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France
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laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

SUR UNE MÉTHODE
D'ÉLÉMENTS FINIS MIXTE
POUR
L'ÉQUATION BIHARMONIQUE

Srinivasan KESAVAN
Muthusamy VANNINATHAN

Rapport de Recherche N° 234

Mai 1977
SUR UNE MÉTHODE D'ÉLÉMENTS FINIS
MIXTE POUR L'ÉQUATION BIHARMONIQUE

Srinivasan Kesavan*, Muthusamy Vanninathan*

IRIA-LABORIA

Résumé:

Le but de ce travail est l'étude de l'ordre de convergence lorsque l'on utilise des éléments finis isoparamétriques ainsi qu'un procédé d'intégration numérique pour approcher la solution du problème de Dirichlet pour l'opérateur biharmonique, par une méthode d'éléments finis mixte proposée par Ciarlet et Raviart.

Abstract :

The object of this paper is to study the order of convergence of a mixed finite element method, proposed by Ciarlet and Raviart to approximate the solution of the Dirichlet problem for the biharmonic operator, taking into consideration the combined effect of isoparametric finite elements and numerical integration.

A paraître également dans RAIRO, Analyse Numérique.

<footnote>* School of Mathematics-Tata Institute of Fundamental Research Bombay - 400005, India.</footnote>
# 1. - INTRODUCTION

Soit $\Omega$ un ouvert borné du plan $\mathbb{R}^2$, dont la frontière $\Gamma$ est suffisamment régulière. Considérons le problème suivant :

$$ 
\left. 
\begin{array}{ll}
(1.1) \quad & \Delta^2 u = f \quad \text{dans } \Omega \\
(1.2) \quad & u = \displaystyle\frac{\partial u}{\partial \nu} = 0 \quad \text{sur } \Gamma
\end{array}
\right\} (P1),
$$

où la fonction $f$ (sur laquelle nous faisons des hypothèses convenables plus loin) est donnée dans $L^2(\Omega)$.

La formulation variationnelle la plus connue pour le problème (P1) consiste de trouver l'unique fonction $u \in H_0^2(\Omega)$ telle que

$$ (1.3) \quad \int_{\Omega} \Delta u \Delta v \, dx = \int_{\Omega} f v \, d\,x, \quad \forall v \in H_0^2(\Omega). $$

Les approximations de ce problème par les éléments finis conformes se trouvent, par exemple, dans CIARLET [3].

CIARLET et RAVIART [7] ont étudié une autre formulation variationnelle qui conduit à une méthode d'éléments finis mixtes et qui donne non seulement une approximation $u_h$ de la solution $u$ du problème (P1) mais aussi une approximation $\varphi_h$ de $-\Delta u$ (qui est utile parce que $\Delta u$ représente la vorticité dans les problèmes d'hydrodynamique. En outre, on n'utilise que des éléments "du type $C^0$". Lorsque $\Omega$ est un polygone et tous les éléments finis sont "droits", CIARLET et RAVIART ont obtenu l'ordre de convergence

$$ (1.4) \quad |u - u_h|_{1,\Omega} + |\Delta u + \varphi_h|_{0,\Omega} = o(h^{k-1}), $$
en utilisant des éléments finis associés aux polynômes de degré
$<k$, où $k \ge 2$. La résolution effective du problème discret par des
méthodes de dualité se trouve dans CIARLET et GLOWINSKI [4] et des
exemples numériques se trouvent dans BOURGAT [1].

Le but de ce travail est d'étendre ces résultats au cas
d'un domaine plus général en utilisant des éléments finis isopara-
métriques ainsi qu'un procédé d'intégration numérique. Pour la
simplicité nous ne considérons que le cas où $k = 2$.

Le lecteur trouvera ce genre de problèmes, traités d'une
manière abstraite, dans BREZZI et RAVIART [2] mais leurs résultats
ne contiennent pas les nôtres.

On utilise les notations $||\cdot||_{m,p,\Omega}$ et $|\cdot|_{m,p,\Omega}$ pour les normes et semi-normes habituelles dans les espaces de Sobolev $W^{m,p}(\Omega)$ respectivement (on supprime l'indice $p$ lorsque $p = 2$).

## 2. - RAPPELS SUR LE PROBLEME CONTINU

Nous supposons que la frontière $\Gamma$ est lipschitzienne
continue au sens de Necas [8].

$$
\text{Soit } \underline{W} = H_0^1(\Omega) \times L^2(\Omega) \text{ muni de la norme} \\
\underline{v} = (v, \psi) \in \underline{W} \rightarrow |v|_{1,\Omega} + |\psi|_{0,\Omega}.
$$

On peut donc définir la forme bilinéaire $a(\cdot, \cdot)$ sur $\underline{W} \times \underline{W}$ et la forme linéaire $f(\cdot)$ sur $\underline{W}$ (qui sont continues) par

$$
(2.1) \quad a(\underline{u}, \underline{v}) = \int_{\Omega} \varphi \psi \, d\mathbf{x},
$$
$$
(2.2) \quad f(\underline{v}) = \int_{\Omega} f v \, d\underline{x},
$$

$$
\forall \underline{u} = (u, \varphi) \in \mathbb{W}, \quad \forall \underline{v} = (v, \psi) \in \mathbb{W}.
$$

Posant M = H¹(Ω) on définit la forme bilinéaire continue
sur W x M par l'équation.

$$
(2.3) \quad b(\underline{v}, \mu) = \int_{\Omega} \operatorname{grad} v \, \operatorname{grad} \mu \, d\underline{x} - \int_{\Omega} \psi \, \mu \, dx,
$$

$$
\forall \underline{v} = (v, \psi) \in \mathbb{W}, \forall \mu \in \mathcal{M}.
$$

Enfin soit

$$
(2.4) \quad \underline{V} = \{ \underline{v} \in \underline{W} ; b(\underline{v}, \underline{\mu}) = 0 \quad \forall \underline{\mu} \in \underline{M} \}.
$$

Considérons les deux problèmes suivants :

Trouver $\underline{u} \in \underline{V}$ tel que
$$
\begin{array}{l}
(2.5) \quad a(\underline{u}, \underline{v}) = f(\underline{v}), \forall \underline{v} \in \underline{V}
\end{array}
\qquad (P2),
$$

et,

Trouver (u, μ*) ∈ W x M tel que
$$
\begin{array}{l}
(2.6) \quad a(u, v) - f(v) + b(v, \mu*) = 0, \quad \forall v \in W, \\
(2.7) \quad b(u, \mu) = 0, \quad \forall \mu \in M.
\end{array}
\qquad (P3)
$$

Si $\underline{u} = (u, \varphi)$ est la solution du problème (P2) (qui existe et qui est unique), alors $u \in H_0^2(\Omega)$, $\varphi = -\Delta u$ et $u$ vérifie l'équation (1.3). Si $(\underline{u}, \mu*)$ est une solution du problème (P3), alors $\underline{u}$ est la solution du problème (P2). Réciproquement, si $\underline{u} = (u, -\Delta u)$ est la solution du problème (P2) et si $u \in H^3(\Omega)$, alors $(\underline{u}, -\Delta u)$ est la solution du problème (P3).
Ces résultats sont démontrés dans [7]. La discrétisation du problème (P3) conduit à un système linéaire qu'on peut résoudre et la "première coordonnée" de cette solution donne directement la solution du problème discret qui correspond au problème (P2).

### 3. - LE PROBLEME DISCRET

Nous allons étudier maintenant le problème discret associé au problème (P3) du numéro 2.

Etablissons d'abord une famille de triangulations {$\mathcal{T}_h^\alpha$} du domaine $\Omega$ par des éléments finis isoparamétriques. Si $K \in \mathcal{T}_h^\alpha$, soit $h_K$ le diamètre de $\tilde{K}$, l'élément "droit" associé à K. On pose

$$ (3.1) \qquad h = \max_{K \in \mathcal{T}_h^\alpha} h_K $$

Soit $\Omega_h$ l'ouvert modifié formé par la réunion des éléments $K, K \in \mathcal{T}_h^\alpha$. On désigne par $\Gamma_h$ la frontière de $\Omega_h$. On remarque ici que tous les éléments $K \in \mathcal{T}_h^\alpha$ qui sont à l'intérieur de $\Omega_h$ sont "droits" et ceux qui sont à la frontière ont un seul côté courbé, soit celui qui forme partie de $\Gamma_h$.

Faisons les hypothèses suivantes sur la famille {$\mathcal{T}_h$} :

(H1) La famille est régulière (cf. CIARLET-RAVIART [6]) du type (2, S), c'est-à-dire, l'élément $\tilde{K}$ de référence est un triangle associé à l'espace $P = P(2)$ des polynômes de degré $\le 2$.

En outre il existe une constante $\tau$ indépendante de $h$ telle que

$$ (3.2) \qquad h \le \frac{1}{\tau} \min_{K \in \mathcal{T}_h^\alpha} h_K $$
(H2) Il existe un ouvert borné $\tilde{\Omega} \subset \mathbb{R}^2$ tel que

$$ (3.3) \qquad \Omega \subset \tilde{\Omega}, \Omega_h \subset \tilde{\Omega}, \forall h. $$

(H3) La solution $u$ de l'équation (1.3) admet une extension $\tilde{u}$ sur $\tilde{\Omega}$ qui appartient à $W^{4,\infty}(\tilde{\Omega})$.

(H4) La fonction $f$ admet une extension $\tilde{f}$ sur $\tilde{\Omega}$ qui appartient à $L^\infty(\tilde{\Omega})$.

**Remarque 3.1** Grâce à l'hypothèse (H2), on peut employer l'inégalité de Poincaré-Friedrichs dans chaque ouvert $\Omega_h$ mais avec une constante qui est indépendante de $h$.

**Remarque 3.2** On modifiera l'hypothèse (H4) plus loin.

**Remarque 3.3** Puisque, pratiquement, nous choisirons toujours les noeuds de chaque triangulation dans $\bar{\Omega}$, on verra que les extensions $\tilde{u}$ et $\tilde{f}$ n'interviennent pas dans nos calculs. Mais elles paraîtront dans les majorations d'erreur, et elles doivent être choisies une fois pour toutes.

Définissons l'espace $Y_h \subset H'(\Omega_h)$ par

$$ (3.4) \qquad Y_h = \{ v : \Omega_h \to \mathbb{R} \mid v|_K \in P_K, \forall K \in \mathcal{C}_h^K \}, $$

où $P_K$ est l'espace de dimension finie associé à $K$. Alors, on définit le sous-espace

$$ (3.5) \qquad X_h = \{ v \in Y_h \mid v|_{\Gamma_h} = 0 \} $$

de l'espace $H_0^1(\Omega_h)$.

**Remarque 3.4** On utilise le même espace $Y_h$ pour approcher les espaces $H_0^1(\Omega_h)$ et $L^2(\Omega_h)$.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>
On a maintenant les formes bilinéaires et linéaires suivantes :

$$
(3.6) \quad \tilde{a}_h (u_h, v_h) = \int_{\Omega_h} \varphi_h \psi_h \, dx,
$$

$$
(3.7) \quad \tilde{b}_h (v_h, v_h) = \int_{\Omega_h} \operatorname{grad} v_h \cdot \operatorname{grad} v_h \, dx - \int_{\Omega_h} \psi_h v_h \, dx,
$$

$$
(3.8) \quad \tilde{f}_h(v_h) = \int_{\Omega_h} \tilde{f} v_h \, dx,
$$

$$
\forall u_h = (u_h, \varphi_h) \in W_h, \quad \forall v_h = (v_h, \psi_h) \in W_h, \quad \forall v_h \in Y_h,
$$

$$
\text{où } \bar{W}_h = X_h \times Y_h.
$$

On a aussi le lemme suivant qui est utile (Inégalités "inverses") :

**LEMME 3.1** Soit $v_h \in Y_h$. Il existe des constantes $C_1$ et $C_2$ indépendantes de $h$ telles que

$$
(3.9) \quad |v_h|_{1,\Omega_h} \le C_1 h^{-1} |v_h|_{0,\Omega_h},
$$

$$
(3.10) \quad |v_h|_{0,\infty,\Omega_h} \le C_2 h^{-1} |||v_h|||_{1,\Omega_h}.
$$

$$
(\underline{\text{Si}} \ v_h \in X_h, \ \underline{\text{on peut remplacer}} \ ||\cdot||_{1,\Omega_h} \ \underline{\text{par}} \ |\cdot|_{1,\Omega_h}).
$$

**Démonstration** : On ne donne que l'idée de la démonstration.

On obtient des majorations analogues dans chaque élément K
et puis celle qui est désirée par sommation sur K. Pour obtenir la
majoration "locale" on utilise la régularité de la famille de triangu-
lations pour aller au triangle K de référence (où on peut utiliser
l'équivalence de deux normes sur un espace de dimension finie) et pour
revenir à K.
On remarque que dans le cas où h apparaît avec une puissance négative on a besoin de la condition (3.2) pour obtenir la majoration "globale" à partir de la majoration "locale".

Puisque dans la plupart des situations il ne sera pas facile d'évaluer les intégrales sur $\Omega_h$, il vaut mieux utiliser un procédé d'intégration numérique. Introduisons donc un tel procédé sur l'élément de référence $\hat{K}$ comme indiqué ci-dessous :

$$ (3.11) \quad \int_{\hat{K}} \hat{\phi}(\hat{x}) \, d\hat{x} \sim \sum_{\ell=1}^{L} \hat{\omega}_{\ell} \hat{\phi}(\hat{b}_{\ell}), $$

où les points $\hat{b}_{\ell}$, $1 \le \ell \le L$ appartiennent à $\hat{K}$. Cela induit, de la manière habituelle, un procédé d'intégration numérique sur chaque triangle $K \in \mathcal{T}_h$ :

$$ (3.12) \quad \int_K \varphi(x) \, dx \sim \sum_{\ell=1}^{L} \omega_{\ell,K} \varphi(b_{\ell,K}), $$

où

$$ (3.13) \quad \omega_{\ell,K} = \hat{\omega}_{\ell} J_{F_K} (\hat{b}_{\ell}), \quad (1 \le \ell \le L) $$

$$ (3.14) \quad b_{\ell,K} = F_K(\hat{b}_{\ell}) $$

$(F_K$ est le difféomorphisme $\hat{K} \to K$ donné par la régularité de la triangulation et $J_{F_K}$ est son Jacobien).

Alors on peut définir les fonctionnelles d'erreur ci-dessous :

$$ (3.15) \quad \hat{E}(\hat{\phi}) = \int_K \hat{\phi}(\hat{x}) \, d\hat{x} - \sum_{\ell=1}^{L} \hat{\omega}_{\ell} \hat{\phi}(\hat{b}_{\ell}), $$

$$ (3.16) \quad E_K(\varphi) = \int_K \varphi(x) \, dx - \sum_{\ell=1}^{L} \omega_{\ell,K} \varphi(b_{\ell,K}), $$

qui sont telles que
$$
(3.17) \qquad E_K(\varphi) = \hat{E}(\hat{\varphi} J_F) .
$$

On a maintenant les formes bilinéaires et linéaires :

$$
(3.18) \quad a_h(u_h, v_h) = \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \sum_{\ell=1}^{L} \omega_{\ell, K} \varphi_h^{(b_{\ell, K})} \psi_h^{(b_{\ell, K})},
$$

$$
(3.19) \quad b_h(v_h, v_h) = \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \sum_{\ell=1}^{L} \left[ \omega_{\ell,K} \left( \sum_{i=1}^{2} \frac{\partial v_h}{\partial x_i} \right) \left( \sum_{\ell=1}^{b_{\ell,K}} \frac{\partial v_h}{\partial x_i} \right) \right. \\
\left. \qquad - \psi_h^{(b_{\ell,K})} \cdot v_h^{(b_{\ell,x})} \right],
$$

$$
(3.20) \quad f_h(v_h) = \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \sum_{\ell=1}^{L} \omega_{\ell,K} \tilde{f}_{(b_{\ell,K})} v_h^{(b_{\ell,K})},
$$

$$
\forall \underline{u}_h = (\underline{u}_h, \varphi_h) \in \underline{W}_h, \quad \forall \underline{v}_h = (\underline{v}_h, \psi_h) \in \underline{W}_h, \quad \forall \underline{v}_h \in \underline{Y}_h.
$$

On a aussi l'analogue discret de l'espace $\mathcal{V}$ :

$$
(3.21) \quad \underline{v}_h := \{ v_h \in \underline{W}_h \mid b_h(\underline{v}_h, v_h) = 0 \; \forall v_h \in \underline{Y}_h \}.
$$

On peut donc poser le problème discret :

Trouver, $\underline{u}_h \in \underline{W}_h$, et $\mu_h \in \underline{Y}_h$ tels que

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
(3.22) & a_h(u_h, v_h) - f_h(v_h) + b_h(v_h, \mu_h) = 0, \quad \forall \underline{v}_h \in \underline{W}_h \\
(3.23) & b_h(u_h, v_h) = 0, \quad \forall \underline{v}_h \in \underline{Y}_h.
\end{array}
\right.
$$

Avant de commencer l'étude des problèmes $(\mathbb{R}_h)$, on suppose que
les hypothèses suivantes seront valables dans toute la suite (avec les
hypothèses H1-H4) :

(H5) Dans le procédé d'intégration numérique, tous les poids $\hat{\omega}_\ell$, $1 \le \ell \le L$, sont positifs.
(H6) L'ensemble de noeuds {$\hat{b}_\ell$}, $1 \le \ell \le L$, contient un sous-ensemble
qui est $P(2)$ unisolvent.

(H7) Le procédé est exact pour les polynômes de degré $\le 5$, i.e.

$$
(3.24) \qquad \hat{E}(\hat{p}) = 0, \quad \forall \hat{p} \in P(5).
$$

Grâce aux hypothèses (H5) et (H6) on peut démontrer, par des méthodes
analogues à celles de CIARLET (cf. N° 8, [3]), les deux inégalités
ci-dessous :

$$
(3.25) \quad c_1 |\hat{p}|^2_{1,K} \le \sum_{\ell=1}^{L} \hat{\omega}_\ell (\hat{p}(\hat{b}_\ell))^2 \le c_2 |\hat{p}|^2_{0,K},
$$

$$
(3.26) \quad c_3 |\hat{p}|^2_{1,K} \le \sum_{\ell=1}^{L} \sum_{i=1}^{2} \hat{\omega}_\ell \left( \sum_{i=1}^{2} \left( \frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}_i} (\hat{b}_\ell)^2 \right) \right) \le c_4 |\hat{p}|^2_{1,K}, \quad \forall \hat{p} \in P(2).
$$

où $c_i$, $i = 1,2,3,4$, sont des constantes indépendantes de $h$. Alors on a
immédiatement le lemme suivant :

LEMME 3.2 (a) Il existe une constante $\beta$ indépendante de $h$ telle que

$$
(3.27) \quad |v_h|^2_{1,\Omega_h} \le \beta |\psi_h|^2_{0,\Omega_h} .
$$

(b) La forme bilinéaire $a_h(\cdot, \cdot)$ est uniformément $V_h$-elliptique
i.e., il existe une constante $\alpha$ indépendante de $h$ telle que

$$
(3.28) \quad a_h(v_h, v_h) \ge \alpha |\psi_h|_{0,\Omega_h}^2, \quad \forall v_h = (v_h, \psi_h) \in V_h.
$$
(c) <u>Il existe un élément</u> $u_h = (u_h, \varphi_h) \in V_h$ <u>et un seul tel que</u>

$$
(3.29) \quad a_h(u_h, v_h) = f_h(v_h), \quad \forall v_h \in V_h.
$$

(d) Il existe une solution et une seule pour le problème (P),
soit (u, v) ∈ W × Y et u vérifie les équations (3.29).

(e) Soit $v_h = (v_h, \psi_h) \in V_h$. Alors il existe une constante $C$ indépendante de $h$ telle que

$$
(3.30) \quad |\psi_h|_{0,\Omega_h} \le C h^{-1} |v_h|_{1,\Omega_h}
$$

il existe une constante C indépendante de h telle que

$$
(3.31) \quad |\psi_h|_{1, \Omega_h} \le C_1 h^{-2} |v_h|_{1, \Omega_h}
$$

Maintenant on va étudier la convergence de cette méthode. Commençons
par une majoration "abstraite".

Théorème 3.1. Soit (u, - Δu) la solution du problème (P2) et posons
ũ = (ũ, - Δũ). Soit ((u_h, ϕ_h), μ_h) la solution du problème (Ph). Alors
il existe une constante C, indépendante de h, telle que

$$
\begin{align*}
& (3.32) \quad \begin{aligned}[t]
    & |\tilde{u} - u_h|_{1,\Omega_h} + |\Delta u + \varphi_h|_{0,\Omega_h} \le C \left[ \begin{aligned}[t]
        & \inf_{v_h=\langle v_h, \psi_h \rangle \in V_h} \left( \{ |\tilde{u}-v_h|_{1,\Omega_h} + |\Delta u+\psi_h|_{0,\Omega_h} \} \right. \\
        & \left. \qquad + \sup_{w_h \in W_h} \frac{|\tilde{a}_h(v_h,w_h) - a_h(v_h,w_h)|}{||w_h||} \right) + \sup_{w_h \in W_h} \frac{|f_h(w_h) - \tilde{f}(w_h)|}{||w_h||} \end{aligned} \right] \\
& \qquad + \sup_{w_h \in W_h} \frac{|\tilde{b}_h(w_h, \Pi_h(\Delta u)) - b_h(w_h, \Pi_h(\Delta u))|}{||w_h||} \\
& \qquad + \sup_{w_h \in W_h} \frac{|\tilde{\Pi}_h(\Delta u) - \Pi_h(\Delta u)|}{||w_h||} \\
& \qquad + h^{-1} m(\Omega_h - \Omega \cap \Omega_h) (|\tilde{u}|_{4,\infty,\Omega} + |\tilde{f}|_{0,\infty,\tilde{\Omega}})
\end{align*}
$$
où $\Pi_h$ désigne l'opérateur d'interpolation dans l'espace $Y_h$, m(A) la mesure (de Lebesgue) d'un ensemble $A \subset \mathbb{R}^2$, et $||.||$, la norme sur $W_h$ induite de $H_0^1(\Omega_h) \times L^2(\Omega_h)$.

**Démonstration** : Soit $\bar{v}_h = (v_h, \psi_h)$ un élément quelconque de $V_h$.

Alors

$$ (3.33) \quad \begin{aligned} & |\tilde{u} - u_h|_{1,\Omega_h} + |\Delta\tilde{u} + \varphi_h|_{0,\Omega_h} \le |\tilde{u} - v_h|_{1,\Omega_h} + |v_h - u_h|_{1,\Omega_h} \\ & \qquad + |\Delta\tilde{u} + \psi_h|_{0,\Omega_h} + |\varphi_h - \psi_h|_{0,\Omega_h} \\ & \le |\tilde{u} - v_h|_{1,\Omega_h} + |\Delta\tilde{u} + \psi_h|_{0,\Omega_h} \\ & \qquad + (1+\beta) |\varphi_h - \psi_h|_{0,\Omega_h} \end{aligned} $$

Or,

$$ \begin{aligned} \alpha |\varphi_h - \psi_h|^2_{0,\Omega_h} &\le a_h (\underline{u}_h - \underline{v}_h, \underline{u}_h - \underline{v}_h) \\ &\equiv \tilde{a}_h (\tilde{u}_h - \underline{v}_h, \underline{u}_h - \underline{v}_h) + [\tilde{a}_h (\underline{v}_h, \underline{u}_h - \underline{v}_h) \\ &\qquad - a_h (\underline{v}_h, \underline{u}_h - \underline{v}_h)] \\ &\quad + [\tilde{f}_h (\underline{u}_h - \underline{v}_h) - \tilde{f}_h (\underline{u}_h - \underline{v}_h)] + [\tilde{f}_h (\underline{u}_h - \underline{v}_h) - \tilde{a}_h (\underline{u}_h, \underline{u}_h - \underline{v}_h)] \end{aligned} $$

Puisque $\underline{u}_h - \underline{v}_h \in V_h$, on peut donc écrire

$$ (3.34) \quad \begin{aligned} \alpha |\varphi_h - \psi_h|^2_{0,\Omega_h} &\le \tilde{a}_h (\tilde{u}_h - \underline{v}_h, \underline{u}_h - \underline{v}_h) + [\tilde{a}_h (\underline{v}_h, \underline{u}_h - \underline{v}_h) \\ &\quad - a_h (\underline{v}_h, \underline{u}_h - \underline{v}_h)] + [\tilde{f}_h (\underline{u}_h - \underline{v}_h) - \tilde{f}_h (\underline{u}_h - \underline{v}_h)] \\ &\quad + [b_h (\underline{u}_h - \underline{v}_h, \Pi_h(\Delta\tilde{u})) - \tilde{b}_h (\underline{u}_h - \underline{v}_h, \Pi_h(\Delta\tilde{u}))] + [\tilde{f}_h (\underline{u}_h - \underline{v}_h) \\ &\quad - \tilde{a}_h (\tilde{u}_h, \underline{u}_h - \underline{v}_h) + \tilde{b}_h (\underline{u}_h - \underline{v}_h, \Pi_h(\Delta\tilde{u}))]. \end{aligned} $$
Par ailleurs,

$$
\begin{align*}
& \tilde{f}_h(u_h - v_h) - \tilde{a}_h(\tilde{u}, u_h - v_h) + \tilde{b}_h(u_h - v_h, \Pi_h(\Delta\tilde{u})) \\
&= \int_{\Omega_h} (\varphi_h - \psi_h)(\Delta\tilde{u} - \Pi_h(\Delta\tilde{u})) \, dx + \int_{\Omega_h} \tilde{f}(u_h - v_h) \, dx + \int_{\Omega_h} \operatorname{grad}(u_h - v_h) \cdot \operatorname{grad}(\Pi_h(\Delta\tilde{u})) \, dx \\
&\quad + \int_{\Omega_h} \Delta^2 \tilde{u} (u_h - v_h) \, dx - \int_{\Omega_h} \Delta^2 \tilde{u} (u_h - v_h) \, dx \\
&= \int_{\Omega_h} (\varphi_h - \psi_h)(\Delta\tilde{u} - \Pi_h(\Delta\tilde{u})) \, dx + \int_{\Omega_h} (\tilde{f} - \Delta^2 \tilde{u})(u_h - v_h) \, dx \\
&\quad + \int_{\Omega_h} \operatorname{grad}(u_h - v_h) \cdot \operatorname{grad}(\Delta\tilde{u} - \Pi_h(\Delta\tilde{u})) \, dx \\
&\le |\Delta\tilde{u} - \Pi_h(\Delta\tilde{u})|_{0, \Omega_h} |\varphi_h - \psi_h|_{0, \Omega_h} + \beta |\Delta\tilde{u} - \Pi_h(\Delta\tilde{u})|_{1, \Omega_h} |\varphi_h - \psi_h|_{0, \Omega_h} \\
&\quad + |u_h - v_h|_{0, \infty, \Omega_h} \int_{\Omega_h} |\Delta^2 \tilde{u} - \tilde{f}| \, dx \\
&\le c_1 [|\Delta\tilde{u} - \Pi_h(\Delta\tilde{u})|_{1, \Omega_h} + h^{-1} \int_{\Omega_h} |\Delta^2 \tilde{u} - \tilde{f}| \, dx] |\varphi_h - \psi_h|_{0, \Omega_h}
\end{align*}
$$

d'après le lemme 3.1 On a maintenant :

$$
\begin{align*}
\int_{\Omega_h} |\Delta^2 \tilde{u} - \tilde{f}| \, dx &= \int_{(\Omega_h - \Omega \cap \Omega_h) \cap \Omega_h} |\Delta^2 \tilde{u} - \tilde{f}| \, dx \\
&\le |\Delta^2 \tilde{u} - \tilde{f}|_{0, \infty, \tilde{\Omega}} m(\Omega_h - \Omega \cap \Omega_h) \\
&\le (|\tilde{u}|_{4, \infty, \tilde{\Omega}} + |\tilde{f}|_{0, \infty, \tilde{\Omega}}) m(\Omega_h - \Omega \cap \Omega_h) \\
\text{puisque } \Delta^2 \tilde{u} &= \tilde{f} \text{ sur } \Omega.
\end{align*}
$$
Substituant dans (3.34) et ensuite dans (3.33) on obtient la majoration (3.32) après avoir pris la borne inférieure dans $\underline{v}_h$.

Dans la relation (3.32) il est difficile de majorer la quantité $|\tilde{u}-v_h|_{1,\Omega_h} + |\Delta\tilde{u} + \psi_h|_{0,\Omega_h}$. Alors on la remplace comme indiqué dans le théorème suivant :

**Théorème 3.2.** Il existe une constante $C$ indépendante de $h$ telle que

$$ (3.35) \quad \begin{aligned}[t] & \{|\tilde{u} - v_h|_{1,\Omega_h} + |\Delta\tilde{u} + \psi_h|_{0,\Omega_h}\} \\ & \le C \left[ (1 + h^{-1}) \left\{ |\tilde{u} - v_h|_{1,\Omega_h} + \sup_n \left| \frac{\partial \tilde{u}}{\partial n} \right| \right\} + 2 \left| \Delta\tilde{u} - \Pi_h(\Delta\tilde{u}) \right|_{0,\Omega_h} \right. \\ & \qquad \left. + \sup_h \frac{\left| \tilde{b}_h(\underline{v}_h, \chi_h) - b_h(\underline{v}_h, \chi_h) \right|}{|\chi_h|_{0,\Omega_h}} \right]. \end{aligned} $$

$$ \underline{v}_h = (v_h, \psi_h) \in \underline{v}_h. $$

**Démonstration :** On a d'abord

$$ (3.36) \quad |\Delta\tilde{u} + \psi_h|_{0,\Omega_h} \le |\Delta\tilde{u} - \Pi_h(\Delta\tilde{u})|_{0,\Omega_h} + |\Pi_h(\Delta\tilde{u}) + \psi_h|_{0,\Omega_h}. $$

Posons

$$ (3.37) \quad v_h = \Pi_h(\Delta\tilde{u}) + \psi_h. $$

Alors,

$$ \begin{aligned} |v_h|^2_{0,\Omega_h} &= \int_{\Omega_h} (\Pi_h(\Delta\tilde{u}) + \psi_h) v_h \,dx \\ &= \int_{\Omega_h} (\Pi_h(\Delta\tilde{u}) - \Delta\tilde{u}) v_h \,dx + \int_{\Omega_h} (\Delta\tilde{u} + \psi_h) v_h \,dx. \end{aligned} $$
Mais $b_h(\bar{v}_h, v_h) = 0$ et on a

$$
\begin{align*}
\int_{\Omega_h} (\Delta \tilde{u} + \psi_h) v_h \, dx &= \int_{\Omega_h} \Delta \tilde{u} \cdot v_h \, dx + \int_{\Omega_h} \operatorname{grad} v_h \cdot \operatorname{grad} v_h \, dx \\
&\quad + b_h (\bar{v}_h, v_h) - \tilde{b}_h (\bar{v}_h, v_h) \\
&= \int_{\Omega_h} \operatorname{grad} (v_h - \tilde{u}) \operatorname{grad} v_h \, dx + \int_{\Gamma_h} \frac{\partial \tilde{u}}{\partial n} v_h \, ds \\
&\quad + (b_h (\bar{v}_h, v_h) - \tilde{b}_h (\bar{v}_h, v_h)),
\end{align*}
$$

ce qui entraîne :

$$
\begin{align*}
(3.38) \quad |v_h|^2_{0,\Omega_h} &\le |\Delta\tilde{u} - \Pi_h(\Delta\tilde{u})|_{0,\Omega_h} |v_h|_{0,\Omega_h} + C_1 h^{-1} |\tilde{u} - v_h|_{1,\Omega_h} \\
&\quad + |\frac{\partial\tilde{u}}{\partial n}|_{0,\Gamma_h} |v_h|_{0,\Gamma_h} \\
&\quad + |b_h(\bar{v}_h, v_h) - \tilde{b}_h(\bar{v}_h, v_h)|
\end{align*}
$$

Mais d'après le lemme 3, [6], il existe grâce au lemme 3.1 une constante C indépendante de h telle que

$$
(3.39) \quad |v_h|_{0,\Gamma_h} \le C_2 ||v_h||_{1,\Omega_h} \le C_3 (1+h^{-1}) |v_h|_{0,\Omega_h}.
$$

Or, il est facile de voir que la longueur de la frontière $\Gamma_h$ est majorée par une constante indépendante de $h$. Alors, on a

$$
(3.40) \quad \left| \frac{\partial \tilde{u}}{\partial n} \right|_{0, \Gamma_h} \le C_4 \sup_{\Gamma_h} \left| \frac{\partial \tilde{u}}{\partial n} \right|.
$$
Dans ces conditions, les relations (3.38) - (3.40) nous donnent

$$
\begin{align*}
|v_h|_{0,\Omega_h} \le C \left[ \begin{aligned}
& |\tilde{\Delta}u - \Pi_h(\tilde{\Delta}u)|_{0,\Omega_h} + h^{-1} |\tilde{u} - v_h|_{1,\Omega_h} + (1+h^{-1}) \sup_{\Gamma_h} |\frac{\partial \tilde{u}}{\partial n}| \\
& \quad + \sup_{\chi_h \in Y_h} \frac{|b_h^-(v_h, \chi_h) - b_h^-(v_h, \chi_h')|}{|\chi_h|_{0,\Omega_h}}
\end{aligned} \right],
\end{align*}
$$

et la relation (3.35) en découle.

Remarquons maintenant que, puisque la fonction $\tilde{u}$ s'annule sur $\Gamma$ (équation 1.2), elle s'annule aussi sur les neouds de la triangulation $\mathcal{T}_h$ qui sont sur $\Gamma_h$. Alors $\Pi_h \tilde{u} = 0$ sur $\Gamma_h$ et par conséquent $\Pi_h \tilde{u} \in X_h$. Il est facile de voir maintenant qu'étant donné un élément $v_h \in X_h$, il existe un élément $\psi_h \in Y_h$, et un seul, tel que $(v_h, \psi_h) \in V_h$. Pour que nous puissions utiliser la théorie de l'interpolation pour les éléments fini isoparamétriques (cf. CIARLET-RAVART [5]), nous choisissons l'unique élément $\psi_h \in Y_h$ tel que

$$
\underline{v}_h = (\Pi_h \tilde{u}, \psi_h) \in \underline{V}_h,
$$

et nous utiliserons cet élément dans les majorations ci-dessus.

Alors, on a

$$
(3.41) \quad \left| \tilde{u} - v_h \right|_{1,\Omega_h} = \left| \tilde{u} - \Pi_h \tilde{u} \right|_{1,\Omega_h} \le C h^2 \left| \left| \tilde{u} \right| \right|_{3,\tilde{\Omega}},
$$

$$
(3.42) \quad \left| |\tilde{\Delta}u - \Pi_h(\tilde{\Delta}u)| \right|_{1,\Omega_h} \le C h \left| |\tilde{\Delta}u| \right|_{2,\tilde{\Omega}} \le C h \left| |\tilde{u}| \right|_{4,\tilde{\Omega}}.
$$

Nous allons maintenant évaluer les quantités $m(\Omega_h - \Omega \cap \Omega_h)$ et $\sup_{\Gamma_h} |\frac{\partial \tilde{u}}{\partial n}|$.

**LEMME 3.3** *Il existe une constante C indépendante de h telle que*

$$
(3.43) \quad m(\Omega_h - \Omega \cap \Omega_h) \le C h^3.
$$
**Démonstration** : Nos notations se trouvent dans la figure 1

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig.1</figcaption></figure>

D'abord $m(Ω_h - Ω ∩ Ω_l) = Σ_{K∈C_h} m(K∩(Ω_h - Ω ∩ Ω_l))$, où $∂C_h$ est l'ensemble des éléments de $C_h$ qui sont à la frontière. Il est facile de voir que

$$ \max_{x∈[A,B]} ||a - a'|| ≤ C_1 h^3, $$

où $C_1$ est indépendante de h. Par conséquent, on obtient $m(K∩(Ω_h - Ω ∩ Ω_l)) ≤ C_2 h^4$. Mais on démontre facilement que le nombre d'éléments dans $∂C_h$ est majorée pour $C_3 h^{-1}$ et la combinaison de toutes ces observations achève la démonstration.

**LEMME 3.4** *Il existe une constante indépendante de h telle que*

$$ (3.44) \quad \sup_{\Gamma_h} \left| \frac{\partial \tilde{u}}{\partial n} \right| \le C h^3 |||\tilde{u}|||_{4,\tilde{\Omega}}. $$

**Démonstration** : On utilise encore les notations de la figure 1. Soit a un point quelconque sur $Γ_h$. On peut écrire :

$$ (3.45) \quad \frac{\partial \tilde{u}}{\partial n}(a) = \sum_{i=1}^{2} \frac{\partial \tilde{u}}{\partial x_i}(a) n_i, \quad \bar{n} = (n_1, n_2), \quad n_1^2 + n_2^2 = 1. $$
Mais grâce à l'équation (1.2) les dérivées $\frac{\partial u}{\partial x_i}$, $i = 1,2$ sont nulles sur $\Gamma$. Alors, l'équation (3.45) s'écrit,

$$ (3.46) \quad \frac{\partial \tilde{u}}{\partial n}(a) = \sum_{i=1}^{2} \left( \frac{\partial \tilde{u}}{\partial x_i}(a) - \frac{\partial \tilde{u}}{\partial x_i}(a') \right) n_i, $$

ce qui nous donne

$$ (3.47) \quad \left| \frac{\partial \tilde{u}}{\partial n}(a) \right| \le \sum_{i=1}^{2} \left| \frac{\partial \tilde{u}}{\partial x_i}(a) - \frac{\partial \tilde{u}}{\partial x_i}(a') \right| \le C_1 h^3 |\tilde{u}|_{2,\infty,\tilde{\Omega}}. $$

Mais d'après le théorème de Sobolev,

$$ H^4(\tilde{\Omega}) \to C^2(\tilde{\Omega}) $$

(puisque on peut toujours supposer que $\tilde{\Omega}$ est régulier) et par conséquent

$$ (3.49) \quad \begin{aligned} & |\tilde{u} - u_h|_{1,\tilde{\Omega}_h} + |\Delta \tilde{u} + \varphi_h|_{0,\tilde{\Omega}_h} \le \operatorname{Ch} (|||\tilde{u}|||_{4,\tilde{\Omega}} + |\tilde{u}|_{4,\infty,\tilde{\Omega}} + |\tilde{f}|_{0,\infty,\tilde{\Omega}}) \\ & + \sup_{\tilde{w}_h \in \tilde{W}_h} \frac{|a_h(\tilde{v}_h, \tilde{w}_h) - a_h(\tilde{v}_h, w_h)|}{|||\tilde{w}_h|||} + \sup_{w_h \in W_h} \frac{|\tilde{f}_h(w_h) - f_h(w_h)|}{|||w_h|||} \\ & + \sup_{\tilde{w}_h \in \tilde{W}_h} \frac{|\tilde{b}_h(w_h, \Pi_h(\Delta \tilde{u})) - b_h(w_h, \Pi_h(\Delta \tilde{u}))|}{|||\tilde{w}_h|||} \\ & + \sup_{\chi_h \in Y_h} \frac{|\tilde{b}_h(\tilde{v}_h, \chi_h) - b_h(\tilde{v}_h, \chi_h)|}{|\chi_h|_{0,\tilde{\Omega}_h}} \end{aligned} $$

où $v_h = (\Pi_h \tilde{u}, \psi_h) \in V_h$.
**Théorème 3.3** Si $v_h = (\Pi_h \tilde{u}_h, \psi_h) \in V_h$, alors il existe une constante C indépendante de h telle que

$$ (3.50) \quad \sup_{\substack{w_h \\ \mathcal{W}_h}} \frac{|\tilde{a}_h(v_h, w_h) - a_h(v_h, \tilde{w}_h)|}{||w_h||} \le C h ||\tilde{u}||_{3,\tilde{\Omega}} $$

**Démonstration : Posons**

$$ (3.51) \quad w_h = (w_h, \chi_h), \quad \psi_h|_K = p_K, \quad \chi_h|_K = q_K, \forall K \in \mathcal{C}_h. $$

On a d'abord

$$ (3.52) \quad \tilde{a}_h(v_h, w_h) - a_h(v_h, \tilde{w}_h) = \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \mathcal{E}_K(p_K, q_K) \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \hat{E}(\hat{p}_K, \hat{q}_K, J_F^K). $$

Pour un élément $\hat{q}_K \in P(2)$ donné, la forme linéaire

$$ \hat{\phi} \in W^{4,\infty}(\hat{K}) \rightarrow \hat{E}(\hat{\phi}, \hat{q}_K) $$

est continue de norme $\le \hat{C} |\hat{q}_K|_{0,\hat{K}}$ et puis grâce à l'hypothèse (H7) elle s'annule sur l'espace $P(3)$. Alors, utilisant le lemme de Bramble-Hilbert (cf. No 8, [3]) on a

$$ \hat{\phi} \in W^{4,\infty}(\hat{K}), \quad |\hat{E}(\hat{\phi}, \hat{q}_K)| \le C|\hat{\phi}|_{4,\infty,\hat{K}} |\hat{q}_K|_{0,\hat{K}}. $$

Soit $\hat{\phi} = J_F^K \hat{p}_K$. Alors,
$$
|\hat{\Phi}|_{4,\infty,\hat{K}} \le \hat{c}_1 \left( \sum_{j=0}^{2} |J_{\hat{F}_K}|_{4-j,\infty,\hat{K}} |\hat{p}_K|_{j,\infty,\hat{K}} \right),
$$

puisque $|\hat{p}_K|_{j,\infty,\hat{K}} = 0$ pour $j > 2$.

Malheureusement, puisqu'on ne sait rien sur la régularité
de la fonction $\psi_h \in Y_h$ (sauf qu'elle appartient à $H^1(\Omega_h) \subset L^2(\Omega)$),
nous ne pouvons pas garder les semi-normes $|\hat{p}_K|_{j,\infty,\hat{K}}$.

Mais pour $j \ge 1$, $|\hat{p}|_{j,\infty,\hat{K}}$ et inf. $|\hat{p} + q|_{0,\hat{K}}$

définissant deux normes équivalentes sur l'espace (de dimension finie)
P(2)/P(j-1) et on peut donc écrire

$$
|\hat{\Phi}|_{4,\infty,\hat{K}} \le \hat{c}_2 \sum_{j=0}^{2} |J_{\hat{F}_K}|_{4-j,\infty,\hat{K}} |\hat{p}_K|_{0,\hat{K}}.
$$

Utilisant la régularité de la famille de triangulations, on obtient
(cf. Nos 10 et 11 dans [3]).

$$
(3.53) \quad \left| \hat{E} \left( J_{\hat{F}_K} \hat{p}_K \hat{a}_K \right) \right| \le \hat{c}_3 h_K^2 \left| p_K \right|_{0,K} \left| q_K \right|_{0,K}
$$

d'où

$$
\begin{align*}
(3.54) \quad & |\hat{a}_h(\underline{v}_h \cdot \underline{w}_h) - \hat{a}_h(\underline{v}_h \cdot \underline{w}_h)| \\
& \le \hat{c}_4 h^2 |\psi_h|_{0,\Omega_h} |h|_{0,\Omega_h} \\
& \le C_5 h |\Pi_h \tilde{u}|_{1,\Omega_h} |\underline{w}_h| \\
& \le C h |\tilde{u}|_{3,\Omega} |\underline{w}_h|
\end{align*}
$$

d'après les relations (3.30) et (3.41). La conclusion s'ensuit immédiate-
ment.
Suivant la méthode de démonstration du théorème 4,
No. 8, [3], on obtient, de la même façon, le résultat ci-dessous :

**Théorème 3.4** *Il existe des constantes $C_1$ et $C_2$ indépendantes de h telles que*

$$
(3.55) \quad \sup_{\substack{\mathbf{w}_h \\ \in \mathbf{W}_h}} \frac{|\tilde{b}_h(\mathbf{w}_h, \Pi_h(\Delta\tilde{u})) - b_h(\mathbf{w}_h, \Pi_h(\Delta\tilde{u}))|}{||\mathbf{w}_h||} \le C_1 h^2 ||\tilde{u}||_{4,\tilde{\Omega}},
$$

$$
(3.56) \quad \sup_{\substack{\chi_h \\ \in \mathcal{Y}_h}} \frac{|\tilde{b}_h(v_h \cdot \chi_h) - b_h(v_h \cdot \chi_h)|}{|\chi_h|_{0,\Omega_h}} \le C_2 h^2 ||\tilde{u}||_{3,\tilde{\Omega}}.
$$

où $\mathbf{v}_h = (\Pi_h \tilde{u}_h, \psi_h) \in \mathbf{V}_h$.

**Théorème 3.5.** *Remplaçons l'hypothèse (H4) par l'hypothèse :*

(H4)' La fonction $f$ admet une extension $\tilde{f}$ sur $\tilde{\Omega}$ qui appartient à $W^2, q(\tilde{\Omega})$ pour un $q > 2$.

Alors, **il existe une constante C indépendante de h telle que**

$$
(3.57) \quad \sup_{\substack{\mathbf{w}_h \\ \in \mathbf{W}_h}} \frac{|\tilde{f}_h(\mathbf{w}_h) - f_h(\mathbf{w}_h)|}{||\mathbf{w}_h||} \le C h^2 ||\tilde{f}||_{2,q,\tilde{\Omega}}.
$$

**Démonstration :** Soit $\mathbf{w}_h = (\mathbf{w}_h \cdot \chi_h) \in W_h$, et soit $\mathbf{w}_h|_K = p_K$.

Alors on a
$$
|\tilde{f}_h(\mathbf{w}_h) - f_h(\mathbf{w}_h)| \le \sum_{K \in \mathcal{C}_h} |E_K(\tilde{f}_{p_K})|.
$$

Or, d'après le théorème 5 (No.11, [3]), on a

$$
|E_K(\tilde{f}_{p_K})| \le C_1 h_K^2 h_K^2 \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{q}\right) ||\tilde{f}||_{2,q,K} ||p_K||_{1,K}.
$$
soit encore

$$
(3.58) \quad |E_K(\tilde{f} p_K)| \le C_2 h_K^2 (m(\tilde{K}))^{1/2-1/q} ||\tilde{f}||_{2,q,K} ||p_K||_{1,K}
$$

où $\tilde{K}$ est l'élément "droit" associé à K. On obtient donc

$$
\begin{align*}
(3.59) \quad |\tilde{f}_h(w_h) - f_h(w_h)| &\le C_3 h_K^2 (m(U \tilde{K}))^{1/2-1/q} ||\tilde{f}||_{K,q,\tilde{\Omega}} ||w_h||_{1,\tilde{\Omega}_h} \\
&\le C_4 h_K^2 ||\tilde{f}||_{K,q,\tilde{\Omega}} |w_h|_{1,\tilde{\Omega}_h}
\end{align*}
$$

puisque $w_h \in X_h$. Mais la quantité $m(U \tilde{K})$ peut être majorée par une constante indépendante de $h$. Alors on a

$$
\begin{align*}
(3.60) \quad |\tilde{f}_h(w_h) - f_h(w_h)| &\le C h^2 |\tilde{f}|_{K,q,\tilde{\Omega}} |w_h|_{1,\tilde{\Omega}_h} \\
&\le C h^2 |\tilde{f}|_{K,q,\tilde{\Omega}} |w_h|_{1,\tilde{\Omega}_h}
\end{align*}
$$

et la relation (3.57) en découle.

**Remarque 3.5** L'hypothèse (H4)' est plus forte que l'hypothèse (H4).
Si la frontière de $\tilde{\Omega}$ est assez régulière on a l'inclusion continue

$$
W^{K,q}(\tilde{\Omega}) \rightarrow C^0(\tilde{\Omega})
$$

et on obtient

$$
||\tilde{f}||_{0,\infty,\tilde{\Omega}} \le C ||\tilde{f}||_{K,q,\tilde{\Omega}}.
$$

Combinant la majoration (3.49) et les résultats des théorèmes
3.3 - 3.5, on obtient le résultat ci-dessous.

**Théorème 3.6** *Supposons que les hypothèses H1 - H3, H4' et H5 - H7 sont valables. Alors la méthode converge et on obtient la majoration d'erreur*

$$
(3.61) \quad |\tilde{u}_h - u_h|_{1,\Omega_h} + |\Delta \tilde{u} + \varphi_h|_{0,\Omega_h} \le C h (|\tilde{u}|_{4,\infty,\tilde{\Omega}} + |\tilde{f}|_{2,q,\tilde{\Omega}}).
$$
**Remarque 3.6** On a obtenu dans le cas des polynômes de degré $< 2$, le même ordre de convergence qu' celui obtenu dans $[7]$ pour les éléments "droits". Mais pour obtenir le même ordre de convergence dans le cas des polynômes de degré $< k$, il nous faudrait une hypothèse beaucoup plus forte à la place de l'hypothèse (H7), car on ne sait rien sur la régularité de la deuxième coordonnée de l'élément $u_h \in V_h$ dans les théorèmes (3.3) et (3.4). On serait alors obligé d'employer le lemme de Bramble-Hilbert de façon plus "complète".

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
- REFERENCES -

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Numerical study of a dual iterative method for solving a finite element approximation of the biharmonic equation, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 9, (1976), 203-218.

[2] BREZZI, F. ; RAVIART, P.A.
Mixed finite element methods for 4th order elliptic equations, Ecole Polytechnique, Rapport Interne No 9, Mai 1976.

[3] CIARLET, P.G.
Numerical Analysis of the Finite Element Method, Séminaires de Mathématiques Supérieures, Presses de l'Université de Montréal, 1975.

[4] CIARLET, P.G. ; GLOWINSKI, R.
Dual iterative techniques for solving a finite element approximation of the biharmonic equation, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 5 (1975), 277 - 295.

[5] CIARLET, P.G. ; RAVIART, P.A.
Interpolation theory over curved elements with applications to finite element methods, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1 (1972), 217-249.

[6] CIARLET, P.G ; RAVIART, P.A.
The combined effect of curved boundaries and numerical integration in isoparametric finite element methods, 409-474, The Mathematical Foundations of the Finite Element Method with Applications to Partial Differential Equations, Ed. A.K. Aziz., Academic Press, (1972).

[7] CIARLET, P.G. ; RAVIART, P.A.
A mixed finite element method for the biharmonic equation, 125-145, Mathematical Aspects of Finite Elements in Partial Differential Equations, Academic Press (1974)

[8] NECAS, J.
Les Méthodes Directes en Théorie des Équations Elliptiques, Masson, Paris, (1967).