# Endommagement (matériaux standard généralisés)

M.L.M. François

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M.L.M. François. Endommagement (matériaux standard généralisés). Master. Nantes, France. 2025, pp.45. hal-05457088

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<figure><img src="image_1.png" /></figure>

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# Module XMS3PE713 Comportements dissipatifs
Cours V/VI Endommagement

M2 de Mécanique, parcours Mécanique et Fiabilité des Structures

Faculté des Sciences et techniques, Nantes Université

Version du 1er décembre 2025
## Objectifs de ce cours

* Connaitre le concept d'endommagent fragile

* Connaitre le concept d'endommagent ductile

* Maitriser les modèles d'endommagement fragile

* Maitriser les modèles de plasticité endommageable

* Avoir des notions sur les modèles de viscoplasticité endommageable
## Plan

1

1.1 Notion d'endommagement

1.1 Observation

1.2 Aspect perte de rigidité

1.3 Aspect micromécanique

2

2. Endommagement fragile

3

3. Endommagement ductile

4

4. Visco-plasticité endommageable

5

Bibliographie
# 1 Notion d'endommagement

## 1.1 Observation

* Expérience : on plie un trombone un grand nombre de fois :

* il chauffe

* il ramollit

* il se casse

* L'endommagement comme perte des propriétés élastiques a été théorisé par Kachanov et Rabotnov [1956]

* Les aspects thermodynamique des processus irréversibles ont été développés par Lemaitre [1977] et Marigo [1981]

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
## 1.2 Aspect perte de rigidité

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

* La variable d'endommagement $d$ (Rabotnov, [1956]) décrit la perte de rigidité du matériau. En 1D, on pose :

$$ \sigma = E(1 - d)\epsilon $$

$$ \tilde{E} = E(1 - d) $$

où $\tilde{E}$ se nomme le module effectif.
1.3 Aspect micromécanique

Cette perte de rigidité est due à la création de vides dans la matière.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Création d'endommagement en traction, au niveau de la striction
(tomographie X) Thèse C. Landron, INSA Lyon, 2011
Ces vides réduisent la surface en la **surface effective**

$$ \tilde{S} = S(1-d) $$

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

La matière vierge « voit » la contrainte effective $\tilde{\sigma}$ :

$$ \begin{align*} \sigma &= \frac{F}{S} \\ \tilde{\sigma} &= \frac{F}{\tilde{S}} \\ \implies \tilde{\sigma} &= \frac{\sigma}{1-d} \end{align*} $$

On suppose que relation de comportement est conservée en contrainte effective :

$$ \begin{align*} \tilde{\sigma} &= E\varepsilon \\ \implies \sigma &= E(1 - d)\varepsilon \\ \iff \sigma &= \tilde{E}\varepsilon \end{align*} $$
# Plan

1

1.1 Notion d'endommagement

2

2.1 Endommagement fragile

* 2.1.1 Présentation

* 2.1.2 Modèle de Marigo [1981]

* 2.3 État de l'art

3

3.1 Endommagement ductile

4

4.1 Visco-plasticité endommageable

5

Bibliographie
# 2 Endommagement fragile

## 2.1 Présentation

Les matériaux quasi-fragiles développent, au delà d'une certaine charge, un réseau de micro-fissures.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Flexion 3 points d'un béton et mesure des sites d'endommagement par détection acoustique (El Guerjouma et coll. [2009])
Le réseau de fissures s'intensifie avec la vitesse de chargement. Sous impact balistique, le verre développe un réseau de micro-fissures alors qu'il n'y a que quelques fissures en régime quasi-statique.

Sodalime glass

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Réseau de micro-fissures dans un verre blindé sous impact balistique (LMT-Cachan)
## 2.2 Modèle de Marigo [1981]

Ce modèle de matériau standard généralisé introduit le taux de restitution d'énergie élastique $Y^1$.

* Variables dissipatives, d'état et associées :

<table><tr><td>V<sup>k</sup></td><td>d</td></tr><tr><td>A<sup>k</sup></td><td>Y</td></tr></table>

* Énergie libre de Helmholtz :

$$2\rho\Psi = (1 - d)\varepsilon : C : \varepsilon$$

* Élasticité isotrope :

$$C = 2\mu\mathbb{P}^D + 3K\mathbb{P}^H$$

* Fonction de charge et pseudo-potentiel² (modèle associé) :

$$F = f = Y - hd - w_0$$

où $h$ et $w_0$ sont les paramètres du modèle.

1. qui établit un lien avec la mécanique de la rupture

2. le fait que la V.E. $d$ intervienne dans le pseudo-potentiel, est une entorse à la TPI
* Depuis l'énergie libre on déduit :

$$ \sigma = \frac{\partial \rho \Psi}{\partial \epsilon} \qquad (\text{ELAS}) $$

$$ Y = -\frac{\partial \rho \Psi}{\partial d} $$

$$ Y = \frac{1}{2} \boldsymbol{\epsilon} : \mathbb{C} : \boldsymbol{\epsilon} \qquad (\text{ETAT}) $$

* Depuis le pseudo-potentiel :

$$ dd = \frac{\partial F}{\partial Y} d\lambda = d\lambda \qquad (\text{MULT}) $$
• **Consistance**

$$ 
\begin{gather*}
\frac{\partial f}{\partial Y} dY + \frac{\partial f}{\partial d} dd = 0 \\
dY - hdd = 0 \\
dd = \frac{1}{h} \boldsymbol{\epsilon} : \mathbb{C} : d\boldsymbol{\epsilon} \qquad (\text{CONS})
\end{gather*}
$$

• **Dissipation**

$$ \dot{q}_{i1} = Y \dot{d} \qquad (\text{DISS}) $$

Avec $Y > 0$ car $\mathbb{C}$ est défini positif ($K > 0$ et $\mu > 0$) et $\dot{q}_{i1} \ge 0$ (second principe) entraîne $\dot{d} \ge 0$: l'endommagement ne peut qu'augmenter$^3$.

3. d'un point de vue physique, on conçoit qu'une fissure ne puisse se recoller
<figure><img src="image_9.png" /></figure>

Réponse du modèle de Marigo en 1D. En orange : énergie dissipée sur le cycle.

On remarque un extrémum en contrainte qui indique une localisation.
Notons qu'il n'y a pas de déformation permanente (plasticité).
Le modèle de Marigo sert de base à de nombreux modèles pour les bétons.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Essai de compression P.I.E.D. Ramtani, LMT-Cachan [1990]</figcaption></figure>
## 2.3 État de l'art

Remarques :

* Dans les milieux quasi-fragiles les fissures sont généralement plates, de forme *pennyshape*.

* L'endommagement est donc par nature *anisotrope*.

* Nommons **n** la normale à la micro-fissure. Puisqu'une fissure est vue en état de traction **n**·**σ**·**n** > 0, elle n'a pas d'effet en compression **n**·**σ**·**n** < 0, on dit que l'endommagement est **unilatéral**.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

* D'autres effets complexes peuvent être prosé en compte. Par exemple, la **rugosité des fissures** fait qu'un cisaillement $\sigma = \sigma n \otimes m$ (avec $n \perp m$), peut écarter les lèvres de la fissure, et générer une **dilatation induite**.
Sous l'effet de l'endommagement, l'élasticité initialement isotrope peut devenir anisotrope :

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Module d'Young du grès des Vosges en compression selon $e_z$ (mesure ultrasonore). Bargellini, Halm et Dragon. Arch. Mech. 58, 2006
Ces effets de re-fermeture justifient la forte dissymétrie de comportement des bétons.

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

Schématisation des modes de fissuration pour un matériau quasi-fragile (béton) en traction-compression [Ramtani, 92].
La coalescence des micro-fissures conduit à une macro-fissure. On entre alors dans le domaine de la mécanique de la rupture.

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

Zone de procédé et création de la macro-fissure (Wikipedia).
L'endommagement peut conduire à un adoucissement. Dans ce cas il y a localisation. Les modèles classiques génèrent une bande le localisation dont la largeur dépend du maillage, ce qui est impossible (voir le cours de localisation).

Pour palier à cela, des modèles à gradient ont été développés. Par ex. celui de Lorentz et Godard [2011] a pour base :

• Énergie libre de Helmholtz

$$ \rho\Psi = \frac{1}{2}A(d)\boldsymbol{\varepsilon} : \mathbb{C} : \boldsymbol{\varepsilon} + w(d) + \frac{c}{2}(\mathbf{grad}(d) \cdot \mathbf{grad}(d)) $$

Fonction de charge

$$ f = \frac{1}{2}A'(d)\Gamma(\boldsymbol{\varepsilon}) + w'(d) + \text{terme non local} $$

où $\Gamma(\boldsymbol{\varepsilon})$ représente la fonction de charge initiale
<figure><img src="image_15.png" /></figure>

Fissure dans un mortier pilotée par un robot, simulée par le modèle non-local de Lorentz (g.) et mesurée par DIC (d.)

Thèse R. Carpiuc (LMT) [2015].
## Plan

1. 1 Notion d'endommagement

2. 2 Endommagement fragile

3. 3 Endommagement ductile

* 3.1 Présentation

* 3.2 Courbes limites de formage

* 3.3 Le modèle de Gurson [1977]

* 3.4 Le modèle EICLD (Lemaitre et Chaboche)

* 3.5 Intégration du modèle de Lemaitre et Chaboche en 1D

4. 4 Visco-plasticité endommageable

5. Bibliographie
# 3 Endommagement ductile

## 3.1 Présentation

* Les transformation plastiques génèrent de l'endommagement (voir figure au 1.3), au moins à partir d'un certain seuil de plasticité cumulée $p_d$.

* L'impact industriel est important, en particulier dans le domaine de la mise en forme par déformation plastique :

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Principe de l'emboutissage et déchirure lors d'un emboutissage profond</figcaption></figure>
* Sous déformation plastique, l'endommagement croit, puis conduit à la fissuration :

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

Germination (g.) et coalescence des défauts (d.). C. Landron, INSA Lyon, 2011

* Même s'il n'y a pas déchirure, les micro-défauts crées par l'endommagement sont un site de fragilité et favorisent la corrosion :

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Corrosion sur une zone fortement déformée à l'emboutissage (site forum-auto)
## 3.2 Courbes limites de formage

* Les courbes limites de formage définissent les déformations 2D admissibles par une tôle sans déchirure. Elles sont un élément-clé de la conception des procédés d'emboutissage.

* La tôle est supposée initialement isotrope et les déformations élastiques sont négligées

* Le graphe est en déformation principales $ε_{II}$, $ε_I$, avec $ε_I \ge ε_{II}$

* qui borne le graphe à droite

* Le graphe est borné dans le domaine où tôle la (infinie) ne flambe pas (cours I/V) :

* à gauche par $σ_{II} \ge 0$, qui induit $ε_I \ge -ε_{II}/2$ en plasticité (isochore)

* en bas par $σ_I \ge 0$, qui conduit à $ε_I \ge 0$
<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Courbes CLF pour divers aciers *dual phase* (Document Areclor-Mittal).
La grisée correspond au domaine d'emboutissabilité de la nuance DP 980 Y700</figcaption></figure>
## 3.3 Le modèle de Gurson [1977]

* La fonction de charge de Gurson donne (par $f = 0$) la fraction volumique de cavités $\Phi$ :

$$f = \frac{3 \sigma^D : \sigma^D}{2 (\sigma^c)^2} + 2\Phi \cosh \left( \frac{\operatorname{trace}(\sigma)}{2\sigma^c} \right) - 1 - \Phi^2$$

où $\sigma^c$ représente la limite d'élasticité en traction.

* Ce modèle est adapté aux chargements à grande vitesse.

* Le modèle GTN [1987] (Gurson-Tvergaard-Needleman) est une amélioration du précédent et le plus employé. Il décrit aussi la coalescence des cavités.

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Faciès de rupture d'un acier de gazoduc (Luu)</figcaption></figure>
## 3.4 Le modèle EICLD (Lemaitre et Chaboche)

Ce modèle porte les concepts précédents en 3D et sous le formalisme TPI. L'endommagement y est scalaire, donc isotrope, ce qui correspond aux cavités sphériques décrites par le modèle de Gurson.

Il est le cœur du modèle à deux échelles (voir cours de fatigue suivant) employé dans l'aéronautique, le nucléaire, les énergies marines renouvelables...

Il a été adapté aux approches stochastiques<fnref n="4" /> c.f. Cours de M. Chevreuil et de V. Rey.

La partie plasticité du modèle est ici à un écrouissage isotrope et cinématique linéaire (cours de plasticité), mais on peut facilement adapter un autre modèle de plasticité. La partie endommagement reprend le concept de taux de restitution d'énergie élastique introduit pour le modèle de Marigo (2.2).

<footnote n="4">4. lors des thèses au GeM de B. Rocher [2015] et C. Freyssinet [2023]</footnote>
* Les variables internes dissipatives distinguent les effets d'endommagement et de plasticité :

<table><tr><td><b>V</b><sup>k</sup></td><td><b>ε</b><sup>P</sup></td><td><b>d</b></td><td><b>r</b></td><td><b>V</b></td></tr><tr><td><b>A</b><sup>k</sup></td><td><b>σ</b><sup>D</sup></td><td><b>Y</b></td><td>-<b>R</b></td><td>-<b>X</b></td></tr></table>

* L'énergie libre de Helmholtz sépare l'énergie stockée de manière élastique, affectée par l'endommagement et l'énergie stockée par la plasticité.

$$ \rho\Psi = (1 - d)\rho\Psi^e + \rho\Psi^P $$

$$ \rho\Psi^e = \frac{1}{2}(\boldsymbol{\epsilon} - \boldsymbol{\epsilon}^P) : \mathcal{C} : (\boldsymbol{\epsilon} - \boldsymbol{\epsilon}^P) $$

$$ \rho\Psi^P = \mathcal{R}(r) + \frac{1}{2}C\mathbf{V} : \mathbf{V} $$

* où l'élasticité est supposée isotrope :

$$ \mathcal{C} = 2\mu\mathbf{P}^D + 3K\mathbf{P}^H $$
Selon le formalisme TPI, les forces associées dérivent de ce potentiel par rapport aux variables d'état.

* La première relation donne la loi d'élasticité :

$$ 
\begin{aligned}
\boldsymbol{\sigma} &= \frac{\partial \rho \Psi}{\partial \boldsymbol{\epsilon}} \\
\boldsymbol{\sigma} &= (1 - d)(2\mu(\boldsymbol{\epsilon}^D - \boldsymbol{\epsilon}^P) + 3K\boldsymbol{\epsilon}^H)
\end{aligned}
\quad \text{(ELAS)}
$$

* La seconde re-donne la partie déviatorique de l'expression précédente :

$$ 
\begin{aligned}
\boldsymbol{\sigma}^D &= -\frac{\partial \rho \Psi}{\partial \boldsymbol{\epsilon}^P} = -(1-d)\frac{\partial \rho \Psi^e}{\partial \boldsymbol{\epsilon}^P} \\
\boldsymbol{\sigma}^D &= (1-d)2\mu(\boldsymbol{\epsilon}^D - \boldsymbol{\epsilon}^P)
\end{aligned}
$$

* Celle-ci donne le taux de restitution d'énergie élastique :

$$ 
\begin{aligned}
Y &= -\frac{\partial \rho \Psi}{\partial d} = \rho \Psi^e \\
Y &= \frac{1}{2}(\boldsymbol{\epsilon} - \boldsymbol{\epsilon}^P) : \mathbb{C} : (\boldsymbol{\epsilon} - \boldsymbol{\epsilon}^P)
\end{aligned}
\quad \text{(ETAT1)}
$$
Pour la partie plasticité, les calculs sont similaires à ceux vus en cours de plasticité.

Il vient :

$$ -R = -\frac{\partial \rho \Psi}{\partial r} = -\frac{\partial \rho \Psi^P}{\partial r} \\ R(r) = \mathcal{R}'(r) $$

ce qui permet « d'oublier » la fonction $\mathcal{R}$. La fonction $R(r)$ choisie peut être, comme en plasticité, une loi puissance $kr^{1/m}$ ou une exponentielle saturante. Nous verrons que $r \neq p$, ce qui fait que cette variable doit être stockée durant le calcul.

et :

$$ -\mathbf{X} = -\frac{\partial \rho \Psi}{\partial \mathbf{V}} = -\frac{\partial \rho \Psi^P}{\partial \mathbf{V}} \\ \mathbf{X} = C\mathbf{V} \qquad (\text{ETAT2}) $$

ce qui permet « d'oublier » la variable interne $\mathbf{V}$.
* La fonction de charge reprend est de type Von Mises en contrainte effective^5^ :

$$f = \|\tilde{\boldsymbol{\sigma}}^{\mathrm{D}} - \mathbf{X}\| - R - \sigma^{\mathrm{y}} \quad (\mathrm{SEUIL})$$

$$\tilde{\boldsymbol{\sigma}}^{\mathrm{D}} = \frac{\boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{D}}}{1-d}$$

Dans le même esprit, le pseudo-potentiel de dissipation s'écrit :

$$F = f + \frac{\gamma^2}{2S(1-d)} H(p - p_d)$$

où S est la constante du modèle et $p_d$ le seuil d'activation de l'endommagement.

<footnote n="5">5. Le fait que d (variable d'état) intervienne de manière cachée dans f et F est une entorse au formalisme TPI.</footnote>
Le formalisme des matériaux standard généralisés donne :

* L'incrément de déformation plastique et la normale :

$$ 
\begin{gathered}
d\boldsymbol{\epsilon}^P = \frac{\partial F}{\partial \boldsymbol{\sigma}^D} d\lambda = \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}^D} d\lambda = \frac{\mathbf{N}}{1-d} d\lambda \\
\mathbf{N} = \frac{\tilde{\boldsymbol{\sigma}}^D - \mathbf{X}}{\|\tilde{\boldsymbol{\sigma}}^D - \mathbf{X}\|} \qquad (\text{NORM})
\end{gathered}
$$

D'où l'on retrouve la définition de la plasticité cumulée

$$ 
\begin{gathered}
dp = \|d\boldsymbol{\epsilon}^P\| = \frac{d\lambda}{1-d} \\
d\boldsymbol{\epsilon}^P = \mathbf{N}dp \qquad (\text{NOR1})
\end{gathered}
$$

* Le multiplicateur plastique est donné par :

$$ 
\begin{gathered}
dr = -\frac{\partial F}{\partial R} d\lambda = -\frac{\partial f}{\partial R} d\lambda = d\lambda \\
dr = (1-d)dp \qquad (\text{MULT})
\end{gathered}
$$
* La vitesse d'endommagement :

$$dd = \frac{\partial F}{\partial Y} d\lambda \\ dd = \frac{Y}{S} H(p - p_d) dp \qquad (\text{EVO})$$

est une loi bien vérifiée expérimentalement.

* La dernière équation, obtenue à l'aide de (ETAT2), permet de retrouver la loi classique de l'écrouissage cinématique linéaire.

$$d\mathbf{V} = -\frac{\partial F}{\partial \mathbf{X}} d\lambda = \mathbf{N} dp \\ d\mathbf{X} = C \mathbf{N} dp \\ d\mathbf{X} = C d\boldsymbol{\epsilon}^P \\ \mathbf{X} = C \boldsymbol{\epsilon}^P \qquad (\text{NOR2})$$
* L'équation de consistance df = 0 s'écrit simplement en fonction de la contrainte équivalente :

$$ \mathbf{N} : (d\tilde{\boldsymbol{\sigma}}^D - d\mathbf{X}) - R'(p)dp = 0 \quad (\text{CONT}) $$

* Ce que l'on peut réécrire en :

$$ \begin{aligned} d\tilde{\boldsymbol{\sigma}}^D &= \frac{d\tilde{\boldsymbol{\sigma}}^D}{d\boldsymbol{\sigma}^D} : d\boldsymbol{\sigma}^D + \frac{d\tilde{\boldsymbol{\sigma}}^D}{dd} dd \\ &= \frac{d\boldsymbol{\sigma}^D}{1-d} + \frac{\tilde{\boldsymbol{\sigma}}^D}{1-d^2} dd \end{aligned} $$

$$ \mathbf{N} : \left( \frac{d\boldsymbol{\sigma}^D}{1-d} - d\mathbf{X} \right) - R'(p)dp + \frac{\mathbf{N} : \boldsymbol{\sigma}^D}{1-d^2} dd = 0 \quad (\text{CONS}) $$
* Dissipation thermique intrinsèque :

$$
\begin{align*}
\dot{q}_{i1} &= A_K \dot{V}_k \\
&= \boldsymbol{\sigma}^D : \dot{\boldsymbol{\epsilon}}^P + Y \dot{d} - R \dot{r} - \mathbf{X} : \dot{\mathbf{V}} \\
&= \boldsymbol{\sigma}^D : \mathbf{N} \dot{p} + Y \frac{Y}{S} H(p - p_d) \dot{p} - R(1 - d) \dot{p} - \mathbf{X} : \frac{\dot{\mathbf{X}}}{C} \\
&= \left( \boldsymbol{\sigma}^D : \mathbf{N} + \frac{Y^2}{S} H(p - p_d) - R(1 - d) - \mathbf{X} : \mathbf{N} \right) \dot{p} \\
&= \left( (\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}) : \mathbf{N} + \frac{Y^2}{S} H(p - p_d) - R(1 - d) \right) \dot{p}
\end{align*}
$$

dont la positivité est garantie par le formalisme des matériaux
standard généralisés.
## 3.5 Intégration du modèle de Lemaitre et Chaboche en 1D

* Considérons un modèle ECLD (pas d'écrouissage isotrope), lors d'une transformation plastique endommageable

* Le chargement 1D est un cisaillement, monotone croissant :

$$dp = d\varepsilon^p \ge 0$$

* Commençons par poser les lois non dégénérées :

$$\frac{\sigma}{1-d} = 2\mu(\varepsilon - \varepsilon^p) \qquad (elas)$$

$$Y = \mu(\varepsilon - \varepsilon^p)^2 \qquad (etat1)$$

$$X = C\varepsilon^p \qquad (nor2)$$

$$dd = \frac{Y}{S} H(p - p_d) dp \qquad (evo)$$

$$d\tilde{\sigma} = dX \qquad (cont)$$
On cherche l'évolution de $d$. Pour cela :

* on exprime $Y$ depuis (etat1) et (elas)

$$Y = \frac{\tilde{\sigma}^2}{4\mu}$$

* Depuis (nor2) et (cont)

$$d\tilde{\sigma} = C d\epsilon^P$$

$$dp = \frac{d\tilde{\sigma}}{C}$$

* On injecte dans (evo), avec $H = 1$ puisqu'il y a endommagement

$$dd = \frac{\tilde{\sigma}^2}{4\mu S} \frac{d\tilde{\sigma}}{C}$$

* On intègre :

$$d = \frac{\tilde{\sigma}^3 - \tilde{\sigma}^3(A)}{12\mu S C}$$

où $A$ désigne l'état pour lequel $p = p_d$.
Réponse du modèle ECLD à des cycles en traction-compression.

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

<table><thead><tr><th>E</th><th>ν</th><th>σ<sup>y</sup></th><th>C</th><th>S</th><th>p<sub>d</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>200 GPa</td><td>0,33</td><td>1000 MPa</td><td>50 GPa</td><td>1J/m<sup>3</sup></td><td>0</td></tr></tbody></table>

On observe la perte de rigidité sur transformations élastiques (vert) et la décroissance de la contrainte sur transformations plastiques (bleu). La redecente du niveau de contrainte suggère une probable localisation.
# Plan

1. 1 Notion d'endommagement

2. 2 Endommagement fragile

3. 3 Endommagement ductile

4. 4 Visco-plasticité endommageable

* 4.1 Présentation

* 4.2 Modèle élémentaire

5. Bibliographie
# 4 Visco-plasticité endommageable

## 4.1 Présentation

* On associe ici les phénomènes de viscoplasticité et d'endommagement. Cela concerne les métaux à haute température

* La rupture se fait par croissance de cavité, associée à l'endommagement.

* Ce phénomène, associé au fluage, est thermiquement activé et mène à la rupture

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Rupture d'aube de turbomachine. Nicolaÿ [2019]</figcaption></figure>
## 4.2 Modèle élémentaire

* L'endommagement est régi par le modèle de Kachanov [1958] :

$$ \dot{d} = \left( \frac{\sigma^v}{a(1-d)} \right)^r $$

où a et r sont les paramètres du modèle et $\sigma^v$ une contrainte visqueuse définie par un modèle de viscosité,

* par ex. celle du modèle d'Odqvist à seuil (cours de viscosité)

$$ \sigma^v = \langle \|\boldsymbol{\sigma}^D\| - \sigma^y \rangle^+ $$

* incluant la loi de normalité :

$$ \dot{\boldsymbol{\epsilon}}^P = \left( \frac{\sigma^v}{\sigma^0} \right)^n \boldsymbol{N} $$

$$ \boldsymbol{N} = \frac{\boldsymbol{\sigma}^D}{\|\boldsymbol{\sigma}^D\|} $$

D'autres modèle plus complets ont été développés autour de cette base.
# Plan

1. 1 Notion d'endommagement

2. 2 Endommagement fragile

3. 3 Endommagement ductile

4. 4 Visco-plasticité endommageable

5. Bibliographie
# Bibliographie

## Livre de référence

* Lemaitre et Chaboche, *Mécanique des matériaux solides*, Dunod

## Modèles issus directement de la théorie de l'endommagement

* Halphen et Nguyen [1975]; Kachanov [1982]

* Lamaitre et Chaboche

* Andrieux, Bamberger, Marigo [1986]; Mazars [1989]

* Kondo, Pensée, Dormieux, Molinari [2002]

* Chaboche [1992]

## Modèles issus de théories d'algèbre tensoriel (invariants)

* Boehler, Onat [1984]; He, Zeng [1996]

* Dragon, Halm, Cormery, Wellemane [1994]

* François [2012]
## Modèles issus de la théorie d'Eshelby sur l'homogénéisation [1957]

* Hashin-Shtrikman [1962], Faivre [1971], Budianski [1976]

* Bazant [1984], Andrieux [1986]

* Kracinovic [1988]; Bazant [1988]

* Raous [1998]; Mattei [2007]

## Modèles basés sur la mécanique de la rupture

* Hillerborg [1976]; Leblond [2000]