Comptes Rendus
Physique

Yvan Castin

Questions ouvertes pour les gaz de fermions en interaction forte et de portée nulle

Volume 26 (2025), p. 393-461

En ligne depuis le 15 mai 2025

https://doi.org/10.5802/crphys.244

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Intervention en colloque / *Intervention in a conference*

# Questions ouvertes pour les gaz de fermions en interaction forte et de portée nulle

*Open questions for strongly interacting Fermi gases with zero-range interactions*

Yvan Castin<sup>a</sup>

<sup>a</sup> Laboratoire Kastler Brossel, ENS-Université PSL, CNRS, Université Sorbonne et
Collège de France, 24 rue Lhomond, 75231 Paris, France

Courriel : yvan.castin@lkb.ens.fr

**Résumé.** Nous passons en revue quelques questions théoriques non résolues dans les gaz tridimensionnels de fermions à deux composantes, en nous inspirant des expériences réalisées récemment sur les atomes froids dans des pièges immatériels près d'une résonance de Feshbach magnétique. Nous distinguons successivement (i) les questions ouvertes apparaissant dans le problème à petit nombre de corps avec interactions de contact dites de Wigner-Bethe-Peierls — essentiellement la stabilité du gaz vis-à-vis de l'effet Efimov et le calcul des coefficients d'amas (ou du viriel), (ii) celles relevant de la théorie effective de basse énergie dite hydrodynamique quantique de Landau et Khalatnikov — essentiellement l'amortissement des modes de phonons et le temps de cohérence du condensat de paires liées, et enfin (iii) les questions nécessitant une résolution complète, microscopique, du problème à N corps, comme les propriétés précises de la branche d'excitation sonore (de Goldstone) du condensat de paires, ou de sa branche d'excitation collective (de Higgs) dans le continuum de paire brisée.

**Abstract.** We review some unresolved theoretical issues in three-dimensional two-component Fermi gases, drawing on recent experiments on cold atoms in immaterial traps close to a magnetic Feshbach resonance. We distinguish successively (i) the open questions arising in the few-body problem with Wigner-Bethe- Peierls contact interactions—essentially the stability of the gas with respect to the Efimov effect and the calculation of the cluster (or virial) coefficients, (ii) those arising in the effective low-energy theory of Landau and Khalatnikov quantum hydrodynamics—essentially the damping of phonon modes and the coherence time of the condensate of pairs, and finally (iii) questions requiring a complete, microscopic solution of the many-body problem, such as the specific properties of the acoustic excitation branch (Goldstone) of the condensate of pairs, or its collective excitation branch (Higgs) in the broken-pair continuum.

**Mots-clés.** Gaz de fermions, Hydrodynamique quantique, Effet Efimov, Limite unitaire, Interactions de contact, Développement en amas ou du viriel, Mode de Higgs.

**Keywords.** Fermi gases, Quantum hydrodynamics, Efimov effect, Unitary limit, Contact interactions, Cluster or virial expansion, Higgs mode.

Manuscrit reçu le 25 octobre 2024, révisé et accepté le 3 mars 2025.
Sommaire

<table><tr><td>Version française (English version starts on p 426)</td><td>394</td></tr><tr><td>1. Introduction et présentation générale</td><td>394</td></tr><tr><td>2. Un système physique assez récent</td><td>396</td></tr><tr><td>3. Questions ouvertes dans un point de vue microscopique</td><td>399</td></tr><tr><td>3.1. Définition du modèle de Wigner-Bethe-Peierls</td><td>399</td></tr><tr><td>3.2. Questions d'existence</td><td>401</td></tr><tr><td>3.3. Ce qui est connu sur le domaine de stabilité</td><td>405</td></tr><tr><td>3.4. Développement en amas ou du viriel</td><td>406</td></tr><tr><td>4. Questions ouvertes dans un point de vue macroscopique</td><td>408</td></tr><tr><td>4.1. Vue d'ensemble du régime superfluide considéré</td><td>409</td></tr><tr><td>4.2. Quelle théorie macroscopique utiliser?</td><td>412</td></tr><tr><td>4.3. Comment calculer l'amortissement des phonons?</td><td>415</td></tr><tr><td>4.4. Diffusion de phase du condensat de paires</td><td>421</td></tr><tr><td>5. Questions ouvertes requérant une théorie microscopique du problème à N corps</td><td>423</td></tr><tr><td>5.1. Déterminer les ingrédients de l'hydrodynamique quantique</td><td>423</td></tr><tr><td>5.2. Décrire les modes de haute fréquence</td><td>424</td></tr><tr><td>Déclaration d'intérêts</td><td>426</td></tr><tr><td>English version (la version française commence à la page 394)</td><td>426</td></tr><tr><td>1. Introduction and general presentation</td><td>426</td></tr><tr><td>2. A fairly recent physical system</td><td>428</td></tr><tr><td>3. Open questions from a microscopic point of view</td><td>430</td></tr><tr><td>3.1. Defining the Wigner-Bethe-Peierls model</td><td>431</td></tr><tr><td>3.2. Questions of existence</td><td>433</td></tr><tr><td>3.3. What is known on the stability domain</td><td>437</td></tr><tr><td>3.4. Cluster or virial expansion</td><td>438</td></tr><tr><td>4. Open questions from a macroscopic point of view</td><td>440</td></tr><tr><td>4.1. Overview of the considered superfluid regime</td><td>440</td></tr><tr><td>4.2. Which macroscopic theory to use?</td><td>443</td></tr><tr><td>4.3. How to calculate phonon damping?</td><td>446</td></tr><tr><td>4.4. Phase diffusion of the pair condensate</td><td>451</td></tr><tr><td>5. Open questions requiring a microscopic theory of the many-body problem</td><td>453</td></tr><tr><td>5.1. Determining the ingredients of quantum hydrodynamics</td><td>453</td></tr><tr><td>5.2. Describing high-frequency modes</td><td>455</td></tr><tr><td>Declaration of interests</td><td>456</td></tr><tr><td>Références</td><td>456</td></tr></table>

Version française (English version starts on p 426)

1. Introduction et présentation générale

Ce texte est essentiellement la retranscription de notre exposé de 90 minutes au colloque de prospective « Questions ouvertes dans le problème quantique à N corps » qui s'est tenu à l'Institut Henri Poincaré à Paris, du 8 au 12 juillet 2024, d'où son style et son niveau de précision différents de ceux d'un article de recherche habituel. Il est plus complet que l'exposé sur la section 4 (traitée rapidement à l'oral) et sur la section 5 (omise à l'oral par manque de temps). Les notes en bas de page peuvent être ignorées en première lecture. L'exposé a été enregistré et est disponible en ligne sur la chaîne Carmin de l'IHP (cliquer ici).
Le système considéré est inspiré des expériences sur les atomes froids : il s'agit d'un gaz tri-
dimensionnel de fermions à deux composantes (comprendre deux états internes ↑ et ↓) dans un
piège immatériel — fait de lumière, à des températures très basses de l'ordre du microkelvin.
C'est le digne descendant des gaz d'atomes refroidis par laser (dans les fameuses « mélasses op-
tiques », voir le prix Nobel de physique 1997 décerné à Steven Chu, William Phillips et Claude
Cohen-Tannoudji) puis des condensats de Bose–Einstein atomiques gazeux refroidis par évapo-
ration (voir le prix Nobel de physique 2001 décerné à Eric Cornell, Carl Wieman et Wolfgang Ket-
terle).

Par rapport à leurs illustres prédécesseurs, les gaz d'atomes froids fermioniques ont l'avantage
(i) d'être composés de fermions, ce qui permet de couvrir les deux statistiques possibles (on peut
toujours « bosoniser » le gaz en formant des paires fortement liées ↑↓) et de faire un lien direct
avec les systèmes d'électrons (des fermions!) de la physique du solide, (ii) de rester collisionnel-
lement stables (peu de pertes à trois corps par recombinaison vers des états moléculaires pro-
fonds) même dans le régime d'interaction forte comme dans la fameuse « limite unitaire » dé-
crite plus bas (au contraire pour l'instant des gaz d'atomes froids bosoniques), et (iii) de consti-
tuer dans ledit régime des systèmes modèles, beaux, simples et universels, grâce à la portée né-
gligeable des interactions de van der Waals entre ↑ et ↓ (plus précisément, la longueur de van der
Waals associée est négligeable); comme nous le verrons, ceci autorise à remplacer l'interaction
par des conditions de contact sur la fonction d'onde à N corps dépendant de la seule longueur de
diffusion a dans l'onde s, longueur que les expérimentateurs ajustent à volonté au moyen d'une
résonance de Feshbach, par simple application d'un champ magnétique uniforme bien choisi.

Notre système n'est pas sans rapport avec ceux d'autres exposés du colloque. Le lien est
évident avec la contribution de Tilman Enss sur la viscosité des gaz de fermions en interaction
forte [1], complémentaire de la nôtre. Mais si l'on place nos fermions dans un réseau optique, à
raison d'environ une particule par site (près du demi-remplissage), on retombe sur les problèmes
de fermions fortement corrélés et de supraconductivité à haute température critique discutés
par Antoine Georges. Dans un régime qui plus est d'interaction sur site U↑↓ forte devant le
couplage tunnel *t* entre sites voisins, *U*↓ ≫ *t*, le système est décrit par un hamiltonien modèle
de spins de type Heisenberg, avec un couplage magnétique *J* ∝ *t*²/*U*↑↓, ce qui fait le lien
avec l'exposé de Sylvain Capponi [2]. En revenant à un système uniforme (sans réseau) mais
en appliquant un champ de jauge artificiel (un champ magnétique fictif) à nos atomes froids
fermioniques pourtant neutres, ce que les expérimentateurs savent faire, voir l'exposé de Sylvain
Nascimbène [3], on tombe sur des problématiques proches des exposés de Thierry Jolicœur [4]
(sur l'effet Hall quantique fractionnaire à 2D) et de Carlos Sá de Melo [5] (couplage spin-orbite
à une dimension d'espace). Tous ces ponts vers la physique du solide ne sont cependant pas
si faciles que cela à emprunter, à cause d'effets parasites non conservatifs, de la taille finie des
échantillons et d'une difficulté à descendre à suffisamment basse température (en unités de la
température de Fermi *T*<sub>F</sub> ou de couplage magnétique *J*/*k*<sub>B</sub>), voir les exposés de Wolfgang Ketterle,
de Sylvain Nascimbène et d'Antoine Georges.

Terminons par le plan de notre contribution. Dans la section 2, nous partons du réel en
esquissant le cheminement des expériences sur les atomes froids depuis les années 1980 et la
situation atteinte dans le cas des fermions. Dans la section 3, nous adoptons un point de vue
microscopique, d'interactions remplacées par des conditions de contact, et passons en revue
quelques questions ouvertes dans le problème à petit nombre de fermions. Dans la section 4,
nous adoptons au contraire un point de vue macroscopique, celui d'une théorie effective de basse
énergie (l'hydrodynamique quantique), et passons en revue quelques questions ouvertes liées à
l'interaction entre les phonons (les quanta des ondes sonores) dans la phase superfluide. Enfin,
dans la courte section 5, nous croisons les points de vue, en listant quelques questions ouvertes
requérant un traitement théorique microscopique du problème à N corps complet.
## 2. Un système physique assez récent

Commençons par une mise en contexte de nos gaz de fermions, au moyen d'un bref historique des atomes froids.

L'aventure commence au début des années 1980 par le refroidissement laser des alcalins. Les basses températures atteintes sont spectaculaires lorsqu'on les exprime en kelvins, $T \approx 1$ µK, mais les densités spatiales sont malheureusement très faibles, $\rho \lesssim 10^{10}$ at/cm$^3$, si bien que les gaz ont une très faible dégénérescence quantique, c'est-à-dire une très faible densité dans l'espace des phases, $\rho \lambda^3 \ll 1$, où $\lambda$ est la longueur d'onde thermique de de Broglie des atomes de masse $m$ :

$$ \lambda = \left( \frac{2\pi\hbar^2}{mk_B T} \right)^{1/2} \qquad (1) $$

Les effets de statistique quantique (bosoniques ou fermioniques) sont imperceptibles.

Tout change en 1995, lorsqu'Eric Cornell et Carl Wieman au JILA [6], suivis de peu par Wolfgang Ketterle au MIT [7], atteignent la condensation de Bose-Einstein (CBE), évidemment sur des isotopes bosoniques, grâce au refroidissement par évaporation dans des potentiels de piégeage non dissipatifs à fond harmonique<fnref n="1" />. Les températures de transition restent dans la gamme du refroidissement laser, $T_c^{CBE} \approx 0,1$ à $1$ µK, mais les densités spatiales sont considérablement plus élevées, $\rho = 10^{12}$ à $10^{15}$ at/cm$^3$, ce qui permet l'atteinte de la dégénérescence quantique $\rho \lambda^3 \gtrsim 1$.

Enfin, en 2004, le refroidissement par évaporation est étendu avec succès aux isotopes fermioniques jusqu'à la température de transition [11,12]; les gaz à deux états internes $\uparrow$ et $\downarrow$ ne forment plus des condensats de Bose-Einstein mais condensent par paires $\uparrow\downarrow$ par le mécanisme BCS [13] : les interactions de van der Waals attractives entre $\uparrow$ et $\downarrow$ conduisent, en présence d'une mer de Fermi dans chaque état interne, à la formation de paires liées, les fameuses paires de Cooper, des « bosons composites », qui peuvent former un condensat à suffisamment basse température, $T < T_c^{BCS}$. Les températures les plus basses accessibles expérimentalement sont de l'ordre de $0,1 T_F$, où la température de Fermi $T_F$ reste de l'ordre du microkelvin; ceci suffit néanmoins à franchir $T_c^{BCS}$ car les interactions entre $\uparrow$ et $\downarrow$ sont rendues très fortes au moyen d'une résonance de diffusion à deux corps (résonance de Feshbach magnétique) : la température de transition $T_c^{BCS}$ est alors une fraction de $T_F$ et l'on évite la situation extrême des supraconducteurs BCS, pour lesquels $T_c^{BCS} \ll T_F$ par plusieurs ordres de grandeur.

Décrivons maintenant notre système d'atomes froids fermioniques dans ses grandes lignes, dans un début d'idéalisation de la réalité expérimentale. (i) Les fermions sont à deux états internes $\uparrow$ et $\downarrow$; comme nous n'envisageons pas ici de couplage de Rabi interconvertissant $\uparrow$ et $\downarrow$, nos considérations s'appliquent aussi au cas d'un mélange de deux espèces chimiques de fermions formellement sans spin; pour cette raison, nous ne supposons pas que les masses $m_\sigma$ des particules sont égales dans les deux états internes<fnref n="2" /> et nous considérons le rapport $m_\uparrow/m_\downarrow$ comme un paramètre libre. (ii) Les fermions sont piégés, soit dans des potentiels harmoniques isotropes de même pulsation de piégeage $\omega$ pour les deux composantes $\sigma$,

$$ U_{\sigma}(\mathbf{r}) = \frac{1}{2} m_{\sigma} \omega^2 r^2 \qquad (2) $$

<footnote n="1">¹La référence [8] a réussi plus tard, au moyen d'astuces bien trouvées, à obtenir un condensat de Bose-Einstein sans évaporation, par le seul refroidissement laser (voir aussi la référence [9]); pour cela, il a fallu en particulier (i) utiliser une raie atomique étroite à faible saturation pour rendre aussi basse que possible la température limite du refroidissement laser [10] et (ii) réussir à éviter que les photons d'émission spontanée, qui emportent une partie de l'énergie du mouvement des atomes, ne la redéposent par réabsorption dans le gaz.</footnote>

<footnote n="2">²Dans le cas où $\uparrow$ et $\downarrow$ sont deux états de spin d'une même espèce chimique, on a naturellement $m_\uparrow = m_\downarrow$ dans l'expérience. On pourrait cependant, par application d'un réseau optique se couplant différemment aux deux états internes (dans une limite de faible taux de remplissage), produire des masses effectives $m_\sigma$ différentes. Ceci reste à faire.</footnote>
où *r* est le vecteur position à 3D, soit dans la boîte de quantification cubique [0, L]<fnref n="3" /> commune aux deux composantes, avec les habituelles conditions aux limites périodiques<fnref n="3" />. (iii) L'interaction de van der Waals entre les deux états internes ↑ et ↓, représentée schématiquement sur la figure 1a, est rendue de manière effective très forte (résonnante) dans l'onde *s* (moment cinétique orbital relatif *l* = 0) par application d'un champ magnétique idoine<fnref n="4" /> si bien que la longueur de diffusion *a* entre deux atomes ↑ et ↓ (définie mathématiquement dans la section 3.1) est suffisamment grande en valeur absolue (elle peut être positive ou négative) pour que

$$ \rho^{1/3} |a| \gtrsim 1 \qquad (3) $$

On rappelle que la théorie des gaz de bosons en interaction faible fait usage du petit paramètre ($\rho a^3)^{1/2} \ll 1$, voir la contribution de Jan Solovej [17] aux actes du colloque; la condition (3) est donc au contraire la marque d'un gaz en interaction forte. La longueur du diffusion *a* est également beaucoup plus grande en valeur absolue que la portée *b* de l'interaction, définie sur la figure 1a,

$$ |a| \gg b \qquad (4) $$

ce qui est bien la marque d'une résonance de diffusion à deux corps. Comme *b* est de l'ordre de quelques nanomètres dans les expériences, on a aussi

$$ b \ll \rho^{-1/3}, \lambda \qquad (5) $$

ce qui donne l'idée de construction d'un système modèle, par passage à la limite $b \to 0$ à *a* fixé d'une interaction de portée nulle, caractérisée seulement par la longueur algébrique *a*. Cette idée sera mise en œuvre dans la section 3.1. (iv) En revanche, l'interaction n'est pas résonnante dans l'onde *p* (moment cinétique orbital relatif *l* = 1) donc les interactions ↑↑ et ↓↓, qui se produisent de façon prédominante dans cette onde à basse énergie (antisymétrie fermionique oblige), sont négligeables.

Comme nous le verrons dans la section 3, l'existence d'un modèle bien défini (d'énergie bornée inférieurement lorsque $b \to 0$) constitue un problème mathématiquement non trivial. On peut déjà en proposer une condition nécessaire, inspirée de la réalité expérimentale. On l'aura en effet bien compris sur la figure 1a : puisque l'interaction de van der Waals admet (au moins) un état lié à deux corps de taille ≈ *b*, la phase gazeuse considérée jusqu'à présent et vue dans les expériences n'est qu'une phase métastable, échappant temporairement à la solidification prédite par les lois de la physique à l'équilibre, solidification dont les pertes à trois corps sont les précurseurs (voir la figure 1b). Ces pertes se produisent avec un taux estimé comme suit dans la référence [18] pour des masses égales :

$$ \Gamma_{\text{pertes}}^{3 \text{ corps}} \propto \frac{\hbar}{mb^2} \text{Proba}(3 \text{ fermions } \uparrow\uparrow\downarrow \text{ ou } \downarrow\downarrow\uparrow \text{ dans une même boule de rayon } b) \qquad (6) $$

<footnote n="3">³Expérimentalement, on sait réaliser des boîtes de potentiel à fond plat au moyen de faisceaux de Laguerre-Gauss ou de Bessel-Gauss et de nappes de lumière laser, après compensation de la pesanteur (mise en lévitation des atomes) par un gradient de champ magnétique [14-16].</footnote>

<footnote n="4">⁴Sans entrer dans les détails, signalons que, pour comprendre cette résonance, il faut tenir compte de la structure interne des atomes et décrire leur interaction binaire a minima par un modèle à deux voies, une voie ouverte de potentiel d'interaction $V_0(r_{12})$ et une voie fermée de potentiel d'interaction $V_f(r_{12})$ — on pourra penser aux potentiels d'interaction singulet et triplet de deux fermions de spin 1/2. Lors d'une collision, les atomes ↑ et ↓ entrent par la voie ouverte et, par conservation de l'énergie, sortent aussi par la voie ouverte car leur énergie cinétique relative incidente est inférieure à la différence des limites de dissociation $V_f(+\infty) - V_0(+\infty) > 0$. Comme il existe un couplage entre les deux voies, les atomes peuplent cependant virtuellement la voie fermée pendant la collision. Le champ magnétique B appliqué induit un déplacement Zeeman différent dans les deux voies. Il suffit alors de choisir *B* astucieusement pour que l'énergie d'un état lié dans $V_f(r_{12})$ — pas l'énergie nue mais l'énergie déplacée par le couplage — coïncide presque avec la limite de dissociation $V_0(+\infty)$, ce qui induit une résonance de diffusion (ou de collision) à deux corps dans la voie ouverte et fait diverger la longueur de diffusion *a*.</footnote>
<figure><img src="image_2.png" /></figure>

FIGURE 1. (a) Représentation schématique de l'interaction de van der Waals (plus précisément de Lennard-Jones) résonnante ($|a| \gg b$) entre les fermions ↑ et ↓ en fonction de leur distance relative. Le potentiel admet au moins un état fortement lié d'extension de l'ordre de la longueur de van der Waals $b \approx (mC_6/\hbar^2)^{1/4}$ donc d'énergie de liaison $\approx \hbar^2/mb^2$ et, dans le cas d'une longueur de diffusion $a > 0$ comme sur la figure, un dernier niveau d'énergie d'extension $a$ (d'énergie de liaison $\hbar^2/ma^2$) sur « le point de disparaître » (ici $m_↑ = m_↓ = m$ comme dans les expériences); si $a$ était grande mais négative ($|a| \gg b, a < 0$), cet état faiblement lié serait sur « le point d'apparaître ». (b) L'état dimère fortement lié peut être peuplé par des collisions à trois corps, ce qui est à l'origine de pertes de particules dans le gaz de fermions, dites pertes à trois corps (les produits de la collision emportent l'énergie de liaison $\approx \hbar^2/mb^2$ considérable sous forme d'énergie cinétique et quittent le piège). Les flèches représentent les quantités de mouvement avant et après la collision.

Le premier facteur représente l'échelle d'énergie pertinente de ce processus de recombinaison : c'est l'énergie de liaison du dimère fortement lié formé, et l'échelle de longueur $|a| \gg b$ ne peut intervenir. Le second facteur tient compte du fait que le processus à trois fermions ne peut pas se produire si l'un des fermions est séparé des deux autres par une distance $\gg b$, par quasi-localité dans l'espace des positions : en effet, la portée des interactions et la taille du dimère fortement lié sont toutes deux de l'ordre de $b$. Le coefficient de proportionnalité dans l'équation (6) dépend des détails de la physique microscopique. Nous aboutissons ainsi à une condition de stabilité expérimentale du gaz de fermions dans la limite $b \to 0$ d'une interaction de contact :

$$ \Gamma_{\text{pertes}}^{3 \text{ corps}} \underset{b \to 0}{\to} 0 \qquad (7) $$

L'étude de ce système, pourtant gazeux, est rendue non triviale par la force des interactions. Par exemple, puisque $k_F|a| \approx 1$, où $k_F = (3\pi^2\rho)^{1/3}$ est le nombre d'onde de Fermi, la température de transition superfluide est a priori de l'ordre de la température de Fermi $T_F = E_F/k_B$ (il n'y a pas
d'autre échelle disponible que l'énergie de Fermi $E_F = \hbar^2 k_F^2 / 2m$) et sera difficile à calculer avec précision : la théorie BCS sera au mieux qualitative, et les méthodes de Monte-Carlo quantique sont difficiles à appliquer aux fermions; le défi a cependant été relevé par la référence [19], il est vrai dans le cas symétrique de masses et de potentiels chimiques égaux dans les deux composantes, où existent des méthodes de Monte-Carlo exemptes du fameux « problème de signe ».

### 3. Questions ouvertes dans un point de vue microscopique

Dans cette section, les interactions entre fermions sont remplacées dans une limite de portée nulle par des conditions de contact sur la fonction d'onde à N corps, l'opérateur hamiltonien se réduisant alors à celui du gaz parfait (modèle de Wigner-Bethe-Peierls [20,21]).

#### 3.1. Définition du modèle de Wigner-Bethe-Peierls

Pour construire le modèle, partons de la perception simple que nous en donnerait une photographie du gaz, c'est-à-dire une mesure des positions des N fermions comme les microscopes à gaz quantique permettent de le faire depuis peu dans le cas homogène [22]. Dans la limite où la portée b de l'interaction tend vers zéro, la photo typique ressemble à la figure 2a : les fermions sont séparés deux à deux par une distance ≫ b et le potentiel d'interaction $V(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j)$ est négligeable. La fonction d'onde à N corps obéit dans ce cas à l'équation de Schrödinger stationnaire

$$E\psi = H_{\text{gaz parfait}}\psi \quad (8)$$

avec l'opérateur hamiltonien du gaz parfait, somme des termes d'énergie cinétique $\mathbf{p}^2 / 2m_\sigma$ et de piégeage $U_\sigma(\mathbf{r})$ dans chaque état interne $\sigma$ :

$$H_{\text{gaz parfait}} = \sum_{i=1}^{N_\uparrow} \left( \frac{\mathbf{p}_i^2}{2m_\uparrow} + U_\uparrow(\mathbf{r}_i) \right) + \sum_{j=N_\uparrow+1}^{N} \left( \frac{\mathbf{p}_j^2}{2m_\downarrow} + U_\downarrow(\mathbf{r}_j) \right) \quad (9)$$

On convient ici de numéroter les particules de façon que les $N_\uparrow$ premières soient dans l'état interne $\uparrow$ et les $N_\downarrow$ dernières soient dans l'état interne $\downarrow$; la fonction d'onde $\psi(\mathbf{r}_1, \dots, \mathbf{r}_N)$ est alors une fonction antisymétrique des $N_\uparrow$ premières positions et une fonction antisymétrique des $N_\downarrow$ dernières positions.

Certaines photos ressembleront cependant à la figure 2b : deux fermions i et j, d'états internes différents, respectivement $\uparrow$ et $\downarrow$, sont séparés des autres par une distance ≫ b mais sont séparés entre eux d'une distance ≈ b donc subissent l'effet du potentiel d'interaction $V(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j)$. La bonne façon de voir est de dire que i et j sont en train de subir dans le gaz une diffusion à deux corps isolée, ce qui a deux conséquences, l'une qualitative, l'autre quantitative.

Qualitativement, on comprend qu'il vaut mieux, dans notre gaz très peu dense (au sens où $\rho b^3 \ll 1$), caractériser l'interaction entre $\uparrow$ et $\downarrow$ par son amplitude de diffusion à deux corps, plus généralement par un opérateur de transmission dit matrice T, que par la fonction $V(\mathbf{r})$ elle-même; comme l'interaction se produit dans l'onde s, l'amplitude de diffusion f est isotrope et ne dépend que du nombre d'onde relatif $k_{\text{rel}}$ des deux particules; dans la limite $b \to 0$ à longueur de diffusion a fixée, on dispose alors du développement de basse énergie<fnref n="5" />

$$f_{k_{\text{rel}}} = \frac{-1}{a^{-1} + ik_{\text{rel}} - (1/2)k_{\text{rel}}^2 r_e + O(k_{\text{rel}}^3 b^2)} \quad (10)$$

<footnote n="5">⁵Si $V(\mathbf{r})$ décroît plus vite que $1/r^7$ à l'infini, on peut mettre un $O(k_{\text{rel}}^4 b^3)$ au dénominateur.</footnote>
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**FIGURE 2.** Photographie du gaz montrant les positions (étoiles) des N fermions, comme le ferait un microscope à gaz quantique, dans la limite d'une interaction de portée $b \to 0$ (à titre indicatif, nous avons entouré chaque étoile d'un cercle de diamètre $b$). (a) Cas typique : les particules sont séparées deux à deux par une distance $\gg b$ et n'interagissent pas. Ceci fixe l'opérateur hamiltonien (9) du modèle de Wigner-Bethe-Peierls. (b) Cas où deux particules $\uparrow$ et $\downarrow$, bien séparées des autres, subissent une collision binaire. Ceci fixe les conditions de contact (17) du modèle. (c) Cas d'une collision ternaire isolée. Ceci interroge sur la nécessité de conditions de contact à trois corps.</figcaption></figure>

Nous supposons dans la suite que la portée effective de l'interaction $r_e$ est un $O(b)$ donc devient négligeable lorsque $b \to 0$ $^6$. Aussi l'amplitude de diffusion se réduit-elle à la forme universelle pour une interaction de contact

$$f_{\text{rel}}^{\text{contact}} = \frac{-1}{a^{-1} + ik_{\text{rel}}} \qquad (11)$$

Quantitativement, on s'attend à ce que les deux fermions $\uparrow$ et $\downarrow$ proches se découpient des N-2 autres dans la fonction d'onde à N corps, au sens où

$$\psi(\mathbf{r}_1, \dots, \mathbf{r}_N) \underset{r_{ij}=O(b)}{\approx} \phi(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j) A_{ij}(\mathbf{R}_{ij}; (\mathbf{r}_k)_{k \neq i,j}) \qquad (12)$$

où $\mathbf{R}_{ij} = (m_\uparrow \mathbf{r}_i + m_\downarrow \mathbf{r}_j)/(m_\uparrow + m_\downarrow)$ est la position du centre de masse des particules $i$ et $j$, $\mathbf{r}_i = \mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j$ est leur position relative, $(\mathbf{r}_k)_{k \neq i,j}$ est le $(N-2)$-uplet des positions des autres particules, la fonction $A_{ij}$ n'est en général pas connue mais $\phi(\mathbf{r})$ est un état de diffusion à deux corps, solution de l'équation de Schrödinger

$$\varepsilon\phi(\mathbf{r}) = -\frac{\hbar^2}{2m_{\text{rel}}} \Delta\phi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r}) \qquad (13)$$

pour le mouvement relatif de masse $m_{\text{rel}} = m_\uparrow m_\downarrow / (m_\uparrow + m_\downarrow)$ à une énergie $\varepsilon$ dont l'expression formelle est donnée dans la référence [24] (voir son équation (85)) mais dont nous retiendrons seulement qu'elle est $\approx \hbar^2 k_{\text{typ}}^2 / 2m_{\text{rel}}$, où le nombre d'onde typique $k_{\text{typ}}$ dans le gaz est de l'ordre de $k_F$ pour $T = O(T_F)$. Dans la limite $b \to 0$, il suffit en fait d'analyser l'équation (13) dans l'intervalle

$$b \ll r \ll k_{\text{typ}}^{-1} \qquad (14)$$

le cas $r \le b$ n'apportant que des détails non universels sur l'interaction et le cas $r > k_{\text{typ}}^{-1}$ invalidant la factorisation (12) (la paire $ij$ n'est plus bien isolée comme sur la photo de la figure 2b). La première inégalité dans l'équation (14) permet de mettre $V(\mathbf{r})$ à zéro au second membre,

<footnote>$^6$Expérimentalement, il existe cependant des résonances de Feshbach magnétiques dites étroites, pour lesquelles $r_e$, négatif, est gigantesque à l'échelle atomique et peut être de l'ordre de $1/k_F$, à cause d'un couplage anormalement faible entre les voies ouverte et fermée de notre note 4, voir la référence [23]. Ces résonances sont difficiles à utiliser car elles nécessitent un très bon contrôle du champ magnétique. L'existence d'une portée effective de limite non nulle lorsque $b \to 0$ a cependant l'avantage de stabiliser le gaz dans le régime instable de la section 3.2 (le spectre reste borné inférieurement et le taux de pertes à trois corps (6) tend vers zéro), et devrait permettre la préparation et l'observation d'états liés efimoviens de longue durée de vie, pour peu que le rapport de masse $m_\uparrow/m_\downarrow$ soit assez grand. L'expérience reste à faire.</footnote>
la seconde permet d'assimiler l'énergie $\epsilon$ à zéro au premier membre de l'équation (13), d'où l'équation de Schrödinger simplifiée

$$0 = -\frac{\hbar^2}{2m_{\text{rel}}} \Delta\phi(\mathbf{r}) \qquad (15)$$

Sa solution générale dans l'onde $s$ (invariante par rotation) est combinaison linéaire de la solution constante 1 (l'onde incidente d'énergie nulle) et de la solution de Coulomb (l'onde diffusée) avec une amplitude relative fixée par $V(\mathbf{r})$ aux courtes distances :

$$\phi(\mathbf{r}) = \mathcal{N} \left(1 - \frac{a}{r}\right) = \frac{1}{a} - \frac{1}{r} \qquad (16)$$

Par définition, voir la contribution de Jan Solovej [17], la quantité $a$ est la longueur de diffusion du potentiel. Au troisième membre, nous avons choisi la normalisation commode (facteur $\mathcal{N}$ pris égal à $1/a$ au second membre) pour avoir un résultat fini à la résonance de diffusion $a^{-1} = 0$.

Nous arrivons ainsi naturellement à la définition du modèle de Wigner-Bethe-Peierls pour notre système tridimensionnel de ($N_1, N_2$) fermions à deux composantes en interaction de portée nulle et de longueur de diffusion $a \neq 0$ dans l'onde $s$ :

(1) l'opérateur hamiltonien est le même que celui du gaz parfait, comme dans les équations (8), (9)

(2) il y a antisymétrie fermionique du vecteur d'état $\psi$ pour les $N_1$ premières et pour les $N_2$ dernières positions

(3) l'interaction est décrite non pas par un potentiel $V$ mais par les conditions de contact suivantes sur $\psi$: pour tout indice $i \in \{1, ..., N_1\}$ et tout indice $j \in \{N_1+1, ..., N= N_1 + N_2\}$, il existe une fonction $A_{ij}$ telle que$^7$

$$\psi(\mathbf{r}_1, \dots, \mathbf{r}_N) = \sum_{r_{ij} \to 0} A_{ij}(\mathbf{R}_{ij}, (\mathbf{r}_k)_{k \neq i, j}) \left( \frac{1}{r_{ij}} - \frac{1}{a} \right) + O(r_{ij}) \qquad (17)$$

où l'on fait tendre vers zéro la distance $r_{ij}$ entre les particules $i$ et $j$ à positions fixées de leur centre de masse $\mathbf{R}_{ij}$ et des autres particules $\mathbf{r}_k$, en imposant $\mathbf{R}_{ij} \neq \mathbf{r}_k \forall k \neq i, j$ et les $\mathbf{r}_k$ deux à deux distincts (comme sur la figure 2b).

Mathématiquement, le point 3 signifie que le domaine de l'opérateur hamiltonien n'est pas le même que celui du gaz parfait : en l'absence d'interaction ($a = 0$), on élimine à juste titre les solutions qui divergent en $1/r_{ij}$, comme il est dit dans tout bon ouvrage de mécanique quantique. C'est la seule différence mais elle est de taille$^8$!

La figure 2c, qui montre un trio d'atomes proches, bien séparés des autres et en train de subir une diffusion à trois corps, fait naître une interrogation légitime : faut-il compléter le modèle par des conditions de contact à trois corps ? à quatre corps ? etc. Réponse dans la section suivante.

## 3.2. Questions d'existence

Il n'est pas évident que le modèle de Wigner-Bethe-Peierls, tel que nous l'avons défini en page 401, conduise à un hamiltonien auto-adjoint (sans conditions de contact supplémentaires) et,

<footnote>$^7$Les fonctions $A_{ij}$ ne sont pas indépendantes. L'antisymétrie fermionique impose que $A_{ij}(\mathbf{R}_{ij}, (\mathbf{r}_k)_{k \neq i, j}) = (-1)^{i-1}(-1)^{j-(N_1+1)} A_{1,N_1+1}(\mathbf{R}_{ij}, (\mathbf{r}_k)_{k \neq i, j})$ (pour les amener en première position dans leur état interne respectif et faire ainsi apparaître la fonction $A_{1,N_1+1}$, on a dû faire passer $\mathbf{r}_i$ à travers $i-1$ vecteurs positions de fermions $\uparrow$ et $\mathbf{r}_j$ à travers $j-(N_1+1)$ vecteurs positions de fermions $\downarrow$, d'où les signes).</footnote>

<footnote>$^8$Un point clé est que l'état de diffusion $\phi(\mathbf{r}) = 1/r - 1/a$ est bien de carré sommable sur un voisinage de l'origine, $\int_{r<r_{\text{max}}} d^3r |\phi(\mathbf{r})|^2 < \infty$ : il n'y a donc pas de coupure à mettre à courte distance et $a$ est la seule longueur associée à l'interaction. C'est différent dans les ondes de moment cinétique $l > 0$: $\phi(\mathbf{r}) = Y_l^{ml}(\theta, \phi)(r^l + a_{\text{gen}}^{2l+1}/r^{l+1})$ (où le paramètre $a_{\text{gen}} \neq 0$ généralisant $a$ est une longueur et $Y_l^{ml}$ est une harmonique sphérique) n'est alors plus de carré sommable, et il faut introduire une coupure donc une seconde longueur pour caractériser l'interaction [25].</footnote>
surtout, à un spectre d'énergie borné inférieurement. En effet, nous avons quand même fait
tendre une échelle d'énergie vers $-\infty$, celle $-\hbar^2/m_{\text{rel}}b^2$ associée à la portée de l'interaction,
en prenant la limite $b \to 0$ à longueur de diffusion $a$ fixée donc sans faire tendre la force des
interactions vers zéro, ce qui pourrait provoquer un effondrement du système sur lui-même,
comme dans l'effet Thomas bien connu en physique nucléaire [26]!

La discussion s'éclaire dans le cas particulier $a^{-1} = 0$, dit de la limite unitaire (l'amplitude de diffusion (11) du modèle atteint en module la valeur maximale $k_{\text{rel}}^{-1}$ autorisée dans l'onde $s$ par l'unitarité de la matrice de collision $S$), car les conditions de contact (17) deviennent invariantes d'échelle (c'est aussi le régime le plus intéressant et le plus ouvert car d'interaction maximale en phase gazeuse). Pour simplifier encore, limitons-nous aux états propres d'énergie $E=0$ dans l'espace libre, avec un centre de masse des $N$ fermions au repos. Comme il n'y a alors ni énergie ni potentiel extérieur pour introduire une échelle de longueur, on s'attend à ce que l'état propre $\psi$ lui-même soit invariant d'échelle, c'est-à-dire une fonction homogène des coordonnées (invariante à un facteur près par l'homothétie $\mathbf{r}_i \to \lambda \mathbf{r}_i$ de rapport $\lambda$ sur les $N$ positions), de la forme [27,28]

$$
\psi(\mathbf{r}_1, \dots, \mathbf{r}_N) = R^{s - \frac{3N-5}{2}} \Phi(\Omega) \quad (18)
$$

où (i) $R$ est l'hyperrayon interne, écart quadratique moyen des positions des $N$ particules à leur centre de masse C pondérées par les masses,

$$
MR^2 = \sum_{i=1}^{N} m_i (\mathbf{r}_i - \mathbf{C})^2 \quad (19)
$$

avec $M = \sum_{i=1}^{N} m_i$ la masse totale et $MC = \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{r}_i$; (ii) l'exposant d'échelle (le degré d'homo-
généité) est commodément repéré par la quantité $s$ après translation de $(3N-5)/2$ — pour révé-
ler une symétrie $s \leftrightarrow -s$; (iii) $\Phi$ est une fonction inconnue des $3N-4$ hyperangles complétant $R$
dans le paramétrage des $\mathbf{r}_i - \mathbf{C}$ en coordonnées hypersphériques. Le report de l'ansatz (18) dans
l'équation de Schrödinger (8) (avec $E=0$ et $U_\sigma = 0$ comme il a été dit) donne une équation aux
valeurs propres sur $\Phi$ :

$$
\left[ -\Delta_{\Omega} + \left( \frac{3N-5}{2} \right)^2 \right] \Phi(\Omega) = s^2 \Phi(\Omega) \quad (20)
$$

dont les valeurs propres ne sont autres que $s^2$ ! Comme le laplacien $\Delta_{\Omega}$ est pris sur un compact, l'hypersphère unité $S_{3N-4}$, les valeurs possibles de $s^2$ forment un ensemble discret, dans $\mathbb{R}$ à supposer que l'hamiltonien soit hermitien; on ne sait en général pas les calculer, à cause des difficiles conditions de contact (17) sur $\Phi(\Omega)^9$.

Nous nous contenterons dans la suite d'écrire formellement que $s$ est la racine d'une fonction
transcendante paire, dite fonction d'Efimov,

$$
\Lambda_{N_1, N_1}(s) = 0 \tag{21}
$$

sans spécifier cette fonction (le plus direct pour l'obtenir est d'imposer les conditions de contact (17) sur un ansatz de Faddeev écrit dans l'espace réciproque<fnref n="10" />, ce qui mène à une équation intégrale dite de Skorniakov-Ter-Martirosian — ici à la limite unitaire et à énergie nulle, dans

<footnote>$^9$Les conditions de contact (17) ne contraignent en revanche pas la dépendance de $\psi$ en l'hyperrayon. C'est que, si $\psi$ obéit aux conditions de contact, $f(R)\psi$ y obéit aussi, pourvu que le facteur $f(R)$ soit une fonction régulière de $R$. En effet, dans la limite $r_{ij} \to 0$ à $\mathbf{R}_{ij}$ et $(\mathbf{r}_k)_{k \neq i, j}$ fixés, on a $MR^2 = m_i(\mathbf{r}_i - \mathbf{C})^2 + m_j(\mathbf{r}_j - \mathbf{C})^2 + \text{cte} = m_i\mathbf{r}_i^2 + m_j\mathbf{r}_j^2 + \text{cte} = (m_i + m_j)\mathbf{R}_{ij}^2 + m_{\text{rel}}\mathbf{r}_{ij}^2 + \text{cte} = O(\mathbf{r}_{ij}^2) + \text{cte}$. Or, $(1/r_{ij} - 1/a)O(\mathbf{r}_{ij}^2)$ est un $O(r_{ij})$ négligeable.</footnote>

<footnote n="10">¹⁰Rappelons brièvement la construction de l'ansatz. On écrit d'abord l'équation de Schrödinger à énergie nulle au sens des distributions, $H_{\text{gaz}}$ parfait $\Psi = \sum_{i=1}^{N_1} \sum_{j=N_1+1}^{N} (2\pi\hbar^2/m_{\text{rel}})\delta(\mathbf{r}_{ij})A_{ij}(\mathbf{R}_{ij}, (\mathbf{r}_k)_{k \neq i, j})$ où les distributions de Dirac proviennent de l'action des opérateurs d'énergie cinétique sur les singularités en $1/r_{ij}$, en vertu de l'équation de Poisson $\Delta_{\mathbf{r}}(1/r) = -4\pi\delta(\mathbf{r})$, et $m_{\text{rel}}$ est la masse réduite de deux fermions de spins opposés comme nous l'avons dit. On en prend ensuite la transformée de Fourier $(\psi \to \tilde{\psi}, \Delta_{\mathbf{r}} \to -k^2)$. En tirant parti de l'antisymétrie fermionique comme dans la note 7 et de l'invariance par translation spatiale (le centre de masse est au repos), on se réduit à $\tilde{\psi}(\mathbf{k}_1, \dots, \mathbf{k}_N) =$</footnote>
laquelle on reporte l'équivalent de Fourier de l'ansatz (18); l'équation transcendante (21) qui en résulte admet une écriture explicite pour $N = 3$ [29], et s'écrit comme le déterminant d'un opérateur pour $N > 3$, cet opérateur étant donné explicitement pour $N = 4$ dans le secteur (3,1) par la référence [30] et dans le secteur (2,2) par la référence [31]). Il faut maintenant distinguer deux cas.

**Premier cas :** $s^2 > 0$. Il y a alors deux valeurs possibles correspondantes de l'exposant d'échelle, une valeur $> 0$ que nous convenons d'appeler $s$, et la valeur opposée $-s < 0$. Par un phénomène similaire à celui de l'équation (16), $\psi$ est en général une combinaison linéaire de deux solutions, l'une contenant un facteur $R^s$, l'autre contenant un facteur $R^{-s}$, les amplitudes relatives étant fixées de manière univoque par une longueur $\ell$ (l'équivalent de $a$ dans l'équation (16)) déterminée par les détails microscopiques de l'interaction à courte distance $O(b)^{11,12}$ :

$$ \psi = [(R/\ell)^s - (R/\ell)^{-s}] R^{-\frac{3N-5}{2}} \Psi(\Omega) \quad (22) $$

Cependant, en l'absence de résonance de diffusion à $N$ corps, on s'attend à ce que $\ell = O(b)$, si bien que $\ell \to 0$ lorsque $b \to 0$: la solution en $R^{-s}$ devient négligeable, la longueur $\ell$ disparaît du problème et l'on garde la condition de contact à $N$ corps invariante d'échelle suivante dans la voie d'exposant d'échelle $s$ [32] :

$$ \psi \underset{R \to 0}{\approx} R^{s-\frac{3N-5}{2}} \quad (23) $$

La fonction d'onde $\psi$, considérée comme une fonction de $R$, est sans nœud donc l'énergie $E=0$ correspond à l'état fondamental : il n'y a pas d'état lié, d'énergie $E < 0$ pouvant tendre vers $-\infty$ lorsque $b \to 0^{13,14}$.

<footnote>($\delta(\mathbf{k}_1 + \cdots + \mathbf{k}_N)/\sum_{n=1}^N \hbar^2 k_n^2/2m_n) \sum_{i=1}^{N_1} \sum_{j=N_1+1}^N (-1)^{i+j} D((\mathbf{k}_n)_{n \neq i,j})$ où $D$ est la seule fonction inconnue (chaque $A_{ij}$ est une fonction des $(\mathbf{r}_k - \mathbf{R}_{ij})_{k \neq i,j}$ dont $D((\mathbf{k}_n)_{n \neq i,j})$ est la transformée de Fourier à un facteur près).</footnote>

<footnote n="11">¹¹L'état de diffusion (16) correspond au cas $N=2$; alors $s=1/2$ et $(3N-5)/2=1/2$, et $\psi$ dans l'équation (22) est bien combinaison linéaire de $R^0$ et $R^{-1}$; dans ce cas, $R \propto r_{12}$ et $\Phi(\Omega) = \text{cte}$ dans l'onde $s$. Le calcul explicite de l'expression (22) pour $N=2$ donne en effet $\psi \propto (r_{12}/\bar{\ell})^{s-1/2} - (r_{12}/\bar{\ell})^{-s-1/2}$ avec $\bar{\ell} = (m_1+m_2)\ell/(m_1 m_2)^{1/2}$, ce qui doit être proportionnel à (16), d'où la valeur annoncée de l'exposant $s=1/2$; le paramètre à deux corps $\bar{\ell}$ n'est autre que la longueur de diffusion $a$.</footnote>

<footnote n="12">¹²On a mis un signe moins entre les deux termes entre crochets dans l'équation (22); un signe plus serait aussi possible, suivant le modèle microscopique.</footnote>

<footnote n="13">¹³Le cas spécial d'une résonance de diffusion à $(N_1, N_1)$ corps, où $\ell$ reste non infinitésimal dans la limite $b \to 0$, est traité en détail dans la référence [33], qui explique quelle condition de contact à $N$ corps utiliser pour décrire correctement l'état faiblement lié qui en résulte. En effet, la condition (22) déjà proposée dans [27] n'est faisante que pour $s$ assez petit (pour $s > 1$, on voit bien que l'état (22) n'est plus de carré intégrable en $R=0$ et qu'une deuxième longueur — une coupure — doit être introduite).</footnote>

<footnote n="14">¹⁴Sur une résonance de Feshbach étroite, voir la note 6, la portée effective $r_e$ est — pour $1/a=0$ — la seule échelle de longueur pertinente lorsque la portée vraie $b$ tend vers zéro, si bien que la longueur $\ell$ est de l'ordre de $|r_e| \gg b$. La fonction d'onde $\psi$ dans l'équation (22) admet alors un nœud très « en dehors » du potentiel d'interaction : la solution à $E=0$ ne serait pas d'énergie minimale, et le système admettrait un état lié à $(N_1, N_1)$ fermions (avec $N>2$)! Cependant, une étude spécifique du cas $(N_1=2, N_1=1)$ montre qu'il n'en est rien (tant que le rapport de masse $m_1/m_\downarrow$ reste assez faible pour que $s^2 \ge 0$ bien entendu) [29,34]. Fallait-il s'en étonner? Raisonnons par l'absurde. S'il y avait vraiment un état lié, il conduirait à un nombre d'onde relatif $k_{\text{rel}} \approx 1/|r_e|$ entre les fermions, le terme de portée effective ne serait pas négligeable au dénominateur de l'amplitude de diffusion (10) et l'on perdrait l'invariance d'échelle donc la séparabilité en coordonnées hypersphériques. L'équation (22) serait inapplicable et la prédiction d'un état lié caduque. Plus généralement, pour pouvoir croire à (22) — c'est une condition nécessaire, il faut que l'hyperrayon $R$ soit beaucoup plus grand que toute échelle de longueur apparaissant dans tout sous-système $(n_1, n_\downarrow)$ [avec $n_\downarrow \le N_1$, $n_\uparrow \le N_\downarrow$ et $n_1 + n_\downarrow < N_1 + N_\downarrow = N$], en particulier $R \gg b$ et $R \gg |r_e|$ pour $(n_1 = 1, n_\downarrow = 1)$. Faut-il le préciser, la résonance à $(N_1, N_1)$ corps de la note 13 ne remet pas (22) et l'existence d'un nœud à l'hyperdistance $\ell$ en question puisque la longueur $\ell \gg b$ anormalement grande qui apparaît ne préexiste dans aucun sous-système.</footnote>
**Deuxième cas** : $s^2 < 0$. Il y a là aussi deux valeurs possibles de l'exposant d'échelle, l'une $s = i|s|$ dans $i\mathbb{R}^+$ que nous convenons d'appeler $s$, et l'autre, son complexe conjugué $-i|s|$, ou encore son opposé $-s$, dans $i\mathbb{R}^-$. Comme dans le premier cas, on conclut qu'il existe une longueur $\ell$, fonction des détails microscopiques de l'interaction, réglant l'amplitude relative des deux solutions :

$$ \psi = [(R/\ell)^{i|s|} - (R/\ell)^{-i|s|}] R^{-\frac{3N-5}{2}} \Psi(\Omega) = 2i \sin[|s| \ln(R/\ell)] R^{-\frac{3N-5}{2}} \Psi(\Omega) \quad (24) $$

Cette fois, les deux solutions sont de même module donc il faut les garder toutes les deux (aucune ne l'emporte sur l'autre dans la limite $b \to 0$)! La longueur $\ell$ ne disparaît pas du problème mais définit dans la limite $b \to 0$ une condition de contact à $N$ corps (24) qui brise explicitement l'invariance d'échelle continue de la limite unitaire. Comme $\psi$ comporte un nombre infini de nœuds à une hyperdistance $R$ arbitrairement grande — arbitrairement plus grande que la portée $b$ de l'interaction — (voir l'écriture du troisième membre de l'équation (24)), il existe un nombre infini d'états liés à $N$ corps sous la solution d'énergie $E = 0$; comme la condition aux limites (24) est invariante par changement de $\ell$ en $\exp(\pm\pi/|s|)\ell$, on passe d'un état $N$-mère à l'autre par une homothétie de rapport $\exp(\pi/|s|)$, le spectre correspondant formant une suite géométrique de limite nulle mais non bornée inférieurement dans la limite de portée nulle<fnref n="15" /> :

$$ E_n = -E_{\text{glob}} e^{-2\pi n/|s|}, \quad n \in \mathbb{N}^*, \text{ avec } E_{\text{glob}} \approx \hbar^2/Mb^2 \quad (25) $$

Ces états liés à $N$ corps, historiquement prédits par Efimov dans le cas $N=3$, sont dits efimoviens. Il serait très intéressant de les stabiliser dans une expérience d'atomes froids (on vérifie malheureusement que, si $s \in i\mathbb{R}^{**}$ dans le problème à (2, 1) fermions, ce qui se produit pour $m_1/m_\downarrow > 13,6069...$ comme nous le verrons, le taux de pertes à trois corps de l'équation (6) ne tend pas vers zéro lorsque $b \to 0$, mais plutôt vers une quantité proportionnelle à $\hbar k_F^2/m$ dans le gaz homogène à $T=0$, ce qui est considérable), par exemple en utilisant la note 6.

Mais revenons à notre problème mathématique : nous concluons que le gaz de $(N_\uparrow, N_\downarrow)$ fermions est stable pour une interaction $\uparrow\downarrow$ de portée nulle, et que l'hamiltonien du modèle de Wigner-Bethe-Peierls est auto-adjoint et borné inférieurement, si et seulement si les exposants d'échelle sont tous réels :

$$ s \in \mathbb{R}^* \quad \forall s \text{ solution de } \Lambda_{N_\uparrow, N_\downarrow}(s) = 0 \quad (26) $$

Bien entendu, aucun sous-système $(n_\uparrow, n_\downarrow)$ du gaz ne doit non plus présenter d'effet Efimov, sinon (i) il faudrait introduire un paramètre à $n_\uparrow + n_\downarrow < N_\uparrow + N_\downarrow$ corps sur le modèle de l'équation (24) et l'invariance d'échelle à l'origine de la séparabilité (18), donc du résultat (26), serait brisée — on perdrait la séparabilité à toutes les distances, et (ii) le sous-système pourrait s'effondrer sur lui-même dans la limite $b \to 0$ d'une interaction de portée nulle et l'énergie ne serait pas bornée inférieurement. Sans le dire, nous avons effectué un raisonnement par récurrence et l'équivalent de la condition de stabilité (26) doit être satisfait pour tout nombre $n_\uparrow \le N_\uparrow$ et tout nombre $n_\downarrow \le N_\downarrow$.

**Remarque 1.** On pourrait ajouter $s=0$ en troisième cas : c'est en fait précisément le seuil d'un effet Efimov. En développant l'équation (24) au premier ordre en $|s|$, on trouve que

$$ \psi \propto \ln(R/\ell) R^{-\frac{3N-5}{2}} \Phi(\Omega) \quad (27) $$

c'est-à-dire que la longueur $\ell$ règle l'amplitude relative des solutions $R^{-(3N-5)/2}$ et $(\ln R)R^{-(3N-5)/2}$. Ceci ressemble furieusement à la définition de la longueur de diffusion de

<footnote n="15">¹⁵L'expression précise de $E_{\text{glob}}$ en fonction de $s$ et $\ell$, et de l'ordre de $\hbar^2/Mb^2$ pour $\ell \approx b$, figure par exemple dans la référence [35]. Dans l'équation (25) nous prenons $n \ge 1$ (étant admis que $\exp(-2\pi/|s|) \ll 1$ — sinon le spectre ne serait pas entièrement géométrique [29]) car le modèle de Wigner-Bethe-Peierls ne peut s'appliquer qu'à un état lié de taille $\gg b$. On peut toutefois avoir $\ell \approx |r_e| \gg b$ et $E_{\text{glob}} \approx \hbar^2/Mr_e^2 \ll \hbar^2/Mb^2$ sur une résonance de Feshbach étroite, voir notre note 6; même si ce n'est pas évident, l'exclusion de $n=0$ dans (25) reste correcte dans ce cas [29,34]. Cette exclusion de $n=0$ est cohérente avec l'absence d'état lié lorsque $s^2 \ge 0$, voir notre note 14 : du côté efimovien, l'ensemble du spectre discret doit tendre vers zéro lorsque $|s| \to 0$ sachant que $E_{\text{glob}}$ a une limite finie et non nulle.</footnote>
deux particules en dimension deux, voir par exemple la référence [36] et la contribution de Jan Solovej [17]. Cependant, dans le cas $\ell = O(b)$ où nous sommes, la longueur $\ell$ tend vers zéro lorsque $b \to 0$, la première solution — de coefficient $\ln(1/\ell) \to +\infty$ — l'emporte sur la deuxième et l'on garde la condition de contact à N corps dans la continuité de (23) :

$$ \psi \underset{R \to 0}{\approx} R^{-(3N-5)/2} \qquad (28) $$

Dans le modèle de portée nulle, il n'y a donc pas de brisure d'invariance d'échelle ni d'état lié au seuil efimovien<fnref n="16" />,<fnref n="17" />.

**Remarque 2.** Nous avons pris ici $a = \infty$ pour simplifier mais si le système est instable pour $a = \infty$, il le restera pour $a$ fini (toutes choses égales par ailleurs), car les N-mères efimoviens du gaz unitaire de taille $\ll |a|$ (il y en a autant qu'on veut pour $b \to 0$) ne font pas de différence entre une longueur de diffusion infinie et une longueur de diffusion finie $a$.

**Complément.** À la limite unitaire, la présente analyse se généralise à énergie $E$ non nulle (toujours avec le centre de masse du système au repos). L'équation (18) devient

$$ \psi = F(R) R^{-\frac{3N-5}{2}} \Phi(\Omega) \qquad (29) $$

(elle satisfait aux conditions de contact de Wigner-Bethe-Peierls en vertu de la note 9) avec

$$ EF(R) = -\frac{\hbar^2}{2M} \Delta_{2D} F(R) + \frac{\hbar^2 s^2}{2MR^2} F(R) \qquad (30) $$

et $\Delta_{2D}$, le laplacien à 2D pour la variable $R$, se réduit ici (en l'absence de dépendance angulaire) à $d^2/dR^2 + R^{-1}d/dR$. Le cas efimovien $s^2 < 0$ correspond donc simplement au problème connu de « chute sur le centre » dans un potentiel attractif en $1/R^2$ [38]. La séparabilité en coordonnées hypersphériques (29) s'étend même au cas piégé [27,28], il suffit d'ajouter le terme de piégeage $(1/2)M\omega^2 R^2 F(R)$ au second membre de l'équation (30), et de faire la substitution $E \to E - E_{cdm}$, la valeur propre de l'équation sur $F(R)$ étant l'énergie interne par opposition à celle $E_{cdm}$ du centre de masse. Pour $s^2 > 0$, ceci conduit au spectre

$$ E - E_{cdm} = (s + 1 + 2q)\hbar\omega, \quad q \in \mathbb{N} \qquad (31) $$

### 3.3. *Ce qui est connu sur le domaine de stabilité*

Le problème de savoir si la condition de stabilité (26) est satisfaite peut être attaqué par deux extrémités opposées.

Par la première, on résout le problème à $(N_↑, N_↓)$ fermions à $E = 0$ dans le modèle de Wigner-Bethe-Peierls et on calcule les exposants d'échelle $s$ (on procède analytiquement le plus loin possible mais il y a une dernière étape numérique, en tout cas pour $N > 3$). À notre connaissance, ce programme a été rempli dans le problème fermionique $(N_↑ > 1, N_↓ = 1)$ jusqu'à $N_↑ = 4$, voir la figure 3 : on trouve à chaque fois qu'un effet Efimov apparaît au-delà d'un rapport de masse critique $m_↑/m_↓$ (l'impureté ↓ doit être suffisamment légère), lui-même évidemment fonction

<footnote n="16">¹⁶Les considérations de la note 14 s'appliquent au seuil. En particulier, il ne faut pas croire à l'état lié d'énergie $\propto -\hbar^2/M\ell^2$ que l'équation (27) nous inciterait à prédire : il serait d'extension spatiale $\ell$ et ne pourrait être décrit par notre modèle de portée nulle lorsque $\ell \approx b$; il n'existerait pas non plus pour $(N_↑ = 2, N_↓ = 1)$ dans le cas — pourtant apparemment favorable — d'une résonance de Feshbach étroite où $\ell \approx |r_e| \gg b$, voir la note 14 et les références [29,34].</footnote>

<footnote n="17">¹⁷Le fait que $\ln(1/\ell)$ tende lentement vers l'infini lorsque $b \to 0$ n'est pas sans conséquence pratique : si l'on veut comparer aux expériences, il vaut mieux garder la contribution en $\ln R$ dans (27) [et le terme $(R/\ell)^{-s}$ dans (22) pour $s > 0$ assez proche de zéro] pour former la condition de contact à N corps. Ainsi, on trouve que le troisième coefficient d'amas $b_{2,1}$ défini dans la section 3.4 est en réalité une fonction régulière du rapport de masse $m_↑/m_↓$ donc de $s^2$, alors qu'il est de dérivée infinie en $s^2 = 0$ dans le modèle de portée nulle [35,37] donc dans l'équation (33).</footnote>
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**FIGURE 3.** Résultats connus sur la stabilité du système ($N_↑, 1$) de $N_↓$ fermions de spin $↑$ et un fermion de spin $↓$, pour une interaction de portée nulle, en fonction du rapport de masse $m_↑/m_↓$ entre une particule $↑$ et la particule $↓$. Flèches verticales : valeurs critiques de $m_↑/m_↓$ (seuils) pour l'effet Efimov à ($N_↑, 1$) corps obtenues par résolution du problème correspondant, voir les références [39] pour $N_↑ = 2$, [30] pour $N_↑ = 3$, [40] pour $N_↑ = 4$; quand $m_↑/m_↓$ excède ces valeurs, l'énergie du système n'est plus bornée inférieurement. Barre verticale avec flèche horizontale : rapport de masse critique $α_c$, dont l'existence est établie par le théorème de Moser-Seiringer [41], en dessous duquel le système ($N_↑, 1$) est stable $∀N_↑$; le théorème ne donne pas la valeur exacte de $α_c$ mais une minoration, $α_c > 2,77$, plus contraignante que celle, $m_↑/m_↓ = 1$, des expériences sur les atomes froids (une supériorité cependant de ces dernières est que le gaz unitaire de fermions semble y être stable, sans effondrement ni pertes à trois corps significatives, pour toutes les valeurs de $N_↑$ et $N_↓$).</figcaption></figure>

décroissante de $N_↑$<fnref n="18" />. On remarque que les rapports de masse critiques successifs sont de plus en plus rapprochés; mathématiquement, on ne sait pas cependant si cette séquence continue (existe-t-il un effet Efimov à (5,1) corps? à (6,1) corps? etc.). Le cas ($N_↑ > 1, N_↓ = 2$) a été étudié pour $N_↑ = 2$ par la référence [31] qui conclut à la stabilité, tant que les sous-systèmes (2,1) et (1,2) le sont.

Par la seconde extrémité, on cherche à contraindre (plutôt qu'à calculer) les rapports de masse critiques, par une minoration du spectre de l'hamiltonien. C'est ce qu'a fait la référence [41] pour le problème à ($N_↑, N_↓ = 1$) fermions : elle démontre le magnifique

**Théorème.** *Il existe un rapport de masse critique $m_↑/m_↓ = α_c$ en dessous duquel le système fermionique ($N_↑, N_↓ = 1$) est stable $∀N_↑$ pour une interaction de contact, et $α_c > 1/0,36 = 2,77$.*

### 3.4. Développement en amas ou du viriel

Certains diront que c'est le problème macroscopique à N corps qui doit être en définitive l'objet de notre attention, plus que le problème à petit nombre de corps. Ce à quoi nous répondrons que le second peut dire quelque chose sur le premier au moyen du développement en amas, un développement de la pression P du gaz homogène à l'équilibre thermique grand-canonique en puissances des fugacités des composantes $σ$ (la température $T = 1/k_Bβ$ est fixée mais les potentiels chimiques $μ_σ$ tendent vers $-∞$, ce qui correspond à une limite quantiquement non dégénérée) :

$$ \frac{P\bar{\lambda}^3}{k_B T} = \sum_{(n_1, n_\downarrow) \in \mathbb{N}^{2+}} b_{n_1, n_\downarrow} e^{\beta\mu_\downarrow n_\downarrow} e^{\beta\mu_\uparrow n_\uparrow} \quad (32) $$

<footnote n="18">¹⁸Une fois qu'on a un effet Efimov dans le problème à ($N_↑, N_↓$) fermions, comme nous l'avons dit après l'équation (26), on perd l'invariance d'échelle et on ne peut plus mettre en œuvre le raisonnement sous-tendu par les équations (18), (20) pour passer au problème à ($N_↑ + 1, N_↓$) ou ($N_↑, N_↓ + 1$) fermions; dans ce dernier, il n'y a plus de séparabilité en coordonnées ($R, Ω$) comme dans l'équation (24), plus de spectre géométrique (25) donc au sens strict, plus de possibilité d'effet Efimov!</footnote>
où la longueur d'onde thermique de de Broglie est prise à la masse de référence arbitraire $\bar{m}$, $\bar{\lambda} = (2\pi\hbar^2/\bar{m}k_B T)^{1/2}$. Le développement (32), dans la littérature récente, est souvent confondu avec celui du viriel, qui développe en fait en puissances des densités $\rho_\sigma \lambda_\sigma^3$ dans l'espace des phases ($\lambda_\sigma = (2\pi\hbar^2/m_\sigma k_B T)^{1/2}$).

Comment calculer les coefficients d'amas $b_{n_1, n_1}$ ? À la limite unitaire $a^{-1} = 0$, le plus simple est d'utiliser la méthode du régulateur harmonique de la référence [43], qui place d'abord le système dans les pièges harmoniques $U_\sigma(\mathbf{r})$ de l'équation (2) puis, tous calculs faits, les ouvre pour retrouver le cas homogène par approximation d'homogénéité locale (exacte dans la limite considérée $\omega \to 0^+$). En effet, le problème piégé est alors séparable en coordonnées hypersphériques comme dans la section 3.2 et, si l'on connaît les exposants d'échelle $s$ dans l'espace libre à énergie nulle pour tous les $n_1 \le n_1^{\text{cible}}$, $n_1 \le n_1^{\text{cible}}$, on connaît aussi les niveaux d'énergie du système piégé comme dans l'équation (31), donc toutes les fonctions de partition canoniques $Z_{n_1, n_1}$ et en définitive le coefficient $b_{n_1^{\text{cible}}, n_1^{\text{cible}}}$. Du coup, les coefficients d'amas doivent être des fonctionnelles des $\Lambda_{n_1, n_1}$ de l'équation (21). C'est bien ce que prédit la conjecture de la référence [44], selon laquelle, à la limite unitaire,

$$b_{n_1, n_1} = \frac{(n_1 m_1 + n_1 m_1)^{3/2}}{\bar{m}^{3/2}} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dS}{4\pi} S \frac{d}{dS} (\ln \Lambda_{n_1, n_1} (\text{iS})) + \text{CorrStat}_{n_1, n_1} \right] \quad (33)$$

pour tout $(n_1, n_1) \in \mathbb{N}^{*2} \setminus \{1, 1\}^{20}$. Ici, le préfacteur résulte du passage du cas piégé au cas homogène et la première contribution entre crochets est calquée sur le résultat de la référence [45] obtenu pour $N=3$; la seconde contribution entre crochets est une éventuelle correction de statistique quantique de type gaz parfait provenant des sous-amas non monoatomiques indiscernables en lesquels se découplent les états propres internes du système piégé $(n_1, n_1)$ à haute énergie (le centre de masse du système reste dans son état fondamental).

Expliquons mieux cette histoire de découplage en sous-amas sur des exemples. Si $(n_1, n_1) = (1, 1)$, les états propres prennent asymptotiquement — pour des valeurs arbitrairement grandes de l'énergie — la forme de deux fermions $\uparrow$ et $\downarrow$ non corrélés dans des niveaux oscillatoires de grandes amplitudes<fnref n="21" />; les sous-amas étant monoatomiques, on a CorrStat = 0. Si $(n_1, n_1) = (2, 1)$, un nouveau découplage est possible, à côté de celui en trois fermions décorrélés : les particules peuvent se séparer en un atome $\uparrow$ et un pairon $\uparrow\downarrow$ de fermions fortement corrélés (le mouvement relatif au sein du pairon restant de faible amplitude), avec des niveaux oscillatoires très excités pour l'atome $\uparrow$ et pour le centre de masse du pairon $\uparrow\downarrow$; le pairon étant seul dans sa catégorie, on a là encore CorrStat = 0. La conclusion reste la même pour $(n_1, n_1) = (3, 1)$, si ce n'est qu'apparaît le triplon $\uparrow\downarrow\uparrow$ comme nouveau sous-amas découplé. En revanche, pour $(n_1, n_1) = (2, 2)$, il y a découplage possible en deux pairons $\uparrow\downarrow$ de très grande énergie relative, voir la figure 4; ils n'interagissent plus mais ils sont indiscernables et conduisent, comme les bosons identiques d'un gaz parfait, à une correction de statistique quantique ignorée par l'intégrale sur $S$ dans l'équation (33); le calcul donne CorrStat = 1/32 [44].

La conjecture (33) est bien établie pour $N=3$, par application inverse du théorème des résidus, qui convertit la somme sur les spectres (31) donc sur les racines $s$ de $\Lambda_{n_1, n_1}$ en une intégrale [45]. Pour $N=4$, les propriétés analytiques de la fonction $\Lambda_{n_1, n_1}$ dans le plan complexe

<footnote n="19">¹⁹La référence [42] utilise le choix $\bar{m}^{3/2} = (m_1^{3/2} + m_2^{3/2})/2$, naturel au sens où il conduit à un premier coefficient d'amas total $b_1 = (b_{1,0} + b_{0,1})/2$ égal à un.</footnote>

<footnote n="20">²⁰Le cas $(n_1 = 1, n_1 = 1)$ est différent et doit être exclu; il correspond, au contraire de ce que nous avons supposé, à une résonance de diffusion à $N$ corps avec $N=2$ dans l'onde $s$: à la limite unitaire, il faut garder uniquement la solution en $R^{-s}$, $s = 1/2$, dans l'équation (22), comme si la bonne racine de $\Lambda$ à garder était $-s$; en effet, la solution en $R^s$ correspond à la partie régulière $\propto 1/a$ de l'état de diffusion à énergie nulle (voir la note 11 pour plus de précisions).</footnote>

<footnote n="21">²¹Si le nombre d'onde relatif $k_{\text{rel}} \to +\infty$, l'amplitude de diffusion $f_{k_{\text{rel}}} \to 0$ dans l'équation (11) donc même à la limite unitaire, les interactions deviennent négligeables.</footnote>
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 4. Un comportement asymptotique possible du problème unitaire à quatre fermions ($N_↑ = 2, N_↓ = 2$) dans les potentiels harmoniques $U_σ(r)$ : deux pairons oscillent furieusement (avec des mouvements de grande amplitude); les fermions $↑$ et $↓$ dans chaque pairon ont une énergie relative $O(1)$ (en unités de $ħω$ si l'on veut respecter la dimension) et restent fortement corrélés; les deux pairons ont une énergie relative $→ +∞$ et sont découplés, ce qui autorise à les voir comme deux bosons identiques, dotés d'une structure interne (celle du mouvement relatif $↑↓$ au sein d'un pairon) mais n'interagissant pas entre eux. La correction de statistique quantique $\text{CorrStat}_{2,2}$ est alors non nulle dans l'équation (33).</figcaption></figure>

ne sont pas suffisamment connues pour qu'on puisse appliquer le théorème de Cauchy<sup>22</sup>; dans le cas particulier $m_↑/m_↓ = 1$, la conjecture a cependant été confirmée par un calcul très précis de Monte-Carlo quantique à petit nombre de corps [46] (en revanche, les valeurs expérimentales [47,48] ne sont pas confirmées, le problème semblant venir de l'impossibilité d'obtenir le bon polynôme de degré 4 en $z = \exp(\beta\mu)$ par ajustement de la pression $P$ ou de la densité $\rho$ mesurées sur l'intervalle de fugacité accessible expérimentalement [49])<sup>23</sup>.

La démonstration de l'expression (33) dans le cas général reste donc ouverte. Une autre question intéressante porte sur le comportement des coefficients d'amas $b_{n_↑,n_↓}$ aux grands ordres $n_σ → +∞$, dont la connaissance est requise si l'on veut effectuer une sommation efficace de la série (32) après calcul de ses premiers termes, pour étendre son applicabilité au régime dégénéré $T \lesssim T_F$ (par exemple, si le rayon de convergence est nul, on pourrait mettre en œuvre une resommation de type Borel conforme comme dans les références [50,51]).

## 4. Questions ouvertes dans un point de vue macroscopique

Dans cette section, le gaz de fermions en interaction, considéré dans la limite thermodynamique et à température non nulle mais arbitrairement basse, est décrit par une théorie hamiltonienne effective de basse énergie, l'hydrodynamique quantique de Landau et Khalatnikov [52]<sup>24</sup>.

<footnote n="22"><sup>22</sup>Il faut pouvoir rabattre sur l'axe imaginaire pur le chemin d'intégration entourant les racines et les pôles de $\Lambda_{n_↑,n_↓}$ sur l'axe réel sans croiser de singularité — pôle ou ligne de coupure — dans les demi-plans supérieur et inférieur.</footnote>

<footnote n="23"><sup>23</sup>Les références [47,48] ont accès seulement au quatrième coefficient d'amas total $b_4 = (b_{4,0} + b_{3,1} + b_{2,2} + b_{1,3} + b_{0,4})/2$, ce qui interdit une comparaison avec la conjecture (33) secteur par secteur.</footnote>

<footnote n="24"><sup>24</sup>L'appellation « hydrodynamique quantique », en physique non linéaire, est comprise par opposition à l'hydrodynamique des fluides classiques et fait référence à une équation d'Euler portant sur un champ de vitesse $v(r)$ à valeurs réelles plutôt qu'opératorielles, mais contenant un terme de pression quantique $\propto ħ^2$, ce qui lui permet de décrire le mouvement de tourbillons quantiques — à circulation quantifiée — dans le superfluide (comme l'équation de Gross-Pitayevski sur la fonction d'onde d'un condensat de bosons réécrite en termes de la densité et du gradient de la phase). Ici, l'appellation est à prendre au sens de la seconde quantification, le champ de vitesse étant désormais à valeur opérateur $\hat{v}(r)$.</footnote>
### 4.1. Vue d'ensemble du régime superfluide considéré

Le système tridimensionnel de fermions est ici spatialement homogène (dans un volume de quantification $[0, L]^3$) proche de la limite thermodynamique, cette limite étant prise à la fin des calculs), avec des particules de masses égales $m_↑ = m_↓ = m$ dans les deux états internes, non polarisé en spin (il y a le même nombre de particules dans les deux composantes, $N_↑ = N_↓$, afin de permettre un appariement complet) et à l'équilibre thermique canonique dans une limite de basse température ($T \neq 0$ mais $T \to 0$).

Dans ces conditions, (i) les fermions s'assemblent en paires liées $↑↓$ dans l'onde $s$; en présence des mers de Fermi dans les deux états internes, c'est ce à quoi conduit l'interaction attractive entre $↑$ et $↓$ de la section 3, au travers du célèbre mécanisme de Cooper; ceci vaut donc même pour une longueur de diffusion $a$ négative, où il n'y a pas d'état lié $↑↓$ dans l'espace libre, la taille d'une paire tendant toutefois vers $+\infty$ lorsque $a \to 0^-$ (dans le cas $a > 0$, il existe bien un état dimère et, sans surprise, c'est à lui que se réduit l'état de paire liée dans la limite de basse densité $\rho \to 0)^{25}$; (ii) ces paires liées, étant des sortes de bosons composites, forment un condensat dans le mode de vecteur d'onde $\mathbf{K}_{\text{paire}} = 0$ de leur centre de masse (de longueur de cohérence limitée par la taille de la boîte, infinie à la limite thermodynamique) et un superfluide.

Du coup, on s'attend à ce que le système admette, dans son état fondamental, une branche d'excitation acoustique (par ondes sonores) de départ linéaire en le nombre d'onde $q$ avec une correction cubique,

$$ \omega_q = c q \left[ 1 + \frac{\gamma}{8} \left( \frac{\hbar q}{mc} \right)^2 + O(q^4 \ln q) \right] \quad (34) $$

et que cette branche soit limitée supérieurement en énergie par le continuum de paire brisée, de bord inférieur l'énergie de liaison d'une paire $E_{\text{paire}}$, comme sur la figure 5a. Ici $\omega_q$ est la pulsation propre au vecteur d'onde $q$, $c$ est la vitesse du son à température nulle et le paramètre de courbure $\gamma$ est adimensionné de façon qu'il vaille un dans la limite $k_F a \to 0^+$ d'un gaz condensé de dimères en interaction faible (en accord avec la théorie de Bogolioubov)$^{26}$. La branche en question est souvent dite de Goldstone [55], parce qu'on l'associe à la brisure de symétrie $U(1)$ dans la condensation de paires; son pendant de Higgs est discuté dans la section 5.

Notre régime de basse température satisfait dans la suite aux deux conditions

$$ 0 < k_B T \ll mc^2 \quad \text{et} \quad 0 < k_B T \ll E_{\text{paire}} \quad (35) $$

la première assurant que soit peuplée thermiquement seulement la partie linéaire de la branche acoustique, la seconde qu'il y ait une densité négligeable de paires brisées (d'après la loi de Boltzmann, cette densité comporte un facteur d'activation $\exp(-E_{\text{paire}}/2k_B T)$, les fragments issus de la dissociation d'une paire liée — les quasi-particules fermioniques $\chi$ de la figure 5b — ayant individuellement une énergie minimale $E_{\text{paire}}/2$). Notre système se réduit alors à un gaz thermique de phonons, si l'on convient d'appeler comme tels les quanta de la branche acoustique (eu égard à son départ linéaire)$^{27}$.

<footnote>$^{25}$Il n'est pas complètement évident de voir que l'interaction de contact de Wigner-Bethe-Peierls est attractive. Une façon de faire est de l'obtenir comme la limite continue $b \to 0$ d'un modèle sur un réseau cubique $bZ^3$ avec un couplage $\propto \hbar^2/mb^2$ entre sites voisins (pour représenter l'énergie cinétique) et une interaction sur site $g_0/b^3$; à longueur de diffusion $a \neq 0$ fixée, on trouve alors que $g_0 \approx -\hbar^2 b/m < 0$ lorsque $b \to 0$ (la constante de couplage nue $g_0$ est donc, dans le régime $b \ll |a|$ de la diffusion résonnante, fort différente de la constante de couplage effective $g = 4\pi\hbar^2 a/m$) [53].</footnote>

<footnote>$^{26}$Notre convention de signe sur $\gamma$ diffère de celle utilisée dans l'hélium 4 liquide, voir la référence [54].</footnote>

<footnote>$^{27}$L'équation (34) ne vaut que pour une interaction $V(r_{ij})$ à courte portée, décroissant assez vite lorsque $r_{ij} \to +\infty$. Dans le cas d'une interaction dipolaire, comme dans les gaz d'atomes froids magnétiques, la vitesse du son est anisotrope [58], voir aussi la contribution de Wilhelm Zwerger à ce dossier thématique [59] et le cours 2023-2024 de Jean Dalibard au Collège de France [60]. Dans le cas d'une interaction coulombienne, comme dans les gaz d'électrons supraconducteurs, la branche acoustique fait place à une branche de plasmons à bande interdite (la pulsation propre $\omega_q$ a une limite $> 0$ en $q = 0$) [61]. Ici, nos atomes sont neutres et de moment dipolaire négligeable.</footnote>
<figure><img src="image_6.png" /></figure>

**FIGURE 5.** Énergie de différents types d'excitations d'un gaz homogène non polarisé de fermions à deux composantes à température nulle, en fonction de leur nombre d'onde $q$ ou $k$. (a) Branche d'excitation acoustique $\hbar\omega_q$ de départ linéaire $\hbar cq$ (c est la vitesse du son), limitée supérieurement par le continuum de paire brisée (zone hachurée) dont elle vient ici tangenter le bord inférieur en le point terminal de nombre d'onde $q_{max}$. (b) Relation de dispersion $\varepsilon_k$ d'une quasi-particule fermionique $\chi$ (voir texte). Sous l'effet d'une excitation percussionnelle de vecteur d'onde $\mathbf{q}$, une paire liée $\uparrow\downarrow$ du condensat de paires, initialement au repos, se dissocie en deux quasi-particules fermionique $\chi$ de spins opposés, de vecteurs d'onde $\mathbf{k}$ et $\mathbf{k}' = \mathbf{q}-\mathbf{k}$ et d'énergies $\varepsilon_k$ et $\varepsilon_{k'}$, comme le vecteur $\mathbf{k}$ n'est pas contraint (pas de conservation de l'énergie pour une excitation percussionnelle), il apparaît un continuum d'énergies finales $\{\varepsilon_k + \varepsilon_{q-\mathbf{k}}, \mathbf{k} \in \mathbb{R}^3\}$. Pour la force des interactions choisie sur la figure ($|\Delta|/\mu = 0,84$ soit $1/k_F a \approx -0,16$ d'après la théorie BCS, avec $\mu$ le potentiel chimique du gaz et $\Delta$ le paramètre d'ordre complexe du condensat de paires), la branche acoustique est de départ concave ($\gamma < 0$ dans l'équation (34)) et la relation de dispersion $\varepsilon_k$ présente un minimum $E_{paire}/2$ en $k = k_0 > 0$; le bord inférieur du continuum vaut donc exactement $E_{paire}$, du moins tant qu'on peut avoir $k = k' = k_0$ donc tant que $q = |\mathbf{k} + \mathbf{k}'| \le 2k_0$. Les relations de dispersion représentées, approchées, sont celles de la théorie BCS pour $\varepsilon_k$ et de la RPA d'Anderson pour $\hbar\omega_q$. Selon la force des interactions, le domaine d'existence en $q$ de la branche acoustique peut également être non compact, connexe $q \in ]0, +\infty[$ ou pas $q \in ]0, q_{max}[$; $q_{min} + +\infty[$ ($q_{min} > q_{max}$) [56]; la concavité de la branche est elle aussi variable [57]; enfin, $k_0 = 0$ et $E_{paire} = 2(\mu^2 + |\Delta|^2)^{1/2}$ si $\mu < 0$, $k_0 = (2m\mu)^{1/2}/\hbar$ et $E_{paire} = 2|\Delta|$ sinon.

On peut alors se poser trois types de questions, partiellement ouvertes :

(1) nous allons le voir, les phonons (abrégés en $\phi$) interagissent entre eux, le superfluide de fermions sous-jacent constituant un milieu non linéaire pour le son. Quels sont les effets de ces interactions sur les phonons de vecteur d'onde $\mathbf{q}$? On s'attend en particulier à ce qu'ils s'amortissent avec un taux $\Gamma_q(T)$ et qu'ils subissent un déplacement de pulsation thermique $\Delta_q(T)$ (on ne compte pas le déplacement à température nulle, qui donne naissance par définition au spectre (34) — le terme négligé en $q^5 \ln q$ provient précisément de l'effet croisé des interactions et des fluctuations quantiques du champ de phonons [62,63])<fnref n="28" />.

<footnote n="28">²⁸Dans le cas convexe $\gamma > 0$, il s'accompagne — toujours à $T = 0$ — d'une partie imaginaire non nulle $\approx q^5$, correspondant au mécanisme d'amortissement de Belyaev $\mathbf{q} \to \mathbf{k}, \mathbf{k}'$, voir plus loin.</footnote>
(2) quelles sont les conséquences de la dynamique collisionnelle des phonons sur l'évo-
lution d'une variable macroscopique du gaz particulièrement intéressante, l'opérateur
phase $\hat{\phi}_0(t)$ du condensat de paires?

(3) on enrichit le problème en considérant le cas partiellement polarisé $N_1 \neq N_1$. Dans le cas faiblement polarisé, par exemple $N_1 - N_1 = O(1)$, les fermions non appariés (car sur-numéraires) de la composante de spin majoritaire forment, dans le gaz en interaction, des quasi-particules fermioniques (abrégées en $\chi$) d'une relation de dispersion $\epsilon_k$ dif-férente de celles des fermions libres : elle présente notamment un minimum non nul, donc une bande d'énergie interdite, donné par la demi-énergie de liaison d'une paire $\uparrow\downarrow$, au voisinage duquel elle varie quadratiquement en nombre d'onde $k$ (voir la figure 5b). Se pose alors la question de leurs interactions $\phi - \chi$ avec les phonons et $\chi - \chi$ entre elles; en particulier, un désaccord persiste sur l'expression de l'amplitude de diffusion $\phi - \chi$ à basse énergie (les références [64] et [65] diffèrent)$^{29}$. Dans le cas fortement pola-risé, où $N_1 - N_1$ est extensif comme $N$, on s'attend à ce que la condensation des paires liées à $T = 0$ puisse se faire dans une superposition d'ondes planes de leur centre de masse (plutôt que dans $K_{paire} = 0$ comme supposé ici), voir les références [66,67], ce qui donne naissance à un superfluide modulé spatialement (un supersolide suivant la ter-minologie à la mode), sans que son domaine d'existence dans l'espace des paramètres $((N_1 - N_1)/N, 1/k_F a, T/T_F)$ soit parfaitement bien connu théoriquement, le problème étant complexifié par sa grande sensibilité aux fluctuations thermiques [68] (il n'y a pas encore de résultats expérimentaux dans les gaz d'atomes froids tridimensionnels [69]).

Le cas le plus intéressant pour les points 1 et 2 est celui d'une branche acoustique de départ concave, $\gamma < 0$ dans l'équation (34), très différent du gaz de bosons en interaction faible assez bien connu (où $\gamma \approx 1 > 0$ comme nous l'avons dit)$^{30}$. En particulier, l'amortissement des phonons pour $\gamma < 0$ peut se produire seulement à $T \neq 0$, puisque la désintégration d'un phonon en un nombre quelconque $n > 1$ de phonons est interdite par la conservation de l'énergie-impulsion pour une branche acoustique concave; à l'ordre dominant en température, il résulte pour la même raison, non pas comme pour $\gamma > 0$ de processus à trois phonons de type Belyaev $\phi \rightarrow \phi\phi$ ou Landau $\phi\phi \rightarrow \phi$ [70,71], mais des processus à quatre phonons $\phi\phi \rightarrow \phi\phi$ de Landau et Khalatnikov [52]. À notre connaissance, cet amortissement à quatre phonons n'a encore été observé expérimentalement dans aucun système. Il pourrait l'être dans un gaz d'atomes froids fermioniques dans une boîte de potentiel [72]. Il pourrait l'être aussi dans l'hélium 4 superfluide (un liquide de bosons) si l'on augmente suffisamment la pression pour rendre $\gamma < 0$ (le minimum de roton s'abaisse ce qui finit par rendre concave le départ de la branche acoustique) et si l'on abaisse suffisamment la température pour réduire la densité de rotons (au travers du facteur

<footnote>$^{29}$Ce problème intéresse également l'hélium 4 superfluide, dont la branche d'excitation admet elle aussi un minimum quadratique, le minimum de roton; notre problème de diffusion $\phi - \chi$ est donc formellement équivalent à la diffusion roton-phonon étudiée déjà dans la référence [52], à la différence près que les rotons sont des bosons. Les prédictions de [52] sont cependant incomplètes et en désaccord avec [64,65].</footnote>

<footnote>$^{30}$Qualitativement, ce cas $\gamma < 0$ s'obtient lorsque l'énergie de liaison $E_{paire}$ est assez faible : si l'on réduit $E_{paire}$, le continuum de paire brisée sur la figure 5a s'abaisse, pousse sur la branche acoustique et finit par la faire se courber vers le bas. C'est certainement le cas dans la limite BCS $k_F a \to 0^-$ où $E_{paire}/mc^2 = O(\exp(-\pi/2k_F|a|))$ tend rapidement vers zéro; ce n'est plus le cas dans la limite CBE $k_F a \to 0^+$ où $E_{paire} \sim E_{dim} = \hbar^2/ma^2 \gg mc^2$. On ne sait pas avec certitude de quel côté de la limite unitaire $1/k_F a = 0$ (c'est-à-dire pour quel signe de la longueur de diffusion $a$) se produit le changement de signe du paramètre de courbure $\gamma$, voir la section 5. Vu la forme du bord inférieur du continuum sur la figure 5a — et ceci indépendamment du signe de $\gamma$, l'effet de répulsion sur la branche acoustique est le plus fort à grand $q$ mais le plus faible à petit $q$ (là où la différence d'énergie entre le bord et la branche est le plus grand). On s'attend donc à avoir un intervalle de valeurs de $1/k_F a$ sur lequel la branche, convexe à faible $q$, est concave à grand $q$ [57].</footnote>
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 6. Découpage du gaz en portions cubiques mésoscopiques de côté $\ell$, dans l'hydro-dynamique quantique de Landau et Khalatnikov (cette théorie effective ne décrit pas les échelles de longueur $< \ell$). Voir texte pour le choix de $\ell$.</figcaption></figure>

d'activation $\exp(-E_{roton}/k_B T))$ et rendre négligeable l'amortissement parasite des phonons par les rotons [73]$^{31}$.

## 4.2. Quelle théorie macroscopique utiliser ?

Une théorie effective de basse énergie renonce à décrire le système en dessous d'une certaine échelle de longueur $\ell$; on s'attend en revanche à ce que la théorie soit exacte aux grandes longueurs d'onde, ici à l'ordre dominant en température.

Dans ces conditions, il est légitime de découper le gaz en portions de taille $\ell$, par exemple en boîtes cubiques de côté $\ell$ centrées sur le réseau cubique $\ell Z^3$, voir la figure 6. Énonçons quelques contraintes sur le choix de $\ell$ :

(1) on doit avoir $\ell \gg \xi$ (ici $\xi = \hbar/mc$ est la longueur dite de relaxation ou de corrélation du superfluide) et $\rho\ell^3 \gg 1$ (il y a un grand nombre de fermions par site) de façon que (i) chaque portion cubique puisse être considérée comme mésoscopique et relever de la notion d'équation d'état liant de manière univoque la pression ou le potentiel chimique à la densité (comme c'est le cas à la limite thermodynamique), et (ii) le pas $\ell$ du réseau fournisse une coupure en nombre d'onde $\pi/\ell \ll mc/\hbar$ aux excitations phononiques du gaz, les restreignant ainsi à la partie quasi linéaire de la branche (34), partie universelle car décrite par deux paramètres, $c$ et $\gamma$.

(2) on doit avoir $k_B T \ll \hbar c \pi / \ell$ (c'est l'énergie du mode de phonons fondamental dans une portion) de façon qu'on puisse considérer que (i) chaque portion est à température nulle, et (ii) chaque portion est spatialement homogène à l'échelle de la longueur d'onde typique $q_{th}^{-1} = \hbar c / k_B T$ des ondes sonores thermiques.

(3) il faut aussi que $\ell \ll \ell_{coh}$ où $\ell_{coh}$ est la longueur de cohérence des paires de fermions, de façon que la notion de phase globale $\hat{\phi}$ ait un sens dans chaque portion (comme pour un condensat). Cette contrainte est inopérante ici puisque $\ell_{coh} \approx L$ (les paires liées sont condensées à 3D).

On admet alors qu'on peut représenter le système par deux opérateurs de champ, le champ de densité $\hat{\rho}(\mathbf{r})$ et le champ de phase $\hat{\phi}(\mathbf{r}')$, avec $\mathbf{r}, \mathbf{r}' \in \ell Z^3$; ces variables sont canoniquement conjuguées au sens où

$$[\hat{\rho}(\mathbf{r}) \ell^3, \hat{\phi}(\mathbf{r}')] = i \delta_{\mathbf{r},\mathbf{r}'} \quad (36)$$

<footnote>$^{31}$Dans l'hélium 4 liquide, les processus de diffusion à quatre phonons entre des faisceaux de phonons produits intentionnellement (non thermiques) ont déjà fait l'objet d'études théoriques et expérimentales [74].</footnote>
comme si $\hat{\phi}$ était un opérateur impulsion et $\hat{\rho}\ell^3$ un opérateur position en mécanique quantique ordinaire [52,75]$^{32}$. Le champ de phase donne accès au champ de vitesse par simple différentiation (il s'agit ici d'un gradient discret)$^{33}$ :

$$ \hat{\mathbf{v}}(\mathbf{r}) = \frac{\hbar}{m} \mathbf{grad} \hat{\phi}(\mathbf{r}) \qquad (37) $$

L'hamiltonien s'obtient en sommant l'énergie interne et l'énergie cinétique associée à la vitesse locale d'écoulement du fluide dans chaque portion :

$$ H = \sum_{\mathbf{r}} \frac{1}{2} m \hat{\mathbf{v}}(\mathbf{r}) \cdot \hat{\rho}(\mathbf{r}) \ell^3 \hat{\mathbf{v}}(\mathbf{r}) + \ell^3 e_0(\hat{\rho}(\mathbf{r})) \qquad (38) $$

En effet, $e_0(\rho)$ est ici l'énergie volumique à température nulle du gaz homogène de fermions de densité $\rho$, et $m\hat{\rho}(\mathbf{r})\ell^3$ est la quantité de matière (la masse) dans la portion centrée en $\mathbf{r}$. Les équations du mouvement sur $\hat{\rho}$ et $\hat{\mathbf{v}}$ en point de vue de Heisenberg dérivant de l'hamiltonien $H$ prennent la forme d'une équation de continuité et d'une équation d'Euler (sans terme de viscosité) à valeur opérateur$^{34}$, d'où le nom d'hydrodynamique quantique donné à la théorie (avec le risque de confusion signalé dans la note 24).

On l'aura compris, la grande force de cette théorie effective est qu'elle ne dépend pas de la nature des particules bosoniques ou fermioniques constituant le superfluide sous-jacent, ni de leurs interactions (fortes ou faibles, en phase liquide ou gazeuse) pourvu qu'elles restent à courte portée, si ce n'est au travers de l'équation d'état $e_0(\rho)$ et du paramètre de courbure $\gamma$ à température nulle. Elle s'applique donc également bien aux gaz de bosons en interaction faible, aux gaz de fermions en interaction forte et à l'hélium 4 liquide (système pourtant extrêmement dense, défiant toute théorie microscopique).

Il ne faut cependant croire au formalisme que dans une limite de basse température, $T \to 0$, où les fluctuations spatiales de densité sont faibles et les gradients de phase aussi; on doit donc développer l'équation (38) jusqu'à l'ordre pertinent (ici l'ordre quatre) en puissances de

$$ \delta\hat{\rho}(\mathbf{r}) \equiv \hat{\rho}(\mathbf{r}) - \hat{\rho}_0 \quad \text{et} \quad \delta\hat{\phi}(\mathbf{r}) \equiv \hat{\phi}(\mathbf{r}) - \hat{\phi}_0 \qquad (39) $$

où $\hat{\rho}_0$ et $\hat{\phi}_0$ sont les composantes de Fourier des champs $\hat{\rho}(\mathbf{r})$ et $\hat{\phi}(\mathbf{r})$ de vecteur d'onde nul (physiquement, $\hat{\rho}_0 = \hat{N}/L^3$ où $\hat{N}$ est l'opérateur nombre total de fermions, $L^3$ est le volume de la boîte de quantification $[0, L]^3$ et $\hat{\phi}_0$ est l'opérateur phase du condensat de paires liées [76]). L'hamiltonien développé s'écrit formellement

$$ H = H_0 + H_2 + H_3 + H_4 + \dots \qquad (40) $$

où $H_n$ est la contribution de degré total $n$ en $\delta\hat{\rho}$ et $\delta\hat{\phi}$.

<footnote>$^{32}$Ces références historiques se placent pour simplifier dans un espace continu. La nécessité de discrétiser l'espace pour éviter les infinis et rendre la théorie renormalisable est souligné dans la publication [76]. Ici, nous mettons ces difficultés sous le tapis; par exemple, nous ne distinguons pas dans (38) entre la notion d'équation d'état nue $e_0(\rho)$ — celle qui entre dans l'hamiltonien — et l'équation d'état vraie ou effective $e_0(\rho)$ — celle qu'on observe dans une expérience.</footnote>

<footnote>$^{33}$Le fait que l'opérateur champ de vitesse soit un vecteur gradient ne signifie nullement que l'écoulement soit entièrement superfluide (ceci serait d'ailleurs physiquement faux même à l'équilibre thermique, à température non nulle). Expliquons-le en deux remarques. (i) On ne confondra pas l'opérateur $\hat{\mathbf{v}}(\mathbf{r})$ de l'hydrodynamique quantique (qui contient toutes les fluctuations quantiques et thermiques possibles) avec le champ de vitesse moyen $\mathbf{v}(\mathbf{r})$ de l'hydrodynamique ordinaire; en particulier, le caractère superfluide ou pas de l'écoulement dépend du caractère irrotationnel ou pas de $\mathbf{v}(\mathbf{r})$ (sans chapeau). (ii) En général, on a $\mathbf{v}(\mathbf{r}) \neq \langle \hat{\mathbf{v}}(\mathbf{r}) \rangle$ où la moyenne est prise dans l'état quantique du système, car $\mathbf{v}(\mathbf{r})$ est défini en termes de la densité moyenne de courant de matière, $\mathbf{v}(\mathbf{r}) = \langle j(\mathbf{r}) \rangle / \langle \hat{\rho}(\mathbf{r}) \rangle$ avec ici $j(\mathbf{r}) = [\hat{\rho}(\mathbf{r})\hat{\mathbf{v}}(\mathbf{r}) + \hat{\mathbf{v}}(\mathbf{r})\hat{\rho}(\mathbf{r})]/2$ (par définition, l'équation d'évolution de $\hat{\rho}$ en point de vue de Heisenberg s'écrit $\partial_t \hat{\rho} + \text{div } \hat{\mathbf{j}} = 0$ et celle de la densité moyenne $\rho(\mathbf{r}) = \langle \hat{\rho}(\mathbf{r}) \rangle$ s'écrit $\partial_t \rho + \text{div } (\rho\mathbf{v}) = 0$); il serait donc faux de croire que $\mathbf{v}(\mathbf{r}) = (\hbar/m)\mathbf{grad}(\langle \hat{\phi}(\mathbf{r}) - \hat{\phi}(\mathbf{r}_0) \rangle)$ (où $\mathbf{r}_0$ est une position de référence arbitraire) et d'en déduire que $\mathbf{v}(\mathbf{r})$ est forcément un vecteur gradient.</footnote>

<footnote>$^{34}$Voir la note 33 pour l'équation sur $\hat{\rho}(\mathbf{r})$. L'équation sur $\hat{\mathbf{v}}(\mathbf{r})$ s'obtient en prenant le gradient de celle sur $\hat{\phi}(\mathbf{r})$, $\hbar\partial_t\hat{\phi} = -\mu_0(\hat{\rho}) - m\hat{\mathbf{v}}^2/2$ où $\mu_0(\rho)$ est la fonction potentiel chimique à température nulle comme dans l'équation (43).</footnote>
La contribution d'ordre 0 $H_0$ est une constante sans grand intérêt; celle d'ordre 1 est exactement nulle (car $\sum_r \ell^3 \delta\hat{\rho}(\mathbf{r}) = 0$ par construction) et a été directement omise dans l'équation (40). La contribution quadratique $H_2$ se diagonalise par transformation de Bogoliubov$^{35}$ :

$$H_2 = \text{cte} + \sum_{\mathbf{k} \neq \mathbf{0}} \hbar \omega_{\mathbf{k}} \hat{b}_{\mathbf{k}}^{\dagger} \hat{b}_{\mathbf{k}} \quad (41)$$

où les opérateurs de création $\hat{b}_{\mathbf{k}}^{\dagger}$ et d'annihilation $\hat{b}_{\mathbf{k}}$ d'une excitation élémentaire (un phonon) de vecteur d'onde $\mathbf{k}$ obéissent aux habituelles relations de commutation bosoniques

$$[\hat{b}_{\mathbf{k}}, \hat{b}_{\mathbf{k}'}] = 0 \quad \text{et} \quad [\hat{b}_{\mathbf{k}}, \hat{b}_{\mathbf{k}'}^{\dagger}] = \delta_{\mathbf{k}, \mathbf{k}'} \quad (42)$$

Le spectre obtenu est ici exactement linéaire, $\omega_{\mathbf{k}} = ck$, avec la vitesse du son donnée par

$$mc^2 = \rho \frac{d^2}{d\rho^2} e_0(\rho) = \rho \frac{d}{d\rho} \mu_0(\rho) \quad (43)$$

où $\mu_0(\rho)$ est le potentiel chimique à température nulle du gaz de fermions de densité $\rho$. La relation (43) est exacte (c'est celle bien connue de l'hydrodynamique des superfluides [75]) mais l'absence systématique de courbure dans le spectre n'est pas réaliste physiquement : cette pathologie vient du fait que nous avons omis dans l'hamiltonien $H$ des corrections dites de gradient [77]; pour simplifier, comme l'ont fait d'illustres prédécesseurs [52], nous remplaçons ici $\omega_{\mathbf{k}}$ dans $H_2$ à la main par son approximation cubique (34), ce que justifie d'ailleurs la référence [78].

L'approximation $H_2$ correspond à un gaz parfait de phonons, et ne peut décrire l'atténuation du son. L'interaction entre phonons à l'origine de leur amortissement provient des contributions cubique $H_3$ et quartique $H_4$. Pour alléger, nous donnons ici seulement l'expression de la partie la plus utile de $H_3$, et encore en la simplifiant, pour bien faire comprendre la physique :

$$H_3|_{\text{simpl}} = \frac{\mathcal{A}}{2L^{3/2}} \sum_{\mathbf{k},\mathbf{k}',\mathbf{q}} (kk'q)^{1/2} \hat{b}_{\mathbf{k}}^{\dagger} \hat{b}_{\mathbf{k}'}^{\dagger} \hat{b}_{\mathbf{q}} \delta_{\mathbf{k}+\mathbf{k}',\mathbf{q}} + (k'kq)^{1/2} \hat{b}_{\mathbf{k}'}^{\dagger} \hat{b}_{\mathbf{k}} \hat{b}_{\mathbf{q}} \delta_{\mathbf{k}',\mathbf{k}+\mathbf{q}} + \dots \quad (44)$$

avec l'amplitude constante (indépendante des nombres d'onde) mise en facteur,

$$\mathcal{A} = (\xi/2)^{3/2} \rho^{-1/2} \left[ 3mc^2 + \rho^2 \frac{d^3}{d\rho^3} e_0(\rho) \right] \quad (45)$$

et $\xi = \hbar/mc$ comme précédemment$^{36}$. L'ellipse dans l'équation (44) contient des termes en $\hat{b}^{\dagger}\hat{b}^{\dagger}\hat{b}^{\dagger}$ et $\hat{b}\hat{b}\hat{b}$ sans grande importance car ils ne conservent pas l'énergie $H_2$. Les contributions en $\hat{b}^{\dagger}\hat{b}^{\dagger}\hat{b}$ et en $\hat{b}^{\dagger}\hat{b}\hat{b}$ sont en revanche centrales dans l'amortissement : elles correspondent respectivement aux processus de Belyaev (le phonon $\mathbf{q}$ se désintègre en deux phonons $\mathbf{k}$ et $\mathbf{k}'$) et de Landau (le phonon $\mathbf{q}$ fusionne avec un phonon $\mathbf{k}$ en un seul phonon $\mathbf{k}'$), dont on peut donner la représentation diagrammatique suivante en faisant jouer un rôle privilégié au phonon dont on étudie l'amortissement :

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

<footnote>$^{35}$Ladite transformation correspond aux développements modaux $\delta\hat{\rho}(\mathbf{r}) = L^{-3/2} \sum_{\mathbf{k} \neq \mathbf{0}} \rho_{\mathbf{k}}(\hat{b}_{\mathbf{k}} + \hat{b}_{-\mathbf{k}}^{\dagger})\exp(i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r})$ et $\delta\phi(\mathbf{r}) = L^{-3/2} \sum_{\mathbf{k} \neq \mathbf{0}} \phi_{\mathbf{k}}(\hat{b}_{\mathbf{k}} - \hat{b}_{-\mathbf{k}}^{\dagger})\exp(i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r})$ où $\rho_{\mathbf{k}} = (\hbar\rho k/2mc)^{1/2}$ et $\phi_{\mathbf{k}} = (-i)(mc/2\hbar\rho k)^{1/2}$ sont les amplitudes des fluctuations quantiques de densité et de phase dans le mode de phonons de vecteur d'onde $\mathbf{k}$. On notera la relation $-i\omega_{\mathbf{k}}\delta\rho_{\mathbf{k}} - \rho(\hbar/m)k^2\phi_{\mathbf{k}} = 0$ imposée par l'équation de continuité linéarisée.</footnote>

<footnote>$^{36}$La véritable amplitude de couplage dépend des angles entre les trois vecteurs d'onde $\mathbf{k}_i$ mis en jeu; comme l'amortissement est en réalité dominé à basse température par des processus aux petits angles entre les vecteurs d'onde, à cause de l'effet petit dénominateur décrit plus bas, nous l'avons écrite directement à angles nuls $\mathbf{k}_i \cdot \mathbf{k}_j / k_i k_j = 1$.</footnote>
Comme $H_3$ est cubique, chaque sommet du diagramme représentant son action est le point de rencontre de trois lignes de phonons. On pourrait procéder de même avec $H_4$ (les sommets seraient alors à quatre lignes) mais nous ne le ferons pas car les processus quartiques jouent en général un rôle sous-dominant dans l'amortissement par rapport aux processus cubiques (par exemple, dans l'amortissement à quatre phonons $\phi\phi \rightarrow \phi\phi$ pour $\gamma < 0$, l'amplitude du processus direct $\mathbf{k}, \mathbf{q} \rightarrow \mathbf{k}', \mathbf{k}''$ induit par $H_4$ au premier ordre de la théorie des perturbations est en pratique négligeable devant celle du processus indirect de même état initial et final $\mathbf{k}, \mathbf{q} \rightarrow \mathbf{k} + \mathbf{q} \rightarrow \mathbf{k}', \mathbf{k}''$ induit par $H_3$ traité au second ordre, à cause de l'apparition dans cette dernière d'un dénominateur d'énergie très petit aux petits angles entre $\mathbf{k}$ et $\mathbf{q}$)$^{37}$.

### 4.3. Comment calculer l'amortissement des phonons ?

Imaginons qu'on applique sur le gaz, initialement à l'équilibre thermique, une brève excitation de type Bragg induisant un petit déplacement cohérent de Glauber d'amplitude $\alpha \in C^*$ dans le mode de phonons de vecteur d'onde $\mathbf{q}$ sans toucher aux autres modes, ce qui correspond donc à l'opérateur d'évolution unitaire $U_{exc} = \exp(\alpha \hat{b}_{\mathbf{q}}^{\dagger} - \alpha^{*} \hat{b}_{\mathbf{q}})^{38}$. On a alors, juste après l'excitation, une moyenne non nulle pour l'opérateur d'annihilation correspondant :

$$ \langle \hat{b}_{\mathbf{q}}(0^{+}) \rangle = \alpha \neq 0 \qquad (47) $$

Ceci conduit à une modulation observable de la densité moyenne du gaz aux vecteurs d'onde $\pm \mathbf{q}$ puisque $\langle \delta\hat{\rho}(\mathbf{r}, 0^{+}) \rangle$, combinaison linéaire des $\langle \hat{b}_{\mathbf{k}}(0^{+}) \rangle$ et des $\langle \hat{b}_{\mathbf{k}}^{\dagger}(0^{+}) \rangle$ comme dans la note 35, est alors $\neq 0$.

Dans la limite $\alpha \to 0$, c'est-à-dire dans le régime de réponse linéaire, le formalisme des fonctions de Green à N corps appliqué à la théorie effective de basse énergie, donc à l'hamiltonien de phonons (40) [plutôt qu'à une description microscopique du gaz de fermions avec potentiel d'interaction $V(\mathbf{r}_{ij})$ comme le font les références [75,80] par exemple], conduit à l'expression exacte

$$ \langle \hat{b}_{\mathbf{q}}(t) \rangle_{t \ge 0} \stackrel{t \to 0}{=} \alpha e^{-i\omega_{\mathbf{q}}t} \int_{C_+} \frac{d\zeta}{2i\pi} \frac{e^{-i\zeta t/\hbar}}{\zeta - \Sigma_{\mathbf{q}}(\zeta)} \qquad (48) $$

Dans cette expression, $C_+$ est le chemin d'intégration parallèle à l'axe réel dans le demi-plan complexe supérieur, décrit de droite à gauche (de Re$\zeta = +\infty$ à Re$\zeta = -\infty$), voir la figure 7, et $\Sigma_{\mathbf{q}}(\zeta)$ est la fonction énergie propre au vecteur d'onde $\mathbf{q}$ et à l'énergie complexe $\zeta$$^{39}$, dont on ne connaît pas l'expression explicite mais qu'on définit par son développement perturbatif à tous

<footnote>$^{37}$Le dénominateur d'énergie en question $\hbar\omega_q + \hbar\omega_k - \hbar\omega_{k+q}$ serait même exactement nul à angle nul sans les termes de courbure dans la relation de dispersion (34), ce qui montre d'ailleurs toute la singularité d'une théorie à $\gamma = 0$ (ce sur quoi nous reviendrons dans la section 4.3).</footnote>

<footnote>$^{38}$Dans une expérience d'atomes froids, l'excitation de Bragg est induite par la superposition de deux faisceaux laser loin de résonance de vecteurs d'onde $\mathbf{k}_1$ et $\mathbf{k}_2$ avec $\mathbf{k}_1 - \mathbf{k}_2 = \mathbf{q}$; même si les modes acoustiques $\pm \mathbf{q}$ sont initialement vides ($\hbar\omega_q \gg k_B T$) et peuvent seulement recevoir des phonons, les processus Raman (à deux photons) absorption d'un photon dans un faisceau laser-émission stimulée dans l'autre induisent les changements d'impulsion $\pm \hbar(\mathbf{k}_1 - \mathbf{k}_2) = \pm \hbar \mathbf{q}$ dans le gaz de fermions et excitent en général les deux modes en question; on peut cependant jouer sur la durée de l'excitation de Bragg pour que le mode $-\mathbf{q}$ sorte intact de la procédure d'excitation [79].</footnote>

<footnote>$^{39}$Par rapport à la variable énergie z habituelle (de la référence [80] par exemple), la variable énergie utilisée ici est translatée de l'énergie non perturbée du mode $\mathbf{q}, \zeta = z - \hbar\omega_q$. Ceci explique pourquoi on a pu sortir le facteur de phase de l'évolution non perturbée dans (48) et pourquoi $\Sigma_{\mathbf{q}}(\zeta)$ est prise en $\zeta = i0^+$ dans l'approximation (50) à venir (cela correspond effectivement à $z = \hbar\omega_q + i0^+$).</footnote>
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 7. Chemin d'intégration dans le plan complexe suivant par l'équation (48).</figcaption></figure>

les ordres en l'interaction phonon-phonon. Ici, nous nous limitons à l'interaction cubique $H_3$ (voir la section 4.2) et le développement prend la forme diagrammatique suivante

$$ \Sigma_q(\zeta) = \underbrace{q}_{n=2} \rightarrow \underbrace{q}_{n=4} + \underbrace{q}_{n=4} \rightarrow + \underbrace{q}_{n=4} + \underbrace{q}_{n \ge 6} + \dots \qquad (49) $$

où l'entier $n$ donne l'ordre en $H_3$ [63]. Nous n'indiquons que la topologie, il reste à sommer sur toutes les orientations possibles mais non redondantes des lignes internes, voir l'exemple de la portion de diagramme (46)$^{40}$; une valeur précise peut alors être attribuée à chaque diagramme, mettant en jeu une somme sur les vecteurs d'onde et les fréquences de Matsubara des lignes internes [80].

Afin d'obtenir des résultats explicites sur l'amortissement, on effectue traditionnellement les deux approximations suivantes$^{41}$ :

(1) l'approximation de Markov (le gaz de phonons vu par le mode $q$ constitue un réservoir sans mémoire c'est-à-dire avec un temps de corrélation négligeable) : on ignore la dépendance en énergie de la fonction énergie propre comme suit (voir la note 39),

$$ \Sigma_q(\zeta) \approx \Sigma_q(i0^+) \qquad (50) $$

L'intégrale dans l'équation (48) se calcule alors par le théorème des résidus (en refermant le contour par un demi-cercle infini dans le demi-plan complexe inférieur),

$$ \langle \hat{b}_q(t) \rangle |_{\text{Markov}} \stackrel{t \ge 0}{=} \alpha e^{-i\omega_q t} e^{-i\Sigma_q(i0^+)t/\hbar} \qquad (51) $$

La décroissance du signal est dans ce cas exponentielle, avec un taux correspondant à la partie imaginaire de $\Sigma_q(i0^+)$ (la partie réelle donne le changement de pulsation propre du mode).

<footnote>$^{40}$Dans le premier diagramme de (49) (à une boucle), (i) orienter la ligne du haut vers la droite et la ligne du bas vers la gauche et (ii) orienter la ligne du haut vers la gauche et la ligne du bas vers la droite correspondent à la même contribution, par invariance du diagramme par rotation d'angle $\pi$ autour de son axe horizontal. Il en va de même pour la boucle interne du deuxième diagramme de (49), par invariance par rotation locale de cette dernière. Pour la même raison d'invariance par rotation (cette fois globale) des diagrammes d'ordre $n = 4$, on décide, pour éviter un double comptage, de mettre la boucle interne dans la branche du haut et, dans le troisième diagramme de (49), d'orienter le pont vers le bas.</footnote>

<footnote>$^{41}$Notre théorie effective étant exacte à l'ordre dominant en température, il vaut mieux ne l'utiliser que dans la limite $T \to 0$, qui plus est en fixant le rapport $\bar{q} = \hbar c q / k_B T$ afin que le mode $q$ soit lui aussi décrit exactement. On a alors $\omega_q / \Gamma_{th} \to +\infty$ où $\Gamma_{th} = \Gamma_q = k_B T / \hbar c$ est le taux de thermalisation du gaz de phonons et $\Gamma_q$ est la fonction (52), puisque l'exposant $\nu$ introduit dans la figure 8 page 419 est toujours $> 1$, voir le tableau 1 page 420 : le taux de thermalisation $\Gamma_{th}$ tend vers zéro plus vite que la pulsation propre $\omega_q$ et le mode entre par définition dans le régime faiblement collisionnel. Dans le régime opposé $\omega_q \ll \Gamma_{th}$ dit hydrodynamique, le gaz de phonons a le temps d'atteindre un équilibre thermique local en chaque point d'oscillation de l'onde sonore $q$ et l'amortissement se décrit au moyen de coefficients de type viscosité dans les équations hydrodynamiques classiques d'un modèle à deux fluides [81].</footnote>
(2) l'approximation de Born : on calcule $\mathrm{Im} \Sigma_q(i0^+)$ perturbativement au premier ordre non nul $n$ en $H_3$. Le taux d'amortissement des phonons $q$ vaut alors$^{42,43}$

$$ \Gamma_q|_{\text{Born-Markov}} = -\frac{2}{\hbar} \mathrm{Im} \Sigma_q^{(n)}(i0^+) \quad (52) $$

où l'exposant donne l'ordre en $H_3$. Dans le cas d'une branche acoustique convexe ($\gamma > 0$) à 3D, il suffit d'aller à l'ordre $n = 2$ : c'est l'amortissement à trois phonons de Belyaev-Landau, très étudié théoriquement et observé dans l'hélium 4 liquide [83,84] et, dans une moindre mesure, dans les gaz d'atomes froids bosoniques, seul l'amortissement de Belyaev y ayant été vu [85]. Dans le cas concave ($\gamma < 0$), il faut aller à l'ordre $n = 4$ (la première contribution dans l'équation (49) est purement réelle pour $\zeta = i0^+$ car ses dénominateurs d'énergie, de la forme $\hbar\omega_q + \hbar\omega_k - \hbar\omega_{k+q}$ et $\hbar\omega_q - (\hbar\omega_k + \hbar\omega_{q-k})$, ne peuvent s'annuler, mais les deux suivantes ne le sont pas dans les processus $\phi\phi \to \phi\phi$); ce cas a été peu étudié théoriquement (la référence [78] a d'ailleurs relevé et corrigé une erreur dans le calcul original [52], et la référence [86] a obtenu une expression beaucoup plus explicite du résultat, le généralisant même à un potentiel chimique de phonons $\mu_\phi$ non nul$^{44}$) et n'a, à notre connaissance, jamais été observé expérimentalement (aucune mesure précise de $\Gamma_q^{\gamma<0}$ n'a été faite dans aucun système).

Déterminons la validité de l'approximation de Born au moyen de l'estimation de l'ordre $n \in 2N^*$ donnée dans la référence [63] :

$$ \Sigma_q^{(n)}(i0^+) \approx \int \left( \prod_{i=1}^{n/2} d^d k_i \right) \frac{\langle |L^{d/2} H_3| \rangle^n}{(\Delta E)^{n-1}} \approx |\gamma| T^3 \left( \epsilon_{dD} = \frac{T^{2d-4}}{|\gamma|^{(5-d)/2}} \right)^{n/2} \quad (53) $$

où $d \ge 2$ est la dimension de l'espace. L'écriture au second membre représente symboliquement le produit de $n$ éléments de matrice de l'interaction cubique entre phonons au numérateur et le produit de $n-1$ dénominateurs d'énergie (associés à $n-1$ états intermédiaires) au dénominateur, et l'intégrale est prise sur les vecteurs d'onde de phonons indépendants $k_i$. L'ordre de grandeur au troisième membre est obtenu comme dans la référence [63] en se limitant aux petits angles entre $k_i$ et $q$, en $O(|\gamma|^{1/2}T)$, ce qui est légitime lorsque $T \to 0$ [52]; nous omettons ici la dépendance en la densité $\rho$, en $\xi = \hbar/mc$ et en la constante de couplage $A$ de l'équation (45), au contraire de la référence [63], mais nous gardons celle en le paramètre de courbure $\gamma$, car nous

<footnote>$^{42}$Pour donner un autre éclairage à l'approximation (52), signalons pour $n = 2$ qu'on la retrouve exactement par la méthode de l'équation pilote bien connue en optique quantique (on obtient une équation d'évolution fermée sur l'opérateur densité $\hat{\rho}_S(t)$ d'un petit système $S$ — ici le mode de phonons $q$ — couplé à un gros réservoir $R$ — ici les autres modes de phonons $k \ne q$, en recourant justement à l'approximation de Born-Markov) [36,82] ou, plus simplement, au moyen de la règle d'or de Fermi (on calcule $d\langle\hat{n}_q\rangle/dt$ où $\langle\hat{n}_q\rangle = (\hat{b}_q^\dagger\hat{b}_q)$ est le nombre moyen de phonons dans le mode $q$ hors d'équilibre, en sommant les flux entrants — processus de population $k, k' \to q$ et $k' \to k, q$ — et sortants — processus inverses de dépopulation $q \to k, k'$ et $q, k \to k'$ — puis en linéarisant en l'écart à l'équilibre thermique $\delta n_q(t) \equiv \langle n_q \rangle(t) - \bar{n}_q$ juste après l'excitation de Bragg, sous la forme $(d/dt)\delta n_q(t = 0^+) = -\Gamma_q \delta n_q(t = 0^+)$. Pour $n = 4$, on retrouve le même résultat (52) en étendant la règle d'or de Fermi aux ordres supérieurs [38].</footnote>

<footnote>$^{43}$Il y a ici une petite subtilité mathématique : si le premier ordre non nul $n$ est $\ge 4$, l'approximation de Markov ne doit plus se contenter de remplacer $\Sigma_q(\zeta)$ par $\Sigma_q(i0^+)$ mais doit l'approximer par un développement limité autour de $\zeta = i0^+$. Par exemple, pour $n = 4$, on prend $\Sigma_q(\zeta) \approx \Sigma_q(i0^+) + \zeta(d/d\zeta)\Sigma_q(i0^+)$ si bien qu'à l'ordre 4 en $H_3$, $\zeta - \Sigma_q(\zeta) \approx [1 - (d/d\zeta)\Sigma_q(i0^+)]\zeta - \Sigma_q^{(2)}(i0^+) - \Sigma_q^{(4)\text{eff}}(i0^+)$ avec $\Sigma_q^{(4)\text{eff}}(i0^+) = \Sigma_q^{(4)}(i0^+) + \Sigma_q^{(2)}(i0^+) + \Sigma_q^{(2)}(i0^+) - \Sigma_q^{(2)}(i0^+)$. Il faut alors remplacer $\Sigma_q^{(4)}(i0^+) \text{ par } \Sigma_q^{(4)\text{eff}}(i0^+)$ dans l'expression (52) du taux d'amortissement. Dans le cas tridimensionnel concave, ceci ne change rien à $\Gamma_q|_{\text{Born-Markov}}$ car $(d/d\zeta)\Sigma_q^{(2)}(i0^+) \text{ est une quantité réelle, tout comme } \Sigma_q^{(2)}(i0^+)$; dans le cas bidimensionnel concave, la conclusion est moins évidente mais reste la même, voir la note 48. En revanche, ce remplacement doit être effectué dans le calcul du déplacement de pulsation thermique $\Delta q$ du mode, $\hbar\Delta q|_{\text{Born-Markov}} = \text{Re}[\Sigma_q^{(2)}(i0^+) + \Sigma_q^{(4)\text{eff}}(i0^+)] - \text{idem à } T = 0$.</footnote>

<footnote>$^{44}$Si l'on se limite à l'ordre dominant en température aux processus collisionnels $\phi\phi \to \phi\phi$, le nombre de phonons devient une quantité conservée, ce qui autorise à prendre $\mu_\phi < 0$.</footnote>
lierons bientôt $\gamma$ et $T$. En résumé, le développement de Born est légitime en dimension $d=3$ si son petit paramètre tend vers zéro à basse température :

$$ \epsilon_{3D} = \frac{T^2}{|\gamma|} \xrightarrow[T \to 0]{} 0 \qquad (54) $$

Pour discuter la validité de l'approximation de Markov, admettons que le comportement de la fonction énergie propre au voisinage de $\zeta = i0^+$ soit caractérisé par deux exposants, $v$ et $\sigma$, celui donnant les valeurs typiques $\propto T^v$ de sa partie imaginaire et celui donnant son échelle de variation typique $\propto T^\sigma$, comme sur la figure 8$^{45,46}$. D'après l'équation (52), on a donc

$$ \Gamma_q \approx_{T \to 0} T^v \qquad (55) $$

La fonction $\Sigma_q(\zeta)$ admet alors une variation en énergie lente (négligeable) à l'échelle du taux d'amortissement (qui est bien l'inverse du temps caractéristique dans l'équation (48)) si elle est plus large que haute, ce qui impose

$$ v > \sigma \qquad (56) $$

L'exposant $v$ s'obtient par un calcul explicite du second membre de l'équation (52) dans la limite $T \to 0$, comme il a été fait dans la référence [78] pour le cas tridimensionnel$^{47}$ et dans la référence [63] pour le cas convexe bidimensionnel; on peut aussi, plus simplement, utiliser l'estimation (53) avec $n=2$ si $\gamma > 0$ et $d \in \{2,3\}$, $n=4$ si $\gamma < 0$ et $d = 3$$^{48}$. L'exposant $\sigma$ s'obtient

<footnote>$^{45}$Les exposants introduits ici diffèrent d'une unité de ceux de la référence [63] par un choix de convention différent.</footnote>

<footnote>$^{46}$Pour la clarté de l'exposition, nous avons supposé sur la figure 8 que la fonction représentée admet un maximum en l'origine. Ceci n'est pas nécessairement vrai (le cas bidimensionnel convexe de la référence [63] en fournit un contre-exemple, voir son équation (114)). La véritable définition des exposants $v$ et $\sigma$ est que la fonction mise à l'échelle $\mathrm{Im}\,\Sigma_q(\zeta = \bar{\zeta}mc^2(k_B T/mc^2)^\sigma)/[mc^2(k_B T/mc^2)^v]$ admet une limite finie et non nulle lorsque $T \to 0$ à énergie complexe réduite $\bar{\zeta}$ fixée ($\mathrm{Im}\,\bar{\zeta} > 0$).</footnote>

<footnote>$^{47}$La référence historique [52] pour $\gamma < 0$ fixé trouve elle aussi $v = 7$ mais la dépendance en $q$ de $\Gamma_q$ est différente, par exemple $\Gamma_q \approx qT^6$ dans [52] au lieu de $q^3T^4$ dans [78] lorsque $q \to 0$.</footnote>

<footnote>$^{48}$Pour $\gamma < 0$ fixé et $d=2$, Alice Sinatra a obtenu en 2021, dans la formulation des références [72,78], le résultat non publié que $\mathrm{Im}\,\Sigma_q^{(n=4)}(i0^+) = 0$ à l'ordre $T^3$ (l'ordre dominant attendu en température). Pour le voir, il est en fait plus simple d'utiliser les expressions (84) et (85) de la référence [63] : (i) dans (84), on peut ignorer les processus $\phi \leftrightarrow \phi\phi\phi$ et se limiter au processus $\phi\phi \leftrightarrow \phi\phi$ (deuxième contribution), seul capable de conserver l'énergie-impulsion; (ii) dans l'intégrande de (85), on a le droit de remplacer $\zeta$ par 0 au numérateur de la grande fraction pour la raison similaire que les processus $\phi \leftrightarrow \phi\phi$ ne conservent pas l'énergie-impulsion - ceci rend le numérateur réel; (iii) on vérifie alors que, si l'écart d'énergie mis à l'échelle $\Delta E/[k_B T(k_B T/mc^2)^2]$ à côté de $i0^+$ s'annule au dénominateur de la grande fraction, comme l'impose le Dirac $\delta(\Delta E)$ de la règle d'or de Fermi généralisée [38], le numérateur s'annule aussi (on le montre en remplaçant formellement $\gamma$ au numérateur par son expression annulant $\Delta E$, une fonction rationnelle des modules et des angles des vecteurs d'onde de phonons). En d'autres termes, la limite en $\zeta = 0$ (mais aussi en $\zeta = -\Delta E$) de l'amplitude de transition au numérateur de la grande fraction, considérée comme une fraction rationnelle des angles, peut s'écrire $\Delta E \times P/Q$, où les polynômes $\Delta E, P$ et $Q$ sont deux à deux premiers entre eux.</footnote>

<footnote>Ce raisonnement néglige cependant de possibles effets de bord dans l'intégrale sur les nombres d'onde de phonons, au sens de la référence [87], où l'un des nombres d'onde tend vers zéro, ce qui fait tendre vers zéro l'un des dénominateurs d'énergie des processus $\phi \leftrightarrow \phi\phi$. En incluant ces effets de bord, nous trouvons que les processus $\phi \to \phi\phi\phi, \phi\phi \to \phi\phi$ et $\phi\phi\phi \to \phi$, abrégés en $1 \to 3, 2 \to 2$ et $3 \to 1$ dans la référence [63], apportent chacun une contribution non nulle à $\mathrm{Im}\,\Sigma_q^{(n=4)}(i0^+)$ à l'ordre $T^3$, mais que la somme de ces contributions donne exactement zéro (la contribution du bord $q'_1 + q'_2 = q$ dans $2 \to 2$, à savoir $C \int_0^q d\bar{k} (\bar{n}_k^{\mathrm{lin}} + \bar{n}_{q-k}^{\mathrm{lin}} + 1) \bar{k}(\bar{k}-\bar{k})/\bar{k}$, est compensée exactement par $1 \to 3$, et celle des bords $q'_1 = 0$ et $q'_2 = 0$ dans leur ensemble, à savoir $2C \int_{\bar{k}}^{\infty} d\bar{k} (\bar{n}_{k-q}^{\mathrm{lin}} - \bar{n}_k^{\mathrm{lin}}) \bar{k}(\bar{k}-\bar{k})/\bar{k}$, est compensée exactement par $3 \to 1$; ici, $\bar{k} = \hbar ck/k_B T$, $\bar{n}_k^{\mathrm{lin}} = 1/(\exp \bar{k} - 1)$, $\Lambda = \rho^2((d^3/d\rho^3)e_0(\rho))/(3mc^2)$ et $C = k_B T(k_B T/mc^2)^2[9(1+\Lambda)^2/8\rho\xi^2]^{1/[(\pi 3\gamma)^2]}$.</footnote>

<footnote>La conclusion n'est pas changée par la correction $\Sigma_q^{(2)}(i0^+) (d/d\zeta)\Sigma_q^{(2)}(i0^+)$ de notre note 43 car on trouve que les facteurs $\Sigma_q^{(2)}(i0^+)$ et $(d/d\zeta)\Sigma_q^{(2)}(i0^+)$ sont tous les deux réels. C'était évident pour le premier facteur (les effets de bord qu'il présente à 1D [87] sont supprimés à 2D par abaissement de la densité d'états des phonons à faible nombre d'onde). Ça ne l'était pas pour le second facteur : à cause des effets de bord dans l'intégration sur $k$ (voir l'équation (39) de la référence [63]), les processus de Belyaev et de Landau donnent chacun une contribution non nulle à $\mathrm{Im}\,(d/d\zeta)\Sigma_q^{(2)}(i0^+)$ (elle vaut $2[9(1+\Lambda)^2/8\rho\xi^2]/[\bar{k}(3|\gamma|)^{3/2}]$ pour Landau à l'ordre dominant en température) mais ces contributions sont</footnote>
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>**FIGURE 8.** Dans la limite $T \to 0$, on admet que l'ordre de grandeur et la largeur typique de la fonction $\mathrm{Im}\,\Sigma_q(\zeta)$ près de $\zeta = i0^+$ sont caractérisés par deux lois de puissance en température, d'exposants $\nu$ et $\sigma$ (en tenant compte d'une possible dépendance en température du paramètre de courbure $\gamma$).</figcaption></figure>

en généralisant ladite estimation au cas $\zeta \neq 0$, c'est-à-dire en ajoutant $\zeta$ à $\Delta E$ dans (53); or, dans un développement aux petits angles entre $\mathbf{k}_j$ et $\mathbf{q}$, la partie de $\Delta E$ linéaire en les nombres d'onde s'annule et il ne reste que les contributions cubiques $\approx \gamma T^3$ si bien que, indépendamment de la dimensionnalité $d$,

$$ \frac{1}{\zeta + \Delta E} \approx \frac{1}{\zeta + \gamma T^3} \quad \text{et donc} \quad T^{\sigma} \approx |\gamma| T^3 \qquad (57) $$

en tenant compte de la dépendance en le paramètre $\gamma$, ce dernier — nous l'avons dit — pouvant varier en température. La condition de validité $T^\nu = o(\gamma T^3)$ qui en résulte dans (56) admet une interprétation simple : dans la limite $T \to 0$ prise avec la loi d'échelle $q \approx T$, il faut que le taux d'amortissement $\Gamma_q$ tende vers zéro plus vite que le terme cubique en $q$ dans $\omega_q$,

$$ \Gamma_q \stackrel{\hbar cq/k_B T \text{ fixé}}{\approx} o(\omega_q^{(3)}) \quad \text{avec} \quad \omega_q^{(3)} = \gamma mc^2 (q\xi)^3 / 8\hbar \qquad (58) $$

ce qui est donc la vraie marque de la nature markovienne de l'amortissement (plutôt que la condition perturbative irréfléchie $\Gamma_q = o(\omega_q)$).

exactement opposées, en particulier parce que les dénominateurs d'énergie $\epsilon_q - (\epsilon_k + \epsilon_{q-k})$ et $\epsilon_q + \epsilon_k - \epsilon_{q+k}$ sont opposés $\sim \mp \hbar ck[1 - (v_q/c) \cos\theta]$ à l'ordre dominant en $k$ ($v_q = d\epsilon_q/\hbar dq$ est la vitesse de groupe et $\theta$ est l'angle entre $\mathbf{k}$ et $\mathbf{q}$) et entrent dans la dérivée de la distribution de Dirac $\delta'(\epsilon)$, qui est une fonction impaire de son argument.

Le cas bidimensionnel concave est donc spécial : la quantité $\mathrm{Im}\,\Sigma_q^{(4)\text{eff}}(i0^+)$ de la note 43 — considérée à tous les ordres en température — ne donne pas la bonne loi d'échelle en température $\propto T^3$ de la fonction énergie propre d'ordre 4 en $H_3$ sur un voisinage en $O(T^3)$ de $\zeta = i0^+$; elle ne donne pas non plus, d'ailleurs, le taux d'amortissement $\Gamma_q$ puisqu'il y a échec des approximations de Born et de Markov comme dans le cas bidimensionnel convexe, voir la dernière ligne de notre tableau 1. Notons cependant, toujours pour $\gamma < 0$, que le cas limite $\rho\xi^2 \to +\infty$ d'une interaction très faible dans le superfluide sous-jacent doit être mis à part car on y dispose du petit paramètre supplémentaire $1/\rho\xi^2$ aidant à la validité de Markov (comme dans la section 3.2 de la référence [63]) et de Born (comme dans l'équation (17) de cette même référence); ce cas limite est inaccessible dans un gaz de fermions de spin $1/2$ en interaction de contact — on y a $\rho\xi^2 = O(1)$ lorsque $\gamma < 0$ [88] — mais il l'est dans un gaz de bosons avec une interaction de portée $\gtrsim \xi$ comme l'envisage la référence [78].
<table><caption>**TABLEAU 1.** Dans l'étude de l'amortissement des phonons d'un superfluide, validité de l'approximation de Born–Markov dans la limite de basse température $T \to 0$ selon la dimension de l'espace $d$ et le paramètre de courbure $\gamma$ de la branche acoustique (plus précisément son signe et sa variation en température, la troisième ligne valant quel que soit le signe de $\gamma$).</caption><thead><tr><th></th><th>v</th><th>σ</th><th>Markov</th><th>ε<sub>dD</sub></th><th>Born</th></tr></thead><tbody><tr><td>d = 3, γ > 0 fixé</td><td>5</td><td>3</td><td>oui</td><td>≈ T<sup>2</sup> → 0</td><td>oui</td></tr><tr><td>d = 3, γ < 0 fixé</td><td>7</td><td>3</td><td>oui</td><td>≈ T<sup>2</sup> → 0</td><td>oui</td></tr><tr><td>d = 3, γ = O(T<sup>2</sup>)</td><td>5</td><td>5</td><td>non</td><td>≈ T<sup>0</sup> ≠ 0</td><td>non</td></tr><tr><td>d = 2, γ > 0 fixé</td><td>3</td><td>3</td><td>non</td><td>≈ T<sup>0</sup> ≠ 0</td><td>non</td></tr></tbody></table>

Les exposants $v$ et $\sigma$ entrant dans la définition (56) du régime markovien sont ceux de la figure 8, et le petit paramètre du développement de Born $\epsilon_{dD}$ est donné dans l'équation (53).

La situation est résumée sur le tableau 1 ci-dessus<fnref n="49" />. L'approximation de Born–Markov est donc utilisable en dimension 3, sauf sur un étroit intervalle de valeurs de $\gamma$, de largeur $\approx (k_B T / mc^2)^2$ autour de $\gamma = 0$; en $\gamma = 0$, la relation de dispersion des phonons (34) a d'ailleurs un premier écart quintique à la loi linéaire $cq$, ce qui, on le sent bien, est un cas spécial.

Le calcul précis du taux d'amortissement $\Gamma_q$ (ou ce qui en tient lieu pour une décroissance non exponentielle, comme l'inverse de la largeur de $|\langle \hat{b}_q(t) \rangle|^2$ à la hauteur relative $1/e$) pour ces faibles valeurs de la courbure constitue, à notre connaissance, une question ouverte; elle est d'une grande pertinence expérimentale, la force des interactions annulant $\gamma$ étant semble-t-il proche de la limite unitaire (voir la référence [57] et notre section 5.1), point de prédilection des expériences sur les atomes froids car dans un régime de valeurs assez élevées de $T_c / T_F$ et de propriétés collisionnelles propices au refroidissement par évaporation [18].

Pour faire bonne mesure, nous avons aussi considéré le cas bidimensionnel convexe dans le tableau 1 : l'approximation de Born–Markov y échoue, et la référence [63] a dû faire appel à une approximation heuristique non perturbative sur la fonction énergie propre $\Sigma_q(\zeta)$ pour arriver à un bon accord avec des simulations de champ classique (opérateurs $\hat{b}_q$, $\hat{b}_q^\dagger$ de l'hydrodynamique quantique remplacés par des nombres complexes $b_q$, $b_q^*$), ceci dans le régime d'interaction faible $\rho\xi^2 \gg 1$ du superfluide bosonique sous-jacent, où l'on pensait pourtant disposer d'un petit paramètre assurant le succès de la règle d'or de Fermi même dans la limite $k_B T / mc^2 \to 0$ (cette attente raisonnable, confirmée dans la section 3.2 de la référence [63] à l'ordre deux en $H_3$, est infirmée dans la section 4.3 de cette même référence par un calcul à l'ordre quatre)<fnref n="50" />.

<footnote n="49">⁴⁹Dans la troisième ligne du tableau, on omet de possibles facteurs logarithmiques $\ln(1/T)$ pour simplifier. Ces facteurs proviennent du fait que, pour les lois d'échelle $\gamma \propto T^2$ et $q \propto T$, les termes en $q^3$ et en $q^5 \ln q$ sont du même ordre de grandeur dans la relation de dispersion (34) : dans ce régime de faible courbure, la contribution logarithmico-quintique à $\omega_q$ n'est donc plus une petite correction et doit être gardée.</footnote>

<footnote n="50">⁵⁰Nous n'avons pas parlé ici du cas très particulier de la dimension $d = 1$, où deux vecteurs d'onde font un angle très petit (nul!) dès qu'ils sont de même sens. Disons simplement que le petit paramètre de Born reste donné par l'équation (53), obtenue pourtant sous l'hypothèse $d \ge 2$. En rétablissant la dépendance en densité comme dans [63], nous trouvons plus précisément $\epsilon_{1D} = 1/[\gamma^2 \rho\xi(k_B T / mc^2)^2]$, le préfacteur dans (53) s'écrivant $\gamma(k_B T)^3 / (mc^2)^2$. Dans la limite de basse température $k_B T / mc^2 \to 0$ à $\rho\xi$ fixé considérée ici, $\epsilon_{1D} \to +\infty$ et il faut immédiatement faire appel à des approximations non perturbatives sur $\Sigma_q(\zeta)$ et $\Gamma_q$, comme le calcul autocoérent des références [89,90]. Dans la limite opposée d'interaction faible $\rho\xi \to +\infty$ à $k_B T / mc^2$ fixé, $\epsilon_{1D} \to 0$ et l'on peut utiliser la règle d'or de Fermi comme dans la référence [87]; plus précisément, on s'attend à ce que la condition de validité de la règle d'or s'écrive $\rho\xi(k_B T / mc^2)^2 \gg \phi_{1D}(\bar{q})$ où $\phi_{1D}$ est une certaine fonction de $\bar{q} = \hbar c q / k_B T$, en oubliant la dépendance en $\gamma$ pour simplifier (à $\bar{q}$ fixé, l'approximation de Born impose cette condition, mais l'approximation de Markov est alors satisfaite aussi car on a $\hbar \Gamma_q |^{\text{règle}}_{\text{d'or}} \approx \gamma((k_B T)^3 / (mc^2)^2) | \epsilon_{1D} \approx k_B T / (\gamma \rho \xi) \ll \Delta E \approx \gamma(k_B T)^3 / (mc^2)^2$ où $\Delta E$, dénominateur d'énergie de Belyaev–Landau typique, donne la largeur en $\zeta$ de la fonction énergie propre comme dans l'équation (57)). À 2D, comme</footnote>
### 4.4. Diffusion de phase du condensat de paires

Une question d'ordre à la fois pratique et fondamental porte sur le temps de cohérence du condensat de paires à l'équilibre thermique dans un gaz de fermions parfaitement isolé de son environnement.

Pour un système de fermions ↑ et ↓ infini non polarisé, le temps de cohérence est infini, comme l'affirme le phénomène de brisure de symétrie $U(1)$ : dans l'ensemble grand canonique (terme $-\mu\hat{N}$ ajouté à l'hamiltonien du gaz de fermions où $\mu$ est le potentiel chimique et $\hat{N}$ l'opérateur nombre total de particules), le paramètre d'ordre complexe $\Delta(\mathbf{r}, t)$ est uniforme et constant; dans l'ensemble canonique, il évolue donc avec le facteur de phase non amorti $\exp(-2i\mu t/\hbar)^{51}$, avançant à la pulsation immuable $2\mu/\hbar$; en tout cas, le temps de cohérence est infini.

Qu'en est-il dans un système de taille finie (boîte de quantification $[0, L]^3$, nombre total fixé $N$ de fermions)? Pour le savoir, suivons la référence [76] et écrivons l'équation d'évolution de l'opérateur phase du condensat, que nous notons $\hat{\phi}_0$ comme dans l'équation (39), dans le régime de l'hydrodynamique quantique$^{52}$:

$$ -\hbar \frac{d}{dt} \hat{\phi}_0 = \mu_0(\rho) + \sum_{\mathbf{q} \neq 0} \hat{b}_{\mathbf{q}}^{\dagger} \hat{b}_{\mathbf{q}} \frac{d}{dN} (\hbar \omega_{\mathbf{q}}) \equiv \hat{\mu} \quad (59) $$

Au second membre, $\mu_0(\rho) = dE_0/dN$ est le potentiel chimique des $N$ fermions dans l'état fondamental d'énergie $E_0$ à la densité $\rho$ et la somme sur $\mathbf{q}$ peut être interprétée comme la dérivée adiabatique (comprendre aux opérateurs nombres d'occupation $\hat{b}_{\mathbf{q}}^{\dagger}\hat{b}_{\mathbf{q}}$ des modes de phonons fixés) par rapport à $N$ de la somme correspondante dans l'hamiltonien de phonons $H_2$ (41). Le second membre dans son ensemble est donc la dérivée isentropique de l'hamiltonien par rapport au nombre total de particules. En ce sens, il constitue un opérateur potentiel chimique des fermions, d'où la notation $\hat{\mu}$ au troisième membre, et l'équation (59) n'est autre qu'une version quantique de la fameuse seconde relation de Josephson, reliant la dérivée temporelle de la phase (classique) du paramètre d'ordre au potentiel chimique à l'équilibre $\mu$.

Dans une réalisation donnée de l'expérience, que nous supposons correspondre à un état propre à $N$ corps $|\psi_\lambda\rangle$ d'énergie $E_\lambda$ échantillonnant l'ensemble canonique, les nombres d'occupation $\hat{b}_{\mathbf{q}}^{\dagger}\hat{b}_{\mathbf{q}}$ fluctuent et se décorrèlent sous l'effet des collisions incessantes entre phonons dues en particulier à $H_3$, voir l'équation (44). Aux temps assez longs pour qu'un grand nombre de collisions aient eu lieu, on s'attend donc à un étalement diffusif de la phase du condensat, avec un déphasage aléatoire de variance croissant linéairement en temps :

$$ \mathrm{Var}_{\lambda}[\hat{\phi}_{0}(t) - \hat{\phi}_{0}(0)] \underset{\Gamma_{\mathrm{coll}}^{\phi}, t \gg 1}{\sim} 2D_{\lambda}t \quad (60) $$

et un coefficient de diffusion $D_\lambda$ sous-intensif, c'est-à-dire $\approx 1/N$ à la limite thermodynamique. Ici $\Gamma_{\mathrm{coll}}^\phi = \Gamma_{q=k_B T/\hbar c}$ est le taux de collision typique entre phonons thermiques (la fonction $\Gamma_q$ étant celle de l'équation (52)). L'étalement (60) induit une perte de cohérence temporelle

<footnote>le montre la référence [63], le développement perturbatif en $H_3$ de la fonction énergie propre est soumis à une condition de validité similaire, $\rho\xi^2(k_B T/mc^2)^2 \gg \phi_{2D}(\bar{q})$, voir son équation (96), mais qui, contrairement au cas 1D, ne s'obtient pas par simple comptage de puissances.</footnote>

<footnote>$^{51}$Il y a un facteur 2 sous l'exponentielle car $\Delta$ est un paramètre d'ordre de paires alors que $\mu$ est le potentiel chimique des fermions. Il n'y a pas de facteur 2 dans l'équation (59) car l'opérateur phase $\hat{\phi}_0$ est conjugué à la densité de fermions.</footnote>

<footnote>$^{52}$Pour obtenir cette équation, il a fallu éliminer par lissage temporel des termes en $\hat{b}_{\mathbf{q}}\hat{b}_{-\mathbf{q}}$ et $\hat{b}_{\mathbf{q}}^{\dagger}\hat{b}_{-\mathbf{q}}^{\dagger}$; c'est sans conséquence car ils oscillent avec une période $\approx \hbar/k_B T$ bien plus courte que les échelles de temps collisionnelles qui nous intéressent ici (voir plus loin) et se moyennent donc automatiquement à zéro.</footnote>
exponentielle de taux $D_\lambda$, en vertu de la relation de Wick (on s'attend à ce que la statistique du déphasage dans $|\psi_\lambda\rangle$ soit approximativement gaussienne [91]),

$$ 
\begin{aligned}
\langle \exp\{-i[\hat{\phi}_0(t) - \hat{\phi}_0(0)]\} \rangle_\lambda &\approx \exp[-i[\hat{\phi}_0(t) - \hat{\phi}_0(0)]_\lambda] \exp\{-\frac{1}{2}\text{Var}_\lambda[\hat{\phi}_0(t) - \hat{\phi}_0(0)]\} \\
&\approx \exp[-i\langle\hat{\mu}\rangle_\lambda t/\hbar] \exp(-D_\lambda t) \\
&\Gamma_{\text{coll}}^{\phi} t \gg 1
\end{aligned} 
\quad (61) 
$$

ce que confirme d'ailleurs l'analyse par résolvante de la référence [76]$^{53}$.

Dans le cas $\gamma > 0$ d'une branche acoustique convexe, la situation ressemble à celle des condensats de bosons en interaction faible bien étudiée dans la référence [95] : les collisions dominantes sont celles à trois phonons $\phi \leftrightarrow \phi\phi$ de Belyaev et de Landau, et $D_\lambda$ a été calculé pour le condensat de paires de fermions à basse température dans la référence [86]; nous en donnons ici l'expression simplifiée suivante, ne gardant que les lois d'échelle en $N$, $T$ et $\gamma$ (sous l'hypothèse $\gamma = O(1)$ :

$$ D_{\lambda}^{\gamma>0} \approx N^{-1} T^4 \gamma^0 \quad (62) $$

Il n'y a eu encore aucune vérification expérimentale dans les gaz d'atomes froids (seuls fluides quantiques suffisamment bien isolés pour que la perte de cohérence du condensat soit intrinsèque), même pour les bosons.

En revanche, dans le cas concave $\gamma < 0$, la question reste largement ouverte. La tentative de calcul de $D_\lambda$ de la référence [86], tenant compte seulement des processus de collision Landau-Khalatnikov à quatre phonons $\phi\phi \rightarrow \phi\phi$ aux petits angles, de taux typique $\Gamma_{\text{coll}}^\phi \propto (k_B T/mc^2)^7 mc^2/\hbar|\gamma| \approx T^7$, a conduit à un coefficient de diffusion infini,

$$ D_{\lambda}^{\gamma<0} = +\infty \quad (63) $$

plus précisément à une loi d'étalement superdiffusive (simplifiée comme dans (62))$^{54}$

$$ \text{Var}_{\lambda}^{\gamma<0}[\hat{\phi}_0(t) - \hat{\phi}_0(0)] \approx N^{-1} T^{20/3} |\gamma|^{1/3} t^{5/3} \quad (64) $$

en particulier parce que les collisions $\phi\phi \rightarrow \phi\phi$ conservent le nombre total de phonons $N_\phi$ (au contraire de $\phi \leftrightarrow \phi\phi$)$^{55,56}$. Aller au-delà et obtenir la vraie valeur (a priori finie) de $D_\lambda$ reste une question ouverte : il faudrait tenir compte des processus sous-dominants à cinq phonons $\phi\phi \leftrightarrow \phi\phi\phi$ qui changent $N_\phi$ et se produisent à un taux $\approx T^9$ [96], de même ordre de grandeur que celui des processus $\phi\phi \rightarrow \phi\phi$ aux grands angles [52,78], ce qui n'est pas aisé$^{57}$.

<footnote>$^{53}$Si l'on admet que le gaz de phonons en interaction est un système quantique ergodique [92,93], la moyenne $\langle\hat{\mu}\rangle_\lambda$ dans l'état stationnaire $|\psi_\lambda\rangle$ ne dépend que des deux quantités conservées, l'énergie $E$ et le nombre de particules $N$, et coïncide pour un grand système avec le potentiel chimique microcanonique $\mu_{mc}(E = E_\lambda, N)$. Si l'énergie $E$ fluctue d'une réalisation à l'autre de l'expérience autour de la moyenne $\bar{E}$, comme dans l'ensemble canonique, le facteur de phase au troisième membre de l'équation (61) fluctue et conduit à un brouillage gaussien en temps : la linéarisation de $\mu_{mc}(E, N)$ autour de $\bar{E}$ donne $\text{Var}[\hat{\phi}_0(t) - \hat{\phi}_0(0)] \sim [\partial_E \mu_{mc}(\bar{E}, N)]^2 (\text{Var} E) t^2/\hbar^2$, effet parasite $\approx t^2/N$ masquant rapidement la diffusion de phase (60) $\approx t/N$ [94].</footnote>

<footnote>$^{54}$Dans tous les cas, voir les équations (62) et (64), on trouve bien qu'il n'y a pas d'étalement de phase à la limite thermodynamique $N \rightarrow +\infty$ : dans un gaz isolé, le temps de cohérence limité du condensat est un effet de taille finie.</footnote>

<footnote>$^{55}$$N_\phi$ doit alors être ajouté à la liste des constantes du mouvement, à côté de $E$ et $N$, dans la note 53.</footnote>

<footnote>$^{56}$Le fait que, pour $\gamma < 0$, le taux d'amortissement des phonons $\Gamma_q$ tende vers zéro comme $q^3$ (au lieu de $q$ pour $\gamma > 0$) joue aussi un rôle; cependant, sans la conservation de $N_\phi$, il conduirait à une loi d'étalement en $t \ln t$ marginalement superdiffusive (voir l'équation (C.20) de la référence [86] et la moralité énoncée après son équation (72)).</footnote>

<footnote>$^{57}$La publication [86], comprenant mal la référence [96], y avait vu un taux d'amortissement à cinq phonons en $T^{11}$. Erreur corrigée ici. En effet, la référence [96], considérant un quasi-équilibre thermique avec un petit potentiel chimique de phonons non nul $\mu_\phi \to 0^-$, obtient l'équation d'évolution $L^{-3}dN_\phi/dt = -\Gamma_\phi\mu_\phi$ sur le nombre moyen de phonons, où $\Gamma_\phi \approx T^{11}$ n'est pas le taux cherché malgré les apparences; comme $L^{-3}dN_\phi/dt \approx T^2d\mu_\phi/dt$ pour la loi de Bose $\bar{n}_q = 1/\{\exp[(\hbar c\bar{q} - \mu_\phi)/k_B T] - 1\}$, on a en fait $-d\mu_\phi/dt \propto (\Gamma_\phi/T^2)\mu_\phi$, de taux $\approx T^9$.</footnote>
# 5. Questions ouvertes requérant une théorie microscopique du problème à N corps

L'hydrodynamique quantique de la section 4 n'est qu'une théorie effective de basse énergie. Elle présente donc des limitations de deux types, que nous passons ici brièvement en revue, et qui empêchent de faire l'économie d'un calcul microscopique à N corps.

## 5.1. Déterminer les ingrédients de l'hydrodynamique quantique

L'hydrodynamique quantique fait intervenir deux quantités qui lui sont extérieures, l'équation d'état du gaz de fermions non polarisé à température nulle (au travers de l'énergie volumique $e_0(\rho)$ ou du potentiel chimique $\mu_0(\rho)$ — sa dérivée — à la densité $\rho$) et le paramètre de courbure $\gamma$ de la branche acoustique (34).

Dans le présent cas de masses égales $m_↑ = m_↓ = m$, l'équation d'état a été mesurée expérimentalement [48,97] et différentes méthodes de calcul approchées donnent des résultats satisfaisants, comme le Monte-Carlo quantique diffusif à surface nodale fixée [98,99] ou l'approximation des fluctuations gaussiennes dans une formulation de champ par intégrale de chemin [100,101].

La situation est beaucoup plus ouverte pour le paramètre de courbure $\gamma$. L'approximation de la phase aléatoire d'Anderson (RPA) [61], équivalente pour ce problème au calcul des pulsations propres des équations BCS dépendant du temps linéarisées ou même à l'approximation des fluctuations gaussiennes pourtant plus performante [100,102]<fnref n="58" />, conduit à une expression analytique assez simple de $\gamma$ en termes de $\mu/|\Delta|$ et $(\partial\mu/\partial|\Delta|)_a$, exacte $\gamma \to 1$ dans la limite $k_F a \to 0^+$ d'un condensat de dimères, raisonnable dans la limite BCS $k_F a \to 0^-$ ($\gamma \to -\infty$ exponentiellement en $1/k_F a$ sous l'effet de l'écrasement de la branche acoustique par le continuum de paire brisée) et présentant une annulation avec changement de signe pour $|\Delta|/\mu \approx 0,87$, soit $1/k_F a \approx -0,14$ pour l'équation d'état assez approximative de la théorie BCS, un changement de signe proche de la limite unitaire en tout cas [57].

En particulier, $\gamma$ a même valeur positive à la limite unitaire dans ces trois approches (branche acoustique de départ convexe) :

$$ \gamma_{a^{-1}=0}^{\text{RPA}} \approx 0,084 \qquad (65) $$

L'erreur commise est cependant non contrôlée, et l'on n'est même pas sûr du signe.

Une méthode complètement différente procède par extension du problème à une dimension spatiale $d$ quelconque puis développement autour de la dimension quatre, en puissances donc du petit paramètre $\epsilon = 4 - d$. À la limite unitaire, elle conduit elle aussi à un départ convexe [104]<fnref n="59" /> :

$$ \gamma_{a^{-1}=0}^{\text{dimension}} = \frac{1}{3} \left[ 1 - \frac{1}{4}\epsilon + O(\epsilon^2) \right] \stackrel{\epsilon=1}{\approx} \frac{1}{d=3} \frac{1}{4} > 0 \qquad (66) $$

<footnote n="58">⁵⁸Ces différentes approches conduisent exactement à la même équation implicite liant la pulsation propre $\omega_q$, le potentiel chimique $\mu$ et le paramètre d'ordre $\Delta$, et exactement à la même équation liant $\mu$, $\Delta$ et la longueur de diffusion $a$ dans l'onde $s$ [57]; elles diffèrent seulement par l'équation d'état $\mu = \mu_0(\rho)$ reliant $\mu$ à $\rho$ dans l'état fondamental, celle des fluctuations gaussiennes étant la plus précise. Par exemple, à la limite unitaire $a^{-1} = 0$, les approches donnent toutes $mc^2/\mu = 2/3$ (c'est exact par invariance d'échelle, $\mu_0(\rho) \propto \rho^{2/3}$ dans l'équation (43)), $|\Delta|/\mu \approx 1,16$ (proche de la valeur expérimentale $0,44E_F/0,376E_F \approx 1,17$ sachant que $|\Delta| = E_{paire}/2$ dans ces théories et que $E_{paire}/2E_F \approx 0,44$ dans l'expérience [103]) mais le rapport $\mu/E_F \approx 0,376$ dans l'expérience [48], très mal reproduit $\approx 0,59$ par la RPA et BCS, est bien meilleur $\approx 0,40$ dans les fluctuations gaussiennes.</footnote>

<footnote n="59">⁵⁹Nous avons obtenu l'expression (66) en reportant directement l'équation (50) de la référence [104] dans la relation de dispersion (48) de cette même référence et en utilisant la propriété $mc^2 = 2\mu/3$ exacte par invariance d'échelle. En procédant différemment, c'est-à-dire en passant par son équation (52) et son résultat $c_2/c_1 = O(\epsilon^2) = 0$ avec $d=3$ dans son équation (48), on trouve la valeur assez proche $\gamma_{a^{-1}=0}^{\text{dimension}} = 8/45 \approx 0,18$.</footnote>
Expérimentalement, une mesure récente de la branche acoustique par excitation de Bragg dans un gaz d'atomes froids fermioniques conduit au contraire à un départ concave à la limite unitaire [105] :

$$ \gamma_{a^{-1}=0}^{\exp} = \frac{8\mu}{3E_F} \zeta = \zeta \quad \text{avec } \zeta = -0,085(8) < 0 \qquad (67) $$

sachant que le rapport $\mu/E_F$ vaut $\approx 3/8$ pour le gaz unitaire dans l'état fondamental [48] et que $\zeta$ est le paramètre de courbure de la branche acoustique pour l'adimensionnement de $q$ par $k_F$, $\omega_q = cq(1 + \zeta q^2/k_F^2 + \dots)$. Mais le résultat (67) souffre de deux limitations [106] : (i) un ajustement cubique de la branche sur un intervalle de valeurs de $q$ assez élevées, $q/k_F \in [0,29; 1,63]$, plutôt que sur un étroit voisinage de $q = 0$ (pour la relation de dispersion de la RPA, par exemple, qui présente un point d'inflexion en $q \approx 0,5k_F$, un tel ajustement, mélangeant aveuglément des parties convexe et concave, ne donnerait pas le bon signe de $\gamma_{a^{-1}=0}^{\text{RPA}}$), et (ii) une température relativement élevée, $T = 0,128(8)T_F \approx 0,8T_c$ : même si l'on part de la branche de la RPA de paramètre $\gamma > 0$ dans l'état fondamental, l'hydrodynamique quantique prédit un changement thermique $\delta\gamma_{\text{th}}$ de la courbure (par interaction du mode $q$ avec les phonons thermiques) assez négatif pour en changer le signe :

$$ \delta\gamma_{\text{th}} \sim - \frac{8\pi^2}{9(3\mu/E_F)^{1/2}} \left(\frac{T}{T_F}\right)^2 \approx -0,14 < -\gamma_{a^{-1}=0}^{\text{RPA}} \qquad (68) $$

La question du signe de $\gamma$ à la limite unitaire, qui détermine crucialment la nature à trois phonons ($\gamma > 0$) ou à quatre phonons ($\gamma < 0$) des mécanismes d'amortissement du son dans le régime faiblement collisionnel à basse température, reste donc largement ouverte$^{60}$.

## 5.2. Décrire les modes de haute fréquence

L'hydrodynamique quantique, avec sa branche acoustique presque linéaire en le nombre d'onde $q$, ne peut décrire de manière fiable les ondes sonores de pulsation $\omega_q > mc^2/\hbar$ du superfluide de fermions. Ignorante de la nature composite des paires liées $\uparrow\downarrow$, elle est totalement inapplicable aux pulsations $\omega \approx E_{\text{paire}}/\hbar$, où $E_{\text{paire}}$ est l'énergie de liaison d'une paire : à ces pulsations, les paires peuvent se briser en deux excitations fermioniques $\chi$ (la conservation de l'énergie ne l'interdit plus), voir la figure 5a.

Il faut alors avoir recours à une description microscopique du gaz de fermions. À température nulle, la principale méthode disponible est celle de la théorie variationnelle BCS dépendant du temps [108]. Sa spécialisation au régime de réponse linéaire donne l'équation aux valeurs propres suivante sur l'énergie $z$ des modes de vecteur d'onde $q$ :

$$ \det M(\mathbf{q}, z) = 0 \quad \text{avec} \quad M(\mathbf{q}, z) = \begin{pmatrix} M_{|\Delta||\Delta|}(\mathbf{q}, z) & M_{|\Delta|\theta}(\mathbf{q}, z) \\ M_{\theta|\Delta|}(\mathbf{q}, z) & M_{\theta\theta}(\mathbf{q}, z) \end{pmatrix} \qquad (69) $$

où les coefficients de la matrice $2 \times 2$ correspondent à une réponse en le module $|\Delta|$ ou en la phase $\theta$ du paramètre d'ordre complexe $\Delta(\mathbf{r}, t)$. Dans la limite BCS d'interaction faible $k_F a \to 0^-$, les éléments non diagonaux sont habituellement négligés (à juste titre) et la dynamique se découle en mode de module et mode de phase; dans le cas général, cette distinction ne vaut plus.

<footnote>$^{60}$L'amortissement étudié expérimentalement dans la référence [107] est dans le régime hydrodynamique, au sens de la note 41. Cette référence ne permet donc pas de trancher.</footnote>
L'exploration des solutions de l'équation (69) a commencé. À nombre d'onde $q$ fixé, on trouve sous le bord $\epsilon_q^{\text{bord}}$ du continuum de paire brisée au plus une racine, celle $\hbar\omega_q$ de la branche acoustique. Sur l'intervalle $z \in ]\epsilon_q^{\text{bord}}, +\infty[$, la fonction $\det M(q, z)$ admet une ligne de coupure$^{61}$, il faut mettre un décalage infinitésimal $i0^+$ dans $z$ pour lui donner un sens; elle acquiert alors une partie imaginaire, qu'on n'arrive pas à annuler simultanément avec la partie réelle, et l'équation (69) n'admet pas de solution. En revanche, on peut en trouver une, complexe $z_q$ de partie imaginaire non infinitésimale $< 0$, en prolongeant analytiquement la fonction $z \mapsto \det M(q, z)$ du demi-plan complexe supérieur au demi-plan inférieur à travers sa ligne de coupure (ce qu'indique la flèche $\downarrow$ en indice) :

$$ \det M_{\downarrow}(q, z_q) = 0 \quad \text{avec } \operatorname{Im} z_q < 0 \qquad (70) $$

Il existe donc un mode collectif dans le continuum, qui s'amortit exponentiellement en temps par émission de paires brisées. Le calcul a été fait d'abord dans la limite BCS $k_F a \to 0^-$, aussi bien pour des fermions neutres que pour les électrons d'un supraconducteur, dans la référence [109]. Il a été ensuite généralisé aux gaz d'atomes froids fermioniques pour une valeur quelconque de $k_F a$, sans qu'on puisse plus négliger les éléments non diagonaux $M_{|\Delta|\theta}$ et $M_{\theta|\Delta|}$ [110,111]. La branche d'Andrianov-Popov subsiste jusqu'à $1/k_F a = 0.55$ (point d'annulation $\mu = 0$ du potentiel chimique dans la théorie BCS) et présente toujours un départ à $2|\Delta|$ quadratique en $q$ avec un coefficient complexe :

$$ z_q \stackrel{\mu \ge 0}{\underset{q \to 0}{\equiv}} 2|\Delta| + \zeta \frac{\hbar^2 q^2}{4m_*} + O(q^3) \quad (\operatorname{Im} \zeta < 0) \qquad (71) $$

où $m_*$ est la masse effective d'une quasi-particule fermionique $\chi$ à l'endroit $k = k_0$ de son minimum d'énergie$^{62}$. Nous avons écrit ici $2|\Delta|$ plutôt que $E_{\text{paire}}$, où $\Delta$ est le paramètre d'ordre à l'équilibre, même si la théorie BCS est incapable de distinguer (on a exactement $E_{\text{paire}} = 2|\Delta|$ pour tout $\mu > 0$ dans cette théorie), afin d'évoquer le mécanisme de Higgs [113] dont on pense que le mode collectif du continuum relève [114]$^{63}$; d'ailleurs, dans la limite opposée $k_F a \to 0^+$ d'un condensat de dimères bosoniques, où $2|\Delta| \ll E_{\text{paire}} \sim 2|\mu| \sim \hbar^2/ma^2$ (on a cette fois $\mu < 0$), on trouve bien une branche d'excitation collective commençant quadratiquement à $2|\Delta|$ et non pas à $E_{\text{paire}}$ [111]. L'extension de l'équation (69) à température non nulle (au-delà d'une simple

<footnote>$^{61}$Les éléments de matrice de $M(q, z)$ comportent une intégrale sur le vecteur d'onde $k$ d'un des fragments de dissociation d'une paire liée du condensat, avec dans l'intégrande le dénominateur d'énergie correspondant $z - (\epsilon_k + \epsilon_{q-k})$; par définition, le dénominateur peut donc s'annuler quand $z$ appartient au continuum de paire brisée, voir la légende de la figure 5.</footnote>

<footnote>$^{62}$On l'aura compris, la masse effective est telle que $\epsilon_k - E_{\text{paire}}/2 \sim \hbar^2(k-k_0)^2/2m_*$ quand $k \to k_0$. La mise à l'échelle par $m_*$ dans l'équation (71) assure que $\zeta$ a une limite finie et non nulle lorsque $k_F a \to 0^-$ [109]. Dans ce même régime, la référence pourtant connue [112] prédit un comportement fantaisiste de $z_q$ à faible $q$, avec une partie imaginaire tendant vers zéro linéairement en $q$, voir son équation (2.38). La quantité $\zeta$ n'a ici rien à voir avec celle de l'équation (67), il y a une coïncidence malheureuse de notations.</footnote>

<footnote>$^{63}$Comme ce mécanisme résulte de la brisure de symétrie $U(1)$, ici par condensation des paires liées, il doit être caractérisé par l'échelle d'énergie associée au paramètre d'ordre, c'est-à-dire $|\Delta|$ à un facteur près; c'est bien ce que trouve la référence [113], voir son équation (2b). En revanche, l'échelle d'énergie $E_{\text{paire}}$ est reliée à la brisure de paires, pas à leur condensation, donc n'a a priori aucun rapport avec la branche de Higgs. Le fait d'avoir $E_{\text{paire}} = 2|\Delta|$ est source de confusion et empêche de découpler les deux phénomènes. Il serait par ailleurs intéressant de voir si la propriété $E_{\text{paire}} = 2|\Delta|$ reste rigoureusement vraie à température nulle dans une théorie plus élaborée que BCS ou dans les expériences.</footnote>
généralisation de type BCS en champ moyen, peut-être insuffisante<sup>64)</sup> reste à notre connaissance
une question ouverte.

D'un point de vue expérimental, dans les atomes froids ou les supraconducteurs, l'excitation
à des pulsations $\omega > E_{\text{paire}}/\hbar$ a été effectuée seulement à nombre d'onde nul, où il n'y a d'après
les théories à température nulle pas de mode collectif du continuum, le poids spectral du mode
tendant vers 0 lorsque $q \to 0$ [110]; on observe simplement aux temps longs des oscillations du
paramètre d'ordre à la pulsation $E_{\text{paire}}/\hbar$ (c'est l'effet du bord non nul du continuum) qui s'amor-
tissent en loi de puissance $t^{-\alpha}$ [117,118] par le même mécanisme que l'étalement du paquet
d'ondes gaussien d'une particule libre en mécanique quantique ordinaire (l'excitation percus-
sionnelle crée un « paquet d'ondes » de paires brisées (k, -k) dans le continuum, dont l'évolu-
tion gouvernée par la relation de dispersion $2\epsilon_k$ est de manière effective unidimensionnelle pour
$k_0 > 0$ ($\mu > 0$), auquel cas $\alpha = 1/2$ [119], et tridimensionnelle pour $k_0 = 0$ ($\mu < 0$), auquel cas
$\alpha = 3/2$ [120]]<sup>65</sup>. L'observation du mode du continuum (à $q > 0$) et la mesure précise de sa rela-
tion de dispersion $z_q$ restent donc à faire (des pistes sont données dans les références [110,121]).

Déclaration d’intérêts

Les auteurs ne travaillent pas, ne conseillent pas, ne possèdent pas de parts, ne reçoivent pas
de fonds d'une organisation qui pourrait tirer profit de cet article, et n'ont déclaré aucune autre
affiliation que leurs organismes de recherche.

English version (la version française commence à la page 394)

To obtain the English version, we translated the French version with ™DeepL Pro and a self-made
glossary of technical terms. The result was improved with ™DeepL Write.

# 1. Introduction and general presentation

This text is essentially the transcript of our 90-minute talk at the prospective symposium "Open
questions in the quantum many-body problem" held at the Institut Henri Poincaré in Paris, from

<footnote n="64"><sup>64</sup>Cette généralisation n'est pas une panacée, comme on le voit sur la partie imaginaire de la branche acoustique. Pour γ > 0 (mais pas pour γ < 0), ce reproche peut être fait à la RPA déjà à température nulle, puisqu'elle prédit à tort une pulsation propre ω<sub>q</sub> purement réelle. Cependant, ça ne semble pas être très grave car la partie imaginaire (-1/2)Γ<sub>q</sub>(T = 0) ≈ q<sup>5</sup> obtenue par l'hydrodynamique quantique (amortissement de Belyaev) vient se perdre dans les termes sous-sous-dominants négligés dans l'équation (34). Ce problème est plus visible à faible q à température non nulle, où Γ<sub>q</sub>(T > 0) commence linéairement en q avec un coefficient en T<sup>4</sup> (l'exposant v vaut 5 dans le tableau 1 pour la loi d'échelle q ∝ T de la note 41), ce dont la théorie de type BCS en champ moyen ne peut rendre compte (elle prédit un coefficient en O[-exp(E<sub>paire</sub>/2k<sub>B</sub>T)] [115,116] puisque les seuls nombres d'occupation thermiques qu'elle fait apparaître sont ceux n̄<sub>k</sub> = 1/[exp(ε<sub>k</sub>/k<sub>B</sub>T) + 1] des quasi-particules fermioniques χ). En d'autres termes, la linéarisation des équations BCS dépendant du temps ou, ce qui revient au même, l'approximation des fluctuations gaussiennes prend en considération le couplage φ – χ mais pas le couplage φ – ϕ.</footnote>

<footnote n="65"><sup>65</sup>Les observations de la référence [118] dans un gaz unitaire de fermions à T ≠ 0 soulèvent cependant plusieurs questions : (i) l'exposant α = 1 ± 0,15 mesuré est fort différent de la valeur prédite théoriquement (α = 1/2 à la limite unitaire), (ii) il ne peut être exclu que la décroissance de l'amplitude des oscillations soit en réalité exponentielle, (iii) au contraire de l'amplitude, la pulsation des oscillations ne présente aucune réduction observable lorsque T se rapproche de la température de transition T<sub>c</sub> (où il n'y a plus de brisure de symétrie U(1) et |Δ| tend vers zéro) ce qui semble incompatible avec la qualification d'oscillations de Higgs utilisée dans cette référence (la pulsation mesurée n'est pas proportionnelle à |Δ|/ħ), mais suggère aussi une constance de E<sub>paire</sub> en température assez troublante (la pulsation mesurée devrait être donnée par E<sub>paire</sub>/ħ puisque l'excitation est faite à q = 0). Rappelons par ailleurs que la température n'est jamais très faible dans l'expérience, T ≳ 0,1T<sub>F</sub>, voir notre section 2, ce qui rend la théorie à T = 0 stricto sensu inapplicable.</footnote>
July 8 to 12, 2024, hence its style and level of precision differ from that of a usual research article. It is more complete than the presentation on Section 4 (treated briefly at the oral presentation) and on Section 5 (omitted at the oral presentation due to lack of time). Footnotes can be ignored on first reading. The presentation was recorded and is available online on the IHP Carmin channel (click here).

The system considered is inspired by experiments on cold atoms: it is a three-dimensional two-component Fermi gas (meaning two internal states ↑ and ↓) in an immaterial trap—made of light, at very low temperatures in the microkelvin range. This is the worthy descendant of laser-cooled atomic gases (in the famous “optical molasses”, see the 1997 Nobel Prize in Physics awarded to Steven Chu, William Phillips and Claude Cohen-Tannoudji) and then of evaporation-cooled gaseous atomic Bose–Einstein condensates (see the 2001 Nobel Prize in Physics awarded to Eric Cornell, Carl Wieman and Wolfgang Ketterle).

Compared to their illustrious predecessors, cold fermionic atomic gases have the advantage (i) of being composed of fermions, thus covering both possible statistics (the gas can always be “bosonized” by forming strongly bound pairs $↑↓$) and making a direct link with the electron systems (fermions!) of solid-state physics, (ii) of remaining collisionally stable (weak three-body losses by recombination to deep molecular states) even in the strongly interacting regime as in the famous “unitary limit” described below (unlike, for the moment, bosonic cold-atom gases), and (iii) of constituting beautiful, simple and universal model systems in this regime, thanks to the negligible range of van der Waals interactions between $↑$ and $↓$ (more precisely, the associated van der Waals length is negligible); as we shall see, this allows the interaction to be replaced by contact conditions on the $N$-body wave function, depending solely on the $s$-wave scattering length $a$, which experimentalists can adjust at will by means of a Feshbach resonance, simply by applying a well-chosen uniform magnetic field.

Our system is not unrelated to those of other presentations at the symposium. The link is obvious with Tilman Enss's contribution on the viscosity of strongly interacting Fermi gases [1], which complements our own. If we place our fermions in an optical lattice, with about one particle per site (close to half-filling), we recover the problems of strongly correlated fermions and superconductivity at high critical temperature discussed by Antoine Georges. In a regime of strong on-site interaction $U_{↑↓}$ compared to tunnel coupling $t$ between neighboring sites, $U_{↑↓} \gg t$, the system is described by a Heisenberg-type spin model Hamiltonian, with magnetic coupling $J \propto t^2/U_{↑↓}$, which links up with Sylvain Capponi's talk [2]. If we return to a uniform system (without lattice), but apply an artificial gauge field (a fictitious magnetic field) to our fermionic yet neutral cold atoms—which is what experimentalists know how to do, see Sylvain Nascimbène's talk [3]—we come across problems related to the talks by Thierry Joliceur [4] (on the 2D fractional quantum Hall effect) and Carlos Sá de Melo [5] (spin-orbit coupling in one spatial dimension). All these bridges to solid-state physics are not so easy to build, however, because of non-conservative parasitic effects, finite sample sizes and difficulty in getting down to sufficiently low temperatures (in units of the Fermi temperature $T_F$ or the magnetic coupling temperature $J/k_B$), see the presentations by Wolfgang Ketterle, Sylvain Nascimbène and Antoine Georges.

Let's finish with the outline of our contribution. In Section 2, we start from reality, outlining the progress of experiments on cold atoms since the 1980s and the situation reached in the case of fermions. In Section 3, we adopt a microscopic point of view, of interactions replaced by contact conditions, and review some open questions in the few-fermion problem. In Section 4, on the other hand, we adopt a macroscopic point of view, that of a low-energy effective theory (quantum hydrodynamics), and review some open questions related to the interaction between phonons (the quanta of sound waves) in the superfluid phase. Finally, in the short Section 5, we cross points of view and list some open questions that require a microscopic theoretical treatment of the full many-body problem.
## 2. A fairly recent physical system

Let's start by putting our Fermi gases into context, with a brief history of cold atoms.

The adventure began in the early 1980s with the laser cooling of alkalis. The low temperatures reached are spectacular when expressed in kelvins, $T \approx 1$ µK, but the spatial densities are unfortunately very low, $\rho \lesssim 10^{10}$ at/cm$^3$, so that the gases have very low quantum degeneracy, i.e. very low density in phase space, $\rho\lambda^3 \ll 1$, where $\lambda$ is the thermal de Broglie wavelength of atoms with mass $m$:

$$ \lambda = \left( \frac{2\pi\hbar^2}{mk_B T} \right)^{1/2} \qquad (1) $$

The effects of quantum statistics (bosonic or fermionic) are imperceptible.

This all changed in 1995, when Eric Cornell and Carl Wieman at JILA [6], shortly followed by Wolfgang Ketterle at MIT [7], achieved Bose-Einstein condensation (BEC), obviously on bosonic isotopes, thanks to evaporative cooling in non-dissipative trapping potentials with harmonic bottoms<fnref n="1" />. Transition temperatures remain in the range of laser cooling, $T_c^{BEC} \approx 0.1$ to $1$ µK, but spatial densities are considerably higher, $\rho = 10^{12}$ to $10^{15}$ at/cm$^3$, enabling quantum degeneracy $\rho\lambda^3 \gtrsim 1$ to be achieved.

Finally, in 2004, evaporative cooling was successfully extended to fermionic isotopes down to the transition temperature [11,12]; gases with two internal states $\uparrow$ and $\downarrow$ no longer form Bose-Einstein condensates, but condense in $\uparrow\downarrow$ pairs by the BCS mechanism [13]: the attractive van der Waals interactions between $\uparrow$ and $\downarrow$, in the presence of a Fermi sea in each internal state, lead to the formation of bound pairs, the famous Cooper pairs, “composite bosons”, which can form a condensate at sufficiently low temperatures, $T < T_c^{BCS}$. The lowest experimentally accessible temperatures are of the order of $0.1 T_F$, where the Fermi temperature $T_F$ remains of the order of a microkelvin; this is nevertheless sufficient to go below $T_c^{BCS}$ because the interactions between $\uparrow$ and $\downarrow$ are made very strong by means of a two-body scattering resonance (magnetic Feshbach resonance): the transition temperature $T_c^{BCS}$ is then a fraction of $T_F$ and we avoid the extreme situation of BCS superconductors, for which $T_c^{BCS} \ll T_F$ by several orders of magnitude.

Let's now describe our system of fermionic cold atoms in broad outline, in an attempt to idealize experimental reality. (i) The fermions have two internal states $\uparrow$ and $\downarrow$; as we are not considering here a Rabi coupling between $\uparrow$ and $\downarrow$, our considerations also apply to the case of a mixture of two formally spinless fermionic chemical species; for this reason, we do not assume that the masses $m_\sigma$ of the particles are equal in the two internal states<fnref n="2" /> and we consider the ratio $m_\uparrow / m_\downarrow$ as a free parameter. (ii) The fermions are trapped either in isotropic harmonic potentials of the same trapping angular frequency $\omega$ for the two components $\sigma$,

$$ U_{\sigma}(\mathbf{r}) = \frac{1}{2} m_{\sigma} \omega^2 r^2 \qquad (2) $$

where $\mathbf{r}$ is the 3D position vector, or in the cubic quantization box $[0, L]^3$ common to both components, with the usual periodic boundary conditions<fnref n="3" />. (iii) The van der Waals interaction between the two internal states $\uparrow$ and $\downarrow$, shown schematically in Figure 1a, is effectively made very strong (resonant) in $s$ wave (relative orbital angular momentum $l = 0$) by application of

<footnote n="1">¹Reference [8] later succeeded, using clever tricks, in obtaining a Bose-Einstein condensate without evaporation, by laser cooling alone (see also reference [9]); in particular, this involved (i) using a narrow atomic line with low saturation to keep the temperature limit of laser cooling [10] as low as possible, and (ii) preventing spontaneously emitted photons, which carry away part of the energy of atomic motion, from depositing it back into the gas by reabsorption.</footnote>

<footnote n="2">²In the case where $\uparrow$ and $\downarrow$ are two spin states of the same chemical species, we naturally have $m_\uparrow = m_\downarrow$ in the experiment. However, by applying an optical lattice that couples differently to the two internal states (within a low filling factor limit), we could produce different effective masses $m_\sigma$. This remains to be done.</footnote>

<footnote n="3">³Experimentally, flat-bottom potentials can be produced using Laguerre-Gauss or Bessel-Gauss beams and laser light sheets, after gravity compensation (levitation of atoms) by a magnetic field gradient [14–16].</footnote>
a suitable magnetic field<fnref n="4" /> so that the scattering length $a$ between two atoms $\uparrow$ and $\downarrow$ (defined mathematically in Section 3.1) is sufficiently large in absolute value (it can be positive or negative) so that

$$ \rho^{1/3}|a| \gtrsim 1 \qquad (3) $$

We recall that the theory of weakly interacting Bose gases relies on the small parameter $(\rho a^3)^{1/2} \ll 1$, see Jan Solovej's contribution [17] to the symposium proceedings; condition (3) is therefore, on the contrary, the mark of a strongly interacting gas. The scattering length $a$ is also much greater in absolute value than the interaction range $b$, defined in Figure 1a,

$$ |a| \gg b \qquad (4) $$

which is indeed the hallmark of a two-body scattering resonance. As $b$ is of the order of a few nanometers in the experiments, we also have

$$ b \ll \rho^{-1/3}, \lambda \qquad (5) $$

which gives us the idea of constructing a model system, by taking the limit of a zero-range interaction $b \to 0$ at fixed $a$, characterized only by the algebraic length $a$. This idea will be implemented in Section 3.1. (iv) On the other hand, the interaction is not resonant in $p$ wave (relative orbital angular momentum $l = 1$), so the $\uparrow\uparrow$ and $\downarrow\downarrow$ interactions, which occur predominantly in this wave at low energy (due to fermionic antisymmetry), are negligible.

As we shall see in Section 3, the existence of a well-defined model (of energy bounded from below when $b \to 0$) is a mathematically non-trivial problem. We can already propose a necessary condition, inspired by experimental reality. Since the van der Waals interaction supports (at least) a two-body bound state of size $\approx b$, as shown in Figure 1a, the gas phase considered so far and seen in experiments is only a metastable phase, temporarily escaping the solidification predicted by the laws of equilibrium physics, a solidification of which three-body losses are the precursors (see Figure 1b). These losses occur at a rate estimated as follows in reference [18] for equal masses:

$$ \Gamma_{\text{losses}}^{3-\text{body}} \propto \frac{\hbar}{mb^2} \text{Proba}(3 \text{ fermions } \uparrow\uparrow\downarrow \text{ or } \downarrow\downarrow\uparrow \text{ in a same ball of radius } b) \qquad (6) $$

The first factor represents the relevant energy scale of this recombination process: this is the binding energy of the strongly bound dimer formed, and the length scale $|a| \gg b$ cannot come into play. The second factor takes into account the fact that the three-fermion process cannot occur if one of the fermions is separated from the other two by a distance $\gg b$, by quasi-locality in position space: the interaction range and the size of the strongly bound dimer are both of the order of $b$. The proportionality factor in Equation (6) depends on the details of the microscopic physics. This leads to an experimental stability condition for the Fermi gas in the $b \to 0$ limit of a contact interaction:

$$ \Gamma_{\text{losses}}^{3-\text{body}} \underset{b \to 0}{\to} 0 \qquad (7) $$

<footnote n="4">⁴Without going into too much detail, it should be pointed out that, to understand this resonance, it is necessary to take into account the internal structure of the atoms and describe their binary interaction a minima by a two-channel model, with an open channel $V_0(r_{12})$ interaction potential and a closed channel $V_f(r_{12})$ interaction potential—think of the singlet and triplet interaction potentials of two spin-1/2 fermions. In a collision, atoms $\uparrow$ and $\downarrow$ enter through the open channel and, by conservation of energy, also exit through the open channel, as their relative incoming kinetic energy is less than the difference of dissociation limits $V_f(+\infty) - V_0(+\infty) > 0$. As there is a coupling between the two channels, however, the atoms virtually populate the closed channel during the collision. The applied magnetic field $B$ induces a different Zeeman shift in the two channels. A clever choice of $B$ is then all that's needed to ensure that the energy of a bound state in $V_f(r_{12})$—not the bare energy, but the energy shifted by the coupling—almost coincides with the dissociation limit $V_0(+\infty)$, inducing a two-body scattering (or collision) resonance in the open channel and making the scattering length $a$ diverge.</footnote>
<figure><img src="image_11.png" /></figure>

**Figure 1.** (a) Schematic representation of the resonant van der Waals (more precisely, Lennard-Jones) interaction ($|a| \gg b$) between ↑ and ↓ fermions as a function of their relative distance. The potential supports at least one strongly bound state of extension of the order of the van der Waals length $b \approx (mC_6/\hbar^2)^{1/4}$ and therefore of binding energy $\approx \hbar^2/mb^2$ and, in the case of a scattering length $a > 0$ as in the figure, a last energy level of extension $a$ (of binding energy $\hbar^2/ma^2$) on “the verge of disappearing” (here $m_↑ = m_↓ = m$ as in the experiments); if $a$ were large but negative ($|a| \gg b, a < 0$), this weakly bound state would be on “the verge of appearing”. (b) The strongly bound dimer state can be populated by three-body collisions, which causes particle losses in the Fermi gas, known as three-body losses (the collision products carry away the considerable binding energy $\approx \hbar^2/mb^2$ in the form of kinetic energy and leave the trap). The arrows represent the linear momenta before and after the collision.

The study of this system, though gaseous, is made non-trivial by the interaction strength. For example, since $k_F|a| \approx 1$, where $k_F = (3\pi^2\rho)^{1/3}$ is the Fermi wave number, the superfluid transition temperature is a priori of the order of the Fermi temperature $T_F = E_F/k_B$ (there is no other scale available than the Fermi energy $E_F = \hbar^2 k_F^2/2m$) and will be difficult to calculate accurately: BCS theory will be qualitative at best, and quantum Monte Carlo methods are difficult to apply to fermions; the challenge has, however, been met by reference [19], in the symmetric case of equal masses and chemical potentials in the two components, where Monte Carlo methods free of the famous “sign problem” exist.

**3. Open questions from a microscopic point of view**

In this section, fermion interactions are replaced in a zero-range limit by contact conditions on the N-body wave function, the Hamiltonian operator then reducing to that of the ideal gas (Wigner-Bethe-Peierls model [20,21]).
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>**Figure 2.** Photograph of the Fermi gas showing the positions (stars) of the N fermions, as would be obtained with a quantum gas microscope, in the limit of an interaction range $b \to 0$ (for illustrative purposes, we have surrounded each star with a circle of diameter $b$). (a) Typical case: the particles are separated by a distance $\gg b$ and do not interact. This sets the Hamiltonian operator (9) of the Wigner-Bethe-Peierls model. (b) Case where two particles $\uparrow$ and $\downarrow$, well separated from the others, undergo a binary collision. This sets the contact conditions (17) of the model. (c) Case of an isolated ternary collision. This raises the question of the need for three-body contact conditions.</figcaption></figure>

### 3.1. Defining the Wigner-Bethe-Peierls model

To build the model, let's start from the simple perception that a photograph of the gas would give us, i.e. a measurement of the positions of the N fermions, as quantum gas microscopes have recently been able to do in the homogeneous case [22]. In the limit where the interaction range $b$ tends to zero, the typical photograph looks like Figure 2a: the fermions are separated two by two by a distance $\gg b$ and the interaction potential $V(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j)$ is negligible. The N-body wave function obeys in this case the stationary Schrödinger equation

$$E\psi = H_{\text{ideal gas}}\psi \qquad (8)$$

with the Hamiltonian operator of the ideal gas, the sum of the kinetic energy $p^2/2m_\sigma$ and trapping $U_\sigma(\mathbf{r})$ terms in each internal state $\sigma$:

$$H_{\text{ideal gas}} = \sum_{i=1}^{N_\uparrow} \left( \frac{\mathbf{p}_i^2}{2m_\uparrow} + U_\uparrow(\mathbf{r}_i) \right) + \sum_{j=N_\uparrow+1}^{N} \left( \frac{\mathbf{p}_j^2}{2m_\downarrow} + U_\downarrow(\mathbf{r}_j) \right) \qquad (9)$$

It is convenient here to number the particles so that the first $N_\uparrow$ are in internal state $\uparrow$ and the last $N_\downarrow$ are in internal state $\downarrow$; the wave function $\psi(\mathbf{r}_1, \dots, \mathbf{r}_N)$ is then an antisymmetric function of the first $N_\uparrow$ positions and an antisymmetric function of the last $N_\downarrow$ positions. Some pictures, however, will resemble Figure 2b: two fermions $i$ and $j$, of different internal states, respectively $\uparrow$ and $\downarrow$, are separated from the others by a distance $\gg b$ but are separated from each other by a distance $\approx b$ and are therefore affected by the interaction potential $V(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j)$. The correct way of looking at this is to say that $i$ and $j$ are undergoing isolated two-body scattering in the gas, which has two consequences, one qualitative, the other quantitative.

Qualitatively, we understand that in our very low density gas (in the sense of $\rho b^3 \ll 1$), it is better to characterize the interaction between $\uparrow$ and $\downarrow$ by its two-body scattering amplitude, more generally by a transmission operator known as the T matrix, than by the function $V(\mathbf{r})$ itself; as the interaction occurs in the s wave, the scattering amplitude $f$ is isotropic and depends only on
the relative wave number $k_{rel}$ of the two particles; in the limit $b \to 0$ at a fixed scattering length $a$, we then have the low-energy expansion<fnref n="5" />

$$f_{k_{rel}} = \frac{-1}{a^{-1} + ik_{rel} - (1/2)k_{rel}^2 r_e + O(k_{rel}^3 b^2)} \quad (10)$$

We assume in the following that the effective range $r_e$ of the interaction is $O(b)$ and therefore becomes negligible as $b \to 0$<fnref n="6" />. So the scattering amplitude reduces to the universal form for a contact interaction

$$f_{k_{rel}}^{\text{contact}} = \frac{-1}{a^{-1} + ik_{rel}} \quad (11)$$

Quantitatively, we expect the two nearby ↑ and ↓ fermions to decouple from the $N-2$ others in the $N$-body wave function, in the sense that

$$\psi(\mathbf{r}_1, \dots, \mathbf{r}_N) \underset{r_{ij}=O(b)}{\approx} \phi(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j) A_{ij}(\mathbf{R}_{ij}; (\mathbf{r}_k)_{k \neq i, j}) \quad (12)$$

where $\mathbf{R}_{ij} = (m_↑\mathbf{r}_i + m_↓\mathbf{r}_j)/(m_↑ + m_↓)$ is the center of mass position of the particles $i$ and $j$, $\mathbf{r}_{ij} = \mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j$ is their relative position, $(\mathbf{r}_k)_{k \neq i, j}$ is the $(N-2)$-uplet of the positions of the other particles, the function $A_{ij}$ is generally not known, and $\phi(\mathbf{r})$ is a two-body scattering state, solution of Schrödinger equation

$$\varepsilon\phi(\mathbf{r}) = -\frac{\hbar^2}{2m_{\text{rel}}} \Delta\phi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r}) \quad (13)$$

for the relative motion of mass $m_{rel} = m_↑m_↓/(m_↑ + m_↓)$ at an energy $\varepsilon$ given in reference [24] (see its Equation (85)) but which we will retain only as $\approx \hbar^2 k_{typ}^2/2m_{rel}$, where the typical wave number $k_{typ}$ in the gas is of the order of $k_F$ for $T = O(T_F)$. In the limit $b \to 0$, it is in fact sufficient to analyze Equation (13) in the interval

$$b \ll r \ll k_{\text{typ}}^{-1} \quad (14)$$

with the case $r \le b$ providing only non-universal details of the interaction and the case $r > k_{typ}^{-1}$ invalidating the factorization (12) (the pair $ij$ is no longer well isolated as in the photo in Figure 2b). The first inequality in Equation (14) allows $V(\mathbf{r})$ to be set to zero in the right-hand side, and the second allows energy $\varepsilon$ to be set to zero in the left-hand side of Equation (13), hence the simplified Schrödinger equation

$$0 = -\frac{\hbar^2}{2m_{\text{rel}}} \Delta\phi(\mathbf{r}) \quad (15)$$

Its general solution in the $s$ wave (rotationally symmetric) is a linear combination of the constant solution 1 (the incoming wave of zero energy) and the Coulomb solution (the scattered wave) with a relative amplitude fixed by $V(\mathbf{r})$ at short distances:

$$\phi(\mathbf{r}) = \mathcal{N} \left(1 - \frac{a}{r}\right) = \frac{1}{a} - \frac{1}{r} \quad (16)$$

By definition, see Jan Solovej's contribution [17], the quantity $a$ is the scattering length of the potential. In the third expression, we have chosen the convenient normalization (factor $\mathcal{N}$ taken equal to $1/a$ in the second expression) to have a finite result at the $a^{-1} = 0$ scattering resonance.

<footnote n="5">⁵If $V(\mathbf{r})$ decays faster than $1/r^7$ at infinity, we can put an $O(k_{rel}^4 b^3)$ in the denominator.</footnote>

<footnote n="6">⁶Experimentally, however, there are so-called narrow magnetic Feshbach resonances, for which negative $r_e$ is gigantic on the atomic scale and can be of the order of $1/k_F$, due to an unusually weak coupling between the open and closed channels of our note 4, see reference [23]. These resonances are difficult to use, as they require very good control of the magnetic field. The existence of a non-zero effective range as $b \to 0$, however, has the advantage of stabilizing the gas in the unstable regime of Section 3.2 (the spectrum remains bounded from below and the three-body loss rate (6) tends to zero), and should enable the preparation and observation of long-lived Efimovian bound states, provided the mass ratio $m_↑/m_↓$ is large enough. The experiment remains to be done.</footnote>
We thus arrive naturally at the definition of the Wigner-Bethe-Peierls model for our three-dimensional system of ($N_↑$, $N_↓$) two-component fermions with zero-range interaction and s-wave scattering length $a \neq 0$:

(1) the Hamiltonian operator is the same as that of the ideal gas, as in Equations (8), (9)

(2) there is fermionic antisymmetry of the state vector $\psi$ for the first $N_↑$ and for the last $N_↓$ positions

(3) the interaction is described not by a potential $V$ but by the following contact conditions on $\psi$: for any index $i \in \{1, \dots, N_↑\}$ and any index $j \in \{N_↑ + 1, \dots, N = N_↑ + N_↓\}$, there exists a function $A_{ij}$ such that$^7$

$$ \psi(\mathbf{r}_1, \dots, \mathbf{r}_N) \underset{r_{ij} \to 0}{=} A_{ij}(\mathbf{R}_{ij}, (\mathbf{r}_k)_{k \neq i, j}) \left( \frac{1}{r_{ij}} - \frac{1}{a} \right) + O(r_{ij}) \quad (17) $$

where the distance $r_{ij}$ between particles $i$ and $j$ tends to zero at fixed positions of their center of mass $\mathbf{R}_{ij}$ and other particles $\mathbf{r}_k$, with the constraints $\mathbf{R}_{ij} \neq \mathbf{r}_k \forall k \neq i, j$ and the $\mathbf{r}_k$ two-by-two distinct (as in Figure 2b).

Mathematically, point 3 means that the domain of the Hamiltonian operator is not the same as that of the ideal gas: in the absence of interaction ($a = 0$), we rightly eliminate solutions that diverge as $1/r_{ij}$, as stated in any good book on quantum mechanics. That's the only difference, but it's a big one$^8$!

Figure 2c, which shows a trio of atoms in close proximity, well separated from the others and undergoing three-body scattering, raises a legitimate question: should we complete the model with three-body contact conditions? four-body? etc. Answer in the next section.

## 3.2. Questions of existence

It is not obvious that the Wigner-Bethe-Peierls model, as defined on page 433, leads to a self-adjoint Hamiltonian (without additional contact conditions) and, above all, to an energy spectrum bounded from below. In fact, we have boldly stretched an energy scale to $-\infty$, the $-\hbar^2/m_{rel}b^2$ scale associated with the interaction range, by taking the $b \to 0$ limit at a fixed scattering length $a$, i.e. without letting the interaction strength tend to zero, which could cause the system to collapse, as in the well-known Thomas effect in nuclear physics [26]!

The discussion becomes clearer in the special case $a^{-1} = 0$, known as the unitary limit (the scattering amplitude (11) of the model reaches the maximum modulus $k_{rel}^{-1}$ allowed in the s wave by the unitarity of the scattering matrix $S$), as the contact conditions (17) become scale invariant (this is also the most interesting and open regime, because it corresponds to a maximally interacting gas phase). For simplicity's sake, let's restrict ourselves to $E = 0$ energy eigenstates in free space, with the center of mass of the $N$ fermions at rest. As there is no external energy or potential to introduce a length scale, we expect the eigenstate $\psi$ to be scale invariant, i.e. a

<footnote>$^7$The functions $A_{ij}$ are not independent. Fermionic antisymmetry dictates that $A_{ij}(\mathbf{R}_{ij}, (\mathbf{r}_k)_{k \neq i, j}) = (-1)^{i-1}(-1)^{j-(N_↑+1)} A_{1,N_↑+1}(\mathbf{R}_{ij}, (\mathbf{r}_k)_{k \neq i, j})$ (to bring them to the first position in their respective internal states and thus reveal the function $A_{1,N_↑+1}$, we had to pass $\mathbf{r}_i$ through $i-1$ position vectors of $\uparrow$ fermions and $\mathbf{r}_j$ through $j - (N_↑ + 1)$ position vectors of $\downarrow$ fermions, hence the signs).</footnote>

<footnote>$^8$A key point is that the scattering state $\phi(\mathbf{r}) = 1/r - 1/a$ is square-summable on a neighborhood of the origin, $\int_{r<r_{max}} d^3r |\phi(\mathbf{r})|^2 < \infty$: there is therefore no cutoff to be put at short distance and $a$ is the only length associated with the interaction. The situation is different in waves of angular momentum $l > 0$: $\phi(\mathbf{r}) = Y_l^{ml}(\theta, \phi)(r^l + a_{gen}^{2l+1}/r^{l+1})$ (where the parameter $a_{gen} \neq 0$ generalizing $a$ is a length and $Y_l^{ml}$ is a spherical harmonic) is then no longer square-summable, and a cutoff and thus a second length must be introduced to characterize the interaction [25].</footnote>
homogeneous function of the coordinates (invariant up to a factor by the homothety $\mathbf{r}_i \to \lambda \mathbf{r}_i$ of ratio $\lambda$ applied to the $N$ positions), of the form [27,28]

$$ \psi(\mathbf{r}_1, \dots, \mathbf{r}_N) = R^{s-\frac{3N-5}{2}} \Phi(\Omega) \quad (18) $$

where (i) $R$ is the internal hyperradius, the root-mean-square deviation of the mass-weighted positions of the $N$ particles relative to their center of mass $\mathbf{C}$,

$$ MR^2 = \sum_{i=1}^{N} m_i (\mathbf{r}_i - \mathbf{C})^2 \quad (19) $$

with $M = \sum_{i=1}^N m_i$ the total mass and $MC = \sum_{i=1}^N m_i \mathbf{r}_i$; (ii) the scaling exponent (the degree of homogeneity) is conveniently defined by the quantity $s$ after translation of $(3N-5)/2$—to reveal an $s \leftrightarrow -s$ symmetry; (iii) $\Phi$ is an unknown function of the $3N-4$ hyperangles completing $R$ in the parameterization of $\mathbf{r}_i - \mathbf{C}$ in hyperspherical coordinates. Carrying over the ansatz (18) into the Schrödinger equation (8) (with $E=0$ and $U_\sigma \equiv 0$ as mentioned) gives an eigenvalue equation for $\Phi$:

$$ \left[ -\Delta_{\Omega} + \left( \frac{3N-5}{2} \right)^2 \right] \Phi(\Omega) = s^2 \Phi(\Omega) \quad (20) $$

whose eigenvalues are precisely $s^2!$. Since the Laplacian $\Delta_\Omega$ is taken on a compact, the unit hypersphere $S_{3N-4}$, the possible values of $s^2$ form a discrete set, belonging to $\mathbb{R}$ if one assumes that the Hamiltonian is Hermitian; we generally don't know how to calculate them, because of the difficult contact conditions (17) on $\Phi(\Omega)^9$.

In the following, we'll simply write formally that $s$ is the root of an even transcendental function, the so-called Efimov function,

$$ \Lambda_{N_1, N_2}(s) = 0 \quad (21) $$

without specifying this function (the most direct way to obtain it is to impose the contact conditions (17) on a Faddeev ansatz written in reciprocal space$^{10}$, which leads to a Skorniakov-Ter-Martirosian integral equation—here in the unitary limit at zero energy, in which we inject the Fourier equivalent of ansatz (18); the resulting transcendental equation (21) can be written explicitly for $N=3$ [29], and is written as the determinant of an operator for $N>3$, this operator being given explicitly for $N=4$ in sector (3,1) by reference [30] and in sector (2,2) by reference [31]). We must now distinguish between two cases.

**First case:** $s^2 > 0$. There are two possible values for the scaling exponent, one value $> 0$ which we agree to call $s$, and the opposite value $-s < 0$. By a phenomenon similar to that of Equation (16), $\psi$ is in general a linear combination of two solutions, one containing a factor $R^s$, the other containing a factor $R^{-s}$, the relative amplitudes being univocally fixed by a length $\ell$ (the equivalent

<footnote>$^9$On the other hand, contact conditions (17) do not constrain the dependence of $\psi$ on the hyperradius. This is because, if $\psi$ obeys the contact conditions, $f(R)\psi$ also obeys them, provided that the factor $f(R)$ is a regular function of $R$. Indeed, in the limit $r_{ij} \to 0$ with $\mathbf{R}_{ij}$ and $(\mathbf{r}_k)_{k \neq i, j}$ fixed, we have $MR^2 = m_i(\mathbf{r}_i - \mathbf{C})^2 + m_j(\mathbf{r}_j - \mathbf{C})^2 + \text{const} = m_i r_i^2 + m_j r_j^2 + \text{const} = (m_i + m_j)\mathbf{R}_{ij}^2 + m_{\text{rel}} r_{ij}^2 + \text{const} = O(r_{ij}^2) + \text{const.}$ Then $(1/r_{ij} - 1/a)O(r_{ij}^2)$ is $O(r_{ij})$ and negligible.</footnote>

<footnote>$^{10}$Let's briefly recall the construction of the ansatz. First, we write the Schrödinger equation for zero energy in the sense of distributions, $H_{\text{idealgas}}\psi = \sum_{i=1}^{N_1} \sum_{j=N_1+1}^{N} (2\pi\hbar^2/m_{\text{rel}})\delta(\mathbf{r}_{ij})A_{ij}(\mathbf{R}_{ij}, (\mathbf{r}_k)_{k \neq i, j})$ where Dirac distributions arise from the action of kinetic energy operators on singularities $1/r_{ij}$, by virtue of the Poisson equation $\Delta_{\mathbf{r}}(1/r) = -4\pi\delta(\mathbf{r})$, and $m_{\text{rel}}$ is the reduced mass of two opposite-spin fermions as we said. We then take its Fourier transform $(\psi \to \tilde{\psi}, \Delta_{\mathbf{r}} \to -k^2)$. Taking advantage of fermionic antisymmetry as in note 7 and of translational invariance (the center of mass is at rest), we reduce to $\tilde{\psi}(\mathbf{k}_1, \dots, \mathbf{k}_N) = (\delta(\mathbf{k}_1 + \dots + \mathbf{k}_N) / \sum_{n=1}^N \hbar^2 k_n^2 / (2m_n)) \sum_{i=1}^{N_1} \sum_{j=N_1+1}^{N} (-1)^{i+j} D((\mathbf{k}_n)_{n \neq i, j})$ where $D$ is the only unknown function (each $A_{ij}$ is a function of the $(\mathbf{r}_k - \mathbf{R}_{ij})_{k \neq i, j}$ of which $D((\mathbf{k}_n)_{n \neq i, j})$ is the Fourier transform up to a factor).</footnote>
of a in Equation (16)) determined by the microscopic details of the interaction at short distance $O(b)^{11,12}$:

$$ \psi = [(R/\ell)^s - (R/\ell)^{-s}] R^{-\frac{3N-5}{2}} \Psi(\Omega) \quad (22) $$

However, in the absence of N-body scattering resonance, $\ell = O(b)$ is expected, so that $\ell \to 0$ when $b \to 0$: the solution $R^{-s}$ becomes negligible, length $\ell$ disappears from the problem and we keep the following scale invariant N-body contact condition in the channel of scaling exponent $s$ [32]:

$$ \psi \approx R^{s-\frac{3N-5}{2}} \quad (23) $$

The wave function $\psi$, considered as a function of $R$, is nodeless so energy $E=0$ corresponds to the ground state: there is no bound state (an eigenenergy $E<0$ would tend to $-\infty$ when $b \to 0$)$^{13,14}$.

**Second case:** $s^2 < 0$. Here too, there are two possible values for the scaling exponent, one $s = i|s|$ in $i\mathbb{R}^+$, which we'll call $s$, and the other, its conjugate complex $-i|s|$, or its opposite $-s$, in $i\mathbb{R}^-$. As in the first case, we conclude that there is a length $\ell$, a function of the microscopic details of the interaction, setting the relative amplitude of the two solutions:

$$ \psi = [(R/\ell)^{i|s|} - (R/\ell)^{-i|s|}] R^{-\frac{3N-5}{2}} \Psi(\Omega) = 2i \sin[|s| \ln(R/\ell)] R^{-\frac{3N-5}{2}} \Psi(\Omega) \quad (24) $$

This time, the two solutions have the same modulus, so we must keep them both (neither outweighs the other in the limit $b \to 0$)! The length $\ell$ does not disappear from the problem, but defines in the limit $b \to 0$ a N-body contact condition (24) which explicitly breaks the continuous scale invariance of the unitary limit. Since $\psi$ has an infinite number of nodes at an arbitrarily large hyperdistance $R$—arbitrarily larger than the interaction range $b$—(see the third expression in Equation (24)), there is an infinite number of N-body bound states under the $E=0$ energy solution; since the boundary condition (24) is invariant by changing $\ell$ into $\exp(\pm\pi/|s|)\ell$, we pass from one N-body bound state to the other by a homothety of ratio $\exp(\pi/|s|)$: the corresponding

<footnote>$^{11}$Scattering state (16) corresponds to the case $N=2$; then $s=1/2$ and $(3N-5)/2=1/2$, and $\psi$ in Equation (22) is indeed a linear combination of $R^0$ and $R^{-1}$; in this case, $R \propto r_{12}$ and $\Phi(\Omega) = \text{const}$ in $s$ wave. Explicit calculation of expression (22) for $N=2$ gives $\psi \propto (r_{12}/\bar{\ell})^{s-1/2} - (r_{12}/\bar{\ell})^{-s-1/2}$ with $\bar{\ell} = (m_1 + m_2)\ell/(m_1 m_2)^{1/2}$, which must be proportional to the scattering state (16), hence the announced exponent value $s=1/2$; the two-body parameter $\bar{\ell}$ is none other than the scattering length $a$.</footnote>

<footnote>$^{12}$A minus sign has been placed between the two bracketed terms in Equation (22); a plus sign would also be possible, depending on the microscopic model.</footnote>

<footnote>$^{13}$The special case of a $(N_1, N_\downarrow)$-body scattering resonance, where $\ell$ remains finite in the $b \to 0$ limit, is treated in detail in reference [33], which explains which N-body contact condition to use to correctly describe the resulting low-energy bound state. Indeed, condition (22) already proposed in [27] is only satisfactory for $s$ small enough (for $s>1$, we can see that state (22) is no longer square integrable near $R=0$ and that a second length—a cutoff—must be introduced).</footnote>

<footnote>$^{14}$On a narrow Feshbach resonance, see note 6, the effective range $r_e$ is—for $1/a=0$—the only relevant length scale when the true range $b$ tends towards zero, so that the length $\ell$ is of the order of $|r_e| \gg b$. The wave function $\psi$ in Equation (22) then admits a node far “outside” the interaction potential: the solution at $E=0$ would not be of minimum energy, and the system would admit a bound state of $(N_1, N_\downarrow)$ fermions (with $N>2$)! However, a specific study of the case $(N_1=2, N_\downarrow=1)$ shows that this is not true (as long as the mass ratio $m_1/m_\downarrow$ remains low enough for $s^2 \ge 0$ of course) [29,34]. Should we be surprised? Let's argue by contradiction. If there really were a bound state, it would lead to a relative wave number $k_{rel} \approx 1/|r_e|$ between the fermions, the effective range term would not be negligible in the denominator of the scattering amplitude (10) and we would lose scale invariance and therefore separability in hyperspherical coordinates. Equation (22) would be inapplicable and the prediction of a bound state would be invalid. More generally, in order to believe in (22)—this is a necessary condition, the hyperradius $R$ must be much larger than any length scale appearing in any subsystem $(n_1, n_\downarrow)$ [with $n_1 \le N_1$, $n_\downarrow \le N_\downarrow$ and $n_1 + n_\downarrow < N_1 + N_\downarrow = N$], in particular $R \gg b$ and $R \gg |r_e|$ for $(n_1=1, n_\downarrow=1)$. Needless to say, the $(N_1, N_\downarrow)$-body resonance of note 13 does not call into question (22) and the existence of a node at hyperdistance $\ell$ since the abnormally large $\ell \gg b$ length that appears does not pre-exist in any subsystem.</footnote>
spectrum forms a geometric sequence of zero limit but it is not bounded below in the zero range limit<fnref n="15" />,

$$E_n = -E_{\text{glob}} e^{-2\pi n/|s|}, \quad n \in \mathbb{N}^*, \quad \text{with } E_{\text{glob}} \approx \hbar^2/Mb^2 \qquad (25)$$

These N-body bound states, historically predicted by Efimov for $N=3$, are said to be Efimovian. It would be very interesting to stabilize them in a cold atom experiment (we unfortunately verify that, if $s \in i\mathbb{R}^*$ in the problem with (2,1) fermions, which occurs for $m_1/m_\downarrow > 13.6069...$ as we shall see, the three-body loss rate of Equation (6) does not tend to zero when $b \to 0$, but rather to a quantity proportional to $\hbar k_F^2/m$ in the homogeneous gas at $T=0$, which is considerable), for example using note 6.

But back to our mathematical problem: we conclude that the gas with $(N_1, N_\downarrow)$ fermions is stable for a zero-range $\uparrow\downarrow$ interaction, and that the Hamiltonian of the Wigner-Bethe-Peierls model is self-adjoint and bounded from below, if and only if the scaling exponents are all real:

$$s \in \mathbb{R}^* \quad \forall s \text{ solution of } \Lambda_{N_1, N_\downarrow}(s) = 0 \qquad (26)$$

Of course, no gas subsystem $(n_1, n_\downarrow)$ must exhibit an Efimov effect either, otherwise (i) a $n_1 + n_\downarrow < N_1 + N_\downarrow$-body parameter would have to be introduced as in Equation (24) and the scale invariance at the origin of separability (18) and of result (26) would be broken—we would lose separability at all distances, and (ii) the subsystem could collapse in the $b \to 0$ limit of a zero range interaction and the energy would not be bounded below. Without saying so, we have done a proof by induction and the equivalent of the stability condition (26) must be satisfied for any number $n_1 \le N_1$ and any number $n_\downarrow \le N_\downarrow$.

**Remark 1.** We could add $s=0$ in the third case: this is in fact precisely the threshold for an Efimov effect. Expanding Equation (24) to first order in $|s|$, we find that

$$\psi \propto \ln(R/\ell) R^{-\frac{3N-5}{2}} \Phi(\Omega) \qquad (27)$$

i.e. the length $\ell$ sets the relative amplitude of the solutions $R^{-(3N-5)/2}$ and $(\ln R)R^{-(3N-5)/2}$. This bears a striking resemblance to the definition of the scattering length of two particles in dimension two, see for example reference [36] and Jan Solovej's contribution [17]. However, in the $\ell = O(b)$ case where we are, the length $\ell$ tends towards zero when $b \to 0$, the first solution—with coefficient $\ln(1/\ell) \to +\infty$—wins out over the second and we keep the N-body contact condition in continuity with (23):

$$\psi \underset{R \to 0}{\approx} R^{-(3N-5)/2} \qquad (28)$$

In the zero-range model, therefore, there is no breaking of scale invariance and no bound state at the Efimovian threshold<fnref n="16" />,<fnref n="17" />.

<footnote n="15">¹⁵The precise expression of $E_{\text{glob}}$ as a function of $s$ and $\ell$, and of the order of $\hbar^2/Mb^2$ for $\ell \approx b$, is given, for example, in reference [35]. In Equation (25) we take $n \ge 1$ (assuming $\exp(-2\pi/|s|) \ll 1$—otherwise the spectrum would not be entirely geometric [29]) because the Wigner-Bethe-Peierls model can only be applied to a bound state of size $\gg b$. We can however have $\ell \approx |r_e| \gg b$ and $E_{\text{glob}} \approx \hbar^2/Mr_e^2 \ll \hbar^2/Mb^2$ on a narrow Feshbach resonance, see our note 6; even if it is not obvious, the exclusion of $n=0$ in (25) remains correct in this case [29,34]. This exclusion of $n=0$ is consistent with the absence of a bound state when $s^2 \ge 0$, see our note 14: on the Efimovian side, the whole discrete spectrum must tend to zero when $|s| \to 0$ knowing that $E_{\text{glob}}$ has a finite, non-zero limit.</footnote>

<footnote n="16">¹⁶The considerations of note 14 apply at threshold. In particular, we must not believe in the bound state of energy $\propto -\hbar^2/M\ell^2$ that Equation (27) would lead us to predict: it would be of spatial extension $\ell$ and could not be described by our zero-range model when $\ell \approx b$; nor would it exist for $(N_1=2, N_\downarrow=1)$ in the—apparently favourable—case of a narrow Feshbach resonance where $\ell \approx |r_e| \gg b$, see note 14 and references [29,34].</footnote>

<footnote n="17">¹⁷The fact that $\ln(1/\ell)$ tends slowly towards infinity when $b \to 0$ is not without practical consequences: if we want to compare with experiments, it is better to keep the contribution $\ln R$ in (27) [and the term $(R/\ell)^{-s}$ in (22) for $s > 0$ close enough to zero] to form the N-body contact condition. Thus, we find that the third cluster coefficient $b_{2,1}$ defined in Section 3.4 is actually a regular function of the mass ratio $m_1/m_\downarrow$ and therefore of $s^2$, whereas it has an infinite derivative at $s^2=0$ in the zero-range model [35,37], hence in Equation (33).</footnote>
**Remark 2.** We've taken $a = \infty$ here for simplicity, but if the system is unstable for $a = \infty$, it will remain so for finite $a$ (all else being equal): the Efimovian $N$-mers of the unitary gas of size $\ll |a|$ (there are as many as you like for $b \to 0$) make no difference between an infinite and a finite scattering length $a$.

**Complement.** In the unitary limit, the present analysis generalizes to nonzero energy $E$ (still with the center of mass of the system at rest). Equation (18) becomes

$$ \psi = F(R) R^{-\frac{3N-5}{2}} \Phi(\Omega) \quad (29) $$

(satisfying the Wigner-Bethe-Peierls contact conditions under note 9) with

$$ EF(R) = -\frac{\hbar^2}{2M} \Delta_{2D} F(R) + \frac{\hbar^2 s^2}{2MR^2} F(R) \quad (30) $$

and $\Delta_{2D}$, the 2D Laplacian for variable $R$, reduces here (in the absence of angular dependence) to $d^2/dR^2 + R^{-1}d/dR$. The Efimovian case $s^2 < 0$ therefore simply corresponds to the known “fall to the center” problem in an attractive $1/R^2$ potential [38]. Separability in hyperspherical coordinates (29) even extends to the trapped case [27,28], simply by adding the trapping term $(1/2)M\omega^2 R^2 F(R)$ to the right-hand side of Equation (30), and making the substitution $E \to E - E_{\text{com}}$, the eigenvalue of the equation for $F(R)$ being the internal energy as opposed to that $E_{\text{com}}$ of the center of mass. For $s^2 > 0$, this leads to the spectrum

$$ E - E_{\text{com}} = (s + 1 + 2q)\hbar\omega, \quad q \in \mathbb{N} \quad (31) $$

### 3.3. What is known on the stability domain

The problem of whether the stability condition (26) is satisfied can be tackled from two opposite ends.

The first involves solving the problem with $(N_↑, N_↓)$ fermions at $E = 0$ in the Wigner-Bethe- Peierls model and calculating the scaling exponents $s$ (we proceed analytically as far as possible, but there is a final numerical step, at least for $N > 3$). To the best of our knowledge, this program has been completed in fermionic problem $(N_↑ > 1, N_↓ = 1)$ up to $N_↑ = 4$, see Figure 3: in each case, an Efimov effect is found to appear above a critical mass ratio $m_↑/m_↓$ (impurity ↓ must be light enough), obviously a decreasing function of $N_↑$ $^{18}$. We note that the successive critical mass ratios get closer and closer together; mathematically, however, we don't know whether this sequence continues (is there an Efimov effect for (5,1) bodies? for (6,1) bodies? etc.). The $(N_↑ > 1, N_↓ = 2)$ case has been studied for $N_↑ = 2$ by reference [31], which predicts stability as long as that the subsystems (2,1) and (1,2) are stable.

At the second extreme, the aim is to constrain (rather than calculate) critical mass ratios, by lower bounding the Hamiltonian spectrum. This is what reference [41] has done for the $(N_↑, N_↓ = 1)$ fermion problem: it demonstrates the magnificent

**Theorem.** There is a critical mass ratio $m_↑/m_↓ = \alpha_c$ below which the fermionic system $(N_↑, N_↓ = 1)$ is stable $\forall N_↑$ for a contact interaction, and $\alpha_c > 1/0.36 = 2.77$.

<footnote>$^{18}$Once we have an Efimov effect in the $(N_↑, N_↓)$ fermionic problem, as we said below Equation (26), we lose scale invariance and can no longer apply the reasoning behind Equations (18), (20) to the $(N_↑ + 1, N_↓)$ or $(N_↑, N_↓ + 1)$ fermionic problem; in the latter case, there is no separability in $(R, \Omega)$ coordinates as in Equation (24), no geometric spectrum (25) and, strictly speaking, no possible Efimov effect!</footnote>
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>**Figure 3.** Known results on the stability of the ($N_↑$, 1) system of $N_↓$ spin ↑ fermions and one spin ↓ fermion, for a zero-range interaction, as a function of the $m_↑/m_↓$ mass ratio between a ↑ particle and the ↓ particle. Vertical arrows: critical values of $m_↑/m_↓$ (thresholds) for the ($N_↑$, 1)-body Efimov effect obtained by solving the corresponding problem, see references [39] for $N_↑$ = 2, [30] for $N_↑$ = 3, [40] for $N_↑$ = 4; when $m_↑/m_↓$ exceeds these values, the energy of the system is no longer bounded below. Vertical bar with horizontal arrow: critical mass ratio $\alpha_c$, whose existence is established by the Moser-Seiringer theorem [41], below which the system ($N_↑$, 1) is stable $\forall N_↑$; the theorem does not give the exact value of $\alpha_c$ but a more restrictive lower bound, $\alpha_c > 2.77$, than that, $m_↑/m_↓ = 1$, of the cold-atom experiments (a superiority of the latter, however, is that the unitary Fermi gas appears to be stable, without collapse or significant three-body losses, for all values of $N_↑$ and $N_↓$).</figcaption></figure>

### 3.4. Cluster or virial expansion

Some would argue that it is the macroscopic many-body problem that should ultimately be the focus of our attention, rather than the few-body system. To which we reply that the latter can say something about the former by means of cluster expansion, an expansion of the pressure $P$ of the homogeneous gas at grand-canonical thermal equilibrium in powers of the fugacities of the components $\sigma$ (the temperature $T = 1/k_B\beta$ is fixed and the chemical potentials $\mu_\sigma$ tend to $-\infty$, which corresponds to a quantum non-degenerate limit):

$$ \frac{P\bar{\lambda}^3}{k_B T} = \sum_{(n_1, n_\downarrow) \in \mathbb{N}^{2*}} b_{n_1, n_\downarrow} e^{\beta\mu_1 n_1} e^{\beta\mu_\downarrow n_\downarrow} \quad (32) $$

where the thermal de Broglie wavelength is taken at the arbitrary reference mass $\bar{m}$, $\bar{\lambda} = (2\pi\hbar^2/\bar{m}k_B T)^{1/2}$ $^{19}$. The expansion (32), in recent literature, is often confused with the virial expansion, which expands in powers of the phase space densities $\rho_\sigma \lambda_\sigma^3$ ($\lambda_\sigma = (2\pi\hbar^2/m_\sigma k_B T)^{1/2}$).

How to calculate the cluster coefficients $b_{n_1, n_\downarrow}$? At the unitary limit $a^{-1} = 0$, the simplest way is to use the harmonic regulator method of reference [43], which first places the system in the harmonic traps $U_\sigma(\mathbf{r})$ of Equation (2) and then, all calculations done, opens the traps to obtain the homogeneous case from the local density approximation (exact in the limit $\omega \to 0^+$). The trapped problem is then separable in hyperspherical coordinates as in Section 3.2 and, if we know the zero-energy free space scaling exponents $s$ for all $n_\downarrow \le n_\downarrow^{\text{target}}$, $n_\uparrow \le n_\uparrow^{\text{target}}$, we also know the energy levels of the trapped system as in Equation (31), hence all the canonical partition functions $Z_{n_1, n_\downarrow}$ and ultimately the coefficient $b_{n_1^{\text{target}}, n_\downarrow^{\text{target}}}$. As a result, the cluster coefficients must be functionals of the $\Lambda_{n_1, n_\downarrow}$ of Equation (21). This is indeed what is predicted by the conjecture in reference [44], claiming that, at the unitary limit,

$$ b_{n_1, n_\downarrow} = \frac{(n_1 m_\uparrow + n_\downarrow m_\downarrow)^{3/2}}{\bar{m}^{3/2}} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dS}{4\pi} S \frac{d}{dS} (\ln \Lambda_{n_1, n_\downarrow} (\text{iS})) + \text{CorrStat}_{n_1, n_\downarrow} \right] \quad (33) $$

<footnote>$^{19}$Reference [42] uses the natural choice $\bar{m}^{3/2} = (m_\uparrow^{3/2} + m_\downarrow^{3/2})/2$ leading to a first total cluster coefficient $b_1 = (b_{1,0} + b_{0,1})/2$ equal to one.</footnote>