# Résolution d'un problème d'analyse de sensibilité par un algorithme d'optimisation.

Vincent Barichard, Jin-Kao Hao

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Vincent Barichard, Jin-Kao Hao. Résolution d'un problème d'analyse de sensibilité par un algorithme d'optimisation. 5ème Conférence Francophone de MOdélisation et SIMulation (MOSIM'04), Sep 2004, Nantes, France. pp.59-66. hal-04031226

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# RÉSOLUTION D'UN PROBLÈME D'ANALYSE DE SENSIBILITÉ PAR UN ALGORITHM D'OPTIMISATION MULTIOBJECTIF

V. BARICHARD et J.K. HAO

LERIA - Université d'Angers

2 Bd Lavoisier

F-49045 Angers CEDEX 1 - France

{Vincent.Barichard}{Jin-Kao.Hao}@univ-angers.fr

**RÉSUMÉ** : Nous présentons dans cet article une application d'un algorithme évolutionnaire, appelé PICPA, à un problème d'analyse de sensibilité. PICPA est un algorithme d'optimisation dédié aux problèmes multiobjectifs, capable de produire des solutions approchées de qualité tout en bornant les solutions optimales du problème. Pour pouvoir appliquer PICPA à un problème d'analyse de sensibilité, nous avons décomposé le problème initial en plusieurs problèmes multiobjectifs à résoudre. L'utilisation d'un algorithme d'optimisation capable de borner les solutions optimales du problème nous permet d'obtenir, dans des temps de calcul relativement courts, une réponse fiable quant à la sensibilité du système analysé.

**MOTS-CLÉS** : analyse de sensibilité, identification de paramètres, optimisation multiobjectif, propagation de contraintes.

## 1 INTRODUCTION

L'optimisation multiobjectif permet de modéliser des problèmes réels faisant intervenir de nombreux critères (souvent conflictuels) et contraintes. Dans ce contexte, la solution optimale recherchée n'est plus un simple point, mais un ensemble de bons compromis satisfaisant toutes les contraintes.

Un problème d'optimisation multiobjectif sous contraintes peut être défini comme suit :

$$ \begin{cases} \min & f_i(\vec{x}) & i = 1, \dots, m \\ \text{s.t.} & C_l(\vec{x}) \ge 0 & l = 1, \dots, q \\ & \vec{x} \in \mathbb{R}^n \end{cases} $$

Où $n$ représente le nombre de variables, $\vec{x}$ un vecteur de décision, $m$ le nombre d'objectifs (critères) et $q$ le nombre de contraintes du problème.

Récemment, un grand nombre de travaux menés sur l'application des algorithmes évolutionnaires aux problèmes d'optimisation multiobjectif ont présenté des résultats prometteurs [10, 8, 11, 9, 14, 12, 5].

Malheureusement, lorsque le nombre de contraintes à satisfaire augmente, ou lorsque la zone réalisable dans l'espace des objectifs est non connexe, les algorithmes évolutionnaires actuels convergent difficilement vers

l'intégralité du front Pareto optimal. De plus ces algorithmes, bien que très performants sur un grand nombre de problèmes, ne permettent pas d'évaluer la qualité des solutions qu'ils fournissent.

Dans cet article, nous modélisons un problème d'analyse de sensibilité sous forme de plusieurs problèmes multiobjectifs. Nous nous intéressons plus précisément à la sensibilité (ou l'ambiguïté) du choix des paramètres d'un système décrit à partir d'un modèle non linéaire. Les approches actuelles utilisent des méthodes exactes pour déterminer l'ensemble des valeurs possibles d'un paramètre et ainsi statuer sur l'ambiguïté du choix de ce paramètre. Dans cet article, nous décomposons le problème initial en plusieurs problèmes multiobjectifs que nous résolvons avec l'algorithmme évolutionnaire PICPA (Population and Interval Constraint Propagation Algorithm). Les approches exactes étant extrêmement coûteuses en temps de calcul, nous allons grâce à l'utilisation d'un algorithme d'optimisation fondé sur des principes heuristiques, pouvoir déterminer dans des temps de calculs assez courts si le choix du paramètre est ambigu.

PICPA combine des techniques de propagation de contraintes sur intervalles : "Interval Constraint Propagation" (ICP) [3, 7] avec des concepts évolutionnaires (population et processus de sélection). L'algorithme
PICPA est capable de produire des solutions ap-
prochées de très bonne qualité tout en calculant des
bornes garanties du front Pareto optimal cherché.
Ceci lui permet d'encadrer les solutions optimales du
problème, propriété faisant défaut aux algorithmes
évolutionnaires classiques.

Le papier est organisé comme suit : dans la première
section nous rappelons brièvement le fonctionnement
de l’algorithme PICPA. Puis nous présentons le prob-
lème d’analyse de sensibilité ainsi que les résultats ex-
périmentaux obtenus par PICPA sur les instances de
problème traitées. Finalement, les conclusions ainsi
que des perspectives de recherche sont données dans
la dernière section.

2 LA MÉTHODE PICPA

Le concept de population est très approprié dans le
contexte de l'optimisation multiobjectif. En effet,
comme le front Pareto optimal est, dans la plupart
des cas, un ensemble de solutions, chaque individu de
la population peut espérer devenir une solution par-
ticulière du front Pareto optimal. En conséquence, la
population dans son intégralité devient une approxi-
mation de l'ensemble Pareto optimal cherché.

Dans cette section, nous présentons brièvement
l’algorithme PICPA qui combine une population et
des mécanismes de propagation de contraintes sur des
intervalles. Cette combinaison permet à PICPA de
calculer un encadrement du front Pareto optimal du
problème. Le lecteur intéressé peut se référer à [1, 2]
pour une présentation plus détaillée.

2.1 Une relation de dominance “point-ensemble”

Nous introduisons une relation de dominance entre
un point et un ensemble, la PS-dominance, qui est
une extension de la relation de dominance classique
utilisée dans le contexte de l'optimisation multiobjec-
tif [4].

**Définition 1 (PS-dominance)** Soit un vecteur **u** et un ensemble de vecteurs **{v}** , |**{v}**| > 0 :

$$
\mathbf{u} =_{ps} \{\mathbf{v}\} \text{ (u PS-égale } \{\mathbf{v}\}\text{), ssi } \forall \mathbf{v} \in \{\mathbf{v}\} : \mathbf{u} = \mathbf{v}
$$

$$
\mathbf{u} \prec_{ps} \{\mathbf{v}\} \text{ (u PS-domine } \{\mathbf{v}\}\text{), ssi } \forall \mathbf{v} \in \{\mathbf{v}\} : \mathbf{u} \prec \mathbf{v}
$$

$$
\mathbf{u} \succcurlyeq_{ps} \{\mathbf{v}\} \text{ (u est PS-dominé par } \{\mathbf{v}\}\text{),} \\
\text{ssi } \forall \mathbf{v} \in \{\mathbf{v}\} : \mathbf{u} \succcurlyeq \mathbf{v}
$$

$$
\mathbf{u} \sim_{ps} \{\mathbf{v}\} (\mathbf{u} \text{ est incomparable (PS-non dominé) avec } \{\mathbf{v}\}), \text{ dans les autres cas}
$$

Où **u** ≺ **v** est équivalent à (∀i ∈ {1, 2, ..., m}, uᵢ ≤ vᵢ ∧ ∃j ∈ {1, 2, ..., m}, uⱼ ≠ vⱼ). La complexité de la PS-dominance est en O(m × |{v}|) car nous devons tester **u** avec chaque élément de {v}.

Pour la suite, nous utilisons la notation [v] pour désigner un intervalle de ℝ et [v] pour désigner un vecteur d'intervalles de ℝ<sup>m</sup>. De plus, un vecteur d'intervalles de ℝ<sup>m</sup> peut aussi être appelé une boîte de ℝ<sup>m</sup>. Il en résulte que nous pouvons appliquer la PS-dominance entre n'importe quel vecteur u de ℝ<sup>m</sup> et n'importe quelle boîte [v] de ℝ<sup>m</sup>. Dans ce cas particulier, la complexité de la PS-dominance est en O(m). En effet, nous avons besoin de tester la dominance uniquement entre u et le point situé au coin inférieur gauche de [v].

2.2 Représentation de l'espace de recherche et des objectifs

Dans la plupart des algorithmes fondés sur le principe
de population, un individu ou une configuration
représente un vecteur de décision, chaque variable
étant instanciée par une valeur de ℝ. Avec cette
représentation, chaque individu correspond à un
point particulier dans l'espace de recherche et son
image correspond à un point dans l'espace des
objectifs.

Dans notre approche, chaque individu est aussi
un vecteur, mais chaque variable est maintenant
représentée par un intervalle, au lieu d'une valeur
simple. En conséquence, chaque individu de la popu-
lation correspond maintenant à une boîte [x] de ℝⁿ (n
étant le nombre de variables du problème) de l'espace
de recherche dont l'image, par les différentes fonctions
objectifs, est une boîte de ℝⁿ (m étant le nombre
d'objectifs du problème) dans l'espace des objectifs.

2.3 Sélection Pareto de boîtes

Considérons un ensemble d'individus représentés par
des boîtes (cf. Section 2.2). Faisons l'hypothèse que
toutes les configurations réalisables sont contenues
dans le sous-pavage décrit par la population. En con-
séquence, le front Pareto optimal se trouve aussi in-
clus dans la population.

Pour enlever des individus qui ne contiennent au-
cune solution de l'ensemble Pareto optimal, nous ap-
pliquons la procédure de sélection Pareto suivante :

1. Essayer d'instancier les individus de la popula-
tion en ne passant qu'un temps limité pour la
recherche de solution.
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 1: Un exemple de sélection Pareto.</figcaption></figure>

2. Appliquer la PS-dominance (cf. section 2.1) pour retirer tous les individus qui sont dominés par un autre individu instancié de la population.

Après ce traitement, nous avons une population réduite d'individus, et nous sommes assurés que l'union de ces boîtes (ou individus) contient toujours l'intégralité du front Pareto optimal (cf figure 1).

## 2.4 L'algorithme PICPA

PICPA utilise une population de taille variable, sa taille maximale étant un paramètre à fixer. PICPA démarre avec un individu unique $\vec{[x]}$ dans lequel chaque variable $x_i$ est initialisée par un intervalle (le domaine de définition de la variable). Dans le but de réduire l'intervalle de chaque variable, nous appliquons d'abord des phases d'ICP jusqu'à l'obtention d'un point fixe [3, 7]. Il est clair que cet individu correspond à une boîte de $\mathbb{R}^m$.

Soit $\vec{[f]}$ cette boîte. Prenons un objectif $f_i$ et réalisons une bissection dans son intervalle de définition $[f_i]$. Cette bissection sur $\vec{[x]}$ conduit ainsi à l'obtention de deux nouveaux individus $\vec{[x']}$ et $\vec{[x'']}$.$^1$ Un processus d'ICP est ensuite appliqué à chacun de ces deux nouveaux individus dans le but de réduire l'intervalle de chacune de leurs variables. Ces individus remplacent l'individu parent dans la population et correspondent ainsi à deux boîtes $\vec{[f]}$ et $\vec{[f']}$ de $\mathbb{R}^m$. Ce mécanisme de "bissection-réduction" est itéré jusqu'à ce que le nombre d'individus de la population atteigne la taille maximale. Remarquons que si le domaine d'une variable est réduit à l'ensemble vide pendant une phase d'ICP, l'individu ainsi mis en évidence ne sera pas réinséré dans la population.

Une fois que la population a atteint sa taille maximale, un processus d'instanciation va être déclenché dans le but d'obtenir un point réalisable pour chaque

individu $\vec{[x]}$. Plus précisément, une valeur particulière satisfaisant les contraintes tout en restant incluse dans la boîte sera recherchée, et ceci pour tous les individus de la population. Il existe plusieurs approches pour effectuer cette recherche de solution : dans PICPA, cette recherche est effectuée naïvement en essayant d'étendre une instanciation partielle à une instanciation globale (recherche exhaustive). Nous avons aussi proposé, dans PICPA-II [1], une méthode stochastique fondée sur les principes de la recherche locale. Comme cette étape peut requérir un temps de calcul considérable, PICPA consacre un temps de recherche limité à cette recherche. Ce temps de recherche consiste en une valeur d'arrêt permettant d'interrompre le processus si aucun point réalisable n'a encore été trouvé au bout d'un certain nombre de tentatives. Ainsi, après ce stade, certains individus de la population contiennent un point complètement instancié, c'est-à-dire un vecteur réel $\vec{x}$, alors que d'autres ne contiennent aucun point. Notons que le résultat de chaque instanciation (chaque point réalisable trouvé) est stocké dans une structure de données séparée et que les individus de la population ne sont pas modifiés.

Rendus à ce point, nous pouvons appliquer le mécanisme de sélection Pareto (cf. section 2.3) pour éliminer les individus PS-Dominés de la population. Comme la taille de population est réduite, nous pouvons réitérer le processus de "bissection-réduction" vu précédemment pour ré-augmenter la taille de la population jusqu'à sa taille maximale.

## 2.5 Discussion

L'algorithme PICPA permet de calculer, en une seule exécution, des solutions approchées pertinentes ainsi qu'un encadrement du front Pareto optimal. La population permet de contrôler le nombre de bissections tout en ne perdant aucune solution réalisable du problème. Son efficacité a été démontrée lors des
Initialiser la population avec un unique individu localement consistant
Tant que $0 < |Population| < Max\_Population\_Size$ faire
Tant que $0 < |Population| < Max\_Population\_Size$ faire
- Sélectionner un individu (parent) et réaliser une bissection selon un des objectifs, conduisant à deux individus (enfants) distincts
- Réduction des domaines des enfants (ICP)
- Mise à jour de la population :
  (a) Retirer le père
  (b) Ajouter les enfants localement consistants
FinTantQue
- Instanciation potentielle de chaque individu
- Processus de sélection Pareto (PS-dominance)
FinTantQue

<caption>Figure 2: Pseudo-code de l'algorithme PICPA.</caption>

expérimentations effectuées sur des problèmes tests réputés [1].

L'aptitude de PICPA à encadrer le front Pareto optimal d'un problème peut être utilisée pour borner n'importe quel type d'ensemble pouvant se formaliser comme la solution optimale d'un problème d'optimisation multiobjectif.

## 3 L'ANALYSE DE SENSIBILITÉ

L'identification et l'analyse de sensibilité (ou estimation à erreurs bornées) est un domaine d'application en automatique. Supposons que nous disposions d'un système $y(t)$ nécessitant le paramétrage d'un vecteur de paramètre $p$. À chaque vecteur $p$, nous pouvons associer un système particulier $y_p(t)$. À partir de ce système, et connaissant les conditions expérimentales qui ont permis de générer le vecteur des données mesurées $\mathbf{y}$, nous pouvons calculer, sous ces mêmes conditions expérimentales, la sortie $y_p(t)$ homogène aux données expérimentales $\mathbf{y}$. L'estimation à erreurs bornées s'intéresse à la caractérisation de l'ensemble des vecteurs de paramètres $p$ tel que le vecteur des sorties du système $y_p(t)$ soit compatible, dans un sens à définir, avec le vecteur des mesures $\mathbf{y}$. Le lecteur intéressé trouvera dans le livre de Walter et Pronzato [13] la présentation des notions liées à ce domaine.

Nous nous intéressons, dans cet article, à l'identification de paramètres incertains d'un système par minimisation d'un critère non convexe. Nous cherchons à visualiser les variations du critère en fonction des zones de confiance des paramètres, dans le but de nous prononcer sur la possibilité d'identifier le système à analyser. Ainsi un système sera considéré comme clairement identifiable si le choix des valeurs de ses paramètres n'est pas ambigu,

et sera considéré comme mal identifiable (ou ambigu) dans le cas contraire.

Dans la suite, nous allons traiter deux systèmes, issus du même modèle non linéaire décrit par Dao, Baguenard et Jaulin dans [6] :

$$y_p(t) = g(\vec{p}, t) = \alpha_1 \exp(-p_1 t) - \alpha_2 \exp(-p_2 t)$$

La figure 3 représente la visualisation du système $y_p(t)$ où $\alpha_1 = 20$ et $\alpha_2 = 8$, ainsi que les points mesurés $\mathbf{y}$ (vecteur des mesures).

### 3.1 Présentation du problème

Nous cherchons donc à déterminer si le choix des valeurs des paramètres $p_1$ et $p_2$ minimisant l'erreur séparant les valeurs du système $y_p(t)$ des différents points de mesures est ambigu ou non. Dans [6], Dao, Baguenard et Jaulin définissent le critère d'erreur à minimiser de la manière suivante :

$$f(\vec{p}) = \max_{i=1,...,m} |y_p(t_i) - y_i|$$

Pour déterminer si le choix d'une valeur pour le paramètre $p_k$ est ambigu, nous allons chercher à visualiser $f(\vec{p})$ en fonction de $p_k$. Nous appelons épigraphe<fnref n="1" /> d'un $p_k$, la partie supérieure de la courbe $f(\vec{p})$ dans le repère formé à partir du $p_k$ considéré en abscisse et de $f(\vec{p})$ en ordonnée. La forme de cet épigraphe permet de déterminer si le choix de $p_k$ est ambigu. En effet, il suffit de regarder si pour une même valeur $f(\vec{p})$ un seul choix de $p_k$ est possible.

<footnote n="1">¹L'épigraphe de $f$ est, par définition, l'ensemble des points du plan situé au dessus de la courbe représentative de $f$.</footnote>
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3: Représentation d'un système $y_p(t)$.</figcaption></figure>

Nous sommes alors en présence d'un paramètre clairement identifiable.

Il est clair qu'il est nécessaire de caractériser autant d'épigraphes qu'il y a de paramètres $p_k$ (deux dans notre cas). Dans [6], les auteurs calculent l'intégralité de chaque épigraphe par une méthode de projection appliquée aux intervalles. Cette méthode exacte calcule une approximation très précise de l'intégralité de chaque épigraphe mais au prix d'un coût calculatoire très important. Pour accélérer les temps de résolution, les auteurs ont diminué la précision des intervalles. Ainsi, un peu plus de 5 minutes sont nécessaires pour le calcul d'un épigraphe sur les instances traitées. Mais du fait de la faible précision des intervalles, des zones indéterminées de l'épigraphe, pour lesquelles l'algorithmne n'a pas su dire si elles faisaient ou non parties de l'épigraphe, perturbent l'analyse de sensibilité du système.

Dans la suite, nous n'allons pas déterminer l'intégralité de chaque épigraphe, mais uniquement une partie de leur frontière. Nous calculons ainsi une partie de chaque épigraphe, mais avec une précision de calcul beaucoup plus importante. Pour ce faire, nous allons décomposer le problème initial, pour chacun des $p_k$, en 2 problèmes multiobjectifs sous contraintes que nous allons résoudre avec PICPA.

## 3.2 Décomposition du problème

Un exemple d'épigraphe est représenté à la figure 4. Dans cet exemple, le problème est décomposé en deux problèmes multiobjectifs. Ces deux problèmes sont clairement suffisants pour visualiser les parties intéressantes de l'épigraphe, c'est-à-dire autour des valeurs minimales du critère d'erreur $f(\vec{p})$ à minimiser. La formulation des deux problèmes multiobjectifs à résoudre, issus de la décomposition du problème initial, est donnée à la figure 5.

D'après l'énoncé du problème, deux paramètres $p_k$ sont à identifier. Il est donc nécessaire de visualiser un épigraphe par $p_k$, ce qui porte à quatre le nombre de problèmes multiobjectifs à résoudre.

## 3.3 Résultats expérimentaux

Nous allons maintenant donner les résultats expérimentaux obtenus par PICPA-II, la version améliorée (cf. Section 2.4) de notre algorithme PICPA, sur deux instances de système. Toutes les mesures $y_i$, $i \in [1, \dots, m]$ effectuées aux temps $t_i$ sont extraites des travaux de Dao, Baguenard et Jaulin [6].

### 3.3.1 Un système facilement identifiable

Pour ce système, nous fixons $\alpha_1 = 20$ et $\alpha_2 = 8$. Le temps de calcul, pour la caractérisation d'un épigraphe, est inférieur à 10 sec sur un PC (Bi-Pentium III 1 Ghz) sous Linux. La figure 6 montre les boîtes calculées par PICPA-II pendant la résolution.

Nous ne représentons que les boîtes calculées par PICPA-II, car nous sommes assurés que la frontière de l'épigraphe calculé est bornée par ces boîtes. Rappelons qu'identifier un système consiste à déterminer la valeur de ses paramètres, ici $p_1$ et $p_2$, avec le plus petit taux d'erreur possible. Rappelons aussi que la fonction $f$ calcule l'erreur entre les valeurs théoriques du système et les mesures réelles. Ainsi, lorsque $f = 0$, les valeurs théoriques coïncident parfaitement avec les valeurs réelles. En observant la figure 6(a), nous constatons que $f$ prend la valeur 0 en un seul point. L'abscisse de ce point, correspondant à la valeur du paramètre $p_1$, est proche de 0.5. Il en va de même pour la figure 6(b), où lorsque $f = 0$, le paramètre $p_2$ est facilement identifiable à une valeur proche de 0.1.
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4: Décomposition du problème de visualisation de l'épigraphe.</figcaption></figure>

$$
\text{EPI}_k^a \left\{
\begin{array}{ll}
\text{Minimiser} & f_1(x) = \max_{i=1,\dots,m} |y_p(t_i) - y_i| \\
\text{Minimiser} & f_2(x) = p_k \\
\text{où} & y_i \text{ est la valeur obtenue en mesurant le système à l'instant } t_i
\end{array}
\right.
$$

$$
\text{EPI}_k^b \left\{
\begin{array}{ll}
\text{Minimiser} & f_1(x) = \max_{i=1,\dots,m} |y_p(t_i) - y_i| \\
\text{Minimiser} & f_2(x) = -p_k \\
\text{où} & y_i \text{ est la valeur obtenue en mesurant le système à l'instant } t_i
\end{array}
\right.
$$

<caption>Figure 5: Formalisation de la décomposition du problème.</caption>

Les deux paramètres $p_1$ et $p_2$ sont donc facilement identifiables, car il n'existe pas d'autres choix possibles lorsque $f$ est la plus proche de zéro. Il en résulte que le système est facilement identifiable.

3.3.2 Un système mal identifiable

Pour ce système, nous fixons $\alpha_1 = 100$ et $\alpha_2 = 101$. Le temps de calcul, pour la caractérisation d'un épigraphe, est inférieur à 10 sec sur un PC (Bi-Pentium III 1 Ghz) sous Linux. La figure 7 montre les boîtes calculées par PICPA-II pendant la résolution.

Pour ce système aussi, nous ne représentons que les
boîtes calculées par PICPA-II. En observant la fig-
ure 7(a), nous constatons premièrement que f, l'écart
entre les valeurs théoriques et réelles, ne prend jamais
la valeur 0. Sur cette instance, la valeur minimale de
f est proche de 0.2. Or, pour cette valeur minimale
de f, deux valeurs de p₁ sont possibles. En effet,
p₁ peut prendre des valeurs proches de 0.5 et de 1
sans que la valeur de f permette de le différencier.
Le paramètre p₁ est donc ambigu Il en va de même
pour la figure 7(b), car le paramètre p₂ ambigu peut

prendre plusieurs valeurs différentes (soit une valeur
proche de 0.5, soit une valeur proche de 1) pour une
même valeur de f proche de 0.2.

Sur ce système, pour une même valeur de f, plusieurs
valeurs des paramètres p₁ et p₂ sont possibles, nous
sommes donc en présence d'un système mal identifi-
able. Pour ce système, il est nécessaire de recalibrer
les valeurs α₁ et α₂.

3.4 Discussion

La décomposition d'un problème d'analyse de sens-
sibilité en plusieurs problèmes multiobjectif est une
approche nouvelle. L'inconvénient principal de cette
approche réside dans le fait que l'intégralité de
l'épigraphe n'est pas calculé. Ceci peut en ef-
fet perturber l'utilisateur qui est habitué à obtenir
l'ensemble complet des solutions. Cependant, cet
inconvénient est aussi son principal atout. En ef-
fet, en ne calculant qu'une partie de la frontière
de l'épigraphe, nous évitons de perdre du temps à
chercher des solutions qui ne sont pas utiles pour
répondre au problème de sensibilité des paramètres.
Ce gain de temps nous permet d'augmenter la préci-
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 6: Résultats expérimentaux sur un système facilement identifiable.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 7: Résultats expérimentaux sur un système mal identifiable.</figcaption></figure>

sion des calculs, se traduisant sur les instances traitées ici par l'obtention d'une approximation de la frontière d'une précision inférieure à $10^{-3}$. Ce gain de précision sur l'encadrement fourni par PICPA permet de stater de façon certaine sur l'ambiguïté des paramètres à déterminer.

# 4 CONCLUSION

Dans cet article, nous avons présenté une approche multiobjectif pour le problème d'analyse de sensibilité. Pour ce faire, nous avons décomposé le problème initial en plusieurs problèmes multiobjectifs que nous avons résolus avec l'algorithme PICPA. Comme le montrent les résultats expérimentaux obtenus, notre approche permet de déterminer la partie intéressante de la frontière de l'epigraphe dans des temps de calcul relativement courts.

Cette étude montre l'intérêt de l'optimisation multiobjectif pour le problème d'analyse de sensibilité. Elle constitue également une validation concrète de notre algorithme PICPA.

# RÉFÉRENCES

[1] V. Barichard. Approches hybrides pour les problèmes multiobjectifs. PhD thesis, Laboratoire d'Étude et de Recherche en Informatique d'Angers, 2003.

[2] V. Barichard and J.K. Hao. A population and interval constraint propagation algorithm. In Lecture Notes in Computer Science (EMO'03), volume 2632, pages 88-101, Faro, Portugal, 2003. Springer.
[3] J.G. Cleary. Logical arithmetic. *Future Computing Systems*, 2(2):125-149, 1987.

[4] Y. Collette and P. Siarry. *Optimisation multiobjectif*. Eyrolles, 2002.

[5] D.W. Corne and J.D. Knowles. M-paes: a memetic algorithm for multiobjective optimization. In *Proceedings of the 2000 Congress on Evolutionary Computation*, pages 325-332, 2000.

[6] M. Dao, X. Baguenard, and L. Jaulin. Projection d'ensembles pour l'estimation de paramètres, la conception de robot et la commande robuste. *JDA 2003*, pages 4-5, 2003.

[7] E. Davis. Constraint propagation with interval labels. *Artificial Intelligence*, 32(3):281-331, 1987.

[8] C.M. Fonseca and P.J. Fleming. Genetic algorithms for multi-objective optimization: formulation, discussion and generalization. In *Proceedings of The Fifth International Conference on Genetic Algorithms*, pages 416-423, 1993.

[9] X. Gandibleux, N. Mezdaoui, and A. Freville. A multiobjective tabu search procedure to solve combinatorial optimization problems. In *Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems*, volume 455, pages 291-300. Springer, 1997.

[10] D.E. Goldberg. Genetic algorithms for search, optimization, and machine learning. *Reading, MA: Addison-Wesley*, 1989.

[11] N. Srinivas and K. Deb. Multiobjective optimization using non dominated sorting in genetic algorithms. *Evolutionary Computation*, 2(3):221-248, 1994.

[12] E.L. Ulungu, J. Teghem, Ph. Fortemps, and D. Tuyttens. MOSA method: a tool for solving multiobjective combinatorial optimization problems. *Journal of Multi-Criteria Decision Analysis*, 8:221-336, 1999.

[13] E. Walter and L. Pronzato. *Identification of parametric models from experimental data*. Springer-Verlag, 1997.

[14] E. Zitzler and L. Thiele. Multiobjective evolutionary algorithms: a comparative case study and the strength Pareto approach. *IEEE Transactions on Evolutionary Computation*, 3:257-271, 1999.