# Présentation jordanienne de l'algèbre de Weyl $A_2$

par J. ALEV (Reims) et F. DUMAS (Clermont-Ferrand)

**Abstract.** Let $k$ be a commutative field. For any $a, b \in k$, we denote by $J_{a,b}(k)$ the deformation of the 2-dimensional Weyl algebra over $k$ associated with the Jordanian Hecke symmetry with parameters $a$ and $b$. We prove that: (i) any $J_{a,b}(k)$ can be embedded in the usual Weyl algebra $A_2(k)$, and (ii) $J_{a,b}(k)$ is isomorphic to $A_2(k)$ if and only if $a = b$.

**Introduction.** La donnée d'une symétrie de Hecke $R$ sur un $k$-espace vectoriel $V$ de dimension $n$ permet de construire une algèbre de différentielles (complexe de de Rham) sur une déformation de l'algèbre des fonctions régulières de $V$ (cf. [10], [8], [9], [7], [2], ...). On associe de façon canonique à cette algèbre de différentielles une algèbre d'opérateurs (algèbre de Weyl), qui peut être définie par générateurs et relations à partir des coefficients de $R$ (cf. [2], section 12.3, ou [5], définition 1.4). On s'intéresse ici à l'exemple de la déformation "jordanienne" du plan, c'est-à-dire au cas où $n = 2$ et où

$$R = \begin{pmatrix} 1 & a & -a & -ab \\ 0 & 0 & 1 & b \\ 0 & 1 & 0 & -b \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},$$

avec $a, b \in k$. Le complexe de de Rham correspondant est défini en [9] (proposition 2), ou [7] (exemple 2.6.4). L'algèbre de Weyl associée, que l'on notera ici $J_{a,b}(k)$, est explicitée en [1] (paragraphe 3) et en [6] (paragraphe 2). L'étude de $J_{a,b}(k)$ sur le plan de la théorie des anneaux est amorcée en [5] et poursuivie en [4].

Dans le cas particulier où $a = b = 0$, la symétrie de Hecke $R$ est la volte usuelle et $J_{0,0}(k)$ n'est autre que l'algèbre de Weyl classique $A_2(k)$ des opérateurs différentiels à coefficients polynomiaux sur le plan commutatif. Plus généralement, dans le cas uniparamétré $a = b$, plusieurs résultats de [5] ont mis en évidence des similitudes structurelles entre les algèbres $J_{a,a}(k)$

<footnote n="2000">2000 Mathematics Subject Classification: 16S32, 16W35, 16S36.</footnote>

<footnote>Key words and phrases: Weyl algebras, Jordanian deformation.</footnote>
et $A_2(k)$. Le but principal de cette note est de démontrer qu'elles sont en fait isomorphes.

La méthode, directe et calculatoire, consiste à expliciter, dans une localisation appropriée $H_{a,b}(k)$ de $J_{a,b}(k)$, quatre éléments engendrant une sous-algèbre $A$ isomorphe à $A_2(k)$, telle que $J_{a,b}(k) \subseteq A \subseteq H_{a,b}(k)$, et telle que $J_{a,b}(k) = A = H_{a,b}(k)$ dans le cas où $a = b$.

**1. DÉFINITION** (cf. [1], [6], [5], [4]). Soit $k$ un corps commutatif. Pour tous $a, b \in k$, on note $J_{a,b}(k)$ l'algèbre de Weyl sur le plan de Jordan de paramètres $a$ et $b$, c'est-à-dire par définition l'algèbre engendrée sur $k$ par quatre générateurs $x_1, x_2, \partial_1, \partial_2$ soumis aux relations

$$ (1,2) \quad x_1x_2 - x_2x_1 = ax_1^2, \quad \partial_1x_1 - x_1\partial_1 = 1 + ax_1\partial_2, $$

$$ (3,4) \quad \partial_1\partial_2 - \partial_2\partial_1 = -b\partial_2^2, \quad \partial_2x_2 - x_2\partial_2 = 1 - bx_1\partial_2, $$

$$ (5,6) \quad \partial_2x_1 - x_1\partial_2 = 0, \quad \partial_1x_2 - x_2\partial_1 = -ax_1\partial_1 - abx_1\partial_2 + bx_2\partial_2. $$

Dans le cas particulier où $a = b = 0$, on retrouve les relations $[\partial_1, x_1] = [\partial_2, x_2] = 1$ et $[\partial_1, x_2] = [\partial_2, x_1] = [\partial_1, \partial_2] = [x_1, x_2] = 0$ définissant l'algèbre de Weyl classique $A_2(k)$ (cf. [3]). Pour $a$ et $b$ quelconques, les relations (1)-(6) permettent d'exprimer $J_{a,b}(k)$ comme l'extension de Ore itérée :

$$ J_{a,b}(k) = k[x_1, \partial_2][\partial_1; D][x_2; \sigma, d] $$

où $D$ est la $k$-dérivation de $k[x_1, \partial_2]$ définie par

$$ D(x_1) = 1 + ax_1\partial_2 \quad \text{et} \quad D(\partial_2) = -b\partial_2^2, $$

et où $\sigma$ est le $k$-automorphisme et $d$ la $\sigma$-dérivation de $k[x_1, \partial_2][\partial_1; D]$ définis par

$$ \sigma(x_1) = x_1, \quad d(x_1) = -ax_1^2, $$

$$ \sigma(\partial_2) = \partial_2, \quad d(\partial_2) = bx_1\partial_2 - 1, $$

$$ \sigma(\partial_1) = \partial_1 - b\partial_2, \quad d(\partial_1) = b + ax_1\partial_1 + b(a - b)x_1\partial_2. $$

**2. LEMME.** Soient dans la sous-algèbre commutative $k[x_1, \partial_2]$ de $J_{a,b}(k)$ les éléments

$$ t = x_1\partial_2 \quad \text{et} \quad z = 1 + (a-b)x_1\partial_2 = 1 + (a-b)t. $$

Alors:

(i) $D(t) = z\partial_2$ et $d(t) = -zx_1$;

(ii) $z$ est normalisant dans $J_{a,b}(k)$;

(iii) en particulier, si $a \neq b$, l'algèbre $J_{a,b}(k)$ n'est pas simple.

*Preuve.* Il est clair que $[z, x_1] = [z, \partial_2] = 0$. On calcule :

$$ \begin{aligned} D(t) &= D(x_1)\partial_2 + x_1D(\partial_2) \\ &= (1 + at)\partial_2 + x_1(-b\partial_2^2) = (1 + at - bt)\partial_2 = z\partial_2, \\ d(t) &= d(x_1)\partial_2 + x_1d(\partial_2) \\ &= -ax_1^2\partial_2 + x_1(bt - 1) = x_1(-at + bt - 1) = -zx_1. \end{aligned} $$
Il en résulte que

$$
\begin{align*}
\partial_1 z &= z\partial_1 + D(z) = z\partial_1 + (a-b)D(t) \\
&= z\partial_1 + (a-b)z\partial_2 = z(\partial_1 + (a-b)\partial_2), \\
x_2 z &= zx_2 + d(z) = zx_2 + (a-b)d(t) \\
&= zx_2 - (a-b)zx_1 = z(x_2 - (a-b)x_1),
\end{align*}
$$

ce qui prouve (ii) et donc (iii) (cf. aussi la preuve du théorème 3.6 de [5]).

3. NOTATIONS. Notons $H_{a,b}(k)$ l'algèbre localisée de $J_{a,b}(k)$ suivant la partie multiplicative $\mathcal{Z}$ formée des puissances de l'élément normalisant $z$. On introduit dans $H_{a,b}(k)$ les éléments

$$
(7) \quad p_1 = x_1,
$$

$$
(8) \quad p_2 = \partial_2,
$$

$$
(9) \quad q_1 = z^{-1}(b\partial_2^2)x_2 + z^{-1}(bx_1\partial_2 - 1)\partial_1 + z^{-1}(a-b+b^2x_1\partial_2)\partial_2,
$$

$$
(10) \quad q_2 = z^{-1}(1 + ax_1\partial_2)x_2 + z^{-1}(ax_1^2)\partial_1 + z^{-1}ax_1(1 + bx_1\partial_2).
$$

On se propose de vérifier qu'ils engendrent dans $H_{a,b}(k)$ une sous-algèbre isomorphe à l'algèbre de Weyl classique $A_2(k)$. On procède pour cela en plusieurs étapes.

4. LEMME. Dans $H_{a,b}(k)$ on a $[p_1,p_2] = [p_1,q_2] = [p_2,q_1] = 0$ et $[p_1,q_1] = [p_2,q_2] = 1$.

Preuve. Il est clair que $[p_1, p_2] = [x_1, \partial_2] = 0$. On calcule ensuite :

$$
\begin{align*}
[p_1, q_2] &= [x_1, z^{-1}(1+at)x_2 + z^{-1}(ax_1^2)\partial_1 + z^{-1}ax_1(1+bt)] \\
&= z^{-1}(1+at)[x_1, x_2] + z^{-1}(ax_1^2)[x_1, \partial_1] + 0 \\
&= z^{-1}(1+at)(ax_1^2) + z^{-1}(ax_1^2)(-1-at) \\
&= 0,
\end{align*}
\begin{align*}
[p_2, q_1] &= [\partial_2, z^{-1}(b\partial_2^2)x_2 + z^{-1}(bt-1)\partial_1 + z^{-1}(a-b+b^2t)\partial_2] \\
&= z^{-1}(b\partial_2^2)[\partial_2, x_2] + z^{-1}(bt-1)[\partial_2, \partial_1] + 0 \\
&= z^{-1}(b\partial_2^2)(1-bt) + z^{-1}(bt-1)(b\partial_2^2) \\
&= 0,
\end{align*}
\begin{align*}
[p_1, q_1] &= [x_1, z^{-1}(b\partial_2^2)x_2 + z^{-1}(bt-1)\partial_1 + z^{-1}(a-b+b^2t)\partial_2] \\
&= z^{-1}(b\partial_2^2)[x_1, x_2] + z^{-1}(bt-1)[x_1, \partial_1] + 0 \\
&= z^{-1}(b\partial_2^2)ax_1^2 + z^{-1}(bt-1)(-1-at) \\
&= z^{-1}abt^2 + z^{-1}(1+(a-b)t-abt^2) \\
&= z^{-1}z = 1,
\end{align*}
\begin{align*}
[p_2, q_2] &= [\partial_2, z^{-1}(1+at)x_2 + z^{-1}(ax_1^2)\partial_1 + z^{-1}ax_1(1+bt)] \\
&= z^{-1}(1+at)[\partial_2, x_2] + z^{-1}(ax_1^2)[\partial_2, \partial_1] + 0
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
&= z^{-1}(1 + at)(1 - bt) + z^{-1}(ax_1^2)(b\partial_2^2) \\
&= z^{-1}(1 + (a - b)t - abt^2) + z^{-1}abt^2 \\
&= z^{-1}z = 1,
\end{align*}
$$

ce qui achève la preuve. ■

5. **REMARQUES ET NOTATIONS.** Le calcul du crochet $[q_1, q_2]$ est beaucoup plus délicat. Chacun des deux $q_i$ étant une somme de trois termes, $[q_1, q_2]$ est d'après (9) et (10) la somme des neuf crochets suivants :

$$
\begin{align*}
C_1 &= [z^{-1}b\partial_2^2 x_2, z^{-1}(1+at)x_2], \\
C_2 &= [z^{-1}b\partial_2^2 x_2, z^{-1}(ax_1^2)\partial_1], \\
C_3 &= [z^{-1}b\partial_2^2 x_2, z^{-1}ax_1(1+bt)], \\
C_4 &= [z^{-1}(bt-1)\partial_1, z^{-1}(1+at)x_2], \\
C_5 &= [z^{-1}(bt-1)\partial_1, z^{-1}(ax_1^2)\partial_1], \\
C_6 &= [z^{-1}(bt-1)\partial_1, z^{-1}ax_1(1+bt)], \\
C_7 &= [z^{-1}(a-b+b^2t)\partial_2, z^{-1}(1+at)x_2], \\
C_8 &= [z^{-1}(a-b+b^2t)\partial_2, z^{-1}(ax_1^2)\partial_1], \\
C_9 &= [z^{-1}(a-b+b^2t)\partial_2, z^{-1}ax_1(1+bt)].
\end{align*}
$$

Comme on va le voir plus loin, ces crochets appartiennent en fait à certaines sous-algèbres particulières de $H_{a,b}(k)$. Notons $S$ le localisé suivant $\mathcal{Z}$ de l'anneau commutatif $k[x_1, \partial_2]$ et $T \subset S$ le localisé suivant $\mathcal{Z}$ du sous-anneau $k[t]$. Les dérivations $D$ et $d$ de $k[x_1, \partial_2]$, qui vérifient, comme on l'a vu,

$$
\begin{align}
(11) \qquad \begin{aligned}[t]
D(x_1) &= 1 + at, & D(\partial_2) &= -b\partial_2^2, \\
D(t) &= z\partial_2, & D(z) &= (a-b)z\partial_2,
\end{aligned} \\
(12) \qquad \begin{aligned}[t]
d(x_1) &= -ax_1^2, & d(\partial_2) &= bt - 1, \\
d(t) &= -zx_1, & d(z) &= -(a-b)zx_1,
\end{aligned}
\end{align*}
$$

se prolongent en des dérivations de S par

$$
(13) \quad D(z^{-1}) = -(a-b)z^{-1}\partial_2 \quad \text{et} \quad d(z^{-1}) = (a-b)z^{-1}x_1.
$$

En utilisant l'expression de $J_{a,b}(k)$ comme extension de Ore itérée dans la définition 1, cela permet d'obtenir après redressement cinq des crochets $C_i$ comme des éléments de $T$ (lemme 6), et les quatre autres comme des polynômes de degré 1 en $x_1\partial_1$ et $\partial_2 x_2$ à coefficients dans $T$ (lemme 7). Ils appartiennent donc au localisé suivant $\mathcal{Z}$ de la sous-algèbre $L_{a,b}(k)$ de $J_{a,b}(k)$ engendrée par $t$, $x_1\partial_1$ et $\partial_2 x_2$. Les relations entre ces trois générateurs :

$$
[x_1 \partial_1, t] = [t, \partial_2 x_2] = zt \quad \text{et} \quad [x_1 \partial_1, \partial_2 x_2] = -bzt,
$$

se déduisent aisément de (1)–(6), mais ne seront pas utilisées dans la suite.
**6. LEMME.** *Les crochets $C_3$, $C_6$, $C_7$, $C_8$ et $C_9$ appartiennent au localisé suivant $\mathcal{Z}$ de la sous-algèbre $k[t]$ de $J_{a,b}(k)$, et vérifient $C_3 + C_6 + C_7 + C_8 + C_9 = -b$.*

*Preuve.* En utilisant les relations (12) et (13), on redresse $C_3$ et $C_7$ en

$$
\begin{align*}
C_3 &= [z^{-1}b\partial_2^2 x_2, z^{-1}ax_1(1+bt)] \\
&= (z^{-1}ab\partial_2^2)[x_2, z^{-1}(1+bt)x_1] \\
&= (z^{-1}ab\partial_2^2)d(z^{-1}(1+bt)x_1) \\
&= (z^{-1}ab\partial_2^2)(d(z^{-1})(1+bt)x_1 + z^{-1}d(1+bt)x_1 + z^{-1}(1+bt)d(x_1)) \\
&= (z^{-1}ab\partial_2^2)((a-b)z^{-1}x_1(1+bt)x_1 \\
&\qquad + z^{-1}b(-zx_1)x_1 + z^{-1}(1+bt)(-ax_1^2)) \\
&= (z^{-2}ab\partial_2^2)x_1^2((a-b)(1+bt) - b(1+(a-b)t) + (1+bt)(-a)) \\
&= z^{-2}abt^2(-abt - 2b) \\
&= z^{-2}(-a^2b^2t^3 - 2ab^2t^2),
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
C_7 &= [z^{-1}(a - b + b^2t)\partial_2, z^{-1}(1 + at)x_2] \\
&= -z^{-1}(1 + at)[x_2, z^{-1}(a - b + b^2t)\partial_2] \\
&= -z^{-1}(1 + at)d(z^{-1}(a - b + b^2t)\partial_2) \\
&= -z^{-1}(1 + at)(d(z^{-1})(a - b + b^2t)\partial_2 + z^{-1}d(a - b + b^2t)\partial_2 \\
&\qquad + z^{-1}(a - b + b^2t)d(\partial_2)) \\
&= -z^{-1}(1 + at)((a - b)z^{-1}x_1(a - b + b^2t)\partial_2 \\
&\qquad + z^{-1}b^2(-zx_1)\partial_2 + z^{-1}(a - b + b^2t)(bt - 1)) \\
&= -z^{-2}(1 + at)((a - b)(a - b + b^2t)t \\
&\qquad - b^2(1 + (a - b)t)t + (a - b + b^2t)(bt - 1)) \\
&= -z^{-2}(1 + at)(b^3t^2 + (a^2 - 2b^2 - ab)t - (a - b)) \\
&= z^{-2}(-ab^3t^3 + (2ab^2 + a^2b - a^3 - b^3)t^2 + 2b^2t + (a - b)).
\end{align*}
$$

On utilise de même (11) et (13) pour le calcul de $C_6$ et $C_8$ :

$$
\begin{align*}
C_6 &= [z^{-1}(bt - 1)\partial_1, z^{-1}a(1 + bt)x_1] \\
&= z^{-1}a(bt - 1)[\partial_1, z^{-1}(1 + bt)x_1] \\
&= z^{-1}a(bt - 1)D(z^{-1}(1 + bt)x_1) \\
&= z^{-1}a(bt - 1)(D(z^{-1})(1 + bt)x_1 \\
&\qquad + z^{-1}D(1 + bt)x_1 + z^{-1}(1 + bt)D(x_1)) \\
&= z^{-1}a(bt - 1)(-(a - b)z^{-1}\partial_2(1 + bt)x_1 \\
&\qquad + z^{-1}bz\partial_2x_1 + z^{-1}(1 + bt)(1 + at)) \\
&= z^{-2}a(bt - 1)(-(a - b)(t + bt^2) \\
&\qquad + bt(1 + (a - b)t) + (1 + bt)(1 + at))
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
&= z^{-2}a(bt - 1)(abt^2 + 3bt + 1) \\
&= z^{-2}(a^2b^2t^3 + (3ab^2 - a^2b)t^2 - 2abt - a), \\
C_8 &= [z^{-1}(a - b + b^2t)\partial_2, z^{-1}ax_1^2\partial_1] \\
&= -z^{-1}ax_1^2[\partial_1, z^{-1}(a - b + b^2t)\partial_2] \\
&= -z^{-1}ax_1^2D(z^{-1}(a - b + b^2t)\partial_2) \\
&= -z^{-1}ax_1^2(D(z^{-1})(a - b + b^2t)\partial_2 \\
&\qquad + z^{-1}D(a - b + b^2t)\partial_2 + z^{-1}(a - b + b^2t)D(\partial_2)) \\
&= z^{-1}ax_1^2((a - b)z^{-1}\partial_2(a - b + b^2t)\partial_2 \\
&\qquad - z^{-1}b^2z\partial_2^2 - z^{-1}(a - b + b^2t)(-b\partial_2)^2) \\
&= z^{-2}at^2((a - b)(a - b + b^2t) - b^2(1 + (a - b)t) + b(a - b + b^2t)) \\
&= z^{-2}at^2(b^3t + a^2 - b^2 - ab) \\
&= z^{-2}(ab^3t^3 + (a^3 - ab^2 - a^2b)t^2).
\end{align*}
$$

Comme il est clair que $C_9$ est nul, il suffit d'additionner les quatre développements obtenus pour vérifier que

$$
\begin{align*}
C_3 + C_6 + C_7 + C_8 + C_9 &= z^{-2}((2ab^2 - a^2b - b^3)t^2 + (2b^2 - 2ab)t - b) \\
&= z^{-2}(-b)(1 + (a - b)t)^2 = -b. \blacksquare
\end{align*}
$$

7. LEMME. Les crochets $C_1, C_2, C_4$ et $C_5$ appartiennent au localisé suivant $\mathcal{Z}$ de la sous-algèbre $L_{a,b}(k)$ de $J_{a,b}(k)$ et vérifient $C_1+C_2+C_4+C_5 = b$.

Preuve. Comme dans la preuve du lemme précédent, on utilise les relations (11), (12) et (13) pour redresser les quatre crochets en

$$
\begin{align*}
C_1 &= [z^{-1}b\partial_2^2 x_2, z^{-1}(1+at)x_2] \\
&= (z^{-1}b\partial_2^2 d(z^{-1}(1+at)) - z^{-1}(1+at) d(z^{-1}b\partial_2^2))x_2 \\
&= bz^{-1}\partial_2^2((a-b)z^{-1}x_1(1+at) + z^{-1}a(-zx_1))x_2 \\
&\quad - z^{-1}(1+at)((a-b)z^{-1}x_1b\partial_2^2 + z^{-1}b2\partial_2(bt-1))x_2 \\
&= b(a-b)z^{-2}t(1+at)\partial_2 x_2 - abz^{-1}t\partial_2 x_2 \\
&\quad - b(a-b)z^{-2}(1+at)t\partial_2 x_2 \\
&\quad - 2bz^{-2}(1+at)(bt-1)\partial_2 x_2 \\
&= z^{-2}(-abzt - 2b(1+at)(bt-1))\partial_2 x_2 \\
&= z^{-2}(-ab(1+(a-b)t)t - 2b(1+at)(bt-1))\partial_2 x_2 \\
&= z^{-2}((-a^2b - ab^2)t^2 + (ab - 2b^2)t + 2b)\partial_2 x_2,
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
C_2 &= [z^{-1}b\partial_2^2 x_2, z^{-1}ax_1^2\partial_1] \\
&= z^{-1}b\partial_2^2(z^{-1}ax_1^2x_2 + d(z^{-1}ax_1^2))\partial_1 \\
&\quad - z^{-1}ax_1^2(z^{-1}b\partial_2^2\partial_1 + D(z^{-1}b\partial_2^2))x_2
\end{align*}
$$
$$ = z^{-2}abt^{2}(x_{2}\partial_{1} - \partial_{1}x_{2}) + z^{-1}ab\partial_{2}^{2}((a-b)z^{-1}x_{1}^{3} + z^{-1}(-2ax_{1}^{3}))\partial_{1} - z^{-1}abx_{1}^{2}(-\partial_{1}^{2}) + z^{-1}(-2b\partial_{2}^{3}))x_{2} $$

$$ = z^{-2}abt^{2}(ax_{1}\partial_{1} - b\partial_{2}x_{2} + b + (a-b)bt) + z^{-2}abt^{2}(-a-b)x_{1}\partial_{1} - z^{-2}abt^{2}(-a-b)\partial_{2}x_{2} $$

$$ = z^{-2}(a^{2}bt^{2})\partial_{2}x_{2} + z^{-2}(-ab^{2}t^{2})x_{1}\partial_{1} + z^{-2}ab^{2}t^{2}(1 + (a-b)t) $$

$$ = z^{-2}(a^{2}bt^{2})\partial_{2}x_{2} + z^{-2}(-ab^{2}t^{2})x_{1}\partial_{1} + z^{-1}(ab^{2}t^{2}), $$

$$ C_{4} = [z^{-1}(bt - 1)\partial_{1}, z^{-1}(1 + at)x_{2}] $$

$$ = z^{-1}(bt - 1)(z^{-1}(1 + at)\partial_{1} + D(z^{-1}(1 + at)))x_{2} - z^{-1}(1 + at)(z^{-1}(bt - 1)x_{2} + d(z^{-1}(bt - 1)))\partial_{1} $$

$$ = z^{-2}(bt - 1)(1 + at)(\partial_{1}x_{2} - x_{2}\partial_{1}) + z^{-1}(bt - 1)(-(a - b)z^{-1}\partial_{2}(1 + at) + z^{-1}(az\partial_{2}))x_{2} - z^{-1}(1 + at)((a - b)z^{-1}x_{1}(bt - 1) + z^{-1}b(-zx_{1}))\partial_{1} $$

$$ = z^{-2}(bt - 1)(1 + at)(-ax_{1}\partial_{1} + b\partial_{2}x_{2} - b - (a - b)bt) + z^{-2}(bt - 1)(1 + at)(b - a)\partial_{2}x_{2} + z^{-2}a(bt - 1)(1 + (a - b)t)\partial_{2}x_{2} - z^{-2}(1 + at)(bt - 1)(a - b)x_{1}\partial_{1} + z^{-2}b(1 + at)(1 + (a - b)t)x_{1}\partial_{1} $$

$$ = z^{-2}(bt - 1)(b(1 + at) + (b - a)(1 + at) + a(1 + (a - b)t))\partial_{2}x_{2} + z^{-2}(1 + at)(-a(bt - 1) - (bt - 1)(a - b) + b(1 + (a - b)t))x_{1}\partial_{1} - z^{-2}b(bt - 1)(1 + at)(1 + (a - b)t) $$

$$ = z^{-2}(ab^{2}t^{2} + (2b^{2} - ab)t - 2b)\partial_{2}x_{2} + z^{-2}(-a^{2}bt^{2} + (2a^{2} - ab)t + 2a)x_{1}\partial_{1} + z^{-1}(-ab^{2}t^{2} + (ab - b^{2})t + b), $$

$$ C_{5} = [z^{-1}(bt - 1)\partial_{1}, z^{-1}ax_{1}^{2}\partial_{1}] $$

$$ = z^{-1}(bt - 1)aD(z^{-1}x_{1}^{2})\partial_{1} - z^{-1}ax_{1}^{2}D(z^{-1}(bt - 1))\partial_{1} $$

$$ = z^{-1}(bt - 1)a((b - a)z^{-1}\partial_{2}x_{1}^{2} + z^{-1}2x_{1}(1 + at))\partial_{1} - az^{-1}x_{1}^{2}((b - a)z^{-1}\partial_{2}(bt - 1) + z^{-1}bz\partial_{2})\partial_{1} $$

$$ = (z^{-2}a(b - a)(bt - 1)t + z^{-2}2a(bt - 1)(1 + at) - a(b - a)z^{-2}t(bt - 1) - abz^{-1}t)x_{1}\partial_{1} $$

$$ = az^{-2}((b - a)bt^{2} - (b - a)t + 2abt^{2} + 2(b - a)t - 2 - b(b - a)t^{2} + (b - a)t - bt(1 + (a - b)t))x_{1}\partial_{1} $$

$$ = z^{-2}((a^{2}b + ab^{2})t^{2} + (ab - 2a^{2})t - 2a)x_{1}\partial_{1}. $$

On additionne les quatre développements obtenus pour calculer

$$ \begin{aligned} C_1 + C_2 + C_4 + C_5 &= z^{-1}(ab^2t^2) + z^{-1}b(-abt^2 + (a-b)t + 1) \\ &= z^{-1}b(1 + (a-b)t) = b. \quad \blacksquare \end{aligned} $$
On est maintenant en mesure de démontrer le théorème principal.

**8. THÉORÈME.** Soient $a,b \in k$ quelconques. Alors il existe une sous-algèbre $A$ de $H_{a,b}(k)$ isomorphe à l'algèbre de Weyl $A_2(k)$ usuelle, telle que $J_{a,b}(k) \subseteq A \subseteq H_{a,b}(k)$.

*Preuve.* Soit $A$ la sous-algèbre de $H_{a,b}(k)$ engendrée par $p_1, q_1, p_2, q_2$. D'après le lemme 4, on a $[p_1, p_2] = [p_1, q_2] = [p_2, q_1] = 0$ et $[p_1, q_1] = [p_2, q_2] = 1$. D'après la remarque 5 et les lemmes 6 et 7, on a aussi $[q_1, q_2] = 0$. Comme l'algèbre de Weyl classique $A_2(k)$ est simple, on en déduit que $A$ est isomorphe à $A_2(k)$.

Par ailleurs, reprenons les relations (9) et (10) sous la forme du système

$$ 
\begin{aligned}
z^{-1}(b\partial_2^2)x_2 + z^{-1}(bt - 1)\partial_1 &= q_1 - z^{-1}(a - b + b^2t)\partial_2, \\
z^{-1}(1 + at)x_2 + z^{-1}(ax_1^2)\partial_1 &= q_2 - z^{-1}ax_1(1 + bt),
\end{aligned}
$$

d'inconnues $x_2$ et $\partial_1$. Son déterminant vaut, dans le localisé $S$ de $k[x_1, \partial_2]$ suivant $\mathcal{Z}$,

$$ 
\begin{aligned}
\Delta &= z^{-1}(b\partial_2^2)z^{-1}(ax_1^2) - z^{-1}(bt - 1)z^{-1}(1 + at) \\
&= z^{-2}(abt^2) - z^{-2}(1 + at)(bt - 1) = z^{-2}(1 + (a - b)t) = z^{-1},
\end{aligned}
$$

ce qui permet par combinaisons linéaires d'inverser les relations en

$$ 
\begin{aligned}
x_2 &= (ax_1^2)q_1 + (1 - bt)q_2 - ax_1, \\
\partial_1 &= (-1 - at)q_1 + (b\partial_2^2)q_2 + (a - b)\partial_2.
\end{aligned}
$$

En résumé, les relations (7)–(10) sont équivalentes à

(14) $x_1 = p_1,$

(15) $\partial_2 = p_2,$

(16) $x_2 = (ap_1^2)q_1 + (1 - bp_1p_2)q_2 - ap_1,$

(17) $\partial_1 = (-1 - ap_1p_2)q_1 + (bp_2^2)q_2 + (a - b)p_2.$

Ceci prouve que la sous-algèbre $A$ contient $x_1, x_2, \partial_1$ et $\partial_2$, donc $J_{a,b}(k) \subseteq A \subseteq H_{a,b}(k)$. ■

**9. COROLLAIRE.** Pour tout $a \in k$, l'algèbre $J_{a,a}(k)$ est isomorphe à l'algèbre de Weyl classique $A_2(k)$.

*Preuve.* Lorsque $a = b$, on a $z = 1$ et $J_{a,b}(k) = A = H_{a,b}(k)$. ■

**10. REMARQUE.** Il est facile de vérifier que $J_{a,b}(k) \simeq J_{ca,cb}(k)$ pour tous $a,b,c \in k$, $c \neq 0$, et que $J_{1,0}(k) \simeq J_{0,1}(k)$ ; (cf. [5], exemple 2.4, et [4], preuve du théorème 2.2). On peut dès lors résumer les résultats de cette note sous la forme de l'énoncé suivant.
Soient $a, b \in k$ ; deux cas seulement sont possibles :

(i) si $a = b$, alors l'algèbre $J_{a,b}(k)$ est isomorphe à l'algèbre de Weyl $A_2(k)$;

(ii) si $a \neq b$, alors il existe $c \in k$ distinct de 1 tel que $J_{a,b}(k)$ soit isomorphe à la sous-algèbre non-simple $J_{1,c}(k)$ de $A_2(k)$.

Les algèbres $J_{1,c}(k)$ sont de gl-dim et K-dim égales à 3 si $k$ est de caractéristique nulle (cf. [4], théorème 2.2), et égales à 4 si $k$ est de caractéristique première (cf. [5], corollaire 3.17). Sont-elles deux à deux non-isomorphes ? Sont-elles toutes isomorphes ?

Références

[1] A. Aghamohammadi, *The two-parametric extension of h deformation of GL(2), and the differential calculus on its quantum plane*, Modern Phys. Lett. A 8 (1993), no. 27, 2607–2613.

[2] E. E. Demidov, *Some aspects of the theory of quantum groups*, Russian Math. Surveys 48 (1993), no. 6, 41–79.

[3] J. Dixmier, *Algèbres enveloppantes*, Gauthier-Villars, Paris, 1974.

[4] H. Fujita, E. Kirkman and J. Kuzmanovich, *Global and Krull dimensions of quantum Weyl algebras*, J. Algebra 216 (1999), 405–416.

[5] A. Giaquinto and J. J. Zhang, *Quantum Weyl algebras*, ibid. 176 (1995), 861–881.

[6] V. Karimipour, *The quantum de Rham complexes associated with $SL_h(2)$*, Lett. Math. Phys. 30 (1994), 87–98.

[7] G. Maltsiniotis, *Le langage des espaces et des groupes quantiques*, Comm. Math. Phys. 151 (1993), 275–302.

[8] Yu. I. Manin, *Notes on quantum groups and quantum de Rham complexes*, Theoret. Math. Phys. 92 (1992), 997–1023.

[9] E. E. Mukhin, *Yang-Baxter operators and the non-commutative de Rham complex*, Russian Math. Surveys 46 (1991), no. 4, 192–193.

[10] J. Wess and B. Zumino, *Covariant differential calculus on the quantum hyperplane*, Nuclear Phys. B Proc. Suppl. 18 (1990), 302–312.

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