticité

Michel Bernadou

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## To cite this version:

Michel Bernadou. Application de la méthode des pas fractionnaires aux problèmes d'élasticité. [Rapport de recherche] IRIA-RR-142, IRIA. 1975, pp.112. hal-04716101

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Application de la méthode
des pas fractionnaires
aux problèmes d'élasticité

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M.Bernadou

Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
78150 - Le Chesnay
Tél. 954.90.20

Rapport de Recherche n°142
Novembre 1975
APPLICATION DE LA MÉTHODE DES PAS FRACTIONNAIRES
AUX PROBLEMES D'ÉLASTICITÉ

M. Bernadou

RÉSUMÉ :

On étudie la stabilité et la convergence d'algorithmes issus de la méthode des pas fractionnaires et appliqués à des problèmes d'élasticité linéaire bi et tri-dimensionnels, homogènes, stationnaires ou d'évolution.

ABSTRACT :

We study the stability and the convergence of algorithms that arise from fractional steps method and applied to linear elasticity problems ; these are two or three-dimensional, homogeneous, stationary or evolutive.
APPLICATION DE LA METHODE DES PAS FRACTIONNAIRES

AUX PROBLEMES D'ELASTICITE

Michel BERNADOU

INTRODUCTION

Les possibilités de stockage d'information des ordinateurs actuels permettent une application efficace de la méthode des éléments finis à des problèmes de mécanique des milieux continus bi-dimensionnels tels que les problèmes de contraintes planes, déformations planes ou les problèmes de plaques et de coques.

Par contre, l'application de la méthode des éléments finis aux problèmes tri-dimensionnels conduit à des calculs extrêmement volumineux acceptables seulement sur les ordinateurs très puissants.

Le but de ce travail est la mise en oeuvre pour des problèmes d'élasticité linéaire de certaines méthodes de décomposition bien connues en Analyse Numérique. Ces méthodes de décomposition apparaissent principalement dans la littérature sous la forme de la méthode des directions alternées (DOUGLAS, GUNN [1], DOUGLAS, RACHFORD [1], PEACEMAN, RACHFORD [1], LIEUTAUD [1]) de la méthode des pas fractionnaires (LIEUTAUD [1], TEMAM [1] [2] [3] [4] [5], YANENKO [1]) et de la méthode d'éclatement en calcul des variations (BENSOUSSAN, LIONS, TEMAM [1], LIONS, TEMAM [1], SAINT-PIERRE [1]); elles permettent de réduire dans un certain sens la dimension des problèmes étudiés. Il est ainsi possible de remplacer la résolution d'un problème différentiel à n dimensions par un procédé itératif impliquant seulement la résolution d'un certain nombre de problèmes différentiels de dimensions inférieures (de 1 à n-1, selon la technique de décomposition adoptée).

Dans ce qui suit, nous étudions la stabilité et la convergence d'algorithmes issus de la méthode des pas fractionnaires et appliqués à des problèmes d'élasticité bi et tri-dimensionnels, homogènes, stationnaires ou d'évolution.
Au paragraphe 1, nous décomposons le problème de l'élasticité, bi-dimensionnel, homogène et stationnaire, ce qui conduit à la résolution d'une suite de problèmes uni-dimensionnels. Le paragraphe 2 traite le cas analogue du problème tri-dimensionnel : on se ramène alors à la résolution d'une suite alternée de problèmes bi-dimensionnels et uni-dimensionnels. On pourrait également envisager une décomposition selon chacune des trois directions : le type d'algorithmes utilisés ici conduit alors à une condition de stabilité restreignant l'intervalle de variation du coefficient de Poisson $\nu$.

Dans le paragraphe 3, nous étudions la décomposition du problème d'élasticité, bi-dimensionnel homogène, dans le cas d'évolution.

Cette étude se transpose sans difficultés au cas analogue du problème d'élasticité, tri-dimensionnel, d'évolution.

Pour la mise en oeuvre de ces méthodes, nous renvoyons à BERNADOU, GOREZ, TOUZOT [1] et GOREZ, TEMAM, TOUZOT [1] où des méthodes voisines de celles-ci sont l'objet d'essais numériques.

Je tiens à remercier Monsieur TEMAM qui m'a suggéré l'idée de ce travail et s'est intéressé à sa mise au point, ainsi que Messieurs GOREZ et TOUZOT pour leur amicale collaboration.

Le plan est le suivant :

# 1. - DECOMPOSITION D'UN PROBLEME D'ELASTICITE, BI-DIMENSIONNEL, STATIONNAIRE

1.1. - Hypothèses et notations

1.2. - Le problème exact

1.3. - Décomposition du problème 1.2.1 bis par la méthode des pas fractionnaires

1.4. - Estimations "a priori"

1.5. - Théorème de convergence

1.6. - Décomposition "directe" du problème 1.2.1
2. - DECOMPOSITION D'UN PROBLEME D'ELASTICITE, TRI-DIMENSIONNEL, STATIONNAIRE

2.1. - Hypothèses et notations

2.2. - Le problème exact

2.3. - Décomposition du problème 2.2.1 bis par la méthode des pas fractionnaires

2.4. - Estimations "a priori"

2.5. - Théorème de convergence

2.6. - Décomposition directe du problème 2.2.1

3. - DECOMPOSITION D'UN PROBLEME D'ELASTICITE, BI-DIMENSIONNEL, D'EVOLUTION

3.1. - Hypothèses et notations

3.2. - Le problème exact

3.3. - Décomposition du problème 3.2.1 bis par la méthode des pas fractionnaires

3.4. - Estimations "a priori"

3.5. - Théorèmes de convergence

3.6. - Décomposition directe de la forme bilinéaire classique a(u,v)
# 1. - DECOMPOSITION D'UN PROBLEME D'ELASTICITE
BI-DIMENSIONNEL, STATIONNAIRE

## 1.1. - HYPOTHESES ET NOTATIONS

### Les espaces utilisés

Nous nous plaçons dans $\mathbb{R}^n$ avec $n=2$ aux paragraphes 1 et 3, $n=3$ au paragraphe 2. Soit $\Omega$ un ouvert $\mathbb{R}^n$ occupé par le corps élastique dans son état non déformé. On suppose que :

(1.1.1) $\Omega$ est borné,

(1.1.2) La frontière $\Gamma$ de $\Omega$ est une variété continûment différentiable de dimension $(n-1)$, et $\Omega$ est situé d'un seul côté de $\Gamma$.

On ne considère ici que des fonctions à valeurs réelles.

On pose :

$$ (1.1.3) \qquad G_o = L^2 (\Omega), \quad G = [L^2 (\Omega)]^n; $$

$G_o$ et $G$ sont munis des structures hilbertiennes naturelles, et on note indifféremment (f,g) le produit scalaire de deux éléments f et g de $G_o$ ou de $G$; si $f \in G_o$ ou si $f \in G$, $|f| = (f,f)^{1/2}$.

On désignera par :

$$ (1.1.4) \qquad H(D_i; \Omega) = \{u \mid u \in L^2(\Omega), D_i u = \frac{\partial u}{\partial x_i} \in L^2(\Omega)\}, \quad i=1, \dots, n. $$

Ce sont des espaces de Hilbert pour le produit scalaire

$$ (1.1.5) \qquad ((u,v))_i = \int_{\Omega} [u(x)v(x) + D_i u(x) D_i v(x)] dx_1 \dots dx_n. $$

La norme associée à ce produit scalaire sera notée $||u||_i$.
On appelle $\mathcal{D}(\Omega)$ [resp. $\mathcal{D}(\bar{\Omega})$] l'espace des fonctions indéfiniment différentiables à support compact dans $\Omega$ [resp. $\bar{\Omega}$], et on pose :

$$ (1.1.6) \qquad V_i = \text{adhérence de } \mathcal{D}(\Omega) \text{ dans } H(D_i; \Omega). $$

Une étude des espaces $H(D_i; \Omega)$ et $V_i$ figure dans LIONS [1] et en appendice de TEMAM [1]. Rappelons les principaux résultats de TEMAM [1].

**Théorème 1.1.1 (TEMAM [1]) :**

Sous l'hypothèse (1.1.2), $\mathcal{D}(\bar{\Omega})$ est dense dans $H(D_i; \Omega)$, $i=1, \dots, N$.

Pour $u \in \mathcal{D}(\bar{\Omega})$, on définit l'opérateur de trace

$$ (1.1.7) \qquad \gamma_i u = \cos(v, x_i) u|_{\Gamma}, $$

$v$ désignant la normale extérieure à $\Gamma$. L'application $\gamma_i$ envoie $\mathcal{D}(\bar{\Omega})$ dans $\mathcal{C}(\Gamma)$, espace des applications continues sur $\Gamma$. Alors

**Théorème 1.1.2 (TEMAM [1]) :**

Sous l'hypothèse (1.1.2), l'application $u \to \gamma_i u$ de $\mathcal{D}(\bar{\Omega})$ dans $\mathcal{C}(\Gamma)$ se prolonge par continuité en une application linéaire continue de $H(D_i; \Omega)$ dans $H^{-1/2}(\Gamma)$, $i=1, \dots, n$.

Rappelons que $H^{-1/2}(\Gamma)$ est le dual de $H^{1/2}(\Gamma)$. Pour la définition de ces espaces, on pourra se reporter à LIONS [2] ou LIONS-MAGENES [1].

**Théorème 1.1.3 (TEMAM [1]) :**

$$ V_i = \{u | u \in H(D_i; \Omega), \gamma_i u = 0\}. $$
Signalons enfin la propriété (TEMAM [1], lemme 3.1, chapitre 1) :

$$
(1.1.8) \quad \left( \bigcap_{i=1}^{n} V_i \right) = H_o^1(\Omega) = V,
$$

où H¹ (Ω) désigne l'espace de Sobolev d'ordre 1

$$
(1.1.9) \quad H^1(\Omega) = \{u \mid u \in L^2(\Omega), D_i u = \frac{\partial u}{\partial x_i} \in L^2(\Omega), i=1, \dots, n\}
$$

et

$$
(1.1.10) \quad H_o^1(\Omega) = \text{adhérence de } \mathcal{G}(\Omega) \text{ dans } H^1(\Omega).
$$

Il est facile de vérifier que :

$$
(1.1.11) \quad V = H_o^1 (\Omega) \subset V_i \subset G_o,
$$

les injections étant continues et chaque espace étant dense dans le
suivant.

On pose $W = V \times V$ ; V et W sont des espaces de Hilbert pour les produits scalaires (notés indifféremment $((u,v))$) et pour les normes (notées indifféremment $|||u|||$) :

$$
\text{pour } V \quad \left\{
\begin{aligned}
((u,v)) &= \int_{\Omega} \left[ u(x) v(x) + \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial u(x)}{\partial x_j} \frac{\partial v(x)}{\partial x_j} \right] dx_1 \dots dx_n, \\
\| |u| \| &= ((u,u))^{1/2},
\end{aligned}
\right.
$$

$$
\text{pour W} \quad \left\{
\begin{aligned}
((u,v)) &= \sum_{i=1}^{n} \int_{\Omega} \left[ u_i(x) v_i(x) + \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial u_i(x)}{\partial x_j} \cdot \frac{\partial v_i(x)}{\partial x_j} \right] dx_1 \dots dx_n, \\
\| |u| \| &= ((u,u))^{1/2} \quad \text{où } u = [u_1, u_2], u_i \in V, i=1, 2, \dots, n.
\end{aligned}
\right.
$$
L'espace W est inclus dans G et dense dans G ; l'injection de W dans G est continue. Par la suite, nous identifions G à son dual G'. Nous avons alors les inclusions suivantes :

$$
(1.1.12) \quad W \subset G = G' \subset W',
$$

les injections étant continues et chaque espace étant dense dans le
suivant. Nous noterons par la suite (.,..) le produit scalaire entre W' et W
(respectivement V'_1 et V'_2) compatible avec le produit scalaire dans G.

Les données

Etant donné le but de ce travail, nous allons donner les différentes
formulations des problèmes traités sous une forme entièrement développée.
On pourra se reporter à DUVAUT-LIONS [1] chapitre 3, en particulier, pour avoir
des formulations plus condensées, extrêmement intéressantes dans d'autres cas.

Nous utiliserons dans la suite de ce paragraphe les définitions et
propriétés données ci-dessous, **avec n=2**. Nous désignons désormais par
**u** = [u₁, u₂] le vecteur déplacement rapporté à un repère orthonormé, par
**f** = [f₁, f₂] une densité volumique de forces données. Pour u∈W, v∈W, f∈G
nous posons :

$$
\begin{equation}
\begin{split}
(1.1.13) \quad a(u,v) = \int_{\Omega} & \left\{ (\lambda+2\mu) \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \right) + \lambda \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \frac{\partial v_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) \right. \\
& \left. \qquad + \mu \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \right) \left( \frac{\partial v_1}{\partial x_2} + \frac{\partial v_2}{\partial x_1} \right) \right\} dx_1 dx_2
\end{split}
\end{equation}
$$

$$
(1.1.14) \quad \ell(v) = \int_{\Omega} (f_1 v_1 + f_2 v_2) \, dx_1 \, dx_2.
$$

Alors $a(u,v)$ est une forme bilinéaire symétrique continue sur $W \times W$,
$\ell(v)$ est une forme linéaire continue sur $W$.
Remarque 1.1.1 : (GERMAIN [1] - Chapitre 6)

λ et µ, intervenant dans (1.1.13) sont les coefficients de Lamé ;
ils s'expriment en fonction du module de Young E (E>0) et du coefficient
de Poisson ν (-1<ν<1/2 ; en pratique ν≥0) dans le cas de la contrainte plane
sous la forme

$$
(1.1.15) \quad \lambda = E \frac{\nu}{1-\nu^2}, \quad \mu = E \frac{1}{2(1+\nu)}
$$

et dans le cas de la déformation plane sous la forme

$$
(1.1.16) \quad \lambda = E \frac{\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \quad \mu = E \frac{1}{2(1+\nu)}.
$$

1.2. - LE PROBLEME EXACT

Problème 1.2.1 : Pour f ∈ G, a donné par (1.1.13) et ℓ donné par
(1.1.14), trouver u ∈ W tel que :

$$
(1.2.1) \qquad a(u,v) = l(v), \quad \forall v \in W.
$$

Théorème 1.2.1 : Le problème 1.2.1 admet une solution unique.

Démonstration : Dans DUVAUT-LIONS [1] , Chapitre 3, Paragraphe 3.3,
on trouvera la démonstration de l'inégalité de Korn qui permet d'établir la
coercivité de a(v,v) sur W : il existe une constante β > 0, ne dépendant que
de Ω telle que :

$$
(1.2.2) \quad a(v,v) \geq 2 \beta ||v||^2.
$$

Il suffit alors d'appliquer le théorème de Lax-Milgram pour conclure.

Remarque 1.2.1 : L'équation variationnelle (1.2.1) doit être vérifiée quel que soit v ∈ W, c'est-à-dire quels que soient v₁ et v₂ appartenant à V.

Alors, à partir de (1.1.13) et (1.1.14), l'équation variationnelle
(1.2.1) est équivalente au système des deux équations suivantes :
$$
(1.2.3) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \int_{\Omega} \left\{ (\lambda+2\mu) \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \lambda \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \mu \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \right) \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right\} dx_1 dx_2 \\
& \qquad = \int_{\Omega} f_1 v_1 dx_1 dx_2,
\end{aligned}
\right.
$$

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& (1.2.4) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \int_{\Omega} \left\{ (\lambda+2\mu) \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \frac{\partial v_2}{\partial x_2} + \lambda \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \frac{\partial v_2}{\partial x_2} + \mu \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \right) \frac{\partial v_2}{\partial x_1} \right\} dx_1 dx_2 \\
& \qquad = \int_{\Omega} f_2 v_2 dx_1 dx_2.
\end{aligned}
\right\}
\end{aligned}
\end{equation}
$$

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

La forme $a(u,v)$ étant symétrique, le problème 1.2.1 est équivalent au problème de calcul des variations suivant (TEMAM [4]) :

Problème 1.2.2 : Trouver u ∈ W le minimum dans W des
(1.2.5) E(v) = 1/2 a(v,v) - l(v).

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Grâce à la formule de Green, il est possible d'interpréter de manière
"formelle" le problème 1.2.1 ce qui conduit à la formulation différentielle
suivante :

Problème 1.2.3 : (formulation différentielle)

Pour f ∈ G trouver u ∈ W tel que :

(1.2.6) $\quad (\lambda+2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial x_2} + (\lambda+\mu) \frac{\partial^2 u_2}{\partial x_1 \partial x_2} = - f_1,$

(1.2.7) $\quad (\lambda+\mu) \frac{\partial^2 u_1}{\partial x_1 \partial x_2} + \mu \frac{\partial^2 u_2}{\partial x_1^2} + (\lambda+2\mu) \frac{\partial^2 u_2}{\partial x_2^2} = - f_2,$

(1.2.8) $\quad u_1/\Gamma = 0, \quad u_2/\Gamma = 0.$

<figure><img src="image_6.png" /></figure>
**Remarque 1.2.2** : Lorsque $u \in V$, il est possible de définir la trace de $u$ sur $\Gamma$
et $u \in H^{1/2}(\Gamma)$ ; ainsi, les conditions (1.2.8) ont un sens.

**Remarque 1.2.3** (Résultat de régularité) :

Si l'on suppose que $\Omega$ est très régulier, par exemple que $\Omega$ est borné,
que la frontière $\Gamma$ de $\Omega$ est une variété indéfiniment différentiable de
dimension 1, $\Omega$ étant localement d'un seul côté de $\Gamma$, alors on peut montrer
que la solution $u$ du problème 1.2.1 appartient à $[H^2(\Omega)]^2$.

Pour cela, on montre que l'opérateur de l'élasticité est fortement
elliptique, puis on applique le lemme 3.2 du chapitre 5 de NEČAS [1] (Cf. aussi
AGMON-DOUGLAS-NIRENBERG [1]).

Nous allons transformer maintenant la forme bilinéaire $a(u,v)$,
classiquement associée à l'opérateur d'élasticité, en une nouvelle forme
bilinéaire $b(u,v)$ présentant les avantages suivants :

$$
(1.2.9) \qquad (i) \quad b(u,v) \equiv a(u,v) \quad \forall u \in [H_o^1(\Omega)]^2, \forall v \in [H_o^1(\Omega)]^2;
$$

$$
(1.2.10) \quad (ii) \quad \text{les estimations "a priori" s'obtiennent plus aisément sur} \\
\text{la décomposition de } b(u,v) \text{ plutôt que sur celle de } a(u,v).
$$

Le passage de $a(u,v)$ à $b(u,v)$ repose sur le lemme suivant :

**Lemme 1.2.1**

Pour tout $u \in H_o^1(\Omega)$, pout tout $v \in H_o^1(\Omega)$, on a

$$
(1.2.11) \quad \int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial x_1} \frac{\partial v}{\partial x_2} dx_1 dx_2 = \int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial x_2} \frac{\partial v}{\partial x_1} dx_1 dx_2
$$

**Démonstration** : L'identité (1.2.11) est vraie pour tout $u \in \mathcal{O}(\Omega)$ et tout $v \in \mathcal{O}(\Omega)$. Comme par définition, $\mathcal{O}(\Omega)$ est dense dans $H_o^1(\Omega)$, la propriété sera vraie pour tout $u \in H_o^1(\Omega)$ et tout $v \in H_o^1(\Omega)$.
Nous posons alors :

$$
(1.2.12) \quad b(u,v) = \int_{\Omega} \left\{ \mu \sum_{i,j=1}^{2} \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \frac{\partial v_j}{\partial x_i} + (\lambda+\mu) \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right) \left( \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \right) \right\} dx_1 dx_2
$$

La vérification de l'identité (1.2.9) est immédiate à partir du lemme
1.2.1. D'où la nouvelle formulation du problème 1.2.1, équivalente à la
précédente :

Problème 1.2.1 bis : Pour f ∈ G, b donnée par (1.2.12) et ℓ donnée
par (1.1.14), trouver u ∈ W tel que :

$$
(1.2.13) \quad b(u,v) = \ell(v), \quad \forall v \in W.
$$

Remarque 1.2.4 :

Dans DUVAUT-LIONS [1] on trouvera des extensions possibles, notamment
aux cas où :

(i) $u=0$ sur une partie (éventuellement vide) de la frontière ;

(ii) $u=U$ donné sur une partie (éventuellement vide) de la frontière.

Dans ces cas il y a lieu d'introduire des "forces surfaciques" s'exerçant
sur la partie complémentaire de la frontière.

1.3. - DECOMPOSITION DU PROBLEME 1.2.1 BIS PAR LA METHODE DES PAS FRACTIONNAIRES

Pour effectuer la décomposition, nous utilisons une méthode analogue à
celle présentée dans BENSOUSSAN-LIONS-TEMAM [1] et TEMAM [3] . L'algorithme
de décomposition nécessite l'introduction des paramètres suivants :

(i) N, entier > 0, appelé à tendre vers + ∞ ;

(ii) à cet entier N est associée une suite finie $\tau_n$ (N), n=0,...,N,
vérifiant les hypothèses suivantes (1'hypothèse (1.3.1) peut être
affaiblie : Cf. remarque 1.4.1) :
$$
(1.3.1) \quad 0 < \tau_{n+1} (N) \le \tau_n (N), \quad \forall n=0, \dots, N-1;
$$

$$
(1.3.2) \quad \lim_{N \to +\infty} \tau_N (N) = 0;
$$

$$
(1.3.3) \quad \lim_{N \to \infty} \sigma_N = +\infty \quad \text{où} \quad \sigma_N = \sum_{n=0}^{N} \tau_n (N).
$$

Les $\tau_n (N)$, $0 \le n \le N$, ainsi définis dépendent de N ; pour simplifier
l'écriture, nous écrirons désormais $\tau_n$ au lieu de $\tau_n (N)$.

Soit $f_i = f_{i1} - f_{i2}$, $i = 1,2$, une décomposition arbitraire de $f_i$ en
deux éléments de $G_o$. On construit alors une famille d'approximants notés

$$
u^{n+\frac{i}{2}} = \left(u_1^{n+\frac{i}{2}}, u_2^{n+\frac{i}{2}}\right), \quad i = 1, 2, \quad n=0, \dots, N-1, \text{ en procédant comme suit :}
$$

$$
(i) \ u^o \text{ est arbitrairement choisi dans } V \ xV\ ;
$$

(ii) ensuite, lorsque $u^o, \dots, u^n$ sont connus, on détermine $u^{n+\frac{1}{2}}$ puis $u^{n+1}$ de la façon suivante (comparer avec (1.2.12)) :

$$
\text{a) } u_1^{n+\frac{1}{2}} \text{ est l'unique solution dans } V_1 \text{ de :}
$$

$$
\begin{equation} \tag{1.3.4}
\begin{aligned}
& \left\{ \int_{\Omega} \left[ \frac{u_1^{n+\frac{1}{2}} - u_1^n}{\tau_n} v_1 + (\lambda+2\mu) \frac{\partial u_1^{n+\frac{1}{2}}}{\partial x_1} \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + (\lambda+\mu) \frac{\partial u_2^n}{\partial x_2} \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right] dx_1 dx_2 \right. \\
& \qquad \left. = \int_{\Omega} f_{11} v_1 dx_1 dx_2, \quad \forall v_1 \in V_1.
\end{aligned}
\end{equation}
$$

$$
b) \quad \underline{u_2^{n+\frac{1}{2}}} \text{ est l'unique solution dans } V_1 \text{ de :}
$$

$$
\[
(1.3.5) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
  \displaystyle \int_{\Omega} \left[ \frac{u_2^{n+\frac{1}{2}} - u_2^n}{\tau_n} v_2 + \mu \frac{\partial u_2^{n+\frac{1}{2}}}{\partial x_1} \frac{\partial v_2}{\partial x_1} \right] dx_1 dx_2 = \int_{\Omega} f_{21} v_2 dx_1 dx_2 \\
  \phantom{\int_{\Omega} \left[ \frac{u_2^{n+\frac{1}{2}} - u_2^n}{\tau_n} v_2 + \mu \frac{\partial u_2^{n+\frac{1}{2}}}{\partial x_1} \frac{\partial v_2}{\partial x_1} \right] dx_1 dx_2} \\
  \quad \forall v_2 \in V_1.
\end{array}
\right.
\]
$$
c) $u_1^{n+1}$ est l'unique solution dans $V_2$ de :

$$ (1.3.6) \quad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\int_{\Omega} \left[ \frac{u_1^{n+1} - u_1^{n+\frac{1}{2}}}{\tau_n} v_1 + \mu \frac{\partial u_1^{n+1}}{\partial x_2} \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right] dx_1 dx_2 = \int_{\Omega} f_{12} v_1 dx_1 dx_2, \\[1em] \forall v_1 \in V_2. \end{array} \right. $$

d) $u_2^{n+1}$ est l'unique solution dans $V_2$ de :

$$ (1.3.7) \quad \begin{aligned} & \int_{\Omega} \left[ \frac{u_2^{n+1} - u_2^{n+\frac{1}{2}}}{\tau_n} v_2 + (\lambda+2\mu) \frac{\partial u_2^{n+1}}{\partial x_2} \frac{\partial v_2}{\partial x_2} + (\lambda+\mu) \frac{\partial u_1^{n+\frac{1}{2}}}{\partial x_1} \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \right] dx_1 dx_2 \\ & \qquad = \int_{\Omega} f_{22} v_2 dx_1 dx_2, \quad \forall v_2 \in V_2. \end{aligned} $$

**Théorème 1.3.1 :**

Les équations (1.3.4) à (1.3.7) admettent chacune une solution unique.

**Démonstration** : On démontre le théorème pour l'équation (1.3.4) ; les trois autres démonstrations sont entièrement analogues.

L'équation (1.3.4) est une équation variationnelle de la forme :

$$ (1.3.8) \quad b_{11} (u_1^{n+\frac{1}{2}}, v_1) = \ell_{11} (v_1), \quad \forall v_1 \in V_1, $$

$$ \text{avec } b_{11} (u_1, v_1) = \int_{\Omega} \left\{ \frac{1}{\tau_n} u_1 v_1 + (\lambda+2\mu) \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right\} \cdot dx_1 dx_2, $$

$$ \ell_{11} (v_1) = \int_{\Omega} \left\{ (f_{11} + \frac{1}{\tau_n} u_1^n) v_1 - (\lambda + \mu) \frac{\partial u_2^n}{\partial x_2} \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right\} dx_1 dx_2. $$
On vérifie que $b_{11}$ est une forme bilinéaire continue sur $V_1 \times V_1$,
coercive sur $V_1$ :

$$
|b_{11}(u_1, v_1)| \le \max \left( \frac{1}{\tau_n}, \lambda + 2\mu \right) \|u_1\|_1 \|v_1\|_1, \quad \forall u_1, v_1 \in V_1,
$$

$$
b_{11}(u_1, u_1) \ge \min \left( \frac{1}{\tau_n}, \lambda + 2\mu \right) ||u_1||_1^2, \quad \forall u_1 \in V_1.
$$

Comme $\ell_{11}$ est une forme linéaire continue sur $V_1$, l'équation (1.3.4)
admet une solution unique d'après le théorème de LAX-MILGRAM.

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

**Remarque 1.3.1** : Ici encore, il est possible grâce à la formule de Green,
d'interpréter de manière "formelle" les équations variationnelles (1.3.4)
à (1.3.7) ce qui conduit, dans le cas de (1.3.4) par exemple, à la formulation
différentielle (1.3.9) (1.3.10). Pour cela, nous prenons $v_1 = \varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$
(noter que $\mathcal{D}(\Omega)$ est dense dans $V_i$, $i = 1,2$) ; à partir de (1.3.4), il vient,
en utilisant les dérivées au sens des distributions :

$$
\int_{\Omega} \left\{ \frac{u_1^{n+\frac{1}{2}} - u_1^n}{\tau_n} - (\lambda+2\mu) \frac{\partial^2 u_1^{n+\frac{1}{2}}}{\partial x_1^2} - (\lambda+\mu) \frac{\partial^2 u^n}{\partial x_1 \partial x_2} - f_{11} \right\} \varphi \, dx_1 \, dx_2 = 0
$$

pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$, et donc :

$$
\frac{u_1^{n+\frac{1}{2}} - u_1^n}{\tau_n} = (\lambda+2\mu) \frac{\partial^2 u_1^{n+\frac{1}{2}}}{\partial x_1^2} + (\lambda+\mu) \frac{\partial^2 u^n}{\partial x_1 \partial x_2} + f_{11} \quad \text{dans } \mathcal{D}'(\Omega).
$$

Comme $u_1^{n+\frac{1}{2}} \in V_1$ nous avons en outre, la condition aux limites

$$
u_1^{n+\frac{1}{2}} \cos(v,x_1)|_{\Gamma} = 0.
$$

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

**Remarque 1.3.2** : Nous avons signalé à la remarque 1.2.4 qu'il était possible
d'étudier le problème exact avec des conditions aux limites plus générales,
notamment pour $u = 0$ sur une partie $\Gamma_0$ de la frontière seulement.
Dans ce cas, il y a lieu d'introduire des "forces surfaciques" F s'exerçant sur la partie complémentaire Γ₁ de la frontière (Γ₀ ∪ Γ₁ = Γ) ; la forme linéaire ℓ(v) s'écrit alors :

$$ \ell(v) = \int_{\Omega} f(v) v(x) \, dx_1 \, dx_2 + \int_{\Gamma_1} F(x) v(x) \, d\Gamma; $$

L'espace W est défini dans ce cas par W = VxV avec

$$ V = \{u | u \in H^1(\Omega), u|_{\Gamma_o} = 0\}. $$

Pour la décomposition de F(x) on pourra d'un point de vue théorique, utiliser les résultats de BARDOS [1] et DIGUGLIELMO [1], d'un point de vue numérique, se rapporter à BERNADOU, GOREZ, TOUZOT [1] et GOREZ, TEMAM, TOUZOT [1].

## 1.4. - ESTIMATIONS "A PRIORI"

Théorème 1.4.1 :

Pour tout entier positif N, toute suite {$\tau_n$} satisfaisant (1.3.1) à (1.3.3), il existe une constante C indépendante de N et {$\tau_n$} telle que :

$$ (1.4.1) \qquad \left|\left|W_j^{N+\frac{i}{2}}\right|\right|_i \le C, \qquad i,j = 1,2, $$

$$ (1.4.2) \qquad \frac{1}{\sigma_N} \begin{array}{c} 2 \\ \Sigma \\ i,j=1 \end{array} \quad \begin{array}{c} N \\ \Sigma \\ n=0 \end{array} \quad \left| \begin{array}{c} n+\frac{i}{2} \\ u_j \\ u_j \end{array} - \begin{array}{c} n+\frac{i-1}{2} \\ u_j \\ u_j \end{array} \right|^2 \le C, $$

où :

$$ (1.4.3) \qquad W_j^{N+\frac{i}{2}} = \frac{1}{\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \tau_n u_j^{n+\frac{i}{2}}, \quad i,j = 1,2. $$
**Démonstration** : On écrit (1.3.4) avec $v_1 = u_1^{n+\frac{1}{2}}$ et grâce au fait que

$$ (1.4.4) \quad 2 \int_{\Omega} (u_1^{n+\frac{1}{2}} - u_1^n) u_1^{n+\frac{1}{2}} dx_1 dx_2 = \left| u_1^{n+\frac{1}{2}} \right|^2 - \left| u_1^n \right|^2 + \left| u_1^{n+\frac{1}{2}} - u_1^n \right|^2, $$

$$ (1.4.5) \quad 2 \int_{\Omega} \frac{\partial u_2^n}{\partial x_2} \frac{\partial u_1^{n+\frac{1}{2}}}{\partial x_1} dx_1 dx_2 = \left| \frac{\partial u_2^n}{\partial x_2} + \frac{\partial u_1^{n+\frac{1}{2}}}{\partial x_1} \right|^2 - \left| \frac{\partial u_2^n}{\partial x_2} \right|^2 - \left| \frac{\partial u_1^{n+\frac{1}{2}}}{\partial x_1} \right|^2, $$

il vient :

$$ (1.4.6) \quad \left\{ \begin{aligned} & \left| u_1^{n+\frac{1}{2}} \right|^2 + \left| u_1^{n+\frac{1}{2}} - u_1^n \right|^2 + (\lambda+3\mu) \tau_n \left| \frac{\partial u_1^{n+\frac{1}{2}}}{\partial x_1} \right|^2 + (\lambda+\mu) \tau_n \left| \frac{\partial u_2^n}{\partial x_2} + \frac{\partial u_1^{n+\frac{1}{2}}}{\partial x_1} \right|^2 \\ & \qquad = \left| u_1^n \right|^2 + (\lambda+\mu) \tau_n \left| \frac{\partial u_2^n}{\partial x_2} \right|^2 + 2 \tau_n (f_{11}, u_1^{n+\frac{1}{2}}). \end{aligned} \right. $$

De la même façon, en faisant $v_2 = u_2^{n+\frac{1}{2}}$, $v_1 = u_1^{n+1}$, $v_2 = u_2^{n+1}$, respectivement dans les équations (1.3.5) (1.3.6) et (1.3.7), il vient :

$$ (1.4.7) \quad \left| u_2^{n+\frac{1}{2}} \right|^2 + \left| u_2^{n+\frac{1}{2}} - u_2^n \right|^2 + 2\mu\tau_n \left| \frac{\partial u_2^{n+\frac{1}{2}}}{\partial x_1} \right|^2 = \left| u_2^n \right|^2 + 2 \tau_n (f_{21}, u_2^{n+\frac{1}{2}}) $$

$$ (1.4.8) \quad \left| u_1^{n+1} \right|^2 + \left| u_1^{n+1} - u_1^{n+\frac{1}{2}} \right|^2 + 2\mu\tau_n \left| \frac{\partial u_1^{n+1}}{\partial x_2} \right|^2 = \left| u_1^{n+\frac{1}{2}} \right|^2 + 2 \tau_n (f_{12}, u_1^{n+1}) $$
$$
(1.4.9) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \left| u_2^{n+1} \right|^2 + \left| u_2^{n+1} - u_2^{n+\frac{1}{2}} \right|^2 + (\lambda+3\mu) \tau_n \left| \frac{\partial u_2^{n+1}}{\partial x_2} \right|^2 + (\lambda+\mu) \tau_n \left| \frac{\partial u_1^{n+\frac{1}{2}}}{\partial x_1} \right|^2 + \frac{\partial u_2^{n+1}}{\partial x_2} \\
& \qquad = \left| u_2^{n+\frac{1}{2}} \right|^2 + (\lambda+\mu) \tau_n \left| \frac{\partial u_1^{n+\frac{1}{2}}}{\partial x_1} \right|^2 + 2 \tau_n (f_{22}, u_2^{n+1}).
\end{aligned}
\right.
$$

Ajoutons les égalités (1.4.6) à (1.4.9) membre à membre :

$$
\begin{equation} \tag{1.4.10}
\left\{
\begin{aligned}
& \left| u_1^{n+1} \right|^2 + \left| u_2^{n+1} \right|^2 + \sum_{i,j=1}^{2} \left| u_i^{n+\frac{j}{2}} - u_i^{n+\frac{j-1}{2}} \right|^2 + 2\mu \tau_n \sum_{i,j=1}^{2} \left| \frac{\partial u_i^{n+\frac{j}{2}}}{\partial x_j} \right|^2 \\
& \qquad + (\lambda+\mu)(\tau_n - \tau_{n+1}) \left| \frac{\partial u_2^{n+1}}{\partial x_2} \right|^2 + (\lambda+\mu) \left( \tau_{n+1} \left| \frac{\partial u_2^{n+1}}{\partial x_2} \right| - \tau_n \left| \frac{\partial u_1^n}{\partial x_2} \right|^2 \right) \\
& \qquad + (\lambda+\mu) \tau_n \sum_{i=0}^{1} \left| \frac{\partial u_2^{n+i}}{\partial x_2} + \frac{\partial u_1^{n+\frac{1}{2}}}{\partial x_1} \right|^2 \\
& = \left| u_1^n \right|^2 + \left| u_2^n \right|^2 + 2 \tau_n \sum_{i,j=1}^{2} (f_{ij}, u_i^{n+\frac{j}{2}}).
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
$$

En sommant les égalités (1:4.10) pour n=0,...,N, il vient :

$$
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
& \left| u_1^{N+1} \right|^2 + \left| u_2^{N+1} \right|^2 + \sum_{n=0}^{N} \sum_{i,j=1}^{2} \left| u_i^{n+\frac{j}{2}} - u_i^{n+\frac{j-1}{2}} \right|^2 \\
& \qquad + 2 \sum_{n=0}^{N} \sum_{i,j=1}^{2} \left| \tau_n \frac{\partial u_i^{n+\frac{j}{2}}}{\partial x_j} \right|^2 + (\lambda+\mu) \sum_{n=0}^{N} (\tau_n - \tau_{n+1}) \left| \frac{\partial u_2^{n+1}}{\partial x_2} \right|^2 \\
& \qquad + (\lambda+\mu) \tau_{N+1} \left| \frac{\partial u_2^{N+1}}{\partial x_2} \right|^2 + (\lambda+\mu) \sum_{n=0}^{N} \left( \tau_n \frac{1}{\sum_{i=0}^{N} \left| \frac{\partial u_2^{n+i}}{\partial x_2} + \frac{\partial u_1^{n+\frac{1}{2}}}{\partial x_1} \right|} \right)^2 \\
& = \left| u_1^0 \right|^2 + \left| u_2^0 \right|^2 + (\lambda+\mu) \tau_0 \left| \frac{\partial u_2^0}{\partial x_2} \right|^2 + 2 \sum_{n=0}^{N} \sum_{i,j=1}^{2} (f_{ij}, u_i^{n+\frac{j}{2}}).
\end{aligned}
\right.
\tag{1.4.11}
\end{equation}
$$
Mais (1.4.3) et la convexité de la fonction $W \to |W|^2$ entraînent :

$$ (1.4.12) \qquad \left| W_j^{n+\frac{i}{2}} \right|^2 \le \frac{1}{\sigma_N^n} \sum_{n=0}^N \tau_n \left| u_j^{n+\frac{i}{2}} \right|^2 \quad i,j=1,2. $$

Divisons (1.4.11) par $\sigma_N$, puis reportons (1.4.3) et (1.4.12) dans (1.4.11). Grâce à (1.3.1) il vient, en particulier :

$$ (1.4.13) \qquad \left\{ \begin{aligned} & \frac{1}{\sigma_N} \left\{ \left| u_1^{n+1} \right|^2 + \left| u_2^{n+1} \right|^2 \right\} + \frac{1}{\sigma_N} \sum_{n=0}^N \sum_{i,j=1}^2 \left| u_i^{n+\frac{j}{2}} - u_j^{n+\frac{j-1}{2}} \right|^2 \\ & \qquad + 2 \sum_{i,j=1}^2 \left| \frac{\partial W_i^{n+\frac{j}{2}}}{\partial x_j} \right|^2 \\ & \le \frac{1}{\sigma_N} \left\{ \left| u_1^0 \right|^2 + \left| u_2^0 \right|^2 \right\} + \frac{(\lambda+\mu)}{\sigma_N} \sum_o \left| \frac{\partial u_2^0}{\partial x_2} \right|^2 \\ & \qquad + 2 \sum_{i,j=1}^2 (f_{ij}^{n+\frac{j}{2}}, W_i^{n+\frac{j}{2}}). \end{aligned} \right. $$

Pour conclure, nous allons utiliser le lemme suivant :

**Lemme 1.4.1**

Pour tout $u \in V_i$ il existe une constante $\alpha_i > 0$, ne dépendant que de $\Omega$, telle que :

$$ (1.4.14) \qquad |u| \le \alpha_i \left| \frac{\partial u}{\partial x_i} \right|. $$

**Démonstration** (d'après NECAS [1]) :

Par définition, $\mathcal{D}(\Omega)$ est dense dans $V_i$. Il suffira donc de démontrer (1.4.14) pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$. Comme $\Omega$ est borné dans $\mathbb{R}^2$, on peut le placer dans un carré $|x_i| < a$, $i=1,2$.
On a :

$$
\varphi(x_1, x_2) = \int_{-a}^{x_1} \frac{\partial \varphi}{\partial x_1} (\xi, x_2) \, d\xi \Big|_{x_1}
$$

et grâce à l'inégalité de Schwarz, on obtient :

$$
(1.4.15) \quad \left|\varphi(x_1, x_2)\right|^2 \le 2a \int_{-a}^{a} \left| \frac{\partial \varphi}{\partial x_1} (\xi, x_2) \right|^2 d\xi \Big|_{x_2}
$$

En intégrant (1.4.15) en x₁ dans l'intervalle [-a, a], on obtient :

$$
\int_{-a}^{a} \left| \varphi(x_1, x_2) \right|^2 dx_1 \le 4a^2 \int_{-a}^{a} \left| \frac{\partial \varphi}{\partial x_1} (\xi, x_2) \right|^2 d\xi
$$

Alors l'intégration en x₂ dans l'intervalle [-a, a] fournit le résultat.

On opèrerait de la même manière pour i=2. Nous avons donc (1.4.14) avec

$\alpha_i = 2a$ par exemple.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

Revenons à (1.4.13). Comme $W_i^{N+\frac{j}{2}} \in V_j$ ($i,j=1,2$) on aura avec le lemme 1.4.1 :

$$
\begin{align*}
& (1.4.16) \quad 2 \left| (f_{ij}, W_i^{N+\frac{j}{2}}) \right| \le 2 \left| f_{ij} \right| \left| W_i^{N+\frac{j}{2}} \right| \le 2 \alpha_j \left| f_{ij} \right| \left| \frac{\partial W_i}{\partial x_j} \right|^{N+\frac{j}{2}} \\
& \qquad \le \mu \left| \frac{\partial W_i}{\partial x_j} \right|^{N+\frac{j}{2}} + \frac{\alpha_j^2}{\mu} \left| f_{ij} \right|^2 .
\end{align*}
$$

En reportant (1.4.16) dans (1.4.13), il vient :

$$
(1.4.17) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \frac{1}{\sigma_N} \left\{ |u_1|^{N+1} + |u_2|^{N+1} \right\} + \frac{1}{\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \sum_{i,j=1}^{2} \left| u_i^{N+\frac{j}{2}} - u_j^{N+\frac{j-1}{2}} \right|^2 + \mu \sum_{i,j=1}^{2} \left| \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \right|^{N+\frac{j}{2}} \\
& \le \frac{1}{\sigma_N} \left\{ |u_1^0|^2 + |u_2^0|^2 \right\} + \frac{\lambda+\mu}{\sigma_N} \tau_o \left| \frac{\partial u_2^0}{\partial x_2} \right|^2 + \sum_{i,j=1}^{2} \frac{\alpha_j^2}{\mu} |f_{ij}|^2,
\end{aligned}
\right.
\quad \text{d'où immédiatement (1.4.2) grâce à (1.3.3).}
$$
Les inégalités (1.4.1) sont obtenues à l'aide de (1.4.14) et (1.4.17)

**Remarque 1.4.1** : Nous avons retenu l'hypothèse 1.3.1 pour sa simplicité. Cependant, cette hypothèse n'est utilisée que pour le passage de (1.4.11) à (1.4.13) et l'examen de la relation (1.4.11) montre que l'on peut la remplacer par une hypothèse moins restrictive, par exemple :

$$ (1.4.18) \qquad (\lambda+3\mu-\beta) \tau_n - (\lambda+\mu) \tau_{n+1} \geq 0, $$

où $\beta$ est une constante strictement positive vérifiant par exemple :

$$ (1.4.19) \qquad 0 < \beta < 2\mu. $$

Il convient alors de modifier la relation (1.4.16), ce qui est aisé.

## 1.5. - THEOREME DE CONVERGENCE

**Théorème 1.5.1** :

Si $N \to +\infty$, si (1.3.1) à (1.3.3) sont vérifiées et si $u = (u_1, u_2)$ désigne la solution des problèmes 1.2.1 et 1.2.1 bis, alors :

$$ (1.5.1) \qquad W_i^{N+\frac{j}{2}} \to u_i \quad \text{dans } V_j \text{ fort, } i,j = 1,2. $$

**Démonstration** :

(i) Conséquence de la réflexivité des espaces $V_i$ :

De l'inégalité (1.4.1), on déduit l'existence d'une sous-suite $N'$ de $N$ tendant vers l'infini et de quatre fonctions $\psi_1^{(1)} \in V_1, \psi_1^{(2)} \in V_2, \psi_2^{(1)} \in V_1$, $\psi_2^{(2)} \in V_2$ telles que :

$$ (1.5.2) \qquad W_1^{N'+\frac{1}{2}} \to \psi_1^{(1)} \quad \text{dans } V_1 \text{ faible,} $$

$$ (1.5.3) \qquad W_1^{N'+1} \to \psi_1^{(2)} \quad \text{dans } V_2 \text{ faible,} $$
$$
(1.5.4) \quad W_2^{N'+\frac{1}{2}} \rightarrow \psi_2^{(1)} \quad \text{dans } V_1 \text{ faible,}
$$

$$
(1.5.5) \quad W_2^{N'+1} \rightarrow \psi_2^{(2)} \quad \text{dans } V_2 \text{ faible,}
$$

lorsque $N' \to +\infty$.

$$
\frac{(ii) \quad \psi_1^{(1)} = \psi_1^{(2)} = \psi_1 \in V, \quad \psi_2^{(1)} = \psi_2^{(2)} = \psi_2 \in V}{\text{Grâce à (1.4.2) (1.4.3) et à la convexité de la fonction } W \to |W|^2,}
$$

Grâce à (1.4.2) (1.4.3) et à la convexité de la fonction W ↦ |W|²,
on a pour i,j = 1,2 :

$$
(1.5.6) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \left( W_j^{N+\frac{i}{2}} - W_j^{N+\frac{i-1}{2}} \right)^2 = \left| \sum_{n=0}^{N} \frac{\tau_n}{\sigma_N} \left( u_j^{N+\frac{i}{2}} - u_j^{N+\frac{i-1}{2}} \right) \right|^2 \\[2ex]
\le \frac{1}{\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \tau_n \left| u_j^{N+\frac{i}{2}} - u_j^{N+\frac{i-1}{2}} \right|^2
\end{array}
\right.
$$

Pour conclure, nous utilisons le lemme suivant :

Lemme 1.5.1 (SAINT-PIERRE [1]) :

Soit {$\tau_n$} une suite de nombres strictement positifs vérifiant les hypothèses (1.3.2) (1.3.3). Pour toute suite {$\alpha_n$} de nombres positifs vérifiant :

$$
\frac{1}{\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \alpha_n \le C,
$$

où C est une constante indépendante de N, on a :

$$
\lim_{N \to +\infty} \beta_N = 0, \quad \text{où} \quad \beta_N = \frac{1}{\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \tau_n \alpha_n.
$$
Démonstration :

L'hypothèse (1.3.2) entraîne que :

$$
\forall \eta > 0, \exists k_o > 0 \text{ tel que } \forall k \ge k_o, \tau_k \le \eta.
$$

Alors :

$$
\frac{1}{\sigma_N} \sum_{k=k_o}^{N} \tau_k \alpha_k \le \frac{\eta}{\sigma_N} \sum_{k=k_o}^{N} \alpha_k \le \eta C ;
$$

en choisissant η = δ/2C cette expression est majorée par δ/2 .

Posons, pour la valeur k₀ ainsi obtenue, A = Σ從 k = 1 到 k = k₀ - 1
τₖ αₖ.

Puisque σ$_{N}$ tend vers l'infini, on aura :

$$
\forall \delta > 0, \exists N_o > 0 \text{ tel que } \forall N \ge N_o \text{ on ait } \sigma_N \ge \frac{2A}{\delta}.
$$

D'où finalement :

$$
\forall \varepsilon > 0, \exists N_1 > 0 \text{ tel que } \forall N \ge N_1 = \max(N_o, k_o), \beta_N \le \delta.
$$

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

Revenons à (1.5.6). Grâce à (1.4.2), on peut prendre

$$
\alpha_n = \left| u_j^{n+\frac{i}{2}} - u_j^{n+\frac{i-1}{2}} \right|^2 \quad \text{dans le lemme (1.5.1), d'où avec (1.5.6) :}
$$

$$
(1.5.7) \quad \lim_{N \to +\infty} \left| W_j^{N+\frac{i}{2}} - W_j^{N+\frac{i-1}{2}} \right|^2 = 0 \quad \text{dans } L_2(\Omega) \text{ fort, pour } i,j = 1,2.
$$

Alors (1.5.2) (1.5.3) et (1.5.7) donnent :
$$
(1.5.8) \qquad \psi_1^{(1)} = \psi_1^{(2)} = \psi_1 \in V,
$$

et (1.5.4) (1.5.5) (1.5.7) donnent :

$$
(1.5.9) \qquad \psi_2^{(2)} = \psi_2^{(2)} = \psi_2 \in V.
$$

(iii) $\psi_1 = u_1$, $\psi_2 = u_2$ où $u = (u_1, u_2)$ désigne la solution des problèmes 1.2.1 et 1.2.1 bis

Les équations (1.3.4) à (1.3.7) doivent être respectivement vérifiées
∀ v₁ ∈ V₁, ∀ v₂ ∈ V₁, ∀ v₁ ∈ V₂, ∀ v₂ ∈ V₂ ; ces équations doivent donc,
en particulier, être vérifiées ∀ v₁ ∈ V et ∀ v₂ ∈ V, d'où en ajoutant (1.3.4)
à (1.3.7) :

$$
\[
(1.5.10) \qquad \int_{\Omega} \left\{
\begin{aligned}[t]
& \frac{u_1^{n+1} - u_1^n}{\tau_n} v_1 + \frac{u_2 - u_2^n}{\tau_n} v_2 + \mu \sum_{i,j=1}^{2} \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \frac{\partial v_j}{\partial x_j} \\
& \quad + (\lambda + \mu) \left[ \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \right)^{\frac{n+1}{2}} + \left( \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right)^{\frac{n}{2}} \right] \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \right)^{\frac{n+1}{2}} \left( \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right)^{\frac{n+1}{2}} \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \right\} dx_1 dx_2
\end{aligned}
\right.
\\
\qquad = \int_{\Omega} (f_1 v_1 + f_2 v_2) dx_1 dx_2, \quad \forall v = (v_1, v_2) \in W.
\]
$$

Après multiplication par $\frac{\tau_n}{\sigma_{N'}}$ on ajoute (1.5.10) pour $n=0, \dots, N'$ ;

Compte tenu de (1.4.3), il vient :
$$
\begin{equation} \tag{1.5.11}
\begin{aligned}
& \frac{1}{\sigma_{N'}} \int_{\Omega} \left\{ (u_1^{N'+1} - u_1^0) v_1 + (u_2^{N'+1} - u_2^0) v_2 \right\} dx_1 dx_2 + \\
& \qquad \int_{\Omega} \left\{ \begin{array}{ll} \mu & 2 \sum_{i,j=1}^{N'+\frac{j}{2}} \frac{\partial w_i}{\partial x_j} \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + (\lambda+\mu) \left[ \frac{\partial w_1}{\partial x_1} + \frac{\partial w_2}{\partial x_2} \right) \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \\ & \qquad \qquad + \left( \frac{\partial w_1}{\partial x_1} + \frac{\partial w_2}{\partial x_2} \right) \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \end{array} \right\} dx_1 dx_2 \\
& = \int_{\Omega} (f_1 v_1 + f_2 v_2) dx_1 dx_2, \quad \forall v_1 \in V, \forall v_2 \in V.
\end{aligned}
\end{equation}
$$

La relation (1.4.13) implique $\frac{|u_i|}{\sigma_N^{N+1}} < C$, $i=1,2$, d'où, par exemple,

$$
\frac{|u_i|}{\sigma_N^{3/2}} \to 0 \text{ lorsque } N \to +\infty. \text{ On en déduit immédiatement :}
$$

$$
(1.5.12) \quad \lim_{N' \to \infty} \frac{1}{\sigma_{N'}} \int_{\Omega} \left\{ (u_1^{N'+1} - u_1^0) v_1 + (u_2^{N'+1} - u_2^0) v_2 \right\} dx_1 dx_2 = 0.
$$

Passons à la limite (N' → + ∞) dans (1.5.11) ; avec (1.5.2) à (1.5.5),
(1.5.8) (1.5.9) et (1.5.12), il vient pour tout v₁ ∈ V, pout tout v₂ ∈ V, fixés :

$$
\begin{equation} \tag{1.5.13}
\left\{
\begin{aligned}
& \int_{\Omega} \left\{ \mu \sum_{i,j=1}^{2} \frac{\partial \psi_i}{\partial x_j} \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + (\lambda+\mu) \left( \frac{\partial \psi_1}{\partial x_1} + \frac{\partial \psi_2}{\partial x_2} \right) \left( \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \right) \right\} dx_1 dx_2 \\
& \qquad = \int_{\Omega} (f_1 v_1 + f_2 v_2) dx_1 dx_2, \quad \forall v_1 \in V, \forall v_2 \in V.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
$$
En comparant avec l'équation (1.2.13), on constate que $\psi = (\psi_1, \psi_2)$ est solution du problème 1.2.1 bis et donc, comme celle-ci est unique et vaut $u = (u_1, u_2)$ :

$$ \psi_1 = u_1, \quad \psi_2 = u_2. $$

Les limites $u_1$ et $u_2$ étant indépendantes de la sous-suite extraite de $W_i^{N+\frac{j}{2}}$ c'est la suite $W_i^{N+\frac{j}{2}}$ toute entière qui converge faiblement dans $V_j$ vers $u_i$ $(i,j = 1,2)$.

(iv) Résultats de convergence forte :

Nous allons démontrer qu'une expression X convenable tend vers 0 avec $\frac{1}{N}$. Cette expression X est déterminée à partir de l'égalité d'énergie (1.4.11) vérifié par les fonctions approchées ; elle vaut :

$$ (1.5.14) \quad \left\{ \begin{aligned} X &= \frac{1}{2\sigma_N} \left\{ \left| u_1^{N+1} \right|^2 + \left| u_2^{N+1} \right|^2 \right\} + \frac{1}{2\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \sum_{i,j=1}^{2} \left| u_i^{n+\frac{j}{2}} - u_i^{n+\frac{j-1}{2}} \right|^2 \\ &\quad + \frac{\mu}{\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \left( \tau_n \sum_{i,j=1}^{2} \left| \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \right|^{n+\frac{j}{2}} - \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \right)^2 \\ &\quad + \frac{\lambda+\mu}{2\sigma_N} \tau_{N+1} \left| \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right|^2 \\ &\quad + \frac{\lambda+\mu}{2\sigma_N} \tau_{N+1} \left( \sum_{n=0}^{N} \left( \tau_n \sum_{i=0}^{1} \left| \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \right|^{n+\frac{1}{2}} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right)^{n+i} - \frac{\partial u_1}{\partial x_1} - \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right) \end{aligned} \right. $$

Nous écrivons X sous la forme d'une somme de trois termes :

$$ (1.5.15) \quad X = X_1 + X_2 + X_3, $$

avec :

$$ (1.5.16) \quad X_1 = \frac{\mu}{\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \tau_n \sum_{i,j=1}^{2} \left| \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \right|^2 + \frac{\lambda+\mu}{2\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \tau_n \left| \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right|^2, $$
$$
(1.5.17) \quad \left\{
\begin{aligned}
X_2 &= - \frac{2\mu}{\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \left( \tau_n \sum_{i,j=1}^{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} , \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \right)^{\frac{n+j}{2}} \\
&\quad - \frac{\lambda+\mu}{\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \left( \tau_n \sum_{i=0}^{1} \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} , \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right) \right),
\end{aligned}
\right.
$$

$$
(1.5.18) \quad \left\{
\begin{aligned}
X_3 &= \frac{1}{2\sigma_N} \left\{ \left| u_1 \right|^{N+1} + \left| u_2 \right|^{N+1} \right\} + \frac{1}{2\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \sum_{i,j=1}^{2} \left| u_i^{n+\frac{j}{2}} - u_j^{n+\frac{j-1}{2}} \right|^2 \\
&\quad + \frac{\mu}{\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \left( \tau_n \sum_{i,j=1}^{2} \left| \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \right|^{n+\frac{j}{2}} \right)^2 + \frac{\lambda+\mu}{2\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \left( \tau_n - \tau_{n+1} \right) \left| \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right|^2 \\
&\quad + \frac{(\lambda+\mu)}{2\sigma_N} \tau_{N+1} \left| \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right|^2 + \frac{\lambda+\mu}{2\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \left( \tau_n \sum_{i=0}^{1} \left| \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \right|^{n+\frac{1}{2}} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right)^2 .
\end{aligned}
\right.
$$

Examinons successivement chacun des termes $X_1$, $X_2$, $X_3$ et pour chacun d'eux, passons à la limite ($N \to +\infty$). Tout d'abord, comme $\sigma_N = \sum_{n=0}^N \tau_n$ nous avons :

$$
X_1 = \mu \sum_{i,j=1}^{2} \left| \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \right|^2 + (\lambda + \mu) \left| \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right|^2,
$$

soit, avec (1.2.12) et (1.2.13) :

$$
(1.5.19) \quad X_1 = b(u,u) = l(u).
$$
Pour $X_2$, nous utilisons la définition de $W_i$ donnée en (1.4.3),
ce qui conduit à l'expression suivante :

$$
X_2 = - 2\mu \sum_{i,j=1}^{N+\frac{j}{2}} \left( \frac{\partial W_i}{\partial x_j} , \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \right) - (\lambda+\mu) \sum_{i=0}^{N+\frac{1}{2}} \left( \frac{\partial W_1}{\partial x_1} + \frac{\partial W_2}{\partial x_2} , \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right).
$$

Les résultats de convergence faible obtenus en i) ii) et iii) donnent :

$$
(1.5.20) \quad \lim_{N \to \infty} X_2 = -2b(u,u) = -2\ell(u) = -2X_1.
$$

Il reste à déterminer la limite de $X_3$. Les résultats de convergence
faible ne sont pas suffisants pour passer à la limite.

Mais la comparaison des relations (1.4.11) et (1.5.18) fait apparaître
que :

$$
X_3 = \frac{1}{2\sigma_N} \{ |u_1^0|^2 + |u_2^0|^2 \} + \frac{\lambda+\mu}{2\sigma_N} \tau_o \left| \frac{\partial u_2^0}{\partial x_2} \right|^2 + \sum_{i,j=1}^{2} \left( f_{ij}, W_i^{N+\frac{j}{2}} \right).
$$

Avec (1.3.3), les résultats de convergence faible obtenus précédemment
et la relation (1.1.14), il vient :

$$
(1.5.21) \quad \lim_{N \to +\infty} X_3 = (f_1, u_1) + (f_2, u_2) = \ell(u) = X_1.
$$

Finalement, en rapprochant (1.5.15), (1.5.19) à (1.5.21), il vient :

$$
(1.5.22) \quad \lim_{N \to +\infty} X = 0.
$$
Si l'on remarque que tous les termes composant X sont positifs, on déduit de (1.5.22) que :

$$ \lim_{N \to +\infty} \frac{1}{\sigma_N^N} \sum_{n=0}^{N} \left( \tau_n \begin{array}{c|c} 2 & \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{j}{2} \\ \Sigma & \Sigma \end{array} - \begin{array}{c} \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \\ \Sigma \end{array} \right)^2 = 0. $$

Mais avec la relation (1.4.12), il vient alors :

$$ \lim_{N \to +\infty} \sum_{i,j=1}^{2} \left| \frac{\partial W_i}{\partial x_j} + \frac{j}{2} - \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \right|^2 = 0. $$

d'où avec le lemme 1.4.1 :

$$ (1.5.23) \quad \lim_{N \to +\infty} \left| \left| W_i \right|^{\frac{j}{2}} - u_i \right| \right|_j = 0, \quad i,j = 1,2. $$

Ceci termine la démonstration du théorème 1.5.1.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

**Remarque 1.5.1 :**

Le remplacement de l'hypothèse 1.3.1 par les hypothèses moins restrictives (1.4.18) (1.4.19) signalées à la remarque 1.4.1, reste ici possible. Les modifications à apporter à la démonstration du théorème 1.5.1, et notamment à l'expression (1.5.14) sont aisées.

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

**Remarque 1.5.2 :**

Le théorème 1.5.1 établit la convergence forte de $W_i^{N+\frac{j}{2}}$ vers $u_i$ dans $V_j$ lorsque $N \to +\infty$, pour $i,j = 1,2$.

En général, on n'a pas la convergence pour les suites $u_i^n$.

Pour ce point, on pourra se reporter à SAINT-PIERRE [1].

<figure><img src="image_13.png" /></figure>
## 1.6. - DECOMPOSITION "DIRECTE" DU PROBLEME 1.2.1 :

Au paragraphe 1.2, nous avons signalé que la décomposition directe du problème 1.2.1, c'est-à-dire de la forme $a(u,v)$, est plus laborieuse que la décomposition de $b(u,v)$.

Nous indiquons dans ce paragraphe les points essentiels de la décomposition de $a(u,v)$. Cela permet :

- d'une part, de comparer les deux méthodes de décomposition ;

- d'autre part, de proposer une méthode qui, même si elle est de mise en oeuvre un peu plus compliquée, peut être intéressante dans les cas signalés à la remarque 1.2.4.

Le problème "pseudo-régularisé" $P_\varepsilon$.

La décomposition directe du problème 1.2.1 par une méthode du type "pas fractionnaires" ne conduit pas à des estimations "a priori" suffisamment complètes permettant d'établir la convergence de la solution du problème décomposé vers la solution du problème exact. C'est pourquoi, avant d'effectuer la décomposition, nous approchons la solution $u$ du problème 1.2.1 par la solution $u_\varepsilon$ du problème "pseudo-régularisé" $P_\varepsilon$ défini ci-dessous. Par la suite, $\varepsilon$ désignera un nombre réel, destiné à tendre vers 0 et vérifiant :

$$ (1.6.1) \qquad 0 < \varepsilon < \frac{\mu}{2}. $$

Alors :

Problème $P_\varepsilon$ : Pour tout $f \in G$, pour tout $\varepsilon$ vérifiant (1.6.1), trouver $u_\varepsilon \in W$ tel que : $(u_\varepsilon = [u_1, \varepsilon, u_2, \varepsilon])$ :

$$ (1.6.2) \qquad a_\varepsilon(u_\varepsilon, v) = \ell(v), \quad \forall v \in W, \\ \text{où } \ell(v) \text{ est donné par (1.1.14) et } a_\varepsilon(u,v) \text{ par :} $$

$$ (1.6.3) \qquad a_{\varepsilon}(u,v) = a(u,v) - \varepsilon \int_{\Omega} \left( \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \frac{\partial v_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_1}{\partial x_2} \frac{\partial v_2}{\partial x_1} \right) dx_1 dx_2. $$

<figure><img src="image_14.png" /></figure>
Remarque 1.6.1 :

Régulariser un problème consiste habituellement à ajouter à sa forme
quadratique associée un terme positif "petit" pour obtenir (ou améliorer)
l'ellipticité de la forme sans pour autant modifier profondément les propriétés
de l'opérateur initial. Le but de la correction effectuée ici n'est pas
d'améliorer l'ellipticité de la forme établie en (1.2.2) mais, tout en
préservant cette propriété d'ellipticité, d'obtenir une forme bilinéaire
conduisant à des estimations "a priori" complètes : présence de toutes les
dérivées mixtes (cf. (1.6.17) par exemple). Si l'on se reporte à la forme
quadratique associée $a_\varepsilon$ (u,u) on constate ainsi qu'elle est obtenue à partir
de la forme initiale en _retranchant_ un terme positif. C'est à ce titre que nous
parlons de _"pseudo-régularisation"_.

Théorème 1.6.1 :

Le problème P<sub>ε</sub> admet une solution unique u<sub>ε</sub> pour tout ε vérifiant (1.6.1).

Démonstration : La forme bilinéaire a<sub>ε</sub> (u,v) est symétrique et continue
sur WxW ; la forme ℓ(v) est linéaire et continue sur W. Pour conclure, il suffit
donc d'établir la coercivité de a<sub>ε</sub> (v,v) sur W puis d'appliquer le théorème de
LAX-MILGRAM. Mais pour tout v ∈ W, on a grâce à (1.6.1) :

$$
a_{\epsilon}(v,v) - \frac{1}{2} a(v,v) = \frac{\lambda}{2} \left| \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \right|^2 + \left( \frac{\mu}{2} - \epsilon \right) \left| \frac{\partial v_1}{\partial x_2} + \frac{\partial v_2}{\partial x_1} \right|^2 \\
+ \mu \left( \left| \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right|^2 + \left| \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \right|^2 \right) + \epsilon \left( \left| \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right|^2 + \left| \frac{\partial v_2}{\partial x_1} \right|^2 \right) \geq 0.
$$

Avec (1.2.2), il vient alors :

$$
(1.6.4) \quad a_{\varepsilon} (v,v) \geq \beta \|v\|_{W}^{2}, \quad \forall v \in W.
$$

<figure><img src="image_15.png" /></figure>
**Théorème 1.6.2 :**

Lorsque $\epsilon \to 0$, $u_\epsilon$ tend vers la solution $u$ du problème 1.2.1, dans $W$ fort.

**Démonstration :**

A partir de (1.2.1) et (1.6.2) il vient

$$a_{\epsilon}(u_{\epsilon}, v) - a(u, v) = 0, \quad \forall v \in W,$$

ou, en posant :

$$T_{\epsilon} = u - u_{\epsilon} \quad (T_{\epsilon} = [T_{1,\epsilon}, T_{2,\epsilon}]),$$

$$(1.6.5) \quad a_{\epsilon}(T_{\epsilon}, v) - \epsilon \int_{\Omega} \left\{ \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \frac{\partial v_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_1}{\partial x_2} \frac{\partial v_2}{\partial x_1} \right\} dx = 0 \quad \forall v \in W.$$

Faisons $v = T_\epsilon$ dans (1.6.5) ; alors avec (1.6.4), il vient :

$$(1.6.6) \quad \beta ||T_{\epsilon}||_{W}^{2} - \epsilon \int_{\Omega} \left\{ \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}} \frac{\partial T_{1,\epsilon}}{\partial x_{2}} + \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}} \frac{\partial T_{2,\epsilon}}{\partial x_{1}} \right\} dx \le 0.$$

Mais pour tout $f \in L^2(\Omega)$ et tout $g \in L^2(\Omega)$ on a l'inégalité :

$$(1.6.7) \quad \left| \int_{\Omega} fg \, dx \right| \le |f| |g| \le \frac{\epsilon}{2\beta} |f|^2 + \frac{\beta}{2\epsilon} |g|^2 \quad \text{où } \beta > 0.$$

Alors l'inégalité (1.6.6) s'écrit :

$$\beta ||T_{\epsilon}||_{W}^{2} \le \frac{\epsilon^2}{2\beta} \left( \left| \frac{\partial u_1}{\partial x_2} \right|^2 + \left| \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \right|^2 \right) + \frac{\beta}{2} \left( \left| \frac{\partial T_{1,\epsilon}}{\partial x_2} \right|^2 + \left| \frac{\partial T_{2,\epsilon}}{\partial x_1} \right|^2 \right)$$

d'où, comme la dernière parenthèse est majorée par $||T_\epsilon||_W^2$ :

$$(1.6.8) \quad ||T_\epsilon||_W^2 \le \frac{\epsilon^2}{\beta^2} \left( \left| \frac{\partial u_1}{\partial x_2} \right|^2 + \left| \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \right|^2 \right).$$
Dans le second membre, le coefficient de $\varepsilon^2$ ne dépend pas de $\varepsilon$ ;
par suite :

$$
(1.6.9) \quad \lim_{\varepsilon \to 0} \left| \left| T_{\varepsilon} \right| \right|_{W} = 0.
$$

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

Remarque 1.6.2 : Cette méthode montre, en outre, que $| |T_\varepsilon| | = 0 (\varepsilon)$, où $0(\varepsilon)$ est un infiniment petit d'ordre au moins égal à 1 par rapport à l'infiniment petit $\varepsilon$.

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

Décomposition du problème P :

Les hypothèses sont celles du paragraphe 1.3. Le passage de $u_{\epsilon}^n$ à $u_{\epsilon}^{n+1}$ s'effectue de la façon suivante (comparer à (1.3.4)-(1.3.7)):

a) $u_{1,\epsilon}^{n+\frac{1}{2}}$ est l'unique solution dans $V_1$ de :

$$
\begin{equation} \tag{1.6.10}
\begin{aligned}
& \left\{
  \begin{aligned}
    \int_{\Omega} \left\{ \frac{n+\frac{1}{2}}{u_{1,\epsilon}^n - u_{1,\epsilon}^{n+\frac{1}{2}}} v_1 + (\lambda+2\mu) \frac{\partial u_{1,\epsilon}^n}{\partial x_1} \cdot \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \lambda \frac{\partial u_{2,\epsilon}^n}{\partial x_2} \cdot \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right\} dx_1 dx_2 \\
    && = \int_{\Omega} f_{11} v_1 dx_1 dx_2, \quad \forall v_1 \in V_1.
  \end{aligned}
\right\}
\end{aligned}
\end{equation}
$$

b) $u_{2,\epsilon}^{n+\frac{1}{2}}$ est l'unique solution dans $V_1$ de:
***

$$
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
& \int_{\Omega} \left\{ \frac{n+\frac{1}{2}}{u_{2,\epsilon}^n - u_{2,\epsilon}^{n+\frac{1}{2}}} v_2 + (\mu-\epsilon) \frac{\partial u_{1,\epsilon}^n}{\partial x_2} \cdot \frac{\partial v_2}{\partial x_1} + \frac{n+\frac{1}{2}}{\partial x_1} \frac{\partial u_{2,\epsilon}^n}{\partial x_2} \cdot \frac{\partial v_2}{\partial x_1} \right\} dx_1 dx_2 \\
& \qquad = \int_{\Omega} f_{21} v_2 dx_1 dx_2, \quad \forall v_2 \in V_1.
\end{aligned}
\right.
\tag{1.6.11}
\end{equation}
$$
c) $u_{1,\epsilon}^{n+1}$ est l'unique solution dans $V_2$ de :

$$ (1.6.12) \quad \left\{ \begin{aligned} & \int_{\Omega} \left\{ \frac{u_{1,\epsilon}^{n+1} - u_{1,\epsilon}}{\tau_n} v_1 + \mu \frac{\partial u_{1,\epsilon}}{\partial x_2} \cdot \frac{\partial v_1}{\partial x_2} + (\mu-\epsilon) \frac{\partial u_{2,\epsilon}}{\partial x_1} \cdot \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right\} dx_1 dx_2 \\ & \qquad + \int_{\Omega} f_{12} v_1 dx_1 dx_2, \quad \forall v_1 \in V_2. \end{aligned} \right. $$

d) $u_{2,\epsilon}^{n+1}$ est l'unique solution dans $V_2$ de :

$$ (1.6.13) \quad \left\{ \begin{aligned} & \int_{\Omega} \left\{ \frac{u_{2,\epsilon}^{n+1} - u_{2,\epsilon}}{\tau_n} v_2 + \lambda \frac{\partial u_{1,\epsilon}}{\partial x_1} \cdot \frac{\partial v_2}{\partial x_2} + (\lambda+2\mu) \frac{\partial u_{2,\epsilon}}{\partial x_2} \cdot \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \right\} dx_1 dx_2 \\ & \qquad = \int_{\Omega} f_{22} v_2 dx_1 dx_2, \quad \forall v_2 \in V_2. \end{aligned} \right. $$

**Théorème 1.6.3 :**

Les équations (1.6.10) à (1.6.13) admettent chacune une solution unique.

La démonstration est en tous points analogues à celle du théorème 1.3.1.

**Remarque 1.6.3 :** Les remarques 1.3.1 et 1.3.2 s'adaptent ici facilement.

Le théorème suivant donne des estimations "a priori" analogues à celles du théorème 1.4.1 :
**Théorème 1.6.4 :**

Pour tout $N$ entier positif, toute suite $\tau_n$ satisfaisant (1.3.1) à (1.3.3), tout $\epsilon$ satisfaisant à (1.6.1), il existe une constante $C$ indépendante de $N$ et de $\tau_n$ telle que :

$$ (1.6.14) \qquad \left| \left| W_{j, \epsilon} \right| \right|_i \le C $$

$$ (1.6.15) \qquad \frac{1}{\sigma_N} \sum_{i=1}^{2} \sum_{n=0}^{N} \left\{ \left| u_{1, \epsilon}^{n+\frac{i}{2}} - u_{1, \epsilon}^{n+\frac{i-1}{2}} \right|^2 + \left| u_{2, \epsilon}^{n+\frac{i}{2}} - u_{2, \epsilon}^{n+\frac{i-1}{2}} \right|^2 \right\} \le C $$
où

$$ (1.6.16) \qquad \left. \begin{array}{l} N+\frac{i}{2} \\ W_{j, \epsilon} \end{array} \right\} = \left. \begin{array}{l} N \\ \sigma_N \end{array} \right\} \begin{array}{l} n+\frac{i}{2} \\ \sum_{n=0}^{\tau} u_{n,j,\epsilon} \end{array} \quad i=1,2; j=1,2. $$

**Démonstration :**

Une procédure en tous points analogue à celle qui nous a permis d'obtenir (1.4.13) nous donne ici :

$$ (1.6.17) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{\sigma_N} \left\{ \left| u_{1,\epsilon}^{N+1} \right|^2 + \left| u_{2,\epsilon}^{N+1} \right|^2 \right\} + \frac{1}{\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \sum_{i,j=1}^{2} \left| u_{i,\epsilon}^{n+\frac{i}{2}} - u_{i,\epsilon}^{n+\frac{i-1}{2}} \right|^2 \\ \quad + 4 \mu \sum_{i=1}^{2} \left| \frac{\partial W_{i,\epsilon}}{\partial x_i} \right|^2 + 2 \epsilon \left[ \left| \frac{\partial W_{2,\epsilon}}{\partial x_1} \right|^2 + \left| \frac{\partial W_{1,\epsilon}}{\partial x_2} \right|^2 \right] \\ \le \frac{1}{\sigma_N} \left\{ \left| u_{1,\epsilon}^0 \right|^2 + \left| u_{2,\epsilon}^0 \right|^2 + \frac{\lambda \tau_0}{\sigma_N} \left| \frac{\partial u_{2,\epsilon}^0}{\partial x_2} \right|^2 + \frac{(\mu-\epsilon) \tau_0}{\sigma_N} \left| \frac{\partial u_{1,\epsilon}^0}{\partial x_2} \right|^2 \right\} \\ \quad + 2 \sum_{i,j=1}^{2} (f_{ij} W_{i,\epsilon}^{N+\frac{j}{2}}) . \end{array} \right. $$
Pour éliminer les $\frac{W_{i,\epsilon}^{N+\frac{j}{2}}}{W_{i,\epsilon}}$ du second membre, nous modifions la méthode du paragraphe 1.4 qui ne s'applique pas ici du fait de la présence de $\epsilon$ au premier membre. Comme $f_1 = f_{11} + f_{12}$ et $f_2 = f_{21} + f_{22}$, on aura :

$$ (1.6.18) \quad \sum_{i,j=1}^{2} (f_{ij}, W_{i,\epsilon}^{N+\frac{j}{2}}) = (f_1, W_{1,\epsilon}^{N+\frac{1}{2}}) + (f_2, W_{2,\epsilon}^{N+1}) + (f_{21}, W_{2,\epsilon}^{N+\frac{1}{2}} - W_{2,\epsilon}^{N+1}) \\ \qquad + (f_{12}, W_{1,\epsilon}^{N+1} - W_{1,\epsilon}^{N+\frac{1}{2}}) $$

d'où comme $W_{1,\epsilon}^{N+\frac{1}{2}} \in V_1$, $W_{2,\epsilon}^{N+1} \in V_2$ et avec (1.4.14) :

$$ (1.6.19) \quad 2 \left| \left( f_i, W_{i,\epsilon}^{N+\frac{i}{2}} \right) \right| \le \mu \left| \frac{\partial W_{i,\epsilon}^{N+\frac{i}{2}}}{\partial x_i} \right|^2 + \frac{\alpha_i^2}{\mu} |f_i|^2, \quad i=1,2. $$

D'autre part, à partir de (1.4.3), il vient :

$$ (1.6.20) \quad 2 \left| \left( f_{12}, W_{1,\epsilon}^{N+1} - W_{1,\epsilon}^{N+\frac{1}{2}} \right) \right| \le \frac{1}{\sigma_N} 2 |f_{12}|^2 \sum_{n=0}^{N} (\tau_n)^2 + \frac{1}{2\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \left| u_{1,\epsilon}^{N+1} - u_{1,\epsilon}^{N+\frac{1}{2}} \right|^2 $$

$$ (1.6.21) \quad 2 \left| \left( f_{21}, W_{2,\epsilon}^{N+\frac{1}{2}} - W_{2,\epsilon}^{N+1} \right) \right| \le \frac{1}{\sigma_N} 2 |f_{21}|^2 \sum_{n=0}^{N} (\tau_n)^2 + \frac{1}{2\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \left| u_{2,\epsilon}^{N+\frac{1}{2}} - u_{2,\epsilon}^{N+1} \right|^2 $$

Alors, en reportant (1.6.18) à (1.6.21) dans (1.6.17), il vient :

$$ \frac{1}{\sigma_N} \left\{ \left| u_{1,\epsilon}^{N+1} \right|^2 + \left| u_{2,\epsilon}^{N+1} \right|^2 \right\} + \frac{1}{2\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \sum_{i,j=1}^{2} \left| u_{i,\epsilon}^{N+\frac{j}{2}} - u_{i,\epsilon}^{N+\frac{j-1}{2}} \right|^2 \\ + 3 \sum_{i=1}^{2} \frac{\partial W_{i,\epsilon}^{N+\frac{i}{2}}}{\partial x_i} \left| \frac{\partial W_{i,\epsilon}^{N+\frac{i}{2}}}{\partial x_i} \right|^2 + 2\epsilon \left[ \left| \frac{\partial W_{2,\epsilon}^{N+\frac{1}{2}}}{\partial x_1} \right|^2 + \left| \frac{\partial W_{1,\epsilon}^{N+1}}{\partial x_2} \right|^2 \right] \\ \le \frac{1}{\sigma_N} \left\{ \left| u_{1,\epsilon}^{0} \right|^2 + \left| u_{2,\epsilon}^{0} \right|^2 \right\} + \frac{\lambda\tau}{\sigma_N} \left| \frac{\partial u_{2,\epsilon}^{0}}{\partial x_2} \right|^2 + \frac{(\mu-\epsilon)\tau}{\sigma_N} \left| \frac{\partial u_{1,\epsilon}^{0}}{\partial x_2} \right|^2 \\ + \frac{1}{\mu} \{ \alpha_1^2 |f_1|^2 + \alpha_2^2 |f_2|^2 \} + \frac{2}{\sigma_N} (|f_{12}|^2 + |f_{21}|^2) \sum_{n=0}^{N} (\tau_n)^2 $$
Mais si l'on fait $\alpha_n = \tau_n$ dans le lemme 1.5.1, il vient :

$$ (1.6.23) \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} (\tau_n)^2 = 0, $$

d'où (1.6.15) avec (1.3.3). On obtient ensuite (1.6.14) à l'aide de (1.4.14).

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

**Remarque 1.6.4** : Nous avons introduit le problème "pseudo-régularisé" $P_\varepsilon$ pour obtenir :

$$ \left|\left| W_{j, \varepsilon}^{\frac{N+\frac{j}{2}}{2}} \right|\right|_{i} \leq C \quad \text{pour } i \neq j, $$

où C est une constante indépendante de N mais dépendante de $\varepsilon$.

Rien ne permettant d'affirmer que cette "constante" reste bornée pour $\varepsilon \to +\infty$, il est essentiel de fixer $\varepsilon$ et c'est la solution du problème $P_\varepsilon$ correspondant, soit $u_\varepsilon$, que l'on approche au moyen de la suite $W_{1,\varepsilon}^N$.

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Des estimations "a priori" (1.6.14) et (1.6.15) on déduit par une démonstration en tous points semblables à celle du théorème 1.5.1, le premier théorème de convergence.

**Théorème 1.6.5** :

Si $N \to +\infty$, si (1.3.1) à (1.3.3) sont vérifiées et si $u_\varepsilon = (u_1, u_2)$ désigne la solution du problème $P_\varepsilon$, alors :

$$ (1.6.24) \quad N+\frac{j}{2} \to u_{1,\varepsilon} \quad \text{dans } V_j \text{ fort, } i,j=1,2. $$

En rassemblant les résultats des théorèmes 1.6.2 et 1.6.5, il vient :

**Théorème 1.6.6** : Si $N \to +\infty$, si $\varepsilon \to 0$, alors

$$ (1.6.25) \quad N+\frac{j}{2} \to u_i \quad \text{dans } V_j \text{ fort, } i,j = 1,2, \\ \text{où } W_{i,\varepsilon} \text{ est donné par (1.6.16) et où } u = (u_1,u_2) \text{ désigne la solution du problème 1.2.1.} $$
Remarque 1.6.5 :

Etant donné $n > 0$, quelconque, le problème pratique sera de déterminer $\varepsilon$
et $N$ tels que :

$$
\left\| W_{i, \varepsilon}^{N+\frac{j}{2}} - u_i \right\|_j \le n.
$$

Pour cela, on opèrera en deux étapes :

a) Choix de $\epsilon$ :

On choisira, par exemple, $\epsilon$ de telle sorte que :

$$
\| u_i - u_{i, \epsilon} \|_j \le \frac{\eta}{2} .
$$

Mais l'inégalité (1.6.8) implique :

$$
(1.6.26) \quad \left\| \|u_i - u_{i,\epsilon}\|_W \right\| \le \frac{\epsilon}{\beta} \left\| \|u\|_W \right\| .
$$

En outre, à partir de (1.2.1) (1.2.2) et (1.1.14), on obtient
l'inégalité, dite de stabilité :

$$
\|u\|_W \le \frac{1}{2\beta} \|f\|_W .
$$

En reportant dans (1.6.26), il vient :

$$
\| u_i - u_{i, \epsilon} \|_j \le \| u_i, - u_{i, \epsilon} \|_W \le \frac{\epsilon}{2\beta^2} \| f \|_W.
$$

On prendra donc :

$$
(1.6.27) \quad 0 < \varepsilon \le \frac{1}{\|f\|_W} \beta^2 n .
$$
b) Choix de N :

Le paramètre $\epsilon$ étant fixé, vérifiant (1.6.27), on choisira N tel que :

$$ (1.6.28) \quad \left|\left| W_{i,\epsilon}^{N+\frac{j}{2}} - u_{i,\epsilon} \right|\right|_j \le \frac{\eta}{2} $$

Ce choix est possible, grâce au théorème 1.6.5 ; il paraît cependant difficile d'exploiter la relation $\eta \to N_0(\eta)$ tel que pour tout $N > N_0$, on ait (1.6.28).

<figure><img src="image_20.png" /></figure>
## 2. - DECOMPOSITION D'UN PROBLEME D'ELASTICITE TRI-DIMENSIONNEL, STATIONNAIRE

Dans ce paragraphe, nous proposons une méthode de décomposition du type "pas fractionnaires", permettant de résoudre des problèmes d'élasticité tri-dimensionnelle en se ramenant à la résolution d'une suite alternée de problèmes uni-dimensionnels très simples d'une part, de problèmes bi-dimensionnels d'autre part. Pour ces derniers problèmes, nous pouvons faire appel aux programmes "d'éléments finis" bi-dimensionnels classiques et éviter de la sorte les problèmes délicats "d'encombrement mémoire" liés à l'utilisation d'éléments finis tri-dimensionnels.

En appliquant le même type de méthode à la décomposition selon chacune des trois directions (méthode à trois pas) on n'a pas obtenu d'estimations "a priori" satisfaisantes. Il est préférable d'envisager dans ce cas d'autres types de méthodes de pas fractionnaires : Cf. YANENKO [1].

### 2.1. - HYPOTHESES ET NOTATIONS

Nous nous plaçons désormais dans $\mathbb{R}^3$, les fonctions considérées étant toujours à valeurs réelles. Dans ce cadre, nous reprenons les hypothèses et notations du paragraphe 1 avec cette fois-ci $n = 3$.

Nous définissons en outre l'espace :

$$ (2.1.1) \qquad V_{12} = V_1 \cap V_2 = \{u \mid u \in L_2(\Omega), \frac{\partial u}{\partial x_1} \in L_2(\Omega), i=1,2, u/\Gamma = 0 \}. $$

C'est un espace de Hilbert pour le produit scalaire.

$$ (2.1.2) \qquad ((u,v))_{12} = \int_{\Omega} \left[ u(x) v(x) + \frac{\partial u(x)}{\partial x_1} \cdot \frac{\partial v(x)}{\partial x_1} + \frac{\partial u(x)}{\partial x_2} \cdot \frac{\partial v(x)}{\partial x_2} \right] dx_1 dx_2 dx_3 $$

et

$$ (2.1.3) \qquad V \subset V_{12} \subset G_0, $$

les injections étant continues et chaque espace étant dense dans le suivant.
Nous désignons par $u = [u_1, u_2, u_3]$ le vecteur déplacement,
par $f = [f_1, f_2, f_3]$ une densité volumique de forces données.

Nous posons pour $u \in W, v \in W, f \in G$ :

$$
\text{(2.1.4)} \quad \left\{
\begin{aligned}
a(u,v) &= \int_{\Omega} \left\{ (\lambda + 2\mu) \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \frac{\partial v_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \frac{\partial v_3}{\partial x_3} \right) \right. \\
&\quad \left. + \lambda \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \frac{\partial v_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \frac{\partial v_3}{\partial x_3} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \frac{\partial v_3}{\partial x_3} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \right) \right. \\
&\quad \left. + \mu \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_3} + \frac{\partial u_3}{\partial x_1} \right) \left( \frac{\partial v_1}{\partial x_3} + \frac{\partial v_3}{\partial x_1} \right) + \mu \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \right) \left( \frac{\partial v_1}{\partial x_2} + \frac{\partial v_2}{\partial x_1} \right) \right. \\
&\quad \left. + \mu \left( \frac{\partial u_2}{\partial x_3} + \frac{\partial u_3}{\partial x_2} \right) \left( \frac{\partial v_2}{\partial x_3} + \frac{\partial v_3}{\partial x_2} \right) \right\} dx_1 dx_2 dx_3,
\end{aligned}
\right.
$$

$$
(2.1.5) \quad \ell(v) = \int_{\Omega} \left( f_1 v_1 + f_2 v_2 + f_3 v_3 \right) dx_1 dx_2 dx_3.
$$

Alors $a(u,v)$ est une forme bilinéaire symétrique continue sur $W \times W$, $\ell(v)$ est une forme linéaire continue sur $W$.

Remarque 2.1.1 :

Les coefficients $\lambda$ et $\mu$ qui figurent dans (2.1.4) sont les coefficients
de Lamé ; ils s'expriment en fonction du module de Young $E$ ($E>0$) et du
coefficient de Poisson $v$ $(-1 < v < \frac{1}{2})$ sous la forme :

$$
(2.1.6) \quad \lambda = \frac{E v}{(1+v) (1-2v)} , \quad \mu = \frac{E}{2 (1+v)} .
$$

<figure><img src="image_21.png" /></figure>
## 2.2. - LE PROBLEME EXACT

Problème 2.2.1 :

Pour $f \in G$, a donnée par (2.1.4), $\ell$ donnée par (2.1.5), trouver
u $\in W$ tel que :

$$ (2.2.1) \qquad a(u,v) = \ell(v) \quad \forall v \in W. $$

Théorème 2.2.1 : Le problème 2.2.1 admet une solution unique.

La démonstration de ce théorème se trouve dans DUVAUT-LIONS [1],
Chapitre 3.

Remarque 2.2.1 : L'adaptation de la remarque 1.2.1 au cas tri-dimensionnel est immédiate.

La forme $a(u,v)$ étant symétrique il est possible de donner une
formulation équivalente à celle du problème 2.2.1.

Problème 2.2.2 : (calcul des variations)

La fonction $u \in W$ est solution de (2.2.1) si et seulement si u réalise
le minimum dans W de :

$$ (2.2.2) \qquad E(v) = \frac{1}{2} a(v,v) - \ell(v). $$

En utilisant, au moins de manière formelle, la formule de Green, il est
possible d'interpréter le problème 2.2.1, ce qui conduit à la formulation
différentielle suivante :
### Problème 2.2.3 : (formulation différentielle)

Pour $f \in G$, trouver $u \in W$ tel que

$$ (2.2.3) \qquad (\lambda+2\mu) \frac{\partial^2 u_1}{\partial x_1^2} + \mu \frac{\partial^2 u_1}{\partial x_2^2} + \frac{\partial^2 u_1}{\partial x_3^2} + (\lambda+\mu) \frac{\partial^2 u_2}{\partial x_1 \partial x_2} + (\lambda+\mu) \frac{\partial^2 u_3}{\partial x_1 \partial x_3} = -f_1 $$

$$ (2.2.4) \qquad (\lambda+\mu) \frac{\partial^2 u_1}{\partial x_1 \partial x_2} + \mu \frac{\partial^2 u_2}{\partial x_1^2} + (\lambda+2\mu) \frac{\partial^2 u_2}{\partial x_2^2} + \frac{\partial^2 u_2}{\partial x_3^2} + (\lambda+\mu) \frac{\partial^2 u_3}{\partial x_2 \partial x_3} = -f_2 $$

$$ (2.2.5) \qquad (\lambda+\mu) \frac{\partial^2 u_1}{\partial x_1 \partial x_3} + (\lambda+\mu) \frac{\partial^2 u_2}{\partial x_2 \partial x_3} + \mu \frac{\partial^2 u_3^2}{\partial x_1^2} + \mu \frac{\partial^2 u_3}{\partial x_2^2} + (\lambda+2\mu) \frac{\partial^2 u_3}{\partial x_3^2} = -f_3 $$

$$ (2.2.6) \qquad u_{1/\Gamma} = 0, \quad u_{2/\Gamma} = 0, \quad u_{3/\Gamma} = 0. $$

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

Par analogie avec le lemme 1.2.1, on a pour tout $u_i \in H_o^1(\Omega)$ et tout $v_j \in H_o^1(\Omega)$ :

$$ (2.2.7) \qquad \int_{\Omega} \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \frac{\partial v_j}{\partial x_i} dx_1 dx_2 dx_3 = \int_{\Omega} \frac{\partial u_i}{\partial x_i} \frac{\partial v_j}{\partial x_j} dx_1 dx_2 dx_3, \quad i,j = 1,2,3. $$

En reportant les relations (2.2.7) dans (2.1.4) on obtient une nouvelle expression de $a(u,v)$ que nous notons $b(u,v)$ :

$$ (2.2.8) \qquad b(u,v) = \int_{\Omega} \left[ \sum_{i,j=1}^{3} \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \frac{\partial v_j}{\partial x_i} + (\lambda+\mu) \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \right) \left( \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{\partial v_2}{\partial x_2} + \frac{\partial v_3}{\partial x_3} \right) \right] dx_1 dx_2 dx_3 $$
Rappelons l'intérêt de cette forme bilinéaire $b(u,v)$ :

(i) $b(u,v) \equiv a(u,v) \quad \forall u \in [H_0^1(\Omega)]^3$ (en particulier pour u solution du problème 2.2.1) et $\forall v \in [H_0^1(\Omega)]^3$.

(ii) L'obtention des estimations "a priori" est plus aisée lorsqu'on décompose $b(u,v)$ au lieu de $a(u,v)$.

On obtient ainsi le problème 2.2.1 bis équivalent au problème 2.2.1 :

Problème 2.2.1 bis :

Pour $f \in G$, $b$ donnée par (2.2.8) et $l$ donnée par (2.1.5), trouver
$u \in W$ tel que :

$b(u,v) = l(v), \quad \forall v \in W.$

(2.2.9)

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

Remarque 2.2.2 : Les remarques 1.2.3 et 1.2.4 restent valables ici.

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

## 2.3. - DECOMPOSITION DU PROBLEME 2.2.1 bis PAR LA METHODE DES PAS FRACTIONNAIRES

Les hypothèses sur $N$, $\{\tau_n\}$ et $\sigma_n$ du paragraphe 1.3 sont inchangées :

$N$ est un entier $> 0$, appelé à tendre vers $+\infty$ ;

$\{\tau_n\}$ une suite finie de nombres réels positifs vérifiant :

$$ (2.3.1) \qquad 0 < \tau_{n+1}(N) \le \tau_n(N), \quad 0 \le n \le N-1; $$

$$ (2.3.2) \qquad \lim_{N \to +\infty} \tau_N(N) = 0 $$

$$ (2.3.3) \qquad \lim_{N \to +\infty} \sigma_N = +\infty \quad \text{avec } \sigma_N = \sum_{n=0}^{N} \tau_n(N). $$
On désigne par $f_i = f_{i12} + f_{i3}$ une décomposition arbitraire de $f_i$
en deux éléments de $G_o$ ($i = 1,2,3$) puis on construit une famille d'approximants
notés :

$$
u = \left( u_1^{n+\frac{i}{2}}, u_2^{n+\frac{i}{2}}, u_3^{n+\frac{i}{2}} \right), \quad i=1,2; \ n=0,\dots,N-1,
$$

en procédant comme suit :

(i) $u^0$ est arbitrairement choisi dans W ;

$$
n+\frac{1}{2}
$$

(ii) ensuite, lorsque $u^0, \dots, u^n$ sont connus on détermine $u_\epsilon$ puis $u_\epsilon$ comme suit (comparer avec (2.2.8)) :

lère étape : détermination de u
________
n+1/2

a) $(u_1^{n+\frac{1}{2}}, u_2^{n+\frac{1}{2}})$ est l'unique solution dans $V_{12} \times V_{12}$ de

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \left\{ \int_{\Omega} \frac{u_1^{n+\frac{1}{2}} - u_1}{\tau_n} v_1 + \frac{u_2^{n+\frac{1}{2}} - u_2}{\tau_n} v_2 + \left[ (\lambda+2\mu) \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \right. \right. \\
& \qquad \left. \left. + (\lambda+\mu) \left( \frac{\partial u_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \right) \right] \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right. \\
& \qquad \left. + \mu \left[ \frac{\partial u_1}{\partial x_2} \frac{\partial v_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \frac{\partial v_2}{\partial x_1} \right] \right. \\
& \qquad \left. + \left[ (\lambda+2\mu) \frac{\partial u_2}{\partial x_2} + (\lambda+\mu) \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_3^n}{\partial x_3} \right) \right] \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \right\} dx_1 dx_2 dx_3 \\
& = \int_{\Omega} (f_{112} v_1 + f_{212} v_2) dx_1 dx_2 dx_3, \quad \forall (v_1,v_2) \in (V_{12})^2
\end{aligned}
\tag{2.3.4}
\end{equation}
$$
b) $u_3$ est l'unique solution dans $V_{12}$ de :
$$ \int_{\Omega} \left\{ \frac{u_3 - u_3}{\tau_n^{n+\frac{1}{2}}} v_3 + \mu \left( \frac{\partial u_3}{\partial x_1} - \frac{\partial v_3}{\partial x_1} + \frac{\partial u_3}{\partial x_2} - \frac{\partial v_3}{\partial x_2} \right) \right\} dx_1 dx_2 dx_3 $$

$$ (2.3.5) \qquad \int_{\Omega} \left\{ \frac{u_3 - u_3}{\tau_n^{n+\frac{1}{2}}} v_3 + \mu \left( \frac{\partial u_3}{\partial x_1} - \frac{\partial v_3}{\partial x_1} + \frac{\partial u_3}{\partial x_2} - \frac{\partial v_3}{\partial x_2} \right) \right\} dx_1 dx_2 dx_3 = \int_{\Omega} f_{312} v_3 dx_1 dx_2 dx_3, \quad \forall v_3 \in V_{12}. $$
$$ \therefore \frac{n+1}{n} $$

2ème étape : détermination de $u$

a) $(u_1, u_2)$ est l'unique solution dans $V_3 \times V_3$ de :
$$ \int_{\Omega} \left\{ \frac{u_1 - u_1}{\tau_n^{n+\frac{1}{2}}} v_1 + \frac{u_2 - u_2}{\tau_n^{n+\frac{1}{2}}} v_2 + \mu \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_3} - \frac{\partial v_1}{\partial x_3} + \frac{\partial u_2}{\partial x_3} - \frac{\partial v_2}{\partial x_3} \right) \right\} dx_1 dx_2 dx_3 $$

$$ (2.3.6) \qquad \int_{\Omega} \left\{ \frac{u_1 - u_1}{\tau_n^{n+\frac{1}{2}}} v_1 + \frac{u_2 - u_2}{\tau_n^{n+\frac{1}{2}}} v_2 + \mu \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_3} - \frac{\partial v_1}{\partial x_3} + \frac{\partial u_2}{\partial x_3} - \frac{\partial v_2}{\partial x_3} \right) \right\} dx_1 dx_2 dx_3 = \int_{\Omega} (f_{13} v_1 + f_{23} v_2) dx_1 dx_2 dx_3, \forall (v_1,v_2) \in (V_3)^2, $$
b) $u_3$ est l'unique solution dans $V_3$ de :

$$ (2.3.7) \quad \left\{ \int_{\Omega} \left\{ \frac{u_3 - u_3^{n+\frac{1}{2}}}{\tau_n} v_3 + \left[ (\lambda+2\mu) \frac{\partial u_3}{\partial x_3} + (\lambda+\mu) \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right)^{n+\frac{1}{2}} \right] \frac{\partial v_3}{\partial x_3} \right\} dx_1 dx_2 dx_3 \right. \\ \qquad \left. = \int_{\Omega} f_{33} v_3^2 dx_1 dx_2 dx_3, \quad \forall v_3 \in V_3. \right. $$

**Théorème 2.3.1 :**

Les équations (2.3.4) à (2.3.7) admettent chacune une solution unique.

**Démonstration :**

L'équation (2.3.4) s'écrit par exemple :

$$ (2.3.8) \qquad A(u,v) = B(v) \quad \forall v \in V_{12} \times V_{12} $$

avec :

$$ u = (u_1, u_2), \qquad v = (v_1, v_2), $$

$$ A(u,v) = \int_{\Omega} \left\{ \frac{1}{\tau_n} (u_1 v_1 + u_2 v_2) + \mu \sum_{i,j=1}^{2} \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \frac{\partial v_j}{\partial x_i} + (\lambda+\mu) \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right) \left( \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \right) \right\} dx_1 dx_2 dx_3, $$
$$
\mathbf{B} (v) = \int_{\Omega} \left\{ \frac{1}{\tau_n} \binom{n}{u_1} \binom{n}{v_1} (u_1 v_1 + u_2 v_2) - (\lambda + \mu) \frac{\partial u_3^n}{\partial x_3} \left( \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \right) \right. \\
\left. \qquad + f_{112} v_1 + f_{212} v_2 \right\} dx_1 dx_2 dx_3.
$$

Il est alors immédiat que la forme bilinéaire A est continue et coercive
sur $V_{12} \times V_{12}$, que la forme linéaire B est continue sur $V_{12}$ ; ainsi, d'après
le théorème de Lax-Milgram, l'équation variationnelle (2.3.8) admet une solution
unique.

Il en est de même pour les équations (2.3.5) à (2.3.7)

Remarque 2.3.1. : Les remarques 1.3.1 et 1.3.2 s'adaptent immédiatement au cas tridimensionnel.

Remarque 2.3.2. : L'équation (2.3.4) doit être satisfaite pour tout $V_1 \in V_{12}$ et tout $V_2 \in V_{12}$. Elle équivaut au système des deux équations suivantes :

$$
(2.3.9) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \int_{\Omega} \left\{ \frac{u_1^{n+\frac{1}{2}} - u_1}{\tau_n} v_1 + \left[ (\lambda+2\mu) \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + (\lambda+\mu) \left( \frac{\partial u_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \right) \right] \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right. \\
& \qquad \left. + \mu \frac{\partial u_1}{\partial x_2} \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right\} dx_1 dx_2 dx_3 = \int_{\Omega} f_{112} v_1 dx_1 dx_2 dx_3.
\end{aligned}
\right.
$$

$$
(2.3.10) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \int_{\Omega} \left\{ \frac{u_2^{n+\frac{1}{2}} - u_2}{\tau_n} v_2 + \left[ (\lambda+2\mu) \frac{\partial u_2}{\partial x_2} + (\lambda+\mu) \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \right) \right] \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \right. \\
& \qquad \left. + \mu \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \frac{\partial v_2}{\partial x_1} \right\} dx_1 dx_2 dx_3 = \int_{\Omega} f_{212} v_2 dx_1 dx_2 dx_3.
\end{aligned}
\right.
$$
Il faut noter que ces équations (2.3.9) et (2.3.10) sont *couplées*. De la même façon, l'équation (2.3.6) équivaut à deux équations qui, cette fois-ci, sont *indépendantes* et peuvent donc être résolues séparément.

## 2.4. - ESTIMATIONS "A PRIORI"

Théorème 2.4.1 :

Pour tout entier positif N, toute suite {$\tau_n$} satisfaisant (2.3.1) à (2.3.3) il existe une constante C, indépendante de N et {$\tau_n$} telle que :

$$ (2.4.1) \qquad \left|\left| w_j^{\frac{N+1}{2}} \right|\right|_{V_{12}} \le C, \quad \left|\left| w_j \right|\right|_{V_3} \le C, \quad j=1,2,3, $$

$$ (2.4.2) \qquad \frac{1}{\sigma_N} \sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{3} \sum_{n=0}^{N} \left| u_j^{n+\frac{i}{2}} - u_j^{n+\frac{i-1}{2}} \right|^2 \le C, $$

avec :

$$ (2.4.3) \qquad W_j^{\frac{i}{2}} = \frac{1}{\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \tau_n u_j^{n+\frac{i}{2}}, \quad i=1,2; j=1,2,3. $$

Démonstration :

On utilise la technique de démonstration du théorème 1.4.1 et notamment, des identités du type (1.4.4) et (1.4.5).

Ecrivons (2.3.4) avec $v_1 = u_1^{\frac{1}{2}}$ et $v_2 = u_2^{\frac{1}{2}}$ ; grâce à (1.4.4) et (1.4.5), nous obtenons :
$$
\begin{equation} \tag{2.4.4}
\begin{aligned}
& \left| u_1^{n+\frac{1}{2}} \right|^2 + \left| u_1^{n+\frac{1}{2}} - u_1 \right|^2 + \left| u_2^{n+\frac{1}{2}} \right|^2 + \left| u_2^{n+\frac{1}{2}} - u_2 \right|^2 \\
& \qquad + 2\mu \tau_n \left\{ \left| \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \right|^{n+\frac{1}{2}} + \left| \frac{\partial u_1}{\partial x_2} \right|^{n+\frac{1}{2}} + \left| \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \right|^{n+\frac{1}{2}} + \left| \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right|^{n+\frac{1}{2}} \right\} \\
& \qquad + (\lambda+\mu) \tau_n \left\{ \left| \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \right|^{n+\frac{1}{2}} + \left| \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right|^{n+\frac{1}{2}} + \left| \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \right|^2 + \left| \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \right|^{n+\frac{1}{2}} + \left| \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right|^{n+\frac{1}{2}} \right\} \\
& = \left| u_1^n \right|^2 + \left| u_2^n \right|^2 + (\lambda+\mu) \tau_n \left| \frac{\partial u_3^n}{\partial x_3} \right|^2 + 2 \tau_n \left\{ (f_{112}, u_1^{n+\frac{1}{2}}) \right. \\
& \qquad \left. + (f_{212}, u_2^{n+\frac{1}{2}}) \right\}.
\end{aligned}
\end{equation}
$$

Par analogie, en faisant $v_3 = u_3^{n+\frac{1}{2}}$ dans (2.3.5), il vient :

$$
\begin{equation} \tag{2.4.5}
\begin{aligned}
& \left| u_3^{n+\frac{1}{2}} \right|^2 + \left| u_3^{n+\frac{1}{2}} - u_3^n \right|^2 + 2\mu \tau_n \left( \left| \frac{\partial u_3}{\partial x_1} \right|^{n+\frac{1}{2}} + \left| \frac{\partial u_3}{\partial x_2} \right|^{n+\frac{1}{2}} \right) \\
& = \left| u_3^n \right|^2 + 2 \tau_n (f_{312}^{n+\frac{1}{2}}).
\end{aligned}
\end{equation}
$$

Prenons ensuite $v_1 = u_1^{n+1}$, $v_2 = u_2^{n+1}$ dans (2.3.6) ; d'où :

$$
\begin{equation} \tag{2.4.6}
\begin{aligned
& \left| u_1^{n+1} \right|^2 + \left| u_1^{n+1} - u_1^{n+\frac{1}{2}} \right|^2 + \left| u_2^{n+1} \right|^2 + \left| u_2^{n+1} - u_2^{n+\frac{1}{2}} \right|^2 \\
& \qquad + 2\mu \tau_n \left\{ \left| \frac{\partial u_1}{\partial x_3} \right|^2 + \left| \frac{\partial u_2}{\partial x_3} \right|^2 \right\} \\
& = \left| u_1^{n+\frac{1}{2}} \right|^2 + \left| u_2^{n+\frac{1}{2}} \right|^2 + 2 \tau_n \left\{ (f_{13}^{n+1}, u_1^{n+1}) + (f_{23}^{n+1}, u_2^{n+1}) \right\}.
\end{aligned}
\end{equation}
$$
Enfin, si l'on fait $v_3 = u_3^{n+1}$ dans (2.3.7), il vient :

$$
\begin{align*}
& \left(2.4.7\right) \left\{
\begin{aligned}
& \left| u_3^{n+1} \right|^2 + \left| u_3^{n+1} - u_3^{n+\frac{1}{2}} \right|^2 + (\lambda+3\mu) \tau_n \left| \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \right|^{n+1} \\
& \qquad + (\lambda+\mu) \tau_n \left| \frac{\partial u_1}{\partial x_1}^{n+\frac{1}{2}} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2}^{n+\frac{1}{2}} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3}^{n+1} \right|^2 \\
& = \left| u_3^{n+\frac{1}{2}} \right|^2 + (\lambda+\mu) \tau_n \left| \frac{\partial u_1}{\partial x_1}^{n+\frac{1}{2}} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2}^{n+\frac{1}{2}} \right|^2 + 2 \tau_n (f_{33}, u_3^{n+1}) .
\end{aligned}
\right\}
\end{align*}
$$

Ajoutons alors les équations (2.4.4) à (2.4.7), on obtient :

$$
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
& \left(2.4.8\right) \left\{
\begin{aligned}[t]
& 3 \left| u_i^{n+1} \right|^2 + \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{2} \left| u_i^{n+\frac{j}{2}} - u_i^{n+\frac{j-1}{2}} \right|^2 \\
& + 2\mu \tau_n \left\{ \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{2} \left| \frac{\partial u_i}{\partial x_j}^{n+\frac{1}{2}} \right|^2 + \sum_{i=1}^{3} \left| \frac{\partial u_i}{\partial x_3}^{n+1} \right|^2 \right\} \\
& + (\lambda+\mu) \left\{ (\tau_n - \tau_{n+1}) \left| \frac{\partial u_3}{\partial x_3}^{n+1} \right|^2 + \tau_{n+1} \left| \frac{\partial u_3}{\partial x_3}^{n+1} \right|^2 - \tau_n \left| \frac{\partial u_3^n}{\partial x_3} \right|^2 \right\} \\
& + (\lambda+\mu) \tau_n \sum_{i=0}^{1} \left| \frac{\partial u_1}{\partial x_1}^{n+\frac{1}{2}} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2}^{n+\frac{1}{2}} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3}^{n+i} \right|^2 \\
& = \sum_{i=1}^{3} \left| u_i^n \right|^2 + 2 \tau_n \sum_{i=1}^{3} \left\{ (f_{i12}, u_i^{n+\frac{1}{2}}) + (f_{i3}, u_i^{n+1}) \right\} .
\end{aligned}
\right.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
$$
Sommons cette dernière équation pour n=0,...,N ; moyennant (2.4.3) et les inégalités de convexité

$$
(2.4.9) \quad \left| W_i^{\frac{N+j}{2}} \right|^2 \le \frac{1}{\sigma_N^2} \sum_{n=0}^{N} \tau_n \left| u_i^{\frac{n+j}{2}} \right|^2, \quad i=1,2,3; \ j=1,2,
$$

il vient en particulier, après division par σ_N et grâce à (2.3.1) :

$$
\begin{equation} \tag{2.4.10}
\left\{
\begin{aligned}
& \left( \frac{1}{\sigma_N} \sum_{i=1}^3 |u_i^{N+1}|^2 + \frac{1}{\sigma_N} \sum_{n=0}^N \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 |u_i^{n+\frac{j}{2}} - u_i^{n+\frac{j-1}{2}}| \right)^2 \\
& \qquad + 2\mu \sum_{i=1}^3 \left\{ \sum_{j=1}^3 \left| \frac{\partial W_i^j}{\partial x_j} \right|^2 + \left| \frac{\partial W_i^j}{\partial x_3} \right|^2 \right\} \\
& \le \frac{1}{\sigma_N} \sum_{i=1}^3 |u_i^0|^2 + (\lambda+\mu) \frac{\tau_0}{\sigma_N} \left| \frac{\partial u_3^0}{\partial x_3} \right|^2 \\
& \qquad + 2 \sum_{i=1}^3 \left\{ (f_{i12}^0, W_i^0) + (f_{i31}^0, W_i^0) \right\}.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
$$

On utilise alors des inégalités du type (1.4.16), ce qui conduit à ;

$$
\[
(2.4.11) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \left( \frac{1}{\sigma_N} \sum_{i=1}^3 |u_i^{N+1}|^2 + \frac{1}{\sigma_N} \sum_{n=0}^N \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \left| u_i^{n+\frac{j}{3}} - u_i^{n+\frac{j-1}{3}} \right| \right)^2 \\
& \quad + \mu \sum_{i=1}^3 \left\{ \sum_{j=1}^2 \left| \frac{\partial W_i^j}{\partial x_j} \right|^2 + \left| \frac{\partial W_i^j}{\partial x_3} \right|^2 \right\} \\
& \quad \le \frac{1}{\sigma_N} \sum_{i=1}^3 |u_i^0|^2 \\
& \quad + (\lambda+\mu) \frac{\tau_0}{\sigma_N} \left| \frac{\partial u_3^0}{\partial x_3} \right|^2 + \frac{1}{\mu} \sum_{i=1}^3 (\alpha_1^2 |f_{i12}|^2 + \alpha_3^2 |f_{i31}|^2),
\end{aligned}
\right.
\]
$$
d'où immédiatement (2.4.2) grâce à (2.3.3). Les inégalités (2.4.1) sont ensuite obtenues avec (1.4.14) (1'extension au cas n=3 ne pose pas de problèmes) et (2.4.11).

**Remarque 2.4.1** : La remarque 1.4.1, établissant que la condition (1.3.1) de décroissance de la suite {$\tau_n$} n'est pas nécessaire, reste valable dans le cas tri-dimensionnel.

## 2.5. - THEOREME DE CONVERGENCE

**Théorème 2.5.1** :

Si $N \to +\infty$, si (2.3.1) à (2.3.3) sont vérifiées et si $u = (u_1, u_2)$ désigne la solution des problèmes 1.2.1 et 1.2.1 bis, alors :

$$ (2.5.1) \qquad W_i^{N+\frac{1}{2}} \to u_i \text{ dans } V_{12} \text{ fort,} \quad i=1,2,3, $$

$$ (2.5.2) \qquad W_i^{N+1} \to u_i \text{ dans } V_3 \text{ fort,} \quad i=1,2,3. $$

**Démonstration** :

(i) Conséquence de la reflexivité des espaces $V_{12}$ et $V_3$ :

Les espaces $V_{12}$ et $V_3$ sont de Hilbert, donc réflexifs. Des inégalités (2.4.1) on déduit l'existence d'une sous-suite $N'$ de $N$ tendant vers l'infini et de six fonctions $\psi_j^{(12)} \in V_{12}$, $\psi_j^{(3)} \in V_3$, $j=1,2,3$, telles que :

$$ (2.5.3) \qquad W_j^{N'+\frac{1}{2}} \to \psi_j^{(12)} \text{ dans } V_{12} \text{ faible,} $$

$$ (2.5.4) \qquad W_j^{N'+1} \to \psi_j^{(3)} \text{ dans } V_3 \text{ faible,} $$

lorsque $N' \to +\infty$.
$$
\text{(ii)} \quad \underset{\psi_j}{\psi_j} = \underset{\psi_j}{\psi_j} = \underset{\psi_j}{\psi_j} \in V : \qquad \text{(3)}
$$

Il suffit de transposer ici le raisonnement effectué au point (ii)
de la démonstration du théorème 1.5.1.

$$
\begin{flalign*}
& \text{(iii)} \quad \psi_j = u_j, \quad j=1,2,3 \quad \text{où} \quad u = (u_1,u_2,u_3) \quad \text{désigne la solution} & \\
& \text{des problèmes 2.2.1 et 2.2.1 bis :} &
\end{flalign*}
$$

Les équations (2.3.4) à (2.3.7) doivent être en particulier vérifiées
pour tout $v_1 \in V$, $v_2 \in V$, $v_3 \in V$ ; on les multiplie par $\frac{\tau_n}{\sigma_{N'}}$ puis on les
ajoute pour $n=0,\dots,N'$ ; alors avec (2.4.3), on obtient :

$$
\begin{align*}
& \left\{ \frac{1}{\sigma_{N'}} \int_{\Omega} \left\{ \sum_{j=1}^{3} (u_j^{N'} - u_j) v_j \right\} dx_1 dx_2 dx_3 \right. \\
& \qquad + \int_{\Omega} \left\{ \mu \sum_{i=1}^{3} \left[ \sum_{j=1}^{2} \frac{\partial w_i}{\partial x_j} \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial w_i}{\partial x_3} \frac{\partial v_i}{\partial x_3} \right] \right. \\
& \qquad \left. + (\lambda+\mu) \left( \frac{\partial w_1}{\partial x_1} + \frac{\partial w_2}{\partial x_2} + \frac{\partial w_3}{\partial x_3} \right) \left( \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \right) \right. \\
& \qquad \left. + (\lambda+\mu) \left( \frac{\partial w_1}{\partial x_1} + \frac{\partial w_2}{\partial x_2} + \frac{\partial w_3}{\partial x_3} \right) \left( \frac{\partial v_3}{\partial x_3} \right) \right\} dx_1 dx_2 dx_3 \\
& \qquad \left. = \int_{\Omega} (f_1 v_1 + f_2 v_2 + f_3 v_3) dx_1 dx_2 dx_3, \quad \forall v \in W. \right\}
\end{align*}
$$
Par analogie avec (1.5.12), on montre que :

$$
(2.5.6) \quad \lim_{N' \to +\infty} \frac{1}{\sigma_{N'}} \int_{\Omega} \left\{ \sum_{j=1}^{3} \left( u_j^{N'+1} - u_j \right) v_j \right\} dx_1 dx_2 dx_3 = 0.
$$

Lorsque $N' \to +\infty$, il vient alors, grâce à (2.5.6) (2.2.8) (2.1.5) (2.5.3)
(2.5.4) et ii,

$$
(2.5.7) \quad b(\psi,v) = l(v), \quad \forall v \in W,
$$

où $\psi = (\psi_1, \psi_2, \psi_3)$. Ainsi $\psi$ est la solution unique du problème 2.2.1 bis, donc aussi du problème 2.2.1, d'où :

$$
(2.5.8) \quad \psi = u.
$$

Les limites $u_1$, $u_2$, $u_3$ sont indépendantes des suites extraites ; c'est
donc la suite toute entière $W_j^{N+1/2}$ (resp. $W_j^{N+1}$) qui tend faiblement vers $u_j$
dans $V_{12}$ (resp. $V_3$), $j=1,2,3$.

(iv) Résultats de convergence forte :

C'est un raisonnement semblable à celui qui a été fait au point iv)
de la démonstration du théorème 1.5.1.

Nous n'indiquerons que l'expression X à considérer :
$$
\[
(2.5.9) \quad \left\{
\begin{aligned}
X = \frac{1}{2\sigma_N} & \sum_{i=1}^{3} \left| u_i \right|^2 + \frac{1}{2\sigma_N} \sum_{\substack{N \\ n=0}}^{N} \sum_{\substack{3 \\ i=1}}^{2} \sum_{\substack{2 \\ j=1}}^{2} u_i^{n+\frac{j}{2}} u_j^{n+\frac{j-1}{2}} \\
& \qquad + \frac{\mu}{\sigma_N} \sum_{\substack{N \\ n=0}}^{N} \tau_n \left\{ \sum_{\substack{3 \\ i=1}}^{2} \sum_{\substack{2 \\ j=1}}^{2} \left| \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \right|^{n+\frac{1}{2}} - \left| \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right|^{n+\frac{1}{2}} + \sum_{\substack{3 \\ i=1}}^{2} \left| \frac{\partial u_i}{\partial x_3} \right|^{n+1} - \left| \frac{\partial u_j}{\partial x_3} \right|^{n+1} \right\} \\
& \qquad + \frac{\lambda+\mu}{2\sigma_N} \sum_{\substack{N \\ n=0}}^{N} (\tau_n - \tau_{n+1}) \left| \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \right|^{n+1} + \frac{\lambda+\mu}{2\sigma_N} \tau_{N+1} \left| \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \right|^{N+1} \\
& \qquad + \frac{\lambda+\mu}{2\sigma_N} \sum_{\substack{N \\ n=0}}^{N} \left( \tau_n \sum_{\substack{1 \\ i=0}}^{n+\frac{1}{2}} \left| \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \right| + \sum_{\substack{2 \\ i=0}}^{n+\frac{1}{2}} \left| \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right| + \sum_{\substack{3 \\ i=0}}^{n+i} \left| \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \right| - \sum_{\substack{1 \\ i=0}}^{n+i} \left| \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \right| - \sum_{\substack{2 \\ i=0}}^{n+i} \left| \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right| - \sum_{\substack{3 \\ i=0}}^{n+i} \left| \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \right| \right\}
\end{aligned}
\right.
\quad \blacksquare
\]
$$

Remarque 2.5.1 : Les remarques 1.5.1 et 1.5.2 se transposent immédiatement
au cas tridimensionnel.

2.6. - DECOMPOSITION "DIRECTE" DU PROBLEME 2.2.1 :

Pour les raisons indiquées au paragraphe 1.6., il est intéressant
d'envisager la décomposition "directe" du problème 2.2.1. On procède par
analogie avec le paragraphe 1.6, la seule difficulté nouvelle étant l'obtention
des estimations "a priori".

Le problème "pseudo-régularisé" P<sub>ε</sub> :

Soit $\epsilon$ un nombre réel > 0, destiné à tendre vers 0 et tel que :

$$
(2.6.1) \quad 0 < \epsilon < \frac{\mu}{2} .
$$

Le problème P<sub>ε</sub> est alors défini comme suit :
### Problème P<sub>ε</sub> :

Pour tout ε vérifiant (2.6.1), pour tout f ∈ G donnés, trouver une fonction u<sub>ε</sub> : x → u<sub>ε</sub>(x) telle que :

$$
(2.6.2) \quad a_{\epsilon}(u_{\epsilon}, v) = \ell(v) \quad \forall v \in W,
$$

où $a_{\epsilon}(u,v)$ est donné par (2.6.3) et $\ell(v)$ par (2.1.5);

$$
(2.6.3) \quad a_{\epsilon}(u,v) = a(u,v) - \epsilon \sum_{\substack{i,j=1 \\ i \neq j}}^{3} \int_{\Omega} \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \frac{\partial v_j}{\partial x_i} dx_1 dx_2 dx_3.
$$

Théorème 2.6.1 :

Pour tout ε vérifiant (2.6.1), le problème P<sub>ε</sub> admet une solution unique.

Démonstration :

Tout d'abord, $a_{\epsilon}(u,v)$ est une forme bilinéaire symétrique continue sur $W \times W$ et $\ell(v)$ une forme linéaire continue sur $W$. On vérifie ensuite que pour tout $\epsilon$ vérifiant (2.6.1) et pour tout $v \in W$ il vient avec l'inégalité de Korn :

$$
(2.6.4) \quad a_{\epsilon}(v,v) \ge \frac{1}{2} a(v,v) \ge \beta ||v||^2_W,
$$

où $\beta$ est une constante indépendante de $\epsilon$. On conclue alors avec le lemme de Lax-Milgram.

<figure><img src="image_25.png" /></figure>
Par analogie avec le théorème 1.6.2, on obtient :

Théorème 2.6.2 :

Lorsque $\epsilon \to 0$, $u_\epsilon$ tend vers la solution $u$ du problème $P_\epsilon$ dans $W$ fort.

Remarque 2.6.1. : Les remarques 1.6.1 et 1.6.2 sont valables ici.

Décomposition du problème $P_\epsilon$ :

Les hypothèses sont celles du paragraphe 2.3. Le passage de $u_\epsilon$ à $u_\epsilon$ s'effectue de la façon suivante (comparer avec (2.3.4) à (2.3.7)).

$$n+\frac{1}{2}$$

lère étape : détermination de $u_\epsilon$

a) $\left( u_{1,\epsilon}^{n+\frac{1}{2}} ; u_{2,\epsilon}^{n+\frac{1}{2}} \right)$ est l'unique solution dans $V_{12} \times V_{12}$ de :

$$ (2.6.5) \left\{ \begin{aligned} & \int_{\Omega} \left\{ \frac{u_{1,\epsilon}^{n+\frac{1}{2}} - u_{1,\epsilon}}{\tau_n} v_1 + \frac{u_{2,\epsilon}^{n+\frac{1}{2}} - u_{2,\epsilon}}{\tau_n} v_2 + \left[ (\lambda+2\mu) \frac{\partial u_{1,\epsilon}}{\partial x_1} + \lambda \left( \frac{\partial u_{2,\epsilon}}{\partial x_2} + \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_3} \right) \right] \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right. \\ & \qquad \left. + \mu \left( \frac{\partial u_{1,\epsilon}}{\partial x_2} \cdot \frac{\partial v_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_{2,\epsilon}}{\partial x_1} \frac{\partial v_2}{\partial x_1} \right) + (\mu-\epsilon) \left( \frac{\partial u_{1,\epsilon}}{\partial x_2} \frac{\partial v_2}{\partial x_1} + \frac{\partial u_{2,\epsilon}}{\partial x_1} \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right) \right. \\ & \qquad \left. + \left[ (\lambda+2\mu) \frac{\partial u_{2,\epsilon}}{\partial x_2} + \lambda \left( \frac{\partial u_{1,\epsilon}}{\partial x_1} + \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_3} \right) \right] \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \right\} dx_1 dx_2 dx_3 \\ & = \int_{\Omega} (f_{112} v_1 + f_{212} v_2) dx_1 dx_2 dx_3, \quad \forall (v_1,v_2) \in (V_{12})^2. \end{aligned} \right. $$
b) $u_{3,\epsilon}^{n+\frac{1}{2}}$ est l'unique solution dans $V_{12}$ de :
---

$$
\begin{equation} \tag{2.6.6}
\begin{aligned}
& \left\{
  \begin{aligned}
  & \int_{\Omega} \left\{
    \begin{array}{@{}l@{}}
      \displaystyle \frac{n+\frac{1}{2}}{\tau_n} u_{3,\epsilon} - \frac{n}{\tau_n} u_{3,\epsilon} v_3 \\
      \displaystyle \quad + \mu \left( \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_1} \frac{\partial v_3}{\partial x_1} + \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_2} \frac{\partial v_3}{\partial x_2} \right)
    \end{array}
  \right\} \\
  && \qquad + (\mu-\epsilon) \left( \frac{\partial u_{1,\epsilon}}{\partial x_3} \frac{\partial v_3}{\partial x_1} + \frac{\partial u_{2,\epsilon}}{\partial x_3} \frac{\partial v_3}{\partial x_2} \right) \Bigg\}
  \begin{array}{@{}l@{}}
    \displaystyle \int_1^n dx_1 \, dx_2 \, dx_3 \\
    \qquad \text{pour tout } v_3 \in V_{12}^n
  \end{array}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
$$

2ème étape : détermination de $u_\epsilon$ :
---
$n+1$

a) $(u_{1,\epsilon}^{n+1}, u_{2,\epsilon}^{n+1})$ est l'unique solution dans $V_3 \times V_3$ de :
---

$$
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
& \int_{\Omega} \left\{ \begin{array}{@{}l@{}}
    \displaystyle \frac{n+1}{\tau_n} u_{1,\epsilon} - \frac{n+1}{\tau_n} u_{1,\epsilon} v_1 \\
    \displaystyle \quad + \frac{n+1}{\tau_n} u_{2,\epsilon} - \frac{n+1}{\tau_n} u_{2,\epsilon} v_2 \\
    \displaystyle \quad + \mu \left( \frac{\partial u_{1,\epsilon}}{\partial x_3} \frac{\partial v_1}{\partial x_3} + \frac{\partial u_{2,\epsilon}}{\partial x_3} \frac{\partial v_2}{\partial x_3} \right) \\
    \displaystyle \quad + (\mu-\epsilon) \left( \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_1} \frac{\partial v_1}{\partial x_3} + \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_2} \frac{\partial v_2}{\partial x_3} \right)
  \end{array} \right\} dx_1 dx_2 dx_3 \\
& = \int_{\Omega} (f_{13} v_1 + f_{23} v_2) dx_1 dx_2 dx_3 \\
& \qquad \text{pour tout } (v_1,v_2) \in V_3 \times V_3.
\end{aligned}
\right.
\tag{2.6.7}
\end{equation}
$$
b) $u_{3,\epsilon}^{n+1}$ est l'unique solution dans $V_3$ de :

$$ (2.6.8) \quad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\int_{\Omega} \left\{ \frac{u_{3,\epsilon}^{n+1} - u_{3,\epsilon}}{\tau_n} v_3 + \left[ (\lambda+2\mu) \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_3} + \lambda \left( \frac{\partial u_{1,\epsilon}}{\partial x_1} + \frac{\partial u_{2,\epsilon}}{\partial x_2} \right) \right] \frac{\partial v_3}{\partial x_3} \right\} dx_1 dx_2 dx_3 \\[2ex] \qquad = \int_{\Omega} f_{33} v_3 dx_1 dx_2 dx_3 \quad \text{pour tout } v_3 \in V_3. \end{array} \right. $$

**Théorème 2.6.3 :**

Les équations (2.6.5) à (2.6.8) admettent chacune une solution unique.

**Démonstration** : On se reportera à la démonstration du théorème 2.3.1 qui est en tous points analogue.

**Remarque 2.6.2** : On peut faire ici des remarques analogues aux remarques 2.3.1 et 2.3.2.

Il vient alors le théorème 2.6.4 qui donne des estimations "a priori" analogues à celles du théorème 2.4.1, le seul point nouveau étant la restriction sur $v$.

**Théorème 2.6.4**

Pour tout $v \in ]-1, \frac{3}{7}]$, pour tout $N$ entier positif, pour toute suite $\{\tau_n\}$ vérifiant les hypothèses (2.3.1) à (2.3.3), tout $\epsilon$ satisfaisant (2.6.1), il existe une constante $C$ indépendante de $N$ et de $\{\tau_n\}$ telle que :
$$
(2.6.9) \quad \left| \left| W_{j,\epsilon} \right| \right|_{V_{12}} \le C, \quad \left| \left| W_{j,\epsilon} \right| \right|_{V_3} \le C, \quad j=1,2,3,
$$

$$
(2.6.10) \quad \frac{1}{\sigma_N} \begin{array}{cccc} \Sigma & 2 & 3 & N \\ i=1 & \qquad \qquad \qquad \quad j=1 & \qquad \qquad \quad n=0 \end{array} \left| \begin{array}{c} n + \frac{i}{2} \\ u_{j,\epsilon} \\ \vdots \\ n + \frac{i-1}{2} \\ u_{j,\epsilon} \end{array} \right|^2 \le C,
$$

avec :

$$
(2.6.11) \quad W_{j,\epsilon}^{N+\frac{i}{2}} = \frac{1}{\sigma_N} \sum_{n=0}^{N} \tau_n u_{j,\epsilon}^{n+\frac{i}{2}}, \quad i=1,2 \quad j=1,2,3.
$$

Démonstration :

En procédant comme au paragraphe 2.4 et en utilisant des identités
du type (1.4.4) (1.4.5), on obtient l'égalité d'énergie suivante :

$$
\begin{equation} \tag{2.6.12}
\begin{aligned}
& \left( \sum_{i=1}^{3} \left| u_{i,\epsilon}^{n+1} \right|^2 + \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{2} \left| u_{i,\epsilon}^{n+\frac{j}{2}} - u_{i,\epsilon}^{n+\frac{j-1}{2}} \right|^2 + 2\lambda \tau_n \left\{ \left| \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_3} \right|^2 - \left| \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_3} \right|^2 \right\} \right. \\
& \qquad \left. + (\mu-\epsilon) \tau_n \sum_{i=1}^{2} \left\{ \left| \frac{\partial u_{i,\epsilon}}{\partial x_3} \right|^2 - \left| \frac{\partial u_{i,\epsilon}}{\partial x_3} \right|^2 \right\} + 2 (2\mu-\lambda) \tau_n \sum_{i=1}^{2} \left| \frac{\partial u_{i,\epsilon}}{\partial x_i} \right|^2 + \left| \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_3} \right|^2 \right\} \\
& + 2\epsilon \tau_n \left\{ \sum_{i=1}^{2} \left( \left| \frac{\partial u_{i,\epsilon}}{\partial x_3} \right|^2 + \left| \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_i} \right|^2 \right) + \left| \frac{\partial u_{1,\epsilon}}{\partial x_2} \right|^2 + \left| \frac{\partial u_{2,\epsilon}}{\partial x_1} \right|^2 \right\} \\
& + \lambda \tau_n \left\{ 2 \left| \frac{\partial u_{1,\epsilon}}{\partial x_1} \right|^2 + \left| \frac{\partial u_{2,\epsilon}}{\partial x_2} \right|^2 + \sum_{i,j=1}^{2} \left| \frac{\partial u_{i,\epsilon}}{\partial x_i} + \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_3} \right|^2 \right\} \\
& + (\mu-\epsilon) \tau_n \left\{ 2 \left| \frac{\partial u_{1,\epsilon}}{\partial x_2} \right|^2 + \left| \frac{\partial u_{2,\epsilon}}{\partial x_1} \right|^2 + \sum_{i,j=1}^{2} \left| \frac{\partial u_{i,\epsilon}}{\partial x_i} + \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_3} \right|^2 \right\}
\end{aligned}
\end{equation}
$$
$$ = \sum_{i=1}^{3} \left| \begin{array}{c} n \\ u_{i,\epsilon} \end{array} \right|^2 + 2 \tau_n \sum_{i=1}^{3} \left\{ \begin{array}{l} (f_{i|2}, u_{i,\epsilon})^{n+\frac{1}{2}} + (f_{i|3}, u_{i,\epsilon})^{n+1} \end{array} \right\}. $$

La sommation des égalités (2.6.12) pour $n=0,...,N$ conduirait à une équation du type (2.4.10). Mais une difficulté nouvelle apparaît : la quantité $2\mu-\lambda$, en facteur au premier membre, n'est strictement positive que pour $-1 < \nu < \frac{1}{3}$ (Cf. (2.1.6)). La plupart des matériaux ont un coefficient de Poisson inférieur à $\frac{1}{3}$ (Cf. HUTTE [1], TIMOSHENKO [1]); cependant, les alliages de cuivre ont un coefficient de Poisson variant entre 0,34 et 0,37 (HUTTE [1] page 1099) et il s'avère souhaitable d'élargir quelque peu l'intervalle de variation de $\nu$. Par une procédure purement algébrique, nous allons donner une autre forme à l'équation (2.6.12) : la partie de cette équation contenant les trois facteurs de $2\mu-\lambda$ peut par exemple s'écrire :

$$ (2.6.13) \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle 2(2\mu-\lambda) \tau_n \left\{ \left| \frac{\partial u_{1,\epsilon}}{\partial x_1} \right|^{n+\frac{1}{2}} + \left| \frac{\partial u_{2,\epsilon}}{\partial x_2} \right|^{n+\frac{1}{2}} + \left| \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_3} \right|^{n+1} \right\} + 2\lambda \tau_n \left\{ \left| \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_3} \right|^{n+1} - \left| \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_3} \right|^{n} \right\} & \\
\displaystyle + \lambda \tau_n \left\{ 2 \left| \frac{\partial u_{1,\epsilon}}{\partial x_1} \right|^{n+\frac{1}{2}} + \left| \frac{\partial u_{2,\epsilon}}{\partial x_2} \right|^{n+\frac{1}{2}} + \sum_{i,j=1}^{2} \left| \frac{\partial u_{i,\epsilon}}{\partial x_i} + \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_3} \right|^{n+j-1} \right\} & \\
\displaystyle + 4\mu \tau_n \left\{ \left| \frac{\partial u_{1,\epsilon}}{\partial x_1} \right|^{n+\frac{1}{2}} + \left| \frac{\partial u_{2,\epsilon}}{\partial x_2} \right|^{n+\frac{1}{2}} \left\{ + (4\mu - \frac{2\lambda}{3}) \tau_n \left| \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_3} \right|^{n+1} \right\} & \\
\displaystyle + \frac{2\lambda}{3} \tau_n \left\{ \left| \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_3} \right|^{n+1} - \left| \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_3} \right|^{n} \right\} + \frac{3\lambda}{2} \tau_n \left| \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_3} - \frac{1}{3} \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_3} \right|^{n} & \\
\displaystyle + 2\lambda \tau_n \left| \frac{\partial u_{1,\epsilon}}{\partial x_1} \right|^{n+\frac{1}{2}} + \frac{\partial u_{2,\epsilon}}{\partial x_2} + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_3} + \frac{\partial u_{3,\epsilon}}{\partial x_3} \right)^2 &
\end{array}
\right\} $$
Au second membre apparaît maintenant le terme $4\mu - \frac{2\lambda}{3}$ qui est strictement positif dès que :

$$ (2.6.14) \quad 4\mu - \frac{2\lambda}{3} > 0 \Rightarrow -1 < \nu < \frac{3}{7} \quad (\approx 0,428). $$

Ce nouvel intervalle de variation pour le coefficient de Poisson permet alors de prendre en considération la quasi-totalité des matériaux dont la loi de comportement est l'élasticité linéaire. Nous supposerons désormais que $\nu$ vérifie (2.6.14).

Reportons maintenant l'identité (2.6.13) dans (2.6.12) puis sommons la nouvelle équation $n=0,...,N$. Moyennant (2.6.11) et les inégalités de convexité.

$$ \left| W_{j,\varepsilon}^{N+\frac{i}{2}} \right|^2 < \frac{1}{\sigma_N^N} \sum_{n=0}^N \tau_n \left| u_{j,\varepsilon}^{N+\frac{i}{2}} \right|^2, \quad i=1,2; j=1,2,3, $$

ilvient en particulier, après division par $\sigma_N$, grâce à (2.3.1) :

$$ (2.6.15) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{1}{\sigma_N} \sum_{i=1}^3 \left| u_{i,\varepsilon}^{N+1} \right|^2 + \frac{1}{\sigma_N} \sum_{n=0}^N \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^3 \left| u_{j,\varepsilon}^{N+\frac{i}{2}} - u_{j,\varepsilon} \right|^2 & \\
\displaystyle + 4\mu \sum_{i=1}^2 \left| \frac{\partial W_{1,\varepsilon}}{\partial x_i} \right|^2 + (4\mu - \frac{2\lambda}{3}) \left| \frac{\partial W_3,\varepsilon}{\partial x_3} \right|^2 & \\
\displaystyle + 2\varepsilon \left\{ \left| \frac{\partial W_{1,\varepsilon}}{\partial x_2} \right|^2 + \left| \frac{\partial W_{2,\varepsilon}}{\partial x_1} \right|^2 + \sum_{i=1}^2 \left( \left| \frac{\partial W_{i,\varepsilon}}{\partial x_3} \right|^2 + \left| \frac{\partial W_3,\varepsilon}{\partial x_i} \right|^2 \right) \right\} & \\
\displaystyle \le \frac{1}{\sigma_N} \sum_{i=1}^3 |u_{i,\varepsilon}^o|^2 + \frac{(\mu-\varepsilon) \tau_o}{\sigma_N} \sum_{i=1}^2 \left| \frac{\partial u_{i,\varepsilon}^o}{\partial x_3} \right|^2 + \frac{2\lambda \tau_o}{3\sigma_N} \left| \frac{\partial u_{3,\varepsilon}^o}{\partial x_3} \right|^2 & \\
\displaystyle + 2 \sum_{j=1}^3 \left\{ \left(f_{j12}, W_{j,\varepsilon}^{N+\frac{1}{2}}\right) + \left(f_{j3}, W_{j,\varepsilon}^{N+1}\right) \right\} . &
\end{array}
\right. $$

La suite de la démonstration est alors analogue à celle du théorème 1.6.4.

<figure><img src="image_26.png" /></figure>
Remarque 2.6.3 : La remarque 1.6.4 reste valable ici.

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

Des estimations "a priori" (2.6.9) et (2.6.10), on déduit par une
démonstration en tous points semblable à celle du théorème 2.5.1, le premier
théorème de convergence :

Théorème 2.6.5 :

Si $N \to +\infty$, si $-1 < v < \frac{3}{7}$, si les hypothèses (2.3.1) à (2.3.3) sont
satisfaites, si $u_{\varepsilon} = (u_{1,\varepsilon}, u_{2,\varepsilon}, u_{3,\varepsilon})$ désigne la solution du problème $P_{\varepsilon}$,
alors :

$$
W_{j,\epsilon} \to^{N+\frac{1}{2}} u_{j,\epsilon} \quad \text{dans } V_{12} \text{ fort, } \quad j=1,2,3,
$$

$$
W_{j, \epsilon} \rightarrow^{N+1} u_{j, \epsilon} \quad \text{dans } V_3 \text{ fort,} \quad j=1,2,3.
$$

En rassemblant les résultats des théorèmes 2.6.2 et 2.6.5, on obtient :

Théorème 2.6.6 :

Si $N \to +\infty$, si $\epsilon \to 0$, si $-1 < v < \frac{3}{7}$ et si les hypothèses (2.3.1) à (2.3.3) sont satisfaites, alors :

$$
W_{j, \epsilon} \rightarrow^{N+\frac{1}{2}} u_j \quad \text{dans } V_{12} \text{ fort,} \quad j=1,2,3,
$$

$$
W_{j, \epsilon} \rightarrow^{N+1} u_j \quad \text{dans } V_3 \text{ fort,} \quad j=1,2,3,
$$

$N+\frac{i}{2}$
où $W_{j,\epsilon}$ est donné par (2.6.11) et où $u = (u_1,u_2,u_3)$ désigne la
solution du problème 2.2.1.

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

Remarque 2.6.4 : La remarque 1.6.5 est encore valable ici.

<figure><img src="image_29.png" /></figure>
### 3. - DECOMPOSITION D'UN PROBLEME D'ELASTICITE
BI-DIMENSIONNEL, EVOLUTIF

#### 3.1. - HYPOTHESES ET NOTATIONS

Nous reprenons les hypothèses du paragraphe 1.1 en modifiant seulement les données et nous utilisons les résultats suivants :

(i) Si $X$ est un espace de Banach, $1 \le p < +\infty$, si $a$ et $b$ sont deux nombres réels $(a<b)$, alors $L^p (a,b,X)$ désigne l'espace des (classes de) fonctions de puissance $p$ ième sommable sur $[a,b]$ à valeurs dans $X$, avec la norme usuelle

$$ (3.1.1) \quad \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \int_a^b \left|\left| f(t) \right|\right|^p dt & \quad \text{si } 1 \le p < +\infty, \\ \\ \displaystyle \left|\left| f \right|\right| = \text{ess. sup.} \left\{ \left|\left| f(t) \right|\right| \right\}_{X^*} , \quad t \in [a,b] & \quad \text{si } p = +\infty. \end{array} \right. $$

(ii) Si $g = g(t) \in L^p (a,b;X)$ la dérivée $g' = \frac{dg}{dt}$ est définie dans l'espace des distributions vectorielles sur $]a,b[$ à valeurs dans $X$ (Cf. SCHWARTZ [1]).

(iii) Si $f \in L^p (0,T,X)$ et $\frac{\partial f}{\partial t} \in L^p (0,T;X)$, $1 \le p < \infty$, $X$ espace de Banach, alors $f$ est, après modification éventuelle sur un ensemble de mesure nulle de $[0,T]$, continue de $[0,T]$ dans $X$. (Cf. LIONS [3] chap. 1, lemme 1.2).

##### Les données

Désignons par $\{x_i\}$ les coordonnées d'une particule matérielle (un point de $\bar{\Omega}$), dans l'état non déformé ($t=t_0$) et soient $\{X_i\}$ les coordonnées de cette même particule à l'instant $t$. Nous avons :

$$ (3.1.2) \quad X_i = x_i + u_i (x,t) \quad (i=1,2), $$

où $\{u_i\}$ est le vecteur déplacement de la particule $x = \{x_i\}$.
Pour tout $u = \{u_1, u_2\} \in W = (H_0^1(\Omega))^2$, tout $v \in W$, nous posons :

$$ (3.1.3) \qquad \left\{ \begin{aligned} a(u,v) = \int_{\Omega} \left\{ (\lambda+2\mu) \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \right) + \lambda \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \frac{\partial v_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) \right. \\ \left. \qquad + \mu \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \right) \left( \frac{\partial v_1}{\partial x_2} + \frac{\partial v_2}{\partial x_1} \right) \right\} dx_1 dx_2. \end{aligned} \right. $$

Il est facile de vérifier que la forme bilinéaire $a(u,v)$ est symétrique et continue sur $W \times W$ ; nous pouvons donc lui associer l'opérateur linéaire et continu $A$, appliquant $W$ dans $W'$ (dual de $W$), et défini par :

$$ (3.1.4) \qquad (Au,v) = a(u,v) \quad \forall u, v \in W, $$

où $(\cdot, \cdot)$ désigne le produit scalaire dans la dualité entre $W'$ et $W$, compatible avec le produit scalaire dans $G$. Un calcul rapide montre que :

$$ (3.1.5) \qquad Au = -\mu \Delta u - (\lambda+\mu) \text{grad div } u. $$

Dans le paragraphe 3.2, nous formulons le problème d'élasticité bi-dimensionnel évolutif dont nous approcherons la solution par la méthode des pas fractionnaires.

## 3.2. - LE PROBLEME EXACT

Considérons le problème suivant :

### Problème 3.2.1

Pour $u_o = u_o(x) \in W$, $v_o = v_o(x) \in G$, $f \in L^2(O,T;G)$ donnés, trouver une fonction $u = u(x,t)$ vérifiant :

$$ (3.2.1) \qquad u \in L^\infty(O,T;W), $$

$$ (3.2.2) \qquad u' \in L^\infty(O,T;G), $$
$$
(3.2.3) \quad u'' \in L^\infty (O, T; W!)
$$

$$
(3.2.4) \quad u''(x,t) + Au(x,t) = f(x,t) \quad \text{dans } Q_T = \Omega \times ]0, T[,
$$

$$
(3.2.5) \quad u(x,0) = u_o(x) ; \quad u'(x,0) = v_o(x),
$$

où A est donné par (3.1.4).

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

Rappelons que $G_o = L^2(\Omega)$, $G = G_o \times G_o$, $V = H_0^1(\Omega)$, $W = V \times V$, $W' = \text{dual de } W$ et si on note $u(t) : x \to u(x,t)$ alors $u' = \frac{\partial u}{\partial t}$ et $u'' = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$.

Remarque 3.2.1 :

D'après W.A. STRAUSS [1], si une fonction u vérifie (3.2.1) (3.2.2)
(3.2.4), alors, après modification éventuelle sur un ensemble de mesure nulle :

$$
(3.2.6) \quad u \text{ est une fonction continue de } [0,T] \to W,
$$

$$
(3.2.7) \quad u' \text{ est une fonction continue de } [0,T] \to G.
$$

Cette remarque donne en particulier un sens à (3.2.5).

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

Nous avons alors le résultat suivant :

Théorème 3.2.1 :

Le problème 3.2.1 admet une solution unique $u$, continue de $[0,T]$ dans $W$,
dont la dérivée $u'$ est continue de $[0,T]$ dans $G$. Pour tout $t \in [0,T]$ nous avons l'égalité d'énergie suivante :

$$
(3.2.8) \quad \left|u'(t)\right|^2 + a(u(t), u(t)) = \left|v_o\right|^2 + a(u_o, u_o) + 2 \int_o^t f(s), u'(s)) \, ds
$$
Démonstration :

La coercivité de la forme bilinéaire a (u,v) (Cf. (1.2.2)) jointe aux
propriétés rappelées au paragraphe 3.1 permettent d'appliquer au problème 3.2.1
le résultat général de LIONS-STRAUSS [1] (Cf. aussi LIONS-MAGENES [1] et, dans
le cas particulier du problème de l'élasticité, DUVAUT-LIONS [1], chapitre 3).

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

Remarque 3.2.2 :

L'équation (3.2.4) est une équation dans W' (grâce à (1.1.12)
f(t) ∈ G ⇒ f(t) ∈ W'). Alors pour tout v ∈ W, il vient (Cf. paragraphes 1.1 et
3.1 pour les notations (.,.)) :

$$
(3.2.9) \quad (u''(t),v) + (Au(t),v) = (f(t),v).
$$

Cette équation doit être vérifiée pour tout v ∈ W, c'est-à-dire pour
tout v₁ ∈ V, pour tout v₂ ∈ V car v = {v₁, v₂}. Ainsi (3.2.4) équivaut au
système :

$$
\begin{equation}
\begin{cases}
(3.2.10) \quad u_1''(x,t) + [Au]_1(x,t) = f_1(x,t), \\
(3.2.11) \quad u_2''(x,t) + [Au]_2(x,t) = f_2(x,t),
\end{cases}
\end{equation}
$$

dans $Q_T = \Omega \times ]0,T[, \text{ avec :}$

$$
\[
(3.2.12) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
\mathbf{[Au]}_1 & = -\mu \Delta u_1 - (\lambda+\mu) \frac{\partial (\mathrm{div} \ u)}{\partial x_1}, \quad \forall u \in W, \\
\mathbf{[AU]}_2 & = -\mu \Delta u_2 - (\lambda+\mu) \frac{\partial (\mathrm{div} \ u)}{\partial x_2}, \quad \forall u \in W.
\end{array}
\right.
\]
$$

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

Remarque 3.2.3 : La remarque 1.2.3 reste valable ici.

<figure><img src="image_34.png" /></figure>
Remarque 3.2.4 (résultat de régularité)

En utilisant un raisonnement analogue à celui de LIONS [3], chapitre 1,
théorème 1.3, on peut établir que si l'on se place dans les conditions du
problème 3.2.1 avec, en outre :

$$
(3.2.13) \quad f' = \frac{\partial f}{\partial t} \in L^2 (O, T; G),
$$

$$
(3.2.14) \quad u_o = u_o(x) \in [H_o^1(\Omega) \cap H_o^2(\Omega)]^2 = X,
$$

$$
(3.2.15) \quad v_o = v_o(x) \in [H_o^1(\Omega)]^2 = W,
$$

on a , non seulement les résultats du théorème 3.2.1, mais aussi

$$
(3.2.16) \quad u \in L^{\infty} (O, T; X),
$$

$$
(3.2.17) \quad u' \in L^{\infty} (O, T; W),
$$

$$
(3.2.18) \quad u'' \in L^{\infty} (O, T; G).
$$

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

Comme dans le paragraphe 1, il est loisible de remplacer la forme
bilinéaire a (u,v) par la forme bilinéaire b (u,v) définie en (1.2.12),
ce qui conduit au problème 3.2.1 bis équivalent au problème 3.2.1 :

Problème 3.2.1 bis

C'est le problème 3.2.1 dans lequel l'équation (3.2.4) est remplacée
par :

$$
(3.2.19) \quad (u''(t), v) + b(u(t), v) = (f(t), v), \quad \forall v \in W.
$$

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

C'est ce problème que nous allons décomposer maintenant par la méthode
des pas fractionnaires.
### 3.3. - DECOMPOSITION DU PROBLEME 3.2.1 bis PAR LA METHODE DES PAS FRACTIONNAIRES

Nous procédons par analogie avec la thèse de TEMAM [1]. Il n'est cependant pas possible d'appliquer directement les résultats de ce travail à notre problème car il apparaît dans la décomposition de la forme bilinéaire a (u,v) des termes à dérivées mixtes ne vérifiant pas les propriétés requises de symétrie et de coercivité (dans les équations de décomposition, ces termes seront explicites : calcul au pas précédent).

#### Les données

Soit N un entier destiné à tendre vers l'infini et $k = \frac{T}{N+1}$.

Nous décomposons arbitrairement $f_1$ et $f_2$ sous la forme :

$$ (3.3.1) \qquad f_i = f_{i1} + f_{i2}, \quad i=1,2, $$

$$ \text{avec} \qquad f_{ij} \in L^2(0,T;G_o), \quad i,j=1,2. $$

#### Les fonctions approchées

Pour chaque $k$ fixé, nous allons définir deux solutions approchées du problème 3.2.1 bis, soit :

$$ (3.3.2) \qquad u_k = \begin{pmatrix} \frac{i}{2} \\ u_{1k} \\ u_{2k} \end{pmatrix}, \quad i=1,2. $$

Ces fonctions $u_k^{\frac{i}{2}}$, $i=1,2$, sont déterminées alternativement : nous définissons successivement pour $i=1,2$, les valeurs de la fonction $u_k^{\frac{i}{2}}$ sur l'intervalle $[0,k-o]$, puis successivement dans le même ordre sur chaque intervalle $[rk+o, (r+1)k-o]$, $r=0,...,N$.
Pour chaque valeur de $i$ ($i=1,2$) et pour chaque valeur de $r$ ($r=0,...,N$), la restriction de $u_k^{\frac{i}{2}}$ à l'intervalle $[rk+o, (r+1)k-o]$ (restriction notée $u_k^{r+\frac{i}{2}} = (u_{1k}^{r+\frac{i}{2}}, u_{2k}^{r+\frac{i}{2}})$) est définie comme la solution des problèmes suivants (nous précisons et justifions le choix des conditions initiales à la fin de ce paragraphe) :

(i) Problème $P_{11}$ :

Pour $u_{1k}^{r+\frac{1}{2}} (rk) \in V_1, \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} (rk+o) \in G_o, u_{2k} (rk) \in V_2,$

$f_{11} \in L^2 (O,T;G_o)$ donnés, trouver une fonction $u_{1k}^{r+\frac{1}{2}}$ vérifiant :

$$ (3.3.3) \quad u_{1k}^{r+\frac{1}{2}} \in L^\infty (rk, (r+1)k; V_1), $$

$$ (3.3.4) \quad \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} \in L^\infty (rk, (r+1)k; G_o), $$

$$ (3.3.5) \quad \left\{ \begin{array}{l} \left( \frac{\partial^2 u_{1k}^{r+\frac{1}{2}}}{\partial t^2} (t), v_1 \right) + (\lambda+2\mu) \left( \frac{\partial u_{1k}^{r+\frac{1}{2}}}{\partial x_1} (t), \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) + (\lambda+\mu) \left( \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} (rk), \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) \\ \qquad = (f_{11} (t), v_1), \quad \forall v_1 \in V_1. \end{array} \right. $$
(ii) **Problème P<sub>21</sub> :**

Pour $u_{2k}^{r+\frac{1}{2}} (rk) \in V_1, \frac{\partial u_{2k}}{\partial t} (rk+o) \in G_o, f_{21} \in L^2 (O,T;G_o)$ donnés,
trouver une fonction $u_{2k}$ vérifiant :

$$
(3.3.6) \quad u_{2k}^{r+\frac{1}{2}} \in L^\infty (rk, (r+1)k ; V_1),
$$

$$
(3.3.7) \quad \frac{\partial u_{2k}}{\partial t} \in L^\infty (rk, (r+1)k ; G_o),
$$

$$
(3.3.8) \quad \left( \frac{\partial^2 u_{2k}}{\partial t^2} (t), v_2 \right) + \mu \left( \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_1} (t), \frac{\partial v_2}{\partial x_1} \right) = (f_{21} (t), v_2), \forall v_2 \in V_1.
$$

(iii) **Problème P<sub>12</sub> :**

Pour $u_{1k}^{r+1} (rk) \in V_2, \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} (rk+o) \in G_o, f_{12} \in L^2 (O,T;G_o)$ donnés,
trouver une fonction $u_{1k}$ vérifiant :

$$
(3.3.9) \quad u_{1k}^{r+1} \in L^\infty (rk, (r+1)k ; V_2),
$$

$$
(3.3.10) \quad \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} \in L^\infty (rk, (r+1)k ; G_o),
$$

$$
(3.3.11) \quad \left( \frac{\partial^2 u_{1k}}{\partial t^2} (t), v_1 \right) + \mu \left( \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_2} (t), \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right) = (f_{12} (t), v_1), \forall v_1 \in V_2.
$$
(iv) **Problème P<sub>22</sub> :**

Pour $\dot{u}_{2k}^{r+1}(rk) \in V_2, \frac{\partial u_{2k}}{\partial t}(rk+o) \in G_o, u_{1k}^{r+\frac{1}{2}}((r+1)k) \in V_1,$

$f_{22} \in L^2(O,T; G_o)$ donnés, trouver une fonction $u_{2k}$ vérifiant :

$$
(3.3.12) \quad u_{2k}^{r+1} \in L^{\infty} (rk, (r+1)k; V_2),
$$

$$
(3.3.13) \quad \frac{\partial u_{2k}}{\partial t} \in L^{\infty} (rk, (r+1)k; G_o),
$$

$$
(3.3.14) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \left( \left( \frac{\partial^2 u_{2k}}{\partial t^2} \right) (t), v_2 \right) + (\lambda+2\mu) \left( \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} \right) (t), \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \right) + (\lambda+\mu) \left( \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} \right) ((r+1)k), \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \\
& \qquad = (f_{22} (t), v_2), \quad \forall v_2 \in V_2.
\end{aligned}
\right.
$$

Nous avons alors les résultats d'existence et d'unicité suivants :

Théorème 3.3.1 :

Les problèmes P<sub>ij</sub>, i,j=1,2, admettent chacun une solution unique.

Démonstration : Le problème P<sub>11</sub> se met sous la forme :

(3.3.15) $(u''(t), v) + a(u(t), v) = (\psi(t), v), \forall v \in V_1$, avec $u = u_{1k}^{r+\frac{1}{2}}$,
( , ) désignant le produit scalaire entre $V_1'$ et $V_1$, compatible avec le produit
scalaire dans $G_o$.
Il suffit alors d'appliquer le théorème 4.1, chapitre 3 de DUVAUT-LIONS [1]
qui est démontré dans un cadre "abstrait". Il en irait de même pour le problème
$P_{22}$.

Pour les problèmes $P_{12}$ et $P_{21}$, on peut appliquer ce même résultat ou
bien utiliser le théorème 8.1 et la remarque 8.2 du chapitre 3 de LIONS-MAGENES
[1].

Remarque 3.3.1 : Le théorème 4.2 de STRAUSS [1] (Cf. aussi LIONS-MAGENES [1], chapitre 3, théorème 8.2) permet d'établir la continuité de :

$u_{jk}^{\frac{i}{2}}$ (resp. $\frac{\partial}{\partial t} u_{jk}^{\frac{i}{2}}$) de $[rk+o, (r+1)k-o]$ dans $V_i$ (resp. $G_o$) après modification éventuelle sur un ensemble de mesure nulle. On pourra donc définir sans ambiguïté :

$$
r+\frac{i}{2} \quad (\text{r+1) k-o) \in V_i, \quad i,j=1,2,
u_{jk}^{\frac{i}{2}}
$$

$$
\frac{\partial}{\partial t} u_{jk}^{\frac{r+i}{2}} \quad ((r+1) \text{ k-o}) \in G_o \quad i,j=1,2.
$$

On peut alors procéder au choix des conditions initiales.

Choix des conditions initiales successives :

(i) pour r=0

$$
(3.3.16) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
o + \frac{i}{2} & (o) = u_{oj} \quad (i,j=1,2), \\
u_{jk} &
\end{array}
\right.
$$

$$
(3.3.17) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
o + \frac{1}{2} & (o) = v_{oj}, \quad j=1,2, \\
\displaystyle\frac{\partial u_{jk}}{\partial t} & \\
o + \frac{2}{2} & (o) = \displaystyle\frac{o + \frac{1}{2}}{\partial t}, \\
\displaystyle\frac{\partial u_{jk}}{\partial t} & (k-o), \quad j=1,2.
\end{array}
\right.
$$
(ii) pour r=1,...,N :

$$
(3.3.18) \quad \left\{ \begin{array}{l} r+\frac{i}{2} \\ u_{jk}^{r+\frac{i}{2}}(rk+o) \end{array} \right. = \left. \begin{array}{l} r-1+\frac{i}{2} \\ u_{jk}^{r-1+\frac{i}{2}}(rk-o) \end{array} \right. , \quad i,j=1,2,
$$

$$
(3.3.19) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial t} (rk+o) & = \displaystyle \frac{r}{\partial t} (rk-o) , \\[2ex]
\displaystyle \frac{r+1}{\partial t} (rk+o) & = \displaystyle \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial t} ((r+1)k-o) .
\end{array}
\right.
$$

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

Remarque 3.3.2 :

Les fonctions $\frac{i}{2} u_{jk}^-$ (t) sont alors définies sur $[0,T]$.

On posera :

$$
(3.3.20) \quad \frac{i}{2} u_k^-(rk) = \frac{r+i}{2} u_k^-(rk+o) = \frac{r-1+i}{2} u_k^-(rk-o), \text{ pour } r=0, \dots, N; \ i=1,2.
$$

Les fonctions $\frac{i}{2} u_k^-$ deviennent ainsi continues de $[0,T] \to V_i$, moyennant
l'éventuelle modification de la remarque 3.3.1. Ce résultat implique en
particulier, que les fonctions $\frac{\partial u_k^2}{\partial x_i^2}$ sont continues de $[0,T]$ dans G.

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

Remarque 3.3.3 :

$$
\frac{i}{2}
$$

Les dérivées $\frac{\partial u_k}{\partial t}$ sont seulement continues par morceaux de $[0,T]$ dans $G_0$,
des discontinuités étant possibles aux points rk, r=1,...,N.
Nous conviendrons de poser :

$$
(3.3.21) \quad \frac{\partial u_k}{\partial t} (rk) = \frac{r + \frac{i}{2}}{\partial t} \frac{\partial u_k}{\partial t} (rk+o), \quad r=0, \dots, N; \quad i=1, 2,
$$

ce qui rend les fonctions $\frac{\partial u_k}{\partial t}$ continues à droite de $[0,T]$ dans $G_o$.

Remarque 3.3.4 :

Avec ce choix des conditions initiales, les données des problèmes $P_{ij}$ ont un sens.

3.4. - ESTIMATIONS A PRIORI :

Théorème 3.4.1 :

Lorsque $k \to o$

$$
(3.4.1) \quad \frac{i}{2} u_{jk}^{k} \text{ demeure dans un ensemble borné de } L^{\infty} (O,T; V_i),
$$

$$
(3.4.2) \quad \frac{\partial u_{jk}^2}{\partial t} \quad \text{demeure dans un ensemble borné de } L^\infty(O,T; G_o).
$$

Démonstration :

Nous allons établir des égalités d'énergie à partir des équations (3.3.5)
(3.3.8) (3.3.11) (3.3.14). Tout d'abord, à partir de (3.3.5), on obtient, en
prenant "formellement" :

$$
v_l = \frac{\partial u_{lk}^{r+\frac{1}{2}}}{\partial t} (t) \text{ et en intégrant en t :}
$$
$$
(3.4.3) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial t} \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} (t) \right|^2 + (\lambda+2\mu) \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial x_1} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} (t) \right|^2 + 2(\lambda+\mu) \int_{rk}^t \left( \frac{r}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} (rk) + \frac{\partial}{\partial S} \left( \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial x_1} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} (S) \right) \right) dS \\
& \qquad = \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial t} \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} (rk+o) \right|^2 + (\lambda+2\mu) \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial x_1} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} (rk) \right|^2 + 2 \int_{rk}^t \left( f_{11} (S) + \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial S} \frac{\partial u_{1k}}{\partial S} (S) \right) dS
\end{aligned}
\right.
$$

ou encore, comme :

$$
\int_{rk}^{t} \left( \frac{r}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} (rk), \frac{\partial}{\partial S} \left( \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial x_1} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} (S) \right) \right) dS = \left( \frac{r}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} (rk), \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial x_1} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} (t) - \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial x_1} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} (rk) \right),
$$

il vient pour $t \in [rk, (r+1)k[$

$$
(3.4.4) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial t} \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} (t) \right|^2 + \mu \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial x_1} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} (t) \right|^2 + (\lambda+\mu) \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial x_1} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} (t) + \frac{r}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} (rk) \right|^2 \\
& = \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial t} \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} (rk+o) \right|^2 + \mu \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial x_1} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} (rk) \right|^2 + (\lambda+\mu) \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial x_1} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} (rk) + \frac{r}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} (rk) \right|^2 \\
& \quad + 2 \int_{rk}^{t} \left( f_{11} (S), \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial S} \frac{\partial u_{1k}}{\partial S} (S) \right) dS.
\end{aligned}
\right.
$$
Cette égalité d'énergie peut être entièrement justifiée par les méthodes de STRAUSS [1] (cf. aussi LIONS-MAGENES [1], chapitre 3, lemme 8.3).

De la même façon, on obtiendrait à partir des équations (3.3.8) (3.3.11) (3.3.14), pour $t \in [rk, (r+1)k]$:

$$ (3.4.5) \quad \left\{ \begin{aligned} & \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial t} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_1} (t) \right|^2 + \mu \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial x_1} \frac{\partial u_{2k}}{\partial t} (t) \right|^2 = \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial t} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_1} (rk+o) \right|^2 + \mu \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial x_1} \frac{\partial u_{2k}}{\partial t} (rk) \right|^2 \\ & \qquad + 2 \int_{rk}^{t} \left( f_{21}(s), \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial s} \frac{\partial u_{2k}}{\partial s} (s) \right) ds, \end{aligned} \right. $$

$$ (3.4.6) \quad \left\{ \begin{aligned} & \left| \frac{r+1}{\partial t} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_2} (t) \right|^2 + \mu \left| \frac{r+1}{\partial x_2} \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} (t) \right|^2 = \left| \frac{r+1}{\partial t} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_2} (rk+o) \right|^2 + \mu \left| \frac{r+1}{\partial x_2} \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} (rk) \right|^2 \\ & \qquad + 2 \int_{rk}^{t} \left( f_{12}(s), \frac{r+1}{\partial s} \frac{\partial u_{1k}}{\partial s} (s) \right) ds, \end{aligned} \right. $$
$$
(3.4.7) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \left| \frac{r+1}{\partial t} \frac{\partial u_{2k}}{\partial t} (t) \right|^2 + \mu \left| \frac{r+1}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} (t) \right|^2 + (\lambda+\mu) \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial x_1} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} ((r+1)k) + \frac{r+1}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} (t) \right|^2 \\
& \qquad = \left| \frac{r+1}{\partial t} \frac{\partial u_{2k}}{\partial t} (rk+o) \right|^2 + \mu \left| \frac{r+1}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} (rk) \right|^2 + (\lambda+\mu) \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial x_1} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} ((r+1)k) + \frac{r+1}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} (rk) \right|^2 \\
& \qquad \qquad + 2 \int_{rk}^{t} \left( f_{22}(s), \frac{\partial u_{2k}}{\partial s}(s) \right) ds.
\end{aligned}
\right.
$$

Il nous reste à déduire de ces quatre égalités d'énergie les inégalités
impliquant (3.4.1) et (3.4.2).

D'après (3.4.4), la fonction $\psi_{1k}^1$ définie par :

$$
(3.4.8) \quad \psi_{1k}^1 (t) = \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial t} \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} (t) \right|^2 + \mu \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial x_1} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} (t) \right|^2 + (\lambda+\mu) \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial x_1} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} (t) + \frac{r}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} (rk) \right|^2
$$

est une fonction absolument continue.
La dérivation de (3.4.4) donne :

$$
\frac{\partial \psi_{1k}^{1}}{\partial t}(t) = 2 \left( f_{11}(t), \frac{\partial u_{1k}}{\partial t}(t) \right) \stackrel{r+\frac{1}{2}}{\approx} \left| f_{11}(t) \right| \left( 1 + \psi_{1k}^{1}(t) \right),
$$

ou encore :

$$
\frac{\partial}{\partial t} \left\{ \left[ 1 + \psi_{1k}^{1}(t) \right] \left[ \exp \left( - \int_{rk}^{t} |f_{11}(S)| dS \right) \right] \right\} \le 0,
$$

soit :

$$
(3.4.9) \quad 1 + \psi_{1k}^1 (t) \lesssim [1 + \psi_{1k}^1 (rk+o)] \left( \exp \int_{rk}^t |f_{11}(S)| \, dS \right).
$$

Nous en déduisons les inégalités (3.4.10) et (3.4.12) à (3.4.14) pour
$t \in [rk, (r+l)k[$ :

$$
(3.4.10) \quad \left\{
\begin{aligned}
& 1 + \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial u_{1k}} (t) \right|^2 + \mu \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial x_1} (t) \right|^2 + (\lambda+\mu) \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial x_1} (t) + \frac{r}{\partial x_2} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_2} (rk) \right|^2 \\
& \lesssim \Upsilon_r \left\{ 1 + \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial u_{1k}} (rk+o) \right|^2 + \mu \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial x_1} (rk) \right|^2 + (\lambda+\mu) \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial x_1} (rk) + \frac{r}{\partial x_2} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_2} (rk) \right|^2 \right\}
\end{aligned}
\right.
$$

où :

$$
(3.4.11) \quad \gamma_r = \exp \left( \sum_{i,j=1}^{2} \int_{rk}^{(r+1)k} |f_{ij}(S)| \, dS \right) < + \infty.
$$
Par analogie, il vient à partir de (3.4.5) à (3.4.7) :

$$
(3.4.12) \qquad l + \left| \frac{r+1}{\partial t} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_1} (t) \right|^2 + \mu \left| \frac{r+1}{\partial x_1} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} (t) \right|^2 \le \gamma_r \left( l + \left| \frac{r+1}{\partial t} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_1} (rk+o) \right|^2 + \mu \left| \frac{r+1}{\partial x_1} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} (rk) \right|^2 \right)
$$

$$
(3.4.13) \qquad l + \left| \frac{r+1}{\partial t} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_2} (t) \right|^2 + \mu \left| \frac{r+1}{\partial x_2} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} (t) \right|^2 \le \gamma_r \left( l + \left| \frac{r+1}{\partial t} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_2} (rk+o) \right|^2 + \mu \left| \frac{r+1}{\partial x_2} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} (rk) \right|^2 \right)
$$

$$
(3.4.14) \quad \left\{
\begin{aligned}
& l + \left| \frac{r+1}{\partial t} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_1} (t) \right|^2 + \mu \left| \frac{r+1}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_1} (t) \right|^2 + (\lambda+\mu) \left| \frac{r+1}{\partial x_1} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_2} ((r+1)k) + \frac{r+1}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_1} (t) \right|^2 \\
& \le \gamma_r \left( l + \left| \frac{r+1}{\partial t} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_1} (rk+o) \right|^2 + \mu \left| \frac{r+1}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} (rk) \right|^2 + (\lambda+\mu) \left| \frac{r+1}{\partial x_1} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_2} ((r+1)k) + \frac{r+1}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_1} (rk) \right|^2 \right)
\end{aligned}
\right.
$$

Multiplions alors les deux membres des équations (3.4.10) et (3.4.12) par $\gamma_r$ et ajoutons-les membre à membre aux équations (3.4.13) et (3.4.14).

Pour $t = (r+1) k-o$, il intervient un certain nombre de simplifications dues, pour l'essentiel, au choix des conditions initiales.

En définitive, on obtient :
$$
\begin{equation}
\left(
\begin{aligned}
& 2 + \sum_{i=1}^{2} \left( \left| \frac{\partial u_{ik}}{\partial t} \right|^{r+1} \left( (r+1)k-o \right) + \mu \gamma_r \left| \frac{\partial u_{ik}}{\partial x_1} \right|^{r+1} \left( (r+1)k \right) + \mu \left| \frac{\partial u_{ik}}{\partial x_2} \right|^{r+1} \left( (r+1)k \right) \right) \\
& \qquad + (\lambda+\mu) \left| \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} \right|^{r+1} \left( (r+1)k \right) + \frac{r+1}{\partial x_2} \left( (r+1)k \right) \right|^{2} \\
& \le 2 \gamma_r^2 + \sum_{i=1}^{2} \left( \gamma_r^2 \left| \frac{\partial u_{ik}}{\partial t} \right|^{r+1} \left( rk+o \right) + \mu \gamma_r^2 \left| \frac{\partial u_{ik}}{\partial x_1} \right|^{r+1} \left( rk \right) + \mu \gamma_r \left| \frac{\partial u_{ik}}{\partial x_2} \right|^{r+1} \left( rk \right) \right) \\
& \qquad + (\lambda+\mu) \gamma_r^2 \left| \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} \right|^{r+1} \left( rk \right) + \frac{r}{\partial x_2} \left( (r+1)k \right) \right|^{2}.
\end{aligned}
\right.
\tag{3.4.15}
\end{equation}
$$

Posons :

$$
\sigma_k (rk) = 2 + \sum_{i=1}^{2} \left( \left| \frac{r+\frac{1}{2}}{\partial t} \right|^{r+\frac{1}{2}} (rk+o) \right|^2 + \sum_{j=1}^{2} \left| \frac{r-\frac{j}{2}}{\partial x_j} \right|^2 (rk) \\
\qquad + (\lambda+\mu) \left| \frac{r-\frac{1}{2}}{\partial x_1} \right| (rk) + \frac{r}{\partial x_2} \left| \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} \right| (rk) + \frac{\lambda+\mu}{\partial x_2} \left| \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} \right| (rk) \tag{3.4.16}
$$

En remarquant que $\gamma_r \ge 1$ (Cf. (3.4.11)), et avec le choix des conditions initiales, il vient à partir de (3.4.15) :

$$
\sigma_k ((r+1)k) \le \gamma_r^2 \sigma_k (rk),
$$
d'où :

$$
(3.4.17) \quad \sigma_k ((r+1)k) \le [\gamma_0 \dots \gamma_N]^2 \sigma_k (0), \quad r=0, \dots, N,
$$

avec :

$$
(3.4.18) \quad \sigma_k (0) = 2 + \sum_{i=1}^{2} \left( |v_{oi}|^2 + \mu \left| \frac{\partial u_{oi}}{\partial x_j} \right|^2 \right) + (\lambda + \mu) \left| \frac{\partial u_{o1}}{\partial x_1} + \frac{\partial u_{o2}}{\partial x_2} \right|^2 .
$$

Ainsi, $\sigma_k (0)$ est fini et indépendant de k. D'autre part, avec (3.4.11) :

$$
(3.4.19) \quad \gamma_0 \dots \gamma_N = \exp \left( \sum_{i,j=1}^{2} \int_0^T |f_{ij}(S)| \, dS \right)
$$

est également fini et indépendant de k. Alors, avec (3.4.17),
la quantité $\sigma_k ((r+1)k)$ est bornée indépendamment de k, et cela pour $r=0, \dots, N$.

Dès lors, en désignant désormais par C une constante indépendante de r, k, t pouvant changer d'une inégalité à la suivante, il vient avec la remarque 3.3.2 :

$$
(3.4.20) \quad \left| \frac{\partial u_{ik}}{\partial t} \right|_{(rk+o)} \le C, \quad i=1,2; r=0,\dots,N,
$$

$$
(3.4.21) \quad \left| \frac{\partial u_{ik}}{\partial x_j} \right|_{(rk)} \le C, \quad i,j=1,2; r=0,\dots,N,
$$

$$
(3.4.22) \quad \left| \frac{1}{2} \frac{\partial u_{lk}}{\partial x_l} (rk) + \frac{2}{\partial x_2^2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} (rk) \right| \le C, \quad r=0, \dots, N.
$$
En reportant ces majorations dans (3.4.10) (3.4.12) à (3.4.14), il vient :

$$
(3.4.23) \quad \sup_{t \in [0,T]} \left| \frac{\partial u_{jk}^2}{\partial t} (t) \right| \le C, \quad i,j=1,2,
$$

$$
(3.4.24) \quad \sup_{t \in [0,T]} \left| \frac{\partial u_{jk}^2}{\partial x_i} (t) \right| \le C, \quad i,j=1,2.
$$

La relation (3.4.23) donne le résultat (3.4.2). Comme

$$
\frac{i}{u_{jk}^2}(t) = u_{oj} + \int_{0}^{t} \frac{\partial u_{jk}^2}{\partial S} (S) \, dS,
$$

il s'ensuit que

$$
\sup_{t \in [0,T]} \left| \frac{i}{u_{jk}^2}(t) \right| \le |u_{oj}| + T \sup_{t \in [0,T]} \left| \frac{\partial u_{jk}^2}{\partial t}(t) \right| \le C,
$$

et par conséquent, avec (3.4.24) :

$$
(3.4.25) \quad \sup_{t \in [0,T]} \left| \frac{\partial u_{jk}^2}{\partial t} (t) \right| \le V_i < C, \quad i,j=1,2.
$$

Cette dernière inégalité entraîne (3.4.1).

<figure><img src="image_39.png" /></figure>
### 3.5. - THEOREMES DE CONVERGENCE

**Théorème 3.5.1 (convergence faible) :**

Si $u = (u_1, u_2)$ désigne la solution du problème 3.2.1 bis, alors, lorsque $k \to 0$, les solutions des problèmes $P_{ik}$ vérifient :

$$ (3.5.1) \qquad \frac{i}{2} u_{jk}^2 \to u_j \qquad \text{dans } L^\infty(0,T; V_i^*) \text{ faible-étoile}^{(1)}, $$

$$ (3.5.2) \qquad \frac{i}{\partial t} \frac{\partial u_{jk}}{\partial t} \to \frac{\partial u_j}{\partial t} \qquad \text{dans } L^\infty(0,T; G_o^*) \text{ faible-étoile,} $$

$$ (3.5.3) \qquad \frac{i}{2} u_{jk}^2 (t) \to u_j (t) \quad \text{dans } V_i^* \text{ faible, } \forall t \in [0,T], $$

$$ (3.5.4) \qquad \frac{i}{\partial t} \frac{\partial u_{jk}}{\partial t} (t) \to \frac{\partial u_j}{\partial t} (t) \quad \text{dans } G_o \text{ faible, } \forall t \in [0,T], $$

le tout pour $i,j=1,2$.

**Démonstration :**

En raison du théorème 3.4.1, on peut extraire de la suite $u_{jk}^{\frac{i}{2}}$, une sous-suite

$u_{jk}^{\frac{i}{2}}$, telle que pour $i,j=1,2$, on ait :

(1) Comme $L^\infty(0,T;V_i^*)$ est le dual de $L^1(0,T;V_i')$, la relation (3.5.1) équivaut à :

$$ \int_0^T \frac{i}{2} \langle u_{jk}, \varphi(t) \rangle dt > \int_0^T \langle u_j, \varphi(t) \rangle dt, \quad \forall \varphi \in L^1(0,T;V_i'). $$
$$
(3.5.5) \qquad \frac{i}{2} u'_{jk'} \rightarrow W_{ij} \qquad \text{dans } L^{\infty}(O,T;V_i) \text{ faible-étoile,}
$$

$$
(3.5.6) \qquad \frac{\frac{i}{2}}{\partial t} u'_{jk'} \rightarrow \frac{\partial W_{ij}}{\partial t} \qquad \text{dans } L^{\infty}(O, T; G_o) \text{ faible-étoile.}
$$

Nous allons montrer que d'une part, les fonctions $W_{ij}$ sont presque partout égales à une même fonction $W_j$, d'autre part que $W_j = u_j$.

Lemme 3.5.1

Les fonctions $W_{ij}$ sont presque partout égales à une même fonction $W_j$
et

$$
(3.5.7) \qquad \left\{ \begin{array}{l} W_j \in L^\infty(O,T,V), \\ \qquad \partial W_j \in L^\infty(O,T;G_o). \end{array} \right.
$$

$$
(3.5.8) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{\partial W_j}{\partial t} \in L^\infty (O,T;G_o), \\ \qquad \text{autre part que } W_j = u_j. \end{array} \right.
$$

Démonstration du lemme 3.5.1 :

Soit t fixé, t ∈ [rk, (r+1)k[; par intégration des égalités (3.3.5) et
(3.3.11), nous avons :

$$
(3.5.9) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \left( \frac{r+1}{\partial t} \frac{\partial u_{1k}}{(r+1)k} - \frac{r+1}{\partial t} \frac{\partial u_{1k}}{v_1} \right) (t, v_1) + (\lambda+2\mu) \int_t^{(r+1)k} \left( \frac{r+1}{\partial x_1} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} \right) (S) \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \, dS \\
& \qquad + (\lambda+\mu) \left[ (r+1)k-t \right] \left( \frac{r}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_1} (rk) \right) \frac{\partial v_1}{\partial x_1} = \int_t^{(r+1)k} (f_{11}(S), v_1) \, dS,
\end{aligned}
\right.
$$
pour tout $v_1 \in V_1$ ;
$$
(3.5.10) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \left( \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} (t) - \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} (rk+o), v_1 \right) + \mu \int_{rk}^{t} \left( \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_2} (S), \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right) dS \\
& \qquad = \int_{rk}^{t} (f_{12}(S), v_1) \, dS, \text{ pour tout } v_1 \in V_2.
\end{aligned}
\right.
$$

Grâce à (3.3.19), il vient en ajoutant (3.5.9) (3.5.10), pour tout
$v_1 \in V_1 \cap V_2 = V$ :

$$
(3.5.11) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \left( \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} (t) - \frac{\partial u_{1k}^{r+\frac{1}{2}}}{\partial t} (t), v_1 \right) + (\lambda+2\mu) \int_t^{(r+1)k} \left( \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} (S), \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) dS \\
& + \mu \int_{rk}^{t} \left( \frac{\partial u_{1k}^{r+1}}{\partial x_2} (S), \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right) dS + (\lambda+\mu) \left[ (r+1)k-t \right] \int_{rk}^{r} \left( \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} (rk), \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) dS \\
& = \int_t^{(r+1)k} (f_{11}(S), v_1) \, dS + \int_{rk}^{r} (f_{12}(S), v_1) \, dS.
\end{aligned}
\right.
$$

Alors, avec (3.4.24), on obtient :

$$
(3.5.12) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \left| \left( \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} (t) - \frac{\partial u_{1k}^{r+\frac{1}{2}}}{\partial t} (t), v_1 \right) \right| \le kC \left\{ \left| \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right| + \left| \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right| \right\} \\
& \qquad + |v_1| \left\{ \int_{rk}^{(r+1)k} (|f_{11}(S)| + |f_{12}(S)|) \, dS \right\}.
\end{aligned}
\right.
$$
Comme $f_{11}$, $f_{12} \in L^2(0,T;G_0)$, il vient :

$$ \int_{rk}^{(r+1)k} \left( |f_{11}(S)| + |f_{12}(S)| \right) ds \le k^{\frac{1}{2}} \left[ \int_{rk}^{(r+1)k} \left( |f_{11}(S)| + |f_{12}(S)| \right)^2 ds \right]^{\frac{1}{2}}, $$

et le crochet est borné. En reportant dans (3.5.12), il vient :

$$ (3.5.13) \quad \left| \left( \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} \right)_{(t)} - \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} \left( (t), v_1 \right) \right| \le C k^{\frac{1}{2}} ||v_1||, \quad \forall v_1 \in V. $$

D'après (3.5.6), nous avons :

$$ (3.5.14) \quad \lim_{k' \to 0} \frac{\partial u_{jk'}}{\partial t} = \frac{\partial W_{ij}}{\partial t} \quad \text{dans } L^\infty(0,T;G_0) \text{ faible-étoile, ce qui implique la convergence dans } L^2(0,T;G_0) \text{ faible, en particulier. Avec (3.5.13) et (3.5.14), il vient pour } k' \to 0, \text{ pour tout } v \in V : $$

$$ \left| \left( \frac{\partial W_{21}}{\partial t} (t) - \frac{\partial W_{11}}{\partial t} (t), v_1 \right) \right| = 0 \quad \text{pour presque tout } t \in [0,T], $$
et comme V est dense dans $G_0$

$$ (3.5.15) \quad \frac{\partial W_{21}}{\partial t}(t) = \frac{\partial W_{11}}{\partial t}(t) \quad \text{pour presque tout } t \in [0,T]. $$

Ainsi,

$$ (3.5.16) \quad W_{21}(t) - W_{11}(t) = c^{\text{te}} \text{ p.p. sur } [0,T]. $$
Comme $W_{ij} \in L^\infty (O,T;V_i)$ et $W'_{ij} \in L^\infty (O,T;G_o)$, les fonctions $W_{ij}$ sont presque partout égales à des fonctions $W^*_{ij}$ continues de $[0,T]$ dans $G_o$ (Cf. par exemple, LIONS [3], chapitre 1, lemme 1.2) et d'après (3.5.5)

$$ (3.5.17) \qquad \frac{i}{2} u_{jk}^*(t) \to W_{ij}^*(t) \quad \text{dans } G_o \text{ faible, } \forall t \in [0,T]. $$

En particulier,

$$ W_{ij}^*(o) = \lim_{k' \to o} \frac{i}{2} u_{jk'}^*(o) = u_{oj}, \quad i,j=1,2. $$

Donc :

$$ W_{11}^*(o) = W_{21}^*(o) = u_{o1}, $$

et avec (3.5.16) :

$$ (3.5.18) \qquad W_{11}^*(t) = W_{21}^*(t), \quad \forall t \in [0,T]; $$

d'où :

$$ (3.5.19) \qquad W_{11}(t) = W_{21}(t) \quad \text{pour presque tout } t \in [0,T]. $$

Ainsi les fonctions $W_{11}$ et $W_{21}$ sont presque partout égales à une même fonction $W_1$ telle que :

$$ (3.5.20) \qquad W_1 \in L^\infty (O,T;V_1) \cap L^\infty (O,T;V_2), $$

$$ (3.5.21) \qquad \frac{\partial W_1}{\partial t} \in L^\infty (O,T;G_o). $$
Mais d'après TEMAM [1] lemme 6.1, chapitre 1 :

"Soient $X, X_1, \dots, X_m$ des espaces de Banach, avec :

$$X = \bigcap_{i=1}^{m} X_i,$$

l'injection de $X$ dans $X_i$ étant continue. Alors, pour tout $p$ tel que $1 \le p \le \infty$, on a :

$$L^p(0,T;X) = \bigcap_{i=1}^{m} L^p(0,T;X_i).$$

Ainsi, (3.5.20) implique $W_1 \in L^\infty(0,T;V)$. On procéderait de même pour $W_2$, et ceci achève la démonstration du lemme 3.5.1. $\square$

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

Revenons à la démonstration du théorème 3.5.1. Nous allons montrer que :

$W_j(t) = u_j(t)$ pour presque tout $t \in [0,T]$ :

Intégrons (3.3.5) et (3.3.11) de $qk$ à $(q+1)k$ :

$$ (3.5.22) \quad \left\{ \begin{aligned} & \left( \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} ((q+1)k-o) - \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} (qk+o), v_1 \right) + (\lambda+2\mu) \int_{qk} (q+1)k \left( \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} (S), \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) ds \\ & \qquad + (\lambda+\mu) k \left( \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} (qk), \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) = \int_{qk} (f_{11}(S), v_1) ds, \forall v_1 \in V_1, \end{aligned} \right. $$

$$ (3.5.23) \quad \left\{ \begin{aligned} & \left( \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} ((q+1)k-o) - \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} (qk+o), v_1 \right) + \mu \int_{qk} (q+1)k \left( \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_2} (S), \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right) ds \\ & \qquad = \int_{qk} (f_{12}(S), v_1), \quad \forall v_1 \in V_2. \end{aligned} \right. $$
De la même façon, pout t fixé, r désignant le plus grand entier inférieur
ou égal à $\frac{t}{k}$ (donc $t \in [rk, (r+1)k]$), nous avons à partir de (3.3.5) :

$$
(3.5.24) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \left( \frac{r+1}{2} \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} (t) - \frac{r+1}{2} \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} (rk+o), v_1 \right) + (\lambda+2\mu) \int_{rk}^{t} \left( \frac{r+1}{2} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} (S), \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) \mathrm{d}S \\
& \qquad + (\lambda+\mu) (t-rk) \left( \frac{r}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_1} (rk), \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) = \int_{rk}^{t} (f_{11}(S) v_1), \forall v_1 \in V_1.
\end{aligned}
\right.
$$

Ajoutons membre à membre (3.5.24) et toutes les égalités (3.5.22)
(3.5.23) obtenues pour q=0,...,r=1. Il vient, compte tenu du choix des
conditions initiales (Cf. (3.3.16) à (3.3.21)) :

$$
(3.5.25) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \left( \frac{1}{\partial t} \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} (t) - v_{01}, v_1 \right) + (\lambda+2\mu) \int_0^t \left( \frac{1}{\partial x_1} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} (S), \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) \mathrm{d}S \\
& + \mu \int_0^{rk} \left( \frac{2}{\partial x_2} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_2} (S), \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right) \mathrm{d}S + (\lambda+\mu) \left( \sum_{q=0}^{r-1} k \frac{2}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} (qk) + (t-rk) \frac{2}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} (rk) \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) \\
& = \int_0^{rk} (f_1(S), v_1) \mathrm{d}S + \int_{rk}^{t} (f_{11}(S), v_1) \mathrm{d}S, \quad \forall v_1 \in V.
\end{aligned}
\right.
$$

Faisons $k = k'$ dans (3.5.25) et passons à la limite pour $k' \to 0$, $t$ étant fixé. Pour cela, nous utilisons TEMAM [1], lemme 6.2, chapitre 1 :
"Soit X un espace de Banach et soit $v_k$ une suite de fonctions appartenant à $L^p(0,T,X)$, $p > 1$, telles que :

$$
\text{(3.5.26)} \quad \left\{
\begin{array}{l}
v_k \to v \text{ dans } L^p(0,T;X) \text{ faible, lorsque } k \to o. \\[1em]
\text{Soit } t \in [0,T] \text{ et } t_k \text{ une suite qui tend vers } t. \text{ Alors, lorsque } k \to o \\[1em]
\int_0^{t_k} v_k(S) \, ds \to \int_0^t v(S) \, ds \text{ dans } X \text{ faible''}.
\end{array}
\right.
$$

Nous nous servons également du lemme ci-dessous :

Lemme 3.5.2 :

Soit X un espace de Banach et soit $v_k$ une suite de fonctions appartenant à $\mathcal{C}^0([0,T];X)$ telle que pour $p > 1$, on ait :

$$
v_k \to v \text{ dans } L^p (0,T;X) \text{ faible, lorsque } k \to o.
$$

Soit $t \in [0,T]$ fixé et r le plus grand entier inférieur ou égal à $\frac{t}{k}$
(donc $t \in [rk, (r+1)k[$). Alors, lorsque $k \to o$ :

$$
\sum_{q=0}^{r-1} k v_k (qk) \rightarrow \int_{0}^{t} v(S) dS \text{ dans } X \text{ faible.}
$$

Démonstration du lemme 3.6.2 :

Il suffit d'écrire $$ \sum_{q=0}^{r-1} k v_k (qk) - \int_{0}^{t} v(S) \, dS = \theta_1 + \theta_2 $$
avec :

$$
\theta_1 = \sum_{q=0}^{r-1} k v_k (qk) - \int_0^{rk} v_k (S) \, dS,
$$

$$
\theta_2 = \int_0^{rk} v_k (S) \, ds - \int_0^t v (S) \, ds.
$$

La continuité de $t \to v_k(t)$ d'une part, le résultat (3.5.26) d'autre part, entraînent respectivement que $\theta_1 \to 0$, $\theta_2 \to 0$ dans X faible. $\blacksquare$

Alors avec le résultat (3.5.26), les lemmes 3.5.1 et 3.5.2, (3.5.5) et (3.5.6), il vient successivement lorsque $k' \to 0$ :

$$
\int_0^t \left( \frac{\partial u_{1k'}}{\partial x_1} (S), \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) dS \to \int_0^t \left( \frac{\partial W_1}{\partial x_1} (S), \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) dS,
$$

$$
\int_{0}^{rk'} \left( \frac{\partial u_{1k}'}{\partial x_{2}} (S), \frac{\partial v_{1}}{\partial x_{2}} \right) dS \to \int_{0}^{t} \left( \frac{\partial W_{1}}{\partial x_{2}} (S), \frac{\partial v_{1}}{\partial x_{2}} \right) dS,
$$

$$
\left( \sum_{q=0}^{r-1} k' \frac{\partial u_{2k'}}{\partial x_2} (qk') + (t-rk') \frac{\partial u_{2k'}}{\partial x_2} (rk'), \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) \to \int_0^t \left( \frac{\partial W_2}{\partial x_2} , \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) dS,
$$

$$
\int_{0}^{rk'} (f_{1}(S), v_{1}) \, dS + \int_{rk'}^{t} (f_{11}(S), v_{1}) \, dS \to \int_{0}^{t} (f_{1}(S), v_{1}) \, dS,
$$

et ceci, pour tout $v_1 \in V$.
En reportant ces résultats dans (3.5.25), il vient pour tout $t \in [0,T]$,
lorsque $k' \to 0$ :

$$
(3.5.27) \quad \left( \frac{\partial u_{1k'}}{\partial t} (t), v_1 \right) \to (g(t), v_1), \forall v_1 \in V,
$$

où $g(t)$ est défini pour tout $v_1 \in V$, par :

$$
(3.5.28) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\displaystyle (g(t), v_1) = (v_{01}, v_1) - \int_0^t \left( (\lambda+2\mu) \frac{\partial W_1}{\partial x_1} (S) + (\lambda+\mu) \frac{\partial W_2}{\partial x_2} (S) + \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) dS \\[1em]
\displaystyle \quad - \mu \int_0^t \left( \frac{\partial W_1}{\partial x_2} (S), \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right) dS + \int_0^t (f_1(S), v_1) \, dS.
\end{array}
\right.
$$

Soit alors $\varphi \in \mathcal{C}$ (fonction scalaire continue sur $[0,T]$) quelconque.

Comme les fonctions $t \to \left| \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} \right|$ sont essentiellement bornées sur $[0,T]$ indépendamment de $k$ (Cf. (3.4.2) : ici elles sont même bornées), il vient avec (3.5.27) et le théorème de Lebesgue :

$$
(3.5.29) \quad \int_0^T \left( \frac{\partial u_{1k'}}{\partial t} (t), v_1 \right) \varphi (t) \, dt \to \int_0^T (g(t), v_1) \varphi (t) \, dt.
$$

D'autre part, puisque $\varphi \otimes v_1 \in L_1(0,T; G_0)$, il vient d'après (3.5.6) et
le lemme (3.5.1) :

$$
(3.5.30) \quad \int_0^T \left( \frac{\partial u_{1k'}}{\partial t} (t), v_1 \right) \varphi (t) \, dt \to \int_0^T \left( \frac{\partial W_1}{\partial t} (t), v_1 \right) \varphi (t) \, dt.
$$
Alors (3.5.29) et (3.5.30) donnent :

$$ \int_{0}^{T} (g(t), v_{1}) \varphi(t) dt = \int_{0}^{T} \left( \frac{\partial W_{1}}{\partial t}(t), v_{1} \right) \varphi(t) dt, $$

$\forall v_1 \in V, \forall \varphi \in \mathcal{C}^1; \text{ comme } \mathcal{C}^1 \otimes V \text{ est dense dans } L_1(O,T;G_o)$
(par exemple), il s'ensuit que :

$$ (3.5.31) \qquad g(t) = \frac{\partial W_1}{\partial t}(t) \quad \text{p.p. tout } t \in [0,T]. $$

Alors (3.5.28) s'écrit pour presque tout $t \in [0,T]$ :

$$ (3.5.32) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \left( \frac{\partial W_1}{\partial t}(t), v_1 \right) = (v_{01}, v_1) - \int_0^t \left( (\lambda+2\mu) \frac{\partial W_1}{\partial x_1}(S) + (\lambda+\mu) \frac{\partial W_2}{\partial x_2}(S), \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) dS \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad - \mu \int_0^t \left( \frac{\partial W_1}{\partial x_2}(S), \frac{\partial v_1}{\partial x_2}(S) \right) dS + \int_0^t (f_1(S), v_1) dS \end{array} \right. $$

Nous avons vu que $W_1$ est presque partout égale à une fonction $W_1^*$
continue de $[0,T]$ dans $G_o$ ; d'après (3.5.32), sa dérivée $\frac{\partial W_1^*}{\partial t}$ sera continue
de $[0,T]$ dans $V'$ ; en outre,

$$ (3.5.33) \qquad W_1^*(o) = u_{01} \quad \text{et} \quad \frac{\partial W_1^*}{\partial t}(o) = v_{01}. $$

Par dérivation de (3.5.32), on obtient :

$$ (3.5.34) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \left( \frac{\partial^2 W_1^*}{\partial t^2}(t), v_1 \right) + \left( (\lambda+2\mu) \frac{\partial W_1^*}{\partial x_1}(t) + (\lambda+\mu) \frac{\partial W_2^*}{\partial x_2}(t), \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) + \mu \left( \frac{\partial W_1^*}{\partial x_2}(t), \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right) \\ \qquad = (f_1(t), v_1), \quad \text{ceci } \forall v_1 \in V. \end{array} \right. $$
De la même façon, on établirait que :

$$
(3.3.35) \qquad W_2^*(o) = u_{o2}, \quad \frac{\partial W_2^*}{\partial t}(o) = v_{o2},
$$

et

$$
(3.5.36) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \left( \frac{\partial^2 W_2^*}{\partial t^2}(t), v_2 \right) + \mu \left( \frac{\partial W_2^*}{\partial x_1}(t), \frac{\partial v_2}{\partial x_1} \right) + \left( (\lambda+2\mu) \frac{\partial W_2^*}{\partial x_2}(t) + (\lambda+\mu) \frac{\partial W_1^*}{\partial x_1}(t), \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \right) \\
& \qquad = (f_2(t), v_2), \quad \text{ Ceci } \forall v_2 \in V.
\end{aligned}
\right.
$$

En comparant avec (3.2.19), les équations (3.5.33) à (3.5.36) montrent que
$W^* = (W_1^*, W_2^*)$ est la solution unique du problème 3.2.1 bis et donc que :

$$
(3.5.37) \qquad W^* = u^*.
$$

Comme les limites sont indépendantes de la sous-suite extraite k', les
convergences (3.5.1) (3.5.2) ont lieu pour toute la suite k.

Il reste à démontrer (3.5.3) et (3.5.4). Nous utiliserons le résultat
suivant de TEMAM [1], lemme 6.3, chapitre 1 :

$$
(3.5.38) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\text{"Soient } X \text{ et } Y \text{ deux espaces de Banach réflexifs, } X \subset Y, \text{ l'injection de } X \\
\text{dans } Y \text{ étant continue. Soit } \varphi \in Y \text{ et soit } \varphi_n \text{ une suite bornée dans } X \text{ telle que :} \\[1em]
\varphi_n \to \varphi \text{ dans } Y \text{ faible } (n \to \infty) ;
\end{array}
\right.
$$
\text{"alors } \varphi \in X \text{ et } \varphi_n \to \varphi \text{ dans } X \text{ faible".}

Considérons la suite $u_{jk}^{\frac{i}{2}}(t)$ ; d'après (3.4.25) elle est bornée dans $V_i$
et d'après (3.5.17) (3.5.18) (3.5.37), on a :

$$
(3.5.39) \quad \frac{i}{2} u_{jk}^{*} (t) \to w_j^* (t) \quad \text{dans } G_o \text{ faible}
$$

(on vient de voir que la convergence a lieu pour toute la suite k).
Avec le résultat (3.5.38), la convergence (3.5.39) a lieu dans $V_i$ faible,
ce qui démontre (3.5.3).

$$ \frac{i}{2} \partial_t u_{jk} $$

D'après (3.4.2), la suite $\frac{\partial u_{jk}}{\partial t}$ (t) est bornée dans $G_o$. Les relations (3.5.27) (3.5.31) et la définition de $W_j^*$ entraînent que :

$$ \frac{i}{2} \partial_t u_{jk} (t) \rightarrow \frac{\partial W_j^*}{\partial t} (t) \quad \text{dans V' faible.} $$

Alors (3.5.37) et le résultat (3.5.38) entraînent (3.5.4).

Ceci achève la démonstration du théorème 3.5.1.

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

Il reste maintenant à établir un théorème de convergence forte,
analogue à ceux des paragraphes précédents. On aura :

### Théorème 3.5.2 (convergence forte)

Si u désigne la solution du problème 3.2.1 bis alors, lorsque $k \to o$,
les solutions $u_{jk}^{\frac{i}{2}}$, $i,j=1,2$, des problèmes $P_{ij}$ vérifient :

$$ (3.5.40) \qquad \frac{i}{2} \partial_t u_{jk} (t) \rightarrow u_j (t) \quad \text{dans } V_i \text{ fort, } \forall t \in [0,T], $$

$$ (3.5.41) \qquad \frac{i}{2} \partial_t u_{jk} (t) \rightarrow \frac{\partial u_j}{\partial t} (t) \quad \text{dans } G_o \text{ fort, } \forall t \in [0,T]. $$

**Démonstration**. Mentionnons tout d'abord l'égalité d'énergie vérifiée par la solution $u$ du problème 3.2.1 bis.
Par analogie avec (3.2.8), on montre que :

$$|u'(t)|^2 + b(u(t), u(t)) = |v_o|^2 + b(u_o, u_o) + 2 \int_0^t (f(S), u'(S)) \, dS,$$

c'est-à-dire, sous forme développée :

$$ (3.5.42) \quad \left\{ \begin{aligned} & |u_1'(t)|^2 + |u_2'(t)|^2 + \mu \sum_{i,j=1}^2 \left| \frac{\partial u_i}{\partial x_j}(t) \right|^2 + (\lambda+\mu) \left| \frac{\partial u_1}{\partial x_1}(t) + \frac{\partial u_2}{\partial x_2}(t) \right|^2 \\ & \qquad + |v_{o1}|^2 + |v_{o2}|^2 + \mu \sum_{i,j=1}^2 \left| \frac{\partial u_{oi}}{\partial x_j}(t) \right|^2 + (\lambda+\mu) \left| \frac{\partial u_{ol}}{\partial x_1} + \frac{\partial u_{o2}}{\partial x_2} \right|^2 \\ & \qquad + 2 \int_0^t (f(t), u'(t)) \, dt. \end{aligned} \right. $$

Alors, comme pour le problème stationnaire, nous allons montrer qu'une expression $X_k(t)$ convenable tend vers o avec k. Soit t fixé, r désignant le plus grand entier inférieur ou égal à $\frac{t}{k}$ (donc $t \in [rk, (r+1)k]$). Nous posons :

$$ (3.5.43) \quad \left\{ \begin{aligned} X_k(t) = & \sum_{i=1}^{2} \left| \frac{\partial u_i}{\partial t}(t) - \frac{1}{\partial t} \frac{\partial u_{ik}}{\partial x_j}(t) \right|^2 + \mu \sum_{i=1}^{2} \left| \frac{\partial u_i}{\partial x_1}(t) - \frac{1}{\partial x_1} \frac{\partial u_{ik}}{\partial x_1}(t) \right|^2 \\ & + \mu \sum_{i=1}^{2} \left| \frac{\partial u_i}{\partial x_2}(t) - \frac{2}{\partial x_2} \frac{\partial u_{ik}}{\partial x_2}(rk) \right|^2 \\ & + (\lambda+\mu) \left| \frac{\partial u_1}{\partial x_1}(t) + \frac{\partial u_2}{\partial x_2}(t) - \frac{1}{\partial x_1} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1}(t) - \frac{2}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2}(rk) \right|^2 \end{aligned} \right. $$
Décomposons $X_k(t)$ sous la forme :

$$ (3.5.44) \qquad X_k(t) = X_{1k}(t) + X_{2k}(t) + X_{3k}(t), $$

avec tout d'abord :

$$ X_{1k}(t) = |u_1'(t)|^2 + |u_2'(t)|^2 + \mu \sum_{i,j=1}^{2} \left| \frac{\partial u_i}{\partial x_j}(t) \right|^2 + (\lambda + \mu) \left| \frac{\partial u_1}{\partial x_1}(t) + \frac{\partial u_2}{\partial x_2}(t) \right|^2 $$

soit encore, avec (3.5.42) :

$$ (3.5.45) \qquad \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} X_{1k}(t) = |v_{o1}|^2 + |v_{o2}|^2 + \mu \sum_{i,j=1}^{2} \left| \frac{\partial u_{o1}}{\partial x_j}(t) + (\lambda+\mu) \frac{\partial u_{o1}}{\partial x_1} + \frac{\partial u_{o2}}{\partial x_2}(t) \right|^2 \\ \phantom{X_{1k}(t) =} + 2 \int_0^t f(t), u'(t)) \, dt. \end{array} \right. $$

Ensuite

$$ \begin{aligned} X_{2k}(t) = & -2 \sum_{i=1}^{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial t}(t), \frac{\partial u_{ik}}{\partial t}(t) \right) - 2 \mu \sum_{i=1}^{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_1}(t), \frac{\partial u_{ik}}{\partial x_1}(t) \right) \\ & - 2 \mu \sum_{i=1}^{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_2}(t), \frac{\partial u_{ik}}{\partial x_2}(rk) \right) \\ & - 2 (\lambda + \mu) \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_1}(t) + \frac{\partial u_2}{\partial x_2}(t), \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1}(t) + \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2}(rk) \right); \end{aligned} $$
mais avec les résultats de convergence (3.5.3) (3.5.4) et la propriété
de continuité en t des fonctions :

$$
t \to \frac{\frac{2}{\partial u_{ik}}}{\partial x_2} (t), \quad i=1,2,
$$

il vient pour k → o :

$$
(3.5.46) \quad \lim_{k \to 0} X_{2k}(t) = -2 X_1(t).
$$

$$
(3.5.47) \quad \left\{
\begin{aligned}
\lim_{k \to 0} X_{3k}(t) &= \sum_{i=1}^{2} \left| \frac{\partial u_{ik}}{\partial t}(t) \right|^2 + \sum_{i=1}^{2} \left( \left| \frac{\partial u_{ik}}{\partial x_1}(t) \right|^2 + \left| \frac{\partial u_{ik}}{\partial x_2}(rk) \right|^2 \right. \\
&\qquad \left. + (\lambda+\mu) \left| \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1}(t) + \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2}(rk) \right|^2 \right).
\end{aligned}
\right.
$$

Nous allons montrer que $\lim_{k \to 0} X_{3k}(t) = X_1(t)$. Tout d'abord,
à partir de (3.4.4) (3.3.20) (3.3.21), il vient

$$
(3.5.48) \quad = \left\{
\begin{aligned}
& \left| \frac{1}{\partial u_{1k}} \left( \frac{1}{\partial t} \right) \left( ((q+1)k-o) \right) \right|^2 + \mu \left| \frac{1}{\partial u_{1k}} \left( \frac{1}{\partial x_1} \right) \left( ((q+1)k) \right) \right|^2 + (\lambda+\mu) \left| \frac{1}{\partial u_{1k}} \left( \frac{1}{\partial x_1} \right) \left( ((q+1)k) + \frac{2}{\partial x_2} \left( \frac{1}{\partial x_2} \right) \right) \right|^2 \\
& + 2 \int_{qk}^{(q+1)k} \left( f_{11}(S), \frac{\partial u_{1k}}{\partial S}(S) \right) \, dS.
\end{aligned}
\right.
$$
Un calcul analogue à partir des égalités d'énergie (3.4.5) à (3.4.7) conduit aux trois équations :

$$
(3.5.49) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \left| \frac{1}{\partial t} \frac{\partial u_{2k}}{\partial t} ((q+1)k-o) + \mu \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_1} ((q+1)k) \right|^2 = \left| \frac{1}{\partial t} \frac{\partial u_{2k}}{\partial t} (qk+o) + \mu \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_1} (qk) \right|^2 \\
& \qquad + 2 \int_{qk}^{(q+1)k} \left( f_{21}(S), \frac{\partial u_{2k}}{\partial S} (S) \right) dS,
\end{aligned}
\right.
$$

$$
(3.5.50) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \left| \frac{2}{\partial t} \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} ((q+1)k-o) + \mu \frac{2}{\partial x_2} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_2} ((q+1)k) \right|^2 = \left| \frac{2}{\partial t} \frac{\partial u_{1k}}{\partial t} (qk+o) + \mu \frac{2}{\partial x_2} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_2} (qk) \right|^2 \\
& \qquad + 2 \int_{qk}^{(q+1)k} \left( f_{12}(S), \frac{2}{\partial S} \frac{\partial u_{1k}}{\partial S} (S) \right) dS,
\end{aligned}
\right.
$$

$$
(3.5.51) \quad = \left\{
\begin{aligned}
& \left| \frac{2}{\partial t} \frac{\partial u_{2k}}{\partial t} ((q+1)k-o) + \mu \frac{2}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} ((q+1)k) + (\lambda+\mu) \left| \frac{1}{\partial x_1} \frac{\partial u_{1k}}{\partial x_1} ((q+1)k) + \frac{2}{\partial x_2} \frac{\partial u_{2k}}{\partial x_2} ((q+1)k) \right| \right|^2 \\
& \qquad + 2 \int_{qk}^{(q+1)k} \left( f_{22}(S), \frac{2}{\partial S} \frac{\partial u_{2k}}{\partial S} (S) \right) dS.
\end{aligned}
\right.
$$
On ajoute alors (3.5.48) à (3.5.51) pour q=0,...,r-1 ; au résultat
ainsi obtenu, on ajoute les égalités (3.4.4) et (3.4.5)ce qui donne,
compte tenu des conditions initiales :

$$
\[
(3.5.52) \qquad \left\{
\begin{aligned}
X_{3k}(t) &= |v_{o1}|^2 + |v_{o2}|^2 + \mu \sum_{i,j=1}^{2} \left| \frac{\partial u_{oi}}{\partial x_j} \right|^2 + (\lambda + \mu) \left| \frac{\partial u_{o1}}{\partial x_1} + \frac{\partial u_{o2}}{\partial x_2} \right|^2 \\
&\quad + 2 \int_0^t \left\{ \left( f_{11}(s), \frac{\partial u_{1k}}{\partial s}(s) \right) + \left( f_{21}(s), \frac{\partial u_{2k}}{\partial s}(s) \right) \right\} ds \\
&\quad + 2 \int_0^r \left\{ \left( f_{12}(s), \frac{\partial u_{1k}}{\partial s}(s) \right) + \left( f_{22}(s), \frac{\partial u_{2k}}{\partial s}(s) \right) \right\} ds
\end{aligned}
\right.
\]
Mais avec (3.5.4) et le résultat (3.5.26), il vient :
$$
(3.5.53) \qquad \lim_{k \to 0} X_{3k}(t) = X_1(t).
$$

Mais avec (3.5.4) et le résultat (3.5.26), il vient :

$$
(3.5.53) \qquad \lim_{k \to 0} X_{3k}(t) = X_1(t).
$$

En rassemblant (3.5.44), (3.5.46) et (3.5.53), on obtient finalement :

$$
(3.5.54) \qquad \lim_{k \to 0} X_k(t) = 0,
$$

d'où, en particulier :

$$
(3.5.55) \qquad \lim_{k \to 0} \left| \frac{\partial u_i}{\partial t}(t) - \frac{\partial u_{ik}}{\partial t}(t) \right| = 0, \quad i=1,2, \quad \forall t \in [0,T],
$$

$$
(3.5.56) \qquad \lim_{k \to 0} \left| \frac{\partial u_i}{\partial x_1}(t) - \frac{\partial u_{ik}}{\partial x_1}(t) \right| = 0, \quad i=1,2, \quad \forall t \in [0,T].
$$
Mais,

$$u_i(t) - u_{ik}^{\frac{1}{2}}(t) = \int_0^t \left\{ \frac{\partial u_i}{\partial S}(S) - \frac{\partial u_{ik}}{\partial S}(S) \right\} dS,$$

soit :

$$\left| u_i^-(t) - u_{ik}^{\frac{1}{2}}(t) \right| \le T \sup_{S \in [0,T]} \left| \frac{\partial u_i^-}{\partial S}(S) - \frac{\partial u_{ik}^2}{\partial S}(S) \right|;$$

avec (3.5.56)

$$(3.5.57) \qquad \lim_{k \to 0} \left| u_i^-(t) - u_{ik}^{\frac{1}{2}}(t) \right| = 0 \quad \forall t \in [0,T].$$

En définitive, (3.5.56) et (3.5.57) donnent :

$$(3.5.58) \qquad \lim_{k \to 0} \left\| u_i^-(t) - u_{ik}^{\frac{1}{2}}(t) \right\|_{V_1} = 0, \quad i=1,2, \quad \forall t \in [0,T].$$

Nous avons ainsi établi (3.5.40) et (3.5.41) pour $i=1$. Un raisonnement entièrement analogue utilisant cette fois-ci l'expression $Y_k(t)$ ci-dessous, permet d'établir (3.5.40) et (3.5.41) pour $i=2$.

$$(3.5.59) \qquad Y_k(t) = \sum_{i=1}^{2} \left| \frac{\partial u_i^-}{\partial t}(t) - \frac{\partial u_{ik}^2}{\partial t}(t) \right|^2 + \mu \sum_{i=1}^{2} \left| \frac{\partial u_i^-}{\partial x_1}(t) - \frac{\partial u_{ik}^2}{\partial x_1}(t) \right|^2 + \mu \sum_{i=1}^{2} \left| \frac{\partial u_i^-}{\partial x_2}(t) - \frac{\partial u_{ik}^2}{\partial x_2}(t) \right|^2 + (\lambda + \mu) \left| \frac{\partial u_1^-}{\partial x_1}(t) + \frac{\partial u_2^-}{\partial x_2}(t) - \frac{\partial u_{1k}^2}{\partial x_1}(t) - \frac{\partial u_{2k}^2}{\partial x_2}(t) \right|^2.$$

Ceci termine la démonstration du théorème 3.5.2.

<figure><img src="image_42.png" /></figure>
### 3.6. - DECOMPOSITION DIRECTE DE LA FORME BILINEAIRE CLASSIQUE a (u,v)

Comme dans les paragraphes 1.6 et 2.6, nous envisageons ici le problème de la décomposition directe du problème 3.2.1 dans le cas où l'on associe à l'opérateur $A$ de (3.2.4) la forme bilinéaire habituelle à $(u,v)$ (Cf. (3.2.10) par exemple). Les difficultés sont de même nature que dans le cas stationnaire : il convient d'introduire un problème "pseudo-régularisé" $P_\varepsilon$ que l'on décompose ensuite par analogie avec le paragraphe 3.3. Dans ce paragraphe, nous nous limitons à l'énoncé des principaux résultats, renvoyant aux paragraphes précédents pour les démonstrations.

Le problème "pseudo-régularisé" $P_\varepsilon$ :

Soit $\varepsilon$ un nombre réel strictement positif, destiné à tendre vers 0, satisfaisant :

$$ (3.6.1) \qquad 0 < \varepsilon < \frac{\mu}{2}. $$

Nous définissons alors le problème $P_\varepsilon$ comme suit :

Problème $P_\varepsilon$ : Pour tout $\varepsilon$ vérifiant (3.6.1), pour $u_o = u_o(x) \in W$, $v_o = v_o(x) \in G$, $f = f(x,t) \in L^2(0,T;G)$ donnés, trouver une fonction $u_\varepsilon = u_\varepsilon(x,t)$ vérifiant (Cf. notations dans le paragraphe 1.1) :

$$ (3.6.2) \qquad u_\varepsilon \in L^\infty(0,T;W), $$

$$ (3.6.3) \qquad u'_\varepsilon \in L^\infty(0,T;G), $$

$$ (3.6.4) \qquad u''_\varepsilon \in L^\infty(0,T;W'), $$

$$ (3.6.5) \qquad (u''_\varepsilon(t), v) + a_\varepsilon (u_\varepsilon(t), v) = (f(t), v), \quad \forall v \in W, $$

$$ (3.6.6) \qquad \begin{gathered} u_\varepsilon(o) = u_o, \quad u'_\varepsilon(o) = v_o, \\ \text{avec } a_\varepsilon(u,v) \text{ donné par (1.6.3).} \end{gathered} $$
Théorème 3.6.1 :

Le problème $P_ε$ admet une solution unique $u_ε$, continue de $[0,T]$ dans W, dont la dérivée $u'_ε$ est continue de $[0,T]$ dans G.
Pour tout $t \in [0,T]$ nous avons l'égalité d'énergie suivante :

$$ (3.6.7) \qquad |u_{\varepsilon}'(t)|^2 + a_{\varepsilon}(u_{\varepsilon}(t), u_{\varepsilon}(t)) = |v_0|^2 + a_{\varepsilon}(u_0, u_0) + 2 \int_0^t (f(S), u_{\varepsilon}'(S)) \, dS. $$

Théorème 3.6.2 :

Les hypothèses sont celles des problèmes (3.2.1) et $P_ε$.
Les solutions uniques de ces problèmes sont respectivement notées $u$ et $u_ε$. Alors lorsque $ε \to 0$, nous avons les propriétés de convergence suivantes :

$$ (3.6.8) \qquad u_{\varepsilon}(t) \to u(t) \text{ dans } W \text{ fort, } \forall t \in [0,T], $$

$$ (3.6.9) \qquad u'_{\varepsilon}(t) \to u'(t) \text{ dans } G \text{ fort, } \forall t \in [0,T]. $$

Décomposition du problème $P_ε$ :

A l'algorithme de décomposition décrit dans le paragraphe 3.3, il convient d'apporter les modifications suivantes :

(i) l'inconnue est maintenant $u_ε$ et non $u$ : toutes les fonctions $u$ seront indicées en $ε$ ;

(ii) les problèmes $P_{ij}$ seront désormais notés $P_{ijε}$ et énoncés comme suit :
Problème P₁₁ε :

Pour $u_{1\epsilon k}^{r+\frac{1}{2}}(rk) \in V_1, \frac{\partial u_{1\epsilon k}^{r+\frac{1}{2}}}{\partial t}(rk+o) \in G_o, u_{2\epsilon k}^{r}(rk) \in V_2,$
$f_{11} \in L^2(0,T;G_o)$ donnés, trouver une fonction $v_{1\epsilon k}$ vérifiant :

$$
(3.6.10) \qquad u_{1\epsilon k}^{r+\frac{1}{2}} \in L^{\infty}(rk, (r+1)k; V_1),
$$

$$
(3.6.11) \qquad \frac{\partial u_{1\epsilon k}^{r+\frac{1}{2}}}{\partial t} \in L^{\infty}(rk, (r+1)k; G_o),
$$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \left( \frac{\partial^2 u_{1\epsilon k}^{r+\frac{1}{2}}}{\partial t^2} (t), v_1 \right) + (\lambda+2\mu) \left( \frac{\partial u_{1\epsilon k}^{r+\frac{1}{2}}}{\partial x_1} (t), \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) + \lambda \left( \frac{\partial u_{2\epsilon k}^{r}}{\partial x_2} (rk), \frac{\partial v_1}{\partial x_1} \right) \\
\qquad = (f_{11} (t), v_1), \quad \forall v_1 \in V_1.
\end{array}
\right.
\tag{3.6.12}
$$

Problème P<sub>21ε</sub> (comparer au problème P<sub>21</sub>) :

L'équation (3.3.8) est remplacée par :

$$
(3.6.13) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \left( \frac{\partial^2 u_{2\epsilon k}^{r+\frac{1}{2}}}{\partial t^2} (t), v_2 \right) + \mu \left( \frac{\partial^2 u_{2\epsilon k}^{r+\frac{1}{2}}}{\partial x_1} (t), \frac{\partial v_2}{\partial x_1} \right) + (\mu-\epsilon) \left( \frac{\partial u_{1\epsilon k}^{r}}{\partial x_2} (rk), \frac{\partial v_2}{\partial x_1} \right) \\
& \qquad = (f_{21} (t), v_2), \quad \forall v_2 \in V_1,
\end{aligned}
\right.
$$

les autres modifications consistant à indiquer en $\epsilon$.
Problème P₁₂ε (comparer au problème P₁₂) :

L'équation (3.3.11) est remplacée par :

$$
\[
(3.6.14) \qquad \left\{
\begin{aligned}
& \left( \frac{\partial^2 u_{1\epsilon k}}{\partial t^2} (t), v_1 \right) + \mu \left( \frac{\partial u_{1\epsilon k}}{\partial x_2} (t), \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right) + (\mu-\epsilon) \left( \frac{\partial u_{2\epsilon k}}{\partial x_1} ((r+1)k), \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right) \\
& \qquad = (f_{12} (t), v_1), \quad \forall v_1 \in V_2,
\end{aligned}
\right.
\]
$$

et l'on effectue par ailleurs, l'individuation en ε.

Problème P<sub>22ε</sub> (comparer au problème P<sub>22</sub>)

Outre l'individuation en ε, on remplace l'équation (3.3.14) par :

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \left( \frac{\partial^2 u_{2\epsilon k}}{\partial t^2} (t), v_2 \right) + (\lambda+2\mu) \left( \frac{\partial u_{2\epsilon k}}{\partial x_2} (t), \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \right) + \lambda \left( \frac{\partial u_{1\epsilon k}}{\partial x_1} ((r+1)k), \frac{\partial v_2}{\partial x_2} \right) \\
& \qquad = (f_{22} (t), v_2), \quad \forall v_2 \in V_2.
\end{aligned}
\tag{3.6.15}
\end{equation}
$$

Théorème 3.6.3 :

Les problèmes P<sub>ijε</sub>, i,j=1,2, admettent chacun une solution unique.

Remarque 3.6.1 : On choisit les conditions initiales successives tout comme
au paragraphe 3.3 ; les remarques 3.3.1 à 3.3.4 se transposent alors
immédiatement.

<figure><img src="image_43.png" /></figure>
**Théorème 3.6.4 :**

Lorsque $k \to 0$

$\frac{i}{2} u_{j\epsilon k}$ demeure dans un ensemble borné de $L^\infty(0,T;V_i)$,

$\frac{\partial u_{j\epsilon k}}{\partial t}$ demeure dans un ensemble borné de $L^\infty(0,T;G_0)$.

**Théorème 3.6.5 :**

Si $u_\epsilon = (u_{1\epsilon}, u_{2\epsilon})$ désigne la solution du problème $P_\epsilon$, alors,
lorsque $k \to 0$, les solutions des problèmes $P_{ij\epsilon}$ vérifient :

$\frac{i}{2} u_{j\epsilon k} \to u_{j\epsilon}$ dans $L^\infty(0,T;V_i)$ faible-étoile,

$\frac{\partial u_{j\epsilon k}}{\partial t} \to \frac{\partial u_{j\epsilon}}{\partial t}$ dans $L^\infty(0,T;G_0)$ faible-étoile,

$\frac{i}{2} u_{j\epsilon k}(t) \to u_{j\epsilon}(t)$ dans $V_i$ faible, $\forall t \in [0,T]$,

$\frac{\partial u_{j\epsilon k}}{\partial t}(t) \to \frac{\partial u_{j\epsilon}}{\partial t}(t)$ dans $G_0$ faible, $\forall t \in [0,T]$,

pour $i,j=1,2$.
Théorème 3.6.6 :

Si $u_{\varepsilon} = (u_1, u_2)$ désigne la solution du problème $P_{\varepsilon}$, alors,
lorsque $k \to o$, les solutions $u_{j\varepsilon k}$, $i,j=1,2$, des problèmes $P_{ij\varepsilon}$
vérifient :

$u_{j\varepsilon k}(t) \to u_{j\varepsilon}(t) \text{ dans } V_i \text{ fort, } \forall t \in [0,T],$

$$ \frac{\partial u_{j\varepsilon k}}{\partial t}(t) \to \frac{\partial u_{j\varepsilon}}{\partial t}(t) \text{ dans } G_o \text{ fort, } \forall t \in [0,T]. $$

Théorème 3.6.7 :

Si $u = (u_1, u_2)$ désigne la solution du problème 3.2.1, alors,
lorsque $k \to o$ et $\varepsilon \to o$, on a pour $i=1,2$ :

$u_{\varepsilon k}^{2}(t) \to u(t) \text{ dans } V_i \times V_i \text{ fort, } \forall t \in [0,T],$

$$ \frac{\partial u_{\varepsilon k}^{2}}{\partial t}(t) \to \frac{\partial u}{\partial t}(t) \text{ dans } G \text{ fort, } \forall t \in [0,T]. $$
BIBLIOGRAPHIE

BARDOS C. -

[1] Problèmes aux limites pour les équations aux dérivées partielles du premier ordre à coefficients réels ; théorème d'approximation ; application à l'équation de Transport. Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 4ème série, 1970, pp. 185-233.

BENSOUSSAN A. - LIONS J.L. - TEMAM R. -

[1] Sur les méthodes de décomposition, de décentralisation et de coordination, et applications. Cahiers de l'I.R.I.A. - N° 11, juin, (1972), pp. 5-189.

BERNADOU M. - GOREZ J.P. - TOUZOT G. -

[1] Recent advances in splitting techniques applied to elasticity. Proceedings of the International Conference on Variational Methods in Engineering. University of Southampton (ENGLAND) - Septembre 1972 - pp. 11-26 à 11-38.

DIGUGLIELMO A. -

[1] Approximation par pas fractionnaires de problèmes de contrôle gouvernés par des équations paraboliques et avec contrôle frontière. C.R. Acad. Sc. Paris - 275, Série A (1972), pp. 127-130.

DOUGLAS J.Jr. - GUNN J.E. -

[1] A general formulation of Alternating Direction Methods, Part I, Parabolic and Hyperbolic Problems. Num. Math., 6 (1964), pp. 428-453.

DOUGLAS J.Jr. - RACHFORD H.H. -

[1] On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables. Trans. of Am. Math. Soc., 82 (1956), pp. 421-439.
DUVAUT G. - LIONS J.L. -

[1] *Les inéquations en Mécanique et en Physique* - DUNOD, PARIS (1972).

GERMAIN P. -

[1] *Mécanique des Milieux Continus* - MASSON, PARIS (1962).

GOREZ J.P. - TEMAM R. - TOUZOT G. -

[1] The splitting-up method and its application to elasticity problems. Les Congrès et Colloques de l'Université de Liège, Vol. 61, (1971), pp. 759-786.

HÜTTE -

[1] *Manuel de l'Ingénieur, Tome 1, 28ème édition, Lib. POLYTECHNIQUE BERANGER, PARIS et LIEGE, (1964).*

LIEUTAUD J. -

[1] Approximation d'opérateurs par des méthodes de décomposition. Thèse, Paris, (1969).

LIONS J.L. -

[1] Lectures on Elliptic Partial Differential Equations. Tata Institute of Fundamental Research - Bombay, (1957).

[2] *Problèmes aux Limites dans les Equations aux Dérivées Partielles.* Presses de l'Université de Montréal, Montréal (1962).

[3] *Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires.* DUNOD et GAUTHIER-VILLARS, PARIS (1969).
LIONS J.L. - MAGENES E. -

[1] Problèmes aux limites non homogènes et Applications, Vol. 1,
DUNOD, Paris (1968).

LIONS J.L. - STRAUSS W.A. -

[1] Some non linear evolution equations. Bull. Soc. Math F., 93 (1965),
pp. 43-96.

LIONS J.L. - TEMAM R. -

[1] Eclatement et décentralisation en calcul des variations.
Compte-rendus du second Symposium International d'Optimisation
(Nice 1970). Lectures notes in Math., Springer-Verlag, Berlin.

V. NECAS J. -

[1] Les méthodes Directes en Théorie des Equations Elliptiques.
MASSON, Paris (1967).

PEACEMAN D.W. - RACHFORD H.H. -

[1] The numerical Solution of parabolic and elliptic differential
equations. Journ. S.I.A.M., 3 (1955), pp. 28-41.

SAINT-PIERRE P.

[1] Remarques sur la convergence des méthodes d'éclatement des contraintes
et de décentralisation. Juin 1972.

SCHWARTZ L. -

[1] Théorie des distributions à valeurs vectorielles, Ann. Inst. Fourier,
7 (1957), pp. 1-139, 8 (1958), pp. 1-209.

STRAUSS W.A. -

[1] On the continuity of functions with values in Various Banach spaces.
Pacific Journal of Mathematics, N° 3, Tome 19 (1966), pp. 543-551.
TEMAM R. -

[1] Sur la stabilité et la convergence de la Méthode des Pas Fractionnaires, Annali di Mat. Pura ed Appli., Série IV, Vol. LXXXIX (1968), pp. 191-380.

[2] Sur l'application de la solution des équations de Navier-Stokes par la Méthode des Pas Fractionnaires, I et II, Arch. For Rat. Mech. and Anal, 32 (1969), pp. 135-153 et 33 (1969), pp. 377-385.

[3] Remarks on the approximation of some nonlinear elliptic equations, Journal of Comp. and Syst. Sciences, 4 (1970), pp. 250-259.

[4] Analyse Numérique, Presses Universitaires de France, (1970).

[5] Quelques Méthodes de décomposition en Analyse Numérique, Actes, Congrès Intern. Math., (1970) Tome 3, pp. 311-319.

TIMOSHENKO S. -

[1] Résistance des matériaux, Tome 1, DUNOD, Paris (1972).

YANENKO N.N. -

[1] Méthode à Pas Fractionnaires, ARMAND COLIN (1968).