# Formation initiale des professeurs des écoles à l'institutionnalisation des savoirs : analyse d'un dispositif de type jeu de rôles

Carine Frappier-Jego

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Carine Frappier-Jego. Formation initiale des professeurs des écoles à l'institutionnalisation des savoirs : analyse d'un dispositif de type jeu de rôles. 2025. hal-05365408

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Preprint submitted on 14 Nov 2025

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FORMATION INITIALE DES PROFESSEURS DES ÉCOLES
À L'INSTITUTIONNALISATION DES SAVOIRS :
ANALYSE D'UN DISPOSITIF DE TYPE JEU DE RÔLES

Carine FRAPPIER-JEGO*

TRAINING PRESERVICE PRIMARY SCHOOL TEACHERS IN THE
INSTITUTIONNALIZATION OF KNOWLEDGE: ANALYSIS OF A
ROLE-PLAYING ACTIVITY

**Abstract** – This research concerns t-he initial training of school teachers, with a particular focus on designing, implementing and evaluating the effects of a training concerning institutionalization. We have chosen the subject of quantities and measurements, and more specifically the “capacity” quantity, to implement this research. We mobilise different theoretical frameworks, such as the theory of didactical situations, the anthropological theory of didactics, the training in role-playing and the dual didactic and ergonomic approach, to answer our research question: which methods and knowledge regarding the institutionalization of knowledge in the area of quantities and measurement appear when preservice teachers participate in a role-playing training? To answer this question, we use a method called didactic engineering for training. The training situation that we analysed is composed of two starting activities in order to present answers to our research questions. During role-playing, the PES mobilize the knowledge they have previously acquired in training in their institutionalization practices. The study highlights the importance of mathematical knowledge for primary school teachers, and the need to work on it in initial training.

**Key words:** Primary teachers education, institutionalization process, quantity and measurement, role-playing, dual didactic and ergonomic approach.

LA FORMACIÓN INICIAL DE LOS MAESTROS DE INFANTIL Y
PRIMARIA EN PRACTICAS DE LA INSTITUCIONALIZACIÓN DE
LOS CONOCIMIENTOS: ANALISIS DEL JUEGO DE ROL.

<footnote>* ISFEC Bretagne ; Univ Brest, Univ Rennes, CREAD, F-29200 Brest, France ; Carine.Jego@ac-rennes.fr</footnote>
**Resumen** – Esta investigación se refiere a la formación inicial de los maestros de Infantil y Primaria, con especial atención al diseño, la aplicación y la evaluación de los efectos de la formación de institucionalización. Hemos elegido el ámbito de las magnitudes y medidas, y más concretamente el de la magnitude de contenido, para llevar a cabo esta investigación. Nos referimos a diferentes marcos teóricos, como la teoría de las situaciones didácticas, la teoría antropológica didáctica, el juego de rol en la formación y el enfoque dual didáctico y ergonómico para responder a nuestra pregunta de investigación: ¿cuáles son los conocimientos y prácticas emergentes de los maestros en formación en relación con la institucionalización del conocimiento, en el ámbito de las magnitudes y las medidas, que se ponen de manifiesto en el momento de la implementación del juego de rol y su análisis? Para responder a esta pregunta, utilizamos la Ingeniería Didáctica de la Formación (IDF) como metodología de investigación. La situación de formación analizada en el marco de esta IDF se compone de dos actividades de imprimación la que analizamos en este artículo para presentar algunas respuestas a nuestras preguntas de investigación. Esta investigación nos ha permitido demostrar que el juego de rol es un contexto de formación que permite acercarse a la complejidad del aula. Durante el juego de roles, los maestros movilizan los conocimientos que han adquirido previamente en la formación en sus prácticas de institucionalización. El estudio pone de manifiesto la importancia que debe concederse a los conocimientos matemáticos de los maestros en formación y, por tanto, la necesidad de trabajarlos en la formación.

**Palabras-claves:** formación de maestros, proceso de institucionalización, magnitudes y medidas, juegos de rol, doble enfoque didáctico y ergonómico.

## RÉSUMÉ

Cette recherche concerne la formation initiale des professeurs des écoles,
en s'intéressant plus particulièrement à concevoir, mettre en œuvre et
évaluer les effets d'une formation à l'institutionnalisation. Nous avons
choisi le domaine des grandeurs et mesures, et plus particulièrement la
grandeur contenance pour mettre en œuvre cette recherche. Nous
mobilisons différents cadres théoriques tels que la théorie des situations
didactiques, la théorie anthropologique du didactique, le jeu de rôles en
formation et la double approche didactique et ergonomique pour
répondre à la question de recherche : quelles sont les connaissances et les
pratiques émergentes des Professeurs des Écoles Stagiaires (PES) en lien
avec l'institutionnalisation des savoirs, dans le domaine des grandeurs et
mesures, qui se révèlent au moment de la mise en œuvre d'un jeu de
rôles en formation ? Pour répondre à cette question, nous utilisons
l'Ingénierie Didactique de Formation (IDF) comme méthodologie de
recherche. La situation de formation analysée dans le cadre de cette IDF
est constituée de deux activités amorces que nous analysons dans cet
article afin de présenter des éléments de réponses à la question de
recherche. Cette recherche montre que le jeu de rôles est un contexte de
formation qui permet d'approcher la complexité de la classe. A
l'occasion du jeu de rôles, les PES mobilisent dans leurs pratiques
d'institutionnalisation des connaissances construites précédemment en
formation. L'étude met en lumière l'importance qu'il convient
d'accorder aux connaissances mathématiques des PES et donc la
nécessité de les travailler en formation.

**Mots-Clés** : formation des enseignants, processus d'institutionnalisation, grandeurs et mesures, jeu de rôles, double approche didactique et ergonomique.

INTRODUCTION

Le guide cycle 2 du plan mathématique (MEN, 2021) précise que
le professeur doit identifier et hiérarchiser avec les élèves les
connaissances qui émergent des phases de recherche qu’ils ont
vécues. Cela doit aboutir à la construction d’un texte de savoir qui
explicitera les connaissances apprises et que les élèves
mémoriseront pour les réutiliser dans d’autres situations. A
l’occasion de visites formatives dans les classes, nous avons pu
constater que les textes de savoir proposés par les Professeurs des
Écoles Stagiaires (PES) ne sont pas toujours, voire rarement, en
lien avec ce qui a été découvert par les élèves dans les phases de
recherche et de mise en commun. Ce constat va dans le sens des
travaux de Charles-Pézard et al. (2012) qui ont montré que les
professeurs des écoles en ZEP<fnref n="1" /> présentaient une résistance face à
l’institutionnalisation et que ce problème pouvait mettre en
difficulté les élèves. Ainsi, il nous semble pertinent de
questionner les conditions de formation qui peuvent contribuer à
une évolution de ces pratiques d’institutionnalisation des PES en
mathématiques. Nous entendons par pratiques, tout ce que
l’enseignant met en œuvre avant, pendant et après la classe
(Robert, 2008). Allard (2015) a montré dans ses travaux que le
savoir en jeu influence le processus d’institutionnalisation. Nous
avons donc choisi un savoir précis en lien avec le domaine des
grandeurs et mesures pour mettre en œuvre notre recherche. En
effet, nous avons pu constater que ce domaine mathématique est
un domaine délaissé par les professeurs expérimentés et qu’il est
très souvent confié aux PES (Frappier, 2016). Nous avons

<footnote n="1">¹ ZEP : Zone d'Éducation Prioritaire</footnote>
également montré (Frappier-Jego, 2021) que pour la grandeur contenance, les propositions faites par les manuels et les enseignants vont beaucoup trop vite vers la mesure contrairement à ce que préconisent les recherches en didactique des mathématiques (Perrin-Glorian, 2002 ; Ligozat, 2008 ; Javoy et al., 2019). Nous avons donc construit une situation de référence<fnref n="2" /> permettant de travailler l'attendu des programmes de cycle 2 (MEN, 2020a) : « comparer des contenances sans recours à la mesure ».

La problématique générale de notre recherche pourrait être formulée ainsi : « Quels sont les effets d'une formation sur les connaissances professionnelles et les pratiques d'institutionnalisation des PES dans le domaine des grandeurs et mesures ? ». Nous cherchons à montrer comment les PES interrogent la pertinence, la consistance et l'intérêt didactique de différentes ressources notamment pour en faire usage afin d'élaborer une séquence d'apprentissage en vue de permettre à des élèves de cycle 2 (élèves âgés de 6 à 9 ans) d'acquérir les savoirs visés en lien avec la grandeur contenance<fnref n="3" />. Cette recherche vise donc à construire une situation de formation qui sera proposée à des PES puis à étudier les pratiques d'institutionnalisation de ces PES qui ont suivi la formation. Nous n'avons pas la prétention de répondre à cette question en toute généralité mais bien dans les limites de notre méthodologie. Pour y répondre, nous avons mené une analyse du savoir en jeu pour ensuite proposer une situation de formation que nous analysons dans le cadre d'une Ingénierie Didactique de Formation (IDF) (Artigue, 1990). Cette situation de formation est constituée de deux activités amorces (Mangiante et al., 2016). Une première où la formatrice identifie des connaissances mathématiques, didactiques et pédagogiques avec les formées<fnref n="4" /> à partir de l'analyse de documents officiels et d'une sélection de manuels.

<footnote n="2">² Une situation de référence est une situation permettant d'aborder les aspects essentiels de l'enseignement visé (Bueno-Ravel et Le Poche, 2011). Cette terminologie relève du vocabulaire professionnel de l'enseignant. En TSD, ce terme renvoie à une situation adidactique (Brousseau, 1998).</footnote>

<footnote n="3">³ Ce travail de recherche a été réalisé dans le cadre des programmes français de 2020 (MEN, 2020a).</footnote>

<footnote n="4">⁴ Les PES inscrites à la formation sont uniquement des femmes.</footnote>
Une seconde, basée sur l'utilisation d'un jeu de rôles (Lajoie & Pallascio, 2001 ; Lajoie, 2018 ; Guille-Biel Winder et al., 2019) qui met au travail la situation de référence précédemment présentée. Nous présentons dans cet article l'analyse de ces deux activités amorces en portant une attention plus particulière à la seconde.

Pour cela, nous commencerons par présenter les différents cadres théoriques et la revue de travaux mobilisés dans cette recherche ainsi que la méthodologie utilisée puis nous exposerons les résultats obtenus et nous les discuterons.

# CADRES THÉORIQUES ET REVUE DE TRAVAUX

## Les grandeurs et mesures dans l'enseignement.

Dans la lignée des travaux de Anwandter-Cuellar (2014), Molvinger et Munier (2014) et Assude et al. (2022), nous questionnons dans notre recherche l'enseignement du domaine grandeurs et mesures. Pour cela, nous commençons par définir les concepts en jeu dont celui de contenance puis nous analysons ce que préconisent les programmes officiels en vigueur.

Des études (Passelaigue, 2011) montrent que des définitions très variées de la grandeur sont proposées. Elles sont très souvent liées au concept de mesure. Ces deux concepts semblent indissociables, la grandeur ne semblant pouvoir être définie que par son lien avec la mesure. L'APMEP (1982) s'est essayée à une définition de la grandeur qui ne fait pas référence à la mesure : « On appelle grandeur tout caractère d'un objet susceptible de variations chez cet objet ou d'un objet à un autre » (APMEP, 1982, p. 11). Cette définition semble aujourd'hui largement partagée dans le contexte de l'enseignement primaire (Loison et al., 2023), c'est la définition que nous retiendrons dans notre étude. En ce qui concerne la mesure nous adoptons celle de Passelaigue (2011) : « la mesure est l'évaluation d'une grandeur par comparaison avec une grandeur de même espèce prise comme référence » (Passelaigue, 2011, p. 50). Dans notre étude nous questionnons l'enseignement de la grandeur contenance. « La contenance est tantôt définie comme un volume de liquide contenu dans l'objet à un instant donné, tantôt il s'agit du volume maximal que l'objet peut contenir. » (Molvinger et Munier, 2014, p. 38) Nous retiendrons la deuxième acception dans notre étude. Dans ce cas, le volume d'un objet contenant fait référence à sa
contenance si ses parois ont une épaisseur nulle, ce qui est souvent admis en mathématiques où on considère des objets idéaux (Marchand et al., 2021). La construction du volume engendre des difficultés pour les élèves. Piaget et Inhelder (1968) ont montré que si les enfants sont capables de reconnaître des situations dans lesquelles la quantité de matière se conserve à partir de 7-8 ans, il faut attendre 11-12 ans pour qu’ils soient conservants sur le volume.

Les concepts en jeu étant définis, nous pouvons maintenant nous poser la question de leur enseignement. Le domaine des grandeurs et mesures figure dans les programmes de mathématiques de l'école élémentaire (MEN, 2020a, 2020b). Seule l'étude des grandeurs est traitée en maternelle. En cycle 1, les élèves manipulent des objets afin de distinguer divers types de critères dont la longueur, la masse et la contenance. Ce n'est qu'en cycle 2 qu'on voit apparaître le concept de mesure de ces trois grandeurs dans les programmes. Les situations qui permettent de construire ces concepts sont progressives : comparaison directe, comparaison indirecte puis mesurage. C'est cette dernière proposition qui donne accès à la mesure au sens mathématique mais les programmes précisent que « les premières activités visent à construire chez les élèves le sens de la grandeur, indépendamment de la mesure et avant que celle-ci n'intervienne » (MEN, 2020a, p. 55). Cette approche des grandeurs est nourrie par les travaux de Piaget et Inhelder (1968) qui ont montré que certains enfants pourtant capables de mesurer n'étaient pas « conservants », montrant ainsi qu'une centration sur la mesure pouvait masquer un défaut de conceptualisation des grandeurs. Cette approche préconisée par les programmes est soutenue par de nombreux didacticiens des mathématiques (Perrin-Glorian, 2002; Rouche, 2006; Pressiat, 2009; Anwandter-Cuellar, 2014) qui soulignent l'importance de conceptualiser la grandeur avant de la mesurer. C'est l'approche que nous suivrons dans notre recherche. Il faut cependant savoir que d'autres auteurs considèrent que les activités de comparaison et de mesure ne doivent pas être successives mais simultanées. Les débats persistent donc entre chercheurs.
## L'institutionnalisation dans la Théorie des Situations Didactiques

Dans notre recherche, nous considérons l'institutionnalisation dans la lignée des travaux de recherche issus de la Théorie des Situations Didactiques (TSD).

Dans cette théorie, les chercheurs ayant travaillé sur l'institutionnalisation la conçoivent comme un processus qui permet de construire des savoirs à partir de connaissances inscrites dans une situation. Dans son glossaire, Brousseau (2010) précise qu'une situation d'institutionnalisation est « une situation qui se dénoue par le passage d'une connaissance de son rôle de moyen de résolution d'une situation d'action, de formulation ou de preuve, à un nouveau rôle, celui de référence pour des utilisations futures, personnelles ou collectives » (Brousseau, 2010, p. 4).

Ce processus qui va permettre d'aboutir à la construction de références est, selon Perrin-Glorian (1997), progressif et nécessite du temps. Elle distingue trois niveaux dans ce processus d'institutionnalisation :

* Les institutionnalisations locales réalisées juste après une résolution de problème.

* Les institutionnalisations qui permettent de mettre en relation l'ancien et le nouveau. Ces institutionnalisations se rencontrent essentiellement dans les articulations entre les différentes séances au sujet d'une même notion.

* Les institutionnalisations plus globales qui renvoient à l'émergence du concept.

Dans le cadre de notre recherche, nous nous intéressons au premier niveau de l'institutionnalisation, juste après la résolution d'un problème, les institutionnalisations locales.

Allard (2015) pose l'existence d'une double dimension dans ce processus d'institutionnalisation : une dimension sociale où les différents acteurs sont amenés à échanger sur le savoir pour lui donner un statut officiel et une dimension cognitive, où l'enseignant doit offrir aux élèves les conditions nécessaires à l'appropriation et à la mémorisation des concepts. Pour cela, Brousseau (1998) rappelle l'importance de mettre en commun, de partager les connaissances pour que celles-ci puissent avoir l'occasion de passer progressivement du statut de connaissances privées au statut de savoir à conserver en mémoire. Chevallard (1991) souligne que cette permanence du savoir, ainsi que sa diffusion, sont permises par le texte de savoir, qu'il soit écrit ou
oral. Dans ses recherches, Allard (2015) différencie les textes de savoir écrits des textes de savoir oraux. En effet, elle émet l'hypothèse que les textes de savoir oraux renvoient plus à des phases de rappel ou de formulation. Les textes de savoir écrits ont une fonction de synthèse et permettront aux élèves de mémoriser le savoir.

C'est un de ces aspects de la mise en œuvre du processus d'institutionnalisation que nous mettons au travail dans notre proposition de formation : amener les PES à prendre en compte les recherches des élèves pour expliciter, avec eux, le savoir à construire et à mémoriser en terminant ce processus par la co-construction d'un texte de savoir écrit (Butlen et al., 2014).

Comme nous l'avons précisé en introduction, Allard (2015) a montré dans ses travaux que le savoir en jeu influence le processus d'institutionnalisation. Nous avons donc analysé dans notre étude le savoir à enseigner et pour cela nous avons utilisé le cadre théorique de la Théorie Anthropologique du Didactique.

## La Théorie Anthropologique du Didactique (TAD)

Selon Chevallard (1991), les humains vivent dans différentes institutions qui façonnent les savoirs. Le savoir savant est créé par des experts. Il doit ensuite être adapté à chaque institution selon des objectifs, des contraintes et des attentes propres à ces institutions. C'est ce que Chevallard (1991) appelle la transposition didactique. La TAD propose de modéliser ce que les humains font avec ces savoirs par des « praxéologies ». Cette organisation que Chevallard (1998) note $[T/τ/θ/Θ]$ combine la pratique $[T/τ]$ et ses fondements théoriques $[θ/Θ]$. Dans ce quadruplet, le type de tâches T organise les tâches qui vont être proposées aux élèves. Dans notre recherche, par exemple, le type de tâches « comparer des contenances ». La manière d'exécuter le type de tâches est appelée technique $τ$. Le discours qui justifie la technique est appelé technologie $θ$. La technologie a, à son tour, besoin d'une justification que l'on appelle la théorie $Θ$. Castela (2008) distingue plusieurs fonctions possibles de la technologie, vis-à-vis de la technique : valider la technique, expliquer la technique, décrire la technique, faciliter la mise en œuvre de la technique, motiver la technique et les gestes qui la composent et enfin évaluer la technique. Dans notre recherche, nous nous centrerons pour la technologie sur sa fonction d'explicitation de la technique.
## Le cadre d'analyse des situations de formation

Pour analyser la situation de formation proposée, nous utilisons le cadre d'analyse des situations de formation de Mangiante et al. (2016). Dans ce cadre, les situations de formation sont celles qui impliquent des formés (pour nous les PES) et des formateurs, ici au sein d'un institut de formation d'enseignants. « De telles situations consistent en un ensemble de tâches pouvant être proposées par un formateur à des formés autour d'une activité que nous nommons activité amorce. Il peut s'agir, par exemple, d'une situation par homologie [...], d'une situation basée sur la comparaison de manuels scolaires » (Mangiante et al., 2016, p. 319). À partir d'une situation de formation, le formateur va élaborer un scénario de formation, c'est-à-dire qu'il va organiser chronologiquement l'ensemble des tâches de la situation de formation. L'analyse va prendre en compte l'ensemble des tâches proposées par le formateur dans son scénario de formation en les caractérisant en fonction de leur nature, des connaissances professionnelles convoquées (Houdement & Kuzniak, 1996) ainsi qu'en questionnant la posture du formé. Les connaissances professionnelles sont de trois types :

* Les connaissances mathématiques au sens habituel du terme qui sont nécessaires à l'enseignant pour préparer et mettre en œuvre la séance.

* Les connaissances didactiques qui concernent le contenu mathématique enseigné. Il peut s'agir de connaissances portant sur les programmes, les variables sur lesquelles jouer pour adapter la séance aux capacités des élèves, les difficultés rencontrées par les élèves, ...

* Les connaissances pédagogiques qui incluent les conceptions de l'apprentissage et qui concernent l'organisation de la classe.

## L'utilisation du jeu de rôles en formation

La situation de formation construite pour former les PES au processus d'institutionnalisation utilise le jeu de rôles. Nous avons fait ce choix au regard de résultats obtenus par des recherches portant sur le développement professionnel des professeurs des écoles qui questionnent les effets de certains dispositifs de formation sur l'évolution des pratiques des enseignants (Charles-Pézard at al, 2012). Nous retenons l'hypothèse que pour qu'une situation de formation permette aux stagiaires de faire évoluer leurs pratiques, celle-ci doit s'appuyer
sur des observations de moments d'enseignement et rester au plus près du développement en cours des pratiques du stagiaire. Le jeu de rôles permet cela. Son utilisation dans le cadre de la formation initiale a été développée dans le milieu des années quatre-vingt-dix à l'université de Québec par des didacticiens des mathématiques (Lajoie & Pallascio, 2001 ; Lajoie, 2018 ; Guille-Biel Winder et al., 2019). Lajoie et Pallascio précisent que le jeu de rôles est « la mise en scène d'une situation problématique impliquant des personnages ayant un rôle donné. [...] Des étudiants doivent se glisser dans la peau de personnages plongés dans une situation donnée et agir exactement comme ils croient que ces personnages pourraient agir ». (Lajoie & Pallascio, 2001, p. 17). La raison d'être d'un jeu de rôles est de résoudre une situation professionnelle problématique.

Chaque jeu de rôles est structuré de la même manière. Le formateur présente une situation problématique qui sera au cœur du jeu de rôles. La préparation du jeu de rôles se fait en deux temps : tous les membres de chaque groupe se préparent à pouvoir jouer un rôle ou à être observateur. Ils préparent tout d'abord le contenu puis se préparent aux différents rôles « non seulement pour intervenir auprès d'un élève en tant qu'enseignant, mais aussi pour jouer le rôle d'un élève en anticipant ses comportements et réactions » (Guille-Biel Winder et al., 2019, p. 108). Le formateur choisit un enseignant et des élèves qui appartiennent à différents groupes de préparation. Les autres formés sont des observateurs. La scène est jouée plusieurs fois. Un temps d'analyse est vécu après chaque réalisation du jeu de rôles. Une synthèse et une institutionnalisation sont également proposées à l'issue des différentes réalisations.

Le jeu de rôles permet de dégager certaines conceptions des formés, de travailler sur des gestes professionnels ainsi que de développer des connaissances mathématiques, didactiques et pédagogiques.

Pour analyser les pratiques d'institutionnalisation des PES mises en œuvre lors du jeu de rôles, nous utilisons le cadre de la double approche didactique et ergonomique (Robert & Rogalski, 2002) que nous précisons maintenant.

## La double approche didactique et ergonomique

L'objet de notre recherche est d'analyser les pratiques « simulées » d'institutionnalisation des PES à l'occasion d'une situation de formation basée sur l'utilisation d'un jeu de rôles.
Pour cela, nous utilisons la théorie de la double approche didactique et ergonomique. Robert et Rogalski (2002) précisent que cette théorie « cherche à comprendre comment les enseignants peuvent investir les marges de manœuvre qui leur « restent », et qui doivent donc être reconnues par nous, au-delà des contraintes. Cela nous amène à travailler aussi bien du côté générique, pour délimiter ce qui est commun, que du côté individuel, pour mettre en évidence des variabilités entre enseignants. » (Robert & Rogalski, 2002, p. 506). Les recherches dans ce cadre ont montré que les pratiques forment un système complexe, cohérent et relativement stable (Robert, 2004).

Robert et Rogalski (2002) caractérisent les pratiques des enseignants au regard de 5 composantes : médiative, cognitive, institutionnelle, sociale et personnelle.

Les composantes cognitive et médiative permettent de caractériser les pratiques au niveau local de la séance. Elles renseignent sur les contenus mathématiques en jeu ainsi que sur leur organisation prévue par l'enseignant au cours des séances. La composante cognitive modélise l'organisation des tâches proposées par l'enseignant en fonction des connaissances visées mais aussi les unes par rapport aux autres pour penser une succession cohérente. La composante médiative suppose « que le professeur observe et interprète des observables des activités effectives des élèves, pour inférer sur les connaissances mises en jeu pendant ces activités. Cela le conduit à repérer ce que les élèves arrivent à faire et ce qui ne marche pas, c'est ce qui peut guider le choix de ses aides, procédurales pour débloquer et permettre un début d'activité de certains élèves, ou constructives pour s'appuyer sur ce qui a déjà été fait ou vu en classe, afin de le valider et le généraliser. » (Coulange & Robert, 2015, p. 84). Dans le cas du processus d'institutionnalisation, le PES doit se saisir du temps de recherche des élèves et des échanges construits pendant la mise en commun pour construire le savoir visé.

Les composantes personnelle, sociale et institutionnelle jouent un rôle déterminant pour comprendre les pratiques des enseignants à un niveau global. L'analyse des pratiques en fonction de ces trois composantes permet d'identifier les contraintes et les marges de manœuvre liées au métier et à la personnalité de l'enseignant. La composante institutionnelle questionne la façon dont l'enseignant s'approprie les textes officiels ainsi que les manuels et comment il les met en œuvre dans un contexte contraint (horaires d'enseignement, travail à mi-
temps, etc.). La composante sociale donne à voir l'influence d'un collectif sur les pratiques de l'enseignant (le regard des parents et des collègues, la relation souhaitée avec les élèves, leur âge et leurs spécificités sociales). La composante personnelle renvoie à la représentation que l'enseignant a des mathématiques et de leur enseignement au regard de son histoire et de ses expériences passées, d'élève par exemple (surtout dans le cas d'enseignants débutants).

La double approche ergonomique et didactique permet, par le passage aux composantes, d'analyser les pratiques des enseignants et en particulier, pour notre recherche, leurs choix dans leurs pratiques d'institutionnalisation « simulées » à l'occasion du jeu de rôles.

## QUESTION DE RECHERCHE

En appui sur les éléments théoriques que nous venons de présenter, nous allons apporter des éléments de réponse à la question de recherche suivante :

Quelles sont les connaissances des PES en lien avec l'institutionnalisation des savoirs, dans le domaine des grandeurs et mesures, qui se révèlent au moment de la mise en œuvre d'un jeu de rôles en formation initiale ?

Nous allons maintenant présenter la méthodologie mise en œuvre pour répondre à cette question.

## MÉTHODOLOGIE

### Méthodologie générale de l'ingénierie didactique de formation

Nous utilisons la méthodologie de l'Ingénierie Didactique de Formation (IDF) pour réaliser ce travail de recherche. Cette méthodologie est structurée de la même manière que l'ingénierie didactique qui a été explicitée et formalisée par Artigue (1990). Elle est constituée de quatre étapes. Nous les reprécisons ci-dessous dans le contexte de notre projet de recherche au sens large et de l'étude présentée dans cet article. Nous proposons également une schématisation de cette IDF (Figure 1).

* Première étape : Les analyses préalables se référant aux études épistémologiques, cognitives et institutionnelles nécessaires à l'élaboration de situations à expérimenter.
Dans notre recherche menée en amont de l'étude
présentée ici, nous avons réalisé une analyse des savoirs
en jeu : les savoirs mathématiques et didactiques liés au
domaine des grandeurs et mesures, plus particulièrement
pour la contenance, et les savoirs didactiques et
pédagogiques liés au processus d'institutionnalisation.
Cette analyse des savoirs a permis de construire une
situation de formation permettant de mettre au travail
des savoirs identifiés comme peu ou pas travaillés alors
que ce sont des attendus des programmes. Nous ne
présentons pas ici cette analyse en détail. L'ensemble
des résultats se trouve dans notre thèse (Frappier-Jego,
2023).

* Deuxième étape : L'élaboration de la situation de formation et son analyse a priori. Nous avons mobilisé le cadre théorique d'analyse des situations de formation (Mangiante et al., 2016) pour mener à bien cette analyse a priori.

* Troisième étape : La mise en œuvre de la situation, son observation et le recueil de données. La mise en œuvre de la situation analysée est basée sur l'utilisation du jeu de rôles.

* Quatrième étape : L'analyse a posteriori qui est ensuite confrontée à l'analyse a priori. L'analyse a posteriori se fait d'une part en utilisant le cadre théorique d'analyse des situations de formation et d'autre part en mobilisant le cadre théorique de la double approche didactique et ergonomique.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 1.** – Schématisation de l'IDF de notre recherche</figcaption></figure>
## Recueil et analyse des données

La situation de formation conçue a été implémentée à la fin janvier 2022. La formatrice est également la chercheuse. Cette formation n'est pas obligatoire, les formées s'inscrivent librement. Vingt-deux PES se sont inscrites et 19 l'ont réellement suivie du fait d'un contexte de reprise épidémique (COVID). Les PES inscrites à la formation sont affectées dans les trois cycles de l'école primaire (enfants de 2 à 10 ans) sur leurs deux jours de classe depuis le début de l'année scolaire. Chaque séance de la situation de formation a été filmée. Des synopsis (Sensevy & Mercier, 2007) de l'ensemble des vidéos ont été réalisés et certains extraits sélectionnés ont été transcrits. Lors de la réalisation du jeu de rôles, les PES jouent différents rôles : une PES joue le rôle de l'enseignante, 12 sont des élèves et les autres PES observent. Les différents documents rédigés par les formées pendant la formation ont été remis à la chercheuse. L'ensemble des données nous a permis de mener une analyse a posteriori que nous avons confrontée à l'analyse a priori afin de répondre à notre question de recherche.

## PRÉSENTATION DE LA SITUATION DE FORMATION ET DE SON ANALYSE A PRIORI

La situation de formation est composée de deux activités amorces (Figure 2). Le terme d'activité amorce renvoie au cadre théorique d'analyse des situations de formation développé par Mangiante et al. (2016). Nous allons maintenant présenter chacune des activités amorces et leur analyse a priori réalisée en utilisant ce même cadre théorique (Mangiante et al., 2016). Nous présenterons une analyse synthétique de la première activité amorce. Même si elle n'est pas directement en lien avec notre questionnement, nous avons besoin de la présenter pour ensuite analyser l'activité amorce 2 qui est au cœur de la question de recherche étudiée dans cet article.
### Activité amorce 1

* ✓ Analyse des programmes sur les grandeurs et mesures et d'une sélection de manuels en sous-groupes.

* ✓ Mise en commun collective des analyses réalisées par les PES.

* ✓ Institutionnalisation des savoirs visés.

### Activité amorce 2

* ✓ T1 : Analyse a priori de la situation de référence pour construire une séance d'apprentissage pour des élèves de cycle 2.

* ✓ T2 : Vivre un jeu de rôles pour mettre en scène une séance construite par les PES.

* ✓ T3 : Analyse du jeu de rôles.

**Figure 2.** – Schéma de la situation de formation.

## Présentation et analyse a priori de l'activité amorce 1

La première activité amorce de la situation de formation est une analyse, réalisée par les PES, de documents institutionnels concernant le domaine des grandeurs et mesures et d'une sélection de manuels de cycle 2. Cette activité doit permettre de construire le répertoire didactique du groupe en formation, c'est-à-dire l'ensemble des moyens que le formateur pense pouvoir attendre des stagiaires grâce à sa formation (Gibel, 2015) pour le domaine des grandeurs et mesures, plus particulièrement pour la grandeur contenance, et pour son enseignement-apprentissage ainsi que pour questionner la mise en œuvre du processus d'institutionnalisation. Ce répertoire didactique sera mobilisé lors de l'activité amorce 2 pour construire et mettre en œuvre une séance sur les contenances à destination d'élèves de cycle 2.

Comme nous l'avons déjà précisé, nous allons mener nos analyses a priori et a posteriori en utilisant le cadre théorique d'analyse des situations de formation de Mangiante et al. (2016). Nous allons donc structurer nos analyses autour des connaissances mathématiques, didactiques et pédagogiques construites grâce à cette activité amorce 1. L'analyse des documents officiels doit permettre aux PES d'identifier la démarche de construction des grandeurs et mesures à l'école. Dans le cadre des programmes actuels, cette démarche amène les élèves à comparer les grandeurs avant de les mesurer. Différentes techniques de comparaison de grandeurs sont proposées dans les programmes : comparaison directe et comparaison indirecte. Pendant l'activité amorce 1, lors des phases de mise en commun, ces différentes techniques et les technologies associées seront repérées par les formées et explicitées (connaissances<fnref n="5" /> mathématiques et didactiques). L'analyse des textes officiels va

<footnote n="5">⁵ Nous parlons dans cet article de connaissances et non de savoirs puisque nous faisons référence au cadre théorique de Mangiante et al. (2016).</footnote>
également permettre de repérer la place qui est donnée à la
manipulation et aux situations-problèmes faisant référence à la
vie quotidienne des élèves pour construire cet apprentissage
mathématique (connaissances didactiques et pédagogiques).
L'analyse de la sélection de manuels va permettre aux PES
d'identifier les différentes phases d'une séance nécessaires à
l'apprentissage. Une attention toute particulière sera portée à la
phase aboutissant à la rédaction d'un texte de savoir écrit
présentant le savoir construit. L'analyse de la sélection de
manuels doit également permettre aux PES de se rendre compte
que les propositions faites vont souvent trop vite vers la mesure et
proposent peu ou pas de situations de comparaison de grandeurs
contrairement à ce qui est demandé dans les programmes.
L'activité amorce 1 met en œuvre les différentes phases
nécessaires à la construction d'un savoir que les PES ont pu
découvrir dans l'analyse des manuels (mise en recherche des
formées, action, formulation, synthèse des savoirs).
L'institutionnalisation de la formatrice va porter sur les
techniques et technologies de comparaison et de mesure pour la
grandeur contenance et sur les caractéristiques du processus
d'institutionnalisation.

Présentation et analyse a priori de l'activité amorce 2

La deuxième activité amorce a pour finalité de mettre en scène un
jeu de rôles qui va permettre de résoudre la question
problématique suivante : « Construire une séance qui permettra
de travailler l'attendu de fin de cycle 2 « comparer des
contenances sans utiliser la mesure ». Vous porterez une attention
toute particulière au processus d'institutionnalisation des
savoirs ». Pour répondre à la question professionnelle
problématique, les formées vont devoir construire et analyser, par
groupe de quatre, une séance utilisant une situation de référence
proposée par la formatrice que nous présentons dans le
paragraphe suivant de cet article. (Temps 1). Cette séance est
ensuite mise en scène dans le cadre d'un jeu de rôles. Une PES
est choisie par la formatrice pour être la PES-PE<fnref n="6" />, les autres sont
des PES-élèves<fnref n="7" /> ou des observateurs (Temps 2). À la fin du jeu de
rôles, un temps d'analyse et de synthèse est proposé (Temps 3).

<footnote n="6">⁶ La PES qui joue le rôle de la PE lors du jeu de rôles</footnote>

<footnote n="7">⁷ Les PES qui jouent le rôle des élèves lors du jeu de rôles</footnote>
Nous allons maintenant présenter l'analyse a priori de cette deuxième activité amorce.

*Temps 1 : Construction et analyse a priori de la séance qui sera jouée lors de la réalisation du jeu de rôles.*

Au début de la deuxième activité amorce, la formatrice présente une situation de référence aux PES pour permettre de construire l'attendu de fin de cycle 2 : « comparer des contenances sans utiliser la mesure ». C'est cette situation de référence qui sera au centre de la séance jouée dans le cadre du jeu de rôles. Cette situation de référence est une proposition qui permet de pallier les manques identifiés lors de l'analyse des manuels, soit le fait d'aller trop vite vers la mesure et de ne pas assez proposer de situations où les élèves seront amenés à comparer les grandeurs. Cette situation de référence consiste à comparer la contenance de quatre récipients pour les ranger de la plus grande à la plus petite contenance (Figure 3). Un des enjeux de cette situation est de permettre aux PES de s'approprier les différentes techniques de comparaison des contenances que les élèves peuvent mettre en œuvre lors d'activité de comparaison de contenances et de questionner les technologies associées (connaissances mathématiques et didactiques). Pour cela les PES devront par groupe construire une séance utilisant la situation de référence et l'analyser (connaissances didactiques et pédagogiques). Le matériel à comparer dans la situation de référence est constitué d'un récipient d'une contenance beaucoup plus petite que celle des autres et de trois autres récipients de contenance assez proche. Le choix des récipients amène les élèves à utiliser différentes techniques de comparaison. Dans le cas du récipient B qui a une contenance beaucoup plus petite que les autres, la comparaison visuelle permet de conclure. Les autres récipients qui ont des contenances assez proches nécessitent d'utiliser la comparaison directe par transvasement ou la comparaison indirecte en utilisant un ou plusieurs récipients identiques (connaissances didactiques). De plus, la forme « haute » du récipient A et la forme « aplanie » du récipient C amènent à questionner la relation form-contenance, ce qui va permettre d'essayer de déconstruire des représentations erronées courantes telles que : « le récipient le plus haut est celui qui a la plus grande contenance » liée à la conservation des quantités. Ici, le récipient A est celui qui a la contenance la plus petite parmi les récipients A, C et D alors que c'est celui qui est le plus haut (connaissances mathématiques). On
constate que le choix des récipients de la situation de référence a un impact sur la résolution de celle-ci, c'est une variable didactique qui doit être minutieusement choisie.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 3.** – Les quatre récipients à ranger de la plus grande contenance à la plus petite. Rangement attendu C-D-A-B.</figcaption></figure>

Pour construire cette séance utilisant la situation de référence, les PES vont devoir mobiliser des connaissances didactiques et pédagogiques. Elles vont devoir anticiper les différentes phases d'apprentissage (mise en recherche des élèves, action, formulation, validation, synthèse des savoirs) et les modalités (travaux de groupe, manipulation, ...) permettant aux élèves de construire des connaissances pour l'attendu « comparer des contenances ». Elles vont devoir anticiper les différentes techniques que les élèves vont pouvoir mobiliser pour comparer les contenances (comparaisons directe ou indirecte) ainsi que les difficultés éventuelles et les variables didactiques sur lesquelles il est possible de jouer.

En fonction du matériel supplémentaire mis à la disposition des élèves, différentes techniques de comparaison seront possibles. Les techniques que les élèves vont pouvoir mettre en œuvre pour comparer les contenances des différents récipients sont les suivantes :

* Comparer par estimation visuelle : si deux récipients ont une contenance très différente, par perception visuelle, on peut directement conclure.

* Comparer directement par transvasement : si le contenu d'un récipient R plein peut être totalement transvasé à l'intérieur d'un récipient R', on dira que la contenance de R est plus petite que celle de R'. Si
R' est exactement rempli, on dira que R et R' ont même contenance.

* Comparer indirectement en utilisant un ou des objets intermédiaires : Quand la comparaison directe n'est pas possible, on peut utiliser un ou plusieurs autres récipients identiques pour comparer deux récipients R et R'. Dans le cas d'un unique récipient intermédiaire, on va transvaser le contenu de R plein dans le récipient intermédiaire et marquer le niveau obtenu. On vide le récipient intermédiaire puis on refait la même chose pour R'. Le récipient ayant la contenance la plus grande est celui qui correspond à la marque du niveau le plus haut. Cette dernière technique de comparaison entretient un lien avec la mesure. En effet, un récipient quand il sert à repérer à l'aide de marques, donc de graduations traduisant les contenances de récipients, relève déjà de la construction et donc de l'utilisation d'un instrument de mesure même si cela se fait de manière implicite.

Les technologies qui donnent à voir les raisons de la validité des techniques sont en lien avec la relation d'ordre caractéristique d'une grandeur mesurable pour les deux premières techniques énoncées et le concept de volume pour la dernière. Ce concept de volume nécessite que l'élève ait acquis la conservation du volume de liquide, conservation qui est acquise vers 11-12 ans selon les travaux de Piaget et Inhelder (1968).

## Temps 2 : Réalisation du jeu de rôles

La PES-PE et les PES-élèves qui jouent dans le jeu de rôles vont s'appuyer sur la conception et l'analyse de la séance qu'elles ont réalisées, dans leur sous-groupe, lors du temps 1.

La PES-PE va devoir animer la séance en mettant en œuvre les différentes phases nécessaires, à la construction d'un savoir, qu'elle a anticipées dans sa conception de séance tout en tenant compte des réactions des PES-élèves (connaissances didactiques et pédagogiques). Une attention particulière étant attendue concernant le processus d'institutionnalisation, la PES-PE va devoir construire une synthèse prenant en compte les techniques des PES-élèves (connaissances mathématiques et didactiques).

Les PES-élèves ont anticipé des techniques de comparaison pendant la phase de conception de la séance (Temps 1). Elles vont devoir adapter leurs réponses (techniques et erreurs types d'élèves
de cycle 2) aux consignes de la PES-PE ou contourner les consignes pour rester dans leur anticipation (connaissances didactiques).

Les observatrices vont pouvoir évaluer la justesse des connaissances mathématiques, didactiques et pédagogiques précédemment énoncées qui sont réellement mobilisées dans le jeu de rôles par la PES-PE et les PES-élèves.

Temps 3 : Analyse du jeu de rôles et temps de synthèse.

Lors du temps d'analyse du jeu de rôles, la formatrice et les formées vont pouvoir revenir sur les connaissances mathématiques, didactiques et pédagogiques mobilisées dans le jeu de rôles. Elles vont questionner :

* Les phases mises en œuvre par la PES-PE pendant la séance « simulée » et leur rôle dans la construction du savoir obtenu (connaissances didactiques et pédagogiques).

* Les techniques et technologies mises en œuvre par les PES-élèves mais aussi les connaissances mathématiques liées aux grandeurs (forme du récipient) dont la PES-PE se saisit ou non pour construire son texte de savoir (connaissances mathématiques et didactiques).

* La cohérence entre le savoir construit par la PES-PE et le déroulé réel de la séance en essayant d'identifier les raisons d'un éventuel décalage.

La synthèse du jeu de rôles permettra de rappeler les différentes techniques et technologies, présentées lors de la situation amorce 1, qui peuvent être utilisées par des élèves pour comparer des contenances en précisant les contraintes de mises en œuvre (connaissances mathématiques nécessaires, matériel mis à disposition, ...). Elle permettra également d'identifier des points d'attention à avoir pour mettre en œuvre le processus d'institutionnalisation en tenant compte du déroulé réel : c'est-à-dire que l'enseignant doit anticiper le savoir qui sera à construire avec les élèves et qu'il adaptera en fonction du déroulé réel de la séance. La mise en commun devra lui permettre de faire émerger les différents savoirs réellement mobilisés par les élèves pendant le temps de recherche. Ce sont ces savoirs réellement construits par les élèves qui se trouveront dans le texte de savoir proposé aux élèves à la fin de la séance vécue.
## ANALYSE A POSTERIORI DES CONNAISSANCES
CONSTRUITES PENDANT LA SITUATION DE
FORMATION

Pour répondre à notre question de recherche, nous revenons dans un premier temps sur les résultats de l'analyse a posteriori de la première activité amorce afin d'identifier les connaissances mathématiques, didactiques et pédagogiques construites par les PES à l'issue de cette activité. Nous analyserons ensuite la manière dont ces connaissances sont utilisées par les PES dans la mise en œuvre du jeu de rôles.

## Les connaissances construites lors de la première activité
amorce

Les connaissances didactiques et pédagogiques identifiées dans l'analyse a priori de la première activité amorce ont été explicitement abordées en formation. En effet la démarche de construction des grandeurs et mesures qui amène à comparer les grandeurs avant de les mesurer, les différents types de tâches et les techniques associées (comparaison directe, comparaison indirecte et mesure de grandeurs), l'importance de la place de la manipulation dans la construction de la grandeur et des situations-problèmes faisant référence à la vie quotidienne des élèves ont été travaillées et les enjeux associés ont été précisés et institutionnalisés. Les propositions des manuels et les textes de savoir qu'ils proposent ont été questionnés afin d'amener les formées à avoir une posture critique dans le choix et l'utilisation des manuels et des textes de savoir sélectionnés. En effet les PES ont repéré des manques dans certains manuels concernant les activités de comparaison par rapport à ce que les programmes préconisent. Cette première activité a également été l'occasion de partager les conditions de mise en œuvre du processus d'institutionnalisation. La formatrice a institutionnalisé les différents éléments qui permettent un processus d'institutionnalisation qui aboutit à la construction de savoir : la nécessité d'anticiper ce que l'on souhaite faire apprendre aux élèves, mais aussi lors de la mise en commun, faire émerger les techniques des élèves, les hiérarchiser et les prendre en compte pour construire le texte de savoir en gardant trace de la situation. Il faut donc adapter le contenu anticipé au déroulé réel de la séance. Concernant les connaissances mathématiques, en lien avec les grandeurs et mesures, anticipées dans l'analyse a priori
(les définitions mathématiques des concepts en jeu, les relations d'équivalence et d'ordre qui caractérisent les grandeurs et la conservation du volume de liquide, connaissances mathématiques qui permettent de justifier les techniques), nous n'avons pas pu les identifier dans les propos des formées. Nous avons pu constater qu'elles étaient présentes dans les apports de la formatrice mais qu'elles ont été peu explicitées. La formatrice explicite principalement les types de tâches et les techniques, connaissances didactiques indispensables pour construire une séance sur les comparaisons de contenance. Peut-être pense-t-elle que les connaissances mathématiques justifiant ce travail sont déjà maitrisées des PES ou considère-t-elle que ces explications ne sont pas accessibles aux PES et comme elle ne les considère pas indispensables à ce stade de la formation, elle n'insiste pas.

Nous questionnons maintenant l'utilisation de ces nouvelles connaissances construites par les PES que nous considérons comme le répertoire didactique du groupe en formation, lors de la réalisation du jeu de rôles pour répondre à notre question de recherche.

## Les connaissances mobilisées lors de la deuxième activité amorce : le jeu de rôles

### Pendant la conception de la séance qui sera mise en œuvre lors du jeu de rôles (Temps 1)

La conception de cette séance est l'occasion pour les formées de mobiliser des connaissances mathématiques, didactiques et pédagogiques construites lors de la première activité amorce. La situation de référence présentée par la formatrice est intégrée dans les préparations de tous les groupes de PES. Un groupe a ressenti le besoin de contextualiser cette situation avec un contexte familier aux élèves. La situation de recherche devient : « J'ai besoin de trouver le récipient dans lequel je peux mettre le plus d'eau pour arroser ma plante ». Cette connaissance didactique (apport d'une contextualisation) avait émergé de l'analyse faite par quelques formées des textes officiels lors de la première activité amorce.

La phase de recherche proposée amène les élèves à manipuler pour mettre en évidence les différentes techniques pour comparer les contenances, c'est une connaissance construite lors de l'activité amorce 1. Les connaissances didactiques et pédagogiques construites lors de la première activité amorce sont
mobilisées : mise en recherche des élèves, souhait de construire différentes techniques de comparaison, le choix des récipients à comparer et le matériel supplémentaire mis à disposition pour comparer sont justement questionnés comme variables didactiques. La justification des techniques de comparaison de contenances n’est par contre pas proposée. Nous avons montré dans l’analyse a posteriori de l’activité amorce 1 que la formatrice n’avait pas suffisamment explicité ce point. Les connaissances mathématiques nécessaires à ces justifications semblent ne pas être disponibles sans un travail spécifique en formation. Il n’est pas possible de les considérer comme un déjà-là. Les mises en œuvre du temps de recherche sont différentes selon ce qui apparaît dans les fiches de préparation des groupes de PES. Certaines propositions sont extrêmement guidées par l’action de l’enseignante. Dans ces propositions, l’enseignante accompagne les différents temps de la recherche en introduisant progressivement du matériel supplémentaire pour amener les élèves à comparer les contenances des récipients avec des techniques différentes. D’autres groupes de PES proposent dès le départ tout le matériel disponible pour comparer les contenances des récipients et ce sont les élèves qui librement choisissent le matériel et la technique qu’ils vont utiliser pour comparer les contenances des quatre récipients. Cette phase de recherche montre que les PES se sont appropriées les différentes techniques que les élèves peuvent utiliser pour comparer des contenances. Toutes celles qui ont été construites dans l’activité amorce 1 sont anticipées dans les séances construites par les PES.

Les différents groupes ont anticipé le texte de savoir lors de la conception de leur séance. Les groupes proposent les différentes techniques de comparaison de contenance par les manipulations découvertes lors de l’activité amorce 1 et qui ont également été anticipées comme techniques d’élèves possibles dans la phase de recherche. On peut par exemple trouver dans une des fiches de préparation que « pour comparer deux récipients, on peut transvaser l’un dans l’autre ou on peut prendre deux autres récipients identiques ». La relation d’ordre caractéristique des grandeurs mesurables et la conservation du volume des liquides ne sont pas présentées comme justification des techniques. Les éléments de technologies ne sont donc pas non plus explicités dans le texte de savoir. Nous pouvons aussi constater que trois groupes sur quatre ont intégré le fait de faire prendre conscience aux élèves que la forme ne dit rien de la contenance d’un
récipient. Ils précisent par exemple dans leur fiche de préparation que « la forme et la hauteur du récipient n'indiquent pas sa contenance ». Les PES se sont donc appropriées les connaissances mathématiques et didactiques, proposées par la formatrice lors de la première activité amorce, liées aux différentes techniques de comparaison et à la forme du récipient et les ont utilisées pour construire la séance demandée.

Pendant la réalisation du jeu de rôles et son analyse : les connaissances développées ou non par la PES-PE (Temps 2 et Temps 3).

## Les connaissances mathématiques

Nous avons mentionné le fait que les connaissances mathématiques avaient été peu mobilisées dans la première partie de la formation en dehors des techniques de comparaison des contenances et du questionnement sur la forme des récipients. La réalisation du jeu de rôles laisse percevoir des confusions et des inexactitudes au niveau des concepts mathématiques mobilisés. Par exemple, dans cette situation, les termes classer ou classement sont systématiquement utilisés par la PES-PE à la place des termes ranger et rangement qui sont mathématiquement corrects. Elle dit par exemple aux PES-élèves : « Je vous laisse 5 minutes pour vous mettre d'accord en groupe sur le classement du plus grand au plus petit » (TdeP 11). Cette erreur probablement liée à une utilisation similaire des deux termes dans le langage courant questionne sur la maîtrise mathématique de la relation d'équivalence à laquelle renvoie le classement et la relation d'ordre à laquelle renvoie le rangement

Nous pouvons également constater que la PES-PE mobilise très peu de connaissances mathématiques, mais aussi didactiques, pour justifier le bien fondé des techniques mobilisées par les PES-élèves. Les techniques sont mises en avant, la PES-PE insiste sur les actions réalisées par les PES-élèves pour pouvoir donner le bon rangement mais les connaissances mathématiques qui justifient les techniques utilisées ne sont pas explicitées. Dans le passage suivant (tableau 1), extrait de la transcription du jeu de rôles, nous avons un exemple où la PES-PE (PE) conclut sur la technique utilisée, le transvasement (Tour de Parole (TdeP) 93), sans expliciter la justification de la validité de la technique qui pourtant a été verbalisée par la PES-élève (Cé) (TdeP 83).

<table><tr><td>TdeP 83</td><td>Cé</td><td>Vu qu'on avait dit au début que c'était le A le plus grand, on a mis de l'eau jusqu'en haut dans le A et</td></tr></table>
<table><tr><td></td><td></td><td>après on a transvasé l'eau qu'on avait dans le A dans le récipient d'après donc le C et on a vu que le C n'était pas plein quand on transvasait l'eau dedans donc on s'est dit que le C était plus grand que le A.</td></tr><tr><td>TdeP 84</td><td>PE</td><td>D'accord.</td></tr><tr><td>TdeP 85</td><td>Cé</td><td>Après on a rerempli le A et on a encore fait la même chose mais en transvasant le A dans le D.</td></tr><tr><td>TdeP 86</td><td>PE</td><td>D'accord.</td></tr><tr><td>TdeP 87</td><td>Cé</td><td>...dans le récipient D et on a vu que le récipient D n'était pas plein non plus donc on s'est dit que le D était aussi plus grand que le A.</td></tr><tr><td>TdeP 88</td><td>PE</td><td>D'accord.</td></tr><tr><td>TdeP 89</td><td>Cé</td><td>Et après du coup on a fini par remplir le récipient D et on l'a transvasé dans le C et on a vu que le C n'était pas rempli encore et donc on s'est dit que le C était plus grand que le D.</td></tr><tr><td>TdeP 90</td><td>PE</td><td>D'accord alors est ce que A. tu as compris ce qu'ils ont fait, est-ce que tu peux nous réexpliquer ce qu'ils ont fait ?</td></tr><tr><td>TdeP 91</td><td>A</td><td>Euh alors d'après ce que j'ai compris, ils ont rempli le récipient A et après ils l'ont versé dans le récipient C et ils ont vu que le récipient C n'était pas rempli donc ça veut dire que le récipient C est plus grand que le récipient A et après ils ont remis l'eau qui était dans le récipient A. Ils l'ont versée pour faire la même chose.</td></tr><tr><td>TdeP 92</td><td>Cé</td><td>Et aussi on n'a pas fait avec le récipient B car on a vu enfin... dès le départ qu'il était plus petit (Cé met le récipient B dans le récipient A).</td></tr></table>
<table><caption>**Tableau 1.** – Extrait de la transcription du jeu de rôles (phase de mise en commun) vécu en formation</caption><tr><td>TdeP<br>93</td><td>PE</td><td>Donc vous n'avez pas vérifié du coup pour B, d'accord (La PES-PE écrit au tableau « B non vérifié ») et après ce que vous avez fait ça s'appelle du transvasement, vous avez rempli, renversé la quantité d'eau d'un récipient dans l'autre donc vous avez transvasé. D'accord ? La PES-PE écrit au tableau ce qui vient d'être partagé et qu'elle a reformulé : « transvasement ») Alors est-ce que les autres groupes vous avez fait pareil ?</td></tr></table>

En reformulant l'ensemble des propos des PES-élèves, la PES-PE aurait pu institutionnaliser les justifications de la technique de transvasement, soit : si le contenu d'un récipient R plein peut être totalement transvasé à l'intérieur d'un récipient R', on dira que la contenance de R est plus petite que celle de R'. Si R' est exactement rempli, on dira que R et R' ont même contenance. Dans la synthèse de la PES-PE, seule la technique est précisée. Elle ne reprend pas les propos pour mettre en avant les justifications de cette technique, ce qui appauvrit le savoir construit alors que les justifications ont été identifiées par les PES-élèves.

## Les connaissances pédagogiques

La PES-PE mobilise, dans la réalisation de ce jeu de rôles, des connaissances pédagogiques qu'elle maîtrisait déjà puisqu'elles n'ont pas été travaillées lors de la première activité amorce. Par exemple, la PES-PE demande aux PES-élèves d'anticiper les techniques qu'elles souhaitent mettre en œuvre avant d'aller chercher le matériel. Elle utilise la gestuelle pour accompagner des propositions de définitions et utilise la reformulation pour s'assurer que les PES-élèves comprennent. La PES-PE, par exemple, dit à ses PES-élèves : « D'accord. Est-ce que les autres vous avez compris la méthode utilisée ? Est-ce que le groupe de devant vous pouvez expliquer ce qu'ils ont fait ? ». Ces connaissances contribuent au processus d'institutionnalisation car cela devrait permettre de créer des liens entre les activités et de s'approprier progressivement, par la répétition, le vocabulaire et les techniques qui seront institutionnalisés à la fin de la séance. Nous pouvons donc constater que les connaissances
pédagogiques mobilisées lors du jeu de rôles sont des déjà-là qui n'avaient pas été anticipées dans l'analyse a priori de la situation de formation.

## Les connaissances didactiques

### L'émergence des techniques de comparaison

Lors du temps de construction de la séance pour le jeu de rôles, le groupe de la PES-PE a anticipé quatre techniques qui sont présentées pendant l'analyse du jeu de rôles (tableau 2) :

<table><caption>Tableau 2. – Extrait de la transcription du jeu de rôles</caption><thead><tr><th>TdeP<br>149</th><th>Mp</th><th>(autre membre du groupe de conception) :<br>transvaser l'eau d'un récipient à comparer à l'autre</th></tr></thead><tbody><tr><td>TdeP<br>150</td><td>PE</td><td>Oui, le premier groupe, c'est ce qu'ils ont utilisé et sinon remplir chaque récipient d'eau puis transvaser dans une bouteille et graduer la bouteille. C'est pour ça qu'on a rempli les récipients au départ pour inciter à utiliser cette procédure là et la troisième procédure on n'avait pas pensé à des récipients mais à quatre bouteilles vides et ils retransvasent dans quatre bouteilles vides et ils comparent le niveau d'eau dans la bouteille. Là ils ont fait la même chose avec un récipient donc voilà et sinon on avait dit que la quatrième ...</td></tr><tr><td>TdeP<br>151</td><td>Ml</td><td>(autre membre du groupe de conception) : c'était une bouteille pleine et le récipient. On remplit le récipient avec la bouteille pleine et regarder le vide. En fait, dans la bouteille graduée mais de graduer ce qu'on a enlevé.</td></tr></tbody></table>

Comme nous avons pu le montrer précédemment, la PES-PE explicite les techniques mais pas les justifications mathématiques.

Pour préciser ce point, nous pouvons revenir sur une technique qui a été utilisée lors de ce jeu de rôles : la technique qui se base sur la comparaison visuelle. La PES-PE utilise cette technique au début de sa séance pour amener les PES-élèves à faire des hypothèses de rangement. Elle montre les quatre récipients aux PES-élèves (Figure 3) et leur demande de « les ranger du plus grand au plus petit simplement en les regardant ». Le résultat attendu est : C, D, A et B. La forme des récipients peut induire des réponses erronées du fait de représentations fausses
chez les élèves comme nous l'avons déjà montré. Par exemple, le
récipient qui a la hauteur la plus importante est celui qui a la
contenance la plus grande. Comme nous avons pu le préciser, le
choix des récipients est tel que ce n'est pas le cas afin de
déconstruire cette représentation. La PES-PE insiste sur le fait
qu'en utilisant cette technique par comparaison visuelle, ils ne
trouvent pas tous la même chose. Au TdeP 20, elle leur dit :
« Vous allez essayer de chercher comment on pourrait vérifier
quel est le classement que vous avez proposé qui est le bon.
Comment est-ce qu'on pourrait-vérifier ? Comment être sûr que
c'est bien ce rangement-là ? ». Les propos de la PES-PE semblent
sous-entendre que cette technique n'est pas valide. Au TdeP 135,
elle renforce cette idée : « Vous avez bien vu que le classement
que vous avez vu visuellement ne correspond pas forcément au
classement auquel vous avez abouti après avoir vérifié. ». Quand
le groupe qui a utilisé la technique utilisant le transvasement d'un
récipient à comparer dans un autre récipient à comparer prend la
parole, une PES-élève explicite la justification mathématique liée
à la relation d'ordre caractéristique d'une grandeur mesurable
mais la PES-PE (TdeP 92, tableau 1) n'en tient pas compte. Elle
conclut qu'ils n'ont pas vérifié pour B et ne rebondit que sur
l'aspect transvasement pour les autres récipients. La comparaison
directe par estimation visuelle n'est pas prise en compte par la
PES-PE comme une technique valide de comparaison de
contenances. Cette connaissance didactique construite lors de
l'activité amorce 1 ne semble pas maitrisée par la PES-PE.

Le texte de savoir

Tout au long du jeu de rôles, la PES-PE note au tableau les
techniques qui émergent des échanges entre elle et les PES-
élèves. C'est une connaissance pédagogique personnelle qui
participe au processus d'institutionnalisation. En effet, à la fin de
la réalisation du jeu de rôles, la PES-PE synthétise ce qui a été
partagé lors de la mise en commun en utilisant ce qu'elle a écrit
au tableau. Elle précise que pour comparer des contenances, les
PES-élèves ont mis en avant trois techniques de comparaison
qu'elle a notées au tableau au fur et à mesure de l'avancée de la
mise en commun. Elle propose de réaliser pour le lendemain une
affiche qui reprend ces trois techniques et de les illustrer avec des
photos de la manipulation. Dans son texte de savoir, la technique
de comparaison visuelle n'est pas proposée alors qu'elle a été
questionnée pendant le jeu de rôles. Les justifications
mathématiques n'ont pas non plus de place dans cette synthèse. Nous avons précédemment montré que l'activité amorce 1 n'avait pas permis aux PES de construire cette connaissance. Nous pouvons par contre constater que la PES-PE ne propose, dans cette synthèse, que les techniques découvertes pendant la séance par les PES-élèves même si son groupe avait anticipé d'autres techniques pendant le temps de préparation. Le fait de n'institutionnaliser que les techniques que les PES-élèves ont découvertes pendant le temps de recherche est une connaissance didactique construite grâce à l'activité amorce 1 que la PES-PE maîtrise. La situation proposée aux PES-PE est en effet construite de manière à faire émerger les connaissances essentielles. Dans le cas contraire le PES-PE guide d'avantage les PES-élèves pour faire émerger au moins une connaissance essentielle, les autres pouvant être retravaillées lors de séances ultérieures. De plus, la PES-PE propose un texte de savoir partiellement contextualisé puisqu'elle propose d'intégrer des photos des manipulations de la séance. Garder trace de la situation dans la trace écrite est également une connaissance didactique partagée lors de l'activité amorce 1. L'utilisation de photos explique que la formalisation finale du texte de savoir soit repoussée au lendemain.

## ANALYSE A POSTERIORI DES PRATIQUES DES PES EN TERMES DE COMPOSANTES DE LA DOUBLE APPROCHE

Le contexte du jeu de rôles nous permet d'identifier certains effets de l'activité amorce 1 de la formation sur les pratiques « simulées » des PES lors du jeu de rôles. L'analyse de ces pratiques « simulées » après la réalisation du jeu de rôles est structurée en prenant en compte les cinq composantes des pratiques (Robert & Rogalski, 2002). Elle nous permet de faire émerger des invariants et des variabilités dans les pratiques des PES pour construire et mener une institutionnalisation.

Comme nous sommes dans un contexte « simulé » les facteurs liés au contexte d'enseignement n'ont pas d'influence. Les questions de contraintes horaires, de service à mi-temps avec un collègue ou encore les caractéristiques sociales des élèves n'influencent pas les pratiques simulées des PES. Les composantes sociale et institutionnelle sont donc neutralisées. Qu'en est-il des composantes personnelle, cognitive et médiative ?
Comme nous avons pu le montrer, la formation n'a pas amené les formées à se questionner sur les éléments mathématiques qui justifient les techniques utilisées pour comparer des contenances. C'est une connaissance que les formées n'ont pas pu construire et qui fait défaut dans leurs pratiques. Aucun élément de justification ne se trouve donc dans le texte de savoir anticipé et proposé aux PES-élèves. Cette composante personnelle a des effets sur la composante cognitive.

La PES-PE a par contre pris en compte l'importance de déconstruire le lien que les PES-élèves créent à mauvais escent entre la forme du récipient et sa contenance. Elle l'a anticipé dans sa préparation mais le déroulé de la séance ne lui a pas permis de tirer parti des remarques des PES-élèves pour mettre en avant cet aspect. Elle fait tout de même le choix d'en parler à la fin de sa séance, lors de sa synthèse avec les PES-élèves. Elle justifie ce choix en précisant que l'importance donnée à cet aspect en formation l'a amenée à forcément en parler les PES-élèves même s'ils n'en avaient pas parlé lors de la mise en commun et que par conséquent cela n'aurait pas dû s'intégrer dans le processus d'institutionnalisation. Ici les composantes personnelle et médiative influencent la composante cognitive. Nous avons pu également constater que la gestion de la complexité de la classe, même dans un contexte « simulé » amène la PES-PE à utiliser des connaissances mathématiques erronées ou inexactes. La prise de décisions en action peut expliquer cette difficulté, particulièrement dans le cas d'une séance basée sur l'utilisation de manipulations. En effet, les PES peuvent avoir des difficultés à identifier le savoir qui émerge des manipulations. Cette difficulté peut aussi être expliquée par une maîtrise partielle des concepts en jeu par la PES-PE et nécessiterait donc un besoin de formation renforcé au niveau des connaissances mathématiques concernées. En formation d'enseignants, une erreur est de construire une situation de formation en considérant les connaissances mathématiques de base comme des déjà-là. En effet, les professeurs des écoles sont des enseignants polyvalents non spécialistes des mathématiques qui peuvent rencontrer des fragilités dans ce domaine. Nous constatons que le cumul de facteurs liés aux composantes personnelle et médiative exerce, là aussi, une influence sur la composante cognitive.

Par ailleurs, la complexité de la mise en œuvre d'un temps d'enseignement-apprentissage a une limite : celle de la régulation en temps réel. En effet, la PES-PE n'arrive pas toujours à réguler
sa proposition en fonction de ce que vivent les PES-élèves et elle
a parfois tendance à être prisonnière de sa préparation ne prenant
pas en compte les techniques des PES-élèves pour s'adapter au
déroulé réel. La composante médiative pèse sur la composante
cognitive. Par exemple dans l'analyse du jeu de rôles, la PES-PE
dit au TdeP 167 : « j'étais dans ma procédure d'avancement,
tchoc, tchoc, tchoc et c'est vrai qu'on ne l'a pas noté mais c'est
plus intéressant. ». Les PES-élèves avaient proposé une technique
qui était pertinente mais préoccupée par l'avancée de sa séance, la
PES-PE n'a pas tenu compte de la remarque des PES-élèves. Les
PES ne se saisissent pas toujours des réponses des élèves pour
construire le savoir à partir des productions des élèves, ce qui est
pourtant une étape essentielle du processus d'institutionnalisation.

DISCUSSION ET CONCLUSION

Connaissances mobilisées dans le jeu de rôles

Nous avons pu montrer que l'utilisation du jeu de rôles en
formation permet aux PES de mobiliser dans leurs pratiques
« simulées » certaines connaissances mathématiques, didactiques
et pédagogiques construites en formation. Certaines autres
connaissances en revanche ne se révèlent pas. Les connaissances
didactiques liées aux justifications des techniques mobilisées sont
celles qui semblent les plus compliquées à mettre en œuvre pour
les PES. Il semblerait que l'activité amorce 1 proposée en
formation n'a pas permis de construire les connaissances
nécessaires. En effet ces connaissances sont celles qui ont été le
moins explicitées par la formatrice pendant la formation. Ce
résultat montre l'importance de prendre en compte les
connaissances mathématiques de ces PES qui ne sont pas des
spécialistes, du fait d'une formation initiale basée sur la
polyvalence du métier. Nous avons donc émis l'hypothèse que
des apports mathématiques complémentaires seraient à proposer
aux PES en formation pour qu'elles puissent mobiliser ces
justifications avec les élèves. Une autre hypothèse, non liée aux
connaissances mathématiques mais plutôt aux représentations des
PES (composante personnelle) peut justifier cette situation. Le
cycle considéré, le cycle 2, amène peut-être les PES à penser que
les élèves sont trop jeunes pour que la question des justifications
soit travaillée avec eux. Elles font donc le choix de n'expliciter
que les techniques de comparaison de contenances. Ce point
serait à questionner plus particulièrement dans des travaux futurs.

Les pratiques d'institutionnalisation qui émergent lors du jeu
de rôles

Nous avons pu montrer que le jeu de rôles, même s’il propose un contexte « simulé » par rapport au contexte ordinaire de la classe laisse émerger un certain nombre d’invariants mais aussi de variabilités dans les pratiques d’institutionnalisation des PES. Ces conclusions s’appuient sur des pratiques effectives et sur les commentaires des observateurs du jeu de rôles. L’analyse des composantes médiative et cognitive des pratiques, par exemple, laisse apparaître une difficulté pour les PES à s’adapter au déroulé réel afin d’identifier les éléments nécessaires à la construction du savoir. Les PES rencontrent une vraie difficulté à identifier les connaissances mathématiques en jeu dans les situations proposées qui sont basées sur l’utilisation de la manipulation. De plus, les formées ont du mal à se détacher de leur préparation pour prendre en compte les réactions et propos des élèves. Cette difficulté régulièrement rencontrée dans les pratiques des nouveaux enseignants (Charles-Pézard et al, 2012) vient complexifier la mise en œuvre du processus d’institutionnalisation.

Dans l'analyse que nous venons de présenter, nous avons pu montrer que les PES développent une posture réflexive qui leur permet de mobiliser les connaissances mathématiques, didactiques et pédagogiques construites en formation lors de la mise en œuvre du jeu de rôles qui influencent leurs pratiques d'institutionnalisation « simulées ». Des travaux portant sur les effets de certains dispositifs de formation sur les pratiques des enseignants (Charles-Pézard et al., 2012) ont montré qu'une formation doit prendre en compte la complexité de la classe pour être efficiente. Nous avons pu montrer que c'est le cas du jeu de rôles.

En effet, à son échelle, cette recherche montre les intérêts et
limites d'un dispositif de formation initiale utilisant le jeu de rôles
pour la formation des PES. Le jeu de rôles est moins coûteux
pour le formateur en organisation et en temps que l'observation
de pratiques effectives qui permettent elles aussi d'atteindre la
complexité de la classe. Du côté des PES cela limite la prise de
risques puisque nous sommes dans un contexte « simulé » tout en
leur permettant d'anticiper la prise en compte des techniques des
élèves en se mettant à leur place. Il est important de mener des recherches sur l'impact de la formation initiale sur les pratiques des enseignants et par conséquent sur les apprentissages des élèves particulièrement en cette période où l'école française déplore que ses élèves n'atteignent pas les résultats aux évaluations internationales analogues à ceux de la population scolaire de pays comparables.

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