Algebra &
Number
Theory

Volume 17
2023
No. 1

Correction à l'article Sous-groupe de Brauer invariant et
obstruction de descente itérée

Yang Cao
# 1. Rappels

Nous rappelons la notion de torseur universel de $n$-torsion, la formule de Künneth générale et l'homomorphisme $\varepsilon$ dans [Skorobogatov et Zarhin 2014, § 5] et dans [Cao 2020, (2-9)].

Soit $X$ une $k$-variété géométriquement intègre. Soit $S_X$ un $k$-groupe fini commutatif tel que $n \cdot S_X = 0$ et que $S_X^* := \operatorname{Hom}_{k_s}(S_X, \mu_n) \cong H^1(X_{k_s}, \mu_n)$ comme $\Gamma_k$-modules. Pour la notion de torseur universel de $n$-torsion pour $X$, nous renvoyons à [Cao 2020, définition 2.1]. La propriété fondamentale d'un torseur universel de $n$-torsion est la proposition 1.1 ci-dessous.

**Proposition 1.1** [Cao 2020, proposition 2.2]. Soit $\mathcal{T}_X$ un torseur universel de $n$-torsion pour $X$. Soit $S$ un $k$-groupe fini commutatif tel que $n \cdot S = 0$. Alors, pour tout $S$-torseur $Y$ sur $X$, il existe un unique homomorphisme $\phi : S_X \to S$ tel que

$$ \phi_*([\mathcal{T}_X]) - [Y] \in \operatorname{Im}(H^1(k, S) \to H^1(X, S)). $$

L'homomorphisme $\phi$ dans la proposition 1.1 est appelé le $n$-type de $[Y]$. Il induit un isomorphisme de $\Gamma_k$-modules

$$ \tau_{X,S} : \operatorname{Hom}_{k_s}(S_X, S) \to H^1(X_{k_s}, S), \quad \phi \mapsto \phi_*([\mathcal{T}_X]). \qquad (1-1) $$

Par exemple, $\tau_{X,\mu_n} : \operatorname{Hom}_{k_s}(S_X, \mu_n) \xrightarrow{\sim} H^1(X_{k_s}, \mu_n)$ est un isomorphisme.

Rappelons que $H^1(X_{k_s}, S)$ est fini.

De plus, si $X(k) \neq \emptyset$, alors pour chaque $x \in X(k)$ il existe alors un unique torseur universel de $n$-torsion $\mathcal{T}_X$ pour $X$ tel que $x^*[\mathcal{T}_X] = 0 \in H^1(k, S_X)$ (voir [Cao 2020, p. 2157]).

Considérons le diagramme commutatif (0-1).

Rappelons la formule de Künneth dans [SGA 4½ 1977]. Soit $m$ un entier avec $m \mid n$. Soient $D^-(k)$ et $D^+(k)$ les catégories dérivées bornées respectivement à droite et à gauche de la catégorie des $\mathbb{Z}/m$-faisceaux étales sur le petit site de $\operatorname{Spec} k$. Par abus de notation, pour un objet $M$ de $\operatorname{Sh}(k)$, on note $M$ l'objet de $D^+(k)$ représenté par le complexe qui consiste en $M$ en degré 0.

Soient $M, N$ deux $k$-groupes finis commutatifs tels que $M(k_s), N(k_s)$ soient des $\mathbb{Z}/m$-modules plats. Alors $M \otimes_{\mathbb{Z}/m} N = M \otimes_{\mathbb{Z}/m} N$ et le cup-produit donne un quasi-isomorphisme ([SGA 4½ 1977, Théorèmes de finitude, corollaire 1.11, p. 236] ou [Fu 2011, Corollary 9.3.5]), c'est-à-dire que

$$ \cup : R q_{1,*} M \otimes_{\mathbb{Z}/m}^L R q_{2,*} N \cong R (q_1 \circ p_1)_* (M \otimes_{\mathbb{Z}/m} N) $$

dans $D^-(k)$. Ceci induit le cup-produit [Fu 2011, Proposition 6.4.12]

$$ \cup_j : \bigoplus_{r+s=j} R^r q_{1,*} M \otimes_{\mathbb{Z}/m} R^s q_{2,*} N \to \mathcal{H}^j (R q_{1,*} M \otimes_{\mathbb{Z}/m}^L R q_{2,*} N) \sim R^j (q_1 \circ p_1)_* (M \otimes_{\mathbb{Z}/m} N). $$

Dans le cas où $m = p$ est un nombre premier, puisque $\mathbb{Z}/p$ est un corps, tout $\mathbb{Z}/p$-module est plat et $- \otimes_{\mathbb{Z}/p}^L = - \otimes_{\mathbb{Z}/p}$. Le cup-produit ci-dessus induit pour tout $j$ un isomorphisme

$$ \cup_j : \bigoplus_{r+s=j} R^r q_{1,*} M \otimes_{\mathbb{Z}/p} R^s q_{2,*} N \xrightarrow{\sim} R^j (q_1 \circ p_1)_* (M \otimes_{\mathbb{Z}/p} N). \qquad (1-2) $$
Soit $S$ un $k$-groupe fini commutatif avec $n \cdot S = 0$.

Pour le diagramme (0-1), la formation des $Rq_{2,*}(S)$ sur $\text{Spec } k$ commute avec tout changement de base [SGA 4½ 1977, Théorèmes de finitude, théorème 1.9 (ii), p. 236], et donc on obtient

$$Rp_{1,*} p_2^*(S) \cong q_1^* Rq_{2,*}(S). \qquad (1-3)$$

En fait, pour appliquer ce théorème, on choisit $X = V$, $Y = S = \text{Spec } k$, $S' = U$ pour les $X, Y, S, S'$ dans [SGA 4½ 1977, Théorèmes de finitude, théorème 1.9, p. 236].

Rappelons maintenant l'homomorphisme $\varepsilon$ de Skorobogatov et Zarhin.

Supposons qu'il existe des torseurs universels de $n$-torsion $\mathcal{T}_U$ pour $U$ (sous le groupe $S_U$) et $\mathcal{T}_V$ pour $V$ (sous le groupe $S_V$). Skorobogatov et Zarhin [2014, § 5] introduisent un homomorphisme

$$\varepsilon' : \operatorname{Hom}_k(S_U \otimes_{\mathbb{Z}/n} S_V, S) \to H^2(U \times V, S), \quad \phi \mapsto \phi_*([\mathcal{T}_U] \cup [\mathcal{T}_V]), \qquad (1-4)$$

où $\cup$ est le cup-produit $H^1(U, S_U) \times H^1(V, S_V) \to H^2(U \times V, S_U \otimes_{\mathbb{Z}/n} S_V)$.

Dans le cas où $S := M \otimes_{\mathbb{Z}/n} N \cong M \otimes_{\mathbb{Z}/m} N$ (puisque $m | n$), on a le diagramme commutatif

$$\begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
\operatorname{Hom}(S_U, M) \otimes_{\mathbb{Z}/n} \operatorname{Hom}(S_V, N) \arrow[r, "\xi"] & \operatorname{Hom}(S_U \otimes_{\mathbb{Z}/n} S_V, M \otimes_{\mathbb{Z}/n} N) \arrow[r, "\cong"] & \operatorname{Hom}(S_U \otimes_{\mathbb{Z}/n} S_V, S) \\
\vDash \tau_{U,M} \otimes \tau_{V,N} & \vDash \varepsilon' &
\end{tikzcd} \qquad (1-5)$$

$$H^1(U, M) \otimes_{\mathbb{Z}/n} H^1(V, N) \xrightarrow{\cong} H^1(U, M) \otimes_{\mathbb{Z}/m} H^1(V, N) \xrightarrow{\cup_2} H^2(U \times V, S)$$

où $\tau_{U,M} \otimes \tau_{V,N}$ est induit par (1-1) qui est donc un isomorphisme, $\cup_2$ est induit par (1-2) et $\xi(\phi_1, \phi_2) = \phi_1 \otimes_{\mathbb{Z}/n} \phi_2$.

Ce diagramme est commutatif, car pour tout $\phi_1 \in \operatorname{Hom}(S_U, M)$, $\phi_2 \in \operatorname{Hom}(S_V, N)$, on a
$$\cup_2 \circ (\tau_{U,M} \otimes \tau_{V,N})(\phi_1, \phi_2) = \phi_{1,*}[\mathcal{T}_U] \cup \phi_{2,*}[\mathcal{T}_V] \stackrel{(1)}{=} (\phi_1 \otimes \phi_2)_*([\mathcal{T}_U] \cup [\mathcal{T}_V]) = \varepsilon'(\phi_1 \otimes \phi_2) = (\varepsilon' \circ \xi)(\phi_1, \phi_2),$$
où (1) découle du diagramme commutatif

$$\begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
H^1(U, S_U) \times H^1(V, S_V) \arrow[r, "\cup"] & H^2(U \times V, S_U \otimes_{\mathbb{Z}/n} S_V) \\
\vDash \phi_{1,*} & \vDash \phi_{2,*} \\
\vDash \phi_{1,*} \otimes \phi_{2,*} & \vDash (\phi_1 \otimes \phi_2)_*
\end{tikzcd}$$

**Remarque 1.2.** Dans le cas où $S = \mu_n$, le $\varepsilon'$ dans (1-4) est essentiellement le $\varepsilon$ dans [Skorobogatov et Zarhin 2014, § 5] et dans [Cao 2020, (2-9)]. Plus précisément, $S_V^* := \operatorname{Hom}_{k_S}(S_V, \mu_n)$ et

$$\varepsilon : \operatorname{Hom}_k(S_U, S_V^*) \to H^2(U \times V, \mu_n), \quad \phi \mapsto \eta_*(\phi_*[\mathcal{T}_U] \cup [\mathcal{T}_V]),$$

où $\eta : S_V^* \otimes_{\mathbb{Z}/n} S_V \to \mu_n$ est le morphisme d'évaluation. Dans ce cas, on a

$$\varepsilon \circ \varphi = \varepsilon',$$
où $\varphi : \operatorname{Hom}_k(S_U \otimes_{\mathbb{Z}/n} S_V, \mu_n) \xrightarrow{\sim} \operatorname{Hom}_k(S_U, \operatorname{Hom}_{k_s}(S_V, \mu_n)) = \operatorname{Hom}_k(S_U, S_V^*)$ est l'isomorphisme canonique induit par les foncteurs adjoints $- \otimes_{\mathbb{Z}/p} S_V$ et $\operatorname{Hom}_{k_s}(S_V, -)$.

Ceci est valide, car pour tout $\phi \in \operatorname{Hom}_k(S_U, S_V^*)$, on a $\varphi^{-1}(\phi) = \eta \circ (\phi \otimes \operatorname{id}_{S_V})$ et donc

$$ \varepsilon(\phi) = \eta_*(\phi_*[\mathcal{T}_U] \cup [\mathcal{T}_V]) = \eta_*((\phi \otimes \operatorname{id}_{\mathcal{T}_V})_*([\mathcal{T}_U] \cup [\mathcal{T}_V])) = \varphi^{-1}(\phi)_*([\mathcal{T}_U] \cup [\mathcal{T}_V]) = (\varepsilon' \circ \varphi^{-1})(\phi). $$

## 2. Théorème principal

Voici la version correcte de la formule de Künneth de degré 2, qui remplace [Cao 2020, proposition 2.6].

**Théorème 2.1.** Supposons que $k$ est séparablement clos. Soient $U, V$ deux $k$-variétés géométriquement intègres et $S$ un $\mathbb{Z}/n$-module fini (vu comme un $k$-groupe commutatif). Considérons le diagramme (0-1) et l'homomorphisme $\varepsilon'$ dans (1-4) ci-dessus. Alors on a des isomorphismes

$$ \begin{gathered} \psi^1(S) : H^1(U, S) \oplus H^1(V, S) \xrightarrow{(p_1^*, p_2^*)} H^1(U \times V, S), \\ \psi^2(S) : H^2(U, S) \oplus H^2(V, S) \oplus \operatorname{Hom}(S_U \otimes_{\mathbb{Z}/n} S_V, S) \xrightarrow{(p_1^*, p_2^*, \varepsilon')} H^2(U \times V, S), \end{gathered} $$

et un homomorphisme injectif $\psi^3(S) : H^3(U, S) \oplus H^3(V, S) \xrightarrow{(p_1^*, p_2^*)} H^3(U \times V, S)$.

*Démonstration.* Puisque $k$ est séparablement clos, $U(k) \neq \emptyset$ et $V(k) \neq \emptyset$. Fixons deux points $u \in U(k)$, $v \in V(k)$. L'existence des sections

$$ l_v : U \times v \to U \times V, \quad l_u : u \times V \to U \times V $$

de $p_1, p_2$ impliquent que l'homomorphisme $(p_1^*, p_2^*) : H^i(U, S) \oplus H^i(V, S) \to H^i(U \times V, S)$ est injectif et scindé pour tout $i \geq 1$. Soit

$$ H_{\text{prim}}^2(S) := \text{Ker}(H^2(U \times V, S) \xrightarrow{\langle l_v^*, l_u^* \rangle} H^2(U, S) \oplus H^2(V, S)). $$

Puisque $[\mathcal{T}_U]|_u = 0, [\mathcal{T}_V]|_v = 0$, on a $l_u^* \circ \varepsilon' = 0$ et $l_v^* \circ \varepsilon' = 0$, et donc $\text{Im}(\varepsilon') \subset H_{\text{prim}}^2(S)$.

Considérons la suite spectrale $E_2^{i,j} = R^i q_{1,*} R^j p_{1,*}(S) \Rightarrow H^{i+j}(U \times V, S)$. On a :

(i) Par définition, l'homomorphisme

$$ H^i(U, S) = R^i q_{1,*}(S) = E_2^{i,0} \to H^i(U \times V, S) $$

est exactement $p_1^* : H^i(U, S) \to H^i(U \times V, S)$, qui est injectif et scindé.

(ii) Puisque

$$ Rp_{1,*}(S) = Rp_{1,*}p_2^*(S) \stackrel{(1-3)}{\cong} q_1^*Rq_{2,*}(S) = q_1^*R\Gamma(V, S), \quad (2-1) $$

tout $R^j p_{1,*}(S)$ est le faisceau constant $H^j(V, S)$. La composition

$$ H^j(V, S) \to H^j(U \times V, S) \to E_2^{0,j} = q_{1,*}(H^j(V, S)) = H^j(V, S) $$

est l'identité, puisqu'elle est l'identité sur $U \times V$. Donc $H^j(U \times V, S) \to E_2^{0,j}$ est surjectif et scindé.
(iii) D'après (1-1), $E_2^{1,1} = H^1(U, H^1(V, S)) \cong \operatorname{Hom}(S_U, \operatorname{Hom}(S_V, S)) \cong \operatorname{Hom}(S_U \otimes_{\mathbb{Z}/n} S_V, S)$, qui est un groupe fini. Ainsi $|E_2^{1,1}| = |\operatorname{Hom}(S_U \otimes_{\mathbb{Z}/n} S_V, S)|$.

D'après (i) et (ii),

$$H^1(U \times V, S) \cong E_2^{1,0} \oplus E_2^{0,1}, H^2(U \times V, S) \cong E_2^{2,0} \oplus E_2^{0,2} \oplus E_2^{1,1},$$

et, dans ces sommes directes, $(p_1^*, p_2^*)$ induit les isomorphismes $H^j(U, S) \oplus H^j(V, S) \cong E_2^{j,0} \oplus E_2^{0,j}$ pour $j = 1, 2$. Alors $H_{\operatorname{prim}}^2(S) \cong E_2^{1,1}$ et, d'après (iii), $|\operatorname{Hom}(S_U \otimes_{\mathbb{Z}/n} S_V, S)| = |H_{\operatorname{prim}}^2(S)|$. Ainsi $\varepsilon' : \operatorname{Hom}(S_U \otimes_{\mathbb{Z}/n} S_V, S) \to H_{\operatorname{prim}}^2(S)$ est un isomorphisme si et seulement si $\varepsilon'$ est injectif.

On a donc montré :

(iv) $\psi^1(S)$ est un isomorphisme et $\psi^3(S)$ est injectif.

(v) $\psi^2(S)$ est un isomorphisme si et seulement si $\psi^2(S)$ est injectif, si et seulement si $\varepsilon'$ est injectif.

Dans le cas où $|S|$ est un nombre premier $p$, on a $S \cong \mathbb{Z}/p$ et on considère le diagramme (1-5) avec $M \cong N \cong \mathbb{Z}/p$. Dans ce diagramme, $\xi$ est un isomorphisme et, d'après (1-2), $\cup_2$ est injectif. Alors $\varepsilon'$ est injectif et, d'après (v), $\psi^2(S)$ est un isomorphisme.

Dans le cas général, par récurrence sur $|S|$, on peut supposer que $\psi^2(S')$ est un isomorphisme pour tout $\mathbb{Z}/n$-module fini $S'$ avec $|S'| < |S|$. Alors, si $|S|$ n'est pas un nombre premier, il existe une suite exacte $0 \to S_1 \to S \to S_2 \to 0$ de $\mathbb{Z}/n$-modules finis avec $S_1, S_2 \neq 0$. Ceci induit une suite exacte

$$0 \to \operatorname{Hom}(S_U \otimes_{\mathbb{Z}/n} S_V, S_1) \to \operatorname{Hom}(S_U \otimes_{\mathbb{Z}/n} S_V, S) \to \operatorname{Hom}(S_U \otimes_{\mathbb{Z}/n} S_V, S_2)$$

et donc un diagramme commutatif de suites exactes :

$$\begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
H^1(U, S_2) \oplus H^1(V, S_2) \arrow[r, "f_1"] & F(S_1) \arrow[r] & F(S) \arrow[r] & F(S_2) \\
\downarrow \psi^1(S_2) & \downarrow \psi^2(S_1) & \downarrow \psi^2(S) & \downarrow \psi^2(S_2)
\end{tikzcd}
\quad \text{où } F(S) := H^2(U, S) \oplus H^2(V, S) \oplus \operatorname{Hom}(S_U \otimes_{\mathbb{Z}/n} S_V, S) \text{ et } f_1 \text{ est la composition}$$

$$H^1(U, S_2) \oplus H^1(V, S_2) \xrightarrow{(\partial_U, \partial_V, 0)} H^2(U, S_1) \oplus H^2(V, S_1) \oplus \operatorname{Hom}(S_U \otimes_{\mathbb{Z}/n} S_V, S_1) = F(S_1).$$

Puisque $|S_1|, |S_2| < |S|$, par récurrence, $\psi^2(S_1), \psi^2(S_2)$ sont des isomorphismes. D'après (iv), $\psi^1(S_2)$ est un isomorphisme. Par (v) et le lemme des cinq, $\psi^2(S)$ est injectif et donc un isomorphisme, ce qui établit le théorème. $\square$

Soient $U, V$ deux variétés géométriquement intègres sur $k$. On considère le diagramme commutatif (0-1) ci-dessus. Soit $S$ un $k$-groupe fini commutatif avec $n \cdot S = 0$.

Si $U(k) \neq \emptyset$, alors il existe un torseur universel de $n$-torsion pour $U$. Un point $u \in U(k)$ induit $u^* : \mathrm{Rq}_{1,*}S \to S$ et un morphisme surjectif $u^* : H^i(U, S) \to H^i(k, S)$ pour tout $i$. Notons

$$H_u^i(U, S) := \mathrm{Ker}(H^i(U, S) \xrightarrow{u^*} H^i(k, S)).$$
**Corollaire 2.2.** Sous les notations et hypothèses ci-dessus, supposons que $U(k) \neq \emptyset$, et qu'il existe des
torseurs universels de $n$-torsion $\mathcal{T}_U$, $\mathcal{T}_V$ comme ci-dessus. Soit $u \in U(k)$. Alors, pour tout $k$-groupe fini
commutatif $S$ avec $n \cdot S = 0$, on a un isomorphisme

$$
H_u^2(U, S) \oplus H^2(V, S) \oplus \operatorname{Hom}_k(S_U \otimes_{\mathbb{Z}/n} S_V, S) \xrightarrow{(p_1^*, p_2^*, \epsilon')} H^2(U \times V, S).
$$

Démonstration. Considérons le morphisme dans $D^+(k)$

$$
\psi := (p_1^* + p_2^*, u^* + 0) : \mathrm{R}q_{1,*}S \oplus \mathrm{R}q_{2,*}S \to (\mathrm{R}(q_1 \circ p_1)_*S) \oplus S.
$$

D'après le théorème 2.1, le cône $C_\psi$ de $\psi$ est dans $D^{\ge 2}(k)$ et la composition

$$
\operatorname{Hom}_{k_s}(S_U \otimes_{\mathbb{Z}/n} S_V, S) \xrightarrow{\epsilon'^{1}_{k_s}} H^2(U_{k_s} \times V_{k_s}, S) = \mathcal{H}^2(R(q_1 \circ p_1)_*S) \to \mathcal{H}^2(C_\psi) \quad (2-2)
$$

est un isomorphisme. Ceci induit une suite exacte

$$
0 \to H_u^2(U, S) \oplus H^2(V, S) \xrightarrow{(p_1^*, p_2^*)} H^2(U \times V, S) \to H^0(k, \mathcal{H}^2(C_\psi)).
$$

D’après (2-2), la composition

$$
\operatorname{Hom}_k(S_U \otimes_{\mathbb{Z}/n} S_V, S) \xrightarrow{\epsilon'} H^2(U \times V, \mu_n) \to H^0(k, \mathcal{H}^2(C_\psi))
$$

est un isomorphisme, d'où le résultat.

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Le corollaire 2.2 et la remarque 1.2 donnent directement [Cao 2020, corollaire 2.7].

**Remarque 2.3.** Lv [2020] utilise [Cao 2020, proposition 2.6] pour établir son lemme 3.3. Dans sa démonstration, cette proposition 2.6 peut être remplacée par le théorème 2.1 ci-dessus. Donc tous les résultats de [Lv 2020] restent corrects (sauf le lemme 3.2).

**Bibliographie**

[Cao 2020] Y. Cao, “Sous-groupe de Brauer invariant et obstruction de descente itérée”, *Algebra Number Theory* **14**:8 (2020), 2151–2183. MR Zbl

[Colliot-Thélène et Skorobogatov 2021] J.-L. Colliot-Thélène et A. N. Skorobogatov, *The Brauer–Grothendieck group*, Ergeb-nisse der Math. (3) **71**, Springer, 2021. MR Zbl

[Fu 2011] L. Fu, *Étale cohomology theory*, Nankai Tracts in Mathematics **13**, World Sci., Hackensack, NJ, 2011. MR Zbl

[Lv 2020] C. Lv, “A note on the Brauer group and the Brauer–Manin set of a product”, *Bull. Lond. Math. Soc.* **52**:5 (2020), 932–941. MR Zbl

[SGA 4½ 1977] P. Deligne, Cohomologie étale (Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie), Lecture Notes in Math. **569**, Springer, 1977. MR Zbl

[Skorobogatov et Zarhin 2014] A. N. Skorobogatov et Y. G. Zarhin, “The Brauer group and the Brauer–Manin set of products of varieties”, *J. Eur. Math. Soc. (JEMS)* **16**:4 (2014), 749–769. Corrigé à https://www.ma.ic.ac.uk/~anskor/corrigendum_final.pdf. MR Zbl

Communicated by Bjorn Poonen

Received 2021-12-02

Revised 2022-03-07

Accepted 2022-04-11

yangcao1988@ustc.edu.cn

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