Dans ce cas, nous pouvons spécifier le fait que l'hypersurface soit holomorphiquement non dégénérée en fonction des degrés de chaque variable des monômes.

**Lemme 4.1.8.**

Soit $M$ une hypersurface monomiale de type $PQR$, décrite par

$$ \mathrm{Im} w = P\bar{Q} + Q\bar{P} + R\bar{R}, $$

où $P = z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3}$, $Q = z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3}$ et $R = z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3}$. Alors $M$ est holomorphiquement non dégénérée si et seulement si

$$ \begin{vmatrix} \alpha_1 & \beta_1 & \gamma_1 \\ \alpha_2 & \beta_2 & \gamma_2 \\ \alpha_3 & \beta_3 & \gamma_3 \end{vmatrix} \neq 0. $$

**Démonstration.** Par le lemme suivant, l'hypersurface $PQR$ est holomorphiquement non dégénérée si et seulement si le jacobien de $P$, $Q$ et $R$ est non nul. Dans notre cas monomial,

$$ \begin{align*} 0 \neq J(P, Q, R) &= \begin{vmatrix} P_{z1} & Q_{z1} & R_{z1} \\ P_{z2} & Q_{z2} & R_{z2} \\ P_{z3} & Q_{z3} & R_{z3} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} \alpha_1 z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} & \beta_1 z_1^{\beta_1-1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} & \gamma_1 z_1^{\gamma_1-1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \\ \alpha_2 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2-1} z_3^{\alpha_3} & \beta_2 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2-1} z_3^{\beta_3} & \gamma_2 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2-1} z_3^{\gamma_3} \\ \alpha_3 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3-1} & \beta_3 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3-1} & \gamma_3 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3-1} \end{vmatrix} \\ &= \alpha_1 z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \begin{vmatrix} \beta_2 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2-1} z_3^{\beta_3} & \gamma_2 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2-1} z_3^{\gamma_3} \\ \beta_3 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3-1} & \gamma_3 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3-1} \end{vmatrix} \\ &\quad - \beta_1 z_1^{\beta_1-1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \begin{vmatrix} \alpha_2 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2-1} z_3^{\alpha_3} & \gamma_2 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2-1} z_3^{\gamma_3} \\ \alpha_3 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3-1} & \gamma_3 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3-1} \end{vmatrix} \\ &\quad + \gamma_1 z_1^{\gamma_1-1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \begin{vmatrix} \alpha_2 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2-1} z_3^{\alpha_3} & \beta_2 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2-1} z_3^{\beta_3} \\ \alpha_3 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3-1} & \beta_3 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3-1} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} \alpha_1 & \beta_1 & \gamma_1 \\ \alpha_2 & \beta_2 & \gamma_2 \\ \alpha_3 & \beta_3 & \gamma_3 \end{vmatrix} z_1^{\alpha_1+\beta_1+\gamma_1-1} z_2^{\alpha_2+\beta_2+\gamma_2-1} z_3^{\alpha_3+\beta_3+\gamma_3-1}. \end{align*} $$
Grâce aux variables $z_1, z_2$ et $z_3$, qui sont en particulier non nulles, l'affirmation est démontrée. $\square$

**Lemme 4.1.9.**

Soit $M$ une hypersurface de type $PQR$. Alors $M$ est holomorphiquement non dégénérée si et seulement si le jacobien de $P, Q$ et $R$ est non nul.

*Démonstration.* Nous prouvons le premier sens de la double implication par contraposée. Supposons donc que le jacobien de $P, Q$ et $R$ soit nul. Nous volons montrer que $M$ est holomorphiquement dégénérée.

Notons $M_J$ la matrice jacobienne dont le déterminant est le jacobien de $P, Q$ et $R$, noté $J(P, Q, R)$. Alors, nous étudions le champ vectoriel

$$X = \sum_{j=1}^{3} f_{j}(z) \frac{\partial}{\partial z_{j}}$$

qui satisfait

$$X(P) = 0, \quad X(Q) = 0, \quad \text{et} \quad X(R) = 0,$$

et il est clair que dans ce cas, $X(P) = 0$. Les trois équations forment le système

$$f_1(z)P_{z_1} + f_2(z)P_{z_2} + f_3(z)P_{z_3} = 0$$

$$f_1(z)Q_{z_1} + f_2(z)Q_{z_2} + f_3(z)Q_{z_3} = 0$$

$$f_1(z)R_{z_1} + f_2(z)R_{z_2} + f_3(z)R_{z_3} = 0,$$

ou sous forme matricielle,

$$M_J f = 0.$$

Dans ce cas, $J(P, Q, R) = 0$ implique que le système d'équation homogène n'a pas un rang maximal. Il existe donc au moins une solution non nulle pour $f$, c'est-à-dire pour $X$. L'hypersurface est par conséquent holomorphiquement dégénérée.

Pour l'autre direction de la double implication, supposons que $J(P, Q, R) \neq 0$ et montrons que l'hypersurface est holomorphiquement non dégénérée. Soit un champ vectoriel

$$X = \sum_{j=1}^{3} f_{j}(z) \frac{\partial}{\partial z_{j}} \quad \text{tel que} \quad X(P) = 0.$$
Or,

$$X(\mathcal{P}) = 0 \Leftrightarrow X(P)\bar{Q} + X(Q)\bar{P} + X(R)\bar{R} = 0.$$

Il est dès lors important de constater que les trois termes de cette dernière équation ne peuvent se compenser. En effet, si cela était le cas, en comparant les parties antiholomorphes par exemple, nous aurions, à des constantes près, $P = Q$ (avec $X(R) = 0$), $P = R$ (avec $X(Q) = 0$), $Q = R$ (avec $X(P) = 0$) ou $P = Q = R$. Cela serait une contradiction avec $J(P, Q, R) \neq 0$.

Ainsi,

$$X(\mathcal{P}) = 0 \Leftrightarrow X(P) = 0, X(Q) = 0, \text{ et } X(R) = 0.$$

Cette dernière équation revient à l'équation matricielle $M_J f = 0$ décrite ci-avant. Comme $J(P, Q, R) \neq 0$, ce système d'équations homogène a un rang maximal et il existe une seule solution, $X = 0$. L'hypersurface est par conséquent holomorphiquement non dégénérée. □

## 4.2 Problème PQR découplé

### Définition 4.2.1.

Un polynôme $\mathcal{P}$ est dit *découplé* s'il s'écrit comme deux polynômes ne dépendant pas des mêmes variables.

Nous traitons le cas découplé où l'équation définissant l'hypersurface (réelle, Levi dégénérée, holomorphiquement non dégénérée et de type fini) pour le problème PQR admet deux polynômes, $P$ et $Q$, qui ne dépendent que de $(z_1, z_2)$, et un polynôme, $R$, qui ne dépend que de $z_3$ :

$$\mathrm{Im} w = P(z_1, z_2) \overline{Q(z_1, z_2)} + Q(z_1, z_2) \overline{P(z_1, z_2)} + R(z_3) \overline{R(z_3)}.$$

Une telle hypersurface est dite de type PQR découplée. Pour des questions d'homogénéité, $R$ est monomial. En effet, deux monômes homogènes, différents et ne dépendant qu'uniquement d'une variable, $z_3$ ici, sont forcément regroupables en un monôme. Nous notons également que le degré de $R$

$$\deg R = \frac{\deg P + \deg Q}{2} \quad (\in \mathbb{N}^*).$$
En toute logique, nous prenons la décomposition de **g** en commençant par les degrés pondérés les plus petits. Nous rappelons qu'évidemment, dim **g**<sub>-1</sub> = 1, avec W comme élément. Nous notons également que ce cas généralise relativement aisément le problème PQ précédent.

4.2.1 Propriétés de g_t

**Lemme 4.2.2.**

Soit M une hypersurface de type PQR découplée. Si M admet une symétrie tubulaire,
alors M est biholomorphiquement équivalente à

$$
\operatorname{Im} w = z_1 \bar{z}_2^\ell + z_2 \bar{z}_1^\ell + z_3^{\frac{1+\ell}{2}} \bar{z}_3^{\frac{1+\ell}{2}}
$$

où ℓ est impair.

Démonstration. Pour des questions de degré pondéré, une symétrie tubulaire s'écrit comme

$$
X = a \frac{\partial}{\partial z_1} + b \frac{\partial}{\partial z_2} + c \frac{\partial}{\partial z_3} + g(z_1, z_2, z_3) \frac{\partial}{\partial w},
$$

où a, b et c sont des constantes complexes. Nous voyons premièrement que c = 0, car
l'hypersurface est découplée. En effet, si nous calculons

$$
\begin{align*}
2 \operatorname{Re} X(P\overline{Q} + Q\overline{P} + RR) &= a(P_{z_1}\overline{Q} + Q_{z_1}\overline{P}) + \bar{a}(Q\overline{P}_{z_1} + P\overline{Q}_{z_1}) \\
&\quad +b(P_{z_2}\overline{Q} + Q_{z_2}\overline{P}) + \bar{b}(Q\overline{P}_{z_2} + P\overline{Q}_{z_2}) \\
&\quad +c R_{z_3}\overline{R} + \bar{c} RR_{z_3} + \frac{i}{2}g - \frac{i}{2}\bar{g},
\end{align*}
$$

nous constatons, à cause du découplage (et en écartant la possibilité d'hyperquadrique),
que c = 0 et que g ne dépend pas de z₃.

Nous détaillons ensuite deux changements de variables qui ont pour but l'aplatisse-
ment de l'hypersurface. Le premier changement de variables est le suivant :

$z_1 = az'_1,$

$z_2 = b z'_1 + z'_2,$

$$
z_3 = z'_3 (= c z'_1 + z'_3).
$$
Cela implique en particulier, par la règle de la chaîne, que

$$
\begin{gather*}
\frac{\partial}{\partial z_1'} = \frac{\partial}{\partial z_1} \frac{\partial z_1}{\partial z_1'} + \frac{\partial}{\partial z_2} \frac{\partial z_2}{\partial z_1'} + \frac{\partial}{\partial z_3} \frac{\partial z_3}{\partial z_1'} = a \frac{\partial}{\partial z_1} + b \frac{\partial}{\partial z_2}, \\
\frac{\partial}{\partial z_2'} = \frac{\partial}{\partial z_2} \quad \text{et} \quad \frac{\partial}{\partial z_3'} = \frac{\partial}{\partial z_3}.
\end{gather*}
$$

Nous pouvons donc réécrire $X = \frac{\partial}{\partial z_1'} + g(z_1', z_2') \frac{\partial}{\partial w}$, mais $g$ ne dépend que de $z_2'$. En effet, si $g$ dépendait de $z_1'$, alors, dans les nouvelles coordonnées, $X \in g$ donnerait

$$
0 = P_{z_1'} \overline{Q} + Q_{z_1'} \overline{P} + \overline{R}_{z_1'} \overline{R} + \frac{i}{2} g_{z_1'} \\
+ Q \overline{P}_{z_1'} + P \overline{Q}_{z_1'} + \overline{R} \overline{R}_{z_1'} - \frac{i}{2} g_{z_1'}
$$

ce qui est impossible. Dans ce cas, nous aurions effectivement, sans restriction de la
généralité, $P_{z_1'} \overline{Q} + Q \overline{P}_{z_1'} = 0$ et $Q_{z_1'} \overline{P} + \frac{i}{2} g_{z_1'} + P \overline{Q}_{z_1'} - \frac{i}{2} g_{z_1'}$, donc $P_{z_1'} = iQ$ et $Q_{z_1'} = c \in \mathbb{C}^*$.
Or, si $Q = c z_1'$, alors $P = \frac{c}{2} i z_1'^2$, et l'hypersurface serait holomorphiquement dégénérée.
Nous écrivons donc $g = g(z_2')$.

Le second changement de variables est le suivant :

$$
\begin{align*}
z_j'' &= z_j', \quad \text{pour } j = 1, 2, 3, \\
w'' &= w - z_1' g(z_2').
\end{align*}
$$

Il implique en particulier que $\frac{\partial}{\partial w''} = \frac{\partial}{\partial w}$, et que

$$
\frac{\partial}{\partial z_1''} = \frac{\partial}{\partial z_1'} \frac{\partial z_1'}{\partial z_1''} + \frac{\partial}{\partial z_2'} \frac{\partial z_2'}{\partial z_1''} + \frac{\partial}{\partial z_3'} \frac{\partial z_3'}{\partial z_1''} + \frac{\partial}{\partial w} \frac{\partial w}{\partial z_1''} = \frac{\partial}{\partial z_1'} + g(z_2') \frac{\partial}{\partial w}.
$$

Nous obtenons un champ qui s'écrit comme

$$
X = \frac{\partial}{\partial z_1'',}
$$

et qui agit sur une hypersurface modifiée, où le terme $-z_1'g(z_2')$ de $w''$ a ajouté un terme
pluriharmonique dans l'équation. En effet,
$$ \operatorname{Im} w = \frac{w - \bar{w}}{2i} = \frac{w'' + z_1' g(z_2') - \overline{w''} - \overline{z_1' g(z_2')}}{2i} \\ = \operatorname{Im} w'' + \frac{z_1' g(z_2')}{2i} + \left( \frac{\overline{z_1' g(z_2')}}{2i} \right), $$

et si nous posons

$$ H(z_1', z_2') = -\frac{z_1' g(z_2')}{2i}, $$

l'équation définissant l'hypersurface s'écrit

$$ \operatorname{Im} w'' = P\bar{Q} + Q\bar{P} + R\bar{R} + H + \bar{H}. $$

Nous observons finalement que ce modèle reste découplé après les changements de variables, et le lemme 3.2.11¹¹¹ reste applicable pour le champ $X = \frac{\partial}{\partial z_1''}$ avec simplement un polynôme muet $R$, car il est découplé et ne dépend pas de $z_1''$. Cependant, dans ce dernier lemme, l'hypersurface définie par $\operatorname{Im} w = z_1 z_2^\ell \overline{z_2}^\ell + z_2^\ell \overline{z_1 z_2} + R\bar{R}$ est impossible, car deg $R = \frac{2\ell+1}{2} \notin \mathbb{N}$. Nous ne gardons donc que l'hypersurface particulière donnée par $\operatorname{Im} w = z_1 \overline{z_2}^\ell + z_2^\ell \overline{z_1} + R\bar{R}$, avec $\ell$ impair. Le fait que $R$ ne dépende que de $z_3$ implique qu'il est monomial par homogénéité et l'affirmation est prouvée.

Prenons également $X = \frac{\partial}{\partial z_3''}$, pour vérifier qu'il n'y a pas d'autre élément de $g_\ell$. Appliqué à l'équation définissante, $0 = R_{z_3} \bar{R} - R \bar{R}_{z_3}$, nous voyons immédiatement que ce champ n'a pas de sens une fois de plus pour des raisons de découplage. □

### 4.2.2 Propriétés de $g_0$

Le lemme suivant, qui permet la décomposition des rotations en trois sous-groupes (les nilpotentes, les diagonales réelles et imaginaires) reste valable.

<footnote n="111">111. Dans la démonstration de ce lemme, le champ $X = i \frac{\partial}{\partial z_1'}$ apparaît. Nous pouvons voir cela comme un troisième changement de variable, $z_1'' = i z_1'''$, qui transforme $X = \frac{\partial}{\partial z_1''}$ en $X = i \frac{\partial}{\partial z_1'''}$. Cf. [49], p.261, lemme 3.6.</footnote>
**Lemme 4.2.3.**

Soit M une hypersurface monomiale de type PQR découplée<fnref n="112" />.

Alors toute rotation $X \in \mathfrak{g}_0$ peut être décomposée en une rotation purement diagonale, $X_1 \in \mathfrak{g}_0^{\text{Re}} \oplus \mathfrak{g}_0^{\text{Im}}$, et une rotation sans diagonale qui elle, est nilpotente, $X_2 \in \mathfrak{g}_0^{\text{Nil}}$ :

$$X = X_1 + X_2.$$

**Démonstration.** Soit une rotation

$$X = (a_{11}z_1 + a_{12}z_2 + a_{13}z_3) \frac{\partial}{\partial z_1} + (a_{21}z_1 + a_{22}z_2 + a_{23}z_3) \frac{\partial}{\partial z_2} + (a_{31}z_1 + a_{32}z_2 + a_{33}z_3) \frac{\partial}{\partial z_3},$$

ou du point de vue matriciel<fnref n="113" />,

$$A_X = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = A_{X_1} + A_{X_2} = \begin{pmatrix} a_{11} & & 0 \\ & a_{22} & \\ 0 & & a_{33} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & 0 & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 0 \end{pmatrix},$$

avec $X_1$ diagonale. Nous considérons les monômes $P = c_P z_1^\alpha z_2^\beta$, $Q = c_Q z_1^\gamma z_2^\delta$ et $R = c_R z_3^\epsilon$, où $c_P, c_Q$ et $c_R$ sont des constantes complexes et où nous notons que

$$\epsilon = \frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{2} > 1.$$

Alors, en laissant de côté les constantes pour l'instant,

<footnote n="112">112. Cf. lemme 3.2.13, p.68, pour le problème PQ.</footnote>

<footnote n="113">113. Cf. section 2.2.3, p.44.</footnote>
$$
\begin{align}
0 &= 2 \operatorname{Re} X (z_1^\alpha \overline{z_2^\beta} \overline{z_1}^\gamma \overline{z_2}^\delta + z_1^\gamma \overline{z_2^\delta} \overline{z_1}^\alpha \overline{z_2}^\beta + z_3^\epsilon \overline{z_3}^\epsilon) \nonumber \\
&= (a_{11}\alpha + a_{22}\beta + \overline{a_{11}}\gamma + \overline{a_{22}}\delta) z_1^\alpha \overline{z_2^\beta} \overline{z_1}^\gamma \overline{z_2}^\delta + (\overline{a_{11}}\alpha + \overline{a_{22}}\beta + a_{11}\gamma + a_{22}\delta) z_1^\gamma \overline{z_2^\delta} \overline{z_1}^\alpha \overline{z_2}^\beta \nonumber \\
&\quad + \epsilon (a_{33} + \overline{a_{33}}) z_3^\epsilon \overline{z_3}^\epsilon \tag{4.5} \\
&\quad + a_{12}\alpha z_1^{\alpha-1} \overline{z_2}^{\beta+1} \overline{z_1}^\gamma \overline{z_2}^\delta + a_{12}\gamma z_1^{\gamma-1} \overline{z_2}^{\delta+1} \overline{z_1}^\alpha \overline{z_2}^\beta \nonumber \\
&\quad + a_{21}\beta z_1^{\alpha+1} \overline{z_2}^{\beta-1} \overline{z_1}^\gamma \overline{z_2}^\delta + a_{21}\delta z_1^{\gamma+1} \overline{z_2}^{\delta-1} \overline{z_1}^\alpha \overline{z_2}^\beta \nonumber \\
&\quad + \overline{a_{12}}\alpha z_1^\gamma \overline{z_2}^\delta \overline{z_1}^{\alpha-1} \overline{z_2}^{\beta+1} + \overline{a_{12}}\gamma z_1^\alpha \overline{z_2}^\beta \overline{z_1}^{\gamma-1} \overline{z_2}^{\delta+1} \nonumber \\
&\quad + \overline{a_{21}}\beta z_1^\gamma \overline{z_2}^\delta \overline{z_1}^{\alpha+1} \overline{z_2}^{\beta-1} + \overline{a_{21}}\delta z_1^\alpha \overline{z_2}^\beta \overline{z_1}^{\gamma+1} \overline{z_2}^{\delta-1} \tag{4.6} \\
&\quad + a_{13}\alpha z_1^{\alpha-1} \overline{z_2}^\beta z_3 \overline{z_1}^\gamma \overline{z_2}^\delta + a_{13}\gamma z_1^{\gamma-1} \overline{z_2}^\delta z_3 \overline{z_1}^\alpha \overline{z_2}^\beta \nonumber \\
&\quad + a_{23}\beta \alpha z_1^\alpha \overline{z_2}^{\beta-1} z_3 \overline{z_1}^\gamma \overline{z_2}^\delta + a_{23}\delta z_1^\gamma \overline{z_2}^{\delta-1} z_3 \overline{z_1}^\alpha \overline{z_2}^\beta \nonumber \\
&\quad + \overline{a_{13}}\alpha z_1^\gamma \overline{z_2}^\delta \overline{z_1}^{\alpha-1} \overline{z_2}^\beta \overline{z_3} + \overline{a_{13}}\gamma z_1^\alpha \overline{z_2}^\beta \overline{z_1}^{\gamma-1} \overline{z_2}^\delta \overline{z_3} \nonumber \\
&\quad + \overline{a_{23}}\beta \alpha z_1^\gamma \overline{z_2}^\delta \overline{z_1}^\alpha \overline{z_2}^{\beta-1} \overline{z_3} + \overline{a_{23}}\delta z_1^\alpha \overline{z_2}^\beta \overline{z_1}^\gamma \overline{z_2}^{\delta-1} \overline{z_3} \tag{4.7} \\
&\quad + a_{31} \epsilon z_1 \overline{z_3}^{\epsilon-1} \overline{z_3}^\epsilon + a_{32} \epsilon z_2 \overline{z_3}^{\epsilon-1} \overline{z_3}^\epsilon \nonumber \\
&\quad + \overline{a_{31}} \epsilon z_3^\epsilon \overline{z_1 z_3}^{\epsilon-1} + \overline{a_{32}} \epsilon z_3^\epsilon \overline{z_2 z_3}^{\epsilon-1}. \tag{4.8}
\end{align}
$$

Étudions ce membre de droite de l'équation. La première partie, (4.5), ne peut se simplifier avec le reste. En effet, nous le voyons en comparant les degrés des parties holomorphes ou antiholomorphes et nous savons également que P et Q ne peuvent être égaux. Nous avons donc que le champ diagonal

$$
X_1 = a_{11}z_1 \frac{\partial}{\partial z_1} + a_{22}z_2 \frac{\partial}{\partial z_2} + a_{33}z_3 \frac{\partial}{\partial z_3} \in \operatorname{hol}(M, p).
$$

Nous en concluons que le champ $X_2 = X - X_1 \in \operatorname{hol}(M, p)$. Montrons que $X_2$ est une rotation nilpotente.

Comme rotation, cela signifie en particulier que les parties (4.6), (4.7) et (4.8) s'annulent. Pour la partie (4.8), en contemplant les degrés, nous voyons que ces termes ne peuvent s'annuler sans que $a_{31} = a_{32} = 0$. Il en va de même pour la partie (4.7). En effet, cette partie contient toujours un $z_3$ mal placé qui ne peut aider l'annulation en regardant les degrés des différentes variables. Chaque terme de cette partie s'annule donc seul. Pour l'instant,

$a_{13} = a_{23} = a_{31} = a_{32} = 0.$
La partie (4.6) est similaire au cas du modèle *PQ* dans $\mathbb{C}^3$. Les mêmes possibilités sont
donc déduites<sup>114</sup>, à savoir

$a_{12} = a_{21} = 0,$

$a_{21} = 0, \ a_{12} \neq 0, \ \text{avec} \ \alpha - 1 = \gamma, \ \beta + 1 = \delta, \ \text{ou}$

$a_{12} = 0, \ a_{21} \neq 0, \ \text{avec} \ \alpha + 1 = \gamma, \ \beta - 1 = \delta.$

Notre champ $X_2$ a donc trois matrices différentes possibles :

$$
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \text{ou} \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
$$

qui sont nilpotentes.

☐

Pour classifier ces différentes rotations, nous rappelons la définition suivante.

**Remarque 4.2.4.**

Une hypersurface polynomiale, avec équation Im w = P, est dite *balancée* s'il existe un champ complexe reproducteur. C'est-à-dire qu'il existe Y tel que <fnref n="115" />

$Y(\mathcal{P}) = \mathcal{P}.$

Un tel $Y$ est en fait un champ linéaire

$$
Y = \sum_{j=1}^{3} \lambda_j z_j \frac{\partial}{\partial z_j},
$$

tel que, si nous notons

$$
\mathcal{P} = \sum_{k=1}^{m} \left( z_1^{\alpha_1 k} z_2^{\alpha_2 k} z_3^{\alpha_3 k} \bar{z}_1^{\beta_1 k} \bar{z}_2^{\beta_2 k} \bar{z}_3^{\beta_3 k} + z_1^{\beta_1 k} z_2^{\beta_2 k} z_3^{\beta_3 k} \bar{z}_1^{\alpha_1 k} \bar{z}_2^{\alpha_2 k} \bar{z}_3^{\alpha_3 k} \right) + \sum_{\ell=1}^{m_R} z_1^{\gamma_1 \ell} z_2^{\gamma_2 \ell} z_3^{\gamma_3 \ell} \bar{z}_1^{\gamma_1 \ell} \bar{z}_2^{\gamma_2 \ell} \bar{z}_3^{\gamma_3 \ell},
$$

avec *m* le nombre de monômes de $P\bar{Q}$ et $m_R$ celui de $R\bar{R}$,

<footnote n="114">114. Cf. démonstration du lemme 3.2.13, p.68.</footnote>

<footnote n="115">115. Cf. définition 3.2.7, p.65, ou [49], p.114, définition 2.4.</footnote>
$$ \lambda_1 \alpha_{1k} + \lambda_2 \alpha_{2k} + \lambda_3 \alpha_{3k} = 1 $$

$$ \lambda_1 \beta_{1k} + \lambda_2 \beta_{2k} + \lambda_3 \beta_{3k} = 1 $$

$$ \lambda_1 \gamma_{1\ell} + \lambda_2 \gamma_{2\ell} + \gamma_3 \beta_{3\ell} = 1, $$

pour tout $k = 1, \dots, m$ et $\ell = 1, \dots, m_R$, ceci venant d'être défini dans le cas général, pas forcément découplé.

**Lemme 4.2.5.**

Soit $M$ une hypersurface de type PQR découplé. Si $M$ est monomiale, alors $M$ est balancée.

**Démonstration.** Comme $M$ est monomiale, nous supposons que

$$ P = z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2}, \quad Q = z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2}, \quad \text{et} \quad R = z_3^{\gamma_3}. $$

$R$ étant de toute façon indépendant par rapport à $P$ ou $Q$, pour que l'hypersurface soit holomorphiquement non dégénérée, il faut que $(\alpha_1, \alpha_2)$ et $(\beta_1, \beta_2)$ soient linéairement indépendants$^{116}$. Sinon, avec $(\alpha_1, \alpha_2) = \lambda(\beta_1, \beta_2)$ le champ $\alpha_2 z_1 \frac{\partial}{\partial z_1} - \alpha_1 z_2 \frac{\partial}{\partial z_2}$ annulerait $\mathcal{P}$. Comme $(\alpha_1, \alpha_2)$ et $(\beta_1, \beta_2)$ sont linéairement indépendants, le système d'équations

$$ \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 = 1 $$

$$ \lambda_1 \beta_1 + \lambda_2 \beta_2 = 1 $$

$$ \lambda_3 \gamma_3 = 1 $$

possède une unique solution $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$ qui implique que le champ $X = \sum_{j=1}^3 \lambda_j z_j \frac{\partial}{\partial z_j}$ est un champ complexe reproducteur, car

$$ X(\mathcal{P}) = \lambda_1 \alpha_1 P \bar{Q} + \lambda_1 \beta_1 Q \bar{P} + \lambda_2 \alpha_2 P \bar{Q} + \lambda_2 \beta_2 Q \bar{P} + \lambda_3 \gamma_3 R \bar{R} = \mathcal{P}. $$

□

<footnote n="116">116. Cf. lemme 4.1.8, p.90.</footnote>
### 4.2.3 Propriétés de $g_0^{\text{Re}}$

#### Lemme 4.2.6.

Soit une hypersurface de type PQR découplée. Alors M possède une rotation réelle si et seulement si M est monomiale. De plus, dans ce cas, $\dim_{\mathbb{R}} g_0^{\text{Re}} = 1$.

**Démonstration.** Soit une rotation réelle dans sa forme normale, après un éventuel changement de variables linéaire

$$X = \sum_{j=1}^{3} \lambda_j z_j \frac{\partial}{\partial z_j}.$$

Concernant R, nous savons, par homogénéité, que ce polynôme est monomial. En outre, par rapport à $\lambda_3$, nous avons

$$\lambda_3 z_3^{\gamma_3} \bar{z}_3^{\gamma_3} = 0,$$

impliquant que $\lambda_3 = 0$. La réflexion est revient à se ramener au problème $PQ^{117}$.

Ainsi, d'une part, pour tout monôme $z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} \bar{z}_1^{\beta_1} \bar{z}_2^{\beta_2}$ dans le développement de $P\bar{Q}$,

$$\lambda_1(\alpha_1 + \beta_1) + \lambda_2(\alpha_2 + \beta_2) = 0,$$

avec $\lambda_1 \neq \lambda_2$, M étant holomorphiquement non dégénérée. En effet, si, par l'absurde, $\lambda = \lambda_1 = \lambda_2$, alors le champ $X = \lambda \sum_{j=1}^2 z_j \frac{\partial}{\partial z_j}$ implique, vu qu'il est un automorphisme infinitésimal CR,

$$ \begin{aligned} 0 &= 2 \operatorname{Re} X(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) \\ &= \lambda (\alpha_1 P\bar{Q} + \beta_1 Q\bar{P} + \alpha_2 P\bar{Q} + \beta_2 Q\bar{P} + \alpha_1 Q\bar{P} + \beta_1 P\bar{Q} + \alpha_2 Q\bar{P} + \beta_2 P\bar{Q}) \\ &= \lambda (\alpha_1 + \alpha_2 + \beta_1 + \beta_2) (P\bar{Q} + Q\bar{P}) \\ &\Rightarrow P\bar{Q} + Q\bar{P} = 0 \quad (\text{contradiction}). \end{aligned} $$

D'autre part, à cause de l'homogénéité du degré pondéré, m, nous avons

$$(\alpha_1 + \beta_1) + (\alpha_2 + \beta_2) = m.$$

Ces deux équations donnent une unique solution pour $\alpha_1 + \beta_1$ et $\alpha_2 + \beta_2$. Cette réflexion est valable pour tout monôme de $P\bar{Q}$. Ainsi, le degré total, en $z_1$ et en $z_2$, dans $P\bar{Q}$ est

<footnote n="117">117. Cf. lemme 3.2.17, p.71.</footnote>
constant. Par conséquent, P et Q sont des monômes (l'effet double produit jouant son rôle). Le sens inverse découle des mêmes réflexions.

De plus, l'équation

$$ \lambda_1(\alpha_1 + \beta_1) + \lambda_2(\alpha_2 + \beta_2) = 0, $$

pour une hypersurface monomiale donnée, comporte des solutions, $\lambda_1$ et $\lambda_2$, qui forment un ensemble de dimension réelle égale à un. □

### 4.2.4 Propriétés de $g_0^{\text{Im}}$

#### Lemme 4.2.7.

Soit une hypersurface M de type PQR découplée. Alors il existe une rotation imaginaire si et seulement si M est balancée.

Démonstration. Si M est balancée, par définition, il existe un champ complexe reproductor

$$ Y = \sum_{j=1}^{3} \lambda_j z_j \frac{\partial}{\partial z_j}, $$

où $\lambda_1, \lambda_2$ et $\lambda_3 \in \mathbb{R}$. Il suffit de former le champ purement imaginaire $X := iY$, qui, comme

$$ 2 \operatorname{Re}(X(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w)) = 2 \operatorname{Re}(iY(\mathcal{P})) = 2 \operatorname{Re}(i\mathcal{P}) = 0, $$

est une rotation.

L'autre direction est plus intéressante<fnref n="118" />. Nous considérons une rotation imaginaire

$$ X = i \sum_{j=1}^{3} \lambda_j z_j \frac{\partial}{\partial z_j} $$

dans sa forme normale, avec $\lambda_j \in \mathbb{R}$. Si M est monomiale, alors elle est balancée et une rotation imaginaire existe, c'est ce que nous venons de démonter. Supposons donc que M soit non monomiale. Comme, par homogénéité, R est un monôme, c'est $P\bar{Q}$ qui sera composé de plusieurs monômes. Nous supposons, sans restriction de la généralité que P possède plusieurs monômes. Nous choisissons un monôme de $P\bar{Q}$,

<footnote n="118">¹¹⁸. Cf. lemme 3.2.19, p.72. C'est également le cas.</footnote>
$$z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2},$$

que nous comparons avec un autre,

$$z_1^{\alpha_1 - \eta} z_2^{\alpha_2 + \eta} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2}.$$

Dans le développement suivant, nous ne nous intéressons donc qu’à ces deux monômes sachant qu’aucun autre monôme similaire ne peut apparaître.

$$0 = 2 \operatorname{Re} X(P\overline{Q} + Q\overline{P} + R\overline{R})$$

$$
\begin{align*}
&= \dots + i\lambda_1\alpha_1 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} && +i\lambda_1\beta_1 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \\
&\quad - i\lambda_1\alpha_1 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} && -i\lambda_1\beta_1 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} + \dots \\
&\dots + i\lambda_1(\alpha_1 - \eta) z_1^{\alpha_1 - \eta} z_2^{\alpha_2 + \eta} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} && +i\lambda_1\beta_1 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} \overline{z_1}^{\alpha_1 - \eta} \overline{z_2}^{\alpha_2 + \eta} \\
&\quad - i\lambda_1(\alpha_1 - \eta) z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} \overline{z_1}^{\alpha_1 - \eta} \overline{z_2}^{\alpha_2 + \eta} && -i\lambda_1\beta_1 z_1^{\alpha_1 - \eta} z_2^{\alpha_2 + \eta} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} + \dots \\
&\dots + i\lambda_2\alpha_2 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} && +i\lambda_2\beta_2 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \\
&\quad - i\lambda_2\alpha_2 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} && -i\lambda_2\beta_2 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} + \dots \\
&\dots + i\lambda_2(\alpha_2 + \eta) z_1^{\alpha_1 - \eta} z_2^{\alpha_2 + \eta} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} && +i\lambda_2\beta_2 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} \overline{z_1}^{\alpha_1 - \eta} \overline{z_2}^{\alpha_2 + \eta} \\
&\quad - i\lambda_2(\alpha_2 + \eta) z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} \overline{z_1}^{\alpha_1 - \eta} \overline{z_2}^{\alpha_2 + \eta} && -i\lambda_2\beta_2 z_1^{\alpha_1 - \eta} z_2^{\alpha_2 + \eta} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} + \dots
\end{align*}
$$

Par conséquent, en comparant les coefficients respectivement devant $z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2}$ et devant $z_1^{\alpha_1 - \eta} z_2^{\alpha_2 + \eta} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2}$, nous obtenons

$$\lambda_1(\alpha_1 - \beta_1) + \lambda_2(\alpha_2 - \beta_2) = 0$$

$$\lambda_1(\alpha_1 - \eta - \beta_1) + \lambda_2(\alpha_2 + \eta - \beta_2) = 0,$$

qui, en les soustrayant et après division par $\eta$, impliquent

$$\lambda_1 = \lambda_2 =: \lambda.$$

Dans la première des deux équations ci-dessus, cela implique

$$\alpha_1 + \alpha_2 = \beta_1 + \beta_2.$$

Nous observons ainsi que $P$ et $Q$ ont le même degré. En effet, cette réflexion reste valable sur tout monôme de $P\overline{Q}$ et $P$ est homogène.
Concernant $R = z_3^{\gamma_3} \bar{z}_3^{\gamma_3}$, par homogénéité, nous avons,

$$ \alpha_1 + \alpha_2 = \beta_1 + \beta_2 = \gamma_3, $$

le degré de $R$, de $P$ et de $Q$ (à nouveau pour chaque monôme). En multipliant cette équation par $c := \frac{1}{\lambda\gamma_3}$, nous obtenons que

$$ c\alpha_1 + c\alpha_2 = c\beta_1 + c\beta_2 = \frac{1}{\lambda}, $$

cela étant valable pour tout monôme. Ainsi, nous formons le champ

$$ R = c \sum_{j=1}^{2} \lambda_j z_j \frac{\partial}{\partial z_j} + \frac{1}{\gamma_3} z_3 \frac{\partial}{\partial z_3} = \frac{1}{\gamma_3} \sum_{j=1}^{2} z_j \frac{\partial}{\partial z_j} + \frac{1}{\gamma_3} z_3 \frac{\partial}{\partial z_3}, $$

qui est un champ complexe reproducteur. En effet, pour effectuer les détails, si nous notons, avec $m$ le nombre de monômes pour $P\bar{Q}$,

$$ \mathcal{P} = \sum_{k=1}^{m} \left( z_1^{\alpha_1 k} z_2^{\alpha_2 k} \bar{z}_1^{\beta_1 k} \bar{z}_2^{\beta_2 k} + z_1^{\beta_1 k} z_2^{\beta_2 k} \bar{z}_1^{\alpha_1 k} \bar{z}_2^{\alpha_2 k} \right) + z_3^{\gamma_3} \bar{z}_3^{\gamma_3}, $$

alors

$$ R(\mathcal{P}) = $$

$$ \frac{1}{\gamma_3} \sum_{k=1}^{m} (\alpha_{1k} + \alpha_{2k}) z_1^{\alpha_{1k}} z_2^{\alpha_{2k}} \bar{z}_1^{\beta_{1k}} \bar{z}_2^{\beta_{2k}} + \frac{1}{\gamma_3} \sum_{k=1}^{m} (\beta_{1k} + \beta_{2k}) z_1^{\beta_{1k}} z_2^{\beta_{2k}} \bar{z}_1^{\alpha_{1k}} \bar{z}_2^{\alpha_{2k}} + z_3^{\gamma_3} \bar{z}_3^{\gamma_3} = \mathcal{P}. $$

□
### 4.2.5 Propriétés de $g_0^{\text{Nil}}$.

#### Lemme 4.2.8.

Soit une hypersurface $M$ de type PQR découplée. Si $M$ admet une rotation nilpotente, alors $M$ est biholomorphe à

$$ \operatorname{Im} w = i z_1^k \overline{z_2} z_1^{k+1} - i \overline{z_1}^{k+1} \overline{z_2} z_2 + \overline{z_3}^{k+1} \overline{z_3} z_3^{k+1}. $$

De plus, la dimension réelle des rotations nilpotentes est 1.

**Démonstration.** Sans restriction de la généralité, après un éventuel changement de variables linéaire, nous pouvons supposer que $X = z_1 \frac{\partial}{\partial z_2}$ est une rotation nilpotente. En effet, il est impossible de considérer $R$ pour une rotation nilpotente vu que ce monôme est complètement indépendant : $z_1 \frac{\partial}{\partial z_3}$ ou $z_3 \frac{\partial}{\partial z_1}$ ne font pas de sens de ce contexte découplé. Revenons à $X$. Étant en particulier un champ vectoriel CR infinitésimal, $X$ satisfait

$$ z_1 P_{z_2} \overline{Q} + z_1 Q_{z_2} \overline{P} + \overline{Q} z_1 P_{z_2} + \overline{P} z_1 Q_{z_2} = 0. $$

La seule possibilité, pour que cette équation soit valide, est que

$$ z_1 P_{z_2} \overline{Q} + \overline{Q} z_1 P_{z_2} = 0 \quad \text{et} \quad z_1 Q_{z_2} \overline{P} + \overline{P} z_1 Q_{z_2} = 0. $$

Donc, soit $P_{z_2} = 0$, soit $Q_{z_2} = 0$. Supposons que le degré maximum en $z_2$ soit réalisé par $P$. Ainsi $X(Q) = 0$, et nous écrivons $Q = z_1^{k+1}$. Selon la première équation ci-avant, $z_1 P_{z_2} = iQ$, donc $P = i z_1^k z_2$. $\square$

### 4.2.6 Propriétés de $g_c$

#### Lemme 4.2.9.

Soit une hypersurface de type PQR découplée. Alors,

$$ \dim g_c \le 1. $$

Plus précisément, si $J(P, Q)$ divise $QQ_{z_j}$ pour $j = 1, 2$, alors $\dim g_c = 1$.
Démonstration. Soit une rotation généralisée $X \in \mathfrak{g}_c$. Alors son degré pondéré satisfait $\deg X > 0$, et

$$0 = X(P)\overline{Q} + X(Q)\overline{P} + X(R)\overline{R} + \overline{QX(P)} + \overline{PX(Q)} + \overline{RX(R)}.$$

Nous étudions cette équation en considérant deux cas : lorsque $\deg P = \deg Q$, ou, sans restriction de la généralité, $\deg P < \deg Q$.

Dans le premier cas, par homogénéité, nous avons $\deg R = \deg P = \deg Q$, et notre équation implique que

$$X(P)\overline{Q} + X(Q)\overline{P} + X(R)\overline{R} = 0$$

car par exemple, $\deg X(P) > \deg P$, et ces termes ne peuvent s'annuler. De plus, $PQ$ et $R$ étant découplés, nous en déduisons (pour la partie avec $z_3$), que $X(R)\overline{R} = 0$, mais également que

$$X(P)\overline{Q} + X(Q)\overline{P} = 0,$$

impliquant, en comparant les parties antiholomorphes, que $Q = \alpha P$. Or, si $P$ et $Q$ ont des degrés identiques, l'hypersurface est holomorphiquement dégénérée<fnref n="119" />. Nous écartons donc ce cas.

Dans le second cas, nous notons au passage que $\deg R = \frac{\deg P + \deg Q}{2}$, et notre équation devient

$$0 = X(P)\overline{Q} + X(R)\overline{R} + \overline{QX(P)} + \overline{RX(R)}.$$

En effet, $\deg X(Q)$ est trop grand et ne peut s'annuler avec un autre terme<fnref n="120" />. Cette équation n'a que deux possibilités pour être valide. La première est que

$$X(P)\overline{Q} + \overline{RX(R)} = 0, \text{ et } X(Q) = 0,$$

et la seconde est que

$$X(P)\overline{Q} + \overline{QX(P)}, \quad X(R) = 0, \text{ et } X(Q) = 0.$$

<footnote n="119">119. Cf. lemme 4.1.8, p.90.</footnote>

<footnote n="120">120. Cela nous donne des informations sur $X$ par rapport à $Q$, mais nous laissons cela de côté pour le moment.</footnote>
La première possibilité n'est pas réalisable, car l'hypersurface est découplée. La seule possibilité est donc la seconde. Comme $X(R) = 0$, $f_3 = 0$ donc $X = \sum_{j=1}^{2} f_j(z_1, z_2, z_3) \frac{\partial}{\partial z_j}$. En outre, $X(P) = \alpha Q$, avec $\alpha \in \mathbb{C}^*$. Mettant $R$ de côté, alors inintéressant, nous avons le système d'équation

$$ 
\begin{aligned}
f_1(z_1, z_2, z_3)P_{z_1} + f_2(z_1, z_2, z_3)P_{z_2} &= \alpha Q, \\
f_1(z_1, z_2, z_3)Q_{z_1} + f_2(z_1, z_2, z_3)Q_{z_2} &= 0,
\end{aligned}
$$

et par Cramer<fnref n="121" />,

$$ 
\begin{aligned}
f_1(z_1, z_2) &= \frac{\alpha Q Q_{z_2}}{J(P, Q)}, \quad \text{et} \\
f_2(z_1, z_2) &= \frac{-\alpha Q Q_{z_1}}{J(P, Q)}.
\end{aligned}
$$

Nous notons que cela est valide grâce au fait que l'hypersurface est holomorphiquement non dégénérée, ainsi<fnref n="122" />, $J(P, Q) \neq 0$. Nous terminons en donnant explicitement

$$ X = \alpha \frac{Q(z_1, z_2)}{J(P, Q)} \left( Q_{z_2} \frac{\partial}{\partial z_1} - Q_{z_1} \frac{\partial}{\partial z_2} \right). $$

□

### 4.2.7 Propriétés de $g_{tt}$

#### Lemme 4.2.10.

Soit $M$ une hypersurface de type PQR découplée. Alors

$$ \dim g_t = 1 \Rightarrow \dim g_{tt} = 1. $$

*Démonstration.* Intégrons le champ $X = i \frac{\partial}{\partial z_1}$ sur l'unique hypersurface sur laquelle ce champ existe, Im $w = z_1 \bar{z}_2^\ell + z_2^\ell \bar{z}_1 + \bar{R}R + H + \bar{H}$, où $H$ est le fruit d'un changement de variables non linéaire, et comme nous l'avons vu, ce terme pluriharmonique ne dépend pas de $z_3$. Seul $R$ dépend de $z_3$. Une intégration de $X$ s'écrit comme

<footnote n="121">121. Cf. [34], p.143, théorème 5.2.</footnote>

<footnote n="122">122. Cf. lemme 4.1.8, p.90.</footnote>
$$
X^1 = (\phi_1(z) + i\omega) \frac{\partial}{\partial z_1} + \phi_2(z) \frac{\partial}{\partial z_2} + \phi_3(z) \frac{\partial}{\partial z_3} + \phi(z) \frac{\partial}{\partial w}.
$$

Pour qu'elle soit un automorphisme infinitésimal CR, nous posons,

$$
\begin{align*}
0 &= 2 \operatorname{Re} X^1(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) \\
&= i w \overline{z_2}^\ell + \phi_1 \overline{z_2}^\ell + \ell \phi_2 z_2^{\ell-1} \overline{z_1} + \phi_3 R_{z_3} \overline{R} + i w H_{z_1} + \phi_1 H_{z_1} + \phi_2 H_{z_2} + \frac{i}{2} \phi \\
&\quad - i \overline{w} z_2^\ell + \overline{\phi_1} z_2^\ell + \ell \overline{\phi_2} z_1 \overline{z_2}^{\ell-1} + \overline{\phi_3} R \overline{R_{z_3}} - i \overline{w} H_{z_1} + \overline{\phi_1} H_{z_1} + \overline{\phi_2} H_{z_2} - \frac{i}{2} \overline{\phi}, \\
&= i (u + i \mathcal{P}) \overline{z_2}^\ell + i (u + i \mathcal{P}) H_{z_1} - i (u - i \mathcal{P}) z_2^\ell - i (u - i \mathcal{P}) \overline{H_{z_1}} \\
&\quad + \phi_1 \overline{z_2}^\ell + \ell \phi_2 z_2^{\ell-1} \overline{z_1} + \phi_3 R_{z_3} \overline{R} + \phi_1 H_{z_1} + \phi_2 H_{z_2} + \frac{i}{2} \phi \\
&\quad + \overline{\phi_1} z_2^\ell + \ell \overline{\phi_2} z_1 \overline{z_2}^{\ell-1} + \overline{\phi_3} R \overline{R_{z_3}} + \overline{\phi_1} H_{z_1} + \overline{\phi_2} H_{z_2} - \frac{i}{2} \overline{\phi} \\
&= i (u + i \mathcal{P}) \overline{z_2}^\ell + i (u + i \mathcal{P}) H_{z_1} - i (u - i \mathcal{P}) z_2^\ell - i (u - i \mathcal{P}) \overline{H_{z_1}} \\
&\quad + \dots \\
&= i u \overline{z_2}^\ell - \mathcal{P} \overline{z_2}^\ell + i u H_{z_1} - \mathcal{P} H_{z_1} - i u z_2^\ell - \mathcal{P} z_2^\ell - i u \overline{H_{z_1}} - \mathcal{P} \overline{H_{z_1}} \\
&\quad + \dots \\
&= i u \left( \overline{z_2}^\ell + H_{z_1} - z_2^\ell - \overline{H_{z_1}} \right) - \mathcal{P} \left( \overline{z_2}^\ell + H_{z_1} + z_2^\ell + \overline{H_{z_1}} \right) + \dots
\end{align*}
$$

Par rapport à $u = \operatorname{Re} w$, nous voyons que $H_{z_1} = z_2^\ell$, donc que $H = z_1 z_2^\ell$. Cette équation devient donc

$$
\begin{align*}
0 &= -2\mathcal{P}(\overline{z_2}^\ell + z_2^\ell) + \dots \\
&= -2\left(z_1\overline{z_2}^\ell + z_2^\ell\overline{z_1} + R\overline{R} + z_1z_2^\ell + \overline{z_1z_2}^\ell\right)\left(\overline{z_2}^\ell + z_2^\ell\right) + \dots \\
&= -4z_1z_2^\ell\overline{z_2}^\ell - 2z_1\overline{z_2}^{2\ell} - 2z_2^{2\ell}\overline{z_1} - 4z_2^\ell\overline{z_1z_2}^\ell - 2z_1z_2^{2\ell} - 2\overline{z_1z_2}^{2\ell} - 2z_2^\ell R\overline{R} - 2R\overline{z_2}^\ell R \\
&\quad + \phi_1\overline{z_2}^\ell + \ell\phi_2z_2^{\ell-1}\overline{z_1} + \phi_3R_{z_3}\overline{R} + \phi_1z_2^\ell + \ell\phi_2z_1z_2^{\ell-1} + \frac{i}{2}\phi \\
&\quad + \overline{\phi_1}z_2^\ell + \ell\overline{\phi_2}z_1\overline{z_2}^{\ell-1} + \overline{\phi_3}R\overline{R_{z_3}} + \overline{\phi_1}\overline{z_2}^\ell + \ell\overline{\phi_2}\overline{z_1z_2}^{\ell-1} - \frac{i}{2}\overline{\phi}.
\end{align*}
$$

Si nous prenons le premier terme, il ne peut s'annuler que de la manière suivante :

$$
-4z_1 z_2 \overline{z_2}^\ell + \phi_1 \overline{z_2}^\ell = 0.
$$
Nous obtenons $\phi_1 = 4z_1z_2^\ell$. Si nous prenons le deuxième terme, il ne peut s'annuler que de la manière suivante :

$$-2z_1\bar{z_2}^{2\ell} + \ell\overline{\phi_2z_1\bar{z_2}^{\ell-1}} = 0,$$

et nous obtenons $\phi_2 = \frac{2}{\ell}z_2^{\ell+1}$. Enfin, si nous prenons le septième terme, il ne peut s'annuler que de la manière suivante :

$$-2z_2^\ell \overline{R\bar{R}} + \phi_3 R_{z_3} \overline{R} = 0,$$

et nous obtenons $\phi_3 = \frac{2}{\deg R}z_2^\ell z_3$. Ces calculs fonctionnent évidemment pour les paires de conjugués. La partie uniquement holomorphe de l'équation s'annule d'elle-même sans avoir recours à $\phi$, impliquant en particulier $\phi = 0$, ce qui est également le cas pour la partie uniquement antiholomorphe. L'équation est donc valide et le champ CR est donc

$$X^1 = (4z_1z_2^\ell + iw) \frac{\partial}{\partial z_1} + \frac{2}{\ell}z_2^{\ell+1} \frac{\partial}{\partial z_2} + \frac{2}{\deg R}z_2^\ell z_3 \frac{\partial}{\partial z_3} \in \mathfrak{g}_n.$$

□

### 4.2.8 Propriétés de $g_1$

Nous savons que $\dim g_1 = 0$ ou $1$. Cette dimension vaut $1$ si et seulement si $M$ est balancée<fnref n="123" />.

### 4.2.9 Résultat

Nous pouvons formuler le résultat final comme suit.

<footnote n="123">123. Cf. [55], p.323, théorème 1.1.</footnote>
**Théorème 4.2.11.**

Soit $M$ une hypersurface de type PQR découplée. Alors $\dim g \in \{2; 3; 4; 5; 6; 11\}$. Plus précisément,

$$ \dim g = 11 \Leftrightarrow \text{M est biholomorphe à Im } w = z_1 \overline{z_2}^\ell + z_2 \overline{z_1}^\ell + z_3 \frac{1+\ell}{2} \overline{z_3}^{\frac{1+\ell}{2}}, \ell \text{ impair,} $$

$$ \dim g = 6 \Leftrightarrow \text{M est biholomorphe à Im } w = iz_1^k \overline{z_2 z_1}^{k+1} - iz_1^{k+1} \overline{z_1 z_2}^k + z_3^{k+1} \overline{z_3}^{k+1}, $$

$$ \dim g = 5 \text{ ou } 6 \Leftrightarrow \text{M est une autre hypersurface monomiale balancée,} $$

$$ \dim g = 4 \text{ ou } 5 \Leftrightarrow \text{M est une autre hypersurface non monomiale balancée,} $$

$$ \dim g = 2 \text{ ou } 3 \Leftrightarrow \text{M n'est pas balancée.} $$

**Démonstration.** Dans les lemmes ci-avant, nous voyons que si $M$ est biholomorphe à $\text{Im } w = z_1 \overline{z_2}^\ell + z_2 \overline{z_1}^\ell + z_3 \frac{1+\ell}{2} \overline{z_3}^{\frac{1+\ell}{2}}$ avec $\ell$ impair, alors le résultat se trouve dans le cas modèle précédant<fnref n="124" />.

$$ \text{Si } M \text{ est biholomorphe à Im } w = iz_1^k \overline{z_2 z_1}^{k+1} - iz_1^{k+1} \overline{z_1 z_2}^k + z_3^{k+1} \overline{z_3}^{k+1}, $$

$$ \dim g_{\ell} = \dim g_{n} = 0 \quad \dim g_{0}^{\text{Re}} = 1 \quad \dim g_{0}^{\text{Im}} = 1 \quad \dim g_{0}^{\text{Nil.}} = 1 \quad \dim g_{\ell} = 1 \quad \dim g_{1} = 1. $$

En effet, nous calculons aisément que le critère pour une rotation généralisée n'est pas satisfait<fnref n="125" />. De plus, nous vérifions facilement que cette hypersurface est balancée avec, comme champ complexe reproducteur $Y = \frac{i}{k+1} z_1 \frac{\partial}{\partial z_1} - \frac{(2k+1)i}{k+1} z_2 \frac{\partial}{\partial z_2} + \frac{1}{k+1} z_3 \frac{\partial}{\partial z_3}$. En ajoutant $W$ et le champ d'Euler, nous obtenons l'affirmation correspondante.

Si $M$ est une autre hypersurface monomiale balancée, alors la réflexion est la même avec la rotation nilpotente en moins. La rotation généralisée peut apparaître ou non.

Pour toutes les autres hypersurfaces non monomiales, mais balancées, nous ôtons une dimension pour la rotation réelle.

Pour les autres hypersurfaces non balancées (donc non monomiales <fnref n="126" />), nous ôtons une dimension pour la rotation imaginaire ainsi qu'une dimension pour $g_1$. $\square$

<footnote n="124">124. Cf. proposition 4.1.7, p.89.</footnote>

<footnote n="125">125. Cf. lemme 4.2.9, p.104. Nous voyons que dans la preuve, il est essentiel que $P$ et $Q$ n'aient pas le même degré. Ce n'est pas le cas pour l'hypersurface en question.</footnote>

<footnote n="126">126. Cf. lemme 4.2.5, p.99.</footnote>
## 4.3 Problème PQR

Nous traitons le cas non découplé, où l'équation définissant l'hypersurface réelle, Levi dégénérée, holomorphiquement non dégénérée et de type fini, pour le problème PQR admet trois polynômes, P, Q et R, qui dépendent tous de $z = (z_1, z_2, z_3)$ :

$$ \mathrm{Im} w = P(z)\overline{Q(z)} + Q(z)\overline{P(z)} + R(z)\overline{R(z)}. $$

Une telle hypersurface est dite de type PQR. Nous notons que, comme pour le cas découplé, le degré de R

$$ \deg R = \frac{\deg P + \deg Q}{2} \quad (\in \mathbb{N}^*). $$

Le cas monomial, avec les trois polynômes, P, Q et R qui sont des monômes, s'avère plus intéressant. En effet, sans la condition de monomialité, il semble pour l'instant difficile de s'exprimer sur la dimension du groupe des symétries. Nous notons également qu'il faut au minimum trois polynômes dans $\mathbb{C}^4$ pour obtenir une hypersurface holomorphiquement non dégénérée<fnref n="127" />.

Nous soulignons également que le point le plus important de cette section est sans doute le théorème 4.3.1, p.111, qui propose une décomposition originale des rotations.

En toute logique, nous prenons la décomposition de $g$ en commençant par les degrés pondérés les plus petits. Nous rappelons qu'évidemment, $\dim g_{-1} = 1$, avec W comme élément. En outre, le cas de $g_t$ sera abordé en même temps que $g_{tt}$.

<footnote n="127">127. Cf. proposition 2.2.2, p.40.</footnote>
### 4.3.1 Propriétés de $g_0$

#### Théorème 4.3.1.

Soit une hypersurface monomiale de type PQR<fnref n="128" />.

Alors toute rotation $X \in g_0$ peut être décomposée en une rotation purement diagonale, $D = D_{\text{Re}} + D_{\text{Im}} \in g_0^{\text{Re}} \oplus g_0^{\text{Im}}$, et en au plus deux rotations nilpotentes, $N_1 + N_2 \in g_0^{\text{Nil}}$ :

$$X = D + N = D_{\text{Re}} + D_{\text{Im}} + N_1 + N_2.$$

De plus, dans ce cas monomial,

$$\dim_{\mathbb{R}} g_0^{\text{Nil.}} \in \{0; 1; 2; 3\}.$$

La définition ainsi que le lemme suivants seront utilisé dans la démonstration du théorème.

#### Définition 4.3.2.

Soit une rotation

$$X = \sum_{j,k=1}^{3} a_{jk} z_k \frac{\partial}{\partial z_j}, \quad \text{avec } a_{jk} \in \mathbb{C}.$$

Une telle rotation est dite *irréductible* si tous les termes $a_{jk}z_k \frac{\partial}{\partial z_j}$ ($a_{jk} \in \mathbb{C}$) de cette rotation interfèrent entre eux dans l'annulation de l'équation définissante (stipulant que $X \in g$). Elle est dite *séparable* si elle n'est pas irréductible. Dans ce cas, les $a_{jk}z_k \frac{\partial}{\partial z_j}$ sont décomposables en au moins deux groupes qui n'interfèrent pas et qui correspondent à au moins deux rotations : $X = X_1 + X_2$ (chaque terme $a_{jk}z_k \frac{\partial}{\partial z_j}$ est dans une des deux rotations).

#### Exemple 4.3.3.

Toute rotation à un seul terme, $a_{jk}z_k \frac{\partial}{\partial z_j}$, est trivialment irréductible. Par contre, la rotation

$$X = iz_1 \frac{\partial}{\partial z_1} + iz_3 \frac{\partial}{\partial z_3},$$

par rapport à l'hypersurface holomorphiquement non dégénérée

$$\operatorname{Im} w = z_1 z_2 \overline{z_1 z_2 z_3} + z_1 z_2 \overline{z_3 z_1 z_2} + z_2 z_3 \overline{z_3 z_2 z_1}$$

<footnote n="128">128. Cf. lemme 3.2.13, p.68, pour le problème PQ et lemme 4.2.3, p.96, pour le problème PQR découplé. Cette décomposition n'a rien à voir avec celle de Dunford.</footnote>
est séparable en

$$X_1 = iz_1 \frac{\partial}{\partial z_1} \quad \text{et} \quad X_2 = iz_3 \frac{\partial}{\partial z_3}.$$

En effet,

$$X(z_1 \overline{z_2 z_1 z_2 \overline{z_3}} + z_1 \overline{z_2 z_3 z_1 z_2}^2 + \overline{z_2^2 z_3 \overline{z_2}^2 \overline{z_3}}) \\ = iz_1 \overline{z_2^2 z_1 z_2 \overline{z_3}} + iz_1 \overline{z_2 z_3 z_1 z_2}^2 + iz_1 \overline{z_2 z_3 \overline{z_1}^2 z_2}^2 + iz_2^2 \overline{z_3 \overline{z_2}^2 z_3}.$$

ce qui montre bien que $X_1$ et $X_2$ sont des rotations.

**Lemme 4.3.4.**

Soit une hypersurface monomiale de type PQR. Alors toute rotation irréductible

$$N = (a_{12}z_2 + a_{13}z_3) \frac{\partial}{\partial z_1} + (a_{21}z_1 + a_{23}z_3) \frac{\partial}{\partial z_2} + (a_{31}z_1 + a_{32}z_2) \frac{\partial}{\partial z_3},$$

avec diagonale nulle et pour laquelle $a_{12} \neq 0$, est nilpotente et satisfait

$$\left\{ \begin{array}{l} a_{21} = a_{13} = a_{32} = 0 \\ \\ a_{23} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} (c_P \overline{c_Q} z_1 \overline{z_3^k} \overline{z_3^{k+1}}) + c_R \overline{c_R} z_2 \overline{z_3^k} \overline{z_2} \overline{z_3^k} \quad \text{et} \quad a_{31} = 0 \\ \\ a_{31} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} (c_P \overline{c_Q} z_2 \overline{z_3^k} \overline{z_2}^{k+1}) + c_R \overline{c_R} z_1 \overline{z_2^k} \overline{z_1} \overline{z_2}^k \quad \text{et} \quad a_{23} = 0 \\ \\ a_{23} = 0, a_{31} = 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} (c_P \overline{c_Q} z_1 \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \overline{z_2}^{\alpha_2+1} \overline{z_3}^{\alpha_3}) + c_R \overline{c_R} z_2^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3}. \end{array} \right.$$

Démonstration du lemme.

Dans cette démonstration, nous travaillons sur une hypersurface monomiale de type PQR. Notons donc $P = c_P z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3}$, $Q = c_Q z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3}$ et $R = c_R z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3}$, où $c_P, c_Q$ et $c_R$ sont des constantes complexes. L'équation de l'hypersurface en question est

$$\operatorname{Im} w = c_P \overline{c_Q} z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} + c_Q \overline{c_P} z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} + c_R \overline{c_R} z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3}.$$

Considérons donc la rotation irréductible

$$N = (a_{12}z_2 + a_{13}z_3) \frac{\partial}{\partial z_1} + (a_{21}z_1 + a_{23}z_3) \frac{\partial}{\partial z_2} + (a_{31}z_1 + a_{32}z_2) \frac{\partial}{\partial z_3},$$

ou du point de vue matriciel<fnref n="129" />,

<footnote n="129">129. Cf. section 2.2.3, p.44.</footnote>
$$
A_N = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & 0 & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 0 \end{pmatrix}.
$$

L'équation à étudier, qui stipule que N est bien une rotation sur l'hypersurface en ques-
tion, et que nous noterons (★), est

$$
0 = 2 \operatorname{Re} N \left( c_P \overline{c_Q} z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \beta_1^{\beta_1} \beta_2^{\beta_2} \beta_3^{\beta_3} + c_Q \overline{c_P} z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} + c_R \overline{c_R} z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \right) =
$$

$$
\begin{aligned}
& a_{12} c_P \overline{c_Q} \alpha_1 z_1^{\alpha_1 - 1} z_2^{\alpha_2 + 1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
& \qquad + \overline{a}_{12} c_Q \overline{c_P} \alpha_1 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1 - 1} \overline{z_2}^{\alpha_2 + 1} \overline{z_3}^{\alpha_3}
\end{aligned}
+ a_{13} c_P \overline{c_Q} \alpha_1 z_1^{\alpha_1 - 1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3 + 1} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
+ \overline{a}_{13} c_Q \overline{c_P} \alpha_1 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1 - 1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3 + 1}
$$

$$
\begin{aligned}
& + a_{12} c_Q \overline{c_P} \beta_1 z_1^{\beta_1 - 1} z_2^{\beta_2 + 1} \overline{z_3}^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
& + \overline{a}_{12} c_P \overline{c_Q} \beta_1 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1 - 1} \overline{z_2}^{\beta_2 + 1} \overline{z_3}^{\beta_3}
\end{aligned}
+ a_{13} c_Q \overline{c_P} \beta_1 z_1^{\beta_1 - 1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3 + 1} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
+ \overline{a}_{13} c_P \overline{c_Q} \beta_1 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1 - 1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3 + 1}
$$

$$
\begin{aligned}
& + a_{12} c_R \overline{c_R} \gamma_1 z_1^{\gamma_1 - 1} z_2^{\gamma_2 + 1} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\
& + \overline{a}_{12} c_R \overline{c_R} \gamma_1 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1 - 1} \overline{z_2}^{\gamma_2 + 1} \overline{z_3}^{\gamma_3}
\end{aligned}
+ a_{13} c_R \overline{c_R} \gamma_1 z_1^{\gamma_1 - 1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3 + 1} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\
+ \overline{a}_{13} c_R \overline{c_R} \gamma_1 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1 - 1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3 + 1}
$$

$$
\begin{aligned}
& + a_{21} c_P \overline{c_Q} \alpha_2 z_1^{\alpha_1 + 1} z_2^{\alpha_2 - 1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
& + \overline{a}_{21} c_Q \overline{c_P} \alpha_2 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1 + 1} \overline{z_2}^{\alpha_2 - 1} \overline{z_3}^{\alpha_3}
\end{aligned}
+ a_{23} c_P \overline{c_Q} \alpha_2 z_1^{\alpha_1 - 1} z_2^{\alpha_2 - 1} z_3^{\alpha_3 + 1} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
+ \overline{a}_{23} c_Q \overline{c_P} \alpha_2 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2 - 1} \overline{z_3}^{\alpha_3 + 1}
$$

$$
\begin{aligned}
& + a_{21} c_Q \overline{c_P} \beta_2 z_1^{\beta_1 + 1} z_2^{\beta_2 - 1} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
& + \overline{a}_{21} c_P \overline{c_Q} \beta_2 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1 + 1} \overline{z_2}^{\beta_2 - 1} \overline{z_3}^{\beta_3}
\end{aligned}
+ a_{23} c_Q \overline{c_P} \beta_2 z_1^{\beta_1 - 1} z_2^{\beta_2 - 1} z_3^{\beta_3 + 1} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
+ \overline{a}_{23} c_P \overline{c_Q} \beta_2 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1 - 1} \overline{z_2}^{\beta_2 - 1} \overline{z_3}^{\beta_3 + 1}
$$

$$
\begin{aligned}
& + a_{21} c_R \overline{c_R} \gamma_2 z_1^{\gamma_1 + 1} z_2^{\gamma_2 - 1} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\
& + \overline{a}_{21} c_R \overline{c_R} \gamma_2 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1 + 1} \overline{z_2}^{\gamma_2 - 1} \overline{z_3}^{\gamma_3}
\end{aligned}
+ a_{23} c_R \overline{c_R} \gamma_2 z_1^{\gamma_1 - 1} z_2^{\gamma_2 - 1} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\
+ \overline{a}_{23} c_R \overline{c_R} \gamma_2 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1 - 1} \overline{z_2}^{\gamma_2 - 1} \overline{z_3}^{\gamma_3 + 1}
$$

$$
\begin{aligned}
& + a_{31} c_P \overline{c_Q} \alpha_3 z_1^{\alpha_1 + 1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3 - 1} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
& + \overline{a}_{31} c_Q \overline{c_P} \alpha_3 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1 + 1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3 - 1}
\end{aligned}
+ a_{32} c_P \overline{c_Q} \alpha_3 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2 + 1} z_3^{\alpha_3 - 1} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
+ \overline{a}_{32} c_Q \overline{c_P} \alpha_3 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2 + 1} \overline{z_3}^{\alpha_3 - 1}
$$

$$
\begin{aligned}
& + a_{31} c_Q \overline{c_P} \beta_3 z_1^{\beta_1 + 1} z_2^{\beta_2 - 1} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
& + \overline{a}_{31} c_P \overline{c_Q} \beta_3 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1 + 1} \overline{z_2}^{\beta_2 - 1} \overline{z_3}^{\beta_3 - 1}
\end{aligned}
+ a_{32} c_Q \overline{c_P} \beta_3 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2 + 1} \overline{z_1}^{\beta_3 - 1} \overline{z_2}^{\alpha_1} \overline{z_3}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
+ \overline{a}_{32} c_P \overline{c_Q} \beta_3 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2 + 1} \overline{z_3}^{\beta_3 - 1}
$$

$$
\begin{aligned}
& + a_{31} c_R \overline{c_R} \gamma_3 z_1^{\gamma_1 + 1} z_2^{\gamma_2 - 1} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\
& + \overline{a}_{31} c_R \overline{c_R} \gamma_3 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1 + 1} \overline{z_2}^{\gamma_2 - 1} \overline{z_3}^{\gamma_3 - 1}
\end{aligned}
+ a_{32} c_R \overline{c_R} \gamma_3 z_1^{\gamma_1 - 1} z_2^{\gamma_2 - 1} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\
+ \overline{a}_{32} c_R \overline{c_R} \gamma_3 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1 - 1} \overline{z_2}^{\gamma_2 - 1} \overline{z_3}^{\gamma_3 + 1}
$$

Nous rappelons que nous travaillons uniquement sur une rotation irréductible avec l'hy-
pothèse que $a_{12} \neq 0$ et articulons la démonstration en sept parties.
**Partie 1.** Pour commencer, *montrons que* $a_{13} = 0$ (pour notre rotation irréductible).

Certaines parties suivantes dans la démonstration utilisent des raisonnements similaires. Cette première partie sera donc effectuée avec suffisamment de détails, qui seront raccourcis par la suite. Il est important d'observer tout d'abord que nous allons monter que $a_{13} \neq 0$ uniquement pour la rotation irréductible en question : le coefficient $a_{13}$ pourrait exister pour une autre rotation, mais pas pour la rotation que nous étudions à présent. Autrement dit, nous montrons que $a_{12}$ et $a_{13}$ ne peuvent coexister pour la même rotation irréductible et donc que $a_{13}$ ne peut être qu'indépendant par rapport à notre rotation irréductible.

Supposons par l'absurde, uniquement pour la rotation irréductible avec $a_{12} \neq 0$, que $a_{13} \neq 0$. L'idée est donc d'étudier l'annulation des termes de gauche avec les termes de droite suivants

$$
\begin{align*}
& a_{12} c_P c_Q \alpha_1 z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3}} \\
& + \overline{a_{12} c_Q c_P \alpha_1 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3}}} \\
& + a_{12} c_Q c_P \beta_1 z_1^{\beta_1-1} \overline{z_2^{\beta_2+1} z_3^{\beta_3} \overline{z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3}}} \\
& + \overline{a_{12} c_P c_Q \beta_1 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1^{\beta_1-1} z_2^{\beta_2+1} z_3^{\beta_3}}} \\
& + a_{12} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\gamma_1-1} z_2^{\gamma_2+1} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3}} \\
& + \overline{a_{12} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1^{\gamma_1-1} z_2^{\gamma_2+1} z_3^{\gamma_3}}}
\end{align*}
\qquad
\begin{align*}
& + a_{13} c_P c_Q \alpha_1 z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3+1} \overline{z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3}} \\
& + \overline{a_{13} c_Q c_P \alpha_1 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3+1}}} \\
& + a_{13} c_Q c_P \beta_1 z_1^{\beta_1-1} \overline{z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3+1} \overline{z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3}}} \\
& + \overline{a_{13} c_P c_Q \beta_1 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1^{\beta_1-1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3+1}}} \\
& + a_{13} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\gamma_1-1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3+1} \overline{z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3}} \\
& + \overline{a_{13} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1^{\gamma_1-1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3+1}}}
\end{align*}
$$

Deux termes peuvent s'annuler uniquement deux à deux (pour des questions de degré, ce qui apparaît clairement dans l'équation (★)). Des six termes en $a_{12}$, ce n'est pas une restriction de la généralité que d'étudier uniquement

$$ a_{12} c_P c_Q \alpha_1 z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3}} \quad \text{et} \quad a_{12} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\gamma_1-1} z_2^{\gamma_2+1} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3}} $$

En effet, le fait de prendre le conjugué ne change pas l'étude de cette annulation. Il en va de même avec la permutation de $P$ et $Q$. Nous ajoutons que, comme l'hypersurface est holomorphiquement non dégénérée, $\alpha_1, \beta_1$ et $\gamma_1$ ne peuvent être tous nuls à la fois. Un de ces deux termes apparaît donc forcément (avec éventuellement une permutation de $P$ et $Q$).
Concernant

$$a_{12} c_P c_Q \alpha_1 z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3},$$

(avec $\alpha_1 \neq 0$), nous observons qu'il ne peut s'annuler qu'avec

$$\overline{a}_{13} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1-1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3+1}.$$

En effet, une simple comparaison des puissances des variables holomorphes et antiholomorphes ainsi que le fait que l'hypersurface soit holomorphiquement non dégénérée (par exemple, il est impossible que $Q = R$) montrent l'impossibilité d'annulation du terme en question avec une autre terme en $a_{13}^{130}$. Donc dans ce seul cas possible,

$$\gamma_1 = \alpha_1 - 1 = \beta_1 + 1$$

$$\gamma_2 = \alpha_2 + 1 = \beta_2$$

$$\gamma_3 = \alpha_3 = \beta_3 - 1,$$

et nous pouvons montrer que $\gamma_1 = 0$. Cela implique une contradiction avec l'homogénéité de l'hypersurface <fnref n="131" />. Nous montrons que $\gamma_1 = 0$ en observant que le terme

$$a_{12} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\gamma_1-1} z_2^{\gamma_2+1} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3}$$

pose problème, car même réécrit,

$$\begin{align*}
& a_{12} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\gamma_1-1} z_2^{\gamma_2+1} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\
&= a_{12} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2+1} \overline{z_3}^{\beta_3-1} \overline{z_1}^{\alpha_1-1} \overline{z_2}^{\alpha_2+1} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
&= a_{12} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\alpha_2-2} z_2^{\alpha_2+2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1+1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3-1},
\end{align*}$$

nous observons que cela n'est pas disponible dans l'ensemble de l'équation (★). Nous pourrions imaginer que ce terme s'annule avec des termes d'autres coefficients dans

$$\mathrm{Im} w = c_P c_Q z_1 z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_2}^{\alpha_2+1} \overline{z_3}^{\alpha_3+1} + c_Q c_P \overline{z_2}^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3+1} \overline{z_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} + c_R c_R \overline{z_2}^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_2}^{\alpha_2+1} \overline{z_3}^{\alpha_3}$$

n'est pas homogène.

<footnote n="130">130. Nous notons également que l'annulation de ce terme avec un autre terme en $a_{12}$ est traité dans la partie 6. L'annulation de termes en $a_{13}$ entre eux n'est pas l'objet de ce lemme, car il s'agirait d'une autre rotation, indépendante de notre rotation N étudiée ici (qui est irréductible).</footnote>

<footnote n="131">131. En effet, si, en tentant de forcer cette hypersurface, avec $\beta_1 = 0$, pour ne pas être $-1$, et $\alpha_1 = 1$ (ne pouvant être nul, sinon l'hypersurface est holomorphiquement dégénérée), l'hypersurface décrite par</footnote>
l'équation (★), mais il faudrait que ces termes (qui ne sont autres que des termes en $P\overline{Q}$, en $Q\overline{P}$ ou en $R\overline{R}$ avec au maximum un degré de différence par variable) puissent s'écrire comme une des trois possibilités ci-dessus, ce qui n'est pas le cas.

Concernant

$$a_{12}c_{R}c_{R}\gamma_{1}z_{1}^{\gamma_{1}-1}z_{2}^{\gamma_{2}+1}z_{3}^{\gamma_{3}}\overline{z_{1}}^{\gamma_{1}}\overline{z_{2}}^{\gamma_{2}}\overline{z_{3}}^{\gamma_{3}},$$

(avec $\gamma_1 \neq 0$), nous observons, pour les mêmes raisons, qu'il ne peut s'annuler qu'avec

$$\overline{a}_{13}c_{Q}\overline{c}_{P}\alpha_{1}z_{1}^{\beta_{1}}z_{2}^{\beta_{2}}z_{3}^{\beta_{3}}\overline{z_{1}}^{\alpha_{1}-1}\overline{z_{2}}^{\alpha_{2}}\overline{z_{3}}^{\alpha_{3}+1},$$

ce qui n'est pas une restriction par rapport au terme

$$\overline{a}_{13}c_{P}\overline{c}_{Q}\beta_{1}z_{1}^{\alpha_{1}}z_{2}^{\alpha_{2}}z_{3}^{\alpha_{3}}\overline{z_{1}}^{\beta_{1}-1}\overline{z_{2}}^{\beta_{2}}\overline{z_{3}}^{\beta_{3}+1},$$

le point de vue, de P ou de Q, pouvant être interverti. Dans ce cas,

$$\gamma_1 = \alpha_1 - 1 = \beta_1 + 1$$

$$\gamma_2 = \alpha_2 = \beta_2 - 1$$

$$\gamma_3 = \alpha_3 + 1 = \beta_3,$$

et c'est maintenant le terme

$$a_{12}c_{P}c_{Q}\alpha_{1}z_{1}^{\alpha_{1}-1}z_{2}^{\alpha_{2}+1}z_{3}^{\alpha_{3}}\overline{z_{1}}^{\beta_{1}}\overline{z_{2}}^{\beta_{2}}\overline{z_{3}}^{\beta_{3}}$$

$$( = a_{12}c_{R}c_{R}\gamma_{1}z_{1}^{\beta_{1}+1}z_{2}^{\beta_{2}}z_{3}^{\beta_{3}-1}\overline{z_{1}}^{\alpha_{1}-2}\overline{z_{2}}^{\alpha_{2}+1}\overline{z_{3}}^{\alpha_{3}+1} = a_{12}c_{R}c_{R}\gamma_{1}z_{1}^{\gamma_{1}}z_{2}^{\gamma_{2}+1}z_{3}^{\gamma_{3}-1}\overline{z_{1}}^{\gamma_{1}-1}\overline{z_{2}}^{\gamma_{2}+1}\overline{z_{3}}^{\gamma_{3}} )$$

qui pose problème (dans toute l'équation (★)) en ne pouvant pas s'annuler, sauf si $\alpha_1 = 0$, ce qui est une contradiction avec l'homogénéité.

**Partie 2.** Pour poursuivre la démonstration, montrons que $a_{21} = 0$.

Nous travaillons de manière similaire. Supposons par l'absurde, uniquement pour notre rotation irréductible avec $a_{12} \neq 0$, que $a_{21} \neq 0$ et l'idée est donc d'étudier des annulations dans
$$
\begin{align*}
& a_{12}c_P c_Q \alpha_1 z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} && + a_{21} c_P c_Q \alpha_2 z_1^{\alpha_1+1} z_2^{\alpha_2-1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
& + \overline{a}_{12} c_Q c_P \alpha_1 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1-1} \overline{z_2}^{\alpha_2+1} \overline{z_3}^{\alpha_3} && + \overline{a}_{21} c_Q c_P \alpha_2 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1+1} \overline{z_2}^{\alpha_2-1} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
& + a_{12} c_Q c_P \beta_1 z_1^{\beta_1-1} z_2^{\beta_2+1} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} && + a_{21} c_Q c_P \beta_2 z_1^{\beta_1+1} z_2^{\beta_2-1} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
& + \overline{a}_{12} c_P c_Q \beta_1 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1-1} \overline{z_2}^{\beta_2+1} \overline{z_3}^{\beta_3} && + \overline{a}_{21} c_P c_Q \beta_2 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1+1} \overline{z_2}^{\beta_2-1} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
& + a_{12} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\gamma_1-1} z_2^{\gamma_2+1} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} && + a_{21} c_R c_R \gamma_2 z_1^{\gamma_1+1} z_2^{\gamma_2-1} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\
& + \overline{a}_{12} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1-1} \overline{z_2}^{\gamma_2+1} \overline{z_3}^{\gamma_3} && + \overline{a}_{21} c_R c_R \gamma_2 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1+1} \overline{z_2}^{\gamma_2-1} \overline{z_3}^{\gamma_3}.
\end{align*}
$$

Il suffit à nouveau d'étudier les annulations des termes

$$ a_{12} c_P c_Q \alpha_1 z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \quad \text{et} \quad a_{12} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\gamma_1-1} z_2^{\gamma_2+1} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} $$

avec d'autres termes en $a_{21}$. Au moins un de ces termes existe, car $\alpha_1$ (ou $\beta_1$ par permutation de $P$ et $Q$) et $\gamma_1$ ne peuvent être nuls en même temps. En observant les exposants, et sans restriction de la généralité (avec la conjugaison ou la permutation de $P$ et $Q$), nous observons comme précédemment deux possibilités.

La première est l'annulation de

$$ a_{12} c_P c_Q \alpha_1 z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \quad \text{avec} \quad \overline{a}_{21} c_R c_R \gamma_2 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1+1} \overline{z_2}^{\gamma_2-1} \overline{z_3}^{\gamma_3}, $$

(avec $\alpha_1 \neq 0$), qui implique

$$ \gamma_1 = \alpha_1 - 1 = \beta_1 - 1 $$

$$ \gamma_2 = \alpha_2 + 1 = \beta_2 + 1 $$

$$ \gamma_3 = \alpha_3 = \beta_3. $$

Dans ce cas, $P$ et $Q$ sont des monômes semblables et ceci est une contradiction avec le fait que l'hypersurface est holomorphiquement non dégénérée.

La seconde possibilité est l'annulation de

$$ a_{12} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\gamma_1-1} z_2^{\gamma_2+1} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \quad \text{avec} \quad \overline{a}_{21} c_Q c_P \alpha_2 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1+1} \overline{z_2}^{\alpha_2-1} \overline{z_3}^{\alpha_3} $$
(avec $\gamma_1 \neq 0$), qui implique

$$ \gamma_1 = \alpha_1 + 1 = \beta_1 + 1 $$

$$ \gamma_2 = \alpha_2 - 1 = \beta_2 - 1 $$

$$ \gamma_3 = \alpha_3 = \beta_3. $$

Dans ce cas, P et Q sont également des monômes semblables et ceci est une contradiction.

**Partie 3.** Pour poursuivre la démonstration, montrons que $a_{32} = 0$.

Toujours avec la même démarche, en supposant par l'absurde que $a_{32} \neq 0$ (uniquement pour notre rotation irréductible avec $a_{12} \neq 0$), et sans restriction de la généralité, la situation se réduit à deux annulations possibles (nous pouvons nous référer à l'équation (★)),

$$ a_{12} c_P c_Q \alpha_1 z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3-1} \beta_1 \beta_2 \beta_3 \quad \text{avec} \quad \overline{a_{32} c_R c_R} \gamma_3 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2+1} \overline{z_3}^{\gamma_3-1}, $$

et

$$ a_{12} c_R c_Q \gamma_1 z_1^{\gamma_1-1} z_2^{\gamma_2+1} z_3^{\gamma_3-1} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \quad \text{avec} \quad \overline{a_{32} c_P c_R} \alpha_3 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\alpha_1+1} \overline{z_2}^{\alpha_2+1} \overline{z_3}^{\alpha_3-1}. $$

La première annulation, avec $\alpha_1 \neq 0$, implique que

$$ \gamma_1 = \alpha_1 - 1 = \beta_1 $$

$$ \gamma_2 = \alpha_2 + 1 = \beta_2 - 1 $$

$$ \gamma_3 = \alpha_3 = \beta_3 + 1. $$

avec $\alpha_3 = 0$, car le terme

$$ a_{32} c_P c_Q \alpha_3 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3-1} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} $$

$$ ( = a_{32} c_P c_Q \alpha_3 z_1^{\beta_1+1} z_2^{\beta_2-1} z_3^{\beta_3-1} \overline{z_1}^{\alpha_1-1} \overline{z_2}^{\alpha_2+2} \overline{z_3}^{\alpha_3-1} = a_{32} c_P c_Q \alpha_3 z_1^{\gamma_1+1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3-1} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2+1} \overline{z_3}^{\gamma_3-1} ) $$

pose problème dans (★). Il y a une contradiction avec l'homogénéité.
La seconde annulation, avec $\gamma_1 \neq 0$, implique que

$$ \gamma_1 = \alpha_1 = \beta_1 + 1 $$

$$ \gamma_2 = \alpha_2 + 1 = \beta_2 - 1 $$

$$ \gamma_3 = \alpha_3 - 1 = \beta_3. $$

avec $\alpha_1 = 0$, car le terme

$$ a_{12}c_P c_Q \alpha_1 z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} $$

$$ ( = a_{12}c_P c_Q \alpha_1 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2-1} z_3^{\beta_3+1} \overline{z_1}^{\alpha_1-1} \overline{z_2}^{\alpha_2+2} \overline{z_3}^{\alpha_3-1} = a_{12}c_P c_Q \alpha_1 z_1^{\gamma_1-1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3+1} \overline{z_1}^{\gamma_1-1} \overline{z_2}^{\gamma_2+1} \overline{z_3}^{\gamma_3} ) $$

pose problème dans (★). Il y a encore une contradiction avec l'homogénéité.

**Partie 4.** Pour poursuivre la démonstration, montrons que

$$ a_{23} \neq 0 \Rightarrow \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left( c_P c_Q z_1 \overline{z_3}^{k-1} \right) + c_R c_R z_2 \overline{z_3}^{k-1} \text{ et } a_{31} = 0. $$

En rappelant que la rotation en question est irréductible (avec $a_{12} \neq 0$), nous supposons que $a_{23} \neq 0$ et étudions les annulations entre termes de gauche et de droite dans

$$ \begin{aligned} & \overline{a_{12}c_P c_Q} \alpha_1 z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\ & + \overline{a_{12}c_Q c_P} \alpha_1 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1-1} \overline{z_2}^{\alpha_2+1} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\ & + \overline{a_{12}c_Q c_P} \beta_1 z_1^{\beta_1-1} z_2^{\beta_2+1} \overline{z_3}^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\ & + \overline{a_{12}c_P c_Q} \beta_1 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1-1} \overline{z_2}^{\beta_2+1} \overline{z_3}^{\beta_3} \\ & + \overline{a_{12}c_R c_R} \gamma_1 z_1^{\gamma_1-1} z_2^{\gamma_2+1} \overline{z_3}^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\ & + \overline{a_{12}c_R c_R} \gamma_1 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1-1} \overline{z_2}^{\gamma_2+1} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\ & + \overline{a_{23}c_P c_Q} \alpha_2 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2-1} z_3^{\alpha_3+1} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\ & + \overline{a_{23}c_Q c_P} \alpha_2 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1-1} \overline{z_2}^{\alpha_2+1} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\ & + \overline{a_{23}c_Q c_P} \beta_2 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2-1} \overline{z_3}^{\beta_3+1} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\ & + \overline{a_{23}c_P c_Q} \beta_2 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2-1} \overline{z_3}^{\beta_3+1} \\ & + \overline{a_{23}c_R c_R} \gamma_2 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2-1} z_3^{\gamma_3+1} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\ & + \overline{a_{23}c_R c_R} \gamma_2 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1-1} \overline{z_2}^{\gamma_2+1} \overline{z_3}^{\gamma_3} \end{aligned} $$

Nous restons ouverts à l'intervention d'un autre coefficient dans (★), mais le but et d'observer uniquement les annulations de

$$ a_{12}c_P c_Q \alpha_1 z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \text{ et } a_{12}c_R c_R \gamma_1 z_1^{\gamma_1-1} z_2^{\gamma_2+1} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3}. $$

avec des termes en $a_{23}$. Sans restriction de la généralité, seules deux possibilités se présentent : l'annulation de
$$a_{12}c_{P}c_{Q}\alpha_{1}z_{1}^{\alpha_{1}-1}z_{2}^{\alpha_{2}+1}z_{3}^{\alpha_{3}}\overline{z_{1}^{\beta_{1}}z_{2}^{\beta_{2}}z_{3}^{\beta_{3}}} \text{ avec } \overline{a_{23}}c_{R}c_{R}\gamma_{2}\overline{z_{1}^{\gamma_{1}}z_{2}^{\gamma_{2}}z_{3}^{\gamma_{3}}\overline{z_{1}^{\gamma_{1}}z_{2}^{\gamma_{2}}z_{3}^{\gamma_{3}}}}+1$$

avec $\alpha_1 \neq 0$, et celle, avec $\gamma_1 \neq 0$, de

$$a_{12}c_{R}c_{R}\gamma_{1}z_{1}^{\gamma_{1}-1}z_{2}^{\gamma_{2}+1}z_{3}^{\gamma_{3}}\overline{z_{1}^{\gamma_{1}}z_{2}^{\gamma_{2}}z_{3}^{\gamma_{3}}} \text{ avec } \overline{a_{23}}c_{Q}c_{P}\alpha_{2}z_{1}^{\beta_{1}}z_{2}^{\beta_{2}}z_{3}^{\beta_{3}}\overline{z_{1}^{\alpha_{1}}z_{2}^{\alpha_{2}-1}z_{3}^{\alpha_{3}+1}}$$

Nous pouvons déjà éliminer la seconde possibilité, car, de manière similaire aux étapes précédente, nous avons

$$\gamma_1 = \alpha_1 = \beta_1 + 1$$

$$\gamma_2 = \alpha_2 - 1 = \beta_2 - 1$$

$$\gamma_3 = \alpha_3 + 1 = \beta_3.$$

avec $\alpha_1 = 0$, car le terme

$$a_{12}c_{P}c_{Q}\alpha_{1}z_{1}^{\alpha_{1}-1}z_{2}^{\alpha_{2}+1}z_{3}^{\alpha_{3}}\overline{z_{1}^{\beta_{1}}z_{2}^{\beta_{2}}z_{3}^{\beta_{3}}}$$

$$( = a_{12}c_{P}c_{Q}\alpha_{1}z_{1}^{\beta_{1}}z_{2}^{\beta_{2}+1}z_{3}^{\beta_{3}-1}\overline{z_{1}^{\alpha_{1}-1}z_{2}^{\alpha_{2}}z_{3}^{\alpha_{3}+1}} = a_{12}c_{P}c_{Q}\alpha_{1}z_{1}^{\gamma_{1}-1}z_{2}^{\gamma_{2}+2}z_{3}^{\gamma_{3}-1}\overline{z_{1}^{\gamma_{1}-1}z_{2}^{\gamma_{2}+1}z_{3}^{\gamma_{3}}} )$$

pose problème dans toute l'équation (★). Il y a donc une contradiction avec l'homogénéité et cette possibilité n'en est pas une (comme précédemment).

Par contre, l'annulation entre

$$a_{12}c_{P}c_{Q}\alpha_{1}z_{1}^{\alpha_{1}-1}z_{2}^{\alpha_{2}+1}z_{3}^{\alpha_{3}}\overline{z_{1}^{\beta_{1}}z_{2}^{\beta_{2}}z_{3}^{\beta_{3}}} \text{ et } \overline{a_{23}}c_{R}c_{R}\gamma_{2}\overline{z_{1}^{\gamma_{1}}z_{2}^{\gamma_{2}}z_{3}^{\gamma_{3}}\overline{z_{1}^{\gamma_{1}}z_{2}^{\gamma_{2}}z_{3}^{\gamma_{3}}}}+1$$

est féconde. En effet, dans ce cas

$$\gamma_1 = \alpha_1 - 1 = \beta_1$$

$$\gamma_2 = \alpha_2 + 1 = \beta_2 + 1$$

$$\gamma_3 = \alpha_3 = \beta_3 - 1,$$

et nous pouvons constater deux conséquences : $\gamma_1 = 0$ et $\alpha_2 = 0$.

Pour monter que $\gamma_1 = 0$, il suffit d'observer que le terme

$$a_{12}c_{R}c_{R}\gamma_{1}z_{1}^{\gamma_{1}-1}z_{2}^{\gamma_{2}+1}z_{3}^{\gamma_{3}}\overline{z_{1}^{\gamma_{1}}z_{2}^{\gamma_{2}}z_{3}^{\gamma_{3}}}$$
$$ ( = a_{12}c_R \overline{c_R} \gamma_1 z_1^{\alpha_1-2} z_2^{\alpha_2+2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2+1} \overline{z_3}^{\beta_3-1} = a_{12}c_R \overline{c_R} \gamma_1 z_1^{\beta_1-1} z_2^{\beta_2+2} z_3^{\beta_3-1} \overline{z_1}^{\alpha_1-1} \overline{z_2}^{\alpha_2+1} \overline{z_3}^{\alpha_3} ) $$

pose problème, car il n'est pas disponible dans (★) et donc doit être nul.

Pour monter que $\alpha_2 = 0$, il suffit d'observer que le terme

$$ a_{23} c_P \overline{c_Q} \alpha_2 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2-1} z_3^{\alpha_3+1} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} $$

$$ ( = a_{23} c_P \overline{c_Q} \alpha_2 z_1^{\beta_1+1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3-1} \overline{z_1}^{\alpha_1-1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3+1} = a_{23} c_P \overline{c_Q} \alpha_2 z_1^{\gamma_1+1} z_2^{\gamma_2-2} z_3^{\gamma_3+1} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2-1} \overline{z_3}^{\gamma_3+1} ) $$

pose également problème dans (★). Le système devient alors

$$ \gamma_1 = 0 \qquad \alpha_1 = 1 \qquad \beta_1 = 0 $$

$$ \gamma_2 = 1 \qquad \alpha_2 = 0 \qquad \beta_2 = 0 $$

$$ \gamma_3 = k \qquad \alpha_3 = k \qquad \beta_3 = k + 1, $$

engendrant l'hypersurface décrite par

$$ \mathrm{Im} w = c_P \overline{c_Q} z_1 z_3^{\overline{k} \overline{k}+1} + c_Q \overline{c_P} z_3^{\overline{k}+1 \overline{k} \overline{k}} + c_R \overline{c_R} z_2 z_3^{\overline{k} \overline{k} \overline{k}} $$

qui a une rotation irréductible

$$ N = a_{12} z_2 \frac{\partial}{\partial z_1} + a_{23} z_3 \frac{\partial}{\partial z_2}. $$

Nous observons que si $k = 0$, l'hypersurface est une hyperquadrique qui est donc Levi non dégénérée, ce qui ne nous intéresse pas dans ce travail. Nous supposons donc que $k > 1$.

En outre, nous rappelons que nous avons considéré l'équation (★) dans son ensemble pour l'annulation des termes problématiques. Ainsi, aucun autre coefficient, en plus de $a_{12}$ et $a_{23}$, ne peut intervenir et donc, $a_{31} = 0$ (pour cette rotation irréductible unique-ment).

**Partie 5.** Pour poursuivre la démonstration, *montrons que*

$$ a_{31} \neq 0 \Rightarrow \mathrm{Im} w = 2 \mathrm{Re} (c_P \overline{c_Q} z_2^k \overline{z_3}^{\overline{k}+1} + c_R \overline{c_R} z_1 z_2^k \overline{z_1}^{\overline{k}} \overline{z_2}^{\overline{k}}) \text{ et } a_{23} = 0. $$
Rappelons que pour la partie **4**, nous avons montré que pour une rotation irréductible,

$$a_{12}, a_{23} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left( c_P \overline{c_Q} z_1 z_3^k \overline{z_3}^{k+1} \right) + c_R \overline{c_R} z_2 z_3^k \overline{z_2 z_3}^k \quad \text{et} \quad a_{31} = 0.$$

Il suffit d'appliquer à ce résultat le changement de variable

$$z'_{3} = z_{1}, \quad z'_{1} = z_{2}, \quad z'_{2} = z_{3}$$

pour que la partie **5** soit prouvée. Dans ces nouvelles coordonnées, l'hypersurface

$$\operatorname{Im} w = c_P \overline{c_Q} z_2^k z_3 \overline{z_2}^{k+1} + c_Q \overline{c_P} z_2^{k+1} \overline{z_2}^k \overline{z_3} + c_R \overline{c_R} z_1 z_2^k \overline{z_1 z_2}^k,$$

a donc une rotation irréductible

$$N = a_{12}z_2 \frac{\partial}{\partial z_1} + a_{31}z_1 \frac{\partial}{\partial z_3}.$$

Nous observons également que si $k=0$, l'hypersurface est une hyperquadrique qui est donc Levi non dégénérée, ce qui ne nous intéresse pas dans ce travail. Nous supposons donc que $k > 1$.

En outre, comme auparavant, nous rappelons que nous avons considéré l'équation (★) dans son ensemble pour l'annulation des termes problématiques. Ainsi, aucun autre coefficient, en plus de $a_{12}$ et $a_{31}$, ne peut intervenir et donc, $a_{23} = 0$ (pour cette rotation irréductible uniquement). D'ailleurs, $a_{23} \neq 0$ et $a_{31} \neq 0$ ne peuvent coexister car les deux hypersurfaces trouvées dans les parties **4** et **5** sont incompatibles.

**Partie 6.** Pour poursuivre la démonstration, montrons que

$$a_{23} = 0 \text{ et } a_{31} = 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left( c_P \overline{c_Q} z_1 z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_2}^{\alpha_2+1} \overline{z_3}^{\alpha_3} \right) + c_R \overline{c_R} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3}$$

Nous supposons que seul $a_{12} \neq 0$, pour une rotation irréductible, et étudions les annulations dans
$$
\begin{align*}
& a_{12}c_P c_Q \alpha_1 z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
& + \overline{a_{12}} c_Q c_P \alpha_1 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1-1} \overline{z_2}^{\alpha_2+1} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
& + a_{12} c_Q c_P \beta_1 z_1^{\beta_1-1} \overline{z_2}^{\beta_2+1} \overline{z_3}^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
& + \overline{a_{12}} c_P c_Q \beta_1 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1-1} \overline{z_2}^{\beta_2+1} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
& + a_{12} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\gamma_1-1} \overline{z_2}^{\gamma_2+1} \overline{z_3}^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\
& + \overline{a_{12}} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1-1} \overline{z_2}^{\gamma_2+1} \overline{z_3}^{\gamma_3},
\end{align*}
$$

en observant uniquement, et sans restriction de la généralité, l'annulation de

$$
a_{12} c_P c_Q \alpha_1 z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \quad \text{avec} \quad \overline{a_{12}} c_Q c_P \alpha_1 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1-1} \overline{z_2}^{\alpha_2+1} \overline{z_3}^{\alpha_3}
$$

et celle de

$$
a_{12} c_P c_Q \alpha_1 z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \quad \text{avec} \quad \overline{a}_{12} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1-1} \overline{z_2}^{\gamma_2+1} \overline{z_3}^{\gamma_3}.
$$

La première annulation, avec $\alpha_1 \neq 0$, implique que

$$
\alpha_1 - 1 = \beta_1
$$

$$
\alpha_2 + 1 = \beta_2
$$

$$
\alpha_3 = \beta_3,
$$

avec $\gamma_1$, $\gamma_2$ et $\gamma_3$ libres. Montrons, dans ce cas, que $\beta_1 = 0$ et $\gamma_1 = 0$. Nous voyons que
$\beta_1 = 0$, car le terme

$$
\[
\begin{gathered}
a_{12} c_Q c_P \beta_1 z_1^{\beta_1-1} z_2^{\beta_2+1} \overline{z_3}^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
\left( = a_{12} c_Q c_P \beta_1 z_1^{\alpha_1-2} z_2^{\alpha_2+2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1+1} \overline{z_2}^{\beta_2-1} \overline{z_3}^{\beta_3} \right)
\end{gathered}
\]
$$

pose problème. Nous rappelons que tous les autres coefficients $a_{jk}$, avec $j, k = 1, 2, 3$, ne peuvent pas intervenir dans cette partie **6**, pour cette rotation irréductible. Il est possible que ce dernier terme s'annule avec un autre terme de $(\star)$, un terme en $\gamma$. Dans ce cas, nous devons ajouter aux conditions précédentes des conditions similaires à celles de la partie **4**. Cela engendre une autre rotation qui est indépendante de la rotation que nous considérons dans cette partie **6**<fnref n="132" /> : par irréductibilité et par hypothèse, seul $a_{12}$ est non

<footnote n="132">132. Nous considérons les rotations séparables en deux rotations, comme ce serait le cas ici, dans le</footnote>
nul dans cette partie 6.

De la même manière, $\gamma_1 = 0$, car le terme

$$a_{12}c_R \overline{c_R} \gamma_1 z_1^{\gamma_1-1} z_2^{\gamma_2+1} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3}$$

pose problème. Ainsi,

$$ 
\begin{array}{lll}
\gamma_1 = 0 & \alpha_1 = 1 & \beta_1 = 0 \\
\gamma_2 \text{ libre} & \alpha_2 \text{ libre} & \beta_2 = \alpha_2 + 1 \\
\gamma_3 \text{ libre} & \alpha_3 \text{ libre} & \beta_3 = \alpha_3,
\end{array}
$$

(avec au moins $\gamma_3$ ou $\alpha_3$ non nul) et l'hypersurface accueillant une telle rotation est décrite par

$$\mathrm{Im} w = c_P \overline{c_Q} z_1 z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_2}^{\alpha_2+1} \overline{z_3}^{\alpha_3} + c_Q \overline{c_P} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} + c_R \overline{c_R} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3}.$$

La seconde annulation possible, avec $\alpha_1 \neq 0$ et $\gamma_1 \neq 0$, celle de

$$a_{12} c_P \overline{c_Q} \alpha_1 z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \quad \text{avec} \quad \overline{a}_{12} c_R \overline{c_R} \gamma_1 z_1^{\gamma_1-1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1-1} \overline{z_2}^{\gamma_2+1} \overline{z_3}^{\gamma_3},$$

implique que

$$ 
\begin{aligned}
\gamma_1 &= \alpha_1 - 1 = \beta_1 + 1 \\
\gamma_2 &= \alpha_2 + 1 = \beta_2 - 1 \\
\gamma_3 &= \alpha_3 = \beta_3,
\end{aligned}
$$

Dans ce cas, $\beta_1 = 0$, car le terme

$$a_{12} c_Q \overline{c_P} \beta_1 z_1^{\beta_1-1} z_2^{\beta_2+1} \overline{z_3}^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3}$$

$$\left( = a_{12} c_Q \overline{c_P} \beta_1 z_1^{\alpha_1-3} z_2^{\alpha_2+3} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1+2} \overline{z_2}^{\beta_2-2} \overline{z_3}^{\beta_3} = a_{12} c_Q \overline{c_P} \beta_1 z_1^{\gamma_1-2} z_2^{\gamma_2+2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1+1} \overline{z_2}^{\gamma_2-1} \overline{z_3}^{\gamma_3} \right)$$

pose problème. Nous rappelons que tous les autres coefficients $a_{jk}$, avec $j, k = 1, 2, 3$, ne peuvent pas intervenir dans cette partie 6, pour cette rotation irréductible. Nous avons en effet déjà montré qu’ils étaient nuls ou nous le supposons (pour $a_{31}$ et $a_{23}$). Ainsi,

<footnote>théorème, plus précisément partie 3.2, p.137.</footnote>
$$
\begin{array}{l@{\qquad}l@{\qquad}l}
\gamma_1 = 1 & \alpha_1 = 2 & \beta_1 = 0 \\
\gamma_2 = \alpha_2 + 1 & \alpha_2 \text{ libre} & \beta_2 = \alpha_2 + 2 \\
\gamma_3 = \alpha_3 & \alpha_3 \text{ libre} & \beta_3 = \alpha_3,
\end{array}
$$

(avec $\alpha_3 \neq 0$) et l'hypersurface accueillant une telle rotation est décrite par

$$
\mathrm{Im} w = c_P \overline{c_Q z_1^2 z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_2}^{\alpha_2+2} \overline{z_3}^{\alpha_3}} + c_Q \overline{c_P z_2^{\alpha_2+2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{2} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3}} + c_R \overline{c_R z_1 z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1 z_2}^{\alpha_2+1} \overline{z_3}^{\alpha_3}}.
$$

Nous pouvons écarter cette hypersurface, car elle s'avère holomorphiquement dégéné-
rée. En effet, le champ

$$
X = \alpha_3 z_1 \frac{\partial}{\partial z_1} + \alpha_3 z_2 \frac{\partial}{\partial z_2} - (\alpha_2 + 2) z_3 \frac{\partial}{\partial z_3}
$$

annule le polynôme. Nous vérifions effectivement que

$$
\begin{align*}
X(\mathcal{P}) &= 2\alpha_3 P\overline{Q} + \alpha_3 R\overline{R} \\
&= +\alpha_3\alpha_2 P\overline{Q} + \alpha_3(\alpha_2 + 2) Q\overline{P} + \alpha_3(\alpha_2 + 1) R\overline{R} \\
&= -(\alpha_2 + 2)\alpha_3 P\overline{Q} - (\alpha_2 + 2)\alpha_3 Q\overline{P} - (\alpha_2 + 2)\alpha_3 R\overline{R} \\
&= 0.
\end{align*}
$$

Une autre possibilité aurait été de considérer la dépendance linéaire des exposants des trois polynômes<fnref n="133" />.

**Partie 7.** Pour terminer la démonstration, montrons que

toutes les rotations rencontrées au long de cette preuve sont nilpotentes.

Les rotations sont au nombre de trois et nous pourrons également spécifier les constantes
de l'hypersurface correspondante.

Partie 7.1. La première rotation est

$$
N_I = a_{12}z_2 \frac{\partial}{\partial z_1} + a_{23}z_3 \frac{\partial}{\partial z_2},
$$

<footnote n="133">133. Cf. lemme 4.1.8, p.90.</footnote>
avec $a_{12} \neq 0$, $a_{23} \neq 0$ et $a_{31} = 0$, qui correspond à l'hypersurface

$$ \mathrm{Im} w = 2 \mathrm{Re} (c_P \overline{c_Q} z_1 z_3^k \overline{z_3}^{k+1}) + c_R \overline{c_R} z_2 z_3^k \overline{z_2} \overline{z_3}^k. $$

Nous constatons que

$$ \begin{aligned} 0 &= 2 \operatorname{Re} N_I(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) \\ &= a_{12} c_P \overline{c_Q} z_2 z_3^k \overline{z_3}^{k+1} + a_{23} c_R \overline{c_R} z_3^{k+1} \overline{z_2} \overline{z_3}^k \\ &\quad + \overline{a_{12}} c_Q \overline{c_P} z_3^{k+1} \overline{z_2} \overline{z_3}^k + \overline{a_{23}} c_R \overline{c_R} z_2 z_3^k \overline{z_3}^{k+1} \\ &\Leftrightarrow a_{12} c_P \overline{c_Q} + \overline{a_{23}} c_R \overline{c_R} = 0. \end{aligned} $$

Pour des constantes $c_P$, $c_Q$ et $c_R$ données, la rotation s'exprime par la matrice

$$ A_{N_I} = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{a_{12}c_Q c_P}{c_R c_R} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

qui est clairement nilpotente avec $(A_{N_I})^3 = 0$. En résumé,

$$ A_{N_I} = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, $$

avec $a_{12}$ et $a_{23}$ qui satisfont une équation simple. Il est important de noter qu'avec des constantes $c_P$, $c_Q$ et $c_R$ données, la dimension réelle des rotations d'une telle hypersurface est de 2.

### Partie 7.2. La deuxième rotation est

$$ N_{II} = a_{12} z_2 \frac{\partial}{\partial z_1} + a_{31} z_1 \frac{\partial}{\partial z_3}, $$

avec $a_{12} \neq 0$, $a_{23} = 0$ et $a_{31} \neq 0$, qui correspond à l'hypersurface

$$ \mathrm{Im} w = 2 \mathrm{Re} (c_P \overline{c_Q} z_2^k z_3 \overline{z_2}^{k+1}) + c_R \overline{c_R} z_1 z_2^k \overline{z_1} \overline{z_2}^k. $$
Nous constatons que

$$
\begin{align*}
0 &= 2 \operatorname{Re} N_{II}(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) \\
  &= a_{12} c_R \overline{c_R z_2}^{k+1} \overline{z_1 z_2}^k + a_{31} c_P \overline{c_Q z_1} z_2^{k+1} \overline{z_2 z_1}^k \\
  &\quad + a_{12} c_R \overline{c_R z_1} z_2^k \overline{z_2}^{k+1} + a_{31} c_Q \overline{c_P z_2}^{k+1} \overline{z_1 z_2}^k \\
  &\Leftrightarrow a_{12} c_R \overline{c_R} + a_{31} c_Q \overline{c_P} = 0.
\end{align*}
$$

Pour des constantes $c_P$, $c_Q$ et $c_R$ données, la rotation s'exprime par la matrice

$$
A_{N_{II}} = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\overline{a_{12}c_R c_R}}{c_P c_Q} & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$

qui est clairement nilpotente avec $(A_{N_{II}})^3 = 0$. En résumé,

$$
A_{N_{II}} = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 \end{pmatrix},
$$

avec $a_{12}$ et $a_{23}$ qui satisfont une équation simple. Il est important de noter qu’avec des constantes $c_P$, $c_Q$ et $c_R$ données, la dimension réelle des rotations d’une telle hypersurface est de 2.

Partie 7.3. La troisième rotation est

$$
N_{III} = a_{12} z_2 \frac{\partial}{\partial z_1},
$$

sur l'hypersurface

$$
\operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} (c_P c_Q z_1 z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_2}^{\alpha_2+1} \overline{z_3}^{\alpha_3}) + c_R c_R \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3}.
$$
Nous constatons que

$$
\begin{align*}
0 &= 2 \operatorname{Re} N_{III}(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) \\
&= a_{12} c_P \overline{c_Q} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_2}^{\alpha_2+1} \overline{z_3}^{\alpha_3} + \overline{a}_{12} c_Q c_P \overline{z_2}^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_2}^{\alpha_2+1} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
\Leftrightarrow \quad & a_{12} c_P \overline{c_Q} + \overline{a}_{12} c_Q c_P = 0.
\end{align*}
$$

Si nous notons $a_{12} = a + ib$ et $c_P \overline{c_Q} = u + iv$, avec $a, b, u, v \in \mathbb{R}$, il suffit de développer cette dernière équation pour obtenir

$au = bv.$

Autrement dit, si $v \neq 0$, nous avons

$b = \frac{au}{v},$

et ainsi,

$$
a_{12} = a + i \frac{au}{v},
$$

et si $v = 0$, alors $u \neq 0$ et $a = 0$. Dans ce cas,

$a_{12} = ib.$

Dans tous les cas, pour des constantes $c_P$, $c_Q$ et $c_R$ données, la rotation s'exprime par une matrice

$$
A_{N_{III}} = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
$$

qui est à nouveau clairement nilpotente (avec $(A_{N_{III}})^2 = 0$), avec $a_{12}$ qui satisfait une équation simple. Il est important de noter qu'avec des constantes $c_P, c_Q$ et $c_R$ données, la dimension réelle des rotations d'une telle hypersurface est de 1. $\square$
Démonstration du théorème.

Préparatifs :

Dans cette démonstration, nous travaillons sur une hypersurface monomiale de type PQR. Notons donc $P = c_P z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3}$, $Q = c_Q z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3}$ et $R = c_R z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3}$, où $c_P, c_Q$ et $c_R$ sont des constantes complexes. L'équation de l'hypersurface en question étant donc

$$ \mathrm{Im} w = c_P \overline{c_Q} z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} + c_Q \overline{c_P} z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} + c_R \overline{c_R} z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3}. $$

Nous considérons également une rotation

$$ X = (a_{11}z_1 + a_{12}z_2 + a_{13}z_3) \frac{\partial}{\partial z_1} + (a_{21}z_1 + a_{22}z_2 + a_{23}z_3) \frac{\partial}{\partial z_2} + (a_{31}z_1 + a_{32}z_2 + a_{33}z_3) \frac{\partial}{\partial z_3}, $$

ou du point de vue matriciel<fnref n="134" />,

$$ A_X = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}. $$

L'équation à étudier, que nous notons (★), qui stipule que $X$ est bien une rotation sur l'hypersurface en question, est

<footnote n="134">134. Cf. section 2.2.3, p.44.</footnote>
0 =

$$2 \operatorname{Re} X (c_p c_Q z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} + c_Q c_p z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} + c_R c_R z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3}) =$$

$$
\begin{align*}
& a_{11} c_p c_Q \alpha_1 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
& + \overline{a_{11}} c_Q c_p \alpha_1 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
& + a_{11} c_Q c_p \beta_1 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
& + \overline{a_{11}} c_p c_Q \beta_1 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
& + a_{11} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\
& + \overline{a_{11}} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\
& + a_{12} c_p c_Q \alpha_1 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
& + \overline{a_{12}} c_Q c_p \alpha_1 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
& + a_{12} c_p c_Q \beta_1 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
& + \overline{a_{12}} c_p c_Q \beta_1 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
& + a_{12} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\
& + \overline{a_{12}} c_R c_R \gamma_1 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\
& + a_{21} c_p c_Q \alpha_2 z_1^{\alpha_1+1} z_2^{\alpha_2-1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
& + \overline{a_{21}} c_Q c_p \alpha_2 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1+1} \overline{z_2}^{\alpha_2-1} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
& + a_{21} c_p c_Q \beta_2 z_1^{\beta_1+1} z_2^{\beta_2-1} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
& + \overline{a_{21}} c_p c_Q \beta_2 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1+1} \overline{z_2}^{\beta_2-1} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
& + a_{21} c_R c_R \gamma_2 z_1^{\gamma_1+1} z_2^{\gamma_2-1} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\
& + \overline{a_{21}} c_R c_R \gamma_2 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1+1} \overline{z_2}^{\gamma_2-1} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\
& + a_{22} c_p c_Q \alpha_2 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
& + \overline{a_{22}} c_Q c_p \alpha_2 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
& + a_{22} c_p c_Q \beta_2 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
& + \overline{a_{22}} c_p c_Q \beta_2 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
& + a_{22} c_R c_R \gamma_2 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\
& + \overline{a_{22}} c_R c_R \gamma_2 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\
& + a_{31} c_p c_Q \alpha_3 z_1^{\alpha_1+1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3-1} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
& + \overline{a_{31}} c_Q c_p \alpha_3 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1+1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3-1} \\
& + a_{31} c_p c_Q \beta_3 z_1^{\beta_1+1} z_2^{\beta_2-1} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
& + \overline{a_{31}} c_p c_Q \beta_3 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1+1} \overline{z_2}^{\beta_2-1} \overline{z_3}^{\beta_3-1} \\
& + a_{31} c_R c_R \gamma_3 z_1^{\gamma_1+1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3-1} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\
& + \overline{a_{31}} c_R c_R \gamma_3 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1+1} \overline{z_2}^{\gamma_2-1} \overline{z_3}^{\gamma_3-1} \\
& + a_{32} c_p c_Q \alpha_3 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3-1} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
& + \overline{a_{32}} c_Q c_p \alpha_3 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2+1} \overline{z_3}^{\alpha_3-1} \\
& + a_{32} c_p c_Q \beta_3 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2+1} z_3^{\beta_3-1} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
& + \overline{a_{32}} c_p c_Q \beta_3 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2+1} \overline{z_3}^{\beta_3-1} \\
& + a_{32} c_R c_R \gamma_3 z_1^{\gamma_1+1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3-1} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\
& + \overline{a_{32}} c_R c_R \gamma_3 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1+1} \overline{z_2}^{\gamma_2-1} \overline{z_3}^{\gamma_3-1} \\
& + a_{33} c_p c_Q \alpha_3 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
& + \overline{a_{33}} c_Q c_p \alpha_3 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
& + a_{33} c_p c_Q \beta_3 z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3} \overline{z_1}^{\alpha_1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \overline{z_3}^{\alpha_3} \\
& + \overline{a_{33}} c_p c_Q \beta_3 z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\beta_1} \overline{z_2}^{\beta_2} \overline{z_3}^{\beta_3} \\
& + a_{33} c_R c_R \gamma_3 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \\
& + \overline{a_{33}} c_R c_R \gamma_3 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3}.
\end{align*}
$$
Nous articulons la preuve en les affirmations suivantes, qui sont toutes des réflexions sur cette dernière équation.

$$1. X = D + N.$$

Toute rotation est séparable en une rotation purement diagonale et une rotation avec diagonale nulle.

$$2. D = D_{Re} + D_{Im}.$$

Toute rotation purement diagonale est séparable en une rotation diagonale purement réelle et une rotation diagonale purement imaginaire.

$$3. N = N_1 + N_2.$$

Toute rotation avec diagonale nulle (pas forcément nilpotente) est séparable en au plus deux rotations nilpotentes avec diagonale nulle. Ce dernier point amènera en outre à classifier les hypersurfaces monomiales qui possèdent des champs nilpotents. Il est lui-même articulé en plusieurs points.

### 3.1. Construction de $N_1$.

Toute rotation irréductible non nulle avec diagonale nulle est nilpotente et engendre un certain type d'hypersurface.

Il y a 12 hypersurfaces différentes (mais dépendantes de paramètres) qui accueillent chacune une rotation nilpotente.

### 3.2. Ajout de $N_2$.

Il est possible de fusionner au maximum deux de ces 12 hypersurfaces ensembles. Le résultat est une hypersurface qui accueille deux rotations irréductibles nilpotentes, $N_1$ et $N_2$, et $N = N_1+N_2$ est une rotation (pas forcément nilpotente).
1. $X = D + N$. Toute rotation est séparable en une rotation purement diagonale et une rotation avec diagonale nulle.

La séparation suivante est faisable

$$A_X = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = A_D + A_N = \begin{pmatrix} a_{11} & & 0 \\ & a_{22} & \\ 0 & & a_{33} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & 0 & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 0 \end{pmatrix},$$

avec $D$ diagonale et $N$ avec diagonale nulle. Le but est de montrer que $D$ et $N$ sont des rotations.

Le champ diagonal

$$D = a_{11}z_1 \frac{\partial}{\partial z_1} + a_{22}z_2 \frac{\partial}{\partial z_2} + a_{33}z_3 \frac{\partial}{\partial z_3} \text{ est une rotation.}$$

En effet, les 18 termes qui forment une sorte de diagonale ci-avant, avec trois blocs de 6 termes (les termes ne contenant aucune perturbation), ne peuvent s'annuler avec le reste pour des questions de degrés : il suffit d'une part de comparer les parties holomorphes et antiholomorphes, en comparant par exemple les termes

$$a_{11}c_P c_Q \alpha_1 z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3-1} \bar{z}_1^{\beta_1} \bar{z}_2^{\beta_2} \bar{z}_3^{\beta_3} \text{ et } a_{12}c_P c_Q \alpha_1 z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3-1} \bar{z}_1^{\beta_1} \bar{z}_2^{\beta_2} \bar{z}_3^{\beta_3},$$

ou alors, d'autre part, de considérer que $P$, $Q$ et $R$ ne peuvent être des monômes semblables, car l'hypersurface doit être holomorphiquement non dégénérée, en comparant par exemple les termes

$$a_{11} c_R c_Q \gamma_1 z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \bar{z}_1^{\gamma_1} \bar{z}_2^{\gamma_2} \bar{z}_3^{\gamma_3} \text{ et } a_{12} c_P c_Q \alpha_1 z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2+1} z_3^{\alpha_3-1} \bar{z}_1^{\beta_1} \bar{z}_2^{\beta_2} \bar{z}_3^{\beta_3}.$$

Nous en concluons que le champ $N = X - D$ est également une rotation.
2. $D = D_{\text{Re}} + D_{\text{Im}}$. Toute rotation purement diagonale est séparable en une rotation diagonale purement réelle et une rotation diagonale purement imaginaire.

Notons la rotation diagonale

$$D = \sum_{j=1}^{3} (a_j + ib_j)z_j \frac{\partial}{\partial z_j}, \text{ où les } a_j, b_j \in \mathbb{R}.$$

En contemplant (★), nous pouvons affirmer que

$$ 
\begin{align*}
0 &= P\overline{Q} \sum_{j=1}^{3} ((a_j + ib_j)\alpha_j + (a_j - ib_j)\beta_j) + Q\overline{P} \sum_{j=1}^{3} ((a_j + ib_j)\beta_j + (a_j - ib_j)\alpha_j) \\
&\quad + R\overline{R} \sum_{j=1}^{3} ((a_j + ib_j)\gamma_j + (a_j - ib_j)\gamma_j) \\
&= P\overline{Q} \sum_{j=1}^{3} (a_j(\alpha_j + \beta_j) + ib_j(\alpha_j - \beta_j)) + Q\overline{P} \sum_{j=1}^{3} (a_j(\alpha_j + \beta_j) - ib_j(\alpha_j - \beta_j)) \\
&\quad + 2R\overline{R} \sum_{j=1}^{3} a_j \gamma_j.
\end{align*}
$$

Cela est équivalent au système d'équations

$$\sum_{j=1}^{3} a_j(\alpha_j + \beta_j) = 0$$

$$\sum_{j=1}^{3} a_j \gamma_j = 0$$

$$\sum_{j=1}^{3} b_j(\alpha_j - \beta_j) = 0.$$

Il est dès lors évident, les $a_j$ et les $b_j$ étant indépendants, que

$$D_{\text{Re}} = \sum_{j=1}^{3} a_j z_j \frac{\partial}{\partial z_j} \quad \text{et} \quad D_{\text{Im}} = i \sum_{j=1}^{3} b_j z_j \frac{\partial}{\partial z_j}$$

sont des rotations. Nous pouvons également ajouter que ces deux rotations ne sont pas
forcément irréductibles. En effet, pour l'hypersurface

$$ \mathrm{Im} w = 2 \mathrm{Re} (z_1 z_2^2 z_3 \overline{z_1 z_2 \overline{z_3}}^2) + z_1^4 \overline{z_1}^4, $$

la rotation

$$ D_{\mathrm{Im}} = 25iz_1 \frac{\partial}{\partial z_1} + iz_2 \frac{\partial}{\partial z_2} + iz_3 \frac{\partial}{\partial z_3} $$

est séparable en

$$ D_{\mathrm{Im}}^{I} = 25iz_{1} \frac{\partial}{\partial z_{1}} \quad \text{et} \quad D_{\mathrm{Im}}^{II} = iz_{2} \frac{\partial}{\partial z_{2}} + iz_{3} \frac{\partial}{\partial z_{3}} $$

car

$$ D_{\mathrm{Im}}(\mathcal{P} - \mathrm{Im} w) = 25iP\overline{Q} + 25iQ\overline{P} + 100iR\overline{R} \\ +2iP\overline{Q} + iQ\overline{P} \\ +iP\overline{Q} + 2iQ\overline{P} $$

(évidemment pour $P = z_1 z_2^2 z_3$, $Q = z_1 z_2 z_3^2$ et $R = z_1^4 \overline{z_1}^4$), ce qui montre bien que $D_{\mathrm{Im}}^I$ et $D_{\mathrm{Im}}^{II}$ sont des rotations indépendantes<fnref n="135" />.

3. $N = N_1 + N_2$. Toute rotation avec diagonale nulle (pas forcément nilpotente) est séparable en au plus deux rotations nilpotentes avec diagonale nulle.

3.1. Construction de $N_1$. Toute rotation irréductible non nulle avec diagonale nulle est nilpotente et engendre un certain type d'hypersurface. Il y a 12 hypersurfaces différentes (mais dépendantes de paramètres) qui accueillent chacune une rotation nilpotente.

Nous considérons le cas non trivial d'une rotation irréductible $N_1$ qui n'est pas nulle et qui comporte une diagonale nulle.

<footnote n="135">135. Nous pouvons montrer que ce n'est que dans le cas où, pour au moins un $j = 1, 2, 3$, $\alpha_j = \beta_j$, qu'une rotation diagonale séparable apparaît. Elle est de plus imaginaire. Pour les autres cas de figures, ni $D_{\mathrm{Re}}$ ni $D_{\mathrm{Im}}$ ne sont séparables, car un coefficient (par exemple $a_1$) est obligatoirement au minimum lié à un autre pour l'annulation (par exemple $a_2$), le troisième étant forcément nul. Les trois coefficients peuvent également être liés dans une même rotation forcément irréductible.</footnote>
Comme cette rotation n'est pas nulle, il existe forcément un $a_{jk} \neq 0$, avec $j, k = 1, 2, 3$ et $j \neq k$. Considérons pour un moment que ce $a_{jk}$ est $a_{12}$. Dans ce cas, en rappelant l'irréductibilité de la rotation, nous utilisons le résultat du lemme 4.3.4, à savoir

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \text{1. } a_{12} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad a_{21} = a_{13} = a_{32} = 0, \\
& \left\{
  \begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
    a_{23} \neq 0 & \Rightarrow a_{31} = 0 \quad \text{et} \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} (c_P \overline{c_Q} z_1 z_3^k \overline{z_3}^{k+1}) + c_R \overline{c_R} z_2 z_3^k \overline{z_2 z_3}^k \quad (1.1) \\
    a_{31} \neq 0 & \Rightarrow a_{23} = 0 \quad \text{et} \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} (c_P \overline{c_Q} z_2^k z_3 \overline{z_3}^{k+1}) + c_R \overline{c_R} z_1 z_2^k \overline{z_1 z_2}^k \quad (1.2) \\
    a_{23} = 0, a_{31} = 0 & \Rightarrow \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} (c_P \overline{c_Q} z_1 z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_2}^{\alpha_2+1} \overline{z_3}^{\alpha_3}) + c_R \overline{c_R} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_2}^{\gamma_2} \overline{z_3}^{\gamma_3} \quad (1.3)
  \end{array}
  \right.
\end{aligned}
\end{equation}
$$

et lemme nous indique que toutes ces rotations, irréductibles, sont nilpotentes. Ce résultat peut être formulé si nous supposons $a_{13}$ non nul, puis $a_{21}$, $a_{23}$, $a_{31}$ et $a_{32}$, à leur tour non nuls. Nous adaptons le résultat du lemme aux 5 autres hypothèses de coefficients non nuls en effectuant simplement une permutation des trois variables complexes. Les 15 hypersurfaces suivantes s'ajoutent donc aux 3 précédentes.

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \text{2. } a_{13} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad a_{31} = a_{12} = a_{23} = 0, \\
& \left\{
  \begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
    a_{32} \neq 0 & \Rightarrow a_{21} = 0 \quad \text{et} \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left(c_P \overline{c_Q} z_1 z_2^k \overline{z_2}^{k+1}\right) + c_R \overline{c_R} z_2^k \overline{z_2}^{k-1} \overline{z_3}^k \quad (2.1) \\
    a_{21} \neq 0 & \Rightarrow a_{32} = 0 \quad \text{et} \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left(c_P \overline{c_Q} z_2 z_3^k \overline{z_3}^{k+1}\right) + c_R \overline{c_R} z_1 z_3^k \overline{z_1 z_3}^k \quad (2.2) \\
    a_{32} = 0, a_{21} = 0 & \Rightarrow \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left(c_P \overline{c_Q} z_1 z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} \overline{z_2}^{\alpha_2-1} \overline{z_3}^{\alpha_3+1}\right) + c_R \overline{c_R} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} \overline{z_2}^{\gamma_2-1} \overline{z_3}^{\gamma_3} \quad (2.3)
  \end{array}
  \right.
\end{aligned}
\end{equation}
$$

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \text{3. } a_{21} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad a_{12} = a_{23} = a_{31} = 0, \\
& \left\{
  \begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
    a_{13} \neq 0 & \Rightarrow a_{32} = 0 \quad \text{et} \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left(c_P \overline{c_Q} z_2 z_3^k \overline{z_3}^{k+1}\right) + c_R \overline{c_R} z_1 z_3^k \overline{z_1 z_3}^k \quad (3.1) \\
    a_{32} \neq 0 & \Rightarrow a_{13} = 0 \quad \text{et} \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left(c_P \overline{c_Q} z_1^k z_3 \overline{z_1}^{k+1}\right) + c_R \overline{c_R} z_2 z_1^k \overline{z_2 z_1}^k \quad (3.2) \\
    a_{13} = 0, a_{32} = 0 & \Rightarrow \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left(c_P \overline{c_Q} z_1^{\alpha_1} z_2 z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\alpha_1+1} \overline{z_3}^{\alpha_3}\right) + c_R \overline{c_R} z_1^{\gamma_1} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1-1} \overline{z_3}^{\gamma_3} \quad (3.3)
  \end{array}
  \right.
\end{aligned}
\end{equation}
$$

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \text{4. } a_{23} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad a_{32} = a_{21} = a_{13} = 0, \\
& \left\{
  \begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
    a_{31} \neq 0 & \Rightarrow a_{12} = 0 \quad \text{et} \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left(c_P \overline{c_Q} z_1^k z_2 \overline{z_1}^{k+1}\right) + c_R \overline{c_R} z_1^k \overline{z_3}^{k-1} \overline{z_3}^k \quad (4.1) \\
    a_{12} \neq 0 & \Rightarrow a_{31} = 0 \quad \text{et} \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left(c_P \overline{c_Q} z_1 z_3^k \overline{z_3}^{k+1}\right) + c_R \overline{c_R} z_2 z_3^k \overline{z_2 z_3}^k \quad (4.2) \\
    a_{31} = 0, a_{12} = 0 & \Rightarrow \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left(c_P \overline{c_Q} z_1^{\alpha_1} z_2 z_3^{\alpha_3} \overline{z_1}^{\alpha_1-1} \overline{z_3}^{\alpha_3+1}\right) + c_R \overline{c_R} z_1^{\gamma_1} z_3^{\gamma_3} \overline{z_1}^{\gamma_1-1} \overline{z_3}^{\gamma_3} \quad (4.3)
  \end{array}
  \right.
\end{aligned}
\end{equation}
$$
$$
\begin{equation} \tag{5.1}
\begin{aligned}
& \textbf{5.} \quad a_{31} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad a_{13} = a_{32} = a_{21} = 0, \\
& \qquad a_{12} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad a_{23} = 0 \quad \text{et} \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left( c_P \overline{c_Q} z_2^k z_3 \overline{z_2}^{k+1} \right) + c_R \overline{c_R} z_1 z_2^k \overline{z_1}^{k-1} \overline{z_2}^k \quad (5.1) \\
& \qquad a_{23} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad a_{12} = 0 \quad \text{et} \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left( c_P \overline{c_Q} z_1^k z_2 \overline{z_1}^{k+1} \right) + c_R \overline{c_R} z_1 z_2^k \overline{z_1}^{k-1} \overline{z_2}^k \quad (5.2) \\
& \qquad a_{12} = 0, a_{23} = 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left( c_P \overline{c_Q} z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3 \overline{z_1}^{\alpha_1+1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \right) + c_R \overline{c_R} z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} \overline{z_1}^{\gamma_1+1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \quad (5.3)
\end{aligned}
\end{equation}
$$

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \textbf{6.} \quad a_{32} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad a_{23} = a_{31} = a_{12} = 0, \\
& \qquad a_{21} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad a_{13} = 0 \quad \text{et} \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left( c_P \overline{c_Q} z_1^k z_3 \overline{z_1}^{k+1} \right) + c_R \overline{c_R} z_1^k z_2 \overline{z_1}^{k-1} \overline{z_2}^k \quad (6.1) \\
& \qquad a_{13} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad a_{21} = 0 \quad \text{et} \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left( c_P \overline{c_Q} z_1^k z_2 \overline{z_2}^{k+1} \right) + c_R \overline{c_R} z_2^k z_3 \overline{z_2}^{k-1} \overline{z_3}^k \quad (6.2) \\
& \qquad a_{21} = 0, a_{13} = 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left( c_P \overline{c_Q} z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3 \overline{z_1}^{\alpha_1+1} \overline{z_2}^{\alpha_2} \right) + c_R \overline{c_R} z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} \overline{z_1}^{\gamma_1+1} \overline{z_2}^{\gamma_2} \quad (6.3)
\end{aligned}
\end{equation}
$$

À ce stade de la démonstration, toutes les hypersurfaces mondiales admettant une
rotation irréductible nilpotente ont été trouvées <fnref n="136" />. Certaines hypersurfaces apparaissent
même deux fois :

$$
(3.1) = \mathbf{(2.2)}
$$

$$
(4.2) = \mathbf{(1.1)}
$$

$$
(5.1) = \mathbf{(1.2)}
$$

$$
(5.2) = \mathbf{(4.1)}
$$

$$
(6.1) = \mathbf{(3.2)}
$$

$$
(6.2) = \mathbf{(2.1)}.
$$

Nous ne prendrons donc en compte que les hypersurfaces de droites, notées en gras
parmi les 18 hypersurfaces ci-dessus. Il y a donc 12 hypersurfaces disponibles poten-
tielles.

<footnote n="136">136. Nous rappelons qu’une matrice diagonale n’est de toute évidence pas nilpotente. Ainsi, les matrices nilpotentes ne s’avèrent disponibles que dans la partie *N* de la décomposition *X* = *D* + *N*.</footnote>
### 3.2. Ajout de $N_2$. Il est possible de fusionner au maximum deux de ces 12 hypersurfaces ensembles. Le résultat est une hypersurface qui accueille deux rotations irréductibles nilpotentes, $N_1$ et $N_2$.

Certaines des 12 hypersurfaces peuvent s'unir. Par exemple, l'hypersurface (1.1) peut contenir (2.3) avec $\alpha_2 = 0$, $\gamma_2 = 1$, $\alpha_3 = \gamma_3 = k$. Nous rappelons que (4.2) n'est plus considérée ici. De plus, l'union avec (3.2) ou (5.3) implique que $k = 0$, ce qui sort du cadre des hypersurfaces Levi dégénérées. Nous venons de voir que l'hypersurface (1.1) peut contenir deux rotations irréductibles nilpotentes, mais pas plus. Ainsi, pour (1.1),

$$N_1 = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad N_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \text{avec trois dimensions réelles.}$$

Une même réflexion est possible en partant de (1.2). Le résultat est le même à une permutation près.

La réflexion à partir de (1.3) amène un résultat. S'il est inutile de comparer cette hypersurface avec (2.1), (4.1), (5.2) ou (6.2), la comparaison avec (3.3) apporte une nouvelle hypersurface, à savoir,

$$\mathrm{Im} w = 2 \mathrm{Re} \left( c_P \overline{c_Q z_1} z_3^{\alpha_3} \overline{z_2 z_3}^{\alpha_3} \right) + c_R \overline{c_R z_3^{\gamma_3}} \overline{z_3}^{\gamma_3},$$

avec $\gamma_3 = \alpha_3 + 1$ pour des questions d'homogénéité. Nous pouvons d'ailleurs noter $k = \alpha_3 > 0$ (pour une hypersurface Levi dégénérée). Pour cette hypersurface,

$$N_1 = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad N_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \text{avec deux dimensions réelles.}$$

Considérer cette fusion ou cette intersection de types d'hypersurfaces à partir de (2.1), (2.2), ... est identique à ce qui vient d'être fait, à permutation près. Nous n'oublions pas l'hypersurface (1.3), plus générale, qui n'a qu'une rotation nilpotente irréductible. $\square$
### 4.3.2 Propriétés de $g_0^{\text{Nil}}$.

#### Corollaire 4.3.5.

Soit une hypersurface monomiale<fnref n="137" /> de type PQR. Alors, à permutation près, les seules hypersurfaces comportant des rotations nilpotentes sont – pour des $k, \alpha_2 \in \mathbb{N}^*$, $\ell, \alpha_3 \in \mathbb{N}$ et $\gamma_2, \gamma_3$ tels que l'hypersurface soit holomorphiquement non dégénérée –

$$1. \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left( c_P \overline{c_Q z_1 z_2^k \bar{z}_2^{k+1}} + c_R \overline{c_R z_2^k \bar{z}_3 \bar{z}_2^k \bar{z}_3} \right) \quad \text{avec } \dim_{\mathbb{R}} g_0^{\text{Nil.}} = 3$$

$$2. \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left( c_P \overline{c_Q z_1 z_3^k \bar{z}_2 \bar{z}_3^k} + c_R \overline{c_R z_3^{k+1} \bar{z}_3^{k+1}} \right) \quad \text{avec } \dim_{\mathbb{R}} g_0^{\text{Nil.}} = 2$$

$$3. \quad \operatorname{Im} w = 2 \operatorname{Re} \left( c_P \overline{c_Q z_1 z_2^{\alpha_2} \bar{z}_3^{\alpha_3} \bar{z}_2^{\alpha_2+1} \bar{z}_3^{\alpha_3}} + c_R \overline{c_R z_2^{\gamma_2} \bar{z}_3^{\gamma_3} \bar{z}_2^{\gamma_2} \bar{z}_3^{\gamma_3}} \right) \quad (\alpha_2 \neq 0) \quad \text{avec } \dim_{\mathbb{R}} g_0^{\text{Nil.}} = 1$$

**Démonstration.** Ces hypersurfaces sont rencontrées dans la démonstration du théorème 4.3.1 : 1. $\equiv$ (1.1) tandis que 2. est à la fin de la démonstration (fusion ou intersection d'hypersurfaces). De plus, 3. $\equiv$ (1.3). $\square$

#### Exemple 4.3.6.

Comme exemple de dimension réelle trois, citons l'hypersurface définie par

$$\operatorname{Im} w = z_1 \overline{z_3 z_3^2} + z_3^2 \overline{z_1 \bar{z}_3} + z_2 \overline{z_3 z_2 \bar{z}_3},$$

avec, comme rotation nilpotente générale

$$N = \begin{pmatrix} 0 & a + ib & ic \\ 0 & 0 & -a + ib \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},$$

où $a, b, c \in \mathbb{R}$.

<footnote n="137">137. Si nous supposons l'hypersurface non monomiale, les résultats sont difficiles à formuler. Une point de vue pourrait être de supposer qu'il existe une rotation nilpotente et d'étudier les conséquences sur l'hypersurface. Par exemple, pour les outils d'algèbre linéaire, cf. [63], pp.107-113, chapitre X.2 (Réduction de Jordan : cas nilpotent).</footnote>
**Exemple 4.3.7.**

Un autre exemple, de dimension deux, est l'hypersurface

$$ \mathrm{Im} w = iz_1z_2\overline{z_1z_3} - iz_1z_3\overline{z_1z_2} + z_1^2\overline{z_1}^2, $$

avec ses rotations nilpotentes

$$ N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix}, $$

avec $a, b \in \mathbb{R}$.

**Contrexemple 4.3.8.**

Soit l'hypersurface de type PQR non monomiale avec

$$ P = z_1^2 z_2^2 + z_1^2 z_3^2 $$

$$ Q = z_1 z_2 z_3^2 + z_1 z_3^3 $$

$$ R = z_2^2 z_3^2 + z_2^4 $$

Cette hypersurface est donc décrite par

$$ \mathrm{Im} w = 2 \mathrm{Re} \left( z_1^2 z_2^2 \overline{z_1 z_2 z_3^2} + z_1^2 z_3^2 \overline{z_1 z_2 z_3^2} + z_1^2 z_2^2 \overline{z_1 z_3^3} + z_1^2 z_3^2 \overline{z_1 z_3^3} \right. \\ \left. + z_2^2 z_3^2 \overline{z_2 z_3^2} + z_2^4 \overline{z_2 z_3^2} + z_2^2 z_3^2 \overline{z_2 z_3^2} + z_2^4 \overline{z_2 z_3^4} \right). $$

Elle comporte la rotation nilpotente $N = iz_2 \frac{\partial}{\partial z_1}$. En effet,

$$ \begin{aligned} N(P\overline{Q} + Q\overline{P} + RR\overline{R}) &= 2iz_1z_2\overline{z_1z_2z_3^2} + 2iz_1z_2z_3^2\overline{z_1z_2z_3^2} + 2iz_1z_2\overline{z_1z_3^3} + 2iz_1z_2z_3^2\overline{z_1z_3^3} \\ &\Rightarrow 2 \mathrm{Re} N(P\overline{Q} + Q\overline{P} + RR\overline{R}) = 0. \end{aligned} $$
### 4.3.3 Propriétés de $g_0^{\text{Re}}$

#### Lemme 4.3.9.

Soit une hypersurface monomiale de type PQR. Alors

$$ \dim_{\mathbb{R}} g_0^{\text{Re}} = 1. $$

Démonstration. Soit une rotation réelle

$$ X = \sum_{j=1}^{3} \lambda_j z_j \frac{\partial}{\partial z_j}. $$

Ainsi, avec les notations habituelles des monômes $P = c_P z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3}$, $Q = c_Q z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3}$ et $R = c_R z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3}$,

$$ \lambda_1(\alpha_1 + \beta_1) + \lambda_2(\alpha_2 + \beta_2) + \lambda_3(\alpha_3 + \beta_3) = 0 \text{ et} $$

$$ \lambda_1\gamma_1 + \lambda_2\gamma_2 + \lambda_3\gamma_3 = 0. $$

Il s'agit d'un système de deux équations réelles avec trois inconnues réelles, $\lambda_1$, $\lambda_2$ et $\lambda_3$. L'ensemble des solutions a donc une dimension réelle égale à un.

Il faut toutefois s'assurer que le système est bien constitué de deux équations in-
dépendantes. Par l'absurde, si les deux équations étaient linéairement dépendantes, il
existerait un $\xi \in \mathbb{R}^*$ tel que

$$ \begin{pmatrix} \alpha_1 + \beta_1 \\ \alpha_2 + \beta_2 \\ \alpha_3 + \beta_3 \end{pmatrix} = \xi \cdot \begin{pmatrix} \gamma_1 \\ \gamma_2 \\ \gamma_3 \end{pmatrix}. $$

Dans ce cas, l'hypersurface serait holomorphiquement dégénérée par le lemme 4.1.8, ce qui est une contradiction. $\square$
### Contrexemple 4.3.10.

L'hypothèse d'une hypersurface monomiale est nécessaire. En effet, le fait de considérer une rotation réelle sur l'hypersurface décrite par

$$ \mathrm{Im} w = (z_1^2 + z_2 z_3) \overline{z_1}^2 \overline{z_2} \overline{z_3} + z_1^2 z_2 \overline{z_3} \overline{(\overline{z_1}^2 + \overline{z_2} \overline{z_3})} + z_1 \overline{z_3}^2 \overline{z_1} \overline{z_3}^2 $$

à trois inconnues (les coefficients réels de la rotation). Toute rotation réelle est donc nulle et $\dim_{\mathbb{R}} g_0^{\mathrm{Re}} = 0$.

## 4.3.4 Propriétés de $g_0^{\mathrm{Im}}$

### Lemme 4.3.11.

Soit une hypersurface monomiale de type PQR. Alors

$$ \dim_{\mathbb{R}} g_0^{\mathrm{Im}} = 2. $$

Démonstration. Soit une rotation imaginaire

$$ X = i \sum_{j=1}^{3} \lambda_j z_j \frac{\partial}{\partial z_j}. $$

Ainsi, avec les notations habituelles des monômes $P = c_P z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3}$, $Q = c_Q z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3}$ et $R = c_R z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3}$, nous obtenons l'unique équation

$$ \lambda_1(\alpha_1 - \beta_1) + \lambda_2(\alpha_2 - \beta_2) + \lambda_3(\alpha_3 - \beta_3) = 0. $$

En effet, la partie $\overline{RR}$ s'annule automatiquement avec son conjugué. Il s'agit donc d'un système d'une équation réelle avec trois inconnues réelles, $\lambda_1, \lambda_2$ et $\lambda_3$. L'ensemble des solutions a donc une dimension réelle égale à deux. $\square$

### Remarque 4.3.12.

Contrairement au problème $PQ$, il s'avère impossible d'énoncer un résultat avec une hypersurface non monomiale. Nous profitons de rappeler<fnref n="138" /> que l'étude de $g_0^{\mathrm{Im}}$ est bel et bien différente de celle de $g_0^{\mathrm{Re}}$. Nous présentons donc un contrexemple qui démontre que

<footnote n="138">138. Cf. remarque 3.2.18, p.72.</footnote>
le résultat du problème PQ n’est pas généralisable. Il n’est effectivement pas possible
de mettre en équivalence, pour une hypersurface de type PQR, le fait d’être balancée et
de posséder une rotation imaginaire.

**Contrexemple 4.3.13.**

Considérons l'hypersurface de $\mathbb{C}^4$ dont les éléments $(z_1, z_2, z_3, w)$ satisfont

$$
\mathrm{Im} w = z_1^2 z_2 z_3 \overline{z_1}^2 + z_1 z_2^4 z_3 \overline{z_1}^2 + z_1^2 \overline{z_1}^2 z_2 \overline{z_3}^3 + z_1 \overline{z_1}^2 \overline{z_2}^4 \overline{z_3} + z_1^2 z_2^2 \overline{z_1}^2 \overline{z_2}^2.
$$

Cette hypersurface possède la rotation imaginaire

$$
X = i11z_1 \frac{\partial}{\partial z_1} + i3z_2 \frac{\partial}{\partial z_2} - iz_3 \frac{\partial}{\partial z_3}.
$$

En effet, si nous notons $P = z_1^2 z_2 z_3^3$, $P' = z_1 z_2^4 z_3$, $Q = z_1^2$ et $R = z_1^2 z_2^2$,

$$
\begin{align*}
2 \operatorname{Re} X(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w) &= 2 \operatorname{Re} X(P\overline{Q} + P'\overline{Q} + Q\overline{P} + Q\overline{P}' + R\overline{R}) \\
&= 22iP\overline{Q} + 11iP'\overline{Q} + 22iQ\overline{P} + 22iQ\overline{P}' + 22iR\overline{R} \\
&\quad -22iQ\overline{P} - 11iQ\overline{P}' - 22iP\overline{Q} - 22iP'\overline{Q} - 22iR\overline{R} \\
&\quad +3iP\overline{Q} + 12iP'\overline{Q} + 6iR\overline{R} \\
&\quad -3iQ\overline{P} - 12iQ\overline{P}' - 6iR\overline{R} \\
&\quad -3iP\overline{Q} - iP'\overline{Q} \\
&\quad +3iQ\overline{P} + iQ\overline{P}'
\end{align*}
\[
= 0.
\]
$$

Nous notons que cette hypersurface n’est pas balancée. Il faudrait qu’il existe un champ
complexe reproducteur, noté

$$
X = \sum_{j=1}^{3} \lambda_j z_j \frac{\partial}{\partial z_j}, \quad \lambda_j \in \mathbb{R}, \quad \text{avec } X(\mathcal{P}) = \mathcal{P}.
$$
Dans ce cas,

$$
\begin{align*}
X(\mathcal{P}) &= X(P\overline{Q} + P'\overline{Q} + Q\overline{P} + Q\overline{P'} + R\overline{R}) \\
&= 2\lambda_1 P\overline{Q} + \lambda_1 P'\overline{Q} + 2\lambda_1 Q\overline{P} + 2\lambda_1 Q\overline{P'} + 2\lambda_1 R\overline{R} \\
&\quad + \lambda_2 P\overline{Q} + 4\lambda_2 P'\overline{Q} + 2\lambda_2 R\overline{R} \\
&\quad + 3\lambda_3 P\overline{Q} + \lambda_3 P'\overline{Q} \\
&= (2\lambda_1 + \lambda_2 + 3\lambda_3)P\overline{Q} \\
&\quad + (\lambda_1 + 4\lambda_2 + \lambda_3)P'\overline{Q} \\
&\quad + 2\lambda_1 Q\overline{P} \\
&\quad + 2\lambda_1 Q\overline{P'} \\
&\quad + (2\lambda_1 + 2\lambda_2)R\overline{R} \\
&\stackrel{!}{=} \mathcal{P} \\
&= P\overline{Q} + P'\overline{Q} + Q\overline{P} + Q\overline{P'} + R\overline{R},
\end{align*}
$$

équation équivalente au système

$$
2\lambda_1 + \lambda_2 + 3\lambda_3 = 1
$$

$$
\lambda_1 + 4\lambda_2 + \lambda_3 = 1
$$

$$
2\lambda_1 = 1
$$

$$
2\lambda_1 + 2\lambda_2 = 1,
$$

qui est lui-même impossible.

4.3.5 Propriétés de g_ç

Lemme 4.3.14.

Soit une hypersurface de type PQR monomiale. Alors,

$0 \le \dim \mathfrak{g}_c \le 3.$

De plus,

$$
\deg P = \deg Q = \deg R \Rightarrow \dim \mathfrak{g}_c = 0.
$$
Démonstration. Soit une rotation généralisée $X \in \mathfrak{g}_c$. Par définition, son degré pondéré, deg $X > 0$, et

$$0 = X(P)\overline{Q} + X(Q)\overline{P} + X(R)\overline{R} + \overline{QX(P)} + \overline{PX(Q)} + \overline{RX(R)}.$$

Nous étudions cette équation en considérant deux cas : lorsque deg $P = deg Q$, ou, sans restriction de la généralité, deg $P < deg Q$.

Dans le premier cas, par homogénéité, nous avons deg $R = deg P = deg Q$, et notre équation implique que

$$X(P)\overline{Q} + X(Q)\overline{P} + X(R)\overline{R} = 0$$

car par exemple, deg $X(P) > deg P$, et ces termes ne peuvent s'annuler. Nous observons que, comme $P$, $Q$ et $R$ sont non nuls, cette annulation n'est possible que si $P = \alpha Q = \beta R$. Or, dans ce cas, l'hypersurface est holomorphiquement dégénérée $^{139}$. Nous écartons donc ce cas.

Dans le second cas, nous notons au passage que deg $R = \frac{\deg P + \deg Q}{2}$, et ainsi,

$$\deg P < \deg R < \deg Q.$$

Notre équation devient

$$0 = X(P)\overline{Q} + X(R)\overline{R} + \overline{QX(P)} + \overline{RX(R)},$$

car $X(Q) = 0$. En effet, deg $X(Q)$ est trop grand et ne peut s'annuler avec un autre terme $^{140}$. Cette équation n'a que deux possibilités pour être valide. La première est que

$$X(P)\overline{Q} + \overline{RX(R)} = 0,$$

et la seconde est que

$$X(P)\overline{Q} + \overline{QX(P)} = 0 \quad \text{et} \quad X(R) = 0.$$

<footnote n="139">139. Cf. lemme 4.1.8, p.90.</footnote>

<footnote n="140">140. Cela nous donne des informations sur $X$ par rapport à $Q$, mais nous laissons cela de côté pour le moment.</footnote>
La première possibilité implique que

$$X(P) = \alpha R,$$

$$X(R) = \beta Q, \text{ et}$$

$$X(Q) = 0,$$

avec $\beta = -\bar{\alpha}$, car remplacée dans l'équation en question, nous obtenons

$$\alpha R \bar{Q} + R \bar{\beta} Q = 0.$$

Nous remarquons ainsi que les polynômes $PR$ et $Q$ forment naturellement une $X$-chaîne selon la définition 3.2.3, p.64.

Précisons cette première possibilité avec $\alpha = a + ib, \beta = -a + ib, a$ et $b$ réels, et avec un champ holomorphe noté

$$X = \sum_{j=1}^{3} f_j(z_1, z_2, z_3) \frac{\partial}{\partial z_j}.$$

Alors

$$f_1(z_1, z_2, z_3)P_{z_1} + f_2(z_1, z_2, z_3)P_{z_2} + f_3(z_1, z_2, z_3)P_{z_3} = (a + ib)R,$$

$$f_1(z_1, z_2, z_3)R_{z_1} + f_2(z_1, z_2, z_3)R_{z_2} + f_3(z_1, z_2, z_3)R_{z_3} = (-a + ib)Q, \text{ et}$$

$$f_1(z_1, z_2, z_3)Q_{z_1} + f_2(z_1, z_2, z_3)Q_{z_2} + f_3(z_1, z_2, z_3)Q_{z_3} = 0.$$

et par Cramer<fnref n="141" />,

$$f_1(z_1, z_2, z_3) = \frac{(a + ib)R(R_{z_2}Q_{z_3} - Q_{z_2}R_{z_3}) + (a - ib)Q(P_{z_2}Q_{z_3} - Q_{z_2}P_{z_3})}{J(P, Q, R)},$$ 
$f_2(z_1, z_2, z_3) = \frac{-(a + ib)R(R_{z_1}Q_{z_3} - Q_{z_1}R_{z_3}) + (-a + ib)Q(P_{z_1}Q_{z_3} - Q_{z_1}P_{z_3})}{J(P, Q, R)}, \text{ et}$ 
$f_3(z_1, z_2, z_3) = \frac{(a + ib)R(R_{z_1}Q_{z_2} - Q_{z_1}R_{z_2}) + (a - ib)Q(P_{z_1}Q_{z_2} - Q_{z_1}P_{z_2})}{J(P, Q, R)}.$

<footnote n="141">141. Cf. [34], p.143, théorème 5.2.</footnote>
La seconde possibilité implique que

$$X(P) = \alpha Q,$$

$$X(R) = 0, \text{ et}$$

$$X(Q) = 0,$$

avec $\alpha = ic, c \in \mathbb{R}$, car

$$\alpha Q \overline{Q} + Q \overline{\alpha} Q = 0$$

Donc plus précisément,

$$f_1(z_1, z_2, z_3)P_{z_1} + f_2(z_1, z_2, z_3)P_{z_2} + f_3(z_1, z_2, z_3)P_{z_3} = icQ,$$

$$f_1(z_1, z_2, z_3)R_{z_1} + f_2(z_1, z_2, z_3)R_{z_2} + f_3(z_1, z_2, z_3)R_{z_3} = 0, \text{ et}$$

$$f_1(z_1, z_2, z_3)Q_{z_1} + f_2(z_1, z_2, z_3)Q_{z_2} + f_3(z_1, z_2, z_3)Q_{z_3} = 0,$$

et par Cramer,

$$f_1(z_1, z_2, z_3) = \frac{icQ(R_{z_2}Q_{z_3} - Q_{z_2}R_{z_3})}{J(P, Q, R)},$$

$$f_2(z_1, z_2, z_3) = \frac{-icQ(R_{z_1}Q_{z_3} - Q_{z_1}R_{z_3})}{J(P, Q, R)}, \text{ et}$$

$$f_3(z_1, z_2, z_3) = \frac{icQ(R_{z_1}Q_{z_2} - Q_{z_1}R_{z_2})}{J(P, Q, R)}.$$

Nous notons que cela est valide grâce au fait que l'hypersurface est holomorphiquement non dégénérée, ainsi $J(P, Q, R) \neq 0$. En outre, pour la rotation généralisée, qui est une champ holomorphe, les coefficients méromorphes sont exclus. Des conditions de divisibilité (par le jacobien) garantissent donc l'existences (ou la non-existence) de ces rotations généralisées. La réflexion qui précède expose deux conditions qui peuvent être satisfaites indépendamment<fnref n="142" />.

Nous observons également que si les degrés des trois monômes ne sont pas égaux, la démonstration s'avère toujours vraie. Les rotations généralisées ne peuvent toutefois pas exister lorsque ces degrés sont identiques. □

<footnote n="142">142. Cf. exemples 4.3.16, p.148 et 4.3.18, p.154.</footnote>
**Remarque 4.3.15.**

Nous notons que si nous n'observons que des rotations généralisées

$$X = \sum_{j=1}^{3} f_j(z_1, z_2, z_3) \frac{\partial}{\partial z_j},$$

où les $f_j$ sont des monômes, alors $\dim \mathfrak{g}_c \le 1$.

En effet, dans ce cas, la possibilité suivante de la démonstration précédente,

$$f_1(z_1, z_2, z_3)P_{z_1} + f_2(z_1, z_2, z_3)P_{z_2} + f_3(z_1, z_2, z_3)P_{z_3} = \alpha R,$$

$$f_1(z_1, z_2, z_3)R_{z_1} + f_2(z_1, z_2, z_3)R_{z_2} + f_3(z_1, z_2, z_3)R_{z_3} = \beta Q, \text{ et}$$

$$f_1(z_1, z_2, z_3)Q_{z_1} + f_2(z_1, z_2, z_3)Q_{z_2} + f_3(z_1, z_2, z_3)Q_{z_3} = 0,$$

pose problème. Nous aurions effectivement une hypersurface holomorphiquement dégénérée, car, laissant les coefficients de côté et en notant $P = z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3}$, $Q = z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3}$ et $R = z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3}$, nous voyons que la première équation du système ci-dessus devient

$$\alpha_1 f_1(z) z_1^{\alpha_1-1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3} + \alpha_2 f_2(z) z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2-1} z_3^{\alpha_3} + \alpha_3 f_3(z) z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3-1} = c z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3},$$

ce qui implique, avec $f_j$ des monômes,

$$f_1(z) = k_1 z_1^{\gamma_1 - \alpha_1 + 1} z_2^{\gamma_2 - \alpha_2} z_3^{\gamma_3 - \alpha_3},$$

$$f_2(z) = k_2 z_1^{\gamma_1 - \alpha_1} z_2^{\gamma_2 - \alpha_2 + 1} z_3^{\gamma_3 - \alpha_3},$$

$$f_3(z) = k_3 z_1^{\gamma_1 - \alpha_1} z_2^{\gamma_2 - \alpha_2} z_3^{\gamma_3 - \alpha_3 + 1},$$

avec $k_j, j = 1, 2, 3$, des constantes. Or la deuxième équation du système ci-dessus donne

$$\gamma_1 f_1(z) z_1^{\gamma_1-1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3} + \gamma_2 f_2(z) z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2-1} z_3^{\gamma_3} + \gamma_3 f_3(z) z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3-1} = c z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3},$$

ou encore, avec les $f_j(z)$ remplacés,

$$(\gamma_1 k_1 + \gamma_2 k_2 + \gamma_3 k_3) z_1^{2\gamma_1 - \alpha_1} z_2^{2\gamma_2 - \alpha_2} z_3^{2\gamma_3 - \alpha_3} = c z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3},$$

ce qui implique que

$$\beta_j = 2\gamma_j - \alpha_j, \quad j = 1, 2, 3.$$
Il s'agit d'une contradiction avec le fait que l'hypersurface est holomorphiquement non dégénérée<fnref n="143" />. La possibilité

$$X(P) = icQ,$$

$$X(R) = 0, \text{ et}$$

$$X(Q) = 0.$$

reste valable, ce qui montre bien, dans ce cas particulier, que $\dim g_c \le 1$.

### Exemple 4.3.16.

Nous considérons l'hypersurface décrite par l'équation

$$\mathrm{Im} w = z_1 z_2 z_3^2 \overline{z_1^2 z_2 \overline{z_3^3}} + z_1^2 z_2 z_3^3 \overline{z_1 z_2 \overline{z_3^2}} + z_1 z_2 z_3^3 \overline{z_1^2 z_2 \overline{z_3^3}}.$$

Nous allons montrer que $\dim_{\mathbb{R}} g_c = 3$. Calculons tout d'abord le jacobien

$$\begin{gather*}
\left| \begin{array}{ccc} P_{z_1} & P_{z_2} & P_{z_3} \\ R_{z_1} & R_{z_2} & R_{z_3} \\ Q_{z_1} & Q_{z_2} & Q_{z_3} \end{array} \right| = \begin{vmatrix} z_2 z_3^2 & z_1 z_3^2 & 2 z_1 z_2 z_3 \\ z_2 z_3^3 & z_1 z_3^3 & 3 z_1 z_2 z_3^2 \\ 2 z_1 z_2 z_3^3 & z_1^2 z_3^3 & 3 z_1^2 z_2 z_3^2 \end{vmatrix} \\
= z_2 z_3^2 \begin{vmatrix} z_1 z_3^3 & 3 z_1 z_2 z_3^2 \\ z_1^2 z_3^3 & 3 z_1^2 z_2 z_3^2 \end{vmatrix} - z_1 z_3^2 \begin{vmatrix} z_2 z_3^3 & 3 z_1 z_2 z_3^2 \\ 2 z_1 z_2 z_3^3 & 3 z_1^2 z_2 z_3^2 \end{vmatrix} + 2 z_1 z_2 z_3 \begin{vmatrix} z_2 z_3^3 & z_1 z_3^3 \\ 2 z_1 z_2 z_3^3 & z_1^2 z_3^3 \end{vmatrix} \\
= z_2 z_3^2 (3 - 3) z_1^3 z_2 z_3^5 - z_1 z_3^2 (3 - 6) z_1^2 z_2^2 z_3^5 + 2 z_1 z_2 z_3 (1 - 2) z_1^2 z_2 z_3^6 \\
= z_1^3 z_2^2 z_3^7.
\end{gather*}$$

Le but est d'étudier les rotations généralisées

$$X = \sum_{j=1}^{3} f_j(z) \frac{\partial}{\partial z_j},$$

<footnote n="143">143. Cf. lemme 4.1.8, p.90.</footnote>
qui peuvent satisfaire les deux possibilités<fnref n="144" />

$$X(P) = \alpha R,$$

$$X(R) = \beta Q, \text{ et}$$

$$X(Q) = 0.$$

ou

$$X(P) = \alpha Q,$$

$$X(R) = 0, \text{ et}$$

$$X(Q) = 0.$$

Commençons par la première possibilité. Le système d'équations à résoudre est

$$\begin{pmatrix} P_{z_1} & P_{z_2} & P_{z_3} \\ R_{z_1} & R_{z_2} & R_{z_3} \\ Q_{z_1} & Q_{z_2} & Q_{z_3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha R \\ \beta Q \\ 0 \end{pmatrix}$$

$$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} z_2 z_3^2 & z_1 z_3^2 & 2 z_1 z_2 z_3 \\ z_2 z_3^3 & z_1 z_3^3 & 3 z_1 z_2 z_3^2 \\ 2 z_1 z_2 z_3^3 & z_1^2 z_3^3 & 3 z_1^2 z_2 z_3^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha z_1 z_2 z_3^3 \\ \beta z_1^2 z_2 z_3^3 \\ 0 \end{pmatrix}.$$

<footnote n="144">144. Cf. démonstration du lemme 4.3.14, p.143.</footnote>
Nous calculons par Cramer, que

$$
f_1(z) = \frac{\begin{vmatrix} \alpha z_1 z_2 z_3^3 & z_1 z_3^2 & 2 z_1 z_2 z_3 \\ \beta z_1^2 z_2 z_3^3 & z_1 z_3^3 & 3 z_1 z_2 z_3^2 \\ 0 & z_1^2 z_3^3 & 3 z_1^2 z_2 z_3^2 \end{vmatrix}}{z_1^3 z_2^2 z_3^7}
$$

$$
= \frac{\alpha z_1 z_2 z_3^3 \begin{vmatrix} z_1 z_3^3 & 3 z_1 z_2 z_3^2 \\ z_1^2 z_3^3 & 3 z_1^2 z_2 z_3^2 \end{vmatrix} - \beta z_1^2 z_2 z_3^3 \begin{vmatrix} z_1 z_3^2 & 2 z_1 z_2 z_3 \\ z_1^2 z_3^3 & 3 z_1^2 z_2 z_3^2 \end{vmatrix}}{z_1^3 z_2^2 z_3^7}
$$

$$
= \frac{\alpha(3 - 3)z_1^4 z_2^2 z_3^7 - \beta(3 - 2)z_1^5 z_2^2 z_3^7}{z_1^3 z_2^2 z_3^7} = \frac{-\beta z_1^5 z_2^2 z_3^7}{z_1^3 z_2^2 z_3^7}
$$

$$
= -\beta z_1^2,
$$

$$
f_2(z) = \frac{\begin{vmatrix} z_2 z_3^2 & \alpha z_1 z_2 z_3^3 & 2 z_1 z_2 z_3 \\ z_2 z_3^3 & \beta z_1^2 z_2 z_3^3 & 3 z_1 z_2 z_3^2 \\ 2 z_1 z_2 z_3^3 & 0 & 3 z_1^2 z_2 z_3^2 \end{vmatrix}}{z_1^3 z_2^2 z_3^7}
$$

$$
= \frac{-\alpha z_1 z_2 z_3^3 \begin{vmatrix} z_2 z_3^3 & 3 z_1 z_2 z_3^2 \\ 2 z_1 z_2 z_3^3 & 3 z_1^2 z_2 z_3^2 \end{vmatrix} + \beta z_1^2 z_2 z_3^3 \begin{vmatrix} z_2 z_3^2 & 2 z_1 z_2 z_3 \\ 2 z_1 z_2 z_3^3 & 3 z_1^2 z_2 z_3^2 \end{vmatrix}}{z_1^3 z_2^2 z_3^7}
$$

$$
= \frac{-\alpha(3 - 6)z_1^3 z_2^3 z_3^8 + \beta(3 - 4)z_1^4 z_2^3 z_3^7}{z_1^3 z_2^2 z_3^7} = \frac{3\alpha z_1^3 z_2^3 z_3^8 - \beta z_1^4 z_2^3 z_3^7}{z_1^3 z_2^2 z_3^7}
$$

$$
= 3\alpha z_2 z_3 - \beta z_1 z_2, \quad \text{et}
$$
$$
\begin{align*}
f_3(z) &= \frac{\begin{vmatrix}
z_2 z_3^2 & z_1 z_3^2 & \alpha z_1 z_2 z_3^3 \\
z_2 z_3^3 & z_1 z_3^3 & \beta z_1^2 z_2 z_3^3 \\
2 z_1 z_2 z_3^3 & z_1^2 z_3^3 & 0
\end{vmatrix}}{z_1^3 z_2^2 z_3^7} \\
&= \frac{\alpha z_1 z_2 z_3^3 \begin{vmatrix}
z_2 z_3^3 & z_1 z_3^3 \\
2 z_1 z_2 z_3^3 & z_1^2 z_3^3
\end{vmatrix} - \beta z_1^2 z_2 z_3^3 \begin{vmatrix}
z_2 z_3^2 & z_1 z_3^2 \\
2 z_1 z_2 z_3^3 & z_1^2 z_3^3
\end{vmatrix}}{z_1^3 z_2^2 z_3^7} \\
&= \frac{\alpha(1-2)z_1^3 z_2^2 z_3^9 - \beta(1-2)z_1^4 z_2^2 z_3^8}{z_1^3 z_2^2 z_3^7} = \frac{-\alpha z_1^3 z_2^2 z_3^9 + \beta z_1^4 z_2^2 z_3^8}{z_1^3 z_2^2 z_3^7} \\
&= -\alpha z_3^2 + \beta z_1 z_3.
\end{align*}
$$

Nous obtenons donc une première rotation généralisée

$$
X_1 = -\beta z_1^2 \frac{\partial}{\partial z_1} + (3\alpha z_2 z_3 - \beta z_1 z_2) \frac{\partial}{\partial z_2} - (\alpha z_3^2 - \beta z_1 z_3) \frac{\partial}{\partial z_3},
$$

qui, comme nous l'avons étudié dans la démonstration du lemme 4.3.14, p.143, en no-
tant $\alpha = a + ib$ et $\beta = -\bar{\alpha} = -a + ib$, devient

$$
X_1 = (a - ib)z_1^2 \frac{\partial}{\partial z_1} + (3(a + ib)z_2 z_3 + (a - ib)z_1 z_2) \frac{\partial}{\partial z_2} - ((a + ib)z_3^2 + (a - ib)z_1 z_3) \frac{\partial}{\partial z_3},
$$

ou encore

$$
X_{1 \text{Re}} = az_1^2 \frac{\partial}{\partial z_1} + (3az_2 z_3 + az_1 z_2) \frac{\partial}{\partial z_2} - (az_3^2 + az_1 z_3) \frac{\partial}{\partial z_3},
$$

et

$$
X_{1 \text{Im}} = -ibz_1^2 \frac{\partial}{\partial z_1} + (3ibz_2z_3 - ibz_1z_2) \frac{\partial}{\partial z_2} - (ibz_3^2 - ibz_1z_3) \frac{\partial}{\partial z_3},
$$

La seconde possibilité est similaire dans les calculs, mais plus simple. Il s’agit du
système d’équations

$$
\begin{pmatrix} P_{z1} & P_{z2} & P_{z3} \\ R_{z1} & R_{z2} & R_{z3} \\ Q_{z1} & Q_{z2} & Q_{z3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha Q \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
$$
$$ \Leftrightarrow \begin{pmatrix} z_2 z_3^2 & z_1 z_3^2 & 2 z_1 z_2 z_3 \\ z_2 z_3^3 & z_1 z_3^3 & 3 z_1 z_2 z_3^2 \\ 2 z_1 z_2 z_3^3 & z_1^2 z_3^3 & 3 z_1^2 z_2 z_3^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha z_1^2 z_2 z_3^3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. $$

Nous calculons par Cramer, que

$$ \begin{align*} f_1(z) &= \frac{\begin{vmatrix} \alpha z_1^2 z_2 z_3^3 & z_1 z_3^2 & 2 z_1 z_2 z_3 \\ 0 & z_1 z_3^3 & 3 z_1 z_2 z_3^2 \\ 0 & z_1^2 z_3^3 & 3 z_1^2 z_2 z_3^2 \end{vmatrix}}{z_1^3 z_2^2 z_3^7} \\ &= \frac{\begin{vmatrix} \alpha z_1^2 z_2 z_3^3 & z_1 z_3^2 & 3 z_1 z_2 z_3 \\ z_1^2 z_3^3 & 3 z_1^2 z_2 z_3^2 & z_1 z_3^3 \end{vmatrix}}{z_1^3 z_2^2 z_3^7} \\ &= \frac{\alpha(3-3)z_1^5 z_2^2 z_3^8}{z_1^3 z_2^2 z_3^7} \\ &= 0, \end{align*} $$

$$ \begin{align*} f_2(z) &= \frac{\begin{vmatrix} z_2 z_3^2 & \alpha z_1^2 z_2 z_3^3 & 2 z_1 z_2 z_3 \\ z_2 z_3^3 & 0 & 3 z_1 z_2 z_3^2 \\ 2 z_1 z_2 z_3^3 & 0 & 3 z_1^2 z_2 z_3^2 \end{vmatrix}}{z_1^3 z_2^2 z_3^7} \\ &= \frac{-\alpha z_1^2 z_2 z_3^3}{\begin{vmatrix} z_2 z_3^3 & 3 z_1 z_2 z_3^2 \\ 2 z_1 z_2 z_3^3 & 3 z_1^2 z_2 z_3^2 \end{vmatrix}} \\ &= \frac{-\alpha(3-6)z_1^4 z_2^2 z_3^8}{z_1^3 z_2^2 z_3^7} = \frac{3\alpha z_1^4 z_2^2 z_3^8}{z_1^3 z_2^2 z_3^7} \\ &= 3\alpha z_1 z_2 z_3, \quad \text{et} \end{align*} $$
$$
\begin{align*}
f_3(z) &= \frac{\begin{vmatrix}
z_2 z_3^2 & z_1 z_3^2 & \alpha z_1^2 z_2 z_3^3 \\
z_2 z_3^3 & z_1 z_3^3 & 0 \\
2 z_1 z_2 z_3^3 & z_1^2 z_3^3 & 0
\end{vmatrix}}{z_1^3 z_2^2 z_3^7} \\
&= \frac{\alpha z_1^2 z_2 z_3^3 \begin{vmatrix}
z_2 z_3^3 & z_1 z_3^3 \\
2 z_1 z_2 z_3^3 & z_1^2 z_3^3
\end{vmatrix}}{z_1^3 z_2^2 z_3^7} \\
&= \frac{\alpha(1-2)z_1^4 z_2^2 z_3^9}{z_1^3 z_2^2 z_3^7} = \frac{-\alpha z_1^4 z_2^2 z_3^9}{z_1^3 z_2^2 z_3^7} \\
&= -\alpha z_1 z_3^2.
\end{align*}
$$

Nous obtenons donc une seconde rotation généralisée

$$
X_2 = 3\alpha z_1 z_2 z_3 \frac{\partial}{\partial z_2} - \alpha z_1 z_3^2 \frac{\partial}{\partial z_3},
$$

qui, comme nous l'avons étudié dans la démonstration du lemme précédent, en notant
$\alpha = ic$, devient

$$
X_2 = 3icz_1z_2z_3 \frac{\partial}{\partial z_2} - icz_1z_3^2 \frac{\partial}{\partial z_3},
$$

Nous constatons que dim$_{\mathbb{R}} g_c = 3$, grâce à *a*, *b* et *c* tous réels.

**Remarques 4.3.17.**

a) L'exemple précédent répond à une question de généralisation posée dans [54], p.18, section 8. Il s'agissait d'un problème ouvert avec une conjecture qui omettait une dimension réelle : dim$_{\mathbb{R}} g_c = 2.

b) Nous n'oublions pas le résultat général qui donne une condition nécessaire, mais pas suffisante pour l'existence d'une rotation généralisée concernant une hypersurface pas forcément monomiale : le théorème 3.2.4, p.64 145.

c) Il est possible qu'une seule des deux conditions de divisibilité soit satisfaite : l'exemple suivant nous le montre.

<footnote n="145">145. Cf. également [54], pp.14-15, définition 7.1 et théorème 7.2.</footnote>
**Exemple 4.3.18.**

Soient $P = z_1^2$, $Q = z_1^2 z_2 z_3$ et $R = z_1 z_2 z_3$, pour l'hypersurface décrite par

$$ \mathrm{Im} w = P\bar{Q} + Q\bar{P} + R\bar{R}. $$

Alors

$$ \dim_{\mathbb{R}} g_c = 1. $$

### 4.3.6 Propriétés de $g_t$ et $g_n$

**Remarque 4.3.19.**

Nous commençons par citer un résultat de [52]. Sur cette base, adaptée à notre problème *PQR*, nous verrons que la correspondance entre $g_t$ et $g_n$ est forte. Le théorème suivant est adapté dans le sens que l'équation (1.5) de [52],

$$ \mathrm{Im} w = |z_1|^2 + S(z_2, z_3, \bar{z}_2, \bar{z}_3), $$

n'est pas intéressante dans notre travail. En effet, il s'agit d'une hypersurface Levi non dégénérée.

**Théorème 4.3.20.** ([52], p.3, théorème 1.2)

Soit $M$ une hypersurface polynomiale homogène holomorphiquement non dégénérée et Levi dégénérée avec $\dim g_n > 0$. Alors $M$ est biholomorphiquement équivalente à

$$ \mathrm{Im} w = z_1 \bar{Q} + Q \bar{z}_1 + R \bar{R}, $$

où $Q = Q(z_2, z_3)$ et $R = R(z_2, z_3)$ sont des polynômes holomorphes. De plus, cette dernière hypersurface admet un champ dans $g_n > 0$ si et seulement s'il existe un champ $Y$ tel que

$$ Y(R) = QR $$

$$ Y(Q) = Q^2. $$
**Proposition 4.3.21.**

Soit $M$ une hypersurface monomiale de type $PQR$. Alors

$$ \dim \mathfrak{g}_t > 0 \Leftrightarrow \dim \mathfrak{g}_{tt} > 0. $$

De plus, dans ce cas,

$$ P = z_1 $$

$$ Q = z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3}, $$

$$ R = z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3}. $$

**Démonstration.** Prouver que

$$ \dim \mathfrak{g}_t > 0 \Leftrightarrow \dim \mathfrak{g}_{tt} > 0 $$

est trivial. Pour l'autre direction, nous supposons $\dim \mathfrak{g}_t > 0$. En supposant un

$$ X = a \frac{\partial}{\partial z_1} + b \frac{\partial}{\partial z_2} + c \frac{\partial}{\partial z_3} + g(z) \frac{\partial}{\partial w}, $$

l'équation $0 = 2 \operatorname{Re}(X(\mathcal{P} - \operatorname{Im} w))$ implique, par des raisonnements similaires à ceux rencontrés au long de ce travail<fnref n="146" />, que l'hypersurface est biholomorphiquement équivalente à

$$ \operatorname{Im} w = z_1 \overline{Q} + Q \overline{z_1} + R \overline{R}, $$

où $P = z_1$, $Q = z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3}$, et $R = z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3}$. Il suffit donc de montrer, par le théorème précédent, qu'il existe un champ $Y = az_1 \frac{\partial}{\partial z_1} + bz_2 \frac{\partial}{\partial z_2}$ qui satisfait

$$ Y(R) = QR $$

$$ Y(Q) = Q^2. $$

Il s'agit d'un système de Cramer, qu'il est toujours possible de résoudre. Nous rappelons que notre hypersurface est holomorphiquement non dégénérée, ce qui a pour conséquence que le jacobien de $Q$ et $R$ est non nul. De plus, nous pouvons calculer que la division entre les polynômes dans la résolution de Cramer est toujours possible. $\square$

<footnote n="146">146. Cf. la démonstration du lemme 4.3.14, p.143 par exemple.</footnote>
**Remarque 4.3.22.**

Au long de la démonstration, nous remarquons entre autres, à cause du fait que le cas Levi non dégénéré n'est pas traité, que

$$ \deg P = \deg Q = \deg R \Rightarrow \dim \mathfrak{g}_I = \dim \mathfrak{g}_n = 0. $$

De plus, $\dim \mathfrak{g}_I = \dim \mathfrak{g}_n = 1$ lorsque l'hypersurface est décrite par

$$ \mathrm{Im} w = z_1 \overline{Q} + Q \overline{z_1} + \overline{RR}, $$

$$ \text{où } P = z_1, \ Q = z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3}, \ \text{et } R = z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3}. $$

### 4.3.7 Propriétés de $\mathfrak{g}_1$

Le lemme suivant est valable dans ce nouveau cas.

**Lemme 4.3.23.**

*Soit $M$ une hypersurface monomiale de type $PQR$. Alors*

$$ \dim_{\mathbb{R}} \mathfrak{g}_1 = 1. $$
*Démonstration.* Nous allons montrer que *M* est balancée<fnref n="147" />. Comme *M* est monomiale, nous supposons que

$$P = z_1^{\alpha_1} z_2^{\alpha_2} z_3^{\alpha_3}, \quad Q = z_1^{\beta_1} z_2^{\beta_2} z_3^{\beta_3}, \quad \text{et} \quad R = z_1^{\gamma_1} z_2^{\gamma_2} z_3^{\gamma_3}.$$

Pour que l'hypersurface soit holomorphiquement non dégénérée, il faut que les exponents de *P*, *Q* et *R* soient linéairement indépendants. Par là même, le système d'équations

$$\lambda_1\alpha_1 + \lambda_2\alpha_2 + \lambda_3\alpha_3 = 1$$

$$\lambda_1\beta_1 + \lambda_2\beta_2 + \lambda_3\beta_3 = 1$$

$$\lambda_1\gamma_1 + \lambda_2\gamma_2 + \lambda_3\gamma_3 = 1$$

possède une unique solution $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$ qui implique que le champ

$$X = \sum_{j=1}^{3} \lambda_j z_j \frac{\partial}{\partial z_j}$$

est un champ complexe reproducteur, car

$$X(\mathcal{P}) = \lambda_1\alpha_1 P\overline{Q} + \lambda_1\beta_1 Q\overline{P} + \lambda_1\gamma_1 R\overline{R} \\ +\lambda_2\alpha_2 P\overline{Q} + \lambda_2\beta_2 Q\overline{P} + \lambda_2\gamma_2 R\overline{R} \\ +\lambda_3\alpha_3 P\overline{Q} + \lambda_3\beta_3 Q\overline{P} + \lambda_3\gamma_3 R\overline{R} = \mathcal{P}.$$

Ainsi, comme toute hypersurface balancée contient un élément dans $\mathfrak{g}_1$, l'affirmation est prouvée. □

<footnote n="147">147. Cf. remarque 4.2.4, p.98.</footnote>
### 4.3.8 Résultat

Nous pouvons formuler le résultat final comme suit.

**Théorème 4.3.24.**

*Soit $M$ une hypersurface monomiale de type $PQR$. Alors*

$$6 \leq \dim \mathfrak{g} \leq 11.$$

*Plus précisément,*

$$ \begin{array}{lclcl} \dim \mathfrak{g}_{-1} & = & 1, & \dim \mathfrak{g}_t & \in \{0; 1\}, & \dim \mathfrak{g}_n \in \{0; 1\}, \\ \dim \mathfrak{g}_0^{\text{Nil.}} & \in & \{0; 1; 2; 3\}, & \dim \mathfrak{g}_0^{\text{Re}} & = & 1, & \dim \mathfrak{g}_0^{\text{Im}} = 2, \\ \dim \mathfrak{g}_c & \in & \{0; 1; 2; 3\}, & & & & \dim \mathfrak{g}_1 = 1. \end{array} $$

*Démonstration.* Dans le cas monomial d'une hypersurface, la dimension de $\mathfrak{g}$ est au minimum de 6. En effet, nous comptabilisons ici $W, E$, la dimension de $\mathfrak{g}_0^{\text{Re}}$, les deux dimensions de $\mathfrak{g}_0^{\text{Im}}$ et celle de $\mathfrak{g}_1$.

Il reste $\mathfrak{g}_t$, intimement lié à $\mathfrak{g}_n$, $\mathfrak{g}_0^{\text{Nil.}}$ et $\mathfrak{g}_c$. Distinguons le fait que les trois monômes ont le même degré ou non. Si ce degré est le même, alors $\dim \mathfrak{g}_c = 0$ (par le lemme 4.3.14, p.143), de même, $\dim \mathfrak{g}_t = \dim \mathfrak{g}_n = 0$ (par la remarque 4.3.22, p.156 ainsi que la proposition 4.3.21, p.155) et il est possible d'ajouter les rotations nilpotentes pour lesquelles leur dimension vaut 0, 1, 2 ou 3. Dans ce cas, $\dim \mathfrak{g} \in \{6; 7; 8; 9\}$.

Si les degrés de monômes sont différents, alors $\dim \mathfrak{g}_0^{\text{Nil.}} = 0$ (par le corollaire 4.3.8, p.139), tandis que $\dim \mathfrak{g}_c$ vacille entre 0 et 3 (par le lemme 4.3.14, p.143) et nous obte-nons à nouveau $\dim \mathfrak{g} \in \{6; 7; 8; 9\}$. Si, de plus, l'hypersurface répond aux hypothèses de la proposition 4.3.21, p.155 (également par la remarque 4.3.22, p.156), nous pouvons ajouter la dimension de $\mathfrak{g}_t$ et celle de $\mathfrak{g}_n$. $\square$
# Chapitre 5

## Conclusion

Nous concluons ce travail en deux temps : une conclusion sur la puissance de l’outil de l’opérateur de Chern-Moser suivie d’une ouverture sur de nouvelles perspectives.

Premièrement, nous rappelons donc la puissance de l’outil qu’est l’opérateur de Chern-Moser. Nous avons classifié les automorphismes infinitésimaux réels analytiques CR d’une classe d’hypersurfaces modèles, polynomiales et homogènes, $M$, dans $\mathbb{C}^4$, autrement dit le groupe des symétries de $M$. La profondeur de la théorie employée veut que le groupe de stabilité, c’est-à-dire l’ensemble des automorphismes (ou biholomorphismes fixant un point) de $M_g$, d’une hypersurface générale, soit déterminé uniquement par un nombre fini de dérivées partielles<fnref n="148" />. Ainsi, si nous considérons le but suivant : classifier le groupe de stabilité de $M_g$ en classes d’équivalence à un biholomorphisme près, ce travail fournit alors une approche dans le sens que le groupe des symétries est un invariant biholomorphe<fnref n="149" />. Effectivement, deux automorphismes de $M_g$ biholomorphi-

$$h(z, w) = \left( \frac{c(z + aw)}{1 - 2i\bar{a}z - (r + i|a|^2)w}, \frac{|c|^2w}{1 - 2i\bar{a}z - (r + i|a|^2)w} \right),$$

<footnote n="148">148. Nous faisons évidemment référence au début de ce travail, avec les théorèmes 2.1.11 et 2.1.25, p.31 et p.39. Nous pouvons citer l’exemple concret de $\mathbb{C}^2$ qui concerne les automorphismes de l’hypersurface donnée par $\mathrm{Im} w = z\bar{z}$. Ces automorphismes sont de la forme</footnote>

<footnote>et ne dépendent donc que des deux premières dérivées partielles. Nous pouvons effectivement calculer que $\frac{\partial h_1}{\partial z}(0) = c$, $\frac{\partial h_1}{\partial w}(0) = ca$, et $\frac{\partial^2 h_1}{\partial w^2}(0) = 2ca(r + i|a|^2)$, et en effet, cela détermine uniquement $c \in \mathbb{C}^*$, $a \in \mathbb{C}$ et $r \in \mathbb{R}$. Cf. [82], p.298.</footnote>

<footnote n="149">149. Les exemples historiques les plus célèbres d’invariants en analyse complexe à plusieurs variables, sur des ouverts par contre, sont les deux théorèmes d’unicité d’Henri Cartan. Cf. [20] ou [68], pp.23-24, théorèmes 2.1.1 et 2.1.3. Une conséquence de ces résultats est la non-validité du théorème de l’application conforme de Riemann en dimensions supérieures. Cf. [68], p.27, théorème 2.2.4.</footnote>
quement équivalents ne peuvent admettre des dimensions différentes pour le groupe des symétries correspondant, g, ce qui est valable pour la dimension de tout sous-groupe, g_j, avec $j = -1, t, 0, 0^{\text{Nil}}, 0^{\text{Re}}, 0^{\text{Im}}, c, n$, et 1.

La seconde idée apportée pour cette conclusion a pour but d'ouvrir de nouvelles perspectives : le problème PQR, dans $\mathbb{C}^4$, généralise le problème PQ dans $\mathbb{C}^3$. Il est possible d'envisager d'autres généralisations. Par exemple, les hypersurfaces de $\mathbb{C}^4$ décrites par

$$ \mathrm{Im} w = \overline{P\bar{P}} + \overline{Q\bar{Q}} + \overline{R\bar{R}}, $$

ont été récemment étudiées et généralisées<fnref n="150" /> à $\mathbb{C}^{n+1}$. D'autres combinaisons de polynômes sont possibles. Dans $\mathbb{C}^5$, il faut imaginer au minimum quatre polynômes, à combiner à souhait<fnref n="151" />. De même, les $n$ polynômes de $\mathbb{C}^{n+1}$ offrent une multitude de combinaisons possibles.

Une ouverture possible est donc d'élargir le contexte des hypersurfaces monomiales à $\mathbb{C}^{n+1}$. Nous ne donnons que l'exemple de la décomposition des rotations sur des hypersurfaces monomiales<fnref n="152" /> : à l'aide d'une mise en place d'outils performants de calculs informatiques, il serait intéressant d'étudier les possibilités de généralisation du théorème 4.3.1 dans des dimensions supérieures.

Une dernière perspective est de considérer les hypersurfaces de type PQR dans $\mathbb{C}^4$, homogènes et holomorphiquement non dégénérées, ou similaires, mais non monomiales. En effet, l'approche employée dans ce travail ne permet pas cette étude et la mise en place de nouveaux outils semble nécessaire.

Cette thèse de doctorat, en plus d'apporter sa contribution concrète à la matière, ouvre donc la voie à de nouvelles pistes, dans des dimensions supérieures ou dans le cas non monomial, et joue ainsi son rôle, à son échelle, dans la belle aventure de la recherche en mathématiques pures.

<footnote n="150">150. Cf. [42]. Cette famille d'hypersurfaces conserve une certaine symétrie présente dans le problème PQ, mais absente dans le problème PQR avec un polynôme R qui semble mis à part.</footnote>

<footnote n="151">151. Possiblement en conservant une certaine symétrie, cf. note précédente.</footnote>

<footnote n="152">152. Cf. théorème 4.3.1, p.111.</footnote>
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# Curriculum vitæ

## Informations personnelles

JULIEN Cyril Josy Rémy
Organiste et mathématicien
078 832 39 00

Route de Bertigny 49
cyril.jul@gmail.com

1700 Fribourg
Né le 18 juin 1988 à Porrentruy

Suisse
Marié, quatre enfants

Organiste titulaire des orgues de l'église Saint-Marcel de Delémont
Enseignant de mathématiques au Collège Saint-Michel de Fribourg
Enseignant d'improvisation au clavier au Conservatoire de Fribourg

## Formation académique

**2007-2010,** Université de Fribourg,
Bachelor en mathématiques et musicologie

**2010-2012,** Université de Fribourg,
Master en mathématiques avec comme mémoire,
sous la direction de Francine Meylan : *Caractérisation des applications holomorphes propres de la boule unité de $C^n$*

**2013-2015,** Université de Fribourg,
Diplôme d'enseignement pour les écoles de maturité (secondaire II)

## Formation musicale

**2012-2016,** Haute École de musique de Lausanne, site Fribourg,
Bachelor et master d'interprétation d'orgue, classe de M. Croci

**2016-2018,** Conservatoire à Rayonnement Régional de Rueil-Malmaison,
CEM d'improvisation, classe de P. Goussot

**2018-2021,** Hochschule für Musik Freiburg im Brisgau,
Master d'improvisation à l'orgue, classe de D. Franke
<figure><img src="image_16.png" /></figure>
# Erratum

Une erreur de dénombrement s'est glissée dans cette version finale de thèse. Celle-ci a été corrigée dans la publication suivante.

Julien Cyril, Meylan Francine, *Characterization of Real-Analytic Infinitesimal CR Automorphisms for a Class of Hypersurfaces in $\mathbb{C}^4$*, Latin American Mathematics Series, UFSCar subseries (2024), pp.203-223.

Cet article prend part à l'ouvrage suivant.

Berhanu Shiferaw, Mir Nordine, Hoepfner Gustavo, *Geometric Analysis of PDEs and Several Complex Variables. In Honor of Jorge Hounie's 75th Birthday, Serra Negra, Brazil, July 31 - August 4, 2023*, Cham, UFSCar-Springer, 2024.

Le théorème présenté en page 158 de la thèse oublie en effet deux dimensions possibles (au maximum, nous trouvons 13 dimensions au lieu de 11). La correction de ce théorème, que nous trouvons en tant que théorèmes 7.1 et 7.2, pp.221-222, dans l'article précité, a pour correction l'énoncé suivant dans le travail de doctorat, tout le reste demeurant correct.

## Théorème 4.3.24 (p.158)

Soit $M$ une hypersurface de type PQR, monomiale, holomorphiquement non dégénérée et dans $\mathbb{C}^4$. Alors

$$6 \le \dim g \le 13.$$
<figure><img src="image_17.png" /></figure>