Nous pouvons terminer la caractérisation des configurations de résidus
cubiques réalisables dans une strate donnée lorsque tous les pôles sont triples
et qu'il n'y a que deux zéros.

PROPOSITION 5.20. — L’application résiduelle des strates Ω³M₀(a₁, a₂; {-3}⁵) est surjective sauf dans les cas suivants :

(1) L'image de $\mathfrak{R}_0^k(-1, 1; -3, -3)$ est $(\mathbb{C}^*)^2 \setminus \mathbb{C}^* \cdot (1, -1)$.

(2) L'image de $\mathfrak{R}_0^3(-1, 4; \{-3\}^3)$ est $(\mathbb{C}^*)^3 \setminus \mathbb{C}^* \cdot \{1\}^3$.

(3) L'image de $\mathfrak{R}_0^3(1, 2; \{-3\}^3)$ est $(\mathbb{C}^*)^3 \setminus \mathbb{C}^* \cdot \{1\}^3$.

(4) L'image de $\mathfrak{R}_0^3(2, 4; \{-3\}^4)$ est $(\mathbb{C}^*)^4 \setminus \mathbb{C}^* \cdot (1, 1, -1, -1)$.

(5) L'image de $\mathfrak{R}_0^3(2, 7; \{-3\}^5)$ est $(\mathbb{C}^*)^5 \setminus \mathbb{C}^* \cdot (\{1\}^4, -1)$.

(6) L'image de $\mathfrak{R}_0^3(2, 10; \{-3\}^6)$ est $(\mathbb{C}^*)^6 \setminus \mathbb{C}^* \cdot \{1\}^6$.

(7) L'image de $\mathfrak{R}_0^3(5, 7; \{-3\}^6)$ est $(\mathbb{C}^*)^6 \setminus \mathbb{C}^* \cdot \{1\}^6$.

Démonstration. — Il s’agit d’une démonstration par récurrence sur le nombre $s$ de pôles, sachant que les cas $s \le 4$, $l_1 = 0$ et $l_2 \le 2$ sont couverts par le corollaire 5.11, les lemmes 5.15 et 5.16 ainsi que la proposition 5.19. Nous supposerons donc la proposition valide jusqu’au rang $s-1$.

Pour une strate $\Omega^3 M_0(a_1, a_2; \{-3\}^s)$, nous traitons d'abord le cas des configurations de résidus $(R_1, \dots, R_s)$ dans lesquelles une somme partielle pondérée de racines s'annule. La chirurgie du lemme 5.12 permet la construction d'une telle configuration, sauf si elle s'opère en partant d'une strate et d'une configuration relevant des obstructions (1) à (7) du théorème 1.6. De telles configurations présentent aussi des annulations de sommes partielles, qui permettent en retour d'autres chirurgies possibles pour $(R_1, \dots, R_s)$. On en déduit aisément que les configurations potentiellement problématiques sont toutes proportionnelles à $(\{1\}^\alpha, \{-1\}^{s-3})$ avec $\alpha \ge 3$, $(1, 1, 1, R, -R)$ ou $(1, 1, 1, R, R, R)$ avec $R \in \mathbb{C}^*$ (ces deux derniers cas sont immédiatement évacués grâce aux lemmes 5.17 et 5.18).

Puisque $s \ge 5$, nous avons $\alpha \ge 3$ et nous pouvons appliquer la chirurgie en retirant trois résidu cubiques égaux à 1. Il y a alors le choix entre deux strates de départ (sauf si $l_1 = 1$ mais alors la seule strate possible $\Omega^3 M_0(-2, a_2 - 6; \{-3\}^{s-3})$ ne présente aucune obstruction) et le seul cas dans lesquelles elles présentent toutes deux des obstructions est celui des strates $\Omega^3 M_0(7, 5; \{-3\}^6)$. Ce cas est aussi couvert par le lemme 5.18.

Nous supposerons qu'il n'y aucune annulation de somme partielle pondé-
rée de racines et que les résidus sont ordonnés par module croissant. Nous
utilisons la construction du lemme 5.13. Posons $|r| = |r_{l_1}|$. Nous pouvons
choisir les racines de $l_2 + 1 \ge 3$ derniers résidus pour avoir $|S_2| \ge 2|r|$ (voir
lemme 2.14). Le fait de ne pas avoir d'annulation de somme partielle simpli-
fie la preuve du lemme 2.15 et permet de choisir les racines des $l_1$ premiers
résidus pour obtenir $|S_1| \le |r|$. La construction est donc réalisable sauf éventuellement si toutes ces inégalités sont des égalités.

Dans ce dernier cas, les $l_1$ premiers résidus sont identiques, ce qui implique $l_1 \le 2$ (sinon nous aurions une annulation de somme partielle pondérée). De plus, nous avons $l_2 + 1 = 3$ (sinon le lemme 2.14 donne une meilleure borne) et donc $s \le 5$. La seule strate concernée est donc $\Omega^3 M_0(4, 5; \{-3\}^5)$ ($l_1 = l_2 = 2$). Les cinq résidus ont même module. Puisque nous pouvons les permuter et que les seuls cas dans lequel la construction est impossible implique que les deux premiers soient identiques, il s'ensuit que le seul cas potentiellement problématique est celui de cinq résidus identiques. Dans ce cas $|S_2| \ge 3|r|$ et la construction est réalisable. $\square$

### 5.3.3. Majorité des cas avec $k \ge 5$

Comme dans le cas quartique (mais sans les obstructions), les estimations sur les sommes de racines (voir section 2.5) permettent de donner des constructions systématiques dans presque tous les cas restants.

**PROPOSITION 5.21.** — Pour $l_1, l_2 \ge 1$, $s = l_1 + l_2 + 1$, $0 < a < \frac{k}{2}$ et $k \ge 5$, chaque configuration $(R_1, \dots, R_s)$ de nombres complexes non nuls est réalisable dans $\Omega^k M_0(k(l_1-1)+a, kl_2-a; \{-k\}^s)$ sauf éventuellement dans les cas suivants :

* $k$ pair avec $l_2 = 1$ et $a = \frac{k}{2} - 1$;

* $k$ impair avec $1 \le l_2 \le 2$ et $a = \frac{k-1}{2}$.

**Démonstration.** — La preuve est similaire à celle de la proposition 5.14 : le lemme 2.15 permet de choisir des racines $r_1, \dots, r_{l_1}$ pour chacun des $k$-résidus afin d'obtenir $0 < |S_1| \le |r_{l_1}|$ avec $S_1 = \sum_{i=1}^{l_1} r_i$ (sauf pour un cas exceptionnel avec $k=5$, $l_1=2$ et $R_1 = -R_2$). De plus, si $l_1 \ge 3$, nous pouvons exiger que ces racines ne soient pas $\mathbb{R}$-colinéaires. Nous choisissons les racines suivantes $r_{l_1+1}, \dots, r_s$ en utilisant le lemme 2.14. Ainsi, nous obtenons $S_2 = \left| \sum_{i=l_1+1}^s r_i \right| \ge (1+l_2 \cos(\frac{\pi}{k})) |r_{l_1+1}|$. Il s'ensuit que $\frac{|S_1|}{1+l_2 \cos(\frac{\pi}{k})} \le \frac{1}{1+l_2 \cos(\frac{\pi}{k})}$.

Les lemmes 5.5 et 5.13 permettent de construire une $k$-différentielle avec les résidus souhaités dans la strate $\Omega^k M_0(k(l_1-1)+a, kl_2-a; \{-k\}^s)$ selon le modèle Quadrilatère ABAB comme dans la preuve de la proposition 5.14 dès lors que nous avons $\frac{1}{1+l_2 \cos(\frac{\pi}{k})} < 1 - \frac{2}{k+2-2a}$. Cette dernière inégalité se ramène à $l_2 \cos(\frac{\pi}{k}) > \frac{2}{k-2a}$.
Quand $k$ est pair, on a $a \le \frac{k}{2} - 1$. Ainsi, $\frac{2}{k-2a} \le 1$. Puisque $k \ge 5$, l'inégalité $l_2 \cos(\frac{\pi}{k}) > \frac{2}{k-2a}$ est toujours vérifiée si $l_2 \ge 2$. En revanche, si $l_2 = 1$, elle ne l'est pas pour $a = \frac{k}{2} - 1$ mais seulement pour $a \le \frac{k}{2} - 2$.

Quand $k$ est impair, l'inégalité est toujours valide lorsque $a \le \frac{k-3}{2}$. En revanche, si $a = \frac{k-1}{2}$, l'inégalité devient $l_2 \cos(\frac{\pi}{k}) > 2$. Pour $l_2 \ge 3$ elle est vérifiée mais si $l_2$ vaut 1 ou 2 elle ne l'est pas.

Il reste à traiter le cas exceptionnel $k = 5$, $l_1 = 2$ et $R_1 = -R_2$. Ici, nous avons l'annulation d'une somme partielle pondérée de deux racines et pouvons donc utiliser la chirurgie du lemme 5.12 pour se ramener au cas d'une strate avec $l_1 = 1$. La section 5.2 établit qu'il n'y a pas d'obstruction pour une telle strate. $\square$

### 5.3.4. Cas restants

Demeure une variété restreinte de strates qui ne sont pas couvertes par les résultats des sections 5.3.1, 5.3.2 et 5.3.3. Elles présentent toutes les caractéristiques suivantes : $k \ge 5$, $l_2 \in \{1, 2\}$ et $\overline{a_2} \ne -1$.

L'absence d'obstruction pour ces strates est obtenue par récurrence dans la proposition 5.24. Toutefois, une famille particulière de configurations de résidus (celles pour lesquelles une somme totale de racines s'annule) nécessite une construction spécifique. Cette construction est donnée dans les deux lemmes suivants. Tout d'abord, nous considérons le cas le plus simple dans lequel $s = 3$ (et donc $l_2 = 1$).

**LEMME 5.22.** — Dans la strate $\Omega^k M_0(k+\overline{a_1}, k+\overline{a_2}; \{-k\}^3)$ avec $-k < \overline{a_1} < \frac{k}{2} < \overline{a_2} < -1$, chaque configuration $(R_1, R_2, R_3)$ de trois nombres complexes non nuls est réalisable s'il existe trois racines $r_1, r_2, r_3$ de $(R_1, R_2, R_3) \in (\mathbb{C}^*)^3$ telles que $r_1 + r_2 + r_3 = 0$.

**Démonstration.** — Supposons sans perte de généralité que $r_1 = 1$, $|r_2| \ge 1$, $|r_3| \ge 1$ et que $\theta_i = \arg(r_i) \in [0, 2\pi]$ satisfait $0 \le \theta_2 < \theta_3$. Le triangle obtenu en concatenant $r_1, r_2, r_3$ en partant du point d'affiche 0 est donc contenu dans le demi-plan supérieur fermé. Nous notons $\zeta = \exp(-\frac{2i\pi}{k})$ et introduisons

$$t = \frac{1 - \zeta}{1 - \exp\left(-\frac{2i\overline{a_2}\pi}{k}\right)} \text{ et } t' := -\exp\left(-\frac{2i\overline{a_2}\pi}{k}\right)t. \quad (5.1)$$

Nous avons $t + t' + \zeta r_1 + r_2 + r_3 = 0$ et la concatenénation de $\zeta r_1, t, t', r_2, r_3$ est un polygone dont l'ensemble des points d'intersection est soit vide, soit confondu avec le côté $r_2$. En effet, ce polygone s'obtient en collant le long du segment $[0, r_1]$ un triangle dont les côtés sont données par les vecteurs
$r_1, r_2, r_3$ (contenu dans le demi-plan supérieur) avec un quadrilatère dont les côtés sont données par les vecteurs $\zeta r_1, t, t', -r_1$ (contenu dans le demi-plan inférieur, voir le dessin de gauche de la figure 5.4). Comme $\overline{a_2} \neq 1$, nous avons $|t| < 1$ et ce quadrilatère est donc sans points d'intersection. Donc il n'y a des points d'intersection que lorsque $\arg(r_2) = 0$, et dans ce cas le segment $r_2$ est bien l'ensemble de points d'intersection. Notons que l'hypothèse $\overline{a_2} \neq -1$ est cruciale sans quoi nous aurions $t = -\zeta$ et $t' = 1$, le quadrilatère serait alors singulier.

En identifiant $t$ et $t'$ par une rotation, puis en collant des cylindres le long des trois autres côtés, on obtient une surface plate correspondant à une différentielle ayant un zéro d'ordre $2k + \overline{a_1}$ et un autre d'ordre $\overline{a_2}$. Notons que cela reste vrai même dans le cas où l'arête $r_2$ est constituée de points d'intersection. Pour obtenir des zéros d'ordres $0 < a_1 < a_2 < k$ nous allons changer l'ordre de la concaténation.

Soient $\theta$ et $\theta'$ les arguments respectifs de $t$ et $t'$ dans $[0, 2\pi[$. Notons que $\theta > \theta'$ et un rapide calcul montre que $\theta = \frac{\pi}{k}(\overline{a_2} + k - 1)$ et $\theta' = -\frac{\pi}{k}(\overline{a_2} + 1)$. Commençons par comparer $\theta_3$ avec $\frac{2\pi}{k}$. Si $\theta_3 > 2\pi - \frac{2\pi}{k}$, alors on échange $\zeta r_1$ avec $r_3$ dans la concaténation précédente. Cette opération est représentée sur la figure 5.4 (ce qui ne change aucunement l'angle conique des deux singularités obtenues après collage). Par simplicité, nous supposerons que $\theta_3 \le 2\pi - \frac{2\pi}{k}$ dans la suite, l'autre cas ne changeant que par la notation.

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>FIGURE 5.4. Le changement d'ordre si $\theta_3 > 2\pi - \frac{2i\pi}{k}$</figcaption></figure>

Notons que puisque $\theta > \theta'$, au moins l'une des deux inégalités $\theta' + \pi < \theta_3$ et $\theta_3 < \theta + \pi$ est satisfaite. Nous supposerons d'abord $\theta' + \pi < \theta_3$. En permutant les segments $t'$ et $r_2$ on obtient exactement une intersection de $r_3$ avec $r_2$ comme représenté sur le dessin du milieu de la figure 5.5. En effet, l'unique autre possibilité serait que $r_2$ coupe $\zeta r_1$, mais cela impliquerait que $|t| > |r_3|$, ce qui est impossible car par hypothèse $|t| < |r_1| \le |r_3|$. Notons que cette dernière égalité est valable même si l'on a interverti l'ordre de $r_3$ et $\zeta r_1$ précédemment. On colle alors sur le segment $r_3$ un cylindre auquel on a retiré le triangle correspondant à l'intersection. Notons que l'inégalité $|t| < |r_1| \le |r_3|$ implique que le triangle est sans auto-intersection dans le
cylindre $r_3$. Puis on termine la construction en collant des cylindres aux
arêtes $r_2$ et $\zeta r_1$ et les segments $t$ avec $t'$.

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIGURE 5.5. Le cas $\theta' + \pi < \theta_3 \le \theta + \pi$.</figcaption></figure>

Finalement, si $\theta_3 < \theta + \pi$ on utilise la concaténation $\zeta r_1, t', r_2, r_3, t$. Pour la même raison que dans le cas précédent, ce polygone possède une unique intersection entre les segments $r_3$ et $\zeta r_1$. Le reste est identique à la construction précédente. $\square$

Nous traitons ensuite le cas $s \ge 4$ pour ces configurations de résidus. La preuve est légèrement différente selon si $l_2 = 1$ ou $l_2 = 2$.

LEMME 5.23. — Dans toute strate $\Omega^k M_0(l_1k + \bar{a}_1, l_2k + \bar{a}_2; \{-k\}^s)$ avec $-\frac{k}{2} < \bar{a}_2 < -1$, $\bar{a}_1 = -k - \bar{a}_2$, $l_1, l_2 \ge 1$ et $l_1 + l_2 = s-1$, chaque configuration $(R_1, \dots, R_s)$ de s nombres complexes non nuls est réalisable s'il existe s racines k-ièmes $r_1, \dots, r_s$ de $(R_1, \dots, R_s) \in (\mathbb{C}^*)^s$ telles que $\sum_{i=1}^s r_i = 0$ mais qu'aucune somme partielle $\sum_{i \in I} r_i$ ne s'annule lorsque I est un sous-ensemble strict non vide de $\{1, \dots, s\}$.

*Démonstration*. — La proposition 5.21 et le lemme 5.22 permettent de se
restreindre aux cas dans lesquels $s \ge 4$, $l_2 \in \{1, 2\}$ et dans le cas où $l_2 = 2$,
on peut supposer que $k$ est impair.

Le cas $l_2 = 1$. — On suppose que $|R_1|$ est minimal parmi les modules de $k$-résidus et nous normalisons les $r_i$ pour avoir $r_1 = 1$. Concaténons les $r_i$ par argument croissant dans $[0, 2\pi[$. Nous obtenons un polygone convexe dans le demi-plan supérieur ou dans la demi-droite $\mathbb{R}_+$. Notons que dans ce dernier cas, le fait qu'aucune somme partielle ne s'annule implique que les sommets du polygone sont deux à deux distincts. Notons respectivement par $A, B, C$
et D le point initial de $r_1, r_2, r_3$ et $r_s$. Remarquons que soit $|AC| \ge |r_1| = 1$, soit $|BD| \ge 1$. En effet, supposons que la longueur $|BD|$ est inférieure à 1. Comme ABCD est convexe, le sommet C est dans l'intersection du demi-plan supérieur (contenant D) et du demi-plan complémentaire de (BD) qui ne contient pas A. En particulier, il ne peut appartenir au disque de centre A et de rayon 1. Donc la distance $|AC|$ est bien strictement supérieure à 1. Nous notons $\tilde{r}_3 = \sum_{i \ge 3} r_i$, qui correspond au segment [CA].

Nous considérons deux cas selon que $\arg(\tilde{r}_3) \le 2\pi - \frac{2\pi}{k}$ ou $2\pi - \frac{2\pi}{k} < \arg(\tilde{r}_3) < 2\pi$. Dans la suite, on utilise les notations de la preuve du lemme 5.22 en remplaçant $r_3$ par $\tilde{r}_3$ et $\theta_3$ par $\tilde{\theta}_3$.

Supposons tout d'abord que $\arg(\tilde{r}_3) \le 2\pi - \frac{2\pi}{k}$. Notons que soit $\theta' + \pi < \tilde{\theta}_3$ soit $\tilde{\theta}_3 < \theta + \pi$ est satisfaite. Nous allons supposer que $\theta' + \pi < \tilde{\theta}_3$, l'autre cas se traitant de manière similaire en changeant le rôle de $t'$ avec $t$ et celui de $r_2$ avec $\zeta r_1$.

Supposons donc que $\theta' + \pi < \tilde{\theta}_3$ et considérons la concatenation de $\zeta r_1, t, r_2, t', \tilde{r}_3$ représentée à droite de la figure 5.5. Nous voulons remplacer le cylindre de période $\tilde{r}_3$ (noté $r_3$ sur la figure) par $s-2$ cylindres de périodes $r_3, \dots, r_s$. Nous allons le faire en collant ces cylindres à partir du point final de $t'$. Plus précisément, on colle $s-2$ cylindres sur un $(s-1)$-gone formé des $r_i$ avec $i \in \{3, \dots, s\}$ et de $-\tilde{r}_3$. On enlève à ce domaine le triangle $T$ correspondant à l'intersection et on colle son bord sur $\tilde{r}_3, t'$ et un bout de $r_2$ par translation. Cette construction est représentée dans la figure 5.6 dans le cas où $s=4$. Remarquons que si cette construction est réalisable, alors elle donne une $k$-différentielle avec $l_2 = 1$ et les résidus souhaités.

Nous justifions maintenant que cette construction est réalisable. Supposons tout d'abord que $\theta' + \pi < \theta_3 = \arg(r_3)$. Dans ce cas, l'arête $t'$ est contenue dans le cylindre associé à $r_3$. Le fait que $|r_3| > |t'|$ implique que l'intersection de $T$ avec ce cylindre est sans auto-intersection. L'autre partie de $T$ est contenue dans le polygone, car celui-ci est convexe. Par symétrie, le cas $\theta_s < \theta + \pi$ se traite lorsque $\tilde{\theta}_3 < \theta + \pi$ par un argument similaire ($\theta_s$ est ici $\arg(r_s)$). On peut donc supposer que $\theta' + \pi \ge \theta_3$ et $\theta_s \ge \theta + \pi$. Dans ce cas, l'inégalité $|t'| < |r_3|$ et la convexité du polygone impliquent que $T$ est strictement contenu dans le polygone.

Considérons maintenant le cas où $2\pi - \frac{2\pi}{k} < \arg(\tilde{r}_3) < 2\pi$. On commence par considérer le polygone P obtenu en concatenant $t, r_2, \zeta r_1, t'$ et $\tilde{r}_3$ comme représenté sur la figure 5.7. Dans ce cas, si $t'$ est disjoint de $r_2$, alors P n'a pas d'auto-intersection. Si au contraire $t'$ coupe $r_2$, alors le segment $\tilde{r}_3$ coupe aussi $r_2$. En effet, sinon les segments $(\tilde{r}_3, t)$ formeraient une base indirecte, ce qui contredit l'hypothèse selon laquelle $2\pi - \frac{2\pi}{k} < \arg(\tilde{r}_3) < 2\pi$. S'il n'y
<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>FIGURE 5.6. Remplacement d'un pôle de la figure 5.5 par une paire de pôles dans le cas $l_2 = 1$.</figcaption></figure>

a pas d'intersection, on colle alors un cylindre à $r_2$. S'il y a une intersection, on colle à $r_2$, à la fin de $t'$ et au début de $\tilde{r}_3$ un cylindre auquel on enlève le triangle correspondant à l'intersection. On colle alors un polygone dont les arêtes sont les $r_i$, avec $i \in \{3, \dots, s\}$ et $-\tilde{r}_3$ au segment $\tilde{r}_3$. Finalement, on colle les cylindres aux $r_i$ pour $i \ge 3$, un cylindre à $\zeta r_1$ et $t$ avec $t'$ pour obtenir une différentielle avec les invariants souhaités.

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>FIGURE 5.7. La construction dans le cas où $2\pi - \frac{2\pi}{k} < \arg(\tilde{r}_3) < 2\pi$.</figcaption></figure>

Il reste donc à considérer le cas où la diagonale de longueur supérieure ou égale à $|r_1|$ est $BD$. On fait la même construction qu'au paragraphe précédent en partant d'une configuration légèrement différente. Au lieu de
faire la rotation d'angle $-\frac{2\pi}{k}$ de $r_1$ en A, on fait la rotation d'angle $\frac{2\pi}{k}$ de $r_1$ en B. La configuration obtenue est alors symétrique de celle considérée et les arguments sont identiques.

Le cas $l_2 = 2$. — Nous traitons tout d'abord les strates avec $s = 4$ pôles puis donnons un argument pour $s \ge 5$.

Commençons par le cas où $s = 4$ et utilisons les notations du cas $l_2 = 1$. On sépare les cas selon que $\arg(\tilde{r}_3) \le 2\pi - \frac{2\pi}{k}$ ou $2\pi - \frac{2\pi}{k} < \arg(\tilde{r}_3) < 2\pi$. Dans le premier cas, considérons la concatenation de $\zeta r_1, t, r_2, \tilde{r}_3, t'$ comme montré à droite de la figure 5.5. On obtient la différentielle souhaitée en collant la paire de pôles au point initial de $t'$ comme montré à gauche de la figure 5.8.

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE 5.8. La construction pour obtenir $l_2 = 2$ selon que $\arg(\tilde{r}_3) \le 2\pi - \frac{2\pi}{k}$ (à gauche) ou $2\pi - \frac{2\pi}{k} < \arg(\tilde{r}_3) < 2\pi$ (à droite).</figcaption></figure>

Comme on remplace un domaine polaire par un triangle auquel on attache deux cylindres, il n'y a pas de problèmes d'auto-intersection. Un calcul rapide montre que l'on obtient les invariants souhaités.

Dans le second cas, on concatène $\zeta r_1, t, \tilde{r}_3, t', r_2$ comme montré à droite de la figure 5.8. Remarquons que c'est similaire au cas correspondant pour $l_2 = 1$, en inversant le rôle de $t$ et $t'$. Le même argument que dans le cas précédent montre l'existence de la différentielle associée avec les invariants souhaités.

On suppose maintenant que $s \ge 5$ et on note P le polygone obtenu en concatenant les $r_i$ par arguments croissants. Considérons les diagonales qui découpent P en deux parties contenant respectivement 3 et $s-3$ arêtes. Supposons qu'il existe une telle diagonale de longueur inférieure ou égale à chacune des trois arêtes qu'elle détermine. Notons cette diagonale $\tilde{r}_1$ et
les trois arêtes par $r_2, r_3, r_4$ rangées par arguments croissants. On fait la construction du cas $s = 4$ avec ces segments ($\tilde{r}_1$ joue le rôle de $r_1$). On obtient donc les polygones de la figure 5.8. La différentielle est obtenue en collant les $s-3$ résidus restant à $\tilde{r}_1$. Notons que dans les deux constructions de la figure 5.8, le pôle de résidu $R_1$ contribue uniquement à la singularité $a_1$. L'ordre de la singularité $a_2$ est donc préservée lors du collage des résidus à $\tilde{r}_1$. En particulier, la différentielle obtenue satisfait $l_2 = 2$.

Supposons maintenant qu'il n'existe pas de diagonale de longueur inférieure ou égale à chacune des trois arêtes qu'elle borde. Prenons une configuration où ces arêtes $r_1, r_2, r_s$ et la diagonale $\tilde{r}_3$ sont telles que $|r_1|$ est minimale et la concaténation $r_1, r_2, \tilde{r}_3, r_s$ forme un quadrilatère convexe. Commençons par considérer le polygone obtenu en concaténant $\zeta r_1, t, t', r_2, \tilde{r}_3, r_s$, représenté à gauche de la figure 5.9. Comme précédemment, on inverse l'ordre de concaténation de $\zeta r_1$ avec les segments de $\{r_s, \tilde{r}_3\}$ dont l'argument est strictement supérieur à $2\pi - \frac{2\pi}{k}$.

Supposons que l'on permute $\zeta r_1$ avec $r_s$ et $\tilde{r}_3$. On concatène $t, r_s, r_2$, $\zeta r_1, t', \tilde{r}_3$ comme montré sur la figure 5.9. Le polygone ainsi obtenu peut posséder des intersections. En effet, les segments $r_2$ et $t$ peuvent se couper pour former un triangle comme à droite de la figure 5.9. De plus, il est possible que $r_2$ coupe $t'$, donnant un triangle au dessus de $r_2$ s'il coupe $\tilde{r}_3$ et un polygone plus complexe si $\tilde{r}_3$ reste au dessus de $r_2$. Remarquons que ces polygones d'intersection ne n'ont pas d'auto-intersection. Par exemple, s'il y a deux triangles d'intersection, ils ne se chevauchent pas car l'argument de $t$ est inférieur à celui de $\tilde{r}_3$ auquel on ajoute $\pi$.

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIGURE 5.9. Les polygones si l'on permute $\zeta r_1$ avec $r_s$ et $\tilde{r}_3$.</figcaption></figure>

On peut donc coller comme précédemment un cylindre (auquel on enlève les éventuels polygones d'intersection) à $r_2$. Puis on ajoute les autres cylindres et on colle $t$ avec $t'$. De la sorte on obtient une différentielle avec les invariants souhaités.

Supposons que l'on permute $\zeta r_1$ avec $r_s$ ou que l'ordre de la concaténation reste inchangé. Dans la suite, on supposera que l'on est dans ce dernier cas pour fixer la notation. Supposons tout d'abord que $\arg(\tilde{r}_3) > \arg(t) + \pi$. Dans ce cas, l'ordre de concaténation du cas précédent, représenté dans la figure 5.9, donne la différentielle attendue de manière similaire. Notons
toutefois que dans ce cas il se peut que la concaténation des segments $\zeta r_1$ jusqu'à $r_s$ possède plus de points d'intersection avec $r_2$, voir soit au dessus de $r_2$. Dans ce dernier cas, on colle le cylindre $r_2$ au dessus du segment brisé et les autres cylindres en dessous, avant d'identifier $t$ avec $t'$ pour obtenir la différentielle souhaitée.

Considérons maintenant le cas où $\arg(\tilde{r}_3) \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$. Dans ce cas, on considère le polygone obtenu par la concaténation de $t, \zeta r_1, r_2, t', \tilde{r}_3, r_s$ représenté sur la figure 5.10. Il ne peut avoir au plus qu'une intersection, entre $r_s$ et $\zeta r_1$ si $\arg(t) + \pi \ge \arg(r_s)$, comme sur la figure. En effet, comme l'argument de $t'$ est strictement compris entre 0 et $\pi$, le segment $r_3$ ne peut pas couper le segment $r_2$.

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIGURE 5.10. Les polygones si l'on permute $\zeta r_1$ avec $r_s$ et $\tilde{r}_3$.</figcaption></figure>

On peut donc coller les cylindres aux arêtes du polygone (on enlève un triangle à celui de circonférence $r_s$ en cas d'intersection) et $t$ avec $t'$ pour obtenir une différentielle avec les invariants souhaités.

Finalement, nous montrons que l'on peut se ramener aux cas précédent dans presque tous les cas. Rappelons que par la proposition 5.21, il suffit de considérer les cas où $\overline{a_2} = \frac{1-k}{2}$. En particulier, comme $\arg(t) \ge \frac{\pi}{2}$ les constructions du paragraphe précédent donnent des différentielles avec les invariants souhaités si $\arg(\tilde{r}_3) \in [\frac{\pi}{2}, \pi] \cup [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$. Si l'argument de $\tilde{r}_3$ est dans $]0, \frac{\pi}{2} \cup [ \pi, \frac{3\pi}{2} $, alors on fait une construction miroir des constructions précédentes : on fait une rotation de $r_1$ en son point final d'un angle $\frac{2\pi}{k}$ et on change le rôle de $r_2$ et de $r_s$ dans la construction. Finalement, il reste à traiter le cas où $\arg(\tilde{r}_3) = 0$. Dans ce cas, la concaténation de $t, \zeta r_1, r_2, \tilde{r}_3, t'$, $r_s$ permet d'obtenir une différentielle avec les invariants souhaités via les constructions précédentes. $\square$
Nous donnons maintenant une construction par récurrence du cas général en partant des strates avec un zéro d'ordre négatif.

**PROPOSITION 5.24.** — Si $a_1 \notin 1 + k\mathbb{Z}$, alors chaque configuration $(R_1, \dots, R_s)$ de nombres complexes non nuls est réalisable dans la strate $\Omega^k M_0(a_1, a_2; \{-k\}^s)$.

*Démonstration.* — Nous réalisons ici un raisonnement par récurrence sur le nombre $s$ de pôles d'ordre $k$. L'étape d'initialisation $s=2$ est démontrée dans le corollaire 5.7. Nous supposerons l'énoncé valide pour tout rang $s' < s$.

Pour n'importe quelle strate $\Omega^k M_0(a_1, a_2; \{-k\}^{s+1})$ telle que $a_1$ ou $a_2$ est négatif, les résultats de la section 5.2 établissent la proposition. Si $a_1$ et $a_2$ sont tous deux positifs (et donc $l_1, l_2 \ge 1$), alors nous devons nous ap-puyer sur l'étude de la stratification de résonance (voir la section 2.4). Dans la strate principale, formée des configurations de résidus génériques, c'est-à-dire ne vérifiant aucune condition de résonance, un argument de dimension montre que certaines configurations de cette strate sont nécessairement réa-lisables tandis que le prolongement plat du corollaire 2.13 permet d'étendre ces solutions à toute la strate principale.

Dans chaque strate de résonance, des équations dont les coefficients sont des racines $k$-ièmes de l'unité sont satisfaites par des racines des $k$-résidus. Traitons d'abord le cas des strates dans lesquelles l'une de ces équations relie des racines de $t < s+1$ résidus de la configuration (certains coefficients sont nuls). Quitte à considérer $t$ minimal si plusieurs équations de ce type sont vérifiées les configuration de la strate de résonance choisie, nous pouvons construire la différentielle réalisant la configuration voulue en utilisant la chirurgie du lemme 5.12 permettant de se ramener à des strates plus simples (pour lesquelles l'hypothèse de récurrence garantit l'absence d'obstructions).

Les lemmes 5.22 et 5.23 traitent enfin du cas des strates de résonance dans lesquelles toutes les conditions de résonance font intervenir les $s$ résidus de la configuration (aucun coefficient de l'équation de résonance n'est nul). $\square$

## 5.4. Constructions pour $n \ge 3$

Il reste à démontrer qu'il n'existe pas d'obstruction pour les strates de $k$-différentielles de genre zéro avec $k \ge 3$, n'ayant que des pôles d'ordre $-k$ et au moins trois zéros.

D'abord nous traitons le cas $n=3$ où seulement deux zéros ont un ordre qui n'est pas divisible par $k$.
**PROPOSITION 5.25.** — *Considérons les strates $\Omega^k M_0(a_1, a_2, kl; \{-k\}^s)$ où $k \ge 3$, $l \in \mathbb{N}^*$ et $a_1, a_2$ sont premiers avec $k$. Leurs applications résiduelles sont surjectives.*

*Démonstration.* — Nous allons obtenir les $k$-différentielles adéquates par scindage de zéro à partir des deux strates $\Omega^k M_0(a_1 + kl, a_2; \{-k\}^s)$ et $\Omega^k M_0(a_1, a_2 + kl; \{-k\}^s)$. Ces strates sont par définition primitives. Il suffit de vérifier que les deux strates ne sont pas simultanément des strates sporadiques. Remarquons que si $a_1 = a_2$, alors la strate $\Omega^k M_0(a_1, a_1, kl; \{-k\}^s)$ n’est pas primitive (car $a_1 \in \frac{k}{2}\mathbb{Z}$ dans ce cas). Par conséquent, les deux strates obtenues en regroupant $kl$ avec $a_1$ ou $a_2$ sont nécessairement distinctes. Ainsi, les seules strates problématiques sont celles pour lesquelles il existe deux strates sporadiques distinctes avec le même ordre $k$, le même nombre $s$ de pôles et le même résidu interdit. Les seules paires de strates sporadiques de ce type sont :

(1) $\Omega^4 M_0(3, 5; \{-4\}^4)$ et $\Omega^4 M_0(-1, 9; \{-4\}^4)$ avec les résidus de la forme $C^* \cdot \{1\}^4$;

(2) $\Omega^3 M_0(-1, 4; \{-3\}^3)$ et $\Omega^3 M_0(1, 2; \{-3\}^3)$ avec les résidus de la forme $C^* \cdot \{1\}^3$;

(3) $\Omega^3 M_0(2, 10; \{-3\}^6)$ et $\Omega^3 M_0(5, 7; \{-3\}^6)$ avec les résidus de la forme $C^* \cdot \{1\}^6$.

Par conséquent, les strates problématiques pour lesquelles il est nécessaire de faire les constructions à la main sont :

(1) $\Omega^4 M_0(-1, 4, 5; \{-4\}^4)$ avec les résidus de la forme $C^* \cdot \{1\}^4$;

(2) $\Omega^3 M_0(-1, 1, 3; \{-3\}^3)$ avec les résidus de la forme $C^* \cdot \{1\}^3$;

(3) $\Omega^3 M_0(2, 3, 7; \{-3\}^6)$ avec les résidus de la forme $C^* \cdot \{1\}^6$.

Les constructions dans les deux premiers cas sont donnée dans la figure 5.11.

Concernant la strate $\Omega^3 M_0(2, 3, 7; \{-3\}^6)$, nous partons de la surface plate de la strate $\Omega^3 M_0(-1, 1, 3; \{-3\}^3)$ donnée à droite de la figure 5.11. Pour ajouter les trois pôles triples de résidus cubiques (1, 1, 1) tout en ajoutant un angle conique de $2\pi$ et $4\pi$ respectivement au pôle simple et au zéro simple, nous utilisons la chirurgie du lemme 5.12. Il suffit simplement de vérifier qu'il existe bien un lien-selle reliant le pôle simple et le zéro simple le long duquel découper une cicatrice et y insérer une surface de translation bien choisie. Le dessin montre qu'un tel lien-selle existe et que la construction est donc réalisable. $\square$

Ensuite, nous donnons une construction spécifique aux cas où le scindage de zéros nécessite de partir de différentielles non primitives.
<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIGURE 5.11. Une différentielle quartique de $\Omega^4 M_0(-1, 4, 5; \{-4\}^4)$ dont les résidus sont $(1, 1, 1, 1)$ à gauche et une différentielle cubique de $\Omega^3 M_0(-1, 1, 3; \{-3\}^3)$ dont les résidus sont $(1, 1, 1)$ à droite.</figcaption></figure>

LEMME 5.26. — Considérons les strates $\Omega^k M_0(a_1, a_2, a_3; \{-k\}^s)$ où $k \ge 3$. Si $\text{pgcd}(a_1, k) \notin \{1, \frac{k}{2}\}$, alors l'application résiduelle de la strate est surjective.

*Démonstration*. — Grâce à la proposition 5.25, nous pouvons nous contenter de traiter le cas où aucun des $a_1, a_2, a_3$ n’est un multiple de $k$. Nous distinguerons deux cas selon si $a_1 > (s-1)k$ ou $a_1 < (s-1)k$.

Si $a_1 < (s-1)k$, alors $a_2+a_3 > -k$ et la strate $\Omega^k M_0(a_1, a_2+a_3; \{-k\}^s)$ n’est pas primitive (car toutes les singularités ont pour facteur commun $d = \text{pgcd}(a_1, k)$). Cependant, nous savons qu’elle n’est pas constituée de puissances de 1-formes ou de différentielles quadratiques (car $a_1$ n’est pas un multiple de $\frac{k}{2}$). Ce sont des puissances $d$-ièmes de $m$-différentielles où $dm = k$ avec $m \ge 3$. La proposition 2.6 garantit que l’on peut éclater le zéro d’ordre $a_2 + a_3$ sans modifier les résidus. Pour chaque configuration de $k$-résidus ($\sqrt[d]{R_1}, \dots, \sqrt[d]{R_s}$) compatibles avec l’équation (2.1). Il est facile de vérifier que tous ne peuvent pas être interdits dans la strate $\Omega^{k/d} M_0(\frac{a_1}{d}, \frac{a_2+a_3}{d}; \{-m\}^s)$. Il suffit pour cela de se référer au cas $n=2$ (déjà démontré à ce stade) du théorème 1.6 (puisque $m \ge 3$).

Si $a_1 > (s-1)k$, alors $a_2 + a_3 < -k$. Il s’ensuit que $-k < a_2, a_3 < 0$. Si $\text{pgcd}(a_2, k) \notin \{1, \frac{k}{2}\}$, alors le raisonnement qui précède s’applique quitte à remplacer $a_1$ par $a_2$. Nous pouvons donc supposer que $\text{pgcd}(a_2, k)$, $\text{pgcd}(a_3, k) \in \{1, \frac{k}{2}\}$. Comme $a_2$ et $a_3$ ne peuvent pas tous deux valoir $-\frac{k}{2}$
(sinon $a_1$ serait un multiple de $k$), alors l'un de ces deux nombres (disons $a_2$ sans perte de généralité) satisfait $-k < a_2 < -\frac{k}{2}$ et $\text{pgcd}(a_2, k) = 1$.

Les différentielles de la strate $\Omega^k M_0(a_2, a_1 + a_3; \{-k\}^s)$ sont donc primitives. Le cas $n = 2$ du théorème 1.6 nous apprend que pour une strate avec un zéro d'ordre négatif l'application résiduelle est toujours surjective sauf parfois quand ce zéro est d'ordre $-1$. Nous ne sommes pas dans ce cas. Il s'ensuit que l'application résiduelle de la strate $\Omega^k M_0(a_2, a_1 + a_3; \{-k\}^s)$ est surjective. $\square$

Le cas de strates dans lequel l'ordre d'un zéro est un multiple impair de $\frac{k}{2}$ doit se traiter à part.

**LEMME 5.27.** — *L'application résiduelle des strates $\Omega^k M_0(a_1, a_2, \frac{kl}{2}; \{-k\}^s)$ où $k \ge 3$, $l \in 2\mathbb{N} - 1$, $\text{pgcd}(a_1, k) = \text{pgcd}(a_2, k) = 1$ est surjective.*

*Démonstration.* — Sans perte de généralité, nous supposerons $a_1 \le a_2$. Considérons d'abord le cas dans lequel $a_1 + \frac{kl}{2} \le -k$. Cela signifie en particulier que $l = -1$ et $-k < a_1 < -\frac{k}{2}$. Comme dans les preuves précédentes, nous obtenons les différentielles de $\Omega^k M_0(a_1, a_2, \frac{kl}{2}; \{-k\}^s)$ par scindage en partant de la strate primitive $\Omega^k M_0(a_1, a_2 + \frac{kl}{2}; \{-k\}^s)$. Le cas $n = 2$ du théorème 1.6 prouve que pour une strate avec un zéro d'ordre négatif différent de $-1$, l'application résiduelle est toujours surjective.

Dans un second cas, on a $a_1 + \frac{kl}{2} > -k$. Cela signifie que l'on peut obtenir les différentielles de la strate $\Omega^k M_0(a_1, a_2, \frac{kl}{2}; \{-k\}^s)$ par scindage de zéro en partant des deux strates primitives $\Omega^k M_0(a_1, a_2 + \frac{kl}{2}; \{-k\}^s)$ et $\Omega^k M_0(a_2, a_1 + \frac{kl}{2}; \{-k\}^s)$. Ainsi, l'application résiduelle de $\Omega^k M_0(a_1, a_2, \frac{kl}{2}; \{-k\}^s)$ est surjective sauf peut-être si ces deux strates sont sporadiques (voir cas $n = 2$ du théorème 1.6). Sachant que $k$ est pair (puisque $\frac{k}{2}$ est un entier), ceci n'arrive que pour un petit nombre de strates de départ$^{(1)}$. Nous en donnons la liste ici (ainsi que les configurations de résidus interdites dans les deux strates sporadiques incidentes) :

(1) $\Omega^k M_0(-1, -1, 2; -k, -k)$ avec $k \ge 4$ pour les configurations de $C^* \cdot (1, 1)$;

(2) $\Omega^4 M_0(-1, -1, 6; -4, -4, -4)$ pour les configurations de $C^* \cdot (1, 1, -4)$;

(3) $\Omega^4 M_0(3, 3, 2; -4, -4, -4, -4)$ pour les configurations de $C^* \cdot (1, 1, 1, 1)$;

<footnote>(1) En dehors du cas $(k, s) = (4, 4)$, il n'y a pas plus d'une strate sporadique pour chaque valeur de $(k, s)$, ce qui implique que $a_1 = a_2$ pour chacun de ces autres cas.</footnote>
(4) $\Omega^4 M_0(-1, -1, 10; -4, -4, -4, -4)$ pour les configurations de $C^* \cdot (1, 1, 1, 1)$;

(5) $\Omega^4 M_0(-1, 3, 6; -4, -4, -4, -4)$ pour les configurations de $C^* \cdot (1, 1, 1, 1)$;

(6) $\Omega^4 M_0(3, 3, 10; -4)^6$ pour les configurations de $C^* \cdot \{1\}^6$.

Pour réaliser la configuration (1, 1) (ou ses multiples) dans la strate $\Omega^k M_0(-1, -1, 2; -k, -k)$ avec $k$ pair vérifiant $k \ge 4$, nous effectuons la construction suivante : dessinons un hexagone en reliant les points 0, 1, $1 + \frac{1}{2} \exp(\frac{i\pi(k-1)}{k})$, $1 + i \sin(\pi/k)$, $i \sin(\pi/k)$ et $\frac{1}{2} \exp(\frac{i\pi}{k})$ (dans cet ordre). Nous collons un cylindre sur les segments $[0, 1]$ et $[1 + i \sin(\pi/k), i \sin(\pi/k)]$ puis identifions les deux segments dans les deux paires restantes de côtés adjacents. Ainsi, nous obtenons bien une surface avec deux singularités co-niques d'angle $\frac{(k-1)}{k}2\pi$ et une d'angle $\frac{(k+2)}{k}2\pi$.

Dans chacun des autres cas exceptionnels, nous allons réaliser un scindage de zéro en partant de l'une des quatre strates de différentielles quadratiques

$$ \Omega^2 M_0(-1, 3; -2, -2, -2), \Omega^2 M_0(1, 3; -2)^4, \\ \qquad \Omega^2 M_0(-1, 5; -2)^4 \text{ et } \Omega^2 M_0(3, 5; -2)^6. $$

Dans les strates $\Omega^2 M_0(-1, 3; -2, -2, -2)$ et $\Omega^2 M_0(-1, 5; -2)^4$, toute configuration de résidus quadratiques dans laquelle les résidus ne sont pas tous sur la même demi-droite partant de l'origine est réalisable (théorème 1.9 de [6]). Il existe donc toujours une différentielle quadratique pour laquelle le scindage de zéro produira la différentielle quartique adéquate.

Dans les derniers cas, il s'agit de réaliser les configurations $\{1\}^4$ dans $\Omega^4 M_0(3, 3, 2; -4)^4$ et $\{1\}^6$ dans $\Omega^4 M_0(3, 3, 10; -4)^6$. Nous partons donc de différentielles réalisant les configurations de résidus quadratiques $(\{1\}^3, -1)$ et $(\{1\}^5, -1)$ dans $\Omega^2 M_0(1, 3; -2, -2, -2, -2)$ et $\Omega^2 M_0(3, 5; -2)^6)$. Le théorème 1.9 de [6] montre l'existence de telles différentielles. $\square$

Enfin, nous montrons qu'il n'existe pas d'obstruction pour les strates de $k$-différentielles de genre zéro avec $k \ge 3$, n'ayant que des pôles d'ordre $-k$ et exactement trois zéros.

**PROPOSITION 5.28.** — *L'application résiduelle de la strate $\Omega^k M_0(a_1, a_2, a_3; \{-k\}^s)$ est surjective pour $k \ge 3$.*

*Démonstration.* — En utilisant la proposition 5.25 ainsi que le lemme 5.26, nous pouvons nous restreindre aux strates pour lesquelles $\text{pgcd}(a_i, k) \in \{1, \frac{k}{2}\}$ pour chaque $a_i$. Dans ces conditions, au plus l'un de ces ordres peut être un multiple de $\frac{k}{2}$ (si deux l'étaient, alors le troisième serait un multiple de $k$). Ce cas est traité dans le lemme 5.27. Nous supposerons donc que chacun des $a_1, a_2, a_3$ est premier avec $k$. De plus, $k$ ne peut
pas être un nombre pair sans quoi les trois ordres $a_1, a_2, a_3$ devraient être
tous impairs, ce qui est impossible. Nous pouvons donc supposer également
que $k$ est impair.

Comme chacun des $a_1, a_2, a_3$ est premier avec $k$, en supposant $a_1 \le a_2 \le a_3$, la strate $\Omega^k M_0(a_1, a_2+a_3; \{-k\}^s)$ est nécessairement primitive. Si cette strate n'est pas sporadique, cela démontre que l'application résiduelle de la strate $\Omega^k M_0(a_1, a_2, a_3; \{-k\}^s)$ est surjective. Si l'on se réfère au cas $n=2$ du théorème 1.6, on constate que les seules strates sporadiques pour lesquelles $k$ est impair sont :

* les strates de la forme $\Omega^k M_0(-1, 1; -k, -k)$ où les résidus interdits sont les $\mathbb{C}^*(1, -1)$;

* six strates de différentielles cubiques ($k=3$) pour lesquelles le nombre $s$ de pôles satisfait $3 \le s \le 6$.

Supposons d'abord que $s=2$. Si $\Omega^k M_0(a_1, a_2+a_3; \{-k\}^s)$ est une strate sporadique, alors $a_1 = -1$ et $a_2 + a_3 = 1$. Ceci implique que $a_2 = -1$ et $a_3 = 2$. Or, nous pouvons toujours obtenir la $k$-différentielle voulue par scindage à partir de la strate $\Omega^k M_0(-2, 2; -k, -k)$ avec $k$ impair.

Supposons maintenant que $s=3$. Si $\Omega^3 M_0(a_1, a_2 + a_3, \{-3\}^3)$ est une strate sporadique, alors soit $a_1 = -1$, soit $a_1 = 1$. Dans le premier cas, nous avons $a_2 + a_3 = 4$ et donc $(a_2, a_3)$ vaut $(-1, 5)$ ou $(2, 2)$. Dans le second cas, nous avons $a_2 + a_3 = 2$, ce qui implique que $a_1 = a_2 = a_3$. Les strates problématiques sont donc $\Omega^3 M_0(-1, -1, 5; \{-3\}^3)$, $\Omega^3 M_0(-1, 2, 2; \{-3\}^3)$ et $\Omega^3 M_0(1, 1, 1; \{-3\}^3)$. Pour la première de ces strates, on peut obtenir la $k$-différentielle voulue par scindage à partir de la strate $\Omega^3 M_0(-2, 5; \{-3\}^5)$. Pour les deux autres, la construction d'une différentielle cubique dont les résidus sont $(1, 1, 1)$ est donnée dans la figure 5.12.

Supposons maintenant que $s=4$. Si $\Omega^3 M_0(a_1, a_2 + a_3, \{-3\}^4)$ est une strate sporadique, alors $a_1 = 2$ et $a_2 + a_3 = 4$. Il s'ensuit que $a_1 = a_2 = a_3 = 2$. La construction d'une différentielle cubique de $\Omega^3 M_0(2, 2, 5; \{-3\}^4)$ dont les résidus sont $(1, 1, -1, -1)$ est donnée à droite la figure 5.12.

Supposons ensuite que $s=5$. Si $\Omega^3 M_0(a_1, a_2 + a_3, \{-3\}^5)$ est une strate sporadique, alors $a_1 = 2$ et $a_2 + a_3 = 7$. Il s'ensuit que $a_2 = 2$ et $a_3 = 5$ (car $a_2$ est premier avec $k=3$). Nous pouvons obtenir la $k$-différentielle voulue par scindage à partir de la strate $\Omega^3 M_0(4, 5; \{-3\}^5)$.

Traitons enfin le cas $s=6$. Si $\Omega^3 M_0(a_1, a_2 + a_3, \{-3\}^6)$ est une strate sporadique, celle-ci ne peut pas être $\Omega^3 M_0(5, 7, \{-3\}^6)$ car $a_2 + a_3 \ge 2a_1$. Donc la strate sporadique est $\Omega^3 M_0(2, 10, \{-3\}^6)$. Comme les $a_1, a_2, a_3$ ne sont pas divisibles par 3, il s'ensuit que $a_1 = 2$ et $a_2 = a_3 = 5$. Le résidu $\{1\}^6$
<figure><img src="image_27.png" /></figure>

FIGURE 5.12. Différentielles cubiques des strates $\Omega^3 M_0(1, 1, 1; \{-3\}^3)$ (à gauche), $\Omega^3 M_0(-1, 2, 2; \{-3\}^3)$ (en bas) et $\Omega^3 M_0(2, 2, 2; \{-3\}^4)$ (à droite) dont les résidus sont $(1, 1, 1)$ dans les deux premiers cas et $(1, 1, -1, -1)$ dans le dernier.

nécessite une construction spécifique donnée. On part de la 3-différentielle de $\Omega^3 M_0(-1, 2, 2; \{-3\}^3)$ représentée en bas de la figure 5.12.

Pour ajouter les trois pôles triples de résidus cubiques (1, 1, 1) tout en
ajéro double, nous utilisons la chirurgie du lemme 5.12. Il suffit simplement de
vérifier qu'il existe bien un lien-selle reliant le pôle simple et à un
zéro double, le long duquel découper une cicatrice et y insérer une surface de translation
bien choisie. $\square$

Le théorème 1.6 peut désormais être démontré en toute généralité.

Preuve du théorème 1.6. — Lorsque $n = 2$, la caractérisation a déjà été établie dans les sections 5.1, 5.2 et 5.3. La proposition 5.28 établit la surjectivité de l'application $k$-résiduelle lorsque $n = 3$. Il reste à la démontrer pour $n \ge 4$. La preuve se fait par scindage de zéros à partir du cas $n = 3$.

Le lemme 2.9 garantit que nous pouvons toujours obtenir toute strate
avec $n \ge 4$ à partir d'une strate vérifiant $n = 3$ et qui n'est pas constituée
par des $k$-différentielles qui sont des puissances de différentielles abélienne
ou quadratiques. L'équation (2.1) établit alors la surjectivité de l'application
$k$-résiduelle des strates avec $n \ge 4$ zéros. $\square$
## 6. k-différentielles en genre supérieur ou égal à un

Dans cette section nous traitons le cas des strates de différentielles en genre $g \ge 1$. Plus précisément, nous prouvons les théorèmes 1.1 et 1.2, dans la section 6.2 pour les strates ayant au moins un pôle d'ordre strictement inférieur à $-k$ et dans la section 6.3 si tous les pôles sont d'ordre $-k$. Le théorème 1.3 sur les strates sans pôles est prouvé dans la section 6.4.

### 6.1. Rappels sur les composantes connexes des strates

Nous rappelons certains résultats sur les composantes connexes des strates de k-différentielles. La classification complète n'est pas connue pour $k \ge 3$, toutefois, le cas $g = 1$ est bien connu pour tout $k$ et [3] décrit certaines composantes pour tout $g \ge 2$.

**Les composantes en genre $g = 1$.** Du point de vue plat, les composantes connexes sont caractérisées par le nombre de rotation $\text{rot}(S)$ de la surface plate associée à la k-différentielle $\xi$. Une discussion détaillée est donnée dans la section 2.4 de [3]. Pour une surface plate $S$ définie par une k-différentielle de $\Omega^k M_1(a_1, \dots, a_n; -b_1, \dots, -b_p)$ avec une base symplectique de lacets lisses de l'homologie $(\alpha, \beta)$ le nombre de rotation est

$$ \text{rot}(S) := \text{pgcd}(a_1, \dots, a_n; b_1, \dots, b_p, \text{ind}(\alpha), \text{ind}(\beta)), \quad (6.1) $$

où $\text{ind}(\cdot)$ est l'indice de l'application de Gauss du lacet. L'indice est égal au nombre de $\frac{1}{k}$-tours effectués par son vecteur tangent. On a alors le résultat suivant.

**LEMME 6.1.** — Si $n = p = 1$, la strate est $\Omega^k M_1(a; -a)$ avec $a \ge 2$ et chaque composante connexe correspond à un nombre de rotation qui est un diviseur strict de $a$.

Si au contraire $n+p \ge 3$, il existe une composante connexe correspondant à chaque nombre de rotation qui est un diviseur de $\text{pgcd}(a_1, \dots, a_n; b_1, \dots, b_p)$.

La composante de $\Omega^k M_1(\mu)$ associée au nombre de rotation $\text{rot} = \rho$ est notée $\Omega^k M_1^\rho(\mu)$. La restriction de l'application résiduelle $\mathfrak{R}_1^k(\mu)$ à cette composante est notée $\mathfrak{R}_1^{k,\rho}(\mu)$.

On termine le cas de genre $g = 1$ en énonçant deux résultats qui se déduisent simplement des propriétés élémentaires du nombre de rotation. Le premier résultat se déduit de la proposition 3.13 de [3].

**LEMME 6.2.** — Une composante $\Omega^k M_1^\rho(\mu)$ paramètre des k-différentielles primitives si et seulement si $\rho$ est premier avec $k$.
L'éclatement d'un zéro d'une différentielle décrite dans la proposition 2.6 change le nombre de rotation de la façon suivante.

LEMME 6.3. — Le nombre de rotation d'une différentielle obtenue en éclatant un zéro d'une différentielle de nombre de rotation $\rho$ est égal à $\rho$ modulo les ordres des nouveaux zéros.

**Les composantes en genre $g \ge 2$.** Les composantes ne sont pas connues dans ce cas. Toutefois, [3] décrit deux types de composantes : les composantes hyperelliptiques et les composantes paires et impaires.

Les composantes paires et impaires sont distinguées par la parité de leur revêtement canonique. Elles existent pour $k$ impair mais pas pour $k$ pair. Pour nous la propriété importante de ces composantes est qu'elles peuvent être obtenues en cousant des anses et en éclatant des zéros à partir d'une $k$-différentielle primitive de genre 1 (voir la section 5.3 de [3]).

Les composantes hyperelliptiques sont composées de $k$-différentielles $(X, \xi)$ telles que $X$ est hyperelliptique et $\xi$ est $(-1)^k$-invariante par l'in-volution hyperelliptique. Lorsque la $k$-différentielle possède un pôle, le théo-rème 1.1 de [3] donne quatre types de partitions $\mu$ possibles :

(i) $\mu = (2m_1, -2m_2)$,

(ii) $\mu = (m_1, m_1, -2m_2)$,

(iii) $\mu = (2m_1, -m_2, -m_2)$,

(iv) $\mu = (m_1, m_1, -m_2, -m_2)$,

où $2m_1 - 2m_2 = k(2g - 2)$. Nous sommes intéressés par les cas où ces $k$-différentielles sont primitives et possèdent un pôle d'ordre divisible par $k$. Nous montrons maintenant que ces $k$-différentielles n'existent pas.

LEMME 6.4. — Les composantes hyperelliptiques primitives possédant au moins un pôle d'ordre divisible par $k \ge 2$ n'apparaissent que si $k = 2$.

Notons que ce sont les composantes qui sont données dans le théorème 1.3 de [3]. En particulier, il n'y a pas de composantes hyperelliptiques qui nous intéressent.

*Démonstration.* — Supposons que nous sommes dans le cas $\mu = (2m_1, -2m_2)$. Comme $2m_2$ est divisible par $k$ et que $2m_1 - 2m_2 = 2k(g-1)$, cette partition est de la forme $(kn_1, -kn_2)$. Si $k$ est impair, alors les $n_i$ sont pairs et ces différentielles sont les puissance $k$-ièmes de différentielles abé-liennes hyperelliptiques de type $(n_1, -n_2)$. Dans le cas où $k$ est pair, on peut diviser $k$ et $\mu$ par un même diviseur de $k$ et obtenir une partition de la forme $\mu' = (2m'_1, -2m'_2)$ sauf si $k = 2$ et $m_1, m_2$ sont impairs.
Nous donnons maintenant les arguments dans le cas $\mu = (m_1, m_1, -m_2, -m_2)$. Dans ce cas, par hypothèse $m_2 = kn_2$. Comme $2m_1 - 2m_2 = 2k(g-1)$, on en déduit que $m_1$ est divisible par $k$. La partition est donc $\mu = (kn_1, kn_1, -kn_2, -kn_2)$ et ces différentielles sont les puissances k-ièmes de différentielles abéliennes hyperelliptiques de type $(n_1, n_1, -n_2, -n_2)$.

Les autres cas sont similaires à ces deux précédents. $\square$

## 6.2. k-differentielles avec un pôle d'ordre strictement inférieur à $-k$

Dans cette section, nous considérons les strates avec au moins un pôle d'ordre $< -k$. Nous traitons le cas des strates en genre $g = 1$ dans les lemmes 6.5 à 6.8. Le cas des strates de genre $g \ge 2$ est traité dans le lemme 6.9.

Nous commençons par le cas avec un unique zéro et un unique pôle.

**LEMME 6.5.** — L'image de l'application $k$-résiduelle de $\Omega^3 M_1^\rho(6; -6)$ est $\mathbb{C}^*$. Elle est surjective pour les composantes $\Omega^k M_1^\rho(m; -m) \neq \Omega^3 M_1^\rho(6; -6)$ où $m > k \ge 3$.

**Démonstration.** — Si $k \nmid m$, la surjectivité de l'application résiduelle de $\Omega^k M_1^\rho(m; -m)$ est équivalent au fait que la composante soit non vide. Ceci est une conséquence élémentaire du théorème d'Abel. À partir de maintenant, nous supposons que $k \mid m$.

D'après le lemme 6.2, les composantes $\Omega^k M_1^\rho(\ell k, -\ell k)$ avec $\ell \ge 2$ sont primitives si et seulement si $\rho$ est un diviseur de $\ell$ premier avec $k$.

Commençons par les cas des composantes $\Omega^k M_1^\rho(2k, -2k)$ et où le résidu est non nul. Le lemme 6.2 implique soit que $\rho = 1$, soit que $\rho = 2$ si $k$ est impair. On part de la $k$-partie polaire non triviale de type $k\ell$ associée à $(\emptyset; v_1, v_2, v_3, v_4)$ avec $v_1 = v_2 = 1$ et $v_3 = v_4 = \exp((\frac{k-2\rho}{k}\pi))$. Cette partie polaire est représentée sur la figure 6.1. On colle $v_1$ à $-v_3$ et $v_2$ à $-v_4$ par rotation d'angle $2\rho\pi/k$. Dans ce cas les indices de $\alpha$ et $\beta$ sont égaux à $\pm\rho$. L'équation (6.1) montre que le nombre de rotation de cette différentielle est $\rho$.

Les composantes $\Omega^k M_1^\rho(\ell k, -\ell k)$ avec $\ell \ge 2$ et le résidu est non nul sont obtenues de la façon suivante. On écrit $\rho = \rho' + kr$ avec $0 < \rho' < k$. On part d'une $k$-différentielle comme représentée sur la figure 6.1 donc l'angle entre $v_2$ et $v_3$ est $2\rho'\pi/k$. On la coupe le long d'une demi-droite qui part du sommet d'angle $2\rho'\pi/k$ et on colle cycliquement $r$ plans. Les autres plans sont collés cycliquement le long d'une demi-droite partant du sommet correspondant au point initial de $v_1$.
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE 6.1. Une $k$-différentielle de $\Omega^k M_1(2k; -2k)$ (en blanc) et $\Omega^k M_1(k; -k)$ (en gris).</figcaption></figure>

Nous traitons maintenant le cas où le $k$-résidu au pôle est nul. Considérons les composantes $\Omega^k M_1^\rho(2k; -2k)$. Pour chaque $0 < r < \frac{k}{2}$ la figure 6.2 montre une $k$-différentielle de la strate $\Omega^k M_1(2k; -2k)$. Un peu de géométrie élémentaire montre que $\mathrm{ind}(\alpha) = \mathrm{ind}(\beta) = k - r$. Comme soit $\rho = 1$, soit $\rho = 2$ et $k$ est impair, on obtient une $k$-différentielle dans chaque composante $\Omega^k M_1^\rho(2k; -2k)$ sauf dans le cas où $k = 3$ et $\rho = 1$.

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>FIGURE 6.2. Une $k$-différentielle sans $k$-résidu dans $\Omega^k M_1(2k; -2k)$.</figcaption></figure>

On considère maintenant une composante $\Omega^k M_1^\rho(\ell k, -\ell k)$ avec $\ell \ge 3$. Le nombre de rotation $\rho$ est un diviseur de $k\ell$ premier avec $k$, donc un diviseur de $\ell$. Pour obtenir une telle différentielle nous partons de la $k$-différentielle représentée dans la figure 6.2. En coupant le long d'une demi-droite partant du sommet gauche du $\wedge$ et en collant cycliquement $s \frac{1}{k}$-plans, l'indice de $\beta$ augmente de $s$ sans changer l'indice du lacet $\alpha$. De même, on peut changer l'indice du lacet $\alpha$ sans changer l'indice de $\beta$ en coupant à partir du sommet à droite du $\wedge$. En partant du sommet intérieur du $\wedge$, on augmente l'indice des deux lacets de la même quantité et en partant du sommet extérieur, on ne change pas les indices. On peut donc obtenir une $k$-différentielle de
$\Omega^k \mathcal{M}_1^\rho(\ell k, -\ell k)$ dont le résidu est nul telle que

$$ \frac{k}{2} < \mathrm{ind}(\alpha), \mathrm{ind}(\beta) < (\ell - 1)k. $$

Comme $\rho$ est un diviseur de $\ell$ premier avec $k$, il satisfait $\rho \le \ell$. Donc si $\rho > \frac{k}{2}$, alors la construction ci-dessus permet d'obtenir $\mathrm{ind}(\alpha) = \mathrm{ind}(\beta) = \rho$. Dans le cas où $1 \le \rho < \frac{k}{2}$, on choisit $\frac{k}{2\rho} \le s_1, s_2 \le \frac{(\ell-1)k}{\rho}$ tels que $\mathrm{pgcd}(s_1, s_2, k\ell) = 1$. Cela est toujours possible, par exemple en prenant $s_2 = s_1+1$ et $s_1$ le plus petit entier strictement supérieur à $\frac{k}{2}$. On utilise alors la construction ci-dessus pour obtenir une $k$-différentielle avec $\mathrm{ind}(\alpha) = \rho s_1$ et $\mathrm{ind}(\beta) = \rho s_2$. Cette $k$-différentielle possède le nombre de rotation et les invariants souhaités.

Enfin il reste à montrer que l'application de la résiduelle de la composante $\Omega^3 \mathcal{M}_1^1(6; -6)$ ne contient pas l'origine. Supposons qu'une telle différentielle $\xi_1$ existe. On sait qu'il existe une différentielle $\xi_2$ dans $\Omega^3 \mathcal{M}_1^2(6; -6)$ dont le résidu est nul. On pourrait alors obtenir deux différentielles cubiques entre-lacées, en attachant le cube d'une différentielle abélienne de $\Omega \mathcal{M}_1(\emptyset)$ à $\xi_1$ et $\xi_2$ respectivement. Le lemme 5.8 de [3] implique que les parités des différentielles cubiques obtenues par lissage sont différentes. Or le théorème 1.2 de [3] nous dit que la strate $\Omega^3 \mathcal{M}_2(6)$ est connexe. $\square$

Nous traitons maintenant le cas des composantes en genre $g=1$ avec un unique zéro et au moins deux pôles. Nous commençons par le cas où tous les pôles ne sont pas d'ordres inférieurs divisibles par $k$.

**LEMME 6.6.** — Étant donnée une partition de zéro $\mu = (a; -b_1, \dots, -b_p; -c_1, \dots, -c_r; \{-k\}^s)$ telle que soit $r \ne 0$ soit $p, s \ge 1$. L'application résiduelle $\mathfrak{R}_1^{k,\rho}(\mu)$ est surjective.

**Démonstration.** — Nous scindons la preuve selon que $r \ge 2$, $r=1$ ou $r=0$.

**Le cas $r \ge 2$.** — L'application résiduelle de $\Omega^k \mathcal{M}_0(a - 2k; -b_1, \dots, -b_p; -c_1, \dots, -c_r; \{-k\}^s)$ en genre 0 est surjective. Cela se déduit du lemme 3.2 et du théorème 1.4 de [6], combiné avec l'équation (2.1) dans le cas où la strate est non primitive. Collons à une différentielle de cette strate une différentielle de $\Omega^k \mathcal{M}_1^\rho(a; -a)$ dont le résidu est nul, qui existe car $\rho < a$, pour former une différentielle entrelacée. Notons que comme $r \ge 2$ on a $a \ge 2k+2$ et la strate $\Omega^3 \mathcal{M}_1^1(6; -6)$ n'apparaît pas. On obtient donc la surjectivité de l'application $k$-résiduelle de la composante $\Omega^k \mathcal{M}_1^\rho(\mu)$ en lissant la différentielle entrelacée.

**Le cas $r=1$.** — L'ordre de l'unique pôle non divisible par $k$ est noté $-c$. Commençons par le complémentaire de l'origine. Le lemme 3.2 et [6, théorème 1.5], encore combinée avec l'équation (2.1) dans les cas non primitifs, implique que l'application résiduelle des strates $\Omega \mathcal{M}_0(a - 2k; -b_1, \dots, -b_p)$
$-c; \{-k\}^s)$ contiennent le complémentaire de l'origine. En collant une dif-
férentielle de $\Omega^k \mathcal{M}_1^\rho(a; -a)$, on obtient une différentielle entrelacée lissable.
Notons que comme $c \ge 4$ et qu'il n'y a qu'une singularité d'ordre $\ge -2$, la
strate $\Omega^3 \mathcal{M}_1^1(6; -6)$ n'apparaît pas. La différentielle obtenue en lissant cette
différentielle entrelacée possède les invariants souhaités.

Montrons maintenant que l'origine est dans l'image de l'application ré-
siduelle de chacune des composantes connexes. Notons que ces strates ne
possèdent pas de pôles d'ordre $-k$.

Commençons par le cas où $\rho = c$. La construction décrite ci-dessous est
représentée dans la figure 6.3.

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>FIGURE 6.3. Une 3-différentielle de $\Omega^3 \mathcal{M}_1(10; -4; -6)$ dont le résidu et l'indice des lacets $\alpha$ et $\beta$ sont nuls.</figcaption></figure>

On sélectionne le pôle d'ordre $-k\ell_1$ et on lui associe pour commen-
cer la partie polaire d'ordre $2k$ associée à $(v_1, v_2; v_3)$ avec $v_1 + v_2 = v_3$.
Au pôle d'ordre $-c$ on associe la partie polaire d'ordre $k+1$ associée à
$(-v_2, v_3, -v_1; \emptyset)$. Nous allons considérer une base de l'homologie avec les la-
cets obtenus en reliant les segments $v_3$ à respectivement $v_1$ et $v_2$ dans chaque
partie polaire. Remarquons que l'indice de ces deux lacets est nul.

Pour obtenir le pôle d'ordre $-c$, on ajoute les $\frac{1}{k}$-plans de manière cyclique en coupant une demi-droite qui part du point initial de $-v_2$. Remarquons que cela ne change pas les indices des lacets $\alpha$ et $\beta$. Comme $c$ divise les $\ell_i$, on a $\ell_i \ge 3$ et il existe $0 \le m_1 \le \ell_1 - 2$ et $1 \le m_i \le \ell_i - 1$ pour $i \ge 2$ tel que la somme $\sum m_i$ est divisible par $c$. On colle alors $m_1$ plans au point d'intersection de $v_2$ et $v_3$ et $\ell_1 - m_1 - 2$ plans à celui entre $v_1$ et $v_2$. Cela ajoute $m_1 k$ à l'indice de $\alpha$. Finalement, on colle à $v_2$ les autres pôles de telle façon à ce que l'indice de $\alpha$ augmente de $km_i$ pour chaque pôle (cela s'obtient en prenant des parties polaires de type $m_i$). La surface obtenue possède les invariants souhaités et le nombre de rotation est divisible par $c$, donc égal à $c$.
On se donne maintenant un nombre de rotation $\rho < c$. Le lemme 6.2 implique que $\rho$ est un diviseur strict de $c$ premier avec $k$, il divise donc chacun des $\ell_i$. Nous commençons par décrire les parties polaires sans nous soucier de leurs types. Ceux-ci seront déterminés ci-dessous. Pour le pôle d'ordre $-c$ on prend une partie polaire d'ordre $c$ et de type $t$ associée à $(1, -\zeta; \emptyset)$ avec $\zeta$ une racine $k$-ième de l'unité. Rappelons que cette construction est représentée sur la figure 2.3. Si $\zeta = 1$, on considère que $-\zeta$ est en dessous de 1. Au pôle d'ordre $k\ell_1$ c'est la partie polaire associée $(i, 1; 1, i)$ et aux autres pôles d'ordre $k\ell_j$ les parties associées à $(i; i)$. On colle cycliquement les parties polaires d'ordres $k\ell_j$ à la partie polaire d'ordre $k\ell_1$ par translation. On colle le vecteur 1 au vecteur 1 de la partie inférieure de la partie polaire d'ordre $k\ell_1$ par translation. Finalement, on colle le vecteur $-\zeta$ au vecteur 1 de la partie supérieure de la partie polaire d'ordre $k\ell_1$ par translation et rotation donnée par $\bar{\zeta}$. Une telle différentielle possède les ordres souhaités et le résidus aux pôles sont nuls. Nous choisissons maintenant les constantes telles que le nombre de rotation soit $\rho$.

Nous choisissons les représentants $(\alpha, \beta)$ de l'homologie. Le lacet $\alpha$ est composé d'une partie $\alpha_1$ dans la partie polaire d'ordre $k\ell_1$ et d'une deuxième $\alpha_2$ dans la partie polaire d'ordre $c$. Le chemin $\alpha_1$ relie le milieu du segment supérieur 1 au milieu du segment inférieur 1. Le chemin $\alpha_2$ relie les milieux des segments 1 et $-\zeta$. En ne collant aucun des plans $\ell_1 - 1$ à un sommet à gauche du carré, on obtient que $\alpha_1$ est d'indice $-k$. En notant $c = k\ell + s$ avec $0 < s < \ell$, on voit que l'indice de $\alpha_2$ est strictement compris entre 0 et $k\ell$. On peut donc obtenir tous les indices entre $k(\ell - 1)$ et $-k$. Comme $\rho \le c/2 \le k(\ell - 1)$, on peut obtenir $\text{ind}(\alpha) = \rho$. Le lacet $\beta$ relie les milieux des $i$ de toutes les parités polaires d'ordres $k\ell_i$. Comme $\rho$ est un diviseur strict de $\ell_j$, on a $\rho \le \ell_j - 1$. On peut donc choisir les parties polaires de telles sorte que la contribution de chaque partie polaire à l'indice de $\beta$ est divisible par $\rho$ (sans changer l'indice de $\alpha$). De cette façon on obtient le nombre de rotation de la différentielle égal à $\rho$.

Le cas $r = 0$. — Nous traitons les strates $\Omega^k M_1(a; -k\ell_1, \dots, -k\ell_p; \{-k\}^s)$ avec $p, s \ne 0$. Notons que ces strates sont connexes. Considérons les pôles $P_i$ avec $2 \le i \le p'$ qui possèdent un $k$-résidu $R_i$ non nul. Nous associons à $P_i$ la $k$-partie polaire non triviale d'ordre $k\ell_i$ associée à $(r_i; \emptyset)$ où $r_i$ est une racine $k$-ième de $R_i$ de partie réelle positive. Considérons maintenant les pôles $P_j$ avec $j > p'$ ayant un $k$-résidu nul. Nous associons la $k$-partie polaire triviale d'ordre $k\ell_j$ associée à $(r_{i_j}; r_{i_j})$ pour un $k$-résidu $R_{i_j} \ne 0$. Puis nous collons le segment $r_i$ du domaine positif de $P_i$ au segment $r_{i_j}$ du domaine basique négatif de $P_j$.

Enfin, pour le pôle $P_1$ nous procédons à la construction suivante. Notons que la somme des $r_i$ est non nulle. Nous supposerons que les $r_i$ sont ordonnés
par argument croissant. Nous prenons pour $P_1$ la $k$-partie polaire de type $k\ell_1$ associée à $(v_1, v_1, v_2, v_2; r_2, \dots, r_{p'})$ où les $v_i$ sont donnés comme suit. Les $v_i$ sont de même longueur, vérifient l'égalité $r_1 = 2v_1 + 2v_2 - \sum_{i \ge 2} r_i$. Enfin l'angle $\alpha$ (au dessus) du point d'incidence de $v_1$ et $v_2$ est $2\pi - \frac{2\pi}{k}$.

La $k$-différentielle est obtenue en identifiant par translation les bords $r_i$ des domaines polaires positifs aux segments $r_i$ de la $k$-partie polaire néga-tive de $P_1$. Enfin, nous identifions par rotation d'angle $\frac{2\pi}{k}$ et translation, le premier $v_1$ au premier $v_2$ et le second $v_1$ au second $v_2$. Cela donne une $k$-différentielle primitive avec les invariants souhaités. $\square$

Nous considérons maintenant les strates avec $p \ge 2$ pôles d'ordres $-b_i$ divisibles par $k$ et distincts de $-k$.

**LEMME 6.7.** — L'image de l'application résiduelle de la composante $\Omega^3 M_1^2(12; -6, -6)$ est le complémentaire de l'origine.

Les autres applications résiduelles $\mathfrak{M}_1^{k,\rho}(a; -b_1, \dots, -b_p)$ avec $p \ge 2$ sont surjectives.

**Démonstration.** — La preuve commence par le cas où au moins un résidu est non nul. Elle continue par le cas où tous les résidus sont nuls, se terminant par les composantes $\Omega^3 M_1^2(6p; -6, \dots, -6)$ avec $p$ pair. Rappe-lons pour les composantes $\Omega^k M_1^\rho(a; -k\ell_1, \dots, -k\ell_p)$, le nombre de rotation $\rho$ est un diviseur des $\ell_i$ premier avec $k$.

**Au moins un résidu est non nul.** — La construction d'une $k$-différentielle de la composante $\Omega^k M_1^\rho(a; -k\ell_1, \dots, -k\ell_p)$ dont au moins un résidu est non nul est la suivante. On note par $p'$ le nombre de pôles à résidu nul et on ordonne les pôles de telle sorte que les $P_i$ soient de résidu nul pour $1 \le i \le p'$ et non nuls pour $p' + 1 \le i \le p$. Considérons les pôles $P_i$ avec $i > \max(1, p')$ auxquels nous associons les $k$-parties polaires non triviales d'ordres $k\ell_i$ associées à $(r_i; \emptyset)$ où $r_i$ est une racine $k$-ième de $R_i$ de partie réelle positive. Considérons maintenant les pôles $P_j$ avec $2 \le j \le p'$ ayant un résidu nul. Nous associons la $k$-partie polaire triviale d'ordre $k\ell_j$ associée à $(r_{ij}; r_{ij})$ pour un $k$-résidu $R_{ij} \ne 0$. Puis nous collons le segment $r_i$ du domaine positif de $P_i$ au segment $r_{ij}$ du domaine basique négatif de $P_j$.

Enfin, pour le pôle $P_1$ nous procédons à la construction suivante. Notons que la somme des $r_i$ est non nulle. Nous supposerons que les $r_i$ sont ordonnés par argument croissant. Nous prenons pour $P_1$ la $k$-partie polaire de type $k\ell_1$ associée à $(v_1, v_1, v_2, v_2; r_2, \dots, r_{p'})$ où les $v_i$ sont de même longueur, vérifient l'égalité $r_1 = 2v_1 + 2v_2 - \sum_{i \ge 2} r_i$ et l'angle $\alpha$ (au dessus) du point d'incidence de $v_1$ et $v_2$ est choisi de la façon suivante. En notant $\rho = kr + \rho'$ avec $0 < \rho' < k$ on pose $\alpha = 2\pi - \rho' \frac{2\pi}{k}$. Puis on coupe la partie polaire le long d'une demi-droite initiant au point d'intersection de $v_1$ et $v_2$ et on y
colle cycliquement $r$ plans. Notons que cela est possible car $\rho \le \ell_1$ implique que $r \le \ell_1 - 1$. Notons que les indices des lacets joignant le milieu des $v_i$ entre eux sont égaux à $\rho$.

La $k$-différentielle est obtenue en identifiant par translation les bords $r_i$ des domaines polaires positifs aux segments $r_i$ de la $k$-partie polaire néga-tive de $P_1$. Enfin, nous identifions par rotation d'angle $\frac{2\pi}{k}$ et translation, le premier $v_1$ au premier $v_2$ et le second $v_1$ au second $v_2$. Cela donne une $k$-différentielle primitive avec les invariants souhaités. Un exemple est donné dans la figure 6.4.

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>FIGURE 6.4. Une $k$-différentielle dans $\Omega^k M_1(6k; \{-2k\}^3)$ dont les $k$-résidus sont $(0, 1, 1)$.</figcaption></figure>

*Les résidus sont nuls.* — Nous commençons par construire pour tout $k \ge 5$ impair une différentielle de $\Omega^k M_1(2k; -2k)$ avec une base symplectique de l'homologie $(\alpha, \beta)$ telle que l'indice de $\alpha$ est impair et celui de $\beta$ est pair. Étant donnée la racine $k$-ième de l'unité $\zeta = \exp(2i\pi/k)$, on définit $v = -(1+\zeta)$. Notons $\vartheta$ la racine de l'unité telle que $\vartheta\zeta v \in \mathbb{R}_+$. On considère la partie polaire associée à $(\vartheta, \vartheta v; \vartheta\zeta v, \vartheta\zeta^2)$. Le choix de $\vartheta$ nous assure que cette partie polaire existe. On identifie $\vartheta$ à $\vartheta\zeta^2$ et $\vartheta v$ à $\vartheta\zeta v$ pour obtenir une $k$-différentielle de $\Omega^k M_1(2k; -2k)$ dont le résidu est nul. L'indice d'un lacet $\vartheta$ joignant les milieux de $\vartheta$ et $\vartheta\zeta^2$ est pair, alors que l'indice d'un lacet $\beta$ joignant les milieux de $\vartheta v$ et $\vartheta\zeta v$ est impair.

On construit maintenant une différentielle de $\Omega^k M_1(2kp; -2k, \dots, -2k)$ dont tous les résidus sont nuls. On coupe une surface de $\Omega^k M_1(2k; -2k)$ le long des liens-selles obtenus en collant les segments dans la construction du paragraphe précédent ou de la figure 6.2. Puis on colle de manière cyclique les parties polaires triviales correspondant aux autres pôles. Il reste à montrer que l'on peut obtenir les deux nombres de rotation $\rho = 1, 2$ dans le cas $k \ge 5$ impair et dans le cas $k = 3$ et $p$ est impair. Pour obtenir $\rho = 1$, il suffit de coller tous les pôles au lien-selle correspondant au collage de 1 et $\zeta^2$ dans la surface du paragraphe précédent. En effet, l'indice de $\beta$ est invariant par cette opération, et est donc impair. Pour obtenir $\rho = 2$, on a deux cas selon
que $p$ est pair ou impair. Si $p$ est impair, on part d'une différentielle de $\Omega^k M_1^2(2k; -2k)$ et on ajoute tous les pôles cycliquement au même lien-selle. Si $p$ est pair, on part de la différentielle du paragraphe précédent et on ajoute les pôles au lien-selle correspondant au collage de $\vartheta v$ et $\vartheta \zeta v$. L'indice de $\alpha$ ne change pas et reste pair, tandis que l'on ajoute un nombre impair égal à $k(p-1)$ à l'indice de $\beta$. L'indice de $\beta$ étant pair, on obtient un nombre de rotation égal à 2.

Nous passons maintenant au cas où au moins l'un des $\ell_i$ est $> 2$. Nous supposerons que $\ell_1$ est le maximum des $\ell_i$. On va construire une différentielle telles que les indices des lacets $(\alpha, \beta)$ soit $(\rho c_1, \rho c_2)$ avec $\text{pgcd}(c_1, c_2) = 1$. Si $\rho > \frac{k}{2}$, on considère la différentielle de $\Omega^k M_1(k\ell_1; -k\ell_1)$ sans résidu et telle que $\text{ind}(\alpha) = \text{ind}(\beta) = \rho$ construite dans la preuve du lemme 6.5. Puis on coupe cette différentielle le long d'un lien-selle $v$ tel que les intersections avec les lacets de la base de l'homologie sont $v \cdot \alpha = 0$ et $v \cdot \beta = 1$. On colle alors cycliquement les autres pôles de telle façon que chaque pôle contribue d'un multiple de $\rho$ à l'indice de $\beta$. Cela est possible car $\rho$ est un diviseur de $\ell_i$. Si $\rho < \frac{k}{2}$, on part d'une différentielle de $\Omega^k M_1(2k; -2k)$ sans résidu et telle que $\text{ind}(\alpha) = \text{ind}(\beta) = c_1\rho$ avec $k/2 < c_1\rho < k$. On peut maintenant ajouter tous les pôles pour qu'ils contribuent à l'indice de $\beta$ en ajoutant $k$. Pour le pôle $P_1$, on peut ajouter à l'indice de $\beta$ un nombre $m \in \{0, 1, \dots, \ell_1 - 2\}$. L'indice de $\beta$ est donc de la forme $c_2 = c_1 + (p-1)k + m$. Comme $\ell_1 - 2 \ge \rho$, il existe un choix de $m$ tel que $c_1$ et $c_2$ sont premiers entre eux.

*Les composantes* $\Omega^3 M_1^2(6p; -6, \dots, -6)$ *avec p pair.* — Il reste à montrer que l'origine n'est pas dans l'image de l'application résiduelle de $\Omega^3 M_1^2(12; -6, -6)$ mais est dans l'image des composantes $\Omega^3 M_1^2(6p; \{-6\}^p)$ avec $p \ge 4$ pair.

S'il existait une différentielle cubique primitive de $\Omega^3 M_1(12; -6, -6)$, elle serait obtenue soit en collant une différentielle de $\Omega^3 M_1(6; -6)$ avec un plan bordé par deux segments soit en collant deux plans bordés de trois segments.

Dans le premier cas, on part d'une différentielle de $\Omega^3 M_1(6; -6)$, qui est de nombre de rotation 2 comme montré dans le lemme 6.5. Or ajouter un pôle ajoute 3 à l'indice de l'un des lacets de l'homologie. Donc en ajoutant un nombre impair de pôles, on obtient que l'indice de l'un des deux lacets est impair. Le nombre de rotation est donc différent de 2, montrant que ce cas n'apparaît pas.

Dans le second cas, on ne peut pas coller deux segments au bord du même disque ensemble, car le sommet à l'intersection correspondrait à un point différent des deux autres sommets. On doit donc coller les trois segments d'un bord aux trois segments de l'autre. Notons $v_i$ les vecteur périodes $v_i$ au
bord d'un disque. Ces vecteurs satisfont les égalités

$$v_1 = v_2 + v_3,$$

$$v_1 = \zeta v_2 + \zeta^{-1} v_3,$$

où $\zeta = \exp(2i\pi/3)$. En effet, ces deux égalités proviennent du fait que les résidus sont nuls et le choix des racines $\zeta$ et $\zeta^{-1}$ dans la seconde ligne est l'unique (modulo permutation) tel que la solution est non triviale. En normalisant $v_1 = 1$, la différentielle est obtenue à partir des parties polaires associées à $(\exp(i\pi/3), \exp(-i\pi/3); 1)$ et à $(1; \exp(i\pi/3), \exp(-i\pi/3))$. On colle les vecteurs 1 ensemble. On peut coller les deux autres vecteurs de deux façons. Dans un cas on obtient une différentielle avec 2 zéros. Dans l'autre cas, la différentielle cubique munie d'une base symplectique $(\alpha, \beta)$ est représentée sur la figure 6.5. L'indice du lacet $\alpha$ est 1, alors que l'indice de $\beta$ est 2. Cela implique que le nombre de rotation est $\rho = 1$.

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>FIGURE 6.5. Une 3-différentielle dans $\Omega^3 M_1(12; -6, -6)$ munie d'une base symplectique.</figcaption></figure>

Cela montre que l'origine n'est pas dans l'image de l'application résiduelle de $\Omega^3 M_1^2(12; -6, -6)$.

Finalement nous allons construire une différentielle cubique dans $\Omega^3 M_1^2(6p; -6, \dots, -6)$ avec $p \ge 4$ pair. Nous partons de la différentielle de la figure 6.5. Collons $s_i$ pôles le long de $v_i$ avec $s_2, s_3$ impairs et $s_1$ pair (ce qui est possible car $s_1 + s_2 + s_3 = p - 2$ est pair). L'indice du nouveau lacet $\alpha$ est $1+3s_1+3s_3$ et celui de $\beta$ est $2+3s_2+3s_3$. Les indices des lacets $\alpha$ et $\beta$ sont donc pairs et on obtient donc une différentielle cubique de nombre de rotation 2 dans les strates $\Omega^3 M_1(6p; -6, \dots, -6)$ avec $p$ pair. $\square$

Nous traitons maintenant le cas du genre un avec $n \ge 2$ zéros.

LEMME 6.8. — Soit $\mu = (a_1, \dots, a_n; -b_1, \dots, -b_p; -c_1, \dots, -c_r; \{-k\}^s)$ une partition de zéro telle que $n \ge 2$ et $\rho$ un nombre de rotation. L'application k-résiduelle $\mathfrak{R}_1^{k,\rho}(\mu)$ est surjective.
*Démonstration.* — Nous montrons que l'origine est dans l'image de l'application k-résiduelle des composantes $\Omega^3 M_1^2(-2, 8; -6)$ et $\Omega^3 M_1^2(2, 4; -6)$. Des différentielles cubiques possédant ces invariants sont représentées dans la figure 6.6. Dans les surfaces plates représentées sur cette figure, les segments du même nom sont identifiés par des rotations d'angle $\pm \frac{2\pi}{3}$. Dans le premier cas les indices des chemins $\alpha$ et $\beta$ sont égaux à $\pm 1$. Dans le second cas $\text{ind}(\alpha) = 1$ et $\text{ind}(\beta) = 2$. Dans les deux cas le nombre de rotation est égal à 1.

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>FIGURE 6.6. Une 3-différentielle dans $\Omega^3 M_1(-2, 8; -6)$ à gauche et dans $\Omega^3 M_1(2, 4; -6)$ de résidu nul et de nombre de rotation 1.</figcaption></figure>

Nous montrons maintenant que l'origine est dans l'image de l'application résiduelle des composantes de la forme $\Omega^3 M_1^2(2a_1, 2a_2; -6, -6)$. Pour $\Omega^3 M_1^2(-2, 14; -6, -6)$, on considère la partie polaire associée aux vecteurs $(1, 1, \exp(i\pi/3), \exp(-i\pi/3); v, \exp(-i\pi/3)v)$ avec $v$ telle que le résidu associé soit nul. On colle le second 1 à $\exp(-i\pi/3)$ et finalement $v$ avec $\exp(-i\pi/3)v$. Ce collage est identique à celui présenté à gauche de la figure 6.6. Enfin on colle le premier vecteur 1 et $\exp(i\pi/3)$ aux segments de la partie polaire associée à $(1, 1)$. L'indice du lacet passant par le lien selle ainsi obtenu est $1+3$ et celui passant par l'autre lien selle est 2. La différentielle est donc de nombre de rotation 2 et possède les invariants souhaités.

Pour la composante $\Omega^3 M_1^2(2, 10; -6, -6)$, on considère la partie polaire associée aux vecteurs $(i, \exp(i\pi/3), \exp(-i\pi/3); \exp(-i\pi/3), \exp(i\pi/3), i)$ pour un pôle et $(i; i)$ pour l'autre. On colle les $i$ par translation et les $\exp(i\pi/3)$ avec les $\exp(-i\pi/3)$ de l'autre demi-plan. Le lacet qui passe par les $i$ est d'indice 6 et l'autre lacet d'indice 2. La différentielle est donc de nombre de rotation 2.
Pour les composantes $\Omega^3 M_1^2(4, 8; -6, -6)$ et $\Omega^3 M_1^2(6, 6; -6, -6)$, on considère deux parties polaires identiques qui sont illustrées sur la figure 6.2. Ces parties polaires seront $(v_1, v_2; v_3, v_4)$ dans le premier cas et $(v_5, v_6; v_7, v_8)$ dans le second. Pour obtenir les zéros d'ordres 4 et 8 on utilise les collages

$$v_1 \sim v_4, v_2 \sim v_5, v_3 \sim v_8, v_6 \sim v_7,$$

et pour obtenir les zéros d'ordre 6, on utilise

$$v_1 \sim v_8, v_2 \sim v_3, v_4 \sim v_5, v_6 \sim v_7.$$

Dans les deux cas, les indices sont respectivement 2 et 4 et les différentielles sont bien de nombre de rotation 2.

Dans les autres cas il suffit d'éclater le zéro d'une $k$-différentielle de la composante $\Omega^k M_1^\rho(\sum a_i; -b_1, \dots, -b_p; -c_1, \dots, -c_r; \{-k\}^s)$ dont l'existence est assurée par le lemmes précédents ou l'un des zéros de $\Omega^k M_1^\rho(a_1, a_2; -6, -6)$ est d'ordre impair (et donc la composante avec $\rho = 2$ n'existe pas dans cette composante). $\square$

Nous terminons par le cas des composantes en genre $g \ge 2$.

**LEMME 6.9.** — *Étant donné $g \ge 2$. L'application $k$-résiduelle des composantes paires et impaires de $\Omega^k M_g(\mu)$ est surjective.*

*Démonstration.* — Supposons que $\mu$ possède un unique zéro. Toutes les composantes paires et impaires s'obtiennent par couture d'anses à partir des $k$-différentielles de genre un ayant un unique zéro (voir la proposition 2.7) et un nombre de rotation égal à 1 ou 2. La surjectivité de l'application $k$-résiduelle est une conséquence de la surjectivité des composantes de genre 1 sauf dans les cas $\Omega^3 M_g^1(6 + 6g; -6)$ et $\Omega^3 M_g^2(12 + 6g; \{-6\}^p)$. Toutefois, la parité est additive par couture d'anse (voir le lemme 5.7 de [3]). La couture d'anse revient à coller une différentielle de $\Omega^3 M_1(12; -12)$ dans le premier cas et $\Omega^3 M_1(18; -18)$ dans le second. On peut donc choisir une telle différentielle cubique dont le nombre de rotation est 1 ou 2. Cela permet d'obtenir les deux parités des composantes.

Considérons les strates $\Omega^k M_g(a_1, \dots, a_n; -c_i; -b_j; \{-k\}^s)$ avec $n \ge 2$ zéros. La surjectivité de l'application $k$-résiduelle est obtenue en éclatant l'unique zéro des $k$-différentielles des composantes paires, impaires et hyperelliptiques de $\Omega^k M_g(\sum a_i; -c_i; -b_j; \{-k\}^s)$. $\square$

### 6.3. $k$-différentielles dont tous les pôles sont d'ordre $-k$

Dans cette section, nous considérons les strates de $k$-différentielles dans $\Omega^k M_g(a_1, \dots, a_n; \{-k\}^s)$. Ces strates sont connexes pour $g = 1$ et seules des
composantes hyperelliptiques sont connues pour $g \ge 2$. Nous commençons par traiter le cas des strates de genre un avec un unique zéro.

LEMME 6.10. — L’application $k$-résiduelle de $\Omega^k M_1(ks; \{-k\}^s)$ est surjective.

Démonstration. — La figure 6.1 montre que $\Omega^k M_1(k; -k)$ est non vide, et donc son application résiduelle est surjective. Traitons le cas des strates avec $s \ge 2$ pôles d'ordre $-k$. Comme $k \ge 3$, il existe des racines $k$-ième $r_i$ des $R_i$ qui génèrent $\mathbb{C}$ comme $\mathbb{R}$-espace vectoriel. Quitte à multiplier tous les résidus par une même constante, on peut supposer que l'argument de chaque $r_i$ est dans $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Nous concatenons alors les $r_i$ par argument croissant du point initial $D$ au point final $E$. L'intérieur de ce segment brisé se trouve dans le demi-plan supérieur ouvert déterminé par la droite (DE). Nous joignons $D$ à $E$ par quatre segments $v_i$ d'égale longueur de la façon suivante. Le segment brisé est formé en concatenant les $v_i$ par $i$ croissant avec $v_1 = v_2, v_3 = v_4$ et $v_3 = \exp(\pi - \frac{2\pi}{k})v_2$. Notons que ce segment brisé se trouve dans le demi plan inférieur à la droite (DE).

Nous collons maintenant des demi-cylindres infinis aux segments $r_i$ de ce polygone. La surface plate est obtenue en collant $v_1$ à $v_3$ et $v_2$ à $v_4$ par translation et rotation. Cette $k$-différentielle possède un unique zéro. Elle est primitive car on colle avec des rotations d'angle $\frac{2\pi}{k}$. Enfin, son genre est $g = 1$ car on la déconnecte en la coupant le long des deux courbes correspondant aux $v_i$ et une autre courbe fermée quelconque. $\square$

Nous traitons maintenant le cas général.

LEMME 6.11. — L’application $k$-résiduelle des strates $\Omega^k M_g(a_1, \dots, a_n; \{-k\}^s)$ est surjective, sauf dans le cas hyperelliptique avec deux pôles où l’image est $\{(R, (-1)^k R) : R \in \mathbb{C}^*\}$.

Démonstration. — Dans le cas de la composante non hyperelliptique, il suffit de coudre des anses et éclater le zéro d'une $k$-différentielle de $\Omega^k M_1(ks; \{-k\}^s)$. Le lemme 6.10 donne la surjection dans ce cas. Dans le cas hyperelliptique, par définition les résidus sont de la forme $(R, (-1)^k R)$ avec $R \in \mathbb{C}^*$. Dans le cas où cette composante existe, le fait que cet espace soit unidimensionnel implique le résultat. $\square$

## 6.4. $k$-différentielles d'aire finie

Nous terminons par la preuve du théorème 1.3. Ce résultat dit que les strates primitives $\Omega^k M_g(a_1, \dots, a_n)$ en genre $g \ge 1$ sont vides si et seulement si $\mu = \emptyset$ ou $\mu = (1, -1)$ avec $g = 1$. Chaque $k$-différentielle de type $(\emptyset)$ est
la puissance *k*-ième d'une différentielle de $\Omega M_1(\emptyset)$. De plus, le théorème d'Abel implique que $\Omega^k M_1(1, -1)$ est vide. Nous montrons maintenant que toutes les autres strates sont non vides.

Si $g = 1$, il existe des $k$-différentielles de type $\mu$ pour tout $\mu \neq (1, -1)$. Supposons que $\mu := (a_1, \dots, a_n) \neq \emptyset$, il reste à montrer que certaines d'entre elles sont primitives. La figure 8 de [3] donne des exemples pour toutes les partitions de la forme $\mu := (s, -s)$ avec $2 \le s < k$. Pour obtenir les partitions générales en genre 1, il suffit d'éclater ces deux zéros (ce qui est toujours possible par la proposition 3.1 de [3]).

Soit $\Omega^k M_g(a_1, \dots, a_n)$ une strate de genre $g \ge 2$ avec $a_i > -k$. Par le théorème 1.1, la strate $\Omega^k M_1(a_1, \dots, a_n; \{-2k\}^{g-1})$ contient une différentielle primitive $(X_0, \omega_0)$ dont tous les $k$-résidus sont nuls. On obtient une $k$-différentielle entrelacée en collant la puissance $k$-ième d'une 1-forme holomorphe sur un tore aux pôles de $(X, \omega_0)$. Par le lemme 2.5 cette $k$-différentielle entrelacée est lissable et le lissage est primitif.

Bibliographie

[1] M. BAINBRIDGE, D. CHEN, Q. GENDRON, S. GRUSHEVSKY & M. MÖLLER, « Strata of $k$-differentials. », *Algebr. Geom.* **6** (2019), n°2, p. 196-233.

[2] C. BOISSY, « Configurations of saddle connections of quadratic differentials on $\mathbb{C}^1$ and on hyperelliptic Riemann surfaces », *Comment. Math. Helv.* **84** (2009), n°4, p. 757-791.

[3] D. CHEN & Q. GENDRON, « Towards a classification of connected components of the strata of $k$-differentials », *Doc. Math.* **27** (2022), p. 1031-1100.

[4] Q. GENDRON & G. TAHAR, « Différentielles abéliennes à singularités prescrites », *J. Éc. Polytech., Math.* **8** (2021), p. 1397-1428.

[5] ——, « Isoresidual fibration and resonance arrangements », *Lett. Math. Phys.* **112** (2022), n°2, article no. 33 (36 pages).

[6] ——, « Quadratic differentials with prescribed singularities », *Can. J. Math.* **77** (2025), n°5, p. 1762-1826.

[7] D. HOLMES & J. SCHMITT, « Infinitesimal structure of the pluricanonical double ramification locus », *Compos. Math.* **157** (2021), n°10, p. 2280-2337.

[8] H. MASUR & A. ZORICH, « Multiple saddle connections on flat surfaces and the principal boundary of the moduli spaces of quadratic differentials. », *Geom. Funct. Anal.* **18** (2008), n°3, p. 919-987.

[9] F. RÖHRLE & J. SCHWAB, « Realizability of tropical pluri-canonical divisors », *J. Lond. Math. Soc.* **(2)** **110** (2024), n°6, article no. e70027 (54 pages).

[10] H. P. DE SAINT-GERVAIS, *Uniformisation des surfaces de Riemann*, ENS Éditions, Lyon, 2010, 544 pages.

[11] M. TROYANOV, « Les surfaces euclidiennes à singularités coniques. », *Enseign. Math.* **(2)** **32** (1986), p. 79-94.