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laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

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ÉTUDE NUMÉRIQUE
DE L'ÉCOULEMENT D'UN FLUIDE
VISCOPLASTIQUE DE BINGHAM
PAR UNE MÉTHODE
DE LAGRANGIEN AUGMENTÉ

Dominique BEGIS

Rapport de Recherche N° 355

Juin 1979

30 p.
# ÉTUDE NUMÉRIQUE DE L'ÉCOULEMENT D'UN FLUIDE VISCOPLASTIQUE DE BINGHAM PAR UNE MÉTHODE DE LAGRANGIEN AUGMENTÉ

Dominique Begis

## Résumé :

On présente dans ce rapport les résultats numériques obtenus pour l'écoulement d'un fluide de Bingham par une méthode de lagrangien augmenté. Afin de s'affranchir de la condition Divu = 0, on utilise une formulation du problème en fonction de courant ; l'approximation de cette fonction est faite par des éléments finis P1. La méthode employée peut, en particulier, s'appliquer à la résolution de l'opérateur biharmonique. Grâce à la technique du lagrangien augmenté, la non linéante du problème se ramène à la résolution d'un système non linéaire à 2 inconnues.

## Abstract :

In this report, we study numerically the flow of Bingham fluid by augmented lagrangian technique. We use a formulation of the problem with the current function. This function is approximated by a finite element method. In particular, this may be applied to solve the biharmonic operator. With this augmented lagrangian technique, the non linearity leads to a single non linear system with two equations.
## INTRODUCTION

Le but de cette étude est l'implémentement et le test d'une méthode de lagrangien augmenté appliquée à l'écoulement d'un fluide rigide visco-plastique de Bingham. La partie théorique de cette méthode est développée dans le livre édité par M. FORTIN et R. GLOWINSKI et principalement au chapitre 7 : "applications non linéaires à des problèmes d'ordre 4". Le cas statique et transitoire ont été étudiés. Les résultats peuvent être comparés avec ceux obtenus en interprétant les inéquations de Bingham avec des multiplicateurs. Une étude détaillée de cette dernière méthode a été faite dans G. DUVAUT-J.L. LIONS [1], pour la théorie et dans R. GLOWINSKI, J.L. LIONS, R. TREMOLIERES [1], M. FORTIN [1] et D. BEGIS [1] pour l'analyse numérique.

Les essais numériques ont été réalisés sur un domaine carré mais la méthode présentée peut se généraliser à un domaine plus complexe.
1. Formulation du problème :

Soit $u = (u_i)$ le champ des vitesses, solution de l'inéquation variationnelle

$$
\begin{gather*}
(1.1) \quad (u',v-u(t)) + a(u(t),v-u(t)) + gj(v) - gj(u(t)) \\
\geq (f,v-u(t)) \quad \forall v \in V
\end{gather*}
$$

$$
où a(u,v) = 2\nu \int_{\Omega} D_{ij}(u) D_{ij}(v) \, dx
$$

$$
j(v) = 2\nu \int_{\Omega} (D_{II}(v))^{1/2} \, dx
$$

$$
D_{ij}(u) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)
$$

$$
D_{II}(u) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2} (D_{ij}(u))^2
$$

v est la viscosité du fluide

g est le seuil de plasticité

f est le forcing

$$
V = V_G \text{ ou } V_F
$$

$$
V_G = \{ v | v \in (H^1(\Omega))^2, \mathrm{Div}(v) = 0, \vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \}
$$

$$
V_F = \{ v | v \in (H_0^1(\Omega))^2, \mathrm{Div}(v) = 0 \}
$$

2. Résolution du problème de Bingham par pénalisation - dualité

a) Cas stationnaire - paroi glissante :

(1.1) s'écrit dans ce cas :

$$
(2.1) \quad 2\nu(D_{ij}(u), D_{ij}(v) - D_{ij}(u)) + gj(v) - gj(u) \ge 0 \quad \forall v \in V_G
$$

(u) est le minimum de la fonctionnelle

$$
(2.2) \quad J(v) = 2\nu \int_{\Omega} D_{II}(v) \, dx + 2g \int_{\Omega} (D_{II}(v))^{1/2} \, dx
$$

Le problème revient à minimiser dans $V_G$ la fonctionnelle

$$
\nu \int_{\Omega} D_{II}(v) \, dx + g \int_{\Omega} (D_{II}(v))^{1/2} \, dx.
$$
Pour s'affranchir de la condition Div(v) = 0, on introduit la fonction de courant $\psi$ définie par

$\vec{v} = \vec{k} \wedge \operatorname{grad} \psi \text{ (où } \vec{k} \text{ est le vecteur unité de } \vec{0}z\text{)}$

D'où

$$D_{II}(v) = \frac{1}{2} \left\{ 2 \left| \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1 \partial x_2} \right|^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_2^2} \right) \right\}$$

et (2.2) s'exprime par

$$(2.3) \quad J(\psi) = v \int_{\Omega} \left( 2 \left| \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1 \partial x_2} \right|^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_2^2} \right) \right) \, dx \\ + g\sqrt{2} \int_{\Omega} \left( 2 \left| \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1 \partial x_2} \right|^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_2^2} \right) \right)^{1/2} \, dx$$

Si l'on pose $\vec{q} = (q_1)$ avec

$$(2.4) \quad q_1 = \sqrt{2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1 \partial x_2} ; \quad q_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_2^2} \right)$$

La minimisation de (2.3) revient à la recherche du point selle du lagrangien

$$(2.5) \quad \begin{aligned} \mathcal{L}(\psi, q, \lambda) = & v \int_{\Omega} (q_1^2 + q_2^2) dx + g\sqrt{2} \int_{\Omega} (q_1^2 + q_2^2)^{1/2} dx \\ & + \frac{r}{2} \int_{\Omega} \left( |q_1 - \sqrt{2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1 \partial x_2}|^2 + |q_2 - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_2^2} \right)|^2 \right) dx \\ & - \int_{\Omega} \lambda_1 (q_1 - \sqrt{2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1 \partial x_2}) dx - \int_{\Omega} \lambda_2 (q_2 - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_2^2} \right)) dx \end{aligned}$$

le minimum en $(\psi, q)$ de (2.5) vérifie les équations

$$(2.6) \quad \left\{ \begin{aligned} \frac{r}{2} \Delta^2 \psi &= r \left( \sqrt{2} \frac{\partial^2 q_1}{\partial x_1 \partial x_2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\partial^2 q_2}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2 q_2}{\partial x_2^2} \right) \right) - \sqrt{2} \frac{\partial^2 \lambda_1}{\partial x_1 \partial x_2} \\ &\quad - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\partial^2 \lambda_2}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2 \lambda_2}{\partial x_2^2} \right) \\ \psi|_{\Gamma} &= 0 \\ \frac{\partial \psi}{\partial n}|_{\Gamma} &= k \text{ (donnée)} \end{aligned} \right.$$
$$
(2.7) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \left( 2\nu + \frac{g\sqrt{2}}{\sqrt{q_1^2 + q_2^2}} + r \right) q_1 = \lambda_1 + r\sqrt{2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1 \partial x_2} \\[1em]
& \left( 2\nu + \frac{g\sqrt{2}}{\sqrt{q_1^2 + q_2^2}} + r \right) q_2 = \lambda_2 + \frac{r}{\sqrt{2}} \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_2^2} \right)
\end{aligned}
\right.
$$

D'où les algorithmes suivants

Soient $\vec{q}^0, \vec{\lambda}^0$ donnés ; à l'étape n connaissant $\psi^n, \vec{q}^n, \vec{\lambda}^n$ on calcule
$(\psi^{n+1}, \vec{q}^{n+1}, \vec{\lambda}^{n+1})$ solutions des 3 équations suivantes

$$
(2.8.i) \quad \left\{
\begin{aligned}
\frac{r}{2} \Delta \psi^{n+1} &= r \left( \sqrt{2} \frac{\partial^2 q_1^n}{\partial x_1 \partial x_2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\partial^2 q_2^n}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2 q_2^n}{\partial x_2^2} \right) \right) - \sqrt{2} \frac{\partial^2 \lambda_1^n}{\partial x_1 \partial x_2} \\
&\quad - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\partial^2 \lambda_2^n}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2 \lambda_2^n}{\partial x_2^n} \right) \\
\psi^{n+1} &= 0 \quad \text{et} \quad \frac{\partial \psi^{n+1}}{\partial n} = k
\end{aligned}
\right.
$$

$$
(2.8.ii) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \left( 2\nu + \frac{g\sqrt{2}}{\sqrt{(q_1^{n+1})^2 + (q_2^{n+1})^2}} + r \right) q_1^{n+1} = \lambda_1^n + r\sqrt{2} \frac{\partial^2 \psi^{n+1}}{\partial x_1 \partial x_2} \\[1em]
& \left( 2\nu + \frac{g\sqrt{2}}{\sqrt{(q_1^{n+1})^2 + (q_2^{n+1})^2}} + r \right) q_2^{n+1} = \lambda_2^n + \frac{r}{\sqrt{2}} \left( \frac{\partial^2 \psi^{n+1}}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2 \psi^{n+1}}{\partial x_2^2} \right)
\end{aligned}
\right.
$$

$$
(2.8.iii) \quad \left\{
\begin{aligned}
\lambda_1^{n+1} &= \lambda_1^n + r \left( \sqrt{2} \frac{\partial^2 \psi^{n+1}}{\partial x_1 \partial x_2} - q_1^{n+1} \right) \\
\lambda_2^{n+1} &= \lambda_2^n + r \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\partial^2 \psi^{n+1}}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2 \psi^{n+1}}{\partial x_2^2} \right) - q_2^{n+1} \right)
\end{aligned}
\right.
$$

a) Al (la variante)

On fait (i) + (ii) + (iii) + test sur la différence $\delta\psi^{n+1} = \frac{|\psi^n - \psi^{n+1}|}{|\psi^{n+1}|}$.

Si $\delta\psi^{n+1} > \varepsilon$ on retourne en (i).
b) A2 (Uzawa)

On fait (i) + (ii) + test sur la différence

$\delta\psi^{n+1,s} = |\psi^{n+1,s+1} - \psi^{n+1,s}|/|\psi^{n+1,s+1}|$ ; s étant le nombre de boucles

(i) + (ii) effectuées à l'étape (n+1)

Si $\delta\psi^{n+1,s} \le \epsilon$ ou $s > N$ (nombre fixé), on va en (iii) + test sur $\delta\psi^{n+1}$.

Si $\delta\psi^{n+1} > \epsilon$ on retourne en (i).

Remarque 2.1 :

Pour le problème linéaire (g = 0) on a $\lambda_i^n = 2v q_i^n$ et en
choisissant r = 2v, la variante converge en 2 itérations ; en effet, le
second membre de l'équation (2.8.i) devient nul.

3. Résolution des 3 équations (2.8)

On ne résoud pas directement ces équations, mais on dérive le lagrangien discrétisé de (2.5) pour obtenir les équations discrètes.

i) Discrétisation du lagrangien

Considérant un domaine carré = ]0,a [x] 0,a [, on discrétise ce
domaine par une triangulation régulière constituée de la réunion des familles
de droite {x₁ = ih₁, x₂ = jh₂, x₂ = -x₁ + kh₂} où hᵢ est le pas de discré-
tisation dans la direction o⁻xᵢ.

La fonction ψ_h approchant ψ est considérée linéaire sur chaque triangle
Partant de cette triangulation et de cette hypothèse sur ψ_h, nous allons
chercher une approximation de type différences finies définie aux noeuds
du réseau (ih₁, jh₂). On obtient donc les formules suivantes d'approximation
pour :

$$
3.1) \left[ \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1^2} \right]
$$

$$
3.1.1) \text{à l'intérieur} \quad \frac{\psi_{i+1,j} + \psi_{i-1,j} - 2\psi_{ij}}{h_1^2} \quad (3.1)
$$
### 3.1.2) Points frontières :

On part de

$$ (3.2) \quad \int_{\Omega} \frac{\partial \psi}{\partial x_1} \frac{\partial \psi}{\partial x_1} dx + \int_{\Omega} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1^2} \phi dx = \int_{\Gamma} \frac{\partial \psi}{\partial x_1} \cos(n, x_1) \phi d\Gamma $$

Soient $w_{ij}$ la fonction de base associée au noeud $(i,j)$, $T_{ij}$ l'ensemble des triangles constituant son support et $(P_{11})_{ij}$ une approximation de $\frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1^2}$ au noeud $(ij)$, on a :

$$ \int_{\Omega} \frac{\partial \psi}{\partial x_1} \frac{\partial w_{ij}}{\partial x_1} dx - \int_{\Gamma} \frac{\partial \psi}{\partial x_1} \cos(n, x_1) w_{ij} d\Gamma = - \sum_{T \in \mathcal{T}_{ij}} \frac{h_1 h_2}{2} \frac{(P_{11})_{ij}}{3} $$

$$ 3.1.2. 1) \text{ Bords horizontaux } (y=0, a) \text{ moins les coins : } (P_{11})_{ij} = 0 $$

$$ 3.1.2. 2) \text{ Bords verticaux moins les coins} $$

$$ \text{a) bord gauche : } (x = 0) $$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

l'équation (3.2) s'écrit :

$$ \frac{h_1 h_2}{2} \left( \frac{2\psi_{ij} - 2\psi_{i+1,j}}{h_1^2} \right) - h_2 k_{ij} = - \frac{3h_1 h_2}{2} \frac{(P_{11})_{ij}}{3} $$

D'où l'on tire

$$ (P_{11})_{ij} = \frac{2\psi_{i+1,j} + 2h_1 k_{ij}}{h_1^2} $$

$$ \text{b) bord droit : } (x = a). \text{ On a de même} $$

$$ (P_{11})_{ij} = \frac{2\psi_{i-1,j} + 2h_1 k_{ij}}{h_1^2} $$

$$ 3.1.2. 3) \text{ Coins} $$

$$ \text{a) } (x = 0, y = a) $$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

$$ \begin{align} (3.2) \text{ devient } & \frac{h_1 h_2}{2} \left( \frac{-\psi_{i+1,j} + \psi_{ij}}{h_1^2} \right) - \frac{h_2}{2} k_{ij} = - \frac{h_1 h_2 (P_{11})_{ij}}{3} \nonumber \\ & \Rightarrow (P_{11})_{ij} = \frac{3 k_{ij}}{2 h_1} \end{align} $$
<figure><img src="image_4.png" /></figure>

$$ (2.2.2) \Rightarrow \frac{h_1 h_2}{2} \left( \frac{-\psi_{i+1,j} + \psi_{i,j}}{h_1^2} \right) - \frac{h_2}{2} k_{ij} = \frac{-h_1 h_2}{2} \frac{(P_{11})_{ij}}{3} \\ \Rightarrow (P_{11})_{ij} = \frac{3k_{ij}}{h_1} $$

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

$$ (2.2.2) \Rightarrow \frac{h_1 h_2}{2} \left( \frac{-\psi_{ij} - \psi_{i-1,j}}{h_1^2} \right) - \frac{h_2}{2} k_{ij} = - \frac{h_1 h_2}{2} \frac{(P_{11})_{ij}}{3} \\ \Rightarrow (P_{11})_{ij} = \frac{3}{2} \frac{k_{ij}}{h_1} $$

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

$$ (2.2.2) \Rightarrow \frac{h_1 h_2}{2} \left( \frac{\psi_{ij} - \psi_{i-1,j}}{h_1^2} \right) - \frac{h_2}{2} k_{ij} = - \frac{h_1 h_2}{2} \frac{(P_{11})_{ij}}{3} \\ \Rightarrow (P_{11})_{ij} = \frac{3k_{ij}}{h_1} $$

3.2) $\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_2^2}$ Soit $(P_{22})_{ij}$ une approximation de $\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_2^2}$ au noeud $(ij)$.

$$ 3.2.1.) \textbf{intérieurs} : (P_{22})_{ij} = \frac{\psi_{ij+1} + \psi_{ij-1} - 2\psi_{ij}}{h_2^2} $$

### 3.2.2.) Frontières

3.2.2.1) **bords horizontaux moins les coins** :

$$ a) - \text{supérieur} : (P_{22})_{ij} = \frac{2\psi_{ij-1} + 2h_2^k_{ij}}{h_2^2} $$

$$ b) - \text{inférieur} : (P_{22})_{ij} = \frac{2\psi_{ij+1} + 2h_2^k_{ij}}{h_2^2} $$
3.2.2.2) **bords verticaux moins les coins** : $(P_{22})_{ij} = 0$.

3.2.2.3) **Coins** (on garde les mêmes notations qu'en (3.1.2.3)

$$a) (P_{22})_{ij} = 3/2 \frac{k_{ij}}{h_2}$$

$$b) (P_{22})_{ij} = \frac{3k_{ij}}{h_2}$$

$$c) (P_{22})_{ij} = \frac{3k_{ij}}{2h_2}$$

$$d) (P_{22})_{ij} = \frac{3k_{ij}}{h_2}$$

3.3) $\displaystyle\boxed{\frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1 \partial x_2}}$ Soit $(P_{12})_{ij}$ une approximation de $\frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1 \partial x_2}$ au noeud $(i,j)$.
Par un même raisonnement, on peut obtenir une approximation de $\frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1 \partial x_2}$ en tout point du réseau.

On part de la formule :

$$(3.3) \quad \begin{aligned} & \frac{1}{2} \int_{\Omega} \left( \frac{\partial \psi}{\partial x_1} \frac{\partial w_{ij}}{\partial x_2} + \frac{\partial \psi}{\partial x_2} \frac{\partial w_{ij}}{\partial x_1} \right) \, dx - \int_{\Gamma} \left( \frac{\partial \psi}{\partial x_1} \cos(n, x_2) + \frac{\partial \psi}{\partial x_2} \cos(n, x_1) \right) w_{ij} \, dx \\ & \qquad = - \sum_{T \in \mathcal{T}_{ij}} \frac{h_1 h_2}{2} \cdot \frac{(P_{12})_{ij}}{3} \end{aligned}$$

D'où l'on obtient

### 3.3.1) Points intérieurs

$$(P_{12})_{ij} = \frac{\psi_{i+1,j+1} + \psi_{i,j+1} + \psi_{i-1,j+1} + \psi_{i-1,j} - \psi_{i+1,j-1} - \psi_{i-1,j-1} - 2\psi_{ij}}{2h_1h_2}$$

### 3.3.2) Points frontières :

#### 3.3.2.1) Bords horizontaux sans les coins :

a) bord supérieur

$$(P_{12})_{ij} = \frac{\psi_{ij-1} - \psi_{i+1,j-1}}{h_1 h_2}$$

b) bord inférieur

$$(P_{12})_{ij} = \frac{\psi_{ij+1} - \psi_{i-1,j+1}}{h_1 h_2}$$
### 3.3.2.2.) Bords verticaux sans les coins :

a) bord gauche

$$ (P_{12})_{ij} = \frac{\psi_{i+1j} - \psi_{i+1j-1}}{h_1 h_2} $$

b) bord droit :

$$ (P_{12})_{ij} = \frac{\psi_{i-1j} - \psi_{i-1j+1}}{h_1 h_2} $$

### 3.3.2.3) Coins (mêmes notations qu'en 3.1.2.3)

$$ \text{a) } (P_{12})_{ij} = - \frac{3}{2h_1h_2} \psi_{i+1j-1} $$

$$ \text{b) } (P_{12})_{ij} = 0 $$

$$ \text{c) } (P_{12})_{ij} = - \frac{3}{2h_1h_2} \psi_{i-1j+1} $$

$$ \text{d) } (P_{12})_{ij} = 0. $$

Ayant défini ces formules d'approximation, on peut écrire l'approximation du lagrangien (2.5) et par dérivation, les équations discrètes de (2.8.i), (2.8.ii) et (2.8.iii).

### Remarque 3.1.

Cette méthode nous donne une approximation de l'opérateur biharmonique. Nous avons testé cette approximation pour la résolution du problème :

$$ \Delta^2 u = f(x,y) \text{ sur } ]0,1[x]0,1[ $$

$$ u|_{\Gamma} = \frac{\partial u}{\partial n}|_{\Gamma} = 0 $$

où $f(x,y) = 6144(x^2(1-x)^2y^2(1-y)^2 + 512(2-12x+12x^2)(2-12y+12y^2))$, on sait que la solution de ce problème est :

$$ u(x,y) = 256 x^2(1-x)^2 y^2(1-y)^2. $$

Soit $u_h$ la solution calculée.
Posons . ERM(h) (1'erreur relative moyenne pour une approximation
de pas h)
$$
= \frac{\sum_{i,j=1}^{N} |u_h^{ij} - u((i-1)h_1, (j-1)h_2)|}{\sum_{i,j=1}^{N} |u((i-1)h_1, (j-1)h_2)|}
$$

. SER(h) (le sup. de l'erreur) = sup |u_h^{ij} - u((i-1)h_1, (j-1)h_2)|
ij

. ERB(h) = erreur relative commise à h du bord,

on obtient :

<table>
  <thead>
    <tr>
      <th>Pas</th>
      <th>ERM</th>
      <th>SER</th>
      <th>ERB</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <td>.1</td>
      <td>.161</td>
      <td>.15</td>
      <td>.15</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>.05</td>
      <td>.045</td>
      <td>.04</td>
      <td>.08</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>.025</td>
      <td>.012</td>
      <td>.01</td>
      <td>.02</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

Remarque 3.1.1. : On constate bien que l'erreur est en O(h²)

Ayant une discrétisation non symétrique, on doit s'attendre à une solution
$u_h$ non symétrique. Les valeurs de $u$ aux points équidistants de (.5,.5) sont
identiques, par contre les valeurs de $u_h$ ne sont égales que 2 à 2 (Aux points
symétriques par rapport à (.5,.5) $u_h$ a la même valeur). Il est évident que
plus le pas $h$ est petit plus cette disymétrie diminue. En effet soit :

$u(.4,.3) = u(.6,.3) = u(.4,.7) = u(.6,.7) = .650$, on a :

<table>
  <thead>
    <tr>
      <th>pas</th>
      <th>u<sub>h</sub>(.4,.3)</th>
      <th>u<sub>h</sub>(.6,.7)</th>
      <th>u<sub>h</sub>(.4,.7)</th>
      <th>u<sub>h</sub>(.6,.3)</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <td>.01</td>
      <td>.733</td>
      <td>.733</td>
      <td>.763</td>
      <td>.763</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>.05</td>
      <td>.674</td>
      <td>.674</td>
      <td>.680</td>
      <td>.680</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>.025</td>
      <td>.657</td>
      <td>.657</td>
      <td>.658</td>
      <td>.658</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

<figure><img src="image_7.png" /></figure>
## ii) Résolution du système non linéaire (2.8.ii)

Ce système est de la forme :

$$ (3.4) \quad \begin{cases} (2\nu + r + \frac{g\sqrt{2}}{\sqrt{q_1^2+q_2^2}})q_1 = S_1 = \lambda_1 + r\sqrt{2} \quad \frac{\partial^2\psi}{\partial x_1\partial x_2} \\ (2\nu + r + \frac{g\sqrt{2}}{\sqrt{q_1^2+q_2^2}})q_2 = S_2 = \lambda_2 + \frac{r}{\sqrt{2}}\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2\psi}{\partial x_2^2}\right) \end{cases} $$

On remarque que le système discrétisé revient à une suite de systèmes non linéaires (2.2) indépendants les uns des autres. Si l'on pose

$q_1 = \alpha \sin \theta; q_2 = \alpha \cos \theta$, on obtient

$$ (3.4) \quad \alpha = \frac{\sqrt{S_1^2 + S_2^2 - g\sqrt{2}}}{(2\nu + r)} $$

Dans le cas où $\sqrt{S_1^2 + S_2^2} \le g\sqrt{2}$ on a $\vec{q} = 0$ et l'ensemble des points $\{(i,j) \text{ tq } \sqrt{S_{1ij}^2 + S_{2ij}^2} \le g\sqrt{2}\}$ est la zône où le fluide de Bingham se comporte comme un rigide.

Par contre si $\sqrt{S_1^2 + S_2^2} > g\sqrt{2}$ on détermine $\vec{q}$ par :

$$ (3.5) \quad \begin{cases} q_1 = S_1/(2\nu + r + g\sqrt{2}/\alpha) \\ q_2 = S_2/(2\nu + r + g\sqrt{2}/\alpha) \end{cases} $$

**Remarque 3.2 :**

On a vu que les zônes rigides sont les zônes où :

$$ 1) \quad \vec{q} = 0 $$

$$ \text{i.e. } \sqrt{\left(\lambda_1 + r\sqrt{2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1 \partial x_2}\right)^2 + \left(\lambda_2 + \frac{r}{\sqrt{2}} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_2^2}\right)^2} \le g\sqrt{2} $$

Cette dernière inégalité peut être simplifiée, car dans les zônes rigides, le tourbillon est constant ($\vec{\text{rot}} = C^{\text{te}}$) ; ce qui se traduit pour la fonction de courant $\psi$ par :

$$ \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1 \partial x_2} = 0 \quad \text{et} \quad \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_2^2} = C^{\text{te}} \quad (\text{ceci est équivalent à } \vec{q} = 0) $$
on obtient donc que

$$ \sqrt{\lambda_1^2 + \lambda_2^2} \le g\sqrt{2} \quad \text{dans les zônes rigides} $$

$$ \text{i.e (3.6)} \quad |\vec{\lambda}| \le g\sqrt{2} $$

### b) Cas avec forcing

Nous avons maintenant $\vec{u}|_Γ = 0$ mais $\vec{f} \neq 0$, on choisit $\vec{f}$ tel que $\text{rot}\vec{f} = C^{\text{te}} \neq 0$. L'approximation est identique à part que dans l'équation (9.i), le second membre est modifié :

on a $k=0$ et $\vec{f} \neq 0$, d'où

$$ \int_{\Omega} \vec{f} \cdot \vec{u} \, dx = \int_{\Omega} (-f_1 \frac{\partial \psi}{\partial x_2} + f_2 \frac{\partial \psi}{\partial x_1}) \, dx = \int_{\Omega} \text{rot} \, \vec{f} \, \psi \, dx $$

(2.8.i) devient donc

$$ \frac{r}{2} \Delta^2 \psi^{n+1} = r(\sqrt{2} \frac{\partial^2 q_1^n}{\partial x_1 \partial x_2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{\partial^2 q_2^n}{\partial x_1^2}) - \sqrt{2} \frac{\partial^2 \lambda_1^n}{\partial x_1 \partial x_2} $$

$$ (2.8.i)' \qquad -\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\partial^2 \lambda_2^n}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2 \lambda_2^n}{\partial x_2^2} \right) + \text{rot} \, \vec{f}. $$

$$ \psi|_{\Gamma}^{n+1} = \frac{\partial \psi^{n+1}}{\partial n}|_{\Gamma} = 0 $$

(2.8.ii) et (2.8.iii) sont inchangées.

### c) Cas évolutif

On utilise le schéma implicite pour la discrétisation en temps de notre inéquation. Soit $\Delta t$ le pas de temps; $v^n = v(n\Delta t)$ connu alors $v^{n+1}$ est minimum de $J_E(v)$

$$ J_E(v) = \frac{1}{2} \int_{\Omega} |\vec{v}|^2 dx + \Delta t (2v) \int_{\Omega} D_{II}(v) dx + 2g \int_{\Omega} (D_{II}(v))^{1/2} dx \\ - \int_{\Omega} \vec{f} \cdot \vec{v} \, dx - \frac{1}{2} \int_{\Omega} |\vec{v}|^n dx. $$

$$ \text{or} \quad \int_{\Omega} v^2 \, dx = \int_{\Omega} |\text{grad } \psi|^2 \, dx $$
$$ 
\begin{aligned}
=> J_E(\psi) = & \left( \int_{\Omega} |\mathrm{grad} \, \psi|^2 dx - \int_{\Omega} |\mathrm{grad} \, \psi^n|^2 dx \right) * \frac{1}{2} \Delta t \\ 
& + 2\nu \int_{\Omega} D_{II}(\psi) dx + 2g \int_{\Omega} (D_{II}(\psi))^{1/2} dx \\ 
& - \int_{\Omega} \mathrm{rot}\vec{\psi} dx.
\end{aligned}
$$

L'approximation est du même type, à part que l'équation (2.8.i) devient pour

i) La paroi glissante :

$$ 
\begin{aligned}
(2.8.i)_{\mathrm{ev}}^{\mathrm{G}} \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{r}{2} \Delta^2 \psi^{n+1} - \frac{1}{\Delta t} \Delta \psi^{n+1} = r \left( \sqrt{2} \frac{\partial^2 q_1^n}{\partial x_1 \partial x_2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\partial^2 q_2^n}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2 q_2^n}{\partial x_2^2} \right) \right) \\[1.5ex]
\quad - \sqrt{2} \frac{\partial^2 \lambda_1^n}{\partial x_1 \partial x_2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\partial^2 \lambda_2^n}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2 \lambda_2^n}{\partial x_2^n} \right) - \frac{1}{\Delta t} \Delta \psi^n. \\[1.5ex]
\psi|_{\Gamma}^{n+1} = 0 \\[1.5ex]
\frac{\partial \psi^{n+1}}{\partial n|_{\Gamma}} = k
\end{array}
\right.
\end{aligned}
$$

(2.8.ii) et (2.8.iii) sont inchangés.

i) le cas avec forcing

$$ 
\begin{aligned}
(2.8.i)_{\mathrm{ev}}^{\mathrm{F}} \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{r}{2} \Delta^2 \psi^{n+1} - \frac{1}{\Delta t} \Delta \psi^{n+1} = r \left( \sqrt{2} \frac{\partial^2 q_1^n}{\partial x_1 \partial x_2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\partial^2 q_2^n}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2 q_2^n}{\partial x_2^2} \right) \right) \\[1.5ex]
\quad - \sqrt{2} \frac{\partial^2 \lambda_1^n}{\partial x_1 \partial x_2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\partial^2 \lambda_2^n}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2 \lambda_2^n}{\partial x_2^n} \right) - \frac{1}{\Delta t} \Delta \psi^n + \mathrm{rot}\vec{\psi} \\[1.5ex]
\psi|_{\Gamma}^{n+1} = \frac{\partial \psi^{n+1}}{\partial n|_{\Gamma}} = 0
\end{array}
\right.
\end{aligned}
$$

(2.8.ii) et (2.8.iii) sont inchangés.
## 4. Résultats numériques

### 4.1. Paroi glissante

#### 4.1.2. : Cas stationnaire

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

La viscosité étant choisie égale à 1, nous avons fait des essais numériques pour plusieurs valeurs du seuil de plasticité. Pour chacune de ces valeurs, nous avons recherché la valeur optimale du paramètre r. A la figure 4.1, nous donnons ces valeurs. Tous ces essais ont été faits par la méthode de la variante. Toutefois, dès que le problème devient "stiff" la méthode d'Uzawa s'impose. En effet, pour un seuil de plasticité égal à 10, il faut avec la variante et r optimal ($r = 20$) 62 itérations pour que $\Delta\psi^n = \sum |\psi^{n+1} - \psi^n| / \sum |\psi^{n+1}|$ soit inférieur à $10^{-5}$. Par contre avec la méthode d'Uzawa où l'on fixe à 7 le nombre d'itérations internes en $(\psi, \vec{q})$ faites à chaque itération en $\lambda$, il ne faut que 7 grandes itérations en $\lambda$. Pour chaque problème, il faut définir le nombre optimal d'itérations en $(\psi, \vec{q})$ ; pour $g = 10$ et $r = 20$, on peut résumer la stratégie optimale par le tableau suivant.

Soit N le nombre d'itérations à chaque étape.

<table><thead><tr><th>N</th><th>Nb d'itérations en λ</th><th>Nb d'itérations en (ψ, q) correspondant</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>62</td><td>62</td></tr><tr><td>2</td><td>40</td><td>80</td></tr><tr><td>4</td><td>15</td><td>60</td></tr><tr><td>5</td><td>12</td><td>60</td></tr><tr><td>6</td><td>9</td><td>54</td></tr><tr><td>7</td><td>7</td><td>49</td></tr><tr><td>8</td><td>7</td><td>56</td></tr><tr><td>11</td><td>6</td><td>66</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Fig. 4.1.</figcaption></figure>

Aux figures 4-2, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6, on représente pour $g = 5,1,2,5,5,10$ les équipotentielles de la fonction de courant $\psi$, les zônes rigides par des hachures et l'équipotentielle $g/\sqrt{2}$ pour la fonction $|\lambda|$. On remarque que les zônes rigides ne sont pas très symétriques. Ceci est dû principalement à la triangulation et au test choisi pour déterminer ces zônes. Une triangulation symétrique nous donnerait des zônes rigides symétriques. On peut constater que l'équipotentielle $5.10^{-4}$ ne pénètre pas dans la zône rigide supérieure. Ceci est logique vu que dans cette zône $\vec{u}$ doit être nul.

### 4.1.2. Cas évolutif

La figure 4.7 représente l'évolution de $\int_{\Omega} |\psi(x)|^2 dx$ en fonction du temps selon différentes valeurs de $g$. A l'obtention de l'état stationnaire on soumet le fluide à aucune force extérieure. On constate qu'après un nombre fini de $\Delta t$ la solution devient nul. (cf R. GLOWINSKI [1])
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>0.5</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE: F111(X2,T) = 0.0</td><td>F2(X1,X2,T) = 1.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0. EN (X1=0.1 ET X2=1)</td></tr><tr><td>JITESSE INITIALE</td><td>0.</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

TEMP. STATIONNAIRE

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Fig. 4.2.</figcaption></figure>

LABORatoire

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE: F111(X2,T) = 0.0</td><td>F2(X1,X2,T) = 0.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0. EN X1=0.1 ET X2=1</td></tr><tr><td>JITESSE INITIALE</td><td>0.</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

TEMPS STATIONNAIRE

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Fig. 4.3.</figcaption></figure>

LABORatoire

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE: F111(X2,T) = 0.0</td><td>F2(X1,X2,T) = 0.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0. EN (X1=0.1 ET X2=1)</td></tr><tr><td>JITESSE INITIALE</td><td>0.</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

TEMPS STATIONNAIRE

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Fig. 4.4.</figcaption></figure>

LABORatoire
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMÈRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>2.5</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE: F1(X1,X2,T)= 0.0</td><td>F2(X1,X2,T)= 0.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>EN X1=0.1 ET X2=1</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.</td></tr></table>

TEMPS STATIONNAIRE

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Fig. 4.5.</figcaption></figure>

LABORatoire

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMÈRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>10.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE: F1(X1,X2,T)= 0.0</td><td>F2(X1,X2,T)= 0.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>EN X1=0.1 ET X2=1</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.</td></tr></table>

TEMPS STATIONNAIRE

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Fig. 4.6.</figcaption></figure>

LABORatoire

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Fig. 4.7.</figcaption></figure>
4.3) Cas évolutif avec forcing

Les équations qui régissent le phénomène à chaque pas de temps, sont
celles définies en (2.8.i)F ev, le fluide est soumis à une force extérieure
non nulle constante en temps telle que $\text{rot} \vec{f} = 600$. Le schéma d'intégration
en temps est implicite et le pas de temps $\Delta t$ est choisi égal à 1/100.

Aux figures suivantes, nous donnons l'évolution de la fonction de
courant et des zônes rigides. Les contours en trait épais représentent
l'équipotentielle $g/\sqrt{2}$ pour la fonction $|\vec{\lambda}|$.

Nous donnons cette évolution pour les seuils de plasticité
$g = 2.5$ et $g = 5$.
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>2.5</td></tr><tr><td>VISCOSET</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>POT F = 600.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>JITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.010

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.75E-1
VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 0.500E-3
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.300E-1
HUIT ZONES RIGIDES

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>2.5</td></tr><tr><td>VISCOSET</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>POT F = 600.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>JITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.020

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.13E-0
VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 0.500E-3
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.300E-1
HUIT ZONES RIGIDES

LABORIA G.BEDE:

LABORIA G.BEDE:

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>2.5</td></tr><tr><td>VISCOSET</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>POT F = 600.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>JITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.030

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.13E-0
VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 0.500E-3
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.300E-1
HUIT ZONES RIGIDES

LABORIA G.BEDE:
FLUIDE DE BINGHAM

VARIÉTÉS:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>2,5</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1,0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>ROT F = 600,0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0,5</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0,5</td></tr></table>

CONDITIONS INITIALES:

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0,0</td></tr></table>

TEMPS 0,040

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Valeur maximum de la fonction de courant 0,249E-0
 Valeur de la fonction sur la ligne 0,300E-0
 Difference entre 2 lignes consecutives 0,300E-0
 IIII ZONES RIGIDES

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMÈTRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>2,5</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1,0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>ROT F = 600,0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0,0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0,0</td></tr></table>

CONDITIONS INITIALES:

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0,0</td></tr></table>

TEMPS 0,050

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

Valeur maximum de la fonction de courant 0,429E-0
 Valeur de la fonction sur la ligne 0,500E-0
 Difference entre 2 lignes consecutives 0,500E-0
 IIII ZONES RIGIDES

LABORatoire

LABORatoire

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMÈTRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>2,5</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1,0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>ROT F = 600,0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0,0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0,0</td></tr></table>

CONDITIONS INITIALES:

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0,0</td></tr></table>

TEMPS 0,060

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

Valeur maximum de la fonction de courant 0,648E-0
 Valeur de la fonction sur la ligne 0,750E-0
 Difference entre 2 lignes consecutives 0,750E-0
 IIII ZONES RIGIDES
FLUIDE DE BINGHAM

<table><tr><td> parametres:</td><td></td></tr><tr><td> SEUIL DE PLASTICITE</td><td> 2.5</td></tr><tr><td> VISCOSITE</td><td> 1.0</td></tr><tr><td> FORCE EXTERIEURE</td><td> ROT F = 300.0</td></tr><tr><td> conditions aux limites:</td><td></td></tr><tr><td> COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td> 0.</td></tr><tr><td> COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td> 0.</td></tr><tr><td> condition initiale:</td><td> VITESSE INITIALE 0.</td></tr><tr><td></td><td> temps 0.070</td></tr></table>

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

JALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.083E-0
JALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 0.00E-0
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.00E-1
ZONES RIGIDES

FLUIDE DE BINGHAM

<table><tr><td> parametres:</td><td></td></tr><tr><td> SEUIL DE PLASTICITE</td><td> 2.5</td></tr><tr><td> VISCOSITE</td><td> 1.0</td></tr><tr><td> FORCE EXTERIEURE</td><td> ROT F = 600.0</td></tr><tr><td> conditions aux limites:</td><td></td></tr><tr><td> COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td> 0.</td></tr><tr><td> COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td> 0.</td></tr><tr><td> condition initiale:</td><td> VITESSE INITIALE 0.</td></tr><tr><td></td><td> temps 0.080</td></tr></table>

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

JALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.274E-0
JALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 0.00E-0
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.00E-1
ZONES RIGIDES

LABORIN 0.08E-1

LABORIN 0.08E-0

FLUIDE DE BINGHAM

<table><tr><td> parametres:</td><td></td></tr><tr><td> SEUIL DE PLASTICITE</td><td> 2.5</td></tr><tr><td> VISCOSITE</td><td> 1.0</td></tr><tr><td> FORCE EXTERIEURE</td><td> ROT F = 600.0</td></tr><tr><td> conditions aux limites:</td><td></td></tr><tr><td> COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td> 0.</td></tr><tr><td> COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td> 0.</td></tr><tr><td> condition initiale:</td><td> VITESSE INITIALE 0.</td></tr><tr><td></td><td> temps 0.090</td></tr></table>

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

JALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.083E-0
JALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 0.00E-0
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.00E-1
ZONES RIGIDES

LABORIN 0.08E-1
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTIQUE</td><td>2.5</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>0.01 N</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.100

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

<table><tr><td>VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT</td><td>0.001 N</td></tr><tr><td>VALEUR DE LA FONCTION SUR LA VITESSE</td><td>0.001 N</td></tr><tr><td>DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES</td><td>0.0001 N</td></tr><tr><td>MINI ZONES FIGURES</td><td>0.0001 N</td></tr></table>

L'ABRISE D'UNE

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTIQUE</td><td>2.5</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>0.01 N</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.110

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

<table><tr><td>VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT</td><td>0.001 N</td></tr><tr><td>VALEUR DE LA FONCTION SUR LA VITESSE</td><td>0.001 N</td></tr><tr><td>DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES</td><td>0.0001 N</td></tr><tr><td>MINI ZONES FIGURES</td><td>0.0001 N</td></tr></table>

L'ABRISE D'UNE

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTIQUE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>0.01 N</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.001

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

<table><tr><td>VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT</td><td>0.001 N</td></tr><tr><td>VALEUR DE LA FONCTION SUR LA VITESSE</td><td>0.001 N</td></tr><tr><td>DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES</td><td>0.0001 N</td></tr><tr><td>MINI ZONES FIGURES</td><td>0.0001 N</td></tr></table>

L'ABRISE D'UNE
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>JISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>90 T = 500.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.5</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.5</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>JITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.002

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.130E-1
VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 0.500E-3
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.000E-1
HISTO ZONES RIGIDES

LABORATI. 0.26E13

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>JISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>90 T = 500.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.5</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.5</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>JITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.010

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.685E-1
VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 0.500E-3
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.000E-1
HISTO ZONES RIGIDES

LABORATI. 0.26E13

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>JISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>90 T = 500.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.5</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.5</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>JITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.030

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.130E-0
VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 0.500E-3
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.000E-1
HISTO ZONES RIGIDES

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>JISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>90 T = 500.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.5</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.5</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>JITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.020

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.124E-0
VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 0.500E-3
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.000E-1
HISTO ZONES RIGIDES

LABORATI. 0.26E13

LABORATI. 0.26E13
FLUIDE DE BINGHAM

••RAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>ROT F = 600.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.1</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.2</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.3</td></tr></table>

TEMPS 0.040

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

JALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.209E-0
JALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 0.500E-3
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.400E-1
ZONES RIGIDES

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>ROT F = 600.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.1</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.2</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.3</td></tr></table>

TEMPS 0.050

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

JALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.244E-0
JALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 0.500E-3
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.400E-1
ZONES RIGIDES

LABORIA 0.065

LABORIA 0.36

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>ROT F = 600.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.1</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.2</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.3</td></tr></table>

TEMPS 0.060

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

JALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.273E-0
JALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 0.500E-3
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.400E-1
ZONES RIGIDES

LABORIA 0.365
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>ROT F = 900.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>JITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.070

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

JALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.399E+0
JALEUR DE LA FONCTION SUR LA LINE 0.300E-0
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.000E-1
HISTO ZONES RIGIDES

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>ROT F = 900.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>JITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.080

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

JALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.321E+0
JALEUR DE LA FONCTION SUR LA LINE 0.300E-0
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.000E-1
HISTO ZONES RIGIDES

LABORIN D.BEGB

LABORIN D.BEGB

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>ROT F = 900.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>JITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.090

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

JALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.300E-0
JALEUR DE LA FONCTION SUR LA LINE 0.300E-0
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.000E-1
HISTO ZONES RIGIDES

LABORIN D.BEGB
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTIQUE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>JISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>ROT F = 500.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE VORALE DE LA VITESSE</td><td>0.1</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.1</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.1</td></tr></table>

TEMPS 0.100

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

JALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.035E-0

JALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 0.500E-0

DIFFERENCE ENTRE 3 LIGNES CONSECUTIVES 0.000E-1

HISTO CONES RIGIDES

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTIQUE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>JISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>ROT F = 500.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE VORALE DE LA VITESSE</td><td>0.1</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.1</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.1</td></tr></table>

TEMPS 0.125

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

JALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.391E-0

JALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 0.500E-0

DIFFERENCE ENTRE 3 LIGNES CONSECUTIVES 0.000E-1

HISTO CONES RIGIDES

LABORIN 0.035E-0

LABORIN 0.500E-0

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTIQUE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>JISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>ROT F = 500.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE VORALE DE LA VITESSE</td><td>0.1</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.1</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.1</td></tr></table>

TEMPS 0.150

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

JALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.015E-0

JALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 0.500E-0

DIFFERENCE ENTRE 3 LIGNES CONSECUTIVES 0.000E-1

HISTO CONES RIGIDES

LABORIN 0.015E-0
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTIQUE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>ROT F = 600.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>3.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>3.0</td></tr><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

TEMPS 0.175

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

<table><tr><td>VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT</td><td>0.030E-0</td></tr><tr><td>VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1</td><td>0.500E-3</td></tr><tr><td>DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES</td><td>0.400E-1</td></tr><tr><td>IIIIL ZONES RIGIDES</td><td></td></tr></table>

LABORIN 0.8EGTS

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTIQUE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>ROT F = 600.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>3.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>3.0</td></tr><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

TEMPS 0.200

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

<table><tr><td>VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT</td><td>0.044E-0</td></tr><tr><td>VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1</td><td>0.500E-3</td></tr><tr><td>DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES</td><td>0.400E-1</td></tr><tr><td>IIIIL ZONES RIGIDES</td><td></td></tr></table>

LABORIN 0.8EGTS

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTIQUE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>ROT F = 600.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

TEMPS 0.225

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

<table><tr><td>VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT</td><td>0.043E-0</td></tr><tr><td>VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1</td><td>0.500E-3</td></tr><tr><td>DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES</td><td>0.400E-1</td></tr><tr><td>IIIIL ZONES RIGIDES</td><td></td></tr></table>

LABORIN 0.8EGTS

FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES:

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTIQUE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>ROT F = 600.0</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES:

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE:

TEMPS 0.350

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

<table><tr><td>VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT</td><td>0.071E-0</td></tr><tr><td>VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1</td><td>0.500E-3</td></tr><tr><td>DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES</td><td>0.400E-1</td></tr><tr><td>IIIIL ZONES RIGIDES</td><td></td></tr></table>

LABORIN 0.8EGTS
BIBLIOGRAPHIE

D. BEGIS [1], Etude numérique du comportement d'un fluide de Bingham,
Rapport Laboria n°42.

G. DUVAUT, J.L. LIONS [1], Les inéquations en mécanique et en physique,
Dunod, Paris (1972).

M. FORTIN [1], Calcul numérique des écoulements des fluides de Bingham
et des fluides newtoniens incompressifs par la méthode des
éléments finis. Thèse d'état, Paris 1972.

M. FORTIN, R. GLOWINSKI [1] Editeur, Résolution numérique de problèmes aux
limites par des méthodes de Lagrangien augmenté (à paraître).

R. GLOWINSKI, J.L. LIONS, R. TREMOLIERES [1], Analyse numérique des inéquations variationnelles, Dunod, Paris 1976.

R. GLOWINSKI [1], Sur l'écoulement d'un fluide de Bingham dans une conduite
cylindrique, Journal de Mécanique 1974.