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BLAISE PASCAL

AMARISA CHANTANASIRI

Généralisation des critères pour l'indépendance linéaire de
Nesterenko, Amoroso, Colmez, Fischler et Zudilin

Volume 19, n° 1 (2012), p. 75-105.

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Publication éditée par le laboratoire de mathématiques
de l'université Blaise-Pascal, UMR 6620 du CNRS
Clermont-Ferrand — France
# Généralisation des critères pour l'indépendance linéaire de Nesterenko, Amoroso, Colmez, Fischler et Zudilin

AMARISA CHANTANASIRI

## Résumé

Deux méthodes différentes permettent de démontrer un critère pour l'indépendance linéaire dû à Yu.V. Nesterenko. Nous développons d'abord la méthode initiale de Nesterenko, simplifiée par F. Amoroso et P. Colmez, pour obtenir des critères plus précis que ceux établis jusqu'à maintenant, valables pour des familles finies de nombres complexes ou d'éléments de $C_p$.

Nous reprenons ensuite l'approche différente de Fischler et Zudilin que nous avions utilisée dans un article précédent, qui permet de travailler avec une suite infinie de nombres réels ou de nombres p-adiques dans $\mathbb{Q}_p$.

## Generalization of the criteria for linear independence of Nesterenko, Amoroso, Colmez, Fischler and Zudilin

### Abstract

Two different methods yield a criterion for linear independence due to Yu.V. Nesterenko. In the first part of this paper we use the original method due to Nesterenko and simplified by Amoroso and Colmez, and we refine the previous results for finite sets of complex numbers or elements in $C_p$.

Next we use the method due to Fischler and Zudilin, which we already used in a previous paper, which works with infinite families of real or p-adic numbers in $\mathbb{Q}_p$.

<footnote>Mots-clés: Critères d'indépendance linéaire, géométrie des nombres, principe des tiroirs, approximation diophantienne.</footnote>

<footnote>Classification math.: 11J72.</footnote>
# 1. La méthode de Nesterenko-Amoroso-Colmez

## 1.1. Introduction

En 1985, Nesterenko [5] a démontré un résultat auxiliaire appelé *critère pour l'indépendance linéaire* qui a été utilisé dans plusieurs articles, notamment pour démontrer des résultats diophaniens sur les valeurs spéciales de la fonction zêta de Riemann (voir par exemple [4]).

Sa démonstration a été simplifiée par Amoroso [1] et Colmez [3] (page 67). Une approche différente du sujet a été proposée en 2010 par Fischler et Zudilin [4]. Dans un article précédent [2], nous avons exploité la méthode de Fichler et Zudilin pour obtenir un énoncé plus précis que les critères antérieurs ; de plus, au lieu de considérer une suite finie fixe de nombres réels, nous avons obtenu des critères pour l'indépendance linéaire faisant intervenir une suite infinie de nombres réels. Nous en avons déduit des critères pour la transcendance et pour l'indépendance algébrique. Comme nous allons le voir, cette approche de Fischler-Zudilin ne donne pas les résultats espérés quand on considère des suites de nombres complexes et dans le cas ultramétrique elle ne permet de traiter que des suites d'éléments d'extensions finies du corps $\mathbb{Q}_p$.

Dans un premier temps (§1.3, §1.4 et §1.5) nous montrons comment développer la méthode de Nesterenko, Amoroso et Colmez pour obtenir des critères concernant des suites finies de nombres complexes ou d'éléments de $\mathbb{C}_p$. Pour présenter la méthode de Nesterenko-Amoroso-Colmez nous considérons (§1.2) d'abord le cas de formes linéaires en deux variables, qui est un critère pour l'irrationalité. Ensuite, aux §2.1 et §2.2, nous reprenons l'approche de Fischler et Zudilin pour expliciter ce qu'elle donne pour des *t*-uplets de nombres réels, ensuite pour des nombres complexes, puis pour des nombres *p*-adiques dans $\mathbb{Q}_p$. Enfin, dans la section 3, nous étudions dans quelle mesure nos résultats sont optimaux.

Dans tout notre texte, nous appellerons *suites croissantes* les suites qui sont croissantes au sens large. Un nombre réel sera dit *positif* s'il est strictement positif. Rappelons d'abord le théorème principal de [2].

**Théorème 1.1.** Soient $\xi = (\xi_i)_{i \ge 0}$ une suite de nombres réels avec $\xi_0 = 1$, $(r_n)_{n \ge n_0}$ une suite croissante de nombres entiers positifs, $(Q_n)_{n \ge n_0}$, $(A_n)_{n \ge n_0}$ et $(B_n)_{n \ge n_0}$ des suites de nombres réels positifs telles que

$$ \lim_{n \to \infty} A_n^{1/r_n} = \infty \quad \text{et, pour tout } n \ge n_0, \quad B_n Q_n \le B_{n+1} Q_{n+1}. $$
CRITÈRES POUR L'INDÉPENDANCE LINÉAIRE

On suppose que, pour tout $n \ge n_0$, il existe une forme linéaire à coefficients entiers rationnels en $r_n + 1$ variables

$$L_n(\underline{X}) = \ell_{n,0}X_0 + \ell_{n,1}X_1 + \cdots + \ell_{n,r_n}X_{r_n}$$

telle que

$$\sum_{i=0}^{r_n} |\ell_{n,i}| \le Q_n, \quad 0 < |L_n(\underline{\xi})| \le \frac{1}{A_n} \quad \text{et} \quad \frac{|L_{n-1}(\underline{\xi})|}{|L_n(\underline{\xi})|} \le B_n.$$

Alors $A_n \le 2(2B_nQ_n)^{r_n}$ pour tout $n$ suffisamment grand.

**Remerciements** : Je tiens à exprimer mes vives reconnaissances à Michel Waldschmidt pour son grand soutien et sa disponibilité tout au long de ce travail. Je souhaite également à remercier Bernard de Mathan pour son aide et ses conseils. Enfin, je souhaite tout particulièrement à remercier le rapporteur pour son immense travail et ses précieuses suggestions.

## 1.2. Critères pour l'irrationalité

Pour présenter la stratégie de Nesterenko, nous commençons par nous restreindre à des formes linéaires en deux variables. La démonstration est particulièrement simple dans ce cas, mais elle contient les idées de base pour le cas général.

### 1.2.1. Critère d'irrationalité archimédien

On définit la hauteur $H(L)$ d'une forme linéaire

$$L(X_0, X_1, \dots, X_r) = \ell_0 X_0 + \ell_1 X_1 + \dots + \ell_r X_r \in \mathbb{Z}X_0 + \mathbb{Z}X_1 + \dots + \mathbb{Z}X_r$$
à coefficients dans $\mathbb{Z}$ en $r+1$ variables par

$$H(L) := \max\{|\ell_0|, |\ell_1|, \dots, |\ell_r|\}.$$

Quand $\underline{\xi} = (\xi_0, \dots, \xi_r)$ est un $(r+1)$-uplet de nombres complexes, on pose

$$|\underline{\xi}| := \max\{|\xi_0|, \dots, |\xi_m|\}.$$

**Théorème 1.2.** Soit $\underline{\xi} = (\xi_0, \xi_1) \in \mathbb{C}^2$. Soient

$(A_n)_{n \ge n_0}, (B_n)_{n \ge n_0} \text{ et } (Q_n)_{n \ge n_0}$

trois suites de nombres réels positifs. On suppose

$$\lim_{n \to \infty} A_n = \infty \quad \text{et} \quad B_n Q_n \le B_{n+1} Q_{n+1} \quad \text{pour } n \ge n_0.$$
A. CHANTANASIRI

On suppose de plus que, pour tout $n \ge n_0$, il existe une forme linéaire
$L_n(X_0, X_1) = \ell_{0,n}X_0 + \ell_{1,n}X_1$ à coefficients dans $\mathbb{Z}$, vérifiant $H(L_n) \le Q_n$,

$$
0 < |L_n(\xi)| \le \frac{1}{A_n} \quad \text{pour } n \ge n_0 \quad \text{et} \quad \frac{|L_{n-1}(\xi)|}{|L_n(\xi)|} \le B_n \quad \text{pour } n > n_0.
$$

Alors

$$
|\xi|A_n < 2B_nQ_n \quad \text{pour tout } n \text{ suffisamment grand.}
$$

Sous les hypothèses du théorème 1.2, le cas particulier $r_n = 1$ pour tout $n$ du théorème 1.1 donne la majoration $A_n \le 4B_n Q_n$ quand $\xi_0 = 1$.

Démonstration. Soit $n$ un entier suffisamment grand pour que

$$
\frac{|L_{n_0}(\xi)|}{H(L_{n_0})} > \frac{|L_n(\xi)|}{H(L_n)}.
$$

L'existence de $n$ est garantie par le fait que $A_n$ tend vers l'infini (noter
que $H(L_n)$ est $\ge 1$). Soit $k$ le plus grand entier dans l'intervalle $[n_0, n]$ tel
que

$$
\frac{|L_k(\xi)|}{H(L_k)} > \frac{|L_n(\xi)|}{H(L_n)}.
$$

On a $k < n$. Notons $\Delta$ le déterminant des deux formes linéaires $L_n$ et $L_k$ :

$$
\Delta := \begin{vmatrix} \ell_{0,n} & \ell_{1,n} \\ \ell_{0,k} & \ell_{1,k} \end{vmatrix} = \ell_{0,n}\ell_{1,k} - \ell_{0,k}\ell_{1,n}.
$$

On a

$$
\xi_0 \Delta = \begin{vmatrix} L_n(\xi) & \ell_{1,n} \\ L_k(\xi) & \ell_{1,k} \end{vmatrix} = L_n(\xi) \ell_{1,k} - L_k(\xi) \ell_{1,n}
$$

et

$$
\xi_1 \Delta = \begin{vmatrix} \ell_{0,n} & L_n(\xi) \\ \ell_{0,k} & L_k(\xi) \end{vmatrix} = L_k(\xi)\ell_{0,n} - L_n(\xi)\ell_{0,k}.
$$

Nous allons en déduire que $\Delta$ n'est pas nul. Étant donné la symétrie de
la situation, on peut supposer sans perte de généralité $H(L_n) = |\ell_{1,n}|$.
Dans le membre de droite de $\xi_0\Delta$, le deuxième terme a pour module
$|L_k(\xi)|H(L_n)$, tandis que le premier a un module

$$
|L_n(\xi)\ell_{1,k}| \le |L_n(\xi)|H(L_k) < |L_k(\xi)|H(L_n).
$$

Par conséquent $\Delta \neq 0$; de plus, pour $i=0$ et $i=1$, on a

$$
|\xi_i \Delta| \le |L_k(\xi)| H(L_n) + |L_n(\xi)| H(L_k) < 2 |L_k(\xi)| H(L_n),
$$
donc

$$|\xi| |\Delta| < 2|L_k(\xi)|H(L_n).$$

Comme $\Delta$ est un entier rationnel non nul, on peut minorer $|\Delta|$ par 1. D'autre part le fait qu'on a choisi $k$ maximal implique

$$\frac{|L_{k+1}(\xi)|}{H(L_{k+1})} \le \frac{|L_n(\xi)|}{H(L_n)},$$

ce qui permet de majorer $H(L_n)$ par $|L_n(\xi)|H(L_{k+1})/|L_{k+1}(\xi)|$. Ainsi

$$|\xi| \le |\xi| |\Delta| < 2H(L_{k+1})|L_n(\xi)| \frac{|L_k(\xi)|}{|L_{k+1}(\xi)|} \le \frac{2}{A_n} B_{k+1} Q_{k+1}.$$

On utilise maintenant le fait que la suite $(B_n Q_n)_{n \ge n_0}$ est croissante (au sens large) et que $k+1 \le n$, ce qui donne la conclusion.

□

Cette démonstration ne demande pas que $\xi_0$ et $\xi_1$ soient réels, mais les hypothèses entraînent que $\xi_0$ et $\xi_1$ sont non nuls et que $\xi_1/\xi_0$ est limité d'une suite de nombres rationnels, donc que ce quotient est réel. Les hypothèses impliquent aussi que ce quotient est irrationnel.

### 1.2.2. Critère d'irrationalité ultramétrique

Soit $p$ un nombre premier. Quand $\xi = (\xi_0, \dots, \xi_r)$ est un $(r+1)$-uplet d'éléments de $\mathbb{C}_p$, on pose

$$|\xi|_p := \max\{|\xi_0|_p, \dots, |\xi_r|_p\}.$$

**Théorème 1.3.** Soit $\xi = (\xi_0, \xi_1) \in \mathbb{C}_p^2$. Soient

$(A_n)_{n \ge n_0}, (B_n)_{n \ge n_0}$ et $(Q_n)_{n \ge n_0}$

trois suites de nombres réels positifs. On suppose

$$\lim_{n \to \infty} A_n = \infty, \quad \lim_{n \to \infty} B_n Q_{n-1} = \infty$$

et

$$B_n Q_{n-1} \le B_{n+1} Q_n \quad \text{pour } n > n_0.$$

On suppose de plus que, pour tout $n \ge n_0$, il existe une forme linéaire $L_n(X_0, X_1) = \ell_{0,n}X_0 + \ell_{1,n}X_1$ à coefficients dans $\mathbb{Z}$, vérifiant $H(L_n) \le Q_n$,

$$0 < |L_n(\xi)|_p \le \frac{1}{A_n} \quad \text{pour } n \ge n_0$$
A. CHANTANASIRI

et

$$
\frac{|L_{n-1}(\xi)|_p}{|L_n(\xi)|_p} \le B_n \quad \text{pour } n > n_0.
$$

Alors

$$
|\xi|_p A_n \le 2B_n Q_n Q_{n-1} \quad \text{pour tout } n \text{ suffisamment grand.}
$$

Quand

$$
L(X_0, X_1, \dots, X_r) = \ell_0 X_0 + \ell_1 X_1 + \dots + \ell_r X_r
$$

est une forme linéaire à coefficients dans $\mathbb{Z}$ en $r+1$ variables, on pose

$$
H_p(L) := \max\{|\ell_0|_p, |\ell_1|_p, \dots, |\ell_r|_p\}.
$$

Démonstration. Soit $n$ un entier suffisamment grand. Considérons d'abord
le cas où

$$
\frac{|L_{n_0}(\xi)|_p}{H_p(L_{n_0})} \le \frac{|L_n(\xi)|_p}{H_p(L_n)}.
$$

Comme

$$
H_p(L_n) \ge \frac{1}{H(L_n)} \ge \frac{1}{Q_n},
$$

on en déduit

$$
A_n \le Q_n \frac{H_p(L_{n_0})}{|L_{n_0}(\xi)|_p},
$$

et l'hypothèse $\lim_{n \to \infty} B_n Q_{n-1} = \infty$ montre que la conclusion est vérifiée.

Si on n'est pas dans ce cas, alors l'ensemble des entiers $k$ dans l'intervalle $[n_0, n]$ tels que

$$
\frac{|L_k(\xi)|_p}{H_p(L_k)} > \frac{|L_n(\xi)|_p}{H_p(L_n)}
$$

contient $n_0$, donc n'est pas vide. On considère le plus grand de ces entiers.
On a clairement $k < n$. Le déterminant $\Delta = \ell_{0,n}\ell_{1,k} - \ell_{0,k}\ell_{1,n}$ des deux
formes linéaires $L_n$ et $L_k$ vérifie

$$
\xi_0 \Delta = L_n(\xi) \ell_{1,k} - L_k(\xi) \ell_{1,n} \quad \text{et} \quad \xi_1 \Delta = L_k(\xi) \ell_{0,n} - L_n(\xi) \ell_{0,k}.
$$

Le choix de $k$ garantit $\Delta \neq 0$ et

$$
|\xi|_p |\Delta|_p = |L_k(\xi)|_p H_p(L_n).
$$

Comme $\Delta$ est un entier rationnel non nul, on peut minorer $|\Delta|_p$ par

$$
|\Delta|_p \ge \frac{1}{|\Delta|} \ge \frac{1}{2Q_n Q_k}.
$$
CRITÈRES POUR L'INDÉPENDANCE LINÉAIRE

Le fait qu'on a choisi $k$ maximal implique

$$ \frac{|L_{k+1}(\xi)|_p}{H_p(L_{k+1})} \le \frac{|L_n(\xi)|_p}{H_p(L_n)}. $$

Comme $H_p(L_{k+1}) \le 1$, on en déduit

$$ H_p(L_n) \le \frac{|L_n(\xi)|_p}{|L_{k+1}(\xi)|_p}. $$

Ainsi

$$ \frac{|\xi|_p}{2Q_nQ_k} \le |\xi|_p |\Delta|_p \le |L_n(\xi)|_p \frac{|L_k(\xi)|_p}{|L_{k+1}(\xi)|_p} \le \frac{B_{k+1}}{A_n}. $$

On utilise maintenant le fait que la suite $(B_{k+1}Q_k)_{k \ge n_0}$ est croissante (au sens large) avec la majoration $k+1 \le n$ pour conclure.

□

Cette démonstration ne demande pas que $\xi_0$ et $\xi_1$ soient dans $\mathbb{Q}_p$, mais si, de plus, $\limsup A_n/Q_n = \infty$, alors $\xi_0$ n'est pas nul et $\xi_1/\xi_0$ est dans $\mathbb{Q}_p \setminus \mathbb{Q}$.

## 1.3. Élimination

La méthode de Nesterenko [5] repose sur des outils d'élimination linéaire, qui ont été ensuite précisés par Amoroso [1] et Colmez [3].

### 1.3.1. Hauteur $H(M)$ d'une matrice $M$ à coefficients entiers

Nous reproduisons ici une partie de la section 6.1 de [3].

Soient $s$ et $r$ deux entiers vérifiant $0 \le s \le r$ et soit $M$ une matrice de $\mathrm{Mat}_{(s+1) \times (r+1)}(\mathbb{Z})$ ayant $s+1$ lignes et $r+1$ colonnes, à coefficients entiers

$$ M = (a_{i,j})_{\substack{0 \le i \le s \\ 0 \le j \le r}}. $$

Si $J$ est une partie à $s+1$ éléments de $\{0, \dots, r\}$, on note $M_J$ la matrice $(s+1) \times (s+1)$ de composantes $(a_{i,j})_{\substack{0 \le i \le s \\ j \in J}}$ et on pose

$$ H(M) := \max_J |\det M_J|, $$

où $J$ décrit les parties à $s+1$ éléments de $\{0, \dots, r\}$.

Soit $\underline{\xi} = (\xi_0, \dots, \xi_r) \in \mathbb{C}^{r+1}$. On note $M\underline{\xi}$ le vecteur colonne dans $\mathrm{Mat}_{(s+1) \times 1}(\mathbb{C})$ dont la $i$-ème coordonnée est $\sum_{j=0}^r a_{i,j}\underline{\xi}_j$ ($0 \le i \le s$).
A. CHANTANASIRI

Si $J'$ est une partie à $s$ éléments de $\{0, \dots, r\}$, on note $M_{J',\xi}$ la matrice $(s+1) \times (s+1)$ obtenue en rajoutant à la matrice $(s+1) \times s$ de composantes $(a_{i,j})_{\substack{0 \le i \le s \\ j \in J'}}$ le vecteur $M\xi$ et on pose

$$ \Delta(M) := \max_{J'} |\det M_{J',\xi}|_p, $$

où $J'$ décrit les parties à $s$ éléments de $\{0, \dots, r\}$.

**Lemme 1.4.**

(i) Si $s=0$ et $M = (a_0, \dots, a_r) \in \mathrm{Mat}_{1 \times (r+1)}(\mathbb{Z})$, alors

$$ H(M) = \max_{0 \le i \le r} |a_i| \quad \text{et} \quad \Delta(M) = \left| \sum_{i=0}^{r} a_i \xi_i \right|. $$

(ii) Si $M \in \mathrm{Mat}_{(r+1) \times (r+1)}(\mathbb{Z})$, alors

$$ H(M) = |\det(M)| \quad \text{et} \quad \Delta(M) = |\det(M)||\xi|. $$

(iii) Si $s \le r$ et $M \in \mathrm{Mat}_{(s+1) \times (r+1)}(\mathbb{Z})$ et si $\Delta(M) \ne 0$, alors $H(M) \ne 0$.

(iv) Si $s \le r-1$ et $M \in \mathrm{Mat}_{(s+1) \times (r+1)}(\mathbb{Z})$, si $L \in \mathrm{Mat}_{1 \times (r+1)}(\mathbb{Z})$ et si $M \oplus L$ désigne l'élément de $\mathrm{Mat}_{(s+2) \times (r+1)}(\mathbb{Z})$ obtenu en accolant verticalement $M$ et $L$, alors

$$ H(M \oplus L) \le (s+2)H(L)H(M) $$

et

$$ \begin{aligned} H(M)\Delta(L) - (s+1)H(L)\Delta(M) &\le \Delta(M \oplus L) \\ &\le H(M)\Delta(L) + (s+1)H(L)\Delta(M). \end{aligned} $$

(v) Une matrice $M$ de format $(s+1) \times (r+1)$ et de rang $< s+1$ vérifie $H(M) = 0$.

Seul l'énoncé (v) du lemme 1.4 ne figure pas dans [3] ; il résulte immédiatement de la définition de $H(M)$.

### 1.3.2. Hauteur p-adique $H_p(M)$ d'une matrice $M$ à coefficients entiers

Dans la section 1.5, nous aurons besoin d'une variante ultramétrique du lemme 1.4.
CRITÈRES POUR L'INDÉPENDANCE LINÉAIRE

Nous conservons les notations de la section 1.3.1 avec $0 \le s \le r$ et $M \in \mathrm{Mat}_{(s+1)\times(r+1)}(\mathbb{Z})$. Soit $p$ un nombre premier. Si $J$ est une partie à $s+1$ éléments de $\{0, \dots, r\}$, on pose

$$H_p(M) := \max_J |\det M_J|_p,$$

où $J$ décrit les parties à $s+1$ éléments de $\{0, \dots, r\}$.

D'autre part soit $\underline{\xi} = (\xi_0, \dots, \xi_r) \in \mathbb{C}_p^{r+1}$. On pose encore

$$\Delta_p(M) := \max_{J'} |\det M_{J', \underline{\xi}}|_p,$$

où $J'$ décrit les parties à $s$ éléments de $\{0, \dots, r\}$.

**Lemme 1.5.**

(i) Si $s=0$ et $M = (a_0, \dots, a_r) \in \mathrm{Mat}_{1 \times (r+1)}(\mathbb{Z})$, alors

$$H_p(M) = \max_{0 \le i \le r} |a_i|_p \quad \text{et} \quad \Delta_p(M) = \left| \sum_{i=0}^{r} a_i \underline{\xi}_i \right|_p.$$

(ii) Si $M \in \mathrm{Mat}_{(r+1) \times (r+1)}(\mathbb{Z})$, alors

$$H_p(M) = |\det(M)|_p \quad \text{et} \quad \Delta_p(M) = |\det(M)|_p |\underline{\xi}|_p.$$

(iii) Si $s \le r$ et $M \in \mathrm{Mat}_{(s+1) \times (r+1)}(\mathbb{Z})$ et si $\Delta_p(M) \ne 0$, alors $H(M) \ne 0$ et $H_p(M) \ge 1/H(M)$.

(iv) Si $s \le r-1$, $M \in \mathrm{Mat}_{(s+1) \times (r+1)}(\mathbb{Z})$ et $L \in \mathrm{Mat}_{1 \times (r+1)}(\mathbb{Z})$, alors

$$H_p(M \oplus L) \le H_p(L) H_p(M).$$

De plus, si $H_p(M)\Delta_p(L) > H_p(L)\Delta_p(M)$, alors

$$\Delta_p(M \oplus L) = H_p(M)\Delta_p(L).$$

*Démonstration.* L'inégalité $H(M)H_p(M) \ge 1$ dans (iii) résulte de la formule du produit, tandis que la fin de (iv) est une conséquence de l'inégalité ultramétrique. Le reste de la démonstration du lemme 1.5 est identique à celle du lemme 1.4. $\square$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
1.4. Critère complexe

Le théorème 1.2 est le cas particulier $r = 1$ du théorème suivant.

**Théorème 1.6.** Soit $\xi = (\xi_0, \dots, \xi_r)$ un $(r+1)$-uplet de nombres complexes, $(Q_n)_{n \ge n_0}$, $(A_n)_{n \ge n_0}$ et $(B_n)_{n \ge n_0}$ des suites de nombres réels positifs telles que

$$
\lim_{n \to \infty} A_n = \infty \quad \lim_{n \to \infty} B_n Q_n = \infty
$$

et, pour tout $n \ge n_0$,

$$
B_n Q_n \leq B_{n+1} Q_{n+1}.
$$

On suppose que, pour tout $n \ge n_0$, il existe une forme linéaire $L_n(\underline{X}) \in \mathbb{Z}X_0 + \dots + \mathbb{Z}X_r$ telle que

$$
H(L_n) \leq Q_n, \quad 0 < |L_n(\underline{\xi})| \leq \frac{1}{A_n} \quad \text{et} \quad \frac{|L_{n-1}(\underline{\xi})|}{|L_n(\underline{\xi})|} \leq B_n.
$$

Alors

$$
|\xi| A_n \le 2^r r! (B_n Q_n)^r \quad (1.1)
$$

pour tout $n$ suffisamment grand.

Démonstration. Pour chaque $n$ suffisamment grand, nous allons construire
une suite finie $M_n^{(s)}$ appartenant respectivement à $\mathrm{Mat}_{(s+1)\times(r+1)}(\mathbb{Z})$, jus-
qu’à au plus $s=r$, vérifiant

$$
0 < \Delta(M_n^{(s)}) \le 2^s s! \frac{(B_n Q_n)^s}{A_n}. \qquad (1.2)
$$

Pour $s=0$ on peut prendre $M_n^{(0)} = L_n$, grâce aux hypothèses du théorème 1.6 et à la partie (i) du lemme 1.4. Pour $s$ donné, $0 \le s < r$, si on a

$$
(s + 1)\Delta(M_n^{(s)})H(L_{n_0}) \geq |L_{n_0}(\xi)|H(M_n^{(s)}), \quad (1.3)
$$

on arrête la construction, et alors pour $n$ suffisamment grand, la conclusion
(1.1) du théorème 1.6 est triviale. En effet, en combinant (1.2) et (1.3) on
obtient

$$
A_n \le 2^s (s+1)! (B_n Q_n)^s \frac{H(L_{n_0})}{|L_{n_0}(\xi)|} \cdot \frac{1}{H(M_n^{(s)})}.
$$

Comme $H(M_n^{(s)}) \ge 1$, la conclusion (1.1) résulte de la majoration $s \le r-1$
grâce à l'hypothèse $\lim_{n \to \infty} (B_n Q_n) = \infty$.
CRITÈRES POUR L'INDÉPENDANCE LINÉAIRE

Si maintenant l'inégalité (1.3) n'est pas vérifiée, alors l'ensemble des entiers $k$ dans l'intervalle $[n_0, n]$ vérifiant

$$ (s + 1)\Delta(M_n^{(s)})H(L_k) < |L_k(\xi)|H(M_n^{(s)}) $$

contient $n_0$, donc n'est pas vide ; soit $k$ le plus grand. On pose $M_n^{(s+1)} = M_n^{(s)} \oplus L_k$. On utilise la partie (iv) du lemme 1.4 :

$$ \begin{aligned} H(M_n^{(s)})|L_k(\xi)|-(s+1)H(L_k)\Delta(M_n^{(s)}) &\le \Delta(M_n^{(s+1)}) \\ &\le H(M_n^{(s)})|L_k(\xi)| + (s+1)H(L_k)\Delta(M_n^{(s)}). \end{aligned} $$

Le membre de gauche est strictement positif, donc $\Delta(M_n^{(s+1)}) \ne 0$. Cela implique en particulier $k < n$, car il résulte de la construction que la ligne de numéro nul dans la matrice $M_n^{(s+1)}$ est $L_n$, donc si on avait $k = n$, la matrice $M_n^{(s+1)}$ aurait deux lignes identiques, et on aurait alors $\Delta(M_n^{(s+1)}) = 0$.

L'inégalité de droite donne

$$ \Delta(M_n^{(s+1)}) \le 2H(M_n^{(s)})|L_k(\xi)|, $$

et le choix de $k$ implique

$$ |L_{k+1}(\xi)|H(M_n^{(s)}) \le (s+1)\Delta(M_n^{(s)})H(L_{k+1}), $$

donc

$$ \begin{aligned} \Delta(M_n^{(s+1)}) &\le 2(s+1)\Delta(M_n^{(s)})H(L_{k+1}) \frac{|L_k(\xi)|}{|L_{k+1}(\xi)|} \\ &\le 2(s+1)\Delta(M_n^{(s)})B_{k+1}Q_{k+1}. \end{aligned} $$

Comme la suite $(B_nQ_n)_{n \ge n_0}$ est croissante (au sens large) et que $k+1 \le n$, en utilisant l'hypothèse de récurrence on obtient

$$ \Delta(M_n^{(s+1)}) \le 2(s+1)\Delta(M_n^{(s)})B_nQ_n \le 2^{s+1}(s+1)! \frac{(B_nQ_n)^{s+1}}{A_n}. $$

Lorsque l'on obtient (1.2) avec $s = r$, on a, d'après le lemme 1.4,

$$ \Delta(M_n^{(r)}) = |\det M_n^{(r)}| |\xi| \ge |\xi|, $$

et la conclusion du théorème 1.6 en résulte. $\square$
A. CHANTANASIRI

Cette démonstration fait intervenir, pour $n$ suffisamment grand, $r + 1$ formes linéaires indépendantes $L_k$ avec des indices $k$ dans l'intervalle $[n_0, n]$ ; il est donc nécessaire que $n$ soit suffisamment grand par rapport à $r$ ; en particulier la méthode ne permet pas de traiter des suites $(\xi_0, \xi_1, \dots)$, alors que la méthode de Fischler–Zudilin [4, 2] le permet.

### 1.5. Critère p-adique

La méthode de Nesterenko permet aussi de démontrer un critère ultra-métrique [6]; voici un analogue p-adique du théorème 1.6; le théorème (1.3) en est le cas particulier $r = 1$.

**Théorème 1.7.** Soit $\underline{\xi} = (\xi_0, \dots, \xi_r)$ un $(r+1)$-uplet d'éléments de $\mathbb{C}_p$. Soient $(A_n)_{n \ge n_0}$, $(B_n)_{n \ge n_0}$, $(Q_n)_{n \ge n_0}$ des suites de nombres réels positifs. On suppose que la suite $(B_n Q_{n-1})_{n > n_0}$ est croissante et que

$$ \lim_{n \to \infty} A_n = \infty \quad \text{et} \quad \lim_{n \to \infty} B_n Q_{n-1} = \infty. $$

On suppose de plus que, pour tout $n \ge n_0$, il existe une forme linéaire $L_n(\underline{X}) \in \mathbb{Z}X_0 + \dots + \mathbb{Z}X_r$ telle que

$$ H(L_n) \le Q_n, \quad 0 < |L_n(\underline{\xi})|_p \le \frac{1}{A_n} \quad \text{et} \quad \frac{|L_{n-1}(\underline{\xi})|_p}{|L_n(\underline{\xi})|_p} \le B_n. $$

Alors

$$ |\underline{\xi}|_p A_n < (r+1)!(B_n Q_{n-1})^r Q_n \quad (1.4) $$

pour tout $n$ suffisamment grand.

**Démonstration.** Soit $n$ un entier suffisamment grand. Nous allons construire une suite finie d'entiers $k_0, k_1, \dots, k_s$ avec

$$ n = k_0 > k_1 > \dots > k_s \ge n_0, $$

jusqu'à au plus $s = r$, de telle sorte que la matrice

$$ M_n^{(s)} \in \mathrm{Mat}_{(s+1) \times (r+1)}(\mathbb{Z}), $$

dont la ligne d'indice $i$ est formée des coefficients de $L_{k_i}$ ($0 \le i \le s$), vérifie

$$ 0 < \Delta_p(M_n^{(s)}) \le B_{k_1+1} \cdots B_{k_s+1} \frac{1}{A_n}. \quad (1.5) $$

Pour $s = 0$, les hypothèses du théorème 1.7 permettent de prendre $k_0 = n$, de sorte que $M_n^{(0)} = L_n$ avec $\Delta_p(M_n^{(0)}) = |L_n(\underline{\xi})|$.
CRITÈRES POUR L'INDÉPENDANCE LINÉAIRE

Soit $0 \le s \le r - 1$; supposons $k_0, k_1, \dots, k_s$ construits. En autorisant l'abus de notation qui confond une forme linéaire de $\mathbb{Z}X_0 + \dots + \mathbb{Z}X_r$ avec la matrice dans $\mathrm{Mat}_{1 \times (r+1)}(\mathbb{Z})$ formée par le $(r+1)$-uplet de ses coefficients, on a

$$M_n^{(s)} = L_{k_0} \oplus \dots \oplus L_{k_s}.$$

Alors

$$H(M_n^{(s)}) \le (s+1)! Q_{k_0} \cdots Q_{k_s}. \qquad (1.6)$$

Supposons dans un premier temps

$$\Delta_p(M_n^{(s)}) H_p(L_{n_0}) \ge |L_{n_0}(\xi)|_p H_p(M_n^{(s)}). \qquad (1.7)$$

Dans ce cas on arrête la construction. Des inégalités (1.5) et (1.7) on déduit

$$A_n \le B_{k_1+1} \cdots B_{k_s+1} \frac{H_p(L_{n_0})}{|L_{n_0}(\xi)|_p H_p(M_n^{(s)})}.$$

On utilise (1.6) pour majorer $1/H_p(M_n^{(s)})$ :

$$\frac{1}{H_p(M_n^{(s)})} \le H(M_n^{(s)}) \le (s+1)! Q_{k_0} Q_{k_1} \cdots Q_{k_s},$$

et on en déduit

$$A_n \le (s+1)! B_{k_1+1} \cdots B_{k_s+1} Q_{k_0} \cdots Q_{k_s} \frac{H_p(L_{n_0})}{|L_{n_0}(\xi)|_p},$$

ce qui implique (1.4) car $s < r$ et $\lim_{n \to \infty} B_n Q_{n-1} = \infty$.

Supposons maintenant que l'inégalité (1.7) ne soit pas satisfaite. L'ensemble des entiers $k$ dans l'intervalle $[n_0, k_s]$ vérifiant

$$\Delta_p(M_n^{(s)}) H_p(L_k) < |L_k(\xi)|_p H_p(M_n^{(s)})$$

contient $n_0$, donc n'est pas vide; notons $k_{s+1}$ le plus grand. On utilise la partie (iv) du lemme 1.5 : comme

$$H_p(M_n^{(s)}) |L_{k_{s+1}}(\xi)|_p > H_p(L_{k_{s+1}}) \Delta_p(M_n^{(s)})$$

on en déduit que la matrice $M_n^{(s+1)} = M_n^{(s)} \oplus L_{k_{s+1}}$ vérifie

$$\Delta_p(M_n^{(s+1)}) = H_p(M_n^{(s)}) |L_{k_{s+1}}(\xi)|_p.$$

En particulier $\Delta_p(M_n^{(s+1)}) \ne 0$, ce qui implique notamment $k_{s+1} < k_s$. Le choix de $k_{s+1}$ fournit la majoration

$$|L_{k_{s+1}+1}(\xi)|_p H_p(M_n^{(s)}) \le \Delta_p(M_n^{(s)}) H_p(L_{k_{s+1}+1}).$$
A. CHANTANASIRI

Donc

$$
\Delta_p(M_n^{(s+1)}) \le \Delta_p(M_n^{(s)}) H_p(L_{k_{s+1}+1}) \frac{|L_{k_{s+1}}(\xi)|_p}{|L_{k_{s+1}+1}(\xi)|_p} \le \Delta_p(M_n^{(s)}) B_{k_{s+1}+1},
$$

car $H_p(L_{k_{s+1}+1}) \le 1$. Ceci termine la démonstration de (1.5) par récurrence.

On utilise alors (1.5) avec $s = r$ :

$$
\Delta_p(M_n^{(r)}) \le B_{k_1+1} \cdots B_{k_r+1} \frac{1}{A_n}.
$$

On minore enfin $\Delta_p(M_n^{(r)})$ en utilisant la partie (ii) du lemme 1.5 qui
donne $\Delta_p(M_n^{(r)}) = |\det M_n^{(r)}|_p|\xi|_p$; comme $\det M_n^{(r)}$ est un entier rationnel
non nul, on a

$$
| \det M_n^{(r)} |_p \ge \frac{1}{| \det M_n^{(r)} |}.
$$

En utilisant la partie (ii) du lemme 1.4 puis (1.6), on en déduit

$$
| \det M_n^{(r)} | = H(M_n^{(r)}) \le (r+1)! Q_{k_0} \cdots Q_{k_r},
$$

d'où

$$
\begin{align*}
|\xi|_p A_n &\le (r+1)! Q_{k_0} B_{k_1+1} Q_{k_1} \cdots B_{k_r+1} Q_{k_r}, \\
&\le (r+1)! Q_n (B_{k_1+1} Q_{k_1}) \cdots (B_{k_r+1} Q_{k_r}).
\end{align*}
$$

Comme la suite $(B_{k+1}Q_k)_{k \ge n_0}$ est croissante, on en déduit

$$
|\xi|_p A_n \le (r+1)! Q_n (B_n Q_{n-1}) \cdots (B_{n-r+1} Q_{n-r}),
$$

ce qui est légèrement plus précis que la conclusion (1.4) du théorème 1.7.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Nous déduisons du théorème 1.7 le résultat suivant, dû à Nesterenko [6].
Quand $L \in \mathbb{Z}[X_1, \dots, X_m]$ est une forme linéaire et $p$ un nombre premier,
on note $|L|_p$ le maximum des valeurs absolues $p$-adiques des coefficients
de $L$.

**Corollaire 1.1.** Soient $\delta, c_1, c_2, \tau_1, \tau_2$ des nombres réels positifs tels que $0 \le \tau_1 - \tau_2 < \delta$. Soit $\sigma(t)$ une fonction croissante positive définie pour tout $t > t_0$ telle que

$$
\lim_{t \to \infty} \sigma(t) = \infty, \quad \overline{\lim_{t \to \infty}} \frac{\sigma(t+1)}{\sigma(t)} = 1.
$$
CRITÈRES POUR L'INDÉPENDANCE LINÉAIRE

Soit $\underline{\omega} = (\omega_1, \dots, \omega_m) \in \mathbb{C}_p^m \setminus \{0\}$ et soit $(L_n(\underline{X}))_{n \ge n_0}$ une suite de formes linéaires dans $\mathbb{Z}[X_1, \dots, X_m]$ telle que

$$ \log H(L_n) \le \sigma(n) \quad \text{et} \quad c_1 e^{-\tau_1 \sigma(n)} \le \frac{|L_n(\underline{\omega})|_p}{|L_n|_p} \le c_2 e^{-\tau_2 \sigma(n)} $$

pour n suffisamment grand. Alors la dimension de l'espace sur $\mathbb{Q}$ engendré par les nombres p-adiques $\omega_1, \dots, \omega_m$ est au moins $\tau_1/(1 + \tau_1 - \tau_2)$.

Démonstration du corollaire 1.1. Il n'y a pas de restriction à supposer $\omega_1 = 1$. Soit $1, \xi_1, \dots, \xi_r$ une base du $\mathbb{Q}$-espace vectoriel engendré par les nombres $\omega_1, \dots, \omega_m$. Pour chaque n suffisamment grand, on définit une forme linéaire $\tilde{L}_n$ à coefficients entiers en $r+1$ variables par la condition

$$ \tilde{L}_n(\underline{\xi}) = |L_n|_p L_n(\underline{\omega}). $$

Alors si on pose

$$ Q_n = e^{\sigma(n)}, \quad A_n = c_2^{-1} e^{\tau_2 \sigma(n)} \quad \text{et} \quad B_n = \frac{c_2}{c_1} e^{\tau_1 \sigma(n) - \tau_2 \sigma(n-1)}, $$

on a

$$ H(\tilde{L}_n) \le Q_n, \quad |\tilde{L}_n(\underline{\xi})|_p \le \frac{1}{A_n} \quad \text{et} \quad \frac{|\tilde{L}_{n-1}(\underline{\xi})|_p}{|\tilde{L}_n(\underline{\xi})|_p} \le B_n. $$

La conclusion

$$ |\underline{\xi}|_p A_n < (r+1)!(B_n Q_{n-1})^r Q_n $$

du théorème 1.7 donne alors

$$ |\underline{\xi}|_p c_2^{-1} e^{\tau_2 \sigma(n)} < (r+1)! \left(\frac{c_2}{c_1}\right)^r e^{r \tau_1 \sigma(n) - r \tau_2 \sigma(n-1)} e^{r \sigma(n-1) + \sigma(n)}. $$

L'hypothèse

$$ \overline{\lim}_{t \to \infty} \frac{\sigma(t+1)}{\sigma(t)} = 1 $$

implique finalement

$$ \tau_1 \le (r+1)(1 + \tau_1 - \tau_2). $$

□

**Remarque 1.** Le résultat démontré par Nesterenko dans [6] concerne plus généralement des formes linéaires à coefficients dans un corps de nombres K, et la conclusion donne un résultat d'indépendance linéaire sur K. Il est possible d'étendre tous les énoncés de notre présent travail à un corps de nombres.
## 2. La méthode de Fischler-Zudilin

Nous reprenons maintenant l'étude débutée dans [2] reposant sur la méthode de Fischler et Zudilin [4] qui nous a permis de démontrer le théorème 1.1. Nous étendons ce résultat à des suites de $t$-uplets de nombres réels, puis nous utilisons le cas $t = 2$ pour obtenir un énoncé concernant les suites de nombres complexes. Ensuite nous donnons des énoncés ultramétriques pour des suites d'éléments de $\mathbb{Z}_p$.

### 2.1. Critères archimédiens pour des suites

#### 2.1.1. Formes linéaires simultanées

Soit $t$ un nombre entier positif.

**Théorème 2.1.** Soient $(\xi_{i\tau})_{i\ge 0, 1\le \tau\le t}$ une suite d'éléments de $\mathbb{R}^t$ avec $\xi_{01} = 1$ et $\xi_{0\tau} = 0$ pour tout $2 \le \tau \le t$, $(r_n)_{n\ge n_0}$ une suite croissante de nombres entiers positifs, $(Q_n)_{n\ge n_0}$, $(A_n)_{n\ge n_0}$ et $(B_n)_{n\ge n_0}$ des suites de nombres réels positifs telles que $\lim_{n\to\infty} A_n^{1/r_n} = \infty$ et, pour tout $n \ge n_0$,

$$B_n Q_n \le B_{n+1} Q_{n+1}.$$

On suppose que, pour tout $n \ge n_0$, il existe une forme linéaire à coefficients entiers rationnels en $r_n + 1$ variables

$$L_n(\underline{X}) = \ell_{0,n}X_0 + \ell_{1,n}X_1 + \dots + \ell_{r_n,n}X_{r_n}$$

telle que la suite de nombres

$$\Lambda_n = \max_{1 \le \tau \le t} |L_n(\xi_{0\tau}, \dots, \xi_{r_n\tau})|$$

vérifie

$$\sum_{i=0}^{r_n} |\ell_{i,n}| \le Q_n, \quad 0 < \Lambda_n \le \frac{1}{A_n} \quad \text{et} \quad \frac{\Lambda_{n-1}}{\Lambda_n} \le B_n.$$

Alors $A_n \le 2(2B_nQ_n)^{tr_n}$ pour tout $n$ suffisamment grand.

**Démonstration.** Pour $n \ge n_0$, soit $C_n$ le convexe symétrique de $\mathbb{R}^{tr_n+1}$ défini par

$$|x_0(n)| \le \frac{1}{2\Lambda_n}, \quad |x_0(n)\xi_{i\tau} - x_{i\tau}(n)| \le (2\Lambda_n)^{1/(tr_n)}$$
CRITÈRES POUR L'INDÉPENDANCE LINÉAIRE

où $1 \le i \le r_n$, $1 \le \tau \le t$. Le volume de $C_n$ est $2^{tr_n+1}$. D'après le théorème de Minkowski (Théorème 2B du Chapitre II, [7]), il existe un élément non nul de $C_n \cap \mathbb{Z}^{tr_n+1}$. On fixe un tel élément

$$ \underline{x}(n) = (x_0(n), x_{11}(n), \dots, x_{r_n 1}(n), \dots, x_{1t}(n), \dots, x_{r_n t}(n)) \in \mathbb{Z}^{tr_n+1} \setminus \{0\}. $$

Comme $A_n^{1/r_n} \to \infty$ quand $n \to \infty$, on a $x_0(n) \ne 0$ pour $n$ suffisamment grand. En effet, si on avait $x_0(n) = 0$ avec $A_n > 2$, on aurait $|x_{i\tau}(n)| \le (2/A_n)^{1/(tr_n)} < 1$ et par suite $x_{i\tau}(n) = 0$, pour tout $1 \le i \le r_n$, $1 \le \tau \le t$, ce qui est contraire au choix de $\underline{x}(n) \in \mathbb{Z}^{tr_n+1} \setminus \{0\}$.

D'après les hypothèses et la majoration $(2\Lambda_n)^{1/(tr_n)} \le (2/A_n)^{1/(tr_n)}$ pour $n \ge n_0$, la suite $(2\Lambda_n)^{1/(tr_n)}$ tend vers zéro quand $n \to \infty$. Comme $r_n \ge 1$, la suite $\Lambda_n$ aussi tend vers zéro.

Montrons que la suite $|x_0(n)|$ tend vers l'infini. Sinon, elle admettrait une sous-suite bornée, donc une sous-suite constante et on aurait $x_0(n) = y$ avec $y \in \mathbb{Z}$, $y \ne 0$, pour tout $n$ appartenant à une partie infinie $A$ de $\mathbb{N}$. On aurait $\lim_{n \in A, n \to \infty} (y\xi_{i\tau} - x_{i\tau}(n)) = 0$, pour $1 \le i \le \sup r_n$ et $1 \le \tau \le t$, donc $x_{i\tau}(n) = y\xi_{i\tau}$ pour $n$ suffisamment grand dans $A$. Ainsi $y\xi_{i\tau} \in \mathbb{Z}$ pour $1 \le i \le \sup r_n$ et $1 \le \tau \le t$, donc $yL_n(\xi_{0\tau}, \dots, \xi_{r_n\tau}) \in \mathbb{Z}$ pour $n$ suffisamment grand dans $A$ et $1 \le \tau \le t$, aussi $y\Lambda_n \in \mathbb{Z}$ pour $n$ suffisamment grand dans $A$. Comme $\Lambda_n \ne 0$, on aurait donc $\Lambda_n \ge 1/|y|$ pour $n$ suffisamment grand dans $A$, contrairement à l'hypothèse que $\Lambda_n$ tende vers zéro. Par conséquent $\lim_{n \to \infty} |x_0(n)| = \infty$.

On fixe $n$ suffisamment grand et on note $x_{i\tau}$ au lieu de $x_{i\tau}(n)$. Soit $k$ le plus petit entier positif tel que

$$ |x_0| \le \frac{1}{2\Lambda_k}. $$

Comme $|x_0|$ tend vers l'infini avec $n$, $k$ tend aussi vers l'infini avec $n$. De plus, on a $k \le n$ et

$$ |x_0| > \frac{1}{2\Lambda_{k-1}}. $$

Soit $\tau$ un entier vérifiant $1 \le \tau \le t$. Posons $x_{0\tau} = 0$. On écrit

$$ \sum_{i=0}^{r_k} \ell_{i,k} x_{i\tau} = x_0 \sum_{i=0}^{r_k} \ell_{i,k} \xi_{i\tau} + \sum_{i=0}^{r_k} \ell_{i,k} (x_{i\tau} - x_0 \xi_{i\tau}). \quad (2.1) $$

Le membre de gauche de (2.1) est un entier rationnel. La valeur absolue de la première somme dans le membre de droite de (2.1) est égale à
A. CHANTANASIRI

$|x_0| \cdot |L_k(\xi_{0\tau}, \dots, \xi_{r_k\tau})|$ donc elle est majorée par $|x_0| \cdot \Lambda_k \le 1/2$. On utilise
alors la remarque suivante (comparer avec [4]) :

si un entier rationnel s'écrit comme une somme $x + y$ de
deux nombres réels avec $|x| \le 1/2$, alors $|y| \ge |x|$.

Par conséquent

$$
\left| \sum_{i=0}^{r_k} \ell_{i,k} (x_{i\tau} - x_0 \xi_{i\tau}) \right| \geq \left| x_0 \sum_{i=0}^{r_k} \ell_{i,k} \xi_{i\tau} \right|. \quad (2.2)
$$

Le membre de gauche de (2.2) est majoré par

$$
\sum_{i=0}^{r_k} |\ell_{i,k}| \max_{1 \le i \le r_n} |x_{i\tau} - x_0 \xi_{i\tau}| \le Q_k (2\Lambda_n)^{1/(tr_n)} \le Q_k \left(\frac{2}{A_n}\right)^{1/(tr_n)},
$$

tandis que le membre de droite de (2.2) est minoré par

$$
|x_0| \cdot |L_k(\xi_{0\tau}, \dots, \xi_{r_k\tau})| \geq \frac{|L_k(\xi_{0\tau}, \dots, \xi_{r_k\tau})|}{2\Lambda_{k-1}}.
$$

Alors

$$
\frac{1}{2B_k} \le \frac{\Lambda_k}{2\Lambda_{k-1}} \le Q_k \left(\frac{2}{A_n}\right)^{1/(tr_n)}.
$$

Donc

$$
A_n \le 2(2B_k Q_k)^{tr_n}.
$$

Comme $B_k Q_k \le B_n Q_n$, on conclut $A_n \le 2(2B_n Q_n)^{tr_n}$. $\square$

Le lemme suivant est un énoncé bien connu dont une démonstration
est donnée page 132 de [9]. Voir aussi [8](lemme 1.3.2). Des résultats de
ce type peuvent remplacer le théorème de Minkowski. Ils seront utiles
notamment dans le cas p-adique.

**Lemme 2.2** (Lemme de Thue-Siegel). *Soient r un nombre entier* ≥ 0, t
et U des nombres entiers positifs. *Soient*

$$
L_j(X_0, \dots, X_r) = \sum_{i=0}^{r} \xi_{i,j} X_i, \quad j = 1, \dots, t
$$

des formes linéaires en $r + 1$ variables à coefficients réels telles que

$$
\max_{1 \le j \le t} \sum_{i=0}^{r} |\xi_{i,j}| \le U.
$$
Soient $V$, $\ell$ des nombres entiers positifs tels que $\ell^t < (V+1)^{r+1}$. Alors il existe des entiers $x_0, \dots, x_r$ non tous nuls tels que

$$ \max_{0 \le i \le r} |x_i| \le V \quad \text{et} \quad \max_{1 \le j \le t} |L_j(x_0, \dots, x_r)| \le \frac{UV}{\ell}. $$

### 2.1.2. Critère complexe

**Théorème 2.3.** Soient $\xi = (\xi_j)_{j \ge 0}$ une suite de nombres complexes avec $\xi_0 = 1$, $(r_n)_{n \ge n_0}$ une suite croissante de nombres entiers positifs,

$$ (Q_n)_{n \ge n_0}, (A_n)_{n \ge n_0} \text{ et } (B_n)_{n \ge n_0} $$

des suites de nombres réels positifs telles que

$$ \lim_{n \to \infty} A_n^{1/r_n} = \infty \text{ et, pour tout } n \ge n_0, B_n Q_n \le B_{n+1} Q_{n+1}. $$

On suppose que, pour tout $n \ge n_0$, il existe une forme linéaire à coefficients entiers rationnels en $r_n + 1$ variables

$$ L_n(\underline{X}) = \ell_{0,n}X_0 + \ell_{1,n}X_1 + \dots + \ell_{r_n,n}X_{r_n} $$

telle que

$$ \sum_{i=0}^{r_n} |\ell_{i,n}| \le Q_n, \quad 0 < |L_n(\underline{\xi})| \le \frac{1}{A_n} \quad \text{et} \quad \frac{|L_{n-1}(\underline{\xi})|}{|L_n(\underline{\xi})|} \le B_n. $$

Alors $A_n \le 2(2^{3/2}3^{1/4}\pi^{-1/2}B_nQ_n)^{2r_n}$ pour tout $n$ suffisamment grand.

Si on applique le théorème 2.1 avec $t = 2$ en séparant la partie réelle et la partie imaginaire, on obtient l'inégalité un peu plus faible

$$ A_n \le 2(2\sqrt{2}B_nQ_n)^{2r_n}. $$

Pour obtenir le théorème 2.3, nous allons utiliser l'approximation de nombres complexes par des éléments de $\mathbb{Q} + j\mathbb{Q}$ (où $j = (-1 + i\sqrt{3})/2$).

*Démonstration.* Pour $n \ge n_0$, soit $C_n$ le convexe symétrique de $\mathbb{R} \times \mathbb{C}^{r_n}$, identifié à $\mathbb{R}^{2r_n+1}$, formé des $(z_0, z_1, \dots, z_{r_n})$ avec $z_0 \in \mathbb{R}$, $z_i \in \mathbb{C}$ pour $1 \le i \le r_n$ satisfaisant

$$ \begin{gathered} |z_0(n)| \le \frac{1}{2|L_n(\underline{\xi})|}, \\ |z_0(n)\xi_i - z_i(n)| \le 2^{1/2} 3^{1/4} \pi^{-1/2} (2|L_n(\underline{\xi})|)^{1/(2r_n)}, \quad (1 \le i \le r_n). \end{gathered} $$
A. CHANTANASIRI

Rappellons que $j = (-1 + i\sqrt{3})/2$. Le sous-ensemble $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}[j] \times \cdots \times \mathbb{Z}[j]$ est un réseau de $\mathbb{R} \times \mathbb{C}^{r_n}$ de volume fondamental $(\sqrt{3}/2)^{r_n}$, le volume du convexe est $2 \cdot (2\sqrt{3})^{r_n}$, il contient donc un point non nul $z(n) = (z_0(n), z_1(n), \dots, z_{r_n}(n))$ avec $z_0(n) \in \mathbb{Z}$ et $z_i(n) \in \mathbb{Z}[j]$ ($1 \le i \le r_n$).

Comme $A_n^{1/r_n} \to \infty$ quand $n \to \infty$, on a $z_0(n) \ne 0$ pour $n$ suffisamment grand. En effet, si on avait $z_0(n) = 0$ avec $A_n^{1/r_n} \ge 3$, on aurait $|z_i(n)| \le (2/A_n)^{1/(2r_n)} < 1$ et par suite $z_i(n) = 0$, pour tout $1 \le i \le r_n$, ce qui est contraire au choix de $(z_0(n), z_1(n), \dots, z_{r_n}(n))$.

D'après les hypothèses et l'estimation $(2|L_n(\xi)|)^{1/(2r_n)} \le (2/A_n)^{1/(2r_n)}$ pour $n \ge n_0$, la suite $(2|L_n(\xi)|)^{1/(2r_n)}$ tend vers zéro quand $n \to \infty$. Comme $r_n \ge 1$, la suite $|L_n(\xi)|$ aussi tend vers zéro.

Si la suite $|z_0(n)|$ ne tendait pas vers l'infini, elle admettrait une sous-suite bornée, donc une sous-suite constante et on aurait $z_0(n) = y$ avec $y \in \mathbb{Z}$, $y \ne 0$, pour tout $n$ appartenant à une partie infinie $A$ de $\mathbb{N}$. On aurait $\lim_{n \in A, n \to \infty} (y\xi_i - z_i(n)) = 0$, pour $1 \le i \le \sup r_n$, donc $z_i(n) = y\xi_i$ pour $n$ suffisamment grand dans $A$. Ainsi $y\xi_i \in \mathbb{Z} + j\mathbb{Z}$ pour $1 \le i \le \sup r_n$, donc $yL_n(\xi_0, \dots, \xi_{r_n}) \in \mathbb{Z} + j\mathbb{Z}$ pour $n$ suffisamment grand dans $A$. Comme $|L_n(\xi)| \ne 0$, on aurait donc $|L_n(\xi)| \ge 1/|y|$ pour $n$ suffisamment grand dans $A$, contrairement à l'hypothèse que $|L_n(\xi)|$ tende vers zéro. Par conséquent $\lim_{n \to \infty} |z_0(n)| = \infty$.

On fixe $n$ suffisamment grand et on note $z_i$ au lieu de $z_i(n)$. Soit $k$ le plus petit entier positif tel que

$$|z_0| \le \frac{1}{2|L_k(\xi)|}.$$

Comme $|z_0|$ tend vers l'infini avec $n$, $k$ tend aussi vers l'infini avec $n$. De plus, on a $k \le n$ et

$$|z_0| > \frac{1}{2|L_{k-1}(\xi)|}.$$

On écrit

$$\sum_{i=0}^{r_k} \ell_{i,k} z_i = z_0 \sum_{i=0}^{r_k} \ell_{i,k} \xi_i + \sum_{i=0}^{r_k} \ell_{i,k} (z_i - z_0 \xi_i), \quad (2.3)$$

Le membre de gauche de (2.3) appartient à $\mathbb{Z} + j\mathbb{Z}$. La valeur absolue de la première somme dans le membre de droite est égale à $|z_0| \cdot |L_k(\xi)|$ donc elle est majorée par $1/2$. On utilise alors la remarque suivante : si $x$ et $y$
sont des nombres complexes tels que $x + y \in \mathbb{Z} + j\mathbb{Z}$ et $|x| \le 1/2$, alors
$|y| \ge |x|$. Par conséquent

$$
\left| \sum_{i=0}^{r_k} \ell_{i,k}(z_i - z_0 \xi_i) \right| \geq \left| z_0 \sum_{i=0}^{r_k} \ell_{i,k} \xi_i \right|. \qquad (2.4)
$$

Le membre de gauche de (2.4) est majoré par

$$
\begin{align*}
\sum_{i=0}^{r_k} |\ell_{i,k}| \max_{1 \le i \le r_n} |z_i - z_0 \xi_i| &\le Q_k (2^{1/2} 3^{1/4} \pi^{-1/2}) (2|L_n(\xi)|)^{1/(2r_n)} \\
&\le Q_k (2^{1/2} 3^{1/4} \pi^{-1/2}) \left(\frac{2}{A_n}\right)^{1/(2r_n)},
\end{align*}
$$

tandis que le membre de droite de (2.4) est minoré par

$$
|z_0| \cdot |L_k(\xi)| \geq \frac{|L_k(\xi)|}{2|L_{k-1}(\xi)|}.
$$

Alors

$$
\frac{1}{2B_k} \le \frac{|L_k(\xi)|}{2|L_{k-1}(\xi)|} \le Q_k (2^{1/2} 3^{1/4} \pi^{-1/2}) \left(\frac{2}{A_n}\right)^{1/(2r_n)}.
$$

Donc

$$
A_n \le 2(2^{3/2}3^{1/4}\pi^{-1/2}B_kQ_k)^{2r_n}.
$$

Comme $B_k Q_k \le B_n Q_n$, on conclut $A_n \le 2(2^{3/2}3^{1/4}\pi^{-1/2}B_n Q_n)^{2r_n}$. $\square$

**Remarque 2.** Approximer par des éléments de $\mathbb{Q} + i\mathbb{Q}$ donne un résultat moins bon, c’est-à-dire $A_n \le 2(4\pi^{-1/2}B_nQ_n)^{2r_n}$. Le réseau $\mathbb{Z}[j]$ de $\mathbb{C}$ donne le meilleur résultat car le réseau hexagonal $\mathbb{Z}[j]$ est le plus dense des réseaux.

2.2. Critères ultramétriques pour des suites

Soit *p* un nombre premier. Le théorème ci-dessous est un analogue ul-
tramétrique du théorème 1.1.

**Théorème 2.4.** Soient $\xi = (\xi_i)_{i \ge 0}$ une suite de nombres appartenant à $\mathbb{Z}_p$
avec $\xi_0 = 1$, $(r_n)_{n \ge n_0}$ une suite croissante de nombres entiers positifs, et
soient $(A_n)_{n \ge n_0}$, $(B_n)_{n \ge n_0}$, $(Q_n)_{n \ge n_0}$ des suites de nombres réels positifs.
On suppose que la suite $(B_n Q_{n-1})_{n > n_0}$ est croissante et que

$$
\lim_{n \to \infty} A_n^{1/r_n} = \infty.
$$
A. CHANTANASIRI

On suppose de plus que, pour tout $n \ge n_0$, il existe une forme linéaire à coefficients entiers rationnels en $r_n + 1$ variables

$$L_n(\underline{X}) = \ell_{0,n}X_0 + \ell_{1,n}X_1 + \cdots + \ell_{r_n,n}X_{r_n}$$

telle que

$$\sum_{i=0}^{r_n} |\ell_{i,n}| \le Q_n, \quad 0 < |L_n(\underline{\xi})|_p \le \frac{1}{A_n} \quad \text{et} \quad \frac{|L_{n-1}(\underline{\xi})|_p}{|L_n(\underline{\xi})|_p} \le B_n.$$

Alors $A_n < (pB_nQ_{n-1})^{r_n+1}$ pour tout $n$ suffisamment grand.

Avant de démontrer le théorème 2.4, nous donnons plusieurs versions du principe des tiroirs. Le théorème de Minkowski va être remplacé ici par le principe des tiroirs.

**Lemme 2.5.** Soient $r$ un nombre entier $\ge 0$, $s$ et $t$ des nombres entiers positifs. Soient

$$L_j(X_0, \dots, X_r) = \sum_{i=0}^{r} \xi_{i,j} X_i, \quad j = 1, \dots, t$$

des formes linéaires en $r+1$ variables à coefficients dans $\mathbb{Z}_p$. Alors il existe des entiers $x_0, \dots, x_r$ non tous nuls tels que

$$\max_{0 \le i \le r} |x_i| < p^{\frac{st}{r+1} + 1} \quad \text{et} \quad \max_{1 \le j \le t} |L_j(x_0, \dots, x_r)|_p \le \frac{1}{p^s}.$$

*Démonstration. Soit*

$$A := \{ (x_0, \dots, x_r) \in \mathbb{Z}^{r+1} : 0 \le x_i < p^{\frac{st}{r+1}+1} \text{ pour tout } 0 \le i \le r \}.$$

Alors le cardinal de $A$ est supérieur ou égal à $\lfloor p^{\frac{st}{r+1}+1} \rfloor^{r+1}$. Comme $\mathbb{Z}_p$ est recouvert par $p^s$ boules de diamètre $p^{-s}$, il en résulte que $\mathbb{Z}_p^t$ est recouvert par $p^{st}$ produits de boules de $\mathbb{Z}_p$, de diamètre $p^{-s}$. Comme

$$p^{st} \le \left( \frac{p^{\frac{st}{r+1}+1}}{2} \right)^{r+1} \le (p^{\frac{st}{r+1}+1} - 1)^{r+1} < \lfloor p^{\frac{st}{r+1}+1} \rfloor^{r+1},$$

et que $(L_1(\underline{x}), \dots, L_t(\underline{x}))$ appartient à $\mathbb{Z}_p^t$ pour tout $\underline{x} \in A$, le principe des tiroirs montre qu'il existe deux éléments distincts $\underline{x}' = (x'_0, \dots, x'_r)$ et $\underline{x}'' = (x''_0, \dots, x''_r)$ de $A$ tels que $|L_j(\underline{x}') - L_j(\underline{x}'')|_p \le p^{-s}$ pour $1 \le j \le t$. On pose $(x_0, \dots, x_r) = (\underline{x}') - (\underline{x}'')$. $\square$
CRITÈRES POUR L'INDÉPENDANCE LINÉAIRE

Le lemme 2.5 concerne des formes linéaires à coefficients dans $\mathbb{Z}_p$. Il suffit pour traiter des formes linéaires à coefficients dans $\mathbb{Q}_p$, en prenant un dénominateur commun.

**Lemme 2.6.** Soient $r, u$ des nombres entiers $\ge 0$, $s$ et $t$ des nombres entiers positifs. Soient

$$L_j(X_0, \dots, X_r) = \sum_{i=0}^{r} \xi_{i,j} X_i, \quad j = 1, \dots, t$$

des formes linéaires en $r+1$ variables à coefficients dans $\mathbb{Q}_p$ telles que

$$|\xi_{i,j}|_p \le p^u \quad (0 \le i \le r, 1 \le j \le t).$$

Alors il existe des entiers $x_0, \dots, x_r$ non tous nuls tels que

$$\max_{0 \le i \le r} |x_i| < p^{\frac{st}{r+1}+1} \quad \text{et} \quad \max_{1 \le j \le t} |L_j(x_0, \dots, x_r)|_p \le p^{u-s}.$$

*Démonstration.* Soient $\xi'_{i,j} = p^u \xi_{i,j}$ ($0 \le i \le r, 1 \le j \le t$). En appliquant le lemme 2.5 aux éléments $\xi'_{i,j}$ de $\mathbb{Z}_p$, nous obtenons les entiers $x_0, \dots, x_r$ désirés. $\square$

Le cas particulier du lemme 2.5 que nous utiliserons est $t = r$.

**Corollaire 2.1.** Soient $r, u$ des nombres entiers $\ge 0$ et $s$ un nombre entier positif. Soient

$$L_j(X_0, \dots, X_r) = \sum_{i=0}^{r} \xi_{i,j} X_i, \quad j = 1, \dots, r$$

des formes linéaires en $r+1$ variables à coefficients dans $\mathbb{Q}_p$ telles que

$$|\xi_{i,j}|_p \le p^u \quad (0 \le i \le r, 1 \le j \le r).$$

Alors il existe des entiers $x_0, \dots, x_r$ non tous nuls tels que

$$\max_{0 \le i \le r} |x_i| < p^{\frac{sr}{r+1}+1} \quad \text{et} \quad \max_{1 \le j \le r} |L_j(x_0, \dots, x_r)|_p \le p^{u-s}.$$

Nous utiliserons la propriété fondamentale suivante de l'inégalité ultra-métrique.

**Lemme 2.7.** Soit $p$ un nombre premier. Soient $u$ et $v$ des éléments de $\mathbb{Q}_p$. Si $|u|_p < |v|_p$, alors $|u + v|_p = |v|_p$.
A. CHANTANASIRI

Démonstration du théorème 2.4. Quitte à remplacer $n_0$ par un entier suffisamment grand, on peut supposer que les assertions suivantes sont vraies.
Pour $n \ge n_0$, soit $|L_n(\xi)|_p = p^{-s_n}$, où $s_n$ est un entier. Comme $r_n \ge 1$
et $\lim_{n \to \infty} A_n^{1/r_n} = \infty$, on a $\lim_{n \to \infty} A_n = \infty$, ainsi $\lim_{n \to \infty} |L_n(\xi)|_p = 0$.
Pour $n \ge n_0$, on a $s_n \ge 1$. D'après le corollaire 2.1, pour $n \ge n_0$, il existe
$\underline{X}(n) = (x_0(n), \dots, x_{r_n}(n)) \in \mathbb{Z}^{r_n+1} \setminus \{0\}$ tel que

$$
\max_{0 \le i \le r_n} |x_i(n)| < p^{\frac{r_n s_n}{r_n+1}+1} = p \cdot |L_n(\xi)|_p^{\frac{r_n}{r_n+1}}, \quad (2.5)
$$

$$
\max_{1 \le i \le r_n} |x_i(n) - x_0(n)\xi_i|_p \le p^{-s_n} = |L_n(\xi)|_p. \quad (2.6)
$$

Comme $\lim_{n \to \infty} A_n^{1/r_n} = \infty$, on a $x_0(n) \neq 0$ pour $n$ suffisamment grand.
En effet, comme

$$
|L_n(\xi)|_p^{1/(r_n+1)} \le \left(\frac{1}{A_n}\right)^{1/(r_n+1)} \le \frac{1}{p},
$$

on a $|x_i(n)| < p \cdot |L_n(\xi)|_p^{-\frac{r_n}{r_n+1}} \le |L_n(\xi)|_p^{-1}$ pour $n$ suffisamment grand, et
si on avait $x_0(n) = 0$, on aurait pour $1 \le i \le r_n$, $|x_i(n)|_p \le |L_n(\xi)|_p$, donc
$x_i(n) = 0$, ce qui est contraire au choix de $\underline{X}(n)$.

Soit $n_1 \ge n_0$ un entier suffisamment grand pour que $A_n^{1/(r_n+1)} \ge p^{s_{n_0}+1}$
pour $n \ge n_1$. Soit $n \ge n_1$. On va montrer qu'il existe un entier $k$ dans
l'intervalle $[n_0, n]$ tel que

$$
|x_0(n)L_k(\xi)|_p > |L_n(\xi)|_p. \tag{2.7}
$$

En effet, pour $n \ge n_1$, on a

$$
|L_{n_0}(\xi)|_p = p^{-s_{n_0}} \ge p \cdot \left(\frac{1}{A_n}\right)^{1/(r_n+1)} \ge p \cdot |L_n(\xi)|_p^{1/(r_n+1)}.
$$

D'après (2.5), on a aussi

$$
|x_0(n)|_p \ge \frac{1}{|x_0(n)|} > p^{-1} \cdot |L_n(\xi)|_p^{r_n/(r_n+1)}.
$$

Donc $|x_0(n)L_{n_0}(\xi)|_p > |L_n(\xi)|_p$. On en déduit l'existence d'un entier maximum $k \in [n_0, \bar{n}]$ vérifiant (2.7) et de plus on a $k \le n - 1$.

On fixe $n$ suffisamment grand et on écrit $\underline{x}$ au lieu de $\underline{x}(n)$. On écrit

$$
L_k(\underline{x}) = x_0 L_k(\underline{\xi}) + L_k(\underline{x} - x_0 \underline{\xi}).
$$
CRITÈRES POUR L'INDÉPENDANCE LINÉAIRE

D'après (2.6) et grâce à l'inégalité ultramétrique, on a

$$
|L_k(\underline{x} - x_0\underline{\xi})|_p \leq |L_n(\underline{\xi})|_p.
$$

Alors $|L_k(\underline{x} - x_0\underline{\xi})|_p < |x_0L_k(\underline{\xi})|_p$. D'après le lemme 2.7, on a

$$
|L_k(\underline{x})|_p = |x_0 L_k(\underline{\xi})|_p,
$$

donc $L_k(\underline{x}) \neq 0$ car $x_0$ et $L_k(\underline{\xi})$ sont non nuls. On a

$$
|x_0 L_{k+1}(\underline{\xi})|_p \leq |L_n(\underline{\xi})|_p,
$$

par conséquent

$$
|L_k(\underline{x})|_p = |x_0 L_k(\underline{\xi})|_p \leq B_{k+1} |x_0 L_{k+1}(\underline{\xi})|_p \leq B_{k+1} |L_n(\underline{\xi})|_p.
$$

Mais

$$
|L_k(\underline{x})| = \left| \sum_{i=0}^{r_k} \ell_{i,k} x_i \right| \le Q_k \max_{0 \le i \le r_k} |x_i| < p \cdot Q_k |L_n(\underline{\xi})|_p^{-\frac{r_k}{r_n+1}}.
$$

Comme $L_k(\underline{x})$ est un entier non nul, on a $|L_k(\underline{x})| \ge |L_k(\underline{x})|_p^{-1}$, donc

$$
p \cdot B_{k+1} Q_k |L_n(\underline{\xi})|_p^{1/(r_n+1)} > 1.
$$

Ainsi $A_n < (pB_{k+1}Q_k)^{r_n+1}$. Comme $B_{k+1}Q_k \le B_nQ_{n-1}$, on conclut

$$
A_n < (p B_n Q_{n-1})^{r_n+1}.
$$

□

La même démonstration permet d'étendre le théorème 2.4 à $\mathbb{Z}_p^t$ avec $t \ge 1$.

**Théorème 2.8.** Soient $(\xi_{i\tau})_{i \ge 0, 1 \le \tau \le t}$ une suite d'éléments de $\mathbb{Z}_p^t$ avec $\xi_{01} = 1$ et $\xi_{0\tau} = 0$ pour tout $2 \le \tau \le t$, $(r_n)_{n \ge n_0}$ une suite croissante de nombres entiers positifs et $(A_n)_{n \ge n_0}$, $(B_n)_{n > n_0}$, $(Q_n)_{n \ge n_0}$ des suites de nombres réels positifs. On suppose la suite $(B_n Q_{n-1})_{n > n_0}$ croissante et $\lim_{n \to \infty} A_n^{1/r_n} = \infty$. On suppose de plus que, pour tout $n \ge n_0$, il existe une forme linéaire à coefficients entiers rationnels en $r_n + 1$ variables

$$
L_n(\underline{X}) = \ell_{0,n}X_0 + \ell_{1,n}X_1 + \dots + \ell_{r_n,n}X_{r_n}
$$

telle que

$$
\sum_{i=0}^{r_n} |\ell_{i,n}| \le Q_n, \quad 0 < \Lambda_n \le \frac{1}{A_n} \quad \text{et} \quad \frac{\Lambda_{n-1}}{\Lambda_n} \le B_n.
$$
où $\Lambda_n = \max_{1\le\tau\le t} |L_n(\xi_{0\tau}, \dots, \xi_{r_n\tau})|_p$. Alors $A_n \le (pB_nQ_{n-1})^{tr_n+1}$ pour tout n suffisamment grand.

### 3. Optimalité des résultats

Nous allons préciser dans quelle mesure nos résultats sont optimaux. Nous introduisons une condition notée $(C_\kappa)$ qui est une mesure d'indépendance linéaire.

#### 3.0.1. Cas réel

**Définition 3.1.** Soient $\kappa$ un nombre réel positif, $r$ un nombre entier positif et $\xi_0, \dots, \xi_r$ des nombres réels. Nous dirons que le $(r+1)$-uplet $(\xi_0, \dots, \xi_r)$ vérifie la condition $(C_\kappa)$ s'il existe un nombre réel positif $c_0$ tel que, pour tout $\ell = (\ell_0, \ell_1, \dots, \ell_r) \in \mathbb{Z}^{r+1}$ vérifiant $\ell_0\xi_0 + \ell_1\xi_1 + \dots + \ell_r\xi_r \neq 0$, on ait

$$|\ell_0\xi_0 + \ell_1\xi_1 + \dots + \ell_r\xi_r| \geq c_0 H(\ell)^{-\kappa},$$

avec $H(\ell) = \max_{0\le i\le r} |\ell_i|$.

**Lemme 3.2.** Soient $\kappa$ un nombre réel positif, $r$ un nombre entier positif et $(\xi_0, \xi_1, \dots, \xi_r)$ un $(r+1)$-uplet de nombres réels vérifiant la condition $(C_\kappa)$. On pose $d = \dim_{\mathbb{Q}}\langle\xi_0, \xi_1, \dots, \xi_r\rangle$. Alors $\kappa \ge d - 1$.

**Démonstration.** On renumérote, si nécessaire, les $\xi_i$ pour que $\xi_0, \xi_1, \dots, \xi_{d-1}$ soient linéairement indépendants sur $\mathbb{Q}$. Posons $U = |\xi_0| + |\xi_1| + \dots + |\xi_{d-1}|$. Soit $H$ un nombre entier positif. D'après le lemme 2.2 avec $V = H$ et $\ell = V^d$, il existe des nombres entiers non tous nuls $\ell_0, \ell_1, \dots, \ell_{d-1}$ tels que

$$H(\ell) \le H \quad \text{et} \quad |\ell_0\xi_0 + \ell_1\xi_1 + \dots + \ell_{d-1}\xi_{d-1}| \le UH^{-d+1}.$$

En prenant $\ell_d = \dots = \ell_r = 0$, la condition $(C_\kappa)$ entraîne

$$c_0 H^{-\kappa} \le c_0 H(\ell)^{-\kappa} \le UH^{-d+1}.$$

Donc $H^{d-1-\kappa} \le U/c_0$. Comme $H$ peut être choisi arbitrairement grand, cela implique $\kappa \ge d - 1$. $\square$

Ce résultat est optimal. En voici un exemple : on prend pour $\xi_0, \dots, \xi_r$ une base d'un corps de nombres réel de degré $r+1$. L'inégalité de Liouville (Prop 3.14, [9] – inégalité de norme) montre que $(\xi_0, \xi_1, \dots, \xi_r)$ vérifie la condition $(C_r)$.
**Proposition 3.3.** Soit $r$ un nombre entier positif. Soient $\xi_0, \xi_1, \dots, \xi_r$ des nombres réels linéairement indépendants sur $\mathbb{Q}$ vérifiant la condition $(C_r)$. Posons $U = |\xi_0| + \dots + |\xi_r|$. Soit $B$ un nombre réel positif. Soient $(A_n)_{n \ge 1}$ et $(Q_n)_{n \ge 1}$ des suites de nombres réels positif telles que

$$Q_n > r + 1, \quad \frac{Q_{n-1}^r}{U(r+1)^r} \le A_n \le \frac{Q_n^r}{U(r+1)^r} \quad \text{et} \quad Q_n^r \le \left(\frac{c_0 B}{U}\right) Q_{n-1}^r.$$

Alors, il existe une forme linéaire non nulle à coefficients entiers rationnels en $r+1$ variables

$$L_n(\underline{X}) = \ell_{0,n}X_0 + \ell_{1,n}X_1 + \dots + \ell_{r,n}X_n$$

telle que

$$\sum_{i=0}^{r} |\ell_{i,n}| \le Q_n, \quad 0 < |L_n(\underline{\xi})| \le \frac{1}{A_n}, \quad \frac{|L_{n-1}(\underline{\xi})|}{|L_n(\underline{\xi})|} \le B$$

$$\text{et } A_n \ge D(BQ_n)^r, \text{ où } D = (c_0(r+1)^r B^{r+1})^{-1}.$$

**Démonstration.** D'après le lemme 2.2 avec $V = \lfloor Q_n/(r+1) \rfloor$ et $\ell = (V+1)^{r+1}-1$, il existe une forme linéaire non nulle à coefficients entiers rationnels en $r+1$ variables

$$L_n(\underline{X}) = \ell_{0,n}X_0 + \ell_{1,n}X_1 + \dots + \ell_{r,n}X_n$$

telle que

$$H(\underline{\ell}) \le \frac{Q_n}{r+1}, \quad \text{et} \quad |L_n(\underline{\xi})| \le \frac{U(r+1)^r}{Q_n^r} \le \frac{1}{A_n}. \qquad (3.1)$$

Alors $\sum_{i=0}^r |\ell_{i,n}| \le Q_n$. Comme $\xi_0, \xi_1, \dots, \xi_r$ sont linéairement indépendants sur $\mathbb{Q}$, la condition $(C_r)$ entraîne

$$|L_n(\underline{\xi})| \ge \frac{c_0}{H(\underline{\ell})^r} \ge \frac{c_0(r+1)^r}{Q_n^r}. \qquad (3.2)$$

D'après (3.1) et (3.2), on a

$$\frac{|L_{n-1}(\underline{\xi})|}{|L_n(\underline{\xi})|} \le \frac{U(r+1)^r}{Q_{n-1}^r} \cdot \frac{Q_n^r}{c_0(r+1)^r} \le B.$$

Enfin on a

$$A_n \ge D(BQ_n)^r \quad \text{avec} \quad D = (c_0(r+1)^r B^{r+1})^{-1}.$$

□
A. CHANTANASIRI

**Remarque 3.** Quand on choisit $B > U/c_0$, il existe des suites $(A_n)_{n \ge 1}$ et $(Q_n)_{n \ge 1}$ vérifiant les hypothèses de la proposition 3.3 et tendant vers l'infini en croissant. Par exemple,

$$Q_n = (r+1) \left( \frac{c_0 B}{U} \right)^{n/r} \quad \text{et} \quad A_n = \frac{Q_n^r}{U(r+1)^r}.$$

### 3.0.2. Cas $p$-adique

**Définition 3.4.** Soient $\kappa$ un nombre réel positif et $r$ un nombre entier positif. Soient $\xi_0, \dots, \xi_r$ des éléments de $\mathbb{C}_p$. Nous dirons que $(\xi_0, \dots, \xi_r)$ vérifie la condition $(C_\kappa)$ s'il existe un nombre réel positif $c_0$ tel que, pour tout $\ell = (\ell_0, \ell_1, \dots, \ell_r) \in \mathbb{Z}^{r+1}$ vérifiant $\ell_0\xi_0 + \ell_1\xi_1 + \dots + \ell_r\xi_r \neq 0$, on ait

$$|\ell_0\xi_0 + \ell_1\xi_1 + \dots + \ell_r\xi_r|_p \geq c_0 H(\ell)^{-\kappa},$$

avec $H(\ell) = \max_{0 \le i \le r} |\ell_i|$.

**Lemme 3.5.** Soient $\kappa$ un nombre réel positif et $r$ un nombre entier positif. Soient $\xi_i$ ($0 \le i \le r$) des éléments de $\mathbb{Q}_p$ satisfaisant à la condition $(C_\kappa)$. Soit $d = \dim_{\mathbb{Q}}(\xi_0, \dots, \xi_r)$. Alors $\kappa \ge d$.

**Démonstration.** On renumérote, si besoin, pour que $\xi_0, \dots, \xi_{d-1}$ soient linéairement indépendants sur $\mathbb{Q}$. On définit $u > 0$ par $p^u = \max_{0 \le i < d} |\xi_i|_p$. Soit $s$ un nombre entier positif. D'après le lemme 2.6, il existe des nombres entiers $\ell_0, \ell_1, \dots, \ell_{d-1}$ non tous nuls tels que $H(\ell) < p^{(s/d)+1}$ et

$$|\ell_0\xi_0 + \ell_1\xi_1 + \dots + \ell_{d-1}\xi_{d-1}|_p \le p^{u-s}.$$

En prenant $\ell_d = \dots = \ell_r = 0$, la condition $(C_\kappa)$ entraîne

$$c_0 p^{-\kappa((s/d)+1)} < c_0 H(\ell)^{-\kappa} \le p^{u-s}.$$

Donc $p^{s(1-(\kappa/d))} < p^{u+\kappa}/c_0$. Comme $s$ peut être choisi arbitrairement grand, cela implique $\kappa/d \ge 1$. Par conséquent $\kappa \ge d$. $\square$

Un exemple de $r+1$ éléments de $Q_p$ linéairement indépendants sur $\mathbb{Z}$, et satisfaisant à la condition $(C_{r+1})$ est obtenu en prenant une base $\xi_0, \dots, \xi_r$ d'un corps de nombres algébriques de degré $r+1$, contenu dans $\mathbb{Q}_p$ comme le montre l'inégalité de Liouville (Exercice 3.5, [9]), ou une inégalité de norme.

**Proposition 3.6.** Soit $r$ un nombre entier positif. Soient $\xi_i$ ($0 \le i \le r$) des éléments de $\mathbb{Q}_p$ linéairement indépendants sur $\mathbb{Q}$, et satisfaisant à la condition $(C_{r+1})$.
CRITÈRES POUR L'INDÉPENDANCE LINÉAIRE

On définit u par $p^u = \max_{0 \le i \le r} |\xi_i|_p$. Soit B un nombre réel positif. Soient $(A_n)_{n \ge 1}$ et $(Q_n)_{n \ge 1}$ des suites de nombres réels positif telles que

$$Q_n > r + 1, \quad \frac{Q_{n-1}^{r+1}}{p^{u+r+2}(r+1)^{r+1}} \le A_n \le \frac{Q_n^{r+1}}{p^{u+r+2}(r+1)^{r+1}}$$

et

$$Q_n^{r+1} \le \left( \frac{c_0 B}{p^{u+r+2}} \right) Q_{n-1}^{r+1}.$$

Alors, il existe une forme linéaire non nulle à coefficients entiers rationnels en $r+1$ variables

$$L_n(\underline{X}) = \ell_{0,n}X_0 + \ell_{1,n}X_1 + \cdots + \ell_{r,n}X_r$$

telle que,

$$\sum_{i=0}^{r} |\ell_{i,n}| \le Q_n, \quad 0 < |L_n(\underline{\xi})|_p \le \frac{1}{A_n}, \quad \frac{|L_{n-1}(\underline{\xi})|}{|L_n(\underline{\xi})|} \le B$$

et

$$A_n \ge D(BQ_n)^{r+1} \quad \text{avec} \quad D = (c_0(r+1)^{r+1} B^{r+2})^{-1}.$$

Démonstration. Soit $s$ l'entier de $\mathbb{Z}$ tel que

$$p^{\frac{s}{r+1}+1} \le \frac{Q_n}{r+1} < p^{\frac{s+1}{r+1}+1}.$$

On peut supposer $s > 0$. D'après le lemme 2.6, il existe une forme linéaire non nulle à coefficients entiers rationnels en $r+1$ variables

$$L_n(\underline{X}) = \ell_{0,n}X_0 + \ell_{1,n}X_1 + \cdots + \ell_{r,n}X_r$$

telle que $H(\underline{\ell}) < Q_n/(r+1)$ et

$$|L_n(\underline{\xi})|_p \le \frac{p^u}{p^s} \le \frac{p^{u+r+2}(r+1)^{r+1}}{Q_n^{r+1}} \le \frac{1}{A_n}. \quad (3.3)$$

Alors $\sum_{i=0}^r |\ell_{i,n}| \le Q_n$. Comme $\xi_0, \dots, \xi_r$ sont linéairement indépendants sur $\mathbb{Q}$, la condition $(C_{r+1})$ entraîne

$$|L_n(\underline{\xi})|_p \ge \frac{c_0}{H(\underline{\ell})^{r+1}} > \frac{c_0(r+1)^{r+1}}{Q_n^{r+1}}. \quad (3.4)$$

D'après (3.3) et (3.4), on a

$$\frac{|L_{n-1}(\underline{\xi})|_p}{|L_n(\underline{\xi})|_p} < \frac{p^{u+r+2}(r+1)^{r+1}}{Q_{n-1}^{r+1}} \cdot \frac{Q_n^{r+1}}{c_0(r+1)^{r+1}} \le B.$$
Enfin on a

$$A_n \geq D(BQ_n)^{r+1} \quad \text{avec} \quad D = (c_0(r+1)^{r+1}B^{r+2})^{-1}.$$

□

**Remarque 4.** Soient $\xi_0, \dots, \xi_r$ des nombres p-adiques linéairement indépendants sur $\mathbb{Q}$. On suppose que $(\xi_0, \dots, \xi_r)$ vérifie la condition $(C_{r+1})$. Choisissons $B > p^{u+r+2}/c_0$. Alors on peut construire des suites $(A_n)_{n \ge 1}$ et $(Q_n)_{n \ge 1}$ vérifiant les hypothèses de la proposition 3.6 et tendant vers l'infini en croissant. Par exemple,

$$Q_n = (r+1) \left( \frac{c_0 B}{p^{u+r+2}} \right)^{n/(r+1)} \quad \text{et} \quad A_n = \frac{Q_n^{r+1}}{p^{u+r+2}(r+1)^{r+1}}.$$

Références

[1] F. AMOROSO – « Independenza lineare », Manuscrit.

[2] A. CHANTANASIRI – « On the criteria for linear independence of Nesterenko, Fischler and Zudilin », *Chamchuri Journal of Mathematics* **2** (2010), no. 1, p. 31–46.

[3] P. COLMEZ – « Arithmétique de la fonction zêta », in *La fonction zêta*, Ed. Éc. Polytech., Palaiseau, 2003, p. 37–164.

[4] S. FISCHLER & W. ZUDILIN – « A refinement of Nesterenko’s linear independence criterion with applications to zeta values », *Math. Ann.* **347** (2010), no. 4, p. 739–763.

[5] Y. V. NESTERENKO – « Linear independence of numbers », *Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh.* **1** (1985), p. 46–49, **108**.

[6] ———, « On a criterion of linear independence of p-adic numbers », *Manuscripta mathematica*, 2011.

[7] W. M. SCHMIDT – *Diophantine approximation*, Lecture Notes in Mathematics, vol. 785, Springer, Berlin, 1980.

[8] M. WALDSCHMIDT – *Nombres transcendants*, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 402, Springer-Verlag, Berlin, 1974.

[9] ———, *Diophantine approximation on linear algebraic groups : Transcendence properties of the exponential function in several variables*, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. **326**, Springer, Berlin, 2000.
CRITÈRES POUR L'INDÉPENDANCE LINÉAIRE

AMARISA CHANTANASIRI

Institut de Mathématiques de Jussieu

Université Pierre et Marie Curie

(Paris VI) Théorie des Nombres

4 Place Jussieu

75252 PARIS Cedex 05

FRANCE

chantanasiri@gmail.com