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# Intégration numérique et éléments finis courbes pour les problèmes de coques

Michel Bernadou

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Michel Bernadou. Intégration numérique et éléments finis courbes pour les problèmes de coques. [Rapport de recherche] IRIA-RR-282, IRIA. 1978, pp.51. hal-04716518

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INTÉGRATION NUMÉRIQUE
ET ÉLÉMENTS FINIS COURBES
POUR LES
PROBLÈMES DE COQUES

Michel BERNADOU

Rapport de Recherche N° 282

Mars 1978

Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
B. P. 105 78150 - Le Chesnay
France
Tél.: 954 90 20
INTÉGRATION NUMÉRIQUE ET ÉLÉMENTS FINIS
COURBES POUR LES PROBLÈMES DE COQUES

Michel Bernadou

Résumé :

Dans ce rapport, on étudie l'approximation des solutions de problèmes linéaires de coques formu-
lés sur des domaines à frontière courbe, suivant le modèle de W.T. KOITER. On donne des condi-
tions suffisantes qui préservent l'ordre de convergence de la méthode. Ces conditions prennent en
compte l'approximation des composantes du déplacement à l'aide de familles d'éléments finis de
classe C¹, droits et courbes, ainsi que le degré de précision du schéma d'intégration numérique.
Pour conclure, les résultats sont illustrés par des exemples variés.

Abstract :

In this report, we study the approximation of solutions of linear shell problems formulated on domains with curved boundary, following the model of W.T. KOITER. Sufficient conditions are then given which preserve the order of convergence of the method. These conditions involve both the approximation of the components of the displacement with straight and curved finite element families of C¹-class, and the degree of accuracy of the numerical quadrature schemes. We conclude by examining various examples.
Remerciements

Nous exprimons notre gratitude à M. le Professeur P.G. CIARLET qui nous a prodigué conseils et encouragements au cours de la réalisation de ce travail
## INTRODUCTION

Dans un travail précédent (cf. BERNADOU [4]) nous avons étudié l'approximation des équations linéaires de coques de W.T. KOITER par des méthodes conformes d'éléments finis avec utilisation de schémas d'intégration numérique et nous avons donné une estimation explicite de l'erreur asymptotique. Cette estimation prend en compte l'approximation des composantes du déplacement et le degré de précision du schéma d'intégration numérique. Pour ce faire nous avons supposé que la surface moyenne de la coque est l'image d'un domaine polygonal par une carte $\phi$ assez régulière.

Le but de ce rapport est d'étendre les résultats précédents au cas où la surface moyenne de la coque est définie comme image d'un domaine à frontière courbe par une carte $\phi$ assez régulière. Pour cela il convient d'utiliser des espaces d'éléments finis courbes de classe $C^1$. Dans BERNADOU [5], nous étudions des éléments finis courbes de classe $C^1$ compatibles avec les éléments finis droits d'ARGYRIS et de BELL, et nous trouvons par des voies analogues, mais indépendantes, certains résultats de ZLÁMAL [2,3] et ZENÍSEK [2]. Cette étude (BERNADOU [5]) comporte trois paragraphes (No 1 à 3) ; le présent travail, qui en est la suite directe, comporte un seul paragraphe (No 4) subdivisé en huit sections (numérotées 4.1 à 4.8). Par ailleurs, nous renvoyons fréquemment à BERNADOU-CIARLET [1] et à BERNADOU [4] ; ces renvois sont notés (I, ...) et (II, ...) respectivement.

Dans la section 4.1 nous rappelons très brièvement l'énoncé du problème continu puis, dans la section 4.2 nous énonçons les deux problèmes discrets, respectivement sans et avec prise en compte de l'intégration numérique. Une majoration "abstraite" de l'erreur est donnée dans la section 4.3. Dans la section 4.4 nous proposons des estimations d'erreur locales puis dans la section 4.5 nous formulons des conditions suffisantes pour la vérification de la condition d'uniforme $\nabla_h^\perp$-ellipticité. En rassemblant les résultats des sections 4.3 à 4.5 nous obtenons dans la sec-
tion 4.6 le théorème d'estimation asymptotique de l'erreur. Les critères
à observer dans le choix des schémas d'intégration numérique sont les
mêmes que dans (II) lorsque les éléments finis considérés sont rectilignes.
D'une manière générale, on obtient le degré de précision des schémas d'in-
tégration numérique pour les éléments finis courbes en augmentant de 2n-2
le degré de précision des schémas d'intégration numérique relatifs aux
éléments droits correspondants. Ici n désigne le degré des polynômes défi-
nissant l'application F<sub>K</sub>. Nous terminons cette étude par des exemples d'es-
paces d'éléments finis convenables (cf. section 4.7). Pour chaque exemple
nous rappelons les conditions suffisantes qui préservent l'ordre de conver-
gence de la méthode. Dans la section 4.8 nous donnons des exemples de
schémas d'intégration numérique appropriés.

En conclusion, comme dans le cas d'un domaine polygonal, nous retien-
drons d'une part, que cette étude est valable pour des équations de coques
générales utilisant des coordonnées curvilignes quelconques et, d'autre
part, que cette étude fournit des critères précis pour le choix de schémas
d'intégration numérique convenables.

Notations

Les renvois aux numéros 1,2 ou 3 sont relatifs à BERNADOU [5] tandis
que les renvois (I, ...) et (II, ...) sont relatifs à BERNADOU-CIARLET [1]
et BERNADOU [4], respectivement.

Le plan est le suivant :

4.1- Le problème continu.

4.2- Les problèmes discrets.

4.3- Majoration "abstraite" de l'erreur.

4.4- Estimations d'erreur sur les éléments.

4.5- Conditions suffisantes pour la vérification de la condition d'uniforme $\tilde{V}_h$-ellipticité.

4.6- Théorème d'estimation asymptotique de l'erreur.

4.7- Exemples.

4.8- Exemples de schémas d'intégration numérique appropriés.
## 4 - APPLICATION AUX PROBLEMES DE COQUES, AVEC PRISE EN COMPTE DE L'INTE-GRATION NUMERIQUE

**Orientation** : Nous utilisons les éléments finis courbes construits dans les numéros 1, 2 et 3 pour approcher la solution d'un problème de coques posé sur un ouvert de référence Ω dont la **frontière Γ est curviligne**. Pour l'étude du problème continu, nous renvoyons à la partie I et pour l'approximation de la solution d'un problème de coques posé sur un ouvert polygonal nous ren-voyons à la partie II.

Il est préférable d'effectuer une étude spécifique du cas où la frontière Γ de l'ouvert Ω est curviligne car

(i) la définition de coques à l'aide de cartes définies sur des ouverts polygonaux est fréquente dans la pratique : cf. ARGYRIS-LOCHNER [1] par exemple ;

(ii) la définition d'éléments finis courbes de classe C¹, compatibles avec les éléments finis (rectilignes) d'ARGYRIS ou de BELL est assez délicate ;

(iii) la non-linéarité de l'application $F_K : \hat{K} \to K$ complique l'estimation des erreurs d'approximation.

Nous proposons ici des conditions suffisantes qui font intervenir le degré de l'approximation des composantes du déplacement et le degré de pré-cision des schémas d'intégration numérique, et qui assurent le même ordre de convergence que dans le cas d'un ouvert Ω polygonal. En particulier, pour les éléments finis droits associés aux triangles rectilignes de la triangulation, on retrouve les conditions suffisantes énoncées dans la partie II.

### 4-1. Le problème continu

Pour un exposé détaillé de la formulation continue du problème de coques nous renvoyons à (I, Nos 1 à 4). Dans (II, No 1) nous avons rappelé brièvement cette formulation et nous avons donné une expression des formes bilinéaire et linéaire particulièrement bien adaptée à l'approximation par des méthodes d'éléments finis. Nous les rappelons ci-dessous.

**La forme bilinéaire du problème de coques (II, Proposition 1.2-1)**

Avec les notations de (II, No 1) la forme bilinéaire, associée à l'énergie de déformation de la coque, s'écrit (cf. Remarque 1.1-2) :
$$
(4.1-1) \qquad a(\vec{u}, \vec{v}) = \int_{\Omega} t_U [A_{IJ}] V \, dx,
$$

où la matrice colonne V (il en va de même pour U) regroupe les dérivées partielles des composantes covariantes du déplacement ($v_1, v_2$ sont les composantes tangentielles, $v_3$ la composante normale), i.e.,

$$
(4.1-2) \quad t_V = [v_1 v_{1,1} v_{1,2} v_2 v_{2,1} v_{2,2} v_3 v_{3,1} v_{3,2} v_{3,11} v_{3,12} v_{3,22}]
$$

et où la matrice carrée $[A_{IJ}]$, de dimension 12, ne dépend que des dérivées partielles premières, secondes et troisièmes de la carte $\vec{\phi} : \bar{\Omega} \to \bar{S}$. Par la suite, il est commode de supposer que cette carte $\vec{\phi}$ vérifie l'hypothèse suivante :

Hypothèse 4.1-1 : La carte $\vec{\phi}$ est définie dans un ouvert borné $\bar{\Omega} \supset \bar{\Omega}'$
$\vec{\phi} \in C^3(\bar{\Omega})$ et tous les points de la surface $\bar{S} = \vec{\phi}(\bar{\Omega})$ sont réguliers.

La forme linéaire du problème de coques (II, Proposition 1.2-2) :
L'énergie potentielle des forces extérieures se met sous la forme

$$
(4.1-3) \qquad f(\vec{v}) = \int_{\Omega} t_{FV} \, dx,
$$

où la matrice colonne F ne dépend que des dérivées premières de la carte
$\vec{\phi} : \bar{\Omega} \rightarrow S$ et des composantes de la résultante $\vec{f}$ des forces extérieures.

On peut alors formuler le problème de coques comme suit :

Problème 4.1-1 : Pour $\vec{\phi} \in (C^3(\bar{\Omega}))^3$, pour $\vec{f} \in (C^0(\bar{\Omega}))^3$, trouver $\vec{u} \in \vec{V}$ tel que

$$
(4.1-4) \qquad a(\vec{u}, \vec{v}) = f(\vec{v}), \quad \forall \vec{v} \in \vec{V},
$$

où l'espace $\vec{V}$ des déplacements admissibles est donné par

$$
(4.1-5) \qquad \vec{V} = H_0^1(\Omega) \times H_0^1(\Omega) \times H_0^2(\Omega).
$$

Théorème 4.1-1 : Le problème 4.1-1 admet une solution unique

Démonstration : On se reportera à (I, Théorème 6.4-1).

Remarque 4.1-1 : Les hypothèses $\vec{\phi} \in (C^3(\bar{\Omega}))^3$ et $\vec{f} \in (C^0(\bar{\Omega}))^3$ sont en particulier liées à l'utilisation de schémas d'intégration numérique. Elles entraînent en effet $[A_{IJ}] \in (C^0(\bar{\Omega}))^{144}$ et $t_F \in (C^0(\bar{\Omega}))^{12}$.
Remarque 4.1-2 : Le choix de $\vec{V}$ comme espace des déplacements admissibles correspond à l'étude de déformations de coques encastrées sur leur bord. Pour des conditions aux limites plus générales on se reportera à (I).

## 4-2. Les problèmes discrets :

Suivant la méthode exposée dans la section 1.2, nous associons à l'ouvert borné $\Omega$ un ouvert borné, approché $\Omega_h$. Nous avons

$$ (4.2-1) \qquad \bar{\Omega}_h = \bigcup_{K \in \mathcal{T}_h} \mathcal{T}_h^1, \text{ où } \mathcal{T}_h = \mathcal{T}_h^1 \cup \mathcal{T}_h^2. $$

Rappelons que la triangulation $\mathcal{T}_h^1$ est composée de triangles (à côtés rectilignes) en correspondance affine avec un triangle de référence $\hat{K}$. La triangulation $\mathcal{T}_h^2$ est composée de triangles ayant deux côtés rectilignes, le troisième côté, curviligne, approchant un arc de la frontière ($\Gamma$). Ces triangles sont les images du triangle de référence $\hat{K}$ par une application $F_K$ non affine.

A chaque triangulation $\mathcal{T}_h$ d'un ouvert $\Omega_h$ on associe un produit d'espaces d'éléments finis $\vec{X}_h = X_{h1} \times X_{h1} \times X_{h2}$ puis on définit un sous-espace $\vec{V}_h = V_{h1} \times V_{h1} \times V_{h2}$ de $\vec{X}_h$ convenable (prenant en compte les conditions aux limites). Chacun de ces espaces est défini comme suit ($\alpha$ prend les valeurs 1 ou 2).

$$ (4.2-2) \quad \left\{ \begin{array}{l} \underline{\text{Espaces } X_{h\alpha}} : \text{ les fonctions de l'espace } X_{h\alpha} \text{ sont telles que} \\ \text{(i) Sur chaque } K \in \mathcal{T}_h, \text{ elles appartiennent à un espace discret} \\ \text{contenu dans } H^\alpha(K); \\[1em] \text{(ii) Sur chaque } K \in \mathcal{T}_h, \text{ elles sont déterminées par leurs valeurs} \\ \text{et par les valeurs de leurs dérivées sur l'ensemble des degrés de} \\ \text{liberté de l'élément } K; \\[1em] \text{(iii) } X_{h\alpha} \subset C^{\alpha-1}(\bar{\Omega}_h). \end{array} \right. $$

$$ (4.2-3) \quad \left\{ \begin{array}{l} \underline{\text{Espaces } V_{h\alpha}} : \\ \begin{aligned} V_{h1} &= \{ v_h \in X_{h1} ; v_h = 0 \text{ sur } \Gamma_h = \partial \Omega_h \}, \\ V_{h2} &= \{ v_h \in X_{h2} ; v_h = 0, \partial v_h = 0 \text{ sur } \Gamma_h \}. \end{aligned} \end{array} \right. $$

Dès lors, l'espace $\vec{V}_h = V_{h1} \times V_{h1} \times V_{h2}$ vérifie l'inclusion

$$ (4.2-4) \qquad \vec{V}_h \subset \vec{V}(\Omega_h) = H_0^1(\Omega_h) \times H_0^1(\Omega_h) \times H_0^2(\Omega_h). $$
Comme le paramètre h est appelé à tendre vers 0 il est loisible de supposer qu'il existe un $h_0 > 0$ tel que

$$ (4.2-5) \qquad \Omega_h \subset \tilde{\Omega}, \quad \forall h \in ]0, h_0[; $$

où $\tilde{\Omega}$ est l'ouvert borné introduit dans l'hypothèse 4.1-1.

Pour l'implémentation de ces méthodes deux solutions sont possibles :

(i) On approche les composantes tangentielles et normale du déplacement à l'aide d'une même famille d'éléments finis, qui est alors de classe $C^1$ : aux triangles rectilignes $K \in \mathcal{T}_h^1$, on associe une famille d'éléments finis de classe $C^1$ et aux triangles curvilignes $K \in \mathcal{T}_h^2$ on associe une famille d'éléments finis courbes $C^1$-compatibles avec les éléments finis droits considérés.

(ii) On approche les composantes tangentielles et normale du déplacement à l'aide de familles d'éléments finis distinctes. Pour la composante normale on procède comme en (i). Pour les composantes tangentielles on associe aux triangles rectilignes $K \in \mathcal{T}_h^1$, une famille d'éléments finis droits de classe $C^0$, et aux triangles curvilignes $K \in \mathcal{T}_h^2$ (construits à l'aide de l'application $F_K$ utilisée pour définir l'élément fini courbe de classe $C^1$) une famille d'éléments finis courbes, $C^0$-compatibles avec les éléments finis droits considérés.

A l'aide des éléments finis courbes $C^1$-compatibles avec les éléments d'ARGYRIS ou de BELL, décrits dans la section 2.2 (cas où $F_K \in (P_5)^2$) et dans la section 2.3 (cas où $F_K \in (P_3)^2$) on construit des espaces $X_{h2}$ vérifiant les conditions (4.2-2). A l'aide de ces mêmes éléments finis ou bien à l'aide des éléments finis courbes $C^0$-compatibles avec l'élément fini d'Hermite de type 3, décrits dans la section 2.4, on construit des espaces $X_{hl}$ vérifiant les conditions (4.2-2). Pour en déduire les espaces $V_{h2}$ et $V_{hl}$, respectivement, il convient de prendre en compte les conditions aux limites. Dans le cas de conditions aux limites du type encastrement nous montrons, suivant ZENISEK [2, Lemme 2] que l'on peut non seulement utiliser les éléments finis courbes $C^1$-compatibles avec les éléments finis d'ARGYRIS ou de BELL construits à l'aide d'une application $F_K \in (P_5)^2$ (cf. Section 2.2) mais encore, utiliser ceux construits à l'aide d'une application $F_K \in (P_3)^2$ (cf. section 2.3).
**Construction de l'espace $V_{h2}$ à l'aide des éléments finis courbes de classe $C^1$ décrits dans les sections 2.2 et 2.3 :**

Soit un triangle curviligne $K = F_K(\hat{K})$ construit à l'aide d'une des applications $F_K \in (P_5)^2$ ou $F_K \in (P_3)^2$, décrites dans les Exemples 1.3-3 ou 1.3-2, respectivement. Soit $v \in C^2(\bar{\Omega})$ une fonction telle que

$$ (4.2-6) \qquad v|_{\Gamma} = 0, \quad \left. \frac{\partial v}{\partial n} \right|_{\Gamma} = 0. $$

Montrons que la fonction interpolée $\pi_K v$ de la fonction $v$, associée à l'élément fini courbe décrit dans la Section 2.3, (i.e., $F_K \in (P_3)^2$) et $C^1$-compatible avec l'élément d'ARGYRIS, vérifie les conditions :

$$ (4.2-7) \qquad \left. \pi_K v \right|_{\gamma_h} = 0, \quad \left. \frac{\partial \pi_K v}{\partial n} \right|_{\gamma_h} = 0, $$

où $\gamma_h$ désigne l'arc approché $a_1a_2$. L'assemblage de tels éléments permet alors de construire l'espace $V_{h2}$.

Soit a un point quelconque de l'arc approché $\gamma_h$ (cf. Figure 4.2-1) et soit $\hat{a} = F_K^{-1}(a) \in a_1a_2$. Posons

$$ \hat{\pi_K v} = \pi_K v \circ F_K. $$

Les conditions (4.2-7) équivalent à

$$ (4.2-8) \qquad \forall \hat{a} \in a_1a_2, \quad \hat{\pi_K v}(\hat{a}) = 0, \quad D\hat{\pi_K v}(\hat{a})(\hat{a}_3-\hat{b}_8) = 0. $$

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 4.2-1**

Prise en compte des conditions aux limites</figcaption></figure>
Mais, par construction, $\hat{\pi_K v}|_{[\hat{a}_1, \hat{a}_2]}$ coïncide avec le polynôme $\hat{f}_3$,
de degré 5, entièrement déterminé par la donnée des degrés de liberté
(4.2-9) $\{\hat{v}(\hat{a}_1), \hat{v}(\hat{a}_2), D\hat{v}(\hat{a}_1)(\hat{a}_2-\hat{a}_1), D\hat{v}(\hat{a}_2)(\hat{a}_1-\hat{a}_2),$

$$
D^2 \hat{v}(\hat{a}_1) (\hat{a}_2 - \hat{a}_1)^2, D^2 \hat{v}(\hat{a}_2) (\hat{a}_1 - \hat{a}_2)^2 \}
$$

tandis que $D\hat{\pi_K v}(\cdot)(\hat{a}_3-\hat{b}_8)|_{[\hat{a}_1,\hat{a}_2]}$ coïncide avec le polynôme $\hat{g}_3$, de degré 4,
entièrement déterminé par la donnée des degrés de liberté

$$
(4.2-10) \left\{ \begin{array}{l} D\hat{v}(\hat{a}_\alpha)(\hat{a}_3-\hat{b}_8), \alpha = 1,2; \\ D^2\hat{v}(\hat{a}_1)(\hat{a}_3-\hat{b}_8, \hat{a}_2-\hat{a}_1); \\ D^2\hat{v}(\hat{a}_2)(\hat{a}_3-\hat{b}_8, \hat{a}_1-\hat{a}_2); \\ D\hat{v}(\hat{b}_8)(\hat{a}_3-\hat{b}_8) \end{array} \right\} .
$$

Les conditions aux limites (4.2-6) entraînent immédiatement

$$
\left\{
\begin{array}{l}
v|_{\Gamma} = 0, \quad Dv|_{\Gamma} = 0, \\
\text{et} \\
D^2 v(\chi_1(s), \chi_2(s)) (\vec{x}'(s), \vec{\tau}) = 0,
\end{array}
\right.
$$

où $\vec{\tau}$ est un vecteur quelconque de $\mathbb{R}^2$ et $\vec{x}(s) = (\chi_1(s), \chi_2(s))$ une paramétrisation quelconque de l'arc $\Gamma$ (cf. (1.1-1)). Avec la relation $\hat{v} = v \cdot F_K$ et l'expression (1.3-6) de $F_K$ on en déduit en particulier les relations suivantes, vérifiées aux points $\hat{a}_1$ et $\hat{a}_2$ :

$$
(4.2-11) \left\{
\begin{array}{l}
\hat{v}(\hat{a}_1) = \hat{v}(\hat{a}_2) = 0, \\
D\hat{v}(\hat{a}_1) = D\hat{v}(\hat{a}_2) = 0, \\
D^2\hat{v}(\hat{a}_1)(\hat{a}_2-\hat{a}_1, \vec{\tau}) = D^2\hat{v}(\hat{a}_2)(\hat{a}_1-\hat{a}_2, \vec{\tau}) = 0,
\end{array}
\right.
$$

où $\vec{\tau}$ est un vecteur quelconque du plan. Les relations (4.2-11) entraînent alors la nullité des degrés de libertés contenus dans les ensembles (4.2-9) et (4.2-10), d'où les conditions (4.2-8).

Le même type de raisonnement s'applique aux trois autres types d'élé-
ments finis courbes de classe C¹ considérés, i.e., l'élément fini courbe
C¹-compatible avec l'élément d'ARGYRIS dans le cas où F_K ∈ (P_5)² et les
deux éléments finis courbes C¹-compatibles avec l'élément de BELL
(F_K ∈ (P_3)² ou (P_5)²).
Les conditions (4.2-8) étant satisfaites, il en va de même des conditions (4.2-7). Il est alors loisible de construire l'espace $V_{h2}$ défini par la relation (4.2-3).

Par analogie, on montre qu'il est possible de construire l'espace $V_{h1}$ à l'aide des éléments finis courbes $C^0$-compatibles avec l'élément fini d'Hermite de type 3.

**Remarque 4.2-1** : L'utilisation d'une interpolation de la frontière $\Gamma$ à l'aide de polynômes de **degré 3** pour la construction d'éléments finis $C^1$-compatibles avec les éléments d'ARGYRIS ou de BELL, n'est possible que parce que les conditions aux limites sont du type **Dirichlet homogènes**. Pour des conditions aux limites plus générales, il convient d'utiliser les éléments finis courbes décrits dans la section 2.2, pour lesquels $F_K \in (P_5)^2$.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Définissons maintenant les problèmes discrets associés au problème continu 4.1-1 :

**Le premier problème discret :**

Pour $h<h_0$ (cf. (4.2-5)), trouver $\tilde{u}_h^+ \in V_h^+$ tel que

$$ (4.2-12) \qquad \nabla \tilde{v}_h \in \tilde{v}_h^+ , \quad \int_{\Omega_h} \tilde{u}_h^- [A_{IJ}] v_h \, dx = \int_{\Omega_h} \tilde{F}^- v_h \, dx, $$

où les éléments de la matrice $\tilde{F}^-$ sont certains prolongements des éléments de la matrice $\tilde{F}^+$ à l'ouvert $\tilde{\Omega}$, i.e.,

$$ (4.2-13) \qquad t_{\tilde{F}^-} = t_F. $$

Les éléments de $t_F$ étant supposés continus (cf. énoncé du **Problème 4.1-1**) l'existence de prolongements continus est assurée par le **Théorème de Tietze-Urysohn**. Notons que les coefficients $A_{IJ}$ sont définis et continus sur $\bar{\Omega}_h$ grâce à l'hypothèse 4.1-1 et à la relation (4.2-5).

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Considérons les formes bilinéaire et linéaire suivantes :

$$ (4.2-14) \qquad \tilde{u}, \tilde{v} \in \tilde{V}(\Omega_h) \rightarrow \tilde{a}_h(\tilde{u}, \tilde{v}) = \int_{\Omega_h} t_U [A_{IJ}] v \, dx, $$

$$ (4.2-15) \qquad \tilde{v} \in \tilde{V}(\Omega_h) \rightarrow \tilde{f}_h(\tilde{v}) = \int_{\Omega_h} t_{\tilde{F}^-} v \, dx. $$
Grâce aux inclusions (4.2-5), il existe une constante $\tilde{M}>0$, indépendante de $h$, telle que pour tout $\vec{u}, \vec{v} \in \tilde{V}(\Omega_h)$ on ait

$$
(4.2-16) \quad \left| \int_{\Omega_h} t_U [A_{IJ}] V \, dx \right| \le \tilde{M} \|\vec{u}\|_{\tilde{V}(\Omega_h)} \|\vec{v}\|_{\tilde{V}(\Omega_h)} ,
$$

$$
(4.2-17) \quad \left| \int_{\Omega_h} t \tilde{F} V \, dx \right| \le \tilde{M} \| \vec{v} \|_{\tilde{V}(\Omega_h)} .
$$

Nous vérifierons dans la section 4.5 que la forme bilinéaire $\tilde{a}_h(\cdot, \cdot)$ est uniformément $\tilde{V}_h$-elliptique.

Ici, et par la suite, nous notons

$$
(4.2-18) \quad \left\{
\begin{aligned}
\|\vec{u}\|_{\tilde{V}(\Omega_h)} &= \left( \|u_1\|_{1,\Omega_h}^2 + \|u_2\|_{1,\Omega_h}^2 + \|u_3\|_{2,\Omega_h}^2 \right)^{\frac{1}{2}} \\
\|\vec{u}\|_{\tilde{V}(\Omega_h)}^2 &= \left( |u_1|^2_{1,\Omega_h} + |u_2|^2_{1,\Omega_h} + |u_3|^2_{1,\Omega_h} \right)^{\frac{1}{2}}.
\end{aligned}
\right.
$$

Comme il est couteux, ou même simplement impossible, d'évaluer exac-
tement des intégrales du type de celles qui apparaissent en (4.2-12), nous
sommes amenés à utiliser des schémas d'intégration numérique. Soit donc un
schéma d'intégration numérique donné sur le triangle de référence $\hat{K}$ :

$$
(4.2-19) \qquad \int_{\hat{K}} \hat{\phi}(\hat{x}) d\hat{x} \sim \sum_{\ell=1}^{L} \hat{\omega}_{\ell} \hat{\phi}(\hat{b}_{\ell}).
$$

Etant donné deux fonctions $\hat{\phi} : \hat{K} \to \mathbb{R}$ et $\phi : K = F_K(\hat{K}) \to \mathbb{R}$ dans la correspondance usuelle, i.e., $\phi = \hat{\phi} \circ F_K^{-1}$, $\hat{\phi} = \phi \circ F_K$, nous avons

$$
(4.2-20) \qquad \int_K \phi(x) dx = \int_{\hat{K}} \hat{\phi}(\hat{x}) J_{F_K} (\hat{x}) d\hat{x},
$$

où le Jacobien $J_{F_K}$ de l'application $F_K$ peut être supposé strictement positif
sur $\hat{K}$, sans perte de généralité. Ainsi le schéma d'intégration numérique
(4.2-19) sur le triangle de référence $\hat{K}$ induit le schéma d'intégration numé-
rique suivant sur le triangle K :

$$
(4.2-21) \quad \int_K \phi(x) dx \sim \sum_{\ell=1}^{L} \omega_{\ell, K} \phi(b_{\ell, K}),
$$
avec

$$
(4.2-22) \qquad \omega_{\ell,K} = \hat{\omega}_{\ell} J_{F_K}(\hat{b}_{\ell}) \text{ et } b_{\ell,K} = F_K(\hat{b}_{\ell}), \quad 1 \le \ell \le L.
$$

Nous définissons parallèlement les **fonctionnelles d'erreur**

$$
(4.2-23) \quad E_K(\phi) = \int_K \phi(x) dx - \sum_{\ell=1}^{L} \omega_{\ell, K} \phi(b_{\ell, K})
$$

$$
(4.2-24) \qquad \hat{E}(\hat{\phi}) = \int_{\hat{K}} \hat{\phi}(\hat{x}) d\hat{x} - \sum_{\ell=1}^{L} \hat{\omega}_{\ell} \hat{\phi}(\hat{b}_{\ell}),
$$

de telle sorte que

$$
(4.2-25) \qquad E_K(\phi) = \hat{E}(\hat{\phi} J_{F_K}).
$$

Remarque 4.2-2 : Lorsque le triangle K est rectiligne ($K \in \mathcal{C}_h^1$) l'applica-
tion $F_K$ est affine et l'on retrouve les expressions (II, (3.1-3) à (3.1-8)).

Aux formes bilinéaire et linéaire (4.2-14) (4.2-15), les relations
(4.2-1) (4.2-21) associent les formes suivantes :

$$
(4.2-26) \quad \vec{u}_h, \vec{v}_h \in \vec{V}_h \rightarrow a_h(\vec{u}_h, \vec{v}_h) = \sum_{K \in \mathcal{C}_h^1} \sum_{\ell=1}^{L} \omega_{\ell, K} \, {}^t U_h(b_{\ell, K}) [A_{IJ} (b_{\ell, K})] V_h(b_{\ell, K})
$$

$$
(4.2-27) \quad \vec{v}_h \in \vec{V}_h \rightarrow f_h(\vec{v}_h) = \sum_{K \in \mathcal{C}_h^1} \sum_{\ell=1}^{L} \omega_{\ell, K} \, {}^t F(b_{\ell, K}) v_h(b_{\ell, K}).
$$

Dans la dernière relation nous avons écrit $t_F(b_{\ell,K})$ ce qui sous-entend
que tous les noeuds d'intégration appartiennent à $\bar{\Omega}$. C'est une conséquence
de l'hypothèse suivante que nous supposons désormais satisfaisante :

**Hypothèse 4.2-1** : Sur le triangle de référence $\hat{K}$, tous les noeuds d'intégration numérique sont intérieurs ou coïncident avec les sommets $\hat{a}_1$, $\hat{a}_2$, $\hat{a}_3$.

Bien que cela n'apparaisse pas sur les relations (4.2-26) et (4.2-27)
il est loisible d'utiliser des schémas d'intégration numérique de type dif-
férents selon les triangles considérés. C'est ce que nous ferons par la
suite (cf. Section 4.7) en utilisant des schémas de degré de précision élevé
pour les triangles curvilignes et des schémas plus simples pour les tri-
angles à côtés rectilignes.
On obtient ainsi le second problème discret :

**Second problème discret :**

Trouver $\vec{u}_h \in \vec{V}_h$ tel que

$$ (4.2-28) \qquad a_h(\vec{u}_h, \vec{v}_h) = f_h(\vec{v}_h), \quad \forall \vec{v}_h \in \vec{V}_h $$

### 4-3. Majoration "abstraite" de l'erreur

Pour préparer l'obtention d'estimations explicites de l'erreur nous donnons pour commencer une majoration "abstraite". Nous reviendrons, dans la section 4.5, sur la propriété d'uniforme $\vec{v}_h$-ellipticité de la forme bilinéaire $a_h$.

**Théorème 4.3-1 :** *Considérons une famille de problèmes discrets (4.2-28) vérifiant les hypothèses (4.2-4) (4.2-5) et tels qu'il existe une constante $\beta > 0$, indépendante de $h$, pour laquelle*

$$ (4.3-1) \qquad \beta \|\vec{v}_h\|^2_{\vec{V}(\Omega_h)} \le a_h(\vec{v}_h, \vec{v}_h), \quad \forall \vec{v}_h \in \vec{V}_h, \forall h \text{ assez petit.} $$

Pour tout $\vec{v}, \vec{w} \in \vec{V}(\Omega_h)$, la forme bilinéaire $\tilde{a}_h(\vec{v}, \vec{w})$ est définie par la relation (4.2-14), i.e.,

$$ (4.3-2) \qquad \tilde{a}_h(\vec{v}, \vec{w}) = \int_{\Omega_h} t_v [A_{IJ}] W \, dx. $$

Alors, il existe une constante $c$, indépendante de $h$, telle que

$$ (4.3-3) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \|\vec{u}-\vec{u}_h\|_{\vec{V}(\Omega_h)} \le c \left( \begin{aligned}[t] & \inf_{\vec{v}_h \in \vec{V}_h} \left\{ \|\vec{u}-\vec{v}_h\|_{\vec{V}(\Omega_h)} + \sup_{\vec{w}_h \in \vec{V}_h} \frac{|\tilde{a}_h(\vec{v}_h, \vec{w}_h) - a_h(\vec{v}_h, \vec{w}_h)|}{\|\vec{w}_h\|_{\vec{V}(\Omega_h)}} \right\} \\ & + \sup_{\vec{w}_h \in \vec{V}_h} \frac{|\tilde{a}_h(\vec{u}, \vec{w}_h) - f_h(\vec{w}_h)|}{\|\vec{w}_h\|_{\vec{V}(\Omega_h)}} \end{aligned} \right) \end{array} \right. $$

où $\vec{u}$ est une fonction quelconque de $\vec{v}(\tilde{\Omega})$.
**Démonstration** (CIARLET-RAVIART [1, Théorème 1]) :

L'hypothèse (4.3-1) d'uniforme $\vec{v}_h$-ellipticité assure que chaque pro-
blème discret (4.2-28) a une solution $\vec{u}_h$ unique. Alors, en désignant par $\vec{v}_h$
un élément quelconque de l'espace $\vec{v}_h$, on obtient grâce à l'inégalité (4.3-1) :

$$
\begin{align*}
\beta \| \vec{u}_h - \vec{v}_h \|^2_{\vec{V}(\Omega_h)} &\le a_h (\vec{u}_h - \vec{v}_h, \vec{u}_h - \vec{v}_h) \\
&= \tilde{a}_h (\tilde{\vec{u}} - \tilde{\vec{v}}_h, \vec{u}_h - \vec{v}_h) + \{ \tilde{a}_h (\tilde{\vec{v}}_h, \vec{u}_h - \vec{v}_h) - a_h (\tilde{\vec{v}}_h, \vec{u}_h - \vec{v}_h) \} \\
&\quad + \{ f_h (\vec{u}_h - \vec{v}_h) - \tilde{a}_h (\tilde{\vec{u}}_h, \tilde{\vec{v}}_h - \vec{u}_h) \},
\end{align*}
$$

d'où, avec l'inégalité (4.2-16),

$$
\begin{align*}
\beta \| \vec{u}_h - \vec{v}_h \|_{\vec{V}(\Omega_h)}
  &\le \tilde{M} \| \tilde{\vec{u}} - \tilde{\vec{v}}_h \|_{\vec{V}(\Omega_h)} \\
  &\quad + \sup_{\vec{w}_h \in \vec{V}_h} \frac{| \tilde{a}_h (\tilde{\vec{v}}_h, \tilde{\vec{w}}_h) - a_h (\tilde{\vec{v}}_h, \tilde{\vec{w}}_h) |}{\| \tilde{\vec{w}}_h \|_{\vec{V}(\Omega_h)}} \\
  &\quad + \sup_{\vec{w}_h \in \vec{V}_h} \frac{| \tilde{a}_h (\tilde{\vec{u}}_h, \tilde{\vec{w}}_h) - f_h (\tilde{\vec{w}}_h) |}{\| \tilde{\vec{w}}_h \|_{\vec{V}(\Omega_h)}}.
\end{align*}
$$

Pour conclure, il suffit de combiner cette inégalité et l'inégalité

$$
\| \tilde{\vec{u}} - \vec{u}_h \|_{\tilde{V}(\Omega_h)} \le \| \tilde{\vec{u}} - \tilde{v}_h \|_{\tilde{V}(\Omega_h)} + \| \vec{u}_h - \tilde{v}_h \|_{\tilde{V}(\Omega_h)},
$$

puis de prendre l'infini minimum par rapport à $\vec{v}_h \in \vec{V}_h$.

Remarque 4.3-1 : Dans le théorème ci-dessus, la fonction $\tilde{u}$ est quelconque dans $\tilde{V}(\tilde{\Omega})$. Par la suite, nous utiliserons, comme fonction $\tilde{u}$, un prolongement quelconque de la solution $\vec{u}$ au domaine $\tilde{\Omega}$.

Remarque 4.3-2 : Au second membre de l'inégalité (4.3-3) il apparaît la généralisation du terme habituel de la théorie de l'interpolation, i.e., $\inf_{\vec{v}_h \in \vec{V}_h} \| \tilde{\vec{u}} - \tilde{\vec{v}}_h \|_{\vec{V}(\Omega_h)}$ puis les deux termes additionnels qui évaluent la consistance du schéma d'intégration.

Pour trouver une estimation explicite de l'erreur, il convient :

(i) de vérifier la propriété (4.3-1) de $\vec{v}_h$-ellipticité uniforme ;

(ii) d'évaluer le terme d'erreur d'interpolation ;

(iii) d'évaluer les deux termes de consistance de l'inégalité (4.3-3).
Dans le cas d'une frontière polygonale, nous avons montré en (II, Sections 3.3 à 3.5) que ces propriétés sont obtenues pour un choix raisonnable des schémas d'intégration numérique formulés sur le triangle de référence $\hat{\mathbf{k}}$. Nous allons voir qu'il en va de même dans le cas d'une frontière $\Gamma$ curviligne.

### 4-4. Estimations d'erreur locales

Dans cette section nous allons donner deux théorèmes qui nous permettront, d'une part, d'établir la propriété (4.3-1) de $\vec{V}_h$-ellipticité uniforme, d'autre part d'évaluer les deux termes de consistance de l'inégalité (4.3-3). Nous supposons désormais que :

(i) Le triangle courant $K$ est l'image du triangle de référence $\hat{\mathbf{k}}$ par une application $F_K$ vérifiant les propriétés énoncées dans le théorème 1.2-1, en particulier :

$$ (4.4-1) \qquad F_K \in (P_n(\hat{\mathbf{k}}))^2, n=1 \text{ si } K \in \mathcal{T}_h^1, n \ge 1 \text{ si } K \in \mathcal{T}_h^2. $$

$$ (4.4-2) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} \left| F_K \right|_{\ell, \infty, \hat{\mathbf{k}}} & \le c h_K^\ell, \quad \ell = 0, 1, \dots \\ \left| F_K^{-1} \right|_{\ell, \infty, K} & \le c h_K^{-1}, \quad \ell = 1, 2, \dots \\ \left| J_{F_K} \right|_{\ell, \infty, \hat{\mathbf{k}}} & \le c h_K^{2+\ell}, \quad \ell = 0, \dots, n, \\ \frac{c_1}{h_K^2} & \le \left| J_{F_K^{-1}} \right|_{0, \infty, K} \le \frac{c_2}{h_K^2}. \end{array} \right. $$

(ii) Les composantes $u_1, u_2$ du déplacement sont approchées dans un espace discret $V_{h1} \subset H_0^1(\Omega_h)$ associé à un élément fini $(K, \sum_{K1} P_{K1})$, droit ou courbe, pour tout $K \in \mathcal{T}_h$. Soit

$$ (4.4-3) \qquad \hat{p}_{K1} = \{ \hat{p}_K : \hat{\mathbf{k}} \to \mathbb{R} ; \hat{p}_K = p \circ F_K, p \in P_{K1} \}. $$

Nous supposons alors qu'il existe des entiers $m_1, n_1$ tels que
$$
(4.4-4) \quad \left\{
\begin{array}{l}
l \le m_1 \le n_1 \\
P_{M_1}(\hat{K}) \subset \hat{P}_{K_1} \subset P_{N_1}(\hat{K}), \\
M_1 = m_1, N_1 = n_1 \text{ si l'élément fini est droit, ou courbe } \mathcal{C}^0\text{-compatible,} \\
M_1 = m_1+n_1-1, N_1 = n_1+n_1-1 \text{ si l'élément fini est courbe, } \mathcal{C}^1\text{-compatible.}
\end{array}
\right.
$$

Cette définition de $M_1$, $N_1$ prend en compte l'augmentation du degré des poly-
nômes utilisés sur le triangle de référence lorsqu'on veut obtenir des élé-
ments finis courbes de classe $\mathcal{C}^1$ (cf. la relation (2.1-12) pour les éléments
finis courbes $\mathcal{C}^1$-compatibles avec les éléments d'ARGYRIS ou de BELL). Par
contre, les degrés des polynômes utilisés sur le triangle de référence pour
définir des éléments finis courbes $\mathcal{C}^0$-compatibles avec des éléments finis
droits donnés, sont les mêmes.

(iii) La composante $u_3$ du déplacement est approchée dans un espace discret $V_{h2} \subset H_0^2(\Omega_h)$ associé à un élément fini $(K, \Sigma_{K2}, P_{K2})$, droit ou courbe, de classe $C^1$, pour tout $K \in \mathcal{G}_h$. Soit

$$
(4.4-5) \quad \hat{P}_{K2} = \{ \hat{p}_K : \hat{K} \to \mathbb{R} ; \hat{p}_K = p \circ F_K, p \in P_{K2} \}.
$$

Nous supposons alors qu'il existe des entiers $m_2, n_2$ tels que

$$
(4.4-6) \quad \left\{
\begin{array}{l}
2 \le m_2 \le n_2, \\
P_{M_2}(\hat{K}) \subset \hat{P}_{K_2} \subset P_{N_2}(\hat{K}) \\
M_2 = m_2, N_2 = n_2 \text{ si l'élément fini est droit } (n=1) \\
M_2 = m_2+n_1-1, N_2 = n_2+n_1-1 \text{ si l'élément fini est courbe, } \mathcal{C}^1\text{-compatible.}
\end{array}
\right.
$$

Remarque 4.4-1 : On observera que dans le cas d'une correspondance affine $\hat{K} \to K$, i.e., lorsque $n=1$, les hypothèses (4.4-4) et (4.4-6) coïncident avec les hypothèses analogues du Corollaire 3.5-1 de (II).

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Remarque 4.4-2 : Lorsque l'application F_K : K → K est affine nous avons établi en (II) des théorèmes généraux permettant l'évaluation des termes de consistance, i.e., (II, Théorèmes 3.3-1 et 3.3-2). Il est possible d'étendre ces théorèmes au cas où F ∈ (P_n(K))². L'utilisation de ces Théorèmes (cf. (II, théorème 3.5-1)) repose sur les correspondances entre les espaces (cf. (II, (3.4-1) à (3.4-3)):
$$
\hat{P}_{K1} \text{ et } P_{K1}, \hat{P}_{K1}' \text{ et } P_{K1}', \hat{P}_{K1}'' \text{ et } P_{K1}''
$$

ces correspondances étant liées au caractère affine de l'application F_K.
Lorsque l'application F_K ∈ (P_n(^K))^2, n > 1, une étude spécifique est nécessaire.
Pour simplifier, nous supposons ici, que les espaces discrets P̂_{K1} et P̂_{K2}, définis sur le triangle de référence K, sont polynômiaux : cf.
(4.4-4) et (4.4-6).

Soit à évaluer la différence $\tilde{a}_h(\hat{v}_h, \hat{w}_h)$ - $a_h(\hat{v}_h, \hat{w}_h)$. Les relations (4.2-14) (4.2-26) et (4.2-23) entraînent

$$
(4.4-7) \qquad \tilde{a}_h(\hat{v}_h, \hat{w}_h) - a_h(\hat{v}_h, \hat{w}_h) = \sum_{K \in \mathcal{K}} E_K \left[ t_{V_h} [A_{IJ}] W_h \right].
$$

Le second membre de la relation (4.4-7) est une somme de termes du
type

$$
(4.4-8) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
  \sum_{K \in \mathcal{K}} E_K (a \partial^\nu v \partial^\mu w), \quad v \in P_{K\alpha}, w \in P_{K\beta} \\[1em]
  \text{avec} \\[1em]
  \alpha, \beta = 1,2 \text{ et } |\nu| \le \alpha \quad |\mu| \le \beta.
\end{array}
\right.
$$

Mais, à la fonction $v \in P_{K\alpha}$, l'application $F_K$ associe la fonction $\hat{v} \in \hat{P}_{K\alpha}$
(cf. les relations (4.4-3) et (4.4-5)). Plus généralement, on obtient

$$
(4.4-9) \quad \hat{v}(\hat{x}) = v(x), \quad x = F_K(\hat{x}),
$$

$$
(4.4-10) \quad \frac{\hat{\partial v}}{\partial x_{\alpha}}(\hat{x}) = \sum_{\epsilon=1}^{2} \frac{A_{\epsilon\alpha}(\hat{x})}{J_{F_K}(\hat{x})} \frac{\partial \hat{v}}{\partial \hat{x}_{\epsilon}}(\hat{x})
$$

$$
(4.4-11) \quad \frac{\hat{\partial^2 v}}{\partial x_{\alpha} \partial x_{\beta}}(\hat{x}) = \sum_{\rho=1}^{2} \frac{A_{\rho\beta}(\hat{x})}{J_{F_K}(\hat{x})} \sum_{\epsilon=1}^{2} \left\{ \frac{A_{\epsilon\alpha}(\hat{x})}{J_{F_K}(\hat{x})} \frac{\partial^2 \hat{v}}{\partial \hat{x}_{\rho} \partial \hat{x}_{\epsilon}}(\hat{x}) + \frac{\partial \hat{v}}{\partial \hat{x}_{\epsilon}}(\hat{x}) \frac{\partial}{\partial \hat{x}_{\rho}} \left( \frac{A_{\epsilon\alpha}(\hat{x})}{J_{F_K}(\hat{x})} \right) \right\}
$$

avec

$$
(4.4-12) \quad \begin{cases} A_{1\alpha}(\hat{x}) = \text{d\'et}\left(e_{\alpha}, \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}\right), \\ A_{2\alpha}(\hat{x}) = \text{d\'et}\left(\frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_1}, e_{\alpha}\right). \end{cases}
$$
### Démonstration de la relation (4.4-10) :

$$ \hat{\frac{\partial v}{\partial x_{\alpha}}}(\hat{x}) = \frac{\partial v}{\partial x_{\alpha}}(x) = Dv(x) \hat{e}_{\alpha} = D\hat{v}(\hat{x})DF_{K}^{-1}(x) \hat{e}_{\alpha} = \hat{D}\hat{v}(\hat{x})[DF_{K}(\hat{x})]^{-1} \hat{e}_{\alpha}. $$

Le vecteur $\hat{f}_{\alpha} = [DF_{K}(\hat{x})]^{-1} \hat{e}_{\alpha}$ est solution du système linéaire $DF_{K}(\hat{x})\hat{f}_{\alpha} = \hat{e}_{\alpha}$ dont le déterminant est précisément $J_{F_{K}}(\hat{x})$. La règle de Cramer et les relations (4.4-12) entraînent alors

$$ \hat{f}_{\alpha} = \sum_{\epsilon=1}^{2} \frac{A_{\epsilon\alpha}(\hat{x})}{J_{F_{K}}(\hat{x})} \hat{e}_{\epsilon}, $$

d'où l'on déduit

$$ \hat{\frac{\partial v}{\partial x_{\alpha}}}(\hat{x}) = \hat{D}\hat{v}(\hat{x})\hat{f}_{\alpha} = \sum_{\epsilon=1}^{2} \frac{A_{\epsilon\alpha}(\hat{x})}{J_{F_{K}}(\hat{x})} \frac{\partial \hat{v}}{\partial \hat{x}_{\epsilon}}(\hat{x}). $$

### Démonstration de la relation (4.4-11)

Par définition, si l'on pose $w(x) = Dv(x)\hat{e}_{\alpha}$, il vient

$$ \frac{\hat{\partial^2 v}}{\partial x_{\alpha} \partial x_{\beta}}(\hat{x}) = \frac{\partial^2 v}{\partial x_{\alpha} \partial x_{\beta}}(x) = D^2 v(x) (\hat{e}_{\alpha}, \hat{e}_{\beta}) = D w(x) \hat{e}_{\beta}. $$

La relation (4.4-10) entraîne

$$ D w(x) \hat{e}_{\beta} = \sum_{\rho=1}^{2} \frac{A_{\rho\beta}(\hat{x})}{J_{F_{K}}(\hat{x})} \frac{\partial \hat{w}}{\partial \hat{x}_{\rho}}(\hat{x}), \text{ d'une part,} $$

$$ \hat{w}(\hat{x}) = \frac{\hat{\partial v}}{\partial x_{\alpha}}(\hat{x}) = \sum_{\epsilon=1}^{2} \frac{A_{\epsilon\alpha}(\hat{x})}{J_{F_{K}}(\hat{x})} \frac{\partial \hat{v}}{\partial \hat{x}_{\epsilon}}(\hat{x}), \text{ d'autre part.} $$

Finalement,

$$ \frac{\hat{\partial^2 v}}{\partial x_{\alpha} \partial x_{\beta}}(\hat{x}) = \sum_{\rho=1}^{2} \frac{A_{\rho\beta}(\hat{x})}{J_{F_{K}}(\hat{x})} \sum_{\epsilon=1}^{2} \left[ \frac{A_{\epsilon\alpha}(\hat{x})}{J_{F_{K}}(\hat{x})} \frac{\partial^2 \hat{v}}{\partial \hat{x}_{\rho} \partial \hat{x}_{\epsilon}}(\hat{x}) + \frac{\partial \hat{v}}{\partial \hat{x}_{\epsilon}}(\hat{x}) \frac{\partial}{\partial \hat{x}_{\rho}} \left( \frac{A_{\epsilon\alpha}(\hat{x})}{J_{F_{K}}(\hat{x})} \right) \right] $$

Pour simplifier, nous écrivons les relations (4.4-10) (4.4-11) sous la forme

$$ (4.4-13) \quad \hat{\partial^2 v} = \sum_{|\gamma|=1}^{|v|} \hat{d}_{\nu\gamma} \partial^\gamma \hat{v} \text{ où } v \text{ et } \gamma \text{ sont des multi-indices.} $$

En reportant les relations (4.2-25) et (4.4-13) dans l'expression (4.4-8), on obtient :
$$
(4.4-14) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
E_K (a \partial^\nu v \partial^\mu w) & = \sum_{|\gamma|=1}^{|v|} \sum_{|\delta|=1}^{|\mu|} \hat{E} (\hat{a} J_F \hat{d}_{\nu\gamma} \hat{d}_{\mu\delta} \partial^\gamma \hat{v} \partial^\delta \hat{w}), \\
\text{où} & \\
\hat{a} & = a \circ F_K.
\end{array}
\right.
$$

Nous rassemblons ci-après quelques résultats qui seront d'un usage constant par la suite :

Lemme 4.4-1 : Les fonctions $\hat{d}_{\nu\gamma}$ définies par la relation (4.4-13) vérifient les estimations suivantes :

$$
(4.4-15) \quad \partial^\rho (\hat{d}_{\nu\gamma} \hat{d}_{\mu\delta} J_F) = O\left(h_K^{2-|\gamma|-|\delta|+|\rho|}\right).
$$

Démonstration : Ce résultat est une conséquence directe des relations (4.4-9) à (4.4-13) et des estimations (4.4-2).

Lemme 4.4-2 : *Soit* $\phi \in W^{k,q}(K)$, $w \in W^{k,\infty}(K)$. *Alors la fonction*
$\phi w \in W^{k,q}(K)$ *et satisfait*

$$
(4.4-16) \quad |\phi w|_{k,q,K} \le c \sum_{j=0}^{k} |\phi|_{k-j,q,K} |w|_{j,\infty,K}
$$

où la constante c ne dépend que des entiers k et q.

Lemme 4.4-3 : *Soit k un entier donné. Il existe une constante c, indépendante de $\hat{v} \in P_k$, telle que*

$$
(4.4-17) \quad |\hat{v}|_{j,\hat{K}} \le c|\hat{v}|_{i,\hat{K}}, \quad 0 \le i \le j, \quad \forall \hat{v} \in P_{\hat{K}}
$$

$$
(4.4-18) \quad |\hat{v}|_{j,\infty,\hat{K}} \le c |\hat{v}|_{j,\hat{K}}, \quad j \ge 0, \quad \forall \hat{v} \in P_{\hat{K}}
$$

$P_k$ étant l'espace vectoriel de tous les polynômes de degré inférieur ou égal à k.

Lemme 4.4-4 : *Soient p>0, q>0 des entiers donnés. Il existe une constante c, indépendante de h_K, telle que*

$$
(4.4-19) \quad \forall \hat{v} \in W^{p,q}(\hat{K}), \quad |\hat{v}|_{p,q,\hat{K}} \le c h_K^{p-2/q} \|v\|_{p,q,K}.
$$

Démonstration : Pour établir ce lemme il suffit de reporter les estimations (4.4-2) dans l'expression (3.1-15).
Le théorème suivant donne alors une estimation du terme $E_K(a \partial^\nu v \partial^\mu w)$ :

**Théorème 4.4-1** : *Soit deux familles d'éléments finis (K, $\sum_{K1}$, $P_{K1}$) et (K, $\sum_{K2}$, $P_{K2}$), droits ou courbes, vérifiant les hypothèses (4.4-1) à (4.4-6).*

*Soit k,l,m des entiers positifs ou nuls. On suppose que le schéma d'intégration numérique sur le triangle de référence $\hat{K}$ vérifie les propriétés suivantes :*

(i) $\underline{\text{Si}} k+l-|v|-|\mu| \ge m+1,$

$$ (4.4-20) \quad \left\{ \begin{array}{l} \underline{\text{si}} \ k-|v| \le m, \ \forall \hat{\phi} \in P_{m-k+N_\alpha}, \ \hat{E}(\hat{\phi}) = 0, \\[2ex] \underline{\text{si}} \ l-|\mu| \le m, \ \forall \hat{\phi} \in P_{m-l+N_\beta}, \ \hat{E}(\hat{\phi}) = 0, \\[2ex] \forall \hat{\phi} \in P_m, \ \hat{E}(\hat{\phi}) = 0. \end{array} \right. $$

(ii) $\underline{\text{Si}} \ |v| = \alpha = k, \ |\mu| = \beta = l \ \text{et} \ m=0,$

$$ (4.4-21) \qquad \forall \hat{\phi} \in P_{N_\alpha+N_\beta-\alpha-\beta}, \quad \hat{E}(\hat{\phi}) = 0. $$

*Alors, il existe une constante $c>0$, indépendante de $K$, telle que, pour toute fonction $a \in W^{m+1,\infty}(K)$, tout $v \in P_{K\alpha}$, $\alpha = 1,2$, tout $w \in P_{K\beta}$, $\beta = 1,2$, tout $0 \le |v| \le \alpha \le k$, tout $0 \le |\mu| \le \beta \le l$ on ait la majoration :*

$$ (4.4-22) \qquad |E_K(a \partial^\nu v \partial^\mu w)| \le c h_K^{m+1} \|a\|_{m+1,\infty,K} \|v\|_{k,K} \|w\|_{l,K}. $$

**Démonstration :**

(i) $\underline{\text{Cas oû}} m+1 \le k+l-|v|-|\mu|$: suivant (4.4-14) nous avons

$$ (4.4-23) \quad \left\{ \begin{array}{l} E_K(a \partial^\nu v \partial^\mu w) = \sum_{|\gamma|=1}^{|v|} \sum_{|\delta|=1}^{|\mu|} \hat{E}(\hat{a} J_F \hat{d}_{\nu\gamma} \hat{d}_{\mu\delta} \partial^\gamma \hat{v} \partial^\delta \hat{w}) \\ \text{oû} \\ 1 \le |v| \le \alpha \text{ et } 1 \le |\mu| \le \beta. \end{array} \right. $$

Les hypothèses (4.4-3) à (4.4-6) entraînent $\hat{v} \in P_{N_\alpha}$, $\hat{w} \in P_{N_\beta}$, d'où $\partial^\gamma \hat{v} \in P_{N_\alpha-|\gamma|}$, $\partial^\delta \hat{w} \in P_{N_\beta-|\delta|}$. Posons

$$ (4.4-24) \qquad \hat{b} = \hat{a} J_F \hat{d}_{\nu\gamma} \hat{d}_{\mu\delta}, \quad \hat{p} = \partial^\gamma \hat{v}, \quad \hat{q} = \partial^\delta \hat{w}, $$
et estimons $\hat{E}(\hat{b}\hat{p}\hat{q})$. Pour tout $|\gamma| \le k$, $|\delta| \le \ell$ on peut écrire

$$ (4.4-25) \quad \left\{ \begin{aligned} \hat{E}(\hat{b}\hat{p}\hat{q}) &= \hat{E}\left[\hat{b}(\hat{\pi}_{k-|\gamma|}\hat{p})(\hat{\pi}_{\ell-|\delta|}\hat{q})\right] + \hat{E}\left[\hat{b}(\hat{\pi}_{k-|\gamma|}\hat{p})(\hat{q}-\hat{\pi}_{\ell-|\delta|}\hat{q})\right] \\ &\quad + \hat{E}\left[\hat{b}(\hat{p}-\hat{\pi}_{k-|\gamma|}\hat{p})(\hat{\pi}_{\ell-|\delta|}\hat{q})\right] + \hat{E}\left[\hat{b}(\hat{p}-\hat{\pi}_{k-|\gamma|}\hat{p})(\hat{q}-\hat{\pi}_{\ell-|\delta|}\hat{q})\right], \end{aligned} \right. $$

où, de façon générale, $\hat{\pi}_{\ell}$ désigne l'opérateur de projection orthogonale dans l'espace $L^2(\hat{K})$ sur le sous-espace $P_{\ell}(\hat{K})$. Pour simplifier, nous posons

$$ (4.4-26) \qquad k_1 = k-|\gamma|, \quad \ell_1 = \ell-|\delta|. $$

La démonstration comporte alors les quatre étapes suivantes :

**Etape 1 :** Majoration du terme $|\hat{E}[\hat{b}(\hat{\pi}_{k_1}\hat{p})(\hat{\pi}_{\ell_1}\hat{q})]|$, $\forall \hat{b} \in W^{m+1,\infty}(\hat{K})$ :

L'hypothèse (4.4-20) et le lemme de Bramble-Hilbert (cf. II, lemme 3.3-1) entraînent :

$$ \forall \hat{\psi} \in W^{m+1, \infty}(\hat{K}), \quad |\hat{E}(\hat{\psi})| \le c |\hat{\psi}|_{m+1, \infty, \hat{K}}, $$

où, ici et par la suite, les lettres c désignent des constantes indépendantes du triangle K considéré, et pouvant changer d'une inégalité à la suivante.

Remplaçons $\hat{\psi}$ par $\hat{b}(\hat{\pi}_{k_1}\hat{p})(\hat{\pi}_{\ell_1}\hat{q})$ et utilisons la formule de Leibniz :

$$ \left| \hat{E}(\hat{b}(\hat{\pi}_{k_1} \hat{p}) (\hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q})) \right| \le c \sum_{\substack{i+j=0 \\ i \le k_1 \\ j \le \ell_1}}^{m+1} |\hat{b}|_{m+1-i-j, \infty, \hat{K}} |\hat{\pi}_{k_1} \hat{p}|_{i, \infty, \hat{K}} |\hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q}|_{j, \infty, \hat{K}}, $$

ou encore, avec l'inégalité (4.4-18)

$$ \left| \hat{E}(\hat{b}(\hat{\pi}_{k_1} \hat{p}) (\hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q})) \right| \le c \sum_{\substack{i+j=0 \\ i \le k_1 \\ j \le \ell_1}}^{m+1} |\hat{b}|_{m+1-i-j, \infty, \hat{K}} |\hat{\pi}_{k_1} \hat{p}|_{i, \hat{K}} |\hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q}|_{j, \hat{K}}. $$

Le raisonnement utilisé dans la démonstration de (II, Théorème 3.3-1) montre que
$$
(4.4-27) \quad \begin{cases} |\hat{\pi}_{k_1} \hat{p}|_{i, \hat{K}} \le c |\hat{p}|_{i, \hat{K}}, & i=0, \dots, \min(k_1, m+1), \\ |\hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q}|_{j, \hat{K}} \le c |\hat{q}|_{j, \hat{K}}, & j=0, \dots, \min(\ell_1, m+1). \end{cases}
$$

En combinant les inégalités précédentes, on en déduit l'existence d'une
constante c telle que

$$
|\hat{E}(\hat{b}(\hat{\pi}_{k_1} \hat{p})(\hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q}))| \le c \sum_{\substack{i+j=0 \\ i \le k_1 \\ j \le \ell_1}}^{m+1} |\hat{b}|_{m+1-i-j, \infty, \hat{K}} |\hat{p}|_{i, \hat{K}} |\hat{q}|_{j, \hat{K}} .
$$

La relation (4.4-24) et les lemmes 4.4-1 et 4.4-2 entraînent

$$
(4.4-28) \quad \left\{
\begin{aligned}
& |\hat{b}|_{m+1-i-j, \infty, \hat{K}} \le c \sum_{\substack{r=0 \\ i+j=k_1}}^{m+1-i-j} |\hat{a}|_{m+1-i-j-r, \infty, \hat{K}} |J_{F_K} \hat{d}_{\nu_Y} \hat{d}_{\mu\delta}|_{r, \infty, \hat{K}} \\
& \le c h_K^{2-|\gamma|-|\delta|} \sum_{r=0}^{m+1-i-j} h^r |\hat{a}|_{m+1-i-j-r, \infty, \hat{K}} .
\end{aligned}
\right.
$$

Ainsi,

$$
(4.4-29) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
  \forall \hat{a} \in W^{m+1, \infty}(\hat{K}), \quad \forall \hat{p} \in P_{N_\alpha} - |\gamma|, \quad \forall \hat{q} \in P_{N_\beta} - |\delta|, \\
  \qquad |\hat{E}(\hat{b}(\hat{\pi}_{k_1} \hat{p})(\hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q}))| \le c h_K^{2-|\gamma|-|\delta|} \sum_{\substack{i+j=0 \\ i \le k_1 \\ j \le \ell_1}}^{m+1} \sum_{r=0}^{m+1-i-j} h^r |\hat{a}|_{m+1-i-j-r, \infty, \hat{K}} |\hat{p}|_{i, \hat{K}} |\hat{q}|_{j, \hat{K}} .
\end{array}
\right.
$$

Etape 2 : Majoration des termes $ \left| \hat{E} \left[ \hat{b} (\hat{\pi}_{k_1} \hat{p}) (\hat{q} - \hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q}) \right] \right| $ et $ \left| \hat{E} \left[ \hat{b} (\hat{p} - \hat{\pi}_{k_1} \hat{p}) (\hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q}) \right] \right| $

Commençons par le premier de ces deux termes.

Si $0 \le \ell_1 < m+1$ il vient les inclusions, avec injections continues suivantes

$$
(4.4-30) \quad W^{m+1, \infty}(\hat{K}) \subsetneq W^{m+1-\ell_1, r}(\hat{K}) \subsetneq C^0(\hat{K}),
$$
avec $r \ge 1$ et $r > \frac{2}{m+1-l_1}$. En particulier, $W^{l_1, \infty}(\hat{K}) \subset L^r(\hat{K})$, d'où

$$
\forall \hat{\phi} \in W^{l_1, \infty}(\hat{K}), \quad |\hat{\phi}|_{0,r,\hat{K}} \le c \sum_{j=0}^{l_1} |\hat{\phi}|_{l_1-j, \infty, \hat{K}},
$$

soit

$$
(4.4-31) \quad \forall \hat{\phi} \in W^{m+1, \infty}(\hat{K}), \quad |\hat{\phi}|_{m+1-l_1, r, \hat{K}} \le c \sum_{j=0}^{l_1} |\hat{\phi}|_{m+1-j, \infty, \hat{K}}.
$$

Par analogie avec le raisonnement de l'étape 1, nous trouvons par
exemple que pour tout $\hat{\phi} \in W^{m+1-l_1,r}(\hat{K}) \subset \mathcal{C}^0(\hat{K})$, pour tout $\hat{q} \in P_{N_\beta-|\delta|}$, on a
grâce à l'inégalité (4.4-18)

$$
\begin{align*}
|\hat{E}(\hat{\phi}(\hat{q}-\hat{\pi}_{l_1} \hat{q}))| &\le c |\hat{\phi}(\hat{q}-\hat{\pi}_{l_1} \hat{q})|_{0,\infty,\hat{K}} \le c |\hat{\phi}|_{0,\infty,\hat{K}} |\hat{q}-\hat{\pi}_{l_1} \hat{q}|_{0,\infty,\hat{K}} \\
&\le c \|\hat{\phi}\|_{m+1-l_1,r,\hat{K}} |\hat{q}-\hat{\pi}_{l_1} \hat{q}|_{0,\hat{K}}.
\end{align*}
$$

Pour un $\hat{q} \in P_{N_\beta - |\delta|}$ donné, la forme linéaire

$$
\hat{\phi} \in W^{m+1-l_1, r}(\hat{K}) \rightarrow \hat{E}(\hat{\phi}(\hat{q}-\hat{\pi}_{l_1} \hat{q}))
$$

est continue et elle s'annule sur l'espace $P_{m-l_1}^{m-l_1}(\hat{K})$, grâce à l'hypothèse (4.4-20) (noter que l'hypothèse $l_1 \le m$ jointe aux relations (4.4-23) (4.4-26) entraîne $\ell - |\mu| \le m$). Avec le lemme de Bramble-Hilbert on obtient :

$$
(4.4-32) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \forall \hat{\phi} \in W^{m+1-l_1,r}(\hat{K}), \quad \forall \hat{q} \in P_{N_\beta-|\delta|}, \\
\displaystyle \qquad \quad \left| \hat{E}(\hat{\phi}(\hat{q}-\hat{\pi}_{l_1} \hat{q})) \right| \le c |\hat{\phi}|_{m+1-l_1,r,\hat{K}} |\hat{q}-\hat{\pi}_{l_1} \hat{q}|_{0,\hat{K}} .
\end{array}
\right.
$$

Comme l'opérateur $\hat{\pi}_{l_1}$ laisse invariant l'espace $P_{j-1}^{m}(\hat{K})$ en particulier,
$j=1, \dots, l_1$, on aura

$$
(4.4-33) \quad \forall \hat{q} \in P_{N_\beta - |\delta|}, \quad |\hat{q} - \hat{\pi}_{l_1} \hat{q}|_{0,\hat{K}} \le c |\hat{q}|_{j,\hat{K}}, \quad 0 \le j \le l_1
$$

(pour $j=0$ on utilise la propriété de la projection dans $L^2(\hat{K})$). Alors la relation (4.4-30) et les inégalités (4.4-31) (4.4-32) et (4.4-33) entraînent :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\forall \hat{\phi} \in W^{m+1, \infty}(\hat{K}), \ \forall \hat{q} \in P_{N_{\beta}-|\delta|}, \\
\\
\left| \hat{E}(\hat{\phi}(\hat{q}-\hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q})) \right| \le c \sum_{j=0}^{\ell_1} |\hat{\phi}|_{m+1-j, \infty, \hat{K}} |\hat{q}|_{j, \hat{K}}.
\end{array}
\right.
$$

On pose ensuite $\hat{\phi} = \hat{b} \hat{\pi}_{k1} \hat{p}$, puis on utilise la formule de Leibniz et les inégalités (4.4-27). On trouve

$$
\left| \hat{E} \left( \hat{b} \left( \hat{\pi}_{k1} \hat{p} \right) \left( \hat{q} - \hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q} \right) \right) \right| \le c \sum_{\substack{i+j=0 \\ i \le k_1 \\ j \le \ell_1}}^{m+1} |\hat{b}|_{m+1-i-j, \infty, \hat{K}} |\hat{p}|_i |\hat{K}| |\hat{q}|_j |\hat{K}| .
$$

Finalement, avec les inégalités (4.4-28), il vient :

$$
(4.4-34) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\forall \hat{a} \in W^{m+1, \infty}(\hat{K}), \quad \forall \hat{p} \in P_{N_\alpha-|\gamma|}, \quad \forall \hat{q} \in P_{N_\beta-|\delta|}, \\
\qquad \left| \hat{E}(\hat{b}(\hat{\pi}_{k_1} \hat{p})(\hat{q}-\hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q})) \right| \le c h_K^{2-|\gamma|-|\delta|} \sum_{\substack{i+j=0 \\ i \le k_1 \\ j \le \ell_1}}^{m+1} \sum_{r=0}^{m+1-i-j} \\
\qquad \qquad h^r |\hat{a}|_{m+1-i-j-r, \infty, \hat{K}} |\hat{p}|_i |\hat{K}| |\hat{q}|_j |\hat{K}| .
\end{array}
\right.
$$

$\underline{Si} m+1 \le l_1$, alors $W^{m+1, \infty}(\hat{K}) \subset \mathcal{C}^0(\hat{K})$ entraîne

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\forall \hat{\phi} \in W^{m+1, \infty}(\hat{K}), \quad \forall \hat{q} \in P_{N_{\beta}-|\delta|}, \\
\\
\left| \hat{E}(\hat{\phi}(\hat{q}-\hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q})) \right| \le c |\hat{\phi}|_{0, \infty, \hat{K}} |\hat{q}|_{\ell_1, \hat{K}} .
\end{array}
\right.
$$

En prenant $\hat{\phi} = \hat{b} \hat{\pi}_{k1} \hat{p}$, on obtient

$$
| \hat{E} ( \hat{b} ( \hat{\pi}_{k_1} \hat{p} ) ( \hat{q} - \hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q} ) ) | \le c | \hat{b} |_{0, \infty, \hat{K}} | \hat{p} |_{0, \hat{K}} | \hat{q} |_{\ell_1, \hat{K}} .
$$

Les inégalités (4.4-28) entraînent :
$$
(4.4-35) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\displaystyle \forall \hat{a} \in W^{m+1, \infty}(\hat{K}), \quad \forall \hat{p} \in P_{N_\alpha} - |\gamma|, \quad \forall \hat{q} \in P_{N_\beta} - |\delta|, \\
\displaystyle \qquad \left| \hat{E}(\hat{b}(\hat{\pi}_{k_1} \hat{p}) (\hat{q} - \hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q})) \right| \le c h_K^{2-|\gamma|-|\delta|} |\hat{a}|_{0,\infty,\hat{K}} |\hat{p}|_{0,\hat{K}} |\hat{q}|_{\ell_1,\hat{K}}
\end{array}
\right.
$$

Par des considérations de symétrie le second terme admet les majorants suivants :

$$
\underline{\text{Si}} \quad 0 \le k_1 < m+1 \quad (\text{ce qui implique } k-|\nu| \le m)
$$

$$
(4.4-36) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\displaystyle \forall \hat{a} \in W^{m+1, \infty}(\hat{K}), \quad \forall \hat{p} \in P_{N_\alpha} - |\gamma|, \quad \forall \hat{q} \in P_{N_\beta} - |\delta|, \\
\displaystyle \qquad \left| \hat{E}(\hat{b}(\hat{p}-\hat{\pi}_{k_1} \hat{p}) (\hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q})) \right| \le c h_K^{2-|\gamma|-|\delta|} \sum_{i+j=0}^{m+1} \sum_{r=0}^{m+1-i-j} \\
\qquad \qquad \qquad i \le k_1 \\
\qquad \qquad \qquad j \le \ell_1 \\
\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad h^r |\hat{a}|_{m+1-i-j-r, \infty, \hat{K}} |\hat{p}|_{i, \hat{K}} |\hat{q}|_{j, \hat{K}}
\end{array}
\right.
$$

$$
\underline{\text{Si}} \quad m+1 \le k_1
$$

$$
(4.4-37) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\displaystyle \forall \hat{a} \in W^{m+1, \infty}(\hat{K}), \quad \forall \hat{p} \in P_{N_\alpha} - |\gamma|, \quad \forall \hat{q} \in P_{N_\beta} - |\delta|, \\
\displaystyle \qquad \left| \hat{E}(\hat{b}(\hat{p}-\hat{\pi}_{k_1} \hat{p}) (\hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q})) \right| \le c h_K^{2-|\gamma|-|\delta|} |\hat{a}|_{0,\infty,\hat{K}} |\hat{p}|_{k_1,\hat{K}} |\hat{q}|_{0,\hat{K}}.
\end{array}
\right.
$$

Etape 3 : Majoration du terme $\left| \hat{E}[\hat{b}(\hat{p}-\hat{\pi}_{k_1} \hat{p})(\hat{q}-\hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q})] \right|$

L'inégalité (4.4-18) entraîne

$$
| \hat{E} ( \hat{b} ( \hat{p} - \hat{\pi}_{k_1} \hat{p} ) ( \hat{q} - \hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q} ) ) | \le c |\hat{b}|_{0,\infty,\hat{K}} |\hat{p} - \hat{\pi}_{k_1} \hat{p}|_{0,\hat{K}} |\hat{q} - \hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q}|_{0,\hat{K}}
$$

Comme l'hypothèse $k+\ell-|\nu|-|\mu| \ge m+1$ entraîne $k_1+\ell_1 \ge m+1$, on peut
choisir arbitrairement les entiers $i$ et $j$ avec $0 \le i \le k_1$, $0 \le j \le \ell_1$ et
$i+j=m+1$ de façon que les inégalités du type (4.4-33) entraînent

$$
(4.4-38) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\displaystyle \forall \hat{a} \in W^{m+1, \infty}(\hat{K}), \quad \forall \hat{p} \in P_{N_\alpha} - |\gamma|, \quad \forall \hat{q} \in P_{N_\beta} - |\delta|, \\
\displaystyle \qquad \left| \hat{E}(\hat{b}(\hat{p}-\hat{\pi}_{k_1} \hat{p})(\hat{q}-\hat{\pi}_{\ell_1} \hat{q})) \right| \le c h_K^{2-|\gamma|-|\delta|} |\hat{a}|_{0,\infty,\hat{K}} |\hat{p}|_{i,\hat{K}} |\hat{q}|_{j,\hat{K}}
\end{array}
\right.
$$
### Etape 4 : Estimation finale (4.4-22) :

Pour obtenir l'estimation finale (4.4-22), il convient de rassembler les estimations (4.4-29) (4.4-34) à (4.4-38). Grâce à la relation (4.4-24) l'estimation (4.4-29) s'écrit encore

$$ egin{cases} 
\forall \hat{a} \in \mathbb{W}^{m+1, \infty}(\hat{K}), \ \forall \hat{v} \in P_{N_\alpha}, \ \forall \hat{w} \in P_{N_\beta}, \\ 
\left| \hat{E}(\hat{b}_\pi k_1 (\hat{\gamma}\hat{v}) \hat{\pi}_{\ell_1} (\hat{\delta}\hat{w})) \right| \le c h_K^{2-|\gamma|-|\delta|} \sum_{\substack{i+j=0 \\ i \le k_1}}^{m+1} \sum_{r=0}^{m+1-i-j} \\ 
h^r |\hat{a}|_{m+1-i-j-r, \infty, \hat{K}} |\hat{v}|_{i+|\gamma|, \hat{K}} |\hat{w}|_{j+|\delta|, \hat{K}}. 
\end{cases} $$

Les relations (4.4-23) (4.4-24) (4.4-26) et les estimations (4.4-19) entraînent alors :

$$ egin{cases} 
\forall a \in \mathbb{W}^{m+1, \infty}(K), \ \forall v \in P_{K\alpha}, \ \forall w \in P_{K\beta}, \\ 
\left| E_K (a \ \partial^\nu v \ \partial^\mu w) \right| \le c h_K^{m+1} \|a\|_{m+1, \infty, K} \|v\|_{K, K} \|w\|_{\ell, K}. 
\end{cases} $$

On obtient le même résultat à partir des estimations (4.4-34) à (4.4-38), ce qui termine la démonstration du Théorème 4.4-1 dans le cas où $k+\ell \ge m+1+|\nu|+|\mu|$.

(ii) **Cas où** $|\nu| = \alpha = k$, $|\mu| = \beta = \ell$ et $m = 0$ ($\alpha, \beta = 1, 2$) :

Soit à montrer que $\forall a \in \mathbb{W}^{1, \infty}(K), \forall v \in P_{K\alpha}, \forall w \in P_{K\beta}$

$$ \left| E_K (a \ \partial^\nu v \ \partial^\mu w) \right| \le c h_K \|a\|_{1, \infty, K} \|v\|_{\alpha, K} \|w\|_{\beta, K}. $$

Mais

$$ egin{cases} 
E_K (a \ \partial^\nu v \ \partial^\mu w) = \sum_{|\gamma|=1}^{\alpha} \sum_{|\mu|=1}^{\beta} \hat{E} (\hat{a} J_F \hat{d}_{\nu\gamma} \hat{d}_{\mu\delta} \partial^\gamma \hat{v} \partial^\delta \hat{w}) \\ 
où \\ 
\hat{v} \in P_{N_\alpha}, \ \hat{w} \in P_{N_\beta}. 
\end{cases} $$
Deux cas sont alors à envisager

$$
(1) \quad |\gamma| + |\delta| \le \alpha + \beta - 1
$$

Dans ce cas on effectue un raisonnement analogue à celui du cas (i)
du Théorème 4.4-1. Ce raisonnement est possible car la condition
$k+l-|\gamma|-|\delta| \ge 1$ est vérifiée (noter qu'ici $m=0$) et car l'hypothèse (4.4-21)
entraîne la vérification des hypothèses (4.4-20).

$$
(2) \quad |\gamma| = \alpha, |\delta| = \beta :
$$

Posons

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\hat{b} = \hat{a} J_F \hat{d}_{vY} \hat{d}_{\mu\delta}, \hat{p} = \partial^\gamma \hat{v}, \hat{q} \in \partial^\delta \hat{w}, \\
o\bar{u} \\
\delta \in W^{1,\infty}(\hat{K}), \hat{p} \in P_{N-\alpha} \hat{u}, \hat{q} \in P_{N-\beta} \hat{w}.
\end{array}
\right.
$$

Il vient

$$
\begin{align*}
|\hat{E}(\hat{b}\hat{p}\hat{q})| &\le c|\hat{b}|_{0,\infty,\hat{K}}|\hat{p}|_{0,\infty,\hat{K}}|\hat{q}|_{0,\infty,\hat{K}} \\
&\le c\|\hat{b}\|_{1,\infty,\hat{K}} |\hat{p}|_{0,\hat{K}} |\hat{q}|_{0,\hat{K}}.
\end{align*}
$$

L'hypothèse (4.4-21) et le lemme de Bramble-Hilbert entraînent alors

$$
|\hat{E}(\hat{b} \hat{p} \hat{q})| \le c |\hat{b}|_{1,\infty,\hat{K}} |\hat{p}|_{0,K} |\hat{q}|_{0,\hat{K}} .
$$

Mais les lemmes 4.4-1 et 4.4-4 entraînent

$$
\begin{align*}
|\hat{\delta}|_{1,\infty,\hat{K}} &\le c \sum_{i=0}^{1} |\hat{a}|_{1-i,\infty,\hat{K}} |J_F \hat{d}_{vY} \hat{d}_{\mu\delta}|_{i,\infty,\hat{K}}, \\
&\le c h_K^{3-\alpha-\beta} \|a\|_{1,\infty,K} \\
|\hat{p}|_{0,\hat{K}} &\le c |\hat{v}|_{\alpha,\hat{K}} \le c h_K^{\alpha-1} \|v\|_{\alpha,\hat{K}}, \\
|\hat{q}|_{0,\hat{K}} &\le c |\hat{w}|_{\beta,\hat{K}} \le c h_K^{\beta-1} \|w\|_{\beta,\hat{K}}.
\end{align*}
$$

D'où le résultat cherché (4.4-22), dans le cas où $m = 0$,
$|v| = \alpha = k$, $|\mu| = \beta = \ell$.
**Remarque 4.4-3** : Il convient de souligner que lorsque l'application $F_K$ est affine (i.e., $n=1$) le Théorème 4.4-1 redonne les résultats de (II, Théorème 3.3-2).

**Théorème 4.4-2** : Soit deux familles d'éléments finis $(K, \sum_{K1}, P_{K1})$ et $(K, \sum_{K2}, P_{K2})$, droits ou courbes, vérifiant les hypothèses (4.4-1) à (4.4-6).

Soit $m$ un nombre entier $\ge 0$ et soit $q$ un nombre réel quelconque $> \frac{2}{m+1}$.
On suppose que le schéma d'intégration numérique sur le triangle de référence $\hat{\mathbb{K}}$ vérifie les propriétés suivantes :

$$ (4.4-39) \quad \left\{ \begin{array}{l} \text{si } l \le m, \ \forall \hat{\phi} \in P_{m-l+N}^{(\hat{\mathbb{K}})}, \ \hat{E}(\hat{\phi}) = 0, \\ \forall \hat{\phi} \in P_m^{(\hat{\mathbb{K}})}, \ \hat{E}(\hat{\phi}) = 0. \end{array} \right. $$

Alors, il existe une constante $c>0$, indépendante de $h_K$, telle que
$$ (4.4-40) \quad \left\{ \begin{array}{l} \forall \phi \in W^{m+1,q}(K), \quad \forall w \in P_{K\alpha}, \ \alpha = 1,2, \\ \qquad |E_K(\phi w)| \le c h_K^{m+1} (\text{mes}(K))^{\frac{1}{2}-\frac{1}{q}} \|\phi\|_{m+1,q,K} \|w\|_{l,K'} \\ \text{où } l \text{ est un entier } \ge \alpha. \end{array} \right. $$

**Démonstration** : Pour tout $\phi \in W^{m+1,q}(K)$ et tout $w \in P_{K\alpha}$ nous avons grâce aux relations (4.2-25) (4.4-4) (4.4-6) :

$$ (4.4-41) \quad \left\{ \begin{array}{ll} E_K(\phi w) = \hat{E}(\hat{\phi} \hat{w} J_F^K) & \\ \text{où} & \hat{\phi} \in W^{m+1,q}(\hat{\mathbb{K}}), \hat{w} \in P_{N\alpha}(\hat{\mathbb{K}}). \end{array} \right. $$

On peut écrire

$$ \hat{E}(\hat{\phi} \hat{w} J_F^K) = \hat{E}(\hat{\phi} J_F^K \hat{\pi}_l \hat{w}) + \hat{E}(\hat{\phi} J_F^K (\hat{w} - \hat{\pi}_l \hat{w})) $$

où $\hat{\pi}_l$ désigne l'opérateur de projection orthogonale dans l'espace $L^2(\hat{\mathbb{K}})$ sur le sous-espace de dimension finie $P_l(\hat{\mathbb{K}})$. La démonstration est alors similaire à celle du Théorème 4.4-1 et elle généralise celle de (II, Théorème 3.3-1) : nous en rappelons les idées :
(i) Estimation de $\hat{E}(\hat{\phi}_{J_F^K} \hat{\pi}_\ell \hat{w})$ :

L'hypothèse (4.4-39) jointe à $q > \frac{2}{m+1}$ entraîne

$$ \forall \hat{\psi} \in W^{m+1,q}(\hat{K}), \quad |\hat{E}(\hat{\psi})| \le c |\hat{\psi}|_{m+1,q,\hat{K}}, $$

d'où l'on déduit,

$$ (4.4-42) \quad |\hat{E}(\hat{\phi}_{J_F^K} \hat{\pi}_\ell \hat{w})| \le c \sum_{j=0}^{\min(\ell, m+1)} |\hat{\phi}_{J_F^K}| |\hat{w}|_{j, \hat{K}} $$

(ii) Estimation de $\hat{E}(\hat{\phi}_{J_F^K} (\hat{w}-\hat{\pi}_\ell \hat{w}))$ :

Si $1 \le \ell \le m$ on a les inclusions

$$ W^{m+1,q}(\hat{K}) \subset W^{m+1-\ell,r}(\hat{K}) \subset C^0(\hat{K}), $$

où $r$ est donné par

$$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{r} = \frac{1}{q} - \frac{\ell}{2} \quad \underset{\ell \le q < \frac{2}{\ell}}{\text{si }} 1 \le q < \frac{2}{\ell} \quad (\Rightarrow \quad (\ell=q=1 \text{ d'où } r=2)), \\ \\ \text{r assez grand pour que } m+1-\ell - \frac{2}{r} > 0 \quad \underset{\ell \ge q \ge \frac{2}{\ell}}{\text{si }} q > \frac{2}{\ell}. \end{array} \right. $$

Alors,

$$ \forall \hat{\phi} \in W^{m+1,q}(\hat{K}), \quad |\hat{\phi}|_{m+1-\ell,r,\hat{K}} \le c \sum_{j=0}^{\ell} |\hat{\phi}|_{m+1-j,q,\hat{K}} $$

et

$$ \forall \hat{\phi} \in W^{m+1-\ell,r}(\hat{K}), \quad \forall \hat{w} \in P_{N_\alpha}, $$

$$ |\hat{E}(\hat{\phi}_{J_F^K} (\hat{w}-\hat{\pi}_\ell \hat{w}))| \le c |\hat{\phi}_{J_F^K}|_{m+1-\ell,r,\hat{K}} |\hat{w}-\hat{\pi}_\ell \hat{w}|_{0,\hat{K}}. $$

On en déduit que

$$ (4.4-43) \quad \forall \hat{\phi} \in W^{m+1,q}(\hat{K}), \quad \forall \hat{w} \in P_{N_\alpha}, \quad |\hat{E}(\hat{\phi}_{J_F^K} (\hat{w}-\hat{\pi}_\ell \hat{w}))| \le c \sum_{j=0}^{\ell} |\hat{\phi}_{J_F^K}|_{m+1-j,q,\hat{K}} |\hat{w}|_{j,\hat{K}}. $$

Si $m+1 \le \ell$ on a l'inclusion $W^{m+1,q}(\hat{K}) \subset C^0(\hat{K})$. On en déduit

$$ (4.4-44) \quad \hat{\phi} \in W^{m+1,q}(\hat{K}), \quad \forall \hat{w} \in P_{N_\alpha}, \quad |\hat{E}(\hat{\phi}_{J_F^K} (\hat{w}-\hat{\pi}_\ell \hat{w}))| \le c \|\hat{\phi}_{J_F^K}\|_{m+1,q,\hat{K}} |\hat{w}|_{\ell,\hat{K}}. $$

Pour conclure il suffit alors de combiner la relation (4.4-41), les inégalités (4.4-42) (4.4-43) lorsque $1 \le \ell \le m$, les inégalités (4.4-42) (4.4-44)
lorsque $m+1 \le l$, les inégalités (4.4-16) et les estimations (4.4-2) et (4.4-19).

**Remarque 4.4-4** : Lorsque l'application $F_K$ est affine (i.e., $n=1$) le théorème 4.4-2 redonne les résultats de (II, Théorème 3.3-1).

**4-5. Conditions suffisantes pour la vérification de la condition d'uniforme**

Nous allons établir le théorème suivant :

**Théorème 4.5-1** : Soit une famille régulière de triangulations $\mathcal{T}$ du domaine $\Omega$ vérifiant les propriétés (1.1-2) et (1.1-3). Soit deux familles d'éléments finis $(K, P_{K1}, \cup_{K1})$ et $(K, P_{K2}, \cup_{K2})$, droits ou courbes, vérifiant les hypothèses (4.4-1) à (4.4-6). On suppose que le schéma d'intégration numérique sur le triangle de référence $\hat{K}$ vérifie la propriété suivante :

$$ (4.5-1) \qquad \forall \hat{\phi} \in P_{-2+2\max(N_1,N_2-1)}, \hat{E}(\hat{\phi}) = 0. $$

Alors, il existe une constante $\beta>0$, indépendante de $h$, et un $h_1>0$ tels que si $A_{IJ} \in W^{1,\infty}(\tilde{\Omega})$, $I,J=1, ..., 12$, on ait :

$$ (4.5-2) \qquad \beta \|\vec{v}_h\|_{\vec{v}(\Omega_h)}^2 \le a_h(\vec{v}_h, \vec{v}_h), \quad \forall \vec{v}_h \in \vec{v}_h, \forall h<h_1, $$

où la forme bilinéaire $a_h$ est définie par la relation (4.2-26).

**Démonstration** : Pour tout $\vec{v}_h \in \vec{v}_h$, la relation (4.2-14) entraîne

$$ (4.5-3) \qquad a_h(\vec{v}_h, \vec{v}_h) = \tilde{a}_h(\vec{v}_h, \vec{v}_h) + a_h(\vec{v}_h, \tilde{\vec{v}}_h) - \tilde{a}_h(\tilde{\vec{v}}_h, \tilde{\vec{v}}_h). $$

La démonstration comporte alors les trois étapes suivantes :

**Etape 1** : $\exists$ une constante $\alpha>0$, indépendante de $h$, telle que

$$ (4.5-4) \qquad \forall \vec{v}_h \in \vec{v}_h, \alpha \|\vec{v}_h\|_{\vec{v}(\Omega_h)}^2 \le \tilde{a}_h(\vec{v}_h, \vec{v}_h). $$

L'étude de (I, Théorème 6.1-3) et l'hypothèse 4.1-1 montrent que la forme bilinéaire associée à la carte $\tilde{\phi}$ définie sur l'ouvert $\tilde{\Omega}$, i.e.,

$$ \tilde{a}(\tilde{u}, \tilde{v}) = \int_{\tilde{\Omega}} t_U[A_{IJ}]^V dx $$
est $(H_0^1(\tilde{\Omega}))^2 \times H_0^2(\tilde{\Omega})$-elliptique : Il existe une constante $\tilde{\beta}>0$ telle que

$$
(4.5-5) \qquad \nabla_{\vec{v}} \in (H_0^1(\tilde{\Omega}))^2 \times H_0^2(\tilde{\Omega}), \quad \tilde{\beta} \|\vec{v}\|^2_{\tilde{V}(\tilde{\Omega})} \le \tilde{a}(\vec{v}, \vec{v}).
$$

Mais (cf. (4.2-5)) pour tout $h<h_0$, on a $\Omega_h \subset \tilde{\Omega}$. De plus, toute fonction $\vec{v}_h \in \tilde{V}_h$ vérifie

$$
\vec{v}_h \in \left[ (H_0^1(\Omega_h))^2 \times H_0^2(\Omega_h) \right] \cap \left[ (C^0(\Omega_h))^2 \times C^1(\Omega_h) \right].
$$

Par suite, toute fonction $\vec{v}_h \in \tilde{V}_h$ peut être prolongée par 0 sur $\tilde{\Omega} - \Omega_h$ et cette
nouvelle fonction $\tilde{v}_h \in (H_0^1(\tilde{\Omega}))^2 \times H_0^2(\tilde{\Omega})$. Si l'on note que $\|\tilde{v}_h\|_{\tilde{V}(\tilde{\Omega})} = \|\vec{v}_h\|_{\tilde{V}(\Omega_h)}$ et
$\tilde{a}(\tilde{v}_h, \tilde{v}_h) = \tilde{a}_h(\tilde{v}_h, \vec{v}_h)$, l'inégalité (4.5-5) s'écrit :

$$
\nabla_{\vec{v}_h} \in \tilde{v}_h, \quad \tilde{\beta} \| \nabla_{\vec{v}_h} \|^2_{\tilde{V}(\Omega_h)} \le \tilde{a}_h(\tilde{v}_h, \vec{v}_h),
$$

d'où (4.5-4) avec $\alpha = \tilde{\beta}$.

Étape 2 : ∃ une constante c > 0, indépendante de h, telle que

$$
(4.5-6) \quad \nabla_{\vec{v}_h} \in \tilde{v}_h, \quad |\tilde{a}_h(\vec{v}_h, \tilde{v}_h) - a_h(\vec{v}_h, \tilde{v}_h)| \le c h \|\nabla_{\vec{v}_h}\|^2_{\tilde{V}(\Omega_h)}.
$$

La Figure 4.5-1 montre que les hypothèses du Théorème 4.5-1, en particulier l'hypothèse (4.5-1), permettent d'appliquer le Théorème 4.4-1 aux différents types de termes qui apparaissent au second membre de la relation ci-dessous :

$$
\tilde{a}_h(\vec{v}_h, \tilde{v}_h) - a_h(\vec{v}_h, \tilde{v}_h) = \sum_{K \in \mathcal{K}_h} \sum_{I, J=1}^{12} E_K [A_{IJ}(v_h)_I (v_h)_J] .
$$

Ainsi,

$$
(4.5-7) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \nabla_{\vec{v}_h} \in \tilde{v}_h, \quad \nabla_{A_{IJ}} \in W^{1,\infty}(\tilde{\Omega}) \text{ on a} \\
& \qquad |\tilde{a}_h(\vec{v}_h, \tilde{v}_h) - a_h(\vec{v}_h, \tilde{v}_h)| \le \sum_{K \in \mathcal{K}_h} \sum_{I,J=1}^{12} |E_K(A_{IJ}(v_h)_I (v_h)_J)| \\
& \le c \sum_{K \in \mathcal{K}_h} h_K \left( \sum_{I,J=1}^{12} \|A_{IJ}\|_{1,\infty,K} \right) \|\vec{v}_h\|^2_{\tilde{V}(K)} \\
& \le c h \|\vec{v}_h\|^2_{\tilde{V}(\Omega_h)}.
\end{aligned}
\right.
$$
<table><caption>Figure 4.5-1 : Estimation des termes $E_k \left[ A_{IJ}(V_h) I_h(V_h) J \right]$, I,J = 1, ..., 12, à l'aide du Théorème 4.4-1 (dans chaque cas on indique les valeurs des paramètres k, l, |v|, |&mu;|, définis dans l'énoncé du Théorème 4.4-1, ainsi que le critère sur le schéma d'intégration).</caption><thead><tr><th>(V) J<br>(V) I</th><th>V &in; P<sub>K1</sub></th><th>DV, (V &in; P<sub>K1</sub>)</th><th>V &in; P<sub>K2</sub></th><th>DV, (V &in; P<sub>K2</sub>)</th><th>D<sup>2</sup>V, (V &in; P<sub>K2</sub>)</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">V &in; P<sub>K1</sub></td><td>k = &ell; = 1 ; m = 0</td><td>k = &ell; = 1 ; m = 0</td><td>k = 1 ; &ell; = 2 ; m = 0</td><td>k = 1 ; &ell; = 2 ; m = 0</td><td>k = 1 ; &ell; = 2 ; m = 0</td></tr><tr><td>|v| = |&mu;| = 0</td><td>|v| = 0 ; |&mu;| = 1</td><td>|v| = |&mu;| = 0</td><td>|v| = 0 ; |&mu;| = 1</td><td>|v| = 0 ; |&mu;| = 2</td></tr><tr><td rowspan="2">DV<br>(V &in; P<sub>K1</sub>)</td><td>V&phi;&isin;P<sub>0</sub>, E(&phi;) = 0</td><td>V&phi;&isin;P<sub>N<sub>1</sub>-1</sub>, E(&phi;) = 0</td><td>V&phi;&isin;P<sub>0</sub>, E(&phi;) = 0</td><td>V&phi;&isin;P<sub>0</sub>, E(&phi;) = 0</td><td>V&phi;&isin;P<sub>N<sub>2</sub>-2</sub>, E(&phi;) = 0</td></tr><tr><td>k = &ell; = 1 ; m = 0</td><td>k = &ell; = 1 ; m = 0</td><td>k = 1 ; &ell; = 2 ; m = 0</td><td>k = 1 ; &ell; = 2 ; m = 0</td><td>k = 1 ; &ell; = 2 ; m = 0</td></tr><tr><td rowspan="2">V &in; P<sub>K2</sub></td><td>|v| = 1 ; |&mu;| = 0</td><td>|v| = |&mu;| = 1</td><td>|v| = 1 ; |&mu;| = 0</td><td>|v| = |&mu;| = 1</td><td>|v| = 1 ; |&mu;| = 2</td></tr><tr><td>V&phi;&isin;P<sub>N<sub>1</sub>-1</sub>, E(&phi;) = 0</td><td>V&phi;&isin;P<sub>2N<sub>1</sub>-2</sub>, E(&phi;) = 0</td><td>V&phi;&isin;P<sub>N<sub>1</sub>-1</sub>, E(&phi;) = 0</td><td>V&phi;&isin;P<sub>N<sub>1</sub>-1</sub>, E(&phi;) = 0</td><td>V&phi;&isin;P<sub>N<sub>1</sub>+N<sub>2</sub>-3</sub>, E(&phi;) = 0</td></tr><tr><td rowspan="2">DV<br>(V &in; P<sub>K2</sub>)</td><td>k = 2 ; &ell; = 1 ; m = 0</td><td>k = 2 ; &ell; = 1 ; m = 0</td><td>k = &ell; = 2 ; m = 0</td><td>k = &ell; = 2 ; m = 0</td><td>k = &ell; = 2 ; m = 0</td></tr><tr><td>|v| = |&mu;| = 0</td><td>|v| = 0 ; |&mu;| = 1</td><td>|v| = |&mu;| = 0</td><td>|v| = 0 ; |&mu;| = 1</td><td>|v| = 0 ; |&mu;| = 2</td></tr><tr><td rowspan="2">D<sup>2</sup>V<br>(V &in; P<sub>K2</sub>)</td><td>V&phi;&isin;P<sub>0</sub>, E(&phi;) = 0</td><td>V&phi;&isin;P<sub>N<sub>1</sub>-1</sub>, E(&phi;) = 0</td><td>V&phi;&isin;P<sub>0</sub>, E(&phi;) = 0</td><td>V&phi;&isin;P<sub>0</sub>, E(&phi;) = 0</td><td>V&phi;&isin;P<sub>N<sub>2</sub>-2</sub>, E(&phi;) = 0</td></tr><tr><td>k = 2 ; &ell; = 1 ; m = 0</td><td>k = 2 ; &ell; = 1 ; m = 0</td><td>k = &ell; = 2 ; m = 0</td><td>k = &ell; = 2 ; m = 0</td><td>k = &ell; = 2 ; m = 0</td></tr><tr><td rowspan="2"></td><td>|v| = 2 ; |&mu;| = 0</td><td>|v| = 2 ; |&mu;| = 1</td><td>|v| = 2 ; |&mu;| = 0</td><td>|v| = 2 ; |&mu;| = 1</td><td>|v| = 2 ; |&mu;| = 2</td></tr><tr><td>V&phi;&isin;P<sub>N<sub>2</sub>-2</sub>, E(&phi;) = 0</td><td>V&phi;&isin;P<sub>N<sub>1</sub>+N<sub>2</sub>-3</sub>, E(&phi;) = 0</td><td>V&phi;&isin;P<sub>N<sub>2</sub>-2</sub>, E(&phi;) = 0</td><td>V&phi;&isin;P<sub>N<sub>2</sub>-2</sub>, E(&phi;) = 0</td><td>V&phi;&isin;P<sub>2N<sub>2</sub>-4</sub>, E(&phi;) = 0</td></tr></tbody></table>
### Etape 3 : Obtention de l'inégalité (4.5-2)

Les relations (4.5-3) (4.5-4) et (4.5-7) entraînent

$$ \nabla_{\vec{v}_h} \in \nabla_{\vec{v}_h}, a_h(\nabla_{\vec{v}_h}, \nabla_{\vec{v}_h}) \ge (\alpha-\text{ch}) \|\nabla_{\vec{v}_h}\|_{\nabla(\Omega_h)}^2, $$

d'où l'inégalité (4.5-2), avec $\beta = \frac{\alpha}{2}$, $h_1 = \min(h_0, \frac{\alpha}{2c})$.

Remarque 4.5-1 : Dans le cas particulier d'un ouvert $\Omega$ polygonal toutes les applications $F_K, K \in \mathcal{T}_h$, sont affines, i.e., $n=1$. Alors $N_1 = n_1$, $N_2 = n_2$ et on retrouve les résultats de (II, Corollaire 3.4-1).

## 4-6. Théorème d'estimation asymptotique de l'erreur

Nous sommes désormais en mesure d'évaluer les différents termes de l'inégalité (4.3-3) et, par là-même, de donner une estimation asymptotique de l'erreur $\|u-u_h\|_{\nabla(\Omega_h)}$ entre un prolongement $\tilde{u}$ de la solution exacte $\vec{u}$ et la solution approchée $\vec{u}_h^+$ du problème (4.2-28). Le théorème 4.6-1 ci-après donne le résultat d'estimation d'erreur pour des espaces d'éléments finis construits à partir des éléments courbes, décrits dans le numéro 2, et des éléments finis droits correspondants. Il précise notamment les critères à observer dans le choix des schémas d'intégration numérique pour obtenir la même estimation asymptotique de l'erreur que celle obtenue dans le cas d'intégrations exactes. Ces critères sont différents selon qu'ils s'appliquent à des éléments finis droits (n = 1) ou à des éléments finis courbes (n > 1, ici n = 3 ou 5).

Théorème 4.6-1 : Soit une famille régulière de triangulations $\mathcal{T}$ du domaine $\Omega$ vérifiant les propriétés (1.1-2) et (1.1-3). Soit deux familles d'éléments finis $(K, P_{K1}, \Sigma_{K1})$ et $(K, P_{K2}, \Sigma_{K2})$ droits ou courbes, vérifiant les hypothèses (4.4-1) à (4.4-6), en particulier,

$$ (4.6-1) \qquad P_M(\hat{K}) \subset \hat{P}_{K\alpha} \subset P_N(\hat{K}), \alpha = 1,2. $$

Soit $V_{h1}, V_{h2}$ les deux espaces d'éléments finis associés vérifiant les conditions (4.2-2) (4.2-3). Soit $m = -1 + \min(m_1, m_2 - 1)$.

On suppose que le schéma d'intégration numérique sur le triangle de référence $\hat{K}$ vérifie les propriétés suivantes :
$$
(4.6-2) \quad (i) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\text{tous les noeuds d'intégration } \hat{b}_{\ell} \text{ sont intérieurs à } \hat{K} \text{ ou} \\
\text{coincident avec les sommets de } \hat{K} \text{ (cf. Hypothèse 4.2-1).}
\end{array}
\right.
$$

$$
(4.6-3)(ii) \quad \{ \nabla \hat{\Phi} \in P^{-1+\max(N_1,N_2-1)+\max\{m,-1+\max(N_1,N_2-1)\}}, \hat{E}(\hat{\Phi}) = 0.
$$

Soit $\tilde{A}$ le système d'opérateurs aux dérivées partielles associé à la
forme bilinéaire

$$
(4.6-4) \quad \sum_{\mathbf{u},\mathbf{v} \in \tilde{V}(\tilde{\Omega})} \sum_{\tilde{\alpha}(\mathbf{u},\mathbf{v})} = \sum_{\tilde{\Omega}} t \tilde{U}[A_{IJ}] \tilde{V} \, dx.
$$

Alors, si le prolongement $\tilde{u}$ de la solution $\tilde{u}$ du problème 4.1-1 appartient à l'espace $H^{m+3}(\tilde{\Omega}) \times H^{m+3}(\tilde{\Omega}) \times H^{m+4}(\tilde{\Omega})$, si $h^{m+2+\alpha}(\tilde{\Omega}) \subset C^{\alpha}(\tilde{\Omega})$, $\alpha = 1,2$, où $s_\alpha$ est l'ordre maximal des dérivées partielles intervenant dans la définition des degrés de liberté $\int_K$, si $A_{IJ} \in W^{m+1,\infty}(\tilde{\Omega})$, $I,J=1,\dots,12$, si $\tilde{A}u \in (W^{m+1,q}(\tilde{\Omega}))^3$ pour un certain nombre $q > \frac{2}{m+1}$ avec $q \ge 2$, si $h$ est assez petit, il existe une constante $c$ indépendante de $h$ telle que :

$$
(4.6-5) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \left\| \mathbf{u} - \mathbf{u}_h \right\|_{\tilde{V}(\Omega_h)} \le c h^{m+1} \left\{ \left[ \sum_{\alpha=1}^2 \left( h^2 |\tilde{u}_\alpha|^2_{m+3,\tilde{\Omega}} + \|\tilde{u}_\alpha\|^2_{m+2,\tilde{\Omega}} \right) + \right. \\
\displaystyle \qquad \left. + h^2 |\tilde{u}_3|^2_{m+4,\tilde{\Omega}} + \|\tilde{u}_3\|^2_{m+3,\tilde{\Omega}} \right]^{\frac{1}{2}} + \left[ \sum_{i=1}^3 \| (\tilde{A}u)_i \|^q_{m+1,q,\tilde{\Omega}} \right]^{\frac{1}{q}} \right\}
\end{array}
\right.
$$

$\overline{\text{où } \tilde{u}_h \in \tilde{V}_h \text{ est la solution du problème discret (4.2-28).}}$

**Démonstration** : Observons tout d'abord que les hypothèses du Théorème 4.5-1 sont vérifiées : la forme bilinéaire $a_h(\cdot, \cdot)$ est donc uniformément $\tilde{V}_h$-elliptique. Il est alors loisible d'utiliser le Théorème 4.3-1. Suivant l'inégalité (4.3-3) nous allons estimer chacun des termes du second membre de l'inégalité obtenue pour $\tilde{v}_h = \tilde{\pi}_h \tilde{u}$.

Etape 1 : Estimation de $\| \tilde{u} - \tilde{\pi}_h \tilde{u} \|_{\tilde{V}(\Omega_h)}$

Les élémentsfinis courbes $C^0$ ou $C^1$-compatibles (suivant qu'il s'agit de $V_{h1}$ ou $V_{h2}$) avec les éléments finis droits utilisés ont le même ordre d'erreur d'interpolation que ces derniers. Dès lors les théorèmes 3.1-1, 3.2-1, 3.3-1 et (II, Figures 2.2-3, 2.3-2, 2.3-3) entraînent :
$$
\| \tilde{u} - \pi_h \tilde{u} \|_{\tilde{V}(\Omega_h)} \le c h^{m+1} \left[ \sum_{\alpha=1}^2 \left( h^2 |\tilde{u}_\alpha|^2_{m+3,\tilde{\Omega}} + \|\tilde{u}_\alpha\|^2_{m+2,\tilde{\Omega}} \right) + h^2 |\tilde{u}_3|^2_{m+4,\tilde{\Omega}} + \|\tilde{u}_3\|^2_{m+3,\tilde{\Omega}} \right]^{\frac{1}{2}}
$$

Dans cette inégalité $\vec{\pi}_h \vec{u} = (\pi_{h1} \tilde{u}_1, \pi_{h1} \tilde{u}_2, \pi_{h2} \tilde{u}_3)$ désigne la fonction $\tilde{V}_h$-interpolée de la fonction $\tilde{u} \in \tilde{V}(\Omega_h)$.

$$
\text{\underline{\textbf{Etape 2 : Estimation de}}}
\frac{\left| \tilde{a}_h (\vec{\pi}_h \vec{u}, \vec{w}_h) - a_h (\vec{\pi}_h \vec{u}, \vec{w}_h) \right|}{\| \vec{w}_h \|_{\tilde{V}(\Omega_h)}^2}
$$

Les relations (4.2-14) (4.2-23) (4.2-26) entraînent :

$$
(4.6-7) \quad \tilde{a}_h (\vec{\pi}_h \tilde{u}, \vec{w}_h) - a_h (\vec{\pi}_h \tilde{u}, \vec{w}_h) = \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \sum_{I,J=1}^{12} |E_K\{A_{IJ}(\pi_h \tilde{u})_I (W_h)_J\}|,
$$

où $\vec{w}_h$ désigne un élément quelconque de $\tilde{V}_h$. Alors, la Figure 4.6-1 montre qu'en appliquant convenablement le Théorème 4.4-1 aux différents types de termes qui apparaissent au second membre de l'inégalité (4.6-7), on obtient pour tout $K \in \mathcal{C}_h$ :

$$
\sum_{I, J=1}^{12} |E_K\{A_{IJ}(\pi_h \tilde{u})_I (W_h)_J\}| \le c h_K^{m+1} \left( \sum_{I, J=1}^{12} \|A_{IJ}\|_{m+1, \infty, K} \right) \\
\left( \|\pi_{h1} \tilde{u}_1\|_{H^{m+2}(K)}^2 + \|\pi_{h1} \tilde{u}_2\|_{H^{m+2}(K)}^2 + \|\pi_{h2} \tilde{u}_3\|_{H^{m+3}(K)}^2 \right)^{\frac{1}{2}} \|\vec{w}_h\|_{\tilde{V}(K)}
$$

Mais les théorèmes 3.1-1, 3.2-1, 3.3-1, 3.4-1 entraînent :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\| \pi_{h1} \tilde{u}_\alpha \|_{m+2, K} \le \| \tilde{u}_\alpha \|_{m+2, K} + \| \tilde{u}_\alpha - \pi_{h1} \tilde{u}_\alpha \|_{m+2, K} \le c [h |\tilde{u}_\alpha|_{m+3, K} + \|\tilde{u}_\alpha\|_{m+2, K}], \\
\\
\| \pi_{h2} \tilde{u}_3 \|_{m+3, K} \le \| \tilde{u}_3 \|_{m+3, K} + \| \tilde{u}_3 - \pi_{h2} \tilde{u}_3 \|_{m+3, K} \le c [h |\tilde{u}_3|_{m+4, K} + \|\tilde{u}_3\|_{m+3, K}].
\end{array}
\right.
\quad \alpha = 1, 2.
$$
<table><caption>Figure 4.6-1 : Estimation des termes E<sub>K</sub>(aπ<sub>h</sub>uw) à l'aide du Théorème 4.4-1 (m = -1+min(m<sub>1</sub>,m<sub>2</sub>-1))</caption><thead><tr><th>W<sub>h</sub></th><th>w<sub>h</sub> ∈ P<sub>K1</sub></th><th>Dw<sub>h</sub>, w<sub>h</sub> ∈ P<sub>K1</sub></th><th>w<sub>h</sub> ∈ P<sub>K2</sub></th><th>Dw<sub>h</sub>, w<sub>h</sub> ∈ P<sub>K2</sub></th><th>D<sup>2</sup>w<sub>h</sub>, w<sub>h</sub> ∈ P<sub>K2</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">π<sub>h</sub> ~ U</td><td>l = 1; |v| = |μ| = 0</td><td>l = 1; |v| = 0; |μ| = 1</td><td>l = 2; |v| = |μ| = 0</td><td>l = 2; |v| = 0; |μ| = 1</td><td>l = 2; |v| = 0; |μ| = 2</td></tr><tr><td>k = m+2</td><td>k = m+2</td><td>k = m+2</td><td>k = m+2</td><td>k = m+2</td></tr><tr><td rowspan="2">π<sub>h</sub> ~ u ∈ P<sub>K1</sub></td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m-1+N<sub>1</sub></sub>, Ê(φ) = 0 si 1 &lt; m</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m-1+N<sub>1</sub></sub>, Ê(φ) = 0</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m-2+N<sub>2</sub></sub>, Ê(φ) = 0 si 2 &lt; m</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m-2+N<sub>2</sub></sub>, Ê(φ) = 0 si 1 &lt; m</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m-2+N<sub>2</sub></sub>, Ê(φ) = 0</td></tr><tr><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m</sub>, Ê(φ) = 0</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m</sub>, Ê(φ) = 0</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m</sub>, Ê(φ) = 0</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m</sub>, Ê(φ) = 0</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m</sub>, Ê(φ) = 0</td></tr><tr><td rowspan="2">Dπ<sub>h</sub> ~</td><td>l = 1; |v| = 1; |μ| = 0</td><td>l = 1; |v| = 1; |μ| = 1</td><td>l = 2; |v| = 1; |μ| = 0</td><td>l = 2; |v| = 1; |μ| = 1</td><td>l = 2; |v| = 1; |μ| = 2</td></tr><tr><td>k = m+2</td><td>k = m+2</td><td>k = m+2</td><td>k = m+2</td><td>k = m+2</td></tr><tr><td rowspan="2">π<sub>h</sub> ~ u ∈ P<sub>K1</sub></td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m-1+N<sub>1</sub></sub>, Ê(φ) = 0 si 1 &lt; m</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m-1+N<sub>1</sub></sub>, Ê(φ) = 0</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m-2+N<sub>2</sub></sub>, Ê(φ) = 0 si 2 &lt; m</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m-2+N<sub>2</sub></sub>, Ê(φ) = 0 si 1 &lt; m</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m-2+N<sub>2</sub></sub>, Ê(φ) = 0</td></tr><tr><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m</sub>, Ê(φ) = 0</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m</sub>, Ê(φ) = 0</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m</sub>, Ê(φ) = 0</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m</sub>, Ê(φ) = 0</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m</sub>, Ê(φ) = 0</td></tr><tr><td rowspan="2">π<sub>h</sub> ~ u ∈ P<sub>K2</sub></td><td>l = 1; |v| = |μ| = 0</td><td>l = 1; |v| = 0; |μ| = 1</td><td>l = 2; |v| = |μ| = 0</td><td>l = 2; |v| = 0; |μ| = 1</td><td>l = 2; |v| = 0; |μ| = 2</td></tr><tr><td>k = m+3</td><td>k = m+3</td><td>k = m+3</td><td>k = m+3</td><td>k = m+3</td></tr><tr><td rowspan="2">Dπ<sub>h</sub> ~</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m-1+N<sub>1</sub></sub>, Ê(φ) = 0 si 1 &lt; m</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m-1+N<sub>1</sub></sub>, Ê(φ) = 0</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m-2+N<sub>2</sub></sub>, Ê(φ) = 0 si 2 &lt; m</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m-2+N<sub>2</sub></sub>, Ê(φ) = 0 si 1 &lt; m</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m-2+N<sub>2</sub></sub>, Ê(φ) = 0</td></tr><tr><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m</sub>, Ê(φ) = 0</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m</sub>, Ê(φ) = 0</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m</sub>, Ê(φ) = 0</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m</sub>, Ê(φ) = 0</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m</sub>, Ê(φ) = 0</td></tr><tr><td rowspan="2">π<sub>h</sub> ~ u ∈ P<sub>K2</sub></td><td>l = 1; |v| = 2; |μ| = 0</td><td>l = 1; |v| = 2; |μ| = 1</td><td>l = 2; |v| = 1; |μ| = 0</td><td>l = 2; |v| = 1; |μ| = 1</td><td>l = 2; |v| = 1; |μ| = 2</td></tr><tr><td>k = m+3</td><td>k = m+3</td><td>k = m+3</td><td>k = m+3</td><td>k = m+3</td></tr><tr><td rowspan="2">D<sup>2</sup>π<sub>h</sub> ~</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m-1+N<sub>1</sub></sub>, Ê(φ) = 0 si 1 &lt; m</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m-1+N<sub>1</sub></sub>, Ê(φ) = 0</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m-2+N<sub>2</sub></sub>, Ê(φ) = 0 si 2 &lt; m</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m-2+N<sub>2</sub></sub>, Ê(φ) = 0 si 1 &lt; m</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m-2+N<sub>2</sub></sub>, Ê(φ) = 0</td></tr><tr><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m</sub>, Ê(φ) = 0</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m</sub>, Ê(φ) = 0</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m</sub>, Ê(φ) = 0</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m</sub>, Ê(φ) = 0</td><td>V<sub>φ</sub> ∈ P<sub>m</sub>, Ê(φ) = 0</td></tr></tbody></table>
Grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz et à l'hypothèse (1.1-3)

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\left| \tilde{a}_h (\vec{\pi}_h \tilde{\vec{u}}, \tilde{\vec{w}}_h) - a_h (\vec{\pi}_h \tilde{\vec{u}}, \tilde{\vec{w}}_h) \right| \le c h^{m+1} \left\{ \sum_{I,J=1}^{12} \| A_{IJ} \|_{m+1,\infty,\Omega} \right\} \cdot \\
\qquad \cdot \left[ \sum_{\alpha=1}^2 \left( h^2 |\tilde{u}_\alpha|^2_{m+3,\tilde{\Omega}} + \|\tilde{u}_\alpha\|^2_{m+2,\tilde{\Omega}} \right) + h^2 |\tilde{u}_3|^2_{m+4,\tilde{\Omega}} + \|\tilde{u}_3\|^2_{m+3,\tilde{\Omega}} \right]^{\frac{1}{2}} \|\tilde{w}_h\|_{\tilde{V}(\Omega_h)}^{\frac{1}{2}} \cdot \\
\\
\text{et ainsi} \\
\\
(4.6-8) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \left| \tilde{a}_h (\vec{\pi}_h \tilde{\vec{u}}, \tilde{\vec{w}}_h) - a_h (\vec{\pi}_h \tilde{\vec{u}}, \tilde{\vec{w}}_h) \right| \le \\
\displaystyle \qquad \sup_{\tilde{w}_h \in \tilde{V}_h} \frac{\| \tilde{a}_h (\vec{\pi}_h \tilde{\vec{u}}, \tilde{\vec{w}}_h) - a_h (\vec{\pi}_h \tilde{\vec{u}}, \tilde{\vec{w}}_h) \|_{\tilde{V}(\Omega_h)}}{\| \tilde{w}_h \|_{\tilde{V}(\Omega_h)}} \le \\
\displaystyle \qquad \le c h^{m+1} \left[ \sum_{\alpha=1}^2 \left( h^2 |\tilde{u}_\alpha|^2_{m+3,\tilde{\Omega}} + \|\tilde{u}_\alpha\|^2_{m+2,\tilde{\Omega}} \right) + h^2 |\tilde{u}_3|^2_{m+4,\tilde{\Omega}} + \|\tilde{u}_3\|^2_{m+3,\tilde{\Omega}} \right]^{\frac{1}{2}}
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
$$

$$
\text{\underline{Etape 3 : Estimation de } } \sup_{\tilde{w}_h \in \tilde{V}_h} \frac{|\tilde{a}_h(\tilde{\vec{u}}, \tilde{\vec{w}}_h) - f_h(\tilde{w}_h)|}{\|\tilde{w}_h\|_{\tilde{V}(\Omega_h)}}
$$

Les relations (4.2-14) et (4.2-27) entraînent pour tout $\tilde{w}_h \in \tilde{V}_h$ :

$$
(4.6-9) \quad \tilde{a}_h(\tilde{\vec{u}}, \tilde{\vec{w}}_h) - f_h(\tilde{w}_h) = \int_{\Omega_h} t_{\tilde{U}}[A_{IJ}]W_h dx - \sum_{K \in \mathcal{K}} \sum_{l=1}^{L} \omega_{\ell,K} t_F(b_{\ell,K})W_h(b_{\ell,K}).
$$

Nous allons écrire cette relation sous une autre forme. Par hypothèse
$\tilde{\vec{u}} \in (H^2(\tilde{\Omega}))^{2 \times H^4(\tilde{\Omega})}$, en particulier. Alors, la formule de Green entraîne l'exis-
tence d'un système d'opérateurs aux dérivées partielles $\tilde{A} : (H^2(\tilde{\Omega}))^{2 \times H^4(\tilde{\Omega})} \rightarrow$
$(L^2(\tilde{\Omega}))^3$ tel que :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\nabla_{\tilde{V}} \in (H^2(\tilde{\Omega}))^{2 \times H^4(\tilde{\Omega})}, \quad \nabla_{\tilde{W}} \in (H^1(\tilde{\Omega}))^{2 \times H^2(\tilde{\Omega})}, \\
\\
\int_{\tilde{\Omega}} t_{\tilde{V}}[A_{IJ}]W \, dx = \int_{\tilde{\Omega}} (\tilde{A}_{\tilde{V}}) \tilde{w} \, dx + \int_{\partial \tilde{\Omega}} (\quad) ds .
\end{array}
\right.
$$

En particulier, la restriction de cet opérateur $\tilde{A}$ à l'ensemble
$(H^2(\Omega_h))^{2\times H^4(\Omega_h)}$ (restriction qui est indépendante de $h$ et que l'on continue
de noter $\tilde{A}$) vérifie
$$
\begin{cases}
\nabla_{\vec{v}} \in (H^2(\tilde{\Omega}))^{2 \times H^4(\tilde{\Omega})}, \quad \nabla_{\vec{w}_h} \in \tilde{V}_h \subset (H_0^1(\Omega_h))^{2 \times H_0^2(\Omega_h)}, \\
\tilde{a}_h(\vec{v}, \vec{w}_h) = \int_{\Omega_h} t \nabla_{\vec{v}} [A_{IJ}] w_h dx = \int_{\Omega_h} (\tilde{A} \vec{v}) \vec{w}_h dx.
\end{cases}
$$

Par analogie, on définit le système d'opérateurs A : (H²(Ω))²×H⁴(Ω) →
(L²(Ω))³ comme suit :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\nabla_{\vec{v}} \in (H^2(\Omega))^{2 \times H^4(\Omega)}, \quad \nabla_{\vec{w}} \in \tilde{V} = (H_0^1(\Omega))^{2 \times H_0^2(\Omega)}, \\
a(\vec{v}, \vec{w}) = \int_{\Omega} t \nabla_{\vec{v}} [A_{IJ}] w \, dx = \int_{\Omega} (\tilde{A} \vec{v}) \vec{w} \, dx.
\end{array}
\right.
$$

Alors, étant donné que $\tilde{u}$ est un prolongement de $\tilde{u}$ tel que $\tilde{u} \in (H^2(\tilde{\Omega}))^{2 \times H^4(\tilde{\Omega})}$,
il vient

$\tilde{A} \tilde{u} = A \tilde{u} = \tilde{f} \quad \text{p.p. sur } \bar{\Omega},$

où $\tilde{f}$ est défini ici par $f(\tilde{v}) = \int_{\Omega} \tilde{f} \tilde{v} \, dx \quad (\text{cf. (4.1-3)})$. Mais par hypothèse $\tilde{A} \tilde{u} \in (W^{m+1,q}(\tilde{\Omega}))^3$ pour un certain nombre $q > \frac{2}{m+1}$. Grâce au théorème de Sobolev, on a alors $\tilde{A} \tilde{u} \in (C^0(\tilde{\Omega}))^3$. En outre, on a supposé $\tilde{f} \in (C^0(\bar{\Omega}))^3$. Comme tous les noeuds d'intégration appartiennent à $\bar{\Omega}$ (cf. (4.6-2)), il vient :

$$
\tilde{A} \tilde{u} (b_{\ell,K}) = \tilde{f} (b_{\ell,K}), \forall b_{\ell,K}, \forall K \in \mathcal{C}_h.
$$

Ainsi, la relation (4.6-9) s'écrit :

$$
\begin{align*}
\tilde{a}_h(\tilde{u}, \tilde{w}_h) - f_h(\tilde{w}_h) &= \int_{\Omega_h} (\tilde{A}\tilde{u})\tilde{w}_h \, dx - \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \sum_{\ell=1}^{L} \omega_{\ell,K} ((\tilde{A}\tilde{u})\tilde{w}_h)_{(b_{\ell,K})} = \\
&= \sum_{K \in \mathcal{C}_h} E_K((\tilde{A}\tilde{u})\tilde{w}_h).
\end{align*}
$$

Posons

$$
(\tilde{A} \tilde{u}) \tilde{w}_h = \sum_{i=1}^{3} (\tilde{A} \tilde{u})_i w_{hi}.
$$
$$
1/ E_K((\tilde{\hat{A}}_u)_{\alpha}^{\tilde{\rightarrow}} w_{h\alpha}), (\tilde{\hat{A}}_u)_{\alpha}^{\tilde{\rightarrow}} \in W^{m+1,q}(K), w_{h\alpha} \in P_{K1}, \alpha = 1,2.
$$

Alors $\ell = 1$, et l'on doit avoir

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\forall \hat{\phi} \in P_{m-1+N_1}(\hat{K}), \hat{E}(\hat{\phi}) = 0, \text{ si } 1 \le m, \\
\\
\forall \hat{\phi} \in P_m(\hat{K}), \hat{E}(\hat{\phi}) = 0.
\end{array}
\right.
$$

$$
2/ E_K((\tilde{\hat{A}}_u)^3 w_3), (\tilde{\hat{A}}_u)^3 \in W^{m+1,q}(K), w_3 \in P_{K2}.
$$

Alors $\ell = 2$, et l'on doit avoir

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\forall \hat{\phi} \in P_{m-2+N_2}(\hat{K}), \hat{E}(\hat{\phi}) = 0 \text{ si } 2 \le m, \\
\\
\forall \hat{\phi} \in P_m(\hat{K}), \hat{E}(\hat{\phi}) = 0.
\end{array}
\right.
$$

**Figure 4.6-2** : Estimation des termes $E_K((\tilde{\hat{A}}_u)^2 w_h)$ à l'aide du Théorème 4.4-2 ($m = -1 + \min(m_1, m_2-1)$).

La Figure 4.6-2 montre qu'une application convenable du Théorème 4.4-2
aux deux types de termes ainsi mis en évidence, entraîne :

$$
\begin{align*}
|\tilde{a}_h(\tilde{u}^\rightarrow, \tilde{w}_h^\rightarrow) - f_h(\tilde{w}_h^\rightarrow)| &\le \sum_{K \in \mathcal{K}_h} |E_K((\tilde{A}u)^\rightarrow w_h^\rightarrow)| \\
&\le c h^{m+1} \sum_{K \in \mathcal{K}_h} (mes(K))^{\frac{1}{2}-\frac{1}{q}} \left( \sum_{i=1}^3 \|(\tilde{A}u)^\rightarrow_i\|_{m+1,q,K}^q \right)^{\frac{1}{q}} \|\tilde{w}_h^\rightarrow\|_{\tilde{V}(K)}^\rightarrow \\
&\le c h^{m+1} (mes(\Omega))^{\frac{1}{2}-\frac{1}{q}} \left( \sum_{i=1}^3 \|(\tilde{A}u)^\rightarrow_i\|_{m+1,q,\tilde{\Omega}}^q \right)^{\frac{1}{q}} \|\tilde{w}_h^\rightarrow\|_{\tilde{V}(\Omega_h)}^\rightarrow .
\end{align*}
$$

Pour établir la dernière inégalité nous utilisons un raisonnement
similaire à celui de la démonstration de (II, Théorème 3.5-1), au cours
duquel on suppose $q \ge 2$. On obtient ainsi :
$$
(4.6-10) \quad \sup_{\substack{\vec{w}_h \in \tilde{V}_h \\ \vec{w}_h \to}} \frac{|\tilde{a}_h(\tilde{u}, \tilde{w}_h) - f_h(\tilde{w}_h)|}{\|\tilde{w}_h\|_{\tilde{V}(\Omega_h)}} \le c h^{m+1} \left( \sum_{i=1}^3 \| (A\tilde{u})_i \|_{m+1, q, \tilde{\Omega}}^q \right)^{\frac{1}{q}}.
$$

### Etape 4 : Obtention de l'estimation finale (4.6-5) :

Pour obtenir le résultat d'estimation asymptotique de l'erreur (4.6-5), il suffit de reporter les estimations (4.6-6) (4.6-8) et (4.6-10) dans l'inégalité (4.3-3), écrite pour $\tilde{v}_h = \vec{\pi}_h \vec{u}$.

### Remarque 4.6-1
Lorsque l'espace $V_{h1}$ est construit à partir de l'élément fini d'Hermite de type 3 et de l'élément fini courbe $C^0$-compatible associé (cf. section 2.4) et lorsque l'espace $V_{h2}$ est construit à partir de l'élément fini d'ARGYRIS ou de BELL et des éléments finis courbes $C^1$-compatibles associés, on a $m=2$. Le Théorème 3.4-1 montre alors que dans l'énoncé du Théorème 4.6-1 on peut supposer seulement $\tilde{u} \in (H^4(\tilde{\Omega}))^2 \times H^6(\tilde{\Omega})$ et que dans l'estimation (4.6-5) de l'erreur on peut supprimer le terme $h^2|\tilde{u}|_{5, \tilde{\Omega}}^2$.

## 4-7. Exemples

Nous indiquons maintenant les résultats obtenus lorsqu'on construit les espaces $V_{h1}$ et $V_{h2}$ à partir des éléments finis courbes introduits au N°2 et des éléments finis droits correspondants, i.e., les éléments finis d'ARGYRIS, de BELL et d'HERMITE de type 3.

Pour chaque espace d'éléments finis $\tilde{V}_h = V_{h1} \times V_{h1} \times V_{h2}$, il y a deux ensembles de critères distincts à observer dans le choix des schémas d'intégration numérique:

(i) Le premier ensemble de critères est relatif aux éléments finis droits, associés aux triangles $K \in \mathcal{T}_h^1$ ; on retrouve alors les critères énoncés dans la partie II.

(ii) Le second ensemble de critères concerne les éléments finis courbes, associés aux triangles curvilignes $K \in \mathcal{T}_h^2$. D'une manière générale le degré des polynômes à intégrer exactement est alors plus élevé que dans le cas (i) : il faut ajouter 2n-2 au degré obtenu en (i), où l'entier n est tel que $F_K \in (P_n)^2$. Ceci tient au fait que le degré des polynômes de l'espace fonctionnel $\hat{P}$ est augmenté de n-1 pour les éléments courbes $C^1$-compatibles.

Les différents résultats sont condensés dans les Figures 4.7-1 à 4.7-3 et sont obtenus en appliquant le Théorème 4.6-1. Dans chaque cas nous indiquons :
<table><caption>Figure 4.7-1 : Cas des éléments finis droits, i.e., K ∈ ℂ<sup>1</sup><sub>h</sub>, n = 1. (Successive-ment, dans chaque cas : (i) m = -1+min(m<sub>1</sub>,m<sub>2</sub>-1) ; (ii) l'estimation d'erreur O(h<sup>m+1</sup>) ; (iii) les hypothèses sur les schémas d'intégration numérique ; (iv) le nombre de noeuds de schémas convenables ; (v) les hypothèses de régularité sur A<sub>IJ</sub>, Ãu, ũ (les hypothèses sur ũ sont celles relatives à un domaine à frontière courbe )).</caption><thead><tr><th></th><th>Elément d'ARGYRIS<br>n = 1 ; m<sub>2</sub> = n<sub>2</sub> = 5<br>M<sub>2</sub> = N<sub>2</sub> = 5</th><th>Elément de BELL<br>n = 1 ; m<sub>2</sub> = 4 ; n<sub>2</sub> = 5<br>M<sub>2</sub> = 4 ; N<sub>2</sub> = 5</th></tr></thead><tbody><tr><td>Elément d'ARGYRIS<br>n = 1<br>m<sub>1</sub> = n<sub>1</sub> = 5<br>M<sub>1</sub> = N<sub>1</sub> = 5</td><td>m = 3 ; 0(h<sup>4</sup>),<br>V̂φ ∈ P<sub>8</sub>, Ê(φ) = 0,<br>Schéma 1 de (II), 16 noeuds,<br>A<sub>IJ</sub> ∈ W<sup>4,∞</sup>(Ω),<br>Ãu ∈ (W<sup>4,q</sup>(Ω))<sup>3</sup>, q ≥ 2,<br>ũ ∈ (H<sup>6</sup>(Ω))<sup>2×H<sup>7</sup>(Ω)</td><td></td></tr><tr><td>Elément de BELL<br>n = 1<br>m<sub>1</sub> = 4 ; n<sub>1</sub> = 5<br>M<sub>1</sub> = 4 ; N<sub>1</sub> = 5</td><td></td><td>m = 2 ; 0(h<sup>3</sup>)<br>V̂φ ∈ P<sub>8</sub>, Ê(φ) = 0,<br>Schéma 1 de (II), 16 noeuds<br>A<sub>IJ</sub> ∈ W<sup>3,∞</sup>(Ω),<br>Ãu ∈ (W<sup>3,q</sup>(Ω))<sup>3</sup>, q ≥ 2,<br>ũ ∈ (H<sup>5</sup>(Ω))<sup>2×H<sup>6</sup>(Ω).</td></tr><tr><td>Elément d'HERMITE<br>de type 3<br>n = 1 ; m<sub>1</sub> = n<sub>1</sub> = 3<br>M<sub>1</sub> = N<sub>1</sub> = 3</td><td>m = 2 ; 0(h<sup>3</sup>)<br>V̂φ ∈ P<sub>6</sub>, Ê(φ) = 0,<br>Schéma 2 de (II), 12 noeuds,<br>A<sub>IJ</sub> ∈ W<sup>3,∞</sup>(Ω),<br>Ãu ∈ (W<sup>3,q</sup>(Ω))<sup>3</sup>, q ≥ 2,<br>ũ ∈ (H<sup>4</sup>(Ω))<sup>2×H<sup>6</sup>(Ω)</td><td>m = 2 ; 0(h<sup>3</sup>)<br>V̂φ ∈ P<sub>6</sub>, Ê(φ) = 0,<br>Schéma 2 de (II), 12 noeuds,<br>A<sub>IJ</sub> ∈ W<sup>3,∞</sup>(Ω),<br>Ãu ∈ (W<sup>3,q</sup>(Ω))<sup>3</sup>, q ≥ 2,<br>ũ ∈ (H<sup>4</sup>(Ω))<sup>2×H<sup>6</sup>(Ω).</td></tr></tbody></table>
<table><thead><tr><th></th><th>Elément courbe<br>C<sup>1</sup>-compatible<br>avec ARGYRIS<br>n = 3 ; m<sub>2</sub> = n<sub>2</sub> = 5<br>M<sub>2</sub> = N<sub>2</sub> = 7</th><th>Elément courbe<br>C<sup>1</sup>-compatible<br>avec BELL<br>n = 3 ; m<sub>2</sub> = 4 ; n<sub>2</sub> = 5<br>M<sub>2</sub> = 6 ; N<sub>2</sub> = 7</th></tr></thead><tbody><tr><td><u>Elément courbe<br>C<sup>1</sup>-compatible<br>avec l'élément<br>d'ARGYRIS<br>n = 3 ; m<sub>1</sub> = n<sub>1</sub> = 5<br>M<sub>1</sub> = N<sub>1</sub> = 7</u></td><td>m = 3 ; 0(h<sup>4</sup>)<br>V<sub>Φ</sub> ∈ P<sub>12</sub>, E(Φ) = 0,<br>Schéma 2, 49 points,<br>A<sub>IJ</sub> ∈ W<sup>4,∞</sup>(Ω),<br>~A~<sub>ij</sub> ∈ (W<sup>4,q</sup>(Ω))<sup>3</sup>, q ≥ 2,<br>~u ∈ (H<sup>6</sup>(Ω))<sup>2×H<sup>7</sup>(Ω)</td><td>m = 2 ; 0(h<sup>3</sup>)<br>V<sub>Φ</sub> ∈ P<sub>12</sub>, E(Φ) = 0<br>Schéma 2, 49 points<br>A<sub>IJ</sub> ∈ W<sup>3,∞</sup>(Ω),<br>~A~<sub>ij</sub> ∈ (W<sup>3,q</sup>(Ω))<sup>3</sup>, q ≥ 2,<br>~u ∈ (H<sup>5</sup>(Ω))<sup>2×H<sup>6</sup>(Ω)</td></tr><tr><td><u>Elément courbe<br>C<sup>0</sup>-compatible<br>avec l'élément<br>d'Hermite de type 3<br>n = m<sub>1</sub> = M<sub>1</sub> = n<sub>1</sub> = N<sub>1</sub> = 3</u></td><td>m = 2 ; 0(h<sup>3</sup>)<br>V<sub>Φ</sub> ∈ P<sub>10</sub>, E(Φ) = 0,<br>Schéma 1, 36 points,<br>A<sub>IJ</sub> ∈ W<sup>3,∞</sup>(Ω),<br>~A~<sub>ij</sub> ∈ (W<sup>3,q</sup>(Ω))<sup>3</sup>, q ≥ 2,<br>~u ∈ (H<sup>4</sup>(Ω))<sup>2×H<sup>6</sup>(Ω)</td><td>m = 2 ; 0(h<sup>3</sup>)<br>V<sub>Φ</sub> ∈ P<sub>10</sub>, E(Φ) = 0<br>Schéma 1, 36 points<br>A<sub>IJ</sub> ∈ W<sup>3,∞</sup>(Ω),<br>~A~<sub>ij</sub> ∈ (W<sup>3,q</sup>(Ω))<sup>3</sup>, q ≥ 2,<br>~u ∈ (H<sup>4</sup>(Ω))<sup>2×H<sup>6</sup>(Ω)</td></tr></tbody></table>

**Figure 4.7-2** : *Cas des éléments finis courbes, i.e., K ∈ ℧<sup>2</sup>h, n = 3 ; ces éléments sont utilisables dans le cas de conditions aux limites de Dirichlet homogènes.*
(Successivement, dans chaque cas : (i) m = -1+min(m<sub>1</sub>,m<sub>2</sub>-1) ; (ii) l'estimation d'erreur O(h<sup>m+1</sup>) ; (iii) les hypothèses sur les schémas d'intégration numérique ; (iv) le nombre de noeuds de schémas convenables ; (v) les hypothèses de régularité sur A<sub>IJ</sub>, ~A~<sub>ij</sub>, ~u, u (les hypothèses sur ~u sont celles relatives à un domaine à frontière courbe)).
<table><thead><tr><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td><div style="text-align: center; font-size: 2em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">V<sub>h1</sub></div><div style="text-align: center; font-size: 2em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">V<sub>h2</sub></div></td><td><div style="text-align: center; font-size: 2em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">Elément courbe</div><div style="text-align: center; font-size: 2em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">C<sup>1</sup>-compatible</div><div style="text-align: center; font-size: 2em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">avec ARGYRIS</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">n = 5 ; m<sub>2</sub> = n<sub>2</sub> = 5</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">M<sub>2</sub> = N<sub>2</sub> = 9</div></td><td><div style="text-align: center; font-size: 2em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">Elément courbe</div><div style="text-align: center; font-size: 2em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">C<sup>1</sup>-compatible</div><div style="text-align: center; font-size: 2em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">avec BELL</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">n = 5 ; m<sub>2</sub> = 4 ; n<sub>2</sub> = 5</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">M<sub>2</sub> = 8 ; N<sub>2</sub> = 9</div></td></tr><tr><td><div style="text-align: center; font-size: 2em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">Elément courbe</div><div style="text-align: center; font-size: 2em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">C<sup>1</sup>-compatible</div><div style="text-align: center; font-size: 2em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">avec l'élément</div><div style="text-align: center; font-size: 2em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">d'ARGYRIS</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">n = 5 ; m<sub>1</sub> = n<sub>1</sub> = 5</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">M<sub>1</sub> = N<sub>1</sub> = 9</div></td><td><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">m = 3 ; 0(h<sup>4</sup>)</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">V̂φ ∈ P<sub>16</sub>, Ê(φ) = 0</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">Schéma 4, 81 points,</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">A<sub>IJ</sub> ∈ W<sup>4,∞</sup>(Ω̃)</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">Ãũ ∈ (W<sup>4,q</sup>(Ω̃))<sup>3</sup>, q≥2</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">ũ ∈ (H<sup>6</sup>(Ω̃))<sup>2×H<sup>7</sup>(Ω̃)</div></td><td><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">m = 2 ; 0(h<sup>3</sup>)</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">V̂φ ∈ P<sub>16</sub>, Ê(φ) = 0</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">Schéma 4, 81 points,</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">A<sub>IJ</sub> ∈ W<sup>3,∞</sup>(Ω̃)</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">Ãũ ∈ (W<sup>3,q</sup>(Ω̃))<sup>3</sup>, q≥2</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">ũ ∈ (H<sup>5</sup>(Ω̃))<sup>2×H<sup>6</sup>(Ω̃)</div></td></tr><tr><td><div style="text-align: center; font-size: 2em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">Elément courbe</div><div style="text-align: center; font-size: 2em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">C<sup>0</sup>-compatible</div><div style="text-align: center; font-size: 2em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">avec l'élément</div><div style="text-align: center; font-size: 2em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">d'Hermite de type 3</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">n = 5 ; m<sub>1</sub>=M<sub>1</sub>=n<sub>1</sub>= N<sub>1</sub>=3</div></td><td><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">m = 2 ; 0(h<sup>3</sup>)</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">V̂φ ∈ P<sub>14</sub>, Ê(φ) = 0</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">Schéma 3, 64 points,</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">A<sub>IJ</sub> ∈ W<sup>3,∞</sup>(Ω̃)</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">Ãũ ∈ (W<sup>3,q</sup>(Ω̃))<sup>3</sup>, q≥2</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">ũ ∈ (H<sup>4</sup>(Ω̃))<sup>2×H<sup>6</sup>(Ω̃)</div></td><td><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">m = 2 ; 0(h<sup>3</sup>)</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">V̂φ ∈ P<sub>14</sub>, Ê(φ) = 0</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">Schéma 3, 64 points,</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">A<sub>IJ</sub> ∈ W<sup>3,∞</sup>(Ω̃)</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">Ãũ ∈ (W<sup>3,q</sup>(Ω̃))<sup>3</sup>, q≥2</div><div style="text-align: center; font-size: 1em; line-height: 1.2; margin-bottom: 0.2em;">ũ ∈ (H<sup>4</sup>(Ω̃))<sup>2×H<sup>6</sup>(Ω̃)</div></td></tr></tbody></table>

Figure 4.7-3 : Cas des éléments finis courbes, i.e., $K \in \mathcal{C}_h^2$, n = 5. (Successivement dans chaque cas : (i) $m = -1+\min(m_1, m_2-1)$ ; (ii) l'estimation d'erreur $O(h^{m+1})$ ; (iii) les hypothèses sur les schémas d'intégration numérique ; (iv) le nombre de noeuds de schémas convenables ; (v) les hypothèses de régularité sur $A_{IJ}$, $Ãũ, ũ$ (les hypothèses sur $ũ$ sont celles relatives à un domaine à frontière courbe)).
(i) la valeur de $m = -1 + \min(m_1, m_2 - 1)$ ;

(ii) le résultat d'estimation d'erreur sous la forme $O(h^{m+1})$ ;

(iii) les hypothèses sur le schéma d'intégration numérique ;

(iv) un schéma d'intégration numérique approprié que nous décrivons
dans la section 4.8 ;

(v) les hypothèses de régularité sur les coefficients $A_{IJ}$, sur $\tilde{A}_{ij}$, et
sur un prolongement $\tilde{u}$ de la solution.

Ces exemples prennent en compte la remarque 4.6-1.

4-8. Exemples de schémas d'intégration numérique appropriés.

A l'encontre des schémas d'intégration numérique proposés dans (II),
les schémas suivants ne prennent pas en compte la symétrie du triangle.
Suivant STROUD [1, pp. 28-31], ce sont des "produits coniques" (i.e., conical
product) de formules d'intégration monodimensionnelles du type GAUSS (cf.
FISHMAN [1]).

Principe des "formules produits" sur le triangle :

Soit à intégrer la fonction $f(\hat{x}_1, \hat{x}_2)$ sur le triangle $\hat{K}$ unité, i.e.,

$$
(4.8-1) \quad I = \int_{\hat{K}} f(\hat{x}_1, \hat{x}_2) d\hat{x}_1 d\hat{x}_2 = \int_0^1 \left[ \int_0^1 f(\hat{x}_1, \hat{x}_2) d\hat{x}_2 \right] d\hat{x}_1 .
$$

Posons $\hat{x}_1 = \hat{y}_1$, $\hat{x}_2 = \hat{y}_2(1-\hat{y}_1) = \hat{y}_2(1-\hat{x}_1)$. Alors.

$$
I = \int_{0}^{1} (1 - \hat{y}_{1}) \left[ \int_{0}^{1} f(\hat{y}_{1}, \hat{y}_{2}(1 - \hat{y}_{1})) d\hat{y}_{2} \right] d\hat{y}_{1} .
$$

Supposons que l'on ait les deux schémas d'intégration numérique suivants,
exacts lorsque les fonctions g et h sont des polynômes de degré d en la
variable x :

$$
(4.8-2) \qquad \int_0^1 g(x) dx \sim \sum_{i=1}^M A_i g(r_i),
$$

$$
(4.8-3) \qquad \int_0^1 xh(x)dx \sim \sum_{j=1}^{M} B_j h(s_j).
$$

Alors, pour approcher l'intégrale définie I on peut utiliser le schéma
d'intégration numérique suivant, exact pour les polynômes _de degré_ d par
rapport à l'ensemble des deux variables x₁, x₂ :
$$ (4.8-4) \qquad I = \int_K f(\hat{x}_1, \hat{x}_2) d\hat{x}_1 d\hat{x}_2 \sim \sum_{i=1}^{M} \sum_{j=1}^{M} A_i B_j f[1-s_j, r_i s_j]. $$

Dans ce qui suit nous donnons des schémas (4.8-2) (4.8-3) exacts pour les polynômes de degré 11, 13 et 15. Grâce à la relation (4.8-4) on en déduit des schémas d'intégration numérique sur le triangle unité, exacts pour des polynômes à deux variables de degré 11, 13, 15, respectivement. Pour chaque schéma, nous indiquons (i) la référence, (ii) le degré des polynômes exactement intégrés et (iii) le nombre de noeuds.

$$ \underline{\text{SCHEMA 1}} \left\{ \begin{array}{l} \text{FISHMAN [1]} \\ \text{exact pour } P_{11} \\ \text{36 noeuds} \end{array} \right. $$

<table><thead><tr><th>i,j</th><th>r<sub>i</sub></th><th>A<sub>i</sub></th><th>s<sub>j</sub></th><th>B<sub>j</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>.03376 52428 98</td><td>.08566 22461 90</td><td>.07305 43286 80</td><td>.00873 83018 14</td></tr><tr><td>2</td><td>.16939 53067 67</td><td>.18038 07865 24</td><td>.23076 61379 70</td><td>.04395 51655 51</td></tr><tr><td>3</td><td>.38069 04069 58</td><td>.23395 69672 86</td><td>.44132 84812 28</td><td>.09866 11508 91</td></tr><tr><td>4</td><td>.61930 95930 42</td><td>.23395 69672 86</td><td>.66301 53097 19</td><td>.14079 25537 88</td></tr><tr><td>5</td><td>.83060 46932 33</td><td>.18038 07865 24</td><td>.85192 14003 32</td><td>.13554 24972 32</td></tr><tr><td>6</td><td>.96623 47571 02</td><td>.08566 22461 90</td><td>.97068 35728 40</td><td>.07231 03307 26</td></tr></tbody></table>

$$ \underline{\text{SCHEMA 2}} \left\{ \begin{array}{l} \text{FISHMAN [1]} \\ \text{exact pour } P_{13} \\ \text{49 noeuds} \end{array} \right. $$

<table><thead><tr><th>i,j</th><th>r<sub>i</sub></th><th>A<sub>i</sub></th><th>s<sub>j</sub></th><th>B<sub>j</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>.02544 60438 29</td><td>.06474 24830 84</td><td>.05626 25605 37</td><td>.00521 43622 03</td></tr><tr><td>2</td><td>.12923 44072 00</td><td>.13985 26957 45</td><td>.18024 06917 37</td><td>.02740 83567 22</td></tr><tr><td>3</td><td>.29707 74243 11</td><td>.19091 50252 53</td><td>.35262 47171 13</td><td>.06638 46964 65</td></tr><tr><td>4</td><td>.50000 00000 00</td><td>.20897 95918 37</td><td>.54715 36263 31</td><td>.10712 50656 96</td></tr><tr><td>5</td><td>.70292 25756 89</td><td>.19091 50252 53</td><td>.73421 01772 15</td><td>.12739 08973 00</td></tr><tr><td>6</td><td>.87076 55928 00</td><td>.13985 26957 45</td><td>.88532 09468 39</td><td>.11050 92581 91</td></tr><tr><td>7</td><td>.97455 39561 71</td><td>.06474 24830 84</td><td>.97752 06135 61</td><td>.05596 73634 23</td></tr></tbody></table>
SCHEMA 3
{
  FISHMAN [1]
  exact pour P15
  64 noeuds
  cf. également le programme TRIA 15 dans STROUD [1, p.366]
}

<table><thead><tr><th>i,j</th><th>r<sub>i</sub></th><th>A<sub>i</sub></th><th>s<sub>j</sub></th><th>B<sub>j</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>.01985 50717 51</td><td>.05061 42681 45</td><td>.04463 39552 90</td><td>.00329 51914 42</td></tr><tr><td>2</td><td>.10166 67612 93</td><td>.11119 05172 27</td><td>.14436 62570 42</td><td>.01784 29026 56</td></tr><tr><td>3</td><td>.23723 37950 42</td><td>.15685 33229 39</td><td>.28682 47571 44</td><td>.04543 93195 05</td></tr><tr><td>4</td><td>.40828 26787 52</td><td>.18134 18916 89</td><td>.45481 33151 97</td><td>.07919 95994 92</td></tr><tr><td>5</td><td>.59171 73212 48</td><td>.18134 18916 89</td><td>.62806 78354 17</td><td>.10604 73594 36</td></tr><tr><td>6</td><td>.76276 62049 58</td><td>.15685 33229 39</td><td>.78569 15206 04</td><td>.11250 57994 71</td></tr><tr><td>7</td><td>.89833 32387 07</td><td>.11119 05172 27</td><td>.90867 63921 00</td><td>.09111 90236 36</td></tr><tr><td>8</td><td>.98014 49282 49</td><td>.05061 42681 45</td><td>.98222 00848 53</td><td>.04455 08043 62</td></tr></tbody></table>

SCHEMA 4

Par analogie avec les schémas précédents, on obtiendrait un schéma intégrant exactement les polynômes de degré 17 et comportant 81 noeuds. Les valeurs $r_i$, $A_i$ d'un tel schéma sont données dans KRYLOV [1, p. 338, n = 9], moyennant une transformation affine pour se ramener à l'intervalle [0,1]. A notre connaissance, on ne dispose pas des valeurs $s_j$ et $B_j$, mais on peut les calculer suivant les méthodes de KRYLOV [1, pp. 122-124] et FISHMAN [1].
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