Département de mathématiques
Université de Fribourg en Suisse

Caractérisation des automorphismes CR d'une
classe d'hypersurfaces dans $C^4$ :
le problème PQR

THÈSE

présentée à

la Faculté des sciences et de médecine de l'Université de Fribourg, Suisse
pour l'obtention du grade académique de

**Docteur ès sciences en mathématiques**

par

**Cyril Josy Rémy JULIEN**

originaire de

Clos-du-Doubs, Jura

Thèse n° 5576

Uniprint Fribourg

2022
https://doi.org/10.51363/unifr.sth.2024.011

© Cyril Julien, 2024

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Cet ouvrage est publié sous une licence Creative Commons Attribution 4.0 International
(CC BY 4.0) : https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
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Accepté par la Faculté des sciences et de médecine de l'Université de Fribourg sous la recommandation des membres du jury de thèse, Dr. Christian Mazza, Dr. Martin Kolář, Dr. Léa Blanc-Centi, Dr. Florian Bertrand, et du président du jury, Prof. Enrico Le Donne.

Fribourg, le 16 novembre 2022

Directrice de thèse

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Priv.-Doz. Francine Meylan

Doyen de la Faculté

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Prof. Ulrich Ultes-Nitsche
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Département de mathématiques

Université de Fribourg

Suisse

Cyril Josy Rémy JULIEN

Caractérisation des automorphismes CR d'une
classe d'hypersurfaces dans $C^4$ :
le problème PQR

Thèse pour l'obtention du grade de docteur ès sciences en mathématiques

Sous la direction de Francine Meylan

Soutenue

à Fribourg CH

le 16 novembre 2022
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## Membres du jury

Le jury de ce travail est constitué de

1. la Directrice de thèse, Dr. Francine Meylan, Priv.-Doz., Université de Fribourg;

2. le Parrain de thèse, Dr. Christian Mazza, Professeur et Président du Département de Mathématiques, Université de Fribourg;

3. Dr. Martin Kolář, expert, Associate professor, Department of Mathematics and Statistics, Masaryk University, Brno;

4. Dr. Léa Blanc-Centi, experte, Maîtresse de conférence, Laboratoire Paul Painlevé, Département de Mathématiques, Université de Lille;

5. Dr. Florian Bertrand, expert, Associate professor and Chairperson of the Department of Mathematics, American University of Beirut.

## Historique du travail

Le premier contact avec la directrice de thèse a eu lieu en mai 2016 et les douze semestres d'études doctorales ont été articulées selon les étapes suivantes.

Septembre 2016, lecture de parties de [2]. Octobre 2017, lecture des articles et immersion. Août 2019, écriture et début des nouveautés. Octobre 2019, voyage à Brno, à l'Université Masaryk, rencontre de Martin Kolář. Avril 2020, fin du résumé des lectures et de quelques premiers petits résultats, 150 pages. Novembre 2020, nouveaux éléments, ajouts d'exemples, restrucuration du texte. Juillet 21, preuve du théorème 4.3.1 avérée fausse, corrections, autres résultats presque aboutis. Janvier 22, résultat final du théorème 4.3.1. Mars 2022, relecture des 198 pages et concision. En 2022 : 6 juillet, dépôt ; 10 novembre, séminaire préparatif ; 16 novembre, soutenance à huis clos ; 23 novembre, présentation publique. Une publication sous forme d'article dans une revue est prévue dans le courant 2023.
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Remerciements

Tout d'abord, je tiens à remercier Francine Meylan. Son expérience, sa patience, sa confiance, sa passion, sa créativité et son dévouement se sont avérés décisifs pour l'élaboration de ce travail. Mille mercis !

Pour ces points de vue, ses apports et son accueil chaleureux lors du voyage à Brno en 2019, je remercie sincèrement Martin Kolář. Je remercie également tous les membres du jury pour leur relecture.

En outre, j'aimerais souligner l'influence importante que tous mes professeurs ont eu sur ma formation. Tant dans le domaine des mathématiques, de la rigueur, de la créativité, de la musique, de l'improvisation ou du savoir en général, ils m'ont tous guidé dans mon parcours intellectuel, « en quête d'harmonie ». Tous mes élèves, de mathématiques et de musique, m'ont également apporté beaucoup. Merci à tous !

Ensuite, mes remerciements les plus vifs vont également à mes amis, Sylvain, Dan, Jonas et Marc. Leur soutien personnel et leur compréhension amicale sont si précieux. Je remercie également Boris et Didier avec qui plusieurs années d'études des mathématiques ont été partagées. Je pense également à tous mes amis et connaissances plus larges. Merci à Hélène pour l'anglais !

Pour leur soutien et leur écoute sans faille, dans ces nombreuses années d'études, je remercie mes frères, Clément, Stéphane et Fabrice, présents depuis mes premières années de vie.

Je n'oublie pas mes parents, Rémy et Julienne, qui m'ont donné la vie et laissé suivre mon chemin. Je pense également à ma famille plus large et à ma belle-famille, Raymond, Marianne, ainsi qu'à tous ceux qui ont cru en moi.

Pour la source intarissable d'inspiration, de vivacité et de motivation qu'ils m'offrent, je remercie profondément mes enfants, Émile, Rose, Ambre et Louise.

Enfin, je n'en serais pas là sans la personne qui a le plus changé ma vie, mon épouse, Anne, que je remercie infiniment.
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Résumé

Cette thèse de doctorat s’intéresse au groupe de stabilité, Aut($M_g$), qui est l’ensemble des automorphismes (ou biholomorphismes fixant un point) d’une hypersurface réelle et continue $M_g$. Pour étudier Aut($M_g$), il s’avère suffisant de classifier l’ensemble des automorphismes infinitésimaux réels analytiques CR, hol($M$), d’une hypersurface, $M$, plus simple, polynomiale, homogène et modèle. $M$ est associée à $M_g$ dans le sens que son équation définissante n’est constituée que des premiers termes du développement de Taylor de celle qui définit $M_g$. Certains résultats généraux, dans $\mathbb{C}^{n+1}$, existent; des résultats plus précis existent dans $\mathbb{C}^3$; et, nous apportons dans ce travail des résultats pour $\mathbb{C}^4$. Les hypersurfaces qu’il s’avère pertinent d’étudier sont réelles, holomorphiquement non dégénérées, de type fini et Levi dégénérées.

Le chapitre 1 présente les notions élémentaires, une problématique ainsi que l’ensemble des résultats principaux.

Le chapitre 2 traite du cadre général, dans $\mathbb{C}^{n+1}$. Inspiré de « Chern-Moser operators and polynomial models in CR geometry », ce chapitre présente la description complète de la démarche générale qui a pour outil l’opérateur de Chern-Moser, appuyée par des précisions ainsi que des exemples.

Le but du chapitre 3 est double. D’une part, il est à considérer comme tremplin avant la généralisation dans $\mathbb{C}^4$ et dans ce sens, il reformule les résultats de « Infinitesimal CR automorphisms for a class of polynomial models » et offre une description des automorphismes infinitésimaux réels analytiques CR d’une hypersurface homogène et modèle de $\mathbb{C}^3$, $M$, décrite par l’équation

$$ \mathrm{Im} w = P\bar{Q} + \bar{Q}P, $$

où $(z, w) = (z_1, z_2, w) \in \mathbb{C}^3$, et $P$ et $Q$ sont des polynômes en $z$. D’autre part, ce chapitre apporte plusieurs précisions importantes pour ce cas, notamment concernant la décomposition des rotations.
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Le chapitre 4 présente les nouvelles contributions concernant une hypersurface homogène M de $\mathbb{C}^4$ décrite par

$$ \mathrm{Im} w = P\bar{Q} + \bar{Q}P + R\bar{R}, $$

où $(z, w) = (z_1, z_2, z_3, w) \in \mathbb{C}^4$, et P, Q et R sont à nouveau des polynômes en z. Ce cas est appelé problème PQR. Un cas modèle est à considérer comme une introduction, un cas découplé (pour lequel une variable est strictement réservée à R) donne des résultats intéressants, mais c'est surtout le cas général, toutefois monomial, qui semble important : le théorème qui décrit une décomposition des rotations s'avère être le résultat le plus important, mais la dimension de l'ensemble de tous les automorphismes infinitésimaux réels analytiques CR de l'hypersurface est détaillée.

Le chapitre 5 ouvre la porte aux perspectives nouvelles et propose de nouvelles pistes, tout en rappelant le lien fondamental entre M et $M_g$, entre les automorphismes infinitésimaux réels analytiques CR décrits de l'hypersurface modèle et les automorphismes de l'hypersurface générale.
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Abstract

This dissertation is about the stability group Aut($M_g$), which is the set of all the automorphisms (or biholomorphisms stabilizing a point) of a real and smooth hypersurface $M_g$. In order to study Aut($M_g$), one can classify real-analytic infinitesimal CR-automorphisms hol($M$) of an easier homogeneous polynomial and model hypersurface $M$. $M$ is associated with $M_g$ in the sense that its defining equation is constituted only of the first terms of Taylor's development of the equation of $M_g$. Some general results exist in $\mathbb{C}^{n+1}$; more detailed results appear in $\mathbb{C}^3$; and this dissertation will provide new results in $\mathbb{C}^4$. Hypersurfaces that are relevant to study are real, holomorphically nondegenerate, of finite type and Levi degenerate.

Chapter 1 introduces the elementary notions, the study question as well as all the main results.

Chapter 2 is about the general framework in $\mathbb{C}^{n+1}$. Based on "Chern-Moser operators and polynomial models in CR geometry", this chapter introduces the complete approach that uses the Chern-Moser operator, supported by more precise explanations and examples.

Chapter 3 has a dual purpose. To begin with, it serves as a springboard before generalizing in $\mathbb{C}^4$. In this sense, it rephrases the results of "Infinitesimal CR automorphisms for a class of polynomial models" and offers a description of the real-analytic infinitesimal CR-automorphisms of a homogeneous and model hypersurface of $\mathbb{C}^3$, $M$, described by the following equation :

$$ \mathrm{Im} w = P\bar{Q} + \bar{Q}P, $$

where $(z, w) = (z_1, z_2, w) \in \mathbb{C}^3$, and $P$ and $Q$ are polynomials in $z$. In addition, this chapter provides important specifications on this case, particularly regarding the decomposition of rotations.
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Chapter 4 introduces the newest contributions on a homo-
geneous hypersurface $M$ of $\mathbb{C}^4$ described as follows :

$$
\mathrm{Im} w = P\bar{Q} + \bar{Q}P + R\bar{R},
$$

where $(z, w) = (z_1, z_2, z_3, w) \in \mathbb{C}^4$, and $P, Q$ and $R$ are polynomials in $z$. This case is called the *PQR problem*. A model case serves as an introduction to this chapter in section 4.1. A decoupled case (for which a variable is strictly reserved to $R$) gives interesting results in 4.2. However, as presented in 4.3, it is the general case, although monomial, that seems important : the theorem that describes the decomposition of rotations proves to be the most important result. The dimension of the set of the real-analytic infinitesimal CR-automorphisms of the hypersurface are detailed.

Chapter 5 broadens the perspectives and offers new leads,
while keeping in mind the fundamental link between M and M_g,
that is between real-analytic infinitesimal CR-automorphisms
described from the model hypersurface, and the automorphisms
of the general hypersurface.
# Table des matières

<table><tr><td>1</td><td>Introduction</td><td>1</td></tr><tr><td>1.1</td><td>Préliminaires et contexte</td><td>1</td></tr><tr><td>1.1.1</td><td>Notions de base</td><td>1</td></tr><tr><td>1.1.2</td><td>Hypersurfaces dans C<sup>N</sup></td><td>3</td></tr><tr><td>1.1.3</td><td>Vecteurs holomorphes et antiholomorphes</td><td>7</td></tr><tr><td>1.1.4</td><td>Sous-variétés CR et champs vectoriels CR</td><td>11</td></tr><tr><td>1.1.5</td><td>Hypersurface de type fini</td><td>14</td></tr><tr><td>1.2</td><td>Problématique</td><td>18</td></tr><tr><td>1.2.1</td><td>Point historique</td><td>18</td></tr><tr><td>1.2.2</td><td>Notre sujet</td><td>20</td></tr><tr><td>1.3</td><td>Résultats principaux</td><td>21</td></tr><tr><td>2</td><td>Cas général</td><td>25</td></tr><tr><td>2.1</td><td>Considérations générales et démarche</td><td>25</td></tr><tr><td>2.1.1</td><td>L'opérateur de Chern-Moser généralisé</td><td>25</td></tr><tr><td>2.1.2</td><td>Champs vectoriels rigides et intégrations</td><td>32</td></tr><tr><td>2.1.3</td><td>Propriétés des hypersurfaces intéressantes</td><td>36</td></tr><tr><td>2.1.4</td><td>Description de g</td><td>37</td></tr><tr><td>2.2</td><td>Précisions importantes</td><td>40</td></tr><tr><td>2.2.1</td><td>Nombre de polynômes pour P</td><td>40</td></tr><tr><td>2.2.2</td><td>Cas particulier, P de degré 2</td><td>42</td></tr><tr><td>2.2.3</td><td>Algèbre linéaire sur les rotations</td><td>44</td></tr><tr><td>2.3</td><td>Exemples</td><td>50</td></tr></table>
<table><thead><tr><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>3</td><td>Cas connus</td><td>57</td></tr><tr><td>3.1</td><td>Cas modèle</td><td>57</td></tr><tr><td>3.2</td><td>Problème PQ</td><td>63</td></tr><tr><td>3.2.1</td><td>Préliminaires</td><td>63</td></tr><tr><td>3.2.2</td><td>Lemmes auxiliaires</td><td>66</td></tr><tr><td>3.2.3</td><td>Résultats</td><td>74</td></tr><tr><td>4</td><td>Nouveaux cas</td><td>77</td></tr><tr><td>4.1</td><td>Cas modèle</td><td>78</td></tr><tr><td>4.1.1</td><td>Remarque de généralisation</td><td>89</td></tr><tr><td>4.2</td><td>Problème PQR découplé</td><td>92</td></tr><tr><td>4.2.1</td><td>Propriétés de g<sub>t</sub></td><td>93</td></tr><tr><td>4.2.2</td><td>Propriétés de g<sub>0</sub></td><td>95</td></tr><tr><td>4.2.3</td><td>Propriétés de g<sub>0</sub><sup>Re</sup></td><td>100</td></tr><tr><td>4.2.4</td><td>Propriétés de g<sub>0</sub><sup>Im</sup></td><td>101</td></tr><tr><td>4.2.5</td><td>Propriétés de g<sub>0</sub><sup>Nil.</sup></td><td>104</td></tr><tr><td>4.2.6</td><td>Propriétés de g<sub>c</sub></td><td>104</td></tr><tr><td>4.2.7</td><td>Propriétés de g<sub>h</sub></td><td>106</td></tr><tr><td>4.2.8</td><td>Propriétés de g<sub>1</sub></td><td>108</td></tr><tr><td>4.2.9</td><td>Résultat</td><td>108</td></tr><tr><td>4.3</td><td>Problème PQR</td><td>110</td></tr><tr><td>4.3.1</td><td>Propriétés de g<sub>0</sub></td><td>111</td></tr><tr><td>4.3.2</td><td>Propriétés de g<sub>0</sub><sup>Nil.</sup></td><td>138</td></tr><tr><td>4.3.3</td><td>Propriétés de g<sub>0</sub><sup>Re</sup></td><td>140</td></tr><tr><td>4.3.4</td><td>Propriétés de g<sub>0</sub><sup>Im</sup></td><td>141</td></tr><tr><td>4.3.5</td><td>Propriétés de g<sub>c</sub></td><td>143</td></tr><tr><td>4.3.6</td><td>Propriétés de g<sub>t</sub> et g<sub>h</sub></td><td>154</td></tr><tr><td>4.3.7</td><td>Propriétés de g<sub>1</sub></td><td>156</td></tr><tr><td>4.3.8</td><td>Résultat</td><td>158</td></tr><tr><td>5</td><td>Conclusion</td><td>159</td></tr><tr><td colspan="2">Bibliographie</td><td>161</td></tr><tr><td colspan="2">Curriculum vitæ</td><td>167</td></tr></tbody></table>
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# Chapitre 1

## Introduction

Ce chapitre rassemble les diverses notions fondamentales dont nous aurons besoin tout au long de ce travail qui se situe dans l'Analyse complexe à plusieurs variables. Nous allons en particulier définir la notion d'hypersurface ainsi que la notion de type fini. Nous présentons également les questions que nous nous sommes posées ainsi que les résultats principaux obtenus dans ce travail.

### 1.1 Préliminaires et contexte

Dans ce paragraphe, nous proposons une présentation d'objets mathématiques qui vont nous intéresser et sur lesquels nous pouvons déjà faire quelques considérations introductives<fnref n="1" />.

#### 1.1.1 Notions de base

##### Définition 1.1.1.

Soit $f : \Omega \to \mathbb{C}$ avec un ouvert $\Omega \subset \mathbb{C}$. La fonction complexe $f \in C^1(\Omega)$ est dite holomorphe dans $\Omega$ si, pour tout $a \in \Omega$, $f$ est holomorphe en $a$; et la fonction $f$ est dite holomorphe en $a$, si la limite suivante existe (pour $h \in \mathbb{C}$),

$$f'(a) := \lim_{|h| \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{a' \to a} \frac{f(a') - f(a)}{a' - a} \in \mathbb{C}.$$

<footnote n="1">1. Ce paragraphe est basé sur [2], pp.3-21.</footnote>
La généralisation de la définition précédente à des applications $f : \Omega \to \mathbb{C}^M$, avec un ouvert $\Omega \subset \mathbb{C}$, est la suivante.

**Définition 1.1.2.**

Soit $\Omega \subset \mathbb{C}^N$ un ouvert. La fonction $f : \Omega \to \mathbb{C}$ est dite *holomorphe* si $f \in C^1(\Omega)$ et $f$ est holomorphe en chaque variable. Nous notons

$$H(\Omega) := \{f : \Omega \to \mathbb{C} \mid f \text{ holomorphe}\}.$$

De même, $f$, une application, notée

$$f = \begin{pmatrix} f_1 \\ \vdots \\ f_M \end{pmatrix} : \Omega \to \mathbb{C}^M,$$

où $\Omega \subset \mathbb{C}^N$, est *holomorphe* si chaque $f_j$ est holomorphe$^2$.

**Notation 1.1.3.**

Dans $\mathbb{C}^N$, les variables sont $z_j$, pour $j = 1, \dots, N$. Nous identifions $\mathbb{C}^N$ avec $\mathbb{R}^{2N}$ en posant

$$z_j = x_j + iy_j,$$

avec $x_j, y_j \in \mathbb{R}$, pour $j = 1, \dots, N$

**Définition 1.1.4.**

Une application est dite *biholomorphe* si elle est holomorphe, bijective avec une réciproque holomorphe. Nous notons qu'une telle application possède une même dimension pour les ensembles de départ et d'arrivée : $f : \Omega \to \mathbb{C}^N$, avec $\Omega \subset \mathbb{C}^N$. Un *automorphisme* est un biholomorphisme allant d'un ensemble vers lui-même et qui fixe un point$^3$. De plus, l'ensemble des automorphismes d'un ensemble $\Omega$, noté Aut($\Omega$), ou Aut($\Omega$, $p$) (avec $p \in \Omega$ le point fixe), est appelé le *groupe de stabilité* de $\Omega$.

<footnote n="2">2. Pour les définitions et théorèmes de base, cf. [35], pp.1-4 et pp.22-28. En particulier, supposer que la fonction soit $C^1$ n'est pas nécessaire, car cela peut être vu comme une conséquence de la définition. Cf. [35], p.4, corollaire 1.2.3 et p.26, corollaire 2.2.2.</footnote>

<footnote n="3">3. Cf. [58], p.209 et [2], p.376. Le fait de considérer un point fixe ou non dans la définition est discutable. Nous notons qu'il ne s'agit pas d'une restriction de la généralité et adoptons le point de vue de [2].</footnote>
### 1.1.2 Hypersurfaces dans $\mathbb{C}^N$

#### Définition 1.1.5.

Un sous-ensemble $M \subset \mathbb{C}^N$ est une hypersurface réelle de classe $C^\infty$ si pour tout $p_0 \in M$ il existe $U \subset \mathbb{C}^N$, un voisinage de $p_0$, et $\rho: U \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^\infty$ tels que

$$M \cap U = \{z \in U \mid \rho(z, \bar{z}) = 0, z = (z_1 = x_1 + iy_1, \dots, z_N = x_N + iy_N)\}$$

et $d\rho$ n'est jamais nulle dans $U$, i.e.

$$\forall p \in U, d\rho(p, \bar{p}) = \left( \frac{\partial \rho}{\partial x_1}(p, \bar{p}), \frac{\partial \rho}{\partial y_1}(p, \bar{p}), \dots, \frac{\partial \rho}{\partial x_N}(p, \bar{p}), \frac{\partial \rho}{\partial y_N}(p, \bar{p}) \right) \neq 0,$$

La fonction $\rho$ est appelée fonction localement définissante de $M$ près de $p_0$. Si la fonction $\rho$ peut être choisie analytique réelle, alors $M$ est appelée analytique réelle.

#### Exemple 1.1.6.

Soit l'hypersurface donnée par l'équation $\mathrm{Im} z_N = 0$. Selon la définition, le voisinage de $p$ est $U = \mathbb{C}^N$ et la fonction $\rho: \mathbb{C}^N \to \mathbb{R}$ est donnée par $\rho(z, \bar{z}) = \rho(z_1, \dots, z_N) = \mathrm{Im} z_N$. Vérifions que la différentielle de la fonction définissante est nulle en aucun point. Avec $z_j = x_j + iy_j, j = 1, \dots, N$. Ainsi, pour tout $p \in M$ :

$$d\rho(p, \bar{p}) = \sum_{j=1}^{N} \left( \frac{\partial \rho}{\partial x_j}(p, \bar{p}) dx_j + \frac{\partial \rho}{\partial y_j}(p, \bar{p}) dy_j \right) = \frac{\partial (\mathrm{Im} z_N)}{\partial y_N}(p, \bar{p}) dy_N = 1 dy_N \neq 0.$$

Cet hyperplan est dit « plat ». Si $N = 2$, alors $M \simeq \mathbb{R}^3$.

#### Exemple 1.1.7.

L'hypersurface de Lewy est donnée par l'équation

$$\mathrm{Im} z_N = \sum_{j=1}^{N-1} |z_j|^2, \quad |z_j|^2 = x_j^2 + y_j^2.$$

Montrons qu'il s'agit bien d'une hypersurface. Prenons donc un $p_0 = (z_1, \dots, z_N) \in M$ (avec le voisinage $U = \mathbb{C}^N$). Nous choisissons

$$\rho: U \to \mathbb{R} \\ z \mapsto \rho(z, \bar{z}) := \mathrm{Im} z_N - \sum_{j=1}^{N-1} |z_j|^2$$
Pour tout $p \in M$, $\rho(p, \bar{p}) = 0$ par définition. Il faut encore que $d\rho$ ne soit nulle en aucun point :

$$
\begin{align*}
d\rho(z, \bar{z}) &= \sum_{j=1}^{N} \left( \frac{\partial \rho_k}{\partial x_j}(z, \bar{z}) dx_j + \frac{\partial \rho_k}{\partial y_j}(z, \bar{z}) dy_j \right) \\
&= \sum_{j=1}^{N-1} \left( \frac{\partial (-x_j^2)}{\partial x_j}(z, \bar{z}) dx_j + \frac{\partial (-y_j^2)}{\partial y_j}(z, \bar{z}) dy_j \right) + 0dx_N + 1dy_N \\
&= -\sum_{j=1}^{N-1} (2x_j dx_j + 2y_j dy_j) + \underbrace{1dy_N}_{\neq 0} \neq 0.
\end{align*}
$$

**Exemple 1.1.8.**

Une autre hypersurface est la sphère

$$
\partial B_N = S_N = \left\{ z \in \mathbb{C}^N \mid \sum_{j=1}^{N} |z_j|^2 = 1 \right\}.
$$

Elle est compacte, car fermée bornée, un voisinage possible est $U = \mathbb{C}^N \setminus \{0\}$, et une
fonction définissante est $\rho(z, \bar{z}) = \sum_{j=1}^N |z_j|^2 - 1$. Comme $\frac{\partial \rho}{\partial x_j} = 2x_j$ (et de même avec les
$y_j$), la dérivée $d\rho \neq 0$ (sauf pour $0 \notin S_N$).

**Remarque 1.1.9.**

L'hypersurface de Lewy, *Lew*, s'avère être holomorphiquement bijective à l'ensemble $S_N\{(0, \dots, 0, 1)\}$. En effet, à l'aide de l'application

$$
\begin{array}{rcl}
H : & S_N\{(0, \dots, 0, 1)\} & \to \text{Lew} \\
    & z & \mapsto H(z) = (H_1(z), \dots, H_N(z)),
\end{array}
$$

où $H_j(z) := \frac{i z_j}{1-z_N}$ pour $j = 1, \dots, N-1$ et $H_N(z) := \frac{i (z_N+1)}{1-z_N}$. Pour un $z \in S_N$, nous avons d'une part,
$$
\begin{align*}
\sum_{j=1}^{N-1} |H_j(z)|^2 &= \sum_{j=1}^{N-1} \left| \frac{iz_j}{1-z_N} \right|^2 = \sum_{j=1}^{N-1} \frac{|iz_j|^2}{|1-z_N|^2} \\
&= \frac{1}{|1-z_N|^2} \sum_{j=1}^{N-1} |z_j|^2 \\
&= \frac{1}{(1-x_N)^2 + (-y_N)^2} (1-|z_N|^2) \\
&= \frac{1}{(1-x_N)^2 + y_N^2} (1-x_N^2 - y_N^2),
\end{align*}
$$

et d'autre part,

$$
\begin{align*}
\operatorname{Im} H_N(z) &= \operatorname{Im} \frac{i(z_N + 1)}{1 - z_N} = \operatorname{Im} \frac{i(x_N + iy_N + 1)}{1 - x_N - iy_N} \\
&= \operatorname{Im} \left( \frac{ix_N - y_N + i}{(1 - x_N) - iy_N} \cdot \frac{(1 - x_N) + iy_N}{(1 - x_N) + iy_N} \right) \\
&= \operatorname{Im} \frac{i x_N - y_N + i - i x_N^2 + x_N y_N - i x_N - x_N y_N - i y_N^2 - y_N}{(1 - x_N)^2 + y_N^2} \\
&= \operatorname{Im} i \frac{1 - x_N^2 - y_N^2}{(1 - x_N)^2 + y_N^2} = \frac{1 - x_N^2 - y_N^2}{(1 - x_N)^2 + y_N^2}.
\end{align*}
$$

Ainsi, $z \in S_N \Leftrightarrow H(z) \in \text{Lew.}$

**Remarques 1.1.10.**

a) Premièrement, pour toute hypersurface $M \subset \mathbb{C}^N$ et pour tout $p_0 \in M$, il existe des coordonnées holomorphes telles que nous pouvons supposer que $p_0 = 0$. En effet, pour ce faire, il suffit de considérer l'application $\text{'} - p_0\text{'} : p \mapsto p - p_0$ définissant de nouvelles coordonnées. Ainsi, $p_0$ est envoyé sur 0 et la nouvelle fonction localement définissante, tenant compte de ce changement, est $\rho' := \rho \circ \text{'} - p_0\text{'}$, qui jette 0 sur 0.

b) Ensuite, nous allons monter que pour toute fonction localement définissante $\rho$, nous pouvons supposer que $\frac{\partial \rho}{\partial x_1}(0) \neq 0$. En effet, comme par hypothèse, et toujours avec la notation $z_j = x_j + iy_j$, $j = 1, \dots, N$,

$$
d\rho(0) = \left( \frac{\partial \rho}{\partial x_1}(0), \frac{\partial \rho}{\partial y_1}(0), \dots, \frac{\partial \rho}{\partial x_N}(0), \frac{\partial \rho}{\partial y_N}(0) \right) \neq 0,
$$
il existe un $k \in \{1, \dots, N\}$ tel que $\frac{\partial \rho}{\partial x_k}(0) \neq 0$ ou $\frac{\partial \rho}{\partial y_k}(0) \neq 0$. Il suffit donc d'effectuer
la permutation holomorphe de coordonnées

$$
\sigma_{1k} : (z_1, z_2, \dots, z_N) \mapsto (z_k, z_2, \dots, z_N),
$$

dans le cas où $\frac{\partial \rho}{\partial x_k}(0) \neq 0$. Dans le cas où $\frac{\partial \rho}{\partial y_k}(0) \neq 0$, nous prendrons comme permutation

$$
\sigma_{1ik} : (z_1, z_2, \dots, z_N) \mapsto (iz_k, z_2, \dots, z_N).
$$

Celle-ci permet en effet d'échanger les parties réelle et imaginaire, au signe près, de
$z_k = x_k + iy_k$, qui deviendra $iz_k = -y_k + ix_k =: z'_1 = x'_1 + iy'_1$.

c) Enfin, nous pourrions établir le fait que dans certaines coordonnées, toute hypersurface peut être décrite par $x'_1 = 0$, ou encore que toutes les fonctions définissantes sont équivalentes. Pour ces deux aspects, le changement de coordonnée n'est pas holomorphe et cela n'est pas intéressant de notre point de vue. Nous ne considérerons effectivement que des invariants biholomorphes.

Nous verrons qu'il s'avère intéressant de décrire une hypersurface avec une équation particulière que nous pourrions appeler « normale ». Voici un exemple de résultat qui va dans ce sens. La démonstration utilise le théorème des fonctions implicites.

**Proposition 1.1.11.** ([2], p.4, proposition 1.1.6)

Soit $M \subset \mathbb{C}^{n+1}$ une hypersurface réelle avec $p_0 \in M$. Alors il existe des coordonnées holomorphes $(z, w) \in \mathbb{C}^{n+1}$ près de $p_0$, s'annulant en $p_0$, avec $z \in \mathbb{C}^n$ et $w = s+it \in \mathbb{C}$ et il existe une fonction continue $\phi : \mathbb{R}^{2n+1} \to \mathbb{R}$ définie près de 0, avec $\phi(0) = 0$, $d\phi(0) = 0$ telle que, près de $p_0$, $M$ est donnée par

$$
\mathrm{Im} w = \phi(z, \bar{z}, \mathrm{Re} w).
$$

**Exemple 1.1.12.**

Soient une hypersurface $M \subset \mathbb{C}^2$ et $p_0 = (1, 0)$ avec

$$
\rho(z, \bar{z}) = 2(z_1 + \bar{z}_1) + i(z_1 - \bar{z}_1) + (z_2 + \bar{z}_2) + |z_1|^2 + |z_2|^2 - 5.
$$
Nous pouvons effectivement facilement vérifier que $\rho(1, 0) = 0$ et que

$$
\begin{align*}
\rho(z, \bar{z}) &= 2x_1 + 2iy_1 + 2x_1 - 2iy_1 + ix_1 - y_1 - ix_1 - y_1 + x_2 + iy_2 \\
&\quad + x_2 - iy_2 + x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 - 5 \\
&= 4x_1 - 2y_1 + 2x_2 + x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 - 5 \\
\Rightarrow \quad d\rho(x_1, x_2, y_1, y_2)|_{(1,0)} &= (4 - 2 + 2 + 2x_1 + 2y_1 + 2x_2 + 2y_2)|_{(1,0)} \\
&= 4 - 2 + 2 + 2 = 6 \neq 0.
\end{align*}
$$

Procédons au changement de variables $z'_1 := z_1 - 1$ et $z'_2 := z_2$. Ainsi,

$$
\begin{align*}
\rho(z, \bar{z}) = \rho'(z', \bar{z}') &= 4(x'_1 + 1) - 2y'_1 + 2x'_2 + (x'_1 + 1)^2 + y'^2_1 + x'^2_2 + y'^2_2 - 5 \\
&= 4x'_1 + 4 - 2y'_1 + 2x'_2 + x'^2_1 + 2x'_1 + 1 + y'^2_1 + x'^2_2 + y'^2_2 - 5 \\
&= 6x'_1 - 2y'_1 + 2x'_2 + x'^2_1 + y'^2_1 + x'^2_2 + y'^2_2 \\
&= 6 \operatorname{Re} z'_1 - 2 \operatorname{Im} z'_1 + 2 \operatorname{Re} z'_2 + |z'_1|^2 + |z'_2|^2 \\
&= \operatorname{Im}(6iz'_1) - \operatorname{Im}(2z'_1) + \operatorname{Im}(2iz'_2) + |z'_1|^2 + |z'_2|^2. \\
&:= \operatorname{Im}(z''_1) + O(2),
\end{align*}
$$

où un second changement de variables $z'_1 := 6iz'_1 - 2z'_1 + 2iz'_2$ et $z''_2 := z'_2$ a été effectué. En appliquant le théorème des fonctions implicites pour résoudre $\rho = 0$ pour $\operatorname{Im} z''_1$, nous obtenons une fonction $\phi$ comme dans la proposition 1.1.11, avec $w = z'_1$ et $z = z''_2$.

1.1.3 Vecteurs holomorphes et antiholomorphes

**Définition 1.1.13.**

Soit $p \in \mathbb{C}^N \simeq \mathbb{R}^{2N}$. L'espace tangent réel de $\mathbb{C}^N$ en $p$ est

$$
T_p \mathbb{C}^N = T_p \mathbb{R}^{2N} = \left\{ X = \sum_{j=1}^{N} \left( a_j \frac{\partial}{\partial x_j} + b_j \frac{\partial}{\partial y_j} \right) \Big|_{p} \mid a_j, b_j \in \mathbb{R} \right\}.
$$

Un vecteur $X \in T_p \mathbb{C}^N$ est dit *tangent à M en p* ∈ *M* si, pour une fonction localement définissante $\rho$ de M en p,
$$ \sum_{j=1}^{N} \left( a_j \frac{\partial \rho}{\partial x_j} + b_j \frac{\partial \rho}{\partial y_j} \right) \Big|_{p} = 0, \qquad (1.1) $$

**Définition 1.1.14.**

L'espace tangent de $M$ en $p$ est l'espace des vecteurs tangents à $M$ en $p$, noté $T_pM$. Les espaces tangents complexifiés, $\mathbb{C}T_p\mathbb{C}^N$ et $\mathbb{C}T_pM$, sont définis de manière similaire en prenant des coefficients $a_j$ et $b_j$ complexes.

**Remarque 1.1.15.**

Pour un $p \in M$,

$$ \dim_{\mathbb{R}} T_p M = \dim_{\mathbb{C}} \mathbb{C}T_p M = 2N - 1 =: \dim_{\mathbb{R}} M. $$

En effet, l'équation (pour une fonction localement définissante $\rho$),

$$ \sum_{j=1}^{N} \left( a_j \frac{\partial \rho}{\partial x_j} + b_j \frac{\partial \rho}{\partial y_j} \right) \Big|_{p} = 0 $$

est équivalente à l'équation

$$ A \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_N \\ b_1 \\ \vdots \\ b_N \end{pmatrix} := \left( \frac{\partial \rho}{\partial x_1} \quad \frac{\partial \rho}{\partial x_2} \quad \cdots \quad \frac{\partial \rho}{\partial y_N} \right) \Big|_p \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_N \\ b_1 \\ \vdots \\ b_N \end{pmatrix} = 0, $$

où $A : \mathbb{R}^{2N} \to \mathbb{R}$ est une application linéaire. En appliquant le théorème du rang, nous obtenons $\dim \mathbb{R}^{2N} = \dim \ker A + \dim \operatorname{Im} A$ ou en d'autres termes,

$$ 2N = \dim T_p M + \dim \operatorname{Im} A. $$

De plus, le rang de $A$ est triviallement de 1, $\dim \operatorname{Im} A = 1$, ce qui prouve l'affirmation.
**Définition 1.1.16.**

Les applications $p \mapsto T_pM$ et $p \mapsto \mathbb{C}T_pM$ définissent respectivement le *fibré tangent* $TM$ et le *fibré tangent complexifié* $\mathbb{C}TM$, pour lesquels $T_pM$ et $\mathbb{C}T_pM$ sont les *fibres* respectives.

**Remarque 1.1.17.**

Rappelons les notations usuelles

$$ \frac{\partial}{\partial z_j} := \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x_j} - i \frac{\partial}{\partial y_j} \right) \quad \text{et} \quad \frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} := \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x_j} + i \frac{\partial}{\partial y_j} \right), $$

pour $j = 1, \dots, N$. Elles permettent effectivement de calculer que, pour tout $j = 1, \dots, N$,

$$ \frac{\partial z_j}{\partial z_j} = 1, \quad \frac{\partial \bar{z}_j}{\partial \bar{z}_j} = 0, \quad \frac{\partial \bar{z}_j}{\partial z_j} = 0, \quad \text{et} \quad \frac{\partial \bar{z}_j}{\partial \bar{z}_j} = 1. $$

Avec ces notations et à l'aide d'un changement de variables $\mathbb{C}$-linéaire, tout vecteur $X \in \mathbb{C}T_p\mathbb{C}^N$ peut s'écrire, avec des $a_j, b_j \in \mathbb{C}$,

$$ X = \sum_{j=1}^{N} \left( a_j \frac{\partial}{\partial z_j} + b_j \frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} \right) \Bigg|_{p} . \qquad (1.2) $$

En effet, toujours pour $j = 1, \dots, N$, par définition de $\frac{\partial}{\partial z_j}$ et $\frac{\partial}{\partial \bar{z}_j}$, nous avons

$$ \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x_j} &= 2\frac{\partial}{\partial z_j} + i\frac{\partial}{\partial y_j} = 2\frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} - i\frac{\partial}{\partial y_j} \\ \frac{\partial}{\partial y_j} &= 2i\frac{\partial}{\partial z_j} - i\frac{\partial}{\partial x_j} = -2i\frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} + i\frac{\partial}{\partial x_j}, \end{aligned} $$

donc, par substitution,

$$ \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x_j} &= 2\frac{\partial}{\partial z_j} + i\left(-2i\frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} + i\frac{\partial}{\partial x_j}\right) \\ \frac{\partial}{\partial y_j} &= 2i\frac{\partial}{\partial z_j} - i\left(2\frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} - i\frac{\partial}{\partial y_j}\right), \end{aligned} $$

système équivalent à
$$ 
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial x_j} &= \frac{\partial}{\partial z_j} + \frac{\partial}{\partial \overline{z_j}} \\
\frac{\partial}{\partial y_j} &= i \frac{\partial}{\partial z_j} - i \frac{\partial}{\partial \overline{z_j}}.
\end{aligned}
 $$

De la sorte, tout vecteur $X \in \mathbb{C}T_p\mathbb{C}^N$, décrit par (1.1), avec $a_j, b_j \in \mathbb{C}$, peut effectivement être réécrit comme (1.2), avec d'autres $a_j, b_j \in \mathbb{C}$.

**Définition 1.1.18.**

Un vecteur $X \in \mathbb{C}T_p\mathbb{C}^N$ est dit *holomorphe* si, pour tout $j = 1, \dots, N$, $b_j = 0$ dans la notation précédente, (1.2). Le vecteur est dit *antiholomorphe* si les $a_j = 0$.

**Remarque 1.1.19.**

La précédente définition est indépendante du choix des coordonnées holomorphes. En effet, si nous considérons le cas d'un vecteur holomorphe $X = \sum_{j=1}^N a_j \frac{\partial}{\partial z_j}$ avec un changement de coordonnées holomorphe $z \mapsto z'$, la règle de la chaîne implique que pour tout $j = 1, \dots, N$,

$$ \frac{\partial}{\partial z_j} \mapsto \frac{\partial}{\partial z'_j} \cdot \frac{\partial z'_j}{\partial z_j}, $$

qui est holomorphe (les $z'_j$ étant holomorphes).

**Définition 1.1.20.**

L'espace des vecteurs holomorphes est noté $T_p^{1,0}\mathbb{C}^N$ et celui des vecteurs antiholomorphes est noté $T_p^{0,1}\mathbb{C}^N$. L'espace des vecteurs holomorphes tangents à $p$ est

$$ \overline{V}_p := T_p^{1,0} \cap \mathbb{C}T_p M, $$

et celui des vecteurs antiholomorphes tangents à $p$ est

$$ V_p := T_p^{0,1} \cap \mathbb{C}T_p M. $$
**Remarque 1.1.21.**

Avec les précédentes définitions et en prenant une fonction localement définissante $\rho$,

$$ \dim_{\mathbb{C}} V_p = N - 1. $$

En effet, les vecteurs de $V_p$ sont caractérisés pas des $b := (b_1, \dots, b_N)$, et satisfont l'équation

$$ \sum_{j=1}^{N} b_j \frac{\partial \rho}{\partial \bar{z}_j} \Big|_{p} = 0, $$

c'est-à-dire, sous forme matricielle,

$$ A \cdot b := \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial \rho}{\partial \bar{z}_1} & \cdots & \frac{\partial \rho}{\partial \bar{z}_N} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_N \end{array} \right) = 0, $$

avec l'application linéaire $A : \mathbb{C}^N \to \mathbb{C}$ sur laquelle nous appliquons le théorème du rang :

$$ \dim \mathbb{C}^N = \dim \ker A + \dim \operatorname{Im} A, \quad \text{donc} \quad N = \dim V_p + \operatorname{rank} A, $$

avec rank $A = 1$ évidemment.

## 1.1.4 Sous-variétés CR et champs vectoriels CR

**Définition 1.1.22.**

Une sous-variété réelle<fnref n="4" /> $M \subset \mathbb{C}^N$ est une sous-variété CR si $\dim_{\mathbb{C}} V_p$ est constante par rapport à $p \in M$, cette constante étant appelée la *CR-dimension de M*. Le fibré complexe $V \subset \mathbb{C}TM$ est appelé le *fibré CR de M* et le fibré réel $T^cM \subset TM$ est le *fibré complexe de M*.

**Remarque 1.1.23.**

Dans ce travail, ce sont les hypersurfaces qui nous intéressent. Toute hypersurface est une sous-variété CR. En effet, nous avons vu que $\dim_{\mathbb{C}} M = N - 1$, évidemment constante. La définition précédente reste importante pour généraliser le cas d'une hypersurface à

<footnote n="4">4. Nous rappelons qu'une sous-variété réelle est définie comme une hypersurface (cf. définition 1.1.5, p.3), mais avec, au lieu de $\rho$, une application $\rho = (\rho_1, \dots, \rho_d)$ avec $d\rho_1, \dots, d\rho_d$ linéairement indépendants. Nous notons que $d$ est appelé la codimension et elle vaut un pour une hypersurface. Cf. [2], p.6.</footnote>
une sous-variété réelle $M$ de dimension plus petite. Dans ce cas $^5$, effectivement, $\dim_{\mathbb{C}} V_p$ n'est pas forcément constante par rapport à $p \in M$.

**Rappel 1.1.24.**

Pour une fonction réelle $f$ définie sur un ouvert $U \subset \mathbb{C}^N$,

$$ 
\begin{align*} 
df(p) &= \partial f(p) + \bar{\partial} f(p) = \sum_{j=1}^{N} \left( \frac{\partial f}{\partial z_j}(p, \bar{p}) dz_j + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}_j}(p, \bar{p}) d\bar{z}_j \right) \\ 
&= \sum_{j=1}^{N} \left( \frac{1}{2} \left( \frac{\partial f}{\partial x_j}(p) - i \frac{\partial f}{\partial y_j}(p) \right) (dx_j + idy_j) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial f}{\partial x_j}(p) + i \frac{\partial f}{\partial y_j}(p) \right) (dx_j - idy_j) \right) \\ 
&= \sum_{j=1}^{N} \left( \frac{\partial f}{\partial x_j}(p) dx_j + \frac{\partial f}{\partial y_j}(p) dy_j \right). 
\end{align*} 
$$

**Définition 1.1.25.**

Soit un ouvert $U \subset \mathbb{C}^N$. Alors un champ vectoriel complexe $C^\infty$ sur $U$ est une application continue

$$ 
\begin{array}{rcl} 
X: & U & \to \mathbb{C}T_p\mathbb{C}^N \\ 
& p & \mapsto X_p. 
\end{array} 
$$

Nous écrivons donc, avec des fonctions complexes continues $a_k, b_k$ définies sur $U$,

$$ X = \sum_{k=1}^{N} \left( a_k(z, \bar{z}) \frac{\partial}{\partial z_k} + b_k(z, \bar{z}) \frac{\partial}{\partial \bar{z}_k} \right). $$

**Définition 1.1.26.**

De manière similaire, pour $M \subset \mathbb{C}^N$ une hypersurface, un champ vectoriel sur $M$ est une application continue $C^\infty$

$$ 
\begin{array}{rcl} 
X: & M & \to \mathbb{C}T_pM \\ 
& p & \mapsto X_p, 
\end{array} 
$$

et nous écrivons

$$ X = \sum_{k=1}^{N} \left( a_k(p) \frac{\partial}{\partial z_k} + b_k(p) \frac{\partial}{\partial \bar{z}_k} \right), $$

où $a_k$ et $b_k$ sont des fonctions complexes continues définies sur $M$ qui satisfont, pour

<footnote n="5">5. Cf. [2], p.9, définition 1.3.1 et exemple.</footnote>
toute fonction localement définissante $\rho$,

$$ \sum_{j=1}^{N} \left( a_k(p) \frac{\partial \rho}{\partial z_j}(p) + b_k(p) \frac{\partial \rho}{\partial \bar{z}_j}(p) \right) = 0. $$

**Remarques 1.1.27.**

a) Un champ vectoriel $X$ sur $M$ est une section continue de $M$ sur le fibré $\mathring{CTM}$ : $X \in \Gamma(M, \mathring{CTM})$.

b) Pour $C^k(M)$, l'ensemble des fonctions complexes $k$-fois continument différentiables sur $M$ et pour un champ $X$ sur $M$,

$$ X: C^k(M) \to C^{k-1}(M) \\ f \mapsto Xf. $$

c) Nous nous intéresserons^6 à de tels champs vectoriels, avec des coefficients holomorphes : les automorphismes infinitésimaux réels analytiques CR.

**Définition 1.1.28.**

Soit $M$ une sous-variété CR et $V$ son fibré CR. Un champ vectoriel $L$ sur $M$ est un champ vectoriel CR sur $M$. si, pour tout $p \in M$, $L_p \in V_p$. Nous pouvons donc noter

$$ L = \sum_{j=1}^{N} c_j(p) \frac{\partial}{\partial \bar{z}_j}, $$

où les $c_j$ sont des fonctions continues définies sur $M$ avec

$$ \sum_{j=1}^{N} c_j(p) \frac{\partial \rho}{\partial \bar{z}_j}(p) = 0, $$

pour une fonction localement définissante $\rho$.

**Remarques 1.1.29.**

a) Un champ vectoriel CR $L$ peut être vu comme une section continue sur $M$ du fibré $V : L \in \Gamma(M, V)$.

<footnote n="6">6. Cf. définition 2.1.4, p.27.</footnote>
b) Soit $h$ une fonction holomorphe définie sur un voisinage ouvert d'une sous-variété CR $M$ et sa restriction à $M$, $f := h|_M$. Alors pour tout champ vectoriel CR $L$ sur $M$, $Lf = 0$.

En effet, $h$ étant holomorphe, $\frac{\partial h}{\partial \bar{z}_j} = 0$ et donc toute combinaison linéaire des $\frac{\partial h}{\partial \bar{z}_j} = 0$.

Ainsi, chaque combinaison linéaire des $\frac{\partial}{\partial \bar{z}_j}$ tangente à $M$ annule $f$.

**Définition 1.1.30.**

Soit $M$ une sous-variété CR de CR-dimension $n$, avec $p_0 \in M$. Un ensemble de $n$ champs vectoriels CR $L_1, \dots, L_n$ est une base locale du champ vectoriel CR sur $M$ près de $p_0$ si chaque $L_j$ est défini sur un voisinage $U$ de $p_0$ et en tout point $p \in M$, les $L_j$ sont linéairement indépendants.

**Remarque 1.1.31.**

Pour chaque base locale $L_1, \dots, L_n$, tout champ vectoriel CR $L$ s'écrit de manière unique, dans un voisinage de $p_0$, comme

$$L = \sum_{j=1}^{n} c_j(p) L_j$$

où les $c_j$ sont des fonctions continues de $p$ définies près de $p_0 \in M$.

## 1.1.5 Hypersurface de type fini

**Définition 1.1.32.**

Soient $X$ et $Y$ des champs vectoriels complexes définis sur une variété $M$, i.e. $X, Y \in \Gamma(M, \mathring{C}TM)$. Nous dénotons par $[X, Y]$ le commutateur de $X$ et $Y$, défini par

$$[X, Y] f(p) := X(Yf)(p) - Y(Xf)(p),$$

pour toute fonction continue $f$ définie sur $M$. Ce commutateur est également un champ vectoriel complexe. Pour un ensemble de champs vectoriels $X_1, \dots, X_k$, un commutateur itéré est, pour des indices $1 \le i_r \le k$,

$$[X_{i_1}, [X_{i_2}, \dots, [X_{i_{j-1}}, X_{i_j}] \dots]].$$

Un tel commutateur sera dit de longueur $j$, et $[X, Y]$ de longueur 2.
**Remarque 1.1.33.**

Si $X$ et $Y$ sont des champs vectoriels réels, i.e. $X, Y \in \Gamma(M, TM)$, alors $[X, Y]$ est égale-
ment un champ vectoriel réel.

**Rappel 1.1.34.**

Rappelons que pour une sous-variété CR $M \subset \mathbb{C}^N$, $T^c M \subset TM$ et, pour tout $p \in M$,

$$
\dim_{\mathbb{R}} T_p^c M = 2CR \dim M \leq \dim_{\mathbb{R}} M.
$$

**Définition 1.1.35.**

Soit $M \subset \mathbb{C}^N$ une sous-variété CR et $p_0 \in M$. $M$ est dit de type fini (au sens de Kohn et Bloom-Graham) au point $p_0$ s'il existe $X_1, \dots, X_k \in \Gamma(M, T^c M)$ des champs vectoriels continus tels que $X_1, \dots, X_k$ et leurs commutateurs de toutes les longueurs engendrent l'espace tangent de $M$ en $p_0$, $T_{p_0} M$.

**Remarques 1.1.36.**

a) Une sous-variété CR, $M$, est de type fini en $p_0$ si et seulement s'il existe $L_1, \dots, L_j$
des champs vectoriels CR sur $M$ tels que $L_1, \dots, L_j, \overline{L_1}, \dots, \overline{L_j}$ et leurs commutateurs
de toutes les longueurs engendrent l'espace tangent complexifié de $M$ en $p_0$, $\mathcal{C}T_{p_0}M$.
En effet, comme $X_j|_{p_0} \in T_p^c M = \text{Re } V_p$, il existe un $L_j \in V_p$ tel que $X_j|_{p_0} = \text{Re } L_j|_{p_0} \in T_p^c M$.
Or, les $X_j|_{p_0} = \text{Re } L_j|_{p_0} \in T_p^c M$ ainsi que leurs commutateurs engendrent $T_p M$.
Ainsi $^7$, les $L_j|_{p_0} \in V_p$ et les $\overline{L_k}|_{p_0} \in \overline{V_p}$ sont dans $\mathcal{C}T_p^c M = V_p \oplus \overline{V_p}$ et engendrent, avec
leurs commutateurs, $\mathcal{C}T_p M$.

b) En plus de $M$, une sous-variété CR et $p_0 \in M$, considérons $^8 L_1, \dots, L_n$, une base locale des champs vectoriels CR dans un voisinage de $p_0$.

Alors $M$ est de type fini en $p_0 \Leftrightarrow$ les champs vectoriels $L_1, \dots, L_n, \overline{L_1}, \dots, \overline{L_n}$ et leurs commutateurs de toutes les longueurs engendrent $\mathcal{C}TM$, en $p_0$, ce qui suit clairement de la précédente remarque.

**Cas particulier 1.1.37.**

Si $M$ est une hypersurface dans $\mathbb{C}^{n+1}$, les $L_1, \dots, L_n, \overline{L_1}, \dots, \overline{L_n}$ engendrent un espace de
dimension $2n$, ($\mathcal{C}T_{p_0}^c M = V_{p_0} \oplus \overline{V_{p_0}}$). Comme $M$ est de dimension $2n+1$, nous avons donc
que $M$ est de type fini en $p_0 \Leftrightarrow$ les commutateurs de $L_1, \dots, L_n, \overline{L_1}, \dots, \overline{L_n}$ engendrent
une nouvelle direction, n'étant pas dans $\mathcal{C}T_{p_0}^c M$, appelée la *direction manquante*.

<footnote n="7">7. Cf. [18], p.179, pour une autre approche.</footnote>

<footnote n="8">8. Cf. définition 1.1.30, p.14.</footnote>
**Définition 1.1.38.**

Soient $M \subset \mathbb{C}^{n+1}$ une hypersurface de type fini en $p_0$ et $L_1, \dots, L_n$ une base locale des champs vectoriels CR dans un voisinage de $p_0$. La longueur minimale d'un commutateur des $L_1, \dots, L_n, \overline{L_1}, \dots, \overline{L_n}$ qui, en $p_0$, n'est pas dans $\mathbb{C}T_{p_0}^c M$, est le type de $M$ en $p_0$.

**Remarque 1.1.39.**

Le type d'une hypersurface est indépendant du choix de la base locale des champs vectoriels CR et est donc un invariant par rapport à un changement holomorphe de coordonnées. Cela est clairement visible en effectuant des calculs de commutateurs, chaque $\frac{\partial}{\partial z_k}$ apparaissant une fois.

**Exemple 1.1.40.**

Soit $M = \{z \in \mathbb{C}^N \mid \mathrm{Im} \, z_N = 0\}$. Alors $T^c M$ est engendré, en tout point, par

$$ \frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial y_1}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_{N-1}}, \frac{\partial}{\partial y_{N-1}}. $$

Donc $\Gamma(M, T^c M)$ est fermé sous l'opération du commutateur. Il n'existe pas de point de type fini dans $M$, car la direction $\frac{\partial}{\partial x_N}$ est manquante en tout point.

**Exemple 1.1.41.**

Soit l'hypersurface de Lewy $M = Lew = \{z \in \mathbb{C}^N \mid \mathrm{Im} \, z_N = \sum_{j=1}^{N-1} |z_j|^2\}$ qui est holomorpiquement bijectif à $S_N\{0, \dots, 0, 1\}$. Comme

$$ T_pLew = \left\{ \sum_{j=1}^{N} \left( a_j \frac{\partial}{\partial z_j} + b_j \frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} \right) \Bigg|_{p} \left| \sum_{j=1}^{N-1} (a_j \overline{z_j} + b_j \bar{z}_j) - \frac{1}{2i} a_N + \frac{1}{2i} b_N = 0 \right\} $$

est de dimension impaire $2N - 1$, $T_pLew \neq T_p^cLew$. Plus précisément,

$$ T_p^cLew = V_p \oplus \overline{V_p} = \left\{ \sum_{j=1}^{N} \left( a_j \frac{\partial}{\partial z_j} + b_j \frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} \right) \Bigg|_{p} \left| a_N = b_N = 0 \right\} \subset T_pLew, $$

étant de dimension $2N - 2$.
Concernant les champs vectoriels CR, qui sont de la forme $L = \sum_{j=1}^{N} c_j(\cdot) \frac{\partial}{\partial \bar{z}_j}$ avec la condition $\sum_{j=1}^{N-1} c_j(\cdot) \frac{\partial}{\partial \bar{z}_j}|_p - \frac{i}{2} c_N(p) = 0$, une base CR est formée des

$$L_j = \frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} - 2iz_j \frac{\partial}{\partial \bar{z}_N},$$

où $1 \le j \le N - 1$. De même, toujours pour $1 \le j \le N - 1$, les $\overline{L}_j = \frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} + 2i \overline{z}_j \frac{\partial}{\partial \bar{z}_N}$ forment une base de $\Gamma(M, \overline{V})$. Ainsi, les $L_j$ et les $\overline{L}_j$ forment une base de $\Gamma(M, T^c M)$. Nous pouvons alors calculer la direction manquante

$$[L_1, \overline{L}_1] = 2i \left( \frac{\partial}{\partial z_N} + \frac{\partial}{\partial \bar{z}_N} \right) = 2i \frac{\partial}{\partial x_N},$$

qui, effectivement, ne peut être engendrée par les $L_j$ et les $\overline{L}_j$ et qui remplit le critère $[L_1, \overline{L}_1]|_{\rho(\cdot)} = 0$. Cela étant vrai pour tout $p \in Lew$, l'hypersurface de Lewy est de type 2 en tout point.

En revenant aux espaces vectoriels, nous pouvons considérer les bases, au point $p \in Lew$,

$$ \begin{gathered} \frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial y_1}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_{N-1}}, \frac{\partial}{\partial y_{N-1}} \quad \text{de } T_p^c Lew, \text{ et} \\ \frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial y_1}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_{N-1}}, \frac{\partial}{\partial y_{N-1}}, \frac{\partial}{\partial x_N} \quad \text{de } T_p Lew, \end{gathered} $$

avec la direction manquante en plus, les deux espaces vectoriels étant respectivement de dimensions $2N - 2$ et $2N - 1$.

### Exemple 1.1.42.

La sous-variété $M = \{z \in \mathbb{C}^3 \mid \operatorname{Im} z_2 = |z_1|^2, \operatorname{Im} z_3 = |z_1|^4\}$ est de type fini en tout point. En effet, nous pouvons calculer que deux directions manquantes sont obtenues par des commutateurs de longueur 2 et 4.

### Remarques 1.1.43.

a) Pour une hypersurface, au lieu de $N$, nous considérons $n = N - 1$ et $z_1, \dots, z_n, w$. Selon un réarrangement approprié de la base, la notation usuelle considère et note $\frac{\partial}{\partial \operatorname{Re} w}$ comme la direction manquante.

b) Les exemples ci-avant proposent des sous-variétés décrites à l'aide de polynômes. Nous verrons<fnref n="9" /> que les hypersurfaces polynomiales homogènes, dite modèle, sans

<footnote n="9">9. Cf. définition 2.2.1, p.40.</footnote>
termes pluriharmoniques, nous intéresserons. Dans ce cas, si nous considérons un polynôme $P$ de degré $m$, alors l'hypersurface est de type fini avec $m$ le type. En effet, si nous considérons une hypersurface $M$ polynomiale et homogène de degré $m$ dans $\mathbb{C}^{n+1}$, et à la lumière de l'exemple de l'hypersurface de Lewy, nous observons qu'un commutateur de longueur $m$ sera nécessaire pour supprimer les $n$ premières variables sur l'hypersurface. Un choix judicieux des champs vectoriels CR de base engendrera la direction manquante.

c) Nous pouvons noter que $[V, \bar{V}] \subset V$, c'est-à-dire que le commutateur de deux champs vectoriels CR est un champ CR. En effet, nous pouvons calculer directement d'une part que le commutateur de deux champs complexes continus et tangents à $M$ est tangent à $M$, et que, d'autre part, le commutateur de champs antiholomorphes est antiholomorphe.

# 1.2 Problématique

## 1.2.1 Point historique

Le but est de décrire les automorphismes, $h \in \text{Aut}(M, p)$, de sous-variétés $M$ de $\mathbb{C}^N$, et en particulier d'hypersurfaces de $\mathbb{C}^{n+1}$.

Un automorphisme est un biholomorphisme allant de la sous-variété $M$ sur elle-même et fixant $p$. Cette notion a été proposée par Poincaré <fnref n="10" />, dans le cadre de la boule unité de $\mathbb{C}^2$. Plusieurs résultats existent déjà, notamment lorsque $M$ est Levi non dégénérée <fnref n="11" />. Poincaré, E. Cartan <fnref n="12" />, Tanaka <fnref n="13" />, Chern et Moser <fnref n="14" /> ou encore Vitushkin <fnref n="15" /> ont notamment étudié ce cas pour lequel les symétries <fnref n="16" /> sont très rares. Notons que le cas des hyperquadriques aura été le point de départ de cette démarche <fnref n="17" />.

<footnote n="10">10. Cf. [66].</footnote>

<footnote n="11">11. Cf. définition 2.1.22, p.36, pour la définition.</footnote>

<footnote n="12">12. Cf. [19].</footnote>

<footnote n="13">13. Cf. [72] ou [73].</footnote>

<footnote n="14">14. Cf. [25].</footnote>

<footnote n="15">15. Cf. [75].</footnote>

<footnote n="16">16. Nous entendons par symétrie un champ vectoriel CR ou plus précisément un automorphisme infinitésimal réel analytique CR, cf. plus loin.</footnote>

<footnote n="17">17. Cf. [4], [38], [60], [74], [76] ou [79].</footnote>
Une question est donc de savoir s'il est possible de caractériser les automorphismes d'une variété avec un nombre fini de dérivées partielles. En géométrie différentielle riemannienne, nous savons que toute isométrie est déterminée uniquement par ses dérivées d'ordre au plus un (en un point fixe). En analyse complexe à plusieurs variables, des résultats similaires sont proposés par H. Cartan avec ses théorèmes d'unicités<fnref n="18" /> : entre autres, tout automorphisme d'un domaine borné de $\mathbb{C}^N$ est déterminé par ses dérivées partielles d'ordre au plus un (en un point fixe). Des résultats similaires existent dans le cadre de sous-variétés Levi non dégénérées<fnref n="19" /> : les automorphismes sont uniquement déterminés par leurs dérivées partielles d'ordre deux au plus.

Dans ce cas, nous prenons donc une variété dans $M \subset \mathbb{C}^N$ sur lesquelles les automorphismes vont nous intéresser, $h \in \text{Aut}(M, p)$. Le groupe de stabilité de $M$ est $\text{Aut}(M, p)$ et il s'agit donc de l'ensemble des automorphismes ou biholomorphismes fixant un point. D'ailleurs, $\text{Aut}(M, p)$ est un invariant fondamental d'une variété. L'équation définissant la variété, dans laquelle intervient un polynôme $P$, après transformation par l'automorphisme $h \in \text{Aut}(M, p)$ et à l'aide du développement de Taylor, nous amènera à une caractérisation technique sous forme de champ vectoriel : l'opérateur de Chern-Moser. Cet opérateur a un noyau qui est donc un invariant CR de la variété, sans doute le plus important. En effet, l'opérateur de Chern-Moser est un puissant outil algébrique pour comprendre la géométrie CR locale de variétés Levi non dégénérées.

Nous nous intéressons au cas Levi dégénéré. Des résultats similaires sont impossibles<sup>20</sup> pour une sous-variété *M* de *C*<sup>*N*</sup>. Bien que la question de généraliser cet outil au cas Levi dégénéré ait longtemps été ouverte<sup>21</sup>, ce cas a été approfondi par Kohn<sup>22</sup> et il a conduit à des avancées notables en analyse comme en géométrie<sup>23</sup>.

L'extension de cette théorie est donc possible dans le cadre naturel du cas Levi dégénéré, mais les adaptations sont les suivantes : il n'est plus possible de décrire concrètement $\text{Aut}(M_g)$ pour une variété générale $M_g$. Nous pouvons toutefois stipuler le nombre de dérivées partielles nécessaires pour déterminer de manière unique $\text{Aut}(M_g, p)$. En

<footnote n="18">18. Cf. [68], pp.23-24, théorèmes 2.1.1 et 2.1.2. Cf. [20].</footnote>

<footnote n="19">19. Cf. [19], [72] ou [25].</footnote>

<footnote n="20">20. L'hypersurface « plate » de Levi, dans $\mathbb{C}^2$, décrite par $\text{Im } w = 0$ contient des automorphismes $h(z, w) = (z + f(w), w)$ qui ne sont pas déterminés par ses dérivées partielles d'un quelconque ordre.</footnote>

<footnote n="21">21. Cf. [2], [5], [26], [27], [29], [31], [37] ou [76].</footnote>

<footnote n="22">22. Cf. [43] ou [44], dans le contexte de la régularité au bord de l'opérateur $\bar{\partial}$.</footnote>

<footnote n="23">23. Cf. [2], [29] ou [78].</footnote>
outre, il est possible de caractériser Aut($M$, $p$), le groupe de stabilité de la variété modèle : $M$ est associée à $M_g$ dans le sens que son équation définissante reprend les premiers termes du développement de Taylor de celle qui définit $M_g$. L'opérateur de Chern-Moser nous amène à considérer, au lieu des automorphismes de $M_g$, l'ensemble des symétries, $g = hol(M, p)$, ou des automorphismes infinitésimaux réels analytiques CR de $M$.

Nous ajoutons que notre variété est généralement supposée de type fini (dans le sens de Kohn et Bloom-Graham) <fnref n="24" />. Ce type est un invariant CR, à cause des degrés pondérés, qui sont essentiels pour appliquer la théorie de Chern-Moser.

En résumé, il s'agit d'adapter le contexte de la détermination de dérivées partielles (les « jets », avec les techniques de Chern-Moser) à la classe des variétés de type fini. Cela peut être considéré comme une étape ayant pour but une approche plus générale, qui permet de comprendre le problème de la détermination des dérivées partielles ainsi que le groupe de stabilité de variétés ou d'hypersurfaces <fnref n="25" />.

### 1.2.2 Notre sujet

Dans ce travail, nous nous restreignons à des hypersurfaces réelles de $\mathbb{C}^{n+1}$. Nous les supposons Levi dégénérées, holomorphiquement non dégénérées <fnref n="26" /> et de type fini.

Les champs vectoriels, ou symétries, ou plutôt ces automorphismes infinitésimaux analytiques réels CR, sont classables (selon leurs degrés pondérés) et il y en a un nombre fini (des rigides, qui sont intégrables quelques fois au plus <fnref n="27" />).

L'hypersurface homogène et modèle est décrite par

$$ \mathrm{Im} w = \mathcal{P}(z, \bar{z}). $$

<footnote n="24">24. Cf. définition 1.1.35, p.15, et [17].</footnote>

<footnote n="25">25. À propos des dérivées partielles et d'un procédé standard similaire, cf. [33]. Cf. [2], pp.377-378.</footnote>

<footnote n="26">26. Sinon la dimension du groupe des symétries est infinie, cf. [71] et remarque 2.1.24, p.36. Cf. section 2.1.3, p.36, pour les définitions.</footnote>

<footnote n="27">27. Cf. section 2.1.4, p.37.</footnote>
Par rapport à ce polynôme $\mathcal{P}$, nous pouvons supposer qu'il s'exprime comme combinai-
son de plusieurs polynômes $^{28}$. Dans $\mathbb{C}^3$, le cas

$$
\mathcal{P} = P\overline{Q} + Q\overline{P}
$$

a déjà été traité <fnref n="29" /> (toujours pour décrire les automorphismes de l'hypersurface). Il s'agit
du problème PQ.

Pour généraliser ce résultat, nous nous plongeons dans $\mathbb{C}^4$ et étudions l'hypersurface
lorsque

$$
\mathcal{P} = P\overline{Q} + Q\overline{P} + RR,
$$

que nous appelons problème *PQR*. Un cas particulier du problème *PQR* est le cas dé-
couplé, avec d'une part *P* et *Q* qui dépendent de deux variables et d'autre part *R* qui
dépend de la troisième uniquement (la quatrième variable étant réservée afin de lui ôter
une dimension réelle).

1.3 Résultats principaux

Ce travail est organisé comme suit : le premier chapitre pose les bases de l'analyse
complexe qui nous intéresse; le deuxième chapitre donne l'idée principale de travail,
ainsi que les outils complets, pour aborder et comprendre la démarche <fnref n="30" /> ; le troisième
chapitre concerne la cas connu du problème PQ avec quelques précisions importantes ;
et, le quatrième et dernier chapitre expose les nouveaux résultats à propos du problème
PQR.

Les résultats importants et nouveaux de ce travail sont au nombre de six et concernent
les problèmes *PQ* et *PQR*. Nous les présentons.

Premièrement, un apport considérable a été apporté pour préciser un résultat du
problème *PQ*. Il s’agit du lemme 3.3, p.259 de [49]. La preuve, qui comportait des
lacunes, a été largement complétée pour aboutir au résultat suivant.

<footnote n="28">28. Cf. proposition 2.2.2, p.40, par rapport au nombre de polynômes en fonction de la dimension de l'hypersurface.</footnote>

<footnote n="29">29. Cf. [49].</footnote>

<footnote n="30">30. Il s’agit d’un condensé des résultats de [55].</footnote>
**Lemme 3.2.13 (p.68)**

Soit une hypersurface de type PQ, monomiale, holomorphiquement non dégénérée et
dans $\mathbb{C}^3$.

Alors toute rotation $X \in \mathfrak{g}_0$ peut être décomposée en une rotation purement diagonale, $X_1 \in \mathfrak{g}_0^{\text{Re}} \oplus \mathfrak{g}_0^{\text{Im}}$, et une rotation sans diagonale qui elle, est nilpotente, $X_2 \in \mathfrak{g}_0^{\text{Nil.}}$ :

$$X = X_1 + X_2.$$

Deuxièmement, ce dernier résultat a été généralisé pour le modèle PQR, ce qui a été
une tâche considérable et totalement nouvelle.

**Théorème 4.3.1 (p.111)**

Soit une hypersurface de type PQR, monomiale, holomorphiquement non dégénérée et
dans $\mathbb{C}^4$.

Alors toute rotation $X \in \mathfrak{g}_0$ peut être décomposée en une rotation purement diagonale, $D = D_{\text{Re}} + D_{\text{Im}} \in \mathfrak{g}_0^{\text{Re}} \oplus \mathfrak{g}_0^{\text{Im}}$, et en au plus deux rotations nilpotentes, $N_1 + N_2 \in \mathfrak{g}_0^{\text{Nil.}}$ :

$$X = D + N = D_{\text{Re}} + D_{\text{Im}} + N_1 + N_2.$$

De plus, dans ce cas monomial,

$$\dim_{\mathbb{R}} \mathfrak{g}_0^{\text{Nil.}} \in \{0; 1; 2; 3\}.$$

Troisièmement, nous pouvons citer un résultat technique qui, dans ce travail, s'avère
être détaillé et présenté de manière complète pour la première fois : un critère pour vé-
rifier le fait qu'une hypersurface polynomiale soit holomorphiquement non dégénérée.
**Lemme 4.1.8 (p.90)**

Soit M une hypersurface monomiale de type PQR, dans $\mathbb{C}^4$, décrite par

$$ \mathrm{Im} w = P\bar{Q} + Q\bar{P} + R\bar{R}, $$

où $P = z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3}$, $Q = z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3}$ et $R = z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3}$. Alors M est holomorphiquement non dégénérée si et seulement si

$$ \begin{vmatrix} \alpha_1 & \beta_1 & \gamma_1 \\ \alpha_2 & \beta_2 & \gamma_2 \\ \alpha_3 & \beta_3 & \gamma_3 \end{vmatrix} \neq 0. $$

Les résultats suivants, dans $\mathbb{C}^4$, exposent les possibilités concernant la dimension des automorphismes infinitésimaux analytiques réels CR. Ainsi, ils synthétisent chacun plusieurs résultats en un seul. Le quatrième résultat important et nouveau de ce travail concerne un cas modèle.

**Théorème 4.1.6 (p.89)**

Si $\ell > 1$ et si M est une hypersurface de $\mathbb{C}^4$ monomiale, holomorphiquement non dégénérée et donnée par l'équation

$$ \mathrm{Im} w = z_1 \bar{z}_2^\ell + z_2 \bar{z}_1^\ell + R \bar{R}, $$

avec R un monôme dépendant de $z_3$, alors $\dim g \in \{6; 11; 12\}$. De plus,

$$ \dim g = 12 \Leftrightarrow \text{M est biholomorphe à une hypersurface avec } R = z_2^{\frac{\ell-1}{2}} z_3, $$

$$ \dim g = 11 \Leftrightarrow \text{M est dans les autres cas, mais avec avec } R_{z_1} = 0, $$

$$ \dim g = 6 \Leftrightarrow \text{M est dans les autres cas.} $$

Cinquièmement, il y a le cas découplé du problème PQR, c'est-à-dire que P et Q ne dépendent que de $z_1$ et $z_2$ et R ne dépend que de $z_3$.
**Théorème 4.2.11** (p.109)

Soit $M$ une hypersurface de type PQR, découplée, holomorphiquement non dégénérée et dans $\mathbb{C}^4$. Alors $\dim g \in \{2; 3; 4; 5; 6; 11\}$. Plus précisément,

$$ \dim g = 11 \Leftrightarrow \text{M est biholomorphe à Im } w = z_1\bar{z}_2^\ell + z_2\bar{z}_1^\ell + z_3^{\frac{1+\ell}{2}}\bar{z}_3^{\frac{1+\ell}{2}}, \ell \text{ impair,} $$

$$ \dim g = 6 \Leftrightarrow \text{M est biholomorphe à Im } w = iz_1^k z_2 \bar{z}_1^{k+1} - iz_1^{k+1} \bar{z}_1^{-k} z_2 + z_3^{k+1} \bar{z}_3^{-k+1}, $$

$$ \dim g = 5 \text{ ou } 6 \Leftrightarrow \text{M est une autre hypersurface monomiale balancée,} $$

$$ \dim g = 4 \text{ ou } 5 \Leftrightarrow \text{M est une autre hypersurface non monomiale balancée,} $$

$$ \dim g = 2 \text{ ou } 3 \Leftrightarrow \text{M n'est pas balancée.} $$

Le sixième et dernier résultat important et nouveau est le suivant.

**Théorème 4.3.24** (p.158)

Soit $M$ une hypersurface de type PQR, monomiale, holomorphiquement non dégénérée et dans $\mathbb{C}^4$. Alors

$$ 6 \leq \dim g \leq 11. $$

Plus précisément,

$$ \dim g_{-1} = 1, $$

$$ \dim g_t \in \{0; 1\}, $$

$$ \dim g_{tt} \in \{0; 1\}, $$

$$ \dim g_0^{\text{Nil.}} \in \{0; 1; 2; 3\}, $$

$$ \dim g_0^{\text{Re}} = 1, $$

$$ \dim g_0^{\text{Im}} = 2, $$

$$ \dim g_c \in \{0; 1; 2; 3\}, $$

$$ \dim g_1 = 1. $$

**Remarque 1.3.1.**

Plusieurs autres résultats semblent également intéressants, comme l'exemple 4.3.16, p.148, qui répond à une question posée sous forme de problème ouvert dans [54], p.18, section 8.
# Chapitre 2

## Cas général

Nous présentons dans ce chapitre la démarche générale pour décrire les automorphismes d'une hypersurface<fnref n="31" />. L'outil fondamental est l'opérateur de Chern-Moser, L, dont le noyau fait le lien entre les automorphismes de l'hypersurface $M_g$ et une classe de champs vectoriels sur une hypersurface polynomiale simplifiée, l'hypersurface modèle M. Nous présentons cette méthode dans $\mathbb{C}^{n+1}$. Des précisions et des exemples viennent ensuite appuyer cette présentation.

### 2.1 Considérations générales et démarche

#### 2.1.1 L'opérateur de Chern-Moser généralisé

Soit $M_g \subset \mathbb{C}^{n+1}$ une hypersurface réelle continue et $p \in M_g$ un point de type fini $m \ge 2$ dans le sens de Kohn et Bloom-Graham. Ainsi, par le théorème des fonctions implicites, $M_g$ est décrite, près de p, par

$$ \mathrm{Im} w = \psi(z, \bar{z}, \mathrm{Re} w), \qquad (2.1) $$

où $\psi$ est une fonction réelle dérivable <fnref n="32" /> (puisqu'il s'agit d'hypersurface réelle).

<footnote n="31">31. Il s'agit de la méthode présentée et employée dans tous les articles traitant cette problématique. Pour $\mathbb{C}^{n+1}$, cf. [46] ou [50].</footnote>

<footnote n="32">32. Cf. [58], p.113.</footnote>
### Remarques 2.1.1.

a) Dans ce travail, nous utilisons la notation suivante : l'hypersurface générale est notée $M_g$ (souvent $M$ dans la littérature), et, celle sur laquelle les calculs seront établis, comme nous le verrons, c'est-à-dire l'hypersurface polynomiale modèle, est notée $M$ (souvent $M_H$ dans la littérature).

b) Nous pouvons supposer que $p = 0$. De telles cordonnées existent toujours$^{33}$, et ce à un changement de variables biholomorphe près.

Nous considérons des coordonnées locales holomorphes $(z, w) = (z_1, z_2, \dots, z_n, w)$, s'annulant donc en $p$. Par un résultat de [2]$^{34}$, $M_g$ peut être décrite par

$$ \mathrm{Im} w = \mathcal{P}(z, \bar{z}) + o(\mathrm{Re} w, |z|^m), \qquad (2.2) $$

où $\mathcal{P}$ est un polynôme réel, non nul, homogène, de degré $m$ et sans termes harmoniques ($o(\mathrm{Re} w, |z|^m)$ représentant des termes dépendant de $\mathrm{Re} w$ et de $z$ et $\bar{z}$ de degré plus grand que $m$). Nous notons l'hypersurface modèle, $M$, et nous la définissons par

$$ M = \{(z, w) \in \mathbb{C}^{n+1} \mid \mathrm{Im} w = \mathcal{P}(z, \bar{z})\}, $$

une telle hypersurface est également appelée *polynomiale*$^{35}$.

### Remarque 2.1.2.

Ce n'est pas une restriction de la généralité que de considérer $\mathcal{P}$ sans terme harmonique. En effet, si nous imaginons un tel $\mathcal{P}$ avec des termes harmoniques du type $cz^m + \bar{c}\bar{z}^m$, la variété s'exprime par

$$ \mathrm{Im} w = cz^m + \bar{c}\bar{z}^m + \dots, $$

et il suffit de considérer le changement de variables $w' = w - 2icz^m$, c'est-à-dire $w = w' + 2icz^m$ pour que les termes harmoniques disparaissent. Effectivement, $\mathrm{Im} w = cz^m + \bar{c}\bar{z}^m + \dots$ devient

$$ \frac{w' + 2icz^m - (\overline{w'} - 2i\overline{c}\overline{z}^m)}{2i} = cz^m + \bar{c}\bar{z}^m + \dots $$

<footnote n="33">33. Cf. remarque 1.1.10.a), p.5.</footnote>

<footnote n="34">34. Cf. p.99, théorème 4.2.16. Nous notons que toute hypersurface est forcément une variété générique selon la définition de [2], p.9. définition 1.3.4.</footnote>

<footnote n="35">35. Cf. définition 2.2.1, p.40, où une distinction est faite.</footnote>
**Remarque 2.1.3.**

Nous nous intéressons au groupe de stabilité de $M_g$, Aut$(M_g, p)$. Nous rappelons qu'il est défini comme l'ensemble des germes$^{36}$ en $p$ des biholomorphismes de $M_g$ sur elle-même et fixant $p$.

**Définition 2.1.4.**

Nous définissons$^{37}$ hol$(M, p)$, ou $\mathfrak{g}$, comme l'ensemble des germes des automorphismes infinitésimaux réels analytiques CR de $M$ en $p$, ces champs vectoriels sont parfois également appelés symétries.

**Remarque 2.1.5.**

Nous présentons un critère$^{38}$, pour que $X \in \text{hol}(M, p)$. Un champ $X$ appartient à $\text{hol}(M, p)$ si et seulement s'il existe un germe $Z$ en $p$ d'un champ vectoriel holomorphe dans $\mathbb{C}^{n+1}$ tel que $\text{Re}Z$ est tangent à $M$ et $X = \text{Re}Z|_M$. Par abus de notation, nous dirons également que $Z \in \text{hol}(M, p)$.

Soit $h = (z', w') \in \text{Aut}(M_g, 0)$. Ainsi, nous pouvons écrire

$$ 
\begin{aligned}
z' &= z'(z, w) &&= z + f(z, w) \\
w' &= w'(z, w) &&= w + g(z, w),
\end{aligned}
$$

ou plus précisément, avec $f = {}^t(f_1, \dots, f_n)$,

$$ 
\begin{aligned}
z'_j &= z'_j(z, w) &&= z_j + f_j(z, w), \quad \text{pour } j = 1, 2, \dots, n, \\
w' &= w'(z, w) &&= w + g(z, w),
\end{aligned}
$$

où, pour la partie fixant $0$, $f_j(0) = g(0) = 0$, et, selon l'équation (2.2), $\frac{\partial^k g}{\partial z^k}(0) = 0$ pour $k = 1, \dots, m$ (donc la somme des puissances de $z$ et $\bar{z}$ commence à $m+1$ pour $g$). En effet, cela évite que le polynôme $\mathcal{P}$ ne dépende de $w$.

Nous assignons maintenant un poids aux variables. La variable $w = u + iv$ (ou $\text{Im} w$ au lieu de $v$) a un poids de 1. Les autres variables, tangentielles, $z_j$, ont un poids de $\frac{1}{m}$.

<footnote n="36">36. Cf. [35], p.152 pour une définition.</footnote>

<footnote n="37">37. Cf. [71] ou [2], p.363, définition 12.4.16. Il ne faut pas confondre $\text{hol}(M, p)$ avec $\text{aut}(M, p)$. En effet, $\text{aut}(M, p)$ est l'ensemble des germes des automorphismes infinitésimaux CR de $M$ en $p$, cf. [2], p. 363, définition 12.4.16. En particulier, $\text{hol}(M, p) \subset \text{aut}(M, p) \neq \text{Aut}(M, p)$. Également, cf. [2], p.361, définition 12.4.1.</footnote>

<footnote n="38">38. Cf. [2], p.364, proposition 12.4.22.</footnote>
Ainsi, un monôme $c_{\alpha\beta\ell}z^{\alpha}\bar{z}^{\beta}u^{\ell}$ a pour degré pondéré

$$ \ell + \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{n} (\alpha_j + \beta_j). $$

Comme $\frac{\partial^k g}{\partial z^k}(0) = 0$ pour $k = 1, \dots, m$, $g$ ne peut contenir de termes en $z$ et $\bar{z}$ de degré plus petit que $m$. Ces termes en $z$ et $\bar{z}$ sont donc de degré pondéré au minimum 1. Finalement, en plus, avec l'ajout de facteur en $u$, $g$ est de degré pondéré au moins égal à 1. Par contre, les $f_j$ contiennent des termes de degrés pondérés au moins égaux à $\frac{1}{m}$. Nous notons que le polynôme homogène $\mathcal{P}$ de degré $m$ est toujours de degré pondéré 1. En outre, toute dérivée partielle sera de poids négatif (-1 pour $\partial w$ et $-\frac{1}{m}$ pour $\partial z_j$).

Il est possible de réécrire simplement $f$ et $g$ comme sommes de polynômes de degrés pondérés homogènes $f_\mu$ et $g_\mu$, par leur développement de Taylor (qui existe si et seulement si les fonctions sont holomorphes). Nous écrivons donc,

$$ f_j = \sum_{\mu \ge \frac{1}{m}} f_{j,\mu} \quad \text{et} \quad g = \sum_{\mu \ge 1} g_{\mu}. $$

Nous allons maintenant transformer l'équation (2.1) avec l'automorphisme $h$. Pour des questions de lisibilité, nous effectuons ces calculs pour $n = 1$. Dans ces nouvelles coordonnées,

$$ \text{Substitution} \quad \Leftrightarrow $$

$$ \text{Taylor et 2.1} \quad \Leftrightarrow $$

$$ \psi = \mathcal{P} + \dots \quad \Leftrightarrow $$

$$ \mathcal{P}_{\bar{z}} = \overline{\mathcal{P}_z} \quad \text{car } \mathcal{P} \text{ est réel} \quad \Leftrightarrow $$

$$ \Leftrightarrow $$

$$ w = u + i(\mathcal{P} + \dots) \quad \Leftrightarrow $$

$$ \text{Par degr. pond. regroupés} \quad \Leftrightarrow $$

$$ \psi(z', \bar{z}', \operatorname{Re} w') = \operatorname{Im} w' $$

$$ \psi(z + f, \bar{z} + \bar{f}, u + \operatorname{Re} g) = \operatorname{Im} w + \operatorname{Im} g $$

$$ \psi(z, \bar{z}, \overline{u}) + \frac{\partial \psi}{\partial z} f + \frac{\partial \psi}{\partial \bar{z}} \bar{f} + \frac{\partial \psi}{\partial u} \operatorname{Re} g + \dots = \psi(z, \bar{z}, \overline{u}) + \operatorname{Im} g $$

$$ \mathcal{P}_z f + \mathcal{P}_{\bar{z}} \bar{f} + \dots = \operatorname{Im} g $$

$$ \mathcal{P}_z f + \overline{\mathcal{P}_z f} + \dots = \operatorname{Im} g $$

$$ 2 \operatorname{Re} \mathcal{P}_z(z, \bar{z}) f(z, w) + \dots = \operatorname{Im} g(z, w) $$

$$ 2 \operatorname{Re} \mathcal{P}_z(z, \bar{z}) f(z, u + i\mathcal{P}(z, \bar{z})) + \dots = \operatorname{Im} g(z, u + i\mathcal{P}(z, \bar{z})) $$

$$ 2 \operatorname{Re} \mathcal{P}_z(z, \bar{z}) f_{\mu-1+\frac{1}{m}}(z, u + i\mathcal{P}(z, \bar{z})) + \dots = \operatorname{Im} g_{\mu}(z, u + i\mathcal{P}(z, \bar{z})), $$

où la dernière équation est vraie pour tout $\mu \ge 1$, (le tout étant de degré pondéré $\mu$ car $\mathcal{P}_z$ est de degré pondéré $1 - \frac{1}{m}$). Pour $n$ quelconque, les calculs sont identiques et nous
obtenons,

$$ 
\begin{aligned}
& 2 \operatorname{Re} \sum_{j=1}^{n} \mathcal{P}_{z_j}(z, \bar{z}) f_j(z, u + i\mathcal{P}(z, \bar{z})) + \dots = \operatorname{Im} g(z, u + i\mathcal{P}(z, \bar{z})) \\
\Leftrightarrow & 2 \operatorname{Re} \sum_{j=1}^{n} \mathcal{P}_{z_j}(z, \bar{z}) f_{j, \mu-1+\frac{1}{m}}(z, u + i\mathcal{P}(z, \bar{z})) + \dots = \operatorname{Im} g_{\mu}(z, u + i\mathcal{P}(z, \bar{z})).
\end{aligned}
$$

**Définition 2.1.6.**

Soient $F_j$, pour $j = 1, \dots, n$, et $G$ des fonctions holomorphes. Nous notons

$$ F = \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \\ \vdots \\ F_n \end{pmatrix}. $$

L'opérateur de Chern-Moser généralisé, noté par $L$, est défini par

$$ L(F, G) := \operatorname{Re} \left( iG(z, u + i\mathcal{P}(z, \bar{z})) + 2 \sum_{j=1}^{n} \mathcal{P}_{z_j} F_j(z, u + i\mathcal{P}(z, \bar{z})) \right), $$

où nous notons que justement, par rapport aux équations ci-avant, $\operatorname{Re}(iG) = -\operatorname{Im}(G)$.

**Lemme 2.1.7.**

Soit $L$ l'opérateur de Chern-Moser généralisé et $(F_1, \dots, F_n, G)$ des fonctions holomorphes. Alors

$$ (F, G) \in \ker L \Leftrightarrow Y = \sum_{j=1}^{n} F_j(z, w) \frac{\partial}{\partial z_j} + G(z, w) \frac{\partial}{\partial w} \in \operatorname{hol}(M, p). $$
Démonstration. Il suffit de contempler l'équation

$$
\begin{align*}
& 2 \operatorname{Re} Y(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w)|_M \\
&= \operatorname{Re} \left( \sum_{j=1}^{n} F_j(z, u + i\mathcal{P}(z, \bar{z})) \frac{\partial}{\partial z_j} + G(z, u + i\mathcal{P}(z, \bar{z})) \frac{\partial}{\partial w} \right) (2\mathcal{P} - 2 \operatorname{Im} w) \\
&= \operatorname{Re} \left( 2 \sum_{j=1}^{n} \mathcal{P}_{z_j} F_j(z, u + i\mathcal{P}(z, \bar{z})) + iG(z, u + i\mathcal{P}(z, \bar{z})) \right) \\
&= L(F, G),
\end{align*}
$$

puisque lorsque nulle, elle vérifie le lemme.

□

**Proposition 2.1.8.**

Soient $h = (z + f, w + g) \in \operatorname{Aut}(M_g, p)$ comme ci-dessus,

$$
(f, g) = \sum_{\mu \ge 1} (f, g)_{\mu}, \quad \text{où } (f, g)_{\mu} = (f_{1, \mu-1+\frac{1}{m}}, \dots, f_{n, \mu-1+\frac{1}{m}}, g_{\mu}),
$$

et $\mu_0$ minimal tel que $(f,g)_{\mu_0} \neq 0$. Alors,

$$
Y = \sum_{j=1}^{n} f_{j, \mu_0 - 1 + \frac{1}{m}} \frac{\partial}{\partial z_j} + g_{\mu_0} \frac{\partial}{\partial w} \in \operatorname{hol}(M, p).
$$

**Définition 2.1.9.**

Le champ vectoriel

$$
Y = \sum_{j=1}^{n} F_j(z, w) \frac{\partial}{\partial z_j} + G(z, w) \frac{\partial}{\partial w},
$$

a un *poids homogène* de $\mu \ge -1$ si, par définition, les $F_j$ sont des polynômes de degré
pondéré homogène $\mu + \frac{1}{m}$ et $G$ est un polynôme de degré pondéré homogène $\mu + 1$.

**Remarque 2.1.10.**

Ces poids introduisent une décomposition naturelle de hol(M, p),

$$
\operatorname{hol}(M, p) = \mathfrak{g} = \bigoplus_{\mu} \mathfrak{g}_{\mu},
$$

où $\mathfrak{g}_\mu$ est l'ensemble des champs vectoriels de $\mathfrak{g}$ de poids $\mu$. En effet, soit un champ vectoriel $X \in \mathfrak{g}$. Alors chacune de ces composantes $X_\mu \in \mathfrak{g}_\mu$ est également dans $\mathfrak{g}$. En
effet, comme $\mathcal{P} - \operatorname{Im} w$ est toujours de poids homogène, avec $X \in \mathfrak{g}$,

$$0 = \operatorname{Re} X(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) = \operatorname{Re} \sum_{\mu} X_{\mu}(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) = \sum_{\mu} \underbrace{\operatorname{Re} X_{\mu}(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w)}_{\text{tous de degrés différents}}$$

donc $X_{\mu} \in \mathfrak{g}$.

**Théorème 2.1.11.** ([46], p.6, théorème 3.10)

Soient une hypersurface continue $M_g$ de type fini et son hypersurface modèle $M$. Supposons qu'il existe un $\mu_0$ tel que

$$\operatorname{hol}(M, p) = \mathfrak{g} = \bigoplus_{-1 \le \mu \le \mu_0} \mathfrak{g}_{\mu}.$$

Alors tout $h = (z + f, w + g) \in \operatorname{Aut}(M_g, p)$ construit comme ci-dessus, avec $(f, g)_{\mu} = 0$ pour tout $\mu < \mu_0$, est l'application identité.

**Remarques 2.1.12.**

a) Ce résultat$^{39}$ établit le fait de passer de $\operatorname{hol}(M, p)$ à $\operatorname{Aut}(M_g, p)$. Pour la preuve, nous considérons deux automorphismes différents qui ne dépendent, dans leur développement de Taylor, que de l'identité et de dérivées partielles. Une simple comparaison en formant la composition d'une application avec la réciproque de l'autre donne l'identité.

Le fait de passer de $\operatorname{Aut}(M_g, p)$ à $\operatorname{hol}(M, p)$ se voit dans la construction ci-dessus, notamment par la proposition 2.1.8, p.30.

b) Plus précisément, si $M$ est décrite à l'aide d'un polynôme $\mathcal{P}$ homogène, sans terme pluriharmonique et de degré $m$, alors $\operatorname{Aut}(M_g)$ est uniquement déterminée par ces dérivées partielles d'ordre plus petit ou égal à $m$.

c) Pour décrire ou classifier $\mathfrak{g}$, nous verrons qu'il suffit d'étudier les champs vectoriels dits rigides, puis de les « intégrer »$^{40}$ pour obtenir la totalité de $\mathfrak{g}$. La remarque précédente nous invite à traiter les éléments de la décomposition de $\mathfrak{g}$ et nous verrons qu'il y en a un nombre fini. Comme à chaque automorphisme infinitésimal CR correspond un automorphisme de l'hypersurface (et vice versa), nous décrirons $\operatorname{Aut}(M_g, p)$ de cette façon$^{41}$.

<footnote n="39">39. Cf. [46], p.6, théorème 3.10.</footnote>

<footnote n="40">40. Cf. définition 2.1.19, p.35.</footnote>

<footnote n="41">41. Cf. [46], p.6, théorème 3.10 pour une conséquence directe sur ces automorphismes.</footnote>
## 2.1.2 Champs vectoriels rigides et intégrations

### Définition 2.1.13.

Un champ vectoriel

$$X = \sum_{j=1}^{n} f_j(z, w) \frac{\partial}{\partial z_j} + g(z, w) \frac{\partial}{\partial w} \in \mathfrak{g}$$

est dit rigide si les $f_j$ et $g$ ne dépendent pas de $w$. Forcément, s'il est de poids homogène et non nul, un tel champ est de poids $\mu \in [-1; 1[$. Le résultat suivant nous le montre.

**Théorème 2.1.14.** ([55], p.334, théorème 3.3)

Soient $M$ une hypersurface polynomiale holomorphiquement non dégénérée et $X \in \text{hol}(M, p)$ un champ non nul et rigide. Alors toutes les composantes de poids homogènes ont un poids strictement plus petit qu'un.

### Exemple 2.1.15.

Le champ vectoriel rigide contenant une seule dérivée partielle en $w$, de poids $-1$ est

$$W = a \frac{\partial}{\partial w} \in \mathfrak{g}, \quad a \in \mathbb{R}.$$

En effet, toujours pour $a \in \mathbb{R}$,

$$\begin{aligned}
2 \operatorname{Re} W(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) &= -2 \operatorname{Re} W(\operatorname{Im} w) \\
&= -2 \operatorname{Re} a \frac{\partial}{\partial w} \left( \frac{w - \bar{w}}{2i} \right) \\
&= - \operatorname{Re} \frac{a}{i} = \operatorname{Re} ai = 0.
\end{aligned}$$

### Exemple 2.1.16.

Il existe toujours un champ non rigide dans $\mathfrak{g}$, le champ vectoriel d'Euler,

$$E = \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{n} z_j \frac{\partial}{\partial z_j} + w \frac{\partial}{\partial w}.$$

Nous pouvons vérifier que $E \in \mathfrak{g}$ de la manière suivante. Commençons par noter

$$\mathcal{P} = \sum_{k,l} (a_{kl} z^k \bar{z}^l + \overline{a_{kl}} \bar{z}^l z^k),$$

où nous avons la notation
$$z^k = z_1^{k_1} z_2^{k_2} \cdots z_n^{k_n},$$

pour $k$, et de manière similaire pour $\ell$ et pour les conjugués. Nous spécifions que les $k$ et $\ell$ parcourent le nombre de monômes présents dans $\mathcal{P}$. Nous notons que nous écrivons les termes de la somme directement avec leurs conjugués, car $\mathcal{P}$ est réel. Nous calculons donc

$$
\begin{align*}
2 \operatorname{Re} E(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) &= E(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) + \overline{E(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w)} \\
&= \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k,\ell} \left( a_{k\ell} k_j z^k \bar{z}^\ell + \overline{a_{k\ell} \ell_j z^\ell \bar{z}^k} \right) + \frac{i}{2} w \\
&\quad + \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k,\ell} \left( \overline{a_{k\ell} k_j z^\ell \bar{z}^k} + a_{k\ell} \ell_j z^k \bar{z}^\ell \right) - \frac{i}{2} \overline{w} \\
&= \frac{1}{m} \sum_{k,\ell} \sum_{j=1}^{n} \left( a_{k\ell} (k_j + \ell_j) z^k \bar{z}^\ell + \overline{a_{k\ell} (k_j + \ell_j) z^\ell \bar{z}^k} \right) + \frac{i}{2} (w - \overline{w}) \\
&= \frac{1}{m} \sum_{k,\ell} \underbrace{\sum_{j=1}^{n} (k_j + \ell_j)}_{=m} \left( a_{k\ell} z^k \bar{z}^\ell + \overline{a_{k\ell} z^\ell \bar{z}^k} \right) + \frac{i}{2} (u + i\mathcal{P} - u - i\mathcal{P}) \\
&= \sum_{k,\ell} \left( a_{k\ell} z^k \bar{z}^\ell + \overline{a_{k\ell} z^\ell \bar{z}^k} \right) + \frac{i}{2} 2i\mathcal{P} \\
&= \mathcal{P} - \mathcal{P} \\
&= 0.
\end{align*}
$$

Le prochain résultat est donné à titre informatif.

**Théorème 2.1.17.** ([46], p.7, théorème 4.6)

Soit une hypersurface polynomiale holomorphiquement non dégénérée. Soit un champ vectoriel non nul et rigide

$$X = \sum_{j=1}^{n} f_j(z_1, \dots, z_n) \frac{\partial}{\partial z_j} \in \mathfrak{g},$$

où les $f_j$ sont des fonctions holomorphes (autour de $p$). Alors les coefficients $f_j$ sont des sommes de monômes de degrés pondérés toujours strictement plus petits que 1.
**Lemme 2.1.18.**

Pour un champ vectoriel de poids homogène $X \in \mathfrak{g}$, il existe un entier $\ell > 1$ et un champ vectoriel rigide $Y \in \mathfrak{g}$ tels que

$$[[\dots [[X; W]; W]; \dots]; W] = Y,$$

où sont présents $\ell$ crochets de Lie ou commutateurs$^{42}$.

*Démonstration.* Soit $X = \sum_{j=1}^{n} f_j(z, w) \frac{\partial}{\partial z_j} + g(z, w) \frac{\partial}{\partial w} \in \mathfrak{g}$. Nous calculons tout d'abord, pour toute fonction continue $f$ définie sur $M_g$,

$$ 
\begin{align*}
[X; W](f) &= X(W(f)) - W(X(f)) = X \frac{\partial f}{\partial w} - \frac{\partial}{\partial w} X(f) \\
&= \sum_{j=1}^{n} f_j \frac{\partial}{\partial z_j} \frac{\partial f}{\partial w} + g \frac{\partial^2 f}{\partial w^2} - \left( \sum_{j=1}^{n} \left( \frac{\partial f_j}{\partial w} \frac{\partial f}{\partial z_j} + f_j \frac{\partial}{\partial z_j} \frac{\partial f}{\partial w} \right) + \frac{\partial g}{\partial w} \frac{\partial f}{\partial w} + g \frac{\partial^2 f}{\partial w^2} \right) \\
&= - \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial f_j}{\partial w} \frac{\partial f}{\partial z_j} - \frac{\partial g}{\partial w} \frac{\partial f}{\partial w},
\end{align*}
$$

donc par itération,

$$[[\dots [[X; W]; W]; \dots]; W](f) = (-1)^{\ell} \left( \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial^\ell f_j}{\partial w^\ell} \frac{\partial f}{\partial z_j} + \frac{\partial^\ell g}{\partial w^\ell} \frac{\partial f}{\partial w} \right) =: Y(f),$$

et nous voyons clairement que $Y$ est rigide pour un $\ell$ suffisamment grand. Il faut encore s'assurer que $Y \in \mathfrak{g}$. Nous calculons$^{43}$,

$$ 
\begin{align*}
2 \operatorname{Re}[X; W](\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) &= 2 \operatorname{Re}[X; W](\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) \\
&= 2 \operatorname{Re}(X(W(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w)) - W(X(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w))) \\
&= 2 \operatorname{Re}(X(W(-\operatorname{Im} w)) - W(X(\mathcal{P}))) \\
&= 0,
\end{align*}
$$

car $\mathcal{P}$ ne dépend que des $z$ et $\operatorname{Im} w$ que de $w$. Ainsi, $[X; W] \in \operatorname{hol}(M, p)$, et par itération, $Y \in \operatorname{hol}(M, p)$. $\square$

<footnote n="42">42. Cf. définition 1.1.32, p.14.</footnote>

<footnote n="43">43. Nous notons qu'il est même possible de montrer que $2 \operatorname{Re}[X; W] = [2 \operatorname{Re} X; 2 \operatorname{Re} W]$.</footnote>
**Définition 2.1.19.**

Un champ $X \in \mathfrak{g}$ est une $\ell$-integration d'un champ rigide $Y \in \mathfrak{g}$ si le crochet de Lie est appliqué $\ell$ fois dans le lemme précédent.

**Exemple 2.1.20.**

Le champ $W$ possède toujours une 1-intégration qui est $E$. En effet, une 1-intégration de $W = a \frac{\partial}{\partial w}, a \in \mathbb{R}$, est de la forme

$$W^1 = \sum_{j=1}^{n} \phi_j(z) \frac{\partial}{\partial z_j} + (aw + \phi(z)) \frac{\partial}{\partial w},$$

qui satisfait, pour appartenir à $\mathfrak{g}$,

$$
\begin{align*}
0 &= 2 \operatorname{Re} W^1(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) \\
&= \sum_{j=1}^{n} \phi_j(z) \mathcal{P}_{z_j} + \frac{i}{2}aw + \frac{i}{2}\phi(z) + \sum_{j=1}^{n} \overline{\phi_j(z)} \mathcal{P}_{\bar{z}_j} - \frac{i}{2}aw - \frac{i}{2}\overline{\phi(z)} \\
&= \sum_{j=1}^{n} \left( \phi_j(z) \mathcal{P}_{z_j} + \overline{\phi_j(z)} \mathcal{P}_{\bar{z}_j} \right) + \frac{i}{2}a(\mu + i\mathcal{P}) - \frac{i}{2}a(\mu - i\mathcal{P}) \\
&= \sum_{j=1}^{n} \left( \phi_j(z) \mathcal{P}_{z_j} + \overline{\phi_j(z)} \mathcal{P}_{\bar{z}_j} \right) - a\mathcal{P},
\end{align*}
$$

où les annulations de la deuxième ligne sont dues au fait que ces termes sont purement holomorphes (et respectivement antiholomorphes), tandis que tous les autres termes sont mixtes. L'annulation de l'équation est possible uniquement si $\phi_j = ac_j z_j$, avec une constante $c_j$ facilement choisie$^{44}$ comme $c_j = \frac{1}{m}$. Nous obtenons

$$W^1 = aE = \frac{a}{m} \sum_{j=1}^{n} z_j \frac{\partial}{\partial z_j} + aw \frac{\partial}{\partial w}, \quad a \in \mathbb{R}.$$

**Remarque 2.1.21.**

Comme déjà mentionner plus haut, nous constatons qu'il suffit d'étudier les champs rigides, puis de les intégrer autant de fois qu'il le faut pour obtenir absolument tous les éléments de $\mathfrak{g}$.

<footnote n="44">44. Cf. exemple 2.1.16, p.32.</footnote>
### 2.1.3 Propriétés des hypersurfaces intéressantes

Nous nous intéresserons donc aux hypersurfaces réelles, Levi dégénérées, de types finis et holomorphiquement non dégénérées. En effet, le cas des hypersurfaces Levi non dégénérée a déjà été traité<sup>45</sup>; il implique d'ailleurs forcément que l'hypersurface soit holomorphiquement non dégénérée. En outre, une hypersurface holomorphiquement dégénérée est inintéressante dans notre contexte, tandis que le type fini est nécessaire pour notre théorie.

**Définition 2.1.22.**

Une hypersurface réelle continue $M_g$ de $\mathbb{C}^{n+1}$ donnée autour de 0 par

$$ \mathrm{Im} w = \phi(z, \bar{z}, \mathrm{Re} w), $$

avec $\phi$ une fonction réelle continue telle que $\phi(0) = 0$ et $d\phi(0) = 0$<sup>46</sup>, est dite Levi non dégénérée si la matrice

$$ \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial z_j \partial \bar{z}_k} (0, 0, 0) \right)_{j,k=1,...,n} $$

est inversible. Il s'agit d'une définition qui découle d'une réflexion autour d'une base locale CR des champs vectoriels CR<sup>47</sup> et d'une définition plus générale<sup>48</sup>. Un cas particulier<sup>49</sup>, plus simple, apparaît lorsque le degré du polynôme vaut 2.

**Définition 2.1.23.**

Une hypersurface réelle analytique<sup>50</sup> $M$ de $\mathbb{C}^{n+1}$ est holomorphiquement non dégénérée s'il n'existe pas de champ vectoriel holomorphe $X$ tangent à $M$ tel que $X|_{M\neq 0}$. Pour une hypersurface connexe, si elle est holomorphiquement non dégénérée en un point, elle l'est en tout point<sup>51</sup>.

**Remarque 2.1.24.**

Concernant le fait que l'hypersurface soit holomorphiquement dégénérée ou non, comme nous nous intéressons à dim $g$, nous observons que cette dimension ne fait sens que si

<footnote n="45">45. Notamment par Chern et Moser, cf. [25].</footnote>

<footnote n="46">46. Cf. [2], p.10, proposition 1.3.6.</footnote>

<footnote n="47">47. Cf. définition 1.1.30, p.14.</footnote>

<footnote n="48">48. Cf. [2], pp.40-42, définition 2.2.6, proposition 2.2.10 et application pour les hypersurfaces et p.247.</footnote>

<footnote n="49">49. Cf. section 2.2.2, p.43.</footnote>

<footnote n="50">50. Cf. [2], p.322, définition 11.3.2. La notation est d'ailleurs abusive : il faudrait plus précisément dire que l'action de $X$ sur la fonction définissante de $M$ se s'annule pas (au lieu de $X|_{M\neq 0}$).</footnote>

<footnote n="51">51. Cf. [2], p.323, théorème 11.3.3, et les hypothèses rentreront dans notre contexte.</footnote>
l'hypersurface est holomorphiquement non dégénérée. En effet $^{52}$,

l'hypersurface est holomorphiquement dégénérée $\Leftrightarrow \dim \mathfrak{g} = +\infty$.

Par exemple, dans $\mathbb{C}^3$, l'hypersurface Im $w = z_1\bar{z}_1$, holomorphiquement dégénérée, a pour automorphisme infinitésimal CR $X = H(z)\frac{\partial}{\partial z_2}$ quelle que soit la fonction $H$. Nous voyons ainsi que la dimension de $\mathfrak{g}$ d'une telle hypersurface est infinie.

### 2.1.4 Description de $\mathfrak{g}$

Nous rassemblons les résultats généraux, dus à [55], toujours pour une hypersurface réelle, Levi dégénérée, holomorphiquement non dégénérée et de type fini. Nous connaissons la décomposition suivante de l'algèbre de Lie des automorphismes infinitésimaux CR,

$$ \mathfrak{g} = \mathfrak{g}_{-1} \oplus \mathfrak{g}_1 \oplus \mathfrak{g}_0 \oplus \mathfrak{g}_c \oplus \mathfrak{g}_n \oplus \mathfrak{g}_1, $$

avec $t = -\mu = -\frac{1}{m} \in ]-1; 0[$, et $c$ et $n \in ]0; 1[$. Les champs vectoriels appartenant à un $\mathfrak{g}_j$, avec $j < 0$ sont forcément réguliers (c'est-à-dire avec coefficients constants), et ceux de $\mathfrak{g}_0$ sont forcément linéaires $^{53}$.

Détaillons chaque partie de cette décomposition. Tout d'abord,

$$ \mathfrak{g}_{-1} = \{aW \mid a \in \mathbb{R}\}, \text{ avec } \dim_{\mathbb{R}} \mathfrak{g}_{-1} = 1, $$

est formé uniquement de $W = \frac{\partial}{\partial w}$, et ce, quelle que soit l'hypersurface. Une fois de plus, les poids nous montrent que d'autres champs sont impossibles. Ces éléments ne possèdent pas de 3-intégrations $^{54}$. Ensuite,

$$ \mathfrak{g}_t = \left\{ \sum_{j=1}^{n} a_j \frac{\partial}{\partial z_j} + g(z) \frac{\partial}{\partial w} \mid a_j \in \mathbb{C}, g \in \mathbb{C}_{m-1}[z], 2i \sum_{j=1}^{n} (a_j \mathcal{P}_{z_j} + \bar{a}_j \mathcal{P}_{\bar{z}_j}) = g - \bar{g} \right\}, $$

est formé de champs rigides. Ils s'intègrent au plus qu'une fois $^{55}$. Ensuite,

<footnote n="52">52. Cf. [82], p.4.</footnote>

<footnote n="53">53. Cf. [55], p.336, proposition 3.9.</footnote>

<footnote n="54">54. Cf. [55], p.344, théorème 4.7.</footnote>
$$
\mathfrak{g}_0 = \left\{ \sum_{j=1}^{n} f_j(z) \frac{\partial}{\partial z_j} + aw \frac{\partial}{\partial w} \middle| f_j \in \mathbb{C}_1[z], a \in \mathbb{R}, \sum_{j=1}^{n} \left( f_j \mathcal{P}_{z_j} + \bar{f}_j \mathcal{P}_{\bar{z}_j} \right) = a \mathcal{P} \right\}
$$

est composé de l’intégration de W, le champ d’Euler<fnref n="56" />, E, et des rotations, linéaires
et rigides, qu’il est possible de décomposer encore en rotations nilpotentes et rotations
diagonales (complexes et réelles)<fnref n="57" />. Une rotation n’est pas intégrable<fnref n="58" />. Les rotations
amènent à l’algèbre linéaire<fnref n="59" />. Ensuite,

$$
\mathfrak{g}_c = \bigoplus_{\tau=1}^{m-2} \mathfrak{g}_{\frac{\tau}{m}} = \bigoplus_{\tau=1}^{m-2} \left\{ \sum_{j=1}^{n} f_j(z) \frac{\partial}{\partial z_j} \middle| f_j \in \mathbb{C}_{\tau+1}[z], \sum_{j=1}^{n} \left( f_j \mathcal{P}_{z_j} + \bar{f}_j \mathcal{P}_{\bar{z}_j} \right) = 0 \right\}
$$

est formé des rotations généralisées, ou rotations exotiques, toujours rigides, c'est-à-dire
qu'elles commutent avec W ([Y; W] = 0, d'où le c). Une rotation généralisée n'est pas
intégrable<sup>60</sup>. Ensuite,

$$
\mathfrak{g}_n = \left\{ \sum_{j=1}^{n} (f_j(z) + a_j w) \frac{\partial}{\partial z_j} + g(z) w \frac{\partial}{\partial w} \middle| a_j \in \mathbb{C}, f_j \in \mathbb{C}_m[z], g \in \mathbb{C}_{m-1}[z], \sum_{j=1}^{n} a_j \frac{\partial}{\partial z_j} + g(w) \frac{\partial}{\partial w} \in \mathfrak{g}_t, 2 \sum_{j=1}^{n} \left( f_j \mathcal{P}_{z_j} + \bar{f}_j \mathcal{P}_{\bar{z}_j} + i\mathcal{P} \left( a_j \mathcal{P}_{z_j} + \bar{a}_j \mathcal{P}_{\bar{z}_j} \right) \right) = \mathcal{P}(g + \bar{g}) \right\},
$$

avec $n = 1 - \frac{1}{m} = \frac{m-1}{m}$, est formé des intégrations de $\mathfrak{g}_t$. Non rigides (d'où le $n$), ces
champs ne commutent pas avec $W$. Enfin,

$$
\mathfrak{g}_1 = \left\{ \sum_{j=1}^{n} f_j(z) w \frac{\partial}{\partial z_j} + aw^2 \frac{\partial}{\partial w} \middle| f_j \in \mathbb{C}_1[z], a \in \mathbb{R}, \sum_{j=1}^{n} f_j \mathcal{P}_{z_j} = a \mathcal{P} \right\}
$$

est formé des 2-intégrations de W, qui existe si l'hypersurface est balancée ⁶¹, c'est-

<footnote n="55">55. Cf. [55], p.351, théorème 6.2.</footnote>

<footnote n="56">56. Cf. exemple 2.1.20, p.35.</footnote>

<footnote n="57">57. Cf. lemmes 3.2.13, p.68 et 4.2.3, p.96, ainsi que théorème 4.3.1, p.111.</footnote>

<footnote n="58">58. Cf. [55], p.348, théorème 5.5.</footnote>

<footnote n="59">59. Cf. section 2.2.3, p.44.</footnote>

<footnote n="60">60. Cf. [55], p.348, théorème 5.5.</footnote>
à-dire s'il existe un champ complexe reproducteur. Nous formulons le résultat comme suit <fnref n="62" />.

**Théorème 2.1.25.** ([55], p.323, théorème 1.1)

Soit $M$ une hypersurface de $\mathbb{C}^{n+1}$, réelle, holomorphiquement non dégénérée et dont les éléments, $(z, w) \in \mathbb{C}^{n+1}$, satisfont

$$ \mathrm{Im} w = \mathcal{P}, $$

où $\mathcal{P}$ est un polynôme homogène sans termes pluriharmoniques. Alors l'algèbre de Lie $\mathfrak{g}$ des germes des automorphismes infinitésimaux réels analytiques CR admet la décomposition

$$ \mathfrak{g} = \mathfrak{g}_{-1} \oplus \mathfrak{g}_t \oplus \mathfrak{g}_0 \oplus \mathfrak{g}_c \oplus \mathfrak{g}_n \oplus \mathfrak{g}_1, $$

avec $t = -\mu = -\frac{1}{m} \in ]-1; 0[$, $c$ et $n \in ]0; 1[$, et où les composantes possèdent la description explicite suivante :

$$ \mathfrak{g}_{-1} = \{aW \mid a \in \mathbb{R}\}, $$

$$ \mathfrak{g}_t = \left\{ \sum_{j=1}^{n} a_j \frac{\partial}{\partial z_j} + g(z) \frac{\partial}{\partial w} \mid a_j \in \mathbb{C}, g \in \mathbb{C}_{m-1}[z], 2i \sum_{j=1}^{n} (a_j \mathcal{P}_{z_j} + \bar{a}_j \mathcal{P}_{\bar{z}_j}) = g - \bar{g} \right\}, $$

$$ \mathfrak{g}_0 = \left\{ \sum_{j=1}^{n} f_j(z) \frac{\partial}{\partial z_j} + aw \frac{\partial}{\partial w} \mid f_j \in \mathbb{C}_1[z], a \in \mathbb{R}, \sum_{j=1}^{n} (f_j \mathcal{P}_{z_j} + \bar{f}_j \mathcal{P}_{\bar{z}_j}) = a \mathcal{P} \right\}, $$

$$ \mathfrak{g}_c = \bigoplus_{\tau=1}^{m-2} \mathfrak{g}_m = \bigoplus_{\tau=1}^{m-2} \left\{ \sum_{j=1}^{n} f_j(z) \frac{\partial}{\partial z_j} \mid f_j \in \mathbb{C}_{\tau+1}[z], \sum_{j=1}^{n} (f_j \mathcal{P}_{z_j} + \bar{f}_j \mathcal{P}_{\bar{z}_j}) = 0 \right\}, $$

$$ \mathfrak{g}_n = \left\{ \sum_{j=1}^{n} (f_j(z) + a_j w) \frac{\partial}{\partial z_j} + g(z) w \frac{\partial}{\partial w} \mid a_j \in \mathbb{C}, f_j \in \mathbb{C}_m[z], g \in \mathbb{C}_{m-1}[z], \sum_{j=1}^{n} a_j \frac{\partial}{\partial z_j} + g(w) \frac{\partial}{\partial w} \in \mathfrak{g}_t, 2 \sum_{j=1}^{n} (f_j \mathcal{P}_{z_j} + \bar{f}_j \mathcal{P}_{\bar{z}_j} + i \mathcal{P}(a_j \mathcal{P}_{z_j} + \bar{a}_j \mathcal{P}_{\bar{z}_j})) = \mathcal{P}(g + \bar{g}) \right\}, $$

$$ \mathfrak{g}_1 = \left\{ \sum_{j=1}^{n} f_j(z)w \frac{\partial}{\partial z_j} + aw^2 \frac{\partial}{\partial w} \mid f_j \in \mathbb{C}_1[z], a \in \mathbb{R}, \sum_{j=1}^{n} f_j \mathcal{P}_{z_j} = a \mathcal{P} \right\}. $$

<footnote n="61">61. Cf. définition 3.2.7, p.65.</footnote>

<footnote n="62">62. Cf. également [54], p.557, théorème 6.1.</footnote>
**Corollaire 2.1.26.**

Soit une hypersurface réelle holomorphiquement non dégénérée. Alors le degré de tout automorphisme infinitésimal réel analytique CR, X, satisfait

$$-1 \le \deg X \le 1.$$

**Remarque 2.1.27.**

La preuve du corollaire est une conséquence directe de [55]. En effet, les champs rigides ne possèdent que des degrés strictement plus petits qu’un$^{63}$ et ils sont intégrables de manière limitée$^{64}$. Aucune intégration n’a, en particulier, un degré plus grand qu’un.

## 2.2 Précisions importantes

### 2.2.1 Nombre de polynômes pour $\mathcal{P}$

Nous verrons que le cas où seul $\mathcal{P}$ intervient (comme hypersurface modèle) s'avérera intéressant. En effet, dans $\mathbb{C}^3$, le problème $PQ$ sera $\mathcal{P} = P\overline{Q}+Q\overline{P}$ et dans $\mathbb{C}^4$, le problème $PQR$ sera $\mathcal{P} = P\overline{Q} + Q\overline{P} + R\overline{R}$, où $P, Q$ et $R$ sont des polynômes holomorphes$^{65}$. Nous nous posons maintenant la question du nombre de ces polynômes holomorphes à choisir dans $\mathbb{C}^{n+1}$.

**Définition 2.2.1.**

Une hypersurface est dite *polynomiale* si $\mathrm{Im} w = \mathcal{P}$ avec un $\mathcal{P}$ un polynôme en $z$ et $\bar{z}$. Si $\mathcal{P}$ est homogène, alors l'hypersurface est dite *modèle*. Notons que $\mathcal{P}$ est toujours réel et que nous pouvons supposer que $\mathcal{P}$ ne contient pas de termes pluriharmoniques, en effectuant un changement de variables local et holomorphe$^{66}$.

**Proposition 2.2.2.**

Soit une hypersurface polynomiale $M$ de $\mathbb{C}^{n+1}$ que nous supposons holomorphiquement non dégénérée. Nous notons

$$\mathrm{Im} w = \mathcal{P}(P^1, P^2, \dots, P^m, \overline{P^1}, \overline{P^2}, \dots, \overline{P^m}),$$

<footnote n="63">63. Cf. [55], p.334, théorème 3.3.</footnote>

<footnote n="64">64. Cf. [55], p.337, p.346 et p.349.</footnote>

<footnote n="65">65. Dans ces cas, la dépendance linéaire des polynômes sera intéressante, cf. lemme 4.1.8, p.90.</footnote>

<footnote n="66">66. Cf. remarque 2.1.2, p.26.</footnote>
où les $P^j, j = 1, \dots, m$ sont des polynômes holomorphes. Alors

$$n \leq m.$$

*Démonstration.* Soient $m$ polynômes holomorphes

$$P^1, P^2, \dots, P^m,$$

qui dépendent de $z = (z_1, z_2, \dots, z_n)$ et dont dépend $\mathcal{P}$. Ainsi, et selon la définition ci-dessus, nous pouvons noter :

$$\mathcal{P} = \sum_{j,k=1}^{m} c_{jk} P^j \overline{P^k},$$

où les $c_{jk} \in \mathbb{C}$ et $\mathcal{P}$ est réel.

Nous allons étudier le ou les champs vectoriels

$$X = \sum_{j=1}^{n} f_j(z) \frac{\partial}{\partial z_j}$$

qui satisfont, pour tout $k = 1, \dots, m$,

$$X(P^k) = 0.$$

Il est donc clair que dans ce cas, $X(\mathcal{P}) = 0$ et nous savons également que comme l'hor-
persurface est holomorphiquement non dégénérée, $X = 0$.

Nous allons prouver l'affirmation par l'absurde, en supposant que $n > m$. Dans ce
cas, pour étudier $X$, nous étudions le système d'équation

$$X(P^k) = 0, \quad k = 1, \dots, m,$$
qui n'est autre que

$$f_1(z)P_{z_1}^1 + f_2(z)P_{z_2}^1 + f_3(z)P_{z_3}^1 + \dots + f_n(z)P_{z_n}^1 = 0$$

$$f_1(z)P_{z_1}^2 + f_2(z)P_{z_2}^2 + f_3(z)P_{z_3}^2 + \dots + f_n(z)P_{z_n}^2 = 0$$

$\vdots$

$$f_1(z)P_{z_1}^m + f_2(z)P_{z_2}^m + f_3(z)P_{z_3}^m + \dots + f_n(z)P_{z_n}^m = 0,$$

ou sous forme matricielle

$$M_J f = 0,$$

avec $M_J$ la matrice jacobienne des polynômes $P^k$ et $f$ le vecteur inconnu des $f_j$. Comme par l'absurde, nous avons supposé que $n > m$, en notant $r$ le rang de la matrice $M_J$,

$$r \leq m.$$

Or, nous savons<sup>67</sup> que l'espace des solutions $f$ du système d'équation possède $n - r$ solutions, nous pouvons conclure que

$$\dim_{\mathbb{R}} \left\{ X = \sum_{j=1}^{n} f_j(z) \frac{\partial}{\partial z_j} \mid M_J f = 0 \right\} = n - r \stackrel{r \leq m}{\geq} n - m \stackrel{n > m}{>} m - m = 0.$$

Cette dimension étant au moins égale à un, il existe toujours un $X$ non nul pour lequel $X(\mathcal{P}) = 0$, ce qui est une contradiction avec le fait que l'hypersurface est holomorphiquement non dégénérée. $\square$

### 2.2.2 Cas particulier, $\mathcal{P}$ de degré 2

#### Forme hermitienne

Nous savons que le polynôme $\mathcal{P}(z, \bar{z})$ est réel, car l'hypersurface l'est. Supposons que $\mathcal{P}(z, \bar{z})$ soit de degré homogène 2. Ainsi, nous pouvons noter l'hypersurface modèle

$$\mathrm{Im} w = \bar{z}Az,$$

<footnote n="67">67. Cf. [34], p.148, Proposition 5.4.</footnote>
et $\mathcal{P}$ est réel implique que

$$ \mathcal{P} = {}^t\bar{z}Az = {}^t(z\bar{z}Az) = {}^t z {}^t A\bar{z} \quad \text{et} \quad \bar{\mathcal{P}} = {}^t\bar{z}\bar{A}z = {}^t z\bar{A}\bar{z}, $$

doivent être égaux. Ainsi $A = {}^t\bar{A}$, qui est donc hermitienne. $\mathcal{P}$ correspond donc à une forme hermitienne (sesquilinéaire, antilinéaire par rapport au premier argument et linéaire par rapport au second argument) avec même premier et second arguments, $z$. (Si $\mathcal{P}$ est toujours positif et s'il est nul si et seulement si $z = 0$ (si $\mathcal{P}$ est défini positif), nous pouvons même parler de produit scalaire hermitien ainsi que d'hypersurface strictement convexe.)

## Hypersurface Levi non dégénérée

Reprenons $\mathrm{Im} w = {}^t\bar{z}Az$, avec $A$ hermitienne et $\mathcal{P}$ de degré 2. Nous disons que l'hypersurface est Levi non dégénérée$^{68}$ si det $A \neq 0$. Par exemple, $\mathrm{Im} w = (z_1 + z_2)(\bar{z}_1 + \bar{z}_2)$ est Levi dégénérée, car sa matrice $A$ a un déterminant nul :

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. $$

L'hypersurface $\mathrm{Im} w = \sum_{j=1}^n z_j \bar{z}_j$ est Levi non dégénérée. Pour une hypersurface, être Levi non dégénérée implique être holomorphiquement non dégénérée.

## Hyperquadrique

Une hyperquadrique est une hypersurface modèle Levi non dégénérée avec un polynôme homogène de degré 2. Notons que $\mathrm{Im} w = \lambda_1|z_1|^2 + \dots$. Il s'agit d'une généralisation de $\mathrm{Im} w = z\bar{z}$ dans $\mathbb{C}^2$. Une hyperquadrique n'est pas forcément définie positive. En effet, l'exemple $\mathrm{Im} w = z_1\bar{z}_1 - z_2\bar{z}_2$ nous le montre. Le cas des hyperquadriques est bien connu$^{69}$ et n'est pas traité dans ce travail.

<footnote n="68">68. Cf. définition 2.1.22, p.36, pour le cas général.</footnote>

<footnote n="69">69. Cf. section 1.2.1 pour le point historique, p.18.</footnote>
### 2.2.3 Algèbre linéaire sur les rotations

#### Lien

Nous appelons une rotation un champ vectoriel linéaire de degré pondéré 0 et rigide (sans même de $\frac{\partial}{\partial w}$, pour des raisons de degré et par rigidité). Notons un tel champ

$$X = (a_{11}z_1 + a_{12}z_2 + \dots + a_{1n}z_n) \frac{\partial}{\partial z_1} + \dots + (a_{n1}z_1 + a_{n2}z_2 + \dots + a_{nn}z_n) \frac{\partial}{\partial z_n}.$$

Formons donc la matrice $A = (a_{jk})_{1\le j, k \le n}$, complexe et de dimension $n \times n$. L'élément $a_{jk}$ de la matrice correspond au coefficient devant $z_k \frac{\partial}{\partial z_j}$. Nous réécrivons donc

$$X = \sum_{j, k=1}^{n} a_{jk} z_k \frac{\partial}{\partial z_j} = {}^t z {}^t A \partial z \quad (\Leftrightarrow {}^t \partial z A z),$$

où $z$ et $\partial z$ sont les vecteurs colonnes composés respectivement des $z_k$ et des $\frac{\partial}{\partial z_j}$. Plus précisément,

$$X = \begin{pmatrix} z_1 & z_2 & \cdots & z_k & \cdots & z_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{j1} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{j2} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1k} & a_{2k} & \cdots & a_{jk} & \cdots & a_{nk} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{jn} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial z_1} \\ \frac{\partial}{\partial z_2} \\ \vdots \\ \frac{\partial}{\partial z_k} \\ \vdots \\ \frac{\partial}{\partial z_n} \end{pmatrix}.$$

#### Changement de variables

La matrice $A$ correspondant à un champ vectoriel linéaire est complexe donc diagona-lisable ou trigonalisable. En effet, le polynôme caractéristique s'avère toujours scindé. Rappelons que $A$ est diagonalisable si et seulement si chaque sous-espace propre a une dimension maximale (c'est le cas en particulier si toutes les valeurs propres sont dif-férentes), mais également si et seulement si le polynôme minimal n'a que des racines simples (les valeurs propres). Si ce n'est pas le cas, $A$ est trigonalisable. Dans tous les cas, la décomposition de Dunford nous indique que la matrice peut être décomposée en
la somme d'une matrice diagonalisable et d'une matrice nilpotente$^{70}$. Pour être encore plus précis, pensons, évidemment, à la réduction de Jordan$^{71}$, même si ni celle-ci, ni celle de Jordan seront celles que nous employerons. Nous aurons effectivement besoin d'en imaginer une autre$^{72}$.

Préparons donc la formule générale d'un changement de variable. Nous avons donc, comme vu ci-dessus, $X = {}^t z {}^t A \partial z$, où A donne, avec une matrice de passage P, une nouvelle matrice $A' = P^{-1}AP$, le changement de variable étant, $z = Pz'$ (ou $z' = P^{-1}z$). Sur les dérivées partielles, $\partial z = {}^t P^{-1} \partial z'$ (ou $\partial z' = {}^t P \partial z$). En effet, si nous notons $P^{-1} = (\tilde{p}_{jk})_{1\le j, k \le n}$, nous voyons que (comme $z' = P^{-1}z$),

$$ \frac{\partial}{\partial z_{\ell}} = \frac{\partial}{\partial z'_{1}} \frac{\partial z'_{1}}{\partial z_{\ell}} + \frac{\partial}{\partial z'_{2}} \frac{\partial z'_{2}}{\partial z_{\ell}} + \dots + \frac{\partial}{\partial z'_{n}} \frac{\partial z'_{n}}{\partial z_{\ell}} = \tilde{p}_{1\ell} \frac{\partial}{\partial z'_{1}} + \tilde{p}_{2\ell} \frac{\partial}{\partial z'_{2}} + \dots + \tilde{p}_{n\ell} \frac{\partial}{\partial z'_{n}} $$

ce qui implique effectivement que

$$ \partial z' = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial z'_{1}} \\ \frac{\partial}{\partial z'_{2}} \\ \vdots \\ \frac{\partial}{\partial z'_{n}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tilde{p}_{11} & \tilde{p}_{21} & \cdots & \tilde{p}_{n1} \\ \tilde{p}_{12} & \tilde{p}_{22} & \cdots & \tilde{p}_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \tilde{p}_{1n} & \tilde{p}_{2n} & \cdots & \tilde{p}_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial z_{1}} \\ \frac{\partial}{\partial z_{2}} \\ \vdots \\ \frac{\partial}{\partial z_{n}} \end{pmatrix} $$

Ainsi, en appliquant ces changements sur X,

$$ X = {}^t z {}^t A \partial z = {}^t (P z') {}^t A {}^t P^{-1} \partial z' = {}^t z' {}^t P {}^t A {}^t P^{-1} \partial z' = {}^t z' {}^t (P^{-1} A P) \partial z' $$

Justement, $A' = P^{-1}AP$ peut être une certaine décomposition. S'il s'agit de la décomposition de Jordan, avec, $A' = D + N$, D diagonale, encore décomposable en deux parties réelle et complexe, et N triangulaire supérieure, nous obtenons, par exemple dans $\mathbb{C}^2$, les deux configurations suivantes possibles :

<footnote n="70">70. Cf. [34], p.188, théorème 6.32. Nous créerons une décomposition similaire. En effet, tout automorphisme infinitésimal CR qui est une rotation peut être décomposé en deux ou trois champs, un diagonal et un ou deux nilpotents, tous étant également des automorphismes infinitésimaux CR. Cf. [55], p.341, lemme 4.6.</footnote>

<footnote n="71">71. Cf. [34], p.193, théorème 6.35.</footnote>

<footnote n="72">72. Cf. théorème 4.3.1, p.111.</footnote>
$$A' = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \quad \text{ou} \quad A' = \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Les champs correspondants sont respectivement $\lambda_1 z_1 \frac{\partial}{\partial z_1} + \lambda_2 z_2 \frac{\partial}{\partial z_2}$ et $(\lambda z_1 + z_2) \frac{\partial}{\partial z_1} + \lambda z_2 \frac{\partial}{\partial z_2}$.

### Exemple diagonalisable

Dans $\mathbb{C}^2$, soit la matrice

$$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Elle correspond au champ vectoriel

$$X = -z_2 \frac{\partial}{\partial z_1} + z_1 \frac{\partial}{\partial z_2},$$

qui peut être une rotation d'une certaine hypersurface de $\mathbb{C}^3$. Diagonalisons la matrice $A$. Son polynôme caractéristique est $P_A(\lambda) = \lambda^2 + 1$. Il y a donc deux valeurs propres $\lambda_1 = i$ et $\lambda_2 = -i$. La matrice $A$ sera donc similaire, à un changement de variables près, à

$$D = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix},$$

qui correspond au champ,

$$X = iz'_1 \frac{\partial}{\partial z'_1} - iz'_2 \frac{\partial}{\partial z'_2}.$$

Effectuons les détails en commençant par calculer une matrice de passage $P$. Les colonnes de cette dernière sont les vecteurs propres des valeurs propres. Pour $\lambda_1 = i$, cherchons $z_i = \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}$, tel que $Az = iz$. Posant $z_1 = 1$, nous choisissons $z_i = \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$. Pour $\lambda_2 = -i$, nous obtenons par exemple $z_{-i} = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$. Une matrice de passage est donc$^{73}$

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$$

<footnote n="73">73. Cf. [34], pp.75-76. Une matrice 2x2 est inversible si et seulement si son déterminant n'est pas nul. Dans ce cas,</footnote>
$$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -i & i \end{pmatrix}, \quad \text{avec} \quad P^{-1} = \frac{1}{\det P} \text{com} P = \begin{pmatrix} 1/2 & i/2 \\ 1/2 & -i/2 \end{pmatrix};$$

elle satisfait effectivement $P^{-1}AP = D$ et implique le changement de variables

$$z_1' = z_1 - iz_2$$

$$z_2' = z_1 + iz_2.$$

Enfin, rappelons les calculs sur le champ, qui sont :

$$
\begin{align*}
X &= -z_2 \frac{\partial}{\partial z_1} + z_1 \frac{\partial}{\partial z_2} \\
&= {}^t z {}^t A \partial z = {}^t z' {}^t P {}^t A {}^t P^{-1} \partial z' \\
&= (z'_1 \ z'_2) \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ i/2 & -i/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial z'_1} \\ \frac{\partial}{\partial z'_2} \end{pmatrix} \\
&= (z'_1 \ z'_2) \begin{pmatrix} i & 1 \\ -i & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ i/2 & -i/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial z'_1} \\ \frac{\partial}{\partial z'_2} \end{pmatrix} \\
&= (z'_1 \ z'_2) \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial z'_1} \\ \frac{\partial}{\partial z'_2} \end{pmatrix} = {}^t z' {}^t D \partial z' \\
&= i z'_1 \frac{\partial}{\partial z'_1} - i z'_2 \frac{\partial}{\partial z'_2}.
\end{align*}
$$

## Exemple non diagonalisable

Dans $\mathbb{C}^2$, soit la matrice

$$A = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 2i \end{pmatrix}.$$

Elle correspond au champ vectoriel :

$$X = -iz_2 \frac{\partial}{\partial z_1} + (iz_1 + 2iz_2) \frac{\partial}{\partial z_2}.$$

Le polynôme caractéristique est $P_A(\lambda) = \det(A - \lambda I_d) = (\lambda - i)^2$. Il y a donc une seule valeur propre $\lambda = i$. Notons qu’un vecteur propre possible est $z_i = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. Pour savoir si la matrice est diagonalisable, calculons le polynôme minimal $m_A(\lambda)$, c’est-à-dire le
polynôme normalisé, annulateur, de plus petit degré et ayant les valeurs propres pour racines. Comme $P_A(\lambda) = (\lambda - i)^2$, $m_A(\lambda) = (\lambda - i)$ ou $(\lambda - i)^2$. La première possibilité est impossible, car $A - iId \neq 0$ (ce polynôme n'est donc pas annulateur de $A$). Par contre, $(A - iId)^2 = 0$, toujours du point de vue matriciel. Nous en déduisons que le sous-espace propre de $\lambda = i$ n'est pas de dimension 2 et que $A$ n'est pas diagonalisable. Elle est toutefois trigonalisable. La matrice $A$ sera donc similaire, à un changement de variables près, à

$$A' = \begin{pmatrix} i & 1 \\ 0 & i \end{pmatrix},$$

qui correspond au champ,

$$X = (iz'_{1} + z'_{2}) \frac{\partial}{\partial z'_{1}} + iz'_{2} \frac{\partial}{\partial z'_{2}}.$$

Pour trouver la matrice de passage, et donc le changement de variables, nous cherchons les quatre éléments d'une matrice $P$ telle que $AP = PA'$. Nous obtenons

$$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & i-1 \end{pmatrix}, \quad \text{avec} \quad P^{-1} = \begin{pmatrix} -i & -i \\ i & 1+i \end{pmatrix}.$$

Le changement de variables est donc

$$z'_{1} = z_{1} - z_{2}$$

$$z'_{2} = z_{1} + (i - 1)z_{2},$$

qui donne

$$A \sim A' = D + N,$$

où $D = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}$, purement imaginaire (avec diagonale réelle nulle), et $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, cette décomposition étant valable pour $X$ également.
Autre exemple

Prenons un dernier exemple, dans $\mathbb{C}^4$. Soit la matrice

$$A = \begin{pmatrix} 0 & i & 0 & 0 \\ 1 & 1-i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 2i \end{pmatrix}.$$

Elle correspond au champ vectoriel

$$X = iz_2 \frac{\partial}{\partial z_1} + (z_1 + (1-i)z_2) \frac{\partial}{\partial z_2} - iz_4 \frac{\partial}{\partial z_3} + (iz_3 + 2iz_4) \frac{\partial}{\partial z_4},$$

qui peut être une rotation d'une certaine hypersurface de $\mathbb{C}^5$. La sous-matrice $\mathbb{C}^{2\times 2}$ en haut à gauche est diagonalisable en

$$A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix},$$

car le polynôme caractéristique se factorise en $-\lambda(1 - i - \lambda) - i = (\lambda - 1)(\lambda + i)$. Celle qui est en bas à droite est, comme vu dans l'exemple précédent, trigonalisable. Ainsi, nous pouvons réécrire le champ $X$ dans des nouvelles coordonnées telles que

$$A' = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 1 \\ 0 & 0 & 0 & i \end{pmatrix},$$

et

$$X = z'_1 \frac{\partial}{\partial z'_1} - iz'_2 \frac{\partial}{\partial z'_2} + (iz'_3 + z'_4) \frac{\partial}{\partial z'_3} + iz'_4 \frac{\partial}{\partial z'_4}.$$
## 2.3 Exemples

Il y a de multiples exemples que nous pouvons présenter<sup>74</sup>, les cas modèles qui suivent dans le travail pouvant être vus comme des exemples également. Nous en posons ici deux.

### Exemple 2.3.1.

Le cas de $\mathbb{C}^2$ est bien particulier<sup>75</sup>. Tous les champs vectoriels rigides de poids nul ou positif donné par $X = f(z) \frac{\partial}{\partial z}$ sont forcément de la forme

$$X = cz\frac{\partial}{\partial z},$$

où $c \in \mathbb{C}$. De plus, chacun de ces champs n'est pas intégrable. W ne s'intègre que deux fois. Une translation non transversale $\frac{\partial}{\partial z}$ ne s'intègre pas<sup>76</sup>.

Prenons comme exemple concret, l'hypersurface de $\mathbb{C}^2$ donnée par

$$\mathrm{Im} w = \mathcal{P}(z, \bar{z}) = z^2 \bar{z}^2.$$

N'importe quel champ vectoriel rigide (qu'il s'agira d'intégrer plus tard) s'écrit comme

$$X = f(z) \frac{\partial}{\partial z} + g(z) \frac{\partial}{\partial w},$$

et ce dernier est un automorphisme infinitésimal CR si

$$\begin{aligned} 0 &= 2 \operatorname{Re} X(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) \\ &= 2f(z)z\bar{z}^2 + \frac{i}{2}g(z) + 2z^2\overline{f(z)\bar{z}} - \frac{i}{2}g(z), \end{aligned}$$

ce qui est possible seulement si $g$ est non nul avec $X = W$ (les autres coefficients étant nuls) ou si, avec $g$ nul, $f(z) = iz$, c'est-à-dire,

$$X = iz \frac{\partial}{\partial z}.$$

<footnote n="74">74. Cf. [55], p.354, exemple 6.4.</footnote>

<footnote n="75">75. Cf. [50].</footnote>

<footnote n="76">76. Pour aller plus loin, cf. [55], p.209, proposition 4.4.</footnote>
Il s'agit du seul champ rigide, avec W, à intégrer. Nous rappelons<sup>77</sup> que W s'intègre en E. X est une rotation et ne peut être intégrée<sup>78</sup>. Effectuons les calculs d'une intégration de E (il n'est pas nécessaire ici de combiner E avec X, ce sera le cas plus tard). Ainsi, une intégration de E est

$$
E^1 = \left( \frac{1}{4} zw + \phi(z) \right) \frac{\partial}{\partial z} + \left( \frac{1}{2} w^2 + \phi_g(z) \right) \frac{\partial}{\partial w},
$$

qui est un automorphisme infinitésimal CR si

$$
\begin{align*}
0 &= 2 \operatorname{Re} E^1(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) \\
&= 2 \left(\frac{1}{4}zw + \phi(z)\right) z\bar{z}^2 + \left(\frac{1}{2}w^2 + \phi_g(z)\right) \frac{i}{2} \\
&\quad + 2 \left(\frac{1}{4}\overline{zw} + \overline{\phi(z)}\right) z^2\bar{z} - \left(\frac{1}{2}\overline{w^2} + \overline{\phi_g(z)}\right) \frac{i}{2} \\
&= \frac{1}{2}(u + i\mathcal{P})z^2\bar{z}^2 + 2\phi(z)z\bar{z}^2 + \frac{i}{4}(u + i\mathcal{P})^2 + \overline{\dots} \\
&= \frac{1}{2}(u + iz^2\bar{z}^2)z^2\bar{z}^2 + 2\phi(z)z\bar{z}^2 + \frac{i}{4}(u^2 + 2iuz^2\bar{z}^2 - z^4\bar{z}^4) + \overline{\dots} \\
&= \frac{1}{2}uz^2\bar{z}^2 + \frac{i}{2}z^4\bar{z}^4 + 2\phi(z)z\bar{z}^2 + \frac{i}{4}u^2 - \frac{1}{2}uz^2\bar{z}^2 - \frac{i}{4}z^4\bar{z}^4 + \overline{\dots} \\
&= \frac{i}{2}z^4\bar{z}^4 + 2\phi(z)z\bar{z}^2 + \frac{i}{4}u^2 - \frac{i}{4}z^4\bar{z}^4 \\
&\quad - \frac{i}{2}z^4\bar{z}^4 + 2z^2\overline{z\phi(z)} - \frac{i}{4}u^2 + \frac{i}{4}z^4\bar{z}^4 \\
&= 2\phi(z)z\bar{z}^2 + 2z^2\overline{z\phi(z)}.
\end{align*}
$$

Dans ce développement, $\phi_g(z)$ a été supprimé pour des raisons de mixités. En effet, tous les autres termes sont mixtes, c'est-à-dire avec parties holomorphe et antiholomorphe, tandis que $\phi_g(z)^{\frac{i}{2}}$ est uniquement homomorphe (et $\overline{\phi_g(z)}^{\frac{i}{2}}$ uniquement antiholomorphe). À part si nous prenons W comme champ, nous avons toujours $\phi_g = 0$. Cette équation n'est vérifiée que lorsque $\phi = 0$. L'intégration de E est donc

$$
W^2 = E^1 = \frac{1}{4}zw \frac{\partial}{\partial z} + \frac{1}{2}w^2 \frac{\partial}{\partial w},
$$

Pour résumer cet exemple en termes de dimension, si $\mathcal{P}(z, \bar{z}) = z^2\bar{z}^2$,

$$
\dim_{\mathbb{R}} g = 4, \text{ avec}
$$

<footnote n="77">77. Cf. exemple 2.1.20, p.35.</footnote>

<footnote n="78">78. Cf. [55], p.348, théorème 5.5.</footnote>
$$
\mathfrak{g}_{-1} = \{aW \mid a \in \mathbb{R}^*\}, \quad \mathfrak{g}_0 = \left\{ aiz \frac{\partial}{\partial z} \text{ ou } bE \mid a, b \in \mathbb{R}^* \right\}, \quad \mathfrak{g}_1 = \left\{ azw \frac{\partial}{\partial z} + 2aw^2 \frac{\partial}{\partial w} \mid a \in \mathbb{R}^* \right\}, \\
\text{et } \mathfrak{g}_j = \emptyset, \text{ avec } j = t, c, n.
$$

**Exemple 2.3.2.**

Dans $\mathbb{C}^3$, prenons l'hypersurface holomorphiquement non dégénérée<fnref n="79" /> donnée par<fnref n="80" />

$$
\mathcal{P}(z, \bar{z}) = -\operatorname{Re}(z_1^2 \bar{z}_1^2 \bar{z}_2^2) + |z_1^2 z_2|^2 = -\frac{1}{2} z_1^2 \bar{z}_1^2 \bar{z}_2^2 - \frac{1}{2} z_1^2 z_2^2 \bar{z}_1^2 + z_1^2 z_2 \bar{z}_1^2 \bar{z}_2.
$$

Supposons un champ vectoriel rigide $X = f_1(z) \frac{\partial}{\partial z_1} + f_2(z) \frac{\partial}{\partial z_2} + g(z) \frac{\partial}{\partial w} \in \text{hol. Par définition,}$

nous avons

$$
\begin{align*}
0 &= 2 \operatorname{Re} X(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) \\
&= -f_1(z) z_1 \overline{z_1}^2 \overline{z_2}^2 - f_1(z) z_1 z_2 \overline{z_1}^2 \overline{z_2}^2 + 2 f_1(z) z_1 z_2 \overline{z_1}^2 \overline{z_2} \\
&\quad - f_2(z) z_1^2 \overline{z_2}^2 \overline{z_1}^2 + f_2(z) z_1^2 \overline{z_1}^2 \overline{z_2} + \frac{i}{2} g(z) \\
&\quad - \overline{f_1(z)} z_1^2 \overline{z_2}^2 \overline{z_1} - \overline{f_1(z)} z_1^2 \overline{z_1} \overline{z_2}^2 + 2 \overline{f_1(z)} z_1^2 z_2 \overline{z_1} \overline{z_2} \\
&\quad - \overline{f_2(z)} z_1^2 \overline{z_1}^2 \overline{z_2} + \overline{f_2(z)} z_1^2 z_2 \overline{z_1}^2 - \frac{i}{2} g(z).
\end{align*}
$$

Le but est de déterminer les coefficients de $X$ pour que cette équation soit valide. Par rapport à $g$, nous voyons soit que $g$ est une constante réelle avec tous les autres coefficients nuls, soit que $g$ doit être nul, car les sixième et douzième termes de la dernière expression ne sont pas mixtes (purement holomorphe et respectivement purement anti-holomorphe). Ils ne peuvent s'annuler avec d'autres termes. Dans le premier cas, nous obtenons le champ

$$
W = \frac{\partial}{\partial w}.
$$

Le premier terme, en comparant avec les parties antiholomorphes, ne peut s'annuler
ni avec le deuxième, ni avec le troisième, le quatrième ou le cinquième. Si le premier
terme s'annulait avec le septième, nous aurions $f_1(z) = iz_1z_2^2$, ce qui engendrerait une
contradiction pour les autres termes. En effet, dans ce cas, il faudrait à la fois que $f_2(z) =$

<footnote n="79">79. La vérification est simple. En supposant un champ $X = f_1(z_1, z_2) \frac{\partial}{\partial z_1} + f_2(z_1, z_2) \frac{\partial}{\partial z_2}$, nous travaillons sur l'équation $X(\mathcal{P}) = 0$ pour conclure que $X = 0$.</footnote>

<footnote n="80">80. Cf. [55], p.349, exemple 5.6.</footnote>
$iz_2^3$ et $f_2(z) = -2iz_2^3$. Nous le voyons en contemplant l'équation (avec $f_1(z) = iz_1z_2^2$)

$$
\begin{aligned}
0 = & -iz_1^2 z_2^2 \overline{z_1^2 z_2^2} - iz_1^2 z_2^4 \overline{z_1^2} + 2iz_1^2 z_2^3 \overline{z_1^2 z_2} \\
& - f_2(z) z_1^2 z_2 \overline{z_1^2} + f_2(z) z_1^2 \overline{z_1^2 z_2} \\
& + iz_1^2 z_2^2 \overline{z_1^2 z_2^2} + iz_1^2 \overline{z_1^2 z_2^4} - 2iz_1^2 z_2 \overline{z_1^2 z_2^3} \\
& - \overline{f_2(z)} z_1^2 \overline{z_1^2 z_2} + \overline{f_2(z)} z_1^2 z_2 \overline{z_1^2}.
\end{aligned}
$$

Par contre, le premier terme peut s'annuler avec le huitième et le dixième, nous avons
dans ce cas $f_1(z) = z_1$ et $f_2(z) = -2z_2$. En effet, dans ce cas, l'équation devient

$$
\begin{aligned}
0 = & -z_1^2 \overline{z_1^2 z_2^2} - z_1^2 z_2^2 \overline{z_1^2} + 2 \overline{z_1^2 z_2^2 z_1^2 z_2} \\
& + 2 \overline{z_1^2 z_2^2 z_1^2} - \overline{2 z_1^2 z_2^2 z_1^2 z_2} \\
& - \overline{z_1^2 z_2^2 z_1^2} - z_1^2 \overline{z_1^2 z_2^2} + 2 \overline{z_1^2 z_2^2 z_1^2 z_2} \\
& + 2 \overline{z_1^2 z_1^2 z_2^2} - \overline{2 z_1^2 z_2^2 z_1^2 z_2}.
\end{aligned}
$$

ce qui donne la rotation

$$
X = z_1 \frac{\partial}{\partial z_1} - 2z_2 \frac{\partial}{\partial z_2}.
$$

Si le premier terme s'annule avec le neuvième ou avec le onzième, alors $f_1(z) = z_1 z_2$,
avec $f_2(z) = -z_2^2$ pour compenser. Dans ce cas, l'équation devient

$$
\begin{aligned}
0 = & -z_1^2 z_2 \overline{z_1^2 z_2^2} - z_1^2 z_2^3 \overline{z_1^2} + 2 z_1^2 z_2^2 \overline{z_1^2 z_2} \\
& + z_1^2 z_2^3 \overline{z_1^2} - z_1^2 z_2^2 \overline{z_1^2 z_2} \\
& - z_1^2 z_2^2 \overline{z_1^2 z_2} - z_1^2 \overline{z_1^2 z_2^3} + 2 z_1^2 z_2 \overline{z_1^2 z_2^2} \\
& + z_1^2 \overline{z_1^2 z_2^3} - z_1^2 z_2 \overline{z_1^2 z_2^2}.
\end{aligned}
$$

Nous obtenons le champ

$$
Y = z_1 z_2 \frac{\partial}{\partial z_1} - z_2^2 \frac{\partial}{\partial z_2},
$$

qui est une rotation généralisée. Cet exemple est donc plus riche que le précédent avec
cette rotation généralisée Y qui complète les champs rigides de notre hypersurface, aux
côtés de W et X.
Pour compléter la liste des champs vectoriels CR, il s'agit maintenant d'intégrer ces trois champs rigides. Nous savons que W s'intègre en E, que Y ne s'intègre pas tout comme X s'il est pris seul. Intégrons donc E en le combinant éventuellement avec un facteur de X. Une intégration de $(6\lambda E + aX)$ peut s'écrire, $W^2$, ou

$$(6\lambda E + aX)^1 = (\lambda z_1 w + a z_1 \overline{w} + \phi_1(z)) \frac{\partial}{\partial z_1} + (\lambda z_2 w - 2a z_2 \overline{w} + \phi_2(z)) \frac{\partial}{\partial z_2} + (3\lambda w^2 + \phi(z)) \frac{\partial}{\partial w},$$

qui, pour être un champ vectoriel CR, doit satisfaire (nous rappelons que sur l'hypersurface, $w = u + i\mathcal{P}$)

$$
\begin{align*}
0 &= 2 \operatorname{Re}(6\lambda E + aX)^1 (\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) \\
  &= ((\lambda + a)z_1 w + \phi_1(z))\mathcal{P}_1 + ((\lambda - 2a)z_2 w + \phi_2(z))\mathcal{P}_2 + \frac{3\lambda}{2}iw^2 + \frac{i}{2}\phi(z) \\
  &\quad + \overline{(\dots)} \\
  &= ((\lambda + a)z_1 w + \phi_1(z))(-z_1\overline{z_1}^2\overline{z_2}^2 - z_1z_2\overline{z_1}^2 + 2z_1z_2\overline{z_1}\overline{z_2}) \\
  &\quad + ((\lambda - 2a)z_2 w + \phi_2(z))(-z_1^2z_2\overline{z_1}^2 + z_1\overline{z_1}^2\overline{z_2}) \\
  &\quad + \frac{3\lambda}{2}iw^2 + \frac{i}{2}\phi(z) + \overline{(\dots)} \\
  &= \phi_1(z)(\dots) + \phi_2(z)(\dots) + u(\dots) + \frac{i}{2}\phi(z) - \frac{i}{2}\overline{\phi(z)} \\
  &\quad + i(\lambda + a)z_1(-z_1\overline{z_1}^2\overline{z_2}^2 - z_1z_2\overline{z_1}^2 + 2z_1z_2\overline{z_1}\overline{z_2})\mathcal{P} \\
  &\quad + i(\lambda - 2a)z_2(-z_1^2z_2\overline{z_1}^2 + z_1\overline{z_1}^2\overline{z_2})\mathcal{P} \\
  &\quad + \frac{3\lambda}{2}i(i\mathcal{P})^2 + \overline{(\dots)} = \dots \\
  &= \phi_1(z)(\dots) + \phi_2(z)(\dots) + u(\dots) + \frac{i}{2}\phi(z) - \frac{i}{2}\overline{\phi(z)} \\
  &\quad + i(\lambda + a)\left(\frac{1}{2}z_1^4\overline{z_1}^4\overline{z_2}^4 + 3z_1^4\overline{z_2}^2\overline{z_1}^4\overline{z_2}^2 - 2z_1^4z_2\overline{z_1}^4\overline{z_2}^3 + \frac{1}{2}z_1^4z_2^4\overline{z_1}^4 - 2z_1^4z_2^3\overline{z_1}^4\overline{z_2}\right) \\
  &\quad + i(\lambda - 2a)\left(\frac{3}{2}z_1^4z_2^2\overline{z_1}^4\overline{z_2}^2 - \frac{1}{2}z_1^4z_2\overline{z_1}^4\overline{z_2}^3 + \frac{1}{2}z_1^4z_2^4\overline{z_1}^4 - \frac{3}{2}z_1^4z_2^3\overline{z_1}^4\overline{z_2}\right) \\
  &\quad - \frac{3\lambda}{2}i\left(\frac{1}{4}z_1^4\overline{z_1}^4\overline{z_2}^4 + \frac{3}{2}z_1^4z_2^2\overline{z_1}^4\overline{z_2}^2 - z_1^4z_2\overline{z_1}^4\overline{z_2}^3 + \frac{1}{4}z_1^4z_2^4\overline{z_1}^4 - z_1^4z_2^3\overline{z_1}^4\overline{z_2}\right) \\
  &\quad + \overline{(\dots)}.
\end{align*}
$$

La première ligne (conjugué compris) ne contiendra jamais de variables holomorphes et antiholomorphes de degré 4 en même temps. Elle est donc incompatible avec les trois suivantes. Pour celles-ci, nous remarquons que la ligne du milieu (troisième ligne) pose problème pour les termes en $z_1^4\overline{z_1}^4\overline{z_2}^4$ et en $z_1^4z_2\overline{z_1}^4\overline{z_2}^3$ (le terme en $z_1^4z_2^2\overline{z_1}^4\overline{z_2}^2$ s'annule automatiquement avec son conjugué). En effet, pour ces deux derniers termes,
$$ 
\begin{gather*}
\frac{1}{2}(\lambda + a) - \frac{1}{2}(\lambda + a) - \frac{1}{2}(\lambda - 2a) - \frac{3\lambda}{8} + \frac{3\lambda}{8} = 0, \quad \text{et} \\
-2(\lambda + a) + 2(\lambda + a) - \frac{1}{2}(\lambda - 2a) + \frac{3}{2}(\lambda - 2a) + \frac{3\lambda}{2} - \frac{3\lambda}{2} = 0.
\end{gather*}
$$

Ainsi, il est nécessaire que $\lambda = 2a$. De plus, la partie contenant $u$ s'annule d'elle-même :

$$ \frac{3\lambda}{2}u \cdot 2\mathcal{P} + \frac{3\lambda}{2}u^2i - 3\lambda u\mathcal{P} + (\dots) = 0. $$

Nous obtenons donc le champ

$$ 
\begin{align*}
(6\lambda E + aX)^1 &= (2az_1w + az_1w)\frac{\partial}{\partial z_1} + (2az_2w - 2az_2w)\frac{\partial}{\partial z_2} + 6aw^2\frac{\partial}{\partial w} \\
&= 3az_1w\frac{\partial}{\partial z_1} + 6aw^2\frac{\partial}{\partial w},
\end{align*}
$$

$$ \text{ou plutôt } W^2 = az_1w\frac{\partial}{\partial z_1} + 2aw^2\frac{\partial}{\partial w}. $$

Pour résumer cet exemple en termes de degré, si

$$ \mathcal{P}(z, \bar{z}) = -\frac{1}{2}z_1^2\bar{z}_1^2 - \frac{1}{2}z_2^2\bar{z}_2^2 + z_1^2\bar{z}_2^2 - \frac{1}{2}z_2^2\bar{z}_1^2, $$

alors $\dim_{\mathbb{R}} \mathfrak{g} = 5$, avec

$$ \mathfrak{g}_{-1} = \{aW \mid a \in \mathbb{R}^*\}, $$

$$ 
\begin{gather*}
\mathfrak{g}_0 = \left\{ az_1 \frac{\partial}{\partial z_1} - 2az_2 \frac{\partial}{\partial z_2} \quad \text{ou} \quad bE \mid a, b \in \mathbb{R}^* \right\}, \qquad \mathfrak{g}_c = \left\{ az_1 z_2 \frac{\partial}{\partial z_1} - az_2^2 \frac{\partial}{\partial z_2} \mid a \in \mathbb{R}^* \right\}, \\
\mathfrak{g}_0 = \left\{ az_1 w \frac{\partial}{\partial z_1} + 2aw^2 \frac{\partial}{\partial w} \mid a \in \mathbb{R}^* \right\},
\end{gather*}
$$

$$ \mathfrak{g}_j = \emptyset, \quad \text{pour } j = t, n. $$
<figure><img src="image_15.png" /></figure>
# Chapitre 3

## Cas connus

Dans ce chapitre, nous rappelons les récents résultats à propos des hypersurfaces de $\mathbb{C}^3$. Le but est maintenant d'entrer plus spécifiquement dans les détails d'une sorte de méthode pour classifier l'algèbre de Lie des automorphismes infinitésimaux CR d'hypersurfaces de $\mathbb{C}^3$. En outre, ce chapitre tire son importance d'un apport considérable effectué dans ce travail par rapport au lemme 3.3 de [49]. Il s'agit de décomposer les rotations (en une partie diagonale et une partie nilpotente sans diagonale) et en effet, un contre exemple de ce lemme est donnée et un ajustement du lemme est proposé dans ce chapitre$^{81}$.

### 3.1 Cas modèle

Cette section traite d'un premier exemple important$^{82}$. Nous considérons l'hyper-surface définie par

$$M = \{(z_1, z_2, w) \in \mathbb{C}^3 \mid \mathrm{Im} w = z_1 \overline{z_2}^\ell + z_2 \overline{z_1}^\ell\},$$

pour un $\ell > 1$, que nous appelons hypersurface modèle. Une certaine symétrie est apparente, mais il s'agit maintenant de classifier $\mathfrak{g}$, selon ses composantes. Nous notons que $M$ est de type fini$^{83}$ $m = \ell + 1$. Cette hypersurface est également holomorphiquement non dégénérée si $\ell > 0$ et Levi dégénérée si $\ell > 1$. Intéressons-nous d'abord aux champs

<footnote n="81">81. Cf. contre exemple 3.2.12, p.66 et lemme 3.2.13, p.68.</footnote>

<footnote n="82">82. Cf. [46], pp.8-13, section 5, mais reformulée.</footnote>

<footnote n="83">83. Cf. remarque 1.1.43.b), p.17.</footnote>
vectoriels CR qui sont rigides.

**Proposition 3.1.1.**

Les seuls automorphismes infinitésimaux CR rigides et homogènes de M sont,

$$
i) X_i = aW = a \frac{\partial}{\partial w}, a \in \mathbb{R}^*, \text{ de degré } -1;
$$

$$
ii) X_{ii} = a \frac{\partial}{\partial z_1} + 2i \bar{a} z_2 \frac{\partial}{\partial w}, a \in \mathbb{C}^*, \text{ de degré } -\frac{1}{\ell+1};
$$

$$
iii) X_{iii} = az_1 \frac{\partial}{\partial z_1} - \bar{a} \ell z_2 \frac{\partial}{\partial z_2}, a \in \mathbb{C}^*, \text{ de degré } 0;
$$

$$
iv) X_{iv} = i az_2^{\ell} \frac{\partial}{\partial z_1}, a \in \mathbb{R}^*, \text{ de degré } \frac{\ell-1}{\ell+1}.
$$

Démonstration. Notons que ces quatre champs vectoriels sont bien rigides et homo-
gènes. Considérons un champ qui est un automorphisme infinitésimal CR, de manière
générale. Il s'écrit

$$
X = \sum_{j=1}^{2} f_j(z) \frac{\partial}{\partial z_j} + g(z) \frac{\partial}{\partial w}.
$$

et il faut donc que, par définition,

$$
\begin{align*}
0 &= 2 \operatorname{Re} X(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) \\
  &= f_1(z) \overline{z_2}^\ell + \ell f_2(z) z_2^{\ell-1} \overline{z_1} + \frac{i}{2} g(z) + \overline{f_1(z)} z_2^\ell + \ell \overline{f_2(z)} \overline{z_2}^{\ell-1} z_1 - \frac{i}{2} \overline{g(z)}.
\end{align*}
$$

Nous observons l'annulation de chacun des six termes, l'un après l'autre, avec les autres.
Notons que le champ trivial nul ne nous intéresse pas, c'est pourquoi l'annulation d'un
terme avec lui-même est écartée.

Le premier terme ne peut s'annuler ni avec le deuxième, ni avec le troisième terme, en comparant les parties antiholomorphes. Une annulation est possible avec le quatrième terme, son conjugué, avec $f_1(z) = iz_2^\ell$. Avec un coefficient réel ajouté (et avec $f_2 = g = 0$), nous obtenons $X_{iv}$. L'annulation avec le cinquième terme, avec $f_1(z) = z_1$ et $f_2(z) = -\frac{1}{\ell}z_2$, donne $X_{iii}$ (avec l'ajout d'un coefficient complexe). Par conjugaison, il s'agit également de l'annulation du deuxième terme avec le quatrième. Enfin, l'annulation du premier terme avec le dernier terme, avec $f_1(z) = \frac{1}{2}$ constante et $g(z) = iz_2^\ell$, donne $X_{ii}$.

Concernant le deuxième terme, son annulation avec le terme précédent ainsi qu'avec
le quatrième terme ont déjà été observées (donnant en particulier $X_{iii}$) et une annulation
est impossible avec les troisième, cinquième et sixième termes.
Pour le troisième terme, seule l'annulation avec son conjugué nous intéresse (les autres sont impossibles ou donnent $X_{ii}$). Elle nous amène, avec g une constante réelle (et $f_1 = f_2 = 0$), à $X_i$. Tous les cas de figures ont été traités. □

Pour compléter la liste des champs CR, intégrons ces quatre champs.

**Proposition 3.1.2.**

Le champ $X_i$ possède une 1-intégration, une 2-intégration, mais pas de 3-intégration.

*Démonstration.* La première intégration de $W$ est bien connue, il s'agit du champ d'Eu-ler<sup>84</sup>,

$$E = \frac{1}{\ell + 1} \left( z_1 \frac{\partial}{\partial z_1} + z_2 \frac{\partial}{\partial z_2} \right) + w \frac{\partial}{\partial w}.$$

Intégrant $E$, nous obtenons

$$E^1 = \left( \phi_1(z) + \frac{1}{\ell+1} z_1 w \right) \frac{\partial}{\partial z_1} + \left( \phi_2(z) + \frac{1}{\ell+1} z_2 w \right) \frac{\partial}{\partial z_2} + \left( \phi(z) + \frac{1}{2} w^2 \right) \frac{\partial}{\partial w},$$

et pour que ce champ appartienne à $\text{hol}(M, p)$, nous posons

$$
\begin{align*}
0 &= 2 \operatorname{Re} E^1(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) \\
&= \phi_1(z) \overline{z_2}^\ell + \frac{1}{\ell+1} w z_1 \overline{z_2}^\ell + \ell \phi_2(z) z_2^{\ell-1} \overline{z_1} \\
&\quad + \frac{\ell}{\ell+1} w z_2^\ell \overline{z_1} + \frac{i}{2} \phi(z) + \frac{i}{4} w^2 + \overline{\dots} \\
&= \phi_1(z) \overline{z_2}^\ell + \frac{1}{\ell+1} (u + i \mathcal{P}) z_1 \overline{z_2}^\ell + \ell \phi_2(z) z_2^{\ell-1} \overline{z_1} \\
&\quad + \frac{\ell}{\ell+1} (u + i \mathcal{P}) z_2^\ell \overline{z_1} + \frac{i}{2} \phi(z) + \frac{i}{4} (u + i \mathcal{P})^2 + \overline{\dots} \\
&= \phi_1(z) \overline{z_2}^\ell + \ell \phi_2(z) z_2^{\ell-1} \overline{z_1} + \frac{i}{2} \phi(z) + \overline{\phi_1(z)} z_2^\ell + \ell \overline{\phi_2(z)} z_1 \overline{z_2}^{\ell-1} \\
&\quad + \frac{1}{\ell+1} (u + i \mathcal{P}) z_1 \overline{z_2}^\ell + \frac{\ell}{\ell+1} (u + i \mathcal{P}) z_2^\ell \overline{z_1} + \frac{i}{4} (u^2 + 2iu \mathcal{P} - \mathcal{P}^2) \\
&\quad + \frac{1}{\ell+1} (u - i \mathcal{P}) z_2^\ell \overline{z_1} + \frac{\ell}{\ell+1} (u - i \mathcal{P}) z_1 \overline{z_2}^\ell - \frac{i}{4} (u^2 - 2iu \mathcal{P} - \mathcal{P}^2) \\
&= \phi_1(z) \overline{z_2}^\ell + \ell \phi_2(z) z_2^{\ell-1} \overline{z_1} + \overline{\phi_1(z)} z_2^\ell + \ell \overline{\phi_2(z)} z_1 \overline{z_2}^{\ell-1} \\
&\quad + u \mathcal{P} + \frac{1}{\ell+1} i \mathcal{P} z_1 \overline{z_2}^\ell + \frac{\ell}{\ell+1} i \mathcal{P} z_2 \overline{z_1} - \frac{1}{2} u \mathcal{P} - \frac{1}{\ell+1} i \mathcal{P} z_2 \overline{z_1} - \frac{\ell}{\ell+1} i \mathcal{P} z_1 \overline{z_2}^\ell - \frac{1}{2} u \mathcal{P} \\
&= \phi_1(z) \overline{z_2}^\ell + \ell \phi_2(z) z_2^{\ell-1} \overline{z_1} + \overline{\phi_1(z)} z_2^\ell + \ell \overline{\phi_2(z)} z_1 \overline{z_2}^{\ell-1} \\
&\quad + \frac{1-\ell}{\ell+1} i \left( z_1^2 \overline{z_2}^{2\ell} + z_1 z_2^\ell \overline{z_1 z_2}^\ell - z_1 z_2 \overline{z_1 z_2}^\ell - z_2^{2\ell} \overline{z_1}^2 \right) \\
&= \frac{1-\ell}{\ell+1} i \left( z_1^2 \overline{z_2}^{2\ell} - z_2^{2\ell} \overline{z_1}^2 \right)
\end{align*}
$$

<footnote n="84">84. Cf. exemple 2.1.20, p.35, une constante réelle est d'ailleurs présente.</footnote>
où les $\phi(z) = \phi_1(z) = \phi_2(z) = \phi_3(z) = 0$. En effet, les différents $\phi_j$ pourraient éventuellement s'annuler, mais ne seraient pas de degré $\ell + 2$ (pour que le champ soit de degré pondéré 1). Nous observons donc que $E$ ne peut s'intégrer seul. Par contre, il est possible de combiner $E$ avec une rotation $X_{iii} = az_1 \frac{\partial}{\partial z_1} - \frac{\bar{a}}{\ell} z_2 \frac{\partial}{\partial z_2}$, $a \in \mathbb{C}^*$, avant d'intégrer. Une 1-intégration de $X_{iii}$ s'écrit

$$X_{iii}^{1} = (\phi_{1}(z) + az_{1}w) \frac{\partial}{\partial z_{1}} + \left(\phi_{2}(z) - \frac{\bar{a}}{\ell} z_{2}w\right) \frac{\partial}{\partial z_{2}} + \phi(z) \frac{\partial}{\partial w}$$

et satisfait

$$
\begin{align*}
0 &= 2 \operatorname{Re} X_{iii}^{1} (\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) \\
&= \phi_1(z) \overline{z_2}^{\ell} + a w z_1 \overline{z_2}^{\ell} + \ell \phi_2(z) z_2^{\ell-1} \overline{z_1} \\
&\quad - \bar{a} w \overline{z_2}^{\ell} \overline{z_1} + \frac{i}{2} \phi(z) + (\dots) \\
&= a(u + i \mathcal{P}) z_1 \overline{z_2}^{\ell} - \bar{a}(u + i \mathcal{P}) z_2^{\ell} \overline{z_1} + (\dots) \\
&= a u z_1 \overline{z_2}^{\ell} - \bar{a} u \overline{z_2}^{\ell} z_1 + i a \mathcal{P} z_1 \overline{z_2}^{\ell} - i \bar{a} \mathcal{P} z_2 \overline{z_1}^{\ell} \\
&\quad + \bar{a} u \overline{z_2}^{\ell} z_1 - a u z_1 \overline{z_2}^{\ell} - i \bar{a} \mathcal{P} z_2 \overline{z_1}^{\ell} + i a \mathcal{P} z_1 \overline{z_2}^{\ell} \\
&= i a (z_1^2 \overline{z_2}^{2\ell} + z_1 z_2 \overline{z_1} \overline{z_2}^{\ell}) - i \bar{a} (z_1 z_2 \overline{z_1} \overline{z_2}^{\ell} + z_2^2 \overline{z_1} \overline{z_2}^{\ell}) \\
&\quad - i \bar{a} (z_1 z_2 \overline{z_1} \overline{z_2}^{\ell} + z_2^2 \overline{z_1} \overline{z_2}^{\ell}) + i a (z_1^2 \overline{z_2}^{2\ell} + z_1 z_2 \overline{z_1} \overline{z_2}^{\ell}) \\
&= 2i(a - \bar{a}) z_1 z_2 \overline{z_1} \overline{z_2}^{\ell} + 2ia z_1^2 \overline{z_2}^{2\ell} - 2i \bar{a} z_2^2 \overline{z_1} \overline{z_2}^{\ell} \\
&= 2ia (z_1^2 \overline{z_2}^{2\ell} - z_2^2 \overline{z_1} \overline{z_2}^{\ell}), \quad \text{si } a \in \mathbb{R},
\end{align*}
$$

où les $\phi_1$, $\phi_2$ et $\phi$ sont nuls pour les mêmes raisons que précédemment pour $E^1$. Nous imposons que $a \in \mathbb{R}$ pour que les intégrations simultanées de $E^1$ et $X_{iii}^1$ puissent se compenser. En comparant ces deux équations respectives, nous obtenons

$$a = \frac{\ell - 1}{2(\ell + 1)}.$$

Le champ correspondant, dans $g_1$, qui est l'intégration de $E + \lambda X_{iii}$ est

$$
\begin{align*}
W^2 &= \left( \frac{1}{\ell+1} + \frac{\ell-1}{2(\ell+1)} \right) z_1 w \frac{\partial}{\partial z_1} + \left( \frac{1}{\ell+1} - \frac{\ell-1}{2\ell(\ell+1)} \right) z_2 w \frac{\partial}{\partial z_2} + \frac{1}{2} w^2 \frac{\partial}{\partial w} \\
&= \frac{\ell+1}{2(\ell+1)} z_1 w \frac{\partial}{\partial z_1} + \frac{\ell+1}{2\ell(\ell+1)} z_2 w \frac{\partial}{\partial z_2} + \frac{1}{2} w^2 \frac{\partial}{\partial w}.
\end{align*}
$$
$$ = \frac{1}{2} z_1 w \frac{\partial}{\partial z_1} + \frac{1}{2} z_2 w \frac{\partial}{\partial z_2} + \frac{1}{2} w^2 \frac{\partial}{\partial w}. $$

Il est évident qu'une constante réelle est envisageable et il s'avère impossible d'intégrer ce dernier champ, car le degré de son intégration serait trop grand <fnref n="85" />. □

### Remarque 3.1.3.

Le caractère indispensable de la rotation $X_{iii}$ employée dans la démonstration précédente peut également être abordée comme suit. Nous savons <fnref n="86" /> que toute 1-intégration

$$ W^1 = \sum_{j=1}^{2} \phi_j(z) \frac{\partial}{\partial z_j} + (\dots) \frac{\partial}{\partial w} $$

de W satisfait le critère

$$ 2 \operatorname{Re} \left( \sum_{j=1}^{2} \phi_j(z) \mathcal{P}_{z_j} \right) = \mathcal{P}. $$

Si nous supposons deux de ces 1-intégrations, en soustrayant les deux équations correspondantes au critère, nous obtenons une rotation.

### Proposition 3.1.4.

Le champ $X_{ii}$ possède une 1-intégration, mais pas de 2-intégration. Aucun des champs $X_{iii}$ et $X_{iv}$ ne possèdent d'1-intégration.

**Démonstration.** Une 1-intégration de $X_{ii}$ est de type

$$ X_{ii}^{1} = (\phi_{1}(z) + aw) \frac{\partial}{\partial z_{1}} + \phi_{2}(z) \frac{\partial}{\partial z_{2}} + (\phi(z) + 2i\bar{a}wz_{2}^{\ell}) \frac{\partial}{\partial w}, $$

et pour que ce champ appartienne à $\text{hol}(M, p)$, nous posons

$$ \begin{aligned} 0 &= 2 \operatorname{Re} X_{ii}^{1}(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) \\ &= \phi_{1}(z) \overline{z_{2}^{\ell}} + aw \overline{z_{2}^{\ell}} + \ell \phi_{2}(z) z_{2}^{\ell-1} \overline{z_{1}} + \frac{i}{2} \phi(\overline{z}) + \frac{i}{2} 2i \bar{a} w z_{2}^{\ell} \\ &\quad + (\dots) \\ &= \phi_{1}(z) \overline{z_{2}^{\ell}} + \ell \phi_{2}(z) z_{2}^{\ell-1} \overline{z_{1}} + a(u + i \mathcal{P}) \overline{z_{2}^{\ell}} - \bar{a}(u + i \mathcal{P}) z_{2}^{\ell} \\ &\quad + \phi_{1}(z) z_{2}^{\ell} + \ell \phi_{2}(z) z_{1} \overline{z_{2}^{\ell-1}} + \bar{a}(u - i \mathcal{P}) z_{2}^{\ell} - a(u - i \mathcal{P}) \overline{z_{2}^{\ell}} \end{aligned} $$

<footnote n="85">85. Cf. corollaire 2.1.26, p.40.</footnote>

<footnote n="86">86. Cf. [46], p.10, équation (5.9).</footnote>
$$
\begin{align*}
&= \phi_1(z) \bar{z}_2^\ell + \ell \phi_2(z) z_2^{\ell-1} \bar{z}_1 + \overline{\phi_1(z)} z_2^\ell + \ell \overline{\phi_2(z)} z_1 \bar{z}_2^{\ell-1} \\
&\quad + 2ai \mathcal{P} \bar{z}_2^\ell - 2ai \mathcal{P} z_2^\ell \\
&= \phi_1(z) \bar{z}_2^\ell + \ell \phi_2(z) z_2^{\ell-1} \bar{z}_1 + \overline{\phi_1(z)} z_2^\ell + \ell \overline{\phi_2(z)} z_1 \bar{z}_2^{\ell-1} \\
&\quad + 2ai (z_1 \bar{z}_2^{2\ell} + z_2^\ell \bar{z}_1 \bar{z}_2^\ell) - 2ai (z_1 z_2^\ell \bar{z}_2^\ell + z_2^{2\ell} \bar{z}_1)
\end{align*}
$$

ce qui est valide dans un seul cas, avec $\phi(z) = 0$ (déjà enlevé au début), $\phi_1(z) = 2\bar{a}i z_1 z_2^\ell$ et $\phi_2(z) = \frac{2\bar{a}i}{\ell} z_2^{\ell+1}$. Cela nous donne

$$
X_{ii}^{1} = (2\bar{a}i z_{1} z_{2}^{\ell} + aw) \frac{\partial}{\partial z_{1}} + \frac{2\bar{a}i}{\ell} z_{2}^{\ell+1} \frac{\partial}{\partial z_{2}} + 2i\bar{a}w z_{2}^{\ell} \frac{\partial}{\partial w}, \quad a \in \mathbb{C}^{*}.
$$

Nous pouvons maintenant observer que $X_{iii}$ ne possède pas d’intégration. En effet, une rotation ne possède jamais d’intégration. Nous pouvons également nous en convaincre en considérant une telle 1-intégration qui s’écrirait

$$
X_{iii}^{1} = (\phi_{1}(z) + az_{1}w) \frac{\partial}{\partial z_{1}} + \left(\phi_{2}(z) - \frac{\bar{a}}{\ell}z_{2}w\right) \frac{\partial}{\partial z_{2}} + \phi(z) \frac{\partial}{\partial w}.
$$

Nous arriverions à une contradiction (ou à une solution nulle) en développant l'équation

$$
0 = 2 \operatorname{Re} X_{iii}^{1} (\mathcal{P} - \operatorname{Im} w).
$$

Le dernier champ, $X_{iv}$ ne peut être intégré dans hol à cause d'un degré qui serait trop grand$^{87}$. $\square$

Nous pouvons formuler le résultat final de ce cas modèle comme suit.

**Théorème 3.1.5.**

Soit $M$ une hypersurface décrite par $\operatorname{Im} w = z_1 \bar{z}_2^\ell + z_2^\ell \bar{z}_1$, avec $\ell > 1$. Alors $\dim \mathfrak{g} = 10$.
Plus précisément, $\dim \mathfrak{g}_{-1} = 1$, $\dim \mathfrak{g}_{-\frac{1}{\ell+1}} = 2$, $\dim \mathfrak{g}_0 = 3$, $\dim \mathfrak{g}_{\frac{\ell-1}{\ell+1}} = 1$, $\dim \mathfrak{g}_{\frac{\ell}{\ell+1}} = 2$ et
$\dim \mathfrak{g}_1 = 1$.

<footnote n="87">87. Cf. corollaire 2.1.26, p.40.</footnote>
## 3.2 Problème PQ

Cette section propose une généralisation du cas modèle précédant 88. Toujours dans $\mathbb{C}^3$, nous nous intéressons à l'hypersurface modèle M réelle, Levi dégénérée, holomorphiquement non dégénérée, de type fini et dont les éléments $(z_1, z_2, w)$ satisfont

$$ \mathrm{Im} w = P\bar{Q} + Q\bar{P}, $$

où P et Q sont des polynômes homogènes et holomorphes qui dépendent de la variable $z = (z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2$. Une telle hypersurface est dite de type PQ. Nous notons qu'il faut au minimum deux polynômes dans $\mathbb{C}^3$ pour obtenir une hypersurface holomorphiquement non dégénérée 89.

Cette section s'organise un peu différemment que précédemment, car les champs vectoriels ne peuvent pas être donnés explicitement. De fait, ils dépendent des particularités de l'hypersurface. Celle-ci peut être monomiale, peut contenir une paire symétrique d'une chaîne d'un champ vectoriel, peut être balancée – autant de notions qu'il faut définir. Nous rappelons que le lemme 3.2.13, p.68, est un apport nouveau.

### 3.2.1 Préliminaires

Notons qu'une telle variété est forcément holomorphiquement dégénérée dans $\mathbb{C}^4$ ou plus 90.

**Lemme 3.2.1.**

Toute hypersurface de type PQ est holomorphiquement dégénérée dans $\mathbb{C}^4$.

*Démonstration.* Formons le champ

$$ X = (P_{z_2}Q_{z_3} - P_{z_3}Q_{z_2}) \frac{\partial}{\partial z_1} + (P_{z_3}Q_{z_1} - P_{z_1}Q_{z_3}) \frac{\partial}{\partial z_2} + (P_{z_1}Q_{z_2} - P_{z_2}Q_{z_1}) \frac{\partial}{\partial z_3}. $$

Nous remarquons que $X(\mathcal{P}) = 0$, car

<footnote n="88">88. Cf. [49]. Remarquons que seul le cas d'une hypersurface de type fini sera pris en compte et non celui de multitype de Catlin fini. Plusieurs détails et compléments sont également ajoutés pour faciliter la lecture.</footnote>

<footnote n="89">89. Cf. proposition 2.2.2, p.40.</footnote>

<footnote n="90">90. Cf. proposition 2.2.2, p.40.</footnote>
$$
\begin{align*}
X(\mathcal{P}) &= (P_{z_2} Q_{z_3} - P_{z_3} Q_{z_2}) (P_{z_1} \overline{Q} + Q_{z_1} \overline{P}) \\
&\quad + (P_{z_3} Q_{z_1} - P_{z_1} Q_{z_3}) (P_{z_2} \overline{Q} + Q_{z_2} \overline{P}) \\
&\quad + (P_{z_1} Q_{z_2} - P_{z_2} Q_{z_1}) (P_{z_3} \overline{Q} + Q_{z_3} \overline{P}) \\
&= P_{z_1} P_{z_2} Q_{z_3} \overline{Q} - P_{z_1} P_{z_3} Q_{z_2} \overline{Q} + P_{z_2} Q_{z_1} Q_{z_3} \overline{P} - P_{z_3} Q_{z_1} Q_{z_2} \overline{P} \\
&\quad P_{z_2} P_{z_3} Q_{z_1} \overline{Q} - P_{z_1} P_{z_2} Q_{z_3} \overline{Q} + P_{z_3} Q_{z_1} Q_{z_2} \overline{P} - P_{z_1} Q_{z_2} Q_{z_3} \overline{P} \\
&\quad P_{z_1} P_{z_3} Q_{z_2} \overline{Q} - P_{z_2} P_{z_3} Q_{z_1} \overline{Q} + P_{z_1} Q_{z_2} Q_{z_3} \overline{P} - P_{z_2} Q_{z_1} Q_{z_3} \overline{P} \\
&= 0.
\end{align*}
$$

□

**Remarque 3.2.2.**

Nous pouvons affirmer que, comme $\mathcal{P}$ est homogène, $P$ et $Q$ le sont également (ces polynômes n'ont toutefois pas forcément le même degré). Effectivement, les éventuels doubles produits de $P\overline{Q} + Q\overline{P}$ doivent donner un polynôme homogène.

**Définition 3.2.3.**

Soit $Y$ un champ vectoriel homogène. Une paire de suites de polynômes holomorphes homogènes $\{U^1, \dots, U^n\}$ et $\{V^1, \dots, V^n\}$ est une paire symétrique de $Y$-chaînes si,

$$Y(U^n) = 0, \quad Y(U^j) = c_j U^{j+1}, \quad \text{pour } j = 1, \dots, n-1,$$

$$Y(V^n) = 0, \quad Y(V^j) = d_j V^{j+1}, \quad \text{pour } j = 1, \dots, n-1,$$

où les $c_j$ et $d_j$ sont des constantes non nulles complexes, satisfaisant

$$c_j = -\overline{d_{n-j}}.$$

Si les deux suites sont identiques, nous pouvons parler d'une *Y-chaîne symétrique*.

**Théorème 3.2.4.** ([49], p.258, théorème 2.3)

Soit une hypersurface modèle $M$ qui est holomorphiquement non dégénérée et qui contient un champ vectoriel non nul $Y \in \mathfrak{g}_c$. Alors, $\mathcal{P}$ se décompose en

$$\mathcal{P} = \sum_{j=1}^{M} T_j,$$
où chaque $T_j$ est donné par

$$T_j = \operatorname{Re} \left( \sum_{k=1}^{N_j} U_j^k \overline{V_j}^{N_j-k+1} \right),$$

où {$U_j^1, \dots, U_j^{N_j}$} et {$V_j^1, \dots, V_j^{N_j}$} forment une paire symétrique de $Y$-chaînes. Inversement, si un $Y$ et un $\mathcal{P}$ satisfont toutes ces conditions, alors $Y \in \mathfrak{g}_c$.

### Exemple 3.2.5.

Soit le champ vectoriel$^{91}$

$$Y = i z_2^\ell \frac{\partial}{\partial z_1}.$$

Alors $U^1 = z_1$ et $U^2 = z_2^\ell$ forment une $Y$-chaîne symétrique. En effet, $Y(U^2) = 0$, $Y(U^1) = iz_2^\ell$, donc $c_1 = i = -\overline{d_1} = -i$ et $\mathcal{P} = T_1 = \operatorname{Re} U^1 \overline{U^2}$, ce qui donne l'hypersurface modèle.

### Remarque 3.2.6.

Le dernier théorème est valable$^{92}$ pour toute hypersurface polynomiale dans $\mathbb{C}^3$.

### Définition 3.2.7.

Un polynôme $\mathcal{P}$ est dit *balancé* si nous pouvons l'écrire comme

$$\mathcal{P}(z, \bar{z}) = \sum_{|\alpha|_\Lambda = |\bar{\alpha}|_\Lambda = 1} A_{\alpha, \bar{\alpha}} z^\alpha \bar{z}^{\bar{\alpha}},$$

pour une paire de réels non nuls $\Lambda = (\lambda_1, \lambda_2)$, où

$$|\alpha|_\Lambda := \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2.$$

L'hypersurface associée est également dite *balancée*.

### Remarque 3.2.8.

Une hypersurface est balancée si et seulement si le champ

$$Y = \lambda_1 z_1 \frac{\partial}{\partial z_1} + \lambda_2 z_2 \frac{\partial}{\partial z_2},$$

<footnote n="91">91. Cf. [48], p.4809.</footnote>

<footnote n="92">92. Cf. [54], pp.14-15, définition 7.1 et théorème 7.2.</footnote>
avec les notations ci-dessus, est un champ complexe reproducteur, i.e. $Y(\mathcal{P}) = \mathcal{P}$, avec $\lambda_1$ et $\lambda_2 \in \mathbb{R}$. Les calculs découlent de la définition

**Théorème 3.2.9.** ([49], p.259, théorème 2.5)

L'hypersurface de type $PQ$ est balancée (dans certaines coordonnées) si et seulement si $\dim g_1 = 1$. Sinon, $\dim g_1 = 0$.

**Définition 3.2.10.**

Une hypersurface est dite *monomiale* s'il existe des coordonnées biholomorphes pour lesquels $P$ et $Q$ sont des monômes.

## 3.2.2 Lemmes auxiliaires

### Propriétés de $g_t$

**Lemme 3.2.11.** ([49], p.261, lemme 3.6)

Soit une hypersurface $M$ de type $PQ$. Si $M$ admet une symétrie tubulaire, alors $M$ est biholomorphe à

$$ \mathrm{Im} w = z_1 \overline{z_2}^\ell + z_2 \overline{z_1}^\ell, $$

ou à

$$ \mathrm{Im} w = z_1 \overline{z_2}^{\ell} \overline{z_2}^{\ell} + z_2 \overline{z_1}^{\ell} \overline{z_2}^{\ell}. $$

De plus, la dimension réelle des symétries tubulaires de la seconde hypersurface est 1.

### Propriétés de $g_0$

#### Contrexemple 3.2.12.

Voici un exemple qui précise le lemme 3.3, p.259 de [49]. Il semble effectivement que la distinction et la comparaison entre rotations diagonale et diagonalisable doivent être précisées. Pour le problème $PQ$ dans $\mathbb{C}^3$, soit $P = z_1 z_2^2$ et $Q = z_2^3$ monomiaux. L'hyper-surface est donc déterminée par l'équation

$$ \mathrm{Im} w = z_1 z_2 \overline{z_2}^3 + z_2 \overline{z_1} \overline{z_2}^2, $$
et elle est holomorphiquement non dégénéré $^{93}$. La rotation

$$
X = 5z_1 \frac{\partial}{\partial z_1} + iz_2 \frac{\partial}{\partial z_1} - z_2 \frac{\partial}{\partial z_2}
$$

est diagonalisable, car sa matrice correspondante est

$$
A_X = \begin{pmatrix} 5 & i \\ 0 & -1 \end{pmatrix},
$$

qui a pour valeurs propres 5 et -1. Cette matrice n'est pourtant pas diagonale. Par contre,
en contrôlant que X est bien un automorphisme infinitésimal CR, nous voyons que ses
parties diagonale et non diagonale n'interfèrent pas. En effet,

$$
\begin{align*}
2 \operatorname{Re} X (z_1 \overline{z_2^2 z_2^3} + z_2 \overline{z_1^2 z_1^3})
  &= 5z_1 \overline{z_2^2 z_2^3} + i \overline{z_2^3 z_2^3} \\
  &\quad -2z_1 \overline{z_2^2 z_2^3} - 3 \overline{z_2^3 z_1 z_2^2} \\
  &\quad +5 \overline{z_2^3 z_1 z_2^2} - i \overline{z_2^3 z_2^3} \\
  &\quad -2 \overline{z_2^3 z_1 z_2^2} - 3 z_1 \overline{z_2^2 z_2^3} \\
  &= 0.
\end{align*}
$$

Le champ $X_1 = 5z_1 \frac{\partial}{\partial z_1} - z_2 \frac{\partial}{\partial z_2}$ est donc un automorphisme infinitésimale CR à lui seul et $X_2 = iz_2 \frac{\partial}{\partial z_1}$ également. $X$ est donc décomposable en partie diagonale et partie non diagonale (qui est ici en particulier nilpotente), $X = X_1 + X_2$. Du point de vue matriciel,

$$
A_X = \begin{pmatrix} 5 & i \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & i \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
$$

Nous remarquons qu’il s’agit de la décomposition qui nous intéresse et qu’il ne s’agit
ni de la décomposition de Jordan, clairement, ni de celle de Dunford (qui décompose
toute matrice en une matrice diagonalisable et une nilpotente $^{94}$).

<footnote n="93">93. Elle vérifie le lemme 4.1.8, p.90, qui est facilement adaptable au cas *PQ*.</footnote>

<footnote n="94">94. Cf. [34], p.188, théorème 6.32. La décomposition de Dunford de $A_X$ est $A_X$ elle-même, déjà diago-
nalisable.</footnote>
**Lemme 3.2.13.**

Soit une hypersurface monomiale de type PQ.

Alors toute rotation $X \in \mathfrak{g}_0$ peut être décomposée en une rotation purement diagonale, $X_1 \in \mathfrak{g}_0^{\text{Re}} \oplus \mathfrak{g}_0^{\text{Im}}$, et une rotation sans diagonale qui elle, est nilpotente, $X_2 \in \mathfrak{g}_0^{\text{Nil.}}$ :

$$X = X_1 + X_2.$$

**Remarque 3.2.14.**

Ce lemme nous permet de séparer les rotations en plusieurs sous-groupes. Les rotations diagonales sont séparées en deux : les rotations réelles, purement réelles, et les rotations imaginaires, purement imaginaire $^{95}$. Enfin, pour les rotations non diagonales, le lemme nous indiquent qu’elles sont nilpotentes dans le cas monomial.

*Démonstration.* $X \in \mathfrak{g}_0$. Soit une rotation

$$X = a_{11}z_1 \frac{\partial}{\partial z_1} + a_{22}z_2 \frac{\partial}{\partial z_2} + a_{12}z_2 \frac{\partial}{\partial z_1} + a_{21}z_1 \frac{\partial}{\partial z_2},$$

ou du point de vue matriciel$^{96}$,

$$A_X = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix},$$

et nous considérons les monômes $P = c_P z_1^\alpha z_2^\beta$ et $Q = c_Q z_1^\gamma z_2^\delta$, où $c_P$ et $c_Q$ sont des constantes complexes. Alors,

$$0 = 2 \operatorname{Re} X (c_P \overline{c_Q} z_1^\alpha z_2^\beta \overline{z_1}^\gamma \overline{z_2}^\delta + c_Q \overline{c_P} z_1^\gamma z_2^\delta \overline{z_1}^\alpha \overline{z_2}^\beta) \\ \Leftrightarrow$$

<footnote n="95">95. Pour plus de précision sur cette décomposition, cf. théorème 4.3.1, p.111, même s’il s’agit d’un cas plus général.</footnote>

<footnote n="96">96. Cf. section 2.2.3, p.44.</footnote>
$$
\begin{align*}
0 &= a_{11} c_P \overline{c_Q} \alpha z_1^\alpha z_2^\beta \overline{z_1}^\gamma \overline{z_2}^\delta + a_{11} c_Q \overline{c_P} \gamma z_1^\gamma z_2^\delta \overline{z_1}^\alpha \overline{z_2}^\beta \\
  &\quad + a_{12} c_P \overline{c_Q} \alpha z_1^{\alpha-1} \overline{z_2}^{\beta+1} \overline{z_1}^\gamma \overline{z_2}^\delta + a_{12} c_Q \overline{c_P} \gamma z_1^{\gamma-1} \overline{z_2}^{\delta+1} \overline{z_1}^\alpha \overline{z_2}^\beta \\
  &\quad + a_{21} c_P \overline{c_Q} \beta z_1^{\alpha+1} \overline{z_2}^{\beta-1} \overline{z_1}^\gamma \overline{z_2}^\delta + a_{21} c_Q \overline{c_P} \delta z_1^{\gamma+1} \overline{z_2}^{\delta-1} \overline{z_1}^\alpha \overline{z_2}^\beta \\
  &\quad + a_{22} c_P \overline{c_Q} \beta \alpha z_1^\alpha z_2^\beta \overline{z_1}^\gamma \overline{z_2}^\delta + a_{22} c_Q \overline{c_P} \delta z_1^\gamma z_2^\delta \overline{z_1}^\alpha \overline{z_2}^\beta \\
  &\quad + \overline{a}_{11} c_Q \overline{c_P} \alpha z_1^\gamma z_2^\delta \overline{z_1}^\alpha \overline{z_2}^\beta + \overline{a}_{11} c_P \overline{c_Q} \gamma z_1^\alpha z_2^\beta \overline{z_1}^\gamma \overline{z_2}^\delta \\
  &\quad + \overline{a}_{12} c_Q \overline{c_P} \alpha z_1^\gamma z_2^\delta \overline{z_1}^{\alpha-1} \overline{z_2}^{\beta+1} + \overline{a}_{12} c_P \overline{c_Q} \gamma z_1^\alpha z_2^\beta \overline{z_1}^{\gamma-1} \overline{z_2}^{\delta+1} \\
  &\quad + \overline{a}_{21} c_Q \overline{c_P} \beta z_1^\gamma z_2^\delta \overline{z_1}^{\alpha+1} \overline{z_2}^{\beta-1} + \overline{a}_{21} c_P \overline{c_Q} \delta z_1^\alpha z_2^\beta \overline{z_1}^{\gamma+1} \overline{z_2}^{\delta-1} \\
  &\quad + \overline{a}_{22} c_Q \overline{c_P} \beta z_1^\gamma z_2^\delta \overline{z_1}^\alpha \overline{z_2}^\beta + \overline{a}_{22} c_P \overline{c_Q} \delta z_1^\alpha z_2^\beta \overline{z_1}^\gamma \overline{z_2}^\delta \\
  &= (a_{11} c_P \overline{c_Q} \alpha + a_{22} c_P \overline{c_Q} \beta + \overline{a}_{11} c_P \overline{c_Q} \gamma + \overline{a}_{22} c_P \overline{c_Q} \delta) z_1^\alpha z_2^\beta \overline{z_1}^\gamma \overline{z_2}^\delta \\
  &\quad + (a_{11} c_Q \overline{c_P} \gamma + a_{22} c_Q \overline{c_P} \delta + \overline{a}_{11} c_Q \overline{c_P} \alpha + \overline{a}_{22} c_Q \overline{c_P} \beta) \alpha z_1^\gamma z_2^\delta \overline{z_1}^\alpha \overline{z_2}^\beta \\
  &\quad + a_{12} c_P \overline{c_Q} \alpha z_1^{\alpha-1} \overline{z_2}^{\beta+1} \overline{z_1}^\gamma \overline{z_2}^\delta + a_{12} c_Q \overline{c_P} \gamma z_1^{\gamma-1} \overline{z_2}^{\delta+1} \overline{z_1}^\alpha \overline{z_2}^\beta \\
  &\quad + a_{21} c_P \overline{c_Q} \beta z_1^{\alpha+1} \overline{z_2}^{\beta-1} \overline{z_1}^\gamma \overline{z_2}^\delta + a_{21} c_Q \overline{c_P} \delta z_1^{\gamma+1} \overline{z_2}^{\delta-1} \overline{z_1}^\alpha \overline{z_2}^\beta \\
  &\quad + \overline{a}_{12} c_Q \overline{c_P} \alpha z_1^\gamma z_2^\delta \overline{z_1}^{\alpha-1} \overline{z_2}^{\beta+1} + \overline{a}_{12} c_P \overline{c_Q} \gamma z_1^\alpha z_2^\beta \overline{z_1}^{\gamma-1} \overline{z_2}^{\delta+1} \\
  &\quad + \overline{a}_{21} c_Q \overline{c_P} \beta z_1^\gamma z_2^\delta \overline{z_1}^{\alpha+1} \overline{z_2}^{\beta-1} + \overline{a}_{21} c_P \overline{c_Q} \delta z_1^\alpha z_2^\beta \overline{z_1}^{\gamma+1} \overline{z_2}^{\delta-1}.
\end{align*}
$$

Les deux premières lignes de la dernière expression doivent s'annuler seules. En effet,
il suffit de contrôler les degrés des monômes pour s'en convaincre. Nous rappelons
également qu'il n'est pas possible que $\alpha = \gamma$ et $\beta = \delta$, car l'hypersurface doit être
holomorphiquement non dégénérée$^{97}$. Ainsi, le champ diagonal

$$
X_1 = a_{11}z_1 \frac{\partial}{\partial z_1} + a_{22}z_2 \frac{\partial}{\partial z_2} \in \text{hol.} \quad \text{Il s'agit de la matrice } A_1 = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 \\ 0 & a_{22} \end{pmatrix}.
$$

Nous en concluons que le champ

$$
X_2 = X - X_1 = a_{12}z_2 \frac{\partial}{\partial z_1} + a_{21}z_1 \frac{\partial}{\partial z_2} \in \text{hol}, \quad \text{qui correspond à} \quad A_2 = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} \\ a_{21} & 0 \end{pmatrix}.
$$

<footnote n="97">97. Cf. lemme 4.1.8, p.90. Le cas *PQ* est une simplification claire de ce dernier énoncé.</footnote>
Nous allons montrer que $X_2$ est nilpotent. Comme $X_2$ est une rotation, cela signifie en particulier que

$$
\begin{align*}
0 ={}& a_{12}c_P \overline{c_Q} \alpha z_1^{\alpha-1} z_2^{\beta+1} \overline{z_1}^{\gamma} \overline{z_2}^{\delta} + a_{12}c_Q \overline{c_P} \gamma z_1^{\gamma-1} z_2^{\delta+1} \overline{z_1}^{\alpha} \overline{z_2}^{\beta} \\
& + a_{21}c_P \overline{c_Q} \beta z_1^{\alpha+1} z_2^{\beta-1} \overline{z_1}^{\gamma} \overline{z_2}^{\delta} + a_{21}c_Q \overline{c_P} \delta z_1^{\gamma+1} z_2^{\delta-1} \overline{z_1}^{\alpha} \overline{z_2}^{\beta} \\
& + \overline{a}_{12}c_Q \overline{c_P} \alpha z_1^{\gamma} z_2^{\delta} \overline{z_1}^{\alpha-1} \overline{z_2}^{\beta+1} + \overline{a}_{12}c_P \overline{c_Q} \gamma z_1^{\alpha} \overline{z_2}^{\beta} \overline{z_1}^{\gamma-1} \overline{z_2}^{\delta+1} \\
& + \overline{a}_{21}c_Q \overline{c_P} \beta z_1^{\gamma} z_2^{\delta} \overline{z_1}^{\alpha+1} \overline{z_2}^{\beta-1} + \overline{a}_{21}c_P \overline{c_Q} \delta z_1^{\alpha} z_2^{\beta} \overline{z_1}^{\gamma+1} \overline{z_2}^{\delta-1},
\end{align*}
$$

ce qui n'est valide que si au moins $a_{12}$ ou $a_{21}$ est nul. En effet, trivalement, $a_{12} = a_{21} = 0$
fonctionne, mais il est également possible d'avoir

$$
\begin{align*}
a_{12}c_P \overline{c_Q} \alpha + \overline{a}_{12}c_Q \overline{c_P} \alpha &= 0 \\
\alpha - 1 &= \gamma \\
\beta + 1 &= \delta,
\end{align*}
$$

mais dans ce cas, le terme $a_{12}c_Q \overline{c_P} \gamma z_1^{\gamma-1} z_2^{\delta+1} \overline{z_1}^{\alpha} \overline{z_2}^{\beta}$ ne peut s'annuler. Il pose problème à cause des degrés (avec $a_{12} \neq 0$) et la seule possibilité est que $\gamma = 0$. Donc $\alpha = 1$. Nous avons aussi que $a_{12}c_P \overline{c_Q}$ est purement imaginaire et $a_{21} = 0$. Il est également possible d'avoir, pour les mêmes raisons,

$$
\begin{align*}
a_{21}c_P \overline{c_Q} \beta + \overline{a}_{21}c_Q \overline{c_P} \beta &= 0 \\
\alpha + 1 &= \gamma \\
\beta &= 1 \quad \text{et} \quad \delta = 0,
\end{align*}
$$

et dans ce cas, c'est $a_{21}c_P \overline{c_Q}$ qui est purement imaginaire et $a_{12} = 0$. Nous notons également que si $a_{12}$ et $a_{21}$ sont tous deux non nuls, alors $\beta = 1$, $\delta = 0$, $\gamma = 0$ et $\alpha = 1$. Nous obtenons dans ce cas une hypersurface qui est une hyperquadrique, cas déjà traité. En résumé, la matrice correspondante à $X_2$ a les trois configurations suivantes possibles :

$$
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & a_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \text{ou} \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ a_{21} & 0 \end{pmatrix}.
$$
Or, clairement, nous voyons que ces matrices sont nilpotentes. Nous venons même de montrer que, pour $i \neq j$,

$$a_{ij} \neq 0 \Rightarrow a_{ji} = 0.$$

□

**Exemple 3.2.15.**

L'hypersurface non monomiale de type PQ avec $P = z_1z_2^2 + \frac{1}{2}z_2^3$ et $Q = z_2^3$, donnée par l'équation

$$\mathrm{Im} w = z_1 z_2 \overline{z_2}^3 + z_2^3 \overline{z_1 z_2}^2 + z_2 \overline{z_2}^3,$$

ne satisfait pas le lemme. En effet, les parties diagonale et non diagonale de la rotation

$$X = 5z_1 \frac{\partial}{\partial z_1} + 3z_2 \frac{\partial}{\partial z_1} - z_2 \frac{\partial}{\partial z_2}$$

interfèrent et demeurent donc inséparables. En effet,

$$
\begin{align*}
0 &= 2 \operatorname{Re} X (z_1 z_2 \overline{z_2}^3 + z_2^3 \overline{z_1 z_2}^2 + z_2 \overline{z_2}^3) \\
&= 5z_1 z_2 \overline{z_2}^3 + 3z_2^3 \overline{z_2}^3 \\
&\quad -2z_1 z_2 \overline{z_2}^3 - 3z_2^3 \overline{z_1 z_2}^2 - 3z_2 \overline{z_2}^3 \\
&\quad +5z_2^3 \overline{z_1 z_2}^2 + 3z_2^3 \overline{z_2}^3 \\
&\quad -2z_2^3 \overline{z_1 z_2}^2 - 3z_1 z_2 \overline{z_2}^3 - 3z_2 \overline{z_2}^3.
\end{align*}
$$

**Lemme 3.2.16.** ([49], p.259, lemme 3.2)

Soit une hypersurface monomiale de type PQ. Alors l'hypersurface est balancée.

**Propriétés de $g_0^{\mathrm{Re}}$**

**Lemme 3.2.17.** ([49], p.260, lemme 3.5)

Soit une hypersurface $M$ de type PQ. $M$ admet une rotation réelle si et seulement si $M$ est monomiale. De plus, dans ce cas, $\dim_{\mathbb{R}} g_0^{\mathrm{Re}} = 1$.
## Propriétés de $g_0^{\text{Im}}$

### Remarque 3.2.18.

Il n'est pas possible d'étudier $g_0^{\text{Im}}$ en adaptant une situation de $g_0^{\text{Re}}$. En effet, en partant d'un certaine hypersurface polynomiale $\text{Im } w = \mathcal{P}$, l'hypersurface $\text{Im } w = i\mathcal{P}$ est inimaginable, car non réelle.

**Lemme 3.2.19.** ([49], p.259, lemme 3.4)

Soit une hypersurface $M$ de type $\mathcal{P}Q$.

Alors $M$ admet une rotation imaginaire si et seulement si $M$ est une hypersurface balancée. De plus, $X$ est une rotation imaginaire si et seulement si $\text{ciX}, c \in \mathbb{R}^*$, est un champ complexe reproducteur.

## Propriétés de $g_0^{\text{Nil}}$

**Lemme 3.2.20.** ([49], p.261, lemme 3.6)

Soit une hypersurface $M$ de type $\mathcal{P}Q$. Si $M$ admet une rotation nilpotente, alors $M$ est biholomorphe à

$$ \text{Im } w = iz_1^k \overline{z_2 z_1}^{k+1} - iz_1^{k+1} \overline{z_1 \overline{z_2}}. $$

De plus, la dimension réelle des rotations nilpotentes est 1.

## Théorème 3.2.21. ([49], p.263, théorème 4.4)

Soit une hypersurface $M$ de type $\mathcal{P}Q$. Alors $1 \le \dim g_0 \le 4$. De plus,

$$ \dim g_0 = 4 \Leftrightarrow M \text{ est biholomorphe à } \text{Im } w = iz_1^{k+1} \overline{z_1 z_2} - iz_1^k \overline{z_2 z_1}^{k+1}, $$

$$ \dim g_0 = 3 \Leftrightarrow \begin{gathered} M \text{ n'est pas biholomorphe à l'hypersurface précédente et} \\ M \text{ est monomiale,} \end{gathered} $$

$$ \dim g_0 = 2 \Leftrightarrow M \text{ est balancée et non monomiale,} $$

**Démonstration.** Premièrement, notons que $\dim g_0^{\text{Im}} \in \{0; 1\}$ et que $\dim g_0^{\text{Re}} \in \{1; 2\}$. En effet, si nous considérons deux rotations diagonales,

$$ X = az_1 \frac{\partial}{\partial z_1} + bz_2 \frac{\partial}{\partial z_2} $$

$$ X' = cz_1 \frac{\partial}{\partial z_1} + dz_2 \frac{\partial}{\partial z_2}, $$
alors les combinaisons linéaires de ces rotations

$$z_1 \frac{\partial}{\partial z_1} = \frac{(dX - bX')}{ad - cb} \quad \text{et} \quad z_2 \frac{\partial}{\partial z_2} = \frac{(cX - aX')}{cb - ad}$$

sont elles-mêmes des rotations. Toutefois, si au champ d'Euler, qui est formellement une rotation, nous soustrayons les combinaisons linéaires ci-dessus, nous obtenons que $w \frac{\partial}{\partial w}$ est un champ CR, ce qui est absurde! Cette réflexion vaut pour des constantes complexes, mais nous pouvons les imaginer purement réelles ou purement imaginaires. Ainsi, en dimensions réelles, $\dim \mathfrak{g}_0^{\text{Im}} \le 1$ et $\dim \mathfrak{g}_0^{\text{Re}} \le 1$. Or, il faut ajouter le champ d'Euler, $E \in \mathfrak{g}_0^{\text{Re}}$, que nous ajoutons, bien que non rigide, formellement à $\mathfrak{g}_0^{\text{Re}}$.

Considérons maintenant la seule hypersurface (au biholomorphisme près) contenant une et une seule rotation nilpotente : Im $w = iz_1^{k+1}\overline{z_1}^k\overline{z_2} - iz_1^kz_2\overline{z_1}^{k+1}$ (cf. lemme 3.2.20). Cette dernière est monomiale donc contient une rotation réelle (lemme 3.2.17) et est en particulier balancée (lemme 3.2.16), donc contient une rotation imaginaire (lemme 3.2.19). Ainsi, pour cette hypersurface, la dimension des rotations est maximale,

$$\dim \mathfrak{g}_0 = \dim \mathfrak{g}_0^{\text{Re}} + \dim \mathfrak{g}_0^{\text{Im}} + \dim \mathfrak{g}_0^{\text{Nil}} = 2 + 1 + 1 = 4.$$

Pour une hypersurface monomiale, mais non biholomorphe à la précédente, le raisonnement est le même, rotation nilpotente omise : $\dim \mathfrak{g}_0 = 3$. Pour une hypersurface non monomiale (sans rotation réelle) et balancée (avec une rotation imaginaire), $\dim \mathfrak{g}_0 = 2$, et pour une hypersurface non balancée, $\dim \mathfrak{g}_0 = 1$. $\square$

## Propriétés de $\mathfrak{g}_c$

**Lemme 3.2.22.** ([49], p.261, lemme 3.8)

Soit une hypersurface M de type PQ. M admet une rotation généralisée si et seulement si le jacobien $J(P, Q)$ divise $QQ_{z_1}$ et $QQ_{z_2}$.
## Propriétés de $g_n$

**Théorème 3.2.23.** ([49], p.257, théorème 2.1)

Soit $\mathcal{P}(z, \bar{z})$ un polynôme homogène de degré 1 tel que l'hypersurface

$$M := \{ \operatorname{Im} w = \mathcal{P}(z, \bar{z}) \mid (z, w) \in \mathbb{C}^2 \times \mathbb{C} \}$$

soit holomorphiquement non dégénérée et avec

$$\dim g_n > 0.$$

Alors<fnref n="98" /> $M$ est biholomorphe à

$$\operatorname{Im} w = z_1 \overline{z_2}^\ell + z_2 \overline{z_1}^\ell$$

ou à

$$\operatorname{Im} w = |z_1|^2 \pm |z_2|^{2\ell}.$$

## 3.2.3 Résultats

**Théorème 3.2.24.**

Soit une hypersurface $M$ de type $PQ$ avec $\dim g_c = 1$. Alors $\dim g \in \{10; 7; 6; 3\}$. De plus,

$$\dim g = 10 \Leftrightarrow \text{M est biholomorphe à } \operatorname{Im} w = z_1 \overline{z_2}^\ell + z_2 \overline{z_1}^\ell,$$

$$\dim g = 7 \Leftrightarrow \text{M est biholomorphe à } \operatorname{Im} w = z_1 z_2 \overline{z_2}^\ell + z_2 \overline{z_1 z_1}^\ell,$$

$$\dim g = 6 \Leftrightarrow \begin{gathered} \text{M n'est pas biholomorphe aux deux hypersurfaces précédentes et} \\ \text{M est monomiale,} \end{gathered}$$

$$\dim g = 3 \Leftrightarrow \text{M n'est pas monomiale.}$$

<footnote n="98">98. Cf. [51], p.3, théorème 1.4.</footnote>
Démonstration. La première équivalence est prouvée dans le cas modèle de la section précédente. Pour tous les autres cas, nous avons dim $\mathfrak{g}_n = 0$, par le théorème 3.2.23 (la seconde hypersurface de ce théorème est Levi non dégénérée). Supposons donc que $M$ ne soit pas biholomorphe à l'hypersurface modèle pour la fin de la preuve (donc dim $\mathfrak{g}_n = 0$).

Supposons que dim $\mathfrak{g}_t \neq 0$, dans ce cas, par le lemme 3.2.11, dim $\mathfrak{g}_t = 1$ et $M$ est biholomorphe à Im $w = z_1z_2^\ell\overline{z_2}^\ell + \overline{z_2}^\ell z_1\overline{z_1}^\ell$. $M$ est donc monomiale et, par le théorème 3.2.21, dim $\mathfrak{g}_0 = 3$. $M$ est également balancée (car monomiale, lemme 3.2.16), donc dim $\mathfrak{g}_1 = 1$ par le théorème 3.2.9. De plus, par hypothèse, dim $\mathfrak{g}_c = 0$. Ainsi, dim $\mathfrak{g} = 7$ car

$$ \dim \mathfrak{g}_{-1} + \dim \mathfrak{g}_t + \dim \mathfrak{g}_0 + \dim \mathfrak{g}_n + \dim \mathfrak{g}_c + \dim \mathfrak{g}_1 = 1 + 1 + 3 + 0 + 1 + 1 = 7. $$

Supposons que dim $\mathfrak{g}_t = 0$ et que $M$ soit monomiale, alors le raisonnement est le même et dim $\mathfrak{g} = 6$ (en ayant enlevé la symétrie tubulaire).

Supposons enfin que $M$ soit non monomiale. Nous savons donc que dim $\mathfrak{g}_t = 0$ (lemme 3.2.11), dim $\mathfrak{g}_0^{Re} = 1$ (lemme 3.2.17 avec le champ d'Euler) et dim $\mathfrak{g}_0^{Nil} = 0$ (lemmes 3.2.11 et 3.2.20). Nous pouvons également prouver que, comme dim $\mathfrak{g}_c = 1$, $M$ n'est pas balancée<sup>99</sup>, donc dim $\mathfrak{g}_0^{Im} = 0$ (lemme 3.2.19) et dim $\mathfrak{g}_1 = 0$ (théorème 3.2.4). $\square$

Théorème 3.2.25.

Soit une hypersurface $M$ de type $PQ$ avec dim $\mathfrak{g}_c = 0$. Alors dim $\mathfrak{g} \in \{6; 5; 4; 2\}$. De plus,

$$ \dim \mathfrak{g} = 6 \Leftrightarrow M \text{ est biholomorphe à Im } w = iz_1^{k+1}\overline{z_1}^k\overline{z_2} - iz_1^kz_2\overline{z_1}^{k+1}, $$

$$ \dim \mathfrak{g} = 4 \Leftrightarrow \begin{array}{l} M \text{ n'est pas biholomorphe à l'hypersurface précédente et} \\ \text{M est monomiale,} \end{array} $$

$$ \dim \mathfrak{g} = 5 \Leftrightarrow M \text{ est balancée et non monomiale,} $$

$$ \dim \mathfrak{g} = 2 \Leftrightarrow M \text{ est dans les autres cas.} $$

<footnote n="99">99. Cf. corollaire 2.1.26, p.40</footnote>
**Démonstration.** Nous avons dim $\mathfrak{g}_{-1} = 1$ comme toujours, dim $\mathfrak{g}_c = 0$ par hypothèse, et dim $\mathfrak{g}_t = 0$ par le lemme 3.2.11, et donc dim $\mathfrak{g}_n = 0$.

Si $M$ est biholomorphe à Im $w = iz_1^{k+1}\overline{z_1}^k\overline{z_2} - iz_1^kz_2\overline{z_1}^{k+1}$, par le théorème 3.2.21, dim $\mathfrak{g}_0 = 4$. De plus, dim $\mathfrak{g}_1 = 1$, car $M$ est balancée (car monomiale, lemme 3.2.16). Ainsi, dim $\mathfrak{g} = 6$. La réflexion est la même pour une hypersurface monomiale non biholomorphe à l'hypersurface précédente, en enlevant la symétrie nilpotente, dim $\mathfrak{g} = 5$. De même, avec une hypersurface non monomiale, mais balancée, toujours avec le théorème 3.2.21 et dim $\mathfrak{g}_1 = 1$, dim $\mathfrak{g} = 4$. Pour tous les autres cas, dim $\mathfrak{g}_0 = 1$ et dim $\mathfrak{g}_1 = 0$, donc dim $\mathfrak{g} = 2$. $\square$

**Théorème 3.2.26.** ([49], p.263, théorème 4.3)

Il existe un modèle non monomial $M$ tel que dim $\mathfrak{g}_c > 0$.

**Démonstration.** Prenons les polynômes non monomiaux

$$P(z_1, z_2) = iz_1^2z_2^3(z_1 - z_2)$$
$$Q(z_1, z_2) = 3z_1^3z_2^5(z_1 - z_2)$$

avec le champ vectoriel

$$X = z_1z_2^2(5z_1 - 6z_2)\frac{\partial}{\partial z_1} - z_2^3(4z_1 - 3z_2)\frac{\partial}{\partial z_2}.$$

Nous calculons aisément que $X(P) = iQ$ et $X(Q) = 0$. Ainsi, par le théorème 3.2.4 (et $M = 1, P = T_1 = \text{Re } P\overline{Q}$, et dans la définition 3.2.3, $n = 2, U^1 = V^1 = P, U^2 = V^2 = Q$ et $c = d = i$), $X \in \mathfrak{g}_c$. $\square$

**Corollaire 3.2.27.**

Soit $M$ une hypersurface de type $PQ$. Alors

$$\dim \mathfrak{g} \in \{2; 3; 4; 5; 6; 7; 10\}.$$
# Chapitre 4

## Nouveaux cas

Ce chapitre est le cœur de ce travail. La première section, avec le cas modèle, est à considérer comme une introduction. Un résultat important de cette partie, pour la généralisation à suivre, est le lemme 4.1.8, p.90, qui donne un outil pratique pour vérifier qu'une hypersurface homogène est holomorphiquement dégénérée ou non.

Le deuxième section, au sujet du problème *PQR* découplé (une variable est réservée à *R*) généralise le problème *PQ* et donne un résultat complet, le théorème 4.2.11, p.109.

La dernière section traite du problème *PQR* monomial, et requiert des outils algébriques développés. L'algèbre linéaire s'avère effectivement nécessaire, notamment pour décrire les rotations généralisées, mais le résultat le plus important reste le théorème 4.3.1, p.111, qui présente une décomposition originale des rotations et ouvre la voie à de nouveaux horizons. La dimension de l'ensemble des automorphismes infinitésimaux réels analytiques CR de toute hypersurface monomiale de type *PQR* est décrite dans le théorème 4.3.24, p.158.
## 4.1 Cas modèle

Dans $\mathbb{C}^3$, le cas modèle où $\mathcal{P} = z_1\bar{z}_2^\ell + z_2^\ell\bar{z}_1$ a déjà été étudié et il se révèle riche<fnref n="100" />. Dans $\mathbb{C}^4$, une généralisation possible de ce cas est l'hypersurface modèle $M$ de $\mathbb{C}^4$ dont les éléments $(z_1, z_2, z_3, w)$ satisfont

$$ \mathrm{Im} w = z_1 \bar{z}_2^\ell + z_2^\ell \bar{z}_1 + \bar{R}R, $$

où $R$ est un monôme qui dépend de $z_1, z_2$ et obligatoirement de $z_3$ (pour que l'hypersurface soit holomorphiquement non dégénérée) et qui est homogène de degré $\frac{\ell+1}{2}$, avec $\ell \ge 1$ impair. Nous observons que le fait que $R$ soit un monôme restreint considérablement la généralité. Notons également que ce cas modèle nous servira de tremplin pour aborder une généralisation du problème $\mathrm{Im} w = P\bar{Q} + Q\bar{P}$ de $\mathbb{C}^3$, à savoir $\mathrm{Im} w = P\bar{Q} + Q\bar{P} + \bar{R}R$ dans $\mathbb{C}^4$. Nous rappelons enfin les conditions nécessaires que l'hypersurface réelle soit Levi dégénérée, holomorphiquement non dégénérée et de type fini.

Pour le type fini<fnref n="101" />, le degré du polynôme est $\ell + 1$, cette hypersurface est donc de type fini $\ell + 1$. Le cas $\ell = 1$ n'est que relativement intéressant, car très particulier - l'hypersurface est Levi non dégénérée<fnref n="102" />. D'autre part, il faut s'assurer que l'hypersurface soit bel et bien holomorphiquement non dégénérée.

**Proposition 4.1.1.**

Soit $\ell \ge 1$. L'hypersurface $M$ de $\mathbb{C}^4$ dont les éléments $(z_1, z_2, z_3, w)$ satisfont $\mathrm{Im} w = z_1\bar{z}_2^\ell + z_2^\ell\bar{z}_1 + \bar{R}R$, avec $R$ qui dépend obligatoirement de $z_3$, est holomorphiquement non dégénérée.

*Démonstration.* Selon la définition<fnref n="103" /> supposons qu'il existe un champ vectoriel $X$ holomorphe qui est tangent à $M$. Un tel champ s'écrit

$$ X = \sum_{j=1}^{3} a_j(z, w) \frac{\partial}{\partial z_j} + b(z, w) \frac{\partial}{\partial w}, $$

<footnote n="100">100. Avec $\dim \mathfrak{g} = 10$, cf. théorème 3.1.5, p.62.</footnote>

<footnote n="101">101. Cf. remarque 1.1.43.b), p.17.</footnote>

<footnote n="102">102. Dans ce cas, nous pouvons calculer que, pour $\mathrm{Im} w = z_1\bar{z}_2 + z_2\bar{z}_1 + z_3\bar{z}_3$, alors $\dim \mathfrak{g} = 24$. Plus précisément, $\dim \mathfrak{g}_{-1} = 1$, $\dim \mathfrak{g}_{-\frac{1}{2}} = 6$, $\dim \mathfrak{g}_0 = 10$, $\dim \mathfrak{g}_{\frac{1}{2}} = 6$, et $\dim \mathfrak{g}_1 = 1$.</footnote>

<footnote n="103">103. Cf. définition 2.1.23, p.36.</footnote>
où les fonctions $a_j$ et $b$ sont holomorphes. Supposé tangent, ce champ satisfait donc

$$
\begin{align*}
0 &= X|_{M} = X(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) \\
  &= X(z_1 \bar{z}_2^\ell + z_2 \bar{z}_1^\ell + R\bar{R} - \operatorname{Im} w) \\
  &= a_1(z, w) \bar{z}_2^\ell + \ell a_2(z, w) z_2^{\ell-1} \bar{z}_1 + a_3(z, w) R_{z_3} \bar{R} + \frac{i}{2} b(z, w),
\end{align*}
$$

ce qui est impossible si $X$ n'est pas nul. En effet, avec le fait que $R$ dépend de $z_3$, les parties antiholomorphes de tous ces termes sont incompatibles. Aucun terme ne peut donc se compenser et $X = 0$. $\square$

Déterminons tout d'abord tous les champs vectoriels homogènes et rigides qui sont des automorphismes infinitésimaux CR.

**Proposition 4.1.2.**

Les seuls automorphismes infinitésimaux CR rigides et homogènes de M sont, de manière générale,

$$
\bullet) X_1 = aW = a \frac{\partial}{\partial w}, a \in \mathbb{R}^*, \text{ de degré } -1;
$$

$$
\bullet) X_2 = i\ell az_1 \frac{\partial}{\partial z_1} + iaz_2 \frac{\partial}{\partial z_2}, a \in \mathbb{R}^*, \text{ de degré } 0;
$$

$$
\bullet) X_3 = i az_3 \frac{\partial}{\partial z_3}, a \in \mathbb{R}^*, \text{ de degré } 0;
$$

$$
\bullet) X_4 = \ell az_1 \frac{\partial}{\partial z_1} - az_2 \frac{\partial}{\partial z_2} + \frac{\ell+1-2 \deg_{\mathbb{R}} R (\ell+1)-2 \deg_{\mathbb{R}} \bar{R}}{2 \deg_{\mathbb{R}} \bar{R}} az_3 \frac{\partial}{\partial z_3}, a \in \mathbb{R}^*, \text{ de degré } 0.
$$

En particulier, si $R = z_3^{\frac{\ell+1}{2}}$, nous trouvons un cas particulier de $X_4$,

$$
\bullet) X_{4'} = \ell az_1 \frac{\partial}{\partial z_1} - az_2 \frac{\partial}{\partial z_2}, a \in \mathbb{R}^*, \text{ de degré } 0.
$$

Si, de plus, $R$ ne dépend pas de $z_1$, nous pouvons ajouter

$$
\bullet) X_5 = \frac{i}{2} a \frac{\partial}{\partial z_1} + az_2^\ell \frac{\partial}{\partial w}, a \in \mathbb{R}^*, \text{ de degré } -\frac{1}{\ell+1};
$$

$$
\bullet) X_{5'} = \frac{1}{2} a \frac{\partial}{\partial z_1} + i az_2^\ell \frac{\partial}{\partial w}, a \in \mathbb{R}^*, \text{ de degré } -\frac{1}{\ell+1};
$$

$$
\bullet) X_6 = i az_2^\ell \frac{\partial}{\partial z_1}, a \in \mathbb{R}^*, \text{ de degré } \frac{\ell-1}{\ell+1}.
$$

D'autre part, si $\overline{RR} = az_2^{\frac{\ell-1}{2}} z_3 \overline{z_2^{\frac{\ell-1}{2}}} \overline{z_3}$, nous avons

$$
\bullet) X_7 = -az_2^{\frac{\ell-1}{2}} z_3 \frac{\partial}{\partial z_1} + \frac{1}{a} z_2^{\frac{\ell+1}{2}} \frac{\partial}{\partial z_3}, a \in \mathbb{R}^*, \text{ de degré } \frac{\ell-1}{2(\ell+1)}.
$$

Démonstration. Comme de coutume, nous écrivons un automorphisme infinitésimal CR
homogène et rigide

$$
X = \sum_{j=1}^{3} f_j(z) \frac{\partial}{\partial z_j} + g(z) \frac{\partial}{\partial w}.
$$
Il satisfait

$$
\begin{align*}
0 &= 2 \operatorname{Re} X(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) \\
&= f_1(z) \overline{z_2}^\ell + f_1(z) R_{z_1} \bar{R} + \ell f_2(z) z_2^{\ell-1} \overline{z_1} + f_2(z) R_{z_2} \bar{R} + f_3(z) R_{z_3} \bar{R} + \frac{i}{2} g(z) \\
&\quad + \overline{f_1(z)} z_2^\ell + \overline{f_1(z)} R \overline{R_{z_1}} + \ell \overline{f_2(z)} \overline{z_2}^{\ell-1} z_1 + \overline{f_2(z)} R \overline{R_{z_2}} + \overline{f_3(z)} R \overline{R_{z_3}} - \frac{i}{2} g(z).
\end{align*}
$$

Pour être certain de ne pas oublier toutes les annulations possibles des 12 termes numérotés ci-dessus, nous articulons notre réflexion en prenant chacun des coefficients, $f_1(z)$, $f_2(z)$, $f_3(z)$ et $g(z)$ l'un après l'autre, puis, pour chaque coefficient, nous prenons un terme après l'autre et regardons avec quel autre des douze termes il peut s'annuler. Nous remarquons également qu'une annulation qui fait intervenir trois termes ou plus, tous dépendants, est impossible. En effet, si tel était le cas, il ne serait pas difficile de déduire une contradiction<fnref n="104" />.

Par rapport au premier coefficient de X, $f_1(z)$. Première partie.

Le premier terme, $f_1(z) \overline{z_2}^\ell$, ne peut s'annuler avec le deuxième terme, car par rapport aux parties antiholomorphes, $R$ ne peut être égal à $\overline{z_2}^\ell$. Il doit effectivement dépendre de $z_3$. Pour la même raison, toujours du point de vue des parties antiholomorphes, ce premier terme ne peut s'annuler avec les quatre termes qui suivent ($\ell f_2(z) z_2^{\ell-1} \overline{z_1}$, $f_2(z) R \overline{z_2 R}$, $f_3(z) R \overline{z_3 R}$ et $\frac{i}{2} g(z)$).

Une annulation, toujours du premier terme, est possible avec le septième terme, son conjugué, $\overline{f_1(z)} z_2^\ell$, prenant uniquement $f_1(z) = iz_2^\ell$. Toutefois, dans ce cas, le deuxième terme, $f_1(z) R \overline{z_1 R}$, pose problème. En effet, sa partie antiholomorphe implique qu'elle ne pourrait s'annuler qu'avec des termes en $R$, mais sa partie holomorphe est trop pauvre en $z_1$ (à la fois $R_{z_2}$, $R_{z_3}$ et $R$ ont un exposant correspondant à $z_1$ plus élevé). Nous en concluons que $R \overline{z_1} = 0$. Nous obtenons $X_6$ ($f_2$ est indépendant donc remis à plus tard).

L'annulation est impossible avec $\overline{f_1(z)} R \overline{R_{z_1}}$, huitième terme. En effet, comme $R$ dépend de $z_3$, en regardant les parties antiholomorphes, $f_1(z)R_{z_1}$ dépend également de $z_3$ et ne peut annuler $z_2^\ell$. Le même argument est valable avec le dixième terme, $\overline{f_2(z)} R \overline{R_{z_2}}$ qui n'a aucune chance d'annulation.

<footnote n="104">104. Nous pouvons également considérer que l'annulation de trois termes consiste en deux annulations imbriquées de deux termes. En parcourant la démonstration, il est possible de conclure que cela est impossible.</footnote>
Concernant le neuvième terme, $\ell \overline{f_2(z)} \overline{z_2}^{\ell-1} z_1$, il peut s'annuler avec le premier si $f_1(z) = \ell z_1$ et $f_2(z) = -z_2$ ou si $f_1(z) = i \ell z_1$ et $f_2(z) = i z_2$. Mais dans ces deux cas, à cause des autres termes touchés par $f_1(z)$ et $f_2(z)$, il faut également que les deuxième, quatrième, huitième et dixième termes s'annulent (avec $g(z) = 0$ et nous notons que, par conjugaison, l'annulation du troisième avec le neuvième terme est une simple conséquence). Les cinquième et onzième termes peuvent également intervenir.

Séparons les deux possibilités de cette annulation des premier et neuvième termes. Pour la première possibilité, $f_1(z) = \ell z_1$ et $f_2(z) = -z_2$, et nous avons

$$ \ell z_1 R_{z_1} \bar{R} - z_2 R_{z_2} \bar{R} + \ell R \overline{z_1 R_{z_1}} - R \overline{z_2 R_{z_2}} + f_3(z) R_{z_3} \bar{R} + \overline{f_3(z) R R_{z_3}} = 0. \quad (4.1) $$

La partie avec $f_3$ peut être nulle, mais elle peut également intervenir avec $f_3(z) = cz_3$, $c \in \mathbb{C}^*$. En outre, le monôme $R$ a une grande importance ici. Nous le notons

$$ R = z_1^\alpha z_2^\beta z_3^\gamma, $$

avec $\gamma \neq 0$. Ainsi, l'équation (4.1) devient

$$ \ell\alpha - \beta + c\gamma = 0, \quad (4.2) $$

si $f_3(z) = cz_3$ ou

$$ \ell\alpha - \beta = 0, \quad (4.3) $$

si $f_3(z) = 0$. Dans tous les cas, pour des raisons d'homogénéité de $\mathcal{P}$,

$$ \alpha + \beta + \gamma = \frac{\ell + 1}{2}. \quad (4.4) $$

Nous distinguons donc les deux cas où $f_3$ est nul ou non. Si $f_3(z) = 0$ alors, $\beta = \ell\alpha$, par l'équation (4.3). D'une part, si $\alpha = \beta = 0$, autrement dit si $R$ ne dépend que de $z_3^{\ell+1/2}$, nous obtenons

$$ X_{4'} = \ell z_1 \frac{\partial}{\partial z_1} - z_2 \frac{\partial}{\partial z_2}. $$
D'autre part, si $\beta = \ell\alpha \neq 0$, nous observons l'équation (4.4), qui devient

$$
\begin{align*}
\alpha + \ell\alpha + \gamma &= \frac{\ell+1}{2} \\
\Leftrightarrow 2\alpha(1+\ell) + 2\gamma &= \ell + 1 \\
\Leftrightarrow 2\alpha(\ell + 1) + 2\gamma &= \ell + 1 \\
\Leftrightarrow \gamma &= \frac{\ell + 1 - 2\alpha(\ell + 1)}{2} \\
&\le \sum_{\alpha \ge 1} \frac{\ell + 1 - 2(\ell + 1)}{2} = -\frac{\ell + 1}{2} \\
&\le \ell \ge 1 - \frac{1+1}{2} = -1 < 0.
\end{align*}
$$

Cela n’est pas possible, car il s’agit d’une contradiction. Pour conclure avec cette pre-
mière possibilité sous-jacente à l’annulation des premier et neuvième termes, supposons
que $f_3$ n’est pas nul, avec $c \neq 0$. Additionnant les équations (4.2) et (4.4), nous avons

$$
\alpha(\ell + 1) + \gamma(c + 1) = \frac{\ell + 1}{2} \iff c = \frac{\ell + 1 - 2\alpha(\ell + 1) - 2\gamma}{2\gamma}.
$$

Nous obtenons $X_4$. Nous remarquons également que $c$ est toutefois nul lorsque $R$ ne dépend que de $z_3$. En effet, $\alpha = 0$ et $\ell + 1 = 2\gamma$. Nous observons donc que $X_4$ est une généralisation de $X_4'$.

Pour la seconde possibilité de l'annulation des premier et neuvième termes, nous rappelons que $f_1(z) = i\ell z_1$ et $f_2(z) = iz_2$, et nous avons,

$$
i\ell z_1 R_{z_1} \bar{R} + i z_2 R_{z_2} \bar{R} - i\ell R \bar{z}_1 R_{z_1} - i R \bar{z}_2 R_{z_2} + f_3(z) R_{z_3} \bar{R} + \bar{f}_3(z) R R_{z_3} = 0
$$

ce qui est le cas puisque

$$
i\ell z_1 R_{z_1} \bar{R} - i\ell R \bar{z}_1 R_{z_1} = 0 \quad \text{et} \quad i z_2 R_{z_2} \bar{R} - i R \bar{z}_2 R_{z_2} = 0,
$$

(ce qui ne pose jamais de problème). La partie avec $f_3$ est laissée indépendante (avec $X_3$). Nous obtenons $X_2$ et venons donc d'étudier l'annulation du deuxième terme avec le huitième, celle du troisième avec le septième, et celle du quatrième avec le dixième terme.
Une annulation, toujours du premier terme, est possible avec le onzième terme, $\overline{f_3(z) R \overline{R}_{z_3}}$, si $R = -f_1$ (parties holomorphes) et $z_2^\ell = f_3(z)R_{z_3}$ (parties antiholomorphes). R ne peut dépendre de $z_1$ et a pour facteur $z_3$. Vu son degré,

$$R = z_2^{\frac{\ell-1}{2}} z_3 = -f_1(z).$$

Ainsi, pour compenser, $f_3(z) = z_2^{\frac{\ell+1}{2}}$. En ajoutant un coefficient réel $a$, nous obtenons $X_7$. Le coefficient ne peut être que réel, car il est celui de $\overline{RR}$ et de $f_1$.

Une autre annulation est possible avec $-\frac{i}{2}g(z)$, douzième terme, en prenant $f_1(z) = \frac{i}{2}$ et $g(z) = z_2^\ell$ ou $f_1(z) = \frac{1}{2}$ et $g(z) = iz_2^\ell$. Toutefois, dans ces deux cas, le deuxième terme, $f_1(z) R_{z_1} \overline{R}$, pose problème. En effet, comme ci-dessus, sa partie holomorphe est trop pauvre en $z_1$. Ainsi, $R_{z_1} = 0$. Nous obtenons donc $X_4$ et $X_5'$.

Par rapport au premier coefficient de $X$, $f_1(z)$. Seconde partie.

Il faut maintenant étudier les annulations possibles par rapport au deuxième terme, $f_1(z) R_{z_1} \overline{R}$. L'annulation entre le premier et le deuxième terme a déjà été traitée (nous ne reviendrons désormais plus sur ce genre de redite).

L'annulation avec le troisième terme est impossible (en comparant les parties antiholomorphes). Avec le quatrième terme, l'annulation serait possible avec $f_1(z) = z_1$ et $f_2(z) = -z_2$, mais cela est incompatible avec les autres termes (cf. le champ $X_4'$ ci-dessus, avec $f_1(z) = \ell z_1$ et $f_2(z) = -z_2$).

Par rapport au cinquième terme, il faudrait, que $f_1(z) = iz_1$, $f_3(z) = -iz_3$ avec les mêmes degrés de $R$ par rapport à $z_1$ et $z_3$. Le $i$ est nécessaire pour l'annulation de premier et du septième terme. Mais $f_1(z) = iz_1$ implique déjà une annulation (du deuxième avec le huitième termes) qui est plus simple (sans la condition sur $R$). En parallèle, $f_3(z) = -iz_3$ implique une annulation du cinquième et du onzième terme que nous traitons plus loin (annulations croisées). La réflexion est la même quant à l'annulation avec le dixième ou le onzième terme.

L'annulation est impossible avec les sixième, douzième (pour des raisons de mixité), septième et neuvième termes (cf. parties holomorphes).

L'annulation avec le huitième terme est possible avec $f_1(z) = iz_1$, ce qui est inclus dans $X_2$.
Par rapport au deuxième coefficient de $X$, $f_2(z)$.

Le troisième terme, $\ell f_2(z) z_2^{\ell-1} \overline{z_1}$, ne peut s'annuler avec le quatrième, le cinquième et le dixième terme pour des raisons de terme en $z_3$ manquant dans la partie antiholomorphe. C'est aussi le cas avec le neuvième terme (pour des raisons de terme en $z_2$ manquant dans la partie antiholomorphe). Par rapport aux premier, deuxième, septième et huitième termes, la démarche a déjà été faite plus haut (à une conjugaison près si besoin). En écartant les cas triviaux du troisième terme (lui-même), du sixième et du dixième terme (avec $\ell > 1$), il reste le onzième terme, $\overline{f_3(z) R R_{z_3}}$, qui n'est pas concluant non plus. En effet, les parties holomorphes impliquent en particulier que $R$ dépende de $z_2$, ce qui est contradictoire avec les parties antiholomorphes.

Le quatrième terme, $f_2(z) R_{z_2} \overline{R}$, n'a pas de chance d'annulation avec le sixième, le septième, le neuvième et le douzième terme. Pour les cinquième, dixième et onzième termes, nous arrivons forcément à $f_2(z) = z_2$ ou $iz_2$ en plus d'autres contraintes, mais celle-ci est déjà contenue dans le cas général de $X_2$ (même réflexion que ci-dessus)<fnref n="105" />. Les autres termes ont déjà été traités ci-dessus.

Par rapport au troisième coefficient de $X$, $f_3(z)$.

Il suffit de traiter les annulations du cinquième terme, $f_3(z) R_{z_3} \overline{R}$, mais elles ont toutes déjà été effectuées plus haut (à une conjugaison près si besoin, ce qui est également valable par rapport au onzième terme), sauf celle avec le onzième terme, son conjugué. Dans ce cas, nous prenons $f_3(z) = iz_3$ et nous obtenons ainsi $X_3$.

Par rapport au dernier coefficient de $X$, $g(z)$.

Nous avons déjà analysé les annulations de $\frac{i}{2}g(z)$ avec les termes précédents. Il ne reste que $X_1 = W$, qui, dans l'équation, annule $\frac{i}{2}g(z)$ avec son conjugué. $\square$

Nous connaissons maintenant tous les champs vectoriels rigides et nous les intégrons.

**Proposition 4.1.3.**

*Le champ $W$ possède une 1-intégration ainsi qu'une 2-intégration pour l'hypersurface $M$.*

<footnote n="105">105. L'annulation du quatrième et du cinquième terme revient à combiner $X_2$ et $X_3$, en plus compliqué ; l'annulation du quatrième avec le dixième terme est comprise dans $X_2$ ; enfin, celle des quatrième et onzième termes est également une combinaison de $X_2$ et $X_3$.</footnote>
**Démonstration.** Nous savons déjà que W possède une intégration qui est le champ d'Eu-
ler <sup>106</sup>, $E = \frac{1}{\ell+1} \sum_{j=1}^{3} z_j \frac{\partial}{\partial z_j} + w \frac{\partial}{\partial w}$.

Concernant la 2-intégration, il suffit de prouver que l'hypersurface est balancée <sup>107</sup>,
c'est-à-dire qu'il existe un champ reproducteur. Construisons ce champ. Soit

$$
X = \sum_{j=1}^{3} f_j \frac{\partial}{\partial z_j}
$$

un champ reproducteur, c'est-à-dire que, pour un $a \in \mathbb{R}$,

$$
\begin{align*}
X(\mathcal{P}) &= a\mathcal{P} \\
\Leftrightarrow f_1 \overline{z_2}^\ell + f_1 R_{z_1} \overline{R} + \ell f_2 z_2^{\ell-1} \overline{z_1} + f_2 R_{z_2} \overline{R} + f_3 R_{z_3} \overline{R} &= a \left( z_1 \overline{z_2}^\ell + z_2 \overline{z_1}^\ell + R \overline{R} \right) \\
\Leftrightarrow \text{en observant les termes en } \overline{R} &: \qquad f_1 R_{z_1} + f_2 R_{z_2} + f_3 R_{z_3} = a R \\
\text{en observant les termes en } \overline{z_2}^\ell &: \qquad f_1 = a z_1 \\
\text{en observant les termes en } \overline{z_1} &: \qquad \ell f_2 = a z_2.
\end{align*}
$$

Ce système d'équation est clairement résoluble.

☐

**Proposition 4.1.4.**

Les champs $X_5$ et $X_5'$ ne possède pas de 2-intégrations et ont une seule 1-intégration chacun,

$$
\begin{align*}
X_5^1 &= (z_1 z_2^\ell + \frac{i}{2} w) \frac{\partial}{\partial z_1} + \frac{1}{\ell} z_2^{\ell+1} \frac{\partial}{\partial z_2} + z_2^\ell w \frac{\partial}{\partial w}, \\
X_5' &= (i z_1 z_2^\ell + \frac{1}{2} w) \frac{\partial}{\partial z_1} + \frac{i}{\ell} z_2^{\ell+1} \frac{\partial}{\partial z_2} + i z_2^\ell w \frac{\partial}{\partial w}.
\end{align*}
$$

Démonstration. Nous rappelons que $R_{z_1} = 0$, qui est un critère pour l'existence des deux champs à intégrer. Nous commençons par fusionner les deux champs en un seul,

$$
Y_5 = a \frac{\partial}{\partial z_1} + 2i \bar{a} z_2^\ell \frac{\partial}{\partial w}, \quad a \in \mathbb{C}^*.
$$

Une 1-intégration de $Y_5$ est donc de type

$$
Y_5^1 = (\phi_1(z) + aw) \frac{\partial}{\partial z_1} + \phi_2(z) \frac{\partial}{\partial z_2} + \phi_3(z) \frac{\partial}{\partial z_3} + (2i \bar{a} z_2^\ell w + \phi(z)) \frac{\partial}{\partial w},
$$

<footnote n="106">106. Cf. exemple 2.1.20, p.35.</footnote>

<footnote n="107">107. Cf. théorème 3.2.9, p.66. Cf. également définition 3.2.7, p.65, remarque 4.2.4, p.98 et théorème 2.1.25, p.39. Citer le lemme 4.2.5, p.99, serait d'ailleurs suffisant pour cette démonstration.</footnote>
et pour que ce champ appartienne à hol$(M, p)$, nous posons

$$
\begin{align*}
0 &= 2 \operatorname{Re} Y_5^1(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) \\
  &= \phi_1(z) \overline{z_2}^\ell + a w \overline{z_2}^\ell + \ell \phi_2(z) z_2^{\ell-1} \overline{z_1} + \phi_2(z) R_{z_2} \overline{R} + \phi_3(z) R_{z_3} \overline{R} + 2i \overline{a} z_2^\ell w^{\frac{i}{2}} + \frac{i}{2} \phi(\overline{z}) \\
  &\quad + (\dots) \\
  &= \phi_1(z) \overline{z_2}^\ell + \ell \phi_2(z) z_2^{\ell-1} \overline{z_1} + \phi_2(z) R_{z_2} \overline{R} + \phi_3(z) R_{z_3} \overline{R} \\
  &\quad + \overline{\phi_1(z)} z_2^\ell + \ell \overline{\phi_2(z)} z_1 \overline{z_2}^{\ell-1} + \overline{\phi_2(z)} R \overline{R_{z_2}} + \overline{\phi_3(z)} R \overline{R_{z_3}} \\
  &\quad + a(\mu + i \mathcal{P}) \overline{z_2}^\ell + \overline{a}(\mu - i \mathcal{P}) z_2^\ell - \overline{a} z_2^\ell (\mu + i \mathcal{P}) - a \overline{z_2}^\ell (\mu - i \mathcal{P}) \\
  &= \phi_1(z) \overline{z_2}^\ell + \ell \phi_2(z) z_2^{\ell-1} \overline{z_1} + \phi_2(z) R_{z_2} \overline{R} + \phi_3(z) R_{z_3} \overline{R} \\
  &\quad + \overline{\phi_1(z)} z_2^\ell + \ell \overline{\phi_2(z)} z_1 \overline{z_2}^{\ell-1} + \overline{\phi_2(z)} R \overline{R_{z_2}} + \overline{\phi_3(z)} R \overline{R_{z_3}} + 2ia \mathcal{P} \overline{z_2}^\ell - 2i \overline{a} \mathcal{P} z_2^\ell \\
  &= \phi_1(z) \overline{z_2}^\ell + \ell \phi_2(z) z_2^{\ell-1} \overline{z_1} + \phi_2(z) R_{z_2} \overline{R} + \phi_3(z) R_{z_3} \overline{R} \\
  &\quad + \overline{\phi_1(z)} z_2^\ell + \ell \overline{\phi_2(z)} z_1 \overline{z_2}^{\ell-1} + \overline{\phi_2(z)} R \overline{R_{z_2}} + \overline{\phi_3(z)} R \overline{R_{z_3}} \\
  &\quad + 2ia \overline{z_1 z_2}^{2\ell} + 2ia \overline{z_2 z_1}^{2\ell} + 2ia R \overline{z_2}^\ell \overline{R} - 2i \overline{a} \overline{z_1 z_2}^\ell - 2i \overline{a} \overline{z_2 z_1}^\ell - 2i \overline{a} \overline{z_2}^\ell R \overline{R}.
\end{align*}
$$

Nous rappelons que le $\phi$ disparaît pour des questions de mixité. La dernière ligne de l’équation ci-dessus s’avère intéressante.

Le terme $2iaz_1\overline{z_2}^{2\ell}$ ne peut s'annuler qu'avec $\ell\overline{\phi_2(z)}z_1\overline{z_2}^{\ell-1}$. Ainsi, $\phi_2(z) = \frac{2i\overline{a}}{\ell}z_2^{\ell+1}$.
Le terme $2iaz_2^\ell\overline{z_1z_2}^\ell$ ne peut s'annuler qu'avec $\overline{\phi_1(z)}z_2^\ell$. Ainsi, $\phi_1(z) = 2i\overline{a}z_1z_2^\ell$. Par conjugaison, d'autres termes s'annulent également et il reste, à cette étape,

$$
0 = \phi_2(z) R_{z_2} \overline{R} + \phi_3(z) R_{z_3} \overline{R} + \overline{\phi_2(z)} R \overline{R_{z_2}} + \overline{\phi_3(z)} R \overline{R_{z_3}} \\
\qquad + 2iaR \overline{z_2}^\ell \overline{R} - 2i \overline{a} z_2^\ell \overline{R}.
$$

Une comparaison des parties antiholomorphes, en partant du terme $2iaR\overline{z_2}^{\ell\overline{R}}$ par exemple,
permet d'affirmer que

$$
0 = \overline{\phi_2(z)} R \overline{R_{z_2}} + \overline{\phi_3(z)} R \overline{R_{z_3}} + 2iaR \overline{z_2}^{\ell \overline{R}},
$$

autrement dit, avec $\phi_2(z) = \frac{2i\overline{a}}{\ell}z_2^{\ell+1}$,

$$
0 = \frac{2i\bar{a}}{\ell} z_2^{\ell+1} R_{z_2} + \phi_3(z) R_{z_3} - 2i\bar{a}z_2^{\ell} R.
$$
Ainsi,

$$ \phi_3(z) = 2i\bar{a} \frac{\ell - \deg_{z_2} R}{\ell \deg_{z_3} R} z_2^{\ell} z_3. $$

Le champ intégré est donc

$$ Y_5^1 = (2i\bar{a}z_1z_2^\ell + aw)\frac{\partial}{\partial z_1} + \frac{2i\bar{a}}{\ell}z_2^{\ell+1}\frac{\partial}{\partial z_2} + 2i\bar{a}\frac{\ell-\deg_{z_2}R}{\ell\deg_{z_3}R}z_2^\ell z_3\frac{\partial}{\partial z_3} + 2i\bar{a}z_2^\ell w\frac{\partial}{\partial w}, \quad a \in \mathbb{C}^*. $$

Notons qu’intégrer $Y_5^1$ ne fait pas sens pour des raisons de degré $^{108}$.

□

**Proposition 4.1.5.**

Aucun des champs $X_{4'}$, $X_2$, $X_3$, $X_6$ et $X_7$ ne possède d'1-intégration.

*Démonstration.* Nous savons que $X_{4'}$, $X_2$ et $X_3$ ne peuvent être intégrés. Il s'agit de rotations qui ne s'intègrent donc pas $^{109}$. Il est également possible d'arriver à cette conclusion avec les calculs. Nous les effectuons donc uniquement pour $X_{4'}$, avec $R = z_3^{\frac{\ell+1}{2}}$, comme exemple. Une 1-intégration de $X_{4'} = \ell z_1 \frac{\partial}{\partial z_1} - z_2 \frac{\partial}{\partial z_2}$ est de type

$$ X_{4'}^1 = (\phi_1(z) + \ell z_1 w) \frac{\partial}{\partial z_1} + (\phi_2(z) - z_2 w) \frac{\partial}{\partial z_2} + \phi_3(z) \frac{\partial}{\partial z_3} + \phi(z) \frac{\partial}{\partial w}. $$

Pour que ce champ appartienne à $\text{hol}(M, p)$, nous posons

$$ \begin{aligned} 0 &= 2 \operatorname{Re} X_{4'}^1 (\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) \\ &= \phi_1(z) \overline{z_2}^\ell + \ell \phi_2(z) z_2^{\ell-1} \overline{z_1} + \frac{\ell+1}{2} \phi_3(z) z_3^{\frac{\ell-1}{2}} \overline{z_3}^{\frac{\ell+1}{2}} + \ell z_1 \overline{z_2}^\ell w - \ell z_2 \overline{z_1}^\ell w + \frac{i}{2} \phi(z) \\ &\quad + (\dots). \end{aligned} $$

Pour des questions de mixité, $\phi(z) = 0$ et cette équation doit en particulier être vraie pour $u = 0$. Posons donc $w = i\mathcal{P}$. L'équation devient

<footnote n="108">108. Cf. corollaire 2.1.26, p.40.</footnote>

<footnote n="109">109. Cf. [55], p.348, théorème 5.5.</footnote>
$$
\begin{align*}
0 &= \phi_1(z) \overline{z_2}^\ell + \ell \phi_2(z) z_2^{\ell-1} \overline{z_1} + \frac{\ell+1}{2} \phi_3(z) z_3^{\frac{\ell-1}{2}} \overline{z_3}^{\frac{\ell+1}{2}} \\
  &\quad + \overline{\phi_1(z)} z_2^\ell + \ell \overline{\phi_2(z)} z_1 \overline{z_2}^{\ell-1} + \frac{\ell+1}{2} \overline{\phi_3(z)} z_3^{\frac{\ell+1}{2}} \overline{z_3}^{\frac{\ell-1}{2}} \\
  &\quad + \ell i z_1 \overline{z_2}^\ell \mathcal{P} - \ell i z_2^\ell \overline{z_1} \mathcal{P} - \ell i z_2^\ell \overline{z_1} \mathcal{P} + \ell i z_1 \overline{z_2}^\ell \mathcal{P} \\
  &= \phi_1(z) \overline{z_2}^\ell + \ell \phi_2(z) z_2^{\ell-1} \overline{z_1} + \frac{\ell+1}{2} \phi_3(z) z_3^{\frac{\ell-1}{2}} \overline{z_3}^{\frac{\ell+1}{2}} \\
  &\quad + \overline{\phi_1(z)} z_2^\ell + \ell \overline{\phi_2(z)} z_1 \overline{z_2}^{\ell-1} + \frac{\ell+1}{2} \overline{\phi_3(z)} z_3^{\frac{\ell+1}{2}} \overline{z_3}^{\frac{\ell-1}{2}} \\
  &\quad + 2 \ell i (z_1^2 \overline{z_2}^{2\ell} + z_1 z_2^\ell \overline{z_1} \overline{z_2}^\ell + z_1 z_3^{\frac{\ell+1}{2}} \overline{z_2}^\ell \overline{z_3}^{\frac{\ell+1}{2}}) - 2 \ell i (z_1 z_2^\ell \overline{z_1} \overline{z_2}^\ell + z_2^2 \overline{z_1}^\ell + z_2^\ell z_3^{\frac{\ell+1}{2}} \overline{z_1} \overline{z_3}^{\frac{\ell+1}{2}}),
\end{align*}
$$

ce qui est impossible, les termes étant incompatibles. Par exemple, le terme $z_1^2 \overline{z_2}^{2\ell}$ ne peut s'annuler avec aucun autre terme (toujours en comparant les parties holomorphes et antiholomorphes).

Il reste à traiter de $X_6$ et $X_7$. Leur intégration n'est pas possible pour des raisons de degrés $^{110}$. $X_6^1$ aurait un degré de

$$
\frac{\ell - 1}{\ell + 1} + 1 = \frac{2\ell}{\ell + 1} > 1, \text{ et } X_7^1 \text{ de } \frac{\ell - 1}{2(\ell + 1)} + 1 = \frac{3\ell + 1}{2(\ell + 1)} > 1.
$$

Effectivement, comme $\ell > 1$,

$$
2\ell = \ell + \ell > \ell + 1 \text{ et } 3\ell + 1 = 2\ell + \ell + 1 > 2\ell + 2.
$$

□

Nous pouvons formuler le résultat final comme suit.

<footnote n="110">110. Cf. corollaire 2.1.26, p.40.</footnote>
**Théorème 4.1.6.**

Si $\ell > 1$ et si $M$ est donnée par l'équation

$$ \mathrm{Im} w = z_1 \bar{z}_2^\ell + z_2^\ell \bar{z}_1 + R \bar{R}, $$

avec $R$ un monôme dépendant de $z_3$, alors $\dim g \in \{6; 11; 12\}$. De plus,

$$ \dim g = 12 \Leftrightarrow M \text{ est biholomorphe à une hypersurface avec } R = z_2^{\frac{\ell-1}{2}} z_3, $$

$$ \dim g = 11 \Leftrightarrow M \text{ est dans les autres cas, mais avec } \dim R_{z_1} = 0, $$

$$ \dim g = 6 \Leftrightarrow M \text{ est dans les autres cas.} $$

**Démonstration.** Toutes les hypersurfaces contiennent $X_1$ (et donc $E$ et $W^2$), $X_2$, $X_3$ et $X_4$. Ces champs ont un coefficient réel, donc nous avons les six dimensions réelles. Si $R_{z_1} = 0$, nous ajoutons $Y_5$ et $Y_5^1$, toutes deux avec coefficient complexe, ainsi que $X_6$, avec coefficient réel. Cinq dimensions sont donc ajoutées. Enfin, le cas $R = z_2^{\frac{\ell-1}{2}} z_3$ permet $X_7$ (une dimension réelle supplémentaire). $\square$

**Proposition 4.1.7.**

Si $\ell > 1$ et si $M$ est donnée par l'équation

$$ \mathrm{Im} w = z_1 \bar{z}_2^\ell + z_2^\ell \bar{z}_1 + z_3^{\frac{\ell+1}{2}} \bar{z}_3^{\frac{\ell+1}{2}}, $$

alors $\dim g = 11$. Plus précisément, nous avons $\dim g_{-1} = 1$, $\dim g_{\frac{\ell+1}{2}} = 2$, $\dim g_0 = 4$, $\dim g_{\frac{\ell-1}{2}} = 1$, $\dim g_{\frac{\ell+1}{2}} = 2$ et $\dim g_1 = 1$.

**4.1.1 Remarque de généralisation**

Le problème PQR consiste à considérer l'hypersurface modèle réelle $M$ de $\mathbb{C}^4$ Levi dégénérée, holomorphiquement non dégénérée, de type fini et dont les éléments, notés $(z_1, z_2, z_3, w) \in \mathbb{C}^4$, satisfont

$$ \mathrm{Im} w = P\bar{Q} + Q\bar{P} + R\bar{R}, $$

où $P, Q$ et $R$ sont des polynômes dépendant de $(z_1, z_2, z_3)$. Nous verrons que le cas monomial - c'est-à-dire avec les trois polynômes qui sont des monômes - nous intéressera.