# Sur les variances attachées aux quelques familles d'ovaloides dans l'espace R3

Marius I Stoka

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Marius I Stoka. Sur les variances attachées aux quelques familles d'ovaloides dans l'espace R3. Annales de l'ISUP, 1977, XXII (3-4), pp.99-105. hal-04081072

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Submitted on 25 Apr 2023

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SUR LES VARIANCES ATTACHEES AUX QUELQUES FAMILLES

D'OVALOIDES DANS L'ESPACE R₃

Marius I. STOKA *

Soit $\mathbb{R}_3$ l'espace euclidien à trois dimensions de coordonnées $x,y,z$.

La mesure élémentaire cinématique dans cet espace est [3]
$$dK = dP \wedge d\Omega \wedge d\Psi$$

où $dP = dx \wedge dy \wedge dz$ , $d\Omega = |\sin \theta| d\varphi \wedge d\theta$ est l'élément d'aire sur la sphère unité et $\Psi$ est un angle de rotation.

Soit $K_o$ un ovaloïde fixe de volume $V_o$ , d'aire $S_o$ et pour lequel l'intégrale de la courbure moyenne est $\bar{H}_o$ et $K_1, \dots, K_m$ un système de m ovaloïdes aléatoires comme position, indépendants, uniformément répartis dans $\mathbb{R}_3$ , congruents avec un ovaloïde $K$ de volume $V_o$ , d'aire $S_o$ et pour lequel l'intégrale de la courbure moyenne est $\bar{H}$ et rencontrant $K_o$ .

Notons $K_m = K_o \cap (K_1 \cap \dots \cap K_m)$ et soit $v_m$ le volume de $K_m$ .

L.A. Santalo a déterminé [3] l'espérance mathématique de $v_m$

$$E[v_m] = \frac{(8\pi^2 v)^m v_o}{[8\pi^2(v_o+v)+2\pi(S_o\bar{H}+S\bar{H}_o)]^m} \quad (1)$$

<footnote>* Travail élaboré en qualité de Maître de Recherche à l'Institut de Statistique des Universités de Paris.</footnote>
Dans ce travail, nous déterminerons la variance de $v_m$.

1. - Soit :

$$I = \int_{\{K_i \cap K_o = \emptyset ; P_1, P_2 \in \mathcal{K}_m\}} dP_1 \, dP_2 \, dK_1 \dots dK_m$$

où $P_1$ et $P_2$ sont deux points indépendants.

Nous avons :

$$I = \int_{\{K_i \cap K_o \neq \emptyset\}} dK_1 \dots dK_m \int_{\{P_1 \in \mathcal{K}_m\}} dP_1 \int_{\{P_2 \in \mathcal{K}_m\}} dP_2 = \int_{\{K_i \cap K_o \neq \emptyset\}} v_m^2 dK_1 \dots dK_m \quad (2)$$

En échangeant l'ordre de l'intégration et compte tenu que $K_1, \dots, K_m$ sont indépendants entre eux, nous avons :

$$I = \int_{\{P_1, P_2 \in K_o\}} dP_1 \, dP_2 \quad \underbrace{\int_{\{P_1 P_2 \subset K_1\}} dK_1}_{\overline{\{P_1 P_2 \subset K_1\}}} \dots \underbrace{\int_{\{P_1 P_2 \subset K_m\}} dK_m}_{\overline{\{P_1 P_2 \subset K_m\}}}$$

$$= \int_{\{P_1, P_2 \in K_o\}} \left[ \underbrace{\int_{\overline{\{P_1 P_2 \subset K\}}} dK}_{\overline{\{P_1 P_2 \subset K\}}} \right]^m dP_1 \, dP_2 ,$$

où $P_1 P_2$ est le segment déterminé par les points $P_1$ et $P_2$.

Si nous notons par $\mu(K, \ell)$ la mesure de l'ensemble des segments de longueur $\ell$ intérieurs au $K$, compte tenu des propriétés d'invariance de la mesure cinématique [3], nous avons :

$$\int_{\{P_1 P_2 \subset K\}} dK = \mu(K, \overline{P_1 P_2}) ,$$

donc :

$$I = \int_{\{P_1, P_2 \in K_o\}} [\mu(K, \overline{P_1 P_2})]^m dP_1 \, dP_2 \quad (3)$$

Notons maintenant par $G$ la droite qui passe par $P_1$ et $P_2$ et soient $t_1, t_2$ les distances entre $P_1$ (respectivement $P_2$) et la projection orthogonale de l'origine $O$ sur la droite $G$.
Alors, nous avons la formule de Blaschke [1] :

$$dP_1 \wedge dP_2 = (t_1 - t_2)^2 dG \wedge dt_1 \wedge dt_2,$$

où $dG = |\sin \theta \cos \theta| dx \wedge dy \wedge d\varphi \wedge d\theta$, x et y étant les coordonnées du point d'intersection de la droite G avec le plan $xOy$ et $(\varphi, \theta)$ étant la direction de G.

Alors, en notant par $\alpha$ et $\beta$ les valeurs du t correspondant aux points d'intersection de la droite G avec $K_o$,

nous avons :

$$ 
\begin{align*}
& \int_{\{P_1, P_2 \in K_o\}} [\mu(K, \overline{P_1P_2})]^m dP_1 dP_2 \\
&= \int_{\{G \cap K_o \neq \emptyset\}} dG \int_{\alpha}^{\beta} \int_{\alpha}^{\beta} [\mu(K, |t_2 - t_1|)]^m (t_1 - t_2)^2 dt_1 dt_2 \tag{4} \\
&= 2 \int_{\{G \cap K_o \neq \emptyset\}} \Phi(K, m, \lambda) dG
\end{align*}
$$

où nous avons noté :

$$ \Phi(K, m, \lambda) = \int_{0}^{\lambda} \int_{0}^{v} [\mu(K, u)]^m u^2 \, du \, dv \quad (5) $$

$\lambda = \beta - \alpha$ étant la longueur de la corde interceptée par $K_o$ sur G.

Les formules (2), (3) et (4) nous donnent :

$$ \int_{\{K_i \cap K_o \neq \emptyset\}} v_m^2 dK_1 \cdots dK_m = 2 \int_{\{G \cap K_o \neq \emptyset\}} \Phi(K, m, \lambda) dG \quad (6) $$

Les ovaloïdes $K_1, \dots, K_m$ étant indépendants, nous avons :

$$ \int_{\{K_i \cap K_o \neq \emptyset\}} dK_1 \cdots dK_m = \int_{\{K_1 \cap K_o \neq \emptyset\}} dK_1 \cdots \int_{\{K_m \cap K_o \neq \emptyset\}} dK_m = \left[ \int_{\{K \cap K_o \neq \emptyset\}} dK \right]^m . $$

Nous avons la formule de Santalo [3] :

$$ \int_{\{K \cap K_o \neq \emptyset\}} dK = 8 \pi^2 (v_o + v) + 2 \pi (S_o \bar{H} + S \bar{H}_o) , $$
donc :

$$ \int_{\{K_i \cap K_o \neq \emptyset\}} dK_1 \cdots dK_m = [8 \pi^2 (V_o + V) + 2 \pi (S_o \bar{H} + S \bar{H}_o)]^m . \quad (7) $$

Les formules (6) et (7) nous donnent :

$$ E[v_m^2] = \frac{2 \int_{\{G \cap K_o \neq \emptyset\}} \Phi(K, m, \lambda) \, dG}{[8 \pi^2 (V_o + V) + 2 \pi (S_o \bar{H} + S \bar{H}_o)]^m} $$

Donc, la variance de $v_m$ est :

$$ \sigma^2(v_m) = \frac{1}{[8 \pi^2 (V_o + V) + 2 \pi (S_o \bar{H} + S \bar{H}_o)]^m} \quad (8) \\ \left\{ 2 \int_{\{G \cap K_o \neq \emptyset\}} \Phi(K, m, \lambda) \, dG - \frac{(8 \pi^2 V_o)^{2m} V_o^2}{[8 \pi^2 (V_o + V) + 2 \pi (S_o \bar{H} + S \bar{H}_o)]^m} \right\}, $$

où $\Phi(K, m, \lambda)$ est donné par (5).

2. - Nous considérons maintenant le cas particulier $K_o = \text{sphère de rayon } R_o$, $K = \text{cube de côté } a$.

Nous avons [4] :

$$ \mu(K, \ell) = \pi^2 a^3 - \frac{3 \pi^2 a^2}{2} \ell + 2 \pi a \ell^2 - \frac{\pi}{4} \ell^3 . $$

Alors, (5) nous donne :

$$ \Phi(K, m, \lambda) = \left(\frac{\pi}{4}\right)^m \int_0^\lambda \left[ \int_0^\nu \left(4\pi a^3 - 6\pi a^2 u + 8a u^2 - u^3\right)^m u \, du \right] \, dv $$

$$ = \left(\frac{\pi}{4}\right)^m \sum_{j_1+j_2+j_3+j_4=m} \frac{m!}{j_1! j_2! j_3! j_4!} \quad (9) $$

$$ \frac{\left(-1\right)^{j_2+j_4} 2^{j_1+j_2+3j_3} \prod_{3}^{j_2} \prod_{1}^{j_1+j_2} \frac{3j_1+2j_2+j_3}{3j_4+2j_3+j_2+4}}{(3j_4+2j_3+j_2+3)(3j_4+2j_3+j_2+4)} $$

Nous avons besoin de calculer les intégrales de la forme :

$$ \mathfrak{Y}_n = \int_{\{G \cap K_o \neq \emptyset\}} \lambda^n dG . $$
Les équations de la droite G sont :

$$ \frac{X - x}{\cos \varphi \sin \theta} = \frac{Y - y}{\sin \varphi \sin \theta} = \frac{Z}{\cos \theta}, $$

donc, la corde interceptée par la sphère $K_O$ sur G a la longueur :

$$ \lambda = 2 \sqrt{\sin^2 \theta (x \cos \varphi + y \sin \varphi)^2 - x^2 - y^2 + R_O^2}. $$

Il en résulte :

$$ y_n = 2^n \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \cos \theta \, d\theta \int_D \int_D [\sin^2\theta(x \cos \varphi + y \sin \varphi)^2 - x^2 - y^2 + R_O^2]^2 \, dx \, dy \quad (10) $$

$$ \text{où } D : \sin^2\theta(x \cos \varphi + y \sin \varphi)^2 - x^2 - y^2 + R_O^2 \geq 0. $$

En passant à des coordonnées polaires :

$$ \left\{ \begin{array}{l} x = \rho \cos \omega \\ y = \rho \sin \omega \end{array} \right. , $$

le domaine D devient :

$$ D' : 0 \le \omega < 2\pi, \quad 0 \le \rho \le \frac{R_O}{\sqrt{1 - \sin^2\theta \cos^2(\omega - \varphi)}} , $$

et nous avons :

$$ y = \int_D \int_D [\sin^2\theta(x \cos \varphi + y \sin \varphi)^2 - x^2 - y^2 + R_O^2]^2 \frac{\pi}{dx dy} $$

$$ = \int_0^{2\pi} d\omega \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{R_O}{\sqrt{1 - \sin^2\theta \cos^2(\omega - \varphi)}} (R_O^2 - \rho^2[1 - \sin^2\theta \cos^2(\omega - \varphi)])^2 \rho \, d\rho $$

ou en notant :

$$ \sqrt{R_O^2 - \rho^2[1 - \sin^2\theta \cos^2(\omega - \varphi)]} = \xi, $$

$$ y = \int_0^{2\pi} \frac{d\omega}{1 - \sin^2\theta \cos^2(\omega - \varphi)} \int_0^{R_O} \xi^{n+1} d\xi $$
$$ \mathcal{Y} = \frac{R_o^{n+2}}{n+2} \int_0^{2\pi} \frac{d\omega}{1 - \sin^2\theta \cos^2(\omega - \varphi)} . $$

Donc, (10) devient :

$$ \mathcal{Y}_n = \frac{2^n R^{n+2}}{n+2} \cdot C , $$

où :

$$ C = \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^{2\pi} d\omega \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin\theta \cos\theta \, d\theta}{1 - \sin^2\theta \cos^2(\omega - \varphi)} $$

est une constante.

Compte tenu que pour $n = 1$, on a la formule de Czuber [2]

$$ \mathcal{Y}_1 = \int_{\{G \cap K_o \neq \emptyset\}} \lambda dG = 2 \pi V_o $$

il en résulte $C = 4 \pi^2$, donc :

$$ \mathcal{Y}_n = \frac{\pi^2 (2 R_o)^{n+2}}{n+2} . \qquad (11) $$

Avec cette formule et tenant compte de (9), nous avons :

$$ \int_{\{G \cap K_o \neq \emptyset\}} \Phi(K,m,\lambda) \, dG = 2^{\frac{m}{\pi}+2} \sum_{j_1+j_2+j_3+j_4=m} \frac{m!}{j_1!j_2!j_3!j_4!} \\ \frac{(-1)^{j_2+j_4} 2^{3j_3+j_4} 3j_1+j_2 \pi j_1+j_2 a 3j_1+2j_2+j_3 R_o 3j_4+2j_3+j_2+6}{(3j_4+2j_3+j_2+3)(3j_4+2j_3+j_2+4)(3j_4+2j_3+j_2+6)} $$

Alors, compte tenu de formules de Blaschke [1] :

$$ \bar{H}_o = 4 \pi R_o, \quad H = 3 \pi a, $$

la formule (8) nous donne :

$$ \sigma^2(v_m) = \frac{3^m R_o^6}{2^{3m-7} \pi^{m-2} (4\pi R_o^3 + 3\pi a R_o^2 + 6 a^2 R_o + 3 a^3)} \left[ \sum_{j_1+j_2+j_3+j_4=m} \frac{m!}{j_1!j_2!j_3!j_4!} \times \frac{(-1)^{j_2+j_4} 2^{3j_3+j_4} 3j_1+j_2 \pi j_1+j_2 a 3j_1+2j_2+j_3 R_o 3j_4+2j_3+j_2}{(3j_4+2j_3+j_2+3)(3j_4+2j_3+j_2+4)(3j_4+2j_3+j_2+6)} \right] $$
$$ - \left. \frac{2^{3m-3} 3^{m-2} \pi^m a^{6m}}{(4 \pi R_o + 3 \pi a R_o^2 + 6 a^2 R_o + 3 a^3)^m} \right] . $$

BIBLIOGRAPHIE

[1] BLASCHKE W., Vorlesungen über Integralgeometrie, 3e éd., V.E.B Deutscher Verlag der Wiss., Berlin, 1955.

[2] CZUBER E., Zur Theorie der geometrischen Wahrscheinlichkeiten, Sitz. Akad. Wiss., Wien, 90 (2), pp.719-742, 1884.

[3] SANTALO L.A., Über das Kinematische Mass in Raum, Act. Sci. et Ind., n° 357, Hermann, Paris, 1936.

[4] STOKA M.I., Une extension du problème de l'aiguille de Buffon dans l'espace euclidien $R^n$, Boll. della Un. Mat. Ital., (4), 10, pp.386-389, 1974.

Reçu en janvier 1973
Université des Sciences Sociales
Place Anatole France
31070 Toulouse

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