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# Introduction au Deep Synergy Learning

Mohammed Bouayoun

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Mohammed Bouayoun. Introduction au Deep Synergy Learning. 2025. hal-04980728

HAL Id: hal-04980728

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Preprint submitted on 6 Mar 2025

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# Introduction au Deep Synergy Learning (DSL)

Mohammed Bouayoun

**Résumé** : Cet article présente le Deep Synergy Learning (DSL), un paradigme novateur en apprentissage automatique qui exploite des interactions dynamiques et auto-organisées entre entités d'information. Contrairement aux approches hiérarchiques traditionnelles, le DSL considère les données comme des objets d'apprentissage complexes, dont les états internes évoluent de manière distribuée et sont mis à jour par des fonctions non linéaires intégrant des informations locales et contextuelles. Le texte développe la formalisation mathématique du DSL en s'appuyant sur des espaces de Hilbert pour modéliser les entités, des tenseurs et fonctions pour représenter des structures internes riches, ainsi que sur des métriques (distance euclidienne, divergence de Kullback-Leibler, distance de Wasserstein) afin de quantifier la similarité entre entités.

Une attention particulière est portée à la définition et aux propriétés de la fonction de synergie, qui quantifie le gain informationnel obtenu par la combinaison d'entités. Cette fonction, qui se caractérise par sa positivité, sa symétrie et sa monotonie, permet d'établir des mécanismes de rétroaction et de mise à jour des pondérations synergiques, garantissant ainsi l'auto-organisation adaptative du réseau. Le texte aborde également les aspects théoriques, en démontrant rigoureusement la convergence des dynamiques via l'utilisation de fonctions de Lyapunov, d'analyses spectrales et du principe d'invariance de LaSalle, et en comparant ces résultats aux approches bayésiennes et aux réseaux neuronaux classiques.

Enfin, l'article explore les perspectives et applications du DSL dans divers domaines tels que la prédiction de structures moléculaires, la fusion multi-modale en vision et langage, la coordination de systèmes multi-agents, et l'optimisation dans des environnements à grande échelle. L'ensemble de ces contributions offre un cadre théorique solide et une vision innovante pour le développement de systèmes d'apprentissage adaptatifs et robustes, inspirés des mécanismes d'auto-organisation observés dans la nature.
Le Deep Synergy Learning (DSL) représente un paradigme émergent en apprentissage automatique, qui se distingue des approches traditionnelles par sa capacité à exploiter les interactions dynamiques et la coopération entre multiples entités d'information. Dans ce cadre, les données ne sont plus traitées de manière isolée ou strictement hiérarchique, mais prennent la forme d'objets d'apprentissage complexes, interconnectés par des liens évolutifs qui favorisent l'émergence de propriétés globales supérieures à la somme des contributions individuelles.

# 1. Motivation et Contexte

L'idée fondamentale du DSL découle de l'observation que de nombreux systèmes naturels – tels que les réseaux neuronaux biologiques, les colonies d'insectes ou encore les systèmes sociaux – manifestent une capacité d'auto-organisation et d'émergence. Ces systèmes, sans contrôle centralisé, parviennent à atteindre des niveaux de performance et d'adaptabilité remarquables grâce à des interactions locales dynamiques. Le DSL s'inspire de ces phénomènes pour proposer une architecture d'apprentissage automatique capable de :

* Capturer et exploiter les interactions non linéaires entre les composants,

* Adapter dynamiquement sa structure interne en fonction des données entrantes,

* Favoriser l'émergence de représentations de haut niveau par la synergie entre ses entités.

# 2. Caractéristiques Essentielles du DSL

Cette approche repose sur plusieurs caractéristiques fondamentales et innovantes qui constituent les piliers de son architecture :

## 2.1. Auto-organisation distribuée :

Chaque entité d'information opère de manière autonome tout en interagissant localement avec ses voisines, sans nécessiter de supervision centrale. Ce principe permet l'émergence de comportements collectifs complexes à partir de règles locales simples.

Les colonies de fourmis constituent un exemple emblématique d'auto-organisation dans la nature. Ces systèmes biologiques présentent une coordination complexe sans qu'aucune autorité centrale ne dirige explicitement les actions de chaque individu. Ce phénomène repose sur des interactions locales et des mécanismes de communication par signaux chimiques, principalement via le dépôt de phéromones, permettant aux fourmis de coordonner la recherche de nourriture, la construction du nid et la répartition des tâches au sein de la colonie.

La clé du succès des colonies de fourmis réside dans la capacité de ces interactions locales à engendrer un comportement collectif coordonné. Sans avoir besoin de connaître l'ensemble du territoire ou de planifier de manière centralisée, chaque fourmi agit sur la base d'informations partielles locales. L'ensemble du système s'ajuste alors de façon émergente pour optimiser la collecte de nourriture ou l'organisation du nid.
De la même manière que chaque fourmi agit localement sans directive centrale, dans un système DSL, chaque entité d'information (par exemple, une représentation de données ou une unité d'apprentissage) évolue de manière autonome en fonction de ses interactions avec ses voisins. L'absence de contrôle centralisé favorise l'émergence d'une organisation globale où les informations sont traitées de manière distribuée.

## 2.2. Hiérarchie multi-échelle et invariance fractale

Les systèmes DSL exploitent des structures hiérarchiques à plusieurs niveaux, dans lesquelles les motifs d'interaction se reproduisent à différentes échelles. L'invariance fractale assure que les principes d'organisation s'appliquent aussi bien aux niveaux microscopiques qu'aux niveaux macroscopiques.

Dans les colonies de fourmis, les comportements émergents se manifestent à différentes échelles, de l'interaction entre deux individus jusqu'à la coordination de la colonie entière. De même, le DSL est conçu pour opérer à plusieurs niveaux d'abstraction, où des motifs d'interaction se répètent à différentes échelles (micro et macro). Cette invariance fractale et cette hiérarchie multi-échelle permettent au système de s'adapter à des variations contextuelles de manière fine et efficace.

## 2.3. Interactions n-aires

Plutôt que de se limiter à des interactions binaires, le DSL intègre des interactions entre plusieurs entités simultanément. Ces interactions n-aires permettent de capturer des synergies complexes et d'extraire des informations non triviales issues de la combinaison de plusieurs sources.

Dans de nombreux **écosystèmes**, la pollinisation résulte d'interactions n-aires entre plantes, insectes pollinisateurs, et parfois d'autres facteurs environnementaux (vent, température). Plutôt que de considérer la relation plante-insecte de manière binaire, l'efficacité du processus dépend de la dynamique collective de plusieurs espèces et conditions simultanées.

De même, les réseaux trophiques dans les écosystèmes illustrent des interactions multiples entre producteurs, consommateurs primaires, consommateurs secondaires et décomposeurs. La stabilité et la résilience d'un écosystème reposent sur ces interactions n-aires, qui assurent une circulation de l'énergie et des nutriments plus efficace qu'une simple chaîne alimentaire linéaire.

## 2.4 Feedback coopératif multi-niveau

Les entités communiquent et ajustent leurs états internes en continu via des mécanismes de rétroaction, favorisant un apprentissage itératif et coopératif. Ce feedback multi-niveau permet de réajuster dynamiquement la structure du réseau en fonction des signaux reçus.
Dans le cerveau, les neurones interagissent via des boucles de rétroaction réparties sur plusieurs niveaux. À l'échelle locale, les microcircuits neuronaux, par le biais d'interconnexions récurrentes, ajustent continuellement leurs réponses en fonction des signaux des neurones voisins. Parallèlement, à des niveaux plus élevés, des régions corticales supérieures envoient un feedback top-down aux régions sensorielles inférieures. Ce processus itératif permet d'affiner la perception en modulant la sensibilité aux entrées sensorielles, améliorant ainsi la discrimination et la robustesse du traitement de l'information. Cette architecture multi-niveau, où le feedback coopératif opère à la fois localement et globalement, est un exemple parfait d'un système auto-organisé capable de converger vers des états stables et optimaux en fonction du contexte, rappelant les mécanismes fondamentaux du Deep Synergy Learning (DSL).

Dans de nombreux écosystèmes, les plantes établissent une symbiose complexe avec des champignons mycorhiziens. Ce partenariat repose sur un feedback coopératif multi-niveau :

* **Au niveau cellulaire**, les racines libèrent des exsudats qui stimulent la croissance des champignons.

* **Au niveau local**, les champignons colonisent les racines et facilitent l'absorption des nutriments et de l'eau, tout en envoyant des signaux biochimiques qui incitent la plante à moduler sa croissance et son allocation de ressources.

* **Au niveau communautaire**, l'extension du réseau mycorhizien dans le sol permet de connecter plusieurs plantes, favorisant ainsi une coordination interplantaire pour optimiser l'utilisation des ressources dans l'environnement.

Ce système dynamique et interactif implique des interactions n-aires, puisque plusieurs signaux et acteurs (cellules végétales, champignons, et parfois d'autres microorganismes) se combinent simultanément pour réguler la symbiose. Ce feedback multi-niveau assure l'adaptation continue de la plante aux variations environnementales et illustre parfaitement comment l'auto-organisation contextuelle et la rétroaction coopérative peuvent conduire à une optimisation fonctionnelle – des principes centraux également mis en œuvre dans le DSL.

## 2.5. Intégration multi-modale et fusion de flux

Le DSL est particulièrement adapté aux scénarios où plusieurs modalités (texte, image, audio, etc.) doivent être fusionnées. La capacité à intégrer et à fusionner ces différents flux d'information permet de créer des représentations globales plus riches et plus pertinentes.

Le cerveau des mammifères constitue un système d'intégration multi-modale par excellence. En effet, les informations issues de différentes modalités sensorielles – telles que la vision, l'audition, le toucher et l'olfaction – convergent vers des régions d'association corticale. Par exemple, dans le cortex pariétal, les signaux visuels et auditifs sont fusionnés pour permettre la localisation spatiale des stimuli. Ce processus d'intégration repose sur une hiérarchie de circuits neuronaux qui opèrent à des échelles multiples :

* **À l'échelle locale**, des microcircuits dans les aires sensorielles primaires traitent chacune leur modalité de manière spécialisée.
* À une échelle supérieure, des zones associatives intègrent ces informations pour former une représentation unifiée et robuste de l'environnement.

Ce mécanisme permet d'obtenir une perception globale cohérente, même lorsque l'information provenant d'une modalité est partiellement altérée ou bruitée. Dans le DSL, une approche similaire est adoptée. Les flux d'information issus de différentes sources (texte, image, audio, etc.) sont fusionnés pour créer des représentations globales riches et pertinentes. La fusion de ces flux permet d'exploiter la complémentarité des modalités, améliorant ainsi la robustesse et la précision des prédictions du modèle.

## 2.6. Optimisation et stabilité dynamique

Des mécanismes d'optimisation avancés, couplés à des outils théoriques tels que les fonctions de Lyapunov et les critères de contraction, garantissent la stabilité des dynamiques internes et la convergence vers des états stables. Cela permet de contrôler les phénomènes d'explosion ou d'atténuation des gradients lors de l'apprentissage.

Les neurones du cerveau ne se contentent pas de transmettre de l'information ; ils régulent également leurs connexions synaptiques afin de maintenir un niveau d'activité stable et optimal. Ce processus, appelé **homéostasie synaptique**, repose sur des boucles de rétroaction qui ajustent en continu la force des synapses.

De même, les **rythmes circadiens**, qui régulent des fonctions physiologiques essentielles chez de nombreux organismes, constituent un autre exemple de système naturel utilisant des boucles de rétroaction pour optimiser et stabiliser son comportement.

## 2.7. Scalabilité et réduction de la redondance

En auto-organisant de manière distribuée, le DSL parvient à réduire la redondance d'information et à évoluer de façon scalable, même dans des environnements à très grande dimensionnalité.

Dans le système circulatoire des organismes multicellulaires, le réseau vasculaire est organisé de manière hiérarchique et distribuée. Les artères principales se ramifient en artérioles puis en capillaires, permettant la distribution du sang à des milliards de cellules de manière efficace et sans redondance excessive. Ce système présente plusieurs caractéristiques similaires aux principes du DSL

Le système racinaire des plantes illustre également une stratégie d'auto-organisation qui permet une expansion massive tout en minimisant la redondance dans la capture des ressources du sol. Les racines se développent en un réseau complexe et fractal, où chaque branche suit des règles locales d'extension et de ramification

## 2.8. Adaptabilité et auto-organisation contextuelle
Les entités du DSL s'ajustent continuellement en fonction du contexte, permettant une adaptation fine et locale aux variations des données d'entrée. Cette flexibilité est essentielle pour des applications où le contexte évolue rapidement ou de manière imprévisible.

Les plantes illustrent parfaitement l'adaptabilité contextuelle grâce au phénomène de phototropisme. À l'échelle cellulaire, chaque cellule végétale détecte la lumière à l'aide de photorécepteurs spécifiques. Cette détection déclenche une redistribution asymétrique de l'auxine, une hormone de croissance, qui induit une croissance plus importante du côté moins éclairé. Le résultat est une inclinaison progressive de la plante vers la source lumineuse. Ce processus, qui s'opère localement dans chaque cellule, se répercute à l'échelle de la plante entière pour optimiser la capture de lumière. Ainsi, l'auto-organisation contextuelle se manifeste par une réorganisation dynamique de la morphologie végétale en réponse à des signaux environnementaux variables, assurant une adaptation fine aux conditions de luminosité changeantes.

Les oiseaux migrateurs offrent un autre exemple saisissant d'adaptabilité contextuelle. Pendant la migration, les oiseaux ajustent leur formation et modifient leur trajectoire en fonction des conditions environnementales telles que la direction et la force du vent, ainsi que d'autres facteurs climatiques. Chaque oiseau, en interagissant localement avec ses voisins, contribue à l'émergence d'une formation de vol collective, qui se réajuste en continu pour optimiser l'efficacité énergétique et minimiser la dépense d'énergie. Ce feedback coopératif permet à l'ensemble du groupe de s'adapter de manière dynamique aux perturbations extérieures, illustrant ainsi comment un système auto-organisé peut maintenir une stabilité collective et optimiser sa performance malgré un contexte en constante évolution.

## 3. Concepts Fondamentaux

### 3.1. Entités d'Information

Dans le cadre du Deep Synergy Learning, chaque entité d'apprentissage, notée $\mathcal{E}_k$, est modélisée par un ensemble de composants regroupés sous la forme :

$$ \mathcal{E}_k = (\mathbf{x}_k, \mathbf{s}_k, \theta_k, \dots), $$

où :

* $\mathbf{x}_k \in \mathbb{R}^d$ représente la **représentation courante** de l'entité (par exemple, un vecteur de caractéristiques, une image encodée, etc.),

* $\mathbf{s}_k$ désigne l'**état interne dynamique** de l'entité, qui peut évoluer au fil du temps ou de la phase d'apprentissage,

* $\theta_k$ correspond à l'ensemble des **paramètres d'ajustement** ou d'**apprentissage** qui régissent la manière dont l'entité traite les informations et interagit avec les autres entités,

* D'autres composants, tels que la **mémoire** (historique des interactions) ou les **métadonnées**, peuvent être inclus pour enrichir la modélisation.
La formulation ci-dessus vise à généraliser la notion de « neurone » ou de simple vecteur de données en créant une entité d'apprentissage **active** et **adaptative**. En effet, chaque entité n'est pas considérée comme une donnée statique mais comme un objet capable de modifier son état interne et d'ajuster ses paramètres $\theta_k$ en fonction des interactions avec son environnement. Une formulation plus opérationnelle consiste à définir, pour chaque entité, une fonction de mise à jour de son état :

$$ \mathbf{s}_k = F_k(\mathbf{x}_k, \{\mathbf{s}_j: j \in \mathcal{N}(k)\}; \theta_k), $$

où $F_k$ est une fonction (potentiellement non linéaire) qui combine l'information locale $\mathbf{x}_k$ et celle provenant d'un voisinage $\mathcal{N}(k)$ d'entités interconnectées, le tout étant modulé par les paramètres $\theta_k$.

Cette formule décrit une mise à jour de l'état interne de l'entité $k$ en tenant compte à la fois de ses informations locales et de l'influence de ses voisines. Voici une explication détaillée des différents composants de cette équation :

### $\mathbf{s}_k$ – L'état interne de l'entité $k$ :

Cet état représente la "connaissance" ou la "représentation" accumulée par l'entité à un instant donné. Il peut être vu comme un vecteur dans un espace de dimension $d_s$ qui résume à la fois l'information intrinsèque de l'entité et le résultat de ses interactions passées avec d'autres entités.

### $\mathbf{x}_k$ – L'information locale :

Il s'agit des données brutes ou des caractéristiques initiales propres à l'entité $k$. Par exemple, dans le cas d'une image, $\mathbf{x}_k$ pourrait être un vecteur de caractéristiques extrait par un réseau de neurones convolutionnel, ou dans le cas d'un texte, il pourrait s'agir d'un embedding issu d'un modèle de langage. Cette composante fournit la base à partir de laquelle l'entité construit sa représentation.

### $\{\mathbf{s}_j: j \in \mathcal{N}(k)\}$ – L'information provenant du voisinage :

Ici, $\mathcal{N}(k)$ désigne l'ensemble des indices des entités qui sont directement connectées à l'entité $k$ dans le réseau (on parle parfois de « voisinage »). Cela permet d'extraire l'information provenant des entités environnantes, qui peut offrir un contexte ou une perspective complémentaire. Par exemple, dans un réseau de neurones inspiré des graphes, cette agrégation correspond à la manière dont chaque nœud collecte des messages de ses voisins.

### $\theta_k$ – Les paramètres d'apprentissage spécifiques à l'entité $k$ :

Ces paramètres modulent la fonction de mise à jour $F_k$. Ils peuvent inclure des poids et des biais qui déterminent comment l'information locale et l'information provenant du voisinage doivent être combinées. Ces paramètres sont ajustés durant le processus d'apprentissage pour optimiser la représentation interne de l'entité en fonction de l'objectif global du système.

### $F_k$ – La fonction de mise à jour :
Cette fonction est au cœur du processus d'auto-organisation. Elle est généralement non linéaire et peut être implémentée, par exemple, par un perceptron multicouche, une cellule récurrente ou une couche de convolution sur graphe. $F_k$ opère une fusion de l'information locale $\mathbf{x}_k$ avec l'agrégation des états des entités voisines $\{\mathbf{s}_j\}$. Cette fusion permet à l'entité $k$ de mettre à jour son état en tenant compte du contexte local, ce qui est essentiel pour l'émergence de comportements collectifs complexes.

La formule définit une dynamique itérative. A chaque "pas" d'apprentissage, l'état $\mathbf{s}_k$ est recalculé en fonction de la nouvelle information locale et du feedback provenant de son voisinage. Cette dynamique, lorsque $F_k$ est conçue de manière appropriée (par exemple, en respectant des conditions de contraction ou en s'appuyant sur des fonctions de Lyapunov), conduit à la convergence vers des états stables qui représentent des solutions optimales ou des interprétations cohérentes des données.

## Espaces vectoriels vs espaces de Hilbert

Pour modéliser une entité d'information, une première approche naturelle est de la représenter comme un *vecteur* de caractéristiques dans un espace vectoriel. Par exemple, si une entité représente un document texte, on pourrait l'associer à un vecteur numérique, tel qu'un vecteur TF-IDF ou une embedding dense, dans $\mathbb{R}^n$. De même, une image peut être vue comme un vecteur de très grande dimension, où chaque pixel correspond à une coordonnée. Cependant, les espaces vectoriels simples peuvent s'avérer insuffisants lorsque l'on souhaite munir l'ensemble des entités de structures géométriques plus riches.

C'est pourquoi on privilégie souvent le cadre des **espaces de Hilbert**, qui sont des cas particuliers d'espaces vectoriels possédant deux propriétés essentielles : un *produit scalaire* interne et la *complétude* pour la distance induite. La présence d'un produit scalaire permet de définir une notion d'angle et de longueur, c'est-à-dire une **métrique interne** (via la norme induite) pour quantifier la similarité entre entités. La complétude, quant à elle, assure que toute suite de vecteurs convergente (en norme) possède une limite dans le même espace, évitant ainsi de "sortir" de l'espace lors des calculs ou des mises à jour d'états.

En pratique, utiliser un espace de Hilbert $H$, tel que $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire euclidien ou un espace de fonctions $L^2$, pour représenter les entités garantit que l'on peut appliquer les outils de la géométrie euclidienne (orthogonalité, projections, distances) et de l'analyse fonctionnelle (décompositions spectrales, opérateurs linéaires continus) dans le suivi de l'apprentissage.

Notons qu'un espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire usuel est déjà un Hilbert (euclidien). Le recours explicite à la notion de Hilbert se justifie surtout lorsque l'on considère des espaces éventuellement de grande dimension ou infinis (fonctions, distributions...), ou lorsque l'on souhaite bénéficier de théorèmes généraux, tels que l'orthogonalisation de Gram-Schmidt ou la représentation de Riesz, pour l'analyse théorique du modèle.
## Représentation des entités sous forme de tenseurs et de fonctions

Une entité d'information peut contenir une structure interne complexe, qu'un simple vecteur ne suffit pas toujours à capturer. Dans le cadre du DSL, nous autoriserons donc des représentations plus riches, telles que des *tenseurs* ou des *fonctions*.

Un **tenseur** est une généralisation multidimensionnelle des matrices, pouvant être vu comme un tableau de composantes indexé par plusieurs indices, par exemple $T_{ijk}$ pour un tenseur d'ordre 3. Les tenseurs offrent la possibilité de modéliser des relations multivariées. Par exemple, si une entité encode les liens entre trois types de modalités (texte, image, audio), un tenseur d'ordre 3 peut être utilisé pour représenter l'intensité de la relation entre chaque triple (mot, région d'image, segment audio). Mathématiquement, un tenseur peut être considéré comme un élément d'un **produit tensoriel** d'espaces vectoriels, noté $X \otimes Y \otimes Z$ pour un tenseur à trois indices issus de la combinaison de X, Y, et Z. Ces espaces tensoriels peuvent eux-mêmes être munis de produits scalaires induits par ceux des espaces de base, ce qui les rend compatibles avec la structure d'un espace de Hilbert.

Par ailleurs, certaines entités d'information pourraient être modélisées plus naturellement par des **fonctions**. Par exemple, une entité chargée de représenter un signal temporel continu peut être décrite par une fonction $s(t)$, ou bien une entité représentant une distribution de probabilité peut être associée à sa densité $p(x)$. Dans ce cas, l'entité appartient à un espace fonctionnel tel que l'espace $L^2$ des fonctions carrées-intégrables, muni du produit scalaire $\langle f, g \rangle = \int f(x)g(x)dx$, ou à un espace de Reproducing Kernel Hilbert (RKHS) si l'on utilise des noyaux pour représenter implicitement les fonctions. Ces espaces sont typiquement des espaces de Hilbert ; par exemple, $L^2$ est un espace de Hilbert, complet pour la norme $L^2$.

Le choix d'une représentation tensorielle ou fonctionnelle dépendra de la nature de l'information manipulée par l'entité ainsi que des opérations que l'on souhaite effectuer. L'important est que, quel que soit le choix, on puisse *intégrer* cette représentation dans le cadre unificateur d'un espace de Hilbert approprié afin de bénéficier d'outils analytiques communs. Dans la suite, nous noterons $H$ l'espace de Hilbert choisi pour représenter l'état d'une entité individuelle. Il pourra s'agir de $\mathbb{R}^n$ si l'entité est un vecteur fini, de $L^2$ ou d'un autre espace fonctionnel, le cas échéant.

## 3.2. Notion de “Synergie Informationnelle”

L'un des concepts centraux du Deep Synergy Learning (DSL) est la **synergie informationnelle**. Il s'agit de la capacité de deux (ou plusieurs) entités d'information à produire, ensemble, un **contenu** ou une **performance** impossible à atteindre (ou significativement moins bonne) si elles agissaient de manière isolée. Dans un cadre mathématique, la synergie se formalise par une mesure qui évalue l'**apport mutuel** entre les entités. Plus cette mesure est élevée, plus les entités concernées s'enrichissent mutuellement, amplifiant leur pouvoir de représentation ou de décision.

**Définition générale.** Considérons deux entités d'information, $\varepsilon_i$ et $\varepsilon_j$. En première approximation, on peut définir la **synergie** $S(\varepsilon_i, \varepsilon_j)$ comme une fonction qui quantifie à quel point la prise en compte conjointe de $\varepsilon_i$ et de $\varepsilon_j$ **améliore** un critère d'apprentissage (la prédiction d'une variable cible, la qualité d'une représentation, etc.).
$$S(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = f(\varepsilon_i, \varepsilon_j),$$

où $f(\cdot)$ peut être :

* une **mesure d'entropie conjointe** (ou de co-information) en théorie de l'information,

* un **gain de performance** par rapport à une référence (p. ex. différence de log-vraisemblance),

* une **fonction de similarité/distance** qui prend en compte des aspects non linéaires et adaptatifs.

Cette fonction $f$ doit être conçue pour refléter la notion que "le tout est plus que la somme des parties". Ainsi, il est d'usage de considérer qu'une **haute synergie** indique que l'association $\{\varepsilon_i, \varepsilon_j\}$ est nettement plus informative que chacune des entités prise isolément.

En théorie de l'information, on peut s'appuyer sur l'**entropie conjointe** et la **co-information**. Par exemple, si $\mathbf{X}_i$ et $\mathbf{X}_j$ sont les variables aléatoires (représentant respectivement les entités $\varepsilon_i$ et $\varepsilon_j$), on définit :

$$I(\mathbf{X}_i; \mathbf{X}_j) = H(\mathbf{X}_i) + H(\mathbf{X}_j) - H(\mathbf{X}_i, \mathbf{X}_j),$$

où $H(\cdot)$ est l'entropie (de Shannon, ou d'autres formes d'entropie plus générales). Cette quantité $I(\mathbf{X}_i; \mathbf{X}_j)$ mesure l'**information mutuelle** entre $\mathbf{X}_i$ et $\mathbf{X}_j$. Toutefois, l'information mutuelle standard ne distingue pas toujours la **synergie** de la **redondance**.

Pour caractériser la synergie, plusieurs travaux de théorie de l'information proposent des mesures de **co-information** plus élaborées, voire des "Partial Information Decomposition" (PID), qui visent à séparer la part de redondance et la part de synergie :

$$\text{Synergie}(\mathbf{X}_i, \mathbf{X}_j) = I_{\text{PID}}^{(\text{syn})}(\mathbf{X}_i; \mathbf{X}_j | \mathbf{Y}),$$

où $\mathbf{Y}$ peut être une troisième variable (cible à prédire) ou un contexte. Dans le cadre du DSL, il est donc pertinent d'utiliser, lorsque c'est possible, des **métriques entropiques** pour quantifier la contribution **non triviale** de chaque couple d'entités.

Une autre approche consiste à définir la synergie comme le **gain** (en termes de fonction objectif ou de performance) obtenu lorsqu'on associe deux entités, par rapport à leur utilisation séparée :

$$S(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = \Delta(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = \Phi(\{\varepsilon_i, \varepsilon_j\}) - [\Phi(\{\varepsilon_i\}) + \Phi(\{\varepsilon_j\})],$$

où $\Phi(\cdot)$ est un **score** ou une **mesure** de la qualité du système (ex. : taux de classification, log-likelihood, etc.). Dans ce cas :

* $S(\varepsilon_i, \varepsilon_j) > 0$ signifie qu'il y a véritablement une **valeur ajoutée** à combiner $\varepsilon_i$ et $\varepsilon_j$.

* $S(\varepsilon_i, \varepsilon_j) < 0$ indique qu'il y a **inhibition** ou dégradation mutuelle.

* $S(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = 0$ suggère une **indépendance** ou une simple addition sans synergie.
Cette formulation est souvent utilisée en pratique, car elle s'aligne directement sur un **objectif** (objectif supervisé, critère d'optimisation non supervisé, etc.). On peut de plus pondérer cette synergie par un facteur adaptatif, en tenant compte du **contexte temporel** ou des autres entités impliquées.

Contrairement aux approches linéaires ou statiques, le DSL prévoit que la synergie $S(\varepsilon_i, \varepsilon_j)$ soit **évolutive** au cours du temps. En d'autres termes, le réseau peut réévaluer en continu la contribution mutuelle de $\varepsilon_i$ et $\varepsilon_j$. Cela se traduit par la mise à jour d'une **pondération** **synergiques** $\omega_{i,j}(t)$ :

$$ \omega_{i,j}(t+1) = \omega_{i,j}(t) + \eta \cdot [S(\varepsilon_i, \varepsilon_j) - \tau \cdot \omega_{i,j}(t)], $$

où $\eta$ est un taux d'apprentissage, $\tau$ un terme de régularisation (ou d'oubli). Plus la synergie entre deux entités est forte, plus leur lien s'intensifie. Au contraire, si ce lien n'apporte guère de valeur ajoutée (ou est carrément nuisible), sa pondération peut diminuer et aller jusqu'à **rompre** la connexion.

**Définition Synergie binaire, ternaire, et n-aire.** Dans sa version la plus simple, on considère la synergie entre **paires** d'entités ($\varepsilon_i, \varepsilon_j$). Toutefois, nombre de scénarios exigent d'évaluer la synergie entre plusieurs entités simultanément. Dans ce cas, on généralise $S$ à un ensemble $\{\varepsilon_{k_1}, ..., \varepsilon_{k_m}\}$. On parle alors de **synergie n-aire**, dont la mesure n'est pas forcément la somme des synergies binaires. En effet, il se peut qu'une **triple** $\{\varepsilon_a, \varepsilon_b, \varepsilon_c\}$ dégage une synergie supérieure à la somme des synergies de ses paires :

$$ S(\varepsilon_a, \varepsilon_b, \varepsilon_c) > S(\varepsilon_a, \varepsilon_b) + S(\varepsilon_b, \varepsilon_c) + S(\varepsilon_a, \varepsilon_c). $$

Ce phénomène traduit la nature **émergente** du DSL, où des ensembles d'entités peuvent coopérer de manière non triviale pour engendrer de nouvelles représentations ou actions.

### Exemple scénario multimodal

Soit

* $\varepsilon_{visuelle}$ (extraction de caractéristiques d'une image),

* $\varepsilon_{auditives}$ (traits de voix, intonation),

* $\varepsilon_{textuelles}$ (mots-clés extraits d'une transcription).

Si $\varepsilon_{visuelle}$ et $\varepsilon_{textuelle}$ ont peu d'information en commun, leur **information mutuelle** peut être faible. Pourtant, prises ensemble, elles peuvent produire un **contexte** (ex. : "lieu de la scène + thèmes abordés verbalement") qui aide à l'interprétation des sons (détection d'émotion). Autrement dit, c'est l'**intersection** de ces informations qui devient cruciale, expliquant une **synergie** plus forte lorsqu'on combine ces trois entités plutôt que deux à deux.
# 1. Propriétés Mathématiques Requises

La fonction de synergie $S(\varepsilon_i, \varepsilon_j, ...)$ doit satisfaire plusieurs propriétés fondamentales :

## Positivité :

La fonction doit être strictement positive lorsque la combinaison des entités apporte une information additionnelle ou une amélioration de performance, et nulle (ou proche de zéro) lorsque les entités sont redondantes ou indépendantes. Formulée mathématiquement, pour toute collection d'entités $\{\varepsilon_1, \varepsilon_2, ..., \varepsilon_n\}$, on doit avoir

$$S(\varepsilon_1, \varepsilon_2, ..., \varepsilon_n) \geq 0,$$

avec $S = 0$ indiquant l'absence de synergie.

## Symétrie :

La mesure doit être invariante par permutation des entités. Autrement dit, l'ordre dans lequel les entités sont considérées ne doit pas influencer la valeur du score de synergie. On exige donc que

$$S(\varepsilon_1, \varepsilon_2, ..., \varepsilon_n) = S(\varepsilon_{\pi(1)}, \varepsilon_{\pi(2)}, ..., \varepsilon_{\pi(n)}),$$

pour toute permutation $\pi$ de $\{1,2, ..., n\}$.

## Monotonie :

La fonction doit évoluer de manière monotone par rapport aux différences entre les états internes des entités. Cela signifie qu'une augmentation de la complémentarité ou de la cohérence entre les entités doit conduire à une augmentation de $S$, orientant ainsi le processus d'apprentissage vers des configurations optimales. Si l'on définit une mesure de dissimilarité $d(\varepsilon_i, \varepsilon_j)$ entre les états internes, on peut attendre que

$$\frac{\partial S}{\partial d(\varepsilon_i, \varepsilon_j)} \leq 0,$$

de sorte que la synergie augmente lorsque la dissimilarité diminue (i.e., les entités se rapprochent en termes d'information pertinente).

# 3.3. Différence entre Interaction, Synergie et Corrélation

Lorsqu'on étudie les relations entre différentes entités d'information, il est essentiel de faire la distinction entre **interaction**, **corrélation** et **synergie**. Ces notions sont parfois utilisées de façon interchangeable, mais elles renvoient à des réalités mathématiques et conceptuelles différentes. Comprendre ces nuances permet de mieux cerner l'originalité du Deep Synergy Learning (DSL) et la portée de son concept de « synergie informationnelle ».
### 3.3.1. Interaction : une relation générique

Le terme **interaction** désigne de manière générale l'influence mutuelle que peuvent exercer deux éléments (ou plus) l'un sur l'autre. D'un point de vue mathématique, on parle souvent **d'interaction** lorsque le comportement (ou la fonction) d'un système dépend de l'état de plusieurs variables de manière **non indépendante** :

$$f(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2) \neq f_1(\mathbf{x}_1) + f_2(\mathbf{x}_2).$$

Par exemple, dans un modèle statistique de type régression, l'**effet d'interaction** entre deux variables se traduit par la présence d'un terme produit $\mathbf{x}_1 \times \mathbf{x}_2$.

Une interaction ne garantit pas nécessairement un effet bénéfique ou un « plus » collectif ; elle se borne à signaler que l'état ou la valeur prise par $\mathbf{x}_2$ modifie l'effet de $\mathbf{x}_1$ (et inversement).

Ainsi, dans le DSL, de simples **interactions** peuvent exister entre des entités d'information sans pour autant impliquer une **synergie** (cette dernière requérant un effet d'émergence véritable, voir plus bas).

### 3.3.2. Corrélation : dépendance statistique (souvent linéaire)

La **corrélation** (au sens commun) mesure le degré de **dépendance statistique** entre deux variables, souvent réduit à la **corrélation linéaire** de Pearson :

$$\rho(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) = \frac{\operatorname{cov}(\mathbf{X}, \mathbf{Y})}{\sigma_{\mathbf{X}} \cdot \sigma_{\mathbf{Y}}}$$

avec cov(·,·) représente la covariance, $\sigma_X$ et $\sigma_Y$ désignent l'écart-type de X et Y.

Une corrélation élevée ($\rho \approx 1$ ou $\rho \approx -1$) signifie que deux variables évoluent de façon similaire (linéairement liée), tandis qu'une corrélation nulle ($\rho \approx 0$) indique l'absence de dépendance linéaire (mais pas forcément l'absence de dépendance tout court).

**Remarque** : Dans un cadre non linéaire, d'autres mesures (mutual information, distance correlation, etc.) peuvent s'avérer plus pertinentes que la simple corrélation linéaire.

**Corrélation ≠ synergie.**

Dans le cas d'une corrélation forte, on observe souvent une **redondance**. Si X prédit bien Y, alors Y n'apporte pas nécessairement de nouvelle information. La corrélation peut aussi être trompeuse (corrélation de variables bruitées, effet de causalité inverse, variables cachées...).

Dans le DSL, deux entités très corrélées peuvent d'ailleurs être moins intéressantes (peu de gain) que deux entités faiblement corrélées, mais dont la **combinaison** génère un contenu supplémentaire.

Ainsi, une **corrélation forte** n'implique pas forcément une **synergie** ; et inversement, deux entités peuvent ne pas être corrélées mais créer, ensemble, un effet émergent.
La **synergie**, telle que définie dans le DSL, suppose un **gain** ou une **valeur ajoutée** lorsque les entités se combinent, au-delà de ce qu'elles apportent chacune de leur côté. Autrement dit :

$$S(\varepsilon_i, \varepsilon_j) > 0 \Rightarrow \text{La combinaison } \{\varepsilon_i, \varepsilon_j\} \text{ vaut plus que la somme séparée.}$$

* **Synergie ≠ simple interaction** : L'interaction signale simplement une dépendance réciproque, alors que la synergie suppose qu'un nouveau niveau de fonctionnalité ou d'information émerge.

* **Synergie ≠ redondance** : Deux variables très similaires (corrélées) ont peu de synergie, car prendre l'une ou l'autre n'ajoute pas grand-chose à la décision globale.

* **Synergie ≠ coïncidence** : Les coïncidences peuvent être éphémères et non reproductibles. La synergie implique un **effet régulier** et **réel** sur l'optimisation ou la représentation interne du système.

Dans un modèle où la fonction de coût $\mathcal{L}$ est à minimiser (ou la fonction de performance $\Phi$ à maximiser), la synergie entre $\varepsilon_i$ et $\varepsilon_j$ s'exprime souvent comme :

$$\Delta_{ij} = \Phi(\{\varepsilon_i, \varepsilon_j\}) - [\Phi(\{\varepsilon_i\}) + \Phi(\{\varepsilon_j\})].$$

* Si $\Delta_{ij} > 0$, on parle de **synergie positive** (la combinaison est plus utile que la simple juxtaposition).

* Si $\Delta_{ij} < 0$, il y a **inhibition** ou **redondance néfaste**, et le couplage des entités se révèle contre-productif.

* Si $\Delta_{ij} \approx 0$, cela signifie qu'elles n'apportent pas grand-chose l'une à l'autre au regard de la tâche considérée.

Pour mieux illustrer ces différences, on peut imaginer un **diagramme** représentant trois situations :

* **Corrélation (redondance)** : Les deux entités (A et B) apportent presque la même information.

* **Interaction** : A et B se modifient mutuellement, mais sans forcément créer une nouvelle dimension.

* **Synergie** : La combinaison A + B engendre un nouveau potentiel (ex. : l'ajout d'un flux audio + flux visuel crée un contexte multimodal plus riche que n'importe lequel des flux pris isolément).

Les **cas concrets** illustrent différentes situations où la synergie joue un rôle déterminant dans l'efficacité des interactions entre entités.

Dans un **cas de redondance sans synergie**, deux capteurs de température placés au même endroit fournissent des mesures quasi identiques. Bien qu'ils soient fortement corrélés, leur apport informationnel est redondant, ce qui signifie qu'en utiliser un seul est aussi pertinent que d'en prendre deux.
Dans un **cas d'interaction sans synergie**, certaines protéines en biologie interagissent, par exemple lorsqu'une bloque l'autre, mais cette interaction ne conduit pas nécessairement à un fonctionnement plus efficace pour l'organisme. L'interaction est présente, mais elle ne génère pas de gain de performance ou d'organisation.

Dans un **cas de synergie forte**, le traitement de la parole illustre un exemple significatif. La combinaison de la lecture labiale, qui analyse les mouvements des lèvres, et du signal acoustique, qui capte l'information sonore, améliore nettement la reconnaissance par rapport à l'utilisation isolée de l'un ou l'autre des signaux. Cet effet est particulièrement visible en environnement bruyant, où la complémentarité entre les deux sources d'information permet une meilleure robustesse du système.

Dans le **Deep Synergy Learning**, on cherche précisément à **favoriser** la création de synergies positives et à **réduire** (voire éliminer) les liens qui relèvent de la simple redondance ou d'interactions stériles. Les règles de mise à jour des **pondérations synergiques** sont conçues pour ajuster dynamiquement les connexions entre entités en fonction de leur synergie. Elles permettent de **renforcer** les liens entre entités lorsque $\Delta_{ij} > 0$, favorisant ainsi les interactions bénéfiques. À l'inverse, elles visent à **diminuer** ou rompre les connexions lorsque la corrélation entre entités ne procure aucun gain ou engendre un effet négatif, c'est-à-dire lorsque $\Delta_{ij} < 0$. Enfin, ces règles facilitent la **détection** de synergies **n-aires**, où plusieurs entités interagissent pour former des **micro-réseaux auto-organisés**, optimisant ainsi la structure adaptative du **SCN**.

Cette démarche permet d'éviter l'explosion combinatoire (en évaluant toutes les combinaisons) grâce à un **mécanisme dynamique** où les liens se forment ou se défont au fil de l'apprentissage, suivant les feedbacks de performance ou des indicateurs entropiques.

Dans le DSL, c'est précisément cette notion de synergie, mesurée et mise à jour en continu, qui permet de construire des **clusters** d'entités coopératives, de faire émerger de **nouvelles représentations**, et de potentialiser la **résilience** du système face à la variabilité des données. Les sections ultérieures reviendront sur la façon dont ce mécanisme de synergie se met en place dans une **approche auto-organisée** et comment il se distingue des **réseaux neuronaux** traditionnels.

## 4. Approche Hiérarchique vs Approche Auto-Organisée

Les approches hiérarchiques traditionnelles, largement utilisées dans le Deep Learning, reposent sur la succession de **couches** (layers) qui transforment progressivement les données d'entrée jusqu'à aboutir à une sortie (une prédiction, une classification, etc.). À chaque couche, on opère une **composition** de fonctions (le plus souvent linéaires, suivies de non-linéarités comme ReLU ou sigmoid). Par opposition, l'**approche auto-organisée** (telle qu'on la retrouve dans le Deep Synergy Learning, DSL) met l'accent sur la **capacité du réseau** à **reconfigurer** ou **réorganiser** sa structure interne en fonction des synergies détectées, plutôt que de s'en tenir à une architecture rigide et prédéfinie.

Dans cette section, nous allons approfondir cette différence en examinant les principes fondamentaux de l'approche hiérarchique, pour mieux comprendre comment le DSL, en tant qu'approche auto-organisée, propose une alternative à la fois plus **dynamique** et plus **adaptative**.
## 4.1. Fondements de l'approche hiérarchique

Dans un **réseau hiérarchique** traditionnel (tel qu'un réseau de neurones profond), le **principe du traitement en cascade** impose aux données **x** de traverser une succession de transformations linéaires et non linéaires :

$$h^{(1)} = f^{(1)}(x), \quad h^{(2)} = f^{(2)}(h^{(1)}), \quad \dots, \quad h^{(L)} = f^{(L)}(h^{(L-1)})$$

où $h^{(l)}$ représente la “représentation cachée” extraite à la couche $l$, et $f^{(l)}$ désigne un opérateur paramétrique (incluant poids et fonction d’activation). Dans ce schéma, l’information **circule** essentiellement de bas en haut, et les éventuelles boucles de rétroaction (feedback top-down) demeurent limitées ou spécialisées, comme dans les architectures RNN ou LSTM.

Cette organisation induit une **séparation des rôles** :

* Les **premières couches** traitent des descripteurs “bas niveau” (par exemple, repérer des bords pour une image, des phonèmes pour un signal audio, etc.).

* Les **couches intermédiaires** approfondissent la combinaison de ces descripteurs, extrayant des motifs plus complexes.

* Les **dernières couches** produisent la **décision finale** (classe, score, etc.).

Toutefois, cette hiérarchie s’accompagne d’une **certaine rigidité**. Une fois le nombre de couches, la taille de chacune, et la nature des connexions (dense, convolutionnelle, récurrente...) choisis, la **structure** du réseau reste figée pendant la phase d’apprentissage. Seuls les **poids** sont ajustés par descente de gradient ou par l’une de ses variantes, tandis que la topologie globale demeure invariable.

## 4.2. Limites de l'approche hiérarchique

Les **réseaux hiérarchiques** classiques présentent plusieurs limites marquantes. Ils restent fortement **dépendants** à la supervision, nécessitant de grandes quantités de données annotées pour ajuster leurs poids internes. À mesure que leur architecture croît, une **prolifération exponentielle** du nombre de paramètres alourdit le coût en calcul et en mémoire, tout en rendant le réseau plus difficile à **interpréter** et à **déboguer**.

Ces réseaux souffrent également d'un **manque d'adaptabilité**. Lorsqu'un **domain shift** survient, c'est-à-dire un changement dans la distribution des données, il devient nécessaire de procéder à un réapprentissage ou à un ajustement considérable, faute de mécanismes permettant une **reconfiguration dynamique**. Enfin, leur **faible modularité** constitue une autre contrainte. Même si les couches s'empilent, elles ne peuvent pas **échanger librement** en dehors des cheminements rigides imposés par l'architecture.

En résumé, un réseau hiérarchique fonctionne efficacement dans des contextes précis, lorsque de grands volumes de données annotées sont disponibles, mais il ne propose pas de **remodelage**
structurel en cours d'apprentissage ni de recours proactif à des **synergies** entre sources d'information hétérogènes.

### 4.3. Principes de l'approche auto-organisée

Dans une **approche auto-organisée**, caractéristique du **DSL**, la **plasticité topologique** joue un rôle central. Plutôt que de reposer sur des couches fixes, les **entités d'information** peuvent spontanément **former des clusters, établir ou rompre des liaisons**, et même **fusionner** lorsque leur synergie atteint un niveau suffisant. L'architecture n'est donc plus imposée de manière rigide, mais se construit et se reconstruit au fil de l'apprentissage, s'adaptant en fonction des besoins et de l'évolution des données.

Cette **révolution dynamique** repose sur l'adaptation continue des pondérations synergiques $\omega_{i,j}$ suivant une règle telle que

$$ \omega_{i,j}(t+1) = \omega_{i,j}(t) + \eta [S(\varepsilon_i, \varepsilon_j) - \tau \omega_{i,j}(t)], $$

où $\eta$ est un taux d'apprentissage, $\tau$ un coefficient de régularisation et $S(\varepsilon_i, \varepsilon_j)$ la synergie entre les entités $\varepsilon_i$ et $\varepsilon_j$. Dans ce cadre, une synergie **positive** renforce la connexion, tandis qu'une synergie **négative** l'affaiblit. Ainsi, les entités dont la coopération est bénéfique sont encouragées à établir (ou consolider) leurs liens, tandis que les connexions moins productives s'éteignent naturellement.

Au fil de ce processus d'ajustement, des **micro-réseaux** ou **clusters auto-organisés** émergent dès lors que les synergies mutuelles s'élèvent entre certaines entités. Ces agrégats peuvent apparaître, se scinder ou disparaître, reflétant les évolutions des données ou l'arrivée d'interactions nouvelles. Par ailleurs, cette liberté structurelle favorise une **coopération multi-flux**, en autorisant les entités visuelles, auditives, textuelles, etc. à s'influencer **directement**, sans passer par un chemin prédéfini de "couches". Par exemple, une entité auditive peut détecter à l'instant $t$ une forte synergie avec une entité visuelle et, de ce fait, former un cluster pour la durée nécessaire ; plus tard, si les conditions changent, elle peut s'éloigner de ce groupe pour établir d'autres coopérations plus pertinentes.

### 4.4. Modélisation mathématique d'une architecture auto-organisée

Dans une **architecture auto-organisée**, on ne définit plus un enchaînement linéaire $h^{(1)} \to h^{(2)} \to \dots$ ; à la place, on conçoit un **graphe $G(t)$** dont les **nœuds** sont les entités $\{\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n\}$ et dont les **arêtes** représentent les pondérations synergiques $\omega_{i,j}(t)$. L'évolution du réseau se décrit alors par une fonction de mise à jour :

$$ G(t+1) = U[G(t), S(\cdot, \cdot)], $$

où $U$ tient compte des **critères de synergie $S(\varepsilon_i, \varepsilon_j)$**. Le système prend ainsi la forme d'un **Système Dynamique Non Linéaire**, se réorganisant de manière à privilégier les **combinatoires** d'entités jugées les plus utiles ou performantes.
Il est fréquent d'ajouter un mécanisme d'énergie libre ou de coût global :

$$ \mathcal{J}(G) = - \sum_{i,j} \omega_{i,j} S(\varepsilon_i, \varepsilon_j) + \alpha \| \omega \|^2, $$

de façon à régulariser la taille du réseau et à éviter que le nombre de connexions ne “flambe” de manière excessive. Dans ce cadre, la mise à jour peut s'effectuer via une **descente de gradient** (ou un algorithme d'optimisation inspiré des systèmes complexes, comme un algorithme génétique ou un recuit simulé), conduisant progressivement à une **organisation** qui valorise les synergies tout en restreignant les liaisons redondantes.

## 4.5. Avantages et défis de l'auto-organisation

Dans une **approche auto-organisée**, l'adaptabilité constitue un atout majeur. Le réseau peut s'ajuster en continu face à l'arrivée de nouvelles données ou à un changement de distribution sans qu'il soit nécessaire de repenser entièrement son architecture. La **multi-modalité** y est gérée de manière native. Les entités issues de différentes sources comme l'audio, l'image ou le texte peuvent s'influencer mutuellement et former des clusters multimodaux. Cette capacité favorise la **fusion** des flux d'informations et l'exploitation de leurs synergies. Cette dynamique ouverte introduit également un **potentiel créatif**. L'émergence de combinaisons inédites entre entités permet de révéler des **patrons** jusque-là invisibles et difficilement capturables par des architectures hiérarchiques classiques.

Toutefois cet avantage s'accompagne de plusieurs **défis** majeurs. La **complexité de contrôle** peut devenir un obstacle si aucun mécanisme de régulation comme le facteur $\tau$ ou des pénalités n'est mis en place. Un excès de connexions ou des boucles auto-renforcées peuvent entraîner des oscillations. Le **coût de calcul** représente également un défi. L'évaluation de la synergie entre un grand nombre d'entités nécessite l'usage d'heuristiques ou de méthodes parcimonieuses pour rester viable en pratique. L'**interprétabilité** peut aussi poser problème. Même si l'auto-organisation tend à faire émerger des clusters plus significatifs, l'évolution dynamique et permanente de la structure complique l'analyse détaillée du fonctionnement interne du réseau.

## 4.6. Comparaison synthétique

<table><thead><tr><td>Caractéristique</td><td>Approche Hiérarchique</td><td>Approche Auto-Organisée (DSL)</td></tr></thead><tbody><tr><td>Architecture</td><td>Fixe (définie a priori)</td><td>Flexible (graphe évolutif)</td></tr><tr><td>Propagation de l'info</td><td>Principalement feed-forward</td><td>Libre (coopération directe entre entités)</td></tr><tr><td>Formation des connexions</td><td>Statique (paramètres ajustés)</td><td>Dynamique (création / rupture de liens)</td></tr><tr><td>Apprentissage</td><td>Descente de gradient classique</td><td>Mise à jour des synergies (pondérations)</td></tr><tr><td>Multimodalité</td><td>Fusion tardive (généralement)</td><td>Intégration native, clusters multimodaux</td></tr></tbody></table>
<table><thead><tr><th>Caractéristique</th><th>Approche Hiérarchique</th><th>Approche Auto-Organisée (DSL)</th></tr></thead><tbody><tr><td><strong>Adaptation continue</strong></td><td>Limité (fine-tuning, transfert)</td><td>Fort (reconfiguration à la volée)</td></tr><tr><td><strong>Exemples</strong></td><td>CNN, RNN, Transformers</td><td>Synergistic Connection Network (SCN)</td></tr></tbody></table>

# 5. Formalisation Mathématique des Entités d'Information dans le DSL

## 5.1 Modélisation Mathématique des Entités d'Information

### 5.1.1. Espaces vectoriels vs espaces de Hilbert

Pour modéliser une entité d'information, une première approche naturelle est de la représenter comme un *vecteur* de caractéristiques dans un espace vectoriel. Par exemple, si une entité représente un document texte, on pourrait l'associer à un vecteur numérique, tel qu'un vecteur TF-IDF ou une embedding dense, dans $\mathbb{R}^n$. De même, une image peut être vue comme un vecteur de très grande dimension, où chaque pixel correspond à une coordonnée. Cependant, les espaces vectoriels simples peuvent s'avérer insuffisants lorsque l'on souhaite munir l'ensemble des entités de structures géométriques plus riches.

C'est pourquoi on privilégie souvent le cadre des **espaces de Hilbert**, qui sont des cas particuliers d'espaces vectoriels possédant deux propriétés essentielles : un *produit scalaire* interne et la *complétude* pour la distance induite. La présence d'un produit scalaire permet de définir une notion d'angle et de longueur, c'est-à-dire une **métrique interne** (via la norme induite) pour quantifier la similarité entre entités. La complétude, quant à elle, assure que toute suite de vecteurs convergente (en norme) possède une limite dans le même espace, évitant ainsi de "sortir" de l'espace lors des calculs ou des mises à jour d'états.

En pratique, utiliser un espace de Hilbert $H$, tel que $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire euclidien ou un espace de fonctions $L^2$, pour représenter les entités garantit que l'on peut appliquer les outils de la géométrie euclidienne (orthogonalité, projections, distances) et de l'analyse fonctionnelle (décompositions spectrales, opérateurs linéaires continus) dans le suivi de l'apprentissage.

Notons qu'un espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire usuel est déjà un Hilbert (euclidien). Le recours explicite à la notion de Hilbert se justifie surtout lorsque l'on considère des espaces éventuellement de grande dimension ou infinis (fonctions, distributions...), ou lorsque l'on souhaite bénéficier de théorèmes généraux, tels que l'orthogonalisation de Gram-Schmidt ou la représentation de Riesz, pour l'analyse théorique du modèle.
### 5.1.2. Représentation des entités sous forme de tenseurs et de fonctions

Une entité d'information peut contenir une structure interne complexe, qu'un simple vecteur ne suffit pas toujours à capturer. Dans le cadre du DSL, nous autoriserons donc des représentations plus riches, telles que des tenseurs ou des fonctions.

Un **tenseur** est une généralisation multidimensionnelle des matrices, pouvant être vu comme un tableau de composantes indexé par plusieurs indices, par exemple $T_{ijk}$ pour un tenseur d'ordre 3. Les tenseurs offrent la possibilité de modéliser des relations multivariées. Par exemple, si une entité encode les liens entre trois types de modalités (texte, image, audio), un tenseur d'ordre 3 peut être utilisé pour représenter l'intensité de la relation entre chaque triple (mot, région d'image, segment audio). Mathématiquement, un tenseur peut être considéré comme un élément d'un **produit tensoriel** d'espaces vectoriels, noté $X \otimes Y \otimes Z$ pour un tenseur à trois indices issus de la combinaison de X, Y, et Z. Ces espaces tensoriels peuvent eux-mêmes être munis de produits scalaires induits par ceux des espaces de base, ce qui les rend compatibles avec la structure d'un espace de Hilbert.

Par ailleurs, certaines entités d'information pourraient être modélisées plus naturellement par des **fonctions**. Par exemple, une entité chargée de représenter un signal temporel continu peut être décrite par une fonction $s(t)$, ou bien une entité représentant une distribution de probabilité peut être associée à sa densité $p(x)$. Dans ce cas, l'entité appartient à un espace fonctionnel tel que l'espace $L^2$ des fonctions carrées-intégrables, muni du produit scalaire $\langle f, g \rangle = \int f(x)g(x)dx$, ou à un espace de Reproducing Kernel Hilbert (RKHS) si l'on utilise des noyaux pour représenter implicitement les fonctions. Ces espaces sont typiquement des espaces de Hilbert ; par exemple, $L^2$ est un espace de Hilbert, complet pour la norme $L^2$.

Le choix d'une représentation tensorielle ou fonctionnelle dépendra de la nature de l'information manipulée par l'entité ainsi que des opérations que l'on souhaite effectuer. L'important est que, quel que soit le choix, on puisse intégrer cette représentation dans le cadre unificateur d'un espace de Hilbert approprié afin de bénéficier d'outils analytiques communs. Dans la suite, nous noterons $H$ l'espace de Hilbert choisi pour représenter l'état d'une entité individuelle. Il pourra s'agir de $\mathbb{R}^n$ si l'entité est un vecteur fini, de $L^2$ ou d'un autre espace fonctionnel, le cas échéant.

### 5.1.3. Métriques pour évaluer la similarité entre entités

Une fois le support mathématique choisi pour les entités (vecteur, fonction, etc.), il est crucial de définir des **métriques** permettant de mesurer la dissimilarité ou l'écart entre deux entités quelconques. Ces métriques guident l'apprentissage synergique en quantifiant « à quel point » deux entités partagent de l'information ou, au contraire, divergent, ce qui peut influencer l'intensité de leurs interactions. On distingue plusieurs types de métriques ou divergences pertinentes dans ce contexte :

* **Distance euclidienne (L2).**

Si les entités sont représentées dans un espace euclidien $\mathbb{R}^n$ (ou plus généralement un Hilbert $H$), la distance la plus naturelle est la distance euclidienne, définie par

$$d_E(e_i, e_j) = \| s_i - s_j \|_2,$$
où $s_i \in H$ et $s_j \in H$ sont les vecteurs (ou fonctions) représentant respectivement l'entité $i$ et l'entité $j$. Il s'agit de la norme induite par le produit scalaire de $H$, par exemple

$$ \| s \|_2 = \sqrt{\langle s, s \rangle}. $$

Cette distance a l'avantage d'être **intrinsèque** à l'espace de Hilbert choisi et de posséder des propriétés métriques standard (symétrie, positivité, inégalité triangulaire). Deux entités auront une distance euclidienne faible si leurs états internes sont proches en norme, c'est-à-dire si elles possèdent des représentations numériques très similaires (par exemple deux images quasi identiques auront des vecteurs de pixels proches, donc distance faible).

## Divergence de Kullback-Leibler (KL).

Dans le cas où les entités représentent des **distributions de probabilité**, comme c'est le cas pour des modèles probabilistes distincts d'une même donnée, il est souvent préférable d'utiliser des mesures de dissimilarité issues de la théorie de l'information. Parmi celles-ci, la divergence de Kullback-Leibler entre deux distributions $P$ et $Q$ est définie par

$$ D_{KL}(P \parallel Q) = \int P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)} dx $$

(ou sous forme de somme discrète équivalente). Bien que $D_{KL}$ ne soit pas une distance métrique au sens strict – car elle n'est ni symétrique, ni conforme à l'inégalité triangulaire – elle fournit une mesure de l'écart informationnel entre $P$ et $Q$, c'est-à-dire la perte d'information lorsque l'on utilise $Q$ pour approximer $P$. En contexte DSL, cette mesure est particulièrement pertinente lorsque chaque entité $i$ porte une distribution $P_i$. Par exemple, une entité pourrait modéliser des hypothèses probabilistes sur un concept donné, et $D_{KL}(P_i \parallel P_j)$ quantifierait dans ce cas l'écart en termes d'information statistique entre les entités $i$ et $j$.

Une divergence $D_{KL}$ nulle indiquerait que les deux entités possèdent des distributions identiques, tandis qu'une valeur élevée refléterait des croyances très différentes. En pratique, la divergence de Kullback-Leibler est utile pour intégrer explicitement les incertitudes dans la mesure de similarité, puisqu'elle pénalise fortement les différences dans les régions où la probabilité de $P_i$ est élevée. Cependant, en raison de son asymétrie, cette divergence peut être remplacée par des variantes symétrisées, telles que la divergence de Jensen-Shannon, selon les besoins spécifiques.

L'intérêt de ces mesures est donc de capturer non seulement des différences structurelles entre les entités d'information, mais aussi de tenir compte des incertitudes dans leurs représentations probabilistes, ce qui est essentiel dans le cadre d'un apprentissage adaptatif comme celui proposé par le DSL.

## Distance de Wasserstein.

La distance de Wasserstein, également appelée *distance du transport optimal* ou *Earth Mover's Distance*, offre une autre manière de comparer deux entités lorsque celles-ci sont considérées comme des distributions de probabilité. Cette approche se focalise sur la notion de coût de transport entre distributions. Intuitivement, elle évalue le « coût
minimum » nécessaire pour transformer la distribution P associée à l'entité *i* en la distribution Q associée à l'entité *j*, dans le cas où l'on peut déplacer de la masse probabiliste entre différents points de l'espace.

Pour deux distributions P et Q définies sur un espace mesuré X, la distance de Wasserstein de premier ordre se définit par

$$W_1(P, Q) = \inf_{y \in \Pi(P,Q)} \mathbb{E}_{(x,y) \sim \gamma} [\|x - y\|],$$

où $\Pi(P, Q)$ désigne l'ensemble des mesures de probabilité jointes sur $X \times X$ dont les marginales sont respectivement $P$ et $Q$. Cette expression représente le coût moyen minimal pour faire correspondre les points tirés de $P$ à ceux tirés de $Q$, le coût élémentaire étant la distance $\| x - y \|$ (typiquement euclidienne) entre une occurrence $x$ de $P$ et une occurrence $y$ de $Q$.

Contrairement à la divergence de Kullback-Leibler (KL) qui, bien que mesurant l'écart informationnel entre deux distributions, n'est pas une métrique (puisqu'elle n'est pas symétrique et ne satisfait pas l'inégalité triangulaire), la distance de Wasserstein est une véritable métrique. En effet, elle est symétrique, satisfait l'inégalité triangulaire et présente l'avantage de rester finie et informative même lorsque $P$ et $Q$ n'ont pas de support commun – situation dans laquelle $D_{KL}$ serait inapplicable ou renverrait une valeur infinie.

Dans le contexte du DSL, si deux entités apprennent des distributions $P_i$ et $P_j$ (par exemple, deux entités modélisant la répartition de deux types de données liées), la distance $W(P_i, P_j)$ quantifie directement à quel point ces distributions diffèrent en termes de *support* et de *forme globale*, plutôt que de se focaliser uniquement sur des divergences ponctuelles. Ainsi, un faible $W(P_i, P_j)$ indique que les deux entités modélisent des phénomènes proches ou partageant une structure commune.

Cette approche par la distance de Wasserstein permet donc de capturer de manière plus robuste et intuitive la différence entre deux distributions, tout en assurant une mesure géométriquement cohérente, essentielle dans le cadre du Deep Synergy Learning.

*Remarque :* Le choix de la métrique aura un impact direct sur l'apprentissage synergique. Par exemple, une métrique euclidienne favorise une similitude basée sur la corrélation linéaire des états vectoriels, tandis qu'une métrique de Wasserstein peut capturer des similarités plus « structurelles » entre distributions. Il est tout à fait possible d'utiliser simultanément plusieurs métriques selon les types d'entités et de liens (par exemple, des entités de nature différente pourraient utiliser des mesures différentes pour évaluer leurs affinités). Le cadre formel doit néanmoins veiller à ce que ces métriques soient bien définies et compatibles avec la structure algébrique sous-jacente (par exemple, si des combinaisons linéaires d'états sont effectuées, la métrique choisie devrait idéalement être sensible à de telles combinaisons de façon cohérente).
## 5.2. Dynamique et Mise à Jour des Paramètres des Entités

Après avoir établi la représentation des entités et comment mesurer leur similarité, nous décrivons la **dynamique interne** du réseau DSL, c'est-à-dire les équations régissant l'évolution de l'état de chaque entité dans le temps, ainsi que l'évolution éventuelle des liens synergiques les connectant.

### 5.2.1. État interne dynamique $s_k(t)$

Dans le cadre du DSL, chaque entité d'apprentissage est représentée par un ensemble de composants :

$$ \mathcal{E}_k = (\mathbf{x}_k, \mathbf{s}_k, \theta_k, \dots), $$

La dynamique d'état interne $s_k$ est modélisée par une récurrence qui, dans sa forme la plus générale, peut être écrite comme :

$$ s_{k+1} = F(s_k, u_k, \theta), \quad (1) $$

où $F$ est une fonction (potentiellement non linéaire) qui décrit la mise à jour de l'état interne en fonction de l'état précédent $s_k$, d'une entrée $u_k$ (qui peut représenter des données ou un signal externe), et des paramètres $\theta$ du système (généralement inclus dans $\theta_k$). Dans le cas autonome, où l'entrée n'est pas explicitement dépendante de $k$, l'équation se simplifie en :

$$ s_{k+1} = F(s_k). \quad (2) $$

Afin d'exploiter les outils de l'analyse des systèmes dynamiques continus, on associe à la dynamique discrète (2) une équation différentielle équivalente.

En posant un pas de temps $h > 0$ et en écrivant la différence $s_{k+1} - s_k$, on peut exprimer approximativement :

$$ \frac{s_{k+1} - s_k}{h} \approx f(s_k, u_k, \theta), $$

et ainsi, dans la limite $h \to 0$, obtenir l'équation différentielle suivante :

$$ \dot{s}(t) = f(s(t), u(t), \theta). \quad (3) $$

L'équation (3) décrit l'évolution continue de l'état interne $s(t)$ et permet d'appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz pour garantir l'existence et l'unicité des solutions sous des hypothèses de régularité.

Pour étudier la dynamique définie par (1) ou son équivalent continu (3), nous supposons que la fonction $F$ (ou $f$) satisfait une condition de Lipschitz locale en $s$. Plus précisément, pour tout compact $K \subset E$ (où $E$ est l'espace d'état), il existe une constante $L_K > 0$ telle que, pour tous $s_1, s_2 \in K$ et pour toute valeur de $u$ et $\theta$,

$$ \| F(s_1, u, \theta) - F(s_2, u, \theta) \| \le L_K \| s_1 - s_2 \|. $$
Cette hypothèse est cruciale pour garantir la **dépendance continue** des solutions par rapport aux conditions initiales et assure que de petites variations de l'état initial se traduisent par de petites variations de la trajectoire.

Considérons l'équation différentielle (3) et supposons que $f(s, u, \theta)$ est continue en $s$ et localement Lipschitzienne. Alors, selon le **théorème de Cauchy-Lipschitz** (ou Picard-Lindelöf), pour toute condition initiale $s(0) = s_0 \in E$, il existe un intervalle de temps $[0, \delta]$ sur lequel l'équation admet une solution unique $s(t)$ continue et différentiable. La démonstration repose sur l'utilisation de l'opérateur intégral de Picard,

$$ \Phi(X)(t) = s_0 + \int_0^t f(\tau, X(\tau)) d\tau, $$

qui, sous l'hypothèse de Lipschitz, est contractant dans l'espace des fonctions continues muni de la norme $\|\cdot\|_{\infty}$. Par le **théorème du point fixe de Banach**, $\Phi$ admet un unique point fixe, qui est la solution recherchée.

Ce résultat garantit non seulement l'existence et l'unicité locale de la solution, mais permet également, en cas de condition globale de Lipschitz (ou si la trajectoire reste confinée dans un domaine où $f$ est Lipschitz), d'étendre la solution à tout $t \ge 0$. Cette propriété est essentielle pour assurer que la dynamique interne $s_k$ reste bien définie tout au long de l'apprentissage.

### 5.2.2. Mise à jour et convergence des états

La question fondamentale est de savoir si, et dans quelles conditions, les états $s_k(t)$ convergent vers une forme stable au cours du temps. Autrement dit, il s'agit de déterminer si chaque entité d'information finit par apprendre une représentation stable — ou, au moins, osciller de manière maîtrisée — en coordination avec les autres entités du système.

Dans le cadre continu, l'objectif est d'étudier l'existence de **points d'équilibre** $s_1^*, \dots, s_K^*$ tels que

$$ F_k(s_k^*, \{s_j^*\}, \theta_k^*) = 0 \quad \text{pour tout } k, $$

ce qui correspond aux états stationnaires de l'équation de dynamique donnée.

Les **liens synergiques** jouent un rôle crucial dans cette convergence. En effet, l'ensemble $N(k)$, ainsi que les coefficients et paramètres d'interaction, déterminent la manière dont l'entité $k$ ajuste son état en fonction de ses voisins. Par exemple, si les liens forment un graphe fortement connecté — c'est-à-dire, chaque entité reçoit de l'information, directement ou indirectement, de toutes les autres — et que la fonction $F_k$ oriente $s_k$ vers l'alignement avec la moyenne de ses voisins, alors on peut s'attendre à ce que le système converge vers un état **consensuel**, dans lequel tous les $s_k$ sont égaux ou fortement corrélés. À l'inverse, si le graphe est composé de **communautés** faiblement connectées, il est probable que plusieurs sous-ensembles d'entités convergent vers des états distincts, donnant lieu à un **clustering** spontané où chaque groupe présente des caractéristiques internes homogènes.

L'intensité des liens intervient également. Des interactions avec des poids élevés (par exemple, de grands $W_{kj}$ dans un modèle linéaire) accélèrent la propagation des informations entre entités et
tendent à homogénéiser rapidement leurs états. Cependant, des poids faibles permettent à chaque entité d'évoluer de manière plus indépendante, préservant la diversité, mais pouvant rallonger le temps nécessaire pour atteindre la convergence globale.

Pour analyser rigoureusement ce comportement, on recourt à divers outils mathématiques. Une approche classique consiste à étudier le **système linéarisé** autour d'un point d'équilibre candidat.

En effectuant une expansion de Taylor de la fonction $F_k$ (pour chaque $k$) autour d'un état $s^*$, on obtient une dynamique approchée de la forme

$$ \dot{e}(t) = J(s^*) e(t), $$

où le vecteur d'erreur $e(t)$ représente les petites perturbations par rapport à l'équilibre et $J(s^*)$ désigne l'opérateur jacobien (linéaire) de la dynamique combinée. L'étude du **spectre** de $J(s^*)$ — c'est-à-dire l'ensemble de ses valeurs propres dans l'espace de Hilbert considéré — permet de déterminer la stabilité locale de l'état $s^*$. En particulier, si toutes les valeurs propres de $J(s^*)$ ont une partie réelle strictement négative, alors l'équilibre $s^*$ est localement **asymptotiquement stable**, les perturbations se dissipent de manière exponentielle avec le temps. Pour une dynamique discrète, exprimée par

$$ s_k(t + 1) = G_k(s_k(t), \{s_j(t)\}), $$

la condition analogue est que le spectre de l'opérateur linéarisé $DG(s^*)$ soit strictement à l'intérieur du cercle unité (c'est-à-dire que toutes les valeurs propres aient un module inférieur à 1), ce qui garantit la contraction itérative vers l'équilibre.

L'analyse spectrale s'avère particulièrement puissante lorsque la structure d'interaction est fixe et linéaire. Par exemple, pour un modèle de consensus linéaire tel que

$$ \dot{s} = -Ls, $$

où $L$ est la matrice Laplacienne du graphe des interactions, les valeurs propres de $L$ gouvernent directement la vitesse de convergence vers le consensus. Notamment, la plus petite valeur propre non nulle de $L$, appelée *fosse spectrale*, détermine la lenteur de la convergence. Ces principes restent valables dans un espace de Hilbert, avec les extensions nécessaires pour traiter les opérateurs linéaires continus et les notions de contraction dans des espaces fonctionnels.

### 5.2.3. Mise à jour des liens synergiques

Dans de nombreux scénarios de DSL, non seulement les états des entités évoluent, mais également les paramètres de connexion entre entités (ou liens synergiques) sont ajustés au fil du temps. Autrement dit, le graphe des interactions lui-même peut se modifier via un processus d'apprentissage, ce qui confère au DSL une remarquable capacité d'auto-organisation structurelle.

Pour modéliser ce phénomène, on introduit, pour chaque paire d'entités $(i, j)$, un poids de connexion $w_{ij}(t)$ qui, selon le cas, peut être asymétrique ou être contraint par l'égalité $w_{ij} = w_{ji}$ si l'on suppose une interaction symétrique. Ce poids obéit à sa propre équation de mise à jour.

Par exemple, une règle de type Hebbienne peut être formulée en temps discret par
$$w_{ij}(t+1) = w_{ij}(t) + \eta [h(s_i(t), s_j(t)) - w_{ij}(t)],$$

où $h(s_i, s_j)$ représente une fonction de couplage mesurant la compatibilité entre les entités i et j (par exemple, une similarité normalisée entre $s_i$ et $s_j$), et $\eta > 0$ désigne le pas d'apprentissage. Ainsi, la mise à jour tend à augmenter $w_{ij}$ lorsque $h(s_i, s_j)$ excède la valeur actuelle du poids (ce qui signifie que le lien se renforce lorsque les entités sont « en accord » plus que prévu), et à le diminuer dans le cas contraire.

Il est bien entendu que d'autres dynamiques peuvent être envisagées, y compris des formulations continues, telles que

$$\dot{w}_{ij}(t) = H(s_i(t), s_j(t), w_{ij}(t)).$$

L'objectif ultime de ces mises à jour est de permettre au réseau d'apprendre sa propre structure en renforçant les liens utiles et en affaiblissant ceux qui ne le sont pas, conduisant idéalement à une architecture épurée qui reflète fidèlement les dépendances et synergies sous-jacentes aux données.

Un enjeu théorique majeur consiste à prouver la **convergence** des poids $w_{ij}(t)$ vers des valeurs stables $w_{ij}^*$. Dans des cas simples, une telle convergence peut être démontrée. Par exemple, sous la dynamique affine, si les états $s_i(t)$ convergent vers des états stables $s_i^*$, alors la fonction de couplage $h(s_i(t), s_j(t))$ tend vers une constante, $h(s_i^*, s_j^*)$. Dans ces conditions, l'équation de mise à jour devient asymptotiquement

$$w_{ij}(t+1) \approx w_{ij}(t) + \eta [h(s_i^*, s_j^*) - w_{ij}(t)].$$

Lorsque $\eta$ est suffisamment petit (ou tend vers 0 dans le cas continu), cette itération se comporte comme une contraction ayant pour point fixe $w_{ij}^* = h(s_i^*, s_j^*)$. Ainsi, $w_{ij}(t)$ converge vers $w_{ij}^*$ lorsque $t \to \infty$.

Plus généralement, la convergence des liens synergiques peut être démontrée sous certaines **conditions de monotonie ou de convexité**. Si l'évolution de $w_{ij}$ peut être interprétée comme la descente de gradient d'une fonction d'énergie — par exemple, l'opposé de $-|h(s_i, s_j) - w_{ij}|^2$ ou toute autre fonction de coût appropriée — alors $w_{ij}(t)$ tend vers un minimum de cette énergie. Dans la suite, nous présenterons un théorème formel qui précise ces conditions de convergence.

### 5.2.4. Analyse spectrale des opérateurs de mise à jour

Lorsque les dynamiques d'état décrites par l'équation et celles des liens donnés par la règle sont combinées, le système global de DSL se transforme en un système dynamique non linéaire d'une complexité potentielle importante. En effet, les états des entités influencent directement les paramètres de connexion, et inversement, créant ainsi un couplage étroit entre les deux sous-systèmes.

Pour analyser un tel système, il est souvent utile de se concentrer sur des linéarisations « par blocs ». Autour d'un équilibre $(s^*, w^*)$, on peut ainsi considérer la matrice jacobienne qui couple
les variations des états s et des poids w. Cette approche permet d'isoler, dans une première approximation, l'effet des perturbations sur chacune des composantes du système.

Des techniques de **séparation des échelles** sont également employées dans ce contexte. Par exemple, si l'on constate que les états évoluent à une échelle de temps beaucoup plus rapide que celle des poids, il est alors possible de traiter séparément ces deux problèmes. Cette décomposition permet parfois de diviser le spectre global en sous-espaces distincts, ce qui simplifie considérablement l'analyse de la stabilité du système.

Dans le cas linéaire pur — situation plutôt rare en pratique, mais très instructive sur le plan conceptuel — le système linéarisé peut être vu comme l'addition d'un opérateur A agissant sur les états et d'un opérateur B agissant sur les poids. La stabilité de l'ensemble du système dépend alors du rayon spectral de cet opérateur global, c'est-à-dire de la valeur maximale des modules de ses valeurs propres.

En résumé, l'analyse spectrale en espace de Hilbert constitue un outil de diagnostic puissant. En identifiant d'éventuels modes instables — par exemple, des valeurs propres positives ou supérieures à 1 dans le cas discret — on peut prédire des divergences ou des oscillations du système. À l'inverse, si l'ensemble du spectre se trouve dans le demi-plan gauche (ou, dans le cadre discret, à l'intérieur du cercle unité), cela garantit une convergence exponentielle vers l'équilibre.

## 5.3. Comparaison avec d'Autres Modèles d'Apprentissage

Le cadre du Deep Synergy Learning présente des similitudes et des différences avec plusieurs autres paradigmes d'apprentissage existants. Nous comparons ici le DSL à trois approches, l'approche bayésienne, les graphes de connaissances, et les réseaux de neurones profonds classiques, afin de mettre en lumière ses spécificités et d'envisager des complémentarités potentielles.

### 5.3.1 Approche bayésienne

L'approche bayésienne en apprentissage automatique consiste à modéliser l'incertitude des paramètres et des modèles en utilisant des distributions de probabilité. Plutôt que d'estimer ponctuellement des paramètres, cette méthode maintient une distribution *posteriori* qui reflète le degré de confiance accordé à chaque valeur possible, compte tenu des données observées. Ce processus repose sur le théorème de Bayes, lequel exprime que la distribution *posteriori* $p(\theta | \mathbf{D})$ d'un paramètre $\theta$ est proportionnelle au produit de la vraisemblance $p(\mathbf{D} | \theta)$ et de la distribution a priori $p(\theta)$, c'est-à-dire :

$$p(\theta | \mathbf{D}) = \frac{p(\mathbf{D} | \theta) p(\theta)}{p(\mathbf{D})}.$$

Dans le cas des réseaux de neurones bayésiens, chaque poids du modèle est associé à une distribution $p(w)$ plutôt qu'à une valeur déterministe. L'apprentissage consiste alors à mettre à jour ces distributions en intégrant les nouvelles observations, ce qui permet de quantifier non seulement une estimation ponctuelle, mais également l'incertitude associée, mesurée par la
variance des distributions. Cela offre un avantage important pour l'évaluation de la fiabilité des prédicitions.

Dans le Deep Synergy Learning (DSL), en revanche, l'état interne $s_k$ d'une entité n'est pas nécessairement exprimé en termes de distributions de probabilité sur les paramètres. Le DSL se caractérise par une dynamique d'évolution des états internes modélisée par une fonction de mise à jour déterministe, telle que

$$ \mathbf{s}_k = F_k(\mathbf{x}_k, \{\mathbf{s}_j: j \in \mathcal{N}(k)\}; \theta_k). $$

Ici, $F_k$ combine l'information locale $\mathbf{x}_k$ et l'influence des entités voisines, définies par l'ensemble $\{\mathbf{s}_j: j \in \mathcal{N}(k)\}$, le tout modulé par les paramètres d'apprentissage $\theta_k$. Cette approche détermine la mise à jour de l'état interne par des règles déterministes ou heuristiques, qui ne s'appuient pas explicitement sur des distributions bayésiennes. Par conséquent, bien que le DSL puisse parfois incorporer des éléments stochastiques (par exemple en ajoutant du bruit pour simuler l'incertitude), il ne bénéficie pas des garanties probabilistes de convergence vers une solution globale que l'on trouve dans une approche bayésienne.

Cependant, il est envisageable de rapprocher le DSL de l'approche bayésienne en concevant un « DSL bayésien ». Dans un tel modèle, chaque entité conserverait une distribution de croyance sur son état interne, semblable aux réseaux bayésiens. Les connexions synergiques joueraient alors un rôle d'échange d'information, où, par exemple, si une entité $i$ possède une forte confiance dans une hypothèse $H$ (sa distribution de croyance étant fortement concentrée autour de $H$), cette confiance pourrait se propager à une entité $j$ via une pondération synergique élevée, influençant ainsi la mise à jour de la distribution de $j$. Ainsi, chaque entité fonctionnerait comme un nœud dans un réseau bayésien distribué, ajustant sa distribution en fonction des informations locales et des signaux reçus de ses voisins, plutôt que de procéder à une mise à jour globale unique.

L'intégration de la perspective bayésienne dans le DSL présente de nombreux avantages, notamment la capacité de quantifier explicitement l'incertitude dans les états internes, ce qui peut être essentiel pour des applications sensibles à la variabilité des données ou nécessitant des mesures de fiabilité. Néanmoins, elle pose également des défis mathématiques significatifs, en particulier en ce qui concerne le calcul d'intégrales sur des espaces de grande dimension et la mise en œuvre d'algorithmes d'inférence efficace. Les techniques d'approximation variationnelle, ainsi que des outils issus de l'optimisation dans les espaces de probabilité (tels que la divergence de Kullback-Leibler ou les métriques de Wasserstein), sont souvent nécessaires pour rendre ce cadre opérationnel en pratique.

Bien que le DSL traditionnel repose sur une dynamique déterministe pour la mise à jour des états internes, il existe des perspectives intéressantes pour intégrer des méthodes bayésiennes afin d'enrichir la modélisation des incertitudes. Cette intégration permettrait de combiner la flexibilité et l'efficacité computationnelle du DSL avec la rigueur théorique de l'inférence bayésienne, ouvrant ainsi la voie à des systèmes d'apprentissage plus robustes et interprétables, capables d'adapter leurs représentations en fonction des informations reçues et de quantifier précisément la confiance en leurs prédictions.
### 5.3.2 Graphes de connaissances

Dans le cadre des graphes de connaissances appliqués au Deep Synergy Learning, la modélisation mathématique repose sur des structures formelles qui permettent d'encoder dynamiquement les interactions entre entités. On peut représenter un graphe de connaissances par

$$G = (V, E),$$

où $V$ est l'ensemble des nœuds (entités d'information) et $E$ l'ensemble des arêtes qui relient ces entités. Chaque nœud $i \in V$ est associé à un vecteur d'état $\mathbf{s}_i \in \mathbb{R}^d$, lequel évolue au cours du temps en fonction de l'information locale et de celle provenant de ses voisins.

Dans un système DSL, l'état d'une entité évolue selon une règle de mise à jour dynamique. Une formulation opérationnelle est la suivante :

$$\mathbf{s}_i^{(l+1)} = F(\mathbf{s}_i^{(l)}, \{\mathbf{s}_j^{(l)}: j \in \mathcal{N}(i); \theta_i\}),$$

où $\mathcal{N}(i)$ désigne l'ensemble des voisins de $i$ dans le graphe, et $\theta_i$ représente les paramètres d'apprentissage associés à l'entité $i$. Par exemple, dans le cadre d'une approche inspirée des réseaux de neurones sur graphes, une mise à jour type peut être exprimée par :

$$\mathbf{s}_i^{(l+1)} = \sigma \left( \sum_{j \in \mathcal{N}(i) \cup \{i\}} \frac{1}{c_{ij}} \mathbf{W} \mathbf{s}_j^{(l)} \right),$$

où $\sigma$ est une fonction d'activation non linéaire, $\mathbf{W}$ est une matrice de poids commune à toutes les interactions, et $c_{ij}$ est une constante de normalisation, par exemple basée sur les degrés des nœuds. Cette équation traduit la fusion de l'information provenant d'un ensemble d'entités, dépassant ainsi la simple interaction binaire.

Par ailleurs, les liens synergiques entre entités sont quantifiés par des pondérations $\omega_{ij}(t)$ qui évoluent au fil du temps. Leur mise à jour est souvent modélisée par une relation itérative telle que :

$$\omega_{ij}(t+1) = \omega_{ij}(t) + \eta \cdot [S(\mathbf{s}_i, \mathbf{s}_j) - \tau \cdot \omega_{ij}(t)],$$

où $S(\mathbf{s}_i, \mathbf{s}_j)$ est la fonction de synergie qui mesure le gain informationnel résultant de la combinaison des états internes $\mathbf{s}_i$ et $\mathbf{s}_j$. Le paramètre $\eta$ contrôle le taux d'apprentissage, tandis que $\tau$ joue un rôle de régularisation ou d'oubli, empêchant la croissance indéfinie des pondérations.

Contrairement aux graphes de connaissances statiques où les liens sont fixés après ingestion des données, le DSL intègre une dimension temporelle et adaptative. Les nœuds (entités) mettent à jour leurs états en fonction des informations locales et du feedback reçu de leur voisinage, et les arêtes (liens synergiques) sont ajustées continuellement pour refléter l'importance relative des interactions. Cette approche permet non seulement une représentation plus fine et évolutives des connaissances, mais aussi une meilleure capacité à s'adapter à des environnements en changement, illustrant ainsi le potentiel du DSL pour des applications complexes telles que le raisonnement sémantique, l'intégration multi-modale et l'optimisation de réseaux auto-organisés.
### 5.3.3 Réseaux neuronaux classiques

Dans un réseau de neurones classique, l'apprentissage repose sur l'optimisation d'une fonction de coût globale, généralement formulée par

$$J(\theta) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \ell(y_i, f(x_i; \theta)),$$

où $f(x_i; \theta)$ désigne la prédiction du modèle pour l'entrée $x_i$, $\ell$ est la fonction de perte (par exemple, l'erreur quadratique moyenne), et $\theta$ représente l'ensemble des poids du réseau. Dans ce cadre, la structure du réseau, c'est-à-dire la topologie des connexions entre neurones, est prédéfinie et fixe, et les interactions se font principalement de manière unidirectionnelle, de l'entrée vers la sortie.

À l'inverse, le Deep Synergy Learning (DSL) propose une architecture auto-organisée dans laquelle les entités d'information sont dynamiquement connectées par des liens synergiques dont les pondérations évoluent en fonction de la qualité des interactions locales.

L'ensemble des interactions au sein du réseau DSL peut être interprété en termes d'énergie globale. Une formulation fréquente consiste à définir une énergie $E$ qui s'exprime comme la somme des contributions de chaque paire d'entités, pondérée par une fonction $f$ qui mesure la contribution synergétique en fonction de la force de la connexion et de la distance entre leurs états internes :

$$E = \sum_{i<j} f(w_{ij}, \text{dist}(s_i, s_j)).$$

Ici, $\text{dist}(s_i, s_j)$ représente une métrique (par exemple, la distance euclidienne, la divergence de Kullback-Leibler ou la distance de Wasserstein) qui quantifie la similarité entre les états internes $s_i$ et $s_j$. L'objectif d'un système DSL est de minimiser cette énergie globale, de manière que les interactions entre entités convergent vers des états optimaux et stables.

Alors que les réseaux de neurones classiques reposent sur une optimisation globale d'une fonction de coût fixe et sur une architecture prédéfinie, le DSL se caractérise par une auto-organisation continue des entités. Cette approche dynamique repose sur la mise à jour des états internes via des fonctions $F_k$ et sur l'ajustement des connexions synergiques par l'évolution des pondérations $\omega_{ij}(t)$. L'ensemble de ces mécanismes permet d'intégrer la dimension temporelle, d'adapter la structure du réseau en temps réel et de garantir, par le biais de critères énergétiques et de stabilité, une convergence vers des représentations optimales, même dans des environnements complexes et changeants.

### 5.4. Théorèmes et Preuves

Après avoir décrit intuitivement le fonctionnement et la modélisation du DSL, nous passons à des résultats plus formels. Dans cette section, nous énonçons plusieurs théorèmes clés relatifs à la structure mathématique du modèle et à son comportement asymptotique, accompagnés d'esquisses de preuves. Ces résultats fournissent des garanties théoriques sur l'existence d'une
structure de Hilbert pour les entités, sur la convergence des interactions synergiques et sur la stabilité du réseau face aux perturbations.

### Théorème 1 : Espace de Hilbert des entités du DSL

**Énoncé.** Soit E l'ensemble des entités d'information d'un réseau DSL, et supposez que chaque entité $k \in E$ admet une représentation d'état $s_k$ appartenant à un espace de Hilbert $(H_k, \langle \cdot, \cdot \rangle_{H_k})$ qui lui est propre. Alors, sous des conditions techniques faibles, il existe un espace de Hilbert global $H_{DSL}$ dans lequel on peut immerger simultanément toutes les entités. En particulier, si $H_k = H$ pour tous k (même espace de Hilbert pour chaque entité, cas le plus courant), alors l'ensemble des K-uplets d'états $(s_1, ..., s_K)$ forme un espace de Hilbert isomorphe à $H^K$ (produit Hilbertien de K copies de H).

### Démonstration

La démonstration comporte deux étapes. Premièrement, nous vérifions que $(\mathcal{H}, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ hérite bien de la structure d'espace préhilbertien (produit scalaire bien défini et satisfaisant les axiomes). Deuxièmement, nous établissons la **compléture** de $\mathcal{H}$ en montrant que toute suite de Cauchy dans $\mathcal{H}$ admet une limite dans $\mathcal{H}$.

## 1. Structure préhilbertienne de $\mathcal{H}$ :

Par construction, le produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$ défini sur l'espace $H$ est issu de la famille orthonormée $\{u_e\}$. Ce produit scalaire satisfait les propriétés fondamentales suivantes, pour tous vecteurs $x, y, z \in H$ et pour tout scalaire $a$ (appartenant à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) :

### 1. Linéarité (à gauche) :

$$ \langle ax + y, z \rangle = a \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle. $$

(Dans le cas complexe, on note que la semi-linéarité à gauche et la linéarité à droite sont appliquées par convention.)

### 2. Symétrie hermitienne :

$$ \langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}, $$

où la barre désigne la conjugaison complexe. Dans un espace réel, cette propriété se réduit à la symétrie classique :

$$ \langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle. $$

### 3. Positive-définie :

$$ \langle x, x \rangle \ge 0 \quad \text{et} \quad \langle x, x \rangle = 0 \Leftrightarrow x \text{ est le vecteur nul.} $$

Ces axiomes sont vérifiés par $\langle \cdot, \cdot \rangle$ en raison de la définition même sur la base orthonormée $\{u_e\}$. En effet, l'espace $H$ est défini comme l'adhérence de $H_0$, où $H_0$ est constitué de combinaisons finies de $u_e$. Sur $H_0$, le produit scalaire est donné explicitement. Si l'on considère
$$x = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i u_{e_i} \quad \text{et} \quad y = \sum_{j=1}^{m} \beta_j u_{f_j},$$

avec $e_i, f_j \in \mathcal{E}$ et $\alpha_i, \beta_j$ des scalaires, alors

$$\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \alpha_i \overline{\beta_j} \langle u_{e_i}, u_{f_j} \rangle = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \overline{\beta_i'},$$

où l'on somme uniquement sur les indices $i$ et $j$ tels que $e_i = f_j$ (car $\langle u_{e_i}, u_{f_j} \rangle = 0$ si $e_i \neq f_j$ et vaut 1 si $e_i = f_j$).

Cette formule démontre clairement que les axiomes du produit scalaire sont satisfait :

* **Linéarité** : elle découle de la linéarité de la somme.

* **Symétrie hermitienne** : elle résulte du fait que $\langle u_{e_i}, u_{f_j} \rangle = \overline{\langle u_{f_j}, u_{e_i} \rangle}$.

* **Positive-définition** : elle découle de l'expression

$$\langle x, x \rangle = \sum_{i} |\alpha_{i}|^{2},$$

puisque toutes les contributions croisées s'annulent en raison de l'orthogonalité des $u_e$.

Ainsi, on a bien $\langle x, x \rangle \ge 0$, avec égalité zéro uniquement lorsque tous les coefficients $\alpha_i$ sont nuls, c'est-à-dire lorsque $x = 0$. Par densité de $H_0$ dans $H$, cette formule du produit scalaire reste valable pour tout $x, y \in H$ (on peut passer à la limite par continuité du produit scalaire). En conclusion, $(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ est bien un espace préhilbertien.

## 2. Complétude de $\mathcal{H}$ :

Il reste à établir que $H$ est complet, c'est-à-dire que toute suite de Cauchy $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dans $H$ converge vers un vecteur appartenant à $H$. Considérons donc une suite $(x_n)$ de Cauchy dans $H$. Par définition, cela signifie que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un rang $N$ tel que pour tous $n, m \ge N$, on a

$$\| x_n - x_m \| < \varepsilon.$$

En élevant cette inégalité au carré (et en utilisant la définition de la norme via le produit scalaire), on obtient :

$$\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall n, m \ge N, \quad \| x_n - x_m \|^2 = \langle x_n - x_m, x_n - x_m \rangle < \varepsilon^2.$$

Étant donné que les vecteurs $u_e$ forment une base orthonormale de $H$, tout vecteur $x \in H$ peut être (explicitement ou implicitement) décomposé sur cette base. Notons
$$x_n = \sum_{e \in \mathcal{E}} \alpha_{n,e} u_e,$$

la décomposition de $x_n$ selon les $u_e$ (la somme peut être infinie, mais $\sum_{e \in \mathcal{E}} |\alpha_{n,e}|^2$ converge puisque $\|x_n\|^2 < \infty$). De même, pour chaque entité $e \in \mathcal{E}$, nous notons

$$x_n(e) := \alpha_{n,e},$$

la coordonnée de $x_n$ le long de $u_e$. L'inégalité sur la norme ci-dessus implique, en particulier, une inégalité terme à terme sur les coordonnées : pour tout $e \in \mathcal{E}$,

$$|x_n(e) - x_m(e)|^2 \le \sum_{f \in \mathcal{E}} |x_n(f) - x_m(f)|^2 = \|x_n - x_m\|^2 < \varepsilon^2,$$

dès que $n, m \ge N$. Autrement dit, pour chaque entité $e$, la suite numérique $(x_n(e))_n$ est de Cauchy dans $\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$). Or, $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ étant complets, chaque suite $(x_n(e))$ converge vers une limite que nous notons $x(e) \in \mathbb{F}$ (avec $\mathbb{F} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). On peut alors définir un vecteur candidat $x \in H$ ayant pour coordonnées $x(e)$ sur chaque $u_e$. Plus précisément, nous définissons

$$x := \sum_{e \in \mathcal{E}} x(e) u_e,$$

c'est-à-dire le vecteur dont la composante selon $u_e$ est $x(e)$ pour chaque $e$.

Il convient de vérifier que cette définition a un sens et que $x$ appartient bien à $H$. Pour ce faire, examinons la série

$$\sum_{e \in \mathcal{E}} |x(e)|^2.$$

Puisque chaque $x_n$ appartient à $H$, nous avons, pour tout $n$,

$$\sum_{e \in \mathcal{E}} |x_n(e)|^2 = \|x_n\|^2,$$

et cette quantité est bornée pour $n$ grand (en effet, une suite de Cauchy est nécessairement bornée en norme). Plus précisément, il existe un $M > 0$ tel que $\|x_n\|^2 < M$ pour tout $n$.

Considérons maintenant un indice $N$ tel que pour tous $n, m \ge N$, $\|x_n - x_m\|^2 < 1$ (par exemple, en prenant $\varepsilon = 1$). Alors, pour tous $p, q \ge N$, nous avons :

$$\| x_p \|^2 = \| x_q + (x_p - x_q) \|^2 = \| x_q \|^2 + \| x_p - x_q \|^2 + 2 \Re \langle x_q, x_p - x_q \rangle.$$

En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz au dernier terme, on obtient :

$$\| x_p \|^2 \le \| x_q \|^2 + \| x_p - x_q \|^2 + 2 \| x_q \| \| x_p - x_q \|.$$
Pour $p, q \ge N$, les deux derniers termes de droite peuvent être rendus arbitrairement petits (car $\|x_p - x_q\| < 1$ et $\|x_q\|$ est bornée), ce qui implique que la suite $\|x_n\|^2$ est de Cauchy et donc converge.

Notamment, la suite $\|x_n\|^2$ est bornée supérieurement et devient non-croissante à partir d'un certain rang, ce qui suggère que les coefficients $x_n(e)$ ne divergent pas indéfiniment (cette propriété peut être démontrée plus rigoureusement en exploitant le caractère de Cauchy des coordonnées, comme évoqué ci-dessus). En passant à la limite dans la somme des carrés des différences, nous pouvons écrire, pour tout $p \ge N$ :

$$ \sum_{e \in \mathcal{E}} |x_p(e) - x(e)|^2 = \lim_{q \to \infty} \sum_{e \in \mathcal{E}} |x_p(e) - x_q(e)|^2 \le \lim_{q \to \infty} \|x_p - x_q\|^2 = 0. $$

Ici, nous avons utilisé le fait que pour chaque $e$, $x_q(e) \to x(e)$, et que la convergence dominée (ou la semi-continuité inférieure de la norme) permet d'interchanger la limite et la somme. L'égalité ci-dessus implique que

$$ \sum_{e \in \mathcal{E}} |x_p(e) - x(e)|^2 = 0, $$

pour $p$ suffisamment grand, ce qui signifie que $x_p(e) \to x(e)$ et que $\sum_{e \in \mathcal{E}} |x(e)|^2 < \infty$. Autrement dit, la série $\sum_{e \in \mathcal{E}} |x(e)|^2$ converge, démontrant que $x$ appartient bien à $H$ (les composantes de $x$ forment une suite dans $\ell^2$). De plus, pour tout $p \ge N$,

$$ \|x - x_p\|^2 = \sum_{e \in \mathcal{E}} |x(e) - x_p(e)|^2 = 0, $$

ce qui entraîne $\|x - x_p\| = 0$ et donc $x_n \to x$ en norme dans $H$.

Nous avons ainsi prouvé que toute suite de Cauchy $(x_n)$ converge vers un vecteur $x \in H$, démontrant la complétude de $H$. Étant un espace préhilbertien complet, $H$ est donc un espace de Hilbert, ce qui était à démontrer.

## Théorème 2 : Convergence des liens synergiques sous conditions de contraction

**Énoncé.** Considérons une paire fixée d'entités $(i, j)$ dans un réseau DSL. Supposons que l'évolution de leur lien synergique $w_{ij}(t)$ puisse se modéliser par une EDO autonome de la forme

$$ \dot{w}_{ij}(t) = -g(w_{ij}(t)), $$

où $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est une fonction localement lipschitzienne telle que $g(x) = 0$ admet une unique solution $x = x^*$ (unique équilibre) et $(x - x^*) g(x) > 0$ pour tout $x \neq x^*$ (c'est-à-dire $g$ pousse $w$ vers $x^*$ de manière monotone). Alors $w_{ij}(t)$ converge vers $x^*$ lorsque $t \to \infty$.*
## Démonstration :

### 1. Existence et unicité de la solution.

Soit une condition initiale donnée par

$$w_{ij}(0) = w_0.$$

Considérons l'équation différentielle autonome

$$\dot{w}_{ij}(t) = -g(w_{ij}(t)),$$

où, par hypothèse, la fonction $g$ est telle que la fonction $x \mapsto -g(x)$ est localement lipschitzienne sur $\mathbb{R}$. En appliquant le théorème de Cauchy-Lipschitz (aussi connu sous le nom de théorème de Picard-Lindelöf), il existe alors une solution unique, de classe $C^1$, notée $w_{ij}(t)$, définie au moins localement autour de $t = 0$ et passant par $w_0$.

De plus, cette solution peut être prolongée pour tout $t \ge 0$ (existence en temps long) car $w_{ij}(t)$ reste bornée et monotone, comme nous le démontrerons ultérieurement, empêchant ainsi toute explosion en temps fini. Il convient de noter que $x^*$ est un équilibre de l'équation différentielle, puisque $g(x^*) = 0$ entraîne que $\dot{w}_{ij}(t) = 0$ dès que $w_{ij}(t) = x^*$. Par unicité de la solution, si $w_{ij}(0) = x^*$, alors la trajectoire est constante, c'est-à-dire que

$$w_{ij}(t) = x^* \quad \text{pour tout } t.$$

Nous nous restreindrons donc à l'étude des cas où $w_{ij}(0) \neq x^*$ afin d'examiner la convergence vers l'équilibre.

### 2. Monotonicité et bornitude de $w_{ij}(t)$.

La condition

$$(x - x^*) g(x) > 0 \quad \text{pour tout } x \neq x^*$$

implique que, pour toute valeur de $w$ différente de $x^*$, le signe de $g(w)$ coïncide avec celui de $w - x^*$. Autrement dit, $g(w)$ est positif lorsque $w > x^*$ et négatif lorsque $w < x^*$. En appliquant cette propriété à l'équation différentielle

$$\dot{w}_{ij}(t) = -g(w_{ij}(t)),$$

on déduit immédiatement les comportements suivants :

* Si $w_{ij}(t) > x^*$, alors $g(w_{ij}(t)) > 0$ et donc

$$\dot{w}_{ij}(t) = -g(w_{ij}(t)) < 0.$$

La dérivée négative implique que $w_{ij}(t)$ décroît avec le temps.

* Si $w_{ij}(t) < x^*$, alors $g(w_{ij}(t)) < 0$ et, par conséquent,
$$ \dot{w}_{ij}(t) > 0, $$

ce qui implique que $w_{ij}(t)$ est croissante.

Dans les deux cas, $w_{ij}(t)$ évolue de manière monotone vers la valeur $x^*$. Plus précisément, si l'état initial satisfait $w_0 > x^*$, alors $w_{ij}(t)$ est une fonction décroissante de $t$ qui reste toujours supérieure ou égale à $x^*$. Inversement, si $w_0 < x^*$, $w_{ij}(t)$ est croissante et est bornée par $x^*$. Ainsi, dans les deux cas, $w_{ij}(t)$ demeure bornée sur $\mathbb{R}^+$. Selon le théorème d'existence maximale, cette bornitude garantit que la solution $w_{ij}(t)$ est définie pour tout $t \ge 0$.

De plus, la fonction $t \mapsto w_{ij}(t)$, étant monotone et bornée, admet une limite finie lorsque $t \to +\infty$, que l'on note

$$ L = \lim_{t \to \infty} w_{ij}(t). $$

Il reste alors à démontrer que $L = x^*$.

### 3. Convergence vers $x^*$ : fonction de Lyapunov.

Pour établir rigoureusement que $w_{ij}(t)$ converge vers $x^*$, on introduit une fonction de Lyapunov appropriée, définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par

$$ V(x) = \frac{1}{2} (x - x^*)^2. $$

Cette fonction $V(x)$ est continûment différentiable et positive définie autour de l'équilibre, c'est-à-dire que

$$ V(x) \ge 0 \text{ pour tout } x, \text{ et } V(x) = 0 \text{ si et seulement si } x = x^*. $$

En appliquant la règle de la chaîne le long des trajectoires du système pour la solution $w_{ij}(t)$, on obtient

$$ \frac{d}{dt} V(w_{ij}(t)) = (w_{ij}(t) - x^*) \frac{d}{dt} w_{ij}(t) = (w_{ij}(t) - x^*) (-g(w_{ij}(t))). $$

Or, par hypothèse, pour tout $w_{ij}(t) \neq x^*$, le produit $(w_{ij}(t) - x^*) g(w_{ij}(t))$ est strictement positif. Il s'ensuit que

$$ \frac{d}{dt} V(w_{ij}(t)) = -(w_{ij}(t) - x^*) g(w_{ij}(t)) < 0, \text{ pour tout } w_{ij}(t) \neq x^*. $$

Ainsi, $V(w_{ij}(t))$ décroît strictement tant que $w_{ij}(t) \neq x^*$, et à l'équilibre, on a $V(x^*) = 0$ et $\frac{d}{dt} V(x^*) = 0$. Ces conditions satisfont les hypothèses de la méthode directe de Lyapunov, qui garantit par le théorème de stabilité de Lyapunov que $x^*$ est globalement asymptotiquement stable. Par conséquent, $w_{ij}(t)$ converge vers $x^*$ lorsque $t \to +\infty$.

Pour fournir une justification plus détaillée, observons que, puisque $V(t) = V(w_{ij}(t))$ est strictement décroissante et minorée par 0, la limite
$$ \ell = \lim_{t \to \infty} V(w_{ij}(t)) $$

existe et satisfait $\ell \ge 0$. Supposons, par l'absurde, que $\ell > 0$. Dans ce cas, $w_{ij}(t)$ resterait à une distance finie non nulle de $x^*$ lorsque $t$ tend vers l'infini, ce qui impliquerait que $V(w_{ij}(t))$ ne décroît jamais en dessous d'une valeur strictement positive. Cela contredit l'hypothèse $\dot{V}(w_{ij}(t)) < 0$ pour $w_{ij}(t) \neq x^*$. Il s'ensuit que $\ell = 0$ et que

$$ \lim_{t \to \infty} (w_{ij}(t) - x^*)^2 = 0. $$

Par continuité, on conclut que

$$ \lim_{t \to \infty} w_{ij}(t) = x^*, $$

c'est-à-dire $L = x^*$. L'équilibre $x^*$ est ainsi l'attracteur global de la dynamique.

### 4. Application du principe de LaSalle.

Les résultats obtenus précédemment peuvent également être interprétés en utilisant le principe d'invariance de LaSalle. En effet, puisque la dérivée de la fonction de Lyapunov $V$ vérifie

$$ \dot{V}(w_{ij}(t)) \le 0 \quad \text{pour tout } t, $$

avec une stricte inégalité pour tout $w_{ij}(t) \neq x^*$, nous pouvons définir l'ensemble invariant

$$ E = \{x \in \mathbb{R}: \dot{V}(x) = 0\}. $$

Un calcul élémentaire montre que $\dot{V}(x) = 0$ est équivalent à l'égalité

$$ -(x - x^*) g(x) = 0, $$

ce qui, compte tenu de nos hypothèses, n'est vérifié que lorsque $x = x^*$. Ainsi, l'ensemble invariant se réduit à

$$ E = \{x^*\}. $$

Le principe d'invariance de LaSalle, appliqué dans l'espace d'état réel, garantit alors que toute trajectoire du système converge vers l'ensemble invariant maximal contenu dans $E$. Par conséquent, nous déduisons que

$$ \lim_{t \to \infty} w_{ij}(t) = x^*, $$

ce qui corrobore la stabilité asymptotique globale de $x^*$.

### 5. Vitesse de convergence vers l'équilibre.

Une fois qu'il a été établi que $w_{ij}(t)$ converge vers $x^*$, il est pertinent d'évaluer la rapidité de cette convergence. Supposons que la fonction $g$ soit différentiable dans un voisinage de $x^*$ et définisons
$$a = g'(x^*).$$

Étant donné que $g(x^*) = 0$ et que, pour $x \neq x^*$, le produit $(x - x^*) g(x)$ est strictement positif, il découle généralement que $a > 0$. Pour $w_{ij}(t)$ proche de $x^*$, l'équation différentielle se linéarise comme suit :

$$\dot{w}_{ij}(t) = -g(w_{ij}(t)) \approx -a(w_{ij}(t) - x^*).$$

En introduisant l'erreur

$$e(t) = w_{ij}(t) - x^*,$$

nous obtenons l'équation linéaire

$$\dot{e}(t) = -a e(t),$$

dont la solution explicite est

$$e(t) = e(0) e^{-at}.$$

Ainsi, pour $t$ suffisamment grand, l'erreur $|w_{ij}(t) - x^*|$ décroît de manière exponentielle, c'est-à-dire qu'elle est bornée par une fonction du type

$$C e^{-at},$$

où $C = |e(0)|$. Cette convergence exponentielle caractérise un équilibre hyperbolique, souvent qualifié de nœud stable en dimension 1. À titre de remarque, si $g'(x^*) = 0$ (ce qui correspond à un équilibre non hyperbolique), la convergence, bien que garantie, pourrait être plus lente. Par exemple, si $g(x) \sim K (x - x^*)^3$ près de $x^*$, la décroissance pourrait être d'ordre $1/\sqrt{t}$ plutôt que purement exponentielle.

Plus généralement, la fonction de Lyapunov permet de fournir une estimation globale de la vitesse de convergence. En effet, la relation

$$\dot{V}(t) = -(w - x^*) g(w)$$

fournit une borne sur la décroissance de $V(t)$ et, par extension, sur l'erreur $|w_{ij}(t) - x^*|$. Par exemple, si l'on peut établir l'existence d'une constante $m > 0$ telle que

$$(x - x^*) g(x) \geq m (x - x^*)^2,$$

pour $x$ dans un certain voisinage de $x^*$, alors il suit que

$$\dot{V} \leq -m(w_{ij} - x^*)^2 = -2mV.$$

En intégrant cette inégalité différentielle, on déduit que

$$V(t) \leq V(0) e^{-2mt},$$

ce qui implique, par passage à la racine carrée, que

$$|w_{ij}(t) - x^*| \leq |w_{ij}(0) - x^*| e^{-mt},$$
pour tout $t$ dans l'intervalle considéré. Cette majoration exponentielle confirme rigoureusement la rapidité de convergence vers l'équilibre pour un système possédant un équilibre hyperbolique.

## 6. Interprétation géométrique.

Dans l'espace des phases, qui correspond ici à la droite réelle des valeurs possibles de $w_{ij}$, l'unique équilibre $x^*$ divise cet axe en deux régions distinctes. Pour toute valeur $w < x^*$, on observe que $\dot{w} > 0$, tandis que pour $w > x^*$, on a $\dot{w} < 0$. Ainsi, le champ de vecteurs sur cette droite se caractérise par des flèches pointant vers $x^*$ de part et d'autre de celui-ci. Par conséquent, quelle que soit la condition initiale $w_0$, la trajectoire $w_{ij}(t)$ évolue continuellement en direction de $x^*$, ce qui correspond à un comportement attractif typique d'un puits stable.

Par analogie mécanique, $x^*$ peut être envisagé comme la position d'équilibre d'un objet soumis à une force de friction. Cette force dissipe l'énergie définie par la fonction de Lyapunov

$$V(x) = \frac{1}{2} (x - x^*)^2.$$

Pour approfondir cette interprétation, nous définissons la fonction d'énergie potentielle $U(x)$ par

$$U(x) = \int_{x^*}^{x} g(s) \, ds.$$

En différentiant $U$ le long d'une trajectoire, on obtient

$$\dot{U}(w_{ij}(t)) = g(w_{ij}(t)) \dot{w}_{ij}(t) = -[g(w_{ij}(t))]^2 \le 0.$$

Cette inégalité montre que $U(w_{ij}(t))$ décroît avec le temps. La fonction $U(x)$, qui s'annule en $x^*$ et reste strictement positive ailleurs (si $g$ change de signe de manière monotone), peut ainsi être interprétée comme l'énergie potentielle du système, minimale à $x^*$. La dynamique

$$\dot{w} = -g(w)$$

se traduit alors par une descente de gradient vers ce minimum, caractéristique d'un système d'ordre 1, où la convergence vers l'équilibre se fait de manière monotone et sans oscillation.

## 7. Extension aux systèmes multi-entités couplés.

Le résultat de convergence établi précédemment pour un lien synergique isolé peut être étendu à un réseau composé de multiples liens $w_{ij}(t)$ interagissant entre eux. Supposons que chaque paire $(i, j)$ évolue selon le système d'équations couplées suivant :

$$\dot{w}_{ij}(t) = -g(w_{ij}(t)) + F_{ij}(\{w_{kl}(t)\}_{(k,l)\neq(i,j)}),$$

où $F_{ij}$ représente l'influence exercée par l'ensemble des autres liens sur le lien $(i, j)$. Nous admettons que le système possède un unique état d'équilibre $x_{ij}^*$ pour chaque lien et que cet équilibre satisfait une condition de contraction globale. Plus précisément, pour tout vecteur $w = (w_{ij})$ appartenant à l'espace des phases, nous imposons la condition
$$ (w - x^*) \cdot [-G(w)] < 0, $$

où $x^* = (x_{ij}^*)$ et $G(w)$ est défini de manière composante par

$$ G_{ij}(w) = g(w_{ij}) - F_{ij}(\{w_{kl}\}). $$

Ici, le produit scalaire $(w - x^*) \cdot [-G(w)]$ est donné par

$$ \sum_{i,j} (w_{ij} - x_{ij}^*) [-G_{ij}(w)]. $$

Cette inégalité contractante garantit que, pour toute configuration $w \neq x^*$, la dynamique exerce une force « ramenant » le système vers l'équilibre. Dans ce contexte, une fonction de Lyapunov naturelle pour le système couplé est définie par

$$ V(w) = \frac{1}{2} \sum_{i,j} (w_{ij} - x_{ij}^*)^2. $$

En dérivant $V$ le long des trajectoires du système, on obtient :

$$ \dot{V}(w(t)) = \sum_{i,j} (w_{ij} - x_{ij}^*) \dot{w}_{ij}(t) = \sum_{i,j} (w_{ij} - x_{ij}^*) [-g(w_{ij}) + F_{ij}(\{w_{kl}\})]. $$

Si l'interaction entre les liens est telle que

$$ (w - x^*) \cdot G(w) > 0 \quad \text{pour tout } w \neq x^*, $$

alors il découle immédiatement que

$$ \dot{V}(w(t)) = -(w - x^*) \cdot G(w) < 0 \quad \text{pour tout } w \neq x^*. $$

Ce résultat généralise la condition scalaire de décroissance à un système non linéaire de dimension supérieure. Sous ces hypothèses, $V(w)$ constitue une fonction de Lyapunov globale stricte pour le système couplé, garantissant que chaque lien $w_{ij}(t)$ converge vers son équilibre $x_{ij}^*$. En pratique, cette condition impose que les termes de couplage $F_{ij}$ ne perturbent pas la nature dissipative de chaque composante. Par exemple, lorsque les couplages proviennent d'un potentiel global – c'est-à-dire si le système complet peut être interprété comme une descente de gradient d'une énergie commune – ou lorsque les $F_{ij}$ sont suffisamment faibles ou symétriques, il est alors possible de démontrer que $V(w)$ décroît le long des trajectoires. Le principe de LaSalle peut ensuite être appliqué dans l'espace d'état de dimension supérieure pour conclure que, quelle que soit la configuration initiale, l'ensemble des liens $w_{ij}(t)$ converge vers l'état d'équilibre $x^*$.

## Remarque finale

En l'absence de couplage, c'est-à-dire lorsque $F_{ij} \equiv 0$ pour toutes les paires $(i, j)$, les résultats obtenus s'appliquent de manière individuelle à chaque lien. Ainsi, pour chaque couple $(i, j)$, la dynamique décrite par

$$ \dot{w}_{ij}(t) = -g(w_{ij}(t)) $$
garantit que $w_{ij}(t)$ converge vers son propre équilibre $x_{ij}^*$. L'introduction de termes de couplage $F_{ij}$ requiert une analyse plus fine, car ces interactions additionnelles peuvent influencer la dynamique de chaque lien. Toutefois, le principe général demeure : lorsque la dynamique présente une dissipation suffisamment forte de l'énergie du système, c'est-à-dire sous des conditions de contraction adéquates, le réseau DSL converge vers un état synergique stable dans lequel chaque lien $w_{ij}(t)$ atteint sa valeur d'équilibre unique $x_{ij}^*$.

### Théorème 3 : Stabilité des états et fonction de Lyapunov globale

**Énoncé.** Soit $\mathbf{s}(t) = (s_1(t), \dots, s_K(t)) \in H_{DSL}$ la configuration des états du réseau DSL à l'instant $t$. Supposons qu'il existe une fonction $V: H_{DSL} \to \mathbb{R}_+$ (continuement différentiable) telle que :

(i) $V(\mathbf{s}) = 0$ si et seulement si $\mathbf{s} = \mathbf{s}^*$ pour un certain équilibre désiré $\mathbf{s}^*$,

(ii) $V(\mathbf{s}) > 0$ sinon, et

(iii) la dérivée de $V$ le long des trajectoires du système est négative ou nulle, $\frac{d}{dt}V(\mathbf{s}(t)) \le 0$ pour tout $t$.

Alors $\mathbf{s}^*$ est stable au sens de Lyapunov. De plus, si $\frac{d}{dt}V < 0$ partout en dehors de l'équilibre, $\mathbf{s}^*$ est asymptotiquement stable (toutes les entités retrouvent l'équilibre après une petite perturbation).

### Démonstration

#### 1. Propriétés analytiques des fonctions de Lyapunov

##### Positivité définie et dérivée non positive

Les conditions (i), (ii) et (iii) établissent que $V$ constitue une fonction de Lyapunov candidate autour de l'équilibre $\mathbf{s}^*$. En effet, les hypothèses (i) et (ii) signifient que $V(\mathbf{s})$ est définitivement positive par rapport à $\mathbf{s}^* - \text{c'est-à-dire que}$

$$V(\mathbf{s}) \ge 0 \text{ pour tout } \mathbf{s}, \text{ et } V(\mathbf{s}) = 0 \text{ si et seulement si } \mathbf{s} = \mathbf{s}^*.$$

La fonction $V$ atteint ainsi son minimum global en $\mathbf{s}^*$. Par ailleurs, la condition (iii), exprimée par

$$\frac{d}{dt}V(\mathbf{s}(t)) \le 0,$$

implique que, le long de toute trajectoire du système, la valeur de $V$ ne croît pas dans le temps. Autrement dit, $V$ peut être interprétée comme une forme d'« énergie décroissante » ou constante. Plus précisément, en notant

$$\dot{V}(\mathbf{s}) = \nabla V(\mathbf{s}) \cdot \dot{\mathbf{s}},$$
la condition (iii) s'écrit de manière concise

$$ \dot{V}(\mathbf{s}(t)) \le 0 \quad \text{pour tout } t.$$

Ces hypothèses correspondent exactement aux conditions requises dans le théorème direct de Lyapunov pour la stabilité des équilibres. En résumé, la fonction $V$ est positive en dehors de l'équilibre et sa dérivée, le long des trajectoires du système, est négative ou nulle.

### Stabilité de $\mathbf{s}^*$ (sens de Lyapunov)

Sous ces conditions, il est possible de garantir que $\mathbf{s}^*$ est un équilibre stable. Intuitivement, puisque $V$ représente une « distance généralisée » par rapport à $\mathbf{s}^*$ – étant strictement positive pour tout $\mathbf{s} \neq \mathbf{s}^*$ et nulle uniquement en $\mathbf{s}^*$ – et ne pouvant qu'être décroissante au cours du temps, toute trajectoire initiée suffisamment près de $\mathbf{s}^*$ demeurera confinée dans un voisinage où $V$ reste faible, c'est-à-dire proche de l'équilibre. Considérons une tolérance $\epsilon > 0$ autour de l'équilibre, exprimée par $\|\mathbf{s} - \mathbf{s}^*\| < \epsilon$. Puisque $V$ est continue et $V(\mathbf{s}^*) = 0$, il existe une constante $m > 0$ telle que, sur la frontière de la boule de rayon $\epsilon$ (c'est-à-dire lorsque $\|\mathbf{s} - \mathbf{s}^*\| = \epsilon$), on a

$$ V(\mathbf{s}) \ge m > 0. $$

En vertu de la continuité de $V$, il est alors possible de choisir un rayon $\delta > 0$ tel que, si $\|\mathbf{s}(0) - \mathbf{s}^*\| < \delta$, alors

$$ V(\mathbf{s}(0)) < m. $$

La condition (iii) assure alors que

$$ V(\mathbf{s}(t)) \le V(\mathbf{s}(0)) < m \quad \text{pour tout } t \ge 0. $$

Par contraposée, $V(\mathbf{s}(t)) < m$ implique que $\|\mathbf{s}(t) - \mathbf{s}^*\| < \epsilon$ pour tout $t$. En d'autres termes, toute trajectoire débutante suffisamment près de l'équilibre demeure à jamais dans un voisinage arbitrairement petit de celui-ci, ce qui correspond exactement à la définition de la stabilité au sens de Lyapunov. Ainsi, nous avons démontré que $\mathbf{s}^*$ est stable, conformément au théorème de Lyapunov.

### Stabilité asymptotique (attractivité locale)

De plus, si la dérivée temporelle de $V$ satisfait

$$ \frac{d}{dt} V(\mathbf{s}(t)) < 0 \quad \text{pour tout } \mathbf{s} \neq \mathbf{s}^*, $$

c'est-à-dire si $V$ décroît strictement le long de chaque trajectoire non triviale, alors l'équilibre $\mathbf{s}^*$ est non seulement stable mais également asymptotiquement stable. En effet, $V$ décroît strictement et tend vers une limite inférieure $\ell \ge 0$. Pour que $\dot{V}$ reste strictement négatif, il est nécessaire que l'état $\mathbf{s}(t)$ converge vers l'ensemble où $\dot{V} = 0$. Dans notre cas, cet ensemble se réduit à $\{\mathbf{s}^*\}$, ce qui implique que $\mathbf{s}(t) \to \mathbf{s}^*$ lorsque $t \to +\infty$ et donc $\ell = V(\mathbf{s}^*) = 0$. Le principe d'invariance de LaSalle renforce cette conclusion en montrant que la trajectoire converge vers l'unique invariant contenu dans l'ensemble où $\dot{V} = 0$. Par conséquent, $\mathbf{s}^*$ est un équilibre asymptotiquement stable.
## 2. Extension aux systèmes non autonomes (forçage externe)

Considérons le cas où le système dépend explicitement du temps, par exemple par l'équation

$$ \frac{ds}{dt} = f(s, t). $$

Ici, le forçage externe (c'est-à-dire une entrée ou une excitation variant dans le temps) peut influencer l'évolution de $s(t)$. Dans un tel contexte non autonome, l'équilibre $s^*$ peut dépendre du temps (par exemple, il pourrait suivre une trajectoire de régime permanent) ou rester fixe si le forçage moyen est nul. L'approche de Lyapunov demeure applicable, mais la fonction de Lyapunov doit alors être explicitement dépendante du temps, notée $V(s, t)$, et satisfaire les conditions suivantes :

* $V(s^*, t) = 0$ pour tout $t$, et $V(s, t) > 0$ pour $s \neq s^*$ (c'est-à-dire, la positivité définie uniformément en $t$).

* La dérivée totale de $V$ le long des trajectoires doit être négative ou nulle, c'est-à-dire

$$ \frac{d}{dt}V(s(t), t) = \frac{\partial V}{\partial t}(s, t) + \nabla_s V(s, t) \cdot f(s, t) \leq 0. $$

Sous des hypothèses d'uniformité (par exemple, l'existence de fonctions de classe $\mathcal{K}$ telles que $\alpha_1(\|s - s^*\|) \leq V(s, t) \leq \alpha_2(\|s - s^*\|)$ pour tout $t$), on peut conclure que $s^*$ est stable uniformément en temps. Dans le cas d'une décroissance stricte, l'équilibre sera asymptotiquement stable malgré la présence d'un forçage externe.

## 3. Analyse spectrale (linéaire) de la stabilité

Une approche alternative pour analyser la stabilité de l'équilibre $s^*$ consiste à linéariser le système autour de cet équilibre. Considérons un système autonome

$$ \dot{s} = f(s), $$

avec $f(s^*) = 0$. La matrice jacobienne évaluée en $s^*$, notée

$$ A = Df(s^*), $$

détermine le comportement local du système linéarisé

$$ \dot{x} = Ax, $$

où $x = s - s^*$. Les valeurs propres de $A$ jouent un rôle déterminant dans l'analyse de la stabilité locale :

* Si toutes les valeurs propres de $A$ possèdent des parties réelles strictement négatives, alors l'équilibre $s^*$ est exponentiellement stable et, par conséquent, asymptotiquement stable.

* Si l'une quelconque des valeurs propres possède une partie réelle positive, une perturbation dans la direction correspondante augmentera de manière exponentielle, rendant ainsi l'équilibre instable.
* Si toutes les valeurs propres sont non positives, mais avec certaines valeurs nulles ou purement imaginaires (cas marginal), l'analyse linéaire ne permet pas de conclure de façon définitive. Dans ce dernier cas, il est nécessaire d'utiliser des méthodes de Lyapunov ou d'examiner les termes non linéaires du système pour déterminer la stabilité.

Le lien entre l'analyse spectrale et les fonctions de Lyapunov se manifeste notamment par l'existence d'une matrice P définie positive telle que

$$A^T P + PA = -Q,$$

où Q est une matrice définie positive. La fonction de Lyapunov quadratique

$$V(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T P \mathbf{x},$$

satisfait alors

$$\dot{V}(\mathbf{x}) = -\mathbf{x}^T Q \mathbf{x} < 0 \quad \text{pour } \mathbf{x} \neq 0,$$

confirmant ainsi la stabilité asymptotique de l'équilibre $\mathbf{s}^*$. Cette approche spectrale fournit donc un critère rigoureux pour la stabilité locale qui est en parfaite cohérence avec les conditions du théorème de Lyapunov.

## Lien avec les conditions de Lyapunov

Le critère spectral, qui impose que toutes les valeurs propres de la matrice A possèdent une partie réelle strictement négative, garantit l'existence d'une fonction de Lyapunov quadratique V satisfaisant les conditions (i)–(iii) requises pour la stabilité d'un équilibre. Inversement, si l'on parvient à établir l'existence d'une fonction de Lyapunov — même non quadratique — qui décroît strictement le long des trajectoires du système, alors il est impossible que l'équilibre présente des modes divergents, ce qui est en parfaite concordance avec le critère spectral de stabilité. Autrement dit, la présence de valeurs propres dont la partie réelle est positive empêche l'existence d'une fonction de Lyapunov définie positive dont la dérivée temporelle serait négative ou nulle, corroborant ainsi l'instabilité de l'équilibre considéré.

L'analyse spectrale et la méthode de Lyapunov constituent ainsi deux approches complémentaires et reliées pour l'étude de la stabilité d'un système dynamique. La stabilité linéaire, caractérisée par la stabilité de la matrice A, implique en effet la stabilité non linéaire locale et fournit un candidat naturel pour une fonction de Lyapunov, typiquement de la forme

$$V(x) = x^T P x,$$

où P est une matrice définie positive qui satisfait l'équation de Lyapunov

$$A^T P + PA = -Q,$$

avec Q également définie positive. Réciproquement, le critère de Lyapunov, qui est plus général, permet d'établir la stabilité même dans des situations où l'analyse linéaire s'avère insuffisante (par exemple, dans le cas de systèmes fortement non linéaires, dans des régions de stabilité globale ou pour des systèmes non autonomes), dès lors qu'une fonction V appropriée peut être construite. Ainsi, l'étude du spectre de la jacobienne constitue un cas particulier (linéaire et local) de la
démarche par fonction de Lyapunov, et les deux approches aboutissent à des conclusions
cohérentes quant à la stabilité de l'équilibre.

5. Perspectives et Applications du Deep Synergy Learning (DSL)

Le Deep Synergy Learning (DSL) ouvre de nouvelles perspectives dans le domaine de l'apprentissage automatique en offrant une approche qui intègre l'auto-organisation distribuée, la fusion multi-modale et des mécanismes de rétroaction adaptatifs. Cette approche, qui s'inspire de phénomènes naturels complexes, présente des applications potentielles dans de nombreux domaines :

1. *Prédiction de Structures Moléculaires*

Dans le contexte de la biologie computationnelle, le DSL peut révolutionner la prédiction des structures 3D de molécules complexes, telles que l'ARN et les protéines.

* **Fusion des Modalités :**

En intégrant des informations issues de la séquence primaire, de données expérimentales et de modèles d'énergie, le DSL permet d'extraire des synergies entre ces modalités pour améliorer la précision des prédictions structurelles.

* **Adaptabilité Dynamique :**

Les mécanismes de rétroaction du DSL facilitent l'ajustement des états internes en réponse aux variations contextuelles, conduisant à des modèles robustes capables de s'adapter à de nouvelles données expérimentales et de mieux capturer la dynamique moléculaire.

2. *Fusion Multi-Modalité dans les Systèmes de Vision et de Langage*

Les applications en vision par ordinateur et traitement du langage naturel bénéficient grandement d'une intégration efficace de modalités hétérogènes.

* **Systèmes de Compréhension Visuelle :**

Le DSL permet de fusionner les représentations visuelles issues d'images avec des informations textuelles associées, améliorant ainsi la compréhension contextuelle dans des tâches telles que la légende d'images, la recherche d'images ou la reconnaissance d'objets dans des environnements complexes.

* **Interfaces Homme-Machine :**

En combinant les signaux vocaux, textuels et visuels, le DSL peut contribuer à la création d'interfaces plus naturelles et interactives, capables de saisir les nuances contextuelles et émotionnelles dans la communication humaine.
### 3. Réseaux Neuronaux Distribués et Systèmes Multi-Agents

Les principes du DSL, notamment l'auto-organisation distribuée et le feedback coopératif, sont directement transposables dans la conception de réseaux neuronaux distribués et de systèmes multi-agents.

* **Coordination de Robots :**

Dans le domaine de la robotique, les agents autonomes équipés de mécanismes DSL peuvent collaborer sans supervision centralisée pour accomplir des tâches complexes (par exemple, exploration, sauvetage, ou manipulation d'objets), grâce à des interactions locales et une intégration multi-niveau de leurs états internes.

* **Systèmes de Communication Décentralisée :**

Dans des environnements où la prise de décision doit être décentralisée – comme dans les réseaux de capteurs ou les systèmes de transport intelligents – le DSL permet d'assurer une coordination robuste et scalable en tirant parti des interactions n-aires et du feedback coopératif.

### 4. Traitement de Données à Grande Échelle et Scalabilité

Le DSL est conçu pour évoluer efficacement dans des environnements à haute dimensionnalité.

* **Réduction de la Redondance :**

En auto-organisant ses entités et en ajustant dynamiquement leurs connexions, le DSL réduit la redondance d'information, ce qui est crucial pour le traitement de grands volumes de données.

* **Scalabilité :**

L'architecture distribuée du DSL permet d'intégrer de nouvelles données ou de nouveaux flux d'information sans nécessiter de restructuration globale, assurant ainsi une évolutivité continue dans des applications de Big Data ou de systèmes d'apprentissage en ligne.

### 5. Applications en Sciences Cognitives et Neurosciences

Les modèles inspirés du DSL offrent également un cadre intéressant pour modéliser les processus cognitifs.

* **Modélisation des Processus Cognitifs :**

En s'inspirant de l'auto-organisation neuronale et du feedback multi-niveau observés dans le cerveau, le DSL peut être utilisé pour simuler et étudier des processus cognitifs complexes tels que la perception, la mémoire et la prise de décision.

* **Neuro-Informatique :**

L'approche DSL, en reproduisant les interactions distribuées et la plasticité des réseaux neuronaux biologiques, offre des perspectives pour le développement de systèmes
d'intelligence artificielle qui intègrent des principes de fonctionnement cérébral, facilitant ainsi une meilleure compréhension du cerveau et la conception de modèles plus biologiquement plausibles.

## Conclusion

Le Deep Synergy Learning représente une approche novatrice qui combine les principes de l'auto-organisation, de l'apprentissage par interaction et de la modélisation multi-modale pour générer des systèmes adaptatifs et robustes. En définissant rigoureusement des entités d'information et en mettant en œuvre des fonctions de synergie positives, symétriques et monotones, le DSL vise à reproduire les mécanismes d'émergence observés dans la nature. Cette approche ouvre ainsi la voie à des avancées significatives dans des domaines complexes tels que la prédiction de structures moléculaires, la fusion multimodale et les systèmes d'agents autonomes.