# TEORIA DAS CATEGORIAS: CONSTRUÇÕES MATEMÁTICAS COMO ESTRUTURAS EM TERMOS DE MORFISMO

Paulo Góis

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Paulo Góis. TEORIA DAS CATEGORIAS: CONSTRUÇÕES MATEMÁTICAS COMO ESTRU- TURAS EM TERMOS DE MORFISMO. 2024. hal-04404460v2

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Teoria das categorias:

CONSTRUÇÕES
MATEMÁTICAS

COMO ESTRUTURAS EM TERMOS DE MORFISMO

João Paulo da Silva Pereira
TEORIA DAS CATEGORIAS:

CONSTRUÇÕES

MATEMÁTICAS

COMO ESTRUTURAS EM TERMOS DE
MORFISMO

João Paulo da Silva Pereira
<table><tr><td>Referências Bibliográficas</td><td>37</td></tr><tr><td>Capítulo 7: Álgebra Linear na Teoria das Categorias</td><td>38</td></tr><tr><td>Seção 7.1: Espaços Vetoriais e Subespaços Vetoriais</td><td>38</td></tr><tr><td>Seção 7.2: Transformações Lineares</td><td>39</td></tr><tr><td>Seção 7.3: Produto Vetorial, Interno e Projeção de Vetores</td><td>40</td></tr><tr><td>Seção 7.4: Matrizes, Seus Determinantes e Escalonamentos</td><td>41</td></tr><tr><td>Seção 7.5: Autovalor e Autovetor</td><td>42</td></tr><tr><td>Referências Bibliográficas</td><td>43</td></tr><tr><td>Capítulo 8: Teoria das Categorias na Teoria das Categorias</td><td>43</td></tr><tr><td>Seção 8.1: Noções Básicas</td><td>43</td></tr><tr><td>Seção 8.2: Funtores</td><td>44</td></tr><tr><td>Seção 8.3: Naturalidade</td><td>45</td></tr><tr><td>Seção 8.4: Teoria das Categorias na Categoria Cat</td><td>46</td></tr><tr><td>Referências Bibliográficas</td><td>47</td></tr><tr><td>Apêndices</td><td>48</td></tr><tr><td>1- Análise Real e Topologia Geral na Teoria das Categorias</td><td>48</td></tr><tr><td>Seção 1.1: Limites e Continuidade</td><td>48</td></tr><tr><td>Seção 1.2: Completude e Continuidade Uniforme</td><td>49</td></tr><tr><td>2- Teoria dos Tipos, Cálculo Lambda-Tipado e a Teoria das Categorias</td><td>49</td></tr><tr><td>Seção 2.1: Teoria dos Tipos e o Cálculo Lambda-Tipado</td><td>49</td></tr><tr><td>Referências Bibliográficas</td><td>51</td></tr><tr><td>3- Conversão do Autômato Finito Não Determinístico (AFN) e Autômato Finito Determinístico (AFD) numa Linguagem Regular na Teoria das Categorias</td><td>51</td></tr><tr><td>Seção 3.1: Conversão do AFN numa Linguagem Regular</td><td>51</td></tr><tr><td>Seção 3.2: Conversão do AFD numa Linguagem Regular</td><td>53</td></tr><tr><td>Referências Bibliográficas</td><td>56</td></tr></table>
# Introdução

No capítulo 1, explorei as definições de morfismo, objeto, composição e categorias. Dei exemplos de categorias básicas. Passei noções de equivalência e isomorfismo. Por fim, é bom esclarecer que quando falei do conjunto de objetos *Obj(*C*), significa ou implica que estava dizendo que dado uma categoria *C*, existe um conjunto de objetos, o que denominei de *Obj(*C*). Assim, para todo par de objetos, o que chamei de *A*, *B*, há um conjunto de morfismo ou seta de *A* a *B*, isto é, se *A* e *B* são objetos em *C*, então existe um conjunto de *A* para *B* de morfismos, chamado de $Hom_{C}(A, B)$.

No capítulo 2 de meu estudo, me aprofundei na análise real usando as lentes da teoria das categorias. Ao longo de minha exploração, cobri uma variedade de tópicos, incluindo a definição de espaços topológicos e funções contínuas como morfismos. Também foi discutido o teorema do ponto fixo, bem como contextos categóricos de sequências e séries. Claro que não pude esquecer dos limites e da continuidade, que abordei em termos de categorias.

No capítulo 3 tais tópicos são investigados por mim na análise funcional. São eles, morfismos na teoria das categorias, que são representados por operadores lineares, sendo os objetos espaços vetoriais. O conceito de espaços duais e adjuntos também é abordado. Além disso, o teorema aberto e o teorema do operador inverso são discutidos.

No capítulo 4, me aprofundei nas categorias e suas variedades. Discuti os objetos como variedades diferenciáveis e explorei o uso de morfismos e atlas suaves. Equipei-me com o teorema da função inversa e o teorema da função implícita em um contexto categórico, o que me permitiu obter uma melhor visão das variedades.

No capítulo 5 explorei a análise do $R^n$ à luz da teoria das categorias. Iniciei com espaços métricos, os defini como conjuntos possuidores de uma métrica, onde esta métrica estabelece a distância entre dois pontos quaisquer. Tomei o exemplo do $R^n$ com a métrica euclidiana. E o teorema 5.1.3 destaca a relação entre esta métrica e
a topologia gerada. Já na seção 5.2, abordei sequências e limites ao definir a convergência de uma sequência $(x_n)$ em um espaço métrico $X$. Por fim, exemplifiquei com a sequência $n_1$, que converge para 0 nos reais. E a proposição 5.2.3 conceitua a continuidade de uma função $f: X \to Y$ em termos de convergência.

No capítulo 6 adentrei à topologia geral sob a lente da teoria das categorias. Comecei com os espaços topológicos, defini como conjunto $X$ equipado com uma coleção de conjuntos abertos ou coleção de abertos que satisfazem determinados axiomas. Utilizei o exemplo da reta real com a topologia usual e estabeleci certas propriedades, como a que nos diz que a interseção finita de conjuntos abertos é aberta (teorema 6.1.3). Na seção 6.2, introduzi o conceito de “compactificação”, onde um espaço topológico $Y$ é compactado por $X$, se $X$ é denso em $Y$ e $Y$ é compacto. A reta real estendida $\mathbb{R}$ é um exemplo. E com o teorema 6.2.3 destaquei a propriedade de localmente compacta em variedades.

No capítulo 7 tratei de conceitos fundamentais da álgebra linear na teoria das categorias. Na seção 7.1, defini espaços vetoriais sobre um corpo $K$ qualquer ao destacar certas propriedades, como a continuidade das operações de soma e multiplicação por escalar. Tomei o $\mathbb{R}^n$ como exemplo. Na seção 7.2, discuti transformações lineares ao defini-las como aplicações, onde é preservada as operações lineares. Por fim, a diferenciação em $C^1[0, 1]$ é um exemplo, e o teorema 7.2.3 ressalta a continuidade da composição no concernente às transformações lineares.

No capítulo 8 explorei a teoria das categorias na própria teoria das categorias, ou seja, para isso se faz necessário uma “meta-categoria” ou uma categoria que contém todas as outras e essa categoria se chama *Cat*. Primeiramente, iniciei com noções básicas, definindo uma categoria como um conjunto de objetos e morfismos com composição associativa e identidade para cada objeto. Para esclarecer melhor as ideias, tomei a categoria *Set* como exemplo. Na seção 8.2, introduzi os funtores, que associam objetos e morfismos entre categorias de maneira compatível com as composições. Neste contexto, o teorema 8.2.3 destaca a preservação de composição por funtores. Por fim, na seção 8.3 defini uma transformação natural
entre funtores. Tomei como exemplo a transformação natural entre o funtor de inclusão e o funtor constante entre categorias de conjuntos. E o teorema 8.3.3 que destaca a composição de transformações naturais. Posteriormente, destrinchei a definição 8.3.1 e na próxima seção discuti a teoria das categorias na categoria *Cat*, onde por meio de definição, corolário e teorema cheguei ao corolário 8.4.4, que diz que a teoria das categorias pode ser estudada dentro da categoria *Cat*.

Também propus três apêndices. Um deles visa complementar e aprofundar ao abordar alguns conceitos de topologia geral e análise real que não foram abordados nos seus respectivos capítulos. E os outros dois propõem abordar dois temas que não foram abordados em nenhum dos oito capítulos. Temas estes que podem e são pesquisados à luz da teoria das categorias.

# Capítulo 1: Introdução a Teoria das Categorias

## Seção 1.1: Introdução

* Definição 1.1.1: Uma categoria *C* consiste em:

* Um conjunto de objetos *Obj(*C*).*

* Para cada par de objetos *A*, *B*, há um conjunto $\operatorname{Hom}_C(A, B)$ de morfismos ou setas de *A* para *B*.

* Para cada objeto *A*, um morfismo identidade $\mathrm{id}_A \in \operatorname{Hom}_C(A, A)$.

* Uma operação de composição ° que associa a cada $g$ para $f \in \operatorname{Hom}_C(A, B)$ e $g \in \operatorname{Hom}_C(A, B)$ um morfismo $g \circ f \in \operatorname{Hom}_C(A, B)$, de modo que $h^\circ(g \circ f) = (h^\circ g)^\circ f$ para $f \in \operatorname{Hom}_C(C, D)$.

* Exemplo 1.1.2: A categoria *Set* dos conjuntos, onde os objetos são conjuntos e os morfismos são funções.
* Exemplo 1.1.3: A categoria Grp dos grupos, onde os objetos são grupos e os morfismos são homomorfismos de grupos.

* Nota 1.1.4: Morfismos podem ser denotados como $f: A \to B$ e a composição como $g \circ f$ ou simplesmente $gf$.

* Definição 1.1.5: A categoria $C$ é dita pequena, se $Ob_C$ e $Mor_C$ são conjuntos. Senão, a categoria é dita grande.

* Definição 1.1.6: Quando no morfismo coincide a origem e o destino, o chamamos de endomorfismo.

# Seção 1.2: Isomorfismos e Equivalências

* Definição 1.2.1: Dois objetos $A$ e $B$ são isomorfos se existirem morfismos $f: A \to B$ e $g: B \to A$ tais que $g \circ f = \text{id}_A$ e $f \circ g = \text{id}_B$.

* Definição 1.2.2: Uma equivalência em $C$ é um morfismo $f: A \to B$ com um morfismo inverso $g: B \to A$, ou seja, $g \circ f = \text{id}_B$ e $f \circ g = \text{id}_A$ são ambos isomorfismos.

* Exemplo 1.2.3: Em Top, a categoria dos espaços topológicos, um homeomorfismo é uma equivalência.

Outrossim, pela definição de identidade e pela lei de identidade, um objeto deve possuir uma única identidade. Melhor dizendo, supondo um objeto $d \in Ob_d$ e $\text{Id}: d \to d$ ele deve ser único, pois ao supor $\text{Id}' \neq \text{Id}$, teremos que $\text{Id}' = \text{Id} \circ \text{Id}' = \text{Id} \neq \text{Id}$. □
# Seção 1.3: Funções e Composição

* Definição 1.3.1: Dado um conjunto $X$, a categoria discreta $Disc(X)$ tem objetos como elementos de $X$ e morfismos apenas as identidades.

* Definição 1.3.2: Dado um grupo $G$, a categoria trivial $Triv(G)$, tem um único objeto correspondente a $G$ e apenas a identidade como morfismo.

* Proposição 1.3.3: Em qualquer categoria $C$, a composição de morfismos é associativa.

# Capítulo 2: Análise Real na Teoria das Categorias

## Seção 2.1: Funções Contínuas

* Definição 2.1.1: Uma função $f: X \to Y$, entre espaços topológicos é contínua se, para todo conjunto aberto $V$ em $Y$, o conjunto $f^{-1}(V)$ é aberto em $X$.

* Exemplo 2.1.2: A função exponencial $exp: R \to R^+$ é contínua.

* Teorema 2.1.3: A composição de funções contínuas é contínua.

Na linguagem da teoria das categorias, temos:

* Definição 2.1.1: Uma função $f: X \to Y$, entre objetos em uma categoria $C$ é contínua se, para todo conjunto aberto $V$ em $Y$, o conjunto $f^{-1}(V)$ é um objeto aberto em $X$.

* Exemplo 2.1.2: Considere a categoria *Top* dos espaços topológicos e funções contínuas. A função exponencial $exp: R \to R^+$ é um morfismo contínuo.

* Teorema 2.1.3: Na teoria das categorias, a composição de morfismos contínuos $f: X \to Y$ e $g: Y \to Z$ é um morfismo contínuo $g \circ f: X \to Z$.
## Seção 2.2: Convergência

* Definição 2.2.1: Uma sequência $(x_n)$ em um espaço topológico $X$ converge para $x$ se, para todo conjunto aberto $U$ contendo $x$, existe um $N$ tal que $x_n \in U, \forall n \ge N$.

* Exemplo 2.2.2: A sequência $(n_1)$ converge para 0 em $R$.

* Proposição 2.2.3: Se uma função $f: X \to Y$ é contínua e $(x_n)$ converge para $x$ em $X$, então $f(x_n)$ converge para $f(x)$ em $Y$.

Em termos de categorias, obtemos:

* Definição 2.2.1: Uma sequência $(x_n)$ em um objeto $X$ converge para um ponto $x$ se, para todo objeto aberto $U$ contendo $x$, existe um $N$ tal que $x_n \in U, \forall n \ge N$.

* Exemplo 2.2.2: Considere a categoria *Top*. A sequência $(n^{-1})$ converge para 0 no espaço topológico *R*.

* Proposição 2.2.3: Se uma função $f: X \to Y$ é contínua e a sequência $(x_n)$ converge para $x$ em $X$, então a sequência $(f(x_n))$ converge para $f(x)$ em $Y$.

## Seção 2.3: Topologia no $R^n$

* Definição 2.3.1: A topologia usual em $R^n$ é gerada pelos conjuntos abertos da forma $B_\varepsilon(x) = \{y \in R^n; \|y - x\| < \varepsilon\}$.

* Teorema 2.3.2: A função norma $\|\cdot\|: R^n \to R^+$ é contínua.
Na linguagem da teoria das categorias, obtemos:

* Definição 2.3.1: A topologia usual em $R^n$ é gerada pelos objetos abertos da forma $B_\epsilon(x) = \{y \in R^n; \|y - x\| < \epsilon\}$

* Teorema 2.3.2: A função norma $\|\cdot\|: R^n \to R^+$ é um morfismo contínuo.

Referências Bibliográficas

MUNKRES, J. R. **Topology**. Second edition. Prentice Hall: Massachusetts, 2000. p. 519.

RUDIN, W. **Principles of Mathematical Analysis**. Third edition. McGraw-Hill: United States of America, 1976. p. 339.

LAGES, Elon. **Análise Real Volume 1: Funções de uma Variável**. 10° edição. Rio de Janeiro: IMPA, 2009. p. 192.

LESSA, Bruno. **Tópicos em Análise Real**. 1° edição. São Paulo: InterSaberes, 2019. p. 270.

Análise Real. Felipe Acker. YouTube. 2016. Disponível em: https://youtube.com/ playlist?list=PLsVKfJEcnnr2r4z732cTaTon2QlhYOMN4&si=91JSojf6kjzul2PR. Acesso em: 20/01/2022.
# Capítulo 3: Análise Funcional na Teoria das Categorias

## Seção 3.1: Espaços de Banach

* Definição 3.1.1: Um espaço de Banach é um espaço vetorial normado e completo.

* Exemplo 3.1.2: O espaço $L^p[0, 1]$ é um espaço de Banach.

* Teorema 3.1.3: A norma $||\cdot||: X \to R^+$ em um espaço de Banach é contínua.

Em teoria das categorias, temos:

* Definição 3.1.1: Um espaço de Banach na teoria das categorias é um objeto $X$ em uma categoria $C$ que possui uma norma $||\cdot||: X \to R^+$, onde $X$ é um espaço vetorial normado completo.

* Exemplo 3.1.2: Considere a categoria $Vect_n$ dos espaços vetoriais normados. O espaço $L^p[0, 1]$ é um objeto nessa categoria e é um espaço de Banach com a norma $L^p$ usual.

* Teorema 3.1.3: A norma $||\cdot||: X \to R^+$ em um espaço de Banach é uma transformação contínua entre $X$ e $R^+$.
## Seção 3.2: Operadores Lineares e Não Lineares

* Definição 3.2.1: Um operador linear $T: X \to Y$, entre espaços de Banach é contínuo se $T$ preserva a convergência de sequências.

* Exemplo 3.2.2: A diferenciação é um operador linear em $C^1[0, 1]$.

* Teorema 3.2.3: A composição de operadores lineares contínuos é contínua.

Na teoria das categorias, temos:

* Definição 3.2.1: Um operador linear $T: X \to Y$, entre espaços de Banach $X$ e $Y$ é contínuo se, para toda sequência convergente $(x_n)$ em $X$, a sequência $(T(x_n))$ em $Y$ também converge.

* Exemplo 3.2.2: Na categoria $Vect_n$, considere $C^1[0, 1]$, o espaço das funções continuamente diferenciáveis em $[0, 1]$. A diferenciação é um operador linear contínuo.

* Teorema 3.2.3: A composição de operadores lineares contínuos $T: X \to Y$ e $S: Y \to Z$ é um operador contínuo $S \circ T: X \to Z$.

Veremos outra forma de definir o operador linear e definirei também o não linear.

Segue as definições:

* Definição 3.2.4: Um operador linear $T: H \to K$, entre espaços de Hilbert $H$ e $K$ é uma aplicação que preserva a soma e a multiplicação por escalares.

$$ 
\begin{array}{ccc}
\mathcal{H} & \xrightarrow{T} & \mathcal{K} \\
\downarrow & & \downarrow \\
K \times \mathcal{H} & \xrightarrow{\cdot} & \mathcal{H}
\end{array}
 $$
* Definição 3.2.5: Um operador não linear $F: X \to Y$, entre espaços topológicos $X$ e $Y$ é uma aplicação que não preserva a soma e a multiplicação por escalares.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Observe que, em um espaço de Hilbert sobre os complexos, operadores não lineares desempenham um papel crucial na mecânica quântica, onde a evolução dos sistemas quânticos é modelada por operadores não lineares.

## Seção 3.3: Operadores Autoadjuntos e Adjuntos

* Definição 3.3.1: Um operador linear autoadjunto $A: H \to H$ em um espaço de Hilbert $H$ é um operador que é igual ao seu adjunto.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

* Definição 3.3.2: O adjunto de um operador linear $T: H \to K$ entre espaços de Hilbert $H$ e $K$ é um operador $T^*: K \to H$ que satisfaz certas propriedades.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>
Referências Bibliográficas

CONWAY, J. B. **A Course in Functional Analysis**. Springer - Verlag: New York
Berlin Heidelberg Tokyo, 1985. p. 407.

RUDIN, W. **Functional Analysis**. Second edition. McGraw-Hill: New York City, 1991. p. 417.

BARROSO, Cleon. **Análise Funcional: Uma Introdução**. Amazônia: Escola de Matemática da América Latina e do Caribe, (UFAM), 2009. p. 60.

VIEIRA, Cícero. **O Teorema do Ponto Fixo de Banach e Algumas Aplicações.**
TCC - PROFMAT, Centro de Ciências Exatas e da Natureza (CCEN) - UFPB. João
Pessoa - PB, p. 45. 2013.

SILVA, Isabella. **Espaços Métricos e o Teorema do Ponto Fixo de Banach.**
Trabalho de Conclusão do Curso (TCC) - Departamento de Matemática do Centro
de Ciências e Tecnologia (CCT) da Universidade Estadual da Paraíba (UEPB).
Campina Grande - PB, p. 55. 2014.

TAVARES, Flávia. **Sequências de Cauchy em Espaços Métricos e os Espaços de Banach**. TCC - CCT, UEPB. Campina Grande - PB, p. 44. 2014.

# Capítulo 4: Análise em Variedades na Teoria das Categorias

Seção 4.1: Variedades Diferenciáveis

* Definição 4.1.1: Uma variedade diferenciável é um espaço topológico que localmente se assemelha a $R^n$ e possui uma estrutura suave.
* Exemplo 4.1.2: A esfera $S^2$ é uma variedade diferenciável.

* Teorema 4.1.3: Em uma variedade diferenciável é possível definir coordenadas locais suaves.

## Seção 4.2: Campos Vetoriais

* Definição 4.2.1: Um campo vetorial em uma variedade é uma atribuição suave de um vetor a cada ponto.

* Exemplo 4.2.2: O campo vetorial gradiente é suave em $R^n$.

* Teorema 4.2.3: A integral de campos vetoriais suaves ao longo de curvas suaves é independente da parametrização escolhida.

## Seção 4.3: Fibrados

* Fibrado:

* Definição 4.3.1: Um fibrado $\pi: E \to M$ é um objeto em uma categoria $C$, onde $M$ é a base e $E$ é a fibra, juntamente com um morfismo $\pi: E \to M$ que associa cada elemento da fibra a um ponto na base. Além disso, os morfismos devem ser localmente difeomorfismos.

* Exemplo 4.3.2: Considere o fibrado $\pi: TM \to M$, onde $M$ é uma variedade suave. Aqui, $TM$ é o fibrado tangente à variedade $M$, e $\pi$ é a projeção natural associada.

* Corolário 4.3.3: Para qualquer variedade $M$, o fibrado tangente $TM$ é sempre um fibrado vetorial.

* Teorema 4.3.4: Se $M$ é uma variedade simplesmente conexa, então o fibrado tangente $TM$ é trivial.
* Mapas e Mapa de Fibrados:

* Definição 4.3.5: Se $\pi_1: E_1 \to M_1$ e $\pi_2: E_2 \to M_2$ são fibrados em $C$, um mapa de fibrados é um par de morfismos $f: E_1 \to E_2$ e $g: M_1 \to M_2$ em $C$ que torna o diagrama comutativo, ou seja, $g \circ \pi_1 = \pi_2 \circ f$.

* Exemplo 4.3.6: Considere dois fibrados $\pi_1: E_1 \to M_1$ e $\pi_2: E_2 \to M_2$ em $C$. Um mapa de fibrados seria dado por $f: E_1 \to E_2$ e $g: M_1 \to M_2$ tal que o diagrama comuta.

* Corolário 4.3.7: A composição de dois mapas de fibrados é novamente um mapa de fibrados.

* Teorema 4.3.8: Se $f$ é um isomorfismo entre fibrados $E_1$ e $E_2$, então o mapa de fibrados $(f, id): (E_1, M_1) \to (E_2, M_2)$ é um isomorfismo.

* Fibrado Vetorial:

* Definição 4.3.9: Um fibrado vetorial em $C$ é um fibrado cuja fibra é um espaço vetorial e os morfismos locais são isomorfismos lineares.

* Exemplo 4.3.10: Considere o fibrado $\pi: E \to M$, onde $E$ é o fibrado tangente e $M$ é uma variedade suave.

* Corolário 4.3.11: Para qualquer ponto $p$ em $M$, a fibra $E_p$ é um espaço vetorial.

* Teorema 4.3.12: Se $E$ é um fibrado vetorial e $f: M_1 \to M_2$ é um difeomorfismo, então $f^*(E)$ (o puxamento para trás de $E$ por $f$) também é um fibrado vetorial.

* Fibrado Tangente em Espaços Tangentes:

* Definição 4.3.13: O fibrado tangente em uma variedade $M$ em $C$ é um fibrado vetorial cuja fibra em cada ponto é o espaço tangente a $M$.
nesse ponto. Os morfismos locais são isomorfismos lineares entre os
espaços tangentes.

o Exemplo 4.3.14: Considere o fibrado tangente $\pi: TM \to M$, onde $M$ é uma variedade riemanniana.

o Corolário 4.3.15: A fibra $T_p M$ é o espaço tangente a $M$ no ponto $p$.

* Teorema: Se $M$ é uma variedade riemanniana compacta, então o fibrado tangente $TM$ é orientável.

• Isomorfismo de Fibrados:

o Definição 4.3.16: Um isomorfismo de fibrados em $C$ entre $\pi_1: E_1 \to M_1$ e $\pi_2: E_2 \to M_2$ é um morfismo $f: E_1 \to E_2$ que é um difeomorfismo, ou seja, um isomorfismo suave, e $g: M_1 \to M_2$ tal que $g \circ \pi_1 = \pi_2 \circ f$.

o Exemplo 4.3.17: Considere dois fibrados isomorfos $\pi_1: E_1 \to M_1$ e $\pi_2: E_2 \to M_2$ em $C$.

o Corolário 4.3.18: Se $f: E_1 \to E_2$ é um isomorfismo entre fibrados, então $g: M_1 \to M_2$ é um difeomorfismo.

o Teorema 4.3.19: Dois fibrados com fibras isomorfas e bases difeomorfas são isomorfos.

• Fibrado Trivial:

o Definição 4.3.20: Um fibrado $\pi: E \to M$ é trivial se existe um isomorfismo de fibrados entre $\pi$ e o fibrado produto $M \times R^n$ em $C$.

o Exemplo 4.3.21: Considere o fibrado $\pi: M \times R^n \to M$, onde $M$ é uma variedade.

o Corolário 4.3.22: O fibrado $\pi: M \times \mathbb{R}^n \to M$ é trivial.

o Teorema 4.3.23: Se $M$ é uma variedade simplesmente conexa, então o fibrado $\pi: M \times \mathbb{R}^n \to M$ é trivial.
# Seção 4.4: Estruturas Diferenciáveis

* Estruturas Diferenciáveis:

* Definição 4.4.1: Em $C$, uma estrutura diferenciável em uma variedade é representada por um fibrado tangente em $C$ associado a essa variedade.

* Exemplo 4.4.2: Considere uma variedade $M$ com uma estrutura diferenciável representada pelo fibrado tangente $\pi: TM \to M$ em $C$.

* Corolário 4.4.3: Se $M$ é uma variedade compacta, então a estrutura diferenciável é orientável.

* Teorema 4.4.4: Dois fibrados tangentes associados a variedades difeomorfas são isomorfos.

Para prosseguirmos com algumas definições que são necessárias para a análise em variedades, assim como no teorema de Whitney, faz-se necessário entendermos alguns conceitos, para, posteriormente, reexpor na “linguagem” da teoria das categorias conjuntamente com os seus diagramas.

## Coleção de Abertos

Se $U$ é uma coleção de conjuntos abertos em uma variedade $X$, então cada $U_i \in U$ é um conjunto aberto em $X$. Pode-se dizer que $U$ cobre a variedade $X$.

### Conjunto $C^1$

Se $X$ é o conjunto das funções $C^1 \in X$, isso implica que todas as funções em $X'$ são continuamente diferenciáveis em cada aberto $U_i \in U$.

### Conjunto $X'(U)$
O conjunto $U'(X)$ consiste nas funções $C^1$ definidas em $X$ que são restritas aos abertos em $U$, isto é, estamos olhando para as funções continuamente diferenciáveis em cada $U_i \in U$.

## Topologia $\tau$

Podemos definir uma topologia $\tau \in X'(U)$ considerando conjuntos abertos nesse espaço. Se $U \subset X'(U)$ é um conjunto de funções, $V$ é aberto em $X'(U)$ se, $\forall f \in v, \exists U_i \in U \mid$ a restrição de $f$ a $U_i \subset V$.

Assim, $(X'(U), \tau)$ é um espaço topológico, onde as funções contínuas, diferenciáveis e restritas a abertos na coleção $U$ são consideradas elementos desse espaço. Dizer que $V$ é um subconjunto de $X'(U)$ significa que consiste em funções $C^1$ definidas em $X$, uma variedade, mas restrita aos abertos em $U$. Ou seja, $X'(U)$, onde $U$ é uma coleção de abertos, pode ser vista como o conjunto $C^1$, que também são definidas funções, em $X$. A partir disso posso definir uma topologia $\tau$, onde $(X'(U), \tau)$ é um espaço topológico.

Por fim, a expressão "tal que a restrição de $f$ a $U_i$ está contido em $V$" significa que a restrição de $f$ ao conjunto $U_i$ está inteiramente contida no conjunto $V$. Ou por outra, todos os valores que a função $f$ assume em $U_i$ pertencem também a $V$. Isso é uma condição para que $f$ seja uma seção suave no fibrado $\pi: E \to M$. As seções suaves associam a cada ponto da base $M$ um ponto correspondente na fibra $E$ de maneira suave e contínua.

* Definição 4.4.5: Ao supor que temos $\pi: E \to M \subset R^n|\pi \subseteq C$, onde $C$ é uma categoria, e $\pi': E' \to M' \subset R^n|\pi' \subseteq C$. Se $X''': E \to E' \in X'_1(U)$: $M \to M'$ são
funções que transformam abertos em $U$, então podemos definir $X''(U) \circ \pi = \pi' \circ X'_1(U)$, ou seja, o diagrama comuta.

Então há a preservação da estrutura e se for linear é um isomorfismo linear, que se dá em espaços vetoriais. Se trabalharmos com fibrados vetoriais, um isomorfismo local entre eles significa que na geometria local pode-se encontrar transformações lineares que preservam tal estrutura (a do fibrado). Assim, temos

* Definição 4.4.6: A coleção $U \subset \mathbb{R}^n$ é aberto e $X \in X'(U)$. Dado $(t_0, x_0) \in R \times U$, $\exists \alpha, \beta > 0$ e $\phi: I_\alpha(t_0) \times B_\beta(x_0) \to U$.

* $I_\alpha(t_0)$ é uma função que atribui um índice a um ponto $t_0$.

* $B_\beta(x_0)$ é uma bola aberta em torno do ponto $x_0$ em $\mathbb{R}^n$.

* $\alpha$ e $\beta$ são escalares, que representam o raio da bola em torno dos pontos $t_0$ e $x_0$, respectivamente.

* A função $\phi$ mapeia um par de pontos $(t, x)$ a um ponto $u \in U$. Esta função está definida em torno de $(t_0, x_0)$, proporcionando, assim, uma “orientação” local para a variedade.

$\phi$ pode ser visto como o fluxo e quanto a sua diferenciabilidade, espera-se que seja suave o suficiente. Além disto, a construção do fibrado produto $E \times_M \mathbb{R}^n$ é semelhante ao produto cartesiano da base $M$ por $\mathbb{R}^n$. Assim, para todo $p$ em $M$, a fibra correspondente é o espaço $\mathbb{R}^n$. Esta construção cria, pois, um fibrado que cobre todo $M$ e tem $\mathbb{R}^n$ como fibra em todo ponto.

Assumindo a diferenciabilidade do fluxo e $t$ como uma variável temporal, vale:

$$ \text{I) } \partial\phi/\partial t(t, x) = X(\phi(t, x)), \forall (t, x) \in I_{\alpha}(t_0) \times B_{\beta}(x_0); $$

$$ \text{II) } \phi(t_0, x) = X, \forall x \in B_{\beta}(x_0); $$
$$ \text{III) } \partial^2 \phi / \partial t^2 = X'(\phi(t, x)) \partial^2 \phi / \partial x^2. $$

A primeira propriedade está a descrever a relação entre a derivada parcial de primeira ordem do fluxo em relação ou em função do tempo $t$ e o campo vetorial $X$ ao longo desse fluxo $\phi$. A segunda expressão está a nos dizer que, como o fluxo começa no ponto $x$, o fluxo mapeia o ponto inicial para si mesmo no tempo inicial $t_0$, isto é, $x$ é invariante no fluxo. A terceira propriedade expressa como a segunda derivada parcial do fluxo em relação ao tempo se relaciona com a segunda derivada do fluxo em relação ao espaço $x$, ao usar o campo vetorial $X'$.

Ao supor $\pi: E \to M$ e $\pi': E' \to M'$, onde $E'$ é a fibra sobre $p$ e $\pi(p)$, $\forall p \in M$, as fibras têm estrutura de espaço vetorial. Para as cartas trivializadoras em $U \subset M$, dado por $\phi: \lambda(U) \to U \times \mathbb{R}^n$, onde $\lambda(U)$ é a fibra sobre $U$. Ao definir as projeções $E^x: E \to E'$ e $M^x: M \to M'$, temos $TM^x$, onde $X_1': U \to \mathbb{R}^n$ são coordenadas. $TM^x$ pode ser visto como transformações lineares, haja vista, que o fibrado tangente a $M^x$ consiste nas transformações lineares associadas às projeções entre as bases.

Em teoria das categorias, teremos que, ao supor que temos morfismos $\pi: E \to M$ e $\pi': E' \to M'$ em uma categoria $C$, onde $E'$ é a ficha sobre $\pi(p)$, $\forall p \in M$, essas fichas possuem uma estrutura de espaço vetorial. Considere agora cartas trivializadoras $\phi: \lambda(U) \to U$, que é um morfismo entre a ficha sobre $U$ e $U$, e $\phi: \lambda(U) \to \mathbb{R}^n$, que é outro morfismo. Agora, definimos os morfismos $\theta^{\text{TM}}: TM \to TM'$.

Por fim, a transformação $\theta^{\text{TM}}$ pode ser vista como um morfismo em $C$, que representa as transformações lineares associadas às projeções entre as bases dos fibrados tangentes.

Traduzindo em termos de diagramas, temos:
## Morfismos entre os Fibrados Tangentes

$$E \xrightarrow{\pi} M$$

$$\downarrow$$

$$E' \xrightarrow{\pi'} M'$$

## As Cartas Trivializadoras como Morfismos Locais

$$\lambda(U) \xrightarrow{\phi} U$$

$$\downarrow$$

$$\mathbb{R}^n \xrightarrow{\phi} U$$

## As Projeções como Morfismos entre Espaços Vetoriais

$$\lambda(U) \xrightarrow{\phi} U$$

$$\downarrow$$

$$\mathbb{R}^n \xrightarrow{\phi} U$$

## As Transformações Lineares como Morfismos Associados

$$E \xrightarrow{\theta^E} E'$$

$$\downarrow \pi \xrightarrow{\theta^\pi} \downarrow \pi'$$

$$M \xrightarrow{\theta^M} M'$$

Para encerrar esse capítulo, veremos o teorema de Whitney traduzido em termos de teoria das categorias. Antes disso, podemos enunciar esse teorema da seguinte forma:
* Teorema 4.4.7 (Whitney): $M^n$ é uma variedade diferenciável, então existe um mergulho $f: M \to \mathbb{R}^{2n}$. Ou seja, o espaço $\mathbb{R}^n$ deve ter a dimensão como o dobro da dimensão da variedade.

Para o descrever em termos da teoria das categorias ou em termos de objetos em uma categoria e as suas relações em termos de morfismos (a função ou seta que os relaciona), temos que primeiro considerar algumas definições ou reinterpretações, são elas:

I) A categoria *DiffMan* são objetos em variedades diferenciáveis, e os morfismos são aplicações suaves.

II) A função $T: \textit{DiffMan} \to \textit{Vect}$, sendo $\textit{Vect}$ a categoria dos espaços vetoriais, associa a cada variedade $M$ o seu fibrado tangente $TM$.

III) A operação de *Pullback* em *DiffMan* será expressa como uma função *Pullback*, isto é, $\textit{DiffMan} \times \textit{DiffMan} \to \textit{DiffMan}$, onde *Pullback* ($f, g$) está a representar o *Pullback* de $f$ por $g$.

IV) Um mergulho é definido como um morfismo $f: M \to \mathbb{R}^{2n} \in \textit{DiffMan}$ tal que $T(f)$ é injetora em cada ponto, isto é, $T(f)$, a função tangente, é um isomorfismo em cada ponto.

Temos que, agora, será possível enunciar o teorema:

* Teorema 4.4.7 (Whitney na teoria das categorias): Para toda variedade diferenciável $M$, observe que a flecha $"_M"$ associa o objeto $M$ a categoria *DiffMan*, em *DiffMan* existe um mergulho $w: M \to \mathbb{R}^{2n} \mid \text{o diagrama comuta}$, isto é, a função tangente $T(w)$ é um isomorfismo em cada ponto.
Os diagramas são:

## As Variedades Diferenciáveis como Objetos numa Categoria

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

## O Fibrado Tangente como Função entre Categorias

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

## O Pullback como uma Operação Categorial

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

## A Definição de Mergulho em Termos Categóricos

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

## O Teorema de Whitney na Teoria das Categorias
<figure><img src="image_9.png" /></figure>

Referências Bibliográficas

LEE, J. M. **Introduction to Smooth Manifolds**. Second edition. Springer: San Francisco - CA, 2003. p. 683.

SPIVAK, M. **Calculus on Manifolds: a Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus**. Addison-Wesley Publishing Company: United States of America, 1965. p. 141.

FLORIT, Luis. Programa de Mestrado: Análise em Variedades. YouTube, 11/02/2015. Disponível em: https://youtube.com/ playlist?list=PLo4jXE-LdDTRFKfzKASQJCQIAC6Hx-zVe&si=ZA 58hcBT2kzm-pAa. Acesso em: 17/01/2024.

# Capítulo 5: Análise do Rn na Teoria das Categorias

## Seção 5.1: Espaços Métricos

* Definição 5.1.1: Um espaço métrico é um conjunto equipado com uma métrica que mede a distância entre pontos.

* Exemplo 5.1.2: $\mathbb{R}^n$ com a métrica euclidiana é um espaço métrico.
* Teorema 5.1.3: A topologia gerada pela métrica em um espaço métrico é a topologia induzida pelos conjuntos abertos.

Em termos de teoria das categorias, temos:

* Definição 5.1.1: Um espaço métrico é um objeto $X$ em uma categoria $C$ equipado com uma métrica $d: X \times X \to R^+$ que mede a distância entre pontos.

* Exemplo 5.1.2: Considere a categoria *Met* dos espaços métricos e as funções Lipschitz-contínuas como morfismos. $R^n$ com a métrica euclidiana é um objeto nessa categoria.

* Teorema 5.1.3: A topologia gerada pela métrica $d: X \times X \to R^+$ em um espaço métrico $X$ é equivalente a topologia induzida pelos conjuntos abertos nesse espaço.

Essas definições e teoremas expressam conceitos fundamentais sobre espaços métricos na linguagem da teoria das categorias, destacando a estrutura métrica e a relação entre a métrica e a topologia.

## Seção 5.2: Sequências e Limites

* Definição 5.2.1: Uma sequência $(x_n)$ em um espaço métrico $X$ converge para $x$ se, para todo $\varepsilon > 0$, existe um $N$ tal que $d(x_n, x) < \varepsilon$, para todo $n \ge N$.

* Exemplo 5.2.2: A sequência $n_1$ converge para 0 em $R$.

* Proposição 5.2.3: Se uma função $f: X \to Y$ é contínua e $(x_n)$ converge para $x$ em $X$, então $f(x_n)$ converge para $f(x)$ em $Y$.
Na teoria das categorias, temos:

* Definição 5.2.1: Uma sequência $(x_n)$ em um objeto $X$ converge para um ponto $x$ se, para todo $\varepsilon > 0$, existe um $N$ tal que a distância $d(x_n, x) < \varepsilon$, para todo $n \ge N$.

* Exemplo 5.2.2: Considere a categoria *Met* dos espaços métricos. A sequência $(n^{-1})$ converge para 0 no espaço métrico *R*.

* Proposição 5.2.3: Se uma função $f: X \to Y$ entre objetos em uma categoria $C$ é contínua e a sequência $(x_n)$ converge para $x$ em $X$, então a sequência $(f(x_n))$ converge para $f(x)$ em $Y$.

Essas formulações traduzem os conceitos de sequências e limites para a linguagem da teoria das categorias, enfatizando a continuidade de funções e o papel da convergência em objetos e morfismos dessa categoria específica.

## Seção 5.3: Projeção Estereográfica

Algo interessante a se observar é que na construção da projeção estereográfica, as funções são identidades, ou melhor, isomorfismos. Com essa escolha é possível mapear pontos do $R^n$ em $B$ de tal forma que a composição dos mapeamentos resulte nas identidades nos conjuntos. Já na equivalência entre funtores, temos que ao compor esses funtores de algumas formas específicas, será obtido a equivalência entre categorias. Ou seja, ambas as construções que se comportam como identidades, resultam em equivalências (isomorfismos). Com isso, aprendemos algo de fundamental importância na matemática, que é como conceitos diferentes podem e partilham muitas das vezes a mesma ou as mesmas estruturas ou propriedades.
Antes de definirmos como seria a projeção estereográfica na teoria das categorias, vejamos como se dar a sua conceituação na análise do $R^n$:

* Definição 5.3.1: Se $B$ (bola aberta unitária) pertence a $R^{n+1}$, então é possível definir uma projeção estereográfica $g: R^n \to B$ e a sua inversa $g^{-1}: B \to R^n$ tal que $g^{-1} \circ g = \text{id}_{R^n}$ e $g \circ g^{-1} = \text{id}_B$.

Na linguagem da teoria das categorias, teremos:

* Definição 5.3.1: A projeção estereográfica é uma transformação natural $\eta: B \to S$ que associa a cada $X \in R$ uma função suave $\eta_x: B(X) \to S(X)$ de modo que, $\forall f: X \to Y$ em $\Re$, o seguinte diagrama comuta:

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

A comutatividade está a expressar a compatibilidade entre a projeção estereográfica e as funções definidas nos espaços. Cada $\eta x$ é uma projeção estereográfica restrita a bola $B(X)$, que nos garante que uma dada projeção estereográfica seja uma transformação natural entre as categorias $R$ e $B$. É importante destacar que $R$ é uma categoria onde os seus objetos são $\mathbb{R}^n$ e os morfismos funções suaves entre os espaços. Em $B$, os objetos são bolas unitárias em $\mathbb{R}^{n+1}$ e os morfismos também funções suaves, mas entre as bolas. $\beta: R \to B$ e $S: B \to R$ são os funtores, onde $B(X)$ e $S(U)$ são, respectivamente, a bola unitária no $\mathbb{R}^{n+1}$ e a projeção estereográfica de $U$ no $\mathbb{R}^n$. Por fim, $S(g)$ seria a restrição de $g$ a $\mathbb{R}^n$.
Além do mais, $S(X)$ refere-se aos objetos na categoria $R$, que provém da aplicação $S$
(o funtor) em $X$ (os objetos). Da mesma forma $S(Y)$, com a diferença de que a
aplicação é em relação ao objeto $Y$ e em $B$.

Seção 5.4: Espaços Vetoriais Normados

Sobre as aplicações lineares entre os espaços vetoriais normados e a equivalência
entre as normas, segue:

* Definição 5.4.1: Dada uma função $f: E \to F$, ela será linear se atende as seguintes propriedades $f(x + y) = f(x) + f(y)$ e $f(\lambda x) = \lambda f(x)$, para todo $x, y$ pertencente a $E$ e $\lambda$ um escalar qualquer.

* Definição 5.4.2: A aplicação linear $f: E \to F$ é dita contínua se satisfaz uma das seguintes condições, que são equivalentes: $f$ é contínua no ponto 0 (com origem em $E$) ou $\exists m > 0$ tal que $\|f(x)\| \le m\|x\|, \forall x \in E$, onde $E$ é a norma.

* Definição 5.4.3: Uma dada aplicação linear biunívoca $f: E \to F$ será um homeomorfismo se e somente se $\exists m, n > 0$ tal que $n\|x\| \le \|f(x)\| \le m\|x\|, \forall x \in E$.

* Definição 5.4.4: Duas normas $\|\cdot\|_1$ e $\|\cdot\|_2$ quaisquer no mesmo espaço vetorial $E$ serão equivalentes se $\exists m, n > 0$ tal que $n\|x_1\| \le m\|x_1\|, \forall x \in E$.

Em termos de teoria das categorias, teremos:

Aplicação Linear
Na categoria de espaço vetorial, o objeto é o próprio espaço vetorial e as setas são aplicações lineares. As propriedades lineares correspondem a combinações de morfismos.

## Continuidade

Pode ser expresso por morfismos contínuos na categoria topológica. Em uma classe de espaços vetoriais normados, a continuidade $f: E \to F$ será expresso como a $f$, que é um morfismo contínuo entre os espaços vetoriais normados $E$ e $F$.

## Homeomorfismo

Na teoria das categorias, isso é consistente com a noção de isomorfismo em categorias topológicas. Assim, o homeomorfismo significa manter uma correspondência aberta e fechada.

## Equivalência Padrão

Isto pode ser formulado em termos da classe de espaços topológicos normados, onde normas equivalentes são representadas por morfismos equidistantes entre espaços normados.

Matematicamente, temos:

Primeiramente, considere a categoria $Vect_n$ dos espaços vetoriais normados sobre um corpo fixo, onde os objetos são os espaços vetoriais e as setas são as aplicações lineares.
* Definição 5.4.1: Definição Sejam $V$ e $W$ objetos em $Vect_n$. Uma seta $f: V \to W$ em $Vect_n$ é um morfismo se, para todo $u, v$ em $V$ e $\lambda$ no corpo, satisfaz: $f(u + v) = f(u) + f(v)$ e $f(\lambda u) = \lambda f(u)$.

* Definição 5.4.2: A continuidade de $f: V \to W$ pode ser expressa por $f$ sendo um morfismo contínuo em $TopVect_n$, a categoria dos espaços vetoriais topológicos normados, juntamente com suas aplicações lineares contínuas.

* Definição 5.4.3: Se $f: V \to W$ é um isomorfismo em $Vect_n$, então em $TopVect_n$, $f$ seria um homeomorfismo se preservar a topologia.

* Definição 5.4.4: Em $TopVect_n$, duas normas $\|\cdot\|_1$ e $\|\cdot\|_2$ em $V$ são equivalentes se existir um isomorfismo $f: (V, \|\cdot\|_1) \to (V, \|\cdot\|_2)$ em $TopVect_n$.

Por fim, um teorema será acrescentado:

* Teorema 5.4.5: Para $f: V \to W$ em $Vect_n$, as seguintes afirmações são equivalentes: $f^{-1}$ é contínua em $0$, em $TopVect_n$. E existe $m > 0$ tal que $\|f(u)\| \le m\|u\|$, para todo $u$ em $V$.

Este teorema estabelece a equivalência entre a continuidade em $0$ e a existência de uma constante $m$ que controla a norma de $f(u)$ em termos da norma de $u$.
# Seção 5.5: Limites, Continuidade, Derivadas e Outros Conceitos

No contexto da teoria das categorias, os conceitos fundamentais da análise no $R^n$ podem ser expressos de maneira elegante e abstrata. Vamos explorar como os conceitos de limite, continuidade e derivada se manifestam nesse contexto.

## Limite:

* Definição 5.5.1: O limite de um objeto $X$ em uma categoria $C$ é um objeto $L$ juntamente com morfismos $\pi_i: L \to X_i$ para cada objeto $X$ indexado, que satisfazem propriedades universais específicas.

* Exemplo 5.5.2: Considere a categoria *Top* dos espaços topológicos. O limite de uma sequência de espaços topológicos é o espaço topológico que captura o comportamento "médio" dos espaços na sequência.

## Continuidade:

* Definição 5.5.3: Uma função entre objetos em uma categoria $C$ será considerada contínua se preservar limites. Em outras palavras, se $f: X \to Y$ é uma função e $(X_i, \pi_i)$ é uma família indexada de objetos com um limite $L$, então $f$ induz um morfismo único $\phi: L \to Y$ tal que o diagrama comuta.

## Derivada:

* Definição 5.5.4: A derivada pode ser vista como uma noção de taxa de variação entre objetos em uma categoria diferenciável. Se $X$ e $Y$ são objetos diferenciáveis em $C$, a derivada de uma função $f: X \to Y$ é um morfismo tangente $\partial f: TX \to TY$ entre os espaços tangentes associados a $X$ e $Y$.
**Integral:**

* Definição 5.5.5: A integral é uma extensão dos conceitos tradicionais, onde a acumulação de uma taxa de variação é expressa em termos de colimites.

**Séries Infinitas, Convergência e Divergência:**

* Definição 5.5.6: Séries infinitas envolvem colimites de sequências de morfismos. A convergência ou divergência é determinada pela existência ou não de um limite no contexto da categoria.

**Sequências e Séries de Funções:**

* Definição 5.5.7: Sequências e séries de funções são tratadas como sequências e colimites de objetos em uma categoria de espaços de funções.

**Funções Vetoriais e Gradiente, Divergente e Rotacional:**

* Definição 5.5.8: Funções vetoriais mapeiam objetos em uma categoria para objetos em uma categoria de espaços vetoriais, com propriedades especiais relacionadas a limites e continuidade.

* Definição 5.5.9: O gradiente, divergente e rotacional podem ser interpretados como operadores lineares agindo entre espaços de funções diferenciáveis.

Essa abordagem na teoria das categorias oferece uma visão unificada e abstrata dos conceitos fundamentais da análise no $R^n$, destacando as relações estruturais entre eles em um contexto mais amplo.
Referências Bibliográficas

MENDES, A. *Uma Breve Introdução ao Estudo da Análise do Rn*. Dissertação de mestrado - Universidade Federal da Paraíba (UFPB). João Pessoa. p. 56. 2017.

ROYDEN, H.L; FITZPATRICK, P.M. **Real Analysis**. Fourth edition. Pearson Education Asia Limited and China Machine Press: China, 2010. p. 496.

LAGES, Elon. **Curso de Análise: Volume 2**. Quinta edição. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), 1999. p. 557.

O'NEILL, B. **Elementary Differential Geometry**. Revised second edition. Academic Press: San Diego - CA, 1990. p. 495.

# Capítulo 6: Topologia Geral na Teoria das Categorias

## Seção 6.1: Espaços Topológicos

* Definição 6.1.1: Um espaço topológico é um conjunto $X$ equipado com uma coleção de conjuntos abertos satisfazendo certos axiomas.

* Exemplo 6.1.2: A reta real com a topologia usual é um espaço topológico.

* Teorema 6.1.3: A interseção finita de conjuntos abertos é aberta.

Reinterpretando aos moldes da linguagem da teoria das categorias, temos:

* Definição 6.1.1: Um espaço topológico é um objeto $X$ em uma categoria $C$ equipado com uma coleção de objetos abertos satisfazendo certos axiomas.
* Exemplo 6.1.2: Considere a categoria *Top* dos espaços topológicos. A reta real com a topologia usual é um objeto nessa categoria.

* Teorema 6.1.3: A interseção finita de objetos abertos em um espaço topológico é um objeto aberto.

# Seção 6.2: Compactificação

* Definição 6.2.1: Um espaço topológico $Y$ é uma compactificação de $X$ se $X$ é denso em $Y$ e $Y$ é compacto.

* Exemplo 6.2.2: A reta real estendida $\mathbb{R}$ é uma compactificação de $R$.

* Teorema 6.2.3: Toda variedade é localmente compacta.

Ao traduzir para a terminologia e semântica da teoria das categorias, acrescentei o conceito de bola aberta e homeomorfismo entre dois espaços topológicos.

* Definição 6.2.1: Um espaço topológico $Y$ é uma compactificação de um objeto $X$ se $X$ é denso em $Y$ e $Y$ é um objeto compacto.

* Exemplo 6.2.2: Na categoria *Top*, a reta real estendida $\mathbb{R}$ é uma compactificação de $R$.

* Teorema 6.2.3: Toda variedade é localmente compacta.

* Definição 6.2.4: Uma bola aberta em um espaço topológico $X$ é um objeto aberto da forma $B_{\varepsilon}(x) = \{y \in X; d(y, x) < \varepsilon$, onde $d$ é uma função métrica associada a $X$.

* Definição 6.2.5: Um homeomorfismo entre dois espaços topológicos $X$ e $Y$ é um isomorfismo na categoria $C$ que preserva a topologia, ou seja, há uma função contínua inversa.
# Seção 6.3: Conceitos Adicionais

* Definição 6.3.1: Um conjunto fechado em um espaço topológico $X$ é um objeto fechado na categoria $C$, definido como o complemento de um conjunto aberto.

* Definição 6.3.2: Uma função $f: X \to Y$ entre espaços topológicos é contínua se, para todo objeto aberto $U$ em $Y$, a pré-imagem $F^{-1}(U)$ é um objeto aberto em $X$.

* Definição 6.3.3: Um espaço topológico é conexo se não puder ser particionado em dois objetos abertos disjuntos não vazios.

* Definição 6.3.4: Um espaço métrico é um objeto $X$ em uma categoria $C$ equipado com uma função métrica $d: X \times X \to R^+$, satisfazendo certas propriedades categoriais.

* Teorema 6.3.5 (Teorema de Urysohn): Pode ser formulado como uma relação entre conjuntos fechados em um espaço topológico $X$ e funções contínuas de $X$ para o intervalo unitário.

Essas definições expandem o conjunto de conceitos fundamentais em topologia geral na linguagem da teoria das categorias, destacando a abstração e a universalidade desses conceitos em um contexto mais amplo.

# Referências Bibliográficas

WILLARD, S. **General Topology**. Dover Publications: Mineola, New York, 1970. p. 374.

CAMPELLO, Ermínia; IZAR, Sebastião. **TOPOLOGIA GERAL: Notas de Aula - n°5**. 2° edição. São José do Rio Preto - SP: Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho", 2010. p.167.
SANTOS, José. **Introdução à Topologia**. Porto - Região Norte de Portugal.
Universidade do Porto (U. Porto) - Faculdade de Ciências. p.192.

LAGES, Elon. **Elementos de Topologia Geral**. Rio de Janeiro: Universidade de São Paulo (USP), 1970. p. 297.

# Capítulo 7: Álgebra Linear na Teoria das Categorias

## Seção 7.1: Espaços Vetoriais e Subespaços Vetoriais

* Definição 7.1.1: Um espaço vetorial sobre um corpo $K$ é um conjunto $V$ equipado com operações de adição e multiplicação por escalar satisfazendo certas propriedades.

* Exemplo 7.1.2: $R^n$ é um espaço vetorial sobre $R$.

* Teorema 7.1.3: A soma e o produto por escalares em um espaço vetorial são operações contínuas.

Rassignificando em termos de teoria das categorias, fazendo os diagramas nos casos mais relevantes e definindo o subespaço vetorial, cheguei a:

* Definição 7.1.1: Um espaço vetorial sobre um corpo $K$ é um objeto $V$ em uma categoria $C$ equipado com operações de adição e multiplicação por escalar satisfazendo certas propriedades.
$$V \times V \xrightarrow{+} V$$

↓

→ .

$$K \times V \xrightarrow{\cdot} V$$

* Exemplo 7.1.2: Considere a categoria Vect dos espaços vetoriais sobre $K$. $R^n$ é um objeto nessa categoria e é um espaço vetorial sobre $R$.

* Teorema 7.1.3: A soma e o produto por escalares em um espaço vetorial são morfismos contínuos.

* Definição 7.1.4: Um subespaço vetorial de um objeto $V$ é um objeto $U$ em $C$ tal que $U$ é um subconjunto de $V$ e as operações de adição e multiplicação por escalar em $U$ são herdadas de $V$.

$$U \hookrightarrow V$$

↓

→ .

$$K \times U \xrightarrow{\cdot} U$$

## Seção 7.2: Transformações Lineares

* Definição 7.2.1: Uma transformação linear $T: V \rightarrow W$ entre espaços vetoriais é uma aplicação que preserva a soma e a multiplicação por escalares.

* Exemplo 7.2.2: A diferenciação é uma transformação linear em $C^1[0, 1]$.

* Teorema 7.2.3: A composição de transformações lineares é uma transformação linear.

Sob a ótica da teoria das categorias, temos:
* Definição 7.2.1: Uma transformação linear $T: V \to W$ entre objetos em uma categoria $C$ é uma aplicação que preserva a soma e a multiplicação por escalares.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

* Exemplo 7.2.2: Na categoria Vect, considere $C^1[0, 1]$, o espaço das funções continuamente diferenciáveis em $[0, 1]$. A diferenciação é uma transformação linear.

* Teorema 7.2.3: Na teoria das categorias, a composição de transformações lineares $T: U \to V$ e $S: V \to W$ é uma transformação linear $S \circ T: U \to W$.

## Seção 7.3: Produto Vetorial, Interno e Projeção de Vetores

* Definição 7.3.1: O produto vetorial de dois objetos $V$ e $W$ em $C$ é um objeto $V \times W$ equipado com operações de adição e multiplicação por escalar coordenada por coordenada.

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

* Definição 7.3.2: Um produto interno em um objeto $V$ é um morfismo $\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \to K$ que satisfaz certas propriedades.
$$V \times V \xrightarrow{\langle \cdot, \cdot \rangle} K$$

$$\downarrow \qquad \downarrow$$

$$K \times V \xrightarrow{\cdot} V$$

* Definição 7.3.3: A projeção de um objeto $V$ em um subespaço $U$ é um morfismo $P: V \to U$ que preserva a adição e a multiplicação por escalar.

$$V \xrightarrow{P} U$$

$$\downarrow \qquad \downarrow$$

$$K \times V \xrightarrow{\cdot} V$$

# Seção 7.4: Matrizes, Seus Determinantes e Escalonamentos

* Definição 7.4.1: Uma matriz $A$ com entradas em um corpo $K$ é um objeto em uma categoria $C$ que representa uma transformação linear entre espaços vetoriais.

$$K^n \xrightarrow{A} K^m$$

$$\downarrow \qquad \downarrow$$

$$K \times K^n \xrightarrow{\cdot} K^n$$

* Definição 7.4.2: O determinante de uma matriz é um morfismo $det: Mat(n \times n, K) \to K$ que satisfaz certas propriedades.

$$\mathrm{Mat}(n \times n, K) \xrightarrow{\mathrm{det}} K$$

$$\downarrow \qquad \downarrow$$

$$K \times \mathrm{Mat}(n \times n, K) \xrightarrow{\cdot} \mathrm{Mat}(n \times n, K)$$
* Definição 7.4.3: O escalonamento de uma matriz é uma transformação linear que transforma a matriz em uma forma escalonada.

$$ \begin{array}{ccc} \text{Mat}(m \times n, K) & \xrightarrow{\text{escalonamento}} & \text{Mat}(m \times n, K) \\ \downarrow & & \downarrow \\ K \times \text{Mat}(m \times n, K) & \xrightarrow{\cdot} & \text{Mat}(m \times n, K) \end{array} $$

* Definição 7.4.4: A matriz transposta de uma matriz $A$ é um objeto $A^T$ que representa a inversão de linhas por colunas ou colunas por linhas.

$$ \begin{array}{ccc} \text{Mat}(m \times n, K) & \xrightarrow{(\cdot)^T} & \text{Mat}(n \times m, K) \\ \downarrow & & \downarrow \\ K \times \text{Mat}(m \times n, K) & \xrightarrow{\cdot} & \text{Mat}(n \times m, K) \end{array} $$

Estes diagramas representam visualmente as operações e relações entre os objetos e morfismos na teoria das categorias, enfatizando a estrutura e as propriedades algébricas na álgebra linear.

## Seção 7.5: Autovalor e Autovetor

* Definição 7.5.1: Um autovalor $\lambda$ e um autovetor $v$ de um operador linear $T: V \to V$ são objetos que satisfazem $T(v) = \lambda v$.

$$ \begin{array}{ccc} V & \xrightarrow{T} & V \\ \downarrow & & \downarrow \\ K \times V & \xrightarrow{\cdot} & V \end{array} $$
Referências Bibliográficas

AXLER, S. *Linear Algebra Done Right*. Second edition. Springer - Verlag: New York, 1997. p. 249.

HALMOS, P. *Finite-Dimensional Vector Spaces*. Second edition. Dover Publication: Mineola, New York, 1958. p. 202.

LAGES, Elon. *Álgebra Linear*. 8ª edição. Rio de Janeiro: IMPA, 2011. p. 354.

# Capítulo 8: Teoria das Categorias na Teoria das Categorias

## Seção 8.1: Noções Básicas

* Definição 8.1.1: Uma categoria consiste em objetos e morfismos entre esses objetos, sujeitos a composição de morfismos associativa e a existência de um morfismo identidade para cada objeto.

* Exemplo 8.1.2: A categoria *Set* tem conjuntos como objetos e funções como morfismos.

* Teorema 8.1.3: A composição de morfismos em uma categoria é associativa.
# Seção 8.2: Funtores

* Definição 8.2.1: Um funtor entre duas categorias *C* e *D* associa a cada objeto de *C* um objeto de *D* e a cada morfismo de *C* um morfismo de *D* de forma compatível com as composições.

* Exemplo 8.2.2: O funtor de esquecimento $Grp \to Set$ que associa a cada grupo seu conjunto subjacente.

* Teorema 8.2.3: Funtores preservam composição de morfismos.

Um funtor é uma aplicação entre duas categorias quaisquer, onde é preservada a estrutura da categoria, isto é, um funtor é uma forma sistematizada que visa associar objetos e morfismos entre duas categorias de tal forma que a composição e a identidade é respeitada. Os dois principais funtores são:

* Definição 8.2.4: Funtores covariantes são aqueles que preservam a ordem dos morfismos. Se $f: C \to D$ é um funtor covariante entre as categorias *C* e *D*, então para objetos *A*, *B* em *C*, existe uma aplicação $f: \operatorname{Hom}_C(A, B) \to \operatorname{Hom}_D(f(A), f(B))$.

* Definição 8.2.5: Funtores contravariantes são aqueles que invertem a ordem dos morfismos. Se $f: C \to D$ é um funtor contravariante entre as categorias *C* e *D*, então para objetos *A*, *B* em *C*, existe uma aplicação $f: \operatorname{Hom}_C(A, B) \to \operatorname{Hom}_D(f(B), f(A))$.

Antes de entendermos o que seria uma equivalência entre funtores, vejamos o que são funtores de identidade:

* Definição 8.2.6: Os funtores de identidade são aqueles que mapeiam uma dada categoria nela mesma, preservando, assim, a estrutura da categoria. Formalmente, diz-se que para qualquer objeto *X* em *C*, o objeto $id_C(X)$ é
simplesmente $X$, e qualquer morfismo $f: A \to B$ em $C$, o morfismo $id_C(f)$ é tão somente a $f$.

A equivalência entre funtores pode ser definida de uma forma que preserve a estrutura da categoria. Vejamos:

* Definição 8.2.7: Se temos dois funtores, $f: C \to D$ e $g: D \to C$, sendo $C$ e $D$ duas categorias, dizemos, então, que $f$ e $g$ são equivalentes se existirem transformações naturais $\eta: id_C \to g \circ f$ e $\varepsilon: f \circ g \to id_D$ que são isomorfismos.

Esta definição expressa em uma ideia geral nos diz que ao compor funtores $f$ e $g$, devemos obter funtores que são “quase” isomorfos aos funtores de identidade, nas respectivas categorias.

## Seção 8.3: Naturalidade

* Definição 8.3.1: Uma transformação natural entre dois funtores $F, G: C \to D$ é uma família de morfismos $\eta_X: F(X) \to G(X)$ para cada objeto $X$ em $C$ de forma que diagramas específicos comutem.

* Exemplo 8.3.2: A transformação natural entre o funtor de inclusão e o funtor constante entre categorias de conjuntos.

* Teorema 8.3.3: A composição de transformações naturais é uma transformação natural.
Transformação natural é uma forma sistemática de relacionar uma dada família de morfismos em uma categoria a outra família de morfismos em outra categoria tal que a estrutura é respeitada.

* Definição 8.3.4: Ao considerar duas categorias *C* e *D* e os funtores *F*, *G*: *C* → *D* . A transformação natural η: *F* → *G* associa para cada objeto *X* ∈ *C* um morfismo η: *F*(X) → *G*(X) | ∀f: X → Y em *C* o diagrama a seguir comuta:

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

Ou seja, η_y∘F(f) = G(f)∘η_x, ∀f: X → Y em C.

O conceito de transformação natural é deveras importante, pois de forma genérica
nos informa como os funtores relacionam-se. No concernente a equivalência entre
funtores, temos η: id<sub>C</sub> → G∘F e ε: F∘G → id<sub>D</sub>, que são isomorfismos naturais, isto é,
em última instância a composição desses funtores é a identidade em suas
respectivas categorias.

Seção 8.4: Teoria das Categorias na Categoria Cat

* Definição 8.4.1: A categoria *Cat* é definida em termos de objetos, que são as categorias, morfismos, que são os funtores entre as categorias, composição e identidade. A identidade é o funtor identidade que associa o objeto a categoria.
* Corolário 8.4.2: A categoria *Cat* é uma categoria, onde os seus objetos são categorias e os morfismos os funtores.

* Teorema 8.4.3: Na categoria *Cat* os funtores preservam a estrutura categorial. Em outros termos, se *f* e *g* são funtores de *C* para *D*, então *f* e *g* preservam a composição de morfismos e a identidade de objetos, mantendo as propriedades associativas e a existência de identidades.

* Corolário 8.4.4: A teoria das categorias pode ser formulada e estudada dentro da categoria *Cat*.

Matematicamente, temos:

* Definição 8.4.1: A categoria *Cat* é definida em termos de objetos, que são as categorias, denotadas por *C*, *D*, e assim por diante, e por morfismos, que são os funtores entre as categorias, denotado, neste caso, por $f: C \to D$.

* Corolário 8.4.2: A categoria *Cat* é uma categoria, onde os seus objetos são categorias e os morfismos os funtores.

* Teorema 8.4.3 (preservação da estrutura em *Cat*): Se $f: C \to D$ e $g: C \to D$ são funtores, então $f$ e $g$ preservam a composição e a identidade em *Cat*, isto é, $\forall f, g, h \in \forall C, D, E$ vale a associatividade e a identidade, dadas por $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f) \in 1_c \circ f = f = f \circ 1_c$, respectivamente.

* Corolário 8.4.4: A teoria das categorias pode ser formulada e estudada dentro da categoria *Cat*.

Referências Bibliográficas

MAC LANE, S. **Categories for the Working Mathematician**. Second edition.
Springer - Verlag: New York, 1971. p. 303.

AWODEY, S. **Category Theory**. Oxford University Press: Oxford, 2010. p. 336.
CLEMENTINO, Maria. **Teoria das Categorias.** Universidade de Coimbra, 2011. p. 43.

XIMENES, Yuri. **Introdução à Teoria da Homotopia Abstrata.** Cornell University, 13/08/20. p. 196.

# Apêndices

## 1- Análise Real e Topologia Geral na Teoria das Categorias

### Seção 1.1: Limites e Continuidade

* Definição 1.1.1: Seja $D$ um diagrama, dizemos que $L$ é um limite de $D$ se, $\forall X \in C, \exists u: X \to L$, sendo $u$ um único morfismo $| \forall f: X \to D_i$ no diagrama, $\exists v_i: L \to D_i$, sendo $v_i$ único, fazendo com que o diagrama comute, ou seja, $f = v_i^\circ u$.

* Teorema 1.1.2: Tome $D$ como um diagrama indexado por um conjunto qualquer parcialmente ordenado. Se $L$ é o limite de $D$ e para todos os objetos $D_i$ temos que são espaços topológicos, então $L$ é um espaço topológico.

* Definição 1.1.3: Tome $X$ um espaço topológico. Um limite projetivo para um dado diagrama $D \in \mathcal{Top}$ será chamado de “limite topológico” de $D$, denotado por $\lim \leftarrow D$.

* Definição 1.1.4: Em $\mathcal{Top}$, o produto cartesiano dos espaços topológicos é um limite topológico.

* Lema 1.1.5: Se $D$ é um diagrama constante em $\mathcal{Top}$, o seu limite topológico será o objeto constante.
## Seção 1.2: Completude e Continuidade Uniforme

* Definição 1.2.1: Um espaço métrico $X$ é completo se existe um limite para toda sequência de Cauchy em $X$.

* Teorema 1.2.2: Na categoria dos espaços métricos a completude é preservada sob os limites topológicos, isto é, se $(X_n, d_n)$ é uma sequência de um espaço métrico completo e $X$ é o limite topológico de $(X_n, f_n)$ em Top, então $X$ é completo.

* Definição 1.2.3: $f: X \to Y$ é uma função uniformemente contínua entre espaços métricos completos e $(x_n)$ é uma sequência de Cauchy em $X$, então a sequência $(f(x_n))$ é uma sequência de Cauchy em $Y$.

# 2 - Teoria dos Tipos, Cálculo $\lambda$-Tipado e a Teoria das Categorias

## Seção 2.1: Teoria dos Tipos e o Cálculo $\lambda$-Tipado

* Definição 2.1.1: Tome um par ordenado $(t_1, t_2)$, onde $t_1 \subset \psi$ e $t_2 \subset \phi$, então $\pi_1((t_1, t_2))$ é a projeção da primeira componente, onde $\pi_1((t_1, t_2)) \in \psi$. Analogamente $\pi_2((t_1, t_2))$ é a projeção da segunda componente, onde $\pi_2((t_1, t_2)) \in \phi$.

* Definição 2.1.2: $\lambda xt_1$ está a representar uma função-$\lambda$ que recebe um argumento $x$ (o valor de entrada) do tipo $\psi$ e gera (o valor de saída) um valor $t_1$ do tipo $\phi$, por sua vez, $t_2$ é um argumento de tipo $\psi$. Esta expressão $App(\lambda xt_1, t_2)$ retrata a aplicação da supracitada função-$\lambda$ a $t_2$. O resultado de tal aplicação é $t_1[x + t_2]$, que nos diz que em $t_1$ todos os casos de $x$ são substituídas por $t_2$. Por fim, o tipo resultante de tal aplicação será $\phi$.
O cálculo-λ-tipado é construído para que as funções totais sejam garantidas, evitando, assim, indefinições ou loops infinitos. Assim como a teoria dos tipos, o cálculo lambda tipado é de fundamental importância na linguagem de programação funcional e na formalização de sistemas lógicos. Na teoria das categorias, os tipos são interpretados como sendo objetos de uma dada categoria e os morfismos como sendo os termos entre os objetos. A aplicação se dá com a utilização de objetos exponenciais. Por fim, vejamos como se dar tais formalizações na teoria das categorias.

* Definição 2.1.3: Dado que os tipos são objetos em uma categoria. Tome uma categoria *C*, denotamos um tipo *A* como $Ob(A)$ em *C*.

* Definição 2.1.4: Dado que os termos são morfismos entre os objetos. Então temos $t: A \to B$ tal que $t$ é posto como um morfismo entre os tipos.

* Definição 2.1.5: Expressamos $\pi_1$ (a operação) como $\pi_1: A \times B \to A$ (um morfismo) e $\pi_2$ como $\pi_2: A \times B \to A$, onde $A \times B$ é o produto cartesiano dos tipos.

* Definição 2.1.6: A função $\lambda x.t$ pode ser conceituada como $\lambda: A \to B$, haja vista, que $A$ é o tipo do argumento $x$ e $B$ do resultado $t$.

* Definição 2.1.7: De uma dada função-λ a sua aplicação a um argumento $App(\lambda x.t, u)$, pode ser concebida como $App: A \times A \to B$ (um morfismo), sendo $A$ o tipo do argumento e $B$ do resultado.

* Definição 2.1.8: A exponencial de $A$ e $B$ (objetos) é um objeto $B^A$ ($A$ é o domínio e $B$ o contradomínio) conjuntamente ao morfismo $eval: B^A \times A \to B$, onde certas propriedades são satisfeitas.

Além disso, é importante destacar que $eval: B^A \times A \to B$, pode servir para representar a aplicação lambda. Assim, teríamos $eval(f, x)$, ou por outra, a aplicação da $f$ (a função) em $x$ (um argumento).
# 3 - Conversão do Autômato Finito Não Determinístico (AFN) e Autômato Finito Determinístico (AFD) numa Linguagem Regular na Teoria das Categorias

## Seção 3.1: Conversão do AFN numa Linguagem Regular

* Definição 3.1.1: Dada um AFN $M = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$, onde $Q$ é o conjunto finito de estados, $\Sigma$ é o alfabeto, $\delta$ é a função de transição, $q_0$ é o estado inicial, e $F$ é o conjunto de estados finais, podemos construir uma gramática regular $G = (V, \Sigma, P, S)$, com $V$ sendo o conjunto de variáveis, $T$ sendo o conjunto de terminais (alfabeto), $P$ sendo o conjunto de produções, e $S$ sendo o símbolo inicial.

* Definição 3.1.2: A construção da gramática regular a partir do AFN envolve associar variáveis a estados e criar produções para simular as transições de um autômato. Segue os passos gerais:

* Conjunto de Variáveis $V$: Associe uma variável diferente a cada estado do AFN ($V = \{A_q; q \in Q\}$);

* Símbolo Inicial $S$: O símbolo inicial é associado ao estado inicial do AFN ($S = A_{q_0}$);

* Conjunto de Terminais $T$: O conjunto de terminais é o mesmo que o alfabeto do AFN ($T = \Sigma$);

* Conjunto de Produções $P$: Para cada estado $q \in Q$ e para cada transição $\delta(q, a) = \{p_1, p_2, \dots, p_k\}$, adicione produções da forma:

$A_q \rightarrow aA_{p_1} | aA_{p_2} | \dots | aA_{p_k} | \dots | aA_{p_\epsilon}$ se $\delta(q, a) \neq \emptyset$;
* Adicione também produções para lidar com transições vazias:

$$A_q \rightarrow aA_{p_1} | aA_{p_2} | \dots | aA_{p_k} \varepsilon \quad \text{se } \delta(q, \varepsilon) = \phi.$$

A ideia é que as produções simularam as transições do AFN. Cada variável representa um estado e as produções associadas a essa variável representam as transições a partir desse estado.

Na linguagem da teoria das categorias podemos descrever a conversão de um AFN em uma gramática regular de maneira mais abstrata. Vamos utilizar alguns conceitos básicos da teoria das categorias.

## Objetos e Morfismos:

* Os objetos da categoria serão os estados do AFN, ou seja, $Q$. Os morfismos entre objetos representarão as transições do AFN, associando cada símbolo do alfabeto a um conjunto de estados de destino.

## Categoria de Conjuntos (Sets):

* Considere a categoria *Set*, onde os objetos são conjuntos e os morfismos são funções entre conjuntos.

## Funtores:

* Podemos considerar um funtor $F: \mathit{Set} \rightarrow \mathit{Set}$ que leva cada conjunto $Q$ (objeto do AFN) para o conjunto de variáveis $V = \{A_q; q \in Q\}$. O funtor também leva cada função $\delta(q, a)$ (transição do AFN) para as produções correspondentes na gramática regular.
## Álgebra de Categorias:

* A gramática regular associada pode ser vista como uma estrutura algébrica na categoria dos conjuntos, onde as produções representam as operações dessa álgebra.

A descrição na linguagem da teoria das categorias enfatiza a estrutura geral do processo de conversão, utilizando conceitos fundamentais dessa teoria. As variáveis da gramática correspondem aos objetos da categoria e as produções correspondem aos morfismos entre esses objetos. A noção de funtor ajuda a formalizar a associação entre os estados e variáveis, bem como entre as transições e as produções. Essa abordagem permite uma visão mais abstrata e concisa do processo.

## Seção 3.2: Conversão do AFD numa Linguagem Regular

Vamos considerar a conversão de um Autômato Finito Determinístico (AFD) em uma Gramática Regular (GR). O processo é semelhante ao que foi descrito anteriormente para um Autômato Finito Não Determinístico (AFN).

* Definição 3.2.1: Dado um AFD $M = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$, onde $Q$ é o conjunto finito de estados, $\Sigma$ é o alfabeto, $\delta$ é a função de transição, $q_0$ é o estado inicial, e $F$ é o conjunto de estados finais, podemos construir uma gramática regular $G = (V, \Sigma, P, S)$, com $V$ sendo o conjunto de variáveis, $\Sigma$ sendo o conjunto de terminais (alfabeto), $P$ sendo o conjunto de produções, e $S$ sendo o símbolo inicial.

* Definição 3.2.2: A construção da gramática regular a partir do AFD envolve associar variáveis a estados e criar produções para simular as transições do autômato. Aqui estão os passos gerais:
* Conjunto de Variáveis $V$: Associe uma variável diferente a cada estado do AFD ($V = \{A_q; q \in Q\}$);

* Símbolo Inicial $S$: O símbolo inicial é associado ao estado inicial do AFD ($S = A_{q_0}$);

* Conjunto de Terminais $\Sigma$: O conjunto de terminais é o mesmo que o alfabeto do AFD ($\Sigma = \Sigma$);

* Conjunto de Produções $P$: Para cada estado $q \in Q$ e para cada transição $\delta(q, a) = p$, adicione produções da forma:

* $A_q \to aA_p$;

* Adicione produções da forma:

* $A_q \to aA_{p_1} | aA_{p_2} | \dots | aA_{p_k}$ se $\delta(q, a) \neq \emptyset$.

A ideia é que as produções simularam as transições do AFD. Cada variável representa um estado, e as produções associadas a essa variável representam as transições a partir desse estado.

Para a teoria das categorias, representar a conversão de um AFD ou AFN em uma gramática regular envolve o uso de diagramas em uma linguagem específica de categoria. No entanto, criar diagramas detalhados nesta linguagem pode ser complexo e requer uma ferramenta especializada.

Forneci, portanto, uma descrição textual da representação em categorias para a conversão de AFD e AFN em linguagens regulares.

## Conversão de AFD para Gramática Regular na Teoria das Categorias

Objetos (Obj):

* $Obj = \{q_1, q_2, q_3, \dots, q_n\}$ (conjunto de estados do AFD).
Setas (*Arr*):

* *Arr* = {(*q*<sub>*i*</sub>, *q*<sub>*j*a*</sub>); δ(*q*<sub>*i*a*</sub>) = *q*<sub>*j*</sub>} (conjunto de transições do *AFD*).

Categoria (*Cat*):

* *Cat* = (*Obj*, *Arr*) (categoria para o *AFD*).

Diagrama de Categoria (*Diagram*):

* Um diagrama com objetos representando estados e setas representando transições.

Conversão de AFN para Gramática Regular na Teoria das Categorias

Objetos (*Obj*):

* *Obj* = {*q*<sub>1</sub>, *q*<sub>2</sub>, *q*<sub>3</sub>, ..., *q*<sub>*n*</sub>} (conjunto de estados do *AFN*).

Setas (*Arr*):

* *Arr* = {(*q*<sub>*i*</sub>, *q*<sub>*j,a*</sub>); *a* ∈ Σ e *q*<sub>*j*</sub> ∈ δ(*q*<sub>*i,a*</sub>)} (conjunto de transições do *AFN*).

Categoria (*Cat*):

* *Cat* = (*Obj*, *Arr*) (categoria para o *AFN*).

Diagrama de Categoria (*Diagram*):

* Um diagrama com objetos representando estados e setas representando transições.

Esses diagramas na teoria das categorias são abstratos e não podem ser
diretamente traduzidos em diagramas visuais, pois eles são mais usados para
representar formalmente as estruturas, que são as relações entre objetos em uma
dada categoria ou os morfismos.
Referências Bibliográficas

ESTEVÃO, Carlos; GOMES, Leonardo et al. **Linguagens Formais e Autômatos.**

SAGAH: Porto Alegre, 2021. p. 248.