# Sur l'analyse factorielle des proximités (suite)

J.-P. Benzecri

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J.-P. Benzecri. Sur l'analyse factorielle des proximités (suite). Annales de l'ISUP, 1965, XIV, pp.65-80. hal-04084800

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# SUR L'ANALYSE FACTORIELLE DES PROXIMITÉS (suite) (1)

BENZECRI J.-P.

## 1. Notation.

Une mesure de probabilité sur l'axe réel sera notée $f_i(x)$ dx, qu'elle ait ou non une densité ; la lettre f sera employée pour toute mesure, l'indice i sera une expression quelconque désignant une mesure particulière ; on posera

$$P_i(x) = \int_{-\infty}^{x} f_i(t) dt \ ; \ Q_i(x) = 1 - P_i(x),$$

et l'on notera $S_i(y)$ la fonction, inverse de $P_i$, définie pour $y \in (0,1)$. Si la mesure $f_i(x)$ dx comporte des masses ponctuelles (resp. laisse des intervalles de R vides de masse), la fonction croissante $P_i$ (resp. $S_i$) a des discontinuités ; nous conviendrons qu'en un point de discontinuité, $P_i$ (ou $S_i$) prend toutes les valeurs comprises entre la limite à gauche et la limite à droite ; une égalité, e. g.

$$a < P_i(x) < b,$$

s'interprètera : toute valeur prise par $P_i$ en x est comprise entre a et b.

Soit $X \in \mathbb{R}^N : X = (x_1, \dots, x_i, \dots, x_N)$ ; on notera $f_X(x)$ dx la mesure de probabilité définie par N masses ponctuelles, égale-

<footnote>(1) Nous démontrons ici les théorèmes énoncés au § III de l'article de même titre publié dans cette revue (Cf. Benzécri (J.-P.) : Sur l'analyse factorielle des proximités, *Publ. Inst. Statist. Univ. Paris* 13 (1964), 235,282).</footnote>
les à 1/N, placées aux points d'abcisse $x_i$ ; la suite de ces abcisse, ordonnées dans l'ordre croissant, sera écrite

$x^1 < \dots < x^2 < \dots < x^N$, ou $X(1) < \dots < X(r) < \dots < X(N)$.

Soit $v_{p\sigma}(X)$ dX : la distribution normale suivante sur $E^p$

$$v_{p\sigma}(X) \, dX = (2\pi)^{-p/2} \cdot \sigma^{-p} \cdot e^{-|x|^2/2\sigma^2} \cdot dX,$$

où dX est l'élément de volume, et $|X|$ la norme ordinaire.

Le nombre aléatoire réel positif $|X|$ a une distribution de probabilité, (qu'on peut appeler "loi de $\chi$ à p paramètres", vu qu'on appelle classiquement loi de $\chi^2$, la distribution de $|X|^2$), dont nous noterons $f_{p\sigma}(x)$ la densité

$$\text{si} \quad x > 0 : f_{p\sigma}(x) = A(p) \cdot \sigma^{-p} \cdot e^{-x^2/2\sigma^2} \cdot x^{p-1}$$

$$\text{si} \quad x < 0 : f_{p\sigma}(x) = 0,$$

$$\text{où} \qquad A(p) = \frac{2^{(2-p)/2}}{\Gamma(p/2)}.$$

Etant donnée une mesure de probabilité $f_i(x)$ dX, et $a \in \mathbb{R}^+$ on définit une nouvelle mesure $f_{ia}(x)$ dX par la formule

$$x \in (-a, a) : P_{ia}(x) = P_i(x)$$

$$x < -a \qquad : P_{ia}(x) = 0$$

$$x > a \qquad : P_{ia}(x) = 1.$$

Autrement dit, $f_{ia}(x)$ dX se déduit de $f_i(x)$ dX par concentration aux points d'abcisse $a$ (resp. $-a$) de la masse contenue dans l'intervalle $(a, \infty)$ (resp. $(-\infty, a)$).

En vue de comparer la mesure $f_\chi(x)$ dX (associée à un système fini de nombres, $X$;) à une loi $f_i(x)$ dX posons la

**Définition 1** : La distance latérale $d(f_i, f_j)$ de deux mesures de probabilités $f_i(x)$ dX et $f_j(x)$ dX est

$$d(f_i, f_j) = \sup_{y \in (0,1)} |S_i(y) - S_j(y)| ;$$

On peut encore écrire
$$d(f_i, f_j) = \inf_{d \in D} d; \text{ avec}$$

$$D = \{d|(x - x' > d) \Rightarrow [(P_i(x) \ge P_j(x')) \land (P_j(x) \ge P_i(x'))]\}.$$

On vérifie que la distance latérale satisfait aux axiomes d'une distance. On a deux lemmes

**Lemme 1 :** Soit $X \in \mathbb{R}^N$;

$$X = (x_1, \dots, x_N); \{x_i\} = \{x^r\}; x^1 < \dots < x^r < \dots < x^N.$$

On a quelle que soit la mesure $f_i(x) dx$

$$\forall r = 1, \dots, N; \forall y \in \left(\frac{r-1}{N}, \frac{r}{N}\right) : |x^r - S_i(y)| \le d(f_x, f_i).$$

**Lemme 2 :** Soit $f_i, f_j$ deux mesures de probabilités sur $\mathbb{R}$ ; $\{x_h\}$ une progression arithmétique de raison inférieure ou égale à $d$, prenant un nombre fini de points dont le plus à gauche est $-a$, le plus à droite $a$. Sous les hypothèses

$$\forall x_h : P_j(x_h - d) \le P_i(x_h) \le P_j(x_h + d);$$

$$P_i(a + d) = 1; P_i(-a - d) = 0,$$

on a

$$d(f_i, f_j) \le 2d.$$

(Notons que si le support de $f_i$ et de $f_j$ est le demi-axe positif, il suffit de prendre les $x_h$ en progression de $0$ à $a$).

## 2. Pseudo-échantillons.

**Définition 2 :** Soit $X$ un point aléatoire de $\mathbb{R}^N$, de distribution de probabilité $\mu(X) dX$ ; $\alpha$, un indice aléatoire entier prenant de façon équiprobable les valeurs de $1$ à $N$ ; on suppose que $\alpha$ et $X$ sont des variables aléatoires indépendantes. La distribution de probabilité du nombre aléatoire réel : $\alpha^{-b} \text{me}$ coordonnée de $X = x_\alpha$, sera appelée distribution déduite de $\mu$, et notée $f_\mu$. On dira que $X$ est un pseudo-échantillon d'effectif $N$, de la distribution $f_\mu$.

$f_\mu$ peut encore être défini ainsi : $P_\mu(x)$ est l'espérance mathématique de la grandeur aléatoire $P_\lambda(x)$ (l'espérance mathématique du nombre divisé par $N$, des coordonnées de $X$ inférieures à $x$).
Si les N coordonnées de X sont des grandeurs aléatoires, indépendantes ou non, ayant toutes la même distribution, cette distribution est $f_μ$ ; si ces coordonnées sont indépendantes, X est un échantillon, d'effectif N, de $f_μ$.

Les problèmes que nous étudierons, rentrent sous l'énoncé général suivant.

*Problème* : Comparer la distribution aléatoire $f_χ$, à la distribution $f_μ$. Supposons que avec une probabilité supérieure à $1 - η$, soit indépendante à $ε$ de la distance latérale

$$d(f_{\mu a}, f_{\chi}),$$

(où $a = S_{\mu} \left(1 - \frac{1}{2N}\right)$.) ; on aura, d'après le Lemme 1, avec une probabilité supérieure à $1 - η$

$$\forall r = 1, \dots, N : \left| x^r - S_{\mu} \left( \frac{2r - 1}{2N} \right) \right| < \varepsilon,$$

autrement dit, les coordonnées de X seront, presque surement, toutes connues à un $ε$ près, d'après leur rang r.

Pour démontrer l'énoncé

$$\{\text{Prob. } (d(f_{\mu a}, f_{\chi}) > \varepsilon) < \eta\},$$

il suffit en notant (cf. lemme 2) {$x_h$} une progression arithmétique de raison $< \varepsilon/2$, allant de $-a$ à $+a$, que l'on majore par $η$ la somme des probabilités suivantes

$$\text{Prob. } \left( P_{\chi} \left( a + \frac{\varepsilon}{2} \right) \neq 1 \right)$$

$$\text{Prob. } \left( P_{\chi} \left( -a - \frac{\varepsilon}{2} \right) \neq 0 \right)$$

$$\sum_h \text{Prob. } \left( P_{\chi} \left( x_h + \frac{\varepsilon}{2} \right) < P_{\mu} \left( x_h \right) \right)$$

$$\sum_h \text{Prob. } \left( P_{\chi} \left( x_h - \frac{\varepsilon}{2} \right) > P_{\mu} \left( x_h \right) \right),$$

ces dernières sommes étant étendues à toute la progression arithmétique des $x_h$.
Dans la suite nous étudierons le problème posé dans ce n° d'abord pour un échantillon de loi de $\chi$, puis pour un pseudo-échantillon d'une telle loi, construit à partir d'un échantillon d'une loi normale spatiale.

### 3. Etude d'un échantillon de loi de $\chi$.

**Proposition 1 :** *Notons $\mu(p, N)(X)$ dX, la distribution d'un échantillon d'effectif N de la distribution $f_{p1}$ ; on a*

$$f_{\mu(p, N)} = f_{p1}.$$

Quels que soient p entier positif, et $\eta$, $\epsilon$ réels positifs, on
peui déterminer N(p ; $\eta$ ; $\epsilon$) tel que, si $N > N(p ; \eta ; \epsilon)$ on ait

$$\{\text{Prob. } (d(f'_{p1a}, f_{\chi}) > \epsilon) < \eta\}$$

où a, comme ci-dessus, est défini par $Q_{p1}(a) = 1/(2N)$.

*Preuve :* Il suffit d'établir que pour N suffisamment grand est inférieure à $\eta$ la somme des probabilités

$$\text{Prob} (P_{\chi}(a + \epsilon/2) \neq 1)$$

$$(2a : \epsilon) \ \underset{x \in (0, a)}{\text{Max}} \ \text{Prob} (P_{\chi}(x + \epsilon/2) < P_{p1}(x))$$

$$(2a : \epsilon) \ \underset{x \in (0, a)}{\text{Max}} \ \text{Prob} (P_{\chi}(x - \epsilon/2) > P_{p1}(x))$$

où $(2a : \epsilon)$ est le quotient entier par excès de a par $\epsilon/2$.

Omettant la majoration de la première de ces probabilités,
nous démontrerons la proposition par le

**Lemme 3 :** *Quand N tend vers $l'\infty$, tendent vers 0 les expressions*

$$\frac{a}{\epsilon} \ \underset{x \in (0, a)}{\text{Max}} \ \text{Prob} (Q_{\chi}(x + \epsilon) > Q_{p1}(x))$$

$$\frac{a}{\epsilon} \ \underset{x \in (0, a)}{\text{Max}} \ \text{Prob} (Q_{\chi}(x - \epsilon) < Q_{p1}(x))$$

dans la démonstration du lemme nous n'écrirons pas l'indice p1.

Pour $x$ fixé, $Q_{\chi}(x)$ a une distribution binomiale, de moyenne $Q(x)$ et de variance
$$ \sigma^2 = \frac{1}{N} P_{\chi}(x) Q_{\chi}(x) < \frac{1}{N} Q_{\chi}(x) $$

On a donc, d'après l'inégalité de Bienaymé

$$ \text{Prob} (Q_{\chi}(x + \varepsilon) > Q(x)) < \frac{Q(x + \varepsilon)}{N(Q(x) - Q(x + \varepsilon))^2} = \frac{1}{N} \pi (x; \varepsilon; +) $$

$$ \text{Prob} (Q_{\chi}(x + \varepsilon) < Q(x)) < \frac{Q(x - \varepsilon)}{N(Q(x - \varepsilon) - Q(x))^2} = \frac{1}{N} \pi (x; \varepsilon; -) $$

Pour majorer les $\pi$ nous ferons usage du

**Lemme 4** : Quand $x$ tend vers l'infini, tend vers 1 le rapport de $Q(x)$ à $A(p) \cdot e^{-x^2/2} \cdot x^{p-2}$.

Avant de considérer la preuve du lemme 4, nous en déduirons le lemme 3, donc la proposition,

Il résulte immédiatement du lemme 4 que tendent vers l'infini avec $x$ les deux nombres $\pi(x; \varepsilon; +)$ et $\pi(x; \varepsilon; -)$. Pour prouver le lemme 3 il suffit donc d'établir que quand $N$, donc $a$, tendent vers l'infini, tendent vers zéro les deux nombres

$$ \frac{a}{N\varepsilon} \pi(a; \varepsilon; +) \text{ et } \frac{a}{N\varepsilon} \pi(a; \varepsilon; -). $$

On a d'après le lemme 4, (en remplaçant $\frac{1}{N}$ par $2Q(a)$)

$$ \frac{a}{N\varepsilon} \pi(a; \varepsilon; +) \sim \frac{2a}{\varepsilon} Q(a) \frac{Q(a + \varepsilon)}{(Q(a))^2} \sim \frac{2a}{\varepsilon} e^{-a\varepsilon - (\varepsilon^2/2)} $$

$$ \frac{a}{N\varepsilon} \pi(a; \varepsilon; -) \sim \frac{2a}{\varepsilon} Q(a) \frac{Q(a - \varepsilon)}{(Q(a - \varepsilon))^2} \sim \frac{2a}{\varepsilon} e^{-a\varepsilon + (\varepsilon^2/2)} $$

d'où les limites souhaitées et la preuve du lemme 3 donc de la proposition.

Pour prouver le lemme 4, on place la courbe représentative de $f_{p1}(x)$ entre une droite tangente et une exponentielle négative : pour $x_0$ suffisamment grand, et $x > x_0$ on a les inégalités

$$ f_{p1}(x) \left( 1 + (x - x_0) \left( - x_0 + \frac{p-1}{x_0} \right) \right) < f_{p1}(x) $$
$$f_{p_1}(x) < f_{p_1}(x_o) e^{-x_o(x-x_o)/2}.$$

Ceci prouve que $Q_{p_1}(x_o)$ est de l'ordre de $\frac{1}{x_o} f_{p_1}(x)$ et de plus qu'une fraction arbitrairement élevée donnée de la masse de la mesure $f_{p_1}(x)$ dx, au delà de $x_o$, est contenue dans un intervalle $(x_o, x_o + h)$ où $h$ est de l'ordre de $1/x_o$ ; dans un tel intervalle, on peut, si $x_o$ est grand, assimiler $f_{p_1}(x)$ à

$$f_{p_1}(x_o) \cdot e^{-x_o(x-x_o)}$$

d'où, par intégration, le lemme 4.

### 4. Etude d'un pseudo-échantillon de loi de $\chi$.

Soit l'élément aléatoire : $\mathcal{X} = (X_1, \dots, X_i, \dots, X_n) \in E^{p^n}$, échantillon d'effectif $n$ de la loi normale $\nu_{p_1}$ sur $E^p$. Chacune des distances

$$d_{ij} = |X_i - X_j|$$

est une variable aléatoire réelle ; qui a pour distribution $f_{p,\sqrt{2}}(x)$ dx. Le système $X(\mathcal{X})$, noté en abrégé $X$, de ces $N = n(n-1)/2$ distances $d_{ij}$ est un pseudo-échantillon de la distribution $f_{p,\sqrt{2}}(x)$ dx ; nous noterons $\delta_n(X)$ dX la distribution de ce pseudo-échantillon ;

$$f_{\delta_n} = f_{p,\sqrt{2}}$$

Avec ces notations, on peut énoncer la

**Proposition 2** : Quels que soient p entier positif, et $\eta$, $\varepsilon$, réels positifs, on peut déterminer $n(p; \eta; \varepsilon)$ tel que, si $n > n(p; \eta; \varepsilon)$ on ait, pour le pseudo-échantillon $X$ de distribution $\delta_n(X)$ dX

$$\{\text{Prob} (d(f_{p,\sqrt{2}}a, f_X) > \varepsilon) < \eta\},$$

$$\text{où a, comme ci-dessus, est défini par } Q_{p,\sqrt{2}}(a) = \frac{1}{2N} = \frac{1}{n(n-1)}.$$

**Preuve** : Procédant comme pour la proposition 1, nous nous boraions à démontrer le

**Lemme 5** : Quand $n$ tend vers l'infini, tendent vers zéro les expressions
$$ \frac{a}{\epsilon} \max_{x \in (0, a)} \text{Prob} (Q_x(x + \epsilon) > Q_{p_v^2}(x)) = \frac{a}{\epsilon} \max_{x \in (0, a)} \text{Pr}(x; +) $$

$$ \frac{a}{\epsilon} \max_{x \in (0, a)} \text{Prob} (Q_x(x - \epsilon) < Q_{p_v^2}(x)) = \frac{a}{\epsilon} \max_{x \in (0, a)} \text{Pr}(x; -) $$

Faute d'avoir trouvé comme pour la preuve du lemme 3, des majorations valables sur tout l'intervalle (0, a), nous fragmenterons cet intervalle, ce qui complique la preuve.

a) Etude du nombre aléatoire $Q_x(x)$ (pour $x$ fixé) ; ce nombre est positif, compris entre 0 et 1, et a pour moyenne

$$ Q_{p_v^2}(x) = Q_{p_1}(x/\sqrt{2}) \sim A(p) 2^{(2-p)/2} x^{p-2} e^{-x^{2/4}} $$

Pour évaluer la variance de la distribution de $Q_x(x)$, nous ex-primerons ce nombre aléatoire comme une moyenne de N nombres

$$ Q_x(x) = \frac{1}{N} \sum_{i,j} Q_{x_{ij}}(x), $$

où chacun des N termes $Q_{x_{ij}}(x)$ est ainsi défini

$$ Q_{x_{ij}}(x) = 0 \quad \text{si } d_{ij} = |X_i - X_j| < x, $$

$$ Q_{x_{ij}}(x) = 1 \quad \text{si } d_{ij} = |X_i - X_k| > x. $$

Si i, j, k, l sont quatre entiers distincts, $d_{ij}$ et $d_{kl}$, donc aussi $Q_{x_{ij}}(x)$ et $Q_{x_{kl}}(x)$, sont des grandeurs aléatoires indépendantes. La variance $\sigma^2(N; x)$ de $Q_x(x)$ est l'espérance mathématique de

$$ \frac{1}{N^2} \left[ \sum_{ij} (Q_{x_{ij}}(x) - Q_{p_v^2}(x)) \right]^2 ; $$

Si l'on développe en $N^2$ termes, le carré de cette somme de N termes, on trouve qu'il n'y a que les N termes carrés, et $n(n-1)(n-2)$ termes rectangles, qui soient non-nuls ; on a

$$ \sigma^2(N; x) = \frac{1}{N} Q_{p_v^2}(x) P_{p_v^2}(x) + \frac{n(x-1)(x-2)}{N^2} (Q_{p_v^2}^{(2)}(x) - (Q_{p_v^2}(x))^2), $$

où $Q_{p_v^2}^{(2)}(x)$ est la probabilité que l'on ait

$$ Q_{x_{12}}(x) = Q_{x_{13}}(x) = 1 \text{ i. e. } d_{12} > x \text{ ; } d_{13} > x. $$
On peut majorer $Q_p^{(2)}(x)$ par $Q_{p\sqrt{2}}(x)$ ; on peut encore montrer que $Q_p^{(2)}(x)$ admet un équivalent produit d'un monôme en $x$ par $e^{-x^2/3}$. Par de telles évaluations, nous n'avons pas su simplifier la preuve du lemme 5. Nous utilisons seulement l'inégalité

$$ \sigma^2(N; x) \le \frac{1}{N} + \frac{n(n-1)(n-2)}{N^2} < \frac{4}{n}. $$

b) Une majoration déduite de l'espérance mathématique de $Q_X(x)$.

C'est le

**Lemme 6 :** Pour $n$, donc $a$, tendant vers l'infini, tend vers zéro le produit

$$ \frac{a}{\epsilon} \max_{x \in (0, \frac{a}{10}, a)} \text{Prob} (Q_X(x + \epsilon) > Q_{p\sqrt{2}}(x)). $$

*Preuve :* $Q_X(x + \epsilon)$ a pour espérance mathématique $Q_{p\sqrt{2}}(x + \epsilon)$ d'où (Tchebichev, Bienaymé) la majoration

$$ \text{Pr}(x; +) < \frac{Q_{p\sqrt{2}}(x + \epsilon)}{Q_{p\sqrt{2}}(x)} \sim e^{-(2\epsilon x + \epsilon^2)/4}. $$

Le Lemme 6 en résulte facilement.

c) Majorations déduites de la variance de $Q_X(x)$. C'est le

**Lemme 7 :** Pour $n$, donc $a$, tendant vers l'infini tendent vers zéro les produits

$$ \frac{a}{\epsilon} \max_{x \in (0, \frac{a}{10})} \text{Pr}(x; +) $$

$$ \frac{a}{\epsilon} \max_{x \in (0, \frac{a}{10})} \text{Pr}(x; -) $$

*Preuve :* On a les majorations

$$ \text{Pr}(x; +) < \frac{\sigma^2(N; x)}{[Q_{p\sqrt{2}}(x + \epsilon) - Q_{p\sqrt{2}}(x)]^2} < \frac{4}{n[Q_{p\sqrt{2}}(x + \epsilon) - Q_{p\sqrt{2}}(x)]^2} $$

On peut trouver $x_1$, tel que si $x > x_1$ on ait

$$ [Q_{p\sqrt{2}}(x + \epsilon) - Q_{p\sqrt{2}}(x)]^2 > B(p) e^{-x^2/4} $$
où $B(P)$ est un nombre qui ne dépend que de $p$ (se référer à l'expression asymptotique de $Q_p v_2(x)$). On en déduit facilement que tend vers zéro, quand $a$ tend vers l'infini, le produit

$$ \frac{a}{\epsilon} \max_{x \in (x_1, \frac{a}{10})} P_r(x; +) < \frac{a}{\epsilon^n} \frac{1}{B(p)} e^{a^2/400} $$

Car

$$ \frac{1}{2N} = Q_{p v_2}(a) \sim A \ 2^{(2-p)/2} a^{p-2} e^{-a^2/4} \text{ et} $$

$$ \frac{1}{n} \sim \frac{1}{\sqrt{2N}}. $$

Sur l'intervalle fixe $(0, x_1)$, $\frac{a}{\epsilon} \Pr(x; +)$ tend vers zéro comme $a/n$, D'où, la partie du Lemme relative à $\Pr(x; +)$. L'on procèderait de même pour $\Pr(x; -)$.

d) Retour à la Définition du pseudo-échantillon. Après les Lemmes 6 et 7, il ne manque plus à la preuve du lemme 5, donc de la proposition 2 que le

**Lemme 8 :** Quand $a$ tend vers l'infini, tend vers zéro le produit

$$ \frac{a}{\epsilon} \max_{x \in (\frac{a}{10}, a)} \Pr(x; -). $$

Pour simplifier les notations de la preuve, nous démontrerons l'énoncé suivant

**Lemme 8' :** Quand $a$, (donc $n$), tend vers l'infini, tend vers zéro le produit

$$ \frac{a}{\epsilon} \max_{x \in (\frac{a}{20}, a-\epsilon)} \Pr(Q_{\chi}(x - \epsilon) < Q_{p v_2}(x + \epsilon)). $$

Pour prouver le Lemme, il faut donner une minoration presque sûre du nombre des distances $d_{ij}$ supérieures à $x - \epsilon$. Pour cela, revenons à l'échantillon $\mathcal{X}$ d'effectif $n$, utilisé pour construire le pseudo-échantillon $X$ d'effectif $N$. Pour minorer l'ensemble des $d_{ij} > x - \epsilon$, nous ne considérerons que les points $X_i$ situés dans $\mathbb{R}^p$ au-delà de la sphère centrée à l'origine de rayon $x/2$. Pour que deux tels points $X_i, X_j$ soient à une distance supérieure à $x - \epsilon$,
on a la condition suffisante suivante : Soit $N_i$ (resp $N_j$) le point d'intersection $OX_i$ (resp $OX_j$) avec la sphère de rayon $x/2$ ; $N'_j$ le point diamétralement opposé à $N_j$ ; pour que $|N_i N_j|$, donc $|X_i X_j| = d_{ij}$, soit supérieure à $x - \epsilon$, il suffit que $\frac{N_i \text{ et } N_j \text{ se trouvent sur une même calotte sphérique de rayon }}{\sqrt{x \epsilon/2}}$ de la sphère de rayon $x/2$. D'où l'utilité du

**Lemme 9 :** Soit $\Sigma(x)$ la sphère de centre O et de diamètre x dans $E^p$

$$ \Sigma(x) = \{u \mid u \in E^p ; |u| = x/2\}. $$

On peut trouver une constante $K(p)$ telle que, pour $x/\epsilon > 10$, il existe sur $\Sigma(x)$ une famille $\{C_\beta\}_{\beta \in B}$ de calottes possédant les propriétés suivantes

- toute calotte $C_\beta$ est de rayon $\sqrt{x \epsilon/2}$.

- deux calottes distinctes sont d'intersection vide.

- si $C_\beta$ appartient à la famille, il en est de même de sa symétrique par rapport à O, notée $C_\beta$.

- l'effectif de la famille est compris entre les deux bornes

$$ K(p) \left(\frac{x}{\epsilon}\right)^{(p-1)/2} \quad \text{et} \quad \frac{1}{K(p)} \left(\frac{x}{\epsilon}\right)^{(p-1)/2}. $$

- l'aire de la réunion des calottes est une fraction supérieure à $K(p)$ de l'aire de $\Sigma(x)$.

Pour $p=1$ ou $2$, la preuve est claire : si $p=1$, $\Sigma(x)$ se compose de deux points qui sont aussi les deux calottes de la famille ; si $p=2$, $\Sigma(x)$ est un cercle, que l'on partage en un nombre pair d'arcs égaux. Pour étudier le cas général, on remarque que l'aire de $\Sigma(x)$ est de l'ordre de $x^{p-1}$, tandis que l'aire d'une des calottes est de l'ordre de $x^{\epsilon(p-1)/2}$.

Soit sur la sphère $\Sigma(x)$ une famille $\{C_\beta\}_{\beta \in B}$ de calottes satisfaisant aux conditions du Lemme, notons $G_\beta$ l'ensemble des points de $E^p$ situés à une distance de O supérieure à $x/2$, sur une demi-droite issue de l'origine rencontrant $\Sigma(x)$ en un point de $C_\beta$. L'espérance mathématique du nombre des points de l'échantillon $\mathcal{X}$ situés dans $G_i$ est minorée par

$$ n \cdot (K(p))^2 \cdot f_{p1}(x/2) \cdot \left(\frac{\epsilon}{x}\right)^{(p-1)/2} = n \quad \text{φ}(x, \epsilon). $$
Nous montrerons que pour $x \in (a/20, a - \varepsilon)$, l'on a presque sûrement, dans chaque $G_β, (n/2) \varphi(n, \varepsilon)$ points de l'échantillon $\mathcal{X}$, et que la considération des couples de points dans $G_β, G_β'$ suffit à assurer qu'alors $Q_χ(x - \varepsilon) < Q_{p_v̄²}(x + \varepsilon)$.

Notons $e(β; \mathcal{X})$ l'effectif des points de $\mathcal{X}$ situés dans $G_β$; on a le

**Lemme 10 :** Quand $a$ et $n$ tendent vers l'infini, tend vers zéro le produit

$$ \frac{a}{\varepsilon} \max_{x \in (\frac{a}{20}, a-\varepsilon)} \text{Prob} \left\{ \exists \beta \in B : e(\beta, \mathcal{X}) < \frac{n}{2} \varphi(x, \varepsilon) \right\} $$

*Preuve du Lemme 10 :* d'après l'inégalité de Bienaymé, on a pour un $β$ donné

$$ \text{Prob} \left\{ e(\beta) < \frac{n}{2} \varphi(x, \varepsilon) \right\} < \frac{4}{n \varphi(x, \varepsilon)}, \text{ d'où} $$

$$ \text{Prob} \left\{ \exists_{\beta \in B} : e(\beta, \mathcal{X}) < \frac{n}{2} \varphi(x, \varepsilon) \right\} < \frac{4}{K(\rho) n \varphi(x, \varepsilon)} \left(\frac{x}{\varepsilon}\right)^{(\rho-1)/2} $$

Du membre de droite de cette inégalité, nous possédons une expression asymptotique, donc valable pour $x > \frac{a}{20}$, si a est assez grand. Cette expression asymptotique comporte des termes monomes en $x$ et $a$, termes que nous n'écrirons pas, les termes exponentiels donnant la limite cherchée

$$ \frac{1}{\varphi(x, \varepsilon)} \sim \text{monome} \cdot e^{-x^2/8}; \quad \frac{1}{n} \sim \text{monome} \cdot e^{-a^2/8} $$

d'où pour $1/n$. $\varphi(x, \varepsilon)$ si $x \le a - \varepsilon$

$$ \frac{1}{n} \cdot \varphi(x, \varepsilon) < \text{monome} \cdot e^{-(a^2-x^2)/8} < e^{-a\varepsilon/8} \cdot \text{monome.} $$

D'où le Lemme 10. La démonstration de la proposition 2 va s'achever par le

**Lemme 11 :** pour a suffisamment grand on a l'implication

$$ \left\{ \begin{array}{l} (x \in (a/20, a - \varepsilon)) \land \left( \forall \beta \in B : e(\beta, \mathcal{X}) > \frac{n}{2} \varphi(x, \varepsilon) \right) \end{array} \right\} \\ \Rightarrow \left\{ Q_\chi(x - \varepsilon) > Q_{p_v̄²}(x + \varepsilon) \right\} $$
Preuve : On peut minorer $N.Q_\chi(x - \varepsilon)$, nombre des $d_{ij} > x - \varepsilon$, par la somme des produits $e(\beta, \mathcal{X})$. $e(\beta', \mathcal{X})$ des effectifs de $\mathcal{X}$ dans les secteurs symétriques $G_\beta, G_{\beta'}$, d'où, (en minorant le nombre des couples $G_\beta, G_{\beta'}$, cf. Lemme 9) l'inégalité

$$N \cdot Q_{\chi}(x - \varepsilon) > \frac{1}{2} \cdot K(\rho) \cdot \left(\frac{x}{\varepsilon}\right)^{(p-1)/2} \frac{n^2}{4} (\varphi(x, \varepsilon))^2.$$

Comme dans le Lemme 10, on écrira en utilisant les développements asymptotiques sans préciser les termes monomes

$$Q_{\chi}(x - \varepsilon) > \text{monome } e^{-x^2/8}$$

Or

$$Q_{p/2}(x + \varepsilon) \sim e^{-(x+\varepsilon)^2/8} \cdot \text{monome.}$$

D'où le Lemme 11, les Lemmes 8 et 5 et la proposition 2.

### 5. Preuve des théorèmes du § III.

Etant donné un point $(S \text{ ou } \mathcal{X} \dots) \text{ de } E^{pn}$

$$(X_1, \dots, X_i, \dots, X_n) ; X_i \in E^p,$$

On note $X(S), X(\mathcal{X})$ etc. le système des $N = n(n - 1)/\text{distances}$

$$|X_i - X_j| \in \mathbb{R}^n.$$

On note $G(S), G(\mathcal{X})$, le point de $E^{pn}$ ainsi défini

$$\text{si } \mathcal{X} = (X_i) ; X_G = \frac{1}{n} \sum_i X_i ; G(\mathcal{X}) = ((X_i - X_G)).$$

Il est clair que l'on a

$$\forall \mathcal{X} : G(G(\mathcal{X})) = G(\mathcal{X}) ; \forall \mathcal{X} : X(G(\mathcal{X})) = X(\mathcal{X}),$$

et que l'équation

$$G(\mathcal{X}) = \mathcal{X}.$$

définit un sous-espace $L$ de dimension $(n - 1) p$ de $E^{pn}$.
Dans ce n°, S est l'élément aléatoire défini au § III n° 5b :
la distribution de S est invariante par rotation sur la sphère de
E^(p(n)) ainsi définie

$$
G(S) = S ; |S|^2 = np
$$

Comme au n° 4, X est l'élément aléatoire normal sphérique de
support E^p(n) ; G(X) est normal sphérique dans le sous-espace
linéaire L ; en particulier,

|G(\mathcal{X})|

suit une loi de $\chi$ à (n - 1)p paramètres ; et si on impose la
condition : $|G(\mathcal{X})| = \rho$, la distribution conditionnelle pour $G(\mathcal{X})$ est
homothétique, dans le rapport $\rho/\sqrt{n\rho}$ de celle de l'élément aléa-
toire S.

Etant donné un $\mathcal{X}$ (ou $S) \in \mathbb{R}^{pn}$, d'ordonnance ,

$$
\omega(i, j) = \omega(\mathcal{X}) (i, j)
$$

nous noterons

$$
D(\epsilon; \mathcal{X})
$$

la propriété

$$
\forall i,j : |X_i - X_j| - S_{p\sqrt{2}} \left( \frac{2\omega(i,j) - 1}{2N} \right) < \epsilon
$$

On notera que $D(\varepsilon; \mathcal{X}) \Longleftrightarrow D(\varepsilon; G(\mathcal{X}))$.

Ceci dit, le théorème 2 résulte immédiatement de la proposi-
tion 2 et de la

**Proposition 3** : Quels que soient η, ε, p donnés, il existe n'(p ; η ; ε)
tel que, si n > n' (p, η, ε)

$$
(\mathrm{Prob}(D(\varepsilon; \mathcal{X})) > 1 - \eta) \Longrightarrow (\mathrm{Prob}(D(2\varepsilon, S)) > 1 - 2\eta).
$$

Preuve : n' sera choisie telle que soit satisfaite la condition, (où a est définie par $Q_{p,\sqrt{2}}(a) = \frac{1}{2N}$)

$$
\mathrm{Prob} \left\{ \left| 2a \left( \frac{|G(\mathcal{X})|}{\sqrt{n\rho}} - 1 \right) \right| > \varepsilon \right\} < \eta
$$
cela est possible vu que $|G(\mathcal{X})|$ est un $\chi$ à (n - 1)p paramètres.

On aura pour $n > n'$

$$ \text{Prob} \left\{ \left| \left\{ 2a \left( \frac{|G(\mathcal{X})|}{\sqrt{np}} - 1 \right) \right\} < \varepsilon \right\} \wedge D(\varepsilon; \mathcal{X}) \right\} > 1 - 2\eta $$

Il existe donc un $\rho$ satisfaisant aux deux conditions

$$ 2a \left( \frac{\rho}{\sqrt{np}} - 1 \right) < \varepsilon \quad \text{et} $$

Prob (D($\varepsilon$; G($\mathcal{X}$)), modulo la condition $|G(\mathcal{X})| = \rho) > 1 - 2\eta$. (se souvenir ici de ce que D($\varepsilon$; G($\mathcal{X}$))) $\Leftrightarrow$ D($\varepsilon$; $\mathcal{X}$)).

Or la distribution de G($\mathcal{X}$) modulo $|G(\mathcal{X})| = \rho$ est homothétique de celle de S dans le rapport $\rho/\sqrt{np}$, d'où l'on déduit

$$ \text{Prob} \left( D \left( \varepsilon ; \frac{\rho}{\sqrt{np}} S \right) \right) > 1 - 2\eta $$

mais en vertu de la première condition imposée à $\rho$ cela implique

$$ \text{Prob} (D(2\varepsilon; S)) > 1 - 2 \qquad \text{c. q. f. d.} $$

On notera que notre démonstration du théorème 2 par les propositions 2 et 3, laisse dans l'ombre le fait, pourtant clair, que X(S) est mieux connu par son ordonnance $\omega(S)$ que ne l'est X($\mathcal{X}$) par $\omega(\mathcal{X})$, car, dans le second cas, l'incertitude (faible il est vrai pour n grand) sur les dimensions de la figure inconnue s'ajoute à l'incertitude sur sa forme.

Le Théorème 1, résulte facilement du Lemme 2 du § III, n° 4 et du

**Lemme 12** : Soit $\{X_i\}$ un échantillon d'effectif N de la loi normale

$v_{p1}(X) dX \text{ sur } E^p :$

a) Pour $\varepsilon$ donné et $N \to \infty$, tend vers zéro la probabilité qu'un seul point de l'échantillon se trouve à une distance de l'oriçine supérieure à $\varepsilon$ où $\varepsilon$ est défini par

$$ \frac{1}{2N} = Q_{p1}(a) \sim A(p) e^{-a^2/2} a^{p-2} ; $$
tandis que tend vers $l'\infty$ la densité de l'échantillon à l'intérieur de la sphère de rayon $a - \epsilon$ ; en particulier

b) Soit $\alpha$ un nombre réel donné ; notons $C(\alpha)$ l'ensemble des pavés cubiques de $E^p$, d'arête $\alpha$, dont les sommets ont pour coordonnées des multiples entiers de $\alpha$. Quand $a \to \infty$, tend vers un la probabilité que tout cube de $C(\alpha)$ situé tout entier à une distance de l'origine moindre que $(a - \epsilon)$, se trouve au moins un point de l'échantillon.

Preuve : a) résulte de la proposition 1 ; démontrons b). Les cubes envisagés sont en nombre inférieur à $(\frac{2a}{\alpha})$. Sur un de ces cubes, l'espérance mathématique du nombre des $X_i$ présents est supé. rieure à

$$N \alpha^p e^{-(a-\epsilon)^2/2} = Nq;$$

d'où pour l'absence de tout $X_i$ dans un cube donné une probabilité au plus égale à $e^{-Nq}$. Et pour l'absence de point de l'échantillon dans un au moins des cubes envisagés une probabilité majorée par

$$(\frac{2a}{\alpha})^p e^{-Nq} = q'$$

N est à un monome près en $a$, de la forme $e^{a^{2/2}}$, donc $q'$ tend vers zéro, quand $a$ tend vers l'infini, comme

$$a^p e^{-(a^2 \epsilon)}.$$

Ceci établit le lemme.

Notons enfin que pour $p$ donné, $n$ assez grand, les moments d'inertie principaux du nuage des $\{X_i\}$ dans $E^p$, sont compris presque sûrement entre $a$ et $An$ (où $a$, $A$ sont des nombres réels donnés tels que $a < 1 < A$). Ceci permet de justifier par le théorème 1 du §II n° 5 l'application de l'analyse factorielle usuelle à la reconstruction d'une figure donnée par son ordonnance, (les valeurs approchées des distances étant celles fournies par une loi de $\chi$, selon le théorème 2).

IMPRIMERIE LOUIS-JEAN

Ouvrages scientifiques

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GAP (Hautes-Alpes)

Dépôt légal n° 159

1965
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Depoid, P. - L'effectif de l'Institut International de Statistique et son évolution

Goudswaard, G. - A re-appraisal of the Statistical Education Programme of the International Statistical Institute

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