REMARQUES SUR L'UNICITÉ DU PROBLÈME DE CAUCHY

PAR

J. CHABROWSKI (KATOWICE)

Il se trouvent établis dans la communication présente quelques théorèmes sur l'unicité du problème de Cauchy pour les équations paraboliques linéaires dans une classe de solutions non bornées. Ce problème sera envisagé d'abord pour les solutions au sens classique et ensuite pour les solutions généralisées. Les considérations sont basées sur les résultats d'Aronson et Besala (voir [2]).

1. Considérons l'équation parabolique linéaire

$$ (1) \quad Lu = \sum_{i,j=1}^{n} \{a_{ij}(t, x)u\}_{x_i x_j} - \sum_{i=1}^{n} \{b_i(t, x)u\}_{x_i} + c(t, x)u - u_t = 0 $$

dont les coefficients avec ses dérivées intervenant dans (1) sont définis et mesurables dans une couche $H = (0, T] \times E_n$ ($E_n$ étant l'espace euclidien à $n$ dimensions) et bornés dans tout cylindre $(0, T] \times (|x| \le R)$, $|x|^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2$, $(t, x) = (t, x_1, \dots, x_n)$.

Soit $B(s)$ une fonction de classe $C^1$ dans $[1, \infty)$ satisfaisant aux conditions qui suivent:

$$ \cdot \text{(a)} \quad \sqrt{B(s)} > 0 \text{ pour } s \ge 1, \quad \text{(b)} \quad \int_1^\infty \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} = \infty, $$

$$ \text{(c)} \quad \sqrt{B(s)} \le M_1 s \int_1^s \frac{ds}{\sqrt{B(s)}}, \quad \text{(d)} \quad \left| \frac{d}{ds} \sqrt{B(s)} \right| \le M_2 \int_1^s \frac{ds}{\sqrt{B(s)}}, $$

(e) il existe pour tout $\alpha > 0$ une constante $M(\alpha)$ telle que

$$ s \exp -\alpha \left[ \int_{1}^{s} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \right]^2 \le M(\alpha). $$

Le problème de Cauchy (au sens classique) rélatif à l'équation (1) et à la couche $H$ consiste à chercher de cette équation une solution $u(t, x)$ régulière dans $H$ (c'est-à-dire continue dans $\bar{H}$ et admettant des dérives
vées $u_{x_i}, u_{x_i x_i}$ pour $i, j = 1, \dots, n$ et $u_t$ continues dans $\mathcal{H}$) et satisfaisant à la condition

$$ (2) \qquad u(0, x) = \varphi(x) \quad \text{pour } x \in E_n $$

où la fonction $\varphi(x)$ est donnée d'avance dans $E_n$.

Introduisons la notation $r_1 := r_1(x) = \{|x|^2+2\}^{1/2}$ qui interviendra dans la suite.

**THÉORÈME 1.** Admettons que

1.° Les coefficients de l'équation (1) satisfont aux conditions

$$ |a_{ij}(t, x)| \le K_1 B(r_1), \quad |b_i(t, x)| \le K_2 \sqrt{B(r_1)} \int_1^{r_1(x)} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} $$

et

$$ c(t, x) \le K_3 \left[ \int_1^{r_1(x)} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \right]^2 $$

pour $i, j = 1, \dots, n$ ($K_1, K_2, K_3$ étant des constantes positives).

2.° La forme quadratique $\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(t, x) \xi_i \xi_j$ est semi-définie positive.

3.° La fonction $u(t, x)$ est la solution du problème de Cauchy avec la condition initiale $u(0, x) = 0$ pour $x \in E_n$ et on a

$$ (3) \qquad \int_H |u(t, x)| \exp[-\alpha \left[ \int_1^{r_1(x)} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \right]^2] dt dx < \infty $$

pour un certain $a_0$.

Alors on a $u(t, x) \equiv 0$ dans $\bar{H}$.

**Démonstration.** Posons

$$ H_\delta = (0, \delta] \times E_n, \quad \Phi(t, x) = \exp(-(\alpha + \beta t)) \left[ \int_1^{r_1(x)} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \right]^2 $$

où $\alpha > \alpha_0$. Les constantes $\beta$ et $\delta$ seront choisies convenablement tout à l'heure. Commençons par vérifier que la fonction $\Phi(t, x)$ satisfait aux conditions

$$ (4) \qquad \tilde{L} \Phi = \sum_{i,j=1}^n a_{ij}(t,x) \Phi_{x_i x_j} + \sum_{i=1}^n b_i(t,x) \Phi_{x_i} + c(t,x) \Phi + \Phi_t \le 0 $$

dans $\bar{H}_\delta$ et

$$ (5) \qquad \int_{H_\delta} |u(t, x)| \left\{ \max_i \sum_{j=1}^n |a_{ij}(t, x) \Phi_{x_j}| + \Phi(t, x) \left( \max_{i,j} |a_{ij}(t, x)| + \max_i |b_i(t, x)| \right) \right\} dt dx < \infty. $$
En effet, on obtient par un calcul simple

$$
\begin{aligned}
\tilde{L}\Phi = \Phi \left\{ -2(\alpha + \beta t) \frac{1}{r_1 \sqrt{B}} \int_1^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \sum_{i=1}^{n} a_{ii} + 2(\alpha + \beta t) \times \right. \\
\qquad \times \frac{1}{r_1^3 \sqrt{B}} \int_1^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j + 2(\alpha + \beta t) \frac{1}{r_1^2 B} \frac{d}{dr} (\sqrt{B(r_1)}) \times \\
\qquad \times \int_1^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j - 2(\alpha + \beta t) \frac{1}{r_1^2 B} \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j + \\
\qquad + 4(\alpha + \beta t)^2 \frac{1}{r_1^2 B} \left[ \int_1^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \right]^2 \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j + 2(\alpha + \beta t) \frac{1}{r_1 B} \times \\
\qquad \times \int_1^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \sum_{i=1}^{n} b_i x_i + c - \beta \left[ \int_1^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \right]^2 \left\} \right\}
\end{aligned}
$$

Vu que $r_1 \ge \sqrt{2}$, on peut admettre que $\int_1^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \ge 1$; il existe donc d'après l'hypothèse 1° et les propriétés (c) et (d) de la fonction $B(s)$ des constantes positives $C_1, C_2$ et $C_3$ telles que

$$
\tilde{L}\Phi \le \left[ \int_{1}^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \right]^2 \Phi \{ C_1(\alpha + \beta t)^2 + C_2(\alpha + \beta t) + C_3 - \beta \} = \left[ \int_{1}^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \right]^2 \Phi Q_{\beta}(t).
$$

Posons à présent $\beta = 2(C_1 a^2 + C_2 a + C_3)$; alors $Q_\beta(0) = -\beta/2$. Π est
aisé de voir qu'il existe une constante $\delta = \delta(a)$ telle que $Q_\beta(t) \le -\beta/4$
pour $t \in [0, \delta]$. Pour démontrer l'inégalité (5), vérifions que

$$
\begin{align*}
& \int_{H_{\delta}} |u| \left[ \max_i \sum_{j=1}^{n} |a_{ij} \Phi_{x_j}| + \Phi \left( \max a_{ij} + \max |b_i| \right) \right] dt dx \\
& \le \int_{H_{\delta}} |u| \left\{ 2K_1 (\alpha + \beta t) \sqrt{B(r_1)} \int_1^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{r_1} + K_1 B(r_1) + \right. \\
& \qquad \left. + K_2 \sqrt{B(r_1)} \int_1^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \right\} \Phi dt dx \\
& \le \int_{H_{\delta}} |u| \left\{ 2nK_1 (\alpha + \beta \delta) \sqrt{B(r_1)} \int_1^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} + K_1 B(r_1) + \right. \\
& \qquad \left. + K_2 \sqrt{B(r_1)} \int_1^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \right\} \Phi dt dx \\
& \le \int_{H_{\delta}} |u| \left\{ 2nK_1 M_1 (\alpha + \beta \delta) r_1 + K_1 M_1^2 r_1^2 + K_2 M_1 r_1 \right\} \left[ \int_1^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \right]^2 dt dx.
\end{align*}
$$
Puisque $\alpha > \alpha_0$ et $\beta > 0$, la propriété (e) de $B(s)$ et l'inégalité (3) impliquent que la dernière intégrale est convergente. Il résulte du théorème 2 de [2] que $u = 0$ dans $H_\delta$, ce qui achève la démonstration du théorème 1 dans le cas de $\delta = T$. Si $\delta < T$, on n'a qu'à diviser la couche $H$ à l'aide des plans $t = l\delta$ où $l = 1, \dots, n_1$ et à établir de proche en proche l'égalité $u = 0$ dans les couche $\epsilon, s$ ($l\delta < t < (l+1)\delta) \times E_n$.

**2. Passons à établir des théorèmes analogues pour les solutions généralisées du problème de Cauchy. Soit**

$$ (6) \quad \mathcal{L}u = u_t - \sum_{i,j=1}^{n} (a_{ij}(t,x)u_{x_i})_{x_j} - \sum_{i=1}^{n} a_i(t,x)u_{x_i} - a(t,x)u, $$

où $a_{ij}(t, x) = a_{ji}(t, x)$, l'opérateur parabolique en question. Admettons que les coefficients sont mesurables dans $H$ et essentiellement bornés dans tout cylindre $[0, T] \times (|x| \le R)$.

Une fonction $u = u(t, x)$ est dite la solution faible du problème de Cauchy $\mathcal{L}u = f$, $u(0, x) = \Psi(x)$ (voir [1]), lorsqu'elle satisfait aux conditions suivantes:

(i) $u$ est mesurable dans $\bar{H}$ et telle que

$$ \max_{[0,T]} \int_{\Omega} u^2(t,x)dx < \infty $$

pour toute boule ouverte $\Omega \subset E_n$.

(ii) $u$ possède les dérivées fortes par rapport à $x$ dans $H$, c'est-à-dire qu'il existe des fonctions $u_{x_j}$ où $j = 1, \dots, n$ telles que l'on a $u_{x_j} \in L^1(\Omega \times (0, T))$ pour toute boule ouverte $\Omega \subset E_n$ et

$$ \int_{0}^{T} dt \int_{\Omega} u \varphi_{x_j} dx = - \int_{0}^{T} dt \int_{\Omega} u_{x_j} \varphi dx $$

pour les fonctions $\varphi = \varphi(t, x)$ de classe $C^1(\bar{H})$ et aux supports bornés dans $E_n$,

$$ (iii) \quad \int_{0}^{T} dt \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{n} u_{x_i}^2 dx < \infty, $$

$$ \begin{align*} \text{(iv)} \quad & \int_{E_n} u(t, x) \theta(t, x) dx + \int_0^t d\tau \int_{E_n} (-u\theta_\tau + \sum_{i,j=1}^n a_{ij} u_{x_i} \theta_{x_j} - \sum_{i=1}^n a_i u_{x_i} \theta - au\theta) dx \\ & = \int_{E_n} \psi(x) \theta(0, x) \dot{dx} + \int_0^t d\tau \int_{E_n} \theta f dx \end{align*} $$

pour tous $t \in [0, T]$ et $\theta \in C^1(\bar{H})$ aux supports bornés dans $E_n$.

Les fonctions $\Psi$ et $f$ sont données d'avance, mesurables et essentiellement bornées dans toute boule ($|x| \le R$) et dans tout cylindre $(0, T) \times (|x| \le R)$ respectivement.
Introduisons la désignation $\mathbf{a}^T = (a_1, ..., a_n)$ et dénotons par $A^{-1}$ la matrice inverse de $A = \{a_{ij}\}$.

**THÉORÈME 2.** Soit $\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(t, x) \xi_i \xi_j$ une forme quadratique définie positive presque partout dans $\bar{H}$ et telle que

$$ \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}(t, x) \xi_i \xi_j \le K_1 |\xi|^2 B(r_1), $$ 
$$ \mathbf{a}^T(i, x) A^{-1}(t, x) \mathbf{a}(t, x) + \mathbf{a}(t, x) \le K_2 \left[ \int_1^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \right]^2 $$

presque partout dans $\bar{H}$ et pour tout vecteur $(\xi_1, ..., \xi_n) \in E_n$ ($K_1$ et $K_2$ étant des constantes positives). Soit $u$ la solution faible du problème de Cauchy $\mathcal{L}_u = 0$, $u(0, x) = 0$ assujettie pour un certain $a_0 > 0$ à l'inégalité

$$ (7) \quad \int_0^T dt \int_{E_n} u^2(t, x) \exp -2a_0 \left[ \int_1^{r_1(x)} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \right]^2 dx < \infty. $$

Alors on a $u(t, x) \equiv 0$ dans $\bar{H}$.

**Démonstration.** Considérons la fonction

$$ \Phi(t, x) = \exp \left\{ -\left(a + \frac{\beta}{2}t\right) \left[ \int_{1}^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \right]^2 \right\} $$

où $a > a_0$. On peut choisir les nombres positifs $\beta$ et $\delta$ de façon à avoir

$$ (8) \quad \mathcal{L}_\delta \Phi = |A| \left\{ \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \Phi_{x_i} \Phi_{x_j} - \sum_{i=1}^{n} \Phi a_i \Phi_{x_i} + (1-\epsilon)(a\Phi^2 + \Phi\Phi_t) + \frac{\Phi}{4} \mathbf{a}^T A^{-1} \mathbf{a} \right\} \le 0 $$

dans $H_\delta$ pour un certain $\epsilon \in (0, 1)$ et

$$ (9) \quad \int_0^\delta dt \int_{E_n} u^2 \Phi^2 \max \left( \sum_{i,j=1}^n a_{ij} \xi_i \xi_j \right) dx < \infty, $$

où $|A|$ désigne le déterminant de la matrice $\{a_{ij}\}$.

Prenons dans ce but $\epsilon = \frac{1}{3}$. D'après l'inégalité

$$ \left| \sum_{i=n}^{n} a_i \Phi_{x_i} \Phi \right| \le \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \Phi_{x_i} \Phi_{x_j} + \frac{\Phi^2}{4} \mathbf{a}^T A^{-1} \mathbf{a}, $$

on a alors

$$ \mathcal{L}_i \Phi \le \frac{2}{3} |A| \left\{ 3 \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \Phi_{x_i} \Phi_{x_j} + \Phi^2 \frac{3}{4} \mathbf{a}^T A^{-1} \mathbf{a} + a \right\} + \Phi \Phi_t = \frac{2}{3} |A| \hat{\mathcal{L}} \Phi $$
et il est aisé de voir que

$$
\begin{align*}
\hat{\mathcal{L}}\Phi &= \left\{ 6\left(a + \frac{\beta}{2}t\right)^2 \frac{1}{r_1^2 B} \left[ \int_1^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \right]^2 \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i x_j + \left(\frac{3}{4}a^T A^{-1}a + a\right) - \right. \\
&\qquad \left. - \frac{\beta}{2} \left[ \int_1^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \right]^2 \right\} \Phi^2 \\
&\le \left\{ 6\left(a + \frac{\beta}{2}t\right)^2 K_1 + K_2 - \frac{\beta}{2} \right\} \Phi^2 \left[ \int_1^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \right]^2 = \Phi^2 \left[ \int_1^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \right]^2 \bar{Q}_\beta(t).
\end{align*}
$$

Posons $\beta = 4(6a^2K_1+K_2)$; on a alors $\bar{Q}_\beta(0) = -\beta/4$. Il existe donc un nombre $\delta > 0$ tel que $\bar{Q}_\beta(t) \le -\beta/2$ dans $[0, \delta]$. Puisque $a > a_0$ et $\beta > 0$, il résulte de l'inégalité (7) que la relation (9) est satisfaite. En vertu d'un théorème d'Aronson et Besala (voir [2], théorème 5), on a $u \equiv 0$ dans $[0, \delta] \times E_n$.

### THÉORÈME 3. Admettons les quatre hypothèses qui suivent :

1.° La forme quadratique $\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(t, x) \xi_i \xi_j$ est semi-définie positive.

2.° Les dérivées $\partial a_i / \partial x_i$ où $i = 1, \dots, n$ sont définies presque partout dans $\bar{H}$.

3.° Les coefficients de l'opérateur (6) sont assujettis aux conditions

$$
\begin{gather*}
(10) \quad \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}(t, x) \xi_i \xi_j \le K_1 |\xi|^2 B(r_1), \quad |a_i(t, x)| \le K_2 \sqrt{B(r_1)} \int_1^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}}, \\
a(t, x) - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial a_i(t, x)}{\partial x_i} \le K_3 \left[ \int_1^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \right]^2
\end{gather*}
$$

presque partout dans $\bar{H}$ et pour tout vecteur $(\xi_1, \dots, \xi_n) \in E_n (K_1, K_2 \text{ et } K_3 \text{ étant des constantes positives})$.

4.° La solution faible $u(t, x)$ du problème de Cauchy $\mathcal{L}u = 0$, $u(0, x) = 0$ satisfaisant à l'inégalité (7) est essentiellement bornée dans chaque sous-ensemble compact de $H$.

Alors on a $u \equiv 0$ dans $\bar{H}$.

Démonstration. D'une façon analogue à celle de la démonstration du théorème 2, on peut vérifier que la fonction

$$
\Phi(t, x) = \exp \left\{ - \left( a + \frac{\beta}{2} t \right) \left[ \int_{1}^{r_1} \frac{ds}{\sqrt{B(s)}} \right]^2 \right\}
$$

satisfait aux conditions

$$
\mathcal{L}_{\varepsilon}^{*} \Phi = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \Phi_{x_i} \Phi_{x_j} + (1-\varepsilon) \left\{ \left[ a - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \right] \Phi^2 - \Phi \sum_{i=1}^{n} a_i \Phi_{x_i} + \Phi \Phi_t \right\} \le 0
$$
pour un certain $\varepsilon \in (0, 1)$ dans $H_\delta$ et que

$$ \int_0^\delta dt \int_{E_n} u^2 \Phi^2 \left( \max \sum_{i,j=1}^n a_{ij} \xi_i \xi_j + \max_i |a_i| \right) dtdx < \infty $$

où $\beta$ et $\delta$ sont des constantes positives convenablement choisies. Ceci fait, le théorème 5 du travail [2] implique la thèse à démontrer.

## TRAVAUX CITÉS

[1] D. G. Aronson, *Uniqueness of positive weak solutions of parabolic equations*, Annales Polonici Mathematici 16 (1965), p. 285-303.

[2] — and P. Besala, *Uniqueness of solutions of the Cauchy Problem for parabolic equations*, Journal of Mathematical Analysis and Applications 13 (1966), p. 516-526.

*Reçu par la Rédaction le 18. 5. 1958*