# Recherche de neutralinos avec le détecteur L3 au LEP et réalisation d'un calorimètre plomb - fibres scintillantes pour améliorer son herméticité électromagnétique

Abdelkrim Boucham

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Abdelkrim Boucham. Recherche de neutralinos avec le détecteur L3 au LEP et réalisation d'un calorimètre plomb - fibres scintillantes pour améliorer son herméticité électromagnétique. Physique [physics]. université Paris 6, 1996. Français. NNT: 1996PA066056. tel-04185828

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THESE de DOCTORAT de l'UNIVERSITE PARIS 6

Spécialité :

Physique des particules

présentée par

Abdelkrim BOUCHAM

pour obtenir le titre DOCTEUR de l'UNIVERSITE PARIS 6

Recherche de neutralinos avec le détecteur L3 au LEP et réalisation d'un calorimètre plomb - fibres scintillantes pour améliorer son herméticité électromagnétique

préparée et soutenue au :

Laboratoire d'Annecy-le-vieux de physique des particules

le 29 avril 1996

devant le jury composé de :

Mr Jacques CHAUVEAU Président
Mr Robert ZITOUN Rapporteur
Mr Stavros KATSANEVAS Rapporteur
Mr Yannis KARYOTAKIS Directeur de thèse
Mr Jean-François GRIVAZ
Mr Egidio LONGO

LAPP-T-96/02
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# Table des matières

<table><tr><td>Introduction</td><td>5</td></tr><tr><td>I Une physique au-delà du modèle standard:la supersymétrie</td><td>7</td></tr><tr><td>I.1 Le modèle standard:modèle de basse énergie</td><td>8</td></tr><tr><td>I.1.1 Le cadre théorique de la physique des hautes énergies</td><td>8</td></tr><tr><td>I.1.2 Qu'est-ce-qu'une théorie effective?</td><td>11</td></tr><tr><td>I.1.3 Les éléments du modèle standard</td><td>12</td></tr><tr><td>I.1.4 Le problème de la hiérarchie</td><td>17</td></tr><tr><td>I.2 La supersymétrie</td><td>22</td></tr><tr><td>I.2.1 La supersymétrie à partir d'un exemple simple:l'oscillateur harmonique supersymétrique</td><td>22</td></tr><tr><td>I.2.2 La supersymétrie en physique des particules</td><td>23</td></tr><tr><td>I.3 L'extension supersymétrique du modèle standard</td><td>26</td></tr><tr><td>I.3.1 Le contenu en particules</td><td>26</td></tr><tr><td>I.3.2 Les interactions</td><td>29</td></tr><tr><td>I.3.3 La brisure de la supersymétrie</td><td>34</td></tr><tr><td>I.3.4 La brisure de la symétrie électrofaible dans le MSSM</td><td>38</td></tr><tr><td>I.3.5 Les masses des partenaires supersymétriques</td><td>42</td></tr><tr><td>I.3.6 Résumé</td><td>48</td></tr><tr><td>I.4 Le secteur neutralinos du MSSM</td><td>49</td></tr><tr><td>I.4.1 Les masses des neutralinos</td><td>49</td></tr><tr><td>I.4.2 Les couplages des neutralinos</td><td>53</td></tr><tr><td>II L'expérience L3 au LEP</td><td>59</td></tr><tr><td>II.1 Le collisionneur LEP</td><td>59</td></tr><tr><td>II.2 Le détecteur L3</td><td>60</td></tr><tr><td>II.2.1 Introduction</td><td>60</td></tr><tr><td>II.2.2 Le détecteur de micro-vertex en silicium (SMD)</td><td>61</td></tr><tr><td>II.2.3 Le détecteur central</td><td>62</td></tr><tr><td>II.2.4 Le calorimètre électromagnétique (ECAL)</td><td>63</td></tr><tr><td>II.2.5 Les compteurs à scintillation</td><td>67</td></tr><tr><td>II.2.6 Le calorimètre hadronique (HCAL)</td><td>68</td></tr><tr><td>II.2.7 Le filtre à muons</td><td>69</td></tr><tr><td>II.2.8 Les chambres à muons</td><td>69</td></tr><tr><td>II.2.9 La mesure de la luminosité</td><td>70</td></tr><tr><td>II.2.10 Le système de déclenchement</td><td>70</td></tr></table>
III La sélection des événements 75

III.1 Sélection d'un état final à deux électrons 76

III.1.1 Mesure et sélection de dépôts électromagnétiques 76

III.1.2 Sélection de particules chargées 81

III.1.3 Résumé : sélection des électrons dans l'expérience L3 88

III.2 Signal et Bruits de fond 89

III.2.1 Le Signal 89

III.2.2 Les bruits de fond 89

III.3 Les générateurs d'événements et la simulation de l'expérience L3 91

III.3.1 Les événements Monte-Carlo pour le fond 91

III.3.2 Les événements Monte-Carlo pour le signal 92

III.4 Sélection des événements $e^+e^- \to e^+e^-\chi_1^0\chi_1^0$ 95

III.4.1 Sélection sur critères énergétiques 95

III.4.2 Sélection topologique 99

III.4.3 Efficacités de la sélection complète 104

III.4.4 Comparaison entre les acceptances de la simulation complète et celles de la simulation rapide 106

III.4.5 Efficacités de sélection des événements $e^+e^- \to \chi_2^0\chi_2^0$ 108

III.4.6 Conclusion 108

III.5 Résultats de la recherche de neutralinos dans le canal $e^+e^- \to e^+e^-\chi_1^0\chi_1^0$ 109

III.5.1 Luminosité intégrée des données analysées 109

III.5.2 Résultats 109

III.6 Quelle est la prédiction du Monte-Carlo? 111

III.6.1 Utilisation d'une simulation rapide pour l'étude du fond $e^+e^- \to e^+e^-\gamma$ 111

III.6.2 Sensibilité aux coupures du fond $e^+e^- \to e^+e^-(e^+e^-)$ 113

III.6.3 Conclusion 113

III.7 La recherche de neutralinos dans les autres canaux de désintégration du $\chi_2^0$ 114

III.7.1 La sélection des événements dans les autres canaux fermioniques 114

III.7.2 Sélection des événements neutralinos dans le canal $e^+e^- \to \chi_1^0\chi_1^0\gamma$ 115

III.7.3 Efficacités de sélection et résultats de la recherche de neutralinos dans les canaux $q\bar{q} E, \mu^+\mu^- E$ et $\gamma E$ 116

IV Interprétation des résultats 119

IV.1 Statistique de Poisson et obtention de limites 120

IV.1.1 La statistique de Poisson 120

IV.1.2 Obtention de limites lorsque le fond prédit est nul 120

IV.1.3 Obtention de limites en présence de fond 120

IV.1.4 Obtention de limites par combinaison de plusieurs canaux de recherche 122

IV.2 Interprétation hors MSSM 123

IV.2.1 Limites sur $Br(Z \to \chi_1^0\chi_2^0).Br(\chi_2^0 \to \chi_1^0e^+e^-)$ 123

IV.2.2 Limites sur $Br(Z \to \chi_1^0\chi_2^0)$ 125

IV.2.3 Limites sur $Br(Z \to \chi_2^0\chi_2^0)$ 126

IV.3 Interprétation dans le cadre du MSSM 129

IV.3.1 L'espace des paramètres du MSSM 129

IV.3.2 Exclusion de domaines de l'espace $(M, \mu, \tan \beta)$ avec la recherche directe de neutralinos 130
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>IV.3.3</td>
      <td>Exclusion de domaines de l'espace (M, μ, tan β) avec les mesures de Γ<sub>Z</sub> et Γ<sub>Z</sub><sup>inv</sup> à LEP 1</td>
      <td>132</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.3.4</td>
      <td>Détermination de limites inférieures sur les masses des neutralinos</td>
      <td>139</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.4</td>
      <td>Discussion des hypothèses</td>
      <td>142</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.4.1</td>
      <td>Le rôle de m<sub>ē</sub></td>
      <td>142</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.4.2</td>
      <td>Limites sur les masses des neutralinos si |μ| > 200 GeV</td>
      <td>144</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.4.3</td>
      <td>Le rôle de la largeur du χ<sub>2</sub><sup>0</sup> en χ<sub>1</sub><sup>0</sup> h<sup>0</sup>/A<sup>0</sup></td>
      <td>144</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V</td>
      <td>SPACAL :un calorimètre pour augmenter l'herméticité électromagnétique de L3</td>
      <td>149</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.1</td>
      <td>Motivations pour une instrumentation complé- mentaire du calorimètre électromagnétique</td>
      <td>150</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.1.1</td>
      <td>Description de la zone non instrumentée</td>
      <td>150</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.1.2</td>
      <td>Problèmes liés à une herméticité imparfaite</td>
      <td>150</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.1.3</td>
      <td>Sélection des événements e<sup>+</sup>e<sup>-</sup> → e<sup>+</sup>e<sup>-</sup>γ avec le photon pointant dans la zone non instrumentée du calorimètre électromagnétique</td>
      <td>151</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.1.4</td>
      <td>Etude des événements e<sup>+</sup>e<sup>-</sup> → e<sup>+</sup>e<sup>-</sup> p̄ avec p̄ pointant entre le tonneau et les bouchons du calorimètre électromagnétique</td>
      <td>155</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.1.5</td>
      <td>Etude du bruit dans le calorimètre hadronique</td>
      <td>159</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.1.6</td>
      <td>Conclusion</td>
      <td>160</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.2</td>
      <td>La conception du détecteur</td>
      <td>162</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.2.1</td>
      <td>Les contraintes liées à l'installation d'un détecteur dans la région non instrumentée</td>
      <td>162</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.2.2</td>
      <td>Le choix du détecteur</td>
      <td>163</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.2.3</td>
      <td>Simulation du détecteur</td>
      <td>166</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.3</td>
      <td>Les prototypes de SPACAL :test en faisceau, résultats et comparaison avec la simulation</td>
      <td>169</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.3.1</td>
      <td>Le test en faisceau des prototypes de SPACAL</td>
      <td>169</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.3.2</td>
      <td>Les résultats du test en faisceau des prototypes</td>
      <td>171</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.3.3</td>
      <td>Comparaison des résultats du faisceau test avec une simulation</td>
      <td>176</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.4</td>
      <td>Le calorimètre SPACAL final et son implantation dans le détecteur L3</td>
      <td>178</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.4.1</td>
      <td>Le module final de SPACAL</td>
      <td>178</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.4.2</td>
      <td>Test en faisceau du détecteur final (avril-mai 95)</td>
      <td>180</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.4.3</td>
      <td>L'électronique de sortie</td>
      <td>183</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.4.4</td>
      <td>La structure porteuse</td>
      <td>184</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.4.5</td>
      <td>Conclusion</td>
      <td>184</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Conclusions et perspectives</td>
      <td>187</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
# Introduction

La travail de thèse présenté dans ce mémoire est en deux volets : le premier s'appuie sur l'analyse des données enregistrées par l'expérience L3 au LEP jusqu'en 1995, à une énergie dans le centre de masse proche du pôle du $Z^0$ et le second sur le développement d'un calorimètre dont l'objectif est de compléter l'herméticité électromagnétique du détecteur L3.

Bien que le modèle standard ait été conforté par l'ensemble des recherches menées au LEP, il ne peut cependant prétendre être la théorie ultime de la physique des particules. De nombreuses extensions ont été construites et parmi elles, c'est la supersymétrie (SUSY) qui a sucité le plus d'intérêt, tant du point de vue théorique qu'expérimental.

Dans le premier chapitre, après avoir précisé les motivations pour une extension du modèle standard, je décrirai le cadre de l'extension supersymétrique minimale du modèle standard (MSSM) en particulier le secteur neutralinos car c'est celui que nous explorerons dans notre travail d'analyse. Les neutralinos sont en effet parmi les plus légères des particules supersymétriques et peuvent donc être produits au LEP. De plus, leur taux de production est forte-ment dépendant du modèle et peut être suffisamment bas pour espérer observer avec l'impor-tante statistique dont on dispose désormais ce qui n'a pu l'être aux débuts du LEP.

Dans le second chapitre, l'expérience L3 est décrite dans son ensemble ainsi que les différents sous-détecteurs qui la composent. Le calorimètre électromagnétique ainsi que le détecteur de traces sont décrits plus en détails car ils sont au cœur de notre analyse.

Cette analyse, centrée sur la recherche d'événements $e^+e^- \to e^+e^-$ $\not E$ est décrite dans le troisième chapitre ainsi que les résultats obtenus à LEP 1. Les recherches de neutralinos dans les autres canaux ($q\bar{q}$, $\mu^+\mu^-$ ou $\gamma$ avec de l'énergie manquante) ont aussi été menées par l'expérience L3 et seront décrites succinctement ainsi que leurs résultats.

La combinaison des résultats obtenus dans les différents canaux de recherche est interprétée dans le quatrième chapitre. D'abord dans un cadre général, ce qui permet d'obtenir des limites sur divers rapports de branchement puis dans le cadre du MSSM afin d'exclure certaines zones de l'espace des paramètres ce qui permet d'accéder à des limites inférieures sur les masses des neutralinos.

Les recherches de particules supersymétriques font intervenir la mesure de l'énergie man-quante, elle-même liée à l'herméticité du détecteur. Or, le calorimètre électromagnétique de L3 présente deux zones non instrumentées, entre le tonneau et les bouchons, de 5° d'ouverture en $\theta$ et 360° en $\phi$. Le cinquième chapitre est consacré à la réalisation d'un calorimètre plomb - fibres scintillantes qui a été installé durant l'arrêt 95-96 du LEP afin d'améliorer l'herméticité du calorimètre électromagnétique de l'expérience L3 et donc sa sensibilité aux événements avec énergie manquante.
# Chapitre I

## Une physique au-delà du modèle standard : la supersymétrie

### Introduction

Ce chapitre s'articule en quatre parties :

* Le modèle standard et ses limites: dans un premier temps, je rappellerai les éléments essentiels du modèle standard en montrant qu'ils peuvent être compris comme étant les reliquats à basse énergie d'une théorie plus fondamentale décrivant la physique aux très hautes énergies. Je préciserai ensuite les limites du modèle standard en insistant sur le problème le plus quantitatif: celui de la hiérarchie de masse.

* La supersymétrie: ces limites indiquent l'existence d'une théorie plus fondamentale. Je décrirai alors le cadre général de la solution qui s'est révélée être à la fois la plus cohérente et la plus riche: la supersymétrie.

* Le MSSM: cette partie sera plus phénoménologique et présentera l'extension supersymétrique minimale du modèle standard (MSSM).

* Les neutralinos: dans cette dernière section je détaillerai le secteur neutralinos du MSSM qui nous concernera plus particulièrement dans notre analyse.
# I.1 Le modèle standard : modèle de basse énergie

Dans cette section, je retracerai les grandes lignes de la démarche qui mène au modèle standard en indiquant comment les éléments du modèle standard peuvent être compris comme ceux d'un modèle de basse énergie.

## I.1.1 Le cadre théorique de la physique des hautes énergies

### La théorie quantique des champs

La physique des hautes énergies est à la fois quantique (la constante de Planck $h$ étant l'unité naturelle d'action) *et* relativiste (le facteur $\gamma$ entrant dans la transformation de Lorentz étant très supérieur à 1).

Dans le cadre de la mécanique quantique, le temps n'est qu'un paramètre des équations (il n'y a pas d'observable temps) alors que la position est un opérateur. Par contre, en relativité, temps et espace sont tous les deux des observables physiques (ils apparaissent sur un même plan lorsqu'on opère une transformation de Lorentz). La théorie décrivant la physique des hautes énergies doit résoudre cette contradiction: temps et espace sont tous les deux des paramètres des équations, c'est en cela que la théorie est une théorie des champs. Elle est relativiste si les équations sont covariantes (les objets de la théorie se transforment comme des scalaires, des vecteurs, des tenseurs... lors d'un changement de référentiel) et elle est quantique si les prédictions se font en terme de probabilité de transition d'un état initial vers un état final. Cette théorie permet alors qu'un état quantique soit décrit par un nombre de particules variable (les expériences de physique des particules prouvent que ce nombre n'est pas conservé).

Les objets de base de la théorie seront donc des opérateurs $O((\vec{x}, t) \equiv x^\mu)$ construits à partir d'opérateurs de création et d'annihilation et agissant sur des états dont le nombre et le type de particules peut changer au cours du temps, l'évolution étant régie par les $O(x^\mu)$.

### Les champs élémentaires de la théorie

Les différents opérateurs seront construits à partir de:

* champs scalaires $\phi(x^\nu)$ qui ne se transforment pas lors d'un changement de référentiel (plus précisément qui se transforment sous le groupe constitué par l'identité). Ces champs correspondent à un degré de liberté (un seul type d'opérateurs de création et d'annihilation) et donc à un seul type de particules: les bosons scalaires.

* champs vectoriels $A^\mu(x^\nu)$ dont les quatre composantes sont des champs scalaires, ils se transforment sous le groupe de Poincaré comme des quadrivecteurs. Trois des quatre composantes sont physiques, ils décrivent donc des particules de spin 1. Lorsque le boson est de masse nulle, l'une des trois composantes n'évolue pas et le champ décrit alors seulement deux degrés de liberté.

* champs tensoriels $T^{\alpha,\beta\cdots}(x^\nu)$ dont les composantes sont des produits de composantes de champs vectoriels et qui permettent de décrire des particules de spin supérieur à 1 (ces champs ne nous concerneront pas pour la suite).

* champs spinoriels $\psi(x^\mu)$: les matrices de Pauli sont des matrices (2,2) dont les relations de commutation sont celles des générateurs des transformations de Lorentz. Il existe
donc des objets à deux composantes (les champs de spineurs) qui ne se transforment pas comme les objets précédents sous Lorentz. La dégénérescence associée à ce doublet est levée par l'application de l'opérateur d'hélicité. Ces objets permettent donc de prendre en compte les spin demi-entier, déjà connus par la mécanique quantique, introduits de façon ad hoc pour décrire l'expérience de Stern et Gerlach mais dont l'origine se trouve dans la relativité. Les spineurs à quatre composantes (ou bispineurs) décrivent quatre degrés de liberté associés à une particule de spin $\frac{1}{2}$ et à son antiparticule. Un spineur décrivant un fermion qui est sa propre antiparticule n'aura donc que deux composantes.

## Description lagrangienne

Suivant la description lagrangienne de l'électrodynamique classique, on construit un lagrangien $\mathcal{L} = \sum_i O_i(x^\mu)$ dont les opérateurs $O_i(x^\mu)$ s'expriment à partir des champs décrits précédemment. L'action est définie par :

$$S = \int d^4 x \mathcal{L}(\phi_i, \psi_j, A_k^\mu)$$

Les équations du mouvement (qui donnent les champs qui décrivent effectivement l'évolution) sont obtenues à partir du principe de moindre action. Pour chaque degré de liberté présent dans le lagrangien on détermine l'extrémum de l'action et on obtient ainsi l'équation du mouvement du degré de liberté correspondant (équation d'Euler-Lagrange) :

$$\partial_{\mu} \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \partial_{\mu} \phi} - \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \phi} = 0$$

Les termes quadratiques dans les champs décrivent les particules libres (terme cinétique et éventuellement un terme de masse). Tous les termes d'ordre supérieur décrivent les interactions entre les particules correspondant aux champs apparaissant dans l'opérateur d'interaction (i.e. un état initial constitué de ces particules peut évoluer).

Une symétrie du lagrangien est définie par un groupe de transformations $G$ opérant sur un des champs du lagrangien et laissant inchangée l'action et donc l'équation du mouvement (il suffit en fait que le lagrangien soit changé au plus d'une quadridivergence). A chaque symétrie du lagrangien est associé un quadri-courant conservé obtenu en appliquant le théorème de Noether. Intégrant sur la partie spatiale la coordonnée temporelle du quadricourant, on obtient une grandeur physique ne dépendant que du temps. Si le courant est conservé, cette grandeur est constante : à chaque symétrie du lagrangien est donc associée une grandeur physique conservée. Ce lagrangien peut alors être fixé pour décrire correctement les expériences de hautes énergies et doit donc inclure le spectre des particules observées (partie du lagrangien quadrateque dans les champs). De plus, les opérateurs doivent reproduire les interactions observées qui sont caractérisées par des lois de conservation, l'opérateur concerné devant alors présenter la symétrie correspondant à la grandeur conservée.

## Les théories de jauge

La matière étant formée de fermions, on commence par écrire le lagrangien libre décrivant ces particules, les termes les plus simples étant du type :

$$\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi \qquad (I.1)$$
où m est la masse du fermion, $\psi = \begin{pmatrix} \chi \\ \phi \end{pmatrix}$ un bispineur décrivant deux types de fermions, $\gamma^\mu$ les matrices de Dirac et $\bar{\psi} = \psi^\dagger\gamma^0$ le spineur adjoint. Ce lagrangien présente une symétrie globale correspondant à un changement de phase :

$$ \psi \rightarrow e^{-i\lambda}\psi \qquad (I.2) $$

car $\bar{\psi}$ se transforme avec une phase opposée liée à la conjugaison hermitique. Le courant conservé est :

$$ J_{\mu} = \bar{\psi}\gamma_{\mu}\psi $$

Lorsque l'on calcule la quantité conservée associée à cette invariance en utilisant le développement des champs en opérateurs de création et d'annihilation, elle s'avère simplement être égale à la différence entre le nombre de particules que décrit le spineur $\chi$ et celles décrites par le spineur $\phi$. On peut donc utiliser ce lagrangien pour étudier un système constitué de deux types de fermions tels que lorsqu'un fermion de type $\chi$ est créé un fermion de type $\phi$ est aussi créé ce qui correspond, par exemple, à un système composé d'électrons et de positons, la grandeur conservée étant alors la charge totale. Cependant, la charge doit être conservée localement car si un électron est crée (avec une incertitude $\Delta t$ sur l'instant de création) le positon ne peut être créé à une distance supérieure à $\Delta x \approx c\Delta t$ sans violer la relativité. Pour que la charge soit conservée localement, la phase $\lambda$ apparaissant dans (I.2) doit pouvoir changer arbitrairement avec la position, ce qui correspond à la transformation :

$$ \psi \rightarrow e^{-ie\lambda(x^\mu)}\psi \qquad (I.3) $$

où le $e$ apparaissant dans l'exposant est une constante dont la signification apparaît plus bas. Cette conservation locale de la charge ne peut être maintenue qu'en introduisant dans le lagrangien un champ vectoriel $A_\mu$ et un opérateur d'interaction :

$$ -eA_{\mu}\bar{\psi}\gamma_{\mu}\psi \qquad (I.4) $$

avec la transformation de jauge du champ $A_\mu$ :

$$ A_{\mu} \rightarrow A_{\mu} + \partial_{\mu}\lambda $$

cette transformation ainsi que la forme de l'opérateur d'interaction sont fixées en sorte qu'elles annulent le terme en $e\bar{\psi}\gamma_\mu(\partial^\mu)\lambda\psi$ apparaissant lors de la transformation de jauge dès lors que celle-ci n'est plus globale. On peut aussi intégrer le terme compensateur dans l'opérateur de dérivation $\partial_\mu$ qui devient :

$$ D_{\mu} = \partial_{\mu} + ieA_{\mu} $$

$D_\mu$ est appelée dérivée covariante car elle se comporte comme le champ lui-même lors d'une transformation de jauge. Donc, pour assurer la conservation locale de la charge il est indispensable d'introduire un boson de jauge de spin 1 correspondant au champ $A_\mu$ et interagissant avec les fermions selon le couplage (I.4) ($e$ est donc la constante de couplage) et qui peut être identifié avec le photon. En effet, le type d'interaction est celui qui est effectivement observé (un photon, un électron, un positon) et $e$ peut être fixé pour reproduire l'intensité observée de cette interaction.

Le dernier élément important est que ce champ $A_\mu$ ne peut avoir de terme de masse explicite sans briser l'invariance de jauge car un terme en $\frac{M^2}{2}A_\mu A^\mu$ introduit, lors de la transformation de jauge, un terme en $M^2 A_\mu \partial^\mu \lambda$ qui n'est pas compensé. Dans le cas du photon, ceci correspond effectivement à la portée de l'interaction qui est infinie en électrodynamique classique.
### I.1.2 Qu'est-ce-qu'une théorie effective?

#### Dimension des opérateurs d'interaction et échelle d'énergie

L'action étant sans dimension, les termes du lagrangien sont du type :

$$g^{[4-d]}O^{[d]}$$

où $O$ s'exprime en fonction des champs et est de dimension $[d]$ en unité de masse, le couplage $g$ étant de dimension $[4-d]$ afin de rétablir la dimension $[4]$ du lagrangien. La composition en champs de $O$ donne le type de particules interagissant et $g$ l'intensité du couplage.
La constante $g$ peut s'écrire :

$$g = \frac{1}{\Lambda^{d-4}}$$

ce qui permet de faire apparaître explicitement une échelle d'énergie $\Lambda$. Les observables sont essentiellement des sections efficaces de dimension [-2] en unité de masse. Compte tenu des grandeurs dimensionnées dont nous disposons, l'ordre de grandeur de la section efficace du processus décrit par $O$ sera donné par :

$$\sigma \sim \frac{s}{\Lambda^{[4]}} \qquad (I.5)$$

où $\sqrt{s}$ est l'échelle d'énergie à laquelle est réalisée l'expérience. Si une limite supérieure sur $\sigma$ est connue, on obtient une limite inférieure sur l'échelle d'énergie à laquelle l'opérateur d'interaction apparaît explicitement dans le lagrangien. Ainsi, si l'on considère la désintégration du proton dans le canal :

$$p \to \pi^0 e^+$$

elle ne peut être induite que par un opérateur de dimension supérieure à 6 (cette interaction implique deux champs de quark $u$, un champ de quark $d$ et un champ d'électron). L'échelle d'énergie de l'expérience étant la masse du proton $m_p$, l'ordre de grandeur de la largeur du proton dans ce canal est donné par :

$$\Gamma(p \to \pi^0 e^+) \sim \frac{m_p^5}{\Lambda^4}$$

avec une limite sur la durée de vie du proton de l'ordre de $10^{31}$ ans cette largeur est inférieure à $10^{-63}$ GeV et l'échelle d'énergie pouvant induire un tel opérateur est d'au moins $10^{16}$ GeV.

En résumé, lorsque la constante de couplage d'un opérateur d'interaction est dimensionnée, une énergie $\Lambda$ lui est associée donnant l'échelle à laquelle l'opérateur apparaît explicitement dans le lagrangien. L'équation (I.5) montre que pour $\sqrt{s} \ll \Lambda$, la section efficace correspondant au processus est négligeable. Donc, à basse énergie seuls les opérateurs d'interaction avec une constante de couplage dimensionnée positivement apparaissent dans le lagrangien.

#### Qu'observons-nous à basse énergie?

Les opérateurs d'interaction impliquent des champs au même point d'espace-temps $x^\mu$ (opérateurs locaux) comme par exemple l'opérateur introduit ci-dessus :

$$\mathcal{L}_{\text{int}}^{\text{loc}} = eJ_{\mu}(x)A^{\mu}(x) \qquad (I.6)$$
ce qui suppose qu'a toutes les échelles de distances (et donc d'énergie) l'interaction reste ponctuelle. Nous faisons donc, avec ce type d'opérateurs, une hypothèse forte sur la physique aux très hautes énergies dont nous n'avons en fait pas connaissance.

Si cette interaction n'est pas *exactement* locale mais implique les champs sur un domaine $\Delta \text{petit}$ (d'extension $qq$ $(10^{-20} \text{fm})^3$ par exemple) avec un facteur de forme $f(z)$ l'interaction s'écrit alors:

$$ \mathcal{L}_{\text{int}} = e_0 \int_{\Delta} d^4 x J_{\mu}(x) A^{\mu}(x-y) f(x-y) $$

et à grande distance (basse énergie) le domaine $\Delta$ nous apparaît ponctuel, l'interaction étant alors correctement décrite par le lagrangien (I.6). Cependant, il faut prendre en compte l'approximation que nous faisons alors en dissimulant dans la constante $e$ qui apparaît dans (I.6) toute la partie non ponctuelle (c'est-à-dire à très haute énergie) de l'interaction. Cette constante de couplage dépend alors de l'échelle d'énergie à laquelle on la mesure car l'approximation que nous faisons dépend de la distance à laquelle nous sondons l'interaction.

Si nous parvenons à faire des prédictions, c'est que la forme exacte de l'interaction (i.e. le facteur de forme $f(x^\mu)$) n'est pas importante. De telles théories, où les physiques à différentes échelles d'énergie sont suffisamment découplées pour que l'on puisse cacher ce que l'on ne connaît pas dans une dépendance des grandeurs physiques en l'échelle d'énergie sont dites renormalisables.

La constante de couplage mesurée $e(\Lambda)$ est une fonction de $e_0$ qui n'est pas connue. Par contre l'évolution de $e(\Lambda)$ avec $\Lambda$ est fixée par le lagrangien et ne dépend pas de $e_0$, on a alors $e(\Lambda_1) = F(e(\Lambda_2))$ où la dépendance en $e_0$ n'apparaît plus et la théorie est alors prédictive puisque la valeur exacte de $e_0$ n'intervient pas: on a remplacé le fait que l'on ne connaisse pas $e_0$ (et donc la physique aux très hautes énergies) par une mesure expérimentale de $e$ à une énergie donnée.

D'après ce que nous avons vu dans la section précédente, si la constante est dimensionnée négativement, l'opérateur correspondant n'apparaît pas dans le lagrangien pour des énergies très inférieures à l'échelle caractéristique donnée alors par la constante de couplage. Une théorie renormalisable ne contient donc pas de constante de couplage dimensionnée négativement.

En conclusion, indépendamment de la forme de la physique à très haute énergie, celle-ci nous apparaît à basse énergie comme une théorie quantique des champs renormalisable avec des paramètres évoluant avec l'échelle d'énergie à laquelle est réalisée l'expérience.

### I.1.3 Les éléments du modèle standard

#### Le secteur leptonique

Nous avons déjà vu (équation (I.1)) la forme du lagrangien libre décrivant les électrons <fnref n="1" /> mais deux autres leptons observés expérimentalement doivent être inclus dans le spectre: muon et tau. A chaque lepton est associé un neutrino et un nombre leptonique conservé pour chaque type de lepton (positif pour les particules et négatifs pour les antiparticules). En l'absence de cette loi de conservation, le muon pourrait se désintégrer dans la voie $\mu \to e\gamma$ sa durée de vie étant alors considérablement plus courte que celle qui est effectivement mesurée.

Le lagrangien libre doit présenter la symétrie correspondant à cette loi de conservation et il est donc indispensable de rassembler en doublets chaque lepton avec son neutrino (tout comme

<footnote n="1">¹Dans toute la suite nous appellerons électron, muon, tau indifféremment la particule ou l'antiparticule</footnote>
les spineurs d'un fermion et de son anti-fermion sont rassemblés en un bispineur pour décrire la conservation de la charge électrique). Cependant, seuls les neutrinos d'hélicité négative (et les antineutrinos d'hélicité positive) sont observés expérimentalement (l'hélicité étant la valeur propre de l'opérateur de spin projeté sur l'impulsion). Le groupe de transformation est donc $SU(2)_L$ le L signifiant qu'il opère sur des doublets de spineurs d'hélicité négative (il s'agit en fait de la chiralité qui se confond avec l'hélicité dans la limite ultra-relativiste) et les leptons d'hélicité positive sont alors décrits par des spineurs singlets sous $SU(2)_L$.

Le secteur leptonique se présente donc sous la forme :

$$ \begin{pmatrix} \nu_L^e \\ e_L \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \nu_L^\mu \\ \mu_L \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \nu_L^\tau \\ \tau_L \end{pmatrix} ; e_R, \mu_R, \tau_R $$

où chaque lettre désigne le bispineur décrivant la particule correspondante.

## Le secteur hadronique

Le succès du modèle des quarks se trouve dans sa capacité à reproduire le spectre des hadrons en partant d'un spectre considérablement réduit constitué par les quarks $(u, d, s)$ qui sont des particules de charge fractionnaire et portant un nombre baryonique. L'observation dans les expériences de diffusion profondément inélastique de partons constituant le proton et qui peuvent être identifiés avec les quarks a confirmé ce modèle. Ce spectre a été étendu au quark $c$ afin de résoudre le problème du changement de saveur $d \leftrightarrow s$ par courant neutre qui n'est pas observé expérimentalement (l'annulation du courant observé lorsque le quark $c$ est pris en compte constitue le mécanisme de GIM). Le quark $b$ a ensuite été observé et comme pour le quark $c$, l'existence d'un quark $t$ a été prédite puis récemment observée [1]. L'interaction mettant en jeu les neutrinos est aussi responsable de la désintégration $\beta$ qui concerne les nucléons et donc les quarks. Il est alors naturel de rassembler ceux-ci en doublets de $SU(2)_L$ avec toujours des états d'hélicité positive singlets sous $SU(2)_L$ :

$$ \begin{pmatrix} u_L \\ d_L \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_L \\ s_L \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t_L \\ b_L \end{pmatrix} ; u_R, d_R, c_R, s_R, t_R, b_R $$

Pour les quarks, états propres d'interaction (ceux dont les couplages sont spécifiés par la théorie) et états propres de masse (ceux observés par les expériences) ne sont pas confondus car la présence de deux états massifs dans chaque famille autorise un mélange décrit par la matrice CKM (Cabibbo-Kobayashi-Maskawa) :

$$ \begin{pmatrix} |V_{ud}| = 0.9754 \pm 0.0005 & |V_{us}| = 0.2205 \pm 0.0018 & |V_{ub}| = 0.005 \pm 0.003 \\ |V_{cd}| = 0.2205 \pm 0.0025 & |V_{cs}| = 0.9743 \pm 0.0008 & |V_{cb}| = 0.046 \pm 0.004 \\ |V_{td}| = 0.012 \pm 0.011 & |V_{ts}| = 0.045 \pm 0.006 & |V_{tb}| = 0.9989 \pm 0.0002 \end{pmatrix} $$

qui est une matrice unitaire proche de la matrice identité ce qui signifie que le mélange entre les familles est faible. Seuls les éléments des deux premières lignes ont été mesurés, les trois autres ayant été déduits de l'unitarité (cette matrice peut être paramétrée en termes de trois angles et une phase complexe).

## Pourquoi le secteur fermionique du modèle standard est-il chiral ?

Le secteur fermionique du modèle standard est chiral car il présente une invariance sous $SU(2)_L$ et les fermions droit ne se transforment donc pas comme les fermions gauche. Il a
été construit ainsi car l'expérience montre que les fermions gauche et droit n'obéissent pas aux mêmes lois. Cependant, cet état de fait peut se comprendre si l'on admet que le modèle standard est un modèle de basse énergie d'une théorie fondamentale caractérisée par une échelle d'énergie $\Lambda$ dont nous verrons plus loin qu'un ordre de grandeur est $10^{15}$ GeV. A basse énergie, le lagrangien effectif contient alors des opérateurs $O_i^{[d]}$ où $d \le 4$ est la dimension de l'opérateur et s'écrit donc :

$$ \mathcal{L} = \sum_i \alpha_i \left(\frac{1}{\Lambda}\right)^{d-4} O_i^{[d]} $$

Considérons un fermion du modèle standard avec une masse $m_f \sim 1$ GeV dont le terme de masse s'écrirait dans le lagrangien effectif $m_f \bar{\psi} \psi$ :

$$ m_f \bar{\psi} \psi = \alpha_f \left(\frac{1}{\Lambda}\right)^{-1} O^{[3]} \qquad (I.7) $$

soit $O^{[3]} = \bar{\psi} \psi$ et $m_f \sim \Lambda$ et le fermion en question a alors une masse de l'ordre de $10^{15}$ GeV contrairement à la masse observée. On pourrait choisir de prendre $\alpha_f$ suffisamment petit pour que $\alpha_f \Lambda$ soit de l'ordre de grandeur des masses observées mais ceci revient à régler un paramètre sur près de 15 ordres de grandeur !

Même en prenant en compte l'évolution de $m_f$ avec l'échelle d'énergie, on ne peut maintenir la masse du fermion à une échelle raisonnable car cette évolution est seulement logarithmique. Ce fermion avec un terme de masse explicite dans le lagrangien a donc une masse qui le rend inobservable aux échelles d'énergie auxquelles nous réalisons nos expériences si l'on s'interdit un réglage de paramètre trop fin.

En conclusion, si les fermions du modèle standard ne présentaient pas une invariance sous $SU(2)_L$ les termes de masse du type (I.7) seraient possibles et ces termes de masse feraient alors sortir les fermions du spectre décrit par le modèle standard. Le secteur fermionique du modèle standard est donc chiral car s'il ne l'était pas il n'y aurait pas de fermions dans le modèle standard.

## Invariances de jauge du modèle standard

Invariance sous $SU(2)_L \times U(1)_Y$

En plus de son invariance sous $SU(2)_L$, le lagrangien du modèle standard présente une invariance sous $U(1)$ puisque les termes sont du type (I.1). Cependant, la loi de conservation associée à cette invariance ne peut être identifiée avec celle de la charge électrique car les neutrinos auraient alors une charge identique à celle de leurs partenaires.

Ce groupe $U(1)$ est identifié avec le $U(1)_Y$ de l'hypercharge faible et une relation du type Gell-Man et Nishijima relie cette hypercharge à la charge électrique $Q$ :

$$ Q = T_3 + \frac{Y}{2} $$

$T_3$ prenant les valeurs $+\frac{1}{2}$ pour les neutrinos et $-\frac{1}{2}$ pour leurs partenaires, les valeurs de $Y$ étant simplement fixées afin de reproduire les valeurs des charges électriques.

Deux des bosons de jauge du $SU(2)_L$ transportent une charge et sont identifiés avec les bosons $W^\pm$ médiateurs de l'interaction faible. Le troisième boson est en fait couplé au boson du $U(1)_Y$ et parmi les deux états propres de masse, celui qui est de masse nulle est identifié avec le photon. Le second état propre est un boson vecteur ne portant pas de charge, le mélange
étant caractérisé par l'angle de Weinberg $\theta_W$. Ce modèle prédit donc l'existence d'un courant neutre qui fut effectivement observé.

### Invariance sous $SU(3)_C$

Une dernière symétrie concerne uniquement le secteur hadronique du modèle standard, il s'agit du $SU(3)_C$ de couleur. Chaque quark apparaît sous la forme d'un triplet se transformant sous ce groupe, ce qui permet de résoudre le problème posé, entre autres, par le $\Delta^{++}$ de spin $\frac{3}{2}$ et composé de trois quarks $u$ ce qui contredit la statistique de Fermi s'il n'existe pas une dégénérescence d'ordre trois. De plus, lorsque l'invariance sous $SU(3)_C$ est jaugée, les huit bosons de jauge (les gluons) correspondant aux huit générateurs du groupe permettent de décrire l'interaction forte elle aussi comme une théorie de jauge.

### Les masses des bosons de jauge et le mécanisme de Higgs

Afin de respecter l'invariance de jauge, tous les bosons de jauge sont de masse nulle. Ceci est acceptable pour le photon mais pas pour les bosons $W$ et $Z$. En effet, si l'interaction décrite par $SU(2)_L$ est bien l'interaction faible, on peut interpréter le modèle de Fermi décrivant la radioactivité $\beta$ par l'élément de matrice :

$$ \mathcal{M} = \mathcal{G}_F (\bar{u}_n \gamma^\mu u_p) (\bar{u}_{\nu_e} \gamma_\mu u_e) $$

comme étant un modèle de basse énergie. La constante $\mathcal{G}_F$ est dimensionnée car $\mathcal{G}_F \approx \frac{10^{-5}}{m_p^2}$ où $m_p$ est la masse du proton. $\mathcal{G}_F$ est alors simplement reliée à la limite à basse énergie du propagateur du $W$:

$$ \frac{\mathcal{G}_F}{\sqrt{2}} = \frac{g^2}{8M_W^2} $$

où $g$ est la constante de couplage du $SU(2)_L$.

Comme on a $g = e/\sin\theta_W$ une estimation de la masse du $W$ est $M_W \approx 80$ GeV.

Une masse est fournie à ces bosons par l'introduction *ad hoc* du mécanisme de Higgs. Celui-ci s'appuie sur un doublet de $SU(2)_L$ constitué de champs complexes (4 degrés de liberté) :

$$ \Phi = \begin{pmatrix} \phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix} $$

soumis au potentiel :

$$ V(\Phi) = \mu^2 \Phi^\dagger \Phi + \lambda (\Phi^\dagger \Phi)^2 $$

En choisissant $\mu^2$ négatif, l'état fondamental $\Phi_0$ a une valeur moyenne dans le vide non nulle :

$$ \Phi_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ v \end{pmatrix} \quad ; \quad v = \sqrt{\frac{-\mu^2}{\lambda}} $$

Comme le champ de Higgs se transforme sous $SU(2)_L$, la partie du champ qui est constituée de l'état fondamental apparaît comme une constante dans le terme $D_\mu\phi D^\mu\phi$ et donne naissance alors à des termes de masse du type $\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu$ pour les bosons de jauge où $A_\mu$ représente un champ de boson $W$ ou $Z$. Les masses des bosons sont alors reliées au potentiel de Higgs par les relations :

$$ M_W = \frac{gv}{2} \quad ; \quad M_Z = \frac{gv}{2 \cos\theta_W} $$
où g est la constante de couplage du $SU(2)_L$.

Parmi les quatre degrés de liberté introduits par l'intermédiaire du doublet de Higgs, trois permettent aux bosons $W^\pm$ et $Z$ d'acquérir une masse (un boson de masse nulle a seulement deux degrés de liberté correspondant aux deux états d'hélicité alors qu'un boson massif a trois degrés de liberté). Le dernier degré de liberté décrit un boson scalaire massif, le boson de Higgs de masse $M_H = \sqrt{-2\mu^2}$.

On dit que la symétrie est alors brisée mais elle est en fait simplement cachée car si elle était réellement brisée on aurait aussi bien pu incorporer dès le départ les termes de masse interdits par l'invariance de jauge. Les termes introduits sont bien invariants de jauge sous $SU(2)_L \times U(1)_Y$, c'est simplement l'état fondamental qui ne présente pas toutes les symétries du lagrangien et c'est par l'intermédiaire de cet état fondamental que les bosons acquièrent une masse. Les termes de masse introduits par le mécanisme de Higgs ne sont donc pas en contradiction avec l'impossibilité d'utiliser des termes en $\frac{M^2}{2} A_\mu A^\mu$ sans violer les symétries de jauge.

## Les masses des fermions

Le mécanisme de Higgs fournit une masse uniquement aux bosons $W^\pm$ et $Z$, les fermions restant de masse nulle. C'est l'introduction ad hoc d'un couplage entre le champ de Higgs et les fermions qui va leur permettre d'acquérir une masse.

### 1. Les masses des leptons

Pour les leptons, le terme de Yukawa s'écrit :

$$ \mathcal{L}_{\text{Yuk}} = -g_f [\bar{f}_R (\Phi^\dagger l_f) + (\bar{f}_L \Phi) f_R] $$

soit après développement autour de l'état fondamental :

$$ \mathcal{L}_{\text{Yuk}} = -\frac{g_f v}{\sqrt{2}} \bar{f} f - \frac{g_f}{\sqrt{2}} H \bar{f} f $$

qui inclut un terme de masse pour le fermion $f$ avec $m_f = \frac{g_f v}{\sqrt{2}}$ et un terme d'interaction entre le fermion $f$ et le boson de Higgs $H$ avec un couplage proportionnel à la masse du fermion. Les termes de Yukawa introduisent donc un paramètre de masse pour chaque fermion et les neutrinos restent sans masse car il n'y a pas de neutrino d'hélicité négative.

### 2. Les masses des quarks

Pour les quarks, le terme de Yukawa est plus complexe car les deux membres du doublet sont massifs. Il est alors indispensable d'utiliser en plus le doublet de Higgs conjugué d'hypercharge faible -1 :

$$ \tilde{\Phi} = i\sigma_2 \Phi^* $$

Pour la première génération de quarks le terme de Yukawa s'écrit alors :

$$ \mathcal{L}_{\text{Yuk}} = -g_d \left[ (\bar{u}_L \bar{d}_L) \Phi d_R + \bar{d}_R \Phi^\dagger \begin{pmatrix} u_L \\ d_L \end{pmatrix} \right] - g_u \left[ (\bar{u}_L \bar{d}_L) \tilde{\Phi} u_R + \bar{u}_R \tilde{\Phi}^\dagger \begin{pmatrix} u_L \\ d_L \end{pmatrix} \right] $$

Les masses ainsi introduites sont celles des états propres d'interaction, le passage aux masses des quarks composant les hadrons se faisant à l'aide de la matrice CKM précédemment décrite.
## Les limites du modèle standard

Si le modèle standard est unificateur dans le sens où il décrit dans le même cadre formel toutes les interactions autres que la gravitation, un grand nombre de paramètres ne sont pas prédits :

* 3 constantes de couplages

* 6 paramètres de masse pour les quarks et 3 pour les leptons

* les paramètres $\lambda$ et $\mu^2$ du potentiel de Higgs

* trois angles et une phase pour la matrice CKM

Bien que d'ordre esthétique, ce problème indique que le modèle standard n'est qu'un pas vers la théorie ultime décrivant la physique des hautes énergies. En effet, chaque paramètre libre indique un point que le modèle standard n'explique pas. Ainsi, la présence d'un grand nombre de paramètres de masse montre que le modèle standard ne peut expliquer la hiérarchie de masse entre les familles pas plus qu'à l'intérieur d'une même famille. Le fait que les trois constantes de couplages ne soient pas prédites est significatif de ce que le modèle standard n'explique pas la structure en $SU(2)_L \times U(1)_Y \times SU(3)_C$. Cependant, nous allons voir que c'est le secteur de Higgs qui présente la faiblesse la plus grave, une faiblesse qui n'est pas d'ordre qualitatif mais quantitative et qui est la raison essentielle du succès de la supersymétrie.

### I.1.4 Le problème de la hiérarchie

Dans cette section, je commencerai par rappeler pourquoi la masse du boson de Higgs ne peut pas prendre des valeurs arbitrairement grandes dans le cadre du modèle standard puis j'indiquerai pourquoi cette contrainte est impossible à maintenir sans régler avec une précision non naturelle la valeur de cette masse.

#### Evolution de $\lambda$ avec l'échelle d'énergie

La constante de couplage quadrilinéaire du boson de Higgs $\lambda$ correspond au vertex $HH \to HH$. L'élément de matrice de ce graphe à l'ordre 1 est alors simplement donné par $-i\lambda_0$ (où $\lambda_0$ est la constante apparaissant dans le lagrangien). Au second ordre, il faut prendre en compte le graphe de la figure I.1 qui apporte une contribution divergente à l'élément de matrice car l'impulsion du boson de Higgs dans la boucle peut prendre des valeurs arbitrairement grandes. On peut absorber cette divergence en définissant $\lambda = f(\lambda_0, \Lambda)$ où $\lambda$ diverge quand $\Lambda \to \infty$.

L'élément de matrice s'exprime alors en fonction de $\lambda$ et $\Lambda$ :

$$ \mathcal{M} = -i\lambda \left( 1 + \frac{a}{2}\lambda \ln \frac{s}{\Lambda^2} \right) \qquad (I.8) $$

où $a = \frac{3}{16\pi^2}$ et $\sqrt{s}$ est l'échelle d'énergie à laquelle est réalisée l'expérience.

L'élément de matrice (I.8) ne doit pas dépendre de l'échelle $\Lambda$ qui est arbitraire et doit donc être le même lorsqu'on le calcule à deux échelles différentes $\Lambda_1$ et $\Lambda_2$. Pour absorber cette dépendance de l'élément de matrice en l'échelle d'énergie, il est indispensable que $\lambda$ dépende
aussi de l'échelle d'énergie. En effet, l'égalité des éléments de matrice pour deux valeurs $\Lambda_1$ et $\Lambda_2$ de $\Lambda$ :

$$ \lambda(\Lambda_1) \left( 1 + \frac{a}{2} \lambda(\Lambda_1) \ln \frac{s}{\Lambda_1^2} \right) = \lambda(\Lambda_2) \left( 1 + \frac{a}{2} \lambda(\Lambda_2) \ln \frac{s}{\Lambda_2^2} \right) $$

peut se réécrire pour deux échelles très proches $\Lambda_1 \approx \Lambda_2 = \Lambda$ :

$$ \Lambda \frac{d\lambda}{d\Lambda} = a\lambda^2 \qquad (I.9) $$

qui constitue une équation d'évolution de $\lambda$ avec l'échelle d'énergie.

Nous retrouvons ainsi ce que nous avons vu dans la section précédente : nous avons dissimulé notre méconnaissance de la physique à très haute énergie dans une dépendance de la constante de couplage en l'échelle d'énergie. Cette dépendance est contrôlée par des équations du type (I.9) appelées *équations du groupe de renormalisation*.

## Une limite supérieure sur la masse du boson de Higgs

La masse du boson de Higgs est donnée par :

$$ m_H^2 = \sqrt{-2 \mu_0^2} = \frac{\lambda_0 v^2}{3} $$

C'est en résolvant l'équation (I.9) que l'on détermine l'évolution de $\lambda$ avec l'échelle d'énergie :

$$ \frac{1}{\lambda(\Lambda_1)} = \frac{1}{\lambda(\Lambda_2)} + \alpha \ln \left( \frac{\Lambda_2}{\Lambda_1} \right) \qquad (I.10) $$

avec $\alpha = 3/(16\pi^2)$ et donc $m_H$ évolue aussi avec l'échelle d'énergie. Expérimentalement, on appelle masse du boson de Higgs une valeur spéciale de l'échelle d'énergie telle que la masse évaluée à cette échelle soit égale à l'échelle elle-même :

$$ m_H^{\text{exp}} = \Lambda \quad \text{telle que} \quad m_H(\Lambda) = \Lambda $$

En écrivant la relation (I.10) entre l'échelle de brisure de $SU(2)_L \times U(1)_Y$ soit $v = 246$ GeV et une échelle $\Lambda$ on obtient :

$$ \frac{1}{\lambda(v)} = \frac{1}{\lambda(\Lambda)} + \alpha \ln \left( \frac{\Lambda}{v} \right) $$

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Figure I.1:** Un exemple de graphe contribuant à l'évolution de la constante de couplage $\lambda$ avec l'échelle d'énergie.</figcaption></figure>
et en utilisant le fait que $\lambda$ est positif on obtient une limite supérieure sur $\lambda(v)$ :

$$ \lambda(v) < \frac{1}{\alpha \ln\left(\frac{\Lambda}{v}\right)} $$

et donc sur la masse du boson de Higgs évaluée à l'échelle de brisure électrofaible :

$$ m_H < \frac{4\pi}{3} v \sqrt{\ln\left(\frac{\Lambda}{v}\right)} \qquad (I.11) $$

Si l'on applique la relation (I.11) à une échelle $\Lambda = 1$ TeV la limite supérieure sur la masse du boson de Higgs est de l'ordre de 1 TeV ce qui signifie que :

* la relation (I.11) est effectivement appliquable jusqu'à 1 TeV, le modèle standard est alors valide jusqu'à 1 TeV et le boson de Higgs a alors une masse inférieure au TeV.

* cette relation n'est pas appliquable jusqu'à cette échelle, la validité du modèle standard est alors limitée au TeV et une nouvelle physique doit être mise en évidence en dessous du TeV.

Ce qui précède est limité par le fait que dans l'équation d'évolution (I.10) est seulement pris en compte l'autocouplage du boson de Higgs alors qu'il faudrait aussi prendre en compte le couplage aux autres particules, spécialement au quark top car celui-ci est lourd. Le résultat est alors modifié [2] mais l'essentiel reste vrai: dans le cadre du modèle standard la masse du boson de Higgs est limitée au TeV. Cette limite concerne $m_H^{exp}$ car $m_H$ peut évoluer avec l'échelle d'énergie et $m_H(\Lambda)$ n'est pas borné.

## L'échelle d'énergie de la nouvelle physique

La constante de couplage de la gravitation $G_N$ étant dimensionnée négativement, la théorie des champs correspondante n'est pas renormalisable. Ceci signifie que l'échelle d'énergie as-sociée à $G_N$, la masse de Planck $M_P = 10^{19}$ GeV, est une limite supérieure à l'échelle d'énergie à laquelle on doit rencontrer une nouvelle physique.

Cependant, cette échelle est très probablement inférieure à $M_P$. En effet, les trois constantes de couplages du modèle standard évoluent avec l'échelle d'énergie de façon similaire à $\lambda$. Cette évolution est telle qu'à une échelle de l'ordre de $10^{15}$ GeV les trois constantes ont des valeurs très proches ($\approx \frac{1}{45}$). Ceci n'impose pas que les constantes évoluent ensemble au-delà de cette échelle, elles pourraient continuer à évoluer chacune avec une équation différente. Dans ce dernier cas, il faudrait accepter que les constantes de couplage se rencontrent par hasard en un point du plan $(\Lambda, \alpha)$ et que cette rencontre n'ait aucune signification. La probabilité que trois droites se rencontrent en un même point étant faible, on est amené à penser que cette rencontre des trois constantes de couplages signifie qu'il n'y a réellement plus qu'une seule constante de couplage. S'il n'y a plus qu'une seule constante de couplage qui évolue, un seul groupe de jauge est alors suffisant ce qui correspond à une physique différente de celle du modèle standard. Le fait que cette nouvelle physique soit rejetée à une énergie de $10^{15}$ GeV est dû à l'évolution lente (logarithmique) des constantes de couplages avec l'échelle d'énergie.
## Evolution de la masse du boson de Higgs avec l'échelle d'énergie

L'évolution de la masse du boson de Higgs avec l'échelle d'énergie est déterminée par les corrections au propagateur et donc par les différents couplages du boson de Higgs. Le boson de Higgs se couple à lui même, aux fermions et aux bosons de jauge massifs. Les graphes correspondant aux corrections à l'ordre le plus bas pour chaque type d'interaction sont montrés sur la figure I.2. Il existe en fait un graphe avec une boucle de H à l'intérieur du propagateur correspondant

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>**Figure I.2:** Les trois graphes contribuant, à l'ordre le plus bas, à l'évolution de la masse du boson de Higgs avec l'échelle d'énergie.</figcaption></figure>

au couplage trilinéaire, mais ce graphe étant fini il ne participe pas à l'évolution de $m_H$ avec l'échelle d'énergie. Comme nous le verrons plus loin, le problème de la hiérarchie est lié à la forme de l'évolution de la masse du boson de Higgs avec l'échelle d'énergie et les contributions des trois graphes de la figure I.2 sont similaires. Je ne décrirai donc que les contributions des graphes (a) et (c) car ce sont les plus simples à calculer.

Le propagateur nu du boson de Higgs est celui d'un champ scalaire de masse $m_H : \frac{1}{p^2-m_H^2}$ où $p$ est l'impulsion du boson. Pour la diffusion $HH \rightarrow HH$, la contribution des ordres supérieurs est divergente, dans le cas du propagateur il en est de même avec les trois graphes de la figure I.2. Pour donner malgré tout un sens à la théorie, nous avons vu qu'il fallait redéfinir les paramètres observés en fonction des paramètres nus et il faut aussi procéder ainsi pour le propagateur, le paramètre qui est redéfini étant alors la masse. La prise en compte de chaque graphe divergent impose une contribution à l'évolution du paramètre dont la forme est donnée par la contribution du graphe lui-même. Ainsi, pour le troisième graphe de la figure I.2, la contribution de la boucle est du type :

$$ \sim \int \frac{d^4 k}{k^2 - m_H^2} \qquad (I.12) $$

Si l'on coupe l'intégrale (I.12) à une échelle $\Lambda$ (on doit alors faire évoluer la masse avec l'échelle d'énergie pour compenser cette coupure) celle-ci est simplement proportionnelle à $\Lambda^2$ (on peut négliger $m_H$ pour $\Lambda$ suffisamment grand). Cette contribution est donc celle qui va participer à l'évolution de $m_H^2$ (la contribution de l'intégrale (I.12) est la contribution au pôle du propagateur qui est égal au carré de la masse).

La contribution du graphe (a) s'écrit :

$$ \sim \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4 k^2 (p^2 + k^2)} \mathrm{Tr} \left( \frac{1 - \gamma_5}{2} k(p+k) \right) $$

soit en utilisant les formules de trace et la rotation de Wick pour réécrire l'élément d'intégration :

$$ \sim \int dk^2 \qquad (I.13) $$
A nouveau, si l'on coupe l'intégrale (I.13) à une échelle $\Lambda$ pour la régulariser elle est proportionnelle à $\Lambda^2$. Donc, la prise en compte du graphe (a) va elle aussi faire évoluer le pôle du propagateur du boson de Higgs proportionnellement au carré de l'échelle d'énergie.
On peut donc écrire l'évolution de la masse du boson de Higgs avec l'échelle d'énergie :

$$m_H^2(\Lambda_1) = m_H^2(\Lambda_2) + C_1 (\Lambda_1 - \Lambda_2)^2 + C_2 \ln \left( \frac{\Lambda_1}{\Lambda_2} \right) \quad (I.14)$$

Le dernier terme prenant en compte les graphes contribuant à une évolution logarithmique et qui ne posent pas de problèmes car il s'agit d'une évolution lente. Comme la masse du boson de Higgs évaluée à l'échelle électrofaible doit être inférieure à 1 TeV et que le modèle standard s'applique au mieux jusqu'à une échelle de l'ordre de $10^{15}$ GeV, si l'on applique la relation (I.14) entre $\Lambda_1 = v$ et $\Lambda_2 = \Lambda_U = 10^{15}$ GeV on a (en négligeant le terme logarithmique) :

$$(1 \text{ TeV})^2 \approx m_H^2(v) = m_H^2(\Lambda_U) + C_1 (10^{15} \text{ GeV})^2$$

Ce qui implique que les deux termes du membre de droite s'annulent sur près de 24 décimales pour donner un terme de l'ordre de $(1 \text{ TeV})^2$. C'est ce problème qui est appelé problème de la hiérarchie de masse ou naturalité ou bien encore problème du réglage fin et dont l'origine se trouve dans :

* la présence d'un boson scalaire élémentaire

* l'absence de nouvelle physique entre deux échelles d'énergie très éloignées

Ce problème montre que l'extrapolation à haute énergie n'est pas possible si l'on n'étend pas le modèle standard à une théorie plus fondamentale et ceci indépendamment du fait que le modèle standard n'inclut pas la gravitation.
## I.2 La supersymétrie

Dans cette section, j'introduirai la supersymétrie à partir d'un modèle simple [3] mais qui a le mérite de mettre en évidence ses caractéristiques essentielles et en particulier la propriété qui permet de résoudre le problème de la hiérarchie. Après avoir décrit cet exemple, je détaillerai un peu plus le formalisme de la supersymétrie sans entrer cependant dans les aspects techniques.

### I.2.1 La supersymétrie à partir d'un exemple simple : l'oscillateur harmonique supersymétrique

#### Quelques rappels sur l'oscillateur harmonique quantique

Le hamiltonien d'un oscillateur harmonique bosonique s'écrit :

$$H_B = \frac{1}{2} p^2 + \frac{1}{2} \omega_B^2 q^2$$

avec la relation de commutation $[q, p] = i$.

L'opérateur de création $a$ se construit à partir des opérateurs $p$ et $q$ :

$$a = \sqrt{\frac{1}{\omega_B}}(p - i\omega_B q)$$

et obéit aux relations de commutation $[a, a^\dagger] = 1$ et $[a, a] = [a^\dagger, a^\dagger] = 0$. Ce qui permet de réécrire le hamiltonien :

$$H_B = \frac{\omega_B}{2} \{a^\dagger, a\} \qquad (I.15)$$

où les crochets représentent l'anticommutateur. En utilisant les relations de commutation des $a$ et l'expression (I.15) du hamiltonien on trouve les valeurs propres $n_B$ de $H_B$ qui correspondent aux niveaux d'énergie du système :

$$E_B = \omega_B(n_B + \frac{1}{2})$$

où $n_B$ peut prendre toutes les valeurs entières.

On peut de la même façon construire l'oscillateur harmonique fermionique à partir de l'opérateur de création $b$ obéissant aux relations de commutation $\{b, b^\dagger\} = 1$ et $\{b, b\} = \{b^\dagger, b^\dagger\} = 0$ et le hamiltonien peut alors s'écrire :

$$H_F = \frac{\omega_F}{2} [b^\dagger, b]$$

menant aux niveaux d'énergie :

$$E_F = \omega_F(n_F - \frac{1}{2})$$

où $n_F$ peut prendre uniquement les valeurs 0 ou 1.

#### A quelle condition le système est-il supersymétrique?

Considérons le système constitué des deux oscillateurs harmoniques. Les niveaux d'énergie du système sont alors donnés par :

$$E = E_B + E_F = \omega_B(n_B + \frac{1}{2}) + \omega_F(n_F - \frac{1}{2})$$
et ce système ne présente en général aucune propriété particulière.

Cependant, si $\omega_B = \omega_F = \omega$ les niveaux d'énergie du système sont donnés par :

$$E = \omega(n_B + n_F) \qquad (I.16)$$

et ce système présente une nouvelle propriété car on peut annihiler un fermion (*resp.* en rajouter un si $n_F = 0$) et créer (*resp.* annihiler) un boson sans changer l'énergie du système. Le système présente donc une dégénérescence et comme toujours en mécanique quantique cette dégénérescence est le signe d'une symétrie du système. Dans le cas présent, il s'agit de la supersymétrie, une symétrie entre bosons et fermions puisque les niveaux d'énergie peuvent rester les mêmes alors que les nombres de fermions et de bosons ont changé. De plus, la relation (I.16) montre que l'état fondamental d'un système supersymétrique a une énergie nulle.

## Les générateurs de la supersymétrie

Cette symétrie correspond à la création d'un fermion et l'annihilation d'un boson (*resp.* la création d'un boson et l'annihilation d'un fermion) le générateur de cette symétrie est donc proportionnel à $a^\dagger b$ (*resp.* $ab^\dagger$). Pour retrouver les relations de commutation classiques des générateurs de la supersymétrie, il suffit de prendre le coefficient de proportionnalité égal à $\sqrt{2\omega}$:

$$Q = \sqrt{2\omega} a^\dagger b ; \quad \bar{Q} = \sqrt{2\omega} ab^\dagger$$

On a $[Q, H] = [\bar{Q}, H] = 0$ ce qui signifie que les $Q$ sont bien les générateurs d'une symétrie et le hamiltonien s'exprime simplement en fonction des $Q$:

$$H = \frac{1}{2}\{Q, \bar{Q}\} \qquad (I.17)$$

Enfin, on a :

$$Q^2 = 2\omega a^\dagger ba^\dagger b = 0 \qquad (I.18)$$

puisque l'application de $b$ à un état déjà occupé par un fermion annihile cet état. De même on a $\bar{Q}^2 = 0$ puisqu'on annihile deux fois un fermion.

## I.2.2 La supersymétrie en physique des particules

### Les propriétés de la supersymétrie

* Le vide de la supersymétrie

Nous avons vu que l'état fondamental est d'énergie nulle, ceci signifie en terme de physique des hautes énergies que le vide de la supersymétrie a une énergie nulle. Cette propriété est spécifique à la supersymétrie car en général le vide d'une théorie peut avoir une énergie arbitraire, les fluctuations étant mesurées par rapport à ce vide. Cette propriété a une conséquence immédiate en astrophysique car l'énergie du vide est reliée à la valeur de la constante cosmologique (densité d'énergie du vide). Si le fondamental a une énergie nulle, la constante cosmologique doit être nulle.

* Les masses des partenaires supersymétriques

Pour que la supersymétrie soit réalisée, il faut que $\omega_B$ soit égal à $\omega_F$. Ceci se traduit par le fait que les partenaires supersymétriques doivent avoir des masses égales (les partenaires
sont les particules qui se transforment l'une en l'autre sous l'action de $Q$) puisque l'énergie de l'excitation correspond à la masse de la particule crée (ou annihilée). Ceci signifie aussi que le modèle standard n'est pas supersymétrique puisqu'il n'y a pas de boson qui ait la même masse que l'électron par exemple. Nous reviendrons sur ce point lorsque nous décrirons l'extension supersymétrique du modèle standard.

* Une propriété essentielle : l'égalité du nombre de degrés de liberté fermioniques et bosoniques Si l'on considère un état $|\lambda\rangle$ d'hélicité $\lambda$ et qu'on lui applique l'opérateur $Q$, l'état est transformé en un état d'hélicité $\lambda + \frac{1}{2}$. Si on applique $Q$ à $|\lambda + \frac{1}{2}\rangle$ l'état est $|0\rangle$ puisque d'après (I.18) on a $Q^2 = 0$. Donc, à un degré de liberté fermionique (si $\lambda = \frac{1}{2}$) doit être associé un degré de liberté bosonique et à tout degré de liberté bosonique doit être associé un degré de liberté fermionique (si $\lambda = 0$).

En résumé : les partenaires supersymétriques se trouvent dans un multiplet (un supermultiplet) on passe de l'un à l'autre des états du supermultiplet par action de $Q$ ou $\bar{Q}$ et ces états sont d'hélicité $\lambda$ et $\lambda + \frac{1}{2}$. De plus, ces états sont de même masse et au sein d'un même multiplet il y a autant de degrés de liberté d'hélicité $\lambda$ que de degrés de liberté d'hélicité $\lambda + \frac{1}{2}$.

## La supersymétrie et le problème de la hiérarchie

Considérons une théorie supersymétrique avec un boson scalaire élémentaire et des fermions, avec autant de degrés de liberté fermionique que de degrés de liberté bosonique. A chaque graphe de la figure I.2 impliquant une boucle bosonique (graphes *b* et *c*) est associé un graphe comprenant une boucle fermionique (graphe *a*). Chaque boucle contribue avec un signe $+1$ s'il s'agit d'une boucle de boson et avec un signe $-1$ s'il s'agit d'une boucle de fermion. Si les masses des partenaires supersymétriques sont égales, les contributions des graphes avec des boucles fermioniques seront exactement compensées par les graphes avec des boucles bosoniques ce qui résoud le problème de la hiérarchie. Ces compensations ne sont cependant pas triviales or du formalisme des superchamps.

Le fait qu'un modèle supersymétrique ne contienne pas de divergences quadratiques peut aussi être compris à partir de la connection qui existe entre les secteurs fermioniques et bosoniques. Dans le modèle standard, les fermions et les bosons sont de masse nulle afin de préserver l'invariance de jauge : cette symétrie protège la masse des fermions et bosons de jauge des divergences quadratiques alors qu'aucune symétrie ne protège la masse du boson de Higgs. Or, la supersymétrie assure que les partenaires aient des masses identiques, la symétrie de jauge qui protège la masse des fermions protège donc aussi la masse des scalaires *via* la supersymétrie. Plus généralement, un petit paramètre (i.e. très petit devant 1) n'est tolérable dans une théorie que s'il est associé à une symétrie qui devient exacte si le paramètre tend vers 0. Ainsi, le rapport de la masse de l'électron à l'échelle d'unification $m_e/\Lambda_U$ est acceptable car lorsqu'il devient nul la symétrie chirale devient exacte. Par contre, si la masse du boson de Higgs devient nulle, le modèle standard ne présente pas de symétrie supplémentaire : aucune symétrie ne protège la masse des scalaires élémentaires dans le modèle standard.

## Un peu de formalisme

Le modèle standard est basé sur deux classes de symétrie :

* l'invariance de Lorentz qui ne concerne que l'espace-temps et dont les générateurs sont $P_\mu$ pour les translations et $M_{\mu\nu}$ pour les rotations.
* les symétries internes qui commutent avec les générateurs de Lorentz et qui agissent sur des multiplets dont les états se transforment les uns dans les autres sous l'action de générateurs qui appartiennent à des groupes de Lie.

La supersymétrie est née en cherchant une symétrie qui ne soit décrite ni par un groupe de Lie ni par les générateurs du groupe de Poincaré. En effet, le théorème de Coleman et Mandula [7] indique que le seul type de symétrie qui corresponde à ces conditions et qui ne viole pas l'unitarité de la matrice S est la supersymétrie. C'est donc sur des bases purement formelles qu'a été introduite la supersymétrie, son succès étant essentiellement dû à sa capacité à résoudre le problème de la hiérarchie.

L'algèbre de la supersymétrie met en jeu non seulement des commutateurs mais aussi des anticommutateurs comme dans la relation (I.17). Il s'agit donc d'une algèbre plus générale qu'une algèbre de Lie et on parle alors d'algèbre *graduée*. Le générateur $Q$ de la supersymétrie a quatre composantes car il s'agit d'un objet spinoriel. Pour comprendre pourquoi ce générateur est spinoriel on peut considérer la transformation symbolique :

$$b = Q.f$$

où $f$ est un champ fermionique et $b$ un champ bosonique. On a :

$$[b, b'] = 0 \ ; \ \{f, f'\} = 0$$

avec $b' = Q.f'$. En exprimant le commutateur $[b, b']$ en fonction de $Q, f$ et $f'$ on obtient :

$$\{Q, Q\} f f' = 0 \qquad (I.19)$$

qui implique $\{Q, Q\} = 0$ c'est-à-dire que $Q$ est un objet spinoriel. En tant qu'objet de spin $\frac{1}{2}$, $Q$ obéit à la relation de commutation :

$$[Q_r, M^{\mu\nu}] = i\sigma_{rs}^{\mu\nu} Q_s$$

où $\sigma_{\mu\nu} = \frac{1}{4}[\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}]$ et $(r, s)$ sont des indices spinoriels.

Le générateur $Q$ n'ayant pas d'indice vectoriel, il commute avec le générateur des translations $P_{\mu}$ :

$$[Q_r, P_{\mu}] = 0$$

Enfin, la relation (I.17) qui reliait générateur de la supersymétrie et hamiltonien se généralise en :

$$\{Q_r, \bar{Q}_s\} = -2\gamma_{rs}P_{\mu} \qquad \bar{Q}_s = (Q^T\gamma^0)_s \qquad (I.20)$$

on retrouve en effet la relation (I.17) pour $\mu = 0$ puisque $P_0$ est égal au hamiltonien. La relation de commutation (I.20) indique que deux transformations successives de la supersymétrie engendrent une translation. La supersymétrie introduite jusqu'à présent est une symétrie globale et si l'on demande que la supersymétrie soit locale, la relation (I.20) montre que la théorie est invariante sous les transformations de coordonnées généralisées ce qui correspond à la relativité générale. La supersymétrie locale est donc aussi une théorie de la gravitation, on parle alors de *supergravité*.
## I.3 L'extension supersymétrique du modèle standard

Dans cette partie je présenterai l'extension supersymétrique du modèle standard. Je décrirai d'abord le contenu en particules de cette extension puis les couplages des partenaires supersymétriques. Les détails de ces couplages dépendent du modèle, je décrirai alors l'extension supersymétrique du modèle standard la plus compacte : le Modèle Standard Supersymétrique Minimal. Cette extension inclut deux brisures de symétrie : la brisure de la supersymétrie et la brisure électrofaible qui ont des conséquences sur le spectre et les couplages des particules du MSSM. Après avoir décrit les modes de ces deux brisures, je reviendrai sur les particules du MSSM afin de préciser le spectre et les couplages des bosons de Higgs et des partenaires supersymétriques qui sont tous deux influencés par les termes de brisure.

### I.3.1 Le contenu en particules

#### Le (plus que) doublement du spectre

Les premiers modèles supersymétriques espéraient simplifier la structure du modèle standard en associant au sein d'un même supermultiplet les bosons de jauge et les fermions. Il est cependant rapidement apparu que ce n'était pas possible pour des raisons essentiellement techniques. En effet, les fermions ne se transforment pas comme les bosons de jauge lors d'une transformation de jauge car les fermions appartiennent à la représentation fondamentale du groupe de jauge alors que les bosons de jauge appartiennent à la représentation adjointe. Pour un groupe de jauge donné contenant $N$ générateurs, la représentation adjointe est constituée de $N$ matrices $(N, N)$ dont les coefficients sont obtenus à partir des constantes de structure du groupe alors que la représentation fondamentale (en fait il peut en exister plusieurs) est constituée de matrices dont la taille est la plus petite possible (mais supérieure à 1 si possible) et qui satisfont les relations de commutation du groupe. Ainsi, pour $SU(3)$ la représentation adjointe est composée de 8 matrices $(8, 8)$ (les 8 gluons sont dans cette représentation) alors qu'une représentation fondamentale est par exemple composée des 8 matrices de Gell-Mann qui sont de dimension trois (les trois couleurs de quarks sont dans cette représentation).

Il n'est donc pas possible d'associer au sein d'un même supermultiplet différentes particules du modèle standard. Ceci implique qu'à chaque degré de liberté fermionique (*resp.* bosonique) du modèle standard doit être associé un *nouveau* degré de liberté bosonique (*resp.* fermionique). Le nombre de degrés de liberté est donc doublé par rapport au modèle standard minimal. En réalité, le spectre est plus que doublé car comme nous le verrons plus bas, l'introduction d'un second doublet de Higgs est indispensable. Chaque supermultiplet contient autant de degrés de liberté associés à une particule d'hélicité $\lambda$ que de degrés de liberté associés à une particule d'hélicité $\lambda + \frac{1}{2}$. Si $\lambda = 0$ on parle de supermultiplet chiral (il contient des bosons scalaires et des fermions de spin $\frac{1}{2}$) et si $\lambda = \frac{1}{2}$ il s'agit d'un supermultiplet vectoriel (il contient des fermions de spin $\frac{1}{2}$ et des bosons de spin 1).

#### Les fermions et leurs partenaires supersymétriques

Les partenaires supersymétriques des fermions du modèle standard sont des bosons scalaires. Il pourrait s'agir a priori de bosons vectoriels mais une théorie renormalisable ne tolère des champs vectoriels que s'il s'agit de champs de jauge. Or, les partenaires supersymétriques des fermions ne sont pas des bosons de jauge et ils doivent donc être de spin nul : les fermions font donc partie d'un supermultiplet chiral. Les supermultiplets qui contiennent les fermions
se présentent donc sous la forme :

$$ \begin{pmatrix} l_{L,R} \\ \tilde{l}_L, \tilde{l}_R \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} q_{L,R} \\ \tilde{q}_L, \tilde{q}_R \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} \nu_L^l \\ \tilde{\nu}_L^l \end{pmatrix} $$

où le tilde au-dessus du symbole d'une particule désigne le partenaire supersymétrique.

Les partenaires supersymétriques des fermions sont appelés *sfermions* (slepton, squark, sneutrino). L'indice *L* ou *R* pour un sfermion n'a pas de signification liée à l'hélicité puisque ce sont des bosons scalaires, il indique simplement que le champ scalaire est le partenaire supersymétrique de l'état d'hélicité gauche ou droit du fermion.

A chaque fermion *f* du modèle standard sont donc associés deux champs scalaires complexes $\tilde{f}_L$ et $\tilde{f}_R$ soit au total quatre degrés de liberté, excepté les neutrinos qui n'ont qu'un seul état d'hélicité et ne se donc associés qu'à un seul champ scalaire complexe.

## Les bosons de jauge et leurs partenaires supersymétriques

Les bosons de jauge du modèle standard font nécessairement partie d'un supermultiplet vectoriel (ils pourraient a priori faire partie d'un multiplet dont les superpartenaires sont de spin $\frac{3}{2}$ mais ceci est interdit si l'on réclame que la théorie soit renormalisable). Dans chaque supermultiplet, le boson de jauge correspond à deux degrés de liberté car les bosons de jauge sont tous de masse nulle (les degrés de liberté apportés par les champs de Higgs se trouvent dans les supermultiplets correspondant). En effet, on ne pourrait inclure dans un même supermultiplet un boson massif de spin 1 et un fermion de spin $\frac{1}{2}$ car les nombres de degrés de liberté fermionique et bosonique ne sont alors plus égaux. Les supermultiplets vectoriels contenant les bosons de jauge se présentent donc sous la forme :

$$ \begin{pmatrix} g_i \\ \tilde{g}_i \end{pmatrix}_{i=1,8} ; \begin{pmatrix} B_0 \\ \tilde{b}_0 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} W^{\pm}, W_0 \\ \tilde{w}^{\pm}, \tilde{w}_0 \end{pmatrix} $$

Les partenaires supersymétriques des champs de jauge sont appelés *jauginos* (gluinos, bino et winos).

## Le secteur de Higgs en supersymétrie

Si les premiers modèles supersymétriques n'ont pas réussi à placer dans un même supermultiplet bosons de jauge et fermions, ils n'ont pas davantage réussi à placer les quatre degrés de liberté scalaires du champs de Higgs dans un supermultiplet comprenant des fermions du modèle standard [6]. En effet, le boson de Higgs neutre doit alors être le partenaire d'un neutrino (sans quoi la conservation de la charge est violée) et ceci induit une violation de la conservation du nombre leptonique trop importante pour qu'un tel modèle soit viable [8]. Le doublet de Higgs du modèle standard fait donc partie d'un nouveau supermultiplet chiral, les partenaires supersymétriques étant alors de nouveaux fermions de spin $\frac{1}{2}$, il s'agit des *higgsinos*.

En fait, dans l'extension supersymétrique du modèle standard, l'introduction d'un second doublet de Higgs (et donc d'un second supermultiplet) est indispensable. Deux arguments justifient l'introduction d'un second doublet de Higgs :

### 1. Les anomalies

Elles sont dues aux graphes du type I.3 qui mettent en jeu un vertex avec un couplage axial et deux vertex avec un couplage vectoriel. Ces graphes ne satisfont pas les identités de Ward et brisent donc la renormalisabilité de la théorie. Dans le modèle standard, les
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>**Figure I.3:** Ce processus présente une anomalie si la somme des charges des fermions pouvant circuler dans la boucle n'est pas nulle.</figcaption></figure>

différentes contributions s'annulent exactement rétablissant ainsi la renormalisabilité de la théorie. Or, dans l'extension supersymétrique du modèle standard nous avons introduit de nouveaux degrés de liberté fermioniques. Parmi eux, les winos et bino ne posent pas de problèmes car ils ne contribuent pas à ce type de graphe (nous verrons plus bas les couplages des particules supersymétriques). Par contre, les higgsinos vont apporter une contribution qui n'est pas compensée.

Pour remédier à ce problème, on peut introduire un second doublet de Higgs d'hypercharge faible $Y=-1$. Ainsi, la contribution des higgsinos de ce second supermultiplet va compenser celle des higgsinos du premier supermultiplet. En effet, pour qu'il n'y ait pas d'anomalies il suffit que la somme des charges des fermions pouvant circuler dans la boucle du graphe I.3 soit nulle (ce qui impose dans le modèle standard que chaque quark ait trois degrés de liberté correspondant aux trois couleurs). Le choix d'un doublet d'hypercharge faible $Y=-1$ permet donc de maintenir cette somme nulle comme c'est le cas dans le modèle standard.

## 2. Limitation par la supersymétrie de la forme des termes de Yukawa

La supersymétrie n'autorise pas tous les termes de Yukawa présents dans le modèle standard. Seul les termes qui sont constitués de produits de champs de même chiralité sont supersymétriques. Un doublet de Higgs dont la valeur moyenne dans le vide est :

$$ \Phi_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ v_1 \end{pmatrix} $$

ne peut donc donner de terme de masse qu'aux membres d'un doublet de $SU(2)_L$ ayant $T_3 = -\frac{1}{2}$. Si ceci est acceptable pour le secteur leptonique, ce n'est pas le cas pour le secteur des quarks car les deux membres du doublet sont massifs. Il est donc indispensable d'introduire un second doublet de Higgs dont la valeur moyenne dans le vide est :

$$ \Phi_2 = \begin{pmatrix} v_2 \\ 0 \end{pmatrix} $$

afin de pouvoir inclure dans le lagrangien des termes de Yukawa pour les quarks $(u, c, t)$.
L'extension supersymétrique du modèle standard comprend donc deux doublets de Higgs :

$$H_1 = \begin{pmatrix} \phi_1^+ \\ \phi_1^0 \end{pmatrix} \quad ; \quad H_2 = \begin{pmatrix} \phi_2^0 \\ \phi_2^- \end{pmatrix}$$

ainsi que leurs partenaires supersymétriques (deux degrés de liberté fermioniques correspondant à un fermion de charge +1 et deux degrés de liberté correspondant à une charge -1). Cette extension supersymétrique du modèle standard est dite minimale si l'on se contente de deux doublets de Higgs. Après avoir décrit la brisure de la symétrie électrofaible en supersymétrie, nous reviendrons sur les aspects phénoménologiques du secteur de Higgs.

## I.3.2 Les interactions

Un lagrangien supersymétrique est constitué d'une partie chirale qui s'exprime uniquement en fonction des supermultiplets chiraux et d'une partie de jauge qui s'écrit en fonction des supermultiplets chiraux et des supermultiplets vectoriels qui contiennent les bosons de jauge et les jauginos. Je décrirai dans cette partie l'essentiel des interactions qui apparaissent dans le lagrangien, une liste complète des règles de Feynman du MSSM peut être trouvée dans la référence [23].

### Les interactions chirales

* Le superpotentiel

La partie chirale du lagrangien s'appuie sur un ensemble de champs ($\phi_i, \psi_i$) où $\psi_i$ décrit un fermion et $\phi_i$ ses partenaires supersymétriques scalaires. L'ensemble de cette partie chirale du lagrangien peut être obtenu à partir d'un superpotentiel $W$ qui s'écrit uniquement en fonction des $\phi_i$. Le superpotentiel $W$ est polynômial dans les $\phi_i$ et pour que la théorie soit renormalisable, il doit être de dimension trois en unité de masse. Le superpotentiel s'exprime donc en toute généralité :

$$W(\phi_i) = \lambda_{ijk} \phi_i \phi_j \phi_k + m_{ij} \phi_i \phi_j \qquad (I.21)$$

où les $\lambda_{ijk}$ sont des couplages trilinéaires et la matrice $[m_{ij}]$ contient l'information sur les masses des champs ainsi que leur mélange. Pour $N$ supermultiplets, il y a $C_3^N$ couplages et $\frac{N(N+1)}{2}$ paramètres de masse puisque les champs $\phi_i$ commutent entre eux. Comme nous allons le voir, le superpotentiel est simplement un outil permettant d'obtenir rapidement les termes du lagrangien.

La partie chirale du lagrangien qui s'exprime à partir de $W$ contient elle-même deux parties : une partie fermionique qui décrit les interactions des fermions avec les bosons scalaires et une partie scalaire qui décrit les interactions des bosons scalaires entre eux.

* Partie fermionique du lagrangien chiral

La forme la plus générale de cette partie du lagrangien qui soit supersymétrique s'obtient en prenant les termes du type :

$$\mathcal{L}_F(\phi_i, \psi_i) = \frac{\partial^2 W}{\partial \phi_i \partial \phi_j} \psi_i \psi_j + \text{h.c.} \qquad (I.22)$$
et permet de retrouver les termes de Yukawa pour les fermions tout en introduisant de nouvelles interactions. Considérons un exemple simple avec les trois champs scalaires $\phi_1 = \tilde{f}_L$, $\phi_2 = \tilde{f}_R$ et $\phi_3 = H_0$ et leurs partenaires supersymétriques $f_L$, $f_R$ et $\tilde{H}^0$ où le dernier fermion est un higgsino et $f$ un des fermion massif du modèle standard. Le superpotentiel de ces trois champs s'écrit :

$$W_f = h_f \tilde{f}_L \tilde{f}_R H_0$$

où l'on a définit $h_f = \lambda_{123}$. Si l'on calcule la partie fermionique du lagrangien chiral obtenue à partir de $W_f$ en appliquant (I.22) on trouve :

$$\mathcal{L}_f = \frac{\partial^2 W}{\partial \tilde{f}_R \partial \tilde{f}_L} f_L f_R + \frac{\partial^2 W}{\partial \tilde{f}_R \partial H_0} f_R \tilde{H}_0 + \frac{\partial^2 W}{\partial \tilde{f}_L \partial H_0} f_L \tilde{H}_0 + \text{h.c.}$$

soit si l'on explicite ce terme :

$$\mathcal{L}_f = h_f H_0 f_L f_R + h_f \tilde{f}_L f_R \tilde{H}_0 + h_f \tilde{f}_R f_L \tilde{H}_0 + \text{h.c.}$$

Le premier terme représente le couplage entre un fermion massif et le boson de Higgs comme dans le modèle standard et les deux autres termes décrivent de nouvelles interactions entre le fermion, le sfermion et le higgsino comme illustré sur la figure I.4. On peut remarquer que pour cette partie du lagrangien on obtient les nouvelles interactions en prenant une interaction du modèle standard et en remplaçant deux des particules par leurs partenaires supersymétriques tout en gardant la même constante de couplage.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure I.4: Les interactions décrites par un terme de Yukawa supersymétrique.</figcaption></figure>

* Partie scalaire du lagrangien chiral

Cette partie du lagrangien supersymétrique est un potentiel qui ne décrit que les interactions entre bosons scalaires. Elle est généralement appelée terme F et s'obtient simplement à partir du superpotentiel :

$$V_{\text{scal}}(\phi_i) = \sum_i \left( \frac{\partial W}{\partial \phi_i} \right)^2$$
Pour le cas des trois champs ($\tilde{f}_L, \tilde{f}_R, H_0$) le terme F s'écrit :

$$V_{\tilde{f}} = |h_f|^2 (\tilde{f}_R H_0)^2 + |h_f|^2 (\tilde{f}_L H_0)^2 + |h_f|^2 (\tilde{f}_L \tilde{f}_R)^2$$

qui décrit des interactions à quatre bosons scalaires illustrées sur la figure I.5.

On voit que si le terme de Yukawa supersymétrique a rajouté au total cinq nouvelles interactions, il n'y a qu'une seule constante de couplage comme pour le terme de Yukawa du modèle standard.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure I.5: Les interactions à quatre bosons scalaires décrites par le terme scalaire du lagrangien chiral.</figcaption></figure>

## Remarque

Le MSSM contient aussi deux bosons de Higgs chargés $H^+$ et $H^-$ comme nous le verrons en I.3.4, il existe donc des graphes équivalents à ceux de I.4 et I.5 mais impliquant $H^+$ et $H^-$.

## Les interactions de jauge

Cette partie du lagrangien prend en compte l'invariance de jauge du modèle. On considère donc une théorie comprenant $N$ supermultiplets vectoriels ($V_i^\mu, \lambda_i$) où $N$ correspond au nombre de générateurs du groupe de jauge, les $V_i^\mu$ décrivant des bosons de jauge de masse nulle et $\lambda_i$ les jauginos. La partie chirale est donnée par les supermultiplets ($\phi_i, \psi_i$) où $\psi_i$ représente un fermion (ou un higgsino) et $\phi_i$ le sfermion correspondant (ou un boson de Higgs). La partie du lagrangien supersymétrique décrivant les interactions de jauge est appelée terme D. Son expression est plus technique que celle du lagrangien chiral car elle nécessite l'introduction du formalisme des superchamps que je n'utiliserai pas. Ce lagrangien se trouve explicité dans la référence [4] et je me bornerai à décrire les couplages correspondant qui sont illustrés sur la figure I.6 :

* (a) et (b) : il s'agit des couplages entre plusieurs bosons lorsque le groupe de jauge n'est pas abélien.

* (c) : couplage des fermions aux bosons, c'est pour obtenir ces interactions que l'invariance de jauge est postulée. Ce graphe décrit aussi l'interaction entre un boson de jauge et deux higgsinos.
* (d) : interaction entre deux bosons de jauge et deux sfermions. C'est une version supersymétrique du graphe du modèle standard qui décrit une interaction à deux bosons de jauge et deux bosons de Higgs.

* (e) : interaction entre un boson de jauge et deux sfermions, c'est la version supersymétrique du graphe (c).

* (f) : interaction entre un boson de jauge et deux jauginos.

* (g) : interaction jaugino-fermion-sfermion.

* (h) : vertex à quatre bosons scalaires

A ces graphes, il faut rajouter les vertex $HV_1^\mu V_2^\mu$, $HHH$ où H désigne un boson de Higgs neutre ou chargé et $V_i^\mu$ les bosons de jauge.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 1.6: *Les interactions entre bosons de jauge, fermions, sfermions et jauginos liées à l'invariance de jauge.*</figcaption></figure>

## Le superpotentiel du MSSM

Après avoir décrit la forme générale du lagrangien supersymétrique, je vais préciser la forme du superpotentiel dans le MSSM (la partie de jauge est contrainte par le choix des groupes de
jauge). Le superpotentiel $W_{MSSM}$ du MSSM n'inclut qu'une partie de tous les termes possibles :

$$ W_{MSSM} = \sum_{\substack{\text{saveurs} \\ +\mu H_1 H_2}} \left( h_u \tilde{Q}_L \tilde{u}_R H_2 + h_d \tilde{Q}_L \tilde{d}_R H_1 + h_e \tilde{l}_L \tilde{e}_R H_1 \right) \quad (I.23) $$

où $\tilde{Q}_L$ (resp. $\tilde{l}_L$) désigne le doublet de squarks (resp. de sleptons) correspondant à la saveur. La première ligne correspond à l'extension minimale des termes de Yukawa du modèle standard ($h_u, h_d$ et $h_e$ sont en toute généralité des matrices (3,3) dans l'espace des saveurs afin d'inclure un mélange entre les générations). Ces termes sont donc des termes de masse pour les fermions et leurs partenaires supersymétriques. Le seul terme supplémentaire par rapport à un choix minimal est le terme $\mu H_1 H_2$ qui fournit une masse aux higgsinos. Ce terme est indispensable pour éviter la présence d'une invariance supplémentaire (symétrie de Peccei-Quinn). En effet, si celle-ci est réalisée, lorsque le champ de Higgs acquiert une valeur moyenne dans le vide non nulle, la théorie contient un axion de Weinberg-Wilczek de masse $m_{axion} \approx 0.1$ MeV interagissant semi-faiblement avec la matière et qui est donc expérimentalement exclu. Il faut remarquer que ce choix de superpotentiel rejette tout terme qui viole la conservation du nombre leptonique $L$ ou du nombre baryonique $B$. La forme générale du superpotentiel donnée par l'expression (I.21) autorise en effet des termes du type :

$$ \tilde{u}_R \tilde{d}_R \tilde{d}_R ; \quad \tilde{Q}_L \tilde{l}_L \tilde{d}_R ; \quad m \tilde{l}_L H_2 ; \quad \tilde{l}_L \tilde{l}_L \tilde{e}_R \quad (I.24) $$

mais aucun de ces termes ne conserve séparément $B$ et $L$. Ce choix du MSSM évite d'introduire des termes d'interaction dont il faudrait régler finement les couplages pour qu'ils ne soient pas en contradiction flagrante avec les observations comme celle de la durée de vie du proton. De plus, le seul terme bilinéaire qui soit à la fois invariant sous $SU(3)_C \times SU(2)_L \times U(1)_Y$ et respecte la conservation de $B$ et $L$ est $\mu H_1 H_2$ ce qui explique que l'expression (I.23) du superpotentiel ne contienne pas d'autre terme bilinéaire.

### Une conséquence du choix de $W_{MSSM}$ : la conservation de la R-parité

Lorsque l'on désire imposer une forme restrictive au lagrangien, la solution la moins arbitraire consiste à le faire par l'intermédiaire d'une symétrie. Pour un modèle supersymétrique, il est possible d'imposer à la fois la conservation de $B$ et $L$ à l'aide d'un nombre $R_p$ conservé multiplicativement et défini par :

$$ R_p = (-1)^{(3B+L+2S)} $$

Les antiparticules ont la même R-parité que les particules puisque le changement de $B$ ou $L$ en leur opposé laisse $R_p$ inchangée.

Le tableau I.1 donne les R-parités des différentes particules du MSSM. Ce tableau montre que les particules du modèle standard (squarks, leptons, bosons de jauge ou de Higgs) ont une R-parité égale à +1 et leurs partenaires supersymétriques (squarks, sleptons, jauginos et higgsinos) ont une R-parité égale à -1.

Quand la R-parité est conservée, une interaction n'est possible que si le produit des R-parités des particules impliquées est égal à +1 (ce ne peut être -1 sinon les interactions du modèle standard ne seraient pas autorisées). Ceci montre que les termes du type (I.24) sont effectivement interdits si la R-parité est conservée. De plus, on tire les deux aspects phénoménologiques essentiels du MSSM :

* Les partenaires supersymétriques sont produits par paires
<table><caption>Tableau I.1: Valeurs des R-parités des différentes particules du MSSM</caption><thead><tr><th>Particule</th><th>B</th><th>L</th><th>S</th><th>R<sub>p</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>quark</td><td>1/3</td><td>0</td><td>1/2</td><td>+1</td></tr><tr><td>squark</td><td>1/3</td><td>0</td><td>1/2</td><td>-1</td></tr><tr><td>lepton</td><td>0</td><td>1</td><td>1/2</td><td>+1</td></tr><tr><td>slepton</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>-1</td></tr><tr><td>boson de jauge</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>+1</td></tr><tr><td>jaugino</td><td>0</td><td>0</td><td>1/2</td><td>-1</td></tr><tr><td>boson de Higgs</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>+1</td></tr><tr><td>higgsino</td><td>0</td><td>0</td><td>1/2</td><td>-1</td></tr></tbody></table>

* La particule supersymétrique la plus légère est stable

Bien qu'il soit possible d'inclure des termes violant la R-parité, le MSSM fait l'hypothèse que ceux-ci sont absents. Si la R-parité est violée, bien que la plus grande partie du lagrangien soit inchangée, la phénoménologie est complètement modifiée. Nous nous placerons pour toute la suite dans le cadre classique du MSSM et nous supposerons donc la R-parité conservée.

### I.3.3 La brisure de la supersymétrie

#### La brisure de la supersymétrie et les masses des partenaires supersymétriques

Le système simple de l'oscillateur harmonique nous a montré qu'une théorie supersymétrique impose aux partenaires d'un supermultiplet d'avoir des masses identiques. Cependant, les partenaires supersymétriques du modèle standard n'ont pas été observés et la supersymétrie n'est donc pas une symétrie exacte aux échelles d'énergie auxquelles nous faisons nos expériences. La supersymétrie doit donc être brisée quitte à être rétablie aux très hautes énergies tout comme la symétrie $SU(2)_L \times U(1)_Y$ est rétablie à des échelles d'énergie très supérieures à $v$ car on peut alors prendre $v = 0$. Dans toute extension supersymétrique du modèle standard, il faut donc inclure la brisure de cette symétrie et chaque mode de brisure constitue un modèle spécifique prédisant un certain spectre de masse. Le contenu minimal en champs de la partie purement supersymétrique ainsi que les couplages sont par contre spécifiés indépendamment du modèle. L'observation des partenaires supersymétriques dira si la supersymétrie est réalisée mais c'est la détermination précise de leur spectre qui discriminera entre les modèles.

Si les masses des partenaires supersymétriques sont relativement libres, elles ne peuvent cependant pas être trop grandes au risque de réintroduire le problème de la hiérarchie. En effet, la supersymétrie résoud le problème de la hiérarchie car dans les boucles des graphes de la figure I.2, pour chaque degré de liberté $d_{ms}$ du modèle standard il y a un degré de liberté partenaire supersymétrique $d_{susy}$ qui contribue avec un signe opposé. La contribution de $d_{susy}$ ne compense exactement celle de $d_{ms}$ que si les masses des partenaires sont égales. Si les masses des deux partenaires $M_{susy}$ et $M_{ms}$ ne sont pas égales, il y a une contribution à l'évolution de $m_H^2$ avec l'échelle d'énergie qui est proportionnelle à $(M_{susy}^2 - M_{ms}^2)$ comme l'indique un simple argument dimensionnel avec un coefficient de proportionnalité de l'ordre de la constante de couplage $\alpha$ entre les deux champs et le boson de Higgs (à un facteur $\frac{1}{\pi}$ près). L'évolution de la masse du boson de Higgs (ou plutôt des bosons de Higgs) est alors de la forme :

$$m_H^2(\Lambda_1) = m_H^2(\Lambda_2) + \frac{\alpha}{\pi}(M_{susy}^2 - M_{ms}^2) \quad (I.25)$$
où les termes d'évolution logarithmiques n'ont pas été écrits.

Si l'on utilise l'équation d'évolution (I.25) entre $v$ et $10^{15}$ GeV, pour que le problème de la hiérarchie ne se pose pas, c'est-à-dire que $m_H$ soit naturellement de l'ordre de 1 TeV, il faut que les deux termes de droite soient du même ordre de grandeur et donc de l'ordre de grandeur du membre de gauche soit $(1 \text{ TeV})^2$. On a donc :

$$ | M_{susy}^2 - M_{ms}^2 | < (1 \text{ TeV})^2 $$

Cette prédiction très forte est aussi à l'origine du succès de la supersymétrie. En effet, la supersymétrie ne prédit pas précisément le spectre de masse mais si l'on est capable de rechercher les particules supersymétriques jusqu'à des masses de l'ordre de 1 TeV, on pourra affirmer si c'est bien la supersymétrie qui résoud le problème de la hiérarchie.

## Les modes de brisure de la supersymétrie

Il existe deux modes de brisure de la supersymétrie :

### 1. Brisure explicite

Ce mode de brisure consiste en fait à ne pas faire d'hypothèse précise sur le mode de brisure et à introduire à la main dans le lagrangien des termes qui ne sont pas supersymétriques. Cependant, ces termes ne doivent pas faire réapparaître le problème de la hiérarchie et ne doivent donc pas conduire à des divergences quadratiques, on dit alors que ces termes brisent la supersymétrie de façon douce. Bien que peu satisfaisant formellement, ce mode de brisure permet de construire des modèles phénoménologiquement viables.

Les termes de brisure douce ont été recensés [11] et comprennent des termes de masse pour les scalaires, des termes de masse pour les fermions des multiplets vectoriels (c'est-à-dire les jauginos) mais pas pour les fermions chiraux, des couplages trilinéaires proportionnels aux termes de Yukawa du superpotentiel ainsi que des couplages bilinéaires (mais pas quartiques) entre scalaires. Le lagrangien de brisure peut alors s'écrire :

$$ \mathcal{L}_{\text{Brisure de SUSY}} = \sum_{i,j} m_{ij}^2 \phi_i^* \phi_j + \sum_{\alpha=1,2,3} M_\alpha \bar{\psi}_\alpha \psi_\alpha \qquad (\text{I.26}) \\ + \sum_{\text{saveurs}} \left( A_u h_u \tilde{Q}_L \tilde{u}_R H_2 + A_d h_d \tilde{Q}_L \tilde{d}_R + A_e h_e \tilde{L}_L \tilde{e}_R \right) $$

C'est dans cette partie du lagrangien que le nombre de nouveaux paramètres est le plus important (de l'ordre de la centaine). La phénoménologie de la supersymétrie est alors inextricable si l'on ne fait pas quelques hypothèses simplificatrices. Nous verrons plus bas que ces hypothèses sont en fait des hypothèses d'unification à haute énergie.

### 2. Brisure spontanée

Ce mode de brisure consiste à copier le mode de brisure de $SU(2)_L \times U(1)_Y$ dans le modèle standard en brisant la supersymétrie spontanément. Nous avons vu que le vide de la supersymétrie est d'énergie nulle et pour briser spontanément la supersymétrie il suffit donc que l'énergie du vide soit non nulle. Tout comme pour la brisure de $SU(2)_L \times U(1)_Y$, il faut alors s'attendre à la présence d'une particule de Goldstone. Lorsque c'est un groupe de Lie qui est brisé, il s'agit d'un boson de Goldstone, dans le cas de la supersymétrie les générateurs n'obéissent pas à des relations de commutation mais à des relations d'anticommutation et la particule de Goldstone est alors un fermion appelé goldstino. Ce goldstino fait partie d'un multiplet chiral ou vectoriel selon que la brisure a lieu dans la partie
chirale (on parle alors de brisure de type F) ou dans la partie vectorielle (on parle alors de brisure de type D). Bien qu'esthétiquement plus satisfaisante que la brisure explicite, la brisure spontanée a plus de difficultés à produire des modèles phénoménologiquement viables.

De plus, la brisure spontanée correspond à une énergie du vide non nulle et cette densité d'énergie du vide s'interprète en cosmologie comme une constante cosmologique. Un modèle complètement supersymétrique (densité d'énergie du vide nulle) est en accord avec les observations (la constante cosmologique $\Lambda$ est limitée par $\sqrt{\Lambda} = 10^{-42}$ GeV). Cependant, la supersymétrie est brisée et l'échelle de brisure est au moins de 100 GeV (compte-tenu des résultats du LEP nous savons qu'il faut aller à des énergies supérieures pour observer les partenaires supersymétriques). L'échelle naturelle de la densité d'énergie du vide est l'échelle de brisure elle-même et la constante cosmologique correspondante est $10^{50}$ fois plus grande que la limite observationnelle. Ce désaccord colossal est la faiblesse la plus importante du MSSM (et en fait de toutes les théories en physique des particules).

## Brisure de SUSY induite par la gravitation

### 1. Le lagrangien de brisure et le rôle du secteur caché

Nous venons de voir que sur les deux modes de brisure, le premier permettait de construire facilement des modèles viables mais n'était pas très satisfaisant esthétiquement alors que le second l'était davantage mais qu'il n'est alors pas aisé d'en déduire la phénoménologie à basse énergie. Dans le cadre même du MSSM, il existe de nombreux choix possibles mais la plupart des modèles se basent sur une brisure qui est un amalgame de ces deux modes.

L'ensemble des termes de brisure possible est réduit à un choix minimal incluant des termes de masse pour les scalaires et les jauginos et un terme quadratique pour les champs de Higgs proportionnel au terme qui apparaît dans le superpotentiel :

$$ \mathcal{L}_{\text{Bris. MSSM}} = \sum_{\text{saveurs}} (A_u h_u \tilde{Q}_L \tilde{u}_R H_2 + A_d h_d \tilde{Q}_L \tilde{d}_R + A_e h_e \tilde{l}_L \tilde{e}_R) \quad (\text{I.27}) $$

$$ + B \mu H_1 H_2 \quad (\text{I.28}) $$

$$ + \sum_{\alpha=1,2,3} M_{\alpha} \bar{\psi}_{\alpha} \psi_{\alpha} + \sum_{i} m_{i}^{2} |\phi|^{2} \quad (\text{I.29}) $$

La raison pour laquelle les deux premières lignes de ce lagrangien de brisure sont simplement proportionnelles à des termes du superpotentiel (les termes de Yukawa pour la première ligne et le terme bilinéaire dans les champs de Higgs pour la seconde) trouve son origine dans la possibilité que la supersymétrie soit brisée dans le secteur de la gravité. Ce mode de brisure suppose qu'il existe des champs qui n'interagissent avec ceux du MSSM que par l'intermédiaire de la gravitation (ce sont des singlets sous les différentes transformation de jauge du modèle standard). Ces champs interagissent très faiblement avec le secteur $SU(3) \times SU(2)_L \times U(1)_Y$ dès que l'échelle d'énergie est de quelques ordres de grandeurs inférieure à $M_{\text{Planck}}$ (ils font alors partie du secteur caché). L'état fondamental du secteur caché n'est pas supersymétrique et le fermion de Goldstone, appelé gravitino, a un spin $\frac{3}{2}$ car c'est le partenaire supersymétrique du graviton qui est de spin 2 (les champs de jauge de la gravitation sont tensoriels et décrivent donc des particules de spin 2). La supersymétrie est brisée si le graviton n'a pas la même masse que le gravitino puisqu'ils sont partenaires supersymétriques. Cette brisure est induite sur le secteur visible puisqu'il
y a interaction gravitationnelle avec des termes de masse pour les scalaires et les jauginos (termes I.29) et des termes d'interaction simplement proportionnels à ceux du superpotentiel (termes I.27 et I.28) d'où la forme du lagrangien de brisure. On peut remarquer que les termes ainsi introduits sont proches des termes (I.26) introduits lorsqu'un mode de brisure explicite est choisi.

## 2. Les conséquences unificatrices (et simplificatrices)

Comme les interactions gravitationnelles ne voient pas la différence entre les saveurs, il faut s'attendre à ce que les particules aient des masses identiques à une échelle d'énergie entre l'échelle d'unification et l'échelle de Planck. Par contre, les scalaires et les jauginos n'ont pas de raison en général d'avoir la même masse et on s'attend donc à ce que les scalaires d'une part et les jauginos d'autre part aient des masses identiques à l'échelle d'unification $\Lambda_U$ :

$$m_i(\Lambda_U) = m_0 \ ; \ M_1(\Lambda_U) = M_2(\Lambda_U) = M_3(\Lambda_U) = m_{1/2}$$

où $m_0$ est la masse commune des scalaires à l'échelle d'unification et $m_{1/2}$ celle des fermions (certains modèles réduisent encore les paramètres de masse en supposant $m_0 = m_{1/2} = m_{3/2}$ la masse du gravitino) et $M_1, M_2, M_3$ sont les masses des jauginos de $U(1)_Y, SU(2)_L$ et $SU(3)_C$ respectivement. Les termes apparaissant dans le lagrangien de brisure qui sont proportionnels à ceux du superpotentiel auront un facteur de proportionnalité qui sera le même pour les différentes familles puisque la brisure de la supersymétrie est aveugle à la distinction entre les familles. On a alors unification des couplages trilinéaires :

$$A_i(\Lambda_U) = A$$

Il faut remarquer que les bosons de jauge et les fermions restent pour l'instant de masse nulle, ils n'acquièrent une masse qu'après la brisure de $SU(2)_L \times U(1)_Y$.

On voit que l'intérêt du modèle est que tout en utilisant la brisure spontanée de SUSY, les termes de brisure restent relativement libres et permettent de construire des modèles viables (les détails du secteur caché ne jouent pas de rôle dans la forme générale des termes de brisure).

## 3. Les conséquences à l'échelle électrofaible

A basse énergie, les particules auront des masses différentes car elles évolueront différem- ment avec l'échelle d'énergie selon leurs couplages et il est ainsi possible de reproduire un spectre riche à basse énergie avec seulement quelques paramètres définis à haute énergie. La partie qui reproduit le spectre à basse énergie est assez dépendante du modèle et c'est l'expérience qui permettra de confirmer ou infirmer les modèles.

L'évolution de $M_1, M_2$ et $M_3$ étant régie par les couplages des jauginos (qui sont aussi ceux des bosons de jauge) l'évolution des $M_i$ avec l'échelle d'énergie sera de la même forme que l'évolution du couplage $\alpha_i$ du groupe de jauge correspondant :

$$\frac{M_i(\Lambda)}{\alpha_i(\Lambda)} = \frac{m_{1/2}}{\alpha_i(\Lambda_U)}$$

Ce qui donne, si l'on applique cette relation à l'échelle électrofaible [15] :

$$M_3 = \frac{\alpha_s}{\alpha} \sin^2\theta_W \quad M_2 = \frac{3\alpha_s}{5\alpha} \cos^2\theta_W \quad M_1$$
où $\alpha_s$ est la constante de couplage fort, $\alpha$ la constante de structure fine et $\theta_W$ l'angle de Weinberg avec $SU(5)$ comme groupe d'unification.
Numériquement, on a la relation approchée :

$$M_3 \approx 4 M_2 \approx 8 M_1$$

Pour la suite nous utiliserons le paramètre :

$$M \equiv M_2$$

qui sera un paramètre fondamental du secteur jaugino.

Si les paramètres de masse des jauginos sont déterminés de façon relativement univoque dès que l'on se place dans le cadre du MSSM avec brisure de supersymétrie dans le secteur gravitationnel, il n'en est pas de même pour les masses des scalaires qui sont très variables selon les modèles. Il est cependant possible d'avoir des prédictions pour l'ensemble du spectre à partir d'un lot réduit de paramètres et d'hypothèses raisonnables. Nous reviendrons sur ce point après avoir introduits les autres paramètres qui entrent dans la détermination du spectre des scalaires.

## Conclusion

Le MSSM avec brisure de SUSY dans le secteur caché de la gravitation permet tout à la fois de prendre en compte des termes de brisure explicites dans le lagrangien tout en leur donnant une origine dans la brisure spontanée de la supersymétrie. Le nombre de paramètres est considérablement réduit par rapport à un lagrangien de brisure général puisque notre ignorance du contenu du secteur caché est paramétrisée par les masses :

$$m_{1/2}, m_0, B, A \text{ et } \mu$$

### I.3.4 La brisure de la symétrie électrofaible dans le MSSM

Dans cette section, je décrirai le mode de brisure de $SU(2)_L \times U(1)_Y$ puis les conséquences sur le secteur de Higgs : masses et couplages des bosons de Higgs dans le MSSM.

#### Brisure radiative de $SU(2)_L \times U(1)_Y$

Après brisure de la supersymétrie, les scalaires ainsi que les jauginos et les higgsinos sont massifs mais les fermions du modèle standard ainsi que les bosons de jauge restent sans masse, il est donc indispensable de briser la symétrie $SU(2)_L \times U(1)_Y$. Le potentiel de brisure est en fait déjà inclus dans le lagrangien du MSSM. En effet, si l'on extrait du lagrangien supersymétrique les termes impliquant les composantes neutres des doublets de Higgs $\phi_1^0$ et $\phi_2^0$ on trouve :

$$ \begin{aligned} V(\phi_1^0, \phi_2^0) = & m_1^2 |\phi_1^0|^2 + m_2^2 |\phi_2^0|^2 + B\mu(\phi_1^0\phi_2^0 + \text{h.c.}) \\ & + \frac{g_1^2 + g_2^2}{8} (|\phi_1^0|^2 - |\phi_2^0|^2)^2 \end{aligned} \quad (I.30) $$

où $g_1$ est la constante de couplage de $U(1)_Y$ et $g_2$ celle de $SU(2)_L$. Les deux premiers termes sont du type (I.29) le suivant est le terme (I.28) et le dernier se trouve dans la partie de jauge du lagrangien que nous n'avons pas explicitée. On peut remarquer que le terme quartique dans
les champs est donné par les constantes de couplages $g_1$ et $g_2$ alors que c'est un paramètre libre dans le modèle standard. On peut donc s'attendre à ce que le MSSM puisse faire des prédicitions sur les masses des bosons de Higgs, ce qui n'est pas le cas du modèle standard. Les masses physiques sont obtenues en diagonalisant la matrice des couplages quartiques de (I.30) :

$$m_{H_1}^2 = m_1^2 + \mu^2 \ ; \ m_{H_2}^2 = m_2^2 + \mu^2$$

et ce sont ces masses qui sont égales à l'échelle d'unification :

$$m_{H_1}^2 (\Lambda_U) = m_{H_2}^2 (\Lambda_U) = m_0^2$$

Comme le champ $H_1$ se couple aux quarks de type $(d, s, b)$ et $H_2$ aux quarks $(u, c, t)$ les masses vont évoluer différemment lorsqu'on les évalue à l'échelle électrofaible. Le point important est que les couplages de Yukawa contribuent positivement à l'évolution de $m_1^2$ et $m_2^2$ lorsque l'échelle d'énergie augmente et cette évolution est régie par $m_Q^2$ où $m_Q$ est la masse du quark qui se couple au champ de Higgs. Donc, lorsque l'on descend depuis l'échelle d'unification jusqu'à l'échelle électrofaible, $m_1^2$ et $m_2^2$ vont diminuer et comme $H_2$ se couple au quark top qui est beaucoup plus lourd que les autres quarks, $m_2^2$ va diminuer beaucoup plus rapidement et le résultat remarquable est que $m_2^2(v)$ devient négatif et le potentiel (I.30) admet alors un minimum pour des champs de Higgs qui ont tous les deux des valeurs moyenne dans le vide qui sont non nulles brisant ainsi la symétrie $SU(2)_L \times U(1)_Y$. Contrairement au modèle standard qui force le paramètre $\mu^2$ du potentiel de Higgs à être négatif, la brisure électrofaible est déclenchée naturellement dans le cadre du MSSM et on parle alors de brisure radiative.

## Le spectre des bosons de Higgs

Lorsque la symétrie $SU(2)_L \times U(1)_Y$ est brisée, on peut développer les champs de Higgs autour de leur minimum :

$$H_1 = \left( \begin{matrix} \phi_1^+ \\ v_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1^a + i\phi_1^b) \end{matrix} \right) \quad H_2 = \left( \begin{matrix} v_2 + \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_2^a + i\phi_2^b) \\ \phi_2^- \end{matrix} \right) \qquad (I.31)$$

Trois des degrés de liberté bosoniques fournissent une composante longitudinale aux bosons $W^\pm$ et $Z^0$ leur permettant d'acquérir une masse tout comme dans le mécanisme de Higgs du modèle standard. Ces trois champs s'expriment simplement à partir du développement (I.31) des champs de Higgs :

$$G^+ = \sin\beta \phi_1^+ - \cos\beta (\phi_2^-)^*$$

$$G^- = (G^+)^*$$

$$G^0 = \sin\beta \phi_2^b - \cos\beta \phi_1^b$$

où le paramètre $\beta$ qui est un paramètre fondamental de toute extension supersymétrique du modèle standard (et plus généralement de tout modèle à deux doublets de Higgs) est définit par :

$$\tan \beta = \frac{v_1}{v_2}$$

car nous avons choisi de numéroter les doublets de Higgs en sorte que le doublet $H_1$ soit celui du modèle standard, la convention contraire est parfois utilisée. Chacun de ces bosons de Goldstone correspond à un degré de liberté et les cinq degrés de liberté qui restent décrivent :
* **Secteur chargé**

Deux bosons de Higgs chargés $H^+$ et $H^-$ obtenus en prenant les combinaisons orthogonales aux champs $G^+$ et $G^-$:

$$H^+ = \cos\beta \phi_1^+ + \sin\beta (\phi_2^-)^* \\ H^- = (H^+)^*$$

* **Secteur neutre**

Un boson $A^0$ qui est la combinaison orthogonale à $G^0$:

$$A^0 = \sin\beta \phi_1^b + \cos\beta \phi_2^b$$

Ce boson est un boson de CP négatif (ou pseudoscalaire) car $A^0$ est une combinaison des parties imaginaires des champs $\phi_1^0$ et $\phi_2^0$. Dans le lagrangien, le terme $A^0 f \bar{f}$ est alors proportionnel à $\gamma^5$ ce qui indique que le couplage du boson $A^0$ aux fermions n'est pas scalaire. C'est donc du point de vue de ses couplages aux fermions que le boson $A^0$ est un pseudoscalaire.

D'autre part, il reste deux degrés de liberté décrivant deux bosons scalaires neutres orthogonaux :

$$h^0 = \cos\alpha \phi_1^a - \sin\alpha \phi_2^a \\ H^0 = \sin\alpha \phi_1^a + \cos\alpha \phi_2^a$$

Les masses des différents bosons sont complètement déterminées par un paramètre de masse et $\tan\beta$. Ainsi, si l'on prend comme paramètre de masse $m_{A^0}$ on obtient :

$$m_{H^\pm}^2 = m_W^2 + m_{A^0}^2 \qquad (I.32) \\ m_{H^0, h^0}^2 = \frac{1}{2} [m_{A^0}^2 + m_Z^2 \pm \sqrt{(m_{A^0}^2 + m_Z^2)^2 - 4m_{A^0}^2 m_Z^2 \cos^2\beta}]$$

Le $h^0$ est par convention le boson de Higgs scalaire le plus léger. Des relations (I.32) on tire les inégalités :

$$m_{W}, m_{A^{0}} < m_{H^{\pm}} \\ m_{h^{0}} < m_{Z} | \cos 2\beta | < m_{Z} < m_{H^{0}} \qquad (I.33) \\ m_{h^{0}} < m_{A^{0}} < m_{H_{0}}$$

Le point important est que le MSSM prévoit la présence d'un boson de Higgs léger puisqu'on a $m_{h^0} < m_Z$. Cependant, les relations (I.33) ne sont vraies qu'à l'ordre des arbres et ne prennent pas en compte les corrections à apporter aux pôles qui sont essentiellement dûes au quark top ainsi qu'à ses partenaires supersymétriques $\tilde{t}_R$ et $\tilde{t}_L$. La prise en compte de ces corrections maintient malgré tout une limite supérieure assez stricte sur $m_{h^0}$ [9] et une limite expérimentale de l'ordre de 130 GeV sur $m_{h^0}$ exclurait pratiquement le MSSM.

## Les couplages des bosons de Higgs

Les couplages du boson $A^0$ sont déterminés par $\tan\beta$ et ceux des bosons $h^0$ et $H^0$ s'expriment simplement si l'on définit l'angle $\alpha$ tel que :

$$\cos\alpha = -\cos 2\beta \frac{m_{A^0}^2 - m_Z^2}{m_{H^0}^2 - m_{h^0}^2} ; \quad -\frac{\pi}{2} < \alpha \le 0$$
<table><thead><tr><th></th><th>dd, s&#773;s, bb, l<sup>+</sup>l<sup>-</sup></th><th>u&#773;u, c&#773;c, t&#773;t</th><th>W<sup>+</sup>W<sup>-</sup>, ZZ</th></tr></thead><tbody><tr><th>h<sup>0</sup></th><td>-sin&alpha;/cos&beta;</td><td>cos&alpha;/sin&beta;</td><td>sin(&beta; - &alpha;)</td></tr><tr><th>H<sup>0</sup></th><td>cos&alpha;/cos&beta;</td><td>sin&alpha;/sin&beta;</td><td>cos(&beta; - &alpha;)</td></tr><tr><th>A<sup>0</sup></th><td>-i &gamma;<sub>5</sub> tan&beta;</td><td>-i &gamma;<sub>5</sub> cotan&beta;</td><td>0</td></tr></tbody></table>

**Tableau I.2: Facteurs correctifs des couplages des bosons de Higgs du MSSM par rapport aux couplages du boson de Higgs du modèle standard.**

qui est l'angle permettant de diagonaliser la matrice de mélange des bosons $h^0$ et $H^0$. Les couplages aux fermions et bosons sont alors les couplages classiques (proportionnels aux masses) avec des facteurs qui ne dépendent que de $\alpha$ et $\beta$. Le tableau I.2 donne ces facteurs pour les différents couplages possibles d'un boson de Higgs avec une paire de fermions ou une paire de bosons de jauge.

**Une conséquence de la brisure radiative de $SU(2) \times U(1)_Y$: la réduction du nombre de paramètres**

Puisque les deux doublets de Higgs apparaissent dans le potentiel lorsque la symétrie $SU(2)_L \times U(1)_Y$ est brisée, chaque doublet contribue à la masse du boson Z :

$$M_Z^2 = \frac{g_1^2 + g_2^2}{2} (v_1^2 + v_2^2)$$

Si $M_Z$ et $\tan\beta$ sont fixés, $v_1$ et $v_2$ le sont donc aussi. Les relations définissant $(v_1, v_2)$ comme le minimum du potentiel :

$$\frac{\partial V(\phi_1^0, \phi_2^0)}{\partial \phi_1}(v_1, v_2) = 0 \quad ; \quad \frac{\partial V(\phi_1^0, \phi_2^0)}{\partial \phi_2}(v_1, v_2) = 0$$

se traduisent en deux relations reliant les paramètres :

$$\mu^2 = \frac{m_{H_2}^2 \sin^2\beta - m_{H_1}^2 \cos^2\beta}{\cos^2\beta} - \frac{1}{2} M_Z^2 \qquad (I.34)$$

$$2B\mu = \tan\beta(m_{H_1}^2 - m_{H_2}^2) + M_Z^2 \sin 2\beta \qquad (I.35)$$

Ces relations permettent de déterminer deux paramètres parmi $(A, B, \mu)$ en fonction du troisième. Nous utiliserons par la suite le paramètre $\mu$. Les relations (I.35) ne fixent cependant pas le signe de $\mu$, ce paramètre sera donc un paramètre de masse positif ou négatif. Le lot de paramètres $(m_{1/2}, m_0, \mu, \tan\beta)$ est le lot minimal de paramètres décrivant la supersymétrie à basse énergie (certains modèles spécifiques font des hypothèses supplémentaires comme $m_0 = 0$ ou $m_0 = m_{1/2}$). Cependant, les relations (I.35) supposent que l'on est capable d'évaluer $m_{H_2}^2$ et $m_{H_1}^2$ en prenant correctement en compte l'ensemble des interactions ce qui n'est réalisable qu'avec un minimum d'hypothèses concernant les spectres. Un modèle plus général inclura donc un ou deux paramètres en plus (généralement A qui permet le calcul du spectre de la troisième génération et $m_{A0}$ ou B qui permettent la détermination du spectre des bosons de Higgs).
### I.3.5 Les masses des partenaires supersymétriques

Nous avons vu que le contenu minimal en particules du MSSM ne dépend pas des détails du modèle mais que les masses des particules supersymétriques sont au plus $\approx 1$ TeV. Une prédiction des masses ne peut donc se faire que dans le cadre d'un modèle spécifique. Actuellement, la plupart des études s'appuient sur un MSSM avec brisure de la supersymétrie dans le secteur caché de la gravitation. L'intérêt de ce modèle est qu'il est relativement compact puisqu'il contient essentiellement 5 paramètres de masse :

$$m_{1/2}, m_0, B, A, \text{et } \mu$$

qui paramétrisent notre ignorance du secteur caché et auxquels il faut rajouter $\tan\beta$. Ce modèle étant très utilisé, il est souvent appelé MSSM sans autre précision. Je décrirai donc dans cette section les prédicitions sur les masses des partenaires supersymétriques dans le cadre de ce modèle.

#### Les masses des sfermions

Si l'on néglige la contribution des termes de Yukawa dans le potentiel (ce qui est raisonnable si l'on excepte les squarks top) la matrice de mélange entre les $\tilde{f}_R$ et les $\tilde{f}_L$ est diagonale et les états propres de masse sont donc les états propres d'interaction. L'évolution de leur masse est fonction de leurs couplages aux jauginos et aux bosons de jauge et la valeur de la masse du sfermion à l'échelle électrofaible est donnée par :

$$m_{\tilde{f}}^2 = m_0^2 + \sum_{\alpha=1,2,3} f_i m_{1/2}^2 + (T_{3,\tilde{f}} - e_{\tilde{f}} \sin^2\theta_W) M_Z^2 \cos2\beta \quad (I.36)$$

Le second terme de (I.36) est dû aux couplages du sfermion avec les jauginos (l'indice $\alpha$ désigne les trois groupes de jauge) et le dernier terme au couplage avec les bosons de jauge. La forme de l'évolution des $m_{\tilde{f}}$ ne dépend pas du modèle choisi, par contre les valeurs des masses sont dépendantes du modèle (par exemple le choix du groupe d'unification). Cependant, l'ordre de grandeur de $(\sum_{\alpha=1,2,3} f_i)$ est 6-7 pour les squarks et 0.15-0.4 pour les sleptons. Ceci indique d'une part que les squarks sont plus lourds que les sleptons et d'autre part que $m_0$ et $m_{1/2}$ sont de l'ordre de 1 TeV pour que $m_{\tilde{f}}$ soit de l'ordre de 1 TeV.

Pour les squarks top, le terme de Yukawa et celui en $\mu H_1 H_2$ du superpotentiel (I.23) introduisent des termes non diagonaux dans la matrice de mélange ($\tilde{t}_R, \tilde{t}_L$). Le terme de Yukawa introduit un élément de mélange en $m_t A$ et le terme en $\mu H_1 H_2$ un terme en $m_t \mu \cotan\beta$. La matrice de mélange se présente alors sous la forme :

$$\begin{pmatrix} m_{\tilde{t}_L}^2 & m_t (A + \mu \cotan\beta) \\ m_t (A + \mu \cotan\beta) & m_{\tilde{t}_R}^2 \end{pmatrix}$$

Les éléments non diagonaux étant du même ordre de grandeur que les éléments diagonaux, le $\tilde{t}$ le plus léger peut être plus léger que le top lui même, ce qui n'est pas le cas des autres familles pour lesquelles le mélange entre les deux sfermions est faible. La référence [14] donne une expression des masses des sfermions dans un cadre relativement général pour l'ensemble des sleptons et squarks en incluant $\tilde{t}_R, \tilde{t}_L$ ainsi que $\tilde{b}_L$ pour lequel le terme de Yukawa peut avoir un effet non négligeable.
Les masses des jauginos et higgsinos

Dans un cadre de supergravité, les masses $M_i$ des jauginos des trois groupes de jauge sont simplement données par l'évolution des couplages des groupes de jauge correspondant :

$$M_i(M_Z) = \frac{\alpha_i(M_Z)}{\alpha_{GUT}} m_{1/2}$$

où $\alpha_{GUT}$ est la valeur commune des constantes de couplages à l'échelle d'unification $M_{GUT}$ ($i = 1, 2, 3$ désignent respectivement $U(1)_Y$, $SU(2)_L$ et $SU(3)_C$). On peut s'affranchir de $\alpha_{GUT}$ en écrivant des relations entre les $M_i(M_Z)$ qui ne mettent en jeu que les $\alpha_i(M_Z)$:

$$M_3(M_Z) = \frac{\alpha_3(M_Z)}{\alpha_2(M_Z)} M_2(M_Z) = \frac{\alpha_3(M_Z)}{\alpha_1(M_Z)} M_1(M_Z) \qquad (I.37)$$

1. Unification des constantes de couplage dans le MSSM

La valeur de $\alpha_{GUT}$ est sensiblement différente de la valeur du modèle standard. Les mesures précises des couplages au LEP ont en effet montré que les constantes de couplages ne se rencontrent pas en un point, ce qui semblerait discréditer la thèse de l'unification. Cependant, si l'on se donne un spectre correspondant à celui du MSSM avec la seule contrainte que les partenaires supersymétriques aient des masses inférieures au TeV, les constantes de couplages ont à nouveau une valeur commune $\alpha_{GUT} \approx \frac{1}{25}$ pour une échelle d'énergie $M_{GUT}$ de l'ordre de $10^{16}$ GeV [12]. Ce point est souvent considéré comme étant la première indication expérimentale de la supersymétrie (figure I.7).

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure I.7: Unification des constantes de couplages dans le modèle standard et dans le MSSM.</figcaption></figure>

2. Les gluinos

Comme $\alpha_3$ (c'est-à-dire $\alpha_8$) augmente lorsque l'échelle d'énergie diminue, à l'échelle
électrofaible la masse des gluinos est supérieure à la valeur de $M_3$ à l'échelle d'unification (c'est-à-dire $m_{1/2}$). Comme $\alpha_s$ a été mesurée au LEP avec une valeur de l'ordre de 0.12 on a la relation :

$$m_{\tilde{g}} = M_3(v) = 3 m_{1/2} \qquad (I.38)$$

Cette relation simple ne prend pas en compte les contributions liées aux quarks et squarks et qui apportent des corrections à la valeur donnée par la relation (I.38) qui sont au plus de l'ordre de 30% [15] et la relation (I.38) peut donc être utilisée pour la plupart des études phénoménologiques. En utilisant la relation (I.38) le paramètre $m_{1/2}$ ou $M \equiv M_2$ peut être remplacé par $m_{\tilde{g}}$ et toute limite sur $m_{\tilde{g}}$ se traduit alors en une limite sur $M$ (ceci sera utilisé lors de l'interprétation des résultats).

Pour parvenir à une évaluation du spectre de la supersymétrie à basse énergie, il faut intégrer un grand nombre d'équations du groupe de renormalisation couplées les unes aux autres. Parvenir à des expressions analytiques des masses impose en général de faire des hypothèses qui restreignent la portée du résultat. Cependant, des intégrations numériques des équations ont montré que si les masses des particules supersymétriques peuvent varier sur l'ensemble du spectre possible (excepté le boson de Higgs le plus léger qui est limité approximativement à 130 GeV) il existe parfois des relations entre les masses qui sont toujours satisfaites [15]. Ainsi, pour le gluino on a la relation :

$$m_{\tilde{q}} \geq 0.85 m_{\tilde{g}} \qquad (I.39)$$

où $\tilde{q}$ est un squark des deux premières générations.

Enfin, il faut remarquer que la relation (I.38) montre qu'une limite inférieure sur la masse des gluinos se traduit immédiatement par une limite inférieure sur $M_3$ et donc d'après (I.37) sur le paramètre $M \equiv M_2$ qui est un paramètre essentiel des jauginos du secteur $SU(2)_L \times U(1)_Y$.

### 3. Les charginos : états propres de masse du secteur jaugino chargé

Le secteur jaugino chargé comprend deux fermions de charge +1 et deux fermions de charge -1 : $\tilde{w}^{\pm}$ et $\tilde{h}^{\pm}$ (j'appellerai désormais secteur jaugino non seulement les partenaires supersymétriques des bosons de jauge mais aussi les higgsinos). Les particules qui peuvent être observées expérimentalement ne sont par directement $\tilde{w}$ ou $\tilde{h}$ car dans le lagrangien supersymétrique il existe des termes quadratiques mélangeant ces deux états. Ces termes viennent simplement de $\mu H_1 H_2$ lorsque l'invariance de jauge sous $SU(2)_L$ est imposée et sont directement proportionnels à $g_2 v_i$ ($i$ est l'indice des doublets de Higgs $H_1$ et $H_2$). La matrice de masse dans la base $(\tilde{w}^+, \tilde{h}_1^+, \tilde{w}^-, \tilde{h}_2^−)$ s'écrit donc simplement :

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & M & g_2 v_1 \\ 0 & 0 & g_2 v_2 & \mu \\ M & g_2 v_1 & 0 & 0 \\ g_2 v_2 & \mu & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad (I.40)$$

Cette matrice est constituée de deux blocs séparés décrivant deux charginos $\tilde{\chi}_{1,2}^+$ chargés positivement pour le premier bloc et deux charginos $\tilde{\chi}_{1,2}^-$ chargés négativement pour le second bloc (l'indice 1 désigne par convention le chargino le plus léger). Comme les deux sous-matrices sont transposées l'une de l'autre de l'autre, leurs valeurs propres sont les mêmes et on a donc $M_{\chi_1^+} = M_{\chi_1^-}$ et $M_{\chi_2^+} = M_{\chi_2^-}$.
En remplaçant $g_2v_1$ par $\sqrt{2}M_W \sin\beta$ et $g_2v_2$ par $\sqrt{2}M_W \cos\beta$ et en diagonalisant la matrice de masse (I.40) on obtient les masses des deux charginos :

$$ M_{\tilde{\chi}_{2,1}}^2 = \frac{1}{2}(M^2 + \mu^2 + 2M_W^2) \qquad (I.41) \\ \pm \frac{1}{2}\sqrt{(M^2 - \mu^2)^2 + 4M_W^4\cos^2 2\beta + 4M_W^2(M^2 + \mu^2 + 2M_W\mu\sin 2\beta)} $$

En général, un chargino est composé d'une partie de $\tilde{w}$ et d'une partie de $\tilde{h}$ et ses couplages sont donc ceux du $\tilde{w}$ et du $\tilde{h}$ avec des facteurs correspondant à la composition du chargino. Les couplages du $\tilde{w}$ et du $\tilde{h}$ étant fixés, les sections efficaces des processus mettant en jeu les charginos sont entièrement déterminés par la matrice (I.40) (du moins pour ce qui concerne les charginos, pour un processus mettant en jeu les sfermions, les masses $m_\tilde{f}$ doivent être déterminées par ailleurs).

### 4. Les neutralinos : états propres de masse du secteur jaugino neutre

La dernière section de ce chapitre est entièrement consacrée au secteur neutralinos du MSSM et je me contenterai donc ici de les définir.

Tout comme pour le secteur chargé, le secteur jaugino neutre inclut un mélange entre les différents états $\tilde{w}^0, \tilde{b}^0, \tilde{h}_1^0$ et $\tilde{h}_2^0$ où $\tilde{w}^0$ et $\tilde{b}^0$ sont les partenaires supersymétriques des bosons de jauge du $SU(2)_L$ et du $U(1)_Y$. On pourrait définir $\tilde{z}$ et $\tilde{\gamma}$ comme des combinaisons linéaires de $\tilde{w}^0$ et $\tilde{z}^0$ en utilisant les combinaisons linéaires définissant $Z^0$ et $\gamma$ à partir de $W^0$ et $B^0$. Cependant, $\tilde{z}$ et $\tilde{\gamma}$ ne sont pas en général états propres de masse et présentent donc un intérêt limité. En effet, la matrice de masse du secteur neutre est assez proche de la matrice de masse des charginos et s'écrit dans la base $(\tilde{w}^0, \tilde{b}^0, \tilde{h}_2^0, \tilde{h}_1^0)$ :

$$ \begin{pmatrix} M_2 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}}g_2v_1 & \frac{1}{\sqrt{2}}g_2v_2 \\ 0 & M_1 & \frac{1}{\sqrt{2}}g_1v_1 & -\frac{1}{\sqrt{2}}g_1v_2 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}}g_2v_1 & \frac{1}{\sqrt{2}}g_1v_1 & 0 & -\mu \\ \frac{1}{\sqrt{2}}g_2v_2 & -\frac{1}{\sqrt{2}}g_1v_2 & -\mu & 0 \end{pmatrix} \qquad (I.42) $$

Cette matrice mélange les quatre états et donc en général les états propres de masse ne seront pas $\tilde{z}, \tilde{\gamma}$ ou $\tilde{h}$ mais des combinaisons linéaires de ces états. Ces quatre états propres de masse sont les neutralinos $(\tilde{\chi}_i^0)_{i=1,4}$ par ordre croissant de masse (par la suite je noterai les neutralinos simplement par $\chi_i^0$).

### Les contraintes de naturalité et les limites supérieures sur $M$ et $|\mu|$

La seule contrainte que nous ayons imposée jusque là est que les partenaires supersymétriques aient une masse au plus de l'ordre du TeV. Il est possible d'obtenir des limites plus précises sur les paramètres du MSSM en utilisant les contraintes de naturalité qui stipulent que les paramètres du MSSM ne doivent pas avoir à être réglés trop précisément pour pouvoir reproduire les observables (masse du $Z$, masses des particules supersymétriques...). Ces contraintes se situent donc dans le cadre général des modèles supersymétriques dont l'intérêt est de résoudre le problème de la hiérarchie qui est un exemple de problème de naturalité. Pour imposer des contraintes de naturalité il faut pouvoir mesurer le réglage des paramètres. Je décrirai ici la mesure proposée par Barbieri et al. [16] qui a par la suite été reprise dans la majorité des études.
Considérons par exemple la masse du Z (c'est en fait $M_Z^2$ qui est déterminé à partir des paramètres du MSSM) :

$$M_Z^2 \equiv M_Z^2(a_i)$$

où les $a_i$ sont les paramètres du modèle. Lorsqu'un des paramètres est modifié, il est toujours possible de maintenir $M_Z^2$ à sa valeur en faisant aussi évoluer les autres paramètres. Pour éviter ce réglage fin, il suffit de demander que $M_Z^2$ ne soit pas changé d'une fraction trop importante lorsqu'un des paramètres est modifié.

Si un paramètre $a_i$ est varié de $\delta a_i$, $M_Z^2$ l'est aussi de $\delta M_Z^2$. La fraction dont $M_Z^2$ a été modifiée est :

$$\frac{\delta M_Z^2}{M_Z^2}$$

et correspond à une modification du paramètre d'une fraction :

$$\frac{\delta a_i}{a_i}$$

La fraction dont a varié $M_Z^2$ est elle-même une fraction $\Delta$ de la fraction dont a été modifié le paramètre $a_i$ :

$$\left| \frac{\delta M_Z^2}{M_Z^2} \right| = \Delta \left| \frac{\delta a_i}{a_i} \right|$$

Pour s'assurer qu'il n'y ait pas de réglage fin, il suffit de demander que cette fraction $\Delta$ ne soit pas déraisonnablement grande :

$$\Delta = \left| \frac{a_i}{M_Z^2} \frac{\partial M_Z^2}{\partial a_i} \right| \le \Delta_{max}$$

$\Delta$ mesure donc directement le réglage associé à un paramètre et le choix de $\Delta_{max}$ représente la finesse du réglage que l'on s'autorise dans une théorie (typiquement $\Delta_{max} = 10$ ce qui correspond à un réglage fin d'au plus un ordre de grandeur).

Pour les paramètres qui concernent le secteur neutralinos ($M \equiv M_2$ et $\mu$) on a les limites supérieures [16] :

$$M \le 250 \text{ GeV} ; \quad |\mu| \le 200 \text{ GeV}$$

que nous utiliserons lors de l'interprétation des résultats de la recherche de neutralinos.

## Les couplages de Yukawa de la troisième génération et les limites sur $\tan\beta$

Les couplages de Yukawa $h_t$ et $h_b$ évoluent avec l'échelle d'énergie, leur valeur à basse énergie déterminant les masses des quarks top et bottom.

Les évolutions de $h_t$ et $h_b$ sont couplées et les équations du groupe de renormalisation se présentent sous la forme [17] :

$$\left\{ \begin{aligned} \frac{dh_t}{dt} &= a_t(t)h_t(t) + bh_t^2(t) - h_t(t)h_b(t) \\ \frac{dh_b}{dt} &= a_b(t)h_b(t) + bh_b^2(t) - h_b(t)h_b(t) \end{aligned} \right. \qquad (1.43)$$

où $t$ n'est pas directement l'échelle d'énergie $\Lambda$ mais est défini par $t = \ln \frac{M_{GUT}}{\Lambda}$. On peut s'affranchir du couplage entre les équations en utilisant le fait que $h_t$ et $h_b$ sont positifs et on
obtient ainsi deux inégalités :

$$ egin{cases} \frac{dh_t}{dt} \le a_t(t)h_t(t) + bh_t^2(t) \\ \frac{dh_b}{dt} \le a_b(t)h_b(t) + bh_b^2(t) \end{cases} \qquad (I.44) $$

On peut alors obtenir des limites supérieures sur les couplages de Yukawa :

$$ \begin{cases} h_t \le 8 \times 10^{-3} \\ h_b \le 8.4 \times 10^{-3} \end{cases} \qquad (I.45) $$

Par ailleurs, les masses $m_t(t)$ et $m_b(t)$ des quarks top et bottom sont directement reliées aux couplages de Yukawa :

$$ \begin{cases} m_t^2(t) = K h_t(t)(v_1^2 + v_2^2)\sin^2\beta \\ m_b^2(t) = K h_b(t)(v_1^2 + v_2^2)\cos^2\beta \end{cases} \qquad (I.46) $$

avec $K = 16\pi^2$.

Les masses des quarks sont définies par $m_t \equiv m_t(\Lambda = m_t)$ et $m_b \equiv m_b(\Lambda = m_b)$. En remplaçant $h_t$ et $h_b$ par leurs limites inférieures (I.45) dans (I.46) on obtient les limites supérieures sur les masses des quarks :

$$ \begin{cases} m_t \le 198 \text{ GeV } \sin\beta \\ m_b \le 207 \text{ GeV } \cos\beta \end{cases} \qquad (I.47) $$

Les masses $m_t$ et $m_b$ ne sont pas en réalité directement les masses physiques (les pôles) $M_t$ et $M_b$ mesurées expérimentalement. Les masses $m_t$ et $m_b$ sont en fait définies dans un schéma de renormalisation donné et sont proportionnelles à $M_t$ et $M_b$ à un facteur près du type $(1 - a\alpha_s - b\alpha_s^2)$ :

$$ m_t \approx 0.935 M_t \qquad (I.48) $$

$$ m_b \approx 0.844 M_b \qquad (I.49) $$

Finalement, en utilisant les relations (I.47) et en exprimant $m_t$ et $m_b$ en fonction des pôles on peut encadrer $\tan\beta$ avec des valeurs qui ne mettent en jeu que les masses mesurées $M_t$ et $M_b$ :

$$ \frac{M_t}{\sqrt{(212 \text{ GeV})^2 - M_t^2}} \le \tan\beta \le \frac{\sqrt{(245 \text{ GeV})^2 - M_b^2}}{M_b} $$

soit numériquement (en prenant les valeurs conservatives $M_t = 147 \text{ GeV}$ et $M_b = 4.7 \text{ GeV}$) :

$$ 1 \le \tan\beta \le 52 \qquad (I.50) $$

que nous utiliserons lors de l'interprétation des résultats de la recherche de neutralinos (la référence [17] traite plus en détails l'obtention de (I.50)).
### I.3.6 Résumé

Le MSSM est une extension supersymétrique du modèle standard qui en plus des partenaires supersymétriques des particules du modèle standard inclut un second supermultiplet de Higgs. Le nombre de paramètres décrivant la brisure de SUSY peut être considérablement réduit dans un cadre de supergravité où la brisure a lieu dans le secteur caché et se transmet au secteur visible par l'intermédiaire des paramètres :

* $m_0$ masse commune des champs scalaires (sleptons, squarks et bosons de Higgs) à l'échelle d'unification $M_{GUT} \approx 10^{16}$ GeV

* $m_{1/2}$ masse commune des jauginos à l'échelle d'unification

* A couplage trilinéaire, facteur de proportionnalité entre les termes de Yukawa du super-potentiel et les termes trilinéaires apparaissant directement dans le lagrangien de brisure

* B paramètre permettant d'inclure dans le lagrangien de brisure un terme proportionnel à $H_1H_2$ essentiel à la brisure radiative de $SU(2)_L \times U(1)_Y$

auxquels il faut rajouter le paramètre $\tan\beta$ apparaissant dans toute extension à deux doublets de Higgs.

Ce modèle présente l'intérêt d'inclure le potentiel de brisure de $SU(2)_L \times U(1)_Y$, le paramètre de masse $m^2$ du champ de Higgs se couplant aux quarks $(u, c, t)$ devenant naturellement négatif à basse énergie à cause de la masse importante du quark top.

Le secteur de Higgs comprenant deux bosons scalaires $h^0$ et $H^0$ ainsi qu'un boson pseudoscalaire $A^0$ et deux bosons chargés $H^\pm$ est particulièrement contraint et le $h^0$ ne peut avoir une masse beaucoup plus grande que 130 GeV.

Le spectre de masse des sfermions est entièrement décrit par les paramètres déjà introduits mais les valeurs exactes des masses sont difficilement prévisibles hors d'un modèle spécifique. La validation de la supersymétrie passe donc par la mise en évidence expérimentale des partenaires supersymétriques mais la détermination du modèle effectivement réalisé nécessite la détermination précise de leur spectre.

Les paramètres de masse des jauginos $(M_i)_{i=1,2,3}$ des groupes $U(1)_Y$, $SU(2)_L$ et $SU(3)$ sont directement donnés par $m_{1/2}$ et l'évolution des constantes de couplages de chaque groupe. Cependant, les matrices de masse incluent des termes non diagonaux (excepté pour les gluinos) qui rendent la description précise du spectre dépendante du modèle.

En tout état de cause, si la supersymétrie résoud effectivement le problème de la hiérarchie, les partenaires supersymétriques ont des masses inférieures au TeV.
# I.4 Le secteur neutralinos du MSSM

Dans cette partie je détaillerai le secteur neutralinos dans le cadre du MSSM :

* Les masses

* Les couplages

* Les processus de production $e^+e^- \to \chi_i^0\chi_j^0$ à LEP 1

* Les modes de désintégration des neutralinos

* Les canaux de recherche des neutralinos à LEP 1

## I.4.1 Les masses des neutralinos

### La matrice de masse

Le choix de la base dans laquelle est écrite la matrice de masse des neutralinos n'est pas en général celui correspondant à la matrice (I.42). Pour la partie des bosons de jauge $w^0$ et $b^0$ on choisit plutôt de l'écrire dans une base des partenaires supersymétriques des bosons observés Z et $\gamma$. La base n'est alors pas constituée par $(\tilde{w}^0, \tilde{b}^0)$ mais par $(\tilde{z}^0, \tilde{\gamma})$ définis par analogie avec le $Z^0$ et le photon :

$$ \left\{ \begin{aligned} \tilde{\gamma} &= \cos\theta_w \tilde{b}^0 + \sin\theta_w \tilde{w}^0 \\ \tilde{z} &= -\sin\theta_w \tilde{b}^0 + \cos\theta_w \tilde{w}^0 \end{aligned} \right. \qquad (I.51) $$

où $\theta_w$ est l'angle de Weinberg qui mesure le mélange dans le secteur électrofaible du modèle standard.

De plus, pour la partie higgsinos on choisit de faire jouer à $\beta$ le rôle d'un angle de mélange en définissant les deux higgsinos $\tilde{h}_a$ et $\tilde{h}_b$ à partir de $\tilde{h}_1$ et $\tilde{h}_2$ :

$$ \left\{ \begin{aligned} \tilde{h}_a &= -\sin\beta \tilde{h}_1 + \cos\beta \tilde{h}_2 \\ \tilde{h}_b &= \cos\beta \tilde{h}_1 + \sin\beta \tilde{h}_2 \end{aligned} \right. \qquad (I.52) $$

Le choix de base est alors $\psi_j^0 = (-i\tilde{\gamma}, -i\tilde{z}, \tilde{h}_a, \tilde{h}_b)$ et la matrice de masse Y s'écrit :

$$ \begin{pmatrix} M_2 \sin^2\theta_w + M_1 \cos^2\theta_w & (M_2 - M_1) \sin\theta_w \cos\theta_w & 0 & 0 \\ (M_2 - M_1) \sin\theta_w \cos\theta_w & M_2 \cos^2\theta_w + M_1 \sin^2\theta_w & M_Z & 0 \\ 0 & M_Z & \mu \sin 2\beta & -\mu \cos 2\beta \\ 0 & 0 & -\mu \cos 2\beta & -\mu \sin 2\beta \end{pmatrix} \qquad (I.53) $$

où le choix de $-i\tilde{\gamma}$ et $-i\tilde{z}$ pour la base permet d'avoir une matrice réelle. Comme nous l'avons vu précédemment, on peut remplacer $M_1$ par $\frac{5}{3} M_2 \tan^2\theta_w$ dans une hypothèse d'égalité des masses des jauginos à l'échelle d'unification et la matrice de masse ne dépend plus alors que de $M \equiv M_2$, $\mu$ et $\beta$.

Le terme de masse se présente dans le lagrangien sous la forme :

$$ \mathcal{L}_m = -\frac{1}{2} \psi_i^0 Y_{ij} \psi_j^0 + \text{h.c.} $$
La matrice Y est diagonalisée par une matrice N telle que :

$$N_{im} Y_{mn} N_{jn} = \eta_i m_i \delta_{ij}$$

où les $m_i$ sont les masses des quatre neutralinos (elles doivent être rangées par ordre croissant pour correspondre aux $(\chi_i^0)_{i=1,4})$. Les facteurs $\eta_i = \pm 1$ prennent en compte le fait que les valeurs propres de la matrice Y peuvent être négatives. Le signe de ces valeurs propres trouve son interprétation lorsqu'on étudie le couplage $\chi_i^0 f \bar{f}$ où le facteur $\eta_i$ correspond à un couplage en $\gamma_5$ (on obtient les mêmes résultats en gardant $\chi_i^0$ avec des masses négatives ou en remplaçant $\chi_i^0$ par $\gamma_5 \chi_i^0$ lorsque $\eta_i$ est négatif). Tout comme pour le boson $A^0$, ceci indique que le $\chi_i^0$ est alors de CP=-1. La référence [18] montre le lien entre le signe de la masse et le CP dans le cas de termes de masse pour les neutrinos ce qui peut être immédiatement adapté au cas des neutralinos qui sont décrits par des spineurs de Majorana (ce sont leur propre antiparticule, les spineurs de Majorana ne décrivent donc que deux degrés de liberté contrairement aux spineurs de Dirac). Cette interprétation en terme de CP n'est cependant pas indispensable pour mener les calculs des sections efficaces.

## Les masses des neutralinos en fonction de $(M, \mu, \tan\beta)$

La matrice de masse des neutralinos peut être diagonalisée analytiquement afin d'obtenir une expression des masses en fonction de $(M, \mu, \tan\beta)$. Cependant, cette diagonalisation est généralement effectuée numériquement et je me contenterai donc d'indiquer la forme de l'évolution des masses des neutralinos avec $(M, \mu, \tan\beta)$ dans le domaine déterminé ci-dessus :

$$ \begin{aligned} 0 &\le M \le 250 \text{ GeV} \\ 0 &\le |\mu| \le 200 \text{ GeV} \\ 1 &\le \tan\beta \le 50 \end{aligned} $$

Grossièrement, l'évolution des masses des neutralinos avec $M$ et $\mu$ est la même quelque soit $\tan\beta$. De plus, la dépendance est essentiellement la même pour les quatre neutralinos. En effet, les échelles de masse sont données par $M$ et $\mu$ et les masses des quatre neutralinos sont en général fonction de $(M, \mu)$, on peut donc s'attendre à ce que les masses des quatre neutralinos évoluent de la même façon avec $(M, \mu)$.

Pour $M=0$, la première colonne de la matrice de masse est nulle, son déterminant est donc nul et il existe alors au moins une valeur propre nulle. La masse du neutralino le plus léger $\chi_1^0$ est alors elle aussi nulle. De même, lorsque $\mu=0$ la dernière colonne de la matrice de masse est nulle et à nouveau on a $M_{\chi_1^0} = 0$. Comme les masses sont en général fonction de $M$ et $\mu$ (avec des arguments dimensionnels on peut prévoir une dépendance du type $aM + b\mu$) il faut s'attendre à ce que lorsque $M$ ou $|\mu|$ augmentent, les masses des différents neutralinos augmentent elles aussi. Nous avons ainsi une idée de la dépendance des masses des neutralinos avec $M$ et $\mu$: deux axes de basse masse à $\mu=0$ et $M=0$ et les masses augmentent avec $M$ et $|\mu|$. La dépendance en $\tan\beta$ est assez douce comme le montre la figure 1.8 qui donne les masses des quatre neutralinos pour $\tan\beta = 1.4$ et $\tan\beta = 50$. On voit que l'échelle des masses des neutralinos est effectivement donnée par $M$ et $|\mu|$ (les masses varient entre 0 et $\approx 200$ GeV) et que les différences entre ces deux valeurs extrêmes de $\tan\beta$ sont minimes.
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure I.8: Masses des quatre neutralinos en fonction de $(M, \mu)$ pour $\tan\beta=1.4$ et $\tan\beta=50$, les lignes iso-masse sont tracées avec les valeurs correspondantes des masses indiquées.</figcaption></figure>
## La particule supersymétrique la plus légère : $\chi_1^0$

Si la R-parité est conservée, la particule supersymétrique la plus légère (appelée LSP pour *lightest supersymmetric particle*) est stable. Tout processus de production de particules supersymétriques aboutit alors, après des désintégrations en cascade, à un état final avec un nombre pair de LSP. Les contraintes cosmologiques imposent que le candidat LSP soit neutre et sans couleur [20] ce qui laisse le $\tilde{\nu}$ le plus léger et le $\chi_1^0$ comme candidats pour être la LSP. Dans la plupart des modèles, la LSP est le $\chi_1^0$ mais indépendamment de ces modèles, les limites expérimentales excluent les régions du plan $(m_0, m_{1/2})$ pour lesquelles la LSP est un $\tilde{\nu}$. Pour la suite, nous nous placerons donc dans un cadre où la LSP est bien le neutralino le plus léger.

Un autre point lié à la LSP et qui a des conséquences essentielles sur la phénoménologie de la supersymétrie est qu'elle interagit faiblement avec la matière. En effet, la LSP ne peut interagir avec les noyaux de la matière que par l'échange d'une particule lourde (boson Z, gluino...) et les sections efficaces des processus sont alors de l'ordre de celles de l'interaction faible. La LSP se comporte donc comme un neutrino lors de son passage dans un détecteur. Cette propriété, dont l'origine se trouve dans la conservation de la R-parité, permet donc de caractériser les événements supersymétriques par de l'énergie manquante emportée par les $\chi_1^0$.

## La composition des neutralinos en fonction de $(M, \mu, \tan\beta)$

Si les valeurs propres de la matrice N qui diagonalise la matrice de masse donnent les masses et valeurs de CP des neutralinos, leurs compositions en $\tilde{\gamma}, \tilde{z}$ et $\tilde{h}_{a,b}$ sont données par les vecteurs colonnes de N. Chaque neutralino s'exprime alors comme une combinaison linéaire des champs de base $(\psi_j^0)_{j=1,4}$:

$$ \chi_i^0 = N_{ij} \psi_j^0 \quad ; \quad \sum_{j=1}^{4} |N_{ij}|^2 = 1 $$

La dépendance des coefficients $N_{ij}$ dans les paramètres est complexe [19] mais si l'on se concentre sur la composition du neutralino le plus léger qui nous intéresse plus particulièrement, on peut comprendre sa composition dans les cas limites directement à partir de la matrice de masse (I.53).

Pour $|\mu| \approx 0$ la dernière colonne de (I.53) est nulle et $\tilde{h}_b$ est alors vecteur propre de masse presque nulle. Le $\chi_1^0$ est alors probablement le $\tilde{h}_b$, pour $|\mu| \approx 0$ le neutralino le plus léger est donc essentiellement higgsino.

Lorsque $M \approx 0$ le premier vecteur de (I.53) est nul, le $\chi_1^0$ est alors essentiellement photino. Lorsque $|\mu|$ devient grand, il faut s'attendre à ce que les deux premiers vecteurs de (I.53) qui ne contiennent pas $\mu$ constituent les deux neutralinos les plus légers. Donc, lorsque $|\mu|$ tend vers 200 GeV, le $\chi_1^0$ et le $\chi_2^0$ sont des mélanges de $\tilde{\gamma}$ et $\tilde{z}$.
## I.4.2 Les couplages des neutralinos

Les couplages des champs $\psi_j^0 \equiv (-i\tilde{\gamma}, -i\tilde{z}, \tilde{h}_a, \tilde{h}_b)$ sont fixés par le lagrangien du MSSM. Les neutralinos sont des mélanges de ces quatre états et leurs couplages sont donc en général tous les couplages possibles de ces quatre états avec une intensité qui n'est pas fixée car elle dépend de leur composition. Cependant, pour un lot de paramètres ($M, \mu, \tan\beta$) donné, cette composition est déterminée et les couplages des neutralinos sont donc fixés.

Les couplages possibles sont :

### 1. Couplage du photino $\tilde{\gamma}$

D'après la figure (I.6) le seul couplage possible est le graphe (g) correspondant à un vertex $\tilde{\gamma}\tilde{f}\tilde{f}$ (version supersymétrique du couplage du photon aux fermions chargés). On voit que si le neutralino le plus léger est un photino et que tous les sfermions sont lourds (de masse supérieure à $M_Z$) nous ne pouvons pas produire directement le $\chi_1^0$ à LEP 1. Le graphe (f) n'implique pas le photino car il s'agit de la version supersymétrique du couplage à trois bosons.

### 2. Couplages du zino $\tilde{z}$

Le graphe (f) peut décrire un couplage $\tilde{z}\tilde{\chi}^{\pm}W^{\mp}$ version supersymétrique du couplage à trois bosons $ZW^{+}W^{-}$. Le graphe (g) décrit quand à lui un vertex $\tilde{z}\tilde{f}\tilde{f}$.

### 3. Couplages des higgsinos $\tilde{h}$

Le graphe (c) indique qu'il existe un couplage entre le $Z^0$ et les higgsinos : il s'agit d'un vertex $Z\tilde{h}\tilde{h}$. Le graphe (g) décrit un couplage $\tilde{z}\tilde{h}h^0/A^0$. Ce graphe ne peut décrire un couplage $\tilde{z}\tilde{h}\tilde{f}$ car la R-parité n'est alors pas conservée.

De ces couplages on tire les différents vertex possibles :

$$ \chi_i^0 \tilde{f} \tilde{f} \qquad (I.54) $$

$$ \chi_i^0 \tilde{\chi}^{\pm} W^{\mp} \qquad (I.55) $$

$$ \chi_i^0 \chi_j^0 Z \qquad (I.56) $$

$$ \chi_i^0 \chi_j^0 h^0/A^0 \qquad (I.57) $$

Le point essentiel que l'on peut retirer de ces couplages est qu'il existe un seul vertex impliquant les neutralinos et le Z et que celui-ci ne concerne que la composante higgsino des neutralinos.

## Les processus de production des neutralinos à LEP 1

Compte-tenu des couplages que nous venons de décrire, il existe deux processus permettant de produire des neutralinos au LEP :

* $e^{+}e^{-} \to Z \to \chi_i^0 \chi_j^0$ correspondant au couplage (I.56).

* $e^{+}e^{-} \to \tilde{e} \to \chi_i^0 \chi_j^0$ correspondant à deux vertex du type (I.54).

Les graphes de ces deux processus sont représentés sur la figure I.9. Les sections efficaces de ces deux processus (ainsi que leur interférence) sont calculées dans la référence [22].

La section efficace totale du processus (a) dépend des masses des neutralinos, du produit de
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure I.9: Les processus de production des neutralinos au LEP.</figcaption></figure>

leurs CP et de la composition des neutralinos puisque le $Z^0$ ne se couple qu'à la composante higgsino des neutralinos. La dépendance angulaire de la section efficace est en :

$$ \frac{d\sigma}{d\cos\theta_{\chi_i^0}} \sim 1 + a(M_{\chi_i^0}, M_{\chi_j^0}, \sqrt{s}) \cos^2\theta_{\chi_i^0} \qquad (I.58) $$

La section efficace du processus (b) ainsi que celle de son interférence avec le processus (a) dépend en plus des masses des sélectrons $m_{\tilde{e}_L}$ et $m_{\tilde{e}_R}$.

Ces calculs sont fait dans un cadre général puisqu'ils dépendent uniquement des masses des neutralinos et de leur CP relatif et peuvent s'exprimer dans le cadre du MSSM en fonction des paramètres ($M, \mu, \tan\beta$) puisque ces paramètres déterminent la matrice de masse des neutralinos.

Lorsqu'on se place à une énergie dans le centre de masse égale à $M_Z$, la section efficace totale du processus (a) (voie s) peut atteindre plusieurs nb mais peut aussi être nulle si l'un des neutralinos est purement photino. Dans ce cas, c'est le processus (b) (voie t) qui peut contribuer car les $\tilde{e}$ se couplent aux composantes $\tilde{\gamma}$ et $\tilde{z}$ des neutralinos.

A LEP 1, l'énergie dans le centre de masse étant proche du pôle du Z, le processus (a) est généralement dominant sauf si l'un des neutralinos a une composante higgsino nulle. Nous ne prendrons en compte que la voie (a) dans le processus de production ce qui revient à supposer que la masse des $\tilde{e}$ est grande. Cette hypothèse est conservative si l'interférence destructive entre les deux processus est négligeable. Lors de l'interprétation des résultats nous reviendrons sur cette hypothèse afin d'éclaircir son rôle.

## Les modes se désintégration des neutralinos au LEP

Les désintégrations possibles des neutralinos sont directement données par les couplages (I.54) à (I.57) et correspondent aux voies :

$$ \bullet \chi_j^0 \rightarrow \tilde{f}f \text{ puis } \tilde{f} \rightarrow \chi_1^0 f $$

$$ \bullet \chi_j^0 \rightarrow \chi^\pm W^\mp \text{ puis } \chi^\pm \rightarrow \chi_1^0 W^\pm $$

$$ \bullet \chi_j^0 \rightarrow \chi_i^0 Z^* $$

$$ \bullet \chi_j^0 \rightarrow \chi_i^0 h^0/A^0 $$
A LEP 1, on suppose que toutes les particules supersymétriques autres que les neutralinos sont suffisamment lourdes pour ne pas contribuer aux largeurs des $(\chi_j^0)_{j>1}$. Nous ferons donc cette hypothèse dans la recherche de neutralinos et nous discuterons les modifications apportées à l'interprétation des résultats dans le cas où cette hypothèse ne serait pas vérifiée.

Il existe en plus de ces modes de désintégration un processus d'ordre supérieur mais qui peut contribuer lorsque les autres modes sont supprimés : $\chi_j^0 \to \chi_i^0\gamma$. Le graphe de ce processus ainsi que ceux des précédents est représenté sur la figure I.10. Les particules contribuant à la boucle du processus $\chi_j^0 \to \chi_i^0\gamma$ sont nombreuses (il y a entre autres des particules supersymétriques) et ceci rend difficile l'estimation de la contribution de ce canal à la largeur de $(\chi_j^0)_{j>1}$ [24].

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure I.10: Les modes de désintégration des neutralinos.</figcaption></figure>

## Les canaux de recherche des neutralinos à LEP 1

Au LEP, la recherche de neutralinos a lieu dans les canaux :

$$1. \text{Canal fermionique : } e^+e^- \to Z \to \chi_1^0\chi_2^0 \to \chi_1^0\chi_1^0 f\bar{f}$$

Ce canal correspond à une désintégration du $\chi_2^0$ dans le canal $\chi_1^0 Z^*$ avec une éventuelle contribution du $\tilde{f}$ si celui-ci est suffisamment léger.

L'état final est donc constitué d'une paire $f\bar{f}$ et deux $\chi_1^0$ ce qui correspond à des événements avec une paire de leptons, une paire de jets (ou un seul jet si ceux-ci sont collimés) et de l'énergie manquante emportée par les $\chi_1^0$. Lorsque $f$ est un neutrino, ce processus n'est pas directement observable et contribue simplement à la largeur invisible du Z.
2. Canal $\gamma$: $e^+e^- \to Z \to \chi_1^0\chi_2^0 \to \chi_1^0\chi_1^0\gamma$

L'état final est alors constitué uniquement d'un photon dans l'état final. Ce canal est complémentaire du précédent, en particulier si le $\chi_1^0$ est essentiellement photino et que les $\tilde{f}$ sont lourds. La recherche de neutralinos peut aussi être menée dans la voie :

$$e^+e^- \to Z \to \chi_2^0\chi_2^0 \to \chi_1^0\chi_1^0\gamma\gamma$$

l'état final étant alors constitué d'une paire de photons avec de l'énergie manquante.

En conclusion, les neutralinos sont parmi les plus légères des particules supersymétriques et peuvent donc être produites au LEP. De plus, les sections efficaces de production sont forte- ment dépendantes des paramètres du MSSM et peuvent être suffisamment basses pour n'être observables qu'avec la haute statistique qui a été accumulée après plusieurs années de fonction- nement du LEP.

Dans cette thèse, je décrirai en détail la sélection des événements $e^+e^- \to e^+e^-\chi_1^0\chi_1^0$ et succinctement les sélections dans les canaux $e^+e^- \to q\bar{q}\chi_1^0\chi_1^0$, $\mu^+\mu^-\chi_1^0\chi_1^0$ et $\gamma\chi_1^0\chi_1^0$ qui ont été menées par ailleurs dans l'expérience L3. L'interprétation portera sur l'ensemble de ces quatre canaux, la voie $e^+e^- \to \tau^+\tau^-\chi_1^0\chi_1^0$ n'a pas été considérée car les désintégrations des $\tau$ rendent la sélection difficile et le rapport de branchement du Z en $\tau^+\tau^-$ n'est pas suffisant pour jusitfier l'étude de ce canal.
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[22] A. Bartl et al, Nucl Phys. B278 (1986) 1
*Production and decay of neutralinos in $e^{+}e^{-}$ annihilation*

[23] J. Rosiek, Phys. Rev. D41 (1990) 3464
*Complete set of Feynman rules for the MSSM*
J. Rosiek, HEP-PH/9511250 ou KA-TP-8-1995, Erratum to Phys. Rev. D41 (1990) 3464

[24] H. Haber et D. Wyler, Nucl. Phys. B323 (1989) 267
*Radiative neutralino decay*
# Chapitre II

## L'expérience L3 au LEP

### Introduction

Ce chapitre est consacré à une description succincte du contexte expérimental. Après avoir rappelé la situation de l'expérience L3 dans le cadre du LEP (Large Electron Positron collider) je décrirai les différentes composantes du détecteur. Les éléments importants qui concernent notre analyse seront précisés dans le chapitre III qui est consacré à la sélection des événements.

### II.1 Le collisionneur LEP

Situé à la frontière franco-suisse, le LEP est un tunnel 3.8 m de diamètre faisant 26.7 km de circonférence enfoui à une profondeur de 50 à 100 m. Il s'agit en fait d'une succession de huit zones de déflexion de 2.8 km séparées par huit zones droites (figure II.1).

Les électrons sont produits et accélérés par un premier LINAC (accélérateur linéaire) jus-

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure II.1: Situation du LEP.</figcaption></figure>

qu'à une énergie de 200 MeV puis envoyés sur une cible de tungstène produisant des positons. Les électrons et positons sont ensuite accélérés séparément par un second LINAC jusqu'à une énergie de 600 MeV puis accumulés en paquets de haute densité qui sont injectés dans le synchrotron à protons (PS) qui les accélère jusqu'à 3.5 GeV (le LEP fonctionne depuis 1991 en
8 × 8 paquets). Ce premier ensemble d'accélérateurs linéaires constitue le système d'injection du LEP (LIL).

Le Super Synchrotron à Protons (SPS) de 7 km de diamètre amène les paquets d'électrons et positons jusqu'à une énergie de 20 GeV avant de les injecter dans le LEP. Les cavités radio-fréquence situées dans les sections droites les accélèrent alors jusqu'à une énergie proche de 45.6 GeV assurant ainsi une énergie dans le centre de masse proche de la masse du $Z^0$. L'énergie des faisceaux, qui joue un rôle crucial dans la précision avec laquelle sont déterminés les paramètres du $Z^0$, est mesurée avec une précision de l'ordre du MeV (en particulier avec la méthode de dépolarisation [1]) et des effets très fins (niveau du lac Léman, influence de la lune...) ont été mis en évidence [2]. Les cavités radio-fréquence maintiennent aussi l'énergie des faisceaux à la valeur nominale en fournissant les 120 MeV approximativement perdus à chaque tour. Le grand nombre de $Z^0$ produits permet une étude précise de tous les éléments du modèle standard car tous les fermions du modèle standard ainsi que le boson de Higgs se couplent au $Z^0$. Les collisions $e^+e^-$ ont lieu en 4 points (points 2, 4, 6 et 8) où sont installées quatre expériences (L3, Aleph, Opal et Delphi).

## II.2 Le détecteur L3

### II.2.1 Introduction

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Figure II.2: Vue en perspective de l'ensemble du détecteur L3.</figcaption></figure>

Situé au point 2 du LEP, L3 [3] est un détecteur de $14 \times 14 \times 16 \text{ m}$ (la figure II.2 montre une vue en perspective de l'ensemble du détecteur). Le détecteur L3 est entièrement plongé dans un champ magnétique aligné avec le faisceau courbant ainsi les trajectoires des particules
chargées. Ce champ de 0.5 T au centre et 0.38 T à 5 m est créé par un solénoïde parcouru par un courant de 30 kA.

Le détecteur L3 a été spécialement conçu pour détecter et mesurer précisement l'énergie des photons et des électrons ainsi que l'impulsion des muons. Je décrirai successivement les sous-détecteurs rencontrés en partant du point d'interaction puis la mesure de la luminosité pour terminer par le système de déclenchement. La figure II.3 montre une vue en coupe dans le plan (y, z) des sous-détecteurs se trouvant à l'intérieur du tube support (l'axe z étant aligné avec le faisceau).

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>**Figure II.3:** Une coupe longitudinale du détecteur L3 faisant apparaître les différents sous-détecteurs à l'intérieur du tube support.</figcaption></figure>

## II.2.2 Le détecteur de micro-vertex en silicium (SMD)

Le détecteur le plus proche du point d'interaction assure la mesure des coordonnés des trajets-toires de particules chargées permettant de mettre en évidence la présence d'un second vertex proche du point d'interaction correspondant à la désintégration d'une particule à temps de vie suffisamment long (les mésons B par exemple).

Le tube à vide qui faisait à l'origine 9 cm de diamètre a été remplacé en 1991 par un tube de 5.3 cm qui a permis d'installer le SMD au début de l'année 93. Le détecteur de vertex de L3 est composé de deux cylindres longs de 35.5 cm et de diamètre 6 cm et 8 cm instrumentés sur les deux faces (figure II.4). Les couches extérieures (resp. intérieures) fournissent des points de mesure distants de 50 µm (resp. 150 µm) avec une précision de 7 µm dans le plan transverse et 15 µm en z.
<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure II.4: *Une vue en perspective du détecteur de microvertex de L3.*</figcaption></figure>

## II.2.3 Le détecteur central

### La chambre à expansion temporelle (TEC)

La partie essentielle du détecteur central de L3 est constituée par une chambre à expansion temporelle longue de 125 cm et incluse entre deux cylindres de rayon 9 cm et 50 cm. Le choix d'une chambre à expansion temporelle est essentiellement motivé par la compacité du détecteur imposée par le calorimètre électromagnétique. La TEC est elle-même divisée en une TEC interne constituée de 12 secteurs en $\phi$ et une TEC externe de 24 secteurs. Les secteurs de la TEC interne et externe sont décalés en $\phi$ afin de fournir une information complémentaire.

La TEC contient un mélange gazeux (80% de $CO_2$ et 20% de $C_4H_{10}$) qui assure une vitesse de dérive des charges suffisamment lente ($\approx 6 \ \mu m/ns$) pour disposer d'une mesure précise du point d'impact par le temps de dérive. Au milieu de chaque secteur se trouve un plan de fils parallèles à l'axe $Oz$ et fixés sur les deux plaques refermant la TEC: il s'agit des anodes qui sont les fils sensibles du détecteur de traces. Au voisinage de ces fils d'anode le champ est suffisamment élevé pour donner lieu à un phénomène d'avalanche. Les plans de cathodes délimitent les secteurs et la région de faible champ est assurée par la présence de grilles proches des anodes et maintenues à un potentiel nul de part et d'autre des plans d'anodes. La région de fort champ se trouve donc entre les plans d'anodes et les grilles (la figure II.5 illustre le passage d'une particule chargée dans la TEC). Les plans d'anodes de la TEC interne contiennent 8 fils et ceux de la TEC externe 52. La majorité des anodes (anodes standard) disposent seulement d'une lecture à l'une des extrémités et ne fournissent donc qu'une information sur la distance entre le fil et le point d'impact dans le plan $(x, y)$ avec une précision de $50 \ \mu m$ et une ambiguïté gauche/droite. Les anodes standard représentent 6 des 8 fils des plans d'anodes de la TEC interne et 36 des 52 fils des plans d'anodes de la TEC externe.

Les anodes à division de charge disposent d'une lecture à chaque extrémité et fournissent donc une information sur la position en $z$ du point d'impact avec une précision de 60 mm (il y en a 2 par secteur interne et 9 par secteur externe).

Les autres fils d'anodes sont des fils L/R qui disposent d'une lecture de chaque côté du plan d'anodes et ne présentent donc pas d'ambiguïté gauche/droite (il y en a 14 par secteur externe). La figure II.6 montre la disposition de ces différents fils pour un secteur de la TEC interne.

L'ensemble de ces points de mesure (il y en a au plus 62) permet la reconstruction des traces chargées par ajustement d'un arc de cercle dans le plan transverse et donc la détermination de l'impulsion transverse des traces chargées avec une précision $\frac{\Delta p_T}{p_T^2}$ de l'ordre de $2.10^{-2} (GeV/c)^{-1}$.
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Figure II.5: Passage d'une particule chargée dans la TEC.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Figure II.6: Les différents types de fils rencontrés dans un secteur de la TEC.</figcaption></figure>

### Les chambres Z

Il s'agit de deux chambres proportionnelles cylindriques entourant la TEC. Ce sont les cathodes qui sont lues et celles-ci se présentent sous la forme de trois couches de bandes faisant des angles de 90° et ±70° (la figure II.7 montre la disposition de ces bandes autour de la TEC). Le gaz des chambres est un mélange de 20% de CO₂ et 80% d'argon et la résolution obtenue sur la mesure de z est de 320 µm pour une trace isolée.

### II.2.4 Le calorimètre électromagnétique (ECAL)

Le calorimètre électromagnétique constitue l'aspect le plus original de l'expérience L3, il assure la mesure précise de l'énergie des électrons et photons sur une gamme d'énergie allant de 50 MeV à 100 GeV. Comme il s'agit du détecteur principal utilisé dans notre analyse, je détaillerai un peu plus ses caractéristiques que celles des autres sous-détecteurs.
<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>**Figure II.7:** Une vue en perspective du détecteur central.</figcaption></figure>

## Le germanate de bismuth $Bi_4Ge_3O_{12}$

Le BGO est un matériau à la fois dense (7.13 g/cm³) et scintillant (autour d'une longueur d'onde de 480 nm avec un temps de décroissance d'environ 350 ns). Ceci permet de réaliser un détecteur compact avec une excellente résolution en énergie car la lumière collectée est celle qui est scintillée par l'ensemble du calorimètre (≈ 2.8 10³ γ/MeV) contrairement à un calorimètre à segmentation formé d'un milieu absorbeur et d'un milieu sensible.

Le développement transversal d'une gerbe électromagnétique dans un matériau est caractérisé par le rayon de Molière $R_M$ (en moyenne 90% de l'énergie d'une gerbe est contenue dans un cylindre axé selon la trajectoire de la particule et de rayon $R_M$). Le rayon de Molière du BGO est égal à 2.4 cm ce qui donne l'ordre de grandeur de la segmentation nécessaire à la détermination du point d'impact ainsi qu'à la caractérisation de la forme latérale des gerbes. La sensibilité de la quantité de lumière scintillée en fonction de la température (≈ -1.55%/°C) indique qu'il faut prévoir un système de contrôle de la température des cristaux.

## Les cristaux de BGO

Le calorimètre électromagnétique est formé de 10752 cristaux qui ont des formes de pyramides tronquées au sommet de 24 cm de long correspondant à 21 longueurs de radiation. La face la plus petite (2 × 2 cm² en moyenne) regarde vers le point d'interaction, l'autre face ayant une surface de 3 × 3 cm². La lumière scintillée par les cristaux est transformée en signal électrique par des photodiodes collées sur les faces arrière des cristaux (deux photodiodes par cristal) et les faces avant sont peintes avec une peinture réfléchissante afin d'augmenter la collection de lumière (la figure II.8 montre un cristal de BGO). Le signal disponible à la sortie des photodiodes est faible et passe donc immédiatement dans des préamplificateurs qui sont fixés derrière les cristaux, le signal est alors de ≈ 50 μV/MeV et peut être digitisé.

## Géométrie du calorimètre

Le calorimètre électromagnétique est constitué d'un tonneau assurant la couverture angulaire $42^\circ \le \theta \le 138^\circ$ présent depuis les débuts de l'expérience et de deux bouchons complétant la
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Figure II.8: *Un cristal de BGO.*</figcaption></figure>

couverture à 10° ≤ $\theta$ ≤ 37° et 143° ≥ $\theta$ ≥ 170° installés en 1991 (figure II.9). Les deux zones

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Figure II.9: *Vue en coupe du calorimètre électromagnétique.*</figcaption></figure>

de 5° entre le tonneau et les bouchons ont été instrumentées au cours de l'arrêt 95-96 du LEP (le chapitre V est consacré à cette instrumentation).

1. Le tonneau

Le tonneau de BGO est lui-même constitué de deux demi-tonneaux se joignant à $\theta = 90°$. Il contient au total 7680 cristaux de 24 types différents répartis dans le plan $(\theta, \phi)$ en une structure matricielle et dépointés en $\phi$ de 10 mrad afin de minimiser le passage des photons entre les cristaux. L'ensemble est porté par une structure alvéolaire en fibre de carbone dont les interfaces entre alvéoles sont épaisses de $\approx 200 \ \mu m$. Cette structure pèse 140 kg (il y a au total 10 tonnes de cristaux dans le tonneau) et correspond à 2.1% de l'angle solide du tonneau (figure II.10).

2. Les bouchons

Chaque bouchon est séparé en deux demi-bouchons qui se joignent à $\phi = 90°$. Il y a 1527
cristaux par bouchon et 17 types de cristaux différents. Le nombre de cristaux est impair car 9 cristaux sont enlevés pour permettre le passage de photons de 17 MeV produits par le RFQ (radio frequency dipole) à l'aide de la réaction $p+Li \rightarrow Be+\gamma$ et permettant une calibration in situ des cristaux. La structure porteuse des bouchons est de même nature que celle du tonneau, mais les cristaux ne sont pas répartis matriciellement en $(\theta, \phi)$ ce qui rend la reconstruction des grandeurs physiques plus complexe que pour le tonneau.

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Figure II.10: *La structure porteuse du calorimètre électromagnétique.*</figcaption></figure>

## Calibration et contrôle des cristaux

Les cristaux du tonneau ont tous été calibrés [5] sous des faisceaux d'électrons de 2, 10 et 50 GeV au SPS et 200 d'entre eux l'ont aussi été dans un faisceau de 180 MeV.

L'évolution au cours du temps du gain de chaque canal est déterminée à l'aide d'un système de monitorage au xénon [6]. Une lampe au xénon produit des impulsions lumineuses qui sont transmises jusqu'à la face arrière de chaque cristal par des fibres optiques (des filtres spectraux permettent de se rapprocher du spectre de scintillation du BGO). Sur chaque cristal arrivent en fait deux fibres reliées à deux lampes dont l'une est de basse intensité et délivre des impulsions correspondant à une énergie de 1 GeV alors que l'autre produit des impulsions équivalentes à 30 GeV.

Les cristaux de BGO doivent avoir une température aussi uniforme que possible. Ils sont protégés de la chaleur dégagée par les préamplificateurs par des écrans thermiques et des circuits de refroidissement assurant un gradient inférieur à 0.5° entre les faces avant et arrière. La température est contrôlée en permanence par des capteurs fixés sur les deux faces des cristaux (un cristal sur douze est équipé de tels capteurs).

Les bouchons du calorimètre électromagnétique sont calibrés uniquement *in situ* mais un
secteur a été soumis à un test faisceau afin d'étudier la reconstruction des grandeurs physiques. Tout ceci permet au calorimètre électromagnétique de L3 de mesurer avec une excellente précision l'énergie des électrons et photons ainsi que leur point d'impact comme le montre la figure II.11. L'expression de la résolution en énergie est [7] :

$$ \frac{\sigma_E}{E} = (0.38\% + \frac{1.54\%}{\sqrt{E}}) \oplus 1.18\% \oplus \frac{0.25}{E} \qquad (II.1) $$

où le premier terme correspond à la résolution intrinsèque du BGO mesurée en faisceau test, le second terme est du à la calibration *in situ* du calorimètre électromagnétique et le dernier terme est caractéristique du bruit électronique.

Les résolutions angulaires sur le point d'impact déterminé par le centre de gravité de la gerbe électromagnétique sont données par [7] :

$$ \sigma_{\theta,\phi} = \sqrt{\frac{26.0}{E} + 1.1 \text{ mrad}} \qquad (II.2) $$

la résolution en $\phi$ étant déterminée à l'aide des traces chargées et la résolution en $\theta$ est égale à la résolution en $\phi$ car la granularité du calorimètre est la même dans les deux directions.

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Figure II.11: Résolution en énergie du calorimètre électromagnétique (figure de gauche) et résolution angulaire (figure de droite).</figcaption></figure>

## II.2.5 Les compteurs à scintillation

Il s'agit de 30 plaques de plastique scintillant de 2.9 m de long et 1 cm d'épaisseur qui se trouvent à l'extérieur du BGO juste avant le calorimètre hadronique. Leur rôle est de distinguer les événements $e^+e^- \rightarrow \mu^+\mu^-$ des muons cosmiques traversant le détecteur. Le choix de scintillateurs est motivé par la nécessité d'avoir un détecteur rapide avec une bonne résolution en temps (elle est inférieure à 1 ns pour ces compteurs). Les événements cosmiques sont d'une part décorrélés en temps des instants de collision et d'autre part les deux scintillateurs touchés présentent une différence en temps alors qu'ils sont en coïncidence pour des événements $\mu^+\mu^-$. Deux disques de 16 scintillateurs ont été installés à $z = \pm 1$ m en parallèle à l'installation de chambres à muons avant-arrière sur lesquelles nous reviendrons plus bas.
## II.2.6 Le calorimètre hadronique (HCAL)

Son rôle est de mesurer l'énergie des hadrons qui interagissent essentiellement avec la matière nucléaire. Il est constitué d'une succession de plaques d'uranium, qui jouent le rôle d'absorbeur à cause leur faible longueur d'interaction nucléaire, intercalées avec des chambres à fils qui permettent de mesurer une partie de la gerbe hadronique.

Le HCAL est composé d'un tonneau couvrant la partie centrale ($35^{\circ} \le \theta \le 145^{\circ}$) de rayon externe $1.9 \text{ m}$ et de deux bouchons qui complètent l'herméticité jusqu'à $\theta = 5.5^{\circ}$ et $\theta = 174.5^{\circ}$ (figure II.12).

La partie centrale est composée d'un alignement de 9 anneaux le long de l'axe Oz et chaque anneau est lui-même constitué de 16 tours en $\phi$. Chaque tour contient une cinquantaine de plaques d'uranium de 5 mm d'épaisseur (58 pour les tours des trois anneaux du centre qui sont plus longues et 53 pour les 6 autres anneaux) avec des chambres proportionnelles dont les fils sont alternativement selon $z$ et selon $\phi$. Les fils de différentes chambres sont rassemblés pour la lecture menant à une segmentation moyenne de l'ordre de 6 cm en $z$, 8 cm en $r$ et $2.5^{\circ}$ en $\phi$ (cette segmentation varie et est plus grande à l'entrée des tours où la gerbe est plus dense).

Chaque bouchon est composé de trois anneaux et chaque anneau est divisé en deux ce qui permet un démontage plus facile lors des accès aux autres sous-détecteurs. Chaque anneau est formé de tours correspondant à une segmentation en $\phi$ de $45^{\circ}$ faites d'une succession de plaques d'uranium et de chambres proportionnelles disposées verticalement.

La résolution en énergie obtenue avec le calorimètre hadronique est :

$$ \frac{\sigma_E}{E} = 5\% + \frac{55\%}{\sqrt{E}} $$

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Figure II.12: Vue en perspective du calorimètre hadronique de L3.</figcaption></figure>
## II.2.7 Le filtre à muons

Il remplit l'espace entre le tonneau du calorimètre hadronique et le tube support. Son rôle est d'assurer que les seules particules qui interagissent dans les chambres à $\mu$ sont les muons. Il doit donc complètement arrêter les hadrons. Il est fait de huit octants de 4 m de long et épais de 20 cm. Chaque octant comprend 6 plaques de laiton de 1 cm d'épaisseur intercalées avec cinq chambres proportionnelles puis cinq plaques de laiton de 1.5 cm. Le filtre à muons apporte 1 longueur d'interaction nucléaire à laquelle s'ajoute celle du tube support (0.5 longueur d'interaction).

## II.2.8 Les chambres à muons

Le spectromètre à muon est intercalé entre le tube support et l'aimant. La partie centrale est constituée de huit octants chacun étant une superposition de 3 étages de chambres à dérive, l'un juste à l'extérieur du tube support, l'autre juste avant l'aimant et le troisième à mi-chemin. Les deux étages les plus extérieurs contiennent chacun deux chambres (la figure II.13 montre un octant vu en coupe). Ces chambres sont faites de plans dont les fils sont parallèles à l'axe du faisceau et mesurent précisément les point de passage des muons dans le plan transverse avec une précision de 100 $\mu$m à 250 $\mu$m selon la distance du point à l'anode (ces chambres à dérive sont appelées *chambres P*). Cette mesure précise des points de passage permet d'accéder à une mesure du rayon de courbure de la trajectoire et donc à une mesure de l'impulsion avec une précision $\frac{\Delta p_T}{p_T} = 2\%$ à 45 GeV.

En plus de ces chambres à dérive, chaque octant contient six chambres Z placées de part et d'autre des chambres externes et sous les chambres internes. Elles sont décalées d'une demi-cellule en Z afin de résoudre les ambiguïtés gauche/droite. Chaque anode mesure la position en Z à 550 $\mu$m près.

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Figure II.13: *Un octant du spectromètre à muons.*</figcaption></figure>

Cette partie centrale mesure l'impulsion des muons pour $43^\circ \le \theta \le 137^\circ$ et pour compléter la
couverture angulaire à 22° ≤ $\theta$ ≤ 158° des chambres avant-arrière ont été installées en 94 et 95. Chaque partie est constituée de trois couches selon $z$ chacune contenant seize chambres (chaque chambre couvre un demi octant). Ces chambres sont montées sur les portes de l'aimant (la première couche est a l'intérieur et les deux autres à l'extérieur comme le montre la figure II.14). La précision sur la mesure de l'impulsion transverse varie entre 2 et 20% en fonction de l'angle polaire $\theta$.

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>Figure II.14: Une des chambres à μ avant-arrière.</figcaption></figure>

## II.2.9 La mesure de la luminosité

Les compteurs de luminosité sont situés à 2.65 $m$ de part et d'autre du point d'interaction (figure II.15). Il s'agit d'une matrice cylindrique de 304 cristaux de BGO de 26 cm de long alignés selon $z$ et couvrant un espace angulaire compris entre 31 et 62 mrad selon $\theta$. Ils mesurent le nombre d'événements Bhabha $e^+e^- \rightarrow \gamma \rightarrow e^+e^-(\gamma)$ dont la section efficace est très piquée à l'avant et prédite avec une grande précision par QED. Jusqu'en 1992, des chambres à fils étaient placées devant les cristaux de BGO afin de mesurer avec précision le passage de particules chargées. Depuis 1993, c'est un détecteur au silicium qui remplit ce rôle (SLUM). Il s'agit de trois couches de bandes de silicium dont deux mesurent $r$ (distance à l'axe du faisceau) $\phi$ étant mesuré par la troisième couche.

La précision sur l'énergie est de 2% à 45 GeV et la résolution angulaire de 0.023° en $\theta$ et 0.5° en $\phi$. La précision sur la mesure de la luminosité qui était de 0.6% en 1991 atteint aujourd'hui 0.2% et est dominée par une incertitude théorique de 0.16% sur la section efficace $e^+e^- \rightarrow e^+e^-\gamma$ liée à la contribution du terme d'interférence $\gamma/Z$.

## II.2.10 Le système de déclenchement

La fréquence à laquelle les faisceaux se croisent dans l'expérience L3 est 91 kHz en mode 8 × 8 (un croisement toutes les 11 $\mu$s) avec seulement une faible fraction de collisions $e^+e^-$ (une toutes les 3 $s$). Comme la technologie ne nous permet pas d'enregistrer les données à une fréquence supérieure à 10 Hz, si l'information est enregistrée à chaque croisement, seuls 1% des événements sont sélectionnés (l'enregistrement d'un événement induit un temps mort de
<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>Figure II.15: Le compteur de luminosité en BGO.</figcaption></figure>

500 µs). Il est donc indispensable de signer les événements de physique (en pratique il s'agit d'un compromis entre pouvoir de réjection et efficacité). Au LEP, le taux d'événements est suffisamment faible pour donner la priorité à l'efficacité ce qui nécessite plusieurs niveaux de déclenchement avec des fonctions différentes.

A chaque croisement, l'information est envoyée vers une voie basse résolution (qui correspond aux deux premiers niveaux de déclenchement que nous décrirons plus bas) et une voie haute résolution (disposant d'une information détaillée) constituant le troisième niveau de déclenchement. Le rôle de la voie basse résolution est de prendre une décision rapide, le premier niveau doit décider avant le prochain croisement si un événement de physique s'est produit. Si la réponse du premier niveau est positive, le second niveau qui a déjà l'information prend sa décision en quelques µs. Une réponse positive du second niveau entraîne la lecture de la voie haute résolution avec éventuellement une écriture sur bande.

## Le 1er niveau de déclenchement

Il fait le OU logique des cinq déclenchements suivant :

1. Déclenchement en énergie: il utilise une information grossière sur l'énergie déposée dans les calorimètres électromagnétique et hadronique (512 cellules pour le BGO et 384 pour le HCAL). Il faut que l'un des critères suivant soit satisfait :

ENERGIE TOTALE qui est lui-même le OU de :

* Energie totale (BGO + HCAL) > 20 GeV

* Energie totale dans les tonneaux (BGO + HCAL) > 15 GeV

* Energie totale dans le BGO > 20 GeV
* Energie totale dans le tonneau du BGO > 10 GeV

AMAS: une cellule en (θ, φ) avec une énergie > 7 GeV

DOUBLE IMPACT: 2 cellules avec une énergie > 5 GeV

PHOTON ISOLÉ: l'énergie dans une cellule du BGO est supérieure à 80% de l'énergie totale déposée dans le calorimètre électromagnétique

2. Déclenchement en multiplicité: 5 des 30 scintillateurs sont touchés dans une fenêtre en temps de 30 ns (efficace pour les événements hadroniques).

3. Déclenchement μ: il déclenche sur les muons d'impulsion transverse supérieure à 1 GeV.

4. Déclenchement TEC: une trace à moins de 30° d'un amas de plus de 3 GeV ou bien deux traces formant un angle supérieur à 120°.

5. Déclenchement en luminosité: au moins 20 GeV déposés dans les compteurs de luminosité.

## Le 2^nd^ niveau de déclenchement

Il s'appuie sur des critères de sélection plus complexes que ceux du premier niveau [8].

Le bruit de fond au déclenchement en énergie est dû aux canaux bruyants du BGO ou au bruit de fond dû à l'uranium du calorimètre hadronique. Il est réduit en appliquant un seuil en énergie variable ainsi qu'en imposant une corrélation spatiale entre les dépôts.

Le fond au déclenchement muon, essentiellement dû aux rayons cosmiques, est réduit en demandant qu'au moins un scintillateur soit touché dans un octant qui a signé le muon.

Le déclenchement TEC dû aux interactions avec le gaz résiduel correspond à des particules de basse impulsion spiralant dans le champ magnétique, si bien que beaucoup de secteurs sont touchés sans qu'une trace soit reconstruite.

Si des traces sont malgré tout reconstruites, le point d'impact de la trace la plus proche du point d'interaction est généralement suffisamment grand pour rejeter l'événement.

En s'appuyant sur ces différents critères, le second niveau de déclenchement parvient à limiter le taux à une dizaine de Hz.

## Le 3^eme^ niveau de déclenchement

Le dernier niveau s'appuie sur le même type de sélection que le niveau 2 mais dispose de toute l'information du détecteur et rejette ainsi 50% des événements que celui-ci a accepté ce qui correspond à un taux de déclenchement inférieur à 5 Hz.
Bibliographie

[1] R. Assman et al., *Energy calibration with resonant depolarization at LEP*, preprint CERN-SL-94-016, CERN, 1994.

[2] L. Arnaudon et al., *Effects of tidal forces on the beam energy in LEP*, preprint CERN-SL-93-201-DI, CERN, 1993.

[3] L3 Collaboration, Nucl. Instr. and Meth. **A289** (1990) 35

[4] O. Adriani et al., Nucl. Phys. **32B** (Proc. Suppl.) (1993) 202.
    A. Adam et al., *Test beam results from the prototype L3 Silicon Microvertex Detector*, Nucl. Instr. and Meth. **A344** (1994) 521.
    B. Alpat et al., Nucl. Instr. and Meth. **A315** (1992) 497.

[5] L3 BGO collaboration, *Calibration of the L3 electromagnetic calorimeter in electron beam*, L3 Note 1712

[6] A. Bay et al., Nucl. Instr. and Meth. **A321** (1992) 119.

[7] J. Wenninger, Thèse de l'université de Genève, n° 2544

[8] Y. Bertsch et al., Nucl. Instr. and Meth. **A340** (1994) 309.
S.P. Beingessner et al., Nucl. Instr. and Meth. **A340** (1994) 322.
<figure><img src="image_31.png" /></figure>
# Chapitre III

## La sélection des événements

### Introduction

Dans ce chapitre je décrirai l'analyse permettant la sélection des événements neutralinos dans le canal :

$$e^{+}e^{-} \rightarrow \chi_{1}^{0}\chi_{2}^{0} \rightarrow \chi_{1}^{0}\chi_{1}^{0}e^{+}e^{-} \qquad (III.1)$$

Cette analyse se décompose en deux parties :

* reconstruction et sélection d'événements avec deux électrons dans l'état final.

* sélection spécifique des événements neutralinos et réjection des fonds du modèle standard.

Après la description de cette analyse, je donnerai les résultats obtenus à LEP 1.

Dans l'expérience L3, la recherche de neutralinos a aussi été menée dans les canaux $\mu^{+}\mu^{-} \not{E}$ et $q\bar{q} \not{E}$. En effet, dans le processus III.1 la paire $e^{+}e^{-}$ peut être remplacée par n'importe quelle paire $f\bar{f}$. Comme nous l'avons vu dans le chapitre I, le processus $\chi_{2}^{0} \rightarrow \chi_{1}^{0}\gamma$ est aussi possible. La recherche correspondante a elle aussi été menée dans L3.

Je décrirai succinctement les sélections correspondant à ces trois canaux ainsi que leurs résultats car c'est la combinaison de ces différentes recherches qui sera interprétée dans le chapitre suivant.
### III.1 Sélection d'un état final à deux électrons

Pour sélectionner les événements $e^{+}e^{-} \rightarrow e^{+}e^{-}\chi_{1}^{0}\chi_{1}^{0}$ il faut d'abord sélectionner des événements avec deux électrons dans l'état final. Cette partie de la sélection s'appuie d'une part sur l'information fournie par le calorimètre électromagnétique pour la mesure de l'énergie et la caractérisation des gerbes électromagnétiques et d'autre part sur le détecteur de traces (TEC) pour distinguer électrons et photons d'autre part.

#### III.1.1 Mesure et sélection de dépôts électromagnétiques

Comme nous l'avons vu lors de la description du détecteur, le calorimètre électromagnétique en BGO conduit à mesure précise de l'énergie qui y est déposée. De plus, la segmentation transverse liée au choix de cristaux de petite dimension transverse (en moyenne $2^{\circ}$ d'ouverture) permet de connaître la forme latérale des dépôts d'énergie.

#### Reconstruction des amas d'énergie dans le calorimètre électromagnétique

##### 1. Localisation des dépôts d'énergie

Les cristaux pris en compte lors de la reconstruction sont ceux dans lesquels une énergie supérieure à 2 MeV à été déposée. A partir de ces cristaux sont construits des ensembles de cristaux touchés contigus (deux cristaux qui ont un coin en commun sont contigus). Chacun de ces ensembles n'est pris en compte que si l'énergie totale qui y est déposée est supérieure à 40 MeV. A l'intérieur de ces groupes de cristaux sont déterminés les maxima locaux. Un maximum local est défini comme étant un cristal ayant enregistré une énergie supérieure à celle de tous les cristaux qui lui sont contigus.

##### 2. Détermination précise du point d'impact

On se place dans un repère $(O, x, y)$ où $O$ est le milieu du cristal central (celui qui contient le maximum local) et les axes $(O, x)$ et $(O, y)$ définissent le plan contenant la face d'entrée du cristal.

Une première estimation de la position $(X_{cdg}, Y_{cdg})$ du centre de gravité de la gerbe électromagnétique est obtenue en considérant le cristal central et les huit cristaux qui lui sont contigus :

$$X_{cdg} = \frac{\sum_{i=1}^{9} E_i \cdot X_i}{\sum_{i=1}^{9} E_i} \quad ; \quad Y_{cdg} = \frac{\sum_{i=1}^{9} E_i \cdot Y_i}{\sum_{i=1}^{9} E_i} \qquad (III.2)$$

où $E_i$ est l'énergie déposée dans le cristal $i$ et $(X_i, Y_i)$ la position du centre du cristal correspondant.

Cependant, cette estimation ne prend pas en compte la forme de la gerbe comme on peut s'en rendre compte en considérant deux cas extrêmes :

* la gerbe est concentrée en un point: tant que ce point reste à l'intérieur du cristal central, l'estimation donnée par III.2 pour $(X_{cdg}, Y_{cdg})$ est $(0,0)$ soit le centre du cristal; l'estimation est alors particulièrement fausse puisque l'incertitude sur $X_{cdg}$ est égale au demi-côté d'un cristal soit approximativement 1 cm.
* la forme transversale de la gerbe est carrée et la distribution d'énergie est uniforme sur le carré: l'estimation donnée par III.2 est alors exactement la position du point d'impact.

Pour le calorimètre électromagnétique de L3, la fonction donnant la position précise du barycentre ($X_{cdg}^{corr}, Y_{cdg}^{corr}$) de la gerbe connaissant ($X_{cdg}, Y_{cdg}$) a été déterminée par la simulation et les tests en faisceau :

$$X_{cdg}^{corr} = \alpha \arctan(\beta X_{cdg}) + \gamma X_{cdg} \quad (III.3)$$

avec $\alpha = 6.03 \text{ mm}, \beta = 0.53 \text{ mm}^{-1}$ et $\gamma = 0.215$. Cette fonction ramène le point d'impact vers le centre du cristal quand $X_{cdg}$ et $Y_{cdg}$ sont grands et l'écarte du centre lorsqu'il en est proche.

Pour la suite, nous appellerons amas ou dépôt dans le calorimètre électromagnétique (ou encore dépôt BGO) tout maximum local comme défini ci-dessus. Cet amas est déterminé par son énergie mesurée dans le BGO (voir ci-dessous) et ses angles ($\theta_{BGO}, \phi_{BGO}$) déterminés à partir de ($X_{cdg}^{corr}, Y_{cdg}^{corr}$) connaissant la position du cristal central de l'amas dans le système de référence de L3.

## Mesure de l'énergie des dépôts électromagnétiques

Pour chaque amas électromagnétique sont définies deux sommes permettant de caractériser sa forme latérale :

* $S_1$: énergie déposée dans le cristal le plus énergétique

* $S_9$: énergie déposée dans la matrice de cristaux (3, 3) autour du maximum

Pour un électron ou un photon de 10 GeV dont le point d'impact est le centre de la face d'entrée du cristal, $S_9$ est égale à 93% de l'énergie de la particule. Si l'on appelle $E$ l'énergie de la particule incidente on a la relation :

$$E = \frac{S_9}{0.93} \quad (III.4)$$

Pour une particule dont le point d'impact n'est pas au centre du cristal, l'énergie se répartit différemment. L'énergie n'est alors plus seulement fonction de $S_9$ mais aussi du point d'impact. Plus on s'éloigne du centre du cristal et plus $S_1$ représente une faible fraction de $S_9$, $S_1/S_9$ peut donc absorber la dépendance du point d'impact.

On peut alors, au lieu de paramétriser l'énergie de la particule en fonction de $S_9$ et du point d'impact, la donner en fonction de $S_9$ et de $S_1/S_9$ ce qui permet de ne manipuler que deux énergies. On définit donc $S_9^{corr}$ l'énergie déposée dans 9 cristaux et corrigée du point d'impact, l'énergie de la particule incidente étant alors donnée par :

$$E = S_9^{corr} = \frac{S_9}{0,1231 \cdot \frac{S_1}{S_9} + 0,8222}$$

Pour la suite, c'est $S_9^{corr}$ que nous utiliserons pour estimer l'énergie d'une particule qui a laissé un dépôt dans le calorimètre électromagnétique.
Identification d'un dépôt électromagnétique

1. Un premier critère simple

On peut, en utilisant uniquement $S_1$ et $S_9$, rejeter les dépôts électromagnétiques où en fait un seul cristal est touché (particule au minimum d'ionisation ou bruit électronique) en réclamant que l'énergie du cristal central ne soit pas une fraction trop importante de l'énergie de l'amas (en pratique inférieure à 95%).

La figure III.1 montre les formes de deux dépôts : le premier correspond à celui d'un photon (ou d'un électron) et le second à celui d'un hadron. Le photon développe une gerbe beaucoup moins étendue transversalement que le hadron, l'énergie de la gerbe étant essentiellement concentrée sur un cristal. Partant de cette constatation, un premier critère permettant de distinguer les particules électromagnétiques (photons et électrons) a été élaboré. En effet, on peut définir $S_{25}$ l'énergie déposée dans la matrice de cristaux (5, 5)

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>Figure III.1: Différence entre le développement latéral d'une gerbe créée par un photon et celle développée par un hadron dans le BGO.</figcaption></figure>

autour du maximum tout comme nous avons défini $S_9$. On peut ensuite établir la relation entre $S_{25}$ et l'énergie de la particule si elle frappe au centre du cristal puis la corriger de son point d'impact. On trouve alors :

$$E = S_{25}^{\text{corr}} = \frac{S_{25}}{0,1241 \cdot \frac{S_1}{S_{25}} + 0,8713}$$

Un premier critère d'électromagnéticité est alors obtenu en considérant :

$$\rho_{\text{BGO}} = \frac{S_9^{\text{corr}}}{S_{25}^{\text{corr}}} \qquad (\text{III.5})$$

En effet, pour des électrons de 10 GeV on a $\rho_{\text{BGO}} = 1$ et la distribution de $\rho_{\text{BGO}}$ pour des électrons de 10 GeV est donc une gaussienne centrée sur 1. La figure III.2 montre
la distribution de $\rho_{BGO}$ pour des électrons d'événements $e^+e^- \rightarrow e^+e^-(\gamma)$ des données. Demander que $\rho_{BGO}$ soit compris entre 0.95 et 1.04 permet de sélectionner des électrons et des photons sur une large gamme d'énergie.

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>**Figure III.2:** Distributions de $\rho_{BGO}$ pour des électrons d'événements $e^+e^- \rightarrow e^+e^-(\gamma)$ des données.</figcaption></figure>

## 2. Un critère plus sophistiqué

Le critère d'électromagnéticité précédent a plusieurs limitations. Tout d'abord, pour des particules de faible énergie (inférieure à 3 GeV) $S_9^{corr}$ n'est pas adaptée car la gerbe est moins développée latéralement. C'est alors $S_6^{corr}$ qui est utilisée et une nouvelle méthode de calibration est requise [1].

De plus, comme nous l'avons vu dans le chapitre précédent, la géométrie des bouchons est plus compliquée que celle du tonneau (il n'y a pas de structure matricielle) et $S_9$ n'est plus définie aussi simplement, la difficulté étant de choisir correctement les voisins du cristal le plus énergétique. Enfin, lorsque les points d'impact de deux particules sont proches l'un de l'autre, $S_{25}$ est perturbée et l'on ne peut plus appliquer aussi efficacement le critère précédent.

C'est principalement pour cette dernière raison qu'a été mis au point un critère plus sophistiqué [2] et basé sur un $\chi^2$ comparant la forme de la gerbe développée avec celle d'une gerbe électromagnétique typique :

$$ \chi^2_{BGO} = \sum_{i=1}^{9} \frac{(Fr^i - Fr_{em}^i(X,Y,S_9))^2}{\sigma_i^2(X,Y,S_9)} $$

où $Fr^i$ est la fraction d'énergie déposée par la gerbe dans le $i^{ème}$ cristal par rapport à $S_9$, $Fr_{em}^i(X, Y, S_9)$ la fraction d'énergie déposée par un électron d'énergie $E = S_9$ et dont le point d'impact est en $(X, Y)$ et $\sigma_i^2(X, Y, S_9)$ la largeur de cette distribution, ces deux
grandeurs ayant été mesurées en faisceau test.

La figure III.3 montre la distribution de $\chi^2_{BGO}$ (non normalisé) pour le tonneau et les bouchons avec les coupures typiques permettant de sélectionner les gerbes électromagnétiques et que nous utiliserons par la suite :

* $\chi^2_{BGO} < 5$ pour le tonneau

* $\chi^2_{BGO} < 30$ pour les bouchons

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>Figure III.3: Distribution de $\chi^2_{BGO}$ pour des électrons d'événements $e^+e^- \rightarrow e^+e^-(\gamma)$ des données. A gauche se trouve la distribution pour le tonneau et à droite pour les bouchons.</figcaption></figure>

## L'acceptance angulaire du calorimètre électromagnétique

L'énergie d'un dépôt électromagnétique étant $S_9^{corr}$, il faut que cette somme puisse être définie. Le calorimètre électromagnétique s'étend de 10° à 170° avec deux zones non instrumentées entre [37°; 42.5°] et [137.5°, 143°] (voir le chapitre V). La somme $S_9^{corr}$ ne peut donc être définie que lorsque le point d'impact de l'électron est à plus de 2° des bords du calorimètre (un cristal de BGO correspond en moyenne à un angle de 2° d'ouverture). L'acceptance angulaire du calorimètre électromagnétique est donc donnée par :

* $\theta_{BGO} \in [12^\circ; 168^\circ]$

* $\theta_{BGO} \notin [35^\circ; 44.5^\circ], [135.5^\circ; 145^\circ]$
### III.1.2 Sélection de particules chargées

La section précédente a permis de montrer comment sélectionner photons et électrons par la forme de leur dépôt d'énergie dans le calorimètre électromagnétique. Le signal recherché est constitué de deux électrons et c'est l'utilisation du détecteur de traces (TEC) qui va nous permettre de sélectionner les électrons qui seront définis comme des dépôts BGO satisfaisant aux critères d'électromagnéticité et identifiés comme chargés.

#### Description d'un secteur de la TEC

La TEC a été décrite dans le chapitre précédent, je rappellerai simplement ici les points qui concernent plus spécifiquement notre analyse. La figure III.4 représente la configuration de l'un des 12 secteurs de la TEC (30° d'ouverture en $\phi$ chacun). Intéressons-nous aux fils d'anode car ce sont eux qui fournissent les signaux. En partant de l'axe du faisceau (axe Oz) on trouve d'abord 8 fils espacés de 4.8 mm placés sur la bissectrice du secteur, ces fils font partie de la TEC interne. La droite joignant l'extrémité du premier fil et le point de collision fait un angle $\theta = 12.5°$ avec l'axe Oz, on ne peut donc pas identifier les particules chargées en-dessous de cet angle.

Puis on trouve 54 fils faisant partie de la TEC externe, les plans de fils de la TEC externe et ceux de la TEC interne étant décalés en $\phi$ afin de lever une éventuelle ambiguïté gauche droite. Lorsqu'une anode est touchée lors du passage d'une particule chargée, nous avons accès à la distance entre l'anode et le point de passage de la particule par la mesure du temps de dérive. L'information délivrée par la TEC est donc un ensemble de points de mesure dans le plan transverse que nous appellerons les points (ou impacts) $(X, Y)_{TEC}$. Comme nous l'avons vu dans la description de la TEC, sur les 54 fils de la TEC externe, 9 disposent d'une lecture gauche/droite permettant de lever l'ambiguïté sur le passage de la particule, pour tous les autres fils un temps de dérive correspond en fait à deux points de passage possibles.

#### Reconstruction des traces dans la TEC

La TEC fournit un ensemble de points de mesure dans le plan transverse avec une précision de $30\mu m$. La reconstruction des traces se fait en partant des ensembles de points adjacents (doublets). Des impacts TEC sont adjacents si les fils fournissant les deux points sont consécutifs quand on les numérote de 1 à 62 de l'intérieur vers l'extérieur. Parmi ces doublets on cherche les triplets (ensemble de doublets adjacents) puis les segments (ensemble de triplets adjacents qui présentent la même courbure). Tout ensemble contenant au moins un segment peut constituer une trace. Cette trace est déterminée en cherchant la trajectoire la plus probable correspondant aux impacts utilisés à l'intérieur des incertitudes de $30\mu m$ sur chaque point de mesure.

### Efficacité d'identification des particules chargées à l'aide des traces TEC

#### 1. Définition

Cette efficacité est la probabilité qu'à un dépôt électromagnétique dû à une particule chargée soit associée une trace. Il s'agit donc du produit de l'efficacité de reconstruction des traces (probabilité pour qu'une trace soit reconstruite lorsqu'une particule chargée passe dans la TEC) par l'efficacité d'association des traces TEC au dépôt électromagnétique
<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>Figure III.4: Un secteur de la TEC : vues transverse et longitudinale.</figcaption></figure>
(probabilité pour qu'une trace TEC correspondant à un dépôt BGO et reconstruite soit effectivement associée au dépôt).

## 2. Quels événements utiliser pour déterminer cette efficacité?

Pour déterminer cette efficacité, il faut sélectionner des lots de particules chargées en utilisant uniquement l'information donnée par les sous-détecteurs de L3 autres que la TEC. Nous avons donc sélectionné des événements $e^{+}e^{-} \rightarrow e^{+}e^{-}(\gamma)$ à l'aide des coupures suivantes :

* Energie mesurée dans le BGO comprise entre 80 et 100 GeV.

* Nombre de dépôts électromagnétiques $\leq 3$.

* Acolinéarité $\leq 5°$ (voir plus bas pour la définition de l'acolinéarité entre les électrons).

* Sélection de gerbes électromagnétiques à l'aide du $\chi^2_{BGO}$ comme décrit ci-dessus.

On sélectionne ainsi 48138 événements parmi les données 93 soit 96276 électrons. Une trace TEC est associée à un dépôt BGO si :

$$ \Delta\phi = |\phi_{BGO} - \phi_{TEC}| \leq 1.5^{\circ} \qquad (III.6) $$

où $\phi_{BGO}$ (resp. $\phi_{TEC}$) est l'angle que fait dans le plan transverse le dépôt électromagnétique (resp. le point extrapolé depuis la trace TEC jusqu'au BGO) avec l'axe Ox.

## 3. Résultats

La figure III.5 montre la fraction de ces dépôts BGO auxquels on a effectivement associé une trace en fonction de l'angle polaire du dépôt électromagnétique $\theta_{BGO}$. Pour $25^{\circ} \leq \theta \leq 165^{\circ}$ plus de 95% des particules chargées sont associées à une trace reconstruite dans la TEC. Par contre, cette efficacité chute rapidement à zéro dès que $\theta \leq 25^{\circ}$ ou $\theta \geq 165^{\circ}$. Les trous dans la distribution autour de $\theta = 40^{\circ}$ et $\theta = 140^{\circ}$ correspondent à une absence d'instrumentation du calorimètre électromagnétique (voir chapitre V) et ne sont donc pas liés à la TEC.

# Un critère de charge plus efficace

## 1. Pourquoi ne pas utiliser les traces TEC comme critère de charge?

Les traces chargées sont reconstruites dans L3 avec l'objectif de pouvoir mesurer l'impulsion de la particule par la relation entre la courbure de la trace et l'impulsion. Or, le signal recherché est constitué de deux électrons dont l'énergie est mesurée par le calorimètre électromagnétique avec une précision supérieure à celle que l'on peut obtenir en mesurant l'impulsion d'une trace associée à un dépôt électromagnétique. Nous n'utiliserons donc pas la TEC pour mesurer l'impulsion des électrons mais simplement pour nous assurer qu'un dépôt électromagnétique est associé à une particule chargée afin de faire une réjection photons/électrons. Dans l'objectif d'augmenter l'acceptance du signal aux petits angles (pour la suite petits $\theta$ ou petits angles signifie non seulement $\theta \leq 25^{\circ}$ mais aussi $\theta \geq 165^{\circ}$) nous avons utilisé un critère de charge moins contraignant que les traces. Plutôt que de déclarer chargé un dépôt électromagnétique uniquement lorsqu'une trace lui est rattachée, on peut lui associer directement les points $(X, Y)_{TEC}$ qui sont donnés par les fils touchés et qui sont ensuite utilisés pour reconstruire les traces.