<figure><img src="image_1.png" /></figure>

études et recherches

distribution
de la luminance
du ciel

par Michel Perraudeau
ingénieur au CSTB

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

cahiers
du centre scientifique et technique du bâtiment
réalisé avec le financement public du ministère de l'environnement et de l'écologie, 4, avenue du recteur-poincaré, Paris 16

livraison 295

décembre 1988

cahier 2305
## RÉSUMÉ

Si les ciels totalement couverts et parfaitement clairs font l'objet de distributions de luminance normalisées, il n'existe rien de tel pour les ciels partiellement couverts qui constituent le plus grand nombre des ciels réels rencontrés sous nos latitudes.

Après avoir rappelé différentes expressions de distribution de luminance proposées pour ces ciels réels, on donne les résultats obtenus durant une campagne de mesures effectuée à Nantes.

Ces résultats concernent :

- la classification des ciels en 5 types,

- les modèles de distribution de luminance (proches de celui du ciel serein CIE) mis au point,

- les comparaisons modèles/mesures.

Enfin, l'on fournit des éléments permettant d'utiliser les données énergétiques des fichiers météorologiques pour des applications d'éclairage.

## SUMMARY

While it is true that totally overcast and perfectly clear skies are the subject of standardized brightness distributions, no such thing exists for partially covered skies which constitute the largest number of skies actually encountered in our latitudes.

After the different brightness distribution expressions proposed for these actual skies have been recalled, the results obtained during a measurement campaign carried out at Nantes are given.

These results concern:

- the classification of 5 types of skies,

- the brightness distribution models developed (close to that of the CIE clear sky),

- the models/measurements comparisons.

Finally, some elements have been supplied so that energy data from the meteorological files can be used for lighting applications.

## RESUMEN

Si bien los cielos totalmente cubiertos y perfectamente claros son objeto de distribuciones de luminancia normalizadas, se puede afirmar que no existe nada semejante al tratarse de los cielos parcialmente cubiertos, que constituyen el mayor número de cielos con que se tro pieza en nuestras latitudes.

Tras haber recordado distintas expresiones de distribución de luminancia propuesta para los cielos reales, se indican los resultados obtenidos durante una campaña de mediciones llevada a cabo en Nantes (Francia).

Estos resultados se refieren a:

- la clasificación de los cielos en cinco tipos,

- los modelos de distribución de luminancia (cercanos de aquel del cielo sereno CIE) desarrollados,

- las comparaciones modelos/mediciones.

Finalmente, se precisan los elementos que permiten utilizar los datos energéticos de los ficheros meteorológicos con miras a las aplicaciones para el alumbrado.
# distribution de la luminance du ciel

Michel Perraudeau

ingénieur au CSTB

## sommaire

introduction.................................................................................. 1

1 modèles existants .................................................................... 2

1,1 ciel entièrement couvert .................................................... 2

1,2 ciel serein ............................................................................ 2

1,3 ciels intermédiaires ............................................................ 3

2 mesures effectuées à Nantes ............................................ 3

2,1 mesure des luminances.................................................... 3

2,2 classification des ciels .................................................... 3

2,3 comparaison des mesures avec les distributions de luminances existantes.................... 4

2,31 luminance au zénith .................................................... 4

2,32 distribution de la luminance du ciel.................... 7

3 modèles mis au point........................................................ 8

3,1 choix de la formulation des modèles ........................ 8

3,2 expression des modèles.................................................... 8

3,3 comparaisons modèles/mesures.................................... 9

3,31 luminances................................................................. 9

3,32 éclairements................................................................. 10

4 utilisation des modèles.................................................... 11

4,1 données météorologiques disponibles .................... 11

4,2 caractéristiques des résultats .................................... 11

conclusion .................................................................................. 13

bibliographie.................................................................................. 13

## introduction

La prise en compte de l'éclairage dans un bilan énergétique global nécessite la connaissance des caractéristiques lumineuses du ciel et, éventuellement, du soleil. Les grandeurs lumineuses ne faisant pas partie des paramètres mesurés dans les stations météorologiques françaises, on est conduit à utiliser les grandeurs énergétiques et principalement le rayonnement (diffus ou global) reçu sur un plan horizontal. Le passage de ce rayonnement à l'éclairement (diffus ou global) reçu sur ce même plan se fait par l'intermédiaire de l'efficacité lumineuse du rayonnement. Celle-ci dépend de la hauteur angulaire du soleil, du type de ciel ainsi que du lieu géographique considéré.

Pour déterminer la répartition de la lumière naturelle pénétrant à l'intérieur d'un local, la valeur de l'éclairement sur le plan horizontal extérieur est insuffisante, sauf dans des conditions extrêmes : ciel entièrement couvert et ciel parfaitement clair. Dans ces deux cas, on fait généralement l'hypothèse que la distribution de la luminance du ciel peut être assimilée à celle du ciel normalisé correspondant. Mais, dans la grande majorité des cas, les ciels réels sont caractérisés par une nébulosité intermédiaire et il n'existe pas encore de formulation de distribution de luminance adoptée par tous pour de tels ciels.

Afin de contribuer à une meilleure connaissance de ces conditions lumineuses, une campagne de mesures a été réalisée, en coopération avec le NBS qui a effectué les mêmes mesures à Washington. Les capteurs utilisés regroupaient des capteurs de grandeurs lumineuses et des capteurs de grandeurs énergétiques. Le double but de cette étude était la caractérisation des ciels partiellement couverts (et des ciels réels, en général) ainsi que les relations entre lumineux et énergétique. C'est la partie consacrée à la luminance du ciel qui est présentée ici.
## 1,1 ciel entièrement couvert

Deux formulations sont utilisées pour simuler de tels ciels :

- le ciel uniforme,

- le ciel couvert Moon et Spencer.

Dans le cas du ciel uniforme, la relation liant la valeur de la luminance $L_u$ à l'éclairement obtenu sur un plan horizontal $E_H$ est :

$$L_u = \frac{E_H}{\pi}$$

Le ciel couvert Moon et Spencer, normalisé par la Commission Internationale de l'Éclairage (CIE), est un ciel à symétrie de révolution qui est caractérisé par une luminance au zénith trois fois supérieure à celle de l'horizon. Son expression, en fonction de la hauteur angulaire $\theta$ du point P considéré, est la suivante :

$$L_P = L_Z \frac{1 + 2 \sin \theta}{3}$$

où $L_Z$, qui est la luminance au zénith, est relié à l'éclairement $E_H$ par :

$$L_Z = \frac{9}{7} \cdot \frac{E_H}{\pi}$$

## 1,2 ciel serein

Le ciel serein normalisé par la CIE (réf. 1) tient compte des conditions réelles moyennes et des relations fonctionnelles fondamentales de diffusion et de réfraction de la lumière solaire dans une atmosphère parfaitement claire et sans nuages. La distribution de la luminance s'exprime en fonction de trois angles (fig. 1) :

$\gamma$ : distance angulaire entre le point du ciel considéré et le soleil

$Z_0$ : distance angulaire entre le soleil et le zénith - distance zénithale du soleil

$\zeta$ : distance zénithale du point considéré

$$\frac{L_P(\zeta, \alpha)}{L_Z} = \frac{f(\gamma) \cdot \phi(\zeta)}{f(Z_0) \cdot \phi(0)}$$

avec :

$$f(x) = 0,91 + 10 \exp(-3x) + 0,45 \cos^2 x \quad \text{(indicatrice de diffusion normalisée)}$$

$$\phi(x) = 1 - \exp(-0,32/\cos x)$$

$$\gamma = \arccos(\cos Z_0 \cos \zeta + \sin Z_0 \sin \zeta \cos \alpha)$$

(x exprimé en radians).

Pour des conditions d'atmosphère polluée (grandes villes ou zones industrielles) la formulation de $f$ devient :

$$f(x) = 0,856 + 16 \exp(-3x) + 0,3 \cos^2 x$$

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 1 Définition des différents angles utilisés</figcaption></figure>
## 1,3 ciels intermédiaires

Plusieurs formulations de distribution de luminance de ciel intermédiaire ont été proposées :

- TREGENZA (réf. 2) : formulation basée sur les caractéristiques des nuages et sur des données statistiques de nébulosité ;

- GILLETTE et TREADO (réf. 3) : pondération entre les deux ciels extrêmes (clair et entièrement couvert) basé sur l'utilisation du Cloud Ratio (CR), rapport entre le rayonnement horizontal diffus et le rayonnement horizontal global :

$$L_P = \eta L_{P_c} + (1 - \eta) L_{P_0}$$

avec :

$L_{P_c}$ : luminance du ciel clair

$L_{P_0}$ : luminance du ciel entièrement couvert

$$\eta = \frac{1 + \cos(CR \cdot \pi)}{2}$$

Une formulation analogue est proposée par WINKELMAN et SELTKOWITZ (réf. 4) pour les calculs d'éclairage naturel à l'intérieur du logiciel DOE 2.

- NAKAMURA et OKI (réf. 5) : à partir de mesures effectuées sur une longue période, une formulation mathématique (utilisable uniquement pour $h < 80°$) du ciel intermédiaire moyen est proposée :

$$\frac{L_P}{L_Z} = \frac{L(h, \gamma, \zeta)}{L\left(h, \frac{\phi}{2}, Z_0\right)}$$

- PIERPOINT (réf. 6) : expression identique à celle du ciel sein CIE, mais avec des fonctions f et $\phi$ différentes :

$$f(x) = 0,526 + 5 \exp(-1,5x)$$

$$\phi(x) = 1 - \exp(-0,80/\cos x)$$

- LITTLEFAIR (réf. 7) : en utilisant des résultats de mesures correspondant à une très large gamme de ciels réels, la distribution de la luminance du ciel « moyen » est donnée par :

$$L_P = a \cdot e^{-\frac{\gamma}{40}} \cdot d \cdot \frac{(5 - 2 \sin \zeta)}{3} \quad \text{en kcd/m}^2$$

avec :

$$a = 0,1 + 0,42 h - 0,7 \sin (7,2 \cdot h)$$

$$d = \frac{9}{11 \cdot \pi} \cdot (0,3 + 0,434 h - 0,0042 h^2)$$

Ce ciel « moyen » comprend 3 composantes :

- éclairement solaire direct,

- zone circumsolaire,

- reste du ciel.

# 2 mesures effectuées à Nantes

Les mesures de luminances effectuées à Nantes représentent une partie des mesures réalisées pendant 15 mois (réf. 8 et 9). L'ensemble des capteurs utilisés comprenait les mesures :

- des éclairements horizontaux global et diffus,

- des rayonnements horizontaux global et diffus,

- de 4 éclairements verticaux globaux (orientés N, E, S, O),

- de 5 luminances (zénith + N, E, S, O à 42° de hauteur angulaire),

et un appareil photo muni d'un objectif fish-eye.

## 2,1 mesure des luminances

Les luminancemètres utilisés consistent en des luxmètres sur lesquels on adapte des tubes restreignant l'ouverture à 15°.

La paroi intérieure de ces tubes est recouverte d'une peinture noire mate afin d'éliminer au maximum les réflexions parasites.

Cependant, malgré ces précautions, la présence du soleil aux alentours de la zone du ciel visée par le luminancemètre entraîne une surestimation des valeurs de luminances en raison des très fortes valeurs d'éclairements (dues au soleil) sur la paroi intérieure du tube. Même en n'en réfléchissant qu'une très faible partie, cette paroi contribue à la perturbation de la mesure.

A partir de comparaisons avec des mesures réalisées avec un luminancemètre « de précision », on a pu déterminer le facteur correctif à appliquer aux données recueillies. Seules les données par soleil pouvant atteindre la cellule de mesure dans le fond du tube ne seront pas prises en compte par la suite.

## 2,2 classification des ciels

Un des principaux résultats de la campagne de mesure menée à Nantes est la classification des ciels en cinq types. Cette classification, réalisée par analyse des correspondances (logiciel SPAD) sur l'ensemble des paramètres enregistrés, repose sur un seul indice : l'indice de nébulosité $I_N$ :

$$I_N = \frac{1 - CR_M}{1 - CR_T}$$

où :

CR : le « Cloud Ratio », indice notamment utilisé par le NBS :

$$CR = \frac{\text{rayonnement horizontal diffus}}{\text{rayonnement horizontal global}}$$

CR_M : la valeur mesurée de CR

CR_T : la valeur théorique moyenne de CR par ciel clair.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 2 Luminance au zénith L<sub>Z</sub> par ciel couvert en fonction de l'éclairement horizontal diffus</figcaption></figure>

En raison du caractère moyen et non maximal de CR<sub>T</sub>, l'indice I<sub>N</sub> peut être supérieur à 1.

Les valeurs de I<sub>N</sub> associées à chacun des cinq types de ciels sont celles du tableau 1.

<table><caption>Tableau 1
Valeurs de l'indice de nébulosité pour chacun des cinq types de ciel</caption><tr><td>Ciel couvert</td><td>0,00 &lt; I<sub>N</sub> &lt; 0,05</td></tr><tr><td>Ciel intermédiaire couvert</td><td>0,05 &lt; I<sub>N</sub> &lt; 0,20</td></tr><tr><td>Ciel intermédiaire médian</td><td>0,20 &lt; I<sub>N</sub> &lt; 0,70</td></tr><tr><td>Ciel intermédiaire bleu</td><td>0,70 &lt; I<sub>N</sub> &lt; 0,90</td></tr><tr><td>Ciel bleu</td><td>0,90 &lt; I<sub>N</sub> &lt; 1,00</td></tr></table>

## 2,3 comparaison des mesures avec les distributions de luminances existantes

### 2,31 luminance au zénith

#### ciel couvert

La valeur de la luminance au zénith L<sub>Z</sub> en fonction de l'éclairement horizontal diffus E<sub>H</sub> se situe, en moyenne, entre celles des deux ciels couverts normalisés (fig. 2).

Les différentes formulations donnant L<sub>Z</sub> en fonction de la hauteur angulaire h du soleil répertoriées par MATSUURA (réf. 11) sont toutes de la forme :

$$L_Z = A + B(\sin h)^c$$

Les mesures effectuées aussi bien par ciel couvert que par ciel intermédiaire couvert sont également bien représentées par une telle formulation (en cd/m²) :

$$L_Z = 90 + 9630 (\sin h)^{1,19} \text{ ciel couvert (fig. 3)}$$

$$L_Z = 100 + 7580 (\sin h)^{1,36} \text{ ciel intermédiaire couvert}$$

#### ciel bleu

Dans l'importante littérature consacrée à la luminance au zénith par ciel clair, on retrouve, dans la plupart des cas, une variation de L<sub>Z</sub> avec la tangente de la hauteur du soleil et avec le trouble atmosphérique.

Les mesures effectuées ne permettant pas d'obtenir la valeur du trouble atmosphérique, la seule référence utilisable est la proposition de NAKAMURA, OKI et al. (réf. 12) qui expriment L<sub>Z</sub> sous la forme :

$$L_Z = 100 + 600 (\tan h)^{1,1} \quad \text{en cd/m}^2$$
Les résultats obtenus par ciel bleu n'ont pas pu être approximés par une telle loi mais par un polynôme de degré 5 (fig. 4) :

$$ \text{Log } L_z = 2,05 + 0,13 \, \text{h} - 7,76 \, 10^{-3} \, \text{h}^2 + 2,42 \, 10^{-4} \, \text{h}^3 - 3,43 \, 10^{-6} \, \text{h}^4 + 1,83 \, 10^{-8} \, \text{h}^5 \quad \text{en cd/m}^2 $$

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4
Luminance au zénith $L_z$ par ciel bleu en fonction de la hauteur du soleil $h$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /></figure>
La formulation de NAKAMURA, OKI et al. est une combinaison de leurs formulations pour les ciels couverts et sereins :

$$L_z = 0,07 [100 + 600 (\tan h)^{1,1}] + 0,93 [100 + 220 (\sin h)^{1,8}] \quad \text{en cd/m}^2$$

Les mesures effectuées par ciel intermédiaire (médian et bleu) peuvent être représentées par :

$$L_z = A + B (\tan h)^c$$

$L_z = 100 + 5290 (\tan h)^{1,19}$ ciel intermédiaire médian (en cd/m²) (fig. 5)

$L_z = 100 + 4150 (\tan h)^{1,18}$ ciel intermédiaire bleu (en cd/m²).

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 5
Luminance au zénith $L_z$ par ciel intermédiaire médian en fonction de la hauteur du soleil h</figcaption></figure>
### ciel couvert

A partir des mesures des 5 luminancemètres et des 5 luxmètres (horizontal + 4 verticaux), on a constaté que :

- la distribution des luminances est conforme à celle du ciel couvert Moon et Spencer dans 5 à 10 % des cas ;

- dans 20 à 30 % des cas, la distribution est proche de celle du ciel uniforme ;

- pour l'ensemble des autres cas, la luminance est plus importante dans la zone du ciel proche du soleil, caché par les nuages.

### ciel bleu

Dans la grande majorité des cas de ciels bleus, l'expression théorique du ciel serein CIE est représentative des luminances mesurées. Un exemple est donné sur la figure 6 où l'on a représenté l'évolution journalière des quatre rapports L/L<sub>Z</sub> pour les 4 luminancemètres nord, est, sud et ouest ainsi que les valeurs théoriques de ces 4 rapports.

<figure><img src="image_8.png" /></figure>
# 3 modèles mis au point

## 3,1 choix de la formulation des modèles

Le choix de la formulation des modèles a été dicté par les conclusions des comparaisons mesures/modèles normalisés pour les classes de ciel extrêmes données dans le paragraphe précédent.

Dans les deux cas, les luminances sont plus élevées dans la zone du ciel proche du soleil, visible ou non. C'est pourquoi l'on a cherché à exprimer, pour les cinq types de ciel définis en 2,2, la luminance en chaque point du ciel avec une formulation du même type que celle du ciel serein CIE.

## 3,2 expression des modèles

Contrairement au ciel serein CIE qui fournit la valeur du rapport $\frac{L}{L_Z}$, on recherche directement la valeur de la luminance en un point P sous la forme :

$$L_P = A \cdot f(\gamma) \cdot g(\zeta) \cdot h(Z_0)$$

où :

f(γ) caractériser l'éloignement par rapport au soleil

g(ζ) rend compte de la distance zénithale du point P

h(Z₀) est lié à la distance zénithale du soleil

A est un facteur d'échelle (lié au trouble atmosphérique).

<table><caption>Tableau 2 Coefficients des fonctions f, g et h</caption><thead><tr><th></th><th>a<sub>1</sub></th><th>b<sub>1</sub></th><th>c<sub>1</sub></th><th>k</th><th>a<sub>2</sub></th><th>b<sub>2</sub></th><th>a<sub>3</sub></th><th>b<sub>3</sub></th><th>c<sub>3</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>Ciel couvert</td><td>1,10</td><td>4,20</td><td>5,52</td><td>3</td><td>1,22</td><td>0,28</td><td>0,35</td><td>1,58</td><td>-0,16</td></tr><tr><td>Ciel intermédiaire couvert</td><td>0,60</td><td>11,16</td><td>3,83</td><td>3</td><td>1,70</td><td>0,89</td><td>-0,18</td><td>1,92</td><td>0,37</td></tr><tr><td>Ciel intermédiaire médian</td><td>0,70</td><td>21,24</td><td>3,95</td><td>3</td><td>1,99</td><td>1,26</td><td>-1,04</td><td>2,04</td><td>1,25</td></tr><tr><td>Ciel intermédiaire bleu</td><td>0,71</td><td>26,24</td><td>2,65</td><td>3</td><td>2,17</td><td>1,49</td><td>-0,90</td><td>1,74</td><td>1,18</td></tr><tr><td>Ciel bleu</td><td>0,21</td><td>32,73</td><td>2,60</td><td>4</td><td>2,29</td><td>1,64</td><td>-0,91</td><td>1,60</td><td>1,36</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Tableau 3 Coefficients des fonctions f', g' et h'</caption><thead><tr><th></th><th>a<sub>1</sub></th><th>b<sub>1</sub></th><th>c<sub>1</sub></th><th>k</th><th>a<sub>2</sub></th><th>b<sub>2</sub></th><th>a<sub>3</sub></th><th>b<sub>3</sub></th><th>c<sub>3</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>Ciel couvert</td><td>32,33</td><td>13,16</td><td>3,24</td><td>3</td><td>1,18</td><td>0,23</td><td>0,76</td><td>0,13</td><td>0,20</td></tr><tr><td>Ciel intermédiaire couvert</td><td>17,82</td><td>23,99</td><td>13,35</td><td>3</td><td>1,70</td><td>0,89</td><td>0,45</td><td>0,10</td><td>0,59</td></tr><tr><td>Ciel intermédiaire médian</td><td>14,41</td><td>69,70</td><td>10,18</td><td>3</td><td>2,03</td><td>1,31</td><td>0,83</td><td>-0,29</td><td>0,38</td></tr><tr><td>Ciel intermédiaire bleu</td><td>13,05</td><td>124,96</td><td>7,49</td><td>3</td><td>2,21</td><td>1,54</td><td>-0,83</td><td>-0,28</td><td>0,42</td></tr><tr><td>Ciel bleu</td><td>12,89</td><td>243,38</td><td>3,26</td><td>3</td><td>2,25</td><td>1,59</td><td>1,04</td><td>-0,41</td><td>0,20</td></tr></tbody></table>

Les fonctions f et g sont de la même forme que les fonctions f et φ, respectivement, du ciel serein CIE :

$$f(\gamma) = a_1 + b_1 \exp^{-ky} + c_1 \cos \frac{\gamma^2}{2}$$

la fonction g ne reprend pas le même type de formulation mais est très voisine de φ :

$$g(\zeta) = a_2 - b_2 (\cos \zeta)^{0,6}$$

La présence d'une fonction h spécifique de la hauteur angulaire du soleil est rendue nécessaire par le fait que l'on cherche à obtenir la valeur absolue de la luminance. Cette fonction h s'exprime de la façon suivante :

$$h(Z_0) = a_3 + b_3 \cos Z_0 + c_3 \sin Z_0$$

Deux expressions de $L_P$ ont été considérées, correspondant à deux cas « extrêmes » :

a) le rayonnement horizontal diffus est inconnu. On ne peut alors avoir accès au facteur d'échelle A et le modèle ne fournit qu'une valeur moyenne de $L_P$.

Dans ce cas :

$$L_P = f(\gamma) \cdot g(\zeta) \cdot h(Z_0) \quad \text{en cd/m}^2$$

où f, g, h ont les expressions données ci-dessus.

Remarque : il peut paraître contradictoire de considérer le cas $R_D$ inconnu alors que l'on connaît précisément le type de ciel (dépendant entre autre de $R_D$). En fait, ces modèles ne serviront que dans le cas où le type de ciel n'est connu que de façon statistique (§ 4,2) ;

b) le rayonnement horizontal diffus est connu. On obtient alors une valeur plus précise de la luminance en utilisant :

$$L_P = R_D \cdot f'(\gamma) \cdot g'(\zeta) \cdot h'(Z_0)$$

avec :

$$f'(\gamma) = a'_1 + b'_1 e^{-k'_\gamma} + c'_1 \cos^2 \gamma$$

$$g'(\zeta) = a'_2 - b'_2 (\cos \zeta)^{0,6}$$

$$h'(Z_0) = a'_3 + b'_3 \cos Z_0 + c'_3 \sin Z_0$$

Les coefficients des fonctions f, g, h et f', g', h' sont donnés dans les tableaux 2 et 3 respectivement.
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>**Figure 7**

Comparaison entre luminances mesurées (L<sub>M</sub>) et luminances estimées (L<sub>E</sub>) dans le cas où le rayonnement horizontal diffus n'est pas connu</figcaption></figure>

$$ (L_E = f(\gamma) \cdot g(\zeta) \cdot h(Z_0)) $$

Résultats pour les cinq types de ciel et les cinq luminancemètres confondus

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>**Figure 8**

Comparaison entre luminances mesurées (L<sub>M</sub>) et luminances estimées (L<sub>E</sub>) dans le cas où le rayonnement horizontal diffus est connu</figcaption></figure>

$$ (L_E = R_D \cdot f'(\gamma) \cdot g'(\zeta) \cdot h'(Z_0)) $$

## 3,3 comparaisons modèles/mesures

Les comparaisons ont été effectuées à deux niveaux : sur les luminances elles-mêmes et sur l'éclairement horizontal diffus.

### 3,31 luminances

A chacun des enregistrements effectués correspond une hauteur angulaire de soleil h et cinq valeurs de la distance angulaire γ (une pour chaque luminancemètre).

En ce qui concerne la distance zénithale du point de mesure, on ne dispose que de deux valeurs de ζ (aussi bien pour la mise au point des modèles que pour la comparaison avec les mesures) :

* ζ = 0° pour le luminancemètre au zénith

* ζ = 48° pour les 4 autres luminancemètres

Les figures 7 et 8 permettent d'évaluer la précision de chacun des deux modèles proposés.
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>**Figure 9**
Comparaison entre éclairement horizontal diffus mesuré (E<sub>M</sub>) et éclairement horizontal diffus estimé (E<sub>E</sub>) dans le cas où le rayonnement horizontal diffus n'est pas connu</figcaption></figure>

$$ (E_E \text{ calculé à partir de } L_E = f(\gamma) \cdot g(\zeta) \cdot h(Z_0)) $$

Résultats pour trois types de ciel

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>**Figure 10**
Comparaison entre éclairement horizontal diffus mesuré (E<sub>M</sub>) et éclairement horizontal diffus estimé (E<sub>E</sub>) dans le cas où le rayonnement horizontal diffus est connu</figcaption></figure>

$$ (E_E \text{ calculé à partir de } L_E = R_D \cdot f'(\gamma) \cdot g(\zeta) \cdot h'(Z_0)) $$

Résultats pour trois types de ciel

## 3,32 éclairements

L'estimation du rayonnement horizontal diffus est obtenue par intégration des modèles de luminances sur tout le ciel. La comparaison entre estimations et mesures pour les deux modèles montre l'intérêt de la connaissance du rayonnement diffus (fig. 10) par rapport au cas contraire (fig. 9). Les estimations par ciel intermédiaire médian quand R<sub>D</sub> est connu sont systématiquement plus faibles que les mesures en raison des problèmes liés à la mesure même des luminances (§ 2,1) et de la

difficulté à déterminer un facteur correctif pour de telles conditions de ciel.

Les écarts calcul/mesures sont également dus au petit nombre de points de mesure de la luminance ayant servi à établir les modèles. Cela est surtout sensible pour les fonctions g et g' pour lesquelles on ne disposait que de deux valeurs de référence. L'expression de ces fonctions que l'on a retenue, simplement calquée sur celle de la fonction φ du ciel serein CIE, n'est forcément pas la plus représentative de la réalité.
# 4
utilisation des modèles

## 4,1 données météorologiques disponibles

Parmi les paramètres énergétiques influençant les grandeurs lumineuses, les plus mesurés dans le réseau de stations de la Météorologie Nationale sont :

- la durée d'insolation,

- la nébulosité,

- le rayonnement global sur un plan horizontal.

Le rayonnement diffus sur un plan horizontal n'est mesuré que dans quelques stations.

En fonction des données disponibles et de la précision des calculs que l'on souhaite effectuer, on peut envisager tout un ensemble de cas. Ceux répertoriés dans le tableau 4 comprennent les deux cas extrêmes ainsi que deux cas intermédiaires. Dans le cas le plus favorable, les rayonnements diffus et global sur un plan horizontal sont connus et, à l'opposé, l'on ne dispose que d'une valeur *journalière* caractérisant l'ensoleillement (soit l'irradiation globale, soit la fraction d'insolation). Les deux cas intermédiaires données dans le tableau représentent deux exemples parmi tous ceux que l'on peut rencontrer.

<table><caption>Tableau 4 Distribution de la luminance du ciel en fonction des données météorologiques disponibles</caption><thead><tr><th>Données météorologiques disponibles</th><th></th><th>Caractéristiques de la distribution de luminance obtenue</th></tr></thead><tbody><tr><td>Rayonnement global + rayonnement diffus</td><td>I<sub>N</sub> type de ciel</td><td>Distribution complète de L en utilisant les expressions de L<sub>P</sub>/R<sub>D</sub> relatives à chaque type de ciel</td></tr><tr><td>Rayonnement global + nébulosité</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Durée d'insolation (ou irradiation) journalière + nébulosité</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Durée d'insolation (ou irradiation) journalière</td><td>Probabilité de chaque type de ciel</td><td>Distribution moyenne de L en utilisant les expressions de L<sub>P</sub> et les probabilités de chacun des 5 types de ciel</td></tr></tbody></table>

## 4,2 caractéristiques des résultats

- Les rayonnements diffus et global sur un plan horizontal sont connus (valeurs horaires ou tri-horaires).

Pour chaque couple (R<sub>D</sub>, R<sub>G</sub>), on obtient l'indice de nébulosité I<sub>N</sub> et, par conséquent, le type de ciel. On peut alors utiliser directement les formulations des distributions de luminance établies sous la forme :

$$L_P = R_D \cdot f'(\gamma) \cdot g'(\zeta) \cdot h'(Z_0)$$

- On ne connaît que l'irradiation globale (ou la fonction d'insolation journalière).

L'estimation de la distribution des luminances du ciel (ou de l'éclairement diffus sur un plan d'orientation quelconque) à un instant donné ne peut se faire que de façon statistique. La relation statistique utilisée est celle qui existe entre la probabilité journalière de chacun des cinq types de ciel et la fraction d'insolation journalière (fig. 11). Cette dernière qui n'a pas été mesurée est obtenue à partir du rapport entre l'irradiation globale journalière et l'irradiation globale maximum théorique.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 11 Probabilité P de chacun des cinq types de ciel au cours d'une journée, en fonction de la fraction d'insolation journalière F</figcaption></figure>
La luminance moyenne au point P s'obtient en utilisant ces résultats statistiques et les cinq lois $L_p = f(\gamma) \cdot g(\zeta) \cdot h(Z_0)$ donnés précédemment.

Les valeurs de $L_p$ ainsi estimées, comparées aux valeurs mesurées (fig. 12), sont voisines de celles estimées à partir des 5 mêmes lois de $L_p$ mais en connaissant précisément le type de ciel (cf. fig. 7).

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>**Figure 12**
Comparaison entre luminances mesurées ($L_M$) et luminances estimées ($L_E$) à partir des probabilités de chaque type de ciel au cours de la journée et des modèles de luminances</figcaption></figure>

$$L_E = f(\gamma) \cdot g(\zeta) \cdot h(Z_0)$$
A partir d'une campagne de mesures relativement courte mais ayant permis néanmoins de se trouver dans des conditions de ciel les plus variées, il a été possible de mettre au point des modèles de distribution de la luminance du ciel. Ces modèles, qui présentent l'avantage de s'exprimer sous une forme calquée sur celle du ciel serein CIE, permettent de caractériser les ciels réels, tout au moins ceux observés à Nantes, à partir de mesures de rayonnements énergétiques.

En ce qui concerne les types de ciels extrêmes (entièrement couvert et parfaitement clair) faisant déjà l'objet de formulations normalisées, la confrontation avec des conditions réelles conduit à des conclusions différentes selon les cas : si les ciels bleus (type de ciel regroupant les ciels clairs et les ciels un peu moins clairs) sont bien représentés par la distribution de luminance normalisée, les ciels couverts, quant à eux, sont plutôt caractérisés par une luminance plus importante dans une zone autour de la position du soleil.

Les ciels intermédiaires (partiellement couverts) ont également pu être analysés. D'une part, on a établi une classification en trois types et, pour chacun de ces types, on propose une distribution de luminance.

L'intérêt de l'ensemble des modèles est qu'ils s'expriment tous sous la même forme (celle du ciel serein CIE), du ciel couvert au ciel bleu. Seuls les coefficients des fonctions composant les modèles diffèrent d'un type de ciel à un autre.

Les modèles mis au point, comparés aux données du NBS, ont fourni des résultats tout à fait satisfaisants. Ils vont également être testés sur des mesures réalisées à Grenoble.

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