UN EXEMPLE D'UNE FONCTION SUP-MESURABLE
QUI N'EST PAS MESURABLE

PAR

Z. GRANDE (ELBLĄG) ET J. S. LIPIŃSKI (GDAŃSK)

Désignons par $\mathbb{R}$ l'espace des nombres réels et par $\mathbb{R}^2$ l'espace produit $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$.

Définition (voir [3]). Une fonction $F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ est dite *sup-mesurable* lorsque, quelle que soit la fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mesurable (au sens de Lebesgue), la fonction

$$g_f(x) = F(x, f(x))$$

est également mesurable.

La mesurabilité de la superposition $F(x, f(x))$ a été examinée par Carathéodory dans son livre [1].

On sait qu'il existe une fonction $F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ mesurable au sens de Lebesgue qui n'est pas sup-mesurable (voir [3], p. 298). Dans [2] l'auteur a demandé s'il existe une fonction $F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ sup-mesurable et non-mesurable. Nous démontrerons que la réponse est affirmative en admettant l'hypothèse du continu.

**THÉORÈME 1.** Admettons l'hypothèse du continu. Il existe une fonction $h: A \to \mathbb{R}$, où $A \subset \mathbb{R}$, telle que son graphe $G(h)$ est un ensemble non-mesurable dans $\mathbb{R}^2$ et son intersection avec le graphe de toute fonction borelienne définie sur $\mathbb{R}$ est au plus dénombrable.

**Démonstration.** Rangeons toutes les fonctions boreliennes sur $\mathbb{R}$ en une suite transfinie $f_1, f_2, \dots, f_\alpha, \dots$, $\alpha < \Omega$, où $\Omega$ est le premier ordinal indénombrable, et rangeons de même tous les ensembles fermés dans $\mathbb{R}^2$ qui sont de mesure (lebesguienne) positive en une suite transfinie $F_1, F_2, \dots, F_\alpha, \dots$, $\alpha < \Omega$. Fixons un point $(a_1, b_1) \in F_1$ et posons $h(a_1) = b_1$. Soit $\alpha < \Omega$ ($\alpha > 1$). Supposons que, quel que soit $\beta < \alpha$, on ait déjà défini $a_\beta$ et $h(a_\beta) = b_\beta$ de manière que

$$(a_\beta, b_\beta) \in F_\beta \setminus \bigcup_{\gamma < \beta} G(f_\gamma) \quad \text{et} \quad a_\gamma \neq a_\beta \text{ pour tout } \gamma < \beta.$$
Remarquons que l'ensemble $F_a \setminus \bigcup_{\beta<a} G(f_\beta)$ est mesurable et de mesure positive. Il existe donc un point

$$ (a_a, b_a) \in F_a \setminus \bigcup_{\beta<a} G(f_\beta) $$

tel que $a_a \neq a_\beta$ pour $\beta < a$. Posons $h(a_a) = b_a$. Il est évident que

$$ (*) \qquad (a_a, h(a_a)) = (a_a, b_a) \notin \bigcup_{\beta<a} G(f_\beta). $$

Soit $A = \{a_a : a < \Omega\}$. Démontrons que la fonction $h: A \to R$ satisfait aux conditions de notre théorème. Supposons, par contre, que le graphe $G(h)$ soit mesurable. Comme il est alors de mesure zéro, l'ensemble $R^2 \setminus G(h)$ contient un ensemble fermé de mesure positive, ce qui contredit l'hypothèse que $G(h)$ coupe tous les ensembles fermés de mesure positive.

Soit maintenant $k: R \to R$ une fonction borelienne. Il existe donc un indice $a_0 < \Omega$ tel que $k(x) = f_{a_0}(x)$ pour tout $x \in R$. Il résulte de (*) que

$$ (a_a, h(a_a)) \notin G(f_{a_0}) = G(k) \quad \text{pour tout } a > a_0. $$

Comme $a_0$ est un nombre dénombrable, l'ensemble $G(k) \cap G(h)$ est au plus dénombrable, ce qui achève la démonstration.

**THÉORÈME 2.** Admettons l'hypothèse du continu. Il existe une fonction $F: R^2 \to R$ qui est sup-mesurable et non-mesurable.

Démonstration. Soient $h$ une fonction du théorème 1 et $G(h)$ son graphe. Posons

$$ F(x, y) = \begin{cases} 1 & \text{pour } (x, y) \in G(h), \\ 0 & \text{pour } (x, y) \notin G(h). \end{cases} $$

La fonction $F: R^2 \to R$ n'est pas mesurable puisque l'ensemble $G(h)$ ne l'est pas. Supposons, par contre, que la fonction $F$ ne soit pas sup-mesurable. Il existe donc une fonction mesurable $f: R \to R$ telle que la fonction $g_f(x) = F(x, f(x))$ ne soit pas mesurable. La fonction $g_f$ étant la fonction indicatrice de l'ensemble $B = \{x \in R: f(x) = h(x)\}$, celui n'est pas mesurable. La fonction $f: R \to R$ étant mesurable, il existe une fonction borelienne $k: R \to R$ telle que l'ensemble $C = \{x \in R: k(x) \neq f(x)\}$ soit de mesure zéro. On a bien

$$ \{x \in R: h(x) = k(x)\} \supset B \setminus C. $$

Il en résulte que l'ensemble $G(h) \cap G(k)$ est indénombrable, ce qui est impossible vu les propriétés de $G(h)$. La fonction $F: R^2 \to R$ est donc sup-mesurable.
TRAVAUX CITÉS

[1] C. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, Leipzig-Berlin 1927.

[2] Z. Grande, La mesurabilité des fonctions de deux variables et de la superposition $F(x, f(x))$, Dissertationes Mathematicae (to appear).

[3] И. В. Шрагин, Условия измеримости суперпозиций, Доклады Академии наук СССР 197 (1971), p. 295-298.

ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE GDAŃSK
UNIVERSITÉ DE GDAŃSK

Reçu par la Rédaction le 20. 9. 1976