# COMPRENDRE LE THÉORÈME DE RÉCIPROCITÉ OPTIQUE

Jean-Jacques GREFFET

Université Paris-Saclay, Institut d'Optique Graduate School, CNRS, Laboratoire Charles Fabry, Palaiseau, France

jean-jacques.greffet@institutoptique.fr

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

https://doi.org/10.1051/photon/202312056

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L'idée centrale du théorème de réciprocité est l'invariance du signal mesuré après permutation d'une source et d'un détecteur. L'article débute par un rappel des différentes formulations du théorème et de ses conditions de validité. Il discute ensuite brièvement les liens et différences avec le principe du retour inverse de la lumière et le renversement temporel. Il donne ensuite un aperçu des très nombreuses applications de ce théorème.

L'idée générale du théorème de réciprocité est l'égalité d'un signal lorsqu'un émetteur et un détecteur sont permutés (voir figure 1 a).

Il s'agit donc de comparer deux situations dans lesquelles le système physique (interfaces, diffuseurs, etc) ne change pas mais pour lesquelles la source de rayonnement et l'endroit de la détection sont permutés. Ces deux situations sont appelées réciproques.

Il est possible d'utiliser la réciprocité sans faire explicitement référence à une source et un détecteur. En se plaçant comme le montre la figure 1b un peu en aval de l'émetteur et en amont du détecteur, la même égalité concerne la puissance transportée par un rayon allant d'un point 1 à un point 2 ou vice versa. C'est cette deuxième forme qui a été introduite sous forme de principe de réciprocité par Helmholtz et utilisée par Kirchhoff. Dans un article de 1860 consacré au lien

entre l'absorption et l'émission par un corps chaud [1], Kirchhoff cite le principe de réciprocité de Helmholtz en ces termes :
> "A ray of light proceeding from point 1 arrives at point 2 after suffering

any number of refractions, reflections, etc. At point 1 let any two perpendicular planes $a_1, b_1$ be taken in the direction of the ray; and let the vibrations of the ray be divided into two parts, one in each of these

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig.1 a) Une source S et un détecteur D sont permutés.</figcaption></figure>

<caption>Fig.1 b) Un rayon issu de 1 et allant vers 2 et la situation réciproque dans le panneau de droite.</caption>
planes. Take similar planes $a_2, b_2$ in the ray at point 2; then the following proposition may be demonstrated. If when the quantity *i* of light polarized in the plane $a_1$ proceeds from **1** in the direction of the given ray, the part *k* there of light polarized in $a_2$ arrives at **2**, then, conversely, if the quantity *i* of light polarized in $a_2$ proceeds from **2**, the same quantity of light *k* polarized in $a_1$ will arrive at **1**.”

Un peu plus tard, Lord Rayleigh démontrera cette relation dans le cas des ondes acoustiques. Le théorème de réciprocité sera finalement établi par H.A. Lorentz pour les champs électromagnétiques à partir des équations de Maxwell sous une forme qui est rappelée dans l'encart. La forme établie dans l'équation (5) de l'encart correspond à la situation d'une source ponctuelle dipolaire $\mathbf{p}_1$ placée en $\mathbf{r}_1$ et d'un détecteur ponctuel placé en $\mathbf{r}_2$ qui mesure $\mathbf{E}_1(\mathbf{r}_2)$ (et vice versa). L'équation (5) indique l'égalité des projections du champ sur le vecteur unitaire parallèle au courant source. Sous la forme (3), le théorème relie les champs émis par les sources.

## RÉCIPROCITÉ ET RENVERSEMENT TEMPOREL

La représentation de la réciprocité en termes de rayons (Fig. 1 b) évoque immédiatement d'autres situations semblables : l'idée que si l'on voit, on est vu ou encore le renversement temporel d'une onde. Dans ce paragraphe, nous allons clarifier les liens et différences entre ces notions et le théorème de réciprocité.

L'égalité des signaux polarisés mesurés après permutation des sources et détecteurs donne une justification précise à l'énoncé « si je vois, je suis vu », il s'agit bien de réciprocité. En revanche, la question du lien entre la permutation des sources et le renversement temporel est plus subtile. S'il est vrai que lorsque source et détecteur sont permutés, le sens de

propagation entre la source et le détecteur est inversé, les deux notions sont pourtant très différentes.

La figure 2 donne un premier aperçu de la différence entre la réciprocité et le renversement temporel. Nous considérons une source S et un détecteur D placés en deux points situés de part et d'autre d'un miroir parfaitement réfléchissant à l'exception d'une petite ouverture diffractante. Il apparaît clairement que les champs créés dans ces deux situations réciproques (Fig. 2 a, b) sont très différents et ne correspondent pas du tout à une situation de type renversement temporel (Fig. 2 c). Pour autant, les signaux mesurés dans les deux cas réciproques a) et b) sont égaux.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 2.** : a) Situation physique représentant une source S et un détecteur D de part et d'autre d'un écran percé par une ouverture, b) situation réciproque, c) situation renversée temporellement.</figcaption></figure>

La différence entre réciprocité et renversement temporel apparaît également en présence de pertes. Soulignons que l'obtention des relations de réciprocité présentées dans l'encart ne nécessite aucune hypothèse sur la présence ou l'absence de pertes dans le milieu. Ainsi, le théorème de réciprocité reste valable pour des permittivités et perméabilités complexes correspondant à des milieux présentant des pertes ou du gain. A contrario, si $E(x,t)$ est une solution des équations de Maxwell dans un milieu à pertes, alors, la solution après renversement temporel $E(x,-t)$ n'est pas solution. Supposons par exemple que l'on étudie la propagation d'une impulsion lumineuse se propageant de A vers B dans un milieu homogène à pertes. Son amplitude décroît exponentiellement au cours de la propagation. Si le changement de variable $t$ en $-t$ est effectué, l'impulsion se propage de B vers A en ayant une amplitude croissante alors qu'elle décroît si l'on effectue l'expérience. Une discussion approfondie des liens entre renversement temporel et réciprocité se trouve dans les références [4,5].

## APPLICATIONS

### Calcul de champs émis

Le théorème de réciprocité peut permettre d'éviter de résoudre un problème de rayonnement et de lui substituer un problème de diffraction. Prenons l'exemple d'un dipôle placé en $z=d>0$ près d'une interface séparant le vide ($z>0$) d'un milieu d'indice *n* ($z<0$). La question est de savoir quel est le champ émis par le dipôle dans le milieu d'indice *n* en champ lointain. En particulier, se pose la question de savoir comment cela dépend de la distance *d* et s'il est possible d'émettre des ondes au-delà de l'angle critique (Fig. 3 a) dans une direction caractérisée par un vecteur unitaire **u**. Ces questions semblent relativement complexes. L'utilisation du théorème de réciprocité sous sa forme (5) ⋮ ⋮ ⋮
donne très facilement la réponse
à ces questions comme le montre
la figure 3b. Il suffit de calculer le
champ électrique à l'emplacement
de la source, donc en z = d, prove-
nant d'un dipôle rejeté à l'infini
dans une direction caractérisée par
un vecteur unitaire u. Ce problème
est le problème de la transmission
d'une onde plane par une interface.
En particulier, si l'onde se propage
avec un angle à la normale supé-
rieur à l'angle critique, l'onde subit
une réflexion totale interne de sorte
qu'il apparaît une onde évanescente
au-dessus de l'interface avec une dé-
croissance en exp(-yz). Le théorème
de réciprocité (Eq. (5)) indique que
l'amplitude du champ émis par le
dipôle est proportionnel au champ
réciproque en z = d, c'est-à-dire à
une onde évanescente qui décroit
exponentiellement comme exp(-yz).

Où placer une source
à l'intérieur d'un système
complexe ?

Considérons la question de l'empla-
cement d'une antenne sur un objet
complexe tel qu'un avion sachant
que l'on souhaite que l'émission
se fasse vers l'avant pour commu-
niquer avec l'aéroport vers lequel
l'avion se dirige. Les ondes électro-
magnétiques émises par l'antenne
vont induire des courants de sur-
face sur la structure métallique de
l'avion qui va se comporter comme
une antenne secondaire. Ces rayon-
nements interfèrent de sorte qu'il
est extrêmement difficile de prévoir
où placer au mieux l'antenne. Ceci
entraine soit de nombreux essais

expérimentaux, soit de nombreux
calculs. L'utilisation du théorème
de réciprocité permet de simplifier
le problème de façon drastique. Il
suffit de simuler numériquement le
champ électromagnétique autour
de l'avion lorsqu'il est éclairé par
une onde plane en provenance de
l'avant. Un calcul unique va alors

donner la distribution du champ
sur toute la structure. Il apparaitra
alors certains points où le champ
électrique est maximal et a une
certaine polarisation. C'est en ces
points que l'on pourra placer une
antenne filaire demi-onde orientée
parallèlement au champ électrique.
Le théorème de réciprocité garantit
que l'antenne émettra dans la direc-
tion recherchée (mais ne dit rien de
ce qui sera émis dans d'autres direc-
tions). Cet exemple illustre bien l'in-
térêt du théorème de réciprocité. Il
faut retenir de cet exemple qu'un
problème qui est difficile dans une
situation peut être bien plus simple
dans la situation réciproque.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

**Figure 3 :** a) Source S placée au-dessus d'une interface séparant un milieu d'indice n et de l'air. b) Afin d'estimer l'amplitude du champ rayonné vers le milieu d'indice élevé dans un angle supérieur à l'angle critique, il faut considérer une situation réciproque d'éclairement provenant de cette direction. L'onde "réciproque" subit une réflexion totale de sorte qu'une onde évanescente (représentée par un dégradé) existe dans l'air. Son amplitude à l'emplacement de la source fournit l'amplitude du champ rayonné.

Directivité d'une antenne

De nombreuses antennes sont
directives, c'est-à-dire qu'elles
concentrent la puissance émise dans
un angle solide déterminé. C'est par
exemple le cas des antennes para-
boliques ou des antennes Yagi-Uda
aussi appelées antennes râteau qui
étaient utilisées pour la TV hert-
zienne. Ces antennes sont directives
à la fois en émission et en réception
dans les mêmes directions. Cette
propriété peut se déduire du théo-
rème de réciprocité.

Propriétés de la matrice
de diffusion

Le théorème de réciprocité im-
pose des propriétés aux facteurs
de Fresnel et plus généralement, à
la matrice de diffusion de tout ob-
jet constitué de matériaux ayant des
tenseurs de permittivité et perméa-
bilité symétriques. Une démonstra-
tion générale est présentée dans la
référence [3]. Le cas le plus simple
est celui d'une interface simple sé-
parant deux milieux. En appliquant
le théorème de réciprocité à une
source et un détecteur se trouvant
de part et d'autre de l'interface, il
apparaît clairement que les facteurs
de transmission T₁₂ de 1 vers 2 et
T₂₁ de 2 vers 1 doivent être égaux.
De façon plus générale, lorsque l'on
considère la matrice de diffusion

L'utilisation du théorème de réciprocité permet de simplifier le problème de façon drastique. Il suffit de simuler numériquement le champ électromagnétique autour de l'avion lorsqu'il est éclairé par une onde plane en provenance de l'avant. Un calcul unique va alors donner la distribution du champ sur toute la structure.
S d'un objet (qui relie les amplitudes des champs entrants à celles des champs sortants) ou la BSDF (bidirectional scattering distribution function qui relie les luminances entrantes aux luminances sortantes) elles doivent nécessairement satisfaire à une propriété de réciprocité :

$$ 
\begin{aligned}
S(\mathbf{u}_{\text{inc}}, \mathbf{u}_d) &= S(-\mathbf{u}_d, -\mathbf{u}_{\text{inc}}); \\
\text{BSDF}(\mathbf{u}_{\text{inc}}, \mathbf{u}_d) &= \text{BSDF}(-\mathbf{u}_d, -\mathbf{u}_{\text{inc}}).
\end{aligned}
$$

## Propriété du tenseur de Green

Le champ $E(\mathbf{r}, \omega)$ rayonné par une densité de courant $j(\mathbf{r}, \omega)$ dans un volume V est relié linéairement à la densité de courant. Le champ n'étant pas nécessairement collinéaire à la densité de courant, leurs expressions sont reliées par une matrice qui représente un tenseur appelé tenseur de Green. La forme la plus générale est alors donnée par :

$$ \mathbf{E}(\mathbf{r}, \omega) = i\omega\mu_0 \int \vec{G}(\mathbf{r}, \mathbf{r}') \mathbf{j}(\mathbf{r}', \omega) d^3\mathbf{r}', $$

où $G_{ij}(\mathbf{r}, \mathbf{r}')$ est l'élément ij du tenseur de Green. En appliquant la forme (5) de l'encart, on obtient immédiatement une propriété du tenseur de Green :

$$ G_{ij}(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = G_{ji}(\mathbf{r}', \mathbf{r}). $$

La forme moderne du théorème de réciprocité s'écrit en considérant un même système physique décrit par une permittivité et une perméabilité linéaire en régime monochromatique dans lequel sont placés des courants $J_1$ qui créent un champ $E_1$ dans la situation 1, des courants $J_2$ qui créent un champ $E_2$ dans la situation 2. En combinant les équations de Maxwell écrites pour les deux situations [2, 3], on obtient la relation :

$$ \nabla \cdot (\mathbf{E}_1 \times \mathbf{H}_2 - \mathbf{E}_2 \times \mathbf{H}_1) = i\omega(\mathbf{B}_1 \cdot \mathbf{H}_2 - \mathbf{H}_1 \cdot \mathbf{B}_2) - i\omega(\mathbf{D}_1 \cdot \mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{D}_2) + \mathbf{J}_1 \cdot \mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{J}_2. \quad (1) $$

Dans cette écriture, **D** et **H** prennent en compte respectivement la polarisation et l'aimantation induites dans la matière. Les sources externes sont décrites par **J**. Dans l'hypothèse où les tenseurs de permittivité $\epsilon_{ij}$ et de perméabilité $\mu_{ij}$ sont symétriques, les deux premiers termes du membre de droite sont nuls de sorte que la relation devient le théorème de réciprocité :

$$ \nabla \cdot (\mathbf{E}_1 \times \mathbf{H}_2 - \mathbf{E}_2 \times \mathbf{H}_1) = \mathbf{J}_1 \cdot \mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{J}_2. \quad (2) $$

En l'absence de courants sources à l'intérieur d'un volume V, le théorème de Green-Ostrogradski appliqué à ce volume conduit à une intégrale sur la surface S qui l'entoure :

$$ \oint_S (\mathbf{E}_1 \times \mathbf{H}_2 - \mathbf{E}_2 \times \mathbf{H}_1) \cdot d\mathbf{S} = 0 \quad (3) $$

En supposant maintenant que les courants sources sont non nuls à l'intérieur d'un volume V et nuls à l'extérieur, une intégration sur un volume V' incluant V et dont la surface est rejetée à l'infini donne [3, 4] :

$$ \int \mathbf{J}_1 \cdot \mathbf{E}_2 d^3 \mathbf{r} = \int \mathbf{J}_2 \cdot \mathbf{E}_1 d^3 \mathbf{r}, \quad (4) $$

car l'intégrale de surface (3) est nulle dans ce cas. Pour le cas particulier de deux sources ponctuelles dipolaires $J_1(r) = -i\omega p_1 \delta(r - r_1)$ et $J_2(r) = -i\omega p_2 \delta(r - r_2)$, cette relation se simplifie :

$$ \mathbf{P}_1 \cdot \mathbf{E}_2(r_1) = \mathbf{P}_2 \cdot \mathbf{E}_1(r_2). \quad (5) $$

Cette égalité montre bien le rôle de la polarisation ainsi que la permutation des sources et détecteur.

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**Figure 4.** : Un calcul direct de l'émission d'une antenne dans une structure complexe conduit à de multiples essais pour optimiser l'émission dans une direction donnée (l'avant sur le schéma). En éclairant depuis cette direction, (fig 4 b), la distribution de champ sur l'avion indiquera les points de forte amplitude où il convient de placer l'antenne.

## Test de précision d'un calcul numérique

Lorsque l'on utilise une méthode numérique pour calculer des champs électromagnétiques, il est nécessaire d'évaluer la précision des calculs. La vérification de la conservation de l'énergie peut fournir une estimation de la précision du calcul. De la même façon, il est possible de vérifier la précision avec laquelle le calcul satisfait au théorème de réciprocité.

## Loi de Kirchhoff

Pour finir, nous revenons aux tra- vaux de Kirchhoff qui a utilisé ce qu'il appelait le principe de ré- ciprocité de Helmholtz dans sa démonstration de l'égalité entre l'absorptivité et l'émissivité d'un corps. Rappelons que la lumi- nance émise par un corps chaud est donnée par le produit de la lu- minance de corps noir multipliée par un facteur inférieur ou égal à 1 appelé émissivité. Nous allons donner ici un argument qualitatif

avec l'air est finalement absorbé. Ainsi, l'absorption A est égale au facteur de transmission $T_{12}$ entre le milieu 1 qui est l'air et le milieu 2 dont est constitué le corps émet- teur. Examinons maintenant le rayonnement thermique émis par le corps. Puisqu'il est à température $T_2$, il existe à l'intérieur du corps un rayonnement en équilibre avec le reste de la matière par des proces- sus d'émission et d'absorption. Ce rayonnement peut être transmis par l'interface vers l'extérieur du corps avec un facteur de transmis- sion $T_{21}$. Cette discussion suggère que l'émissivité est proportionnelle au facteur de transmission $T_{21}$. Un calcul permet de montrer qu'il y a égalité. La réciprocité entrainant $T_{12} = T_{21}$, il en résulte que l'émissi- vité est égale à l'absorptivité ce qui constitue le résultat obtenu par Kirchhoff [1].

## CONCLUSION

Le théorème de réciprocité doit être distingué du renversement tempo- rel. Il est valable en présence de pertes dès lors que les milieux du système physique considéré sont décrits par des permittivités et perméabilités symétriques. Le théorème de réciprocité a de très nombreuses applications. Il faut en particulier retenir qu'un problème de rayonnement ou de diffusion qui échappe à l'intuition peut être beaucoup plus simple dans sa ver- sion réciproque. ●

qui permet de comprendre l'origine de cette égalité et le rôle du prin- cipe de réciprocité. En supposant que le corps émetteur est opaque, le flux transmis à son interface

## RÉFÉRENCES

[1] G. Kirchhoff, Phil.Mag. S 20, 1 (1860)

[2] R. J. Potton, Rep. Prog. Phys. 67, 717 (2004)

[3] H. Benisty, P. Lalanne, J.J. Greffet, *Introduction to Nanophotonics*, (Oxford University Press, Oxford, 2022)

[4] R. Carminati, M. Nieto-Vesperinas, J.J. Greffet, J. Opt. Soc. Am. A 15, 706 (1998)

[5] R. Carminati, J.J. Saenz, J.J. Greffet, M. Nieto-Vesperinas, Phys. Rev. A 62, 012712 (2000)