# Optimisation de la ségrégation durant le procédé de moulage par injection métallique

Ghassane Ayad, Thierry Barrière, Jean-Claude Gelin

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Ghassane Ayad, Thierry Barrière, Jean-Claude Gelin. Optimisation de la ségrégation durant le procédé de moulage par injection métallique. 17e Congrès Français de Mécanique, 2005, Troyes, France. pp.1-6. hal-00020561

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# Optimisation de la ségrégation durant le procédé de moulage par injection métallique

G. AYAD, T. BARRIERE, J-C. GELIN

Institut FEMTO-ST, Laboratoire de Mécanique Appliquée R. Chaléat,
24 Chemin de l'Epitapbe
25000 Besançon, France

## Résumé :

La ségrégation correspond à une variation importante et localisée des proportions de poudre et de liant lors de l'injection. Pour contrôler ce défaut, une méthode d'optimisation a été développée, basée sur les plans d'expériences pour définir la fonction objectif et surtout pour déterminer les paramètres les plus influents. Quatre paramètres ont été trouvés : fraction volumique de poudres, coefficient d'interaction, densité de poudres et densité de liant. Ensuite, une surface de réponses est construite par la méthodes des moindres quarrés mobiles permettant de donner une approximation de la fonction objectif. Et finalement, un algorithme génétique est utilisé permettant de localiser le minimum global. Une méthode adaptative pour la construction des surfaces de réponses est proposée dans cet article, pour accélérer la méthodologie d'optimisation. L'approche proposée a été appliquée sur des cas test et a permis d'obtenir des résultats raisonnable au terme du temps de calcul.

## Abstract :

Segregation is frequently observed during metal injection molding. In order to eliminate this defect, an optimization method is developed. Firstly a cost function is defined to account for segregation. Design of experiments is used to select the most significant parameters for this function. Four parameters are found to be significant: powder volume fraction, interaction coefficient, powder density and binder density. One proposes to minimize the cost function with respect these four parameters by using a genetic algorithm. As this method needs a lot of simulations, coupling simulations with the injection code "FEAPIM", would be too expensive. Then, a response surface with four parameters, which approximates the cost function, is built from the Moving Least Square Approximation method. Coupling the genetic algorithm with MLSA allows to obtain accurate results within reasonable time. An adaptive process is proposed to accelerate this optimization methodology.

## Mots clefs :

Moulage par Injection Métallique, Ségrégation, Optimisation, Moindre Quarré mobile, Algorithmes génétiques.

## 1 Introduction

Le moulage par injection métallique (MIM) et plus généralement le moulage par injection de poudres (MIP) consiste à mouler par injection un mélange comprenant un polymère thermoplastique (le liant) et des poudres métalliques ou céramiques, puis à évacuer le liant après démoulage et enfin à densifier le squelette de poudres ainsi obtenu pour réaliser la pièce à la forme souhaitée.

Le LMA a développé pour la phase d'injection, des modèles et un logiciel prenant en compte les spécificités du procédé. Les modèles développés sont focalisés sur la prise en compte des phénomènes de ségrégation de poudres durant l'injection et sur la prévision de la densité spatiale de poudres après injection. Ainsi, une approche biphasique (liant et poudres) a été proposée permettant le calcul précis des fractions volumiques de poudre après injection (FeaPIM®).
## 2 Optimisation du procédé MIM

La ségrégation correspond à une variation importante et localisée des proportions de poudre et de liant lors de l'injection. Elle conduit à des distorsions importantes lors des opérations de déliantage et de densification, altérant ainsi les dimensions et les propriétés mécaniques des composants. La ségrégation peut intervenir lors de changements de vitesse ou de direction dans l'écoulement. La ségrégation peut être appréhendée à l'aide de la simulations numériques indiquant les zones plus ou moins riches en liant ou expérimentalement par des mesures locales de densité. Le but sera d'avoir une répartition de poudre la plus uniforme dans la pièce. Cet objectif est traduit par l'équation (1) :

$$F(X) = \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{|\Phi_{S,i}(X) - \Phi_{S_0}|^q}{\Phi_{S_0}} \right)^{1/q} \quad (1)$$

où :
- $\Phi_{S,i}$ est la valeur de la fraction volumique de poudre au ième nœud,

- $\Phi_{S_0}$ est la valeur de la fraction volumique initiale de poudre,

- N est le nombre de nœud du maillage,

- X est le vecteur des paramètres à optimiser.

Une pièce saine au sens de la distribution des fractions volumiques de poudre n'a de sens que si la pièce est complètement remplie, on rajoutera par conséquent la contrainte d'inégalité suivante :

$$|V^T - V^r| - \varepsilon < 0 \quad (2)$$

avec $V^T$ le volume total du moule, $V^R$ le volume de remplissage atteint et $\varepsilon$ une tolérance positive. Cette contrainte est respectée dans le code FeaPIM® en choisissant le bon pas de temps. Le problème d'optimisation est donc de minimiser la fonction objectif (1) suivant le système suivant :

$$\begin{cases} \min F(x) \\ (x_{i \min} \le x_i \le x_{i \max})_{i=1,...,8} \end{cases} \quad (3)$$

où les paramètres du procédé sont listés au Tableau 1.

<table><caption>TAB. 1 – Désignation des paramètres et intervalles de variation.</caption><thead><tr><th>Paramètres</th><th>Désignation</th><th>Valeur</th></tr></thead><tbody><tr><td>X<sub>1</sub></td><td>Loi de viscosité</td><td>Donnée expérimentale ou Loi Newtonien (10 Pa.s)</td></tr><tr><td>X<sub>2</sub></td><td>Pression d'injection</td><td>[1 – 16MPa]</td></tr><tr><td>X<sub>3</sub></td><td>Température d'injection</td><td>[90 – 220°C]</td></tr><tr><td>X<sub>4</sub></td><td>Température du moule</td><td>[30 – 50°C]</td></tr><tr><td>X<sub>5</sub></td><td>Coefficient d'interaction</td><td>[0.001 – 0.007 Pa.s.m<sup>-2</sup>]</td></tr><tr><td>X<sub>6</sub></td><td>Densité de poudre</td><td>[1 – 8g/cm<sup>3</sup>]</td></tr><tr><td>X<sub>7</sub></td><td>Densité de liant</td><td>[0.5 – 2g/cm<sup>3</sup>]</td></tr><tr><td>X<sub>8</sub></td><td>Chargement en poudres</td><td>[0.4 – 0.7]</td></tr></tbody></table>

L'évaluation de cette fonction objectif est obtenue par un calcul élément fini du FeaPIM®. Ainsi, la résolution de ce problème sera effectuée en trois étapes, à savoir :

* l'identification des paramètres significatifs (Modèle du TAGUCHI pour les plans d'expériences).

* l'approximation de la fonction objectif par la méthode des surfaces de réponses (Moving Least Square Approximation).

* l'utilisation d'un algorithme génétique couplé aux surfaces de réponses pour trouver les paramètres optimaux (GENOCOP3).

## 3 Application au procédé de MIM

Pour cela, on va choisir une éprouvette de traction 2D (Figure 2) pour tester la méthodologie d'optimisation. Cette éprouvette sera injectée d'un seule coté.
Un plan d'expériences utilisant le modèle L₁₆(2¹⁵) de TAGUCHI a permis d'identifier 4 paramètres influents : fraction volumique de poudres, coefficient d'interaction, densité de poudres et densité de liant. Par conséquent, la dimension du vecteur des paramètres à optimiser se réduit à quatre.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG. 2 : Géométrie de l'éprouvette de traction et maillage associé</figcaption></figure>

L'application d'une méthode d'optimisation de type stochastique (Algorithme Génétique GENOCOP3)[3] permet d'optimiser la fonction objectif réelle, et les valeurs obtenues de cette optimisation seront comparées à celles obtenues par l'approche proposée (surface de réponses couplée aux algorithmes génétiques).

L'algorithme génétique est couplé directement au logiciel FeaPIM® et a besoin au minimum de 3000 évaluations de la fonction objectif pour converger vers la solution, et les résultats de cette optimisation sont dans le tableau 2. Ensuite, une approximation de la fonction objectif par la méthode de la surface réponses (MLSA) est construite à l'aide d'une discrétisation de 4 points par direction (c'est-à-dire 4⁴=256 évaluations). Enfin, l'algorithme génétique est appliqué à cette surface de réponses pour localiser le minimum, et les résultats de cette optimisation sont dans le tableau 2.

Les valeurs obtenues par cette approche sont loin de celles obtenues par l'optimisation directe. En effet, le nombre de points pris par direction était insuffisant pour donner une approximation de bonne qualité. La même approche d'optimisation est utilisée avec 6 points par direction (c'est-à-dire 6⁴=1256 évaluations), et les résultats de cette optimisation sont dans le tableau 2.

<table><caption>TAB. 2 : Comparaison entre les résultats de la méthode d'optimisation standard et celle proposée.</caption><thead><tr><td>Méthode d'optimisation</td><td>Nombre d'évaluations</td><td>Paramètres après optimisation</td></tr></thead><tbody><tr><td>Méthode proposée avec 4 points par direction</td><td>256</td><td>Φ<sub>S₀</sub> = 0.63, ρ<sub>f</sub> = 0.7g/cm³,<br>ρ<sub>p</sub> = 7.0g/cm³, k = 0.004Pa.s.m<sup>-2</sup>.</td></tr><tr><td>Algorithmes génétiques couplés au code d'injection</td><td>3000</td><td>Φ<sub>S₀</sub> = 0.5, ρ<sub>f</sub> = 2.5g/cm³,<br>ρ<sub>p</sub> = 3g/cm³, k = 0.0016Pa.s.m<sup>-2</sup>.</td></tr><tr><td>Méthode proposée avec 6 points par direction</td><td>1296</td><td>Φ<sub>S₀</sub> = 0.51, ρ<sub>f</sub> = 1.52g/cm³,<br>ρ<sub>p</sub> = 5.022g/cm³, k = 0.0025Pa.s.m<sup>-2</sup>.</td></tr></tbody></table>

On remarque que lorsque le nombre de points par direction a augmenté, les valeurs obtenues par cette approche d'optimisation s'approchent à celles trouvées par l'optimisation directe. En effet, l'utilisation d'une discrétisation importante du domaine d'étude nous emmène à une approximation de meilleure qualité. Pourtant, lorsque le nombre de paramètres de la fonction augmente, le nombre des nœuds atteint rapidement des milliers suivant la loi de puissance pN où p représente le nombre de paramètres et N est la dimension du problème d'optimisation.

Cette situation peut compromettre l'intérêt de l'approche d'approximation, car le temps de calcul peut atteindre ou dépasser celui demandé par l'approche d'optimisation standard.

Pour cela, nous avons limité le nombre de nœuds créés pendant l'étape de discrétisation et en même temps assurer la qualité de l'approximation en utilisant un algorithme adaptatif qui demande l'ajout de nouveaux points seulement dans certaines régions du domaine. Cet algorithme fournira alors ce que l'on appelle une surface de réponses adaptative [4].

Le principe de cette nouvelle approche d'optimisation est le même que celui de la méthode MLSA. On commence par une discrétisation très faible du domaine d'étude (3 trois points par direction), et on localise le minimum global de cette approximation initiale à l'aide de l'algorithme génétique. Ensuite, on ajoute 3 points par direction autour de ce minimum pour construire une nouvelle approximation, et on localise encore une fois le minimum global (figure 3).
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIG. 3 : Approche d'optimisation adaptive</figcaption></figure>

Ce processus se répète jusqu'à ce que l'on trouve le même minimum, avec une tolérance définie, entre deux itérations consécutives. Les résultats de cette optimisation sont :

$$ \Phi_{s_0} = 0.505, \rho_f = 2.12g/cm^3, \rho_p = 3.55g/cm^3, k = 0.0015Pa.s.m^{-2}. $$

Avec cette approche, le nombre d'évaluations à été réduit à 480 évaluations, ainsi l'erreur, par à rapport aux résultats de l'optimisation direct, à 8.12%. La comparaison entre les résultats obtenus par les trois méthodes d'optimisation (l'optimisation directe, la 1ère approche d'optimisation et l'approche adaptive) est illustrée par la distribution de poudres tout au long de l'éprouvette de traction (Figure 4).

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIG. 4 : Distribution de poudres obtenue par les trois méthodes d'optimisation</figcaption></figure>

On remarque que l'on a réussi à trouver une distribution de poudres uniforme à l'aide de l'approche adaptive, en un temps de calcul raisonnable par rapport à l'optimisation directe.

## 4 Identification des paramètres physiques de la phase de densification

La phase de densification est la dernière étape du procédé de Moulage par Injection Métallique. La forme finale de la pièce ainsi les caractéristiques physiques et mécaniques en résulte. Les défauts pouvant apparaître sont entre autres le retrait anisotrope, la formation de cloques, criques ou de fissures, la distorsion géométrique ainsi que la répartition de densité hétérogène.

Le LMA a développé un logiciel de simulation pour cette phase qui s'appuie sur une approche multi-échelles (SinterFORM®). Cette approche permet la description d'un comportement macroscopique
local à partir du comportement d'empilements aléatoires et hétérogènes de particules, prenant en compte la plupart des mécanismes élémentaires de densification. Ainsi, le logiciel reproduit par simulation la densification de squelettes de poudres en prenant en compte la distribution hétérogène de fraction volumique de poudres (donnée issue de la simulation de l'étape d'injection), le caractère aléatoire de la distribution des tailles de poudre et la plupart des mécanismes physico-chimiques régissant la densification.

Ainsi qu'une méthode d'identification inverse, basée sur la méthode des moindres carrés, est utilisée pour évaluer les thermes de densification : G (module cisaillement), K (module de compressibilité) et $\sigma_s$ (contrainte de densification par diffusion à l'état solide), qui sont exprimés en fonction de la densité initiale $d_0$ de poudre, du rayon des particules de poudres, de la densité courante d et des autres paramètres qui contrôlent la densification, notamment $\gamma_s$ (énergie de surface des particules), $D_{b0}$ (coefficient de diffusion) et $Q_b$ (énergie d'activation). Cette identification est effectuée en comparant les résultats des essais du dilatomètre (Figure 5) réalisés au sein du laboratoire et les résultats de la simulation numérique utilisant SinterFORM®.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIG. 5 : Le dilatomètre DIL 402C utilisé au LMA</figcaption></figure>

## 4.1 Identification du 316L

Le retrait retrouvé à l'aide des essais de dilatomètrie (Figure 6) est comparé au retrait prédit par la simulation numérique avant l'identification. On remarque qu'une expansion thermique apparaît au début de l'expérience, qui est provoquée par une dilatation thermique. Les paramètres initiaux du 316L obtenues à partir des essais de dilatomètrie et de ceux résultants après identification sont énumérés dans le tableau 3.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIG. 6. Comparaison entre le retrait expérimental et la simulation de la densification avant optimisation</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIG. 7. Comparaison entre le retrait expérimental et la simulation de la densification après optimisation</figcaption></figure>

Ensuite, la courbe de retrait, obtenue après identification, est comparée avec la courbe des essais de dilatomètrie (Figure 7).
<table><caption>TAB. 3: Paramètre identifié à partir de l'essai de dilatomètre</caption><thead><tr><td>Paramètres</td><td>Initial</td><td>Identifié</td><td>Reference [5]</td></tr></thead><tbody><tr><td>Q<sub>b</sub> (KJ/mol)</td><td>200</td><td>188.3</td><td>167</td></tr><tr><td>δD<sub>b0</sub> (m<sup>3</sup>/s)</td><td>2×10<sup>-13</sup></td><td>2.10×10<sup>-13</sup></td><td>2×10<sup>-13</sup></td></tr><tr><td>γ<sub>s</sub>(J/m<sup>2</sup>)</td><td>2</td><td>2.136</td><td>2</td></tr><tr><td>r<sub>0</sub> (m)</td><td>1×10<sup>-5</sup></td><td>9.878×10<sup>-6</sup></td><td>/</td></tr><tr><td>Ω (m<sup>3</sup>)</td><td>1.2×10<sup>-29</sup></td><td>1.193×10<sup>-29</sup></td><td>/</td></tr></tbody></table>

## 4.2 Exemple de validation

La répartition du poudre, récupérée à la fin de l'optimisation de la phase d'injection par l'approche adaptative, est utilisée pour la validation des paramètres identifiés (Tableau 3). La distribution de la densité relative finale, à la fin de la simulation de la densification avec les paramètres identifiés et la répartition de poudres après optimisation, est présentée sur la figure 8. Le retrait est de 14,3% et la densité relative finale est environ 90.1%. Ces résultats sont conformes aux résultats expérimentaux de la densification. En effet, le retrait expérimental est de 14% et la densité relative finale est environ 97% (Figure 9). Ces résultats sont en accord avec dans l'ensemble avec les résultats numérique.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIG. 8. Densité final après densification</figcaption></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIG. 9. Photos de l'éprouvette après densification</figcaption></figure>

## 5 Conclusions

Une approche d'optimisation, qui s'appuie sur les plans d'expériences et une méthode de surface de réponses adaptatives, a été développée permettant d'obtenir des résultats de bonnes qualité ainsi qu'une réduction significative du temps de calcul.

L'optimisation de la ségrégation et l'identification du modèle durant la phase de densification, ont permis d'obtenir des résultats numériques conformes aux résultats expérimentaux.

## References

[1] M. Pillet, "Les Plans d'Expériences par la Méthode TAGUCHI", Les Editions d'Organisation, ISBN 2-70-812031-X, 1997.

[2] T.Belytschko et al., Meshless methods : an overview and recent developments, Comput. Methods Appl. Mech Engrg. 139 (1996) 3-47.

[3] F. Elizabeth et al., An evolutionary algorithm for optimizing material flow in supply chains, Computers & Industrial Engineering, Vol. 3, 2002, pp. 407-421.

[4] C. Hérault, Y. Maréchal, JL. Coulomb; "A Meshless Approximation for the Acceleration of Stochastic Algorithm in Optimization Procedure", Proceedings of COMPUMAG 99.

[5] F. Parhami and R. M. McMeeking, A network model for initial stage of sintering, Mechanics of Materials, 27, (1998) 111-124.