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# Approximation par une méthode d'éléments finis mixtes d'une équation du type diffusion-convection linéaire stationnaire

Jérôme Jaffré

► To cite this version:

Jérôme Jaffré. Approximation par une méthode d'éléments finis mixtes d'une équation du type diffusion-convection linéaire stationnaire. [Rapport de recherche] IRIA-RR-367, IRIA. 1979, pp.50. hal-04716612

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APPROXIMATION
PAR UNE MÉTHODE
D'ÉLÉMENTS FINIS MIXTES
D'UNE ÉQUATION DU TYPE
DIFFUSION-CONVECTION
LINÉAIRE STATIONNAIRE

Jérôme JAFFRE

50p.

RR 367
Rapport de Recherche N° 367

Octobre 1979
APPROXIMATION PAR UNE METHODE D'ELEMENTS FINIS MIXTES D'UNE EQUATION

DU TYPE DIFFUSION-CONVECTION LINEAIRE STATIONNAIRE

Jérôme JAFFRE

RESUME

On considère l'équation :

$$ - \epsilon \Delta u_{\epsilon,q} + q \cdot \text{gr}\dot{u}_{\epsilon,q} + \sigma u_{\epsilon,q} = f \quad \text{dans } \Omega $$

$$ u_{\epsilon,q}|_{\partial\Omega} = u_d $$

dont on donne une formulation mixte qu'on approche ensuite par la méthode d'éléments finis mixtes de RAVIART-THOMAS [1], le terme de convection étant approché par le schéma de LESAINT-RAVIART [1].

On donne des estimations de l'erreur d'approximation dont on étudie le comportement quand $\epsilon \to 0$ ou $q \to 0$.
ABSTRACT

We study the equation :

$$ - \epsilon \Delta u_{\epsilon,q} + q.\text{gradu}_{\epsilon,q} + \sigma u_{\epsilon,q} = f \quad \text{dans } \Omega $$

$$ u_{\epsilon,q}|_{\partial\Omega} = u_d $$

A mixed formulation of this equation is given and approximated by the RAVIART-THOMAS [1] mixed finite elements method ; the convection term is approximated by the LESAINT-RAVIART [1] scheme.

Bounds of the error are calculated and their behaviours are studied when $\epsilon \to 0$ or $q \to 0$.
TABLE DES MATIERES

Pages

O - INTRODUCTION .................................................... 3

I - FORMULATION MIXTE DU PROBLEME ................................. 3

1.1 - Position du problème .................................... 3

1.2 - Formulation mixte faible .................................. 6

1.3 - Formulation mixte forte .................................. 11

1.4 - Une formulation mixte générale .......................... 12

1.5 - Passage à la limite quand on annule le terme de diffusion ou le terme de convection ................................. 14

II - LE PROBLEME APPROCHE ........................................ 17

2.1 - Les éléments finis mixtes .................................. 17

2.2 - Enoncé de la formulation du problème approché ............ 23

2.3 - Existence et unicité pour le problème approché ............ 27

III - ESTIMATIONS DE L'ERREUR D'APPROXIMATION .................... 31

3.1 - Estimations générales .................................... 31

3.2 - Estimation passant à la limite quand on annule le terme de diffusion .................................................... 37

3.3 - Estimation passant à la limite quand on annule le terme de convection .................................................... 41
# 0 - INTRODUCTION

Cette étude est motivée par le traitement des équations des écoulements diphasiques incompressibles en milieu poreux effectué dans JAFFRE [1], [2]. Ces écoulements sont modélisés par un système de deux équations non linéaires, l'une du type diffusion-convection, l'autre du type elliptique.

L'équation du type diffusion-convection a été approchée par la méthode des éléments finis mixtes de RAVIART-THOMAS [1], le terme de transport étant approché par le schéma de LESAINT-RAVIART [1] qui est un schéma de décentrage pour des éléments finis discontinus.

Cependant, l'étude théorique de l'approximation numérique est très difficile sur l'équation dont il est question. C'est pourquoi, pour avoir néanmoins une idée plus précise de la méthode utilisée, on l'applique dans ce travail à l'équation de diffusion-convection linéaire stationnaire :

$$ (0.1) \qquad -\varepsilon \Delta u_{\varepsilon,q} + q \cdot \text{grad} u_{\varepsilon} + \sigma u = f $$

Le Chapitre I est consacré à l'étude de la formulation mixte continue de l'équation (0.1), le Chapitre II à l'étude de la formulation mixte approchée. Enfin dans le Chapitre III, on donne des estimations de l'erreur d'approximation et on étudie ce qu'elles deviennent quand $\varepsilon \to 0$ ou $q \to 0$.

# I - FORMULATION MIXTE DU PROBLEME

## 1.1 - Position du problème

Soit un ouvert $\Omega$ borné régulier de $\mathbb{R}^n$, de frontière $\Gamma$.

On étudie pour commencer le problème suivant :
Trouver u tel que (1)

$$
\text{(P1)} \quad \left\{
\begin{array}{l}
- \Delta u + q \cdot \text{grad} u + \sigma u = f \quad \text{dans } \Omega \\
u|_{\Gamma} = 0
\end{array}
\right.
$$

où f, q, σ sont des fonctions données vérifiant :

$$
(1.1) \quad f \in L^2(\Omega)
$$

$$
(1.2) \quad q \in (L^{\infty}(\Omega))^{n} ; \operatorname{div} q = 0
$$

$$
(1.3) \quad \sigma \in L^{\infty}(\Omega) ; \sigma(x) \ge \delta > 0 \quad \text{p.p dans } \Omega
$$

Remarque 1.1

La condition (1.3) de positivité sur σ n'est pas contraignante
car, si l'on suppose u solution du problème (P1) avec σ quelconque, en faisant
le changement de fonction

$$
u = \exp(\lambda(x+y))W, \lambda \text{ constante réelle}
$$

On trouve que W vérifie l'équation :

$$
-\Delta W + (2\lambda+q) \cdot \text{grad}W + (\lambda^2 + \lambda(q_1+q_2) + \sigma)W = \exp(-\lambda(x+y))f
$$

Ainsi en choisissant $\lambda$ assez grand et en changeant $2\lambda+q$ en $q$,
$\lambda^2 + \lambda(q_1+q_2) + \sigma$ en $\sigma$, on se ramène au cas où la condition (1.3) est vérifiée.

<footnote>(1) **Note** : les vecteurs de $\mathbb{R}^n$ ($n > 1$) et les ensembles de vecteurs de $\mathbb{R}^n$ sont
notés par des lettres soulignées du signe ~.
$q$ étant un vecteur de $\mathbb{R}^n$, ses composantes seront notées $q_i$, $i=1,-,n$.</footnote>
Introduisons les espaces fonctionnels :

$$
(1.4) \quad H = L^2(\Omega) ; V = H^1(\Omega) ; V_0 = H_0^1(\Omega)
$$

Pour les normes, on utilisera les notations suivantes :

$$
(1.5) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\| \|_{m,\Omega} \text{, norme de l'espace de Sobolev } H^m(\Omega) \ ; \ m \ge 0 \\
\| |_H = \| \|_{0,\Omega} \ ; \ | |_V = \| \| \|_{1,\Omega} \\
|v|_{V_0} = \sum_{i=1}^{n} \left| \frac{\partial v}{\partial x_i} \right|_H^2 \quad \begin{array}{l} 1/2 \\ \end{array}
\end{array}
\right.
$$

$V_0$ et V étant identifiés à des sous-espaces de H, H étant identifié à son dual,
en notant $V'_0$ et $V'$ les espaces duaux respectifs de $V_0$ et $V$, on a :

$$
(1.6) \quad \left\{
\begin{array}{l}
V_0 \subset H \subset V'_0 \ ; \ V \subset H \subset V' \\
\text{les injections étant continues et } V_0 \text{ et } V \text{ étant denses dans } H
\end{array}
\right.
$$

On note ( , ) le produit scalaire dans H, ainsi que les produits
de dualité entre les espaces de Sobolev et leurs duaux.

On introduit la forme bilinéaire a définie sur V × V :

$$
(1.7) \quad a(u,v) = \int_{\Omega} \mathrm{grad} \cdot \mathrm{grad} v \, dx + \int_{\Omega} (q \cdot \mathrm{grad}) u \, dx + \int_{\Omega} \sigma u v \, dx \\
\forall u, v \in V
$$

La formulation faible du problème (P1) s'écrit :

$$
\text{(P2)} \quad \left\{
\begin{array}{l}
u \in H_0^1(\Omega) \\
a(u,v) = (f,v)_{V'_0, V_0} \qquad \forall v \in H_0^1(\Omega)
\end{array}
\right.
$$
**Proposition 1.1**

Avec les hypothèses (1.1),..., (1.7), le problème (P2) admet une solution unique dans $H^2(\Omega) \cap V_0$ qui est la solution forte du problème (P1).

**Démonstration**

Le résultat est classique. Nous nous contentons ici de vérifier que $a$ est coercive sur $V_0$.

$$a(u,v) = |v|_{H_0^1(\Omega)}^2 + \int_{\Omega} (q+\text{grad}v) \cdot v \, dx + \int_{\Omega} \sigma |v|^{2} \, dx \quad \forall v \in V_0$$

Mais, grâce à (1.2), on a :

$$(1.8) \qquad \int_{\Omega} (q \cdot \text{grad}v) v \, dx = - \int_{\Omega} (q \cdot \text{grad}v) v \, dx = 0 \quad \forall v \in V_0$$

On en déduit, en utilisant aussi (1.3) :

$$a(u,v) \ge |v|_{V_0}^2 \quad \forall v \in V_0$$

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

On va maintenant énoncer la formulation mixte des problèmes (P1) et (P2).

**1.2 - Formulation mixte faible**

Dans la suite, on notera encore $\| \cdot \|_{m,\Omega}$ la norme de l'espace de Sobolev produit $(H^m(\Omega))^n$.

Introduisons l'opérateur :

$$(1.9) \qquad D = \text{div} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i}$$
et les espaces :

$$
(1.10) \quad \mathcal{H} = (\mathcal{H}^n) ; \quad \mathcal{X} = \{\mathfrak{s} \in \mathcal{H} \mid \mathrm{D}\mathfrak{s} \in \mathcal{H}\}
$$

muni de la norme :

$$
|\tilde{s}|_{\tilde{\chi}} = (\|\tilde{s}\|_{0,\Omega}^2 + \|\tilde{D}\tilde{s}\|_{0,\Omega}^2)^{1/2}
$$

$\tilde{\chi}$ étant identifié à $\mathcal{H}$, $\mathcal{H}$ étant identifié à son dual, on peut, $\tilde{\chi}$ étant dense dans $\mathcal{H}$, identifier $\tilde{\chi}$ à une partie de $\tilde{\chi}'$ :

$$
(1.11) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\tilde{\chi} \subset \mathcal{H} \subset \tilde{\chi}' & \\
\text{les injections étant continues et } \tilde{\chi} \text{ dense dans } \mathcal{H} &
\end{array}
\right.
$$

On note ( , ) le produit scalaire dans H ainsi que le produit de dualité entre X' et X.

Compte tenu de (1.10), D peut noter un élément de L(\~X,H).

Grâce à (1.11), on introduit encore les opérateurs

$$
(1.12) \quad I = \text{identité dans } \mathcal{H} \ ; \ D' \in (\mathcal{H}, \chi') \text{, adjoint de } D
$$

L'opérateur D vérifie

$$
(1.13) \quad \forall \mathfrak{s} \in \mathcal{X} \qquad |\mathrm{D}\mathfrak{s}|_{\mathcal{H}} \le |\mathfrak{s}|_{\mathcal{X}}
$$

$$
(1.14) \quad \forall v \in H \qquad |D'v|_{X'} \ge C|v|_H
$$

où C est une constante positive indépendante de v.

On introduit le problème ci-dessous que nous appelerons formulation
mixte faible du problème (P1) :
$$
(P3) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
u \in H & ; \quad r \in \X \\
\\
\text{Ir} - D'\text{u} = 0 & \\
\\
(D\tilde{r}, v)_H - \int_{\Omega} uq \cdot \text{gradvdx} + \int_{\Omega} \sigma u v dx = (f, v)_H & \quad \forall v \in V
\end{array}
\right.
$$

Lemme 1.1

Si u et r vérifient

$$
u \in H ; \quad r \in \bar{X}
$$

$$
(1.15) \quad \operatorname{Ir} - D'\mu = 0
$$

alors ils vérifient

$u \in V_0$

$$
(1.16) \quad \bar{r} = - \text{grad } u
$$

et réciproquement.

Démonstration

En effet, l'égalité (1.15) implique l'égalité (1.16) au sens des distributions. Puisque $\tilde{r} \in \tilde{X}$, on en déduit $\tilde{\text{grad}} \in \tilde{H}$, $u \in V$ et l'égalité (1.16) a un sens fort.

Multiplions ensuite (1.16) par une fonction $s$ de $\tilde{X}$ et intégrons
par parties. On obtient alors :

$$
(Ir,s)_H = (D'u,s)_{X',X} - \int_{\Gamma} u_s v \, d\Gamma \quad \forall s \in \tilde{X}
$$
En comparant cette égalité avec (1.16) et par surjectivité de l'application trace $s \to s.v$ de $X$ dans $H^{-1/2}(\Gamma)$, on déduit $u|_{\Gamma} = 0$.

La réciproque est triviale.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

**Proposition 1.2**

Avec les hypothèses (1.1),..., (1.6), (1.9),..., (1.12), le problème (P3) admet une solution unique $(u,r)$ vérifiant (1.16). u est la solution du problème (P2) et la solution forte du problème (P1).

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

**Démonstration**

1 - Le lemme 1.1 donne les premières propriétés de la solution du problème (P3).

2 - Montrons maintenant l'unicité de la solution du problème (P3). Supposons $f=0$. On fait alors $v=u$ dans la dernière équation de (P3). Puisque $u \in V_0$, on obtient grâce à (1.8) :

$$ (Dr,u)_H + \int_{\Omega} \sigma(u)^2 dx = \int_{\Omega} uq \cdot \text{grad} u dx = 0 $$

En portant ce résultat dans la première équation de (P3) que l'on multiplie par $r$, on trouve :

$$ \int_{\Omega} |r|^2 dx + \int_{\Omega} \sigma|u|^2 dx = 0 $$

Grâce à (1.3), on en déduit :

$$ \|r\|_{0,\Omega}^2 + \delta|u|_{H}^{2} = 0 \quad , \quad \delta > 0 $$

Donc $r = 0$ et $u = 0$.
3 - L'unicité de la solution de (P3) étant prouvée, on termine la démonstration en vérifiant que, si u est solution du problème (P2), le couple (u,-gradu) vérifie (P3).

### Remarque 1.2

Il paraît plus naturel d'écrire, comme formulation mixte du problème (P1), la formulation ci-dessous :

$$ (1.17) \qquad u \in H ; \quad \tilde{r} \in X $$

$$ (1.18) \qquad \operatorname{Ir} - D'u = 0 $$

$$ (1.19) \qquad \operatorname{Dr} - q.\operatorname{grad} \beta(u) + \sigma u = f $$

l'équation (1.19) remplaçant la dernière équation de (P3).

Cependant, la formulation (1.17),..., (1.19) est mauvaise pour deux raisons :

1 - D'abord elle ne peut s'étendre aux équations non linéaires du genre :

$$ - \Delta\alpha(u) + q.\operatorname{grad}\beta(u) + \sigma u = f $$

où $\alpha$ et $\beta$ sont des fonctions non linéaires de u différentes.

Ce sont pourtant des équations de ce genre que nous avons en vue puisque la motivation de cette étude est de donner une justification à la méthode utilisée dans JAFFRE [1], [2].

2 - Ensuite, comme on le verra au paragraphe 2.2, Remarque 2.3, l'approximation de la formulation (1.17),..., (1.19) conduit à des schémas aux différences centrées pour le terme du premier ordre, schémas dont on connaît les défauts.
Au contraire le traitement spécifique du terme de convection que
nous faisons dans la formulation (P3), nous conduira à des schémas décentrés
pour le terme du premier ordre.

1.3 - Formulation mixte forte

Introduisons l'opérateur :

$$
(1.20) \quad Q = \mathcal{Q} \cdot \text{grad} + \sigma
$$

et l'espace

$$
(1.21) \quad W = \{v \in H \mid Qv \in H\}
$$

On introduit maintenant la formulation mixte forte suivante :

$$
\text{(P4)} \quad \left\{
\begin{array}{ll}
u \in W & ; \quad r \in X \\
\text{Ir} - D'u = 0 & \\
Dr + Qu = f &
\end{array}
\right.
$$

Proposition 1.3

Avec les hypothèses (1.1),..., (1.6), (1.9),..., (1.12), (1.20),..., (1.21),
le problème (P4) équivaut au problème (P3).

Démonstration

$$
1 - (P4) \Rightarrow (P3)
$$

D'après le lemme 1.1, (P4) implique u ∈ V₀. Donc en multipliant
la dernière équation de (P4) par v ∈ V et en intégrant par parties le terme
de convection on obtient la dernière équation de (P3).
$$2 - (P3) \Rightarrow (P4)$$

La dernière équation de (P3) implique $Dr + Qu = f$ au sens des distributions. Comme $f$, $Dr \in H$, on en déduit $Qu \in H$ et la dernière égalité de (P3) a un sens fort.

## 1.4 - Une formulation mixte générale

Etant donné deux fonctions :

$$(1.22) \qquad g \in X \ ; \ f \in H$$

On veut résoudre maintenant le problème :

$$(P) \quad \left\{ \begin{array}{l} u \in W \ ; \ r \in X \\[1em] I_r - D'u = g \\[1em] Dr + Qu = f \end{array} \right.$$

### Théorème 1.1

Avec les hypothèses (1.2),..., (1.6), (1.9),..., (1.12), (1.20),..., (1.22) et en supposant que $g$ est de la forme

$$(1.23) \quad \left\{ \begin{array}{l} (g,s)_{X'} = \int_{\Omega} g_1 \cdot s \, dx + \int_{\Gamma} g_2 \cdot s \cdot v \, d\Gamma \\[1em] \text{où} \\[1em] g_1 \in H \ ; \ g_2 \in H^{1/2}(\Gamma) \end{array} \right.$$

Le problème (P) admet une solution unique telle que $u \in H^1(\Omega)$.

### Démonstration

On cherche $u$ et $r$ sous la forme
$$
(1.24) \qquad u = u_2 + u_2 \qquad \tilde{r} = r_1 + r_2
$$

les couples $(u_1, \tilde{r}_1)$ et $(u_2, \tilde{r}_2)$ vérifiant :

$$
(1.25) \quad u_1 \in H \ ; \ \tilde{r}_1 \in \tilde{X}
$$

$$
(1.26) \quad \mathrm{Ir}_1 - \mathrm{D}'\mathrm{u}_1 = \mathfrak{g}
$$

$$
(1.27) \quad \mathrm{Dr}_1 = f
$$

$$
(1.28) \quad u_2 \in W \ ; \ \tilde{r}_2 \in \tilde{X}
$$

$$
(1.29) \quad \mathrm{Ir}_2 - \mathrm{D}'\mathrm{u}_2 = 0
$$

$$
(1.30) \quad \mathrm{Dr}_2 + \mathrm{Qu}_2 = - \mathrm{Qu}_1
$$

On s'assure facilement que si les couples $(u_1, \tilde{r}_1)$ et $(u_2, \tilde{r}_2)$ vérifient (1.25), ..., (1.30) alors le couple $(u, \tilde{r})$ défini par (1.24) vérifie (P).

De (1.12), (1.13), (1.14) on déduit, d'après BREZZI [1], que
le problème (1.25), (1.26), (1.27) a une solution unique $(u_1, \tilde{r}) \in H \times \tilde{X}$.

Mais d'après (1.23), l'égalité (1.26) implique $\tilde{r}_1 + \text{gradu}_1 = \tilde{g}_1$
au sens des distributions. Comme $\tilde{r}_1 \in \tilde{X}$, $\tilde{g}_1 \in \tilde{H}$, on en déduit $\text{gradu}_1 \in \tilde{H}$
et $u_1 \in V$. D'où $Qu_1 \in H$.

Les propositions 1.1, 1.2 et 1.3 montrent alors que le problème
(1.28), (1.29), (1.30) admet une solution unique $(u_2, \tilde{r}_2)$ telle que $u_2 \in H_0^1(\Omega)$.
Donc $u = u_1 + u_2 \in H^1(\Omega)$. ■

Remarque 1.3

La première équation de (P) signifie au sens des distributions :
$$
(1.31) \quad \tilde{r} + \text{gradu} = \tilde{g}_1
$$

et $(u, \tilde{r})$ solution du problème (P) est tel que $u$ vérifie formellement :

$$
(1.32) \quad - \Delta u + q.\text{gradu} + \sigma u = f - \text{div} \tilde{g}_1
$$

$$
(1.33) \quad u|_{\Gamma} = g_2
$$

Il y a equivalence entre les problèmes (P) et (1.31), (1.32), (1.33)
quand $\tilde{g}_1 \in \tilde{X}$ et $g_2 \in H^{3/2}(\Gamma)$.

1.5 - Passage à la limite quand on annule le terme de diffusion
ou le terme de convection

On se donne trois fonctions $f, g_1, g_2$ et une fonctionnelle $g \in X'$ telles que :

$$
(1.34) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
f \in L^2(\Omega) \ ; & g_1 \in \tilde{X} \ ; \ g_2 \in H^{3/2}(\Gamma) \\
\\
\forall s \in \tilde{X} \ (g,s)_{X',\tilde{X}} = \int_{\Omega} g_1 \cdot s \, dx + \int_{\Omega} g_2 \cdot s \, v \, d\Gamma
\end{array}
\right.
$$

On note :

$$
(1.35) \quad \Gamma_{-} = \{x \in \Gamma \mid q.v(x) \le 0\}
$$

où v est la normale extérieure à Ω.

Soit $\epsilon$ une constante positive. Considérons les problèmes suivants :

$$
(P_{\epsilon,q}) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
u_{\epsilon,q} \in W \ ; & r_{\epsilon,q} \in \tilde{X} \\
\\
\displaystyle Ir_{\epsilon,q} - D'u_{\epsilon,q} = g \\
\\
\epsilon D r_{\epsilon,q} + Q u_{\epsilon,q} = f
\end{array}
\right.
$$
$$
\begin{array}{ll}
(P_{0,q}) & \left\{
\begin{array}{l}
u_q \in W \\
Qu_q = f \\
u_q|_{\Gamma_-} = g_2
\end{array}
\right. \\[1.5em]
(P_{\varepsilon,0}) & \left\{
\begin{array}{ll}
u_{\varepsilon} \in H & ; \ r_{\varepsilon} \in X \\
I_{\varepsilon}r - D'u_{\varepsilon} = g & \\
\varepsilon D r_{\varepsilon} + \sigma u_{\varepsilon} = f &
\end{array}
\right.
\end{array}
$$

Avec les hypothèses (1.2),..., (1.6), (1.9),..., (1.12), (1.20), (1.21) et (1.34), (1.35), les trois problèmes ($P_{\varepsilon,q}$), ($P_{0,q}$) et ($P_{\varepsilon,0}$) ont chacun une solution unique.

**Proposition 1.4**

On se place dans les hypothèses (1.2),..., (1.6), (1.9),..., (1.12), (1.20), (1.21) et (1.34), (1.35). $\varepsilon$ étant une constante positive, soit ($u_{\varepsilon,q}, r_{\varepsilon,q}$) (resp. $u_q$) la solution du problème ($P_{\varepsilon,q}$) (resp. ($P_{0,q}$)). On a :

$u_{\varepsilon,q} \to u_q \text{ dans } H \text{ quand } \varepsilon \to 0.$

Démonstration
---

Compte tenu de (1.34) et de la remarque 1.3, $u_{\varepsilon,q}$ est solution
forte de :

$$
(1.36) \quad - \varepsilon \Delta u_{\varepsilon,q} + q \cdot \text{grad} u_{\varepsilon,q} + \sigma u_{\varepsilon,q} = f - \varepsilon \text{Div} g_1
$$

$$
(1.37) \quad u_{\epsilon,q}|_{\Gamma} = g_2
$$

et $r_{\sim \epsilon,q}$ vérifie :

$$
(1.38) \quad r_{\sim \epsilon,q} = \text{grad} u_{\epsilon,q} + g_1
$$
Il suffit alors d'utiliser les méthodes et les résultats de BARDOS [1] et LIONS [1] pour obtenir notre résultat.

Donnons ici, bien qu'il ne s'agisse pas de perturbation singulière, cet autre résultat de convergence.

**Proposition 1.5**

On se place dans les hypothèses (1.2),..., (1.6), (1.9),..., (1.12); (1.20),..., (1.23). Etant donnée $\epsilon$ une constante positive, soit $(u_{\epsilon,q},r_{\epsilon,q})$ (resp. $(u_{\epsilon},r_{\epsilon})$) la solution du problème $(P_{\epsilon,q})$ (resp. $(P_{\epsilon,0})$).

On a, quand $q \to 0$ dans $L^\infty(\Omega)$ faible* :

$u_{\epsilon,q} \to u_{\epsilon}$ dans $V$ fort

$r_{\epsilon,q} \to r_{\epsilon}$ dans $H$ fort

**Démonstration**

La solution $(u_{\epsilon,q},r_{\epsilon,q})$ du problème $(P_{\epsilon,q})$ peut s'écrire sous la forme :

$$ (1.39) \qquad u_{\epsilon,q} = u_{\epsilon} + (u_1)_{\epsilon,q} ; \quad r_{\epsilon,q} = r_{\epsilon} + (r_1)_{\epsilon,q} $$

où $(u_{\epsilon},r_{\epsilon})$ est solution du problème $(P_{\epsilon,0})$ et $((u_1)_{\epsilon,q},(r_1)_{\epsilon,q})$ est solution du problème ci-dessous.

$$ (1.40) \qquad (u_1)_{\epsilon,q} \in W ; \quad (r_1)_{\epsilon,q} \in X $$

$$ (1.41) \qquad I(r_1)_{\epsilon,q} - D'(u_1)_{\epsilon,q} = 0 $$

$$ (1.42) \qquad \int_{\Omega} D(r_1)_{\epsilon,q} \, vdx + \int_{\Omega} Q(u_1)_{\epsilon,q} \, vdx = - \int_{\Omega} q \cdot \text{grad} u_{\epsilon} \, vdx \quad \forall v \in H $$

La solution $u_{\epsilon}$ vérifie, grâce à (1.23) et la première équation de $(P_{\epsilon,0})$, $\text{gradu}_{\epsilon} = g_1 - r_{\epsilon} \in H$. Donc $u_{\epsilon} \in V$ et d'après (1.2) :

$$ q \cdot \text{gradu}_{\epsilon} \in H $$
On en déduit, d'après les propositions 1.1, 1.2, 1.3 que la
solution du problème (1.40),..., (1.42) est telle que $(u_1)_{\varepsilon,q}$ est solution
forte de :

$$
(1.43) \quad - \Delta(u_1)_{\varepsilon,q} + \sigma(u_1)_{\varepsilon,q} + q \cdot \text{grad}(u_1)_{\varepsilon,q} = -q \cdot \text{grad} u_{\varepsilon} \quad \text{dans } \Omega
$$

$$
(1.44) \quad (u_1)_{\epsilon,q}|_{T} = 0
$$

et que

$$
(1.45) \quad (r_1)_{\epsilon,q} = -\text{grad}(u_1)_{\epsilon,q}
$$

On démontre alors facilement que, quand $q \to 0$ dans $L^\infty(\Omega)$ faible*,
$(u_1)_{\epsilon,q} \to 0$ dans V fort et donc que $(r_1)_{\epsilon,q} \to 0$ dans H fort. Compte tenu de
(1.39), cela termine la démonstration de la proposition 1.5. ■

II - LE PROBLEME APPROCHE

On suppose maintenant que $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$ avec $n=1$ ou $2$.

2.1 - Les éléments finis mixtes

On présente ici la méthode des éléments finis mixtes exposée dans
RAVIART-THOMAS [1], THOMAS [1]. On renvoie à ces deux ouvrages pour la
démonstration des lemmes et propositions de ce paragraphe.

Introduisions d'abord l'espace $\tilde{\mathcal{X}}$ associé au triangle de référence
$\tilde{\mathbb{K}}$ ci-dessous.

<figure><img src="image_7.png" /></figure>
On note :

$$
(2.1) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
P_k, & \text{l'espace des polynômes à deux variables de degré } \le k \\
\hat{S}_k, & \text{l'espace des fonctions définies sur } \partial \hat{K} \text{ dont les restrictions} \\
& \text{à chaque côté de } \hat{K} \text{ sont des polynômes de degré } \le k \\
\lambda_i &= \lambda_i(\bar{x}), \quad 1 \le i \le 3, \text{ les coordonnées barycentriqués d'un point} \\
& \quad \bar{x} \text{ relatives aux sommets de } \hat{K}
\end{array}
\right.
$$

L'espace $\tilde{X}$ est choisi de façon à vérifier les propriétés suivantes :

$$
(2.2) \quad (P_k)^2 C \tilde{X}
$$

$$
(2.3) \quad \dim \tilde{X} = (k+1)(k+3)
$$

$$
(2.4) \quad \forall \hat{s} \in \hat{X} \quad \exists s \in P_k
$$

$$
(2.5) \quad \forall \hat{s} \in \hat{X} \quad \hat{s} \cdot \hat{v} \in \hat{S}_k \quad (\text{où } \hat{v} \text{ note la normale extérieure à } \hat{K})
$$

$$
(2.6) \quad \forall \hat{s} \in \hat{X} \quad \text{tel que } D\hat{s} = 0, \text{ alors } \hat{s} \in (P_k)^2
$$

Lemme 2.1

On suppose que les conditions (2.2),..., (2.6) sont vérifiées.
Alors une fonction ñ ∈ X̄ est déterminée de façon unique par :

a) les valeurs de ñ.û en (k+1) points distincts de chaque côté de K̄

b) les moments d'ordre k-1 de ñ, i.e.

$$
\int_{\hat{K}} \hat{s} \approx_i \lambda_1^{\alpha_1} \lambda_2^{\alpha_2} \lambda_3^{\alpha_3} d\hat{x} , \quad i=1, 2, \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = k-1
$$

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Pour définir les degrés de liberté a), il est pratique d'utiliser
les points de Gauss Legendre des côtés de K̄.
Un exemple d'espace $\tilde{X}$ vérifiant (2.2),..., (2.6) est l'ensemble
des fonctions $\hat{s}$ de la forme :

$$
\[
(2.7) \qquad \left\{
\begin{aligned}
\hat{s}_1(\xi, n) &= \sum_{\substack{i,j \ge 0 \\ i+j \le k}} \alpha_{ij} \xi^i n^j + \sum_{i=0}^{k'} \alpha_i \xi^{k+1-i} n^i \\
\hat{s}_2(\xi, n) &= \sum_{\substack{i,j \ge 0 \\ i+j \le k}} \beta_{ij} \xi^i n^j + \sum_{i=0}^{k'} \beta_i \xi^i n^{k+1-i}
\end{aligned}
\right.
\]
$$

avec

$$
\[
(2.8) \qquad \left\{
\begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
\text{si } k \text{ est impair : } & k' = \frac{k+1}{2}; \quad \sum_{i=0}^{k'} (-1)^i \alpha_i = \sum_{i=0}^{k'} (-1)^i \beta_i = 0 \\[\medskipamount]
\text{si } k \text{ est pair : } & k' = \frac{k}{2}; \quad \sum_{i=0}^{k'} (-1)^i (\alpha_i - \beta_i) = 0
\end{array}
\right.
\]
$$

Dans la pratique, on utilise k=0 ou k=1. Pour ces valeurs de k,
on choisit pour $\tilde{X}$ l'espace défini par (2.7), (2.8) que nous explicitons
ci-dessous. On a représenté en vis-à-vis, à gauche une fonction générique
$\hat{s}$ de $\tilde{X}$ et à droite des degrés de liberté, les X représentant ceux correspondant
aux valeurs de q.v et les ⊗ ceux correspondant aux moments d'ordre k-1.

k=0

$$
\hat{s}_{\sim}(\xi, n) = \begin{cases} a_0 + \alpha\xi \\ b_0 + \alpha n \end{cases}
$$

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

k=1

$$
\hat{s}_{\sim}(\xi, n) = \begin{cases} a_0 + a_1 \xi + a_2 n + \alpha \xi (\xi + n) \\ b_0 + b_1 \xi + b_2 n + \alpha n (\xi + n) \end{cases}
$$

<figure><img src="image_10.png" /></figure>
Considérons maintenant un triangle K quelconque dans le plan.
Soit une tranformation affine inversible

$$
(2.9) \quad F_K : \hat{x} \to F_K(\hat{x}) = B_K \hat{x} + b_K ; B_K \to \mathcal{L}(R^2) ; b_K \in \mathbb{R}^2
$$

qui transforme $\hat{K}$ en $K$.

A toute fonction à valeurs vectorielles $\hat{s}$ définie sur $\hat{K}$, on associe
une fonction $s$ définie sur $K$ par :

$$
(2.10) \quad \hat{s} = \frac{1}{J_K} B_K \hat{s} \circ F_K^{-1} \quad (\hat{s} = J_K B_K^{-1} \hat{s} \circ F_K)
$$

$$
où J_K = \det B_K.
$$

A chaque triangle K, on associe l'espace

$$
(2.11) \quad \mathcal{X}_K = \{ \hat{s} \mid \hat{s} \text{ définie par (2.10) avec } \hat{s} \in \hat{X} \}
$$

Remarque 2.1
=========

De (2.4), (2.5), (2.9), (2.10), (2.11), on déduit que les fonctions
de $\tilde{x}_K$ ont les propriétés :

i) div $\hat{s}$ est un polynôme de degré $\le k$

ii) la restriction de $\hat{s}$ . ∨ à chaque côté de K est un polynôme de degré $\le k$.

On note :

$h_K$, le diamètre de K

$\rho_K$, le rayon du cercle inscrit dans K.
Considérons une triangulation $\mathcal{T}_h$ de l'ouvert $\Omega$ régulière au sens suivant :

$$
(2.12) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\text{le pas de discrétisation } h = \max_{k \in \mathcal{T}_h} h_K \text{ tend vers zéro ;} \\
\text{il existe une constante } C \text{ telle que ;} \\
\forall h, \forall K \in \mathcal{T}_h \quad \frac{h_K}{\rho_K} \le C
\end{array}
\right.
$$

On trouve alors dans RAVIART-THOMAS [1], le résultat suivant.

**Proposition 2.1**

Considérons une triangulation $\mathcal{T}_h$ de $\Omega$ régulière au sens de (2.12)

i) il existe une constante $C > 0$ indépendante de $K \in \mathcal{T}_h$ telle que :

$$
(2.13) \quad \forall \sim \in \tilde{X}_K \quad \|Ds\|_{0,K} \le C h^{-1} \|s\|_{0,K}
$$

$$
(2.14) \quad \forall \tilde{s} \in \tilde{X}_K \quad \| \tilde{s} \cdot \tilde{v} \|_{0,\partial K} \le C h^{-1/2} \| \tilde{s} \|_{0,K}
$$

ii) il existe un opérateur d'interpolation $\Pi_K \in \mathcal{L}((H^1(K))^2; \tilde{X}_K)$
et une constante $C > 0$ indépendante de $h$ telle que l'on ait :

$$
\forall \tilde{s} \in (H^{k+1}(K))^2 \text{ avec } D\tilde{s} \in H^{k+1}(K)
$$

$$
(2.15) \quad \| \Pi_K s - s \|_{0,K} \le C h^{k+1} (\| s \|_{k+1,K})
$$

$$
(2.16) \quad \| D(\Pi_K s - s) \|_{0,K} \le C h^{k+1} (\| Ds \|_{k+1,K})
$$

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Concernant les fonction scalaires, on a le résultat classique suivant (cf. CIARLET-RAVIART [1]).

**Proposition 2.2**

Considérons une triangulation $\mathcal{T}_h$ de $\Omega$, régulière au sens de (2.12).
i) il existe une constante C > 0 indépendante de K ∈ ℂ_h telle que :

$$
(2.17) \quad \forall v \in P_k \quad \|v\|_{1,K} \le C h^{-1} \|v\|_{0,K}
$$

$$
(2.18) \quad \forall v \in P_k \quad \|v\|_{0,\partial K} \le C h^{1/2} \|v\|_{0,K}
$$

ii) si on note Π_k l'opérateur d'interpolation de Lagrange dans P_k,
alors il existe une constante C > 0 indépendante de K ∈ ℂ_h telle que :

$$
(2.19) \quad \forall v \in H^{k+1}(K) \quad \| \Pi_K v - v \|_{m,K} \le C h^{k+1-m} \| v \|_{k+1,K} \quad 0 \le m \le k
$$

$$
(2.20) \quad \forall v \in H^{k+1}(K) \quad \| \Pi_K v - v \|_{0,\partial K} \le C h^{k+1/2} \| v \|_{k+1,K}
$$

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

On supposera, dans la suite, que

$$
(2.21) \quad \Omega \text{ est un ouvert polygonal}
$$

Considérons une triangulation régulière ℂ_h de Ω de pas h. Les
fonctions à valeurs vectorielles et les fonctions scalaires sont approchées
respectivement dans les espaces.

$$
\tilde{x}_h = \{ \tilde{s}_n \in \tilde{X} \mid \forall K \in \mathcal{C}_h, \tilde{s}_h|_K \in \tilde{x}_K \}
$$

(2.22)

$$
H_h = \{ v_h \in H \mid \forall K \in \mathcal{C}_h, v_h|_K \in P_k \}
$$

Introduisons :

$$
(2.23) \quad T_h(\Gamma), \text{ l'espace des traces sur } \Gamma \text{ des fonctions de } H_h.
$$

Remarque 2.2

On constate que :
i) les fonctions de $H_h$ sont discontinues le long des arêtes de $\mathcal{C}_h$.

ii) $\forall s_h \in X_h \text{ div } s_h \in H_h$

iii) les flux, à travers les arêtes de $\mathcal{C}_h$, des fonctions de $X_h$ sont continus.

iv) les flux à travers $\Gamma$ des fonctions de $X_h$ sont dans $T_h(\Gamma)$.

On munit $X_h$ (resp. $H_h$, $T_h(\Gamma)$) de la norme induite par $\tilde{X}$ (resp. $H$, $L^2(\Gamma)$) qu'on notera $|\cdot|_{X_h}$ (resp. $|\cdot|_{H_h}$, $|\cdot|_{T_h(\Gamma)}$).

On sait que l'opérateur div est continu et surjectif de $\tilde{X}$ sur $H$. Pour les espaces approchés $X_h$ et $H_h$, on trouve, dans RAVIART-THOMAS [1], la proposition suivante.

**Proposition 2.3**

Pour toute fonction $v_h \in H_h$, il existe une fonction $s_h \in X_h$ telle que :

i) $D s_h = v_h$ dans $\Omega$

ii) $|s_h|_{X_h} \le C ||v_h||_{0,\Omega}$

où C est une constante indépendante de $h$ et de $v_h$.

## 2.2 - Enoncé de la formulation du problème approché

On va maintenant donner la formulation approchée du problème (P).

Les éléments finis ayant été choisis, on a approché le terme de convection de la dernière équation de (P) avec le schéma de LESAINT-RAVIART [1] qui est un schéma de décentrage adapté aux méthodes d'éléments finis discontinus.
Considérons $\mathcal{C}_h$ une triangulation régulière au sens de (2.12) de $\Omega$ supposé polygonal.

On définit, pour tout triangle $K$ de $\mathcal{C}_h$ :

$$ (2.24) \quad \left\{ \begin{array}{ll} \partial K_- = \{x \in \partial K | q.v_K \le 0\} ; & \partial K_+ = \partial K - \partial K_- \\[1em] \text{où } v_K \text{ est la normale unitaire extérieure à K.} \\[1em] \bar{u}_h, \xi_h \text{ définis sur } \partial K \text{ par :} \\[1em] \bar{u}_h = & \left\{ \begin{array}{ll} g_2 \text{ sur } \Gamma \cap \partial K_- & \text{trace de } u_h \text{ sur } \partial K_- - (\Gamma \cap \partial K) \text{ extérieure à K} \\ \text{trace de } u_h \text{ sur } \partial K_+ \text{ intérieure à K} & \end{array} \right. \\[1em] \xi_h = & \left\{ \begin{array}{ll} g_2 \text{ sur } \Gamma \cap \partial K & \text{trace de } u_h \text{ sur } \partial K - (\Gamma \cap \partial K) \text{ extérieure à K} \\ \text{trace de } u_h \text{ sur } \partial K & \end{array} \right. \end{array} \right. $$

$\bar{u}_h$ est, sur les arêtes de $\mathcal{C}_h$, la trace amont de $u_h$ relativement au sens de $q$.

On note que

$$ \xi_h|_{\partial K_-} = \bar{u}_h|_{\partial K_-} \qquad \text{#### } \partial K_- \qquad \text{------ } \partial K_+ $$

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

On suppose toujours que $q, \sigma, g, f$ sont des fonctions données vérifiant :
$$
(2.25) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\tilde{q} \in (L^\infty(\Omega))^2 & ; \operatorname{div} \tilde{q} = 0 \\
\sigma \in L^\infty(\Omega) & ; \sigma(x) \ge \delta > 0 \quad \text{p.p.; dans } \Omega
\end{array}
\right.
$$

$$
(2.26) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
f \in L^2(\Omega) & \\
g \in X' & ; (g,s)_{X',\tilde{X}} = \int_{\Omega} g_1 \cdot s \, dx + \int_{\Gamma} g_2 s \cdot \nu \, d\Gamma \\
\text{avec } g_1 \in H, g_2 \in H^{1/2}(\Gamma)
\end{array}
\right.
$$

Ecrivons la formulation approchée du problème (P)

$$
(P_h) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
u_h \in H_h, & r_h \in X'_h \\
\int_{\Omega} r_h \cdot s_h \, dx - \int_{\Omega} u_h \cdot D_s h \, dx = (g, s_h)_{X', \tilde{X}} & \quad \forall s_h \in X'_h \\
\sum_{K \in \mathcal{G}_h} \{ \int_K D r_h \cdot v_h \, dx + \int_K Q u_h \cdot v_h \, dx - \int_{\partial K} g \cdot \nu_K (u_h - \xi_h) v_h \, dx \} = (f, v_h)_H & \\
\forall v_h \in H_h \\
\text{où} \\
\xi_h = \left\{
\begin{array}{ll}
g_2 \text{ sur } \partial K \cap \Gamma & \\
\text{trace extérieure à K de } u_h \text{ sur } \partial K - (\partial K \cap \Gamma) &
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
$$

Remarque 2.3

Interprétons la formulation (P_h) dans le cas de la dimension 1
et pour des éléments finis de degré 0.

Soit $\Omega = ]0,L[$ divisé en N invervalles $I_i = [x_{i-1},x_i[$, $i=1,...,N$, de longueur $h$.
$V_h$ est l'ensemble des fonctions constantes sur chaque intervalle.

$X_h$ est l'ensemble des fonctions continues affines sur chaque intervalle.

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

On note :

$$v_h^i = v_h(x)|_{I_i} \qquad \text{pour } v_h \in V_h$$

$$s_h^i = s_h(x_i) \qquad \text{pour } s_h \in X_h$$

Supposons $q \equiv 1, \sigma \equiv 1, g = 0$.

Alors, moyennant l'utilisation de la formule des trapèzes pour intégrer $\int_{\Omega} r_h s_h dx$, le problème $(P_h)$ s'écrit :

$$r_h^i - \frac{u_h^i - u_h^{i+1}}{h} = 0 \qquad i=0,\dots,N \text{ en posant } u_h^0 = u_h^{N+1} = 0$$

$$\frac{r_h^i - r_h^{i-1}}{h} + \frac{u_h^i - u_h^{i-1}}{h} + u_h^i = f_h^i \quad i=1,\dots,N$$
D'où :

$$ - \frac{u_h^{i+1} - 2u_h^i - u_h^{i-1}}{h^2} + \frac{u_h^i - u_h^{i-1}}{h} + u_h^i = f_h^i \quad i=1,...,N $$

$$ u_h^0 = u_h^{N+1} = 0 $$

On retrouve ainsi le schéma aux différences finies classique décentré amont.

Au contraire, si on avait utilisé une formulation approchée de la formulation (1.17),..., (1.19), on vérifie aisément que, dans les mêmes conditions, on aboutit au schéma suivant :

$$ - \frac{u_h^{i+1} - 2u_h^i - u_h^{i-1}}{h^2} + \frac{u_h^{i+1} - u_h^{i-1}}{2h} + u_h^i = f_h^i \quad i=1,...,N $$

$$ u_h^0 = u_h^N = 0 $$

On reconnaît le schéma aux différences finies centré dont on connaît les défauts.

## 2.3 - Existence et unicité

On va démontrer le théorème suivant :

### Théorème 2.1

On suppose vérifiées les hypothèses (2.21),..., (2.26). Alors le problème approché ($P_h$) admet une solution unique.

Commençons par démontrer deux lemmes qu'on trouve dans LESAINT-RAVIART [1], LESAINT [1].

Introduisons les notations suivantes :
$$
(2.27) \quad \left\{
\begin{array}{l}
S_h, \text{l'ensemble des arêtes de } \mathcal{C}_h \\
\quad \mathcal{V}_h = \{S | S \in S_h, S \subset \Gamma\} \\
\quad \mathcal{O}_h = S_h - \mathcal{V}_h \\
\forall S \in S_h, \mathcal{V} \text{ une normale à } S, \text{ unitaire, et telle que } \mathcal{V} \cdot \mathcal{V} \ge 0
\end{array}
\right.
$$

Lemme 2.1

Avec les notations (2.24), (2.27) on a :

$$
\forall K \in \mathcal{C}_h, \forall u_h \in H_h, \forall v_h \in H_h
$$

$$
(2.28) \quad
\begin{aligned}
& - \int_{\partial K_{-}} q \cdot \nu_K (u_h - \xi_h) v_h d\Gamma + \frac{1}{2} \int_{\partial K} q \cdot \nu_K u_h v_h d\Gamma \\
& = \frac{1}{2} \int_{\partial K} q \cdot n (u_h - \xi_h) v_h d\Gamma + \frac{1}{2} \int_{\partial K} q \cdot \nu_K \xi_h v_h d\Gamma
\end{aligned}
$$

Démonstration

$$
\begin{align*}
& - \int_{\partial K_{-}} q \cdot \nu_K (u_h - \xi_h) v_h d\Gamma + \frac{1}{2} \int_{\partial K} q \cdot \nu_K u_h v_h d\Gamma \\
&= \frac{1}{2} \int_{\partial K_{-}} q \cdot n (u_h - \xi_h) v_h d\Gamma - \frac{1}{2} \int_{\partial K_{-}} q \cdot \nu_K (u_h - \xi_h) v_h d\Gamma \\
&\quad + \frac{1}{2} \int_{\partial K_{-}} q \cdot \nu_K u_h v_h d\Gamma + \frac{1}{2} \int_{\partial K_{+}} q \cdot n u_h v_h d\Gamma \\
&= \frac{1}{2} \int_{\partial K_{-}} q \cdot n (u_h - \xi_h) v_h d\Gamma + \frac{1}{2} \int_{\partial K_{-}} q \cdot \nu_K \xi_h v_h d\Gamma \\
&\quad + \frac{1}{2} \int_{\partial K_{+}} q \cdot n (u_h - \xi_h) v_h d\Gamma + \frac{1}{2} \int_{\partial K_{+}} q \cdot n \xi_h v_h d\Gamma \\
&= \frac{1}{2} \int_{\partial K} q \cdot n (u_h - \xi_h) v_h d\Gamma + \frac{1}{2} \int_{\partial K} q \cdot \nu_K \xi_h v_h d\Gamma
\end{align*}
$$
## Lemme 2.2

Avec les notations (2.24), (2.27) on a :

$$ (2.29) \quad \begin{alignedat}{2} \forall u_h \in H_h \quad & \sum_{K \in \mathcal{K}_h} \int_{\partial K} q \cdot n(u_h - \xi_h) u_h \, d\Gamma && = \\ & \sum_{S \in \mathcal{S}_h^\circ} \int_S q \cdot n(u_h - \xi_h)^2 \, d\Gamma && + \int_{\Gamma} q \cdot n(u_h - \xi_h) u_h \, d\Gamma \end{alignedat} $$

$$ (2.30) \quad \forall u_h \in H_h \quad \sum_{K \in \mathcal{K}_h} \int_{\partial K} q \cdot \nu_K \xi_h u_h \, d\Gamma = \int_{\Gamma} q \cdot \nu \xi_h u_h \, d\Gamma $$

## Démonstration

Pour une arête $S \in \mathcal{S}_h^\circ$ d'un triangle $K$, la contribution du premier membre de l'égalité (2.29) est :

$$ \int_S q \cdot n(u_h - \xi_h) u_h \, d\Gamma + \int_S q \cdot n(\xi_h - u_h) \xi_h \, d\Gamma $$

d'où l'égalité (2.29).

L'égalité (2.30) est évidente.

Démontrons maintenant le théorème 2.1.

## Démonstration du théorème 2.1

Le problème $(P_h)$ est un système linéaire de $N$ équations à $N$ inconnues avec $N = \dim X_h + \dim H_h$.

Il nous suffit donc de prouver l'unicité de sa solution.

On suppose donc :
$$
(2.31) \qquad g = 0 \qquad f = 0
$$

et on va montrer que (2.31) implique $\tilde{r}_h = 0$ et $u_h = 0$.

Faisons $v_h = u_h$ dans $(P_h)$.

Puisque $q$ est à divergence nulle, on a :

$$
\forall K \in \mathcal{C}_h \quad \int_K Q u_h \cdot u_h \,dx = \frac{1}{2} \int_{\partial K} q \cdot \nu u_h^2 d\Gamma + \int_{\Omega} \sigma u_h^2 \,d\Gamma
$$

Mais, de la deuxième égalité (P_h), de (2.28), (2.31), on déduit :

$$
\sum_{K \in \mathcal{C}_h} \{ \int_{\partial K} \mathrm{D}r_h \cdot u_h \,dx + \int_K \sigma u_h^2 \,dx + \frac{1}{2} \int_{\partial K} q \cdot n(u_h - \xi_h) u_h \,d\Gamma + \\
\frac{1}{2} \int_{\partial K} q \cdot \nu \xi_h \cdot u_h \,d\Gamma \} = 0
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{\partial K} q \cdot \nu \xi_h \cdot u_h \, d\Gamma = 0
$$

Utilisant (2.29), (2.30), (2.31), on déduit enfin

$$
\int_{\Omega} \mathrm{D}r_h \cdot u_h \, dx + \int_{\Omega} \sigma u_h^2 \, dx + \sum_{S \in \mathcal{S}_h} \int_{S} q \cdot n(u_h - \xi_h)^2 \, d\Gamma + \int_{\Gamma} q \cdot n(u_h)^2 \, d\Gamma = 0
$$

On porte cette égalité dans la première équation de (P_h) où l'on
pose s_h = r_h.

On obtient, en utilisant (2.31) :

$$
\int_{\Omega} |r_h|^2 dx + \int_{\Omega} \sigma u_h^2 dx + \sum_{S \in \mathcal{S}_h} \int_S q \cdot n(u_h - \xi_h)^2 d\Gamma + \int_{\Gamma} q \cdot n(u_h)^2 d\Gamma = 0
$$

et grâce à (2.25) et (2.27), on trouve

$$
\int_{\Omega} |r_h|^2 dx + \delta \int_{\Omega} |u_h|^2 dx \le 0
$$

ce qui implique $\tilde{r}_h = 0$ et $u_h = 0$.

<figure><img src="image_15.png" /></figure>
# III - ESTIMATIONS DE L'ERREUR D'APPROXIMATION

## 3.1 - Estimations générales

(u,r) étant la solution du problème (P) défini au § 1.4 et
(u_h,r_h) la solution du problème approché (P_h) défini au § 2.2, on va
estimer les erreurs u_h-u et r_h-r.

Commençons par le lemme :

### Lemme 3.1

On suppose vérifiées les hypothèses (2.21),..., (2.26). Soit
(u,r̃) (resp. (u_h,r̃_h)) la solution du problème (P) (resp. (P_h)). On a l'égalité

$$
\begin{align*}
& (3.1) \quad \forall v_h \in H_h, \quad \forall s_h \in X_h \\
& \phantom{(3.1) \quad \} \sum_{K \in \mathcal{K}_h} \left\{ \int_K |r_h - s_h|^2 dx + \int_K \sigma |u_h - v_h|^2 dx \right\} + \\
& \phantom{(3.1) \quad \} \frac{1}{2} \sum_{S \in S_h} \int_{S} q \cdot n (u_h - v_h - \xi_h + \eta_h)^2 d\Gamma + \frac{1}{2} \int_{\Gamma} q \cdot n (u_h - v_h)^2 d\Gamma + \\
& \phantom{(3.1) \quad \} \int_{\Gamma_{-}} q \cdot \nu (\xi_h - \eta_h) (u_h - v_h) d\Gamma = \\
& \phantom{(3.1) \quad \} \sum_{K \in \mathcal{K}_h} \left\{ \int_K D(r-s_h) \cdot (u_h-v_h) dx + \int_K Q(u-v_h)(u_h-v_h) dx \right. \\
& \phantom{(3.1) \quad \} \left. + \int_{\partial K_{-}} q \cdot \nu (v_h - \eta_h) (u_h - v_h) d\Gamma + \int_K (r-s_h)(r_h-s_h) dx \right. \\
& \phantom{(3.1) \quad \} \left. - \int_K (u-v_h) \cdot D(r_h-s_h) dx \right\}
\end{align*}
$$

où $\eta_h|_{\partial K}$ est la trace de $v_h$ sur $\partial K$ extérieure à K.
## Démonstration

Soit $E_h$, l'expression

$$ (3.2) \quad E_h = \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \{ \int_K D(r_h - s_h) \cdot (u_h - v_h) \, dx + \int_K Q(u_h - v_h) \cdot (u_h - v_h) \, dx \\ - \int_{\partial K} q \cdot \nu (u_h - v_h - \xi_h + n_h) \cdot (u_h - v_h) \, d\Gamma \} $$

Puisque, $q$ est à divergence nulle, on a :

$$ \forall K \in \mathcal{C}_h \quad \int_K Q(u_h - v_h) \cdot (u_h - v_h) \, dx = \int_K \sigma(u_h - v_h)^2 \, dx + \frac{1}{2} \int_{\partial K} q \cdot \nu (u_h - v_h)^2 \, d\Gamma $$

En portant dans (3.2), on trouve :

$$ E_h = \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \{ \int_K D(r_h - s_h) \cdot (u_h - v_h) \, dx + \int_K \sigma(u_h - v_h)^2 \, dx \\ + \frac{1}{2} \int_{\partial K} q \cdot \nu (u_h - v_h)^2 \, d\Gamma - \int_{\partial K} q \cdot \nu (u_h - v_h - \xi_h + n_h) (u_h - v_h) \, d\Gamma \} $$

Grâce à (2.28), (2.29), (2.30) on en déduit :

$$ (3.3) \quad E_h = \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \{ \int_K D(r_h - s_h) \cdot (u_h - v_h) \, dx + \int_K \sigma(u_h - v_h)^2 \, dx \} \\ + \sum_{S \in \mathcal{S}_h} \frac{1}{2} \int_S q \cdot n (u_h - v_h - \xi_h + n_h)^2 \, d\Gamma + \frac{1}{2} \int_{\Gamma} q \cdot n (u_h - v_h)^2 \, d\Gamma \\ + \int_{\Gamma_{-}} q \cdot \nu (\xi_h - n_h) (u_h - v_h) \, d\Gamma $$

D'autre part, les premières égalités de (P) et de (P_h) impliquent :

$$ \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \{ \int_K (r-r_h)(r_h-s_h) \, dx \} = \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \{ \int_K (u-u_h) \cdot D(r_h-s_h) \, dx \} $$

Donc :
$$
(3.4) \quad \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \{ \int_K D(r_h - s_h) \cdot (u_h - v_h) dx \} = \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \left\{ \int_K |r_h - s_h|^2 dx \right. \\
\qquad \left. - \int_K (r - s_h)(r_h - s_h) dx + \int_K (u - v_h) \cdot D(r_h - s_h) dx \right\}
$$

En portant (3.4) dans (3.3) on trouve :

$$
\begin{align*}
E_h ={}& \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \{ \int_K |r_h - s_h|^2 dx + \int_K \sigma(u_h - v_h)^2 dx \} \\
& + \sum_{S \in \mathcal{S}_h} \left\{ \begin{aligned}[t]
& \frac{1}{2} \int_S q \cdot n(u_h - v_h - \xi_h + \eta_h)^2 d\Gamma \\
& + \frac{1}{2} \int_{\Gamma} q \cdot n(u_h - v_h)^2 d\Gamma
\end{aligned} \right. \\
& + \int_{\Gamma_-} q \cdot \nu(\xi_h - \eta_h)(u_h - v_h) d\Gamma - \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \{ \int_K (r_h - s_h)(r_h - s_h) dx \\
& + \int_K (u - v_h) \cdot D(r_h - s_h) dx \}
\end{align*}
$$

Mais par ailleurs, de (3.2) et des secondes équations de (P) et
($P_h$), on déduit :

$$
(3.6) \quad E_h = \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \{ \int_K D(r_h - s_h) \cdot (u_h - v_h) dx + \int_K Q(u - v_h) \cdot (u_h - v_h) dx \\
\phantom{(3.6) \quad E_h = \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \{ \int_K} + \int_{\partial K} q \cdot \nu(v_h - \eta_h) (u_h - v_h) d\Gamma \}
$$

La comparaison de (3.5) et (3.6) termine la démonstration du
lemme 2.1.

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

Le théorème suivant nous donne des estimations de l'erreur d'appro-
ximation.
### Théorème 3.1

Soit $\mathcal{C}_h$ une triangulation régulière au sens de (2.12). On suppose vérifiées les hypothèses (2.21),..., (2.26). Soit $(u,r)$ (resp. $(u_h,r_h)$) la solution du problème (P) (resp. $(P_h)$).

On suppose de plus que $(u,r)$ est assez régulier pour que :

$$u \in H^{k+1}(\Omega) \quad ; \quad r \in (H^{k+1}(\Omega))^2 \quad ; \quad Dr \in H^{k+1}(\Omega)$$

Alors, pour h assez petit, il existe une constante C > 0 indépendante de h telle que :

$$(3.7) \quad \begin{aligned} & \|u-u_h\|_{0,\Omega} + \|r-r_h\|_{0,\Omega} + (\sum_{S \in \mathcal{S}_h^\circ} \int_S q \cdot n(u_h - \xi_h)^2 d\Gamma)^{1/2} \\ & \quad + (\int_{\Gamma} q \cdot n(u_h - u)^2 d\Gamma)^{1/2} \le C(h^k \|u\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \|r\|_{k+1,r} + h^{k+1} \|Dr\|_{k+1,\Gamma}) \end{aligned}$$

### Démonstration

On note $\Pi_h$ et $\tilde{\Pi}_h$ les deux opérations d'interpolation suivants :

$$\Pi_h \in \mathcal{L}(L^2(\Omega); V_h) \quad ; \quad \forall v \in L^2(\Omega) \quad \forall K \in \mathcal{C}_h \quad \Pi_h v|_K = \Pi_K v$$

$$\tilde{\Pi}_h \in \mathcal{L}((H^1(\Omega))^2; X_h) \quad ; \quad \forall s \in (H^1(\Omega))^2 \quad \forall K \in \mathcal{C}_h \quad \tilde{\Pi}_h s|_K = \tilde{\Pi}_K s$$

On pose dans (3.1)

$$(3.8) \quad v_h = \Pi_h u \quad ; \quad n_h|_\Gamma = \xi_h|_\Gamma \quad ; \quad s_h = \tilde{\Pi}_h \Gamma$$

Majorons les termes du second membre de l'égalité (3.1). D'après (2.16) on a :

$$(3.9) \quad \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \int_K D(r - \Pi_h r) \cdot (u_h - \Pi_h u) dx \le C h^{k+1} \|Dr\|_{k+1,\Omega} \|u_h - \Pi_h u\|_{0,\Omega}$$
(2.19), (2.25) impliquent :

$$
(3.10) \quad \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \int_K Q(u-\pi_h u) \cdot (u_h - \pi_h u) dx \le C h^k \|u\|_{k+1,\Omega} \|u_h - \pi_h u\|_{0,\Omega}
$$

(2.20), (2.25) impliquent :

$$
(3.11) \quad \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \int_{\partial K} q \cdot \nu (\Pi_h u - \eta_h) (u_h - \Pi_h u) d\Gamma \le C h^{k+1/2} \|u\|_{k+1,\Omega} \|u_h - \Pi_h u\|_{0,\Omega}
$$

(2.15) implique :

$$
(3.12) \quad \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \int_K (r - \Pi_h r)(r_h - \Pi_h r) dx \le C h^{k+1} \|r\|_{k+1, \Omega} \|r_h - \Pi_h r\|_{0, \Omega}
$$

(2.13), (2.19) impliquent :

$$
(3.13) \quad \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \int_K (u - \Pi_h u) \cdot D(r_h - \Pi_h r) dx \le C h^k \|u\|_{k+1, \Omega} \|r_h - \Pi_h r\|_{0, \Omega}
$$

On porte (3.8), ..., (3.13) dans (3.1) et grâce à (2.25), on obtient,
pour h assez petit :

$$
\begin{align*}
(3.14) \quad & \| \tilde{r}_h - \tilde{\Pi}_h \tilde{r} \|_{0,\Omega}^2 + \| \delta \| u_h - \tilde{\Pi}_h u \|_{0,\Omega} + \frac{1}{2} \sum_{S \in \mathcal{S}_h} \int_S q \cdot n (u_h - \tilde{\Pi}_h u - \xi_h - \eta_h) \, d\Gamma \\
& + \frac{1}{2} \int_{\Gamma} q \cdot n (u_h - \tilde{\Pi}_h u)^2 \, d\Gamma \le C \{ (h^k \|u\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \|\tilde{r}\|_{k+1,\Omega}) \|\tilde{r}_h - \tilde{\Pi}_h \tilde{r}\|_{0,\Omega} \\
& \phantom{+ \frac{1}{2} \int_{\Gamma} q \cdot n (u_h - \tilde{\Pi}_h u)^2 \, d\Gamma \le} + (h^k \|u\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \|Dr\|_{k+1,\Omega}) \|u_h - \tilde{\Pi}_h u\|_{0,\Omega} \}
\end{align*}
$$

On en déduit :

$$
(3.15) \quad \| \tilde{r}_h - \tilde{\Pi}_h \tilde{r} \|_{0,\Omega} \le C(h^k \|u\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \|\tilde{r}\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \|Dr\|_{k+1,\Omega})
$$

$$
(3.16) \quad \|u_h - \Pi_h u\|_{0,\Omega} \le C(h^k \|u\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \|\tilde{r}\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \|Dr\|_{k+1,\Omega})
$$
$$
(3.17) \quad \left( \sum_{S \in S_h} \int_S q \cdot n (u_h - \Pi_h u - \xi_h - \eta_h)^2 d\Gamma \right)^{1/2} \\
\le C(h^k \|u\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \|r\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \|Dr\|_{k+1,\Omega})
$$

$$
(3.18) \quad \left( \int_{\Gamma} q \cdot n (u_h - \Pi_h u)^2 d\Gamma \right)^{1/2} \le C \left( \left( \int_{\Omega} h^k \|u\|_{k+1,\Omega} \right)^2 + \left( \int_{\Omega} h^{k+1} \|r\|_{k+1,\Omega} \right)^2 + \left( \int_{\partial \Omega} h^{k+1} \|Dr\|_{k+1,\Omega} \right)^2 \right)
$$
Mais, d'après (2.15), (3.15), on a :

$$
(3.19) \quad \begin{aligned}
\|r-r_h\|_{0,\Omega} &\le \|r-\Pi_h r\|_{0,\Omega} + \|\Pi_h r-r_h\|_{0,\Omega} \\
&\le C(h^k \|u\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \|r\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \|Dr\|_{k+1,\Omega})
\end{aligned}
$$

De même, d'après (2.19), (3.16), on a :

$$
(3.20) \quad \begin{aligned}
\|u-u_h\|_{0,\Omega} &\le \|u-\Pi_h u\|_{0,\Omega} + \|\Pi_h u-u_h\|_{0,\Omega} \\
&\le C(h^k \|u\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \|r\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \|Dr\|_{k+1,\Omega})
\end{aligned}
$$

D'après (2.20), (2.25), (2.27), (3.17), on a :

$$
(3.21) \quad \left( \sum_{S \in S_h} \int_S q \cdot n (u_h - \xi_h)^2 d\Gamma \right)^{1/2} \le \left( \sum_{S \in S_h} \int_S q \cdot n (u_h - \Pi_h u - \xi_h - \eta_h)^2 d\Gamma \right)^{1/2} \\
+ \left( \sum_{S \in S_h} \int_S q \cdot n (\Pi_h u - \eta_h)^2 d\Gamma \right)^{1/2} \\
\le C(h^k \|u\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \|r\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \|Dr\|_{k+1,\Omega})
$$

Enfin, d'après (2.20), (2.25), (2.27), (3.18), on a :

$$
(3.22) \quad \begin{aligned}
& (\int_{\Gamma} q \cdot n (u_h - u)^2 d\Gamma)^{1/2} \le (\int_{\Gamma} q \cdot n (u_h - \Pi_h u)^2 d\Gamma)^{1/2} + (\int_{\Gamma} q \cdot n (\Pi_h u - u)^2 d\Gamma)^{1/2} \\
& \le C(h^k \|u\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \|r\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \|Dr\|_{k+1,\Omega})
\end{aligned}
$$

De (3.19),..., (3.22) on déduit immédiatement (3.7).
## Remarque 3.1

Le théorème 3.1 ne permet pas de conclure pour des éléments finis de degré 0. Cependant les résultats de superconvergence concernant l'équation de transport qu'on trouve dans LESAINT [1], LESAINT-RAVIART [1], pour la dimension 1, ou, pour la dimension 2, avec une discrétisation par des quadri- latères bien disposés, donnent à penser que, dans ces deux cas, on doit pouvoir montrer aussi des résultats de superconvergence pour notre problème.

## 3.2 - Estimations passant à la limite quand on annule le terme de diffusion

Les fonctions $f$ et $g$ sont données maintenant comme en (1.34). On notera dans ce paragraphe $(u_{\epsilon,r_\epsilon}, u)$ et $(u_{\epsilon,q,r_\epsilon}, u_q)$ les solutions respectives des problèmes $(P_{\epsilon,q})$ et $(P_{0,q})$ définis au § 1.5.

Ecrivons la formulation approchée du problème $(P_{\epsilon,q})$ :

$$ (P_{\epsilon,q,h}) \quad \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \int_{\Omega} r_{\epsilon,h} \cdot s_h dx - \int_{\Omega} u_{\epsilon,h} D_s h dx = (g,s_h)_{X',\tilde{X}} & \forall s_h \in X_h \\ \\
\sum_{K \in h} \{ \epsilon \int_K Dr_{\epsilon,h} \cdot v_h dx + \int_K Qu_{\epsilon,h} \cdot v_h dx - \int_{\partial K} g \cdot v_K (u_{\epsilon,h} - \tilde{\epsilon}_{\epsilon,h}) v_h d\Gamma \} = (f,v_h)_H & \forall v_h \in H_h \\ \\
\xi_{\epsilon,h} = \begin{cases} g_2 & \text{sur } \partial K \cap \Gamma \\ \text{trace extérieure à K sur } \partial K - (\partial K \cap \Gamma) & \end{cases} \end{array} \right. $$

D'après le théorème 2.1, pour tout $\epsilon > 0$, le problème $(P_{\epsilon,q,h})$ admet une solution unique et l'erreur d'approximation est estimée au théorème 3.1.

Considérons maintenant la formulation approchée du problème $(P_q)$
On suppose de plus que, pour tout $\epsilon > 0$, on a :

$$u_{\epsilon} \in H^{k+1}(\Omega) ; \quad r_{\sim \epsilon} \in H^{k+1}(\Omega) ; \quad Dr_{\sim \epsilon} \in H^{k+1}(\Omega) ; \quad u \in H^{k+1}(\Omega)$$

et

$$ (3.22) \quad \left\{ \begin{array}{l} \|u_{\epsilon}\|_{k+1,\Omega} \le C ; \quad \|r_{\sim \epsilon}\|_{k+1,\Omega} \le C ; \quad \|Dr_{\sim \epsilon}\|_{k+1,\Omega} \le C \\[2ex] \text{où } C \text{ est une constante indépendante de } \epsilon. \end{array} \right. $$

Alors on a l'estimation :

$$ (3.23) \quad \forall \epsilon \ge 0, \text{ pour h assez petit,} $$

$$ \begin{aligned} & \|u_{\epsilon,h} - u_h\|_{\Omega} + \sum_{S} \int_S q \cdot n(u_{\epsilon,h} - \xi_{\epsilon,h})^2 d\Gamma)^{1/2} + (\int_{\Gamma} q \cdot n(u_{\epsilon,h} - u_{\epsilon})^2 d\Gamma)^{1/2} \\ & \le C h^k \|u_{\epsilon}\|_{k+1,\Omega} + O(h^{k+1} \sqrt{\epsilon}) \end{aligned} $$

où $C$ est une constante indépendante de $h$ et de $\epsilon$.

### Remarque 3.2

Compte tenu de l'hypothèse (3.22), le théorème 3.2 ne donne pas une estimation vérifiée en cas de couche limite. Dans ce cas seules des estimations locales pourraient passer à la limite.

### Démonstration du théorème 3.2

D'après la proposition 3.1, l'inégalité (3.23) est vraie pour $\epsilon = 0$.

Pour $\epsilon > 0$, en partant des équations définissant les problèmes $(P_{\epsilon,q})$ et $(P_{\epsilon,q,h})$, on refait les mêmes calculs qu'au lemme 3.1. On obtient l'égalité :
$$
(3.24) \quad \forall v_h \in H_h ; \quad \forall s_h \in X_h
$$
$$
\sum_{K \in \mathcal{K}_h} \{ \epsilon \int_K |r_{\epsilon,h} - s_h|^2 dx + \int_K \sigma |u_{\epsilon,h} - v_h|^2 dx \} +
$$
$$
\frac{1}{2} \sum_{S \in \mathcal{S}_h} \int_S q \cdot n (u_{\epsilon,h} - v_h - \xi_{\epsilon,h} + n_h)^2 d\Gamma + \frac{1}{2} \int_{\Gamma} q \cdot n (u_{\epsilon,h} - v_h)^2 d\Gamma
$$
$$
+ \int_{\Gamma_{-}} q \cdot v (\xi_{\epsilon,h} - n_h) (u_{\epsilon,h} - v_h) d\Gamma =
$$

$$
\sum_{K \in \mathcal{K}_h} \{ \epsilon \int_K D(r_{\epsilon,h} - s_h)(u_{\epsilon,h} - v_h)dx + \int_K Q(u_{\epsilon,h} - v_h)(u_{\epsilon,h} - v_h)dx \\
+ \int_{\partial K_{-}} q \cdot v(v_h - n_h) \cdot (u_{\epsilon,h} - v_h)d\Gamma + \int_K (r_{\epsilon,h} - s_h)(r_{\epsilon,h} - s_h)dx \\
- \epsilon \int_K (u_{\epsilon,h} - v_h) \cdot D(r_{\epsilon,h} - s_h)dx \}
$$

où $η_h|_{∂K}$ est la trace de $v_h$ sur $∂K$ extérieure à $K$.

On pose alors dans (3.24), $v_h = \Pi_h u_\epsilon$, $\eta_h|_{\Gamma_-} = \xi_\epsilon, h$, $s_h = \Pi_h r_\epsilon$.

En utilisant la même méthode que dans la démonstration du théorème 3.1, on
trouve alors l'estimation :

$$
\begin{align*}
& \|u_{\epsilon,h} - u_{\epsilon}\|_{0,\Omega} + \sqrt{\epsilon} \|r_{\epsilon,h} - r_{\epsilon}\|_{0,\Omega} + \left( \sum_{S \in \mathcal{S}_h} \int_S q \cdot n (u_{\epsilon,h} - \xi_{\epsilon,h})^2 d\Gamma \right)^{1/2} \\
& \qquad + \left( \int_{\Gamma} q \cdot n (u_{\epsilon,h} - u_{\epsilon})^2 d\Gamma \right) \le \\
& \qquad C(h^k \|u_{\epsilon}\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \sqrt{\epsilon} \|r_{\epsilon}\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \epsilon \|D r_{\epsilon}\|_{k+1,\Omega})
\end{align*}
$$

Compte tenu de (3.22), la démonstration du théorème 3.2 est terminée
### 3.3 - Estimations passant à la limite quand on annule le terme de convection

f, g étant donnés comme en (2.26), on considère les problèmes :

$$ (P_q) \quad \left\{ \begin{array}{l} u_q \in W \ ; \quad r_{\sim q} \in X \\ \text{Ir}_q - D' u_q = g \\ \text{Dr}_q + Q u_q = f \end{array} \right. $$

$$ (P_0) \quad \left\{ \begin{array}{l} u \in H \ ; \quad r \in X \\ \text{Ir} - D' u = g \\ \text{Dr} + \sigma u = f \end{array} \right. $$

D'après le théorème 1.1 ces deux problèmes ont une solution unique et la proposition 1.5 énonce la convergence de $u_q$ vers $u$ quand $q \to 0$.

Ecrivons maintenant la formulation approchée des problèmes $(P_q)$ et $(P_0)$.

$$ (P_{q,h}) \quad \left\{ \begin{array}{ll} u_{q,h} \in H_h \ ; \quad r_{\sim q,h} \in X_h & \\ \displaystyle \int_{\Omega} r_{\sim q,h} \cdot s_h dx - \int_{\Omega} u_{q,h} D s_h dx = (g, s_h)_{X_h', X_h} \quad \forall s_h \in X_h & \\ \sum_{K \in \mathcal{K}_h} \left\{ \int_K \text{Dr}_{\sim q,h} \cdot v_h dx + \int_K Q u_{q,h} \cdot v_h dx - \int_{\partial K} q \cdot v_K (u_{q,h} - \xi_{q,h}) v_h d\Gamma \right. & \qquad (f, v_h)_H \quad \forall v_h \in H_h \\ \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left. \text{où} \right. & \\ \\ \xi_{q,h} = & \begin{cases} g_2 \text{ sur } \partial K \cap \Gamma \\ \text{trace extérieure à K de } u_h \text{ sur } \partial K - (\partial K \cap \Gamma) \end{cases} \end{array} \right. $$
$$
(P_{0,h}) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
u_h \in H_h ; & r_h \in X_h \\
\\
\int_{\Omega} r_h s_h dx - \int_{\Omega} u_h D_s dx = (g, s_h)_{X', X} & \quad \forall s_h \in X_h \\
\\
\sum_{K \in \mathcal{K}_h} \{ \int_K D_{r_h} v_h dx + \int_K \sigma u_h \cdot v_h dx \} = (f, v_h)_H & \quad \forall v_h \in H_h
\end{array}
\right.
$$

Les problèmes $(P_{q,h})$ et $(P_{0,h})$ admettent une solution unique d'après le théorème 2.1. Des estimations de l'erreur d'approximation sont données par le théorème 3.1.

Concernant les problèmes $(P_0)$ et $(P_{0,h})$, d'après RAVIART-THOMAS [1], THOMAS [1], on peut énoncer la proposition suivante :

**Proposition 3.2**

On suppose vérifiées les hypothèses (2.21),..., (2.26). Alors le problème $(P_{0,h})$ admet une solution unique $(u_h,r_h)$.

De plus si l'on suppose la solution $(u,r)$ du problème $(P_0)$ assez régulière pour que :

$$
u \in H^{k+1}(\Omega) \ ; \ r \in (H^{k+1}(\Omega))^2 \ ; \ Dr \in H^{k+1}(\Omega)
$$

alors on a :

$$
(3.25) \quad \|u_h - u\|_{0,\Omega} + \|r_h - r\|_{0,\Omega} \le C(h^{k+1}\|u\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1}\|r\|_{k+1}, + \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad h^{k+1}\|Dr\|_{k+1,\Omega})
$$

où C est une constante indépendante de h.

<figure><img src="image_17.png" /></figure>
Le théorème 3.1 appliqué aux problèmes ($P_q$) et ($P_{q,h}$) montre que, quand $q \neq 0$, du fait de l'utilisation du schéma de décentrage de LESAINT-RAVIART, on perd un ordre dans la majoration de l'erreur par rapport au cas $q = 0$ traité par la proposition 3.2.

On va donc démontrer des estimations de l'erreur d'approximation pour le cas $q \neq 0$ qui, en passant à la limite quand $q \to 0$, donnent l'estimation (3.25).

### Théorème 3.3

On suppose vérifiées les hypothèses (2.21),..., (2.26).

Soit $(u_q,r_q)$ (resp. $(u_{q,h},r_{q,h})$) la solution du problème $(P_q)$ (resp. $P_{q,h}$).

On suppose de plus que $u_q$ vérifie :

$$ (3.26) \quad \left\{ \begin{array}{l} u_q \in H^{k+1}(\Omega) \ ; \quad r_q \in (H^{k+1}(\Omega))^2 \ ; \quad Dr_q \in H^{k+1}(\Omega) \\ \|u_q\|_{k+1,\Omega} \le C \ ; \quad \|r_q\|_{k+1,\Omega} \le C \ ; \quad \|Dr\|_{k+1,\Omega} \\ \text{où } C \text{ est une constante indépendante de } q. \end{array} \right. $$

Alors on a l'estimation :

$$ (3.27) \quad \begin{aligned} & \|u_{q,h} - u_q\|_{0,\Omega} + \|r_{q,h} - r_q\|_{0,\Omega} \le C_1 [h^{k+1} \|u_q\|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \|r_q\|_{k+1,\Omega} \\ & \phantom{\|u_{q,h} - u_q\|_{0,\Omega} + \|r_{q,h} - r_q\|_{0,\Omega} \le} + h^{k+1} \|Dr_q\|_{k+1,\Omega}] + O(h^{k-1} \|q\|_{\infty,\Omega}) \end{aligned} $$

où $C_1$ est une constante indépendante de $q$ et de $h$.

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

### Remarque 3.2

Pour $q \neq 0$ l'estimation (3.27) est en $O(h^{k-1})$ et n'est donc pas aussi bonne que l'estimation (3.7) qui est en $O(h^k)$ mais, quand $q \to 0$, l'estimation
(3.27) devient en $O(h^{k+1})$ (et on retrouve le résultat de la proposition 3.2) alors que l'estimation (3.7) reste en $O(h^k)$.

Cependant l'estimation (3.27) doit pouvoir être améliorée.

## Démonstration du théorème 3.3

On a :

$$ \int_{\Omega} |r_{\sim q,h} - s_{\sim h}|^2 dx = \int_{\Omega} (r_{\sim q} - s_{\sim h})(r_{\sim q,h} - s_{\sim h}) dx + \int_{\Omega} (r_{\sim q,h} - r_{\sim q}) (r_{\sim q,h} - s_{\sim h}) dx \\ \forall s_{\sim h} \in X_{\sim h} $$

D'où, grâce aux premières équations de $(P_q)$ et $(P_{q,h})$ :

$$ \int_{\Omega} |r_{\sim q,h} - s_{\sim h}|^2 dx = \int_{\Omega} (r_{\sim q} - s_{\sim h})(r_{\sim q,h} - s_{\sim h}) dx + \int_{\Omega} (u_{\sim q,h} - u_{\sim q}) \cdot (D(r_{\sim q,h} - s_{\sim h})) dx \\ \forall s_{\sim h} \in X_{\sim h} $$

On en déduit :

$$ \|r_{\sim q,h} - s_{\sim h}\|_{0,\Omega} \le \|r_{\sim q} - s_{\sim h}\|_{0,\Omega} \quad \forall s_{\sim h} \in X_{\sim h} ; \quad D_{\sim q,h} = Dr_{\sim q,h} $$

D'où :

$$ (3.28) \qquad \|r_{\sim q} - r_{\sim q,h}\|_{0,\Omega} \le 2 \|r_{\sim q} - s_{\sim h}\|_{0,\Omega} \quad \forall s_{\sim h} \in X_{\sim h} ; \quad D_{\sim q,h} = Dr_{\sim q,h} $$

Par ailleurs, considérons, pour tout $s_h \in X_h$, le problème

suivant :

$$ (3.29) \qquad w_h \in H_h ; \quad t_{\sim h} \in X_{\sim h} $$

$$ (3.30) \qquad \int_{\Omega} t_{\sim h} \cdot z_{\sim h} dx + \int_{\Omega} D t_{\sim h} \cdot D z_{\sim h} dx + \int_{\Omega} w_h \cdot D z_{\sim h} dx = \int_{\Omega} s_{\sim h} \cdot z_{\sim h} dx + \int_{\Omega} D s_{\sim h} \cdot D z_{\sim h} dx \\ \forall z_{\sim h} \in X_{\sim h} $$

$$ (3.31) \qquad \int_{\Omega} D t_{\sim h} \cdot v_h dx = \int_{\Omega} D r_{\sim q,h} \cdot v_h dx \qquad \forall v_h \in H_h $$
D'après BREZZI [1], le problème (3.29),..., (3.31) admet une
solution unique et l'application s_h → t_h est surjective de X_h sur la
variété affine {t_h ∈ X_h | Dt_h = Dr_{q,h}}.

D'après (3.30), on a :

$$
(3.32) \quad |s_h - t_h|_{\tilde{X}} \ge \sup_{z_h \in X_h} \frac{|(s_h - t_h, z_h)_X|}{|z_h|_{\tilde{X}}} = \sup_{z_h \in X_h} \frac{|(w_h, Dz_h)_H|}{|z_h|_{\tilde{X}}}
$$

La proposition 2.3 et (3.32) impliquent alors :

$$
(3.33) \quad |s_h - t_h|_{\tilde{X}} \ge C \|w_h\|_{0,\Omega}
$$

où C est une constante indépendante de h et s_h.

Mais en posant z_h = s_h - t_h dans (3.30) et en utilisant (3.31), on
obtient :

$$
\begin{align*}
(3.34) \quad |s_h - t_h|_{\tilde{X}}^2 &= \int_{\Omega} w_h \cdot D(s_h - r_{q,h}) dx \\
&= \int_{\Omega} w_h \cdot D(s_h - r_q) dx + \int_{\Omega} w_h \cdot D(r_q - r_{q,h}) dx \quad \forall s_h \in X_h
\end{align*}
$$

Or, des secondes équations des problèmes (P<sub>q</sub>) et (P<sub>q,h</sub>), on déduit :

$$
\begin{equation}
\begin{split}
\int_{\Omega} w_h \cdot D(r_q - r_{q,h}) \, dx &= \sum_{K \in \mathcal{K}_h} \{ \int_K Q(u_{q,h} - u_q) \cdot w_h \, dx - \\
&\qquad \int_{\partial K} q \cdot \nu_K (u_{q,h} - \xi_{q,h}) w_h \, d\Gamma \}
\end{split}
\tag{3.35}
\end{equation}
$$

Grâce à (2.17), (2.18), (3.35), on peut écrire :

$$
(3.36) \quad \int_{\Omega} w_h \cdot D(r_q - r_{q,h}) dx \le C \|q\|_{\infty, \Omega} h^{-1} \|u_{q,h} - u_q\|_{0, \Omega} \|w_h\|_{0, \Omega}
$$

où C est une constante indépendante de h et de q.
On pose $\tilde{s}_h = \pi_h r_q$. En utilisant (2.16), (3.33), (3.34), (3.36), on obtient :

$$ (3.37) \quad |\Pi_h r_q - t_h| \le C[h^{k+1} ||D r_q||_{k+1,\Omega} + ||q||_{\infty,\Omega} h^{-1} ||u_q - h^{-1}u||_{0,\Omega}] $$

où C est une constante indépendante de h et de q.

Or, si l'on explicite la façon dont les constantes intervenant dans l'estimation (3.7) du théorème 3.1 dépendent de q, on trouve :

$$ (3.38) \quad \begin{aligned} ||u_q - h^{-1}u||_{0,\Omega} + ||r_q - r_q,h||_{0,\Omega} \le C[h^k(1+||q||_{\infty,\Omega})||u_q||_{k+1,\Omega} + \\ h^{k+1}||r_q||_{k+1,\Omega} + h^{k+1}||Dr_q||_{k+1,\Omega}] \end{aligned} $$

En portant (3.38) dans (3.37), on obtient :

$$ (3.39) \quad \begin{aligned} |\Pi_h \cdot r_q - t_h| \le C[h^{k+1} ||Dr_q||_{k+1,\Omega} + ||q||_{\infty,\Omega} \{h^{k-1}(1+||q||_{\infty,\Omega})||u_q||_{k+1,\Omega} \\ + h^k ||r_q||_{k+1,\Omega} + h^k ||Dr_q||_{k+1,\Omega}\}] \end{aligned} $$

Or :

$$ (3.40) \quad |r_q - t_h| \le |r_q - \Pi_h \cdot r_q| + |\Pi_h \cdot r_q - t_h| $$

De (2.15), (3.39), (3.40), on déduit donc :

$$ (3.41) \quad \begin{aligned} |r_q - t_h| \le {}& C[h^{k+1} ||r_q||_{k+1,\Omega} + h^{k+1} ||Dr_q||_{k+1,\Omega} \\ & + ||q||_{\infty,\Omega} (h^{k-1}(1+||q||_{\infty,\Omega}) ||u_q||_{k+1,\Omega} + h^k ||r_q||_{k+1,\Omega} + h^k ||Dr_q||_{k+1,\Omega})] \end{aligned} $$

où $t_h$ vérifie (3.29), ..., (3.31) avec $\tilde{s}_h = \pi_h r_q$.
La comparaison de (3.28) et de (3.41) donne enfin :

$$
(3.42) \quad \begin{aligned}
\| \tilde{r}_q - \tilde{r}_q, h \|_{0,\Omega} &\le C \Gamma h^{k+1} \| \tilde{r}_q \|_{k+1,\Omega} + h^{k+1} \| D \tilde{r}_q \|_{k+1,\Omega} \\
&\quad + \| q \|_{\infty,\Omega} (h^{k-1} (1+\| q \|_{\infty,\Omega}^2) \| u_q \|_{k+1,\Omega} + h^k \| \tilde{r}_q \|_{k+1,\Omega} + h^k \| D \tilde{r}_q \|_{k+1,\Omega})
\end{aligned}
$$

où C est une constante indépendante de q et de h.

Par ailleurs, des premières équations des problèmes ($P_q$) et ($P_{q,h}$),
on déduit :

$$
(3.43) \quad \int_{\Omega} (u_q - h^{-1}v_h) \cdot D_s \tilde{h} \,dx = \int_{\Omega} (u_q - v_h) \cdot D_s \tilde{h} \,dx + \int_{\Omega} (r_q - h^{-1}r_q) \tilde{h} \,dx
$$

$$
\forall \tilde{s}_h \in \tilde{X}_h \quad \forall v_h \in H_h
$$

Or, d'après la proposition 2.3, il existe $\tilde{t}_h \in \tilde{X}_h$ vérifiant ;

$$
(3.44) \quad D_{\tilde{t}_h} = u_{q,h^{-1}v_h} ; \quad |\tilde{t}_h|_{X} \le C|u_{q,h^{-1}v_h}|_{0,\Omega}
$$

où C est une constante indépendante de h, et de $u_{q,h^{-1}v_h}$.

Faisons $s_h = t_h$ dans (3.43). Grâce à (3.44), on obtient :

$$
(3.45) \quad \| u_{q,h^{-1}v_h} \|_{0,\Omega} \le \| u_q - v_h \|_{0,\Omega} + C \| \tilde{r}_q - \tilde{r}_{q,h} \|_{0,\Omega} \quad \forall v_h \in H_h
$$

où C est une constante indépendante de q et de h.

Or

$$
(3.46) \quad \| u_q - u_{q,h} \|_{0,\Omega} \le \| u_q - v_h \|_{0,\Omega} + \| v_h - u_{q,h} \|_{0,\Omega}
$$

En posant $v_h = \Pi_h u_q$ dans (3.45) et (3.46) et en utilisant (2.19),
on obtient :
$$
(3.47) \quad \|u_q - u_{q,h}\|_{0,\Omega} \le C[\|h^{k+1}\|_{k+1,\Omega} + \|r_q - r_{q,h}\|_{0,\Omega}]
$$

où C est une constante indépendante de q et de h.

Pour terminer la démonstration du théorème 3.3, on compare (3.42) et
(3.47) et on utilise (3.26). ■
BIBLIOGRAPHIE

<table>
  <tbody>
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      <td>"On the existence, uniqueness and approximation of saddle-point problems arising from Lagrangian multipliers" - R.A.I.R.O. - R.2 - (1974).</td>
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      <td>Thèse - Univ. P. & M. Curie - Paris (1977).</td>
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