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# Analyse multi-capteurs d'un écoulement décollé turbulent

Cédric Hoarau, Loc Duong, Jacques Borée, Janick Laumonier, Yves Gervais, Jean-Christophe Valière

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Cédric Hoarau, Loc Duong, Jacques Borée, Janick Laumonier, Yves Gervais, et al. Analyse multi-capteurs d'un écoulement décollé turbulent. 17e Congrès Français de mécanique, Aug 2005, Troyes, France. pp.1-6. hal-04091296

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Submitted on 8 May 2023

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# Analyse multi-capteurs d'un écoulement décollé turbulent

C. HOARAU, L. DUONG, J. BORÉE, Y. GERVAIS, J. LAUMONIER, J.C. VALIÈRE

Laboratoire d'Etudes Aérodynamiques (LEA UMR 6609)
Téléport 2, 1 Av. Clément Ader, BP 40109, 86961
Futuroscope Chasseneuil, FRANCE

## Résumé :

Les écoulements décollés autour des véhicules sont une source prépondérante du bruit aérodynamique car ils génèrent une importante activité turbulente et des fluctuations de pression à la paroi. Ce problème est une thématique importante de l'industrie automobile. Par exemple l'écoulement autour des montants latéraux est une source majeure du bruit aérodynamique transmis à l'intérieur d'un habitacle de véhicule terrestre. Dans de telles situations, il est très important d'obtenir l'intensité et les longueurs du champ de pression fluctuant à la paroi. Notre expérience de laboratoire est la mesure d'un champ de pression fluctuant à la paroi dans les zones décollées et de rétablissement d'un écoulement sur une rampe inclinée. Une série de 16 microphones dans la direction longitudinale de l'écoulement est utilisée. Les caractéristiques statistiques des mesures de pression fluctuantes ont été étudiées. Les statistiques au point comme l'évolution du coefficient de pression fluctuante et les densités spectrales de puissance montrent une concordance avec les données des écoulements décollés et rétablis. L'objectif principal de ce travail est une étude de la faisabilité de l'utilisation des techniques de décomposition aux modes propres (POD et EPOD) sur les mesures de pression. De telles techniques sont des outils d'analyse multipoints et ils permettent la prédiction de modes spatiaux prédominants et le filtrage d'événement à petites échelles.

Ce travail a été effectué au Laboratoire d'Etudes Aérodynamiques de Poitiers avec le support financier du C.N.R.T Recherche en Aérodynamique et Aéroacoustique. Nous sommes aussi reconnaissant du soutien du Ministère de la Recherche, de Renault S.A. et de P.S.A Peugeot-Citroën.

## Abstract :

Strong surface pressure fluctuations and turbulence activity generated by separated flows around bodies are the cause of significant aerodynamically generated noise. This issue is particularly important for the automotive industry. For example, the flow around a passenger car's A-pillar region is a major source of 'in-cabin' aerodynamic noise. In such situations, it is very important to obtain the intensity and the length scales of the wall fluctuating pressure field. Laboratory measurements were made of wall pressure fluctuations in separated and reattaching flows over a ramp. An array of 16 microphones in the streamwise direction was used. The statistical properties of pressure fluctuations were scrutinized. One-point statistics such as the streamwise distribution of rms pressure and autospectra were shown to be generally consistent with the separated and reattaching flows results. The main objective of the present study is to investigate the feasibility of use of the POD and EPOD on the pressure information. Such techniques are multipoint analysis tools and enable the prediction of specific spatial mode and the filtering of small scales events.

This work is performed in the L.E.A. at Poitiers with the financial support from the C.N.R.T. R2A. We are grateful too for the support given by the Research Ministry, Renault SA and PSA Peugeot-Citroën.

## Mots clefs :

POD ; POD Etendue ; décollement ; multipoints ; pression fluctuante
# 1 Introduction

Notre travail expérimental consiste à mesurer les fluctuations de pression à la paroi dans une zone décollée et de rétablissement et la caractérisation du champ de vitesse par LDA de l'écoulement sur une rampe inclinée à 30°. Pour la mesure des fluctuations de pression, un ensemble de 16 capteurs est positionné sur l'axe médian de la veine de sortie de la soufflerie. La rampe a une hauteur de 50 mm et pour les essais la vitesse à l'infini est de 30 m/s. Le nombre de Reynolds est : $Re = 100 000$. Au sommet de la rampe (figure 1) débute une zone décollée qui est suivie par une zone de rétablissement vers un écoulement sur une plaque plane sans gradient de pression. Les écoulements décollés se caractérisent par un comportement instationnaire basse fréquence en comparaison aux fréquences (plus importantes) de la turbulence, de plus il y a génération d'importantes fluctuations de pression à la paroi (Cherry et al., 1984).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 1 - Schéma de principe de l'écoulement sur une rampe inclinée à 30°</figcaption></figure>

# 2 Mesure de vitesse

Les champs de vitesse moyenne et fluctuante (figure 2) sont obtenus par LDA (Hoarau, 2004). A partir du champ de vitesse moyenne, une estimation de la longueur de décollement est faite. Le bulbe de séparation a une longueur telle que $X_R/H \approx 0.48$. L'accélération du fluide causée par la rampe est constatée, la survitesse $U_{SL}$ a une valeur maximum où $U_{SL}/U_\infty = 1.4$. L'effet de survitesse commence à disparaître après la fin du bulbe de recollement. A partir de $x/H = 0.75$, le champ de vitesse moyen n'est plus affecté par la survitesse. La couche de mélange qui se développe au dessus du bulbe de décollement est courbe. La production de turbulence se fait au niveau de cette couche de mélange et l'on remarque qu'elle est anisotrope. Dans la zone de réétablissement, cette anisotropie tend à disparaître mais ce processus est lent.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 2 - Contour moyen de la norme de la vitesse (a) et de l'énergie cinétique (b) © CNRT R2A</figcaption></figure>

# 3 Mesure de la pression fluctuante

Les mesures de fluctuations de pression pariétales ont été réalisées avec des sondes à microphone déporté (SMD Laumonier, 2001). La sonde est constituée d'une capsule, renfermant un électret, qui est connectée à un tube de TIGON et à un tube d'adaptation d'impédance. Le tube en TIGON est relié à un insert affleurant à la paroi de diamètre intérieur de 0,9 mm. Les résultats spectraux sont donc des densités spectrales de puissance (DSP). La DSP a pour dimension : [Pa².s]. Les signaux sont échantillonnés à 12.5 kHz et quantifier sur 12 bits. La bande passante des capteurs de pression fluctuante est de 50 Hz à 5000 Hz. Les spectres sont calculés par FFT avec overlapping à 50% et avec l'utilisation de la fenêtre d'apodisation de Hanning. Le nombre de points FFT est de 2096 pour un nombre de moyenne de 250. Les 16 capteurs de pression fluctuante sur l'axe médian de la rampe sont aux positions $x/H = 0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9 ; 1,0 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 1,6 ; 2,0 ; 4,0$. Les DSP en dB et en équivalence d'énergie (f·DSP(f) tracé sur une échelle log) des pressions fluctuantes sont représentées sur les figures 3 a et b, le coefficient de pression fluctuante calculé à partir de l'intégrale des DSP sur la figure 3c. On constate sur la figure 3c que le
maximum d'énergie fluctuante se trouve avant le point de rattachement. Les DSP (figure 3b) montrent les 2 phénomènes d'instationnarités caractéristiques (Lee et Sung 2001) d'une zone décollée qui sont :

o Le « flapping » situé vers « le pic » à f ≈ 75 Hz (dû à l'interaction entre le bulbe de décollement et la couche de mélange).

o Le « shedding » situé vers « le pic » à f ≈ 1500 Hz (dû à l'advection de grandes structures cohérentes multi-échelles issues de la couche de mélange).

Ces deux phénomènes sont large bande (figure 3a) i.e. les échelles mises en jeu sont présentes dans une gamme de fréquence autour de la valeur des « pics » (maximum d'émergence de l'énergie) mentionnés ci-dessus.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 3 - DSP des signaux de pressions fluctuantes en dB (a) et en équivalence énergie (b) permettant le calcul du coefficient de Cp' (c)</figcaption></figure>

## 4 La décomposition orthogonale (POD)

La décomposition orthogonale ou encore POD (Proper Orthogonal Decomposition) est une technique de traitement du signal, proposée par (Lumley 1967) comme une méthode objective pour extraire des structures dans l'écoulement turbulent. Ici cette technique va être appliquée sur un champ (mesures spatiales) de signaux de pression (mesures temporelles). Dans ce cas de figure, il y a 2 dimensions (temps et espace), la POD sera donc fonction de ces 2 paramètres. Or dans la direction temporelle, la mesure est considérée comme statistiquement stationnaire ou homogène. Dans cette situation, il est démontré que l'expression de la POD se réduit à la décomposition en mode de Fourier. Ainsi les équations descriptives du problème de POD sont exprimées à partir des spectres du champ de signaux de pression. Soit un ensemble de capteurs de pression positionnés aux points $x_i$ ($i = 1,...,p$). Le spectre complexe $\hat{p}_k(x_i, f)$ est une réalisation k ($k = 1,...,N$) de la transformée de Fourier du signal de pression au point $x_i$ et à la fréquence f. A une fréquence donnée, on cherche donc la fonction déterministe $\hat{\phi}_o(x_i, f)$ qui ressemble le plus à tous les $\hat{p}_k(x_i, f)$ en moyenne. A f donné, résoudre le problème POD, c'est chercher p valeurs propres $\lambda^{(n)}(f)$ réelles et positives et p vecteurs propres normés $\hat{\phi}^{(n)}(x_i, f)$ vérifiant :

$$ \forall n = 1,...,p, \text{à f donné : } \sum_{i=1}^{p} \Pi(x_i, x_j, f) \cdot \hat{\phi}^{(n)}(x_i, f) = \lambda^{(n)}(f) \cdot \hat{\phi}^{(n)}(x_i, f) $$

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 4 - Caractérisation énergétique des modes propres : cumulée (a) et coefficient de pression (b)</figcaption></figure>

Appliquer la POD sur tous les capteurs permet d'obtenir le plus grand nombre de modes et le comportement énergétique (modes propres) lié à cette configuration. Les figures 4 présentent l'énergie qui est portée par chaque mode. Le premier mode porte plus de la moitié de l'énergie totale et les 4 premiers modes plus de 80%. Il faut toutefois être prudent dans l'application de la POD qui n'est qu'un outil de
traitement du signal sophistiqué. En effet si l'on s'intéresse à la figure 3c, les cinq premiers signaux aux positions (x/H = 0.2 ; 0.3 ; 0.4 ; 0.5 ; 0.6) sont associés à des Cp' importants (ici Cp'>4%). Effectivement les cinq premiers capteurs portent 84 % de l'énergie totale de tous les capteurs. Il est donc à signaler que ces capteurs vont dominer la représentation POD.

Une description plus fine est encore possible en considérant la répartition de l'énergie de chaque mode en fonction de la fréquence. La figure 5a est donc la représentation en équivalence d'énergie en fonction de la fréquence de chaque mode. Seul le premier mode porte les deux phénomènes de flapping et de shedding. Le premier pic se trouve à 75 Hz et le deuxième est à 1500 Hz comme observé sur les DSP. La comparaison de la figure 5a avec la série des DSP (figures 3.5) est intéressante. La figure 3b montre en effet que le phénomène de flapping n'est détectable que sous la zone décollée. Comme ces points correspondent aux localisations portant la majeure partie de l'énergie fluctuante, le pic à 75 Hz apparaît aussi sur le premier mode POD. La lecture des répartitions d'énergie modes-fréquence ne suffit donc pas à elle seule. Il faut aussi considérer la contribution spatiale des fonctions de la base propre. Pour avoir une idée de la contribution énergétique spatiale des fonctions de la base POD, on s'intéresse à la fonction :

$$ \mathrm{PODEN}_{ij}^{(n)}(f) = f \cdot \lambda^{(n)}(f) \cdot \| \hat{\phi}^{(n)}(x_i, f) \cdot \hat{\phi}^{(n)*}(x_j, f) \| $$

La grandeur précédente tracée en échelle log pour f exprime l'énergie d'interaction dans l'espace du mode n.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 5 - Valeurs propres (a) et la base propre du mode 1 (b) et du mode 2 (c) de la POD</figcaption></figure>

On constate que pour i = 4 i.e. x/H = 0.5, le mode 1 (figure 5b) porte bien une grande part de l'énergie en comparaison avec le mode 2 (figure 5c). L'énergie n'a une valeur significative que dans la zone décollée, elle est strictement nulle pour x/H > 1.2. Par contre pour le mode 1, elle se concentre dans la zone décollée (x/H < 0.5). Nous avons donc décidé de centrer l'analyse POD sur la zone énergétique pour la suite de l'analyse. Celle-ci sera menée sur les 5 premiers capteurs (i.e x/H < 0.6) qui portent 84% de l'énergie totale. Le lien aux signaux dans la zone de réétablissement sera étudié en utilisant l'EPOD. La base propre (figure 5b&c) va privilégier des points particuliers de la zone décollée (position du maximum d'énergie fluctuante, point de décollement et rattachement).

## 5 La décomposition orthogonale propre étendue (EPOD) [3]

Imaginons qu'une quantité $U(\vec{y}, f)$ soit mesurée en phase avec les signaux de pression utilisés pour la décomposition POD. A une série de spectre complexe $\hat{p}_k(x_i, f)$ est associé un spectre complexe $\hat{U}_k(\vec{y}, f)$. Une fois le problème POD résolu sur les $\hat{p}_k$, on définit le mode étendu $\hat{\psi}_u^{(n)}(\vec{y}, f)$ liant $\hat{U}_k$ à la POD sur les

$$ \hat{p}_k : a_k^{(n)} = \sum_{i=1}^{p} \hat{p}_k(x_i, f) \cdot \hat{\phi}^{(n)*}(x_i, f) \text{ et } \hat{\psi}_u^{(n)}(\vec{y}, f) = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} \frac{\hat{a}_k^{(n)*}(f) \cdot \hat{U}_k(\vec{y}, f)}{\lambda^{(n)}(f)} $$

On peut montrer que pour le signal de U, l'énergie de la partie corrélée associée au mode n est (Borée, 2003) : $e_U^{(n)}(x_i) = \int_f \lambda^{(n)}(f) \cdot \psi_u^{(n)}(x_i, f) \cdot \psi_u^{(n)*}(x_i, f) \cdot df$

Le spectre $\hat{U}_k(\vec{y}, f)$ au bloc k se décompose alors en une contribution corrélée $\hat{U}_{Ck}$ et décorrélée $\hat{U}_{Dk}$ qui sont définies par : $\hat{U}_{Ck}(\vec{y}, f) = \sum_{n=1}^{p} \hat{a}_k^{(n)}(f) \cdot \hat{\psi}_u^{(n)}(\vec{y}, f)$ et $\hat{U}_{Dk}(\vec{y}, f) = \hat{U}_k(\vec{y}, f) - \hat{U}_{Ck}$
On montre que $\hat{U}_{ck}(\bar{y},f)$ est la seule partie du signal en $\bar{y}$ dont l'interspectre avec le mode (n) du signal de pression P est non nul (Borée, 2003). Elle est la seule partie apportant une contribution à l'interspectre. Pour obtenir les interspectres moyennés, il faut ensuite appliquer le schéma du périodogramme moyenné entre les différentes grandeurs considérées.

La POD est calculée sur les capteurs de la zone décollée (x/H = 0.2 ; 0.3 ; 0.4) et sur les deux capteurs suivants (x/H = 0.5 ; 0.6). Une fois la base POD définie, il est possible de pratiquer les opérations de EPOD sur d'autres capteurs. Ainsi les parties corrélée et décorrélée de l'énergie spectrale sont déterminées. En ce qui concerne la base POD, le premier mode contient environ 70 % de l'énergie totale. Et il est à noter que la quantité d'énergie entre la POD sur l'ensemble des capteurs et celle restreinte présente la même quantité d'énergie pour le premier mode soit $C_{p,A} \approx 0.3$. Ceci illustre que l'énergie dans l'ensemble des capteurs est concentrée dans la zone décollée.

Les DSP issues du calcul FFT classique sont nommées les bases initiales car l'outil EPOD permet de les décomposer en deux contributions une corrélée DSP<sub>C</sub> et une décorrélée DSP<sub>D</sub>, tel que : DSP = DSP<sub>C</sub> + DSP<sub>D</sub>. Les figures 6 présentent ces différentes DSP en représentation d'équivalence d'énergie. Le mouvement de flapping n'est plus détecté sur les DSP (figure 6a) dans la zone en aval de la zone décollée. Le maximum d'énergie émergeant à x/H = 0.7 est à 1200 Hz puis se décale vers les basses fréquences avec les x croissants. La figure 6b permet de constater que le niveau d'énergie de la part corrélée diminue lorsque l'on s'éloigne de la zone décollée. Pour la part décorrélée (figure 6c), l'énergie est significative à plus haute fréquence (f > 2000 Hz).

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 6 - DSP en équivalence d'énergie de la base initiale (a), de la part corrélée (b) et décorrélée (c)</figcaption></figure>

Pour comprendre la contribution respective des parties corrélées et décorrélées à l'énergie totale, la figure 7a présente en fonction de x/H l'évolution des énergies des DSP. On observe une décroissance de la contribution de la partie corrélée (et a contrario la croissance de la partie décorrélée) dans l'énergie totale. Cette décroissance est vraisemblablement due à la déstructuration et la tridimensionalisation « rapide » des structures issues de la couche de mélange en structures de plus petites échelles décorrélées entre elles. De plus le phénomène de déstabilisation peut être influencé par le rayonnement acoustique provenant de la zone décollée.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 7 - Contribution de l'énergie corrélée et décorrélée (a) et de chaque mode (b) dans l'énergie totale</figcaption></figure>

Pour appréhender l'importance de chaque mode dans la constitution de la part corrélée, la figure 7b présente l'évolution de l'énergie de chaque mode. Le premier mode porte une part importante de l'énergie de la partie corrélée. Le mode 2 se distingue des modes suivants qui sont du même ordre. Le mode 1 contribue à plus de 50% de l'énergie corrélée.
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 8 - Contour du module en représentation d'équivalence d'énergie de l'interspectre à la position de référence x/H = 1.2 pour la base initiale (a), la partie décorrélée (b), la partie corrélée (c)</figcaption></figure>

Afin de pousser l'analyse on s'intéresse aux interspectres (figure 8) pour obtenir des considérations sur la localisation de l'énergie en commun entre les capteurs. La figure 8a représente le contour des interspectres de la base initiale, elle montre l'émergence de fluctuations de pression proches du capteur de référence et un lien fort avec la zone décollée. En général la solution de l'équation de Poisson pour la pression fluctuante est obtenue par la convolution des fluctuations de la vitesse instantanée dans tout l'écoulement avec une fonction de Green. A proximité du capteur de référence, les fréquences élevées (f > 2000 Hz) sont la signature d'événements liés à de petites échelles de turbulence. Les fréquences bases (f < 2000 Hz) sont quant à elles liées à la signature du phénomène de shedding (i.e. structures multi-échelles issues de la couche de mélange). Par ailleurs la région proche de la zone décollée est le lieu de génération des structures qui vont signer sur les capteurs de l'aval. L'EPOD fournit un lien entre les deux zones de cet écoulement, la partie corrélée (figure 8c) est uniquement liée avec la zone décollée et la partie décorrélée (figure 8b) avec ce qui se passe à proximité du capteur de référence. La partie décorrélée renseigne sur les petites échelles de turbulence mais également sur l'impact et l'état des structures du shedding vers le capteur de référence loin de la zone décollée. La partie corrélée fournit quant à elle la signature des événements associés à la zone décollée. A tout cela s'ajoute éventuellement l'effet de rayonnement acoustique de la zone décollée (i.e. bruit de paroi, Huang et Beguier, 1997).

6 Conclusion

L'EPOD est un outil d'analyse multipoints qui permet de lier plusieurs zones de l'écoulement. De plus cette méthode fournit la part corrélée et décorrélée au sens énergétique de la POD. Les écoulements décollés sont bien un cadre d'étude particulièrement adaptée à la POD car un mode prédominant existe. Ce dernier, quelque soit le nombre de capteurs utilisés pour le décrire dans la base POD, reste prédominant. C'est le signe d'un phénomène possédant un caractère fortement cohérent dans le temps et l'espace. L'analyse EPOD, quant à elle, a permis de mettre en relation les événements de différentes régions.

Références

[1] Lee et Sung (2001). *Characteristics of wall pressure fluctuation in separated flows over a backward-facing step*. Exp. in Fluids 30 : 273-282.

[2] Cherry NJ, Hillier R, Latour MEMP (1984). *Unsteady measurements in a separated and reattaching flow*. J. Fluid Mech. 144 :13-46.

[3] J. Borée, *Extended proper orthogonal decomposition: a tool to analyse correlated events in turbulent flows*, Exp. In Fluids Vol. 35 Num. 2, 188-192, 2003

[4] Hoarau C., Borée J., Gervais Y., Laumonier J., and Valiere J. C. (2004). *Experimental study of the correlation between the fluctuating pressure surface and the velocity in a separated zone over a ramp*. 10th European Turbulence Conference, Trondheim, June 28

[5] Laumonier, J., Goudeau, C. and Gervais, Y. (2001). Colloque "Bruit des ventilateurs ` a basse vitesse", Ecole Centrale de Lyon, Novembre.

[6] Huang S. and Beguier C. (1997). *Aerodynamic noise calculation of a detaching flow*. Proceedings of the 1997 ASME international mechanical engineering congress and exposition. 4th International Symposium on Fluid Structure Interactions, Aeroelasticity, Flow Induced Vibration.