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# Filtrage sous optimal par contrainte de structure

Gilles Michel

► To cite this version:

Gilles Michel. Filtrage sous optimal par contrainte de structure. [Rapport de recherche] IRIA-RR-021, IRIA. 1973, pp.161. hal-04715961

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Zuv: 01982

RR21

RIA
laboria

laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

Filtrage sous optimal
par contrainte
de structure

Gilles Michel

161p

Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
78150 - Le Chesnay
Tél. 954.90.20

Rapport de Recherche n°21

juin 1973
<figure><img src="image_3.png" /></figure>
# FILTRAGE SOUS OPTIMAL
PAR CONTRAINTE DE STRUCTURE

Gilles Michel

(présenté par P. Faurre)

## Résumé :

Nous utilisons la structure du filtre optimal de Kalman pour filtrer un processus modélisé par un système linéaire excité par un bruit coloré gaussien. Le gain du filtre est choisi de manière à minimiser la covariance de l'erreur. Il résulte du gain en dimension du vecteur d'état, par rapport au filtrage optimal du processus, un accroissement de la vitesse d'estimation qui peut être mise à profit pour augmenter la fréquence d'échantillonnage et compenser partiellement la sous optimalité, et une réduction de l'encombrement mémoire, essentiel sur calculateur industriel. Parallèlement le problème inverse du filtrage optimal est abordé, qui fournit des conditions nécessaires et suffisantes de l'existence d'un modèle, système linéaire excité par un bruit blanc gaussien, dont le filtre optimal de Kalman est le filtre sous optimal précédent.

Une étude expérimentale confirme le bien fondé de l'approche et fournit une indication sur la qualité de filtrage sous optimal par rapport au filtrage optimal, que l'on peut exprimer en fonction des constantes de temps du système.

## Abstract :

We use the structure of Kalman's optimal filter for a process represented by the output of a linear system excited by a gaussian colored noise. The filter gain is choosed to minimize the error covariance. The decreasing of the state vector dimension increases the estimation speed, which allows the choice of a higher sampling frequency which compensates partially the suboptimality and implies a reduction of the memory used, which is important for the mini-computer point of view. At the same time, the Inverse Problem of Optimal Filtering is considered and necessary and sufficient conditions are established for the existence of a Linear white noise model the Kalman optimal filter of which is the suboptimal filter.

Experimentation confirms the validity of this approach of the problem and gives an indication of the sub optimal filtering quality related to the optimal one, which can be expressed as a function of the time constants of the process.
<figure><img src="image_4.png" /></figure>
TABLE DES MATIERES

<table><thead><tr><th></th><th></th><th>PAGE</th></tr></thead><tbody><tr><td>1.</td><td>INTRODUCTION</td><td>1</td></tr><tr><td>2.</td><td>FILTRES OPTIMAUX ET SOUS - OPTIMAUX</td><td>3</td></tr><tr><td>2. 1</td><td>Le Filtre de Wiener</td><td>3</td></tr><tr><td>2. 2</td><td>Le Filtre de Kalman</td><td>7</td></tr><tr><td>2. 2. 1</td><td>Approche Classique</td><td>7</td></tr><tr><td>2. 2. 2</td><td>Approche par le Principe du Minimum</td><td>12</td></tr><tr><td>2. 3</td><td>Comparaison des Filtres de Wiener et de Kalman</td><td>17</td></tr><tr><td>2. 3. 1</td><td>Régime Permanent</td><td>17</td></tr><tr><td>2. 3. 2</td><td>Régime Transitoire</td><td>18</td></tr><tr><td>2. 4</td><td>Revue de quelques Techniques de Filtrage</td><td></td></tr><tr><td></td><td>Sous-Optimal</td><td>22</td></tr><tr><td>3.</td><td>FILTRAGE SOUS - OPTIMAL PAR CONTRAINTE DE STRUCTURE DU FILTRE</td><td>25</td></tr><tr><td>3. 1</td><td>Définition du Problème</td><td>25</td></tr><tr><td>3. 2</td><td>Etude des Erreurs de Filtrage</td><td>29</td></tr><tr><td>3. 3</td><td>Nouvelle Définition du Problème</td><td>32</td></tr><tr><td>4.</td><td>FILTRAGE SOUS - OPTIMAL SCALAIRE</td><td>33</td></tr><tr><td>4. 1</td><td>Approche par les Equations des Covariances</td><td>33</td></tr><tr><td>4. 1. 1</td><td>Calcul du Gradient <sup>dn</sup>&frasl;<sub>dk<sub>s</sub></sub></td><td>34</td></tr><tr><td>4. 1. 2</td><td>Expression Explicite de η(k<sub>s</sub>)</td><td>36</td></tr><tr><td>4. 2</td><td>Approche Spectrale</td><td>38</td></tr><tr><td>4. 3</td><td>Etude de η(k<sub>s</sub>)</td><td>41</td></tr><tr><td>4. 3. 1</td><td>Calcul Direct de <sup>dn</sup>&frasl;<sub>dk<sub>s</sub></sub></td><td>42</td></tr></tbody></table>
4. 3. 2 Etude des Variations de η(k_s) 42

4. 4 Conclusion 45

5. FILTRAGE SOUS - OPTIMAL MULTIVARIABLE 46

5. 1 Equations de l'Erreur : Approche par Equations des Covariances 47

5. 2 Stabilité du Gain K_s 49

5. 3 Recherche du Meilleur Gain de Filtrage K_s* 51

5. 3. 1 Optimisation du Gain par Minimisation de la Différence des Erreurs 51

5. 3. 2 Optimisation du Gain par le Principe du Minimum 56

5. 3. 3 Optimisation par la Méthode du Gradient 60

5. 3. 4 Remarques 61

6. ETUDE PRATIQUE 65

6. 1 Recherche du Gain K_s* 65

6. 1. 1 Le Produit de Kronecker 65

6. 1. 2 Application à la résolution de AX + XB' = C 66

6. 1. 3 Expression Explicite de la Covariance de l'Erreur à l'Infini η(k_s) 71

6. 1. 4 Méthode du Gradient 73

6. 2 Simulation sur Calculateur 73

6. 2. 1 Description du Programme 74

6. 2. 1. 1 Filtrage Optimal 75

6. 2. 1. 2 Filtrage Sous-Optimal : Méthode du Gradient 76

6. 2. 1. 3 Filtrage Sous-Optimal : Choix à Priori de Q_s 78

6. 2. 2 Test du Filtrage 79

6. 3 Résultats Expérimentaux 80

6. 3. 1 Résultats Expérimentaux : Cas Scalaire 81

6. 3. 1. 1 Vérification de l'Allure de la Fonction d'Erreur η(k_s) 81

6. 3. 1. 2 Influence du Coefficient de Couplage C 83

6. 3. 1. 3 Erreurs Relatives de Filtrage 83

6. 3. 1. 4 Approximation d'un Kalman par un Wiener 86
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>6. 3. 2</td>
      <td>Résultats Expérimentaux : Cas Multivariables</td>
      <td>86</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6. 3. 2. 1</td>
      <td>Allure de la Fonction tr { η (k<sub>s</sub>) }</td>
      <td>87</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6. 3. 2. 2</td>
      <td>Influence du Coefficient de Couplage C</td>
      <td>87</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6. 3. 2. 3</td>
      <td>Érreur de Filtrage en Régime Transitoire</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6. 3. 2. 4.</td>
      <td>Influence des Structures de A et D sur l'Érreur</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6. 3. 2. 5</td>
      <td>Érreurs Relatifs de Filtrage en Fonction des Constantes de Temps du Système</td>
      <td>93</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6. 3. 2. 6</td>
      <td>Filtrage Sous-Optimal par Choix à priori de Q<sub>s</sub></td>
      <td>97</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6. 3. 3</td>
      <td>Règles Pratiques</td>
      <td>99</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6. 3. 3. 1</td>
      <td>Règles Concernant la Structure des Matrices</td>
      <td>99</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6. 3. 3. 2</td>
      <td>Règles Relatifs aux Constantes de Temps du Système</td>
      <td>100</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7. LE PROBLEME INVERSE DU FILTRAGE OPTIMAL</td>
      <td></td>
      <td>104</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7. 1</td>
      <td>Problème Inverse Scalaire</td>
      <td>105</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7. 2</td>
      <td>Problème Inverse Multivariable</td>
      <td>106</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7. 3</td>
      <td>Conclusion</td>
      <td>116</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>CONCLUSION GENERALE</td>
      <td></td>
      <td>117</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ANNEXE 1 : MATRICES GRADIENT</td>
      <td></td>
      <td>121</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ANNEXE 2 : LISTE DES EXEMPLES</td>
      <td></td>
      <td>123</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ANNEXE 3 : RESULTATS NUMÉRIQUES</td>
      <td></td>
      <td>125</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Filtrage Sous-Optimal; Méthode du Gradient</td>
      <td></td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Filtrage Sous-Optimal; Choix à priori de Q<sub>s</sub></td>
      <td></td>
      <td>133</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ANNEXE 4 : LISTING DES PROGRAMMES</td>
      <td></td>
      <td>137</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>BIBLIOGRAPHIE</td>
      <td></td>
      <td>153</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
LISTE DES FIGURES

<table><thead><tr><th>numéro</th><th>Titre</th><th>page</th></tr></thead><tbody><tr><td>1-2</td><td>Covariance de l'erreur de filtrage en régime permanent</td><td>82</td></tr><tr><td>3</td><td>Érreur de filtrage en fonction du coef-ficient de couplage c</td><td>85</td></tr><tr><td>4</td><td>Érreur relative de filtrage en fonction du couplage c</td><td>85</td></tr><tr><td>5</td><td>Érreur relative de filtrage scalaire</td><td>86 bis</td></tr><tr><td>6</td><td>Comparaison des filtres en fonction du temps...</td><td>86 bis</td></tr><tr><td>7</td><td>Érreur relative de filtrage (exemples A<sub>2</sub>, A<sub>3</sub>, C<sub>1</sub>)</td><td>95</td></tr><tr><td>8</td><td>Érreur relative de filtrage (exemples B<sub>1</sub>, B<sub>2</sub>, B<sub>3</sub>)</td><td>95</td></tr><tr><td>9</td><td>Érreur relative de filtrage (exemples A<sub>2</sub>'<sub>1</sub>, A<sub>3</sub>'<sub>1</sub>, A<sub>3</sub>''<sub>1</sub>)</td><td>96</td></tr><tr><td>10</td><td>Érreur relative de filtrage (exemples A<sub>4</sub>'<sub>1</sub>, A<sub>4</sub>''<sub>1</sub>, A<sub>5</sub>'<sub>1</sub>, A<sub>5</sub>''<sub>1</sub>, A<sub>5</sub><sup>(5)</sup>, A<sub>5</sub><sup>(6)</sup>)</td><td>96</td></tr><tr><td>11-12</td><td>Érreur relative de filtrage. choix à priori de Q<sub>s</sub> (ex : A<sub>3</sub>, A<sub>3</sub>, C<sub>1</sub>)</td><td>98</td></tr><tr><td>13</td><td>Érreur relative de filtrage (ex : D<sub>2</sub>, E<sub>1</sub>, E<sub>2</sub>)</td><td>131</td></tr><tr><td>14</td><td>Érreur relative de filtrage (ex : A<sub>5</sub><sup>(7)</sup>, A<sub>5</sub><sup>(8)</sup>)</td><td>132</td></tr><tr><td>15</td><td>Érreur relative de filtrage. choix à priori de Q<sub>s</sub> (ex : B<sub>1</sub>, B<sub>2</sub>, B<sub>3</sub>)</td><td>136</td></tr></tbody></table>
LISTE DES TABLES (*)

<table><thead><tr><td>Numéro</td><td>Titre</td><td>page</td></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>Influence du coefficient de couplage c (cas scalaire)</td><td>84</td></tr><tr><td>2-3-4-5</td><td></td><td>85 (bis-ter)</td></tr><tr><td>6</td><td>Influence du coefficient de couplage C (cas multivariable)</td><td>88</td></tr><tr><td>7</td><td>Influence de la structure de la matrice D...</td><td>92</td></tr><tr><td>8</td><td>Récapitulation de quelques résultats expérimentaux</td><td>101</td></tr></tbody></table>

<footnote>(*) Voir également annexes</footnote>
<figure><img src="image_5.png" /></figure>
# INTRODUCTION

Le développement et la diffusion des calculateurs industriels ont donné un regain d'intérêt aux techniques récursives de l'automatique. Le filtrage linéaire optimal, introduit par KALMAN vers 1960, prend dans ce contexte toute son importance. Pourtant il reste peu développé dans la pratique industrielle actuelle. Cette constatation, surprenante à priori, s'explique par le coût d'un filtrage optimal en temps de calcul et en encombrement mémoire, s'il est effectué sur calculateur numérique.

On comprend alors l'intérêt du filtrage sous optimal qui, moyennant une dégration acceptable de la qualité du filtrage, diminue l'encombrement mémoire du filtre et augmente considérablement la vitesse d'estimation d'un point. Le volume mémoire libéré permet d'y introduire les programmes d'identification et de commande (sous) optimale qui complètent les algorithmes de filtrage en vue d'une commande de processus. De plus, la diminution du temps de calcul permet d'augmenter les fréquences d'échantillonnage des signaux à filtrer et d'améliorer de ce fait l'estimation.

Nous nous plaçons, dans le cadre de ce travail, dans le cas où le signal à filtrer $y(t)$ est identifié comme la sortie d'un système linéaire excité par la somme d'un bruit blanc $v_1(t)$ (cas classique) et d'un bruit gaussien markovien $g(t)$ :

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Ce cas, plus réaliste que celui où le système est excité par un seul bruit blanc (cf § 3.1.) peut être filtré optimalement par les techniques de KALMAN, mais au prix d'une augmentation de la dimension de l'état : $g(t)$ est alors considéré comme la sortie d'un système linéaire excité par un bruit blanc $v_2(t)$.
Il peut en résulter une perte de place et de temps considérable. Nous choisissons donc d'estimer $x_1(t)$ (donc $y(t)$) sous optimalement, par un filtre de même dimension que $x_1(t)$, dont nous nous fixons à priori la structure, identique à celle du filtre de KALMAN. Le problème est donc de choisir convenablement le gain K de filtrage pour minimiser la perte due à la sous optimalité.

Une étude systématique de cette méthode nous a permis de dégager les règles pratiques permettant d'estimer à priori, en fonction des paramètres du modèle, la qualité du filtrage sous optimal relativement au filtrage optimal.

Nous nous sommes enfin demandé s'il est possible, et sous quelles conditions, d'identifier le filtre sous optimal à un filtre de KALMAN d'un modèle simplifié à déterminer : c'est le problème inverse du filtrage optimal.

Après avoir rappelé les résultats classiques du filtrage linéaire optimal et fait une revue de quelques techniques sous optimales (chapitre 2), nous définissons en termes mathématiques le problème (chapitre 3), que nous résolvons dans le cas scalaire (chapitre 4), et multivariable (chapitre 5) successivement.

Le chapitre 6 est l'étude pratique et dégage des règles pratiques. Enfin, le problème inverse du filtrage optimal est abordé au chapitre 7, et complète cette étude.
# FILTRES OPTIMAUX ET SOUS-OPTIMAUX

La première partie de ce chapitre rappelle et déve-
loppe les solutions du problème du filtrage linéaire optimal
de WIENER [2] et de KAIMAN [3] en s'inspirant de la présen-
tation de P. FAURRE [1]. On introduit ensuite une dérivation
du filtre de Kalman par le Principe du Minimum [4].

La seconde partie est une revue de quelques techni-
ques de filtrage -et de commande- sous-optimal. Les idées
les plus intéressantes sont celles consistant à partitionner
l'état [9], [10], [11], [12] et surtout à contraindre la struc-
ture de la commande [13] pour appliquer le Principe du Minimum,
qui trouve dans la nature sous-optimale du problème tout son
intérêt.

## 2.1. LE FILTRE DE WIENER.

Le problème posé est schématisé ci-dessous :

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

et consiste à faire la synthèse, c'est à dire à trouver la
réponse impulsionnelle $h(t_1, t_2)$ du filtre linéaire optimal
qui donne la meilleure estimée $\hat{z}(t)$ non biaisée de $z(t)$ à par-
tir d'observations $y(t)$.

Soit $\tilde{z}(t) = z(t) - \hat{z}(t)$ l'erreur de filtrage. Par
meilleure estimée nous entendons celle qui minimise la covarian-
ce de l'erreur $\tilde{z}(t) : E\{\tilde{z}(t) \tilde{z}^{\prime}(t)\} (*)$ (2.1)
(*) Le ' indique la transposition d'un vecteur ou d'une matrice.
Nous supposons connues les descriptions externes de
y(t) et z(t) que nous prenons centrés pour simplifier les
notations :

$$
E \{ y(t) \} = E \{ z(t) \} = 0 \quad (2.2)
$$

$$
\Lambda_{yy} (t_1, t_2) = E \{ y(t_1) y'(t_2) \} \quad (2.3)
$$

$$
\Lambda_{yz} (t_1, t_2) = E \{ y(t_1) z'(t_2) \}
$$

$$
\Lambda_{zz} (t_1, t_2) = E \{ z(t_1) z'(t_2) \}
$$

Le filtre étant linéaire, sa sortie s'exprime par
l'intégrale suivante :

$$
\hat{z}(t) = \int_{t_0}^{t} h(t, \alpha) y(\alpha) \, d\alpha \quad (2.4)
$$

En substituant cette valeur dans l'expression
définissant $\tilde{z}(t)$, nous trouvons pour (2.4) :

$$
E \{ \tilde{z}(t) \tilde{z}'(t) \} = \Lambda_{zz}(t,t) - \int_{t_0}^{t} h(t,\alpha) \Lambda_{yz}(\alpha,t) d\alpha
$$

$$
- \int_{t_0}^{t} \Lambda_{zy}(t, \alpha) h'(t, \alpha) \, d\alpha + \int_{t_0}^{t} \int_{t_0}^{t} h(t, \alpha) \Lambda_{yy}(\alpha, \beta) h'(t, \beta) \, d\alpha \, d\beta \quad (2.5)
$$

Posons $h(t,\alpha) = h^*(t,\alpha) + \lambda g(\alpha)$ ; $h^*(t,\alpha)$ réalise
le minimum de (2.5.) si et seulement si le second membre de (2.5.)
a une dérivée nulle pour $\lambda = 0$ et $g(\alpha)$ quelconque. D'où

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\Lambda_{zy}(t, \beta) - \int_{t_0}^{t} h^*(t, \alpha) \Lambda_{yy}(\alpha, \beta) \, d\alpha = 0 \quad (2.6) \\
\\
\forall \beta \in [t_0, t]
\end{array}
\right.
$$

qui exprime que $h^*(t,\alpha)$ réalise le minimum de la covariance de
l'erreur. Réécrivons (2.6) de manière à faire apparaître l'erreur
d'estimation :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\Lambda_{zy}^*(t, \beta) = 0 \hfill (2.7) \\
\\
\forall \beta \in [t_0, t]
\end{array}
\right.
$$

L'équation (2.7) souligne que l'erreur d'estimation
est orthogonale à toutes les observations utilisées $\{y(\alpha), \alpha \in [t_0, t]\}$
pour calculer $\hat{z}(t)$. Ce principe d'orthogonalité est illustré ci-dessous :

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Dans le cas stationnaire, qui nous intéresse plus particulièrement, les équations (2.6.) et (2.7.) deviennent :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \Lambda_{zy}(t) - \int_{-\infty}^{t} h(t-\alpha) \Lambda_{yy}(\alpha) \, d\alpha = 0 \quad (2.8) \\ \forall t \ge 0 \end{array} \right. $$

et

$$ \Lambda_{zy}(t) = 0 \quad \forall t \ge 0 \quad (2.9) $$

(Equations de Wiener-Hopf).

La résolution de l'équation de Wiener-Hopf donne la réponse impulsionnelle cherchée. Elle fait appel à la notion de factorisation forte des spectres et à la notion de partie réalisable d'une transformée.

La factorisation forte exprime que tout spectre $S_{yy}(s)$ ($s$ est la variable de Laplace) peut être factorisée en :

$$ S_{yy}(s) = S_{yy}^{+}(s) S_{yy}^{-}(s) \quad (2.10) $$

avec i) $S_{yy}^{-}(s) = [S_{yy}^{+}(-s)]'$

ii) $S_{yy}^{+}(s)$ est stable, réalisable et à phase minimale.

Donc $[S_{yy}^{+}(s)]^{-1}$ est une matrice de transfert réalisable et stable.
La partie réalisable ${A(s)}_+$ d'une transformée
$A = \{A(s)\}_+ + \{A(s)\}_-$ est telle que

$$
\mathcal{L}^{-1}[\{A(s)\}_+] = 0 \quad \text{pour } t < 0 \qquad (2.11.)
$$

La partie antiréalisable ${A(s)}_{-}$ répond à la définition :

$$
\mathcal{L}^{-1}[A(s)]_{-} = 0 \quad \text{pour } t > 0 \qquad (2.12.)
$$

si $A(s) = \{A(s)\}_+$ nous dirons que $A(s)$ est réalisable, et
antiréalisable si

$$
A(s) = \{A(s)\}_{-}.
$$

Nous pouvons revenir maintenant à (2.9.) que l'on
écrit :

$$
\{S_{zy}(s)\}_{+} = 0 \qquad (2.13.)
$$

Mais $\tilde{z} = z - Hy$ dans le plan de Laplace, $H(s) = \mathcal{L}\{h(t)\}$,
donc :

$$
(2.13.) \quad \Rightarrow \quad \{S_{zy}(s)\}_{+} = \{H S_{yy}^{+} S_{yy}^{-}\}_{+} \quad (2.14)
$$

Multiplions par la matrice antiréalisable $[S_{yy}^{-}]^{-1}$
([1], Lemme 4.1 p. 61).

$$
\{S_{zy}[S_{yy}^{-}]^{-1}\}_{+} = \{H S_{yy}^{+}\}_{+} = H S_{yy}^{+}
$$

car produit de deux facteurs réalisables. D'où enfin :

$$
H(s) = \{S_{zy}[S_{yy}^{-}]^{-1}\}_{+} [S_{yy}^{+}]^{-1} \quad (2.15)
$$

expression explicite de la matrice de transfert du filtre op-
timal.

La synthèse directe d'un filtre de WIENER consiste
essentiellement en la résolution de l'équation de Wiener-Hopf
(2.8. ou 2.9.), ou en l'application de (2.15 ).
## 2.2. LE FILTRE DE KALMAN

Nous ne considérons ici que le filtre de Kalman continu à observations continues. Ses équations sont établies ci-dessous de deux manières différentes.

La première [ 1 ] est l'approche classique, la seconde [ 4 ] utilise le Principe du Minimum. Cette dernière approche a l'avantage de présenter les matrices gradient [ 5 ] dont nous nous servirons plus loin.

### 2.2.1. APPROCHE CLASSIQUE

Soit le signal $z(t)$ à représentation gaussienne - markovienne, donc combinaison linéaire de l'état $x(t)$ d'un système linéaire excité par un bruit blanc $v(t)$ :

$$ egin{cases} \dot{x}(t) = Fx(t) + v(t) \\ z(t) = Hx(t) \end{cases} \quad (2.16) $$

Comme nous nous plaçons par la suite dans le cas stationnaire, nous supposons ici cette hypothèse réalisée, ce qui ne nuit en rien à la généralité de l'exposé. Les matrices $F$ et $H$ sont donc indépendantes du temps.

Pour simplifier les notations posons :

$$ E \{ x(t_o) \} = 0 \quad (2.17) $$

La covariance de $x(t_o)$ est donnée :

$$ E \{ x(t_o) x'(t_o) \} = P \quad (2.18) $$

Posons de même :

$$ E \{ v(t) \} = 0 \quad (2.19) $$

$$ \text{et} \quad E \{ v(t) v'(\tau) \} = Q \delta(t-\tau) \quad (2.20) $$
avec $\delta (.)$ fonction de Dirac et $Q = Q' \geq 0$ covariance du bruit blanc $v(t)$ ( la notation $\geq 0$ indique que la matrice est semi-définie positive).

Le vecteur d'état et le bruit d'excitation sont de dimension $n$ :

$$ 
\begin{aligned}
x(t) & : \quad n \times 1 \\
v(t) & : \quad n \times 1
\end{aligned}
 $$

Le processus $z(t)$ de dimension $m$ :

$$ z(t) : \quad m \times 1 $$

de sorte que $F : n \times n$ matrice stable (valeurs propres à parties réelles $<0$)

$$ 
\begin{aligned}
H & : \quad m \times n \\
Q & : \quad n \times n
\end{aligned}
 $$

Notons que la covariance $P$ de l'état initial $x(t_0)$ est solution de l'équation :

$$ FP + PF' = -Q \qquad (2.21) $$

et puisque $Q \geq 0$, $F$ stable alors que $P \geq 0$ ; si de plus $Q = LL' \geq 0$ et le couple $[F,L]$ complètement commandable, alors $P > 0$. Nous nous plaçons pour la suite sous cette hypothèse.

Supposons maintenant le processus $z(t)$ bruité par un bruit $w(t)$ :

$$ y(t) = z(t) + w(t) = H x(t) + w(t) \qquad (2.22) $$

tel que :

$$ 
\begin{gathered}
E \{ w(t) \} = 0 \\
E \{ w(t) w' (\tau) \} = R \quad \delta(t - \tau) \qquad (2.24) \\
\text{avec } R > 0 \quad (*) : \text{ matrice symétrique } m \times m
\end{gathered}
 $$

<footnote>(*) nous supposons le problème régulier et renvoyons à [1] pour le cas singulier $R \geq 0 \Rightarrow \mathcal{A} R^{-1}$</footnote>
et enfin pour simplifier que $v(t)$ et $w(t)$ sont décorrelés :

$$ E \{ v(t) w' (\tau) \} = 0 \qquad (2.25) $$

Le problème posé est de calculer à chaque instant la meilleure estimée $\hat{z}(t)$ de $z(t)$ compte tenu des observations $y(t)$ :

$$ \hat{z}(t) = E \{ z(t) | y(\alpha), \alpha \in [t_o, t] \} \qquad (2.26) $$

Mais puisque $\hat{z}(t) = H\hat{x}(t)$, d'après (2.16), le problème est résolu si l'on sait évaluer :

$$ \hat{x}(t) = E \{ x(t) | y(\alpha), \alpha \in [t_o, t] \} \qquad (2.27) $$

Résumons la situation (voir schéma) :

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

**DONNEES :**

Processus gaussien markovien $x(t)$ :

$$ \left\{ \begin{array}{l} x(t) = F x(t) + v(t) \qquad (2.16) \\ E \{ x(t_o) \} = 0 \qquad (2.17) \\ E \{ x(t_o) x'(t_o) \} = P \qquad (2.18) \\ E \{ v(t) \} = 0 \qquad (2.19) \\ E \{ v(t) v'(t) \} = Q \delta(t-t_o); Q = Q'_0 \ge 0 \qquad (2.20) \end{array} \right. $$
Observations continues y(t) :

$$
y(t) = H x(t) + w(t) \tag{2.22}
$$

$$
E \{ w(t) \} = 0 \qquad (2.23)
$$

$$
E \{ w(t) w'(\tau) \} = R \delta(t-\tau) \quad R = R' > 0 \quad (2.24)
$$

$$
E \{ v(t) w'(\tau) \} = 0 \qquad (2.25)
$$

PROBLEME :

Evaluer :

$$
\hat{x}(t) = E \{ x(t) | y(\alpha), \alpha \in [t_o, t] \} \quad (2.27)
$$

Définissons l'erreur de filtrage :

$$
\tilde{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{x}(t) - \hat{\mathbf{x}}(t) \quad (2.28)
$$

variable aléatoire gaussienne, centrée dont la covariance
vaut :

$$
\Sigma(t) = E \{ \tilde{\mathbf{x}}(t) \tilde{\mathbf{x}}'(t) \} \quad (2.29)
$$

A l'instant initial, la meilleure estimée de x(t) est
sa valeur moyenne :

$$
\hat{x}(t_o) = 0 \tag{2.30}
$$

et par conséquent, d'après (2.28), (2.29) et (2.18)

$$
\Sigma(t_o) = \Sigma_o = P \tag{2.31}
$$

Afin de ne pas alourdir l'exposé, supposons connue la
forme du filtre (voir la démonstration rigoureuse dans KALMAN [3]) :

$$
\hat{x}(t) = F \hat{x}(t) + K(t) [y(t) - H \hat{x}(t)] \quad (2.32)
$$

Le problème est donc celui du choix du gain optimal
K(t) minimisant la covariance de l'erreur Σ(t).
Retranchons (2.32) à (2.16) ce qui nous fournit l'équation vérifiée par l'erreur :

$$ \dot{\tilde{x}}(t) = [F - K(t) H] \tilde{x}(t) + v(t) - K(t) w(t) \quad (2.33) $$

$\tilde{x}(t)$ est donc la réponse du système linéaire de matrice $F - KH$ au bruit d'excitation $v - Kw$. Il en résulte que la covariance de $\tilde{x}(t)$ vérifie l'équation :

$$ \dot{\Sigma}(t) = (F - KH) \Sigma + \Sigma(F - KH)' + KRK' + Q \quad (2.34) $$

qui s'écrit également :

$$ \dot{\Sigma}(t) = F \Sigma + \Sigma F' - \Sigma H' R^{-1} H \Sigma + Q + [K - \Sigma H' R^{-1}] R [K - \Sigma H' R^{-1}]' \quad (2.35) $$

et l'on vérifie aisément que $K^* = \Sigma^* H' R^{-1}$ minimise $\Sigma$ en ce sens que :

$$ v(t) \quad \Sigma^*(t) \le \Sigma(t) \quad (c'est à dire : \Sigma^*(t) - \Sigma(t) \le 0) $$

Le filtrage optimal correspond donc au gain :

$$ K^* = \Sigma^* H' R^{-1} \quad (2.36) $$

La covariance de l'erreur vérifiant l'équation de Riccati matricielle :

$$ \left\{ \begin{aligned} \dot{\Sigma}^*(t) &= F \Sigma^* + \Sigma^* F' - \Sigma^* H' R^{-1} H \Sigma^* + Q \\ \Sigma^*(t_0) &= \Sigma_0 \end{aligned} \right. \quad (2.37) $$

En résumé, les équations du filtre récursif de KALMAN-BUCY, sont :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{L'équation donnant la covariance de l'erreur} \quad (2.37) \\ \text{L'équation du gain} \quad (2.36) \\ \text{L'estimée de } x(t) \quad (2.32) \end{array} \right. $$
Cette seconde approche présente comme nous l'avons signalé, une originalité que nous utiliserons ultérieurement : le calcul des matrices gradient. Le problème est posé dans les mêmes termes qu'au paragraphe précédent.

Sachant que le meilleur filtre dans le cas gaussien-markovien est linéaire (2.32), nous nous imposons ici sa structure à priori :

$$ \dot{\hat{x}}(t) = A(t) \hat{x}(t) + G(t) y(t) \quad (2.38) $$

$x(t)$, état à estimer, est de dimension $n$. Ceci implique que $\hat{x}(t)$ doit être au moins de même dimension. Il semble raisonnable de limiter le volume des calculs de filtrage en prenant $n$ pour dimension de $\hat{x}(t)$ :

$$ \begin{aligned} \hat{x}(t) & : n \times 1 \\ A(t) & : n \times n \\ G(t) & : n \times m \end{aligned} \quad (2.39) $$

Il nous faut donc trouver $\hat{x}(t_0)$, $A(t)$, $G(t)$ en imposant que :

i) $\hat{x}(t)$ soit une estimée non biaisée de $x(t)$

i i) $\hat{x}(t)$ soit une estimée à variance minimum de $x(t)$

Considérons pour commencer la condition i) et introduisons l'erreur de filtrage :

$$ \tilde{x}(t) = x(t) - \hat{x}(t) \quad (2.40) $$

l'équation vérifiée par $\tilde{x}(t)$ s'obtient par différence, comme précédemment :

$$ \begin{aligned} \dot{\tilde{x}}(t) &= F x(t) + v(t) - A(t) \hat{x}(t) - G(t) y(t) \\ &= [F - G(t) H] x(t) - A(t) [x(t) - \tilde{x}(t)] + v(t) - G(t) w(t) \\ \dot{\tilde{x}}(t) &= [F - A(t) - G(t) H] x(t) + A(t) \tilde{x}(t) + v(t) - G(t) w(t) \end{aligned} \quad (2.41) $$
L'estimation est non biaisée si :

$$
\begin{array}{l}
E \{ x(t) | \hat{y}(\alpha), \alpha \ [t_o, t] \} = E \{ \hat{x}(t) | y(\alpha), \alpha \ [t_o, t] \} & (2.42) \\
\text{ou encore} \\
E \{ \hat{x}(t) | y(\alpha), \alpha \ [t_o, t] \} = 0 & \text{\textit{Vt} } \ge t_o
\end{array}
$$

$$
\text{\textit{Vt}} \geq t_o \quad (2.43)
$$

ainsi que l'équation obtenue par dérivation par rapport au
temps.

Appliquons ces définitions à l'équation (2.41) en
prenant l'espérance conditionnelle des deux membres :

$$
\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
[ F - A(t) - G(t) H ] \hat{x}(t) = 0 \\
\text{\textit{Vt}} \ge t_o
\end{array}
\right.
\qquad (2.44)
$$

d'où il résulte que :

$$
F - A(t) - G(t) H = 0 \tag{2.45}
$$

puisque la relation (2.44) doit tenir pour tout t, et que
$$ \hat{x}(t) \neq 0 $$

Par ailleurs, le fait d'imposer $E\{\tilde{x}(t_o)\} = 0$
(voir 2.43), nous donne :

$$
\hat{x}(t_o) = E \{ x(t_o) \} = 0 \tag{2.46}
$$

Nous ne considérons dans la suite que les filtres
linéaires d'ordre n non biaisés d'équation :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\dot{\hat{x}}(t) = [F - G(t) \ H] \hat{x}(t) + G(t) y(t) \quad (2.47) \\
\hat{x}(t_o) = E \{ x(t_o) \} = 0 \quad (2.46)
\end{array}
\right.
$$

L'optimisation se fait en choisissant convenablement
le paramètre G(t), gain du filtre. L'équation différentielle
satisfaite par l'erreur de filtrage s'écrit maintenant :

$$
\hat{x}(t) = [F - G(t) H] \tilde{x}(t) + v(t) - G(t) w(t) \quad (2.48)
$$
La covariance de l'erreur suit l'équation déjà rencontrée :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\dot{\Sigma}(t) = [F - G(t) H] \Sigma + \Sigma [F - G(t) H]' + G(t) R G'(t) + Q \\
\Sigma(t_o) = \Sigma_o
\end{array}
\right.
\quad (2.49)
$$

Pour le paragraphe précédent, nous avions choisi un critère matriciel :

$$
\Sigma_1(t) \le \Sigma_2(t) \Leftrightarrow \Sigma(t) - \Sigma'(t) \text{ semi-définie négative}
$$

nous introduisons ici un critère scalaire :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
J = E \{ \tilde{x}'(t) M(t) \tilde{x}(t) \} \\
M(t) = M'(t) > 0
\end{array}
\right.
\qquad (2.50)
$$

Mais en utilisant la relation :

$$
x'y = \operatorname{tr} \{ yx' \}
$$

dans laquelle x et y sont des vecteurs colonnes, nous réécrivons
(2.50) :

$$
J = E \{ \operatorname{tr} \{ M(t) \tilde{x}(t) \tilde{x}'(t) \} \} = \operatorname{tr} \{ M(t) E \{ \tilde{x}(t) \tilde{x}'(t) \} \}
$$

soit finalement :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
J = \operatorname{tr} \{ M(t) \Sigma(t) \} \\
M(t) = M'(t) > 0
\end{array}
\right.
\qquad (2.51)
$$

Soit P(t) la matrice des états adjoints de Σ(t). L'utilisation du principe du minimum requiert la définition du Hamiltonien :

$$
h = \sum_{i,j=1}^{n} \dot{\Sigma}_{ij}(t) P_{ij}(t) = \operatorname{tr} \{ \dot{\Sigma}(t) P'(t) \} \quad (2.52)
$$

quadratique en G(t). Le principe du minimum utilisé conjointement
avec la notion de matrice gradient (voir annexe 1), conduit aux
conditions nécessaires de minimalité de J :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial h}{\partial G(t)} = 0 \\[1em]
\displaystyle \frac{\partial h}{\partial \Sigma(t)} = - \dot{P}(t) \\[1em]
\displaystyle \frac{\partial \dot{j}}{\partial \Sigma(t)} = P(t)
\end{array}
\right.
\qquad (2.53)
$$

avec l'équation de contrainte (2.49) retrouvée par la condition
$$ \dot{\Sigma} = \frac{\partial h}{\partial P} . $$

Les règles de calcul (voir annexe 1) permettent de déduire des
équations précédentes :

$$
\begin{equation}
\begin{split}
(2.53) \Rightarrow -P(t) \Sigma'(t) H' - P'(t) \Sigma(t) H' + P(t) G(t) R' & \\
& \qquad + P'(t) G(t) R = 0
\end{split}
\tag{2.56}
\end{equation}
$$

$$
(2.54) \Rightarrow \dot{P} = -F' P - H' G'(t) P - P F - P G H
$$

soit encore :

$$
\dot{P} = -P [F - G(t) H] - [F - G(t) H]' P \quad (2.57)
$$

$$
(2.55) \quad \Rightarrow \quad P(t) = M(t) \qquad (2.58)
$$

d'où il vient que $P = P' > 0$ donc $P^{-1}$ existe et (2.56) se
simplifie :

$$
2 G(t) R = \Sigma' H' + \Sigma H'
$$

mais $\Sigma = \Sigma'$ et $R = R' > 0$ donc

$$
\text{donc } G(t) = \Sigma(t) H' R^{-1} \qquad (2.59)
$$

Reportons la valeur optimal du gain (2.59) dans l'équation (2.49) :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\dot{\Sigma}(t) = F \Sigma + \Sigma F' - \Sigma H' R^{-1} \quad H \Sigma + Q \\
\Sigma(t_o) = \Sigma_o
\end{array}
\right.
\qquad (2.60)
$$
Les équations (2.60), (2.59), (2.46) et (2.47) sont celles
du filtre de Kalman que nous avons donc retrouvé directement à par-
tir du Principe du Minimum. Il apparaît d'après les calculs précé-
dents que ces équations sont des conditions nécessaires. On a montré
([4], [6]) que ce sont des conditions suffisantes en utilisant
l'équation de Hamilton-Jacobi.

L'intérêt de cette méthode est de permettre d'introduire
naturellement des contraintes supplémentaires sur le filtre. Nous
la retrouverons donc en filtrage sous optimal. De plus, elle per-
met de vérifier que le filtre de Kalman-Bucy est optimal pour un
grand nombre de critères.
## 2.3. COMPARAISON DES FILTRES DE WIENER ET DE KALMAN

Les paragraphes précédents nous ont permi d'établir les équations des filtres optimaux linéaires de Wiener et de Kalman. Nous nous sommes volontairement limités au cas de signaux stationnaires, pour lequel le filtre de Wiener a un sens. Sous ces hypothèses il convient de comparer les possibilités de ces filtres. En effet, il apparaît clairement que le filtre de Kalman est plus lourd à implanter sur calculateur que celui de Wiener. Il est donc intéressant de savoir dans quelles conditions on peut légitimement substituer un filtre de Wiener à un filtre de Kalman, ce qui présente comme avantages immédiats un gain de place mémoire et de temps de calcul. Ces économies sont fondamentales en milieu industriel, puisque d'une part, les calculateurs industriels ont une mémoire centrale limitée la plupart du temps par une arithmétique flottante programmée donc lente et que d'autre part, le filtrage n'a d'intérêt que s'il sert à éliborer une commande optimale, c'est-à-dire, que d'autres programmes sont simultanément en mémoire centrale et prennent du temps calcul. De plus, ces filtres sont utilisés que pour des systèmes performants, sans quoi on leur préfère les classiques P.I.D. (en monovariable).

### 2.3.1 REGIME PERMANENT

Sous les hypothèses introduites en 2.2. :

i) F stable

ii) $Q = L L' \ge 0$

iii) $R > 0$

et si iv) [F, L] complètement commandable

v) [H, F] complètement observable,

l'équation de Riccati (2.37) et (2.60) est stable et tend, après le régime transitoire, vers l'équation algébrique :

$$F \Sigma_{\infty} + \Sigma_{\infty} F' - \Sigma_{\infty} H' R^{-1} H \Sigma_{\infty} + Q = 0 \quad (2.61)$$
qui a une solution unique $\Sigma_{\infty} = \Sigma'_{\infty} > 0$. Le gain du filtre devient constant et prend pour valeur :

$$ K = \Sigma_{\infty} H' R^{-1} \qquad (2.62) $$

$\Sigma_{\infty}$ solution de (2.61). Le filtre a donc pour équation :

$$ \dot{\hat{x}}(t) = [F - KH] \hat{x}(t) + Ky(t) \qquad (2.63) $$

et pour matrice de transfert :

$$ h(s) = [sI - (F - KH)]^{-1} K \qquad (2.64) $$

qui est celle qui serait obtenue à partir de la synthèse de Wiener.

Le filtre de Kalman tend vers le filtre de Wiener.

En régime permanent il y a donc une équivalence rigou-
reuse que nous mettrons à profit.

- Qu'en est-il en régime transitoire ?

### 2.3.2. REGIME TRANSITOIRE [7]

Puisqu'en régime permanent les filtres de Wiener et Kalman sont équivalents, l'avantage du Kalman apparaît surtout durant le régime transitoire (et dans le cas non stationnaire que nous avons exclu de notre discussion). Avec SINGER et FROST [7] nous nous demandons s'il est possible d'évaluer la perte d'optimalité consécutive à l'utilisation en transitoire d'un Wiener au lieu d'un Kalman.

L'équation du filtre de Wiener s'écrit [7] :

$$ \begin{cases} \dot{\hat{x}}_w(t) = [F - KH] \hat{x}_w(t) + Ky(t) \\ \hat{x}_w(0) = 0 \end{cases} \qquad (2.63) $$
De sorte que la matrice de covariance de l'erreur de filtrage de Wiener $\Sigma_W(t)$ satisfait l'équation différentielle

$$ egin{cases} 
\dot{\Sigma}_W(t) = A \Sigma_W(t) + \Sigma_W(t) A' + K R K' + Q \\ 
\Sigma_W(o) = \Sigma_o \\ 
A = F - K H 
\end{cases} 
\quad (2.64) $$

K étant donné par (2.61) et (2.62) les erreurs transitoires sont définies par :

$$ \tilde{\Sigma}_k(t) = \Sigma_k(t) - \Sigma_\infty \quad (2.65) $$

pour le filtrage de Kalman, et par :

$$ \tilde{\Sigma}_W(t) = \Sigma_W(t) - \Sigma_\infty \quad (2.66) $$

pour le filtrage de Wiener, Posons :

$$ M_o = \Sigma_o - \Sigma_\infty \quad (2.67) $$

les erreurs transitoires de Wiener et Kalman (2.65) et (2.66) sont solutions des équations :

$$ egin{cases} 
\dot{\tilde{\Sigma}}_k(t) = A \tilde{\Sigma}_k + \tilde{\Sigma}_k A' - \tilde{\Sigma}_k H' R^{-1} H \tilde{\Sigma}_k \\ 
\tilde{\Sigma}_k(o) = M_o 
\end{cases} 
\quad (2.68) $$

$$ egin{cases} 
\dot{\tilde{\Sigma}}_W(t) = A \tilde{\Sigma}_W + \tilde{\Sigma}_W A' \\ 
\tilde{\Sigma}_W(o) = M_o 
\end{cases} 
\quad (2.69) $$

Si toutes les variables d'état sont estimées, $M_o > 0$ et les équations ont pour solution :

$$ \tilde{\Sigma}_W(t) = e^{At} M_o e^{A't} \quad (2.70) $$
$$ \tilde{\Sigma}_k^{-1}(t) = e^{-A't} [M_o^{-1} + B(0,t)] e^{-At} \quad (2.71) $$

$$ B(0,t) = \int_0^t e^{A't} H' R^{-1} H e^{At} dt \quad (2.72) $$

quelques manipulations algébriques permettent d'aboutir à l'équation importante :

$$ \Sigma_w(t) - \Sigma_k(t) = e^{At} M_o B(0,t) [M_o^{-1} + B(0,t)]^{-1} e^{A't} \quad (2.73) $$

qui nous donne la différence des covariances d'erreur résultant des deux filtrages.

La norme spectrale de $M = M' \ge 0$ est définie par

$$ \| M \| = \lambda_{\max} \{M\} \quad (2.74) $$

où $\lambda_{\max}$ (.) indique la plus grande valeur propre de la matrice.

On utilise cette norme pour encadrer $|| \Sigma_w(t) - \Sigma_k(t) ||$ sachant que :

$$ \begin{aligned} || e^{At} || &= e^{\alpha_{\max} t} \\ || e^{-At} || &= e^{\alpha_{\min} t} \end{aligned} \quad (2.75) $$

tous calculs faits, il vient :

$$ \begin{aligned} & ||\Sigma_w(t) - \Sigma_k(t)|| \ge ||\Sigma_o - \Sigma_\infty|| \cdot e^{2\alpha_{\max}t} \\ & \min \left\{ 1, \frac{||\Sigma_o - \Sigma_\infty|| \cdot ||H'R^{-1}H|| (1-e^{2\alpha_{\max}t})}{2 |\alpha_{\max}|} \right\} \end{aligned} \quad (2.76) $$
et,

$$ \|\Sigma_w(t) - \Sigma_k(t)\|_{\ge \text{MAX}} \left\{ \frac{\|B(0,t)\| e^{2\alpha_{\min}t}}{\|M_o^{-1}\| (\|M_o^{-1}\| + \|B(0,t)\|)} , \frac{\|M_o\| e^{2\alpha_{\min}t}}{1 + \|B^{-1}(0,t)\| \|M_o^{-1}\|} \right\} \quad (2.77) $$

Dans la plupart des cas le gain obtenu par l'utilisation d'un filtre de Kalman au lieu du filtre de Wiener est faible. Les expression précédentes permettent d'ailleurs d'en juger à priori.
2.4. REVUE DE QUELQUES TECHNIQUES DE FILTRAGE SOUS-OPTIMAL

Le dernier paragraphe nous a permis de montrer qu'en
général l'utilisation d'un filtre de Wiener dégrade très peu
le filtrage, mais permet des gains intéressants en place mémoire
et en temps de calcul. Il est alors tentant de faire un pas de
plus, et d'admettre une dégration du filtrage même après le
régime transitoire : c'est le filtrage sous-optimal. On attend
en contre-partie les mêmes avantages que précédemment.

Dans la pratique la démarche est différente. L'ingénieur
se fixe à priori une structure de filtre et des contraintes. Puis
en ajustant les paramètres il essaye d'obtenir le meilleur filtre
possible du type choisi, pour les contraintes données. L'objet de
cette partie est d'exposer quelques approches qui nous ont semblé
intéressantes et relevant du même esprit que celle que nous présen-
tons ultérieurement.

La dualité entre les problèmes de contrôle et de filtrage
nous autorise à présenter également ici des techniques de contrôle
sous-optimal.

Les différentes approches visent à réduire le temps de
calcul. Pour cela on peut, soit subsistuer à des pondérations
matricielles, des pondérations scalaires, soit définir une parti-
tion sur le vecteur d'état et supposer que les éléments de la
partition sont décorrélés entre eux. De la validité de cette der-
nière hypothèse dépend la qualité du filtrage sous-optimal. Enfin,
on peut contraindre la structure du filtre et utiliser le Principe
du Minimum.

BESS [8] utilise la première idée et substitue des
scalaires à des matrices dans l'expression définissant l'estimée
de l'état. Remplaçant un produit matriciel par le produit d'une
matrice par une scalaire, il gagne 2n opérations, n étant la
dimension de l'état. Le gain est encore plus important, car cette
approximation se retrouve sur la matrice de covariance de l'erreur,
qu'il n'a plus besoin de calculer complètement.
Ainsi, sans diminuer la dimension du vecteur d'état, BESS obtient une simplification des calculs allant dans le même sens. On notera cependant, que son exposé suppose la matrice d'observation H inversible, ce qui est un cas très particulier (il suggère une méthode pour le cas général où H est rectangulaire).

Lorsque la matrice de dynamique du modèle linéaire du signal à identifier a une structure particulière :

$$ \begin{bmatrix} F & 0 \\ A & E \end{bmatrix} $$

il est intéressant de partitionner l'état en $\begin{bmatrix} x \\ \alpha \end{bmatrix}$. SIMON et STUBERRUD [9] se proposent de filtrer uniquement la partie x de l'état, avec un filtre de même dimension que x. Le problème est assez simple puisque x est indépendant de α, que l'on ne souhaite pas estimer. On introduit l'équation en α dans les équations d'observations. Le problème du filtrage devient singulier, mais sa solution est connue (voir également [1]) et il est possible de retrouver l'optimalité.

Dans le même ordre d'idées du partitionnement de l'état, JOSEPH [11], PENTECOST et STUBBERUD [12] pour le filtrage, J.S. MEDITCH [10] pour le contrôle sous-optimal ont résolu le problème général. Aucune hypothèse de structure n'est faite sur la matrice de dynamique du système linéaire. On choisit une partition de l'état, les différents éléments de cette partition étant aussi décorrélés que possible. Dans le cas du contrôle [10], à chacun de ces éléments est associé une fonction de coût. Le coût global est approximé par une combinaison des coûts partiels. Les gains de commande sont choisis de manière à minimiser les coûts partiels et fournissent les commandes à appliquer aux éléments de la partition de l'état.

Par ce procédé, le volume de calcul est nettement diminué car le couplage entre variables du vecteur d'état est partiellement supprimé par la partition. Le problème fondamental de la qualité du filtrage, ou de la commande, sous optimal est lié au choix de la partition.
Dans un esprit différent, KOSUT [13] développe une commande sous optimale très intéressante. Il se donne un système linéaire dont il ne peut observer qu'une partie z de l'état x. Posant à priori la linéarité de la commande en fonction de l'état x(t), il y introduit cette contrainte et choisit le gain de commande en appliquant le Principe du Minimum. Cette approche souligne l'intérêt du Principe Minimum, dans le cas sous optimal; nous l'exploiterons au chapitre 5.

Toutes les techniques présentées tournent autour de la réduction des calculs soit en remplaçant des matrices par des scalaires, soit en découplant des sous ensembles de variables d'état en introduisant des partitions. Les approches consistant à ne filtrer ou ne commander qu'une partie de l'état, relèvent du même esprit.

La qualité de la sous optimalité n'est testée, sauf exception, que sur des exemples particuliers.
Après avoir formulé mathématiquement le problème de filtrage que nous nous posons, nous dérivons les équations d'évolution de l'erreur de filtrage sous optimal et en déduisons une seconde définition du problème.

### 3.1. DEFINITION DU PROBLEME

Nous avons signalé en introduction que dans de nombreux cas, l'identification du signal stationnaire à filtrer conduit à un modèle d'équations :

$$ egin{cases} 
\dot{x}_1(t) = A x_1(t) + g(t) + v_1(t) \\ 
y(t) = H_1 x_1(t) + w(t) 
\end{cases} 
\quad (3.1) $$

où $g(t)$ est un bruit à représentation gaussienne markovienne, $v_1(t)$ et $w(t)$ des bruits blancs. Les autres grandeurs correspondent aux notations classiques (cf chapitre 2). En effet, il est rare de trouver un bruit d'excitation $v(t) = g(t) + v_1(t)$ à spectre plat, ne serait-ce que dans la bande passante du système. Ce qui signifie que $v(t)$ est un bruit coloré que nous pouvons représenter en général, comme il a été dit, par la somme d'un bruit à représentation gaussienne markovienne et d'un bruit blanc.

La génération de $g(t)$ est simple à partir d'un bruit blanc, puisque la sortie d'un système linéaire excité par un bruit blanc est un signal gaussien markovien :

$$ egin{cases} 
g(t) = C x_2(t) \\ 
\dot{x}_2(t) = D x_2(t) + v_2(t) 
\end{cases} 
\quad (3.2) $$
En introduisant (3.2) dans (3.1), le processus stationnaire identifié admet pour modèle les équations suivantes :

$$ egin{cases} 
\dot{x}_1(t) = A x_1(t) + C x_2(t) + v_1(t) \\ 
\dot{x}_2(t) = D x_2(t) + v_2(t) \\ 
y(t) = H_1 x_1(t) + w(t) 
\end{cases} 
\quad (3.3) $$

$x_1(o)$ et $x_2(o)$ sont de moyenne nulle, et

$$ E \{ x_1(o) x_1'(o) \} = \Sigma_{10} $$

$$ E \{ x_2(o) x_2'(o) \} = \Sigma_{20} $$

$v_1(t)$, $v_2(t)$, $w(t)$ sont des bruits blancs gaussiens centrés de covariances :

$$ E \{ v_1(t) v_1'(\tau) \} = Q_1 \delta(t - \tau) \quad (3.4) $$

$$ E \{ v_2(t) v_2'(\tau) \} = Q_2 \delta(t - \tau) \quad (3.5) $$

$$ E \{ w(t) w'(\tau) \} = R \delta(t - \tau) \quad (3.6) $$

$Q_1 \ge 0, Q_2 \ge 0$ et $R > 0$ (cas de filtrage non dégénéré).

Ces bruits sont supposés décorrélés entre eux. Les dimensions des vecteurs, sont :

$$ \begin{cases} x_1 \\ v_1 \end{cases} : n_1 \times 1 \qquad \begin{cases} x_2 \\ v_2 \end{cases} : n_2 \times 1 \qquad \begin{cases} y \\ w \end{cases} : m \times 1 $$

et les matrices A, C, D et H, ont les dimensions requises :

$$ A : n_1 \times n_1 \quad C : n_1 \times n_2 \quad D : n_2 \times n_2 \quad H_1 : m \times n_1 $$

et sont indépendantes du temps puisque le processus est stationnaire.
Nous supposons, en outre que A et D sont stables, c'est-à-dire, à valeurs propres à partie réelle négatives :

$$ 
\begin{aligned}
\operatorname{Re}\{\lambda_A\} &< 0 \\
\operatorname{Re}\{\lambda_D\} &< 0
\end{aligned}
\qquad (3.7) $$

Sous les hypothèses faites, le filtrage optimal de

$$ \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} = x(t) $$

ne pose aucun problème : (3.7) nous assure la stabilité de l'équation de Riccati, donc la convergence du filtre. Pour nous en convaincre, définissons :

$$ x(t) = \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} : (n_1 + n_2) \times 1 ; \quad F = \begin{bmatrix} A & C \\ \frac{A}{0} & D \end{bmatrix} : (n_1 + n_2) \times (n_1 + n_2) \qquad (3.8) $$

$$ v(t) = \begin{bmatrix} v_1(t) \\ v_2(t) \end{bmatrix} : (n_1 + n_2) \times 1 ; \quad H = \begin{bmatrix} H_1 & 0 \end{bmatrix} : m \times (n_1 + n_2) $$

ce qui nous permet de réécrire (3.3) sous la forme équivalente :

$$ \left\{ \begin{aligned} \dot{x}(t) &= Fx(t) + v(t) \\ y(t) &= Hx(t) + w(t) \end{aligned} \right. \qquad (3.9) $$

F étant stable d'après (3.7). Le filtre de KALMAN en découle directement (cf chapitre 2).

Cependant, le filtrage optimal est lourd puisque pour filtrer $x_1(t)$, soit $n_1$ scalaires, nous augmentons la dimension de l'état à $n_1 + n_2$.
Admettons une perte de précision et choisissons d'estimer $\hat{x}_1(t)$ par le filtre sous optimal suivant :

$$ egin{cases} \dot{\hat{x}}_s(t) = A \hat{x}_s(t) + K_s [y - H_1 \hat{x}_s(t)] \\ \hat{x}_s(0) = 0 \end{cases} \quad (3.10) $$

la sous optimalité provient de l'absence dans (3.10) de $\hat{x}_2(t)$.

Formellement (3.10) peut être considéré, éventuellement, comme le filtre de KALMAN optimal d'un modèle :

$$ egin{cases} \dot{x}_s(t) = A x_s(t) + v_s(t) \\ y(t) = H_1 x_s(t) + w(t) \end{cases} \quad (3.11) $$

$$ \text{avec} \quad E \{ v_s(t) v_s'(t) \} = Q_s \delta(t - \tau) \quad (3.12) $$

Le paramètre du filtre d'équation (3.10) est le gain de filtrage $K_s$. Le problème est donc de choisir le gain $K_s$ sous la contrainte de structure (3.10) de manière à minimiser la covariance de l'erreur de filtrage sous optimal.

Dans un second temps nous chercherons à interpréter (si cela est possible) ce gain $K_s$ minimisant l'erreur comme le gain d'un filtre de KALMAN pour un modèle simplifié d'équation (3.11). Il s'agira de passer de $K_s$ au bruit blanc d'excitation $v_s$ du système linéaire, donc à sa matrice de covariance $Q_s$, paramètre du modèle simplifié (3.11). L'existence du modèle dépend de la positivité de $Q_s$.

Nous simplifions à priori le problème en supposant $K_s$ constant en fonction du temps. Le filtrage considéré correspond au régime permanent, et nous sommes assurés de l'équivalence entre les filtres de KALMAN et WIENER. De plus, nous avons vu que la différence de filtrage durant le régime transitoire n'est pas considérable et de toute façon évaluable à priori (cf paragraphe 2.3).
Nous cherchons donc à estimer, en régime permanent, le signal $x_1(t)$ sortie d'un système linéaire excité par $g(t) + v_1(t)$ (3.1). Nous contraignons le filtre à être un KALMAN - ou un WIENER - d'équation (3.10). La minimisation de la covariance de l'erreur est obtenue par un choix judicieux du gain de filtrage $K_s$ = constante (qui correspond éventuellement à une approximation par un bruit blanc $v_s(t)$ (3.11) de la somme d'un bruit gaussien markovien $g(t)$ et d'un bruit blanc $v_1(t)$ ).

Le problème étant ainsi défini, le prochain paragraphe établit les équations donnant la covariance de l'erreur de filtrage sous optimal. A partir de celle-ci, nous traiterons le problème en considérant pour commencer le cas scalaire, puis en généralisant au cas vectoriel. Cette étude sera suivie d'une analyse des vérifications expérimentales sur calculateur numérique.

## 3.2. ETUDE DES ERREURS DE FILTRAGE

L'objet de ce paragraphe est d'établir les équations que vérifient les matrices de covariances des erreurs de filtrage.

Le cas du filtrage optimal a été traité dans le chapitre 2. La matrice de covariance de l'erreur :

$$ \Sigma(t) = E \{ \tilde{x}(t) \tilde{x}'(t) \} $$

vérifie l'équation de Riccati matricielle (2.37). Comme l'état $x$ du système (3.9) est partitionné en :

$$ x = \begin{bmatrix} x_1 \\ \hline x_2 \end{bmatrix} $$

la covariance de l'erreur de filtrage optimal est la matrice par blocs :

$$ \Sigma(t) = \begin{bmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \hline \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{bmatrix} $$
$\Sigma_{11}$ et $\Sigma_{22}$ symétriques et $\Sigma'_{12} = \Sigma_{21}$. L'erreur de filtrage optimal sur la partie $x_1(t)$ de l'état est donc :

$$ \Sigma_{11}(t). $$

Etudions maintenant la covariance de l'erreur de filtrage sous optimal. Pour cela rapprochons l'équation (3.9) définissant l'évolution de $x(t)$ de l'équation du filtre sous optimal (3.10) :

$$ \begin{cases} \bullet & x = F x + v \\ \bullet & \hat{x}_s = A \hat{x}_s + K_s [y - H_1 \hat{x}_s] \end{cases} \quad (3.13) $$

et définissons $[1]$ :

$$ \pi(t) = E \left\{ \begin{bmatrix} x \\ \hat{x}_s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' & \hat{x}_s' \end{bmatrix} \right\} \quad (3.14) $$

ou encore, d'après la partition sur $x$ :

$$ \pi(t) = E \left\{ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \hat{x}_s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1' & x_2' & \hat{x}_s' \end{bmatrix} \right\} \quad (3.15) $$

L'erreur de filtrage sous optimal $\hat{x}_s = x_1 - \hat{x}_s$ est centrée puisque $x$, et $\hat{x}_s$ sont centrés, et de covariance :

$$ \eta(t) = E \left\{ \tilde{x}_s(t) \tilde{x}_s'(t) \right\} \quad (3.16) $$

si $I$ est la matrice identité $n_1 \times n_1$, $\eta(t)$ se déduit de $\pi(t)$ par la relation simple suivante :

$$ \eta(t) = [I \ 0 \ -I] \pi(t) \begin{bmatrix} I \\ 0 \\ -I \end{bmatrix} \quad (3.17) $$

Etablissons donc l'équation d'évolution de $\pi(t)$. Remplaçons dans (3.13) $y$ par sa valeur tirée de (3.3) :

$$ \begin{bmatrix} \bullet \\ x \\ \hat{x}_s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F & 0 \\ K_s H_1 & A - K_s H_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ \hat{x}_s \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} v \\ K_s w \end{bmatrix} \quad (3.18) $$
π est donc solution de l'équation :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\dot{\pi} = \begin{bmatrix} F & 0 \\ K_s H_1 & A - K_s H_1 \end{bmatrix} + \pi \begin{bmatrix} F & 0 \\ K_s H_1 & A - K_s H_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} Q & 0 \\ 0 & K_s R K_s' \end{bmatrix} \\
\pi(0) = \begin{bmatrix} \Sigma(0) & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\end{array}
\right.
\quad (3.19)
$$

Posons :

$$
G = \begin{bmatrix} F & 0 \\ K_s H_1 & A - K_s H_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & C \\ 0 & D \\ K_s H_1 & 0 \end{bmatrix} \quad (3.20) \quad A - K_s H_1
$$

$$
P = \begin{bmatrix} Q & 0 \\ 0 & K_s R K_s' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Q_1 & 0 \\ 0 & Q_2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \quad (3.21) \quad K_s R K_s'
$$

et (3.19) devient :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\dot{\pi} \triangleq G\pi + \pi G' + P \\
\pi(0) = \begin{bmatrix} \Sigma(0) & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\end{array}
\right.
\qquad (3.22)
$$

Les équations (3.22) et (3.17) définissent l'évolution de
la covariance de l'erreur de filtrage sous optimal η(t). Après le
régime transitoire du système, la covariance π(t) devient constante -
sous réserve de sa convergence - et la covariance de l'erreur de
filtrage sous optimal, constante également, est donnée par les équa-
tions suivantes :

$$
G\dot{\pi} + \pi G' = -P \quad (3.23)
$$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
G\pi + \pi G' = -P \\
\\
\eta = [I \quad O - I] \pi \begin{bmatrix} I \\ O \\ -I \end{bmatrix}
\end{array}
\right.
\qquad (3.24)
$$
En recherchant le meilleur filtre sous optimal à gain $K_s$ constant, nous utiliserons ces deux dernières équations.

### 3.3. NOUVELLE DEFINITION DU PROBLEME

Compte tenu des expressions que nous venons de développer, le problème du filtrage sous optimal dans sa première partie devient :

Trouver une matrice de gain $K_s$ minimisant trace $\{\eta\}$ donné par (3.23) et (3.24), c'est-à-dire se rapprochant autant que possible de trace $\{\Sigma_{11}\}$, erreur de filtrage optimal sur la partie $x_1$ de l'état $x$.
Le cas scalaire étudié est défini par la contrainte de
dimensions :

$n_1 = n_2 = m = 1$

et les grandeurs scalaires sont représentées par des lettres minus-
cules. Une expression explicite de la covariance de l'erreur de
filtrage (équation 4.13.) est obtenue, à la fois par l'approche
spectrale, et par les équations des covariances.

res.

L'étude de cette fonction du gain k_s de filtrage sous
optimal nous montre qu'il existe un minimum et un seul, donc un seul
meilleur gain sous optimal k_s*. Ce gain est toujours positif.

4.1. APPROCHE PAR LES EQUATIONS DES COVARIANCES

Au paragraphe 3.2, nous avons établi les équations satis-
faites par la covariance de l'erreur de filtrage sous optimal :

$$
\begin{equation}
G\pi + \pi G' = -P \tag{4.1}
\end{equation}
$$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\eta = [\uparrow \ 0 \ -1] \pi \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} \\
\qquad \text{(4.2)}
\end{array}
\right.
$$

La covariance après régime transitoire η(k_s) est une
fonction scalaire du gain scalaire k_s que nous allons chercher à
minimiser par rapport à k_s. Nous calculons pour commencer son gra-
dient qui fait apparaître des groupements intéressants.
$$4.1.1. \text{ Calcul du gradient } \frac{d\eta}{dk_s}$$

Il nous faut donc calculer $\frac{d\pi}{dk_s}$ d'après (4.1) :

$$G \frac{d\pi}{dk_s} + \frac{d\pi}{dk_s} G' = - \left( \frac{dG}{dk_s} \pi + \pi \frac{dG'}{dk_s} + \frac{dP}{dk_s} \right) \quad (4.3)$$

Posons :

$$\pi = \pi' = \begin{bmatrix} \pi_{11} & \pi_{12} & \pi_{13} \\ \pi_{12} & \pi_{22} & \pi_{23} \\ \pi_{13} & \pi_{23} & \pi_{33} \end{bmatrix} \quad (4.4)$$

Il est évident d'après (4.1) que :

$$\frac{d\pi}{dk_s} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \frac{d\pi_{13}}{dk_s} \\ 0 & 0 & \frac{d\pi_{22}}{dk_s} \\ \frac{d\pi_{13}}{dk_s} & \frac{d\pi_{23}}{dk_s} & \frac{d\pi_{33}}{dk_s} \end{bmatrix} \quad (4.5)$$

Reportant (4.4) et (4.5) dans (4.3), il vient :
$$
\left\{
\begin{aligned}
\frac{d\pi_{23}}{dk_s} &= - \frac{h_1 (\pi_{12} - \pi_{23})}{a + d - k_s h_1} \\
\frac{d\pi_{13}}{dk_s} &= - \frac{1}{2a - k_s h_1} \left[ h_1 (\pi_{11} - \pi_{13}) + c \frac{d\pi_{23}}{dk_s} \right] && (4.6) \\
\frac{d\pi_{33}}{dk_s} &= - \frac{1}{a - k_s h_1} \left[ h_1 (\pi_{13} - \pi_{33}) + k_s r + k_s h_1 \frac{d\pi_{13}}{dk_s} \right]
\end{aligned}
\right.
$$

L'expression cherchée en découle :

$$
\frac{d\eta}{dk_s} = (10-1) \frac{d\pi}{dk_s} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{d\pi_{33}}{dk_s} - 2 \frac{d\pi_{13}}{dk_s}
$$

soit :

$$
\frac{d\eta}{dk_s} = - \frac{1}{a - k_s h_1} \left[ h_1 \left( 2\pi_{13} - \pi_{11} - \pi_{33} + \frac{c(\pi_{12} - \pi_{23})}{a+d-k_s h_1} \right) + k_s r \right] \quad (4.7)
$$

Dans (4.7) nous remarquons les groupements :

$$
\pi_{11} + \pi_{33} - 2\pi_{13}
$$

et

$$
\pi_{12} - \pi_{23}
$$
qu'il sera intéressant d'utiliser par la suite. Le premier est l'expression en termes d'éléments de la matrice π de la covariance de l'erreur :

$$ \eta = \pi_1 + \pi_{33} - 2\pi_{13} \quad (4.8) $$

le second, d'après la définition de π, exprime la corrélation entre l'erreur sous optimale $\hat{x}_s$ et la composante non filtrée $x_2$ de l'état :

$$ \theta = \pi_{12} - \pi_{23} = E\{\hat{x}_s - x_2'\} \quad (4.9) $$

### 4.1.2. Expression explicite de $\eta(k_s)$

L'équation de définition de $\pi(t)$ étant symétrique, nous donne six équations scalaires :

$$ \left\{
\begin{aligned}
\dot{\pi}_{11} &= 2a \pi_{11} + 2c \pi_{12} + q_1 \\
\dot{\pi}_{12} &= (a + d) \pi_{12} + c\pi_{22} \\
\dot{\pi}_{22} &= 2d \pi_{22} + q_2 \\
\dot{\pi}_{13} &= k_s h_1 \pi_{11} + (2a - k_s h_1) \pi_{13} + c\pi_{23} \\
\dot{\pi}_{23} &= k_s h_1 \pi_{12} + (a + d - k_s h_1) \pi_{23} \\
\dot{\pi}_{33} &= 2(a - k_s h_1) \pi_{33} + 2k_s h_1 \pi_{13} + k_s^2 r
\end{aligned}
\right.
\quad (4.10) $$

avec conditions initiales :

$$ \pi_{11}(0) = \Sigma_{11}(0), \quad \pi_{12}(0) = \Sigma_{12}(0) = \pi_{21}(0), \quad \pi_{22}(0) = \Sigma_{22}(0) $$

les autres étant nulles.
Les trois premières équations (4.10) sont indépendantes de $k_s$. Introduisons les variables $\theta$ et $\eta$ définies en (4.8) et (4.9). Le système se réduit à trois équations qui seules nous intéressent :

$$ egin{cases} 
\dot{\pi}_{22} = 2d \pi_{22} + q_2 \\ 
\dot{\theta} = (a + d - k_s h_1) \theta + c \pi_{22} \\ 
\dot{\eta} = 2 (a - k_s h_1) \eta + 2c \theta + k_s^2 r + q_1 
\end{cases} 
\quad (4.11) $$

avec conditions initiales :

$$ \pi_{22}(0) = \Sigma_{22}(0), \quad \theta(0) = \Sigma_{12}(0), \quad \eta(0) = \Sigma_{11}(0) $$

Remarquons qu'avant toute information, dans tous les cas de filtrage, la covariance de l'erreur est égale à la covariance de l'état (ici $x_1$).

Il est possible d'intégrer le système (4.11), mais puisque nous nous intéressons uniquement au régime permanent, il est plus intéressant de faire tendre le temps vers l'infini et d'écrire (sous réserve de la convergence) :

$$ \begin{bmatrix} \pi_{22} \\ \theta \\ \eta \end{bmatrix} = - \begin{bmatrix} 2d & 0 & 0 \\ c & a+d-k_s h_1 & 0 \\ 0 & -2c & 2(a-k_s h_1) \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} q_2 \\ 0 \\ -(k_s^2 r + q_1) \end{bmatrix} \quad (4.12) $$

Il vient :

$$ \eta(k_s) = \frac{1}{2(k_s h_1 - a)} \left[ k_s^2 r + q_1 + \frac{c^2 q_2}{d(a+d-k_s h_1)} \right] \quad (4.13) $$

expression explicite de la covariance de l'erreur de filtrage sous optimal.
La condition de convergence mentionnée ci-dessus est équivalente à la condition de stabilité du filtre sous optimal, donc à la condition :

$$a - k_s h_1 < 0 \qquad (4.14)$$

Nous démontrons plus loin que cette condition est effectivement réalisée (cf paragraphe 4.3 et chapitre 5).

## 4.2. APPROCHE SPECTRALE

Le filtre de KALMAN en régime stationnaire est équivalent au filtre de WIENER correspondant. Par une approche spectrale, nous devons donc retrouver l'expression de la covariance de l'erreur (4.13).

L'équation de filtrage de KALMAN s'écrit :

$$\dot{\hat{x}}_s = A \hat{x}_s + k_s [y - H_1 \hat{x}_s]$$

Dans le cas scalaire, la transmittance correspondant à ce système linéaire a pour expression :

$$G(s) = \frac{k_s}{s + (k_s h_1 - a)} \qquad (4.15)$$

avec s variable de Laplace.

La stabilité de ce système implique :

$$k_s h_1 - a > 0$$

condition que nous avons déjà supposée remplie.
Le schéma du filtrage de Wiener est le suivant :

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

Le problème est d'adapter $G(s)$ par l'intermédiaire de $k_s$ pour minimiser $E\{\tilde{x} \tilde{x}'\}$. Evaluons donc le spectre $S_{\tilde{x} \tilde{x}}$ de $\tilde{x}$ :

$$ S_{\tilde{x} \tilde{x}}(s) = S_{x_1 x_1}(s) - G(s) S_{x_1 y}(s) - G(-s) S_{y x_1}(s) \\ \qquad + G(s) G(-s) S_{y y}(s) \quad (4.16) $$

Toutes les quantités de (4.16) s'expriment simplement en fonction du spectre de $x_1$, $S_{x_1 x_1}(s)$ puisque y s'écrit :

$$ y = h_1 x_1 + w $$

$$ \left\{ \begin{array}{l} S_{x_1 y}(s) = h_1 S_{x_1 x_1}(s) = S_{y_1 x_1}(s) \\[1em] S_{y y}(s) = h_1^2 S_{x_1 x_1}(s) + r \end{array} \right. \qquad (4.17) $$

Il reste à calculer $S_{x_1 x_1}(s)$. Or par définition, $x_1$ est la première composante du système linéaire :

$$ \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & c \\ 0 & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} $$
d'où

$$ S_{x_1 x_1}^{c}(s) = \frac{c^2 q_2 - q_1 (s^2 - d^2)}{(s^2 - a^2) (s^2 - d^2)} \quad (4.18) $$

Reportons (4.17) dans (4.16) :

$$ S_{\tilde{x} \tilde{x}}(s) = \frac{a^2 - s^2}{(k_s h_1 - a)^2 - s^2} S_{x_1 x_1}^{k_s}(s) + \frac{k_s^2 r}{(k_s h_1 - a)^2 - s^2} $$

Puis en introduisant (4.18) dans l'expression obtenue :

$$ S_{\tilde{x} \tilde{x}}^{c}(s) = \frac{c^2 q_2}{d^2 - (k_s h_1 - a)^2} \left[ \frac{1}{(k_s h_1 - a)^2 - s^2} - \frac{1}{d^2 - s^2} \right] + \frac{q_1 + k_s^2 r}{(k_s h_1 - a)^2 - s^2} \quad (4.19) $$

Il reste à prendre la transormée de Laplace bilatérale inverse de (4.19) puisque

$$ E \{ \tilde{x}^2 \} = \mathcal{L}_2^{-1} \{ S_{\tilde{x} \tilde{x}}(s) \} \bigg|_{\tau=0} $$

en remarquant que $a < 0$, $d < 0$ $k_s h_1 - a > 0$ :

$$ E \{ \tilde{x}^2 \} = \frac{c^2 q_2}{2(k_s h_1 - a) [d^2 - (k_s h_1 - a)^2]} + \frac{c^2 q_2}{2d [d^2 - (k_s h_1 - a)^2]} + \frac{q_1 + k_s^2 r}{2 (k_s h_1 - a)} \quad (4.13) $$
$$
E \{ \tilde{x}^2 \} = \eta(k_s) = \frac{1}{2(k_s h_1 - a)} \left[ q_1 + k_s^2 r + \frac{c^2 q_2}{d(a+d-k_s h_1)} \right] \quad (4.13)
$$

qui est bien l'expression déjà obtenue par d'autres méthodes. Nous
ne reprendrons pas cette seconde approche dans le cas multivariable.

4.3. ÉTUDE DE η(k_s)

L'équation (4.13) explicite la covariance de l'erreur de
filtrage sous optimal, après le régime transitoire, en fonction du
gain de filtrage k_s. Le meilleur filtrage sous optimal est obtenu
pour les gains k_s* qui minimisent η(k_s), c'est à dire sont tels
que :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\left. \frac{d\eta}{dk_s} \right|_{k_s^*} = 0 \\[1em]
\left. \frac{d^2\eta}{dk_s^2} \right|_{k_s^*} > 0
\end{array}
\right.
\qquad (4.20)
$$

L'étude des variations de η(k_s) nous permet de rechercher
les gains de filtrage en question. Il est commode de poser :

$$
\left\{
\begin{aligned}
\eta_1(k_s) &= \frac{k_s^2 r + q_1}{2(k_s h_1 - a)} \\
\eta_2(k_s) &= \frac{c^2 q_2}{2d (a+d-k_s h_1) (k_s h_1 - a)}
\end{aligned}
\right.
\qquad (4.21)
$$
de sorte que la covariance s'écrit maintenant :

$$ \eta(k_s) = \eta_1(k_s) + \eta_2(k_s) \quad (4.22) $$

$$ \text{4.3.1. Calcul direct de } \frac{d\eta}{dk_s} $$

Il est possible de calculer directement cette dérivée pour exprimer la condition de minimalité (4.20). Sans développer les calculs effectués, nous aboutissons à une équation de 4ème degré en $k_s$ :

$$ \begin{align} & d h_1^3 r k_s^4 - 2d r h_1^2 (2a + d) k_s^3 + d h_1 [r (a + d)^2 + 4 a r (a + d) \nonumber \\ & - h_1^2 q_1] k_s^2 + 2 [c^2 q_2 h_1^2 + h_1^2 q_1 d(a + d) - a r d(a + d)] k_s \nonumber \\ & - h_1 q_1 (d(a + d))^2 - c^2 q_2 h_1 (2a + d) = 0 \tag{4.23} \end{align} $$

$$ \text{4.3.2. Étude des variations de } \eta(k_s) $$

Àucune solution explicite n'apparaissant en (4.23), il est plus intéressant d'étudier le comportement en fonction de $k_s$ de la fonction $\eta$.

Remarquons que la condition de stabilité du filtre (4.14) implique :

$$ \eta_1(k_s) > 0 $$

$$ \eta_2(k_s) > 0 $$

pour l'ensemble des $k_s$ stables.
sans nuire à la généralité du problème, nous pouvons poser :

$$h_1 > 0 \qquad (4.24)$$

pour la suite de ce chapitre.

Etudions $η_1(k_s)$ pour commencer. La dérivée de cette fonction est une fraction rationnelle dont le numérateur :

$$h_1 r k_s^2 - 2a r k_s - h_1 q_1 \qquad (4.25)$$

détermine le signe. Les conditions de stabilité du système linéaire impliquent $a < 0$ tandis que les covariances $r, q_1$ sont positives et que $h$ l'est par hypothèse. Le polynome (4.25) a donc deux zéros l'un positif, l'autre négatif, $α$ et $β$, et les variations de $η_1(k_s)$ sont résumées dans le tableau suivant :

<table><thead><tr><th>k<sub>s</sub></th><th colspan="3">a/h<sub>1</sub></th><th>c</th><th>β</th><th></th><th>a/h<sub>1</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>dη<sub>1</sub>/dk<sub>s</sub></td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>0</td><td>+</td></tr><tr><td>η<sub>1</sub></td><td>Max</td><td></td><td></td><td>Min</td><td></td><td></td><td>Max</td></tr></tbody></table>

les zéros $α$ et $β$ sont situés de part et d'autre de $a/h_1$ limite inférieure admissible de $k_s$ en raison de la condition de stabilité.

Le minimum $η_1(k_s)$ est uniquement situé dans la zone de stabilité. Il correspond à une valeur positive du gain. La partie intéressante des variations de $η_1(k_s)$ est donc le segment $k_s \in [0, +\infty[$. Dans cette zone, cette fonction a pour asymptote la droite d'équation :

$$z(k_s) = \frac{r}{2h_1} (k_s + a)$$
l'intersection de η₁(k_s) et de z(k_s), lorsqu'elle existe est donnée par :

$$k_{si} = \frac{a^2 + h_1 q_1}{a r(h_1 - 1)}$$
$$\begin{cases} h_1 \ge 1 & k_{si} \text{ négatif ou infini. Pas d'intersection ou intersection à l'infini.} \\ h_1 < 1 & k_{si} > 0 \text{ intersection en un point.} \end{cases}$$

Etudions maintenant η₂(k_s). Le numérateur de sa dérivée détermine son sens de variation et s'écrit :

$$2a + d - 2 k_s h_1 \quad (4.26)$$

La fonction η₂(k_s) passe par un maximum pour $k_s = \frac{2a + d}{h_1} < \frac{a}{h_1}$

Dans la zone de stabilité du gain elle est monotone décroissante.

Les considérations précédentes permettent de conclure que le minimum de la covariance de l'erreur η(k_s) est unique dans la zone de stabilité du filtre. De plus ce minimum correspond à un gain de filtrage k_s positif.

Ces résultats sont schématisés par les courbes ci-dessous

<figure><img src="image_11.png" /></figure>
4.4. CONCLUSION

Les approches par les équations des covariances et
spectrale nous ont conduit, comme il avait été prévu, à la
même fonction d'erreur η(k_s). L'étude de celle-ci dans la
zone de stabilité du gain nous a permis de mettre en évidence
l'existence et l'unicité d'un minimum correspondant à un gain
de filtrage positif.

Ce minimum est situé (voir graphique ci-dessus) à
droite de celui de η₁(k_s). La recherche pratique du meilleur
gain k* se fait donc en calculant pour commencer k_s°, zéro
positif de la dérivée de η₁(k_s) (4.25) et en appliquant ensui-
te une méthode du gradient par exemple.
Nous traitons maintenant le cas où la partie de l'état
à estimer est de dimension au moins égale à 2. Le terme "multiva-
riable" est donc défini par les conditions :

$$
\begin{equation}
\begin{cases}
n_1 > 1 \\
n_2 \ge 1 \\
m \ge 1
\end{cases}
\tag{5.1}
\end{equation}
$$

Il s'ensuit que la covariance de l'erreur de filtrage
sous optimal est une matrice η fonction de la matrice de gain Ks
(n₁ × m)

$$
\eta(k_s) = [I_0 - I] \pi \begin{bmatrix} I \\ 0 \\ -I \end{bmatrix} \quad (3.24)
$$

Dans un premier temps nous établissons les équations
définissant l'erreur η(K_s), que nous cherchons ensuite à minimiser
en fonction de K_s

Trois méthodes sont présentées. D'abord minimisation
de la différence des erreurs de filtrage optimal et sous optimal.
Cette approche différente dans son esprit des équations déduites
de (3.24) nous permet d'interpréter l'égalité :

$$
K_s^* = K_1^*
$$

cas où l'on prend pour gain sous optimal la partie correspondant
à x₁ du gain optimal de KAIMAN :

$$
K^* = \begin{bmatrix} K_1^* \\ \hline K_2^* \end{bmatrix}_{-46}
$$
Nous appliquons ensuite aux équations déduites de (3.24) le Principe du Minimum, qui nous donne des conditions nécessaires d'optimalité (5.35) et constitue le résultat théorique important de ce chapitre. Enfin la méthode du gradient, plus directe, est examinée. C'est elle qui est mise en œuvre en pratique (voir chapitre 6). Dans ces deux derniers cas, nous avons établi que le gain $K_s^*$ obtenu est stable.

## 5.1. EQUATIONS DE L'ERREUR : APPROCHE PAR EQUATIONS DES COVARIANCES

Rappelons que $η(K_s)$ est défini par les équations :

$$ \eta(K_s) = [I_0 - I] \pi \begin{bmatrix} 0 \\ I \\ -I \end{bmatrix} \qquad (3.24) $$

$$ G \pi + \pi G' = -P \qquad (3.23) $$

avec

$$ G = \begin{bmatrix} A & C & O \\ O & D & O \\ K_s H_1 & O & A - K_s H_1 \end{bmatrix} \qquad (3.20) $$

$$ P = \begin{bmatrix} Q_1 & O & O \\ O & Q_2 & O \\ O & O & K_s R K_s' \end{bmatrix} \qquad (3.21) $$

développons l'équation (3.23) en tenant compte de (3.20) et (3.21) et en posant :

$$ \pi = \pi' = \begin{bmatrix} \pi_{11} & \pi_{12} & \pi_{13} \\ \pi'_{12} & \pi_{22} & \pi_{23} \\ \pi'_{13} & \pi'_{23} & \pi_{33} \end{bmatrix} \qquad (5.2) $$
Tous calculs faits, il vient :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
A \pi_{11} + \pi_{11} A' + C \pi_{12}' + \pi_{12} C' + Q_1 = 0 \\
\\
A \pi_{12} + C \pi_{22} + \pi_{12} D' = 0 \\
\\
D \pi_{22} + \pi_{22} D' + Q_2 = 0 \\
\\
A \pi_{13} + \pi_{13} (A - K_s H_1)' + C \pi_{12} + \pi_{11} (K_s H_1)' = 0 \\
\\
D \pi_{23} + \pi_{23} (A - K_s H_1)' + \pi_{12}' (K_s H_1)' = 0 \\
\\
(A - K_s H_1) \pi_{33} + \pi_{33} (A - K_s H_1)' + K_s H_1 \pi_{13} + \pi_{13}' (K_s H_1)' + K_s R K_s' = 0
\end{array}
\right.
\qquad (5.3)
$$

système de six équations matricielles car (3.23) est symétrique.
On remarque que les trois premières équations de ce système sont
indépendantes de K_s.

En appliquant (5.2) à (3.24), il vient :

$$
\eta(K_s) = \pi_{11} + \pi_{33} - \pi_{13} - \pi_{13}' \quad (5.4)
$$

Posons de même :

$$
\theta(K_s) = \pi_{12} - \pi_{23}' \quad (n_1 \times n_2) \qquad (5.5)
$$

Ce changement de variables nous autorise à ne conserver
de (5.3) que trois équations signaficatives pour calculer η(K_s).
L'interprétation des nouvelles inconnues est évidente : (5.4)
définit bien entendu la covariance de l'erreur de filtrage sous
optimal :

$$
\eta(K_s) = E \{ \tilde{x}_s \tilde{x}_s' \} \tag{5.6}
$$
tandis que (5.5) représente la corrélation entre l'erreur de filtra-
ge sous optimal $\tilde{x}_s$ et la partie de l'état non estimée $x_2$ :

$$
\theta(K_s) = E \{ \tilde{x}_s x_2' \} \tag{5.7}
$$

Dans ces conditions (5.3) devient :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
D \pi_{22} + \pi_{22} D' + Q_2 = 0 \\
\\
(A - K_S H_1) \theta + \theta D' + C \pi_{22} = 0 \\
\\
(A - K_S H_1) \eta + \eta (A - K_S H_1)' + K_S R K_S' + Q_1 + C \theta' + \theta C' = 0
\end{array}
\right.
\qquad (5.8)
$$

$(\pi_{22} = E\{x_2 x_2'\})$, ainsi qu'il en résulte de la définition de
la matrice $\pi$. Dans la suite, il nous arrivera de négliger de
réécrire la première équation du système et de considérer que $\pi_{22}$
est une donnée. Nous sommes assurés de son existence sans
ambiguïté puisque $Q_2 \ge 0$ et D est stable par hypothèse. Donc
$\pi_{22} \ge 0$ d'après le théorème de Lyapunov [1].

Le système (5.8) nous donne pour un $K_S$ choisi la valeur correspondante de la covariance de l'erreur $\eta(K_S)$. La difficulté essentielle provient du couplage entre $\eta$ et $\theta$ sous la forme $C\theta' + \theta C'$.

Le calcul de $K_s^*$ se fait par minimisation du critère
$\operatorname{tr}\{\eta\}$.

5.2. STABILITE DU GAIN K<sub>S</sub>

Reprenons la définition classique :

Définition : Le gain de filtrage $K_s$ est dit stable lorsque la matrice $A - K_s H_1$ l'est, c'est-à-dire que :

$$
\mathcal{R}_e \lambda \{ A - K_s H_1 \} < 0 \quad (\mathcal{R}_e(\cdot) = \text{partie réelle de } (\cdot))
$$
La stabilité du gain implique la convergence du filtre.
Reprenons le système (5.8), définissant η, sous la forme matricielle :

$$ \begin{bmatrix} A - K_S K_1 & C \\ 0 & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \eta & \theta \\ \theta' & \pi_{22} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \eta & \theta \\ \theta' & \pi_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (A - K_S K_1)' & 0 \\ C' & D' \end{bmatrix} = - \begin{bmatrix} Q_1 + K_S R K_1' & 0 \\ 0 & Q_2 \end{bmatrix} \quad (5.9) $$

La matrice
$$ \begin{bmatrix} \eta & \theta \\ \theta' & \pi_{22} \end{bmatrix} $$
est la matrice de covariance du vecteur $\tilde{\mathbf{x}}_s$ où $\tilde{\mathbf{x}}_s$ est l'erreur de filtrage sous optimal. Le second membre de (5.9) est une matrice semi-définie positive. Comme une matrice de covariance est définie positive (elle n'est semi-définie positive que lorsqu'une composante du vecteur n'est pas aléatoire, ce qui n'est pas le cas car nous supposons être dans un cas de problème de filtrage non trivial où il est impossible d'estimer parfaitement une composante), nous sommes sous les hypothèses du théorème de Lyapunov ([1], p 50) et nous pouvons conclure que :

$$ \begin{bmatrix} A - K_S H_1 & C \\ 0 & D \end{bmatrix} \quad \text{est stable.} $$

En particulier puisque cette matrice est triangulaire par blocs :

- Théorème 5.1.

Toute matrice de gain $K_S$ satisfaisant le système (5.8), ou de manière équivalente l'équation matricielle (5.9), est stable.

- Corollaire.

Le gain de filtrage sous optimal $K_S^*$, minimisant $\text{tr}\{\eta(K_S)\}$ est stable.
Donc quelle que soit la procédure que nous utiliserons pour chercher $K_s^*$, nous trouverons un gain stable (s'il existe).

### 5.3. RECHERCHE DU MEILLEUR GAIN DE FILTRAGE $K_s^*$

Sous les propriétés de stabilité établies ci-dessus, le système (5.8) s'écrit explicitement :

$$ egin{cases} 
\pi_{22} = \int_{0}^{\infty} e^{Dt} Q_2 e^{D't} dt \\[2ex] 
\theta = \int_{0}^{\infty} e^{(A - K_s H_1)t} c \pi_{22} e^{D't} dt \quad (5.10) \\[2ex] 
\eta = \int_{0}^{\infty} e^{(A - K_s H_1)t} [K_s R K_s' + Q_1 + C' \theta + \theta C'] e^{(A - K_s H_1)t} dt 
\end{cases} $$

cette solution explicite du système ne nous permet pas de minimiser $\eta(K_s)$ simplement. Il nous faut donc aborder le problème différemment.

#### 5.3.1. Optimisation du gain par minimisation de la différence des erreurs.

Cette approche exprime que le filtrage sous optimal est d'autant meilleur que l'erreur correspondante se rapproche plus de l'erreur de filtrage optimal. Elle va nous permettre de préciser à quoi correspond le choix :

$$ K_s^* = K_1^* $$

$K_1^*$ étant la partie du gain optimal correspondant à $x_1$ - que l'on est tenté de faire en première approximation.
Le filtrage optimal de KALMAN est l'estimation de l'état

$$
x(t) = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \quad \text{par le filtre d'équation :} \\
\begin{cases} \dot{x}(t) = F x(t) + K^* [y(t) - H x(t)] \\ x(0) = 0 \end{cases} \tag{5.11}
$$

$$
\text{posons} \qquad K^* = \begin{bmatrix} K_1^* \\ \hline \ddots \\ K_2^* \end{bmatrix} \tag{5.12}
$$

$K_1^*$ est la partie du gain qui intervient dans l'estimation de $x_1$
et $K_2^*$ celle qui intervient dans l'estimation de $x_2$. L'équation du
filtre (5.11) devient en explicitant la partition de x en $x_1$ et $x_2$ :

$$
\left\{
\begin{aligned}
\dot{\hat{x}}_1(t) &= A \hat{x}_1(t) + C \hat{x}_2(t) + K_1^* [y(t) - H_1 \hat{x}_1(t)] \\
\dot{\hat{x}}_2(t) &= D \hat{x}_2(t) + K_2^* [y(t) - H_1 \hat{x}_1(t)] \\
\hat{x}_1(0) &= \hat{x}_2(0) = 0
\end{aligned}
\right.
\qquad (5.13)
$$

Rappelons l'équation du filtre sous optimal :

$$
\dot{\hat{x}}_s(t) = A \hat{x}_s(t) + K_s [y(t) - H_1 \hat{x}_s(t)] \quad (5.14)
$$

Le rapprochement de ces équations avec celles du système
(3.3) nous permet d'exprimer les équations vérifiées par $\tilde{x}_1(t)$
erreur de filtrage optimal sur $x_1(t)$ et $\tilde{x}_s(t)$ erreur de filtrage
sous optimal sur $x_1(t)$ :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\tilde{x}_1(t) = x_1 - \hat{x}_1 \\
\tilde{x}_s(t) = x_1 - \hat{x}_s
\end{array}
\right.
\qquad (5.15)
$$
et

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\dot{\tilde{x}}_1(t) = (A - K_1^* H_1) \tilde{x}_1(t) + C \tilde{x}_2(t) + v_1 - K_1^* w(t) \quad (5.16) \\
\tilde{x}_2(t) = (A - K_s H_1) \tilde{x}_2(t) + C x_2(t) + v_1 - K_s w(t)
\end{array}
\right.
$$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\dot{\tilde{x}}_s(t) = (A - K_s H_1) \tilde{x}_s(t) + C x_2(t) + v_1 - K_s w(t) \quad (5.17) \\
\tilde{x}_s(t) = (A - K_s H_1) \tilde{x}_s(t) + C \tilde{x}_2(t) + v_1 - K_s w(t)
\end{array}
\right.
$$

$$
\text{et bien entendu : } \tilde{x}_2 = x_2 - \hat{x}_2 \quad (5.18)
$$

$$
\text{Posons } \varepsilon(t) \equiv \tilde{x}_1(t) - \tilde{x}_s(t) \quad (5.19)
$$

$\epsilon(t)$ est la différence entre les erreurs, ou encore la différence
entre les estimées optimales et sous optimales. Retranchons (5.17)
à (5.16) en introduisant $\epsilon(t)$ (5.19) :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\dot{\epsilon}(t) = (A - K_s H_1) \epsilon(t) + (K_s - K_1^*) [H_1 \tilde{x}_1(t) + w(t)] - C \tilde{x}_2(t) \\
\epsilon(0) = 0
\end{array}
\right.
\qquad (5.20)
$$

l'innovation $n(t) = H_1 \tilde{x}_1(t) + w(t) = y - H_1 \tilde{x}_1$ apparaît explicite-
ment dans (5.20) :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\dot{\epsilon}(t) = (A - K_s H_1) \epsilon(t) + (K_s - K_1^*) n(t) - C \hat{x}_2(t) \\
\epsilon(0) = 0
\end{array}
\right.
\qquad (5.21)
$$

Nous cherchons à minimiser la covariance du vecteur aléa-
toire ε(t). Ecrivons sa covariance :

$$
(5.21) \quad \epsilon(t) = \int_0^t e^{(A - K_s H_1)(t-\tau)} \left[ (K_s - K_1^*) n(\tau) - C \hat{x}_2(\tau) \right] d\tau \quad (5.22)
$$

$\epsilon(t)$ est en effet solution d'un système linéaire stationnaire.
$$
\begin{equation}
\begin{split}
E \{ \varepsilon(t) \varepsilon'(t) \} = \Lambda_{\varepsilon\varepsilon}(t) = & \int_0^t \int_0^t e^{(A-K_S H_1)} (t-\tau) \\
& \quad \left[ (K_S-K_1^*) R \delta(t-\tau) (K_S-K_1^)' + C \Lambda_{\hat{x}_2\hat{x}_2}(\tau, s) C' - (K_S-K_1^*) \Lambda_{n\hat{x}_2}(\tau, s) C' \right. \\
& \quad \left. - C \Lambda_{\hat{x}_2n}(\tau, s) (K_S-K_1^)' \right] e^{(A-K_S H_1)'} (t-s) \, d\tau \, ds
\end{split}
\tag{5.23}
\end{equation}
$$

Le terme $R \delta(t - \tau)$ représente la covariance de $n(t)$ qui a les mêmes statistiques [14] que $w(t)$. les $\Lambda_{\varepsilon\varepsilon}(\cdot, \cdot, \cdot, \cdot)$ sont les covariances des signaux indiqués et ont pour expressions :

$$
\left\{
\begin{aligned}
\Lambda_{\tilde{x}_2 \tilde{x}_2}(\tau, s) &= \int_0^{\min(\tau, s)} e^{D(t-\alpha)} K_2^* R K_2^* e^{D'(s-\alpha)} d\alpha \\
\Lambda_{\tilde{x}_2 n}(\tau, s) &= \begin{cases} 0 & \text{pour } \tau < s \\ e^{D(\tau-s)} K_2^* R & \text{pour } s \ge \tau \end{cases} \tag{5.24} \\
\Lambda_{n \hat{x}_2}(\tau, s) &= \begin{cases} R K_2^* e^{D'(s-\tau)} & \text{pour } \tau \ge s \\ 0 & \text{pour } s < \tau \end{cases}
\end{aligned}
\right.
$$

$K_S^*$ doit minimiser $\Lambda_{\varepsilon\varepsilon}(t)$ donné par (5.23). Le problème n'est pas
soluble directement en raison de la présence des exponentielles :

$e^{(A - K_S H_1)} (t - \tau)$

sous les signes somme. La substitution dans (5.20) de $(A - K_1^* H_1)$
à $(A - K_S H_1)$ serait formellement intéressante, mais il en résulte
la substitution de $[H_1 \tilde{x}_1(t) - w(t)]$ à l'innovation $n(t) = H_1 \tilde{x}_1(t)$
+ $w(t)$ et la perte des propriétés intéressantes.
Recherchons donc une solution approximative. L'équation (5.20) est un système différentiel linéaire stationnaire, avec condition initiale nulle. Son évolution libre est ainsi $\epsilon(t) = 0$. On peut imaginer, sous réserve de la stabilité de $(A - K_s H_1)$, que transmettre à ce système le minimum d'énergie en entrée l'éloignera aussi peu que possible de la solution nulle d'équilibre.

Soit

$$ q(t) = (K_s - K_1^*) n(t) - C \hat{x}_2(t) \quad (5.25) $$

le vecteur d'entrée de (5.20), manifestement $E\{q(t)\} = 0$ et

$$ E\{q(t) q'(t)\} = \Lambda_{qq}(t) = (K_s - K_1^*) R (K_s - K_1)' + C \int_0^t \int_0^t C D(t-\tau) $$

$$ K_2^* \Lambda_{nn}(\tau, s) K_2^{*'} e^{D'(t-s)} d\tau ds \quad C' $$

en substituant à $\hat{x}_2(t)$ sa valeur déduite de (5.13) d'où :

$$ \Lambda_{qq}(t) = (K_s - K_1^*) R (K_s - K_1)' $$

$$ + C \int_0^t e^{D(t-\tau)} K_2^* R K_2^{*'} e^{D'(t-\tau)} d\tau \quad C' \quad (5.26) $$

Seul le premier terme dépend de $K_s$. $\Lambda_{qq}(t)$ est minimum pour

$$ K_s = K_1^* $$

et par conséquent $A - K_s H_1 = A - K_1^* H_1$ est stable puisque le filtra-
ge optimal est stable sous les hypothèses de stabilité du système.
Cette première méthode ne nous a fourni qu'un résultat approximatif. On voit que choisir :

$$K_s = K_1^*$$

revient à minimiser la puissance transmise au système linéaire générant $\varepsilon(t) = \tilde{x}_1 - \tilde{x}_s(t)$ différence entre les erreurs optimales et sous optimales. L'équation (5.20) nous fourni l'évolution de $\varepsilon(t)$ et il est possible ainsi de connaître à chaque instant l'erreur due à l'approximation faite.

Il est certainement possible de trouver un meilleur gain, car l'approximation précédente revient à ignorer purement et simplement l'influence de $x_2$ (voir première équation de (5.13)). C'est à quoi nous nous attachons maintenant.

### 5.3.2. Optimisation du gain par le Principe du Minimum

Revenons au système (5.8) définissant $\eta(k_s)$, covariance de l'erreur de filtrage sous optimal. Il s'agit de trouver $K_s$ minimisant $\text{tr}\{\eta\}$ sous les contraintes (5.8). La forme des contrainte nous suggère, puisque cette approche a été fructueuse ([4], [13]), d'utiliser le Principe du Minimum, conjugué avec la notion de matrice gradient.

Formons le Hamiltonien :

$$h(\eta, \theta, K_s, \Lambda_1, \Lambda_2) = \text{tr}\{\eta\} + \text{tr}\{\Lambda_1' G_1(\eta, \theta, K_s)\} + \text{tr}\{\Lambda_2' G_2(\theta, K_s)\}$$

où $G_1(n_1 \times n_1)$ et $G_2(n_1 \times n_2)$ sont les contraintes (5.8) :

$$ \begin{cases} G_1(\eta, \theta, K_s) \triangleq (A - K_s H_1)^{-1} \eta + \eta(A - K_s H_1)^{-1} + K_s R K_s' + Q_1 + C\theta' + \theta C' = 0 \\ G_2(\theta, K_s) \triangleq (A - K_s H_1)^{-1} \theta + \theta D' + C\pi_{22} = 0 \end{cases} \quad (5.28) $$

où $\pi_{22}$ est une donnée (voir (5.8)), $\Lambda_1$ et $\Lambda_2$ sont les matrices adjointes de dimensions $n_1 \times n_1$ et $n_1 \times n_2$ respectivement.
Un ensemble de conditions nécessaires d'optimalité est donné par le système :

$$ \frac{\partial h}{\partial \eta} = 0, \quad \frac{\partial h}{\partial \theta} = 0, \quad \frac{\partial h}{\partial K_s} = 0 \qquad (5.29) $$

et les dérivés par rapport aux matrices adjointes redonnent les contraintes (5.28).

Exprimons (5.29) en fonction de (5.27) et (5.28) [voir annexe 1] :

$$ \frac{\partial h}{\partial \eta} = I + (\Lambda'_1(A - K_s H_1))' + \frac{\partial}{\partial \eta} \operatorname{tr} \{ \Lambda'_1 \eta (A - K_s H_1)' \} = 0 $$

I est la matrice identité $n_1 \times n_1$,

d'où

$$ (A - K_s H_1)' \Lambda_1 + \Lambda_1 (A - K_s H_1) + I = 0 \qquad (5.30) $$

$$ \frac{\partial h}{\partial \theta} = \Lambda'_1 C + \frac{\partial}{\partial \theta} \operatorname{tr} \{ \Lambda'_1 H_1 C' \} + (A - K_s H_1)' \Lambda_2 \\ \frac{\partial}{\partial \theta} \operatorname{tr} \{ \Lambda'_2 \theta D' \} = 0 \qquad (5.31) $$

d'où

$$ (A - K_s H_1)' \Lambda_2 + \Lambda_2 D + (\Lambda_1 + \Lambda'_1) C = 0 \qquad (5.31) $$

$$ \frac{\partial h}{\partial K} = - \Lambda_1 \eta H'_1 - \Lambda'_1 \eta H'_1 + \Lambda_1 K_s R + \Lambda'_1 K_s R - \Lambda_2 \theta' H'_1 = 0 $$

d'où

$$ (\Lambda_1 + \Lambda'_1)[K_s R - \eta H'_1] - \Lambda_2 \theta H'_1 = 0 \qquad (5.32) $$
Remarquons que $\Lambda_1$, matrice adjointe d'une matrice symétrique, est symétrique :

$$ \Lambda'_1 = \Lambda_1 \qquad (5.33) $$

de plus $\Lambda_1$ est solution de (5.30). Or nous avons vu que $K_s$ solution de (5.8) est stable, donc comme $I$ est définie positive, d'après le théorème de Lyapunov :

$$ \Lambda_1 > 0 \qquad (5.34) $$

donc inversible. Ces remarques nous permettent de réécrire (5.31) et (5.32) sous une forme plus agréable, de sorte que la solution du problème est résumée par les équations suivantes :

### - Théorème 5.2.

Une condition nécessaire pour que $K_s$ soit le meilleur gain de filtrage sous optimal, c'est-à-dire minimise $\text{tr}\{\eta\}$, est que $K_s$ soit solution du système :

$$ \left\{ \begin{array}{l} (A - K_s H_1) \eta + \eta (A - K_s H_1)' + K_s R K'_s + Q_1 + C \theta' + \theta C' = 0 \\ (A - K_s H_1) \theta + \theta D' + C \pi_{22} = 0 \\ (A - K_s H_1)' \Lambda_1 + \Lambda_1 (A - K_s H_1) + I = 0 \\ (A - K_s H_1)' \Lambda_2 + \Lambda_2 D + 2 \Lambda_1 C = 0 \\ K_s = [\eta + \frac{1}{2} \Lambda_1^{-1} \Lambda_2 \theta'] H_1' R^{-1} \end{array} \right. \qquad (5.35) $$

de plus ce gain $K_s$ est stable.

On vérifie que si $C=0$, $K_s = K_1^*$. Une seconde vérification de ce résultat est de l'appliquer au cas du filtrage scalaire. Représentons, comme au chapitre 4, les grandeurs scalaires par des minuscules. Le système d'équations devient :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
2(a - k_s h_1) \eta + k_s^2 r + q_1 + 2 c \theta = 0 \\
(a + d - k_s h_1) \theta + c \pi_{22} = 0 \\
2(a - k_s h_1) \lambda_1 + 1 = 0 \\
(a + d - k_s h_1) \lambda_2 + 2c \lambda_1 = 0 \\
k_s = \left[ \eta + \frac{1}{2} \frac{\lambda_2 \theta}{\lambda_1} \right] \frac{h_1}{r}
\end{array}
\right.
$$

auquel on adjoint la définition de π₂₂ :

$$
d \pi_{22} + \pi_{22} d + q_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \pi_{22} = - \frac{q_2}{2d}
$$

de plus :

$$
\theta = - \frac{c \pi_{22}}{a + d - k_s h_1} = \frac{c q_2}{2d(a + d - k_s h_1)}
$$

$$
\eta = \frac{k_s r^2 + q_1}{2(k_s h_1 - a)} + \frac{c^2 q_2}{2d(k_s h_1 - a) (a + d - k_s h_1)}
$$

$$
\lambda_1 = \frac{1}{2(k_s h_1 - a)}
$$

$$
\lambda_2 = - \frac{2 c \lambda_1}{(a + d - k_s h_1)} \Rightarrow \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = - \frac{2 c}{a + d - k_s h_1}
$$

$$
k_s = \left[ \eta + \frac{1}{2} \frac{\lambda_2 \theta}{\lambda_1} \right] \frac{h_1}{r}
$$

d'où :

$$
k_s = \left[ \frac{k_s r^2 + q_1}{2(k_s h_1 - a)} + \frac{c^2 q_2}{2d(k_s h_1 - a)(a+d-k_s h_1)} - \frac{c^2 q_2}{2d(a+d-k_s h_1)^2} \right] \frac{h_1}{r}
$$
tous calculs faits, il vient :

$$
\begin{align*}
& r \, d h_1^3 k_s^4 - 2r \, d h_1^2 (2a + d) k_s^3 + dh_1[r(a+d)^2 + 4 ar(a+d) \\
& \qquad - h_1^2 q_1] k_s^2 + 2[h_1^2 c^2 q_2 + h_1^2 q_1 d(a+d) - rda(a+d)^2] k_s \\
& \qquad - d h_1 q_1 (a+d)^2 - h_1 c^2 q_2 (2a+d) = 0 \quad (5.37)
\end{align*}
$$

équation que nous avons rencontré au chapitre 4 qui exprimait que

$$
\frac{d\eta}{d k_s} = 0 \qquad (4.23)
$$

donc que les k_s solution correspondent aux extrèma de l'erreur
de filtrage sous optimal.

5.3.3. Optimisation par la méthode du Gradient

L'optimisation par le Principe du Minimum, nous conduit
à une solution explicite : le système (5.35). Si cela est satis-
faisant d'un point de vue théorique, il n'en reste pas moins la
difficulté pratique de choisir parmi les extrèmas ceux qui minimisent
tr {η}. Il est clair, après la vérification dans le cas scalaire
que résoudre ce système c'est trouver les zéros de la dérivée :

$$
\frac{d}{dK_s} \operatorname{tr} \{ \eta(K_s) \} .
$$

On peut, par conséquent, envisager de rechercher directe-
ment sur la fonction tr {η(K_s)} ses minima, en appliquant bruta-
lement une méthode du gradient au système (5.8). les équations sur
lesquelles nous travaillons sont du type équation de Riccati, donc
suffisamment régulières, et il est connu qu'en général les méthodes
du gradient donnent de bons résultats pour ce type de problèmes.
Relions donc les variations de η à celles de Ks en différen tiant le système (5.8) :

La première équation est identiquement nulle, et il reste :

$$ egin{cases} (A - K_s H_1) d\theta + d\theta D' = dK_s H_1 \theta \\ (A - K_s H_1) d\eta + d\eta (A - K_s H_1)' + dK_s [RK'_s - H_1 \eta] + [K_s R - \eta H'_1] dK'_s + C d\theta' \\ + d\theta C' = 0 \end{cases} \quad (5.38) $$

Parallèlement, la différentiation de (5.9), équivalente à (5.8), conduit à la forme matricielle de (5.39) :

$$ \begin{bmatrix} (A - K_s H_1) C \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\eta & d\theta \\ d\theta' & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} d\eta & d\theta \\ d\theta' & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (A - K_s H_1)' & 0 \\ C' & D' \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} dK_s [RK'_s - H_1 \eta] + [K_s R - \eta H'_1] dK'_s & - dK_s H_1 \theta \\ - \theta' H'_1 dK_s & 0 \end{bmatrix} = 0 \quad (5.39) $$

Les équations (5.8) et (5.38), ou leur forme matricielle équivalente (5.9) et (5.39), nous permettent de résoudre le problème par la méthode du gradient. Les détails de cette méthode relèvent de la pratique et nous renvoyons à la partie expérimentation pour la mise en oeuvre de la méthode.

### 5.3.4. Remarques

Le problème de filtrage sous optimal, qui se ramène simplement à la recherche du meilleur gain Ks*, est moins simple dans le cas général envisagé dans ce chapitre. Théoriquement la solution est donnée par un système d'équations du type Riccati (5.35) avec ou sans terme quadratique. La démonstration de l'existence d'une solution est donc un problème théorique complexe. Parallèlement, il serait agréable d'avoir des idées sur les conditions d'unicité de cette solution puisque les algorithmes développés précédemment conduisent à un extrémum local.
Afin d'illustrer les difficultés mentionnés, nous présentons, ci-dessous, quelques résultats très partiels.

Reprenons le système (5.8) et supposons qu'une méthode, par exemple celle du gradient, nous donne le gain optimal $K_s^*$ correspondant à un couple $(\eta^*, \theta^*)$, où $\text{tr}\{\eta^*\}$ est un minimum local de $\text{tr}\{\eta(K_s)\}$. Supposons maintenant qu'un autre gain, $K_s$, conduise au même résultat. En écrivant que les deux solutions vérifient le système (5.8), par différence équation à équation, il vient :

$$ \{ (K_s^*-K_s) H_1 \eta^* + \eta^* H_1 (K_s^*-K_s') + K_s R K_s' - K_s^* R K_s^{*'} = 0 \quad (5.40) $$

$$ \{ (K_s^*-K_s) H_1 \theta^* = 0 \quad (5.41) $$

Les termes quadratiques de (5.48) sont tous deux définis positifs puisque, par hypothèse :

$$ R > 0 $$

nous ne pouvons rien dire sur leur différence. L'équation ne nous fournit pas de renseignements sur $\eta^*$ fonction des gain $K_s$ et $K_s^*$. Par contre (5.41) est plus parlante. Si $H_1$ et $\theta^*$ sont de rang plein, il vient :

$$ K_s = K_s^* $$

interprétons l'hypothèse sur $\theta^*$. D'après (5.8) :

$$ \theta = \int_{0}^{\infty} e^{(A-K_s H_1)t} C \pi_{22} e^{D't} dt \quad (5.42) $$

$$ \text{Posons } A_k = A - K_s H_1 $$

et développons $e^{D't}$ en série :

$$ \theta = \int_{0}^{\infty} e^{Akt} C\pi_{22} \left[ 1 + \frac{D't}{1!} + \frac{D'^2}{2!}t + \dots + \frac{D'^n t^n}{n!} + \dots \right] dt $$
$$
\theta = \left[ \int_0^\infty e^{A_k t} dt, \dots, \int_0^\infty e^{A_k t} \frac{t^n}{n!} dt, \dots \right] \begin{bmatrix} C \pi_{22} \\ C \pi_{22}^D \\ C \pi_{22} D' n \end{bmatrix}
$$

Posons :

$$
M_{\infty} = \begin{bmatrix} C\pi_{22} \\ \vdots \\ C\pi_{22}D' \end{bmatrix} \qquad (5.43)
$$

comme θ est supposé de rang plein, et de dimension n₁ × n₂ :

$$
\operatorname{rang} \theta = \min(n_1, n_2) \tag{5.44}
$$

et d'après le théorème de Sylvester :

$$
\mathrm{rang} \theta \le \min \{\mathrm{rang}[\int_0^\infty \dots], \mathrm{rang} M_\infty\} \quad (5.45)
$$

Mais d'après le théorème de Cayley-Halmilton, $D'$, $k \ge 0$
s'exprime comme combinaison linéaire des puissances précédentes
donc

$$
M = \begin{bmatrix} C\pi_{22} \\ C\pi_{22}D' \\ \vdots \\ C\pi_{22}D'^{n_2-1} \end{bmatrix} \quad (5.46)
$$

a le même rang que $M_\infty$ et s'interprète comme la matrice d'observabilité du couple [$C\pi_{22}$, $D'$]. Alors :

$$
\mathrm{rang} M \le \mathrm{rang} D' = n_2 \tag{5.47}
$$

$(D' \text{ stable donc de rang plein}). \text{ Rapprochons (5.45) et (5.47)}:$

$$
\operatorname{rang} \theta = \min(n_1, n_2) \le \operatorname{rang} M \le \operatorname{rang} D' = n_2 \tag{5.48}
$$

$$
\min(n_1, n_2) \le \text{rang } M \le n_2
$$
### Théorème 5.3.

Une condition nécessaire pour que $\theta$ soit de rang plein est que le rang de la matrice $M$ d'observabilité du couple $[C\pi_{22}, D']$ soit compris entre $\min(n_1, n_2)$ et $n_2$ :

$$ \min(n_1, n_2) \le \text{rang } M \le n_2 $$

en particulier si $\min(n_1, n_2) = n_2$, le couple $[C\pi_{22}, D']$ doit être complètement observable :

$$ \text{rang } M = n_2 $$

Cette condition est vérifiable à priori sur le système puisque $C$ et $D$ sont donnés et $\pi_{22}$ calculé par :

$$ D\pi_{22} + \pi_{22}D' + Q_2 = 0 $$

Résumons les résultats :

### Théorème 5.4.

Soit $M$ la matrice d'observabilité (5.46) du couple $[C\pi_{22}, D']$. Si

$$ \min(n_1, n_2) \le \text{rang } M \le n_2 $$

à tout couple $(\eta, \theta)$, il correspond un gain $K_s$ unique. En particulier si $n_2 \ge n_1$, la complète observabilité du couple $[C\pi_{22}, D']$ implique le résultat.

Ces résultats partiels proviennent de la difficulté d'analyser (5.40). De plus la non convexité de l'ensemble des estimées $\hat{K}_s$ en fonction du gain $K_s$, nous interdisent une interprétation simple des procédures présentées, par exemple du type "principe d'orthogonalité" du cas optimal.

Le problème de filtrage sous optimal par contrainte de stucture du filtre est donc théoriquement résolu. On se propose maintenant de vérifier expérimentalement ces résultats.
## ETUDE PRATIQUE

L'étude pratique que nous abordons maintenant, va nous permettre de vérifier la validité de l'approche théorique présentée au cours des chapitres précédents. Après un complément sur la recherche du meilleur gain par la méthode du gradient, nous présentons la simulation sur calculateur : calcul des covariances des erreurs de filtrage optimal et sous optimal et comparaisons. Une dernière partie présente les résultats obtenus et dégage des règles pratiques, permettant d'estimer à priori, suivant les constantes de temps du système considéré, la perte due à la sous optimalité.

### 6.1. RECHERCHE DU GAIN $K_s^*$

Nous avons choisi d'utiliser directement la méthode du gradient. En effet, les deux algorithmes mentionnés sont du même ordre de complexité et plutôt que de rechercher les zéros d'une fonction, nous préférons minimiser l'erreur tr $\{\eta\}$.

Les équations considérées sont du type Riccati. Nous avons le choix pour les résoudre entre plusieurs méthodes. Soit considérer les équations algébriques comme solutions asymptotiques d'équations différentielles – et nous retrouvons là l'origine du problème – soit, modifier leur écriture par introduction du produit de Kronecker, ce qui augmente la dimension des matrices mais évite l'instabilité éventuelle de l'intégration. Les systèmes considérés en pratique n'étant pas de dimensions trop importantes, nous adoptons cette seconde approche.

#### 6.1.1. Le Produit de Kronecker

Considérons deux matrices quelconques $A : n \times m$ et $B : p \times q$ d'éléments respectivement $a_{ij}$, $b_{ij}$. Le produit de Kronecker $A * B$ de $A$ par $B$ est la matrice par blocs, suivante :
$$
A * B =
\begin{bmatrix}
Ab_{11} & Ab_{12} & \cdots & Ab_{1q} \\
Ab_{21} & Ab_{22} & \cdots & Ab_{2q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
Ab_{p1} & Ab_{p2} & \cdots & Ab_{pq}
\end{bmatrix}
\xrightarrow{\leftarrow m}
\begin{bmatrix}
n \\
m
\end{bmatrix}
\rightarrow np
\qquad (6.1)
$$

à np lignes et mq colonnes.

nous rencontrons deux cas particuliers de produits de
Kronecker, dans lesquels l'une des matrices A ou B est une matrice
identité I. On remarque que :

$$
A * I =
\begin{bmatrix}
A & O & \cdots & O \\
O & A & \cdots & O \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
O & \cdots & O & A
\end{bmatrix}
\qquad (6.2)
$$

matrice diagonale par blocs np x mp ; et que

$$
I * A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & I & a_{12} & I & \cdots & a_{1m} & I \\
a_{21} & I & a_{22} & I & \cdots & a_{2m} & I \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & I & a_{n2} & I & \cdots & a_{nm} & I
\end{bmatrix}
\quad (6.3)
$$

de dimensions np x mp

6.1.2. *Application à la résolution de AX + XB' = C*

Les équations des systèmes (5.8) et (5.38) sont du type :

$$
AX + XB' = C \tag{6.4}
$$
Supposons que A et B sont carrées de dimensions respectives n₁ et n₂.
Les matrices X et C sont n₁×n₂ pour que le problème ait un sens :

$$
AX + XB' = C
$$

Nous supposons , en outre, que cette équation a une solu-
tion donc que les valeurs propres de A, λ_A et de B, λ_B vérifient :

$$
\lambda_A + \lambda_B \neq 0
$$

Cette solution s'écrit :

$$
X = \int_{0}^{\infty} e^{At} (-C) e^{B't} dt
$$

Mais cette expression est difficile à exploiter. Introdui-
sons les produits de Kronecker. Soit X la matrice X réécrite sous
forme de vecteur colonne, colonne par colonne :

$$
\bar{X} = \begin{bmatrix} x_{11} \\ x_{21} \\ \vdots \\ x_{n_1 1} \\ x_{12} \\ x_{22} \\ \vdots \\ x_{n_1 n_2} \end{bmatrix}
$$

et $\bar{C}$ le vecteur déduit de $C$ par la même transformation.

Cherchons à transformer AX en [.] $\bar{X}$ :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
(AX)_{ij} = \sum_{l=1}^{n_1} a_{il} x_{lj} \\
v_i = 1, 2, \dots, n_1 \\
v_j = 1, 2, \dots, n_2
\end{array}
\right.
$$
donc :

$$
\text{AX} \rightarrow \begin{bmatrix} A & O & \cdots & O \\ O & A & O & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & \cdots & O & A \end{bmatrix}
\qquad
\begin{bmatrix} x_{11} & \cdots & x_{n_1 1} & \cdots \\ x_{12} & \cdots & x_{n_1 2} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{1n_1} & \cdots & x_{n_1 n_1} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{1n_1 n_2} & \cdots & x_{n_1 n_2} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{1n_1 n_2} & \cdots & x_{n_1 n_2} & \cdots & x_{n_1 n_2} \end{bmatrix}
= (A * I) \bar{X} \qquad (6.5)
$$
$$
\begin{array}{c}
\text{h}_{1n_2} \times n_1 n_2 \\
\text{n}_1 n_2 \times 1
\end{array}
$$

la matrice identité est ici de dimension $n_2 \times n_2 : I_{n_2}$

Considérons le second opérateur de l'équation (6.4) :

$X B'$

à transformer encore en $[\dots] \bar{X}$.

$$
\left\{
\begin{array}{l}
(XB')_{ij} = \sum_{l=1}^{n_2} x_{il} b'_{lj} = \sum_{l=1}^{n_2} b_{jl} x_{il} \\
\\
\forall i = 1, 2, \dots, n_1 \\
\\
\forall j = 1, 2, \dots, n_2
\end{array}
\right.
$$

La ième composante de toutes les colones ($l = 1, 2, ..., n_2$) de X multiplie tous les éléments de la jème ligne de B :
<figure><img src="image_12.png" /></figure>

donc

$$ \text{XB}' \rightarrow \begin{bmatrix} b_{11} & 0 & b_{12} & 0 \\ 0 & b_{11} & 0 & b_{12} \\ 0 & 0 & b_{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b_{12} \end{bmatrix} \quad \bar{X} = (I * B) \bar{X} \quad (6.6) $$

la matrice identité est de dimensions $n_1 \times n_1$ : $I_{n_1}$

## Théorème 6.1

Considérons l'équation :

$$ AX + XB' = C \quad (6.4) $$
A : $n_1 \times n_1$ ; B : $n_2 \times n_2$ ; X et C : $n_1 \times n_2$

et soit $\bar{X}$ : $X \rightarrow \bar{X}$ l'opérateur qui fait correspondre à X le vecteur colonne $\bar{X}$ : $n_1 n_2 \times 1$ de ses colonnes et à C le vecteur colonne $\bar{C}$.

L'équation (6.4) transformée par l'opérateur $\bar{X}$ s'écrit :

$$[A * I_{n2} + I_{n1} * B] \bar{X} = \bar{C} \qquad (6.7)$$

De plus, lorsque (6.4) a une solution, celle-ci est donnée par :

$$\bar{X} = [A * I_{n2} + I_{n1} * B]^{-1} \bar{C} \qquad (6.8)$$

Dans la mesure où X et C sont des matrices carrées symétriques et que $B = A$, l'équation symétrique :

$$AX + XA' = C \qquad (6.9)$$

développée sous la forme (6.7) comprend des équations redondantes de sorte que la matrice $[A * I + I * A]$ n'est plus inversible. Nous levons la difficulté en supprimant ces équations et : X : $n_1 \times n_1$ se transforme par l'opérateur précédent en

$$\bar{X} : \frac{n_1(n_1 + 1)}{2} \times 1.$$

Il nous reste un dernier résultat à établir, relatif à la transformation, par l'opérateur $\bar{X}$, de l'équation :

$$CX' + XC' = D \qquad (6.10)$$

Nous opérons comme précédemment. Décomposons la matrice C en vecteurs colonne :

$$C = [c_1, c_2, \dots, c_{n_2}]$$
$$ \text{alors : } CX' \rightarrow \underbrace{[C_1 * I, C_2 * I, \dots, C_{n_2} * I]}_{n_1 n_1 \times n_1 n_2} \overline{X} \\ n_1 n_2 \times 1 $$

avec $I : n_1 \times n_1$. Cette forme plus compliquée résulte de la transposition.

Par contre le second terme se transforme comme précédemment :

$$ \begin{array}{rcl} XC' & \rightarrow & (I * C) \overline{X} \\ & & n_1 n_1 \times n_1 n_2 \quad n_1 n_2 \times 1 \end{array} $$

avec encore $I : n_1 \times n_1$

### Théorème 6.2

$$ \text{L'équation } CX' + XC' = D \qquad (6.10) $$

$$ C : n_1 \times n_2 \quad ; \quad X : n_1 \times n_2 \quad ; \quad D : n_1 \times n_1 $$

est transformée par l'opérateur $\overline{\phantom{x}}$ en :

$$ [ (C_1 * I_{n_1}, C_2 * I_{n_2}, \dots, C_{n_2} * I_{n_1}) + I_{n_1} * C ] \overline{X} = \overline{D} \qquad (6.11) $$

où $(C_1, C_2, \dots, C_{n_2}) = C$ partitionné en colonnes.

$$ \text{Nous notons } [C_1 * I_{n_1}, \dots, C_{n_2} * I_{n_1}] = C \Box I_{n_1} $$

### 6.1.3. Expression explicite de la covariance de l'erreur à l'infini $\eta(K_S)$

Revenons au système (5.8) qui définit l'erreur à l'infini $\eta(K_S)$ :

$$ \left\{ \begin{array}{l} (A - K_S H_1) \theta + \theta D' + C\pi_{22} = 0 \\ (A - K_S H_1) \eta + \eta(A - K_S H_1) + C\theta' + \theta' C + K_S R K_S' + Q_1 = 0 \end{array} \right. \qquad (5.8) $$
Les équations correspondent exactement à celles étudiées
au paragraphe précédent. Nous pouvons donc utiliser le produit de
Kronecker pour expliciter $\eta$. Appliquons directement les résultats :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\left[ (A - K_S H_1) * I + I * D \right] \bar{\theta} = - \overline{C\pi_{22}} \\[1em]
\left[ (A - K_S H_1) * I + I * (A - K_S H_1) \right] \bar{\eta} = - \left[ \overline{C\theta' + \theta'C + K_S R K'_S + Q_1} \right]
\end{array}
\right.
\qquad (6.12)
$$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\left[ (A - K_S H_1) * I + I * (A - K_S H_1) \right] \bar{\eta} = - \left[ \overline{C\theta' + \theta'C + K_S R K'_S + Q_1} \right] \\
\\
\text{(6.13)}
\end{array}
\right.
$$

(6.13) est une équation matricielle symétrique. Rappelons que nous
supposons, dans ce cas, avoir réduit les dimensions des matrices et
vecteurs pour rendre :

$$
\begin{array}{l}
\tilde{A}(K_S) = [ (A-K_S H_1) * I + I * (A-K_S H_1) ] \\
\text{inversible.}
\end{array}
$$

L'opérateur $\bar{\ }$ est évidemment linéaire, donc :

$$
[ (A - K_S H_1) * I + I * (A - K_S H_1) ] \bar{\eta} = - \left[ \overline{C\theta' + \theta C'} + \overline{K_S R K'_S + Q_1} \right]
$$

De plus le paragraphe précédent nous permet de transformer :

$$
\overline{C\theta' + \theta C'} = [ C \Box I + I * C ] \overline{\theta}
$$

il en résulte :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\bar{\theta} = - \left[ (A - K_S H_1) * I + I * D \right]^{-1} \overline{C\pi_{22}} \\[1em]
\bar{\eta} = - \left[ (A - K_S H_1) * I + I * (A - K_S H_1) \right]^{-1} \left[ (C \Box I + I * C) \bar{\theta} \right. \\
\phantom{\bar{\eta} = - \left[ (A - K_S H_1) * I + I * (A - K_S H_1) \right]^{-1} \left[} \left. + \overline{K_S R K'_S + Q_1} \right] \quad (6.14)
\end{array}
\right.
$$

(6.14) donne explicitement $\eta$. L'erreur de filtrage correspond à la
trace de la matrice de covariance : tr {$\eta$}. Elle est obtenue à partir
de $\bar{\eta}$ par produit scalaire par le vecteur $\bar{u}$ déduit de

$$
\begin{array}{l@{\hspace{1em}}r@{\hspace{1em}}r@{\hspace{1em}}r@{\hspace{1em}}r}
u = [ & 10\dots0, & 010\dots0, & 0010\dots0, & \dots, & 0\dots01] \\
      & \uparrow    & \uparrow    & \uparrow    & \dots & \uparrow \\
\multicolumn{1}{c}{\leftarrow n_1+1 \rightarrow} & 1 & n_1+2 & 2n_1+3 & \dots & n_1^2 \\
      & \multicolumn{1}{c}{\leftarrow n_1+1 \rightarrow} & & & &
\end{array}
\qquad (6.15)
$$
par la contraction qui rend $\tilde{A}(K_s)$ inversible :

$$ \mathrm{tr} \{\eta\} = \bar{u} \cdot \bar{\eta} \qquad (6.16) $$

Dans le cas scalaire (6.14) redonne $\eta(k_s)$ déjà trouvé.

### 6.1.4. Méthode du Gradient

Les paragraphes précédents nous fournissent la méthode de résolution des équations des systèmes (5.8) et (5.38). Ces dernières relient $d\eta$ à $dK_s$ :

$$ d \mathrm{tr} \{\eta\} = \mathrm{grad}_k \eta \cdot dK_s \qquad (6.17) $$

La méthode du gradient choisie est la plus classique. Le point de départ est $K_s = 0$ ce qui grâce à A assure la stabilité de $(A - K_s H_1)$. Le gradient est calculé, et l'on minimise $\mathrm{tr} \{\eta(K_s)\}$ dans sa direction. Puis du point obtenu le processus est recommencé jusqu'à ce que les variations de $\mathrm{tr} \{\eta\}$ autour du point atteint soient très faibles, à une erreur $\epsilon$ près, fournie au programme. On mémorise alors la valeur correspondante de $K_s^*$ et de $\mathrm{tr} \{\eta(K_s^*)\} = \mathrm{tr} \{\eta^*\}$.

### 6.2. SIMULATION SUR CALCULATEUR

Il ne s'agit pas ici de simulation de filtrage proprement dit. En effet, la méthode consiste à approcher la covariance de l'erreur de filtrage optimal $\mathrm{tr}\{\Sigma_{11}\}$ en jouant sur le gain sous optimal $K_s$. La qualité du filtrage sous optimal est fonction de la covariance de l'erreur correspondante $\mathrm{tr}\{\eta\}$. Nous calculons donc la covariance de l'erreur de filtrage sous optimal $\mathrm{tr}\{\eta\}$ et la comparons à la covariance optimale $\mathrm{tr}\{\Sigma_{11}\}$.

Le programme est écrit en FORTRAN IV C.I.I. et a été testé sur la 10 070 de l'IRIA. On trouvera son listing en annexe 4, et un exemple traité (p 90-91). Les calculs sont effectués en simple précision.
6.2.1. Description du Programme (voir organigramme général p 102).

Les données sont les paramètres du système représentant
le signal à filtrer. On transmet les dimensions n₁, n₂, m et les
matrices A, C, D, H₁. Les matrices de covariance des bruits blancs
d'excitation v₁ et v₂ et d'observation w, Q₁, Q₂ et R respectivement
sont générées par le programme et prises égales à la matrice unité
de dimension correspondante. Ceci ne nuit en rien à la généralité
du cas traité.

Ces paramètres sont imprimés sur la feuille de résultats.
Le programme construit les matrices :

$$
F = \begin{bmatrix} A & C \\ 0 & D \end{bmatrix}
$$

$$
H = [ H_1, O ]
$$

$$
Q = \begin{bmatrix} Q_1 & O \\ O & Q_2 \end{bmatrix}
$$

et calcule les conditions initiales des équations de Riccati en résol-
vant l'équation :

$$
FP + PF' = -Q
$$

$$
d'où : \quad \Sigma(0) = \Sigma_0 = P
$$

Ces préliminaires terminés, nous rentrons effectivement
dans la phase de simulation.

L'organigramme nous montre qu'elle se compose essentielle-
ment de l'intégration numérique d'une équation de Riccati (avec ou
sans terme quadratique), de la méthode du gradient et du programme de
calcul de Qs.

La simulation comporte trois phases déterminées par les
paramètres L₂ et NRIC.
$L_2 = 1$ NRIC = 0 Filtrage optimal

$L_2 = 2$ NRIC = 1 Filtrage sous optimal (méthode du gradient)

$L_2 = 3$ NRIC = 0 Filtrage sous optimal (choix à priori de $Q_s$) (cf § 6. 2. 1. 3.)

$L_2$ est en fait un indice de tableau (RESUL) mémorisant les différents résultats. NRIC est un indicateur pour le programme d'intégration de Riccati :

NRIC = 1 Riccati sans terme quadratique

NRIC = 0 Riccati avec terme quadratique

nous reviendrons, ci-après, sur les détails de ces diverses phases.

Lorsque $L_2 > 3$, fin de simulation, impression des résultats contenus dans RESUL et éventuellement retour au début du programme pour lecture des données de l'exemple suivant.

### 6.2.1.1. Filtrage optimal

La covariance de l'erreur est donnée par l'équation de Riccati classique :

$$ egin{cases} \dot{\Sigma} = F\Sigma + \Sigma F' - \Sigma H'R^{-1}H\Sigma + Q \\ \Sigma(0) = \Sigma_0 \end{cases} $$

l'état étant partitionné en $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_2 \end{bmatrix}$, la matrice $\Sigma$ l'est par blocs :

$$ \Sigma = \begin{bmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{12}^T & \Sigma_{22} \end{bmatrix} $$

la covariance de l'erreur de filtrage optimal de $x_1(t)$ est $\Sigma_{11}(t)$. C'est la trace de cette matrice que nous mémorisons en RESUL (.,1).
La méthode d'intégration choisie est une RUNGE-KUTTA classique, identique pour toutes les intégrations du programme. (voir par exemple HAMMING [19]). Le sous programme d'intégration est RICIN.

RICIN comprend le calcul de la constante $H'R^{-1}H$ à partir de $H$ et $R$. Une entrée, RIC, permet de sauter ce calcul et d'effectuer, comme à la suite de RICIN, un pas d'intégration. Ce sous programme appelle COEFF qui calcule les coefficients de RUNGE-KUTTA.

Le pas d'intégration est une donnée à fournir au même titre que les paramètres du système, ainsi que le nombre de points d'intégration.

Nous avons ainsi le comportement au cours du temps de la covariance de l'erreur, ce qui nous donnera une idée de la validité de l'approximation d'un Kalman par un Wiener sous optimal.

On sait que le schéma explicite d'intégration de RUNGE-KUTTA est instable. C'est pourquoi, à chaque pas d'intégration, nous testons la positivité de la trace de la matrice intégrée. Si cette condition n'est pas vérifiée le pas d'intégration est divisé par 10, et un point sur dix est mémorisé dans RESUL. Le nombre de points calculés est naturellement multiplié par 10 et le calcul repris depuis le début.

Une limite inférieure est fixée pour le pas. Dans le cas où elle est atteinte, l'exemple est abandonné avec éventuellement impression des valeurs propres de $(A-K_sH_1)$ si l'instabilité intervient au cours de l'intégration du cas sous optimal. Nous avons fixé cette limite à $10^{-4}$, ce qui s'est avéré suffisant pour la plupart des exemples.

### 6.2.1.2. Filtrage sous optimal : méthode du gradient

La covariance de l'erreur de filtrage sous optimal $\eta$ est donnée par le système (voir chapitre 5).
$$
\left\{
\begin{array}{l}
D\pi_{22} + \pi_{22}D' + Q_2 = 0 \\[1em]
(A - K_S H_1) \theta + \theta D' + C\pi_{22} = 0 \qquad (5.8) \\[1em]
(A - K_S H_1) \eta + \eta(A - K_S H_1)' + K_S R K_S' + Q_1 + C\theta' + \theta C' = 0
\end{array}
\right.
$$

cependant, pour profiter du programme d'intégration décrit précédem-
ment, il nous a paru plus simple d'intégrer directement l'équation
définissant $\pi(t) \pmod{3.2 \ p\sqrt{1}}$ :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\pi = \begin{bmatrix} A & C & 0 \\ 0 & D & 0 \\ K_S H_1 & 0 & A-K_S H_1 \end{bmatrix} \quad \pi + \pi = \begin{bmatrix} A' & 0 & H_1' K_S' \\ C' & D' & 0 \\ 0 & 0 & (A-K_S H_1)' \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} Q_1 & 0 & 0 \\ 0 & Q_2 & 0 \\ 0 & 0 & K_S R K_S' \end{bmatrix} \\[1em]
\pi(0) = \begin{bmatrix} \Sigma(o) & | & 0 \\ \hline 0 & | & 0 \end{bmatrix}
\end{array}
\right.
$$

et d'évaluer à chaque pas la covariance de l'erreur de filtrage sous
optimal :

$$
\mathrm{tr} \, \eta(t) = \mathrm{tr} \, \{ [I \ O - I] \pi(t) \begin{bmatrix} I \\ O \\ -I \end{bmatrix} \}
$$

Nous disposons donc, ici aussi, de l'erreur à chaque ins-
tant.

Le gain de filtrage intervenant dans les équations précé-
dentes est obtenu par une méthode du gradient : sous programme ERMIN.
Le principe de la résolution des équations asymptotiques par le pro-
duit de Kronecker a été exposé en 6.1. Ces différents calculs sont
effectués par le sous programme CALCUL et son entrée (après initia-
lisation) CAL 1. L'initialisation est en fait le calcul de la cons-
tante π₂₂. CALCUL et CAL 1 fournissent en un point K fixé le gradient
GR et la valeur correspondante de tr η : TR.
Ces résultats sont exploités par ERMIN qui minimise dans chaque
direction jusqu'à ce que la trace soit constante à ε près. ε est
fixé dans le programme à ε = 5 · 10⁻⁶, ce qui est amplement suffi-
sant puisque nous travaillons en simple précision. L'organigramme
ci-joint, résume cette description (voir p103).

6.2.1.3. Filtrage sous optimal : choix à priori de Q_s

Nous avons décidé pour sélectionner le meilleur filtre
sous optimal, de choisir directement le gain de filtrage. Ce gain
peut éventuellement correspondre au gain optimal de Kalman d'un
modèle simplifié (voir le problème inverse du filtrage optimal
chapitre 7). Passer du gain au modèle simplifié, lorsqu'il existe,
n'est pas simple. On peut alors imaginer, dans l'optique expérimen-
tale, d'approximer grossièrement le modèle simplifié en choisis-
sant à priori et indépendemment de K_s*, le matrice de covariance Q_s
de son bruit d'excitation v_s :

$$
\begin{cases}
x_s = A x_s + v_s \\
y = H_1 x_s + w
\end{cases}
$$

c'est ce que nous avons fait. Les résultats de ce second filtrage
sous optimal sont présentés en parallèle avec les précédents.

L'équation définissant x₁(t) du modèle vrai fait interve-
nir la somme :

$$
g(t) + v_1(t) = C x_2(t) + v_1(t)
$$

Le modèle simplifié sera d'autant meilleur que
C x₂(t) + v₁(t) sera plus proche d'un bruit blanc. L'approximation
annoncée consiste à prendre pour covariance de v_s celle de
C x₂(t) + v₁(t) :

$$
Q_s = C \pi_{22} C' + Q_1
$$
La covariance $\Sigma_Q$ de l'erreur de ce filtrage est donc donnée par l'équation de Riccati suivante :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \dot{\Sigma}_Q = A \Sigma_Q + \Sigma_Q A' - \Sigma_Q H_1 R^{-1} H_1 \Sigma_Q + Q_s \\ \Sigma_Q(0) = \Sigma_{11}(0) \end{array} \right. $$

### 6.2.2. Test du Filtrage

Les tests dont les résultats sont présentés au paragraphe 6.3, ont été divisés en deux groupes :

i) cas scalaire

ii) cas multivariable

et effectués dans cet ordre.

Dans le premier cas, pour gagner du temps machine, la méthode du gradient décrite ci-dessus, n'a pas été utilisée, et a été remplacée par son équivalent scalaire. De plus l'étude du cas scalaire a mis en évidence une approximation du minimum qui nous sert de point de départ. La convergence est donc plus rapide.

Dans le cas multivariable, le gain initial est pris nul, ce qui assure la stabilité des matrices, puisque $A$ est stable.

Les calculs sont effectués en simple précision et les entrées-sorties en format E 12.5, soit avec 5 décimales significatives. Le principal problème de précision intervient dans l'utilisation des produits de Kronecker qui, par l'intermédiaire de l'inversion de matrices de grandes dimensions, introduisent des erreurs. Nous verrons cependant qu'elles ne sont jamais critiques.

Le temps d'exécution n'est pas un paramètre important, puisque nous ne travaillons pas en temps réel. Il dépend essentiellement de trois facteurs (pour un exemple donné) :
- Les constantes de temps du système étudié et le pas d'intégration choisi, ce qui détermine la stabilité de l'intégration. Nous avons vu, en effet, que lorsque le schéma n'est pas stable, le pas est divisé par 10 et le nombre de points calculés multipliés par 10. De plus le calcul est réinitialisé pour obtenir tous les résultats à la même échelle.

- La vitesse de convergence de la méthode du gradient qui dépend également des constantes de temps.

- En cas de non-convergence, le pas étant limité infé-rieurement, on lance un programme de calcul des valeurs propres de $(A-K_s H_1)$ pour vérifier la stabilité du gain $K'_s$ trouvé. Ce programme est long.

Le temps moyen d'exécution pour 7 exemples est de 10 mn environ, compilation comprise. Le cas le plus défavorable rencontré traite en 10 mn, compilation comprise, un seul exemple.

Le pas d'intégration a été choisi, la plupart du temps, égal à 0,1 s.

## 6.3. RESULTATS EXPERIMENTAUX

De très nombreux exemples ont été testés. On trouvera en Annexe 2 leurs caractéristiques.

Le cas scalaire envisagé en premier, doit être considéré comme une première vérification, rapide, des propriétés mises en évidence par la théorie :

- Allure de la fonction d'erreur et insensibilité aux variations du gain au voisinage du minimum.
- Influence du coefficient de couplage c entre $x_1$ et $x_2$ sur l'erreur.

- Effet de la substitution d'un filtre de Wiener ($k = C^{te}$) à un filtre de Kalman.

- Influence des constantes de temps du système sur l'erreur relative de filtrage sous optimal.

Le cas multivariable reprend plus succintement ces vérifications. Par contre, il teste systématiquement l'influence des constantes de temps du système (constantes de temps de A et de D) sur l'erreur relative de filtrage sous optimal. Quelques exemples types ont été choisis pour illustrer l'exposé. Les autres résultats sont reportés en Annexe 3.

Une synthèse de ces résultats termine le paragraphe et débouche sur des règles pratiques.

### 6.3.1. Résultats expérimentaux : cas scalaire

#### 6.3.1.1. Vérification de l'allure de la fonction d'erreur η(k_s)

Les paramètres du système sont :

$$A = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 0 & d \end{bmatrix} \qquad H = [1, 0] \qquad q_1 = q_2 = r = 1$$

Pour d fixé, on a tracé sur les figures 1 et 2 l'allure de η(k_s) essentiellement autour du minimum.
<figure><img src="image_13.png" /></figure>

<figure><img src="image_14.png" /></figure>
<figure><img src="image_15.png" /></figure>

L'allure des courbes reproduites, ci-contre correspond à ce que nous avons prédit. Il ressort essentiellement que le minimum est très plat d'où une insensibilité de η en fonction de k_s.

### 6.3.1.2. Influence du coefficient de couplage c

Ce coefficient réinjecte $x_2$ dans $x_1$. L'erreur de filtrage sous optimal dépend bien entendu de ce coefficient. En effet, si $c=0$, les deux parties $x_1$ et $x_2$ de l'état sont découplées et le filtre sous optimal s'identifie au filtre optimal. Lorsque $c$ croît, l'erreur croît, mais sa dérivée par rapport à $c$ diminue. En effet, pour $c$ grand l'estimée optimale ou sous optimale de $x_1(t)$ dépend essentiellement du terme en $c \hat{x}_2(t)$, qui est indépendant du gain de filtrage sur $x_1$, donc de l'optimalité ou non du filtre de $x$. Pour l'exemple testé (voir table 1 p 84) :

$$A = \begin{bmatrix} -1 & c \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \qquad H = [1, 0]$$

La figure 3 donne les variations des erreurs de filtrage en fonction de $c$ et la figure 4 les variations de l'erreur relative. On constate effectivement l'allure parabolique suivant l'axe des abscisses de l'erreur relative.

Les courbes sont, en outre, les graphes de fonctions paires. Ceci est dû à la nature aléatoire de l'estimée $\hat{x}_2(t)$, Gaussienne centrée.

### 6.3.1.3. Erreurs relatives de filtrage

Cette étude vient en complément de celle effectuée au paragraphe précédent. Elle sera reprise dans toute sa généralité dans le cas multivariable. Quatre exemples ont été testés (voir p.85 bis les tableaux de résultats) avec $H = [1 \ 0]$.
Influence du coefficient de couplage c
(cas scalaire)

<table><caption>Table 1</caption><thead><tr><th>c</th><th>Σ<sub>11</sub></th><th>η</th><th>η - Σ<sub>11</sub>/Σ<sub>11</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>- 15</td><td>3,7561</td><td>4,6438</td><td>0,237</td></tr><tr><td>- 10</td><td>2,8165</td><td>3,3306</td><td>0,183</td></tr><tr><td>- 5</td><td>1,6595</td><td>1,8290</td><td>0,1025</td></tr><tr><td>- 2</td><td>0,81051</td><td>0,83268</td><td>0,0273</td></tr><tr><td>- 1</td><td>0,54246</td><td>0,54509</td><td>0,485 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0</td><td>0,41421</td><td>0,41421</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td>0,54246</td><td>0,54509</td><td>0,485 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>0,81051</td><td>0,83268</td><td>0,0273</td></tr><tr><td>10</td><td>2,8165</td><td>3,3306</td><td>0,183</td></tr><tr><td>20</td><td>4,5650</td><td>5,8323</td><td>0,277</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_16.png" /></figure>

<figure><img src="image_17.png" /></figure>
ERREUR RELATIVE DE FILTRAGE
 cas scalaire)

Exemple 1

$$
F = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & d \end{bmatrix}
$$

<table><caption>Table 2</caption>
  <thead>
    <tr>
      <th>τ = <sup>1</sup>&frasl;<sub>|d|</sub></th>
      <th>Σ<sub>11</sub></th>
      <th>η</th>
      <th>ε</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <td>0,01</td>
      <td>0,41421</td>
      <td>0,41422</td>
      <td>2,5.10<sup>-5</sup></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0,1</td>
      <td>0,41421</td>
      <td>0,41421</td>
      <td>0</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0,2</td>
      <td>0,41421</td>
      <td>0,41421</td>
      <td>0</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>•</td>
      <td>•</td>
      <td>•</td>
      <td>•</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>•</td>
      <td>•</td>
      <td>•</td>
      <td>•</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>•</td>
      <td>•</td>
      <td>•</td>
      <td>•</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>100</td>
      <td>0,41421</td>
      <td>0,41421</td>
      <td>0</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

Exemple 2

$$
F = \begin{bmatrix} -1 & \frac{1}{2} \\ 0 & d \end{bmatrix}
$$

<table><caption>Table 3</caption>
  <thead>
    <tr>
      <th>τ = <sup>1</sup>&frasl;<sub>|d|</sub></th>
      <th>Σ<sub>11</sub></th>
      <th>η</th>
      <th>ε</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <td>0,01</td>
      <td>0,41422</td>
      <td>0,41423</td>
      <td>2,5.10<sup>-5</sup></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0,1</td>
      <td>0,41499</td>
      <td>0,41499</td>
      <td>0</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0,2</td>
      <td>0,41697</td>
      <td>0,41697</td>
      <td>0</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1</td>
      <td>0,44949</td>
      <td>0,44970</td>
      <td>0,5.10<sup>-3</sup></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2</td>
      <td>0,49551</td>
      <td>0,49882</td>
      <td>6,7.10<sup>-3</sup></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10</td>
      <td>0,64628</td>
      <td>0,79636</td>
      <td>2,31.10<sup>-1</sup></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>100</td>
      <td>0,72240</td>
      <td>2,0259</td>
      <td>1,8</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
ERREUR RELATIVE DE FILTRAGE
(cas scalaire)

Exemple 3

$$F = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & d \end{bmatrix}$$

<table><thead><tr><th>τ = <sup>1</sup>&frasl;<sub>|d|</sub></th><th>Σ<sub>11</sub></th><th>η</th><th>ε</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,1</td><td>0,41731</td><td>0,41731</td><td>0</td></tr><tr><td>0,2</td><td>0,42517</td><td>0,42517</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td>0,54246</td><td>0,54509</td><td>4,87 10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>0,66783</td><td>0,69539</td><td>4,06 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>0,90746</td><td>1,3695</td><td>5,1 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>100</td><td>0,99007</td><td>3,5532</td><td>2,58</td></tr></tbody></table>

Table 4

Exemple 4

$$F = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & d \end{bmatrix}$$

<table><thead><tr><th>τ = <sup>1</sup>&frasl;<sub>|d|</sub></th><th>Σ<sub>11</sub></th><th>η</th><th>ε</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>0,41460</td><td>0,41460</td><td>0</td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,42654</td><td>0,42654</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td>0,81051</td><td>0,83268</td><td>2,5 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>1,2657</td><td>1,8078</td><td>4,3 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>1,3536</td><td>2,4373</td><td>0,8</td></tr><tr><td>100</td><td>1,4394</td><td>6,068</td><td>3,2</td></tr></tbody></table>

Table 5
<figure><img src="image_18.png" /></figure>
La valeur de a est maintenue égale à -1 donc la constante de temps de la partie à filtrer $\tau_A = 1$s (nous la faisons varier dans le cas multi-variable). Pour quatre valeurs de c les erreurs relatives de filtrage ont été relevées (fig. 5). Les courbes - aux erreurs de calcul près - se situent d'autant plus haut que c est grand.

Remarquons également que le $\frac{1}{|d|}$ d'erreur relative est
$$ \text{ceint lorsque } \tau_D = \frac{1}{|d|} = \tau_A = \frac{1}{|a|} \text{, mais ceci pour les} $$
$$ \text{cas de c choisies petites } c \le 2. $$

### 6.3.1.4. Approximation d'un Kalman par un Wiener

Nous avons choisi de travailler à gain constant pour le filtrage sous optimal, c'est-à-dire de substituer un Wiener à un Kalman. Il est intéressant de vérifier avant de passer au cas général le comportement d'un tel filtre. C'est ce qui est fait figure 6 où nous avons porté simultanément la covariance de l'erreur de filtrage de l'état complet $x$, celle de $x_1$ et la covariance de filtrage sous optimal de $x_1$. On voit clairement, et ceci a toujours été vérifié, que l'ajustement de $k_s$ après régime transitoire ($t \to \infty$) ne nuit absolument pas au filtrage durant le régime transitoire.

### 6.3.2. Résultats expérimentaux : cas multivariable

Nous avons repéré les exemples par les majuscules A, B...
éventuellement indicées et primées. Une lettre caractérise un ensemble d'exemples dont les constantes de temps $\tau_A$ de la matrice A (voir notations chapitre 5) sont identiques. Ainsi les exemples $A_2$ et $A_3$ ont tous deux des matrices A de constantes de temps 0,1 et 1.

Les indices supérieurs (exemple : $A'_2$, $A''_5$, $A^{(5)}_5$, ...) indiquent la dimension de la partie $x_2$ de l'état est au moins égale à 2 :

$$ n_2 \ge 2 $$

et différencient les exemples de même matrice A et de matrices C, D, $H_1$ différentes.
<figure><img src="image_19.png" /></figure>

<figure><img src="image_20.png" /></figure>
Le tableau récapitulatif de l'annexe 2 donne la définition précise des exemples étudiés.

### 6.3.2.1. Allure de la fonction $\text{tr}\{\eta(K_s)\}$

Bien qu'aucune étude systématique n'ait été faite, les exemples traités montrent clairement que :

- La fonction est suffisamment régulière :
En effet, la méthode du gradient a convergé dans tous les cas sans ancun problème. On vérifie d'ailleurs facilement la convexité de $\text{tr}\{\eta\}$ pour $K_s$ voisin de l'origine.

- Le minimum est peu sensible :
Le test d'arrêt est défini par l'inégalité :

$$ \left| \frac{\text{tr } \eta_1 - \text{tr } \eta_2}{\text{tr } \eta_1} \right| < \varepsilon $$

pour un $\varepsilon$ fixé à l'avance. Par soucis d'améliorer la méthode dans les cas défavorables où la courbe est très plate, nous avons adjoint une recherche du minimum dans la dernière direction. Le nouvel optimum obtenu n'améliore le filtrage sous optimal que dans les cas défavorables . La sensibilité aux variations du gain au voisinage du minimum est donc faible.

### 6.3.2.2. Influence du coefficient de couplage C

Le test est effectué sur les exemples $A_5^1, A_5^2, A_5^3$ et $A_5^{(4)}$ identiques en tous points sauf en ce qui concerne la matrice C qui réinjecte $x_2$ dans l'équation d'évolution de $x_1$.
Les constantes de temps A sont : 0,1 et 1 ; la constante de temps fixée de D vaut 1 ($n_2 = 2$), la seconde $\tau_D$ est le paramètre variable du système. Les matrices C sont, dans l'ordre :

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 5 & -10 \\ 0,15 & -0,5 \end{bmatrix}. $$

Les erreurs relatives de filtrage, $\epsilon = \frac{\text{tr } \eta - \text{tr } \Sigma_{11}}{\text{tr } \Sigma_{11}}$, pour ces différents exemples sont résumés dans le tableau suivant(*):

<table><caption>Influence du coefficient de couplage C (cas multivariable)</caption><thead><tr><th>τ<sub>D</sub></th><th>A'<sub>5</sub></th><th>A''<sub>5</sub></th><th>A'''<sub>5</sub></th><th>A''''<sub>5</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>8,9 10<sup>-3</sup></td><td>6,1 10<sup>-2</sup></td><td>8,7 10<sup>-2</sup></td><td>/</td></tr><tr><td>0,1</td><td>3,9 10<sup>-2</sup></td><td>6,1 10<sup>-2</sup></td><td>9,3 10<sup>-2</sup></td><td>1,9 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>0,2</td><td>7,2 10<sup>-3</sup></td><td>5,9 10<sup>-2</sup></td><td>/</td><td>/</td></tr><tr><td>1</td><td>/</td><td>/</td><td>8,1 10<sup>-2</sup></td><td>2,24 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>2,8 10<sup>-2</sup></td><td>1,45 10<sup>-1</sup></td><td>/</td><td>/</td></tr><tr><td>5</td><td>1,27 10<sup>-1</sup></td><td>3,5 10<sup>-1</sup></td><td>3,4 10<sup>-1</sup></td><td>1,2</td></tr><tr><td>10</td><td>3,1 10<sup>-1</sup></td><td>6,2 10<sup>-1</sup></td><td>7,6 10<sup>-1</sup></td><td>2,1</td></tr><tr><td>50</td><td>1,23</td><td>2,04</td><td>1,8</td><td>4,8</td></tr><tr><td>100</td><td>2,02</td><td>2,61</td><td>2,6</td><td>6,35</td></tr></tbody></table>

<caption>Table 6</caption>

On constate que l'erreur relative de filtrage, pour ces différents exemples varie de la même façon, c'est-à-dire augmente, lorsque $\tau_D$ augmente, l'erreur relative croît, lorsque C devient pleine puis que certains de ses éléments augmentent en valeur absolue. La transformation $C \to -C$ n'affecte pas l'erreur (exemple $A''_5$ et $A'''_5$).

<footnote>(*) Le slash / indique que le point n'a pas été calculé pour l'exemple en question</footnote>
On retiendra de ce paragraphe, que les conclusions du cas scalaire s'appliquent qualitativement dans le cas général.

### 6.3.2.3. Erreur de Filtrage en Régime Transitoire

Dans un premier temps, pour vérifier le comportement en régime transitoire du filtre sous optimal, nous avons fait imprimer les résultats de chaque pas d'intégration. Tous les cas examinés nous ont montré le comportement excellent du filtre en régime transitoire. A titre d'indication, nous joignons pages 90-91 les feuilles de résultats de l'exemple $A_3$ pour le point $\tau_D = 0,2$.

La convergence du filtre, en 50 pas soit 5 secondes, illustre la brièveté du régime transitoire.

### 6.3.2.4. Influence des structures de A et D sur l'erreur

Nous entrons, avec ce paragraphe, dans les problèmes spécifiques au cas général multivariable. La matrice A est la matrice de dynamique du processus $x_1(t)$, D celle du processus $x_2(t)$.

L'influence de la matrice A est illustrée par les exemples $A_2$ et $A_3$ d'une part, $B_1, B_2, B_3$, d'autre part (voir courbes p 95). Les exemples B montrent que l'influence de A est pratiquement négligeable. Les exemples $A_2$ et $A_3$, par contre ont un comportement relativement différent :

$$ \text{Pour } A_2: \quad A = \begin{bmatrix} -1 & -18 \\ 0 & -10 \end{bmatrix} \quad \text{et } H_1 = [1, 0] $$

$$ \text{pour } A_3: \quad A = \begin{bmatrix} -5,5 & 4,5 \\ 4,5 & -5,5 \end{bmatrix} \quad \text{et } H_1 = [1, 0] $$

La matrice A de $A_3$ est équilibrée (tous ses éléments sont d'ordre de grandeur comparable), tandis que celle de $A_2$ ne l'est pas.
# ERREUR DE FILTRAGE EN REGIME TRANSITOIRE

(Exemple $A_3$ : $\tau_D$ = 0,2)

## Données :

ERREUR DE FILTRAGE OPTIMAL

PAS D'INTEGRATION : 10000E 00

N1= P N2= 1 M= 1

MATRICE F

•55000E 01 .45000E 01 •10000E 01
•45000E 01 •55000E 01 •10000E 01
•00000E 00 •00000E 00 •50000E 01

MATRICE H

•10000E 01 •00000E 00 •00000E 00

MATRICE R

•10000E 01

MATRICE Q

•10000E 01 •00000E 00 •00000E 00
•00000E 00 •10000E 01 •00000E 00
•00000E 00 •00000E 00 •10000E 01

## Détermination du meilleur gain sous optimal $K_g$:

ERREUR DE FILTRAGE SHUS-OPTIMAL

VALEURS PROPRES DE A

•10000E 02 + .1 •00000E 00

•10000E 01 + .1 •00000E 00

VALEURS PROPRES DE D

•50000E 01 + .1 •00000E 00

MINIMUM DE LA CAVARIANCE T= .50115E 00 OBTENU POUR K:

•23501E 00

•21318E 00
Variation des erreurs de filtrage en fonction du temps (*)

<table><thead><tr><th>TEMPS</th><th>SIGMA(1,1)</th><th>SIGMAKS</th><th>SIGMAQS</th><th>SKS-S11/S11</th><th>SQS-S11/S11</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>.54025E-00</td><td>.54.33E-00</td><td>.5460E-00</td><td>.19429E-03</td><td>.10638F-01</td></tr><tr><td>2</td><td>.53164E-00</td><td>.53179E-00</td><td>.53932E-00</td><td>.26952E-03</td><td>.14443F-01</td></tr><tr><td>3</td><td>.52494E-00</td><td>.52.09E-00</td><td>.53327E-00</td><td>.28522E-03</td><td>.15367F-01</td></tr><tr><td>4</td><td>.51971E-00</td><td>.51.85E-00</td><td>.52426E-00</td><td>.27192E-03</td><td>.16451F-01</td></tr><tr><td>5</td><td>.51563E-00</td><td>.51.75E-00</td><td>.52425E-00</td><td>.24599E-03</td><td>.16728F-01</td></tr><tr><td>6</td><td>.51243E-00</td><td>.51.55E-00</td><td>.52109E-00</td><td>.21635E-03</td><td>.16883F-01</td></tr><tr><td>7</td><td>.50994E-00</td><td>.51.03E-00</td><td>.5186E-00</td><td>.18749E-03</td><td>.16945F-01</td></tr><tr><td>8</td><td>.50792E-00</td><td>.50.07E-00</td><td>.5166E-00</td><td>.16110E-03</td><td>.17058F-01</td></tr><tr><td>9</td><td>.50646E-00</td><td>.50.53E-00</td><td>.51512E-00</td><td>.13840E-03</td><td>.17113F-01</td></tr><tr><td>10</td><td>.50526E-00</td><td>.50.33E-00</td><td>.51393E-00</td><td>.11903E-03</td><td>.17155F-01</td></tr><tr><td>11</td><td>.50433E-00</td><td>.50.38E-00</td><td>.51299E-00</td><td>.10294E-03</td><td>.17188F-01</td></tr><tr><td>12</td><td>.50359E-00</td><td>.50.64E-00</td><td>.51226E-00</td><td>.90308E-04</td><td>.17213F-01</td></tr><tr><td>13</td><td>.50302E-00</td><td>.50.06E-00</td><td>.51169E-00</td><td>.79865E-04</td><td>.17233F-01</td></tr><tr><td>14</td><td>.50207E-00</td><td>.50.61E-00</td><td>.51124E-00</td><td>.71753E-04</td><td>.17249F-01</td></tr><tr><td>15</td><td>.50222E-00</td><td>.50.25E-00</td><td>.51089E-00</td><td>.65275E-04</td><td>.17262F-01</td></tr><tr><td>16</td><td>.50175E-00</td><td>.50.98E-00</td><td>.51061E-00</td><td>.59967E-04</td><td>.17271F-01</td></tr><tr><td>17</td><td>.50174E-00</td><td>.50.76E-00</td><td>.51040E-00</td><td>.55716E-04</td><td>.17279F-01</td></tr><tr><td>18</td><td>.50158E-00</td><td>.50.59E-00</td><td>.51023E-00</td><td>.52408E-04</td><td>.17284F-01</td></tr><tr><td>19</td><td>.50143E-00</td><td>.50.45E-00</td><td>.51010E-00</td><td>.50044E-04</td><td>.17289F-01</td></tr><tr><td>20</td><td>.50138E-00</td><td>.50.13E-00</td><td>.51000E-00</td><td>.48271E-04</td><td>.17293F-01</td></tr><tr><td>21</td><td>.50125E-00</td><td>.50.27E-00</td><td>.50991E-00</td><td>.46495E-04</td><td>.17295F-01</td></tr><tr><td>22</td><td>.50118E-00</td><td>.50.20E-00</td><td>.50985E-00</td><td>.45312E-04</td><td>.17297F-01</td></tr><tr><td>23</td><td>.50113E-00</td><td>.50.15E-00</td><td>.50980E-00</td><td>.44246E-04</td><td>.17299F-01</td></tr><tr><td>24</td><td>.50109E-00</td><td>.50.12E-00</td><td>.50976E-00</td><td>.43892E-04</td><td>.17301F-01</td></tr><tr><td>25</td><td>.50106E-00</td><td>.50.09E-00</td><td>.50973E-00</td><td>.43181E-04</td><td>.17302F-01</td></tr><tr><td>26</td><td>.50104E-00</td><td>.50.06E-00</td><td>.50971E-00</td><td>.42826E-04</td><td>.17303F-01</td></tr><tr><td>27</td><td>.50102E-00</td><td>.50.04E-00</td><td>.50969E-00</td><td>.42233E-04</td><td>.17304F-01</td></tr><tr><td>28</td><td>.50101E-00</td><td>.50.03E-00</td><td>.50968E-00</td><td>.41996E-04</td><td>.17304F-01</td></tr><tr><td>29</td><td>.50107E-00</td><td>.50.02E-00</td><td>.50964E-00</td><td>.41759E-04</td><td>.17304F-01</td></tr><tr><td>30</td><td>.50099E-00</td><td>.50.01E-00</td><td>.50966E-00</td><td>.41641E-04</td><td>.17305F-01</td></tr><tr><td>31</td><td>.50098E-00</td><td>.50.00E-00</td><td>.50965E-00</td><td>.41523E-04</td><td>.17305F-01</td></tr><tr><td>32</td><td>.50097E-00</td><td>.50.99E-00</td><td>.50964E-00</td><td>.41166E-04</td><td>.17305F-01</td></tr><tr><td>33</td><td>.50097E-00</td><td>.50.99E-00</td><td>.50964E-00</td><td>.41405E-04</td><td>.17305F-01</td></tr><tr><td>34</td><td>.50097E-00</td><td>.50.99E-00</td><td>.50964E-00</td><td>.41048E-04</td><td>.17305F-01</td></tr><tr><td>35</td><td>.50096E-00</td><td>.50.98E-00</td><td>.50963E-00</td><td>.41286E-04</td><td>.17306F-01</td></tr><tr><td>36</td><td>.50096E-00</td><td>.50.98E-00</td><td>.50963E-00</td><td>.41167E-04</td><td>.17306F-01</td></tr><tr><td>37</td><td>.50096E-00</td><td>.50.98E-00</td><td>.50963E-00</td><td>.41048E-04</td><td>.17306F-01</td></tr><tr><td>38</td><td>.50096E-00</td><td>.50.98E-00</td><td>.50963E-00</td><td>.41286E-04</td><td>.17306F-01</td></tr><tr><td>39</td><td>.50094E-00</td><td>.50.98E-00</td><td>.50963E-00</td><td>.41168E-04</td><td>.17306F-01</td></tr><tr><td>40</td><td>.50096E-00</td><td>.50.98E-00</td><td>.50963E-00</td><td>.41287E-04</td><td>.17306F-01</td></tr><tr><td>41</td><td>.50096E-00</td><td>.50.98E-00</td><td>.50963E-00</td><td>.41406E-04</td><td>.17306F-01</td></tr><tr><td>42</td><td>.50096E-00</td><td>.50.98E-00</td><td>.50962E-00</td><td>.41525E-04</td><td>.17306F-01</td></tr><tr><td>43</td><td>.50096E-00</td><td>.50.98E-00</td><td>.50962E-00</td><td>.41406E-04</td><td>.17306F-01</td></tr><tr><td>44</td><td>.50095E-00</td><td>.50.98E-00</td><td>.50962E-00</td><td>.41049E-04</td><td>.17305F-01</td></tr><tr><td>45</td><td>.50095E-00</td><td>.50.98E-00</td><td>.50962E-00</td><td>.41168E-04</td><td>.17305F-01</td></tr><tr><td>46</td><td>.50094E-00</td><td>.50.98E-00</td><td>.50962E-00</td><td>.41168E-04</td><td>.17305F-01</td></tr><tr><td>47</td><td>.50095E-00</td><td>.50.97E-00</td><td>.50962E-00</td><td>.4093CE-04</td><td>.17305F-01</td></tr><tr><td>48</td><td>.50094E-00</td><td>.50.97E-00</td><td>.50962E-00</td><td>.40692E-04</td><td>.17305F-01</td></tr><tr><td>49</td><td>.50094E-00</td><td>.50.97E-00</td><td>.50962E-00</td><td>.40573E-04</td><td>.17305F-01</td></tr><tr><td>50</td><td>.50095E-00</td><td>.50.97E-00</td><td>.50962E-00</td><td>.40335E-04</td><td>.17305F-01</td></tr><tr><td>51</td><td>.50095E-00</td><td>.50.97E-00</td><td>.50962E-00</td><td>.40335E-04</td><td>.17305F-01</td></tr></tbody></table>

$$SKS-S11/S11 = \frac{\text{tr}\{\eta\} - \text{tr}\{\Sigma_{11}\}}{\text{tr}\{\Sigma_{11}\}} ; \quad SQS-S11/S11 = \frac{\text{tr}\{\Sigma_Q\} - \text{tr}\{\Sigma_{11}\}}{\text{tr}\{\Sigma_{11}\}}$$

<footnote>(*) Notations : SIGMA(1,1)=tr{$\Sigma_{11}$} ; SIGMAKS = tr{$\eta$} ; SIGMAQS = tr{$\Sigma_Q$}</footnote>
Comme la structure de $H_1$ fait que la partie $x_1(t)$ de l'état est estimée à partir d'une mesure sur sa première composante seulement, l'erreur est d'autant plus grande que la seconde composante intervient davantage. C'est le cas de $A_2$ par l'intermédiaire du coefficient -18. Pour les exemples $A_3, B_1, B_2, B_3$ ce n'est pas vrai et les erreurs sont comparables.

En résumé, la matrice A intervient peu par sa structure, sauf si le couple $[A,H]$ n'est pas observable; comme dans le cas optimal.

Les exemples $A_5'$ et $A_5^{(5)}$, nous permettent d'examiner l'influence de la structure de D. Cette matrice est diagonale dans le premier cas, et triangulaire supérieure dans le second.

Le tableau ci-dessous résume les résultats :

<table><caption>INFLUENCE DE LA STRUCTURE DE LA MATRICE D</caption><thead><tr><th>τ<sub>D</sub></th><th>erreurs relatives A'<sub>5</sub></th><th>erreurs relatives de filtrage A<sub>5</sub><sup>(5)</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>8,9 10<sup>-3</sup></td><td>6,1 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,1</td><td>3,9 10<sup>-2</sup></td><td>6 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,2</td><td>7,2 10<sup>-3</sup></td><td>/</td></tr><tr><td>0,5</td><td>/</td><td>5,3 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>/</td><td>5,5 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>2,8 10<sup>-2</sup></td><td>/</td></tr><tr><td>5</td><td>1,3 10<sup>-1</sup></td><td>1,8 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>3,1 10<sup>-1</sup></td><td>2,1 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>50</td><td>1,23</td><td>1,1</td></tr><tr><td>100</td><td>2,02</td><td>2,24</td></tr></tbody></table>

<caption>Table 7</caption>

Comme pour $A$, on constate que l'influence de la structure de D est négligeable.
- 92 -
### 6.3.2.5. Erreurs relatives de filtrage en fonction des constantes de temps du système.

Les conclusions des paragraphes précédents nous autorisent à ne nous intéresser désormais, qu'aux constantes de temps des matrices A et D et à étudier l'erreur relative de filtrage en fonction de leurs valeurs.

Les courbes donnant l'erreur relative de filtrage sous optimal par rapport à l'erreur de filtrage optimal en fonction d'une constante de temps de D, tous les autres paramètres étant fixés ont l'allure figurée ci-contre:

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

en coordonnées logarithmiques. La constante de temps $τ_D$ varie de $10^{-2}$ à $10^2$. L'erreur relative selon les cas, de $10^{-6}$, soit pratiquement zéro, à quelques unités.

Les paramètres caractéristiques de l'erreur sont :

- la plus grande constante de temps de A : $τ_{AM} = \max\{τ_A\}$

- la plus grande constante de temps de D : $τ_{DM} = \max\{τ_D\}$
L'ensemble des résultats expérimentaux montre, comme on pouvait le prévoir, que les $τ_D$ interviennent relativement à l'ordre de grandeur des $τ_A$.

Lorsque la constante de temps variable de D, $τ_D$ est petite devant les autres, ce qui, pour nous, se traduit par $τ_D$ de l'ordre de $10^{-2}$, l'erreur relative de filtrage sous optimal $ε_o$ est fixée par la plus grande des constantes de temps du système, $Max \{τ_A, τ_D\}$, et croît comme elle. Ceci est particulièrement net sur les exemples $A'_2$, $A'_3$, et $A''_3$, mais se trouve sur tous les graphes (remarquer que sur 10070 en simple précision le zéro machine est de l'ordre de $10^{-6}$). Parallèlement à l'augmentation de $ε_o$, on remarque un écrasement de la courbe : quand $τ_{DM}$ ($= τ_D$ variable # $10^2$) est grand devant les autres constantes de temps, l'erreur relative $ε_t$ atteint dans des cas défavorables 100 % et plus; une dégradation de $ε_o$ n'a que peu d'influence sur des erreurs aussi considérables.

Intéressons nous maintenant aux constantes de temps $τ_D$ caractéristiques de l'allure de la courbe : les différents graphes présentent un palier, d'erreur faible $ε_o$, pour $τ_D \le τ_o$, l'erreur croît quasi-linéairement jusqu'à $τ_D$ de l'ordre de $10^{-3} τ_o$. La pente de cette droite augmente si A présente des constante de temps multiples (comparer les courbes $C_1$ et $B_i$, $i = 1$ à $3$ aux courbes $A_j^{(i)}$).

L'allure de ces courbes s'explique de la manière suivante :

- tant que $τ_D \le τ_{DM}$ seule $τ_{DM}$ (*) intervient dans la qualité du filtrage et ceci par sa position par rapport à $τ_{AM}$. On a donc naturellement un palier au départ.

- lorsque $τ_D > τ_{DM}$ (*) les variations de $τ_D$ deviennent sensibles sur la qualité du filtrage. Cependant, (voir figure 9) l'influence de $τ_D$ est plus grande quand $τ_{DM} \ll τ_{AM}$ (exemple $A'_3$) que lorsque $τ_{DM} > τ_{AM}$ (exemple $A'_2$). Dans le premier cas les performances initiales $\frac{τ_D}{τ_{DM}} \ll 1$ sont meilleures (le palier est plus bas) donc davantage sujettes à dégradation quand $τ_D$ se rapproche de $τ_{AM}$.

<footnote>(*) Dans cette écriture $τ_{DM} \neq Max$ des constantes de temps fixées de D et $τ_D$ est la constante de temps variable de D paramétrant notre étude.</footnote>
<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>ERREUR RELATIF DE FILTRAGE

(fig. 7)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_23.png" /></figure>
<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>ERREUR RELATIVE DE FILTRAGE
(FIG. 9)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_25.png" /></figure>
Remarquons, pour terminer, que le niveau $\varepsilon_o$ du palier, doit
nous avoir relié les variations à $\text{Max}\{\tau_{AM}, \tau_{DM}\}$, est plus faible dans
le cas où $\text{Max}\{\tau_{AM}, \tau_{DM}\} = \tau_{AM}$. Dans ce cas les modes de D, par l'in-
termédiaire de $x_2$, disparaissent rapidement et le terme $Cx_2$, dans
l'équation définissant $x_1(t)$, est petit devant les autres, en parti-
culier devant $v_1(t)$ bruit blanc d'excitation.

Avant de tirer cette étude les règles pratiques annoncées,
résumons, ci-dessous, les remarques relatives au filtrage sous opti-
mal à priori $Q_s$ (cf paragraphe 6.2.1.3.)

6.3.2.6. Filtrage sous optimal par choix à priori de Qs.

Bien que le programme nous fournisse pour chaque exemple
des résultats sur cette approximation, nous n'en n'avons retenu que
six à titre d'illustration (voir les courbes correspondantes figures
11 et 12 p 98 et 15 p 136).

Un remarque que l'allure générale de l'erreur relative
$\epsilon_s = \frac{\text{tr}\{\Sigma_Q\} - \text{tr}\{\Sigma_{11}\}}{\text{tr}\{\Sigma_{11}\}}$ en fonction de la constante de temps variable $\tau_D$
représente une nette analogie avec celle du filtrage sous optimal par
choix de $K_S$ décrite précédemment. L'erreur ne présente pas, pour $\epsilon_2=1$,
de palier au départ et croît régulièrement (fig 11 et 12). Par contre,
pour $n_2 \ge 2$ (fig 15), on retrouve un palier qui s'exprime comme précédem-
ment. L'erreur est d'autant plus faible que $\tau_D$ est plus petit devant
les autres constantes de temps, car $Cx_2 + v_1$ se comporte approximativ-
ement, dans ce cas, comme $v_1$.

Le filtrage par choix à priori de $Q_s$ est, dans la plupart
des cas, inférieur à celui recherché de $K_S$. Lorsque ce dernier opère
dans des conditions défavorables, quelques dizaines de % d'erreur,
le filtrage par $Q_s$ donne une erreur comparable.

La comparaison des courbes (par exemple fig 7 et 11 exemples
$A_2$ et $A_3$) dans les deux cas de filtrage envisagés, nous permet de
conclure que :
<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>ERREUR RELATIVE DE FILTRAGE
CHOIX A PRIORI DE $Q_s$
(fig 12)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_27.png" /></figure>
- Lorsque le filtrage par choix du gain $K_s$ (méthode du gradient) est bon, celui par choix à priori de $Q_s$ a une erreur relative environ 10 fois supérieure.

- Lorsqu'il travaille avec une $\epsilon$ de quelques dizaines de % le filtrage par choix de $Q_s$ travaille dans des conditions voisines et peu lui être substitué sans trop de perte. On gagne essentiellement le temps de recherche de $K_s$ par la méthode du gradient, qui, justement dans ces conditions est plus délicate par sa longueur et sa précision.

### 6.3.3. Règles pratiques

Les exemples traités nous permettent de dégager quelques règles pratiques. Le nombre des paramètres entrant en jeu nous incite à diviser ces résultats en deux catégories :

- La première est relative à la structure des matrices.

- La seconde aux constantes de temps caractéristiques du système.

Quelques résultats types sont présentés et donnent une idée de l'ordre de grandeur de l'erreur relative de filtrage.

#### 6.3.3.1. Règles concernant la structure des matrices

A, D, $H_1$ - interviennent peu sur la qualité du filtrage sauf cas particulier (cf paragraphe 6.3.2.4.) où le couple $[A, H_1]$ n'est pas complètement observable et présente une structure défavorable : un état non mesuré est affecté d'un coefficient $a_{ij}$ grand en valeur absolue devant les autres.

C - l'erreur relative de filtrage sous optimal croît avec les éléments de C. Le cas C = 0 correspond au filtrage optimal puisque les parties $x_1$ et $x_2$ de l'état sont découplées.
### 6.3.3.2. Règles relatives aux constantes de temps du système

Tous les paramètres étant fixés (matrices du système, matrices de covariance, dimensions) sauf A et D, les paramètres caractéristiques sont leur plus grandes constantes de temps $τ_{AM}$ et $τ_{DM}$.

Le niveau $ε_o$ du palier de la courbe d'erreur est fixé par :

$$τ_M = \text{Max} \{τ_{AM}, τ_{DM}\}$$

et $ε_o$ est plus petit quand $τ_M = τ_{AM}$.

L'erreur relative $ε$ croît quasi-linéairement (cf figure 7 à 10, 13, 14) pour $τ_D$ min $\{τ_{AM}, τ_{DM}\}$ avec une pente plus forte si $τ_M = τ_{AM}$, c'est-à-dire d'autant plus que $ε_o$ est faible.

Rappelons que dans la méthode du gradient le minimum de l'erreur ne devient sensible à $K_s$ que lorsque $τ_D$ (paramètre variable) est grand devant les autres constantes de temps.

Enfin, le comportement du filtre en régime transitoire est de qualité comparable à son comportement en régime permanent.

Le tableau suivant (p 101) regroupe quelques résultats numériques types.

Les règles pratiques que nous venons d'exposer permettent dans la plupart des cas de prédire la qualité du filtrage sous optimal par rapport au filtrage optimal. Il apparaît qu'en pratique le filtrage sous optimal étudié peut remplacer le filtrage optimal sans dégration sensible des performances.
<table><caption>Table 8
- 101 -</caption><thead><tr><th rowspan="3">Exemples</th><th rowspan="3">Constantes<br>de temps<br>fixées<br>de D</th><th colspan="4">DEGRATION RELATIVE DES PERFORMANCES</th></tr><tr><th colspan="2">ε pour τ=</th><th colspan="2">τ pour ε=</th></tr><tr><th>τ = τ<br>Amin</th><th>τ = τ<br>Amax</th><th>ε = 1%</th><th>ε = 10%</th></tr></thead><tbody><tr><td>A<sub>2</sub></td><td>τ = 0,1<br>τ = 1</td><td>/</td><td>4.10<sup>-5</sup></td><td>1,610<sup>-2</sup></td><td>0,8</td><td>2,3</td></tr><tr><td>A<sub>3</sub></td><td>τ = 0,1<br>τ = 1</td><td>/</td><td>410<sup>-5</sup></td><td>710<sup>-5</sup></td><td>6,5</td><td>16</td></tr><tr><td>B<sub>1</sub></td><td>τ = 1<br>τ = 1</td><td>/</td><td>610<sup>-3</sup></td><td>610<sup>-3</sup></td><td>1,1</td><td>2,6</td></tr><tr><td>B<sub>2</sub></td><td>τ = 1<br>τ = 1</td><td>/</td><td>1,310<sup>-3</sup></td><td>1,310<sup>-3</sup></td><td>2</td><td>/</td></tr><tr><td>B<sub>3</sub></td><td>τ = 1<br>τ = 1</td><td>/</td><td>610<sup>-3</sup></td><td>610<sup>-3</sup></td><td>1,1</td><td>3,2</td></tr><tr><td>C<sub>1</sub></td><td>τ = 0,1<br>τ = 0,1</td><td>/</td><td>1,710<sup>-6</sup></td><td>1,710<sup>-6</sup></td><td>4</td><td>11</td></tr><tr><td>D<sub>2</sub></td><td>τ = 0,1<br>τ = 10</td><td>/</td><td>410<sup>-2</sup></td><td>/</td><td>0,08</td><td>/</td></tr><tr><td>E<sub>1</sub></td><td>τ = 1<br>τ = 10</td><td>/</td><td>310<sup>-3</sup></td><td>/</td><td>1,5</td><td>/</td></tr><tr><td>E<sub>2</sub></td><td>τ = 1<br>τ = 10</td><td>/</td><td>1,210<sup>-2</sup></td><td>/</td><td>1</td><td>2,..</td></tr><tr><td>A'<sub>2</sub></td><td>τ = 0,1<br>τ = 1</td><td>τ = 10<br>diagonale</td><td>3,210<sup>-1</sup></td><td>3,210<sup>-1</sup></td><td>jamais</td><td>jamais</td></tr><tr><td>A'<sub>3</sub></td><td>τ = 0,1<br>τ = 1</td><td>τ = 1<br>diagonale</td><td>2,310<sup>-3</sup></td><td>2,310<sup>-3</sup></td><td>1,7</td><td>5</td></tr><tr><td>A''<sub>3</sub></td><td>τ = 0,1<br>τ = 1</td><td>τ = 1</td><td>2,710<sup>-3</sup></td><td>1,510<sup>-2</sup></td><td>0,85</td><td>2,3</td></tr><tr><td>A'<sub>4</sub></td><td>τ = 0,1<br>τ = 1</td><td>τ = 10<br>diagonale</td><td>2,510<sup>-1</sup></td><td>210<sup>-1</sup></td><td>jamais</td><td>jamais</td></tr><tr><td>A'<sub>5</sub></td><td>τ = 0,1<br>τ = 1</td><td>τ = 1<br>diagonale</td><td>710<sup>-3</sup></td><td>1,410<sup>-2</sup></td><td>0,65</td><td>5</td></tr><tr><td>A<sub>5</sub><sup>(5)</sup></td><td>τ = 0,1<br>τ = 1</td><td>τ = 1</td><td>6,210<sup>-2</sup></td><td>610<sup>-2</sup></td><td>jamais</td><td>2,8</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_28.png" /></figure>
CALCUL DE K PAR LA METHODE DU

GRADIENT

<figure><img src="image_29.png" /></figure>
LE PROBLEME INVERSE DU FILTRAGE OPTIMAL

Nous avons déjà indiqué que le problème de filtrage sous
optimal considéré pouvait être envisagé de deux points de vue :

- soit optimiser le filtre sous optimal en choisissant
  le gain de filtrage qui conduit à l'erreur de covarian-
  ce minimale

- soit considérer le filtre sous optimal comme le filtre optimal correspondant à un modèle simplifié à déterminer par la covariance de son bruit d'excitation

Le premier point de vue a été examiné aux chapitres pré-
cédents. On se propose, dans ce chapitre, d'examiner le second :
le meilleur gain de filtrage sous optimal K_s étant trouvé, existe-
-t-il un modèle simplifié tel qu'il en soit le gain du filtre opti-
mal de KALMAN correspondant ?

Nous verrons ci-dessous que le problème inverse du filtra-
ge optimal ainsi posé, a une solution triviale dans le cas scalaire
et qu'il existe toujours un modèle simplifié équivalent (au sens
de l'identité des filtres précédents). Par contre, le cas multiva-
riable nécessite une approche plus délicate. Le modèle simplifié
équivalent n'existe que sous des conditions de positivité (théorème
7.5).

Ce problème est le dual du problème inverse du contrôle
optimal abordé dans le cas scalaire par KALMAN [15] et repris, dans
le cas général par B.D.O. ANDERSON [16].

Nous supposons dans tout le chapitre la matrice A stable
et le couple [A, H_1] complètement observable.
## 7.1. PROBLEME INVERSE SCALAIRE

Mettons en équations, le problème posé. Nous conservons les notations matricielles pour l'instant de manière à pouvoir nous référer par la suite à ces équations.

Le meilleur filtre sous optimal est le suivant :

$$ egin{cases} 
\dot{\hat{x}}_s = A \hat{x}_s + K_s [y - H_1 \hat{x}_s] \\ 
\hat{x}_s(0) = 0 
\end{cases} 
\quad (7.1) $$

$K_s$ étant obtenu par la méthode du gradient par exemple (voir chapitre 5). Il en résulte, outre la stabilité de $A$ par hypothèse, celle de $(A-K_s H_1)$ démontrés précédemment.

Le modèle simplifié est de mêmes dimensions que le filtre :

$$ egin{cases} 
\hat{x}_s = A x_s + v_s \\ 
y = H_1 x_s + w 
\end{cases} 
\quad (7.2) $$

$A$, $H_1$ et $w$ correspondent aux grandeurs du modèle vrai, seul le bruit blanc d'excitation $v_s$ reste à choisir.

Le filtre optimal de (7.2) a un gain et une covariance d'erreur :

$$ egin{cases} 
A \Sigma_s + \Sigma_s A' - \Sigma_s H_1' R^{-1} H_1 \Sigma_s + Q_s = 0 \\ 
K_s = \Sigma_s H_1' R^{-1} 
\end{cases} 
\quad (7.3) $$

$K_s$ étant donné, est-il possible de choisir $Q_s$, covariance de $v_s$

$$ Q_s = Q_s' \ge 0 \quad (7.4) $$

satisfaisant le système (7.3) ?
Dans le cas scalaire les minuscules remplaçent les majuscules (cf notations du chapitre 6) et (7.3) nous donne $q_s$ fonction de $k_s$ :

$$q_s = \frac{r}{h_1} k_s (h_1 k_s - 2a) \quad (7.5)$$

dont le graphe est représenté ci-dessous :

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

Le demi plan $k_s > \frac{a}{h_1}$ correspond au domaine de stabilité du filtre. Nous avons vu (cf chapitre 4) que le gain "optimal" $k_s$ est toujours positif, donc seul l'arc de parabole du premier quadrant nous intéresse. Il est alors manifeste qu'à tout gain $k_s$ correspond une covariance $q_s$ positive ou nulle. Le bruit $v_s$ correspondant est physiquement réalisable.

Dans le cas scalaire le problème inverse du filtrage a donc toujours une solution unique.

## 7.2. PROBLEME INVERSE MULTIVARIABLE

Supposons donné pour commencer le système (7.2) et la relation (7.4). Ceci étant, il est possible de factoriser $Q_s$ :

$$Q_s = L_s L'_s \geq C \quad (7.6)$$

Nous emploierons indifféremment par la suite, $Q_s$ ou sa factorisation $L_s L'_s$ qui met en évidence le caractère non négatif défini de $Q_s$.

Dans la suite les notations $K$ et $\Sigma$ (au lieu de $K_s$ et $\Sigma_s$) indiquent que les propriétés établies ne reposent par directement sur le filtrage par contrainte de structure.

Le lemme suivant nous donne des conditions d'existences d'un filtre optimal du système (7.2) tel que $\Sigma > 0$ :
A, $H_1$, R et $L_s$ étant supposés donnés tels que :

i) A soit stable

ii) $[A, L_s]$ soit complètement commutable

iii) $[A, H_1]$ soit complètement observable

iv) $R > 0$

v) $Q_s = L_s L_s' \geq 0$

L'équation de Riccati algébrique (7.3) a une solution unique $\Sigma_s$ définie positive.

Caractérisons maintenant l'optimalité du gain de filtrage, donc du filtre d'équation (7.1) associé à un système linéaire d'équations (7.2)

**Théorème 7.1**

Les matrices A, $H_1$ et R étant supposées données et satisfaisant les hypothèses (i), (iii), (iv) du Lemme, un algorithme du type (7.1) est un filtre optimal si, et seulement si, il existe :

i) $L_s$

ii) $\Sigma = \Sigma' > 0$

tels que :

$$ \left\{ \begin{array}{l} K = \Sigma H R^{-1} \\ - (A - KH_1)\Sigma - \Sigma(A - KH_1)' = L_s L_s' + KRK' \end{array} \right. \quad (7.7) $$

**Démonstration :**

Elle découle directement des équations d'évolution de $\Sigma(t)$ et du Lemme.‡

Le théorème 7.1 s'interprète en termes du lemme Positif Réel. Le système (7.7) nous indique en effet, que le gain K est stable et optimal si et seulement si, le lemme positif réel a une solution lorsque $Q_k = Q_s + KRK' > 0$ est donné.

Nous avons donc dès ce premier théorème une réponse à notre problème. $Q_s$ et $\Sigma$ sont solution du lemme positif réel lorsque A, $H_1$, R et K sont donnés, et bien entendu sous réserve de l'existence d'une solution. $\Sigma$ est alors la matrice de covariance de l'errur de filtrage. Mais de notre point de vue, elle n'est q'un inter-
médiaire entre K et $Q_s$, que nous éliminons en passant dans le domaine fréquentiel.

Pour cela introduisons la matrice fondamentale :

$$ \Phi(s) = (sI - A)^{-1} $$

(s est la variable de Laplace) qui existe, puisque A est stable.

Le théorème suivant est la forme fréquentielle de la condition nécessaire du théorème 7.1 :

### Théorème 7.2

Les matrices $A, H_1$ et $R$ étant supposées données telles que :

i) $A$ soit stable

ii) $[A, H_1]$ complètement observable

iii) $R > 0$

Une condition nécessaire pour qu'un algorithme du type (7.1) soit un filtre optimal est qu'il existe une matrice $L_s$ telle que :

$$ \begin{aligned} & R^{-1} H_1 \Phi(s) K + K' \Phi'(-s) H_1' R^{-1} + R^{-1} H_1 \Phi(s) K R K' \Phi'(-s) H_1' R^{-1} \\ &= R^{-1} H_1 \Phi(s) L_s L_s' \Phi'(-s) H_1' R^{-1} \end{aligned} \quad (7.9) $$

### Démonstration

Nous sommes sous les hypothèses du théorème 7.1. Si l'algorithme (7.1) est optimal, il vérifie le système (7.7). Ajoutons et retranchons $s\Sigma$ au premier membre de la seconde équation :

$$ (sI - A)\Sigma + \Sigma(-sI - A)' = -KH_1\Sigma - \Sigma H_1'K' + KRK' + Q_s $$

Introduisons alors la matrice fondamentale $\Phi(s)$ et la matrice identité de dimension $m : I_m = RR^{-1} = R^{-1}R$ pour éliminer $\Sigma$ par l'intermédiaire de la première équation de (7.7) :
$$ \Phi^{-1}(s) \Sigma + \Sigma \Phi'(-1)^{-1} = -KRR^{-1}H_1\Sigma - \sum H_i' R^{-1}RK' + KRK' + Q_s $$

$$ \Phi^{-1}(s) \Sigma + \Sigma \Phi'(-1)^{-1} = Q_s - KRK' $$

Multiplions cette équation à gauche par $R^{-1}H_1\Phi(s)$ et à droite par $\Phi'(-s)H_1'R^{-1}$ et regroupons les termes en $K$ dans le premier membre :

$$ \begin{aligned} & R^{-1}H_1\Phi(s)K + K'\Phi'(-s)H_1'R^{-1} + R^{-1}H_1\Phi(s)KRK'\Phi'(-s)H_1'R^{-1} \\ &= R^{-1}H_1\Phi(s)Q_s\Phi'(-s)H_1'R^{-1} \end{aligned} \quad (7.9) $$

ce qui achève la démonstration.

Il est souvent plus agréable de travailler sur une équation factorisée. Dans cette optique, nous nous servirons par la suite de la forme suivante de (7.9) :

$$ \begin{aligned} & (7.9) \quad [I + R^{-1}H_1\Phi(s)KR] R^{-1} [I + RK'\Phi'(-s)H_1'R^{-1}] - R^{-1} \\ &= R^{-1}H_1\Phi(s)L_sL_s' \Phi'(-s)H_1'R^{-1} \end{aligned} \quad (7.10) $$

### Corollaire

Sous les hypothèses du théorème 7.2, une condition nécessaire pour qu'un algorithme de type (7.1) soit un filtre optimal est que l'inégalité suivante :

$$ [I + R^{-1}H_1\Phi(s)KR] R^{-1} [I + RK'\Phi'(-s)H_1'R^{-1}] - R^{-1} \ge 0 \quad (7.11) $$

soit vérifiée.

Nous établissons ci-dessous deux réciproques au théorème 7.2. La première traite de l'optimalité du filtre donc du gain $K$, la seconde de l'existence d'une matrice $L_s$. La synthèse de ces résultats nous permettant de répondre au problème posé.
## Théorème 7.3

Supposons les matrices $A, H_1$ et $R$ données et vérifiant les hypothèses (i) à (iii) du théorème 7.2. Supposons qu'il existe $L_s$ et $K$ tel que :

i) $[A, L_s]$ soit complètement commandable

ii) la relation (7.10) - ou de manière équivalente (7.9) - soit vérifiée.

iii) $K$ soit un gain de filtrage stable pour l'algorithme (7.1)

alors l'algorithme (7.1) est un filtre optimal.

## Démonstration

Les hypothèses impliquent, d'après les théorèmes précédents l'existence d'un filtre optimal de gain $K^*$. En outre, ce gain vérifie l'équation (7.10). Comme c'est également le cas de $K$, il en résulte :

$$ [I + R^{-1}H_1\Phi(s)K^*R] R^{-1} [I + RK^{*\prime}\Phi'(-s)H_1^\dagger R^{-1}] = [I + R^{-1}H_1\Phi(s)KR] R^{-1} [I + RK'\Phi'(-s)H_1^\dagger R^{-1}] \quad (7.12) $$

La stabilité de $A$ implique que les pôles de $\Phi(s) = (sI-A)^{-1}$ sont tous dans le demi plan gauche de Laplace. Posons $S(s)$ égal aux deux membres de (7.12) :

$$ \begin{gathered} S'(-s) = S(s) \\ S(j\omega) \ge 0 \quad \forall \omega \in \mathbb{R} \end{gathered} \quad (7.13) $$

donc $S(s)$ est parahermitienne. Appliquons donc le théorème de factorisation spectrale de Youla [18] :

Il existe une matrice, fonction rationnelle de s, paraunitaire :

$$ U(s) U'(-s) = I \quad (7.14) $$
telle que :

$$[I + R^{-1}H_{1}\Phi(s)K^{*}R] R^{-\frac{1}{2}} = U(s) [I + R^{-1}H_{1}\Phi(s)KR] R^{-\frac{1}{2}}$$

et après simplification :

$$I + R^{-1}H_{1}\Phi(s)K^{*}R = U(s) [I + R^{-1}H_{1}\Phi(s)KR] \quad (7.15)$$

et de même :

$$U'(-s) [I + R^{-1}H_{1}\Phi(s)K^{*}R] = I + R^{-1}H_{1}\Phi(s)KR \quad (7.16)$$

D'après la stabilité de K, par hypothèse, et de $K^*$, par
optimalité, tous les pôles des deux membres de (7.15) et (7.16) sont
dans le demi plan gauche de Laplace. Donc $U(s)$ a ses pôles dans le
demi plan gauche de même que $U'(-s)$. La seule solution possible est
qu'ils soient sur l'axe imaginaire, ce qui est exclu puisque $U(s)$
est paraunitaire, donc :

$$U(s) = U'(-s) = I \quad \text{et :}$$

$$I + R^{-1}H_{1}\Phi(s)K^{*}R = I + R^{-1}H_{1}\Phi(s)KR$$

soit

$$H_{1}\Phi(s)K^{*} = H_{1}\Phi(s)K \quad (7.17)$$

Développons $\Phi(s)$ suivant les puissances de s et identifions :

$$\left\{
\begin{array}{l}
H_1 K^* = H_1 K \\
H_1 A K^* = H_1 A K \\
\vdots \\
H_1 A K^{n_1-1} = H_1 A K^{n_1-1}
\end{array}
\right.
\qquad (7.18)$$
$$ (7.18) \quad \Rightarrow \quad \begin{bmatrix} H_1 \\ H_1 A \\ \vdots \\ H_1 A \end{bmatrix} \quad (K^* - K) = 0 \quad (7.19) $$

La complète observabilité du couple $[A, H_1]$ nous donne :

$$ \text{rang } O = \text{rang} \begin{bmatrix} H_1 \\ H_1 A \\ \vdots \\ H_1 A \end{bmatrix} = n_1 $$

donc (7.19) ⇒ ,

$$ O'\circ(K^* - K) = O $$

et $O'\circ$ est inversible, donc :

$$ K^* = K $$

Après avoir caractérisé l'optimalité du filtre, nous nous intéressons à la seconde réciproque du théorème 7.2 qui traite de l'existence de la matrice $L_s$ donc finalement de celle de $Q_s \ge 0$.

### Théorème 7.4

Supposons $A, H_1, R$ et $K$ donnés tels que :

i) $A$ soit stable

ii) $[A, H_1]$ soit complètement observable

iii) $K$ soit stable pour l'algorithme (7.1)

iv) $[A, K]$ soit complètement commandable

v) $R > 0$

$$ \text{vi) } [I+R^{-1}H_{1}\Phi(s)KR] R^{-1}[I+RK'\Phi'(-s)H_{1}R^{-1}] - R^{-1} \geq 0 $$

$$ s = j\omega \quad \forall \omega \in \mathbb{R} \quad (7.20) $$
Il existe une matrice $L_s$ telle que $[A, L_s]$ soit complète-ment commandable et vérifiant l'équation (7.10).

## Démonstration

Développons (7.20) :

$$R^{-1}H_{1}\Phi(s)K + K'\Phi'(-s)H_{1}R^{-1} + R^{-1}H_{1}\Phi(s)KRK'\Phi'(-s)H_{1}R^{-1} \geq 0 \quad (7.21)$$

soit P la solution positive de :

$$AP + PA' = -KRK' \quad (7.22)$$

qui existe et est unique puisque A est stable, $KRK' \geq 0$ et d'après (iv).

Introduisons $\Phi(s)$ dans (7.22) (cf démonstration du théorème 7.2)

$$\Phi(s)^{-1} P + P \Phi'^{-1}(-s) = KRK'$$

ce qui permet d'expliciter le dernier terme de (7.21) :

$$R^{-1}H_{1}\Phi(s)KRK'\Phi'(-s)H_{1}R^{-1} = R^{-1}H_{1}P\Phi'(-s)H_{1}R^{-1} + R^{-1}H_{1}\Phi(s)PH_{1}R^{-1} \quad (7.23)$$

qui devient :

$$R^{-1}H_{1}\Phi(s)[K + PH_{1}R^{-1}] + [K' + R^{-1}H_{1}P]\Phi'(-s)PH_{1}R^{-1} \geq 0 \quad (7.24)$$

(7.24) est l'expression d'un spectre et de ce fait factorisable. Il existe donc une matrice $L_s$ telle que :

$$R^{-1}H_{1}\Phi(s)[K' + PH_{1}R^{-1}] + [K' + R^{-1}H_{1}P]\Phi'(-s)H_{1}R^{-1} = R^{-1}H_{1}\Phi(s)L_{s}L_{s}'\Phi'(-s)H_{1}R^{-1} \quad (7.25)$$
Puisque le premier membre de (7.25) est identique à celui de (7.20) l'équation (7.10) est établie.

Parmi toutes les matrices $L_s$ répondant à la question, il en existe une telle que le système $\{A, L_s, R^{-1}H_1\}$ soit minimal [21]. Cette matrice correspond à la condition :

$[A, L_s]$ complètement commandable. ||

Le dernier théorème est le résultat important de ce chapitre et répond au problème inverse du filtrage optimal. Il constitue en fait la synthèse des théorèmes précédents :

**Théorème 7.5 : Problème Inverse du Filtrage Optimal**

Soit $K$ un gain de filtrage stable pour le filtre (7.1) :

$$ egin{cases} 
\dot{\hat{x}}_s = A \hat{x}_s + K[y - H_1 \hat{x}_s] \\ 
\hat{x}_s(0) = 0 
\end{cases} 
\quad (7.1) $$

Une condition nécessaire et suffisante pour que l'algorithme (7.1) soit le filtre optimal du système (7.2) :

$$ egin{cases} 
\dot{x}_s = A x_s + v_s \\ 
y = H_1 x_s + w 
\end{cases} 
\quad (7.2) $$

$v_s$ bruit blanc de covariance $L_s L'_s$

est que :

i) $[A, K]$ soit complètement commandable

ii) $[I + R^{-1}H_1\Phi(j\omega)KR] R^{-1}[I + RK'\Phi'(-j\omega)H_1'R^{-1}] - R^{-1} \geq 0$
## Démonstration

La condition nécessaire découle du théorème (7.2). Condition suffisante : l'existence de $L_s$ découle du théorème (7.4) et l'optimalité de K du théorème (7.3).

Un filtre peut s'interpréter en terme de système linéaire :

$$ egin{cases} \dot{\hat{x}}_s = A \hat{x}_s + Ku \\ \hat{x}(0) = 0 \end{cases} \qquad (7.26) $$

$u = y - H_1 \hat{x}_s$ est l'innovation. La complète commandabilité (hypothèse (i)) du couple $[A, K]$ signifie que toutes les composantes de l'état $x_s$ sont estimées au mieux, puisque l'innovation intervient sur toutes les composantes de l'estimée $\hat{x}_s$ de $x_s$.

La seconde hypothèse (ii) peut se réécrire :

$$ [R^{-1} + R^{-1}H_1\Phi(s)K] R [R^{-1} + K'\Phi'(-s)H_1'R^{-1}] - R^{-1} \geq 0 $$

soit encore :

$$ R^{-1} \{ [I + H_1 \Phi(s) K] R [I + K' \Phi'(-s) H_1'] - R \} R^{-1} \geq 0 $$

donc :

$$ [I + H_1 \Phi(s) K] R [I + K' \Phi'(-s) H_1'] - R \geq 0 \quad (7.27) $$

L'expression entre crochets est la différence de retour ([20], [16]) :

$$ T(s) = I + H_1 \Phi(s) K \qquad (7.28) $$

du système bouclé composé de l'équation (7.26) et des équations :

$$ u = y - H \hat{x}_s \qquad (7.29) $$

$$ \dot{y} = H_1 \hat{x}_s \qquad (7.30) $$

L'hypothèse (ii) c'est-à-dire l'inégalité (7.27) exprime que ce système linéaire est moins sensible aux variations de ses paramètres en boucle fermée qu'en boucle ouverte.
## 7.3. CONCLUSION

L'existence d'un modèle simplifié pour lequel le filtre optimal s'identifie au filtre sous optimal du modèle vrai n'est pas évidente, sauf dans le cas trivial scalaire. Il en résulte que les filtres sous optimaux obtenus par les méthodes décrites aux précédents chapitres ne peuvent pas toujours s'interpréter dans les termes d'un modèle simplifié équivalent. L'approche choisie consistant à adapter le filtre plutôt que le modèle, se trouve ainsi parfaitement justifiée.
CONCLUSION GENERALE

Nous nous sommes intéressés au filtrage d'un signal y(t) identifié par le système :

$$
\begin{cases}
x_1(t) = Ax_1(t) + g(t) + v_1(t) \\
y(t) = H_1 x_1(t) + w(t)
\end{cases}
$$

don't l'état x₁(t) est la réponse d'un système linéaire excité par la somme d'un bruit blanc v₁(t) et d'un bruit gaussien markovien g(t). Nous avons remarqué qu'il est simple de filtrer optimalement ou sens du filtre de KALMAN ou de WINNER - un tel signal, à condition d'accepter une augmentation de la dimension de l'état par introduction de x₂(t) tel que :

$$
\begin{cases}
g(t) = C x_2(t) \\
x_2(t) = D x_2(t) + v_2(t)
\end{cases}
$$

Cette opération s'accompagne d'une diminution de performance du filtrage (en vitesse de calcul comme en encombrement), il est intéressant d'accepter un filtrage sous-optimal de x₁(t) uniquement: Ce point de vue consiste à substituer à une dégradation des performances de vitesse de calcul et d'encombrement du filtre, une dégradation de la qualité du filtrage.

Nous nous sommes fixés la structure du filtre sous la
forme de l'équation du filtre de KALMAN :

$$
\dot{\mathbf{x}}_s = A\mathbf{x}_s + K_s[\mathbf{y} - H_1 \mathbf{z}_s]
$$

et, sous cette contrainte, nous avons choisi le filtre, donc la
matrice de gain sous optimal K_s, de manière à minimiser la cova-
riance de l'erreur de filtrage.
De cette étude nous tirons les conclusions suivantes :

i) le gain $K_s$ obtenu est toujours stable ((A - $K_sH_1$) stable)

ii) la minimisation de la covariance de l'erreur par la méthode du gradient donne de bons résultats et rapidement.

iii) l'erreur relative de filtrage croît lorsque les éléments $c_{ij}$ de la matrice c de couplage augmentent en valeur absolue.

iv) les paramètres significatifs sont les constantes de temps maximales des matrices A et D : $\tau_{AM}$ et $\tau_{DM}$. L'erreur relative de filtrage $\epsilon$ est donnée approximativement par le tableau suivant :

<table><thead><tr><th>τ<sub>DM</sub></th><th>10<sup>-1</sup>τ<sub>AM</sub></th><th>τ<sub>AM</sub></th><th>10.τ<sub>AM</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>ε</td><td>Filtrage<br>excellent<br>ε &lt; 1%</td><td>Bon filtra-<br>ge<br>quelques %</td><td>Moyen<br>quelques 10% - quelques 10%</td></tr></tbody></table>

Lorsque $\tau_{DM} \ge \tau_{AM}$, on peut substituer au filtrage sous optimal par contrainte de structure, l'approximation grossière par le choix à priori de $Q_s$ qui donne une précision du même ordre.

v) Parallèlement, nous avons montré que le choix $K_s = K_1^*$ (partie du gain optimal de Kalman relative au filtrage optimal de $x_1(t)$) minimise la covariance du vecteur centré $\epsilon(t) = \tilde{x}_1(t) - \tilde{x}_s(t)$ différence entre l'erreur de filtrage optimal et sous optimal de $x_1(t)$ et fournit une solution approximative du problème.

vi) Nous nous sommes demandés si le filtre sous optimal obtenu, pouvait être interprété comme le filtre de KALMAN optimal d'un certain modèle (dit "simplifié"). La réponse à ce problème dépend de la validité de certaines conditions de positivité et de commandabilité qui assurent l'existence d'un bruit blanc $v_s(t)$ équivalent à $g(t)+v_1(t)$
L'étude présentée se schématise donc comme suit :

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

La structure de l'ensemble des tr{$\eta(K_S)$} (lorsque $K_S$ varie) est la première des questions ouvertes. La convexité de l'ensemble nouserait l'unicité du gain de filtrage sous optimal. Elle permettrait en outre de choisir comme gain initial de la méthode du gradient, un gain quelconque, $K_1^*$ par exemple (cf. (v)).

Un second problème serait celui de l'étude systématique des conditions du problème inverse du filtrage optimal (théorème 7-5) et de la recherche d'un passage direct du modèle vrai au modèle simplifié (flèche en pointillés sur le schéma) lorsqu'il existe. Cette solution permettrait peut-être d'éviter une méthode du gradient qui, si elle reste acceptable en temps, car utilisée une seule fois à l'initialisation du filtrage, n'en crée pas moins un retard entre identification et filtrage.

Enfin, et c'est à notre avis une question fondamentale, dans quel mesure le filtrage sous-optimal est-il vraiment inférieur au filtrage optimal du modèle vrai ? Nous n'avons travaillé qu'en simulant les covariances des erreurs des filtrages.
Il reste à tenir compte de la fréquence d'échantillonnage fonction
du temps d'estimation d'un point. Cette fréquence est plus petite
dans le cas du filtrage optimal que dans le cas du filtrage sous
optimal, et nous savons que la qualité de l'estimation dépend beau-
coup de l'échantillonnage. Il est certain que nos conclusions quoi-
que très positives, restent, du fait du problème évoqué, pessimistes !
MATRICES GRADIENT

Nous reprenons ici les relations introduites en [4], elles-mêmes inspirées de [5].

Soit $f(X)$ une fonction scalaire de la variable matricielle $X : n \times n$. Soient les dérivées partielles :

$$ \frac{\partial f(X)}{\partial x_{ij}} = \begin{cases} i = 1, 2, \dots, n \\ j = 1, 2, \dots, n \end{cases} $$

la matrice gradient de $f(X)$ par rapport à $X$ est la matrice dont l'élément $ij$ est la dérivée particielle écrite ci-dessus.

Nous la notons :

$$ \frac{\partial f(X)}{\partial X} = \left[ \frac{\partial f(X)}{\partial x_{ij}} \right] $$

Un calcul direct conduit aux formules classiques ci-dessous :

$$ \frac{\partial}{\partial X} \operatorname{tr}\{X\} = I $$

$$ \frac{\partial}{\partial X} \operatorname{tr}\{AX\} = A^T $$

$$ \frac{\partial}{\partial X} \operatorname{tr}\{AX'\} = A $$

$$ \frac{\partial}{\partial X} \operatorname{tr}\{AXBX\} = A'X'B' + B'X'A' $$

$$ \frac{\partial}{\partial X} \operatorname{tr}\{AXBX'\} = A'XB' + AXB $$
Ces relations pouvant être complétées par l'utilisation
des identités :

tr {AB} = tr {BA}

tr {AB'} = tr {BA'}
ANNEXE 2

LISTE DES EXEMPLES
<table><thead><tr><th>COM</th><th>A</th><th>C</th><th>D</th><th>H<sub>1</sub></th><th>Q</th><th>R</th><th>OBSERVATIONS</th></tr></thead><tbody><tr><td>A<sub>2</sub></td><td>[-1 -10] [0 -10]</td><td>[+1] [-1]</td><td>[λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,0]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td>τ<sub>A</sub> = 0,1<br>τ<sub>A</sub> = 1</td></tr><tr><td>A<sub>3</sub></td><td>[-5,5 4,5] [4,5 -5,5]</td><td>[1] [-1]</td><td>[λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,0]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td>τ<sub>A</sub> = 0,1<br>τ<sub>A</sub> = 1</td></tr><tr><td>B<sub>1</sub></td><td>[-1 0] [0 -1]</td><td>[+1] [-1]</td><td>[λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,0]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td>τ<sub>A</sub> = 1<br>τ<sub>A</sub> = 1</td></tr><tr><td>B<sub>2</sub></td><td>[-1 2] [-1 -2]</td><td>[+1] [-1]</td><td>[λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,0]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td>τ<sub>A</sub> = 1<br>τ<sub>A</sub> = 1</td></tr><tr><td>B<sub>3</sub></td><td>[-1 -2] [1 -1]</td><td>[+1] [-1]</td><td>[λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,0]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td>τ<sub>A</sub> = 1<br>τ<sub>A</sub> = 1</td></tr><tr><td>C<sub>1</sub></td><td>[-10 0] [0 -10]</td><td>[+1] [-1]</td><td>[λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,0]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td>τ = 0,1<br>τ = 0,1</td></tr><tr><td>C<sub>2</sub></td><td>[-10 0] [0 -10]</td><td>[+1] [-1]</td><td>[λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,0]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td>τ = 0,1<br>τ = 0,1</td></tr><tr><td>D<sub>2</sub></td><td>[9,1 -19,1] [9,9 -19,9]</td><td>[+1] [-1]</td><td>[λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,0]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td>τ = 0,1<br>τ = 10</td></tr><tr><td>E<sub>1</sub></td><td>[-1 0] [0 -0,1]</td><td>[+1] [-1]</td><td>[λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,0]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td>τ = 1<br>τ = 10</td></tr><tr><td>E<sub>2</sub></td><td>[0,8 -1,8] [0,9 -1,9]</td><td>[+1] [-1]</td><td>[λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,0]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td>τ = 1<br>τ = 10</td></tr><tr><td>A'<sub>2</sub></td><td>[-1 -18] [0 -10]</td><td>[+1] [-1]</td><td>[-0,1 0] [0 λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,0]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td>τ<sub>A</sub> = 0,1<br>τ<sub>A</sub> = 1<br>τ<sub>D</sub> = 10</td></tr><tr><td>A'<sub>3</sub></td><td>[-5,5 4,5] [4,5 -5,5]</td><td>[+1] [-1]</td><td>[-1 0] [0 λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,0]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td>τ<sub>A</sub> = 0,1<br>τ<sub>A</sub> = 1<br>τ<sub>D</sub> = 1</td></tr><tr><td>A'<sub>4</sub></td><td>[-1 -18] [0 -10]</td><td>[10] [01]</td><td>[-0,1 0] [0 λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,1]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td>τ<sub>A</sub> = 0,1 et 1<br>τ<sub>D</sub> = 10</td></tr><tr><td>A'<sub>5</sub></td><td>[-5,5 4,5] [4,5 -5,5]</td><td>[10] [01]</td><td>[-1 0] [0 λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,1]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td>τ<sub>A</sub> = 0,1 et 1<br>τ<sub>D</sub> = 1</td></tr><tr><td>A''<sub>3</sub></td><td>[-5,5 4,5] [4,5 -5,5]</td><td>[+1] [-1]</td><td>[-1 +1] [0 λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,0]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td>τ<sub>A</sub> = 0,1<br>τ<sub>A</sub> = 1<br>τ<sub>D</sub> = 1</td></tr><tr><td>A''<sub>4</sub></td><td>[-1 -18] [0 -10]</td><td>[10] [01]</td><td>[-1 0] [0 λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,1]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td>τ<sub>A</sub> = 0,1 et 1<br>τ<sub>D</sub> = 1</td></tr><tr><td>A''<sub>5</sub></td><td>[-5,5 4,5] [4,5 -5,5]</td><td>[1 -2] [3 -1]</td><td>[-1 0] [0 λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,1]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td>Influence de C</td></tr><tr><td>A''<sub>6</sub></td><td>[-5,5 4,5] [4,5 -5,5]</td><td>[-1 2] [-3 1]</td><td>[-1 0] [0 λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,1]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td></td></tr><tr><td>A''<sub>7</sub></td><td>[-5,5 4,5] [4,5 -5,5]</td><td>[5 -10] [15 -5]</td><td>[-1 0] [0 λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,1]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td></td></tr><tr><td>A''<sub>8</sub></td><td>[-5,5 4,5] [4,5 -5,5]</td><td>[1 -2] [3 -1]</td><td>[-1 +1] [0 λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,1]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td>D non diagonale<br>τ<sub>D</sub> = 1</td></tr><tr><td>A''<sub>9</sub></td><td>[-5,5 4,5] [4,5 -5,5]</td><td>[1 -2] [3 -1]</td><td>[-10 +1] [0 λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,1]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td></td></tr><tr><td>A''<sub>10</sub></td><td>[-5,5 4,5] [4,5 -5,5]</td><td>[1 -2] [3 -1]</td><td>[-0,1 +1] [0 λ<sub>D</sub>]</td><td>[1,1]</td><td>[10] [01]</td><td>1</td><td>τ<sub>D</sub> = C,01<br>τ<sub>D</sub> = 10</td></tr></tbody></table>
ANNEXE 3

RESULTATS NUMERIQUES
FILTRAGE SOUS - OPTIMAL

METHODE DU GRADIENT
Exemple A₁

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr E₁₁</th><th>tr η</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>1,2064</td><td>1,2065</td><td>4,5 10<sup>-5</sup></td></tr><tr><td>0,1</td><td>1,2194</td><td>1,2195</td><td>4,3 10<sup>-5</sup></td></tr><tr><td>0,2</td><td>1,2510</td><td>1,2510</td><td>6,2 10<sup>-5</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>1,5064</td><td>1,5143</td><td>1,7 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>1,8145</td><td>1,9612</td><td>8,1 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>2,1170</td><td>3,3016</td><td>5,6 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>100</td><td>2,7035</td><td>7,2907</td><td>2,3</td></tr></tbody></table>

Exemple B₁

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr E₁₁</th><th>tr η</th><th>Érreur relative</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>0,91430</td><td>0,91430</td><td>0</td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,92184</td><td>0,92184</td><td>0</td></tr><tr><td>0,2</td><td>0,94171</td><td>0,94172</td><td>1,3 10<sup>-5</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>1,2547</td><td>1,2609</td><td>5 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>1,5944</td><td>1,6581</td><td>4 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>2,2258</td><td>2,6599</td><td>4,2 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>100</td><td>2,4433</td><td>7,4819</td><td>2,1</td></tr></tbody></table>

Exemple A₂

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr E₁₁</th><th>tr η</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>0,49962</td><td>0,49964</td><td>3,6 10<sup>-5</sup></td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,50012</td><td>0,50013</td><td>3,8 10<sup>-5</sup></td></tr><tr><td>0,2</td><td>0,50095</td><td>0,50097</td><td>4 10<sup>-5</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>0,50883</td><td>0,50886</td><td>6,8 10<sup>-5</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>0,59</td><td>0,6084</td><td>2,9 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>100</td><td>0,78432</td><td>1,5106</td><td>9,3 10<sup>-1</sup></td></tr></tbody></table>

Exemple B₂

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr E₁₁</th><th>tr η</th><th>Érreur relative</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,1</td><td>0,90886</td><td>0,90886</td><td>0</td></tr><tr><td>0,2</td><td>0,96845</td><td>0,96845</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td>1,2000</td><td>1,2015</td><td>1,3 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>1,4984</td><td>1,5026</td><td>6,2 10<sup>-2</sup></td></tr></tbody></table>

Exemple B₃

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr E₁₁</th><th>tr η</th><th>Érreur relative</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,1</td><td>0,95146</td><td>0,95146</td><td>0</td></tr><tr><td>0,2</td><td>0,97055</td><td>0,97055</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td>1,1905</td><td>1,1975</td><td>6 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>1,3688</td><td>1,4275</td><td>4,3 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>1,6570</td><td>2,4394</td><td>4,7 10<sup>-1</sup></td></tr></tbody></table>

Exemple C₁

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr E₁₁</th><th>tr η</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>0,99402 10<sup>-1</sup></td><td>0,99402 10<sup>-1</sup></td><td>+ 5,97 10<sup>-7</sup></td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,10026</td><td>0,10026</td><td>+ 5,94 10<sup>-7</sup></td></tr><tr><td>0,5</td><td>0,10392</td><td>0,10392</td><td>+ 5,73 10<sup>-7</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>0,10885</td><td>0,10885</td><td>+ 5,48 10<sup>-7</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>0,14978</td><td>0,14978</td><td>8 10<sup>-7</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>0,15977</td><td>0,15977</td><td>6 10<sup>-7</sup></td></tr><tr><td>50</td><td>0,55876</td><td>0,55876</td><td>0</td></tr><tr><td>100</td><td>1,0988</td><td>1,0988</td><td>0</td></tr></tbody></table>

Exemple C₂

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr E₁₁</th><th>tr η</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>0,99885</td><td>0,99885</td><td>1,7 10<sup>-6</sup></td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,10037</td><td>0,10037</td><td>1,7 10<sup>-6</sup></td></tr><tr><td>0,2</td><td>0,10120</td><td>0,10120</td><td>1,7 10<sup>-6</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>0,10890</td><td>0,10892</td><td>1,5 10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>0,11954</td><td>0,11880</td><td>1,3 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>0,16246</td><td>0,19746</td><td>8,2 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>100</td><td>0,32073</td><td>1,0113</td><td>2,15</td></tr></tbody></table>

Exemple D₂

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr E₁₁</th><th>tr η</th><th>E</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,05</td><td>2,9779</td><td>3,2549</td><td>9,3 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,1</td><td>2,9947</td><td>3,2668</td><td>9,1 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>3,5501</td><td>3,9114</td><td>1 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>3,6754</td><td>4,5980</td><td>1,5 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>5,4355</td><td>24,37</td><td>3,8</td></tr><tr><td>100</td><td colspan="3">Impossibilité trouver E</td></tr></tbody></table>
Exemple E₁

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr Σ₁₁</th><th>tr η</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>5,4147</td><td>5,4148</td><td>4,9 10<sup>-6</sup></td></tr><tr><td>0,1</td><td>5,4666</td><td>5,4666</td><td>7,5 10<sup>-6</sup></td></tr><tr><td>0,2</td><td>5,6257</td><td>5,6260</td><td>6,7 10<sup>-5</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>9,8001</td><td>9,8239</td><td>3,04 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>19,7</td><td>20,2</td><td>2,5 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>16,488</td><td>21,973</td><td>3,3 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>50</td><td>17,22</td><td>56,049</td><td>2,25</td></tr><tr><td>100</td><td>17,3</td><td>103</td><td># 5</td></tr></tbody></table>

Exemple E₂

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr Σ₁₁</th><th>tr η</th><th>Érreur relative</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>1,9679</td><td>1,9684</td><td>2,5 10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>0,1</td><td>1,9679</td><td>1,9806</td><td>2,5 10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>0,5</td><td>2,1608</td><td>2,1623</td><td>7,16 10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>0,6</td><td>2,3092</td><td>2,3175</td><td>3,57 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>2,7920</td><td>2,4194</td><td>1,14 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>2,6483</td><td>2,8127</td><td>6,2 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>2,8812</td><td>4,2112</td><td>4,6 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>3,0403</td><td>19,612</td><td>5,45</td></tr></tbody></table>

Exemple A'₂

<table><thead><tr><th>τ₂</th><th>tr Σ₁₁</th><th>tr η</th><th>Érreur Relative (Valeur absolue)</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>0,97238</td><td>1,3143</td><td>0,35</td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,97403</td><td>1,3153</td><td>0,35</td></tr><tr><td>0,2</td><td>0,97805</td><td>1,3178</td><td>0,35</td></tr><tr><td>1</td><td>1,0345</td><td>1,3641</td><td>0,32</td></tr><tr><td>1,5</td><td>1,0700</td><td>1,5815</td><td>0,48</td></tr><tr><td>2</td><td>1,1015</td><td>1,4343</td><td>0,30</td></tr><tr><td>5</td><td>1,2353</td><td>2,1634</td><td>0,75</td></tr><tr><td>8</td><td>1,3220</td><td>2,7910</td><td>1,11</td></tr><tr><td>10</td><td>1,3660</td><td>2,4646</td><td>0,20</td></tr><tr><td>20</td><td>1,5017</td><td>4,7575</td><td>2,17</td></tr><tr><td>50</td><td>1,6398</td><td>9,9553</td><td>5,1</td></tr><tr><td>100</td><td>2,7876</td><td>15,597</td><td>4,6</td></tr></tbody></table>

Exemple A'₃

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr Σ₁₁</th><th>tr η</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>0,58428</td><td>0,58565</td><td>2,3 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>0,02</td><td>0,58435</td><td>0,58572</td><td>2,3 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>0,033...</td><td>0,58450</td><td>0,58569</td><td>2,0 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>0,05</td><td>0,58478</td><td>0,58613</td><td>2,3 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,58619</td><td>0,58839</td><td>3,76 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>0,2</td><td>0,59106</td><td>0,59230</td><td>2,1 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>0,333...</td><td>0,60065</td><td>0,60188</td><td>2,05 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>0,5</td><td>0,61589</td><td>0,61708</td><td>1,9 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>0,666...</td><td>0,63339</td><td>0,63465</td><td>1,99 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>0,67179</td><td>0,67378</td><td>2,97 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>1,25</td><td>0,70166</td><td>0,70490</td><td>4,6 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>1,5</td><td>0,73139</td><td>0,73687</td><td>7,49 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>0,78841</td><td>0,79996</td><td>1,46 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>1,0266</td><td>1,1451</td><td>1,15 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>1,1935</td><td>1,6045</td><td>3,4 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>20</td><td>1,3053</td><td>2,5723</td><td>9,7 10<sup>-1</sup></td></tr></tbody></table>

Exemple A'₄

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr Σ₁₁</th><th>tr η</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>1,6153</td><td>1,9355</td><td>1,98 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>0,1</td><td>1,6198</td><td>2,0199</td><td>2,47 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>0,5</td><td>1,6851</td><td>2,0749</td><td>2,31 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>1,7693</td><td>2,1462</td><td>2,13 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>2,0444</td><td>2,7127</td><td>3,27 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>2,1437</td><td>3,5272</td><td>6,45 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>50</td><td>2,2619</td><td>5,7150</td><td>1,53</td></tr><tr><td>100</td><td>2,2801</td><td>8,4593</td><td>2,71</td></tr></tbody></table>

Exemple A'₅

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr Σ₁₁</th><th>tr η</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>0,46667</td><td>0,47082</td><td>2,9 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,45766</td><td>0,48592</td><td>3,9 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,2</td><td>0,47058</td><td>0,47396</td><td>7,2 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>0,55475</td><td>0,57045</td><td>2,8 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>0,62319</td><td>0,70259</td><td>1,27 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>0,66074</td><td>0,66535</td><td>3,1 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>20</td><td>0,69321</td><td>1,1098</td><td>6,24 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>50</td><td>0,69838</td><td>1,5598</td><td>1,25</td></tr><tr><td>100</td><td>0,70335</td><td>2,1257</td><td>2,02</td></tr></tbody></table>
Exemple A

<table><thead><tr><th>r</th><th>tr E<sub>11</sub></th><th>tr n</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>0,58430</td><td>0,58644</td><td>3,66 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,58457</td><td>0,59012</td><td>2,6 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>0,5</td><td>0,66519</td><td>0,66754</td><td>3,5 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>0,81148</td><td>0,82374</td><td>1,5 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>1,4041</td><td>1,9323</td><td>3,8 10<sup>-1</sup></td></tr></tbody></table>

Exemple A

<table><thead><tr><th>r</th><th>tr E<sub>11</sub></th><th>tr n</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>0,84043</td><td>0,89142</td><td>6,05 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,84583</td><td>0,89702</td><td>6,05 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,2</td><td>0,85869</td><td>0,90508</td><td>5,87 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>1,0510</td><td>1,2032</td><td>1,45 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>1,1444</td><td>1,5434</td><td>3,49 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>1,1860</td><td>1,9178</td><td>6,17 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>50</td><td>1,2243</td><td>3,7233</td><td>2,04</td></tr><tr><td>100</td><td>1,2294</td><td>4,4440</td><td>2,61</td></tr></tbody></table>

Exemple A

<table><thead><tr><th>r</th><th>tr E<sub>11</sub></th><th>tr n</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>1,3576</td><td>2,2729</td><td>6,74 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>0,1</td><td>1,3635</td><td>1,4171</td><td>3,93 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,5</td><td>1,4452</td><td>1,5407</td><td>6,61 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>1,5663</td><td>1,6576</td><td>5,03 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>1,9764</td><td>2,4326</td><td>2,3 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>2,0367</td><td>3,0919</td><td>4,8 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>50</td><td>2,1902</td><td>5,6506</td><td>1,58</td></tr><tr><td>100</td><td>2,2041</td><td>8,2544</td><td>2,74</td></tr></tbody></table>

Exemple A

<table><thead><tr><th>r</th><th>tr E<sub>11</sub></th><th>tr n</th><th>E</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>0,84043</td><td>0,91329</td><td>8,7 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,84583</td><td>0,92434</td><td>9,3 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,5</td><td>0,90497</td><td>0,95113</td><td>6,2 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>0,97002</td><td>1,0483</td><td>8,1 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>1,1444</td><td>1,5394</td><td>3,4 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>1,1860</td><td>2,0906</td><td>7,6 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>50</td><td>1,2243</td><td>3,4494</td><td>1,8</td></tr><tr><td>100</td><td>1,2294</td><td>4,4929</td><td>2,6</td></tr></tbody></table>

Exemple A (6)

<table><thead><tr><th>r</th><th>tr E<sub>11</sub></th><th>tr n</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>1,0147</td><td>3,9217</td><td>2,8647</td></tr><tr><td>0,1</td><td>1,0845</td><td>1,2915</td><td>1,9 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>0,5</td><td>1,5323</td><td>2,4126</td><td>5,7 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>1,7964</td><td>2,1996</td><td>2,24 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>2,1358</td><td>4,6752</td><td>1,19</td></tr><tr><td>10</td><td>2,1805</td><td>6,8094</td><td>2,11</td></tr><tr><td>50</td><td>2,2397</td><td>12,941</td><td>4,78</td></tr><tr><td>100</td><td>2,2452</td><td>16,512</td><td>6,35</td></tr></tbody></table>

Exemple A (6)

<table><thead><tr><th>r</th><th>tr E<sub>11</sub></th><th>tr n</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,1</td><td>0,44433</td><td>0,44959</td><td>1,18 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,5</td><td>0,54759</td><td>0,55557</td><td>1,64 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>0,66821</td><td>0,66839</td><td>3 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>0,90009</td><td>1,2644</td><td>3,9 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>0,95405</td><td>1,6663</td><td>7,5 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>50</td><td>0,99342</td><td>3,0750</td><td>2,09</td></tr><tr><td>100</td><td>0,99983</td><td>4,1957</td><td>3,2</td></tr></tbody></table>

Exemple A (6)

<table><thead><tr><th>r</th><th>tr E<sub>11</sub></th><th>tr n</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>0,84045</td><td>0,89156</td><td>6,1 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,84478</td><td>0,89556</td><td>6 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,5</td><td>0,88691</td><td>0,93356</td><td>5,3 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>0,92670</td><td>0,97731</td><td>5,5 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>1,0742</td><td>1,2663</td><td>1,79 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>1,1638</td><td>1,4088</td><td>2,1 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>50</td><td>1,3163</td><td>2,7151</td><td>1,1</td></tr><tr><td>100</td><td>1,3445</td><td>4,3536</td><td>2,24</td></tr></tbody></table>

Exemple A (7)

<table><thead><tr><th>r</th><th>tr E<sub>11</sub></th><th>tr n</th><th>E</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>0,41653</td><td>0,42721</td><td>2,6 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,42721</td><td>0,46562</td><td>9 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,5</td><td>0,55934</td><td>0,56458</td><td>1,1 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>0,69965</td><td>0,72648</td><td>3,8 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>0,95544</td><td>1,3946</td><td>4,5 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>1,0030</td><td>1,8122</td><td>8 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>50</td><td>1,0434</td><td>3,3952</td><td>2,2</td></tr><tr><td>100</td><td>1,0486</td><td>4,6706</td><td>3,45</td></tr></tbody></table>
Exemple A (8) 5

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr Σ<sub>11</sub></th><th>tr η</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>1,1725</td><td>2,3322</td><td>0,99</td></tr><tr><td>0,1</td><td>1,1803</td><td>2,3317</td><td>0,97</td></tr><tr><td>0,2</td><td>1,1981</td><td>2,3635</td><td>0,97</td></tr><tr><td>2</td><td>1,4953</td><td>4,4042</td><td>1,94</td></tr><tr><td>5</td><td>1,6350</td><td>6,6775</td><td>3,1</td></tr><tr><td>10</td><td>1,7135</td><td>10,062</td><td>4,9</td></tr></tbody></table>
ERREUR RELATIVE DE FILTRAGE

(fig 13)

<figure><img src="image_32.png" /></figure>
ERREUR RELATIVE DE FILTRAGE
(fig 14)

<figure><img src="image_33.png" /></figure>
FILTRAGE SOUS - OPTIMAL

CHOIX A PRIORI DE $Q_s$
Exemple A₂

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr Σ₁₁</th><th>tr Σₚ</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>1,2064</td><td>1,2138</td><td>6,1 10⁻³</td></tr><tr><td>0,1</td><td>1,2194</td><td>1,2797</td><td>4,9 10⁻²</td></tr><tr><td>0,2</td><td>1,2510</td><td>1,3505</td><td>7,9 10⁻²</td></tr><tr><td>1</td><td>1,5864</td><td>1,8423</td><td>1,6 10⁻¹</td></tr><tr><td>2</td><td>1,8144</td><td>2,3391</td><td>2,9 10⁻¹</td></tr><tr><td>10</td><td>2,1170</td><td>4,7816</td><td>1,26</td></tr><tr><td>100</td><td>2,2036</td><td>14,370</td><td>5,5</td></tr></tbody></table>

Exemple B₁

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr Σ₁₁</th><th>tr Σₚ</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>0,91430</td><td>0,91648</td><td>4,7 10⁻³</td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,92184</td><td>0,95657</td><td>3,6 10⁻²</td></tr><tr><td>0,2</td><td>0,94171</td><td>0,99830</td><td>6 10⁻²</td></tr><tr><td>1</td><td>1,2547</td><td>1,3124</td><td>4,6 10⁻²</td></tr><tr><td>2</td><td>1,5544</td><td>1,6651</td><td>4,4 10⁻¹</td></tr><tr><td>10</td><td>2,2298</td><td>3,7053</td><td>6,6 10⁻¹</td></tr><tr><td>100</td><td>2,4433</td><td>13,171</td><td>4,4</td></tr></tbody></table>

Exemple A₃

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr Σ₁₁</th><th>tr Σₚ</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>0,49962</td><td>0,50011</td><td>9,8 10⁻⁴</td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,50012</td><td>0,5462</td><td>9 10⁻³</td></tr><tr><td>0,2</td><td>0,50055</td><td>0,50962</td><td>1,7 10⁻²</td></tr><tr><td>1</td><td>0,50803</td><td>0,54562</td><td>8 10⁻²</td></tr><tr><td>10</td><td>0,59</td><td>0,59435</td><td>6,8 10⁻¹</td></tr><tr><td>100</td><td>0,78432</td><td>5,0131</td><td>5,4</td></tr></tbody></table>

Exemple B₂

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr Σ₁₁</th><th>tr Σₚ</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,1</td><td>0,95026</td><td>0,98430</td><td>3,5 10⁻²</td></tr><tr><td>0,2</td><td>0,96846</td><td>1,0248</td><td>5,8 10⁻²</td></tr><tr><td>1</td><td>1,2000</td><td>1,3449</td><td>1,2 10⁻¹</td></tr><tr><td>2</td><td>1,4904</td><td>1,7372</td><td>1,6 10⁻¹</td></tr></tbody></table>

Exemple B₃

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr Σ₁₁</th><th>tr Σₚ</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,1</td><td>0,95146</td><td>0,98708</td><td>3,7 10⁻²</td></tr><tr><td>0,2</td><td>0,97055</td><td>1,0296</td><td>6,1 10⁻²</td></tr><tr><td>1</td><td>1,1905</td><td>1,3433</td><td>1,3 10⁻¹</td></tr><tr><td>2</td><td>1,3688</td><td>1,6866</td><td>2,3 10⁻¹</td></tr><tr><td>10</td><td>1,6570</td><td>3,6095</td><td>1,18</td></tr></tbody></table>

Exemple E₁

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr Σ₁₁</th><th>tr Σₚ</th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>5,4147</td><td>5,4373</td><td>4,17 10⁻³</td></tr><tr><td>0,1</td><td>5,4666</td><td>5,6496</td><td>3,35 10⁻²</td></tr><tr><td>0,2</td><td>5,6257</td><td>5,7014</td><td>1,35 10⁻²</td></tr><tr><td>1</td><td>9,8001</td><td>9,5793</td><td>2,25 10⁻²</td></tr><tr><td>2</td><td>19,7</td><td>18,9</td><td>4,2 10⁻²</td></tr></tbody></table>

Exemple C₁

<table><thead><tr><th>τ</th><th>tr Σ₁₁</th><th>tr Σₚ</th><th>Érreur Relative</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>0,93885</td><td>0,10037</td><td>4,9 10⁻³</td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,10037</td><td>0,10486</td><td>4,5 10⁻²</td></tr><tr><td>0,2</td><td>0,10120</td><td>0,10985</td><td>8,9 10⁻²</td></tr><tr><td>1</td><td>0,10890</td><td>0,14969</td><td>3,7 10⁻¹</td></tr><tr><td>2</td><td>0,11864</td><td>0,19938</td><td>6,8 10⁻¹</td></tr><tr><td>10</td><td>0,18246</td><td>0,55260</td><td>2,2</td></tr><tr><td>100</td><td>0,32073</td><td>4,5866</td><td>13,3</td></tr></tbody></table>
Exemple A' 2

<table><thead><tr><th>t</th><th>tr E<sub>11</sub></th><th>tr E<sub>Q</sub></th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>0,97238</td><td>1,4064</td><td>4,5 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,97403</td><td>1,4149</td><td>4,5 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>0,2</td><td>0,97805</td><td>1,4244</td><td>4,56 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>1,0345</td><td>1,5000</td><td>4,5 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>1,5</td><td>1,0700</td><td>1,5469</td><td>4,46 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>1,1015</td><td>1,5935</td><td>4,47 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>1,2353</td><td>1,8596</td><td>5,1 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>8</td><td>1,3220</td><td>2,1360</td><td>6,15 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>1,3560</td><td>2,3105</td><td>6,9 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>20</td><td>1,5017</td><td>3,1449</td><td>1,1</td></tr><tr><td>50</td><td>1,6399</td><td>5,3876</td><td>2,3</td></tr><tr><td>100</td><td>2,7976</td><td>8,6483</td><td>2,1</td></tr></tbody></table>

Exemple A' 3

<table><thead><tr><th>t</th><th>tr E<sub>11</sub></th><th>tr E<sub>Q</sub></th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>0,58428</td><td>0,60950</td><td>4,1 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,02</td><td>0,58433</td><td>0,60955</td><td>4,3 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,0333...</td><td>0,58450</td><td>0,58569</td><td>4,5 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,05</td><td>0,58478</td><td>0,61309</td><td>4,84 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,58619</td><td>0,61514</td><td>5,57 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,2</td><td>0,58606</td><td>0,63030</td><td>6,64 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,33...</td><td>0,60065</td><td>0,64555</td><td>7,47 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,5</td><td>0,61589</td><td>0,66454</td><td>7,9... 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,666...</td><td>0,63339</td><td>0,65347</td><td>7,9 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>0,67179</td><td>0,72114</td><td>7,3 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>1,25</td><td>0,70156</td><td>0,71922</td><td>6,78 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>1,5</td><td>0,73139</td><td>0,77716</td><td>6,28 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>0,78041</td><td>0,83266</td><td>5,5 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>1,0266</td><td>1,1551</td><td>1,25 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>1,1925</td><td>1,6600</td><td>3,9 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>20</td><td>1,3093</td><td>2,5831</td><td>9,79 10<sup>-1</sup></td></tr></tbody></table>

Exemple A' 4

<table><thead><tr><th>t</th><th>tr E<sub>11</sub></th><th>tr E<sub>Q</sub></th><th>E. R.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,01</td><td>0,58430</td><td>0,60953</td><td>4,1 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,58857</td><td>0,62133</td><td>5,6 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,5</td><td>0,66519</td><td>0,70912</td><td>6,6 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>0,81149</td><td>0,85006</td><td>4,75 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>1,4041</td><td>1,9750</td><td>4,1 10<sup>-1</sup></td></tr></tbody></table>
ERREUR RELATIVE DE FILTRAGE
CHOIX A PRIORI DE Qs
(fig 15)

<figure><img src="image_34.png" /></figure>
ANNEXE 4

LISTING DES PROGRAMMES (*)

<footnote>(*) Le programme AIGLE est dû à B. COUCH et C. MACHU.</footnote>
C
3: C
4: C
5: C
6: C
7: C
8: C
9: C
10: C
11: C
12: C
13: C
14: C
15: C
16: C
17: C
18: C
19: C
20: C
21: C
22: C
23: C
24: C
25: C
26: C
27: C
28: C
29: C
30: C
31: C
32: C
33: C
34: C
35: C
36: C
37: C
38: C
39: C
40: C
41: C
42: C
43: C
44: C
45: C
46: C
47: C
48: C
49: C
50: C
51: C
52: C
53: C
54: C
55: C
56: C
57: C
58: C
59: C
60: C
61: C
62: C
63: C
64: C
65: C
66: C
67: C
68: C
69: C
70: C
71: C
72: C
73: C
74: C
75: C
76: C
77: C
78: C
79: C
80: C
81: C
82: C
83: C
84: C
85: C
86: C
87: C
88: C
89: C
90: C
91: C
92: C
93: C
94: C
95: C
96: C
97: C
98: C
99: C
100: C
101: C
102: C
103: C
104: C
105: C
106: C
107: C
108: C
109: C
110: C
111: C
112: C
113: C
114: C
115: C
116: C
117: C
118: C
119: C
120: C
121: C

4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
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33
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36
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38
39
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41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
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62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
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79
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113
114
115
116
117
118
119
120
121

<figure><img src="image_35.png" /></figure>