# Annexe 1 – L’algorithme
IdentifiabilityTree

La fonction *IdentifiabilityTree* prend en entrée le système

$$S = \{\phi(\Theta) = \phi(\tilde{\Theta}), C(\Theta), C(\tilde{\Theta})\}$$

et retourne l'arbre d'identifiabilité (Voir la définition 5).

Pour éviter les calculs inutiles, la remarque B est utilisée dans la fonction auxiliaire *CompletionWithComputedBranches*. Quand cette fonction permet de compléter un préfixe *l* en une branche de l'arbre d'identifiabilité, l'ensemble *T'* retourné par cette fonction contient toutes les branches de l'arbre d'identifiabilité admettant *l* comme préfixe.

## Function CompletionWithComputedBranches (*l*, *T*);

/* Inputs : .A set *T* of branches of the identifiability tree

. .A list *l* of parameters taken among {*θ*₁, ..., *θ*ₘ} */

/* Outputs : . A boolean *HasBeenCompleted* equal to *True* if the sets of parameters of *l* and of

* one prefix of at least one element of *T* are equal; *False* otherwise.

. . The set *T'* containing *T* and all the branches of the form *l* *cat* *s* where *s* is

* the suffix of a branch of *T* admitting as prefix a permutation of *l*. */

HasBeenCompleted := False;

* T' := T;

* For *l'* ∈ *T* do

. If a permutation of a prefix of *l'* is equal to *l* then

. . *l''* := *l* *cat* *l*[Length(*l*) + 1, ..., *m*];

. . *T'* := *T'* ∪ {*l''*};

. . *HasBeenCompleted* := *True*;

. . End If

. . End For

. . Return [*HasBeenCompleted*; *T*'];

End Function;

Le corollaire 1 est utilisé dans la fonction suivante pour compléter un préfixe *l* avec des paramètres identifiables relativement à *l*. Pour chaque paramètre non identifiable relativement à *l*, si il existe, *l* est complété par ce paramètre non identifiable. Un appel récursif de la fonction *CompletionWithComputedBranches* est alors fait pour compléter ce nouveau préfixe.

Remarque : La fonction *CompletionWithComputedBranches* est appelée dès qu'un préfixe est construit. Il ne fait pas appel au test semi-algébrique consistant à vérifier si un ensemble est vide.
Function `ConstructTheBranches` (`S`, `{θ₁, ..., θₘ}`, `0`, `T`);

/* Inputs : .the system S

.the set {θ₁, ..., θₘ} of parameters of system S

.a tuplet l of {θ₁, ..., θₘ}

.a set of branches T of the identifiability tree

Output : The set T of all the branches of the identifiability tree already computed and
the one(s) admitting l as prefix

SPP := {θ₁, ..., θₘ} \ Set(l);

/*SPP is the set of possible parameters to complete the prefix l */

hbc := False ;

/*hbc is set to True when l is completed by function CompletionWithComputedBranches */

. If SPP ≠ ∅ then

. . For θ ∈ SPP do

. . . If hbc = False and SetOfRealSolutions (S ∪ {v ∗ (θ − θ ′ ) = 0}) = ∅ then

. . . . /* The parameter θ is identifiable relatively to l (See Corollary 1) */

. . . . l := l cat [θ] ;

. . . . [hbc, T] := CompletionWithComputedBranches (l, T);

. . . . /* If Remark B can be applied, l is completed with the branches of T already computed */

. . . . SPP := SPP \ {θ} ;

. . . . S := S ∪ {θ = θ'};

. . . End if

. . End for

. End If

. . /* SPP contains now only non identifiable parameters relatively to l. */

. If SPP = ∅ then

. . T = T ∪ {l}

. . /* In this case, l is a branch of the identifiability tree */

. else

. . For θ ∈ SPP do

. . /* Adjoining to T the set of branches admitting l cat [Ø] as prefix*/

. . . SPP := SPP \ {θ} ;

. . . [hbc, T] := CompletionWithComputedBranches ( l cat [Ø], T);

. . . If hbc = False then

. . . . /* l cat [Ø] can not be completed with the branches of T already computed*/

. . . . T := T ∪ ConstructTheBranches (S ∪ {θ = θ'}, {θ₁, ..., θₘ}, l cat [Ø], T);

. . . End if

. . End for

. End If

. Return T ;

End Function;

Cette dernière fonction retourne l’arbre d’identifiabilité du système S et de l’ensemble de paramètres {θ₁, ..., θₘ}.
Function *IdentifiabilityTree* (*S*, {θ₁, ..., θ_m});

/* Inputs : The system S and the set of all the parameters {θ₁, ..., θ_m} */

/* Output : The set of branches of the identifiability tree */

l := [];

T := {};

Return ConstructTheBranches (*S*, {θ₁, ..., θ_m}, *l*, *T*);

End Function;
<figure><img src="image_66.png" /></figure>
# Annexe 2 - Outils basiques de l'analyse par intervalle

L'analyse par intervalles introduite par [144] fournit des outils de calcul d'ensembles décrits par l'union de boîtes ne se chevauchant pas. Elle est utilisée dans de nombreux domaines comme en contrôle robuste de système [112, 171, 55], en estimation [162, 170] ou en informatique [111, 135].

Cette section rappelle les concepts et les définitions de l'analyse par intervalle.

## 1 Définitions basiques

Un intervalle réel $[u] = [u, \bar{u}]$ est un sous-ensemble fermé et connexe de $\mathbb{R}$ où $u$ (resp. $\bar{u}$) est la borne inférieure (resp. supérieure) de $[u]$. L'ensemble des intervalles de $\mathbb{R}$ est noté $\mathbb{IR}$.

Pour caractériser un intervalle, on peut utiliser

- son centre ou milieu : $m([u]) = \frac{\bar{u}+u}{2}$,

- sa longueur ou son diamètre : $w([\bar{u}]) = \bar{u}-u$,

- sa plus grande valeur absolue (resp. plus petite valeur) : $|[u]| = \max\{|u|, u \in [u]\} = \max\{|\bar{u}|, |\bar{u}|\}$ (resp. $< [u] > = \min\{|u|, u \in [u]\} = \min\{0, |\bar{u}|, |\bar{u}|\}$).

Les intervalles étant des ensembles, les notions d'égalité (=), d'appartenance (∈), d'inclusion stricte (⊂) et large (⊆), ainsi que d'intersection (∩) sont parfaitement définies. Cependant, la réunion de deux intervalles n'étant pas en général un intervalle, l'union de deux intervalles (∪) est défini comme le plus petit intervalle contenant l'union de ces deux intervalles, c'est à dire :

$$[u] \cup [v] = [\min(u, v), \max(\bar{u}, \bar{v})].$$

Notons que deux intervalles $[u]$ et $[v]$ sont égaux si et seulement si $u = v$ et $\bar{u} = \bar{v}$.

## 2 Vecteurs et matrices d'intervalles

Un vecteur d'intervalles (ou boîte) est un vecteur dont les composantes sont des intervalles. Ce vecteur peut-être vu comme un produit cartésien d'intervalles : $[u] = [u_1] \times [u_2] \times \dots \times [u_n]$ et l'ensemble des vecteurs d'intervalles de dimension $n$. L'ensemble des vecteurs d'intervalles de dimension $n$ est noté $\mathbb{IR}^n$.

Pour caractériser ce type de vecteur, on peut utiliser

- son centre ou milieu qui est le vecteur composé des milieux de ses composantes d'intervalle,

- sa longueur ou son diamètre qui est le maximum des longueurs de ses composantes intervalles.

Par exemple $w([-2, 2] \times [1, 3]) = 4$.

- sa plus grande valeur absolue $|(.)|$ (resp. plus petite valeur) qui est le vecteur composé des plus grandes valeurs absolues des ses composantes intervalles (resp. plus petites).

De plus, pour un vecteur intervalle $[u]$ de composantes $[u_i]$, le réel $||[u]||$ est défini par $||[u]|| = \max_i(||([x_i])||)$. L'ensemble des matrices d'intervalles réels de dimension $n \times m$ est noté $\mathbb{IR}^{n \times m}$ et

$$[A] = \begin{pmatrix} [a]_{11} & \dots & [a]_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ [a]_{n1} & \dots & [a]_{nm} \end{pmatrix} \qquad (6.1)$$

est un élément de cet ensemble.

Une matrice intervalle carrée $[A]$ est régulière si $0 \notin \det([A])$.

Dans le cadre ensembliste, la matrice inverse $[A]^{-1}$ de $[A]$ est la plus petite matrice intervalle renfermant
l'ensemble des matrices inverses {$A^{-1}/A \in [A]$}. Soit la matrice $[I_\epsilon]$ ayant sur sa diagonale $[1 - \epsilon, 1 + \epsilon]$ et $[0 - \epsilon, 0 + \epsilon]$ ailleurs. Alors il existe $\epsilon \in \mathbb{R}^{+*}$ tel que $[A]^{-1}[A] \subset [I_\epsilon]$.

Enfin, une matrice intervalle $[A]$ est dite définie positive si chaque $A \in [A]$ est définie positive au sens classique.

Une matrice symétrique d'intervalle est définie positive si et seulement si elle est régulière et contient au moins une matrice définie positive [174].

## 3 Pavage et sous-pavage

Avant de décrire les notions de pavés et sous-pavés, la notion de bissection est rappelée.

**Définition 25.** La bissection d'une boîte $[x]$ est une opération qui partitionne la boîte en deux autres boîtes $L(u)$ et $R([u])$ telles que

$$ 
\begin{align} 
L[u] &= [\underline{u}_1, \overline{u}_1] \times \dots \times [\underline{u}_j, \overline{u}_j] \times \dots \times [\underline{u}_n, \overline{u}_n], \tag{6.2} \\ 
R[u] &= [\underline{u}_1, \overline{u}_1] \times \dots \times [\underline{u}_j, \overline{u}_j] \times \dots \times [\underline{u}_n, \overline{u}_n], 
\end{align} 
$$

où la jème composante de $[u]$ est partitionnée.

Par exemple la bissection de la première composante de $[u] = [-2, 2] \times [1, 3]$ donne deux boîtes $L[u] = [-2, 0] \times [1, 3]$ et $R[u] = [0, 2] \times [1, 3]$.

Un sous-pavé $IU$ de la boîte $[u] \subset \mathbb{R}^n$ est l'union de sous-boîtes de $[u]$ ne se superposant pas et obtenues par une suite finie de bissections de $[u]$.

D'après [104], un sous-pavé peut être représenté par un arbre binaire.

Quand un sous-pavé $IU$ de la boîte $[u]$ couvre $[u]$ alors c'est un pavé de $[u]$. Dans l'exemple ci-dessus $L[u]$ et $R[u]$ sont des pavés de $[u]$.

## 4 Opérations arithmétiques

Les opérations mathématiques permettant de manipuler des variables d'intervalle (intervalles, boîtes ou matrices) sont présentées dans cette sous-section. Plus de détails peuvent être trouvés dans [86, 55, 50].

Les opérations classiques {+, -, ×, /} sur les nombres réels ont été étendues aux intervalles :

$$ [u] \diamond [v] = [\{u \diamond v | u \in [u], v \in [v]\}], $$

avec $\diamond \in \{+, -, \times, /\}$.

Soient $[u]$ et $[v]$ deux intervalles de $\mathbb{R}$, alors le résultat de $[u] \diamond [v]$ est donné par

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l} 
[u] + [v] = [\underline{u} + \underline{v}, \overline{u} + \overline{v}], \\ 
[u] - [v] = [\underline{u} - \underline{v}, \overline{u} - \overline{v}], \\ 
[u] \times [v] = [\min(\underline{uv}, \overline{uv}), \max(\underline{uv}, \overline{uv})], \\ 
1/[v] = \begin{cases} [-\infty, \infty] & \text{si } 0 \in [v], \\ [1/\overline{v}, 1/v] & \text{sinon} \end{cases} \\ 
[u]/[v] = [u] \times 1/[v]. 
\end{array} 
\right. 
\qquad (6.3) 
$$

Par exemple, avec les intervalles $[u] = [1, 3]$ et $[v] = [-1, 2]$, nous avons :

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l} 
[u] - [v] = [1, 3] - [-1, 2] = [-1, 4], \\ 
[u] \times [v] = [1, 3] \times [-1, 2] = [-3, 6], \\ 
[u]/[v] = [1, 3]/[-1, 2] = [-\infty, +\infty], \text{ car } 0 \in [v]. 
\end{array} 
\right. 
\qquad (6.4) 
$$

Les fonctions réelles monotones $f$ peuvent être souvent étendues au contexte intervalle en utilisant l'expression

$$ f([u]) = [\inf_{u \in [u]} (f(u)), \sup_{u \in [u]} (f(u))]. \qquad (6.5) $$

Par exemple, appliqué aux fonctions exp et carré, on obtient

— pour l'exponentielle : $\exp([u]) = [\exp(\underline{u}), \exp(\overline{u})]$, d'où $\exp([0, 1]) = [1, e]$.
— pour la fonction carrée :

$$ [u]^2 = \begin{cases} [0, \max(\underline{u}^2, \bar{u}^2)] & \text{si } 0 \in [u] \\ [\min(\underline{u}^2, \bar{u}^2), \max(\underline{u}^2, \bar{u}^2)] & \text{sinon} \end{cases} \quad \text{et } [-2, 2]^2 = [0, 4]. \qquad (6.6) $$

Attention, $[-2,2] \times [-2,2] = [-4,4] \neq [0,4]$.

Les fonctions non monotones nécessitent une analyse plus spécifique.

# 5 Les fonctions d'inclusion

**Définition 26.** La fonction intervalle $[f]$ de $\mathbb{R}^n$ à $\mathbb{R}^m$ est une fonction d'inclusion pour $f$ si

$$ \forall[x] \in \mathbb{R}^n, f([x]) \subseteq [f]([x]). $$

L'un des objectifs de l'analyse par intervalle est de fournir pour une grande classe de fonctions une fonction d'inclusion $[f]$ telle que pour un intervalle $[x]$, l'image $[f]([x])$ ne soit pas trop grande et soit calculée assez rapidement.

**Définition 27.** Une fonction d'inclusion $[f]$ de $f$ est convergente si pour toute suite de boîtes $[x](k)$,

$$ \lim_{k \to \infty} w([x](k)) = 0 \Rightarrow \lim_{k \to \infty} w([f]([x](k))) = 0, $$

ce qui implique

$$ \forall[x] \in \mathbb{R}^n, [f]([x]) = f([x]). $$

**Définition 28.** La fonction d'inclusion $[f]$ de $f$ est minimale si pour tout $[x]$, $[f]([x])$ est la plus petite boîte contenant $f([x])$. Dans ce cas, $[f]$ est noté $[f]^*$ et nous avons

$$ \forall[x] \in \mathbb{R}^n, [f]^*([x]) = f([x]). $$

**Définition 29.** Une fonction $[f]$ d'inclusion est monotone si

$$ [x] \subset [y] \Rightarrow [f]([x]) \subset [f]([y]), $$

avec $[x]$ et $[y]$ deux boîtes de $\mathbb{R}^n$.

Étant donné une fonction $f$ de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$, il existe différentes méthodes pour trouver une fonction d'inclusion convergente. La méthode la plus simple et la plus directe consiste à remplacer tout nombre réel par un intervalle contenant ce nombre et les fonctions élémentaires réelles par leurs extensions aux intervalles. Cette méthode fournit la fonction d'inclusion naturelle.

**Théorème 5.** Ce théorème est repris de [104].

Soit une fonction $f$ de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ telle que $f(x_1, x_2, \dots, x_n) = y$ est exprimée comme la composée finie des opérateurs $+, -, \times, /$ et des fonctions élémentaires telles que $\sin$, $\cos$, $\exp$, ...

Une fonction d'inclusion monotone $[f]$ de $f$, vérifiant pour tout vecteur d'intervalles réels $[x] = x$ l'égalité $[f](x) = f(x)$, est obtenue en remplaçant chaque variable $x_i$ par une variable intervalle $[x_i]$ et chaque opérateur ou fonction par son équivalent intervalle. Si $f$ n'implique que des opérateurs continus et des fonctions élémentaires continues alors $[f]$ est convergente. Si de plus, chacune des composantes de $x$ apparaît au plus une fois dans l'expression formelle de $f$ alors $[f]$ est minimale.

**Exemple 5.1.** Soit la fonction $f: x \mapsto x^2+2x+2$. Cette fonction peut se réécrire de la façon suivante :

$$ \left\{ \begin{array}{l} f_1(x) = x(x+1)+2, \\ f_2(x) = x \times x + 2 + 2 \times x + 2 \\ f_3(x) = x^2 + 2 \times x + 2, \\ f_4(x) = (x+1)^2 + 1. \end{array} \right. \qquad (6.7) $$

Pour $[x] = [-2,1]$, nous avons

$$ \left\{ \begin{array}{l} [f_1]([x]) = [x]([x]+2)+2 = [-4,5], \\ [f_2]([x]) = [x] \times [x]+2 \times [x]+2 = [4,8], \\ [f_3]([x]) = [x]^2+2 \times [x]+2 = [-2,8], \\ [f_4]([x]) = ([x]+1)^2+1 = [1,5]. \end{array} \right. \qquad (6.8) $$

$[f_4]$ donne le plus petit intervalle solution et on peut prouver qu'il est minimal.
On peut remarquer que

— l'évaluation de la fonction $f$ dépend du nombre d'occurrences de chaque variable d'intervalle dans l'expression de la fonction $f$

— il faut réduire l'apparition multiple de $[x]$

— si chaque variable n'apparaît qu'une seule fois dans la fonction $f$, la fonction d'inclusion naturelle est minimale.

Malheureusement, il n'y a pas de méthode qui puisse être utilisée systématiquement pour trouver la fonction d'inclusion minimale. La fonction d'inclusion naturelle reste le moyen le plus simple d'évaluer une fonction d'intervalle.

Une approche pour réduire le pessimisme consiste à considérer les fonctions d'inclusion centrées basées sur le développement en série de Taylor en terme d'intervalle [152, 169]. Le critère de convergence des fonctions d'inclusion a été étudié par Moore [144]. Dans son travail, l'ordre de convergence d'une fonction d'inclusion est défini comme le plus grand entier $\alpha$ qui satisfait :

$$ \exists \beta \in \mathbb{R}^{+} / w([f]([x])) - w(f([x])) \le \beta w([x])^{\alpha}. $$

L'ordre de convergence d'une fonction d'inclusion minimale est infini. Il a été montré que la fonction d'inclusion centrée est plus intéressante que la fonction d'inclusion naturelle lorsque la largeur des intervalles est petite. Mais pour des intervalles de taille plus importants, il est préférable d'utiliser la fonction d'inclusion naturelle.

# 6 Image réciproque d'ensembles via l'analyse par intervalle

Considérons le problème consistant à déterminer un ensemble solution $\mathcal{S}$ appartenant a priori à un ensemble de recherche défini par :

$$ \mathcal{S} = \{ \lambda \in \mathbb{U} | f(\lambda) \in [\beta] \} = f^{-1}([\beta]) \cap \Delta, \qquad (6.9) $$

où $[\beta]$ est a priori connu et $f$ est une fonction linéaire pas nécessairement inversible selon la définition classique. (6.9) consiste à calculer l'image réciproque de $f$. Ce problème est connu comme un problème d'inversion pouvant être résolu par l'algorithme récursif SIVIA (Set Inversion Via Interval Analysis) [105]. Résoudre les systèmes (2.56) et (2.58) revient à trouver $[\theta]$ tel que $0 \in [A][\theta] - [b]$.

L'algorithme explore un domaine initial admissible pour les paramètres en le décomposant de manière récursive en sous-boîtes qualifiées de faisables ou non faisables, ceci sans perdre aucune solution.

Cet algorithme permet d'obtenir une enveloppe garantie contenant l'ensemble solution et telle que

$$ \underline{\mathcal{S}} \subseteq \overline{\mathcal{S}} \subseteq \bar{\mathcal{S}}. \qquad (6.10) $$

L'enveloppe intérieure $\underline{\mathcal{S}}$ est composée de boîtes faisables c'est à dire que $f([\lambda]) \subseteq [\beta]$. Une boîte non faisable $[\lambda]$ vérifiera $f([\lambda]) \cap [\beta] = \emptyset$. Dans les autres cas, la boîte sera dite indéterminée. Cette dernière est alors divisée et testée de nouveau jusqu'à atteindre un seuil de précision déterminé au départ $\varepsilon > 0$. Ce critère assure que SIVIA se terminera après un nombre fini d'itérations.

L'algorithme SIVIA basé sur un test d'inclusion permet d'obtenir deux sous-pavés avec une précision $\varepsilon$. La relation entre les deux sous-pavés peut être caractérisée par :

$$ \Delta\mathcal{S} = \bar{\mathcal{S}} \setminus \underline{\mathcal{S}}, \qquad (6.11) $$

où $\Delta\mathcal{S}$ est appelé la zone d'incertitude du test et pour lequel aucune décision ne peut être prise durant le test. Les propriétés de ces ensembles solution sont :

— si $\bar{\mathcal{S}} = \emptyset$, le problème (6.9) n'a pas de solution,

— si $\underline{\mathcal{S}} \neq \emptyset$, il existe au moins une solution pour (6.9).
# Annexe 3 - Analyse de sensibilité par les indices de Sobol

## 1 Rappels sur les indices de Sobol

L'analyse de sensibilité globale permet d'analyser l'impact de la variabilité des facteurs d'entrée du modèle. Par exemple, à la figure 6.1, on souhaite savoir quel est le paramètre le plus influent entre le paramètre $B_1$ et le paramètre $\alpha$. Est-ce que 70% de la variation de $C$ est causée uniquement par la variation de $B_1$ ou par 20% de la variation de $\alpha$ ou 10% d'interaction des 2 paramètres (pour l'analyse de sensibilité globale). Ces pourcentages peuvent s'interpréter directement par des mesures de sensibilité. En déterminant les paramètres responsables

<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>FIGURE 6.1 – Quel paramètre est le plus influent sur la variable Y ?</figcaption></figure>

de cette variabilité, l'analyse de sensibilité permet de prendre les mesures nécessaires pour diminuer la variance de la sortie si celle-ci est synonyme d'imprécision, ou encore d'alléger le modèle en fixant les paramètres dont la variabilité n'influe pas sur la variable de sortie. On peut résumer l'étude de sensibilité comme suit. C'est une

- Étude qui quantifie l'influence des différents paramètres sur la réponse du modèle mathématique

- Étude qui permet de déduire quels sont les paramètres qui contribuent le plus à la variabilité de la réponse du modèle, les paramètres les moins influents et ceux qui interagissent avec les autres.

Comme nous allons le voir dans la suite, l'Analyse de Sensibilité Globale (ASG) est basée sur un calcul de variance [65, 179]. Concrètement, l'indice calculé évalue si la trajectoire générée par le modèle lorsqu'on varie un des paramètres va dévier de beaucoup de la trajectoire initiale.

### 1.1 Théorie

**Exemple 1.1.** Reprenons l'exemple des paramètres $\theta_1 = B_1$ et $\theta_2 = \alpha$ où mathématiquement, $\theta_1$ et $\theta_2$ sont des variables aléatoires. Tous les autres paramètres sont fixés. On souhaite savoir ce qu'il se passe lorsqu'on fixe un des paramètres. Supposons que le paramètre $\theta_1 := B_1$ soit fixé à $\theta_1^* = 0.5$ et prenons un échantillon de valeurs de $\alpha$. En faisant des simulations avec cet échantillon, nous obtenons des trajectoires et en particulier des trajectoires de $C$ (voir figure 6.2). Pour savoir si ces trajectoires sont "éloignées", on calcule la variance qui est notée $V_{\theta_1} \sim (C|\theta_1)$ où $\theta \sim 1$ est l'ensemble de tous les paramètres sauf le premier, $\theta_1 = B_1$. Dans notre cas, cet ensemble se réduit à $\alpha$. La notation $C|\theta_1$ signifie que l'on calcule la trajectoire en ayant fixé le paramètre $\theta_1 = B_1$. Ainsi, pour $B_1$ fixé, on a une idée de la dispersion des trajectoires lorsqu'on varie tous les autres paramètres. Toutefois, cette dispersion dépend de la valeur de $B_1$ choisie au départ. On va donc reprendre le calcul de la variance pour différentes valeurs de $B_1$ et on va calculer la moyenne $E_{\theta_1}$ des variances calculées
<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>FIGURE 6.2 – Principe pour calculer l'indices de Sobol $S_{1,2}$.</figcaption></figure>

avec les différentes valeurs de $B_1$. En fait, on calcule une distance moyenne en ayant fait varier le paramètre $B_1$. Mathématiquement, cette moyenne sera notée $E_{\theta_1}(V_{\theta\sim1}(C|\theta_1))$. Ainsi, si la valeur de cette moyenne est grande, le paramètre aura peu d'influence et réciproquement.

Cette relation n'est pas utilisée directement pour définir les indices de sensibilité. D'après le théorème de la variance totale, on a :

$$V(\theta) = E_{\theta_1}(V_{\theta\sim1}(C | \theta_1)) + V_{\theta_1}(E_{\theta\sim1}(C | \theta_1)).$$

Ainsi, une faible valeur de $E_{\theta_1}(V_{\theta\sim1}(C | \theta_1))$ ou une grande valeur de $V_{\theta_1}(E_{\theta\sim1}(C | \theta_1))$ implique que $\theta_1$ est un paramètre influent. La variance conditionnelle $V_{\theta_1}(E_{\theta\sim1}(C | \theta_1))$ est appelée l'effet du premier ordre de $\theta_1$ sur C.

La méthode présentée ici consiste à décomposer la variance de la sortie du modèle Y en une décomposition ANOVA (Analysis of Variance). L'équation décrivant la décomposition fonctionnelle de la variance totale $V(t)$ de la réponse du modèle, s'écrit

$$V(t) = \sum_{i=1}^{n_p} V_i(t) + \sum_{1 \le j \le n_p} V_{i,j}(t) + \dots + V_{1,...,n_p}(t)$$

avec

$$ 
\begin{align*}
V_i(t) &= \operatorname{Var}[Y_i(t, \theta_i)] = V_{\theta_i}(E_{\theta\sim i}(Y | \theta_i)), \\
V_{i,j}(t) &= \operatorname{Var}[Y_{i,j}(t, \theta_i, \theta_j)] = \operatorname{Var}_{\theta_i, \theta_j}[E_{\theta\sim i,j}(Y(t, \theta) | \theta_i, \theta_j)] - V_i(t) - V_j(t), \\
&\vdots \tag{6.12}
\end{align*}
$$

$$V_{1,...,n_p}(t) = V(t) - \sum_{i=1}^{n_p} V_i(t) - \sum_{1 \le j < n_p} V_{i,j}(t) - \sum_{1 \le i_1 < \dots < i_{n_p} - 1 \le n_p} V_{i_1, \dots, i_{n_p} - 1}(t).$$

où $\theta$ est un vecteur de paramètres représentés par des variables aléatoires indépendantes et uniformément distribuées dans $[0;1]^{n_p}$, $n_p$ désigne le nombre de paramètres étudiés dans l'analyse.

Le principe général pour calculer les indices consiste à simuler un grand nombre de fois les sorties en faisant varier 1 ou des paramètres.

En résumé, on a :

**Définition 30.** Soit Y une sortie du modèle de carré intégrable et $\theta_i$ les paramètres du modèle.

— L'indice de Sobol ou indice du premier ordre associé à un paramètre $\theta_i$, noté $S_i$ est défini par :

$$S_i(t) = \frac{V_{\theta_i}(E_{\theta\sim i}(Y | \theta_i))(t)}{V(Y)(t)}.$$

$V(Y)$ désigne la variance totale. Le terme $V_{\theta_i}(E_{\theta\sim i}(Y | \theta_i))$ est un réel quantifiant la dispersion de Y (qui est la sortie du modèle) lorsque $\theta_i$ est le seul paramètre à varier. Plus cette variance est élevée et plus le paramètre $\theta_i$ est influent sur la sortie Y, c'est-à-dire que celle-ci est d'autant plus sensible à $\theta_i$.
— L'indice du second ordre associé aux paramètres $\theta_i$, $\theta_j$, noté $S_{i,j}$ est défini par :

$$S_{i,j}(t) = \frac{V_{\theta_i, \theta_j}(E_{\theta \sim i,j}(Y(t,\theta) | \theta_i, \theta_j)) - V_i(t) - V_j(t)}{V(t)}$$

Il mesure la sensibilité de la variance de la sortie Y à l'interaction des paramètres $\theta_i$ et $\theta_j$, c'est à dire la sensibilité de Y aux variations conjuguées des paramètres $\theta_i$ et $\theta_j$ qui n'est pas prise en compte dans $S_i(t)$ et $S_j(t)$.

— De manière équivalente, on peut établir les définitions des fonctions de sensibilité d'ordre supérieur à deux.

Par exemple, pour 3 paramètres, on a

— fonctions de sensibilité d'ordre 1 : $S_1(t)$, $S_2(t)$, $S_3(t)$;

— fonctions de sensibilité d'ordre 2 : $S_{1,2}(t)$, $S_{1,3}(t)$; $S_{2,3}(t)$

— fonctions de sensibilité d'ordre 3 : $S_{1,2,3}(t)$.

Remarquons que

1. les indices sont toujours positifs

2. plus la fonction de sensibilité est proche de 1 pour tout instant de mesure $t_k \in \{t_1, \dots, t_N\}$, plus le paramètre est influent (la somme des indices de sensibilité vaut 1).

3. La somme de toutes les fonctions de sensibilité est égale à 1. Par exemple, pour 3 paramètres, on a

$$S_1(t) + S_2(t) + S_3(t) + S_{1,2}(t) + S_{1,3}(t) + S_{2,3}(t) + S_{1,2,3}(t) = 1.$$

4. S'il y a p paramètres, le nombre de fonctions de sensibilité à calculer, de l'ordre 1 à l'ordre $n_p$, est de $2^{n_p} - 1$. Ce nombre peut parfois exploser en fonction du nombre de paramètres à étudier. On peut alors calculer les indices (fonctions) de sensibilité totaux, qui expriment la sensibilité totale de la sortie vis-à-vis d'un paramètre, c'est-à-dire la sensibilité sous toutes ses formes en regroupant la sensibilité au paramètre seul (mesure de sa contribution individuelle) et la sensibilité aux interactions avec les autres paramètres (mesure de sa contribution collective) (Voir [179]). Par exemple, l'indice total de Sobol en $\theta_1$ va prendre en compte tous les jeux de paramètres contenant $\theta_1$ (voir figure 6.3)

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>FIGURE 6.3 – Effet total du paramètre $\theta_1$ lorsqu'on a 3 paramètres au départ.</figcaption></figure>

**Définition 31.** La fonction de sensibilité totale $S_{\theta_i}(t)$ de la sortie par rapport à un paramètre $\theta_i$ est définie comme la somme de toutes les fonctions de sensibilité relatives au paramètre $\theta_i$ :

$$S_{T_i}(t) = \sum_{k \neq i} S_k(t) = 1 - S_{\sim i}(t) = 1 - \frac{V_{\theta \sim i}(E_{\theta_i}(Y | \theta \sim i))}{\mathrm{Var}(Y)}$$

où $\sim i$ représente tous les ensembles d'indices contenant l'indice i et $S_{\sim i}$ la somme des fonctions de sensibilité de la sortie relatives à tous les paramètres, sauf $\theta_i$.
Par exemple, pour 3 paramètres, sachant que la somme de toutes les fonctions de sensibilité est égale à 1, on a :

$$-S_{T_1}(t) = S_1(t) + S_{1,2}(t) + S_{1,3}(t) + S_{1,2,3}(t) = 1 - S_2(t) - S_3(t) - S_{2,3}(t);$$

$$-S_{T_2}(t) = S_2(t) + S_{1,2}(t) + S_{2,3}(t) + S_{1,2,3}(t);$$

$$-S_{T_3}(t) = S_1(t) + S_{1,3}(t) + S_{2,3}(t) + S_{1,2,3}(t).$$

Pour ce modèle à 3 paramètres, la première formulation de $S_{T_1}$ nécessite deux fonctions de sensibilité d'ordre 2 et une fonction de sensibilité d'ordre 3 alors que la deuxième formulation suppose la connaissance de deux fonctions d'ordre 1 et une fonction d'ordre 2.

**Remarque 34.** Les espérances (moyennes) et les variances sont par définition des intégrales dans et sont calculés numériquement en utilisant les estimateurs de Monte Carlo.

## 1.2 Principe des calculs

Supposons que l'on souhaite calculer l'intégrale

$$I = \int_D f(x)dx$$

où $D$ est un espace de plus ou moins grande dimension (dans notre cas, c'est l'espace des paramètres) et $f$ est une fonction intégrable. Soit $x_1, \dots, x_N$ la réalisation d'un $N$-échantillon d'une variable aléatoire uniforme sur $D$ (échantillonnage aléatoire). Une approximation de $I$ par la méthode de Monte Carlo est

$$\hat{I}_N = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} f(x_i).$$

La convergence (presque sûre) de $I_N$ vers $I$ découle de la loi forte des grands nombres. L'espérance de toute fonction d'une variable aléatoire de densité quelconque peut être approchée par

$$\hat{E}(f(X)) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} f(x_i)$$

où $(x_i)_{i=1,\dots,N}$ est un $N$-échantillon de réalisations de la variable aléatoire $X$.

**Exemple 1.2.** Regardons l'estimation des indices de sensibilité par la méthode de Monte Carlo dans le cas de l'exemple 1.1. Considérons un $N_{sim}$ échantillon $\hat{\theta}_{N_{sim}} = (\theta_{j1}, \theta_{j2})_{j=1,\dots,N_{sim}}$ de réalisations des paramètres $(\theta_1, \theta_2)$. On rappelle que $\theta_1 = B_1$ et $\theta_2 = \alpha$ et qu'on cherche les indices de Sobol en les instants $(t_k)_{k=1,\dots,N}$. L'espérance de $Y$, $E(Y) = \hat{y}_0$ et sa variance $V(Y)$ sont estimées par

$$\hat{y}_0(t_k) = \frac{1}{N_{sim}} \sum_{j=1}^{N_{sim}} Y(t_k, (\theta_{j1}, \theta_{j2})) \quad \text{et} \quad \hat{V}(Y) = \frac{1}{N_{sim}} \sum_{j=1}^{N_{sim}} Y(t_k, (\theta_{j1}, \theta_{j2}))^2 - \hat{y}_0^2.$$

L'estimation des indices de sensibilité nécessite l'estimation d'espérances de variance conditionnelle. Sobol a proposé une technique d'estimation. En simplifiant temporairement les notations, on a

$$V_1 = V(E(Y | \theta_1)) = \underbrace{E(E(Y | \theta_1)^2)}_{U_i} - E(E(Y | \theta_1))^2 = U_1 - E(Y)^2.$$

Sobol propose d'estimer $U_1$, c'est à dire l'espérance du carré de l'espérance de $Y$ conditionnellement à $\theta_1$ comme une espérance classique mais en tenant compte du conditionnement à $\theta_1$ en faisant varier entre les deux appels à $Y$ tous les paramètres sauf le paramètre $\theta_1$. Cela nécessite deux échantillons de réalisations pour les paramètres.

Soient $\tilde{\theta}_{N_{sim}}^{(1)} = (\theta_{k1}^{(1)}, \theta_{k2}^{(1)})_{k=1,\dots,N_{sim}}$ et $\tilde{\theta}_{N_{sim}}^{(2)} = (\theta_{k1}^{(2)}, \theta_{k2}^{(2)})_{k=1,\dots,N_{sim}}$ ces échantillons. Alors, une estimée de $U_1$ est :

$$\hat{U}_1 = \frac{1}{N_{sim}} \sum_{k=1}^{N_{sim}} Y(\theta_{k1}^{(1)}, \theta_{k2}^{(1)}) \times Y(\theta_{k1}^{(2)}, \theta_{k2}^{(2)}).$$

L'indice de sensibilité de premier ordre est alors estimé par

$$\hat{S}_1 = \frac{\hat{V}_1}{\hat{V}(Y)} = \frac{\hat{U}_1 - \hat{y}_0^2}{\hat{V}(Y)}.$$
Pour la variance totale, notons $V_{\sim 1} = V_{\theta_{\sim 1}}(E_{\theta_1}(Y | \theta \sim 1))$. $V_{\sim 1}$ est la variance de l'espérance de Y conditionnellement à tous les paramètres sauf $\theta_1$. $V_{\sim 1}$ est alors estimé comme $V_1$ sauf qu'au lieu de faire varier tous les paramètres sauf $\theta_1$, nous ne faisons varier que $\theta_1$. Comme précédemment

$$V_{\sim 1} = E(E(Y | \theta_{\sim 1})^2) - E(E(Y | \theta_{\sim 1}))^2 = U_{\sim 1} - E(Y)^2$$

et

$$U_{\sim 1} = \frac{1}{N_{sim}} \sum_{k=1}^{N_{sim}} Y(\theta_{k1}^{(1)}, \theta_{k2}^{(1)}) \times Y(\theta_{k1}^{(2)}, \theta_{k2}^{(1)}).$$

On obtient

$$\hat{S}_{T_i} = 1 - \frac{\hat{U}_{\sim i} - \hat{y}_0^2}{\hat{V}(Y)}.$$

**Remarque 35.** L'analyse de sensibilité peut-être faite avec le package ODEsensitivity (Theers et al., 2016) implémenté dans le logiciel R. La notice se trouve à l'adresse : https://d-nb.info/1160443556/34

## 2 Résultats

J'ai supposé que les paramètres intrinsèques pouvaient varier entre 0.01 et 0.5 sauf $B_3$ et $B_4$ qui varient entre 0.01 et 0.1. En effet, d'après les psychologues, le pourcentage d'individus en comportements de panique ou de contrôle adoptant un comportement d'alerte est faible comparé aux autres transitions naturelles. Les paramètres d'imitation varient eux entre 0.01 et 0.9. J'ai également supposé que la fonction de retour $\varphi$ est identiquement nulle pour représenter la tendance des indices de Sobol. De plus, les indices de Sobol n'ayant pas le même ordre de grandeur pour les paramètres intrinsèques et les paramètres d'imitation, ils ont été tracés sur des graphes distincts. Les figures 6.7, 6.11 représentent les indices de Sobol du premier ordre et total respectivement par rapport aux paramètres intrinsèques. Les figures 6.15, 6.19 représentent les indices de Sobol du premier ordre et total respectivement par rapport aux paramètres d'imitation.

On peut remarquer que les sorties du modèle sont très sensibles aux paramètres intrinsèques par rapport aux paramètres d'imitation. Certains valeurs des indices de Sobol concernant les paramètres d'imitation laissent à penser qu'ils ne sont pas identifiables. En effet, on peut obtenir un modèle identifiable en réduisant l'intervalle d'appartenance des paramètres. Cela ne veut pas dire que le processus d'imitation ne joue aucun rôle dans la dynamique des comportements. Il faut en fait pouvoir affiner la connaissance de la valeur des paramètres intrinsèques, pour pouvoir estimer les paramètres d'imitation.
<figure><img src="image_70.png" /></figure>

FIGURE 6.4 – Indice de Sobol du premier ordre associé aux paramètres intrinsèques par rapport à la sortie *a*
FIGURE 6.5 – Indice de Sobol du premier ordre associé aux paramètres intrinsèques par rapport à la sortie *p*

<figure><img src="image_71.png" /></figure>

FIGURE 6.6 – Indice de Sobol du premier ordre associé aux paramètres intrinsèques par rapport à la sortie *c*

FIGURE 6.7 – Indices de Sobol du premier ordre associés aux paramètres intrinsèques par rapport aux sorties *a*, *p* et *c*.
<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>FIGURE 6.8 – Indice total de Sobol associé FIGURE 6.9 – Indice total de Sobol associé aux paramètres intrinsèques par rapport à la aux paramètres intrinsèques par rapport à la sortie *a* sortie *p*</figcaption></figure>

<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>FIGURE 6.10 – Indice total de Sobol associé aux paramètres intrinsèques par rapport à la sortie *c*</figcaption></figure>

FIGURE 6.11 – Indice total de Sobol associé aux paramètres intrinsèques par rapport aux sorties *a*, *p* et *c*.
<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>FIGURE 6.12 – Indice de Sobol du premier ordre associé aux paramètres d’imitation par rapport à la sortie *a*
FIGURE 6.13 – Indice de Sobol du premier ordre associé aux paramètres d’imitation par rapport à la sortie *p*</figcaption></figure>

<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>FIGURE 6.14 – Indice de Sobol du premier ordre associé aux paramètres d’imitation par rapport à la sortie *c*</figcaption></figure>

<caption>FIGURE 6.15 – Indices de Sobol du premier ordre associés aux paramètres d’imitation par rapport aux sorties *a*, *p* et *c*.</caption>
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>FIGURE 6.16 – Indice total de Sobol associé FIGURE 6.17 – Indice total de Sobol associé aux paramètres d'imitation par rapport à la aux paramètres d'imitation par rapport à la sortie *a* sortie *p*</figcaption></figure>

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>FIGURE 6.18 – Indice total de Sobol associé aux paramètres d’imitation par rapport à la sortie $c$</figcaption></figure>

FIGURE 6.19 – Indice total de Sobol associé aux paramètres d'imitation par rapport aux sorties *a*, *p* et *c*.
<figure><img src="image_78.png" /></figure>
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