# Étude de l'interaction entre une onde de choc et une structure déformable

Jean-François Sigrist, Cédric Lebond

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Jean-François Sigrist, Cédric Lebond. Étude de l'interaction entre une onde de choc et une structure déformable. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. pp.LCG36PB4. hal-01496873

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Submitted on 28 Mar 2017

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# Etude de l'interaction entre une onde de choc et une structure déformable. Application au dimensionnement des coques de sous-marins

Jean-François Sigrist — Cédric Leblond

Service Technique et Scientifique
DCN Propulsion
44620 La Montagne

jean-francois sigrist@dcn.fr

RÉSUMÉ. Le dimensionnement des structures immergées vis-à-vis des effets d'une explosion sous-marine constitue une exigence forte pour un constructeur de navires militaire. La présente étude s'intéresse à la description de l'interaction entre une coque cylindrique déformable immergée et une onde de choc se propageant dans le fluide. En utilisant un modèle linéaire pour le fluide et la structure, il est possible de proposer une modélisation du problème couplé dont la résolution peut être conduite avec une méthode semi analytique. Les inconnues du problème (pour le fluide : champ de pression incident, champ de pression réfléchi, champ de pression radié ; pour la structure : champ de déplacement radial, ortho radial et vertical) sont écrit sous forme d'un développement en série de Fourier de la variable angulaire. L'évolution des différents champs est écrite dans le domaine de Laplace par transformation des équations temporelles du problème couplé. Une application est proposée ici au cas de deux coques couplées par un fluide. La méthode de calcul ainsi proposée sera étendue au cas d'une coque 3D infinie et 3D axisymétrique.

ABSTRACT. Numerical simulation of acoustic shock wave/elastic structure interaction is of paramount importance in naval shipbuilding. The present study deals with the numerical calculation of the fluid-structure interaction between a pressure wave and an elastic shell for a 2D case. The modelling accounts for incident reflected and scattered pressure fields in the fluid medium. In such conditions, an analytical formulation of the coupled problem can be derived using a Fourier series to solve special dependence and a Laplace transform to solve the time dependence of the displacement and pressure fields. The method provides a powerful and accurate method that accounts for interaction phenomena on simple cases. The method is applied on the case of two elastic shells coupled by a fluid and subjected to shock wave loading.

MOTS-CLÉS : Interactions fluide/structure, onde de choc acoustique, coque élastique axisymétrique, transformée de Laplace, analyse modale.

KEYWORDS: Fluid-structure interaction, acoustic shock wave, dynamic analysis, axi-symmetric elastic shell, Laplace transform.
# 1. Introduction

Le dimensionnement des navires militaires requiert l'analyse du comportement d'ensemble aux effets d'une explosion sous marine non au contact se produisant à proximité du navire. La caractérisation des effets de l'explosion sur un navire peut être réalisée avec un essai de choc en grandeur réelle ou au moyen de simulations numériques (voir Fig. 1).

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>**Figure 1.** Explosion sous-marine non au contact de l'essai de choc réel vers la simulation numérique</figcaption></figure>

La mise en œuvre de calculs numériques requiert une connaissance précise de la géométrie du navire et nécessite des temps de modélisation importants. En phase d'avant projet il est pertinent d'utiliser des modélisations simplifiées de l'interaction onde de choc/structure élastique. Ce point a ainsi fait l'objet de nombreuses études depuis es premiers travaux engagés sur le sujet (Geers, 1969 ; Huang, 1970 ; Carpenter, 1972).

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 2.** Explosion sous-marine non au contact de l'essai de choc réel vers la simulation numérique</figcaption></figure>

La présente étude s'inscrit dans cette démarche et a pour objet de développer des modèles simples utilisées en phase d'avant projet par exemple dans le
dimensionnement de coques de sous marin. Dans ce cas, la donnée décrivant le choc est le facteur de choc $K = \frac{\sqrt{C}}{D}$ ($C$ charge de l'explosif, $D$ distance au navire, Fig. 2). L'onde primaire est une onde acoustique sphérique, à décroissance exponentielle dans le temps $p(t) = P_m \times e^{-\frac{t}{\theta}}$, où $P_m$ et $\theta$ se calculent selon $P_m = P_o \times \left[ \frac{C^a}{D} \right]^b$ $\theta = \theta_o \times C^a \left[ \frac{C^a}{D} \right]^c$ (Cole, 1948). Il s'agit alors de calculer la réponse d'une coque soumise à cette onde de pression pour un facteur de choc donné.

## 2. Interaction onde de pression/coque élastique

### 2.1. Modélisation mathématique

L'interaction entre une coque élastique et une onde de pression acoustique est décrite avec la modélisation suivante (voir notations précisées à la Fig. 3).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 3.** Onde de choc sphérique impactant une coque élastique cylindrique</figcaption></figure>

Les équations du mouvement de la coque 2D sont décrites avec le modèle de coques mince de Love (Axisa, 2001), soit avec les notations de la Fig. 3 :

$$ \rho_s h \frac{\partial^2 v}{\partial t^2} + \frac{Eh}{1-v^2} \left[ \frac{v}{R^2} + \frac{1}{R^2} \frac{\partial w}{\partial \theta} + \frac{h^2}{12R^2} \left( \frac{1}{R^2} \frac{\partial^4 v}{\partial \theta^4} - \frac{1}{R^2} \frac{\partial^3 w}{\partial \theta^3} \right) \right] = -p \Big|_{r=R} \quad [1] $$

$$ \rho_s h \frac{\partial^2 w}{\partial t^2} + \frac{Eh}{1-v^2} \left[ \frac{1}{R^2} \frac{\partial^2 w}{\partial \theta^2} + \frac{1}{R^2} \frac{\partial v}{\partial \theta} + \frac{h^2}{12R^2} \left( \frac{1}{R^2} \frac{\partial^2 w}{\partial \theta^2} - \frac{1}{R^2} \frac{\partial^3 v}{\partial \theta^3} \right) \right] = 0 \quad [2] $$

Le champ de pression satisfait l'équation de propagation des ondes acoustiques et est écrit comme la superposition du champ de pression incidente (connu) $p^{(i)}$, le
champ de pression réfléchie par la coque $p^{(r)}$ et le champ de pression radié $p^{(d)}$.
Les équations associées à ces deux derniers champs sont respectivement :

$$ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p^{(r)}}{\partial t^2} - \Delta p^{(r)} = 0 \quad \left. \frac{\partial p^{(r)}}{\partial r} \right|_{r=R} = - \left. \frac{\partial p^{(i)}}{\partial r} \right|_{r=R} \qquad [3] $$

$$ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p^{(d)}}{\partial t^2} - \Delta p^{(d)} = 0 \quad \left. \frac{\partial p^{(d)}}{\partial r} \right|_{r=R} = - \rho_F \frac{\partial^2 v}{\partial t^2} \quad \left. p^{(d)} \right|_{r \to \infty} = 0 \qquad [4] $$

## 2.2. Résolution numérique

La résolution adoptée est basée sur la méthode de séparation des variables en espace et la transformation de Laplace en temps (Iakovlev, 2006 ; Iakovlev, 2007). Les efforts fluide ainsi que les déplacements de la structure intérieure sont alors explicités dans le domaine de Laplace. On montre alors que les transformées de Laplace des composantes angulaires adimensionnelles<fnref n="1" /> du mouvement $V_n(s)$ et $W_n(s)$ vérifient :

$$ \left[ s^2 \left( 1 - \frac{K_n(s)}{s K_n'(s) M_a E_p} \frac{1}{M_a E_p} \right) + C_o^2 (1 + L_p n^4) \right] \times V_n(s) + C_o^2 n (1 + L_p n^4) \times W_n(s) = - \frac{1}{M_a E_p} \left( P_n \Big|_{r=1}(s) - \frac{K_n(s)}{s K_n'(s)} \frac{\partial P_n}{\partial r} \Big|_{r=1}(s) \right) \qquad [5] $$

$$ (s^2 + C_o^2(1 + L_p)) \times W_n(s) + C_o^2 n(1 + L_p n^2) \times V_n(s) = 0 \qquad [6] $$

où $K_n(s)$ est la fonction de Bessel modifiée de second espèce d'ordre $n$ (Abramowitz-Stegun, 1970) et les nombres sans dimensions définis par :

$M_a = \rho_S / \rho_F$, $C_o = \frac{1}{c} \sqrt{E / \rho_S}$, $E_p = \frac{h}{R}$ et $L_p = \frac{h^2}{12R^2}$. $P_n(s)$ est la transformé de Laplace de la composante angulaire d'ordre $n$ du champ de pression incident.

L'inversion numérique des transformées de Laplace permet enfin d'obtenir ces quantités dans le domaine temporel. Cette inversion numérique est réalisée par un algorithme programmé dans l'environnement MATLAB (Brancik, 1999 ; Brancik, 2003). Elle est basée sur la méthode de transformée de Fourier rapide associée à un algorithme de quotient/différence assurant à la fois la rapidité des calculs et la précision des simulations. La résolution du problème d'interaction fluide/structure est par conséquent très rapide et de nombreux calculs peuvent être traités parallèlement. De plus, puisque l'influence de chacun des paramètres peut être

<footnote n="1">¹ On utilise le rayon $R$ de la coque comme échelle caractéristiques des longueurs, $R/c$ comme échelle des temps et $\rho_F \times c^2$ comme échelle de la pression.</footnote>
rapidement calculée, la méthode fournit des informations difficilement accessibles par simulation numérique directe.

### 3. Exemple d'application

Un exemple d'application de la méthode proposée est donné dans le cas de deux coques concentriques couplées par un fluide, en généralisant l'approche décrite précédemment dans le cas d'une coque.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 4.** Simulation numérique de l'interaction onde de choc/coque élastique dans le cas de deux coques couplées par un fluide acoustique. Visualisation du champ de pression à différents instants réduits $t^*=t \times c/R$</figcaption></figure>

Le problème étudié est défini par les grandeurs suivantes $R_i = 0.5$ m, $R_e = 1$ m, $h_e = h_i = 0.01$, $\rho_{S,i} = \rho_{S,e} = 7800$ kg/m$^3$, $E_e = E_i = 1.95 \times 10^{11}$ Pa, $\rho_{F,i} = \rho_{F,e} = 1000$ kg/m$^3$, $c_i = c_e = 1400$ m/s (i : coque et fluide interne, e :
coque et fluide externe). Les paramètres de l'explosif sont $C = 0.84$ kg, $D = 5$ m, $a = 0.33$, $b = 1.13$ et $c = -0.22$.

La Fig. 4 montre le champ de pression obtenu à différents instants réduits par simulation numérique avec une décomposition de Fourier utilisant $N = 140$ modes azimutaux et permet ainsi de visualiser les phénomènes de réflexion et de transmission de l'onde de choc au travers des coques élastiques.

### 3. Conclusion

La procédure de calcul proposée pour l'étude de l'interaction onde de choc/structure élastique offre des perspectives complémentaires aux calculs qui peuvent être réalisés avec des codes industriels pour des problèmes aux géométries beaucoup plus complexes. Elle fournit en particulier des résultats multi physiques exacts (ou plutôt dont les approximations sont maîtrisées) dans des géométries simples. Ces résultats peuvent par conséquent servir de cas de validation pour les codes industriels ou pour des études de pré-dimensionnement de structures navales.

### Bibliographie

* Abramowitz, M., Stegun, I.A., *Hanbook of Mathematical Functions*, Dover, 1970.

* Axisa, F., *Modélisation des systèmes mécaniques*, Hermès, 2001.

* Brancik, L., « Programs for fast numerical inversion of Laplace transform in matlab language environnement », 7th *Conference MATLAB'99*, Prague, 1999.

* Brancik, L., « Utilization of Matlab in simulation of linear hybrid circuits », *Radioengineering*, vol. 12, pp. 6-11, 2003.

* Carpenter, R.F., Berger, B. S., « Dynamic response of a semi-infinite elastic cylinder containing an acoustic medium », *Journal of Applied Mechanics*, vol. 39, pp. 682-688, 1972.

* Cole, R.H., *Underwater Explosions*, Princeton University Press, 1948.

* Geers, T.L., « Excitation of an elastic cylinder shell by a transient acoustic wave », *Journal of Applied Mechanics*, vol. 39, pp. 459-469, 1969.

* Huang, H., « An exact analysis of the transient interaction of acoustic plane waves with a cylindrical elastic shell », *Journal of Acoustical Society America*, vol. 48, pp. 1091-1099, 1970.

* Iakovlev, S., « External shock loading on a submerged fluid-filled cylindrical shell », *Journal of Fluids and Structures*, vol. 22, pp. 997-1028, 2006.

* Iakovlev, S., « Submerged fluid-filled cylindrical shell subjected to a shock wave: Fluid-structure interaction effects », *Journal of Fluids and Structures*, vol. 23, pp. 117-142, 2007.