# Approche plug-and-play pour la reconstruction des cartes d'abondance en imagerie hyperspectrale mono-pixel

Séréna Hariga, Nicolas Ducros, Audrey Repetti, Jérémy E. Cohen

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Séréna Hariga, Nicolas Ducros, Audrey Repetti, Jérémy E. Cohen. Approche plug-and-play pour la reconstruction des cartes d'abondance en imagerie hyperspectrale mono-pixel. GRETSI 2025, Aug 2025, Strasbourg, France. hal-05235066

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# Approche plug-and-play pour la reconstruction des cartes d'abondance en imagerie hyperspectrale mono-pixel

Séréna HARIGA¹ Nicolas DUCROS¹,² Audrey REPETTI³ Jérémy COHEN¹

¹Univ Lyon, INSA-Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, UJM-Saint Etienne, CNRS, Inserm, CREATIS UMR 5220, U1294, F-69621, LYON, France

²Institut universitaire de France (IUF), France

³MACS, Heriot-Watt University & Maxwell Institute for Mathematical Sciences, Edinburgh, UK

**Résumé** – Nous étudions dans cet article la reconstruction d'images hyperspectrales acquises par une caméra mono-pixel. Nous nous intéressons particulièrement à l'estimation des cartes d'abondance dans un cadre de démélange spectral. Nous proposons d'utiliser un algorithme primal-dual décliné en deux versions, selon le type de régularisation : (i) par variation totale et (ii) avec un réseau de neurones débruiteur (algorithme dit plug-and-play). Nous montrons sur des simulations que l'approche plug-and-play offre en général de meilleures performances. Nous mettons également en évidence l'impact de la présence d'un matériau en faible proportion sur la reconstruction de sa carte associée, et l'importance de bien choisir le paramètre de régularisation en conséquence.

**Abstract** – In this paper, we study the reconstruction of hyperspectral images acquired with a single-pixel camera. Our focus is on estimating abundance maps within a spectral unmixing framework. We propose a primal-dual algorithm in two versions, depending on the type of regularization: (i) total variation and (ii) using a denoising neural network (the so-called plug-and-play algorithm). Through simulations, we demonstrate that the plug-and-play approach generally yields better performance. We also examine the impact of a material's proportion on the quality of the reconstructed abundance map, highlighting the importance of selecting the appropriate regularization parameter.

# 1 Introduction

Une caméra mono-pixel mesure, au moyen d'un détecteur ponctuel, une série de produits scalaires entre l'image d'une scène et les motifs lumineux chargés sur une matrice de micro-miroirs (DMD) [3]. Couplée à un spectromètre, une caméra mono-pixel permet d'acquérir un hypercube sur une large bande et avec une résolution spatiale élevée à partir d'un nombre limité de mesures [16]. La formation de l'image hyperspectrale nécessite alors la résolution d'un problème inverse, généralement mal posé, où l'objectif est de reconstruire l'hypercube à partir des acquisitions compressées.

La reconstruction de l'hypercube ne suffit généralement pas à identifier les matériaux présents sur la scène, en particulier lorsque les pixels résultent de mélanges spectraux complexes. Des méthodes de démélange spectral ont été développées, dont le modèle de mélange linéaire qui est largement utilisé [1, 11]. Il suppose que chaque pixel est une somme pondérée des signatures spectrales des matériaux présents. Dès lors, il est possible d'extraire les cartes d'abondance des matériaux connaissant leur spectre [8]. Des méthodes de factorisation de matrices peuvent également être mises en œuvre pour estimer à la fois les cartes d'abondance et les signatures spectrales des matériaux, lorsque ces dernières ne sont pas connues [6]. Dans les deux cas, ces méthodes supposent que l'image hyperspectrale est déjà reconstruite et traite donc le problème en deux étapes distinctes qui sont la reconstruction spatiale de l'hypercube et le démélange spectral. Cette approche en deux temps permet de tirer parti des différents outils présents dans la littérature à la fois en reconstruction mono-pixel et en démélange spectral. Par ailleurs, elle reste sous-optimale et il est montré dans [7] que le problème joint semble offrir de meilleures performances. Cependant, aucune régularisation n'est appliquée ce qui peut limiter la qualité des estimations, notamment en présence de bruit ou lorsque le nombre de mesures est réduit.

Dans ce travail, nous abordons la résolution du problème joint dans le cas où le nombre de mesures est inférieur au nombre de pixels de l'image afin de réduire le temps d'acquisition. Il est alors crucial de choisir un terme de régularisation approprié. Nous proposons d'utiliser un algorithme primal-dual adapté à une régularisation

par variation totale (TV) des cartes d'abondance et admettant une version plug-and-play où un réseau de neurones débruiteur se substitue à l'opérateur proximal de TV. Nous comparons ensuite finement les performances de ces deux approches. Pour cela, nous réalisons des simulations dans différentes configurations et mettons en avant l'influence des hyperparamètres. Nous étudions notamment l'impact de la présence d'un matériau en faible proportion sur la qualité des estimations.

**Notations** : Soit $A$ une matrice de dimension $P \times N$. On note $A[p, :]$ la $p^{ème}$ ligne de la matrice $A$, $A[:, n]$ sa $n^{ème}$ colonne et $A[p, n]$ le scalaire à la $p^{ème}$ ligne et $n^{ème}$ colonne. $I_N$ représente la matrice identité de taille $N$. $A^T$ est la transposée de la matrice $A$.

# 2 Formulation du problème

## 2.1 Problème direct

Soit $Y \in \mathbb{R}^{B \times M}$ les mesures hyperspectrales issues de la caméra mono-pixel, où $M$ est le nombre de motifs projetés sur le DMD et $B$ le nombre de bandes spectrales fournies par le spectromètre. Ces acquisitions peuvent être modélisées par

$$Y \sim \mathcal{P}(\alpha X H^T), \qquad (1)$$

où $\mathcal{P}$ représente la distribution de Poisson, utilisée ici pour modéliser le bruit inhérent au dispositif d'acquisition, $X \in \mathbb{R}_+^{B \times N}$ est l'hypercube aplati de la scène composé de $N$ pixels, $H \in \mathbb{R}^{M \times N}$ est la matrice de mesures où chaque ligne correspond à un motif du DMD et $\alpha > 0$ est l'intensité de la source lumineuse (en photons). Il est à noter que $\alpha$ détermine le rapport signal-bruit des mesures, une valeur plus élevée indiquant une meilleure qualité. En supposant de plus que l'hypercube résulte de $P$ matériaux distincts, nous considérons le mélange linéaire suivant

$$X = SA, \qquad (2)$$

où $S \in \mathbb{R}_+^{B \times P}$ contient les signatures spectrales de chaque matériau et $A \in \mathbb{R}_+^{P \times N}$ les cartes d'abondance correspondantes [11, 6].
## 2.2 Formulation variationnelle

Nous supposons dans ce qui suit que les signatures spectrales $S$ sont connues. Dans ce cas, l'objectif est d'estimer les cartes d'abondance $A$ à partir des données $Y$. On peut poser ce problème d'estimation comme le problème d'optimisation consistant à

$$ \underset{A \in \mathbb{R}^{P \times N}}{\text{minimiser}} \text{KL}(Y, \alpha SAH^T) + R(A) + \ell_{[0,1]^{P \times N}}(A), \quad (3) $$

où KL est la divergence de Kullback-Leibler, $R: \mathbb{R}^{P \times N} \to [-\infty, +\infty]$ le terme de régularisation spatiale et $\ell_{[0,1]^{P \times N}}$ est la fonction indicatrice qui constraint les coefficients de $A$ à appartenir à l'hypercube $[0, 1]^{P \times N}$. La fonction $R$ est choisie de la forme

$$ R(A) = \sum_{p=1}^{P} g(A[p, \cdot]L^T; \lambda_p), \quad (4) $$

où $g: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$ est une fonction convexe non différentiable agissant sur les cartes d'abondance $A[p, \cdot]$ composées avec un opérateur linéaire $L \in \mathbb{R}^{N' \times N}$ (typiquement l'opérateur de différences finies pour la variation totale [20] avec $N' = 2N$ dans ce cas). Les paramètres $(\lambda_p)_{1 \le p \le P} > 0$ représentent les paramètres de régularisation associés à chaque carte d'abondance.

Le problème de minimisation (3) peut admettre une infinité de solutions, notamment dans le cas où $M < N$. Le choix du terme de régularisation est alors crucial pour restreindre l'ensemble des solutions à l'ensemble des solutions souhaité. De plus, il fait intervenir plusieurs paramètres de régularisation qui peuvent être différent d'une carte à l'autre ce qui rend le choix de cet hyperparamètre plus difficile. Enfin, les cartes d'abondance peuvent avoir des échelles de valeurs différentes, ce qui rend leur estimation plus délicate.

# 3 Algorithmes d'optimisation

Le problème de minimisation (3) fait intervenir trois termes non différentiables, dont deux sont des fonctions composées avec des opérateurs linéaires. Pour résoudre ce problème, nous utilisons un algorithme primal-dual, basé sur la méthode proposée dans [2, 22], qui est particulièrement adaptée à ce type de formulation. Cette approche permet de traiter séparément chaque terme tout en alternant entre les mises à jour primales et duales, comme détaillé dans l'Algorithme 1.

**Algorithme 1 : Primal-dual composite**

1 **Input** : $A_0 \in \mathbb{R}^{P \times N}$, $V_0 \in \mathbb{R}^{B \times M}$, $U_0 \in \mathbb{R}^{P \times N}$

2 **pour** $k = 0, 1, \dots$ **faire**

3 $$ \tilde{V}_k = V_k + \tau_V \alpha SA_k H^T $$

4 $$ V_{k+1} = \tilde{V}_k - \tau_V \operatorname{prox}_{\tau_V^{-1} \text{KL}} (\tau_V^{-1} \tilde{V}_k) $$

5 $$ \tilde{U}_k = U_k + \tau_U A_k L^T $$

6 **pour** $p = 0, \dots, P$ **faire**

7 $$ U_{k+1}[\cdot, p] = \tilde{U}_k[\cdot, p] $$

8 $$ -\tau_U \operatorname{prox}_{\tau_U^{-1} g(\cdot; \lambda_p)} (\tau_U^{-1} \tilde{U}_k[\cdot, p]) $$

9 **fin**

10 $$ A_{k+1} = \operatorname{proj}_{t_{[0,1]^{P \times N}}}(A_k - \gamma \alpha S^T (2V_{k+1} - V_k)H - \gamma (2U_{k+1} - U_k)L) $$

11 **fin**

L'opérateur proximal de la divergence de KL admet la forme explicite suivante [5], pour tout $V \in \mathbb{R}^{B \times M}$, $\tau > 0$ et $1 \le b \le B$

$$ \operatorname{prox}_{\tau \text{KL}}(V) = \left( \frac{V[b, m]}{2} - \frac{\tau + \sqrt{(V[b, m] - \tau)^2 + 4\tau Y[b, m]}}{2} \right)_{1 \le m \le M}. $$

De plus, pour assurer la convergence des $(A_k)_{k \in \mathbb{N}}$ vers une solution du problème (3), les pas $(\gamma, \tau_U, \tau_V) > 0$ doivent satisfaire la condition suivante

$$ \gamma(\tau_V \|\mathbf{H}\| + \tau_U \|\mathbf{L}\|) < 1 \quad (5) $$

où $\mathbf{H}: \mathbb{R}^{P \times N} \to \mathbb{R}^{B \times M}: A \mapsto \alpha SAH^T$, $\mathbf{L}: \mathbb{R}^{P \times N} \to \mathbb{R}^{P \times N'}: A \mapsto AL^T$ et $\|\cdot\|$ représente ici la norme spectrale.

Nous proposons deux versions de l'Algorithme 1 en fonction du choix du terme de régularisation $R$.

**Variation totale** – La première version consiste à considérer une régularisation de type TV anisotrope, avec $g = \lambda_p \|\cdot\|$ et $L$ un opérateur de différences finies modélisant les gradients horizontaux et gradients verticaux de l'image. Dans ce cas, les lignes 6 à 9 de l'Algorithme 1 prennent la forme suivante

**Algorithme 1a : PD-TV**

**pour** $p = 0, \dots, P$ **faire**

$$ \left| \begin{array}{l} U_{k+1}[\cdot, p] = \tilde{U}_k[\cdot, p] - \tau_U \operatorname{soft}_{[-\gamma_p; \gamma_p]} (\tau_U^{-1} \tilde{U}_k[\cdot, p]), \\ \hline \text{fin} \end{array} \right. $$

où $\operatorname{soft}_{[-\gamma_p; \gamma_p]}$ est l'opérateur de seuillage doux de paramètre $\gamma_p = \tau_U^{-1} \lambda_p$.

**Plug-and-play** – Dans la seconde version, nous considérons une approche dite plug-and-play [10, 18, 23, 19, 9]. L'idée est d'entraîner un réseau de neurones comme un débruiteur Gaussien, afin de remplacer le terme de régularisation variationnel (e.g., à la place de la TV). Plusieurs choix sont possible quant à l'endroit où introduire le réseau de neurones dans l'Algorithme 1. Dans [21], les auteurs utilisent le réseau sur la variable primale.

Ici, nous proposons de remplacer l'opérateur proximal de $g$ dans l'Algorithme 1 par le réseau de neurones débruiteur. En considérant le cas $L = I_N$, nous créons la variable auxiliaire $\tilde{U}_k$ sur laquelle le réseau est appliqué, puis nous ré-agrégeons les variables auxiliaires duales dans l'étape de mise à jour de $A_k$. Nous choisissons le réseau de neurones comme étant le DRUNet introduit dans [23]. Ce dernier est noté $D_\theta(\cdot; \lambda_p)$, où $\lambda_p$ est un hyperparamètre représentant le niveau de bruit de l'image à débruiter [23, 19, 12] et $\theta$ sont les paramètres appris au cours de l'entraînement du réseau, qui est effectué indépendamment du problème direct décrit dans la Section 2.1.

L'approche primale-duale-DRUNet (PD-DRUNet) revient à remplacer les lignes 6 à 9 de l'Algorithme 1 par :

**Algorithme 1b : PD-DRUNet**

**pour** $p = 0, \dots, P$ **faire**

$$ \left| \begin{array}{l} U_{k+1}[\cdot, p] = \tilde{U}_k[\cdot, p] - D_\theta(\tilde{U}_k[\cdot, p]; \lambda_p) \\ \hline \text{fin} \end{array} \right. $$

Dans les deux cas (Algorithmes 1a ou 1b), la boucle sur $P$ peut être évitée en pratique grâce à l'extension automatique des dimensions (broadcasting).

# 4 Simulations

**Simulation de l'hypercube** : Nous proposons de simuler un hypercube $X$ contenant $P = 2$ matériaux distincts, en suivant le modèle linéaire (2). Les spectres sont générés à partir de distributions gaussiennes discrétisées sur $B = 100$ points correspondant au nombre de bandes spectrales. Plus précisément, $S[\cdot, 1] = \mathcal{N}(40, 2)$ et $S[\cdot, 2] = \mathcal{N}(60, 4)$. Les spectres sont ensuite normalisés par la norme $\ell_2$ pour assurer qu'ils aient une énergie comparable. Pour simuler les cartes d'abondance, nous utilisons la base de données BSDS300 [15]. Ces cartes sont obtenues en convertissant les images en noir et blanc puis en extrayant des patchs de taille $N = 64 \times 64$. Nous notons $\bar{A}$ les cartes d'abondance normalisées entre 0 et 1. Afin d'introduire une variabilité dans la proportion du deuxième matériau, on
introduit le paramètre de pondération $\mu \in [0, 1]$, qui change l'échelle de la deuxième carte (i.e., $A[1, :] \in [0, 1]^N$ et $A[2, :] \in [0, \mu]^N$). Les cartes d'abondance sont alors simulées par $A[1, :] = \bar{A}[1, :]$ et $A[2, :] = \mu \bar{A}[2, :]$.

**Opérateur de mesures** : Un choix classique pour l'opérateur de mesures $H$ consiste à considérer une matrice de Hadamard d'ordre $N$ [17]. Afin de réduire les temps d'acquisition, nous acquérons uniquement les $M = N/4$ lignes de cette matrice correspondant aux coefficients de Hadamard dont la variance, calculée sur la base de données STL10, est la plus grande (cf. [13] et [4]). Les matrices de Hadamard contiennent des valeurs négatives, tandis qu'un DMD peut uniquement implémenter des motifs positifs. Pour contourner ce problème, la matrice $H$ peut être construite en alternant entre les composantes positives et négatives des motifs retenus [14].

**Expériences menées** : Pour estimer les cartes, nous utilisons les deux versions de l'Algorithme 1 présentées dans la section précédente PD-TV et PD-DRUNet. Dans les deux cas, nous considérons deux expériences, chacune réalisée sur 10 couples de cartes.

* La première expérience consiste à faire varier les paramètres de régularisation ($\lambda_1, \lambda_2$), associés aux cartes d'abondance $A[1, :]$ et $A[2, :]$ respectivement. Le but est d'évaluer l'influence de la nature des cartes d'abondance sur le choix du paramètre de régularisation optimal, et de ainsi déterminer si chaque carte nécessite un paramètre de régularisation distinct ou non.

* Nous répétons ensuite cette expérience pour différentes valeurs de $\mu \in \{0.1, \dots, 1\}$. L'objectif est d'analyser l'impact de cette proportion sur la reconstruction des cartes d'abondance et sur le choix de ($\lambda_1, \lambda_2$), en particulier lorsque le matériau 2 est faiblement représenté (pour de faibles valeurs de $\mu$).

Dans tous les cas, l'intensité des images, notée $\alpha$ et définie à l'équation (1), est fixée à 25 photons.

**Choix des hyperparamètres** : Les pas de l'algorithmhe ont été choisi de telle sorte à vérifier la condition (5) et ont les valeurs suivantes $\gamma = 10^{-3}$, $\tau_V = 5.10^{-4}$ et $\tau_U = 10^{-1}$ pour PD-TV et $\gamma = 10^{-3}$, $\tau_V = 5.10^{-4}$ et $\tau_U = 1$ pour PD-DRUNet. Pour les deux algorithmes, nous fixons le nombre d'itérations à 1200. L'initialisation se fait en attribuant aux matrices $A_0$, $V_0$ et $U_0$ des valeurs nulles.

**Métriques** : La qualité de reconstruction des cartes d'abondance est évaluée à l'aide du PSNR. En notant $\lambda_1^*$ et $\lambda_2^*$ les paramètres de régularisation optimaux définis comme ceux maximisant le PSNR, nous analysons également l'écart entre ces deux valeurs afin d'évaluer la nécessité d'une régularisation différente pour chaque matériau.

# 5 Résultats expérimentaux

**Résultats qualitatifs** : La figure 1a montre un exemple de reconstruction des cartes d'abondance par les algorithmes PD-TV et PD-DRUNet dans le cas où $\mu = 1$, c'est-à-dire lorsque les matériaux sont présents en proportions similaires. Les cartes reconstruites par PD-DRUNet semblent de meilleure qualité, préservant certains détails qui sont perdus avec PD-TV. Sur la figure 1b, nous donnons les valeurs des PSNR des deux cartes en fonction des paramètres de régularisation $\lambda_1$ et $\lambda_2$. Nous remarquons que pour les deux algorithmes, les paramètres de régularisation optimaux maximisant le PSNR sont obtenus lorsque $\lambda_1^* = \lambda_2^*$. Ainsi dans ce cas précis où les matériaux sont présents en proportions similaires, le choix des deux hyperparamètres peut se faire de façon indépendante sans risquer une perte de performance significative.

La figure 2a illustre la reconstruction de la carte d'abondance du deuxième matériau pour $\mu = 0.1$ (i.e., un cas où sa contribution est bien plus faible que celle du premier matériau). Nous constatons que, pour les deux algorithmes, la qualité des images reconstruites se dégrade par rapport à la configuration $\mu = 1$, avec une perte notable de détails. La figure 2b montre que, lorsque le matériau est faiblement représenté, le paramètre de régularisation optimal associé à sa

carte d'abondance est plus élevé que lorsque les deux matériaux sont présents en proportions similaires. En d'autres termes, les paramètres de régularisation optimaux diffèrent lorsque les composantes ont des amplitudes inégales ($\mu = 0.1$), mais deviennent presque identiques lorsque leurs amplitudes sont similaires ($\mu = 1$). Ainsi dans le cas où les cartes d'abondance ont des échelles de valeurs différentes, il est préférable d'ajuster spécifiquement les paramètres de régularisation pour chaque carte afin d'optimiser les performances des algorithmes.

**Résultats quantitatifs** : Nous observons en figure 3 que plus un matériau est représenté en faible proportion sur la scène (i.e., $\mu$ petit), plus la reconstruction de sa carte associée est complexe. En effet, pour PD-TV et PD-DRUNet, le PSNR des cartes estimées croit en fonction de l'amplitude $\mu$ de la deuxième composante. Cette augmentation est plus marquée pour PD-DRUNet qui passe d'un PSNR moyen d'environ 22 pour $\mu = 0.1$ à 27 pour $\mu = 1$ contre environ 22 à 25 pour PD-TV. On remarque que pour toutes les valeurs de $\mu$, l'algorithme PD-DRUNet fournit de meilleurs résultats en termes de PSNR avec un écart croissant par rapport à PD-TV lorsque $\mu$ augmente. Pour $\mu = 0.1$, les deux algorithmes donnent des performances similaires, suggérant que PD-DRUNet rencontre davantage de difficultés lorsque les proportions des matériaux sont déséquilibrées.

Enfin, nous constatons que pour de faibles valeurs $\mu$, une régularisation plus forte des deux méthodes est nécessaire, accentuant l'écart entre les paramètres de régularisation optimaux des deux cartes.

# 6 Conclusion et perspectives

Nous avons montré sur des simulations que la version plug-and-play de l'algorithme primal-dual permet généralement d'obtenir de meilleures performances, en particulier pour les matériaux les plus représentés. De plus, la proportion d'un matériau sur la scène influence de manière significative la qualité de reconstruction des cartes d'abondance et le choix des hyperparamètres. Il serait pertinent d'adapter ces algorithmes, en particulier l'approche plug-and-play, afin d'améliorer la prise en compte des matériaux présents en faible proportion. Une autre piste de recherche consisterait à exprimer explicitement le terme de régularisation $R$ dans le cadre de l'algorithme plug-and-play et à analyser sa convergence de manière théorique. Par ailleurs, nous souhaitons explorer le cas où les spectres des matériaux ne sont pas connus a priori, en adoptant une approche d'optimisation alternée. Enfin, une validation expérimentale sur des données réelles est essentielle pour évaluer les performances de notre méthode et en mesurer l'efficacité en conditions pratiques.

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<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>(a) Estimation des cartes d'abondance avec les paramètres de régularisation optimaux ($\lambda_1^* = \lambda_2^* = 0.13$ pour PD-TV et $\lambda_1^* = \lambda_2^* = 0.28$ pour PD-DRUNet).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>(b) PSNR en fonction des paramètres de régularisation $\lambda_1$ et $\lambda_2$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>(a) Estimation de la deuxième carte d'abondance avec le paramètre de régularisation optimal ($\lambda_2^* = 0.83$ pour PD-TV et PD-DRUNet).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>(b) PSNR en fonction des paramètres de régularisation $\lambda_1$ et $\lambda_2$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 3 : Évolution des métriques en fonction de $\mu$ avec $\alpha = 25$ photons et $M = N/4$ mesures. À gauche : la valeur du PSNR de la carte d'abondance dont on fait varier sa proportion. À droite : l'écart entre les paramètres de régularisation optimaux.</figcaption></figure>

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