LA MESURE PARABOLIQUE ET LE PROBLÈME DE CAUCHY
POUR L'ÉQUATION LINÉAIRE PARABOLIQUE NORMALE

PAR

M. KRZYŻAŃSKI † (KRAKÓW)

1. En considérant la relation entre la solution du problème de Dirichlet dans un domaine borné, régulier par rapport à ce problème, et la fonction intervenant dans la condition aux limites, on a introduit grâce au théorème de F. Riesz sur la représentation d'une fonctionnelle linéaire, la notion de mesure harmonique (voir Brelot [2] et [3]; aussi Ciesielski et Semadeni [4]). Cette notion a été étendue ensuite aux solutions des problèmes aux limites relatifs à d'autres classes d'équations, en particulier à celle des équations paraboliques (voir Bauer [1], Doob [5], Hunt [7], Ciesielski et Semadeni [4]).

Dans le présent travail, il est question de l'équation linéaire normale parabolique homogène

$$
(1) \quad \mathcal{F}(u) = \sum_{i,j=1}^{m} a_{ij}(t, X) u_{x_i x_j}'' + \sum_{k=1}^{m} b_k(t, X) u_{x_k}' + c(t, X) u - u_t = 0 \\
\phantom{(1) \quad \mathcal{F}(u) = \sum_{i,j=1}^{m} a_{ij}(t, X) u_{x_i x_j}'' + \sum_{k=1}^{m} b_k(t, X) u_{x_k}' +} (a_{ij} = a_{ji}, i = 1, \dots, m),
$$

dont les coefficients sont définis dans une couche $\mathcal{C}_0: 0 < t < T_0$,
$X \in \mathcal{E}^m$, $\mathcal{E}^m$ étant l'espace euclidien à $m$ dimensions et $T_0$ un nombre
positif. Ces coefficients sont supposés des fonctions réelles. Ils sont assu-
jettis à deux conditions suivantes:

1º $a_{ij}(t, X)$ sont bornés dans $\mathcal{C}_0$ — plus précisement,

$$
(2) \quad |a_{ij}(t, X)| \le A_0 \quad \text{pour } i,j = 1, \dots, m,
$$

$A_0$ étant un nombre positif — et la forme

$$
\mathfrak{A}(\Lambda) = \sum_{i,j=1}^{m} a_{ij}(t, X) \lambda_i \lambda_j
$$

est définie positive,

2º $b_k(t, X)$ et $c(t, X)$ satisfont dans $C_0$ aux inégalités

$$
(3) \quad |b_k(t, X)| \le A_1 |X| + B_1, \quad c(t, X) \le A_2 |X|^2 + B_2,
$$
$A_1 \ge 0, B_1 \ge 0, A_2$ et $B_2$ étant des nombres réels.
$$
Le problème traité sera celui de Cauchy, à savoir celui de trouver pour l'équation (1) une solution $u(t, X)$ régulière dans une couche $\bar{\mathcal{C}}: 0 \le t \le T$, $X \in \mathcal{E}^m$ (c'est-à-dire continue dans cette couche et ayant les dérivées $u'_{x_i}$, $u''_{x_ix_j}$ (où $i, j = 1, \dots, m$) et $u'_i$ continues dans la couche $\mathcal{C}^*: 0 < t \le T$, $X \in \mathcal{E}^m$), où $T \le T_0$, et satisfaisant à une condition initiale de la forme

$$ (4) \qquad u(0, X) = \varphi(X) \quad \text{pour } X \in \mathcal{E}^m, $$

où $\varphi(X)$ est une fonction continue dans $\mathcal{E}^m$.

Considérons d'abord la famille $\{\varphi(X)\}$ des fonctions $\varphi(X)$ continues dans $\mathcal{E}^m$ et à supports contenus dans une sphère $K_0$ de $\mathcal{E}^m$ (c'est-à-dire des fonctions s'annulant en dehors de $K_0$). Soit $u(t, X)$ une solution de l'équation (1), régulière et bornée dans $\bar{\mathcal{C}}$, satisfaisant à la condition initiale (4), $\varphi(X)$ étant une fonction de la famille $\{\varphi(X)\}$. En supposant qu'une telle solution $u(t, X)$ de (1) existe, il résulte des théorèmes connus qu'elle est unique (voir par exemple mes communications [10] et [11]). Ayant fixé un point $(t, X) \in \bar{\mathcal{C}}$, on a $u = F(\varphi)$ où $F$ est une fonctionnelle linéaire, définie dans la famille $\{\varphi(X)\}$. En vertu du théorème I (voir [10], théorème 1) qui sera cité au n° 2 du présent travail, $\varphi \ge 0$ entraine $F(\varphi) \ge 0$ dans $K_0$; donc $\varphi_1 \le \varphi_2$ y entraîne $F(\varphi_1) \le F(\varphi_2)$. La fonctionnelle $F(\varphi)$ est par conséquent non négative et isotone. D'après le théorème de F. Riesz il existe une mesure unique $\mu(t, X; E)$ régulière dans la classe des ensembles boreliens $E \subset K_0$ et telle que

$$ (5) \qquad u(t, X) = F(\varphi) = \int_{\mathcal{E}^m} \varphi(Y) \mu(t, X; dy) $$

pour toute fonction $\varphi(X)$ de la famille $\{\varphi(X)\}$ (voir Halmos [6], § 52 et § 6). Il est aisé de voir que le domaine d'existence de la mesure $\mu$, en tant que fonction de $E$, s'étend à la classe de tous les ensembles boreliens de $\mathcal{E}^m$ et que (5) est valable lorsque la fonction $\varphi(X)$ est continue dans $\mathcal{E}^m$ au support borné et la solution $u(t, X)$ de l'équation (1), satisfaisant à la condition (4), existante et unique par hypothèse, est bornée dans la couche $\bar{\mathcal{C}}$. Il sera démontré que si la fonction $\varphi(X)$ est continue dans $\mathcal{E}^m$ et satisfait à une condition concernant l'ordre de sa croissance à l'infini, il existe dans une couche $\bar{\mathcal{C}}$ la solution du problème de Cauchy donnée par la formule (5).

2. Citons et envisageons à présent les théorèmes concernant les solutions du problème de Cauchy pour l'équation (1) et qui interviendront dans la suite. Ces théorèmes ont été établis dans mes travaux [9]-[11]. Toutes les hypothèses sur les coefficients de l'équation (1), admises au n° 1, sont à maintenir.
I. Soit $u(t, X)$ une fonction régulière de classe $E_2^{(1)}$ dans la couche $\bar{\mathcal{C}}$ et telle que $\mathcal{F}(u) \le 0$ [$\mathcal{F}(u) \ge 0$] dans la couche $\mathcal{C}^*$: $0 < t \le T$, $X \in \mathcal{E}^m$. Si $u(0, X) \ge 0$ [$u(0, X) \le 0$] pour $X \in \mathcal{E}^m$, on a aussi $u(t, X) \ge 0$ [$u(t, X) \le 0$] pour $(t, X) \in \bar{\mathcal{C}}$. En particulier, si $u(0, X) = 0$ pour $X \in \mathcal{E}^m$, on a $u(t, X) = 0$ dans $\bar{\mathcal{C}}$.

On déduit aussitôt du théorème I l'unicité de la solution du problème de Cauchy pour l'équation (1) dans la classe $E_2$. On déduit également (voir [10], théorème 2) le théorème qui suit.

II. *Outre les hypothèses admises au n° 1, admettons que $c(t, X) \le 0$ dans $\mathcal{C}_0$. Soit $u(t, X)$ une solution de l'équation (1), régulière et de classe $E_2$ dans la couche $\bar{\mathcal{C}}$. Si $u(0, X) \le M$ [$u(0, X) \ge -M$] pour $X \in \mathcal{E}^m$, M étant une constante non négative, on a $u(t, X) \le M$ [$u(t, X) \ge -M$] pour $(t, X) \in \bar{\mathcal{C}}$.*

Avant de passer aux autres théorèmes, il est nécessaire d'introduire une hypothèse supplémentaire sur l'équation (1).

Considérons un domaine borné $D$ découpé de l'intérieur de la couche $\bar{\mathcal{C}}$ par une surface $\mathcal{S}$ de classe $\mathcal{C}^1$, orientée dans le temps (c'est-à-dire, non tangente nulle part à aucune caractéristique de l'équation (1)). Désignons par $\bar{D}$ la fermeture de $D$. Soit $S_0$ la partie de la frontière $\text{Fr}(D)$ situé sur le plan $t=0$. Posons $\sigma = \mathcal{S} \cap \text{Fr}(D)$ et $\Sigma = S_0 \cup \sigma$. Le premier problème de Fourier relatif à l'équation (1) et au domaine $D$ consiste à chercher une solution $u(t, X)$ de l'équation (1), régulière dans $\bar{D}$ (c'est-à-dire continue dans $\bar{D}$ et admettant des dérivées $u'_{x_i}, u''_{x_i x_j}$ (où $i, j = 1, \dots, m$) et $u'_t$ continues dans l'ensemble $\bar{D} \setminus \Sigma$) et satisfaisant à la condition

$$ (6) \qquad u(t, X) = \Phi(t, X) \quad \text{pour } (t, X) \in \Sigma $$

où $\Phi(t, X)$ est une fonction continue dans $\Sigma$.

Le domaine $D$ est dit régulier par rapport au premier problème de Fourier pour l'équation (1) avec la condition aux limites (6) (donnée sur $\Sigma$) lorsque ce problème a une solution quelle que soit la fonction $\Phi(t, X)$ continue sur $\Sigma$.

$$ |u(t, X)| \le M \exp K |X|^\alpha \quad \text{pour } (t, X) \in \bar{\mathcal{C}}. $$

Une fonction $\varphi(X)$ est dite de classe $E_\alpha(M, K)$ dans $\mathcal{E}^m$ lorsque la fonction $\psi(t, X) = \varphi(X)$ est de classe $E_\alpha(M, K)$ dans $\bar{\mathcal{C}}$.

Une fonction $\psi(t, X)$ est de classe $E_\alpha$ dans la couche $\bar{\mathcal{C}}$ lorsqu'il existe deux constantes positives $M$ et $K$, telles qu'elle est de classe $E_\alpha(M, K)$ dans $\bar{\mathcal{C}}$.

<footnote>(1) Une fonction $\psi(t, X)$ est dite de classe $E_\alpha(M, K)$ dans la couche $\bar{\mathcal{C}}(a, M)$ et $K$ étant des constantes positives) lorsques</footnote>
L'hypothèse supplémentaire sur l'équation (1) est la suivante:

(H) La couche $\mathcal{C}$ est supposée être une somme d'une suite croissante de domaines $D_n$ découpés de $\bar{\mathcal{C}}$ par les surfaces $S_n \in \mathcal{C}^1$ (où $n = 1, 2, ...$) orientées dans le temps et dont la distance de l'origine des coordonnées tend vers l'infini avec $n \to \infty$, chaque domaine $D_n$ étant régulier par rapport au premier problème de Fourier pour l'équation (1).

On a le théorème suivant (voir [9] et [11]):

III. Soit $\varphi(X)$ une fonction continue de classe $E_2(M, K)$ dans $\mathcal{E}^m$. Soit $\Phi(t, X)$ une fonction continue de classe $E_2(M, K)$ dans la couche $\bar{\mathcal{C}}$ et telle que $\Phi(0, X) = \varphi(X)$ pour $X \in \mathcal{E}^m$. Soient $u_n(t, X)$ les solutions de l'équation (1), régulières dans $D_n$ (où $n = 1, 2, ...$) et satisfaisant aux conditions

$$u_n(t, X) = \Phi(t, X) \quad \text{pour} \quad (t, X) \in \Sigma_n$$

où $\Sigma_n = \sigma_n \cup S^{(n)}$, les ensembles $S^{(n)}$ et $\sigma_n$ étant contenus dans la partie de la frontière $\text{Fr}(D)$ du domaine $D_n$ située sur le plan $t = 0$ et sur la surface $S_n$ respectivement. Admettons que la hauteur $T$ de la couche $\bar{\mathcal{C}}$ est inférieure à un nombre $\bar{T}$ dépendant des nombres $A_0, A_1, B_1, A_2$ et $B_2$ qui intervient dans (2) et (3) et du nombre $K$. Enfin, admettons l'hypothèse (H).

Alors la suite $\{u_n(t, X)\}$ converge presque uniformément dans $\bar{\mathcal{C}}$ (c'est-à-dire uniformément dans tout sous-ensemble fermé et borné de $\bar{\mathcal{C}}$) vers une fonction $u(t, X)$ qui est une solution de l'équation (1), régulière dans la couche $\bar{\mathcal{C}}$, de classe $E_2(\bar{M}, \bar{K})$ dans cette couche et satisfaisant à la condition initiale

$$u(0, X) = \Phi(0, X) = \varphi(X) \quad \text{pour} \quad X \in \mathcal{E}^m,$$

les nombres positifs $\bar{M}$ et $\bar{K}$ ne dépendant que des nombres $A_0, A_1, B_1, A_2, B_2, M$ et $K$ (le nombre $\bar{K}$ étant indépendant de $M$).

3. Considérons une suite $\{\varphi_n(X)\}$ de fonctions continues dans $\mathcal{E}^m$ de classe $E_2(M, K)$, $M$ et $K$ étant des constantes positives. Admettons que la suite $\{\varphi_n(X)\}$ converge presque uniformément dans $\mathcal{E}^m$ vers une fonction $\varphi_0(X)$. Cette fonction est continue et de classe $E_2(M, K)$ dans $\mathcal{E}^m$. L'hypothèse (H) étant également admise, on déduit du théorème III l'existence d'une suite $\{u_n(t, X)\}$ de solutions de l'équation (1), régulières de classe $E_2$ dans une couche commune $\tilde{\mathcal{C}}: 0 \le t \le \tilde{T}, X \in \mathcal{E}^m$, et satisfaisant aux conditions

$$(7) \qquad u_n(0, X) = \varphi_n(X) \quad \text{pour} \quad X \in \mathcal{E}^m \quad (n = 1, 2, ...),$$

de même que l'existence d'une solution $u_0(t, x)$ régulière de classe $E_2$ dans la même couche et satisfaisant à la condition initiale

$$(8) \qquad u_0(0, X) = \varphi_0(X) \quad \text{pour} \quad X \in \mathcal{E}^m.$$
### THÉORÈME 1. La suite {$u_n(t, X)$} converge vers la fonction $u_0(t, X)$ presque uniformément dans une couche $\bar{\mathcal{C}}: 0 \le t \le T, X \in \mathcal{E}^m$.

**Démonstration.** Introduisons une fonction

$$ (9) \qquad H(t, X; k) = \exp \left[ \frac{k |X|^2}{1 - \mu(k)t} + \nu(k)t \right], $$

où $k$ est un paramètre positif dont $\mu(k)$ et $\nu(k)$ sont des fonctions positives convenablement choisies. Une valeur du paramètre $k$ étant fixée, la fonction $H(t, X; k)$ est régulière et positive dans une couche $\Gamma_k: 0 \le t \le \bar{T}_k$, $X \in \mathcal{E}^m$ (où $\bar{T}_k < 1/\mu(k)$). Choisissons les fonctions $\mu(k)$ et $\nu(k)$ de façon que l'on ait $\mathcal{F}(H) \le 0$ à l'intérieur de $\Gamma_k$ (voir (9) et (10)].

Considérons une couche $\bar{\mathcal{C}}_k: 0 \le t \le T_k, X \in \mathcal{E}^m$ où $T_k = \min(T, \bar{T}_k)$ et posons

$$ (10) \qquad v_n(t, X; k) = u_n(t, X)/H(t, X; k) \quad \text{pour } n = 0, 1, 2, \dots $$

Les fonctions $v_n(t, X; k)$ satisfont à l'intérieur de $\bar{\mathcal{C}}_k$ à une équation de la forme

$$ (11) \qquad \bar{\mathcal{F}}(v) = \sum_{i,j=1}^{m} a_{ij}(t, X) v''_{x_i x_j} + \sum_{k=1}^{m} \bar{b}_k(t, X) v'_{x_k} + \bar{c}(t, X) v - v'_t = 0 $$

où les coefficients $\bar{b}_k(t, X)$ et $\bar{c}(t, X)$ satisfont aux inégalités analogues à (3) et

$$ \bar{c}(t, X) = \frac{1}{H} \mathcal{F}(H) \le 0. $$

En choisissant $k = K$, on déduit de (7), (10) et (9) l'inégalité $|v_n(0, X; K)| \le M$ pour $X \in \mathcal{E}^m$ où $n = 0, 1, 2, \dots$, d'où

$$ (12) \qquad |u_n(t, X)| \le M H(t, X; K) \quad \text{pour } (t, X) \in \bar{\mathcal{C}}_K \text{ et } n = 0, 1, 2, \dots $$

Choisissons un $T$ tel que $0 < T < T_K$. On a en vertu de (9) et (12)

$|u_n(t, X)| \le \bar{M} \exp \bar{K} |X|^2$ pour $0 \le t \le T$ et $X \in \mathcal{E}^m$, $n = 0, 1, 2, \dots$, où $\bar{M}$ et $\bar{K}$ sont des constantes positives.

Pour établir la convergence de la suite {$u_n(t, X)$} vers la fonction $u_0(t, X)$, choisissons une valeur $k' > K$ du paramètre $k$ de façon à avoir $T < T_{k'} < T_K$. Envisageons la suite {$v_n(t, X; k')$} où $n = 1, 2, \dots$ et la fonction $v_0(t, X; k')$. Les fonctions $v_n(t, X; k')$ sont régulières dans la couche $\bar{\mathcal{C}}_k$. Il résulte de (10), (12) et d'une propriété de la fonction $H(t, X; k)$ (démontrée dans mon travail [9], p. 150, lemme) qu'il existe,
pour tout $\varepsilon > 0$, un $R > 0$ tel que $|X| \ge R$ entraîne $|v_n(t, X; k')| < \varepsilon/2$
pour $n = 0, 1, 2, \dots$ et pour tout $t$ tel que $0 \le t \le T$. Posons

$$w_n(t, X; k) = v_n(t, X; k') - v_0(t, X; k') \quad \text{pour} \quad n = 1, 2, \dots$$

On a d'une part

$$(13) \quad w_n(t, X; k') < \varepsilon \quad \text{pour} \quad |X| \ge R, \ 0 \le t \le T \quad \text{et} \ n = 1, 2, \dots$$

D'autre part, la suite $\{q_n(X)\}$ convergeant uniformément vers $q_0(X)$ pour $|X| \le R$, on a $\lim_{n \to \infty} w_n(0, X; k') = 0$ uniformément pour $|X| \ge R$. Il existe par conséquent un $N > 0$ tel que

$$(14) \quad |w_n(0, X; k')| < \varepsilon \quad \text{pour} \quad |X| \le R \quad \text{et} \quad n > N.$$

Les fonctions $w_n$ satisfaisant, elles aussi, à une équation de la forme (11) où $\bar{c} \le 0$, on déduit de (13) (appliqué à $|X| = R$), de (14) et du principe d'extremum relatif aux solutions du premier problème de Fourier pour une équation normale parabolique (voir II'in, Kalashnikov et Oleinik [8], § 1), l'inégalité

$$(15) \quad |w_n(t, X; k')| < \varepsilon \quad \text{pour} \quad |X| \le R, \ 0 \le t \le T \quad \text{et} \ n > N,$$

d'où en vertu de (15) et (13)

$$|u_n(t, X; k') - u_0(t, X; k')| < \varepsilon H(t, X; k')$$

pour $X \in \mathcal{E}^m$, $0 \le t \le T$ et $n > N$.

On a donc

$$(16) \quad \lim_{n \to \infty} u_n(t, X) = u_0(t, X)$$

presque uniformément dans la couche $\bar{\mathcal{C}}: 0 \le t \le T$, $X \in \mathcal{E}^m$, ce qui achève la démonstration.

Remarquons que $T$ différant de $T_K$ aussi peu que l'on veut, la convergence (16) est presque uniforme dans la couche $0 \le t < T_K$, $X \in \mathcal{E}^m$.

**4.** Considérons maintenant une famille $\{\Phi(X)\}$ de fonctions continues dans $\mathcal{E}^m$ ayant les propriétés suivantes:

1.° toute fonction $\Phi(X)$ est au support borné (voir n° 1),

2.° toute fonction $\Phi(X)$ est de classe $E_2(M, K)$ dans $\mathcal{E}^m$, les constantes $M$ et $K$ étant communes pour toute la famille $\{\Phi(X)\}$.

D'après le théorème III (voir n° 2), à chaque fonction $\Phi(X)$ vient correspondre une solution $\tilde{u}(t, X)$ de l'équation (1), satisfaisant à la condition $u(0, X) = \Phi(X)$ pour $X \in \mathcal{E}^m$ et toutes ces solutions sont régulières de classe $E_2(\bar{M}, \bar{K})$ dans une couche commune $\bar{\mathcal{C}}: 0 \le t \le T$, $X \in \mathcal{E}^m$, les constantes $\bar{M}$ et $\bar{K}$ étant communes.
Il existe (voir n° 1) une mesure non négative $\mu(t, X; E)$, telle que toute fonction $\tilde{u}(t, X)$ de cette famille est représentable par la formule

$$ \tilde{u}(t, X) = \int_{\mathbb{E}^m} \Phi(Y) \mu(t, X; dY). $$

Une fonction $\varphi(X)$ continue de classe $E_2(M, K)$ dans $\mathcal{E}^m$ étant donnée, il est aisé de construire une suite $\{\varphi_n(X)\}$ de fonctions qui appartiennent à la famille $\{\Phi(X)\}$ et qui convergent vers la fonction $\varphi(X)$ presque uniformément dans $\mathcal{E}^m$. Soient $u_n(t, X)$ où $n = 1, 2, \dots$ et $u(t, X)$ des solutions de l'équation (1), régulières de classe $E_2(\bar{M}, \bar{K})$ dans $\bar{\mathcal{C}}$ et satisfaisant pour $X \in \mathcal{E}^m$ aux conditions initiales $u_n(0, X) = \varphi_n(X)$, $u(0, X) = \varphi(X)$ respectivement. On a

$$ (17) \qquad u_n(t, X) = \int_{\mathbb{E}^m} \varphi_n(Y) \mu(t, X; dY) \quad \text{pour} \quad (t, X) \in \bar{\mathcal{C}} $$

et il existe un $T$ tel que $0 < T \le T$ et que

$$ (18) \quad \lim_{n \to \infty} u_n(t, X) = u(t, X) \quad \text{pour} \quad (t, X) \in \bar{\mathcal{C}}, 0 \le t \le T \text{ et } X \in \mathcal{E}^m $$

La fonction $u(t, X)$ est également représentable dans la couche $\bar{\mathcal{C}}$ sous la forme (5), ce qui va être établi.

**5.** Commençons par démontrer le théorème suivant:

**THÉORÈME 2.** *Il existe un nombre $T > 0$ tel que*

$$ \int_{\mathbb{E}^m} \exp(K|Y|^2) \mu(t, X; dY) < \infty \quad \text{pour} \quad (t, X) \in \bar{\mathcal{C}}, 0 \le t \le T \text{ et } X \in \mathcal{E}^m, \\ K \text{ étant la constante introduite au n° 4.} $$

**Démonstration.** Soit $\{\bar{\varphi}_n(X)\}$ une suite non décroissante de fonctions continues de classe $E_2(1, K)$ dans $\mathcal{E}^m$, aux supports bornés et telles que $\lim_{n \to \infty} \bar{\varphi}_n(X) = \exp K |X|^2$. Soit $\{\bar{u}_n(t, X)\}$ la suite de solutions de l'équation (1), régulières de classe $E_2$ dans la couche $\bar{\mathcal{C}}$ et telles que $\bar{u}(0, X) = \bar{\varphi}_n(X)$ pour $n = 1, 2, \dots$. D'une part, il existe en vertu du théorème 1 un nombre $T \le T$ (le même qui a été choisi au n° 4), tel que

$$ (19) \quad \lim_{n \to \infty} \bar{u}_n(t, X) = \bar{u}(t, X) \quad \text{pour} \quad (t, X) \in \bar{\mathcal{C}}, 0 \le t \le T \text{ et } X \in \mathcal{E}^m, $$

$\bar{u}(t, X)$ étant la solution de l'équation (1), régulière de classe $E_2$ dans $\bar{\mathcal{C}}$ et telle que $\bar{u}(0, X) = \exp K |X|^2$ pour $X \in \mathcal{E}^m$. D'autre part, on a

$$ (20) \quad \bar{u}_n(t, X) = \int_{\mathbb{E}^m} \bar{\varphi}_n(Y) \mu(t, X; dY) \quad \text{pour} \quad (t, X) \in \bar{\mathcal{C}} \text{ et } n=1, 2, \dots $$
La suite {$\overline{u}_n(t, X)$} est monotone non décroissante et on a d'après (19) $\overline{u}_n(t, X) \le \overline{u}(t, X)$ pour $(t, X) \in \overline{\mathcal{C}}$ et $n = 1, 2, ...$ Par suite, le point $(t, X) \in \overline{\mathcal{C}}$ étant fixé, la suite des intégrales formant le membre droit de (20) est bornée supérieurement. On a en vertu du théorème de Lebesgue sur l'intégration terme à terme des suites monotones (voir Saks [12], p. 28, et Halmos [6], § 27)

$$ \int_{\mathcal{S}^m} \exp K |Y|^2 \mu(t, X; dY) = \lim_{n \to \infty} \overline{u}_n(t, X) \\ = \overline{u}(t, X) < \infty \quad \text{pour} \quad (t, X) \in \overline{\mathcal{C}}, $$

ce qui achève la démonstration.

**THÉORÈME 3.** Soit $\varphi(X)$ une fonction continue de classe $E_2(M, K)$. Soit $u(t, X)$ une solution de l'équation (1), régulière et de classe $E_2$ dans la couche $\overline{\mathcal{C}}$ (voir théorème 2). On a l'égalité (5), c'est-à-dire

$$ u(t, X) = \int_{\mathcal{S}^m} \varphi(Y) \mu(t, X; dY) \quad \text{pour} \quad (t, X) \in \overline{\mathcal{C}}, $$

$\mu(t, X; E)$ étant la mesure définie au n° 4.

**Démonstration.** On a, comme il a été montré au n° 3, les égalités (17), la suite {$u_n(t, X)$} de solutions de l'équation (1) satisfaisant aux conditions (7) où $\varphi_n(X)$ sont des fonctions de classe $E_2(M, K)$ aux supports bornés. Il résulte du théorème 2 que les fonctions $\varphi_n(X)$ sont bornées par une fonction commune, sommable (intégrable) par rapport à la mesure $\mu(t, X; E)$. D'une part, on a en vertu du second théorème de Lebesgue sur l'intégration terme à terme (voir Saks [12], p. 29, et Halmos [6], § 26)

$$ \lim_{n \to \infty} u_n(t, X) = \lim_{n \to \infty} \int_{\mathcal{S}^m} \varphi_n(Y) \mu(t, X; dY) = \int_{\mathcal{S}^m} \varphi(Y) \mu(t, X; dY). $$

D'autre part, on a (18) et par conséquent l'égalité (5) pour $(t, X) \in \overline{\mathcal{C}}$.

**Remarque.** La mesure $\mu(t, X; E)$ dépend évidemment des coefficients de l'équation (1). En apparence, elle dépend aussi du nombre $K$, mais la façon dont elle a été introduite (voir n° 1) montre qu'il n'en est pas ainsi. Par contre, le domaine de la validité de la formule (5), c'est-à-dire la couche $\overline{\mathcal{C}}$, dépend en général du nombre $K$.

## TRAVAUX CITES

<footnote>[1] H. Bauer, *Axiomatische Behandlung des Dirichletschen Problems für elliptische und parabolische Differentialgleichungen*, Mathematische Annalen 146 (1962), p. 1-59.</footnote>

<footnote>[2] M. Brelot, *Familles de Perron et le problème de Dirichlet*, Acta Scientiarum Mathematicarum 9 (1939), p. 133-153.</footnote>
[3] — *Le problème de Dirichlet. Axiomatique et frontière de Martin*, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 35 (1956), p. 297-335.

[4] Z. Ciesielski et Z. Semadeni, *Przegląd niektórych nowszych metod w teorii potencjału*, I, Prace Matematyczne 8 (1964), p. 147-191 (en polonais).

[5] J. L. Doob, *Probability approach to the heat equation*, Transactions of the American Mathematical Society 80 (1955), p. 216-280.

[6] P. R. Halmos, *Measure theory*, New York 1950.

[7] G. A. Hunt, *Some theorems concerning Brownian motion*, Transactions of the American Mathematical Society 81 (1956), p. 224-319.

[8] A. Il'in, A. Kalashnikov and O. Oleinik, *Second order linear equations of parabolic type*, Russian Mathematical Surveys 17 (1962), n° 3, p. 1-143.

[9] M. Krzyżański, *Sur les solutions de l'équation linéaire du type parabolique déterminées par les conditions initiales*, Annales de la Société Polonaise de Mathématique 18 (1945), p. 145-156; note complémentaire, ibidem 20 (1947), p. 7-9.

[10] — *Certaines inégalités relatives aux solutions de l'équation parabolique linéaire normale*, Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Série des sciences mathématiques, astronomiques et physiques 7 (1959), p. 131-135.

[11] — *Solutions of a linear second order equation of parabolic type defined in an unbounded domain*, Differential equations and their applications, Proceedings of the Conference held in Prague in September 1962, Prague 1963, p. 55-63.

[12] S. Saks, *Theory of the integral*, Warszawa-Lwów 1937.

Reçu par la Rédaction le 13. 12. 1965