Item fluens cujus fluxio est $\frac{dijy_{n-1}}{\sqrt{e+fy_n}}$ erit ut area Curvæ cujus Abscissa est $y$ & Ordinata $\frac{dijy_{n-1}}{\sqrt{e+ty_n}}$, id est (per Casum I, Formæ quartæ Tab. I. <fnref n="12" />) ut area $\frac{2d}{nf}\sqrt{e+fy^n}$. Pone ergo $\frac{2d}{nf}\sqrt{e+fy^n}$ æqualem areæ Curvæ cujus Abscissa est $x$ & Ordinata $|ax^m + bx^n|^p$ & habebitur fluens $y$.

Et nota quod fluens omnis quæ ex fluxione prima colligitur augeri potest vel minui quantitate quavis non fluente <fnref n="13" />. Quæ ex fluxione secunda colligitur augeri potest vel minui quantitate quavis cujus fluxio secunda nulla est. Quæ ex fluxione tertia colligitur augeri potest vel minui quantitate quavis cujus fluxio tertia nulla est. Et sic deinceps in infinitum.

Postquam vero fluentes ex flucionibus collectæ sunt, si de veritate Conclusionis dubitatur, fluxiones fluentium inveritarum vicissim colligendæ sunt & cum fluxionibus sub initio propositis comparandæ <fnref n="14" />. Nam si prodeunt æquales Conclusio recte se habet : [voir la figure B.1]

## B.2 Traduction libre en français de la proposition (théorème VIII) :

Soit *ADIC* une courbe quelconque ayant pour abscisse (Fig. 9.) $AB = z$ et pour ordonnée $BD = y$. Soit *AEKC* une autre courbe dont l'ordonnée *BE* est égale à l'aire *ABC* de la première courbe, appliquée à l'unité. Soit *AFLC* une troisième courbe dont l'ordonnée *BF* est égale à l'aire *AEB* de la seconde courbe, appliquée à l'unité. Soit *AGMC* une quatrième courbe dont l'ordonnée *BG* est égale à l'aire *AFB* de la troisième courbe, appliquée à l'unité. Soit *AHNC* une cinquième courbe dont l'ordonnée *BH* est égale à l'aire *AGB* de

<footnote n="12">12. inserir explicação desta referência</footnote>

<footnote n="13">13. Newton souligne que toute quantité obtenue par quadrature peut être augmentée ou diminuée d'une quantité constante, ce qui correspond au concept moderne de constante d'intégration.</footnote>

<footnote n="14">14. Il propose une méthode de vérification : après avoir déterminé les quantités fluentes par quadrature, leurs fluxions doivent être recalculées et comparées aux fluxions initialement données. Cela correspond au processus de différenciation pour vérifier une primitive.</footnote>
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Quadr. Tab.I.</figcaption></figure>

FIGURE B.1 – représentation de la table des figures à la fin de la Trataise de Quadratures (juste après la fin de la proposition). l'image faisant référence à la proposition 11 est l'image 9. Tirée de NEWTON 1704.

la quatrième courbe, appliquée à l’unité. Et ainsi de suite à l’infini. Soient A, B, C, D, E, etc., les aires des courbes ayant pour ordonnées y, zy, z²y, z³y, z⁴y, et pour abscisse commune z.

Soit donnée une abscisse quelconque $AC = t$, et soit $BC = t - z = x$. Soient P, Q, R, S, T les aires des courbes ayant pour ordonnées x, xy, x²y, x³y, x⁴y, et pour abscisse commune x.

Ces aires sont toutes déterminées par l'abscisse totale donnée $AC$, ainsi que par l'ordonnée donnée de position et prolongée à l'infini $CI$. Et les aires
posées au début seront :

La première $ADIC = A = P,$

La seconde $AEKC = tA - B = Q,$

La troisième $AFLC = \frac{t^2A - 2tB + C}{2} = \frac{1}{2}R,$

La quatrième $AGMC = \frac{t^3A - 3t^2B + 3tC - D}{6} = \frac{1}{6}S,$

La cinquième $AHNC = \frac{t^4A - 4t^3B + 6t^2C - 4tD + E}{24} = \frac{1}{24}T.$

## COROLLAIRE

D'où il suit que si les courbes dont les ordonnées sont $y, zy, z^2y, z^3y, \text{etc.}$, ou $y, xy, x^2y, x^3y, \text{etc.}$, peuvent être quadrées, alors les courbes $ADIC, AEKC, AFLC, AGMC, \text{etc.}$, pourront également être quadrées, et les ordonnées $BE, BG, BH$ seront proportionnelles aux aires des courbes.

## SCHOLIE

Nous avons dit plus haut que les fluxions des quantités fluentes sont les premières, secondes, troisièmes, quatrièmes, etc. Ces fluxions sont comme les termes des séries infinies convergentes. Par exemple, si $z^n$ est une quantité fluente et qu'en fluant elle devient $\overline{z+o}|^n$, puis qu'elle se résout en une série convergente :

$$z^n + noz^{n-1} + \frac{n^2-n}{2}o^2z^{n-2} + \frac{n^3-3n^2+2n}{6}o^3z^{n-3} + \text{etc.},$$

alors :

- Le premier terme de cette série $z^n$ sera cette quantité fluente,

- Le second terme $noz^{n-1}$ sera son premier accroissement ou première différence, à laquelle la fluxion première est proportionnelle,

- Le troisième terme $\frac{n^2-n}{2}o^2z^{n-2}$ sera son second accroissement ou seconde différence, à laquelle la fluxion seconde est proportionnelle,
— Et ainsi de suite à l'infini.

Ces fluxions peuvent être représentées par les ordonnées des courbes *BD*, *BE*, *BF*, *BG*, *BH*, etc. Par exemple :

— Si l'ordonnée $BE$ ($= \frac{ADB}{1}$) est une quantité fluente, sa fluxion première sera comme l'ordonnée *BD*.

— Si $BF$ ($= \frac{AEB}{1}$) est une quantité fluente, sa fluxion première sera comme l'ordonnée *BH*, et sa fluxion seconde comme l'ordonnée *BD*.

— Si $BH$ ($= \frac{AGB}{1}$) est une quantité fluente, ses fluxions première, seconde, troisième et quatrième seront comme les ordonnées *BG*, *BF*, *BE*, *BD* respectivement.

Ainsi, dans les équations qui ne contiennent que deux quantités inconnues, dont l'une est une quantité uniformément fluente et l'autre est une fluxion quelconque d'une autre quantité fluente, on peut trouver cette autre quantité fluente par la quadrature des courbes. Par exemple :

— Si la fluxion est représentée par l'ordonnée *BD*, et si c'est une fluxion première, on cherchera l'aire $ADB = BE \times 1$.

— Si c'est une fluxion seconde, on cherchera l'aire $AFB = BF \times 1$.

— Si c'est une fluxion troisième, on cherchera l'aire $AFB = BG \times 1$, etc.

— Et l'aire trouvée sera l'exposant de la quantité fluente cherchée.

De même, dans les équations qui contiennent une quantité fluente et sa fluxion première sans autre quantité fluente, ou deux fluxions de la même quantité fluente, première et seconde, ou seconde et troisième, ou troisième et quatrième, etc., sans autre quantité fluente, on peut trouver les quantités fluentes par la quadrature des courbes. Par exemple :

— Soit l'équation $aa\dot{v} = av + vv$, avec $v = BE$, $\dot{v} = BD$, $z = AB$ et $\dot{z} = 1$. En complétant les dimensions des fluxions, cette équation devient $aav = avz + vv\dot{z}$, ou $\frac{aav}{av+vv} = \dot{z}$.

— Maintenant, si $v$ flue uniformément et que sa fluxion est $\dot{v} = 1$, alors
$$ \frac{aa}{av+vv} = \dot{z}. $$

— En quadratant la courbe dont l'ordonnée est $\frac{aa}{av+vv} = \dot{z}$ et l'abscisse $v$, on obtiendra la quantité fluente $z$.

De même, si l'équation est $aa\dot{v} = a\dot{v} + \dot{v}\dot{v}$, avec $v = BF$, $\dot{v} = BE$, $\ddot{v} = BD$ et $z = AB$, on trouvera la relation entre AB et BE comme dans l'exemple précédent. Ensuite, par cette relation, on trouvera la relation entre AB et BF en quadratant la courbe AEB.

Les équations qui contiennent trois quantités inconnues peuvent parfois être réduites à des équations qui n'en contiennent que deux, et dans ces cas, les quantités fluentes peuvent être trouvées à partir des fluxions comme ci-dessus. Par exemple :

— Soit l'équation $a-bx^m = cxy^n\dot{y}+d\dot{y}^2n\dot{y}\dot{y}$. On pose $y^n\dot{y} = \dot{v}$, et l'équation devient $a - bx^m = cx\dot{v} + d\dot{v}\dot{v}$.

— En quadratant la courbe dont l'abscisse est $x$ et l'ordonnée $\dot{v}$, on obtient l'aire $v$.

— Puis, en revenant à la quantité fluente, on a $\frac{1}{n+1}y^{n+1} = v$, ce qui donne la quantité fluente $y$.

De même, dans les équations qui contiennent trois quantités inconnues et ne peuvent pas être réduites à des équations à deux inconnues, les quantités fluentes peuvent parfois être trouvées par la quadrature des courbes. Par exemple :

— Soit l'équation $\overline{ax^m + bx^n}|^P = rex^{r-1}y^s + sex^r\dot{y}y^{s-1} - f\dot{y}y^t$, avec $x = 1$. La partie $rex^{r-1}y^s + sex^r\dot{y}y^{s-1}$ est comme l'aire de la courbe dont l'abscisse est $x$ et l'ordonnée $\overline{ax^m + bx^n}|^P$, et ainsi on obtient la quantité fluente $y$.

Enfin, notez que toute quantité fluente trouvée à partir d'une fluxion première peut être augmentée ou diminuée d'une quantité quelconque non fluente. De même, une quantité fluente trouvée à partir d'une fluxion seconde peut être
augmentée ou diminuée d'une quantité dont la fluxion seconde est nulle, et ainsi de suite à l'infini.

Après avoir trouvé les quantités fluentes à partir des fluxions, si l'on doute de la vérité de la conclusion, on peut retrouver les fluxions des quantités fluentes inversées et les comparer aux fluxions proposées au début. Si elles sont égales, la conclusion est correcte.
# Annexe C

## Contextualisation des certains termes utilisés par Newton

<table><caption>TABLE C.1 – Explication des termes</caption><thead><tr><td>Terme</td><td>Explication</td></tr></thead><tbody><tr><td>Vis Insita (Force Inhérente)</td><td>Ce terme peut être interprété comme l'inertie ou la tendance d'un objet à résister aux changements dans son état de mouvement. C'est un précurseur du concept moderne d'inertie.</td></tr><tr><td>Centrum Gravitatis (Centre de Gravité)</td><td>Bien qu'encore utilisé aujourd'hui, le terme est souvent remplacé par "centre de masse" dans des contextes plus généraux, surtout dans les systèmes où la gravité n'est pas la seule force agissante.</td></tr></tbody></table>

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<table><caption>Table C.1 – Suite de la page précédente</caption><thead><tr><td>Terme</td><td>Explication</td></tr></thead><tbody><tr><td>Vis Impressa (Force Impressa)</td><td>Se réfère à une force appliquée à un objet, causant un changement dans son mouvement. En physique moderne, nous parlons simplement de "force" comme de toute interaction qui, lorsqu'elle n'est pas équilibrée, modifie le mouvement d'un objet.</td></tr><tr><td>Aequalis Motus (Mouvement Uniforme)</td><td>Mouvement dans lequel un objet parcourt des distances égales dans des intervalles de temps égaux. Aujourd'hui, cela est décrit comme un mouvement à vitesse constante.</td></tr><tr><td>Spaces Vacuum (Espace Vide)</td><td>Se réfère au concept de vide ou d'espace vide, où aucune matière n'est présente. La compréhension moderne du vide inclut le concept d'espace non seulement comme absence de matière, mais aussi comme la scène pour les champs et les particules virtuelles.</td></tr><tr><td>Leges Motus (Lois du Mouvement)</td><td>Bien que les lois du mouvement de Newton restent fondamentales en physique, leur formulation et interprétation ont été affinées et étendues par la relativité et la mécanique quantique.</td></tr></tbody></table>

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<table><caption>Table C.1 – Suite de la page précédente</caption><thead><tr><td>Terme</td><td>Explication</td></tr></thead><tbody><tr><td>Gravitatio<br/>(Gravitation)</td><td>Le concept de gravitation reste central en physique, mais la compréhension moderne est informée par la théorie de la relativité générale d'Einstein, qui décrit la gravité non comme une force à distance, mais comme une courbure de l'espace-temps causée par la masse.</td></tr><tr><td>Corpuscula<br/>(Corpuscules)</td><td>Newton utilisait ce terme pour se référer à des particules ou petits corps. Aujourd'hui, le terme "particules" couvre une vaste gamme d'entités, allant des particules subatomiques jusqu'à des objets macroscopiques dans différents contextes.</td></tr><tr><td>Medium Resistens<br/>(Milieu Résistant)</td><td>Se réfère à tout milieu, comme un fluide, qui offre une résistance au mouvement d'un corps. Les concepts modernes connexes incluent la viscosité dans les fluides et la résistance de l'air.</td></tr></tbody></table>
# Annexe D

## Unités de mesure dans l'œuvre de Benjamin Robins

<table><caption>TABLE D.1 – Unités de mesure courantes à l'époque de Benjamin Robins</caption><thead><tr><th>Unité<br>(Anglais)</th><th>Abréviation</th><th>Unité<br>(Français)</th><th>Description et<br>Contexte Historique</th></tr></thead><tbody><tr><td>Foot</td><td>ft</td><td>Pied</td><td>Un pied équivaut à 0,3048 mètre. Historiquement basé sur la taille du pied humain, il fut largement utilisé au Royaume-Uni pour les mesures quotidiennes et en ingénierie au XVIIIe siècle.</td></tr><tr><td>Inch</td><td>in</td><td>Pouce</td><td>Un pouce correspond à 2,54 centimètres. Il dérive du latin « uncia », une unité représentant la douzième partie de quelque chose — ici, du pied.</td></tr></tbody></table>

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<table><thead><tr><th>Unité<br>(Anglais)</th><th>Abréviation</th><th>Unité<br>(Français)</th><th>Description et Contexte Historique</th></tr></thead><tbody><tr><td>Mile</td><td>mi</td><td>Mille</td><td>Un mille est égal à 1 609,34 mètres. Il provient du terme latin « milia passuum », signifiant mille pas. L'unité était utilisée pour les mesures de distance lors de voyages et en cartographie.</td></tr><tr><td>Yard</td><td>yd</td><td>Yard</td><td>Une yard équivaut à 0,9144 mètre. Il s'agit d'une unité de longueur du système impérial britannique, largement utilisée aux XVIIe et XVIIIe siècles dans les mesures de balistique et d'artillerie.</td></tr><tr><td>Grain</td><td>gr</td><td>Grain</td><td>Un grain équivaut à 0,0648 gramme. C'est l'une des plus anciennes unités de masse, fondée sur le poids d'un grain de céréale. Il fut standardisé dans le système avoirdupois et reste utilisé en balistique et pharmacie.</td></tr></tbody></table>

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Suite de la Table D.1

<table><thead><tr><th>Unité<br>(Anglais)</th><th>Abréviation</th><th>Unité<br>(Français)</th><th>Description et Contexte Historique</th></tr></thead><tbody><tr><td>Dram</td><td>dw</td><td>Dram</td><td>Un dram équivaut à environ 1,772 gramme. Cette unité était utilisée pour mesurer de petites quantités de poudre. L'abréviation « dw » signifie « dram weight », où le « w » indique qu'il s'agit d'un poids et non d'un volume.</td></tr><tr><td>Ounce</td><td>oz</td><td>Once</td><td>Une once avoirdupois équivaut à environ 28,35 grammes. Le mot « once » vient du latin « uncia » (un deuxième) et fut utilisée pour les mesures précises au Royaume-Uni, notamment en science et commerce.</td></tr><tr><td>Pound</td><td>lb</td><td>Livre</td><td>Une livre avoirdupois équivaut à environ 0,453592 kilogramme. Le mot « livre » dérive du latin « libra ». C'était l'unité de base du poids dans le monde anglo-saxon, utilisée pour peser des marchandises diverses.</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_12.png" /></figure>