# Évaluation de l'indice de fertilité en peuplements irréguliers à partir de l'accroissement en hauteurs dominantes entre 2011 et 2022 issues de données LiDAR calibrées

Océane Fave

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Océane Fave. Évaluation de l'indice de fertilité en peuplements irréguliers à partir de l'accroissement en hauteurs dominantes entre 2011 et 2022 issues de données LiDAR calibrées. Sciences de l'environnement. 2023. hal-04926179

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Mémoire de Master 2 BEE

Dynamique et Modélisation de la Biodiversité

2023

# Évaluation de l'indice de fertilité en peuplements irréguliers à partir de l'accroissement en hauteurs dominantes entre 2011 et 2022 issues de données LiDAR calibrées

Océane FAVE

## Encadrants :

Jean-Matthieu MONNET

Laboratoire Écosystèmes et Sociétés En Montagne (LESSEM) INRAE

Jérôme BOCK

Office National des Forêts (ONF)

Tuteur : François MUNOZ

Laboratoire Interdisciplinaire de PHYSique (LiPHY) UGA

UGA
Université
Grenoble Alpes

INRAE

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<figure><img src="image_4.png" /></figure>
"Such approaches [estimation of site index] would be more difficult to implement in natural stands with multiple species [...] in areas with a larger variability of site conditions and stand age."

Tompalski et al., 2019

(Unique phrase de la review à propos des peuplements mélangés)

## Remerciements :

Durant ce stage de six mois, je tenais particulièrement à remercier les employés INRAE pour leur bienveillance, leur gentillesse et la bonne humeur qui règne dans les couloirs assurant une bonne acclimatation au lieu de travail.

Je tiens évidemment à remercier mon maître de stage Jean-Matthieu Monnet qui m'a fait confiance et qui m'a accompagné dans cette recherche vers l'inconnu avec le sourire. Je remercie également Patrick Vallet pour avoir passé des heures à réfléchir sur la meilleure méthode d'analyse et l'aide apportée dans la création de modèles.

Enfin, je remercie mes compagnons de route que sont les autres stagiaires sans qui, ce stage n'aurait pas été aussi plaisant.

## Structure d'accueil :

Le stage s'est déroulé sur une durée de 6 mois (01 février au 31 juillet 2023) au LESSEM, parmi l'équipe DYNAMICS. L'équipe travaille sur les dynamiques et la gestion durable des écosystèmes terrestres dans un contexte de changement global.

Le LESSEM se situe sur le campus à Saint-Martin-d'Hères dans les mêmes locaux que l'IGE. Ces deux laboratoires appartiennent à l'organisme de recherche INRAE à Grenoble.
Sommaire

<table><tr><td>1. Introduction</td><td>3</td></tr><tr><td>2. Matériels et Méthodes</td><td>5</td></tr><tr><td>2.1. Données brutes</td><td>5</td></tr><tr><td>2.1.1. Données brutes</td><td>5</td></tr><tr><td>2.1.2. Données lidar</td><td>7</td></tr><tr><td>2.2. Données appariées</td><td>9</td></tr><tr><td>2.3. Statistiques et modélisation</td><td>11</td></tr><tr><td>3. Résultats</td><td>14</td></tr><tr><td>3.1. Statistiques des données</td><td>14</td></tr><tr><td>3.2. Modélisation</td><td>15</td></tr><tr><td>4. Discussion</td><td>19</td></tr><tr><td>4.1. Données</td><td>19</td></tr><tr><td>4.2. Statistiques indirectes et directes</td><td>20</td></tr><tr><td>4.3. Que dire des modèles linéaires</td><td>21</td></tr><tr><td>5. Conclusion et Perspectives</td><td>22</td></tr><tr><td>6. Bibliographie</td><td>25</td></tr><tr><td>7. ANNEXES</td><td>26</td></tr><tr><td>ANNEXE 1</td><td>26</td></tr><tr><td>ANNEXE 2</td><td>28</td></tr><tr><td>8. Résumé</td><td>29</td></tr><tr><td>9. Abstract</td><td>29</td></tr></table>
# 1. Introduction

L'indice de fertilité (ou site index, abrégé SI) constitue une mesure essentielle pour les forestiers et les gestionnaires qui souhaitent évaluer la productivité potentielle d'un peuplement forestier régulier (une seule essence) et équienne (une seule classe d'âge) (Noordermeer et al., 2018 ; Solberg et al., 2019). Il se définit comme la hauteur moyenne des arbres âgés de 100 ans ou plus (Noordermeer et al., 2018 ; Skovsgaard et al., 2008 ; Véga & St-Onge, 2009). Cette relation entre l'âge et la hauteur des arbres est exprimée à travers des modèles de croissance bien établis compilés par Boris Zeide (Zeide, 1993), comme l'équation de Korf (1939). Ces courbes de fertilité suivent une forme sigmoïde (non linéaire), caractérisée par une hauteur maximale asymptotique, autrement dit, l'indice de fertilité (Cieszewski et al., 2000).

Notre étude se focalise sur des sites (privés ou publics) où différents types de gestion forestière sont appliqués. Parmi ces sites, on trouve principalement des futaies irrégulières, caractérisées par une majorité de tiges d'âges et de hauteurs variées issues régénération naturelle, qui représentent environ 4% des exploitations forestières en France. Ce type de peuplement est probablement plus important en zone de montagne. Certains sites sont composés de futaies régulières, lesquelles sont majoritaires en France avec plus de 70% des exploitations, ainsi que des mélanges futaie-taillis (mélange d'âges), couvrant environ 20% des surfaces forestières gérées et coupées du pays (source : Institut national de l'information géographique et forestière (IGN) pour la période 2017-2021). Les forêts qui ne sont pas gérées ou inaccessibles ne sont pas comprises parmi ces données. Dans le cadre de cette étude, les sites abritant des peuplements mélangés de plusieurs essences sont particulièrement représentés, principalement des hêtraies-sapinières de moyenne montagne.

Le premier objectif de cette étude consiste à trouver une méthode pour évaluer l'indice de fertilité dans divers types de milieux forestiers sans connaître l'âge des arbres les plus dominants. Pour y parvenir, l'analyse repose sur l'utilisation de données aéroportées LiDAR (Light Detection And Ranging) fournies par l'IGN (source : IGN) lesquelles sont calibrées à partir de données collectées sur le terrain. Ces données-ci permettent dans un premier temps de vérifier la véracité des données télédétectées puis d'ajouter des éléments dans l'analyse qui ne peuvent être observés par LiDAR. Les mesures sur le terrain servent donc à évaluer la précision des estimations de coordonnées et des métriques fournies par le LiDAR (Duncanson & Dubayah, 2018 ; Tompalski et al., 2021).

Ensuite, si la méthode d'évaluation de l'indice s'avère efficace, l'étude vise à automatiser
celle-ci à une échelle plus large en utilisant les vastes campagnes de données aéroportées LiDAR effectuées par l'IGN, dans le but d'éviter de dépendre des données sur terrain qui sont plus chronophages.

Afin de déterminer les indices de fertilité sur les peuplements irréguliers en omettant l'âge des arbres, plusieurs hypothèses doivent être formulées. Tout d'abord, le choix de travailler sur des arbres dominants suppose que leur croissance est uniquement liée au milieu et non pas à la compétition du voisinage (Canham et al., 2006). Ensuite, il n'est pas certain que ces arbres dominants aient tous atteint un âge suffisamment grand pour estimer l'indice. Ainsi, l'étude sur un accroissement entre deux mesures de hauteur d'individus dominants (dans l'étude, il s'agit d'un intervalle de 10 ans), devrait obtenir des nuages de points proches de la courbe de croissance âge-hauteur hypothétique du peuplement, probablement vers la valeur asymptotique dûe aux arbres dominants plus vieux (Noordermeer et al., 2018 ; Véga & St-Onge, 2009 ; Zeide, 1993). Les arbres dominants n'ont probablement pas atteint l'âge seuil de 100 ans proposé par la littérature mais pourraient s'en rapprocher. Enfin, pour s'affranchir de la variable âge, l'étude se focalise donc sur la relation entre l'accroissement et la hauteur initiale. En effet, cette relation étant linéaire, l'indice de fertilité est mis en évidence lorsque l'accroissement est nul, donc à l'obtention de la valeur asymptotique où malgré l'âge qui augmente, en moyenne, les individus ne peuvent plus croître. Par contre, individuellement, les arbres les plus vieux peuvent toujours grandir, se rabougrir (causé par la sénescence) ou mourir, et sont alors remplacés par les d'arbres plus jeunes. Les modèles utilisent des mesures individuelles afin d'établir un indice par peuplement.

Par ailleurs, il est impossible de mesurer sur le terrain les hauteurs dominantes en tout point de l'espace. Il faut ainsi procéder par échantillonnage mais cela ne permet pas de rendre compte de l'hétérogénéité locale. Les données du LiDAR permettent d'estimer la fertilité avec une certaine erreur, mais de manière exhaustive sur le territoire.

Cependant, certaines limites doivent être envisagées en se basant sur la littérature scientifique. Concernant les mesures de données sur le terrain, les jeunes arbres présentent une forte variabilité, en raison de plusieurs facteurs tels que le type d'essence, la fertilité du sol, la compétition ou le climat (Hou et al., 2019 ; Næsset et al., 2011). Pour éviter cela, la sélection des arbres dominants permet aussi d'obtenir des hauteurs qui plafonnent, en moyenne, la hauteur potentielle maximale asymptotique (Cieszewski et al., 2000). De plus, les modèles élaborés à partir de ces hauteurs dominantes se révèlent plus puissants que ceux basés sur l'âge (Yu et al., 2006). Par ailleurs, l'effet de la structure d'un peuplement peut aussi
influencer les résultats (Tompalski et al., 2021), ce qui implique de ne pas se limiter à une seule donnée moyenne par site. Le découpage en plusieurs placettes permet d'éviter cet effet. Les données recueillies par LiDAR sont influencées par la configuration du vol, car une distance réduite entre l'instrument et le sol augmente la précision mais peut sous-estimer les hauteurs (Duncanson & Dubayah, 2018).

L'angle d'incidence peut également affecter la fiabilité des données et entraîner une évaluation des coordonnées de tronc légèrement différentes de celles réellement récoltées sur le terrain (Monnet, 2015). Le type d'essence joue également un rôle, car les feuillus présentent des irrégularités de houppiers qui entraînent une hauteur maximale légèrement décalée par rapport au tronc (Tompalski et al., 2021).

# 2. Matériels & Méthodes

## 2.1. Données brutes

Les données brutes proviennent de deux campagnes de mesures, l'une dans les années 2010, l'autre dans les années 2020. Deux méthodes sont réalisées, l'une par télédétection avec l'instrument aéroporté LiDAR et l'autre avec des observations sur le terrain. Chaque placette a été mesurée une fois autour de 2010 et une fois autour de 2020 selon les deux méthodes. Ce sont ainsi deux instants *t* qui sont étudiés : *année 1* (entre 2010 et 2012) et *année 2* (de 2022 à 2023). Il est pourtant recommandé de réaliser des campagnes de mesures simultanément, sur une même saisonnalité ou année (Hopkinson et al., 2008). Cela n'a pas été le cas dans cette étude parce qu'elle n'a pas été imaginée lors de la première campagne de mesure sur le terrain (voir 2.1.1).

Dans cette étude, la nomenclature des données est simple : celles issues du LiDAR sont appelées “données lidar” et celles provenant de mesures faites sur place sont nommées “données terrain”. L'analyse présuppose que les données terrain sont plus variables mais présentent moins de biais alors que les données lidar sont davantage biaisées mais moins variables.

### 2.1.1. Données terrain

L'étude comprend un total de 72 placettes, toutes situées dans le nord du massif du Vercors isérois, c'est-à-dire dans le territoire des Quatre-Montagnes. Cela englobe les environs d'Autrans-Méaudre (38880), Villard-de-Lans et Lans-en-Vercors (38250) (figure 1), principalement en moyenne montagne avec une altitude d'environ 1000 m (entre 930 et 1710 m). Des zones karstiques présentent des aspérités dans le sol qui induisent des petits reliefs
accidentés (Monnet, 2015). Les sites étudiés sont des peuplements de hêtraies-sapinières (principalement du sapin pectiné *Abis alba*), avec une proportion importante d'épicéas (*Picea abies*) (tableau 2).

Entre 2010 et 2012, trois petites campagnes de mesures ont été réalisées sur les 72 placettes, qui sont différenciées selon la nomenclature suivante : "0", "C" et "S" (figure 1). Chaque placette a un rayon de 15 m, ce qui correspond à une surface totale de 707 m². Celles-ci sont regroupées par quatre pour former une grappe. Dans les sites "C" et "S", il y a 9 et 8 grappes respectivement, chacune établie selon un découpage équivalent. En revanche, sur le site "0", il n'y a qu'une placette par grappe et non quatre. En tout, le jeu de données comprend 24 grappes (figure 1).

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Figure 1 : Répartition géographique des sites d'étude dans le massif du Vercors sur le territoire des Quatre Montagnes**</figcaption></figure>

Les cartes décrivent les emplacements des sites utilisés dans l'étude selon les trois campagnes initiales dispersées de mesures sur le terrain ("0" en rouge ; "C" en jaune et "S" en vert). Les cartes (B) et (C) sont des agrandissements de la carte 1 (zones encerclées) pour montrer la composition d'un ensemble de grappes (B) ou d'une grappe (C). Fond de carte : OpenStreetMap. Auteur : O.Fave

Les données recueillies lors de ces mesures comprennent les coordonnées GPS, la hauteur apicale, le diamètre à hauteur de poitrine à 1m30 (DBH pour diameter at breast
height), l'état de l'arbre. Son état peut signifier que l'individu est d'aspect normal, mort avec ou sans branche, disparu, ou avec la cime coupée. Des remarques sont également ajoutées comme la forme du tronc, le type de pente, etc. Pour cette étude, tous les arbres ayant un DBH supérieur à 17,5 cm ont été sélectionnés.

De nouvelles mesures ont été conduites en 2022 et 2023 sur les mêmes arbres dans les mêmes 72 placettes. De plus, étant donné que les mesures de la première récolte proviennent de plusieurs campagnes réalisées à différentes saisons et années, il est possible d'observer des variations plus prononcées d'une campagne à l'autre, ce qui pourrait influencer l'accroissement final (Duncanson & Dubayah, 2018 ; Hopkinson et al., 2008 ; Tompalski et al., 2021).

Enfin, un rayon de 15 m pour une placette d'étude semble être un bon compromis afin de minimiser les variabilités et les sources d'erreurs tout en ayant des échantillons suffisamment grands et signifiants (Monnet et al., 2015).

### 2.1.2 Données lidar

Le LiDAR est un instrument de télédétection qui utilise un faisceau laser pour déterminer la distance entre un objet et l'émetteur/récepteur. Le temps mis par le faisceau pour effectuer le trajet aller-retour entre l'instrument LiDAR et la surface solide permet d'estimer la distance jusqu'à cet objet. Cette technique, similaire à celle du radar, peut se réaliser par voie aéroportée ou satellitaire pour couvrir de vastes étendues (Gharineiat et al., 2022). Dans notre étude, les données lidar proviennent de capteurs LiDAR embarqués sur des avions (système ALS pour Airborne Laser Scanning) qui balaient le sol avec une fréquence d'impulsion d'environ 100 kHz pour estimer la représentation topographique du paysage en fonction des échos qu'il reçoit (Gharineiat et al., 2022 ; Hopkinson et al., 2008 ; Monnet, 2015). Ainsi, cela forme des nuages de points sur la surface de la zone analysée. La précision du LiDAR dépend de sa distance par rapport à la surface et de la densité des faisceaux émis (Hopkinson et al., 2008). Cette densité augmente avec les avancées technologiques et permet donc une meilleure précision aujourd'hui qu'il y a 10 ans (Gharineiat et al., 2022).

Le jeu de données utilisé dans cette étude repose sur deux campagnes réalisées dans le Vercors, l'une en 2011 et l'autre en 2021. La première campagne a été réalisée via une commande à la société Sintégra. Le seconde campagne est issue du Programme LiDAR Hautes Densité (HD) réalisée par l'IGN sur l'ensemble du territoire français. Ces données en libre accès proviennent, pour les zones déjà acquises, de 5 ans (2021-2026) de balayage
topographique de 10 points au m² d'un coût estimé à 60 millions d'euros (IGN).

Une fois les nuages de points récoltés, une classification par l'IGN (ou autres entreprises) est effectuée afin d'évaluer les différents types de points : ceux caractérisant le sol et ceux appartenant au houppier (sursol) (Duncanson & Dubayah, 2018). Cette classification permet ensuite d'obtenir les Modèles Numériques d'élévation Terrain (MNT) et de Surface (MNS) (Annexe 1). Ce sont des images raster où les couches sont les points classés en sol ou en sursol. Les modèles numériques sont établis selon des algorithmes du package R *lidR*. Le MNT présente de nombreux trous relatifs aux houppiers denses situés au-dessus (Annexe 1.2). À partir de ces modèles, on peut créer le Modèle Numérique de Hauteur (MNH ou CHM pour Canopy Height Model) en calculant la différence entre le MNS et le MNT (Annexe 1). Le MNH permet d'obtenir les véritables hauteurs apicales des arbres peu importe l'inclinaison du sol (Duncanson & Dubayah, 2018 ; Véga & St-Onge, 2009).
Le package R *lidR* permet l'import des fichiers au format ASPRS LAS (American Society for Photogrammetry and Remote Sensing LASer file) et les traitements de base des nuages de points LiDAR. Le package R *LidaRtRee* propose des fonctions additionnelles comme l'appariement à des données terrain. Ce sont les coordonnées GPS qui sont utilisées pour sélectionner uniquement les données lidar correspondant aux placettes des données terrain.

Pour vérifier s'il n'y a pas d'erreur issue de biais de mesure entre les deux campagnes LiDAR notamment à cause de l'angle d'incidence, de distance au sol ou d'autres paramètres, une comparaison des Modèles Numériques d'Élévation Terrain (MNT) permet de calibrer, si nécessaire, tout éventuel changement dans l'estimation de la hauteur du sol. D'après les données de l'étude, l'écart moyen entre MNT1 et MNT2 est de 0,015, soit environ 2 cm de différence. Ainsi, les MNT concordent et prouvent que la différence entre les hauteurs H1 et H2 est due uniquement à la croissance des arbres et à d'autres paramètres liés à la placette, et non à des erreurs de calibrage LiDAR (Duncanson & Dubayah, 2018). Il existe tout de même des biais qui affectent les points les plus hauts ou les plus bas. Lorsque la densité est plus forte pour les points les plus bas, cela signifie que le sol est mieux représenté. À l'inverse, pour les points les plus hauts, c'est la canopée qui est mieux estimée. Le biais peut être influencé par la configuration locale d'acquisition (densité, angle) et donc varier selon les placettes. Ici, les écarts des MNT par placette ne varie pas plus que l'écart moyen.

Le LiDAR mesure les canopées de surface, puisque les plus petits individus se trouvent généralement sous les plus grands au sein d'un peuplement irrégulier. Le jeu de
données comprend également d'autres métriques telles que la surface de canopée, la pente, l'exposition, l'altitude (z), les coordonnées géoréférencées (x,y) ou l'intensité lumineuse.

## 2.2. Données appariées

L'analyse se focalise sur les données provenant de LiDAR. Les données du terrain permettent un bon ajustement de ces dernières. A partir des emplacements GPS de chaque individu, un appariement entre données lidar et terrain sur chaque placette est effectué. Pour cela, il faut enlever certains types de données qui pourraient fausser les résultats avant d'apparier ces deux ensembles. Tout d'abord, les erreurs de mesures, doublons et données incomplètes de l'échantillon ne peuvent être gardés. Ensuite, l'état des arbres importe, qu'ils soient morts, couchés ou disparus (à la suite de coupes ou de déracinements) et ne sont pas non plus retenus dans le jeu de données. Ainsi, les arbres conservés sont les arbres ayant un DBH de plus de 17,5 cm et toujours debout en 2021. Les paires d'arbres retenus sont les individus qui ont été appariés à la fois l'année 1 mais aussi l'année 2, soit 1044 individus au total (tableau 1).

<table><caption>Tableau 1 : Présentation des données brutes et appariées par grappe</caption><thead><tr><th>Grappes</th><th>01</th><th>02</th><th>03</th><th>04</th><th>05</th><th>06</th><th>07</th><th>08</th><th>C1</th><th>C2</th><th>C3</th><th>C4</th></tr></thead><tbody><tr><th>N tot</th><td>25</td><td>34</td><td>31</td><td>26</td><td>19</td><td>21</td><td>13</td><td>28</td><td>71</td><td>89</td><td>94</td><td>160</td></tr><tr><th>N app 1</th><td>14</td><td>20</td><td>27</td><td>11</td><td>12</td><td>9</td><td>8</td><td>14</td><td>33</td><td>55</td><td>47</td><td>91</td></tr><tr><th>N app 2</th><td>13</td><td>18</td><td>20</td><td>11</td><td>11</td><td>10</td><td>8</td><td>14</td><td>39</td><td>55</td><td>48</td><td>87</td></tr><tr><th>N app tot</th><td>12</td><td>16</td><td>16</td><td>11</td><td>10</td><td>7</td><td>7</td><td>9</td><td>31</td><td>51</td><td>40</td><td>75</td></tr></tbody><thead><tr><th>Grappes</th><th>C5</th><th>C6</th><th>C7</th><th>C8</th><th>C9</th><th>S1</th><th>S2</th><th>S3</th><th>S4</th><th>S6</th><th>S7</th><th>S8</th><th>Totaux</th></tr></thead><tbody><tr><th>N tot</th><td>150</td><td>155</td><td>181</td><td>154</td><td>189</td><td>182</td><td>25</td><td>220</td><td>71</td><td>102</td><td>89</td><td>138</td><td>2267</td></tr><tr><th>N app 1</th><td>74</td><td>119</td><td>128</td><td>91</td><td>138</td><td>83</td><td>18</td><td>106</td><td>38</td><td>62</td><td>43</td><td>71</td><td>1312</td></tr><tr><th>N app 2</th><td>64</td><td>100</td><td>104</td><td>91</td><td>108</td><td>81</td><td>18</td><td>101</td><td>37</td><td>55</td><td>45</td><td>72</td><td>1210</td></tr><tr><th>N app tot</th><td>56</td><td>87</td><td>91</td><td>73</td><td>101</td><td>69</td><td>14</td><td>81</td><td>34</td><td>54</td><td>33</td><td>66</td><td>1044</td></tr></tbody></table>

N tot : Nombre d'arbres totaux par grappe ; N app : Nombre d'arbres appariés l'année 1 & 2 ; N app tot : Nombre d'arbres appariés identiques les deux années consécutives au total par grappe, c'est cet échantillon qui est retenu pour l'analyse.

Le nombre d'appariement n'est pas le même d'une année à l'autre pour plusieurs raisons : les erreurs de l'algorithme, les coupes et disparitions, ainsi que les croissances d'arbres qui en cachent d'autres plus petits. Package R : lidaRtRee.

Une fois les données prêtes à être analysées, la partie modélisation de l'étude se concentre sur l'analyse des arbres dominants, c'est-à-dire ceux qui subissent le moins de compétition de la part de leurs voisins (Noordermeer et al., 2019). Les arbres dominants sont très compétitifs puisque ce sont ces derniers qui occupent le plus de surface à la lumière. Ils
sont ainsi supposés être plus productifs et donc croître en ne dépendant que du milieu. Ils sont également, probablement les plus anciens des placettes. Sans l'âge, la dérivée du modèle sigmoïde permet d'obtenir la valeur de l'indice de fertilité lorsque celle-ci est nulle (voir figure 2 plus bas). Ensuite, il s'agit de vérifier si une période d'accroissement de 10 ans est suffisante pour estimer l'indice de fertilité.

Au sein de chaque placette, on trouve fréquemment au moins un arbre dominant qui a été coupé ou disparu au second recensement à l'année 2. Généralement, des coupes sont réalisées environ tous les 10 ans. Par conséquent, c'est une perte d'information potentiellement significative pour la modélisation. Pour ne pas orienter les résultats et surestimer les estimations, les accroissements négatifs sont maintenus. Cependant, les cimes coupées n'ont pas été conservées après l'appariement car les hauteurs de ces derniers sont mauvaises et invisibilisent la croissance de l'individu.

Les six plus grands arbres (selon leur hauteur) de chaque placette composent l'échantillon final pour la modélisation (tableau 2). Cette taille de la population provient de la littérature qui suggère que le nombre d'arbres dominants sélectionnés devrait être lié à la surface de la placette (environ 700 m², soit n = 7 ares) selon la formule : $Nb(dom) = n - 1$ (Næsset, 2004).

<table><caption>Tableau 2 : Caractéristiques spécifiques des arbres dominants par grappe</caption><thead><tr><th>Grappes</th><th>01</th><th>02</th><th>03</th><th>04</th><th>05</th><th>06</th><th>07</th><th>08</th><th>C1</th><th>C2</th><th>C3</th><th>C4</th></tr></thead><tbody><tr><td>ABAL</td><td>6</td><td>1</td><td>3</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>3</td><td>6</td><td>13</td><td>21</td><td>8</td><td>6</td></tr><tr><td>PIAB</td><td>0</td><td>4</td><td>2</td><td>5</td><td>4</td><td>1</td><td>2</td><td>0</td><td>7</td><td>3</td><td>12</td><td>15</td></tr><tr><td>FASY</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>3</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td><td>0</td><td>4</td><td>2</td></tr><tr><td>Autres</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>N dom</td><td>6</td><td>6</td><td>6</td><td>6</td><td>6</td><td>6</td><td>23</td><td>24</td><td>24</td><td>24</td><td>24</td><td>24</td></tr><tr><th>Grappes</th><th>C5</th><th>C6</th><th>C7</th><th>C8</th><th>C9</th><th>S1</th><th>S2</th><th>S3</th><th>S4</th><th>S6</th><th>S7</th><th>S8</th><th>Totaux</th></tr><tr><td>ABAL</td><td>20</td><td>21</td><td>5</td><td>3</td><td>6</td><td>3</td><td>8</td><td>21</td><td>13</td><td>15</td><td>8</td><td>15</td><td>208</td></tr><tr><td>PIAB</td><td>3</td><td>0</td><td>0</td><td>17</td><td>9</td><td>17</td><td>4</td><td>3</td><td>6</td><td>9</td><td>9</td><td>9</td><td>141</td></tr><tr><td>FASY</td><td>1</td><td>2</td><td>0</td><td>4</td><td>9</td><td>4</td><td>2</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>40</td></tr><tr><td>Autres</td><td>0</td><td>1</td><td>19</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>4</td><td>0</td><td>4</td><td>0</td><td>31</td></tr><tr><td>N dom</td><td>24</td><td>24</td><td>24</td><td>24</td><td>24</td><td>24</td><td>14</td><td>24</td><td>24</td><td>24</td><td>23</td><td>24</td><td>420</td></tr></tbody></table>

ABAL : Abies alba (sapin pectiné) ; PIAB : Picea abies (Epicéa) ; FASY : Fagus sylvatica (Hêtre) ;
Autres : autres essences présentes dans le peuplement, la grappe C7 est une pinède par exemple. N dom est le total d'individus dominants dans la grappe, les grappes "C" et "S" ont 4 placettes. Les placettes ayant peu d'individu peuvent toutefois présenter moins de six arbres dominants (grappes 07 ; S2 ; S7 comportent des placettes dans ce cas-ci).

Les appariements révèlent une forte similitude entre les données récoltées par LiDAR et celles sur le terrain : le nombre d'arbres en commun entre les deux méthodes dépasse les
80% de ressemblance selon la formule : $100 - (FP/(VP + FP) \times 100)$ avec FP comme faux positifs qui correspond ici au nombre d'arbres appariés une année t mais non appariés ensuite, et, VP comme vrais positifs qui sont appariés les deux années. Le 20% restant est attribué aux biais d'estimation, erreur de mesures et disparition d'arbres. L'algorithme du package lidaRtRee peut parfois commettre des erreurs d'appariement lorsque les coordonnées entre deux arbres sont très proches, surtout s'il s'agit de la même essence.

## 2.3. Statistiques et modélisation

Des régressions linéaires simples sont réalisées dans un premier temps pour vérifier le degré de corrélation entre les données lidar et les données terrain, évaluées par le coefficient de détermination R². On s'attend à une forte corrélation entre les hauteurs terrain et lidar, donc un R² proche de 1, malgré les erreurs et les variations provenant des méthodes de mesures. Cette corrélation devrait s'observer pour chaque année indépendamment (méthode indirecte) et pour l'accroissement final (méthode directe) (Tompalski et al., 2021). Le test de comparaison de moyenne de Student permet également de voir à quel point les données sont proches. Les données sont supposées être indépendantes car issues de deux méthodes de mesures différentes. Les échantillons ne sont pas normalement distribués selon le test de Shapiro. De plus, les métriques associées devraient renforcer la puissance des régressions, en particulier celles telles que la surface de houppier ou l'intensité de points issues de LiDAR.

<table><caption>Tableau 3 : Caractéristiques statistiques des arbres dominants par grappe</caption><thead><tr><th>Grappes</th><th>01</th><th>02</th><th>03</th><th>04</th><th>05</th><th>06</th><th>07</th><th>08</th><th>C1</th><th>C2</th><th>C3</th><th>C4</th></tr></thead><tbody><tr><th>H1 moyen</th><td>30,5</td><td>22,4</td><td>11,6</td><td>23,8</td><td>26,8</td><td>17,7</td><td>22,5</td><td>20,8</td><td>20,8</td><td>22,7</td><td>21,8</td><td>21,8</td></tr><tr><th>H2 moyen</th><td>31,3</td><td>24,7</td><td>12,4</td><td>25,3</td><td>28,3</td><td>18,2</td><td>24,0</td><td>21,5</td><td>22,9</td><td>23,6</td><td>23,8</td><td>23,8</td></tr><tr><th>ΔH moyen</th><td>0,81</td><td>2,30</td><td>0,80</td><td>1,53</td><td>1,50</td><td>0,49</td><td>1,58</td><td>0,65</td><td>2,16</td><td>0,89</td><td>2,04</td><td>1,99</td></tr><tr><th>Grappes</th><th>C5</th><th>C6</th><th>C7</th><th>C8</th><th>C9</th><th>S1</th><th>S2</th><th>S3</th><th>S4</th><th>S6</th><th>S7</th><th>S8</th></tr><tr><th>H1 moyen</th><td>31,5</td><td>17,2</td><td>18,8</td><td>20,7</td><td>23,0</td><td>26,2</td><td>27,4</td><td>20,5</td><td>30,2</td><td>33,9</td><td>24,8</td><td>33,5</td></tr><tr><th>H2 moyen</th><td>33,2</td><td>18,6</td><td>20,4</td><td>22,9</td><td>24,9</td><td>28,1</td><td>28,4</td><td>22,2</td><td>32,1</td><td>36,3</td><td>26,4</td><td>35,2</td></tr><tr><th>ΔH moyen</th><td>1,68</td><td>1,36</td><td>1,73</td><td>2,30</td><td>1,97</td><td>1,85</td><td>1,05</td><td>1,64</td><td>1,83</td><td>2,36</td><td>1,64</td><td>1,69</td></tr></tbody></table>

Hauteurs moyennes lidar issues des individus dominants appariés les deux années consécutives. ΔH moyen est l'accroissement moyen entre les deux années 1 & 2.

Pour vérifier l'erreur de mesure entre les deux méthodes, l'erreur quadratique moyenne (EQM) en m² est calculée pour chacune des deux années t, selon la formule :

$$EQM(t) = (1/n) \times \sum (\text{val prédite (lidar)} - \text{val actuelle (terrain)})^2$$

où les données lidar sont considérées comme les valeurs prédites. Si il y a trop de valeurs extrêmes, l'erreur absolue moyenne (EAM) pourra être calculée en complément puisqu'elle
prend moins en considération ces valeurs-ci. La formule de l'EAM en m² est :

$$EAM(t) = (1/n) \times \sum (\text{abs}(\text{val prédite (lidar)} - \text{val actuelle (terrain)})).$$

De plus, le test non paramétrique de comparaison de moyenne (Kruskal-Wallis) pour chaque ensemble de grappe "0", "C" et "S" est réalisé afin de vérifier si ces sous-échantillons sont similaires. Le test de Kruskal-Wallis est choisi en raison de sa puissance élevée sans prendre en compte la normalité ou la similarité des variances des échantillons.

La seconde partie de l'étude se concentre sur l'établissement d'un modèle linéaire pour déterminer l'indice de fertilité à partir des données de l'analyse. L'avantage de la modélisation linéaire est qu'elle ne tient pas compte de la variabilité de valeurs extrêmes, en particulier celles des jeunes arbres dont la hauteur varie considérablement d'une grappe à l'autre.

L'objectif initial est de vérifier si les données issues du LiDAR, calibrées avec les données terrain, peuvent établir cet indice selon toutes les hypothèses énoncées précédemment. Ensuite, si l'un des modèles est concluant, il sera extrapolé sur d'autres données similaires (moyenne montagne et hêtraie-sapinière) ayant également fait l'objet de deux campagnes LiDAR.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Figure 2 : Modèle linéaire k âge-indépendant attendue pour cette étude selon les hypothèses**</figcaption></figure>

L'indice de fertilité de la grappe XX correspond à la valeur asymptotique du modèle de croissance âge-hauteur sigmoidal, c'est-à-dire lorsque la dérivée vaut zéro, donc quand l'accroissement est nul. Ici, ce modèle hypothétique donne une valeur de la fertilité cohérente : entre 30 et 50 m pour des hauteurs moyennes maximales de hêtraie-sapinière (Cicsa et al., 2022). La coefficient directeur doit être de signe négatif et l'ordonnée à l'origine doit se situer entre 2 et 6 m d'accroissement.
Dans l'étude, quatres modèles ont été créés. Le modèle (0) linéaire simple évalue l'indice de fertilité avec une ordonnée à l'origine $a0$ et une pente $b0$ unique pour toutes les grappes. $\varepsilon j$ sont les erreurs du modèle pour chaque arbre dominant $j$.

$$ \Delta H = H2 - H1 \sim b0 \times H1 + a0 + \varepsilon j \quad (0) $$

Cependant, la variabilité des sites suggère que la géographie joue un rôle dans la répartition des hauteurs. Pour vérifier cela, le coefficient de corrélation intra-classe (CCI) permet de constater que la distribution des accroissements entre les grappes est homogène. Le CCI de l'étude est excellent, très proche de 1 et s'élève à **0,98**. Cela induit que les accroissements entre les grappes sont similaires (tableau 3 & Annexe 2).

Pour approfondir l'analyse, trois Modèles Linéaires Mixtes (MLM) sont utilisés, comportant des effets aléatoires où l'estimation de la pente $b$ et/ou de l'ordonnée à l'origine $a$ est adaptée à la grappe $i$. Les ordonnées à l'origine et les coefficients directeurs sont supposés suivre une distribution normale. L'effet aléatoire concerne l'intercepte $ai$ dans le modèle (1), la pente $bi$ dans le modèle (2) et les deux à la fois dans le modèle (3) (package lme4).

$$ \Delta H = H2 - H1 \sim b0 \times H1 + (a0 + ai) + \varepsilon j \quad (1) $$

L'intérêt de modifier uniquement l'ordonnée à l'origine (1) réside dans l'idée que cela implique une diminution de l'accroissement similaire entre tous les sites. Étant donné que ces sites sont géographiquement proches, ils présenteraient des paramètres endogènes similaires. En revanche, la variation de la pente (2) pourrait être intéressante en termes de distribution, car cela permettrait un ajustement plus précis aux données concernant l'accroissement de la grappe $i$.

$$ \Delta H = H2 - H1 \sim (b0 + bi) \times H1 + a0 + \varepsilon j \quad (2) $$

Ainsi, le Critère d'Information d'Akaike (AIC) permettra de passer ce biais lorsqu'il s'agira de comparer les modèles entre eux et de constater le plus puissant et le plus explicatif. Généralement, un écart supérieur à deux unités suffit à comparer deux AIC entre eux, le plus petit sera préféré et indiquera que le modèle est plus puissant.

$$ \Delta H = H2 - H1 \sim (b0 + bi) \times H1 + (a0 + ai) + \varepsilon j \quad (3) $$

Pour juger de la significativité d'un résultat, les p-valeurs doivent être inférieures au seuil alpha de 0,05. Les estimations sont accompagnées d'un intervalle de confiance de 95%, défini par la formule : $IC95\% = valeur estimée \pm 1.96 \times écart-type$. Si l'intervalle estimé passe par zéro, alors le paramètre n'est pas significativement différent de zéro au seuil alpha. Les résidus situés en dehors de l'intervalle seuil ]-2 ; 2[ sont considérés comme de potentielles valeurs aberrantes (outliers). Ce seuil est simplement à titre indicatif.
Pour vérifier l'écart entre les valeurs d'accroissement estimées par les modèles et les valeurs observées dans l'étude, des EQM(mod) ou éventuellement des EAM(mod) sont calculées.

# 3. Résultats

## 3.1 Statistiques des données

Les indices EQM(t) pour l'année 1 et 2 sont respectivement **1,56 m²** (1,25 m) et **1,35 m²** (1,16 m) entre données lidar et terrain. L'écart pour la deuxième année est un peu plus petit mais induit quand même qu'en moyenne, plus d'un mètre diffère entre les deux méthodes de mesure. Pourtant, l'hypothèse nulle du test de Student n'est pas rejetée, il n'y a donc pas de différence entre les méthodes sur une année (tableau 4). De plus, entre les grappes "0", "C" et "S", le test de Kruskal-Wallis donne une p-valeur de **0,56** au-dessus de la valeur seuil alpha signifiant que l'hypothèse nulle de moyennes similaires n'est pas rejetée. La régression directe présente en effet une forte corrélation, comme le témoigne le coefficient de détermination R² très proche de 1 (tableau 4) et qui augmente davantage si des métriques descriptives sont ajoutées.

<table><caption>Tableau 4 : Régressions linéaires indirectes et directes avec ou sans métriques ajoutées</caption><thead><tr><th></th><th colspan="2">Indirectes</th><th>Directes</th></tr></thead><tbody><tr><th>y</th><td>H(lid)1</td><td>H(lid)2</td><td>ΔH(lid)</td></tr><tr><th>x</th><td>H(ter)1</td><td>H(ter)2</td><td>ΔH(ter)</td></tr><tr><th>R²</th><td>0,96</td><td>0,97</td><td>0,31</td></tr><tr><th>p-val</th><td>0,37</td><td>0,51</td><td>***</td></tr></tbody></table>

Les régressions linéaires sont sous la forme y (LiDAR) ~ x (terrain) + métrique. La régression indirecte implique des régressions pour chacune des années de manière indépendante, tandis que la régression directe concerne l'accroissement, c'est-à-dire l'écart entre les deux années. Les métriques associées sont la surface de houppier (houp) et le type d'essence (ess) et n'apportent pas de différence dans l'estimation du R².

Les résultats du test de Student est significatif si la p-valeur est elle aussi en dessous des 5%; *** est très proche de 0.

Cependant, les régressions à partir des accroissements (méthode indirecte) apportent des éléments différents. Le coefficient de détermination est très petit sans pour autant être proche de 0 ou de 1. De plus, l'hypothèse nulle du test de Student est rejetée et suppose que les moyennes des accroissements lidar et terrain sont différentes (tableau 4). Globalement, les écarts lidar (moyenne à **1,71 m**) surestiment les écarts terrain (moyenne à **1,04 m**), et, pour un quantile donné, la valeur de l'accroissement est plus grande avec les données lidar.
Les écarts maximaux sont notamment différents : $\Delta H_{max(ter)} = 5,8$ m à $\Delta H_{max(lid)} = 8,5$ m.

Pourtant, entre les grappes, l'accroissement est globalement homogène, avec un CCI à **0,98**
(Annexe 2).

## 3.2. Modélisation

Le modèle (0) linéaire simple présente une pente $b$ de **-0,110**, avec IC95% de [-0,14 ;
-0,08], et une ordonnée à l'origine $a$ de **4,17**, avec un IC95% de [3,03 ; 5,31].

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>**Figure 3 : Comparaison des estimations de l'indice de fertilité selon les différents modèles linéaires**</figcaption></figure>

Les grappes choisies sont à titre illustratif en représentant plusieurs sites répartis sur différentes zones géographiques et représentent tous les cas de figures : différents signes de la pente estimées, variation des ordonnées à l'origine.

Les grappes illustrées sont 02 en rouge ; 03 en orange ; 08 en vert clair ; C1 en vert ; C3 en vert foncé ; C5 en cyan ; S6 en rose et S7 en bordeaux.

Les modèles (1), (2) et (3) tiennent compte de l'effet aléatoire de la grappe, ce qui entraîne une multitude de paramètres spécifiques à chaque grappe. Par conséquent, des estimations ont été effectuées pour chacune des grappes par les modèles.

Le modèle (1) donne l'estimation fixe de la pente de **-0,09** avec un IC95% de [-0,11 ; -0,06]
et des différentes ordonnées à l'origine selon la grappe allant de 2,3 (grappe 03) à 5,19 (grappe S6) [figure 3.B].

Le modèle (2) estime une valeur unique de l'ordonnée à l'origine de **3,93** avec un IC95% de [3,33 ; 4,54]. Les pentes sont toutes de signe négatif allant au minimum à -0,19 pour la grappe 03 à -0,08 pour la grappe S6 [figure 3.C].

Le modèle (3) est celui qui est le plus théoriquement dépendant des distributions des observations dans les grappes.

C'est pourquoi, en fonction de la grappe, les courbes varient considérablement. Par ailleurs, les données étant globalement réparties entre 20 et 30 m (figure 3.A), les courbes du modèle (3) se croisent généralement autour de ces valeurs (figure 3.D). La valeur estimée fixe de la pente est **-0,06** avec un IC95% de [-0,11 ; -0,02] tandis que celle de l'ordonnée à l'origine est **3,04** avec un IC95% de [1,97 ; 4,10]. L'effet aléatoire estime un signe de la pente différent (positif pour les grappes 03, 06 ou S6 ou quasi nulle pour 08, C5, C6, C9 ou S1 qui sont en dessous de -0.02) ou modifie complètement l'ordonnée à l'origine (grappe S6 est négatif ou très proche de 0 pour les grappes 03, 06, 08, C6, C9 ou encore S1).

Les modèles (1) et (2) présentent souvent des estimations de pente et d'ordonnée à l'origine proches (fig.4.D & F) voire quasiment identiques (fig.4.A & E). La pente estimée par le modèle (3) est fréquemment de signe différent (fig.4.C & G). Cela entraîne des estimations d'indice de fertilité très différentes (souvent peu cohérents) pour une même grappe, comme c'est le cas pour les grappes données en exemple 08 ou S6 qui présentent des valeurs de SI(3) aberrantes.

Pourtant, l'indice de fertilité unique qui est estimé selon le modèle (0) est SI(0) = **38,0 m** est cohérent selon les attentes de l'analyse.

Les trois MLM présentent des valeurs d'indices plus variables selon la grappe. Les modèles (1) et (2) estiment des indices proches du modèle (0). Ainsi le modèle (1) affiche un SI(1) moyen de **42,3 m** en moyenne et d'écart-type 7,9 m sur l'ensemble des arbres dominants de l'étude. Ainsi, la grappe 03 se distingue également en ayant le plus petit indice de fertilité soit 25,9 m alors que la grappe S6 présente un indice estimé à 59,7 m (fig.4.B & G). Plus l'ordonnée à l'origine est grande, plus l'indice de fertilité l'est aussi (figures 3.B & 4).

Pour le modèle (2), une dynamique similaire s'observe : lorsque le coefficient directeur de la pente est faible, la valeur de l'indice de fertilité estimée est petite. L'ordre des grappes selon une estimation croissante de l'indice est globalement similaire au modèle (1). Les indices
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>**Figure 4 : Récapitulatif des trois modèles linéaires à effets mixtes pour chaque grappe proposée en exemple**</figcaption></figure>

Trois valeurs de l'indice de fertilité sont estimées pour chaque grappe, une par modèle. Le modèle (1) en cyan ; le modèle (2) en vert et le modèle (3) en rose.

Les autres grappes de l'étude suivent des cas de figures similaires à ces derniers et n'ont rien de particulier à noter.
sont sous-estimés pour les faibles pentes et très surestimés pour les plus grandes par rapport au modèle (1) (figure 4).

En effet, la valeur donnée pour la grappe 03 est plus petite, soit 21,1 m tandis que celle pour S6 est particulièrement grande, soit 84,8 m (fig. 4.B & G), c'est la valeur maximale pour toutes les grappes de l'étude. Pourtant, le SI(2) moyen de **42,0 m** (médiane à 40,2 m) est très proche de la moyenne du modèle (1) mais avec un écart-type plus grand, soit 13,5 m, induit par les valeurs plus extrêmes (grappe S6).

Concernant le modèle (3), les valeurs des indices partent au minimum de -99,0 m pour la grappe 06 jusqu'au maximum de 2394,7 m pour C9. La moyenne SI(3) est de **182,8 m** mais avec un écart-type particulièrement grand de 494,9 m alors que la médiane n'est que de 41,6 m, similaire aux autres modèles. Ainsi, parmi les grappes de l'étude, trois présentent des valeurs anormalement petites voire négatives (03, 06 et S6), dix d'entre elles ont des indices de fertilité anormalement grands qui dépassent les 50 m (figure 4).

Malgré les fortes variations d'estimations des indices selon le modèle (3) et son degré de liberté plus grand, il présente l'AIC et le maximum de vraisemblance les plus petits par rapport aux autres. Les modèles (1) et (2) présentent des mesures de qualité similaires, bien que légèrement plus petites pour le modèle (1). Ces particularités entre les trois modèles se retrouvent avec les erreurs moyennes quadratiques et absolues (tableau 5). Ces derniers présentent des écarts plus faibles entre les valeurs d'accroissement estimées par le modèle et les valeurs réelles pour le modèle (3).

<table><caption>Tableau 5 : Mesures de qualité et des erreurs moyennes quadratiques et absolues des modèles</caption><thead><tr><th>Modèles</th><th>ddl</th><th>AIC</th><th>logLik</th><th>EQM(m)</th><th>EAM(m)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Modèle (1)</td><td>4</td><td>1255,6</td><td>-623,75</td><td>0,94</td><td>0,70</td></tr><tr><td>Modèle (2)</td><td>4</td><td>1256,7</td><td>-624,29</td><td>0,93</td><td>0,70</td></tr><tr><td>Modèle (3)</td><td>6</td><td>1219,7</td><td>-603,76</td><td>0,82</td><td>0,67</td></tr></tbody></table>

Les modèles (1) et (2) comprennent un paramètre aléatoire, respectivement l'ordonnée à l'origine et la pente tandis que les estimations du modèle (3) varient selon les deux. ddl : degré de liberté ; AIC : critère d'information d'Akaike ; logLik : maximum de vraisemblance (loglikelihood) ; EQM et EAM en m² et sont mesurées à partir des accroissements lidar et des accroissement prédits par le modèle. package R : lme4.

Concernant les résidus, entre les modèles, leur répartition est globalement similaire (Annexe 2). Cependant, pour tous les modèles de l'étude, leur distribution ne suit pas de distribution normale. Les résidus se répartissent en entonnoirs, suggérant que les plus grandes
hauteurs semblent différer d'une méthode de mesure à l'autre. En effet, de grands écarts de mesure montrent que les résidus dépassent l'intervalle seuil estimé en amont, allant jusqu'à 6 ou 8 de différence. Pourtant, une fois ces valeurs retirées, les résidus restants suivent une distribution normale (p-valeur = 0.1). La moyenne des résidus pour les trois MLM est nulle avec un écart-type qui diminue : sd(1) = 0,99 ; sd(2) = 0,96 ; sd(3) = 0,91. Cela montre une variabilité plus faible des estimations pour le modèle (3), et donc un meilleur ajustement.

# 4. Discussion

## 4.1. Données

Les données brutes de l'étude présentent quelques limites qui rendent leur interprétation moins optimale. Tout d'abord, la variabilité est très forte d'une grappe à l'autre, ce qui peut compliquer l'analyse globale des résultats, malgré un CCI élevé. Elle existe, par ailleurs, au sein même d'une grappe puisque les placettes peuvent avoir des paramètres différents. Cela peut être une exposition, une pente, la fertilité ou le type de sol qui peuvent différer malgré les proximités géographiques (figure 1).

De plus, il existe des biais potentiels qui augmenteraient les erreurs de mesure, ce qui demande une approche prudente lors de l'interprétation des données. Les biais proposés dans la partie Matériels & Méthodes sont autant de facteurs qui peuvent entraîner des décalages dans les estimations de hauteurs. Par exemple, un instrument LiDAR n'est pas capable de mettre en évidence des arbres cachés en dessous d'autres plus gros (Tompalski et al., 2019) tout comme les forestiers ne peuvent estimer parfaitement la hauteur d'un arbre puisque la pente ou le type d'essence peut faire fluctuer ces estimations (Ehlers et al., 2013). En outre, certaines métriques essentielles peuvent être inconnues pour le LiDAR, ce qui limite la caractérisation d'un peuplement lorsque les données ne proviennent que de cette méthode de mesure.

Pourtant, la comparaison de données entre les mesures par LiDAR et sur le terrain a souvent fait l'objet d'étude dans la littérature sur la télédétection (Duncanson & Dubayah, 2018 ; Zhao et al., 2018), et montre principalement que la comparaison est pertinente puisque l'appariement est bon. Il est même recommandé de modifier manuellement les erreurs d'appariement (Zhao et al., 2018). De plus, la situation des campagnes LiDAR en France est en perpétuelle évolution. Depuis 2010, l'IGN cartographie par LiDAR les milieux à enjeux, mais c'est depuis 2015 que l'institut répond à des projets plus conséquents. Enfin, depuis 2020, l'IGN commence à mettre en place le projet du Programme LiDAR HD (IGN). Par
conséquent, la qualité des mesures est meilleure dans l'année 2 de cette étude. Il semblerait cependant qu'une plus grande intensité de points ne permette pas d'avoir particulièrement de meilleurs résultats (Fekety et al., 2015).

Par ailleurs, la caractérisation de l'essence avec du LiDAR semble être nécessaire (Budei et al., 2018; Hill & Thomson, 2005) pour améliorer les résultats (Tompalski et al., 2021). Il est cependant difficile d'établir cette classification spécifique, en particulier pour les feuillus et entre espèces similaires sur le plan morphologique, telles que le sapin (Abies alba) et l'épicéa (Picea abies). Ainsi, il est plus efficace de simplement distinguer les feuillus et les conifères permettant de réduire les biais liés à la forme du houppier (Budei et al., 2018). Des informations utiles comme la présence d'espèces pionnières, induisant une croissance du peuplement plus rapide, sont autant de paramètres qui peuvent améliorer les estimations de l'indice (Skovsgaard & Vanclay, 2008). D'ailleurs, selon les données terrain, certaines grappes présentent quelques individus de ces espèces-ci (érables, bouleaux, tilleuls, etc). Pourtant, parmi les arbres dominants, ce sont majoritairement des essences post-pionnières (épicéa) ou dryades (sapin ou hêtre) (Paillet et al., 2015). La composition spécifique peut également apporter des informations écosystémiques sur la placette. Elle peut caractériser le type de sol, de pente ou l'altitude dans laquelle elle se trouve et permet d'éviter de faire certains types de relevés directement sur le terrain. ©

Les données LiDAR calibrées à partir des données terrain se rapprochent beaucoup de ce qui est observé sur le site. L'analyse avec les hauteurs dominantes présente l'avantage d'être sûr d'obtenir un taux élevé d'appariement entre les données LiDAR et terrain ainsi qu'un affranchissement de la compétition intra et interspécifique. Cependant, le choix de ne travailler que six individus par placette restreint l'échantillon. Selon la littérature, une approche plus adaptée en milieu irrégulier consiste à séparer les individus dominants des co-dominants et des intermédiaires (Wang et al., 2019). Bien qu'il y ait peu d'observation sur chaque placette (moins de 30) rendant impossible la réalisation de tests paramétriques par grappe, il est cependant possible d'effectuer des tests non paramétriques qui ne demandent pas de propriétés particulières.

## 4.2. Statistiques directes et indirectes

Les régressions linéaires indirectes révèlent que les différences entre les données lidar et terrain sont dues au hasard, indiquant que ces deux systèmes de mesure produisent des échantillons similaires. Cela est conforté avec le test de Student qui montre cette similarité-ci
entre les méthodes. La proximité entre les deux méthodes d'une année à l'autre indique que les biais et les variabilités ne semblent pas significatifs, malgré les erreurs moyennes quadratiques et absolues qui montrent un écart de plus d'un mètre. Néanmoins, cela traduit une surestimation des hauteurs par la méthode LiDAR.

L'ajout de métriques dans les régressions ne semble pas apporter d'informations supplémentaires significatives, à l'exception peut-être du type d'essence qui semble mieux expliquer les distributions des hauteurs. Cependant, cet ajout entraîne un degré de liberté plus élevé, ce qui n'est pas optimal pour la création de modèles ultérieurs, et cela n'est pas possible en raison des données lidar non classifiées des arbres détectés.

Cependant, en ce qui concerne les régressions linéaires directes (avec l'accroissement), le coefficient de détermination est peu informatif et ne fournit aucune indication sur le niveau de corrélation possible entre les deux accroissements lidar et terrain. Cela ne signifie pas qu'il n'y a pas de corrélation, mais cela n'est pas observé de manière linéaire à partir de la distribution actuelle. Le test de Student montre en outre que les moyennes des deux accroissements diffèrent de manière significative, où les données LiDAR semblent surestimer les valeurs par rapport aux données terrain, car elles présentent systématiquement des valeurs de quantiles plus élevées et un maximum plus grand.

Enfin, l'hétérogénéité des observations dans les grappes entre les ensembles "0" et les autres entraîne un poids des distributions différent dans l'estimation des paramètres. La solution de regrouper les grappes "0" entre elles n'est pas envisageable, car ces grappes sont réparties sur toute la zone d'étude (figure 1). Pourtant, les accroissements ne sont pas particulièrement différents d'une campagne de mesure à l'autre : "0", "C" et "S" sont équivalents selon le test de Kruskal-Wallis.

### 4.3. Que dire des modèles

Tout d'abord, les figures 3 et 4 montrent que si les arbres dominants ont tous la même hauteur, il est difficile d'estimer correctement la pente car les points sont resserrés en x, mais présente un étalement en y due en partie au bruit (fig.4.A, B & F). De plus, si les arbres dominants sont tous jeunes, ils se situent dans la première partie de la courbe âge-hauteur. Cela signifie que l'accroissement est constant, c'est-à-dire qu'il ne varie pas selon la hauteur (Zeide, 1993), ce qui est hors des hypothèses de départ. Enfin, si les arbres dominants sont tous très vieux, cela implique que l'accroissement est très faible soit un accroissement constant dans la courbe de croissance (Zeide, 1993). Il y a donc peu d'étalement en y, sauf à cause du bruit, et a priori peu d'étalement en x. En bref, la méthode fonctionnerait mieux
dans le cas, probablement rare, de peuplements où les arbres dominants sont de hauteurs variées mais ni tous jeunes, ni tous vieux.

Pour ces raisons, les modèles linéaires semblent finalement peu efficaces pour répondre à la problématique de l'étude. Premièrement, les fortes variabilités issues des estimations des modèles ne permettent pas d'obtenir une bonne évaluation de l'indice de fertilité pour chaque grappe. Selon le modèle (0), l'indice de fertilité dans les sites des Quatre Montagnes semble se situer autour de 38 m, ce qui est raisonnable au vu des données des hauteurs potentielles maximales que peuvent atteindre les hêtraies-sapinière (Cicsa et al., 2022). Les moyennes des hauteurs par grappe (tableau 3) démontrent que les individus dominants sélectionnés dans l'étude n'atteignent pas tout à fait, voire pas du tout, les hauteurs dominantes attendues pour des forêts régulières et équiennes, soit l'indice de fertilité en moyenne.

De plus, les données (voir 4.1 & 4.2) ne sont pas optimales : elles présentent un faible effectif, une grande variabilité et un faible niveau de corrélation entre les mesures d'accroissement issues du LiDAR et des mesures sur le terrain. Cela s'observe par le nuage de points de l'accroissement en fonction de la hauteur initiale. En effet, rien n'indique une corrélation linéaire potentielle, notamment le coefficient de détermination mais aussi les valeurs resserrées en x qui sont regroupés généralement autour de 20 à 30 m autour d'un accroissement situé aux environs de 2 m.

Enfin, le modèle présentant le meilleur ajustement selon l'AIC et le maximum de vraisemblance (tableau 5) est celui où la pente et l'ordonnée à l'origine ont un effet aléatoire. Cependant, ce modèle produit des indices incohérents, rendant difficile de trouver un compromis entre celui-ci et les autres. Ces limitations soulignent la nécessité d'envisager d'autres approches statistiques ou des modèles plus adaptés pour mieux répondre à la problématique de l'étude et obtenir des estimations d'indice de fertilité plus fiables et cohérentes.

## 5. Conclusion et Perspectives

Les hypothèses de départ ne semblent pas être suffisantes ou sont peut-être erronées. Après l'analyse, l'évaluation de l'indice de fertilité à partir d'un accroissement de seulement 10 ans n'est probablement pas réalisable. Malgré la recherche de la hauteur asymptotique qui induit un peuplement d'âge théoriquement infini, les modèles ne parviennent pas très bien à l'estimer. Plusieurs explications sont possibles à cette limitation. Tout d'abord, un intervalle
de temps de 10 ans pourrait être trop court, étant donné qu'il faut généralement des arbres de plus de 100 ans dans un peuplement régulier pour évaluer cet indice (Noordermeer et al., 2018 ; Skovsgaard et al., 2008 ; Véga & St-Onge, 2009). Les recommandations suggèrent un écart de 14 à 22 ans pour obtenir des modèles de croissance significatifs (Tompalski et al., 2019), en particulier pour des peuplements à croissance lente, comme les hêtraies-sapinières de montagnes (Cicsa et al., 2022). La solution, si les hypothèses sont valides, serait d'attendre encore une ou deux décennies pour espérer observer un accroissement suffisamment long. Cependant, ce délai d'attente peut également introduire un autre biais en raison des coupes régulières toutes les décennies qui affectent les plus gros arbres, les individus qui seraient potentiellement capables d'évaluer l'indice. Par ailleurs, le décalage temporel des récoltes des données entre l'année 1 et l'année 2 ne semble pas être très problématique et apporte une taille de l'échantillon plus grande à analyser (Fekety et al., 2015).

D'autres biais pourraient contribuer à la non-significativité des résultats, notamment la répartition des données dans les échantillons et leurs caractéristiques écologiques propres. Ainsi, le type d'essence peut influencer l'estimation des hauteurs maximales, en particulier pour certaines espèces de feuillus qui pourraient être plus vieilles mais pas nécessairement plus hautes (Tompalski et al., 2019). L'étude se concentre principalement sur des hêtraies-sapinières, ce qui réduit l'importance de ce biais par rapport aux forêts collinéennes qui contiennent davantage d'espèces. Afin de remédier à cette situation, la mise en place d'une classification entre les feuillus des conifères serait suffisante puisque c'est une approche qui a démontré son efficacité selon la littérature (Budei et al., 2018 ; Hill & Thomson, 2005).

De plus, la petite taille de l'échantillon des individus dominants conduit à des distributions trop variables d'une placette à l'autre. Pour avoir davantage de données, les modèles pourraient s'ajuster sur des individus de hauteurs moins importantes avec une catégorisation précise entre les hauteurs dominantes, co-dominantes et intermédiaires (Wang et al., 2019) en ajoutant un indice de compétitivité induite par le voisinage (Noordermeer et al. 2018). Dans l'étude, l'estimation des hauteurs dominantes n'est, par ailleurs, pas appropriée puisqu'elle se base sur les hauteurs et non pas sur le DBH recommandé (Tompalski et al., 2019). En l'absence de données sur le diamètre avec les données lidar, ce qui entraîne une erreur d'estimation des plus vieux arbres. Pour une espèce, des conversions peuvent se faire puisque la hauteur et le diamètre suivent des équations sigmoïdes (Zeide, 1993) mais est beaucoup moins efficace sur l'ensemble d'essences dans un peuplement mélangé (Ogana & Gorgoso-Varela, 2020).
Il est également possible que la méthode où l'accroissement permet d'évaluer l'indice de fertilité soit inadéquate. L'âge de l'arbre est le paramètre majeur pour déterminer cet indice (Tompalski et al., 2021). Ainsi, la dendrochronologie, science qui examine les cernes du tronc afin d'estimer l'âge de l'arbre, est une technique destructive pour l'individu et n'est donc pas optimale (Lebourgeois & Mérian, 2012). Par conséquent, une autre approche consiste en l'utilisation de courbes de croissance pré-établies selon un gradient de hauteurs différentes à partir de forêts régulières pourrait être envisagée en fonction des distributions des hauteurs du peuplement. Cette méthode avait été envisagée dans l'étude mais contenait plusieurs interrogations concernant le lien entre les peuplements réguliers et irréguliers qui ne croissent pas de la même manière notamment à cause de la compétition ou de la facilitation des autres essences, des arbres plus grands ou plus petits dans le voisinage et l'apparition d'une plus grande biodiversité (faunistique, fongique, floristique, etc) en milieu mélangé (Paillet et al., 2015).

De plus, la modélisation linéaire peut également ne pas être le meilleur moyen pour estimer l'indice de fertilité bien qu'elle soit une méthode d'estimation simple.

Finalement, une approche plus appropriée serait de prendre en compte davantage de mesures environnementales, au-delà des traits biologiques de l'arbre. Des paramètres tels que le type de sol, le climat, la densité d'arbres, l'altitude, et le type d'espèce, pionnière ou non, peuvent apporter des éléments de réponse supplémentaires pour évaluer cet indice important pour les forestiers. L'état de l'arbre lui-même, comme le nombre d'individus morts dans un peuplement, pourrait également fournir des informations pertinentes sur la fertilité (Tompalski et al., 2019). L'étude montre probablement que l'accroissement ne dépend pas que de traits mesurés mais prend une dimension écologique puisqu'il dépend du milieu et des interactions entre individus.
Bibliographie

B.C. Budei, B. St-Onge, C. Hopkinson, F.A. Audet, Identifying the genus or species of individual trees using a three-wavelength airborne lidar system, 2018, *Remote Sensing of Environment*, Vol 204, pages 632-647

C. Canham, M.Papaik, M. Uriarte, W. McWilliams, J. Jenkins, M. Twery, Neighborhood analyses of canopy tree competition along environmental gradients in New England forests, 2006, *Ecological Applications*, Vol 16, pages 540-554

A. Cicsa, G.M. Tudoran, M. Cicsa, A.C. Dobre, G. Spârchez, Effect of Species Composition on Growth and Yield in Mixed Beech–Coniferous Stands, 2022, *Forests*, Vol 13

C. Cieszewski, R. Bailey, Generalized Algebraic Difference Approach : Theory Based Derivation of Dynamic Site Equations with Polymorphism and Variable Asymptotes, 2000, *Forest Science*, Vol. 46, pages 116–126

L. Duncanson & R. Dubayah, Monitoring individual tree-based change with airborne lidar, 2018, *Ecology and Evolution*, Vol. 8

S. Ehlers, A. Grafström, K. Nyström, H. Olsson, G. Ståhl, Data assimilation in stand-level forest inventories, 2013, *Canadian Journal of Forest Research*, Vol. 43, pages 1104–1113

P. Fekety, M. Falkowski, A. Hudak, Temporal transferability of LiDAR-based imputation of forest inventory attributes, 2015, Canadian Journal of Forest Research, 2015, Vol. 45, pages 422–435

Z. Gharineiat, F. Kurdi, G. Campbell, Review of automatic processing of topography and surface feature identification LiDAR data using machine learning techniques, 2022, *Remote Sensing*, Vol. 14, pages 5079-5089

C. Hopkinson, L. Chasmer, R.J. Hall, The uncertainty in conifer plantation growth prediction from multi-temporal lidar datasets, 2008, *Remote Sensing of Environment*, Vol. 112, pages 1168-1180

Z. Hou, L. Mehtätalo, R. McRoberts, G. Stâhl, T. Tokola, Remote sensing-assisted data assimilation and simultaneous inference for forest inventory, 2019, *Remote Sensing of Environment*, Vol. 234

R.A. Hill & A.G. Thomson, Mapping woodland species composition and structure using airborne spectral and LiDAR data, 2005, *International Journal of Remote Sensing*, Vol. 26

Lebourgeois & Mérian, Principes et méthodes de la dendrochronologie, 2012, AgroParisTech

E. Næsset, T. Gobakken, S. Solberg, T. Gregoire, R. Nelson, G. Stâhl, D. Weydahl, Model-assisted regional forest biomass estimation using LiDAR and InSAR as auxiliary data: A case study from a boreal forest area, 2011, *Remote Sensing of Environment*, Vol. 115, pages 3599-3614

E. Næsset, Practical large-scale forest stand inventory using a small-footprint airborne scanning laser, 2004, *Scandinavian Journal of Forest Research*, Vol. 19, pages 164-179

L. Noordermeer, R. Økseter, H.O. Ørka, T. Gobakken, E. Næsset, O. Bollandsâs, Classifications of Forest Change by Using Bitemporal Airborne Laser Scanner Data, 2018, *Remote Sensing*, Vol. 11, pages 2145
J.M. Monnet, Estimation de paramètres forestiers par Lidar aéroporté et imagerie satellitaire RapidEye : Étude de sensibilité, 2015, *Revue Française de Photogrammétrie et de Télédétection*, Vol. 1, pages 71-79

F.N. Ogana & J.J. Gorgoso-Varela, A nonlinear mixed-effects tree height prediction model: Application to Pinus pinaster Ait in Northwest Spain, *Trees*, 2020, *Forests and People*, Vol. 1

Y. Paillet, C. Pernot, V. Boulanger, N. Debaive, M. Fuhr, O. Glig, F. Gosselin, Quantifying the recovery of old-growth attributes in forest reserves: A first reference for France, 2015, *Forest Ecology and Management*, Vol. 346, pages 51-64

S. Solberg, H. Kvaalen, S. Puliti, 2019, Age-independent site index mapping with repeated single-tree airborne laser scanning, *Scandinavian Journal of Forest Research*, Vol. 34, pages 763-770

J.P. Skovsgaard & J.K. Vanclay, Forest site productivity: a review of the evolution of dendrometric concepts for even-aged stands, 2008, *Forestry*, Vol. 81, pages 13-31

P. Tompalski, N. Coops, J. White, T. Goodbody, C. Hennigar, Estimating Changes in Forest Attributes and Enhancing Growth Projections: a Review of Existing Approaches and Future Directions Using Airborne 3D Point Cloud Data, 2021, *Current Forestry Reports*, Vol. 7, pages 1-24

P. Tompalski, J. Rakofsky, N. Coops, J. White, A. Graham, K. Rosychuk, Challenges of Multi-Temporal and Multi-Sensor Forest Growth Analyses in a Highly Disturbed Boreal Mixedwood Forests, 2019, *Remote Sensing*, Vol. 11, pages 2102

C. Véga & B. St-Onge, Mapping site index and age by linking a time series of canopy height models with growth curves, 2009, *Forest Ecology and Management*, Vol. 257, pages 951-959

Y. Wang, M. lehtomäki, X. Liang, J. Pyörälä, A. Kukko, A. Jaakola, J. Liu, R. Chen, J. Hyyppä, Is field-measured tree height as reliable as believed – A comparison study of tree height estimates from field measurement, airborne laser scanning and terrestrial laser scanning in a boreal forest, 2019, *ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing*, Vol. 147, pages 132-145

X. Yu, J. Hyyppä, A. Kukko, M. Maltamo, H. Kaartinen, Change Detection Techniques for Canopy Height Growth Measurements Using Airborne Laser Scanner Data, 2006, *Photogrammetric Engineering & Remote Sensing*, Vol. 72, page 1339-1348

B. Zeide, Analysis of Growth Equations, 1993, *Forest Science*, Vol. 39, pages 594-616

K. Zhao, J. Suarez, M. Garcia, T. Hu, C. Wang, A. Londo, Utility of multitemporal lidar for forest and carbon monitoring: Tree growth, biomass dynamics, and carbon flux, 2018, *Remote Sensing of Environment*, Vol. 204, pages 883-897
# ANNEXES

## ANNEXE 1. Modèles Numériques LiDAR

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

### A1.1. Représentation schématique des Modèles Numériques à partir de LiDAR topographique

MNS : Modèle Numérique de Surface (en bleu) ; MNT : Modèle Numérique de Terrain (en rouge) ; MNSn : Modèle Numérique de Surface normalisé (en vert) ou, en foresterie, Modèle Numérique de Hauteur (MNH). Ces modèles sont issus d'une classification des points réalisés par IGN (et autres entreprises qui produisent des données issues d'ALS) et permettent une interpolation des nuages de points en image raster. Auteur : P.O. Mazagol.

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

### A1.2. Représentation des nuages de point classifiés LiDAR topographique

Image A) Coupe transversale des nuages de points captés par LiDAR, le MNT en rouge et le MNS en orange. Image B) Représentation 3D des canopées du peuplement aperçu de profil au-dessus. Image C) Représentation 3D du sol de ce même peuplement, les troués proviennent des houppiers qui cachent la surface du sol. Auteur : J.M Monnet.
# ANNEXE 2. Compléments visuels des données pour les modèles et leurs résidus

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

## A2.1. Présentation globale des hauteurs initiales (à gauche) et des accroissements (à droite) des individus dominants par grappe

Répartition hétérogène des hauteurs (m) pour chacune des grappes tandis que l'accroissement est plutôt homogène (CCI = 0,98).

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

## A2.2. Résidus des grappes proposés en exemple pour l'analyse pour chaque modèle

Les résidus ne suivent pas de loi Normal à cause de potentiels outliers mais sont globalement distribués autour de la valeur nulle.
Résumé

L'indice de fertilité (site index) représente une approche de gestion simple pour les forestiers, leur permettant d'évaluer la productivité d'un peuplement régulier et équien. Pour obtenir cet indice, l'âge et les hauteurs apicales des arbres suffisent, à condition que certains individus aient 100 ans ou plus. Cette étude cherche à déterminer une méthode applicable à des forêts irrégulières et non équiennes pour évaluer cet indice. Cependant, l'âge des arbres dans ce type de peuplement n'est pas connu du gestionnaire. Afin de contourner cette limitation liée à l'âge, l'étude opte pour la dérivée de la courbe de croissance âge-hauteur, dont la valeur nulle correspond à l'indice recherché. Cela établit une relation linéaire entre l'accroissement et la hauteur initiale. Des modèles linéaires généralisés ont été créés en utilisant les hauteurs dominantes des sites d'étude. Ces données utilisées proviennent de deux campagnes LiDAR calibrées avec des données récoltées sur le terrain. Malheureusement, en raison de la variabilité des résultats, il n'est pas possible de conclure sur l'efficacité de cette méthode. Cette variabilité peut être partiellement expliquée par de nombreux paramètres inconnus sur la placette, un échantillon réduit et des biais de mesure. En conséquence, la méthode n'a pas été jugée concluante.

Mot-clés : indice de fertilité ; LiDAR ; modèle linéaire à effet mixte ; peuplement irrégulier

Abstract

The site index is a simple management approach for foresters, allowing them to assess the productivity of a regular and even-aged stand. To obtain this index, the age and top heights of the trees are enough if certain individuals are 100 years old or older. This study aims to determine a method applicable to irregular and uneven-aged forests to evaluate this index. However, the age of trees in this type of stand is not known to the manager. To circumvent this age-related limitation, the study opts for the derivative of the age-height growth curve, with a zero value corresponding to the desired index. This establishes a linear relationship between growth and initial height. Generalized linear models were created using the dominant heights of the study sites. The dataset used for this purpose comes from two LiDAR campaigns calibrated with field-collected data. Unfortunately, due to the variability of the results, it is not possible to conclude on the effectiveness of this method. This variability can be partially explained by many imprecisions about the sample plot, a limited sample size, and measurement biases. As a result, the method has not been deemed conclusive.