DEUX OUTILS POUR ENTRER EN DOUCEUR DANS LA GEOMETRIE DEDUCTIVE: EGALITE DES TRIANGLES ET CARTES D'INFERENCE

Guillaume Didier, Pascale Nikolski

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Guillaume Didier, Pascale Nikolski. DEUX OUTILS POUR ENTRER EN DOUCEUR DANS LA GEOMETRIE DEDUCTIVE: EGALITE DES TRIANGLES ET CARTES D'INFERENCE. colloque de la CORFEM 2022, Michèle Gandit, Jun 2022, NANTES, Université de Nantes, France. hal-05504444

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Résumé

Les cas d'égalité des triangles constituent un outil de démonstration sous-estimé, nous rapportons ses avantages pour l'apprentissage de la géométrie déductive. D'autre part, la compréhension de la spécificité de la démonstration, notamment dans le cadre géométrique, peut être facilitée par l'utilisation de cartes d'inférence qui permettent de visualiser des réseaux déductifs tout en donnant une grande souplesse d'exploration.

Cet article relate et complète un atelier présenté lors de la Conférence de la Corfem le 9 juin 2022. Nous avons fait le choix de suivre le déroulé de l'atelier, ce qui explique la structure un peu linéaire de l'article.

Introduction

Notre objectif est de trouver des moyens de faciliter l'entrée dans la géométrie déductive pour les élèves de cycle 4. Nous proposons pour cela deux outils : un outil théorique, les cas d'égalité des triangles, et un outil matériel : des cartes d'inférence pour aider les élèves à comprendre la structure du raisonnement déductif.

Nous débutons l'atelier en rappelant l'importance de la démonstration dans les cours de mathématiques préconisée dans les derniers programmes [Prog18]. Faire des démonstrations de cours permet aux élèves de mieux appréhender l'organisation des connaissances mathématiques en un réseau déductif, ce qui est nécessaire pour comprendre en quoi consiste la géométrie déductive.

1. Les cas d'égalité des triangles, un outil puissant et simple d'utilisation

1.a. Entrée en matière

Le problème suivant est proposé :

Soit LAS un triangle isocèle en S tel que LA = 6 cm et SA = 8 cm. Soit E le point appartenant au côté [LS] tel que LE = 2 cm, I le point appartenant au côté [AL] tel que AI = 2 cm et M le point appartement au côté [AS] tel que AM = 4 cm. Que peut-on dire du triangle MIE ?

Nous avions mentionné les « cas d'égalité » dans la présentation du plan de l'atelier, ce qui a peut-être pu influencer les participants qui ont tous utilisé cet outil (les triangles MAI et ILE sont égaux car MA = IL, AI = LE et M̄AI = L̄IE ce qui donne MI = IE et permet de conclure que MIE est isocèle en I) alors que d'autres outils permettent de résoudre le problème.

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En effet, dire que les triangles sont égaux signifie qu'ils sont isométriques, c'est-à-dire qu'il existe une isométrie qui envoie un triangle sur l'autre, mais ici l'isométrie en question n'est pas évidente. La rotation est suggérée sans plus de précision par les participants. Grâce à des animations Geogebra nous mettons en évidence plusieurs démarches possibles pour résoudre le problème avec les transformations : une translation puis une rotation, deux symétries axiales dont les axes sont les bissectrices des angles en A et en S (ou en L et S), une rotation dont le centre est l'intersection des bissectrices du triangle LAS. Nous n'entrons pas dans les détails, tout le monde conçoit bien que la rédaction d'une telle démonstration est un travail pénible ! Nous nous contentons de mettre en évidence le fait qu'une démonstration par les transformations nécessite de :

* trouver la transformation ou la composée de transformations qui « marche », sachant que la composition n'est pas un concept facile d'accès (notons au passage que les transformations sont introduites au compte-goutte au collège, et notamment la rotation est rarement abordée avant la classe de 3ème) ;

* introduire des éléments supplémentaires (points, droites, etc) et des résultats intermédiaires;

* voir les lignes comme des ensembles de points et les points comme intersections de lignes.

A contrario, la démonstration avec les cas d'égalité ne demande pas de construction intermédiaire, de plus elle utilise une vision « surfaces » qui est plus accessible pour les élèves que les visions « lignes » ou « points » [MBPG20]. Le principe est le suivant : on incorpore les grandeurs dont on veut montrer l'égalité dans deux triangles qui semblent isométriques, on identifie les éléments homologues et on fait appel à un cas d'égalité qui permet de prouver que les triangles en question sont bien égaux pour conclure.

1.b. **Définition de la notion d'égalité de triangles**

Nous abordons ensuite la question du choix d'une définition à partir de deux propositions issues de manuels différents.

**DÉFINITION** Des triangles égaux sont des triangles superposables, c'est-à-dire qui ont des côtés deux à deux de même longueur et des angles deux à deux de même mesure.

(Transmath 4ème 2016)

Définition

Deux triangles sont égaux lorsque leurs côtés sont deux à deux de même longueur.

(Mission Indigo 4ème 2016)

Une petite agitation commence à se faire sentir parmi les participants, elle se confirme quand nous prenons position en faveur d'une définition mentionnant à la fois l'égalité des angles et des longueurs. En effet, ce choix de définition est plutôt contraire à l'habitude « minimaliste » qui consiste à donner le « strict minimum » dans la définition et à établir ensuite des propriétés, voire des propriétés caractéristiques (ou des conditions suffisantes). Cette habitude minimaliste conduit une majorité de manuels à définir deux triangles égaux comme deux triangles ayant leurs trois côtés deux à deux de même longueur.
Nous aurions d'ailleurs pu faire remarquer qu'il y a un nombre visible d'exceptions à cette règle minimaliste, ne serait-ce que le cas des rectangles qui sont généralement définis comme des quadrilatères ayant quatre angles droits alors que trois suffisent. Pourtant, la non-minimalité de cette définition ne semble pas faire polémique. Mentionnons au passage la position bourbakiste qui fait usage de « théorèmes-définitions » démontrant l'équivalence de toute une liste de propriétés avant de définir l'objet qui les vérifie toutes.

Pour justifier notre choix, l'exercice suivant est proposé : la définition avec les longueurs ne permet pas de conclure, il faut une propriété supplémentaire sur les angles (N.B. dans cet énoncé il y a une incompatibilité entre les mesures d'angle et les mesures de longueur, mais chut !).

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Calculer l'angle EAG.

Une polémique s'installe, ce qui nous donne l'occasion de préciser tous nos arguments :

* dans le cas des polygones, l'égalité des longueurs ne suffit plus ; pour construire « de proche en proche » un polygone à une isométrie près, il faut connaître les longueurs de ses côtés, ses angles, et les positions relatives ;

* il n'y a pas de raison de privilégier ce cas d'égalité (longueur des trois côtés) comme définition, il n'est pas le plus naturel, le plus naturel serait sans doute celui d'un angle entre deux côtés, c'est le premier qu'Euclide a « démontré » et c'est aussi celui qu'Hilbert a posé en axiome, c'est aussi celui qui apparaît le plus spontanément pour faire construire un triangle donné.

On aurait aussi pu revenir au cadre qui permet de mettre en évidence les cas d'égalité : un triangle comporte 6 grandeurs associées (3 angles et 3 longueurs), on recherche des critères sur ces grandeurs permettant d'affirmer que deux triangles sont isométriques (image l'un de l'autre par une isométrie), les trois cas d'égalité correspondent à ces critères et apparaissent donc comme des théorèmes et non comme une définition. Pour des détails, voir [P22].

Finalement, il a fallu faire intégralement le problème ci-dessus pour que tout le monde s'approprie l'intérêt d'une définition avec les longueurs et les angles. Pour résoudre ce problème, on utilise d'abord le cas CAC (un angle entre deux côtés, voir ci-dessous) pour dire que les triangles sont égaux, mais la définition minimale usuelle des triangles égaux ne donne que l'égalité des longueurs TR et AG, or ce n'est pas ce qui est demandé : il faut utiliser une propriété complémentaire : « si deux triangles sont égaux alors leurs angles sont deux à deux égaux ».

Nous complétons avec l'importance de la position relative des éléments, ce qui donne :
**Définition** : deux triangles sont dits **isométriques** (ou égaux) lorsque leurs angles sont égaux deux à deux et que les côtés opposés aux angles égaux ont la même longueur.

La notion d'éléments **homologues** est ensuite présentée, ainsi que la notation avec des flèches qui traduit la correspondance entre éléments homologues. Cette correspondance est une alternative au dessin pour obtenir les égalités de grandeurs voulues, ce qui permet d'avoir un moyen de vérification. Par exemple, pour le problème ci-dessus, on aurait :

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La notation abrégée des trois cas d'égalité (CCC = côté-côté-côté ; CAC = côté-angle-côté ; ACA = angle-côté-angle) rappelle les égalités à vérifier et la position relative des angles par rapport aux côtés tout en permettant d'alléger la rédaction des démonstrations.

**1.c. Utilisation des cas d'égalité en classe de 4ème**

Lors de l'atelier, nous présentons le problème du début tel qu'il a été donné en évaluation, avec des questions intermédiaires. Les résultats des élèves sont exploités sous forme statistique (réponses des élèves et effectifs associés). Il ressort qu'une majorité d'élèves parvient à traiter le problème. Trois productions sont discutées, dont une met en œuvre explicitement les éléments homologues et la notation avec les flèches, voir annexe 1.

Pour une étude plus approfondie de l'utilisation des cas d'égalité en formation comme en classe, nous recommandons la lecture de la brochure de l'IREM de Paris n°100 (2021) qui a été rédigée sous la direction de Marie-Jeanne et Daniel Perrin : « enseigner la géométrie au cycle 4, comparer des triangles pour démontrer » [Geom21]. Un article est aussi en cours de publication dans la revue Petit x [DPG22].

Nous passons maintenant à la deuxième partie de l'atelier qui est encore à l'état de projet ; nous souhaitons recueillir les réactions des participants, leurs critiques et leurs remarques.

**2. Un outil matériel pour entrer dans la géométrie déductive : les cartes d'inférence**

En raison du temps passé autour de la définition des triangles isométriques, cette partie n'a pas pu être abordée dans sa totalité. Nous faisons le choix d'expliquer ici la totalité de ce que nous avions prévu de dire, afin de faciliter une vision d'ensemble de notre projet et de permettre à d'éventuels lecteurs intéressés d'exploiter l'outil proposé.

**2.a. Premier état des lieux**

Pour fixer le cadre, nous nous référons à quelques publications anciennes. Les niveaux de géométrie de Van Hiele, entre autres, mettent en évidence un changement de point de vue entre le niveau de l'analyse qui perçoit les classes de formes assujetties à une litanie de propriétés sans inclusion des classes (un carré n'est pas un rectangle) et le niveau de la déduction (informelle) dans lequel les propriétés sont organisées au moins partiellement en un système hypothético-déductif construit sur des définitions plus ou moins « minimales »
(l'égalité des triangles est une des exceptions !!), ce qui entraîne notamment des relations entre les classes de formes (les carrés sont des rectangles particuliers) [TG12], [VHVHG58], voir aussi la théorie des prédicats amalgamés de H.Wermuz qui s'applique à un cadre beaucoup plus vaste [W83]. De son côté, Duval [D91] insiste sur la spécificité des assertions mathématiques qui ont une valeur épistémique d'apodicticité : étant donné un système axiomatique consistant, il n'y a pas de « degré de vérité », une propriété est vraie ou ne l'est pas, et si elle est vraie, elle l'est incontestablement. L'apodicticité est spécifique aux mathématiques, dans la vie courante la vérité est toujours relative et il s'agit d'argumenter pour convaincre, et non de démontrer. Pour s'approprier la démarche déductive, les élèves doivent comprendre (et accepter !) la spécificité des mathématiques, la place cruciale de la démonstration et son fonctionnement spécifique qui la distingue de l'argumentation, nous y revenons plus loin.

## 2.b. Contextualisation : propriétés caractéristiques des parallélogrammes

Nous choisissons d'illustrer notre étude sur le cas des parallélogrammes, ce qui fait le lien avec notre première partie puisqu'un parallélogramme est constitué de deux triangles isométriques. De plus, nous pouvons faire référence, par exemple, à François Boule qui qualifie le parallélogramme d'objet scolaire par excellence (par opposition au rectangle qui est un objet familier, voir [B01], p.114) : en effet, il incarne le principe mathématique qui consiste à généraliser et à voir les objets comme des cas particuliers d'objets plus généraux et il est l'emblème au niveau scolaire du passage à l'inclusion des classes (voir paragraphe 2.a. la référence aux niveaux de Van Hiele), il est aussi le support idéal pour l'illustration des notions de conditions nécessaires, suffisantes ou équivalentes, et il est un support incontournable pour l'introduction d'objets aussi fondamentaux que les vecteurs et les translations. Or, les observations récentes laissent penser que les connaissances des élèves de fin de collège sur les parallélogrammes sont trop fragiles et insuffisamment structurées, voir les travaux en cours du groupe IREM de Paris *Ressources TICE pour la formation et l'enseignement* sur l'objet géométrique « parallélogramme » [TICE22].

Au sujet du parallélogramme, les programmes stipulent de choisir une définition et une caractérisation : côtés opposés parallèles ou diagonales se coupant en leur milieu. La caractérisation est censée être démontrée, ce qui va dans le sens de notre point de vue. Toutefois, nous n'avons pas trouvé de manuel qui propose les démonstrations attendues. Cette frilosité nous semble avoir des raisons d'être : à ce stade, les élèves ont très peu d'expérience de la géométrie déductive, et comme nous l'avons déjà mentionné, les cas d'égalité des triangles sont peu exploités comme outil de démonstration, d'autant qu'en 2019 ils sont suggérés en classe de 4ème par les repères de progressivité [Rep19]. Si on les exclut du bagage des élèves, il ne reste que la symétrie centrale comme outil approprié, et son usage génère quelques difficultés, voir plus loin. Le programme poursuit d'ailleurs en ajoutant qu' « il est alors montré que les côtés opposés d'un parallélogramme sont [...] de même longueur grâce aux propriétés de la symétrie » [Prog18], ce qui sous-entend aussi que les cas d'égalité des triangles ne sont pas envisagés par le programme comme outil de démonstration de cette caractérisation puisqu'en utilisant les cas d'égalité on montre l'égalité des longueurs des côtés opposés préalablement, voir fin de ce paragraphe.

Examinons les démonstrations si on décide d'utiliser la symétrie centrale. Au passage, nous pouvons mentionner que les propriétés de conservation de la symétrie centrale sont elles-
mêmes rarement démontrées au collège (il est pourtant possible de le faire en décomposant la symétrie centrale en deux symétries axiales et en utilisant les propriétés (admises) de conservation de la symétrie axiale), alors qu'on pourrait facilement démontrer toutes ces propriétés de conservation avec le seul outil « cas d'égalité », voir la brochure de l'IREM de Paris [Geom21], pages 237-238.

Nous choisissons comme définition du parallélogramme un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. On peut dire que ce choix n'est pas très important puisque nous allons démontrer une équivalence. Toutefois, il nous semble qu'une définition doit permettre d'accéder aussi rapidement que possible à l'objet qu'elle définit, et pour cette raison il ne nous semble pas judicieux de définir un quadrilatère particulier par une propriété de ses diagonales qui ne sont pas des éléments constitutifs du quadrilatère.

Commençons par la suffisance de la condition sur les diagonales.

Soit ABCD un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu, que nous appelons O. Considérons la symétrie centrale de centre O. Comme A a pour image C et que B a pour image D, la droite (AB) a pour image la droite (CD) (nous pouvons noter au passage qu'il faut déconstruire la droite pour la définir à partir de deux de ses points). Or, l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle, donc (CD) est parallèle à (AB). De même, la droite (AD) a pour image la droite (BC) donc (BC) est parallèle à (AD). Le quadrilatère ABCD a ses côtés opposés parallèles, c'est un parallélogramme.

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Venons-en à la nécessité de la condition sur les diagonales.

Soit ABCD un parallélogramme. Nous appelons O le milieu de [AC] (première difficulté : on est obligé de créer une dissymétrie entre les deux diagonales). On considère la symétrie centrale de centre O. L'image du point A est le point C et l'image du point C est le point A. Comme l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle, l'image de la droite (AB) est la droite parallèle à (AB) passant par C (deuxième difficulté : la droite est définie par un point et sa direction), c'est donc la droite (CD). De même, l'image de la droite (BC) est la droite parallèle à (BC) passant par A, c'est donc (AD). Par conséquent le point B, point d'intersection des droites (AB) et (BC), a pour image le point d'intersection des droites (CD) et (AD), c'est-à-dire D (troisième et quatrième difficultés : le point est vu comme intersection de deux droites, l'image d'une intersection est l'intersection des images). Donc O est le milieu de [BD] et les diagonales du parallélogramme se coupent en leur milieu.

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Si la démonstration de la suffisance peut paraître accessible à un élève de 5ème, il n'en est pas de même de celle de la nécessité : la démarche engagée est très difficile d'accès pour un novice. Faire ou faire faire une telle démonstration ne risque-t-il pas de rebuter les élèves vis-à-vis de la géométrie déductive ? Peut-on alors en vouloir aux manuels et aux professeurs de ne pas suivre les injonctions des programmes ?
Notons qu'une fois ces démonstrations faites (la deuxième en fait), il est très facile, comme le suggère le programme, de déduire l'égalité des longueurs des côtés opposés en utilisant la conservation des longueurs par la symétrie centrale.

Maintenant changeons radicalement de point de vue, laissons de côté la symétrie centrale, et intégrons à notre boîte à outils les cas d'égalité des triangles. Comme déjà évoqué, notre cheminement va devoir s'adapter à ce nouvel outil : nous allons dans un premier temps démontrer la caractérisation du parallélogramme par l'égalité des longueurs des côtés opposés, pour pouvoir ensuite démontrer la caractérisation par les diagonales.

Les deux premiers résultats sont les suivants :

**Propriété A** : Un parallélogramme a ses côtés opposés de même longueur.

**Propriété B** : Un quadrilatère non croisé qui a ses côtés opposés de même longueur est un parallélogramme.

C'est sur ces démonstrations que nous allons présenter notre outil matériel que nous appelons les **cartes d'inférence**.

### 2.c. Deuxième état des lieux et présentation des cartes d'inférence

Avant de passer aux démonstrations, nous expliquons les raisons qui nous ont amenés à concevoir cet outil.

De façon un peu caricaturale, nous pouvons voir la démonstration comme la création d'un chemin dans un labyrinthe : au départ les données, à l'arrivée la conclusion visée. Il s'agit de relier les unes à l'autre par un « trajet continu ». Ici « trajet continu » ne signifie pas une ligne sans lever le crayon mais un enchaînement de pas déductifs dans un processus de recyclage, comme l'explique Duval [D91] : un pas déductif est constitué de prémisses (les données dont on dispose), d'une règle d'inférence (définition, propriété, théorème, voire axiome) et d'une conclusion, c'est-à-dire une ou des nouvelle(s) propriété(s) obtenue(s) par application de la règle d'inférence aux prémisses ; le recyclage consiste à changer le statut des propriétés obtenues comme conclusions pour les placer en prémisses d'un nouveau pas déductif.

Bien sûr, cette description est simplificatrice : parfois le chemin se sépare en plusieurs, parfois plusieurs chemins se rejoignent en un, parfois il faut aller chercher une donnée initiale pour la combiner aux propriétés obtenues en sortie d'un pas déductif ; c'est pourquoi Duval parle de réseau plutôt que de chemin. Mais nous estimons qu'il est légitime d'initier les élèves à la géométrie déductive en les engageant d'abord sur un chemin sans bifurcation, et relativement court sans être pour autant trivial, voir les productions d'élèves en paragraphe 2.e. et 2.g.

Cette structure de la démonstration comme articulation de pas déductifs avec un principe de recyclage est propre aux mathématiques. Comme déjà évoqué précédemment, Duval [D91] insiste sur la distinction entre l'argumentation dans laquelle le contenu des propositions est primordial et les arguments viennent s'ajouter les uns aux autres, ou au contraire se tempérer, l'objectif principal étant de convaincre, et le raisonnement déductif dans lequel le sens d'une proposition est intimement lié à son statut (prémisse, règle d'inférence, conclusion) et l'organisation des propositions entre elles est plus importante que leur contenu. C'est
l'importance de cette organisation logique que l'élève doit comprendre car elle lui est *a priori*
inhabituelle.

Une autre distinction importante entre déduction et argumentation sur laquelle Duval et
Egret attirent l'attention [DE89] est la « clôture du champ des énoncés autorisés » dans le
premier cas contre un effort d'ouverture dans l'autre (les arguments nouveaux sont
encouragés). Dans notre projet d'expérimentation, nous choisissons de pousser à l'extrême
cette clôture du champ des énoncés autorisés en ne mettant à disposition de l'élève qu'un
nombre très restreint d'énoncés. En effet, nous faisons l'hypothèse que livrer l'élève à
l'ensemble de son savoir et de ses intuitions sans le contraindre – dans un premier temps – à
un cadre très limité, n'est pas suffisamment rassurant pour qu'il ose se lancer dans la tâche de
démonstration et appréhende convenablement la spécificité de cette tâche.

Pour construire un « trajet continu », plusieurs stratégies peuvent être mises en œuvre : le
chaînage avant qui part des données et va jusqu'à la conclusion, le chaînage arrière qui part de
la conclusion et remonte jusqu'aux données, ou encore une combinaison des deux qui consiste
à faire se rencontrer un début de chaînage avant et un début de chaînage arrière. Notons au
passage que l'utilisation des cas d'égalité est particulièrement propice à l'initiation des élèves
à cette combinaison des chaînages avant et arrière. En effet, la démarche consiste le plus
souvent à observer l'égalité qu'on veut démontrer, à inclure les grandeurs égales (longueurs
et/ou angles) dans deux triangles qui « ont l'air » d'être isométriques (chaînage arrière) puis à
démontrer que les triangles sont effectivement isométriques grâce à un cas d'égalité qui est
inspiré des données (chaînage avant).

Pour conclure cet état des lieux, notre objectif est d'amener les élèves débutants à :

* comprendre le principe du raisonnement déductif comme enchaînement de pas déductifs (ce qui suppose de comprendre le principe du pas déductif) via un processus de recyclage ;

* appliquer d'abord ce principe dans le cadre d'un réseau linéaire (chemin à un seul niveau) assez court mais pas trop, avec un nombre limité de règles d'inférence à disposition ;

* comprendre la différence entre une propriété et sa réciproque ;

* comprendre l'utilisation du chaînage avant et du chaînage arrière.

Pour atteindre ces objectifs, nous proposons de travailler sur les démonstrations des propriétés A et B en utilisant des « cartes d'inférence », c'est-à-dire comportant soit une définition soit un théorème. Les cartes-théorèmes sont conçues de la façon suivante : énoncé du théorème suivi de l'illustration du pas déductif : conditions d'utilisation et conclusion reliées par une flèche symbolisant l'implication et accompagnées de figures codées (N.B. selon la coutume, nous utilisons le terme « figure » indifféremment pour désigner l'objet géométrique ou une de ses représentations). Nous souhaitons insister sur l'importance de la présence simultanée des registres graphique et discursif, l'un permettant d'avoir une vision synthétique, l'autre donnant la formulation verbale nécessaire à la tâche de rédaction. L'idée est aussi de formuler de façon la plus générale possible (en évitant par exemple de nommer les points) pour faciliter l'application à n'importe quelle situation (voir plus loin l'idée de contextualisation). Voici un exemple de carte-théorème :
**Cas d'égalité CCC :**

Si deux triangles ont leurs côtés deux à deux de même longueur alors ces triangles sont isométriques.

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## 2.d. Mise en pratique durant l'atelier

Lors de l'atelier nous n'avons pas détaillé les objectifs en raison du manque de temps. Nous nous sommes contentés de proposer les cartes accompagnées de petits morceaux de papier blanc et nous avons choisi de laisser une grande liberté aux participants. Les cartes d'inférence distribuées étaient volontairement en nombre très limité : définition du parallélogramme, définition de l'égalité des triangles, les trois cas d'égalité des triangles, deux cartes liant le parallélisme et l'égalité des angles correspondants, deux cartes liant le parallélisme et l'égalité des angles alternes-internes, voir annexe 2. Nous avons fait le choix de ne pas donner les définitions des angles correspondants et alternes-internes, car ce sont des définitions permettant de reconnaître des objets géométriques mais elles n'ont pas à proprement parler le statut de règle d'inférence. Pour être plus précis, certaines propriétés géométriques sont de nature « fermée » (non conservées par petite perturbation de la figure, comme le parallélisme) tandis que d'autres sont de nature « ouverte » (conservées par petite perturbation de la figure, comme le fait d'être sécants). Les propriétés de position (« du même côté de », « de part et d'autre ») sont ouvertes, et au collège ce type de propriété est lu sur la représentation, au contraire des propriétés fermées (du moins dans l'idéal !).

Revenons à notre atelier : rapidement, des « chemins » de cartes se sont créés mais l'utilité des morceaux de papier n'était pas forcément claire. Certains les ont utilisés spontanément, d'autres ne les ont pas utilisés en jouant le jeu de l'élève (« on n'aime pas écrire » mais ils ont finalement accepté de « faire des dessins »), d'autres n'ont pas ressenti le besoin de les utiliser. Pour nous, ces morceaux de papier sont un moyen de contextualiser les règles d'inférence. Même si, dans un premier temps, il nous semble possible de créer un chemin de cartes pour transcrire l'idée de la démonstration (notons au passage que, dans le cas d'un réseau linéaire, si les cartes sont alignées selon une « horizontale » on voit apparaître un phénomène « dominos » qui peut aussi aider les élèves à comprendre l'idée d'enchaînement), la contextualisation est primordiale pour vérifier que l'idée fonctionne bien et pour avancer vers la tâche de rédaction de la démonstration.
Pour revenir à la démonstration de la propriété A, un binôme de participantes a proposé un
cheminement avec la donnée écrite sur un morceau de papier « ABCD parallélogramme » et
une alternance de cartes d'inférence et de morceaux de papier jusqu'au dernier : « AB=CD et
AD=BC », la conclusion recherchée. Cette production est la même que celle de l'élève dont
nous présentons le travail plus loin, c'est pourquoi nous ne la donnons pas ici.

Nous n'avons pas eu le temps de réaliser le « chemin » de la propriété réciproque (B)
pendant l'atelier.

2.e. Expérimentation avec un élève de fin de cinquième (phase 1)

Si l'utilisation des cartes d'inférence et des « morceaux de papier » n'a pas été expérimentée en groupe classe, nous avions toutefois fait un premier test sur un élève particulier (en fin de classe de cinquième) auquel nous avons d'abord fait découvrir les cas d'égalité des triangles (tracé d'un triangle quelconque sur une feuille de papier blanc puis rédaction d'une description permettant de refaire le « même » triangle en donnant le moins d'informations possible ; pour une mise en œuvre de cette étape en groupe classe voir [DPG22]). L'élève en question avait vu en classe la propriété des diagonales du parallélogramme et l'égalité des longueurs des côtés opposés mais la démonstration donnée (démonstration de la nécessité présentée ci-dessus en paragraphe 2.b.) était lacunaire et l'élève n'avait rien compris. Nous lui avons donc indiqué qu'il allait démontrer qu'un parallélogramme a ses côtés opposés de même longueur d'une autre façon.

La première réaction de l'élève a été d'argumenter en évoquant un écartement constant des côtés parallèles (ce qui par ailleurs semble prouver que les démonstrations faites en cours n'ont pas eu d'impact sur sa perception) ; nous constatons qu'à ce niveau de classe, malgré une première expérience de la tâche de démonstration, le réflexe reste d'utiliser une argumentation (N.B. l'argumentation n'est pas un mal en soi, elle peut être très utile pour développer l'intuition, faire des conjectures, l'important est que l'élève devienne capable de faire la distinction entre argumentation et démonstration).

Nous avons alors donné à l'élève les mêmes cartes que celles qui ont été proposées aux participants de l'atelier, en précisant qu'il n'avait pas le droit d'utiliser autre chose. Pour initier la démarche, nous avons créé le papier de départ et le papier d'arrivée sous les yeux de l'élève (dessin à main levée d'un parallélogramme accompagné du terme parallélogramme d'une part, même dessin à main levée avec codage de l'égalité des longueurs des côtés opposés d'autre part, voir photos ci-dessous) et nous les avons placés sur la table en indiquant qu'il fallait créer un chemin de l'un à l'autre avec les cartes.

Dans un souci d'efficacité (cadre non propice à un investissement durable de l'élève), nous avons rapidement mentionné qu'il s'agissait d'utiliser l'égalité des triangles et qu'il fallait donc faire apparaître des triangles. L'élève a immédiatement « coupé le parallélogramme en deux » en traçant une diagonale. Il a positionné la carte d'inférence « définition du parallélogramme » et nous lui avons tendu un papier pour qu'il écrive ce qu'il en déuisait. La difficulté à parler des objets géométriques en jeu a conduit l'élève à donner des noms aux sommets du parallélogramme (A,B,C,U !), ce qui a permis de traduire l'hypothèse en parallélisme des droites (AB) et (UC) – dans un premier temps l'élève n'a écrit que ce parallélisme – et aussi de formuler les égalités de longueur du « papier-conclusion ».
Etant donné que l'élève n'avait jamais utilisé l'égalité des triangles, nous l'avons accompagné dans la mise en œuvre du chaînage arrière en positionnant la « définition de l'égalité des triangles isométriques » avant la conclusion et en écrivant la prémisse de ce dernier pas déductif : ABC et ACU sont des triangles égaux. L'élève a regardé les cartes qui lui restaient et il a choisi la carte « parallélisme implique angles alternes-internes égaux ». Sur un nouveau papier il a refait une figure à main levée et a codé deux angles égaux (doubles traits sur son dessin). Ensuite il a compris qu'il lui fallait l'égalité de deux autres angles, mais il a fallu notre intervention pour qu'il se rende compte du fait que c'était le parallélisme des deux autres côtés du parallélogramme qui le donnait, il a donc complété son papier précédent en rajoutant le parallélisme des droites (BC) et (AU). Puis il a rajouté sur le papier suivant le fait que « (AC) appartient aux deux triangles ». Il lui a suffi de compléter par la carte d'inférence « cas d'égalité ACA » pour se trouver satisfait de son « chemin » !

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

### 2.f. Analyse de l'expérimentation

Nous pouvons au passage remarquer une étape préalable importante : donner des noms aux objets géométriques manipulés (s'ils n'en ont pas initialement). Comme cette démarche n'a pas gêné l'élève, nous n'avons pas approfondi la question. Cependant il faut admettre qu'elle se réfère à des questions assez profondes : généralité de la propriété à démontrer, la démonstration sur un parallélogramme particulier permet de conclure dès lors que celui-ci est « quelconque », le fait de lui donner un nom n'altérant pas cet attribut.

Notons aussi qu'au contraire des réseaux dessinés qui apparaissent dans les travaux de Duval et Egret [DE89], l'alternance de papiers et de cartes permet de bien mettre en évidence le statut opératoire des propositions et le recyclage. Duval [D91] suggère d'ailleurs la possibilité de répéter la propriété-conclusion pour lui donner le statut de propriété-prémisse : on pourrait donc envisager, dans un premier temps, de répéter les papiers intermédiaires avec, par exemple, un code couleur, pour illustrer le recyclage : conclusion qui devient prémisse du pas suivant.

Un petit inconvénient qu'on peut trouver à cette manipulation de papiers et de cartes réside dans l'encombrement qu'elle génère. On suppose qu'il sera mieux de travailler en demi-groupe pour que chaque élève dispose d'un espace suffisant. Toutefois, rien n'étant tout noir ou tout blanc, cet inconvénient se transforme en avantage dès qu'on veut aiguiller l'élève vers la rédaction d'une démonstration sous forme de texte. Comment garder la trace de son travail sinon ?

Nous présentons en annexe 3 la rédaction faite par l'élève une fois le chemin établi. Nous avons d'abord écrit la première phrase et la dernière phrase (en laissant suffisamment
d'espace entre les deux) pour initier le procédé et faire le lien avec le chemin de cartes qui a un point de départ et un point d'arrivée.

## 2.g. Expérimentation avec un élève de fin de cinquième (phase 2)

Deux jours plus tard, nous avons redéposé sur le bureau le chemin créé par l'élève précédemment en lui disant qu'il allait maintenant démontrer l'implication inverse : « si les côtés opposés sont deux à deux de même longueur alors le quadrilatère est un parallélogramme » (la question du quadrilatère non croisé a volontairement été laissée de côté, sa place semble être plutôt dans une phase d'exploration type Geogebra). Les cartes non utilisées à la séance précédente étaient posées sur le côté. Nous avons placé le papier-données comportant une figure à main levée codée d'un quadrilatère (non croisé) ayant ses côtés opposés de même longueur, et le papier-conclusion comportant un parallélogramme à main levée. La réaction immédiate a été : « C'est facile, on fait le chemin dans l'autre sens », ce à quoi nous avons répondu « Fais-le ».

L'élève a d'abord donné des noms aux sommets et « coupé » le quadrilatère en deux triangles, puis il a observé qu'il ne pouvait pas mettre directement la carte d'égalité des triangles et qu'il lui fallait aller chercher un autre cas d'égalité que celui qu'il avait utilisé précédemment : le cas CCC. Ensuite, il a utilisé un nouveau papier pour coder l'égalité des angles obtenue sur une figure à main levée et il a récupéré la carte des angles alternes-internes qu'il avait utilisée dans la première démonstration, rajouté un papier pour écrire le parallélisme des côtés opposés (les droites en fait) et rajouté la carte « définition du parallélogramme » pour terminer le chemin.

Nous avons attiré son attention sur la carte d'inférence avec les angles alternes-internes et il a constaté qu'elle n'était pas adaptée. Nous avons suggéré à l'élève de regarder ses autres cartes et l'élève a choisi la carte d'inférence avec l'implication inverse (égalité des angles alternes-internes implique parallélisme), voir le résultat final sur les photos ci-dessous.

Dans notre échange oral, l'élève a dit qu'il ne savait pas qu'il y avait une autre carte, son professeur avait dit que l'égalité des angles alternes-internes et le parallélisme des droites, c'était pareil. Nous rapportons ici cet extrait du discours car il nous semble traduire une difficulté de l'entrée dans la géométrie déductive que nous avons déjà partiellement évoquée : alors que l'idée de dire « c'est pareil » se justifie par une approche de compréhension globale propice au développement d'intuitions, la distinction entre implication et implication réciproque est cruciale pour construire la structure déductive du raisonnement : argumentation et démonstration doivent cohabiter, se compléter, mais pas se marcher sur les pieds. Une difficulté de taille pour les enseignants est de faire progressivement comprendre cette subtilité aux élèves.

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Nous sommes bien conscients que cette expérience n'est pas représentative de ce qui pourrait se passer dans une classe : l'élève était seul en notre compagnie, il avait déjà fréquenté la géométrie déductive, et d'autre part son niveau mathématique est plutôt bon. Toutefois, malgré ces conditions globalement favorables, l'activité a fait apparaître quelques points de tension que nous pensons retrouver chez de nombreux élèves, et nous avons l'impression que l'usage des cartes et de « papiers » est favorable à une mise en évidence efficace de ces points de tension dans l'objectif de les dépasser.

### 2.h. Expérimentation : bonus !

Ce paragraphe est un complément par rapport à ce qui était prévu dans l'atelier, l'expérimentation suivante ayant eu lieu après l'atelier.

Dans la continuité de notre objectif de démonstration des propriétés caractéristiques du parallélogramme, et aussi un peu par curiosité, nous avons, plusieurs semaines plus tard, attaqué de nouveau notre élève-cobaye (avec son consentement !) pour voir s'il était possible d'obtenir de lui la démonstration de la caractérisation par les diagonales. La remémoration du travail précédemment effectué, même si elle a demandé quelques efforts, a tout de même été encourageante : des souvenirs assez vifs se sont présentés, ce qui nous laisse penser que la manipulation et l'implication qu'elle nécessite ont laissé des traces, d'autant que les propriétés obtenues n'avaient pas été réinvesties entre temps. Nous avons donc mentionné à l'élève que, grâce à son travail, il avait créé deux nouvelles cartes que nous avons rajoutées dans son jeu de cartes. Et nous lui avons dit qu'il allait maintenant démontrer de manière analogue la propriété des diagonales.

Nous rapportons ici les étapes principales de la démarche de l'élève dont le résultat est présenté en annexe 4. Après création du papier initial et du papier final, il a fallu traduire la propriété finale en termes d'égalité de longueur, ce qui a amené à donner un nom au point d'intersection des diagonales. Le chaînage arrière a ensuite été mis en œuvre pour identifier deux triangles (coloriés en vert) dont l'égalité pouvait répondre au problème. La recherche des éléments dont l'égalité était à prouver pour obtenir l'égalité des triangles verts a demandé un certain temps de réflexion : deux côtés étant dans la « conclusion » il ne restait que le troisième côté et les angles adjacents. A partir de là, le chemin s'est construit petit à petit. Contrairement aux démonstrations précédentes, celle-ci se présente plutôt comme un réseau que comme un simple chemin. L'élève s'est tiré de cette situation en mettant plusieurs cartes en parallèle et les conclusions de plusieurs inférences sur le même papier (notons que sur ce papier, l'égalité d'angles est symbolisée sur le dessin mais n'est pas écrite « en toutes lettres » comme l'égalité de longueur). Nous pouvons d'ailleurs remarquer sur le réseau construit par l'élève que la structure d'enchaînement s'est partiellement désorganisée : alors que dans la première démonstration le parallélisme des côtés avait été utilisé en amont de l'usage des angles alternes-internes, on constate que les deux cartes sont cette fois sur le même niveau : on peut penser que l'élève a mis sur le même niveau toutes les cartes nécessaires à l'obtention de l'ensemble des propriétés nécessaires à l'application du cas d'égalité ACA. Une autre explication peut être qu'il n'a pas voulu répéter l'enchaînement de pas déductifs qu'il avait déjà effectué dans sa première démonstration. Même si au moment de la rédaction, il ne s'en est pas trop mal sorti, on constate quand même un manque de fluidité dans le discours.

En principe, le réseau déductif de cette preuve devrait se présenter comme sur le schéma ci-dessous (les rectangles à bords pleins sont des cartes d'inférence et les rectangles à bords
pointillés sont des papiers de contextualisation). Un premier chemin utilise la définition du parallélogramme puis les angles alternes-internes pour obtenir une égalité d'angles comme dans la toute première démonstration faite par l'élève. Un second chemin utilise la propriété du parallélogramme obtenue avec cette première démonstration : l'égalité des longueurs des côtés opposés. En combinant ces deux chemins on obtient toutes les prémisses nécessaires à l'utilisation du cas d'égalité ACA.

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

Pour éviter que l'élève ne juxtapose toutes les cartes d'inférence nécessaires à l'obtention des prémisses du cas d'égalité ACA, perdant ainsi partiellement la structure déductive de son raisonnement, nous aurions pu exiger de l'élève qu'il répète la donnée de départ autant de fois que nécessaire pour qu'il y ait un « papier-donnée » devant chacune des cartes d'inférence, ainsi il aurait pu constater que la carte « parallélisme implique angles alternes-internes égaux » était mal placée. (Une telle démarche se présente comme une avancée vers les démonstrations en réseau : ici la même donnée sert deux fois, mais on pourrait aussi avoir plusieurs données générant plusieurs chemins qui se rejoignent plus loin...)

On constate sur le schéma précédent que le premier chemin jusqu'au cas ACA est plus long que le deuxième. Le caractère amovible des cartes permet d'ajuster leur position pour que les deux points d'arrivée se trouvent au même niveau au moment de la « réunification ».

Dans un cas un peu plus complexe, la symbolisation de la réunification des chemins peut être plus délicate mais nous ne prévoyons pas de perpétuer outre mesure l'usage des cartes, celles-ci étant pour nous un artefact réservé à la compréhension du principe de géométrie déductive. Cela n'empêche pas de continuer à schématiser une preuve par un réseau sur papier comme chez Egret et Duval, [ED89] ou [D91], de préférence en distinguant la symbolisation des cartes d'inférence et des papiers de contextualisation, voir aussi [TG12].

Lors de la démonstration de la propriété réciproque (« diagonales se coupant en leur milieu implique parallélogramme »), l'investissement de l'élève n'était pas aussi convaincant (cette preuve-là n'a pas été menée tout à fait au bout), il en était de même lors de la première réciproque. Il peut s'agir d'une coïncidence (moment mal choisi) mais nous émettons aussi l'hypothèse que la démonstration d'une propriété réciproque parait rébarbative, peut-être parce que la distinction entre propriété et propriété réciproque résiste : même si l'élève semblait comprendre cette distinction dans le principe, ça restait probablement pour lui un peu « tiré par les cheveux » ... De plus, nous avons pu constater que la première réciproque (« si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur alors c'est un parallélogramme ») n'était pas encore bien disponible pour l'élève : alors qu'il avait utilisé assez facilement le fait qu'un parallélogramme avait ses côtés opposés de même longueur pour la démonstration précédente (voir annexe 4), il a refusé d'utiliser la propriété réciproque pour démontrer cette deuxième réciproque, préférant réutiliser le même raisonnement que dans la première réciproque : l'égalité des angles alternes-internes, le parallélisme et la définition du parallélogramme.
## 2.i. Bilan général de l'expérimentation

En ce qui concerne les démonstrations de propriétés de cours, en conclusion des observations précédentes, même si la situation n'est pas représentative d'une situation de classe, nous pouvons conjecturer :

* que la distinction entre une propriété et sa propriété réciproque est un travail de longue haleine et qu'on ne peut pas s'attendre à ce que l'élève soit capable de faire la distinction sans fréquenter de multiples situations le confrontant à cette distinction (on pourrait d'ailleurs réfléchir à l'ordre dans lequel on introduit les propriétés puisque la réciproque de la réciproque est la propriété elle-même) ;

* que l'appropriation d'une propriété réciproque est plus difficile que celle de la propriété directe et qu'elle exige donc une utilisation répétée dans des cas simples avant d'être réinvestie dans des situations plus complexes comme les démonstrations de cours ;

* que les deux caractérisations du parallélogramme en jeu ici ont l'avantage, si on utilise les cas d'égalité, de permettre de suivre des chemins aller et retour passant plus ou moins par les mêmes intermédiaires, ce qui permet de bien mettre en évidence les points distincts : remplacement d'une propriété par la propriété réciproque, changement de cas d'égalité ;

* que la démonstration des propriétés réciproques peut être fastidieuse pour les élèves et qu'il est probablement souhaitable que l'enseignant(e) prenne à sa charge la tâche de rédaction, « l'inversion » du chemin de cartes-papiers pouvant être mise au point individuellement, en binômes ou collectivement (avec des cartes grand format) ;

* que la gestion d'une démonstration avec des chemins « parallèles » est plus compliquée, que ce soit pour la création du réseau ou pour le passage à la rédaction.

En ce qui concerne l'utilisation des cartes, voici nos conclusions à ce stade. Nous énumérons d'abord quelques aspects qui nous semblent encourageants :

* il est facile de changer les cartes ou leur ordre ;

* il est facile de rajouter quelque chose sur un « papier » ou de rajouter un « papier » ;

* l'usage des papiers permet de faire de nombreuses figures à main levée et d'exploiter le codage, ce qui est plus accessible que l'écriture de phrases ; de plus ces figures évolutives incitent à ne pas coder sur un même dessin à la fois des propriétés connues et des propriétés à démontrer ;

* l'aspect rédactionnel est reporté après la fin de la construction du raisonnement, ce qui évite aux élèves de se focaliser sur la formulation ;

* les cartes permettent de bien faire la distinction entre un sens d'implication et le sens inverse (cf le lien entre parallélisme et égalité d'angles mentionné ci-dessus) ;

* la création de nouvelles cartes permet aux élèves de faire la différence entre la résolution d'un problème et la démonstration de propriétés de cours, et peut les aider à mieux appréhender la nature des connaissances mathématiques ;
* l'aspect ludique est certainement une motivation pour l'élève, et la manipulation est reconnue comme étant un moyen d'apprentissage efficace pour beaucoup d'élèves.

Nous avons aussi le sentiment que l'usage des cartes permet plusieurs approches d'une différenciation, qu'on pourrait formuler comme des « niveaux » de géométrie déductive : l'élève resterait à un niveau tant qu'il ne le maîtrise pas, ce qui l'autoriserait à évoluer à son rythme. Par exemple, le niveau 1 serait de donner seulement les cartes nécessaires (l'élève a alors pour seules tâches de les mettre dans l'ordre et de contextualiser), au niveau 2 on en donnerait seulement quelques-unes en trop (comme nous l'avons fait ci-dessus), au niveau 3, on laisserait le choix des cartes à l'élève, au niveau 4, on donnerait accès aux cartes (ou au cours) seulement pour consultation mais pas pour manipulation, le niveau 5 étant l'objectif final : celui de ne plus utiliser ni les cartes ni le cahier de cours.

Indépendamment de l'utilisation des cartes, une autre façon de différencier dans le contexte de la démonstration de propriétés générales pourrait être de donner deux énoncés différents de la propriété à démontrer : un énoncé réellement général et un énoncé plus « concret » (avec des mesures) qui servirait d'exemple générique. La comparaison des « chemins » pourrait permettre de convaincre les élèves ayant résolu le problème « numérisé » de l'universalité du raisonnement utilisé.

Pour revenir à l'usage des cartes, nous sommes conscients que quelques soucis sont aussi à prévoir :

* La place nécessaire à la manipulation suggère, comme nous l'avons déjà mentionné, qu'il est souhaitable de travailler en demi-groupe.

* Les cartes-définitions ne sont pas toutes considérées comme des cartes d'inférence : nous n'avons pas donné de cartes pour les définitions des angles alternes-internes, correspondants ou opposés par le sommet, car ces définitions correspondent à des propriétés ouvertes qui, au niveau du collège, se lisent généralement sur la figure (voir la fin du premier paragraphe de la section 2.d). La distinction entre propriété ouverte et propriété fermée peut paraître assez subtile.

* Selon la situation, l'élève peut être amené à faire, par exemple, des calculs sur les longueurs (comme dans le problème proposé en première partie) : si on ne donne pas la carte d'inférence associée (« si C appartient à [AB] alors AB=AC+CB ») alors il n'y aura pas alternance de cartes et de papiers. Il faut donc anticiper ce genre de cas, soit en disant aux élèves qu'ils peuvent juxtaposer deux papiers quand il s'agit d'une réécriture d'une propriété ou d'une déduction immédiate, soit en donnant bien toutes les cartes d'inférence nécessaires.

* Nous soupçonnons des difficultés pour la gestion des réseaux (plusieurs chemins parallèles) comme mentionné au paragraphe 2.h.

## Conclusion

Notre objectif initial est de trouver des moyens de faciliter l'accès à la géométrie déductive chez les élèves de collège. Notre conviction est que cette compréhension ne peut avoir lieu indépendamment de l'appréhension de la démarche mathématique qui construit, par la démonstration, tout un réseau de propriétés à partir de définitions et d'axiomes. Aussi est-il
souhaitable que les élèves aient globalement un aperçu de la structure des connaissances mathématiques et localement une compréhension de son fonctionnement.

Pour rester raisonnable, au niveau du collège, nous défendons d'une part la démonstration d'un nombre substantiel de propriétés de cours dans le respect d'une organisation cohérente des savoirs, d'autre part un travail engagé sur la spécificité du discours mathématique. Nous avons essayé de montrer ici que l'outil « égalité des triangles », qui est à ce jour trop peu exploité, est :

* d'une part approprié pour faire des démonstrations importantes concernant les caractérisations des parallélogrammes,

* d'autre part un outil idéal pour réaliser les premières démonstrations au collège : les triangles sont des surfaces bien connues des élèves, faciles à identifier, l'égalité de deux triangles est assez facile à conjecturer sur un dessin bien fait, la démarche est simple à comprendre et les sigles CCC, ACA, CAC ont un puissant effet mémnotechnique tout en allégeant considérablement la tâche de rédaction.

Ces raisons nous conduisent à recommander l'introduction des cas d'égalité des triangles dès le début de la classe de cinquième.

En ce qui concerne la tâche de démonstration en elle-même, il s'agit d'une tâche particulièrement complexe dont les spécificités nous paraissent trop rarement explicitées. Nous aurions bien envie de présenter la géométrie aux collégiens comme un nouveau jeu, avec ses règles propres, un jeu qui consiste, grâce aux cartes d'inférence, à construire un chemin entre un point de départ (les données) et un point d'arrivée (la conclusion). Plus sérieusement, l'utilisation des cartes permet de mettre en évidence, très concrètement, la spécificité de la démonstration par rapport à l'argumentation : l'alternance de « papiers » et de cartes permet de visualiser l'organisation en chemin ou réseau d'une suite de propriétés dont certaines sont contextualisées (les papiers) et d'autres sont des définitions ou des implications générales (les cartes d'inférence). L'aspect manipulatoire, le fait de pouvoir essayer et modifier son chemin s'il ne « fonctionne » pas, la possibilité de « changer de niveau » selon son degré de réussite participent de l'aspect ludique qui, on l'espère, peut mobiliser une majorité d'élèves.

Nous insistons aussi sur le fait que l'utilisation des cartes d'inférence est un outil temporaire pour aider les élèves à comprendre les principes du raisonnement déductif mais n'a aucune vocation à devenir pérenne. L'idée est de s'en débarrasser le plus rapidement possible. De même, l'utilisation des cartes en nombre limité impose une démarche de démonstration (comme beaucoup d'énoncés de problèmes hélas), ce que nous n'encourageons pas sur le long terme.

L'absence d'expérimentation en classe ne nous permet pas d'avoir une vision plus précise de l'ensemble des difficultés qui peuvent surgir dans notre démarche. En ce qui concerne l'utilisation des cartes, les difficultés de toute manipulation sont à prévoir, en particulier le problème de l'espace nécessaire à la réalisation du « chemin ». En attendant que les cas d'égalité s'installent confortablement en classe de cinquième, les cartes d'inférence nous semblent parfaitement adaptées à ce niveau de classe et pour des élèves de quatrième en difficulté. L'utilisation des cas d'égalité, si elle n'a pas lieu pour la démonstration des propriétés des parallélogrammes (même si nous n'excluons pas la possibilité de démontrer a
posteriori des propriétés qui ont été précédemment « acceptées comme vraies » mais sont rarement maîtrisées en profondeur) peut être mise à profit dans la résolution de problèmes (voir notamment le problème proposé au début de l'atelier et sa mise en œuvre en classe en paragraphe 1.c), on pourra consulter à ce sujet la brochure de l'IREM de Paris [Geom21], notamment les pages 183 à 207.

Nous sommes aussi conscients du fait que nous n'avons abordé la question de la géométrie déductive que de façon partielle. En particulier :

* Au contraire de Duval [D91] nous n'avons pas fait de distinction entre la phase heuristique de recherche d'une idée de démonstration et la phase de construction du chemin ou réseau. Cette différence est due à plusieurs raisons : d'abord la démonstration que nous avons envisagée est beaucoup plus simple que celles étudiées dans l'article de Duval [D91], ensuite nous réduisons les outils en donnant un nombre limité de cartes, ce qui permet, à notre avis, de combiner les deux tâches dans le même processus de recherche. Nous pensons toutefois, qu'avant de donner les cartes, il peut être intéressant de discuter de l'idée de la démonstration (incorporation des longueurs dans des triangles, nécessité d'obtenir des égalités d'angles pour vérifier l'égalité des triangles), ce qui justifie le choix des cartes, la tâche de l'élève étant alors surtout de faire la distinction entre angles correspondants et alternes-internes et entre implication et implication réciproque.

* Le sens de la flèche « implication » peut être difficile d'accès pour les élèves ; nous pensons toutefois que la familiarisation avec les réseaux déductifs de cartes d'inférence et « papiers » devrait permettre aux élèves qui ont des difficultés avec ce concept, de progresser dans sa compréhension par imprégnation.

* La question de la généralité a été abordée dans le sens où les propriétés démontrées sont générales et que cette généralité se traduit par la création d'une nouvelle carte, mais nous n'avons pas approfondi la question : la démonstration impose de travailler sur un parallélogramme ou un quadrilatère « fixé » auquel on donne un nom, mais qui reste quelconque...

* La tâche de rédaction n'a pas été explorée, l'élève expérimentateur ayant déjà une certaine aisance. Or cette tâche est assez fastidieuse, d'autant qu'elle demande des efforts d'écriture. Nous avons signalé le fait que les cartes et les papiers ne peuvent pas rester éternellement dans cet ordre sur le bureau, ce qui devrait constituer une motivation pour rédiger (garder la mémoire de ce qui a été fait) ; pour des élèves en grande difficulté avec l'écriture, on peut penser à un travail en binôme ou un travail à faire à la maison à partir du réseau de cartes élaboré et pris en photo par les élèves (ou le professeur si besoin).

Pour poursuivre notre exploration et mettre au point une aide aux enseignants de collège aussi riche et complète que possible pour faciliter l'entrée des élèves dans la géométrie déductive, nous serions très heureux d'avoir des collaborateurs. Aussi tout enseignant ou formateur intéressé pourra se manifester auprès des auteurs [guillaume.dider@inspe-paris.fr](mailto:guillaume.dider@inspe-paris.fr) ou pascale.nikolski@inspe-paris.fr
Bibliographie

[B01] Boule, F. (2001). Questions sur la géométrie et son enseignement. *Coll. Les repères pédagogiques*, Nathan Paris.

[DPG22] Didier, G. & Perrin-Glorian M.-J. (2022). Une organisation de la géométrie du collège. Les raisons du choix et le outils cas d'isométrie et de similitude des triangles. *Petit x 117*, à paraître.

[D91] Duval, R. (1991). Structure du raisonnement déductif et apprentissage de la démonstration. *Educational Studies in Mathematics* **22**, 233-261.

[DE89] Duval, R. & Egret, M.-A. (1989). L'organisation déductive du discours. Interaction entre structure profonde et structure de surface dans l'accès à la démonstration. *Annales de Didactique et de Sciences Cognitives 2*, 25-40, IREM de Strasbourg.

[ED89] Egret, M.-A. & Duval, R. (1989). Comment une classe de quatrième a pris conscience de ce qu'est une démarche de démonstration. *Annales de Didactique et de Sciences Cognitives 2*, 41-64, IREM de Strasbourg.

[Geom21] Groupe IREM Géométrie de Paris (2021). *Enseigner la géométrie au cycle 4. Comparer des triangles pour démontrer*. IREM de Paris, brochure n°100, 268 pages. Disponible en ligne http://docs.irem.univ-paris-diderot.fr/up/IPS20011.pdf

[MBPG20] Mathé, A.-C. & Barrier, T. & Perrin-Glorian M.-J. (2020). Enseigner la géométrie élémentaire. Enjeux, ruptures et continuité. *Les sciences de l'éducation aujourd'hui 2*, 37-40, Belgique.

[P22] Perrin, D. (2022). Géométrie, Programme d'Erlangen, Groupes, Transitivité et invariants. De la théorie à la pratique. *Petit x 117*, à paraître.

[Prog18] Programme du cyle 4 (2018). *Bulletin officiel n° 30 du 26-7-2018* https://cache.media.education.gouv.fr/file/30/62/8/ensel169_annexe3_985628.pdf

[Rep19] Repères annuels de progressivité. Mathématiques (2020). *Eduscol*. https://eduscol.education.fr/document/14080/download

[TG12] Tanguay, D. & Geeraerts, L. (2012). D'une géométrie du perceptible à une géométrie déductive : à la recherche du paradigme manquant. *Petit x 88*, 5-24

[TICE22] Groupe Ressources TICE pour la formation et l'enseignement de l'IREM de Paris (2022 ?), brochure à paraître. https://irem.u-paris.fr/groupes-irem/ressources-tice-pour-la-formation-et-lenseignement

[VHVHG58] Van Hiele, P.-M. & Van Hiele-Geldof D. (1958). A Method of Initiation into Geometry, in Report on Methods of Initiation into Geometry, in Freudenthal, *Learning and Understanding in Mathematics, a Tribute to Richard Skemp*, 27-47.

[W83] Wermuz, H. (1983). Modélisation de certaines activités de la pensée à l'aide des prédicats amalgamés. In : *La pensée naturelle, structure, procédures et logique du sujet*, Groupe de Recherche Ontogénèse des processus psychologiques de l'Université de Rouen, *Publications de l'Université de Rouen 86*, Presses Universitaires de France, 53-64.
Annexe 1

3) Dans les triangles LIE et AMI, on a

$$LI = AM = 4 \text{ cm}$$

$$A_j = EL = 2 \text{ cm}$$

$$SLA = LAS$$

En utilisant la cos d'égalité CAC,
je proue que AMi et LIE sont isométriques.

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

3- Dans les triangles AMI et LIE on sait que

$$\angle E = \angle A1 = 2 \text{ cm}$$

$$\angle L1 = \angle A1 = 4 \text{ cm}$$

$$\vec{EL} = \vec{HA1}$$

Selon la cos d'égalité CAC les triangles AMI et LIE sont isométriques.
Annexe 2

**Définition :**

Un quadrilatère ayant ses côtés opposés deux à deux parallèles est appelé parallélogramme.

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

**Théorème :**

Si deux angles correspondants sont déterminés par des droites parallèles alors ils sont égaux.

Conditions d'utilisation à vérifier pour pouvoir utiliser ce théorème

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

Deux droites parallèles et deux angles correspondants

Théorème

En utilisant ce théorème, on montre que :

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

Deux angles égaux

**Théorème :**

Si deux angles correspondants sont égaux alors les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.

Conditions d'utilisation à vérifier pour pouvoir utiliser ce théorème

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

Deux angles correspondants égaux

Théorème

En utilisant ce théorème, on montre que :

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

Deux droites parallèles

**Théorème :**

Si deux angles alternes-internes sont égaux alors les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.

Conditions d'utilisation à vérifier pour pouvoir utiliser ce théorème

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

Deux angles alternes-internes égaux

Théorème

En utilisant ce théorème, on montre que :

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

Deux droites parallèles

**Théorème :**

Si deux angles alternes-internes sont déterminés par des droites parallèles alors ils sont égaux.

Conditions d'utilisation à vérifier pour pouvoir utiliser ce théorème

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

Deux droites parallèles et deux angles alternes-internes

Théorème

En utilisant ce théorème, on montre que :

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

Deux angles égaux

**Cas d'égalité CAC :**

Si deux triangles ont deux côtés deux à deux de même longueur et si les angles compris entre ces côtés sont égaux alors ces triangles sont isométriques.

Conditions d'utilisation à vérifier pour pouvoir utiliser ce théorème

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

Deux triangles ayant deux côtés deux à deux de même longueur et les angles compris entre ces côtés égaux

Théorème

En utilisant ce théorème, on montre que :

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

Deux triangles isométriques

**Cas d'égalité ACA :**

Si deux triangles ont deux angles deux à deux égaux et les côtés joignant les sommets de ces angles sont de même longueur alors ces triangles sont isométriques.

Conditions d'utilisation à vérifier pour pouvoir utiliser ce théorème

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

Deux triangles ayant deux angles deux à deux égaux et les côtés joignant les sommets de ces angles de même longueur

Théorème

En utilisant ce théorème, on montre que :

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

Deux triangles isométriques

**Cas d'égalité CCC :**

Si deux triangles ont leurs côtés deux à deux de même longueur alors ces triangles sont isométriques.

Conditions d'utilisation à vérifier pour pouvoir utiliser ce théorème

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

Deux triangles ayant leurs côtés deux à deux de même longueur

Théorème

En utilisant ce théorème, on montre que :

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

Deux triangles isométriques
Annexe 3

Texte de démonstration de la propriété A par un élève de fin de 5ème après utilisation des cartes d'inférence.

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

Donc $\square ABCU$ a ses côtés opposés de même longueur
<figure><img src="image_38.png" /></figure>

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

<figure><img src="image_40.png" /></figure>