## 6.3. Analyse spectrale de la turbulence pariétale

L'étude expérimentale de la turbulence repose de façon privilégiée sur l'utilisation de techniques de traitement de signal. Comme l'analyse de la turbulence dans le domaine temporel est assez difficile, on préfère travailler dans le domaine fréquenciel, c'est-à-dire faire une analyse spectrale. Cette méthode, qui suppose des propriétés stationnaires d'un point de vue statistique, consiste à rechercher les fréquences qui rendent compte de l'évolution de la vitesse.

Considérons une microélectrode fonctionnant en puits de matière parfait (palier de diffusion). La couche de diffusion se comporte comme un filtre. Si $h(t)$ est la réponse impulsionnelle du système supposé linéaire, c'est-à-dire homogène dans le temps, alors les signaux d'entrée $\tilde{\alpha}(t)$ et de sortie $\tilde{I}(t)$ sont reliés par le produit de convolution [6.2] :

$$ \tilde{I}(t) = \tilde{\alpha}(t) * h(t) \qquad (6.6) $$

On définit la fonction de corrélation $C_{\tilde{I}\tilde{I}'}$ de deux signaux $\tilde{I}$ et $\tilde{I}'$, aléatoires, stationnaires d'un point de vue statistique, ergodiques et à énergie finie, par :

$$ C_{\tilde{I}\tilde{I}'}(\tau) = \langle \tilde{I}(t) \tilde{I}'(t - \tau) \rangle \qquad (6.7) $$

De plus, si l'on fait l'hypothèse d'ergodicité, on aura une moyenne temporelle donnée par :

$$ C_{\tilde{I}\tilde{I}'}(\tau) = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \tilde{I}(t) \tilde{I}'(t - \tau) \, dt \qquad (6.8) $$
Si les signaux $\tilde{I}$ et $\tilde{I}'$ sont identiques, $C_{\tilde{I}\tilde{I}'}(\tau)$ est une fonction de corrélation temporelle ou d'autocorrélation du signal $\tilde{I}$. Si les signaux sont différents, la fonction de corrélation est dite spatiale-temporelle ou d'intercorrélation des signaux $\tilde{I}$ et $\tilde{I}'$.

En appliquant la relation 6.6 à la relation 6.8, on peut démontrer que :

$$C_{\tilde{I}\tilde{I}'}(\tau) = C_{\tilde{\alpha}\tilde{\alpha}'}(\tau) * C_{hh}(\tau) \quad (6.9)$$

En prenant la transformée de Fourier des deux membres on obtient :

$$TF[C_{\tilde{I}\tilde{I}'}(\tau)] = TF[C_{\tilde{\alpha}\tilde{\alpha}'}(\tau)] TF[C_{hh}(\tau)] \quad (6.10)$$

car la transformée de Fourier d'un produit de convolution est le produit simple de transformées de Fourier (TF).

Comme la transformée de Fourier d'une fonction de corrélation est la densité spectrale :

$$TF[C_{\tilde{I}\tilde{I}'}(\tau)] = W_{\tilde{I}\tilde{I}'}(f)$$

$$TF[C_{\tilde{\alpha}\tilde{\alpha}'}(\tau)] = W_{\tilde{\alpha}\tilde{\alpha}'}(f)$$

et que la transformée de Fourier de la fonction de corrélation de la réponse impulsionnelle est égale à :

$$TF[C_{hh}(\tau)] = |\mathcal{H}(f)|^2$$

on peut réécrire l'équation 6.10 de la façon suivante :

$$W_{\tilde{I}\tilde{I}'}(f) = |\mathcal{H}(f)|^2 W_{\tilde{\alpha}\tilde{\alpha}'}(f) \quad (6.11)$$
Ici, $W_{\tilde{1}\tilde{1}}^t(f)$ et $W_{\tilde{\alpha}\tilde{\alpha}}^{t(f)}$ sont des densités spectrales de puissance (d.s.p.) et $|\mathcal{H}(f)|^2$ une densité spectrale énergétique. $\mathcal{H}(f)$ est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle $h(t)$ et est appelée fonction de transfert électrochimique déjà citée dans les chapitres précédents.

Des exemples de déterminations et vérifications expérimentales de fonction de transfert massique $H(f)$, qui est reliée à $\mathcal{H}(f)$, pour différentes géométries d'électrodes sont présentés dans les chapitres 2 et 3.

## 6.4. Réalisation d'une bi-sonde

La technique de réalisation des capteurs électrochimiques qu'on a utilisée consiste à faire un dépôt mince métallique d'or sur un substrat précédemment lithographié.

<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>Figure 6.2. : Photographie de la bi-sonde circulaire. (d = 0.3 mm).</figcaption></figure>
Cette technique présente des avantages considérables. Outre les petites dimensions pouvant être obtenues, elle permet de donner toute forme voulue à une microélectrode ou à une configuration de microélectrodes avec une excellente définition du contour. La photographie de la figure 6.2 montre la précision que donne cette technique.

### 6.4.1. Préparation des substrats

Le substrat utilisé est de l'arséniure de gallium (GaAs), de type monocristallin et d'orientation 100. Ce semi-conducteur a été rendu isolant par dopage avec des atomes de chrome, de résistivité d'environ $10^8$ Ω.cm. L'épaisseur de ce matériau est de 0,4 mm. La plaque de GaAs a été découpée à l'aide d'une scie circulaire diamantée en plaquettes, de surface voisine de 8 mm x 8 mm. Pour des raisons de sécurité, dues à l'extrême fragilité du composant, chaque morceau de GaAs a été moulé dans des pastilles cylindriques, de diamètre 3 cm, en résine phénolique fondant à 180°C (voir figure 6.3), à l'aide d'une enrobeuse Mécapress C. La pression de compression est 1,5 bar. L'épaisseur des pastilles est 2,70 ± 0,05 mm. L'ensemble formé par une plaquette de GaAs, incrusté dans une pastille de résine phénolique, constitue un "échantillon".

La face de l'échantillon comportant GaAs est polie soigneusement à la pâte diamantée de granulométrie 3 µm sur du feutre 432. Les échantillons sont ensuite abondamment rincés à l'eau et séchés à l'air chaud.

La phase de dégraissage, par utilisation de solvants organiques, est primordiale pour obtenir des dépôts homogènes et uniformes. Cette étape se fait par trempage des échantillons dans du trichloroéthylène, puis quelques instants dans un bac à ultra-sons contenant de l'éthanol avant un rinçage à l'éthanol. Entre chaque bain, ils sont séchés à l'air chaud. Un long rinçage à l'eau permutée, puis bidistillée, conclut cette phase. Pour éviter le dépôt
de poussière ou autres particules pouvant affecter par la suite les conditions de la reproduction photographique des configurations et du dépôt d'or, les échantillons sont conservés dans des boîtes hermétiques.

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>Figure 6.3. : Echantillon.</figcaption></figure>

### 6.4.2. Lithographie du substrat de GaAs

Les masques photographiques choisis pour ces réalisations sont des pellicules Kodak en polymère haute résolution SO 343, de très grand pouvoir de résolution (2000 traits/mm).
Le schéma de la microélectrode avec ses deux sorties électriques, composé à l'échelle 100 à partir de bandes autocollantes noires sur du plastic transparent, a été successivement réduit deux fois d'un facteur 10 jusqu'à l'échelle 1. Pour augmenter le contraste sur la pellicule, les motifs à réduire sont recouverts d'un filtre vert et posés sur une table lumineuse. La figure 6.4 schématise le procédé de réduction. Le temps d'exposition de la pellicule à la lumière dépend des dimensions du motif à reproduire : le contraste et la netteté optimaux ont été obtenus pour une durée de 3 minutes lors de la première réduction (passage des échelles 100 à 10) et de 1 minute lors de la seconde (passage des échelles 10 à 1). Entre ces deux étapes, les sorties de courant des sondes électrochimiques ont été rallongées et leurs extrémités grossies à l'aide d'un marqueur indélébile noir pour faciliter par la suite les connexions électriques. Les pellicules sont révélées dans un bain D19, utilisé pur, pendant 3 minutes et fixées avec un fixateur papier classique. Les négatifs sont ensuite séchés à l'air libre. Ils sont alors utilisables pour la reproduction des motifs des microsondes électrochimiques sur les substrats d'arséniure de gallium.

Pour cela, on a utilisé une résine "Photo Resist 747", de viscosité dynamique 115 centipoises, sensible aux ultraviolets. Elle est de type négatif, c'est-à-dire que les zones insolées sont insolubles lors de la révélation. C'est une résine bien adaptée aux besoins de la microélectronique. Le dépôt de résine sur les substrats et son insolation sont faits dans une salle blanche dépoussiérée où les ultraviolets sont filtrés dans les éclairages.

La solution de résine est déposée sur le substrat à enduire par la technique de centrifugation, qui donne les meilleurs résultats quant à l'uniformité de l'épaisseur de résine. L'appareil utilisé est une tournette EC101, l'échantillon est maintenu sur le support tournant par une pression d'aspiration de 16 pouces de mercure. Sa vitesse de rotation peut varier entre 0 et 10000 t/min pour une durée comprise entre 0 et 2 minutes. Afin d'obtenir une
couche d'épaisseur 0,8 µm, on a dilué la résine avec du "Micro-Resist Thinner" dans un rapport de 4 volumes de solution pour un

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>Figure 6.4. : Procédé de réduction.</figcaption></figure>
volume de diluant, puis centrifugé l'échantillon à 5000 t/min pendant 30 secondes. La viscosité dynamique de cette solution est alors de 62 centipoises.

L'échantillon enduit de résine est soumis à une pré-cuisson à 80°C pendant 20 minutes dans une étuve. Cette étape a pour but d'améliorer l'adhérence de la couche, d'augmenter la résistance de la résine à la distorsion et d'éliminer le solvant résiduel.

Il est ensuite exposé aux rayonnements ultraviolets. La source lumineuse est une lampe à vapeur de mercure sous haute pression. Le système d'exposition comporte en outre un dispositif d'ajustement du masque photographique par rapport à l'échantillon et un binoculaire. Le négatif photographique est placé entre une fine plaque de verre transparente d'épaisseur 1 mm, permettant d'assurer sa rigidité, et l'échantillon. La plaque de verre et l'échantillon sont maintenus sur leur support respectif par aspiration d'air et l'ensemble est mis en contact par pression de ces deux supports. La figure 6.5 illustre ce procédé.

On a préféré utiliser un masque de polymère plutôt qu'un masque de verre, parce que son contact avec le substrat est mieux assuré. L'exposition optimale aux U.V. est fonction de l'épaisseur de résine, des caractéristiques de l'image à reproduire et des conditions opératoires de l'équipement utilisé (puissance de la lampe à mercure). Dans notre cas, le temps d'exposition a été de 2s.

Le développement des échantillons insolés est fait dans une solution de "Micro Resist developer" pendant une minute et en agitant pour éviter le redépôt des morceaux de résine des zones révélées sur le substrat. Ils sont ensuite rincés quelques secondes dans du "Micro Resist Rinse". Le séchage est fait par de brefs et légers jets d'air sec.
<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>Figure 6.5. : Schéma du support de l'échantillon et du masque dans le système d'exposition aux U.V. .</figcaption></figure>
Afin de solidifier et d'augmenter l'adhérence de la résine sur le GaAs, les pastilles sont alors étuvées 20 minutes à 130°C. Une étape de dégraissage, due à l'utilisation de produits photographiques, est nécessaire. Il suffit alors d'un rinçage à l'eau permutée, puis à l'éthanol, suivi d'un passage de quelques minutes dans un bain à ultra-sons. Ensuite, les échantillons sont de nouveau rincés à l'éthanol, puis séchés à l'air chaud. Un dernier nettoyage consiste à les plonger dans un récipient d'eau permutée, puis d'eau bidistillée. Ils sont alors prêts pour recevoir le dépôt d'or sur les surfaces de GaAs non recouvertes de résine ("fenêtre").

### 6.4.3. Dorure des microélectrodes

Le dépôt d'or est fait selon la technique du dépôt autocatalytique, couramment appelée "électroless", qui consiste à déposer par voie chimique un métal sur une surface dite catalytique [6.3].

Le principe de la technique de dépôt autocatalytique consiste à déposer un métal à partir d'un bain contenant l'un de ses sels dissous ainsi qu'un agent réducteur. Au contact d'une surface catalytique, l'agent réducteur s'oxyde au profit de l'ion métallique selon les réactions :

$$ \underset{\text{réaction de oxydation}}{\text{Réd}} \underset{\text{agent réducteur}}{\Rightarrow} \underset{\text{surface catalytique}}{\Rightarrow} \underset{\substack{\text{forme oxydée de l'agent réducteur} \\ \downarrow}}{\text{Ox} + \text{ne}^{-}} \quad (1) $$

$$ \underset{\text{réaction de réduction}}{\text{M}^{n+}} + \text{ne}^{-} \Rightarrow \text{M} \quad (2) $$

$$ \underset{\text{réaction de globale}}{\text{Réd}} + \text{M}^{n+} \Rightarrow \text{Ox} + \text{M} \quad \downarrow $$
Une surface est dite catalytique lorsqu'elle offre des conditions cinétiques favorables pour l'oxydation de l'agent réducteur. Le métal se déposant étant lui-même catalytique pour la réaction (1), il est en principe possible d'obtenir des épaisseurs de dépôt non limitées, déterminées par le temps de réaction, avec une vitesse parfaitement contrôlée par le choix de la température et la composition du bain.

Tout bain de dépôt autocatalytique comprend au moins quatre constituants :

<table><tr><td>sel métallique</td><td>(ex. : KAu(CN)2)</td></tr><tr><td>agent réducteur</td><td>(ex. : KBH4)</td></tr><tr><td>agent complexant</td><td>(ex. : KCN)</td></tr><tr><td>agent fixant le pH</td><td>(ex. : KOH)</td></tr></table>

Le rôle de l'agent complexant est d'éviter la décomposition du bain par réduction et dépôt spontané du métal dans la masse de la solution.

Les dépôts d'or obtenus par cette technique montrent une excellente pureté [6.4].

### i) Activation de la surface

La surface de l'arséniure de gallium n'étant pas directement catalytique pour le dépôt électroless, il est nécessaire de l'activer au préalable. Cette étape est effectuée par un dépôt chimique par déplacement de palladium, grâce à une solution préconisée par Y. Okinaka [6.4]. Son rôle est double :

- Elle permet le dépôt de palladium sur substrat de GaAs à partir des ions $Pd^{2+}$ contenus dans la solution.
- Son caractère fortement acide permet un décapage in-situ de la surface du semi-conducteur, par dissolution de l'oxyde natif et l'élimination des résidus de résine dans les fenêtres.

Le dépôt de palladium est effectué à température ambiante, dans un bécher en téflon renfermant un volume de 200 ml de solution. Le bon déroulement de cette étape conditionnant fortement la qualité des métallisations ultérieures, il est impératif de s'entourer de toutes les précautions de propreté possibles de manière à éviter les contaminations éventuelles (organique, ...). A cet égard, la préparation initiale de la surface est également primordiale.

Pour l'obtention d'une couche homogène et parfaitement plane, la durée d'activation doit être supérieure à 10 minutes. Au-delà de 30 minutes, la croissance de la couche de palladium atteint un point stable et correspond à une épaisseur de 250 Å. Compte tenu de ces considérations, on a effectué un dépôt de palladium pendant 30 minutes. Un rinçage abondant à l'eau permutée, puis bidistillée, terminé par un séchage à l'air ambiant, conclut cette étape.

## ii) Dépôts autocatalytiques d'or

Une étude très détaillée de la réaction de dépôt d'or a été effectuée par Y. Okinaka [6.5]. Il a montré que l'espèce active pour la réduction de l'or n'est pas directement l'ion $BH_4^-$ mais la forme hydrolysée de cet ion : $BH_3OH^-$. Les demi-réactions d'oxydo-réduction (3) et (4) sont alors :

$$ \underset{\text{en solution}}{\text{BH}_4^- + \text{H}_2\text{O}} \Rightarrow \text{BH}_3\text{OH}^- + \text{H}_2 $$

oxydation :

$$ \underset{\text{catalytique-}}{\text{BH}_3\text{OH}^- + 3\text{OH}^-} \Rightarrow \underset{\text{surface}}{\text{BO}_2^- + \frac{3}{2}\text{H}_2 + 2\text{H}_2\text{O} + 3\text{e}^-} \quad (3) $$
réduction :

$$ \mathrm{Au(CN)_{2}^{-}} \rightarrow \underset{\downarrow}{\mathrm{Au}} + 2\mathrm{CN}^{-} \quad (4) $$

Et la réaction globale :

$$ \mathrm{BH_3OH}^{-} + 3\mathrm{Au(CN)_{2}^{-}} + 3\mathrm{OH}^{-} \rightarrow \underset{\downarrow}{\mathrm{BO_2}^{-}} + \frac{3}{2}\mathrm{H_2} + 2\mathrm{H_2O} + 3\mathrm{Au} + 6\mathrm{CN}^{-} $$

La cinétique du dépôt dépend de nombreux paramètres :

- la concentration des réactifs,

- la température : la réaction ne démarre que vers 50°C et une variation de 10°C provoque une modification d'un facteur 2 de la vitesse de dépôt. J'ai utilisé en pratique une température de 70°C. Au-delà de 85°C, le bain se décompose par précipitation spontanée de l'or.

- la vitesse d'agitation,

- la nature de la surface : la vitesse de croissance du dépôt d'or (autocatalytique) sur un substrat "Pd/GaAs" est beaucoup plus lente jusqu'à une certaine épaisseur d'or déposée (quelques µm) que lorsqu'on dépose de l'or sur un substrat d'or.

Pour les dépôts électroless, Y. Okinaka[6.6], ainsi que D. Lamouche[6.3], ont fixé leurs substrats sur un support "carrousel" en téflon immergé dans le bain de dépôt thermorégulé. Afin d'obtenir des dépôts homogènes, le support est animé d'un mouvement rotatif avec changement de sens de rotation toutes les dix secondes. Ce dispositif expérimental étant assez complexe et nécessitant l'utilisation d'un grand volume de solution, par ailleurs coûteux, on s'est limité à immerger les échantillons activés au palladium dans un bécher de polypropylène, contenant 50 ml de solution, chauffé au bain-marie, et dont la température est régulièrement contrôlée à l'aide d'un thermomètre à mercure. Le temps de dépôt est de l'ordre de 10 minutes, donnant ainsi des épaisseurs d'or voisines de 1000 Å. Les précautions soulignées pour
l'étape d'activation sont également de rigueur ici : la présence incontrôlée d'une pollution organique peut, en effet, provoquer des dépôts non adhérents et pulvérulents [6.6].

A la fin de la dorure, les échantillons sont soigneusement rincés à l'eau permutée. Bien qu'étant très artisanal, ce dispositif expérimental servant à réaliser des dépôts d'or a donné d'excellents résultats.

### 6.4.4. Montage des microélectrodes sur le couvercle

L'isolation des contacts électriques des microsondes a été assurée en réemployant la technique du masquage photographique décrite dans le paragraphe 6.4.2. Les sorties de courant sont alors isolées du liquide électrolytique par une couche de résine photosensible 747 d'épaisseur 1,5 µm et seules sont actives les zones correspondantes aux capteurs. Cette laque est un excellent choix, car elle présente une très bonne tenue dans le temps. Son principal inconvénient est sa fragilité aux chocs mécaniques, et les échantillons doivent donc être placés dans un lieu protégé en dehors des périodes d'utilisation. Un rinçage à l'éthanol et à l'eau permutée termine cette étape.

Les sorties de courant sont ensuite prolongées vers l'aval des sondes avec de la peinture d'argent jusqu'à la face arrière des pastilles de résine phénolique où elles sont reliées aux différentes broches d'un connecteur collé sur cette même face. Les connections en argent sont isolées par coulage d'une fine couche de résine photosensible 747. Les échantillons sont ensuite placés dans l'étuve à 80°C pendant 10 minutes, puis un quart d'heure à 130°C pour solidifier la laque. Ils peuvent alors être collés (super-glue, araldite rapide) dans l'espace prévu du couvercle démontable du canal rectangulaire: des fils électriques sont soudés à chaque broche. Le nettoyage des sondes doit être fait délicatement à l'aide de coton largement imbibé d'eau permutée.
## 6.5. Mise en oeuvre expérimentale

Les expériences sont effectuées sur un banc hydraulique, installé au laboratoire et adapté pour faire des mesures électrochimique. Le schéma de l'installation est représenté sur la figure 6.6.

### 6.5.1. Canal d'écoulement

Nous avons choisi pour les expériences un canal rectangulaire lisse qui assure les conditions d'un écoulement turbulent bidimensionnel bien établi. La conduite en plexiglas transparent a pour longueur 2,85 m, pour largeur 12 cm, et pour profondeur 1,2 cm. Le rapport d'aspect géométrique (largeur du canal / hauteur du canal) est égal à 10. Ce canal est situé entre deux réservoirs en acier inoxydable, d'une contenance de 1721 chacun. Toutes les conduites auxiliaires du circuit d'écoulement sont fabriquées en plastique ou en acier inoxydable, matériaux qui restent inertes en présence des solutions électrolytiques utilisées. Les vannes et les joints sont à base de matières plastiques. L'ensemble du circuit d'écoulement est monté sur un bâti de fonte très stable. L'horizontalité du canal peut être réglée par différentes vis placées à la base du montage.

Le canal est constitué par une succession de cinq éléments rectangulaires vissés entre eux. Le défaut d'alignement des différentes sections est de l'ordre de 1 mm sur une longueur de 2,85 m. A la droite du canal, entre la citerne amont et la série d'éléments précédent, se trouve un élément de plexiglas dont la géométrie permet au fluide de passer progressivement de la section circulaire de la sortie du réservoir à la canalisation rectangulaire. Il est suffisamment long (40 cm) pour éviter de créer des perturbations dans l'écoulement. Entre cet élément d'adaptation des
<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>Figure 6.6. : Schéma du dispositif d'écoulement.</figcaption></figure>

sections et la citerne, des conduites circulaires en acier inoxydable dont la longueur est réglable par un système de vis et de soufflets permettent les montages et démontages du canal. De même, dans la partie aval du système d'écoulement, se retrouvent les mêmes éléments (la pièce assurant la transition entre les deux types de section étant toutefois plus courte).

La circulation du fluide à travers la conduite est obtenue en imposant une pression d'air dans un des réservoirs, l'autre restant ouvert à la pression atmosphérique. En fin de chaque passage, les citernes sont automatiquement ouvertes quelques instants à la pression atmosphérique pour permettre l'évacuation de l'air. Le dispositif expérimental est équipé d'un système de
vannes électropneumatiques commandées à partir d'un pupitre. Les procédures de mise en marche et d'arrêt assurant une protection maximale contre les fausses manoeuvres, les coups de bélier, les coupures accidentelles du réseau. La cellule électrochimique, en plexiglas, s'adapte à la conduite et est située à 2 m à l'aval du réservoir de droite de façon à y assurer les conditions d'un écoulement bien établi. Les mesures sont donc effectuées pour un seul sens de l'écoulement, de la droite vers la gauche, le fluide étant ramené dans la citerne amont après chaque passage dans le canal. La pression d'air du réservoir amont, variant entre 0 et 5 bars, est contrôlée par un système d'asservissement pneumatique Micropak permettant de fixer la valeur du débit avec une précision de ± 0,5 %. Un système de mesure du niveau du liquide a été installé dans la citerne amont. Ce niveau est déduit à partir du temps aller-retour dans le fluide d'un signal ultrasonore entre deux capteurs piézoélectriques en quartz placés au fond du réservoir. De la mesure du niveau en fonction du temps, on déduit le débit.

### 6.5.2. Chaîne de mesure : acquisition et traitement du signal

L'étude des fluctuations du courant électrique sur les microélectrodes plongées dans une solution électrolytique est effectuée en deux étapes : la première consiste à enregistrer les signaux à l'aide d'un magnétophone, la seconde à les analyser à partir d'un Analyseur de Fourier.

#### i) Acquisition du signal

Le flux de matière est mesuré à partir d'une réaction redox :

$$Ox + ne^- \leftrightarrow Réd$$

se produisant sur une électrode de mesure affleurant le plan de la paroi du canal d'écoulement. La tension appliquée à l'électrode de
atteint le courant limite de diffusion. La contre-électrode est reliée à la masse, constituée par une partie métallique du circuit aval d'écoulement. Les notions d'électrochimie ont été détaillées dans le chapitre 1.

La réaction redox utilisée est la réaction de réduction de la benzoquinone $C_6H_4O_2$ en hydroquinone $C_6H_4(OH)_2$ qui s'écrit :

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

Comme on peut le voir dans cette équation, la réaction se passe en milieu acide. On a utilisé une solution de benzoquinone ($10^{-2}M$) dans un électrolyte support composé d'acide sulfurique ($10^{-1}M$).

Cette solution a été choisie parce qu'elle est inerte aussi bien pour l'équipement que pour les dépôts d'or des microélectrodes. Il est tout de même nécessaire de laisser les sondes d'or polarisées en permanence au potentiel du courant limite de diffusion, sinon elles finissent par se corroder et se détruisent. Les dépôts sont particulièrement fragiles au potentiel de dégagement d'hydrogène.

Le courant électrique à la cathode est déterminé à partir de la mesure de la différence de potentiel aux bornes d'une résistance de précision, $R = 10 \text{ kΩ}$, montée avec un amplificateur opérationnel. Ce montage s'utilise en "convertisseur courant-tension" et a été proposé par Mitchell et Hanratty [6.7]. Il permet de passer des fluctuations de courants aux fluctuations de tensions. Le
schéma de la figure 6.7 illustre ce montage. Ce système de mesure a été utilisé de préférence au montage potentiostatique, car, dans ce dernier, s'agissant des composantes fluctuantes des courants, le niveau de bruit parasite engendré par l'ensemble de la régulation est supérieur au signal mesuré, particulièrement le bruit dû aux 50 Hz du secteur. Le bruit apporté par le montage "convertisseur courant-tension" est essentiellement du bruit haute fréquence (fréquences supérieures à 500 Hz dans notre domaine de débit d'écoulement).

Chaque sortie de "convertisseur" est envoyée dans un amplificateur à entrées différentielles permettant d'annuler la tension continue de polarisation de la cathode et de ne garder que les valeurs fluctuantes des tensions. Le gain G maximal des amplificateurs est $10^3$. Ces tensions amplifiées sont enregistrées sous forme numérique sur un magnétophone D.A.T. à 2 voies.

Cette chaîne d'acquisition des signaux est représentée sur la figure 6.8.

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>Figure 6.7. : Principe du montage "convertisseur courant-tension".</figcaption></figure>
<figure><img src="image_56.png" /></figure>

Figure 6.8. : Schéma de la chaîne d'acquisition des courants mesurés sur les sondes.

## ii) Traitement du signal

Les signaux enregistrés sur la bande magnétique sous forme numérique sont reconvertis en analogique, puis filtrés avant d'être transmis à l'analyseur de spectre à transformée de Fourier rapide (F.F.T. : Fast Fourier Transform). L'analyseur est un Hewlett Packard 5451C, qui permet de calculer l'interspectre de deux signaux issus de deux voies de mesure, ainsi que l'autospectre de chaque signal. Quatre voies d'acquisition sont disponibles sur l'analyseur. La figure 6.9 schématise la chaîne de traitement des signaux.
<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>Figure 6.9 : Schéma de la chaîne de traitement des courants fluctuants de diffusion..</figcaption></figure>

Les fluctuations $\tilde{I}(t)$ du courant limite de diffusion ont été converties en tension (résistance du "convertisseur courant-tension" : R = 10 kΩ) et amplifiées avec un gain G (voir paragraphe précédent). La d.s.p. $W_{\tilde{I}i}(f)$ des fluctuations de courant est alors liée à la d.s.p. $W_{\tilde{u}u}(f)$ du signal mesuré $\tilde{u}(t) = R \tilde{I}(t)$ par :

$$W_{\tilde{I}i}(f) = \frac{W_{\tilde{u}u}(f)}{R^2 G^2} \qquad (6.12)$$

Les signaux sont échantillonnés par le convertisseur analogique-numérique de l'analyseur de Fourier à une fréquence $f_c = 1/\Delta t$ (0,2 mHz à 100 KHz). Les échantillons sont placés dans des blocs mémoires de taille M (64 à 4096), la durée d'acquisition d'un bloc est donc : $T = M\Delta t$. La conversion s'effectuant en mots de 12 bits (dont 1 pour le signe), la dynamique d'entrée du convertisseur a pour valeur : $20 \log 2^{11} = 66$ dB.
Après divers tests et détermination de paramètres de mesure, un programme implanté dans l'analyseur calcule la quantité suivante :

$$I'(m\Delta f) = \frac{1}{M} \sum_{n=0}^{M-1} \tilde{I}(n\Delta t)e^{-2\pi j m \Delta f \cdot n \Delta t} \quad (6.13)$$

dérivée de la transformée de Fourier discrète $I(m\Delta f)$ du signal analysé :

$$I(m\Delta f) = \Delta t \sum_{n=0}^{M-1} \tilde{I}(n\Delta t)e^{-2\pi j m \Delta f \cdot n \Delta t} \quad (6.14)$$

$\Delta f$ et $\Delta t$ sont les résolutions en fréquence et en temps.

Le théorème de Shannon [6.2], traduisant le fait que la détermination complète d'une sinusoïde ne nécessite que la connaissance de deux points dans une période, montre que les fréquence $f = m\Delta f$ analysées seront majorées par la fréquence maximum $F_{max}$, pour laquelle correspond la période $1/F_{max}$ minimale où l'on dispose de deux points de mesure (soit $2\Delta t$) :

$$f \le F_{max} = \frac{1}{2\Delta t} = \frac{f_e}{2} \quad (6.15)$$

La connaissance de M points dans le domaine temporel permet de calculer $\frac{M}{2}$ points dans le domaine fréquence, puisque la détermination d'un point $I'(m\Delta f)$ nécessite le calcul de sa partie réelle et de sa partie imaginaire. La résolution en fréquence $\Delta f$ se calcule alors :

$$\Delta f = \frac{F_{max}}{M/2} = \frac{f_e}{M} = \frac{1}{M\Delta t} = \frac{1}{T} \quad (6.16)$$
En remarquant que $\Delta f \Delta t = \frac{1}{M}$, la relation 6.13 devient :

$$I'(m\Delta f) = \frac{1}{M} \sum_{n=0}^{M-1} \tilde{I}(n\Delta t)e^{-2\pi j n m / M} \quad (6.17)$$

La multiplication de la "transformée de Fourier" $I'(m\Delta f)$ par sa conjuguée $I^*(m\Delta f)$ donne un spectre élémentaire : $I'(m\Delta f) \cdot I^*(m\Delta f)$. Cette séquence d'opérations est effectuée N fois par l'analyseur et les spectres élémentaires sont moyennés afin de donner, après mise à l'échelle (multiplication par T), une estimation $W'_{ii}(m\Delta f)$ de la densité spectrale de puissance numérique $W_{ii}(m\Delta f)$ définie comme la valeur moyenne d'un spectre élémentaire :

$$W'_{ii}(m\Delta f) = \langle T I'(m\Delta f) \cdot I^*(m\Delta f) \rangle = T \left| \sum_{n=0}^{M-1} \tilde{I}(n\Delta t) e^{-2\pi j n m / M} \right|^2$$

$$W'_{ii}(m\Delta f) = \frac{T}{N} \sum_{i=1}^{N} I_i(m\Delta f) \cdot I_{i-1}^*(m\Delta f) \quad (6.18)$$

Les filtres passe-bas précédant l'analyseur sont destinés à limiter le signal utile à la bande de fréquences effectivement analysées, définies par le théorème de Shannon ($f \le F_{max}$), et ainsi à éliminer le phénomène de repliement du spectre ; l'atténuation des filtres au-delà de leur fréquence de coupure $f_c$ étant élevée (48 dB/octave). Nous prendrons $f_c = 0,8 F_{max}$.

La durée de la mesure d'une d.s.p. moyennée N fois, et comprenant $M/2$ fréquences dans la gamme (0, $F_{max}$) avec la résolution $\Delta f = 1/T$ se limite principalement à la durée d'acquisition des signaux par l'analyseur égale à :

$$t_a = NT = \frac{NM}{2F_{max}} \quad (6.19)$$

les calculs de transformée de Fourier et de moyennage étant très rapides sur cet analyseur de spectre.
L'erreur d'estimation sur les d.s.p., due au temps fini NT de la mesure, est principalement liée au nombre de moyennes N effectuée :

$$ \xi = \frac{\Delta W'_{\tilde{i}}}{W_{\tilde{i}}} = \frac{1}{\sqrt{N}} \qquad (6.20) $$

Les temps d'enregistrement des signaux sur la bande magnétique varient de 30 à 90 s (compte tenu de la contenance des citernes, du débit d'écoulement, des réglages d'appareils). Du fait de la nécessité de réglages sur l'analyseur de traitement des données enregistrées, seule une partie du signal enregistré peut être exploitée. Cependant, ces temps sont largement suffisants pour une bonne précision dans les calculs des d.s.p. de courants.

Les d.s.p. des gradients de vitesse sont obtenues par la division de la d.s.p. des courants par le carré du module des fonctions de transfert données dans le chapitre 2.

## 6.6. Résultats expérimentaux et discussion

L'étude des corrélations temporelles doit être effectuée dans des conditions d'homogénéité, c'est-à-dire que $\tilde{\alpha}$ et $\tilde{\beta}$ de l'équation 2.4 soient indépendants de x et de z (voir chapitre 2). Le non respect de cette condition entraîne nécessairement une atténuation relative du signal fluctuant à toute fréquence par rapport à une sonde électrochimique ponctuelle idéale.

Ainsi que S. Robin l'a montré dans sa thèse[6.8], une microélectrode remplit ces conditions si sa dimension réduite $L^+$ dans la direction z est inférieure à 20 ($L^+ = L \cdot V_o/v$, où $V_o$ est la vitesse de frottement). Nous avons choisi une dimension de microélectrode de 300 µ de diamètre, ce qui constitue un bon compromis entre les conditions d'homogénéité indiquées ci-dessus et une surface d'électrode suffisante pour avoir un signal exploitable.
Pour ce diamètre de la sonde on a $L^+ \approx 40$ pour $Re = 30000$. On peut voir sur la figure 6.10 que pour cette valeur de $L^+$ l'atténuation de l'intensité de turbulence mesurée est faible. Il faut encore remarquer que les longueurs de corrélations dans la direction x sont beaucoup plus grandes que dans la direction z. Cela veut dire que si une sonde circulaire remplit les conditions d'homogénéité dans la direction z, elle remplira largement ces conditions dans la direction x.

<figure><img src="image_58.png" /></figure>

Figure 6.10: Tracé de l'intensité relative de turbulence en fonction de la longueur sans dimension $L^+$ des microélectrodes. La correction sur la non-homogénéité de l'écoulement est donnée par Uberoi et Kovasznay [6.9] avec une longueur de corrélation transverse adimensionnelle de 35 et une intensité relative de turbulence de 0,3 (courbe en trait plein). D'après [6.8].
### 6.6.1. Les corrélations temporelles dans la direction de l'écoulement et dans la direction transverse

Nous avons mené une série de mesures avec la biélectrode circulaire pour différents nombres de Reynolds (7000 < Re < 29000) qui correspondent à un régime turbulent. En enregistrant les courants simultanément sur les deux demi-sondes nous avons pu en les combinant analyser les réponses $\tilde{I}_1 + \tilde{I}_2$ et $\tilde{I}_1 - \tilde{I}_2$, correspondant respectivement aux effets des fluctuations de vitesse dans les directions x et z.

La figure 6.11 représente pour les différents nombres de Reynolds d'une part les d.s.p. des fluctuations de la somme des courants limites de diffusion $W_{\tilde{I}_1+\tilde{I}_2}$ et d'autre part les d.s.p. des fluctuations de la différence de ces courants $W_{\tilde{I}_1-\tilde{I}_2}$. A titre d'exemple, la figure 6.12 représente la d.s.p. de fluctuations du gradient pariétal transverse de vitesse $W_{\tilde{\beta}\tilde{\beta}}(f)$, déduite de $W_{\tilde{I}_1-\tilde{I}_2}$ par l'utilisation de la relation :

$$W_{\tilde{\beta}\tilde{\beta}}(f) = \frac{W_{\tilde{I}_1-\tilde{I}_2}(f)}{|H_z(f)|^2} \quad (6.21)$$

Les analyses des d.s.p. sont limitées à 800 Hz qui est la fréquence de coupure du filtre passe-bas à 48 dB utilisé. L'erreur d'estimation sur les spectres, due au temps fini de mesure, est d'environ 20 % (cf. paragraphe 6.5.2). On vérifie que la fréquence de coupure hydrodynamique est inférieure à celle du transport de matière. La limitation due au bruit de fond apparaît sur la courbe $W_{\tilde{\beta}\tilde{\beta}}$ par une augmentation en fonction de la fréquence.
<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>Figure 6.11: d.s.p. des fluctuations de la somme des courants limites de diffusion et d.s.p. des fluctuations de la différence de ces courants.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>Figure 6.12: d.s.p. des fluctuations du gradient pariétal transverse de vitesse déduite de la d.s.p. des fluctuations de la différence des courants limites de diffusion par la relation 6.21. La comparaison des deux d.s.p. montre que la fréquence de coupure hydrodynamique est inférieure à celle du transport de matière.</figcaption></figure>
Les d.s.p. $W_{\tilde{\alpha}\tilde{\alpha}}$ et $W_{\tilde{\beta}\tilde{\beta}}$ déduites des courbes de la figure 6.11 par les expressions 6.21 et 6.22

$$ W_{\tilde{\alpha}\tilde{\alpha}}(f) = \frac{W_{\tilde{i}_1+\tilde{i}_2}(f)}{|\mathcal{H}_z(f)|^2} \qquad (6.22) $$

sont représentées sur la figure 6.13. On peut vérifier que l'écart entre les paliers basse-fréquence de $W_{\tilde{\alpha}\tilde{\alpha}}$ et $W_{\tilde{\beta}\tilde{\beta}}$ est plus petit que celui entre les paliers de $W_{\tilde{i}_1+\tilde{i}_2}$ et $W_{\tilde{i}_1-\tilde{i}_2}$. En effet, en très basse fréquence :

$$ \frac{W_{\tilde{i}_1+\tilde{i}_2}}{W_{\tilde{i}_1-\tilde{i}_2}} = \frac{|\mathcal{H}_z(0)|^2}{|\mathcal{H}_z(0)|^2} \frac{W_{\tilde{\alpha}\tilde{\alpha}}}{W_{\tilde{\beta}\tilde{\beta}}} = \frac{W_{\tilde{\alpha}\tilde{\alpha}}}{W_{\tilde{\beta}\tilde{\beta}}} \frac{|H_x(0)|^2}{|H_z(0)|^2} \quad (6.23) $$

et d'après les formules 2.53 et 2.71 :

$$ \frac{|H_x(0)|^2}{|H_z(0)|^2} = 1,966. \qquad (6.24) $$

### 6.6.2. Influence du nombre de Reynolds

Pour les nombres de Reynolds les plus élevés (19000 et 29000), la pente des spectres au-delà de la fréquence de coupure est de l'ordre de - 1,65, valeur qui tombe en bon accord avec celle donnée par la seconde hypothèse de la théorie de Kolmogorov de la turbulence isotrope (voir Annexe 1) sur l'existence d'un sous-domaine inertiel, au voisinage de la paroi, dans lequel les spectres ont une pente 1,67. Ce résultat est en bon accord aussi avec les résultats donnés par S. Robin dans sa thèse [6.8].

Pour les nombres de Reynolds plus faibles (7800 et 11400) les d.s.p. peuvent être décrites suivant deux domaines : l'un au-delà de la fréquence de coupure et de pente - 1,65, suivi d'un second domaine de pente plus accentuée. La fréquence de coupure
<figure><img src="image_61.png" /></figure>

<figure><img src="image_62.png" /></figure>

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>Figure 6.13: d.s.p. des fluctuations du gradient pariétal longitudinal de vitesse et d.s.p. des fluctuations du gradient pariétal transverse de vitesse.</figcaption></figure>
$f_k$ entre les deux domaines peut être liée à la microéchelle de Kolmogorov, $l_k$. Ainsi, le domaine de dissipation n'apparaît sur ces spectres que pour les nombres de Reynolds faibles, compte tenu de la fréquence finie de mesure imposée par le système expérimental.

Puisque la vitesse débitante $U$ dans le canal est beaucoup plus grande que les fluctuations de vitesse $\tilde{v}_x$ et $\tilde{v}_z$, on peut supposer que les perturbations sont transportées avec la vitesse $U$ sans distorsion selon l'hypothèse de Taylor [6.10]. Le nombre d'onde $k$ est alors relié à la fréquence $f$ par :

$$k = \frac{2\pi f}{U} \qquad (6.25)$$

En utilisant cette relation, on donne sur la figure 6.14 la d.s.p. $W_{\tilde{\alpha}\tilde{\alpha}}(k)$. Sur cette figure, il apparaît que le nombre d'onde de coupure $k_c$ est indépendant de Re :

$$k_c = 1,4 \pm 0,3 \text{ cm}^{-1}$$

Sur la figure 6.15 on présente la d.s.p. $W_{\tilde{\beta}\tilde{\beta}}(k)$. Si bien que de façon moins précise que pour $W_{\tilde{\alpha}\tilde{\alpha}}(k)$ -le niveau des signaux est plus faible- on peut toujours vérifier que le nombre d'onde de coupure $k'$c est indépendant de Re :

$$k'_{c} = 2,4 \pm 0,8 \text{ cm}^{-1}$$

Ces valeurs de $k_c$ et $k'_c$ correspondent respectivement à des longueurs d'onde de 0,7 et 0,4 cm, qui sont de l'ordre de grandeur de la moitié de la hauteur du canal (0,6cm).

Les nombres d'onde de coupure $k_k$ et $k'_k$ -qui correspondent au domaine de dissipation- obtenus à partir de ces deux figures sont :

$$k_k = 20 \pm 2 \text{ cm}^{-1} \qquad \text{et}$$

$$k'_k = 18 \pm 4 \text{ cm}^{-1}$$
<figure><img src="image_65.png" /></figure>

Figure 6.14: d.s.p. des fluctuations du gradient pariétal longitudinal de vitesse en fonction du nombre d'onde pour différents nombres de Reynolds.
<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>Figure 6.15: d.s.p. des fluctuations du gradient pariétal transverse de vitesse en fonction du nombre d'onde pour différents nombres de Reynolds.</figcaption></figure>
Ces valeurs pratiquement identiques sont en accord avec l'interprétation donnée à la fréquence de coupure $f_k$ (voir annexe 1). La valeur de la longueur $l_k$ de l'échelle de Kolmogorov correspondante est de 500 µm.

### 6.6.3. L'interspectre entre la somme et la différence de courant

Sur la figure 6.16 on présente la fonction de cohérence $\Gamma_{\alpha\beta}$ entre les fluctuations de gradients de vitesse $\tilde{\alpha}$ et $\tilde{\beta}$ qui est définie par l'expression :

$$ \Gamma_{\alpha\beta}(f) = \frac{|\alpha\beta*|^2}{\alpha\alpha*.\beta\beta*} $$

où "*" indique la quantité complexe conjuguée.

Cette fonction de cohérence $\Gamma_{\alpha\beta}$ a été obtenue à partir de l'interspectre des signaux $\tilde{I}_1+\tilde{I}_2$ et $\tilde{I}_1-\tilde{I}_2$, car on peut facilement montrer que :

$$ \Gamma_{\alpha\beta} = \Gamma_{\tilde{I}_1+\tilde{I}_2, \tilde{I}_1-\tilde{I}_2} $$

est une fonction bornée entre 0 et 1, cette dernière valeur correspondant à des signaux totalement corrélés.

Comme on peut le voir dans la figure 6.16, on trouve pour $\Gamma_{\alpha\beta}$ une valeur inférieure à $10^{-1}$, quelle que soit la fréquence, ce qui correspond à deux signaux complètement décorrélés.

Physiquement, cela veut dire qu'il n'y a pas de relation entre $\alpha(t)$ et $\beta(t)$. Or, à partir de l'équation de continuité on s'attend à une relation entre les fluctuations des gradients dans les directions x, y et z.
Comme il n'y a pas de relations entre les vitesses instantanées dans les directions x et z, il doit forcément y avoir une relation entre les composantes x et z et la composante y. Cette dernière n'est pas accessible à la sonde électrochimique élaborée dans ce travail.

<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>Figure 6.16: Fonction de cohérence $\Gamma_{\alpha\beta}$ entre les fluctuations de gradients de vitesse $\tilde{\alpha}$ et $\tilde{\beta}$</figcaption></figure>
# ANNEXE 1

## ECHELLES CARACTERISTIQUES D'UN ECOULEMENT TURBULENT

Dans les fluides en écoulement turbulent [6.11], les carrés des trois composantes fluctuantes de vitesse tendent très fortement à s'égaliser : $\overline{\tilde{v}_x^2} = \overline{\tilde{v}_y^2} = \overline{\tilde{v}_z^2}$ . C'est la turbulence isotrope. L'énergie cinétique par unité de masse est, en général, $\frac{1}{2} [ \overline{\tilde{v}_x^2} + \overline{\tilde{v}_y^2} + \overline{\tilde{v}_z^2} ]$, et pour la turbulence isotrope se réduit à : $\frac{3}{2} (\overline{\tilde{v}_x^2})$.

Dans un état turbulent statistiquement stationnaire, les plus gros tourbillons vont produire des tourbillons plus petits, et ainsi de suite. Au cours de ces transformations successives, l'énergie est transférée par interaction inertielle. Le schéma du spectre tridimensionnel W(k) des énergies des tourbillons de différentes tailles est représenté sur la figure 1 en fonction du nombre d'onde k [6.10].

Les plus gros tourbillons contiennent 20 % de l'énergie cinétique totale de la turbulence. Les tourbillons de taille intermédiaire apportent la principale contribution à l'énergie cinétique. Ils sont appelés "tourbillons porteurs d'énergie" et leur taille caractéristique est $l_e$, correspondant au maximum du spectre d'énergie. L'énergie des grands tourbillons est alimentée de façon stationnaire (interaction avec l'écoulement).

Pour $k > k_e$, l'énergie dissipée par effets visqueux augmente quand la taille des tourbillons diminue. Dans ce domaine, les plus grands tourbillons produisent des tourbillons de plus en plus petits. Les tourbillons sont continuellement réactivés par transfert de quantités de mouvement (transfert inertiel) à partir des plus grands tourbillons du domaine. En même temps, les effets
<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>Figure 1 : Forme du spectre tridimensionnel $W(k)$.</figcaption></figure>

visqueux, et par la suite la dissipation, deviennent de plus en plus importants pour les plus petits tourbillons. Même en écoulement anisotrope turbulent, ces plus petits tourbillons se comportent souvent comme isotropes, pendant la nature directionnelle des grands tourbillons à partir desquels ils sont formés.

Au-delà de $k_K$, la viscosité moléculaire commence à jouer un rôle appréciable. C'est le domaine visqueux-convectif, dans lequel les tourbillons sont détruits parce que leur énergie est plus petite que l'énergie associée aux forces visqueuses.

Dans le domaine $k \gg k_c$, la somme d'énergie transférée est grande devant le taux d'échange d'énergie entre les tourbillons, aussi peuvent-ils être considérés comme étant statistiquement en
équilibre. C'est le domaine d'équilibre universel des petites
structures. Le caractère de la turbulence dans ce domaine est
indépendant des conditions extérieures et ne dépend que du taux
d'énergie dissipée par unité de masse ε et de la viscosité
cinématique v "outil de la dissipation". ε est donnée par la relation :

$$
\epsilon = 2\nu \int_{0}^{\infty} k^{2}W(k)dk
$$

L'échelle des tourbillons en-dessous de laquelle l'effet
visqueux devient très fort peut être construite par analyse
dimensionnelle, donnant ainsi la micro-échelle de Kolmogorov, de
longueur l<sub>K</sub> :

$$
l_K = (v^3 / \epsilon)^{1/4}
$$

Le nombre d'onde k<sub>K</sub> correspondant est alors tel que :

$$
k_K = 1/l_K
$$

Cependant, kK ne correspond pas au maximum de l'énergie dissipée k²W(k). Il est atteint pour k.lK ≥ 0,1 [6.12].

Entre les échelles extrêmes de diffusion (où se situe
l'apport d'énergie à la turbulence) et de dissipation (où se situe le
puits d'énergie), c'est-à-dire pour ke << k << kK (sous domaine
inertiel), il y a un transfert s'effectuant sous forme de "cascade",
c'est-à-dire par interactions principalement locales de tourbillons
de taille équivalente, cette interaction étant peu affectée par la
viscosité mais conduisant à la création de tourbillons plus petits
susceptibles de mieux dissiper. Une image un peu sommaire mais
suggestive représente ce transfert comme un escalier descendant
(l'altitude des marches représentant la taille des tourbillons), la
production étant représentée comme une pluie en haut de l'escalier,
et la dissipation par des trous dans les marches les plus basses
(figure 2).

Si le nombre de Reynolds est infiniment grand, selon la
seconde hypothèse de la théorie de Kolmogorov sur la turbulence
isotrope [6.10], l'effet de v disparaîtra. La turbulence sera
déterminée par $\epsilon$ et k. L'énergie par unité de masse et par unité de nombre d'onde dans le sous-domaine inertiel, dit de Kolmogorov, est donnée par analyse dimensionnelle :

$$W(k) = A \epsilon^{2/3} k^{-5/3}$$

où A est une constante numérique ($A \approx 1,5$).

En divisant cette relation précédente par la quantité $(\epsilon v^5)^{1/4}$, on obtient alors une équation sans dimension $\phi(l_K k)$ dans ce domaine :

$$\phi(l_K k) = \frac{W(k)}{(\epsilon v^5)^{1/4}} = A(l_K k)^{-5/3}$$

$\phi(l_K k)$ est une fonction universelle correspondant à la fonction spectrale tri-dimensionnelle de vitesse $W(k)$.

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>Figure 2 : Représentation du transfert d'énergie dans le sous-domaine inertiel.</figcaption></figure>
LISTE DE SYMBOLES

- valeur moyennée dans le temps

Re partie reel

~ quantité complexe

Minuscules latines

b largeur du canal (cm)

c concentration (mole/cm³)

f fréquence (s⁻¹)

fc fréquence de coupure des filtres (s⁻¹)

h hauteur du canal (cm)

h(t) réponse impulsionnelle du système

k nombre d'onde

kc nombre d'onde de coupure

ke nombre d'onde caractéristique des tourbillons porteurs d'énergie

kK nombre d'onde associé à la micro-échelle de Kolmogorov

le échelle caractéristique des tourbillons porteurs d'énergie

lK micro-échelle de Kolmogorov.

t temps (s)

ta temps d'acquisition du signal (s)

v vitesse (cm.s⁻¹)

vx,vy,vz composantes de la vitesse selon x, y et z (cm.s⁻¹)

x, z et y coordonnées dans les direction longitudinale, transverse et normale (cm)

Majuscules latines

Cab fonction de corrélation entre les signaux a et b

D coefficient de diffusion (cm²·s⁻¹)

DT coefficient de diffusion turbulent (cm²·s⁻¹)
$F_{max}$ fréquence maximale (s⁻¹)

$\mathcal{H}(f)$ Fonction de transfert électrochimique (C)

I courant (A)

L⁺ longueur adimensionnelle (L⁺ = L.V₀/v)

M taille du bloc mémoire

Q débit volumique (cm³·s⁻¹)

Re nombre de Reynolds

T temps de mesure du courant pour la corrélation (s)

TF transformée de Fourier

U vitesse débitante (cm·s⁻¹)

$W_{i1i2}(mΔf)$ d.s.p. numériques estimées (A²/Hz)

W(K) Fonction spectrale tri-dimensionnelle de vitesse

$W_{αα}$ densité spectrale de puissance des fluctuations du gradient de vitesse (s⁻¹)

$W_{ii}$ densité spectrale de puissance des fluctuations du courant de diffusion (A²/Hz)

### Symboles grecques

α gradient de vitesse dans la direction x (s⁻¹)

β gradient de vitesse dans la direction z (s⁻¹)

γ gradient de vitesse dans la direction y (s⁻¹)

δ_D épaisseur de la couche de diffusion (cm)

δ_v épaisseur de la sous-couche visqueuse (cm)

ε taux d'énergie dissipé par unité de masse ( )

ν viscosité cinématique (cm²·s⁻¹)

ξ erreur d'estimation

τ intervalle de temps (s)

φ(lKK) fonction universelle tridimensionnelle

Δf résolution en fréquence

Γ_αβ fonction de cohérence entre α et β
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

[6.1] Bird R. B., Stewart W.E. et Lightfoot E. N. - "Transport Phenomena" - John Wiley and sons, Inc., New York (1960).

[6.2] Max J. et Coll. - "Methodes et Techniques de Traitement du Signal, 3ème édition, tome 1, Masson (1981)

[6.3] Lamouche D. - "Contacts ohmiques sur l'arséniure de gallium: utilisation de la méthode de dépôt autocatalytique" - Thèse de Docteur-Ingenieur, Ecole Centrale de Lyon (1984)

[6.4] Okinaka Y. - "Electroless gold-deposition using boro-hydride or dimethyl amine borane" - Plating, 57, p914, (1970)

[6.5] Okinaka Y. - "An electrochemical study of electroless gold-deposition reaction" - J. E. C. S., 120, 739 (1973)

[6.6] Okinaka Y., Sard R., Wolowodiuk C., Craft W.H. et Retajczyk T.F. - "Some practical aspects of electroless gold plating" - J. E. C. S., 121, 56 (1974)

[6.7] Mitchell J.E. et Hanratty T.J. - "A study of turbulence at a wall using an electrochemical wall shear-stress meter" - J Fluid Mech., 26, 199 (1966)

[6.8] Robin S. - "Etude de la turbulence pariétale par la méthode électrochimique" - Thèse de l'Université Paris 6 (1987)

[6.9] Uberoi M.S. et Kovasznay L.S.G. - "On mapping and measurement of random fields" - Appl. Math., 10, 375 (1953)

[6.10] Hinze J.O. - "Turbulence" - 2nd Edition, Mac Graw Hill
CONCLUSION

La méthode électrochimique constitue un moyen d'étude prévilégié des processus de transport convectif près des parois. Son avantage spécifique est d'atteindre les gradients de vitesse pariétaux de façon locale et instantanée grâce à l'utilisation de microélectrodes. Cependant, plusieurs limitations à leur emploi en hydrodynamique m'ont conduit à développer, à différents niveaux, un effort méthodologique qui m'a permis d'obtenir les résultats suivants :

- Modélisation du comportement dynamique des sondes électrochimiques par la détermination de leur réponse en fréquence. Le calcul a été mené pour des sondes de différentes géométries (rectangulaire, circulaire et bi-circulaire).

- Mesure directe des réponses en fréquence des sondes circulaires et rectangulaires à l'aide d'un nouveau dispositif expérimental constitué d'un cône à vitesse de rotation modulée et d'un plan immobile où se placent les électrodes. Les résultats obtenus sont les premières vérifications expérimentales convaincantes des réponses en fréquence des capteurs électrochimiques.

- Réalisation de microélectrodes parfaitement définies du point de vue géométrique et de faibles dimensions (≈ 300 µm) grâce à une technique de photolithographie.

- Mise au point d'électrodes tri-segmentées qui, outre le module du gradient de vitesse, donnent aussi la direction du vecteur vitesse.

- Utilisation de la réduction de l'oxygène naturellement dissous dans l'eau comme réaction indicatrice : J'ai pu montrer que cette réaction permettait non seulement de mesurer les gradients de vitesse stationnaire, mais aussi d'effectuer une étude statistique des fluctuations de vitesse en écoulement turbulent dans une eau
faiblement minéralisée. Ce résultat ouvre pour la méthode électrochimique des perspectives d'utilisation plus larges (par exemple, mesures sur maquette en tunnel hydrodynamique).

J'ai proposé enfin une application à l'étude de la turbulence qui a bénéficié de certains des acquis établis dans la première partie du travail. Ainsi, à l'aide d'une sonde bi-circulaire, j'ai mesuré les densités spectrales de puissance des fluctuations de vitesse dans les directions longitudinale et transversale en un même point. Ces mesures ont révélé un domaine inertiel caractérisé par un régime de Kolmogorov et un domaine dissipatif à plus haute fréquence. Par ailleurs, cette électrode bi-circulaire m'a permis d'effectuer les corrélations doubles sur les composantes longitudinale et transversale de vitesse et de montrer l'absence de corrélation entre elles.