ANNALES

DE LA FACULTÉ
DES SCIENCES

DE
TOULOUSE
Mathématiques

VADIM SCHECHTMAN

Dualité de Langlands quantique

Tome XXIII, n° 1 (2014), p. 129-158.

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# Dualité de Langlands quantique

VADIM SCHECHTMAN(1)

**RÉSUMÉ.** — Un survol des conjectures de Drinfeld, Beilinson, Gaitsgory et al. et de résultats de Gaitsgory sur la correspondance de Langlands quantique.

**ABSTRACT.** — A review of conjectures due to Drinfeld, Beilinson, Gaitsgory et al. and of results of Gaitsgory on the quantum Langlands correspondance.

## Introduction

La correspondance de Langlands quantique est une théorie hypothétique qui généralise et simplifie conceptuellement la correspondance de Langlands géométrique de Drinfeld, Laumon, Lafforgue. Dans cet article on expose les progrès récents dans ce domaine, d'après [13].

La correspondance de Langlands géométrique relie les objets de nature différente : formes (faisceaux) automorphes et représentations de Galois. Par contre, la correspondance quantique fait une « interpolation » entre ces deux côtés miroirs. En effet, on introduit un nouveau paramètre modulaire dans la théorie : le *niveau*, ou la *charge centrale*, et on cherche à trouver une bijection (« une transformation de Fourier ») entre des objets de la même nature : des faisceaux automorphes des niveaux duaux. La correspondance

Article proposé par Damian Rössler.

<footnote>(*) Reçu le 02/07/2012, accepté le 21/07/2013</footnote>

<footnote>(1) Institut de Mathématiques de Toulouse, Université Paul Sabatier, 31062 Toulouse, schechtman.at.math.ups-tlse.fr</footnote>
classique peut être considérée comme le cas limite de la correspondance quantique.

Dans §1 et 2 de cet article on revue brievement, suivant [24] et [13], les conjectures principales globales de cette théorie, dues à Drinfeld, Feigin, Frenkel et Stoyanovsky.

On remarque de suite que le cas «abélien» de cette théorie n'est pas hypothétique ; il est équivalent à la transformation de Fourier-Mukai de Laumon, cf. [19]. Ce sujet, bien éclairci dans la litérature, ne va pas être touché dans cet article.

La partie importante (voire indispensable) locale de la correspondance de Langlands est la correspondance de Satake : un isomorphisme entre l'anneau de représentations de dimension finie d'un groupe réductif $G$ et l'anneau de fonctions sphériques sur le groupe $p$-adique Langlands dual $G^\vee(K)$, $K$ étant un corps local. Une version plus fine géométrique de cette correspondance établit une équivalence des catégories tensorielles convenables, cf. §3. Dans §4, 5 et §6 on décrit la correspondance de Satake quantique, d'après Gaitsgory, [13].

Finalement, dans §7 on énonce les conjectures reliant les équivalences locales de Satake aux équivalences globales de §2, d'après [13].

Dès le début, on avertit le lecteur que le but de cette revue n'est que donner les idées principales ; les détails techniques seront omis. Par contre, j'ai essayé à donner quelques motivations qui viennent du domaine classique des fonctions sphériques. Pour les énoncés précis le lecteur doit consulter l'article original de Gaitsgory [13], cf. aussi [24], [25], [1]. Pour l'information de base sur les objets discutés dans cet article : les champs de $G$-torseurs, les opérateurs différentiels sur un champ, la grassmannienne affine, etc., j' invite le lecteur à consulter l'ouvrage fondamental de Beilinson et Drinfeld [3].

Ces sujets ont fait l'objet des exposés à Toulouse au printemps 2011. Je remercie chaleureusement le rapporteur pour les corrections et propositions nombreuses.

# 1. Correspondance de Langlands géométrique

## 1.1. Correspondance de Langlands

Soit $F$ un corps global, i.e. une extension finie de $\mathbb{Q}$ ou de $\mathbb{F}_q(t)$. La correspondance de Langlands (dans le cas non-ramifié) cherche à associer à une représentation

$$ \rho : \operatorname{Gal}(\bar{F}/F) \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{C}) $$
irréductible non-ramifiée une forme automorphe parabolique $\omega$ sur $GL_n(\mathbb{A}_F)$, où $\mathbb{A}_F$ est l'anneau des adèles de $F$, vecteur propre des opérateurs de Hecke, de telle façon que la fonction $L$ d'Artin de $\rho$ soit égale à la fonction $L$ «de Hecke» de $\omega$. Ceci veut dire que les valeurs propres des opérateurs de Hecke doivent coïncider avec certains coefficients des polynômes caractéristiques des images par $\rho$ des classes de Frobenius.

Plus généralement, si $G$ est un groupe réductif sur $F$, Langlands introduit le groupe complexe «dual» $^LG$ dont la composante connexe $G^\vee$ est le groupe de points complexes d'un groupe réductif dont le système de racines est dual à celui de $G$. On veut associer à une représentation galoisienne $\rho$ à valeurs dans $G(\mathbb{C})$ une forme automorphe sur $G^\vee(\mathbb{A}_K)$ possédant les propriétés analogues.

Pour $G = \mathbb{G}_m$ c'est la théorie des corps des classes : la bijection entre les caractères de $G^{ab}(\bar{F}/F)$ et les caractères d'ordre fini du groupe des idèles $\mathbb{A}_F^\times$.

## 1.2. Version géométrique

On ne va considérer dorénavant que le cas non-ramifié de la correspondance de Langlands.

Soient $G$ un groupe réductif sur $\mathbb{C}$, $\mathfrak{g}$ son algèbre de Lie. On fixe un tore maximal et un sous-groupe de Borel $T \subset B \subset G$. Soient $\Lambda = \operatorname{Hom}(T, \mathbb{G}_m)$ le réseau de poids, $\Lambda_+ \subset \Lambda$ le semi-groupe de poids dominants. Pour $\lambda \in \Lambda_+$ soit $V_\lambda$ le $G$-module irréductible de plus haut poid $\lambda$.

La notation $(.)^\vee$ va signifier les objets liés au groupe dual $G^\vee$, par exemple $\Lambda^\vee = \operatorname{Hom}(\mathbb{G}_m, T)$, etc.

Fixons une courbe $X$ lisse, connexe et propre sur $\mathbb{C}$. Si $P$ est un $G$-torseur au-dessus de $X$ et $V$ une représentation de $G$, on va noter $V_P$ le fibré vectoriel sur $X$ correspondant, $V \otimes \mathcal{O}_X$ tordu par $P$. En particulier on considère $\mathfrak{g}$ munie de l'action adjointe, d'où le fibré en algèbres de Lie $\mathfrak{g}_P$ ; c'est le faisceau des automorphismes infinitésimaux de $P$.

Désignons par $\mathrm{Bun}_G$ le champ de $G$-torseurs au-dessus de $X$. C'est un champ lisse algébrique de dimension

$$ \dim \mathrm{Bun}_G = (g - 1) \dim G $$

Soit $\mathcal{L}_{\mathrm{Bun}_G}$ le fibré canonique ; sa fibre en $P \in \mathrm{Bun}_G$ est égale à

$$ \mathcal{L}_{\mathrm{Bun}_G, P} = \det \mathrm{R}\Gamma(X, \mathfrak{g}_P)^* $$
Les $\mathcal{D}$-modules (holonômes, aux singularités régulières) sur $Bun_G$ sont, par le langage « faisceaux – fonctions » de Grothendieck, les analogues géométriques de fonctions automorphes ; on va travailler dans la catégorie dérivée correspondante $D(\mathcal{D}\text{-mod}(Bun_G))$.

Soit $\mathcal{Hecke}_G$ le champ suivant. Le grupoïde $\mathcal{Hecke}_G(S)$ de $S$-points se compose de quadruples

$(P_1, P_2, x, \alpha)$,
où $P_i$ sont des $G^\vee$-torseurs sur $X \times S$, $x \in X(S)$,

$$ \alpha : P_1|_{U_x} \xrightarrow{\sim} P_2|_{U_x}, $$

$U_x = X \times S \setminus \Gamma_x$, $\Gamma_x$ étant le graphe de $x$. On a des projections évidentes

$$ Bun_G \xleftarrow{\pi_1} \mathcal{Hecke}_G \xrightarrow{\pi_2 \times \pi} Bun_G \times X, $$

Soit $\lambda \in \Lambda_+$. On définit un sous-champ fermé

$$ i_\lambda : \mathcal{Hecke}_G^\lambda \hookrightarrow \mathcal{Hecke}_G $$

par la condition suivante :

$(P_1, P_2, x, \alpha) \in \mathcal{Hecke}_G^\lambda(S)$ si pour tout $\mu \in \Lambda_+^\vee$ et pour tout $G^\vee$-module $V$ ayant tous les poids $\le \mu$, on a

$$ V_{P_1}(-\langle \lambda, \mu \rangle \Gamma_s) \subset V_{P_2} $$

On définit les foncteurs de Hecke

$$ T_\lambda : D(\mathcal{D}\text{-mod}(Bun_G)) \to D(\mathcal{D}\text{-mod}(Bun_G \times X)) $$

par

$$ T_\lambda(M) = (\pi_2 \times \pi)_*(\pi_1^*M \otimes \text{IC}_{\mathcal{Hecke}^\lambda}) $$

Soit $P$ un $G$-système local, i.e. un $G$-torseur muni d'une connexion, automatiquement intégrable, au-dessus de $X$. Le fibré $V_{\lambda,P}$ est muni d'une connexion intégrable, donc c'est un objet de $D(\mathcal{D}\text{-mod}(X))$.

### 1.3. Conjecture A

Si $P$ est en plus irréductible, on peut associer à $P$ un $\mathcal{D}$-module holonôme $\mathcal{M}(P) \in D(\mathcal{D}\text{-mod}(Bun_G))$ qui est un $\mathcal{D}$-module propre de Hecke de valeur propre $P$, i.e. pour chaque $\lambda \in \Lambda_+$

$$ T_\lambda(\mathcal{M}(P)) \cong \mathcal{M}(P) \boxtimes V_{\lambda,P}. $$

Cela a été prouvé pour $G = GL_n$, cf. [18], [12], [15].
1.4. Espace Locsys<sub>G<sup>V</sup></sub>

Soit P un $G^V$-torseur sur X. L'espace des connexions sur P est un espace
affine dont l'espace linéaire sous-jacent est

$$
\Gamma(X, \mathfrak{g}_P \otimes \Omega_X^1) \cong T_P^* \mathcal{B}un_{G^V}
$$

Il s'en suit que l'espace Locsys<sub>G<sup>V</sup></sub> des modules des G<sup>V</sup>-systèmes locaux au-dessus de X est un T<sup>*</sup>Bun<sub>G<sup>V</sup></sub>-torseur T<sub>ℓ</sub><sup>*</sup>Bun<sub>G<sup>V</sup></sub> sur Bun<sub>G<sup>V</sup></sub>. La classe de cohomologie de ce torseur est égale à d log(cl(<i>L</i><sub>Bun<sub>G<sup>V</sup></sub></sub>)) où

$$
d \log : H^1(Bun_{G^v}, \mathcal{O}^*) \to H^1(Bun_{G^v}, \Omega^1)
$$

Autrement dit, *Locsys*<sub>*G<sup>V</sup>*</sub> est une forme tordue du fibré cotangent *T*<sup>*</sup>*Bun*<sub>*G<sup>V</sup>*</sub>,
cf. [2], 2.1.8.

1.5. Conjecture B, version préliminaire

Supposons que $G$ soit semisimple. On a une équivalence des catégories dérivées

$$
\pi : D^{qcoh}(\mathcal{O}\text{-mod}(\text{Locsys}_{G^\vee})) \xrightarrow{\sim} D(\mathcal{D}\text{-mod}(\text{Bun}_G)) \quad (1.5.1)
$$

Si P est un système local, considéré comme un point fermé $i_P : \{\ast\} \hookrightarrow Locsys_{G^\vee}(X)$ et $\mathcal{F}_P = i_P^*\mathbb{C}$ le faisceau gratte-ciel correspondant, alors

$$
\pi(\mathcal{F}_P) = \mathcal{M}(P)
$$

de la Conjecture A.

Ici $D^{qcoh}$ signifie la catégorie dérivée de complexes (bornés) à cohomolo-
gie quasi-cohérente.

Considérons le produit Locsys<sub>G<sup>V</sup></sub> × Bun<sub>G</sub> muni du faisceau d'anneaux

$$
\mathcal{O}_{\mathrm{Locsys}_{G^\vee}} \boxtimes \mathcal{D}_{\mathrm{Bun}_G}
$$

et de deux projections

$$
\operatorname{Locsys}_{G^{\vee}} \stackrel{\pi_1}{\leftarrow} \operatorname{Locsys}_{G^{\vee}} \times \operatorname{Bun}_G \stackrel{\pi_2}{\longrightarrow} \operatorname{Bun}_G
$$

L'équivalence (1.5.1) doit être fournie par un noyau

$$
\mathcal{N} \in D(\mathcal{O}_{\text{Locsys}_{G^\vee}} \boxtimes \mathcal{D}_{\text{Bun}_G} - \text{mod}),
$$

c'est-à-dire,

$$
\pi(A) = \pi_2!(\pi_1^*(A) \otimes \mathcal{N}).
$$
La fibre de $\mathcal{N}$ en $P \in \text{Locsys}_{G^\vee}$ irréductible

$$ \mathcal{N}_P = \mathcal{M}(P) \in D(\mathcal{D}\text{-mod}(\text{Bun}_G)) $$

est le $\mathcal{D}$-module holonôme propre de Hecke ci-dessus.

## 1.6. Conjecture B, vers la version plus précise

L'énoncé « naïf » 1.5 est faux si $G$ n'est pas semi-simple ; en effet, elle est fausse pour $G = \mathbb{G}_m$. C'est un signe que ceci demande de la précision ; une telle précision est décrite dans l'article recent [1].

Tous d'abord, dans la discussion 1.4 on n'a pas dit qu'est-ce que signifie le mot « espace Locsys$_{G^\vee}$ ». Plus précisément, il faut dire que $Z := \text{Locsys}_{G^\vee}$ est un « DG-champ ».

Un autre problème est lié aux singularités de $Z$. Ce champ n'est pas lisse mais il n'est pas trop « mechant » : il est « quasi-lisse », ce qui veut dire que la cohomologie du complexe cotangent $T^*Z$ est concentrée en degrés $-1, 0, 1$ ; sa fibre en un point $z$ correspondant au système local $\mathcal{L}$ et égal à la cohomologie de De Rham $R\Gamma_{DR}(X; \mathfrak{g}_{\mathcal{L}}^\vee)$ à coefficients dans le fibré adjoint de $\mathcal{L}$ (au decalage près).

Ceci permet de définir le champ $\hat{Z}$ au-dessus de $Z$ dont la fibre sur $z \in Z$ est $H^{-1}(T_z^*Z)$ ; donc $\hat{Z}$ n'est différent de $Z$ qu'aux points de non-lissité de $Z$. Ce champ classifie les couples $(\sigma, A)$ où $\sigma$ est un $G^\vee$-système local et $A$ est une section horisontale du fibré associé $\mathfrak{g}_\sigma^\vee$ (« un paramètre d'Arthur »). On note ce champ par $\text{Arth}_{G^\vee}$.

Soit

$$ \text{Nilp}_{\text{glob}} \subset \text{Arth}_{G^\vee} $$

le sous-champ qui classifie les couples $(\sigma, A)$ avec $A$ nilpotent. Gaitsgory a introduit anterieurement la notion d'un faisceau ind-cohérent sur un champ $Z$ et les auteurs de [1] définissent le *support singulier* d'un tel faisceau lorsque $Z$ est quasi-lisse ; c'est un sous-champ conique (i.e. $\mathbb{G}_m$-équivariant) de $\hat{Z}$. Ceci permet d'introduire la (dg)-categorie

$$ \text{IndCoh}_{\text{Nilp}_{\text{glob}}}(\text{Locsys}_{G^\vee}) $$

de faisceaux ind-cohérents sur $\text{Locsys}_{G^\vee}$ ayant le support singulier contenu dans $\text{Nilp}_{\text{glob}}$.
La version améliorée de la Conjecture B s'écrit :

**1.7. Conjecture B, version améliorée**, cf. [1, Conj. 0.1.6].

*Soit $G$ un groupe réducif. On a une équivalence de dg-catégories*

$$ \pi : \mathrm{IndCoh}_{\mathrm{Nil}_{\mathrm{glob}}}(\mathrm{Locsys}_{G^{\vee}}) \xrightarrow{\sim} \mathrm{D}(\mathrm{D-mod}(\mathrm{Bun}_G)). $$

# 2. Une déformation

## 2.1. Opérateurs différentiels tordus

Voici trois exemples liés à des familles d'algèbres.

(a) *Limite classique.* Soit $\mathfrak{g}$ une algèbre de Lie sur $\mathbb{C}$. Définissons une $\mathbb{C}[h]$-algèbre associative $U_h \mathfrak{g}$: elle est engendrée par $x \in \mathfrak{g}$ modulo les relations

$$ xy - yx = h[x, y] $$

Alors

$$ U_h \mathfrak{g}/(h-c) \xrightarrow{\sim} U \mathfrak{g} \text{ si } c \neq 0, U_h \mathfrak{g}/(h) \xrightarrow{\sim} S \cdot \mathfrak{g} $$

(b) Soit $Y$ une variété lisse. Il existe un faisceau $\hat{\mathcal{D}}$ des $\mathbb{O}_{\mathbb{P}^1}$-algèbres quasicohérentes au-dessus de $Y \times \mathbb{P}^1$ tel que

$$ \hat{\mathcal{D}}|_{Y \times \mathbb{A}^1} \cong \mathcal{D}_Y \boxtimes \mathcal{O}_{\mathbb{A}^1}, \quad \hat{\mathcal{D}}|_{Y \times \{\infty\}} \cong \mathcal{O}_{T^*Y} $$

(c) Plus généralement, soit $\xi$ un faisceau inversible sur $Y$. Alors pour tout $c \in \mathbb{C}$ un faisceau $\mathcal{D}_Y(\xi^{\otimes c})$ d'algèbres d'opérateurs différentiels tordus par $\xi^{\otimes c}$ est défini. Si $c \in \mathbb{Z}$ alors

$$ \mathcal{D}_Y(\xi^{\otimes c}) = \mathrm{Diff}(\xi^{\otimes c}, \xi^{\otimes c}) $$

On peut faire varier $c$. Soit $t$ une coordonnée fixée sur $\mathbb{P}^1$. Il existe (cf. [2], 2.1.11) un faisceau $\mathcal{D}_Y(\xi^{\otimes t})$ («d'opérateurs différentiels asymptotiques») d'${\mathbb{O}_{\mathbb{P}^1}}$-algèbres quasi-cohérentes au-dessus de $Y \times \mathbb{P}^1$ tel que

$$ \mathcal{D}_Y(\xi^{\otimes t})|_{Y \times \{c\}} \cong \mathcal{D}_Y(\xi^{\otimes c}), \quad c \neq \infty, $$

$$ \mathcal{D}_Y(\xi^{\otimes t})|_{Y \times \{\infty\}} \cong \mathcal{O}_{T_{\xi}^*Y}, $$

où $T_{\xi}^*Y$ est le fibré cotangent $\xi$-tordu défini dans [2, 2.1.8].

**2.2.** Revenons au cadre de §1. Considérons des éléments

$$ \xi = \mathcal{L}_G^{1/2h^\vee} \in \mathrm{Pic}(\mathrm{Bun}_G)_{\mathbb{Q}}, \quad \xi^\vee = \mathcal{L}_{G^\vee}^{1/2h} \in \mathrm{Pic}(\mathrm{Bun}_{G^\vee})_{\mathbb{Q}} $$
Si $G$ est simplement connexe, alors $\xi$ est un générateur de Pic$(Bun_G) \cong \mathbb{Z}$.
Ici $h^\vee$ est le nombre de Coxeter dual de $G$.

On va utiliser la notation simplifiée $\mathcal{D}\text{-mod}^c(Bun_G)$ pour la catégorie de $\mathcal{D}_{Bun_G}(\xi^{\otimes c})$-modules.

Pour $c \in \mathbb{C}^*$, on pose

$$c^{\vee} = \frac{1}{rc},$$

où $r = 1, 2, 3$, est la multiplicité maximale des flèches du graphe de Dynkin de $G$.

## 2.3. Conjecture C (version préliminaire)

(a) Pour tout $c \in \mathbb{C}^*$ on a une équivalence de catégories dérivées

$$D(\mathcal{D}\text{-mod}^c(Bun_G)) \xrightarrow{\sim} D(\mathcal{D}\text{-mod}^{c^{\vee}}(Bun_{G^{\vee}})) \quad (2.3.1)$$

*Cette équivalence doit être induite par un noyau*

$$\mathcal{N}_c \in D(\mathcal{D}_{Bun_G}(\xi^{\otimes c}) \boxtimes \mathcal{D}_{Bun_{G^\vee}}(\xi^{\vee \otimes c^\vee}) - \text{mod})$$

(b) La correspondance (2.3.1) doit être induite par un noyau

$$\mathcal{N}(t) \in D(\mathcal{D}_{Bun_G}(\xi^{\otimes t}) \boxtimes_{\otimes_{\mathbb{P}_1}} \mathcal{D}_{Bun_{G^\vee}}(\xi^{\otimes t^\vee}) - \text{mod}),$$

où $t^\vee = 1/rt$.

*Pour $t = \infty$ (resp. $t = 0$) elle induit l'équivalence (1.5.1) associée à $G$ (resp. à $G^\vee$).*

# 3. Correspondance de Satake

*Cas réel (Berezin-Gelfand)*

## 3.1. Fonctions sphériques

Soient $G$ un groupe semi-simple deployé réel, $K \subset G$ un sous-groupe maximal compact. Soit Hecke($G$) l'algèbre de fonctions continues $f : G \to \mathbb{C}$ bi-$K$-invariantantes à support compact, munie du produit de convolution. C'est une algèbre de Banach commutative normée (Gelfand).

Les fonctions sphériques zonales sont les fonctions $C^\infty \phi : X = G/K \to \mathbb{C}$ telles que

(i) $\phi(1) = 1$;
$$
(ii) \phi(ux) = \phi(x) \text{ pour tout } u \in K;
$$

$$
(iii) D\phi = \lambda(D)\phi, \lambda(D) \in \mathbb{C} \text{ pour tout } D \in \mathcal{D}_G(X).
$$

Ici $\mathcal{D}_G(X)$ désigne l'anneau des opérateurs différentiels $G$-invariants sur $X$.

3.1.1. Exemple

$G = SL_2(\mathbb{R}) \supset K = SO(2)$, $X = H = \{x + iy | y > 0\}$ le demi-plan de
Poincaré avec la métrique hyperbolique $y^{-2}(dx^2 + dy^2)$. L'anneau $\mathcal{D}_G(X)$
est engendré par le Laplacien

$$
\Delta = y^2(\partial_x^2 + \partial_y^2)
$$

Les fonctions sphériques zonales sont de la forme $\phi_\lambda(x) = P_\lambda(\cosh d(i, x))$ où $d(i, x)$ est la distance entre $x$ et $i$, $\lambda \in \mathbb{C}$ et

$$
P_{\lambda}(r) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} (\cosh r + \sinh r \cos u)^{\lambda} du
$$

est la fonction de Legendre, cf. [16, Ch. IV, Prop. 2.9.]

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Soit $A(G)$ l'ensemble des fonctions sphériques zonales. Chaque $\phi \in A(G)$ est une fonction propre de tous les opérateurs de Hecke : si $f \in \text{Hecke}(G)$,

$$
f * \phi := \lambda_{\phi}(f)\phi, \quad \lambda_{\phi}(f) \in \mathbb{C}
$$

Ici * désigne le produit de convolution des fonctions sur G.

L'application $f \mapsto \lambda_\phi(f)$ est un homomorphisme continu d'algèbres

$$
\lambda_{\phi} : \mathrm{Hecke}(G) \to \mathbb{C}
$$

De cette façon on obtient un isomorphisme (Gelfand)

$$
A(G) \xrightarrow{\sim} \operatorname{Hom}_{\mathbb{C}-\operatorname{Alg.Cont.}}(\operatorname{Hecke}(G), \mathbb{C}), \quad \phi \mapsto \lambda_{\phi}.
$$

Soit $\mathfrak{t} = \mathrm{Lie} \, T$ où $T \subset G$ est un tore maximal. Alors

$K \backslash G / K \cong \mathfrak{t} / W,$

donc on peut regarder les éléments de $\mathrm{Hecke}(G)$ comme des fonctions $W$-invariantes sur $\mathfrak{t}$.
On peut écrire la multiplication dans Hecke(G) sous une forme

$$ (f * g)(t) = \int_{t/W \times t/W} f(t_1)g(t_2)c(t_1, t_2, t)dt_1dt_2 $$

(Gelfand). La fonction $c(t_1, t_2, t)$ est étudiée par Berezin et Gelfand dans un grand papier [6].

Ils montrent que cette fonction des arguments continus est un ana-
logue continu de la fonction $\tilde{c}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda)$ des arguments discrets $\lambda \in \Lambda^\vee/W$
qui décrit la multiplication dans $K_0(\mathrm{Rep}(G^\vee))$. (Ici $\Lambda^\vee$ est le réseau des
copoids.)

## 3.2. Cas $p$-adique (Satake)

Soit $G$ un groupe réductif déployé sur un corps local $K$, $O \subset K$ l'anneau des entiers ; $G(O)$ est un sous-groupe compact maximal de $G(K)$. Fixons la mesure de Haar $\mu$ sur $G(K)$ telle que $\mu(G(O)) = 1$.

Soit $C_c(G)$ l'espace de fonctions continues (i.e. localement constantes)
$f : G \to \mathbb{C}$ à support compact.

L'algèbre de Hecke sphérique Hecke(G) est définie comme l'espace de
fonctions $f \in C_c(G)$ telles que

$$ f(ugu') = f(g) \qquad (3.2.1) $$

pour tous $g \in G(K)$, $u, u' \in G(O)$. La multiplication est donnée par le
produit de convolution. Elle est commutative (Gelfand).

Une fonction $\omega \in C_c(G)$ est dite sphérique zonale si

(i) $\omega(1) = 1$;

(ii) elle satisfait à (3.2.1);

(iii) pour tout $f \in \text{Hecke}(G)$,

$$ f * \omega = \lambda_{\omega}(f)\omega, \quad \lambda_{\omega}(f) \in \mathbb{C}. $$

De cette façon on obtient une application $\omega \mapsto \lambda_\omega$ de l'ensemble des fonctions sphériques zonales dans

$$ A(G) := \operatorname{Hom}_{\mathbb{C}-\operatorname{Alg}}(\operatorname{Hecke}(G), \mathbb{C}) $$

qui est une bijection.
Soit $T \subset G$ un tore maximal ;

$$ \Lambda^{\vee} = T(K)/T(O) = \mathrm{Hom}_{\mathrm{Gr.Alg.}}(\mathbb{G}_m, T) \cong \mathbb{Z}^{\nu} $$

Si $G$ est le groupe de Chevalley associé à un système de racines $R$, alors

$$ \Lambda^{\vee} = Q(R) = P(R^{\vee}), $$

le réseau des copoids. Le groupe de Weyl $W$ agit sur $\Lambda^{\vee}$ et

$$ \Lambda^{\vee}/W \xrightarrow{\sim} \Lambda_{+}^{\vee} \subset \Lambda^{\vee}, $$

le sous-ensemble des copoids dominants (bien défini dès qu'on a choisi un sous-groupe de Borel $B \supset T$).

Associons à chaque $\lambda^{\vee} : \mathbb{G}_m \to T$ la $G(O)$-orbite

$$ O(\lambda) = G(O) \cdot \lambda(\pi) \subset G(K)/G(O), $$

où $\pi \in K^*$ est l'uniformisante. De cette façon on obtient l'isomorphisme

$$ \Lambda_{+}^{\vee} = \Lambda^{\vee}/W \xrightarrow{\sim} G(O)\backslash G(K)/G(O) $$

Le théorème de Satake établit un isomorphisme d'algèbres

$$ \mathrm{Hecke}(G) \xrightarrow{\sim} \mathbb{C}[\Lambda^{\vee}]^{W} \qquad (3.2.2) $$

cf. [23], [21]. On remarque que

$$ \mathbb{C}[\Lambda^{\vee}]^{W} \cong K_{0}(\mathrm{Rep}(G^{\vee}))_{\mathbb{C}}, $$

d'où

$$ \mathrm{Hecke}(G) \xrightarrow{\sim} K_0(\mathrm{Rep}(G^{\vee}))_{\mathbb{C}} \qquad (3.2.3) $$

Ici $G^{\vee}$ désigne le groupe de Chevalley associé au système de racines dual $R^{\vee}$ et $\mathrm{Rep}(G^{\vee})$ est la catégorie tensorielle de ses représentations de dimension finie. C'est une catégorie semisimple dont les objets simples sont les représentations irréductibles $V_{\lambda}$, $\lambda \in \Lambda_{+}^{\vee}$.

*Correspondance de Satake géométrique* (Drinfeld, Ginzburg, Mirkovic-Vilonen)

Sous la correspondance « faisceaux – fonctions » de Grothendieck les éléments de Hecke($G$), i.e. des fonctions bi-$G(O)$-invariantes $f : G(K) \to \mathbb{C}$ correspondent aux (complexes de) faisceaux constructibles sur $G(K)$ bi-$G(O)$-invariants. Ceci est le point de départ des considérations ci-dessous.
### 3.3. Grassmannienne affine

Soit $G$ un groupe connexe réductif sur $\mathbb{C}$. Fixons une courbe lisse $X$ et $x \in X$ ; soit $X' = X \setminus \{x\}$. Par définition, $Gr_G$ est l'espace de modules des paires

$$(F, \phi), F \in \mathrm{Bun}_G(X), \phi \text{ une trivialisation de } F|_{X'} \quad (3.3.1)$$

C'est un ind-schéma qui ne dépend que du voisinage formel de $x$.

Soit $K = \mathbb{C}((t)) \supset O = \mathbb{C}[t]$. On considère $G(O)$ (resp. $G(K)$) comme un schéma (resp. ind-schéma) sur $\mathbb{C}$. Alors

$$Gr_G \cong G(K)/G(O).$$

Suivant Lusztig et Drinfeld, on définit la catégorie

$$\mathcal{Hecke}(G) = \mathcal{D}\text{-mod}(Gr_G)^{G(O)}$$

de $\mathcal{D}$-modules holonômes aux singularités régulières $G(O)$-équivariants au-dessus de $Gr_G$.

On munit $\mathcal{Hecke}(G)$ d'une stucture tensorielle commutative donnée par la convolution, cf. [15], [22].

### 3.4. Théorème

*Il existe une équivalence de catégories tensorielles*

$$\mathrm{Sat} : \mathcal{Hecke}(G) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Rep}(G^{\vee}). \quad (3.4.1)$$

Ici $\mathrm{Rep}(G^{\vee})$ est la catégorie tensorielle de représentations de dimension finie de $G^{\vee}$. Le foncteur fibre

$$\mathcal{Hecke}(G) \to \mathrm{Vect}_{\mathbb{C}}$$

est donné par la cohomologie globale. En particulier $\mathcal{Hecke}(G)$ est semi-simple ; ses objets simples sont les faisceaux d'intersection des orbites $O(\lambda) \subset G(K)/G(O)$ ; on les note $A(\lambda)$ ; on a $\mathrm{Sat}(A(\lambda)) = L(\lambda)$.

L'équivalence (3.4.1) a été conjecturée par Drinfeld, et établie par Ginsburg [15] et Mirković-Vilonen, [22].
## 4. Correspondance de Satake quantique

4.1. Une $q$-déformation de la catégorie $\mathrm{Rep}(G^{\vee})$ est la catégorie tensorielle des représentations de dimension finie du groupe quantique, $\mathrm{Rep}(U_qG^{\vee})$. On souligne que si $q$ n'est pas une racine de l'unité (le seul cas qui nous intéresse), la catégorie ne se déforme pas : $\mathrm{Rep}(U_qG^{\vee})$ est une catégorie semi-simple dont les irréductibles sont indexées par les copoids dominants $\lambda^{\vee} \in \Lambda^{\vee}$. C'est seulement la structure tensorielle qui se déforme.

Essayons de définir une $q$-déformation correspondante de $\mathcal{H}ecke(G)$, en appliquant le yoga du §2 :

$$ (\text{Yoga}) \quad \mathcal{D}éformation = passage aux \mathcal{D}-modules tordus $$

Un candidat naturel pour une $q$-déformation correspondante de $\mathcal{H}ecke(G)$ pourrait être la catégorie de $\mathcal{D}$-modules $G(O)$-équivariants tordus $\mathcal{D}\text{-mod}^c(Gr_G)^{G(O)}$, où $q = e^{2\pi ic}$. Ici $\mathcal{D}\text{-mod}^c$ veut dire les $\mathcal{D}$-modules $\mathcal{L}^{\otimes c}$-tordus où $\mathcal{L}$ est le fibré determinant canonique sur $Gr_G$.

Par contre, cette catégorie ne marche pas, pour des raisons techniques. Par exemple, pour $c$ irrationnel elle ne contient qu'un seul objet irréductible.

Pour définir une déformation correcte, Gaitsgory passe de la catégorie « sphérique » $\mathcal{H}ecke(G)$ à une catégorie équivalente « horisphérique » de faisceaux de Whittaker.

## 4.2. Fonctions sphériques et fonctions de Whittaker

Pour motiver la construction géométrique, revenons au cadre classique, et rappelons le rapport entre les fonctions sphériques et fonctions de Whittaker.

Soit $N \subset G$ un sous-groupe unipotent maximal. Rappelons que dans le cas réel on a la décomposition de Cartan $G = KAK$ qui contrôle les fonctions sphériques, et la décomposition d'Iwasawa $G = NAK$ qui contrôle les fonctions de Whittaker. Ici $K \subset G$ est un compact maximal, $A$ la composante connexe de l'identité de $T$.

Au cas $t$-adique, $K = F((t))$, $F$ un corps, on a une bijection

$$ \Lambda^{\vee} \xrightarrow{\sim} N(K)\backslash G(K)/G(O) $$

qui fait correspondre à un copoids $\lambda \in \Lambda^{\vee} = \mathrm{Hom}(\mathbb{G}_m, T)$ l'orbite de $\lambda(t) \in T(K) \subset G(K)$.
Fixons le caractère $\chi : N \to \mathbb{C}^*$,

$$ \chi(u) = \psi\left(\sum_{i=1}^{\nu} \mathrm{Res}(u_i)\right) $$

Ici $\mathrm{Res} : K \to F$, $\mathrm{Res}(\sum a_j t^j) = a_{-1}$, $u_i$ est l'image de $u$ par la composée

$$ N \to N/[N, N] \cong K^{\nu} \xrightarrow{pr_i} K, $$

et $\psi : F \to \mathbb{C}^*$ est un caractère non-trivial fixé.

Soit $\mathrm{Wh}(G)$ l'espace des fonctions $f : G(K) \to \mathbb{C}$ telles que $f(ngx) = \chi(n)f(g)$, $n \in N(K)$, $g \in G(K)$, $x \in G(O)$, et $f$ est à support compact modulo $N(K)$.

Si $f \in \mathrm{Wh}(G)$ alors $f(\lambda(t)) = 0$ si $\lambda \in \Lambda^{\vee} \setminus \Lambda_{+}^{\vee}$.

$\mathrm{Wh}(G)$ est un Hecke$(G)$-module à droite par rapport à la convolution

$$ f * h(g) = \int_{G(K)} f(gx^{-1})h(x)dx $$

Soit $f_0 \in \mathrm{Wh}(G)$ la fonction telle que $f(1) = 1$ et $f = 0$ sur toutes les orbites de $\lambda(t)$, $\lambda \neq 0$, $\lambda \in \Lambda_{+}^{\vee}$. Alors $h \mapsto f_0 * h$ est un isomorphisme

$$ F : \mathrm{Hecke}(G) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Wh}(G) \qquad (4.2.1a) $$

Explicitement,

$$ F(g) := f_0 * h(g) = \int_{N(K)} \chi(n)h(n^{-1}g)dn, \qquad (4.2.1b) $$

cd. [11, 1.1.5].

L'objet géométrique qui contrôle les fonctions de Whittaker a été introduit dans [11]. On va le décrire après quelques préliminaires.

### 4.3. Compactification de Drinfeld

On fixe une courbe $X$ connexe lisse et complète sur $\mathbb{C}$. On désigne par $\omega$ le fibré canonique sur $X$ ; on fixe une racine carrée $\omega^{1/2}$.

Pour un groupe algébrique $H$, $\mathrm{Bun}_H$ va désigner le champs des $H$-torseurs au-dessus de $X$.
Soit $G$ un groupe réductif connexe sur $\mathbb{C}$ tel que le groupe semi-simple $[G, G]$ est simplement connexe de rang $r$. On fixe un sous-groupe de Borel $B \subset G$ ; soit $N \subset B$ son radical unipotent, $T = B/N$. On fixe un sous-groupe de Borel opposé $B_\perp \subset G$ et on identifie $T$ avec $B \cap B_\perp$.

On pose $\mathfrak{g} = \mathrm{Lie} \, G$.

Soient $\Lambda = \mathrm{Hom}_{\mathrm{Gr.alg.}}(T, \mathbb{G}_m)$ le réseau des poids, $R \subset \Lambda$ l'ensemble de racines, $\Lambda^\vee = \mathrm{Hom}_{\mathrm{Gr.alg.}}(\mathbb{G}_m, T)$ le réseau des copoids ; $\langle \cdot, \cdot \rangle : \Lambda \times \Lambda^\vee \to \mathbb{Z}$ sera l'accouplement canonique.

Le choix de $B$ définit le sous-ensemble $R_+ \subset R$ des racines positives.
Soit

$$2\rho^{\vee} = \sum_{\alpha \in R_+} \alpha^{\vee} \in \Lambda^{\vee}$$

On désigne par $\omega^{\rho^{\vee}}$ le $T$-torseur induit de $\omega^{1/2}$ par $2\rho^{\vee} : \mathbb{G}_m \to T$.

Soit

$$\Lambda_+ \subset \Lambda$$

le semi-groupe des poids dominants.

Pour $\lambda \in \Lambda_+$, soit $V_\lambda$ le $G$-module simple de plus haut poids $\lambda$. Si $\mathcal{F}_G$ est un $G$-torseur au-dessus de $X$, soit $\mathcal{V}_{\lambda, \mathcal{F}_G}$ le fibré vectoriel correspondant.

Le diagramme

$$T \leftarrow B \hookrightarrow G$$

induit le diagramme fondamental des champs

$$\mathrm{Bun}_T \xleftarrow{q} \mathrm{Bun}_B \xleftarrow{q} \mathrm{Bun}_G. \qquad (4.3.1)$$

Soit $\mathcal{F}_T^0$ le $T$-torseur trivial sur $X$. Alors l'image inverse

$$q^{-1}(\mathcal{F}_T^0) = \mathrm{Bun}_N \subset \mathrm{Bun}_G.$$

Plus généralement, pour un $T$-torseur $\mathcal{F}_T$ quelconque, on va désigner

$$\mathrm{Bun}_N^{\mathcal{F}_T} := q^{-1}(\mathcal{F}_T) \subset \mathrm{Bun}_G.$$

Ce champ admet la description « plückérienne » suivante.

Disons qu'une inclusion

$$i : \mathcal{E}' \hookrightarrow \mathcal{E}$$

de faisceaux localement libres sur $X$ est maximale, ou bien est un morphisme des fibrés vectoriels, si Coker $i$ est localement libre.
**Le champ Bun<sub>N</sub><sup>F<sub>T</sub></sup> classifie les données suivantes :**

(a) un $G$-torseur $\mathcal{F}_G$;

(b) pour tout $\lambda \in \Lambda^{++}$ une inclusion

$$ \kappa_{\lambda} : \mathcal{L}_{\mathcal{F}_T}^{\lambda} \hookrightarrow \mathcal{V}_{\lambda, \mathcal{F}_G} $$

qui est maximale.

Ici $\mathcal{L}_{\mathcal{F}_T}^{\lambda}$ est le fibré linéaire égal au $\mathbb{G}_m$-torseur image directe de $\mathcal{F}_T$ par $\lambda : T \to \mathbb{G}_m$.

Les $\kappa_{\lambda}$ doivent satisfaire les **relations de Plücker** :

pour tous $\lambda, \mu \in \Lambda^{++}$ le carré

$$ \begin{array}{ccc} \mathcal{L}_{\mathcal{F}_T}^{\lambda} \otimes \mathcal{L}_{\mathcal{F}_T}^{\mu} & \xrightarrow{\sim} & \mathcal{L}_{\mathcal{F}_T}^{\lambda+\mu} \\ \kappa_{\lambda} \otimes \kappa_{\mu} \downarrow & \downarrow & \kappa_{\lambda+\mu} \\ \mathcal{V}_{\lambda,P} \otimes \mathcal{V}_{\mu,P} & \longrightarrow & \mathcal{V}_{\lambda+\mu,P} \end{array} \qquad (Pl) $$

est commutatif.

Cette description est équivalente au plongement de Plücker

$$ G/B \hookrightarrow \prod_{\lambda \in \Lambda^{++}} \mathbb{P}V_{\lambda} $$

La compactification de Drinfeld de $\overline{\text{Bun}}_N^{\mathcal{F}_T}$ est le champ $\overline{\text{Bun}}_N^{\mathcal{F}_T}$ qui clas- sifie les données (a) et (b) comme ci-dessus, mais on ne demande plus que les $\kappa_{\lambda}$ soient maximales.

Quand on fait varier le $T$-torseur $\mathcal{F}_T$ on obtient le champ $\overline{\text{Bun}}_B$, une compactification relative du morphisme $p$.

### 4.4. Faisceaux de Whittaker

Voici une élaboration de la construction précédente. Soient $\bar{x} = \{x_1, \dots, x_n\} \subset X$ des points, pas forcement distincts.

(a) Par définition, le champ algébrique $\mathfrak{M}_{\bar{x}}$ classifie les données suivantes :

- un $G$-torseur $P$;

- pour tout $\lambda \in \Lambda^+$ un morphisme

$$ \kappa_{\lambda} : \omega^{(\lambda, \rho^{\vee})} \longrightarrow \mathcal{V}_{\lambda, P} \qquad (4.4.1) $$

différent de 0, avec des pôles possibles en $x_1, \dots, x_n$.
Les $\kappa_\lambda$ doivent satisfaire les relations de Plücker (Pl) ci-dessus.

Donc, grosso modo, le champ $\mathfrak{M}_{\bar{x}}$ classifie les $G$-torseurs munis d'une réduction à $B$ dehors $\bar{x}$.

Si on fait varier les points $\{x_1, \dots, x_n\}$, on obtient le champ $\mathfrak{M}_n$ au-dessus de $X^n \setminus \cup(\text{diagonales})$.

(b) *Caractère* $\psi$. Soit $y \in X$ un point ; soient $D_y = \text{Spec } O_y$ le disque formel autour de $y$, $D_y^\times = D_y \setminus \{y\} = \text{Spec } K_y$ le disque pointé.

Soient $\omega_B^{\rho^\vee \times}$ (resp. $\omega_B^{\rho^\vee}$) le $B$-torseur sur $D_y^\times$ (resp. sur $D_y$) induit de $\omega^{\rho^\vee}$ par $T \mapsto B$.

Soit $\mathcal{B}_y^\times$ (resp. $\mathcal{B}_y$) le groupe d'automorphismes de $\omega_B^{\rho^\vee \times}$ (resp. de $\omega_B^{\rho^\vee}$). Le premier groupe est un ind-schéma en groupes et le second est un schéma en groupes. Soient

$$ \mathcal{N}_y^\times = \text{Ker}(\mathcal{B}_y^\times \to T(K_y)), \quad \mathcal{N}_y = \text{Ker}(\mathcal{B}_y \to T(O_y)). $$

On a un morphisme

$$ \psi_y : \mathcal{N}_y^\times / [\mathcal{N}_y^\times, \mathcal{N}_y^\times] \xrightarrow{\sim} (\omega_{D_y^\times})^r \xrightarrow{\text{Res}} \mathbb{G}_a $$

où Res est la somme des résidus.

(c) Supposons que $y \notin \bar{x}$. Soit

$$ U_y(\mathfrak{M}_{\bar{x}}) \subset \mathfrak{M}_{\bar{x}} $$

un sous-champ ouvert qui classifie les données comme dans (a), telles que les morphismes $\kappa_\lambda$ soient maximaux dans un voisinage de $y$.

Par définition un point

$$ \alpha = (\mathcal{F}_G, \phi) \in U_y(\mathfrak{M}_{\bar{x}}) $$

se restreint à $D_y$

$$ \alpha_{D_y} = (\mathcal{F}_G|_{D_y}, \phi|_{D_y}) \in \text{Bun}_{B,D_y} \subset \overline{\text{Bun}_{B,D_y}} $$

et donc définit un $B$-torseur $\mathcal{F}_{B,D_y}$ au-dessus de $D_y$ avec une immersion de $T$-torseurs

$$ \omega_{D_y}^{\rho^\vee} \hookrightarrow i^* \mathcal{F}_{B,D_y} $$

où $i : T \hookrightarrow B$.
Soit $\tilde{U}_y(\mathfrak{M}_{\bar{x}})$ le champ qui classifie les même données comme $U_y(\mathfrak{M}_{\bar{x}})$, avec un choix complémentaire d'un isomorphisme de $B$-torseurs

$$ \beta_y : \mathcal{F}_{B,D_y} \xrightarrow{\sim} i_* \omega_{D_y}^{\rho} $$

sur $D_y$.

Ce champ est un $\mathbb{N}_y$-torseur sur $U_y(\mathfrak{M}_{\bar{x}})$, et le groupe «méromorphe» $\mathbb{N}_y^\times$ agit sur $\tilde{U}_y(\mathfrak{M}_{\bar{x}})$.

(Cette action est analogue à l'action de l'algèbre de Virasoro sur l'espace de modules des couples $(C, \beta_c)$ où $C$ est une courbe lisse, $c \in C$, et $\beta_c : O_c \xrightarrow{\sim} \mathbb{C}((t))$ est une coordonnée en $c$, cf. [4].)

(d) **Catégorie Whit$_{\bar{x}}$.** Soit $Whit_{\bar{x};y}(G)$ la sous-catégorie pleine de $\mathcal{D}$-mod($\tilde{U}_y(\mathfrak{M}_{\bar{x}})$) des $\mathcal{D}$-modules $(\mathbb{N}_y^\times, \psi_y)$-équivariants. Puisque $\psi_y$ est tri- vial sur $\mathbb{N}_y \subset \mathbb{N}_y^\times$, on peut l'identifier avec une sous-categorie pleine de $\mathcal{D}$-mod($U_y(\mathfrak{M}_{\bar{x}})$).

Le champ $\mathfrak{M}_x$ est la réunion des $U_y(\mathfrak{M}_{\bar{x}})$. Plus généralement, pour tout $y_1 \neq y_2$ on pose

$$ U_{y_1,y_2}(\mathfrak{M}_{\bar{x}}) = U_{y_1}(\mathfrak{M}_{\bar{x}}) \cap U_{y_2}(\mathfrak{M}_{\bar{x}}) $$

et on introduit de la même façon la sous-catégorie pleine

$$ \mathrm{Whit}_{\bar{x};y_1,y_2}(G) \subset \mathcal{D}\text{-mod}(U_{y_1,y_2}(\mathfrak{M}_{\bar{x}})) $$

en utilisant la $\mathbb{N}_{y_1,y_2}$-équivariance, où $\mathbb{N}_{y_1,y_2} := \mathbb{N}_{y_1} \times \mathbb{N}_{y_2}$.

On vérifie que, étant donné un $\mathcal{D}$-module $\mathcal{M} \in \mathcal{D}$-mod($U_{y_1}(\mathfrak{M}_{\bar{x}})$), sa restriction

$$ \mathcal{M}_{U_{y_1,y_2}(\mathfrak{M}_{\bar{x}})} \in \mathrm{Whit}_{\bar{x};y_1,y_2}(G) $$

si et seulement si $\mathcal{M} \in \mathrm{Whit}_{\bar{x};y_1}(G)$.

Ceci permet de définir $Whit_{\bar{x}}(G)$ comme sous-catégorie pleine de $\mathcal{D}$-mod($\mathfrak{M}_{\bar{x}}$) dont les objets sont des $\mathcal{D}$-modules $\mathcal{M}$ tels que pour tout $y \in X \setminus \bar{x}$, $\mathcal{M}|_{U_y(\mathfrak{M}_{\bar{x}})} \in \mathrm{Whit}_{\bar{x};y}(G)$.

On démontre dans [11] que c'est une catégorie semi-simple dont les objets simples $\mathcal{F}(\bar{\lambda})$ sont numérotés par $n$-uples $\bar{\lambda} = (\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ de poids dominants.

Supposons que $n = 1$. Dans [11] on définit l'action par convolution

$$ \star : \mathrm{Hecke}(G) \times \mathrm{Whit}_x(G) \to \mathrm{Whit}_x(G) $$
(cf. op. cit. 5.3). et démontre que l'association

$$S \mapsto S \star \mathcal{F}(0)$$

définit une équivalence de catégories

$$\mathcal{H}ecke(G) \xrightarrow{\sim} Whit_x(G). \qquad (4.4.2)$$

Cette équivalence est une version géométrique de l'isomorphisme (4.2.1).

On peut faire varier les points $x_i$ ; de cette façon on obtient la catégorie

$$Whit_n(G) \subset \mathcal{D}\text{-mod}(\mathfrak{M}_n).$$

### 4.5. Faisceaux de Whittaker tordus

On introduit une version déformée de la catégorie précédente en passant aux $\mathcal{D}$-modules tordus.

Rappelons le fibré linéaire canonique $\mathcal{L}_{Bun_G}$ au-dessus de $Bun_G$ cf. 1.3. Les champs $Ch = U_y(\mathfrak{M}_n)$, $\tilde{U}_y(\mathfrak{M}_n)$, etc. sont munis de morphismes canoniques d'oubli vers $Bun_G$ ; on va noter $\mathcal{L}_{Ch}$ l'image inverse de $\mathcal{L}_{Bun_G}$ sur $Ch$. Étant donné $c \in \mathcal{C}$, on désigne par $\mathcal{D}\text{-mod}^c(Ch)$ la catégorie de $\mathcal{D}$-modules sur $\mathcal{L}_{Ch}^{\otimes c}$-tordus.

On démontre que l'action de $\mathfrak{N}_y^\times$ sur $U_y(\mathfrak{M}_n)$ se relève à $\mathcal{L}_{U_y(\mathfrak{M}_n)}$.

En procédant comme dans 4.3, on obtient les catégories de Whittaker tordus

$$Whit_{\bar{x}}^c(G) \subset \mathcal{D}\text{-mod}^c(\mathfrak{M}_{\bar{x}}), \quad Whit_n^c(G) \subset \mathcal{D}\text{-mod}^c(\mathfrak{M}_n).$$

On va désigner

$$Whit^c(G) := Whit_x^c(G)$$

pour un point $x \in X$. En utilisant $Whit_2^c(G)$, on peut introduire sur $Whit^c(G)$ une structure de catégorie monoidale tressée.

### 4.6. Le résultat principal de Gaitsgory est la construction géométrique d'une équivalence des catégories tensorielles

$$g': Whit^c(G) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Rep}(U_q G^{\vee}),$$

où $q = e^{\pi i c}$ n'est pas une racine de l'unité.

Cette équivalence vient par l'intermédiaire d'une équivalence

$$f: \mathcal{F}\mathcal{S}^c(G^{\vee}) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Rep}(U_q G^{\vee})$$
établie dans [8]. Ici $\mathcal{FS}^c(G^\vee)$ est la catégorie des faisceaux factorisables («factorizable sheaves») ; ces objets sont certains systèmes compatibles de $\mathcal{D}$-modules (tordus) sur les espaces de configurations $X^{\lambda^\vee}$ indexés par les copoids $\lambda^\vee \in \Lambda_+^\vee$.

Pour tout $\lambda^\vee$ Finkelberg et Mirkovic ont défini les espaces $Z_x^{\lambda^\vee}$ de zas-tavas munis de deux morphismes

$$ \mathfrak{M}_x \xleftarrow{a_{\lambda^\vee}} \mathfrak{Z}_x^{\lambda^\vee} \xrightarrow{b_{\lambda^\vee}} \mathfrak{X}^{\lambda^\vee}, $$

cf. [9]. Les fibres de $b_{\lambda^\vee}$ sont des sous-schémas de produits des Grassmanniennes $Gr_G$.

Étant donné un faisceau de Whittaker $\mathcal{F} \in \text{Whit}^c(G)$, Gaitsgory pose

$$ g(\mathcal{F})_{\lambda^\vee} = b_{\lambda^\vee *} a_\lambda^{\vee!}(\mathcal{F}) $$

et démontre que $g(\mathcal{F}) = \{g(\mathcal{F})_{\lambda^\vee}\} \in \mathcal{FS}^c_x(G^\vee)$. De cette façon il obtient une équivalence de catégories

$$ g : \text{Whit}^c(G) \xrightarrow{\sim} \mathcal{FS}^c(G^\vee), $$

d'où $g' = f \circ g$, pour $c \notin \mathbb{Q}$.

Cela sera expliqué en plus de details dans §5, 6 suivants.

# 5. Faisceaux factorisables

## 5.1. Espaces de configurations

Soit $X$ une courbe lisse sur $\mathbb{C}$ comme ci-dessus. Considérons le groupe

$$ \text{Div}(X) = \{\sum n_j z_j \mid n_j \in \mathbb{Z}, z_j \in X\} $$

de diviseurs de $X$. Pour tout $n \ge 0$ soit

$$ \text{Div}_+^n(X) = \{\sum n_j z_j \mid \sum n_j = n, \forall j, n_j \ge 0\} \subset \text{Div}(X) $$

le sous-ensemble des diviseurs effectifs de degré $n$ ; c'est l'ensemble des $\mathbb{C}$-points de la $n$-ème puissance symétrique $X^{(n)}$.

Plus généralement, soit $M = \mathbb{Z}^r$ avec la base canonique $e_1, \dots, e_r$. Pour $\mu = \sum m_i e_i \in M$ écrivons $\mu \ge 0$ si tout $m_i \ge 0$ ; on note $M_+ = \{\mu \in M \mid \mu \ge 0\}$.
Appelons un M-diviseur une somme formelle $\sum \mu_j z_j$, $\mu_j \in M$, $z_j \in X$ ;
ces diviseurs forment le groupe abélien

$$
\mathrm{Div}(X; M) = \mathrm{Div}(X) \otimes_{\mathbb{Z}} M.
$$

Soit $\mu = m_i e_i \in M$, $\mu \ge 0$. On désigne par $X^\mu$ le schéma classifiant des M-diviseurs effectifs sur $X$ de degré $\mu$ :

$$
\mathrm{Div}(X; M)_+^\mu := \{ \sum \mu_j z_j \mid \sum \mu_j = \mu, \text{ tous } \mu_j \ge 0 \}.
$$

On a

$$
X^{\mu} \cong \prod_{i=1}^{r} X^{(m_i)}.
$$

5.2. Faisceaux standards et factorisation

Dans 5.2-5.4 on supposera que $X = \mathbb{A}^1$. Supposons que $M$ est muni
d'une forme bilinéaire symétrique

(,) : $M \times M \to \mathbb{Z}$

et fixons un nombre $\kappa \in \mathbb{C}^*$.

Munissons tout $X^\mu$ de la stratification diagonale $S^\mu$ et désignons par $\mathcal{M}_{S^\mu}(X^\mu)$ la catégorie abélienne des faisceaux pervers sur $X^\mu$ lisses le long de $S^\mu$.

Soit

$$
\mu = \sum m_i e_i \in M_+, m = |\mu| := \sum m_i
$$

On désigne $[m] := \{1, \dots, m\}$.

Fixons une application $\phi : [m] \to [r]$ avec $\mathrm{Card} \, \phi^{-1}(i) = m_i$ pour tout $i$.

On peut imaginer les points de $X^\mu$ comme des collections $(z_1, \dots, z_m)$
des points des $X$, chaque $z_p$ étant marqué par le vecteur $e_{\phi(p)}$, et où les
points marqués par le même vecteur sont identifiés.

Soit

$$
j^{\mu} : X_{0}^{\mu} = \{(z_{p}) | z_{r} \neq z_{s} \forall r \neq s\} \hookrightarrow X^{\mu}
$$

la strate ouverte. On définit le système local $\mathcal{L}^{\mu'}$ de rang 1 sur $X_0^\mu$ ayant la
monodromie

$$
e^{2\pi i (e_{\phi(r)}, e_{\phi(s)}) / \kappa}
$$

quand $z_r$ passe autour $z_s$.
Soit de plus $\text{Sign}^\mu$ le système local de rang 1 sur $X_0^\mu$ correspondant à
la représentation signe du sous-groupe symétrique « de Levi »

$$
\mathrm{sign}_{\mu} : \Sigma_{\mu} \to \{\pm 1\}, \quad \Sigma_{\mu} := \prod_{i} \Sigma_{m_i} \subset \Sigma_{|\mu|}.
$$

On définit

$$
\mathcal{L}^{\mu} = \mathcal{L}^{\mu'} \otimes \mathrm{Sign}^{\mu},
$$

d'où le faisceau

$$
\mathcal{L}_{|*}^{\mu} = j_{|*}^{\mu} \mathcal{L}^{\mu} \in \mathcal{M}_{S^{\mu}}(X^{\mu}).
$$

Ces faisceaux possèdent la propriété de factorisation fondamentale suivante.

Soient $U, V \subset X$ deux ouverts disjoints et $\mu, \nu \in M_+$. Alors

$$
U^{\mu} \times V^{\nu} \subset X^{\mu+\nu}.
$$

On a des isomorphismes canoniques

$$
\psi_{\mu,\nu}^{U,V} : \mathcal{L}_{|*}^{\mu+\nu}|_{U^{\mu} \times V^{\nu}} \xrightarrow{\sim} \mathcal{L}_{U!*}^{\mu} \boxtimes \mathcal{L}_{V!*}^{\nu} \quad (5.2.1)
$$

qui satisfont la propriété d'associativité évidente qui correspond à trois ou-
verts disjoints U, V, W et à 3 éléments µ, ν, λ ∈ M_+ (cf. (5.3.2) ci-dessous).

5.3. Fixons un point $x \in X$ et considérons la stratification $S_x^\mu$ de $X^\mu$ dont les strata sont les intersections des hypersurfaces $\{z_p = z_q\}$ et $\{z_p = x\}$.

Un faisceau factorisable est une collection $\mathcal{F} = \{(\mathcal{F}_\mu, \phi_{\mu\nu})_{\mu,\nu\in M_+}\}$ où $\mathcal{F}_\mu \in \mathcal{M}_{S_x^\mu}(X^\mu)$ et où $\phi_{\mu\nu}$ est une collection d'isomorphismes

$$
\phi_{\mu, \nu}^{U,V} : \mathcal{F}^{\mu+\nu}|_{U^{\mu} \times V^{\nu}} \xrightarrow{\sim} \mathcal{F}_{U}^{\mu} \boxtimes \mathcal{L}_{V!*}^{\nu} \quad (5.3.1)
$$

donnés pour toute paire d'ouverts disjoints $U, V \subset X$ avec $x \in U$ et tels que
pour tout triple d'ouverts disjoints $U, V, W, x \in U$, et $\mu, \nu, \lambda \in M_+$ le carré

$$
\mathcal{F}^{\mu+\nu+\lambda}|_{U^{\mu} \times V^{\nu} \times W^{\lambda}} \xrightarrow{\phi_{\mu+\nu,\lambda}} \mathcal{F}^{\mu+\nu}|_{U^{\mu} \times V^{\nu}} \boxtimes \mathcal{L}_{W!*}^{\lambda} \\
\phi_{\mu,\nu+\lambda} \downarrow \qquad \downarrow \phi_{\mu,\nu} \tag{5.3.2}
$$

$$
\mathcal{F}_U^\mu \boxtimes \mathcal{L}_{|*}^{\nu+\lambda} |_{V^\nu \times W^\lambda} \xrightarrow{\psi_{\nu,\lambda}} \mathcal{F}_U^\mu \boxtimes \mathcal{L}_{V!*}^\nu \boxtimes \mathcal{L}_{W!*}^\lambda
$$

est commutatif.

En utilisant des foncteurs de cycles évanescents en $x$, on associe à $\mathcal{F}$ un
C-espace $M$-gradué

$$
\Phi_x(\mathcal{F}) = (\Phi_x(\mathcal{F}_\mu))
$$
On dit que $\mathcal{F}$ est fini si les espaces $\Phi_x(\mathcal{F}_\mu)$ sont nuls sauf un nombre fini.

Avec des morphismes définis convénablement, on obtient la catégorie des faisceaux factorisables (« factorizable sheaves ») finis $\mathcal{F}\mathcal{S}_x^\kappa(M) = \mathcal{F}\mathcal{S}_x^\kappa(\mathbb{A}^1; M)$.

De la même façon on introduit les catégories $\mathcal{F}\mathcal{S}_{\bar{x}}^{\kappa}(X; M)$ pour un $n$-uple $\bar{x} = (x_1, \dots, x_n)$ de points de $X$, $n \ge 1$ arbitraire. En faisant varier les points $x_i$, on obtient les catégories $\mathcal{F}\mathcal{S}_n^\kappa(X; M)$

En particulier, en utilisant les catégories $\mathcal{F}\mathcal{S}_{x_1,x_2}^{\kappa}(\mathbb{A}^1; M)$, on introduit sur $\mathcal{F}\mathcal{S}_x^{\kappa}(M)$ une structure de catégorie monoïdale tressée.

**5.4.** Maintenant prénons pour $M$ le réseau des poids d'un système de racines fini $R$, muni d'un produit scalaire $W$-invariant. Le résultat principal de [8] dit que le foncteur de cycles évanescents à $x$ établit une équivalence de catégories monoïdales tressées

$$ \Phi_x : \mathcal{F}\mathcal{S}_x^\kappa(M) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Rep}(u_q g) \qquad (5.4.1) $$

où $q = e^{2\pi i/\kappa}$. Ici $\mathrm{Rep}(u_q g)$ est la catégorie de représentations de dimension finie du groupe quantique «petit» de Lusztig $u_q g$, où $g$ est l'algèbre de Lie semi-simple correspondant à $R$.

Si $q$ n'est pas une racine de l'unité (le seul cas qui nous intéressera), $u_q g$ coïncide avec le groupe quantique usuel $U_q g$.

**5.5.** Gaitsgory traduit les constructions précédentes dans le langage des $D$-modules tordus, ce qui lui permet de définir les categories $\mathcal{F}\mathcal{S}_{\bar{x}}^{\kappa}(X)$ pour une courbe lisse quelconque.

Soit $X$ une courbe lisse. On considère le réseau $M = \Lambda^\vee$. Pour chaque $\mu^\vee \in \Lambda_+^\vee$ Gaitsgory définit (en utilisant les Jacobiennes) un fibré inversible $L^{\mu^\vee}$ sur $X^{\mu^\vee}$ ; il est canoniquement trivialisé au-dessus de la strate ouverte $X^{\mu^\vee}$.

Quand $\mu^\vee$ varie, ces fibrés forment une famille factorisable. La notation $\mathcal{D}\text{-mod}^c(X^{\mu^\vee})$ signifie des $\mathcal{D}$-modules $(L^{\mu^\vee})^{\otimes c}$-tordus.

En modifiant les définitions de 5.3, on définit la notion d'un faisceau factorisable (fini) $\mathcal{F} = \{\mathcal{F}_{\mu^\vee}\}$ où $\mathcal{F}_{\mu^\vee} \in \mathcal{D}\text{-mod}_{S_{\bar{x}}}^c(X^{\mu^\vee})$. Ces faisceaux forment une catégorie semi-simple notée $\mathcal{F}\mathcal{S}_{\bar{x}}^c(G^\vee)$ ; en faisant varier les points $x_1, \dots, x_n$, on obtient la catégorie $\mathcal{F}\mathcal{S}_n^c(G^\vee)$

Pour $X = \mathbb{A}^1$ on revient à la définition 5.3, avec $c = 1/\kappa$.
## 6. Zastavas

Dans ce paragraphe on fait jouer le sous-groupe de Borel opposé $B_− \subset G$, suivant [9].

**6.1.** Pour $\mu^\vee \in \Lambda^\vee$ soit $Bun_{B_−}^{\mu^\vee}$ le champ de $B_-$-torseurs sur $X$ de degré $(2g-2)\rho^\vee - \mu^\vee$.

On peut décrire ce champ comme classifiant les données suivantes :

- un $G$-torseur $\mathcal{F}_G$;

- un $T$-torseur $\mathcal{F}_T$ tel que pour chaque $\lambda \in \Lambda = \operatorname{Hom}(T, \mathbb{G}_m)$ le degré du $\mathbb{G}_m$-torseur, i.e. du fibré linéaire $\lambda_*\mathcal{F}_T$ est égal à

$$ \langle \lambda, (2g-2)\rho^{\vee} - \mu^{\vee} \rangle $$

- une collection d'épimorphismes

$$ \kappa_{-}^{\lambda}: V_{\mathcal{F}_{G}}^{\lambda} \to \lambda_{*} \mathcal{F}_{T} $$

dont les conoyaux soient localement libres et qui satisfont aux relations de Plücker.

**6.2.** L'espace de $\mu^\vee$-zastavas est le sous-champ ouvert

$$ Z_{n}^{\mu^{\vee}} \subset \mathfrak{M}_{n} \times_{Bun_{G}} Bun_{B_{-}}^{\mu^{\vee}} $$

qui correspond à la condition que les composées

$$ \omega^{\langle \lambda, \rho \rangle} \xrightarrow{\kappa^{\lambda}} V_{\mathcal{F}_G}^{\lambda} \xrightarrow{\kappa_{-}^{\lambda}} \lambda_* \mathcal{F}_T \qquad (6.2.1) $$

soient différentes de 0.

En prenant le diviseur des zéros et des pôles de (6.2.1), on obtient le morphisme canonique

$$ \pi_{\mu^{\vee}} : Z_{n}^{\mu^{\vee}} \to X_{n}^{\mu^{\vee}} $$

Quand $\mu^\vee$ varie, ces morphismes satisfont aux propriétés fondamentales de factorisarion, analogues à 5.2, 5.3.

D'un autre côté on a la projection canonique

$$ p_{-}^{\mu^{\vee}} : Z_{n}^{\mu^{\vee}} \to \mathfrak{M}_{n} $$
On introduit le faisceau inversible canonique sur $\mathcal{Z}_n^{\mu^{\vee}}$ par

$$ \mathcal{L}_{\mathcal{Z}_n, \mu^{\vee}} = p_{-}^{\mu^{\vee}*} \mathcal{L}_{\mathfrak{M}_n} $$

Il nous permet de définir pour tout $c \in \mathbb{C}$ la catégorie de $\mathcal{D}$-modules tordus $\mathcal{D}\text{-mod}^c(\mathcal{Z}_n^{\mu^{\vee}})$.

De plus, quand $\mu^{\vee} \in \Lambda_{+}^{\vee}$ varie, les fibrés $\mathcal{L}_{\mathcal{Z}_n, \mu^{\vee}}$ se factorisent.

### 6.3. On a deux morphismes

$$ \mathfrak{M}_n \xleftarrow{p_{-}^{\mu^{\vee}}} \mathcal{Z}_n^{\mu^{\vee}} \xrightarrow{\pi_{\mu^{\vee}}} X_n^{\mu^{\vee}} $$

Les deux fibrés inversibles sur $\mathcal{Z}_n^{\mu^{\vee}}$ sont canoniquement isomorphes :

$$ \mathcal{L}_{\mathcal{Z}_n, \mu^{\vee}} \xrightarrow{\sim} \pi_{\mu^{\vee}}^{*} \mathcal{L}^{\mu^{\vee}}. $$

Introduisons un foncteur

$$ p^{\mu^{\vee}} : D(\mathcal{D}\text{-mod}^c(\mathfrak{M}_n)) \to D(\mathcal{D}\text{-mod}^c(\mathcal{Z}_n^{\mu^{\vee}})) $$

par

$$ p^{\mu^{\vee}}(\mathcal{F}) = p_{-}^{\mu^{\vee 1}}(\mathcal{F})[\dim \mathcal{B}un_G - \dim \mathcal{B}un_{B_{-}}^{\mu^{\vee}}] $$

On définit les foncteurs

$$ G_{\mu^{\vee}} := \pi_{*}^{\mu^{\vee}} \circ p^{\mu^{\vee}} : D(\mathcal{D}\text{-mod}^c(\mathfrak{M}_n)) \to D(\mathcal{D}\text{-mod}^c(X_n^{\mu^{\vee}})) $$

Supposons dorénavant que $c$ soit irrationnel. Rappellons que la catégorie de Whittaker $Whit_n^c(G)$ s'identifie par définition à une sous-catégorie semi-simple pleine de $\mathcal{D}\text{-mod}^c(\mathfrak{M}_n)$.

#### 6.3.1. Proposition

$$ \text{Si } \mathcal{F} \in \text{Whit}_n^c(G) \text{ alors } G_{\mu^{\vee}}(\mathcal{F}) \in \mathcal{M}^c(X_n^{\mu^{\vee}}). $$

Ici $\mathcal{M}^c(X_n^{\mu^{\vee}}) \subset D(\mathcal{D}\text{-mod}^c(X_n^{\mu^{\vee}}))$ désigne la sous-catégorie abélienne des $\mathcal{D}$-modules (tordus) holonômes aux singularités régulières.

### 6.4. Supposons d'abord que $n = 0$. On a l'objet $\mathcal{W}_0 \in \text{Whit}_0(G)$, le « vacuum Whittaker sheaf » qui joue le rôle d'une « algèbre », les autres faisceaux de Whittaker étant des « modules » sur cette « algèbre ». Gaitsgory démontre que

$$ G_{\mu^{\vee}ee}(\mathcal{W}_0^{\mu^{\vee}}) = \mathcal{L}_{!*}^{\mu^{\vee}} $$
Ensuite, en utilisant la factorisation des espaces de zastavas, on munit la famille {$G_{\mu^\vee}(\mathcal{F})$} d'une structure de faisceau factorisé, d'où le foncteur

$$ G : \mathrm{Whit}_n^c(G) \to \mathcal{FS}_n^c(G^\vee) \qquad (6.4.1) $$

qui est une équivalence. Ceci est le résultat principal de Gaitsgory.

# 7. Kazhdan-Lusztig et la conjecture globale

## 7.1. Équivalence de Kazhdan-Lusztig

Dorénavant $G$ sera simple.

*Charge centrale.* Soit

$$ \mathrm{Kil} : \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g} \to \mathbb{C} $$

la forme de Killing. Étant donné $c$ comme ci-dessus, on pose dans ce paragraphe :

$$ \kappa = \kappa(c) = \frac{c - h^{\vee}}{2h^{\vee}} \cdot \mathrm{Kil} $$

où $h^{\vee}$ est le nombre de Coxeter dual de $\mathfrak{g}$.

Soit $d = \mathrm{racine carrée}$ du quotient des longueurs de la plus longue et de la plus courte racine de $\mathfrak{g}$.

$$ \textit{Quantités duales.} \ c^{\vee} = 1/cd, \ q^{\vee} = e^{\pi ic^{\vee}}, \ \kappa^{\vee} = \kappa(c^{\vee}). $$

Sur $\mathfrak{g}^{\vee}$ on définit la forme invariante $\kappa^{\vee}$ de la façon suivante. Soient

$$ B_{\mathfrak{h}} = (\kappa + \mathrm{Kil}(\mathfrak{g})/2)|_{\mathfrak{h}}, \quad B_{\mathfrak{h}^{\vee}} = (\kappa^{\vee} + \mathrm{Kil}(\mathfrak{g}^{\vee})/2)|_{\mathfrak{h}^{\vee}}. $$

On demande que

$$ B_{\mathfrak{h}} : \mathfrak{h} \to \mathfrak{h}^{\vee} $$

soit égal à $B_{\mathfrak{h}^{\vee}}^{-1}$ où l'on identifie $\mathfrak{h}^{\vee} = \mathfrak{h}^*.$

$$ \textit{Catégorie } \mathcal{KL}^{\kappa}(G). \text{ Soient } O = \mathbb{C}[[t]] \subset K = \mathbb{C}((t)). $$

Soit $\hat{\mathfrak{g}}(K)$ l'algèbre affine de Kac - Moody, l'extension centrale de $\mathfrak{g}(K)$. Par définition, $\mathcal{KL}^{\kappa}(G)$ est la sous-catégorie de la catégorie $\hat{\mathfrak{g}}(K)$-mod$^{\kappa}$ dont les objets sont les représentations pour lesquelles l'action de $\mathfrak{g}(O) \subset \mathfrak{g}(K)$ s'intègre à $G(O)$.

Kazhdan et Lusztig munissent $\mathcal{KL}^{\kappa}(G)$ d'une structure de catégorie monoïdale tressée, [17], et établissent une équivalence

$$ \mathcal{KL}^{\kappa}(G) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Rep}(U_{q^{\vee}}(G)). $$
## 7.2. Conjecture D

Supposons que $c \notin \mathbb{Q}$. Il existe une équivalence

$$ \mathcal{KL}^{\kappa}(G) \xrightarrow{\sim} \mathcal{FS}^{c^{\vee}}(G). $$

En combinant cette équivalence avec (6.4.1), on obtient

## 7.3. Conjecture E

Il existe une équivalence

$$ \mathrm{Whit}^c(G) \xrightarrow{\sim} \mathcal{KL}^{\kappa^{\vee}}(G^{\vee}). $$

On attend que cela soit vrai pour tout $c$, pas forcément irrationnel.

En faisant tendre ici $c \to 0$ et en appliquant l'équivalence de Satake géométrique (3.4.1), on retrouvera l'équivalence (4.4.2) entre la catégorie de Whittaker $\mathrm{Whit}(G)$ et la catégorie sphérique $\mathrm{Hecke}(G)$.

### Passage du local au global

Maintenant on va, suivant Gaitsgory, relier les conjectures précédentes à celles de §2.

## 7.4. Uniformisation

Pour motiver le considérations ci-dessous, considérons un exemple classique. Soient $G = SL_2(\mathbb{R}) \supset K = SO(2)$, $\Gamma \subset G$ un sous-groupe discret,

$$ \pi : H := G/K \to \Gamma \backslash H \qquad (7.4.1) $$

la projection canonique. Les fonctions sphériques habitent sur $H$ ; les fonctions automorphes habitent sur $\Gamma \backslash H$. On a deux applications entre les espaces de fonctions

$$ \begin{gathered} \mathrm{Fun}(H) \xrightarrow{\pi_*} \mathrm{Fun}(\Gamma \backslash H) = \mathrm{Fun}(H)^{\Gamma}, \\ \pi^* f(x) = \pi(f(x)), \quad \pi_* g(y) = \sum_{\gamma \in \Gamma} g(\gamma y), \end{gathered} $$

la deuxième application s'appelle « la série de Poincaré ».

Voici une version algébrique d'une uniformisation. Soient $X$ une courbe lisse propre connexe sur $\mathbb{C}$, $\bar{x} = \{x_1, \dots, x_n\} \subset X$ des points distincts, $X' = X \backslash \bar{x}$, $G$ un groupe réductif connexe, $\Gamma = G(\Gamma(X'; \mathcal{O}_X))$.
Soit $Gr_{\bar{x}}$ le ind-schéma de modules des données $(P, \phi)$ où $P$ est un $G$-torseur au-dessus de $X$ et où $\phi$ est une trivialisation

$$ \phi : P|_{X'} \xrightarrow{\sim} X' \times G. $$

La projection canonique

$$ \pi : Gr_{\bar{x}} \cong \prod_{i=1}^{n} G(K_{x_i})/G(O_{x_i}) \to Bun_G = \Gamma\backslash Gr_{\bar{x}} \quad (7.4.2) $$

est un analogue de (7.4.1). Elle est similaire à «l’uniformisation de Virasoro» de l’espace de modules des courbes, cf. [4, 4.1].

**7.5.** Le foncteur d’image directe correspondant au morphisme de champs $\mathfrak{M}_{\bar{x}} \to Bun_G$ induit le foncteur «série de Poincaré»

$$ \text{Poinc : } \prod_{i=1}^{n} \mathcal{Whit}_{x_i}^{c}(G) \to D(\mathcal{D}\text{-mod}^{c}(\text{Bun}_G)) $$

(adjoint à droite du foncteur «coefficient de Whittaker»).

D’un autre côté, fixons des coordonnées locales $t_i$ en $x_i$, d’où les isomorphismes $K_{x_i} \cong K$. On va noter $\mathcal{KL}_{x_i}^{\kappa}(G)$ la catégorie $\mathcal{KL}^{\kappa}(G)$ correspondante.

On a le foncteur de localisation

$$ \text{Loc : } \prod_{i=1}^{n} \mathcal{KL}_{x_i}^{\kappa}(G) \to D(\mathcal{D}\text{-mod}^{\kappa}(\text{Bun}_G)) $$

Étant donnés des $\mathfrak{g}$-modules $V_i \in \mathcal{KL}_{x_i}^{\kappa}(G)$, $1 \le i \le n$, et $P \in Bun_G$, la fibre

$$ \text{Loc}(V_1, \dots, V_n)_P $$

se définit de la manière suivante. Soient $\mathfrak{g}_P$ le faisceau des algèbres de Lie sur $X$ associé à la représentaion adjointe de $G$ sur $\mathfrak{g}$ tordu par $P$, et $\mathfrak{g}_{P,out} = \Gamma(X', \mathfrak{g}_P)$.

L’algèbre de Lie $\mathfrak{g}_{P,out}$ agit sur $V_1 \otimes \dots \otimes V_n$. Par définition

$$ \text{Loc}(V_1, \dots, V_n)_P = H_*(\mathfrak{g}_{P,out}, V_1 \otimes \dots \otimes V_n) $$
## 7.6. Conjecture F

Le carré

$$ \begin{array}{ccc} \prod_{i=1}^{n} \mathrm{Whit}_{x_i}^{c}(G) & \xrightarrow{7.3} & \prod_{i=1}^{n} \mathcal{K}\mathcal{L}_{x_i}^{\kappa^{\vee}}(G^{\vee}) \\ \text{Poinc} \downarrow & & \downarrow \text{Loc} \\ D(\mathcal{D}\text{-mod}^c(\mathrm{Bun}_G)) & \xrightarrow{2.3} & D(\mathcal{D}\text{-mod}^{c\vee}(\mathrm{Bun}_{G^{\vee}})) \end{array} $$

est commutatif.

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