# Modélisation physique, mécanique et simulation numérique des procédés de microfabrication

Jean-Claude Gelin

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Jean-Claude Gelin. Modélisation physique, mécanique et simulation numérique des procédés de microfabrication. CFM 2009 - 19ème Congrès Français de Mécanique, Aug 2009, Marseille, France. hal-03391438

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# Modélisation physique, mécanique et simulation numérique des procédés de microfabrication

Jean-Claude Gelin, Thierry Barrière, Mohamed Sahli, Aurélien Maurel

Institut FEMTO-ST, UMR CNRS 6174, Département Mécanique Appliquée,
ENSMM Besançon, 24 rue de l'Epitaphe, 25030 Besançon Cedex

## Résumé :

Les procédés de microfabrication offrent de remarquables champs d'investigations scientifiques, et nécessitent pour les représenter, modéliser et simuler, l'emploi d'approches associant la physico-chimie des matériaux métalliques ou polymères, aux échelles nano et micrométriques, et naturellement la prise en compte des lois de conservation classiquement employées en mécanique. Les procédés de microfabrication donnent souvent lieu à des couplages physiques nécessitant l'intégration simultanée de plusieurs physiques (thermo-mécanique, interactions fluide-structure ou encore métallurgie-mécanique). Par ailleurs le développement de nouveaux matériaux composites à renforts micro et nanostructurés et hautes propriétés fonctionnelles, résultant le plus souvent de mélanges ou dispersions (polymères chargés en nanopoudres ou nanotubes), rend les caractérisations physiques et les modélisations associées encore plus complexes. De façon connexe, le développement de simulations numériques extensives dans le domaine, prenant en compte les phénomènes physiques aux différentes échelles, permet aujourd'hui d'accéder de façon de plus en plus prédictive à la physique des procédés, et ce du nano au macro. Le papier se propose donc de décrire certains des aspects caractéristiques des procédés de microfabrication, en se concentrant sur quelques exemples associés à la micro-réplication et au micro-usinage. Le premier exemple concerne le moulage par injection des polymères chargés en micro et nanopoudres. La modélisation des écoulements de polymères chargés est décrite, ainsi que les aspects densification par diffusion des squelettes de poudres résultants. Le second exemple concerne la réplication d'empreintes micro-texturées par micro-estampage à chaud des polymères, et les éléments principaux éléments physiques et mécaniques sont évoqués. Enfin la modélisation et la simulation du micro-fraisage à grande vitesse est également étudiée, ainsi que les challenges scientifiques associés.

## Abstract:

The micro-manufacturing processes offer possibilities for scientific developments and research achievements, and need various approaches associated to physics, chemistry and mechanics of materials and processes, applied from the nanoscale to the mechanical engineering scale, passing through intermediate levels. The analysis of such processes needs to consider coupling effects between various fields in physics and mechanics of materials (thermo-mechanics, physics of materials, metallurgy and mechanics, fluid-particles interactions). The development of new multi-material components with high physical and mechanical properties often results from mixtures (loaded polymers with nano particles or carbon nanotubes), that render more complex the development of extensive numerical simulations of micro-manufacturing processes and enhance the possibilities to access to predictive predictions of relevant data at the different scale of the considered materials. The paper proposes to analyse and to describe these different aspects through three different examples. The first one concerns the microinjection of loaded polymers with micro powders particles or carbon nanotubes. The physics of the flow of such mixtures is firstly investigated, and the way to get dense metallic or ceramic components after solid state sintering is then described. The second example concerns the replication of textured surfaces through polymers hot embossing. Finally a related topic is also investigated associated to the high speed micro-milling of cavities, which are subsequently used in hot embossing and microinjection moulding. One describe a modelling strategy based on the 3D simulation of processing conditions based on physical and material properties at high strains, strain rates and temperature. One proves that such a methodology could be an effective way to determine the well adapted processing conditions.

**Mots-clefs:** Microfabrication, micro-réplication, micro-usinage, polymères, poudres.
# 1 Introduction

Les procédés de microfabrication sont de plus en plus employés, en relation notamment avec le développement des microtechnologies associées aux domaines de l'optique et des technologies de l'information [1], du biomédical et ou encore des microsystèmes utilisés en microfluidique [2]. De nombreuses contributions technologiques existent dans le domaine et des conférences internationales sont consacrées au sujet. La réalisation des composants de très petites tailles, de formes complexes et de natures très variées, à moindres coûts, requière d'une part une modélisation des phénomènes physiques associés, d'autre part l'utilisation de la simulation numérique, afin de réaliser la mise au point et d'optimiser les procédés de microfabrication. Dans la littérature, il existe cependant assez peu d'approches décrivant des modélisations physiques et mécaniques. De la même façon, les modélisations et simulations numériques existent, mais sont largement moins abondantes que dans le domaine des procédés de fabrication en dimensions standard (forgeage, fonderie, emboutissage des structures minces, injection des polymères thermoplastiques...). On se propose donc de décrire quelques procédés de microfabrication, soit résultant d'adaptations de procédés standard, soit plus nouveaux, et de présenter les problématiques scientifiques associées, tant du point de vue des aspects technologiques, que des aspects associés à la physique et à la modélisation et simulation numérique de tels procédés de microfabrication. La présentation est ciblée sur trois procédés caractéristiques et représentatifs de quelques unes des problématiques associées au domaine. Ces procédés concernent respectivement le micromoulage par injection de poudres métalliques ou céramiques [3,4], l'estampage à chaud des polymères thermoplastiques [12,13], et enfin le micro-usinage à grande vitesse [14]. Les aspects techniques sont brièvement décrits, puis les approches physiques et les modélisations et simulations numériques sont mentionnées.

# 2 Micromoulage par injection de poudres

Le Micromoulage par Injection de Poudres (MIP) consiste à injecter des poudres métalliques ou céramiques en utilisant un polymère comme fluide porteur [3]. Dans un premier temps, les poudres métalliques ou céramiques sont mélangées à un ensemble de polymères thermoplastiques (le liant). Le mélange ainsi produit est souvent nommé « feedstock ». Au cours de la deuxième étape, le mélange est mis en forme en utilisant la technologie standard de moulage par injection des polymères. Le liant est ensuite évacué après démoulage lors de la phase de déliantage. Le déliantage peut être réalisé soit par voie thermique, soit par dissolution aqueuse ou bien encore par dissolution thermochimique. Enfin, le squelette de poudres résultant est rigidifié par densification par diffusion à l'état solide, conduisant ainsi au composant à la forme souhaitée. Ce procédé combine donc les technologies du moulage par injection des polymères thermoplastiques, ainsi que les technologies de frittage des poudres en phase solide. Les caractéristiques finales des composants résultent de chacune des quatre étapes du procédé [3,4]. Le MIP permet d'obtenir des composants de formes très complexes avec des matériaux difficiles, voire impossibles à mettre en forme par d'autres technologies [3]. Ces composants peuvent posséder d'excellentes propriétés mécaniques, fonction des constituants initiaux employés. A priori, tous les matériaux métalliques ou céramiques peuvent être employés. Il convient cependant d'effectuer une étude préalable sur la nature des liants à utiliser. Ceux-ci doivent être capables de véhiculer les poudres lors de l'injection [4,5], sans toutefois les contaminer chimiquement durant la phase de déliantage. La phase de densification est l'étape qui détermine les caractéristiques de comportement matériel des composants, ainsi que la forme finale. Les défauts pouvant apparaître sont entre autres le retrait anisotrope, la formation de cloques ou de fissures, les distorsions de la pièce, les répartitions hétérogènes de densité [6]. Les
paramètres de contrôle du procédé sont le cycle de montée en température, le temps de densification, les réactions chimiques entre les composants du mélange et l'atmosphère [8]. Mais les défauts survenant au cours de la densification peuvent également être inhérents aux phases précédentes.

Pour simuler la phase d'injection du mélange poudres et liant, un modèle biphasique a été développé et utilisé [4,5,7]. Ce modèle considère l'écoulement de deux phases distinctes: une phase solide considérée comme un fluide visqueux et un liant fluide. L'interaction entre les deux phases et l'incompressibilité du mélange sont prises en compte pour la description de l'écoulement du mélange poudres+liant. Cette théorie est bien adaptée à la simulation des écoulements de fluides visqueux fortement chargés en poudres, elle est par conséquent bien adaptée au procédé considéré. Chacune des phases possède sa propre loi de comportement, et les équations de conservation sont écrites pour chacune des phases. Les interactions entre les deux phases sont représentées par un coefficient de couplage. Un solveur éléments finis a été développé au laboratoire, basé sur la résolution des équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement, exprimées sous la forme suivante:

$$ \frac{\partial \phi_s}{\partial t} + \nabla \cdot (\phi_s \mathbf{V}_s) = 0 \quad \text{et} \quad \frac{\partial \phi_f}{\partial t} + \nabla \cdot (\phi_f \mathbf{V}_f) = 0 \qquad (1) $$

$$ \rho_s \frac{\partial \mathbf{V}_s}{\partial t} = -\nabla(\phi_s P) + \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}'_s + \rho_s \mathbf{g} + \mathbf{m}_s \qquad (2a) $$

$$ \rho_f \frac{\partial \mathbf{V}_f}{\partial t} = -\nabla(\phi_f P) + \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}'_f + \rho_f \mathbf{g} + \mathbf{m}_f \qquad (2b) $$

où $\phi_s$ et $\phi_f$ représentent respectivement la fraction volumique des phases solide et fluide, $\mathbf{V}_s$ et $\mathbf{V}_f$ représentent respectivement les vitesses des phases solide (poudres) et fluide (liant). Les densités de chacune des phases sont définies par les relations $\rho_s = \phi_s \rho_s^o$ et $\rho_f = \phi_f \rho_f^o$ où $\rho_s^o, \rho_f^o$ caractérisent les densités initiales des poudres et du liant, supposées constantes, P représente le champ de pression, $\boldsymbol{\sigma}'_s$ et $\boldsymbol{\sigma}'_f$ sont les déviateurs des tenseurs des contraintes visqueuses des phases solide et fluide et $\mathbf{g}$ représente la gravité, $\mathbf{m}_s = -\mathbf{m}_f$ sont les termes d'interactions entre les phases. Ces équations sont résolues en trois étapes grâce à un schéma séquentiel explicite [7], qui consiste à résoudre séquentiellement les étapes suivantes: interaction entre les phases, diffusion visqueuse, incompressibilité du mélange, détermination de la pression et de l'état de remplissage. Deux solveurs éléments finis ont été développés: l'un pour la simulation de la phase d'injection en moulage par injection de poudres [7], l'autre pour la simulation de la phase de densification par diffusion à l'état solide [8]. La Figure 1 présente un cas test développé au laboratoire. Le cas test correspond à un moule multi composants, comportant des empreintes correspondant à des éprouvettes de traction et de flexion. Ces composants ont été injectés, puis ensuite densifiés par diffusion à l'état solide. La figure 1a présente une comparaison entre les fronts d'injection expérimentaux et les fronts obtenus par simulation pour chacun des deux composants, considérant différents états de remplissage. Les simulations, basées sur le modèle biphasique, permettent de bien reproduire les états de remplissage et donnent accès à la distribution des poudres après injection. Ces résultats sont ensuite utilisés comme données d'entrée pour la simulation de la densification à l'état solide [9,10,11], illustrés en figure 1b. Les résultats expérimentaux et ceux résultants des simulations, sont là encore en bon accord, autorisant ainsi la simulation complète du procédé de micromoulage par injection de poudres.
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG. 1 1a) Comparaisons des fronts d'injection en cours de moulage par injection, obtenus expérimentation et par simulation, 1b) Comparaison des retraits et densités obtenus expérimentalement et par simulation (1c).</figcaption></figure>

## 3 Micro estampage à chaud des polymères thermoplastiques

Le micro-estampage à chaud des polymères est un procédé utilisé dans les industries des microsystèmes et microcomposants, pour produire en séries limitées des composants texturés en surface, ces composants sont par exemple utilisés en micro-fluidique [2], ou encore pour réaliser des micro-refroidisseurs. Le procédé consiste à comprimer une plaque polymère entre deux outillages portés à une température proche de la température de transition vitreuse des polymères, et à appliquer une pression pour réaliser les texturations désirées, figure 2. Les polymères sont transformés à l'état thermoplastique juste en dessous de température de transition vitreuse. Le micro-estampage à chaud des polymères est surtout utilisé pour réaliser des prototypes et petites séries, à l'opposé de la micro-injection utilisée pour des productions en grandes séries. La modélisation physique et mécanique, ainsi que la simulation numérique de l'estampage à chaud des polymères reposent sur la description des écoulements viscoplastiques, la prise en compte du contact visqueux avec les outillages, ainsi que des aspects thermiques, et ce dans le but d'apprécier les capacités du procédé pour réaliser les micro-texturations. Le tableau 1 indique les propriétés physiques de deux polymères caractéristiques employés pour les expérimentations conduites au laboratoire, tandis que la figure 2 illustre le procédé d'estampage à chaud des polymères, ainsi que les différents types d'écoulements pouvant être rencontrés.

<table><caption>TAB. 1– Principales caractéristiques des polymères de type COC et COP.</caption><thead><tr><td>Matériaux</td><td>Densité</td><td>Indice de fluidité MFI (g/10 min)</td><td>T<sub>g</sub> (°C)</td><td>Conductivité thermique λ (W/mK)</td><td>Module d'Young (MPa)</td></tr></thead><tbody><tr><td>COP 480</td><td>1.02</td><td>[260°C/2.16kg] : 48</td><td>136</td><td>0.16</td><td>3200</td></tr><tr><td>COC 6013</td><td>1.02</td><td>[260°C/2.16kg] : 14</td><td>140</td><td>0.16</td><td>2900</td></tr></tbody></table>
Pour étudier le comportement des polymères durant le procédé d'estampage à chaud, il est nécessaire de caractériser ceux-ci dans les plages de sollicitations caractéristiques du procédé de mise en forme [12-13]. Cette identification permet de rendre compte des effets viscoélastiques et viscoplastiques au voisinage de la température de transition, ainsi que des effets hyperélastiques au-delà.

Dans le cas des polymères thermoplastiques, la notion de vitesse de déformation est introduite dans la loi d'écoulement du matériau. Celle-ci devient alors non seulement dépendante de la déformation plastique cumulée et de la température, mais aussi de la vitesse de déformation. Afin de rendre compte de l'effet de la vitesse sur la loi d'écoulement du matériau, une loi puissance a été développée, couplée à une loi d'Arrhenius en température, en y ajoutant la dépendance par rapport à la vitesse de déformation viscoplastique:

$$ \sigma(\varepsilon_p, \dot{\varepsilon}_p, T) = \left[ \sigma_0 + Q_r \left[ 1 - \exp(-C_r \varepsilon_p) \right] \left( 1 + \frac{\dot{\varepsilon}_p}{C} \right)^{1/p} \right] \exp\left(\frac{a}{T}\right) \quad (3) $$

où $\varepsilon_p$ est la déformation viscoplastique cumulée, $\dot{\varepsilon}_p$ la vitesse de déformation viscoplastique équivalente et $\sigma_0$, $Q_r$, $C_r$, $a$ et $C$ sont des paramètres physiques liés au comportement du polymère considéré. Les résultats de l'identification sont résumés dans le tableau 2.

<table><caption>TAB. 2- Paramètres matériels de la loi puissance pour les polymères COP et COC.</caption><thead><tr><th>Polymères</th><th>p</th><th>ε̇ (s)</th><th>σ₀ (MPa)</th><th>Qₜ (MPa)</th><th>Cₜ</th><th>C</th></tr></thead><tbody><tr><td>COP 480</td><td>0.25</td><td>10<sup>-3</sup></td><td>0.055</td><td>0.22</td><td>2.5</td><td>1</td></tr><tr><td>COC 6013</td><td>0.25</td><td>10<sup>-3</sup></td><td>0.035</td><td>0.18</td><td>2.1</td><td>1</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIG. 2 – Dispositif expérimental d'estampage à chaud des polymères, avec représentation schématique du mode d'écoulement (a) sans cavité, (b) avec cavité.</figcaption></figure>

Les résultats des essais de compression à chaud sont présentés sur les figures 3.a et b, qui décrivent l'évolution du rayon des disques en matériaux polymères, en fonction du temps de compression, en présence de cavités. Ces résultats ont été obtenus à la température Tg + 20°C, quel que soit le polymère étudié. Il est à noter d'une part que les données sont, comme attendues, corrélables aux différentes valeurs d'indice de fluidité, et que d'autre part la présence d'une cavité modifie notablement les écoulements.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIG. 3 – Evolution temporelle du rayon du disque en polymère fonction du temps à 170°C :
(a)COP 480, (b)COC6013.</figcaption></figure>

## 4 Micro-usinage à grande vitesse

Les technologies de réplication des polymères ou polymères chargés précédemment décrites, exigent préalablement la réalisation d'empreintes et moules avec des surfaces microstructurées. Le micro-fraisage à grande vitesse, 3 ou 5 axes, est fréquemment employé dans les entreprises, pour réaliser ces empreintes, généralement métalliques. Le procédé est connu et maitrisé du point de vue technologique, mais les bases physiques et mécaniques de la coupe à grande vitesse, en particulier dans le cas du micro-usinage sont encore assez peu étudiées. Bien qu'il existe quelques modèles analytiques du fraisage de face ou d'épalements, ainsi que des modèles de comportement des matériaux adaptés aux grandes vitesses de déformations, ces modèles de comportement restent à identifier, en particulier dans les conditions caractéristiques de l'usinage et du micro-usinage à grande vitesse.

Une étude à la fois expérimentale et d'identification numérique a donc été développée [14,15,16], visant à réaliser l'identification des paramètres de comportement matériel, directement à partir d'essais d'usinage sur le matériau considéré. Les efforts de coupe sont mesurés grâce à une table dynamométrique et un système d'acquisition de données, disposant de temps de réponses adaptés aux conditions d'usinage. De façon symétrique, la simulation numérique par éléments finis en 3D des mêmes essais a été réalisée, en utilisant un logiciel éléments finis adapté à la dynamique rapide, et enfin une boucle d'identification est proposée pour ajuster les paramètres de comportement matériel.

La figure 4 relate les conditions d'essais en fraisage d'épalement. Les outils utilisés sont des fraises à 2 ou 4 dents pour le fraisage de profil, ces outils sont de diamètre 2 ou 4mm, avec un angle d'hélice de 40°. Les revêtements sont composés soit de TiCN ou bien encore de No.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIG. 4 Essais de coupe réalisés en fraisage d'épalement</figcaption></figure>

La figure 4 résume les essais réalisés, et relate les plages d'usinage possibles et notamment la plage d'usinage à grande vitesse. Les courbes d'efforts dans chacune des directions, en fonction de la vitesse de coupe et de l'avance par dent, peuvent ensuite être utilisées. Le modèle
de comportement retenu pour décrire le comportement du matériau est celui de Johnson-Cook exprimé sous la forme suivante:

$$ \sigma = [A + B(\epsilon^p)^n] \left[ 1 + C \ln\left(\frac{\dot{\epsilon}^p}{\dot{\epsilon}_0}\right) \right] \left[ 1 - \left(\frac{T - T_f}{T_{seuil} - T_f}\right)^m \right] \quad (4) $$

où A, B, C n et m sont des paramètres matériels à identifier sur les plages caractéristiques de variations des vitesses de coupe, avances et profondeurs de passe.

La figure 5 illustre les simulations éléments finis réalisées en vue de l'identification paramétrique. Les mécanismes de formation et fragmentation du copeau apparaissent clairement, mais nécessitent cependant des maillages très fins si l'on utilise les techniques de discrétisation standard, conduisant à des temps de calcul important. Le recours à de nouvelles méthodologies de maillage s'impose pour progresser dans le domaine et aboutir à des résultats vraiment opérationnels [17].

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIG. 5 Simulation par éléments finis du fraisage d'épalement et description de la formation des copeaux</figcaption></figure>

## 4 Conclusions

Les procédés de microfabrication font intervenir de nombreux aspects physiques, mécaniques et technologiques. Leur optimisation est nécessaire pour assurer la qualité des produits. Le domaine des micro-composants offre par ailleurs des champs d'investigation importants pour les différentes grandes classes de technologies (ablation, addition, réplication). Les matériaux utilisés dans le domaine sont divers et variés : polymères, polymères chargés, matériaux métalliques, céramiques. L'analyse approfondie des procédés de micro-frabrication nécessite la maîtrise des technologies et l'analyse physique et mécanique des processus impliqués, le développement des modélisations physiques et mécaniques associées, et la mise en œuvre de simulations numériques extensives à plusieurs échelles. Les procédés de microfabrication font intervenir des domaines variés de la mécanique (écoulements des polymères et des polymères chargés, ablation des matériaux par procédés mécaniques, thermiques ou encore physico-chimique...). La modélisation des procédés de micro-fabrication repose naturellement sur les équations de conservation de la mécanique, mais implique de plus une description des mécanismes au niveau micro, voire nanométrique. Les simulations numériques extensives sont nécessaires pour aider à l'analyse quantitative des procédés, afin d'en déduire les propriétés des composants et les conditions opératoires optimales. Les exemples présentés sont caractéristiques du domaine de la microfabrication, et montrent qu'il est possible de combiner modélisations, expérimentations et simulations, afin d'optimiser procédés et produits réalisés. Des investigations récentes dans le domaine des polymères
chargés en nanotubes de carbone [18] montrent les potentialités de la technologie de moulage par injection pour réaliser des microcomposants fonctionnels.

Références

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