Now, if we are given any sentence $\sigma$ of $L_1$, then, by (A) and (B),
$\sigma$ is logically valid if and only if $\{(\sim \sigma)'\} \cup \Sigma$ is inconsistent, i.e. if and
only if $\sim (\sim \sigma)'$ can be derived formally from $\Sigma$. This establishes the
completeness of $L_1$:

THEOREM. $V_1$ is recursively enumerable.

From the Theorem and the Compactness Theorem (3.4) for $L_1$ fol-
lows at once the

COROLLARY. If S is any recursively enumerable set of $L_1$-sentences,
then the set of (semantical) logical consequences of S is recursively enu-
merable.

It should be noted that the Theorem given us effectively a proce-
dure for enumerating a certain set of sentences. However, our knowledge
that this set coincides with $V_1$ is of course based on set theory, since $V_1$
can only be defined in set theory, and indeed on the Axiom of Choice,
which is used is the proof of (B).

In conclusion, we shall describe somewhat roughly still another con-
sequence of (A) and (B). Suppose that the definition of the set $V_1$ has
been formalized in the set theory of Gödel's monograph on the Con-
tinuum Hypothesis. By replacing throughout this definition the notion of
arbitrary set by that of constructible set (in the sense of Gödel's mono-
graph) we obtain the definition of a second set $V_1^c$. In other words $V_1^c$
is the $V_1$ of a man who considers only constructible sets. Now, suppose
we obtain the definition of the set $V_1^c$ analogously from the following
definition of the set $V_1$:

$V_1 = \{\sigma | \sim (\sim \sigma)'\}$ is derivable from $\Sigma$.

Since the definition of $V_1'$ involves only elementary number theory, which
is unchanged by the passage to constructible sets, we can conclude (as
has been remarked in general by Kreisel) that $V_1^c = V_1'$. We argued above
from (A) and (B) that $V_1 = V_1'$. Carrying out the same argument within
the universe of constructible sets we conclude that $V_1^c = V_1'^c$. Hence the
THEOREM. $V_1 = V_1'$.

Thus, if we can show on the basis of ordinary set theory by assum-
ing the Generalized Continuum Hypothesis that a particular $L_1$-sentence
is logically valid, then we can also do so without that assumption. The
author was in fact led to the Theorems above in part by an attempt
to eliminate the G. C. H. from the proof of a certain recent result of
C. C. Chang (a generalization of Beth's theorem on definability). The
method just outlined does indeed work for one part of Chang's result.
However, it would take too long to describe here the details.

Reçu par la Rédaction le 15. 9. 1963

Sur l'ensemble des points de divergence des séries
entières continues sur la circonférence du cercle
de convergence

par

J. Staniszewska (Łódź)

J. Śladkowska [3] a démontré que pour un ensemble arbitraire
$E \subset \Phi$, où $E$ est de classe $G_{\delta\sigma}$ et $\Phi$ est un ensemble de classe $E_{\sigma}$ de mesure
logarithmique zéro, il existe une fonction continue et périodique dont
la série de Fourier est divergente sur l'ensemble $E$ et convergente sur
son ensemble complémentaire.

Me basant sur ce résultat, je construis dans ce travail une série
entière continue ayant des propriétés semblables.

Je vois d'abord rappeler certaines définitions et notations:

1. Un ensemble $E$ de nombres réels a pour mesure logarithmique $z$-éro, si pour un nombre arbitraire $\epsilon > 0$ il existe une suite dénombrable de segments ouverts recouvrant l'ensemble $E$, de longueurs $l_j$, $l_j < 1$ ($j = 1, 2, ...$) telle que

$$
\sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{\log(1/l_j)} < \epsilon.
$$

2. Nous appelons l'ensemble E de nombres réels périodique de période a,
si sa fonction caractéristique est périodique de période a.

3. Nous désignerons par $s_k(\varphi, f)$ [resp. $\tilde{s}_k(\varphi, f)$] la $k$-ième somme partielle de la série de Fourier (resp. de la série conjuguée de Fourier) de la fonction $f(\varphi)$ au point $\varphi$.

4. Par $S_k(\varphi, H)$, en abrégé $S_k(\varphi)$, nous désignerons la $k$-ième somme partielle de la série entière $\sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k = H(z)$ (convergente pour $|z| < 1$) en $z = e^{i\varphi}$. Lorsque la fonction $H(z)$ peut être prolongée à une fonction continue dans $|z| \le 1$ (et de valeurs finies), une telle série est dite série entière continue.

Dans la suite nous définissons pour $|\varphi| \le \pi$ et $a < \pi/2$ la fonction

$$
f(\varphi, a, m) = \begin{cases} (a - |\varphi|) \sin m|\varphi| & \text{pour } |\varphi| \le a, \\ 0 & \text{pour } |\varphi| > a. \end{cases}
$$
Pour les $\varphi$ restants nous définissons cette fonction comme périodique à de période $2\pi$.

LEMME 1. Nous avons

$$ (1) \quad \left| \int_{-\pi}^{\pi} \frac{f(\varphi+t, a, m)}{t} \cos kt dt \right| < \\ \left\{ \begin{array}{ll} 2 \frac{a^2}{|\varphi|} & \text{pour } \pi \ge |\varphi| \ge a, \\ a(4\pi+11)+2a|\sin m\varphi|\ln\frac{\pi}{2|m-k|\varphi} & \text{pour } |\varphi| < \frac{\pi}{2|m-k|} \text{ et } m \ne k, \\ a(4\pi+11) & \text{pour } |\varphi| \ge \frac{\pi}{2|m-k|} \text{ et } m \ne k, \\ a(4\pi+9)+a|\sin m\varphi|\ln\frac{\pi}{2(m+k)\varphi}+a|\sin m\varphi|\ln\frac{a}{\varphi} & \text{pour } |\varphi| \le \frac{\pi}{2(m+k)} \text{ et } m=k, \\ a(4\pi+9)+a|\sin m\varphi|\ln\frac{a}{\varphi} & \text{pour } |\varphi| > \frac{\pi}{2(m+k)} \text{ et } m=k. \end{array} \right. $$

Démonstration. Nous utiliserons ci-dessous des inégalités évidentes. Pour tous les $a$ et $\beta$ tels que $0 < a < \beta < \pi$ ainsi que $p$ positif arbitraires on a

$$ (a) \quad \left| \int_a^\beta \frac{\sin pt}{t} dt \right| < \pi, $$

$$ (b) \quad \left| \int_a^\beta \frac{\cos pt}{t} dt \right| < \begin{cases} 2 & \text{pour } a \ge \frac{\pi}{2p}, \\ 2 + \ln \frac{\pi}{2pa} & \text{pour } a < \frac{\pi}{2p}. \end{cases} $$

Pour démontrer le lemme nous allons considérer les cas suivants:

1. $a < \varphi \le \pi$,

2. $0 \le \varphi \le a$.

La fonction $f(\varphi, a, m)$ étant paire, l'intégrale considérée dans notre lemme est une fonction impaire, donc il suffit de tenir compte de ces deux cas.

1. Pour $a < \varphi \le \pi - a$ nous pouvons estimer $a$ fonction sous le signe intégrale par la fonction linéaire $t \cdot a/\varphi$.

Pour $\pi - a < \varphi \le \pi$ nous allons estimer la fonction sous le signe intégrale dans les deux intervalles d'intégration distincts par deux fonctions linéaires. La fonction dont la valeur absolue est plus grande est égale à $at/\varphi$. La somme des longueurs des intervalles d'intégration dans chaque cas est égale à $2a$.

2. La fonction

$$ g(\varphi, a) = \begin{cases} a - |\varphi| & \text{pour } |\varphi| < a, \\ 0 & \text{pour } |\varphi| \ge a \end{cases} $$

sera représentée comme la somme de deux fonctions,

$$ g(\varphi, a) = h(\varphi, a, b) + g\left(\varphi + \frac{a-b}{2}, \frac{a+b}{2}\right) $$

pour $a$ et $b$ arbitraires telles que $0 \le b \le a$, où

$$ h(\varphi, a, b) = \begin{cases} 2\left(\varphi + \frac{a-b}{2}\right) & \text{pour } \frac{b-a}{2} < \varphi \le 0, \\ a-b & \text{pour } 0 < \varphi \le b, \\ -\varphi + a & \text{pour } b < \varphi \le a, \\ 0 & \text{pour } a < \varphi. \end{cases} $$

Comme $f(\varphi, a, m) = g(\varphi, a) \sin m|\varphi|$, en tenant compte de (pour $b = \varphi$)

$$ \left| \frac{g\left(t + \frac{a+\varphi}{2}, \frac{a+\varphi}{2}\right) \sin m|\varphi + t|}{t} \cos kt \right| \le 1 $$

nous avons

$$ (2) \quad \left| \int_{-\pi}^{\pi} \frac{f(\varphi + t, a, m)}{t} \cos kt dt \right| < 2a + \left| \int_{-\pi}^{\pi} \frac{g(\varphi + t, a, \varphi) \sin m|\varphi + t|}{t} \cos kt dt \right|. $$

Pour estimer l'intégrale

$$ \int_{-\pi}^{\pi} \frac{h(\varphi + t, a, \varphi) \sin m|\varphi + t|}{t} \cos kt dt $$

nous allons distinguer deux sous-cas: $2a$. $a/2 \le \varphi \le a$ et $2b$. $0 \le \varphi < a/2$. Dans le cas $2a$ nous avons

$$ \begin{align} & \left| \int_{-\pi}^{\pi} \frac{h(\varphi + t, a, \varphi) \sin m|\varphi + t|}{t} \cos kt dt \right| \nonumber \\ &= \left| - \int_{-(\varphi-a)/2}^{-\varphi} \frac{2\left(t + \frac{a+\varphi}{2}\right) \sin m(\varphi + t)}{t} \cos kt dt + \right. \nonumber \\ & \qquad \left. + \int_{-\varphi}^{\varphi-a} \frac{(a-\varphi) \sin m(\varphi + t) \cos kt}{t} dt + \int_{\varphi-a}^{0} \frac{(a-\varphi) \sin m(\varphi + t)}{t} \cos kt dt + \right. \nonumber \\ & \qquad \left. + \int_{0}^{a-\varphi} \frac{(-\varphi - t + a) \sin m(\varphi + t) \cos kt}{t} dt \right| = \end{align} $$
$$
\begin{align*}
&= \left| \int_{\varphi}^{(\varphi+a)/2} \frac{2\left(\frac{a+\varphi}{2}-t\right) \sin m(\varphi-t)}{t} \cos k t \, dt - \int_{-\varphi+a}^{\varphi} \frac{(a-\varphi) \sin m(\varphi-t)}{t} \cos k t \, dt - \right. \\
&\quad - \int_{0}^{-a-\varphi} \frac{(a-\varphi) \sin m(\varphi+t)}{t} \cos k t \, dt + \int_{0}^{a-\varphi} \frac{(-\varphi-t+a) \sin m(\varphi+t)}{t} \cos k t \, dt \\
&\le \frac{a-\varphi}{2} \cdot \frac{a-\varphi}{\varphi} + (a-\varphi) \frac{2\varphi-a}{a-\varphi} + \\
&\qquad + \left| \int_{0}^{a-\varphi} \frac{\cos k t}{t} [(a-\varphi) 2 \sin m t \cos m \varphi] dt \right| + \left| \int_{0}^{a-\varphi} \sin m(\varphi+t) \cos k t \, dt \right| \\
&\le \frac{(a-\varphi)^2}{2\varphi} + (2\varphi-a) + 2\pi(a-\varphi) + (a-\varphi) < 2\pi a.
\end{align*}
$$

L'estimation

$$
\left| \int_{0}^{a-\varphi} \frac{\cos k t}{t} [(a-\varphi) 2 \sin m t \cos m \varphi] dt \right| \le 2\pi(a-\varphi)
$$

a été obtenue en tenant compte de l'inégalité auxiliaire (a).

Dans le cas 2b nous avons

$$
\begin{align*}
& (4) \quad \left| \int_{-\pi}^{\pi} \frac{h(\varphi+t, a, \varphi) \sin m|\varphi+t|}{t} \cos k t \, dt \right| \\
&= \left| - \int_{(-\varphi-a)/2}^{-\varphi} \frac{2\left(t+\frac{a+\varphi}{2}\right)}{t} \sin m(\varphi+t) \cos k t \, dt + \right. \\
&\quad + \int_{-\varphi}^{0} \frac{(a-\varphi) \sin m(\varphi+t)}{t} \cos k t \, dt + \int_{0}^{\varphi} \frac{(-\varphi-t+a) \sin m(\varphi+t)}{t} \cos k t \, dt + \\
&\quad + \int_{\varphi}^{a-\varphi} \frac{(-\varphi-t+a) \sin m(\varphi+t)}{t} \cos k t \, dt \\
&= \left| \int_{\varphi}^{(\varphi+a)/2} \frac{2\left(\frac{a+\varphi}{2}-t\right) \sin m(\varphi-t)}{t} \cos k t \, dt - \int_{0}^{\varphi} \frac{(a-\varphi) \sin m(\varphi-t) \cos k t}{t} \, dt + \right. \\
&\quad + \int_{0}^{\varphi} \frac{(-\varphi-t+a) \sin m(\varphi+t) \cos k t}{t} \, dt + \int_{\varphi}^{a-\varphi} \frac{(-\varphi-t+a) \sin m(\varphi+t) \cos k t}{t} \, dt \right|
\end{align*}
$$

$$
\le \left| \int_{\varphi}^{(\varphi+a)/2} \frac{2\left(\frac{a+\varphi}{2}-t\right) \sin m(\varphi-t) \cos k t}{t} dt + \right. \\
+ \int_{\varphi}^{a-\varphi} \frac{(-\varphi-t+a) \sin m(\varphi+t)}{t} \cos k t \, dt \left| + \left| \int_{0}^{\varphi} \frac{\cos k t}{t} 2(a-\varphi) \cos m\varphi \sin m t \, dt \right| + \right. \\
+ \left. \left| \int_{0}^{\varphi} \sin m(\varphi+t) \cos k t \, dt \right| \le |J_1+J_4| + 2\pi(a-\varphi) + \varphi \le |J_1+J_4| + a(2\pi+1), \right\}
$$

en vertu de l'inégalité auxiliaire (a).

Les intégrales $J_1+J_4$ nous allons estimer en considérant deux cas:

$$
(i) \quad a - \varphi < \frac{a + \varphi}{2},
$$

$$
(ii) \quad a - \varphi \ge \frac{a + \varphi}{2}.
$$

Dans le cas (i) nous avons

$$
\begin{align*}
(5) \quad |J_1 + J_4| &= \left| \int_{\varphi}^{a-\varphi} \frac{\cos k t}{t} [2a \sin m\varphi \cos mt - 2\varphi \cos m\varphi \sin mt] dt + \right. \\
&\qquad \left. - \int_{\varphi}^{a-\varphi} [2 \sin m(\varphi-t) \cos k t + \sin m(\varphi+t) \cos k t] dt + \right. \\
&\qquad \left. + \int_{a-\varphi}^{(a+\varphi)/2} \frac{\left(\frac{a+\varphi}{2}-t\right) \sin m(\varphi-t)}{t} \cos k t \, dt \right| \\
&\le \left| a \sin m\varphi \left( \int_{\varphi}^{a-\varphi} \frac{\cos (m+k)t}{t} dt + \int_{\varphi}^{a-\varphi} \frac{\cos |m-k|t}{t} dt \right) \right| + \\
&\qquad + \varphi 2\pi + 3(a-2\varphi) + \frac{3\varphi-a}{a-\varphi} \cdot \frac{3\varphi-a}{2} \\
&\le a |\sin \varphi| \left( \left| \int_{\varphi}^{a-\varphi} \frac{\cos (m+k)t}{t} dt \right| + \left| \int_{\varphi}^{a-\varphi} \frac{\cos |m-k|t}{t} dt \right| \right) + a(2\pi+4).
\end{align*}
$$

En tenant compte de l'inégalité auxiliaire (b) nous obtiendrons

$$
\begin{align*}
(6) \quad \left| \int_{\varphi}^{a-\varphi} \frac{\cos (m+k)t}{t} dt \right| &< \begin{cases} 2 & \text{pour } \varphi \ge \frac{\pi}{2(m+k)} \\ 2 + \ln \frac{\pi}{2(m+k)\varphi} & \text{pour } \varphi < \frac{\pi}{2(m+k)} \end{cases} \\
(7) \quad \left| \int_{\varphi}^{a-\varphi} \frac{\cos |m-k|t}{t} dt \right| &< \begin{cases} 2 & \text{pour } \varphi \ge \frac{\pi}{2|m-k|} \text{ où } m \ne k, \\ 2 + \ln \frac{\pi}{2|m-k|\varphi} & \text{pour } \varphi < \frac{\pi}{2|m-k|} \text{ où } m \ne k. \end{cases}
\end{align*}
$$
En vertu de (5), (6) et (7) nous obtenons dans le cas (i) l'estimation

$$
(8) \quad |J_1+J_4| \le \left\{
\begin{array}{ll}
a(2\pi+8)+a|\sin m\varphi| \left( \ln \frac{\pi}{2(m+k)\varphi} + \ln \frac{\pi}{2|m-k|\varphi} \right) & \text{pour } \varphi \le \frac{\pi}{2(m+k)}, \\[2ex]
a(2\pi+8)+a|\sin m\varphi| \ln \frac{\pi}{2|m-k|\varphi} & \text{pour } \frac{\pi}{2(m+k)} < \varphi \le \frac{\pi}{2|m-k|}, \\[2ex]
a(2\pi+8) & \text{pour } \varphi > \frac{\pi}{2|m-k|},
\end{array}
\right.
$$

où $m \neq k$. Dans le cas (ii) nous avons

$$
\begin{align*}
|J_1 + J_4| &= \left| \int_{\varphi}^{(a+\varphi)/2} \frac{\cos kt}{2} [2a \sin m\varphi \cos mt - 2 \cos m\varphi \sin mt] dt + \right. \\
&\qquad \left. - \int_{\varphi}^{(a+\varphi)/2} [2 \sin m(\varphi - t) \cos kt + \sin m(\varphi + t) \cos kt] dt + \right. \\
&\qquad \left. + \int_{(a+\varphi)/2}^{a-\varphi} \frac{(-\varphi - t + a) \sin m(\varphi + t) \cos kt}{t} dt \right| \\
&\le |a \sin m\varphi| \left( \int_{\varphi}^{(a+\varphi)/2} \frac{\cos(m+k)t}{t} dt + \int_{\varphi}^{(a+\varphi)/2} \frac{\cos|m-k|t}{t} dt \right) + \\
&\qquad + 2\pi\varphi + 3 \frac{a-\varphi}{2} + \frac{2}{a+\varphi} \frac{(a-3\varphi)^2}{4} \\
&\le a |\sin m\varphi| \left( \left| \int_{\varphi}^{(a+\varphi)/2} \frac{\cos(m+k)t}{t} dt \right| + \left| \int_{\varphi}^{(a+\varphi)/2} \frac{\cos|m-k|t}{t} dt \right| \right) + a(2\pi+2).
\end{align*}
$$

En tenant compte encore de l'inégalité auxiliaire (b) nous obtiendrons
dans le cas (ii) l'estimation

$$
(9) \quad |J_1 + J_4| \le \left\{
\begin{array}{ll}
a(2\pi + 6) + a|\sin m\varphi| \left( \ln \frac{\pi}{2(m+k)\varphi} + \ln \frac{\pi}{2|m-k|\varphi} \right) & \text{pour } \varphi \le \frac{\pi}{2(m+k)}, \\[2ex]
a(2\pi + 6) + a|\sin m\varphi| \ln \frac{\pi}{2|m-k|\varphi} & \text{pour } \frac{\pi}{2(m+k)} < \varphi \le \frac{\pi}{2|m-k|}, \\[2ex]
a(2\pi + 6) & \text{pour } \varphi > \frac{\pi}{2|m-k|}.
\end{array}
\right.
$$

où $m \neq k$.

Pour $m=k$ nous avons dans les cas (i) et (ii) deux possibilités :

$$
\text{c. } \varphi \le \frac{\pi}{2(m+k)}, \quad \text{d. } \varphi > \frac{\pi}{2(m+k)}.
$$

Dans le cas c :

$$
(10) \quad \left| \int_{\varphi}^{a-\varphi} \frac{\cos(m+k)t}{t} dt \right| < 2 + \ln \frac{\pi}{2(m+k)\varphi}; \\
\left| \int_{\varphi}^{(a+\varphi)/2} \frac{\cos(m+k)t}{t} dt \right| < 2 + \ln \frac{\pi}{2(m+k)\varphi}.
$$

Dans le cas d :

$$
(11) \quad \left| \int_{\varphi}^{a-\varphi} \frac{\cos(m+k)t}{t} dt \right| < 2, \quad \left| \int_{\varphi}^{(a+\varphi)/2} \frac{\cos(m+k)t}{t} dt \right| < 2;
$$

ainsi que dans c et d

$$
(12) \quad \int_{\varphi}^{a-\varphi} \frac{1}{t} dt = \ln \frac{a-\varphi}{\varphi}, \quad \int_{\varphi}^{(a+\varphi)/2} \frac{1}{t} dt = \ln \frac{a+\varphi}{2\varphi}.
$$

Si $m=k$, dans les cas (i), (ii) nous obtiendrons

$$
(13) \quad |J_1 + J_4| \le \left\{
\begin{array}{ll}
a(2\pi + 6) + a|\sin m\varphi| \left( \ln \frac{\pi}{2(m+k)\varphi} + \ln \frac{a}{\varphi} \right) & \text{pour } \varphi \le \frac{\pi}{2(m+k)}, \\[2ex]
a(2\pi + 6) + a|\sin m\varphi| \ln \frac{a}{\varphi} & \text{pour } \varphi > \frac{\pi}{2(m+k)}.
\end{array}
\right.
$$

Enfin, en tenant compte de (2), (4), (8), (9) et (13), nous avons
l'estimations suivante:

$$
\left| \int_{-\pi}^{\pi} \frac{f(\varphi + t, a, m)}{t} \cos kt dt \right| \le \begin{cases}
a(4\pi + 11) + 2a|\sin m\varphi| \ln \frac{\pi}{2|m-k|\varphi} & \text{pour } 0 \le \varphi < \frac{\pi}{2|m-k|}, \text{ et } m \ne k. \\[2ex]
a(4\pi + 11) & \text{pour } \varphi \ge \frac{\pi}{2|m-k|} \text{ et } m \ne k, \\[2ex]
a(4\pi + 9) + a|\sin m\varphi| \left( \ln \frac{\pi}{2(m+k)\varphi} + \ln \frac{a}{\varphi} \right) & \text{pour } \varphi \le \frac{\pi}{2(m+k)} \text{ et } m = k, \\[2ex]
a(4\pi + 9) + a|\sin m\varphi| \ln \frac{a}{\varphi} & \text{pour } \varphi > \frac{\pi}{2(m+k)} \text{ et } m = k.
\end{cases}
$$

ce qui achève la démonstration du lemme 1.
nombres correspondants $\delta_j$. En répétant le même procédé avec chaque composante de l'ensemble $G_p$ on peut représenter celui-ci comme la somme d'une quantité dénombrable de segments $J_{jk}$ fermés, d'intérieurs disjoints, ayant les propriétés énumérées plus haut.

Ranges tous ces segments en une suite simple $\{J_t\}$; alors $G_p = \bigcup_l J_l$.

Considérons l'ensemble $J_l \bar{E}_a$; c'est un ensemble fermé de mesure logarithmique zéro, par conséquent au nombre $\varepsilon/2^{l+p}$ on peut faire correspondre un système tout au plus dénombrable de segments ouverts $B_{l,m}$ de longueurs $2\beta_{l,m}$ tel que ce système recouvre l'ensemble $J_l \bar{E}_a$ et que

$$ (*) \qquad \sum_m \frac{1}{\log(1/2\beta_{l,m})} < \frac{\varepsilon}{2^{l+p}}. $$

Nous multiplions le système $\{B_{l,m}\}$ par l'intérieur $J_l^0$ du segment $J_l$ et modifions le système ainsi réduit de telle façon que les segments ayant des points intérieurs communs soient réunis en un seul segment. Le système de segments ainsi modifié vérifie également l'inégalité (*); la démonstration de ce fait est esquissée dans le travail [3].

Elle concerne la somme d'un nombre fini de segments, mais en passant à la limite nous obtenons un résultat analogue pour les sommes dénombrables.

Du système de fini segments ouverts $B_{l,m}$ qui recouvrent l'ensemble fermé $J_l \bar{E}_a$ nous extrayons maintenant, en vertu du théorème de Heine-Borel, un nombre fini de segments qui recouvrent également l'ensemble $J_l \bar{E}_a$. La longueur de chacun d'eux ne dépasse évidemment pas le nombre $\delta_j$ correspondant au segment $\bar{O}_j$; ces segments sont disjoints. En faisant une construction analogue pour chaque segment $J_l$, nous obtiendrons finalement un ensemble dénombrable de segments $\{B_m^{(p)}\}$ de longueurs $2\beta_m^{(p)}$ qui recouvrent conjointement l'ensemble $G_p \bar{E}_a$ et tels que

$$ \sum_m \frac{1}{\log(1/2\beta_m^{(p)})} < \sum_{l=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^{l+p}} = \frac{\varepsilon}{2^p}. $$

En outre, chaque point de l'ensemble $G_p \bar{E}_a$ appartient à un seul segment $B_m^{(p)}$. Nous rangeons l'ensemble dénombrable des segments $\{B_m^{(p)}\}$ $(p, m = 1, 2, ...)$ en une suite simple $\{B_n\}$ suivant le principe indiqué au début de cette construction (p. 312).

En faisant correspondre au nombre $\beta_n$ les nombres $m_n$ et $a_n$ au moyen de la méthode décrite dans 3°, nous construisons deux nouveaux segments ouverts: le segment $A_n$ concentrique à $B_n$ de longueur $2a_n$ et le segment $\tilde{A}_n$ de même longueur $2a_n$ mais dont le milieu est déplacé de $\pi/6m_n$ par rapport au milieu commun des segments $B_n$ et $A_n$.

Le segment $B_n$ étant un certain segment $B_m^{(p)}$ contenu dans un segment $\bar{O}_j$, les segments $A_n = A_m^{(p)}$ et $\tilde{A}_n = \tilde{A}_m^{(p)}$ sont contenus dans $\bar{O}_j$. Il résulte de la construction des segments $B_m^{(p)}$, pour $p$ fixe, que le point arbitraire $\varphi \in (a, a+2\pi]$ appartient à un nombre tout au plus fini de segments $A_m^{(p)}$ et $\tilde{A}_m^{(p)}$. En effet, si $\varphi$ n'appartient pas à $G_p$, il n'appartient à aucune composante $S$ et, par suite, à aucun des segments $A_m^{(p)}$ ou $\tilde{A}_m^{(p)}$, qui sont entièrement contenus dans ces composantes. Si, au contraire, $\varphi$ appartient à $G_p$, il appartient à une certaine composante $S$ et, par suite, à un ou deux des segments fermés $\bar{O}_j$ et chaque point du segment $\bar{O}_j$ appartient à un nombre tout au plus fini de segments $A_m^{(p)}$ et $\tilde{A}_m^{(p)}$: à ceux dont les milieux sont contenus dans un seul segment $\bar{O}_{rj}$, adjacent à $\bar{O}_j$, et à ceux dont les milieux sont contenus dans le segment $\bar{O}_j$ même.

Le système de segments ouverts $B_n$ ainsi obtenu recouvre évidemment l'ensemble $E_n$, puisque les segments $B_m^{(p)}$ de chaque suite (pour $p$ fixé) ont cette propriété et il possède les propriétés suivantes:

$$ \alpha. \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\log(1/2\beta_n)} < \sum_{p=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^p} = \varepsilon < \frac{1}{4}; $$

$$ \beta. \text{ si } \varphi \in E_a; \varphi \text{ appartient à un nombre infini de segments } B_n; $$

$$ \gamma. \text{ si } \varphi \in (a, a+2\pi] - E_a, \varphi \text{ appartient à un nombre tout au plus fini de segments } A_n \text{ et } \tilde{A}_n. $$

En désignant par $\varphi_n$ le centre commun de $B_n$ et $A_n$ nous avons

$$ \begin{cases} \{B_n\}; & \{(\varphi_n - \beta_n, \varphi_n + \beta_n)\}, \\ \{A_n\}; & \{(\varphi_n - a_n, \varphi_n + a_n)\}, \\ \{\tilde{A}_n\}; & \{(\varphi_n + \frac{\pi}{6m_n} - a_n, \varphi_n + \frac{\pi}{6m_n} + a_n)\}. \end{cases} $$

Dans la suite nous définissons les suites des fonctions $\{f_n(\varphi)\}$ et $\{g_n(\varphi)\}$ continues sur tout l'axe réel et périodiques de période $2\pi$;

$$ f_n(\varphi) = \begin{cases} \varepsilon_n(a_n - |\varphi - \varphi_n|) \sin m_n |\varphi - \varphi_n| & \text{pour } \varphi \in (\varphi_n - a_n, \varphi_n + a_n), \\ 0 & \text{pour } \varphi \in (a, a + 2\pi] - (\varphi_n - a_n, \varphi_n + a_n), \end{cases} \quad (15) $$

$$ g_n(\varphi) = \begin{cases} \varepsilon'_n \left(a_n - \left|\varphi - \varphi_n - \frac{\pi}{6m_n}\right|\right) \sin 3m_n \left|\varphi - \varphi_n - \frac{\pi}{6m_n}\right| & \text{pour } \varphi \in (\varphi_n + \frac{\pi}{6m_n} - a_n, \varphi_n + \frac{\pi}{6m_n} + a_n), \\ 0 & \text{pour } \varphi \in (a, a + 2\pi] - \left(\varphi_n + \frac{\pi}{6m_n} - a_n, \varphi_n + \frac{\pi}{6m_n} + a_n\right), \end{cases} $$

où

$$ \varepsilon_n = \frac{1}{a_n \log a_n m_n}, \qquad \varepsilon'_n = \frac{1}{a_n \log 3 a_n m_n}. $$
Posons

$$ (16) \qquad F(\varphi) = \sum_{n=1}^{\infty} [f_n(\varphi) + g_n(\varphi)]. $$

Il résulte du travail [3] que $F(\varphi)$ a les propriétés suivantes:

I. La fonction $F(\varphi)$ est continue et périodique de période $2\pi$.

II. Les sommes partielles $s_k(\varphi)$ de la série de Fourier de la fonction $F(\varphi)$ sont bornées dans leur ensemble.

III. La série de Fourier de la fonction $F(\varphi)$ est divergente pour chaque $\varphi \in E$ et convergente pour chaque $\varphi \notin E$.

Démontrons maintenant que la partie imaginaire $\sum_{n=1}^{\infty} (a_n \sin n\varphi - b_n \cos n\varphi)$ de la série $\sum_n (a_n - ib_n)e^{i\varphi n}$ est convergente vers $\tilde{F}(\varphi)$ pour tous les $\varphi \in (a, a+2\pi] - E_n$.

À cet effet démontrons d'abord que $\tilde{F}(\varphi)$ existe pour tous les $\varphi$ et a les propriétés suivantes:

I'. Elle est continue et périodique de période $2\pi$,

$$ \text{II'. } |\tilde{F}(\varphi)| < (5\pi + 12)4\varepsilon, \qquad (17) $$

$$ \text{III'. } |\tilde{s}_k(\varphi, F)| \le \frac{32}{\pi} (5\pi + 13)\varepsilon + \frac{4\ln 2}{\pi} \quad \text{pour tout } k \ge 3m_1 \text{ et tout} \\ \qquad \varphi \in (a, a + 2\pi]. $$

Remarquons que les fonctions conjuguées $\tilde{f}_n(\varphi)$ et $\tilde{g}_n(\varphi)$ s'expriment par les formules

$$ (18) \qquad \tilde{f}_n(\varphi) = -\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{f_n(\varphi + t)}{2\operatorname{tg}\frac{1}{2}t} dt, \quad \tilde{g}_n(\varphi) = -\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{g_n(\varphi + t)}{2\operatorname{tg}\frac{1}{2}t} dt. $$

Les intégrales figurant dans (18) sont des intégrales au sens de Riemann, car les fonctions $f_n(\varphi)$ et $g_n(\varphi)$ remplissent la condition de Lipschitz.

En effet, il résulte de théorèmes connus que les fonctions $\tilde{f}_n(\varphi)$, $\tilde{g}_n(\varphi)$ sont continues et leurs séries de Fourier (aux sommes partielles $\tilde{s}_k(\varphi)$, $\tilde{f}_n$), $\tilde{s}_k(\varphi, g_n)$ sont convergentes, car $f_n(\varphi)$ et $g_n(\varphi)$ remplissent la condition de Hölder avec l'exposant p. ex. $\frac{1}{2}$ donc [5] $\tilde{f}_n(\varphi)$ et $\tilde{g}_n(\varphi)$ remplissent également la condition de Hölder avec l'exposant $\frac{1}{2}$ et leurs séries de Fourier sont en vers elles partout convergentes en vertu du critère de Dini.

Démontrons ensuite que

$$ (19) \qquad |\tilde{f}_n(\varphi)| < \frac{5\pi + 12}{2\pi \lg \beta_n m_n}, \qquad |\tilde{g}_n(\varphi)| < \frac{5\pi + 12}{2\pi \lg \beta_n m_n}. $$

Remarquons que

$$ \begin{aligned} |\tilde{f}_n(\varphi)| &\le \left|\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f_n(\varphi + t) \left(\frac{1}{2\operatorname{tg}\frac{1}{2}t} - \frac{1}{t}\right) dt\right| + \left|\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{f_n(t+\varphi)}{t} dt\right| \\ &\le \frac{2a_n \varepsilon_n}{\pi} + a_n \varepsilon_n (5\pi + 11) \le \frac{5\pi + 12}{2\lg \beta_n m_n}, \end{aligned} $$

puis que

$$ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{f_n(\varphi + t)}{t} dt = \frac{\varepsilon_n}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{f(\varphi - \varphi_n, a_n, m_n)}{t} dt. $$

L'estimation demontrée s'obtiendra en vertu du lemme 1 dans le cas $k=0$ (il est évident qu'alors $k \neq m_n$). L'expression considérée

$$ \left| \sin x \ln \frac{\pi}{2x} \right| = \left| \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{2x}{\pi} \ln \frac{\pi}{2x} \right| \le \frac{\pi}{2e} < \frac{\pi}{4} $$

où $x = m_n(\varphi - \varphi_n) < \pi/2$.

D'une façon analogue nous obtiendrons pour la fonction $\tilde{g}_n(\varphi)$. Donc

$$ |\tilde{f}_n(\varphi) + \tilde{g}_n(\varphi)| \le \frac{5\pi + 12}{\pi \lg \beta_n m_n}. $$

Comme que $\sum_{n=1}^{\infty} 1/\lg \beta_n m_n < 4\varepsilon$, la série $\sum_{n=1}^{\infty} [\tilde{f}_n(\varphi) + \tilde{g}_n(\varphi)]$ est uniformément convergente. Ses termes sont des fonctions continues, donc sa somme $\tilde{F}(\varphi)$ est continue et $\sum_n [\tilde{f}_n(\varphi) + \tilde{g}_n(\varphi)] = \tilde{F}(\varphi)$. En effet, les coefficients de Fourier de la fonction $F(\varphi)$ sont égaux aux sommes des coefficients des fonctions $f_n(\varphi) + g_n(\varphi)$. Donc, ces coefficients de la fonction $\tilde{F}(\varphi)$ sont les sommes des coefficients des fonctions $\tilde{f}_n(\varphi) + \tilde{g}_n(\varphi)$. (Ils sont les mêmes que pour les fonctions $f_n(\varphi) + g_n(\varphi)$, mais convenablement déplacés, éventuellement de signe changé). La série $\sum [\tilde{f}_n(\varphi) + \tilde{g}_n(\varphi)]$ étant uniformément convergente, les coefficients de la somme de cette série sont égaux aux sommes des coefficients des fonctions $\tilde{f}_n(\varphi) + \tilde{g}_n(\varphi)$ et par conséquent, à celles de la fonction $\tilde{F}(\varphi)$. Comme le système trigonométrique est complet, il suit donc que $\sum [\tilde{f}_n(\varphi) + \tilde{g}_n(\varphi)] = \tilde{F}(\varphi)$,

$$ |\tilde{F}(\varphi)| \le \sum_{n=1}^{\infty} |\tilde{f}_n(\varphi) + \tilde{g}_n(\varphi)| \le \frac{4}{\pi} (5\pi + 12)\varepsilon. $$

$$ \text{Soit } F_1(\varphi) = \sum_l f_l(\varphi), \quad F_2(\varphi) = \sum_l g_l(\varphi), \quad \tilde{s}_k(\varphi, F) = \tilde{s}_k(\varphi, F_1) + \tilde{s}_k(\varphi, F_2). $$

Pour démontrer que les sommes partielles $\tilde{s}_k(\varphi, F)$ sont bornées dans leur ensembles, il suffit de prouver que $\tilde{s}_k(\varphi, t)$ et $\tilde{s}_k(\varphi, g)$ le sont aussi bornées.
Il résulte de la convergence uniforme de la série $\sum_{l=1}^{\infty} f_l(\varphi)$ que

$$
\begin{align*}
s_k(\varphi, f) &= -\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{l=1}^{\infty} f_l(\varphi + t) \tilde{D}_k(t) dt \\
&= -\frac{1}{\pi} \sum_{l=1}^{\infty} \int_{-\pi}^{\pi} f_l(\varphi + t) \tilde{D}_k(t) dt \\
&= \sum_{l=1}^{\infty} \tilde{s}_k(\varphi, f_l),
\end{align*}
$$

où

$$
\tilde{D}_k(t) = \frac{\cos \frac{1}{2} t - \cos(k + \frac{1}{2}) t}{2 \sin \frac{1}{2} t},
$$

$$
(20) \quad \left| \tilde{s}_k(\varphi, f_l) \right| \le \left| \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{f_l(\varphi + t)}{2 \operatorname{tg} \frac{1}{2} t} dt \right| + \left| \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{f_l(\varphi + t)}{2 \operatorname{tg} \frac{1}{2} t} \cos u t dt \right| + \\
\qquad + \left| \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f_l(\varphi + t) \sin k t dt \right|,
$$

mais en vertu de (19)

$$
(21) \quad \left| \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{f_l(\varphi + t)}{2 \operatorname{tg} \frac{1}{2} t} dt \right| \le \frac{5\pi + 12}{2\pi \lg \beta_l m_l} \quad \text{pour chaque } \varphi \in (a, a+2\pi],
$$

$$
(22) \quad \left| \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f_l(\varphi + t) \sin k t dt \right| \le \frac{1}{\pi} a_l \varepsilon_l 2\pi = \frac{1}{\pi \lg \beta_l m_l} \\
\qquad \text{pour chaque } f \in (a, a+2\pi].
$$

$$
(23) \quad \left| \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{f_l(\varphi + t)}{2 \operatorname{tg} \frac{1}{2} t} \cos k t dt \right| \le \left| \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{f_l(\varphi + t)}{t} \cos k t dt \right| + \\
\qquad + \left| \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f_l(\varphi + t) \left( \frac{1}{2 \operatorname{tg} \frac{1}{2} t} - \frac{1}{t} \right) \cos k t dt \right| \le \left| \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{f_l(\varphi + t)}{t} \cos k t dt \right| + \frac{1}{\pi \lg \beta_l m_l}.
$$

Occupons nous maintenant de la limitation de

$$
\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{f_l(\varphi + t)}{t} \cos k t dt = \frac{\varepsilon_l}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{f(\varphi - \varphi_l, a_l, m_l)}{t} \cos k t dt,
$$

$$
(24) \quad \left| \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{f_l(\varphi + t)}{t} \cos k t dt \right| < 2 \frac{a_l^2}{|\varphi - \varphi_l|} \cdot \frac{\varepsilon_l}{\pi} \le 2 \frac{a_l \varepsilon_l}{\pi} = \frac{1}{\pi \lg \beta_l m_l}.
$$

pour $\pi \ge |\varphi - \varphi_l| > a_l$ en vertu du lemme 1.

Enfin, en tenant compte de (20), (21), (22), (23) et (24) nous avons
l'estimation

$$
(25) \quad \left| \tilde{s}_k(\varphi, f_l) \right| < \frac{5\pi + 16}{2\pi \lg \beta_l m_l}
$$

pour chaque $\varphi$ telle que $\pi \ge |\varphi - \varphi_l| > a_l$.

Prenons $k \ge 3m_1$ et choisissons $n$ de telle façon que $m_n \le k < m_{n+1}$.
De la définition de la suite $\{m_n\}$ nous obtenons $m_l/k \le \frac{1}{2}$ pour $l=1, 2, ...$,
$n-1$ et $m_l/k \ge 2$ pour $l=n+2, n+3, ...$.

En fixant que $l \neq n$ et $l \neq n+1$ en vertu du lemme 1 nous aurons
l'estimation

$$
(26) \quad \left| \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{f_l(\varphi + t)}{t} \cos k t dt \right| \le \begin{cases} \frac{\varepsilon_l}{\pi} a_l (4\pi + 11) + a_l \varepsilon_l = \frac{5\pi + 11}{2\pi \lg \beta_l m_l} & \text{pour } 0 \le \varphi - \varphi_l < \frac{\pi}{2|m_l - k|}, \\ \frac{\varepsilon_l a_l}{\pi} (4\pi + 11) = \frac{4a + 11}{2\pi \lg \beta_l m_l} & \text{pour } \varphi - \varphi_l \ge \frac{\pi}{2|m_l - k|} \end{cases}
$$

car pour $l > n+1$

$$
\left| \sin m_l(\varphi - \varphi_l) \ln \frac{\pi}{2|m_l - k|} (\varphi - \varphi_l) \right| < \left| \sin m_l(\varphi - \varphi_l) \ln \frac{\pi}{m_l(\varphi - \varphi_l)} \right| < \frac{\pi}{2},
$$

pour $l < n$

$$
\left| \sin m_l(\varphi - \varphi_l) \ln \frac{\pi}{2|m_l - k|} (\varphi - \varphi_l) \right| < \left| \sin \frac{\pi}{2} m_l(\varphi - \varphi_l) \ln \frac{\pi}{2(k - \frac{1}{2}k)} (\varphi - \varphi_l) \right| \\
< \left| \sin \frac{\pi}{2} (\varphi - \varphi_l) \ln \frac{\pi}{k(\varphi - \varphi_l)} \right| < \frac{\pi}{4}
$$

puisque

$$
\frac{k}{2}(\varphi - \varphi_l) < (k - m_l)(\varphi - \varphi_l) < \frac{\pi}{2}.
$$

Dans le cas $k=m_n$ et $k=m_{n+1}$ en vertu du lemme 1

$$
(27) \quad \left| \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{f_n(\varphi + t)}{t} \cos k t dt \right| \le \frac{1}{\pi} e_n a_n (4\pi + 9) + \frac{e_n a_n}{\pi} \left( \frac{\pi}{2} + 1 \right) + \frac{\ln 2}{\pi} \\
\le \frac{\ln 2}{\pi} + \frac{5\pi + 10}{2\pi \lg \beta_n m_n}
$$

pour chaque $\varphi \in (a, a+2\pi]$;

$$
(27') \quad \left| \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{f_{n+1}(\varphi + t)}{t} \cos k t dt \right| \le \frac{\ln 2}{\pi} + \frac{5\pi + 10}{2\pi \lg \beta_n m_n}
$$
pour chaque $\varphi \in (\alpha, \alpha+2\pi]$, car

$$ \frac{\ln \frac{a_n}{\varphi - \varphi_n}}{\lg a_n m_n} = \frac{\ln \frac{1}{m_n(\varphi - \varphi_n)} + \ln m_n a_n}{\lg a_n m_n} = \frac{\ln \frac{1}{m_n(\varphi - \varphi_n)}}{\lg a_n m_n} + \ln 2. $$

Dans la suite posons

$$ \tilde{s}_k(\varphi, F_1) = \sum_{i=1}^{n-1} \tilde{s}_k(\varphi, f_i) + \tilde{s}_k(\varphi, f_n) + \tilde{s}_k(\varphi, f_{n+1}) + \sum_{l=n+2}^{\infty} \tilde{s}_k(\varphi, f_l) $$

et designons les sommes ci-dessus respectivement par $\tilde{s}_k^1, \tilde{s}_k^2, \tilde{s}_k^3, \tilde{s}_k^4$.

En vertu des inégalités (20), (21), (22), (23), (24) et (26)

$$ \begin{align} |\tilde{s}_k^1| &\le \sum_{l=1}^{n-1} |\tilde{s}_k(\varphi, f_l)| \nonumber \\ &\le \sum_{l=1}^{n-1} \left( \frac{5\pi+12}{2\pi \lg \beta_l m_l} + \frac{1}{\pi \lg \beta_l m_l} + \frac{1}{\pi \lg \beta_l m_l} + \frac{5\pi+11}{2\pi \lg \beta_l m_l} \right) \nonumber \\ &\le \frac{5\pi+13}{\pi} \sum_{l=1}^{n-1} \frac{1}{\lg \beta_l m_l} \le \frac{4}{\pi} (5\pi+13) \varepsilon. \end{align} $$ $$ |\tilde{s}_k^4| \le \sum_{l=k+2}^{\infty} |\tilde{s}_k(\varphi, f_l)| \le \frac{4}{\pi} (5\pi+13) \varepsilon. $$

Evaluons ensuite $|\tilde{s}_k^2|$ et $|\tilde{s}_k^3|$.

Si $m_n/k \le \frac{1}{2}$ nous ajoutons $\tilde{s}_k^2$ à la somme $\tilde{s}_k^1$, ce qui ne modifie pas l'évaluation, par contre si $\frac{1}{2} < m_n/k \le 1$ nous évaluons $|\tilde{s}_k^2|$ en vertu de (27) comme il suit:

$$ \begin{align} |\tilde{s}_k^2| &\le \frac{5\pi+12}{2\pi \lg \beta_n m_n} + \frac{1}{\pi \lg \beta_n m_n} + \frac{1}{\pi^2 \lg \beta_n m_n} + \frac{5\pi+10}{2\pi \lg \beta_n m_n} + \frac{\ln 2}{\pi} \nonumber \\ &\le \frac{10\pi+25}{2\pi \lg \beta_n m_n} + \frac{\ln 2}{\pi} \le \frac{4}{\pi} (5\pi+13)\varepsilon + \frac{\ln 2}{\pi}. \end{align} $$

Si ensuite $m_{n+1}/k \ge 2$ en ajoutant $\tilde{s}_k^2$ à la somme $\tilde{s}_k^1$ nous ne modifions pas l'évaluation de $\tilde{s}_k^4$. Par contre si $1 \le m_{n+1}/k < 2$, alors

$$ |\tilde{s}_k^3| \le \frac{10\pi+25}{2\pi \lg \beta_n m_n} + \frac{\ln 2}{\pi} \le \frac{4}{\pi} (5\pi+13)\varepsilon + \frac{\ln 2}{\pi}. $$

En définitive des formules (28), (29) et (30) il vient

$$ |\tilde{s}_k(\varphi, F_1)| \le \frac{16}{\pi} (5\pi+13)\varepsilon + \frac{2\ln 2}{\pi}. $$

pour chaque $k \ge m_1$ et chaque $\varphi \in (\alpha, \alpha+2\pi]$.

Nous obtenons d'une façon analogue l'estimation de pour chaque $k \le 3m_1$ et chaque $\varphi \in (\alpha, \alpha+2\pi]$ pour $\tilde{s}_k(\varphi, F_2)$

$$ (32) \qquad |\tilde{s}_k(\varphi, F_2)| \le \frac{16}{\pi} (5\pi+13)\varepsilon + \frac{2\ln 2}{\pi}. $$

Des deux dernières évaluations nous tirons

$$ (33) \qquad |\tilde{s}_k(\varphi, F)| \le \frac{32}{\pi} (5\pi+13)\varepsilon + \frac{4}{\pi} \ln 2. $$

pour chaque $k \ge 3m_1$ et chaque $\varphi \in (\alpha, \alpha+2\pi]$.

Les $\tilde{s}_k(\varphi, F)$ étant continues et bornées, leur quantité finie pour $k < 3m_1$ est uniformément bornée, par conséquent toutes les sommes $\tilde{s}_k(\varphi, F)$ sont uniformément bornées par le nombre

$$ (33') \qquad \max_{\varphi \in (\alpha, \alpha+2\pi]} \left( \max_{0 \le k < 3m_1} |\tilde{s}_k(\varphi, F)|, \frac{32}{\pi} (5\pi+13)\varepsilon + \frac{4}{\pi} \ln 2 \right). $$

Supposons que $\varphi \in (\alpha, \alpha+2\pi] - E_a$. En vertu du mode de recouvrement adopté, il résulte que $\varphi$ appartient à un nombre tout au plus fini de segments $A_n$ et $\tilde{A}_n$, soit $\varphi \in A_n$ et $\varphi \in \tilde{A}_n$ pour $n > n_0$. Soit $\mu$ un nombre arbitraire positif. La série $\sum_{n=1}^{\infty} 1/\lg \beta_n m_n$ est convergente, donc il existe $n_1 \ge n_0$ tel que

$$ \sum_{n=n_1+1}^{\infty} \frac{1}{\lg \beta_n m_n} < \frac{\mu}{28}. $$

Mais en vertu du critère de Dini nous avons $\tilde{s}_k(\varphi, f_n) \to \tilde{f}_n(\varphi)$ pour $k > k_0$,

$$ \sum_{n=1}^{n_1} |\tilde{s}_k(\varphi, f_n) - \tilde{f}_n(\varphi)| < \frac{\mu}{28} \cdot \frac{13\pi - 38}{2\pi}. $$

Vu (19),

$$ \sum_{n=n_1+1}^{\infty} |\tilde{f}_n(\varphi)| \le \frac{5\pi+12}{2\pi} \sum_{n=n_1+1}^{\infty} \frac{1}{\lg \beta_n m_n} < \frac{5\pi+12}{2\pi} \cdot \frac{\mu}{28}. $$

De (24) il s'ensuit que

$$ \sum_{n=n_1+1}^{\infty} |\tilde{s}_k(\varphi, f_n)| \le \frac{5\pi+13}{\pi} \sum_{n=n_1+1}^{\infty} \frac{1}{\lg \beta_n m_n} < \frac{5\pi+13}{\pi} \cdot \frac{\mu}{28}. $$
Avec les données précédantes nous pouvons évaluer la différence

$$
\begin{align*}
|\tilde{s}_k(\varphi, F_1) - \tilde{F}_1(\varphi)| &= \left| \sum_{n=1}^{\infty} |\tilde{s}_k(\varphi, f_n) - \tilde{f}_n(\varphi)| \right| \le \sum_{n=1}^{n_1} |\tilde{s}_k(\varphi, f_n) - \tilde{f}_n(\varphi)| + \\
&\quad + \sum_{n=f_1+1}^{\infty} |\tilde{f}_n(\varphi)| + \sum_{n=f_1+1}^{\infty} |\tilde{s}_k(\varphi, f_n)| \le \frac{\mu}{2} \quad \text{pour } k > k_0.
\end{align*}
$$

Pareillement

$$
|\tilde{s}_k(\varphi, F_2) - \tilde{F}_2(\varphi)| \le \frac{\mu}{2} \quad \text{pour } k > k_0
$$

d'où

$$
|\tilde{s}_k(\varphi, F) - \tilde{F}(\varphi)| \le |\tilde{s}_k(\varphi, F_1) - \tilde{F}_1(\varphi)| + |\tilde{s}_k(\varphi, F_2) - \tilde{F}_2(\varphi)| \le \mu
$$

pour $k > k_0$; ce qui prouve la convergence des séries conjuguées de Fourier
au point $\varphi \in (\alpha, \alpha + 2\pi] - E_\alpha$.

Etant donné la continuité des fonctions F et des fonctions conjuguées
F, leurs séries de Fourier soit uniformément sommables par la première
moyenne vers ces fonctions. Donc, les premières moyennes des sommes
partielles de la série entière Σ(a_n-ib_n)e^(iφn) sont uniformément conver-
gentes (sur la circonférence du cercle unité). En vertu du principe du
maximum, elles sont donc uniformément convergentes vers une certaine
fonction H(z) continue dans |z|≤1, holomorphe dans |z|<1. Mais dans
|z|<1 la fonction H(z) est la somme de la série entière

$$
\frac{a_0}{2} + \sum (a_n - ib_n) z^n,
$$

elle est donc une série entière continue.

TÉORÈMÉ. Soit un ensemble E situé sur la circonférence du cercle unité, périodique de période 2π et de classe G<sub>00</sub>. Soit E ⊂ Φ où Φ est un ensemble de classe F<sub>v</sub> de mesure logarithmique zéro. Il existe alors une série entière continue ayant les propriétés suivantes:

1° $|S_k(\varphi)| \le A$ pour chaque $\varphi$ et chaque $k = 0, 1, 2, ...$

2° La suite {$S_k(\varphi)$} est divergente en tout point $\varphi \in E$.

3.° La suite {S_k(φ)} est convergente en tout point φ de l'ensemble com-
plémentaire de l'ensemble E à la circonférence.

Démonstration. Dans le travail [3] il a été démontré que E = ⋃∞<sub>n=1</sub>E_n où E_n ∈ G_s, E_n est de mesure logarithmique zéro et E_l E_k = 0 pour l≠k.

Pour démontrer les propriétés 1º, 2º et 3º il suffit de montrer que
1º $|s_k(\varphi, \tilde{F})| < A_1 < +\infty$ et $|\tilde{s}_k(\varphi, \tilde{F})| < A_2 < +\infty$ pour chaque $\varphi$
et chaque $k = 0, 1, 2, ...$

2º La suite {$s_k(\varphi, F)$} est divergente pour chaque $\varphi \in E$.

3.º Les suites {$s_k(\varphi, F)$} et {$\tilde{s}_k(\varphi, F)$} sont convergentes pour chaque
$\varphi \in CE$.

Le lemme assure l'existence de la fonction F_n(φ) continue (avec F̃_n(φ) continue) périodique et telle que la série de Fourier est divergente sur l'ensemble E_n et convergente sur l'ensemble CE_n et que la série conjuguée de Fourier est également convergente sur l'ensemble CE_n et que

$$
|s_k(\varphi, F_n)| \le A_1 < +\infty, \quad |\tilde{s}_k(\varphi, F_n)| \le A_2 < +\infty
$$

pour chaque $\varphi$ et $k = 0, 1, 2, ...$

Les fonctions F_n(φ) et F̃_n(φ) sont bornées et nous pouvons admettre que

$$
(34) \qquad |F_n(\varphi)| \le 1 \quad \text{et} \quad |\tilde{F}_n(\varphi)| \le 1
$$

pour chaque $\varphi$ et $n = 1, 2, \dots$ ainsi que

$$
(35) \qquad |s_k(\varphi, F_n)| \le 1 \quad \text{et} \quad |\tilde{s}_k(\varphi, F_n)| \le 1
$$

pour chaque $\varphi$, $n = 1, 2, \dots$, et $k = 0, 1, 2, \dots$

Prenons

$$
(36) \quad F(\varphi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} F_n(\varphi) \quad \text{et} \quad \tilde{F}(\varphi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \tilde{F}_n(\varphi).
$$

Vu (24) les fonctions F(φ) et F̃(φ) sont continues et périodiques.
Comme dans la démonstration du lemme il suit que ΣF̃n = Σ̃F̃n. En outre

$$
(37) \quad s_k(\varphi, F) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} s_k(\varphi, F_n), \quad \tilde{s}_k(\varphi, F) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \tilde{s}_k(\varphi, F_n),
$$

car

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} F_n(\varphi + t) \frac{\sin(k + \frac{1}{2})t}{2 \sin \frac{1}{2} t}
$$

et

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \frac{F_n(\varphi + t) - F_n(\varphi - t)}{2} \frac{\cos \frac{1}{2} t - \cos (k + \frac{1}{2}) t}{2 \sin \frac{1}{2} t}
$$

sont uniformément convergentes par rapport à *t* et on peut les intégrer
membre à membre. Vu (34) les séries qui figurent dans (37) sont également
uniformément convergentes par rapport à *φ* et *k*. Il résulte donc comme
dans la démonstration du lemme (ce qui est connu de plus longtemps)
que *F* et *F̃* sont les parties réelle et imaginaire de la série entière continue
dans le cercle unité. Dans le travail [3] il a été prouvé que la suite {$s_k(\varphi, F)$}
est divergente pour chaque $\varphi \in E$ et qu'elle est convergente pour chaque $\varphi \notin E$. Il nous reste à démontrer que la suite $\{\tilde{s}_k(\varphi, F)\}$ est convergente pour tout $\varphi \in E$.

En effet, si $\varphi \in E$, alors $\varphi \in E_n$ pour tout $n$. La suite $\{\tilde{s}_k(\varphi, F_n)\}$ est convergente pour chaque $\varphi \notin E_n$ pour chaque $n$ et $\lim_{k \to \infty} \tilde{s}_k(\varphi, F_n) = \tilde{F}_n(\varphi)$.
En passant dans (37) à la limite avec $k$, ce qui est permis en vertu de la convergence uniforme de la série

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \tilde{s}_k(\varphi, F_n), $$

nous obtiendrons

$$ \lim_{k \to \infty} \tilde{s}_k(\varphi, F) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \tilde{F}_n(\varphi) = \tilde{F}(\varphi) $$

ce qui termine la démonstration.

### Travaux cités

[1] P. Erdös, F. Herzog, G. Piranian, *Sets of divergence of Taylor series and of trigonometric series*, Math. Scand. 2 (1954), p. 262-266.

[2] H. Steinhaus, *Sur les défauts de convergence des séries trigonométriques et potentielles*, Bull. Int. Acad. Pol. Sci. Lettres, Série A, Sci. Math., 1919, p. 123-141.

[3] J. Śladkowska, *Sur l'ensemble des points de divergence des séries de Fourier des fonctions continues*, Fund. Math. 49 (1961), p. 272-294.

[4] П. П. Ульянов, *О расходимости рядов Фурье*, Успехи мат. наук. 12, 3 (75) (1957), p. 75-132.

[5] A. Zygmund, *Trigonometric series*, Cambridge 1959; ed. II, t. I, p. XII+383; t. II, p. VII+354.

Reçu par la Rédaction le 9. 2. 1963

## Concerning some problems raised by A. Lelek

by

L. R. King, J. H. Roberts, and G. M. Rosenberg, Jr.* (Durham)

**1. Introduction.** A. Lelek raises in [3] a series of questions about fixations in Euclidean $n$-dimensional space, $\varepsilon^n$. We may ask when each of the following properties hold for a collection $C$ of subsets of $\varepsilon^n$.

(I) There exists a $0$-dimensional compact set $Z \subseteq \varepsilon^n$ such that $Z \cap C \neq 0$ for every $C \in C$.

(II) There is an arc $A \subseteq \varepsilon^n$ such that $A \cap C \neq 0$ for every $C \in C$.

(III) There exists, for every $\zeta > 0$, a finite sequence $Z_1, \dots, Z_k$ of closed and mutually disjoint subsets of $\varepsilon^n$ such that $\delta(Z_t) < \zeta$ for $i = 1, \dots, k$ and $(\bigcup_{i=1}^k Z_i) \cap C \neq 0$ for all $C \in C$.

Let $C^*$ be the union of all sets belonging to $C$. Denote by $\mathcal{A}(C)$ the set of all points $p \in \varepsilon^n$ such that there is a sequence $C_1, C_2, \dots$ of elements of $C$ such that $\{p\} = \lim_{t} C_t$ (see [2] for the definition of $\lim$). Lelek asks the following questions:

**PROBLEM 1.** Is it true that if $C^*$ is a bounded subset of the plane and there exists an $\varepsilon > 0$ such that $C$ is a disjoint collection of connected sets of diameter greater than $\varepsilon$, then (I) holds?

**PROBLEM 2.** Is it true that if $C^*$ is a bounded subset of the plane and $C$ is a disjoint collection of connected sets then (III) implies (I)?

**PROBLEM 3.** Is it true that if $C^*$ is a subset of the plane, $C$ is a disjoint collection of connected sets and $\dim \mathcal{A}(C) \le 0$, then (II) implies (III)?

In this paper, we give negative answers to these questions by constructing two counter-examples. The collections $C$ and $D$ defined are collections of subsets of the unit square, $J^2$.

**2. Preliminary definitions and results.** We first define some subsets of $J^2$ which will be used in both constructions. Let $\rho$ be the usual metric on $J^2$; let $B(\omega, r) = \{B(\omega, r)\}$ be the open (closed) ball of radius $r$

<footnote>* The authors wish to thank Dr. R. Duda for his suggestions which have made this paper easier to read.</footnote>