ANNALES MATHÉMATIQUES BLAISE PASCAL

BENJAMIN DELAY

Coupures propres dans *R

Annales mathématiques Blaise Pascal, tome 4, n° 1 (1997), p. 19-25

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# Coupures propres dans *R

par Benjamin DELAY.

Cet article expose les méthodes de S.KAMO ([1] et [2]), M.FORTI et F.HONSELL ([3]) ainsi que H.J.KEISLER et J.H.SCHMERL ([6]) concernant la construction de modèles non-standards dans lesquels *R est complet.

## I) Introduction :

**La question :** *R est un corps ordonné, donc naturellement muni d'une topologie induite par l'ordre (la Q-topologie). Cette topologie est-elle "complète" ? En quel sens du mot "complet" ?

**Remarque :** Si $\forall r \in *R \ r > 0$ on pose $E_r = \{(x,y) \in *R \times *R / |x-y| < r\}$ alors la structure uniforme ayant comme base d'entourages les $E_r$ où $r \in *R$, $r > 0$ a pour topologie associée la Q-topologie. Plus généralement, si A est une partie de $*R_+ \setminus \{0\}$ telle que $\frac{1}{2}A \subset A$ alors l'ensemble des $E_r$ avec $r \in A$ est une base d'entourage d'une certaine structure uniforme $J_A$ (non séparée en général) sur *R. Les cas intéressants sont $A=^*R_+ \setminus \{0\}$ (Q-structure uniforme) ; $A=^*R_+ \setminus \mu(0)$ et $A=^*R_+ \setminus R$. On peut alors étudier la topologie $J_A$ : est-elle pseudo-métrisable ? , complète ? (voir [1])

## II) Notions de complétion :

### 2.1 Définitions :

Soit K un corps ordonné (i.e. un corps commutatif totalement ordonné),

On appelle *coupure* (de Dedekind) de K toute partition $(X,Y)$ de K en deux ensembles non vides tels que $X<Y$.

On appelle *coupure propre* de K toute coupure $(X,Y)$ de K telle que :

$$ \forall \varepsilon \in K, \varepsilon > 0, \exists x \in X \text{ t.q. } x + \varepsilon \in Y. $$

On appelle *lacune* (ou *trou*) de K toute coupure $(X,Y)$ de K telle que X n'ait pas de plus grand élément et Y n'ait pas de plus petit élément.

On dit que *K est Scott-complet* (ou Dedekind complet) lorsque K ne possède aucune lacune propre.

**Remarque :** Si $\tilde{K}$ désigne l'ensemble des coupures propres $(X,Y)$ de K telles que X soit sans plus grand élément, alors on peut munir $\tilde{K}$ d'une structure de corps ordonné héritée de celle de K et $\tilde{K}$ est Scott-complet. (voir [4])
**2.2 Proposition:**

Si $(X,Y)$ est une coupure propre de $K$ telle que $X$ soit sans plus grand élément, alors :

$$ \mathrm{cof}(X) = \mathrm{coin}(K_+ \setminus \{0\}) = \mathrm{cof}(K) $$

(où $\mathrm{cof}(A)$ désigne la cofinalité de $A$ et $\mathrm{coin}(A)$ la coïnitalité de $A$)

**preuve:**

Si la séquence $(\varepsilon_\alpha)_{\alpha<\lambda}$ est coïnitiale dans $K_+ \setminus \{0\}$, alors pour tout $\alpha<\lambda$, il existe $x_\alpha \in X$ tel que $x_\alpha + \varepsilon_\alpha \in Y$ (car $(X,Y)$ est une coupure propre) et il est facile de vérifier que $(x_\alpha)_{\alpha<\lambda}$ est cofinale dans $X$. On a donc $\mathrm{coin}(K_+ \setminus \{0\}) \ge \mathrm{cof}(X)$.

Réciproquement, si $(x_\alpha)_{\alpha<\lambda}$ est cofinale dans $X$ alors pour tout $\alpha<\lambda$, comme $x_\alpha$ n'est pas le plus grand élément de $X$, il existe $\varepsilon_\alpha \in K_+ \setminus \{0\}$ tel que $x_\alpha + \varepsilon_\alpha \in X$ et il est facile de vérifier que $(\varepsilon_\alpha)_{\alpha<\lambda}$ est coïnitiale dans $K_+ \setminus \{0\}$ d'où $\mathrm{cof}(X) \ge \mathrm{coin}(K_+ \setminus \{0\})$.

**2.3 Corollaire:**

Si $(X,Y)$ est une lacune propre de $K$ alors $\mathrm{cof}(X) = \mathrm{coin}(Y) = \mathrm{cof}(K)$.

**Remarque :** Si $K=^*R$ on a évidemment $\mathrm{cof}(^*R)=\mathrm{cof}(^*N)$.

**2.4 Equivalence de la notion de Scott-complétion dans le cas de $^*R$ :**

On a équivalence entre les 5 propositions suivantes :

1) Le corps ordonné $^*R$ est Scott-complet.

2) $^*R$ muni de la Q-topologie est un espace uniforme complet. (i.e. tout filtre de Cauchy est convergent)

3) Toute séquence "de Cauchy" $(u_\alpha)_{\alpha<\lambda}$ de $^*R$ est convergente ($\lambda$ cardinal quelconque).

4) Toute suite de Cauchy $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $^*R$ est convergente (qu'elle soit interne ou pas).

5) Pour toute partie $A \subset^* N$, si $\forall n \in^* N, A \cap \{0..n\}$ est une partie interne de $^*N$, alors $A$ est une partie interne de $^*N$.

**preuve:**

1) $\Leftrightarrow 2) \Leftrightarrow 3)$ : Topologie classique.

3) $\Rightarrow 4)$ : Immédiat.

4) $\Rightarrow 2)$ : Vient du fait que l'ensemble des $E_{1/n}$ où $n \in^* N \setminus \{0\}$ est un système fondamental d'entourages pour la Q-topologie.

1) $\Leftrightarrow 5)$ : Soit $\mathcal{A}$ l'ensemble des parties $A$ non bornées de $^*N$ telles que :
$$ \forall n \in^* N, A \cap \{0..n\} \text{ est une partie interne de } ^*N. $$

On peut donc associer à tout $A$ de $\mathcal{A}$ la partie $X$ de $^*R$ définie par :

$$ x \in X \Leftrightarrow \exists n \in^* N \text{ t.q. } x \le \sum_{i \in A \cap \{0..n\}} 2^{-i} \text{ (somme interne).} $$

Il est alors facile de vérifier que :

$\phi(A)=(X,^*R \setminus X)$ est une coupure propre de $^*R$,

$\phi$ est une bijection de $\mathcal{A}$ sur l'ensemble des coupures propres $(X,Y)$ de $^*R$ rencontrant $^*]0,2]$ et telles que $X$ soit sans plus grand élément,
$\phi(A)$ n'est pas une lacune si et seulement si $A$ est interne (on a alors
$$ \sup(X) = \min(\mathring{*}R \setminus X) = \sum_{i \in A} 2^{-i} ). $$

### III) Construction de modèles non-standard non Scott-complet:

**3.1 Méthode de M.FORTI et F.HONSEL (1985 voir [3]):**

**3.1.1 Lemme :**

Il existe un modèle non-standard tel que cof(\*N)=ω (dénombrable) et |\*N| > ω.

**preuve:**

Soit $m_0$ un modèle tel que $|N^{m_0}| > \omega$ (par exemple une ultrapuissance) et $u_0$ un ultrafiltre
de $m_0$ non principal sur $N_0 = N^{m_0}$.

$m_1 = \frac{m_0^{N_0}}{u_0}$, est alors une extension élémentaire du modèle $m_0$ et $N_0$ est un segment initial de $N_1 = N^{m_1}$. En réitérant la construction on obtient un suite de modèles $m_n$, $n \in N$ tels que $m_{n+1}$ soit une extension élémentaire de $m_n$ et $N_n$ un segment initial de $N_{n+1}$.

Il suffit alors de prendre $\mathfrak{m} = \bigcup_{n \ge 0} m_n$.

**3.1.2 Théorème :**

Si cof(\*N)=ω et |\*N| > ω alors \*R n'est pas Scott-complet.

**preuve:**

Soit $(n_i)_{i \in N}$ une suite croissante et cofinale de \*N et $A=\{n_i\}_{i \in N} \subset \mathring{*}N$.

Pour tout $n \in \mathring{*}N$, $A \cap \{0..n\}$ est un ensemble fini donc interne, or $A$ ne peut pas être
interne, car sinon, par transfert, on aurait :

$A$ non majoré $\Rightarrow$ $A$ en bijection (interne) avec $\mathring{*}N$

d'où $|\mathring{*}N| = |A| = \omega$ : contradiction.

donc \*R n'est pas Scott-complet.(2.4).

**3.2 Méthode de S.KAMO (1981 voir [2]):**

**3.2.1 Lemme :**

Si $\kappa$ est un cardinal régulier infini tel que $\kappa^+ = 2^\kappa$, alors il existe un modèle non-standard
$\kappa^+$ saturé dans lequel $|\mathring{*}R| = \kappa^+$.

**preuve:**

Il suffit de prendre un ultrafiltre $\mathcal{U}$ dénombrablement incomplet et bon sur $\kappa$ (voir[5]).

$R^\kappa/\mathcal{I}$ est alors $\kappa^+$ saturé d'où $|\mathring{*}R| \ge \kappa^+$ mais on a aussi $|\mathring{*}R| \le |R^\kappa| = 2^\kappa = \kappa^+$.
### 3.2.2 Théorème :

Si dans un modèle non-standard $\lambda$ saturé on a $|\cdot|^{*R}| = \lambda$, alors $*R$ n'est pas Scott-complet.

**preuve:**

Comme $|\cdot|^{*R}| = \lambda$, on peut choisir une énumération $(r_\alpha)_{\alpha<\lambda}$ des éléments de $*R$.

$^*$R étant $\lambda$ saturé, on a $\coín(\*R_+ \setminus \{0\}) \geq \lambda$. Il existe donc une séquence $(\varepsilon_\alpha)_{\alpha<\lambda}$ strictement décroissante de $\*R_+ \setminus \{0\}$ coïnitiale dans $\*R_+ \setminus \{0\}$.

On peut alors construire par induction transfinie sur $\alpha < \lambda$ et pour tout $A \subset \alpha$ ($=[0..\alpha[$ des intervalles ouverts $I_{\alpha,A} \subset \*R$ tels que :

1) $I_{\alpha,A} \neq \emptyset$.

2) $\delta(I_{\alpha,A}) < \varepsilon_\alpha$ (diamètre).

3) $r_\alpha \notin I_{\alpha,A}$.

4) Si $A$ et $B \subset \alpha$, $A \neq B$ alors $I_{\alpha,A} \cap I_{\alpha,B} = \emptyset$.

5) Si $\alpha > \beta$ et $A \subset \alpha$ alors $I_{\alpha,A} \subset I_{\beta,A \cap \beta}$.

Pour $\alpha = 0$ et $\alpha = \beta + 1$, c'est immédiat.

Pour $\alpha$ ordinal limite ($\alpha < \lambda$) et $A \subset \alpha$ posons $J = \bigcap_{\beta < \alpha} I_{\beta,A \cap \beta}$.

Par $\lambda$ saturation, l'intervalle $J$ contient au moins deux points, et on peut alors choisir un intervalle $I_{\alpha,A} \subset J$ vérifiant $1),2)$ et $3)$. Un tel $I_{\alpha,A}$ vérifie évidemment $5)$ par construction.

De plus les $I_{\alpha,A}$ vérifient $4)$ car $\alpha = \bigcup_{\beta < \alpha} \beta$ donc, si $A$ et $B \subset \alpha$, $A \neq B$ alors il existe

$\beta < \alpha$ tel que $A \cap \beta \neq B \cap \beta$ d'où $I_{\beta,A \cap \beta} \cap I_{\beta,B \cap \beta} = \emptyset$ et donc $I_{\alpha,A} \cap I_{\alpha,B} = \emptyset$ 5).

A tout $L \subset \lambda$ on associe alors $X_L = \{x \in \*R / \exists \alpha < \lambda \text{ t.q. } x < I_{\alpha,L \cap \alpha}\}$

et $Y_L = \{x \in \*R / \exists \alpha < \lambda \text{ t.q. } x > I_{\alpha,L \cap \alpha}\}$

On a alors :

d'après 3) et 5), $(X_L, Y_L)$ est une coupure de $^*$R,

d'après 2), la coupure $(X_L, Y_L)$ est propre,

d'après 4), si $L \neq L'$ alors $X_L \neq X_{L'}$.

On a donc trouvé $2^\lambda$ coupures propres différentes dans $^*$R, or il n'y a que $|\cdot|^{*R}| = \lambda$ coupures propres de $^*$R qui ne sont pas des lacunes.

**Remarque :** Plus généralement, on vient de démontrer que dans tout groupe totalement ordonné $G$ dense (si $a < b \in G$ alors il existe $c \in G$ tel que $a < c < b$) et saturé (si $(I_\alpha)_{\alpha < \lambda}$ est une famille décroissante d'intervales ouverts de $G$ avec $\lambda < |G|$ alors $\bigcap_{\alpha < \lambda} I_\alpha \neq \emptyset$), il existe exactement $2^{|G|}$ lacunes.

## 3.3 Méthode de H.KEISLER et J.H.SCHMERL (1990 voir [6]) :

### 3.3.1 Théorème :

Si dans un modèle non-standard $\lambda$ saturé on a $\text{cof}(\*R) = \lambda$, alors $^*$R n'est pas Scott-complet.
**preuve:**

Soit $(n_\alpha)_{\alpha<\lambda}$ une séquence strictement croissante de $^*N$, cofinale dans $^*N$, telle que $n_0$ soit illimité et $\pi : ^*N \setminus \{0\} \to ^*N$ l'application interne définie par $\pi(2^p \times (2k+1)) = p$.

Construisons alors par induction une séquence $(A_\alpha)_{\alpha<\lambda}$ de parties internes de $^*N \setminus \{0\}$ telles que, si on pose $p_\alpha = \min(\pi(A_\alpha)) = \min_{m \in A_\alpha}(\pi(m))$, on ait :

1) $A_\alpha$ est une partie interne de $\{0..2^{n_\alpha}\}$ et $p_\alpha$ est illimité.

2) Si $\alpha > \beta$ alors $A_\alpha \cap \{0..2^{n_\beta}\} = A_\beta$ et $p_\alpha < p_\beta$.

Si $\alpha = 0$: On pose $A_0 = \{2^{n_0}\}$ d'où $\pi(A_0) = \{n_0\}$ et $p_0 = n_0$.

Si $\alpha = \beta + 1$: On a $p_\beta \le p_0 = n_0 \le n_\beta$ d'où $a = 2^{n_\beta} + 2^{p_\beta-1}$ vérifie $2^{n_\beta} < a < 2^{n_\beta+1} \le 2^{n_\alpha}$ et $\pi(a) = p_\beta - 1$ donc $A_\alpha = A_\beta \cup \{a\}$ vérifie alors 1) et 2) (avec $p_\alpha = p_\beta - 1$).

Si $\alpha < \lambda$ est un ordinal limite : L'ensemble $\{p_\beta\}_{\beta<\alpha}$ ne peut pas être coïnital dans $^*N \setminus N$ car $\text{coi}\binom{^*N \setminus N}{\ge \lambda}$ par $\lambda$ saturation, il existe donc $p \in ^*N$ illimité tel que $\forall \beta < \alpha, p_\beta > p$.

Pour tout $\beta < \alpha$, soit $P_\beta = \{A \text{ interne } \subset \{0..2^{n_\alpha}\} / A \cap \{0..2^{n_\beta}\} = A_\beta \text{ et } \min(\pi(A)) > p\}$. $\{P_\beta\}_{\beta<\alpha}$ est une famille d'ensembles internes finiement concourante d'où, par $\lambda$ saturation, il existe un ensemble $A_\alpha \in \bigcap_{\beta<\alpha} P_\beta$. Il est clair que $A_\alpha$ vérifie 1) et 2).

Posons alors $A = \bigcup_{\alpha<\lambda} A_\alpha$. Pour tout $n \in ^*N$ il existe $\alpha < \lambda$ tel que $n \le 2^{n_\alpha}$ et donc $A \cap \{0..n\} = A_\alpha \cap \{0..n\}$ est une partie interne de $^*N$.

Or $\forall p \in \pi(A) = \bigcup_{\alpha<\lambda} \pi(A_\alpha)$, $\exists \alpha < \lambda \text{ t.q. } p \in \pi(A_\alpha) \text{ donc } p \ge p_\alpha > p_{\alpha+1} \in \pi(A) \text{ donc } \pi(A)$ n'a pas de plus petit élément : $\pi(A)$ est externe donc $A$ est externe.

Conclusion : $^*R$ n'est pas Scott-complet.(2.4).

# IV) Construction de modèles non-standard Scott-complet:
(Méthode de H.KEISLER et J.H.SCHMERL (1990 voir [6]))

## 4.1 Définition :

Soit $\kappa < \lambda$ deux cardinaux infinis réguliers ($\text{cof}(\lambda) = \lambda$ et $\text{cof}(\kappa) = \kappa$).

Une $\lambda$-chaîne $(m_\alpha)_{\alpha<\lambda}$ de modèles de l'arithmétique est dite $\kappa$-conservatrice lorsque :

1) Si $\alpha > \beta$ alors $m_\alpha$ est une extension élémentaire finale de $m_\beta$ (i.e. $N_\beta$ est un segment initial propre de $N_\alpha$).

2) Si $\text{cof}(\alpha) \ge \kappa$ alors $m_\alpha = \bigcup_{\beta<\alpha} m_\beta$ et $m_{\alpha+1}$ est une extension conservatrice de $m_\alpha$ (i.e. si $A$ est une partie interne de $N_{\alpha+1}$ alors $A \cap N_\alpha$ est une partie interne de $N_\alpha$).
## 4.2 Lemme :

Si $\lambda$ est un cardinal non dénombrable régulier alors il existe une $\lambda$-chaîne $\omega$-concervatrice.

**preuve:**

Il suffit de partir d'un modèle $m_0$ quelconque puis par induction de définir $m_\alpha$ par :

Si $\alpha = \beta+1$, $m_\alpha = \frac{m_\beta^{N_\beta}}{u_\beta}$ où $u_\beta$ est un ultrafiltre (interne) de $m_\beta$ sur $N_\beta$. D'où $m_\alpha$ est une extension élémentaire finale et conservatrice de $m_\beta$.

Si $\alpha$ ordinal limite, $m_\alpha = \bigcup_{\beta<\alpha} m_\beta$.

## 4.3 Théorème :

Soit $(m_\alpha)_{\alpha<\lambda}$ une $\lambda$-chaîne $\kappa$-concervatrice de modèles et $m = \bigcup_{\alpha<\lambda} m_\alpha$.

Alors dans le modèle non-standard $m$, $^*R$ est Scott-complet.

**preuve:**

Pour tout $r, s \in ^*R$ et $\alpha < \lambda$, on notera $r \approx_\alpha s$ lorsque $\forall n \in N_\alpha, |r - s| < \frac{1}{n}$.

On pose $K = \{\alpha < \lambda / \cof(\alpha) \ge \kappa\}$. K est cofinal dans $\lambda$.

Soit $(X, Y)$ une coupure propre de $^*R$ que l'on peut supposer limitée (i.e. $X \cap R \ne \emptyset$ et $Y \cap R \ne \emptyset$).

Soit $\alpha \in K$ et $q \in N_{\alpha+1} \setminus N_\alpha$. Comme $(X, Y)$ est propre, il existe un unique $p \in ^*N$ t.q.

$\frac{p}{q} \in X$ et $\frac{p+1}{q} \in Y$ or $\frac{p}{q}$ est limité donc $p \in N_{\alpha+1}$ et $\frac{p}{q} \in R_{\alpha+1}$. Comme $m_{\alpha+1}$ est une

extension conservatrice de $m_\alpha$, il existe $r_\alpha \in R_\alpha$ tel que $r_\alpha \approx_\alpha \frac{p}{q}$ ("ombre" de niveau $\alpha$).

Il est clair que $r_\alpha = \sup_{R_\alpha} (X \cap R_\alpha)$ ne dépend pas de $q$ et que :

(1) Si $\alpha, \beta \in K$, $\alpha < \beta$ alors $r_\alpha \approx_\alpha r_\beta$.

Raisonnons maintenant par l'absurde et supposons que $(X, Y)$ est une lacune.

Pour tout $\alpha \in K$, $r_\alpha$ n'est pas la borne supérieure de $X$ dans $^*R$ donc il existe $x \in ^*R$ tel que $x \in X$ et $x > r_\alpha$ ou bien $x \in Y$ et $x < r_\alpha$.

Soit alors $f(\alpha) \in K$ tel que $x \in R_{f(\alpha)}$. On a alors :

(2) Si $\alpha \in K$ alors $f(\alpha) \in K$, $f(\alpha) > \alpha$ et $r_{f(\alpha)} \ne r_\alpha$.

Construisons alors par induction une fonction $g$ de $\kappa$ dans $K$ en posant $g(0) = \kappa$, $g(v+1) = f \circ g(v)$, et, si $v$ est un ordinal limite, en choisissant $g(v) \in K$ tel que $g(v) \ge \sup\{g(\mu) / \mu < v\}$ (c'est possible car $K$ est cofinal dans $\lambda$ et $\cof(\lambda) = \lambda > \kappa > v$).

Posons $\delta = \sup\{g(v) / v < \kappa\}$. On a $\delta < \lambda$ et $\cof(\delta) = \kappa$ (car $\cof(\lambda) = \lambda > \kappa$ et $g$ strictement croissante) donc $\delta \in K$.

Comme $r_\delta \in R_\delta = \bigcup_{v<\kappa} R_{g(v)}$, il existe $v < \kappa$ tel que $r_\delta \in R_{g(v)}$ mais grâce à (1), $g(v) < \delta \Rightarrow r_{g(v)} \approx_{g(v)} r_\delta$ et donc $r_{g(v)} = r_\delta$.
On a aussi $g(v+1) < \delta \Rightarrow r_{g(v+1)} \approx g(v+1) r_{\delta} = r_{g(v)}$ d'où $r_{g(v+1)} = r_{g(v)}$, mais comme $g(v+1) = f \circ g(v)$ ceci est en contradiction avec (2).

### 4.4 Remarques :

On peut facilement voir que dans le modèle non-standard $\mathfrak{m}$ du théorème 4.3, on a $\cof(^*N) = \cof(^*R) = \lambda$. En fait, en construisant des chaînes $\kappa$-concervatrices plus complexe que celle du lemme 4.2, on peut exhiber des modèles dans lequel $^*R$ est Scott-complet et possédant un certain nombre de propriétés supplémentaires (voir [6]):

Si $\kappa < \lambda$ sont deux cardinaux infinis réguliers alors il existe une $\lambda$-chaîne $\kappa$-conservatrice $(m_\alpha)_{\alpha<\lambda}$ telle que $\forall \alpha < \lambda, m_\alpha$ soit $\kappa$-saturé. Le modèle non-standard $\mathfrak{m} = \bigcup_{\alpha<\lambda} m_\alpha$ correspondant est alors $\kappa$-saturé, et dans $\mathfrak{m}$, $^*R$ est Scott-complet.

Si de plus $\forall \beta < \lambda, \forall \alpha < \kappa, \beta^\alpha < \lambda$ alors on peut construire une $\lambda$-chaîne $\kappa$-conservatrice $(m_\alpha)_{\alpha<\lambda}$ telle que $\forall \alpha < \lambda, m_\alpha$ soit $\kappa$-saturé et $|N_\alpha| < \lambda$. On a alors $\mathfrak{m} = \kappa$-saturé, $^*R$ Scott-complet, $|^*N| = \cof(^*N) = \lambda$ et $\forall n \in ^*N, \{|0..n\| < \lambda$ (on dit que $^*N$ est $\lambda$-archimédien).

## REFERENCES :

[1] : Shizuo KAMO : Nonstandard natural number systems and nonstandard models, J. of Symb. logic ; Vol. 46, N°2 (Juin 1981), p365-376.

[2] : Shizuo KAMO : Nonstandard real number systems with regular gaps, TSUKUBA J. Math ; Vol. 5, N°1 (1981), p21-24.

[3] : Marco FORTI et Furio HONSELL : Sull'ordinamento dei numeri reali non-standard, RENDICONTI delle sedute della accademia nazionale dei lincei, Vol LXXIX, Fasc. 1-4, p1-8

[4] : Nicolas BOURBAKI : Algebre, Chapitre VI, §2, Ex. 34-40.

[5] : C.C. CHANG et H. Jerome KEISLER : Model Theory, Third edition, North-Holland Elsevier 1990 (Chapitre 6).

[6] : H. Jerome KEISLER et James H. SCHMERL : Making the hyperreal line both saturated and complete, J. of Symb. logic ; Vol 56, N°3 (Sept. 1991), p1016-1025.