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# Sur un problème d'estimation géométrique

Jean Geffroy

► To cite this version:

Jean Geffroy. Sur un problème d'estimation géométrique. Annales de l'ISUP, 1964, XIII (4), pp.191-210. hal-04085229

HAL Id: hal-04085229

https://hal.science/hal-04085229

Submitted on 28 Apr 2023

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# SUR UN PROBLÈME D'ESTIMATION GÉOMÉTRIQUE

Jean GEFFROY

## 1. Introduction.

Depuis quelque temps, nous avons entrepris l'examen de diverses questions concernant l'estimation du support d'une répartition de probabilité en partant d'un échantillon de la loi correspondante.

Parmi les problèmes que nous avons étudiés, celui que nous allons traiter dans le présent mémoire peut être posé de façon imagée comme suit :

Considérons une cible plane D délimitée par deux segments verticaux aa', bb', par un segment horizontal ab et par un arc de courbe a'b'. On tire sur cette cible une série de coups de la même manière, ce qui signifie que les points d'impact obéissent à la même loi de probabilité.

Dans l'hypothèse où seul le segment ab est connu, il s'agit d'estimer l'arc a'b' à partir d'un échantillon de points d'impact.

## 2. Principe d'une méthode d'estimation.

1/ Rapportons le plan de la cible à un système d'axes rectangulaires (Ox, Oy) choisi de telle sorte que le segment [0,1] de Ox coïncide avec [a,b] et que la cible soit située dans le premier quadrant.

L'arc a'b' est alors le graphe d'une certaine fonction continue et positive $y = f(x)$, et le problème est d'estimer $f$. Nous supposerons que la loi de probabilité des points d'impact est absolument continue et a pour dentsité $\varphi(x,y)$ ; bien entendu, la fonction $\varphi$ est inconnue, puisque l'on ne connaît même pas le domaine D.
Etant donné un échantillon de points d'impact $(X_i, Y_i)_{i \le i \le n}$, choisissons un entier positif $k$ et partageons $D$ en $k$ sous-domaines $D_{kr}$ ($r=1,2,...,k$) par des parallèles à Oy équidistantes. L'entier $k$ est pour l'instant arbitraire, mais nous verrons plus loin comment il doit être lié à $n$ si l'on veut obtenir les résultats désirés.

Désignons par $\mathcal{J}_{nr}$ l'ensemble des indices de ceux des points de l'échantillon qui appartiennent à $D_{kr}$, et considérons les $k$ variables aléatoires $U_{nr}(r = 1,2,...,k)$ définies par :

$$ U_{nr} = \sup_{i \in \mathcal{J}_{nr}} (Y_i) \quad \text{si} \quad \mathcal{J}_{nr} \neq \emptyset $$

$$ U_{nr} = 0 \quad \text{si} \quad \mathcal{J}_{nr} = \emptyset $$

Nous proposons de prendre comme estimation de $f$ la fonction $f_n(x)$ telle que :

$$ f_n(x) = U_{nr} \quad \text{pour } x \in \left[ \frac{r-1}{k}, \frac{r}{k} \right] \quad (r = 1, 2, \dots, k) $$

$$ f_n(1) = U_{nk} $$

Nous allons étudier l'efficacité de cette estimation dans la Topologie de la convergence uniforme sur $[0,1]$.

Il est d'abord évident que, la fonction $f$ étant à priori quel-conque, $f_n$ ne pourra généralement converger vers $f$ que si la largeur $1/k$ des domaines $D_{kr}$ tend vers 0 avec $1/n$, c'est-à-dire si $k$ croît indéfiniment avec $n$. Dorénavant, nous supposerons toujours cette condition réalisée.

D'autre part, si $k > n$, l'un des ensemble $\mathcal{J}_{nr}$ est vide, $f_n(x)$ s'annule en un certain point de $[0,1]$. On a alors :

$$ d(f_n, f) \ge \inf_{0 \le x \le 1} f(x). $$

Si $f_n$ converge vers $f$, on doit donc avoir $k \le n$ pour $n$ assez grand, et nous supposerons également que cette condition est réalisée.

2/ Soit $M_{kr}$ (resp. $m_{kr}$) le maximum (resp. minimum) de $f(x)$ sur $\left[\frac{r-1}{k}, \frac{r}{k}\right]$. Il sera commode, pour étudier la convergence de $f_n$ vers $f$, d'introduire la variable aléatoire
$$Z_n = \sup_{1 \le r \le k} (M_{kr} - U_{nr})$$

En vertu de la continuité de $f$, la convergence de $Z_n$ vers 0 équivaut à la convergence de $f_n$ vers $f$ ; ceci résulte immédiatement de

$$d(f_n, f) \le Z_n + \sup_{1 \le r \le k} (M_{kr} - m_{kr}).$$

Etant donné $z$ positif arbitraire, appelons $D_{kr}(z)$ la partie de $D_{kr}$ formée par les points dont la cote est au moins égale à $M_{kr} - z$, et soit $E_{nr}(z)$ l'évènement consistant en ce qu'aucun point de l'échantillon ne tombe sur $D_{kr}(z)$.

La fonction de répartition $F_n(z)$ de $Z_n$ est donnée par

$$F_n(z) = P\{\bar{E}_{n1}(z) \cap \dots \cap \bar{E}_{nk}(z)\}$$

ou, en appliquant une formule classique

$$F_n(z) = 1 - \sum_{1 \le r \le k} P[E_{nr}(z)] + \sum_{1 \le r_1 \le r_2 \le k} P[E_{nr_1} \cap E_{nr_2}] \quad (1) \\ + \dots + (-1)^{k+1} P[E_{n1} \cap \dots \cap E_{nk}]$$

Dans le cas particulier où $f$ et $\varphi$ sont constantes et ont la valeur 1, on a

$$F_n(z) = 1 - C_k^1 \left(1 - \frac{z}{k}\right)^n + C_k^2 \left(1 - \frac{2z}{k}\right)^n + \dots + (-1)^{k+1} (1-z)^n.$$

La recherche de la limite de $F_n(z)$ jouant un rôle essentiel dans le problème que nous étudions, nous éviterons de répéter plusieurs démonstrations voisines en établissant d'abord une propriété de certaines expressions analogues au second membre de la formule (1).

### 3. Un théorème de la théorie des évènements rares.

La propriété que nous invoquons ci-dessus est la suivante :

**Théorème 1** : Soit $E_{nr}$ une suite double d'événements aléatoires définie pour tout entier positif et pour : $1 \le r \le k$ (n), où $k(n)$ est une certaine fonction à valeurs entières qui croît indéfiniment avec n.
Supposons la suite $E_{nr}$ telle que

1/ Pour toute valeur de $n$ et pour tout système $(r_1, r_2, ..., r_v)$ tel que

$$1 \le r_1 < r_2 < ... < r_v \le k(n)$$

on a

$$P\left\{ \bigcap_{i=1}^{\nu} E_{nr_i} \right\} \le \prod_{i=1}^{\nu} P(E_{nr_i})$$

2/ Dans les mêmes hypothèses, le nombre $\varepsilon_{nr_1...r_v}$ défini par

$$P\left\{ \bigcap_{i=1}^{\nu} E_{nr_i} \right\} = \left[ \prod_{i=1}^{\nu} P(E_{nr_i}) \right] (1 + \varepsilon_{nr_1} ... r_v)$$

vérifie la relation

$$| \varepsilon_{nr_1...r_v} | \le \varepsilon(n)$$

où $\varepsilon(n)$ est une fonction qui tend vers zéro avec $1/n$.

$$3/ \max_{1 \le r \le k} P(E_{nr}) \to 0 \text{ avec } 1/n.$$

Dans ces conditions, si la suite $\sigma_n = \sum_{r=1}^k P(E_{nr})$ admet une limite $\theta$ quand $n \to \infty$, on a

$$\lim_{n \to \infty} P\left(\bigcup_{r=1}^{k} E_{nr}\right) = 1 - e^{-\theta}.$$

Démonstration : On peut écrire

$$P\left(\bigcup_{r=1}^{k} E_{nr}\right) = \sum_{r=1}^{k} P(E_{nr}) - \sum_{1 \le r_1 < r_2 \le k} P(E_{nr_1} \cap E_{nr_2}) + \dots + (-1)^{k+1} P\left(\bigcap_{i=1}^{k} E_{nr_i}\right)$$

Posons

$$w_v(n) = \sum P\left(\bigcap_{i=1}^{\nu} E_{nr_i}\right) \quad \text{si} \quad v \le k,$$

la sommation étant étendue à tous les systèmes d'indices $(r_1, r_2, ..., r_v)$ tels que : $1 \le r_1 < r_2 < ... < r_v \le k$ ;

$$w_v(n) = 0 \quad \text{si} \quad v > k.$$
On a ainsi :

$$P\left(\bigcup_{r=1}^{k} E_{nr}\right) = \sum_{\nu=1}^{\infty} (-1)^{\nu+1} w_{\nu}(n).$$

Il est facile de voir que la série figurant au second membre est normalement convergente. En effet, $w_ν(n)$ est majorée par

$$\frac{1}{\nu!} \sum_{\substack{1 \le r_1 \le k \\ \vdots \\ 1 \le r_\nu \le k}} P\left(\bigcap_{i=1}^{\nu} E_{nr_i}\right)$$

et, d'après la condition n° 1, cette quantité est à son tour majorée par

$$\frac{1}{\nu!} \sum_{\substack{1 \le r_1 \le k \\ \vdots \\ 1 \le r_\nu \le k}} \left[ \prod_{i=1}^{\nu} P(E_{nr_i}) \right] = \frac{1}{\nu!} (\sigma_n)^\nu$$

Or, puisque $\sigma_n \to \theta$, on a $\sigma_n < \theta_0$ pour n assez grand, en appelant $\theta_0$ un nombre fixe arbitraire supérieur à $\theta$. Pour ces valeurs de n

$$w_{\nu}(n) < \theta_{0}/\nu!$$

donc la série $\sum (-1)^{\nu+1} w_\nu(n)$ est normalement convergente.

Le théorème sera établi si nous prouvons que

$$w_{\nu}(n) \underset{\sim}{\longrightarrow} \frac{\theta^{\nu}}{\nu!} \quad \text{quand} \quad n \underset{\sim}{\longrightarrow} \infty, \forall \nu.$$

Ceci équivaut à : $\nu! w_\nu(n) \sim (\sigma_n)^\nu$.

Cette relation est vraie pour $\nu = 1$. Supposons qu'elle soit vraie pour une certaine valeur de $\nu$ ; en ce cas

$$(\sigma_n)^{\nu+1} \sim \nu! w_\nu(n) [P(E_{n1}) + \dots + P(E_{nk})]$$

Mais en vertu de la condition n° 2

$$w_{\nu}(n) \sim \sum \left[ \prod_{i=1}^{\nu} P(E_{nr_i}) \right]$$

où la sommation est étendue à tous les systèmes $(r_1, \dots, r_\nu)$ tels que : $1 \le r_1 < \dots < r_\nu \le k$. On a donc, avec la même convention
$$ (\sigma_n)^{\nu+1} \sim \nu! \sum \left[ \prod_{i=1}^{\nu} P(E_{n_{r_i}}) \right] \left[ P(E_{n_1}) + \dots + P(E_{n_k}) \right] $$

En développant le produit des deux sommes du second membre, on obtient deux sortes de termes

a) d'abord tous les termes de la forme

$$ P(E_{r_1}) \dots P(E_{r_{\nu+1}}) \quad \text{avec} \quad 1 \le r_1 < r_2 < \dots < r_{\nu+1} \le k, $$

et chacun d'eux est obtenu ($\nu+1$) fois car il y a ($\nu+1$) façons de choisir le facteur qui provient de la somme $P(E_{n_1}) + \dots + P(E_{n_k})$. La somme S de ces termes équivaut à ($\nu+1$) $w_{\nu+1}(n)$.

b) Ensuite tous les termes de la forme

$$ P(E_{r_1}) \dots P(E_{r_s})^2 \dots P(E_{r_\nu}) $$

avec

$$ 1 \le r_1 < \dots < r_\nu \le k \quad \text{et} \quad 1 \le s \le k. $$

En partant d'un terme donné de $\sum \left[ \prod P(E_{n_{r_i}}) \right]$, on peut obtenir $\nu$ semblables termes ; leur somme $S'$ est donc majorée par

$$ \nu \max_{1 \le r \le k} P(E_{n_r}). \sum \left[ \prod_{i=1}^{\nu} P(E_{n_{r_i}}) \right] $$

et, cette quantité étant équivalente à

$$ \nu \max_{1 \le r \le k} P(E_{n_r}). w_\nu(n) $$

nous voyons que $S'$ tend vers 0 avec $1/n$.

Finalement : $(\sigma_n)^{\nu+1} \sim \nu! S \sim (\nu+1)! w_{\nu+1}(n)$ et par suite, pour toute valeur de $\nu$

$$ (\sigma_n)^\nu \sim \nu! w_\nu(n) $$

C. Q. F. D.

### 4. Étude de l'éfficacité de l'estimation de f.

**Théorème 2** : S'il existe deux constantes positives A et B telles que

$$ A \le \varphi(x,y) \le B, \quad \forall (x,y) \in D, $$
une condition nécessaire et suffisante pour que $f_n$ converge uniformément vers $f$ en probabilité est que

$$k(n) = o(n/\log n) \quad \text{quand} \quad n \to \infty.$$

Démonstration : Nous savons déjà que la convergence uniforme en probabilité de $f_n$ vers $f$ équivaut à la convergence en probabilité de $Z_n$ vers 0. Nous allons montrer que cette condition équivaut à : $k(n) = o(n/\log n)$.

a) Supposons que $Z_n \to 0$. Ceci entraîne

$$P\left\{ \bigcup_{r=1}^{k} E_{nr}(z) \right\} \to 0 \quad \text{quand} \quad n \to \infty, \forall z > 0. \quad (2)$$

D'après l'hypothèse faite sur $\varphi$, on a

$$P\{D_{kr}(z)\} \le \frac{z}{k} B.$$

Si l'on associe, à chaque domaine $D_{kr}(z)$ un domaine $\Delta_{kr}(z)$, de probabilité $\frac{z}{k} B$, de telle sorte que tous les domaines $\Delta_{kr}(z)$ ($r=1,2,...,k$) soient disjoints, et si l'on désigne par $E_{nr}^!(z)$ l'évènement consistant en ce qu'aucun point de l'échantillon $(X_i, Y_i)_{1\le i\le n}$ ne tombe sur $\Delta_{kr}(z)$, il est évident que

$$P\left\{ \bigcup_{r=1}^{k} E_{nr}^{!}(z) \right\} \le P\left\{ \bigcup_{r=1}^{k} E_{nr}(z) \right\}$$

La relation (2) a pour conséquence que le premier membre tend vers 0 quand $n \to \infty$ ; or cette expression peut s'écrire

$$V_n(z) = k \left(1 - \frac{z}{k} B\right)^n - C_k^2 \left(1 - \frac{2z}{k} B\right)^n + \dots + (-1)^{k+1} (1 - zB)^n.$$

Soit $\theta$ un nombre positif arbitraire, et $z_n$ le nombre défini par

$$k \left( 1 - \frac{z_n}{k} B \right)^n = \theta \quad (3)$$

Un calcul élémentaire montre que $V_n(z_n)$ converge vers $1 - e^{-\theta}$ quand $n \to \infty$. Mais, étant donné que $V_n(z)$ est une fonction décroissante de $z$ qui tend vers 0 quand $n \to \infty$ pour tout $z > 0$, Ceci entraîne que $z_n \to 0$ avec $1/n$.
L'équation (3) donne

$$z_n = \frac{k}{B} \left[ 1 - \left( \frac{\theta}{k} \right)^{1/n} \right]$$

d'où

$$z_n = \frac{k \log k}{B n} [1 + o(1)]$$

et ainsi

$$\frac{k \log k}{n} \rightarrow 0 \quad \text{avec} \quad 1/n \qquad (4)$$

Posons

$$k(n) = n \alpha(n) \quad (0 < \alpha \le 1).$$

La relation (4) s'écrit : $\alpha(\log \alpha + \log n) \to 0$.

La fonction $\alpha(n)$ doit tendre vers 0 quand $n \to \infty$, sans quoi la relation précédente ne pourrait avoir lieu. Mais alors : $\alpha \log \alpha \to 0$, et ainsi la relation (4) équivaut à : $\alpha \log n = o(1)$.

Finalement, on doit avoir $k(n) = o(n/\log n)$.

b) Supposons que $k(n)$ satisfasse à cette condition. Si l'on attribue à $z$ une valeur positive fixe, on peut dire que l'oscillation de $f$ dans chaque intervalle $[\frac{r-1}{k}, \frac{r}{k}]$ est inférieure à $z/2$ lorsque $k$ est assez grand. En admettant que $z \le \inf_{0 \le x \le 1} f(x)$, on a alors

$$\frac{z A}{2k} < P[D_{kr}(z)]$$

d'où

$$P[E_{nr}(z)] < \left(1 - \frac{z A}{2 k}\right)^n$$

et

$$\sigma_n(z) < k \left(1 - \frac{z A}{2 k}\right)^n$$

D'après l'inégalité de Boole

$$P\left[\bigcup_{r=1}^{K} E_{nr}(z)\right] \le \sigma_n(z).$$
Or

$$ \log \sigma_n(z) < \log k + n \log \left(1 - \frac{z A}{2 k}\right) < \log k - \frac{n z A}{2 k} $$

et la dernière quantité tend vers $-\infty$ quand $n \to +\infty$. Ainsi :
$\sigma_n(z) \to 0$, et à fortiori :

$$ P \left[ \bigcup_{r=1}^{k} E_{nr}(z) \right] \to 0, \qquad C. Q. F. D. $$

**Corollaire 2 :** Lorsque $f_n$ converge uniformément en probabilité vers $f$, cette convergence est presque complète.

**Démonstration :** D'après des résultats antérieurs, il nous suffit d'établir que $Z_n$ converge presque complètement vers 0 si $k(n) = o(n/\log n)$.

Nous avons vu que, z étant un nombre positif fixe inférieur à inf. $f(x)$, on a

$$ P \left[ \bigcup_{r=1}^{k} E_{nr}(z) \right] < k \left( 1 - \frac{z A}{2 k} \right)^n $$

c'est-à-dire

$$ P\{Z_n > z\} < k \left(1 - \frac{z A}{2 k}\right)^n = w_n $$

Quand n est assez grand, on peut écrire

$$ \log w_n = \log k + n \log \left(1 - \frac{z A}{2 k}\right) < \log k - \frac{n z A}{2 k} $$

d'où

$$ w_n < k \exp \left( - \frac{n z A}{2 k} \right) $$

Mais $k(n)$ est de la forme

$$ k(n) = \frac{n}{\log n} \beta(n) $$

où $\beta(n)$ tend vers 0 avec $1/n$.

On en déduit
$$w_n < \frac{n\beta}{\log n} \exp\left(-\frac{z A \log n}{2 \beta}\right) = \frac{n\beta}{\log n} n^{-z\Lambda/2\beta}$$

et, pour n assez grand : $w_n < n^{1-z\Lambda/2\beta}$.

Comme l'exposant de n tend vers $-\infty$, la série de terme général $w_n$ est convergente, donc $Z_n$ converge presque complètement vers 0.

### 5. Loi-limite de $d(f_n, f)$.

Dans l'hypothèse où $d(f_n, f)$ converge vers 0, nous allons chercher sa loi-limite ; nous procéderons par ordre de complexité croissante en examinant successivement les trois cas suivants :

1. $f$ et $\varphi$ sont constantes ;

2. $f$ est variable, $\varphi$ est constante ;

3. $f$ et $\varphi$ sont variables.

Nous déterminerons d'abord la loi-limite de $Z_n$ et nous en déduirons celle de $d(f_n, f)$ ; dans le premier cas, c'est évidemment la même, puisque $Z_n = d(f_n, f)$.

Si l'on désigne par $\alpha_n$ et $\beta_n$ deux suites certaines, la variable aléatoire $Z'_n$ liée à $Z_n$ par : $Z_n = \alpha_n Z'_n + \beta_n$ admet pour fonction de répartition : $F_n(\alpha_n z + \beta_n)$, et l'on peut écrire

$$F_n(\alpha_n z + \beta_n) = 1 - P \left[ \bigcup_{r=1}^{k} E_{n,r} (\alpha_n z + \beta_n) \right] \quad (5)$$

Il s'agit de déterminer $\alpha_n$ et $\beta_n$ de manière que $F_n(\alpha_n z + \beta_n)$ converge vers une fonction de répartition $\Phi(z)$ quand $n \to \infty$, et la formule (5) ramène ce problème à celui de l'étude de la limite de $P\left[\bigcup_{r=1}^{k} E_{n,r}(z_n)\right]$ (pour abréger un peu nous représentons $\alpha_n z + \beta_n$ par $z_n$).

#### 1er cas : $f$ et $\varphi$ constantes.

**Théorème 3** : Supposons que l'on ait $\varphi(x,y) \equiv c$ et $f(x) \equiv 1/c$, où $c$ est une constante positive, et que $k(n) = o(n/\log n)$. Dans ces conditions, la variable aléatoire $Z'_n = \frac{n}{k} Z_n - \frac{\log k}{c}$ admet une loi-limite, qui est la loi de Gumbel ayant pour fonction de répartition $\exp(-e^{-cz})$.
Démonstration : On a ici $z_n = \frac{k}{n} z + \frac{k \log k}{n c}$

Considérons les événements $E_{nr}(z_n)$. D'après leur définition même, ils vérifient la condition (1) du théorème 1.

D'autre part

$$ 
\begin{aligned}
P(E_{nr_1} \cap \dots \cap E_{nr_\nu}) &= \left(1 - \nu \frac{z_n}{k} c\right)^n \\
&= \left[1 - \nu c \left(\frac{z}{n} + \frac{\log k}{n c}\right)\right]^n
\end{aligned}
$$

et

$$ \prod_{i=1}^{\nu} P(E_{nr_i}) = \left[1 - c\left(\frac{z}{n} + \frac{\log k}{n c}\right)\right]^{n\nu} $$

En prenant les logarithmes

$$ \log P(\cap E_{nr_i}) = n \log \left[ 1 - \nu c \left( \frac{z}{n} + \frac{\log k}{n c} \right) \right] = - \nu c \left( z + \frac{\log k}{c} \right) + 0 \left[ n^{-1} (\log k)^2 \right] $$

$$ \log \prod P(E_{nr_i}) = n \nu \log \left[ 1 - \nu c \left( \frac{z}{n} + \frac{\log k}{n c} \right) \right] = - \nu c \left( z + \frac{\log k}{c} \right) + 0 \left[ n^{-1} (\log k)^2 \right] $$

Comme $n^{-1} (\log k)^2 \longrightarrow 0$ avec $1/n$, nous voyons que la condition (2) du théorème 1 est satisfaite.

Enfin : $P(E_{nr}) = \left[1 - c\left(\frac{z}{n} + \frac{\log k}{n c}\right)\right]^n \longrightarrow 0$ avec $1/n$, et ainsi la condition (3) est également satisfaite. On a

$$ \sigma_n = k \left[ 1 - c \left( \frac{z}{n} + \frac{\log k}{n c} \right) \right]^n $$

et un calcul immédiat montre que cette expression tend vers $e^{-cz}$ quand $n \longrightarrow \infty$. D'après le théorème 1, on peut alors affirmer que

$P\left[\bigcup_{r=1}^{k} E_{nr}(z_n)\right]$ tend vers $1 - \exp(-e^{-cz})$, donc que

$F_n(z_n)$ tend vers $\exp(-e^{-cz})$. C.Q.F.D.
**2ème cas** : f variable, $\varphi$ constante.

**Théorème 4** : Supposons que l'on ait $\varphi(x,y) = c$ (constante) $\forall(x,y) \in D$, que f soit lipschitzienne d'ordre $\gamma$, et que $k(n) = o(n/\log n)$ Dans ces conditions, si l'on a $n^{1/(1+\gamma)} = o(k)$, la variable aléatoire $Z' = \frac{n}{k} Z_n - \frac{\log k}{c}$ admet une loi-limité qui est la loi de Gumbel ayant pour fonction de répartition $\exp(-e^{-cz})$.

**Démonstration** : On a encore:

$z_n = \frac{k}{n} z + \frac{k \log k}{n c}$. Il est facile de voir que les événements $E_{nr}(z_n)$ vérifient les conditions du théorème 1.

Condition (1) : évident.

Condition (2) : observons d'abord qu'il existe par hypothèse une constante positive $\lambda$ telle que

$$|f(x') - f(x'')| \le \lambda |x' - x''|^\gamma$$

On en déduit

$$\frac{cz + \log k}{c n} - \frac{\lambda}{k^{1+\gamma}} \le \text{aire } D_{kr}(z_n) \le \frac{cz + \log k}{c n}$$

Mais la relation $n^{\frac{1}{1+\gamma}} = o(k)$ implique : $\frac{1}{1+\gamma} = o(\frac{1}{n})$. Donc :
aire $D_{kr}(z) = \frac{cz + \log k}{cn} + o(\frac{1}{n})$ ce qui entraîne

$$P[E_{nr}(z_n)] = \left[ 1 - \frac{1}{n} (cz + \log k + o(1)) \right]^n \quad (6)$$

$$\text{et } P\left[ \bigcap_{i=1}^{\nu} E_{nr_i}(z_n) \right] = \left[ 1 - \frac{\nu}{n} (cz + \log k + o(1)) \right]^n$$

On déduit de là très simplement la condition (2).

Condition (3) : évident d'après (6).

En nous appuyant sur le théorème 1, le présent théorème sera établi si nous montrons que $\sigma_n(z_n)$ tend vers $e^{-cz}$. Or, on peut écrire la formule (6) de façon un peu plus précise
$$P [E_{nr}(z_n)] = \left[ 1 - \frac{1}{n} (cz + \log k + \varepsilon_{kr}) \right]^n$$

où $\varepsilon_{kr}$ tend vers 0 avec $1/k$ uniformément par rapport à r.

On a donc : $\log P [E_{nr}(z_n)] = - cz - \log k + \varepsilon'_n$ et

$$P [E_{nr}(z_n)] = \frac{1}{k} e^{-cz + \varepsilon'_n}$$

où $\varepsilon'_n$ tend vers 0 avec $1/n$ uniformément par rapport à r.

D'après cette dernière formule

$$\sigma_n(z_n) \rightarrow e^{-cz} \qquad C.Q.F.D.$$

**Corollaire 4** : Dans les conditions du théorème précédent la variable aléatoire $\frac{n}{k} d(f_n, f)$ - $\frac{\log k}{c}$ admet pour loi-limite la loi de Gumbel de $f.d.r. \exp(-e^{-cz})$.

**Démonstration** : Cette propriété résulte du fait que

$$P \{ d(f_n, f) = Z_n \} \rightarrow 1 \quad \text{quand} \quad n \rightarrow \infty.$$

En effet pour que $d(f_n, f)$ soit différent de $Z_n$, il est nécessaire que l'un des domaines $D_{kr}(M_{kr} - m_{kr})$ ($r=1, 2, \dots, k$) contienne au moins un point de l'échantillon. En remarquant que

$$M_{kr} - m_{kr} \le \lambda k^{-\gamma},$$

on peut écrire

$$P \{ d(f_n, f) \neq Z_n \} < 1 - P \{ Z_n > \lambda k^{-\gamma} \} = F_n (\lambda k^{-\gamma})$$

Mais la condition : $n^{\frac{1}{1+\gamma}} = o(k)$ implique

$$\lambda k^{-\gamma} = o \left( \frac{k}{n} Z + \frac{k \log k}{n c} \right), \quad \forall z$$

d'où

$$F_n (\lambda k^{-\gamma}) \rightarrow 0 \quad \text{quand} \quad n \rightarrow \infty \qquad C.Q.F.D.$$
**3ème cas** : f et $\varphi$ variables.

**Théorème 5** : Supposons que f et $\varphi$ soient respectivement lipschitzziennes d'ordre $\gamma$ et $\delta$, et qu'il existe deux constantes positives A, B telles que $A \le \varphi(x,y) \le B \quad \forall (x,y) \in D$.

Si l'on choisit une fonction $k(n)$ vérifiant les deux conditions

$$k(n) = o\left[n/(\log n)^{1+1/\delta}\right] \quad \text{et} \quad n^{1/(1+\gamma)} = o(k)$$

la variable $Z_n$ admet une loi-limite du type de Gumbel.

Plus précisément, considérons la variable $Z'_n$ définie par

$$Z_n = \alpha_n Z'_n + \beta_n$$

où $\alpha_n = \frac{k}{n}$ et $\beta_n$ est la solution de l'équation

$$\int_0^1 \exp \left[ \log k - \frac{n}{k} \varphi(x, f(x)) \beta_n \right] dx = 1 \quad (7)$$

Quand n croît indéfiniment, $Z'_n$ converge légalement vers la v.a. de Gumbel ayant pour fonction de répartition $\exp(-e^{-c^2})$,

$$c = \inf_{0 \le x \le 1} \varphi[x, f(x)],$$

Avant de démontrer ce théorème, nous allons établir quelques résultats auxiliaires.

**Lemme 1** : La suite $\beta_n$ définie ci-dessus vérifie les inégalités

$$\frac{k \log k}{n B} \le \beta_n \le \frac{k \log k}{n A}$$

**Démonstration** : Il est clair que l'équation (7) définit bien, pour chaque valeur de n, un nombre $\beta_n$ et un seul, car le premier membre est une fonction continue du paramètre $\beta_n$ et elle décroît strictement de k à 0 lorsque $\beta_n$ croît de 0 à +∞. On a

$$\int_0^1 \exp \left[ \log k - \frac{n}{k} \varphi(x, f(x)) \beta_n \right] dx \le \int_0^1 \exp \left( \log k - \frac{n}{k} A \beta_n \right) dx$$

c'est-à-dire
$$1 \le \exp \left( \log k - \frac{n}{k} A \beta_n \right)$$

ou enfin

$$\log k - \frac{n}{k} A \beta_n \ge 0$$

ce qui établit l'une des inégalités. Démonstration similaire pour l'autre.

**Lemme 2 :** Si l'on pose, comme précédemment

$$\sigma_n(z) = \sum_{r=1}^{k} P[E_{nr}(z)]$$

on a, pour toute valeur de z, quand $n \to \infty$

$$\sigma_n \left( \frac{k}{n} z + \beta_n \right) \sim \int_0^1 \exp \left[ \log k - \varphi(x, f(x)) \left( z + \frac{n}{k} \beta_n \right) \right] dx$$

**Démonstration :** D'après la condition de Lipschitz relative à f, il existe une constante positive $\lambda$ telle que

$$\frac{z}{n} + \frac{\beta_n}{k} - \frac{\lambda}{k^{1+\gamma}} \le \text{aire } D_{kr}(z_n) < \frac{z}{n} + \frac{\beta_n}{k}$$

Mais la condition : $n^{1/(1+\gamma)} = o(k)$ implique : $\frac{1}{k^{1+\gamma}} = o(\frac{1}{n})$ et ainsi l'on peut écrire

$$\text{aire } D_{kr}(z_n) = \frac{z}{n} + \frac{\beta_n}{k} + \frac{\varepsilon_{kr}}{n}$$

où $\varepsilon_{kr}$ tend vers 0 avec $1/k$ uniformément par rapport à r. Comme la densité $\varphi(x,y)$ est continue, on peut choisir dans chaque domaine $D_{kr}(z_n)$ un point $(\xi_r, \eta_r)$ tel que

$$P\{D_{kr}(z_n)\} = \left(\frac{z + \varepsilon_{kr}}{n} + \frac{\beta_n}{k}\right) \varphi(\xi_r, \eta_r)$$

On a alors

$$\sigma_n(z_n) = \sum_{r=1}^{k} \left[ 1 - \left( \frac{z + \varepsilon_{kr}}{n} + \frac{\beta_n}{k} \right) \varphi(\xi_r, \eta_r) \right]^n \quad (8)$$
D'autre part, choisissons dans chaque intervalle $(\frac{r-1}{k}, \frac{r}{k})$ ($r=1,2,...,k$) un point $\xi_r'$ de telle sorte que

$$ \int_{(r-1)/k}^{r/k} \left[ 1 - \left( \frac{z}{n} + \frac{\beta_n}{k} \right) \varphi(x, f(x)) \right]^n dx = \frac{1}{k} \left[ 1 - \left( \frac{z}{n} + \frac{\beta_n}{k} \right) \varphi(\xi_r', f(\xi_r')) \right]^n $$

Posons

$$ \varphi_r = \varphi [\xi_r', f(\xi_r')] $$

et

$$ \sigma_n' = \sum_{r=1}^{k} \left[ 1 - \left( \frac{z}{n} + \frac{\beta_n}{k} \right) \varphi_r \right]^n \quad (9) $$

On a

$$ \sigma_n' = \int_0^1 k \left[ 1 - \left( \frac{z}{n} + \frac{\beta_n}{k} \right) \varphi(x, f(x)) \right]^n dx $$

En appelant $\Psi_n(x)$ la fonction qui figure sous le signe d'intégration, on peut écrire, d'après le lemme 1

$$ \begin{aligned} \log \Psi_n(x) &= \log k + n \log \left[ 1 - \left( \frac{z}{n} + \frac{\beta_n}{k} \right) \varphi(x, f(x)) \right] \\ &= \log k - \left( z + \frac{n}{k} \beta_n \right) \varphi[x, f(x)] + O\left[ n^{-1} (\log k)^2 \right] \end{aligned} $$

Donc

$$ \Psi_n(x) \sim \exp \left[ \log k - \left( z + \frac{n}{k} \beta_n \right) \varphi(x, f(x)) \right] $$

et ainsi

$$ \sigma_n' \sim \int_0^1 \exp \left[ \log k - \left( z + \frac{n}{k} \beta_n \right) \varphi(x, f(x)) \right] dx. $$

Finalement, montrons que $\sigma_n \sim \sigma_n'$. Pour cela, considérons les expressions

$$ \bar{\omega}_{nr} = \left[ 1 - \left( \frac{z + \varepsilon_{kr}}{n} + \frac{\beta_n}{k} \right) \varphi_r' \right]^n $$
et

$$ \bar{\omega}_{nr}' = \left[ 1 - \left( \frac{z}{n} + \frac{\beta_n}{k} \right) \varphi_r \right]^n $$

avec

$$ \varphi_r' = \varphi(\xi_r, \eta_r). $$

En observant que le domaine $D_{kr}(z_n)$ est contenu, dès que $n$ est assez grand, dans un rectangle de côtés $\frac{1}{k}$ et $2\beta_n$, la condition de Lipschitz sur $\varphi$ entraîne que, si l'on écrit

$$ \varphi_r' = \varphi_r + \mu_{nr} \left[ \frac{1}{k^\delta} + \left( \frac{k \log k}{n} \right)^\delta \right] $$

la suite $\mu_{nr}$ est uniformément bornée. On a alors

$$ \log \bar{\omega}_{nr} = n \log \left\{ 1 - \left( \frac{z}{n} + \frac{\beta_n}{k} \right) \varphi_r - \frac{\varepsilon_{kr} \varphi_r'}{n} + \mu_{nr}' \left[ \frac{\log k}{k^\delta n} + \frac{k^\delta (\log k)^{1+\delta}}{n^{1+\delta}} \right] \right\} $$

où $\mu_{nr}'$ est uniformément bornée.

On vérifie aisément que la première condition relative à $k(n)$ implique

$$ \frac{k^{\delta} (\log k)^{1+\delta}}{n^{\delta}} \to 0 \quad \text{avec} \quad 1/n $$

et l'on peut ainsi écrire

$$ - \frac{\varepsilon_{kr} \varphi_r'}{n} + \mu_{nr}' \left[ \frac{\log k}{k^\delta n} + \frac{k^\delta (\log k)^{1+\delta}}{n^{1+\delta}} \right] = \frac{1}{n} \varepsilon_{nr}' $$

avec $\varepsilon_{nr}' \to 0$ uniformément par rapport à $r$ quand $n \to \infty$. Donc

$$ \log \bar{\omega}_{nr} = n \left[ 1 - \left( \frac{z}{n} + \frac{\beta_n}{k} \right) \varphi_r + \frac{\varepsilon_{nr}'}{n} \right] = - \left( z + \frac{n \beta_n}{k} \right) \varphi_r + \varepsilon_{nr}'' $$

où $\varepsilon_{nr}'' \to 0$ uniformément par rapport à $r$. Mais on a aussi

$$ \log \bar{\omega}_{nr}' = n \log \left[ 1 - \left( \frac{z}{n} + \frac{\beta_n}{k} \right) \varphi_r \right] = - \left( z + \frac{n \beta_n}{k} \right) \varphi_r + \varepsilon_{nr}''' $$

où $\varepsilon_{nr}''' \to 0$ uniformément par rapport à $r$.
Par conséquent

$$ \bar{\omega}_{nr} = \bar{\omega}_{nr}^{\prime} \cdot e^{\epsilon_{nr}^{nr} - \epsilon_{nr}^{n\prime r}} \quad (10) $$

et

$$ \sum_{r=1}^{k} \bar{\omega}_{nr} \sim \sum_{r=1}^{k} \bar{\omega}_{nr}^{\prime} $$

c'est-à-dire

$$ \sigma_n \sim \sigma_n^{\prime} \qquad C.Q.F.D. $$

**Lemme 3 : On a**

$$ \lim_{n \to \infty} \sigma_n \left( \frac{k}{n} z + \beta_n \right) = e^{-cz} $$

**Démonstration** : En vertu du lemme 2, il nous suffit de prouver que

$$ \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \exp \left[ \log k - \varphi(x, f(x)) \left( z + \frac{n}{k} \beta_n \right) \right] dx = e^{-cz} $$

Posons

$$ g_n(x) = \exp \left[ \log k - \varphi(x, f(x)) \frac{n}{k} \beta_n \right] $$

et

$$ E_{\epsilon} = \{ x | 0 \le x \le 1, \quad \varphi[x, f(x)] < c + \epsilon \} $$

où $\epsilon$ est un nombre positif arbitrairement petit.

On a, d'après la définition de $\beta_n$

$$ \int_{E_{\epsilon}} g_n \, dx + \int_{[0,1] - E_{2\epsilon}} g_n \, dx < 1 $$

En désignant respectivement par $I_1$ et $I_2$ les deux intégrales ci-dessus on peut écrire

$$ I_1 \ge \text{mes}(E_\epsilon) \exp \left[ \log k - (c + \epsilon) \frac{n}{k} \beta_n \right] $$

$$ I_2 < [1 - \text{mes}(E_{2\epsilon})] \exp \left[ \log k - (c + 2\epsilon) \frac{n}{k} \beta_n \right] $$
d'où l'on déduit $I_2/I_1 \longrightarrow 0$ quand $n \longrightarrow \infty$.

Ceci joint à $I_1 + I_2 < 1$ entraîne : $I_2 \longrightarrow 0$ quand $n \longrightarrow \infty$.

Donc, quel que soit $\varepsilon > 0$, $\lim_{n \to \infty} \int_{\varepsilon\varepsilon} g_n(x) dx = 1$.

Il résulte de là que

$$ 
\begin{aligned}
J_n(z) &= \int_0^1 \exp \left[ \log k - \varphi(x, f(x)) \left(z + \frac{n}{k} \beta_n\right) \right] dx \\
&= \int_{\varepsilon\varepsilon} g_n(x) e^{-z} \varphi[x, f(x)] dx + o(1)
\end{aligned}
$$

En supposant, pour fixer les idées, que $z$ est positif, on a les inégalités

$$ e^{-(c+\varepsilon)z} \int_{\varepsilon\varepsilon} g_n(x) dx + o(1) < J_n(z) < e^{-(c-\varepsilon)z} \int_{\varepsilon\varepsilon} g_n(x) dx + o(1) $$

D'où, en faisant croître $n$ indéfiniment

$$ e^{-(c+\varepsilon)z} \le \underline{\lim}. J_n(z) \le \overline{\lim}. J_n(z) \le e^{-(c-\varepsilon)z} $$

Ces inégalités étant réalisées pour tout $\varepsilon > 0$, on en déduit finalement

$$ \lim_{n \to \infty} J_n(z) = e^{-cz} \qquad C.Q.F.D. $$

**Démonstration du théorème 5** : Cette fois encore, nous allons nous appuyer sur le théorème 1. Montrons d'abord que les évènements $E_{nr}(z_n)$ satisfont aux conditions (1), (2), et (3) de ce théorème.

**Condition (1)** : Evident d'après la signification probabiliste des événements $E_{nr}(z_n)$.

**Condition (2)** : Il s'agit de prouver que

$$ P \left[ \bigcap_{i=1}^{\nu} E_{nr_i}(z_n) \right] = \left[ \prod_{i=1}^{\nu} \bar{\omega}_{nr_i} \right] (1 + \varepsilon_{nr_1} \dots r_{\nu}) \quad (11) $$

où pour $\nu$ fixé, $\varepsilon_{nr_1}\dots r_\nu$ tend vers 0 avec $1/n$ uniformément par rapport à $r_1, \dots, r_\nu$.

On peut écrire, en appelant $\rho_{nr_1\dots r_\nu}$ une suite qui tend vers 0 avec $1/n$ uniformément par rapport à $r_1, \dots, r_\nu$.
$$P\left[ \bigcap_{i=1}^{\nu} E_{n r_i}(z_n) \right] = \left[ 1 - \left( \frac{z}{n} + \frac{\beta_n}{k} \right) \sum_{i=1}^{\nu} \varphi_{r_i}^{\prime} + n^{-1} \rho_{n r_1 \dots r_{\nu}} \right]^n$$

Donc

$$\log P\left( \bigcap_{i=1}^{\nu} E_{n r_i} \right) = - \left( z + \frac{n}{k} \beta_n \right) \sum_{i=1}^{\nu} \varphi_{r_i}^{\prime} + \rho_{n r_1 \dots r_{\nu}} \quad (12)$$

où $\rho_{n r_1 \dots r_{\nu}}^{\prime}$ vérifie la même condition que $\rho_{n r_1 \dots r_{\nu}}$.

Or, on voit immédiatement que la quantité : $\sum_{i=1}^{\nu} \log \bar{\omega}_{n r_i}$ peut se mettre sous une forme analogue au second membre de l'équation (12), et ceci justifie bien la relation (11).

**Condition (3) :** On a pour $n$ assez grand

$$P(E_{n r}) = \bar{\omega}_{n r} < \left(1 - \frac{\beta_n}{2k} \varphi_r^{\prime}\right)^n \le \left(1 - \frac{A \log k}{2nk}\right)^n$$

et la dernière expression est indépendante de $r$ et tend vers 0 avec $1/n$, ce qui entraîne que la condition (3) est satisfaite.

Finalement, nous pouvons appliquer le théorème 1 à la suite $E_{n r}(z_n)$, et l'on a

$$P\left[ \bigcup_{r=1}^{k} E_{n r}(z_n) \right] \rightarrow 1 - \exp(-e^{-cz}) \quad \text{quand } n \rightarrow \infty$$

soit

$$F_n(z_n) \rightarrow \exp(-e^{-cz}), \qquad \text{C. Q. F. D.}$$

**Corollaire 4 :** Dans les conditions du théorème précédent, la variable aléatoire $\frac{n}{k} [d(f_n, f) - \beta_n]$ admet pour loi-limite la loi de Gumbel de $\text{f.d.r.} \exp(-e^{-cz})$.

**Démonstration :** Elle peut s'effectuer de la même manière que celle du corollaire 4.

Faculté des Sciences de Rouen
Mathématiques et physique théorique
Mont-Saint-Aignan (S.-Mme)

Reçu le 28 octobre 1964