<figure><img src="image_1.png" /></figure>

HAL
open science

# Schema de decomposition pour l'equation de hamilton-jacobi

Sady Maurin

► To cite this version:

Sady Maurin. Schema de decomposition pour l'equation de hamilton-jacobi. [Rapport de recherche]
IRIA-RR-233, IRIA. 1977, pp.36. hal-04716436

HAL Id: hal-04716436

https://inria.hal.science/hal-04716436v1

Submitted on 1 Oct 2024

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
RIA
laboria

Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
B. P. 105 78150 - Le Chesnay
France
Tél.: 954 90 20

laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

<table><tr><td>ARCHIVES</td></tr></table>

SCHÉMA DE DÉCOMPOSITION
POUR L'ÉQUATION
DE HAMILTON - JACOBI

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Sady MAURIN

Rapport de Recherche N° 233

Mai 1977
# SCHÉMA DE DÉCOMPOSITION POUR L'ÉQUATION DE HAMILTON - JACOBI

Sady Maurin

## Résumé :

Nous introduisons un schéma de décomposition composante par composante pour l'analyse numérique de l'équation de Hamilton-Jacobi.

Après un bref rappel de la formulation du problème, nous définissons l'algorithme et nous donnons des résultats de convergence et des exemples numériques.

## Abstract :

We introduce a component by component splitting up scheme to approximate solution of Hamilton-Jacobi Equation.

We recall briefly the problem formulation and define the algorithm. We give convergence results and numerical examples.
<figure><img src="image_4.png" /></figure>

# INTRODUCTION.

Introduit par Douglas J. et Gunn J.E. [6], Douglas J. et Rachford H. [8] Peaceman D.W. et Rachford H. [15], Douglas J., Kellog R.B. et Varga R.S. [7] dans les années soixante, le concept de décomposition fut bientôt développé et appliqué à différents problèmes stationnaires et non stationnaires en physiques Mathématiques ; mentionnons les travaux de Dyakonov E.G. [9] Marchuk G.I. [13] Samarskii A.A. [17] [Yanenko N.N. [19], Bensoussan A., Temam R. et Lions J.L. [4] et Temam R. [18].

Il a été appliqué plus récemment aux équations dynamiques des gaz eulériens par Beam R.M et Warming R.F. [2] et aux équations transoniques à basse fréquence par William F. Ballhaus et Joseph L. Steger [1].

Nous avons défini pour des problèmes de gestion scientifique des stocks étudiés par Bensoussan A. et Lions J.L. [5] comme application d'une théorie plus générale du contrôle impulsionnel plusieurs algorithmes de décomposition dans Maurin S. [14].

Ici, nous introduisons un schéma de décomposition composante par composante pour l'approximation numérique de l'équation non linéaire de Hamilton-Jacobi. Ce type de problème apparaît en contrôle optimal stochastique, lorsque la solution de l'équation de Hamilton-Jacobi donne en même temps le contrôle optimal du problème stochastique. On peut voir par exemple Bensoussan A., Lions J.L. [5], Bellman R et Kalaba R.E. [3], Fleming W.H. [10], Kleinman A.J. and Kushner H.J. [11] Quadrat J.P. [16].
# I. NOTATIONS ET FORMULATION DU PROBLEME.

## 1.1. Notations :

Soit $\Omega$ un ensemble ouvert régulier de frontière $\Gamma \subset \mathbb{R}^n$

$$ U \quad \Omega \to \mathbb{R}^m \text{ une multiapplication} \quad (1) $$

$$ x \to U(x) \subset \mathbb{R}^m $$

où $U(x)$ est un ensemble fermé contenu dans un compact $K$ donné.

$\mu_i : \Omega \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ n applications avec

$$ \mu_i(x,u) \text{ bornée dans } \mathcal{L}^\infty(\Omega) \quad \forall u \in K \quad (2) $$

$$ |\mu_i(x, u_1) - \mu_i(x, u_2)| \le k|u_1 - u_2| \quad \forall u_1, u_2 \in K $$

$\varphi_i : \Omega \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ n applications

avec

$$ \varphi_i(x, u) \text{ bornée dans } \mathcal{L}^\infty(\Omega) \quad \forall u \in K \quad (3) $$

Nous définissons alors :

$$ F \text{ de } \Omega \times \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \quad (4) $$

$$ (x, u, p) \to \sum_{i=1}^{n} \mu_i(x, u)p_i + \varphi_i(x, u) $$

et

$$ \Pi \text{ de } \Omega \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} \quad (5) $$

$$ (x, p) \to \Pi(x, p) = \min_F F(x, u, p) \\ \qquad u \in U(x) $$

Nous définissons par V l'espace $H_0^1(\Omega)$ ou l'espace $H^1(\Omega)$. Prenons $f \in \mathcal{L}^2(\Omega)$ $g \in H^2(\Gamma)$
Nous définissons la forme linéaire $\ell$ sur $V$ par

$$ \ell(v) = \int_{\Omega} fvd\Omega + \int_{\Gamma} yvd\Gamma \quad \forall v \in V \quad (6) $$

Nous définissons $V_i = \{u \in \mathcal{L}^2(\Omega), \frac{\partial u}{\partial x_i} \in \mathcal{L}^2(\Omega)\}$ $i=1$ à $n$

La forme bilinéaire sur $V_i$

$$ a_i(u,v) = \int_{\Omega} \frac{\sigma_i^2(x)}{2} \frac{\partial u}{\partial x_i} \frac{\partial v}{\partial x_i} + \int_{\Omega} b_i(x) \frac{\partial u}{\partial x_i} v + \lambda_i \int_{\Omega} uv \quad (7) $$

pour $(u,v) \in V_i \times V_i \quad i=1$ à $n$

et pour $w(x) \in \bar{U} = \{u \in \mathcal{L}^p(\Omega, \mathbb{R}^m) \ u(x) \in \bar{U}(x)\}$

$$ b_i(w,u,v) = a_i(u,v) - \langle \mu_i(x,w) \frac{\partial u}{\partial x_i}, v \rangle_{\mathcal{L}^2(\Omega)} \quad (8) $$

pour $(u,v) \in V_i \times V_i \quad i=1$ à $n$

On suppose :

$$ a_i(u,u) \ge \alpha_i \|u\|_{V_i}^2 $$

$$ b_i(w,u,v) \ge \beta_i \|u\|_{V_i}^2 \quad (9) $$

$$ \text{pour } u \in V_i \quad w \in \bar{U} \quad \text{et} \quad \|u\|_{V_i}^2 = \|u\|^2_{\mathcal{L}^2(\Omega)} + \|\frac{\partial u}{\partial x_i}\|^2_{\mathcal{L}^2(\Omega)} $$

Soit $B$ l'opérateur de $V$ dans $V'$ dual de $V$ défini par

$$ Au - \Pi(x, \frac{\partial u}{\partial x}) = B(u) \quad (10) $$

avec $Au$ défini par

$$ \langle Au, v \rangle_{V' \times V} = a(u,v) = \sum_{i=1}^{n} a_i(u,v) $$

pour $(u,v) \in V \times V \quad V'$ dual de $V$.

et $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial u}{\partial x_n}$
Nous supposons que B est un opérateur monotone

$$ \langle Bu - Bv \cdot u - v \rangle_{V' \times V} > 0 $$

## 1.2. Formulation du problème :

Nous cherchons $u \in V$ solution de

$$ a(u,v) - \left\langle \Pi(x, \frac{\partial u}{\partial x}), v \right\rangle_{L^2(\Omega)} = l(v) \quad \forall v \in V \quad (11) $$

nous avons alors la proposition suivante :

### Proposition 1 :

Sous les hypothèses (1), (2), (3) et (10) l'équation 11 a une solution unique dans $V$.

Pour la démonstration on peut voir par exemple Quadrat J.P. [16]

Cherchons alors $u(t)$ dans $L^2(OT,V)$ solution de

$$ \left\langle \frac{\partial u}{\partial t} \cdot v \right\rangle_{V' \times V} + a(u(t),v) - \left\langle \Pi(x, \frac{\partial u}{\partial x}), v \right\rangle_{L^2(\Omega)} = l(v) \quad (11i) $$

$$ \forall v \in V $$

$$ T \in \mathbb{R}^+ \qquad (\text{Quadrat } [16]) $$

On a alors le résultat classique suivant :

### Proposition 2 :

$$ \|u(t)-u\|_{L^2(\Omega)} \text{ converge vers zéro} $$

lorsque $t$ tend vers l'infini.

En effet, notons :

$$ w(t) = u(t) - u $$
Alors, par différence et en prenant $v=w(t)$

$$ \left\langle \frac{dw}{dt} \cdot w \right\rangle_{V' \times V} + a(w(t), w(t)) - \left\langle \Pi(x, \frac{\partial u(t)}{\partial x}) - \Pi(x, \frac{\partial u}{\partial x}) \cdot w(t) \right\rangle_{\mathcal{L}^2} = 0 \quad (11)_{ii} $$

de la propriété de coercivité on tire :

$$ \left\langle \frac{dw}{dt} \cdot w \right\rangle_{V' \times V} + \beta \|w(t)\|_{V}^{2} \leq 0 $$

$$ \frac{d}{dt} \|w(t)\|_{\mathcal{L}^2}^2 + 2\beta \|w(t)\|_{\mathcal{L}^2}^2 \le 0 \quad \text{multipliant par } e^{2\beta t} $$

il vient

$$ \frac{d}{dt} (\|w(t)\|_{\mathcal{L}^2}^2 e^{2\beta t}) \le 0 $$

d'où

$$ \|w(t)\|_{\mathcal{L}^2}^2 \le \|w(0)\|_{\mathcal{L}^2}^2 e^{-2\beta t} \quad (11)_{iii} $$

## II. DEFINITION DU SCHEMA DE DECOMPOSITION.

Précisons que les résultats de cette section sont valables pour n et m quelconques.

Pour la simplicité de l'exposé, nous prenons $n=m=2$

Soit $T$ un nombre positif grand, $N$ un entier grand. Posons $k = T/N$

Soit $u_0 = 0$ par exemple.

$$ l = l_1 + l_2 \qquad l_1 \in V'_1 \text{ dual de } V_1; \quad l_2 \in V'_2 \text{ dual de } V_2 $$

**Schéma récurrent :**

On définit successivement $u^r, r=1,2,...,N+1$.

$u^{r+\frac{1}{2}}, r=0,1,2,...,N$.
avec $u^r \in V_1$

$u^{r+\frac{1}{2}} \in V_2$

**Etape 1** : $u^{\frac{1}{2}}$ est la solution de

$$ \left\langle \underbrace{u^{\frac{1}{2}} - u_0}_{\mathcal{L}^2(\Omega)} \cdot v \right\rangle + a_1(u^{\frac{1}{2}}, v) = l_1(v) \quad (12) $$

$\forall v \in V_1$

**Etape 2** : $u^1$ est la solution de

$$ \left\langle \underbrace{u^1 - u^{\frac{1}{2}}}_{\mathcal{L}^2(\Omega)} \cdot v \right\rangle + a_2(u^1, v) = l_2(v) \quad (13) $$

$\forall v \in V_2$

**Etape 3** : trouver $\underline{v}^1(x) = v_1^1, v_2^2 \in U(x)$ solution du problème d'optimisation

$$ \inf[\mu_1(x, \underline{v}^1(x)) \frac{\partial \underline{u}^1}{\partial x_1} + \mu_2(x, \underline{v}^1(x)) \frac{\partial \underline{u}^1}{\partial x_2} + \varphi_1(\underline{v}^1(x)) + \varphi_2(\underline{v}^1(x))] \quad (14) $$

**Etape 4** : soit $u^{1+\frac{1}{2}}$ solution de

$$ \left\langle \underbrace{u^{1+\frac{1}{2}} - u^1}_{\mathcal{L}^2} \cdot v \right\rangle + b_1(\underline{v}^1, u^{1+\frac{1}{2}}, v) = l_1(v) + \varphi_1(\underline{v}^1). \quad v \in \mathcal{L}^2 $$

$\forall v \in V_1$ \hfill (15)

**Etape 5** : Soit $u^2$ solution de

$$ \left\langle \underbrace{u^2 - u^{1+\frac{1}{2}}}_{\mathcal{L}^2} \cdot v \right\rangle + b_2(\underline{v}^1, u^2, v) = l_2(v) + \langle \varphi_2(\underline{v}^1), v \rangle \quad v \in \mathcal{L}^2 $$

$\forall v \in V_2$ \hfill (16)
Étape 6 : trouver $\underline{v}^2 = v_1^2 v_2^2 \in \mathcal{U}(x)$ solution du problème d'optimisation :

$$ \inf_{\underline{v}^2(x)} [\mu_1(x, \underline{v}^2) \frac{\partial \underline{u}}{\partial \underline{x}}|_{\underline{x}=\underline{x}_1}^{1+\frac{1}{2}} + \mu_2(x, \underline{v}^2) \frac{\partial \underline{u}}{\partial \underline{x}}|_{\underline{x}=\underline{x}_2}^{2} + \varphi_1(\underline{v}^2(x)) + \varphi_2(\underline{v}^2(x))] \quad (17) $$

Supposons alors connaître $\underline{v}^r = (\underline{v}_1^r, \underline{v}_2^r) \in \mathcal{U}(x)$ et $\underline{u}^r \in \mathcal{V}_2$.

On définit alors successivement

étape 3r+1 : $\underline{u}^{r+\frac{1}{2}}$ solution de

$$ \left\langle \frac{\partial \underline{u}^{r+\frac{1}{2}} - \partial \underline{u}^{r}}{\partial \underline{k}} , \underline{v} \right\rangle_{\mathcal{L}^2} + b_1(\underline{v}^r, \underline{u}^{r+\frac{1}{2}}, \underline{v}) = l_1(\underline{v}) + \langle \varphi_1(\underline{v}^r), \underline{v} \rangle_{\mathcal{L}^2} \\ \forall \underline{v} \in \mathcal{V}_1 \qquad (18) $$

étape 3r+2 : $\underline{u}^{r+1}$ solution de

$$ \left\langle \frac{\partial \underline{u}^{r+1} - \partial \underline{u}^{r}}{\partial \underline{k}} , \underline{v} \right\rangle_{\mathcal{L}^2} + b_2(\underline{v}^r, \underline{u}^{r+1}, \underline{v}) = l_2(\underline{v}) + \langle \varphi_2(\underline{v}^r), \underline{v} \rangle_{\mathcal{L}^2} \\ \forall \underline{v} \in \mathcal{V}_2 \qquad (19) $$

Étape 3(r+1) : trouver $\underline{v}^{r+1} = (\underline{v}_1^{r+1}, \underline{v}_2^{r+1}) \in \mathcal{U}(x)$ solution du problème d'optimisation.

$$ \inf_{\underline{v}^{r+1}} \left[ (\mu_1(x, \underline{v}^{r+1}) \frac{\partial \underline{u}}{\partial \underline{x}}|_{\underline{x}=\underline{x}_1}^{r+\frac{1}{2}} + \mu_2(x, \underline{v}^{r+1}) \frac{\partial \underline{u}}{\partial \underline{x}}|_{\underline{x}=\underline{x}_2}^{r+1} + \varphi_1(\underline{v}^{r+1}) + \varphi_2(\underline{v}^{r+1}) \right] \quad (19) $$
et ainsi de suite pour $r=1, 2, \dots, N$.

On peut définir également des algorithmes parallèles de la manière suivante :

Schéma parallèle :

$$ \begin{array}{ll} \text{On définit successivement } & \underline{u}^r \quad r = 1, 2, \dots, N+1 \\ & \underline{u}^{r+\frac{1}{3}} \quad r = 0, 1, \dots, N \\ & \underline{u}^{r+\frac{2}{3}} \end{array} $$
$$u^r \in \mathcal{L}^2(\Omega)$$

$$u^{r+1/3} \in V_1, \quad u^{r+2/3} \in V_2$$

**Etape 1 :** $u^{1/3}$ est la solution de

$$\left\langle \underbrace{u^{1/3}-u_0}_{k} \cdot v \right\rangle_{\mathcal{L}^2(\Omega)} + a_1(u^{1/3},v) = l_1(v) \quad (12)i$$

$$\forall v \in V_1$$

**Etape 2 :** $u^{2/3}$ est la solution de

$$\left\langle \underbrace{u^{2/3}-u_0}_{k} \cdot v \right\rangle_{\mathcal{L}^2(\Omega)} + a_2(u^{2/3},v) = l_2(v) \quad (13)i$$

$$\forall v \in V_2$$

**Etape 3 :** Trouver $v^1(x) = v_1^1$, $v_2^2 \in U(x)$ solution du problème d'optimisation

$$\inf_{v^1(x)} \left[ \mu_1(x, v^1(x)) \frac{\partial u^3}{\partial x_1} + \mu_2(x, v^1(x)) \frac{\partial u^2}{\partial x_2} + \varphi_1(v^1(x)) + \varphi_2(v^1(x)) \right] \quad (14)i$$

**Etape 4 :** on définit

$$u^1 = \underbrace{u^{1/3}+u^{2/3}}_{2} \in \mathcal{L}^2(\Omega) \quad (15)i$$

Supposons connaître

$$v^r(x) \in U(x)$$

$$u^r \in \mathcal{L}^2(\Omega)$$
On définit alors successivement :

Étape 4r+1 : $u^{r+1/3}$ solution de

$$ \left\langle \frac{u^{r+1/3} - u^r}{k} \cdot v \right\rangle_{L^2} + b_1(\underline{v}^r, u^{r+1/3}, v) = l_1(v) + \left\langle \varphi_1(\underline{v}^r), v \right\rangle_{L^2} \quad (16)i \\ \forall v \in V_1 $$

Étape 4r+2 : $u^{r+2/3}$ solution de

$$ \left\langle \frac{u^{r+2/3} - u^r}{k} \cdot v \right\rangle_{L^2} + b_2(\underline{v}^r, u^{r+2/3}, v) = l_2(v) + \left\langle \varphi_2(\underline{v}^r), v \right\rangle_{L^2} \quad (17)i \\ \forall v \in V_2 $$

Étape 4r+3 : trouver $\underline{v}^{r+1} = (\underline{v}_1^{r+1}, \underline{v}_2^{r+1}) \in U(x)$ solution du problème d'optimisation

$$ \inf_{\underline{v}^{r+1}} [\mu_1(x, \underline{v}^{r+1}) \frac{\partial \underline{u}^{r+1/3}}{\partial \underline{x}_1} + \mu_2(x, \underline{v}^{r+1}) \frac{\partial \underline{u}^{r+2/3}}{\partial \underline{x}_2} + \varphi_1(\underline{v}^{r+1}) + \varphi_2(\underline{v}^{r+1})] \quad (18)i $$

Étape 4(r+1) : Définir

$$ u^{r+1} = \frac{u^{r+1/3} + u^{r+2/3}}{2} \in L^2(\Omega) \quad (19)ii $$

et ainsi de suite pour $r = 1, 2, \dots, N$

Reprenons alors le schéma récurrent :
Définissons alors $u_k^{\frac{1}{2}}(t)$ et $u_k^{1}(t)$ de la manière suivante :

$$
\begin{align}
u_k^{\frac{1}{2}}(t) &= \frac{u^{r+\frac{1}{2}} - u^{r-\frac{1}{2}}}{k} (t-rk) + u^{r-\frac{1}{2}} \nonumber \\
&= u^{r-\frac{1}{2}} \left[ 1 - \frac{(t-rk)}{k} \right] + \left[ \frac{t-rk}{k} \right] u^{r+\frac{1}{2}} \tag{20}
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
u_k^1(t) &= \frac{u^{r+1} - u^r}{k} (t-rk) + u^r \nonumber \\
&= u^r \left[ 1 - \frac{(t-rk)}{k} \right] + \left[ \frac{t-rk}{k} \right] u^{r+1} \tag{21}
\end{align}
$$

pour rk ≤ t ≤ (r+1)k

$u_k^{\frac{1}{2}}(t)$ (resp $u_k^{1}(t)$) est défini de $[0T]$ dans

$V_1$ (resp $V_2$)

Nous avons alors le

Théorème 2.1.

$u_k^{\frac{1}{2}}(t)$ converge vers $u(t)$ solution de (11)ii dans $L^2(0T, V_1)$
lorsque $k$ tend vers zéro

$u_k^1(t)$ converge vers $u(t)$ dans $L^2(0T, V_2)$ lorsque $k$ tend vers zéro.

Nous donnons la démonstration de ce théorème dans la section
suivante.

III. RESULTATS DE CONVERGENCE.

Pour la démonstration du théorème on procèdera de la façon
suivante :

On démontre de manière analogue au cas linéaire des résultats de
convergence faible dans $L^2(0T, V_1)$ et $L^2(0T, V_2)$ à l'aide d'estimations
à priori établies en [3.1]

Puis, on introduit deux lemmes de compacité qui permettent de déduire des convergences fortes dans $\ell^2(\text{OT}, \ell^2(\Omega))$ [3.2] ce qui permet alors, par des méthodes d'énergie de passer à la limite dans $\ell^2(\text{OT}, V_1)$ et $\ell^2(\text{OT}, V_2)$ [3.3] puis dans le terme non linéaire [3.4]

On remarque que par cette méthode on retrouve les résultats de Temam [18].

Nous donnons ici la suite des différents lemmes utilisés pour arriver au résultat et ne donnons les démonstrations que lorsque le travail nous paraît original. Nous renvoyons à l'annexe pour les démonstrations des autres résultats.

### 3.1. **Estimations à priori : Résultats de convergence faible.**

Reprenant les notations de 2. on a alors les différents lemmes suivants :

**Lemme 3.1.1.** : Θ une constante C telle que ∀k > 0 ∀t ∈ [OT]

$$ 
\begin{gather*}
\int_0^T \|u_k^{\frac{1}{2}}(t)\|_{V_1}^2 \le C : \quad \int_0^T \|u_k^1(t)\|_{V_2}^2 \le C \\
\int_0^T \left\| \|u_k^{\frac{1}{2}}(t) - u_k^1(t)\|_{\ell^2}^2 \right\| \le Ck \tag{25} \\
\|u_k^{\frac{1}{2}}(t)\|_{\ell^2}^2 \le C, \quad \|u_k^1(t)\|_{\ell^2}^2 \le C
\end{gather*}
$$

Pour la démonstration de ce lemme voir Annexe.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Définissons alors $\eta_1^k(t) = \eta_1^k(t) + \chi^k(t)$ de la manière suivante :
$$
\begin{align*}
\eta_1^k(t) &= \mu_1(v^r) \frac{\partial u^{r+\frac{1}{2}}}{\partial x_1} + \varphi_1(v^r) \\
\eta_2^k(t) &= \mu_2(v^r) \frac{\partial u^{r+1}}{\partial x_2} + \varphi_2(v^r) \tag{26} \\
\chi^k(t) &= \mu_1(v^{r+1}) \frac{\partial u^{r+\frac{1}{2}}}{\partial x_1} + \mu_2(v^{r+1}) \frac{\partial u^{r+1}}{\partial x_2} + \varphi_1(v^{r+1}) + \varphi_2(v^{r+1})
\end{align*}
$$

pour rk ≤ t ≤ (r+1)k

Lemme 3.1.2. : Θ une constante C telle que ∀k > 0

$$
\int_0^T \| \eta_k^{\frac{1}{2}}(t) \|_{\mathcal{L}^2}^2 \le c \quad \int_0^T \| \eta_k^1(t) \|_{\mathcal{L}^2}^2 \le c \qquad (27)
$$

$$
\int_0^T \| \chi^k(t) \|_{\mathcal{L}^2}^2 \le c
$$

Ce lemme résulte trivalement du lemme 3.1.1. et des propriétés de µ et φ.

Lemme 3.1.3. : Soit $\bar{u}^{\frac{1}{2}}(t)$ la limite faible de $u_k^{\frac{1}{2}}(t)$ dans $\mathcal{L}^2(\text{OT}, V_1)$

$\bar{u}^1(t)$ la limite faible de $u_k^1(t)$ dans $\mathcal{L}^2(\text{OT}, V_2)$

$\eta^2(t)$ la limite faible de $\eta_k^{\frac{1}{2}}(t)$ dans $\mathcal{L}^2(\text{OT}, \mathcal{L}^2(\Omega))$

$\eta^1(t)$ la limite faible de $\eta_k^1(t)$ dans $\mathcal{L}^2(\text{OT}, \mathcal{L}^2(\Omega))$

$\chi(t)$ la limite faible de $\chi_k(t)$ dans $\mathcal{L}^2(\text{OT}, \mathcal{L}^2(\Omega))$

lorsque k converge vers zéro :

$$
\begin{align*}
\text{Posons} \quad & \eta(t) = \eta^2(t) + \eta^1(t) \\
\text{alors i)} \quad & \bar{u}^1(t) = \bar{u}^{\frac{1}{2}}(t) = \bar{u}(t) \tag{28}
\end{align*}
$$

$$
ii) \quad \int_0^T \left\| \frac{\partial u_k^{\frac{1}{2}}(t)}{\partial t} \right\|_{V}^2 < c \quad \int_0^T \left\| \frac{\partial u_k^1(t)}{\partial t} \right\|_{V}^2 < c \quad (29)
$$
$$
\text{iii)} \quad \frac{\partial \bar{u}}{\partial t} + A\bar{u}(t) - \eta(t) = f \qquad (30)
$$
dans $\mathcal{L}^2(\text{OT}, V')$
$$

La démonstration de ce lemme est également donnée en Annexe.

3.2. **_Lemmes de compacité : Résultats de Convergence forte dans_**
**_ℓ²(OT, ℓ²(Ω))_**

Nous sommes donc dans la situation suivante :

$$
u_k^{\frac{1}{2}}(t) \quad \text{borné dans} \quad \mathcal{L}^2(\text{OT}, V_1) \quad \forall k \qquad (31)
$$

$$
u_k^1(t) \quad \text{borné dans} \quad \mathcal{L}^2(\text{OT}, V_2) \quad \forall k \qquad (32)
$$

$$
\frac{\partial u_k^1(t)}{\partial t} \quad \text{borné dans} \quad \mathcal{L}^2(\text{OT}, V') \quad \forall k \qquad (33)
$$

$$
\frac{\partial u_k^1(t)}{\partial t} \quad \text{borné dans} \quad \mathcal{L}^2(\text{OT}, V') \quad \forall k \qquad (34)
$$

$$
\| u_k^{\frac{1}{2}}(t) - u_k^{1}(t) \|^2_{\mathcal{L}^2(\text{OT}, \mathcal{L}^2(\Omega))} \le Ck \qquad (35)
$$

Cette section a pour but de démontrer des résultats de convergence
forte dans ℓ²(OT, ℓ²(Ω)) pour cela, nous démontrons les lemmes suivants :

<u>**Lemme 3.2.1.**</u> : $u_k^{\frac{1}{2}}(t)$ converge vers $\bar{u}(t)$ dans $\mathcal{L}^2(\text{OT}, V')$ fort

$u_k^1(t)$ converge vers $\bar{u}(t)$ dans $\mathcal{L}^2(\text{OT}, V')$ fort

Démonstration : elle résulte de Lions [12] p 57 - 59.

Théorème 5.1.

En prenant $B_0 = \mathcal{L}^2(\Omega)$ $B = B_1 = V'$
**Lemme 3.2.2.** : Soient $u_k^{1/2}$ et $u_k^1$ deux suites de $V_1$ et $V_2$ respectivement possédant les propriétés suivantes :

$$ \|u_k^{1/2}\|_{V_1} \le C \qquad (36) $$

$$ \|u_k^1\|_{V_2} \le C \qquad (37) $$

$$ \|u_k^1 - u_k^{1/2}\|_{\mathcal{L}^2(\Omega)} \le Ck \qquad (33) $$

Alors ∃ une sous suite $u_k^{1/2}(u_k^1)$ qui converge fortement dans $\mathcal{L}^2(\Omega)$.

En effet, de (36) ∃ une sous suite $u_k^{1/2}$ convergeant vers $u^1$ dans $V_1$ faible

de (37) ∃ une sous-suite $u_k^1$ convergeant vers $u^1$ dans $V_2$ faible

$$ \text{de (38) } u_k^{1/2} = u_k^1 = \bar{u} $$

mais, $u_k^{1/2}$ converge vers $\bar{u}$ dans $\mathcal{L}^2(\Omega)$ faible

donc converge vers $\bar{u}$ dans $V'$ fort.

$\partial u_k^{1/2} \xrightarrow{\partial x_1} \text{converge vers } \frac{\partial \bar{u}}{\partial x_1}$ dans $\mathcal{L}^2(\Omega)$ faible

donc converge vers $\frac{\partial \bar{u}}{\partial x_1}$ dans $V'$ fort

de même

$\partial u_k^1 \xrightarrow{\partial x_2} \text{converge vers } \frac{\partial \bar{u}}{\partial x_2}$ dans $V'$ fort

et d'après (33)

$\partial u_k^{1/2} \xrightarrow{\partial x_2} \text{converge vers } \frac{\partial \bar{u}}{\partial x_2}$ dans $V'$ fort.

Mais,

$$ \|u_k^{1/2} - \bar{u}\|_{\mathcal{L}^2(\Omega)}^2 = \|u_k^{1/2} - \bar{u}\|_{V_1}^2 + \|\frac{\partial u_k^{1/2}}{\partial x_1} - \frac{\partial \bar{u}}{\partial x_1}\|_{V_2}^2 + \|\frac{\partial u_k^1}{\partial x_2} - \frac{\partial \bar{u}}{\partial x_2}\|_{V_1}^2 \quad (39) $$
donc,

$u_k^{\frac{1}{2}}$ converge vers $\bar{u}$ dans $\mathcal{L}^2(\Omega)$ fort. De même pour $u_k^1$.

■

**Lemme 3.2.3.** : $\forall \eta \exists C(\eta)$ tel que

$$ \|u^1\|_{\mathcal{L}^2}^2 + \|u^2\|_{\mathcal{L}^2}^2 \le \eta[\|u^1\|_{V_1} + \|u^2\|_{V_2}] \quad (40) $$

$$ C(\eta)[\|u^1\|_{V_1} + \|u^2\|_{V_2} + \|u_1 - u_2\|_{\mathcal{L}^2}] $$

$$ \forall u_1 \in V_1 $$

$$ \forall u_2 \in V_2 $$

■

**Démonstration** : En effet, supposons $\exists \alpha$ tels que $\forall n \in \mathbb{N}$
$\exists u_n^1 \in V_1$ et $u_n^2 \in V_2$ tels que

$$ \|u_n^1\|_{\mathcal{L}^2}^2 + \|u_n^2\|_{\mathcal{L}^2}^2 \ge \alpha[\|u_n^1\|_{V_1} + \|u_n^2\|_{V_2}] \quad (40)_i \\ \qquad + n[\|u_n^1\|_{V_1} + \|u_n^2\|_{V_2} + \|u_1^n - u_2^n\|_{\mathcal{L}^2}] $$

Posons

$$ \tilde{u}_n^1 = \frac{u_n^1}{\|u_n^1\|_{V_1} + \|u_n^2\|_{V_2}} \qquad \tilde{u}_n^2 = \frac{u_n^2}{\|u_n^1\|_{V_1} + \|u_n^2\|_{V_2}} \quad (41) $$

alors, d'après (40)$_i$ :

$$ \|\tilde{u}_n^1\|_{\mathcal{L}^2}^2 + \|\tilde{u}_n^2\|_{\mathcal{L}^2}^2 \ge \alpha + n[\|\tilde{u}_n^1\|_{V_1} + \|\tilde{u}_n^2\|_{V_2} + \|\tilde{u}_n^1 - \tilde{u}_n^2\|_{\mathcal{L}^2}] \quad (42) $$

Mais, d'après (41) :
$$ \|\tilde{u}_n^1\|_{\ell^2} \le \|\tilde{u}_n^1\|_{V_1} \le 1 \quad (43) $$

$$ \|\tilde{u}_n^2\|_{\ell^2} \le \|\tilde{u}_n^2\|_{V_2} \le 1 $$

de (42) et (43) il vient

$$ \|\tilde{u}_n^1\|_{V'} + \|\tilde{u}_n^2\|_{V'} + \|\tilde{u}_n^1 - \tilde{u}_n^2\|_{\ell^2} \le \frac{C}{n} \quad (44) $$

Du lemme 3.2.2. avec (43) et (44) on déduit :

Il y a une sous suite $\tilde{u}_\mu^1$ et une sous-suite $\tilde{u}_\mu^2$ convergeant vers $\bar{u}$ dans $\ell^2(\Omega)$ fort.

De (44) il vient que $\tilde{u}_\mu^1 \to 0$ dans $V'$

$$ \tilde{u}_\mu^2 \to 0 \text{ dans } V' $$

Donc, $\bar{u}=0$ et $\|\tilde{u}_\mu^1\|_{\ell^2} + \|\tilde{u}_\mu^2\|_{\ell^2}$ converge vers zéro.

On aboutit à une contradiction avec (42) ; on a donc le résultat annoncé.

Nous pouvons alors démontrer la convergence forte dans $\ell^2(\text{OT}, \ell^2(\Omega))$ pour les suites $u_k^{1/2}(t)$ et $u_k^1(t)$ avec les notations de 3-1

### Théorème 3.2.

Il y a une sous-suite extraite $u_k^{1/2}(t)$ (resp $u_k^1(t)$) qui convergent fortement dans $\ell^2(\text{OT}, \ell^2(\Omega))$ vers $\bar{u}(t)$.

En effet, d'après le lemme 3.2.2. :

$$ \forall \eta \in C(\eta) \text{ tel que} $$
$$
\begin{align*}
& \|u_k^{\frac{1}{2}}(t) - \bar{u}(t)\|_{\ell^2}^2 + \|u_k^{1}(t) - \bar{u}(t)\|_{\ell^2}^2 \le \eta [\|u_k^{\frac{1}{2}}(t) - \bar{u}(t)\|_{V_1}^2 + \|u_k^{1}(t) - \bar{u}(t)\|_{V_2}^2] \\
& \qquad + C(\eta) [\|u_k^{\frac{1}{2}}(t) - \bar{u}(t)\|_{V_1}^2 + \|u_k^{1}(t) - \bar{u}(t)\|_{V_2}^2 + \dots] \\
& \qquad + \dots + \|u_k^{\frac{1}{2}}(t) - u_k^{1}(t)\|_{\ell^2}^2] \tag{45} \\
& \forall k \in \mathbb{R}^+ \quad \forall t \in [0, T].
\end{align*}
$$

intégrant en t

$$
\begin{align*}
& \int_0^T \|u_k^{\frac{1}{2}}(t) - \bar{u}(t)\|_{\ell^2}^2 dt + \int_0^T \|u_k^{1}(t) - \bar{u}(t)\|_{\ell^2}^2 dt \le \eta \left( \int_0^T \|u_k^{\frac{1}{2}}(t) - \bar{u}(t)\|_{V_1}^2 dt + \int_0^T \|u_k^{1}(t) - \bar{u}(t)\|_{V_2}^2 dt \right) \\
& \qquad + C(\eta) \left( \int_0^T \|u_k^{\frac{1}{2}}(t) - \bar{u}(t)\|_{V_1}^2 dt + \int_0^T \|u_k^{1}(t) - \bar{u}(t)\|_{V_2}^2 dt + \int_0^T \|u_k^{\frac{1}{2}}(t) - u_k^{1}(t)\|_{\ell^2}^2 dt \right) \tag{46}
\end{align*}
$$

Posons

$$
A_k = \int_0^T \| u_k^{\frac{1}{2}}(t) - \bar{u}(t) \|_{V_1}^2 dt + \int_0^T \| u_k^{1}(t) - \bar{u}(t) \|_{V_2}^2 dt
$$

$$
B_k = \int_0^T \| u_k^{\frac{1}{2}}(t) - \bar{u}(t) \|_{V_1}^2 dt + \int_0^T \| u_k^{1}(t) - \bar{u}(t) \|_{V_2}^2 dt + \int_0^T \| u_k^{\frac{1}{2}}(t) - u_k^{1}(t) \|_{\ell^2}^2 dt
$$

D'après (31) et (32)

$A_k$ est borné $\forall k$

D'après (35) et le lemme 3.2.1.

$B_k$ converge vers zéro avec k

D'après (46)

$$
\int_0^T \|u_k^{\frac{1}{2}}(t) - \bar{u}(t)\|_{\ell^2}^2 dt + \int_0^T \|u_k^{1}(t) - \bar{u}(t)\|_{\ell^2}^2 dt \quad \text{converge vers zéro avec } k.
$$

C.Q.F.D.
### 3.3. Convergence forte dans $L^2(\text{OT}, V_1)$ et $L^2(\text{OT}, V_2)$

Considérons la quantité :

$$X_k(t) = \|u_k^1(t) - \bar{u}(t)\|_{L^2}^2 + 2 \int_0^t a_1(u_k^1(\tau) - \bar{u}(\tau), u_k^2(\tau) - \bar{u}(\tau)) \\ + 2 \int_0^t a_2(u_k^1(\tau) - \bar{u}(\tau), u_k^1(\tau) - \bar{u}(\tau)) \quad (47)$$

On a alors le

**Lemme 3.3.1. :**

$X_k(t)$ converge vers zéro lorsque k tend vers zéro.

**Démonstration :**

$$\text{Ecrivons } X_k(t) = X_k^1(\tau) + X_k^2(t) + X_k^3(t)$$

$$X_k^1(t) = \|\bar{u}(t)\|_{L^2}^2 + 2 \int_0^t a_1(\bar{u}(t), \bar{u}(t)) + 2 \int_0^t a_2(\bar{u}(t), \bar{u}(t)) \quad (43)$$

$$X_k^2(t) = -2 \langle u_k^1(t), \bar{u}(t) \rangle_{L^2}^2 - 2 \int_0^t a_1(u_k^1(t), \bar{u}(t)) + a_1(\bar{u}(t), u_k^2(t)) \\ - 2 \int_0^t a_2(u_k^1(t), \bar{u}(t)) + a_2(\bar{u}(t), u_k^1(t)) \quad (49)$$

$$X_k^3(t) = \|u_k^1(t)\|_{L^2}^2 + 2 \int_0^t a_1(u_k^2(t), u_k^1(t)) + 2 \int_0^t a_2(u_k^1(t), u_k^1(t)) \quad (50)$$

alors, du lemme 3.1.1. et du théorème 3.2. ; il résulte que

$$X_k^2(t) \text{ converge vers } -2 \|\bar{u}(t)\|_{L^2}^2 - 4 \int_0^t a_1(\bar{u}(t), \bar{u}(t)) - 4 \int_0^t a_2(\bar{u}(t), \bar{u}(t))$$
$$
\begin{align*}
0 \le X_k^3(t) \le {}& 2 \int_0^t \langle f_1 + \eta_1^k(t), u_k^{\frac{1}{2}}(t) \rangle \ell^2 + 2 \int_0^t \langle f_2 + \eta_2^k(t), u_k^1(t) \rangle \ell^2 \\
& - 2 \int_0^t \langle f_1 + \eta_1^k(t), u_k^{\frac{1}{2}}(t) - \bar{u}(t) \rangle \ell^2 + 2 \int_0^t \langle f_2 + \eta_2^k(t), u_k^1(t) - \bar{u}(t) \rangle \ell^2 \\
& + 2 \int_0^t \langle f_1 + \eta_1^k(t), \bar{u}(t) \rangle \ell^2 + 2 \int_0^t \langle f_2 + \eta_2^k(t), \bar{u}(t) \rangle \ell^2 \tag{51}
\end{align*}
$$

Du théorème 3.2. et du lemme 3.1.2. on déduit :

$$
0 \le \lim_{k \to \infty} X_k^3(t) \le 2 \int_0^t \langle f+\eta(t), \bar{u}(t) \rangle \ell^2(\Omega) \quad (52)
$$

Par suite :

$$
\lim_{k \to 0} X_k^3(t) \le - \|\bar{u}(t)\|_{\ell^2}^2 - 2 \int_0^t a_1(\bar{u}(t), \bar{u}(t)) - 2 \int_0^t a_2(\bar{u}(t), \bar{u}(t)) \\
+ 2 \int_0^t \langle f + \eta, \bar{u}(t) \rangle_{\ell^2}^2 \quad (53)
$$

donc $\lim_{k \to 0} X_k^3(t) = 0$ d'après le lemme 3.1.3.

On a alors :

Théorème 3.3.

$u_k^{\frac{1}{2}}(t)$ converge vers $\bar{u}(t)$ dans $\ell^2(0,T,\mathcal{V}_1)$

$u_k^1(t)$ converge vers $\bar{u}(t)$ dans $\ell^2(0T, V_2)$

résulte de la coercivité de $a_1$ et $a_2$.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>
### 3.4. Identification de la limite :

On a :

#### Théorème 3.4.

Avec les notations précédentes :

$$ \text{on a} \qquad \eta(t) = \Pi\left(\frac{\partial \bar{u}}{\partial \bar{x}}(t), \frac{\partial \bar{u}}{\partial \bar{x}}(t)\right) \qquad (54) $$

avec

$$ \Pi(w_1, w_2) = \inf_{v \in \mathcal{U}(x)} [\mu_1(v)w_1 + \mu_2(v)w_2 + \varphi(v)] $$

Nous donnons la démonstration de ce résultat en annexe.

Le théorème 2.1. est démontré

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

## IV. RESULTATS NUMERIQUES.

### 4.1. Si dans la section 1 nous prenons

$$ v = H_0^1(\Omega) \quad g = 0 $$

Le problème (11) est équivalent au problème (55)

$$ Bu = 1 \quad u \in H_0^1(\Omega) $$

Si nous prenons

$$ v = H^1(\Omega) $$

Le problème (11) est équivalent au problème (56)

$$ Bu = 1 $$

$$ \frac{\partial u}{\partial \bar{v}}|_{A/\Gamma} = g $$
Nous avons étudié la convergence numérique pour un problème du style (56) du schéma précédemment décrit sur un IBM 370 - 168.

## 4.2. Discrétisation.

Soit h le pas de discrétisation.

Si v est un contrôle donné de $u(x)$

On définit :

$\beta_i$ de $V_i$ dans $V'_i$ par

$$ \beta_i(u) = A_i u - \mu_i(x, v(x)) \frac{\partial u}{\partial x_i} \quad (57) $$

où $A_i$ est définie par :

$$ a_i(u, v) = \langle A_i u, v \rangle_{V_i'} \times V_i \quad (58) $$

pour $i = 1, 2$.

Discrétisons $\beta_i$ par les différences finies.

Appelons $\beta_{ih}$ l'opérateur discrétisé obtenu

Soit $g = 0$

Appelons $f_{ih}$ l'approximation discrétisée de $f_i$

Supposons : $f = f_1 + f_2$

Prenons $\Omega = [0,1] \times [0,1]$

et $h = 0.1$

Si nous discrétisons l'algorithme de la section 2.

Nous obtenons :

$$ (I+k \beta_{1h}) u_h^{r+\frac{1}{2}} = f_{1h}^k + u_h^r + \varphi_{1h} (v^r)_k $$
$$ (I + k \beta_{2h}) u_h^{r+1} = f_{2h} + u_h^{r+\frac{1}{2}} + \varphi_{2h} (\underline{v}^r)_k \quad (59) $$

où $\varphi_{ih}$ sont les approximations discrétisées de $\varphi_i$

$i = 1, 2$

Nous résolvons (59) par un schéma exact décrit dans Yanenko N.N. [20] et pour résoudre (20), nous appliquons la discrétisation décrite par Quadrat J.P. [16].

### 4.3. Résultats numériques.

Si nous appelons $\bar{u}_h$ la projection discrétisée de $\bar{u}$ solution de (11) nous notons

$$ \text{EPS} = \int_{\Omega} |\bar{u}_h(x) - u_h^{N+1}(x)| d\Omega \times \frac{1}{\text{mes}(\bar{\Omega})} $$

nous prenons :

$$ \mu_1(x, v_1, v_2) = v_1 + v_2 $$

$$ \mu_2(x, v_1, v_2) = v_2 $$

$$ \varphi(v_1, v_2) = v_1^2 + v_2^2 + v_1 v_2 $$

$$ \ell_1(x) = 0 $$

$$ \ell_2(x) = 0 $$

$$ \sigma_1^2(x) = 2 $$

$$ \sigma_2^2(x) = 2 $$

$$ \lambda_1 = \lambda_2 = \frac{1}{2} $$

Nous calculons f pour que $\bar{u} = \cos \pi(x_1) \times \cos \pi(x_2)$ soit solution de (11).

Les résultats de convergence sont résumés dans les tableaux 1 et 2.
Nous appelons CEPS la même expression que EPS avec
$$|\bar{u}_h(x) - u_h^{N+1}(x)| \text{ remplacé par } |\bar{v}_{1h}^r(x) - \bar{v}_1(x)| + |\bar{v}_{2h}^r(x) - \bar{v}_2(x)|$$
où $\bar{v}_1(x)$ et $\bar{v}_2(x)$ sont les contrôles optimaux de l'équation (11)
et $\bar{v}_{1h}^r(x)$ et $\bar{v}_{2h}^r(x)$ sont les contrôles optimaux à l'étape 3r du schéma.

Dans le tableau 1 nous obtenons $\forall k$ le contrôle optimal en quelques dixièmes de seconde.

Dans le tableau 2 nous notons comme pour le contrôle impulsionnel une variation linéaire de EPS avec k.

<table><caption>Tableau 1</caption><thead><tr><th>k</th><th>NI</th><th>T.E.</th><th>CEPS</th></tr></thead><tbody><tr><td>1/12</td><td>8</td><td>0.29</td><td>0.008</td></tr><tr><td>1/25</td><td>13</td><td>0.34</td><td>0.007</td></tr><tr><td>1/50</td><td>2¹</td><td>0.40</td><td>0.006</td></tr><tr><td>1/100</td><td>37</td><td>0.58</td><td>0.006</td></tr></tbody></table>

Convergence contrôle

<table><caption>Tableau 2</caption><thead><tr><th>k</th><th>T.E</th><th>EPS</th></tr></thead><tbody><tr><td>1/12</td><td>2</td><td>0.081</td></tr><tr><td>1/25</td><td>5</td><td>0.042</td></tr><tr><td>1/50</td><td>10</td><td>0.026</td></tr></tbody></table>

Convergence coût
## CONCLUSION.

Nous avons donc introduit un nouveau schéma d'approximation pour l'équation d'Hamilton-Jacobi. Ce schéma basé sur des méthodes d'approximation numérique des équations aux dérivées partielles en conserve toutes les propriétés : obtention aisée de majoration d'erreurs, convergence forte du coût optimal, convergence rapide des contrôles optimaux (Quadrat [16]). Elle allie à celles-ci toutes celles des méthodes de Décompositions, composante par composante : stabilité inconditionnelle et transformation d'un problème de dimension n en une succession de problèmes à une dimension avec étape de projection.
REFERENCES

[1] William F. Ballhaus and Joseph L. Steger. Implicite approximate Factorization schemes for the low frequency transonic equation ; Nasa Technical Memorandum. X. 73 082.

[2] Beam R.M. and Warming R.F. . Submitted for publication to Journal of Comp. Physics.

[3] Bellman R. and R.E. Kalaba . Quasilinearization and non linear boundary value problem, American Elsevier 1965.

[4] A. Bensoussan, J.L. Lions, R. Temam . Sur les méthodes de décomposition, de décentralisation et de coordination et application ; Cahiers IRIA, n° 11, Tome 2, Paris 1972.

[5] A. Bensoussan, J.L. Lions ; Livre à paraître.

[6] J. Douglas and J.E. Gunn . A general formulation of alternating direction methods. Part I ; Parabolic and Hyperbolic problems, Numer. Math. 6-5-1964.

[7] J. Douglas, R.B. Kellog and R.S. Varga. Alternating direction methods for n space variables, Math. Comput. 17, 33 (1963).

[3] J. Douglas and H. Rachford. On the numerical solution of the heat conduction problems in two and three space variables, Trans. Amer. Math. Soc. 82, 2 (1956).

[9] E.G. Dyakonov . Difference schemes with split up operators for multi-dimensional stationary problems ; Zh Vych Matem. Matem Fiz 2 - 4 (1962) (en russe).

[10] W.H. Fleming . Some markovian optimization problems ; J. Math. Mech. 12 (1963) pp. 131-140.

[11] A.J. Kleinman and H.J. Kushner . Numerical methods for the solution of degenerate non linear elliptic equations arising in optimal stochastic control theory ; I.E.E.E. Transactions Automatic control, AC 13 (1963) pp. 344-353.

[12] J.L.Lions . Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires. Dunod Gauthier Villars (1969).

[13] G.I. Marchuk . On the theory of the splitting up method. In numerical solution of Partial Differential Equations II Synspade 1970 New York London Academic Press. (1971).

[14] S. Maurin . Méthodes de décomposition appliquées aux problèmes de contrôle impulsionnel ; Communication Congrès IFIP Septembre 75 Nice.
[15] D.W. Peaceman and H. Rachford. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations; SIAM J. 3, 1955.

[16] J.P. Quadrat. Analyse numérique de l'équation de Bellman stochastique. Rapport Laboria Octobre 1975.

[17] A.A. Samarskii. On the convergence of the fractional steps for the heat equation; Zh. Vych. Matem Fiz 2, 6 (1962) Russe.

[18] R. Témam. Thesis Paris 1967.

[19] N.N. Yanenko. On convergence of the splitting up method for the heat equation with variable coefficients; Zh Vych Matem Fiz 2, 5 (1962) Russe.

[20] N.N. Yanenko. Méthode à pas fractionnaire; Armand Colin 1963.
# ANNEXE

## Démonstration du lemme 3.1.1. :

Montrons l'inégalité à priori suivante : $A_1$

$$ \forall r \in [1, 2, \dots, N-1] $$

$$ \frac{1}{2} \sum_{j=0}^{r} \|u^{j+\frac{1}{2}} - u^{j}\|_{\ell}^{2} + \frac{1}{2} \sum_{j=0}^{r} \|u^{j+\frac{1}{2}} - u^{j}\|_{\ell}^{2} + \frac{1}{2} \|u^{r+1}\|_{\ell}^{2} $$

A1

$$ +k \frac{\alpha_1}{2} \sum_{j=0}^{r} \|u^{j+\frac{1}{2}}\|_{V_1}^2 + k \frac{\alpha_2}{2} \sum_{j=0}^{r} \|u^{j+1}\|_{V_2}^2 \leq 0 $$

en effet,

$$ \text{dans (13) prenons } v=u^{\frac{r+1}{2}} $$

$$ (19) \text{ prenons } v=u^{r+1} $$

et ajoutons ; il vient

$$ \langle u^{r+\frac{1}{2}} - u, u^{r+\frac{1}{2}} \rangle_{\ell}^2 + k a_1 (u^{r+\frac{1}{2}}, u^{r+\frac{1}{2}}) - k \langle \mu_1 (v^r) \frac{\partial u^{r+\frac{1}{2}}}{\partial x_1}, u^{r+\frac{1}{2}} \rangle_{\ell}^2 $$

$$ + \langle u^{r+1} - u^{r+\frac{1}{2}}, u^{r+1} \rangle_{\ell}^2 + k a_2 (u^{r+1}, u^{r+1}) - k \langle \mu_2 (v^r) \frac{\partial u^{r+1}}{\partial x_2}, u^{r+1} \rangle_{\ell}^2 $$

$$ = k \langle f_1 + \varphi_1 (v^r) , u^{r+\frac{1}{2}} \rangle_{\ell}^2 + k \langle f_2 + \varphi_2 (v^r) , u^{r+1} \rangle_{\ell}^2 $$

A2

c.a.d.
$$
\begin{align*}
& \frac{1}{2} \|u^{r+\frac{1}{2}} - u^r\|_{\ell^2}^2 + \frac{1}{2} \|u^{r+1} - u^{r+\frac{1}{2}}\|_{\ell^2}^2 + k a_1(u^{r+\frac{1}{2}}, u^{r+\frac{1}{2}}) - k \langle \mu_1(v^r) \frac{\partial u^{r+\frac{1}{2}}}{\partial x_1}, u^{r+\frac{1}{2}} \rangle_{\ell^2} \\
& \qquad + \frac{1}{2} \|u^{r+1} - u^{r+\frac{1}{2}}\|_{\ell^2}^2 + k a_2(u^{r+1}, u^{r+1}) - k \langle \mu_2(v^r) \frac{\partial u^{r+1}}{\partial x_2}, u^{r+1} \rangle_{\ell^2} \tag{A3} \\
&= k \langle f_1 + \varphi_1(v^r), u^{r+\frac{1}{2}} \rangle_{\ell^2} + k \langle f_2 + \varphi_2(v^r), u^{r+1} \rangle_{\ell^2} + \frac{1}{2} \|u^r\|_{\ell^2}^2
\end{align*}
$$

r étant fixé, sommons de $j = 0$ à $r$.

Il vient :

$$
\begin{align*}
& \frac{1}{2} \sum_{j=0}^{r} \|u^{j+\frac{1}{2}} - u^j\|_{\ell^2}^2 + \frac{1}{2} \sum_{j=0}^{r} \|u^{j+1} - u^{j+\frac{1}{2}}\|_{\ell^2}^2 + \frac{1}{2} \|u^{r+1}\|_{\ell^2}^2 \\
& \qquad + k \sum_{j=0}^{r} \left[ a_1(u^{j+\frac{1}{2}}, u^{j+\frac{1}{2}}) - \left\langle \mu_1(v^j) \frac{\partial u^{j+\frac{1}{2}}}{\partial x_1}, u^{j+\frac{1}{2}} \right\rangle_{\ell^2} \right] \\
& \qquad + k \sum_{j=0}^{r} \left[ a_2(u^{j+1}, u^{j+1}) - \left\langle \mu_2(v^j) \frac{\partial u^{j+1}}{\partial x_2}, u^{j+1} \right\rangle_{\ell^2} \right] \\
&= k \left[ \sum_{j=0}^{r} \left\langle f_1 + \varphi_1(v^j), u^{j+\frac{1}{2}} \right\rangle_{\ell^2} + \sum_{j=0}^{r} \left\langle f_2 + \varphi_2(v^j), u^{j+1} \right\rangle_{\ell^2} \right]
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\text{mais} \quad & a_1(u^{j+\frac{1}{2}}, u^{j+\frac{1}{2}}) - \left\langle \mu_1(v^j) \frac{\partial u^{j+\frac{1}{2}}}{\partial x_1}, u^{j+\frac{1}{2}} \right\rangle_{\ell^2} \ge \alpha_1 \|u^{j+\frac{1}{2}}\|_{V_1}^2 \\
& a_2(u^{j+1}, u^{j+1}) - \left\langle \mu_2(v^j) \frac{\partial u^{j+1}}{\partial x_2}, u^{j+1} \right\rangle_{\ell^2} \ge \alpha_2 \|u^{j+1}\|_{V_2}^2
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\text{et } & \left\langle f_1 + \varphi_1(v^j), u^{j+\frac{1}{2}} \right\rangle_{\ell^2} \le \frac{1}{2\epsilon} \|f_1 + \varphi_1(v^j)\|_{\ell^2}^2 + \frac{1}{2} \epsilon \|u^{j+\frac{1}{2}}\|_{\ell^2}^2 \\
& \left\langle f_2 + \varphi_2(v^j), u^{j+1} \right\rangle_{\ell^2} \le \frac{1}{2\epsilon} \|f_2 + \varphi_2(v^j)\|_{\ell^2}^2 + \frac{1}{2} \epsilon' \|u^{j+1}\|_{\ell^2}^2
\end{align*}
$$

A4
$$
\langle f_1 + \varphi_1(v^j), u^{j+\frac{1}{2}} \rangle_{\mathcal{L}^2} \le \frac{1}{2\epsilon} \|f_1 + \varphi_1(v^j)\|_{\mathcal{L}^2}^2 + \frac{1}{2\epsilon} \|u^{j+\frac{1}{2}}\|_{V_1}^2
$$

$$
\langle f_2 + \varphi_2(v^j), u^{j+1} \rangle_{\mathcal{L}^2} \le \frac{1}{2\epsilon}, \| f_2 + \varphi_2(v^j) \|_{\mathcal{L}^2}^2 + \frac{1}{2\epsilon'} \| u^{j+1} \|_{V_2}^2
$$

avec les hypothèses sur $\varphi_1, \varphi_2$ et en prenant $\epsilon = \alpha_1$, $\epsilon' = \alpha_2$

Il vient dans A4.

$$
\frac{1}{2} \sum_{j=0}^{r} \| u^{j+\frac{1}{2}} - u^j \|_{\mathcal{L}^2}^2 + \frac{1}{2} \sum_{j=0}^{r} \| u^{j+1} - u^{j+\frac{1}{2}} \|_{\mathcal{L}^2}^2 + \frac{1}{2} \| u^{r+1} \|_{\mathcal{L}^2}^2
$$

A5

$$
+ k \frac{\alpha_1}{2} \sum_{j=0}^{r} \| u^{j+\frac{1}{2}} \|_{V_1}^2 + k \frac{\alpha_2}{2} \sum_{j=0}^{r} \| u^{j+1} \|_{V_2}^2 \le 0 \quad \text{c.q.f.d.}
$$

■

Montrons pour $t \in [jk, (j+1)k]$ $j = 0, \dots, N-1$.

Les inégalités suivantes :

$$
A6 \quad \int_{jk}^{(j+1)k} \| u_k^{\frac{1}{2}}(t) \|_{V_1}^2 \le \frac{1}{2k} \left[ \| u^{j-\frac{1}{2}} \|_{V_1}^2 + \| u^{j+\frac{1}{2}} \|_{V_1}^2 \right]
$$

$$
A7 \quad \int_{jk}^{(j+1)k} \| u_k^1(t) \|_{V_2}^2 \le \frac{1}{2k} \left[ \| u^{j+1} \|_{V_2}^2 + \| u^j \|_{V_2}^2 \right]
$$

$$
A8 \quad \int_{jk}^{(j+1)k} \| u_k^{\frac{1}{2}}(t) - u_k^1(t) \|_{\mathcal{L}}^2 \le \frac{k}{2} \left[ \| u^{j-\frac{1}{2}} - u^{j-1} \|_{\mathcal{L}}^2 + \| u^{j+\frac{1}{2}} - u^{j+1} \|_{\mathcal{L}}^2 \right]
$$

$$
A9 \quad \| u_k^{\frac{1}{2}}(t) \|_{\mathcal{L}^2}^2 \le \| u^j \|_{\mathcal{L}^2}^2 + \| u^{j+1} \|_{\mathcal{L}^2}^2
$$

$$
A10 \quad \| u_k^{\frac{1}{2}}(t) \|_{\mathcal{L}^2}^2 \le \| u^{j-\frac{1}{2}} \|_{\mathcal{L}^2}^2 + \| u^{j+\frac{1}{2}} \|_{\mathcal{L}^2}^2
$$
Posons $\lambda = \frac{(t-jk)}{k}$ avec le changement de variable

$kd\lambda = dt$

Ceci résulte des 2 résultats suivants :

**Résultat 1** : si $a(\lambda) = (1-\lambda)b + \lambda c \quad 0 \le \lambda \le 1$
b et c éléments d'un espace normé E.

alors

$$ \|a(\lambda)\|^2 \le \|\dot{b}\|^2 + \|c\|^2 \qquad \text{A11} $$

**Résultat 2** : si $a(\lambda) = (1-\lambda)b + \lambda c \quad 0 \le \lambda \le 1$

alors

$$ \int_0^1 \|a(\lambda)\|^2 \le \frac{1}{2}[\|b\|^2 + \|c\|^2] \qquad \text{A12} $$

en effet,

$$ \|a(\lambda)\|^2 = (1-\lambda)^2 \|b\|^2 + \lambda^2 \|c\|^2 + 2(1-\lambda)\lambda \langle b, c \rangle \qquad \text{A13} $$

$$ \le (1-\lambda)^2 \|b\|^2 + \lambda^2 \|c\|^2 + \lambda^2 \|b\|^2 + (1-\lambda)^2 \|c\|^2 $$

$$ \le [(1-\lambda)^2 + \lambda^2][\|b\|^2 + \|c\|^2] \qquad \text{A14} $$

D'où le premier résultat puisque pour $0 < \lambda \le 1$

$$ (1-\lambda)^2 + \lambda^2 \le 1 $$

Reprenant A13

$$ \begin{align*} \int_0^1 \|a(\lambda)\|^2 &= \|b\|^2 \left[-\frac{(1-\lambda)^3}{3}\right]_0^1 + \|c\|^2 \left[\frac{\lambda^3}{3}\right]_0^1 + \langle b, c \rangle \left[\lambda^2 - \frac{2\lambda}{3}\right] \\ &= \frac{1}{3}\|b\|^2 + \frac{1}{3}\|c\|^2 + \frac{1}{3} \langle b, c \rangle \\ &\le \frac{1}{3}\|b\|^2 + \frac{1}{3}\|c\|^2 + \frac{1}{6}\|b\|^2 + \frac{1}{6}\|c\|^2 \\ &\le \frac{1}{2}[\|b\|^2 + \|c\|^2] \quad \text{c.q.f.d.} \end{align*} $$
Avec A1 A6 A7 A8 A9 A10 A11 et A12 on a le lemme 3.1.1.

Démonstration du Lemme 3.1.3. :

$$
\text{Posons } v_k^{\frac{1}{r}}(t) = u^{\frac{r+1}{2}} \quad \text{rk} \le t \le (r+1)k
$$

$$
v_k^1(t) = u^{r+1} \quad \text{rk} \le t \le (r+1)k
$$

Soit $v(t) \in \mathcal{L}^2(\text{OT}, H^1(\Omega))$

si $t \in [rk, (r+1)k]$.

On a dans (18)

$$
\begin{align*}
& \left\langle \frac{u^{r+\frac{1}{2}} - u^r}{k} \cdot v(t) \right\rangle_{\mathcal{L}^2} + a_1(u^{r+\frac{1}{2}}, v(t)) - \left\langle \eta_k^{\frac{1}{2}}(t) \cdot v(t) \right\rangle_{\mathcal{L}^2} \tag{A16} \\
&= \left\langle f_1, v(t) \right\rangle_{\mathcal{L}^2}
\end{align*}
$$

dans (19)

$$
\begin{align*}
& \left\langle \frac{u^{r+1} - u^{r+\frac{1}{2}}}{k} \cdot v(t) \right\rangle_{\mathcal{L}^2} + a_2(u^{r+1}, v(t)) - \left\langle \eta_k^1(t) \cdot v(t) \right\rangle_{\mathcal{L}^2} \tag{A17} \\
&= \left\langle f_2, v(t) \right\rangle_{\mathcal{L}^2}
\end{align*}
$$

Ajoutons A16 A17 il vient

$$
\begin{align*}
& \left\langle \frac{u^{r+1} - u^r}{k} \cdot v(t) \right\rangle_{\mathcal{L}^2} + a_1(v_k^{\frac{1}{2}}(t), v(t)) - \left\langle \eta_k^{\frac{1}{2}}(t) \cdot v(t) \right\rangle \\
& \qquad + a_2(v_k^1(t), v(t)) - \left\langle \eta_k^1(t) \cdot v(t) \right\rangle \tag{A13} \\
&= \left\langle f, v(t) \right\rangle_{\mathcal{L}^2} \quad \text{mais} \quad \frac{u^{r+1} - u^r}{k} = \frac{\partial u_k^1}{\partial t}(t) \in \mathcal{L}^2(\Omega)
\end{align*}
$$
En intégrant en t

$$
\begin{align*}
& \int_0^T \left\langle \frac{\partial u_k^1(t)}{\partial t} \cdot v(t) \right\rangle \mathcal{L}^2 dt + \int_0^T a_1 \left( v_k^{\frac{1}{2}}(t), v(t) \right) \cdot \left\langle \eta_k^{\frac{1}{2}} \cdot v(t) \right\rangle \mathcal{L}^2 dt \\
& \qquad + \int_0^T a_2 \left( v_k^1(t), v(t) \right) \cdot \left\langle \eta_k^1 \cdot v(t) \right\rangle \mathcal{L}^2 dt \\
&= \int_0^T \left\langle f \cdot v(t) \right\rangle \mathcal{L}^2 dt
\end{align*}
$$

Des lemmes 3.1.1. et des lemme 3.1.2., il vient :

$$
\int_0^T a_1 \left( v_k^{\frac{1}{2}}(t) \cdot v(t) \right) + \int_0^T a_2 \left( v_k^1(t), v(t) \right) \cdot \int_0^T a \left( \bar{u}(t), v(t) \right) dt
$$

$$
\text{et} \quad \int_0^T \left\langle \eta_k^{\frac{1}{2}} \cdot v(t) \right\rangle \mathcal{L}^2 + \left\langle \eta_k^1 \cdot v(t) \right\rangle \mathcal{L}^2 \to \int_0^T \left\langle \eta(t) \cdot v(t) \right\rangle \mathcal{L}^2
$$

$$
\text{donc} \quad \int_0^T \left\langle \frac{\partial u_k^1(t)}{\partial t} \cdot v(t) \right\rangle \mathcal{L}^2 dt \to \int_0^T \left\langle f \cdot v(t) \right\rangle \mathcal{L}^2 dt - \int_0^T a(\bar{u}(t), v(t)) \cdot \left\langle \eta(t) \cdot v(t) \right\rangle \mathcal{L}^2 dt
$$

par suite

$$
\frac{\partial u_k^1(t)}{\partial t} \rightarrow w(t) = f - A \bar{u}(t) + \eta(t) \qquad \text{A20}
$$

dans $\mathcal{L}^2(\mathcal{O}T, \mathcal{V}')$ faible.

Mais si Q désigne $[0T] \times \Omega$.

Alors, A20 entraîne que $\frac{\partial u_k^1(t)}{\partial t} \to f$ tend vers $w(t)$ dans $\mathcal{B}'(Q)$ comme

$$
u_k^1(t) \to \bar{u}(t) \text{ dans } \mathcal{L}^2(Q) \text{ faible}
$$

$$
\frac{\partial u_k^1(t)}{\partial t} \to \bar{u}(t) \quad \text{dans } \mathcal{B}'(Q)
$$
donc $w(t) = \frac{\partial \bar{u}(t)}{\partial \bar{t}}$ dans B'(Q)

par suite

$$ 
\begin{gathered}
\frac{\partial \bar{u}}{\partial \bar{t}} + A\bar{u}(t) - \eta(t) = f \qquad \text{A21} \\
\text{c.q.f,d.}
\end{gathered}
$$

Multiplions A21 par $\bar{u}(t)$ et intégrons en t. Il vient

$$ \int_0^t \left\langle \frac{\partial \bar{u}}{\partial \bar{t}} \cdot \bar{u}(t) \right\rangle_{V' \times V} + \int_0^t a(\bar{u}(t), \bar{u}(t)) - \int_0^t \langle \eta(t), \bar{u}(t) \rangle = \int_0^t \langle f, \bar{u}(t) \rangle $$

A22

C'est à dire

$$ \frac{1}{2}\|\bar{u}(t)\|^2 + \int_0^t a(\bar{u}(\tau), \bar{u}(\tau))d\tau - \int_0^t \langle \eta(\tau), \bar{u}(\tau) \rangle d\tau = \int_0^t \langle f, \bar{u}(\tau) \rangle d\tau \quad \text{A23} $$

■

Démonstration du théorème 3.4. :

Reprenons les définitions (26)

Posons $v_k(t) = v_{k-1}(t) \quad \text{si } rk \le t \le (r+1)k$

donc

$$ \eta_k^k(t) = \mu_1(v_k(t)) \frac{\partial u_k^{\frac{1}{2}}(t)}{\partial x_1} + \varphi_1(v_k(t)) $$

$$ \eta_1^k(t) = \mu_2(v_k(t)) \frac{\partial u_k^1(t)}{\partial x_2} + \varphi_2(v_k(t)) $$

On peut écrire $\eta_{\frac{1}{2}}^k(t)$ et $\eta_1^k(t)$ de la manière suivante

$$ \eta_{\frac{1}{2}}^k(t) = \mu_1(v_k(t)) \frac{\partial u_k^{\frac{1}{2}}}{\partial x_1}(t-k) + \varphi_1(v_k(t)) $$

$$ + \mu_1(v_k(t)) \left[ \frac{\partial u_k^{\frac{1}{2}}}{\partial x_1}(t) - \frac{\partial u_k^{\frac{1}{2}}}{\partial x_1}(t-k) \right] \qquad \text{A24} $$
$$
\eta_1^k(t) = \mu_2(v_k(t)) \frac{\partial u_k^1}{\partial \bar{x}_2} (t-k) + \varphi_2(v_k(t)) \\
+ \mu_2(v_k(t)) \left[ \frac{\partial u_k^1}{\partial \bar{x}_2}(t) - \frac{\partial u_k^1}{\partial x_2}(t-k) \right].
$$

donc

$$
\begin{align*}
\eta^k(t) &= \eta_1^k(t) + \eta_2^k(t) \\
&= \chi_k(t-k) + \mu_1(v_k(t)) \left[ \frac{\partial u_k^1}{\partial \bar{x}_1}(t) - \frac{\partial u_k^1}{\partial x_1}(t-k) \right] \\
&\quad + \mu_2(v_k(t)) \left[ \frac{\partial u_k^1}{\partial \bar{x}_2}(t) - \frac{\partial u_k^1}{\partial x_2}(t-k) \right]
\end{align*}
$$

$$
\eta^k(t) = \Pi\left(\frac{\partial u_k^1}{\partial \bar{x}_1}(t-k), \frac{\partial u_k^1}{\partial \bar{x}_2}(t-k)\right) \\
+ \mu_1(v_k(t))\left[\frac{\partial u_k^1}{\partial \bar{x}_1}(t) - \frac{\partial u_k^1}{\partial x_1}(t-k)\right] \\
+ \mu_2(v_k(t))\left[\frac{\partial u_k^1}{\partial \bar{x}_2}(t) - \frac{\partial u_k^1}{\partial x_2}(t-k)\right]
$$

- Π étant Lipschitzien en w₁, w₂

$\Pi(\frac{\partial u_k^1}{\partial \bar{x}_1}(t-k), \frac{\partial u_k^1}{\partial \bar{x}_2}(t-k))$ converge vers $\Pi(\frac{\partial \bar{u}}{\partial \bar{x}}(t), \frac{\partial \bar{u}}{\partial x_2}(t))$
dans $\ell^2(\text{OT}, \ell^2(\Omega))$ puisque $\frac{\partial u_k^1}{\partial \bar{x}_1}(t-k)$ (resp $\frac{\partial u_k^1}{\partial x_2}(t-k)$)
convergent vers $\frac{\partial \bar{u}}{\partial \bar{x}_1}(t)$ (resp $\frac{\partial \bar{u}}{\partial x_2}(t)$) dans $\ell^2(\text{OT}, \ell^2(\Omega))$

- d'autre part $\mu_1(v_k(t))$ et $\mu_2(v_k(t))$ sont bornées $\forall x \neq t$
et $\frac{\partial u_k^1}{\partial \bar{x}_1}(t) - \frac{\partial u_k^1}{\partial x_1}(t-k)$ converge vers zéro, dans $\ell^2(\text{OT}, \ell^2(\Omega))$
de même $\frac{\partial u_k^1(t)}{\partial \bar{x}_2} - \frac{\partial u_k^1(t-k)}{\partial \bar{x}_2}$ converge vers zéro dans $\ell^2(OT\ell^2(\Omega))$

donc $\eta_k^1(t)$ converge vers $\Pi(\frac{\partial \bar{u}}{\partial \bar{x}_1}(t), \frac{\partial \bar{u}}{\partial \bar{x}_2}(t))$ dans $\ell^2(OT\ell^2(\Omega))$.

Comme on sait que $\eta_k^1(t)$ converge faiblement vers $\eta(t)$ on a :

$$ \eta(t) = \Pi\left(\frac{\partial \bar{u}}{\partial \bar{x}_1}(t), \frac{\partial \bar{u}}{\partial \bar{x}_2}(t)\right) \quad \text{c.q.f.d.} $$