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- Volume 362 (2024)

- p. 1337-1347

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Let L/K be a cyclic extension of degree n=2m. It is known that the space Alt K (L) of alternating K-bilinear forms (skew-forms) on L decomposes into a direct sum of K-subspaces A σ i indexed by the elements of Gal(L/K)=〈σ〉. It is also known that the components A σ i can have nice constant-rank properties. We enhance and enrich these constant-rank results and show that the component A σ often decomposes directly into a sum of constant rank subspaces, that is, subspaces all of whose non-zero skew-forms have a fixed rank r. In particular, this is always true when -1∉L 2 . As a result we deduce a decomposition of Alt K (L) into subspaces of constant rank in several interesting situations. We also establish that a subspace of dimension n 2 all of whose nonzero skew-forms are non-degenerate can always be found in A σ i where σ i has order divisible by 2.

Soit L/K une extension cyclique de degré n=2m. On sait que l’espace Alt K (L) des formes bilinéaires K-formes bilinéaires alternées (skew-forms) sur L se décompose en une somme directe de K-sous-espaces A σ i indexés par les éléments de Gal(L/K)=〈σ〉. Il est également connu que les composants A σ i peuvent avoir de belles propriétés de rang constant. Nous améliorons et enrichissons ces résultats de rang constant et montrons que la composante A σ se décompose souvent directement en une somme de sous-espaces de rang constant, c’est-à-dire des sous-espaces dont toutes les formes asymétriques non nulles ont un rang fixe r. En particulier, ceci est toujours vrai lorsque -∉L 2 . En conséquence, nous déduisons une décomposition de Alt K (L) en sous-espaces de rang constant dans plusieurs situations intéressantes. Nous établissons également qu’un sous-espace de dimension n 2 dont toutes les formes asymétriques non nulles sont non dégénérées peut toujours être trouvé dans A σ i où σ i a un ordre divisible par 2.

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Ashish Gupta 1 ; Sugata Mandal 1

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- Cité par

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