# Une remarque sur l'évaluation de la région d'attraction de la solution banale d'un système d'équations différentielles piloté avec le paramètre retardé

par Z. MIKOŁAJSKA (Kraków)

Dans la note [1] A. M. Letow a envisagé l'équation différentielle

$$ (1) \qquad y' = g(y, t) + m(y, t) \xi, \quad y = y_1, \dots, y_n $$

où le pilotage $\xi$ doit être choisi comme fonction de $(y, t)$, $\xi = \xi(y, t)$ de telle manière que $y = 0$ soit une solution asymptotiquement stable (au sens de Liapounoff) pour l'équation

$$ 2) \qquad y' = g(y, t) + m(y, t) \xi(y, t). $$

Letow a évalué la fonction $\xi(y, t)$ dans le cas où $y = 0$ est une solution asymptotiquement stable de l'équation

$$ (3) \qquad y' = g(y, t) $$

et la fonction de Liapounoff pour l'équation (3) est connue.

Dans la présente note nous envisageons une équation différentielle plus générale et nous évaluons la loi de pilotage $\xi(y, t)$ sans connaitre la fonction de Liapounoff $V(y, t)$. Nous évaluons aussi la région d'attraction de la solution $y = 0$ de l'équation envisagée. Le théorème en question est basé sur le théorème de la stabilité asymptotique de la solution $y = 0$ de l'équation perturbée

$$ (4) \qquad y'(t) = X(t, y(t+\vartheta)) + R(t, y(t+\vartheta)), $$

où $y$ est un vecteur dans l'espace de Banach $B$; $X(t, y(\cdot))$, $R(t, y(\cdot))$ sont des fonctions à valeurs dans $B$ et définies dans $E \times B$, où $E = -\infty < t < +\infty$, $\tilde{B}$ est l'espace des fonctions continues $y(\vartheta)$ dans l'intervalle $-\tau \le \vartheta \le 0$ avec la norme

$$ \begin{gathered} \|y(\vartheta)\|^{(\tau)} = \sup \|y(\vartheta)\| \quad \text{pour } -\tau \le \vartheta \le 0, \\ \|y\| \text{ étant la norme dans } B. \end{gathered} $$
On suppose que $x = 0$ est une solution asymptotiquement stable de l'équation

$$ (5) \qquad x'(t) = X(t, x(t-\vartheta)) $$

et que la région d'attraction de la solution $x = 0$ de l'équation (5) contient la boule

$$ \|x(\vartheta)\|^{(\tau)} \le r. $$

Le théorème de la stabilité asymptotique de la solution $x = 0$ de l'équation (4) dans une boule convenablement choisie est une généralisation du théorème de Shimanow et Judajew [2].

### 1. Le théorème de la stabilité asymptotique de la solution $x = 0$ de l'équation perturbée.

#### HYPOTHÈSE H₁.

(1) $X(t, x(\cdot))$ est une fonction continue par rapport à $t$ pour $t \ge 0$,

(2) $X(t, x(\cdot))$ satisfait à la condition de Lipschitz

$$ (1.2) \qquad \|X(t, \bar{x}(\vartheta)) - X(t, \bar{x}(\vartheta))\|^{(\tau)} \le L \|\bar{x}(\vartheta) - \bar{x}(\vartheta)\|, $$

$$ (1.3) \qquad \|X(t, 0)\| = 0 \quad \text{pour } t \ge 0. $$

#### HYPOTHÈSES H₂. Il existe une fonction $\varphi(t_0, t)$ continue pour $t \ge 0$, $t_0 \ge 0$ telle que

(1) $\varphi(t_0, t)$ est décroissant par rapport à $t$,

(2) $c \ge \varphi(t, t) \ge 1$, $\lim_{t \to \infty} \varphi(t_0, t) = 0$ pour $t_0 \ge 0$ telle que

(3) pour chaque solution $x(t)$ de l'équation (5) telle que

$$ \varphi(t_0 + \vartheta) = x_0(\vartheta) \quad \text{pour } t_0 - \tau \le \vartheta \le t_0, $$

$$ (1.4) \qquad \|x_0(\vartheta)\|^{(\sigma)} \le \varrho < r $$

et que soit vérifiée l'inégalité

$$ (1.5) \qquad \|x(t+\vartheta)\|^{(\sigma)} \le \|x_0(\vartheta)\|^{(\sigma)} \varphi(t_0, t) \quad \text{pour } t \ge t_0. $$

#### HYPOTHÈSES H₃. Il existe une fonction $\psi(t)$ continue pour $t \ge 0$ et telle que

$$ (1.6) \qquad \|R(t, y(\vartheta))\|^{(\sigma)} \le \psi(t) \|y(\vartheta)\|^{(\sigma)} \quad \text{pour } t \ge 0 \text{ et } \|y(\vartheta)\|^{(\sigma)} < r. $$

#### HYPOTHÈSES H₄.

(1) Supposons qu'il existe un $k$, $0 < k < 1$ et une suite $\{T_n\}$, $\{\gamma_n\}$, $\gamma_n > 0$, $T_n > 0$, $T_{n+1} > T_n$, $T_n \to \infty$ tels que

$$ (1.7) \qquad \gamma_n \ge \int_{T_n}^{T_{n+1}} \psi(s) ds $$

et

$$ (1.8) \qquad \gamma_n e^{\gamma_n + L(T_{n+1}-T_n)} + \varphi(T_n, T_{n+1}) \le k. $$
TIÉORÈME 1. (1) Sous les hypothèses $H_1, H_2, H_3, H_4$ la solution $y(t) = 0$ de l'équation (4) est a symptotiquement stable.

(2) La région d'attraction contient la boule

$$ \|x(\vartheta)\|^{(\sigma)} \le k\rho. $$

Démonstration du théorème 1. Nous démontrons la stabilité asymptotique pour $t_0 = 0$ (pour $t_0 > 0$ la démonstration est analogue). Envisageons l'intégrale $y(t)$ de l'équation (4) avec la condition initiale

$$ (2.1) \qquad y(\vartheta) = y_0(\vartheta) \quad \text{pour } -\tau \le \vartheta \le 0, $$

$$ (2.2) \qquad \|y_0(\vartheta)\|^{(\tau)} \le k\rho. $$

Nous allons évaluer $\|y(t+\vartheta)\|^{(\sigma)}$ pour $t+\vartheta \ge 0$.

Introduisons la suite des solutions $x^n(t)$ de l'équation (5) valable pour $t \ge T_n$ et telle que

$$ (2.3) \qquad x^n(t) = y(t) \quad \text{pour } T_n - \tau \le t \le T_n. $$

Désignons par $v_n$ une suite de constantes telles que

$$ (2.4) \qquad \|v_n(T_n + \vartheta)\|^{(\sigma)} = \|y(T_n + \vartheta)\|^{(\sigma)} \le r_n. $$

En vertu de (2.2) on peut poser

$$ (2.5) \qquad r_0 = k\rho < \rho, $$

$$ (2.6) \qquad \|y(t+\vartheta)\|^{(\sigma)} \le \|y(t+\vartheta) - x^n(t+\vartheta)\|^{(\sigma)} + \|x^n(t+\vartheta)\|^{(\sigma)} \quad \text{pour } t \ge 0 $$

d'où, en vertu de (1.5) et (2.5)

$$ (2.7) \qquad \|y(t+\vartheta)\|^{(\sigma)} \le \|y(t+\vartheta) - x^n(t+\vartheta)\|^{(\sigma)} + r_n \varphi(T_n, t) \quad \text{pour } t \ge T_n. $$

Il reste à évaluer $\|y(t+\vartheta) - x^n(t+\vartheta)\|^{(\sigma)}$. De l'équation (5), (4) et (2.3) il s'ensuit que

$$ \begin{align*} (2.8) \qquad \|y(t) - x^n(t)\| &< \int_{T_n}^t \{\|X(s, y(s+\vartheta)) - X(s, x^n(s+\vartheta))\|^{(\sigma)} + \\ &\qquad \qquad \qquad + \|R(s, y(s+\vartheta))\|^{(\sigma)}\} ds \\ &< \int_{T_n}^t L \|y(s+\vartheta) - x^n(t+\vartheta)\|^{(\sigma)} ds + \int_{T_n}^t \|y(s+\vartheta)\|^{(\tau)} \psi(s) ds \quad \text{pour } t \ge T_n \end{align*} $$

d'où, en vertu de (2.6),

$$ \begin{align*} (2.9) \qquad \|y(t+\vartheta) - x^n(t+\vartheta)\|^{(\sigma)} &\le \int_{T_n}^t L \|y(s+\vartheta) - x^n(s+\vartheta)\|^{(\sigma)} ds + \\ &\quad + \int_{T_n}^t \psi(s) \|y(s+\vartheta) - x^n(s+\vartheta)\|^{(\sigma)} ds + \int_{T_n}^t \|x^n(s+\vartheta)\|^{(\sigma)} \psi(s) ds \\ &\qquad \text{pour } t \ge T_n + \tau. \end{align*} $$
En vertu de (1.5) et (2.4) on a donc

$$
(2.10) \quad \|y(t+\vartheta) - x^n(t+\vartheta)\|^{(\alpha)} \le \int_{T_n} [L+\psi(s)] \|y(s+\vartheta) - x^n(s+\vartheta)\|^{(\alpha)} ds + \\
\qquad \qquad + r_n \gamma_n \quad \text{pour } t \ge T_n + \tau.
$$

Pour $T_n - \tau \le t + \vartheta \le T_n$ on a

$$
\|y(t+\vartheta) - x^n(t+\vartheta)\| = 0 < \int_{T_n}^{t} [L+\psi(s)] \|y(s+\vartheta) - x^n(s+\vartheta)\|^{(\tau)} ds + \\
\qquad + r_n \gamma_n.
$$

On a donc l'inégalité (2.10) pour tout $t \in [T_{n+1}, T_n]$. De l'inégalité (2.10)
il résulte que

$$
\|y(t+\vartheta) - x^n(t+\vartheta)\|^{(\alpha)} < r_n \gamma_n \exp \int_{T_n}^{t} [L+\psi(s)] ds \le r_n \gamma_n e^{L(T_{n+1}-T_n)+\gamma_n} \\
\qquad \qquad \text{pour } T_{n+1} \ge t \ge T_n
$$

et, en vertu de (2.7),

$$
(2.11) \quad \begin{aligned}[t]
\|y(t+\vartheta)\|^{(\alpha)} &\le r_n \gamma_n e^{\gamma_n L(T_{n+1}-T_n)} + r_n \varphi(T_n, t) \quad \text{pour } T_{n+1} \ge t \ge T_n, \\
\|y(t+\vartheta)\|^{(\alpha)} &\le r_n [\gamma_n e^{\gamma_n L(T_{n+1}-T_n)} + \varphi(T_n, t)] \\
&\le r_n (\gamma_n e^{\gamma_n L(T_{n+1}-T_n)} + c) \quad \text{pour } T_n \le t \le T_{n+1}
\end{aligned}
$$

et, par suite, pour $t = T_{n+1}$ on a

$$
\|y(T_{n+1} + \vartheta)\|^{(\tau)} \le r_n (\gamma_n e^{\gamma_n L(T_{n+1}-T_n)} + \varphi(T_n, T_{n+1}))
$$

Supposons que

$r_n \le k^{n+1} \rho.$

En vertu de (1.8) et (2.5) on a donc

$$
(2.12) \qquad \|y(T_{n+1} + \vartheta)\|^{(\alpha)} \le k^{n+2} \varrho, \quad n = 0, 1, \dots,
$$

et, par suite, on peut poser pour tous les $n = 0, 1, 2, ...$

$r_n = k^{n+1} \rho.$

On a dans l'intervalle $T_n \le t \le T_{n+1}$

$$
(2.13) \quad \|y(t+\vartheta)\|^{(\tau)} \le k^{n+1} \varrho (k+\varphi(T_n, T_n)) \le k^{n+1} \varrho (k+c).
$$

et, par suite, pour $t \to \infty$, $\|y(t+\vartheta)\|^{(\alpha)} \to 0$.

D'une façon analogue on peut évaluer la solution $y(t)$ définie pour $t \ge t_0 > 0$. Posons

$$
\|y(t_0 + \vartheta)\|^\tau \le k\varrho.
$$
On obtient pour $T_{n_0} \le t_0 \le T_{n_0+1}$

$$ \|y(t+\vartheta) - x^{n_0+n}(t+\vartheta)\|^{(\tau)} \le r_0 \gamma_{n_0} \exp \left\{ \int_{t_0}^{t} (L+\psi(s)) ds \right\} \\ \le r_0 \gamma_{n_0} \exp \int_{T_{n_0}}^{T_{n_0+1}} (L+\psi(s)) ds \le r_0 \gamma_0 e^{\gamma_{n_0} + L(T_{n_0+1}-T_{n_0})}, $$

$$ \|y(t+\vartheta)\|^{(\tau)} \le r_n \gamma_{n_0+n} \exp\{\gamma_{n_0+n} + L(T_{n_0+n+1}-T_{n_0+n})\} + r_n \varphi(T_{n_0+n}+t) $$ 
 pour $T_{n_0+n} \le t \le T_{n_0+n+1}$

et par suite

$$ \|y(t+\vartheta)\|^{(\sigma)} \le k^{n+1} \varrho(k+c) \quad \text{pour } T_{n_0+n} \le t \le T_{n_0+n+1} $$

et en vertu de (1.8),

$$ \|y(T_{n_0+n}+\vartheta)\|^{(\sigma)} \le k^{n+2} \varrho \quad \text{pour } n=0,1,\dots $$

**3. THÉORÈME 2.** *Sous les hypothèses H₁, H₂ il existe pour chaque k, 0 < k < 1 une suite {T_n} et une suite {γ_n} satisfaisant à l'inégalité (1.8) et, par suite, il existent des fonctions ψ(t) telles que pour les perturbations R(t, y(ϑ)) satisfaisant à (1.6) l'équation (4) reste asymptotiquement stable.*

**Démonstration. On a**

$$ \varphi(0, 0) \ge 1 > k, \quad \text{et} \quad \varphi(0, t) \to 0 \quad \text{pour } t \to \infty. $$

Choisissons $T_1 \ge 0$ tel que

$$ \varphi(0, T_1) = \frac{k}{2} $$

et $\gamma_0$ tel que

$$ \gamma_0 e^{\gamma_0} \le \frac{k}{2} e^{-L T_1} = \eta_0, $$

par exemple

$$ \gamma_0 = \eta_0 e^{-\eta_0} < \eta_0, \quad \gamma_0 e^{\gamma_0} < \eta_0 e^{-\eta_0} e^{\eta_0} = \eta_0. $$

Supposons que nous ayons défini $T_1, T_2, \dots, T_n, \gamma_0, \gamma_1, \dots, \gamma_{n-1}$. On peut définir $T_{n+1}$ et $\gamma_n$ en posant

$$ \varphi(T_n, T_{n+1}) = \frac{k}{2}, \quad T_{n+1} = \varphi^{-1}\left(T_n, \frac{k}{2}\right), \quad \gamma_n e^{\gamma_n} \le \frac{k}{2} e^{-L(T_{n+1}-T_n)} = \eta_n > 0, $$

par exemple

$$ \gamma_n = \eta_n e^{-\eta_n} < \eta_n. $$

Les suites $T_n$ et $\gamma_n$ étant ainsi définies, les hypothèses (1.8) sont satisfaites et, par suite, pour $\psi(t)$ satisfaisant à (1.7) $y \equiv 0$ est une solution asymptotiquement stable.
### 4. EXEMPLE 1. Envisageons l'équation différentielle

$$ (4.1) \qquad x'(t) = \frac{-1}{1+t} x(t) + r(t, x(t+\vartheta)) \quad \text{où } -\tau \le \vartheta \le 0, t \ge 0. $$

Supposons que

$$ (4.2) \qquad \|r(t, y(\vartheta))\|^{(\sigma)} \le \psi(t) \|y(\vartheta)\|^{(\sigma)} \quad \text{pour } t \ge 0 $$

où la fonction $\psi(t)$ satisfait à la condition

$$ (4.3) \qquad \int_{T_n}^{T_{n+1}} \psi(\xi) d\xi \le \gamma_n, $$

où

$$ T_n = 3 \left(\frac{2}{k}\right)^n + \tau \frac{\left[1 - \left(\frac{2}{k}\right)^n\right]}{1 - \frac{2}{k}}, \quad T_0 = 2, $$

$$ (4.4) \qquad \gamma_n e^{\gamma_n t} \le \frac{k}{2} e^{-3\left(\frac{2}{k}\right)^n \cdot \left(\frac{2}{k}-1\right) - \tau \left(\frac{2}{k}\right)^{n+1}}, $$

par exemple

$$ \gamma_n \le \lambda_n e^{-\lambda_n t}, $$

où

$$ \lambda_n = \frac{k}{2} e^{\left[ 3 \left( \frac{2}{k} \right)^n \left( \frac{2}{k} - 1 \right) - \tau \left( \frac{2}{k} \right)^{n+1} \right]}. $$

De notre théorème 1 il résulte que $x = 0$ est une solution asymptotiquement stable de l'équation (4.1). Il suffit de poser

$$ (4.5) \qquad \tilde{\varphi}(t_0, t) = \begin{cases} \frac{1+t_0}{1+t} & \text{pour } t \ge t_0, \\ 1 & \text{pour } t_0 - \tau \le t \le t_0 \end{cases} $$

et

$$ \varphi(t_0, t) = \tilde{\varphi}(t_0, t-\tau) \quad \text{pour } t_0 \le t. $$

Dans notre exemple l'équation (5) a la forme

$$ (4.6) \qquad x'(t) = - \frac{1}{1+t} x(t) $$

et chaque solution de (4.6) est de la forme

$$ x(t) = x^{(0)} \frac{1+t_0}{1+t} \quad \text{pour } t \ge t_0 \ge 0, $$
c'est-à-dire

$$|x(t)| \le \|x_0(\vartheta)\|^{(\alpha)} \tilde{\varphi}(t_0, t) \quad \text{pour } t \ge t_0.$$

Pour $t_0 - \tau \le t \le t_0$ on a

$$x(t) = x_0(t) \quad \text{pour } t_0 - \tau \le t \le t_0$$

et par suite

$$|x(t)| \le \|x_0(t_0 + \vartheta)\|^\tau \varphi(t_0, t) \quad \text{pour } t_0 - \tau_1 \le t \le t_0,$$

$\tilde{\varphi}(t_0, t)$ étant décroissante on a

$$|x(t+\vartheta)| \le \|x_0(t_0+\vartheta)\|^{(\alpha)} \tilde{\varphi}(t_0, t+\vartheta) \le r_0 \tilde{\varphi}(t_0, t-\vartheta) = r_0 \varphi(t_0, t),$$

c'est-à-dire

$$\|x(t+\vartheta)\|^{(\alpha)} \le \|x_0(t_0+\vartheta)\|^\tau \varphi(t_0, t).$$

Evaluons $\varphi(T_n, T_{n+1})$:

$$(4.9) \qquad \varphi(T_n, T_{n+1}) = \frac{1+T_n}{1+T_{n+1}-\tau}$$

et par suite, en vertu de (4.8), pour $n = 0, 1, 2, ...$

$$\begin{align*} \varphi(T_n, T_{n+1}) &= \frac{1+T_n}{1+T_{n+1}-\tau} \\ &= \frac{3\left(\frac{2}{k}\right)^n + \tau \frac{1-\left(\frac{2}{k}\right)^n}{1-\frac{2}{k}}}{3\left(\frac{2}{k}\right)^{n+1} + \tau \frac{1-\left(\frac{2}{k}\right)^{n+1}}{1-\frac{2}{k}-\tau}} \\ &= \frac{3\left(\frac{2}{k}\right)^n + \tau \sum_{j=0}^{n-1} \left(\frac{2}{k}\right)^j}{3\left(\frac{2}{k}\right)^{n+1} + \tau \sum_{j=1}^{n} \left(\frac{2}{k}\right)^j} \\ &= \frac{1}{\left(\frac{2}{k}\right)} \cdot \frac{3\left(\frac{2}{k}\right)^n + \tau \sum_{j=0}^{n-1} \left(\frac{2}{k}\right)^j}{3\left(\frac{2}{k}\right)^n + \tau \sum_{j=0}^{n-1} \left(\frac{2}{k}\right)^j} = \frac{k}{2}. \end{align*}$$

On vérifie facilement que la fonction $X(t, x(t+\vartheta)) = -\frac{1}{1+t}x(t)$ satisfait à la condition de Lipschitz pour $t \ge 0$ avec $L = 1$.

$$\gamma_n e^{\gamma n + L(T_{n+1}-T_n)} + \varphi(T_n, T_{n+1}) \le \frac{k}{2} + \gamma_n e^{\gamma n + 3\left(\frac{2}{k}\right)^n \left(\frac{2}{k}-1\right) + \tau \left(\frac{2}{k}\right)^{n+1}} \le \frac{k}{2} + \frac{k}{2} = k.$$
5. **EXEMPLE 2.** Envisageons le cas où

$$
(5.1) \qquad \varphi(t_0, t) = e^{-\alpha(t-t_0)}, \quad \alpha > 0
$$
et supposons que

$0 \le \psi(s) \le b.$

Dans ce cas la condition (1.8) prend la forme suivante: il existe un $T > 0$
et un $k$, $0 < k < 1$ tels que

$$
(5.2) \qquad \Gamma(T) = bT e^{(b+L)T} + e^{-aT} \le k.
$$

On démontre facilement que dans le cas où

$b < a$

il existe $T > 0$ et $0 < k < 1$ tels qu'on a (5.2) et par suite (1.8) avec $\gamma_n = Tb$
En effet:

$\Gamma(0) = 1$

et

$\Gamma'(0) = b - \alpha < 0$

d'où l'on tire que $\Gamma(T) < 1$ pour $T$ suffisamment petit.

EXEMPLE 3. Un cas particulier de l'exemple 2 est l'équation

$$
(5.3) \qquad x'(t) = -ax(t) + r(t, x(t+\vartheta)),
$$

où

$$
\|r(t, x(t+\vartheta))\|^{(\sigma)} \le b \|x(t+\vartheta)\|^{(\sigma)},
$$

$0 < b < a.$

Remarque 1. Le théorème donné par l'exemple 1 ne peut pas être
obtenu du théorème de Schimanow et Judajew, car il n'existe pas de
constante $\beta > 0$ telle que

$$
\frac{1+t_0}{1+t} \le e^{-\beta(t-t_0)} \quad \text{pour } t \ge t_0.
$$

6. Remarque 2. Dans le cas où l'on a (5.1) et $T_n = t_0 + nT$ la con-
dition (1.8) prend la forme

$$
\gamma_n e^{\gamma_n + LT} + e^{-\alpha T} \le k,
$$

d'où

$$
\gamma_n e^{\gamma n} \le (k - e^{-\alpha T}) e^{-LT}
$$

et, par suite, pour $T > \ln \frac{1}{k}$ il existe un $\gamma > 0$ tel que

$$
(6.1) \qquad \gamma_n e^{\gamma n} \le \gamma e^{\gamma} \le (k - e^{-\alpha T}) e^{-\alpha T} \quad \text{pour } n = 1, 2, \dots
$$
d'où il vient

$$
(6.2) \qquad \int_{\tau}^{\tau+T} \psi(s) ds \le \gamma \quad \text{pour tout le } \tau \ge 0
$$

pour chaque fonction $\psi(s)$ satisfaisant à (1.7) et (1.8) avec $T_n = t_0 + nT$.
On obtient ainsi les hypothèses du théorème de Shimanow et Judajew
avec l'hypothèse (6.1) au lieu de l'hypothèse que $\gamma$ est suffisamment
petit.

Remarque 3. Posons $g(T) = (k - e^{-\alpha T})e^{-LT}$. On vérifie facilement que chaque $\gamma > 0$ satisfaisant à (6.1) doit satisfaire à l'inégalité

$$
(6.3) \qquad \gamma e^{\gamma} \le k \frac{a}{a+L} \left( \frac{Lk}{a+L} \right)^{\frac{L}{a}} = g(\tilde{T}),
$$

où

$$
\tilde{T} = \frac{1}{a} \ln \frac{a+L}{Lk}.
$$

Il suffit d'évaluer $g'(T)$.

$$
g'(T) = e^{-LT} \{(\alpha + L)e^{-\alpha T} - kL\}
$$

et par suite

$g'(\tilde{T}) = 0.$

$$
g'(T) > 0 \quad \text{pour } r < \tilde{T} \quad \text{et} \quad g'(T) < 0 \quad \text{pour } T > \tilde{T}
$$

d'où il s'ensuit que la fonction $g(T)$ admet un maximum pour $T = \tilde{T}$.

EXEMPLE 4. Pour $L = \alpha$ on obtient

$$
\gamma e^{\gamma} \le k^2 \cdot \frac{1}{4}, \quad \tilde{T} = \frac{1}{a} \ln \frac{2}{k},
$$

c'est-à-dire dans le cas de l'équation

$$
(6.4) \qquad x'(t) = -x(t) + r(t, x(t+\vartheta))
$$

où la fonction $r(t, x(t+\vartheta))$ satisfait à l'inégalité (1.6)

$$
(6.5) \qquad \|r(t, y(\vartheta))\|^{(\sigma)} \le \psi(t) \|y(\vartheta)\|^{(\sigma)} \quad \text{pour } t \ge 0
$$

et

$$
(6.6) \qquad \int_{t}^{t+\frac{1}{a}\ln 2} \psi(s) ds \le \gamma_0 < \frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}},
$$

$\psi(s)$ etant supposée uniformément continue dans l'intervalle $[0, \infty)$. De notre théorème il découle que la solution $x(t) \equiv 0$ de l'équation (6.4) est asymptotiquement stable pour $t \ge 0$.
Démonstration. Dans le cas envisagé on a

$$ \varphi(t_0, t) = e^{-\alpha(t-t_0)}, \quad L = \alpha. $$

Pour $T = \frac{1}{\alpha} \ln 2$ on a

$$ \int_{t}^{t+\frac{1}{\alpha}\ln 2} \psi(s) ds \leq \gamma_0 < \frac{1}{4}e^{-\frac{1}{4}}, $$

$\psi(s)$ étant uniformément continue il existe un $k_0$, $0 < k_0 < 1$ tel que

$$ \int_{t}^{t+\frac{1}{\alpha}\ln\frac{2}{k_0}} \psi(s) ds \leq \tilde{\gamma} = \frac{k_0^2 e^{-k_0/4}}{4} < \frac{k_0^2}{4} \quad \text{pour } 0 \leq t < \infty $$

et

$$ \tilde{\gamma} e^{\tilde{\gamma}} < \frac{k_0^2}{4} $$

c'est-à-dire pour l'équation (6.4), (6.1) est vérifiée avec

$$ \tilde{T} = \frac{1}{\alpha} \ln \frac{2}{k_0} \quad \text{et} \quad \tilde{\gamma} = \frac{k_0^2}{4} e^{-\frac{k_0^2}{4}}. $$

(Il est évident que dans (6.6) le nombre $\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{4}}$ peut être remplacé par un autre nombre $\gamma^*$ tel que $\gamma^*e^* < \frac{1}{4}$). La région d'attraction dans le cas envisagé est tout l'espace des fonctions $x_0(t)$ continues dans l'intervalle $-\tau \leq t \leq 0$. C'est une conséquence du théorème 1, car pour chaque $\rho > 0$ les solutions de l'équation

$$ x'(t) = -ax(t) $$

telles que $x(t) = x_0(t)$ pour $t_0 - \tau \leq t \leq t_0$, $\|x_0(t_0 + \vartheta)\|^{(\tau)} \leq \rho$ tendent vers zéro pour $t \to \infty$ et $\|x(t + \vartheta)\|^{(\tau)} \leq \|x_0(t_0 + \vartheta)\|^{(\tau)} e^{-\alpha(t-t_0)}$ d'où il resulte que chaque solution de l'équation (6.4) telle que $x(t) = x_0(t)$ pour $-\tau \leq t \leq 0$, $\|x_0(\tau)\|^{(\tau)} \leq k_0\rho$, tend vers zero pour $t \to \infty$. Comme $\rho$ est quelconque, toute solution de (6.4) tend vers zéro pour $t \to \infty$.

## 7. Application du théorème 1 au problème du pilotage. Envisageons l'équation

$$ (7.1) \qquad y'(t) = X(t, y(t+\vartheta)) + r(t, y(t+\vartheta), u). $$

Supposons que $x = 0$ soit une solution asymptotiquement stable de l'équation

$$ (7.2) \qquad x'(t) = X(t, x(t+\vartheta)) $$
et que la région d'attraction de l'équation (7.2) contienne la boule

$$ \|x(\vartheta)\|^{(\sigma)} \le r. $$

Admettons les hypothèses $H_1$ et $H_2$. De notre théorème 1 il découle que pour conserver la stabilité asymptotique pour l'équation (7.1) il suffit de choisir la fonction $u(t, x, y)$ de telle façon que

$$ \|r(t, y(t+\vartheta), u(t, y(t), y(t+\vartheta)))\|^{(\sigma)} \le \psi(t) \|y(t+\vartheta)\|^{(\sigma)} $$

pour $t \ge 0$, $\|y(t+\vartheta)\|^{(\sigma)} \le \varrho$, où $\psi(t)$ satisfait à l'hypothèse $H_4$.

### 8. EXEMPLE 5. Envisageons l'équation

$$ (8.1) \qquad x'(t) = -ax(t) + bx(t-h) + u, \quad a > 0. $$

Pour obtenir le cas de l'exemple 3 il suffit de choisir $u = u(t, x, y)$ telle qu'on ait

$$ \|bx(t-h) + u(t, x(t), x(t-h))\|^{(h)} \le c \|x(t-\vartheta)\|^{(h)}, $$

d'où il vient

$$ \|u(t, x(t), x(t-h))\|^{(h)} \le \beta \|x(t-\vartheta)\|^{(h)}, $$

par exemple

$$ (8.2) \qquad u(t, x, y) = a(t)x + \beta(t)y, $$

où

$$ (8.3) \qquad |b + \beta(t)| + |a(t)| \le c < a. $$

Une autre condition suffisante pour la stabilité asymptotique de l'équation (8.1) s'obtient de l'exemple 4. On voit que la fonction $u(t, x, y)$ de la forme (8.2) peut être prise quelconque telle que

$$ (8.4) \qquad |b + \beta(t)| + |a(t)| \le \psi(t), $$

où $\psi(t)$ satisfait à la condition (6.6).

Dans le cas de l'équation

$$ (8.5) \qquad x'(t) = -ax(t) + b_1x(t-h_1) + \dots + b_nx(t-h_n) + u, $$

où $a > 0$, $0 \le h_1 \le h_2 \le \dots \le h_n$ on peut utiliser la fonction $u = u(t, x_0, x_1, \dots, x_n)$ de la forme

$$ (8.6) \qquad u(t, x_0, x_1, \dots, x_n) = a(t)x_0 + \sum_{j=1}^{n} \beta_j(t)x_j, $$

où

$$ (8.7) \qquad |a(t)| + \sum_{j=1}^{n} |b_j + \beta_j(t)| \le \varrho < a $$
ou bien

$$ (8.8) \qquad |a(t)| + \sum_{j=1}^{n} |b_j + \beta_j(t)| \le \psi(t) $$

et $\psi(t)$ satisfait à (6.6).

Pour chaque fonction $u$ de la forme (8.6) satisfaisant à (8.7) ou à (8.8) la solution $x \equiv 0$ de l'équation (8.5) est asymptotiquement stable et la région d'attraction est tout l'espace des fonctions $x_0(t)$ continues dans l'intervalle $-h \le t \le 0$.

## Travaux cités

[1] А. М. Летов, Некоторые нерешенные задачи теории автоматического управления, Дифф. уравнения 6, 4 (1970), р. 592-615.

[2] С. Н. Шиманов и Г. С. Юдаев, Некоторые вопросы устойчивости дифференциальных уравнений с последейством, ibidem 4 (1970), p. 9-562.

Reçu par la Rédaction le 31. 5. 1971