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# Description of the probability of collision (s) of particle (s) in a system

Paulo Góis

► To cite this version:

Paulo Góis. Description of the probability of collision (s) of particle (s) in a system: from transition probability to probability density in a Gaussian distribution. 2023. hal-04611798

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Description of the probability of collision (s) of particle
(s) in a system

Paulo Góis

► To cite this version:

Paulo Góis. Description of the probability of collision (s) of particle (s) in a system. 2023. hal-04611798

HAL Id: hal-04611798

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Descrição da probabilidade de colisão (s) de partícula (s) em um sistema: da probabilidade de transição à densidade de probabilidade em uma distribuição gaussiana

Por: João Paulo da Silva Pereira

Resumo

Neste trabalho, investiguei a probabilidade de uma ou várias partículas colidirem com outras em um sistema fechado, utilizando a probabilidade de transição do processo estocástico contínuo de tipo markoviano. Constatei a impossibilidade de descrever tal distribuição em termos de distribuição normal, mesmo considerando o fenômeno de “congelamento” durante a medição. Além disso, observei a possibilidade de descrever a distribuição de probabilidade em termos de uma curva gaussiana com uma curva suave à esquerda e à direita, respectivamente, tendendo ao menos infinito e ao mais infinito, resultando na expressão da distribuição normal de parâmetros, valor esperado e variância. Essas descobertas fornecem insights importantes sobre a dinâmica do sistema em estudo.

Palavras-chave: Probabilidade; Partículas; Colisão; Sistema Fechado; Processo Estocástico; Distribuição Normal.

Summary

In this work, I investigated the probability of one or several particles colliding with others in a closed system, using the transition probability of the continuous stochastic process of Markovian type. I found it impossible to describe such a distribution in terms of a normal distribution, even considering the phenomenon of “freezing” during the measurement. Furthermore, I noted the possibility of describing the probability distribution in terms of a Gaussian curve with a smooth left and right
Descrição da probabilidade de colisão (s) de partícula (s) em um sistema: da probabilidade de transição à densidade de probabilidade em uma distribuição gaussiana

Por: João Paulo da Silva Pereira

## Resumo

Neste trabalho, investiguei a probabilidade de uma ou várias partículas colidirem com outras em um sistema fechado, utilizando a probabilidade de transição do processo estocástico contínuo de tipo markoviano. Constatei a impossibilidade de descrever tal distribuição em termos de distribuição normal, mesmo considerando o fenômeno de “congelamento” durante a medição. Além disso, observei a possibilidade de descrever a distribuição de probabilidade em termos de uma curva gaussiana com uma curva suave à esquerda e à direita, respectivamente, tendendo ao menos infinito e ao mais infinito, resultando na expressão da distribuição normal de parâmetros, valor esperado e variância. Essas descobertas fornecem insights importantes sobre a dinâmica do sistema em estudo.

Palavras-chave: Probabilidade; Partículas; Colisão; Sistema Fechado; Processo Estocástico; Distribuição Normal.

## Summary

In this work, I investigated the probability of one or several particles colliding with others in a closed system, using the transition probability of the continuous stochastic process of Markovian type. I found it impossible to describe such a distribution in terms of a normal distribution, even considering the phenomenon of “freezing” during the measurement. Furthermore, I noted the possibility of describing the probability distribution in terms of a Gaussian curve with a smooth left and right
curve, respectively, tending to least infinity and most infinity, resulting in the expression of the normal distribution of parameters, expected value and variance. These findings provide important insights into the dynamics of the system under study.

Keywords: Probability; Particles; Collision; Closed System; Stochastic Process; Normal Distribution.

## Introdução

Antes de tudo é importante salientar que um processo estocástico pode ser definido como um conjunto de variáveis aleatórias em função do tempo. Assim, podemos diferenciar o processo estocástico de tempo contínuo e discreto. No primeiro caso teremos que t pertence ao conjunto dos números inteiros ou naturais não negativos, ou seja, assume apenas valores que são maiores ou igual a zero. Quando o conjunto é infinito e enumerável existe uma bijeção dos inteiros ou naturais nele. Se o tempo for contínuo, temos um processo estocástico de tempo contínuo, se assim não o for, teremos um processo estocástico de tempo discreto, que é o mais comum. Um processo estocástico é dito ser de Markov se e somente se o estado das variáveis aleatórias do sistema estão a depender somente do presente estado e não do anterior ou das variáveis que a antecedeu. Por sua vez, um processo markoviano é dito ser uma cadeia de Markov se e somente se as variáveis aleatórias do sistema pertencem a um espaço de estados discretos. Uma cadeia de Markov discreta assume apenas valores bem definidos de tempo, enquanto que a de tempo contínuo ocorre em qualquer intervalo de tempo.

Dito isso, o trabalho foi dividido em três partes. Na primeira foi construída uma cadeia de Markov a partir de um processo estocástico contínuo, porém, ao descrever as probabilidades de transição viu-se necessário construir uma relação de ordem, o que prejudicou a definição, a priori, da "continuidade de tal sistema". Na
curve, respectively, tending to least infinity and most infinity, resulting in the expression of the normal distribution of parameters, expected value and variance. These findings provide important insights into the dynamics of the system under study.

Keywords: Probability; Particles; Collision; Closed System; Stochastic Process; Normal Distribution.

## Introdução

Antes de tudo é importante salientar que um processo estocástico pode ser definido como um conjunto de variáveis aleatórias em função do tempo. Assim, podemos diferenciar o processo estocástico de tempo contínuo e discreto. No primeiro caso teremos que t pertence ao conjunto dos números inteiros ou naturais não negativos, ou seja, assume apenas valores que são maiores ou igual a zero. Quando o conjunto é infinito e enumerável existe uma bijeção dos inteiros ou naturais nele. Se o tempo for contínuo, temos um processo estocástico de tempo contínuo, se assim não o for, teremos um processo estocástico de tempo discreto, que é o mais comum. Um processo estocástico é dito ser de Markov se e somente se o estado das variáveis aleatórias do sistema estão a depender somente do presente estado e não do anterior ou das variáveis que a antecedeu. Por sua vez, um processo markoviano é dito ser uma cadeia de Markov se e somente se as variáveis aleatórias do sistema pertencem a um espaço de estados discretos. Uma cadeia de Markov discreta assume apenas valores bem definidos de tempo, enquanto que a de tempo contínuo ocorre em qualquer intervalo de tempo.

Dito isso, o trabalho foi dividido em três partes. Na primeira foi construída uma cadeia de Markov a partir de um processo estocástico contínuo, porém, ao descrever as probabilidades de transição viu-se necessário construir uma relação de ordem, o que prejudicou a definição, a priori, da "continuidade de tal sistema". Na
segunda parte foi modificada a sucessão de estados, assim como a ideia de "probabilidade de transição". Também foi acrescentado uma variável de tempo, que representava o "tempo externo ao sistema", isto é, daquele que faz a medição. Porém, ainda viu-se insuficiente a assunção de um tempo contínuo. Por fim, na terceira parte, ao retirar a restrição que se refere às probabilidades das variáveis aleatórias do sistema foi possível redefinir a passagem do tempo. Assim, consegui me livrar da ideia de somatório e passei a descrever o meu sistema em termos de integral.

Finalmente, o espaço de parâmetros está a se referir aos conjuntos que regem as propriedades do sistema. Já o espaço de estados envolve todas as possíveis condições ou estados do sistema ao longo do tempo. Na última parte do trabalho só foi possível descrever a distribuição de probabilidade do meu sistema em termos de curva gaussiana por causa da densidade de probabilidade. Na conclusão foi possível encaminhar o trabalho para um possível desenvolvimento, me refiro ao movimento de Brown, que se refere ao movimento "aleatório" das partículas que estão a se chocar nesse sistema.

## Desenvolvimento

### 1º parte

Imagine um sistema de partículas que "evolui" temporalmente a cada instante tal que o instante é dado em segundos. Temos que o conjunto do tempo total é $T$ e o conjunto de variáveis aleatórias ordenadas $X_t$ tal que o índice $t$ representa a variação do tempo. Ou melhor, temos $\{X_t; t \in T\}$. Tome agora uma função contínua definida a partir da correspondência de $X$ com $T$:

$$X(t) = \{t_1, \dots, t_n; t \in \mathbb{R}\}.$$
segunda parte foi modificada a sucessão de estados, assim como a ideia de "probabilidade de transição". Também foi acrescentado uma variável de tempo, que representava o "tempo externo ao sistema", isto é, daquele que faz a medição. Porém, ainda viu-se insuficiente a assunção de um tempo contínuo. Por fim, na terceira parte, ao retirar a restrição que se refere às probabilidades das variáveis aleatórias do sistema foi possível redefinir a passagem do tempo. Assim, consegui me livrar da ideia de somatório e passei a descrever o meu sistema em termos de integral.

Finalmente, o espaço de parâmetros está a se referir aos conjuntos que regem as propriedades do sistema. Já o espaço de estados envolve todas as possíveis condições ou estados do sistema ao longo do tempo. Na última parte do trabalho só foi possível descrever a distribuição de probabilidade do meu sistema em termos de curva gaussiana por causa da densidade de probabilidade. Na conclusão foi possível encaminhar o trabalho para um possível desenvolvimento, me refiro ao movimento de Brown, que se refere ao movimento "aleatório" das partículas que estão a se chocar nesse sistema.

## Desenvolvimento

### 1º parte

Imagine um sistema de partículas que "evolui" temporalmente a cada instante tal que o instante é dado em segundos. Temos que o conjunto do tempo total é $T$ e o conjunto de variáveis aleatórias ordenadas $X_t$ tal que o índice $t$ representa a variação do tempo. Ou melhor, temos $\{X_t; t \in T\}$. Tome agora uma função contínua definida a partir da correspondência de $X$ com $T$:

$$X(t) = \{t_1, \dots, t_n; t \in \mathbb{R}\}.$$
Temos o espaço de estado $X_t$, onde:

$$ \bigcup_{t=1}^{n} X_{t'} \{X_{t'}; t \in T\} $$

E o espaço de parâmetros composto pelo conjunto $T$. Portanto, o nosso espaço de estados e de parâmetros é contínuo. Podemos definir a transição no espaço de estados ($E$) e de parâmetros ordenados, assim como as outras coisas que se sucedem, tais como:

$i + 1 = 1^{\text{o} \text{ transição}};$

$i + 1 + 1 = 2^{\text{o} \text{ transição}};$

.

.

.

$i + n = \text{enésima transição.}$

Probabilidade do estado 0: $\pi_0$;

Probabilidade do estado 1: $\pi_1$;

.

.

.

Probabilidade do estado $n$: $\pi_n$.

Vetor probabilidade de estado

$\pi = \{\pi_0, \pi_1, ..., \pi_n\}$.
Temos o espaço de estado $X_t$, onde:

$$ \bigcup_{t=1}^{n} X_{t'} \{X_{t'}; t \in T\} $$

E o espaço de parâmetros composto pelo conjunto $T$. Portanto, o nosso espaço de estados e de parâmetros é contínuo. Podemos definir a transição no espaço de estados ($E$) e de parâmetros ordenados, assim como as outras coisas que se sucedem, tais como:

$i + 1 = 1^{\text{o}} \text{ transição};$

$i + 1 + 1 = 2^{\text{o}} \text{ transição};$

.

.

.

$i + n = \text{enésima transição.}$

Probabilidade do estado 0: $\pi_0$;

Probabilidade do estado 1: $\pi_1$;

.

.

.

Probabilidade do estado $n$: $\pi_n$.

Vetor probabilidade de estado

$\pi = \{\pi_0, \pi_1, ..., \pi_n\}$.
## Probabilidade de transição

0 para 1: $\mu_{01}$;

1 para 0: $\mu_{10}$.

Esses são alguns exemplos de probabilidade de transição que se pode obter, sendo que a partir dessas probabilidades se é possível construir uma matriz de transição. A partir desses exemplos podemos concluir que a probabilidade do estado 1 é dado por:

$$ \pi_1 = \pi_0 \mu_{01} / \mu_{10}. $$

Pois a probabilidade $\pi_1$ pode ser expressa em função da probabilidade $\pi_0$, que é $\pi_0\mu_{01} = \pi_1\mu_{10}$ e das probabilidades de transição. Assim, obtemos para o estado 1:

$$ \pi_1 (\mu_{10} + \mu_{12}) = \pi_0 \mu_{01} + \pi_2 \mu_{21}. $$

E para a probabilidade do estado 2:

$$ \pi_2 = \pi_1 (\mu_{10} + \mu_{12}) - \pi_0 \mu_{01} / \mu_{21}. $$

Ou

$$ \pi_2 = (\pi_{12} \mu_{01} / \mu_{21} \pi_{10}). \pi_0. $$
## Probabilidade de transição

0 para 1: $\mu_{01}$;

1 para 0: $\mu_{10}$.

Esses são alguns exemplos de probabilidade de transição que se pode obter, sendo que a partir dessas probabilidades se é possível construir uma matriz de transição. A partir desses exemplos podemos concluir que a probabilidade do estado 1 é dado por:

$$ \pi_1 = \pi_0 \mu_{01} / \mu_{10}. $$

Pois a probabilidade $\pi_1$ pode ser expressa em função da probabilidade $\pi_0$, que é $\pi_0\mu_{01} = \pi_1\mu_{10}$ e das probabilidades de transição. Assim, obtemos para o estado 1:

$$ \pi_1 (\mu_{10} + \mu_{12}) = \pi_0 \mu_{01} + \pi_2 \mu_{21}. $$

E para a probabilidade do estado 2:

$$ \pi_2 = \pi_1 (\mu_{10} + \mu_{12}) - \pi_0 \mu_{01} / \mu_{21}. $$

Ou

$$ \pi_2 = (\pi_{12} \mu_{01} / \mu_{21} \pi_{10}). \pi_0. $$
Ao assumir que o nosso sistema possui mais de 30 variáveis aleatórias ($X_t > 30$), pois isso implicaria que o nosso espaço amostral tem o $n$ maior que 30, poderíamos utilizar a distribuição normal, cuja uma das propriedades é dada por:

$$\mu(x + y) = \mu(x) + \mu(y);$$

$$\mu(x - y) = \mu(x) - \mu(y).$$

Como "a variável" do sistema é contínua, temos:

$$\mu(x) = \int x f(x) dx.$$

Porém, temos uma forma mais convincente de chegar à distribuição gaussiana para as probabilidades do conjunto de variáveis aleatórias do nosso sistema.

## 2º parte

Imagine a seguinte sucessão ou sequência no espaço de estados $E$, temos que:

$$\sum P(x_{t_i}) = 1, \text{ dado que } P(X_t) = 1. \text{ Onde } P(x_i) \ge 0 \text{ (a restrição) e } \forall x_i \in X_t.$$

Agora tome:

$$\forall x' \in X, (P(x_{t_i}) \in E) = 1 \text{ se } x' \equiv x.$$
Ao assumir que o nosso sistema possui mais de 30 variáveis aleatórias ($X_t > 30$), pois isso implicaria que o nosso espaço amostral tem o $n$ maior que 30, poderíamos utilizar a distribuição normal, cuja uma das propriedades é dada por:

$$\mu(x + y) = \mu(x) + \mu(y);$$

$$\mu(x - y) = \mu(x) - \mu(y).$$

Como "a variável" do sistema é contínua, temos:

$$\mu(x) = \int x f(x) dx.$$

Porém, temos uma forma mais convincente de chegar à distribuição gaussiana para as probabilidades do conjunto de variáveis aleatórias do nosso sistema.

## 2º parte

Imagine a seguinte sucessão ou sequência no espaço de estados $E$, temos que:

$$\sum P(x_{t_i}) = 1, \text{ dado que } P(X_t) = 1. \text{ Onde } P(x_i) \ge 0 \text{ (a restrição) e } \forall x_i \in X_t.$$

Agora tome:

$$\forall x' \in X, (P(x_{t_i}) \in E) = 1 \text{ se } x' \equiv x.$$
3º parte

Ao retirar a restrição $P(x_i) \ge 0$, e a redefinir na passagem do tempo como
composto por infinitos instantes tal que cada um deles tendem a zero, isto é, são
infinitesimais, teremos que ao longo do tempo as probabilidades tendem ao infinito à
esquerda e à direita. Assim, podemos ter:

$$
P(X_t < x) = \int_{-\infty}^{x} F(s) \cdot ds.
$$

Ou seja, a probabilidade do conjunto de variáveis aleatórias é menor que a
probabilidade de uma certa partícula tomada arbitrariamente no sistema e isso é
igual a integral da função f definida a partir da soma de probabilidades do evento
com limites de integração do menos infinito até x, a "partícula" "escolhida" no
sistema.

Não podemos ter:

$$
\sum P(x_i) = 1.
$$

Pois a probabilidade do sistema agora é não-enumerável e a probabilidade
sempre daria zero, haja vista, que a probabilidade de qualquer variável aleatória
tomada no sistema daria zero, pois a probabilidade do evento é igual a zero.
Atenha-se ao fato de que para termos uma medida nesse sistema, devemos definir
um subconjunto γ com probabilidade igual a 1, assim, não teríamos mais s ∈ Ω, onde
Ω ≡ (0, n) e poderíamos ter a probabilidade do sistema em termos de densidade de
probabilidade, onde a probabilidade é dada entre dois pontos ou variáveis do
sistema em um dado instante. Como não podemos ter F: N → X, temos agora
F: R → R, isto é, passamos de um conjunto 'ou' função infinita e enumerável para
uma infinita e não-enumerável. Portanto, a probabilidade igual a 1 será dado por um
3º parte

Ao retirar a restrição $P(x_i) \ge 0$, e a redefinir na passagem do tempo como
composto por infinitos instantes tal que cada um deles tendem a zero, isto é, são
infinitesimais, teremos que ao longo do tempo as probabilidades tendem ao infinito à
esquerda e à direita. Assim, podemos ter:

$$
P(X_t < x) = \int_{-\infty}^{x} F(s) \cdot ds.
$$

Ou seja, a probabilidade do conjunto de variáveis aleatórias é menor que a
probabilidade de uma certa partícula tomada arbitrariamente no sistema e isso é
igual a integral da função f definida a partir da soma de probabilidades do evento
com limites de integração do menos infinito até x, a "partícula" "escolhida" no
sistema.

Não podemos ter:

$$
\sum P(x_i) = 1.
$$

Pois a probabilidade do sistema agora é não-enumerável e a probabilidade
sempre daria zero, haja vista, que a probabilidade de qualquer variável aleatória
tomada no sistema daria zero, pois a probabilidade do evento é igual a zero.
Atenha-se ao fato de que para termos uma medida nesse sistema, devemos definir
um subconjunto γ com probabilidade igual a 1, assim, não teríamos mais s ∈ Ω, onde
Ω ≡ (0, n) e poderíamos ter a probabilidade do sistema em termos de densidade de
probabilidade, onde a probabilidade é dada entre dois pontos ou variáveis do
sistema em um dado instante. Como não podemos ter F: N → X, temos agora
F: R → R, isto é, passamos de um conjunto 'ou' função infinita e enumerável para
uma infinita e não-enumerável. Portanto, a probabilidade igual a 1 será dado por um
subconjunto, pela soma de probabilidade do evento e pela integral de menos infinito
a mais infinito, vejamos:

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} F(s) \cdot ds = 1 \quad \text{e} \quad P(0 \le x_t \le n) = \int F(s) \cdot ds.
$$

Temos que a distribuição normal de parâmetros será:

$$
F(x) = 1 / \sqrt{2\pi\sigma} e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}, \text{ onde } \mu \text{ é a média e } \sigma \text{ a variância.}
$$

O valor esperado:

$$
V(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} s \cdot F(s) \cdot ds = \mu.
$$

Onde $F(s)$ é a probabilidade. Por fim, temos a variância:

$$
\mathrm{var}(x) = [v(x - \mu)^2] = \sigma^2.
$$

Conclusão e considerações finais

Como o intervalo é aberto do menos infinito ao mais infinito ([ - ∞, + ∞[)
na terceira parte, temos que o subconjunto tomado nesse intervalo será não só
infinito, dado que todo subconjunto (subintervalo) de um conjunto (intervalo) infinito
também é infinito, mas também maior tanto quanto se quiser. A P(γ) = 1, ou seja,
temos um evento certo. Para sabermos que a probabilidade do espaço amostral e
subconjunto, pela soma de probabilidade do evento e pela integral de menos infinito a mais infinito, vejamos:

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} F(s) \cdot ds = 1 \quad \text{e} \quad P(0 \le x_t \le n) = \int F(s) \cdot ds. $$

Temos que a distribuição normal de parâmetros será:

$$ F(x) = 1 / \sqrt{2\pi\sigma} e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}, \text{ onde } \mu \text{ é a média e } \sigma \text{ a variância.} $$

O valor esperado:

$$ V(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} s \cdot F(s) \cdot ds = \mu. $$

Onde $F(s)$ é a probabilidade. Por fim, temos a variância:

$$ \mathrm{var}(x) = [v(x - \mu)^2] = \sigma^2. $$

## Conclusão e considerações finais

Como o intervalo é aberto do menos infinito ao mais infinito ($] -\infty, +\infty[$) na terceira parte, temos que o subconjunto tomado nesse intervalo será não só infinito, dado que todo subconjunto (subintervalo) de um conjunto (intervalo) infinito também é infinito, mas também maior tanto quanto se quiser. A $P(\gamma) = 1$, ou seja, temos um evento certo. Para sabermos que a probabilidade do espaço amostral e
do evento não é enumerável basta saber que o conjunto dos números reais não são enumeráveis.

Na terceira parte do trabalho foi possível transitar da probabilidade de transição para uma probabilidade "relacional" por meio da densidade de probabilidade. Na primeira e segunda parte do trabalho, mas principalmente na primeira parte, o espaço de estados $E$ não é contínuo, pois mesmo o conjunto das variáveis aleatórias e o conjunto do tempo total pertencendo aos reais, ambos só assumem valores inteiros, dado a própria relação de ordem na transição do espaço de estados e de parâmetros. Na primeira parte também temos que a probabilidade de um dado evento depende do anterior e que as probabilidades de transição entre esses estados, isto é, dos estados possíveis do sistema, são discretos.

Porquanto, a passagem de um processo estocástico a um processo de Markov "contínuo" na primeira parte exigiria extensões da cadeia de Markov, tais como, o processo de Poisson, e as equações diferenciais estocásticas, que descrevem a evolução entre estados (discretos) ao longo de um tempo $t$ (contínuo). Destarte, poderíamos ter um processo de Wiener ou um movimento browniano contínuo em relação ao tempo $t$ ao fixar o evento $\gamma$ e ao ter probabilidade $1$ em $\gamma$, ou por outra, $B_t(\gamma) \subset t$, com $P(B_t) = 1 \in \gamma$.

Referências

RAMOS, Alberto. **Estatística 1**. São Paulo - SP: Escola Politécnica da Universidade de São Paulo - Departamento de Engenharia de Produção, 2016. p. 144.

FERNANDEZ, Pedro. **Introdução aos processos estocásticos**. Rio de Janeiro - RJ: IMPA, maio de 1975. p. 82.
do evento não é enumerável basta saber que o conjunto dos números reais não são enumeráveis.

Na terceira parte do trabalho foi possível transitar da probabilidade de transição para uma probabilidade "relacional" por meio da densidade de probabilidade. Na primeira e segunda parte do trabalho, mas principalmente na primeira parte, o espaço de estados $E$ não é contínuo, pois mesmo o conjunto das variáveis aleatórias e o conjunto do tempo total pertencendo aos reais, ambos só assumem valores inteiros, dado a própria relação de ordem na transição do espaço de estados e de parâmetros. Na primeira parte também temos que a probabilidade de um dado evento depende do anterior e que as probabilidades de transição entre esses estados, isto é, dos estados possíveis do sistema, são discretos.

Porquanto, a passagem de um processo estocástico a um processo de Markov "contínuo" na primeira parte exigiria extensões da cadeia de Markov, tais como, o processo de Poisson, e as equações diferenciais estocásticas, que descrevem a evolução entre estados (discretos) ao longo de um tempo $t$ (contínuo). Destarte, poderíamos ter um processo de Wiener ou um movimento browniano contínuo em relação ao tempo $t$ ao fixar o evento $\gamma$ e ao ter probabilidade $1$ em $\gamma$, ou por outra, $B_t(\gamma) \subset t$, com $P(B_t) = 1 \in \gamma$.

Referências

RAMOS, Alberto. **Estatística 1**. São Paulo - SP: Escola Politécnica da Universidade de São Paulo - Departamento de Engenharia de Produção, 2016. p. 144.

FERNANDEZ, Pedro. **Introdução aos processos estocásticos**. Rio de Janeiro - RJ: IMPA, maio de 1975. p. 82.
MUNHOZ, Igor; SANTOS, Alessandra. Pesquisa operacional. Londrina - PR: Editora e Distribuidora Educacional S. A., 2018. p. 218.

POSSANI, Cláudio. Processos estocásticos e finanças. YouTube, 22 de março de 2023.
MUNHOZ, Igor; SANTOS, Alessandra. Pesquisa operacional. Londrina - PR: Editora e Distribuidora Educacional S. A., 2018. p. 218.

POSSANI, Cláudio. Processos estocásticos e finanças. YouTube, 22 de março de 2023.