# Oscillations de forme d'une goutte ou d'une bulle en ascension

Benjamin Lalanne, Frederic Risso, Sébastien Tanguy

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Benjamin Lalanne, Frederic Risso, Sébastien Tanguy. Oscillations de forme d'une goutte ou d'une bulle en ascension. CFM 2011 - 20ème Congrès Français de Mécanique, Aug 2011, Besançon, France. hal-03422757

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# Oscillations de forme d'une goutte ou d'une bulle en ascension

B. Lalanne, F. Risso, S. Tanguy

Institut de Mécanique des Fluides de Toulouse, Université de Toulouse (INP - UPS) & CNRS

## Résumé :

Les oscillations de forme d'une goutte ou d'une bulle en ascension au sein d'un autre liquide sont étudiées par simulation numérique directe. La forme de la goutte est décomposée en harmoniques sphériques, afin de déterminer les fréquences et les amortissements de ses modes propres et de les comparer aux valeurs théoriques du cas de la goutte statique. En particulier, nous montrons que les mécanismes de dissipation de l'énergie par les couches limites d'ascension et d'oscillation et par les régions d'écoulement potentiel sont différents selon que l'on considère une bulle ou une goutte.

## Abstract :

Shape oscillations of a rising drop or bubble immersed in another liquid are studied by means of direct numerical simulations. The shape of the drop is decomposed into spherical harmonics, so as to determine frequencies and damping rates of its eigenmodes and to compare themselves to the theoretical values of the case of a non-rising drop. In particular, we show that the mechanisms of dissipation of energy by the boundary layers and regions of potential flow are different if we consider a droplet or a bubble.

Mots clefs : écoulements à bulles ; oscillations de forme ; amortissement.

## 1 Introduction

Les écoulements à bulles sont fréquemment rencontrés en génie des procédés pour réaliser du transfert de matière. La taille des bulles est un paramètre clé qui conditionne l'efficacité de ces tranferts. Il est donc nécessaire d'étudier les différents mécanismes hydrodynamiques (coalescence, rupture...) dont va dépendre la distribution finale des tailles de bulles.

Le nombre de Weber caractérise leur déformation : il correspond au rapport entre la contrainte responsable de la déformation de la bulle (due à l'écoulement externe) et la tension de surface, qui s'oppose à la déformation. Une approche classique pour modéliser la fragmentation des bulles consiste alors à définir un nombre de Weber critique (en régime inertiel) au-delà duquel la rupture se produit. Cependant, cette approche, bien que particulièrement simple, ne prend pas en compte un paramètre important : le temps de réponse de l'interface à une perturbation. En effet, en étant déformée, l'interface va se mettre à osciller ; mais va-t-elle être capable d'amortir ses oscillations, et combien de temps faut-il suivre la bulle oscillante pour déclarer si elle va se rompre ou pas ? La nécessité de prendre en compte ce paramètre a donné naissance à une autre approche, qui considère la bulle comme un oscillateur harmonique afin de décrire sa dynamique de déformation, avec un terme de forçage provenant de l'écoulement externe (par exemple un forçage instationnaire dû à la turbulence). La dynamique de l'interface est représentée dans ce modèle par une somme de modes propres : chaque mode est associé à une harmonique sphérique (qui décrit la forme) et son évolution en temps, c'est-à-dire sa fréquence $\omega_n$ d'oscillation et son amortissement $\beta_n$.

$$r(\theta, \varphi) = R \left( 1 + \sum_{n,m} a_{n,m} Y_n^m(\theta, \varphi) \cos(\omega_n t) e^{-\beta_n t} \right) \quad (1)$$
R désigne le rayon de la sphère non déformée, $a_{nm}$ l'amplitude du mode $(n, m)$ considéré et $Y_n^m(\theta, \phi)$ l'harmonique sphérique correspondante. Galinat & al. [1] ont montré que ce modèle d'oscillateur permettait de calculer les probabilités de rupture de bulles en écoulement turbulent, pourvu que les deux constantes de temps $\omega^{-1}$ et $\beta^{-1}$ soient connues.

Plusieurs calculs théoriques existent pour ces paramètres. Rayleigh [6], le premier, a réalisé un calcul non visqueux des modes de vibrations linéaires d'une goutte dans le vide. Lamb [2] a ensuite généralisé ce calcul au cas de fluides peu visqueux (bulle ou goutte dans un fluide au repos). Pour cela, il a calculé les écoulements potentiels dans chaque phase, puis les a raccordés en écrivant les conditions aux limites sur la sphère non déformée (valable sous l'hypothèse des faibles déformations). Cette approche donne une bonne approximation de la fréquence et de l'amortissement lorsque leur partie potentielle domine. Par contre, ce calcul ne prend pas en compte le raccordement des vitesses tangentielles à l'interface qui se fait au sein de deux couches limites de part et d'autre de la surface de la sphère. Un calcul plus complet a donc été effectué par Miller & Scriven [4] et Lu & Apfel [3], en résolvant les équations de Navier-Stokes linéarisées sous l'hypothèse de faible amplitude, obtenant ainsi une solution plus générale. Ce travail a par la suite été étendu par Prosperetti [5], qui s'est intéressé à l'existence d'un spectre continu dans le cas où l'écoulement externe était non borné (cas de la bulle dans un liquide), en fonction des conditions initiales. Miller & Scriven ont montré qu'à grand nombre de Reynolds d'oscillation, la fréquence et l'amortissement des oscillations peuvent s'écrire ainsi :

$$ \omega_n^{th} = \omega_n^* - \frac{\mu_d}{\rho_d R^2} F \sqrt{Re_{d,n}} \quad (2) \qquad \beta_n^{th} = \frac{\mu_d}{\rho_d R^2} [-2F^2 + G + F\sqrt{Re_{d,n}}] \quad (3) $$

avec

$$ \omega_n^* = \sqrt{\frac{(n-1)n(n+1)(n+2)\sigma}{(\rho_d(n+1) + \rho_c n)R^3}} $$

$$ F = \frac{(2n + 1)^2 (\hat{\rho}\hat{\mu})^{1/2}}{2\sqrt{2}[n\hat{\rho} + n + 1][1 + (\hat{\rho}\hat{\mu})^{1/2}]} \quad G = \frac{(2n + 1)[2(n^2 - 1) + (n + 2)\hat{\mu} - (n - 1)\hat{\rho}\hat{\mu} + 2n(n + 2)\hat{\rho}\hat{\mu}^2]}{2[n\hat{\rho} + n + 1][1 + (\hat{\rho}\hat{\mu})^{1/2}]} $$

Dans les équations 2 et 3, $\hat{\rho} = \rho_d/\rho_c$ et $\hat{\mu} = \mu_d/\mu_c$ (c et d désignant respectivement phase continue et phase dispersée) sont les rapports de densités et viscosités, $\sigma$ est la tension de surface entre les deux phases et $Re_{d,n}$ est le nombre de Reynolds d'oscillation défini à partir des propriétés de la phase dispersée $Re_{d,n} = \rho_d \omega_n^* R^2 / \mu_d$. Ces expressions mettent en évidence les termes provenant des couches limites (en $\sqrt{Re_{d,n}}$) et ceux provenant des régions potentielles de l'écoulement.
Dans toutes ces théories, l'effet de la gravité n'est pas pris en compte. L'objectif de ce travail est donc de déterminer, en utilisant la simulation numérique directe, comment la fréquence $\omega$ et l'amortissement $\beta$ des oscillations varient en présence d'un mouvement relatif entre inclusion et phase dispersée. Le modèle numérique pour l'écoulement diphasique sera tout d'abord présenté, puis les résultats obtenus permettront de comprendre comment les oscillations de gouttes ou de bulles évoluent avec le mouvement d'ascension. Les différences fondamentales de mécanismes de dissipation d'énergie entre les bulles et les gouttes seront également mises en lumière. Ce problème dépend ainsi de quatre paramètres adimensionnels : rapports de densités $\rho^*$ et viscosités $\mu^*$, nombre de Reynolds d'oscillation (défini ici par rapport à la phase continue) $Re_{OSC} = \rho_c/\mu_c \sqrt{R\sigma/\rho_c}$, et nombre de Reynolds d'ascension classiquement écrit $Re_\infty = \rho_c V_\infty D / \mu_c$ ($D$ est le diamètre équivalent de la particule et $V_\infty$ sa vitesse terminale d'ascension (non connue a priori).

## 2 Modèle numérique

Nous avons réalisé des simulations 2D axisymétriques d'une bulle (ou goutte) initialement déformée selon le mode 2 : $(n, m) = (2, 0)$ dans l'équation 1. Le domaine de simulation a pour taille $8R * 16R$, résolu sur un maillage cartésien uniforme 256*512. Seul le régime linéaire, où les résultats ne dépendent pas de l'amplitude initiale de déformation $a_0$, est étudié. Nous allons nous intéresser à la réponse de l'inclusion à la perturbation initiale imposée, en regardant de quelle manière se fait le couplage entre vitesse d'ascension et oscillations.
Le suivi d'interface se fait selon le principe de la méthode Level-Set : une fonction distance algébrique $\phi$, dont la ligne de niveau 0 décrit l'interface, est transportée par l'écoulement :

$$ \frac{\partial \phi}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot \nabla \phi = 0 \qquad (4) $$

Cette équation est couplée à la résolution du champ de vitesse globale du mélange diphasique (résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles), la densité et viscosité dépendant du fluide dans lequel on se trouve (localisé par la fonction $\phi$).

$$ \rho(\phi) \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + (\mathbf{V} \cdot \nabla) \mathbf{V} \right) + \nabla P = \nabla \cdot (2\mu(\phi)\mathbf{D}) + \rho(\phi)g \qquad (5) $$

$$ \nabla \cdot \mathbf{V} = 0 \qquad (6) $$

Dans l'équation 5, P désigne la pression et D le tenseur des déformations : $\mathbf{D} = \frac{1}{2}(\nabla \mathbf{V} + \nabla \mathbf{V}^t)$. Dans ces équations, la viscosité, la densité et la pression subissent des discontinuités à la traversée de l'interface. Formellement, cette discontinuité sur les paramètres physiques peut s'exprimer à l'aide de la distribution d'Heaviside $H(\phi)$ centrée sur l'interface : de manière générique, pour un paramètre $\lambda$,

$$ \lambda(\phi) = \lambda_{\text{gaz}} + (\lambda_{\text{liq}} - \lambda_{\text{gaz}})H(\phi) \qquad (7) $$

La pression subit un saut à travers l'interface lié à la tension de surface et à la courbure $\kappa$ de l'interface :

$$ [P] = \sigma\kappa \qquad (8) $$

Ces sauts sont pris en compte dans les discrétisations selon le principe de la méthode *Ghost Fluid*, qui permet de prolonger par continuité les fonctions discontinues à l'interface avant de les dériver. Ce code a déjà donné de bons résultats sur la simulation numérique de la collision de gouttes (Tanguy & al. [7]).

## 3 Oscillations de gouttes en ascension dans un autre liquide

Cette étude s'intéresse aux cas où les rapports de densités et viscosités sont voisins de l'unité : $\rho^* = 0,99$ et $\mu^* = 1$. Nous avons choisi une amplitude initiale correspondant à la limite du régime linéaire pour les oscillations de forme, soit $a_0/R = 0,1$, et définie par le fait que la fréquence et l'amortissement s'éloignent de moins de 2% de leurs valeurs pour $a_0/R \to 0$.

### 3.1 Rôle du nombre de Reynolds d'ascension

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG. 1 – GOUTTES : Evolution temporelle du Reynolds d'ascension pour différentes valeurs de $Re_\infty$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIG. 2 – GOUTTES : Evolution temporelle de l'amplitude brute adimensionnelle du mode 2</figcaption></figure>

Nous considérons ici des Reynolds d'ascension $Re_\infty$ variant de 140 à 320 pour un Reynolds d'ascension fixé $Re_{OSC} = 100$. La figure 1 présente l'évolution temporelle du nombre de Reynolds instantané $Re_{ASC}(t) = \rho_c V(t) D/\mu_c$ bâti sur la vitesse d'ascension $V(t)$. La figure 2 montre l'évolution de l'amplitude $a_2$ du mode 2. Jusqu'à $Re_\infty = 300$, la vitesse d'ascension n'est pratiquement pas perturbée par la
présence des oscillations de forme, qui s'amortissent au cours du temps. Pour $Re_∞$ plus élevé, des oscillations auto-entretenues causées par une instabilité du sillage apparaissent. Celles-ci, qui marquent la limite de validité des simulations axisymétriques, ne seront pas étudiées dans la suite. Lors de son accélération, la goutte s'aplatit, ce qui se traduit par une diminution générale de $a_2$, à laquelle se superposent les oscillations résultant de la perturbation initiale. Celles-ci sont représentées sur la figure 3 après avoir été isolées par filtrage passe-haut avec une fréquence de coupure égale à $2\pi/\omega^{th}$. On constate alors que la pulsation $\omega$ des oscillations est maximale pour une goutte au repos ($Re_∞ = 0$) puis diminue lorsque $Re_∞$ augmente, l'amortissement $\beta$ suivant une tendance inverse.

## 3.2 Etude à différents $Re_{OSC}$

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIG. 3 – GOUTTES : Evolution temporelle des oscillations autour de la forme moyenne, pour $Re_∞ = 0$ (pointillés), 140, 245, 270, 285, 310 (de haut en bas)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIG. 4 – GOUTTES : Fréquence et amortissement adimensionnels en fonction du rapport des vitesses instantanées d'ascension et oscillation</figcaption></figure>

Nous avons choisi trois valeurs du nombre de Reynolds d'oscillation (50, 100 et 200) et pour chacune d'entre elles, nous avons respectivement étudié une gamme de Reynolds d'ascension de [40;160], [140;320], [490;560]. Il est possible de mesurer $\omega$ et $\beta$ en considérant les paires de maxima ou de minima successifs. A priori, les rapports $\omega/\omega^{th}$ et $\beta/\beta^{th}$ peuvent dépendre de plusieurs paramètres : les deux nombres de Reynolds $Re_{OSC}$ et $Re_∞$ du problème et le temps. En remarquant que $\omega$ et $\beta$ varient au cours du mouvement d'ascension, pour une simulation donnée, nous regardons s'il existe un lien entre les rapports $\omega/\omega^{th}$, $\beta/\beta^{th}$ et le temps ou la vitesse instantanée d'ascension. Le critère du temps ne permet pas de regrouper les résultats obtenus. En revanche, relier les variations de $\omega$ et $\beta$ à la vitesse instantanée d'ascension semble plus pertinent. Il ne reste plus qu'à adimensionner ce paramètre. Il vient naturellement à l'esprit de comparer $V(t)$ à la vitesse d'oscillation $\omega R$. La figure 4 montre les rapports $\omega/\omega^{th}$ et $\beta/\beta^{th}$ en fonction du rapport de la vitesse instantanée d'ascension sur la vitesse d'oscillation $Re_{ASC}(t)/Re_{OSC}$. Tout d'abord, pour la goutte au repos, la simulation numérique retrouve bien les résultats théoriques, ce qui valide notre calcul. En outre, les résultats se regroupent de manière satisfaisante entre les différents cas. Une certaine dispersion des valeurs subsiste, mais il faut garder à l'esprit que, pour un rapport de vitesses donné, la forme moyenne autour de laquelle se font les oscillations comme l'accélération des gouttes diffèrent. Ces dernières influencent donc probablement les oscillations, sans toutefois jouer un rôle prépondérant. Il faut aussi se rappeler que les résultats correspondant aux $Re_{ASC}(t)$ les plus élevés sont obtenus en fin de simulation lorsque les oscillations sont déjà significativement amorties. L'amplitude des oscillations devenant petite, les résultats sont moins précis. Nous pouvons conclure que la connaissance de la vitesse instantanée de la goutte suffit à prédire sa fréquence (qui varie peu) et son amortissement, au premier ordre.

## 3.3 Mécanismes de dissipation de l'énergie

La théorie sur les oscillations au repos nous apprend que, dans le cas de gouttes immergées dans un autre liquide, la dissipation d'énergie se fait essentiellement dans les couches limites situées au voisinage de l'interface. Nous avons montré que tant que la vitesse d'ascension reste faible par rapport à la vitesse d'oscillation, les couches limites d'ascension et d'oscillation se superposent sans interagir. La vorticité associée à l'oscillation reste identique à celle d'une goutte immobile même lorsque la
vorticité associée au mouvement de translation est deux fois plus intense. Cela est cohérent avec le fait que l'amortissement reste égal à celui d'une goutte immobile. Ce n'est que lorsque la vitesse d'ascension dépasse la vitesse d'oscillation et que la vorticité correspondante est un ordre de grandeur plus grand que les couches limites interagissent, causant une augmentation significative de l'amortissement.

# 4 Oscillations de bulles en ascension dans un liquide

Nous abordons ici les faibles rapports de densités et viscosités : $\rho^* = 0,001$ et $\mu^* = 0,016$. Nous avons choisi des amplitudes initiales d'oscillations de $a_0/R = 0,075$ pour rester dans le régime linéaire.

## 4.1 Rôle du nombre de Reynolds d'ascension

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIG. 5 – BULLES : Evolution temporelle du nombre de Reynolds d'ascension pour différents $Re_\infty$ - Pointillés : courbe calculée pour le cas $Re_\infty = 150$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIG. 6 – BULLES : Evolution temporelle de l'amplitude brute adimensionnelle du mode 2</figcaption></figure>

Nous avons étudié des Reynolds d'ascension $Re_\infty$ variant de 35 à 280 pour un Reynolds d'oscillation de $Re_{OSC} = 100$. Les figures 5 et 6 présentent l'évolution temporelle de la vitesse d'ascension et de l'amplitude du mode 2, pour différents Reynolds terminaux d'ascension. Contrairement au cas des gouttes, les oscillations de forme influencent ici fortement le mouvement d'ascension, qui est bien prédit en faisant le bilan de la flottabilité, de la masse ajoutée et de la traînée de Moore (voir figure 5). Il est important de noter que les oscillations de forme jouent un rôle essentiel en faisant varier le coefficient de masse ajoutée. L'échelle de temps d'évolution de la forme moyenne est ici comparable à la période des oscillations. Ceci a pour première conséquence qu'il est plus difficile de séparer les oscillations de l'évolution de la forme moyenne, particulièrement à grand $Re_\infty$ au début de la simulation. Deuxièmement, du point de vue du mécanisme physique, cela va induire un couplage fort entre oscillations de forme et mouvement de translation. Si on constate de nouveau une diminution de la fréquence et une augmentation de l'amortissement par rapport à la bulle immobile, nous allons voir que la vitesse d'ascension n'est plus le seul paramètre pertinent.

## 4.2 Etude à différents $Re_{OSC}$

L'étude a été menée pour trois nombres de Reynolds d'oscillation (50, 100 et 200) et, pour chacun d'entre eux, nous avons regardé respectivement des gammes de nombres de Reynolds d'ascension de [40:130], [35:280], [50:300]. Si la fréquence des oscillations dépend toujours essentiellement du rapport des vitesses instantanées d'ascension et d'oscillation (cf figure 7), l'amortissement, quant à lui, se comporte différemment. Pour de faibles $Re_\infty$, la forme moyenne de la bulle s'éloigne peu d'une sphère et $\beta$ reste constant au cours du temps. Par contre, lorsque $Re_\infty$ est grand, le taux de déformation de la bulle devient grand et l'évolution temporelle de $\beta$ devient complexe : peu après le début de la simulation, il est deux à trois fois supérieur à $\beta^{th}$, puis il diminue pour revenir à $\beta^{th}$ quand la bulle atteint une forme stationnaire. Il est donc clair que $\beta$ n'est ni une fonction univoque du temps, ni de la vitesse instantanée d'ascension mais semble lié au taux d'évolution de la forme moyenne. Ceci se trouve confirmé par la figure 8 où l'on voit que, pour tous les essais, les rapports $\beta/\beta^{th}$ se regroupent sur une courbe maîtresse en fonction de $(dA_m/dt)/\omega R$, où $A_m$ correspond à l'amplitude de l'harmonique dominante décrivant la forme moyenne.
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIG. 7 – BULLES : Fréquence adimensionnelle en fonction du rapport des vitesses d'ascension et oscillation</figcaption></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIG. 8 – BULLES : Amortissement adimensionnel en fonction d'une vitesse d'évolution de la forme moyenne adimensionnée par la vitesse d'oscillation</figcaption></figure>

Pour une bulle, $\omega$ est donc fonction de la vitesse instantanée alors que $\beta$ est fonction du taux de déformation de la forme moyenne.

## 4.3 Mécanismes de dissipation d'énergie

On sait déjà que l'amortissement des oscillations d'une bulle immobile provient de la dissipation liée à l'écoulement potentiel dans le liquide. Pour une bulle en ascension, la dissipation par la force de traînée provient aussi essentiellement de l'écoulement potentiel dans le liquide. Le mouvement de translation n'influence pas l'amortissement des oscillations lorsque le taux d'évolution de la forme moyenne de la bulle est petit, comme c'est le cas lorsque la bulle atteint sa vitesse terminale, bien que la dissipation associée au mouvement de translation soit bien plus grande que celle associée au mouvement d'oscillation. En revanche, durant la phase transitoire où la bulle accélère fortement et change rapidement de forme, les écoulements potentiels de translation et d'oscillation sont fortement couplés et le taux d'amortissement des oscillations augmente dramatiquement.

## 5 Conclusions

L'objet était d'étendre la description des oscillations d'une bulle ou d'une goutte en présence d'un mouvement relatif entre l'inclusion et le liquide externe. Nous avons montré que le couplage entre ascension et oscillations se fait très différemment dans les deux cas. Pour les gouttes, les oscillations de forme ont peu d'impact sur le mouvement ascensionnel, alors qu'elles causent des fluctuations pour la vitesse d'ascension des bulles. De plus, si l'amortissement des gouttes peut s'exprimer en fonction de la vitesse instantanée d'ascension, celui d'une bulle dépend du taux de déformation de la forme moyenne. Ceci s'explique par le fait que la dissipation de l'énergie des oscillations est assurée par les couches limites dans le cas des gouttes et par l'écoulement potentiel (dans le liquide) pour les bulles.

## Références

[1] Galinat S., Risso F., Masbernat O. & Guiraud P. (2007) Dynamics of drop breakup in inhomogeneous turbulence at various volume fractions *J. Fluid Mech.* **578** 85-94

[2] Lamb, H. (1932) Hydrodynamics *Cambridge University Press*

[3] Lu H.-L. & Apfel R.E. (1991) Shape oscillations of drops in the presence of surfactants *J. Fluid Mech.* **222** 351-368

[4] Miller C.A. & Scriven L.E. (1968) The oscillations of a fluid droplet immersed in another fluid *J. Fluid Mech.* **32** 417-435

[5] Prosperetti A. (1980) Normal mode analysis for the oscillations of a viscous liquid drop in an immiscible liquid *J. Méc.* **19** 149-182

[6] Rayleigh L. (1879) On the capillary phenomena of jets *Proc. Roy. Soc. A* **138** 41-48

[7] Tanguy S., Berlemont A. (2005) Application of a level set method for simulation of droplet collisions *International Journal of Multiphase Flow* **31** 1015-1035