# Une étude de l'élaboration théorique du modèle balistique dans le New Principles of Gunnery de Benjamin Robins à la lumière des apports conceptuels de Newton, en particulier de sa méthode des fluxions, et de leurs implications pour la philosophie des mathématiques et de la physique

André Dimitri

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André Dimitri. Une étude de l'élaboration théorique du modèle balistique dans le New Principles of Gunnery de Benjamin Robins à la lumière des apports conceptuels de Newton, en particulier de sa méthode des fluxions, et de leurs implications pour la philosophie des mathématiques et de la physique. Philosophie. 2025. dumas-05357216

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UNIVERSITÉ PARIS 1

PANTHÉON SORBONNE

Mémoire de Master 2 en Philosophie

Parcours de Logique et Philosophie des Sciences

Une étude de l'élaboration théorique du modèle balistique dans le *New Principles of Gunnery* de Benjamin Robins à la lumière des apports conceptuels de Newton, en particulier de sa méthode des fluxions, et de leurs implications pour la philosophie des mathématiques et de la physique

M. André Dimitri LIMA

Sous la direction de M. le Professeur Marco PANZA

Année académique 2024/2025
<figure><img src="image_2.png" /></figure>
# Avant-propos

Ce travail est né d'un parcours qui, bien qu'atypique, m'a toujours semblé cohérent. J'ai commencé mes études universitaires par une licence en philosophie, que j'ai entamée en 2016 et conclue en janvier 2019. C'est dans ce cadre que j'ai découvert la philosophie des sciences, discipline qui m'a immédiate-ment fasciné. Ma première recherche dans ce domaine — une initiation à la recherche académique — portait sur l'influence du raisonnement déductif dans le Livre III de l'ouvrage *Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica* d'Isaac Newton. Cette recherche a par la suite donné lieu à mon mémoire de fin de licence. Bien qu'elle ait été, avec le recul, encore limitée et quelque peu naïve dans ses ambitions, elle a reçu le premier prix lors d'un symposium régional d'initiation scientifique dans l'État de São Paulo, au Brésil. Cette reconnais-sance m'a donné la confiance nécessaire pour poursuivre dans cette voie.

Après cette première formation, toujours animé par la volonté de mieux comprendre les débats en philosophie des sciences, j'ai entamé une deuxième licence, cette fois en mathématiques. Pendant cette période, j'ai également enseigné pendant un an dans un lycée, ce qui a profondément marqué mon rapport au savoir. J'y ai découvert le plaisir d'enseigner, mais surtout l'impor-tance de montrer à mes élèves que philosophie et mathématiques ne sont pas des domaines antagonistes — au contraire, ils dialoguent constamment. J'ai-mais particulièrement aborder en classe les questions propres à la philosophie des sciences.
Durant cette formation en mathématiques, j'ai eu l'occasion de mener une deuxième recherche d'initiation scientifique, cette fois orientée vers l'enseignement. En me basant sur l'ouvrage *Solar System Dynamics* (MURRAY et DERMOTT 1999), j'ai développé un modèle simplifié d'orbites planétaires utilisant uniquement des fonctions trigonométriques. Ce modèle visait à rendre ces notions accessibles à des élèves du secondaire. Le projet a été récompensé par le troisième prix lors de la Semaine nationale de la science et de la technologie (SNCT) au Brésil, dans la catégorie des travaux de licence.

Poursuivre en master de philosophie des sciences s'est donc présenté comme une suite logique. C'est à l'Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne que j'ai eu la chance de rencontrer le professeur Marco Panza, avec qui j'ai commencé à travailler. À l'origine, je pensais continuer mes recherches sur Newton, mais le professeur Panza m'a proposé un autre chemin : celui d'étudier l'influence historique et scientifique de l'œuvre newtonienne, plutôt que sa seule structure interne. C'est dans ce contexte que nous avons découvert ensemble l'œuvre de Benjamin Robins, un auteur que je ne connaissais pas, mais dont le traité m'a immédiatement captivé. J'y ai vu une tentative singulière, de la part d'un ingénieur militaire, d'utiliser la méthode newtonienne pour construire une science proprement balistique.

Choisir Robins comme objet d'étude m'a permis d'articuler plusieurs de mes centres d'intérêt : l'histoire des sciences, la philosophie des mathématiques, les méthodes expérimentales et les formes de légitimation du savoir. En vérité, cette recherche cherche aussi à comprendre comment se construit une autorité scientifique : comment une nouvelle langue, lorsqu'elle se lie à des pratiques concrètes, peut devenir un puissant outil de transformation, y compris institutionnelle.

C'est peut-être pour cette raison que, malgré son ancrage historique, ce travail trouve aussi des résonances dans notre présent. À une époque où l'autorité
de la science est sans cesse remise en question, revenir au XVIIIe siècle pour comprendre comment Robins, dans un contexte lui aussi instable, a réussi à faire circuler une nouvelle manière de penser, peut nous offrir des pistes utiles sur le rôle public de la science, sur les défis de sa communication, et sur la manière dont la raison, silencieusement, continue de s'exercer dans le monde.
Remerciements

Avant de commencer mes remerciements personnels, qu'ils soient adressés nominativement ou de manière plus collective, je tiens à souligner qu'il y a encore quelques années, je n'aurais jamais imaginé pouvoir mener une telle recherche, dans une institution comme celle-ci. Ainsi, en premier lieu, j'exprime toute ma profonde gratitude à toutes celles et tous ceux — nommés ici ou non — qui, d'une manière ou d'une autre, directement ou indirectement, m'ont aidé à mener à bien ce projet. À vous tout-te-s, mon plus sincère et ému : « merci beaucoup! »

Je remercie l'Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne de m'avoir accueilli au sein de son corps étudiant dans le cadre du master de philosophie. Suivre cette formation, dans une institution aussi prestigieuse et presque millénaire, est pour moi une source d'honneur et de fierté.

Je remercie également le professeur Maximilian Kistler, coordinateur du parcours « Logique et Philosophies des Sciences », pour sa bienveillance et son attention envers les étudiants, en particulier envers ceux qui, comme moi, ne sont pas francophones de naissance et peuvent faire appel à lui dans leurs études, même sans une maîtrise parfaite de la langue française. J'étends ces remerciements à tous les autres professeurs qui, au cours de ces deux années universitaires, m'ont offert un apprentissage intense dans ce domaine passionnant qui est la philosophie des sciences. Des cours tels que « philosophie du cancer » ou « philosophie des neurosciences » ne sont que quelques exemples
parmi tant d'autres qui témoignent de l'engagement du corps enseignant de ce programme à dialoguer avec les débats les plus contemporains dans ce champ.

Je remercie également celui qui m'a orienté et accompagné tout au long de ces deux années dans l'étude des œuvres complexes (et denses) de Newton et de Robins : le professeur Marco Panza. Je suis honoré de pouvoir dire que j'ai été son étudiant. Merci infiniment pour le temps, la patience et la générosité que vous m'avez consacrés. C'est dans son exemple que je puise l'inspiration pour poursuivre ma carrière académique.

Je souhaite remercier mes ami·e·s — qu'ils aient été ou non mes camarades d'études — qui, par leur soutien et leur amitié, ont constitué mon réseau d'ap-pui au cours de ces dernières années, m'encourageant et me soutenant dans la poursuite de mes études. En particulier, merci à Cindy et Palloma pour leur aide dans les démarches administratives liées à la sélection du master ; à Jean, qui, en tant qu'ami et colocataire durant les derniers mois du master (malgré ses blagues douteuses et le son de sa guitare), a été une présence agréable et en-courageante pendant les étapes finales de ma recherche. Je remercie également tous les bons amis rencontrés à la Maison du Brésil, à la Cité Internationale Universitaire de Paris ; Letícia, Alexandre, et tant d'autres collègues avec qui j'ai partagé de longues heures d'étude et de profonds débats philosophiques (souvent bien arrosés de bons vins français) sur des sujets aussi variés que pertinents ; Adriana et Stéphanie, pour leur affection et les conversations qui s'étendaient pendant des heures, malgré l'océan et les milliers de kilomètres qui nous séparent ; et Jéssica et João, pour une amitié qui dure depuis plus d'une décennie, et pour l'affection qui m'accompagne dans mes études depuis le lycée. Et aussi cette célèbre artiste qui se définit comme une simple Italienne à New York, pour l'inspiration que son art a apportée dans ma vie.

Je remercie ma famille, en particulier ma mère Walquiria et mon frère Jonas, avec qui je partage tant de conversations intimes, et qui, dans la mesure
de leurs possibilités, m'ont soutenu de bien des façons afin que je puisse mener
à bien cette formation.

Et un remerciement tout à fait spécial à celui qui a été à mes côtés litté-
ralement chaque jour de ces deux années : mon amour, Gustavo. Je veux que
tu saches que, sans ton amour, rien de tout cela n'aurait été possible. Je te le
redirai encore bien des fois : je ne t'aime pas seulement, je t'admire profondé-
ment. Ta carrière académique est pour moi une véritable source d'inspiration,
un exemple à suivre. Tu es un astrophysicien aussi brillant que tu es un com-
pagnon attentionné. Quitter le Brésil pour venir en France n'a pas été facile
à bien des égards, mais à tes côtés, j'ai toujours ressenti la sécurité nécessaire
pour continuer d'avancer. Merci pour tout, mon amour !

Je dédie ce mémoire à vous tout-te-s, ainsi qu'à toutes celles et tous ceux
qui, à leur manière et dans la mesure de leurs moyens, luttent pour une société
plus juste et plus égalitaire !
Résumé

Ce mémoire examine la manière dont Benjamin Robins, ingénieur autodi-
dacte du XVIIIe siècle, a mobilisé les outils conceptuels et mathématiques de
la philosophie naturelle newtonienne pour établir une science balistique fondée
sur des principes rationnels et expérimentaux. À partir de l'analyse de son
traité New Principles of Gunnery, nous montrons comment Robins applique
et adapte la méthode des fluxions de Newton à des phénomènes techniques,
en particulier à l'étude de la résistance de l'air et à la mesure de la vitesse
des projectiles. L'étude souligne également l'importance de son invention du
pendule balistique et sa critique des modèles idéalisés négligeant les effets du
milieu. En croisant histoire des sciences, philosophie des mathématiques et
mécanique expérimentale, ce travail met en lumière le rôle de Robins dans la
transformation des savoirs militaires en sciences appliquées fondées sur des lois
mathématiques.

Mots-clés : Benjamin Robins ; philosophie naturelle newtonienne ; balis-
tique ; histoire des sciences ; résistance de l'air ; pendule balistique.
Abstract

This dissertation explores how Benjamin Robins, an eighteenth-century
self-taught engineer, mobilised the conceptual and mathematical tools of New-
tonian natural philosophy to establish a ballistic science based on rational and
experimental principles. Through an analysis of his treatise New Principles
of Gunnery, we show how Robins applied and adapted Newton's method of
fluxions to technical phenomena, particularly in his study of air resistance and
in the measurement of projectile velocity. The study also highlights the signi-
ficance of his invention of the ballistic pendulum and his criticism of idealised
models that neglected the influence of the medium. By combining the history
of science, philosophy of mathematics, and experimental mechanics, this re-
search sheds light on Robins's role in the transformation of military knowledge
into applied science governed by mathematical laws.

**Keywords** : Benjamin Robins; Newtonian natural philosophy; ballistics; history of science; air resistance; ballistic pendulum.
<table><tr><td>2.2.2</td><td>Exemples de la Méthode des Fluxions</td><td>40</td></tr><tr><td>2.2.2.1</td><td>1er exemple</td><td>40</td></tr><tr><td>2.2.2.2</td><td>2ème exemple</td><td>43</td></tr></table>

### 3 Robins, un ingénieur et mathématicien newtonien 46

<table><tr><td>3.1</td><td>Une analyse de l'œuvre <i>A Demonstration of the 11th Proposition of Sir Isaac Newton's Treatise of Quadratures</i></td><td>47</td></tr></table>

<table><tr><td>3.1.1</td><td>La Proposition XI du <i>Treatise of Quadratures</i> : contenu et structure</td><td>47</td></tr></table>

<table><tr><td>3.1.1.1</td><td>Construction géométrique et enchaînement des quadratures</td><td>47</td></tr></table>

<table><tr><td>3.1.1.2</td><td>Séries algébriques, fluxions et structure de la proposition</td><td>48</td></tr></table>

<table><tr><td>3.1.2</td><td>La démonstration de Robins</td><td>50</td></tr></table>

<table><tr><td>3.1.2.1</td><td>Structure de la démonstration : régularité et récurrence</td><td>51</td></tr></table>

<table><tr><td>3.1.2.2</td><td>Généralisation par changement de variable</td><td>53</td></tr></table>

<table><tr><td>3.1.2.3</td><td>Considérations sur la démonstration</td><td>54</td></tr></table>

### 4 Le New Principles of Gunnery 56

<table><tr><td>4.1</td><td>Sur l'estructure de le traité</td><td>56</td></tr></table>

<table><tr><td>4.2</td><td>Une analyse du préface</td><td>59</td></tr></table>

<table><tr><td>4.2.1</td><td>Les justifications de Robins pour la rédaction du <i>New Principles of Gunnery</i> présentées dès le début du préface</td><td>59</td></tr></table>

<table><tr><td>4.2.2</td><td>Réflexions sur la mécanique de l'Artillerie</td><td>60</td></tr></table>

<table><tr><td>4.2.2.1</td><td>L'art des fortifications comme science sœur de l'Artillerie</td><td>60</td></tr></table>

<table><tr><td>4.2.2.2</td><td>La poudre</td><td>63</td></tr></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>4.2.3</td>
      <td>Considérations sur d'autres œuvres ayant également traité des mouvements des projectiles</td>
      <td>66</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.3.1</td>
      <td>Galileo Galilei et Isaac Newton dans le débat sur la résistance de l'air dans la trajectoire de vol des projectiles.</td>
      <td>68</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.4</td>
      <td>Les thèmes du traité présentés par Robins</td>
      <td>69</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3</td>
      <td>Une analyse du chapitre 1</td>
      <td>71</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.1</td>
      <td>Propositions concernant la formation et les propriétés du fluide élastique permanent</td>
      <td>71</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.1.1</td>
      <td>Proposition I</td>
      <td>71</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.1.2</td>
      <td>Proposition II</td>
      <td>72</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.1.3</td>
      <td>Proposition III</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.1.4</td>
      <td>Proposition IV</td>
      <td>74</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.1.5</td>
      <td>Proposition V</td>
      <td>75</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.1.6</td>
      <td>Proposition VI</td>
      <td>75</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.2</td>
      <td>Propositions relatives au début des analyses prenant en compte le moment du tir</td>
      <td>76</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.2.1</td>
      <td>Proposition VII</td>
      <td>76</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.3</td>
      <td>Propositions relatives à la mesurabilité des vitesses des projectiles</td>
      <td>83</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.3.1</td>
      <td>Proposition VIII</td>
      <td>83</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.3.1.1</td>
      <td>Le pendule balistique</td>
      <td>83</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.3.1.1.1</td>
      <td>Pendule balistique simple</td>
      <td>85</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.3.1.1.2</td>
      <td>Pendule balistique composé</td>
      <td>85</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.3.1.2</td>
      <td>Le développement de la proposition VIII</td>
      <td>86</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.3.2</td>
      <td>Proposition IX</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.4</td>
      <td>Propositions relatives à la « poudre »</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.4.1</td>
      <td>Proposition X</td>
      <td>91</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>4.3.4.2</td>
      <td>Proposition XI</td>
      <td>92</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.4.3</td>
      <td>Proposition XII</td>
      <td>93</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.4.4</td>
      <td>Proposition XIII</td>
      <td>94</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4</td>
      <td>Une analyse du chapitre II</td>
      <td>96</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4.1</td>
      <td>Propositions relatives à l'établissement de la méthode de calcul de la trajectoire des projectiles</td>
      <td>97</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4.1.1</td>
      <td>Proposition I</td>
      <td>97</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4.1.2</td>
      <td>Proposition II</td>
      <td>98</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4.1.3</td>
      <td>Proposition III</td>
      <td>100</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4.1.4</td>
      <td>Proposition IV</td>
      <td>101</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4.2</td>
      <td>Propositions relatives à des cas plus spécifiques de l'application de la méthode</td>
      <td>101</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4.2.1</td>
      <td>Proposition V</td>
      <td>101</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4.2.2</td>
      <td>Proposition VI</td>
      <td>102</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4.2.3</td>
      <td>Proposition VII</td>
      <td>103</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4.2.4</td>
      <td>Proposition VIII</td>
      <td>104</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.5</td>
      <td>Les traités ultérieurs et les lettres de Robins</td>
      <td>105</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.5.1</td>
      <td>Les 5 traités subséquents</td>
      <td>106</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.5.2</td>
      <td>Les lettres de Robins</td>
      <td>107</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Conclusion</td>
      <td>109</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Bibliographie</td>
      <td>111</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

A Chronologie de la vie et des publications de Benjamin Robins 115

B Transcription de 11ème Proposition de le Traité des Quadra-
tures de NEWTON avec commentaires et traduction en français 117

B.1 Transcription originale en latin de la proposition telle qu'elle
figure dans l'ouvrage NEWTON 1704 (p. 371) (THEOR. VIII) : . 117
B.2 Traduction libre en français de la proposition (théorème VIII) : 121

C Contextualisation des certains termes utilisés par Newton 127

D Unités de mesure dans l’œuvre de Benjamin Robins 130
Table des figures

2.1 Représentation géométrique de la Méthode des Fluxions de Newton appliquée à la parabole $y = x^2$. L'inclinaison des tangentes en des points spécifiques illustre le rapport entre les fluxions $\frac{dy}{dx}$. 43

2.2 « Problème 1 » tel qu'il a été représenté originellement dans NEWTON et COLSON 1736. 44

4.1 Photo d'un orillon dans une fortification (COYAU 2009). 61

4.2 Photo d'un ravelin dans une fortification (Consorti Castel Sant Ferran Figures s. d.). 62

4.3 La balistique interne d'un canon telle que décrite dans la proposition VII du traité *New Principles of Gunnery* de Benjamin Robins. L'espace intérieur DECG est rempli de poudre. 77

4.4 Représentation de la description du tir d'un canon à trois moments différents. L'image fait référence aux considérations présentes dans la proposition VII du traité de Robins, ainsi qu'à l'analyse de cette proposition faite par A. R. COLLINS 2014. Le deuxième moment correspond à l'équation 4.6 et le troisième moment à l'équation 4.1. 79

4.5 Représentation du pendule balistique de Robins décrit et illustré dans la proposition VIII de son traité. Image adaptée du traité de Patrick Guenette en 2019, issue de la banque d'images numériques « alamyimages ». 84
Introduction

L'objectif de ce mémoire est d'analyser l'élaboration théorique du modèle
balistique proposé par Benjamin Robins dans son traité *New Principles of*
*Gunnery* (1742), à la lumière des concepts issus de la philosophie naturelle
newtonienne, en particulier de sa méthode des fluxions. L'intérêt de cette étude
réside dans la tentative de Robins d'articuler les outils mathématiques issus de
la tradition newtonienne à des phénomènes mécaniques concrets — en l'occurnce,
ceux liés à l'artillerie — dans un effort remarquable de rationalisation
d'un savoir encore largement empirique au XVIIIe siècle.

À travers une lecture attentive des écrits de Robins, et notamment de sa
*Démonstration de la onzième Proposition du Treatise of Quadratures* (1726)
de Newton, ce travail s'efforce de mettre en évidence comment cet ingénieur
britannique mobilise, adapte et prolonge les méthodes mathématiques newto-
niennes dans le cadre de ses recherches. En ce sens, le mémoire se situe au
croisement de l'histoire des sciences, de la philosophie des mathématiques et
de la mécanique expérimentale.

Plutôt que de proposer une reconstitution exhaustive de l'ensemble des
résultats obtenus par Robins, ce mémoire adopte une approche analytique
sélective, centrée sur les moments où l'auteur explicite son recours aux mathé-
matiques pour légitimer son projet scientifique. À travers cette démarche, il
s'agit d'interroger les modalités de constitution d'un discours scientifique dans
un domaine technique, ainsi que les formes de légitimation qu'il mobilise —
qu'elles soient expérimentales, institutionnelles ou théoriques.

Le choix de se concentrer sur deux écrits spécifiques de Robins — le *New Principles of Gunnery* et sa *Démonstration de la onzième Proposition du Trea-tise of Quadratures de Newton* — répond à une exigence de cohérence interne à l'objet de ce mémoire. D'une part, la *Démonstration* constitue une incursion rare mais significative de Robins dans la géométrie newtonienne pure, où il mobilise explicitement le calcul des fluxions pour commenter et reformuler un résultat mathématique fondamental. D'autre part, le *New Principles* illustre une tentative ambitieuse d'articuler ces mêmes outils à une problématique technique émergente, en l'occurrence la balistique expérimentale. L'analyse conjointe de ces deux textes permet ainsi de saisir un moment particulier de transposition méthodologique : celui où les méthodes de la philosophie na-turelle newtonienne quittent le champ théorique pour se redéployer dans un programme de recherche appliquée. L'intérêt que suscita cette articulation chez des auteurs comme Leonhard Euler — qui traduisit et commenta le *New Prin-ciples* en 1745 (EULER 1922), soulignant la sophistication mathématique des modèles robinsiens et proposant des reformulations plus rigoureuses de certains résultats — témoigne de la portée scientifique de cette opération intellectuelle, bien que les annotations d'Euler ne fassent pas ici l'objet d'une analyse appro-fondie.

Cette recherche s'inscrit donc dans une double perspective : d'une part, elle cherche à situer historiquement la contribution de Robins dans le contexte de la diffusion du newtonianisme ; d'autre part, elle vise à interroger les conditions philosophiques et épistémologiques de possibilité d'une science balistique, à un moment charnière où les frontières entre science et technique, entre mathéma-tiques et physique appliquée, se redessinent.
# Chapitre 1

## La vie de Robins et la philosophie naturelle à son époque

### 1.1 Le contexte de la philosophie naturelle et mathématiques pré-newtoniennes dans l'Europe moderne

Au tournant de la Renaissance, les savoirs scientifiques européens commencent à se structurer dans un cadre qui s'éloigne, lentement mais irréversiblement, du paradigme aristotélicien. Ce dernier concevait les phénomènes naturels comme des actualisations téléologiques d'un ordre cosmologique hiérarchisé, au sein duquel les lois du mouvement dépendaient de la nature même des corps. L'univers y était perçu comme fini, géocentrique, régi par des causes finales et qualitatives. Toutefois, à partir du XIIIe siècle, des penseurs comme les scolastiques dits « calculatores » d'Oxford et de Merton, dont Nicole Oresme (1320-1382) fut l'un des principaux représentants en France, amorcent une approach plus quantitative et géométrique des phénomènes physiques<fnref n="1" />.

<footnote n="1">1. Le terme « calculatores » a été introduit pour désigner un groupe de penseurs de tradition oxfordienne du XIVe siècle qui appliquaient des méthodes mathématiques à des</footnote>
Ce processus connaît une accélération décisive entre le XVe et le XVIIe siècle, période souvent décrite comme celle de l'émergence d'une « culture scientifique » propre à la modernité (GAUKROGER 2006). Dans ce cadre, plusieurs changements épistémologiques majeurs redéfinissent la manière de penser la nature : l'abandon progressif des causes finales au profit des causes efficaces ; l'introduction de modèles mécaniques et géométriques pour expliquer les mouvements ; l'usage systématique de la quantification et de l'expérimentation contrôlée.

Des figures comme Nicolas Copernic (1473-1543), Johannes Kepler (1571-1630), Galileo Galilei (1564-1642) et René Descartes (1596-1650) bouleversent les cadres cosmologiques et méthodologiques hérités du Moyen Âge. Chez Descartes, en particulier, le projet d'une physique entièrement déduite de principes métaphysiques rationnels – articulée à une géométrie algébrique – marque une étape décisive dans la formalisation d'un nouvel idéal de science (GARBER 2009).

L'essor de ce paradigme mécaniste est également documenté dans les travaux d'Eduard Jan Dijksterhuis (1892-1965), qui parle d'une « mécanisation du monde » : l'univers cesse d'être interprété comme un organisme animé et devient un ensemble de parties en interaction, régies par des lois mathématiquement formulables (DIJKSTERHUIS 1986). Cette perspective, qui se consolide dès la seconde moitié du XVIIe siècle, est accompagnée d'une profonde transformation dans les mathématiques elles-mêmes. La géométrie euclidienne est progressivement enrichie par l'introduction de nouvelles méthodes : géométrie analytique, théorie des indivisibles, méthodes infinitésimales. Les contributions de Bonaventura Cavalieri (1598-1647), Pierre de Fermat (1607-1665) et Isaac Barrow (1630-1677) préparent ainsi le terrain pour le développement du cal-

<footnote>problèmes de mouvement et de changement. Le mot apparaît pour la première fois dans le contexte des écrits de l'école de Merton, et notamment dans les travaux d'auteurs comme Thomas Bradwardine (c.1290-1349). Voir (CLAGETT 1968).</footnote>
cul infinitésimal par Isaac Newton (1643-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716), au tournant du siècle (BOYER 1959).

1.1.1 Le début de la « Révolution Scientifique » et les changements de paradigme en mathématiques et en physique

L'expression « Révolution scientifique » désigne, dans l'historiographie contem-
poraine, une série de transformations épistémiques, méthodologiques et insti-
tutionnelles survenues en Europe entre le XVIe et le XVIIe siècle, qui ont
profondément redéfini les cadres de la connaissance naturelle. Le terme a été
popularisé par KOYRÉ, notamment dans son ouvrage *Du monde clos à l'uni-
vers infini*, où il souligne que le véritable changement réside moins dans la
prolifération de découvertes empiriques que dans une mutation ontologique de
la conception du monde (KOYRÉ 1957). L'univers, auparavant structuré au-
tour d'un cosmos fini et hiérarchisé, devient un espace homogène, régi par des
lois universelles et susceptible d'être exprimé mathématiquement.

Cette transformation fut également décrite par KUHN dans *The Structure of Scientific Revolutions*, qui propose une vision moins linéaire de l'histoire des sciences : les sciences ne progressent pas uniquement par accumulation, mais par ruptures paradigmiques, c'est-à-dire par des révolutions conceptuelles qui redéfinissent les normes de rationalité scientifique (KUHN 1962). La « Révolution scientifique » y est ainsi comprise comme le basculement d'un paradigme fondé sur l'autorité des Anciens à un paradigme fondé sur l'expérimentation, la modélisation mathématique et la production de lois.

Du point de vue des mathématiques, cette période se caractérise par une
intensification des échanges entre les domaines jusque-là séparés de l'algèbre et
de la géométrie, notamment à travers les travaux de Descartes et de Fermat,
qui jettent les bases de la géométrie analytique. Simultanément, le développement des méthodes infinitésimales — amorcé par des figures comme Kepler et Cavalieri — ouvre de nouvelles perspectives pour le calcul des aires, des volumes et des vitesses. Ces innovations anticipent l’élaboration future du calcul différentiel et intégral par Newton et Leibniz. Comme le rappelle SHAPIN, cette révolution fut aussi sociale et institutionnelle : elle s’accompagna de la naissance de nouvelles structures de validation du savoir, telles que les sociétés savantes (comme la Royal Society en 1660), et d’un nouveau statut pour l’expérimentation dans la construction des théories (SHAPIN 2018).

En physique, la rupture la plus significative réside sans doute dans l'abandon de la dynamique qualitative d'Aristote au profit d'une conception mathématisée du mouvement. Galilée joue ici un rôle central, en démontrant que les corps en chute libre obéissent à une loi quantitative simple — le carré du temps —, indépendamment de leur poids. Il inaugure ainsi une physique qui, pour la première fois, articule l'expérience à des lois formulées en langage mathématique. Son insistance sur la mesure et la reproductibilité des phénomènes annonce un nouveau type de rationalité expérimentale (DEAR 2001).

Enfin, cette période voit l'apparition d'un nouveau type d'homme de science : celui qui, au lieu de commenter les autorités, produit des théories fondées sur des hypothèses vérifiables. Ce changement se reflète également dans la langue des sciences : le latin cède progressivement la place aux langues vernaculaires, favorisant la diffusion plus large du savoir, tout en redéfinissant ses publics. Comme l'a souligné WHEWELL, c'est dans cette conjonction d'innovations conceptuelles, techniques et institutionnelles que s'origine ce que l'on appelle, rétrospectivement, la « Révolution scientifique » (WHEWELL 2023).
1.1.2 La science de l'artillerie pré-Robins

Avant les travaux de Benjamin Robins, la science de l'artillerie en Europe demeurait largement empirique, fragmentée et dominée par des pratiques héritées de la tradition artisanale et militaire. Si les ouvrages techniques sur les fortifications et les machines de guerre étaient nombreux dès la fin du Moyen Âge, peu d'entre eux cherchaient à fonder leurs descriptions sur des principes mathématiques rigoureux. Le *Nova Scientia* de Niccolò Tartaglia (1537), souvent cité comme un jalon fondateur, propose une première tentative de rationalisation du tir parabolique, suggérant que l'angle optimal pour la portée maximale d'un projectile est de 45° — une idée devenue célèbre mais fondée sur des prémisses physiques approximatives (SHAPIN 2018).

Au XVIIe siècle, alors que la mécanique théorique progresse avec Galilée et Newton, la balistique reste à la traîne. Les traités d'artillerie de l'époque, comme ceux de Diego Ufano ou de Luis Collado, se contentent souvent d'observations qualitatives et de tableaux empiriques, sans recours systématique à des modèles dynamiques. La théorie du mouvement des projectiles y est dominée par des descriptions mixtes, combinant des éléments de géométrie pratique, des intuitions aristotéliciennes sur les causes du mouvement, et des interprétations issues de l'expérience du champ de bataille (HALL 1952). Cette situation entraîne une dichotomie entre, d'une part, la théorie du mouvement développée par les savants — notamment dans le sillage des *Principia* —, et, d'autre part, les applications militaires concrètes, qui peinent à s'approprier les outils mathématiques en pleine expansion.

Une difficulté majeure résidait dans la mesure de la vitesse initiale des projectiles, paramètre essentiel pour toute analyse balistique précise. Jusqu'à Robins, cette grandeur ne pouvait être qu'estimée grossièrement, faute d'un appareil adéquat. De même, la question de la résistance de l'air — centrale pour
comprendre la trajectoire réelle des boulets — était le plus souvent ignorée ou minimisée, malgré les avertissements de Newton lui-même dans le livre II des *Principia* (NEWTON 1687).

Il convient également de noter que, bien que certains auteurs aient pressenti l'importance d'une approche expérimentale, les moyens techniques et les outils conceptuels manquaient encore pour intégrer l'artillerie dans le champ d'une science mathématisée. Ce fossé entre théorie et pratique explique, au moins en partie, l'impact considérable qu'aura le travail de Robins au XVIIIe siècle : en articulant des expériences précises (grâce notamment à l'invention du pendule balistique) à des modèles fondés sur les lois du mouvement, il inaugure une véritable science balistique moderne (STEELE 1994).

## 1.2 Le contexte de la philosophie naturelle et mathématiques post-newtoniennes dans l'Europe moderne

### 1.2.1 La vie et les principaux travaux de Newton

Isaac Newton (1643-1727) est né prématurément dans la ville de Woolsthorpe, un petit village en Angleterre. Il a perdu son père avant sa naissance et a été élevé par sa mère et ses grands-parents, car celle-ci s'est remariée et l'a laissé sous la garde de ses proches. Dès son jeune âge, son inclination pour les études et le raisonnement abstrait s'est distinguée, ce qui l'a conduit à entrer, à l'âge de 18 ans, au *Trinity College* de l'Université de Cambridge, où il a d'abord travaillé comme domestique pour financer ses études. Pendant cette période, il a étudié le *trivium* et le *quadrivium*<fnref n="2" />, mais il s'est rapidement consacré de

<footnote n="2">2. Le *trivium*, ou arts de la parole (grammaire, rhétorique et dialectique), et le *quadrivium*, ou arts des nombres (arithmétique, géométrie, musique et astronomie), ont été établis par Saint Augustin comme l'ensemble des savoirs nécessaires à l'enseignement des textes</footnote>
manière autonome aux domaines des mathématiques, de l'optique et de la
philosophie naturelle. Newton a eu pour mentor Isaac Barrow, le premier titulaire
de la chaire lucasienne de mathématiques à Cambridge, qui était un érudit des
œuvres classiques, avec un intérêt particulier pour l'optique et la géométrie.
En 1669, Barrow a décidé de renoncer à sa chaire afin que Newton puisse en
hériter. Ce geste a non seulement consolidé la position de Newton dans la com-
munauté académique, mais lui a également permis de se consacrer entièrement
à la recherche et à l'enseignement. Parmi les contributions de Barrow qui ont
influencé Newton figurent ses études sur les tangentes et les aires (COHEN et
SMITH 2002). En 1687, le *Philosophiæ naturalis principia mathematica*<fnref n="3" />, consi-
déré comme le chef-d'œuvre de Newton, a été publié, car c'est l'œuvre qui, à
l'époque, a eu le plus grand impact en termes de notoriété<fnref n="4" />. Les *Principia* ont
été rédigés dans le but de formaliser, à travers des méthodes mathématiques
rigoureuses, les lois du mouvement, à travers des résultats extraordinaires sur
l'attraction des corps vers un corps central, la théorie de la gravitation uni-
verselle. Cependant, il y a peu de démonstrations mathématiques, car l'œuvre
n'utilise pas explicitement les algorithmes du calcul infinitésimal, que Newton
avait déjà développés, mais adopte la méthode des « premières et dernières
raisons », inspirée de la géométrie classique, afin d'assurer une meilleure ac-
ceptation par les lecteurs et les académiciens de l'époque. Ce choix reflète la
tentative de relier les découvertes modernes aux traditions mathématiques des
anciens, comme Archimède et Apollonius (PANZA 1999).

En 1704, le *De Quadratura Curvarum* est publié comme un appendice à la
deuxième édition de son œuvre *Opticks*, dont la première édition avait été pu-

<footnote>sacrés pour les chrétiens et ont fourni, surtout aux XIIe et XIIIe siècles, les fondements de l'enseignement universitaire (SOUZA 2012).</footnote>

<footnote n="3">3. Dans un souci de compréhension et de contextualisation de l'œuvre et de son contenu, l'annexe C explicite certains termes importants utilisés par Newton dans l'élaboration de son raisonnement.</footnote>

<footnote n="4">4. Pour mesurer l'importance de l'impact de cette œuvre, Alexandre Koyré et KUHN considèrent la publication de cette œuvre comme le point de conclusion de la « Révolution scientifique ».</footnote>
bliée la même année. C'est dans le *De Quadratura* que Newton a présenté sa « théorie des fluxions ». Il a utilisé ce texte pour démontrer des méthodes de quadrature, permettant de calculer des aires sous des courbes et de résoudre des problèmes liés à la variation de grandeurs géométriques et physiques. L'œuvre a été rédigée dans un contexte de débats et de disputes scientifiques intenses, notamment la controverse sur la priorité dans l'invention du calcul, qui l'opposait au mathématicien allemand Gottfried Leibniz. Malgré son caractère innovant, NEWTON a choisi de mettre l'accent sur la géométrie classique et d'employer des méthodes géométriques basées sur des proportions et des raisons, plutôt que la notation analytique qui allait devenir caractéristique des adeptes de Leibniz. De cette manière, l'impact du traité peut être considéré comme ayant été limité en termes de popularité immédiate, car la présentation de Newton mettait en avant des méthodes traditionnelles, s'écartant du formalisme algébrique plus intuitif qui gagnait en popularité parmi les mathématiciens continentaux. Cependant, le *De Quadratura* a renforcé la pertinence de Newton dans le domaine mathématique et a fourni une base pour le développement ultérieur de théories plus étendues sur les séries et les intégrales (PANZA 1999).

Cependant, il convient de souligner que, dans la controverse entre Leibniz et Newton sur la priorité dans l'invention du calcul infinitésimal, des facteurs scientifiques, cœur du conflit, mais aussi politiques, sont intervenus. En effet, pour un mathématicien de l'époque, employer les méthodes et la symbolique développées par l'un ou l'autre ne se réduisait souvent pas à une simple question scientifique, fondée uniquement sur des critères tels que l'efficacité ou la praticité, mais relevait également d'une prise de position et de validation dans la lutte pour la crédibilité concernant la priorité du calcul entre les deux groupes. Leibniz et ses partisans ont développé un formalisme analytique qui privilégiait la clarté et la systématisation, tandis que Newton utilisait sa théo-
rie des fluxions, qui avait un caractère plus géométrique et moins systématique.
Cette différence d'approche a engendré des tensions significatives entre les deux
communautés, britannique et continentale. Newton, réticent à publier large-
ment ses découvertes mathématiques, a vu ses idées souvent mal comprises,
ce qui a affaibli l'influence de son approche hors de Grande-Bretagne. Les
Britanniques, pour leur part, ont formé une communauté scientifique fermée
et défensive, axée sur la promotion des idées de Newton contre les méthodes
leibniziennes. Cette attitude a limité l'innovation mathématique en Angleterre
au XVIIIe siècle, car les Britanniques résistaient à adopter ou intégrer les
avancées développées par les mathématiciens continentaux. Pendant ce temps,
en Europe continentale, des mathématiciens tels qu'Euler et les Bernoulli ont
étendu le calcul leibnizien, créant une mathématique qui transcendait les fron-
tières de ses origines. Ainsi, bien que les idées de Newton aient été crucales
pour le développement initial du calcul, l'impact de la controverse a restreint la
collaboration scientifique et retardé le développement des mathématiques bri-
tanniques par rapport à celles du continent (PANZA 1999; COHEN et SMITH
2002).

Postérieurement à la publication de l'Opticks, le traité De Analysi per æqua-
tiones numero terminorum infinitas est publié en 1711, à l'initiative de William
Jones<fnref n="5" />. Cependant, on estime que ce traité aurait été élaboré vers 1669. Bien
que publié tardivement en 1711, le De Analysi fut vraisemblablement rédigé
dès 1669, possiblement en réaction à la publication du Logarithmotechnia de
MERCATOR, parue en 1668, qui présentait des résultats importants liés aux
développements en séries. Newton, motivé par la nécessité de revendiquer sa
priorité, a cherché à consolider ses propres contributions dans ce domaine. Le

<footnote n="5">5. PANZA 1999 souligne que Jones a publié simultanément trois autres traités de Newton : le « De Quadratura », l'« Enumeratio linearum tertii ordinis » et le « Methodus differentialis » (ce dernier portant sur les interpolations, et non sur les calculs différentiels, comme le titre pourrait le laisser croire), tous sous le titre général « Analysis per quantitatum series, fluxiones, ac differentias : cum enumeratione linearum tertii ordinis » : Cf. NEWTON 1711.</footnote>
*De Analysi* propose une méthode générale de quadrature fondée sur des séries infinies, démontrant son potentiel pour des calculs applicables dans différents contextes. Cependant, malgré son importance, le traité ne présente qu'une partie limitée — mais significative — des avancées mathématiques de Newton jusqu'alors, reflétant la possible nature occasionnelle de sa rédaction initiale. Curieusement, le terme « fluxion », associé à la « théorie des fluxions », n'apparaît pas dans ce traité, et celui-ci n'offre pas une exposition systématique de la théorie, ce qui, selon PANZA 2012 et GUICCIARDINI 1989, démontre que la conception mathématique newtonienne des « fluxions » (et donc du calcul infinitésimal) n'a pas été immuable ou ponctuelle dans sa production académique, mais résulte d'un processus de maturation sur plusieurs années. Ce processus, amorcé dès les travaux non publiés des années 1670, trouve une formulation plus explicite dans le *De Quadratura*, qui synthétise une version mûrie de la méthode et témoigne de son évolution au fil du temps sous la plume de Newton. L'impact de cette publication a donc été limité, en grande partie à cause de sa présentation fragmentée, contrastant avec les développements plus systématiques et notés promus par les adeptes de Leibniz (PANZA 1999).

En 1727, à l'âge de 84 ans, après avoir présidé la *Royal Society* pendant plus de deux décennies et consacré ses dernières années non plus à la science, mais à des études alchimiques et théologiques (auxquelles il appliquait la même rigueur), Newton meurt à Londres, sans jamais s'être marié ni avoir laissé d'héritiers. Ses funérailles furent un événement grandiose, organisées à l'Abbaye de Westminster, où il fut inhumé aux côtés d'autres figures illustres de l'histoire britannique.
### 1.2.2 Les publications posthumes de Newton et leur impact sur la communauté académique

En 1736, John Colson édite, traduit et publie le traité *The Method of Fluxions and Infinite Series; with an Application to the Geometry of Curves-lines* (*De Methodis*), rédigé initialement en 1671. La publication posthume de cette œuvre peut être perçue comme un reflet de la réticence de Newton à dif-fuser ses idées. Le manuscrit de Newton circulait auparavant dans des cercles restreints de mathématiciens britanniques, de sorte que la majorité des résul-tats et des méthodes présentés dans ce traité étaient déjà connus. Néanmoins, sa publication formelle a élargi l'accès à ses conceptions sur les « fluxions », car l'œuvre cherche à résoudre des problèmes liés à la quadrature des courbes et à la génération de formes géométriques par le biais des « fluxions ». Cepen-dant, l'impact de cette publication peut être considéré comme ayant produit des effets ambigus. D'une part, l'œuvre a renforcé la réputation de Newton en tant que mathématicien de premier plan et a fourni une ressource importante pour les partisans de ses idées. D'autre part, elle a été confrontée à un contexte où le formalisme de Leibniz et de ses adeptes dominait déjà la mathématique continentale. Cela a limité la réception immédiate du traité en dehors de la Grande-Bretagne (PANZA 1999).

Il convient de noter que le *De Methodis* a été traduit en français par Buf-fon en 1740. Cette traduction a marqué un moment important dans la diffu-sion des idées de Newton en France, où le débat entre les newtoniens et les cartésiens battait son plein. Le contexte français était dominé par l'influence du cartésianisme, qui prônait la vision des tourbillons comme explication des phénomènes célestes et une approche mécaniste de la physique. Cependant, un groupe émergent d'intellectuels français, dont Maupertuis, Voltaire et Madame du Châtelet, était de plus en plus attiré par les théories newtoniennes, en par-
ticulier par la gravitation universelle. La traduction française du *De Methodis*
a été un pas stratégique dans ce mouvement, car elle fournissait à la commu-
nauté scientifique française un accès direct à la méthode analytique de Newton,
soutenant les arguments en faveur d'une cosmologie fondée sur la gravitation.
Buffon, en apportant ce texte au public français, a renforcé l'arsenal théorique
des défenseurs de Newton, qui utilisaient à la fois la clarté mathématique et
les résultats expérimentaux pour confronter les bases spéculatives du carté-
sianisme. L'œuvre a joué un rôle significatif dans les discussions scientifiques
en France, facilitant l'acceptation progressive du paradigme newtonien. Une
traduction en latin, réalisée en 1744 par Castiglione, a eu un impact plus tech-
nique et était destinée à un public académique européen plus large, le latin
étant encore la lingua franca de la science à l'époque. Alors que la traduc-
tion française de Buffon visait à élargir la réception et la légitimation cultu-
relle des idées newtoniennes, la version latine se concentrait sur l'établissement
du méthode des fluxions comme un outil rigoureux pour les mathématiciens
et les philosophes naturels. Cette traduction latine a également contribué au
dialogue entre différentes traditions scientifiques, notamment entre les écoles
britanniques et continentales. De plus, la version latine a facilité la diffusion
des idées de Newton dans des régions où le français avait moins d'influence
culturelle, comme l'Allemagne et l'Italie, permettant à des mathématiciens tels
qu'Euler et Bernoulli de bénéficier des techniques décrites dans le *De Methodis*
(PANZA 1999).

Déjà en 1742, le *Treatise of Fluxions*, de Colin Maclaurin, a été publié.
Ce traité a été élaboré dans le but de consolider et de défendre les méthodes
newtoniennes dans le domaine du calcul infinitésimal, dans le contexte d'une
forte rivalité entre les traditions mathématiques britanniques et continentales.
L'œuvre abordait de manière systématique la théorie des fluxions de Newton,
cherchant à répondre aux critiques formulées par Berkeley sur le manque de
rigueur dans les fondements mathématiques du calcul. MACLAURIN, bien que
novateur dans son approche, reste fidèle aux conceptions newtoniennes, met-
tant l'accent sur la géométrie et le formalisme des « fluxions ». L'impact de
cette œuvre a été significatif en Grande-Bretagne, où elle est devenue une ré-
férence pour l'enseignement, mais, comme beaucoup d'autres travaux sur les
méthodes newtoniennes, sa portée a été limitée sur le continent. En effet, la no-
tation et les méthodes leibniziennes s'étaient déjà imposées et étaient préférées
par la communauté scientifique continentale.

1.3 La naissance, les premières années et les premières études de Robins

Les détails relatifs à la naissance et à la jeunesse de Benjamin Robins sont
peu nombreux et proviennent en grande partie du récit biographique inséré par
James Wilson dans l'édition de 1805 du *New Principles of Gunnery* (ROBINS
1805). Robins naît en 1707 dans une famille modeste du comté de Devon, en
Angleterre. D'origine quaker, il fut éduqué dans une atmosphère de rigueur
morale et de simplicité, mais également d'ouverture intellectuelle, typique de
certaines communautés dissidentes britanniques du XVIIIe siècle.

Très tôt, son talent pour les mathématiques se manifeste avec éclat. N'ayant
pas reçu une formation universitaire classique, Robins suit une voie atypique :
selon Wilson, il fut placé en apprentissage chez un ingénieur à Londres, où il
fut chargé de tâches techniques liées à la construction. Ce contexte pratique
lui permit de développer une compréhension directe des phénomènes méca-
niques, tout en nourrissant un goût marqué pour les fondements théoriques
de la physique. En autodidacte passionné, il s'engage alors dans l'étude inten-
sive des ouvrages de Newton, de Descartes, mais aussi des auteurs continen-
taux contemporains. Il est également probable qu'il ait été influencé par des
figures comme John Keill (1671-1721) ou William Whiston (1667-1752), qui œuvraient à diffuser la philosophie newtonienne à Cambridge et à Oxford à la même époque.

Bien que Robins n'ait jamais fréquenté d'université, son esprit critique et sa capacité à manipuler avec habileté les outils mathématiques le distinguent rapidement parmi ses pairs. Son entrée dans les cercles savants londoniens se fait progressivement à travers ses premiers écrits, notamment dans les revues spécialisées et dans des correspondances savantes, où il défend des positions originales sur la dynamique des corps et la résistance de l'air. C'est à cette époque que son nom commence à circuler dans les milieux scientifiques, en particulier auprès des membres de la Royal Society.

## 1.4 Le contact de Robins avec les travaux et la méthode newtonienne

L'œuvre de Robins se situe explicitement dans le sillage de la philosophie naturelle newtonienne, qu'il adopte tout en la prolongeant dans un champ jusqu'alors peu exploré avec rigueur : l'artillerie. Ses lectures des *Principia* et de l'*Opticks* le convainquent de la puissance heuristique des méthodes mathématiques appliquées à l'étude des phénomènes mécaniques. Toutefois, à la différence de nombreux disciples de Newton qui s'en tenaient à des exégèses théoriques ou métaphysiques, Robins met l'accent sur une approche résolument expérimentale, dans l'esprit des méthodes inductives défendues par Newton lui-même dans les *Règles du raisonnement philosophique*.

Dans ses premières publications — notamment son essai sur la résistance de l'air dans les *Philosophical Transactions* — Robins applique les principes fondamentaux de la dynamique newtonienne à des cas concrets de balistique. Il critique ouvertement les modèles antérieurs fondés sur des approximations
grossières, et introduit une méthode fondée sur l'observation rigoureuse, la quantification précise et la modélisation mathématique. Cette démarche témoigne d'un effort remarquable d'actualisation de l'héritage newtonien dans un cadre technologique et militaire, anticipant par là même certaines démarches typiques de la science appliquée moderne.

Robins revendique également l'héritage newtonien dans sa critique de la physique cartésienne, notamment à travers ses oppositions à certaines conceptions sur les tourbillons et sur la nature du vide. En cela, il participe pleinement à la consolidation du paradigme newtonien en Angleterre, dans un contexte où celui-ci restait parfois encore contesté sur le continent.

## 1.5 Les travaux académiques et les activités professionnelles de Robins

L'activité académique de Benjamin Robins se caractérise par une série d'écrits scientifiques et techniques couvrant un éventail de sujets allant de la balistique à la défense du calcul newtonien. Bien avant la publication de son œuvre majeure, Robins rédige plusieurs textes significatifs. En 1735, il publie *A Discourse Concerning the Nature and Certainty of Sir Isaac Newton's Methods of Fluxions and of Prime and Ultimate Ratios*, dans lequel il défend la rigueur des fondements mathématiques du calcul différentiel face aux critiques formulées par George Berkeley. Cette même année, il fait paraître un *Proposal for Increasing the Strength of the British Infantry*, reflet de son intérêt pour l'organisation militaire. Il s'exprime aussi dans des ouvrages comme *Remarks on Mr. Euler's Treatise of Motion*, où il formule des critiques adressées au célèbre savant suisse, ou encore dans des rapports expérimentaux comme *An Account of the Principal Experiments and Observations on the Force of Gunpowder*.

En 1742, Robins publie son traité le plus connu, le *New Principles of Gun-
nery, synthèse de ses recherches sur la balistique, la résistance de l'air et la force de la poudre. L'un des éléments marquants de cet ouvrage est l'introduction du pendule balistique, un instrument qu'il conçoit afin de mesurer empiriquement la vitesse des projectiles. Grâce à cet outil, il réalise des expériences précises qui permettent de remettre en question les hypothèses classiques alors dominantes, en particulier celles qui négligeaient l'effet de la résistance de l'air. Ce traité, lu à la Royal Society en 1743, contribue grandement à sa reconnaissance dans les milieux savants.

Outre ses travaux théoriques, Robins exerce également une activité pratique en tant qu'ingénieur militaire. En 1749, il est invité par la Compagnie des Indes orientales à superviser la modernisation des fortifications britanniques en Inde. Il accepte cette mission mais décède peu après son arrivée à Madras en 1751, sans avoir pu mener à bien l'ensemble du projet.

Membre actif de la Royal Society, Robins participe à plusieurs commissions portant sur l'analyse des performances des armes et des effets des explosions. Son influence dépasse les frontières de l'Angleterre, notamment grâce à la tra-duction et l'annotation de son traité par Leonhard Euler, qui contribue à dif-fuser ses idées dans les milieux scientifiques européens (STEELE 1994; EULER 1765).

L'œuvre de Robins constitue une étape importante dans la formalisation mathématique des phénomènes liés à l'artillerie. Par son insistance sur la ri-gueur expérimentale, l'usage des mathématiques et l'application aux réalités techniques de son temps, il joue un rôle clé dans l'émergence d'une science balistique moderne.
# Chapitre 2

## Le calcul des fluxions de Newton

Bien que l'on puisse considérer que l'objet principal de cette dissertation réside dans l'analyse du *New Principles of Gunnery* — œuvre qui constitue, du moins en termes de réception, la contribution la plus significative de Benjamin Robins à la philosophie des mathématiques et de la physique —, le chapitre suivant sera consacré à une enquête plus restreinte : la démonstration de la Proposition XI du *Treatise of Quadratures*, rédigée par Robins en dialogue direct avec la méthode des fluxions de Newton. Pour comprendre pleinement cet exercice mathématique, il est nécessaire de présenter au préalable les fondements conceptuels de la théorie des fluxions. Tel est précisément l'objectif du présent chapitre : offrir au lecteur une exposition claire et accessible de la méthode newtonienne, afin de préparer le terrain à l'analyse technique développée au chapitre 3. En outre, cette introduction peut également éclairer d'autres passages de l'œuvre de Robins — y compris dans le *New Principles of Gunnery* — dans lesquels le vocabulaire ou la structure du raisonnement mathématique semblent encore marqués par l'influence du calcul des fluxions.
## 2.1 Une exposition sur l'origine du calcul des fluxions

La philosophie naturelle newtonienne a commencé à se répandre en Europe au début du XVIIIe siècle, notamment en Grande-Bretagne, après la publication des *Principia*. Dans ce processus a été limité car, outre son absence même de la mention directe des « fluxions » dans la *Principia*, son caractère technique n'a pas attiré un public intéressé par des discussions plus générales sur la « philosophie naturelle » et pas nécessairement par des débats mathématiques plus approfondis (GUICCIARDINI 1989), comme nous l'avons expliqué plus en détail dans la section 1.2.1. Jusqu'à la fin du XVIIe siècle, la connaissance du calcul newtonien était limitée aux correspondants de Newton, tels que Collins, Oldenburg et Wallis, et ne circulait que sous forme de manuscrits. Dans ce contexte, il convient de souligner l'existence d'une lettre contenant une esquisse de la première version de la théorie des fluxions, que Newton a envoyée à WALLIS et qui a été publiée plus tard sous forme d'excerptus dans l'édition latine de son traité d'algèbre en 1693¹. Le contenu de cette lettre consistait essentiellement en une première élaboration des concepts exposés dans le *De Quadratura*. Le manuscrit *De Analysis*, quant à lui, comme nous le savons, a probablement été préparé dans le but de s'assurer qu'il donnait la priorité à l'invention d'une méthode générale pour les séries infinies. Il a d'abord circulé sous forme manuscrite et n'a été publié qu'en 1711 par William Jones. Les premières recherches de Newton sur les *fluxions*, qui ne s'appelaient pas encore *fluxions*, datent donc de la période comprise entre la fin de 1663 et l'automne 1666 (WHITESIDE 1967; PANZA 1999; PANZA 2012).

Seules quelques personnes, comme Craige, Fatio et David Gregory, ont eu

<footnote n="1">1. Cf. WALLIS 1693, cap. XCV, p. 390-396.</footnote>
accès à ces ouvrages et ont pu les comprendre partiellement. Les premières tentatives de systématisation de la méthode des fluxions (que nous pouvons comprendre ici comme le calcul infinitésimal) dans des traités sont le fait d'auteurs comme Cheyne (1703) et Hayes (1704), qui s'appuient sur des sources telles que des *Acta Eruditorum* et le *Analyse de L'Hospital* (1696) (GUICCIARDINI 1989).

Le *De Analysi* traitait des courbures et des quadratures à l'aide de séries infinies, présentant Newton à des mathématiciens renommés au-delà de Cambridge. Contrairement aux approches géométriques habituelles de l'époque, Newton a utilisé les séries infinies et le binôme pour résoudre ces problèmes, se distinguant ainsi par son approche physico-mathématique (ZEFERINO JUNIOR 2021; DEAR 2001).

La diffusion réalisée par Collins et Barrow contribua à populariser la méthode de Newton. Toutefois, (comme indiqué dans la section 1.2.1) Newton ne souhaitait pas publier ses travaux sous leur forme initiale, préférant s'atteler à la rédaction d'un traité plus complet, le *Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum* (plus tard traduit par John Colson sous le titre *The Method of Fluxions and Infinite Series* (NEWTON et COLSON 1736)), achevé en 1671 mais publié seulement en 1736. Cet ouvrage proposait davantage d'exemples et une structure pédagogique, incluant la relation entre les fluxions et les séries infinies. Il convient également de noter que, selon PANZA 2012, c'est dans cet ouvrage que le terme « fluxions » apparaît pour la première fois.

Enfin, nous pouvons constater que *De Methodis* est donc un jalon dans la compréhension et la diffusion de la méthode des fluxions, en raison de sa rigueur théorique et de sa plus grande clarté méthodologique, mettant en évidence l'évolution des idées de Newton entre ces deux ouvrages.
## 2.2 Comprendre la Méthode des Fluxions

### 2.2.1 À propos des concepts de *fluentes* et de *fluxions*

Dans la méthode newtonienne, les grandeurs variables sont appelées *fluentes*. Il s'agit de quantités qui croissent ou décroissent continûment au fil du temps, comme la distance parcourue par un corps en mouvement ou la surface balayée par un rayon tournant. Newton conçoit ces fluentes non pas comme des entités abstraites, mais comme des grandeurs générées dynamiquement, issues de processus continus, souvent liés à des lois physiques telles que le mouvement ou la force. Ce cadre reflète une vision profondément cinématique de la nature, dans laquelle les quantités mathématiques émergent de phénomènes physiques en devenir (GUICCIARDINI 1989; PANZA 2012).

La *fluxion* d'une fluente est, chez Newton, la grandeur qui exprime sa vitesse de variation à un instant donné. Elle ne correspond pas encore à la dérivée, au sens rigoureux qu'adoptera plus tard le calcul différentiel leibnizien, mais désigne un accroissement infinitésimal, une variation naissante. Newton introduit cette notion pour rendre compte des transformations instantanées des fluentes, en particulier lorsqu'elles sont impliquées dans des relations géométriques ou mécaniques. Ainsi, si la fluente représente la quantité elle-même — comme une position, une aire ou un volume variable —, la fluxion correspond à son changement instantané, c'est-à-dire à la manière dont cette quantité évolue dans le temps.

Par exemple, la « fluxion d'un fluente » représentant une distance serait sa vitesse instantanée, et le fluxion d'une vitesse représenterait son accélération (GUICCIARDINI 1989). Ce cadre théorique a permis de réinterpréter les lois naturelles dans un langage unifié et rigoureux, en reliant des concepts physiques tels que la force et le mouvement à des structures mathématiques précises.
En outre, la méthode des fluxions reposait sur une forte intuition des limites et des approximations infinitésimales, fournissant ainsi une base pour la ré-solution d'équations différentielles complexes et la modélisation de systèmes dynamiques (GUICCIARDINI 1989).

## 2.2.2 Exemples de la Méthode des Fluxions

### 2.2.2.1 1er exemple

Imaginons un point quelconque $P$, qui, en se déplaçant, trace une courbe. Sur cette courbe, nous superposons un plan cartésien. De sorte que l'origine de cette courbe, c'est-à-dire l'instant initial du mouvement du point $P$ marqué à l'extrémité de la courbe, coïncide avec l'origine du plan cartésien (c'est-à-dire la coordonnée $(0,0)$). Il est très important de préciser que, conceptuellement, pour Newton, la courbe précède le plan. En effet, la courbe exprime le mouvement d'un corps donné dans le temps, c'est-à-dire que, pour lui, la courbe est le résultat du mouvement dynamique d'un corps, tandis que le plan peut être considéré comme un artifice mathématique utilisé pour analyser ce mouvement. Et c'est précisément pour cette raison que l'origine du plan coïncide avec l'origine de la courbe.

Une fois le plan défini, ce point $P$ peut être identifié par ses coordonnées par rapport aux axes $x$ et $y$. Comme $P$ est un point mobile, chaque instant de son mouvement sur la courbe exprimera une position différente par rapport aux axes, positions qui, à chaque moment spécifique, peuvent être notées $x_t$ et $y_t$. Ainsi, puisqu'il s'agit d'une courbe et non d'une ligne droite, les vitesses ponctuelles à tout moment du mouvement de $P$ seront constantes pour $x$ et variables pour $y$. Ces vitesses sont donc des *fluentes*, car elles évoluent dans le temps. Les taux de variation de $x$ et $y$ sont quant à eux les *fluxions*.

Considérons un certain instant $t$, correspondant à un moment du mouvement.
ment du point P sur la courbe. À cet instant, la coordonnée $x$ du point a changé d'une quantité $\dot{x}t$, où $\dot{x}$ est la fluxion de $x$, exprimant sa vitesse de variation. De la même manière, la coordonnée $y$ changera d'une quantité $\dot{y}t$. Bien que la vitesse de variation de $y$ soit variable, on peut, pour un intervalle de temps $t$ suffisamment petit, la considérer comme constante, ce qui permet de traiter les fluxions $\dot{x}$ et $\dot{y}$ comme des valeurs constantes pendant cet intervalle. Supposons à présent que la courbe décrite par ce mouvement soit telle que, à tout instant, la position en $y$ du point P soit égale au carré de sa position en $x$, c'est-à-dire $y = x^2$.<fnref n="2" />

En remplaçant alors $x$ par $x + \dot{x}t$ et $y$ par $y + \dot{y}t$ dans la relation de mouvement $y = x^2$, nous obtenons :

$$y + \dot{y}t = (x + \dot{x}t)^2 \qquad (2.1)$$

En développant le binôme, nous obtenons :

$$y + \dot{y}t = x^2 + 2x\dot{x}t + (\dot{x}t)^2 \qquad (2.2)$$

En considérant que nous savons que $y = x^2$, et en divisant toute l'expression par $t$, nous obtenons :

$$\dot{y} = 2x\dot{x} + \dot{x}^2t \qquad (2.3)$$

En appliquant la notion selon laquelle $t = 0$, nous obtenons :

$$\dot{y} = 2x\dot{x} \qquad (2.4)$$

Si nous divisons la fluxion de $y$ par celle de $x$, nous obtenons le taux de variation de $y$ par rapport à $x$ : $\frac{\dot{y}}{\dot{x}}$. Le sens géométrique de ce rapport mesure

<footnote n="2">2. Cet exemple est basé sur une exécution similaire développée dans KILHIAN 2022.</footnote>
« l'inclinaison de la tangente » à une courbe au point P, où « l'inclinaison » représente la proportion selon laquelle la droite s'élève en ce point.

Ainsi, pour la parabole $y = x^2$, nous trouvons que la relation entre les deux fluxions est donnée par :

$$ \frac{\dot{y}}{\dot{x}} = 2x \qquad (2.5) $$

Cela signifie que pour chaque instant du point P sur la courbe, il y aura une ligne tangente au point à cet instant, dont la pente sera égale à deux fois la valeur de la coordonnée $x$ en ce point, c'est-à-dire que le coefficient angulaire de la tangente à la courbe au point P sera $2x_t$ (voir 2.1)<fnref n="3" />.

Cette méthode permet, entre autres, de résoudre ce que l'on appelait à l'époque le problème de la tangente, c'est-à-dire déterminer l'inclinaison d'une droite tangente à une courbe en un point donné. Newton montre que ce problème peut être traité par le calcul des fluxions : connaître la fluxion d'un fluente revient à connaître la pente de la tangente à la courbe qu'il décrit.<fnref n="4" />

L'importance de cette méthode réside dans le fait que Newton a ainsi conçu un algorithme, un mécanisme mathématique général permettant de déterminer le taux de variation de pratiquement toute relation exprimée sous forme de polynôme. La démonstration ci-dessus, comme nous l'avons déjà noté, est un exemple restreint de cet algorithme, mais il peut évidemment être utilisé pour d'autres relations<fnref n="5" />.

<footnote n="3">3. En notation contemporaine, l'équation de la tangente serait donnée par $y - y_t = 2x_t(x - x_t)$.</footnote>

<footnote n="4">4. Aujourd'hui, nous appelons ce processus *différentiation*, et la *fluxion* d'une *fonction* est ce que nous appelons la *dérivée*.</footnote>

<footnote n="5">5. Par exemple, en appliquant la méthode des fluxions à la relation $y = 3x^4 - 2x^3 + x - 5$, nous obtenons $\dot{y} = (12x^3 - 6x^2 + 1)\dot{x}$.</footnote>
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2.1 – Représentation géométrique de la Méthode des Fluxions de Newton appliquée à la parabole $y = x^2$. L'inclinaison des tangentes en des points spécifiques illustre le rapport entre les fluxions $\frac{\dot{y}}{\dot{x}}$.</figcaption></figure>

### 2.2.2.2 2ème exemple

Prenons maintenant comme exemple un cas général décrit par Newton dans la solution du problème 1 *The Method of Fluxions* (en nous basant sur certains commentaires concernant la résolution de ce problème dans ZEFERINO JUNIOR 2021, p. 56) : « La relation des quantités fluentes entre elles étant donnée, déterminer la relation de leurs fluxions » <fnref n="6" />.

Pour cet exemple, Newton propose une méthode de résolution systématique pour déterminer les fluxions à partir d'une équation algébrique entre fluentes. Le texte original de sa solution, présenté à la figure 2.2, sert de base pour illustrer ce procédé, qui sera détaillé dans les paragraphes suivants.

<footnote n="6">6. Traduit librement de l'original : *The Relation of the Flowing Quantities to one another being given, to determine the Relation of their Fluxions*.</footnote>
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 2.2 – « Problème 1 » tel qu’il a été représenté originellement dans NEWTON et COLSON 1736.</figcaption></figure>

Le problème consiste à trouver les relations entre les fluxions de $x$ et $y$, à partir de l'équation donnée $x^3 - ax^2 + ay - y^3 = 0$.

Multiplier chacun des termes de cette équation par une valeur proportionnelle à son « degré » algébrique, puis par une expression liée à sa variation. Newton ne précise pas exactement ce qu'il entend par cette procédure, mais Colson (NEWTON et COLSON 1736, p. 242) la décrit comme reposant sur une forme de progression arithmétique. Cette progression correspond, dans les cas simples, à une multiplication par le nombre qui reflète l'ordre de la grandeur fluente dans le terme donné — ce que nous pourrions aujourd'hui assimiler au degré de la variable dans l'expression. Ainsi, $x^3$ est traité comme associé au facteur 3, $x^2$ au facteur 2, etc. Cette méthode, bien que formulée sans notre notation algébrique moderne, revient à appliquer une règle systématique
pour déterminer la contribution de chaque fluente à la variation globale de l'équation <fnref n="7" />. Ainsi, pour l'équation $x^3 - ax^2 + axy - y^3 = 0$, la progression des exposants de $x$ est (3, 2, 1, 0), tandis que pour $y$, la progression de ses exposants est (0, 1, 2, 3).

Alors :

$$x^3 \times (3) \times \left(\frac{\dot{x}}{x}\right) - ax^2 \times (2) \times \left(\frac{\dot{x}}{x}\right) + axy \times (1) \times \left(\frac{\dot{x}}{x}\right) + axy \times (1) \times \left(\frac{\dot{y}}{y}\right) - y^3 \times (3) \times \left(\frac{\dot{y}}{y}\right) = 0 \quad (2.6)$$

En organisant l'équation, on obtient :

$$x^2 \times (3\dot{x}) - ax \times (2\dot{x}) + ay \times (\dot{x}) + ax \times (\dot{y}) \times (3\dot{y}) = 0 \quad (2.7)$$

En réorganisant les termes, nous arrivons à $3\dot{x}x^2 - 2a\dot{x}x + a\dot{y}x + a\dot{y}x - 3\dot{y}y^2 = 0$, « équation qui fournit la relation entre les fluxions $\dot{x}$ et $\dot{y}$ (NEWTON et COLSON 1736, p. 21, traduction propre) ». Cette relation est indiquée dans la partie inférieure de la 2.2 comme $\dot{x} : \dot{y} :: 3y^2 - ax : 3x^2 - 2ax + ay^8$.

<footnote n="7">7. Comme le souligne ZEFERINO JUNIOR 2021 dans son analyse, Dans le cas de $x^3$, on peut comprendre de manière générale $x^{n+1}$ comme ayant pour indices $n(1, 2, 3, ..., n+1)$, les nombres correspondant à la progression. Par exemple, pour $x^3$, le produit entre le polynôme $x^3$ et sa progression correspondante (dans ce cas 3), puis par sa fluxion, est donné par $(\frac{\dot{x}}{x})$. Cela nous conduit à $x^3 \times (3) \times (\frac{\dot{x}}{x})$, ou, comme présenté dans l'ouvrage, $x^3 \times (\frac{3\dot{x}}{x})$. Pour des explications plus approfondies sur les progressions arithmétiques utilisées par Newton dans le *The Method of Fluxions*, consulter les commentaires de Colson NEWTON et COLSON 1736, p. 171-276.</footnote>

<footnote n="8">8. Allant au-delà de l'exemple donné par Newton, nous pouvons exprimer cette équation de manière un peu plus claire, en séparant les fluxions : $\dot{x}(3x^2 - 2ax + ay) = \dot{y}(3y^2 - ax)$. De là, nous obtenons alors : $\frac{\dot{x}}{\dot{y}} = \frac{3x^2 - 2ax + ay}{3y^2 - ax}$.</footnote>
# Chapitre 3

## Robins, un ingénieur et
mathématicien newtonien

Tout au long de ce chapitre, nous chercherons à mettre en lumière la relation de Benjamin Robins à l'œuvre d'Isaac Newton, tant sur le plan technique que sur le plan philosophique. Robins peut être compris comme un auteur qui, bien que proposant des approches originales, demeure profondément ancré dans le cadre conceptuel newtonien. Le choix d'analyser sa *Démonstration de la onzième Proposition du Treatise of Quadratures* vise précisément à illustrer ce lien : il s'agit d'un écrit concis, mais révélateur de la manière dont Robins comprend, développe et réinterprète les fondements du calcul des fluxions proposé par Newton. Cette analyse n'a donc pas pour ambition d'épuiser la relation entre les deux auteurs, mais d'offrir un exemple particulièrement clair de la manière dont Robins s'inscrit — de façon critique, mais respectueuse — dans la tradition newtonienne.
## 3.1 Une analyse de l’œuvre *A Demonstration of the 11th Proposition of Sir Isaac Newton’s Treatise of Quadratures*

### 3.1.1 La Proposition XI du *Treatise of Quadratures* :
contenu et structure

#### 3.1.1.1 Construction géométrique et enchaînement des quadratures

La Proposition XI, présente dans le *Treatise of Quadratures* de NEWTON, propose une méthode générale pour l'obtention des aires sous les courbes, à partir de quadratures successives. Elle part d'une courbe quelconque *ADI*, avec abscisse *AB* = *z* et ordonnée *BD* = *y*, et introduit une chaîne de courbes dérivées, chacune représentant l'aire accumulée sous la courbe précédente, divisée par une constante unitaire.

Cette construction géométrique suit la progression suivante :

- La seconde courbe *AEKC* a pour ordonnée *BE*, égale à l'aire de la première courbe *ABD*;

- La troisième courbe *AFLC* a pour ordonnée *BF*, égale à l'aire de la courbe précédente *AEB*;

- La quatrième courbe *AGMC* a pour ordonnée *BG*, égale à l'aire de *AFB*, et ainsi de suite;

- Cette progression s'étend indéfiniment, générant des courbes telles que *AHNC*, *AIQC*, etc.

Avant de développer l'analyse combinatoire de ces courbes, Newton propose une formulation algébrique des aires successives obtenues par quadrature. À partir d'une courbe initiale dont l'ordonnée est *y*, il associe à chaque courbe
suivante une expression polynomiale dont les coefficients, notés $A, B, C, D, \dots$, seront définis plus loin comme des intégrales successives de $y$. Les aires successives associées aux courbes $AEKC, AFLC, AGMC, \dots$, que Newton introduit comme résultant de quadratures itérées, peuvent être exprimées algébriquement à l'aide de polynômes en $t$, où $t$ désigne l'abscisse finale considérée. Chaque aire est notée en fonction d'un ensemble de coefficients $A, B, C, D, \dots$, correspondant aux fluentes précédentes (ou aires précédentes) dans la chaîne des courbes. Ces expressions prennent la forme suivante :

$$ 
\begin{align*} 
AEKC &= tA - B \\ 
AFLC &= \frac{t^2A - 2tB + C}{2} \\ 
AGMC &= \frac{t^3A - 3t^2B + 3tC - D}{6} \\ 
\dots 
\end{align*} 
$$

Cette écriture illustre une régularité formelle combinatoire, analogue à celle que l'on rencontre dans le développement du binôme de Newton. Nous analyserons cette structure plus en détail dans la section suivante.

### 3.1.1.2 Séries algébriques, fluxions et structure de la proposition

Comme le remarque WHITESIDE, cette proposition reprend une version matinuscrite antérieure, datée de 1693 (WHITESIDE, p. 550-552), à laquelle Newton ajoute en 1704 un *Corolarium* et un *Scholium* final portant des implications importantes sur le calcul des fluxions et leur application aux quadratures.

Dans le *Scholium*, Newton considère le développement d'une quantité fluente $z$, soumise à un petit accroissement $o$. En appliquant cet accroissement à une puissance fluente $z^n$, il obtient le développement en série de $(z+o)^n$, qui prend
la forme suivante :

$$ (z + o)^n = z^n + noz^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}o^2z^{n-2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}o^3z^{n-3} + \dots $$

Cette série exprime comment la fluente $z^n$ varie sous l'effet d'un accroissement infinitésimal. Les termes successifs de la série représentent les incréments d'ordre supérieur, associés aux fluxions de première, deuxième, troisième ordre, etc.

Cette série n'est pas purement algébrique — elle représente géométriquement la relation entre les courbes et leurs aires : la quantité fluente est l'aire accumulée sous une courbe ; sa première fluxion est l'ordonnée de la courbe précédente ; et la seconde fluxion correspond à la courbe encore antérieure, et ainsi de suite.

Ainsi, les courbes construites successivement, telles que ADIC, AEKC, AFLC, AGMC, représentent des aires successives obtenues par quadrature. À partir d'une courbe initiale donnée, dont l'ordonnée est BD, Newton construit la courbe suivante BE, dont l'ordonnée représente l'aire sous BD, puis la courbe BF, aire sous BE, et ainsi de suite. Ce processus peut être interprété, dans le cadre de la méthode des fluxions, comme une hiérarchie inverse de dérivaions : la première fluxion de la fluente BE est BD, la première fluxion de la fluente BF est BE, et ainsi de suite.

De manière générale, les ordonnées des courbes BD, BE, BF, BG, ... peuvent être vues, respectivement, comme les fluxions d'ordre croissant d'une même quantité fluente, notée ici BH. Cette lecture permet de reconstituer, à partir de l'objet initial BD, une structure ascendante de fluentes successives, chacune engendrée par quadrature.

— Si BD est l'ordonnée initiale, elle peut être interprétée comme la première fluxion de la fluente BE ;
— *BE*, à son tour, est la première fluxion de *BF*, et la seconde fluxion de *BF* est donc *BD*;

— En général, les ordonnées *BD*, *BE*, *BF*, *BG* représentent, respectivement, les fluxions de premier, second, troisième et quatrième ordre d'une même fluente *BH*.

Comme le souligne WHITESIDE 1981 (note de bas de page 43, p. 151), la version imprimée de cette proposition, telle qu'exprimée dans le *De Quadratura Curvarum* de 1704, est presque identique à celle de 1693, mais c'est dans celle-ci que Newton introduit pour la première fois une justification explicite de ce processus de quadratures successives — en le reliant formellement au calcul des fluxions. C'est dans ce contexte qu'il insère le *Corolarium* ajouté, dans lequel Newton affirme que, si les courbes d'ordonnées *y*, *zy*, *z²y*, *z³y*, ... sont quadrables, alors les courbes *ADIC*, *AEKC*, *AFLC*, ... le seront également, et les ordonnées résultantes (*BE*, *BF*, *BG*, ...) seront proportionnelles à leurs aires respectives.

Par conséquent, le cœur de la Proposition XI ne réside pas seulement dans la génération de courbes par quadrature, mais dans la construction d'une hiérarchie algébrique et géométrique des fluxions — une tentative de formaliser, par la géométrie, une structure générale pour le calcul des quantités fluentes et de leurs dérivées. Cette structure constituera précisément le point de départ de l'interprétation et de la systématisation proposée par Benjamin Robins, comme nous le verrons dans la section suivante.

### 3.1.2 La démonstration de Robins

La Proposition XI du *Treatise of Quadratures*, comme nous l'avons vu, vise à établir une méthode générale de quadratures successives, dans laquelle chaque courbe représente l'aire accumulée sous la précédente. Toutefois, l'énoncé de la proposition et sa démonstration par Newton restent en grande partie géo-
métriques et implicites sur le plan algébrique.

C'est précisément à cette proposition que Robins consacre son texte *A Demonstration of the 11th Proposition of Sir Isaac Newton's Treatise of Quadratures*. Sa contribution ne consiste donc pas à la répéter, mais à en proposer une interprétation rigoureuse à l'aide du calcul des fluxions, en révélant la structure de récurrence qui sous-tend la génération des courbes et de leurs aires. Robins cherche ainsi à formaliser ce que Newton avait laissé sous forme de figures et d'intuitions, en en explicitant les fondements algébriques et intégrals. Tandis que Newton décrit une hiérarchie de courbes dont les ordonnées représentent des aires accumulées, Robins interprète cette construction comme une suite gouvernée par une structure de récurrence précise — structure qu'il cherche à démontrer à l'aide du langage des fluxions.

### 3.1.2.1 Structure de la démonstration : régularité et récurrence

La démonstration de Robins commence par une configuration semblable à celle de Newton, avec une courbe d'abscisse $z$ et d'ordonnée $y$, dont l'aire sous la courbe jusqu'au point considéré est notée $a$. À partir de là, Robins introduit une suite de nouvelles courbes dont les ordonnées sont $zy, z^2y, z^3y, \dots$, et il note les aires correspondantes par $b, c, d, \dots$, comme suit :

> « Let the Area ABD be denoted by $a$, the Area ABO by $b$, ABP by $c$, ABQ by $d$, and ABK by $e$. » (ROBINS, p. 230)

Robins s'appuie alors sur une règle fondamentale du calcul des fluxions : la fluxion d'une aire est égale au produit de l'ordonnée de la courbe par la fluxion de l'abscisse. Si l'on suppose la fluxion de l'abscisse constante et égale à 1 (c'est-à-dire un mouvement uniforme le long de $z$), alors les fluxions des aires deviennent simplement :

$$ \dot{a} = y, \quad \dot{b} = zy, \quad \dot{c} = z^2y, \quad \dot{d} = z^3y, \quad \text{etc.} $$
Ce raisonnement permet à Robins de reconstituer les aires à partir de leurs fluxions (les « fluentes »). En intégrant ces expressions, il obtient des relations récurrentes entre les aires. Par exemple, pour la deuxième aire, il montre que :

$$z \cdot a = \text{Aire}_2 + b \quad \Rightarrow \quad \text{Aire}_2 = z \cdot a - b$$

Comme il l'écrit :

« The Fluxion of the Area ABE is $\dot{z} \cdot a$; and taking the Fluents,

$$z \cdot a = ABE + b, \text{ therefore } ABE = z \cdot a - b. \text{ » (p. 230)}$$

Pour chaque niveau d'aire successif, Robins applique la règle fondamentale du calcul des fluxions : la fluxion d'une aire est égale au produit de l'ordonnée par la fluxion de l'abscisse. En supposant que la fluxion de l'abscisse soit constante (égale à 1), les ordonnées $y, zy, z^2y, z^3y, \dots$ correspondent directement aux fluxions des aires successives $a, b, c, d, \dots$.

Ainsi :

$$\dot{a} = y \quad \Rightarrow \quad a = \int y dz$$

$$\dot{b} = zy \quad \Rightarrow \quad b = \int zy dz$$

$$\dot{c} = z^2 y \quad \Rightarrow \quad c = \int z^2 y dz$$

En intégrant ces expressions pas à pas, et en tenant compte des conditions initiales fournies par les aires précédentes, Robins construit des formules algébriques explicites pour chaque aire. Par exemple :
$$Aire_3 = \frac{z^2a - 2zb + c}{2},$$

$$Aire_4 = \frac{z^3a - 3z^2b + 3zc - d}{6},$$

$$Aire_5 = \frac{z^4a - 4z^3b + 6z^2c - 4zd + e}{24},$$

...

Ces formules illustrent la manière dont les intégrales successives sont reliées par récurrence à l'aide de coefficients combinatoires. Elles mettent en évidence une structure analogue à celle du développement du binôme, que Robins identifie comme un modèle de régularité sous-jacent au procédé de quadrature successive.

jusqu'à une expression générale de la n-ième aire :

$$Aire_n = \frac{z^n A - nz^{n-1} B + \frac{n(n-1)}{2} z^{n-2} C - \dots}{n!}$$

Ce schéma met en évidence la présence d'une *structure combinatoire immédicite*, analogue au développement du binôme de Newton, qui organise la progression des aires successives selon des règles fixes. C'est précisément cette structure que Robins considère comme un fondement rationnel du procédé de quadrature successive décrit par Newton.

### 3.1.2.2 Généralisation par changement de variable

Dans la seconde partie de sa démonstration, Robins introduit un changement de variable : il définit $x = t - z$, où $t$ est la valeur finale de l'abscisse. À partir de cette nouvelle variable, il reconstruit la suite des courbes, désormais avec des ordonnées $xy, x^2y, x^3y, \dots$, et montre que les aires associées à ces courbes suivent les mêmes formules que dans le cas précédent. Il écrit :
« Let the Absciss $AC$ be equal to $t$; and the Absciss $AB$ be equal
to $z$; then $x = t - z$... » (p. 234)

La justification est analogue : en appliquant les fluxions à la nouvelle va-
riable $x$, les intégrales successives de $x^n y$ produisent à nouveau les aires recher-
chées. À la fin de sa démonstration, Robins affirme :

« The Area of the Curve, whose Absciss is equal to $x$, and its
Ordinate to $x^n y$, taken when $x = AC$, and divided by $n(n-1)(n-2)$... continued to Unity, is equal to the Area of the Curve of the
$n^{th}$ place in the Series. » (p. 236)

Ce changement montre que la méthode proposée par Robins ne dépend pas
du choix spécifique de la variable, mais exprime une régularité structurelle plus
profonde — ce qui renforce l'idée d'une règle générale de formation.

### 3.1.2.3 Considérations sur la démonstration

La démonstration de Robins constitue à la fois une systématisation et une
généralisation de ce que Newton présente dans la Proposition XI. Tandis que
Newton établit géométriquement une hiérarchie de courbes et d'aires, sans en
expliciter la structure algébrique, Robins tente d'en fournir une démonstration
fondée sur les règles du calcul des fluxions, en exposant les relations récurrentes
qui sous-tendent la suite des aires.

Bien plus qu'une exposition didactique, la démonstration vise à montrer que
la suite des aires suit une règle de formation qui peut être exprimée de manière
universelle, à l'aide de coefficients combinatoires réguliers, analogues à ceux
rencontrés dans le développement du binôme de Newton. En ce sens, l'œuvre
de Robins anticipe un mode de raisonnement qui deviendra central dans le
calcul infinitésimal, se rapprochant des techniques de séries de puissances et
d'intégrales itérées.
D'un point de vue épistémologique, la contribution de Robins est signifi-
cative : il formalise, dans un cas spécifique, une procédure que Newton avait
laissée largement implicite, en en dévoilant la régularité sous-jacente. Sans pré-
tendre refonder le calcul des fluxions, il en propose une lecture structurée et
démontrable, qui illustre de manière exemplaire la portée analytique du modèle
newtonien.
# Chapitre 4

## Le New Principles of Gunnery

Le présent chapitre est consacré à l'analyse détaillée de l'œuvre principale de Benjamin Robins, le *New Principles of Gunnery*, examinée proposition par proposition. Bien que cette dissertation explore, dans son ensemble, différents aspects de la pensée mathématique et physique de Robins, cette section vise à présenter de manière plus systématique les fondements conceptuels, méthodologiques et expérimentaux sur lesquels l'auteur a construit sa proposition d'une science balistique. Une lecture attentive des propositions du traité permet non seulement de comprendre les liens entre théorie et pratique dans l'œuvre de Robins, mais aussi d'évaluer la manière dont il mobilise des outils mathématiques — parfois hérités de traditions antérieures, comme la méthode des fluxions de Newton — pour répondre à des problèmes concrets de son époque.

### 4.1 Sur l'estructure de le traité

La structure organisationnelle de ROBINS 1805 reflète une approche méthodologique et scientifique élaborée pour présenter et discuter ses découvertes et théories. La division méthodologique est réalisée à travers l'exposition séquentielle de propositions, étant une pratique courante dans les travaux scientifiques
et mathématiques de l'époque, suivant un modèle similaire à celui des « Élé-
ments » d'Euclide (Et également aux *Principia*). Cette approche permet une
exposition claire et logique des arguments, où chaque proposition construit sur
la précédente, facilitant la compréhension de concepts complexes de manière
structurée. Chaque proposition présente généralement un énoncé théorique ou
une loi, suivi par une démonstration ou preuve. Cette structure vise à assurer
que le lecteur puisse suivre le raisonnement de l'auteur pas à pas, compre-
nant comment chaque conclusion est atteinte à partir de prémisses claires et
logiques. Ceci est particulièrement important dans des domaines comme la
physique et les mathématiques, où la précision et la clarté de l'argumentation
sont fondamentales.

Le livre suit une structure progressant des théories fondamentales et prin-
cipes mathématiques vers leur application aux problèmes pratiques de ba-
listique, notamment la résistance de l'air et la trajectoire des projectiles. À
l'instar des *Principia*, mais avec une orientation empirique marquée, le traité
de Robins intègre des expériences pour valider ses théories, une approche alors
novatrice en science militaire. Il détaille ainsi la méthodologie employée, de la
conception des expériences à l'analyse des données.

La structure du traité peut être synthétisée de la manière suivante :

— Préface : Une introduction par Robins lui-même, expliquant les objectifs et la motivation derrière son étude ;

— Chapitre 1 : Composé de 13 propositions, il présente et développe les théories de Robins sur la poudre à canon, comme la manière de la manipuler, sa composition et sa force au moment de l'explosion à travers des notions telles que le « fluide élastique ». Il analyse également son comportement dans différents scénarios de tir, par exemple avec des billes de plomb ou du fer ;

— Chapitre 2 : Composé de 8 propositions, il traite de la résistance de l'air,
et cherche à décrire un modèle mathématique pour décrire la trajectoire
de vol des projectiles en tenant compte de cette même résistance;

— Traités subséquents : en 1805, une version du *New Principle of Gunnery*
a été publiée avec l'ajout d'autres traités subséquents écrits par Robins,
mais ils reprenant les thèmes et les propositions soulevés dans ce traité.
Charles Hutton (1737 - 1823) a inséré des traités sur des déterminations
plus précises de la force de la poudre à canon et des études sur le
pouvoir de résistance de l'air aux mouvements rapides et lents, car ils
développaient les thèmes du *New Principle*;

— Index : Un index détaillé pour aider les lecteurs à localiser des informations spécifiques dans le livre 1.

Nous pouvons également supposer que le choix de cette structure et de cette
approche méthodologique reflète le désir de Robins de fonder la science balis-
tique, en tant que branche d'étude spécifique, sur des principes scientifiques
rigoureux et des preuves expérimentales, ce qui peut être interprété comme
faisant partie d'un mouvement plus large au cours de ce que l'on appellera
plus tard le « siècle des Lumières ». On peut en déduire que la structure or-
ganisationnelle choisie a contribué à diffuser et à élargir l'accès à la science
balistique, facilitant ainsi l'adoption de ses innovations dans la pratique mi-
litaire. De plus, comme il s'agit d'un traité écrit dans un contexte historique
différent, Robins n'utilise pas le même système d'unités et de mesures (le sys-
tème métrique) que celui que nous utilisons aujourd'hui. Par conséquent, pour

<footnote n="1">1. Il est important de souligner ici que, bien qu'il puisse sembler trivial de mentionner l'index comme une partie de l'œuvre méritant d'être soulignée, ce n'était pas si commun à l'époque que les œuvres possèdent un index. La présence de cet élément nous aide à mieux étudier et comprendre l'œuvre comme un ensemble structurel d'études non seulement théoriques, mais aussi pratiques dans le domaine de la balistique qui considère non seulement la science elle-même exposée dans l'œuvre, mais aussi construit une méthodologie visant à aider à la diffusion et à une meilleure compréhension, et même à la communication, des préceptes exposés. À noter que l'importance structurelle du traité fut également reconnue par Leonhard Euler, qui traduisit et adapta l'ouvrage en allemand sous le titre *Neue Grundsätze der Artillerie*, publié en 1745. Cette traduction joua un rôle crucial dans la diffusion du traité sur le continent.</footnote>
faciliter la compréhension des analyses qui suivront dans ce travail, la table
D.1 contient un tableau de conversion des principales unités de mesure utilisées
par Robins afin de faciliter la compréhension du lecteur.

4.2 Une analyse du préface

4.2.1 Les justifications de Robins pour la rédaction du
*New Principles of Gunnery* présentées dès le début
du préface

Benjamin Robins ouvre la préface de *New Principles of Gunnery* par une réflexion personnelle sur les circonstances qui l'ont conduit à écrire cet ouvrage. Il exprime que, environ un an avant la publication du traité, il avait l'intention de proposer un cours public de « fortification et artillerie », mais, pour des raisons qu'il préfère ne pas expliciter ici, il a renoncé à cette idée. Charles Hutton insère une note explicative à propos de cette affirmation de Robins, placée dès la première phrase du préface, expliquant qu'elle fait allusion à un épisode antérieur de la vie de l'auteur. À savoir, que Robins et Muller se disputèrent un poste de professeur de fortification à la *Royal Military Academy* de Woolwich. Robins n'obtint toutefois pas ce poste. Hutton affirme que « Robbins publia ses découvertes et améliorations dans ce traité pour montrer quel genre d'homme avait été ignoré ».

Cette motivation personnelle, toutefois, ne diminue en rien, selon les af-
firmations de Robins, la rigueur de l'ouvrage. Les principes contenus dans le
traité avaient déjà été élaborés et même diffusés auprès de certains membres
des cercles les plus proches de Robins. Cependant, il explicite que, dans cet
ouvrage, ces principes ont été mis à l'épreuve par des expérimentations méticu-
leuses. Le traité a donc pour objectif principal d'étudier la force de la poudre,
en déterminant les vitesses et trajectoires des projectiles propulsés par son ex-
plosion. Il insiste de nouveau avec véhémence sur le fait que ses découvertes
sont confirmées par des expériences, ce qui confère une crédibilité indiscutable
à son travail.

4.2.2 Réflexions sur la mécanique de l'Artillerie

La partie du préface qui suit les justifications personnelles de Robins traite
de l'aspect mécanique de l'artillerie. Il s'agit de la section la plus développée
du préface, couvrant approximativement les passages situés entre les pages 5 et
39. Cette explication est structurée selon deux axes principaux, respectivement
dans cet ordre :

4.2.2.1 L'art des fortifications comme science sœur de l'Artillerie

Robins affirme que, avant d'aborder la question de la force de la poudre
et de la puissance des projectiles et des balles, il est d'une pertinence consi-
dérable d'examiner le thème des fortifications, étant donné que les méthodes
et ressources employées par l'artillerie ont précisément pour cible les fortifica-
tions. En raison de cette relation intrinsèque entre ces domaines de recherche
et d'application, Robins les qualifie de sciences sœurs. On peut percevoir ici,
dans une certaine mesure, l'intention de Robins d'élargir la justification de son
traité, en l'insérant dans un cadre d'approche historiquement pertinent non
seulement pour le domaine de l'artillerie en soi, auquel est consacré le contenu
de l'ouvrage, mais également comme le fruit d'un processus d'interactions in-
terdisciplinaires avec d'autres sciences (philosophies) de son époque.

Robins soutient qu'aucun consensus n'existe quant à l'attribution du mérite
de l'invention du premier bastion. Certains l'attribuent à Zisca, le Bohémien,
d'autres à Achmet Bashaw, qui, en prenant *Ottanto* en 1480, la fortifia d'une
manière particulièrement singulière<fnref n="2" />. Il poursuit en proposant un bref aperçu historique du développement et de l'évolution des bastions au fil du temps. Il met en avant le travail de Daniel Speckle (décédé en 1589), architecte à Strasbourg, qui rédigea un traité sur les fortifications germaniques. Robins argue que tout ce qui a été réalisé dans l'art des fortifications, jusqu'à son époque, ne constitue en réalité que de simples améliorations des ouvrages des architectes et ingénieurs en fortifications du temps de Speckle. En d'autres termes, selon Robins, une science quasi stagnante depuis environ 200 ans.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 4.1 – Photo d'un orillon dans une fortification (COYAU 2009).</figcaption></figure>

Parmi les bastions, Robins souligne l'importance des « Orillons » (voir image 4.1), une structure dont l'existence est aussi ancienne que la notion même de bastion dans l'histoire des fortifications. Bien que, vers la fin du XVIIIe siècle, son usage fût déjà en déclin en raison de sa « faible performance » dans le cadre des stratégies de combat de l'époque (qui reposaient sur des tactiques d'artillerie concentrées sur des attaques intenses et simultanément dirigées vers

<footnote n="2">2. Il convient de souligner ici que, dans la nomenclature spécifique adoptée par Robins, largement répandue dans le milieu militaire européen de son époque, un bastion n'est pas synonyme d'une fortification, mais constitue plutôt un type particulier de fortification. Le bastion se caractérise par l'existence d'une structure rattachée à la forteresse (généralement au mur d'enceinte), comprenant deux flancs et deux faces reliées aux courtines de la forteresse. Voir image 4.1</footnote>
un unique point de la base du mur de la fortification, dans l'intention de provoquer une fissure sur le flanc), sa structure et sa conception ont influencé de nombreuses formes de bastions développées par la suite (presque toutes présentant une augmentation du nombre d'angles et une réduction de la masse par rapport à l'Orillon classique).

Concernant ces constructions postérieures à l'Orillon, Robins mentionne le « Ravelin », qui se distingue par son adaptation aux affrontements impliquant l'artillerie. En effet, contrairement à l'Orillon, il possède deux faces à l'avant, ce qui lui permet de se positionner face à une avancée ennemie accompagnée de tirs croisés (voir image 4.2).

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 4.2 – Photo d'un ravelin dans une fortification (Consorti Castel Sant Ferran Figures s. d.).</figcaption></figure>

Parmi les maîtres dans l'art de la fortification, il décrit Menno van Coe-hoorn (1641-1704) comme étant « le fortificateur le plus capable que le monde ait jamais connu ». Parmi ses ouvrages, Robins met en avant deux traités : l'un consacré aux fortifications en forme de pentagone, et l'autre décrivant diverses autres formes de fortifications (l'une appliquée à un hexagone, une autre à un heptagone et une autre encore à un octogone, en plus d'examiner le cas des forteresses ayant une rivière comme l'un de leurs côtés). Robins affirme
que, dans ce second traité, Coehoorn « examina toutes les attaques possibles ».
Toutefois, Robins estime que Coehoorn ne reçut pas la reconnaissance qu'il
méritait pour ses travaux. Il déplore que ses contemporains aient hésité à adop-
ter les idées exposées dans ses traités. Cependant, grâce à sa « performance
exceptionnelle dans le domaine des fortifications » et à son rôle dans la défense
du fort William lors du siège de Namur en 1692, ses idées commencèrent à
se diffuser, bien que toujours avec une certaine réticence, notamment grâce à
l'intérêt porté aux traductions de ses ouvrages du bas-néerlandais (langue ori-
ginelle de ses écrits) vers le français, l'anglais et l'allemand. Robins mentionne
également, mais avec moins d'attention, les travaux de Sébastien Le Prestre de
Vauban (1633-1707), maréchal de Vauban, comme exemples de bons ouvrages
sur l'art des fortifications de son époque.

4.2.2.2 La poudre

Après avoir accordé l'attention nécessaire à l'art des fortifications, Robins
affirme qu'il est essentiel d'aborder la question de la poudre et de sa puis-
sance, sujet central de son traité. Il commence par évoquer certaines hypo-
thèses existantes quant à l'auteur de la découverte de la poudre. L'opinion la
plus répandue à son époque est que la poudre serait une invention de Bartol-
dus Schwartz, un moine allemand qui l'aurait découverte vers 1520. Toutefois,
pour Robins, cette idée est fallacieuse, en raison de l'existence de témoignages
attesting l'usage de la poudre, ainsi que de certaines formules of fabrication,
provenant de différentes régions et antérieures au XVIe siècle. Robins affirme
qu'il existe des preuves incontestables de l'utilisation de la poudre en artillerie
depuis au moins l'an 1330. Il en conclut que, puisque la découverte du salpêtre
demeure définitivement incertaine, et que le salpêtre est l'ingrédient principal
de la poudre, on peut supposer que ces deux découvertes (celle du salpêtre
et celle de la poudre – et, par conséquent, son emploi en artillerie) ne sont
pas très éloignées dans le temps. En effet, la principale propriété du salpêtre est d'accroître prodigieusement l'inflammabilité lorsqu'il est associé à d'autres substances déjà inflammables, comme le charbon ou le soufre, ce qui en fait l'un de ses usages les plus courants. Robins argue que « l'on ne peut supposer que cette qualité ait pu rester inconnue bien longtemps ». Il reconnaît que les récits les plus largement acceptés attribuent la découverte du salpêtre aux Grecs ou aux Arabes dès le Bas Moyen Âge (entre les Xe et XIIIe siècles); ainsi, selon ce raisonnement, il soutient que les premières formulations de poudre ont probablement vu le jour à cette même époque.

Robins met en avant de nombreuses œuvres anciennes qui décrivent des recettes et spéculent sur des mélanges de substances produisant du feu ou des feux d'artifice (qui peuvent être interprétés comme des indices de l'usage de la poudre), mais il accorde une attention particulière au *Liber ignium ad comburendos hostes* (attribué à Marcus Græcus) et, de manière plus générale, aux œuvres de Roger Bacon (1220-1292), un alchimiste anglais. À partir de l'analyse de ces textes, Robins émet l'hypothèse que la poudre aurait été créée au XIIIe siècle.

Ces premières compositions de poudre avaient une formulation qui, comparée à celles du XVIIIe siècle, était bien plus faible en termes de capacité explosive. De plus, à l'époque de l'émergence de l'artillerie (au milieu des XIVe et XVe siècles), « les premières pièces étaient fabriquées de manière très maladroite et peu pratique, étant généralement moulées à partir de plusieurs pièces de fer assemblées longitudinalement, puis maintenues ensemble par des anneaux de fer ». En outre, l'artillerie employait également des pièces en pierre, imitant les machines anciennes, telles que la catapulte, ce qui compliquait la conduite et la manipulation du matériel d'artillerie, tout en exigeant d'énormes quantités de poudre. De cette époque, la pièce la plus célèbre peut être considérée comme étant le « canon de laiton ».
Avec le temps, l'artillerie a évolué en développant des pièces plus petites, plus légères et, par conséquent, plus faciles à manipuler et à transporter. Cela a également permis l'application d'attaques plus ciblées et mieux organisées sur les fronts.

Un grand progrès, selon Robins, fut l'invention de la granulation de la poudre. À l'origine, la poudre se présentait toujours sous la forme d'une farine fine, obtenue par le broyage simultané des matériaux qui la composent. La granulation, en plus d'éviter la dispersion, permet à une certaine quantité d'air de demeurer entre les grains de poudre au moment de sa combustion, ce qui amplifie l'effet que Robins appelle « élasticité de l'air », c'est-à-dire la force produite par la poudre dans l'impulsion de l'artillerie (sujet abordé dans la section 4.3).

Robins conclut que, bien que les proportions des ingrédients entrant dans la composition de la poudre aient peu varié au cours des siècles précédents, la diversité des pièces d'artillerie s'est accrue. Et, comme celles-ci étaient dans leur grande majorité plus légères que les anciennes, les canons furent progressivement remplacés sur les champs de bataille par des semi-canons. Ce changement entraîna à son tour une modification des stratégies de combat, qui se concentrèrent davantage sur l'attaque d'un point unique – généralement à la base du mur de la fortification afin d'y ouvrir une brèche – plutôt que sur la destruction d'un bastion entier par des tirs espacés d'artillerie sur toute la zone fortifiée en une seule fois. Robins considère cette stratégie comme une innovation et mentionne Luis Collado de Lebrija, un ingénieur espagnol qui, dans son ouvrage *Prattica manuale dell'artiglieria* de 1606, décrit cette tactique comme étant une « pratique des Turcs ».
### 4.2.3 Considérations sur d'autres œuvres ayant égale- ment traité des mouvements des projectiles

Robins affirme qu'après avoir donné les explications et contextualisations nécessaires sur l'art des fortifications et sur la poudre, il a achevé la brève description qu'il souhaitait apporter sur la mécanique de l'artillerie. Il est donc possible d'aborder désormais les questions relatives au mouvement des projectiles. Il soutient que peu d'ouvrages se sont véritablement penchés sur ce sujet et que, parmi ceux qui existent, rares sont ceux qui méritent d'être mentionnés ici. En effet, beaucoup reposent sur des prémisses erronées, dépourvues de tout fondement expérimental qui les corrobore, ou bien présentent des biais dans leurs expériences rapportées, rendant ainsi leurs conclusions difficilement recevables.

À partir de cette considération, Robins affirme que le premier auteur digne d'intérêt ici est Nicolaus Tartaglia, mathématicien italien et auteur de *Nova scientia inventa*. Il critique ce qu'il appelle « l'état imparfait de la mécanique » chez Tartaglia : bien qu'il s'appuie sur des prémisses fallacieuses, il fut néan- moins le premier à affirmer que la portée maximale d'un projectile est atteinte lorsque l'arme est inclinée à un angle de 45° par rapport au sol. Il défend éga- lement que la trajectoire d'un projectile n'est jamais parfaitement rectiligne, mais toujours légèrement inclinée, même si cette inclinaison est imperceptible.

Robins mentionne en termes élogieux une analogie employée par Tartaglia dans son ouvrage pour illustrer la courbure de la trajectoire d'une balle : il la compare à la courbure de l'océan, imperceptible à l'œil nu, mais néan- moins bien réelle. Robins estime qu'à l'époque de Tartaglia, il était courant que « les philosophes » s'impliquent dans les débats sur les mouvements des corps principalement, voire exclusivement, de manière spéculative, sans appui expérimental. Il affirme que cette approche a perduré jusqu'à Galileo Galilei,
laissant entendre que les prémisses fallacieuses de Tartaglia pourraient découler du contexte intellectuel de son époque.

Robins affirme que, parmi les rares travaux existant sur cette thématique, il était très courant de publier des tableaux de mesures. Il ne mentionne pas d'autres auteurs nommément, mais affirme que ces tableaux rapportent les mesures de quelques chercheurs ayant mené des expériences. Toutefois, ces données sont, selon lui, entièrement fallacieuses, car elles ne prennent souvent pas en compte des distinctions essentielles, telles que les types d'armes utilisées, les mouvements effectués pour réaliser les tirs, la nature des projectiles employés ou encore la quantité de poudre utilisée pour chaque tir.

Il met également en avant trois autres auteurs ayant étudié les mouvements des projectiles en artillerie. Le premier est William Bourne, mathématicien et théoricien naval anglais du XVIe siècle, qui réalisa un travail intéressant à travers des expériences de tir régulées en fonction de l'angle d'inclinaison et avec différentes portées de tirs à bout portant. Robins reconnaît que les expériences de Bourne manquent de précisions, mais néanmoins, pour l'époque où elles furent publiées, elles marquèrent une avancée importante dans l'intégration des expériences comme moyen de validation des hypothèses en artillerie.

Les deux autres auteurs sont William Eldred (1563-1646) et Robert Anderson (1668-1696), tous deux anglais. Concernant Eldred, Robins affirme que « ses principes étaient suffisamment simples et, bien qu'ils ne fussent pas rigoureusement vrais, ils restaient dans des marges proches de la « vérité » ». Il indique qu'Eldred fut le premier à fournir des portées réelles, avec des données collectées à partir d'expériences fiables sur différentes pièces d'artillerie. Toutefois, une grande limitation de son travail est que toutes ses données concernent uniquement des tirs effectués sous des angles inférieurs à 10°. Robins souligne qu'Eldred alla jusqu'à enregistrer des résultats expérimentaux contredisant, dans certains cas, ses propres prémisses, ce qui témoigne d'une
grande honnêteté intellectuelle de sa part.

Quant à Anderson, bien qu'il ait démontré le même souci de rigueur qu'El-
dred dans la préparation et la réalisation de ses expériences, il montra un
certain « attachement à une théorie erronée » et appliqua un filtre lors de
la sélection des résultats qu'il publia dans son traité *The Genuine Use and
Effects of the Gunne* de 1674. Robins critique cette approche, affirmant que
ce manque d'honnêteté compromet ses conclusions, qui furent façonnées dans
l'unique but de valider ses prémisses (concernant cette « théorie erronée » à
laquelle Robins fait allusion dans le traité d'Anderson, voir 4.2.3.1).

4.2.3.1 Galileo Galilei et Isaac Newton dans le débat sur la résis-
tance de l'air dans la trajectoire de vol des projectiles

En discutant des travaux existants sur le mouvement des projectiles en
artillerie, Robins mentionne l'importance de Galileo Galilei (1564-1642) dans
ce domaine. En 1638, Galilée publie le *Discorsi e Dimostrazioni matematiche
intorno a due scienze attenanti alla mecanica ed i movimenti locali*, où il met
en évidence les lois générales observées par la nature dans la production et la
composition du mouvement. Il s'agit du premier ouvrage à décrire les effets
de la gravité sur les corps en chute libre. À partir de ces principes, il de-
vint possible de déterminer que le vol d'un boulet de canon, ou de tout autre
projectile, suivrait une trajectoire parabolique, à moins qu'il ne soit dévié de
cette trajectoire par la résistance de l'air. De plus, Galilée décrit également un
procédé permettant de déterminer quels seraient les effets sensibles que cette
résistance pourrait produire sur ce mouvement (de courbe parabolique) suivi
par le projectile.

Robins affirme qu’à partir de la démonstration de Galilée selon laquelle «
tous les projectiles » décrivent leur vol selon une courbe parabolique, il au-
rait été naturel que ceux qui lui succédèrent réalisent des expériences afin de
mesurer dans quelle mesure la résistance de l'air pouvait dévier (ou non) le pro-
jectile de son mouvement parabolique, dans le but de décider si la résistance de
l'air devait être considérée ou non dans les études d'artillerie. Cependant, à la
grande surprise de Robins, les auteurs qui suivirent se contentèrent d'affirmer,
« sans aucun examen expérimental », que la résistance de l'air dans le vol des
projectiles était si insignifiante – compte tenu de la différence de densité entre
les matériaux composant les projectiles et l'air – qu'elle pouvait être négligée
sans problème. Robins considère cela comme une « théorie erronée », repro-
duite par de nombreux auteurs, parmi lesquels il inclut Robert Anderson, ainsi
que d'autres comme Nicolas-François Blondel (1618-1686) et Edward Harley
(1689-1741).

Robins affirme alors que, depuis la publication des *Principia* de Newton,
il était devenu — du moins à ses yeux et dans son contexte — évident que
la résistance de l'air constituait un facteur d'une telle importance qu'en faire
abstraction représentait une erreur grave. Cette impression, exprimée de ma-
nière explicite dans son traité, semble témoigner de sa surprise face au fait que
de nombreux auteurs antérieurs aient négligé cet aspect. Toutefois, comme
le rappelle HALL 1952, le débat sur les effets de la résistance de l'air sur le
mouvement des projectiles était déjà bien entamé au XVIIe siècle, notamment
chez des auteurs tels que Galilée, Evangelista Torricelli (1608-1647), Edme Ma-
riotte (1620-1684) et d'autres. Ainsi, bien que les *Principia* aient certainement
contribué à inscrire cette question dans un cadre théorique plus rigoureux, ils
n'en furent pas l'origine, ce qui invite à nuancer historiquement la perception
exprimée ici par Robins.

4.2.4 Les thèmes du traité présentés par Robins

Enfin, Robins conclut sa préface en affirmant que les théories existantes à
son époque sur l'artillerie, et en particulier celles relatives aux mouvements des
projectiles, nécessitent un examen rigoureux. Il souligne que, dans le deuxième chapitre, il s'engage non seulement à démontrer la fausseté de l'hypothèse du mouvement parabolique du vol de ces projectiles (non pas en contestant les affirmations de Galilée, qui avait défini ce type de mouvement comme étant parabolique sous l'action de la gravité, mais en raison de la pertinence de l'influence de la résistance de l'air sur le mouvement, qui empêche d'adopter ce modèle parabolique d'emblée pour tous les cas, contrairement à ce que ses collègues en artillerie faisaient depuis la publication de 1638), mais aussi à évaluer le degré réel de résistance que chaque tir subit en fonction de sa vitesse.

Il affirme que la détermination du trajet suivi par une balle est un problème géométrique qu'il reconnaît comme étant « très complexe et laborieux », mais que, dans les cas les plus fréquents en pratique, il admet certaines approximations particulièrement simples, auxquelles il se consacre.

Cependant, il souligne que, bien que la précision de ses principes ait été établie de la manière la plus irréfutable possible, deux problèmes sont survenus lors de l'exécution de certains expériences : le premier fut la difficulté à déterminer les portées étendues, c'est-à-dire les tirs sur de longues distances ; et le second, l'irrégularité observée dans ces mêmes portées pour ce type de tirs (un point qu'il enregistre dans la VIIe proposition du deuxième chapitre du traité). Toutefois, il se dit satisfait du fait que, même en présence de ces difficultés pour ces tirs spécifiques, la quantité et la qualité des expériences menées dans son ouvrage lui ont apporté une sécurité considérable quant aux conclusions des autres problématiques, celles qui ne sont pas nécessairement liées aux tirs à longue portée.

Il affirme que, dans les pages immédiatement suivantes à la préface, en l'occurrence dans son premier chapitre, il a inséré l'explication de sa théorie sur l'action et la force de la poudre, ainsi que sur l'élasticité de l'air, de même que la détermination de la quantité de résistance de l'air. Ces éléments fondent
ses propositions du deuxième chapitre, qui est consacré aux mouvements en
eux-mêmes, et non plus au tir, comme c'est le cas dans le premier ³⁴.

4.3 Une analyse du chapitre 1

4.3.1 Propositions concernant la formation et les proprié-
tés du fluide élastique permanent

4.3.1.1 Proposition I

« La poudre, tirée dans le vide ou dans l'air, produit par son ex-
plosion un fluide élastique permanent »<fnref n="5" />.

Dans cette première proposition, Robins avance que l'explosion de la poudre
possède la capacité de la convertir en une sorte de gaz, auquel il attribue le
terme de « fluide élastique ». Robins affirme que de nombreuses expériences sur
le volume de ce gaz ont déjà été réalisées auparavant et sont donc largement
documentées. Il cite en particulier l'enregistrement d'une expérience menée par
Francis Hauksbee l'Ancien (1660-1713), membre de la *Royal Society*. Dans le
numéro 295 des *Philosophical Transactions of the Royal Society*, il est décrit
que Hauksbee, utilisant un manomètre à mercure pour mesurer le volume,
versa une certaine quantité de poudre sur un fer incandescent. Il constata que
la quantité de poudre entrant en contact direct avec le fer incandescent produit

<footnote n="3">3. Le traité ayant été publié avant l'adoption du *Système international d'unités*, les unités utilisées par Robins peuvent ne pas être familières aux lecteurs contemporains de l'ouvrage. C'est pourquoi, si vous avez des doutes sur la convertibilité des unités, afin de mieux comprendre les proportions et les approximations faites par Robins dans ses propositions, nous vous conseillons de visiter l'annexe D.</footnote>

<footnote n="4">4. Sur les propositions contenues dans le traité, le professeur Dr Richard A. Collins, ingénieur britannique et auteur de l'ouvrage *Structural engineering : two centuries of British achievement* (A Richard COLLINS et al. 1983), a produit une collection en ligne de ses notes de cours, où l'on peut trouver des commentaires de son cours sur le *New Principles of Gunnery*, voir A. R. COLLINS 2014. Certaines des explications de Collins ont été incorporées dans les sections 4.3 et 4.4.</footnote>

<footnote n="5">5. Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*, 1742.</footnote>
un gaz dont le volume est proportionnel à la quantité de poudre brûlée.

Les expériences menées par Robins pour vérifier cette proposition consistaient à enflammer de la poudre dans un récipient hermétiquement fermé, muni d'un manomètre connecté afin de mesurer la pression du gaz. Il observa que le volume du gaz produit est proportionnel à la quantité de poudre explosée. De plus, il constata que le gaz ainsi produit est permanent, ne diminuant pas de volume avec le temps. D'où l'appellation de « fluide élastique permanent ».

### 4.3.1.2 Proposition II

> « Expliquer plus particulièrement les circonstances de l'explosion de la poudre à canon, que ce soit dans le vide ou dans l'air, lorsqu'elle est tirée de la manière décrite dans les expériences de la dernière proposition »<fnref n="6" />.

Dans cette proposition, Robins se concentre sur la pression que le gaz, généré par l'explosion de la poudre, exerce dans un récipient hermétiquement scellé. Il distingue deux instants successifs qui sont cruciaux pour comprendre la dynamique de cette pression.

Le premier moment correspond à l'instant même de la détonation, où la poudre est rapidement convertie en une matière incandescente. Robins la décrit comme une flamme, soulignant que le fluide, à ce stade, n'a pas encore atteint sa forme gazeuse définitive : il s'agit d'un état transitoire, extrêmement chaud, dans lequel l'élasticité est maximale, mais instable.

Au deuxième moment, cette flamme se refroidit progressivement, et le fluide se stabilise sous forme de gaz permanent. En se refroidissant, le fluide perd une partie de son élasticité, ce qui entraîne une diminution de la pression par rapport à l'instant précédent. Toutefois, cette pression reste nettement supérieure

<footnote n="6">6. Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*, 1742.</footnote>
à celle qui existait avant l'explosion. Elle demeure constante à ce stade et correspond à celle exercée par le volume du fluide à élasticité permanente.

C'est cette distinction entre une phase incandescente initiale (la flamme) et une phase gazeuse stabilisée (le fluide élastique permanent) que Robins cherche ici à décrire expérimentalement, afin de mieux comprendre la dynamique des forces en jeu lors d'un tir.

### 4.3.1.3 Proposition III

> « L'élasticité ou la pression du fluide produit par la détonation de la poudre est, cæteris paribus [tout le reste étant égal], directement proportionnelle à sa densité »<fnref n="7" />.

Dans cette proposition, Robins cherche à confirmer expérimentalement une relation de proportionnalité directe entre la pression du fluide élastique produit par l'explosion de la poudre et sa densité. Il part de l'idée que, toutes choses égales par ailleurs, plus un volume de gaz est dense, plus sa pression est grande.

Pour vérifier cela, il réalise plusieurs expériences avec des quantités variables de poudre, en mesurant à l'aide d'un manomètre la pression exercée par le fluide généré. Il observe que, pour une température constante, la pression augmente proportionnellement à la densité du fluide, ce qui confirme son hypothèse. Ce résultat anticipe, de manière empirique, une forme partielle de la loi des gaz parfaits, dans laquelle $P \propto \rho$, si la température est maintenue constante.

<footnote n="7">7. Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*, 1742.</footnote>
4.3.1.4 Proposition IV

« Déterminer l’élasticité et la quantité de ce fluide élastique, pro-
duit par l’explosion d’une certaine quantité de poudre »<fnref n="8" />.

Dans cette proposition, Robins affirme que, « comme différentes portions
de poudre produisent différentes quantités de fluide [élastique permanent] », il
est nécessaire, avant de poursuivre toute analyse pratique relative à l'artillerie,
de mesurer les proportions correspondantes de cette production de gaz par la
combustion de la poudre. Robins, en s'appuyant sur les propositions précé-
dentes, adopte alors deux principes : « que l'élasticité du fluide augmente avec
la chaleur » ; et que « la densité du fluide, et par conséquent son poids, est
identique à celui d'une quantité égale d'air ».

Robins procède ensuite selon les mêmes méthodes expérimentales que celles
décrites dans la proposition précédente, et en déduit qu'l once (≈ 28,35 grammes)
de poudre produit 460 pouces cubes de gaz (en considérant la température et
la pression ambiantes).

Robins avance alors que ce gaz pourrait être de l'air, en raison de sa densité
apparente, qui semble identique à celle de l'air. Connaissant la densité de l'air,
il en conclut que 460 pouces cubes de gaz représentent environ ⅓ de la masse
de la poudre transformée en gaz. Il mesure ensuite la densité de la poudre
et conclut qu'l pouce cube de poudre produira 244 pouces cubes de gaz. De
même, si le volume du gaz est restreint à celui occupé initialement par la
poudre, la pression du gaz augmentera d'un facteur 244.

<footnote n="8">8. Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*,
1742.</footnote>
### 4.3.1.5 Proposition V

> « Déterminer dans quelle mesure l'élasticité de l'air est augmentée lorsqu'il est chauffé à la chaleur extrême d'un fer incandescent »<fnref n="9" />.

Dans cette proposition, Robins cherche à déterminer l'élasticité de l'air lorsqu'il est soumis à des températures élevées. Pour cela, il utilise un « morceau de canon de mousquet » (un cône), d'environ 6 pouces de long et approximativement 1 pouce de diamètre. Il scelle l'une des extrémités du canon et laisse l'autre ouverte. Il chauffe ensuite le tube jusqu'à ce qu'il atteigne un « rouge de forge de forgeron », puis il plonge le tube dans l'eau, l'extrémité ouverte tournée vers le bas, et le laisse ainsi jusqu'à refroidissement complet.

Sachant que le tube a une capacité totale de 796 grains d'eau, Robins répète cette expérience trois fois et mesure la quantité d'eau présente dans le tube refroidi à la fin de chaque répétition. Il obtient respectivement les données suivantes : lors de la première expérience, le tube contenait 610 grains d'eau, donc 186 grains d'air; lors de la deuxième, 595 grains d'eau, donc 201 grains d'air; et lors de la troisième, 600 grains d'eau, donc 196 grains d'air.

### 4.3.1.6 Proposition VI

> « Déterminer dans quelle mesure l'élasticité du fluide produit par la détonation de la poudre, telle que nous l'avons définie plus haut, est augmentée par la chaleur qu'il possède au moment de son explosion »<fnref n="10" />.

En s'appuyant sur ce qui a été établi dans les propositions et expériences précédentes, Robins affirme que l'on peut observer que l'élasticité du fluide augmente à mesure que sa température augmente également. Ainsi, il suppose

<footnote n="9">9. Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*, 1742.</footnote>

<footnote n="10">10. Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*, 1742.</footnote>
que le fluide, au moment exact de l'explosion, doit posséder une élasticité supé-
rieure à celle qu'il a immédiatement après, lorsqu'il est sous forme de flamme,
laquelle possède elle-même plus d'élasticité que lorsqu'elle est à température
ambiante, c'est-à-dire à la température de l'air. Robins suppose également que
la température du fluide au moment de l'explosion est équivalente à celle d'un
fer incandescent.

Partant de ces suppositions, et des données déjà obtenues dans les propo-
sitions précédentes, Robins estime que la pression du gaz produit, qui a été
démontrée comme étant 244 fois la pression atmosphérique, est encore aug-
mentée par un facteur de $4^{\frac{1}{11}}$. La pression résultante est donc d'environ 1000
atmosphères, en supposant que le gaz soit confiné dans le même volume que
celui occupé initialement par la charge de poudre.

4.3.2 Propositions relatives au début des analyses pre-
nant en compte le moment du tir

4.3.2.1 Proposition VII

« Étant données les dimensions d'une pièce d'artillerie, la densité de son boulet et une certaine quantité de sa charge, déterminer la vitesse que le boulet acquerra au moment de l'explosion, en supposant que l'élasticité de la poudre au premier instant de son inflam-mation soit connue » <fnref n="11" />.

Pour résoudre le problème énoncé, Robins pose deux principes : que l'action
de la poudre sur le boulet cesse dès que celui-ci sort de la pièce ; et que toute
la poudre de la charge du canon soit entièrement brûlée et convertie en un
fluide élastique avant que le boulet ne soit sensiblement déplacé de sa position
initiale.

<footnote n="11">11. Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*,
1742.</footnote>
<figure><img src="image_7.png" /></figure>

FIGURE 4.3 – La balistique interne d’un canon telle que décrite dans la proposition VII du traité *New Principles of Gunnery* de Benjamin Robins. L’espace intérieur DECG est rempli de poudre.

L’exemple pris par Robins dans cette proposition, tel que représenté à la Figure 4.3, est celui d’un canon d’une longueur de 45 pouces, d’un diamètre de $\frac{3}{4}$ de pouce, et dont la charge de poudre s’étend sur $2\frac{5}{8}$ pouces dans le fût, tirant un boulet en plomb.

Concernant cette proposition, Robins explique que le volume de la poudre, en explosant, produira un fluide élastique occupant le même volume que la poudre elle-même, exerçant ainsi une pression de $1000\times$ la pression atmosphérique (comme défini dans la proposition précédente). Dès lors, la force exercée sur le boulet est égale à cette pression multipliée par l’aire de la section transversale du canon.

Robins mentionne également la loi de Robert Boyle (1627–1691) sur les gaz, selon laquelle la pression d’un gaz est inversement proportionnelle au volume qu’il occupe. Autrement dit, à mesure que le boulet est poussé hors du canon, la pression diminue en raison de l’augmentation du volume derrière le boulet.
Ainsi, ce volume augmente linéairement avec la distance parcourue le long du canon, de sorte que la pression sera inversement proportionnelle à la distance parcourue par le boulet à l'intérieur du canon.

Par conséquent, la ligne HNQ de la figure 4.3 représente la force exercée sur le boulet en raison de la pression du gaz, qui décroît selon la loi $\frac{1}{x}$,

$$F(x) = \frac{k}{x}, \qquad (4.1)$$

où k est une constante et x représente la distance depuis l'extrémité de la culasse du canon.

La force exercée sur le boulet immédiatement après l'explosion, $F_0$, est représentée par la ligne FH, qui correspond à la pression initiale, $P_0$, agissant sur la surface de la section transversale du boulet, A.

$$F_0 = P_0 A \qquad (4.2)$$

et

$$P_0 = R P_{atm}, \qquad (4.3)$$

où R est le rapport entre la pression initiale du gaz et la pression atmosphérique, $P_{atm}$, que Robins a mesurée comme étant de 1000 atm dans la proposition VI du même chapitre du traité.

À partir de cela :

$$F_0 = R P_{atm} A, \qquad (4.4)$$

Ainsi,

$$F_0 = R P_{atm} \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2, \qquad (4.5)$$

où d est le diamètre du canon. La constante k peut être calculée à partir de
la force initiale exercée sur le boulet à sa position initiale, située à une distance c le long du cylindre. Ici, c représente la longueur de la charge de poudre dans le canon, soit $c = 2\frac{5}{8}$ pouces.

Par conséquent,

$$F_0 = \frac{k}{c} \qquad (4.6)$$

Il est important de noter que Robins souligne que, dans ce contexte, la pression atmosphérique est équivalente au poids d'une colonne d'eau de 34 ft de hauteur, et que la densité de l'eau est de 64 livres par pied carré, le diamètre du boulet étant de $\frac{3}{4}$ de pouce.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 4.4 – Représentation de la description du tir d'un canon à trois moments différents. L'image fait référence aux considérations présentes dans la proposition VII du traité de Robins, ainsi qu'à l'analyse de cette proposition faite par A. R. COLLINS 2014. Le deuxième moment correspond à l'équation 4.6 et le troisième moment à l'équation 4.1.</figcaption></figure>

À partir de cela, nous avons :

$$k = 1,000 \times 34 \times 62.4 \times 32.2 \times \pi \left( \frac{0.75}{2 \times 12} \right)^2 \times \left( \frac{2.625}{12} \right) \qquad (4.7)$$

Ce qui donne approximativement 45,800 livres-force × ft. Ainsi, lorsque le
boulet se sera déplacé d'une distance $x$ hors du canon, représentée sur la figure 4.3 par le point $M$, la force exercée sur le boulet, représentée par le segment $MN$, sera :

$$F(x) = \frac{45,800}{x}, \qquad (4.8)$$

où $x$ est mesuré en ft.

Poursuivant son analyse de cette proposition, afin de calculer la vitesse initiale attendue du boulet, Robins cite les *Principia*, affirmant que l'intégrale de la force en fonction de la distance parcourue par un corps est égale à l'énergie cinétique<fnref n="12" />. Ainsi :

$$\frac{1}{2}mv^2 = \int F(x)dx, \qquad (4.9)$$

où $m$ est la masse du boulet en plomb de $\frac{3}{4}$ pouce de diamètre (ce qui équivaut à environ 0.09 livre).

Comme nous avons vu précédemment, la force exercée sur le boulet, en fonction de sa position $x$ dans le canon, est modélisée par la fonction $F(x) = \frac{k}{x}$. Robins suppose ici, dans l'esprit des *Principia*, que l'intégrale de cette force entre deux points représente le travail effectué par le gaz sur le boulet, c'est-à-dire son énergie cinétique.

Dès lors, en appliquant la relation $\frac{1}{2}mv^2 = \int_c^L F(x)dx$, on obtient :

$$\frac{1}{2}mv^2 = \int_c^L \frac{k}{x}dx$$

Sachant que $\int \frac{1}{x}dx = \ln(x)$, on en déduit :

$$v^2 = \frac{2k}{m} \int_c^L \frac{1}{x}dx, \qquad (4.10)$$

<footnote n="12">12. Telle que définie par Gottfried Wilhelm Leibniz à la fin du XVIIᵉ siècle, qui nomma cette forme d'énergie *vis viva* ou *force vive*, qu'il décrivit comme le produit de la masse d'un objet par le carré de sa vitesse</footnote>
$$v = \sqrt{\frac{2k}{m} \times \ln \frac{L}{c}} \qquad (4.11)$$

$$v = \sqrt{\frac{2 \times 45,800}{0.09} \times \ln \frac{45}{2.625}} \qquad (4.12)$$

Donc,

$$v \approx 1,700\text{ft/sec} \qquad (4.13)$$

Il est important de souligner que A. R. COLLINS 2014, à la fin de son analyse de cette proposition, formule une critique à l'égard de Robins, affirmant que ce dernier utilise des valeurs légèrement différentes pour certains paramètres à divers moments de son calcul, et rapporte une vitesse initiale de 1.668 ft par sec. L'auteur poursuit en expliquant comment cette vitesse serait modulée en fonction de différents facteurs du calcul, tels que la longueur du canon, le diamètre, entre autres.

En considérant que $k = 10$ (équation 4.6), que $F_0 = RP_{atm}\pi(\frac{d^2}{2})$ (équation 4.5), et que $m$, la masse du boulet en plomb, équivaut à $\frac{4}{3}\pi\rho(\frac{d}{2})^3$, on peut arriver à une expression pour la vitesse initiale. En substituant ces valeurs dans l'équation 4.10 (et ayant déjà calculé que $\frac{k}{m} = \frac{3CRP_{atm}}{2\rho d}$), nous obtenons :

$$v = \sqrt{2 \times \frac{3CRP_{atm}}{2\rho d} \ln \frac{L}{c}}, \qquad (4.14)$$

Et, en tenant compte des variables de longueur et d'unité, nous arrivons à l'expression suivante pour la vitesse initiale (A. R. COLLINS 2014)<fnref n="13" /> :

$$v \propto \sqrt{\frac{c}{d} \ln \left(\frac{L}{c}\right)}, \qquad (4.15)$$

où c est la distance jusqu'à l'arrière du boulet, d est le diamètre de l'âme

<footnote n="13">13. Il convient de noter que l'équation 4.15, obtenue par A. R. COLLINS 2014, n'est pas développée de la même manière que dans le présent travail. Ici, une approche plus claire a été privilégiée, avec un développement plus détaillé des étapes présentées dans ROBINS 1805 et A. R. COLLINS 2014. Ainsi, l'équation 4.14 n'est pas mentionnée dans A. R. COLLINS 2014</footnote>
du canon et $L$ est la longueur totale du fût.

On peut également souligner, comme mentionné dans A. R. COLLINS 2014, que dans l'énoncé de la Proposition VII, un autre exemple est donné illustrant comment la vitesse initiale augmente, cette vitesse étant inversement proportionnelle à la racine carrée de la masse du boulet. Si le même canon est chargé avec 2 boulets (la masse du tir est doublée, mais tous les autres paramètres restent identiques), alors la vitesse à la bouche du canon changerait d'un facteur de $\frac{1}{\sqrt{2}} = 0.707$. Si un seul boulet a une vitesse initiale de 1,700 ft/sec, alors, lorsqu'ils sont tirés par paire, la vitesse initiale serait d'environ 1,200 ft/sec.

Ainsi, nous pouvons considérer que cette proposition constitue une démonstration claire de l'applicabilité directe du travail développé par Robins dans les propositions précédentes.

Notons toutefois que, bien que Robins développe ici un raisonnement théorique précis pour établir la vitesse initiale du boulet à partir des propriétés de la poudre et de la géométrie de la pièce, cette démonstration ne s'accompagne pas, à ce stade, d'une vérification expérimentale directe. La validation expérimentale de ces résultats sera entreprise dans les propositions suivantes, notamment avec l'usage du pendule balistique présenté dans la Proposition VIII. Robins semble ici poser les bases théoriques d'un modèle mathématique, dont la précision sera mise à l'épreuve plus tard dans son traité.
### 4.3.3 Propositions relatives à la mesurabilité des vitesses des projectiles

#### 4.3.3.1 Proposition VIII

> « Pour déterminer la vitesse à laquelle une bille se déplace à n'importe quelle distance de la pièce, elle est déchargée »<fnref n="14" />.

##### 4.3.3.1.1 Le pendule balistique
Dans cette proposition, Robins présente un appareil qu'il a créé à partir d'une problématique inhérente à l'artillerie, la mesure de la vitesse des projectiles. Comme le souligne A. R. COLLINS, dans la quête de vérifier l'efficacité de la dynamique de son arme, Robins a dû développer une méthode efficace pour mesurer la vitesse à la sortie du canon des projectiles. Comme solution, il a créé le *pendule balistique*. Cette invention ne dépendait pas de la mesure de petits intervalles de temps, qui à l'époque était un défi considérable. Au lieu de cela, le pendule balistique calculait la vitesse d'un projectile à travers son moment; connaissant la masse du projectile, la vitesse était alors déterminée.

Le dispositif, illustré dans la Figure 4.5, consistait en un bras suspendu (relié par le point A) à une structure, ayant à son extrémité une grande plaque de fer (B) qui fonctionnait comme une masse oscillante. Une épaisse feuille de bois était fixée à cette plaque, servant de cible pour que les balles soient tirées et absorbées, évitant les ricochets ou la fragmentation.

La masse du pendule était significativement plus grande que celle de la balle, ce qui faisait que la vitesse initiale du pendule, après l'impact, était substantiellement inférieure à celle de la balle. Cela rendait possible de déterminer la hauteur atteinte par le pendule à partir de la longueur de l'arc qu'il décrivait en balançant. La mesure de cette longueur était réalisée en fixant un ruban à

<footnote n="14">14. Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*, 1742.</footnote>
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 4.5 – Représentation du pendule balistique de Robins décrit et illustré dans la proposition VIII de son traité. Image adaptée du traité de Patrick Guenette en 2019, issue de la banque d’images numériques « alamyimages ».</figcaption></figure>

la partie inférieure du pendule, qui était légèrement retenu par une paire de
pinces dans la structure. Une goupille était placée sur le ruban près des pinces,
marquant l’extension de l’oscillation depuis les pinces jusqu’à la goupille.

Cependant, avant de poursuivre avec l'analyse de cette proposition et de
l'exemple que Robins décrit pour montrer comment calculer la vitesse d'un
projectile en utilisant son instrument, il est nécessaire de clarifier la distinction existant entre ce qu'est un « pendule balistique simple » et un « pendule balistique composé ».

La différence fondamentale entre un pendule simple et un pendule composé, comme le pendule balistique, réside dans leur construction et dans la manière dont les calculs relatifs au mouvement sont traités :

#### 4.3.3.1.1.1 Pendule balistique simple

- Le pendule simple est un système idéalisé composé d'une masse ponctuelle suspendue à une tige ou un fil inextensible, dont la masse est négligeable par rapport à celle du corps suspendu;

- Ce modèle ne prend en compte que la longueur du fil (ou de la tige) et la gravité, sans considérer la répartition de la masse;

- Sa période d'oscillation dépend uniquement de cette longueur et de l'accélération gravitationnelle, selon la formule $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, où L est la longueur et g l'accélération de la pesanteur;

- Il constitue une approximation utile pour les systèmes simples, mais insuffisante pour décrire le fonctionnement du pendule balistique de Robins.

#### 4.3.3.1.1.2 Pendule balistique composé

- Le pendule balistique est un exemple de pendule composé : il s'agit d'un système rigide constitué de plusieurs parties massives (bras, plaque, masse absorbante) dont la masse est répartie sur l'ensemble de la structure;

- Contrairement au pendule simple, il est nécessaire de tenir compte du moment d'inertie ($I$) et de la position du centre de masse pour modéliser son mouvement;

- Sa période d'oscillation est donnée par la formule $T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{MgR}}$, où M
est la masse totale et R la distance entre l'axe de rotation et le centre de masse;

— Pour faciliter les calculs, Robins assimile ce système à un pendule simple équivalent — de même période — permettant d'appliquer les principes de conservation du moment et de l'énergie afin d'en déduire la vitesse du projectile.

### 4.3.3.1.2 Le développement de la proposition VIII
Le pendule balistique de Robins, étant un type de pendule composé, a été spécifiquement conçu pour mesurer le transfert de moment d'un projectile au pendule et utiliser ce transfert pour calculer la vitesse initiale du projectile. Il fonctionne en capturant le projectile dans un bloc de bois ou autre matériau, qui est suspendu comme un pendule. La mesure du déplacement angulaire du pendule après la capture du projectile permet de calculer la vitesse du projectile en utilisant les principes de conservation de l'énergie et du moment.

En reprenant l'exemple donné par Robins pour démontrer le fonctionnement d'un pendule balistique, comme pour un pendule simple de même période, si la longueur du pendule simple est égale à la distance entre le pivot et le centre d'oscillation $R_{co}$, donnée par :

$$R_{co} = \frac{I}{MR_{cm}}, \qquad (4.16)$$

Où I est le moment d'inertie du pendule composé, M est la masse du pendule composé et $R_{cm}$ est la distance du point d'articulation au centre de masse.

De cela, nous avons que le moment d'inertie d'un pendule composé peut être donné par :

$$I = \left( \frac{T^2}{4\pi^2} \right) MgR_{cm}, \qquad (4.17)$$
Où T est la période de son oscillation.

Selon les descriptions du traité, le pendule balistique de Robins possédait les paramètres suivants : M = 56.19 livres, R<sub>cm</sub> = 52 pouces et T = 2.53 secs.

Produisant ainsi, R<sub>co</sub> = 62.65 pouces.

Le modèle équivalent de pendule simple aura le même moment d'inertie si
sa masse, M<sub>co</sub>, est définie comme suit :

$$
M_{co} = \frac{R_{cm}}{R_{co}} M, \tag{4.18}
$$

La masse du pendule simple équivalent est donc de 46.63 livres. Robins décrit également avoir tiré des balles au centre du bloc de bois, à 66 pouces du pivot. Il modélise le système à ce point comme un pendule simple ayant le même moment d'inertie que le pendule composé. Ce pendule simple possède une masse M', à une distance de 66 pouces du pivot. M' est donné par :

$$
M' = \frac{62.65}{66} \times 46.33 = 42.02 \text{ livres} \quad (4.19)
$$

Le calcul de la vitesse de la balle est alors un processus en deux étapes. La conservation du moment donne :

$$
mv = (M' + m)V \tag{4.20}
$$

Et

$$
v = \left( \frac{M' + m}{m} \right) V, \tag{4.21}
$$

Où *m* est la masse de la balle, *v* est la vitesse immédiatement avant l'impact et *V* est la vitesse du pendule et de la balle mélangés juste après l'impact, à une distance de 66 pouces du pivot. Robins précise également que les balles utilisées dans ce test avaient une masse équivalente à 1/12 livres (0.083 livres).
Ainsi, en substituant dans l'expression précédente, nous avons :

$$ 
\begin{aligned}
v &= \left( \frac{42.02 + 0.083}{0.083} \right) V \\
&= 505 \times V
\end{aligned} 
\qquad (4.22) 
$$

Il est important de noter que Robins calcule ensuite $V$ en utilisant la conservation de l'énergie. Le pendule simple équivalent, avec une vitesse initiale $V$, oscillera jusqu'à atteindre une hauteur maximale $h$, convertissant son énergie cinétique en énergie potentielle au sommet de l'oscillation.

$$ \frac{1}{2}(M' + m)V^2 = (M' + m)gh \qquad (4.23) $$

Où $h$ est la hauteur verticale maximale atteinte par le point d'impact.

$$ V = \sqrt{2gh}, \qquad (4.24) $$

En substituant dans l'équation pour la vitesse de la balle, nous obtenons :

$$ h = 66 - 66 \cos \left( \frac{16}{66} \right) = 1.93 \text{ pouces} \qquad (4.25) $$

Par conséquent, la vitesse de la balle est :

$$ v = 1,625 \text{ ft/sec} \qquad (4.26) $$

Comme le souligne A. R. COLLINS 2014 dans son analyse, Robins introduit une certaine imprécision en arrondissant plusieurs paramètres et cite une valeur de vitesse initiale de 1.641 ft/sec. A. R. COLLINS 2014 continue avec son analyse de cette proposition en intégrant une correction qu'il appelle *Muzzle Velocity*. Néanmoins, cette proposition possède toujours une grande impor-
tance lorsque nous analysons le traité dans son ensemble, car ici Robins décrit
une de ses inventions et démontre son utilité pour un problème pratique des
sciences balistiques de son époque, l'estimation de la vitesse approximative des
projectiles.

4.3.3.2 Proposition IX

« Comparer les vitesses réelles avec lesquelles des boulets de différents types sont tirés de leurs pièces respectives, avec les vitesses calculées à partir de la théorie » <fnref n="15" />.

Dans cette proposition, Robins réalise une série d'expériences en tirant des
projectiles dans un pendule balistique. Il utilise deux types de canons différents
pour effectuer les tirs : une arme de 45 in, qu'il qualifie « d'originale », et une
autre plus courte, de $12\frac{3}{8}$ in, avec deux quantités différentes de charges de
poudre, afin de tester sa théorie présentée dans les propositions précédentes.
Il précise que le boulet pèse 1 livre et que le plateau du pendule pèse 4 livres.
En plus de ces informations, il développe la proposition en affirmant que les
vitesses sont obtenues selon la méthode présentée dans la proposition VIII, et
que les valeurs prévues sont calculées conformément à la méthode décrite dans
la proposition VII. Les résultats qu'il obtient sont jugés satisfaisants lorsqu'ils
sont comparés aux prévisions fournies par la théorie, avec une marge d'erreur
d'environ 2%.

Robins construit ensuite un pendule balistique plus grand, pesant 97 livres,
et répète les mêmes expériences, en y ajoutant d'autres longueurs de canons
et différentes quantités de poudre pour effectuer les tirs. Une fois encore, la
théorie est utilisée pour établir une prédiction, laquelle est confirmée dans la
marge d'erreur de 2%, comme on peut le voir dans la dernière colonne du

<footnote n="15">15. Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*,
1742.</footnote>
tableau 4.1.

<table><caption>TABLE 4.1 – Tableau de quelques résultats obtenus par Robins lors de ses expériences de tir, comparant les résultats réels aux prévisions établies par la théorie exposée dans la Proposition VII</caption><thead><tr><th>Numéro du tir</th><th>Longueur de la cavité contenant la poudre (ligne AF de la figure 4.3) (po.)</th><th>Quantité de poudre (Dw.)</th><th>Arc ascendant mesuré sur la bande du pendule (po.)</th><th>Résultat théorique prévu (po.)</th><th>Érreur par rapport à la théorie (po.)</th></tr></thead><tbody><tr><td>4</td><td>25/8</td><td>6</td><td>11,9</td><td>12,1</td><td>+,2</td></tr><tr><td>5</td><td>25/8</td><td>6</td><td>12,2</td><td>12,1</td><td>-,1</td></tr><tr><td>6</td><td>11/4</td><td>6</td><td>13,2</td><td>13,6</td><td>+,4</td></tr><tr><td>7</td><td>11/4</td><td>6</td><td>13,9</td><td>13,6</td><td>-,3</td></tr><tr><td>8</td><td>25/8</td><td>6</td><td>16,7</td><td>17,2</td><td>+,5</td></tr><tr><td>9</td><td>25/8</td><td>12</td><td>17,5</td><td>17,2</td><td>-,3</td></tr><tr><td>10</td><td>25/8</td><td>12</td><td>16,9</td><td>16,8</td><td>-,1</td></tr><tr><td>11</td><td>25/8</td><td>12</td><td>17,0</td><td>16,8</td><td>-,2</td></tr></tbody></table>

Cependant, en répétant les mêmes tests avec des charges plus faibles, de l'ordre d'au moins 1/12 de celles utilisées précédemment, les vitesses mesurées étaient nettement inférieures à celles prévues par Robins. Par exemple, les vitesses mesurées à la bouche du canon étaient d'environ 400 ft/sec, alors que la théorie en prévoyait 480 ft/sec. Robins avance alors l'hypothèse que la petite charge de poudre n'atteint pas la température élevée des charges plus importantes et perd sa chaleur plus rapidement à mesure que le gaz se dilate dans le canon.

Concernant cette proposition, A. R. COLLINS 2014 souligne que Robins, dans le Scholium, discute la portée de la théorie de balistique interne qu'il a développée : « La variété de ces expériences et la précision avec laquelle elles
correspondent à la théorie ne laissent aucune place au doute quant à la certitude [que] la théorie ... contient la détermination véritable et authentique de la force et du mode d'action de la poudre à feu. ... à partir de cette théorie, de nombreuses déductions peuvent être faites, de la plus grande importance pour la pratique de l'artillerie. Ainsi, l'épaisseur de la pièce, qui permettra de contenir sans éclater une quelconque charge de poudre, est facilement déterminée, dès lors que l'effort de la poudre est connu. »

### 4.3.4 Propositions relatives à la « poudre »

#### 4.3.4.1 Proposition X

> « Attribuer les variations de la force de la poudre à l'état différent de l'atmosphère »<fnref n="16" />.

Dans cette proposition, Robins examine s'il existe des différences significatives dans les effets et l'intensité de la combustion de la poudre, et, par conséquent, dans le volume du fluide élastique permanent, à différentes altitudes, en différentes saisons ou même à diverses heures du jour. Toutefois, il affirme que « je n'ai jamais pu découvrir de modification de l'atmosphère qui altère d'une quelconque manière l'action de la poudre », bien qu'il ait effectué des centaines de tirs dans des conditions variées.

Cependant, un facteur que Robins décrit comme ayant effectivement une influence directe sur l'action de la poudre, en produisant dans ce cas une certaine perte de puissance, est la présence d'humidité. Il affirme qu'il est certes difficile de spécifier la relation exacte entre le degré d'humidité et la perte de force de la poudre, mais que celle-ci est néanmoins évidente. Il détaille également un facteur intrigant observé dans ses expériences : dans les cas où il utilise la même poudre pour effectuer plusieurs tirs consécutifs (c'est-à-dire

<footnote n="16">16. Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*, 1742.</footnote>
avec la même concentration d'humidité dans chaque charge), les tirs suivants
au premier présentent de meilleures performances que le premier (bien que
toujours inférieures à celles d'une poudre parfaitement sèche). Robins suppose
que ce phénomène s'explique par le fait qu'après le premier tir, le canon de
la pièce d'artillerie s'échauffe, ce qui permet aux charges de poudre suivantes,
mises en contact avec le métal chaud, de sécher partiellement avant l'explosion.

Enfin, toujours au sujet de l'humidité, il avance qu'il s'agit également d'un
problème d'ordre chimique lié à la fabrication de la poudre. Robins affirme que
les poudres de moindre qualité peuvent contenir du chlorure de sodium (sel
de cuisine), en raison d'erreurs dans le processus de purification du salpêtre.
Et comme le sel absorbe davantage d'humidité que la poudre elle-même, une
poudre de mauvaise qualité rend l'humidité un facteur d'autant plus significatif
dans l'évaluation des performances d'une pièce d'artillerie.

4.3.4.2 Proposition XI

« Pour examiner la vitesse que la flamme de la poudre acquiert
en se propageant, en supposant qu'elle soit tirée dans une pièce
d'artillerie déterminée, sans boulet ni aucun autre corps devant
elle » <sup>17</sup>.

L'objet de cette proposition de Robins est de calculer la force des *pétards*,
dispositifs explosifs qui dépendaient uniquement de la force d'action de la
poudre (plus spécifiquement de la flamme, dans ce cas), car ils n'utilisaient
aucun type de projectile (voir la figure 4.6).

Robins commence son analyse en admettant que dans le cas d'un pétard, en
raison de la concentration de poudre à son intérieur, au moment de la combus-
tion, on ne peut pas supposer que toute la poudre se convertira simultanément

<footnote n="17">17. Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*,
1742.</footnote>
<figure><img src="image_10.png" /></figure>

FIGURE 4.6 – *Pétard*. Objet de forme conique, creux, rempli de poudre et fixé à un objet, généralement des murs, des portes ou des poteaux. Représentation de son utilisation sur une porte en bois d'une fortification. Sa force d'action a été calculée par Robins dans la proposition XI du traité. Image créée par LOCKETT 2020.

en fluide élastique. En effet, le poids même de cette partie élastique retardera
la combustion de la portion encore inélastique. Pour cette raison, il n'est pas
possible de déterminer la force de cette explosion uniquement par la théorie :
une expérience est nécessaire.

Pour l'expérience, comme il n'y a pas de projectile à lancer, Robins calcule
la vitesse de recul du pendule balistique auquel sa plaque est attachée au dis-
positif explosif. Cela le conduit à conclure que ces explosions sont équivalentes
à une balle ayant le double du poids de la charge du pétard, se déplaçant à
une vitesse de 1.400 à 1.500 ft/sec.

4.3.4.3 Proposition XII

« Pour vérifier la manière dont la flamme de la poudre propulse le boulet, lorsqu’il est placé à une distance considérable de la charge » <fnref n="18" />.

<footnote n="18">18. Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*,
1742.</footnote>
Après avoir confirmé, dans la proposition XI, que la poudre, au moment
de l'explosion, atteint des vitesses plus élevées lorsqu'elle pousse un projectile,
Robins se propose alors d'examiner les cas où la charge, c'est-à-dire le pro-
jectile, n'est pas en contact direct avec la poudre, mais placée à une certaine
distance de celle-ci dans le canon de la pièce d'artillerie.

Robins teste cette hypothèse à l'aide d'une pièce d'artillerie, en variant les
distances de positionnement du projectile par rapport à la poudre (qui, dans
tous les cas, occupe les 12 premières pouces du canon). Les expériences qu'il
réalise montrent que, dans le cas où le projectile est placé à 11 pouces de
distance de la poudre, il y a eu non pas une perte, mais bien une augmentation
de la vitesse du tir : de 1.200 ft/sec, ce qui aurait été attendu, à 1.400 ft/sec.

Robins considère ce résultat comme une confirmation de ce qu'il avait
avancé dans la proposition XI. En effet, en étant placé à cette distance de
la charge de poudre, la combustion de celle-ci s'est effectuée de manière à
permettre que la partie élastique, produite par la flamme au moment de l'ex-
plosion, ait eu le temps de consommer également la portion inélastique encore
non brûlée de la charge. Cela a permis à cette dernière de se joindre à l'onde
de choc, produisant ainsi cet accroissement considérable de la vitesse du pro-
jectile.

4.3.4.4 Proposition XIII

« Énumérer les différents types de poudre et décrire les méthodes
les plus appropriées pour en examiner la qualité » <fnref n="19" />.

Dans cette proposition, Robins se propose d'analyser différents types de
poudre, provenant de diverses nations et de différents fournisseurs au sein de
ces nations. Les principales distinctions qu'il utilise dans cette classification

<footnote n="19">19. Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*,
1742.</footnote>
des fournisseurs sont les suivantes : les poudres fournies par les gouvernements de ces nations, la poudre qu'il nomme « poudre de bataille », et la poudre commercialisée auprès des civils des pays analysés.

Concernant les poudres fournies par les gouvernements, Robins observe que les trois principales — la britannique, la française et l'espagnole — présentent, selon ses analyses et expériences, une qualité assez homogène. Il note que la poudre britannique est généralement reconnue comme étant de qualité supérieure, sans toutefois en adopter pleinement cette conclusion. En effet, s'il devait formuler une opinion personnelle, il classerait la poudre espagnole comme la meilleure parmi les trois. Mais il précise immédiatement que cette préférence repose sur une différence extrêmement minime — qu'il estime à une amélioration de l'ordre d'une cinquantième ou soixantième partie —, ce qui l'amène à conclure que ces trois poudres se situent globalement au même niveau de performance.

Quant à la poudre commerciale, celle vendue au grand public, il affirme qu'elle est de qualité bien plus médiocre et bien plus variable, rendant difficile toute évaluation comparative entre les pays, en raison de l'irrégularité des résultats. Toutefois, il est possible d'affirmer que toutes ces poudres sont inférieures à celles fournies par les gouvernements. Un autre constat qu'il établit concernant les poudres commerciales est que, parmi toutes celles analysées, la plus mauvaise était celle destinée au commerce africain.

Enfin, il affirme qu'une poudre de bonne qualité doit conserver une composition avoisinant les proportions suivantes : 75% de salpêtre, $12\frac{1}{2}\%$ de soufre et $12\frac{1}{2}\%$ de charbon. Il suggère également que la meilleure méthode existante pour tester la qualité de tout type de poudre est l'utilisation de son pendule balistique.
## 4.4 Une analyse du chapitre II

Dans ce chapitre, Robins élabore une série de propositions visant à établir des principes généraux permettant de déterminer la trajectoire d'un projectile en tenant compte de la résistance de l'air<fnref n="20" />. Il s'agit d'un problème déjà traité par Newton dans le Livre II des *Principia*, mais selon des hypothèses différentes. Alors que Newton étudie principalement des cas idéalisés avec une résistance proportionnelle au carré de la vitesse dans des milieux homogènes, Robins, quant à lui, remet en question cette règle. Avant d'introduire la première proposition, il rappelle que de nombreux auteurs ont adopté cette loi de manière tacite. Il illustre ainsi la règle admise selon laquelle « si un corps se déplace à une vitesse trois fois supérieure à une autre, alors la résistance qu'il subira sera neuf fois plus grande ». Ce sera précisément ce postulat que Robins interrogera au fil de ses propositions.

Robins affirme que cette règle est « excessivement erronée », comme il le démontrera dans le chapitre. Il admet toutefois qu'elle est « sans doute très proche de la vérité ». En tenant compte de cela, il précise que, dans les propositions de ce chapitre, il supposera que cette règle sera valable pour toutes les petites variations de vitesse d'un corps résisté. Ainsi, lorsque dans ses démonstrations il sera question de « résistance du milieu augmentée ou diminuée par la variation de la vitesse », cela ne comprendra pas l'augmentation ou la diminution qui résulterait de l'application de cette règle, mais bien une résistance supérieure ou inférieure à celle que le corps en mouvement devrait subir selon cette même règle.

<footnote n="20">20. Quelques années après la publication du traité de Robins, Leonhard Euler (1707-1783) proposera une formalisation mathématique plus complète de ce même problème, en y intégrant les équations différentielles du mouvement. Voir par exemple EULER 1765.</footnote>
### 4.4.1 Propositions relatives à l'établissement de la mé-thode de calcul de la trajectoire des projectiles

#### 4.4.1.1 Proposition I

> « Décrire les principes généraux de la résistance des fluides aux corps solides qui s'y déplacent »<fnref n="21" />.

Robins affirme d'emblée que, pour concevoir la résistance des fluides à un corps en mouvement, il est « nécessaire de distinguer entre ces fluides qui, étant comprimés par un poids incident, referment perpétuellement l'espace abandonné derrière celui-ci, et ceux dans lesquels (n'étant pas suffisamment comprimés) l'espace laissé derrière le corps en mouvement demeure vide pendant un certain temps ». Car, selon Robins, ces différences entre les fluides engendrent des variations très notables dans les lois de leur résistance, la manière dont l'air participe à chacune de ces affections devant être prise en considération.

À partir de cela, comme l'explique également A. R. COLLINS 2014 au sujet de cette proposition, Robins décrit, en se référant directement à Newton, les principes généraux du modèle newtonien de traînée appliqué aux corps se déplaçant dans un fluide. La traînée est proportionnelle à la surface de la section transversale du projectile dans la direction du mouvement. Il propose alors que la résistance augmente avec la vitesse, puisque le fluide ne peut pas se refermer derrière le projectile à grande vitesse comme il le peut à basse vitesse (en raison de la distinction entre les types de fluides dans lesquels le projectile se déplace, telle qu'exposée au début de la proposition), privant ainsi le projectile de l'impulsion vers l'avant qui lui serait fournie par la pression du fluide derrière lui. En conséquence, il avance que la traînée initiale sur un projectile cylindrique

<footnote n="21">21. Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*, 1742.</footnote>
pourrait être jusqu'à quatre fois plus élevée que celle qu'il subit plus tard au cours de son vol, une fois que sa vitesse a diminué, car la vitesse à laquelle le fluide peut se déplacer pour se refermer derrière la balle devient alors égale ou supérieure à celle de la balle, augmentant ainsi la pression à l'arrière de celle-ci. Par conséquent, sur ce point du traité, cet effet sera atténué dans le cas d'un projectile sphérique en raison de ses surfaces obliques, de sorte que la traînée initiale dans un tir avec boulet sphérique équivaudra plutôt à trois fois la traînée newtonienne à basse vitesse. À partir de ce raisonnement, il suggère qu'il est faux de supposer que la traînée soit proportionnelle au carré de la vitesse pour toutes les vitesses, comme l'ont soutenu nombre de ses contemporains.

### 4.4.1.2 Proposition II

> « Déterminer la résistance de l'air aux projectiles par des expériences »<fnref n="22" />.

Dans cette proposition, Robins réalise des essais afin de vérifier ce qu'il a avancé dans la proposition I. Il mesure la vitesse d'un mousquet conventionnel à l'aide de son pendule balistique, dont le calibre est de $\frac{3}{4}$ in. La vitesse du projectile est mesurée à 25 ft, 75 ft et 125 ft du canon. Les vitesses observées sont respectivement de 1670, 1550 et 1425 ft/sec. Cela représente une traînée équivalente à 120 fois le poids de la balle qui, pesant $\frac{1}{12}$ lb, équivaut à une force de traînée de 10 lb.

Comme le souligne A. R. COLLINS 2014, pour obtenir ce résultat, Robins a dû utiliser l'équation du mouvement :

$$v^2 = u^2 + 2ax \quad (4.27)$$

où $v$ est la vitesse finale; $u$ la vitesse initiale; $a$ l'accélération (dans ce cas,

<footnote n="22">²². Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*, 1742.</footnote>
la décélération due à la traînée) ; et $x$ la distance parcourue. En réorganisant et en substituant, on obtient :

$$a = \frac{1550^2 - 1670^2}{2 \times 50} = -3864 \text{ ft/sec}^2 \qquad (4.28)$$

En prenant $g$ comme étant –32 ft/sec², on obtient $a = 120g$. Étant donné que la balle pesait $\frac{1}{12}$ lb, cela correspond à une force de traînée de 10 lb.

Citant de nouveau Newton, Robins compare cette valeur à celle prédite par le modèle newtonien de traînée dans un fluide. En effet, comme mentionné, dans le second volume des *Principia*, Newton traite de la résistance aux mouvements dans les fluides. Toutefois, un point important doit être pris en compte, également mentionné par A. R. COLLINS 2014 : les mesures de traînée effectuées par Newton ont toutes été réalisées à basse vitesse. Il en a déduit que la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse, et plus précisément, que la force de traînée, $F_D$, est donnée par :

$$F_D = C_D \frac{1}{2} \rho A v^2 \qquad (4.29)$$

où $C_D$ est le coefficient de traînée (0,5 pour une sphère) ; $\rho$ la densité de l'air (0,074 lb/ft³) ; et $A$ l'aire de la section transversale du projectile ($\pi (\frac{3}{8} \frac{1}{12})^2$ ft²). Par conséquent, la traînée prédite par le modèle newtonien pour la balle de mousquet de Robins, voyageant à 1600 ft/sec, serait de $F_D = 145,3$ lb/ft². En prenant $g = 32$ ft/sec², cela donne $F_D = 4,5$ lbf<fnref n="23" />. Alors que, selon Robins, comme le souligne A. R. COLLINS 2014, le résultat obtenu était de $4\frac{1}{6}$ lb.

La mesure de Robins a indiqué une traînée de 10 lb, pour des projectiles se déplaçant à environ 1600 ft/sec. Autrement dit, une force entre deux et

<footnote n="23">23. Dans le système impérial, l'abréviation *lb* (du latin *libra*) désigne une unité de masse, équivalente à environ 0,453592 *kg* (voir Annexe D). L'expression *lb weight* ou *pound-force* (parfois abrégée en *lbf*) désigne une unité de force : elle correspond à la force exercée par la gravité sur une masse de 1 livre à la surface de la Terre, soit environ 4,44822 newtons. Cette distinction est importante, car dans des contextes scientifiques et historiques, comme les expériences de Robins, le mot « poids » désigne fréquemment la force, non la masse.</footnote>
trois fois supérieure à celle prédite par le modèle newtonien. Il répéta alors l'expérience en prenant la moyenne de cinq tirs sur une distance supérieure à 175 ft et constata que le rapport entre la traînée à haute vitesse et celle observée par Newton et d'autres dans des expériences à basse vitesse, était plus proche d'un rapport de 3 pour 1. En répétant les expériences pour des vitesses proches de 1000 ft/sec, Robins trouva que la traînée était environ 1,6 fois supérieure à celle prévue par le modèle newtonien.

Comme le résume A. R. COLLINS 2014 à ce stade, pour tester des vitesses encore plus basses, Robins mesura le temps de vol d'une balle avec une vitesse initiale de 400 ft/sec ; elles parcouraient généralement environ 950 ft en 4,25 sec. La formule de la traînée newtonienne pour le temps de vol sur cette distance est :

$$s = \frac{v_t^2}{g} \ln \left( \frac{v_t^2 g u t}{v_t^2} \right) \qquad (4.30)$$

où $v_t$ est la vitesse terminale en chute libre ($\sqrt{\frac{2mg}{C_D A \rho}}$), ce qui donne un temps de vol pour 950 ft de 3,2 sec. Ainsi, le temps de vol observé est plus long que celui prédit par la traînée newtonienne en $V^2$, d'un facteur de $(\frac{4,25}{3,2})^2 = 1,76$.

### 4.4.1.3 Proposition III

« Attribuer les différents accroissements de la puissance de résistance de l'air en fonction des différentes vitesses du corps résisté »<fnref n="24" />.

Dans cette courte proposition, Robins suggère que la traînée dépendante de la vitesse augmente de manière linéaire, à partir de la valeur prévue par la théorie newtonienne (valable pour les projectiles à faible vitesse), jusqu'à atteindre de 3 à 4 fois cette valeur pour des vitesses allant jusqu'à 1700 ft/sec.

<footnote n="24">24. Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*, 1742.</footnote>
#### 4.4.1.4 Proposition IV

> « Déterminer les vitesses auxquelles le mousquet et le boulet de canon sont déchargés de leurs pièces respectives avec leur charge habituelle de poudre »<fnref n="25" />.

Robins rappelle que, conformément à ce qui a été établi dans la Proposition VII du Chapitre 1 du traité, on peut affirmer que si une balle en plomb de $\frac{3}{4}$ in de diamètre et pesant presque $1\frac{1}{8}$ oz est tirée d'un canon de 45 in de long, avec une charge de poudre équivalente à la moitié de son poids, elle quittera cette pièce d'artillerie avec une vitesse telle que, si elle était constante, elle permettrait de parcourir près de 1700 ft en 1 seconde. À partir de cela, il réfléchit aux variations de cette vitesse dans le cas où la composition du projectile serait différente, autrement dit, si son poids était autre — comme, par exemple, s'il s'agissait d'un boulet en fer pesant 24 lb.

Robins calcule alors la charge qui fournirait la vitesse maximale à un boulet de canon. Il n'explicite pas ce calcul dans le texte de la proposition, mais il est évident qu'il s'appuie sur la Proposition VII du Chapitre 1²⁶. Il en déduit que la longueur de la charge nécessaire pour obtenir la vitesse maximale à la sortie du canon est égale à $\frac{1}{2,72}$ de la longueur totale du canon.

### 4.4.2 Propositions relatives à des cas plus spécifiques de l'application de la méthode

#### 4.4.2.1 Proposition V

> « Lorsqu'un boulet de canon de 24 livres de poids, tiré avec une charge complète de poudre, quitte pour la première fois la pièce, la

<footnote n="25">25. Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*, 1742.</footnote>

<footnote n="26">26. Un développement plus détaillé de ces calculs, non explicités par Robins ici, peut être consulté dans les notes de A. R. COLLINS 2014.</footnote>
résistance de l'air sur sa surface est supérieure à plus de vingt fois
son propre poids » <fnref n="27" />.

Dans cette proposition, Robins se propose d'analyser la pression exercée
sur un boulet de canon de 24 lb lorsqu'il est tiré avec une charge de 16 lb, car
il s'agissait là du standard adopté pour les tirs militaires de l'époque. En un
seul paragraphe, il affirme avoir calculé — sans détailler ses calculs — que la
vitesse à la bouche du canon est de 1650 ft/sec et que la pression initiale sur
le boulet s'élève à 540 lb de poids. Ce qui équivaut à presque 23 fois le poids
du boulet lui-même.

Cependant, A. R. COLLINS 2014 approfondit l'analyse de cette proposi-
tion et suppose que Robins s'est ici appuyé sur les dimensions d'un canon
Armstrong typique de 24 lb (un canon d'usage assez courant à l'époque dans
l'armée britannique), qui avait un calibre de 5,5 in et une longueur de 9½ pieds.
En supposant qu'il ait effectivement utilisé les mesures de ce canon, la masse
du boulet est de 24 lb, et la gravité spécifique du boulet en fer serait de 7,87.
En supposant que la densité de la poudre est de 230 grains/in³, alors 16 lb
occuperaient un volume de 481 in³; sous forme d'un cylindre de 5,5 in de dia-
mètre, cette charge aurait une longueur de 24 in. En remplaçant ces valeurs
dans l'équation donnant la vitesse à la bouche du canon, on obtient une valeur
de 1659 ft/sec.

4.4.2.2 Proposition VI

« La trajectoire décrite par le *Flight of Shot ou Shells* n’est ni une parabole, ni même approximativement une parabole, à moins qu’ils ne soient projetés avec de faibles vitesses » <fnref n="28" />.

<footnote n="27">27. Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*,
1742.</footnote>

<footnote n="28">28. Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*,
1742.</footnote>
Dans cette proposition, Robins revient sur la question — dans l'intention de la réfuter — de cette « théorie erronée » à laquelle il fait référence dans la préface de l'ouvrage (voir 4.2.3.1), selon laquelle la résistance de l'air peut être négligée, et que, par conséquent, le vol des projectiles et des obus suivrait une forme parabolique, avec une portée maximale atteinte lorsque le tir est effectué selon un angle de 45°.

Robins réfute cette théorie en analysant la trajectoire de deux types de tirs : celui d'une balle de mousquet qui, lorsqu'elle est tirée, atteint 1700 ft/sec, et celui d'un boulet de canon de 24 lb, qui voyage à 1650 ft/sec. Il analyse alors, théoriquement, la distance que ces projectiles devraient parcourir dans deux scénarios différents : l'un prenant en compte la résistance de l'air, l'autre l'ignorant.

Appuyé par ses propres expériences, ainsi que par les témoignages d'autres auteurs qu'il mentionne comme ayant réalisé des essais avec les mêmes projectiles, il constate que, dans les deux cas, si l'on néglige la résistance de l'air, la distance parcourue devrait être bien plus grande que celle effectivement observée. Dans le cas de la balle de mousquet, elle devrait atteindre 17 miles si l'on néglige la résistance de l'air, mais elle n'en atteint qu'½. Dans le cas du boulet de canon, elle devrait atteindre 16 miles sans résistance de l'air, alors que, dans les expériences réalisées, elle ne dépasse pas 3 miles.

### 4.4.2.3 Proposition VII

> « Les balles, dans leur vol, ne sont pas seulement déviées vers le bas par l'action de la gravité, mais elles sont également souvent déviées vers la droite ou vers la gauche de leur direction initiale par l'action d'une autre force »<fnref n="29" />.

<footnote n="29">29. Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*, 1742.</footnote>
Dans cette proposition, Robins décrit un phénomène qu'il a observé au cours de toutes ses expériences de tir à longue distance : les projectiles, en plus de courber vers le bas — ce qu'il attribue à l'effet de la force de gravité — présentent également une courbure latérale, c'est-à-dire sur l'axe horizontal du tir. À propos de cette courbure latérale, il affirme que ce déplacement n'est pas linéaire (c'est-à-dire qu'il n'augmente pas proportionnellement avec la distance), et que la cause possible de cette déviation n'est pas une erreur de visée ou une inclinaison du canon, mais bien un effet qui s'accentue au cours du vol.

Dans le *Scholium* de cette proposition, il suggère que cette courbure pourrait être causée par la rotation de la balle autour d'un axe ne coïncidant pas avec sa direction de progression. Ce mouvement affecterait la manière dont le projectile interagit avec l'air<fnref n="30" />.

#### 4.4.2.4 Proposition VIII

> « Si des projectiles de même diamètre et de même densité frappent une même substance solide avec des vitesses différentes, ils y pénétreront à des profondeurs différentes, lesquelles seront, à peu près, dans le rapport du carré de ces vitesses. En outre, la résistance des substances solides à la pénétration des projectiles est uniforme » <fnref n="31" />.

Dans cette dernière proposition du traité, Robins formule une remarque à propos de ses expériences avec le pendule balistique. Il observe que la profondeur à laquelle une balle de mousquet ordinaire pénètre dans la plaque du

<footnote n="30">30. Il convient de noter qu'aucune mention explicite n'est faite ici, dans cette proposition, à Newton ni à ses ouvrages. Cependant, Robins décrit ici un phénomène que Newton a lui aussi abordé, de manière très similaire, dans le Livre II des *Principia*. Newton suppose qu'il est possible qu'une rotation d'un objet entraîne une « déflexion latérale » de sa trajectoire, en raison de l'idée selon laquelle la pression exercée par l'air n'est pas symétrique lorsque le corps est en rotation. Aujourd'hui, ce phénomène est connu sous le nom d'effet Magnus.</footnote>

<footnote n="31">31. Traduction libre de l'énoncé original de Robins dans le *New Principles of Gunnery*, 1742.</footnote>
pendule varie en fonction de sa vitesse. Il formule alors que cette pénétration
se fait en proportion du carré de la vitesse. Autrement dit, un projectile se
déplaçant à 1700 ft/sec pénètre d'environ 5 in, tandis qu'une balle se dépla-
çant à 730 ft/sec ne pénètre que de ⅞ in. Le rapport des vitesses est donc de
2,33, tandis que le rapport des profondeurs est de 5,7, soit approximativement
2,332². Robins poursuit avec quelques exemples supplémentaires confirmant
ses résultats et conclut ainsi la proposition.

4.5 Les traités ultérieurs et les lettres de Robins

Le traité de Robins fut publié pour la première fois en 1742. Toutefois, en
raison de la grande répercussion qu'il suscita, y compris parmi les membres
de la *Royal Society*, Robins poursuivit ses analyses sur les mouvements des
projectiles d'artillerie et sur la résistance qu'ils rencontrent en raison de l'air.
Il publia ainsi cinq traités ultérieurs (ce qu'il avait d'ailleurs déjà exprimé son
intention de faire dans la préface même de l'ouvrage), étendant ses analyses à
davantage de cas, testant d'autres pièces d'artillerie, d'autres poids de projec-
tiles, d'autres conditions et compositions de poudres, etc.

Dans une nouvelle édition, publiée en 1805, Charles Hutton prit la direction
de la publication et décida d'y incorporer non seulement les cinq traités ulté-
rieurs que Robins avait rédigés après la parution de la première édition en 1742,
mais aussi certaines lettres dans lesquelles il revenait sur les mêmes probléma-
tiques. C'est cette version enrichie, adoptée comme source principale dans ce
travail, qui permet une analyse plus complète de l'ensemble des contributions
de Robins à la science balistique.
4.5.1 Les 5 traités subséquents

Avant les cinq traités, Hutton insère un récit relatant la manière dont le traité de Robins fut lu à la *Royal Society* l'année suivant sa première publication, en 1743. Cette lecture eut lieu en deux séances, les 14 et 21 avril <fnref n="32" />.

Ce récit résume les principales propositions, en mettant particulièrement en évidence les propositions VII et VIII du premier chapitre, dans lesquelles Robins expose sa théorie sur la vitesse des projectiles en fonction de la force de la poudre, ainsi que son pendule balistique. Le récit mentionne également l'accueil réservé par les membres de la société à l'ouvrage de Robins, lequel constituait, comme le décrit Hutton lui-même, une recherche de grande technicité et de grand raffinement dans un domaine encore peu exploré avec de tels moyens. Ce dont Robins, selon le récit, se sentait fier et ne manquait pas de se glorifier.

Concernant les traités, les trois premiers portent sur la résistance. Tous sont brefs, aucun ne dépassant vingt pages. Les deux premiers élargissent les méthodes de calcul applicables à la mesure de l'impact de la résistance de l'air sur la trajectoire des projectiles, en intégrant certains nouveaux types de projectiles (de tailles et de matériaux différents de ceux utilisés par Robins dans les deux chapitres du traité). Dans le troisième, Robins analyse plus en détail les portées des expériences relatives à la résistance de l'air effectuées à différentes époques — un sujet qu'il n'évoquait que brièvement dans le chapitre 1. Il présente cette étude sous forme de traité à la *Royal Society*.

Quant aux deux derniers, il s'agit, en résumé, d'analyses de nouveaux types de pièces d'artillerie à la lumière de la théorie développée par Robins. Dans le quatrième traité, il analyse divers types de projectiles militaires. Et dans le cinquième, uniquement des mortiers.

<footnote n="32">32. *Philosophical Transactions*, n° 469.</footnote>
Il convient de souligner ici que, comme cela a déjà été mentionné, ces cinq traités ultérieurs incorporés au *New Principles of Gunnery* n'apportent aucun enrichissement fondamental à la base théorique de Robins. Il s'agit plutôt d'élargissements d'analyses rendues possibles par cette théorie — par exemple, l'examen de davantage de types d'artillerie, ou l'introduction d'outils mathématiques supplémentaires susceptibles d'améliorer la mise en œuvre pratique de ladite théorie. Pour cette raison, aucune explication plus détaillée ne sera donnée sur chacun de ces traités ultérieurs, car l'essentiel, le cœur de la contribution de Robins à l'artillerie et à ces questions, est déjà suffisamment exposé dans l'analyse faite dans les sections 4.2, 4.3 et 4.4 du présent mémoire.

### 4.5.2 Les lettres de Robins

Concernant les lettres de Robins annexées à l'ouvrage, on en compte cinq. La première est une proposition que Robins adresse à la marine royale britannique, dans laquelle il affirme être en mesure d'en augmenter considérablement la « puissance ». (Cette proposition n'est pas désignée nominalement dans l'ouvrage comme une « lettre » de Robins; toutefois, en raison de sa structure et de son contenu, nous pouvons, à des fins de simplification, la considérer ici comme telle.)

La deuxième est particulièrement intéressante, car elle révèle le retentissement que le traité de Robins a suscité peu après sa première publication en 1742. Il s'agit d'une réponse adressée par Robins au président de la Royal Society de l'époque, Martin Folkes (1690-1754), à propos d'une demande que ce dernier avait reçue du roi de Sardaigne, Charles-Emmanuel III (1701-1773), sollicitant l'envoi d'un exemplaire du traité. La lettre n'est pas datée, mais comme Martin Folkes fut président de la *Royal Society* de 1741 à 1752, on peut raisonnablement en déduire que la demande du roi est survenue au plus tard dix ans après la publication londonienne. Ce fait témoigne du prestige
que Robins et son travail avaient déjà acquis à cette époque.

La troisième lettre est un remerciement que Robins adresse à Lord Anson (1697-1762) — Premier Lord de l'Amirauté de 1751 à 1756, puis de nouveau de 1757 à 1762 — pour lui avoir permis d'utiliser ses canons dans le cadre de certaines de ses expériences. En signe de gratitude, Robins lui envoie cette lettre, dans laquelle il partage quelques-uns de ses résultats préliminaires obtenus à partir de ces canons.

Enfin, les quatrième et cinquième lettres décrivent certains résultats qu’il a obtenus lors d’expériences menées avec des fusées. La première porte sur les hauteurs qu’elles peuvent atteindre, tandis que la seconde concerne des expériences plus étendues sur les fusées. Les deux lettres furent adressées à la *Royal Society* et y furent lues, respectivement en 1749 et 1750.
Conclusion

Tout au long de ce travail, nous avons cherché à comprendre comment
Benjamin Robins, un ingénieur autodidacte du XVIIIe siècle, a mobilisé les
concepts et méthodes de la philosophie naturelle newtonienne pour construire
une science de l'artillerie fondée sur des principes mathématiques et expérimen-
taux. Le choix de concentrer notre analyse sur le *New Principles of Gunnery*
et sur la *Démonstration de la onzième Proposition du Treatise of Quadratures*
s'est révélé particulièrement fécond, en ce qu'il a permis de mettre en évi-
dence à la fois la dimension théorique et l'ambition expérimentale du projet
robinsien. L'analyse de son traité *New Principles of Gunnery* et de ses autres
écrits a révélé un effort singulier de transposition des idées développées dans
les *Principia* de Newton vers un domaine jusque-là dominé par des pratiques
empiriques et des techniques de tradition artisanale.

L'importance de l'œuvre de Robins ne réside pas uniquement dans l'ori-
ginalité de ses expériences ou dans la précision de ses modèles, mais surtout
dans la manière dont il a contribué à la consolidation d'une nouvelle manière
de faire de la science : une manière qui articule théorie et pratique, calcul et
observation, au sein même de domaines jusque-là considérés comme extérieurs
à la philosophie naturelle.

Nous pouvons ainsi conclure que le travail de Robins représente un moment
décisif dans la constitution de la balistique en tant que discipline scientifique.
En appliquant les lois du mouvement de Newton à la réalité concrète des
tirs de canon, Robins inaugure une approche dans laquelle les phénomènes militaires commencent à être compris, prévus et optimisés à l'aide de modèles mathématiques fondés sur des données expérimentales.

À partir notamment de l'analyse développée au Chapitre 4, nous concluons que Robins ne se contente pas d'adopter les méthodes newtoniennes : il les réinvente en fonction des défis techniques de son temps. Son usage de la proportionnalité entre la pression et la densité du fluide élastique, le calcul de la vitesse du projectile par des intégrales associées à la force variable le long du canon, et sa critique des modèles idéalisés ignorant la résistance de l'air, révèlent une maîtrise conceptuelle et mathématique capable de produire de nouvelles formes de connaissance appliquée.

Ainsi, il apparaît clairement que Robins est une figure clé dans la diffusion et la transformation de la pensée newtonienne, non comme simple commen-tateur, mais comme acteur actif de sa reconfiguration pratique. Son œuvre constitue, par conséquent, un lien fondamental entre la philosophie naturelle du XVIIᵉ siècle et l'émergence de disciplines techniques modernes, structurées par des lois mathématiques et soumises à l'épreuve de l'expérience.
# Bibliographie

## Références publiées

BOYER, Carl B. (1959). *The History of the Calculus and Its Conceptual Development*. Dover Publications.

CLAGETT, Marshall (1968). *Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions: A Treatise of the Uniformity and Difformity of Intensities*. University of Wisconsin Press.

COHEN, I Bernard et George E SMITH (2002). *The Cambridge Companion to Newton*. Cambridge University Press.

COLLINS, A Richard et al. (1983). “Structural engineering : two centuries of British achievement”. In : *(*No Title*).

DEAR, Peter (2001). “Revolutionizing the sciences : European knowledge and its ambitions, 1500-1700”. In.

DIJKSTERHUIS, Eduard Jan (1986). *The Mechanization of the World Picture*. Princeton University Press.

EULER, Leonhard (1765). *Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum ex principiis mechanicis deducta*. Reimprimé dans *Opera Omnia*, Series 2, Volume 9. Petropoli : Academiae Imperialis Scientiarum Petropolitanae.

— (1922). *Nouveaux principes de l'artillerie : traduction allemande annotée de l'ouvrage de Benjamin Robins*. Sous la dir. de Friedrich Robert SCHERRER.
T. 14. Opera Omnia, Series Secunda, Opera mechanica et astronomica. Tra-
duction de l'anglais par Leonhard Euler, avec de nombreuses annotations
et quatre dissertations ballistiques. Leipzig et Berlin : B. G. Teubner.

GARBER, Daniel (2009). *Descartes' Metaphysical Physics*. University of Chicago Press.

GAUKROGER, Stephen (2006). *The Emergence of a Scientific Culture: Science and the Shaping of Modernity 1210–1685*. Oxford University Press.

GUICCIARDINI, Niccolò (1989). *The development of Newtonian calculus in Britain 1700-1800*. Cambridge University Press Cambridge.

HALL, Alfred Rupert (1952). *ballistics in the seventeenth century a study in the relations of science and war with reference principally to england*. CUP Archive.

KOYRÉ, Alexandre (1957). *From the closed world to the infinite universe*. T. 1. Library of Alexandria.

KUHN, Thomas S (1962). *The structure of scientific revolutions*. T. 962. University of Chicago press Chicago.

MACLAURIN, C. (1742). *A Treatise of Fluxions*. W. et T. Ruddimans, Edinburgh.

MERCATOR, N. (1668). *Logarithmothechnia; sive Methodus construendi Logarithmos Nova, accurata & facilis [...]*. Cui accedit vera quqdratura hyperbolæ et inventio summæ logarithmorum. M. Pitt, London.

MURRAY, Carl D. et Stanley F. DERMOTT (1999). *Solar System Dynamics*. Cambridge University Press.

NEWTON, Isaac (1687). “Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica”. In. — (1704). *Opticks : Or, A treatise of the reflections, refractions, inflexions and colours of light*. S. Smith, et B. Walford.

— (1711). *Analysis per Quantitatum Series, Fluxiones ac Differentias cum Enumeratione Linearum Tertii Ordinis*. ex officina Pærsoniana, London.
NEWTON, Isaac et John COLSON (1736). *The method of fluxions and infinite series : with its application to the geometry of curve-lines*. London : Printed by Henry Woodfall ; et sold by John Nourse. URL : https://archive.org/details/methodoffluxions00newt/page/20/mode/2up.

PANZA, Marco (1999). *Introduzione alla traduzione spagnola del De Methodis*, p. 46.

— (2012). “From velocities to fluxions”. In.

ROBINS, Benjamin (1726). “VI. A demonstration of the 11th proposition of Sir Isaac Newton’s treatise of quadratures”. In : *Philosophical Transactions of the Royal Society of London* 34.397, p. 230-236.

— (1805). *New Principles of Gunnery : Containing the Determination of the Force of Gunpowder, and Investigation of the Difference in the Resisting Power of the Air to Swift Ad Slow Motions.... By Benjamin Robins,... with an Account of His Life and Writings, by James Wilson, M. D ... Corrected, and Enlarged with the Addition of Several Notes, by Charles Hutton, LL. D. F. R. S. F. Wingrave, in the Strand.*

SHAPIN, Steven (2018). *The scientific revolution*. University of Chicago press.

STEELE, Brett D (1994). “Muskets and pendulums : Benjamin robins, leon-hard euler, and the ballistics revolution”. In : *Technology and Culture* 35.2, p. 348-382.

WALLIS, J. (1693). *De Algebra tractatus historucus et practicus*. Opera mathe-matica, e theatro Sheldoniano, Oxoniæ.

WHEWELL, William (2023). *History of the Inductive Sciences : Vol. 1*. BoD-Books on Demand.

WHITESIDE, Derek Thomas (1967). *The mathematical papers of Isaac Newton Vol. VII*. Cambridge University Press.

— (1981). *The mathematical papers of Isaac Newton Vol. VIII*. Cambridge University Press.
Références non publiées

COLLINS, A. R. (2014). *Benjamin Robins and the Mathematical Theory of Ballistics*. URL : https://www.arc.id.au/RobinsOnBallistics.html
(visité le 25/04/2024).

*Consorti Castel Sant Ferran Figures* (s. d.). Consulté le 10 mars 2025. URL : http://www.castillosanfernando.org/fr/Visite-Virtuelle/undefined.

COYAU (2009). *Wikimedia Commons*. Consulté le 10 mars 2025. URL : https://fr.wiktionary.org/wiki/orillon.

KILHIAN, Kleber (2022). *O Baricentro da Mente*. Consulté le 15 décembre 2024. URL : https://www.obaricentrodamente.com/2022/09/oloretto-das-fluxoes-de-newton.html.

LOCKETT, Christopher (2020). *Thoughts on Petards and Hoisting*. Consulté le 23 mars 2025. URL : https://cjlockett.com/2020/10/09/thoughts-on-petards-and-hoisting/.

SOUZA, Maria Rita Sefrian de (2012). “O ensino do Trivium e do Quadrivium, a linguagem e a historia na proposta de educação agostiniana”. In : *Imagens da Educação* 2.1, p. 1.

ZEFERINO JUNIOR, Jorge Luiz de Almeida (2021). “A study on Isaac Newton’s calculus of fluxions”. Mém. de mast. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
# Annexe A

## Chronologie de la vie et des publications de Benjamin Robins

— **1707** — Naissance de Benjamin Robins dans le comté de Devon, en Angleterre.

— **1720s** — Formation autodidacte en mathématiques et philosophie naturelle; il travaille comme apprenti auprès d'un ingénieur à Londres.

— **Vers 1730** — Débuts de ses publications dans les revues savantes; il commence à se faire connaître dans les cercles scientifiques londoniens.

— **1735–1739** — Travaux expérimentaux sur la résistance de l'air, la dynamique des projectiles et la force de la poudre.

— **1742** — Publication de *New Principles of Gunnery*, son œuvre maîtresse, qui marque une rupture dans la science balistique. Il y présente le pendule balistique comme outil de mesure de la vitesse des projectiles.

— **1743** — Lecture officielle du *New Principles of Gunnery* à la Royal Society en deux séances (14 et 21 avril).

— **1746** — Écrit un essai sur les fortifications pour le gouvernement britannique; commence à travailler en tant que conseiller militaire.

— **1749** — Est engagé par la Compagnie britannique des Indes orientales.
pour superviser les fortifications en Inde.

— **1750** — Départ pour l'Inde à bord d'un navire de la Compagnie; il est chargé d'inspecter et moderniser les défenses de Madras (Fort St. George).

— **1751** — Décès de Robins à Madras, peu après son arrivée.

— **1765** — Leonhard Euler publie *Theoria motus corporum solidorum* où il développe et intègre certaines idées de Robins, contribuant à leur diffusion en Europe continentale.

— **1805** — Publication d'une édition posthume augmentée du *New Principles of Gunnery*, éditée par Charles Hutton, avec une biographie de Robins rédigée par James Wilson (ROBINS 1805).
# Annexe B

## Transcription de 11ème

## Proposition de le Traité des

## Quadratures de NEWTON avec commentaires et traduction en français

### B.1 Transcription originale en latin de la proposition telle qu'elle figure dans l'ouvrage NEWTON 1704 (p. 371) (THEOR. VIII) :

> Sit ADIC Curva quævis Abscissam habens (Fig. 9.) AB = z & Ordinatam BD = y<fnref n="1" />, & fit AEKC Curva alia cujus Ordinata BE æqualis est prioris

<footnote n="1">1. Newton commence la proposition en définissant une courbe quelconque, spécifiant son abscisse (AB = z) et son ordonnée (BD = y). L'expression *Curva quævis* indique que son argument est valable pour toute courbe continue.</footnote>
areæ *ABC*, *ADB* ad unitatem applicatæ<fnref n="2" />, & *AFLC* Curva tertia cujus Ordnata *BF* æqualis est secundæ areæ *AEB* ad unitatem applicatæ<fnref n="3" />, & *AGMC* Curva quarta cujus Ordinata *BG* æqualis est tertiæ areæ *AFB* ad unitatem applicatæ, & *AHNC* Curva quinta cujus Ordinata *BH* æqualis est quartæ areæ *AGB* ad unitatem applicatæ, & sic deinceps in infinitum. Et sunto *A.*, *B.*, *C.*, *D.*, *E*. &c. Areæ Curvarum Ordinatas habentium *y*, *zy*, *z²y*, *z³y*, *z⁴y*, & Abscissam communem *z*<fnref n="4" />.

Detur Abscissa quævis $AC = t$, sitq; $BC = t - z = x$, & sunto $P, Q, R, S, T$ areæ Curvarum Ordinatas habentium $x, xy, xxy, x^3y, x^4y$ & Abscissam communem $x$.

Terminenter autem hæ areæ omnes ad Abscissam totam datam *AC*, nec non ad Ordinatam positione datam & infinite productam $CI^5$: & erit arearum sub initio positarum prima $ADIC = A = P$, secunda $AEKC = tA - B = Q$. Tertia *AFLC* = $\frac{ttA-2tB+C}{2} = \frac{1}{2}R$. Quarta $AGMC = \frac{t_2A-3ttB+3tC-D}{6} = \frac{1}{6}S$. Quinta $AHNC = \frac{t_4A-4t_3B+6ttC-4tD+E}{24} = \frac{1}{24}T$.

## COROL.

Unde si Curvæ quarum Ordinatæ sunt $y, zy, z^2y, z^3y$, &c. vel $y, xy, x^2y, x^3y$, &c. quadrari possunt, quadrabuntur etiam Curvæ *ADIC*, *AEKC*, *AFLC*, *AGMC*, &c. & habebuntur Ordinatæ *BE*, *BG*, *BH* areis Curvarum proportionales.

## SCHOLIUM.

Quantitatum fluentium fluxiones esse primas, secundas, tertias, quartas,

<footnote n="2">2. Ici, Newton définit une deuxième courbe dont l'ordonnée *BE* représente l'aire sous la courbe initiale. L'expression *ad unitatem applicatæ* suggère que cette aire est prise relativement à une unité de référence, c'est-à-dire qu'elle est normalisée.</footnote>

<footnote n="3">3. Newton construit successivement des courbes dont l'ordonnée représente la quadrature de la courbe précédente. Ce processus correspond à la détermination de primitives successives dans le langage moderne.</footnote>

<footnote n="4">4. Les coefficients *A.*, *B.*, *C.*, *D.*, *E.* représentent les aires accumulées successives des courbes construites. Ces coefficients suivent une structure combinatoire qui sera plus tard associée au développement binomial.</footnote>

<footnote n="5">5. Newton indique que toutes ces aires sont calculées jusqu'à une abscisse finale *AC* et qu'elles sont mesurées relativement à une ordonnée qui peut être étendue indéfiniment.</footnote>
aliasq, diximus supra. Hæ fluxiones sunt ut termini serierum infinitarum conver-
gentium<fnref n="6" />. Ut si $z^n$ sit quantitas fluens & fluendo evadat $\overline{z+o}^n$, deinde resolva-
tur in seriem convergentem<fnref n="7" /> $z^n + noz^{n-1} + \frac{nn-n}{2}ooz^{n-2} + \frac{n3-3nn+2n}{6}o^3z^{n-3} + \&c.$
terminus primus hujus seriei $z^n$ erit quantitas illa fluens, secundus $noz^{n-1}$ erit
ejus incrementum primum seu differentia prima cui nascenti proportionalis est
ejus fluxio prima, tertius $\frac{nn-n}{2}oz^{n-2}$ erit ejus incrementum secundum seu dif-
ferentia secunda cui nascenti proportionalis est, & sic deinceps in secunda,
quartus $\frac{n3-3nn-2n}{6}o^3z^{n-3}$ erit ejus incrementum tertium seu differentia tertia
cui nascenti fluxio tertia proportionalis est, & sic deinceps in infinitum.

Exponi autem possunt hæ fluxiones per Curvarum Ordinatas *BD*, *BE*,
*BF*, *BG*, *BH*, &c. Ut si Ordinata *BE* (= $\frac{ADB}{1}$) sit quantitas fluens, erit
ejus fluxio prima ut ordinata *BD*<fnref n="8" />. Si *BF* (= $\frac{AEB}{1}$) sit fluens, erit ejus fluxio
prima ut Ordinata *BH* & fluxio secunda ut Ordinata *BD*. Si *BH* (= $\frac{AGB}{1}$)
sit quantitas fluens, erunt ejus fluxiones, prima, secunda, tertia & quarta, ut
Ordinatæ *BG*, *BF*, *BE*, *BD* respective.

Et hinc in æquationibus quæ quantitates tantum duas incognitas invol-
vunt, quarum una est quantitas uniformiter fluens & altera est fluxio quælibet
quantitatis alterius fluentis, inveniri potest fluens illa altera per quadraturam
Curvarum<fnref n="9" />. Exponatur enim fluxio ejus per Ordinatam *BD*, & si hæc sit
fluxio prima, quæratur area $ADB = BE \times 1$, si fluxio secunda, quæratur area
$AFB = BF \times 1$, si fluxio tertia, quæratur area $AFB = BG \times 1$, &c. & area
inventa erit exponens fluentis quæsitæ.

Sed & in æquationibus quæ fluentem & ejus fluxionem primam sine altera

<footnote n="6">6. Newton relie ici les fluxions (ce que nous appelons aujourd'hui des dérivées) aux termes d'une série infinie. Il utilise le développement binomial pour exprimer ces relations.</footnote>

<footnote n="7">7. Ce passage explique comment obtenir les fluxions à partir du développement d'une puissance. Newton suppose qu'une quantité fluente $z^n$ croît légèrement, en remplaçant $z$ par $z+o$, puis en développant $(z+o)^n$ en série.</footnote>

<footnote n="8">8. Newton établit une relation entre les courbes et leurs fluxions successives : l'ordonnée de la courbe précédente fournit la variation continue de la courbe suivante.</footnote>

<footnote n="9">9. Il suggère que dans une équation impliquant une quantité fluente et sa fluxion, la quantité fluente peut être déterminée en trouvant l'aire sous la courbe correspondante. Cette méthode est une approche générale pour résoudre des équations différentielles.</footnote>
fluente, vel duas ejusdem fluentis fluxiones, primam & secundam, vel secundam & tertiam, vel tertiam & quartam, &c. sine alterutra fluente involvunt: inveniri possunt fluentes per quadraturam Curvarum. Sit æquatio $a\dot{a}v = av + vv$, existente $v = BE$, $\dot{v} = BD$, $z = AB$ & $\dot{z} = 1$<fnref n="10" />, & æquatio illa complendo dimensiones fluxionum, evadet $aav = avz + vv\dot{z}$, seu $\frac{a\dot{a}v}{av+vv} = \dot{z}$. Jam fluctuat $v$ uniformiter & sit ejus fluxio $\dot{v} = 1$ & erit $\frac{aa}{av+vv} = \dot{z}$, & quadrando Curvam cujus Ordinata est $\frac{aa}{av+vv} = \dot{z}$ & Abscissa $v$, habebitur fluens $z$. Ad hæc sit æquatio $a\dot{a}v = a\dot{v} + \dot{v}v$ existente $v = BF$, $\dot{v} = BE$, $\ddot{v} = BD$ & $z = AB$ & per relationem inter $\ddot{v}$ & $\dot{v}$ seu $BD$ & $BE$ invenietur relatio inter $AB$ & $BE$ ut in exemplo superiore. Deinde per hanc relationem invenietur relatio inter $AB$ & $BF$ quadrando Curvam AEB.

Æquationes quæ tres incognitas quantitates involvunt aliquando reduci possunt ad æquationes quæ duas tantum involvunt, & in his casibus fluentes invenientur ex fluxionibus ut supra. Sit æquatio $a - bx^m = cxy^n\dot{y} + dy^2n\dot{y}\dot{y}$: Ponatur $y^n\dot{y} = \dot{v}$ & erit $a - bx^mcx\dot{v} + dv\dot{v}$. Hæc æquatio quadrando Curvam cujus Absissa est $x$ & Ordinata $\dot{v}$ dat aream $v$, & æquatio altera $y^n\dot{y} = \dot{v}$ regrediendo ad fluentes dat $\frac{1}{n+1}y^{n+1} = v$. Unde habetur fluens $y$.

Quinetiam in æquationibus quæ tres incognitas involvunt & ad æquationes quæ duas tantum involvunt reduci non possunt, fluentes quandoq; prodeunt per quadraturam Curvarum<fnref n="11" />. Sit æquatio $\overline{ax^m + bx^n}|^P = \text{rex}^{r-1}y^s + \text{sex}^r\dot{y}y^{s-1} - f\dot{y}y^t$, existente $x = 1$. Et pars posterior $\text{rex}^{r-1}y^s + \text{sex}^r\dot{y}y^{s-1}$, quæ proinde est ut area Curvæ cujus Abscissa est $x$ & Ordinata $\overline{ax^m + bx^n}|^P$, & inde datur fluens $y$.

Sit æquatio $\dot{x} \times \overline{ax^m + bx^n}|^P = \frac{d\dot{y}y_{n-1}}{\sqrt{e+ty_n}}$. Et fluens cujus fluxio est $\dot{x} \times \overline{ax^m + bx^n}|^P$ erit ut area Curvæ cujus Abscissa est $x$ & Ordinata est $\overline{ax^m + bx_n}|^P$.

<footnote n="10">10. Un exemple concret de la manière dont une équation contenant des fluxions peut être résolue. Il suggère que $v$, dont la fluxion est $BD$, peut être déterminée en quadraturant la courbe.</footnote>

<footnote n="11">11. Ici, Newton reconnaît que, dans certains cas, les équations impliquant trois quantités fluentes ne peuvent pas être réduites à deux, mais elles peuvent néanmoins être résolues par quadratures.</footnote>