Appliquée à $U = d_k = E(Y | \mathcal{F}_k) - E(Y | \mathcal{F}_{k-1})$ sachant $\mathcal{F}_{k-1}$, cela donne

$$E(e^{td_k} | \mathcal{F}_{k-1}) \le e^{\frac{t^2}{8} \operatorname{osc}(d_k)^2}.$$

Ensuite, en écrivant la somme télescopique $Y - E(Y) = d_n + \cdots + d_1$ on obtient

$$E(e^{t(Y-E(Y))}) = E(e^{t(d_{n-1}+\cdots+d_1)})E(e^{td_n} | \mathcal{F}_{n-1})) \le \cdots \le e^{\frac{t^2}{8}c},$$

où $c := \sum_{k=1}^n \operatorname{osc}(d_k)^2$. À présent, pour tout $t, r > 0$, par l'inégalité de Markov,

$$\begin{align*}
\mathbb{P}(Y - \mathbb{E}(Y) \ge r) &= \mathbb{P}(e^{t(Y - \mathbb{E}(Y))} \ge e^{tr}) \\
&\le e^{-tr} \mathbb{E}(e^{t(Y - \mathbb{E}(Y))}) \\
&\le e^{-tr + \frac{ct^2}{8}}.
\end{align*}$$

Ainsi, pour tout $r \ge 0$,

$$\mathbb{P}(Y - \mathbb{E}(Y) \ge r) \le \exp \left( \inf_{t>0} \left\{ -tr + \frac{ct^2}{8} \right\} \right) = \exp \left( -\frac{2r^2}{c} \right).$$

En utilisant cela pour les variables $Y$ et $-Y$, on obtient le résultat souhaité pour $\mathbb{P}(|Y - \mathbb{E}(Y)| \ge r)$. $\square$

**Lemme 20.4 (Lemme géométrique).** Il existe une constante $c_d > 0$ telle que si $X_1, \dots, X_k$ sont i.i.d. de loi uniforme sur $[0, 1]^d$ alors pour tout $x \in [0, 1]^d$,

$$g_k(x) := \mathbb{E} \left( \min_{1 \le i \le k} |X_i - x| \right) \le c_d k^{-1/d}.$$

*Démonstration.* Si $B(x, r)$ désigne la boule de centre $x$ et de rayon $r > 0$ dans $\mathbb{R}^d$, le volume minimal de $B(x, r) \cap [0, 1]^d$ quand $x$ parcourt $[0, 1]^d$ est atteint lorsque $x$ est un coin du cube $[0, 1]^d$. Lorsque $r \le 1$, la valeur du minimum est $2^{-d}|B(0, r)| = 2^{-d}|B(0, 1)|r^d$ (dessin). Si $1 < r \le \sqrt{d}$, la valeur du minimum est difficile à calculer. Elle reste néanmoins supérieure ou égale à celle du cas $r = 1$. Ainsi, pour tout $0 < r \le \sqrt{d}$, ce volume minimal est supérieur ou égal à $2^{-d}|B(0, 1)|(r/\sqrt{d})^d = a_d r^d$. Donc pour tout $x \in [0, 1]^d$ et tout $0 < r \le \sqrt{d}$, en utilisant à la fin l'inégalité de convexité $1 - u \le e^{-u}$,

$$\begin{align*}
\mathbb{P} \left( \min_{1 \le i \le k} |X_i - x| \ge r \right) &= \prod_{i=1}^{k} \mathbb{P} (X_i \in B(x, r)^c) \\
&= (1 - |B(x, r) \cap [0, 1]^d|)^k \\
&\le (1 - a_d r^d)^k \\
&\le \exp(-a_d k r^d).
\end{align*}$$
Ceci reste valable si $r > \sqrt{d}$ car dans ce cas $P(\min_{1 \le i \le k} |X_i - x| \ge r) = 0$.
On a

$$ \mathbb{E}\left(\min_{1 \le i \le k} |X_i - x|\right) = \int_0^\infty \mathbb{P}\left(\min_{1 \le i \le k} |X_i - x| \ge r\right) dr $$

et

$$ \int_0^\infty e^{-br^d} dr = \frac{\Gamma(1/d)}{db^{1/d}}. $$

□

Démonstration du théorème 20.2. Appliquons l'inégalité d'Azuma-Hoeffding (lemme 20.3) à $Y = L_n(X_1, \dots, X_n)$ et à la filtration $\mathcal{F}_k = \sigma(X_1, \dots, X_k)$ avec $\mathcal{F}_0 = \{\emptyset, \Omega\}$. Cela ramène le problème à la majoration uniforme de

$$ d_k = \mathbb{E}(L_n(X_1, \dots, X_n) | \mathcal{F}_k) - \mathbb{E}(L_n(X_1, \dots, X_n) | \mathcal{F}_{k-1}). $$

Si $(X'_1, \dots, X'_n)$ est une copie indépendante de $(X_1, \dots, X_n)$ on remarque que

$$ \mathbb{E}(L_n(X_1, \dots, X_k, \dots, X_n) | \mathcal{F}_{k-1}) = \mathbb{E}(L_n(X_1, \dots, X'_k, \dots, X_n) | \mathcal{F}_k) $$

et donc

$$ d_k := \mathbb{E}(L_n(X_1, \dots, X_k, \dots, X_n) - L_n(X_1, \dots, X'_k, \dots, X_n) | \mathcal{F}_k). $$

Nous allons maintenant majorer $\|d_k\|_\infty$. Soit $L$ la fonction qui associe à un ensemble fini de $\mathbb{R}^d$ la longueur minimale de la tournée. On a, pour tout $S \subset \mathbb{R}^d$ fini et tout $x \in \mathbb{R}^d$,

$$ L(S) \le L(S \cup \{x\}) \le L(S) + 2 \min_{y \in S} |x - y|. $$

En appliquant cette inégalité à $S = \{x_1, \dots, x_n\} \setminus \{x_k\}$ et à $x = x_k$ et $x = x'_k$ on obtient que

$$ \begin{aligned} |L_n(x_1, \dots, x_k, \dots, x_n) - L_n(x_1, \dots, x'_k, \dots, x_n)| & \\ & \le 2 \min_{i \ne k} |x'_k - x_i| + 2 \min_{i \ne k} |x_k - x_i| \\ & \le 2 \min_{i > k} |x'_k - x_i| + 2 \min_{i > k} |x_k - x_i|. \end{aligned} $$

En posant $g_k(x) := \mathbb{E}(\min_{1 \le i \le k} |X_i - x|)$ on obtient pour $1 \le k \le n-1$,

$$ \begin{aligned} |d_k| & \le 2\mathbb{E}\left(\min_{i>k} |X_k - X_i| + \min_{i>k} |X'_k - X_i| \mid \mathcal{F}_k\right) \\ & = 2g_{n-k}(X_k) + 2\mathbb{E}(g_{n-k}(X'_k)). \end{aligned} $$

Le lemme géométrique 20.4 donne, pour $d \ge 2$ et $1 \le k \le n-1$,

$$ \|d_k\|_\infty \le c_d (n-k)^{-1/d}. $$

Or $\|d_n\|_\infty \le c_d$ pour une autre constante car les $X_i$ sont bornées, d'où

$$ \sum_{k=1}^{n} \|d_k\|_{\infty}^{2} \le \begin{cases} c_d \log(n) & \text{pour } d=2, \\ c_d n^{(d-2)/d} & \text{pour } d>2. \end{cases} $$

□
## 20.2 Évaluation de la moyenne du cas uniforme

**Lemme 20.5** (Un bon début). Si $\mu \sim \text{Unif}([0, 1]^d)$ alors pour tout $n \ge 1$,

$$ \|L_n(X_1, \dots, X_n)\|_{\infty} \le c_d n^{(d-1)/d} $$

et

$$ c_d^- n^{(d-1)/d} \le \mathbb{E}(L_n(X_1, \dots, X_n)) \le c_d^+ n^{(d-1)/d} $$

où $0 < c_d^- \le c_d^+ < \infty$ sont des constantes qui ne dépendent que de $d$.

**Démonstration.** Le cube $[0, 1]^d$ est l'union de $(1/\varepsilon)^d$ petits cubes isométriques à $[0, \varepsilon]^d$. Avec $\varepsilon = n^{-1/d}$ on obtient que $[0, 1]^d$ peut être recouvert par $\mathcal{O}(n)$ petits cubes de diamètre $\mathcal{O}(n^{-1/d})$. Par le principe des tiroirs$^5$, pour tous $x_1, \dots, x_n \in [0, 1]^d$ on a, pour une constante $c_d$ qui peut dépendre de $d$,

$$ \min_{1 \le i \ne j \le n} |x_i - x_j| \le c_d n^{-1/d}. $$

Par conséquent, si $\ell_n$ est le maximum sur $x_1, \dots, x_n$ de la longueur de tournée minimale pour $x_1, \dots, x_n$, alors

$$ \ell_n \le \ell_{n-1} + 2c_d n^{-1/d} $$

qui donne, pour une nouvelle constante $c_d$ qui peut dépendre de $d$,

$$ \|L_n(X_1, \dots, X_n)\|_{\infty} \le c_d n^{-1/d+1} = c_d n^{(d-1)/d}. $$

Par ailleurs, la preuve du lemme 20.4 indique que $|B(x, r) \cap [0, 1]^d|$ est maximal quand $x$ est au centre du cube, d'où, pour tout $x \in [0, 1]^d$ et tout $0 < r \le 1/2$,

$$ \mathbb{P}\left(\min_{1 \le i \le n-1} |X_i - x| \ge r\right) \ge (1 - \omega_d r^d)^{n-1} $$

avec $\omega_d := |B(0, 1)|$. En utilisant l'inégalité élémentaire $(1-u)^\alpha \ge 1 - \alpha u$ valable dès que $0 \le u \le 1/\alpha$, on en déduit que

$$ \mathbb{E}\left(\min_{1 \le i \le n-1} |X_i - x|\right) \ge \int_0^{1/2} (1 - \omega_d r^d)^{n-1} dr \ge c_d n^{-1/d}. $$

Ainsi,

$$ \min_{1 \le j \le n} \mathbb{E} \left( \min_{1 \le i \ne j \le n} |X_i - X_j| \right) = \min_{1 \le j \le n} \mathbb{E} \left( \mathbb{E} \left( \min_{1 \le i \ne j \le n} |X_i - X_j| \mid X_j \right) \right) \\ \ge c_d n^{-1/d} $$

où $c_d$ est une constante qui dépend de la dimension $d$. Or le circuit optimal à travers $X_1, \dots, X_n$ possède $n$ arêtes et passe par chacun des $n$ sommets.

<footnote n="5">5. Pigeonhole principle en anglais : si on dispose $n$ objets dans $m$ boîtes avec $n > m$ alors au moins l'une des boîtes contient deux objets ou plus.</footnote>
On dispose donc d'une écriture $L_n(X_1, \dots, X_n) = \sum_{i=1}^n |X_i - X_{j_i}|$ pour des entiers aléatoires $j_1, \dots, j_n$, ce qui donne

$$
\begin{align*}
\mathrm{E}(L_n(X_1, \dots, X_n)) &\ge \sum_{j=1}^{n} \mathrm{E} \left( \min_{1 \le i \ne j \le n} |X_i - X_j| \right) \\
&\ge n c_d n^{-1/d} \\
&= c_d n^{(d-1)/d}.
\end{align*}
$$

□

**Théorème 20.6** (Le bon résultat). Si $\mu$ est la loi uniforme sur $[0, 1]^d$ alors

$$
\lim_{n \to \infty} \frac{\mathrm{E}(L_n(X_1, \dots, X_n))}{n^{(d-1)/d}} = \gamma_d
$$

où $0 < \gamma_d < \infty$ est un réel qui dépend de $d$.

Nous savons déjà que $a_n := \mathbb{E}(L_n) \approx n^{(d-1)/d}$ ce qui rend naturel de cher-
cher à établir que $n^{d/(d-1)}a_n$ converge quand $n$ tend vers l'infini. Ce compor-
tement non linéaire empêche l'usage direct d'une technique de sous-additivité.
Il est cependant possible de linéariser le problème par poissonisation puis dé-
poissonisation. L'heuristique est la suivante : si $N$ est une v.a.r. à valeurs en-
tières alors $\mathbb{E}(a_N) \approx \mathbb{E}(N^{(d-1)/d}) \approx \mathbb{E}(N)^{(d-1)/d}$ qui est linéaire en $t$ lorsque
$N \sim \mathrm{Poi}(t^{d/(d-1)})$. Par ailleurs si $N \sim \mathrm{Poi}(n)$ alors $a_n \approx \mathbb{E}(a_N)$.

Démonstration. On procède par étapes.

Poissonisation. On note $L(S)$ la longueur minimale de la tournée pour un ensemble fini de points $S = \{x_1, \dots, x_n\} \subset \mathbb{R}^d$, avec la convention $L(S) = 0$ si $\text{card}(S) \le 2$. Soit $P$ un processus ponctuel de Poisson sur $\mathbb{R}^d$ de mesure d'intensité Lebesgue. Soit $(Z_t)_{t \ge 0}$ le processus défini par $Z_t = L(P \cap [0, t]^d)$ c'est-à-dire la longueur minimale de la tournée pour les atomes du processus de Poisson $P$ se trouvant dans le cube $[0, t]^d$. Pour tout $n \ge 0$,

$$
\mathrm{Loi}(P \mid \mathrm{card}(P \cap [0, t]^d) = n) = \mathrm{Unif}([0, t]^d)^{\otimes n}.
$$

D'autre part, $L(tS) = tL(S)$ et $\mathrm{card}(P \cap [0, t]^d) \sim \mathrm{Poi}(t^d)$, ce qui donne

$$
\begin{align*}
\mathrm{E}(Z_t) &= \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{E}(Z_t \mid \mathrm{card}(P \cap [0,t]^d) = n) \mathbb{P}(\mathrm{card}(P \cap [0,t]^d) = n) \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{E}(L(P \cap [0,t]^d) \mid \mathrm{card}(P \cap [0,t]^d) = n) e^{-t^d} \frac{t^{dn}}{n!} \\
&= e^{-t^d} \sum_{n=0}^{\infty} t a_n \frac{t^{dn}}{n!}
\end{align*}
$$

où
$$a_n := \mathbb{E}(L_n(X_1, \dots, X_n)).$$

Le facteur $t$ devant $a_n$ vient du fait que $a_n$ concerne $[0, 1]^d$ et non pas $[0, t]^d$. Le lemme 20.5 entraîne que $a_n = \mathcal{O}(n^{(d-1)/d})$ et donc $t \mapsto \mathbb{E}(Z_t)$ est continue et même analytique. La suite $(a_n)_{n \ge 1}$ peut donc s'obtenir à partir de la donnée de la fonction $t \mapsto \mathbb{E}(Z_t)$ au voisinage de $t = 0$. Cependant, nous allons plutôt montrer que $\lim_{t \to \infty} t^{-1}\mathbb{E}(Z_t)$ existe, ce qui suffira.

**Sous-additivité.** Soit $C_1, \dots, C_{k^d}$ une partition (aux bords près) de $[0, t]^d$ en $k^d$ cubes similaires à $[0, t/k]^d$. Pour tous $x_1, \dots, x_n \in \mathbb{R}^d$, les $k^d$ tournées des ensembles $S_i = \{x_1, \dots, x_n\} \cap C_i$ peuvent être concaténées pour former une tournée pour $\{x_1, \dots, x_n\} \cap [0, t]^d$, avec un coût supplémentaire $\mathcal{O}(k^{d-1})$: choisir un point dans chacune des $k^d$ tournées et les connecter avec une tournée de coût $\mathcal{O}(k^{d-1})$ grâce à la première borne du lemme 20.5 ce qui donne une grande tournée en chapelet. Ainsi, il existe une constante $c > 0$ telle que pour tout $k \ge 1$ et tout $t \ge 0$,

$$L(\{x_1, \dots, x_n\} \cap [0, t]^d) \le \sum_{i=1}^{k^d} L(\{x_1, \dots, x_n\} \cap C_i) + ctk^{d-1}.$$

Cela donne $\mathbb{E}(Z_t) \le k^d \mathbb{E}(Z_{t/k}) + ctk^{d-1}$, d'où une première estimation :

$$\frac{\mathbb{E}(Z_{tk})}{(tk)^d} \le \frac{\mathbb{E}(Z_t)}{t^d} + ct^{1-d}.$$

En prenant $t = 1$ on obtient

$$0 \le \gamma := \lim_{k \to \infty} \frac{\mathbb{E}(Z_k)}{k^d} \le \mathbb{E}(Z_1) + c < \infty.$$

Par définition de $\gamma$, pour tout $\varepsilon > 0$ on peut choisir $k_0$ assez grand pour que

$$\frac{\mathbb{E}(Z_{k_0})}{k_0^d} + ck_0^{1-d} \le \gamma + \varepsilon.$$

Comme $t \mapsto \mathbb{E}(Z_t)$ est continue, on peut choisir $\delta > 0$ tel que pour tout $k_0 < t < k_0 + \delta$,

$$\frac{\mathbb{E}(Z_t)}{t^d} + ct^{1-d} \le \gamma + 2\varepsilon.$$

Grâce à notre première estimation, on voit que cette deuxième estimation a lieu pour tout $kk_0 < t < k(k_0 + \delta)$. Or pour $k > k_0/\delta$ les intervalles $I_k := ]kk_0, k(k_0 + \delta)[$ et $I_{k+1}$ se recouvrent. On en déduit qu'elle a lieu pour tout $t \ge \lfloor k_0^2/\delta \rfloor$, ce qui implique en particulier

$$\overline{\lim}_{t \to \infty} \frac{\mathbb{E}(Z_t)}{t^d} \le \underline{\lim}_{t \to \infty} \frac{\mathbb{E}(Z_t)}{t^d} + 2\varepsilon = \gamma + 2\varepsilon.$$

Comme $\varepsilon > 0$ est arbitraire, on obtient donc
$$ \lim_{t \to \infty} \frac{\mathbb{E}(Z_t)}{t^d} = \gamma. $$

Ainsi, le développement en série de $\mathbb{E}(Z_t)$ donne, après le changement de variable $u = t^d$,

$$ \sum_{k=0}^{\infty} e^{-u} a_k \frac{u^k}{k!} \underset{k \to \infty}{\sim} \gamma u^{(d-1)/d}. $$

Dépoissonisation. On commence par montrer que $n \mapsto a_n$ est assez régulière. Comme il est possible de concaténer un circuit pour $X_1, \dots, X_m$ et un circuit pour $X_{m+1}, \dots, X_{m+n}$ avec un coût inférieur à $2\sqrt{d}$ (diamètre du cube) on en déduit que

$$ a_{n+m} \le a_n + a_m + 2\sqrt{d} $$

ce qui donne $0 \le a_n - a_k \le a_{n-k} + 2\sqrt{d}$ pour tout $0 \le k \le n$. Or le lemme 20.5 donne $a_n = O(n^{(d-1)/d})$ et on en déduit

$$ |a_n - a_k| \le |a_{n-k} + 2\sqrt{d}| \le c|n - k|^{(d-1)/d}. $$

Si $N$ est une v.a.r. de Poisson de moyenne $n$ alors

$$ \mathbb{E}(a_N) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k e^{-n} \frac{n^k}{k!} $$

et donc

$$ \begin{align*} |a_n - \mathbb{E}(a_N)| &\le \sum_{k=0}^{\infty} |a_n - a_k| e^{-n} \frac{n^k}{k!} \\ &\le c \sum_{k=0}^{\infty} |n-k|^{(d-1)/d} e^{-n} \frac{n^k}{k!} \\ &= c \mathbb{E}(|N - \mathbb{E}(N)|^{(d-1)/d}) \\ &\le c \mathbb{E}(|N - \mathbb{E}(N)|^2)^{(d-1)/(2d)} \\ &= c \text{Var}(N)^{(d-1)/(2d)} \\ &= \mathcal{O}(n^{(d-1)/(2d)}) = o(n^{(d-1)/d}). \end{align*} $$

Or le résultat de la poissonisation avec $t=n$ donne

$$ \mathbb{E}(a_N) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k e^{-n} \frac{n^k}{k!} \underset{k \to \infty}{\sim} \gamma n^{(d-1)/d} $$

et donc

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{\mathbb{E}(L_n(X_1, \dots, X_n))}{n^{(d-1)/d}} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^{(d-1)/d}} = \gamma. $$

Le fait que $\gamma > 0$ découle de la borne inférieure du lemme 20.5. $\square$

<figure><img src="image_63.png" /></figure>
## 20.3 Démonstration du cas uniforme

Nous sommes en mesure à présent de démontrer le théorème 20.1 dans le cas où $\mu$ suit la loi uniforme sur le cube $[0, 1]^d$. Par le théorème 20.2 et le lemme de Borel-Cantelli, p.s.

$$L_n - \mathbb{E}(L_n) = \begin{cases} \mathcal{O}_{n \to \infty}(\log(n)) & \text{si } d = 2, \\ \mathcal{O}_{n \to \infty}\left(n^{(d-2)/(2d)} \sqrt{\log(n)}\right) & \text{si } d > 2 \end{cases}$$

tandis que par le théorème 20.6 on a, pour un $0 < \gamma < \infty$,

$$\mathbb{E}(L_n(X_1, \dots, X_n)) \sim_{n \to \infty} \gamma n^{(d-1)/d}.$$

## 20.4 Pour aller plus loin

Lorsque $d = 2$ et $X_1, \dots, X_n$ sont i.i.d. uniforme sur $[0, 1]^2$, on peut se convaincre intuitivement que probablement $L_n(X_1, \dots, X_n)$ est de l'ordre de $\sqrt{n}$ lorsque $n$ est grand en parcourant le carré par zigzags parallèles régulièrement espacés, par exemple horizontaux : il y a approximativement $\sqrt{n}$ lignes de longueur unité contenant chacune approximativement $\sqrt{n}$ points. Plus rigoureusement, cela conduit à aborder le problème du voyageur de commerce en dimension $d = 2$ en utilisant une courbe qui «remplit l'espace».

Le contenu de ce chapitre est directement inspiré du joli livre de Michael Steele [Ste97]. On pourra également consulter sur ce thème le livre de Joseph Yukich [Yuk98] ainsi que le livre de Marc Mézard et Andrea Montanari [MM09]. L'inégalité de concentration d'Azuma-Hoeffding est étudiée par Colin McDiarmid dans [McD89, McD98]. Le théorème 20.1 a été obtenu par John Hammersley et ses élèves Jillian Beardwood et John Halton vers 1959 et peut être démontré par réduction au cas uniforme sur le cube $[0, 1]^d$. On sait par ailleurs que $\gamma_2 \approx 0,7$ et que $\gamma_d \sim_{d \to \infty} \sqrt{d2\pi e}$.

En théorie de la complexité algorithmique, la complexité d'un algorithme est le coût d'exécution en fonction de la taille ($n$ pour TSP) du problème. Un algorithme polynomial est préférable à un algorithme exponentiel au-delà d'une certaine taille. On dit qu'un problème est NP lorsqu'il est possible de vérifier la validité d'une solution avec un algorithme polynomial. L'explosion combinatoire fait qu'un problème NP n'est pas automatiquement résoluble par un algorithme polynomial en testant toutes les solutions. On dit qu'un problème est NP-complet lorsque le problème est au moins aussi difficile à résoudre que tout autre problème NP, c'est-à-dire que tout problème NP se réduit à celui-ci avec un algorithme polynomial. Les problèmes NP-complets sont donc des problèmes clés. À l'heure actuelle, tous les algorithmes connus pour résoudre les problèmes NP-complets sont exponentiels, ce qui les rend assez rapidement inexploitables. La question ouverte la plus fameuse de l'informationique consiste à trouver un algorithme polynomial pour résoudre un
problème NP complet. On sait démontrer que TSP est NP-complet, et on ne connaît pas d'algorithme de résolution polynomial. Il est cependant possible de rechercher une solution approchée, par exemple avec un algorithme stochastique générique comme l'algorithme du recuit simulé, comme expliqué dans le chapitre 5. Contrairement à TSP, les deux autres problèmes phares de l'optimisation combinatoire (arbre couvrant minimal et appariement euclidien minimal) sont résolubles en temps polynomial. Pour en savoir plus, on renvoie par exemple au livre de Alfred Aho, John Hopcroft, et Jeffrey Ullman [AHU75], au livre de Giorgio Ausiello, Pierluigi Crescenzi, Giorgio Gambosi, et Viggo Kann [ACG+99], ainsi qu'au cours de Charles Bordenave [Bor14a].
# Matrices aléatoires

**Mots-clés.** Matrice aléatoire ; matrice de covariance ; spectre ; nombres de Catalan ; théorème de Wigner ; loi du demi-cercle ; théorème de Marchenko-Pastur ; loi du quart-de-cercle.

**Outils.** Méthode des moments ; fonction caractéristique ; théorème de Prohorov ; formule de Courant-Fischer ; inégalité de Hoffman-Wielandt ; inégalité d'Azuma-Hoeffding ; distance de Wasserstein ; distance de Kolmogorov-Smirnov ; combinatoire.

## Difficulté. ***

Ce chapitre est consacré à un phénomène d'universalité concernant le comportement asymptotique du spectre de matrices aléatoires de grande dimension. Nous commençons par une motivation statistique, dont le dénouement n'est abordé que dans la section 21.5. Soient $X_1, \dots, X_n$ des vecteurs colonnes aléatoires i.i.d. de $\mathbb{R}^d$ centrés et de matrice de covariance $\Sigma$. La matrice $\Sigma$ est symétrique $d \times d$ et ses valeurs propres sont positives ou nulles. On a $\Sigma_{ij} = E(X_{ki}X_{kj})$ pour tous $1 \le i, j \le d$ et tout $1 \le k \le n$ ou encore

$$ \Sigma = E(X_1 X_1^\top) = \dots = E(X_n X_n^\top). $$

La matrice de covariance empirique $\hat{\Sigma}_n$ est la matrice symétrique $d \times d$ suivante

$$ \hat{\Sigma}_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_k X_k^\top = \frac{1}{n} (X_1 \cdots X_n) (X_1 \cdots X_n)^\top. $$

On a

$$ E(\hat{\Sigma}_n) = \Sigma. $$

Par la loi des grands nombres appliquée aux $d \times d$ coefficients,

$$ \hat{\Sigma}_n \xrightarrow{n \to \infty} \Sigma. $$
On souhaite étudier le comportement de la matrice aléatoire $\hat{\Sigma}_n$ lorsque la dimension des données $d = d_n$ dépend de $n$ et tend vers $\infty$. Simplifions en posant $\Sigma = I_d$. Cela nous conduit au modèle suivant : on se donne une famille $(Y_{ij})_{i,j \ge 1}$ de v.a.r. i.i.d. de moyenne 0 et de variance 1, et pour tout entier $n \ge 1$, on considère la matrice aléatoire $d_n \times d_n$ symétrique

$$ \frac{1}{n}YY^\top $$

où $Y = (Y_{ij})_{1 \le i \le d_n, 1 \le j \le n}$. Si $n \mapsto d_n$ est constante et égale à $d$ alors $\frac{1}{n}YY^\top$ converge presque sûrement vers la matrice $\Sigma = I$. Il est naturel de cher-cher à comprendre le comportement de la matrice aléatoire $\frac{1}{n}YY^\top$ lorsque $d_n$ dépend de $n$, par exemple en étudiant son spectre. L'analyse de la matrice symétrique $YY^\top$ est rendue difficile par le fait que ses coefficients sont dépendants. Cela suggère d'analyser en première approche des matrices aléatoires symétriques dont les coefficients sont indépendants dans le triangle supérieur, ce qui conduit au théorème de Wigner, objet principal de ce chapitre. Nous reviendrons aux matrices de covariance empiriques dans la section 21.5.

## 21.1 Théorème de Wigner

Soient $(M_{ij})_{i \ge 1, j \ge 1}$ des v.a.r. indépendantes. On considère le tableau aléatoire symétrique infini obtenu en posant $M_{ij} := M_{ji}$ pour tous $i, j \ge 1$ :

$$ \begin{pmatrix} M_{1,1} & M_{1,2} & \cdots \\ M_{2,1} & M_{2,2} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}. $$

On se donne un entier $n \ge 1$ et on note $M := (M_{ij})_{1 \le i,j \le n}$ la matrice réelle symétrique aléatoire obtenue en extrayant le carré $n \times n$ situé dans le coin supérieur gauche du tableau. Soient

$$ \lambda_{n,1}, \dots, \lambda_{n,n} $$

les valeurs propres de la matrice réelle symétrique $\frac{1}{\sqrt{n}}M$, ordonnées de sorte que $\lambda_{n,1} \ge \dots \ge \lambda_{n,n}$. On s'intéresse à leur mesure de comptage, appelée mesure spectrale empirique, définie par

$$ \mu_n := \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \delta_{\lambda_{n,k}}. $$

Il s'agit d'une mesure de probabilité aléatoire, de même nature que la mesure empirique dans le théorème de Glivenko-Cantelli<fnref n="1" />, mis à part que les atomes

<footnote n="1">1. Si $(Z_n)_{n \ge 1}$ sont i.i.d. de loi $\eta$ alors presque sûrement, la mesure empirique $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \delta_{Z_k}$ converge étroitement vers $\eta$ quand $n \to \infty$, et la convergence des fonctions de répartition est uniforme. Il s'agit d'une conséquence de la loi forte des grands nombres, et du fait que la topologie de la convergence étroite sur $\mathbb{R}$ est séparable.</footnote>
<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>**Fig. 21.1.** Illustration du théorème 21.1 de Wigner : densité de la loi du demi-cercle $\mu_1^\Theta$ et histogramme des valeurs propres d'une matrice symétrique de taille $n = 1000$ dont les coefficients du triangle supérieur, diagonale incluse, sont des v.a.r. i.i.d. de loi uniforme sur l'intervalle $[-\sqrt{3}/n, \sqrt{3}/n]$ (la variance vaut donc $1/n$).</figcaption></figure>

$\lambda_{n,1}, \dots, \lambda_{n,n}$ sont ici des v.a.r. dépendantes<fnref n="2" />. Pour tout borélien $B \subset \mathbb{R}$,

$$ \mu_n(B) = \frac{\mathrm{card}\{1 \le k \le n : \lambda_{n,k} \in B\}}{n}. $$

Pour toute fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mesurable, on a

$$ \int f d\mu_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(\lambda_{n,k}). $$

La fonction de répartition $F_n$ de $\mu_n$ est donnée pour tout $x \in \mathbb{R}$ par

$$ F_n(x) := \mu_n([ -\infty, x ]) = \int 1_{[-\infty, x]} d\mu_n = \frac{\mathrm{card}\{1 \le k \le n : \lambda_{n,k} \le x\}}{n}. $$

Le théorème de Wigner est un analogue de la loi des grands nombres.

<footnote n="2">2. Fonctions non linéaires de $M$ (racines du polynôme caractéristique!).</footnote>
**Théorème 21.1** (Wigner). Supposons que $(M_{ij})_{j \ge i \ge 1}$ soient des v.a.r. i.i.d. centrées et de variance finie et non nulle $\sigma^2$. Soit $M = (M_{i,j})_{1 \le i,j \le n}$ avec $M_{j,i} := M_{i,j}$. Soit $\mu_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \delta_{\lambda_{n,k}}$ la mesure empirique des valeurs propres de $\frac{1}{\sqrt{n}}M$. Alors presque sûrement, la suite de mesures de probabilité $(\mu_n)_{n \ge 1}$ converge étroitement vers la loi du demi-cercle $\mu_\sigma^\Theta$ de densité

$$x \mapsto \frac{\sqrt{4\sigma^2 - x^2}}{2\pi\sigma^2} 1_{[-2\sigma, 2\sigma]}(x).$$

En d'autres termes, p.s. pour toute fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue et bornée,

$$\int f d\mu_n \xrightarrow{n \to \infty} \int f d\mu_\sigma^\Theta.$$

Rappelons que la convergence étroite des mesures de probabilités est la convergence pour les fonctions test continues et bornées. Elle est équivalente à la convergence ponctuelle des fonctions caractéristiques, ainsi qu’à la convergence ponctuelle des fonctions de répartition en tout point de continuité de la limite. Pour les variables aléatoires, cela correspond à la convergence en loi.

Le nom «loi du demi-cercle» utilisé pour désigner $\mu_\sigma^\Theta$ vient du fait que la densité est l'équation d'un demi-cercle (à une constante de normalisation près égale à la moitié de l'aire du cercle). Comme $\mu_\sigma^\Theta$ n'a pas d'atomes, le théorème de Wigner affirme que presque sûrement, pour tout intervalle $I \subset \mathbb{R}$,

$$\lim_{n \to \infty} \mu_n(I) = \mu_\sigma^\Theta(I) = \int_{I \cap [-2\sigma, 2\sigma]} \frac{\sqrt{4\sigma^2 - x^2}}{2\pi\sigma^2} dx.$$

Ainsi, la proportion de valeurs propres de $M$ n'appartenant pas à l'intervalle $[-2\sigma\sqrt{n}, 2\sigma\sqrt{n}]$ tend vers zéro quand $n \to \infty$. Le théorème de Wigner met en lumière un phénomène d'universalité, en ce sens que la loi limite $\mu_\sigma^\Theta$ ne dépend de la loi des coefficients de la matrice $M$ qu'à travers leur variance $\sigma^2$.

Le comportement de la moyenne de $\mu_n$ peut être compris en observant que

$$\begin{aligned} \int x d\mu_n(x) &= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \lambda_{n,k} = \frac{1}{n} \mathrm{Tr} \left( \frac{1}{\sqrt{n}} M \right) \\ &= \frac{1}{n^{3/2}} \sum_{1 \le i \le n} M_{ii} \xrightarrow{n \to \infty} 0 = \int x d\mu_\sigma^\Theta(x) \end{aligned}$$

où la convergence p.s. provient de la loi des grands nombres. La normalisation en $1/\sqrt{n}$ de $M$ peut être comprise à son tour en observant tout d'abord que

$$\begin{aligned} \int x^2 d\mu_n(x) &= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \lambda_{n,k}^2 = \frac{1}{n} \mathrm{Tr} \left( \left( \frac{1}{\sqrt{n}} M \right)^2 \right) \\ &= \frac{1}{n^2} \sum_{1 \le i,j \le n} M_{ij}^2 \xrightarrow{n \to \infty} \sigma^2 = \int x^2 d\mu_\sigma^\Theta(x) \end{aligned}$$
où la convergence p.s. provient ici encore de la loi des grands nombres. D'autre part, par l'inégalité de Markov, p.s. pour tout $r > 0$,

$$ \mu_n([-r, r]^c) \le \frac{1}{r^2} \int x^2 d\mu_n(x) \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \frac{\sigma^2}{r^2}. $$

Par conséquent, presque sûrement, pour tout $\varepsilon > 0$ il existe un compact $K_\varepsilon = [-r_\varepsilon, r_\varepsilon]$ tel que $\mu_n(K_\varepsilon) \le \varepsilon$ pour tout $n \ge 1$. Ainsi, presque sûrement, la suite $(\mu_n)_{n \ge 1}$ est tendue, et le théorème de Prohorov 3 affirme alors que cette suite est relativement compacte pour la convergence étroite, en ce sens que si elle possède une unique valeur d'adhérence pour la convergence étroite alors elle converge étroitement. Malgré cette observation réconfortante, nous allons utiliser une autre approche pour démontrer le théorème de Wigner.

L'idée consiste à se ramener à des fonctions test $f$ polynomiales (section 21.3) puis à établir la convergence des moments (section 21.4) en s'inspirant de la méthode utilisée ci-dessus pour les moments d'ordre 1 et 2. Mais cela nécessite tout d'abord de réduire le problème à un cas plus simple !

## 21.2 Réduction à un cas plus simple

La mesure spectrale empirique moyenne $E\mu_n$ est la mesure de probabilité définie pour toute fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mesurable et positive (ou bornée) par

$$ \int f dE\mu_n := E \int f d\mu_n := E \left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(\lambda_{n,k}) \right). $$

Le but de cette section est de réduire le théorème de Wigner 21.1 à une version simplifiée, le théorème 21.2 ci-dessous, qui concerne la suite de mesures de probabilités $(E\mu_n)_{n \ge 1}$ lorsque la matrice $M$ a une diagonale nulle et des coefficients hors diagonale bornés. Le théorème 21.2 est démontré plus loin, dans la section 21.4, en utilisant la méthode des moments de la section 21.3.

**Théorème 21.2** (de Wigner simplifié). Soit $M = (M_{ij})_{1 \le i,j \le n}$ une matrice réelle symétrique aléatoire, à diagonale nulle $M_{11} = \dots = M_{nn} = 0$, telle que les variables aléatoires $(M_{ij})_{1 \le i < j \le n}$ sont indépendantes et identiquement distribuées, centrées, de variance $\sigma^2$ finie et non nulle, et à support compact $[-C, C]$, $C > 0$. Soit $\mu_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \delta_{\lambda_{n,k}}$ la mesure empirique des valeurs propres de $\frac{1}{\sqrt{n}}M$. Alors pour toute fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue et bornée,

$$ \lim_{n \to \infty} E \int f d\mu_n = \int f d\mu_\sigma^\Theta. $$

Le théorème 21.2 est démontré dans la section 21.4.

<footnote n="3">3. Un ensemble de mesures de probabilités est tendu si et seulement si il est séquentiellement relativement compact pour la topologie de la convergence étroite. En particulier, si une suite de mesures de probabilités est tendue et possède une unique valeur d'adhérence pour la convergence étroite, alors elle converge étroitement.</footnote>
Réduction au cas borné

Dans cette sous-section, nous allons montrer qu’il suffit d’établir le théo-
rème de Wigner 21.1 dans le cas particulier où les coefficients de la matrice
sont bornés. On procède par troncature. Soit $C > 0$ un réel et

$$
(M_C)_{ij} := M_{ij} \mathbf{1}_{\{|M_{ij}| \le C\}}.
$$

Notons $\mathcal{P}_2$ l'ensemble des lois sur $\mathbb{R}$ possédant un moment d'ordre 2 fini.
La distance de Wasserstein $W_2$ sur $\mathcal{P}_2$ est définie pour tous $\nu_1, \nu_2 \in \mathcal{P}_2$ par

$$
W_2(\nu_1, \nu_2)^2 := \inf_{\substack{(X_1, X_2) \\ X_1 \sim \nu_1, X_2 \sim \nu_2}} \mathbb{E}(|X_1 - X_2|^2)
$$

où l'infimum porte sur l'ensemble des couples de variables aléatoires (X₁, X₂)
de lois marginales ν₁ et ν₂. La convergence pour la distance de Wasserstein
W₂ entraîne la convergence étroite. Dans le cas de lois discrètes de la forme

$$
\nu_1 = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \delta_{a_k} \quad \text{et} \quad \nu_2 = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \delta_{b_k}
$$

avec $a_1 \le \dots \le a_n$ et $b_1 \le \dots \le b_n$, on trouve

$$
W_2(\nu_1, \nu_2)^2 = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (a_i - b_i)^2.
$$

Rappelons que $M_n(\mathbb{C})$ est un espace de Hilbert pour le produit scalaire
$\langle A, B \rangle := \text{Tr}(AB^*)$. La norme associée est appelée norme de Hilbert-Schmidt<fnref n="4" />

$$
\|A\|_{\mathrm{HS}}^2 = \mathrm{Tr}(AA^*) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} |A_{ij}|^2.
$$

Le lemme suivant, admis, est un résultat classique d’algèbre linéaire. Des
références sont données dans la section 21.5.

**Lemme 21.3** (Inégalité de Hoffman-Wielandt). Si $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ sont her-
mitiennes de spectres $\lambda_1(A) \ge \dots \ge \lambda_n(A)$ et $\lambda_1(B) \ge \dots \ge \lambda_n(B)$ alors

$$
nW_2(\mu_A, \mu_B)^2 = \sum_{k=1}^{n} (\lambda_k(A) - \lambda_k(B))^2 \le \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} |A_{ij} - B_{ij}|^2 = \|A - B\|_{\text{HS}}^2.
$$

Par le lemme de Hoffman-Wielandt 21.3 et la loi forte des grands nombres,

$$
W_2\left(\mu_{\frac{1}{\sqrt{n}}M}, \mu_{\frac{1}{\sqrt{n}}M_C}\right)^2
$$

<footnote n="4">4. Ou encore norme de Schur ou norme de Frobenius.</footnote>
$$ \le \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} |M_{ij}|^2 \mathbf{1}_{\{|M_{ij}| > C\}} \xrightarrow{n \to \infty} \mathbb{E}(|M_{12}|^2 \mathbf{1}_{\{|M_{12}| > C\}}). $$

Par le théorème de convergence dominée ou par le théorème de convergence monotone, le membre de droite peut être rendu arbitrairement proche de 0 en choisissant $C$ assez grand. Par conséquent, il suffit d'établir le théorème de Wigner 21.1 pour $M_C$ (en lieu et place de $M$) pour tout réel $C > 0$. Cependant les coefficients de la matrice $M_C$ ne sont plus forcément centrés car la loi des coefficients de $M$ n'est pas forcément symétrique.

## Réduction au cas centré

Dans cette sous-section, nous allons montrer qu'il suffit d'établir le théorème de Wigner 21.1 pour $M_C - \mathbb{E}(M_C)$ pour tout réel $C > 0$.

L'orthogonalité des sous-espaces propres des matrices symétriques conduit aux formules variationnelles min-max de Courant-Fischer pour les valeurs propres. Plus précisément, si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est hermitienne de valeurs propres $\lambda_1(A) \ge \dots \ge \lambda_n(A)$, alors pour tout $1 \le k \le n$, en notant $\mathcal{G}_k$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{C}^n$ de dimension $k$, on a

$$ \lambda_k(A) = \max_{V \in \mathcal{G}_k} \min_{\substack{x \in V \\ \|x\|_2 = 1}} \langle Ax, x \rangle = \min_{V \in \mathcal{G}_{n-k+1}} \max_{\substack{x \in V \\ \|x\|_2 = 1}} \langle Ax, x \rangle. $$

Les cas $k=1$ et $k=n$ sont familiers. Ces formules sont un résultat classique d'algèbre linéaire, tout comme le lemme suivant, que nous admettons. Des références sont données dans la section 21.5. On note $F_A$ la fonction de répartition de la mesure spectrale $\mu_A := \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \delta_{\lambda_k(A)}$. Pour tout $t \in \mathbb{R}$,

$$ F_A(t) := \mu_A([ - \infty, t ]) = \int 1_{[-\infty, t]} d\mu_A = \frac{\mathrm{card}\{1 \le k \le n : \lambda_k(A) \le t\}}{n}. $$

**Lemme 21.4 (Entrelacement pour les perturbations additives de faible rang).**
Si $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ sont hermitiennes de valeurs propres $\lambda_1(A) \ge \dots \ge \lambda_n(A)$ et $\lambda_1(B) \ge \dots \ge \lambda_n(B)$ et si $r := \mathrm{rang}(B - A)$ alors

$$ \lambda_{k+r}(A) \le \lambda_k(B) \le \lambda_{k-r}(A) $$

pour tout $1 \le k \le n$, avec la convention $\lambda_k(A) = +\infty$ si $k < 1$ et $\lambda_k(A) = -\infty$ si $k > n$. En particulier on a

$$ d_{\mathrm{KS}}(\mu_A, \mu_B) := \|F_A - F_B\|_{\infty} := \sup_{t \in \mathbb{R}} |F_A(t) - F_B(t)| \le \frac{\mathrm{rang}(A - B)}{n}. $$

La notation $d_{\mathrm{KS}}$ désigne la distance de Kolmogorov-Smirnov entre les lois de probabilités discrètes $\mu_A$ et $\mu_B$. Il est bien connu que la convergence en distance de Kolmogorov-Smirnov entraîne la convergence étroite.
À présent, comme les variables aléatoires $((M_C)_{ij})_{1\le i,j\le n}$ sont de même moyenne $m_C := E((M_C)_{ij})$, on a $\rang(E(M_C)) = \rang(m_C 1_n) \le 1$ et donc

$$d_{KS}\left(\mu_{\frac{1}{\sqrt{n}}M_C}, \mu_{\frac{1}{\sqrt{n}}(M_C - E(M_C))}\right) \le \frac{1}{n} \xrightarrow{n \to \infty} 0.$$

Par conséquent, il suffit d'établir le théorème de Wigner 21.1 pour la matrice $M_C - E(M_C)$ (en lieu et place de $M$) pour tout réel $C > 0$.

## Suppression de la diagonale

La méthode utilisée pour la troncature permet de la même manière de supprimer la diagonale : si $D_C := \text{diag}((M_C - E(M_C))_{ii}: 1 \le i \le n)$ est la matrice diagonale formée par la diagonale de la matrice $M_C - E(M_C)$, alors

$$W_2\left(\mu_{\frac{1}{\sqrt{n}}(M_C - E(M_C))}, \mu_{\frac{1}{\sqrt{n}}(M_C - E(M_C) - D_C)}\right)^2 \le \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} |M_{ii}|^2 \mathbf{1}_{\{|M_{ii}| \le C\}} \xrightarrow{n \to \infty} 0$$

grâce à la loi des grands nombres. Ceci montre qu'il suffit d'établir le théorème de Wigner 21.1 pour la matrice $M_C - E(M_C) - D_C$, pour tout réel $C > 0$.

## Réduction à la mesure spectrale empirique moyenne

Dans cette sous-section nous allons montrer qu'il suffit d'établir le théorème de Wigner 21.1 pour la mesure spectrale empirique moyenne

$$E\mu_{\frac{1}{\sqrt{n}}(M_C - E(M_C) - D_C),$$

et ce pour tout réel $C > 0$. Le lemme suivant, de même nature que l'inégalité de Tchebychev, est une reformulation du lemme 20.3.

**Lemme 21.5** (Inégalité de concentration d'Azuma-Hoeffding). *Considérons des vecteurs aléatoires $X_1, \dots, X_n$ indépendants pas forcément de même dimension. Si $G(X_1, \dots, X_n)$ est une variable aléatoire réelle et intégrable, fonction mesurable de ces vecteurs, alors pour tout $t \ge 0$,*

$$P(|G(X_1, \dots, X_n) - E(G(X_1, \dots, X_n))| \ge t) \le 2 \exp \left( - \frac{2t^2}{c_1^2 + \dots + c_n^2} \right)$$

$$\text{où } c_k := \sup_{(x,x') \in D_k} |G(x) - G(x')| \text{ et } D_k := \{(x,x') : x_i = x'_i \text{ si } i \neq k\}.$$

Voyons comment utiliser ce lemme. Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de classe $C^1$ et à support compact, et $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ hermitiennes. Le lemme 21.4 donne

$$\|F_A - F_B\|_{\infty} \le \frac{r}{n} \quad \text{où } r := \rang(A - B),$$

et par intégration par parties,
$$
\begin{aligned}
\left| \int f d\mu_A - \int f d\mu_B \right| &= \left| \int_{-\infty}^{+\infty} f'(t)(F_A(t) - F_B(t)) dt \right| \\
&\le \frac{r}{n} \int_{-\infty}^{+\infty} |f'(t)| dt := \frac{r}{n} \|f'\|_1.
\end{aligned}
$$

On note $A(x_1, \dots, x_n) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ la matrice hermitienne dont les lignes du triangle supérieur sont $x_1, \dots, x_n$ (vecteurs de $\mathbb{C}^n, \mathbb{C}^{n-1}, \dots, \mathbb{C}$), et on pose

$$
G(x_1, \dots, x_n) = \int f d\mu_{A(x_1, \dots, x_n)}.
$$

En notant $y := (x_1, \dots, x_n)$ et $y' := (x_1, \dots, x_{k-1}, x'_k, x_{k+1}, \dots, x_n)$, il vient

$$
\mathrm{rang}\{A(y) - A(y')\} \le 2 \quad \text{et donc} \quad |G(y) - G(y')| \le \frac{2}{n} \|f'\|_1.
$$

À présent $H := \frac{1}{\sqrt{n}}(M_C - E(M_C) - D_C)$ est hermitienne aléatoire à valeurs dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Les lignes de son triangle supérieur $(H_{ij})_{1\le i\le j\le n}$ sont indépendantes (vecteurs aléatoires de $\mathbb{C}^n, \mathbb{C}^{n-1}, \dots, \mathbb{C}$). Grâce au lemme 21.5, pour toute fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ et à support compact, et pour tout réel $t \ge 0$,

$$
\mathbb{P}\left(\left|\int f d\mu_H - \mathbb{E}\int f d\mu_H\right| \ge t\right) \le 2 \exp\left(-\frac{nt^2}{8\|f'\|_1^2}\right).
$$

Cette inégalité exprime le fait que $\mu_H$ est très concentrée autour de son es-
pérance $E\mu_H$. C'est pour cette raison que les fluctuations sont si faibles dans
les simulations, dès que la dimension dépasse quelques dizaines. On a

$$
\int f d\mu_H - \mathbb{E} \int f d\mu_H \xrightarrow{n \to \infty} 0.
$$

Pour tirer parti de la rapidité de convergence, on pose $t = n^{-1/2+\epsilon}$ avec $\epsilon > 0$
petit fixé, de sorte que la borne exponentielle dans le membre de droite de
l'inégalité soit sommable en $n$. Le lemme de Borel-Cantelli entraîne alors que

$$
\int f d\mu_H - \mathbb{E} \int f d\mu_H \xrightarrow{n \to \infty} 0.
$$

Cela ramène l'étude de la convergence étroite presque sûre de $\mu_H$ à celle de
la convergence étroite de $E\mu_H$. Ainsi, le théorème de Wigner 21.1 est une
conséquence du théorème de Wigner simplifié 21.2.

21.3 Convergence des moments et convergence étroite

Cette section est dédiée à ce qu'on appelle *méthode des moments*. Soit $\mathcal{P}$
l'ensemble des lois de probabilité $\nu$ sur $\mathbb{R}$ telles que $\mathbb{R}[X] \subset L^1(\nu)$, muni de la
relation d'équivalence $\nu_1 \sim \nu_2$ ssi $\int P d\nu_1 = \int P d\nu_2$ pour tout $P \in \mathbb{R}[X]$, c'est-
à-dire que $\nu_1$ et $\nu_2$ ont les mêmes moments. On dit que $\nu \in \mathcal{P}$ est caractérisée
par ses moments lorsque sa classe d'équivalence est un singleton.
**Théorème 21.6** (Convergence des moments et convergence étroite). Si $\nu, \nu_1, \nu_2, \dots$ sont des éléments de $\mathcal{P}$ vérifiant, pour tout polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$,

$$ \lim_{n \to \infty} \int P d\nu_n = \int P d\nu, $$

et si $\nu$ est caractérisée par ses moments, alors $(\nu_n)_{n \ge 1}$ converge vers $\nu$ étroitement, c'est-à-dire que pour tout $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue et bornée,

$$ \lim_{n \to \infty} \int f d\nu_n = \int f d\nu. $$

*Démonstration.* Par hypothèse, pour tout $P \in \mathbb{R}[X]$,

$$ C_P := \sup_{n \ge 1} \int P d\nu_n < \infty. $$

Par conséquent, par l'inégalité de Markov, pour tout réel $R > 0$,

$$ \nu_n([-R, R]^c) \le \frac{C_{X^2}}{R^2} $$

et donc $(\nu_n)_{n \ge 1}$ est tendue. Grâce au théorème de Prohorov, il suffit donc d'établir que si $(\nu_{n_k})_{k \ge 1}$ converge étroitement vers $\nu'$ alors $\nu' = \nu$. Fixons $P \in \mathbb{R}[X]$ et un réel $R > 0$. Soit $\varphi_R : \mathbb{R} \to [0, 1]$ une fonction continue telle que $1_{[-R,R]} \le \varphi_R \le 1_{[-R-1,R+1]}$. On a la décomposition

$$ \int P d\nu_{n_k} = \int \varphi_R P d\nu_{n_k} + \int (1 - \varphi_R) P d\nu_{n_k}. $$

Or $\varphi_R P$ est continue et bornée et $(\nu_{n_k})_{k \ge 1} \xrightarrow{n \to \infty} \nu'$ étroitement, d'où

$$ \lim_{k \to \infty} \int \varphi_R P d\nu_{n_k} = \int \varphi_R P d\nu'. $$

De plus, par les inégalités de Schwarz et de Markov, on a

$$ \left| \int (1 - \varphi_R) P d\nu_{n_k} \right|^2 \le \nu_{n_k}([-R, R]^c) \int P^2 d\nu_{n_k} \le \frac{C_{X^2} C_{P^2}}{R^2}. $$

On obtient donc

$$ \limsup_{k \to \infty} \left| \int P d\nu_{n_k} - \int \varphi_R P d\nu' \right| = \mathcal{O}\left(\frac{1}{R^2}\right) = o_{R \to \infty}(1). $$

D'un autre côté, on sait que

$$ \lim_{k \to \infty} \int P d\nu_{n_k} = \int P d\nu $$
d'où enfin

$$ \lim_{R \to \infty} \int \varphi_R P \, d\nu' = \int P \, d\nu. $$

En utilisant cela pour $P^2$, qui est positive, on obtient d'abord par convergence monotone que $P \in L^2(\nu') \subset L^1(\nu')$, puis par convergence dominée que

$$ \int P \, d\nu' = \int P \, d\nu. $$

Comme $P$ est arbitraire et $\nu$ est caractérisée par ses moments, on a $\nu = \nu'$. $\square$

Un théorème de Weierstrass affirme que pour tout compact $K \subset \mathbb{R}$, les polynômes $\mathbb{R}[X]$ restreints à $K$ sont denses dans $C(K, \mathbb{R}, \|\cdot\|_{\infty})$. Ainsi, toute loi de probabilité à support compact est caractérisée par ses moments parmi l'ensemble des lois à support compact. Le théorème suivant permet d'aller plus loin, car il implique que toute loi à support compact est caractérisée par ses moments parmi l'ensemble des lois dont tous les moments sont finis. C'est le cas en particulier de la loi du demi-cercle $\mu_{\Theta}$.

**Théorème 21.7** (Analycité de la transformée de Fourier et moments). Soit $\mu \in \mathcal{P}$. On pose $\varphi(t) = \int e^{itx} d\mu(x)$ et $\kappa_n = \int x^n d\mu(x)$. Les propositions suivantes sont équivalentes :

1. $\varphi$ est analytique sur un voisinage de 0,

2. $\varphi$ est analytique sur $\mathbb{R}$,

3. $\overline{\lim}_{n \to \infty} (\frac{1}{n!} |\kappa_n|)^{\frac{1}{n}} < \infty$.

Si ces conditions sont vérifiées alors $\mu$ est caractérisée par ses moments. En particulier, une loi à support compact est caractérisée par ses moments.

**Démonstration.** Pour tout $n$, on a $\int |x|^n d\mu < \infty$ et donc $\varphi$ est $n$ fois dérivable sur $\mathbb{R}$. De plus, $\varphi^{(n)}$ est continue sur $\mathbb{R}$ et pour tout $t \in \mathbb{R}$,

$$ \varphi^{(n)}(t) = \int_{\mathbb{R}} (ix)^n e^{itx} \, d\mu(x). $$

En particulier, $\varphi^{(n)}(0) = i^n \kappa_n$, et la série de Taylor de $\varphi$ en 0 est déterminée par la suite $(\kappa_n)_{n \ge 1}$. Le rayon de convergence $r$ de la série entière $\sum_n a_n z^n$ associée à la suite de nombres complexes $(a_n)_{n \ge 0}$ est donné par la formule de Hadamard $r^{-1} = \overline{\lim}_n |a_n|^{\frac{1}{n}}$. Ainsi, $1 \Leftrightarrow 3$ (prendre $a_n = i^n \kappa_n / n!$). D'autre part, comme pour tout $n \in \mathbb{N}$, $s, t \in \mathbb{R}$,

$$ \left| e^{isx} \left( e^{itx} - 1 - \frac{itx}{1!} - \dots - \frac{(itx)^{n-1}}{(n-1)!} \right) \right| \le \frac{|tx|^n}{n!}, $$

on a pour tout $n \in \mathbb{N}$ pair et tous $s, t \in \mathbb{R}$,

$$ \left| \varphi(s+t) - \varphi(s) - \frac{t}{1!} \varphi'(s) - \dots - \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} \varphi^{(n-1)}(s) \right| \le \kappa_n \frac{|t|^n}{n!}, $$
qui montre que $3 \Rightarrow 2$. Comme $2 \Rightarrow 1$, on a bien $1 \Leftrightarrow 2 \Leftrightarrow 3$. Si ces propriétés ont lieu, alors les arguments précédents donnent un $r > 0$ tel que $\varphi$ est dévett applicable en série entière en tout $x \in \mathbb{R}$ avec un rayon de convergence $\ge r$. De proche en proche, on obtient que $\varphi$ est caractérisée par ses dérivées en zéro.

Enfin, si $\mu$ est à support compact, disons inclus dans $[-C, C]$ pour une constante $C > 0$, alors $|\kappa_n| \le C^n$ pour tout $n \ge 1$, et comme la formule de Stirling $n! \sim \sqrt{2\pi n}(n/e)^n$ donne $(1/n!)^{1/n} = \mathcal{O}(1/n)$, il vient $\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{n!}|\kappa_n|)^{1/n} = 0$, et donc $\mu$ est caractérisée par ses moments. $\square$

**Théorème 21.8** (Moments de la loi du demi-cercle). La loi du demi-cercle $\mu_{\sigma}^{\Theta}$ est caractérisée par ses moments. De plus, pour tout entier $r \ge 0$,

$$ \int x^{2r+1} d\mu_{\sigma}^{\Theta}(r) = 0 \quad \text{et} \quad \int x^{2r} d\mu_{\sigma}^{\Theta}(r) = \sigma^{2r} \frac{1}{r+1} \binom{2r}{r}. $$

En particulier $\mu_{\sigma}^{\Theta}$ a pour moyenne 0 et variance $\sigma^2$, et les moments pairs de la loi du demi-cercle standard $\mu_{1}^{\Theta}$ sont les nombres de Catalan.

*Démonstration.* La loi $\mu_{\sigma}^{\Theta}$ est caractérisée par ses moments car son support $[-\sigma, \sigma]$ est compact (lemme 21.7). Les moments impairs sont nuls car $\mu_{\sigma}^{\Theta}$ est symétrique. Pour calculer les moments pairs, par dilatation et parité,

$$ \int x^{2r} d\mu_{\sigma}^{\Theta}(x) = \frac{\sigma^{2r}}{\pi} \int_{0}^{2} x^{2r} \sqrt{4 - x^2} dx. $$

Par le changement de variable $x = 2 \cos(u)$ et une intégration par parties,

$$ \int_{0}^{2} x^{2r} \sqrt{4 - x^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4^{r+1} \cos^{2r}(u) \sin^2(u) du = \frac{4^{r+1}}{2r+1} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2(r+1)}(u) du. $$

Cette dernière expression est une classique intégrale de Wallis. $\square$

## 21.4 Preuve du théorème de Wigner simplifié

Grâce au théorème 21.6 et au théorème 21.8, la preuve du théorème de Wigner simplifié 21.2 se ramène à établir le théorème 21.9 ci-dessous.

**Théorème 21.9** (Convergence des moments). Sous les hypothèses du théorème de Wigner simplifié 21.2 on a, pour tout entier $r \ge 1$,

$$ \mathbb{E} \int x^r d\mu_n \xrightarrow{n \to \infty} \int x^r d\mu_{\sigma}^{\Theta}. $$

*Démonstration.* On se ramène au cas $\sigma^2 = 1$ par dilatation. Les moments de la loi du demi-cercle $\mu_{1}^{\Theta}$ sont donnés par le théorème 21.8. Pour tout entier $r \ge 1$, le moment d'ordre $r$ de $\mathbb{E}\mu_n$ s'écrit (avec $i_{r+1} := i_1$)
$$
\begin{align*}
\mathbb{E} \int x^r d\mu_n(x) &= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \lambda_{n,k}^{r} \\
&= \frac{1}{n^{1+r/2}} \mathrm{Tr}(M^r) \\
&= \frac{1}{n^{1+r/2}} \sum_{1 \le i_1, \dots, i_r \le n} \mathbb{E}(M_{i_1} M_{i_2} \cdots M_{i_r} M_{i_{r+1}}).
\end{align*}
$$

Comme les coefficients diagonaux de $M$ sont nuls, on a

$$
\mathbb{E} \int x d\mu_n = \frac{1}{n^{3/2}} \sum_{i=1}^{n} \mathbb{E} M_{ii} = 0 = \int x d\mu_1^{\ominus}(x)
$$

et comme $M$ a des coefficient hors diagonale centrés et réduits, on a

$$
\mathbb{E} \int x^2 d\mu_n = \frac{1}{n^2} \sum_{1 \le i,j \le n} \mathbb{E}(M_{ij}^2) = \frac{n^2 - n}{n^2} \to 1 = \int x^2 d\mu_1^{\ominus}(x).
$$

L'étude du moment d'ordre 3 est un peu plus subtile. On a

$$
\mathbb{E} \int x^3 d\mu_n = \frac{1}{n^{1+3/2}} \sum_{1 \le i,j,k \le n} \mathbb{E}(M_{ij} M_{jk} M_{ki}).
$$

Si deux éléments parmi $\{{\{i,j\}}, \{j,k\}, \{k,i\}\}$ sont distincts alors on a forcé-
ment $\mathrm{E}(M_{ij}M_{jk}M_{ki}) = 0$ par indépendance et centrage. Dans le cas contraire,
on a $i=k$ ou $i=j$ ou $k=j$, ce qui conduit à $\mathrm{E}(M_{ij}M_{jk}M_{ki}) = 0$ car la
diagonale de $M$ est nulle. Ainsi, le moment d'ordre 3 de $\mu_n$ est égal à zéro,
tout comme le moment d'ordre 3 de $\mu_1^\ominus$.

Pour le moment d'ordre 4, on pourrait procéder de même en utilisant

$$
\mathbb{E} \int x^4 d\mu_n = \frac{1}{n^{1+4/2}} \sum_{1 \le i,j,k,l \le n} \mathbb{E}(M_{ij} M_{jk} M_{kl} M_{li}).
$$

Mais un phénomène nouveau se produit cette fois-ci : le cas $i = k$ et $j = l$
avec $i \neq j$ donne $\mathrm{E}(M_{ij}M_{jk}M_{kl}M_{li}) = \mathrm{E}(M_{ij}^4)$, qui n’est pas fonction des
deux premiers moments des coefficients de $M$. Cependant, il n’y a pas de
contradiction : ces termes n’ont pas de contribution asymptotique quand $n$
tend vers $\infty$ car leur nombre, $n(n-1)$, est négligeable devant $n^{1+4/2} = n^3$.

Plus généralement, pour tout entier $r > 1$ on a

$$
\mathbb{E} \int x^r d\mu_n(x) = \frac{1}{n^{1+r/2}} \sum_{1 \le i_1, \dots, i_r \le n} \mathbb{E}(M_{i_1} M_{i_2} \cdots M_{i_r} M_{i_{r+1}}).
$$

On peut supposer que $i_k \neq i_{k+1}$ pour tout $1 \le k \le r-1$ car la diagonale de $M$
est nulle. On associe à chaque $r$-uplet d'indices de ce type $i_1, \dots, i_r$ un multi-
graphe orienté, voir figures 21.2 et 21.3. Les sommets du multi-graphe orienté
sont les valeurs distinctes prises par ces indices, et on note $t$ leur nombre. Les arêtes, du multi-graphe orienté sont les liaisons $(i_k, i_{k+1})$ avec $1 \le k \le r-1$. Elles peuvent avoir une multiplicité et sont orientées. De plus ce multi-graphe orienté est cyclique de longueur $r+1$. Si on note $t$ le nombre de sommets distincts, on dit qu'il s'agit d'un multi-graphe orienté $G(r,t)$. Deux multi-graphes orientés $G(r,t)$ sont équivalents lorsque qu'on peut passer de l'un à l'autre en permutant les indices. Des multi-graphes orientés $G(r,t)$ équivalents donnent la même valeur à $E(M_{i_1i_2} \cdots M_{i_r i_{r+1}})$, notée $E(M_G)$. Il y a

$$n(n-1)\cdots(n-t+1)$$

multi-graphes orientés $G(r,t)$ dans chaque classe d'équivalence (nombre d'arrangements de $t$ objets parmi $n$). Chaque classe d'équivalence contient un représentant pour lequel les $t$ valeurs distinctes prises par les indices $i_1, \dots, i_r$ sont successivement $1, \dots, t$. Afin de calculer les contributions, on distingue trois types de multi-graphes orientés $G(r,t)$ détaillés ci-après. Le type est constant sur chaque classe (c'est une propriété de la classe).

<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>**Fig. 21.2.** Multi-graphe orienté associé à $E(M_{12}M_{21}M_{13}M_{31})$. On a $r=4$, $t=3$, $i_1=i_3=1$, $i_2=2$, $i_4=3$. Les arêtes successives sont 12, 21, 13, 31. Chaque arête présente, ainsi que l'arête de sens opposé, ne l'est qu'une fois. Le graphe non orienté squelette est l'arbre $2 \leftrightarrow 1 \leftrightarrow 3$. Ce multi-graphe orienté est donc de type 1.</figcaption></figure>

- type 1 : ceux pour qui chaque arête présente, ainsi que l'arête de sens opposé, ne l'est qu'une fois, et le graphe non orienté squelette obtenu en effaçant les orientations et les multiplicités des arêtes est un arbre (c'est-à-dire qu'il n'a pas de cycles). C'est le cas par exemple de $E(M_{12}M_{21}M_{13}M_{31}) = E(M_{12}^2)E(M_{13}^2) = 1$, voir figure 21.2. Un exemple plus long est donné par la figure 21.3;

- type 2 : ceux pour qui une arête au moins n'apparaît qu'une seule fois et l'arête de sens opposé n'apparaît pas, comme par exemple $E(M_{12}M_{23}M_{31}) = E(M_{12})E(M_{23})E(M_{31}) = 0$, voir figure 21.3;

- type 3 : ceux qui ne sont ni de type 1 ni de type 2. C'est le cas par exemple de $E(M_{12}M_{21}M_{12}M_{21}) = E(M_{12}^4) > 0$ car l'arête 12 (ainsi que l'arête 21) apparaît exactement deux fois. Un autre exemple est donné par $E(M_{12}M_{21}M_{13}M_{32}M_{23}M_{31}) = E(M_{12}^2)E(M_{13}^2)E(M_{23}^2) = 1$, car le graphe non orienté squelette associé est le cycle $1 \leftrightarrow 2 \leftrightarrow 3 \leftrightarrow 1$. Ces deux exemples sont illustrés par la figure 21.3.
<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>**Fig. 21.3.** En haut à gauche le multi-graphe orienté associé au long exemple $E(M_{12}M_{23}M_{32}M_{24}M_{45}M_{54}M_{46}M_{64}M_{42}M_{21})$, qui est de type 1. En haut à droite le multi-graphe orienté associé à $E(M_{12}M_{23}M_{31})$, qui est de type 2. En bas à gauche le multi-graphe orienté associé à $E(M_{12}M_{21}M_{13}M_{32}M_{23}M_{31})$, et en bas à droite le multi-graphe orienté associé à $E(M_{12}M_{21}M_{12}M_{21})$, tous deux de type 3.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_67.png" /></figure>

Nous abordons à présent la phase finale :

- Les multi-graphes orientés de type 2 ont une contribution nulle. En effet dans ce cas $E(M_G) = 0$ par indépendance et centrage;

- Les multi-graphes orientés de type 3 ont une contribution asymptotiquement nulle. En effet, si $G$ est de type 3 alors il contient au moins trois arêtes de mêmes extrémités ou un cycle d'arêtes d'extrémités différentes, ce qui implique dans les deux cas l'inégalité $2t \le r+1$, qui donne la majoration $n(n-1)\cdots(n-t+1) \le n^t \le n^{1/2+r/2}$. D'autre part, le nombre de classes d'équivalences de multi-graphes orientés $G(r,t)$ est majoré par $t^r = O(1)$. Comme les coefficients de $M$ sont bornés à valeurs dans $[-C, C]$, on a également $E(M_G) \le C^r = O(1)$, d'où enfin

$$ \sum_{\text{cl. t. 3}} \frac{n(n-1)\cdots(n-t+1)}{n^{1+r/2}} E(M_G) = O(n^{-1/2}) = o_{n\to\infty}(1); $$
— Contribution des multi-graphes orientés de type 1. Si $G$ est un multi-graphe orienté de type 1 alors $E(M_G) = 1$ par indépendance car les coefficients hors diagonale de $M$ ont une variance de 1. Cela ramène le problème à la détermination du nombre $N_1$ de classes d'équivalences de multi-graphes orientés $G(r, t)$ de type 1. Si $r$ est impair alors $N_1 = 0$. Si $r$ est pair, disons $r = 2s$, alors $t = 1 + r/2 = 1 + s$ car le nombre de sommets d'un arbre est toujours égal à 1 plus le nombre d'arêtes. Ainsi les classes de type 1 sont en bijection avec les arbres planaires enracinés à $s$ arêtes<fnref n="5" /> (et à $1+s$ sommets), avec les parenthésages, avec les excursions de la marche aléatoire simple, etc, voir (théorème 2.5). Il y en a donc $N_1 = \frac{1}{s+1} \binom{2s}{s}$ (nombre de Catalan), et

$$ 
\begin{aligned}
& \sum_{\text{cl. t. 1}} \frac{n(n-1)\cdots(n-t+1)}{n^{1+r/2}} E(M_G) \\
& = \frac{n}{n} \cdots \frac{n-s+1}{n} \frac{1}{s+1} \binom{2s}{s} \\
& \xrightarrow{n \to \infty} \frac{1}{1+s} \binom{2s}{s}.
\end{aligned}
\quad \square
$$

## 21.5 Pour aller plus loin

Reprenons le modèle de matrice de covariance empirique du début du chapitre avec $(Y_{ij})_{i,j \ge 1}$ des v.a.r. i.i.d. de moyenne 0 et de variance 1, et la matrice rectangulaire $Y = (Y_{ij})_{1 \le i \le d_n, 1 \le j \le n}$. Soit $\lambda_{n,1} \le \dots \le \lambda_{n,d_n}$ le spectre de la matrice symétrique semi-définie positive $\frac{1}{n}YY^\top$, ordonné de manière croissante. Supposons que $\lim_{n \to \infty} d_n/n = \rho$ avec $0 < \rho < \infty$. Alors le théorème de Marchenko-Pastur, qui peut être démontré avec la même méthode que le théorème de Wigner, bien que la mise en œuvre soit un peu plus lourde, affirme que p.s. la mesure spectrale empirique $\mu_n := \frac{1}{d_n} \sum_{k=1}^{d_n} \delta_{\lambda_{n,k}}$ converge étroitement quand $n \to \infty$ vers la loi de Marchenko-Pastur

$$ \mu_{\rho}^{\oplus} := q\delta_0 + \frac{\sqrt{(b-x)(x-a)}}{2\pi\rho x} \mathbf{1}_{[a,b]}(x)dx. $$

avec

$$ q := \max(0, (1 - \rho^{-1})) \quad \text{et} \quad a := (1 - \sqrt{\rho})^2 \quad \text{et} \quad b := (1 + \sqrt{\rho})^2. $$

Une illustration du théorème de Marchenko-Pastur est donnée dans la figure 21.4. Les moments de $\mu_{\rho}^{\oplus}$ sont donnés pour tout $r \ge 1$ par

<footnote n="5">5. On prendra garde à ne pas confondre avec les arbres binaires planaires enracinés du chapitre 4, qui sont également comptés par les nombres de Catalan !</footnote>
$$ \int x^r d\mu_{\rho}^{\oplus}(x) = \sum_{k=0}^{r-1} \frac{\rho^k}{k+1} \binom{r}{k} \binom{r-1}{k}. $$

En particulier, la loi $\mu_{\rho}^{\oplus}$ a pour moyenne 1 et variance $\rho$. La loi $\mu_{\rho}^{\oplus}$ est un mélange entre une masse de Dirac en 0 et une loi à densité par rapport à la mesure de Lebesgue. L'atome en 0 est dû au fait que la matrice n'est pas forcément de rang plein. Il disparaît lorsque $\rho \le 1$. Lorsque $\rho = 1$, la matrice Y est en quelque sorte asymptotiquement carrée. Dans ce cas, $a = 0$ et $b = 4$. Par changement de variable, presque sûrement la mesure de comptage du spectre 6 de $(\frac{1}{n}YY^{\top})^{1/2}$ converge étroitement quand $n \to \infty$ vers la loi du quart-de-cercle de densité $x \mapsto \frac{1}{\pi}\sqrt{4-x^2} \mathbf{1}_{[0,2]}(x)$.

<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>**Fig. 21.4.** Histogramme des valeurs propres non nulles d'une matrice de covariance empirique avec $n = 800$ et $d = 1000$ et loi de Marchenko-Pastur.</figcaption></figure>

L'étude des matrices aléatoires constitue un vaste champ de recherche. Les travaux les plus anciens sont dus principalement à John Wishart (années 1920) sur les matrices de covariance empiriques des échantillons gaussiens, à John von Neumann et Herman Goldstine (années 1940) sur l'analyse numérique matricielle, et à Eugene Wigner, Freeman Dyson, et Madan Lal Mehta (années 1950-1960) sur les niveaux d'énergie des noyaux atomiques en physique

<footnote n="6">6. C'est aussi les valeurs singulières de la matrice rectangulaire $\frac{1}{\sqrt{n}}Y$.</footnote>
mathématique. Le théorème de Marchenko-Pastur a été obtenu par Vladimir Marchenko et Leonid Pastur dans les années 1960. La loi du demi-cercle constitue un analogue de la loi gaussienne dans la théorie des probabilités libres initiée par Dan-Virgil Voiculescu, en liaison avec les matrices aléatoires.

Le théorème 21.1 de Wigner a été obtenu par Wigner dans les années 1950 sous des hypothèses plus restrictives. La version la plus aboutie date de la fin des années 1970. La convergence étroite de la mesure de comptage $\mu_n$ n'empêche pas une fraction asymptotiquement négligeable d'atomes d'exploser quand $n \to \infty$. Cependant, le théorème de Bai-Yin affirme que si $E(M_{11}^4) < \infty$ alors presque sûrement le support de $\mu_n$ converge vers le support $[-2\sigma, 2\sigma]$ de la limite $\mu_\sigma^\Theta$, c'est-à-dire que presque sûrement

$$ \lim_{n \to \infty} \lambda_n = -2\sigma \quad \text{et} \quad \lim_{n \to \infty} \lambda_1 = 2\sigma. $$

La partie combinatoire de la preuve du théorème de Wigner est détaillée par exemple dans le livre de Zhidong Bai et Jack Silverstein [BS10], et dans le livre de Greg Anderson, Alice Guionnet et Ofer Zeitouni [AGZ10]. Le théorème de Wigner peut également être obtenu par une méthode analytique, en utilisant la transformée de Cauchy-Stieltjes, faisant apparaître la loi du demi-cercle comme solution d'une équation de point fixe. Le théorème de Wigner est également présenté dans les notes de cours de Mireille Capitaine [Cap12] et dans celles de Charles Bordenave [Bor14b]. Le contenu de la section 21.2 est inspiré de [Cha13]. Notons enfin qu'au-delà du théorème 21.7, il existe une condition suffisante pour que $\mu \in \mathcal{P}$ soit caractérisée par ses moments $(\kappa_n)_{n \ge 1}$, connue sous le nom de condition de Torsten Carleman, et liée à la quasi-analycité<fnref n="7" /> de la transformée de Fourier :

$$ \sum_n \kappa_{2n}^{-1/(2n)} = \infty. $$

Les inégalités de Courant-Fischer ainsi que les lemmes 21.4 et 21.3 (inégalité de Hoffman-Wielandt) sont démontrés par exemple dans le livre de Roger Horn et Charles Johnson [HJ13] et dans le livre de Rajendra Bhatia [Bha97].

<footnote n="7">7. Une fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de classe $C^\infty$ est quasi-analytique si elle est caractérisée par ses dérivées successives en 0, parmi une classe de fonctions assez large.</footnote>
# Naissances et assassinats

**Mots-clés.** Dynamique de population.

**Outils.** Processus de Poisson ; processus de Galton-Watson ; théorème de Chernoff.

**Difficulté.** ***

On s'intéresse à l'extinction ou à la survie d'une population organisée en clans. Chaque individu vivant donne naissance à des enfants selon un processus de Poisson et ne peut pas mourir tant que son père est en vie. Dès que celui-ci disparaît tous ses enfants sont exposés et meurent après un temps aléatoire propre de loi $Q$. Une configuration à un instant donné est une collection finie d'arbres généalogiques munis d'un patriarche qui seul peut être assassiné.

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>**Fig. 22.1.** Patriarche et quelques-uns de ses descendants.</figcaption></figure>

Le patriarche de la population entière sera noté ($\emptyset$). Chacun de ses descendants est identifié à un *k*-uplet d'entiers strictement positifs pour $k \ge 1$. Par exemple, (1) est le premier enfant de l'ancêtre, tandis que (1, 2) est le deuxième enfant du premier enfant de l'ancêtre, voir figure 22.1. Le nombre de coordonnées indique la génération de l'individu. Soit
$$ \mathcal{N} = \cup_{n \ge 0} (\mathbb{N}^*)^n $$

l'ensemble des $n$-uplets d'entiers strictement positifs, avec la convention $(\mathbb{N}^*)^0 = \emptyset$. Pour $\mathbf{n} \in \mathcal{N}$, notons $k(\mathbf{n})$ le nombre de coordonnées de $\mathbf{n}$. Le nombre d'individus qui ont dû naître pour que $\mathbf{n}$ naisse vaut

$$ \sigma(\mathbf{n}) := n_1 + \dots + n_{k(\mathbf{n})}. $$

On adopte les conventions $k(\emptyset) = 0 = \sigma(\emptyset)$.

Soit $(X^n)_{n \in \mathcal{N}}$ une famille de processus de Poisson indépendants de même intensité $\lambda$. On notera $(T_k^n)_{k \ge 1}$ les temps de saut du processus $X^n$. Soit $(K_n)_{n \in \mathcal{N}}$ une famille de v.a.r. i.i.d. strictement positives de même loi $Q$. On suppose que les familles $(X^n)_{n \in \mathcal{N}}$ et $(K_n)_{n \in \mathcal{N}}$ sont indépendantes.

Le processus est initialisé à $t=0$ avec un unique ancêtre étiqueté par $\emptyset$. Cet individu donne naissance à des enfants aux instants de saut du processus de Poisson $X^\emptyset$ qui entrent dans le système à leur tour avec les indices (1), (2), ... dans l'ordre de leurs naissances. Chaque nouvel individu $\mathbf{n}$ entrant dans le système commence à donner des descendants aux instants de saut du processus $X^n$; les descendants de $\mathbf{n}$ sont indicés par $(\mathbf{n}, 1)$, $(\mathbf{n}, 2)$, ... toujours dans l'ordre chronologique.

Le patriarche est exposé dès le temps 0. Il donne naissance à des enfants jusqu'au temps aléatoire $Y_\emptyset := K_\emptyset$ où il disparaît. Chacun de ses enfants devient le patriarche de son clan et est à son tour exposé. Soit $\mathbf{n} = (n_1, \dots, n_{k-1}, n_k)$ dans $\mathcal{N}$ et $\mathbf{n}' := (n_1, \dots, n_{k-1})$. Quand $\mathbf{n}'$ est supprimé, au temps aléatoire $Y_{\mathbf{n}'}$, $\mathbf{n}$ devient exposé; il continue à avoir des descendants jusqu'au temps aléatoire $Y_\mathbf{n} := Y_{\mathbf{n}'} + K_\mathbf{n}$ puis est à son tour supprimé.

**Exemple 22.1.** Dire que l'individu (3, 2) est né, c'est dire que

- l'individu $\emptyset$ a eu au moins trois enfants avant de mourir : $T_3^\emptyset$ intervient avant la mort de $\emptyset$ à l'instant $K_\emptyset$;

- l'individu (3) a eu au moins deux enfants avant de mourir c'est-à-dire que $T_2^{(3)}$ intervient avant la mort de (3) à l'instant $K_\emptyset + K_{(3)}$.

On a donc

$$ \{(3,2) \text{ est né}\} = \{T_3^\emptyset < K_\emptyset, T_3^\emptyset + T_2^{(3)} < K_\emptyset + K_{(3)}\}. $$

On dit que le système de naissances et d'assassinats est *stable* si, avec probabilité 1, il existe un temps fini à partir duquel le système est vide. Sinon on dit que le système est *instable*.

**Théorème 22.2** (Conditions suffisantes de stabilité et d'instabilité). Soit $\mathcal{B}$ un processus de naissances et d'assassinats d'intensité $\lambda$ dont la transformée de Laplace $u \mapsto \varphi(u) = \int_0^\infty e^{ux} Q(dx)$ de $Q$ est finie au voisinage de 0, et soit

$$ \alpha := \min_{u>0} \frac{\lambda\varphi(u)}{u}. $$

Alors on dispose de conditions suffisantes de stabilité et d'instabilité :
— le processus $\mathcal{B}$ est stable si $\alpha < 1$;

— le processus $\mathcal{B}$ est instable si $\alpha > 1$.

Les sections 22.1 et 22.2 sont consacrées à la preuve des deux conclusions du théorème 22.2.

## 22.1 Condition suffisante de stabilité

Introduisons le nombre moyen de descendants de $\emptyset$,

$$m := \sum_{\mathbf{n}} \mathbb{P}(\mathbf{n} \text{ est né}) \in [0, +\infty].$$

Si $\mathcal{B}$ est instable, alors par définition, avec probabilité strictement positive, il n'existe pas de temps (aléatoire) fini à partir duquel le système est vide, donc le nombre de descendants de $\emptyset$ est infini avec probabilité non nulle, et donc $m = \infty$. Par conséquent, si $m < \infty$ alors $\mathcal{B}$ est stable. Il suffit donc d'établir que $m < \infty$ dès que $\alpha < 1$.

À l'individu $\mathbf{n} = (n_1, \dots, n_k)$, on associe sa lignée ancestrale formée des individus $\mathbf{n}(i) = (n_1, \dots, n_i)$ pour $0 \le i \le k$ (avec $\mathbf{n}(0) = \emptyset$). L'individu $\mathbf{n}$ voit le jour si, pour tout $0 \le i \le k$, son ancêtre $\mathbf{n}(i-1)$ à la génération $i$ a eu au moins $n_i$ descendants :

$$\{\mathbf{n} \text{ est né}\} = \left\{ \sum_{i=1}^{j} T_{n_i}^{\mathbf{n}(i-1)} < \sum_{i=1}^{j} K_{\mathbf{n}(i-1)}, \ j = 1, 2, \dots, k(\mathbf{n}) \right\}.$$

En particulier,

$$\mathbb{P}(\mathbf{n} \text{ est né}) \le \mathbb{P}\left(\sum_{i=1}^{k(\mathbf{n})} T_{n_i}^{\mathbf{n}(i-1)} < \sum_{i=1}^{k(\mathbf{n})} K_{\mathbf{n}(i-1)}\right).$$

L'inégalité de Markov assure que, pour tout $u > 0$,

$$\mathbb{P}\left(\sum_{i=1}^{k(\mathbf{n})} T_{n_i}^{\mathbf{n}(i-1)} < \sum_{i=1}^{k(\mathbf{n})} K_{\mathbf{n}(i-1)}\right) \\ \le \mathbb{E}\left(\exp\left(u \sum_{i=1}^{k(\mathbf{n})} K_{\mathbf{n}(i-1)} - u \sum_{i=1}^{k(\mathbf{n})} T_{n_i}^{\mathbf{n}(i-1)}\right)\right).$$

L'indépendance des processus de naissances et d'assassinats permet d'écrire

$$\mathbb{E}\left(\exp\left(u \sum_{i=1}^{k(\mathbf{n})} K_{\mathbf{n}(i-1)} - u \sum_{i=1}^{k(\mathbf{n})} T_{n_i}^{\mathbf{n}(i-1)}\right)\right) = \varphi(u)^{k(\mathbf{n})} \prod_{i=1}^{k(\mathbf{n})} \left(\frac{\lambda}{\lambda+u}\right)^{n_i}.$$
En sommant sur $\mathbf{n}$, on obtient

$$ \sum_{\mathbf{n}} \mathbb{P}(\mathbf{n} \text{ est né}) \le \sum_{k=1}^{\infty} \varphi(u)^k \left[ \sum_{\mathbf{n}, k(\mathbf{n})=k} \left( \frac{\lambda}{\lambda+u} \right)^{\sigma(\mathbf{n})} \right]. $$

D'autre part,

$$ \begin{aligned} & \sum_{\mathbf{n}, k(\mathbf{n})=k} \left( \frac{\lambda}{\lambda+u} \right)^{\sigma(\mathbf{n})} \\ &= \sum_{m \ge k} \mathrm{card}\{\mathbf{n} : k(\mathbf{n}) = k, \sigma(\mathbf{n}) = m\} \left( \frac{\lambda}{\lambda+u} \right)^{m} \\ &= \left( \frac{\lambda}{u} \right)^{k} \sum_{m \ge k} \mathrm{card}\{\mathbf{n} : k(\mathbf{n}) = k, \sigma(\mathbf{n}) = m\} \left( \frac{u}{u+\lambda} \right)^{k} \left( \frac{\lambda}{u+\lambda} \right)^{m-k}. \end{aligned} $$

L'entier $\mathrm{card}\{\mathbf{n} : k(\mathbf{n}) = k, \sigma(\mathbf{n}) = m\}$ représente le nombre de $m$-uplets à coordonnées 0 ou 1 contenant exactement $k$ 1. Le terme général de la dernière somme ci-dessus est donc la probabilité que dans un schéma de Bernoulli de probabilité de succès $u/(u+\lambda)$ le $k^e$ succès survienne au temps $m$ (c'est la loi binomiale négative). On retrouve au passage

$$ \mathrm{card}\{\mathbf{n} : k(\mathbf{n}) = k, \sigma(\mathbf{n}) = m\} = \binom{m-1}{k-1}. $$

On a donc

$$ \sum_{\mathbf{n}, k(\mathbf{n})=k} \left( \frac{\lambda}{\lambda+u} \right)^{\sigma(\mathbf{n})} = \left( \frac{\lambda}{u} \right)^{k}. $$

En d'autres termes, on a donc montré que

$$ m \le \sum_{k \ge 1} \left( \frac{\lambda \varphi(u)}{u} \right)^k. $$

Si $\alpha < 1$, alors le nombre moyen d'individus créés est fini, et $\mathcal{B}$ est stable.

## 22.2 Condition suffisante d'instabilité

Démontrons à présent la seconde partie du théorème 22.2. L'idée principale est de montrer que, si $\alpha > 1$, il existe $k \ge 1$ tel que

$$ \sum_{\mathbf{n}, k(\mathbf{n})=k} \mathbb{P}(\mathbf{n} \text{ est né}) > 1 $$
puis de conclure grâce à un argument de type branchement.

Soit $(N_i)_{i \ge 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de loi géométrique de paramètre $p$ indépendante du processus $B$. À la génération $k$, on considère l'individu $\mathbf{N} = (N_1, \dots, N_k)$ ainsi que sa lignée ancestrale formée des individus $\mathbf{N}(i) = (N_1, \dots, N_i)$ pour $0 \le i \le k$. Exprimons de deux manières différentes la probabilité que $\mathbf{N}$ naisse. D'une part,

$$ 
\begin{align*}
\mathbb{P}(\mathbf{N} \text{ est né}) &= \sum_{\mathbf{n}, k(\mathbf{n})=k} \mathbb{P}(\mathbf{N} \text{ est né} \mid \mathbf{N} = \mathbf{n}) \mathbb{P}(\mathbf{N} = \mathbf{n}) \\
&= \sum_{\mathbf{n}, k(\mathbf{n})=k} \mathbb{P}(\mathbf{n} \text{ est né}) p^k (1-p)^{n_1+\cdots+n_k-k} \\
&= \left( \frac{p}{1-p} \right)^k \sum_{\mathbf{n}, k(\mathbf{n})=k} \mathbb{P}(\mathbf{n} \text{ est né}) (1-p)^{\sigma(\mathbf{n})}.
\end{align*}
$$

D'autre part, posons

$$ Z_i = K_{\mathbf{N}(i-1)} - T_{N_i}^{\mathbf{N}(i-1)}, $$

pour tout $i \ge 1$. Comme dans la première partie de la preuve,

$$ 
\begin{align*}
\mathbb{P}(\mathbf{N} \text{ est né}) &= \mathbb{P} \left( \sum_{i=1}^{j} T_{N_i}^{\mathbf{N}(i-1)} < \sum_{i=1}^{j} K_{\mathbf{N}(i-1)}, \ j=1, \dots, k \right) \\
&= \mathbb{P} \left( \sum_{i=1}^{j} Z_i > 0, \ j=1, \dots, k \right).
\end{align*}
$$

On estime cette probabilité avec le lemme suivant, démontré en fin de section.

**Lemme 22.3** (Déviation asymptotique). Si $(X_i)_{i \ge 1}$ est une suite de v.a.r. i.i.d. avec $\mathbb{E}(X_1) < 0$, $\mathbb{P}(X_1 > 0) > 0$, et si la transformée de Laplace $\psi$ de $X_1$ est finie au voisinage de 0, alors

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log \mathbb{P} \left( \min_{1 \le k \le n} \sum_{i=1}^{k} X_i > 0 \right) \ge \log(\rho), \quad \text{où } \rho := \min_{u>0} \psi(u). $$

La variable aléatoire $T_{N_i}^{\mathbf{N}(i-1)}$ suit la loi exponentielle<fnref n="1" /> $\text{Exp}(\lambda p)$. Les variables aléatoires $(Z_i)_{i \ge 1}$ sont i.i.d. de transformée de Laplace et de moyenne

$$ E(e^{uZ_1}) = \varphi(u) \frac{\lambda p}{\lambda p + u} \quad \text{et} \quad E(Z_1) = \varphi'(0) - \frac{1}{p\lambda}. $$

Ainsi, l'espérance de $Z_1$ est strictement négative pour $p$ assez petit. De plus, si l'on note $\alpha = 1 + \varepsilon$, on peut choisir $p$ suffisamment petit pour que

<footnote n="1">1. Le lemme 11.4 affirme que si $G, E_1, E_2, \dots$ sont des v.a. indépendantes avec $G$ de loi géométrique de paramètre $p$ et $E_1, E_2, \dots$ de loi exponentielle de paramètre $\lambda$ alors la somme aléatoire $E_1 + \dots + E_G$ suit la loi exponentielle de paramètre $p\lambda$.</footnote>
$$
\min_{u>0} \mathbb{E}(e^{uZ_1}) = p \min_{u>0} \frac{\lambda \varphi(u)}{\lambda p + u} > p(1 + \varepsilon/2).
$$

Le lemme 22.3 appliqué à la suite $(Z_n)_{n \ge 1}$ assure que, pour $k$ assez grand,

$$
\mathbb{P}\left(\min_{1 \le j \le k} \sum_{i=1}^{j} Z_i > 0\right) > p^k (1 + \varepsilon/2)^k.
$$

On obtient donc

$$
\left(\frac{p}{1-p}\right)^k \sum_{\mathbf{n}, k(\mathbf{n})=k} \mathbb{P}(\mathbf{n} \text{ est né})(1-p)^{\sigma(\mathbf{n})} > p^k (1+\varepsilon/2)^k.
$$

On divise par $p^k$ et on fait tendre $p$ vers 0. Par convergence monotone,

$$
\sum_{\mathbf{n}, k(\mathbf{n})=k} \mathbb{P}(\mathbf{n} \text{ est né}) \geq (1 + \varepsilon/2)^k > 1,
$$

ce qui fournit la relation

$$
\sum_{\mathbf{n}, k(\mathbf{n})=k} \mathbb{P}(\mathbf{n} \text{ est né}) > 1.
$$

Achevons la démonstration du théorème 22.2. On dira qu’un individu est spécial si c’est l’ancêtre ou si c’est un individu de la génération *nk* qui descend d’un individu spécial à la génération (*n*−1)*k* dont le père est mort. La relation obtenue ci-dessus nous apprend que le nombre moyen d’individus spéciaux à la génération *k* est strictement supérieur à (1+ε/2)k. De même, le nombre moyen d’individus spéciaux à la génération *nk* est supérieur à (1 + ε/2)nk. Ainsi, le processus de comptage des individus spéciaux est un processus de Galton-Watson sur-critique. Avec une probabilité strictement positive, ce processus ne s’éteint pas (voir le théorème 3.7 page 3.7). C’est donc également pour *B*.

Terminons cette section par la démonstration du lemme 22.3.

Démonstration du lemme 22.3. Sous les hypothèses du lemme 22.3, on peut démontrer que le résultat du lemme 22.3 est vrai pour l'instant terminal en utilisant le théorème de Chernoff :

$$
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log \mathbb{P} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i > 0 \right) = \log(\rho).
$$

Montrons à présent que

$$
\mathbb{P}\left(\min_{1 \le k \le n} S_k > 0\right) \ge \frac{1}{n} \mathbb{P}(S_n > 0) \quad \text{où} \quad S_k = \sum_{i=1}^{k} X_i.
$$
On procède comme pour le principe de rotation du lemme 3.18. Pour tout $k$, notons $\sigma(k)$ l'entier compris entre 1 et $n$ égal à $k$ modulo $n$. Pour tout $l = 1, \dots, n$, on définit $S^l$ par

$$S_0^{(l)} = 0 \quad \text{et} \quad S_{k+1}^{(l)} = S_k^{(l)} + X_{\sigma(k+l)}.$$

On a $S = S^{(l)}$. La somme totale $S_n^{(l)}$ ne dépend pas de $l$ et vaut $S_n$. Comme $(X_1, \dots, X_n)$ et $(X_{l_1}, \dots, X_{l_n}, X_1, \dots, X_{l_{n-1}})$ ont même loi, il vient

$$F\left(\min_{1 \le k \le n} S_k > 0 \mid S_n > 0\right) = \frac{1}{n} E\left(\sum_{l=1}^{n} 1_{\{\min_{1 \le k \le n} S_k^{(l)} > 0\}} \mid S_n > 0\right).$$

À présent, la somme dans le membre de droite est minorée par 1 car sur $\{S_n > 0\}$, il existe une valeur (aléatoire) de $l$ pour laquelle le minimum de $S^{(l)}$ est strictement positif : le plus grand indice pour lequel $l \mapsto S_l$ atteint son minimum. Il est utile de faire un dessin et comparer avec la figure 3.3 page 3.3. Ceci fournit la minoration annoncée. $\square$

## 22.3 Pour aller plus loin

Le modèle présenté a été introduit dans un article [AK90] de David Aldous et William Krebs. Le lien avec un modèle de file d'attente est abordé dans l'article [TPH86] de John Tsitsiklis, Christos Papadimitriou, et Pierre Humblet. Un lien avec la marche aléatoire branchante se trouve dans l'article [Kor15] de Igor Kortchemski. Le théorème de (Herman) Chernoff, qui serait dû à Herman Rubin, est démontré par exemple dans le livre [DZ10] de Amir Dembo et Ofer Zeitouni.

Le théorème 22.2 laisse entière la question de la stabilité éventuelle de $\mathcal{B}$ au point critique. Une réponse précise peut être apportée dans un cas particulier important. Supposons que la loi d'assassinat soit exponentielle. Par changement d'échelle de temps, on peut supposer sans perte de généralité que son paramètre vaut 1, ce qui donne $\varphi(u) = (1-u)^{-1}1_{[0,1]}(u) + \infty 1_{[1,\infty]}(u)$, d'où $\min_{u>0} \lambda u^{-1}\varphi(u) = 4\lambda$ (minimum atteint en $u = 1/2$). Le théorème 22.2 assure que $\mathcal{B}$ est stable si $0 < \lambda < 1/4$ et instable si $\lambda > 1/4$. On note $E_\lambda$ l'espérance par rapport à la loi de $\mathcal{B}_\lambda$ et $N$ le nombre total d'individus qui sont nés, ancêtre compris. L'article [Bor08] de Charles Bordenave montre notamment que les moments de $N$ satisfont les propriétés d'intégrabilité suivantes :
— si $0 < \lambda < 1/4$ alors

$$E_\lambda(N) = \frac{2}{1 + \sqrt{1 - 4\lambda}};$$

— si $0 < \lambda < 2/9$ alors

$$E_\lambda(N^2) = \frac{2}{3\sqrt{1 - 4\lambda} - 1};$$
— pour tout $p \ge 2$, $E_\lambda(N^p) < \infty$ si et seulement si

$$0 < \lambda < \frac{p}{(p+1)^2}.$$

En particulier, si $\lambda = 1/4$, le processus $\mathcal{B}$ est stable puisque $E_{1/4}N = 2$. Il est aussi montré dans [Bor08] que la loi de $N$ a une queue polynomiale pour tout $0 < \lambda < 1/4$. En effet, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $C$ tel que pour tout $t > 0$,

$$P_{\lambda}(N > t) \le C t^{-\gamma(\lambda)+\varepsilon} \quad \text{avec} \quad \gamma(\lambda) = \frac{1 + \sqrt{1 - 4\lambda}}{1 - \sqrt{1 - 4\lambda}}.$$

Les processus de Galton-Watson sous-critiques étudiés au chapitre 3 ne présentent pas ce comportement à queues lourdes : il existe une constante $c > 0$ telle que $E_\lambda \exp(cN) < \infty$ pour $\lambda < 1$. D'autre part, le nombre moyen d'individus est donné par $E_\lambda(N) = (1 - \lambda)^{-1}$ : il explose donc quand $\lambda$ tend vers la valeur critique 1.
Modèle du télégraphe

**Mots-clés.** Processus de Markov déterministe par morceaux; équation aux dérivées partielles; générateur infinitésimal.

**Outils.** Processus de Poisson; chaîne de Markov à temps continu; transformée de Laplace.

**Difficulté.***

On s'intéresse au mouvement d'une bactérie qui possède de quatre à six flagelles répartis sur sa surface et se déplace en les faisant tourner à la manière d'un tire-bouchon. Quand ils tournent dans le sens anti-horaire, les flagelles forment un faisceau propulsif qui produit un déplacement en quasi-ligne droite. Quand ils tournent dans le sens des aiguilles d'une montre, les flagelles sont décorrélés et produisent une rotation de la cellule sans déplacement significatif. La cellule alterne donc les déplacements en ligne droite ou « runs » et les rotations sur place ou « tumbles ». La durée moyenne d'un run est d'environ une seconde tandis que le temps moyen d'une rotation est de l'ordre du dixième de seconde. Dans la suite, on néglige le temps de rotation et on suppose que le mouvement s'effectue en dimension 1. Dans un milieu isotrope, le taux d'apparition d'une rotation au cours d'un run est essentiellement indépendant du temps passé depuis la dernière rotation : la longueur d'un run peut donc être modélisée par une loi exponentielle de paramètre noté $\alpha$.

Notons $X_t$ et $V_t$ la position et la vitesse de la bactérie à l'instant $t$. La vitesse de la bactérie prend ses valeurs dans l'ensemble $\{-1, +1\}$ après un changement d'échelle adéquat. Soit $(N_t)_{t \ge 0}$ un processus de Poisson d'intensité $\alpha$ et $(V_0, X_0)$ une variable aléatoire à valeurs dans $E = \{-1, +1\} \times \mathbb{R}$ indépendante de $(N_t)_{t \ge 0}$. On définit le processus $((V_t, X_t))_{t \ge 0}$ à valeurs dans $E$ en posant, pour tout $t \ge 0$

$$V_t = (-1)^{N_t} V_0 \quad \text{et} \quad X_t = X_0 + \int_0^t V_s \, ds.$$
On souhaite savoir comment évolue la répartition des bactéries au cours du temps connaissant la répartition à l'instant initial.

Tout d'abord, le processus des vitesses $(V_t)_{t\ge0}$ est un processus de Markov sur $\{-1, +1\}$ dont on peut déterminer la loi. Pour tout $t \ge 0$, notons

$$p_+(t) = \mathbb{P}(V_t = +1) \quad \text{et} \quad p_-(t) = \mathbb{P}(V_t = -1).$$

**Théorème 23.1** (Loi de la vitesse). Le processus $(V_t)_{t\ge0}$ admet une unique loi invariante, qui est la loi de Rademacher symétrique $\frac{1}{2}\delta_{-1} + \frac{1}{2}\delta_{+1}$. De plus, pour tout $t \ge 0$, loi de $V_t$ est donnée par

$$p_+(t) = \frac{1}{2} + \frac{p_+(0) - p_-(0)}{2} e^{-2\alpha t} \quad \text{et} \quad p_-(t) = \frac{1}{2} - \frac{p_+(0) - p_-(0)}{2} e^{-2\alpha t},$$

solutions des équations différentielles

$$p'_+(t) = \alpha(p_-(t) - p_+(t)) \quad \text{et} \quad p'_-(t) = \alpha(p_+(t) - p_-(t)).$$

*Démonstration.* La formule

$$p_+(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}((-1)^n = V_0)\mathbb{P}(N_t = n) = \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}((-1)^n = V_0)e^{-\alpha t} \frac{(\alpha t)^n}{n!}$$

conduit immédiatement à l'équation différentielle

$$p'_{+}(t) = -\alpha p_{+}(t) + \alpha p_{-}(t).$$

Or $p_+ + p_- = 1$, d'où l'équation différentielle vérifiée par $p_-$. De plus

$$(p_+ - p_-)'(t) = -2\alpha(p_+ - p_-)(t) \quad \text{et} \quad (p_+ + p_-)'(t) = 0.$$

La résolution de ces équations différentielles linéaires donne le résultat. $\square$

Dans la section 23.1, on étudie les propriétés markoviennes du processus $V$ et du processus complet $(V, X)$, héritées de celles du processus de Poisson. Nous faisons ensuite le lien entre ce processus et une équation aux dérivées partielles dite du télégraphe dans la section 23.2.

## 23.1 Aspects markoviens du processus complet

Nous étudions dans cette section le semi-groupe de Markov et le générateur infinitésimal associés au processus $(V, X)$. L'approche est similaire à celle adoptée pour le processus de croissance-fragmentation dans le chapitre 17 et pour la file d'attente $M/M/\infty$ dans le chapitre 11. Pour tout $t \ge 0$ et toute fonction $f$ mesurable bornée de $E$ dans $\mathbb{R}$, on note

$$P_t f(v, x) = \mathbb{E}(f(V_t, X_t)|V_0 = v, X_0 = x)$$
$$= \mathbb{E} \left[ f \left( (-1)^{N_t} v, x + v \int_0^t (-1)^{N_s} ds \right) \right].$$

Pour $k \in \mathbb{N}$, on note $C_E^k$ l'ensemble des fonctions $f : E \to \mathbb{R}$ mesurables, bornées, de classe $C^k$ en la deuxième variable, à dérivées successives bornées.

**Théorème 23.2 (Semi-groupe de Markov).** La famille $(P_t)_{t \ge 0}$ vérifie :
— pour tout $t \ge 0$, si $1$ est la fonction constante égale à $1$, alors $P_t 1 = 1$;
— si $f$ est positive, alors $P_t f$ l'est aussi;
— pour tout $f \in C_E^k$ et tout $t \ge 0$, $P_t f \in C_E^k$;
— pour tout $f \in C_E^1$, $\lim_{t \to 0} P_t f = f$ uniformément;
— pour tous $t, s \ge 0$ et toute fonction $f : E \to \mathbb{R}$ mesurable et bornée,

$$P_{t+s} f(v, x) = P_t \circ P_s f(v, x).$$

On dit que $(P_t)_{t \ge 0}$ est un semi-groupe de Markov.

**Démonstration.** Les deux premiers points n'offrent pas de difficulté. Pour établir le troisième, on écrit

$$\begin{align*}
|P_t f(v, x) - f(v, x)| &\le \mathbb{E}(|f(V_t, X_t) - f(v, x)| | V_0 = v, X_0 = x) \\
&\le \mathbb{E}(|f(V_t, X_t) - f(v, x)| 1_{\{N_t=0\}} | V_0 = v, X_0 = x) \\
&\quad + \mathbb{E}(|f(V_t, X_t) - f(v, x)| 1_{\{N_t \ge 1\}} | V_0 = v, X_0 = x)
\end{align*}$$

Si $N_t = 0$, alors, pour tout $s \in [0, t]$, $V_s = v$ et $X_t = x + tv$. On a donc

$$\mathbb{E}(|f(V_t, X_t) - f(v, x)|1_{\{N_t=0\}} | V_0 = v, X_0 = x) = |f(v, x + vt) - f(v, x)| \\ \le \|\partial_x f\|_{\infty} t,$$

où on a utilisé $|v| = 1$. D'autre part,

$$\mathbb{E}(|f(V_t, X_t) - f(v, x)|1_{\{N_t \ge 1\}} | V_0 = v, X_0 = x) \le 2\|f\|_{\infty} \mathbb{P}(N_t \ge 1) \\ = 2\|f\|_{\infty} (1 - e^{-\alpha t}).$$

Démontrons la dernière propriété. Pour tous $s, t \ge 0$, on a

$$P_{t+s} f(v, x) = \mathbb{E}\{\mathbb{E}\{f(V_{t+s}, X_{t+s}) | X_0, V_0, X_t, V_t\} | X_0 = x, V_0 = v\}.$$

Par définition de $(V, X)$ on écrit

$$V_{t+s} = (-1)^{N_{t+s}-N_t} V_t \quad \text{et} \quad X_{t+s} = X_t + V_t \int_0^s (-1)^{N_{t+u}-N_t} du.$$

On utilise ensuite le fait que le processus de Poisson est à accroissements indépendants et stationnaires, et, en particulier, que $(N_{t+s} - N_t)_{s \ge 0}$ est un processus de Poisson de paramètre $\alpha$ indépendant de $(N_u)_{0 \le u \le t}$, d'où
$$
\begin{align*}
& \mathrm{E} \left( f \left( (-1)^{N_{t+s}-N_t} V_t, X_t + V_t \int_0^s (-1)^{N_{t+u}-N_u} du \right) \middle| X_0, V_0, X_t, V_t \right) \\
&= P_s f(V_t, X_t).
\end{align*}
$$

On retrouve alors la relation de semi-groupe $P_{t+s}f(v, x) = P_t \circ P_s f(v, x)$. $\square$
**Théorème 23.3 (Générateur infinitésimal).** Pour tout $t \ge 0$ et tout $f \in C_E^1$,

$$
\left\| \frac{P_{t+h} f - P_t f}{h} - A P_t f \right\|_{\infty} \underset{h \to 0}{\longrightarrow} 0,
$$

où l'opérateur A est défini par

$$
Af(v, x) := \alpha(f(-v, x) - f(v, x)) + v \partial_x f(v, x),
$$

pour tout $f \in C_E^1$. En particulier, pour tout $t \ge 0$ et pour tout $f \in C_E^1$,

$$
\partial_t P_t f(v, x) = A P_t f(v, x) = P_t(A f)(v, x).
$$

Démonstration. Démontrons d'abord le résultat pour $t = 0$. Soit $f \in C_E^1$, on a

$$
\begin{align*}
P_h f(v, x) &= \mathrm{E} \left( f(V_h, X_h) \mathbf{1}_{\{N_h=0\}} \middle| V_0 = v, X_0 = x \right) \\
&\quad + \mathrm{E} \left( f(V_h, X_h) \mathbf{1}_{\{N_h=1\}} \middle| V_0 = v, X_0 = x \right) \\
&\quad + \mathrm{E} \left( f(V_h, X_h) \mathbf{1}_{\{N_h \ge 2\}} \middle| V_0 = v, X_0 = x \right).
\end{align*}
$$

On étudie ces trois espérances séparément. La valeur absolue de la troisième
et dernière espérance est bornée par

$$
\|f\|_{\infty} \mathbb{P}(N_h \ge 2) = \|f\|_{\infty} (1 - e^{-\alpha h}(1 + \alpha h)) = \mathcal{O}(h^2).
$$

La première espérance vaut

$$
\begin{align*}
\mathrm{E} \left( f(v, x + vh) \mathbf{1}_{\{N_h=0\}} \right) &= f(v, x + vh) e^{-\alpha h} \\
&= f(v, x) + h (v \partial_x f(v, x) - \alpha f(v, x)) + o(h).
\end{align*}
$$

Enfin, la deuxième espérance s'écrit

$$
\begin{align*}
\mathrm{E} \left[ f \left( -v, x + v \int_0^h (-1)^{N_u} du \right) \mathbf{1}_{\{N_h=1\}} \right] &= \alpha h e^{-\alpha h} (f(-v, x) + \mathcal{O}(h)) \\
&= \alpha h f(-v, x) + o(h)
\end{align*}
$$

puisque le terme intégral est borné (en valeur absolue) par $h$. On a ainsi obtenu

$$
P_h f(v, x) = f(v, x) + h A f(v, x) + o(h),
$$

ce qui achève le cas $t=0$. Pour étendre le résultat à tout temps $t \ge 0$, on
utilise la propriété de semi-groupe et la première partie de la preuve :
$$
\frac{P_{t+h}f - P_t f}{h} - AP_t f = \left( \frac{P_h - P_0}{h} - A \right) P_t f \underset{h \to 0}{\stackrel{\| \cdot \| \infty}{\rightleftharpoons}} 0,
$$

puisque que $P_t f \in C_E^1$. De même, l'écriture alternative

$$
\frac{P_{t+h}f - P_t f}{h} = P_t \left( \frac{P_h - P_0}{h} \right) f;
$$

fournit la relation $\partial_t P_t f = P_t A f$.

□

23.2 Lien entre équation et processus

Soit $\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de classe $C^2$. Définissons $u^+$ et $u^-$ sur $\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}$ par

$$
\begin{cases}
u^{+}(t, x) := P_t \phi(1, x) = \mathbb{E}(\phi(X_t) | V_0 = 1, X_0 = x), \\
u^{-}(t, x) := P_t \phi(-1, x) = \mathbb{E}(\phi(X_t) | V_0 = -1, X_0 = x),
\end{cases}
$$

avec l'abus de notation suivant : on note encore $\phi$ l'application $(v, x) \mapsto \phi(x)$.
Par définition de $u^+$ et $u^-$, la dernière formule du théorème 23.3 assure que

$$
\begin{align*}
\partial_t u^+(t, x) &= \partial_t P_t \phi(1, x) = AP_t \phi(1, x) \\
&= \alpha(P_t \phi(-1, x) - P_t \phi(1, x)) + \partial_x P_t \phi(1, x) \\
&= \alpha(u^-(t, x) - u^+(t, x)) + \partial_x u^+(t, x).
\end{align*}
$$

On peut faire de même pour $u^-$ et en déduire que $(u^+, u^-)$ est solution de

$$
\left\{
\begin{aligned}
\partial_t u^+(t, x) &= \alpha(u^-(t, x) - u^+(t, x)) + \partial_x u^+(t, x) \\
\partial_t u^-(t, x) &= \alpha(u^+(t, x) - u^-(t, x)) - \partial_x u^-(t, x).
\end{aligned}
\right.
$$

En posant

$$
u(t, x) := \frac{u^{+}(t, x) + u^{-}(t, x)}{2} \quad \text{et} \quad \tilde{u}(t, x) := \frac{u^{+}(t, x) - u^{-}(t, x)}{2},
$$

le couple $(u, \tilde{u})$ est solution de

$$
\begin{cases}
\partial_t u(t, x) = \partial_x \tilde{u}(t, x), \\
\partial_t \tilde{u}(t, x) = -2\alpha \tilde{u}(t, x) + \partial_x u(t, x).
\end{cases}
$$

Dériver la première équation par rapport à $t$ et la seconde par rapport à $x$
permet de supprimer le terme $\partial_t \partial_x \tilde{u}(t, x)$ pour obtenir

$$
\partial_{tt}^2 u(t, x) = -2\alpha \partial_x \tilde{u}(t, x) + \partial_{xx}^2 u(t, x).
$$

Il reste alors à remplacer $\partial_x \tilde{u}(t, x)$ par $\partial_t u(t, x)$ pour obtenir que

$$
\partial_{tt}^2 u(t, x) - \partial_{xx}^2 u(t, x) + 2\alpha \partial_t u(t, x) = 0.
$$

Or lorsque $X_0 = x$ pour un $x \in \mathbb{R}$ et $V_0 \sim \frac{1}{2}\delta_{-1} + \frac{1}{2}\delta_1$ alors on trouve
$u(t, x) = \mathbb{E}(\phi(x + X_t))$, et on a donc démontré le résultat suivant.
**Théorème 23.4** (Représentation probabiliste de la solution d'une ÉDP). La fonction $u$ définie par $u(t, x) = E(\phi(x + X_t))$ pour tout $t \ge 0$ et $x \in \mathbb{R}$ où $X_0 = 0$ et $V_0$ suit la loi $\frac{1}{2}\delta_{-1} + \frac{1}{2}\delta_1$ est solution de l'équation du télégraphe :

$$ egin{cases} 
\partial_{tt}^2 u(t,x) - \partial_{xx}^2 u(t,x) + 2\alpha \partial_t u(t,x) = 0 & \text{pour tous } t \ge 0, x \in \mathbb{R}, \\ 
u(0,x) = \phi(x) & \text{pour tout } x \in \mathbb{R}, \\ 
\partial_t u(0,x) = 0 & \text{pour tout } x \in \mathbb{R}. 
\end{cases} $$

L'équation aux dérivées partielles du théorème 23.4 est une superposition de deux équations classiques : l'équation des ondes ou des cordes vibrantes, et l'équation de la chaleur. La première décrit la propagation d'un signal sans amortissement tandis que la seconde traduit un phénomène de diffusion.

## 23.3 Modification ergodique

Dans cette section, on modifie légèrement la dynamique du processus $(V, X)$. La vitesse est toujours à valeurs dans $\{-1, +1\}$ et $X$ correspond encore à l'intégrale de $V$. Toutefois, on complique légèrement le mécanisme de saut de $V$. Pour simplifier, on construit par récurrence les positions aux instants de saut de $V$ et on complète ensuite par interpolation.

Soit $a > 0$ et $b > 0$ des réels fixés. Soit $(E_n)_{n \ge 1}$ une suite de v.a.r. i.i.d. de loi exponentielle de paramètre 1 indépendante de $(\tilde{V}_0, \tilde{X}_0) \in \{-1, +1\} \times \mathbb{R}_+$. On note $T_0 = 0$. On définit par récurrence les quantités suivantes :

$$ T_n = T_{n-1} + \begin{cases} \frac{E_n}{b} & \text{si } \tilde{V}_{n-1} = 1, \\ \min \left( \frac{E_n}{a}, \tilde{X}_{n-1} \right) & \text{si } \tilde{V}_{n-1} = -1, \end{cases} $$

puis

$$ \tilde{V}_n = -\tilde{V}_{n-1} \quad \text{et} \quad \tilde{X}_n = \tilde{X}_{n-1} + \tilde{V}_{n-1}(T_n - T_{n-1}). $$

On construit alors le processus $(X, V)$ en posant $V_t := \tilde{V}_{n-1}$ si $T_{n-1} \le t < T_n$ et $X$ comme interpolation linéaire de $\tilde{X}$. Pour résumer, le taux de saut de $V$ est donné par

$$ b1_{\{v=1\}} + (a + \infty)1_{\{x=0\}})1_{\{v=-1\}}. $$

Une excursion de $(V, X)$ est une trajectoire issue de $(+1, 0)$ arrêtée à l'instant

$$ S := \inf \{t > 0 : X_t = 0\}. $$

On note $\psi$ la transformée de Laplace de $S$ :

$$ \psi : \lambda \in \mathbb{R} \mapsto \psi(\lambda) = E_{(1,0)}(e^{\lambda S}). $$
<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>Fig. 23.1. Une trajectoire.</figcaption></figure>

**Lemme 23.5 (Longueur d'une excursion).** Le domaine de définition de $\psi$ est $]-\infty, \lambda_c]$, où $\lambda_c$ est donné par

$$ \lambda_c = \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{(\sqrt{b}-\sqrt{a})^2}{2}. $$

De plus, si $\lambda \le \lambda_c$, alors

$$ \psi(\lambda) = \frac{a+b-2\lambda-\sqrt{(a+b-2\lambda)^2-4ab}}{2a}. $$

En particulier, $\psi(\lambda_c) = \sqrt{b/a}$ et $E_{(1,0)}(S) = 2/(b-a)$.

**Démonstration.** Le premier temps de saut $T_1 = E$ pour $V$ lorsque $(V_0, X_0) = (1, 0)$ suit la loi exponentielle de paramètre $b$. Si $V$ ne saute pas entre $E$ et $2E$ alors $S = 2E$. Dans le cas contraire, $(V, X)$ fait une excursion au-dessus de $X_{T_2}$ qui a même loi que $X$. Après cette excursion, $(V, X)$ se trouve en $(-1, X_{T_2})$. Encore une fois, de deux choses l'une : $X$ atteint 0 avant que $V$ ne saute ou non (dans ce cas, une autre excursion se greffe). La figure 23.2 illustre ce découpage. Le nombre $N$ d'excursions incluses dans la descente depuis $E$ suit la loi $Poi(aE)$. On peut donc écrire

$$ S \stackrel{\text{loi}}{=} 2E + \sum_{k=1}^{N} S_k, $$

où $E$, $N$ et $(S_k)_{k \ge 1}$ sont indépendantes. Ainsi on a, pour tout $\lambda$ dans le domaine de définition de $\psi$ (qui contient $]-\infty, 0]$),

$$ \begin{aligned} \psi(\lambda) &= \mathbb{E}\left(\mathbb{E}\left(e^{2\lambda E + \lambda \sum_{k=1}^{N} S_k |E, N|}\right)\right) = (e^{2\lambda E} \mathbb{E}(\psi(\lambda)^N |E|)) \\ &= \mathbb{E}\left(e^{2\lambda E} e^{aE(\psi(\lambda)-1)}\right) = \frac{b}{b+a-2\lambda-a\psi(\lambda)}, \end{aligned} $$
<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>Fig. 23.2. Décomposition d'une excursion. Les points signalent les sauts de vitesse.</figcaption></figure>

d'où la formule.

<figure><img src="image_72.png" /></figure>

Plus de précision est possible sur la structure d'une excursion issue de (+1,0). Ceci va permettre d'exprimer la quantité suivante en termes de variables aléatoires classiques :

$$I = \int_{0}^{S} e^{\lambda X_s} g(V_s) ds$$

où $g$ est une fonction définie sur $\{-1, +1\}$. Le premier temps de saut $E$ suit la loi exponentielle de paramètre $b$. Conditionnellement à $\{E = x\}$, le nombre $N$ d'excursions «greffées» sur le retour à 0 est distribué selon la loi de Poisson de paramètre $ax$. Conditionnellement à $\{E = x, N = k\}$ les $k$ hauteurs auxquelles elles ont lieu sont distribuées comme $(xU_{(k,k)}, xU_{(k,k-1)}, \dots, xU_{(k,1)})$ où les v.a.r. $(U_i)_{i \ge 1}$ sont i.i.d. de loi uniforme sur $[0, 1]$ et où $(U_{(1,k)}, \dots, U_{(k,k)})$ représente l'échantillon réordonné dans l'ordre croissant. Soient

$$((V_t^{(i)}, X_t^{(i)})_{0 \le t \le S^{(i)}})_{i \ge 1}$$

des trajectoires indépendantes sur une excursion issue de (+1,0). On a alors

$$I = (g(1) + g(-1)) \int_{0}^{E} e^{\lambda y} dy + \sum_{i=1}^{N} \int_{0}^{S_i} e^{\lambda(EU_{(i,N)} + X_s^{(i)})} g(V_s^{(i)}) ds.$$

On a alors

$$E\left(\int_{0}^{S_i} e^{\lambda(EU_{(i,N)} + X_s^{(i)})} g(V_s^{(i)}) ds \mid E, N, (U_i)_{i \ge 1}\right) = E(I) e^{\lambda EU_{(i,N)}}.$$

On en déduit la relation suivante

$$E(I) = E\left(\frac{g(1) + g(-1)}{\lambda}(e^{\lambda E} - 1) + E(I) \sum_{i=1}^{N} e^{\lambda EU_{(i,N)}}\right)$$
$$= \frac{g(1) + g(-1)}{b - \lambda} + \mathrm{E}(I)\mathrm{E}\left(\sum_{i=1}^{N} e^{\lambda EU_i}\right).$$

Enfin, par indépendance des variables aléatoires considérées,

$$ \begin{aligned} \mathrm{E}\left(\sum_{i=1}^{N} e^{\lambda EU_i} | E\right) &= \mathrm{E}(Ne^{\lambda EU_1} | E) \\ &= \mathrm{E}\left(\frac{N}{\lambda E}(e^{\lambda E} - 1) | E\right) \\ &= \frac{a}{\lambda}(e^{\lambda E} - 1). \end{aligned} $$

Ainsi, pour tout $\lambda < b - a$, on obtient

$$\mathrm{E}(I) = \frac{g(1) + g(-1)}{b - a - \lambda}.$$

Le théorème ergodique montre que si $\nu$ est la loi invariante de $(V, X)$ alors

$$\int_{\{-1, +1\} \times \mathbb{R}_+} e^{\lambda x} g(v) \nu(dv, dx) = \frac{\mathrm{E}(I)}{\mathrm{E}(S)} = \frac{g(1) + g(-1)}{2} \frac{b-a}{b-a-\lambda}.$$

Ainsi, la loi invariante $\nu$ est la loi $(1/2)(\delta_{-1} + \delta_{+1}) \otimes \mathrm{Exp}(b-a)$.

## 23.4 Pour aller plus loin

De nombreux modèles mathématiques pour ces problèmes de déplacement de bactéries se trouvent par exemple dans les articles de Hans Othmer, Steven Dunbar, et Wolfgang Alt [ODA88], et de Radek Erban et Hans Othmer [EO05]. Le théorème 23.4 est dû à Marc Kac [Kac74]. Dans l'article de Kac, l'équation aux dérivées partielles du théorème 23.4 apparaît comme une limite d'échelle de marches aléatoires persistantes, qui modélisent l'évolution d'un courant électrique dans un câble coaxial, ce qui explique le nom d'équation du télégraphe. Ce lien avec les marches aléatoires persistantes est également au cœur d'un article de Samuel Herman et Pierre Vallois [HV10].
<figure><img src="image_73.png" /></figure>
# Problème de Dirichlet

**Mots-clés.** Diffusion; mouvement brownien; temps de sortie; équation de la chaleur; fonction harmonique.

**Outils.** Chaîne de Markov; propriété de Markov; martingale; méthode de Monte-Carlo.

## Difficulté. ***

Ce chapitre est consacré au problème de Dirichlet continu, en liaison avec le mouvement brownien. La version discrète est abordée dans le chapitre 2 consacré aux marches aléatoires. La motivation est l'étude de la répartition de la température dans un solide. Considérons donc un solide homogène identifié à l'adhérence $\bar{D}$ d'un ouvert connexe borné $D$ de $\mathbb{R}^d$ dont on fixe la température de surface non nécessairement constante égale à une fonction $b$. La température à l'intérieur du solide converge vers un équilibre thermique que l'on souhaite exprimer en fonction de $D$ et $b$. Intuitivement, la température en un point intérieur du solide est égale à la moyenne des températures prises sur toute boule centrée en ce point et incluse dans le solide : la température $\varphi$ vérifie la formule de la moyenne. Pour tout $x \in \mathbb{R}^d$ et tout réel $r \ge 0$, la boule et la sphère de centre $x$ et de rayon $r$ sont notées

$$B(x,r) := \{y \in \mathbb{R}^d : |x - y| < r\} \quad \text{et} \quad S(x,r) := \{y \in \mathbb{R}^d : |x - y| = r\},$$

tandis que la boule fermée de centre $x$ et de rayon $r$ est notée

$$\overline{B}(x,r) := B(x,r) \cup S(x,r) = \{y \in \mathbb{R}^d : |x - y| \le r\}.$$

On notera parfois $\partial B(x, r) := S(x, r)$. On dit que $\varphi$ est harmonique sur $D$ si elle est localement intégrable et vérifie la formule de la moyenne :

$$\forall x \in D, \forall r < \text{dist}(x, \partial D), \quad \varphi(x) = \frac{1}{|B(0, r)|} \int_{B(0, r)} \varphi(x + y) dy.$$
La température devrait être continue sur l'ensemble du solide si b l'est au bord
∂D de D. On peut donc formuler ainsi le problème de Dirichlet : une fonction
φ définie sur D à valeurs dans R est solution du problème de Dirichlet si

1. pour tout point x de ∂D, φ(x) = b(x),

2. $\varphi$ est continue sur $\bar{D}$,

3. $\varphi$ est harmonique sur $D$.

Il existe de nombreux théorèmes étudiant l'existence et/ou l'unicité de la
solution du problème de Dirichlet mais bien sûr la solution n'est en général
pas explicite. Dans certains cas très particuliers, il est cependant possible
de donner une représentation intégrale relativement explicite de la solution.
Dans les autres cas, des méthodes numériques, déterministes ou probabilistes,
permettent de résoudre le problème de manière approchée.

**Théorème 24.1** (Fonctions harmoniques). *Pour toute fonction $\varphi : D \to \mathbb{R}$ les trois propriétés suivantes sont équivalentes :*

1. Moyenne sur les boules : $\varphi$ est harmonique ;

2. Moyenne sur les sphères : $\varphi$ est localement intégrable sur D et vérifie

$$
\forall x \in D, \forall r < \operatorname{dist}(x, \partial D), \quad \varphi(x) = \int_{S(0,r)} \varphi(x+y) \sigma_r(dy),
$$

où $\sigma_r$ est la loi uniforme sur la sphère centrée de rayon $r$ ;

3. Laplacien nul : $\varphi$ est de classe $C^\infty$ sur D et $\Delta\varphi = 0$ sur D.

De plus, si $\varphi$ est harmonique sur $D$ alors toutes ses dérivées partielles sont harmoniques sur $D$. Enfin, si $|\varphi|$ est bornée sur $\bar{D}$, alors il en va de même pour toutes les dérivées partielles de $\varphi$.

Le théorème 24.1 permet de reformuler le problème de Dirichlet en termes
d'équations aux dérivées partielles (ÉDP).

**Corollaire 24.2** (Problème de Dirichlet et ÉDP). *Une fonction $\varphi$ est solution du problème de Dirichlet sur D avec conditions aux bords b, si et seulement si, elle est de classe $C^\infty$ sur D et continue sur $\bar{D}$ et vérifie*

$$
\begin{cases}
\Delta\varphi(x) = 0 & \text{pour tout } x \in D, \\
\varphi(x) = b(x) & \text{pour tout } x \in \partial D.
\end{cases}
$$

Démonstration du théorème 24.1. Montrons que la seconde propriété implique
la première. Supposons sans perte de généralité que $x = 0$. Grâce à un chan-
gement de variables polaires, on a

$$
\begin{align*}
\frac{1}{|B(0,r)|} \int_{B(0,r)} \varphi(y) dy &= \frac{1}{r^d |B(0,1)|} \int_0^r \int_{\partial B(0,s)} \varphi(y) \sigma_s(dy) |\partial B(0,s)| ds \\
&= \frac{d}{r^d} \int_0^r \int_{\partial B(0,s)} \varphi(y) \sigma_s(dy) s^{d-1} ds.
\end{align*}
$$
Ainsi, si $\varphi$ vérifie la formule de la moyenne sur les sphères, alors $\varphi$ vérifie la formule de la moyenne sur les boules. Réciproquement, si $\varphi$ est harmonique, l'expression ci-dessus donne

$$r^d \varphi(0) = d \int_0^r \int_{\partial B(0,s)} \varphi(y) \sigma_s(dy) s^{d-1} ds.$$

Une dérivation par rapport à $r$ donne la formule de la moyenne sur les sphères.

Montrons que les deux dernières propriétés sont équivalentes. La première étape consiste à régulariser la fonction $\varphi$ par convolution. Soit $x \in D$, $V$ un voisinage de $x$ inclus dans $D$, et $\varepsilon < \text{dist}(V, \partial D)$. La fonction

$$\Psi_{\varepsilon} : x \mapsto c(\varepsilon) \exp((|x|^2 - \varepsilon^2)^{-1}) 1_{\{|x|<\varepsilon\}}$$

est de classe $C^\infty$, positive, d'intégrale 1 pour $c(\varepsilon)$ bien choisi, à support dans la boule $\bar{B}(0, \varepsilon)$ et radiale. La fonction $\varphi * \Psi_\varepsilon$ est donc de classe $C^\infty$ sur $V$. De plus, pour tout $y \in V$, la formule de la moyenne sur les sphères assure que

$$\begin{align*}
\varphi * \Psi_{\varepsilon}(y) &= \int_{B(0,\varepsilon)} \varphi(y+u) \Psi_{\varepsilon}(u) du \\
&= \int_{0}^{\varepsilon} \left( \int_{S(0,s)} \varphi(y+sz) \sigma_s(dz) \right) |S(0,s)| \Psi_{\varepsilon}(s) ds \\
&= \varphi(y) \int_{B(0,\varepsilon)} \Psi_{\varepsilon}(z) dz,
\end{align*}$$

puisque $\Psi_\varepsilon$ est radiale. Elle est de plus d'intégrale 1 : $\varphi$ et $\varphi * \Psi_\varepsilon$ coïncident sur $V$ et $\varphi$ est ainsi de classe $C^\infty$ sur $V$. Enfin, pour $|y|$ assez petit, on a

$$\varphi(x+y) = \varphi(x) + \nabla\varphi(x) \cdot y + \frac{1}{2} (\text{Hess}(\varphi)(x)y) \cdot y + o(|y|^2).$$

En intégrant cette relation sur la sphère centrée de rayon $r$ contre la mesure uniforme et en faisant tendre $r$ vers 0, on obtient que $\Delta\varphi(x) = 0$, tandis que la réciproque s'obtient en intégrant la relation sur une petite boule.

Il reste à établir les propriétés de régularité automatiques des dérivées. La propagation de l'harmonicité s'obtient par récurrence en dérivant la formule de la moyenne. De plus, pour tout multi-indice $\alpha \in \mathbb{N}^d$, il existe $K(\varepsilon, \alpha)$ tel que, pour tout $y \in V$,

$$|\partial_{\alpha} \varphi(y)| = |\varphi * \partial_{\alpha} \Psi_{\varepsilon}| \le K(\varepsilon, \alpha) \sup_{z \in \bar{D}} |\varphi(z)|.$$

Un argument de compacité assure le résultat. $\square$

## 24.1 Interprétation probabiliste

La théorie des probabilités fournit les outils nécessaires à l'étude du problème de Dirichlet sous sa forme ÉDP, notamment une représentation probabiliste de la solution. Soit $(B_t)_{t \ge 0}$ un mouvement brownien sur $\mathbb{R}^d$ et
$$
\tau := \inf \{t > 0 : B_t \notin D\}
$$

le temps de sortie de D pour (B_t)_{t \ge 0}. On notera $\mathbb{P}_x$ la loi de (B_t)_{t \ge 0}$ sachant
que $B_0 = x$ et $\mathbb{E}_x$ l'espérance par rapport à cette loi. Le mouvement brownien
est un processus de Markov fort et la formule d'Itô assure que si $f$ est une
fonction de classe $C^2$ de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$ à dérivées bornées, alors

$$
f(B_t) = f(B_0) + \int_0^t \frac{1}{2} \Delta f(B_s) ds + \int_0^t \nabla f(B_s) dB_s.
$$

L'intégrale stochastique (dernier terme) ci-dessus est une martingale. La clé du lien entre probabilités et analyse est contenue dans la remarque suivante : $(f(B_t))_{t \ge 0}$ est une martingale si $f$ est une fonction harmonique.

**Théorème 24.3** (Harmonicité de la représentation probabiliste). *La fonction v définie sur D par $v(x) = E_x[b(B_\tau)]$ est harmonique sur D.*

Il est délicat d'établir la continuité sur $\bar{D}$ de la fonction $v$ donnée par le théorème 24.3. Cela fait intervenir les propriétés géométriques du domaine $D$.

Démonstration. Soit $x \in D$ et $r < \text{dist}(x, \partial D)$. Notons

$$
\tau_r := \inf \{t \ge 0 : B_t \notin B(x, r)\}
$$

le temps de sortie de la boule centrée en $x$ de rayon $r$ pour le mouvement
brownien issu de $x$. Voir la figure 24.1. La propriété de Markov forte de $(B_t)_{t \ge 0}$
assure alors que

$$
v(x) = \mathbb{E}_x[\mathbb{E}_x(b(B_\tau)|\mathcal{F}_{\tau_r})] = \mathbb{E}_x[\mathbb{E}_{X_{\tau_r}}(b(B_\tau))] = \mathbb{E}_x(v(B_{\tau_r}))
$$

Enfin, comme la loi du mouvement brownien est invariante par rotation, la v.a. $B_{\tau_r}$ est distribuée selon la loi uniforme sur $S(x, r)$. Cette propriété assure que la fonction $v$ vérifie la formule de la moyenne sur les sphères. $\square$

**Remarque 24.4** (Noyau de Poisson). *La représentation probabiliste ci-dessus montre que la solution du problème de Dirichlet en un point x de D s'écrit comme la moyenne des valeurs aux bords pondérées par la loi du lieu de sortie d'un mouvement brownien issu de x. La densité de cette mesure est appelée noyau de Poisson de D.*

Une fonction $h$ harmonique sur un domaine $D$ atteint nécessairement son maximum sur un compact $K$ en un point du bord de $K$. Ce principe du maximum fournit l'unicité de la solution du problème de Dirichlet : la différence de deux solutions est une fonction harmonique nulle sur $\partial D$ et donc nulle sur $D$. Le théorème suivant montre que la l'unicité de la solution du problème de Dirichlet peut aussi se déduit de l'interprétation probabiliste.

**Théorème 24.5** (Unicité). *Si $\varphi$ est une solution du problème de Dirichlet sur D de condition aux bords b, alors cette solution est unique et s'écrit*

$$
\forall x \in D, \quad \varphi(x) = \mathbb{E}_x[b(B_\tau)].
$$
<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>Fig. 24.1. Découpage d'une trajectoire sortant de D après être sortie de B(x, r).</figcaption></figure>

*Démonstration.* La formule d'Itô fournit la décomposition suivante :

$$ \varphi(B_{t\wedge\tau}) = \varphi(x) + \int_{0}^{t\wedge\tau} \frac{1}{2} \Delta\varphi(B_s) ds + M_{t\wedge\tau} $$

où $(M_{t\wedge\tau})_{t\ge0}$ est une martingale bornée d'après les propriétés de régularités automatiques des fonctions harmoniques (théorème 24.1). En effet, $\varphi$ est harmonique sur $D$ et bornée sur $\bar{D}$. Il en est alors de même pour ses dérivées. En prenant l'espérance et en faisant $t \to \infty$, on obtient le résultat annoncé. $\square$

## 24.2 Cas de la boule unité

Il existe très peu de domaines $D$ pour lesquels une expression explicite de la solution du problème de Dirichlet est disponible. Cette section est consacrée au cas des boules euclidiennes.

**Théorème 24.6 (Noyau de Poisson des boules).** Le problème de Dirichlet sur la boule centrée de rayon $r$ dans $\mathbb{R}^d$ de condition aux bords $b$ a pour solution

$$ \varphi(x) = \int_{S(0,r)} b(y) P_r(x, y) \sigma_r(dy), \quad \text{où } P_r(x, y) = \frac{r^{d-2}(r^2 - |x|^2)}{|y - x|^d}. $$

Ici encore $\varphi(x)$ s'écrit comme la moyenne de $b$ sur $\partial D$ contre la densité $P_r(x, y)$ par rapport à la mesure uniforme sur $S(0, r)$. Cette mesure donne plus de poids aux points de la sphère qui sont proches de $x$, ce qui correspond bien à l'intuition en termes de température du solide.
Le problème de Dirichlet sur une boule de $\mathbb{R}^d$ se ramène ainsi au calcul d'une intégrale sur la sphère de dimension $d-1$. Lorsque $d \gg 1$, les méthodes de calcul approché déterministes deviennent très difficiles à mettre en place car elles demandent de discrétiser la sphère. La méthode de Monte-Carlo reste elle très simple à utiliser grâce au résultat suivant.

**Théorème 24.7** (Simulation de la loi uniforme sur la sphère). Si $X$ est un vecteur aléatoire dans $\mathbb{R}^d$ de loi $N_d(0, I_d)$, le vecteur aléatoire $Y = X/|X|$ suit la loi uniforme sur $S(0, 1)$.

*Démonstration.* La v.a. $Y$ est définie p.s. puisque l'ensemble $\{X=0\}$ est de mesure nulle. De plus, la loi de $X$ est invariante par toute rotation : si $O$ est une matrice orthogonale alors $OX$ a même loi que $X$. Il en est donc de même pour $Y$. Or la seule loi de probabilité sur la sphère unité munie de sa tribu borélienne qui soit invariante par rotation est la loi uniforme. $\square$

**Remarque 24.8** (Algorithme de Box-Muller). Si $U$ et $V$ sont deux v.a.r. indépendantes avec $U$ de loi uniforme sur $[0, 1]$ et $V$ de loi exponentielle de paramètre $1/2$ alors les v.a.r.

$$X = \sqrt{V} \cos(2\pi U) \quad \text{et} \quad Y = \sqrt{V} \sin(2\pi U)$$

sont indépendantes et de même loi gaussienne centrée réduite $N(0, 1)$. Cette propriété a longtemps été utilisée par les logiciels de calcul scientifique avant d'être délaissée pour des procédures plus efficaces comme l'algorithme du Zygurat de Marsaglia basé sur une méthode de polygonalisation.

## 24.3 Approches numériques

Dans le cas d'un domaine général $D$, on ne dispose pas d'une expression explicite du noyau de Poisson. Il faut donc envisager des méthodes de résolutions approchées. Pour cela, on discrétise $D$. Soit $h > 0$ le pas de discrétisation. On définit la grille $D_h$ comme l'intersection de $D$ et du réseau $h\mathbb{Z}^d$ :

$$D_h := D \cap h\mathbb{Z}^d = \{x \in D, \exists(i_1, \dots, i_d) \in \mathbb{Z}^d, x = (h i_1, \dots, h i_d)\}.$$

On dit que $x, y \in h\mathbb{Z}^d$ sont voisins, et on note $x \sim y$, si $|x - y| = h$. La frontière de $D_h$ s'écrit

$$\partial_h D_h = \{y \in D_h^c : \exists x \in D_h, x \sim y\}.$$

L'opérateur laplacien est lui remplacé par l'opérateur aux différences :

$$\Delta_h f(x) = \frac{1}{2d} \sum_{y \sim x} (f(y) - f(x)).$$
On dit que $\varphi_h$ est $h$-harmonique sur $D_h$ si $\Delta_h\varphi_h = 0$ sur $D_h$. Il convient également de définir une fonction $b_h$ sur $\partial_h D_h$ qui soit une approximation raisonnable de $b$ définie sur $\partial D$. Le problème de Dirichlet discret est alors le suivant : trouver $\varphi_h$ sur $D_h \cup \partial_h D_h$ telle que

$$ egin{cases} \Delta_h \varphi_h(x) = 0 & \text{pour tout } x \in D_h, \\ \varphi_h(x) = b_h(x) & \text{pour tout } x \in \partial_h D_h. \end{cases} $$

C'est exactement le problème de Dirichlet discret étudié dans le chapitre 2, qui possède une solution probabiliste dans le même esprit que celle du problème de Dirichlet continu, avec la marche aléatoire simple en lieu et place du mouvement brownien. Cette substitution est justifiée par la remarque suivante. Si $f$ est une fonction de classe $C^2$ de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$, alors

$$ \Delta_h f(x) = \frac{h^2}{2d} \Delta f(x) + o(h^2). $$

Ainsi, quand $h$ est petit, $\Delta_h$ apparaît comme une approximation du laplacien. D'autre part, dire que $\Delta_h\varphi_h(x) = 0$ revient à dire que $\varphi_h(x)$ est la moyenne (avec la mesure uniforme) des valeurs de $\varphi_h$ en les $2d$ voisins de $x$, ce qui est un analogue de la propriété de la moyenne.

**Remarque 24.9** (Approches déterministe et probabiliste). Comme $D_h$ est fini, le problème de Dirichlet discret est un système linéaire de card$(D_h)$ équations à card$(D_h)$ inconnues, qui possède une unique solution. Sa résolution est simplifiée par le fait que la matrice associée au système est creuse : au plus $2d+1$ inconnues sont impliquées dans chaque équation. Cette méthode directe permet, au terme des calculs, de déterminer simultanément la valeur de la solution $\varphi_h$ en tout point de la grille $D_h$. Cette méthode est payante lorsque l'on veut déterminer la température du corps en tous les points du solide.

## 24.4 Demi-plan supérieur : du discret au continu

Le but de cette section est d'illustrer dans un cas particulier la convergence de la solution du problème de Dirichlet discret vers la solution du problème de Dirichlet continu formulé dans le corollaire 24.2. Même s'il n'est pas borné, le demi-plan supérieur dans $\mathbb{R}^2$ possède un noyau de Poisson explicite. Il est également possible de déterminer la loi du lieu de sortie de la marche aléatoire sur le réseau de $h\mathbb{Z}^2$. Soit $N \in \mathbb{N}^*$. Le pas de discrétisation est choisi de la forme $h = 1/N$. On note $(X_n^N, Y_n^N)_n$ la marche aléatoire sur $h\mathbb{Z}^2$ issue de $(X_0^N, Y_0^N) = (0,1)$ telle que les suites de variables aléatoires $(X_{n+1}^N - X_n^N)$ et $(Y_{n+1}^N - Y_n^N)$ soient indépendantes entre elles, formées de variables indépendantes de même loi :

$$ P((X_{n+1}^N - X_n^N) = -1/N) = P((X_{n+1}^N - X_n^N) = 1/N) = 1/2, $$
$$P((Y_{n+1}^N - Y_n^N) = -1/N) = P((Y_{n+1}^N - X_n^Y) = 1/N) = 1/2.$$

À chaque pas, la marche choisit au hasard entre les 4 points à distance $\sqrt{2}/N$ (nord-ouest, nord-est, sud-ouest et sud-est). Cette modification légère de dynamique de la marche aléatoire permet d'assurer que $(X_n^N)_n$ et $(Y_n^N)_n$ sont deux marches aléatoires simples indépendantes, ce qui simplifiera le raisonnement par la suite.

On s'intéresse à l'instant et à l'abscisse de sortie du demi-plan supérieur pour la marche aléatoire ainsi définie. L'instant de sortie est la v.a.r.

$$T^N := \inf \{k \ge 0 : Y_k^N = 0\}.$$

L'abscisse de sortie $U^N$ est l'abscisse de la marche aléatoire à l'instant $T^N$,

$$U^N := X_{T^N}^N.$$

**Théorème 24.10** (Convergence en loi du lieu de sortie). La suite $(U^N)_{N \ge 1}$ converge en loi, quand $N$ tend vers l'infini, vers la loi de Cauchy de densité :

$$x \in \mathbb{R} \mapsto \frac{1}{\pi} \frac{1}{1 + x^2}.$$

*Démonstration.* Notons $S_k$ le temps d'atteinte de 0 pour la marche aléatoire simple $(Z_n)_{n \ge 0}$ sur $\mathbb{Z}$ issue de $k$, et $G_k$ sa fonction génératrice. La propriété de Markov forte assure que

$$S_k \stackrel{\text{loi}}{=} S_1^1 + \dots + S_1^k$$

où $(S_1^i)_{1 \le i \le k}$ sont i.i.d. de même loi que $S_1$, d'où $G_k(s) = G_1(s)^k$. De même,

$$S_1 \stackrel{\text{loi}}{=} 1 + ZS_2$$

où $Z$ est une v.a. de loi de Bernoulli $\text{Ber}(1/2)$ indépendante de $S_2$, d'où

$$G_1(s) = \frac{s}{2} + \frac{s}{2}G_2(s), \quad s \in [0, 1[$.

Pour tout $s \in [0, 1[$, $G_1(s)$ est solution de $sx^2 - 2x + s = 0$ et vaut donc

$$G_1(s) = \frac{1 - \sqrt{1 - s^2}}{s}$$

puisque $G_1(s) < 1$. En conclusion, $T^N$ a même loi que $S_N$, et sa fonction génératrice $G_N$ est donnée par $G_N(s) = G_1(s)^N$.

Déterminons à présent la fonction caractéristique de $U^N$. Pour tout $t \in \mathbb{R}$,

$$\varphi_{U^N}(t) = \mathbb{E}(e^{itU^N}) = \left( \frac{1 - \sqrt{1 - \cos(t/N)^2}}{\cos(t/N)} \right)^N,$$
puisque la fonction caractéristique de $X_n^N$ vaut $\cos(t/N)^n$. Enfin,

$$ \varphi_{UN}(t) = \left( \frac{1 - |\sin(t/N)|}{\cos(t/N)} \right)^N \underset{N \to \infty}{\sim} \left( 1 - \frac{|t|}{N} \right)^N \xrightarrow{N \to \infty} e^{-|t|}, $$

et la limite est la fonction caractéristique de la loi de Cauchy standard. $\square$

**Remarque 24.11** (Noyau de Poisson du demi-plan). Le problème de Dirichlet sur $\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+^*$ admet la représentation suivante : pour tout $(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}_+^*$,

$$ u(x, y) = \int_{\mathbb{R}} b(z) P_H(x, y, z) dz, \quad \text{avec } P((x, y), z) = \frac{1}{\pi} \frac{y}{y^2 + (x - z)^2}. $$

## 24.5 Récurrence, transience, et fonctions harmoniques

La connaissance des fonctions harmoniques radiales sur $\mathbb{R}^d$ permet d'obtenir des propriétés de récurrence et transience pour le mouvement brownien. Pour $r < |x| < R$, notons

$$ T_{B(0,r)} := \inf \{t \ge 0 : B_t \in B(0, r)\} $$

et

$$ \tau_{B(0,R)} := \inf \{t \ge 0 : B_t \notin B(0, R)\}. $$

Le temps $S := T_{B(0,r)} \wedge \tau_{B(0,R)}$ est le temps de sortie de la couronne $C(0, r, R)$.

<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>**Fig. 24.2.** Une trajectoire brownienne issue de $x$ arrêtée hors d'une couronne.</figcaption></figure>
**Théorème 24.12** (Récurrence ou transience du mouvement brownien). *Soit $(B_t)_{t \ge 0}$ un mouvement brownien sur $\mathbb{R}^d$.*

1. Si $d=2$ et $r < |x| < R$, alors

a) $P_x(T_{B(0,r)} < \tau_{B(0,R)}) = \frac{\log(R) - \log(|x|)}{\log(R) - \log(r)}$,

b) $P_x(T_{\{0\}} < \infty) = 0$,

c) $P_x(T_{B(0,r)} < \infty) = 1$,

d) $P_x(T_{B(0,r)} < \infty \text{ i.s.}) = 1$.

2. Si $d \ge 3$ et $r < |x| < R$, alors

a) $P_x(T_{B(0,r)} < \tau_{B(0,R)}) = \frac{|x|^{2-d} - R^{2-d}}{r^{2-d} - R^{2-d}}$,

b) $P_x(T_{\{0\}} < \infty) = 0$,

c) $P_x(T_{B(0,r)} < \infty) = \frac{|x|^{2-d}}{r^{2-d}}$.

Le théorème 24.12 établit la récurrence du mouvement brownien dans $\mathbb{R}^2$: s'il n'atteint aucun point donné, il atteint presque sûrement tout voisinage de ce point une infinité de fois ! Ceci n'est plus vrai en dimensions supérieures. Le comportement est semblable à celui de la marche aléatoire simple symétrique sur $\mathbb{Z}^d$, étudié dans le chapitre 2.

*Démonstration.* Soit $\varphi$ la fonction $x \mapsto \log(|x|)$, respectivement $x \mapsto |x|^{2-d}$, pour $d=2$, respectivement $d \ge 3$. Dans les deux cas, $\varphi$ est une fonction harmonique radiale sur $\mathbb{R}^d$ privé de l'origine. Le processus $(\varphi(B_{t \wedge S}))_{t \ge 0}$ est une martingale bornée. De plus, $S$ est fini p.s. puisque la première coordonnée de $(B_t)$ prend des valeurs arbitrairement grandes. Le théorème d'arrêt assure donc que

$$ \varphi(x) = \mathbb{E}_x(\varphi(B_S)) = \varphi(r)\mathbb{P}_x(T_{B(0,r)} < \tau_{B(0,R)}) + \varphi(R)\mathbb{P}_x(T_{B(0,r)} > \tau_{B(0,R)}) $$

que l'on écrit encore

$$ \mathbb{P}_x(T_{B(0,r)} < \tau_{B(0,R)}) = \frac{\varphi(x) - \varphi(R)}{\varphi(r) - \varphi(R)}. $$

Pour obtenir 1.(b) et 2.(b) on prend les limites successives $r \to 0$ puis $R \to \infty$. Le point 1.(d) se déduit de 1.(c) et de la propriété de Markov forte. $\square$

## 24.6 Pour aller plus loin

Le problème de Dirichlet continu a été étudié au dix-neuvième siècle et doit son nom au mathématicien Peter Gustav Lejeune Dirichlet. La solution
probabiliste du problème de Dirichlet continu, due à Shizuo Kakutani, date
du milieu du vingtième siècle. Le problème de Dirichlet continu se situe à la
confluence des probabilités (mouvement brownien), de la théorie du potentiel,
de l'analyse harmonique, et des équations aux dérivées partielles, confluence
fortement développée par Paul Lévy et Joseph Leo Doob au cours du ving-
tième siècle. Des aspects variés sont développés notamment dans le livre de
Richard Bass [Bas95], ainsi que dans celui de Peter Mörters et Yuval Peres
[MP10]. La version discrétisée constitue une ouverture vers l'analyse numé-
rique matricielle (matrices creuses) et l'analyse numérique des équations aux
dérivées partielles, ainsi que vers l'analyse numérique stochastique comme les
schémas d'Euler stochastiques (voir la section 27.6). La solution explicite du
problème de Dirichlet dans le cas de la boule se trouve par exemple dans le
livre de Walter Rudin [Rud87]. L'existence et la continuité sur $\bar{D}$ sont abor-
dées dans le livre de Richard Bass [Bas95]. Notre section 24.4 est inspirée du
livre de Bernard Ycart [Yca02]. La plupart des résultats sont généralisables à
des opérateurs différentiels bien au-delà du laplacien usuel.
<figure><img src="image_76.png" /></figure>
Processus d'Ornstein-Uhlenbeck

**Mots-clés.** Diffusion; mouvement brownien; processus gaussien; processus d'Ornstein-Uhlenbeck; équation différentielle stochastique; équation aux dérivées partielles.

**Outils.** Vecteurs gaussiens; semi-groupe de Markov; formule d'Itô; analyse hilbertienne; transformée de Laplace; polynômes d'Hermite; couplage; entropie relative; inégalité de Poincaré; inégalité de Sobolev logarithmique; distance de Wasserstein.

**Difficulté.***

Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck $(X_t)_{t \ge 0}$ sur $\mathbb{R}$ est la solution de l'équation différentielle stochastique (ÉDS) linéaire suivante :

$$X_t = X_0 - \int_0^t X_s ds + \sqrt{2}B_t,$$

où $(B_t)_{t \ge 0}$ est un mouvement brownien standard sur $\mathbb{R}$ indépendant de $X_0$. Le facteur $\sqrt{2}$ dans l'ÉDS rend certaines formules plus belles. On utilise aussi la version abrégée suivante de l'ÉDS :

$$dX_t = -X_t dt + \sqrt{2} dB_t.$$

Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck est le plus simple des processus de diffusion gaussiens ergodiques sur $\mathbb{R}$. Il possède des propriétés remarquables, qui le rendent incontournable. Il apparaît notamment comme limite d'échelle de plusieurs chaînes de Markov à espace d'états discret, comme la chaîne d'Ehrenfest (chapitres 9 et 27), ou la file d'attente $M/M/\infty$ (chapitre 11). Il intervient également dans la définition du processus de Langevin du chapitre 26.
## 25.1 Premières propriétés

**Théorème 25.1** (Changement d'échelle). *Soit $\lambda > 0$ et $\sigma > 0$. Si $X$ est un processus d'Ornstein-Uhlenbeck alors le processus $Y$ défini par*

$$Y_t = \frac{\sigma}{\sqrt{2\lambda}} X_{\lambda t}$$

*est solution de l'équation différentielle stochastique*

$$Y_t = Y_0 - \lambda \int_0^t Y_s ds + \sigma W_t$$

où $(W_t)_{t \ge 0}$ est un mouvement brownien standard.

*Démonstration.* Pour tout $t \ge 0$, en notant $W_t = B_{\lambda t}/\sqrt{\lambda}$,

$$\begin{align*} \frac{\sigma}{\sqrt{2\lambda}} X_{\lambda t} &= \frac{\sigma}{\sqrt{2\lambda}} X_0 - \int_0^{\lambda t} \frac{\sigma}{\sqrt{2\lambda}} X_s ds + \frac{\sigma}{\sqrt{\lambda}} B_{\lambda t} \\ &= Y_0 - \lambda \int_0^t Y_s ds + \sigma W_t, \end{align*}$$

et $(W_t)_{t \ge 0}$ est un mouvement brownien standard (invariance d'échelle). □

**Théorème 25.2** (Processus gaussien). *Si $X_0 = x$, alors*

$$X_t \sim \mathcal{N}(xe^{-t}, 1 - e^{-2t}).$$

*Plus généralement, le processus $(X_t)_{t \ge 0}$ est un processus gaussien de covariance donnée pour tous $0 \le s \le t$ par*

$$\mathrm{Cov}(X_s, X_t) = (1 - e^{-2s})e^{-(t-s)}.$$

*Cette propriété vient en fait de la linéarité de l'équation différentielle stochastique satisfaite par $(X_t)_{t \ge 0}$.*

*Démonstration.* La formule d'Itô appliquée au processus $(e^t X_t)_{t \ge 0}$ avec $X_0 = x$ donne

$$X_t = xe^{-t} + \sqrt{2} \int_0^t e^{s-t} dB_s.$$

On en déduit que $X_t \sim \mathcal{N}(xe^{-t}, 1 - e^{-2t})$. Pour calculer la covariance de $X_s$ et $X_t$, on écrit de même que

$$X_t = X_s e^{-(t-s)} + Y_t$$

où $Y_t$ est une variable aléatoire centrée indépendante de $X_s$. □
Soit $\mathcal{A}$ l'ensemble des fonctions de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$ dont toutes les dérivées sont à croissance lente<fnref n="1" />. Le semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck sur $\mathbb{R}$ est la famille $(N_t)_{t \in \mathbb{R}_+}$ d'opérateurs de $\mathcal{A}$ dans $\mathcal{A}$ définis pour tous $t \ge 0$, $f \in \mathcal{A}$ par

$$N_t(f)(x) = \mathbb{E}(f(X_t) | X_0 = x).$$

Ce qui précède donne la formule de Mehler : pour tout $t \ge 0$ et tout $f \in \mathcal{A}$,

$$N_t(f)(x) = \int_{\mathbb{R}} f\left(e^{-t}x + \sqrt{1 - e^{-2t}}y\right) \gamma(dy),$$

où $\gamma$ désigne la mesure gaussienne standard sur $\mathbb{R}$. Cette formule montre que $N_t(f)(x)$ est bien défini pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $f \in L^1(\mathcal{N}(xe^{-t}, 1 - e^{-2t}))$.

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>Fig. 25.1. Échantillon de trajectoires du processus d'Ornstein-Uhlenbeck partant du même point initial éloigné de l'origine. La dérive l'emporte sur la diffusion au départ, et ramène rapidement puis maintient la trajectoire près de l'origine, où la diffusion provoque des fluctuations. En temps grand la loi invariante s'impose.</figcaption></figure>

**Théorème 25.3** (Propriété de semi-groupe). La famille $(N_t)_{t \ge 0}$ vérifie les propriétés suivantes :

$$1. \text{ pour toute fonction } f \in \mathcal{A}, N_0 f = f,$$

<footnote n="1">1. Une fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est à croissance lente si $|f| \le P$ pour un polynôme $P$.</footnote>
2. pour tous $s, t \ge 0$ et $f \in \mathcal{A}$, $(N_s \circ N_t)(f) = N_{t+s}f$.

*Démonstration.* Le premier point est évident. Pour le second, notons $\sigma_t = \sqrt{1 - e^{-2t}}$. Soient X et Y deux v.a.r. indépendantes de loi $\gamma$. Par définition de $N_t$,

$$ 
\begin{align*} 
(N_s \circ N_t)(f)(x) &= \mathbb{E}[N_t(f)(e^{-s}x + \sigma_s X)] \\ 
&= \mathbb{E}[f(e^{-t}(e^{-s}x + \sigma_s X) + \sigma_t Y)] \\ 
&= \mathbb{E}[f(e^{-s-t}x + e^{-t}\sigma_s X + \sigma_t Y)]. 
\end{align*} 
$$

Il ne reste plus qu'à observer que

$$ e^{-t}\sigma_s X + \sigma_t Y \sim \mathcal{N}(0, \sigma_{s+t}^2) $$

et à utiliser la formule de Mehler.

□

Examinons à présent l'évolution infinitésimale, sur un temps très court.

**Théorème 25.4 (Générateur infinitésimal).** *Pour tout $f \in \mathcal{A}$ et tout $x \in \mathbb{R}$,*

$$ \lim_{t \to 0^+} \frac{N_t f(x) - N_0 f(x)}{t} = (Af)(x) \quad \text{où} \quad (Af)(x) = f''(x) - xf'(x). $$

Plus généralement, pour tout $f \in \mathcal{A}$ et tout $t \ge 0$, les équations aux dérivées partielles suivantes ont lieu :

$$ \partial_t N_t f = A(N_t f) = N_t (Af). $$

Cette équation aux dérivées partielles (ÉDP) est parfois appelée équation de la chaleur avec dérive. L'opérateur $\mathcal{A}$ est le générateur infinitésimal du semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck. Il est important de penser à la formule formelle $N_t = e^{t\mathcal{A}}$, qui fait apparaître que $N_0 = I$ et $\partial_t N_t = A N_t$.

*Démonstration.* Si $f \in \mathcal{A}$, alors la formule de Taylor à l'ordre 2 avec reste borné au voisinage de $x$ donne

$$ f(x+h) = f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2}f''(x) + \mathcal{O}(h^3). $$

Remarquons dans un premier temps, que pour $h = (e^{-t} - 1)x + \sigma_t y$, on a

$$ 
\begin{align*} 
\int h \gamma(dy) &= (e^{-t} - 1)x, \\ 
\int h^2 \gamma(dy) &= (e^{-t} - 1)^2 x^2 + \sigma_t^2, \\ 
\int |h|^3 \gamma(dy) &= \mathcal{O}(t^{3/2}). 
\end{align*} 
$$

Le développement limité ci-dessus assure que
$$
N_t f(x) = f(x) + (e^{-t} - 1)xf'(x) + \frac{1}{2}((e^{-t} - 1)^2 x^2 + \sigma_t^2) f''(x) + \mathcal{O}(t^{3/2}).
$$

On a donc bien la limite annoncée :

$$
\lim_{t \to 0} \frac{1}{t} (N_t f(x) - f(x)) = f''(x) - xf'(x).
$$

Ce résultat s'obtient aussi avec la formule d'Itô : si $X_0 = x$ et $t \ge 0$, alors

$$
f(X_t) = f(x) + \int_0^t A f(X_s) ds + \sqrt{2} \int_0^t f'(X_s) dB_s,
$$

et comme l'intégrale stochastique est une martingale, l'espérance donne

$$
N_t f(x) = f(x) + \int_0^t N_s (Af)(x) \, ds.
$$

Il reste à utiliser que $N_s(Af)(x) \rightarrow Af(x)$ quand $s \rightarrow 0$ pour obtenir la première propriété du théorème. La seconde se déduit de la première en utilisant la propriété de semi-groupe. $\square$

D'après la formule de Mehler, pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $f \in \mathcal{A}$,

$$
N_t f(x) \xrightarrow{t \to \infty} \int f d\gamma.
$$

De plus, grâce à la formule de Mehler, pour tous $t \ge 0$ et $f \in \mathcal{A}$,

$$
\int N_t f d\gamma = \iint f(xe^{-t} + \sqrt{1 - e^{-2t}}y) \gamma(dy) \gamma(dx) = \int f d\gamma.
$$

Autrement dit, la variable aléatoire $X_t$ a la même loi que

$X_0 e^{-t} + \sqrt{1 - e^{-2t}} Z$

où $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ est une variable aléatoire indépendante de $X_0$, et donc si $X_0 \sim \gamma$ alors $X_t$ et $X_0$ ont même loi $\mathcal{N}(0,1)$, et pour tous $t \ge 0$ et $f \in \mathcal{A}$,

$$
\int N_t f d\gamma = \mathrm{E}[(N_t f)(X_0)] = \mathrm{E}(f(X_t)) = \mathrm{E}(f(X_0)) = \int f d\gamma.
$$

La mesure $\gamma$ est donc la loi invariante du processus d'Ornstein-Uhlenbeck. Le résultat suivant va plus loin que l'invariance.

**Théorème 25.5** (Symétrie et réversibilité). *Les opérateurs $(N_t)_{t \ge 0}$ et $A$ sont auto-adjoints dans $L^2(\gamma)$. En particulier, pour toutes fonctions $f, g \in \mathcal{A}$,*

$$
\int Afg d\gamma = \int fAg d\gamma = - \int f'g'd\gamma.
$$

La loi invariante $\gamma$ est réversible : si $X_0$ suit la loi $\gamma$, alors pour tout $T \ge 0$, le processus renversé $(X_{T-t})_{t \in [0,T]}$ a la même loi que $(X_t)_{t \in [0,T]}$.
Démonstration. Par définition du semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck,

$$
\int f N_t g \, d\gamma = \mathbb{E}[f(X)g(e^{-t}X + \sigma_t Y)],
$$

où X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi γ. Le couple
(X, e⁻¹X + σ_t Y) est un vecteur gaussien centré de matrice de covariance

$$
\begin{pmatrix} 1 & e^{-t} \\ e^{-t} & 1 \end{pmatrix} .
$$

On peut donc échanger les rôles de *f* et *g* dans l'identité précédente, ce qui
assure que $N_t$ est auto-adjoint dans $L^2(\gamma)$. Enfin, une intégration par parties
fournit la formule du théorème.
□

**Remarque 25.6 (Simulation).** Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck a des accroissements gaussiens indépendants (non stationnaires). La simulation des trajectoires est particulièrement simple. Soit $(t_n)_{n\ge 0}$ une suite strictement croissante de réels positifs avec $t_0 := 0$. Le processus à temps discret $(X_{t_n})_{n\ge 1}$ a la même loi que le processus autorégressif $(Z_n)_{n\ge 0}$ défini par $Z_0 = X_0$ et

$$
Z_{t_{n+1}} = e^{-(t_{n+1}-t_n)} Z_{t_n} + \sqrt{1 - e^{-2(t_{n+1}-t_n)}} \varepsilon_n
$$

pour tout $n \ge 1$, où $(\varepsilon_n)_{n \ge 0}$ sont des v.a.r. i.i.d. de loi $\mathcal{N}(0, 1)$, indépendantes de $Z_0$. Ce processus est une chaîne de Markov à temps discret d'espace d'état $\mathbb{R}$, et de loi invariante $\mathcal{N}(0, 1)$. Cette observation fournit une manière de simuler les trajectoires du processus d'Ornstein-Uhlenbeck, illustrée par la figure 25.1. Conditionnellement à $Z_0$, le vecteur aléatoire $(Z_1, \dots, Z_n)$ est gaussien, et la décomposition de Cholesky de sa matrice de covariance fournit une autre manière efficace de simuler la trajectoire du processus.

Les propriétés ci-dessus permettent de voir que la loi de $X_t$ est absolument continue avec une densité régulière dès que $t > 0$, quel que soit $X_0$.

**Théorème 25.7** (Équation d'évolution de la densité de la loi). Soit $\nu_t$ la loi de $X_t$. Quelle que soit $\nu_0$, pour tout $t > 0$, la loi $\nu_t$ admet une densité de classe $C^\infty$ par rapport à la mesure de Lebesgue. De plus, si $\nu_0$ est absolument continue de densité $v_0$ par rapport à la mesure $\gamma$ alors $\nu_t$ l'est aussi et sa densité $v_t$ par rapport à $\gamma$ est solution de l'équation aux dérivées partielles

$$
\partial_t v_t(x) = Av_t(x).
$$

Démonstration. Si *g* est une fonction régulière, la propriété de symétrie de *N*<sub>*t*</sub> donne

$$
\begin{align*}
\mathbb{E}g(X_t) &= \int \mathbb{E}(g(X_t)|X_0=x)v_0(x)\gamma(dx) \\
&= \int N_t g(x)v_0(x)\gamma(dx)
\end{align*}
$$
$$= \int g(x) N_t(v_0)(x) \gamma(dx).$$

Par définition $v_t = N_t(v_0)$. Par définition de $N_t$, $t \mapsto N_t(v_0)(x)$ est de classe $C^\infty$ (même si $v_0$ ne l'est pas). On conclut grâce au théorème 25.4. □

**Remarque 25.8** (ÉDP de Fokker-Planck). On peut montrer par un changement de variables que la densité $u_t$ de la loi de $X_t$ par rapport à la mesure de Lebesgue est solution de l'équation aux dérivées partielles suivante

$$\partial_t u_t(x) = \partial^2_{xx} u_t(x) + \partial_x(x u_t(x)).$$

Cette équation aux dérivées partielles est parfois appelée équation de Fokker-Planck. Elle exprime l'évolution temporelle d'une densité spatiale, tout comme l'équation d'Euler en mécanique des fluides, et l'équation de Boltzmann en théorie cinétique des gaz.

## 25.2 Décomposition spectrale et inégalité de Poincaré

On étudie dans cette section l'action du semi-groupe $(N_t)_{t \ge 0}$ sur les polynômes. Les polynômes forment un sous-espace dense de $L^2(\gamma)$. En effet, soit $f \in L^2(\gamma)$. La transformée de Laplace de la mesure signée $\nu(dx) = f(x)\gamma(dx)$ est finie sur $\mathbb{R}$ puisque, pour $\lambda \in \mathbb{R}$, on a

$$\left| \int e^{\lambda x} \nu(dx) \right|^2 \le \int f^2 d\gamma \int e^{2\lambda x} \gamma(dx) < +\infty.$$

La transformée de Laplace de $\nu$ est donc en particulier analytique au voisinage de 0. Si $f$ est orthogonale à tous les polynômes, toutes les dérivées de cette transformée sont nulles en 0 et par suite elle est également nulle. Ceci implique que $f$ est nulle $\gamma$-p.s. On peut donc trouver une base hilbertienne de $L^2(\gamma)$ formée de polynômes. On lira avec profit le théorème 21.7.

Les polynômes d'Hermite $(H_n)_{n \ge 0}$ sont définis par leur série génératrice :

$$G(s, x) = e^{sx - \frac{1}{2}s^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{s^n}{n!} H_n(x),$$

c'est-à-dire $H_n(x) = \partial_1^n G(0, x)$. On a

$$H_0(x) = 1, \quad H_1(x) = x, \quad H_2(x) = x^2 - 1, \quad \text{etc.}$$

Ils vérifient l'équation de récurrence à trois termes

$$H_{n+1}(x) = xH_n(x) - nH_{n-1}(x),$$

l'équation de récurrence différentielle
$$H'_{n}(x) = nH_{n-1}(x),$$

et l'équation différentielle

$$H''_{n}(x) - xH'_{n}(x) + nH_{n}(x) = 0.$$

L'équation de récurrence et le fait que $H_0 = 1$ et $H_1(x) = x$ font que le coefficient du terme de plus haut degré de $H_n$ vaut 1, pour tout $n \ge 0$.

Les polynômes d'Hermite sont orthogonaux pour la loi gaussienne standard $\gamma$, et diagonalisent les opérateurs $N_t$ et $A$ du processus d'Ornstein-Uhlenbeck.

**Théorème 25.9** (Polynômes d'Hermite et processus d'Ornstein-Uhlenbeck). La suite $(H_n/\sqrt{n})_{n\ge 0}$ est une base hilbertienne de $L^2(\gamma)$. De plus pour tout entier $n \ge 0$ et tout réel $t \ge 0$, le polynôme $H_n$ est vecteur propre de $N_t$ (respectivement de $A$) associé à la valeur propre $e^{-nt}$ (respectivement $-n$).

*Démonstration.* Soit $s, t \in \mathbb{R}$ fixés. Appliquons $N_t$ à la fonction $x \mapsto G(s, x)$ :

$$N_t(G(s, \cdot))(x) = \exp(se^{-t}x - s^2/2)\mathbb{E}[\exp(s\sigma_t Y)]$$

où $Y$ suit la loi $\gamma$. La transformée de Laplace de $Y$ vaut

$$\mathbb{E}(\exp(\lambda Y)) = \exp\left(\frac{1}{2}\lambda^2\right)$$

donc

$$N_t(G(s, \cdot))(x) = G(se^{-t}, x).$$

Par définition des polynômes d'Hermite, on obtient

$$\begin{aligned} N_t(H_n)(x) &= N_t(\partial_1^n G(0, \cdot))(x) = \partial_s^n N_t(G(s, \cdot))(x)|_{s=0} \\ &= \partial_s^n G(se^{-t}, x)|_{s=0} = e^{-nt} \partial_1^n G(se^{-t}, x)|_{s=0} = e^{-nt} H_n(x). \end{aligned}$$

Le polynôme d'Hermite $H_n$ est donc vecteur propre de $N_t$, de valeur propre $e^{-nt}$. En appliquant le théorème 25.4 à la fonction $H_n$, on obtient que $H_n$ est vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $-n$. La symétrie de $N_t$ par rapport à $\gamma$ assure que, pour tous entiers $m$ et $n$ et tout $t > 0$,

$$e^{-mt} \int H_m H_n d\gamma = \int N_t(H_m) H_n d\gamma = \int H_m N_t(H_n) d\gamma = e^{-nt} \int H_m H_n d\gamma.$$

En particulier, $H_n$ et $H_m$ sont orthogonaux dans $L^2(\gamma)$ dès que $n \ne m$. Pour voir enfin que $(H_n/\sqrt{n!})_{n\ge 0}$ est bien une base orthonormée de $L^2(\gamma)$, on peut utiliser la formule de Plancherel

$$\begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{s^{2n}}{n!^2} \|H_n\|_{L^2(\gamma)}^2 &= \int G(s, x)^2 \gamma(dx) = \exp(-s^2) \int e^{2sx} \gamma(dx) \\ &= \exp(s^2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{s^{2n}}{n!}, \end{aligned}$$

qui donne la valeur de $\|H_n\|_{L^2(\gamma)}^2 = n!$ en identifiant les deux séries. $\square$
Le théorème 25.9 permet d'obtenir la décomposition de $N_t f$ sur la base hilbertienne des polynômes d'Hermite à partir de celle de $f$, et fournit en particulier une estimation pour la convergence de $N_t(f)$ vers une fonction constante dans $L^2(\gamma)$.

**Théorème 25.10** (Décomposition spectrale et convergence dans $L^2(\gamma)$). 
Pour tout $f \in L^2(\gamma)$, si

$$f = \sum_{n \ge 0} a_n H_n \quad \text{où} \quad a_n = \int f H_n \, d\gamma \quad \text{avec} \quad \sum_n n! a_n^2 < +\infty,$$

alors, pour tout $t \ge 0$,

$$N_t f = \sum_{n \ge 0} e^{-nt} a_n H_n.$$

De plus, pour tout $f \in L^2(\gamma)$, la convergence exponentielle suivante a lieu :

$$\|N_t f - \gamma(f)\|_{L^2(\gamma)} \le e^{-t} \|f - \gamma(f)\|_{L^2(\gamma)} \quad \text{où} \quad \gamma(f) = \int f \, d\gamma.$$

*Démonstration.* La première partie découle du théorème 25.9. Pour la seconde partie, on remarque tout d'abord que $H_0(x) = 1$. Ensuite, pour tout $t \ge 0$, puisque $\gamma$ est la mesure invariante de $(N_t)_{t \ge 0}$,

$$a_0 = \int f \, d\gamma = \int N_t f \, d\gamma.$$

Ainsi, pour tout $t \ge 0$,

$$\begin{align*}
\|N_t f - \gamma(f)\|_{L^2(\gamma)}^2 &= \int (N_t f - a_0)^2 d\gamma = \sum_{n \ge 1} a_n^2 e^{-2nt} n! \\
&\le e^{-2t} \sum_{n \ge 1} a_n^2 n! = e^{-2t} \|f - \gamma(f)\|_{L^2(\gamma)}^2.
\end{align*}$$

□

**Remarque 25.11** (Mind the gap!). Le taux de convergence exponentiel (égal à 1) du théorème 25.10 correspond à l'écart entre les deux premières valeurs propres de A, à savoir 0 et -1. Cette propriété se généralise à tous les processus de Markov réversibles dont le générateur infinitésimal possède la propriété dite de trou spectral : 0 est valeur propre simple et isolée du reste du spectre.

**Remarque 25.12** (Lois de conservation et vitesse de convergence). Le semi-groupe préserve la décomposition spectrale. Si $f \perp \text{Vect}\{H_1, \dots, H_{k-1}\}$ dans $L^2(\gamma)$ alors $N_t(f) \perp \text{Vect}\{H_1, \dots, H_{k-1}\}$ pour tout $t \ge 0$ et

$$\|N_t f - \gamma(f)\|_{L^2(\gamma)} \le e^{-kt} \|f - \gamma(f)\|_{L^2(\gamma)} \quad \text{où} \quad \gamma(f) = \int f \, d\gamma.$$
On dit qu'une mesure de probabilité $\mu$ sur $\mathbb{R}$ vérifie une inégalité de Poincaré de constante $c > 0$ si, pour toute fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de classe $C^1$ à support compact,

$$ \mathrm{Var}_{\mu}(f) := \int f^2 d\mu - \left( \int f d\mu \right)^2 \le c \int f'^2 d\mu. $$

La constante $c$ optimale est la plus petite constante possible. Notons que

$$ \mathrm{Var}_{\mu}(f) = \|f - \mathrm{E}_{\mu}(f)\|_{L^2(\mu)}^2. $$

**Corollaire 25.13** (Inégalité de Poincaré). La mesure gaussienne $\gamma$ satisfait une inégalité de Poincaré de constante optimale 1 : pour toute fonction $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ de classe $C^1$ à support compact,

$$ \mathrm{Var}_{\gamma}(f) \le \int f'^2 d\gamma. $$

*Démonstration.* Pour tout $t \ge 0$, on a

$$ \alpha(t) := \mathrm{Var}_{\gamma}(N_t f) = \|N_t f - \gamma(f)\|_{L^2(\gamma)}^2 = \int (N_t f)^2 d\gamma - \left(\int f d\gamma\right)^2, $$

où la seconde égalité s'obtient par invariance. Du théorème 25.10 on a l'inégalité $\alpha(t) \le e^{-2t}\alpha(0)$. Le théorème 25.5 (symétrie et réversibilité) donne

$$ \alpha'(t) = \int 2N_t f A_t N_t f \, d\gamma = -2 \int (N_t f)^2 \, d\gamma. $$

La fonction $t \in \mathbb{R}_+ \mapsto e^{-2t}\alpha(0) - \alpha(t)$ est positive et nulle en zéro. Sa dérivée à droite en zéro est donc positive :

$$ \begin{align*} 0 \le \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} (e^{-2t}\alpha(0) - \alpha(t)) & \\ &= -2\alpha(0) - 2 \int f'^2 d\gamma \\ &= -2\mathrm{Var}_{\gamma}(f) - 2 \int f'^2 d\gamma. \end{align*} $$

L'inégalité de Poincaré de constante 1 est donc établie. L'optimalité de la constante peut se vérifier sur la fonction propre $f(x) = H_1(x) = x$. Notons que réciproquement, on peut obtenir la convergence exponentielle $\alpha(t) \le e^{-2t}\alpha(0)$ du théorème 25.10 à partir de cette inégalité de Poincaré, en écrivant

$$ \alpha'(t) = -2 \int (N_t f)^2 d\gamma \le -2 \mathrm{Var}(N_t) = -2\alpha(t). $$

Donnons enfin une preuve alternative de l'inégalité de Poincaré. Soit $t \ge 0$ et $f$ régulière. On définit la fonction $\beta$ sur $[0, t]$ en posant
$$
\beta(s) = N_s(\Psi(N_{t-s}f)) \quad \text{où} \quad \Psi(x) = x^2.
$$

Dans la suite, on notera $g = N_{t-s}f$. Remarquons que

$$
\beta(t) - \beta(0) = N_t(\Psi(f)) - \Psi(N_t f) = \mathrm{Var}_{N_t(\cdot)}(f).
$$

D'autre part, grâce au théorème 25.4, on a, par un calcul,

$$
\beta'(s) = N_s(A(\Psi(g)) - Ag\Psi'(g)).
$$

Or un calcul direct montre que

$$
A(\Psi(g)) - Ag\Psi'(g) = \Psi''(g)g'^2 = 2g'^2.
$$

On a donc

$$
\beta'(s) = 2N_s((N_{t-s}f)'^2).
$$

Par la formule de Mehler, le semi-groupe vérifie la relation de commutation

$$
(N_t f)' = e^{-t} N_t(f'),
$$

qui fournit l'expression suivante pour $\beta'(s)$ :

$$
\beta'(s) = 2e^{-2(t-s)} N_s((N_{t-s}(f')^2).
$$

L'inégalité de Jensen (ou de Cauchy-Schwarz) assure que

$$
(N_t |f'|)^2 \le N_t (f'^2).
$$

Ainsi, on obtient, grâce à la relation de semi-groupe, la majoration suivante

$$
\beta'(s) \le 2e^{-2(t-s)} N_t (f'^2).
$$

Une intégration entre 0 et $t$ assure que, pour tout $t \ge 0$ et tout $x \in \mathbb{R}$, la mesure de probabilité $N_t(\cdot)(x) = N(xe^{-t}, 1 - e^{-2t})$ vérifie une inégalité de Poincaré de constante $(1 - e^{-2t})/2$. Pour conclure, on remarque que si $\nu$ vérifie une inégalité de Poincaré de constante $c$ alors la mesure image de $\nu$ par $x \mapsto ax + b$ vérifie une inégalité de Poincaré de constante $a^2c$. $\square$

25.3 Entropie, couplage, et temps long

On souhaite à présent étudier la convergence de la loi de $X_t$ vers sa loi invariante quand $t \to +\infty$ en termes d'entropie relative et de distance de Wasserstein. Soit $\mu_1$ et $\mu_2$ deux mesures de probabilité sur $\mathbb{R}$. L'entropie relative de $\mu_1$ par rapport à $\mu_2$ est définie par $^2$

<footnote n="2">2. En physique Ent($\mu|\gamma$) est une énergie libre si $\mu$ et $\gamma$ sont des mesures de Gibbs.</footnote>
$$
\mathrm{Ent}(\mu_1 | \mu_2) = \begin{cases} \int \frac{d\mu_1}{d\mu_2} \log \left( \frac{d\mu_1}{d\mu_2} \right) d\mu_2 & \text{si } \mu_1 \ll \mu_2, \\ +\infty & \text{sinon.} \end{cases}
$$

Bien qu'il ne s'agisse pas d'une distance, elle est positive, et nulle si et seulement si $\mu = \nu$ (ceci découle de l'inégalité de Jensen pour la fonction stricte-ment convexe $x \in \mathbb{R}_+ \mapsto u \log(u)$ avec $0 \log(0) = 0$). La distance de Wasser-stein d'ordre 2 entre $\mu_1$ et $\mu_2$ est donnée par

$$
W_2(\mu_1, \mu_2) = \inf_{\substack{X_1 \sim \mu_1 \\ X_2 \sim \mu_2}} \sqrt{\mathbb{E}(|X_1 - X_2|^2)},
$$

où l'infimum porte sur les couples $(X_1, X_2)$ de variables aléatoires dont les
lois marginales sont $\mu_1$ et $\mu_2$. Les distances de Wasserstein de tous ordres sont
définies dans le chapitre 17. Ces deux quantités $\mathrm{Ent}(\mu_1 | \mu_2)$ et $W_2(\mu_1 | \mu_2)$ ont
une expression explicite si $\mu_1$ et $\mu_2$ sont deux mesures gaussiennes.

**Théorème 25.14** (Distances entre lois gaussiennes). Si $\mu_1 = \mathcal{N}(m_1, \sigma_1)$ et $\mu_2 = \mathcal{N}(m_2, \sigma_2)$ sur $\mathbb{R}$ alors

$$
W_2(\mu_1, \mu_2)^2 = (m_1 - m_2)^2 + (\sigma_1 - \sigma_2)^2.
$$

D'autre part, si $\sigma_1 > 0$ et $\sigma_2 > 0$ alors

$$
\mathrm{Ent}(\mu_1 | \mu_2) = \log \left( \frac{\sigma_2}{\sigma_1} \right) + \frac{\sigma_1^2 - \sigma_2^2 + (m_1 - m_2)^2}{2\sigma_2^2}.
$$

Démonstration. Commençons par la formule pour la distance de Wasserstein.
Soit $(X_1, X_2)$ un couple de v.a.r. tel que $X_i \sim \mu_i = \mathcal{N}(m_i, \sigma_i^2)$ pour $i = 1, 2$.
On a

$$
\begin{align*}
\mathrm{E}(|X_1 - X_2|^2) &= \mathrm{E}(X_1^2) + \mathrm{E}(X_2)^2 - 2\mathrm{E}(X_1 X_2) \\
&= (m_1 - m_2)^2 + \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\mathrm{Cov}(X_1, X_2).
\end{align*}
$$

Cette formule ne dépend que de la moyenne et de la matrice de covariance du
vecteur aléatoire $(X_1, X_2)$. On a

$$
W_2(\mu_1, \mu_2)^2 = (m_1 - m_2)^2 + \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \sup_{C \in \mathcal{C}} C_{12}
$$

où $C$ désigne l'ensemble des matrices de covariance $2 \times 2$ dont la diagonale est prescrite par $C_{11} = \sigma_1^2$ et $C_{22} = \sigma_2^2$. Comme l'ensemble des matrices de covariance coïncide avec l'ensemble des matrices symétriques à spectre positif ou nul, l'appartenance à $C$ se traduit par la contrainte supplémentaire $\det(C) = \sigma_1^2\sigma_2^2 - C_{12}^2 \ge 0$, d'où $C_{12} = \sigma_1\sigma_2$, ce qui conduit au résultat.

Pour la formule pour l'entropie, on écrit

$$
\mathrm{Ent}(\mu_1 | \mu_2) = \int \log \left( \frac{d\mu_1}{d\mu_2} \right) d\mu_1
$$
$$
\begin{align*}
&= \int \left( \log \left( \frac{\sigma_2}{\sigma_1} \right) - \frac{(x - m_1)^2}{2\sigma_1^2} + \frac{(x - m_2)^2}{2\sigma_2^2} \right) \mu_1(dx) \\
&= \log \left( \frac{\sigma_2}{\sigma_1} \right) - \frac{1}{2} + \frac{\sigma_1^2 + m_1^2 - 2m_1m_2 + m_2^2}{2\sigma_2^2} \\
&= \log \left( \frac{\sigma_2}{\sigma_1} \right) + \frac{\sigma_1^2 - \sigma_2^2 + (m_1 - m_2)^2}{2\sigma_2^2}.
\end{align*}
$$

□

Puisque le processus d'Ornstein-Uhlenbeck est gaussien, le théorème pré-
cédent fournit une expression explicite de la distance entre les deux lois
au temps $t$ issues de deux lois gaussiennes différentes. Plus précisément,
pour tous $x_1, x_2$ et $t \ge 0$, on obtient, en utilisant le théorème 25.14 avec
$\mu_1 = N_t(\cdot)(x_1) = \mathcal{N}(x_1e^{-t}, 1 - e^{-2t})$ et $\mu_2 = N_t(\cdot)(x_2) = \mathcal{N}(x_2e^{-t}, 1 - e^{-2t})$,

$$
W_2(N_t(\cdot)(x_1), N_t(\cdot)(x_2))^2 = e^{-2t} (x_1 - x_2)^2 \mathop{\searrow}_{t \to \infty} 0
$$

et

$$
\mathrm{Ent}(N_t(\cdot)(x_1), N_t(\cdot)(x_2)) = \frac{e^{-2t}(x_1 - x_2)^2}{2(1 - e^{-2t})} \xrightarrow{t \to \infty} 0.
$$

Ces résultats s'étendent à des lois initiales plus générales. Le cas de la distance
de Wasserstein est simple, celui de l'entropie fait l'objet de la section suivante.

**Théorème 25.15** (Convergence en distance de Wasserstein). Si $\mu_0$ et $\mu'_0$ sont deux mesures de probabilité de moment d'ordre 2 fini, et si $\mu_t$ (resp. $\mu'_t$) est la loi de $X_t$ (resp. $X'_t$) lorsque $X_0 \sim \mu_0$ (resp. $X'_0 \sim \mu'_0$), alors pour tout $t \ge 0$,

$$
W_2(\mu_t, \mu'_t) \le e^{-t} W_2(\mu_0, \mu'_0).
$$

En particulier, si $\mu'_0 = \gamma$ alors pour tout $t \ge 0$,

$$
W_2(\mu_t, \gamma) \le e^{-t} W_2(\mu_0, \gamma).
$$

Démonstration. Soit $(X_0, X'_0)$ un couplage des lois $\mu_0$ et $\mu'_0$ indépendant du mouvement brownien $(B_t)_{t \ge 0}$. On construit deux processus $(X_t)_{t \ge 0}$ et $(X'_t)_{t \ge 0}$ issus respectivement de $X_0$ et $X'_0$ et dirigés par le même mouvement brownien $B$. On dit que les processus sont couplés. On a alors

$$
X_t - X'_t = X_0 - X'_0 - \int_0^t (X_s - X'_s) ds.
$$

On en déduit que

$$
|X_t - X'_t|^2 = e^{-2t} |X_0 - X'_0|^2.
$$

Par définition de $W_2(\mu_t, \mu'_t)$, on obtient

$$
W_2(\mu_t, \mu'_t)^2 \le e^{-2t} \mathbb{E} (|X_0 - X'_0|^2).
$$

Reste à prendre l'infimum sur tous les couplages de $\mu_0$ et $\mu'_0$.

□
## 25.4 Inégalité de Sobolev logarithmique

On dit qu'une mesure de probabilité $\mu$ sur $\mathbb{R}$ vérifie une inégalité de Sobolev logarithmique de constante $c > 0$ si, pour toute fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de classe $C^1$ positive et à support compact,

$$ \mathrm{Ent}_{\mu}(f) := \int f \log(f) d\mu - \int f d\mu \log \left( \int f d\mu \right) \le c \int \frac{f'^2}{f} d\mu. $$

La constante $c$ optimale est la plus petite constante possible. Notons que

$$ \mathbb{E}_{\mu}(f) \mathrm{Ent}_{\mu}(f) = \mathrm{Ent}(\nu | \mu) \quad \text{où} \quad d\nu = \frac{f}{\mathbb{E}_{\mu}(f)} d\mu. $$

**Théorème 25.16** (Inégalité de Sobolev logarithmique gaussienne). La mesure gaussienne standard $\gamma$ vérifie une inégalité de Sobolev logarithmique de constante optimale $1/2$.

*Démonstration.* On procède comme dans la seconde preuve de l'inégalité de Poincaré du corollaire 25.13. Soit $t \ge 0$ et $f$ régulière. On définit $\beta : [0, t] \to \mathbb{R}$ par

$$ \beta(s) = N_s(\Phi(N_{t-s}f)) \quad \text{où} \quad \Phi(x) = x \log(x). $$

Dans la suite, on notera $g = N_{t-s}f$. Remarquons que

$$ \beta(t) - \beta(0) = N_t(\Phi(f)) - \Phi(N_t f) = \mathrm{Ent}_{N_t(\cdot)}(f). $$

D'autre part, grâce au théorème 25.4, on a, par un calcul,

$$ \beta'(s) = N_s(A(\Phi(g)) - Ag\Phi'(g)). $$

Un calcul direct montre que

$$ A(\Phi(g)) - Ag\Phi'(g) = \Phi''(g)g'^2 = \frac{g'^2}{g}. $$

On a donc

$$ \beta'(s) = N_s \left( \frac{(N_{t-s}f)'^2}{N_{t-s}f} \right). $$

Par la formule de Mehler, le semi-groupe vérifie la relation de commutation

$$ (N_t f)' = e^{-t} N_t(f'), $$

qui fournit l'expression suivante pour $\beta'(s)$ :

$$ \beta'(s) = e^{-2(t-s)} N_s \left( \frac{(N_{t-s}(|f'|))^2}{N_{t-s}f} \right). $$

L'inégalité de Schwarz assure que
$$ (N_t|f'|)^2 = \left[ N_t \left( \frac{|f'|}{\sqrt{f}} \sqrt{f} \right) \right]^2 \le N_t \left( \frac{f'^2}{f} \right) N_t(f). $$

Ainsi, on obtient, grâce à la relation de semi-groupe, la majoration suivante

$$ \beta'(s) \le e^{-2(t-s)} N_t \left( \frac{f'^2}{f} \right). $$

Une intégration entre 0 et $t$ assure que, pour tout $t \ge 0$ et tout $x \in \mathbb{R}$, la mesure de probabilité $N_t(\cdot)(x) = N(xe^{-t}, 1 - e^{-2t})$ vérifie une inégalité de Sobolev logarithmique de constante $(1 - e^{-2t})/2$. Pour conclure, on remarque que si $\nu$ vérifie une inégalité de Sobolev logarithmique de constante $c$ alors la mesure image de $\nu$ par $x \mapsto ax + b$ vérifie une inégalité de Sobolev logarithmique de constance $a^2c$. On remarque enfin que les fonctions $x \mapsto e^{\lambda x}$ saturent l'inégalité de Sobolev logarithmique : la constante $1/2$ est optimale. $\square$

**Remarque 25.17** (Preuve alternative). Voici une preuve alternative unifiée de l'inégalité de Poincaré du corollaire 25.13 et de l'inégalité de Sobolev logarithmiques du théorème 25.16. Elle utilise la convexité remarquable de la fonction $(u, v) \mapsto \Psi(u, v) = \Phi''(u)v^2$, avec $\Phi(u) = u^2$ pour l'inégalité de Poincaré, et $\Phi(u) = u \log(u)$ pour l'inégalité de Sobolev logarithmique.

$$ \begin{align*} N_t(\Phi(f)) - \Phi(N_t f) &= \int_0^t \frac{d}{ds} N_s(\Phi(N_{t-s}f)) ds \\ &= \int_0^t N_s(A(\Phi(N_{t-s}f)) - AN_{t-s}(\Phi'(N_{t-s}f))) ds \\ &= \int_0^t N_s(\Phi''(N_{t-s}f)(N_{t-s}f)'^2) ds \\ &= \int_0^t e^{-2s} N_s(\Phi''(N_{t-s}f)(N_{t-s}(f'))^2) ds \\ &= \int_0^t e^{-2s} N_s(\Psi(N_{t-s}f, N_{t-s}(f')) ds \\ &\le \int_0^t e^{-2s} N_s(N_{t-s}(\Psi(f, f')) ds \\ &= N_t(\Psi(f, f')) \int_0^t e^{-2s} ds \\ &= \frac{1}{2} N_t(\Psi(f, f')). \end{align*} $$

Voici enfin encore une autre preuve, dont les commutations sont à justifier :

$$ \begin{align*} \int \Phi(f) d\gamma - \Phi\left(\int f d\gamma\right) &= - \int \left( \lim_{t \to \infty} (\Phi(N_t) - \Phi(N_0 f)) \right) d\gamma \\ &= - \int \left( \lim_{t \to \infty} \int_0^t \frac{d}{ds} \Phi(N_s f) ds \right) d\gamma \end{align*} $$
$$
\begin{align*}
&= - \int \left( \lim_{t \to \infty} \int_0^t \Phi'(N_s f) N_s A f \, ds \right) d\gamma \\
&= - \lim_{t \to \infty} \int_0^t \left( \int \Phi'(N_s f) N_s A f \, d\gamma \right) ds \\
&= \lim_{t \to \infty} \int_0^t \left( \int \Phi''(N_s f) (N_s f)'^2 \, d\gamma \right) ds \\
&= \lim_{t \to \infty} \int_0^t e^{-2s} \left( \int \Phi''(N_s f) (N_s f')^2 \, d\gamma \right) ds \\
&= \lim_{t \to \infty} \int_0^t e^{-2s} \left( \int \Psi(N_s f, N_s(f')) \, d\gamma \right) ds \\
&\le \lim_{t \to \infty} \int_0^t e^{-2s} \left( \int N_s(\Psi(f, f')) \, d\gamma \right) ds \\
&= \left( \lim_{t \to \infty} \int_0^t e^{-2s} \, ds \right) \int \Psi(f, f') \, d\gamma \\
&= \frac{1}{2} \int \Psi(f, f') \, d\gamma.
\end{align*}
$$

Dans les deux cas on a utilisé l'inégalité de Jensen pour la mesure de proba-
bilité N_s et la fonction convexe Ψ.

**Remarque 25.18** (Forme $L^2$ de l'inégalité de Sobolev logarithmique). On préfère parfois définir l'inégalité de Sobolev logarithmique sous forme $L^2$: pour toute fonction $f$ régulière,

$$
\int f^2 \log(f^2) d\mu - \int f^2 d\mu \log \left( \int f^2 d\mu \right) \le 4c \int f'^2 d\mu.
$$

L'inégalité de Sobolev logarithmique du théorème 25.16 permet d'obtenir
une vitesse de convergence exponentielle de l'entropie relative de la loi de $X_t$
par rapport à la loi invariante $\gamma$.

**Théorème 25.19** (Convergence exponentielle de l'entropie). *Supposons que la loi* $\mu_0$ *de* $X_0$ *soit d'entropie relative finie par rapport à* $\gamma$. *Alors, en notant* $\mu_t$ *la loi de* $X_t$, *la fonction* $t \in \mathbb{R}_+ \mapsto \text{Ent}(\mu_t | \gamma)$ *décroît et pour tout* $t \ge 0$,

$$
\mathrm{Ent}(\mu_t | \gamma) \le e^{-2t} \mathrm{Ent}(\mu_0 | \gamma).
$$

Notons que réciproquement, tout comme nous l'avons fait pour l'inégalité
de Poincaré (preuve du corollaire 25.13), on peut déduire l'inégalité de So-
bolev logarithmique de la convergence exponentielle de l'entropie relative, en
considérant la dérivée en $t = 0$ de la différence des deux membres.

Démonstration. Notons $v_t$ la densité de $\mu_t$ par rapport à $\gamma$. On a alors

$$
\mathrm{Ent}(\mu_t | \gamma) = \int v_t \log(v_t) d\gamma.
$$
D'après le théorème 25.7 et le théorème 25.5, on a

$$
\begin{align*}
\frac{d}{dt} \int v_t \log(v_t) d\gamma &= \int \partial_t v_t (1 + \log(v_t)) d\gamma \\
&= \int A v_t (1 + \log(v_t)) d\gamma \\
&= \int v_t A (1 + \log(v_t)) d\gamma.
\end{align*}
$$

Or, pour toute fonction régulière *g*, un calcul direct montre que

$$
A(1 + \log(g)) = \frac{Ag}{g} - \frac{g'^2}{g^2}.
$$

D'après la propriété d'invariance de $\gamma$, on a $\int Ag d\gamma = 0$. On a donc

$$
\frac{d}{dt} \mathrm{Ent}(\mu_t | \gamma) = - \int \frac{(\partial_x v_t)^2}{v_t} d\gamma,
$$

ce qui prouve la décroissante de $t \mapsto \mathrm{Ent}(\mu_t | \gamma)$. De plus, l'inégalité de Sobolev logarithmique appliquée à la fonction $v_t$ assure que

$$
\frac{d}{dt} \mathrm{Ent}(\mu_t | \gamma) \le -2 \mathrm{Ent}(\mu_t | \gamma).
$$

Le lemme de Grönwall<fnref n="3" /> fournit enfin la relation souhaitée. □

**Remarque 25.20** (Effet régularisant). Le théorème 25.7 assure que même si la loi de $X_0$ n'a pas de densité, la loi de $X_t$ a toujours une densité dès que $t > 0$. On peut donc appliquer le théorème 25.19 entre les instants $t_0 > 0$ et $t$ pour obtenir la convergence exponentielle de l'entropie relative vers 0.

**25.5 Pour aller plus loin**

Tout ce qui concerne le processus d'Ornstein-Uhlenbeck se trouve dans les premières pages du cours de Dominique Bakry [Bak94]. L'expression de la distance de Wasserstein entre deux mesures gaussiennes dans le théorème 25.14 est établie notamment dans un article [GS84] de Clark Givens et Rae Shortt.

Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck est l'illustre représentant d'une impor-
tante classe de processus stochastiques : les diffusions de Kolmogorov. Soit

<footnote n="3">3. Si $t \in [a, b] \mapsto \alpha(t) \in \mathbb{R}_+$ est une fonction continue et dérivable sur $]a, b[$ et si $t \in [a, b] \mapsto \beta(t) \in \mathbb{R}_+$ est une fonction continue et si $\alpha'(t) \le \beta(t)\alpha(t)$ pour tout $t \in [a, b[$ alors $\alpha(t) \le \alpha(a) \exp\left(\int_a^t \beta(s) ds\right)$ pour tout $t \in [a, b]$.</footnote>
U une fonction sur $\mathbb{R}^d$ à valeurs réelles de classe $C^2$ et $(B_t)_{t\ge0}$ un mouvement brownien standard à valeurs dans $\mathbb{R}^d$. On appelle équation de Langevin l'équation différentielle stochastique suivante :

$$dX_t = \sqrt{2dB_t} - \nabla U(X_t)dt.$$

La solution $(X_t)_{t\ge0}$ de cette équation différentielle stochastique est appelée processus de diffusion de Kolmogorov associée au potentiel $U$. Comme le processus d'Ornstein-Uhlenbeck, c'est un processus de Markov. La version intégrale de l'équation différentielle stochastique s'écrit

$$X_t = X_0 + \sqrt{2}B_t - \int_0^t \nabla U(X_s) ds.$$

Son générateur infinitésimal $L$ est donné pour une fonction $f$ de classe $C^2$ par

$$Lf = \Delta f - \langle \nabla U, \nabla f \rangle.$$

Si $e^{-U}$ est intégrable alors la mesure de probabilité

$$\mu(dx) = \frac{1}{Z} e^{-U(x)} dx \quad \text{avec} \quad Z = \int e^{-U(x)} dx,$$

est la loi invariante associée à $X$. L'opérateur $L$ est même auto-adjoint dans $L^2(\mu)$. La décomposition spectrale du semi-groupe associé n'est pas explicite au-delà du cas gaussien, mais il est encore possible d'obtenir des analogues des théorèmes 25.10 ou 25.19 en procédant par comparaison au cas gaussien. On peut par exemple montrer que s'il existe $\lambda > 0$ tel que

$$\forall x \in \mathbb{R}^d, \quad \text{Hess } U(x) \ge \lambda I,$$

ce qui revient à dire que $\mu$ a une densité log-concave par rapport à la mesure de probabilité gaussienne centrée de covariance $\lambda^{-1}I_d$, alors pour tout $t \ge 0$,

$$\text{Ent}(\mu_t | \mu) \le e^{-2\lambda t} \text{Ent}(\mu_0 | \mu)$$

où $\mu_t$ est la loi de $X_t$. C'est un cas particulier du critère dit de $\Gamma_2$ établi par Dominique Bakry et Michel Émery [BÉ85]. Les processus de Kolmogorov sont étudiés en détail dans les livres de Gilles Royer [Roy99], de Dominique Bakry, Ivan Gentil, et Michel Ledoux [BGL14], et dans l'ouvrage collectif [ABC+00].

Signalons que le théorème 25.14 possède une extension au cas multivarié. Plus précisément, si $\mu_1 = \mathcal{N}_d(m_1, \Sigma_1)$ et $\mu_2 = \mathcal{N}_d(m_2, \Sigma_2)$ sur $\mathbb{R}^d$ alors

$$W_2(\mu_1, \mu_2)^2 = \|m_1 - m_2\|_2^2 + \text{Tr}(\Sigma_1 + \Sigma_2 - 2(\Sigma_1^{1/2}\Sigma_2\Sigma_1^{1/2})^{1/2}).$$

Lorsque $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$ commutent le dernier membre de la formule ci-dessus se résume à $\|\sqrt{\Sigma_1} - \sqrt{\Sigma_2}\|_{HS}^2$, ce qui ressemble bien à la formule de dimension 1. D'autre part, si les matrices de covariance $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$ sont inversibles alors

$$\text{Ent}(\mu_1 | \mu_2) = \frac{1}{2} \left( \log \left( \frac{\det \Sigma_2}{\det \Sigma_1} \right) + \text{Tr}(\Sigma_2^{-1} \Sigma_1) - d + (m_1 - m_2)^T \Sigma_2^{-1} (m_1 - m_2) \right).$$
Modèles de diffusion cinétique

**Mots-clés.** Diffusion; mouvement brownien; équation cinétique; équation aux dérivées partielles; équation différentielle stochastique linéaire.

**Outils.** Vecteur gaussien; distance de Wasserstein; entropie relative.

**Difficulté.** ***

26.1 Modèle de Langevin

On considère une particule de poussière dans un fluide comme l'eau. La particule est énorme par rapport aux molécules du fluide. L'échelle de taille de la particule est dite macroscopique : ses mouvements peuvent être observés, au moins à l'aide d'une bonne loupe, et mesurés. Les molécules qui composent le fluide sont quant à elles beaucoup trop petites et surtout beaucoup trop nombreuses pour être observées une à une. Elles se situent à une échelle dite microscopique. À chaque instant, d'innombrables chocs ont lieu entre la particule et les molécules qui l'entourent. Ces chocs se répartissent en moyenne de manière uniforme sur la surface de la particule. Pourtant à un instant donné il peut y avoir des déviations par rapport à cette répartition uniforme. On recherche un modèle pour l'évolution du couple position/vitesse $(X_t, V_t)$ de la particule au temps $t$ qui découle du principe fondamental de la dynamique. Les forces qui s'exercent sur la particule sont les suivantes :

— le poids de la particule;

— la poussée d'Archimède;

— la force de frottement qui s'oppose au déplacement de la particule;

— la résultante des chocs de molécules d'eau.

Le poids de la particule et la poussée d'Archimède se compensent et nous négligerons leur résultante en considérant l'évolution horizontale seulement. On suppose que l'intensité de la force de frottement est proportionnelle à la
vitesse de la particule. Elle s'écrit donc $-\lambda V_t$ puisqu'elle s'oppose au mouvement. La modélisation de l'effet des chocs des molécules d'eau demande un peu plus d'attention. Entre les instants $t$ et $t + \alpha$ avec $\alpha$ grand dans l'échelle de temps microscopique, la particule subit un nombre de chocs $N\alpha$ où $N$, le nombre de chocs par unité de temps, est supposé très grand. On adopte une approche «statistique» ou «stochastique» et on modélise les chocs par des variables aléatoires $(\varepsilon_i)_{i \ge 1}$ indépendantes et identiquement distribuées centrées de variance $\tau^2$. On pose $\sigma^2 = N\tau^2$. La force exercée pendant la durée $\alpha$ vaut

$$ \sum_{i=1}^{N\alpha} \varepsilon_i = \sqrt{\sigma^2\alpha} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{\tau^2 N\alpha}} \sum_{i=1}^{N\alpha} \varepsilon_i}_{Y}. $$

Si $N\alpha$ est grand, le théorème limite central suggère que la loi de $Y$ est proche d'une loi gaussienne centrée réduite. De plus, les forces aléatoires exercées sur les intervalles de temps disjoints sont dues à des molécules d'eau différentes car elles se déplacent beaucoup moins que la particule. On peut donc les supposer indépendantes. En conclusion, il paraît naturel de modéliser l'action des chocs par un processus à accroissements indépendants et stationnaires dont la loi d'un accroissement entre deux instants $t$ et $t + \alpha$ est gaussienne centrée de variance $\sigma^2\alpha$. Ce processus est le mouvement brownien $(\sigma B_t)_{t \ge 0}$. On retrouve ici l'idée du théorème de Donsker (voir le théorème 27.6). Comme la vitesse est la dérivée de la position, on obtient le système :

$$ \begin{cases} dX_t = V_t dt \\ dV_t = -\lambda V_t dt + \sigma dB_t. \end{cases} $$

On dit qu'il s'agit d'une équation cinétique car elle fait intervenir simultanément la position et la vitesse de la particule. Dans tout le chapitre, on notera $(Z_t)_{t \ge 0}$ le processus complet défini par $Z_t = (X_t, V_t)$ pour $t \ge 0$.

**Théorème 26.1 (Processus de Langevin).** Conditionnellement à l'événement $\{(X_0, V_0) = (x_0, v_0)\}$, le processus $(Z_t)_{t \ge 0}$ est un processus gaussien tel que

$$ \begin{aligned} \mathrm{E}(X_t) &= x_0 + \frac{1 - e^{-\lambda t}}{\lambda} v_0 \\ \mathrm{Cov}(X_t, X_s) &= \frac{\sigma^2 s}{\lambda^2} + \frac{\sigma^2}{2\lambda^3} \left( -2 + 2e^{-\lambda t} + 2e^{-\lambda s} - e^{-\lambda|t-s|} - e^{-\lambda(t+s)} \right). \end{aligned} $$

En particulier, la variance de $X_t$ est donnée par

$$ \mathrm{Var}(X_t) = \frac{\sigma^2 t}{\lambda^2} + \frac{\sigma^2}{2\lambda^3} (-3 + 4e^{-\lambda t} - e^{-2\lambda t}). $$

L'évolution de la vitesse ne dépend pas de la position.
Démonstration. Le processus $(V_t)_{t \ge 0}$ est un processus d'Ornstein-Uhlenbeck, étudié dans le chapitre 25. Le processus $(V_t)_{t \ge 0}$ est donc gaussien, de moyenne $\mathbb{E}(V_t) = e^{-\lambda t}v_0$ et de covariance

$$ \mathrm{Cov}(V_t, V_s) = \frac{\sigma^2}{2\lambda} (e^{-\lambda|t-s|} - e^{-\lambda(t+s)}). $$

À présent le processus $X$ est gaussien car image du processus $V$ par une application linéaire : $X_t = x_0 + \int_0^t V_s ds$. $\square$

**Remarque 26.2** (Ordres de grandeur). La constante $1/\lambda$, homogène à un temps, est appelée temps de relaxation. Elle est en pratique de l'ordre de $10^{-8}$ seconde. Ceci suggère qu'il est impossible de distinguer en pratique le processus $(X_t)_{t \ge 0}$ d'un mouvement brownien de variance $\sigma^2/\lambda^2$.

## 26.2 Processus de Langevin confiné

On modifie à présent légèrement le modèle de la section précédente. On ajoute une force $-\mu x$ qui provient de l'énergie potentielle $x \mapsto \frac{1}{2}\mu x^2$. L'évolution du couple vitesse/position est alors donnée par le système suivant :

$$ \begin{cases} dX_t = V_t dt \\ dV_t = -\lambda V_t dt - \mu X_t dt + \sigma dB_t. \end{cases} $$

On dit que $Z = (X, V)$ est un processus de Langevin confiné<fnref n="1" />. On peut réécrire le système sous la forme matricielle suivante :

$$ Z_t = Z_0 + \int_0^t M Z_s ds + \sigma W_t \quad \text{où} \quad M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\mu & -\lambda \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad W_t = \begin{pmatrix} 0 \\ B_t \end{pmatrix}. $$

La solution de cette équation linéaire est de la forme

$$ Z_t = e^{tM} Z_0 + \sigma \int_0^t e^{(t-s)M} dW_s. $$

**Lemme 26.3** (Loi au temps $t$). Si $(X_0, V_0)$ est un vecteur gaussien, alors il en est de même pour $(X_t, V_t)$ pour tout $t \ge 0$. De plus, si on note, pour $t \ge 0$,

$$ x_t = \mathbb{E}(X_t), \quad v_t = \mathbb{E}(V_t), \quad a_t = \mathbb{E}(X_t^2), \quad b_t = \mathbb{E}(X_t V_t) \quad \text{et} \quad c_t = \mathbb{E}(V_t^2). $$

alors

$$ (x_t)_{t \ge 0}, (v_t)_{t \ge 0}, (a_t)_{t \ge 0}, (b_t)_{t \ge 0}, \text{ et } (c_t)_{t \ge 0} $$

sont solutions des équations différentielles linéaires :

<footnote n="1">1. « Damped Langevin process » en anglais.</footnote>
$$
\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x_t \\ v_t \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} x_t \\ v_t \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} a_t \\ b_t \\ c_t \end{pmatrix} = N \begin{pmatrix} a_t \\ b_t \\ c_t \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \sigma^2 \end{pmatrix}
$$

où

$$
M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\mu & -\lambda \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad N = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -\mu & -\lambda & 1 \\ 0 & -2\mu & -2\lambda \end{pmatrix}.
$$

Démonstration. Il s'agit d'une conséquence immédiate de la formule d'Itô. □

**Remarque 26.4 (Formules explicites).** La matrice $e^{tM}$ peut être explicitée :
— si $\lambda^2 > 4\mu$, alors, en notant $\omega = \sqrt{\lambda^2 - 4\mu}$, $\alpha_1 = (-\lambda + \omega)/2$, et
$\alpha_2 = (-\lambda - \omega)/2$,

$$
e^{tM} = \frac{e^{\alpha_2 t}}{\omega} \begin{pmatrix} -\alpha_1 & 1 \\ -\mu & \alpha_2 \end{pmatrix} + \frac{e^{\alpha_1 t}}{\omega} \begin{pmatrix} \alpha_2 & -1 \\ \mu & -\alpha_1 \end{pmatrix};
$$

— si $\lambda^2 = 4\mu$, alors

$$
e^{tM} = e^{-\lambda t/2} \begin{pmatrix} 1 - \lambda t/2 & t \\ -\lambda^2 t/4 & 1 + \lambda t/2 \end{pmatrix};
$$

— si $\lambda^2 - 4\mu < 0$, alors, en notant $\omega = \sqrt{\mu - \lambda^2/4}$,

$$
e^{tM} = e^{-\lambda t/2} \left( \cos(\omega t) + \frac{\lambda \sin(\omega t)}{\omega} \frac{\sin(\omega t)}{\omega} \cos(\omega t) - \frac{\lambda \sin(\omega t)}{2\omega} \right).
$$

L'expression explicite de $e^{tN}$ est beaucoup plus pénible à obtenir. On peut
toutefois remarquer que les valeurs propres de $N$ ont toutes une partie réelle
strictement négative.

Les équations différentielles linéaires du lemme 26.3 sont simples à résoudre numériquement (illustration donnée par la figure 26.1).

**Lemme 26.5** (Densité de la loi à tout instant). *Pour toute loi initiale et tout instant $t > 0$, la loi du processus de Langevin confiné ($X_t, V_t$) admet une densité strictement positive sur $\mathbb{R}^2$.*

Démonstration. Il suffit d'établir le résultat lorsque la loi initiale est une masse de Dirac en un point $(x, v)$, le cas général s'obtenant en conditionnant par la valeur initiale. Si la loi initiale est une masse de Dirac, le couple $(X_t, V_t)$ est un vecteur gaussien. Par suite, sa loi admet une densité strictement positive sur $\mathbb{R}^2$ si et seulement si le déterminant de sa matrice de covariance est strictement positif. Pour simplifier, on suppose que $(X_0, V_0) = (0, 0)$. Le déterminant de la matrice de covariance est alors donné par $d_t = a_t c_t - b_t^2$ avec les notations du lemme 26.3. Donc

$$
d'_{t} = -2\lambda(a_{t}c_{t} - b_{t}^{2}) + \sigma^{2}a_{t} = -2\lambda d_{t} + \sigma^{2}a_{t}.
$$
<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>**Fig. 26.1.** Évolution des vecteurs moyenne $(x_t, v_t)$ (en haut) et covariance $(a_t, b_t, c_t)$ (en bas) pour $\sigma = 1$, $\lambda = 1$ et $\mu = 10$.</figcaption></figure>

Comme $d_0 = a_0 = 0$, la dérivée de $t \mapsto d_t$ est nulle en 0. En itérant, on obtient

$$ 
\begin{align*}
d_t'' &= -2\lambda d_t' + 2\sigma^2 b_t \\
d_t^{(3)} &= -2\lambda d_t'' + 2\sigma^2(-\mu a_t - \lambda b_t + c_t) \\
d_t^{(4)} &= -2\lambda d_t^{(3)} + 2\sigma^2(\lambda\mu a_t + (\lambda^2 - 4\mu)b_t - 3\lambda c_t) + 2\sigma^4.
\end{align*}
$$

En particulier, les trois premières dérivées de $t \mapsto d_t$ sont nulles en 0 et $d_0^{(4)} = 2\sigma^4$. Donc le déterminant devient strictement positif pour $t > 0$ s'il est nul à l'instant initial. $\square$

**Remarque 26.6 (Hypoellipticité).** Dans la preuve du lemme 26.5, on a

$$ d_t \underset{t \sim 0}{\sim} \frac{2\sigma^4}{4!} t^4. $$
Pour une diffusion sur $\mathbb{R}^2$ avec un bruit brownien non dégénéré, le déterminant serait de l'ordre de $t^2$. Ce décalage est dû au fait que seule la composante des vitesses est perturbée par un mouvement brownien. Cependant, la structure subtile du coefficient de dérive dans l'équation du processus de Langevin confiné assure que ce bruit se propage sur les deux composantes et que la loi du couple $(X_t, V_t)$ a une densité dès que $t > 0$. Il s'agit d'un cas particulier du phénomène d'hypoellipticité, étudié dans un cadre général par Hörmander puis par Malliavin notamment.

La figure 26.2 illustre l'apparition de densité lorsque la loi initiale est une mesure de Dirac sur $\mathbb{R}^2$ au travers de l'évolution temporelle du déterminant de la matrice de covariance. Il converge notamment vers celui de la loi invariante qui vaut $\sigma^4/(4\lambda^2\mu)$.

## 26.3 Comportement en temps long du processus confiné

Comme pour le processus d'Ornstein-Uhlenbeck, on associe au processus de Langevin confiné $Z = (X, V)$ un semi-groupe $(Q_t)_{t\ge0}$, donné pour $t \ge 0$, $z \in \mathbb{R}^2$, et $f$ régulière par

$$Q_t f(z) = E(f(Z_t)|Z_0 = z).$$

**Lemme 26.7 (Générateur infinitésimal).** Si $f$ est une fonction de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}^2$ et à support compact, alors pour tout $t \ge 0$ et $z \in \mathbb{R}^2$,

$$\partial_t Q_t f(z) = Q_t(Af)(z)$$

où, avec la notation $z = (x, v)$,

$$Af(x, v) = v \cdot \nabla_x f(x, v) - (\mu x + \lambda v) \cdot \nabla_v f(x, v) + \frac{\sigma^2}{2} \Delta_v f(x, v).$$

*Démonstration.* On applique la formule d'Itô à $f$ avec $Z_0 = z$ :

$$f(Z_t) = f(z) + \int_0^t Af(Z_s) ds + M_t,$$

où $(M_t)_{t\ge0}$ est une martingale. Ainsi,

$$\lim_{t \to 0} \frac{Q_t f(z) - f(z)}{t} = Af(z).$$

La propriété de Markov fournit la relation à tout temps $t \ge 0$. □

**Théorème 26.8 (Loi invariante).** La mesure de probabilité gaussienne produit

$$\pi = \mathcal{N}\left(0, \frac{\sigma^2}{2\lambda\mu}\right) \otimes \mathcal{N}\left(0, \frac{\sigma^2}{2\lambda}\right)$$
<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>Fig. 26.2. Évolution en fonction du temps du déterminant de la matrice de co-variance issu de $(x_0, v_0, a_0, b_0, c_0) = (0, 0, 1, 1, 1)$ (en haut) et $(0, 0, 0, 0, 0)$ (en bas) lorsque $\sigma = 1$, $\lambda = 1$ et $\mu = 10$.</figcaption></figure>
est la loi invariante du processus $(X, V)$. Elle vérifie, pour toute fonction $f$ de classe $C^2$ et à support compact,

$$ \int Af d\pi = 0. $$

**Démonstration.** Puisque $(X, V)$ est un processus gaussien, toute loi invariante est une loi gaussienne. De plus, le point $\sigma^2/(2\lambda\mu)(0, 0, 1, 0, \mu)$ est l'unique point fixe des équations différentielles du lemme 26.3. On remarque enfin que

$$ (x_t, v_t, a_t, b_t, c_t) \xrightarrow{t \to \infty} \frac{\sigma^2}{2\lambda\mu} (0, 0, 1, 0, \mu) $$

pour toutes conditions initiales finies puisque les parties réelles des valeurs propres de $M$ et $N$ sont strictement positives. $\square$

**Remarque 26.9 (Irréversibilité).** Contrairement au cas du processus d'Ornstein-Uhlenbeck, on peut vérifier que le générateur $A$ du processus n'est pas auto-adjoint dans $L^2(\pi)$. En d'autres termes, le semi-groupe $(Q_t)_{t \ge 0}$ n'est pas réversible pour la loi invariante $\pi$.

Dans la suite, on cherche à quantifier la convergence de la loi de $X_t$ vers la loi invariante $\pi$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ en termes de distance de Wasserstein ou d'entropie relative comme cela a été fait pour le processus d'Ornstein-Uhlenbeck dans le chapitre 25.

Grâce à la formule explicite pour la distance $W_2$ entre deux lois gaussiennes donnée dans la section 25.5 (version multivariée de celle du théorème 25.14), on peut estimer la distance de Wasserstein entre la loi de $(X_t, V_t)$ et la loi invariante lorsque la loi initiale est gaussienne. La figure 26.3 représente l'évolution de l'entropie relative et du carré de la distance de Wasserstein de la loi au temps $t$ par rapport à la loi invariante $\pi$. La figure 26.3 suggère que l'entropie relative de la loi au temps $t$ par rapport à la loi invariante décroît par paliers. Contrairement à l'entropie relative, la distance $W_2$ n'est pas du tout une fonction décroissante du temps !

**Théorème 26.10 (Décroissance de l'entropie).** Si $\pi_t$ est la loi de $(X_t, V_t)$ et $h_t$ est sa densité par rapport à la mesure $\pi$, alors

$$ \frac{d}{dt} \mathrm{Ent}(\pi_t|\pi) = - \int \frac{|\nabla_v h_t|^2}{h_t} d\pi. $$

**Démonstration.** Pour alléger les calculs, on suppose sans perte de généralité que $\sigma$ est égal à $\sqrt{2}$. En vertu du lemme 26.5, la loi $\pi_t$ de $(X_t, V_t)$ admet une densité $u_t$ par rapport à la mesure de Lebesgue. Elle est solution de l'équation aux dérivées partielles suivante (équation de Fokker-Planck cinétique)

$$ \partial_t u_t + v \cdot \nabla_x u_t - \mu x \cdot \nabla_v u_t = \Delta_v u_t + \nabla_v \cdot (\lambda v u_t), $$
<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>**Fig. 26.3.** Évolutions comparées de l'entropie relative et de la distance de Wasserstein d'ordre 2 entre la loi au temps $t$ et la loi invariante, $\sigma = 1$, $\lambda = 1$, $\mu = 10$, $(x_0, v_0, a_0, b_0, c_0) = (1, 0, 0, 0, 0)$ (en haut) et $\mu = 60$ (en bas).</figcaption></figure>
qui peut s'obtenir à partir du générateur infinitésimal (lemme 26.7) en ef-
fectuant une intégration par parties. La structure de cette équation est inté-
ressante : le membre de gauche est conservatif et décrit les trajectoires d'un
système dynamique dans $\mathbb{R}^2$ associé à l'hamiltonien

$$
(x, v) \mapsto \mu \frac{|x|^2}{2} + \lambda \frac{|v|^2}{2},
$$

tandis que le membre de droite est dissipatif mais n'agit que sur la variable
de vitesse. Notons $h_t(x,v) = u_t(x,v)/\pi(x,v)$ où $\pi(x,v)$ désigne par abus
de notation la densité de la loi invariante $\pi$ au point $(x,v)$ donnée par le
théorème 26.8. On vérifie que la fonction $h$ est alors solution de l'équation
aux dérivées partielles (ÉDP) suivante :

$$
\partial_t h_t + v \cdot \nabla_x h_t - \mu x \cdot \nabla_v h_t = \Delta_v h_t - \lambda v \cdot \nabla_v h_t.
$$

La variation d'entropie relative est donnée par

$$
\frac{d}{dt} \mathrm{Ent}(\pi_t|\pi) = \frac{d}{dt} \int h_t \log(h_t) d\pi = \int \partial_t h_t (1 + \log(h_t)) d\pi.
$$

L'expression de $\pi$ du théorème 26.8 et les intégrations par parties (IPP)

$$
\begin{align*}
-\int (v \cdot \nabla_x h_t)(1 + \log(h_t)) \, d\pi &= -\int v \cdot \nabla_x (h_t \log(h_t)) \, d\pi \\
&\stackrel{\text{IPP}}{=} -\lambda\mu \int (x \cdot v) h_t \log(h_t) \, d\pi \\
\int (\mu x \cdot \nabla_v h_t)(1 + \log(h_t)) \, d\pi &= \int \mu x \cdot \nabla_v (h_t \log(h_t)) \, d\pi \\
&\stackrel{\text{IPP}}{=} \lambda\mu \int (x \cdot v) h_t \log(h_t) \, d\pi \\
\int (\Delta_v h_t)(1 + \log(h_t)) \, d\pi &\stackrel{\text{IPP}}{=} -\int \frac{\nabla_v h_t \cdot \nabla_v h_t}{h_t} \, d\pi \\
&\phantom{\stackrel{\text{IPP}}{=}} + \lambda \int (1 + \log(h_t)) \nabla_v h_t \cdot v \, d\pi
\end{align*}
$$

fournissent le résultat annoncé. □

L'obtention de bornes explicites pour la convergence exponentielle de
l'entropie relative demande beaucoup plus de travail que pour le processus
d'Ornstein-Uhlenbeck étudié au chapitre 25. Il est plus facile d'obtenir un ré-
sultat de convergence pour la distance de Wasserstein d'ordre 2 même si cette
quantité n'est pas une fonction décroissante du temps.

**Théorème 26.11** (Convergence en distance de Wasserstein). *Soit* $\nu_0$ *et* $\nu'_0$  
*deux mesures de probabilité sur* $\mathbb{R}^2$ *possédant un moment d'ordre 2 fini.* *Notons*  
$\nu_t$ (*respectivement* $\nu'_t$) *la loi de* $Z_t$ *lorsque* $Z_0$ *suit la loi* $\nu_0$ (*respectivement* $\nu'_0$).  
*Alors il existe des constantes* $c$ *et d telles que*
$$
W_2(\nu_t, \nu_t') \le (c + dt)e^{-\rho t} W_2(\nu_0, \nu_0'),
$$

avec

$$
\begin{cases}
\rho = \frac{\lambda - \sqrt{\lambda^2 - 4\mu}}{2} & \text{et } d = 0 \quad \text{si } \lambda > 2\sqrt{\mu}, \\
\rho = \frac{\lambda}{2} & \text{si } \lambda \le 2\sqrt{\mu}.
\end{cases}
$$

Démonstration. On procède par couplage. Soit (Z₀, Z'₀) un couplage des lois ν₀ et ν'₀ indépendant du mouvement brownien (B_t)_{t≥0}. Notons

$$
Z := (X_t, V_t)_{t \ge 0} \quad \text{et} \quad Z' := (X'_t, V'_t)_{t \ge 0}
$$

les processus de Langevin confinés issus respectivement de Z₀ et Z'₀, et dirigés
par le même mouvement brownien (B_t)_{t≥0}. Notons

$z_t := Z_t - Z'_t.$

Par linéarité de l’équation différentielle stochastique, la fonction $t \mapsto z_t$ dépend de $(Z_0, Z'_0)$ mais pas de $(B_t)_{t \ge 0}$. En effet, elle est solution de l’équation différentielle

$$
\begin{cases}
\frac{d}{dt} z_t = M z_t \\
z_0 = Z_0 - Z'_0
\end{cases}
\quad \text{avec} \quad M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\mu & -\lambda \end{pmatrix}.
$$

Ainsi, $z_t = e^{tM}z_0$. Les valeurs propres de la matrice $M$ sont données par :

$$
-\frac{\lambda \pm \sqrt{\lambda^2 - 4\mu}}{2} \quad \text{si} \quad \lambda \ge 2\sqrt{\mu} \quad \text{et} \quad -\frac{\lambda}{2} \pm i \frac{\sqrt{4\mu - \lambda^2}}{2} \quad \text{si} \quad \lambda < 2\sqrt{\mu}.
$$

Une décomposition de Dunford de M assure qu'il existe deux constantes c et d telles que, pour tout t ≥ 0

$$
|z_t| \le (c + dt)e^{-\rho t} |z_0|
$$

où $-\rho$ est la plus grande partie réelle des valeurs propres de $M$. En particulier,

$$
W_2(\nu_t, \nu_t')^2 \le E(|Z_t - Z_t'|^2) \le (c + dt)^2 e^{-2\rho t} E(|Z_0 - Z_0'|^2).
$$

On conclut en considérant l'infimum sur tous les couplages de $\nu_0$ et $\nu'_0$ :

$$
\inf_{\substack{(Z_0, Z'_0) \\ Z_0 \sim \nu_0 \\ Z'_0 \sim \nu'_0}} \mathbb{E}(|Z_0 - Z'_0|^2) =: W_2(\nu_0, \nu'_0).
$$

□
## 26.4 Pour aller plus loin

En 1828, un botaniste du nom de Robert Brown<fnref n="2" /> rend compte de ses observations : une particule de pollen, observable au microscope, plongée dans l'eau, contient des grains animés de mouvements aussi rapides qu'irréguliers. La thèse qui s'est imposée au fil du temps est la suivante : le mouvement serait lié aux chocs de la particule de pollen avec les molécules d'eau. Les travaux de Albert Einstein, en 1905, sont souvent présentés comme les premiers pas mathématiques vers ce qui va devenir la théorie du mouvement brownien, développée notamment par Norbert Wiener<fnref n="3" /> et par Paul Lévy. Cependant, un peu avant les travaux d'Einstein, et dans un tout autre contexte, Louis Bachelier avait déjà obtenu, en 1900, la loi du mouvement brownien dans sa thèse intitulée « Théorie de la spéculation », qui n'a eu que peu d'impact à l'époque. Citons également les travaux de Marian Smoluchowski, contemporains de ceux d'Einstein. Le modèle étudié dans ce chapitre a été introduit par Paul Langevin et perfectionné par Leonard Ornstein et George Uhlenbeck dans les années 1930. On trouvera dans l'ouvrage de Edward Nelson [Nel67] la modélisation du début du chapitre, des perspectives historiques et des prolongements mathématiques.

On peut généraliser le processus de Langevin, en sortant du monde conforme des processus gaussiens, en considérant la solution de l'équation différentielle stochastique suivante :

$$ \begin{cases} dX_t = V_t dt \\ dV_t = -\lambda V_t dt - \nabla U(X_t) dt + \sigma dB_t, \end{cases} $$

où la fonction U joue le rôle d'un potentiel de confinement (penser à une fonction convexe). Dans ce cas, la loi invariante s'écrit comme le produit de deux mesures sur les espaces de position et de vitesse. Lorsque le mouvement brownien agit sur toutes les coordonnées, on parle de processus de diffusion non dégénéré, l'équation aux dérivées partielles de Kolmogorov décrivant l'évolution de la loi du processus au temps t est dite elliptique et admet une solution de classe $C^\infty$. Cependant, beaucoup d'équations d'évolution, comme les équations cinétiques décrivant la vitesse et la position d'une particule, sortent de ce cadre. Lars Hörmander dans [Hör67] classifie les diffusions dégénérées dont la loi au temps t est absolument continue de densité régulière.

Les résultats précis de convergence à l'équilibre pour ces processus sont assez récents. L'article de Denis Talay [Tal02] fournit des estimations pour la convergence de la densité de la loi au temps vers la densité de la loi invariante dans des espaces $L^p$ à poids. Les travaux de Cédric Villani [Vil06, Vil09] proposent une autre approche via les inégalités fonctionnelles (inégalité de Poincaré, inégalité de Sobolev logarithmique) et la théorie de Lars Hörmander sur l'hypoellipticité.

<footnote n="2">2. Resté dans l'histoire pour cette découverte (anecdotique dans son œuvre).</footnote>

<footnote n="3">3. On parle d'ailleurs également de processus de Wiener.</footnote>
La décroissance au cours du temps de l'entropie relative par rapport à la loi invariante (théorème 26.10) a lieu en général pour les modèles markoviens, et peut devenir très difficile à établir au-delà de ce cadre. Pour la célèbre équation de Ludwig Boltzmann qui régit l'évolution de la densité d'un gaz de particules en interaction, cette décroissance est connue sous le nom de Théorème-H, et constitue encore aujourd'hui un objet d'étude en physique mathématique. On pourra lire à ce sujet l'article de vulgarisation de Villani [Vil08].
<figure><img src="image_81.png" /></figure>
# Des chaînes de Markov aux processus de diffusion

**Mots-clés.** Convergence de processus; approximation par une diffusion; schéma d'Euler.

**Outils.** Martingale; temps d'arrêt; chaîne d'Ehrenfest; chaîne de Wright-Fisher; file d'attente M/M/∞; processus de Yule; processus d'Ornstein-Uhlenbeck; mouvement brownien.

## Difficulté. ***

Les résultats de convergence de processus sont très utiles et assez intuitifs mais demandent un arsenal mathématique important qui dépasse le cadre de ce livre. Ce chapitre présente un petit panorama, pour ne pas dire un catalogue, des liens, résumées par le graphique 27.1, entre processus à espace discret ou continu et à temps discret ou temps continu. Certains résultats ne sont que partiellement démontrés ou même seulement énoncés mais la dernière section renvoie à des ouvrages proposant d'aller plus loin.

## 27.1 Paresse et échantillonnage

Soit $\mathbf{P}$ une matrice de transition sur un espace d'états fini $E$ et $\mathbf{I}$ la matrice identité sur $E$. Pour tout $N \ge 1$,

$$ \mathbf{P}_N = \left(1 - \frac{1}{N}\right)\mathbf{I} + \frac{1}{N}\mathbf{P} = \mathbf{I} + \frac{\mathbf{P} - \mathbf{I}}{N} $$

est une matrice de transition. La chaîne $(X_n^N)_{n \in \mathbb{N}}$ associée à $\mathbf{P}_N$ reste en un état $i \in E$ pendant un temps aléatoire de loi géométrique de paramètre $(1 - \mathbf{P}(i, i))/N$ puis, si cette probabilité n'est pas nulle, saute sur $E\setminus\{i\}$ avec la mesure de probabilité proportionnelle à $(\mathbf{P}_N(i, j))_{j \in E\setminus\{i\}}$. On dit que $X^N$ pour $N \ge 2$ est une *chaîne paresseuse* associée à $\mathbf{P}$. Une chaîne de ce type est étudiée dans le chapitre 9 consacré au modèle d'Ehrenfest.
<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>**Fig. 27.1.** Diverses connexions entre processus à espace et temps discrets ou continus présentées dans ce chapitre.</figcaption></figure>

Posons $Y_t^N = X_{\lfloor Nt \rfloor}$ pour $t \in \mathbb{R}_+$. La suite de processus $(Y_t^N)_{N \ge 1}$ converge vers le processus de Markov à temps continu $(Y_t)_{t \ge 0}$ sur $E$ de générateur $A = \mathbf{P} - \mathbf{I}$ et de semi-groupe $(P_t)_{t \ge 0}$. La convergence pour un temps donné $t$ s'écrit simplement :

$$P_t = e^{tA} = \lim_{N \to \infty} \mathbf{P}_N^{\lfloor Nt \rfloor} = \lim_{N \to \infty} \left( \mathbf{I} + \frac{A}{N} \right)^{\lfloor Nt \rfloor}.$$

La propriété de Markov permet d'étendre cela à toutes les lois marginales.

Réciproquement, si $(Y_t)_{t \in \mathbb{R}_+)$ est une chaîne de Markov à temps continu sur $E$ de générateur $A$ alors

$$(Y_n^\delta)_{n \in \mathbb{N}} = (Y_{\delta n})_{n \in \mathbb{N}}$$

est une chaîne de Markov à temps discret sur $E$ de matrice de transition $e^{\delta A}$, appelée *chaîne échantillonnée*.
Les processus de Markov $(X_n^1)_{n \in \mathbb{N}}$, $(Y_t)_{t \in \mathbb{R}_+}$ et $(Y_n^\delta)_{n \in \mathbb{N}}$ sont très liés : les propriétés de récurrence et transience coïncident et ces processus ont les mêmes lois invariantes. Cependant même si la chaîne $(X_n^1)_{n \in \mathbb{N}}$ est périodique, ce n'est pas le cas pour $(Y_t)_{t \in \mathbb{R}_+}$ et $(Y_t^\delta)_{t \in \mathbb{R}_+}$. En effet, on montre facilement s'il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $\mathbb{P}_{x_0}(X_n^1 = x) > 0$ alors $\mathbb{P}_{x_0}(Y_t = x) > 0$ pour tout $t \in \mathbb{R}_+$ et $\mathbb{P}_{x_0}(Y_m^\delta = x) > 0$ pour tout $m \in \mathbb{N}$.

**Remarque 27.1** (Bernoulli vers Poisson). *Un processus de Bernoulli rendu de plus en plus paresseux convenablement renormalisé en temps converge vers un processus de Poisson. Ceci permet notamment de retrouver la loi des petits nombres déjà croisée au chapitre 1.*

**Remarque 27.2** (Généalogie et paresse). *Dans le chapitre 13, la chaîne à temps discret décrivant le nombre de générations à remonter pour trouver l'ancêtre commun le plus récent dans une population de taille N converge, quand $N \to \infty$, vers un processus de mort pur à temps continu de manière semblable à la convergence des chaînes paresseuses.*

## 27.2 Convergence d'une chaîne vers une diffusion

L'objet de cette section est d'énoncer un théorème assurant la convergence en loi d'une suite de chaînes de Markov convenablement renormalisées en temps et en espace vers un processus de diffusion dont les coefficients de diffusion et de dérive sont explicites.

**Théorème 27.3** (Approximation diffusive). *Soit $(\mathbf{P}_N)_{N \ge 1}$ une suite de noyaux de transition sur $\mathbb{R}$ et posons*

$$b_N(x) = N \int_{|y-x| \le 1} (y-x) \mathbf{P}_N(x, dy)$$

et

$$a_N(x) = N \int_{|y-x| \le 1} (y-x)^2 \mathbf{P}_N(x, dy).$$

*Supposons qu'il existe deux fonctions a et b à valeurs dans $]0, +\infty[$ et $\mathbb{R}$ respectivement, bornées et de classe $C^1$, et telles que pour tous $r > 0$ et $\varepsilon > 0$,*

$$\lim_{N \to \infty} \sup_{|x| \le r} |b_N(x) - b(x)| = 0, \quad \text{et} \quad \lim_{N \to \infty} \sup_{|x| \le r} |a_N(x) - a(x)| = 0$$

et

$$\lim_{N \to \infty} \sup_{|x| \le r} N \mathbf{P}_N(x, [x - \varepsilon, x + \varepsilon]^c) = 0.$$

*Soit $(Y_n^N)_{n \in \mathbb{N}}$ la chaîne de Markov de noyau de transition $\mathbf{P}_N$ et $(Z_t^N)_{t \in \mathbb{R}_+}$ le processus défini par $Z_t^N = Y_{[Nt]}^N$. Si $(Y_0^N)_{N \ge 1}$ converge en loi vers $\nu$ alors, pour tout $T > 0$,*
$$ (Z_t^N)_{t \in [0,T]} \xrightarrow[N \to \infty]{\text{loi}} (X_t)_{t \in [0,T]} $$

où $(X_t)_{t \in [0,T]}$ est un processus de diffusion de loi initiale $\nu$ et de générateur A donné par

$$ Af(x) = \frac{1}{2}a(x)f''(x) + b(x)f'(x), $$

pour toute fonction $f$ de classe $C^2$ à support compact.

Idée de preuve. Le semi-groupe $(P_t)_{t \in \mathbb{R}_+}$ associé au générateur infinitésimal A vérifie, pour toute fonction $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et classe $C^2$ à support compact et tout $t \in \mathbb{R}_+$,

$$ P_t f = f + \int_0^t P_s A f \, ds. $$

Pour tout $N \ge 1$, notons $\mathbf{A}_N = \mathbf{P}_N - \mathbf{I}$. Soit $t > 0$. Alors

$$ \begin{aligned} \mathbf{P}_N^{[Nt]} f &= f + \sum_{i=0}^{\lfloor(N-1)t\rfloor} \mathbf{P}_N^i \mathbf{A}_N f = f + \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{\lfloor(N-1)t\rfloor} \mathbf{P}_N^i (N \mathbf{A}_N) f \\ &= f + \sum_{i=0}^{\lfloor(N-1)t\rfloor} \int_{i/N}^{(i+1)/N} \mathbf{P}_N^i (N \mathbf{A}_N) f \, ds. \end{aligned} $$

On obtient ainsi que, pour tout $t \in \mathbb{R}_+$,

$$ \mathbf{P}_N^{[Nt]} f = f + \int_0^t \mathbf{P}_N^{[Ns]} (N \mathbf{A}_N) f \, ds. $$

Ainsi, la famille de mesures de probabilité $(\mathbf{P}_N^{[Nt]})_{t \in \mathbb{R}_+}$ est-elle liée à $N\mathbf{A}_N$ comme $(P_t)_{t \in \mathbb{R}_+}$ l'est à A. De plus, si $f$ est de classe $C^2$ à support compact,

$$ \begin{aligned} N \mathbf{A}_N f(x) &= N \int (f(y) - f(x)) \mathbf{P}_N(x, dy) \\ &= b_N(x) f'(x) + \frac{1}{2} a_N(x) f''(x) + \mathcal{O}(N \mathbf{P}_N(x, [x-1, x+1])) \end{aligned} $$

Les hypothèses du théorème assurent que $N\mathbf{A}_N f$ converge vers $Af$. Reste à en déduire la convergence en loi des processus associés. Cette étape dépasse le cadre de cet ouvrage. On trouvera dans la section 27.7 des références pour la preuve complète de ce résultat. $\square$

**Remarque 27.4** (Rien n'est simple). En pratique, la chaîne de Markov $Y^N$ est en général à valeurs dans un sous-ensemble $I_N$ discret et souvent fini de $\mathbb{R}$. Ainsi, son noyau de transition $\mathbf{P}_N$ n'est-il pas défini sur tout $\mathbb{R}$. Il faut alors étendre sa définition à l'extérieur de $I_N$ de manière un peu artificielle.
**Exemple 27.5** (Marche aléatoire et mouvement brownien). Soit $S^N$ la
marche aléatoire sur $\mathbb{Z}$ définie par

$$
S_n^N = \sum_{i=1}^{n} \varepsilon_i
$$

où $(\varepsilon_i^N)_{i\ge1}$ est une suite de v.a. i.i.d. de loi $p_N\delta_1 + (1-p_N)\delta_{-1}$. Dans ce cas,
— si $p_N = 1/2$ alors $(S_{[N\cdot]}^N/\sqrt{N})_{N\ge1}$ converge en loi vers le mouvement brownien issu de 0;
— si $p_N = p \ne 1/2$ alors $(S_{[N\cdot]}/N)_{N\ge1}$ converge en loi vers le processus déterministe $t \mapsto (2p-1)t$;
— si $p_N = 1/2 + \alpha/(2\sqrt{N})$ alors $(S_{[N\cdot]}/N)_{N\ge1}$ converge en loi vers le mouvement brownien avec dérive $\alpha$ issu de 0.

Le premier cas de l'exemple ci-dessous est une instance du théorème de Donsker, analogue du théorème limite central pour les lois de processus.

**Théorème 27.6** (Principe d'invariance de Donsker). *Soit* $(Y_n)_{n \ge 1}$ *une suite de variables aléatoires i.i.d. centrées et de variance 1*. *Notons*

$$
X_t^N = \frac{1}{\sqrt{N}} \left( \sum_{k=1}^{\lfloor Nt \rfloor} Y_k - (Nt - \lfloor Nt \rfloor)Y_{\lfloor Nt \rfloor+1} \right).
$$

La suite de processus $(X_t^N)_{N \ge 1}$ converge en loi vers le mouvement brownien.

**Remarque 27.7** (Interpolation linéaire). *Dans l'énoncé du théorème de Donsker, les trajectoires de $X^N$ sont construites par interpolation linéaire entre les points d'abscisses multiples de $1/N$. Cette précaution permet de considérer la convergence de $(X_t^N)_{0 \le t \le T}$ comme une variable aléatoire à valeurs dans $C([0, T])$ muni de la norme infinie et de la tribu borélienne.*

**Exemple 27.8** (Chaîne d'Ehrenfest et processus d'Ornstein-Uhlenbeck).
Pour $N \ge 1$, soit $Z^N$ la chaîne d'Ehrenfest (voir chapitre 9) à valeurs dans $\{0, \dots, N\}$ dont la matrice de transition est donnée par

$$
\mathbb{P}(Z_1^N = j | Z_0^N = i) = \begin{cases} i/N & \text{si } j = i-1, \\ 1-i/N & \text{si } j = i+1, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}
$$

On définit la chaîne $(Y_n^N)_{n \ge 0}$ à valeurs dans

$$
E_N = \left\{ -(1/2)\sqrt{N} + k/\sqrt{N} : 0 \le k \le N \right\}
$$

en posant

$$
Y_n^N = \sqrt{N} \left( \frac{Z_n^N}{N} - \frac{1}{2} \right).
$$
Son noyau de transition est donné par

$$
\mathbf{P}_N(x, \cdot) = \left(\frac{1}{2} + \frac{x}{\sqrt{N}}\right) \delta_{x-1/\sqrt{N}}(\cdot) + \left(\frac{1}{2} - \frac{x}{\sqrt{N}}\right) \delta_{x+1/\sqrt{N}}(\cdot),
$$

pour $x \in E_N$. Après avoir étendu $\mathbf{P}_N$ raisonnablement sur $\mathbb{R}$, on obtient

$$
b_N(x) = N \left( \left[ \frac{1}{2} + \frac{x}{\sqrt{N}} \right] \left[ x - \frac{1}{\sqrt{N}} \right] + \left[ \frac{1}{2} - \frac{x}{\sqrt{N}} \right] \left[ x + \frac{1}{\sqrt{N}} \right] - x \right) = -2x.
$$

De même, $a_N(x) = 1$. L'hypothèse de concentration du noyau $\mathbf{P}_N(x, \cdot)$ est clairement satisfaite puisque son support converge vers $\{x\}$. Ainsi, si $(Y_0^N)_{N \ge 1}$ converge en loi vers $\nu$, alors la suite de processus $(Y_{[N \cdot]}^N)_{N \ge 1}$ converge en loi vers le processus d'Ornstein-Uhlenbeck de loi initiale $\nu$ solution de l'équation différentielle stochastique

$$
dX_t = dB_t - 2X_t \, dt.
$$

27.3 Diffusion sur un intervalle

Avant de détailler de nouveaux exemples importants, nous rassemblons
dans cette section des résultats classiques sur les processus de diffusion à
valeurs dans $\mathbb{R}$. Considérons le processus $(X_t)_{t \ge 0}$ solution de l'équation différentielle stochastique

$$
dX_t = \sigma(X_t) dB_t + b(X_t) dt,
$$

où $\sigma$ et $b$ sont des fonctions régulières sur l'intervalle $I = ]l, r[$ à valeurs dans $]0, \infty[$ et $\mathbb{R}$ respectivement. Le générateur infinitésimal de $X$ est l'opérateur agissant sur les fonctions $f$ de classe $C^2$ sur $I$ donné par

$$
Lf(x) = \frac{1}{2}\sigma^2(x)f''(x) + b(x)f'(x).
$$

Soit $c \in I$. Introduisons

— la fonction d'échelle $p$ :

$$
p(x) = \int_c^x \exp \left( -2 \int_c^y \frac{b(z)}{\sigma^2(z)} dz \right) dy,
$$

— la mesure de vitesse $m$ est définie par

$$
m(dx) = \mathbb{1}_I(x) \frac{2}{p'(x)\sigma^2(x)} dx = \mathbb{1}_I(x) \frac{2}{\sigma^2(x)} \exp \left( 2 \int_c^x \frac{b(z)}{\sigma^2(z)} dz \right) dx,
$$

— et pour $l < a < b < r$ la fonction sur $]a, b[$,

$$
M_{a,b}(x) = - \int_a^x (p(x) - p(y))m(dy) + \frac{p(x) - p(a)}{p(b) - p(a)} \int_a^b (p(b) - p(y))m(dy).
$$
Les fonctions $p$ et $M_{a,b}$ vérifient les relations crucales suivantes :

$$ \begin{cases} Lp(x) = 0 & \text{pour } x \in I, \\ p(c) = 0, \\ p'(c) = 1, \end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases} LM_{a,b}(x) = -1 & \text{pour } x \in ]a, b[, \\ M_{a,b}(a) = 0, \\ M_{a,b}(b) = 0. \end{cases} $$

**Théorème 27.9** (Sortie d'un intervalle). Soit $l < a < b < r$ et

$$ T_{a,b} = \inf \{t \ge 0 : X_t \notin [a, b]\} $$

le temps de sortie de l'intervalle $[a, b]$ pour $X$. Alors

$$ P_x(X_{T_{a,b}} = a) = 1 - P_x(X_{T_{a,b}} = b) = \frac{p(b) - p(x)}{p(b) - p(a)}, $$

et

$$ E_x(T_{a,b}) = M_{a,b}(x). $$

**Remarque 27.10** (Mouvement brownien). Ce résultat généralise le cas bien connu du mouvement brownien pour lequel la probabilité de sortir de l'intervalle $[a, b]$ en a partant de $x$ vaut $(b-x)/(b-a)$.

**Démonstration.** La fonction $p$ est croissante par définition. Ceci assure que, pour $a < y < b$, les fonctions

$$ x \in [y, b] \mapsto \frac{p(x) - p(y)}{p(x) - p(a)} \quad \text{et} \quad x \in [a, b] \mapsto \int_a^x \frac{p(x) - p(y)}{p(x) - p(a)} m(dy) $$

sont croissantes. En conséquence, la fonction $M_{a,b}$ est positive sur $[a, b]$. Psons, pour $n \in \mathbb{N}^*$,

$$ \tau_n = \inf \left\{ t \ge 0 ; \int_0^t \sigma^2(X_s) \, ds \ge n \right\}. $$

Puisque $LM_{a,b}(x) = -1$ pour $x \in ]a, b]$, la formule d'Itô pour $M_{a,b}(X_t)$ donne

$$ M_{a,b}(X_{t \wedge \tau_n \wedge T_{a,b}}) = M_{a,b}(X_0) - (t \wedge \tau_n \wedge T_{a,b}) + \int_0^{t \wedge \tau_n \wedge T_{a,b}} M'_{a,b}(X_s) \sigma(X_s) dB_s. $$

Grâce à l'arrêt au temps $\tau_n \wedge T_{a,b}$ l'intégrale stochastique ci-dessus est une martingale. En prenant l'espérance avec $X_0 = x$, on obtient grâce à la positivité de $M_{a,b}$,

$$ E_x(t \wedge \tau_n \wedge T_{a,b}) = M_{a,b}(x) - E_x[M_{a,b}(X_{t \wedge \tau_n \wedge T_{a,b}})] \le M_{a,b}(x) < \infty. $$

Il reste à faire tendre $n$ puis $t$ vers $+\infty$ pour obtenir, par convergence mono-tone, que $E_x(T_{a,b})$ est fini. Le temps $T_{a,b}$ est donc fini p.s. et, par convergence dominée, on obtient
$$ \lim_{t \to \infty} \mathbb{E}[M_{a,b}(X_{t \wedge T_{a,b}})] = \mathbb{E}[M_{a,b}(X_{T_{a,b}})] = 0, $$

puisque $M_{a,b}$ est continue bornée sur $[a, b]$ et nulle en $a$ et $b$. On obtient ainsi l'expression de $\mathbb{E}_x(T_{a,b})$.

De même, la formule d'Itô appliquée à $p(X_t)$ donne

$$ p(x) = \mathbb{E}_x[p(X_{T_{a,b}})] = p(a)\mathbb{P}_x(X_{T_{a,b}} = a) + p(b)\mathbb{P}_x(X_{T_{a,b}} = b). $$

On conclut en utilisant la relation $\mathbb{P}_x(X_{T_{a,b}} = a) + \mathbb{P}_x(X_{T_{a,b}} = b) = 1$. $\square$

## 27.4 Application aux processus de Wright-Fisher

Considérons le modèle de Wright-Fisher avec mutations et sélection introduit au chapitre 12. Il s'agit de la chaîne de Markov $(X_n^N)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $\{0, \dots, N\}$ de transition

$$ \text{Loi}(X_{n+1}^N | X_n^N = x) = \text{Bin}(N, \eta_x) $$

avec

$$ \eta_x = \psi_x(1 - u_A) + (1 - \psi_x)u_B \quad \text{et} \quad \psi_x = \frac{(1+s)x}{(1+s)x + N - x}. $$

Le réel $s$ représente l'avantage sélectif de $A$ sur $B$ et $u_A$ est la probabilité de mutation d'un allèle $A$ vers un allèle $B$. La proportion d'allèles $A$ dans une population de taille $N$ à la génération $n$ est

$$ Y_n^N := \frac{X_n^N}{N}. $$

Pour tout $t \in \mathbb{R}_+$, posons

$$ Z_t^N := Y_{[Nt]}^N. $$

**Théorème 27.11** (Limite diffusive de Wright-Fisher). *Supposons que les taux de sélection $s$ et de mutation $u_A$ et $u_B$ (qui dépendent de $N$) soient tels que*

$$ (Ns, Nu_A, Nu_B) \underset{N \to \infty}{\to} (\alpha, \beta_A, \beta_B). $$

Alors la suite de processus $(Z_n^N)_{N \ge 1}$ converge en loi vers le processus de diffusion $(Z_t)_{t \in \mathbb{R}_+}$ solution de l'équation différentielle stochastique à valeurs dans $[0, 1]$ suivante :

$$ dZ_t = \sigma(Z_t) dB_t + b(Z_t) dt, $$

où

$$ \sigma^2(z) = z(1-z) \quad \text{et} \quad b(z) = \alpha z(1-z) - \beta_A z + \beta_B (1-z). $$
Démonstration. Soit $z \in E_N = \{0, 1/N, \dots, 1\}$. Alors

$$ 
\begin{aligned}
\eta_{Nz} &= \psi_{Nz}(1-u_A) + (1-\psi_{Nz})u_B \\
&= z + \frac{-\beta_A z + \beta_B(1-z) + \alpha z(1-z)}{N} + \mathcal{O}(1/N).
\end{aligned}
$$

Puisque la loi de $NZ_1^N$ sachant que $Z_0^N = z$ est la loi Bin$(N, \eta_{Nz})$, on a

$$ 
\begin{aligned}
NE[Z_1^N - z | Z_0^N = z] &= N(\eta_{Nz} - z) \\
&= -\beta_A z + \beta_B(1-z) + \alpha z(1-z) + \mathcal{O}(1/N).
\end{aligned}
$$

De même

$$ 
\begin{aligned}
NE[(Z_1^N - z)^2 | Z_0^N = z] &= \eta_{Nz}(1 - \eta_{Nz}) \\
&= z(1 - z) + \mathcal{O}(1/N).
\end{aligned}
$$

Enfin, grâce à l'inégalité de Markov, on obtient

$$ NP(Z_1^N \in [z - \varepsilon, z + \varepsilon] | Z_0^N = z) \le \frac{NE[(Z_1^N - z)^4 | Z_0^N = z]}{\varepsilon^4}. $$

Or

$$ NE[(Z_1^N - z)^4 | Z_0^N = z] = \mathcal{O}(N^{-1}), $$

car le moment centré d'ordre 4 d'une v.a. X de loi Bin$(N, p)$ est donné par

$$ E[(X - Np)^4] = (3Np(1-p) + 1 - 6p(1-p))Np(1-p) = \mathcal{O}(N^2). $$

Ces estimations sont uniformes en $z \in E_N$. Reste à prendre une dernière précaution. Le coefficient de diffusion $\sigma$ n'est en effet pas lipschitzien en 0 et 1. Il faut donc utiliser le théorème 27.3 pour des processus arrêtés lorsqu'ils passent sous $\varepsilon$ ou au-dessus de $1 - \varepsilon$ pour un certain paramètre $\varepsilon > 0$ petit. $\square$

**Remarque 27.12** (Échelles de temps). Pour transférer les estimations de temps d'absorption de la diffusion à la chaîne de Markov, il faudra prendre garde à les multiplier par $N$. Les probabilités d'atteinte ou les profils de lois invariantes sont pour leur part insensibles à ce changement d'échelle temporel.

Exprimons la fonction d'échelle : pour $c, x \in ]0, 1[$

$$ S(x) = \int_{c}^{x} y^{-2\beta_{B}} (1-y)^{-2\beta_{A}} e^{2\alpha y} dy, $$

et la mesure de vitesse :

$$ m(dx) = 2x^{2\beta_B-1}(1-x)^{2\beta_A-1}e^{-2\alpha x} dx. $$

On peut alors décliner les exemples en fonction des paramètres du modèle.
**Exemple 27.13** (Ni mutation, ni sélection). Si $\alpha = \beta_A = \beta_B = 0$ alors la dérive de la diffusion est nulle : la diffusion est une martingale, on a $\mathbb{P}_x(Z_{T_{0,1}} = 1) = x$, et l'espérance du temps de fixation est donnée par

$$ \mathbb{E}_x(T_{0,1}) = -2[x \log(x) + (1-x) \log(1-x)]. $$

Ceci est illustré par la figure 27.2.

<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>**Fig. 27.2.** Estimation du temps de fixation pour $N = 40$ en l'absence de sélection et de mutation.</figcaption></figure>

**Exemple 27.14** (Sélection sans mutation). On choisit $\alpha > 0$ et $\beta_A = \beta_B = 0$. Alors $T_{0,1}$ est fini p.s. et la probabilité de disparition de l'allèle B vaut

$$ \mathbb{P}_x(Z_{T_{0,1}} = 1) = \frac{1 - e^{-2\alpha x}}{1 - e^{-2\alpha}}. $$

La figure 27.3 propose une illustration de l'estimation de la probabilité de fixation de l'allèle A. Si $N = 10^5$, $s = 10^{-4}$ et $x = 0,5$, alors $\alpha = 20$ et la probabilité de fixation de l'allèle A vaut environ 0,999955. Ce faible avantage sélectif s, inobservable en laboratoire ou par des mesures statistiques, est pourtant suffisant pour avoir un effet déterminant sur la fixation des allèles. Le calcul de l'espérance du temps de fixation est plus délicat. L'équation différentielle suivante :
<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>Fig. 27.3. Probabilité de fixation de A pour N = 30 et α = 2.</figcaption></figure>

$$z''(x) + 2\alpha z'(x) = -\frac{1}{x(1-x)}, \quad \text{avec } z(0) = 0 \text{ et } z(1) = 0,$$

n'a pas de solution explicite. La figure 27.4 propose une estimation du temps d'absorption pour N = 30 et α = 10.

**Exemple 27.15** (Mutation sans sélection). On suppose ici que α = 0. La diffusion est solution de

$$dX_t = \sqrt{X_t(1-X_t)} dB_t + (-\beta_A X_t + \beta_B (1-X_t)) dt.$$

Cette diffusion reste dans l'intervalle $]0, 1[$, c'est-à-dire que $T_{0,1}$ est infini p.s. De plus, elle admet pour loi invariante $\nu$ la loi Beta$(2\beta_B, 2\beta_A)$, c'est-à-dire que

$$\nu(dy) = \frac{\Gamma(2\beta_A + 2\beta_B)}{\Gamma(2\beta_A)\Gamma(2\beta_B)} y^{2\beta_B - 1} (1-y)^{2\beta_A - 1} dy.$$

En particulier, si Y suit la loi $\nu$,

$$E(Y) = \frac{\beta_B}{\beta_A + \beta_B} \quad \text{et} \quad \text{Var}(Y) = \frac{\beta_A \beta_B}{(\beta_A + \beta_B)^2 (2(\beta_A + \beta_B) + 1)}.$$

**Remarque 27.16** (Modèle multi-allèles). Dans le modèle à k allèles distincts avec un taux de mutation total $\theta/2$ et des probabilités respectives de mutation
<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>Fig. 27.4. Espérance du temps de fixation pour N = 30 et α = 10.</figcaption></figure>

(πᵢ)₁≤i≤k, le processus des proportions des allèles est à valeurs dans le simplexe Δ de ℝᵏ, de dimension k − 1, et la densité de sa loi invariante par rapport à la mesure de Lebesgue sur Δ est

$$
\nu(y_1, \dots, y_K) = \frac{\Gamma(\theta)}{\Gamma(\theta\pi_1) \dots \Gamma(\theta\pi_K)} y_1^{\Gamma(\theta\pi_1)-1} \dots y_K^{\Gamma(\theta\pi_K)-1} 1_{\Delta}(y_1, \dots, y_K).
$$

27.5 Fonction de répartition empirique

Soit $(U_n)_{n \ge 1}$ une suite de v.a. i.i.d. de loi uniforme sur $[0, 1]$. La fonction de répartition empirique $F^N$ de $U_1, \dots, U_N$ est définie par

$$
F^N(x) = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} 1_{\{U_k \le x\}} \quad \text{pour } x \in \mathbb{R}.
$$

Introduisons le processus $(H_x^N)_{x \in [0,1]}$ défini par $H_x^N = \sqrt{N}(F^N(x) - x)$ pour $x \in [0, 1]$. La loi forte des grands nombres et le théorème limite central assurent que, pour tout $x \in [0, 1]$,

$$
F^N(x) \xrightarrow[N \to \infty]{} x \quad \text{et} \quad H_x^N \xrightarrow[N \to \infty]{} \mathcal{N}(0, x(1-x)).
$$