# Sur l'estimation des caracteristiques locales d'un processus de diffusion avec sauts

François Delebecque, Jean-Pierre Quadrat

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François Delebecque, Jean-Pierre Quadrat. Sur l'estimation des caracteristiques locales d'un processus de diffusion avec sauts. [Rapport de recherche] IRIA-RR-311, IRIA. 1978, pp.58. hal-04716544

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SUR L'ESTIMATION DES
CARACTÉRISTIQUES LOCALES
D'UN PROCESSUS DE
DIFFUSION AVEC SAUTS

François DELEBECQUE
Jean Pierre QUADRAT

Rapport de Recherche N° 311

Juin 1978

58p.
SUR L'ESTIMATION DES CARACTÉRISTIQUES LOCALES
D'UN PROCESSUS DE DIFFUSION AVEC SAUTS

François Delebecque, Jean-Pierre Quadrat

Résumé :

On étudie le problème de l'estimation des caractéristiques locales (terme de dérive, terme de diffu-
sion, loi des sauts) d'un processus de diffusion avec saut dans Rn. On étudie d'abord le cas paramé-
trique, puis on montre la robustesse des estimateurs obtenus en paramétrisant les caractéristiques
locales par des fonctions en escalier, ce qui conduit à une estimation non paramétrique.

Abstract :

The problem of estimation of local characteristics of a Rⁿ - valued jump diffusion process is stu-
died. The parametric case is first studied, then one shows the robustness of estimators obtained
with a parametrization of the local characteristics by step functions. This method leads to a non
parametric estimation.
SUR L'ESTIMATION DES CARACTÉRISTIQUES LOCALES
D'UN PROCESSUS DE DIFFUSION AVEC SAUTS

F. DELEBECQUE, J.P. QUADRAT

De nombreux phénomènes physiques, économiques, biologiques peuvent
être modélisés par des processus de diffusion avec sauts. Le premier pro-
blème, qui se pose alors, est l'estimation des paramètres définissant la
loi du processus. Nous nous posons ici ce problème pour la classe de pro-
cessus de diffusions avec sauts. En effet, pour de tels processus, il
existe des théorèmes A.V. Skorohod [20], P. Bremaud [2], J. Jacob; J.
Memin [11] donnant la densité de la loi du processus par rapport à une
mesure de référence fixe. Il est alors possible de calculer les estimateurs
du maximum de vraisemblance de paramètres intervenant dans le terme de
dérive et la loi des sauts. Le terme de diffusion est calculé en étudiant
la variation quadratique de la partie continue du processus.

Nous nous plaçons ici dans le cadre markovien non linéaire, observa-
tion complète, domaine beaucoup moins étudié que le cas linéaire. Citons
les travaux de A. Lebreton [13], P. Lipcer, A. Shiriaev [15], P.D. Feigin [9]
sur l'identification de paramètres apparaissant dans des diffusions sto-
chastiques, utilisant le même genre de technique. Nous généralisons ici au
processus de diffusion avec sauts la méthode exposée dans F. Delebecque,
J.P. Quadrat [5].

L'originalité de cet exposé étant peut être dans ces méthodes de
démonstration utilisant au maximum la théorie des martingales, et surtout
dans l'aspect identification de fonctions au lieu de l'identification de
paramètre. Les fonctions à identifier sont approximées par des fonctions
 constantes par morceaux. Un estimateur de cette approximation est alors
calculé. Les propriétés asymptotiques d'estimation et d'approximation
de cet estimateur sont données. Au vu de cet exposé, il apparaît que les
trois fonctions dérive, terme de diffusion, loi des sauts, peuvent être
estimées en tout point dès que ces fonctions sont continues, possèdent une
propriété de périodicité, et que les processus correspondant, admettent
une mesure invariante ou périodique. Ces résultats généralisent donc par
des méthodes différentes les résultats obtenus dans Banon [1] pour des dif-
fusions en dimension un.

Cette étude fait largement appel aux techniques utilisées dans les
exposés sur les martingales discretes de J. Neveu [17], sur l'aspect martin-
gale des processus ponctuels P. Bremaud [2], sur les diffusions stochasti-
ques et les martingales continues P. Priouret [19].

Des applications à la gestion de réservoirs sont données dans F. Delebecque, J.P. Quadrat [6], [7], Colleter, F. Delebecque, F. Falgarone, J.P. Quadrat [3], F. Delebecque [5].

Signalons également un travail de F. BRODEAU et de A. LEBRETON [22] traitant
du même sujet dont nous avons en connaissance après la rédaction de ce travail

Nous suivrons le plan suivant :
# PLAN

## Introduction

### 1. RAPPELS

1.1. Mouvement Brownien

1.2. Processus de Poisson

1.3. Semi martingale

1.4. Mesure aléatoire associée aux sauts d'un processus

1.5. Théorème de représentation des martingales

1.6. Une équation différentielle stochastique

1.7. Formule d'Ito, C. Doleans-Dade, P.A. Meyer

1.8. Formule Exponentielle

1.9. Equation différentielle stochastique (solution faible)

1.10. Problème de martingale

### 2. STATISTIQUE DE DIFFUSION AVEC SAUTS. QUELQUES RESULTATS GENERAUX

2.1. La structure statistique

2.2. Estimation du terme de diffusion

2.3. Identifiabilité du terme de dérive et de sauts

2.4. Estimateurs du maximum de vraisemblance.

2.4.1. Continuité p.s. de la densité

2.4.2. Convergence p.s. des estimateurs

### 3. UNE ESTIMATION PARAMETRIQUE.

3.1. Les estimateurs

3.2. Propriétés des estimateurs

3.2.1. Biais

3.2.2. Optimalité

3.2.3. Convergence

### 4. ESTIMATION NON PARAMETRIQUE

4.1. Estimation du terme de diffusion

4.2. Estimation du terme de dérive

4.3. Estimation du terme de saut

4.4. Robustesse des estimateurs

4.5. Estimation de la valeur en un point du terme de dérive et de la loi des sauts

## Conclusion
# 1. RAPPELS

Dans ce paragraphe on rassemble les résultats sur les diffusions et les processus ponctuels sur lesquels on se propose de faire des statis-tiques dans les chapitres suivants. On renvoie à P. Priouret [19] pour les résultats sur les diffusion et à P.M. Bremaud [2] pour les processus ponctuels.

## 1.1. MOUVEMENT BROWNIEN

Sur $(\Omega, F_t, F, P)$ $F_t$ famille croissante de sous tribus de F, on appelle mouvement brownien un processus adapté, à accroissements indépendants, partant de 0, tel que $W_{t+h} - W_t$ soit une loi gaussienne centrée de variance h.

## 1.2. PROCESSUS DE POISSON

Sur $(\Omega, F_t, F, P)$, on appellera processus de Poisson un processus adapté, à accroissements indépendants, partant de 0, tel que $N_{t+h} - N_t$ suit une loi de poisson de paramètre h.

## 1.3. SEMI-MARTINGALE

Sur $(\Omega, F_t, F, P)$ un processus $M_t$ sera appelé (P, $F_t$) martingale si

$$E^{F_s} M_t = M_s$$

Sur $\Omega \times \mathbb{R}^+$ introduisons la tribu des prévisibles $\mathcal{J}$ (plus petite tribu rendant mesurables les processus limitus à gauche).

Si $M_t$ est de carré intégrable, il existe un unique processus croissant prévisible $A_t$ tel que $M_t^{\theta_2} - A_t$ soit une martingale.

Un processus $X_t$ sera appelé semi-martingale si :

$$(1.1) \qquad X_t = X_o + M_t + V_t$$

où :

$M_t$ est une martingale

$V_t$ un processus à variation bornée

$X_o$ une variable aléatoire $F_o$ mesurable.
### 1.4. MESURE ALEATOIRE ASSOCIEE AUX SAUTS D'UN PROCESSUS

Sur $(\Omega, F_t, F, P)$ considérons le processus $X_t$, c.a.d. $1.a. g$ (continu à droite limitu à gauche), à valeurs dans $\mathbb{R}^n$.

On introduit la mesure aléatoire associée aux sauts de $X_t$ définie sur $]0,\infty[ \times U$ par :

$$ \mu(\omega; dt \times du) = \sum_s \mathbf{1}_{X_s \neq X_{s-}} \delta_{s, X_s - X_{s-}} \quad \text{avec } U = \mathbb{R}^n - \{0\}. $$

La "projection duale prévisible" $v$ de $\mu$ sera l'unique mesure aléatoire prévisible (J. Jacod [11]):

$$ E \int_0^{+\infty} \int_U \psi(\omega, s, u) \mu(\omega; ds \times du) = E \int_0^{+\infty} \int_U \psi(\omega, s, u) v(\omega; ds \times du) $$

$\forall \psi(\omega, s, u) \ J \times \mathcal{B}$ mesurable borné où $J$ désigne la tribu des prévisibles sur $\Omega \times \mathbb{R}^+$ et $\mathcal{B}$ les boréliens de $U$.

### 1.5. THEOREME DE REPRESENTATION DE MARTINGALE

#### Intégrale stochastique par rapport à une martingale

Sur $(\Omega, F_t, F, P)$ soit $M_t$ une martingale de carré intégrable de processus croissant $A_t$ et $f(s, \omega)$ un processus prévisible vérifiant

$$ E \int_0^T f^2(s, \omega) dA_s < +\infty $$

On définit l'intégrale stochastique $\int_0^T f(s, \omega) dM_s$ en prolongeant l'isométrie

$$ L^2(\Omega \times [0, T], \mathcal{J}, \text{PdA}_t) \to L^2(\Omega, P) $$

$$ f(\omega, s) = \sum_i f_i \mathbf{1}_{B_i}(\omega, s) \to \sum_i f_i (M_{t_i} - M_{t_{i-1}}) $$

$$ B_i = A_i \times [s_i, t_i[, A_i, F, s_i] \text{ mesurable.} $$

Alors :
$$ N_t = \int_0^t f(s, \omega) dM_s \text{ est une martingale de processus croissant } \int_0^t f^2(s, \omega) dA_s. $$
### Exemple 1

On prend $M_t = W_t$ mouvement brownien $W_t$ est une martingale de processus croissant $t$ alors

$\int_0^t f(s, \omega)dW_s$ est une martingale de processus croissant

$\int_0^t f^2(s, \omega)ds$ dès que $E \int_0^t f^2(s, \omega)ds < +\infty \quad \forall t$

### Exemple 2

Soit $N_t$ un processus de Poisson, alors

$N_t-t$ est une martingale de processus croissant $t$, $\int_0^t f(s, \omega)(dN_s - ds)$ est une martingale de processus croissant

$\int_0^t f^2(s, \omega)ds$ dès que $E \int_0^t f^2(s, \omega)ds < +\infty \quad \forall t$.

### Intégrale stochastique par rapport à une mesure aléatoire

Sur $(\Omega, F_t, F, P)$ soit un processus $X_t$ c.a.d.1.a. g, $\mu(\omega; dt \times du)$ la mesure aléatoire associée aux sauts de $X$, de projection duale prévisible $v$, $\psi(\omega, s, u)$ un processus $J \times \mathcal{B}$ mesurable, alors dans J. Jacod [10] on définit l'intégrale stochastique par rapport à $\mu-v$ :

$$M_t = \int_0^t \int_U \psi(\omega, s, u) [\mu(\omega; ds \times du) - v(\omega; ds \times du)]$$

est une martingale de processus croissant

$$\int_0^t \int_U \psi^2(\omega, s, u) v(\omega; ds \times du) \text{ dès que}$$

$$E \int_0^t \int_U \psi^2(\omega, s, u) v(\omega; ds \times du) < +\infty \quad \forall t$$

### Remarque

Lorsque $v(\omega; ds \times du) = ds \times v(\omega, du)$, $v(\omega, U) < +\infty$ p.s., cette intégrale stochastique est définie comme une intégrale de Stieljes ordinaire. Dans la suite nous nous placerons toujours dans ce cas là.
Théorème de représentation des martingales H. Kunita, S. Watanabe [12]

Sur $(\Omega, F, P)$ soit le processus ponctuel

$$
X_t = X_o + \int_0^t \int_U u\mu(\omega; ds \times du) \text{ de projection duale prévisible}
$$

$v(dt \times du)$ ; un brownien $W_t$, $F_t = \sigma(X_s; W_s \quad s \le t)$ (la tribu engendrée par $X_s \le t$ et $W_s \le t$) ; $M_t$ une $(P, F_t)$ martingale de carré intégrable.

Il existe alors $\sigma(s,\omega)$ prévisible et $h(\omega,s,u)$ $\mathcal{T} \times \mathcal{B}$ mesurable tels
que :

$$
M_t = M_o + \int_0^t \sigma(s, \omega) dW_s + \int_0^t \int_U h(\omega, s, u) [\mu(\omega; ds \times du) - \nu(ds \times du)] \\
E \int_0^t \sigma^2(s, \omega) ds < \infty \\
E \int_0^t \int_U h^2(\omega, s, u) \nu(ds \times du) < +\infty \quad \forall t.
$$

1.6. UNE EQUATION DIFFERENTIELLE STOCHASTIQUE

Sur $(\Omega, F_t, F, P)$ soit

un brownien $W_t$ n dimensionnel,
$v(du)$ une mesure de probabilité U vérifiant $\int |u|^{2v}(du) < +\infty$,
$\sigma(s,x)$ un champ de matrice (n×n) uniformément elliptique lipschitzien,

un processus ponctuel de poisson de mesure ponctuelle $\mu$ et de projection duale prévisible $dt \nu(du)$ (en fait déterministe)

Alors il existe un unique processus $X_t$ sur $(\Omega, F_t, F, P)$ vérifiant
l'équation différentielle stochastique A.V. Skorohod [20], J.P. Lepeltier,
B. Marchal [14]

$$
X_t = X_o + \int_0^t \sigma(s, X_s) dW_s + \int_0^t \int_U u\mu(\omega; dt; ds \times du)
$$

ce processus est c.a.d. 1.a.g P.p.s

Désormais, on prendra pour $(\Omega, F_t, F, P)$ l'espace canonique de $X_t$,
c'est-à-dire
$$ \Omega = D(\mathbb{R}^+, \mathbb{R}^n) \qquad X_t(\omega) = \omega_t $$

$$ F_t = \sigma(X_s, s \le t) $$

$$ F_{\infty} = F, \text{ boréliens de } \Omega $$

où $D(\mathbb{R}^+, \mathbb{R}^n)$ désigne l'espace des fonctions $c.a.d. 1.a.g. muni de la topologie de SKOROHOD..

## 1.7. FORMULE D'ITO C. DOLEANS-DADE; P.A. MEYER [8]

Sur $(\Omega, F_t, F, P)$ soit $X_t$ une semi-martingale à valeurs dans $\mathbb{R}^n$, et $\phi$ une fonction numérique sur $\mathbb{R}^n$ de classe $C^2$.

$X_t$ se décompose de façon unique :

$$ X_t = X_t^C + X_t^d $$

$X^C$ désigne la partie continue de $X$

$X^d$ désigne la partie purement discontinue (constante entre ces discontinuités et partant de 0).

On a alors la formule suivante :

$$ \phi(X_t) = \phi(X_o) + \int_0^t \sum_{i=1}^n D^i \phi(X_{s-}) dX_s^{ic} + \frac{1}{2} \int_0^t \sum_{i,j=1}^n D^i D^j (X_{s-}) d \langle M^{ic}, M^{jc} \rangle_s + \sum_{s \le t} \phi(X_s) - \phi(X_{s-}) $$

où

$\langle M^{ic}, M^{jc} \rangle_t$ désigne la composante $(i,j)$ du processus croissant de la partie continue de la martingale dans la décomposition (1.1).

## 1.8. FORMULE EXPONENTIELLE

Sur $(\Omega, F_t, F, P)$

avec

$$ \Omega = D(0, T; \mathbb{R}^n) $$

$$ F_t = \sigma(X_s, s \le t) $$

$$ F = F_{\infty} $$

$P$ solution de l'équation différentielle stochastique

$$ X_t = X_o + \int_0^t \sigma(s, X_s) dW_s + \int_0^t \int_U u \mu(\omega; ds \times du) $$

considérons le processus
$$
Z_t = \exp \left[ \int_0^t \left( a^{-1}(s, X_s) b(s, X_s), dX_s^c \right) - \frac{1}{2} \int_0^t \left( a^{-1}(s, X_s) b(s, X_s), b(s, X_s) \right) ds \right. \\
\left. + \int_0^t \left[ \int_U \log \rho(X_s-, s, u) \mu(\omega \mid ds \times du) - \int_U \rho(X_s-, s, u)-1 \mid ds \mid v(du) \right] ds \right] - \int_0^t \int_U \rho(X_s-, s, u)-1 \mid ds \mid v(du)
$$

où :

b(s,x) désigne une fonction borélienne bornée de $\mathbb{R}^{+\times\mathbb{R}^n} \rightarrow \mathbb{R}^n$

ρ(x,s,u) désigne une fonction borélienne bornée de $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^+ \times U \rightarrow \mathbb{R}$

ds v(du) désigne la projection duale prévisible de μ pour P.

$$
a = \sigma\sigma^*
$$

l'application de la formule d'Ito montre que :

$$
(1.2.) \quad Z_t = 1 + \int_0^t Z_s \left\{ \begin{aligned}[t]
& (a^{-1}b, dX^c) - \frac{1}{2}(a^{-1}b, b)ds + \frac{1}{2}(a^{-1}b, b)ds - \\
& \quad - \int_U (\rho(X_s-, s, u)-1) v(du) ds \}
\end{aligned} \right\} + \sum_{s \le t} Z_s - Z_{s-}
$$

or

$$
\begin{align*}
\sum_{s \le t} Z_s - Z_{s-} &= \sum_{s \le t, X_s \ne X_{s-}} Z_{s-} (\rho(X_{s-}, s, X_s, X_{s-}) - 1) \\
&= \int_0^t \int_U Z_s - (\rho(X_{s-}, s, u)-1) \mu(\omega; dt \times du)
\end{align*}
$$

et donc (1.2) se réécrit :

$$
(1.3) \quad Z_t = 1 + \int_0^t Z_t (a^{-1}b, \sigma(s,X_s)dW_s) + \int_0^t \int_U Z_t - (\rho(X_{s-},s,u)-1)(\mu-\nu)(ds\times du)
$$

de (1.3) on déduit que :

$$
EZ_t^2 \le k \left( 1 + \int_0^t EZ_s^2 ds + \int_0^t \int_U EZ_s^2 ds v(du) \right)
$$

et donc le lemme de GRONWALD montre que

$$
EZ_t^2 \le A \exp^{2kt}
$$

On en déduit que $Z_t$ est une martingale et donc $E(Z_t) = 1$.

1.9. EQUATION DIFFERENTIELLE STOCHASTIQUE (SOLUTION FAIBLE)

Avec les données du paragraphe précédent on peut définir la mesure Q
vérifiant :

$$
\left. \frac{dQ}{dP} \right|_{F_t} = Z_t
$$
Montrons que sous Q le processus canonique est solution de l'équation
différentielle stochastique

$$
\begin{equation} \tag{1.4}
\begin{aligned}
X_t &= X_0 + \int_0^t b(s, X_s) \mathrm{d}s + \int_0^t \sigma(s, X_s) \mathrm{d}W_s \\
    &\quad + \int_0^t \int_U u\mu(\omega, \mathrm{d}s \times \mathrm{d}u) \\
    &\quad \text{où } \mu \text{ est la mesure ponctuelle associée aux sauts de } X \text{ de} \\
    &\quad \text{projection duale prévisible} \\
    &\quad \rho (X_s^{-}, s, u) \mathrm{d}s \times \mathrm{d}v (du) \text{ et } W_t \text{ un (Q, F}_t\text{) Brownien}
\end{aligned}
\end{equation}
$$

pour montrer (1.4.) il suffit de vérifier que

$$
\begin{equation} \tag{1.5}
\begin{aligned}
M_t(\theta, \beta) = \exp &\int_0^t (\theta, dX^c - \text{bds}) - \frac{1}{2} \int_0^t (a\theta, \theta) \, ds + \int_0^t \int_U \log\beta\mu(\,dt \times du) \\
& - \int_0^t \int_U (\beta-1)\rho(X_s^{-}, s, u) \, ds \, v(du)
\end{aligned}
\end{equation}
$$

est une (Q, F_t) martingale W_0, \beta > 0.

En effet s'il en est ainsi, en dérivant $M_t(\theta, \beta)$ par rapport à $\theta$ une
et deux fois au point $(0,1)$ on obtient que

$X_t^c - \int_0^t b \, ds$ est une $(Q, F_t)$ martingale continue de processus croissant $\int_0^t a \, ds$.

En dérivant $M_t(\theta, \beta)$ par rapport à $\beta$ une fois au point $(0,1)$ on obtient
que

$$
\int_0^t \int_U \mu(\mathrm{d}s \times \mathrm{d}u) - \rho(\bar{X}_s, s, u) \mathrm{d}s \nu(\mathrm{d}u) \text{ est une } (Q, F_t) \text{ martingale.}
$$

Le théorème de représentation de martingale donne alors le résultat.

Il reste donc à montrer que :

$M_t(\theta, \beta)$ est une $(Q, F_t)$ martingale ce qui revient à montrer que

$M_t(\theta, \beta)Z_t$ est une $(P, F_t)$ martingale,

or

$$
M_t(\theta, \beta)Z_t = \exp \left| \int_0^t (dX_s^c, \theta + a^{-1}b) - \frac{1}{2} \int_0^t (a^{-1}[\theta + a^{-1}b], \theta + a^{-1}b) ds \right. \\
\left. + \int_0^t \int_U \log \beta \rho \, \mu(\mathrm{d}s \times \mathrm{d}u) - \int_0^t \int_U (\beta \rho - 1) ds \nu(\mathrm{d}u) \right|
$$

en changeant $a^{-1}b$ par $\theta + a^{-1}b$ et $\rho$ par $\beta\rho$ dans §1.8 on obtient le résultat.
1.10. **PROBLEME DE MARTINGALE** D.W. STROOK [21]

Soit $\Omega = D(\mathbb{R}^+, \mathbb{R}^n)$, $F_t = \sigma(X_s, s \le t)$, $F_\infty = F$, sur $(\Omega, F, F_t)$ une
mesure de probabilité P sera dite solution du problème de martingale
$(x, b, a, v)$ si $\forall \phi \in C^1, 2(\mathbb{R}^+, \mathbb{R}^n)$

$\phi(t, X_t) - \phi(0, x) - \int_0^t L_{b,a,v} \phi(s, X_s^-) ds$ est une $(P, F_t)$ martingale

avec

$$
\begin{align*}
L_{a,b,v} \phi(s,X) &= \frac{\partial \phi}{\partial t}(s,X) + \sum_{i,j} a_{ij}(s,X) \frac{\partial^2 \phi}{\partial X_i \partial X_j}(s,X) + \sum_i b_i(s,X) \frac{\partial \phi}{\partial X_i}(s,X) \\
&\quad + \int_U [\phi(s,X+u) - \phi(s,X)] v(s,X;du)
\end{align*}
$$

Si P est solution du problème de martingale (x,b,a,v) alors X_t est
solution de l'équation différentielle stochastique

$$
X_t = x + \int_0^t b(s, X_s) ds + \int_0^t \sigma(s, X_s) dW_s + \int_0^t \int_U u \mu(ds \times du)
$$

avec $\mu$ de projection duale prévisible

$v(X_{s-}, du) ds$

et réciproquement. L'unicité de la solution du problème de martingale en-
traîne l'unicité en loi de l'équation différentielle stochastique.
## 2. STATISTIQUE DE DIFFUSION AVEC SAUTS. QUELQUES RESULTATS GENERAUX

### 2.1. LA STRUCTURE STATISTIQUE

$$ \Omega = D(0,T; \mathbb{R}^n) \quad X_s(\omega) = \omega_s $$

$$ F_t = \sigma(X_s, \cdot; s \le t) $$

$$ F_\infty = F $$

$$ \begin{array}{l} \mathcal{P} = \{ P_{b,a,\rho} \text{ solution du problème de martingale } (x,b,a,v) : b \in \mathcal{B} \subset \text{fonc-} \\ \text{tion borélienne bornée de } \mathbb{R}^+ x \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n; a \in \mathcal{A} \subset \text{champ de matrice } (n,n) \\ \text{symétrique uniformément elliptique sur } \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^n \text{ lipschitz ;} \\ v = \rho v \text{dt avec } \rho \in \mathcal{R} \text{ borélienne de } \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^+ \times U \to \mathbb{R}^+ \\ \tilde{v} \text{ mesure de probabilité sur } U \text{ vérifiant } \int_U u^2 \tilde{v}(du) < +\infty \} \end{array} $$

La structure statistique sera alors :

$$ (\Omega, F_t, F, P_{b,a,\rho}, b \in \mathcal{B}, a \in \mathcal{A}, \rho \in \mathcal{R}) $$

On se propose alors d'estimer $(b,a,\rho)$ sur cette structure statistique.

### 2.2. ESTIMATION DE $a$

Soit la structure statistique

$$ (\Omega, F_t, F, P_{b,a,\rho}, b \in \mathcal{B}, a \in \mathcal{A}, \rho \in \mathcal{R}) $$

On peut calculer $a(t,x)$ en tout point $(t,x)$ tel que $X_t(\omega) = x$ de la manière suivante :

$$ \text{Soit } h > 0, \text{ notons } t_i = t + ih $$

notons

$$ V^h(\omega^c) = \sum_{x,t,\varepsilon} \int_{t \le t_i < t+\varepsilon} (X_{t_i} - X_{t_i-1})^{\Theta_2} $$

où $\omega_c$ désigne la partie continue de $\omega$.

**Théorème 2.1.**

$$ V_{x,t,\varepsilon}^h(\omega^c) = \lim_{h \to 0} V_{x,t,\varepsilon}^h(\omega^c) = \int_{t}^{t+\varepsilon} a(s, X_s) ds $$

$$ P_{b,a,\rho} \text{ p.s. sur } \{\omega: X_t(\omega) = x\} \quad \forall b \in \mathcal{B} \quad \forall \rho \in \mathcal{R} $$
Démonstration :

cf. P. PRIOURET [19]

Théorème 2.2.

$$
\left|
\begin{array}{l}
a(t,x) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{V_{x,t,\epsilon}^{(\omega)}}{\epsilon} \quad p_{a,b,\rho} \text{ p.s. sur } X_t=x \\
\\
\forall b \in \mathcal{B} \quad \forall \rho \in \mathcal{R}
\end{array}
\right.
$$

Démonstration

$$
V_{x,t,\epsilon}^{(\omega_c)} = \int_{t}^{t+\epsilon} a(s,X_s)ds
$$

or

$$
\sup_{t \le s \le t + \epsilon} |a(s, X_s) - a(t, x)| \le k \left( \epsilon + \sup_{t \le s \le t + \epsilon} |X_s - x| \right)
$$

donc

$$
\left| \frac{V_{x,t,\epsilon}(\omega_c)}{\epsilon} - a(t,x) \right| \le k \left( \epsilon + \sup_{t \le s \le t+\epsilon} |X_s - x| \right)
$$

d'où le résultat en utilisant la continuité à droite des trajectoires.

Dans toute la suite on aura besoin de $a(t,x)$ seulement le long de la trajectoire $X_t(\omega)$ ; le théorème 2 montre qu'il ne sera pas restrictif de supposer a connu le long de la trajectoire réalisée.

2.3. IDENTIFIABILITE DES TERMES DE DERIVE ET DE SAUT

Soit la structure statistique

$$
(\Omega, F_t, F, P_{b,a,\rho}, b \in \mathcal{B}, \rho \in \mathcal{R})
$$

Au paragraphe 1.9 on a vu que la famille $P_{b,a,\rho}$, $b \in \mathcal{B}$, $\rho \in \mathcal{R}$ est dominée par $P_{o,a,1}$ et l'on a

$$
\left. \frac{dP_{b,a,\rho}}{dP_{o,a,1}} \right|_{F_t} = Z_t^1(b) Z_t^2(\rho)
$$

avec
$M_t(\frac{\theta}{2}) - A_t(\frac{\theta}{2})$
exp étant une martingale positive est P p.s. convergente
d'où le résultat.
■

**Corollaire 2.1.**

$$
\left\| \frac{Z_t^1(b)}{Z_t^1(\tilde{b})} \xrightarrow{t \to \infty} 0 \quad \text{P}_{\tilde{b},a,\rho} \text{ p.s. sur } \int_0^{+\infty} [a^{-1}(b-\tilde{b}), b-\tilde{b}] \, ds = \infty
$$

Démonstration
---

$$
b = \tilde{b} + b - \tilde{b}
$$

$$
\frac{Z_t^1 [\tilde{b} + \theta(b - \tilde{b})]}{Z_t^1(\tilde{b})} = \exp \left[ \int_0^t [a^{-1}\theta(b - \tilde{b}), \sigma dW_s] \right] - \frac{1}{2} \int_0^t (a^{-1}\theta(b - \tilde{b}), \theta(b - \tilde{b})) ds
$$
où
$W_s$ est un $P_{\tilde{b}, a, \rho}^{*}$ brownien, $\sigma\sigma = a$.

$W_s$ est un $P_{\tilde{b},a,\rho}^{*}$ brownien, $\sigma\sigma = a.$

$$
M_t(\theta) = \int_0^t \theta (a^{-1}(b-\tilde{b}), \sigma dW_s)
$$

$$
A_t(\theta) = \int_0^t \theta^2 (a^{-1}(b-\tilde{b}), b-\tilde{b}) ds
$$

Prenons $\theta = 1$

$$
\frac{1}{2} A_t(1) - A_t(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \int_{0}^{t} (a^{-1}(b-\tilde{b}), b-\tilde{b}) ds
$$

le lemme donne alors le corollaire. ■

Corollaire 2.2.

Soit $\rho$ et $\tilde{\rho}$ tels que $\tilde{\rho} = 0 \Rightarrow \rho = 0$

alors

$$
\frac{Z_t^2(\rho)}{Z_t^2(\tilde{\rho})} \xrightarrow{t \to \infty} 0 \quad \text{P}_{\tilde{b}, a, \rho} \text{ p.s. sur } \int_0^\infty \int_U (\rho^{\frac{1}{2}-\tilde{\rho}^2})^2 dt v(du) = \infty
$$
### Démonstration

$$ \tilde{\rho} = \rho(\frac{\rho}{\tilde{\rho}}) $$

$$ \frac{Z_t^2 \left[ \rho \left( \frac{\rho}{\tilde{\rho}} \right)^{\theta} \right]}{Z_t^2 (\tilde{\rho})} = \exp \int_0^t \int_U \theta \operatorname{Log} \frac{\rho}{\tilde{\rho}} [\mu - \tilde{\rho}v] - \int_U \int_0^t \left[ \left( \frac{\rho}{\tilde{\rho}} \right)^{\theta} - \theta \operatorname{Log} \frac{\rho}{\tilde{\rho}} - 1 \right] \tilde{\rho} v (du) ds $$

$$ M_t(\theta) = \int_U \int_0^t \theta \operatorname{Log} \frac{\rho}{\tilde{\rho}} [\mu - \tilde{\rho}v] ds \quad \text{est une } P_{b,a,\tilde{\rho}} \text{ martingale} $$

$$ A_t(\theta) = \int_U \int_0^t \left[ \left( \frac{\rho}{\tilde{\rho}} \right)^{\theta} - \theta \operatorname{Log} \frac{\rho}{\tilde{\rho}} - 1 \right] \tilde{\rho} ds v(du) \text{ est un processus croissant} $$

$$ \text{en effet } y-1 - \operatorname{Log} y \ge 0 \quad \forall y \ge 0 $$

$$ \text{prenons } \theta = 1 $$

$$ A_t(\frac{1}{2}) - \frac{1}{2}A_t(1) = \int_0^t \int_U \left( \frac{1}{2} \frac{\rho}{\tilde{\rho}} + \frac{1}{2} - \sqrt{\frac{\rho}{\tilde{\rho}}} \right) \tilde{\rho} ds v(du) \text{ d'où le résultat en utilisant le lemme.} $$

### Remarque (Application aux tests d'Hypothèses)

Du corollaire 1 on déduit que sur l'évènement

$$ \int_{0}^{+\infty} (a^{-1}(b-\tilde{b}), b-\tilde{b}) ds = \infty $$

La règle de décision suivante :

$$ \text{la dérive est : } \begin{cases} b \text{ si } \lim_{t \to \infty} \frac{Z_t^1(b)}{Z_t^1(\tilde{b})} = \infty \\ \tilde{b} \text{ si } \lim_{t \to \infty} \frac{Z_t^1(b)}{Z_t^1(\tilde{b})} = 0 \end{cases} $$

conduit à des erreurs de première et de seconde espèce nulles.

Du corollaire 2 on déduit que sur l'évènement

$$ \int_{0}^{+\infty} \int_{U} (\rho^{1/2} - \tilde{\rho}^{1/2})^{2} dt v(du) = \infty $$
La règle de décision suivante :

$$
\text{le terme de saut est}
\left\{
\begin{array}{ll}
\rho & \text{si } \lim_{t \to \infty} \frac{Z_t^2(\rho)}{Z_t^2(\tilde{\rho})} = \infty \\
\tilde{\rho} & \text{si } \lim_{t \to \infty} \frac{Z_t^2(\rho)}{Z_t^2(\tilde{\rho})} = 0
\end{array}
\right.
$$

conduit a des erreurs de première et de seconde espèces nulles.

2.4. ESTIMATEURS DU MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE

Sur la structure statistique

$(\Omega, F_t, F, P_{b,a,\rho} \ b \in \mathcal{B}, \rho \in \mathcal{R})$ on se propose d'estimer $b$ et $\rho$

$\mathcal{B} \text{ compact de fonctions } (s,x) \to b(s,x)$

$\mathcal{R}$ compact de fonctions $(s,x,u) \to \rho(s,x,u)$

La topologie pour les fonctions b et ρ est supposée telle que l'application

$(b, \rho) \rightarrow Z_t^1(b)Z_t^2(\rho)$ soit continue $P_{b,a,\rho} \sim p.s.$

$$
Z_t^1(b) = \exp \int_0^t (a^{-1} b, dX^c) - \frac{1}{2} \int_0^t (a^{-1} b, b) ds
$$

$$
Z_t^2(\rho) = \exp \int_0^t \int_U \log \rho \, \mu - \int_0^t \int_U (\rho-1) \, d\nu \, (du)
$$

L'estimateur du maximum de vraisemblance de b (res. dep ) sera alors la
multiapplication

$$
(2.1) \quad t \to \operatorname{Arg max}_{b \in \mathcal{B}} Z_t^1(b) \quad [\operatorname{resp. } \operatorname{arg max}_{\rho \in \mathcal{R}} Z_t^2(\rho)]
$$

et on a également

$$
\begin{gather*}
\operatorname{Arg max}_{b \in \mathcal{B}} Z_t^1(b) = \operatorname{Arg max}_{b \in \mathcal{B}} \frac{1}{t} \log \frac{Z_t^1(b)}{Z_t^1(\tilde{b})} \\
\left\{
  \begin{array}{@{}l@{}}
    \text{resp } \operatorname{Arg max}_{\rho \in \mathcal{R}} Z_t^2(\rho) = \operatorname{Arg max}_{\rho \in \mathcal{R}} \frac{1}{t} \log \frac{Z_t^2(\rho)}{Z_t^2(\tilde{\rho})} \\
    \phantom{\text{resp } \operatorname{Arg max}_{\rho \in \mathcal{R}} Z_t^2(\rho) = \operatorname{Arg max}_{\rho \in \mathcal{R}} } \\
    \quad \left\{
      \begin{array}{@{}l@{}}
        \operatorname{Arg max}_{b \in \mathcal{B}} Z_t^1(b) = \operatorname{Arg max}_{b \in \mathcal{B}} \frac{1}{t} \log \frac{Z_t^1(b)}{Z_t^1(\tilde{b})} \\
        \text{resp } \operatorname{Arg max}_{\rho \in \mathcal{R}} Z_t^2(\rho) = \operatorname{Arg max}_{\rho \in \mathcal{R}} \frac{1}{t} \log \frac{Z_t^2(\rho)}{Z_t^2(\tilde{\rho})}
      \end{array}
    \right\}
  \end{array}
\right.
\end{gather*}
$$
où $P_{b,a,\rho}^{\sim}$ est la loi de $X_t$.

$$
\begin{gather*}
\frac{1}{t} \log \frac{Z_t^1(b)}{Z_t^1(\tilde{b})} = \frac{1}{t} \int_0^t (a^{-1}(b-\tilde{b}), \sigma dW_s) - \frac{1}{2t} \int_0^t (a^{-1}(b-\tilde{b}), b-\tilde{b}) ds \\
\left[ \text{resp } \frac{1}{t} \log \frac{Z_t^2(\rho)}{Z_t^2(\tilde{\rho})} = \frac{1}{t} \int_0^t \left( \log \frac{\rho}{\tilde{\rho}} \mu - \frac{1}{t} \int_0^t \left( \frac{\rho}{\tilde{\rho}} - 1 \right) \tilde{\rho} ds \right) (du) \right]
\end{gather*}
$$

avec $W_s$ un $P_{b,a,\rho}^{\sim}$ mouvement brownien [resp $\mu$ mesure ponctuelle de projection duale prévisible $\tilde{\rho}vdt$].

### 2.4.1 Condition suffisante de continuité p.s. de $Z_t^1(b)$ par rapport à $b$

Il est clair que l'application

$Z_t^{1/\infty} \to L^2(\Omega, P_{b,a,\rho}^{\sim})$ est continue

$b \to Z_t^1(b)$

On obtient par contre la continuité p.s. dans des cas particuliers. Rappelons le cas particulier étudié dans LE BRETON [13] basé sur un lemme de J. NEVEU [18].

**Proposition 2.1.**

Si $\mathcal{J} = \{b(\theta) \in L^\infty((0,T) \times \mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n) \theta \in \Theta \text{ compact de } \mathbb{R}^n$ \\
b : $\mathbb{R}^n \to L^\infty((0,T) \times \mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)$ est lipschitzienne bornée} \text{ alors} \\
$\theta \mapsto b(\theta)$

$(t, \theta) \to \int_0^t (a^{-1}b(\theta), \sigma dW_s)$ est continue $P_{b,a,\rho}^{\sim}$ p.s.

si $W_s$ désigne un $(F_t, P_{b,a,\rho}^{\sim})$ brownien.

La démonstration utilise le

**Lemme 2.2.** (J. NEVEU [18]) *Critère de continuité d'un processus dépendant de plusieurs variables.*

Soit $Z_y$ une collection de v.a. telle que

$$ \dot{E}|Z_y - Z_y', |P| \le a|y-y'|^{m+\epsilon} \quad y,y' \in \mathbb{R}^m $$

avec $a>0$ \qquad $p \ge 1 \quad \epsilon > 0$, alors il existe

$Z_y^* : Z_y = Z_y^*$ p.s. $y \to Z_y^*$ continue p.s.
## Démonstration de la proposition

Appliquons le lemme en prenant $y = t, \theta$. Supposons $t' \le t$

$$ (2.1) \quad E \left| \int_0^{t'} (a^{-1}b(\theta'), \sigma dW_s) - \int_0^t (a^{-1}b(\theta), \sigma dW_s) \right|^p \le \right. \\ \le C \left\{ E \left| \int_0^{t'} (a^{-1}b(\theta'), \sigma dW_s) - \int_0^{t'} (a^{-1}b(\theta), \sigma dW_s) \right|^p + \right. \\ \left. + E \left| \int_{t'}^t (a^{-1}b(\theta), \sigma dW_s) \right|^p \right\} $$

En utilisant une majoration classique pour les martingales $E(\sup_{s \le t} |M_t|^p) \le C EA_t^{p/2}$ ou $A_t$ désigne le processus croissant de la martingale $M_t$, on obtient :

$$ (2.1) \quad \le E \left| \int_0^{t'} (a^{-1}(b(\theta')-b(\theta)), b(\theta')-b(\theta)) ds \right|^{p/2} + E \left| \int_t^{t'} (a^{-1}b(\theta), b(\theta)) ds \right|^{p/2} $$

d'où le résultat en prenant $p$ suffisamment grand en utilisant le caractère de Lipschitz et borné de $b$.

## Corollaire 2.3

L'application $\theta \to z_t^1 b(\theta)$ est continue sous les mêmes hypothèses que dans la proposition 2.1.

La démonstration résulte immédiatement de la proposition 2.1 et de la définition de $\mathcal{B}$.

On a de même

## Proposition 2.2

L'application $\rho \to z_t^2(\rho)$ est continue $P_{b,a,\rho}^{\sim} \text{ p.s., } \forall t \text{ comme application}$
$L^\infty(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^n, \mathbb{R})$, cette proposition résulte du fait que le nombre de
sauts est $P_{b,a,\rho}^{\sim} \text{ p.s. fini}$
$$ \left( \int_U \tilde{\rho}(s, X_s, u) v(du) < +\infty \right) \quad \blacksquare $$

### 2.4.2. Convergence des estimateurs

$$ \text{Soit } (\Omega, \mathcal{F}_t, \mathcal{F}, \mathcal{P}_{\tilde{b},a,\rho}^x = \mathcal{Q}) $$

sur $L^\infty(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)$ on définit des classes d'équivalences de fonctions :
$$
b_1 \sim_Q b_2 \iff \limsup_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T (a^{-1}(b_1-b_2), (b_1-b_2)) \, ds = 0 \quad \text{Q p.s.}
$$

Remarque 2.1.

.si le processus canonique admet une mesure invariante µ

µ = µ<sub>Q</sub>, Q(x,dy) désignant le noyau transition associé à X<sub>t</sub>.

$$
\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T [a^{-1}(b_1 - b_2), (b_1 - b_2)] ds = \int_{\mathbb{R}} n [a^{-1}(x)(b_1(x) - b_2(x)), b_1(x) - b_2(x)] \mu(dx)
$$

et donc

$$
\begin{array}{rcl}
b_1 \sim_Q b_2 & \Leftrightarrow & b_1 = b_2 \quad \mu.p.p. \\
& & \mathbb{Q}
\end{array}
$$

.si le processus canonique admet une mesure périodique de période $\mathcal{C}$

$$
\mu_s = \mu_s Q(s,x;s+\mathcal{C},dy)
$$

$$
\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T [a^{-1}(b_1 - b_2), (b_1 - b_2)] ds = \int_{\mathbb{R}} n \int_0^{\mathcal{C}} [a^{-1}(x,s)(b_1(x,s) - b_2(x,s))], \\
b_1(x,s) - b_2(x,s)] ds \mu_s(dx)
$$

et donc

$$
b_1 \sim_Q b_2 \Leftrightarrow b_1(s,x) = b_2(s,x) \quad \mu \frac{ds}{s} \text{ p.p.}
$$

On notera $\mathcal{C}l_Q(b)$ la classe d'équivalence de b.

Supposons que $\mathcal{B}$ soit la variété compacte de dimension finie définie dans la proposition 2.1.

Théorème 2.1. Soit $\hat{b}_{t,\omega}$ une section mesurable de l'estimateur du maximum de vraisemblance de b.

L'ensemble $B^*_{\omega}$ des points adhérents de $\hat{b}_{t,\omega}$ pour $t \to \infty$ est non vide et

$$
B_{\omega}^{*} \subset C_{Q}(\tilde{b}) P_{b,a,\rho} \text{ p.s.}
$$
## Démonstration

∀ω, 𝒫 étant compacte il existe une suite {$t_1, t_2, ..., t_n$} , $t_n \uparrow \infty$
$\hat{b}_{t_n} \rightarrow_{n \to \infty} b_{\omega}^*$ et donc $b^* \neq \phi$

Montrons que $b_{\omega}^* \in C_l^Q(\tilde{b}) \quad \text{Q p.s. c.a.d}$

$$ \lim_{T} \sup_{n \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} (a^{-1}(b^{*}\tilde{b}), b^{*}\tilde{b})_{\omega} ds = 0 \quad \text{Q p.s.} $$

or

$$ \frac{1}{t_n} \int_0^{t_n} (a^{-1}(b_{\omega}^{*}\tilde{b}), b_{\omega}^{*}\tilde{b})_\omega ds \le \frac{k}{t_n} \int_0^{t_n} (a^{-1}(\hat{b}_{\omega}^{t_n}\tilde{b}), \hat{b}_{\omega}^{t_n}\tilde{b})_\omega ds \\ + \int_0^{t_n} (a^{-1}(b_{\omega}^{*}\hat{b}_{\omega}^{t_n}), b_{\omega}^{*}\hat{b}_{\omega}^{t_n})_\omega ds $$

or

$$ \limsup_{t_n \to \infty} \frac{1}{t_n} \int_0^{t_n} (a^{-1}(b_{\omega}^{*}\hat{b}_{\omega}^{t_n}), (b_{\omega}^{*}\hat{b}_{\omega}^{t_n}))_\omega ds = 0 \quad \forall \omega $$

$$ \text{puisque } \sup_{s,x} |b_{\omega}^{*}(s,x) - \hat{b}_{\omega}^{t_n}(s,x)| \xrightarrow{n \to \infty} 0 \quad \forall \omega $$

Il suffit de démontrer

$$ \limsup_{t_n \to \infty} \frac{1}{t_n} \int_0^{t_n} (a^{-1}(\hat{b}_{\omega}^{t_n}\tilde{b}), \hat{b}_{\omega}^{t_n}\tilde{b})_\omega ds = 0 $$

or $\hat{b}_{\omega}^{t_n} \in \text{à l'estimateur du maximum de vraisemblance, on a}$

$$ \frac{1}{t_n} \int_0^{t_n} (a^{-1}(\hat{b}_{\omega}^{t_n}\tilde{b}), \sigma dW_s) - \frac{1}{2t_n} \int_0^{t_n} (a^{-1}(\hat{b}_{\omega}^{t_n}\tilde{b}), (\hat{b}_{\omega}^{t_n}\tilde{b}))_\omega ds \ge 0 $$

Il suffit donc de démontrer que

$$ \frac{1}{t_n} \int_0^{t_n} (a^{-1}(\hat{b}_{\omega}^{t_n}\tilde{b}), \sigma \, dW_s) \xrightarrow{t_n \to \infty} 0 \quad \text{Q p.s.} $$

La difficulté étant que $\hat{b}_{\omega}^{t_n}$ est mesurable par rapport à $F_{t_n}$ et donc pour $s \le t_n$
$\hat{b}_{\omega}^n(s, X_s(\omega))$ n'est aussi mesurable que par rapport à $F_{t_n}$ et donc

$$ \int_0^t (a^{-1} \hat{b}_{\omega}^t, \sigma dW_s) \text{ n'est pas une martingale.} $$
Il suffit de montrer que :

$$
\frac{1}{t_n} \int_0^{t_n} (a^{-1} b_{\omega}^{\wedge} t^n, \sigma dW_s) \xrightarrow{t \to \infty} 0 \quad \text{Q. p.s.}
$$

$$
\text{en effet } \frac{1}{t_n} \int_0^t (a^{-1} \tilde{b}_n, \sigma dW_s) \to 0 \quad n \to \infty .
$$

Car si $M_t$ est une martingale de processus croissant $A_{t,\frac{M_t}{A}} \to 0$
sur $\{A_\infty = \infty\}$et sur $\{A_\infty < \infty\}$, $M_t$ converge p.s.

D'autre part

$$
E \left| \frac{1}{t} \int_0^t (a^{-1} b, \sigma dW_s) - \frac{1}{t}, \int_0^{t'} (a^{-1} b', \sigma dW_s) \right| p \le
k \left| E \left| \frac{1}{t} \int_0^t (a^{-1} b, \sigma dW_s) \right|^p + E \left| \frac{1}{t'} \int_0^{t'} (a^{-1} b', \sigma dW_s) \right|^p \right| \le \frac{k'}{(t \wedge t')^{p/2}}
$$

d'après le lemme de Neveu 2.2, il existe un représentant de

$(t,b) \to \psi_{t,b} = \frac{1}{t} \int_0^t (a^{-1}b, \sigma dW_s)$ continu en $(t=\infty, b)$ en dehors d'un Q
négligeable et donc $\psi(t_n, b_w^t, \omega) \to 0$ Q p.s.
$\blacksquare$

**Lemme 2.3.** *Soit la martingale*

$$
M_t = \int_0^t \int_{\mathbb{R}-\{0\}} f(\omega,s) [\mu-\nu ds]
$$

notons

$$
A_t^{(i)} = \int_0^t \int_{\mathbb{R}-\{0\}} |f|^i \nu ds.
$$

On a alors la majoration pour p entier pair

$$
E \left| \sup_{s \le t} (M_s)^p \right| \le C \max \left\{ \sum_{i=2}^{p} \| A_t^{(i)} \|_{p/i} \cdot \left( \sum_{i=2}^{p} \| A_t^{(i)} \|_{p/i} \right)^{p/2} \right\}
$$

avec C constante ne dépendant que de p.
## Démonstration

D'après un théorème de Doob (par exemple P.A. MEYER [16])

$$ (2.2) \quad E \left| \sup_{s \le t} |M_s| \right| P \le C E |M_t|^P $$

Appliquons la formule d'Ito à $M_t^P$

$$ \begin{aligned} E M_t^P &= E \left\{ -P \int_0^t \int_{\mathbb{R}-\{0\}} M^{P-1} \, f v \, ds + \int_0^t \int_{\mathbb{R}-\{0\}} \left[ [M_s^P + f] P - M_s^P \right] v \, ds \right\} \\ &= E \int_0^T \int_{\mathbb{R}-\{0\}} \sum_{i=2}^P C_i f_i M_s^{P-i} v \, ds \end{aligned} $$

donc

$$ E M_t^P \le C E \left\{ \sum_{i=2}^{p} \sup_{s \le t} |M_s|^{p-i} \int_0^T \int_{\mathbb{R}-\{0\}} |f|^i v \, ds \right\} $$

en appliquant Hölder on obtient

$$ (2.3) \quad E(M_t)^P \le C \sum_{i=2}^{p} \left( E \left( \sup |M_s|^P \right) \right)^{1-p} \left\| A_t^{(i)} \right\|_{p/i} $$

(2.2) et (2.3) donne en posant

$$ \alpha = \left[ E \left( \sup_{s \le t} |M_s|^P \right) \right]^{1/p} $$

$$ (2.4) \quad \alpha^P \le C \sum_{i=2}^{p} \alpha^{p-i} \left\| A_t^{(i)} \right\|_{p/i} $$

$$ (2.4) \Rightarrow \begin{cases} \alpha^P \le C \sum_{i=2}^{p} \left\| A_t^{(i)} \right\|_{p/i} \quad \text{si } \alpha \le 1 \\ \alpha^P \le C \sum_{i=2}^{p} \alpha^{p-2} \left\| A_t^{(i)} \right\|_{p/i} \quad \text{si } \alpha \ge 1 \end{cases} $$

et donc

$$ \alpha^P \le C \operatorname{Max} \left\{ \sum_{i=2}^{p} \left\| A_t^{(i)} \right\|_{p/i}, \left( \sum_{i=2}^{p} \left\| A_t^{(i)} \right\|_{p/i} \right)^{p/2} \right\} $$

ce qui est le résultat annoncé.
Soit $(\Omega, F_t, F, P_b, \tilde{\rho}, \tilde{\alpha} = Q)$

Notons $C_Q(\tilde{\rho}) = \{\rho \in \mathbb{R} \subset L^\infty(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^n \times U, \mathbb{R}^+) , \beta \ge \rho \ge \alpha \text{ R compact de dimension finie}$

$$
\limsup_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T \int_U \left( \frac{\rho}{\tilde{\rho}} - 1 - \text{Log} \frac{\rho}{\tilde{\rho}} \right) \tilde{\rho} vds = 0 \quad \Omega \text{ p.s.}
$$

Remarque 2.2.

.si le processus canonique admet une mesure invariante

$\mu = \mu_{Q_t}$
$Q_t(x,dy)$ désignant le noyau de transition associé au processus de
Markov correspondant

$$
\begin{align*}
\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T \int_U \left( \frac{\rho}{\tilde{\rho}} - 1 - \text{Log} \frac{\rho}{\tilde{\rho}} \right) \tilde{\rho} vds \\
&= \int_U \int_{\mathbb{R}^n} \left[ \frac{\rho(x,u)}{\tilde{\rho}(x,u)} - 1 - \text{Log} \frac{\rho(x,u)}{\tilde{\rho}(x,u)} \right] \tilde{\rho}(x,u) v(du) \mu(dx)
\end{align*}
$$

ce qui entraîne

$$
\rho(x,u) = \tilde{\rho}(x,u) \nu_{\mu} \text{ p.s.}
$$

.si le processus canonique admet une mesure périodique de période $\mathcal{C}$

$$
\mu_S = \mu_S Q(s, x, s + \mathcal{C}, dy)
$$

$$
\begin{align*}
\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T \int_U \left( \frac{\rho}{\tilde{\rho}} - 1 - \text{Log} \frac{\rho}{\tilde{\rho}} \right) \tilde{\rho} vds &= \\
&= \int_{\mathbb{R}^n} \int_0^T \frac{ds \mu_s}{\mathcal{C}}(dx) \int_U \left| \frac{\rho(s,x,u)}{\tilde{\rho}(s,x,u)} - 1 - \text{Log} \frac{\rho(s,x,u)}{\tilde{\rho}(s,x,u)} \right| \tilde{\rho}(s,x,u) v(du).
\end{align*}
$$

et donc

$$
\rho = \tilde{\rho} \frac{1}{\mathcal{C}} ds \mu_s(dx) v(du) \text{ p.s.}
$$

Théorème 2.2.

Soit $\hat{\rho}_{t,\omega}$ une section mesurable de l'estimateur du maximum de vraisemblance de $\rho$.
L'ensemble $\mathcal{R}_\omega^*$ des points adhérents de $\hat{\rho}_{t,\omega}$ $t \to \infty$ est non vide et
$$ \mathcal{R}_\omega^* \subset C_l^\omega(\tilde{\rho}) \quad \text{Q p.s.} $$

## Démonstration

Pour $\omega \in \mathcal{R}$ étant compacte il existe une suite $t_1, t_2, \dots, t_n$ tending to infinity such that
$$ \hat{\rho}_{t_n} \to_{n \to \infty} \rho_{\omega}^* \quad \text{et donc} \quad \mathcal{R}_\omega^* \neq \emptyset $$

Montrons que $\rho_{\omega}^* \in C_l^\omega(\tilde{\rho})$ Q p.s.

c.à.d

$$ \limsup_T \frac{1}{T} \int_0^T \int_U \left( \frac{\rho_{\omega}^*}{\tilde{\rho}} - 1 - \text{Log} \frac{\rho_{\omega}^*}{\tilde{\rho}} \right) \tilde{\rho} \, vds = 0 \quad \text{Q p.s.} $$

$$ \frac{1}{t_n} \int_0^t \int_u^n \left( \frac{\rho_{\omega}^*}{\tilde{\rho}} - 1 - \text{Log} \frac{\rho_{\omega}^*}{\tilde{\rho}} \right) \tilde{\rho} \, vds \\ \le \frac{1}{t_n} \int_0^t \int_u^n \left( \hat{\rho}_{t_n} - 1 - \text{Log} \frac{\hat{\rho}_{t_n}}{\tilde{\rho}} \right) \tilde{\rho} \, vds + \frac{k}{t_n} \int_0^t \int_u^n |\rho_{t_n} - \rho_{t_n}^*| \, vds $$

il suffit donc de montrer que

$$ \limsup_{t_n \to \infty} \frac{1}{t_n} \int_0^t \int_u^n \left( \frac{\hat{\rho}_{t_n}}{\tilde{\rho}} - 1 - \text{Log} \frac{\hat{\rho}_{t_n}}{\tilde{\rho}} \right) \tilde{\rho} \, vds = 0 $$

or $\hat{\rho}_{t_n}$ étant l'estimateur du maximum de vraisemblance, on a

$$ \frac{1}{t_n} \int_0^t \int_u^n \left( \hat{\rho}_{t_n} - \text{Log} \frac{\hat{\rho}_{t_n}}{\tilde{\rho}} [\mu - \tilde{\rho} \, vds] \right) - \frac{1}{t_n} \int_0^t \int_u^n \left( \hat{\rho}_{t_n} - 1 - \text{Log} \frac{\hat{\rho}_{t_n}}{\tilde{\rho}} \right) \tilde{\rho} \, vds \ge 0 $$

il suffit donc de montrer que

$$ \frac{1}{t_n} \int_0^t \int_u^n \left( \text{Log} \frac{\hat{\rho}_{t_n}}{\tilde{\rho}} [\mu - \tilde{\rho} \, vds] \right) \to 0 \quad \text{Q. p.s.} $$
or grâce au lemme 2.3

$$
E \left| \frac{1}{t} \int_{n}^{t} \int_{0}^{s} \log \frac{\rho}{\tilde{\rho}} [\mu - \tilde{\rho} \nu ds] \right|^p \le k \frac{1}{t} \frac{1}{n^{p/2}}
$$

d'après le lemme 2.2. il existe un représentant de

$$
\psi_{t,\rho} = \frac{1}{t} \int_0^t \int_U \log \frac{\rho}{\tilde{\rho}} [\mu - \tilde{\rho} \nu \, ds] \, \text{continu en } \{t=\infty, \rho\} \, \text{en dehors d'un Q}
$$

négligeable et donc

$$
\psi_{t, \hat{\rho}_t} \xrightarrow{n \to \infty} 0 \quad \text{Q p.s.}
$$
### 3. UNE ESTIMATION PARAMETRIQUE

Soit $b(s,x) \in L^\infty((0,T)) \times \mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n$), $v$ une mesure de probabilité sur U admettant un moment d'ordre 2.

$$ \{\Omega, \mathcal{F}_t, \mathcal{F}, P_{\theta, \rho}, \theta \in \mathbb{R}^n, \rho \in \text{compact de } \mathbb{R}^+\} $$

avec $P_{\theta,\rho} = P_{\theta b, a, \rho vds}^X$ solution du problème de martingale $(x, \theta b, a, \rho vds)$

#### 3.1. ESTIMATEUR DU MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE

$$ \hat{\theta}_t \in \operatorname{Arg Max} \exp \int_0^t b(a^{-1}\theta, dX_s^c) - \frac{1}{2} \int_0^t b^2(a^{-1}\theta, \theta) ds $$

donc

$$ (3.1) \quad \hat{\theta}_t = \left( \int_0^t (b^2 a^{-1}) ds \right)^{-1} \left( \int_0^t b a^{-1} dX_s^c \right) $$

$$ \hat{\rho}_t \in \operatorname{Arg max} \exp \int_0^t \int_U \log \rho \, \mu - \int_0^t \int_U (\rho-1) vds $$

donc

$$ (3.2) \quad \hat{\rho}_t = \frac{\mu[[0,t] \times U]}{\tilde{v}[[0,t] \times U]} \star $$

### 3.2. PROPRIETES DES ESTIMATEURS

#### 3.2.1. Biais

$\hat{\theta}_t$ est biaisé en général car

$$ (3.3) \quad \hat{\theta}_t = \theta + \left( \int_0^t b^2 a^{-1} ds \right)^{-1} \left( \int_0^t b a^{-1} \sigma dW_s \right) $$

Cas particuliers importants

3.2.1.1. a est constant alors (3.3) devient

$$ (3.4) \quad \theta_t = \theta + [\sigma] \left| \frac{\int_0^t b \, dW_s}{\int_0^t b^2 ds} \right| $$

<footnote>* $\tilde{v}$ désigne la mesure vdt</footnote>
Introduisons le temps d'arrêt (suivant LIPCER-SHIRIAEV [15])

$$
\mathcal{T}_H = \inf\{t : \int_0^t b^2 ds \ge H\}
$$

alors

$$
(3.5) \quad
\begin{aligned}
\hat{\theta}_{\mathcal{T}_H} &= \left( \int_0^{\mathcal{T}_H} (b^{2a}-1) ds \right)^{-1} \left( \int_0^{ba-1} dX_s \right)^{-1} \\
&= \theta + [\sigma] \frac{\int_0^t bdW_s}{H} \quad \text{sur } \mathcal{T}_H < \infty
\end{aligned}
$$

et donc

$$
(3.6) \quad E(\hat{\theta}_{\mathcal{T}_H}) = \theta \quad \text{si} \quad \mathcal{T}_H < +\infty \quad P_{\theta,\rho} \text{ p.s.}
$$

et donc

$$
\hat{\theta}_{\mathcal{T}_H} \text{ est un estimateur sans biais de } \theta \text{ si } \mathcal{T}_H < \infty \text{ P}_{b,\rho} \text{ p.s.}
$$

Remarque

En utilisant la proposition 3.1.2. de J. NEVEU [17]

$$
\text{si } \mathcal{T}_H < \infty \quad P_{\theta,\rho} \text{ p.s. } \forall \theta \in \mathbb{R}^n
$$

alors

$$
\left. \frac{dP_{\theta,\rho}}{dP_{1,\rho}} \right|_{E_{\mathcal{T}_H}} = \exp \left( \int_0^{\mathcal{T}_H} b(a^{-1}\theta, dX_s^c) - \frac{1}{2} \int_0^{\mathcal{T}_H} b^2(a^{-1}\theta, \theta) ds \right)
$$

et donc (3.5) définit l'estimateur du maximum de vraisemblance de θ ayant
l'information E$_{\mathcal{T}_H}$ .

3.2.1.2) a est diagonale

alors

$$
\hat{\theta}_t^i = \theta^i + \frac{\int_0^t b \sigma_{ii}^{-1} dW_s^i}{\int_0^t b^2 a_{ii}^{-1} ds}
$$

introduisons les temps d'arrêt
$$
\mathcal{T}_H^i = \inf\{t : \int_0^t b^2 a_{ii}^{-1} ds \ge H\}
$$

$$
(3.5') \quad \hat{\theta}_H^i = \frac{\int_0^t \mathcal{T}_{Hb}^i a_{ii}^{-1} dX_s^i}{\int_0^t \mathcal{T}_H^i b a_{ii}^{-1} ds} = \theta^i + \frac{\int_0^t \mathcal{T}_{Hb}^i \sigma_{ii}^{-1} dW_s^i}{H} \quad \text{si } \mathcal{T}_H^i < +\infty \ P_{o,\rho} \ \text{p.s.}
$$

$\hat{\theta}_{\mathcal{T}_H}^i$ est un estimateur sans biais de $\theta^i$ si $\mathcal{T}_H^i < +\infty \ P_{\theta,\rho} \ \text{p.s.}$

3.2.1.3. Estimation de ρ

$$
(3.7) \quad \hat{\rho}_t = \rho + \frac{\mu([0,t] \times U) - \rho \tilde{v}([0,t] \times U)}{\tilde{v}([0,t] \times U)}
$$

en général $\hat{\rho}_t$ sera biaisé. Introduisons le temps d'arrêt

$$
\mathcal{T}_H = \inf(t : \tilde{v}((0,t) \times U) \ge H)
$$

alors définissons

$$
(3.8) \quad \hat{\rho}_{\mathcal{T}_H} = \frac{\mu[(0, \mathcal{T}_H) \times U]}{\tilde{\nu}[(0, \mathcal{T}_H) \times U]}
$$
$$
\hat{\rho}_{\mathcal{T}_H} = \rho + \frac{\mu((0, \mathcal{T}_H) \times U) - \rho \tilde{\nu}((0, \mathcal{T}_H) \times U)}{H}
$$

et donc

$\hat{\rho}_{\mathcal{T}_H}$ est un estimateur sans biais de $\rho$ si $\mathcal{T}_H^{<\infty} P_{\theta,\rho}$ p.s.
### Remarque

En utilisant la proposition 3.1.2 de Neveu [17]

si $\mathcal{T}_H < \infty$ P$_{\theta, \rho}$ p.s. $\forall \rho \in \mathbb{R}^n$

$$ \left. \frac{dP_{\theta, \rho}}{dP_{\theta, 1}} \right|_{E_{\mathcal{T}_H}} = \exp \left[ \int_0^{\mathcal{T}_H} \int_U (\text{Log}\rho) \mu - \int_0^{\mathcal{T}_H} \int_U (\rho-1) \tilde{\nu} \right] $$

et donc (3.8) est l'estimateur du maximum de vraisemblance de $\rho$

### 3.2.2. Optimalité

#### Formule de Cramer Rao

Sur $(\Omega, \mathcal{F}, f_\theta, \mu \quad \theta \in \Theta \subset \mathbb{R})$ on a la minoration

$$ (3.9) \qquad E_{\theta}(X-\theta)^2 \ge \frac{(1+\mathcal{B}'(\theta))^2}{f'_{\theta}^2} + \mathcal{B}^2(\theta) \\ E_{\theta}\left(\frac{f'_{\theta}}{f_{\theta}}\right) $$

où $\mathcal{B}(\theta)$ désigne le biais de $X$ comme estimateur de $\theta$, $\mathcal{B}(\theta) = E_{\theta}(X) - \theta$.

Si $X$ est un estimateur sans biais de $\theta$ (3.9) devient

$$ (3.10) \qquad E(X-\theta)^2 \ge \frac{1}{E_{\theta}\left|\frac{f'_{\theta}}{f_{\theta}}\right|^2} $$

dans le cas vectoriel, $\theta \in \mathbb{R}^n$, (3.10) devient

$$ (3.11) \qquad E(X-\theta)^2 \ge \{E_{\theta}[\operatorname{grad}_{\theta} \operatorname{Log} f_{\theta}]^2\}^{-1} $$

Suivant LIPGER-SHIRIAEV [15] appliquons le résultat à notre problème.
## Application

### 3.2.2.1. Estimation du terme de derive a constant

Soit $\tilde{\mathcal{T}}$ un temps d'arrêt, $\tilde{\mathcal{T}} < \infty$, $P_{\theta, \rho}$ p.s. alors on a :

$$f_{\theta} = \frac{dP_{\theta, \rho}}{dP_{0, \rho}} \Big|_{F_{\tilde{\mathcal{T}}}} = \exp \left( a^{-1} \left( \theta, \int_{0}^{\tilde{\mathcal{T}}} bdX_s^c \right) - \frac{1}{2} (a^{-1}_{\theta, \theta}) \int_{0}^{\tilde{\mathcal{T}}} b^2 ds \right)$$

$$(\mathrm{grad}_{\theta} \mathrm{Log} f_{\theta})^{\theta 2} = (a^{-1} \int_{0}^{\tilde{\mathcal{T}}} bdX_{s}^{c} - a^{-1}_{\theta} \int_{0}^{\tilde{\mathcal{T}}} b^{2} ds)^{\theta 2}$$

or $dX_s^c = \theta bds + \sigma dW_s$ où $W_s$ est $P_{\theta, \rho}$ brownien et donc

$$(\mathrm{grad}_{\theta} \mathrm{Log}_{\theta})^{\theta 2} = (a^{-1} \sigma \int_{0}^{\tilde{\mathcal{T}}} bdW_s)^{\theta 2}$$

et donc

$$\begin{align*} E_{\theta} (\mathrm{grad}_{\theta} \mathrm{Log} f_{\theta})^{\theta 2} &= E_{\theta} \left( \int_{0}^{\tilde{\mathcal{T}}} b^2 ds \right) a^{-1} \sigma \sigma (a^{-1})^t \\ &= a^{-1} E_{\theta} \left( \int_{0}^{\tilde{\mathcal{T}}} b^2 ds \right) \end{align*}$$

et donc si l'on note par $\tilde{\theta}_{\tilde{\mathcal{T}}}$ un estimateur sans biais de $\theta$ on a la minoration

$$E(\tilde{\theta}_{\tilde{\mathcal{T}}}-\theta)^{\theta 2} \geq \frac{a}{E\int_{0}^{\tilde{\mathcal{T}}} b^2 ds}$$

d'autre part, l'estimateur défini par (3.5) vérifie

$$E(\hat{\theta}_{\tilde{\mathcal{T}}}-\theta)^2 = \frac{a}{H}$$

On a donc

### THEOREME 3.1.

L'estimateur $\hat{\theta}_{\tilde{\mathcal{T}}}$ défini par (3.5) est l'estimateur de variance minimum parmi les estimateurs sans biais $F_{\tilde{\mathcal{T}}}$ mesurable où $\tilde{\mathcal{T}}$ est un temps d'arrêt $P_{\theta, \rho}$
p.s. fini vérifiant

$$
E_{P_{\theta, \rho}} \int_{0}^{\tilde{\tau}^2} b^2 ds \le H
$$

3.2.2.2. a diagonal

Une démonstration analogue à (3.2.2.1.) montre le

THEOREME 3.2

∀i l'estimateur $\hat{\theta}^i$ défini par (3.5') est l'estimateur de variance

minimale parmi les estimateurs sans biais de $\theta_i$. $F_{\tilde{\tau}^i}$ mesurable où $\tilde{\tau}^i$ est un
temps d'arrêt $P_{\theta,\rho}$ p.s. fini vérifiant

$$
E_{P_{\theta, \rho}} \int_{0}^{\tilde{\tau}^i} a_{ii}^{-1} b^2 ds \le H
$$

3.2.2.3. Estimation de la loi des sauts

Soit $\tilde{\mathcal{T}}$ un temps d'arrêt $\tilde{\mathcal{T}} < \infty$ $P_{\theta, \rho}$ p.s. alors on a

$$
f_{\rho} = \left. \frac{dP_{\theta, \rho}}{dP_{0,1}} \right|_{E_{\tilde{\mathcal{T}}}} = \exp \int_{0}^{\tilde{\mathcal{T}}} \mu - (\rho-1) \int_{0}^{\tilde{\mathcal{T}}} \nu ds
$$

$$
\left[ \frac{f'}{f}_{\rho} \right] = \frac{1}{\rho} \int_{0}^{\tilde{\mathcal{T}}} \mu - \int_{0}^{\tilde{\mathcal{T}}} \nu ds = \frac{1}{\rho} \int_{0}^{\tilde{\mathcal{T}}} (\mu - \rho \nu ds)
$$

et donc

$$
E_{P_{\theta, \rho}} \left[ \frac{f'}{f}_{\rho} \right]^2 = \frac{1}{\rho} E \int_{0}^{\tilde{\mathcal{T}}} \nu ds
$$

et donc si l'on note $\tilde{\rho} \tilde{\tau}$ un estimateur sans biais de $\rho$, $F_{\tilde{\tau}}$ mesurable on a

$$
\tilde{E}(\tilde{\rho}, -\rho)^2 \ge \frac{\rho}{E \int_0^{\tilde{\tau}} \nu ds}
$$
d'autre part l'estimateur défini par (3.8) vérifie

$$
E(\hat{\sigma}_{\mathcal{G}_H}^{-2}) = \frac{\rho}{H}
$$

on a donc le

THEOREME 3.3.

L'estimateur $\hat{\sigma}_{\mathcal{G}_H}^2$ défini par (3.8) est l'estimateur de variance minimalement parmi les estimateurs sans biais $\hat{\sigma}_{\tilde{\mathcal{G}}}^2$ mesurable où $\tilde{\mathcal{G}}$ est un temps d'arrêt $P_{\theta, \rho}$ fini p.s. vérifiant

$$
E_P \frac{\tilde{v}([0, \tilde{\mathcal{G}}] \times U) \le H}{\theta, \rho}
$$

3.2.3. Propriétés de convergence des estimateurs

THEOREME 3.4
Notons $A_t = \int_0^t b^2 a^{-1} ds \text{ supposons } \exists k : \|A_t^{-1}\| \|A_t\| \le k \quad \forall t \text{ p.s. ; alors}$

$$
(3.12) \quad \hat{\theta}_t \xrightarrow{t \to \infty} \theta \quad \underset{P_{\theta,\rho}}{\mathrm{p.s. sur}} \quad \|A_{\infty}^{-1}\| = 0
$$

avec la vitesse de convergence

$$
(3.13) \quad \lim_{t \to \infty} \sup_{\| \hat{\theta}_t - \theta \|} \sqrt{\frac{\| A_t \|}{2 \log_2 \| A_t \|}} \le \frac{1}{k}.
$$

S'il existe une unique mesure invariante $q$ [resp. périodique de période $\tilde{\omega}$ $q_s$]

$\sqrt{t}(\hat{\theta}_t - \theta)$ est asymptotiquement gaussien de variance

$$
(3.14) \quad \left[ \left\{ \int_{\mathbb{R}^n} b^2(x) a^{-1}(x) q(dx) \right\}^{-1} \left\{ \text{resp.} \left[ \int_0^t \int_{\mathbb{R}^n} b(s,x) a^{-1}(s,x) q_s(dx) \frac{ds}{\sigma^2} \right]^{-1} \right\} \right]
$$

De même

Notons $B_t = \tilde{v}([0,t] \times U)$ on a

$$
(3.15) \quad \hat{\rho}_{t \to \infty} \underset{t \to \infty}{\longrightarrow} \rho \quad \text{sur } B_{\infty} = \infty
$$

On a de plus
$$
(3.16) \quad \limsup_{t \to \infty} \left| \hat{\rho}_t^{-\rho} \right| \sqrt{\frac{B_t}{2\log_2 B_t}} = 1
$$

De plus s'il existe une unique mesure invariante q [resp. périodique q_s
de période T]
---

$$
\sqrt{t(\hat{\rho}_t - \rho)} \text{ est asymptotiquement gaussien de variance}
$$

$$
(3.17) \quad \rho \left[ \left( \int_{\mathbb{R}} \int_0^\infty v(x, du) q(dx) \right)^{-1} \left\{ \text{resp } \rho \left[ \left( \int_{\mathbb{R}} \int_0^\infty \int_0^\infty v(s, x, du) q_s(dx) \frac{ds}{\tilde{\epsilon}} \right)^{-1} \right] \right\} \right]
$$

Démonstration
---

On commence par donner quelques lemmes.

Lemme 3.1

Soit M_t la martingale scalaire

$$
(3.18) \quad M_t = M_0 + \int_0^t \sigma(s, \omega) dW_s + \int_0^t \int_U h(\omega, s, u)[\mu(\omega; ds \times du) - \tilde{\nu}(\omega, ds \times du)]
$$

$A_t$ son processus croissant

$$
(3.19) \quad A_t = \int_0^t \sigma^2(s, \omega) ds + \int_0^t \int_U h^2(\omega, s, u) \tilde{\nu}(\omega, ds \times du) \quad \text{avec}
$$

$$
(3.20) \quad |h| \le c
$$

On a alors le théorème du logarithme itéré

$$
(3.21) \quad \limsup_{-t \to \infty} \frac{|M_t|}{\sqrt{2A_t \log_2 A_t}} \le 1 \quad \text{sur } A_\infty = \emptyset
$$
## Démonstration

On a la formule exponentielle

$$Y_t = \exp \theta M_t - \frac{1}{2} \int_0^t \theta^2 \sigma^2(s, \omega) ds - \int_0^t (e^{\theta h} - \theta h - 1) \tilde{v}(\omega; ds \times du)$$

est une martingale locale positive, donc une sur martingale positive.

D'autre part

$$e^{\theta h} - \theta h - 1 = \frac{\theta^2 h^2}{2} + o(\theta^2 h^2)$$

h étant borné on est dans le cadre du lemme 7.2.8, J. NEVEU [17] alors la proposition 7.2.7 donne le résultat. ■

## Corollaire 3.1

Soit $M_t$ une martingale à valeurs dans $\mathbb{R}^n$

$$(3.22) \quad M_t = M_o + \int_0^t \sigma(s, \omega) dW_s + \int_0^t \int_U h(\omega, s, u) [\mu(\omega; ds \times du) - \tilde{v}(\omega; ds \times du)]$$

$A_t$ son processus croissant

$$(3.23) \quad A_t = \int_0^t \sigma(s, \omega) \sigma^t(s, \omega) ds + \int_0^t \int_U h^{\theta 2}(\omega, s, u) \tilde{v}(\omega; ds \times du)$$

Si (3.24) $|h| \le c$, on a alors le théorème du logarithme itéré

$$(3.25) \quad \limsup_{t \to \infty} \frac{\| M_t \|}{\sqrt{2 \| A_t \| \| \text{Log}_2 A_t \|}} \le 1 \quad \text{sur} \quad \| A_\infty^{-1} \| = 0$$

$$\star \|X\| = (\sum X_i^2)^{1/2} \quad \| A_\infty^{-1} \| = \lim_{t \to \infty} \| A_t^{-1} \|$$

$$\|A\| = \sup_X \frac{\|AX\|}{\|X\|}$$
## Démonstration

Appliquons le lemme précédent à la martingale $(\theta, M_t)$ on obtient

$$ \limsup_{t \to \infty} \frac{(\theta, M_t)}{\sqrt{2 \|A_t\| \log_2 \|A_t\|}} \le 1 \quad \text{p.s. } \forall \theta \quad \|\theta\| \le 1 \quad \text{sur } \inf_{\theta} (A_{\infty}, \theta) = \infty $$

soit

$$ \limsup_{t \to \infty} \frac{(\theta, M_t)}{\sqrt{2 \|A_t\| \log_2 \|A_t\|}} \le 1 \quad \text{p.s. } \forall \theta \quad \|\theta\| \le 1 \quad \text{sur } \|A_{\infty}\| = 0 $$

$$ \text{d'autre part sur } \| A_{\infty}^{-1} \| = 0 $$

$$ \theta \to \limsup_t \frac{(\theta, M_t)}{\sqrt{2 \|A_t\| \log_2 \|A_t\|}} \quad \text{est convexe donc continue sur son domaine} $$

$$ \text{donc } \sup_{\theta} \limsup_{t \to \infty} \frac{(\theta, M_t)}{\sqrt{2 \|A_t\| \log_2 \|A_t\|}} = \sup_{\theta \text{ denombrable dense dans } \|\theta\|=1} \limsup_t \frac{(\theta, M_t)}{\sqrt{2 \|A_t\| \log_2 \|A_t\|}} $$

donc

$$ \sup_{\|\theta^+\|=1} \limsup_{t \to \infty} \frac{(\theta, M_t)}{\sqrt{2 \|A_t\| \log_2 \|A_t\|}} = 1 \quad \text{p.s. d'où le résultat} $$

**Lemme 3.2.**

Soit $M_t$ une martingale homogène en temps

$$ M_t = M_o + \int_0^t \sigma(X_s) dW_s + \int_0^t \int_U h(X_{s-}, u)[\mu(\omega; ds \times du) - \nu(X_{s-}, du)]ds $$

$A_t$ son processus croissant

$$ A_t = \int_0^t a(X_s) ds + \int_0^t \int_U h(X_{s-}, u)[\theta^2(X_{s-}, u) \nu(X_{s-}, du) - \nu(X_{s-}, du)] ds $$

$$ |h| \le c $$
On suppose de plus qu'il existe une unique mesure invariante $q(dx)$ pour
le processus de Markov $X$, alors

$\frac{M_t}{\sqrt{t}} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0, \beta)$ , loi normale centrée de variance

$$
\beta = \int_{\mathbb{R}} \int_{U} h^{\Theta 2}(x,u) v(x,du) q(dx) + \int_{\mathbb{R}} a(x) q(dx)
$$

Démonstration

En utilisant la formule exponentielle (cf. §1.8) on a

$$
E\left\{\exp \left[i(\theta, M_t) + \frac{1}{2} \int_0^t \left[a(X_s)\theta, \theta\right] ds - \int_0^t \left[\rho i(\theta)h - i(\theta)h - 1\right] v(X_{s-}, du) ds\right\} = 1 \quad \forall \theta
$$

$$
\text{prenons } \theta = \frac{\tilde{\theta}}{\sqrt{t}}
$$

on obtient

$$
E \left[ \exp \left\{ i \left( \tilde{\theta}, \frac{M_t}{\sqrt{t}} \right) + \frac{1}{2t} \int_0^t \left( a(X_s) \tilde{\theta}, \tilde{\theta} \right) ds - \int_U \int_0^t \left( e^{\left(i \frac{\tilde{\theta}}{\sqrt{t}}, h\right)} - \left(i \frac{\tilde{\theta}}{\sqrt{t}}, h\right) - 1 \right) v(X_{s-}, du) ds \right\} \right] = 1
$$

or

$$
\frac{1}{t} \int_{0}^{t} (a(X_s) \tilde{\theta}, \tilde{\theta}) ds \rightarrow [\tilde{\theta}, \int_{\mathbb{R}}^{n} a(x) q(dx) \tilde{\theta}] \text{ p.s. et dans } L^2
$$

d'autre part

$$
e^{\left(i \frac{\tilde{\theta}}{\sqrt{t}}, h\right)} - \left(i \frac{\tilde{\theta}}{\sqrt{t}}, h\right) - 1 \xrightarrow{t \to \infty} - \frac{(\tilde{\theta}, h)^2}{2t} \quad \text{p.s. et dans } L^2
$$

et donc

$$
\int_U \int_0^t \left( e^{\left(i \frac{\tilde{\theta}}{\sqrt{t}}, h\right)} - \left(i \frac{\tilde{\theta}}{\sqrt{t}}, h\right) - 1 \right) v(X_s, du) ds \xrightarrow{t \to \infty}
$$

$$
- \left[ \tilde{\theta}, \int_{\mathbb{R}} \int_{U} h^{\Theta 2} (x, u) q(dx) v(x, du) \tilde{\theta} \right]
$$
p.s. et dans $L^2$
$$
\int_{\mathbb{R}} h^{\Theta 2} (x, u) q(dx) v(x, du) \tilde{\theta}
$$
et donc

$$
\text{E} \exp \left( \left( i \tilde{\theta} \frac{M}{\sqrt{t}} \right) t \right) \underset{t \to \infty}{\longrightarrow} \exp \frac{1}{2} \left( \tilde{\theta} \int_{\mathbb{R}} a(x) q(dx) + \int_{\mathbb{U}} \int_{\mathbb{R}} h^n \theta^2 (x, u) v(x, du) q(d\bar{x}) \theta \right)
$$

d'où le résultat.

■

Démonstration du théorème

La formule (3.3), le corollaire 3.1 et $\|A_t^{-1}\| \|A_t\| \le k \forall t \text{ ps}$
donne (3.12) (3.13).

La formule (3.7), le lemme 3.1 donne (3.15) et (3.16).

D'autre part, grâce à (3.3) on a :

$$
\sqrt{t}(\hat{\theta}_t - \theta) = \left[ \frac{1}{t} \int_0^t b^2 a^{-1} ds \right]^{-1} \left[ \frac{1}{\sqrt{t}} \int_0^t b a^{-1} dW_s \right] \\
\frac{1}{t} \int_0^t b^2 a^{-1} ds \underset{t \to \infty}{\longrightarrow} \int_{\mathbb{R}} n b^2(x) a^{-1}(x) q(dx) \quad \text{p.s. et dans } L^2
$$

d'où le résultat (3.14) avec le lemme 3.2.

De même (3.7) donne

$$
\sqrt{t} (\hat{\rho}_{t,-\rho}) = \frac{\frac{1}{\sqrt{t}}(\mu - \rho\tilde{v})}{\frac{1}{t}\tilde{v}} \\
\frac{1}{t}\tilde{v} \rightarrow_{t \rightarrow \infty} \int_{\mathbb{U}} \int_{\mathbb{R}^n} v(x, du) q(d\bar{x})
$$

le lemme 3.2 donne alors le résultat.

De même dans le cas périodique on a un lemme analogue au lemme 3.2
d'où les résultats.

4. ESTIMATION NON PARAMETRIQUE

Soit $\mathcal{A} = \{A_i\}$ une partition borélienne de l'espace temps $\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^n$

Soit $\mathcal{R} = \{R_i\}$ une partition borélienne de l'espace $\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^n \times U$.

Soit la structure statistique
$$
(\Omega, F_t, F, P_{b,a,\rho}^x \quad b = \sum_i \beta_i \mathbb{1}_{Ai} \quad a = \sum_i \alpha_i \mathbb{1}_{Ai} \\
\rho = \sum_i \rho_i \mathbb{1}_{\mathbb{R}i}, \beta_i \in \mathbb{R}^n, \alpha_i \in S(n), \rho_i \in \mathbb{R}^+ \\
|\beta| + |\alpha| + |\alpha^{-1}| + |\rho| + |\rho^{-1}| \le M
$$

où $P_{b,a,\rho}^x$ désigne une solution du problème de martingale $(x,b,a,\rho)$ dont
l'existence est assurée par le théorème III$_{17}$ J.P. LEPELTIER et B. MARCHAL [14]

4.1. Estimation de $\alpha$

Notons $X_t^c$ la partie continue de la trajectoire

$$
Y_t^i = \int_0^t \mathbb{1}_{Ai}(s, X_s) \, dX_s^c
$$

alors

$$
Y_t^i = \sigma_i \int_0^t \mathbb{1}_{A_i}(s, X_s) \, dW_s + \int_0^t \mathbb{1}_{A_i} b(s, X_s) \, ds
$$

et donc puisque $\int_0^t \mathbb{1}_{Ai} b(s,X_s)ds$ est à variation bornée

$$
VQ(Y_t^i) = \alpha_i \int_0^t \mathbb{1}_{Ai}(s, X_s) ds
$$

$$
(4.1) \quad \alpha_i = \frac{VQ(Y_t^i)}{\int_0^t \mathbb{1}_{Ai}(s, X_s) ds} \quad \text{dès que} \quad \int_0^t \mathbb{1}_{Ai}(s, X_s) ds > 0
$$

<u>Remarque</u> : Le calcul de (4.1) ne demande la connaissance ni de b ni de ρ.

* S(n) matrice (n,n) symétrique > 0
4.2. Estimation de β

L'estimateur du maximum de vraisemblance devient dans ce cas

$$
\operatorname{Arg\,max} \sum_i \left\{ (\alpha_i^{-1} \beta_i, \int_0^t 1_{Ai} dX_s^c) - \frac{1}{2} (\alpha_i^{-1} \beta_i, \beta_i) \int_0^t 1_{Ai} ds \right\} \text{soit :}
$$

$$
(4.2) \quad \hat{\beta}_i^t = \frac{\int_0^t 1_{Ai} dX_s^c}{\int_0^t 1_{Ai} ds}
$$

Le théorème 3.2.3 s'énonce :

COROLLAIRE 4.1.

$$
\hat{\beta}_i^t \underset{t \to \infty}{\longrightarrow} \beta_i \quad P_{b,a,\rho} \quad \text{p.s. sur} \quad \int_0^\infty 1_{Ai} ds = +\infty
$$

avec la vitesse de convergence

$$
\limsup_{t \to \infty} |\hat{\beta}_i^t - \beta_i| \le \frac{\sqrt{\frac{B_t^i}{2 \log_2 B_t^i}}}{\sqrt{2 \log_2 B_t^i}} \le 1 \quad \text{sur } B_\infty^i = \infty
$$

$$
avec B_t^i = \int_0^t 1_{Ai} ds
$$

S'il existe une unique mesure invariante $q$ [ resp. périodique de
période $\mathcal{G}$ $q_s$ ]

$$
\sqrt{t}(\hat{\beta}_i^t - \beta_i) \text{ est asymptotiquement gaussien de variance}
$$

$$
\frac{\alpha_i}{q(Ai)} \left[ \text{resp} \quad \sqrt{\frac{\alpha_i}{\int_0^t q_s(dx) \frac{ds}{\mathcal{G}}}} \right]^{**}
$$

<footnote>dans ce cas Ai est une partition de $\mathbb{R}^n$</footnote>

<footnote>Ai est périodique</footnote>
Si $\mathcal{C}_H^i = \inf (t : \int_0^t \mathbb{1}_{Ai} ds > H)$ est p.s. fini, $\hat{\beta}_i^{\mathcal{C}_H}$ est l'estimateur de variance minimum parmi les estimateurs sans biais $F_\nu$ mesurable ou $\nu$ est un temps d'arrêt p.s. fini vérifiant

$$E\left(\int_0^\nu \mathbb{1}_{Ai} ds\right) \le H$$

### 4.3. Estimation de $\rho$

L'estimateur du maximum de vraisemblance devient dans ce cas

$$ 
\begin{aligned}
& \operatorname{Arg} \max \int_0^t \int_U \log \sum_i \rho_i \mathbb{1}_{R_i^\mu} - \int_0^t \int_U (\sum_i \rho_i \mathbb{1}_{R_i^{-1}}) \nu ds \\
& = \operatorname{Arg} \max \left( \sum_i \operatorname{Log} \rho_i \int_0^t \int_U \mathbb{1}_{R_i^\mu} - \sum_i \rho_i \int_0^t \int_U (\mathbb{1}_{R_i^{-1}}) \nu ds \right), \text{soit}
\end{aligned}
$$

$$(4.3) \quad \hat{\rho}_i^t = \frac{\int_0^t \int_U \mathbb{1}_{R_i^\mu} ds}{\int_0^t \int_U \mathbb{1}_{R_i} \nu ds}$$

#### Corollaire 4.2.

$$\hat{\rho}_i^t \underset{t \to \infty}{\longrightarrow} \rho_i \quad \text{P}_{b,a,\rho} \text{ p.s. sur } \int_0^{+\infty} \int_U \mathbb{1}_{R_i} \nu ds = \infty$$

avec la vitesse de convergence

$$\limsup_{t \to \infty} \left| \hat{\rho}_i^t - \rho_i \right| \le 1 \quad \text{sur } B_\infty^i = \infty$$

$$\text{avec } B_t^i = \int_0^t \int_U \mathbb{1}_{R_i} \nu ds$$

De plus s'il existe une unique mesure invariante $q$ [resp. périodique $q_s$]

$\sqrt{t} (\hat{\rho}_i^t - \rho_i)$ est asymptotiquement gaussien de variance

$$ \begin{array}{ccc} \underset{\sim}{\rho_i} & \underset{\sim}{\star} & \text{(resp. } \underset{\sim}{\rho_i} \underset{\sim}{\star\star}) \\ \int_{\mathbb{R}^n} \int_U \mathbb{1}_{R_i} \nu(du) q(dx) & & \frac{1}{\mathcal{C}} \int_0^\nu \int_{\mathbb{R}^n} \int_U \mathbb{1}_{R_i} \nu(du) ds q_1(dx) \end{array} $$

<footnote>\*dans ce cas $\{R_i\}$ définit une partition de $\mathbb{R}^n \times U$</footnote>

<footnote>\*\* " " " " " $[0, \mathcal{G}] \times \mathbb{R}^n \times U$</footnote>
### 4.4. Robustesse des estimateurs $\hat{\alpha}_i, \hat{\beta}_i, \hat{\rho}_i$

Sur la structure statistique

$$ (\Omega, F_t, \mathcal{F}, P_{b,a,r}^x \quad |b| + |a| + |a^{-1}| + |r| + |r^{-1}| \le M) $$

soit les estimateurs

$$ (4.1') \quad \hat{a}^t = \sum_i \hat{\alpha}_i^t 1_{Ai} \qquad \hat{\alpha}_i^t \text{ défini par (4.1)} $$

$$ (4.2') \quad \hat{b}^t = \sum_i \hat{\beta}_i^t 1_{Ai} \qquad \hat{\beta}_i^t \text{ défini par (4.2)} $$

$$ (4.3') \quad \hat{r}^t = \sum_i \hat{\rho}_i^t 1_{Ri} \qquad \hat{\rho}_i^t \text{ défini par (4.3)} $$

avec les notations du paragraphe précédent.

Etudions les propriétés asymptotiques de $\hat{a}^t, \hat{b}^t, \hat{r}^t$.

**THEOREME 4.1.**

$$ (4.4) \quad \inf_{(s,x) \in Ai} a(s,x) \le \hat{\alpha}_i^t \le \sup_{(s,x) \in Ai} a(s,x) \quad \text{sur} \quad \int_0^t 1_{Ai} ds > 0 $$

de plus s'il existe une unique mesure invariante $q$ [resp. périodique de période $T$ $q_s$]

$$ (4.5) \quad \hat{a}_t \xrightarrow{t \to \infty} E_q(d\bar{x}) (a(x) | \mathcal{A}) \quad [\text{resp. } \hat{a}_t \xrightarrow{t \to \infty} E_{\frac{ds}{T}} \mathcal{L}_s(d\bar{x}) (a(s,x) | \mathcal{A})] $$

où $\mathcal{A}$ est la tribu engendrée par les $A_i$.

<footnote>* $\{Ai\}$ forme une partition de $\mathbb{R}^n$ dénombrable</footnote>

<footnote>** $\{Ai\}$ forme une partition dénombrable $[0, T] \times \mathbb{R}^n$</footnote>
Démonstration

$$
\hat{\alpha}_i^t = \frac{VQ(Y_t^i)}{\int_0^t 1_{Ai} ds} = \frac{\int_0^t 1_{Ai} a(s, X_s) ds}{\int_0^t 1_{Ai} ds} \quad \text{sur} \quad \int_0^t 1_{Ai} ds > 0
$$

et donc

$$
\inf_{(s,x) \in \Lambda i} a(s,x) \le \hat{\alpha}_i^t \le \sup_{(s,x) \in \Lambda i} a(s,x) \quad \text{d'où } 4.4.
$$

s'il existe une unique mesure invariante q

$$
\hat{\alpha}_i^t = \frac{\frac{1}{t} \int_0^t 1_{Ai} (X_s) a(X_s) ds}{\frac{1}{t} \int_0^t 1_{Ai} (X_s) ds}
$$

et donc

$$
\lim_{t \to \infty} \hat{\alpha}_i^t = \frac{E_q [1_{Ai} a]}{q(Ai)} \quad \text{d'où le résultat, et}
$$

de même dans le cas périodique.

THEOREME 4.2.

$$
(4.5) \quad \limsup_{t \to \infty} \hat{\beta}_i^t \le \sup_{(s,x) \in \Lambda_i} b(s,x)
$$

$$
(4.6) \quad \liminf_{t \to \infty} \hat{\beta}_i^t \ge \inf_{t (s,x) \in \Lambda_i} b(s,x) \quad \int_0^{+\infty} 1_{\Lambda_i} ds = \infty
$$

De plus s'il existe une unique mesure invariante q [resp. périodique
---
de période $\mathcal{C}_q$, $s \in \mathcal{C}$]
$$
(4.7) \quad \lim_{t \to \infty} \frac{\hat{\beta}^t}{q(d_x)} \quad (b(x) | \mathcal{A}) , \quad q(A_i) > 0 \quad \forall i
$$

$$
\left[ \text{resp } \hat{b}_t \to \frac{E_{dsq}(d_x)}{\mathcal{Z}} \left( b(s,x) | \mathcal{A} \right) \text{ si } dsq(A_i) > 0 \quad \forall i \right]
$$

Démonstration

$$
\hat{\beta}_i^t = \frac{\int_0^t \mathbf{1}_{Ai} dX_s^c}{\int_0^t \mathbf{1}_{Ai} ds} = \frac{\int_0^t \mathbf{1}_{Ai} b(s,X) ds + \int_0^t \mathbf{1}_{Ai} \sigma dW_s}{\int_0^t \mathbf{1}_{Ai} ds}
$$

$$
\beta_i^t \le \sup_{(s,x) \in \Lambda i} b(s,x) + \frac{\left\| \int_0^t \mathbf{1}_{Ai} \sigma dW_s \right\|}{\left\| \int_0^t \mathbf{1}_{Ai} \sigma ds \right\|} \frac{\left\| \int_0^t \mathbf{1}_{Ai} \sigma ds \right\|}{\int_0^t \mathbf{1}_{Ai} ds}
$$

$$
\text{or } \frac{\left\| \int_{0}^{t} \mathbf{1}_{Ai} \sigma ds \right\|}{\int_{0}^{t} \mathbf{1}_{Ai} ds} \le M
$$

$$
(5.8) \quad \text{et} \quad \frac{\left\| \int_{0}^{t} \mathbf{1}_{Ai} \sigma dW_{s} \right\|}{\left\| \int_{0}^{t} \mathbf{1}_{Ai} \sigma ds \right\|} \to 0 \quad \text{sur} \quad \lim_{t \to \infty} \left\| \left( \int_{0}^{t} \mathbf{1}_{Ai} \sigma ds \right)^{-1} \right\| = 0
$$

et donc comme $|\sigma^{-1}| \le M$ sur $\int_0^\infty \mathbf{1}_{Ai} ds = \infty$ on a (4.5), et (4.6) (par une
démonstration analogue).

On a

$$
\frac{\int_0^t \mathbf{1}_{Ai} b(X_s) ds}{\int_0^t \mathbf{1}_{Ai} ds} = \frac{\frac{1}{t} \int_0^t \mathbf{1}_{Ai} b(X_s) ds}{\frac{1}{t} \int_0^t \mathbf{1}_{Ai} ds}
$$

et donc s'il existe une unique mesure invariante
$$
\lim_{t \to \infty} \frac{\int_0^t \mathbb{1}_{Ai}^{b(X_s)} ds}{\int_0^t \mathbb{1}_{Ai} ds} = \frac{E_q(\mathbb{1}_{Ai}^b)}{q(Ai)}
$$

d'autre part

$$
\frac{1}{t} \int_{0}^{t} \mathbb{1}_{Ai} ds \underset{t \to \infty}{\longrightarrow} q(Ai) \text{ et donc } \int_{0}^{\infty} \mathbb{1}_{Ai} ds = \infty
$$

et donc en utilisant (4.8) on obtient (4.7) dans le cas stationnaire ; dans
le cas périodique on a une démonstration analogue.

THEOREME 4.3.

$$
(4.9) \quad \limsup_{t \to \infty} \hat{\rho}_i^t \le \sup_{(s,x,u) \in \mathbb{R}_i} \text{r}(s,x,u) \text{ sur } \int_0^\infty \int_U \mathbb{1}_{R_i} \nu ds = \infty
$$

$$
(4.10) \quad \liminf_{t \to \infty} \hat{\rho}_i^t \ge \inf_{(s,x,u) \in \mathbb{R}_i} \mathrm{r}(s,x,u)
$$

De plus s'il existe une unique mesure invariante q [resp. périodique
de période $\mathcal{T}$ q ds]

$$
(4.11) \quad \hat{r}^t \underset{t \to \infty}{\longrightarrow} E_q(dx)_v(x, du) \quad (r(x,u) \mid \mathcal{R})^* \quad \text{p.s. si } q_v[\mathcal{R}_i] > 0 \quad \forall i \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \underbrace{[ \text{resp } \hat{r}^t \underset{t \to \infty}{\longrightarrow} E_{\mathcal{T}}^{dsq}(dx)_v(x, du) \quad (r(s,x,u) \mid \mathcal{R}) \quad \text{p.s. si } dsq_v[\mathcal{R}_i] > 0 \quad \forall i]}_{}
$$

Démonstration

$$
\hat{\rho}_i^t = \frac{\int_0^t \int_U \mathbb{1}_{R_i}^\mu ds}{\int_0^t \int_U \mathbb{1}_{R_i}^\nu ds} = \frac{\int_0^t \int_U \mathbb{1}_{R_i} [u-rvds]}{\int_0^t \int_U \mathbb{1}_{R_i}^\nu ds} + \frac{\int_0^t \int_U \mathbb{1}_{R_i}^{rvds} ds}{\int_0^t \int_U \mathbb{1}_{R_i}^\nu ds}
$$

<footnote>⋆ R désigne la σ-algèbre engendrée par {Ri} Ri partition de $\mathbb{R}^n \times U$</footnote>

<footnote>R désigne la σ-algèbre engendrée par {Ri} Ri partition de [0, T] × Rn×U.</footnote>
$$
\hat{\rho}_i^t \le \sup_{(s,x,u) \in \mathbb{R}_i} r(s,x,u) + \frac{\int_0^t \int_U 1_{\mathbb{R}_i}[\mu-\nu ds]}{\int_0^t \int_U 1_{\mathbb{R}_i} \nu ds}
$$

$$
\frac{\int_0^t \int_U 1_{\mathbb{R}_i}(\mu-\nu ds)}{\int_0^t \int_U 1_{\mathbb{R}_i} \nu ds} = \frac{\int_0^t \int_U 1_{\mathbb{R}_i}(\mu-\nu ds]}{\int_0^t \int_U 1_{\mathbb{R}_i} \nu ds} \frac{\int_0^t \int_U 1_{\mathbb{R}_i} \nu ds}{\int_0^t \int_U \nu ds}
$$

$$
\frac{\int_0^t \int_U 1_{\mathbb{R}_i} \nu ds}{\int_0^t \int_U \nu ds} \le \sup_{(s,x,u) \in \mathbb{R}_i} r(s,x,u) \le M
$$

d'où (4.9). En utilisant la minoration $r(s,x,u) \ge \frac{1}{M}$, (4.10) s'obtient
de façon analogue.

S'il existe une unique mesure invariante

$$
\frac{\int_0^t \int_U 1_{\mathbb{R}_i} \nu ds}{\int_0^t \int_U 1_{\mathbb{R}_i} \nu ds} = \frac{\frac{1}{t} \int_0^t \int_U 1_{\mathbb{R}_i} \nu ds}{\frac{1}{t} \int_0^t \int_U 1_{\mathbb{R}_i} \nu ds} \xrightarrow{t \to \infty} \gamma
$$

$$
\gamma = \frac{\int_{U \cup \mathbb{R}} \int_{n} 1_{\mathbb{R}_i} r(x, u) \nu(x, du) q(dx)}{\int_{U \cup \mathbb{R}} \int_{n} 1_{\mathbb{R}_i} \nu(x, du) q(dx)} \quad \text{d'où le}
$$

résultat (4.11) en remarquant $\frac{1}{t} \int_U \int_0^t 1_{\mathbb{R}} \nu(\chi_s du) ds \to q \nu$ [Ri] p.s. d'où le
résultat si $q \nu$ [Ri] > 0 .
### 4.5.) Estimation de $b$ et $\rho$ en un point

Au vu des résultats précédents il est naturel de se demander s'il est possible d'estimer $b$ et $\rho$ en un point dans le cas homogène par exemple.

Des résultats de ce genre sont donnés dans BANON [1] pour des diffusions en dimension 1.

Sur la structure statistique

$$ (\Omega, F_t, F, P_{b,a,v}^x, b \text{ continue de } \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \\ \text{a borélienne de } \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^n \to S(m) \\ v(s,x,du) \text{ mesure de transition borné de } \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^n \to U \\ |b| + |a| + |a^{-1}| \le M, P_{b,a,v}^x \text{ solution du problème} \\ \text{de martingale } (x,b,a,v) $$

on a le

### THEOREME 4.4.

Soit $A_t$ une famille décroissante d'ensemble de $\mathbb{R}^n$ contenant le point $x$, tels que, $\delta(A_t) \to 0$ lorsque $t \to \infty$ alors

$$ Y_t = \frac{\int_0^t 1_{As}(X_s) dX_s^c}{\int_0^t 1_{As}(X_s) ds} \underset{t \to \infty}{\longrightarrow} b(x) \quad P_{b,a,v} \quad \text{p.s. sur } \int_0^{+\infty} 1_{As}(X_s) ds = \infty $$

### Démonstration

$$ \frac{\int_0^t 1_{As}(X_s) dX_s^c}{\int_0^t 1_{As}(X_s) ds} = \frac{\int_0^t 1_{As}(X_s) b(X_s) ds}{\int_0^t 1_{As}(X_s) ds} + \frac{\int_0^t 1_{As}(X_s) \sigma(X_s) dW_s}{\int_0^t 1_{As}(X_s) ds} $$

$$ \text{or } \left| \frac{\int_0^t 1_{As}(X_s) \sigma(X_s) dW_s}{\int_0^t 1_{As}(X_s) ds} \right| \le \frac{\left| \int_0^t 1_{As}(X_s) \sigma(X_s) dW_s \right|}{\left| \int_0^t 1_{As}(X_s) a(X_s) ds \right|} \frac{\left| \int_0^t 1_{As}(X_s) a(X_s) ds \right|}{\int_0^t 1_{As}(X_s) ds} $$

$$ \le \left| \frac{\int_0^t 1_{As}(X_s) \sigma(X_s) dW_s}{\int_0^t 1_{As}(X_s) a(X_s) ds} \right| M $$
$$
\text{et} \quad \left| \frac{\int_0^t 1_{As}(X_s) \sigma(X_s) dW_s}{\int_0^t 1_{As}(X_s) a(X_s) ds} \right| \underset{t \to 0}{\to} 0 \quad \text{p.s. sur} \quad \int_0^\infty 1_{As}(X_s) a(X_s) ds = \infty
$$

$$
\text{donc sur } \int_{0}^{+\infty} 1_{A_S}(X_s) ds = \infty \text{ puisque } |\sigma^{-1}| \le M \text{ d'autre part}
$$

$$
\frac{\int_0^t 1_{As}(X_s)b(X_s)ds}{\int_0^t 1_{As}(X_s)ds} = \frac{\int_0^{T_0} 1_{As}(X_s)b(X_s)ds + \int_{T_0}^t 1_{As}(X_s)b(X_s)ds}{\int_0^t 1_{As}(X_s)ds}
$$

$$
\frac{\int_0^{T_0} 1_{As}(X_s)b(X_s)ds}{\int_0^t 1_{As}(X_s)ds} \underset{t \to \infty}{\to} 0 \quad \text{sur} \quad \int_0^\infty 1_{As}(X_s)ds = \infty
$$

$$
\left| \frac{\int_{T_0}^{t} 1_{As}(X_s) |b(X_s) - b(x)| ds}{\int_{0}^{t} 1_{As}(X_s) ds} \right| \le \Pi(b, \delta_{T_0})
$$

ou $\delta_{T_0}$ désigne le diamètre de $A_{T_0}$ et $\Pi(b,\delta)$ le module de continuité de b.
Enfin

$$
\frac{\int_{T_0}^{t} 1_{As}(X_s) b(x) ds}{\int_{0}^{t} 1_{As}(X_s) ds} = b(x) \frac{\int_{T_0}^{t} 1_{As}(X_s) ds}{\int_{0}^{t} 1_{As}(X_s) ds} = b(x) \left( 1 - \frac{M}{\int_{0}^{t} 1_{As}(X_s) ds} \right)
$$

on obtient donc

$$
\lim_{t} \left| \frac{\int_{0}^{t} 1_{As}(X_s) b(X_s) ds}{\int_{0}^{t} 1_{As}(X_s) ds} - b(x) \right| \le \pi(b, \delta_{T_0}) \text{ sur } \left\{ \int_{0}^{+\infty} 1_{As}(X_s) ds = \infty \right\}
$$

en faisant tendre $T_0$ vers l'infini on obtient le résultat.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
Sur la structure statistique

$$
\begin{array}{ll}
(\Omega, F_t, F, P_b^x, a, \rho) & \quad \begin{array}{l} \text{b borélienne de } \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \\ \text{a borélienne de } \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^n \to S(m) \\ \rho(x,u) \text{ continue de } \mathbb{R}^n \times U \to \mathbb{R}^+ \\ \nu \text{ de transition bornée de } \mathbb{R}^n \to \mathcal{M}_+^b(U) \\ |b| + |\rho| + |\rho^{-1}| + |a| + |a^{-1}| \le M \\ \text{ solution du problème de martingale} \\ P_{b,a,\rho}^x \quad (x,b,a,\rho\nu)) \end{array} \\
\text{On a le} & \\
\text{THEOREME 4.5.} & \\
\text{Soit } A_t \text{ une famille décroissante d'ensemble de } \mathbb{R}^n \times U \text{ contenant le} & \\
\text{point } (x,u), \text{ tels que } \delta(A_t) \downarrow 0 \text{ lorsque } t \to \infty \text{ alors} & \\
Y_t = \frac{\int_0^T \int_U 1_{As}^{d\mu} \, dt \to \infty}{\int_0^T \int_U 1_{As}^{\nu ds}} \to \rho(x,u) \quad P_{b,a,\rho} \quad \text{p.s. sur } \int_0^{+\infty} \int_U 1_{As}^{\nu ds} = \infty & \\
\text{Démonstration} & \\
Y_t = \frac{\int_0^t \int_U 1_{As}^{\rho \nu ds}}{\int_0^t \int_U 1_{As}^{\nu ds}} + \frac{\int_0^t \int_U 1_{As}^{(\mu-\rho)\nu ds}}{\int_0^t \int_U 1_{As}^{\nu ds}} & \\
\text{or} &
\end{array}
$$

On a le

THEOREME 4.5.

Soit $A_t$ une famille décroissante d'ensemble de $\mathbb{R}^n \times U$ contenant le point $(x,u)$, tels que $\delta(A_t) \downarrow 0$ lorsque $t \to \infty$ alors

$$
Y_t = \frac{\int_0^T \int_U 1_{As}^{d\mu} \, dt \to \infty}{\int_0^T \int_U 1_{As}^{\nu ds}} \to \rho(x,u) \quad P_{b,a,\rho} \quad \text{p.s. sur } \int_0^{+\infty} \int_U 1_{As}^{\nu ds} = \infty
$$

Démonstration

$$
Y_t = \frac{\int_0^t \int_U 1_{As}^{\rho \nu ds}}{\int_0^t \int_U 1_{As}^{\nu ds}} + \frac{\int_0^t \int_U 1_{As}^{(\mu-\rho)\nu ds}}{\int_0^t \int_U 1_{As}^{\nu ds}}
$$

or
$$
\left| \frac{\int_0^t \int_U 1_{As} (\mu - \rho vds)}{\int_0^t \int_U 1_{As} vds} \right| \le \left| \frac{\int_0^t \int_U 1_A (\mu - \rho vds)}{\int_0^t \int_U 1_A \rho vds} \right| \left| \frac{\int_0^t \int_U 1_A \rho vds}{\int_0^t \int_U 1_{As} vds} \right| \\
\le \left| \frac{\int_0^t \int_U 1_{As} [\mu - \rho vds]}{\int_0^t \int_U 1_A vds} \right| M
$$

et

$$
\frac{\left| \int_0^t \int_U 1_{As} [\mu - \rho vds] \right|}{\left| \int_0^t \int_U 1_{As} \rho vds \right|} \underset{t \to 0}{\to} \text{op.s. sur } \int_0^{+\infty} \int_U 1_{As} \rho vds = \infty
$$

$$
\text{et donc puisque } |\rho^{-1}| \le M \text{ sur } \int_0^{+\infty} \int_U 1_{As} vds = \infty
$$

d'autre part

$$
\frac{\int_0^t \int_U 1_{As} \rho vds}{\int_0^t \int_U 1_{As} vds} = \frac{\int_0^{T_0} \int_U 1_{As} \rho vds + \int_{T_0}^t \int_U 1_{As} \rho vds}{\int_0^t \int_U 1_{As} vds}
$$

$$
\frac{\int_0^{T_0} \int_U 1_{As} (X_s) \rho vds}{\int_0^t \int_U 1_{As} (X_s) vds} \underset{t \to \infty}{\to} 0 \text{ sur } \int_0^{+\infty} \int_U 1_{As} vds = \infty
$$

$$
\frac{\int_{T_0}^{t} \int_{U} 1_{As} |\rho(X_{s-}, u) - \rho(x, u)| v(X_{s-}, du) ds}{\int_{0}^{t} \int_{U} 1_{As} vds} \le \pi(\rho, \delta t_0) \text{ avec}
$$

Π module de continuité de ρ
enfin

$$
\frac{\int_{T_0}^{t} \int_{U} 1_{As} \rho(x,u) v \, ds}{\int_{0}^{t} \int_{U} 1_{As} (x_s) ds} = \rho(x,u) \frac{\int_{T_0}^{t} \int_{U} 1_{As} v \, ds}{\int_{0}^{t} \int_{U} 1_{As} v \, ds}
$$

$$
= \rho(x, u) \left\{ 1 - \frac{M}{\int_{0}^{t} \int_{U} 1_{As} v \, ds} \right\}
$$

on obtient donc

$$
\left| \lim_{t \to \infty} \frac{\int_0^t \int_U 1_{As} \rho v ds}{\int_0^t \int_U 1_{As} v ds} - \rho(x,u) \right| \le \Pi(\rho, \delta_{T_0}) \text{ sur } \int_0^{+\infty} \int_U 1_{As} (x_s) v ds = \infty
$$

■

THEOREME 4.6.

S'il existe une unique mesure invariante q, si x ∈ supp q, alors il existe une suite A_t,ω d'ensembles de ℝ^n décroissante en t contenant x, tels que δ(A_t,ω) ↓ op.s. et t→∞

$$
\int_{0}^{+\infty} 1_{A_{t,\omega}} (x_s(\omega)) ds = \infty \text{ p.s.}
$$

Démonstration

Soit $x \in \text{supp } q$

$$
\text{si } q\{x\} > 0 \text{ on prendra } A_{t,\omega} = \{x\}
$$

$$
\text{si } q\{x\} = 0 \quad \forall v_x : q(v_x) > 0 \quad \text{où } v_x \text{ désigne un voisinage de } x
$$

alors soit

$$
T_1 = \inf\{t \ge 1 : \frac{1}{t} \int_0^t 1_{V_x}(X_s) ds \ge q \frac{(V_x)}{2}\}
$$

alors $T_1$ est un temps d'arrêt presque surement fini car $q$ est la mesure invariante.
Soit $\rho_n = \inf \left\{ \rho, q(\rho V_x) \ge \frac{q(V_x)}{2^n} \right\}$. En utilisant la continuité de $\rho \to q(\rho V_x)$ en 0, grâce à la propriété $(q(An) \to q(A) \text{ si } An \to A)$ on remarque que $\rho_n \to 0$ when $n \to \infty$

Soit alors

$$T_n = \inf \left\{ t \ge 2T_{n-1} \left| \frac{1}{t-T_{n-1}} \int_{T_{n-1}}^t \rho_n V_x ds \ge \frac{q(V_x)}{2^n} \right. \right\}$$

$T_2$ est un temps d'arrêt P.s. fini

etc ...

On a construit une suite $T_n, \rho_n$. Notons alors

$$A_{t,\omega} = \{x \in \rho_n V_n \mid T_{n-1} \le t < T_n\}$$

On a alors la minoration

$$\begin{align*}
\int_0^\infty \left[ \begin{aligned}[t]
& \underset{\text{As},\omega}{\mathbb{I}}(X_s) \text{d}s \ge \frac{q(V_x)}{2} T_1(\omega) + (T_2 - T_1) \frac{q(V_x)}{4} + \dots + (T_{n+1} - T_n) \frac{q(V_x)}{2^{n+1}} + \dots \\
& \ge \frac{q(V_x)}{2} \left\{ \frac{T_1(\omega)}{2} + \frac{T_2(\omega)}{4} + \dots + \frac{T_n(\omega)}{2^n} + \dots \right\} \\
& \ge q(V_x) \left\{ \frac{T_1(\omega)}{2} + \frac{T_2(\omega)}{2} + \dots + \frac{T_n(\omega)}{2} \right\}
\end{aligned} \right]
\end{align*}$$

d'où le résultat puisque $T_1(\omega)$ est minoré par 1.

### THEOREME 4.7.

S'il existe une unique mesure invariante $q, \nabla (x,u) \in \text{supp } q$ alors il existe une suite $R_{t,\omega}$ d'ensemble de $\mathbb{R}^n \times U$ d'ensemble décroissants en $t$ contenant $(x,u)$, tels que $\delta(R_{t,\omega}) \to 0$ p.s. et

$$\int_0^{+\infty} \int_U \mathbb{I}_{S,\omega} v \, ds = \infty$$

### Démonstration

Analogue au théorème précédent.
**Remarque** : Approximation linéaire par morceaux et vitesse "optimale" de convergence de la partition.

Considérons la fonction $\bar{b}(x)$ interpollé linéaire de l'ensemble de points :

$$E_q(x | \mathcal{A}_t) \to E_q(b(x) | \mathcal{A}_t)$$

on a :

$$|E_q(b(x) | \mathcal{A}_t) - b(E_q(x) | \mathcal{A}_t)| \le \sup_x |b''(x)| \delta^2$$

ou $\delta$ est le diamètre du plus gros élément de la partition, $\mathcal{A}_t$ une partition de $\mathbb{R}^n$, $q$ la mesure invariante de $X_t$.
On en déduit que

$$\sup_x |\bar{b}(x) - b(x)| \le k \delta^2 \sup_x |b''(x)|$$

D'autre part $\bar{b}(x)$ peut être estimé par l'interpolée linéaire $\hat{b}_T(x)$ de :

$$\frac{\int_0^T \mathbb{1}_A(x_s) X_s \, ds}{\int_0^T \mathbb{1}_A(X_s) \, ds} \to \frac{\int_0^T \mathbb{1}_A(X_s) dX_s^c}{\int_0^T \mathbb{1}_A(X_s) \, ds}$$

Et on a $\exists k$ constante :

$$\sup_x |\hat{b}_T(x) - \bar{b}(x)| \le \frac{k}{\inf_i q(A_i) \sqrt{T}}$$

et donc

$$\xi = \sup_x |b(x) - \hat{b}_T(x)| \le \frac{k}{\inf_i q(A_i) \sqrt{T}} \quad \text{k sup } \delta^2(A_i) \sup_x |b''(x)|$$

Essayons alors d'évaluer la vitesse avec laquelle il faut faire tendre $\delta(A_i)$ vers 0 de façon à rendre l'erreur approximation + estimation la plus petite. Plaçons nous en dimension 1. Soit $A_i$ la suite d'intervalle $[x-h, x+h[$

$q(A_i) = 2h$ f(x) si f désigne la densité de q

$$\xi \le k \left( \frac{1}{h\sqrt{T}} + h^2 \right)$$
$$ \text{Inf}_{h} \left\{ \frac{1}{h\sqrt{T}} + h^2 \right\} = \frac{k_1}{T^{1/3}} \text{ est atteint pour } h = \frac{k_2}{6\sqrt{T}} $$

ce qui donne une idée de la vitesse

laquelle il faut faire decroître le diamètre de la partition.

avec
[1] BANON.- Identification non paramétrique de processus de diffusion stochastique, Report BERKELEY 1977

[2] BREMAUD, P.M - Livre à paraître "dynamical point process systems in communications and Queuing"

[3] COLLETER, F. FALGARONNE ; F. DELEBECQUE ; J.P. QUADRAT
Résolution d'un modèle de gestion des moyens de production hydrauliques
de la Nouvelle Calédonie, Rapport LABORIA, à paraître

[4] DELEBECQUE, F.- Identification de processus de diffusion et application à la gestion de réservoirs- thèse 3ème Cycle, PARIS IX, 1977.

[5] DELEBECQUE, F ; J.P. QUADRAT.- Identification d'une diffusion stochastique. Rapport LABORIA N°121, 1975

[6] DELEBECQUE, F ; J.P. QUADRAT.- Application de l'identification du contrôle stochastique à la gestion de réservoirs. Colloque sur la théorie des systèmes et applications à la gestion des services publics 75 Presses Univ. de MONTREAL.

[7] DELEBECQUE, F., J.P. QUADRAT.- Application of stochastic control methods in problems arizing in hydropower production ist Int. Cont. on Math. Modelling - SAINT LOUIS MISSOURI, Sept. 1977.

[8] DOLEANS-DADE, C., P.A.MEYER.- Intégrales stochastiques par rapport aux martingales locales. Séminaire de Probabilités IV.

[9] FEIGIN, P.D.- Maximum Likely hood estimation for continuous time stochastic processes. Jour, Adv. Prob. 8, 712-736 76

[10] JACOD, J.- Un théorème de représentation pour les martingales discontinues. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 34, 225-244, 1976.

[11] JACOD, J., J. MEMIN.- Caractéristiques locales et conditions de continuité absolue pour les semi-martingales. Wallscheinlitstheorie Springer Verlag 35.1-37 1976

[12] KUNITA, H., S. WATANABE.- On square integrable martingales. Nagoya Math. J.30 209-245 (1976)

[13] LEBRETON, A.- Sur l'estimation de paramètre dans les modèles différentiels stochastiques. Thèse GRENOBLE 1976.

[14] LEPELTIER, J.P., B. MARCHAL.- Problème des martingales et équations différentielles stochastiques associées à un opérateur intégro-différentiel. Annales de l'Institut Henri Poincaré vol. 12, N°1, pp.43-103 (1976).

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[17] NEVEU, J.- Martingales a temps discret, MASSON 72

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