BULLETIN DE LA S. M. F.

ALANO ANCONA

NICOLAS CHEVALLIER

Sur la convergence radiale des potentiels associés
à l'équation de Helmholtz

*Bulletin de la S. M. F.*, tome 128, n° 2 (2000), p. 249-281

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SUR LA CONVERGENCE RADIALE DES POTENTIELS
ASSOCIÉS À L'ÉQUATION DE HELMHOLTZ

PAR ALANO ANCONA et NICOLAS CHEVALLIER (*)

RÉSUMÉ. — Soit $u$ une fonction surharmonique positive relativement à l'équation de Helmholtz $\Delta u - u = 0$ dans $\mathbb{R}^d$, $d \ge 2$, et soit $\Phi$ la solution radiale positive de cette équation vérifiant $\Phi(0) = 1$. On montre qu'il peut arriver que la fonction $u/\Phi$ n'admette pas de limite à l'infini le long de tout rayon issu de l'origine, ce qui répond à une question de T. Lyons, B. MacGibbon et J.C. Taylor. Plus généralement, si $\tilde{u}$ est une moyenne d'un type convenable de $u$, on étudie l'existence de limites radiales dans presque toute direction pour $\tilde{u}/\Phi$. On est amené à approfondir l'étude de l'effilement minimal relatif à l'équation de Helmholtz et, dans une autre direction, à déterminer un équivalent asymptotique, pour $\lambda \to +\infty$, du noyau de Poisson associé à $\Delta - \lambda I$ dans un ouvert convexe $C^2$ de $\mathbb{R}^d$. On indique aussi une approche unifiée et des extensions de plusieurs résultats connus prolongeant le théorème de convergence radiale de Littlewood.

ABSTRACT. — ABOUT RADIAL CONVERGENCE OF POTENTIALS ASSOCIATED TO HELMHOLTZ' EQUATION. — Let $u$ be a nonnegative superharmonic function with respect to the Helmholtz equation $\Delta u - u = 0$ in $\mathbb{R}^d$, $d \ge 2$, and let $\Phi$ denote the radial positive solution of Helmholtz equation such that $\Phi(0) = 1$. It is shown that in general $u/\Phi$ has no limit along every ray emanating from the origin in $\mathbb{R}^d$, which solves a question raised by T. Lyons, B. MacGibbon and J.C. Taylor. More generally, the existence of limits along almost every ray of some means of a natural type of $u/\Phi$ is studied and the means for which the a. s. radial convergence holds for every $u$ characterized. We establish, as a tool, an asymptotic for $\lambda \to +\infty$ of the Poisson kernel with respect to $\Delta - \lambda I$ in a convex $C^2$ region of $\mathbb{R}^d$. In a final section, extensions as well as a unified treatment of several known generalizations of the Littlewood radial convergence theorem are given.

<footnote>(*) Texte reçu le 6 avril 1999, révisé le 15 septembre 1999, accepté le 13 octobre 1999.</footnote>

<footnote>A. ANCONA, Université Paris-Sud, Bâtiment 425, Mathématique, Orsay 91405 (France).</footnote>

<footnote>Email : ancona@matups.math.u-psud.fr.</footnote>

<footnote>N. CHEVALLIER, Université de Haute Alsace, F.S.T., 4 rue des frères Lumière, Mathématique, 68093, Mulhouse (France).</footnote>

<footnote>Email : n.chevallier@univ-mulhouse.fr.</footnote>

<footnote>Mots clés : limites radiales, potentiels, équation de Helmholtz, limites fines.</footnote>

<footnote>Classification mathématique par matières : 31 C05, 31 C12, 31 C35, 60 J45.</footnote>
# 1. Introduction

La théorie du potentiel associée à l'équation de Helmholtz $\Delta u - u = 0$ dans $\mathbb{R}^d$ est voisine de la théorie classique pour le Laplacien dans la boule unité de $\mathbb{R}^d$. La frontière de Martin correspondante s'identifie avec la sphère unité $S_{d-1}$, les solutions positives minimales (normalisées à l'origine) sont les fonctions $u_b(x) = \exp(b \cdot x)$, $x \in \mathbb{R}^d$, où $b \in S_{d-1}$ et $P(x, b) = u_b(x)$ est l'analogue du noyau de Poisson. Les fonctions constantes ne vérifient pas l'équation de Helmholtz mais la formule

$$ \Phi_d(x) = \frac{1}{\sigma(S_{d-1})} \int_{S_{d-1}} u_b(x) \, d\sigma(b), \quad x \in \mathbb{R}^d, $$

où $\sigma$ est la mesure de Lebesgue sur la sphère $S_{d-1}$, fournit l'unique solution $\Phi_d$, positive sur $\mathbb{R}^d$, invariante par rotation et telle que $\Phi_d(0) = 1$. Pour $d=3$, on obtient $\Phi_3(x) = \text{sh}(|x|)/|x|$, $x \in \mathbb{R}^3$. O. Linden [Lin] a montré que les solutions positives de l'équation de Helmholtz vérifient un théorème de type Fatou : si $u$ est une solution positive de l'équation de Helmholtz sur $\mathbb{R}^2$, la limite $\lim_{t \to \infty} u(tz)/\Phi_d(tz)$ existe pour $\sigma$-presque tout $z \in S^1$.

Ce théorème a été amélioré par Koranyi et Taylor (voir [KT]) qui ont étendu la convergence radiale à la convergence, pour presque toute direction $b$, le long des domaines paraboliques dirigés par $b$.

Motivés par un problème posé par T. Lyons, B. MacGibbon et J. Taylor (voir [LMT, § 5]), nous étudions ici la possibilité d'étendre un autre résultat classique, le théorème de Littlewood pour les fonctions sous-harmoniques bornées dans le disque (voir [Lit]; voir aussi la méthode de Doob dans [Doo], [LMT], l'extension par B. Dahlberg du théorème de Littlewood aux domaines lipschitziens [Da2] et celle de S. Zhao pour les domaines NTA [Zha], celle enfin de Lyons-McGibbon-Taylor pour les espaces symétriques de rang 1 [LMT]. Voir aussi l'appendice).

Il s'agit ici de savoir si pour toute sursolution positive $u$ de l'équation de Helmholtz dans $\mathbb{R}^d$ on a convergence radiale de $u/\Phi_d$ dans presque toute direction. Nous montrerons que cet analogue du théorème de Littlewood n'a pas lieu en général, mais qu'une propriété voisine concernant certaines moyennes de $u/\Phi_d$ reste vraie. Plus précisément, on établira les énoncés suivants (voir les définitions de la section 2).

**THÉORÈME 1.** — *Pour chaque entier $d \ge 2$, il existe un potentiel $w$ associé à l'équation de Helmholtz dans $\mathbb{R}^d$, tel que pour tout $z$ appartenant à $S_{d-1}$, on ait*

$$ \limsup_{r \to +\infty} \frac{w(rz)}{\Phi_d(rz)} = +\infty \quad \text{et} \quad \liminf_{r \to +\infty} \frac{w(rz)}{\Phi_d(rz)} = 0. $$

En tronquant $w$ on obtiendra un potentiel majoré par $\Phi_d$ et tel que $w/\Phi_d$ soit dépourvu de limite à l'infini le long de tout rayon issu de l'origine. Remarquons
aussi que pour tout potentiel de Helmholtz $w$ sur $\mathbb{R}^d$, l'ensemble $\{w = +\infty\}$ est polaire pour $\Delta - I$, donc pour $\Delta$; cet ensemble est par conséquent de dimension de Hausdorff $\le d-2$ et $a$ fortiore, $w$ est fini sur presque tout rayon issu de 0. (Voir aussi la remarque 5.1 montrant que l'absence de limite radiale ne tient pas à l'influence locale de la mesure associée à $w$.)

Une fonction $f: [0, +\infty[ \to ]0, +\infty[$ étant donnée, définissons pour $x$ dans $\mathbb{R}^d \setminus \{0\}$, la calotte sphérique

$$ \Sigma_f(x) := \{z \in \mathbb{R}^d; \|z\| = \|x\|, \angle(z, x) \le f(\|x\|)\} $$

(où $\angle(z, x)$ est l'angle que font $z$ et $x$) et, pour toute fonction $u$ borélienne positive sur $\mathbb{R}^d$, la moyenne

$$ M_f u(x) = \frac{1}{\sigma(\Sigma_f(x))} \int_{\Sigma_f(x)} u(z) \, d\sigma(z), \quad x \in \mathbb{R}^d \setminus \{0\}. $$

**THÉORÈME 2.** — *Supposons qu'il existe $c \ge 1$ tel que $c^{-1} \le \sqrt{r} f(r) \le c$ pour tout $r > 0$ et soit $w$ un potentiel associé à l'équation de Helmholtz dans $\mathbb{R}^d$. Pour $\sigma$-presque tout $z$ appartenant à $S_{d-1}$, on a*

$$ \lim_{r \to \infty} M_f \left( \frac{w}{\Phi_d} \right) (rz) = 0. $$

Si on combine le théorème 2 avec le résultat principal de [KT] on voit que plus généralement, pour toute fonction $w$ sur $\mathbb{R}^d$, positive et $\Delta - I$ surharmonique, la limite $\ell(z) = \lim_{r \to \infty} M_f(w/\Phi_d)(rz)$ existe pour presque tout $z \in S_{d-1}$. L'énoncé suivant montre le caractère optimal du théorème 2.

**THÉORÈME 3.** — *Supposons que $f(r)\sqrt{r}$ tende vers 0 quand $r$ tend vers l'infini. Il existe alors un potentiel $w$ associé à l'équation de Helmholtz dans $\mathbb{R}^d$ tel que pour tout $z$ appartenant à $S_{d-1}$ on ait*

$$ \limsup_{r \to \infty} M_f \left( \frac{w}{\Phi_d} \right) (rz) = +\infty \quad \text{et} \quad \liminf_{r \to \infty} M_f \left( \frac{w}{\Phi_d} \right) (rz) = 0. $$

Le théorème 3 est en réalité une variante du théorème 1 et on peut obtenir les deux énoncés par la même méthode (voir la section 4). Nous donnerons deux démonstrations très différentes du théorème 2. L'une (cf. section 5) de nature « élémentaire » et indépendante de toute théorie du Potentiel, consiste en plusieurs estimations d'intégrales. L'autre (cf. section 7), plus conceptuelle, s'appuie sur la théorie des limites fines à la frontière de Martin. Pour cette deuxième démarche, il sera commode de disposer de la proposition suivante qui a probablement un intérêt propre. Voir le 6.A pour la définition des noyaux de Poisson $P^\lambda$ et le 6.E pour une extension partielle à des domaines non nécessairement convexes.
### THÉORÈME 4. —
Soit $U$ un domaine convexe de classe $C^2$ de $\mathbb{R}^d$ et soit $P^\lambda : U \times \partial U \to \mathbb{R}_+$ le noyau de Poisson de $U$ pour $\Delta - \lambda I, \lambda > 0$. Pour $x \in U$, $\xi \in \partial U$, soit $n_\xi$ la normale intérieure à $U$ en $\xi$ et soit

$$K^\lambda(x, \xi) = \frac{\langle x - \xi, n_\xi \rangle}{|x - \xi|} \left[ \frac{\sqrt{\lambda}}{2\pi|x - \xi|} \right]^{(d-1)/2} e^{-|x - \xi|\sqrt{\lambda}}$$

Alors le quotient $P^\lambda(x, \xi)/K^\lambda(x, \xi)$, $(x, \xi) \in U \times \partial U$, tend vers 1, uniformément sur tout compact de $U \times \partial U$, lorsque $\lambda \to \infty$.

En dépit de son caractère élémentaire, nous n'avons pas trouvé trace de cet énoncé dans la littérature publiée, ni pu le déduire d'estimations connues du noyau de la chaleur (avec condition de Dirichlet au bord). La méthode de passage par l'équation des ondes — que nous a signalée G. Lebeau — (voir [Kan, (4.38) p. 819 et (4.3) p. 803]), pourrait peut-être aussi conduire au résultat, mais les calculs explicites requis semblent délicats et la preuve serait nettement moins élémentaire que l'approche directe de la section 6 (voir aussi [Ber, p. 76–80]).

Remarquons que les théorèmes 1 à 3 s'étendent immédiatement aux équations $\Delta u - \alpha u = 0, \alpha > 0$ par le changement de variable $x \mapsto \sqrt{\alpha}x$. De plus, pour l'équation de Laplace (cas $\alpha = 0$) et pour $d \ge 3$, on sait (cf. [Den]) que pour tout potentiel $u$ sur $\mathbb{R}^d$, on a bien $\lim_{t \to \infty} u(t\zeta) = 0$ pour presque tout $\zeta \in S_{d-1}$ ([Den] donne un énoncé plus précis).

Dans l'appendice, on indique une méthode de preuve rapide et unifiée des versions connues du théorème de Littlewood et quelques extensions (avec une réserve, cf. le A.5). La démarche reprend, pour une bonne part, celle introduite par Doob [Doo] et améliorée par Lyons-McGibbon-Taylor [LMT].

## 2. Notations. Rappels. Reformulation du problème

### 2.A. — On utilisera les conventions et les notations suivantes.

1) Les lettres $a$ et $c$ désignent des constantes strictement positives qui peuvent changer de valeurs d'une expression à une autre. Elles ne dépendent en règle générale que de la dimension $d$ supposée $\ge 2$.

2) La mesure (comprise entre 0 et $\pi$) de l'angle que font les vecteurs $x$ et $y$ de $\mathbb{R}^d$ est notée $\angle(x, y)$. Leur produit scalaire (usuel) est noté $\langle x, y \rangle$ (ou $x \cdot y$) et $\|x\| = \langle x, x \rangle^{1/2}$ (ou $|x|$) désigne la norme de $x$. En général, étant donnée une hypersurface de $\mathbb{R}^d$, $\sigma$ désigne la mesure Riemannienne naturelle sur cette hypersurface.

3) Dans les sections 3, 5 et 7, pour $x \in \mathbb{R}^d$ et $t > 0$, on pose

$$\Sigma(x, t) = \{u \in \mathbb{R}^d; |u| = |x|, \angle(u, x) < t\}.$$
On note aussi

$$
B_{d-1}(t) = \{u \in \mathbb{R}^{d-1} ; |u| < t\}.
$$

4) Pour $r$ et $R$ dans $\bar{\mathbb{R}}_+$, $0 < r < R$, on note

$$
C(r, R) = \{x \in \mathbb{R}^d; r \le \|x\| \le R\}.
$$

5) Surtout dans les sections 3, 6 et 7, on utilisera, dans le cadre de l'équation de Helmholtz, la terminologie et des résultats standards de la théorie axiomatique du potentiel de Brelot — et de la frontière de Martin — (voir [Bre], [Her], [KT], [Nai], [An1, chap. 2]). En particulier, pour $A \subset \mathbb{R}^d$ et pour $w$ fonction positive sur $A$, la réduite $R_w^A$ est l'enveloppe inférieure des fonctions $v$ surharmoniques positives sur $\mathbb{R}^d$ relativement à l'équation de Helmholtz telles que $v \ge w$ sur $A$. La régularisée s.c.i. de $R_w^A$ est notée $\hat{R}_w^A$.

2.B. — Le noyau de Green, de pôle l'origine et relativement à l'opérateur elliptique $\Delta - I$ dans $\mathbb{R}^d$, est la fonction $x \mapsto G_d(|x|)$, $x \in \mathbb{R}^d$, donnée par

$$
G_d(|x|) = \int_0^\infty e^{-\frac{|x|^2}{4t}} -t \frac{dt}{(4\pi t)^{d/2}}, \quad x \in \mathbb{R}^d.
$$

Il est bien connu que

$$
(2.1) \qquad \left\{
\begin{array}{ll}
G_d(r) \sim \frac{1}{2} \frac{e^{-r}}{(2\pi r)^{(d-1)/2}} & \text{pour } r \to +\infty, \\
\\
G_d(r) \sim \frac{1}{\sigma(S_{d-1}) r^{d-2}} = \frac{\Gamma(\frac{d}{2})}{2 \pi^{\frac{d}{2}}} \frac{1}{r^{d-2}} & \text{pour } r \to 0, \text{ si } d \ge 3,
\end{array}
\right.
$$

et que $G_2(r) = \frac{1}{2\pi} \log(1/r) + O(1)$ pour $r \to 0$. D'autre part, $G_d'(r) \sim -G_d(r)$
pour $r \to +\infty$ et, si $d \ge 3$, $G_d'(r) \sim -(c/r)G_d(r)$ pour $r \to 0$ (et $G_2'(r) \sim -c/r$
pour $r \to 0$). Rappelons aussi que

$$
(2.2) \quad \Phi_d(x) \sim \frac{2^{\frac{d-3}{2}}}{\sqrt{\pi}} \Gamma\left(\frac{d}{2}\right) \frac{e^r}{r^{\frac{d-1}{2}}} \quad \text{pour } r = |x| \to +\infty.
$$

On a donc $G_d(|x|) = F(x) \|x\|^{(1-d)/2} \exp(-\|x\|)$ où $F$ est continue $> 0$
sur $\mathbb{R}^d \setminus \{0\}$, et admet une limite $> 0$ (finie) à l'infini, une singularité en $r^{(3-d)/2}$
à l'origine si $d \ge 4$. La fonction $F$ est bornée si $d \le 3$.

2.C. — Nous voulons étudier les limites radiales des potentiels de Helmholtz dans $\mathbb{R}^d$ quotientés par la fonction $\Phi_d$. Ces potentiels sont les fonctions positives sur $\mathbb{R}^d$ non identiquement infinies de la forme $G_d(\mu)(x) := \int_{\mathbb{R}^d} G_d(|x-y|) d\mu(y)$,
$x \in \mathbb{R}^d$, où $\mu$ est une mesure de Borel positive sur $\mathbb{R}^d$; on notera aussi $G\mu = G_d(\mu)$. Comme le potentiel d'une mesure à support compact tend vers 0 à l'infini, on peut supposer que $0 \notin \text{supp}(\mu)$ et donc que $G\mu(0) < \infty$. Aussi, nous ne considérerons que des potentiels $G_d(\mu)$ engendrés par des mesures positives $\mu$ sur $\mathbb{R}^d$ telles que $\int_{\mathbb{R}^d} \|x\|^{(1-d)/2} \exp(-\|x\|) d\mu(x) < \infty$. Si on remplace $\mu$ par la mesure $\nu$ telle que $d\nu(x) = \|x\|^{(1-d)/2} \exp(-\|x\|) d\mu(x)$, on a, pour $x \in \mathbb{R}^d$,

$$G\mu(x) = \int_{\mathbb{R}^d} F(x-y) \left( \frac{\|y\|}{\|x-y\|} \right)^{(d-1)/2} \exp(-\|x-y\| + \|y\|) d\nu(y).$$

Le problème de la convergence radiale des potentiels est donc équivalent au problème suivant.

Soit $\mu$ une mesure positive sur $\mathbb{R}^d$ de masse totale finie. Soit $u$ la fonction telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}^d$,

$$u(x) = \int_{\mathbb{R}^d} F(x-y) \left( \frac{\|y\| \|x\|}{\|x-y\|} \right)^{(d-1)/2} \exp(-\|x\| - \|x-y\| + \|y\|) d\mu(y).$$

A-t-on $\lim_{t \to \infty} u tb) = 0$ pour presque tout $b \in S_{d-1}$ ?

### 2.D. Notation. — On notera

$$K(x, y) = \left( \frac{\|y\| \|x\|}{\|x-y\|} \right)^{(d-1)/2} \exp(-\|x\| - \|x-y\| + \|y\|)$$

et on dira que la fonction $u(x) = \int K(x, y) F(x-y) d\mu(y)$, $x \in \mathbb{R}^d$, est le potentiel normalisé associé à la mesure $\mu$.

## 3. Quelques résultats sur l'effilement minimal

L'énoncé suivant est à peu près standard (comparer à [KT]). Il montre que la fonction $g(r) = 1/\sqrt{r}$ indique une taille critique dans les questions d'effilement au point $b \in S_{d-1}$ des ensembles de la forme $\bigcup_{n \ge 1} \Sigma(R_n b, g(R_n))$, où $\{R_n\}$ est une suite de réels tendant vers $+\infty$.

**PROPOSITION 1.** — Soient $b \in S_{d-1}$, $v(x) = \exp(b \cdot x)$ pour $x \in \mathbb{R}^d$, soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}^+$ et soit $A(r) = \{z \in \mathbb{R}^d; |z| = r, |z - r b| \le f(|z|)\}$. Alors,

1) si $f(r) = o(\sqrt{r})$ pour $r \to \infty$, on a $\lim_{r \to \infty} R_v^{A(r)}(0) = 0$;

2) si $f(r) \ge C \sqrt{r}$ pour un réel $C > 0$, on a $\lim_{r \to \infty} R_v^{A(r)}(0) > 0$.

*Preuve.* — La deuxième assertion est une simple traduction de la proposition 2.2 de [KT]. Pour établir la première, considérons la restriction $\mu$ de la mesure superficielle sur la sphère $\partial B(0, R)$ à $\Sigma = \Sigma(Rb, t)$, où $R \ge 1$ et $1/R \le t \le 1/\sqrt{R}$.
Grâce aux équivalents du 2.B, on voit que le potentiel $G(\mu)$ est minoré sur $\Sigma$
par une constante $c > 0$ (indépendante de $R$) et que $G\mu(0) \sim ct^{d-1}R^{(d-1)/2}e^{-R}$.
Donc $R_v^\Sigma(0) \le c e^R G\mu(0) \le c't^{d-1}R^{(d-1)/2}$ et on obtient la première assertion
de la proposition. [ ]

REMARQUE 3.1. — Si on tient compte — comme dans [KT] — de la minoration
$R_v^\Sigma(0) \ge \int_\Sigma v(y) d\omega_0(y)$, où $\omega_0$ désigne la mesure harmonique de Helmholtz de 0
dans la boule $B(0, R)$, on voit qu'avec les hypothèses et les notations ci-dessus
$R_v^\Sigma(0) \sim t^{d-1} R^{(d-1)/2}$.

On établit ensuite une variante, utile pour l'étude de l'effilement pour l'équa-
tion de Helmholtz (cf. le 3.2), du critère de Lelong-Ferrand [Lel]. Cette variante
n'intervient pas dans la suite et peut être omise.

Soient toujours $b \in S_{d-1}$, $v(x) = \exp(b \cdot x)$ pour $x \in \mathbb{R}^d$ et soit $\alpha > 0$. Notons $P$ la région

$$
P = \bigcup_{\{r \ge 1\}} \overline{\Sigma} \left( rb ; \frac{\alpha}{\sqrt{r}} \right) = \{ x \in \mathbb{R}^d ; |x| \ge 1, \Delta(x, b) \le \alpha |x|^{-\frac{1}{2}} \},
$$

et $C_n = \{x \in P ; 2^n \le \|x\| \le 2^{n+1}\}$, pour $n$ entier $\ge 0$.

PROPOSITION 2. — Soit A une partie de P et soit $A_n = A \cap C_n$, $n \in \mathbb{N}$.
L'ensemble A est effilé en v (i.e. $\hat{R}_v^A$ est un potentiel) si et seulement si on a

$$
\sum_{n=0}^{\infty} R_{v}^{A_{n}}(0) < \infty.
$$

Démonstration. — On adapte un procédé de démonstration bien connu (voir [Lel] et pour d'autres références [An1], §V.5.7). Il s'agit de voir que si $\hat{R}_v^A$ est un potentiel alors $\sum_{n=0}^\infty R_v^{A_n}(0) < \infty$ (l'autre implication est immédiate). On peut d'ailleurs supposer $A \subset \bigcup\{C_{n_0+2k}; k \in \mathbb{N}^*\}$ pour un entier $n_0$ à fixer «grand».

Notons $I = \{n_0 + 2p; p \in \mathbb{N}^*\}$ et, pour $n \in I$, soient $\mu_n$ la restriction
à $C_n$ de la mesure $\mu$ associée à $\hat{R}_v^A$ et $u_n$ le potentiel associé à $\mu_n$. Il suffit de
prouver que $2u_n \ge \hat{R}_v^{A_n}$ puisqu'alors $\sum_{n \in I} \hat{R}_v^{A_n} \le 2v$. Donc, il suffit de voir que
$w_n = \sum_{p>n} u_p$ et $w'_n = \sum_{p<n} u_p$ sont chacun majorés sur $A_n$ par $\frac{1}{4} v$.

1) Soient $x \in C_n$ et $y \in C_p$ avec $p \le n-2$. On a $\|y\| \le \|x\| - \|y\| \le \|x-y\|$;
donc

$$
w'_{n}(x) \le c \int_{\bigcup\{C_{p}; p<n\}} F(y) \frac{1}{\|y\|^{(d-1)/2}} \exp(-\|y\|) \, d\mu(y) = c w'_{n}(0),
$$

BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
où $c > 0$ ne dépend pas de $n \in I$. D'où, pour $x \in C_n$,

$$w'_{n}(x) \leq c R_{v}^{A}(0) \leq c = c v(x) \exp(-b \cdot x) \leq \varepsilon_{n} v(x),$$

où $\{\varepsilon_n\}_{n \in I}$ décroît vers zéro (et ne dépend que de $\alpha$ et $d$).

2) Soient $x \in C_n$ et $y \in C_p$ avec $p \ge n + 2$. On a $\|y\| \le 2\|x - y\|$, donc

$$\frac{G_d(|y - x|)/v(x)}{G_d(|y|)/v(0)} \le c \exp(-\|y - x\| - \|x\| + \|y\|) \exp(\|x\| - b \cdot x) \le c.$$

D'où $G_d(|y - x|)/v(x) \le c G_d(|y|)/v(0)$. En intégrant, on obtient que pour $x \in A_n$, $w_n(x)/v(x) \le cw_n(0)/v(0) = c w_n(0)$. Or, par hypothèse, $\hat{R}_v^A$ est un potentiel. Donc $\lim_{n \to \infty} w_n(0) = 0$ et $w_n \le \varepsilon'_n v$ sur $A_n$ avec $\lim_{n \to \infty} \varepsilon'_n = 0$. $\square$

**APPLICATION 3.2.** — On retrouve très naturellement le résultat de non-effilement de [Che] qui s’appuie sur une approche bien différente : un tube d’axe $\mathbb{R}_+ b$ n’est pas effilé en $b$ si $d = 2$ ou si $d = 3$. Si, par exemple $d = 3$ et si $A$ est le demi-cylindre plein de rayon $\varepsilon > 0$ autour de $\mathbb{R}_+ b$, on montre facilement que la mesure $\mu_n$ portée par $A_n = C_n \cap A$ et telle que $\mu_n(dx) = e^{b \cdot x} dx$ sur $A_n$ vérifie $G\mu_n \le cnv$ sur $A_n$ et $G\mu_n(0) \approx c$. D'où $R_v^{A_n}(0) \ge c/n$ et le résultat s'ensuit. On raisonne de même pour $d = 2$ (on pourrait même prendre $\varepsilon = 0$). Rappelons que d'après [KT, p. 82], un tel tube est effilé si $d \ge 4$.

## 4. Démonstration des théorèmes 1 et 3

Le théorème 1 résultera facilement de la proposition suivante.

**PROPOSITION 3.** — Il existe une famille $\{\mu_R\}_{R \ge R_0}$, $R_0 \ge 1$, de mesures positives finies sur $\mathbb{R}^d$ telle que

(i) la masse totale de $\mu_R$ tend vers 0 quand $R$ tend vers l’infini;

(ii) le support de $\mu_R$ est contenu dans la couronne $C(R/2, 2R)$;

(iii) le potentiel normalisé $u_R$ associé à $\mu_R$ est tel que $\sup_{r \in [R, 2R]} u_R(rx) \ge 1$ pour tout $x \in S_{d-1}$.

Soit $x \in \mathbb{R}^d$ tel que $r = \|x\| > 1$. Définissons la région

$$D(x) = \{y \in \mathbb{R}^d; r + \sqrt{r} \le \|y\| \le 2r \text{ et } \angle(x, y) \le \frac{1}{\sqrt{r}}\}.$$

**LEMME 1.** — Soit $y \in D(x)$, soit $\theta = \angle(x, y)$ et soit $t = \|y\|$. On a alors

$$K(x, y) \ge c \left( \frac{r}{\sqrt{t-r}} \right)^{d-1} \exp\left( -2r^2 \frac{\theta^2}{t-r} \right).$$
*Démonstration.* — Posons $\delta = \|x - y\|$. On a $\delta^2 - r^2 \sin^2 \theta = (\|y\| - r \cos \theta)^2$, et puisque $\|y\| \ge r$, $\|y\| = r \cos \theta + \sqrt{\delta^2 - r^2 \sin^2 \theta}$. Comme $\sqrt{s^2 - t^2} \ge s - t^2/s$ pour $s \ge t$, on obtient

$$ 
\begin{aligned}
\|y\| &\ge r \cos \theta + \delta - \frac{r^2 \sin^2 \theta}{\delta} \ge \|x\| + \|x - y\| - r(1 - \cos \theta) - \frac{r^2 \sin^2 \theta}{\delta} \\
&\ge \|x\| + \|x - y\| - r \frac{\theta^2}{2} - \frac{r^2 \theta^2}{\delta}.
\end{aligned}
$$

Aussi $\delta^2 \le r^2(2 - \cos \theta)^2 + r^2 \sin^2 \theta = r^2(5 - 4 \cos \theta) \le 4r^2$. Donc $1/2 \le r/\delta$ et

$$ (4.1) \qquad \|y\| \ge \|x\| + \|x - y\| - 2 \frac{r^2 \theta^2}{\delta}. $$

En particulier, puisque $t - r \ge \sqrt{r}$, $\delta \ge t - r$ et $|\theta| \le \frac{1}{\sqrt{r}}$, on a

$$ \delta \le t - r + 2 \frac{r}{t - r} \le 3(t - r). $$

Par conséquent, d'après (4.1) et l'expression de $K$ (voir le 2.D), on a

$$ K(x, y) \ge c \frac{r^{d-1}}{\delta^{(d-1)/2}} \exp \left( -2 \frac{r^2 \theta^2}{\delta} \right) \ge c' \frac{r^{d-1}}{(t-r)^{(d-1)/2}} \exp \left( -2 \frac{r^2 \theta^2}{t-r} \right), $$

et le lemme est démontré. $\square$

Soit $e_d$ le dernier vecteur de la base canonique de $\mathbb{R}^d$ et soit $E : \mathbb{R}^{d-1} \to S_{d-1}$ l'application exponentielle de $S_{d-1}$ en $e_d$ (via l'identification naturelle de $\mathbb{R}^{d-1}$ au plan tangent à $S_{d-1}$ en $e_d$). Observons que $E$ est 1-lipschitzienne sur $\mathbb{R}^{d-1}$, la sphère $S_{d-1}$ étant munie de la distance riemannienne $\delta(u, v) = \angle(u, v)$.

Notons $p$ l'application qui à $(\theta, r) \in \mathbb{R}^{d-1} \times \mathbb{R}_+^*$ associe

$$ p(\theta, r) = rE(\theta) $$

et, pour $R > 0$, soit $h_R$ l'application qui à $(\theta, r)$ associe

$$ h_R(\theta, r) = \left( \theta \sqrt{R}, \frac{r}{R} \right). $$

Posons enfin

$$ A_R = \left\{ (\alpha, t) \in \mathbb{R}^{d-1} \times \mathbb{R}_+^* ; \left| \alpha \right| < \frac{1}{2}, t \in ]-1, -2/\sqrt{R}[ \right\} $$

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$(A_R = \emptyset \text{ si } 0 < R \le 4)$ et pour $(\alpha, t) \in \mathbb{R}^{d-1} \times \mathbb{R}$,

$$ \Gamma_R(\alpha, t) = \frac{1}{|t|^{(d-1)/2}} \exp\left(-8 \frac{|\alpha|^2}{|t|}\right) \mathbf{1}_{A_R}(\alpha, t). $$

LEMME 2. — Soit $\nu$ une mesure positive sur $\mathbb{R}^{d-1} \times \mathbb{R}_+^*$ et soit $\mu$ son image par $p \circ h_R^{-1}$ où $R > 4$. Appelons u le potentiel normalisé associé à $\mu$. Pour $r \in [R, 2R]$ et $\theta \in \mathbb{R}^{d-1}$, on a

$$ u \circ p(\theta, r) \ge c_0 R^{(d-1)/2} (\Gamma_R * \nu) \circ h_R(\theta, r), $$

où $c_0$ est une constante > 0 ne dépendant que de la dimension $d$.

Démonstration. — Si $x = p(\theta, r)$, on a :

$$ \begin{aligned} u(x) &\ge c \int \mathbf{1}_{D(x)}(y) K(x, y) \, d\mu(y) \\ &\ge c \int_{\mathbb{R}^{d-1} \times \mathbb{R}_+^*} \mathbf{1}_{D(x)}(p \circ h_R^{-1}(\alpha, s)) K(x, p \circ h_R^{-1}(\alpha, s)) \, d\nu(\alpha, s). \end{aligned} $$

En utilisant le lemme précédent et la définition d'une mesure image, on obtient
(compte tenu du caractère 1-lipschitzien de l'exponentielle $E$)

$$ \begin{aligned} u(x) &\ge c \int \mathbf{1}_{\{r+\sqrt{r}\le Rs\le 2r, |\alpha/\sqrt{R}-\theta|\le 1/\sqrt{r}\}} (\alpha, s) \left[ \frac{r}{\sqrt{Rs-r}} \right]^{d-1} \\ &\qquad \times \exp \left( -2r^2 \frac{|\theta-\alpha/\sqrt{R}|^2}{Rs-r} \right) d\nu(\alpha, s) \\ &\ge c \int_{\{r/R+\sqrt{r}/R\le s\le 2r/R, |\alpha-\theta\sqrt{R}|\le \frac{1}{2}\}} \left[ \frac{r}{\sqrt{R}} \frac{1}{\sqrt{s-r/R}} \right]^{d-1} \\ &\qquad \times \exp \left( -2 \frac{r^2}{R^2} \frac{|\theta\sqrt{R}-\alpha|^2}{s-r/R} \right) d\nu(\alpha, s) \\ &\ge c R^{(d-1)/2} \int_{\{2/\sqrt{R}<s-r/R<1, |\alpha-\theta\sqrt{R}|<\frac{1}{2}\}} \frac{1}{(s-r/R)^{(d-1)/2}} \\ &\qquad \times \exp \left( -8 \frac{|\theta\sqrt{R}-\alpha|^2}{s-r/R} \right) d\nu(\alpha, s) \\ &= c R^{(d-1)/2} (\Gamma_R * \nu) \left(\theta\sqrt{R}, \frac{r}{R}\right). \quad \Box \end{aligned} $$

LEMME 3. — Avec les notations du lemme précédent on a, pour tout $\lambda > 0$,

$$ \left\{ \theta \in [-\pi, \pi]^{d-1} ; \sup_{r \in [R, 2R]} u \circ p(\theta, r) \ge c_0 \lambda \right\} \\ \supseteq \frac{1}{\sqrt{R}} \left\{ \alpha \in [-\pi \sqrt{R}, \pi \sqrt{R}]^{d-1} ; \sup_{t \in [1,2]} \Gamma_R * \nu(\alpha, t) \ge \frac{\lambda}{R^{(d-1)/2}} \right\}. $$
*Démonstration.* — D’après le lemme précédent on a

$$
\begin{align*}
\sup_{r \in [R, 2R]} u \circ p(\theta, r) &\ge c_0 \sup_{r \in [R, 2R]} R^{\frac{d-1}{2}} (\Gamma_R * \nu)(\theta \sqrt{R}, r/R) \\
&\ge c_0 R^{\frac{d-1}{2}} \sup_{t \in [1, 2]} (\Gamma_R * \nu)(\theta \sqrt{R}, t).
\end{align*}
$$

D'où évidemment l'inclusion voulue. $\square$

LEMME 4. — Il existe une mesure de probabilité $\nu_0$ portée par $[-\pi, \pi]^{d-1} \times [0, 1]$ et une partie compacte $F$ de $[-\pi, \pi]^{d-1} \times [0, 1]$ vérifiant les propriétés suivantes : la projection sur $[-\pi, \pi]^{d-1}$ de $F$ est $[-\pi, \pi]^{d-1}$ tout entier et on a

$$
\lim_{R \to \infty} \left[ \inf_{(x,t) \in F} \Gamma_R * \nu_0(x,t) \right] = +\infty.
$$

*Démonstration.* — Appelons $\Gamma$ le noyau sur $\mathbb{R}^{d-1} \times \mathbb{R}$ tel que

$$
\Gamma(x,t) = \frac{1}{|t|^{(d-1)/2}} \exp\left(-8\frac{x^2}{|t|}\right) \mathbf{1}_{\{(x,t): t<0\}}(x,t).
$$

À des changements d'échelle près, il s'agit d'un multiple du noyau de la chaleur avec renversement du temps. On sait (voir [KW], [TW] et la remarque plus bas) qu'on peut construire une partie $F$ de $[-\pi, \pi]^{d-1} \times ]0, 1[$, compacte, polaire pour l'adjoint de l'opérateur de la chaleur (ce qui revient à dire que $F$ est polaire pour l'équation de la chaleur, mais nous n'aurons pas besoin de ce fait) et dont la projection sur $[-\pi, \pi]^{d-1}$ est $[-\pi, \pi]^{d-1}$ tout entier. Il existe donc une mesure de probabilité $\nu_0$ sur $[-\pi, \pi]^{d-1} \times ]0, 1[$ admettant un $\Gamma$-potentiel $\Gamma * \nu_0$ égal à $+\infty$ sur $F$.

Or, pour tout couple $(x, t)$ appartenant à $B_{d-1}(\frac{1}{2}) \times ]-1, 0[$, le noyau $\Gamma_R(x, t)$ tend en croissant vers $\Gamma(x, t)$ lorsque $R$ croît vers $+\infty$. Donc, si $(x, t) \in F$, on a

$$
\lim_{R \to \infty} \Gamma_R * \nu_0(x, t) = \Gamma * \nu_0(x, t) = +\infty.
$$

Mais les $\Gamma_R$ sont semi-continus inférieurement et par conséquent les $\Gamma_R * \nu_0$
sont également semi-continus inférieurement. Il en résulte que

$$
\lim_{R \to \infty} \left[ \inf_{\zeta \in F} \Gamma_R * \nu_0(\zeta) \right] = +\infty.
$$

C'est ce qu'on voulait démontrer. $\square$

REMARQUE 4.1. — En fait [KW] (comme [TW]) fournit (après des modifications évidentes) un exemple d'ensemble $F_0 \subset [-\pi, \pi] \times [0, 1]$ du type de $F$ ci-dessus lorsque $d-1=1$. Pour $d \ge 3$, il suffit de prendre

$$
F = \{(x, t) \in [-\pi, \pi]^{d-1} \times [0, 1] ; (x_1, t) \in F_0\}.
$$

On vérifie aisément que $F$ est polaire pour (l'adjoint de) l'opérateur de la chaleur
si $F_0$ l'est.
Fin de la démonstration de la proposition 3. — Soit $N$ la partie entière de $1 + \sqrt{R}$ et soit $\lambda_R = \inf_{(x,t)\in F} \Gamma_R * \nu_0(x,t)$. Considérons la mesure $\nu_R$ définie par

$$ \nu_R = \frac{1}{c_0 \lambda_R R^{(d-1)/2}} \sum_{n \in D_N} \tau_{(n,1)}(\nu_0), $$

où $D_N = \{n \in \mathbb{Z}^{d-1}; -N \le n_j < N\}$ et où $\tau_{(n,1)}$ désigne la translation de vecteur $(n, 1)$ dans $\mathbb{R}^d$.

Si $x \in [-N\pi, N\pi]^{d-1} = \bigcup_{n \in D_N} [n_1\pi, (n_1+1)\pi] \times \cdots \times [n_{d-1}\pi, (n_{d-1}+1)\pi]$, on a

$$ \sup_{t \in [1,2]} \Gamma_R * \nu_R(x,t) \ge \frac{1}{c_0 R^{(d-1)/2}}. $$

Or $E([-\pi, \pi]^{d-1}) = S_{d-1}$ et $p \circ h_R^{-1}(D_N \times [1, 2]) = C(R, 2R)$; donc d'après le lemme 3, le potentiel normalisé $u_R$ engendré par la mesure $\mu_R = p \circ h_R^{-1}(\nu_R)$ vérifie

$$ \sup_{r \in [R, 2R]} u_R(rz) \ge 1 $$

pour tout $z \in S_{d-1}$. Comme $\|\mu_R\| = \|\nu_R\| \le \frac{c}{\lambda_R} \|\nu_0\|$ et que $\lim_{R \to \infty} \lambda_R = +\infty$, la proposition 3 est établie.

Fin de la preuve du théorème 1. — On prend un potentiel normalisé $w$ de la forme

$$ w(x) = \sum_{j \ge 1} \int F(x-y) K(x,y) d\nu_j(y), \quad x \in \mathbb{R}^d, \text{ où } \nu_j = \frac{1}{\sqrt{\|\mu_{R_{2j+1}}\|}} \mu_{R_{2j+1}}, $$

et où les $R_j, j \ge 1$, croissent assez rapidement vers $+\infty$. Plus précisément, on choisit successivement les $R_j$ tels que $R_{j+1} \ge 10 R_j$, $\|\nu_j\| \le 2^{-j}[R_{2j}]^{(1-d)/2}$. En utilisant la définition du noyau $K$, il est facile de voir que pour $\|x\| = R_{2N+2}$, on a

$$ w(x) \le c(R_{2N+2})^{(d-1)/2} \left( \exp(2R_{2N+1} - R_{2N+2}) \|\nu\| + \sum_{j \ge N+1} \|\nu_j\| \right), $$

et $\lim_{N \to \infty} [\sup_{\partial B(0, R_{2N})} w] = 0$. D'autre part, d'après le (ii) de la proposition 3 on a

$$ \sup\{K\nu_j(tx); t \ge \frac{1}{2} R_{2j+1}\} \ge \|\mu_{R_{2j+1}}\|^{-\frac{1}{2}} \ge 2^{j/2} $$

pour tout $x \in S_{d-1}$. On obtient donc bien le théorème 1. $\square$

Le théorème 3 se déduit du raffinement (simple) du théorème 1 donné par l'énoncé suivant. On désigne par $f$ une fonction bornée $> 0$ sur $[1, \infty[$.
THÉORÈME 1'.— Supposons que $f(r)\sqrt{r}$ tende vers 0 quand $r$ tend vers l'infini. Il existe alors un potentiel $w$ pour l'équation de Helmholtz dans $\mathbb{R}^d$ tel que pour tout $x \in S_{d-1}$ :

$$ \limsup_{r \to \infty} \left[ \inf \left\{ \frac{w(r y)}{\Phi_d(r y)} ; y \in S_{d-1}, |y-x| \le f(r) \right\} \right] = +\infty, $$

$$ \liminf_{r \to \infty} \left[ \sup \left\{ \frac{w(r y)}{\Phi_d(r y)} ; y \in S_{d-1}, |y-x| \le f(r) \right\} \right] = 0. $$

Les lemmes 5 et 6 ci-dessous sont des variantes des lemmes 1 et 2 précédents. Le théorème 1' s'obtient ensuite via la proposition 4 en procédant exactement comme pour le théorème 1. Quitte à remplacer $f$ par

$$ \tilde{f}(r) = \frac{1}{\sqrt{r}} \sup\{\sqrt{t} f(t) ; t \ge r\}, \quad r > 0, $$

on peut supposer que $\sqrt{t} f(t)$ décroît vers 0 quand $t \to \infty$.

Pour $u : \mathbb{R}^d \to \bar{\mathbb{R}}_+$, $x \in \mathbb{R}^d$ et $r = \|x\| \ge 1$, posons

$$ m_f u(x) = \inf \{ u(y) ; y \in \mathbb{R}^d, \|y\| = r, \angle(x, y) \le f(r) \}. $$

PROPOSITION 4. — Il existe une famille $\{\mu_R\}_{R \ge R_0}$, $R_0 > 1$, de mesures positives finies sur $\mathbb{R}^d$ telle que

(i) la masse totale de $\mu_R$ tend vers 0 quand $R$ tend vers l'infini;

(ii) $\mu_R$ est portée par $C(\frac{R}{2}, 2R)$;

(iii) le potentiel normalisé $u_R$ associé à $\mu_R$ vérifie $\sup_{r \in [R, 2R]} m_f u(r z) \ge 1$ pour tout $z \in S_{d-1}$.

Soit $R_0 > 1$ assez grand pour que $f(r) \le 1/100\sqrt{r}$ si $r \ge R_0$. Pour $x \in \mathbb{R}^d$ tel que $r := \|x\| \ge R_0$, définissons la région

$$ E_f(x) = \{ y \in \mathbb{R}^d ; r + \sqrt{r} \le \|y\| \le 2r \text{ et } f(r) \le \angle(x, y) \le \frac{1}{2\sqrt{r}} \}. $$

LEMME 5. — Soit $\mu$ une mesure positive finie sur $\mathbb{R}^d$ et soit $u$ le potentiel normalisé associé à $\mu$. Pour $r \ge R_0$, $\theta \in S_{d-1}$ et $x = r \theta$, on a :

$$ m_f u(x) \ge c r^{d-1} \int_{E_f(x)} \frac{1}{(s-r)^{(d-1)/2}} \exp \left( -8r^2 \frac{(\angle(\beta, \theta))^2}{s-r} \right) d\mu(y) $$

où on a posé $y = s\beta$, $s \ge 1$ et $\beta \in S_{d-1}$ dans l'intégrale.

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Démonstration. — Évidemment

$$m_f u(x) \geq c \inf \left\{ \int_{E_f(x)} K(r\alpha, y) \, d\mu(y) ; \alpha \in S_{d-1}, \angle(\alpha, \theta) \leq f(r) \right\}$$

et $E_f(x) \subset D(r\alpha)$ si $\angle(\alpha, \theta) \leq f(r)$. Donc d'après le lemme 1, si $y = s\beta \in E_f(x)$ et $\beta \in S_{d-1}$, on a

$$ 
\begin{aligned}
K(r\alpha, y) &\geq c \left(\frac{r}{\sqrt{s-r}}\right)^{d-1} \exp\left(-2r^2 \frac{(\angle(\alpha, \beta))^2}{s-r}\right) \\
&\geq c \left(\frac{r}{\sqrt{s-r}}\right)^{d-1} \exp\left(-8r^2 \frac{(\angle(\beta, \theta))^2}{s-r}\right).
\end{aligned}
$$

D'où le lemme. $\square$

Notons, pour $R \geq R_0$,

$$A'_{R} = \{(x, t) \in \mathbb{R}^{d-1} \times \mathbb{R}; f(R)\sqrt{R} < |x| < \frac{1}{4}, -1 < t < -2/\sqrt{R}\}$$

et

$$\Gamma_{f,R}(\alpha, t) = \frac{1}{|t|^{(d-1)/2}} \exp\left(-8 \frac{|\alpha|^2}{|t|}\right) \mathbf{1}_{A'_{R}}(\alpha, t), \quad (\alpha, t) \in \mathbb{R}^{d-1} \times \mathbb{R}.$$

LEMME 6. — Soit $\nu$ une mesure positive finie sur $\mathbb{R}^{d-1} \times \mathbb{R}_+^*$, soit $\mu$ son image par $p \circ h_R^{-1}$ et soit $u$ le potentiel normalisé associé à $\mu$. Si $R \geq R_0$, si $r \in [R, 2R]$ et si $\theta \in \mathbb{R}^{d-1}$ on a, pour une certaine constante $c_0 > 0$,

$$(m_f u) \circ p(\theta, r) \geq c_0 R^{(d-1)/2} (\Gamma_{f,R} * \nu) \circ h_R(\theta, r).$$

Démonstration. — Pour $x = rE(\theta)$ et $y = sE(\beta)$, $\theta \in \mathbb{R}^{d-1}$, $\beta \in \mathbb{R}^{d-1}$, $r, s \geq 1$, posons :

$$H(x, y) = \mathbf{1}_{E_f(x)}(y) \left( \frac{r}{\sqrt{s-r}} \right)^{d-1} \exp \left( -8r^2 \frac{|\beta - \theta|^2}{s-r} \right).$$

Soient $(\theta, r) \in \mathbb{R}^{d-1} \times \mathbb{R}_+^*, r \geq R_0$ et $x = p(\theta, r)$. D'après le lemme précédent et le caractère 1-lipschitzien de l'exponentielle $E : \mathbb{R}^{d-1} \to S_{d-1}$, on a :

$$ 
\begin{aligned}
m_f u(x) &\geq c \int H(x, y) d\mu(y) \geq c \int H(x, p \circ h_R^{-1}(u, s)) d\nu(u, s) \\
&\geq c \int_{\{r+\sqrt{r} \leq Rs \leq 2r, f(r) \leq |u/\sqrt{R}-\theta| \leq 1/2\sqrt{r}\}} \left(\frac{r}{\sqrt{Rs-r}}\right)^{d-1} \\
&\qquad \times \exp\left(-8r^2 \frac{|\theta - u/\sqrt{R}|^2}{Rs-r}\right) d\nu(u, s)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{align*}
&\ge c \int_{\{r/R+\sqrt{r}/R \le s \le 2r/R, f(r)\sqrt{R} \le |u-\theta\sqrt{R}| \le \sqrt{R}/2\sqrt{r}\}} \frac{r^d}{R^{(d-1)/2}} \\
&\qquad \times \frac{1}{(s-r/R)^{(d-1)/2}} \exp\left(-8 \frac{r^2}{R^2} \frac{|\theta\sqrt{R}-u|^2}{s-r/R}\right) \mathrm{d}\nu(u,s) \\
&\ge cR^{(d-1)/2} \int_{\{2/\sqrt{R} \le s-r/R \le 1, f(R)\sqrt{R} \le |u-\theta\sqrt{R}| \le \frac{1}{4}\}} \frac{1}{(s-r/R)^{(d-1)/2}} \\
&\qquad \times \exp\left(-8 \frac{|\theta\sqrt{R}-u|^2}{s-r/R}\right) \mathrm{d}\nu(u,s) \\
&= cR^{(d-1)/2} [\Gamma_{f,R} * \nu](\theta\sqrt{R}, r/R). \quad \Box
\end{align*}
$$

À une fonction bornée près le noyau $\Gamma_{f,R}$ tend en croissant vers

$$
\tilde{\Gamma}(x,t) = \mathbf{1}_{\{0 < |x| < \frac{1}{4}, -1 < t < 0\}}(x,t) \Gamma(x,t).
$$

On établit alors la proposition 4, exactement comme la proposition 3, en remarquant qu’on peut choisir pour mesure $\nu_0$ dans le lemme 4 une mesure ne chargeant pas les droites verticales dans $\mathbb{R}^{d-1} \times \mathbb{R}$. (On peut même prendre $\nu_0$ absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^{d-1} \times \mathbb{R}$.)

5. Démonstration directe du théorème 2

On indiquera les étapes principales de cette preuve, en laissant au lecteur
le soin de vérifier les inégalités (de nature élémentaire) non détaillées. On fixe
un potentiel normalisé $u$ associé à une mesure positive finie $\mu$ sur $\mathbb{R}^d$ et on note
$Mu = M_f u$. On peut supposer $f(t) = 1/\sqrt{t}$ et $\mu(B(0,4)) = 0$.

NOTATIONS. — On désigne par $x$ et $y$ des points de $\mathbb{R}^d \setminus B(0,1)$, $\|x\| \ge 4$, et on note $r = \|x\|$, $s = \|y\|$, $\delta = \|x-y\|$, $\alpha = x/r$, $\beta = y/s$ et $\gamma = \angle(x,y) \in [0,\pi]$. On pose $\Delta(x,y) = \|y\| - \|x-y\| - \|x\|$, et

$$
\begin{align*}
C_1(x) &= \{y \in \mathbb{R}^d; 1 \le \|y\| \le r - \sqrt{r}\}, \\
C_2(x) &= \{y \in \mathbb{R}^d; r - \sqrt{r} \le \|y\| \le r + 1\}, \\
C_3(x) &= \{y \in \mathbb{R}^d; r + 1 \le \|y\| \le 2r\}, \\
C_4(x) &= \{y \in \mathbb{R}^d; 2r \le \|y\|\},
\end{align*}
$$

Pour $1 \le i \le 4$, soient

$$
K_i(x, y) = \mathbf{1}_{C_i(x)}(y) K(x, y) \quad \text{et} \quad u_i(x) = \int K_i(x, y) \, d\mu(y).
$$
Soit aussi

$$v(x) = \int_{B(x,1)} \frac{\|x\|^{d-1}}{\|x-y\|^{d-2}} d\mu(y), \quad x \in \mathbb{R}^d.$$

On a $u \le c(u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + v)$ sur $\mathbb{R}^d$ — ($v$ peut être omis si $d \le 3$).

Pour montrer le théorème 2, il suffit d'examiner successivement les $Mu_j$ et $Mv$. Pour $Mu_1$, le lecteur vérifiera facilement que $u_1(x) \le C \exp(-\sqrt{r})$. Pour $Mv$, $Mu_2$ et $Mu_3$ on s'appuiera sur la proposition suivante. Considérons un noyau (mesurable) $N: \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d \to \bar{\mathbb{R}}_+$ tel que $\text{supp}[N(x, \cdot)] \subset C(c_1\|x\|, c_2\|x\|)$ pour tout $x \in \mathbb{R}^d$ et deux constantes strictement positives $c_1$ et $c_2$. Soit $R_1 \ge 1$.

**PROPOSITION 5.** — Pour $R \ge 0$ et $\alpha, \beta$ dans $S_{d-1}$, notons

$$L_R(\alpha, \beta) = \sup\{N(r\alpha, s\beta); r \in [R, 2R], s \in [c_1r, c_2r]\}.$$

Si $\int_{S_{d-1}} L_R(\alpha, \beta) d\sigma(\alpha)$ reste bornée pour $R \ge R_1$ et $\beta \in S_{d-1}$, alors pour toute mesure finie $\nu$ sur $\mathbb{R}^d$, la fonction $u(x) = \int N(x, y) d\nu(y)$ tend vers 0 à l'infini le long de presque tout rayon issu de 0.

*Démonstration.* — Notons $\nu_n = \mathbf{1}_{C(c_12^{n}, c_22^{n+1})}\nu$,

$$T_n\nu(\alpha) = \sup_{r \in [2^n, 2^{n+1}]} \int N(r\alpha, y) d\nu(y),$$

pour $\alpha \in S_{d-1}$ et $n$ entier $\ge 1$. On a :

$$\int T_n \nu(\alpha) d\sigma(\alpha) \le \iint L_{2^n} \left( \alpha, \frac{y}{\|y\|} \right) d\nu_n(y) d\sigma(\alpha) \\ \le \|\nu_n\| \sup_{\theta \in S_{d-1}} \int L_{2^n}(\alpha, \theta) d\sigma(\alpha).$$

Donc, puisque $\sum_{n \ge 1} \|\nu_n\| < \infty$, la somme $\sum_{\{n, 2^n \ge R_1\}} T_{2^n} \nu$ est $\sigma$-intégrable sur $S_{d-1}$. A fortiori, on a $\lim_{n \to \infty} T_{2^n} \nu(x) = 0$, $\sigma$-presque partout sur $S_{d-1}$. La proposition s'ensuit. $\square$

**REMARQUE 5.1.** — La proposition s'applique aux deux noyaux

$$N(x, y) = \mathbf{1}_{B(x,1)}(y) \frac{|x|^{d-1}}{|x-y|^{d-2}}, \quad N'(x, y) = -\mathbf{1}_{B(x,1)}(y) |x| \log(|x-y|)$$

(cf. aussi ci-dessous). La divergence dans le théorème 1 n'est donc pas due à l'influence locale de la mesure qui définit le potentiel.
Étude de Mv. — Si on note

$$
A(x) = \{ y \in \mathbb{R}^d ; \|\|y\| - r\| \le 1 \text{ et } \angle (x, y) \le 3/\sqrt{r} \},
$$

on a la majoration $Mv(x) \le \int N(x, y) d\mu(y)$ où

$$
N(x, y) = c \mathbf{1}_{A(x)}(y) \int_{S_{d-1}} \mathbf{1}_{B(y,1)}(r\theta) \frac{r^{(d+1)/2}}{\|\theta - y/r\|^{d-2}} d\sigma(\theta).
$$

Mais,

$$
\begin{align*}
\int_{S_{d-1}} \mathbf{1}_{B(y,1)}(r\theta) \frac{r}{\|\theta - y/r\|^{d-2}} \mathrm{d}\sigma(\theta) &\le \int_{\Sigma(y/\|y\|,2/r)} \frac{r}{\|\theta - y/r\|^{d-2}} \mathrm{d}\sigma(\theta) \\
&\le c \int_{\Sigma(y/\|y\|,3/r)} \frac{r}{\|\theta - y/\|y\|\|^{d-2}} \mathrm{d}\sigma(\theta) \le c,
\end{align*}
$$

pour $r = \|x\|$ assez grand, $y \in A(x)$. Donc $N(x,y) \le c r^{(d-1)/2} \mathbf{1}_{A(x)}(y)$.
La convergence radiale presque sûre vers zéro de $Mv$ découle alors de la
proposition 5.

Étude de $\mathcal{M}u_2$. — On a $\mathcal{M}u_2(x) \le c \int_{y \in C_2(x)} N(x, y) d\mu(y)$ où

$$
N(x, y) = r^{(d-1)/2} \int_{\Sigma(\alpha, 1/\sqrt{r})} K_2(r\theta, y) \, d\sigma(\theta).
$$

De l'inégalité $\|\lambda_1 w_1 - \lambda_2 w_2\|^2 \ge \lambda_1 \lambda_2 \|w_1 - w_2\|^2$, pour $w_j \in S_{d-1}$, $\lambda_j > 0$, on déduit la majoration

$$
N(x, y) \leq c r^{d-1} \mathbf{1}_{C_2(x)}(y) \int_{\Sigma(\alpha, 1/\sqrt{r})} \frac{1}{|\theta - \beta|^{(d-1)/2}} \exp\left(-\frac{1}{2} r |\theta - \beta|\right) d\sigma(\theta).
$$

À partir de là, on peut établir les inégalités

$$
N(x, y) \leq c r^{(d-1)/2} \quad \text{si } |\alpha - \beta| \leq 2/\sqrt{r},
$$

$$
N(x, y) \leq c r^{(3d-5)/4} e^{-\sqrt{\frac{r}{2}}} \quad \text{si } |\alpha - \beta| > 2/\sqrt{r}.
$$

La convergence radiale presque-sûre de $\mathcal{M}u_2$ découle maintenant de la proposi-
tion 5.

Étude de $\mathcal{M}u_3$. — On a $\mathcal{M}u_3(x) \le \int_{y \in C_3(x)} N(x, y) d\mu(y)$ où

$$
N(x, y) = c r^{(d-1)/2} \int_{\Sigma(\alpha, 1/\sqrt{r})} K_3(r\theta, y) \, d\sigma(\theta).
$$
Alors que le théorème 1 repose sur la minoration $\Delta(x, y) \geq -r^2\gamma^2/2\delta$ (cf. 4.1),
la convergence de $\mathcal{M}u_3$ repose sur la majoration

$$
(5.1) \qquad \Delta(x, y) \leq - \frac{r^2 \gamma^2}{8 \delta}
$$

pour $y \in C_3(x)$, qui se démontre de la même manière que (4.1). Cela conduit à

$$
N(x, y) \leq c r^{d-1} \mathbf{1}_{C_3(x)}(y) \int_{\Sigma(\alpha, 1/\sqrt{r})} \left( \frac{r}{\|r\theta - y\|} \right)^{(d-1)/2} \exp \left( -r^2 \frac{\angle(\theta, y)^2}{8\|r\theta - y\|} \right) d\sigma(\theta).
$$

On en déduit les inégalités suivantes :

$$
N(x,y) \le c \mathbf{1}_{C_3(x)}(y) \left( \frac{r}{\sqrt{|x-y|}} \right)^{d-1} \exp \left( -ar^2 \frac{|\beta-\alpha|^2}{|x-y|} \right) \quad \text{si } |\beta-\alpha| \ge \frac{2}{\sqrt{r}},
$$

$$
\begin{align*}
N(x,y) &\le c r^{(d-1)/2} \int_{\mathbb{R}^{d-1}} \frac{1}{(t^2 + |w|^2)^{(d-1)/4}} \exp \left( -a \frac{|w|^2}{(t^2 + |w|^2)^{\frac{3}{2}}} \right) dw \\
&= c r^{(d-1)/2} I(t) \qquad \text{si } |\beta - \alpha| \le \frac{2}{\sqrt{r}}
\end{align*}
$$

où $t = s - r \ge 1$. C'est pour ce dernier cas que la moyenne est nécessaire
pour assurer la convergence radiale. Une étude des variations de la fonction
$g(\delta) = \delta^{(1-d)/2} \exp(-b/\delta)$ pour $\delta \in [\sqrt{r}, 4r]$ ($b > 0$) conduit à l'inégalité

$$
N(x, y) \leq c r^{(d-1)/2} \exp(-a|\beta - \alpha|^2)
$$

pour |β - α| ≥ 2/√r. D'autre part, on peut montrer que l'intégrale I(t) reste
bornée lorsque t parcourt ]0, ∞[. La convergence radiale presque-sûre de Mu₃
découle alors à nouveau de la proposition 5.

Étude de $\mathcal{M}u_4$. — On s’appuiera ici sur une inégalité maximale classique. De manière analogue à (5.1) on a $\Delta(x,y) \le -r\gamma^2/8$. On a alors

$$
\mathcal{M}u_4(x) \le c r^{(d-1)/2} \\
\quad \times \int_{y \in C_4(x)} \left\{ \int_{\Sigma(\alpha, 1/\sqrt{r})} \left( \frac{rs}{s-r} \right)^{(d-1)/2} \exp \left( - \frac{r \angle(\theta, \beta)^2}{8} \right) \right\} d\sigma(\theta) d\mu(y).
$$

En posant (avec $a > 0$ assez petit)

$$
N(x, y) = r^{(d-1)/2} \mathbf{1}_{C_4(x)}(y) \int_{\Sigma(\alpha, 1/\sqrt{r})} r^{(d-1)/2} \exp(-ar|\beta - \theta|^2) d\sigma(\theta),
$$
on a $Mu_4(x) \le c N\mu(x) = \int N(x, y)d\mu(y)$.

* Si $|\beta - \alpha| \le 2/\sqrt{r}$, clairement $N(x, y) \le cr^{(d-1)/2}$.

* Si $|\beta - \alpha| \ge 2/\sqrt{r}$, on a $N(x, y) \le cr^{(d-1)/2} \exp(-ar(|\alpha - \beta|/2)^2)$.

Dans tous les cas, on obtient

$$N(x, y) \le c \mathbf{1}_{C_4(x)}(y) r^{(d-1)/2} \exp \left( - ar \left( \frac{|\alpha - \beta|}{2} \right)^2 \right).$$

Donc, si $\nu_n$ désigne la projection sur $S_{d-1}$ de la restriction $\mu_n$ de $\mu$ à la couronne $C(2^{n+1}, \infty)$ et si on note

$$h_n(t) = r_n^{(d-1)/2} \exp(-ar_n(\frac{1}{2}t)^2) = r_n^{(d-1)/2} h_0(\sqrt{r_n}t), \quad r_n = 2^n,$$

on a pour $x \in C(2^n, 2^{n+1})$,

$$ \begin{aligned} Mu_4(x) &\le c \int_{S_{d-1}} h_n(|\theta - \alpha|) d\nu_n(\theta) = c \int_0^\infty \nu_n(B(\alpha, t)) h'_n(t) dt \\ &\le c \nu_n^*(\alpha) \int_0^\infty t^{d-1} r_n^{d/2} h'_0(\sqrt{r_n}t) dt = c \nu_n^*(\alpha) \int_0^\infty s^{d-1} h'_0(s) ds, \end{aligned} $$

où $\nu_n^*$ est la fonction maximale de $\nu_n$ relativement à $S_{d-1}$ et $\sigma$. Or les $\nu_n^*$ décroissent, $\lim_{n \to \infty} \|\nu_n\| = 0$ et $\sigma(\{\nu_n^* > t\}) \le c \|\nu_n\|/t$ pour $t > 0$. Donc $\lim_{n \to \infty} \nu_n^*(\alpha) = 0$, $\sigma$-p.p. et $\lim_{r \to \infty} Mu_4(r\alpha) = 0$, $\sigma$-p.p. $\square$

## 6. Preuve du théorème 4

**A. Noyaux de Poisson.** — Soit $U$ un domaine de classe $C^2$ (non nécessairement borné) dans $\mathbb{R}^d$. Le noyau de Poisson $P_\xi^{U,\lambda} = P^{U,\lambda}(\cdot, \xi)$ de $\xi \in \partial U$ dans $U$, et relativement à $\Delta - \lambda I$, $\lambda > 0$, est

$$P_{\xi}^{U,\lambda}(x) = \partial_{n_{\xi}} G_{x}^{U,\lambda}(\xi), \quad x \in U,$$

où $G_x^{U,\lambda}$ est le noyau de Green de pôle $x$ dans $U$ pour $\Delta - \lambda I$ et où $n_\xi$ est la normale unitaire rentrante pour $U$ en $\xi \in \partial U$. Pour $U$, $\xi$ et $\lambda > 0$ fixés, $P_\xi^{U,\lambda}$ est une $\Delta - \lambda I$ solution $> 0$ sur $U$, s'annulant sur $\partial U \setminus \{\xi\}$ et majorée par un multiple de $G_0^\lambda$ au voisinage de l'infini (si $U$ est non borné). Il est bien connu (voir e.g. [An1, II.2.3] et ses références) que toute autre $\Delta - \lambda I$-solution $> 0$ dans $U$ jouissant de ces propriétés est proportionnelle à $P_\xi^{U,\lambda}$. D'autre part, la mesure harmonique $\omega_x^{U,\lambda}$ de $x \in U$, relativement à $U$ et à l'opérateur $\Delta - \lambda I$, est donnée par la formule

$$\omega_x^{U,\lambda}(d\xi) = P^{U,\lambda}(x, \xi) d\sigma(\xi).$$
On détermine facilement le noyau de Poisson $\tilde{P}^{\lambda}$ de pôle 0 pour le demi-espace

$$ \tilde{U} = \{x \in \mathbb{R}^d; x_1 > 0\}. $$

D'abord le noyau de Green pour $\mathbb{R}^d$ entier et $\Delta - \lambda I$ est

$$ G^{\lambda}(x, y) = \lambda^{(d-2)/2} G_d(\sqrt{\lambda} |x - y|), $$

et la fonction de Green de pôle $x$ dans $\tilde{U}$ est

$$ G_{x}^{\lambda, \tilde{U}}(y) = \lambda^{(d-2)/2} [G_{d}(\sqrt{\lambda} |x - y|) - G_{d}(\sqrt{\lambda} |x' - y|)] $$

où $x'$ est le symétrique de $x$ par rapport à l'hyperplan $x_1 = 0$. Par conséquent (cf. le 2.B) :

$$ \tilde{P}^{\lambda}(x) = -2 \lambda^{(d-1)/2} G'_{d}(\sqrt{\lambda} r) \frac{x_1}{r} \sim \lambda^{(d-1)/4} \frac{e^{-r\sqrt{\lambda}}}{(2\pi r)^{(d-1)/2}} \frac{x_1}{r} $$

où $r = |x| = d(0, x)$ et où $G'_d$ désigne la dérivée de $G_d$ et l'équivalent est donné pour $\lambda \to \infty$.

Il est facile d'estimer aussi le noyau de Poisson pour une boule, au centre de cette boule. Si $\xi \in \partial B_d(0, \rho)$, le noyau de Poisson $P_{\xi}^{\lambda}$ de pôle $\xi$ dans $B_d(0, \rho)$, $\rho > 0$, ne dépend pas de $\xi$ en 0 et doit donc vérifier

$$ P_{\xi}^{\lambda}(0) \Phi_{d}(\rho\sqrt{\lambda}) \rho^{d-1} \sigma(S_{d-1}) = \Phi_{d}(0) = 1. $$

Compte tenu des asymptotiques de $\Phi_d$ du 2.B et de la formule $\sigma(S_{d-1}) = 2\pi^{d/2}/\Gamma(\frac{1}{2}d)$, on obtient $P_{\xi}^{\lambda}(0) \sim \tilde{P}^{\lambda}(\rho e_1)$ pour $\lambda \to \infty$.

Dans la partie suivante, on estime le noyau de Poisson d'une boule, pour $\lambda$ grand, en dehors du centre.

**B. Estimées du noyau de Poisson dans une boule, pour $\Delta - \lambda I$ et lorsque $\lambda \to \infty$**. — Soit $P^{\lambda}$ le noyau de Poisson de pôle 0 pour la boule ouverte $B = B_d(\rho e_1, \rho)$, $\rho > 0$ et l'opérateur $\Delta - \lambda I$ (où $e_1 = (1, 0, \dots, 0) \in \mathbb{R}^d$). On note toujours $\tilde{P}^{\lambda}$ le noyau de Poisson de pôle 0 dans $\tilde{U} = \{x \in \mathbb{R}^d; x_1 > 0\}$.

**PROPOSITION 6.** — Pour tout compact $K$ de $B$, on a uniformément sur $K$

$$ \lim_{\lambda \to \infty} \frac{P^{\lambda}(x)}{\tilde{P}^{\lambda}(x)} = 1. $$

De plus, il existe $c = c_{K,d} > 0$ tel que $c \tilde{P}^{\lambda}(x) \le P^{\lambda}(x) \le \tilde{P}^{\lambda}(x)$, pour tout $\lambda \ge 0$ et tout $x \in K$.
*Preuve.* — Un argument d'homogénéité permet de supposer $\rho = 1$. (Cf. 6.D.)

(i) Considérons $K^\lambda = \tilde{P}^\lambda - \lambda H_{\tilde{P}^\lambda}^{\partial B}$ où $\lambda H_{\tilde{P}^\lambda}^{\partial B}$ est la solution du problème de Dirichlet dans $B$ pour $\Delta - \lambda I$ et la valeur au bord $\tilde{P}^\lambda$, i.e. $\lambda H_{\tilde{P}^\lambda}^{\partial B}(x) = \int_{\partial B} \tilde{P}^\lambda(\xi) P^\lambda(x, \xi) d\sigma(\xi)$, $x \in B$. On va montrer que $K^\lambda/\tilde{P}^\lambda$ tend vers 1 uniformément sur $K$ lorsque $\lambda \to \infty$. Or, $K^\lambda = K^\lambda(A)/P^\lambda(A)P^\lambda$, en notant $A$ le centre de $B$. Comme $P^\lambda(A)/\tilde{P}^\lambda(A) \to 1$ pour $\lambda \to \infty$, on obtiendra bien la première assertion de la proposition.

(ii) Il s'agit donc de voir que $\lambda H_{\tilde{P}^\lambda}^{\partial B} = o(\tilde{P}^\lambda)$ uniformément sur $K$ lorsque $\lambda \to \infty$, ou encore que si $p_\lambda$ est une minimale associée à 0 dans $\tilde{U}$ pour $\Delta - \lambda I$, $\lambda H_{p_\lambda}^{\partial B} = o(p_\lambda)$ uniformément sur $K$, quand $\lambda \to \infty$. On prendra $p_\lambda(x) = 1/G'_d(\sqrt{\lambda})G'_d(r\sqrt{\lambda})x_1/r$, $r = d(0, x) = |x|$, de telle sorte que $p_\lambda(A) = 1$. On a, uniformément sur $K$ pour $\lambda \to \infty$,

$$p_{\lambda}(x) \sim c_{d} \frac{e^{-(r-1)\sqrt{\lambda}}}{r^{(d+1)/2}} x_{1}.$$

(iii) Fixons $\delta > 0$ et partageons $\partial B$ en trois zones $F_1, F_2, F_3$ :

$$F_1 = \{x \in \partial B; |x|\sqrt{\lambda} \le 1\},$$

$$F_2 = \{x \in \partial B; 1 \le |x|\sqrt{\lambda}, |x| \le \varepsilon_0\},$$

$$F_3 = \{x \in \partial B; |x| \ge \varepsilon_0\}.$$

On va voir que $\lambda H_{1_{F_j}p_\lambda}^{\partial B} \le \delta p_\lambda$ sur $K$ pour $\lambda$ grand, si on choisit convenablement $\varepsilon_0 = \varepsilon_0(\delta)$.

(iv) Sur $F_1$ comme $|G'_d(t)| \le (c/t)G_d(t)$ pour $t \le 1$, on a

$$p_{\lambda}(x) \le \frac{c}{\sqrt{\lambda}} \frac{G_{d}(\sqrt{\lambda} r)}{|G'_{d}(\sqrt{\lambda})|} \frac{x_{1}}{r^{2}} \le \frac{c}{\sqrt{\lambda}} \frac{G_{d}(\sqrt{\lambda} r)}{|G'_{d}(\sqrt{\lambda})|}$$

car $x_1/r^2$ est de l'ordre d'une constante sur $\partial B$. Mais la fonction $x \mapsto -(c/\sqrt{\lambda})G_d(\sqrt{\lambda}r)/G'_d(\sqrt{\lambda})$ est $\Delta - \lambda I$ harmonique > 0 sur $\mathbb{R}^d \setminus \{0\}$. Donc, pour tout $x \in B$,

$$\lambda H_{1_{F_1}p_{\lambda}}^{\partial B}(x) \le \frac{c}{\sqrt{\lambda}} \frac{G_d(\sqrt{\lambda}r)}{|G'_d(\sqrt{\lambda})|},$$

et puisque $-G'_d(t) \sim G_d(t)$ pour $t \ge 1$, on obtient que pour $x \in K$ (et $\lambda \ge 1$)

$$\lambda H_{1_{F_1}p_{\lambda}}^{\partial B}(x) \le \frac{c}{\sqrt{\lambda}} p_{\lambda}(x).$$
(v) Sur $F_2$, puisque $-G'_d(t) \sim G_d(t)$ pour $t \ge 1$ et puisque $x_1 \approx r^2$ sur $\partial B$,
on a

$$p_{\lambda}(x) \le c \frac{G_{d}(\sqrt{\lambda} r)}{|G'_{d}(\sqrt{\lambda})|} r \le c \varepsilon_{0} \frac{G_{d}(\sqrt{\lambda} r)}{|G'_{d}(\sqrt{\lambda})|}$$

(où $c$ est indépendant de $\varepsilon_0$). A fortiori, sur $K$

$$^{\lambda}H_{1F_2 p_{\lambda}}^{\partial B}(x) \leq c \varepsilon_0 \frac{G_d(\sqrt{\lambda} r)}{|G'_d(\sqrt{\lambda})|} \leq c' \varepsilon_0 \frac{G_d(\sqrt{\lambda} r)}{|G'_d(\sqrt{\lambda})|} \frac{x_1}{r} = c' \varepsilon_0 p_{\lambda}(x).$$

On choisira et fixera $\varepsilon_0$ assez petit pour que $c' \varepsilon_0 \le \delta$.

(vi) Reste à estimer $^{\lambda}H_{1F_3 p_{\lambda}}^{\partial B}$. Etant donné $\lambda \ge 1$, choisissons une suite finie maximale de points $\xi_j \in F_3$, $j = 1, \dots, N_{\lambda}$, telle que $|\xi_j - \xi_k| \ge 1/\sqrt{\lambda}$ pour $j \ne k$. Alors $\min\{|x - \xi_j|; 1 \le j \le N_{\lambda}\} \le 1/\sqrt{\lambda}$ si $x \in F_3$ et $N_{\lambda} \le c\lambda^{(d-1)/2}$. Pour $x \in F_3$, $|x - \xi_j| \le 1/\sqrt{\lambda}$ on a $G_d(\sqrt{\lambda}r) \le cG_d(\sqrt{\lambda}|\xi_j|)$ d'après (2.1). Comme $G_d(t) \ge c$ pour $t \le 1$ on a donc, en notant $r_j = |\xi_j|,$

$$p_{\lambda}(x) \le c(\varepsilon_0) \frac{G_d(\sqrt{\lambda} r)}{|G'_d(\sqrt{\lambda})|} \le \frac{c(\varepsilon_0)}{|G'_d(\sqrt{\lambda})|} \sum_{1 \le j \le N_{\lambda}} G_d(\sqrt{\lambda} r_j) G_d(\sqrt{\lambda} |x - \xi_j|).$$

D'où, pour tout $x \in K$,

$$\begin{aligned} ^{\lambda}H_{1F_3 p_{\lambda}}^{\partial B}(x) & \le \frac{c(\varepsilon_0)}{|G'_{d}(\sqrt{\lambda})|} \sum_{1 \le j \le N_{\lambda}} G_d(\sqrt{\lambda} r_j) G_d(\sqrt{\lambda} |x - \xi_j|) \\ & \le \frac{c'(\varepsilon_0)}{|G'_{d}(\sqrt{\lambda})|} \lambda^{(1-d)/2} \sum_{1 \le j \le N_{\lambda}} \exp(-\sqrt{\lambda} (r_j + |\xi_j - x|)), \end{aligned}$$

et comme pour tout $x \in K$ et tout $\xi \in F_3$, on a $|\xi| + |\xi - x| \ge |x| + \alpha_K$ avec $\alpha_K > 0$, on obtient

$$^{\lambda}H_{1F_3 p_{\lambda}}^{\partial B}(x) \le \frac{c'(\varepsilon_0)}{|G'_{d}(\sqrt{\lambda})|} e^{-\sqrt{\lambda}r - \alpha_K\sqrt{\lambda}} \le c''(\varepsilon_0, K)\lambda^{(d-1)/4} e^{-\alpha_K\sqrt{\lambda}} p_{\lambda}(x).$$

Il est alors clair que pour $\lambda$ assez grand, on a $^{\lambda}H_{1F_3 p_{\lambda}}^{\partial B}(x) \le \delta p_{\lambda}(x)$ sur $K$.

(vii) Pour établir la dernière assertion, il suffit maintenant de considérer $\lambda$ dans un intervalle $[0, \lambda_0]$ avec $\lambda_0 > 0$ fixé assez grand. Le résultat voulu est immédiat en observant que $P^{\lambda_0} \le P^{\lambda} \le P^0$ (considérer les fonctions de Green correspondantes pour un pôle $x \in U$ fixé) et que de même $\tilde{P}^{\lambda_0} \le \tilde{P}^{\lambda} \le \tilde{P}^0$. []
**C. Fin de la preuve du théorème 4.** — Soit $U$ convexe de classe $C^{1,1}$ et soit $P^\lambda$ le noyau de Poisson de $U$ pour $\Delta - \lambda I$. Il suffit d'obtenir l'équivalent du théorème 4 pour $x \in K_1 \subset U$ compact et $\xi$ dans un voisinage compact $K$ dans $\partial U$ d'un point $\xi_0 \in \partial B$ quelconque fixé. Les propriétés de monotonie du noyau de Poisson permettent de supposer aussi $U$ borné.

Choisissons un rayon $\rho > 0$ et $K$ tels que (i) le diamètre de $K$ soit inférieur à $\rho/10$, (ii) tout point $\xi \in K$ soit point frontière d'une boule ouverte $B_\xi$ de rayon $\rho$ incluse dans $U$, (iii) le centre $A$ de $B_{\xi_0}$ soit à distance $\le \rho/10$ de chacun des centres des $B_\xi$, $\xi \in K$.

La proposition 6 montre que $P_\xi^\lambda(A)$ vérifie l'asymptotique du théorème 4, uniformément en $\xi \in K$: il suffit d'encadrer $P_\xi^\lambda$ entre les noyaux de Poisson (de pôle $\xi$) pour la boule $B_\xi$ et le demi-espace $U_\xi$ contenant $U$ et tel que $\xi \in \partial U_\xi$. On peut ensuite reprendre mot pour mot la preuve de la proposition 6 (en remplaçant $B$ par $U$ et en notant que $\langle x - \xi, n_\xi \rangle \le c|x - \xi|^2$ pour $x \in \partial U$, $\xi \in K$).

**D. Conséquence pour l'équation de Helmholtz dans les grandes boules.** — Soit $P_R$ le noyau de Poisson pour la boule $B(0, R)$ et l'équation de Helmholtz. Si $u$ est $\Delta - I$ harmonique dans $B(0, R)$, $x \mapsto u(Rx)$ est $\Delta - R^2 I$-harmonique dans la boule $B = B(0, 1)$. Il en découle facilement que

$$P_R(Rx, R\xi) = R^{1-d} P^{R^2}(x, \xi) \quad x \in B, \xi \in \partial B,$$

si $P^{R^2}$ désigne le noyau de Poisson pour $\Delta - R^2 I$ dans $B$. La proposition 6 nous donne alors une constante $C = C(d) \ge 1$ telle que pour $R \ge 1$ :

$$C^{-1} R^{(1-d)/2} e^{-|u-\eta|} \le P_R(u, \eta) \le C R^{(1-d)/2} e^{-|u-\eta|},$$

pour tout $u \in \bar{B}(0, \frac{1}{2}R)$ et tout $\eta \in \partial B(0, R)$. En particulier, si $d(u, [0, \eta]) \le \sqrt{R}$, $|u| = \frac{1}{2}R$, alors

$$C^{-1} R^{(1-d)/2} e^{-(R-|u|)} \le P_R(u, \eta) \le C R^{(1-d)/2} e^{-(R-|u|)}.$$

Cet encadrement nous servira dans la partie 7 suivante.

**E. Extension.** — On peut étendre partiellement la proposition 6 au cas du complémentaire d'une boule : reprenant les notations du 6.A, on construit maintenant sur $V = \mathbb{R}^d \setminus \bar{B}(-e_1, 1)$, la fonction

$$K_c^\lambda(x) = \tilde{P}^\lambda(x) - \lambda H_{\tilde{P}^\lambda}^{\partial V}(x) = \tilde{P}^\lambda(x) + \lambda H_{|\tilde{P}^\lambda|}^{\partial V}(x), x \in V,$$

où $\lambda H_{\tilde{P}^\lambda}^{\partial V}$ désigne la solution du problème de Dirichlet (généralisé) dans $V$, pour $\Delta - \lambda I$ et la donnée frontière $\tilde{P}^\lambda$ sur $\partial V = \partial B(\tilde{P}^\lambda)$ est bien définie, $\le 0$ et
$\Delta - \lambda I$-harmonique sur $x_1 < 0$). En reprenant les arguments de la preuve de la proposition 6, on voit facilement que $K_c^\lambda / \tilde{P}^\lambda$ tend vers 1 uniformément sur tout compact du demi-espace $x_1 > 0$. D'où, d'après le 6.A, et notant $^\lambda P_c$ le noyau de Poisson de $V_0 = \mathbb{R}^d \setminus \bar{B}(0,1)$, l'existence d'une constante $c(\lambda) > 0$ pour chaque $\lambda > 0$ telle que

$$ (6.1) \quad ^\lambda P_c(x, \xi) \sim c(\lambda) \frac{\lambda^{(d-1)/4}}{(2\pi)^{(d-1)/2}} \frac{\langle x - \xi, \xi \rangle}{|x - \xi|^{(d+1)/2}} e^{-\sqrt{\lambda}|x-\xi|} \quad \text{pour } \lambda \to +\infty $$

uniformément en $(x, \xi)$ si $(x, \xi)$ varie dans un compact $K$ de $V_0 \times \partial V_0$ tel que $\inf\{\langle x - \xi, \xi \rangle; (x, \xi) \in K\} > 0$. Reste à estimer $c(\lambda)$; ici, on a besoin d'un substitut à l'argument du 6.B basé sur l'évaluation directement disponible du noyau de Poisson $P^\lambda$ au centre de la boule $B$.

Par comparaison avec un demi-espace, il est clair que $\liminf_{\lambda \to +\infty} c(\lambda) \ge 1$. D'autre part, pour $x \in V_0$,

$$ (6.2) \quad ^\lambda H_1^{V_0}(x) = \frac{G_d(\sqrt{\lambda}|x|)}{G_d(\sqrt{\lambda})} \sim e^{\sqrt{\lambda}} \frac{e^{-\sqrt{\lambda}|x|}}{|x|^{(d-1)/2}}, \quad \lambda \to +\infty. $$

Si $\delta$ est petit > 0, si $C_\delta = \{\xi \in S_{d-1}; \angle(\xi, e_1) \le \delta\}$, si $x = 2e_1$, et si $s_{d-2} = \sigma(S_{d-2})$, on a

$$ \begin{aligned} ^\lambda H_1^V(x) &\ge \int_{C_\delta} ^\lambda P_c(x, \xi) d\sigma(\xi) \\ &\ge c(\lambda) \frac{\lambda^{(d-1)/4}}{(2\pi)^{(d-1)/2}} (1 - \varepsilon(\delta)) s_{d-2} \int_0^\delta \theta^{d-2} e^{-\sqrt{\lambda}\sqrt{1+8\sin^2\theta/2}} d\theta \\ &\ge c(\lambda) s_{d-2} e^{-\sqrt{\lambda}} \frac{\lambda^{(d-1)/4}}{(2\pi)^{(d-1)/2}} (1 - \varepsilon(\delta)) \int_0^\delta \theta^{d-2} e^{-\sqrt{\lambda}\theta^2(1+\bar{\varepsilon}(\theta))} d\theta \end{aligned} $$

en remarquant que $|\xi - x| = 5 - 4\cos(\theta) = 1 + 8\sin^2\frac{1}{2}\theta$ pour $\xi \in C_\delta$ et $\theta = \angle(\xi, x)$, et en notant $\varepsilon$ et $\bar{\varepsilon}$ deux fonctions positives sur $\mathbb{R}_+$ de limites nulles en 0. Le changement de variable $u = \lambda^{1/4}\theta$ montre que $\int_0^\delta \theta^{d-2} e^{-\sqrt{\lambda}\theta^2(1+\bar{\varepsilon}(\theta))} d\theta \sim \frac{1}{2}\lambda^{-(d-1)/4} \Gamma(\frac{1}{2}(d-1))$ pour $\lambda \to +\infty$. Compte tenu de (6.2) et de $s_{d-2} = \frac{2\pi^{(d-1)/2}}{\Gamma((d-1)/2)}$, on obtient que $\limsup_{\lambda \to +\infty} c(\lambda) \le (1 - \varepsilon(\delta))^{-1}$. Finalement, on voit que dans (6.1) on peut faire $c(\lambda) = 1$.

On obtient ainsi un équivalent de $^\lambda P_c(x, \xi)$, analogue à celui du 6.B pour une boule, mais avec la limitation que $\angle(\xi, x - \xi) \le \frac{1}{2}\pi - \eta$, pour un $\eta > 0$. On en déduit l'extension suivante du théorème 4.
THÉORÈME 4 bis. — Soit U un domaine de classe C² de R³ et soit P^λ : U × ∂U → R+ le noyau de Poisson de U pour Δ − λI, λ > 0. Pour x ∈ U, ξ ∈ ∂U, soit n_ξ la normale intérieure à U en ξ et soit

$$
K^{\lambda}(x, \xi) = \frac{\langle x - \xi, n_{\xi} \rangle}{|x - \xi|} \left[ \frac{\sqrt{\lambda}}{2\pi|x - \xi|} \right]^{(d-1)/2} e^{-|x - \xi|\sqrt{\lambda}}.
$$

Alors, lorsque $\lambda \to \infty$, le quotient $P^\lambda(x, \xi)/K^\lambda(x, \xi)$, $(x, \xi) \in U \times \partial U$, tend vers 1, uniformément sur tout compact $K$ de $U \times \partial U$ tel que $]\xi, x] \cap \partial U = \emptyset$ si $(x, \xi) \in K$ et $\sup\{\angle(n_\xi, x - \xi); (x, \xi) \in K\} < \frac{1}{2}\pi$.

7. Preuve du théorème 2 via la théorie des limites fines et la proposition 6

Soit $u$ un potentiel de Helmholtz dans $\mathbb{R}^d$. Le théorème de Fatou-Doob-Naim généralisé dit que $u/\Phi_d$ admet une limite fine nulle en $\sigma$-presque tout $\xi \in S_{d-1}$ (vu comme point de la frontière de Martin de $\mathbb{R}^d$ pour $\Delta - I$). L'énoncé suivant entraîne donc (et précise) le théorème 2 (cf. le § 5 pour la notation $M$).

PROPOSITION 8. — Si $u/\Phi_d$ admet une limite fine nulle en $\xi \in S_{d-1}$ alors

$$
\lim_{t \to \infty} \left[ \frac{M u(t \xi)}{\Phi_d(t \xi)} \right] = 0.
$$

Preuve. — On raisonne par l’absurde en supposant qu’il existe $\varepsilon > 0$ et une
suite $\{t_n\}$ de réels positifs tendant vers $\infty$ telle que $[Mu(t_n\xi)/\Phi_d(t_n\xi)] \ge \varepsilon$.
Notons $t'_n = \frac{1}{2}t_n$, $A_n = \Sigma(t_n\xi, t_n^{-1/2})$, $A'_n = \Sigma(t'_n\xi, t'_n^{-1/2})$ et observons que
pour tout $n \ge 1$ et tout $x \in A'_n$, on a

$$
\begin{align*}
u(x) &\ge \int_{A_n} u(y) P_n(x, y) \, d\sigma(y) \\
&\ge c t_n^{(d-1)/2} [Mu](t_n \xi) \inf\{P_n(u, \eta); u \in A'_n, \eta \in A_n\}
\end{align*}
$$

où $P_n$ désigne le noyau de Poisson de la boule $B(0, t_n)$ (pour l'équation de Helmholtz). Mais d'après le 6.D. plus haut,

$$
\inf\{P_n(u, \eta); u \in A'_n, \eta \in A_n\} \ge C t_n^{(1-d)/2} e^{-t'_n}.
$$

Et par conséquent, $u(x)/\Phi_d(t'_n) \ge c\epsilon$ pour $x \in A'_n$. Mais alors puisque $u/\Phi_d$
admet une limite fine nulle en $\xi$, l'ensemble $\bigcup_{n \ge 1} A'_n$ est effilé minimal en $\xi$. Ce
qui contredit la proposition 1, 2). $\square$
## Appendice.

### Le théorème de Littlewood et l'inégalité de Doob associée pour les domaines NTA et certaines variétés à courbures négatives

On se propose d'indiquer brièvement un traitement unifié et des extensions des résultats connus concernant le théorème de convergence radiale de Littlewood (voir [Doo], [Da2], [LMT], [Zha]).

**A.1.** — Commençons par considérer le cas, déjà étudié par S. Zhao [Zha], d'un domaine Ω borné NTA de $\mathbb{R}^d$ (voir [JK]; cas particulier : Ω Lipschitzien borné). On se limitera au Laplacien $\Delta$ et à $d \ge 3$, mais l'argument s'étend à $d = 2$ et à de larges classes d'opérateurs elliptiques (cf. [An2, § 8]).

Si $E$ est une partie de $\partial\Omega$, un champ de radiales non-tangentielles basé sur $E$ dans $\Omega$ est une application

$$ \gamma : \tilde{E} = [0, 1] \times E \longrightarrow \bar{\Omega} $$

vérifiant les propriétés suivantes (voir [Zha]): il existe une constante $c_1 \ge 1$ telle que

$$ c_1^{-1} t \le d(\gamma(t, \zeta), \partial\Omega) \le |\gamma(t, \zeta) - \zeta| \le c_1 t $$

pour $(t, \zeta) \in \tilde{E}$ et

$$ |\gamma(t, \zeta) - \gamma(t', \zeta')| \ge c_1^{-1} |\zeta - \zeta'| $$

si $(t', \zeta')$ est un autre point de $\tilde{E}$. La projection $\pi : \gamma(t, \zeta) \mapsto \zeta$ est alors $c_1$-lipschitzienne sur $\gamma(\tilde{E})$.

Fixons un tel champ $\gamma$ de base $E \subset \partial\Omega$, $r_0 > 0$ et $x_0 \in \Omega$ tels que $|x_0 - \gamma(t, \zeta)| \ge r_0$ pour $(t, \zeta)$ dans $[0, 1] \times E = \tilde{E}$. Le théorème de projection de Doob (voir [Doo], [LMT]) s'étend alors de la façon suivante.

**THÉORÈME A1.** — Soient $A$ un borélien de $\Omega$, $A \subset \gamma(\tilde{E})$ et

$$ A^* = \pi(A) = \{\zeta \in E; \exists t \in [0, 1], \gamma(t, \zeta) \in A\}. $$

Si on note $\omega(x_0, A)$ (resp. $\omega(x_0, A^*)$) la mesure harmonique de $A$ (resp. $A^*$) dans $\Omega$ au point $x_0$, on a

$$ \omega(x_0, A^*) \le c_0 \omega(x_0, A) $$

où la constante $c_0$ ne dépend que de $\Omega$, $c_1$ et $r_0$.
*Preuve.* — La preuve suivante est inspirée de l'exposé par [LMT] du cas du demi-espace. Notons que $A^*$ est analytique et qu'on peut supposer $A$ compact, $A \subset \gamma(\tilde{E})$, comme on le fera dans ce qui suit.

Notons $K_ζ(x)$, pour $ζ \in \bar{\Omega} \setminus \{x_0\}$ et $x \in \Omega$, le noyau de Martin de $\Omega$ normalisé en $x_0$, i.e. $K_ζ(x) = G(x, ζ)/G(x_0, ζ)$ si $ζ \in \Omega \setminus \{x_0\}$ et $G$ désigne la fonction de Green de $\Omega$, et $K_ζ(x) = \lim_{y \to \zeta, y \in \Omega} K_y(x)$ si $ζ \in \partial\Omega$. Soient $\delta(x) = d(x, \partial\Omega)$, $B_x = B(x, \frac{1}{2}\delta(x))$, $B'_x = B(x, \frac{1}{4}\delta(x))$, pour $x \in \Omega$. Le point est que grâce au principe de Harnack au bord disponible ici (cf. [JK]), on a pour $(t, ζ) \in \tilde{E}$, $x = \gamma(t, ζ)$ et $y \in \Omega \setminus B'_x$,

$$ (A.1) \qquad K_x(y) \le c K_ζ(y), $$

où $c$ désigne ici et dans la suite une constante ne dépendant que de $\Omega$, $c_1$ et éventuellement $r_0$.

En effet, si on fixe $\varepsilon_0 > 0$ tel que $\varepsilon_0 \operatorname{diam}(\Omega) \le r_0$, $\varepsilon_0 \le \frac{1}{2}$, le principe de Harnack au bord assure que $K_x/K_ζ$ est, sur

$$ U = \{y \in \Omega \setminus B'_x ; \frac{1}{2} \varepsilon_0 |x - \zeta| < |y - \zeta| < 2|x - \zeta|\}, $$

compris entre deux multiples fixes de sa valeur en tout point de $U$. Par le principe du maximum, cet encadrement s'étend à

$$ V = \{y \in \Omega \setminus B'_x ; |y - \zeta| \ge \frac{1}{2} \varepsilon_0 |x - \zeta|\} ; $$

comme $K_ζ(x_0) = K_x(x_0) = 1$, on obtient $K_x \le c K_ζ$ sur $V$ et donc sur $\partial B'_x$. Et d'après le principe du maximum, on a bien $K_x \le c K_ζ$ sur $\Omega \setminus B'_x$.

D'autre part, on a évidemment

$$ (A.2) \qquad K_x(y) \le \frac{c}{G(x_0, x)} |y - x|^{2-d}, \quad \forall y \in \Omega. $$

Soit alors $\mu$ la restriction à $A^*$ de la mesure $\omega(x_0, \cdot)$ et soit $\nu$ une mesure sur $A$ telle que $\pi(\nu) = \mu$ (comme indiqué dans [LMT], l'existence de $\nu$ se déduit facilement du théorème de représentation de Riesz et du théorème de Hahn-Banach). D'après (A.1) et les inégalités de Harnack, on a pour tout $x \in A$,

$$ \int_{A \setminus B_x} K_y(x) \, d\nu(y) \le c \int_{A^*} K_ζ(x) \omega(x_0, \, d\zeta) \le c \int_{\partial\Omega} K_ζ(x) \omega(x_0, \, d\zeta) = c. $$

D'après (A.2) et le caractère lipschitzien de $\pi$, on a, si $\tilde{B}_x = \partial\Omega \cap B(\pi(x), c_1\delta(x))$,

$$ \int_{A \cap B_x} K_y(x) \, d\nu(y) \le \frac{c}{G(x_0, x)} \int_{\tilde{B}_x} |\pi(x) - \zeta|^{2-d} \omega(x_0, \, d\zeta). $$

BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
Or,

$$ \int_{\tilde{B}_x} |\pi(x) - \zeta|^{2-d} \omega(x_0, d\zeta) \le c \sum_{n \ge 0} 2^{-n(2-d)} \delta(x)^{2-d} \omega(x_0, B(\pi(x), c_1 2^{-n}\delta(x))). $$

Donc, si $x = \gamma(t, \eta)$,

$$ \int_{\tilde{B}_x} |\pi(x) - \zeta|^{2-d} \omega(x_0, d\zeta) \le c \sum_{n \ge 0} G(x_0, \gamma(t2^{-n}, \eta)) \le c G(x, x_0) $$

en utilisant une inégalité de Dahlberg [Da1] et, pour finir, la propriété : $G(x_0, \gamma(\tau, \zeta)) \le c(\tau/t)^\beta G(x_0, x)$ pour $0 < \tau \le t$ et des constantes $c \ge 1$ et $\beta > 0$ convenables. On peut noter que l'inégalité de Dahlberg et cette propriété résultent facilement du principe de Harnack au bord.

On voit alors que $K_\nu \le c$ sur $A$ et donc $K_\nu(x) \le c\omega(x, A)$ sur $\Omega$. En particulier en prenant $x = x_0$, on obtient $\omega(x_0, A^*) = \|\mu\| = \|\nu\| \le c\omega(x_0, A)$. Ce qui achève la démonstration du théorème A1. $\square$

**A.2.** — Du théorème A1, on déduit facilement et de manière tout à fait standard (voir [Doo], [LMT]) la version du théorème de Littlewood de [Zha]. Le cas où $\Omega$ est Lipschitzien est dû à Dahlberg [Da2].

**THÉORÈME A2.** — *Conservons les notations et les hypothèses du théorème et soit $u = G(\lambda)$ un potentiel de Green dans $\Omega$. On a alors, pour $\omega_{x_0}$-presque tout $\zeta \in E$, $\lim_{t\to 0} u(\gamma(t, \zeta)) = 0$.*

Il suffit de voir que pour tout $\varepsilon > 0$, la mesure harmonique de

$$ A_s^* = \{\zeta \in E; \exists t \in (0, s), u(\gamma(t, \zeta)) \ge \varepsilon\} $$

tend vers 0 lorsque $s \to 0$. Or $A_s^*$ est la $\pi$-projection de

$$ A_s = \{u \ge \varepsilon\} \cap \{\gamma(t, \zeta); (t, \zeta) \in \tilde{E}, t \le s\} $$

et, par définition, $\omega(x_0, A_s) \le \varepsilon^{-1} \hat{R}_u^{A_s}(x_0)$. Comme $u$ est un potentiel (i.e. sa plus grande minorante harmonique dans $\Omega$ est nulle) on a $\lim_{s\to 0} R_u^{A_s} = 0$ dans $\Omega$. Le résultat découle donc du théorème A1.

**A.3.** — L’argument précédent — ou plus exactement, grâce au principe de Harnack à l’infini de [An2], l’argument de [LMT] — peut être étendu à certaines variétés de Cartan-Hadamard à courbures sectionnelles $\le -1$ (voir aussi le A.4 plus bas). Soit $M$ une telle variété supposée en outre à géométrie bornée (cf. les
hypothèses (1.1) de [An2]), soit $x_0 \in M$ et supposons que le groupe $G$ des isométries de $M$ qui fixent $x_0$ opère transitivement sur la sphère à l'infini $S_\infty(M)$. Considérons l'opérateur elliptique $\mathcal{L} = \Delta + \alpha I$, avec $\alpha < \lambda_1(M)$, où $\Delta$ est le Laplacien de $M$ et où $\lambda_1(M)$ désigne le fond du spectre de $-\Delta$.

Notons $\bar{M}$ la compactification standard de $M$ par $S_\infty(M)$ et

$$K : (\zeta, x) \mapsto K_{\zeta}(x), \quad (\zeta, x) \in (\bar{M} \setminus \{x_0\}) \times M,$$

le $\mathcal{L}$ noyau de Martin normalisé en $x_0$ (voir [An2]). Si $\sigma$ est la mesure de probabilité $G$-invariante sur $S_\infty(M)$, la fonction $\Psi_\alpha(x) = \int_{S_\infty(M)} K_\zeta(x) d\sigma(\zeta)$, $x \in M$, est l'unique fonction $\mathcal{L}$-harmonique > 0 dans $M$ ne dépendant que de $d(x_0, x)$ et telle que $\Psi_\alpha(x_0) = 1$; aussi pour $r > 0$, on a $\Psi_\alpha(x) = \int_{S_r} K_\zeta(x) d\sigma_r(\zeta)$ pour $x \in B(x_0, r)$, si $\sigma_r$ désigne la probabilité $G$-invariante sur $S_r = \partial B(x_0, r)$. Posons maintenant, si $A$ est une partie de $M$, $\omega(x, A) = \hat{R}_{\Psi_\alpha}^A(x)$, et pour $A \subset S_\infty(M)$, $\omega(x, A) = \int_A K_\zeta(x) d\sigma(\zeta)$.

### THÉORÈME A'1. — Soit $A$ un borélien de $M \setminus B(x_0, 1)$ et soit $A^*$ la projection géodésique de $A$ sur $S_\infty(M)$, à partir de $x_0$. On a alors, pour un $c > 0$ ne dépendant que de $M$ et $\alpha$,

$$\omega(x_0, A^*) \le c\omega(x_0, A).$$

La preuve est parallèle à celle du théorème A1 mais l'argument est encore plus proche de [LMT]. Observons d'abord ceci : soit $x \in M$ tel que $r = d(x_0, x) \ge 1$ et pour $y \in B_x := B(x, \frac{1}{2})$, soit $\bar{y}$ le point de la demi-géodésique $\ell$ issue de $x_0$ contenant $y$ tel que $d(x_0, \bar{y}) = r$. On a alors

$$(A3) \qquad G(x, y) \le cG(x, \bar{y}),$$

pour une constante $c = c(M, \alpha)$. On sait en effet que $c^{-1}d(x, z)^{2-d} \le G(x, z) \le c d(x, z)^{2-d}$ pour $z \in B(x, 1)$ (en supposant $d = \dim(M) \ge 3$). De plus, si $H$ est le point de $\ell$ le plus proche de $x$, on a

$$d(x, \bar{y}) \le d(x, H) + d(H, \bar{y}) = d(x, H) + r - d(x_0, H) \le 2d(x, H);$$

d'où $d(x, \bar{y}) \le 2d(x, y)$ et l'inégalité (A3). On en déduit, grâce aux inégalités de Harnack, que $K_y(x) \le cK_{\bar{y}}(x)$.

D'autre part, si $y \in M \setminus B(x_0, 1)$, si $\zeta = \pi(y)$ (on note $\pi : M \setminus \{x_0\} \to S_\infty(M)$ la projection géodésique de centre $x_0$) et si $x \notin B_y$, le principe de Harnack à l'infini donne (comparer avec (A1)) : $K_y(x) \le cK_\zeta(x)$.
Si alors $\nu$ est une mesure sur $A$ se projettant par $\pi$ sur $\mu = \mathbf{1}_{A^*} \cdot \sigma$, on a pour $x \in A$ et si $r = d(x_0, x)$,

$$ (A4) \qquad \begin{aligned} K\nu(x) &\le \int_{B_x} K_y(x) \, d\nu(y) + \int_{B_x^c} K_y(x) \, d\nu(y) \\ &\le c \left( \int_{S_r} K_z(x) \, d\sigma_r(z) + \int_{S_\infty(M)} K_\zeta(x) \, d\mu(\zeta) \right) \le 2c\Psi(x). \end{aligned} $$

On voit alors (comme en A.1) que $K_\nu(x) \le c\omega(x, A)$ sur $M$ d'après le principe du maximum. En prenant $x = x_0$, on obtient $\omega(x_0, A^*) = \|\mu\| = \|\nu\| \le c\omega(x_0, A)$. $\square$

Le théorème A'1 implique la variante suivante du corollaire 6.2 de [LMT] (cf. [An2] pour le théorème de Fatou disponible ici). Pour $\zeta \in S_\infty(M)$, soit $\gamma(t, \zeta)$ le point à distance $1+t$ de $x_0$ sur le rayon $x_0\zeta$.

**THÉORÈME A'2.** — Soit $u$ une fonction $(\Delta + \alpha I)$-surharmonique positive dans $M$. Alors, pour $\sigma$-presque tout $\zeta \in S_\infty(M)$, $u(\gamma(t, \zeta))/\Phi_\alpha(t)$ admet une limite pour $t \to +\infty$.

On peut, dans le même cadre, étendre l'inégalité de Doob et le théorème de Littlewood en prenant modèle sur l'énoncé de Zhao (théorème A2); on supposera de plus $M$ à courbures sectionnelles minorées. Soient $E \subset S_\infty(M)$, $\gamma: \tilde{E} = E \times [0, \infty[ \to M$ et $c_1 \ge 1$ tels que :

(i) $d(\gamma(t, \zeta), x_0) \ge 1$, pour tout $(t, \zeta) \in \tilde{E}$,

(ii) $\lim_{t \to \infty} \gamma(t, \zeta) = \zeta$, pour tout $\zeta \in E$,

(iii) $d(\gamma(t, \zeta), \overline{x_0\zeta}) \le c_1$, pour tout $(t, \zeta) \in \tilde{E}$, et

(iv) pour $x = \gamma(t, \zeta)$, $x' = \gamma(t', \zeta')$ tels que $x' \in B_x = B(x, \frac{1}{2})$ on a $d(x, x') \ge c_1^{-1} d_x(\zeta, \zeta')$.

Ici, $d_x$ désigne la métrique sur $S_\infty(M)$, image par $\pi$ de la métrique induite sur $\partial B(x_0, d(x_0, x))$. Notons $\pi_\gamma(x) = \zeta$ pour $x = \gamma(t, \zeta) \in \gamma(\tilde{E})$.

Maintenant dans la majoration analogue à (A4) on aura, si $\nu$ est une mesure sur le compact $K \subset \gamma(\tilde{E})$ qui se projette par $\pi_\gamma$ sur $\mathbf{1}_{\pi_\gamma(K)} \cdot \sigma$,

$$ \int_{B_x} K_y(x) \, d\nu(y) \le \frac{1}{G(x, x_0)} \int_{B_{d_x}(\zeta_x, c_1)} (d_x(\zeta_x, \eta))^{2-d} \, d\sigma(\eta), \quad x \in K, $$ où $\zeta_x = \pi_\gamma(x)$. D'où, en utilisant encore les inégalités de Harnack, l'inégalité requise par la méthode :

$$ \int_{B_x} K_y(x) \, d\nu(y) \le c K_{\zeta_x}(x) \sigma(B_{d_x}(\zeta_x, c_1)) \le c' \int_{S_\infty(M)} K_\zeta(x) \, d\sigma(\zeta) = c' \Psi_\alpha(x). $$

On obtient ensuite comme avant $\omega(x_0, \pi_\gamma(K)) \le c\omega(x_0, K)$. Les détails sont laissés au lecteur.
**A.4.** — Considérons enfin le cas où, $M$ étant toujours une variété de Cartan-Hadamard à courbures sectionnelles négatives pincées, on dispose d'un point $\zeta_0 \in S_\infty(M)$ tel que le groupe $G$ des isométries de $M$ qui laissent invariante chaque horosphère basée en $\zeta_0$ opère transitivement sur $Y = S_\infty(M) \setminus \{\zeta_0\}$. (Cas particulier : les groupes résolubles $S = NA$ de rang 1 et à « courbure négative », voir [Hei]).

Notons $\pi : M \to Y$ la projection naturelle le long des géodésiques $\overline{\zeta_0\zeta}$, $\zeta \in Y$, et $\delta_x$ la métrique sur $Y$ image par $\pi$ de la métrique de l'horosphère $H_x$ basée en $\zeta_0$ et passant par $x$. Soit $\lambda_x$ la mesure image par $\pi$ du volume Riemannien sur $H_x$. Les $\lambda_x$ sont $G$-invariantes, deux à deux proportionnelles. Fixons $\alpha < \lambda_1(M)$, $x_0 \in M$, posons $\mathcal{L} = \Delta + \alpha I$, $\lambda = \lambda_{x_0}$ et notons $K$ le $\mathcal{L}$-noyau de Martin normalisé en $x_0$.

Si $\{x_n\}$ est une suite de points du rayon $\overline{x_0\zeta_0}$ convergeant vers $\zeta_0$, on a $\lim_{n\to\infty} d(x_n, \gamma(x_n)) = 1$ si $\gamma \in G$. Il s'ensuit que la minimale $F^\alpha = K_{\zeta_0}$ associée à $\zeta_0$ est constante sur chaque $H_x$ (i.e. $G$-invariante).

Le complémentaire $U^c$ d'une horoboule $U$ basée en $\zeta_0$ est $\mathcal{L}$-effilé en $\zeta_0$ (cf. [An3, p. 81]). La réduite $p_U = R_{F^\alpha}^{U^c}$ (pour $\Delta + \alpha I$ dans $M$) vérifie même, pour $x \in \overline{x_0\zeta_0}$, une estimée $p_U(x) \le c e^{-\varepsilon d(x,x_0)} F^\alpha(x)$ avec $c > 0$ et $\varepsilon > 0$, et $p_U$ est $G$-invariant. En passant à la limite sur des horoboules croissant vers $M$, et en normalisant sur $H_{x_0}$, on obtient une fonction $\Psi_\alpha : M \to \mathbb{R} \Delta + \alpha I$-harmonique $> 0$, $G$-invariante et négligeable devant $F^\alpha$ le long de $x_0\zeta_0$. La représentation de Martin de $\Psi_\alpha$ est donc de la forme $\Psi_\alpha(x) = \int_Y K_\zeta(x) f(\zeta) d\lambda(\zeta)$, $x \in M$, avec $f$ continue $> 0$ sur $Y$ vérifiant $f(\zeta) = K_{\gamma\zeta}(\gamma x_0) f(\gamma\zeta)$ pour $\gamma \in G$, $x \in M$ et $\zeta \in Y$. En particulier, pour $\zeta_1 = \pi(x_0)$, on a $f(\gamma\zeta_1) = f(\zeta_1)/K_{\gamma\zeta_1}(\gamma x_0)$, $\gamma \in G$.

Soit $U_1$ l'horoboule basée en $\zeta_0$ telle que $d(x_0, U_1^c) = 1$ et soit $E \subset Y$. Soit $\gamma : \tilde{E} = [1, \infty[ \times E \to M \setminus U_1$ telle que pour un réel $c_0 > 0$ et tout $x = \gamma(\zeta, t) \in \gamma(\tilde{E})$, on ait :

(i) $d(\gamma(t, \zeta), \overline{\zeta_0\zeta}) \le c_0^{-1}$ et

(ii) $c_0 \delta_x(\zeta, \zeta') \le d(\gamma(t, \zeta), \gamma(t', \zeta'))$ pour $(t', \zeta') \in \tilde{E}$ tel que $\gamma(t', \zeta') \in B_x$.

Alors, si $A \subset \gamma(\tilde{E})$ est borélien, si $A^* = \{\zeta \in E; \exists t \ge 1, \gamma(\zeta, t) \in A\}$, on a, pour un réel $c = c(M, c_0, \alpha) > 0$, l'estimation de type Doob :

$$ \int_{A^*} f(\zeta) d\lambda(\zeta) \le c R_{\Psi_\alpha}^A(x_0). $$

Le point est que si $\nu$ est une mesure sur $A$ se projetant sur $1_{A^*} \cdot \omega = 1_{A^*} \cdot f \cdot \lambda$ (via $\pi_\gamma : \gamma(\zeta, t) \mapsto \zeta$), et si $x \in \gamma(\tilde{E})$, $\bar{x} = \pi_\gamma(x)$ et $\rho = c_0^{-1}$, on a :

$$ \begin{aligned} \int_{B_x} K_y(x) d\nu(y) &\le \frac{c}{G(x_0, x)} \int_{B_{\delta_x}(\bar{x}, \rho)} \delta_x(\bar{x}, \zeta)^{2-d} d\omega(\zeta) \\ &\le c' \frac{\omega(B_{\delta_x}(\bar{x}, \rho))}{G(x_0, x)} \le c' \int_Y K_\zeta(x) d\omega(\zeta) = c' \Psi_\alpha(x) \end{aligned} $$

BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
grâce aux inégalités $\int_{B_{\delta_x}(\bar{x}, \rho)} \delta_x(\bar{x}, \zeta)^{2-d} d\lambda_x(\zeta) \le c$, $1/G(x_0, x) \le c K_\zeta(x)$ et $f(\zeta) \le c f(\zeta')$, $\zeta, \zeta' \in B_{\delta_x}(\bar{x}, \rho)$.

Si on suppose que $\lim_{t \to \infty} \gamma(t, \zeta) = \zeta$, pour tout $\zeta \in E$, on aura aussi la propriété de Littlewood : si $v$ est un $\Delta + \alpha I$ potentiel sur $M$,

$$ \lim_{t \to \infty} v(\gamma(t, \zeta))/\Psi_{\alpha}(\gamma(t, \zeta)) = 0 $$

pour $\lambda$-presque tout $\zeta \in E$.

**A.5. Remarque.** — En A.3–A.4 on n’atteint pas le cas $\alpha = \lambda_1(M)$, traité par [LMT] pour $M$ symétrique. Mais on peut remplacer $\Delta + \alpha$ par un opérateur elliptique adapté G-invariant et faiblement coercif.

BIBLIOGRAPHIE

[An1] ANCONA (A.). — *Théorie du potentiel sur les graphes et les variétés*, in École d'été de Probabilités de Saint-Flour XVIII – 1988, Lecture Notes in Math. **1427**, Springer-Verlag, 1990, p. 5–112.

[An2] ANCONA (A.). — *Negatively curved manifolds, elliptic operators and the Martin boundary*, Ann. of Math., t. **125**, 1987, p. 495–536.

[An3] ANCONA (A.). — *First eigenvalues and comparisons of Green's functions for elliptic operators on manifolds or domains*, J. Anal. Math., t. **72**, 1997, p. 45–92.

[Ber] BERG (C.). — *Potential theory on the infinite dimensional torus*, Invent. Math., t. **32** (1), 1976, p. 49–100.

[Bre] BRELOT (M.). — *Axiomatique des fonctions harmoniques*. — Les Presses de l'Université de Montréal, 1969.

[Che] CHEVALLIER (N.). — *A note on lower limit of series and potential theory*, Proc. Royal Soc. Edinburgh, t. **121A**, 1992, p. 273–277.

[Da1] DAHLBERG (B.E.J.). — *On estimates of harmonic measure*, Arch. Rat. Mech. Anal., t. **1965**, 1977, p. 272–288.

[Da2] DAHLBERG (B.E.J.). — *On the existence of radial boundary values for functions subharmonic in a Lipschitz domain*, Indiana Univ. Math. J., t. **27**, n°3, 1978, p. 515–526.

[Den] DENY (J.). — *Un théorème sur les ensembles effilés*, Ann. Univ. Grenoble Sect. Sci. Math. Phys., t. **23**, 1948, p. 139–142.
[Doo] DOOB (J.L.). — Some classical function theory theorems and their modern versions, Ann. Inst. Fourier, t. **15** (1), 1965, p. 115–136.

[Hei] HEINTZE (E.). — On homogeneous manifolds of negative curvature, Math. Ann., t. **211**, 1974, p. 23–34.

[Her] HERVÉ (R.-M.). — Recherche sur la théorie axiomatique des fonctions surharmoniques et du Potentiel, Ann. Inst. Fourier, t. **XII**, 1962, p. 415–471.

[J-K] JERISON (D.), KENIG (C.). — Positive harmonic functions in non tangentially accessible domains, Advances in Math., t. **46**, 1982, p. 80–147.

[Kan] KANNAI (Y.). — *Off diagonal short time asymptotics for fundamental solutions of diffusions equations*, Commun. Partial Differ. Equations, t. **2** (8), 1977, p. 781–830.

[KW] KAUFMAN (R.), WU (J.-M.). — *Parabolic Potential theory*, J. Diff. Equations, t. **43**, 1982, p. 204–234.

[KT] KORANYI (A.), TAYLOR (J.C.). — *Fine convergence and parabolic convergence for the Helmholtz equation and the heat equation*, Illinois J. Math., t. **27** (1), 1983, p. 77–93.

[Lel] LELONG-FERRAND (J.). — *Étude au voisinage d'un point frontière des fonctions surharmoniques positives dans un demi-espace*, Ann. Sci. École Norm. Sup., t. **66**, 1947, p. 125–159.

[Lin] LINDEN (O.). — *Fatou theorem for eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator*. — Thesis, Yeshiva University, 1977.

[Lit] LITTLEWOOD (J.E.). — *On functions subharmonic in a circle*, II, Proc. Lond. Math. Soc., t. **28** (2), 1928, p. 383–394.

[LMT] LYONS (T.J.), MACGIBBON (K.B.), TAYLOR (J.C.). — *Projection theorems for hitting probabilities and a theorem of Littlewood*, J. Funct. Anal., t. **59**, 1984, p. 470–489.

[Naï] NAIM (L.). — Sur le rôle de la frontière de R.S. Martin dans la théorie du potentiel, Ann. Inst. Fourier, t. **7**, 1957, p. 183–281.

[TW] TAYLOR (S.J.), WATSON (N.A.). — *A Hausdorff measure classification of polar sets for the heat equation*, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., t. **97**, 1985, p. 325–344.

[Zha] ZHAO (S.). — *Boundary behavior of subharmonic functions in nontangential accessible domains*, Studia Math., t. **108** (1), 1994, p. 25–48.