# Imagerie optique non-conventionnelle : de la seconde à la troisième dimension et au delà

Nicolas Verrier

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Nicolas Verrier. Imagerie optique non-conventionnelle : de la seconde à la troisième dimension et au delà. Physique [physics]. Université de Haute Alsace (UHA), 2024. tel-04590922

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Submitted on 28 May 2024

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UNIVERSITÉ DE HAUTE-ALSACE

HABILITATION À DIRIGER LA RECHERCHE

# Imagerie optique non-conventionnelle : de la seconde à la troisième dimension et au delà

Auteur :

Dr. Nicolas VERRIER

Superviseur :

Pr. Olivier HAEBERLÉ

Manuscrit soumis pour satisfaire aux conditions d'attribution
de l' Habilitation à diriger la recherche

au sein de

UR 7499 - IRIMAS
Faculté des Sciences et Techniques

Devant le jury composé de :

Alexandra Fragola

Marc Georges

Gilles Tessier

Sophie Brasselet

Pascal Picart

Olivier Haeberlé

Professeure des Universités - Université Paris Saclay

Directeur de Recherche - Centre Spatial de Liège

Professeur des Universités - Sorbonne Université

Directrice de Recherches - Institut Fresnel

Professeur des Universités - Le Mans Université

Professeur des Universités - Université de Haute-Alsace

Rapportrice

Rapporteur

Rapporteur

Examinatrice

Examineur

Garant

23 mai 2024
« On peut aussi bâtir quelque chose de beau avec les pierres qui entravent le chemin. »

Johann Wolfgang von Goethe
UNIVERSITÉ DE HAUTE-ALSACE

Résumé

Institut Universitaire de technologie de Mulhouse
Faculté des Sciences et Techniques

Habilitation à diriger la recherche

Imagerie optique non-conventionnelle : de la seconde à la troisième dimension et au delà

par Dr. Nicolas VERRIER

L'imagerie sans marquage permet d'extraire davantage d'informations d'une image que les méthodes plus conventionnelles. Ici la connaissance du modèle de formation d'image permet d'obtenir des informations quantitatives inaccessibles autrement. Les domaines couverts par l'imagerie optique non-conventionnelle sont extrêmement larges et s'étendent à toutes les échelles de l'astronomie à la nanoscopie et toutes les longueurs d'ondes des rayons X jusqu'aux micro-ondes.

Ce document est l'occasion de faire le bilan de mes 15 années d'exploration de ces thématiques. Je reviendrai sur les développements des modèles de formation d'images, base de ces approches, que j'ai été amené à développer dans des thématiques aussi variées que la mécanique des fluides, les contrôles non-destructifs et la microscopie.

Ces années se sont également accompagnées de développements expérimentaux originaux pour extraire toujours plus d'information d'images ou de séquences d'images. Ces développements permettent d'ores et déjà, à partir d'images 2D d'accéder à une information 3D. Mais peut-on aller au-delà et comment? Ce sont les deux questions auxquelles ce manuscrit tâchera de répondre, se basant sur mes expériences passées et mes projets à venir.
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Remerciements

Et voilà, ça faisait maintenant 15 ans que je n'avais pas eu à écrire une pleine page de remerciements. J'espère que je ne suis pas trop rouillé. Avant de partir en divagations diverses, je tenais tout d'abord à remercier les rapporteurs et rapportrice de ce manuscrit : Alexandra Fragola, Marc Georges et Gilles Tessier pour avoir accepté avec beaucoup d'enthousiasme de m'accompagner dans cette démarche. Je m'étais engagé sur un manuscrit de longueur « raisonnable », il semblerait que j'aie un peu débordé... Je remercie également Sophie Brasselet et Pascal Picart respectivement examinatrice et examinateur de ce travail. Je n'oublie pas mon garant, Olivier Haeberlé, qui aura le droit à un remerciement étendu un peu plus bas.

La première difficulté au moment de constituer ce jury a été de trouver des personnes avec qui je n'avais pas directement collaboré, et force est de constater que les chemins tortueux de l'après-Thèse n'y sont pas étrangers. Il faut dire que l'adoption de la LRU au beau milieu de ma Thèse n'a pas été le meilleur des accélérateurs de carrières : postes gelés, départs en retraite non pourvus, généralisation de la recherche sur projet ... Il a donc fallu quitter le cocon, à l'époque rassurant, du CORIA. Je remercie d'ailleurs une nouvelle fois Sébastien Coëtmellec, Denis Lebrun et Marc Brunel de m'avoir mis le pied à l'étrier. Il ne serait même pas question d'HdR sans votre accompagnement initial.

J'ai donc commencé l'infructueuse vague de candidatures aux postes MCF et la plus fructueuse vague de candidatures en Post-Doc. Je remercie donc Michael Atlan, artiste de la recherche et premier partenaire de précarité. Tu es et resteras quelqu'un d'important pour tout le déroulé de ma jeune carrière qui l'est de moins en moins. Premiers pas dans un laboratoire de la capitale, pour rejoindre le pool de Post-Doc, découvrir qu'on peut travailler à 5 dans un bureau de moins de 10 m², voir que contrairement à une chambre, une salle de manip peut mesurer moins de 9 m². Un coucou aux voisins, très proches, de l'époque : Benjamin Samson, Max Lesaffre, Julie Delahaye et Romain Pierrat.

Arrive la fin du premier post-Doc, passage à proximité du Panthéon pour aller prendre un verre au Bombardier avec Max et nous croisons Michel Gross, les premiers contacts sont un peu « frais ». Deux semaines plus tard, je reçois un coup de fil de ce dernier qui me propose de le rejoindre dans son nouveau laboratoire à Montpellier. Le hasard des rencontres fait bien les choses! Toujours est-il qu'un Post-Doc chez Michel Gross, ça ne se refuse pas. Au-delà du chercheur exceptionnel se trouve une personne qui a réellement le cœur sur la main, plus qu'un collègue, Michel tu es un mentor! Profite bien de ta « retraite » dans ta nouvelle terre d'adoption.

Pendant cette année, j'ai été contacté par Corinne Fournier, il se trouve qu'elle collaborait avec un ancien collègue du CORIA, Loïc Méès, et qu'un financement de Post-Doc était à pourvoir. Étant toujours l'éternel second dans mes candidatures MCF, j'ai bien évidemment accepté. C'était en plus pour moi l'occasion de découvrir de nouveaux outils, les aproches inverses. Direction Saint-Étienne!! Je remercie Corinne Fournier pour la confiance dont elle a fait preuve. Après tout, j'étais à l'époque davantage un monteur de manips qu'un « inverseur »! Je te remercie d'ailleurs plus particulièrement pour la visibilité que tu as pu me donner, même après mon passage chez toi en m'impliquant dans la communauté de l'Imagerie Optique Non-Conventionnelle. Si j'ai à ma charge l'organisation des JIONC et d'Unconventional Optical Imaging, c'est grâce à toi. Et c'est toujours un plaisir, année après année, d'expliquer aux gens ce que c'est que l'Imagerie Optique Non-Conventionnelle.

Je lui dois ma dernière expérience précaire, la plus courte (5 mois) auprès de Michel Tallon au Centre de Recherche en Astronomie de Lyon (CRAL). Je te remercie Michel pour la confiance dont tu as fait preuve en me recrutant au sein de l'équipe malgré mon bagage maths applis limité. Finalement, 5 mois c'est court, peut-être trop court quand on ajoute à
ça les derniers concours MCF que j'ai passés. La tête n'y était pas vraiment et je te prie de m'en excuser.

Et oui, dernier concours MCF, la loi Sauvadet m'empêchait de m'engager de nouveau en Post-Doc, et finalement ce fût le bon ! Me voilà donc à Mulhouse, en IUT mais avant toute chose avec un poste de Maître de Conférences ! Et là je dois dire un grand merci à Olivier Haeberlé, la preuve vivante qu'on peut être chercheur dans un petit IUT de sous-préfecture de province (elle est pour toi Stéphane) et avoir une reconnaissance internationale. Au-delà du brillant chercheur, c'est surtout l'ami que je remercie. Comme je le dis souvent, tu m'as sorti du caniveau ! Que ce soit la logistique au quotidien (même à 2h du mat'), la découverte de la ville et de ses environs, l'intégration auprès des collègues, la découverte des arcanes institutionnelles, tout devient facile quand on a Olivier avec soi. Tu nous montres la voie à suivre, maintenant y a plus qu'à !

Il faut dire que l'environnement au sein de l'équipe IMTIS est au top. Un petit cocon peu-
plé de collègues amis tous plus sympas les uns que les autres. Je vais vous remercier tous,
ne vous en faites pas! Je vais commencer par mon co-bureau avec qui on se co-supporte de-
puis bientôt 8 ans, Matthieu Debailleul BIATSS de l'équipe et bien plus que ça ! Sans toi, on
n'aurait pas de manips! On n'aurait pas non plus toutes les analyses diététique et santé et
tant de choses dont finalement on ne peut plus se passer. Je remercie également Ali Mouka-
dem philosophe du temps-fréquence et tout comme moi amateur de malt, Stéphane Bazeille
roi du blind test année 80 et roboticien hors-pair, Bruno Colicchio la force tranquille et mon
mentor en terme de pédagogie, Jean-Baptiste Courbot qui sait me recadrer quand je drifte
un peu trop. Je remercie les matinaux, partenaires de la première pause café, Alain Dieter-
len, Christophe Cudel et Sophie Kohler, les discussions sont animées, viriles mais justes!
Merci Djaffar Ould Abdeslam, notre M. 100 000 V roi du renouvelable et nouveau passionné
d'astrophoto pour avoir découvert que finalement l'optique c'était intéressant! Merci enfin
au STAPSiens Clément Roume (le boomerang de l'Hérault) et Fabrice Degoutte numéro 1
auprès de la ménagère de moins de 50 ans pour les discussions stratégiques animées. Une
pensée pour les anciens, et surtout pour celui qui n'en est pas vraiment un : Doudou (Hakim
ou Mahfoud, ça dépend) brasseur de Dornach et mangeur de cordon bleus!

Parmi les personnes qui se retrouvent, une nouvelle fois, dans les remerciements d'un de
mes manuscrits il en est une qui a subi la situation au moins autant que moi (davantage je
le sais bien), c'est ma Mélie. La gare de Lyon n'a plus de secrets pour toi. Ils ont bien essayé
de te déplacer le salon VIP mais tu le retrouves toujours ! C'est bien l'un des seuls avantages
de notre situation quelque-peu bancale, mais on a sû faire avec, on fera avec le temps qu'il
faudra et on finira par avoir notre grotte rien qu'à nous !

Je n'oublie bien évidemment pas les premiers des premiers : mes parents et ma sœur. Je
me suis éloigné géographiquement, mais l'éloignement s'arrête là ! On peut remercier Skype
pour nous permettre de prendre régulièrement un verre ensemble entre deux moments où
on peut se voir en vrai. Merci de faire une nouvelle fois le déplacement. Promis c'est le
dernier diplôme, il n'y en a pas d'autres après !

Je vais conclure par les amis de la première heure, Titi, les membres du PMU au CORIA.
Les visites sont moins assidues, mais le plaisir de se voir est toujours là !

Un dernier remerciement aux doctorants et stagiaires qui sont passés et on contribué à
ces recherches!!

J'arrête là le mélo, et voici le moment de rentrer dans le dur. Bonne lecture!
# Table des matières

<table><tr><td>Résumé</td><td>iii</td></tr><tr><td>Remerciements</td><td>v</td></tr><tr><td>L'Habilitation à Diriger la Recherche : le bilan de carrière du milieu</td><td>1</td></tr><tr><td>L'Habilitation à Diriger la Recherche : le bilan de carrière du milieu</td><td>1</td></tr><tr><td>L'après Thèse</td><td>1</td></tr><tr><td>Maître de Conférences</td><td>1</td></tr><tr><td>L'imagerie optique non-conventionnelle</td><td>2</td></tr><tr><td>Organisation générale du document</td><td>2</td></tr><tr><td>I Imagerie optique non-conventionnelle : formation d'image et reconstruction</td><td>5</td></tr><tr><td>1 Introduction : les principes généraux de l'imagerie optique non conventionnelle</td><td>7</td></tr><tr><td>1.1 Les limites de l'imagerie optique conventionnelle</td><td>7</td></tr><tr><td>1.2 L'imagerie optique non-conventionnelle</td><td>8</td></tr><tr><td>1.3 Holographie de Gabor</td><td>9</td></tr><tr><td>2 L'holographie : modèles de formation d'image</td><td>11</td></tr><tr><td>2.1 L'holographie numérique</td><td>11</td></tr><tr><td>2.1.1 Un peu d'histoire</td><td>11</td></tr><tr><td>2.1.2 Principe et intérêt de l'holographie numérique</td><td>11</td></tr><tr><td>2.2 Principales méthodes d'extraction de la phase optique</td><td>13</td></tr><tr><td>2.2.1 L'holographie hors-axe</td><td>13</td></tr><tr><td>2.2.2 L'holographie à décalage de phase</td><td>15</td></tr><tr><td>2.3 Formation d'images en holographie</td><td>17</td></tr><tr><td>2.3.1 Le théorème d'Huygens-Fresnel</td><td>17</td></tr><tr><td>2.3.2 Échantillonnage de la réponse impulsionnelle du système</td><td>18</td></tr><tr><td>2.3.3 Lien avec la simulation des hologrammes</td><td>20</td></tr><tr><td>2.4 Écoulements canalisés</td><td>21</td></tr><tr><td>2.5 Quelques remarques</td><td>25</td></tr><tr><td>3 L'holographie : les méthodes de reconstruction classiques</td><td>27</td></tr><tr><td>3.1 La reconstruction holographique</td><td>27</td></tr><tr><td>3.1.1 D'Huygens-Fresnel à la reconstruction des hologrammes</td><td>27</td></tr><tr><td>3.1.2 Interprétation du principe d'Huygens-Fresnel comme une transformation de Fourier</td><td>27</td></tr><tr><td>3.1.3 Retour sur les problématiques d'échantillonnage</td><td>29</td></tr><tr><td>3.2 Reconstruction à grandissement variable</td><td>31</td></tr></table>
<table><tbody><tr><td>3.2.1</td><td>Principe</td><td>31</td></tr><tr><td>3.2.2</td><td>Gestion des répliques et des alias</td><td>32</td></tr><tr><td>3.3</td><td>Reconstruction en microscopie holographique</td><td>34</td></tr><tr><td>3.3.1</td><td>Problématique liée à la reconstruction d'objet étendus en microscopie holographique</td><td>35</td></tr><tr><td>3.3.2</td><td>Calibration de la reconstruction : masque de phase</td><td>36</td></tr><tr><td>3.3.3</td><td>Équivalence demi-espace image, demi-espace objet et système afocal de reconstruction</td><td>38</td></tr><tr><td>3.4</td><td>Quelques remarques sur les approches « propagatives » de reconstruction</td><td>39</td></tr><tr><td>4</td><td>Holographie et approches problèmes inverses</td><td>41</td></tr><tr><td>4.1</td><td>Approches paramétriques : imagerie holographique de gouttelettes</td><td>42</td></tr><tr><td>4.1.1</td><td>Formation d'images en holographie de gouttes : le modèle de Tyler Thompson</td><td>42</td></tr><tr><td>4.1.2</td><td>Formation d'images en holographie de gouttes : la théorie de Lorenz-Mie</td><td>43</td></tr><tr><td>4.1.3</td><td>Principe de la reconstruction paramétrique</td><td>43</td></tr><tr><td>4.2</td><td>Application des approches paramétriques à la calibration automatique de dispositifs expérimentaux</td><td>45</td></tr><tr><td>4.2.1</td><td>Problématique</td><td>45</td></tr><tr><td>4.2.2</td><td>Analyse de la précision de l'estimation : étude des bornes de Cramèr-Rao du modèle</td><td>45</td></tr><tr><td>4.2.3</td><td>Calibration du montage</td><td>46</td></tr><tr><td>4.3</td><td>Co-conception pour l'optimisation de la résolution axiale</td><td>47</td></tr><tr><td>4.3.1</td><td>Dispositif expérimental et modèle de formation d'images</td><td>48</td></tr><tr><td>4.3.2</td><td>Optimisation des paramètres du masque</td><td>49</td></tr><tr><td>4.4</td><td>Approches paramétriques et estimation conjointe</td><td>51</td></tr><tr><td>4.4.1</td><td>Principe général de l'approche retenue</td><td>51</td></tr><tr><td>4.4.2</td><td>Holographie « super-résolue » par approche inverse conjointe</td><td>52</td></tr><tr><td>4.4.3</td><td>Application à la trajectographie 3D haute-résolution</td><td>54</td></tr><tr><td>4.5</td><td>Quelques remarques sur les approches inverses</td><td>56</td></tr></tbody></table>

## II Dispositifs d'imagerie optique non-conventionnelle 57

### 1 Introduction : mise en place de dispositifs expérimentaux pour l'imagerie quantitative 59

1.1 De l'imagerie de phase quantitative à l'imagerie quantitative 59

1.2 Cas de l'holographie : sur quels paramètres du montage agir? 59

1.3 Organisation générale de la partie 60

### 2 Principes et propriétés de l'holographie hétérodyne 61

2.1 Principes de l'holographie hétérodyne 61

2.1.1 Modulation acousto-optique 61

2.1.2 Intégration des AOM dans un montage de microscopie holographique 62

2.2 Propriétés de l'holographie hétérodyne 63

2.2.1 Holographie hétérodyne et décalage de phase 63

2.2.2 Holographie hétérodyne et bruit de photon 64

2.3 Analogie avec les récepteurs superhétérodynes 67

2.4 Conclusion : vers l'imagerie laser Doppler 68
3 Imagerie laser Doppler : contrôles non-destructifs et imagerie des milieux diffusants 69

3.1 Imagerie laser Doppler d'objets en vibration harmonique : mesure quantitative de l'amplitude de vibration 69

3.1.1 Effet Doppler et modulation de fréquence 69

3.1.2 Quelques propriétés des modulations de fréquence de faible amplitude ($\beta \ll 1$) 71

3.1.3 Application à la mesure quantitative d'amplitudes de vibrations mécaniques 71

3.1.4 Imagerie laser Doppler stroboscopique 76

3.2 Imagerie laser Doppler pour la caractérisation de flux sanguins 79

3.2.1 Principe de l'holographie hétérodyne appliquée à la détection de flux 79

3.2.2 Dispositif expérimental 80

3.2.3 Acquisition et reconstruction des données : vers une extraction quantitative de la vitesse des cellules sanguines 81

3.3 Quelques remarques sur la détection hétérodyne 84

III Vers la troisième dimension : la microscopie par tomographie diffractive 87

1 Introduction : microscopie par tomographie diffractive de la 2,5D à la 3D 89

1.1 Holographie et troisième dimension 89

1.2 Holographie et imagerie quantitative 91

1.3 Organisation générale de la partie 92

2 Principes de la microscopie par tomographie diffractive 93

2.1 Modèle de formation d'image : des équations de Maxwell au potentiel objet 3D 93

2.1.1 Des équations de Maxwell à l'équation d'Helmholtz 93

2.1.2 Résolution de l'équation d'Helmholtz et approximation de Born 94

2.1.3 Approximation de Rytov 96

2.2 Synthèse d'ouverture 3D 97

2.2.1 Balayage de l'onde d'illumination 97

2.2.2 Rotation de l'échantillon 98

2.2.3 Variation de la longueur d'onde d'illumination 99

2.2.4 Combinaison rotation d'échantillon et balayage d'illumination 99

2.3 Algorithmes de traitement et reconstruction des données 99

2.3.1 Prétraitement des hologrammes 100

2.3.2 Reconstruction par inversion directe 101

2.4 Montage expérimental 103

2.5 Les voies d'amélioration 104

3 Simplification des acquisitions en MTD en transmission 105

3.1 Contexte de l'étude 105

3.2 Exploitation des symétries d'échantillon et simplification des reconstructions 105

3.2.1 Symétries dans l'espace de Fourier : les symétries hermitiennes 106

3.2.2 Cas des symétries d'échantillon 107

3.3 Application à l'analyse de fibres 108

3.3.1 Reconstruction à partir d'acquisitions holographiques (FINER) 108

3.3.2 Reconstruction à partir d'acquisition tomographiques (TINER) 109

3.3.3 Application à la reconstruction d'une fibre optique 110
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>3.4</td>
      <td>Microscopie tomographique diffractive assistée par miroir</td>
      <td>112</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.1</td>
      <td>Dispositif expérimental</td>
      <td>112</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.2</td>
      <td>Simplification dans le cas d'échantillons très faiblement réfléchissants</td>
      <td>113</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5</td>
      <td>Conclusion</td>
      <td>116</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>4</b></td>
      <td><b>Optimisation du balayage de l'illumination en MTD</b></td>
      <td><b>117</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.1</td>
      <td>Contexte de l'étude</td>
      <td>117</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2</td>
      <td>Balayage de la pupille du condenseur</td>
      <td>117</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.1</td>
      <td>Balayage annulaire</td>
      <td>118</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.2</td>
      <td>Balayage en étoile</td>
      <td>119</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.3</td>
      <td>Balayage « en fleur »</td>
      <td>119</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.4</td>
      <td>Balayage en spirale</td>
      <td>119</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.5</td>
      <td>Balayage en spirale de Fermat</td>
      <td>119</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.6</td>
      <td>Balayage optimisé sur une demi-sphère</td>
      <td>119</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3</td>
      <td>Analyse des différentes familles de balayage</td>
      <td>121</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.1</td>
      <td>Analyse des simulations</td>
      <td>122</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.2</td>
      <td>Analyse des données expérimentales</td>
      <td>123</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4</td>
      <td>Généralisation à la microscopie 4π</td>
      <td>124</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.5</td>
      <td>Conclusion</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>5</b></td>
      <td><b>Microscope numérique universel</b></td>
      <td><b>127</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1</td>
      <td>De la TDM à la microscopie numérique</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2</td>
      <td>Modalités reposant sur une modification de l'intensité</td>
      <td>129</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2.1</td>
      <td>Microscopie à champ large</td>
      <td>129</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2.2</td>
      <td>Microscopie à champ sombre</td>
      <td>129</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2.3</td>
      <td>Microscopie à l'illumination oblique</td>
      <td>130</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2.4</td>
      <td>Microscopie à illumination de Rheinberg</td>
      <td>130</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3</td>
      <td>Modalités reposant sur une modification de la phase</td>
      <td>130</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3.1</td>
      <td>Microscopie à contraste de phase</td>
      <td>130</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3.2</td>
      <td>Microscopie à contraste interférentiel différentiel</td>
      <td>131</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.4</td>
      <td>Gestion du défocus</td>
      <td>131</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.5</td>
      <td>Généralisation en 3D</td>
      <td>132</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.5.1</td>
      <td>Microscopie à champ sombre et microscopie à contraste de phase</td>
      <td>132</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.5.2</td>
      <td>Microscopie à contraste interférentiel</td>
      <td>134</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.5.3</td>
      <td>Microscope à illumination de Rheinberg</td>
      <td>134</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.5.4</td>
      <td>Pour aller plus loin : couplage de modalités</td>
      <td>134</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.6</td>
      <td>Conclusion</td>
      <td>135</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>6</b></td>
      <td><b>Imagerie à contraste de polarisation</b></td>
      <td><b>137</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.1</td>
      <td>Contexte de l'étude</td>
      <td>137</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2</td>
      <td>Modèle de Born vectoriel</td>
      <td>138</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3</td>
      <td>Lien avec le formalisme de Jones</td>
      <td>139</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4</td>
      <td>Mise en place de la MTD résolue en polarisation</td>
      <td>140</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4.1</td>
      <td>Configuration expérimentale</td>
      <td>140</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4.2</td>
      <td>Prétraitement et analyse des données</td>
      <td>141</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4.3</td>
      <td>Un peu de sérendipité : le DIC 3D</td>
      <td>142</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.5</td>
      <td>Conclusion</td>
      <td>144</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table><tbody><tr><td>Conférences nationales et internationales sans acte référencé</td><td>172</td></tr><tr><td>Présentations invitées dans le cadre de conférences</td><td>174</td></tr><tr><td>Séminaires invités</td><td>175</td></tr><tr><td>A.5.3 Encadrement de la recherche</td><td>176</td></tr><tr><td>Encadrement de stages M1/M2 et projet de fin d'études ingénieurs</td><td>176</td></tr><tr><td>Thèses soutenues</td><td>176</td></tr><tr><td>Thèses en cours</td><td>176</td></tr><tr><td>A.6 Responsabilités scientifiques</td><td>177</td></tr><tr><td>A.6.1 Projets portés</td><td>177</td></tr><tr><td>AAP 2019 ANR Instrument Jeune Chercheuse/Jeune Chercheur (JCJC)</td><td>177</td></tr><tr><td>Projets Innovants et Risqués 2018 (anciennement BQR)</td><td>177</td></tr><tr><td>A.6.2 Participation à des projets</td><td>177</td></tr><tr><td>AAP 2022 ANR Instrument Projet de Recherche Collaboratif (PRC)</td><td>177</td></tr><tr><td>AAP H2020 - MSCA - COFUND 2020</td><td>177</td></tr><tr><td>AAP 2019 Fond Régional Coopération de Recherche (FRCR)</td><td>178</td></tr><tr><td>AAP 2018 Fond Régional Coopération de Recherche (FRCR)</td><td>178</td></tr><tr><td>AAP 2018 ANR Instrument Projet de Recherche Collaboratif (PRC)</td><td>178</td></tr><tr><td>A.6.3 Organisation de colloques et de conférences</td><td>178</td></tr><tr><td>A.6.4 Participation à des réseaux de recherches nationaux et internationaux</td><td>178</td></tr><tr><td>A.7 Prix et distinctions scientifiques</td><td>179</td></tr><tr><td>A.8 Diffusion scientifique</td><td>179</td></tr><tr><td>A.8.1 Fête de la science</td><td>179</td></tr><tr><td>A.8.2 Pint of Science</td><td>180</td></tr><tr><td>A.8.3 Actions de diffusion auprès des habitants de Mulhouse</td><td>180</td></tr><tr><td>A.8.4 Article grand public</td><td>182</td></tr><tr><td><b>B Simulation des hologrammes en environnement confiné</b></td><td><b>183</b></td></tr><tr><td>B.1 Matrices de transfert du système</td><td>183</td></tr><tr><td>B.2 Rayons du faisceau et rayons de courbure de l'onde.</td><td>184</td></tr><tr><td>B.2.1 Propagation dans le premier système</td><td>184</td></tr><tr><td>B.2.2 Propagation dans le second système : onde de référence R (x, y)</td><td>184</td></tr><tr><td>B.2.3 Propagation dans le second système : onde objet O (x, y)</td><td>184</td></tr><tr><td><b>Bibliographie</b></td><td><b>187</b></td></tr></tbody></table>
Table des figures

<table><tbody><tr><td>I.1.1</td><td>Illustration de la formation d'image avec une lentille mince. (a) Cas d'un objet infiniment fin. (b) Cas d'un objet épais.</td><td>7</td></tr><tr><td>I.1.2</td><td>Différents concepts d'imagerie. (a) Imagerie conventionnelle, (b) Imagerie non-conventionnelle, (c) Co-conception</td><td>8</td></tr><tr><td>I.1.3</td><td>Expérience de Gabor. (a) Schéma de principe. (b) Hologramme et reconstruction</td><td>9</td></tr><tr><td>I.2.1</td><td>Illustration de l'enregistrement des interférences et notations. L'utilisation d'un cube pour la recombinaison n'est pas obligatoire, mais elle permet de mieux visualiser la sommation des ondes.</td><td>12</td></tr><tr><td>I.2.2</td><td>Principe de la modulation et de la démodulation en holographie hors-axe. (a) Hologramme modulé (voir Eq. (I.2.7)), (b) Intensité du spectre de l'hologramme représenté en échelle logarithmique. (c), (d) Illustration de la démodulation de l'hologramme [14]. (e) Filtrage de l'ordre +1, (f) reconstrige de la réponse dans l'espace de Fourier. (g) Intensité de l'hologramme démodulé.</td><td>14</td></tr><tr><td>I.2.3</td><td>Illustration de l'effet de la démodulation. (a) Sans phase-shifting, (b) Démodulation 2 phases, (c) Démodulation 4 phases.</td><td>15</td></tr><tr><td>I.2.4</td><td>Principe de la modulation et de la démodulation en holographie à décalage de phase en holographie « 4 phases ». (a-d) Hologrammes avec onde de référence en quadrature de phase, (e) Intensité du spectre de l'hologramme représenté en échelle logarithmique. (f) Illustration de la démodulation de l'hologramme [13]. (g) Intensité de l'hologramme démodulé.</td><td>16</td></tr><tr><td>I.2.5</td><td>Illustration du principe d'Huygens-Fresnel pour l'enregistrement (a) et la reconstruction (b) d'hologrammes.</td><td>17</td></tr><tr><td>I.2.6</td><td>Partie réelle de la réponse impulsionnelle de la propagation de la lumière dans un milieu d'indice n<sub>imm</sub> (voir Eq. (I.2.19)). La distribution des niveaux de gris et la représentation temps-fréquence sont proposées en insert. Les notations utilisées pour le calcul des fréquences d'échantillonnage sont également illustrées.</td><td>19</td></tr><tr><td>I.2.7</td><td>Illustration du choix de la méthode de calcul du noyau de propagation de la lumière en fonction de la distance entre le plan de transmittance de l'objet et le capteur.</td><td>21</td></tr><tr><td>I.2.8</td><td>Configuration expérimentale utilisée pour la mise en place du modèle de formation des images en situation de confinement, (a) dans le plan (x, z) et dans le plan (b) (y, z) (illustration reprise de la référence [21]).</td><td>22</td></tr><tr><td>I.2.9</td><td>Simulation des hologrammes d'une particule de 100 µm de diamètre en situation de confinement pour (a) z<sub>p</sub> ≈ 55 mm, z ≈ 165 mm; (b) z<sub>p</sub> ≈ 80 mm, z ≈ 140 mm; z<sub>p</sub> ≈ 120 mm, z ≈ 100 mm (illustration reprise de la référence [21]).</td><td>24</td></tr></tbody></table>
I.2.10 Hologrammes expérimentaux d'une particule de 100 µm de diamètre en situation de confinement pour (a) $z_p \approx 55$ mm, $z \approx 165$ mm; (b) $z_p \approx 80$ mm, $z \approx 140$ mm; $z_p \approx 120$ mm, $z \approx 100$ mm (illustration reprise de la référence [21]). 25

I.3.1 Reconstruction des hologrammes simulés Figs. I.2.2 et I.2.4. (a) amplitude de l'objet, (b) amplitude reconstruite en holographie hors-axe, (c) amplitude reconstruite en holographie à décalage de phase. (d-f) phase de l'objet et reconstruction en holographie hors-axe et à décalage de phase 28

I.3.2 Évolution de l'horizon reconstruit en fonction de la distance de propagation $z$. 29

I.3.3 Influence du choix de la méthode sur la reconstruction des hologrammes en fonction de la distance d'enregistrement $z$. Adapté de la référence [12]. 30

I.3.4 Reconstruction pour $\gamma = 0,8$ (a), $\gamma = 1$ (b), $\gamma = 2,5$ (c) (illustration reprise de la référence [12]). 32

I.3.5 (a) Procédure de suppression de l'aliasing. (b) Procédure de suppression des répliques (illustration reprise de la référence [12]). 33

I.3.6 Illustration du phénomène de répliques et d'alias. (a) Reconstruction pour $\gamma = 0,5 \times \gamma_0$, (b) Reconstruction pour $\gamma = \gamma_0$, (c) Reconstruction pour $\gamma = 4 \times \gamma_0$. (d) Mêmes résultats que (a) avec retrait des répliques. (f) Mêmes résultats que (c) avec retrait des alias (illustration reprise de la référence [12]). 34

I.3.7 Schéma de principe du dispositif de microscopie holographique (illustration adaptée de la référence [25]). 35

I.3.8 Principe du masque de phase pour la reconstruction en microscopie holographique. L'objet est ici positionné dans le plan focal objet de l'objectif. Les spectres sont représentés en échelle logarithmique. (a) spectre de $I_H$, (b) zoom sur l'ordre +1, (c) ordre +1 mis au point (nous avons ici utilisé un diffuseur pour mieux mettre en évidence les bords de la pupille), (d) ordre +1 corrigé et recentré, (e) phase de l'hologramme $I_{H_2}$ après correction des courbures et du hors-axe (illustration reprise de la référence [25]). 37

I.3.9 Schéma de principe du dispositif de microscopie holographique (illustration adaptée de la référence [25]). 39

I.3.10 Reconstruction d'un hologramme simulé en configuration de Gabor. (a) Hologramme, (b) amplitude reconstruite, (c) phase reconstruite. 39

I.4.1 Repères et notations utilisés pour la théorie de Lorenz-Mie 43

I.4.2 Schéma de principe de la reconstruction par approche inverse (adapté de la référence [21]) 44

I.4.3 Évolution des bornes de Cramèr-Rao pour $z_l$ en bleu et $z = z_{tot} - z_p$. Les lignes verticales correspondent aux positions des deux waists $z_{w1}$ et $z_{w2}$. 46

I.4.4 Hologrammes enregistrés (a-e) et résidus après calibration (f-j) pour différentes valeurs de $z_p$. La zone 1 correspond à la région entre CL et le premier waist. La zone 2 est comprise entre les deux waists et la zone 3 après le second waist. 47

I.4.5 Montage d'holographie de Gabor co-conçu avec optimisation de la dynamique de détection. Adapté de la référence [50] 48

I.4.6 Simulation du montage d'holographie co-conçu. (a) Hologramme non filtré. (b) Module de la transformée de Fourier de l'hologramme (échelle log). (c) Spectre filtré avec les paramètres $\rho_M$ et $\alpha$ optimaux. (d) Hologramme après filtrage. (e) Moyenne radiale des hologrammes représentés en (a) (profil bleu) et en (d) (profil gris). 50
III.2.6 Comparaison des reconstructions holographique et tomographique de l'indice de réfraction d'un pollen de topinambour (Helianthus Tuberosus). (a) Reconstruction holographique : coupe dans le plan {$x, y$}. (b) Reconstruction holographique : coupe dans le plan {$x, z$}. (c,d) Reconstructions tomographiques dans les mêmes plans.

III.2.7 Schéma de principe et photographie du montage de MTD en transmission à balayage de l'illumination.

III.3.1 OTF obtenue pour un objet de phase en holographie (a) dans l'axe, (b) à illumination tiltée, (c) illumination tiltée à l'angle extrême de collection de l'objectif de microscope.

III.3.2 Illustration de la relation entre rotation de l'objet et rotation du support fréquentiel (a) objet, (b) support fréquentiel.

III.3.3 Exemples d'échantillons présentant une symétrie de révolution. (a) Fibre de soie d'araignée [127], (b) Microrésonateurs optiques attachés à une fibre de silice [128], (c) microcapillaire en microscopie optique [129], (d) Capillarité, forces électrostatiques et ponts de Taylor [130]

III.3.4 Principe de la méthode FINER. D'après la référence [89].

III.3.5 Reconstruction de différentes fibres par la méthode FINER.

III.3.6 Principe de la méthode TINER. D'après la référence [89].

III.3.7 Reconstruction d'une fibre simulée par la méthode TINER.

III.3.8 Reconstruction d'une fibre par la méthode TINER. Illustration adaptée des références [89, 108]

III.3.9 Schéma de principe d'un MTD $4\pi$ et contenu fréquentiel accessibles à chacune des caméras. Inspiré de la référence [92].

III.3.10 Schéma de principe d'un MTD $4\pi$ basé sur l'effet miroir, support fréquentiel mesurable et préparation spécifique de l'échantillon. Inspiré des références [90, 131].

III.3.11 Simulation d'un fantôme acquis en MTD miroir et influence du balayage.

III.3.12 Simulation d'un fantôme acquis en MTD miroir et influence du balayage.

III.3.13 Reconstruction tomographique de cristaux de KCl acquis en tomographie miroir. Représentation des projections 3D en maximum d'intensité avec rotation d'un angle $\theta$ autour de l'axe $y$. (a) $\theta = 0^{\circ}$, (b) $\theta = 45^{\circ}$, $\theta = 90^{\circ}$

III.3.14 Reconstruction tomographique d'une bille de latex acquise en tomographie miroir. (a) Coupe reconstruite dans le plan ($x, z$), (b) Résultat de la démodulation, (c) Comparaison des profils d'indice de réfraction.

III.4.1 Quelques schémas de balayage classiques de l'illumination vus dans le plan focal arrière du condenseur (unités normalisées par le rayon de la sphère d'Ewald) et du point de vue du vecteur d'onde d'illumination $k_i$. (a) balayage annulaire, (b) balayage en étoile, (c) balayage en fleur, (d) balayage en spirale, (e) balayage en spirale de Fermat, (f) balayage optimisé pour la projection sur une demi-sphère.

III.4.2 Illustration de l'OTF accessible (a) en théorie, (b) pour un balayage en étoile, (c) pour un balayage en grille, (d) pour un balayage annulaire à 2 anneaux, (e) pour un balayage annulaire à 4 anneaux, (f) pour un balayage à double spirale, (g) pour un balayage en fleur, (h) pour une spirale de Fermat, (i) pour un balayage optimisé 3D.

III.4.3 Estimation du remplissage de l'OTF $F(\%)$ en fonction du nombre d'illumination pour différentes formes de balayage de la pupille du condenseur. En insert, zoom sur les 50 premiers angles d'illumination.
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>III.4.4</td>
      <td>Reconstruction d'une bille simulée - partie réfraction (a-h), et partie absorption (i-l). (a), (e) et (i) Objet simulé. (b), (f) et (j) Balayage en étoile. (c), (g) et (k) Balayage en spirale de Fermat. (d), (h) et (l) Balayage optimisé 3D. La barre d'échelle vaut 1 µm</td>
      <td>122</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.4.5</td>
      <td>Reconstruction d'un pollen de topinambour - partie réfraction (a, c, c'), et partie absorption (b). (c, c') balayage optimisé 3D pour 600 angles. (d,d') balayage en étoile 60 angles. (e,e') spirale de Fermat 60 angles. (f,f') Balayage optimisé 3D 60 angles. (g) Profil tracé sur les structures identifiées en (c'-f')</td>
      <td>123</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.4.6</td>
      <td>OTF simulées pour un microscope 4π. (a) Remplissage maximal. (b) Balayage en étoile. (c) Grille circulaire. (d) Balayage annulaire. (e) Balayage en spirale. (f) Spirale de Fermat. (g) Balayage en fleur. (h-i) Balayages optimisés 3D.</td>
      <td>124</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.4.7</td>
      <td>Comparaison des taux de remplissage de l'OTF idéale en fonction des différentes méthodes de balayage pour un microscope 4π.</td>
      <td>125</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.4.8</td>
      <td>TDM 4π appliquée à un fantôme de Shepp-Logan. (a,e) Objet simulé. (b,f) Objet reconstruit en transmission, (c,g) en réflexion, (d,h) en 4π. La barre d'échelle vaut 10 µm</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.5.1</td>
      <td>Comparaison des principes de simulations 2D et 3D.</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.5.2</td>
      <td>Reconstruction tomographique d'un pollen de topinambour, (a) Réfraction, (b) absorption, le QR Code permet d'accéder à la reconstruction 3D de la réfraction.</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.5.3</td>
      <td>Modalités de microscopie bidimensionnelles simulées à partir des données tomographique. (a) Microscope champ clair. (b) Microscope champ sombre. (c,d) Microscope oblique. (e) Microscope à illumination de Rheinberg. (f) Microscope à contraste de phase positif. (g) Microscope à contraste de phase négatif. (h) Microscope DIC. Illustration issue de la référence [95].</td>
      <td>129</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.5.4</td>
      <td>Illustration de la gestion du défocus pour l'ensemble des méthodes proposées. En scannant le QR-Code, il est possible de voir l'effet du défocus sur chacune des méthodes.</td>
      <td>132</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.5.5</td>
      <td>Modalités de microscopie tridimensionnelles simulées à partir des données tomographiques. (a-e) Plan de coupe (x, y), (f,j) plan de coupe (x, z) (a,f) Microscope champ sombre. (b,g) Microscope à contraste de phase. (c,h) Microscope DIC. (d,i) Microscope à illumination de Rheinberg. (e,j) Représentation de l'OTF composite. Illustration adaptée de la référence [95].</td>
      <td>133</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.5.6</td>
      <td>Microscope DIC, influence de la direction d'application du shearing. (a,c) Décalage latéral. (b,d) Décalage axial. Illustration adaptée de la référence [95].</td>
      <td>134</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.5.7</td>
      <td>Couplage Illumination de Rheinberg et microscope DIC. (a) Coupe (x, y). (b) Coupe (x, z). Les canaux rouge et vert sont utilisés pour l'illumination de Rheinberg et le canal bleu pour le DIC. Illustration adaptée de la référence [95].</td>
      <td>135</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.5.8</td>
      <td>Couverture du numéro de décembre 2022 de Journal of Microscopy.</td>
      <td>135</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.6.1</td>
      <td>Schéma de principe du montage de MTD polarisée en transmission à balayage de l'illumination.</td>
      <td>140</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.6.2</td>
      <td>Principe des acquisitions en caméra polarisée et démosaïcage.</td>
      <td>141</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.6.3</td>
      <td>Tenseur d'indice de réfraction d'un échantillon composé de granules d'amidon de pomme de terre et de billes de silice.</td>
      <td>142</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.6.4</td>
      <td>Démosaïcage et DIC 3D.</td>
      <td>142</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>III.6.5</td>
      <td>DIC 3D. (a-c) cas d'un échantillon isotrope. (a) H<sub>90</sub>(x, y), (b) H<sub>0</sub>(x, y), (c) H<sub>90</sub>(x, y) - H<sub>0</sub>(x, y). (d-f) cas d'un échantillon anisotrope. (d) H<sub>90</sub>(x, y), (e) H<sub>0</sub>(x, y), (f) H<sub>90</sub>(x, y) - H<sub>0</sub>(x, y).</td>
      <td>143</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.1.1</td>
      <td>Résumé global de la carrière et pistes d'avenir.</td>
      <td>150</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.2.1</td>
      <td>MTD avec l'ASO Phasics SID4Bio et traitement de données associé.</td>
      <td>152</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.2.2</td>
      <td>Comparaison des acquisitions Phasics et Phasics avec synthèse d'ouverture sur une bille de latex.</td>
      <td>152</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.2.3</td>
      <td>Extraction d'informations quantitative de polarisation. (a) Composantes du tenseur d'indice de réfraction. (b) Indice de réfraction moyen. (c) Retardance. (d) Angle de l'axe rapide de polarisation.</td>
      <td>155</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.2.4</td>
      <td>Analyse de la photocommutation en absorption de billes polymère. Une illumination à 405 nm rend les billes absorbantes quand une illumination à 532 nm les rend de nouveau transparentes.</td>
      <td>156</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.2.5</td>
      <td>Caractérisation Doppler d'un embryon de Zebrafish. (a) Image du contraste de phase. (b) Image composite phase + Doppler (le signal Doppler est en rouge).</td>
      <td>157</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.2.6</td>
      <td>Caractérisation 3D+t d'un embryon de Zebrafish. (a) Image du contraste de phase avec une illumination. (b) Image 3D dans l'axe du Zebrafish, (c) Autre point de vue. Adapté de [86].</td>
      <td>157</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.2.7</td>
      <td>Schéma de montage envisagé pour la nanoscopie de perturbation.</td>
      <td>160</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.2.8</td>
      <td>Illustration du principe de perturbation de l'indice. (a) paire d'objets non-résolus, (b) perturbation harmonique appliquée sur l'objet 1, (c) perturbation appliquée sur l'objet 2.</td>
      <td>160</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.A.1</td>
      <td>Diplôme du prix Wallach</td>
      <td>179</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.A.2</td>
      <td>(a) Microscope à bas-coût, (b) Stand de la fête de la science 2019, (c) Stand 2017.</td>
      <td>180</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.A.3</td>
      <td>Article de presse local pour la promotion de l'édition 2018 de Pint of Science.</td>
      <td>180</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.A.4</td>
      <td>Poster « Les 12 travaux de la recherche ».</td>
      <td>181</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<figure><img src="image_3.png" /></figure>
À vous toutes et tous et aux autres pour être sûr de n'oublier
personne ...
<figure><img src="image_4.png" /></figure>
# L'Habilitation à Diriger la Recherche : le bilan de carrière du milieu

Bac +3, Bac +5, Bac +8 ..., ça y est j'ai obtenu mon dernier diplôme! Le dernier? Il semblerait bien que non si je ne veux pas garder les petites roues du vélo pour le reste de ma carrière! L'Habilitation à Diriger la Recherche, celle qui permet de profiter des réductions étudiantes au cinéma une fois la quarantaine passée, mais aussi et surtout celle qui ouvre la voie de l'autonomie (toute relative, mais quand même ...). À l'écriture de ces premières lignes, ma Thèse rentre dans sa quinzième année et mon recrutement a bientôt 8 ans. Voici le moment, non sans une certaine appréhension de faire le bilan et repasser sur le grill.

## L'après Thèse

Octobre 2009, ça y est le précieux sésame est en poche, j'ai décroché un demi-ATER pour finaliser des dernières choses autour de la Thèse et voir ce que la procédure de qualifications me réserve. Qualifications obtenues, il est l'heure de candidater, mais il y a finalement peu de postes ouverts dans mon profil (peu de postes tout court d'ailleurs : la LRU est passée par là). Je pars donc fourbir mes armes en post-Doc. Quelques années riches en mobilité et nouvelles compétences. Ce sont aussi les années de mes premiers encadrements de stage M2 ou fin d'études ingénieurs. Si on retire la précarité de l'équation, c'est une très bonne expérience!

Arrive l'hiver 2014. Si je veux toujours être en mesure de candidater sur les postes, il faut que je renouvelle mes qualifications. Les blagues les plus courtes sont les meilleures, mais je veux continuer à jouer. La partie se termine enfin lors de la campagne 2016! Un demi-ATER et 4 post-Doc plus tard, m'y voilà enfin!!

Désolé pour cette digression. Au moment de l'entame de ce document, j'ai passé autant de temps à candidater que je n'en ai passé en poste. Cela se ressentira, par la suite lorsque j'aborderai l'organisation générale de ce manuscrit.

## Maître de Conférences

La rentrée universitaire 2016 marque donc le début de la partie « stable » de la carrière. Découverte des nouveaux collègues côté recherche et enseignement, préparation des nouveaux cours, montage de projets divers et variés pour financer les activités, c'est finalement un nouveau métier! Néanmoins, j'ai eu la chance de garder une continuité thématique dans les activités de recherche. J'ai même pu co-encadrer des thèses dès mon arrivée et ainsi initier de nouvelles et nouveaux imageurs non-conventionnel(le)s.

Le moment est venu de commencer à parler science! Je vais dans un premier temps aborder le concept d'imagerie optique non-conventionnelle.
## L'imagerie optique non-conventionnelle

Dans le cadre d'une méthode d'imagerie conventionnelle, l'utilisateur travaille sur une image de l'objet. Cette image donne une information qualitative bidimensionnelle sur l'objet à extraire. La qualité de l'information obtenue est liée aux performances du système d'imagerie et peu d'améliorations sont possibles une fois l'image acquise. Contrairement aux approches conventionnelles, les approches non-conventionnelles visent à reconstruire l'objet. On ne parlera plus d'image, mais de signal. En effet, ce signal n'est pas nécessairement une image de l'objet regardé. Le retour vers l'objet se fera ici moyennant la connaissance du modèle physique de formation des images. Nous verrons par la suite que le retour vers l'objet pourra se faire soit par inversion directe du modèle de formation, soit en utilisant des approches itératives. Une dernière approche est la co-conception. Ici, le modèle de formation d'image permet, moyennant l'introduction d*a priori* sur l'objet à reconstruire, d'optimiser le système d'acquisition et de la même manière le modèle de formation d'images. Ainsi, l'imagerie optique non-conventionnelle regroupera toutes les techniques pour lesquelles une inversion, ou toute méthode équivalente, sera nécessaire pour retrouver l'objet ou des informations concernant ce dernier.

## Organisation générale du document

Au travers de ce document, je chercherai à regrouper mes contributions à l'imagerie optique non-conventionnelle appliquée à l'imagerie sans marquage. Le but de ma démarche est de montrer comment, à partir d'une acquisition ou d'une série d'acquisitions bidimensionnelles il est possible d'extraire de l'information quantitative. Nous chercherons à aller au-delà dans le but d'apporter des éléments de réponses aux principaux problèmes ouverts en imagerie :

- Comment s'affranchir des limites de résolution des systèmes optiques classiques ?

- Quelle quantité d'information peut être extraite d'une campagne de mesures ? Peut-on l'augmenter a posteriori ?

- Comment s'assurer de l'innocuité de la mesure ?

Les réponses à ces questions ne devront bien évidemment pas se faire au détriment de la simplicité des configurations expérimentales.

Ce document est le fruit de 15 ans de travail au service de l'imagerie optique non-conventionnelle, dont la moitié a été passée dans la précarité. Il a donc fallu passer quelques (longs) instants pour réfléchir à la structuration de l'ensemble. J'ai finalement fait le choix de structurer le document en 4 parties distinctes nous menant de la seconde dimension à la quatrième et plus. Je n'ai bien évidemment pas mené ces travaux seuls et j'ai pu compter sur l'appui de stagiaires M2 ou ingénieur.e.s durant les premières années puis de doctorant.e.s par la suite. Les apports majeurs des étudiantes et étudiants que j'ai pu encadrer sont bien évidemment crédités tout au long de ce manuscrit. La première partie de ce document sera consacrée au concept d'imagerie optique non-conventionnelle et aux modèles de formation d'images. Nous axerons la discussion autour de l'holographie et de la microscopie holographique. Ces quelques chapitres permettront de mettre en place les concepts régissant l'enregistrement et la reconstruction de l'information.

Nous nous intéresserons ensuite aux dispositifs expérimentaux que j'ai été amené à développer. Je reviendrai plus particulièrement sur les développements autour de l'imagerie laser Doppler pour les contrôles non-destructifs d'une part, et pour l'imagerie biomédicale d'autre part.

Le passage à la troisième dimension, au travers du couplage holographique et acquisitions tomographiques, sera l'objet de la troisième partie du document. Je présenterai ici le concept
de microscopie par tomographie diffractive. Je discuterai des évolutions de la technique, notamment en termes de cadence d'acquisition et de fonctionnalisation.

L'aspect fonctionnalisation de la microscopie tomographique diffractive représentera une bonne partie du dernier volet de ce manuscrit. En effet, les travaux menés jusqu'ici visent à pousser la microscopie par tomographie diffractive autour d'au moins deux axes de développement :

1. La fonctionnalisation de la technique.

2. La simplification des dispositifs.

En effet, si l'on s'intéresse de plus près au premier axe, les dispositifs que nous développons au laboratoire offrent une information quantitative 3D sur l'indice de réfraction complexe des échantillons analysés. Ce contraste offre un nouveau point de vue pour les biologistes. Néanmoins, la spécificité structurelle, temporelle, de composition chimique ...qu'offrent d'autres méthodes est perdue. Ainsi, une partie des efforts futurs visera à retrouver de la sélectivité dans les données reconstruites.

Le second axe de développement vise à faciliter la diffusion de la technique. En effet, plus simples et robustes seront les microscopes que nous développons, plus il sera facile de les mettre à disposition des utilisateurs. D'autres méthodes d'extraction de la phase optique du champ seront explorées pour mener cette tâche à bien.

Les différents éléments liés à ma carrière seront enfin ajoutés en annexe aux côtés de quelques développements théoriques autour des modèles de formation d'images.
<figure><img src="image_5.png" /></figure>
Première partie

Imagerie optique
non-conventionnelle : formation
d'image et reconstruction
<figure><img src="image_6.png" /></figure>
# Chapitre 1

## Introduction : les principes généraux de l'imagerie optique non conventionnelle

Avant d'aborder l'imagerie optique non-conventionnelle, et pour bien comprendre l'intérêt de la méthode, prenons quelques instant pour revenir sur ce que l'on pourrait appeler l'imagerie conventionnelle. Un système d'imagerie classique repose sur l'utilisation de trois ingrédients <fnref n="1" /> :

1. une source lumineuse (lumière blanche, laser ... ) : pas d'éclairage, pas d'image !

2. une optique de formation d'images (lentille, objectif ...)

3. un capteur d'images (écran papier, pellicule photo, capteur CCD/CMOS ...).

Pour la suite des discussions, nous nous placerons dans les limites de l'optique paraxiale (propagation de la lumière avec des angles faibles par rapport à l'axe optique du système), et considérerons l'optique de formation d'image la plus simple : la lentille mince.

### 1.1 Les limites de l'imagerie optique conventionnelle

Considérons un objet infiniment fin que l'on cherche à imager avec une lentille mince. Cette situation est illustrée Fig. I.1.1(a). On se place ici dans les limites de l'optique géo-

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE I.1.1 – Illustration de la formation d'image avec une lentille mince. (a) Cas d'un objet infiniment fin. (b) Cas d'un objet épais.</figcaption></figure>

métrique. Dans cette situation, à chaque point de l'objet correspond un point dans le plan image. Ainsi, si l'on positionne le capteur dans le plan image, il est possible d'enregistrer une image de l'objet.

Considérons maintenant le cas plus général d'un objet épais, comme illustré Fig. I.1.1(b). Pour simplifier la discussion, on considérera l'objet épais comme une succession d'objets

<footnote n="1">1. Nous nous placerons dans le domaine visible du spectre électromagnétique. La discussion pourra facilement être généralisée à d'autres domaines du spectre.</footnote>
infiniment fins. Dans ce cas, il y aura autant de plans image qu'il y aura de plans objet. Il est dès lors nécessaire de déplacer le capteur pour explorer les différents plans images (dans les faits, l'objectif d'un appareil photo permet de déplacer l'image de l'objet dans le plan du capteur). Dans ce cas, le système d'imagerie fige le plan de l'image, qui devra être modifié entre chaque acquisition si l'on souhaite enregistrer l'image d'un objet épais. De plus, les images ainsi obtenues sont purement qualitatives et ne permettent pas d'accéder à davantage d'information que ce qui est effectivement enregistré sur le capteur.

L'imagerie optique non-conventionnelle vise à apporter des solutions à ces deux problèmes.

## 1.2 L'imagerie optique non-conventionnelle

L'imagerie optique non-conventionnelle part d'un constat simple : si le système d'imagerie fige la situation, pourquoi ne pas le retirer ? Pourquoi continuer à acquérir des images de l'objet ? Mais la thématique pose de nouvelles questions, notamment concernant la reconstruction de l'information. Pour comprendre le fonctionnement d'un dispositif d'ima-

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIGURE I.1.2 – Différents concepts d'imagerie. (a) Imagerie conventionnelle, (b) Imagerie non-conventionnelle, (c) Co-conception</figcaption></figure>

gerie optique non-conventionnelle, attardons nous sur la Fig. 1.1.2. Si l'on compare le schéma synoptique d'un dispositif conventionnel (Fig. I.1.2(a)) à celui d'une approche non-conventionnelle (Fig. I.1.2(b)), on peut remarquer que la notion de système d'acquisition se substitue à celle du système d'imagerie. En effet, le but est ici de s'affranchir autant que possible des limites du système d'imagerie. La notion d'image est donc remplacée par la notion, plus générale de signal. Il convient maintenant de revenir à l'objet. En effet, le but reste néanmoins de pouvoir extraire de l'information à propos de l'objet que l'on veut « imager ».

Les méthodes non-conventionnelles reposent sur la connaissance de la physique de l'acquisition des données, que nous appellerons ici (toute non-conventionnelle qu'elle soit, nos méthodes restent associées à l'imagerie) modèle de formation d'images. C'est la connaissance du modèle de formation d'images qui permettra, à partir du signal acquis, de remonter à une image de l'objet ou à des paramètres pertinents (position, indice de réfraction ...). Le passage du signal à l'objet pourra se faire par inversion directe du modèle de formation, ou via l'utilisation d'approches problèmes inverses [1]. Nous aborderons les deux aspects par la suite. Il est à noter que l'utilisation des approches problèmes inverses pourra de plus permettre d'optimiser le fonctionnement du dispositif pour détecter un type particulier
d'objets. Ces approches sont connues sous le nom d'approches co-conçues, pour lesquelles
la connaissance du modèle de formation des images permet d'optimiser certains paramètres
de conception expérimentale en fonction de la nature du signal à détecter. La synoptique de
ces approches est représentée Fig. 1.1.2(c) et fera l'objet d'une discussion ultérieure.

1.3 L'imagerie optique non-conventionnelle, cas d'étude : l'holo-
graphie de Gabor

La notion d'imagerie optique non-conventionnelle est relativement récente, tout du
moins dans la terminologie. Ces thématiques ne sont finalement pas si nouvelles que ça.
L'exemple le plus frappant nous vient des travaux de Dennis Gabor [2-4] autour des déve-
loppements de la microscopie électronique. L'amélioration de la résolution des microscopes
électroniques était un enjeu et les « optiques » électroniques de l'époque avaient des perfor-
mances limitées. Ainsi plutôt que d'enregistrer les images de ses échantillons, Gabor a pro-
posé d'enregistrer le front d'onde issu de l'interaction de ses échantillons avec l'illumination.
Le schéma de principe de l'expérience de Gabor est proposé Fig. 1.1.3(a). Pour sa démons-

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE I.1.3 – Expérience de Gabor. (a) Schéma de principe. (b) Hologramme et reconstruction</figcaption></figure>

tration, Gabor a utilisé la raie rouge d'une lampe au mercure qui est mise en forme pour
obtenir un point source (ou l'émetteur d'une onde sphérique). L'onde ainsi émise se propage
jusqu'au plan de l'objet. Une partie de l'onde ne traverse pas l'objet et servira d'onde de ré-
férence. L'autre partie de l'onde est diffractée par l'objet (en pointillé bleu sur la Fig. 1.1.3). La
méthode étant analogique, les interférences entre ces deux ondes sont enfin enregistrées sur
une plaque photographique haute-résolution. Un exemple de signal, appelé hologramme
est représenté Fig. 1.1.3(b). On remarque qu'il n'est pas possible, à partir de l'hologramme
seul, d'avoir une représentation de l'objet. Il faut passer par une étape préalable de restitu-
tion ou reconstruction. Cette étape est l'équivalent de l'inversion du modèle de formation
d'image. En holographie analogique, la reconstruction repose sur deux principales étapes :

— le développement photographique de la plaque;

— la restitution optique.

Comme on peut le voir sur la Fig. 1.1.3(a), la restitution optique consiste à repositionner
la plaque holographique dans le faisceau ayant servi à son enregistrement. En ajustant sa
position (ou en utilisant un système optique relais), on parvient à refaire la mise au point, a
*posteriori*, sur l'objet. Un exemple de reconstruction holographique est proposé Fig. 1.1.3(b).
On voit que l'on est en mesure de reconstituer l'objet qui était à l'origine de l'hologramme,
ici les noms « Huygens, Young, Fresnel ».
L'exemple de l'holographie proposé par Gabor (et couronné du prix Nobel en 1971) illustre bien, à mon sens, les capacités des méthodes d'imagerie optique non-conventionnelles. Ces dernières reposent sur les éléments suivants :

— un dispositif d'acquisition du signal;

— un modèle de formation d'images;

— du traitement de signal pour retrouver les informations liées à l'objet analysé.

Comme l'exemple choisi le laisse à penser, l'ensemble de mes travaux de recherche ont été et sont encore liés à l'holographie, les dispositifs qui seront discutés par la suite reposeront donc sur l'imagerie interférométrique.

Ainsi, les chapitres suivants s'articuleront autour de la mise en pratique des concepts d'imagerie optique non-conventionnelle en holographie. Nous discuterons des modèles de formation d'images, des méthodes de reconstruction, le tout au travers de mes contributions<fnref n="2" /> au domaine.

<footnote n="2">2. Les étudiant.e.s ayant participé seront crédités au fur et à mesure.</footnote>
# Chapitre 2

## L'holographie : modèles de formation d'image

L'introduction de cette partie nous a permis de discuter du concept d'imagerie optique non-conventionnelle. Parmi l'ensemble des méthodes reposant sur ce principe, je m'attarderai sur l'holographie numérique qui est au cœur de mon activité de recherche depuis le début de ma Thèse de Doctorat en 2006. Dans un premier temps je reviendrai sur l'holographie numérique de manière générale avant de m'attarder sur les modèles de formation des images.

### 2.1 L'holographie numérique

#### 2.1.1 Un peu d'histoire

Comme j'ai pu l'évoquer précédemment, on doit l'holographie, dans un premier temps analogique, à Dennis Gabor [2]. Le but est d'enregistrer l'intensité du champ optique fracté/diffusé par l'objet analysé. C'est cette intensité que l'on appelle hologramme. Ce dernier permettra par la suite de retrouver l'amplitude et la phase du champ optique issu de l'objet. Néanmoins, la configuration initiale, telle que présentée Fig. 1.1.3 ne permet pas directement d'accéder à cette information. Ainsi, d'autres configurations ont été proposées permettant d'isoler les différentes contributions et de reconstruire de manière convenable l'amplitude et la phase du champ optique. On parle d'holographie hors-axe [5]. Cependant, l'acquisition et la reconstruction des hologrammes restent totalement analogiques. Le développement des moyens de calcul aidant, les premières méthodes de reconstruction numérique des hologrammes ont pu voir le jour [6] offrant ainsi la possibilité d'extraire davantage d'information des hologrammes acquis, y compris en configuration de Gabor [7-9]. La phase de développement reste cependant obligatoire et le sera jusqu'aux progrès des capteurs d'imagerie CCD (Coupled-Charge Device). Dès lors, les acquisitions et les reconstructions seront réalisées numériquement [10] : c'est l'holographie numérique telle qu'elle est encore utilisée à l'heure actuelle. Malgré tout, le passage au tout numérique est à l'origine de nouvelles problématiques, liées à l'échantillonnage des hologrammes, qui pousseront à développer différentes méthodes de reconstruction dépendantes des conditions d'enregistrement des hologrammes [11, 12]. Détaillons maintenant le principe de l'holographie numérique.

#### 2.1.2 Principe et intérêt de l'holographie numérique

L'holographie numérique vise à enregistrer et reconstruire l'amplitude et la phase du champ optique issu d'un objet. Cependant, en se plaçant dans le domaine visible du spectre électromagnétique, les ondes optiques ont une fréquence de l'ordre de $10^{15}$ Hz, ce qui va bien au-delà de la bande passante des capteurs du marché (du Hz à qq $10^6$ Hz). L'holographie
permet de pallier cette difficulté en faisant interférer l'onde transmise par l'objet avec une
onde de référence. Le concept d'interférences est illustré Fig. 1.2.1. Le cube utilisé pour la

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIGURE I.2.1 – Illustration de l’enregistrement des interférences et notations. L’utilisation d’un cube pour la recombinaison n’est pas obligatoire, mais elle permet de mieux visualiser la sommation des ondes.</figcaption></figure>

recombinaison a été choisi pour améliorer la lisibilité de la figure, mais n'est pas obligatoire.
Ici $\mathcal{R}(x, y, t)$ est le champ associé à l'onde de référence. Il est donné par :

$$
\mathcal{R}(x, y, t) = R(x, y) e^{i\omega_L t}, \qquad (I.2.1)
$$

avec R l'enveloppe lentement variable du champ qui oscille à la pulsation ωL du laser. Cette
enveloppe a son amplitude A<sub>R</sub>(x, y) et sa phase Φ<sub>R</sub>(x, y). On peut ainsi la réécrire comme :

$$
R(x, y) = A_R(x, y) e^{i\Phi_R(x, y)}, \qquad (I.2.2)
$$

et le champ associé à l'onde de référence s'écrit :

$$
\mathcal{R}(x, y, t) = A_R(x, y) e^{i\Phi_R(x, y)} e^{i\omega_L t}. \qquad (I.2.3)
$$

De la même manière, on définira l'onde diffractée par l'objet $\mathcal{O}(x, y, t)$

$$
\begin{align*}
\mathcal{O}(x, y) &= A_O(x, y) e^{i\Phi_O(x,y)} \\
\mathcal{O}(x, y, t) &= A_O(x, y) e^{i\Phi_O(x,y)} e^{i\omega_L t}, \tag{I.2.4}
\end{align*}
$$

avec $A_O$ et $\Phi_O$ l'amplitude et la phase de l'enveloppe lentement variables du champ.

Les capteurs d'imagerie ne sont pas en mesure d'acquérir les composantes à ω_L (ou 2ω_L pour l'intensité). En revanche, les contributions lentement variables du champ, données par les Eqs. (I.2.3) et (I.2.4) pourront être détectées. Le capteur d'imagerie est sensible à l'intensité du champ. Ainsi, l'intensité des interférences I_H sera donnée par :

$$
\begin{align}
I_H(x, y) &= |R(x, y) + O(x, y)|^2 \nonumber \\
&= \underbrace{|R(x, y)|^2 + |O(x, y)|^2}_{\text{Ordre 0}} + \underbrace{R^*(x, y) O(x, y)}_{\text{Ordre +1}} + \underbrace{R(x, y) O^*(x, y)}_{\text{Ordre -1}}. \tag{I.2.5}
\end{align}
$$

Analysons l'Eq. (I.2.5). L'enregistrement interférentiel est ici équivalent à une opération de
modulation. L'information se retrouve ainsi distribuée sur trois ordres de diffraction :

— l'ordre 0 qui correspond aux contributions en intensité de l'onde de référence et de l'onde objet. On trouvera parfois la terminologie de termes d'« autocorrélation »;
— le terme d'ordre +1 qui est proportionnel au champ complexe issu de l'objet;

— le terme d'ordre -1 qui est proportionnel au complexe conjugué du champ optique issu de l'objet.

Ainsi, si l'on est en mesure d'extraire l'ordre +1 des hologrammes acquis, il sera possible de reconstruire le champ optique complexe (à onde de référence constante). C'est pourquoi l'holographie est massivement utilisée pour les expériences d'imagerie quantitative de phase (Quantitative Phase Imaging : QPI). Tout l'enjeu sera alors d'extraire l'information contenue dans l'ordre +1. Différentes méthodes, qui seront détaillées par la suite, sont envisageables pour extraire l'information de phase à partir des hologrammes.

## 2.2 Principales méthodes d'extraction de la phase optique

Si on considère l'expérience de Gabor illustrée Fig. I.1.3, il n'est pas possible d'extraire l'ordre +1 exprimé Eq. (I.2.5). Cela se traduit par ce que l'on appelle le bruit « d'image jumelle », qui correspond à l'image de l'objet en défaut de mise au point (terme d'ordre -1 dans l'équation (I.2.5)). En effet dans ce cas particulier, les trois ordres de diffractions se propagent selon le même axe optique. Comme on peut le remarquer Fig. I.1.3(b) le bruit d'image jumelle a pour effet de limiter le rapport signal à bruit de la détection. Deux propositions expérimentales ont permis de s'affranchir du bruit d'image jumelle et de reconstruire l'information d'amplitude et de phase du champ optique : l'holographie hors-axe [5] et l'holographie à décalage de phase [13] que nous allons maintenant détailler.

### 2.2.1 L'holographie hors-axe

Le concept d'holographie hors-axe a initialement été proposé en 1962 par Leith et Upatnieks [5]. Le principe consiste à faire interférer l'onde de référence et l'onde objet avec un petit angle. Pour prendre ce décalage angulaire en compte, reprenons l'expression de la contribution lentement variable du champ donnée Eq. (I.2.3), on introduit ici une porteuse spatiale aux fréquences spatiales $f_x$ et $f_y$. Le champ optique de l'onde de référence hors-axe $R_{off}$ s'écrit alors :

$$R_{off}(x, y) = R(x, y) e^{i2\pi(f_x x + f_y y)} \quad (I.2.6)$$

L'équation (I.2.5) devient :

$$ \begin{aligned} I_H(x, y) &= |R_{off}(x, y) + O(x, y)|^2 \\ &= |R(x, y)|^2 + |O(x, y)|^2 + R^*(x, y) O(x, y) e^{-i2\pi(f_x x + f_y y)} + \text{c.c.}, \end{aligned} \quad (I.2.7) $$

où c.c. représente le complexe conjugué du second terme de l'Eq. (I.2.7). On peut remarquer ici que le fait d'enregistrer les interférences avec un décalage angulaire se traduit par une modulation spatiale, de l'interferogramme. Ce point est davantage mis en évidence en reformulant l'Eq. (I.2.7) comme

$$I_H(x, y) = |R(x, y)|^2 + |O(x, y)|^2 + 2\Re\{R^*(x, y) O(x, y)\} \cos[2\pi(f_x x + f_y y)] \quad (I.2.8)$$

On fait ici clairement apparaître une modulation spatiale en « cosinus » du terme d'interférences entre l'onde objet et l'onde de référence. La modulation de l'hologramme est visible sur la Fig. I.2.2(a). Ici l'hologramme du logo du laboratoire a été simulé en utilisant l'Eq.
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIGURE I.2.2 – Principe de la modulation et de la démodulation en holographie hors-axe. (a) Hologramme modulé (voir Eq. (I.2.7)), (b) Intensité du spectre de l'hologramme représenté en échelle logarithmique. (c), (d) Illustration de la démodulation de l'hologramme [14]. (e) Filtrage de l'ordre +1, (f) recentrage de la réponse dans l'espace de Fourier. (g) Intensité de l'hologramme démodulé.</figcaption></figure>

(I.2.7). On remarque dans le zoom la modulation en cosinus du terme d'interférences. Calculs maintenant la transformée de Fourier $\tilde{I}_H(f_x, f_y)$ de l'hologramme (Eq. (I.2.7))

$$ \tilde{I}_H(f_x, f_y) = \mathcal{F}_{f_x, f_y} \left\{ |R(x, y)|^2 + |O(x, y)|^2 \right\} + \mathcal{F}_{f_x, f_y} \left\{ R^*(x, y) O(x, y) e^{-i2\pi(f_x x + f_y y)} \right\} + \text{c.c.}, \quad (I.2.9) $$

avec $f_{x,y}$ les fréquences spatiales associées à l'hologramme. Compte-tenu du théorème de modulation de la transformée de Fourier, le terme $e^{-i2\pi(f_{x}x+f_{y}y)}$ « décale » les termes modulés dans l'espace de Fourier, comme illustré Fig. I.2.2(b). L'information sur le champ complexe issu de l'objet est contenue dans le second terme de l'Eq. (I.2.7) qui correspond à l'ordre +1. La démodulation de l'hologramme a été proposée par Cuche et repose sur le filtrage de l'hologramme modulé dans l'espace de Fourier [14]. Dans un premier temps, l'information associée à l'ordre +1 est filtrée dans l'espace de Fourier (Fig. I.2.2(c)) pour ne conserver que le second terme de l'Eq. (I.2.7). Enfin, le terme filtré est recentré dans l'espace de Fourier pour compenser la modulation spatiale de l'hologramme. Le spectre de l'hologramme filtré $\tilde{I}_{HF}$ s'exprimera donc :

$$ \tilde{I}_{HF}(x, y) = \mathcal{F}_{f_x, f_y} \{R^*(x, y) O(x, y)\}, \quad (I.2.10) $$
et l'hologramme démodulé devient :

$$ 
\begin{aligned}
I_{HF}(x, y) &= \mathcal{F}_{x,y}^{-1} \{ \tilde{I}_{HF}(x, y) \} \\
&= R^*(x, y) O(x, y).
\end{aligned} 
\qquad (I.2.11) 
$$

L'intensité de l'hologramme démodulé est présentée Fig. 1.2.2(d). A partir de là, il sera possible de reconstruire le champ objet en amplitude et en phase. La reconstruction sera abordée par la suite.

### 2.2.2 L'holographie à décalage de phase

L'holographie hors-axe permet de reconstruire l'amplitude et la phase du champ optique. Néanmoins, l'échantillonnage de l'hologramme peut se montrer délicat. En effet, il est nécessaire de pouvoir « faire rentrer » les trois ordres de diffraction de l'Eq. (I.2.9) dans la bande spatiale du détecteur. Au lieu de moduler spatialement l'hologramme, on peut envisager une modulation temporelle de l'information, c'est le principe de l'holographie à décalage de phase ou phase-shifting holography [13].

Le but est ici de moduler temporellement la phase de l'onde de référence de telle sorte que l'on couvre un déphasage de $2\pi$ sur l'ensemble de la séquence d'hologrammes. Le choix du déphasage $\Delta\varphi$ entre les images fixera alors le nombre d'hologrammes $N = 2\pi/\Delta\varphi$ nécessaires à la démodulation. Si l'échantillonnage temporel de la séquence est régulier, la démodulation sera équivalente à une transformée de Fourier temporelle de la séquence. Ainsi, l'hologramme démodulé $I_{HPS}$ est obtenu à partir d'une séquence d'hologrammes $I_{Hk}$ en calculant :

$$ I_{HPS} = \sum_{k=0}^{N-1} I_{Hk} e^{-i2\pi k/N}. \qquad (I.2.12) $$

Pour illustrer l'Eq. (I.2.12) considérons deux cas particuliers : la démodulation à deux phases, et la démodulation à quatre phases. Pour faciliter la visualisation des spectres,

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 1.2.3 – Illustration de l'effet de la démodulation. (a) Sans phase-shifting, (b) Démodulation 2 phases, (c) Démodulation 4 phases.</figcaption></figure>

nous présenterons les résultats en combinant le hors-axe et le phase-shifting. L'influence du nombre d'acquisitions décalées en phase est présentée Fig. 1.2.3. En l'absence de modulation temporelle (a) le spectre de l'hologramme démodulé est le même que celui obtenu Fig. 1.2.2. Si l'on procède à deux acquisitions décalées en phase de $\Delta\varphi = \pi$, l'Eq. (I.2.12) se
réécrit :

$$ 
\begin{aligned}
I_{H_{\text{PS}}} &= I_{H_0} - I_{H_1} \\
&= 2[R^*(x, y) O(x, y) + R(x, y) O^*(x, y)]
\end{aligned} 
\qquad (\text{I.2.13})
$$

Ainsi, les termes de l'Eq. (I.2.7) qui ne portent pas de modulations temporelles sont supprimés. C'est le cas de l'ordre 0 de diffraction, comme illustré Fig. I.2.3(b). Ainsi la démodulation à deux hologrammes telle que proposée Eq. (I.2.13) permet de supprimer le terme d'ordre 0. Si on utilise maintenant quatre hologrammes, le déphasage entre chaque image sera $\Delta\varphi = \pi/2$. On peut alors réécrire l'Eq. (I.2.12) comme :

$$ 
\begin{aligned}
I_{H_{\text{PS}}} &= I_{H_0} - I_{H_2} + i(I_{H_1} - I_{H_3}) \\
&= 4[R^*(x, y) O(x, y)].
\end{aligned} 
\qquad (\text{I.2.14})
$$

Comme le montre l'Eq. (I.2.14), l'utilisation de quatre hologrammes permet de s'affranchir de la contribution de l'ordre 0 et de l'ordre -1 de la distribution d'intensité (voir Eq. I.2.7). Ce point est par ailleurs illustré Fig. I.2.3(c). Ainsi, dans le cas d'une configuration « 4 phases », il sera possible de faire interférer l'onde de référence et l'onde objet selon le même axe, relâchant ainsi la contrainte sur l'échantillonnage de la porteuse hors-axe.

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE I.2.4 – Principe de la modulation et de la démodulation en holographie à décalage de phase en holographie « 4 phases ». (a-d) Hologrammes avec onde de référence en quadrature de phase, (e) Intensité du spectre de l'hologramme représenté en échelle logarithmique. (f) Illustration de la démodulation de l'hologramme [13]. (g) Intensité de l'hologramme démodulé.</figcaption></figure>

La Fig. I.2.4 illustre ce point dans le cadre d'une acquisition à 4 phases. Ici, le déphasage entre les hologrammes acquis (Fig. I.2.4(a-d)) est $\Delta\varphi = \pi/2$. La simulation a été réalisée en faisant interférer l'onde de référence et l'onde objet selon le même axe. Ce point est visible Fig I.2.4(e) où les trois ordres de diffraction sont superposés. En appliquant l'Eq. (I.2.14) aux hologrammes acquis, il est possible de séparer spectralement (au sens temporel du terme) les trois ordres de diffraction et ainsi n'obtenir que l'information véhiculée par l'ordre +1 comme le montre la Fig. I.2.4(f). L'hologramme ainsi démodulé (g) permet d'accéder à l'information d'amplitude et de phase du champ optique.
Nous avons discuté de l'holographie numérique et de ses capacités à extraire l'amplitude et la phase du champ optique issu d'un objet. Nous ne nous sommes cependant pas encore intéressés à la formation d'images en tant que telle. Ce point est extrêmement important dans le cadre d'une méthode d'imagerie non-conventionnelle et fera l'objet de la prochaine section.

## 2.3 Formation d'images en holographie

### 2.3.1 Le théorème d'Huygens-Fresnel

Intéressons nous maintenant à la formation d'images en holographie. La principale difficulté est de prendre en compte de la propagation la lumière et, compte-tenu des dimensions des échantillons, de la diffraction de la lumière. Ces aspects sont traités, dans les limites de l'optique paraxiale, par le théorème d'Huygens-Fresnel [15]. Le principe d'Huygens repose

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE 1.2.5 – Illustration du principe d'Huygens-Fresnel pour l'enregistrement (a) et la reconstruction (b) d'hologrammes.</figcaption></figure>

sur le fait que si l'on connaît le front d'onde à un instant $t = t_0$, il est possible, en le décomposant sur une base d'émetteurs sphériques, de déterminer le front d'onde à un instant ultérieur $t = t_1$. Notons que le théorème d'Huygens est réversible (ce point sera discuté ultérieurement) et permettra la reconstruction holographique. Le théorème d'Huygens-Fresnel est illustré pour la propagation de la lumière (a) et la reconstruction holographique (b) Fig. 1.2.5. On considère ici que le point P est l'émetteur d'une onde sphérique. À $t = t_0$, l'émetteur sphérique $E_0(x', y', z_0)$ a un rayon $r_{t_0} = \sqrt{x'^2 + y'^2 + z_0^2}$ et s'exprime :

$$E_0(x', y', z_0) = \frac{e^{ikr_{t_0}}}{r_{t_0}^2}, \qquad (1.2.15)$$

avec $k = 2\pi n_{imm}/\lambda$, la norme du vecteur d'onde dans le milieu d'indice $n_{imm}$. Notons que pour une propagation proche de l'axe optique, $r_{t_0} \approx z_0$. En appliquant le théorème d'Huygens, il est possible d'estimer le front d'onde à un instant $t = t_1$ ultérieur en le décomposant sur une base d'émetteurs sphériques dit émetteurs secondaires. On considère ici que l'onde se sera propagée d'une distance $\Delta z$ sur l'intervalle $\Delta t = t_1 - t_0$. Le rayon des émetteurs
secondaires $r'_{t_1}$ est donné par $r'_{t_1} = \sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z_0 + \Delta z)^2}$, et le champ après propagation s'écrit :

$$E(x, y, z_0 + \Delta z) = \iint_{x',y'} E_0(x', y', z_0) \frac{e^{ikr'_{t_1}}}{r'^2_{t_1}} dx'dy'. \quad (I.2.16)$$

L'Eq. (I.2.16) permet d'estimer, à partir du champ initial $E_0(x', y', z_0)$, le champ propagé sur une distance $\Delta z$. Comme le laisse à penser la Fig. I.2.5(b), l'Eq. I.2.16 pourra également être utilisée pour déterminer le champ optique à des « instants » antérieurs, c'est-à-dire à des distances plus courtes que la distance d'enregistrement de l'hologramme. Elle pourra donc également être utilisée pour la reconstruction holographique comme nous le verrons par la suite.

De nombreuses méthodes permettent de calculer l'Eq. (I.2.16) [16], nous nous placerons dans un premier temps dans le cadre de l'approximation paraxiale, qui nous permettra de représenter l'Eq. (I.2.16) comme un filtre linéaire. Pour se faire, nous considérerons l'enregistrement de l'hologramme d'un objet situé loin du capteur, c'est-à-dire à une distance $z = z_0 + \Delta z$ telle que :

$$\frac{\left[ (x - x')^2 + (y - y')^2 \right]^2}{8z^4} \ll 1. \qquad (I.2.17)$$

Dans ces conditions, l'Eq. (I.2.16) se simplifie comme :

$$E(x, y, z) = \iint_{x',y'} E_0(x', y', z_0) e^{i \frac{k}{2z} [(x-x')^2 + (y-y')^2]} dx'dy'. \quad (I.2.18)$$

On peut remarquer que l'Eq. (I.2.18) n'est autre que le produit de convolution spatiale du champ $E_0$ par la fonction $h_z$ donnée par :

$$h_z(x, y) = e^{i \frac{k}{2z} (x^2 + y^2)}. \qquad (I.2.19)$$

En considérant la propagation de la lumière comme un système linéaire, $h_z$ est la réponse impulsionnelle de la propagation de la lumière dans un milieu d'indice $n_{imm}$. Ainsi, l'Eq. (I.2.18) devient :

$$E(x, y, z) = E(x, y, z_0) *_{x',y'} h_z(x, y) \qquad (I.2.20)$$

En utilisant les propriétés de la transformée de Fourier et de la convolution, on peut récrire l'Eq. (I.2.20)

$$E(x, y, z) = \mathcal{F}_{x,y}^{-1} \{ \mathcal{F}_{f_x, f_y} \{ E(x, y, z_0) \} \times \mathcal{F}_{f_x, f_y} \{ h_z(x, y) \} \}. \quad (I.2.21)$$

Nous verrons par la suite que le calcul de l'Eq. (I.2.21) permet d'obtenir des algorithmes de calcul très efficaces. Néanmoins, nous verrons également que le passage du formalisme continu au formalisme discret nécessitera quelques précautions notamment d'un point de vue échantillonnage de la réponse impulsionnelle.

## 2.3.2 Échantillonnage de la réponse impulsionnelle du système

Reprenons l'Eq. (I.2.21) en considérant que le champ optique $E(x, y, z_0)$ a été échantillonné correctement par le capteur. Pour que le champ $E(x, y, z)$ soit correctement échantillonné, il convient de prendre quelques précautions au niveau du calcul de la réponse impulsionnelle $h_z$ du système. La Fig. I.2.6 représente la réponse impulsionnelle du système. Pour aider à analyser le contenu en fréquences spatiales de $h_z$, nous nous baserons sur le
<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIGURE I.2.6 – Partie réelle de la réponse impulsionnelle de la propagation de la lumière dans un milieu d'indice $n_{imm}$ (voir Eq. (I.2.19)). La distribution des niveaux de gris et la représentation temps-fréquence sont proposées en insert. Les notations utilisées pour le calcul des fréquences d'échantillonnage sont également illustrées.</figcaption></figure>

profil et la transformée de Fourier à temps court (STFT), proposées en insert. On remarque que $h_z$ est un signal à dérive de fréquence linéaire. En d'autres termes, plus on s'éloigne du centre du capteur, plus la fréquence spatiale instantanée du signal à échantillonner sera élevée. On peut réécrire l'Eq. (I.2.19) pour faire apparaître la phase spatiale instantanée $\varphi(x, y)$ du signal :

$$h_z(x, y) = e^{i\varphi(x, y)}, \qquad (I.2.22)$$

et calculer la fréquence spatiale instantanée $f_i(x)$ du signal selon l'axe $x$ (le résultat pourra être étendu à l'axe $y$ de la même manière compte-tenu de la symétrie de la fonction de transfert) :

$$\begin{aligned} f_i(x) &= \frac{1}{2\pi} \frac{\partial \varphi(x)}{\partial x} \\ &= \frac{xk}{2\pi z}. \end{aligned} \qquad (I.2.23)$$

Comme nous sommes face à une dérive linéaire de fréquence, la fréquence instantanée sera maximale à la périphérie du capteur. Notons $f_{i\max}$ la fréquence instantanée maximale et $x_{\max} = N\Delta x/2$ l'abscisse associée (voir Fig. I.2.6). On a alors :

$$f_{i\max} = \frac{N\Delta xk}{4\pi z} \qquad (I.2.24)$$

La fréquence d'échantillonnage du capteur est donnée par la dimension des pixels et vaut $f_e = 1/\Delta x$. Pour échantillonner correctement la réponse impulsionnelle du système il faut respecter le théorème de Shannon de telle sorte que $f_e \ge 2f_{i\max}$ ou $f_{i\max} \le f_e/2$. Ainsi, l'Eq. (I.2.24) devient :

$$\frac{1}{2\Delta x} \ge \frac{N\Delta xk}{4\pi z} \qquad (I.2.25)$$
Après remise en forme, on obtient une condition sur le pas d'échantillonnage du capteur :

$$ \Delta x \le \sqrt{\frac{2\pi z}{kN}}. \qquad (I.2.26) $$

Nous avons ici déterminé la condition nécessaire au bon échantillonnage de la réponse impulsionnelle de la propagation libre. Revenons sur l'Eq. (I.2.21). Le terme $\mathcal{F}_{f_x, f_y} \{h_z(x, y)\}$ correspond à la fonction de transfert optique (FTO) du système $\mathcal{H}(f_x, f_y)$. Dans notre cas, la FTO a une expression analytique :

$$ \mathcal{H}_z(f_x, f_y) = e^{ikz\sqrt{1-(2\pi\lambda f_x)^2-(2\pi\lambda f_y)^2}}, \qquad (I.2.27) $$

et ainsi, on peut calculer la propagation de la lumière en modifiant l'Eq. (I.2.21) :

$$ E(x, y, z) = \mathcal{F}_{x,y}^{-1} \{ \mathcal{F}_{f_x, f_y} \{ E(x, y, z_0) \} \times \mathcal{H}_z(f_x, f_y) \}. \qquad (I.2.28) $$

En procédant de la même manière que précédemment, il est possible d'obtenir un critère d'échantillonnage pour le calcul de la FTO :

$$ \Delta x \le \sqrt{\frac{2\pi z}{kN}}. \qquad (I.2.29) $$

### 2.3.3 Lien avec la simulation des hologrammes

Pour faire le lien entre les conditions d'échantillonnage proposées Eqs. (I.2.26) et (I.2.29), il est nécessaire d'exprimer la distance de propagation optimale liée à la propagation. Ainsi, pour l'échantillonnage de la réponse impulsionnelle $h_z$, l'Eq. (I.2.26) devient :

$$ z \ge \frac{N \Delta x^2 k}{2\pi} \qquad (I.2.30) $$

et pour l'échantillonnage de la FTO

$$ z \le \frac{N \Delta x^2 k}{2\pi}. \qquad (I.2.31) $$

Ainsi pour $z_{opt} = N \Delta x^2 k / 2\pi$ les deux méthodes peuvent être utilisées sans distinction. En revanche, si $z < z_{opt}$, on privilégiera l'Eq. (I.2.29) pour le calcul de la propagation et lorsque $z > z_{opt}$, on préférera l'Eq. (I.2.26). Ce point est illustré par la Fig. I.2.7. On considère un plan de transmittance $E(x, y)$ illuminé par une onde plane et propagé jusqu'au plan de l'hologramme où l'on enregistre l'intensité $|E(x, y; z)|^2$. Tant que la distance de propagation entre l'objet et le capteur sera inférieure à $z_{opt}$ la propagation de l'onde diffractée est donnée par l'Eq. (I.2.28) (flèche bleue sur la Fig. I.2.7), alors que pour $z > z_{opt}$ (flèche rouge) il est nécessaire d'utiliser l'Eq. (I.2.21). On pourra également noter que pour $z = z_{opt}$, l'utilisation des deux méthodes est équivalente.

Comme j'ai pu l'évoquer au début de ce document, en imagerie optique non conventionnelle, imagerie et traitement des données sont intimement liés. On retrouve cet aspect dans l'holographie numérique où une étape de reconstruction est nécessaire pour revenir à l'information de l'objet imagé. Néanmoins, avant d'aborder les méthodes de reconstruction des hologrammes, je vais maintenant détailler mes principales contributions à la mise en place de modèles de formation d'images en holographie.
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIGURE 1.2.7 – Illustration du choix de la méthode de calcul du noyau de propagation de la lumière en fonction de la distance entre le plan de transmittance de l'objet et le capteur.</figcaption></figure>

## 2.4 Mise en place de modèles de formation d'images : cas des écoulements canalisés

Bien qu'initiés au cours de ma Thèse de Doctorat [17-19], ces travaux ont par la suite évolué pour prendre en compte davantage de configurations expérimentales et d'autres méthodes de reconstruction, notamment au cours de mon ATER à l'Université de Rouen [20], et de mon Post-Doctorat au laboratoire Hubert Curien (Saint-Étienne) [21]. Ces travaux ont initialement été motivés par le fait que tous les modèles classiques de formation d'image en holographie ne considéraient que la propagation de la lumière dans un milieu uniforme en indice de réfraction. Dans le cadre de mes travaux, j'ai été amené à étudier des écoulements canalisés et microcanalisés. L'extraction de données quantitatives passait donc par le développement de nouveaux modèles.

Pour la mise en place du modèle de formation des images, nous considérons le dispositif illustré Fig. 1.2.8. La canalisation est ici modélisée, pour l'interface d'entrée, par un couple lentille sphérique, lentille cylindrique (SL et CL). La présence de ce couple de lentilles a pour effet de générer deux points de focalisation distincts dans les directions $x$ et $y$<fnref n="1" />.

La propagation de la lumière au travers d'un système tel que celui de la Fig. 1.2.8 peut être modélisée comme un système linéaire. La fonction de transfert de ce système peut être calculée grâce à un formalisme matriciel [22, 23]. Dans ce cas, nous scinderons le système en deux :

1. Propagation de la lumière du point source jusqu'au plan de l'objet.

2. Propagation et diffraction de la lumière du plan de l'objet au plan du capteur.

Considérons un point source gaussien $G(\mu, \nu)$ tel que

$$G(\mu, \nu) = \exp \left( -\frac{\mu^2 + \nu^2}{\omega_0^2} \right). \qquad (I.2.32)$$

<footnote n="1">1. Il est à noter que si SL n'est pas présente, le faisceau sera focalisé dans une direction et collimaté dans l'autre [17]</footnote>
<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>FIGURE I.2.8 – Configuration expérimentale utilisée pour la mise en place du modèle de formation des images en situation de confinement, (a) dans le plan $(x, z)$ et dans le plan $(b) (y, z)$ (illustration reprise de la référence [21]).</figcaption></figure>

La propagation au travers du premier système linéaire est donnée par :

$$ G_1(\xi, \eta) = \frac{\exp\left(i\frac{2\pi}{\lambda}\sqrt{B_1^x B_1^y}\right)}{i\lambda\sqrt{B_1^x B_1^y}} \int_{\mathbb{R}^2} G(\mu, \nu) \\ \times \exp\left[i\frac{\pi}{\lambda B_1^x}(A_1^x \mu^2 - 2\xi\mu + D_1^x \xi^2)\right] \\ \times \exp\left[i\frac{\pi}{\lambda B_1^y}(A_1^y \nu^2 - 2\eta\nu + D_1^y \eta^2)\right] d\mu d\nu, \quad (I.2.33) $$

avec $A_1^{x,y}$, $B_1^{x,y}$, et $D_1^{x,y}$ les éléments de la matrice de transfert du premier système (voir Annexe B, Eq. (V.B.6)). Après développements, l'Eq. (I.2.33) peut s'écrire

$$ G_1(\xi, \eta) = \frac{\exp\left(i\frac{2\pi}{\lambda}\sqrt{B_1^x B_1^y}\right)}{i\lambda\sqrt{B_1^x B_1^y}} K_1^x K_1^y \\ \times \exp\left[-\left(\frac{\xi^2}{\omega_\xi^2} + \frac{\eta^2}{\omega_\eta^2}\right)\right] \exp\left[-i\frac{\pi}{\lambda}\left(\frac{\xi^2}{R_\xi} + \frac{\eta^2}{R_\eta}\right)\right]. \quad (I.2.34) $$

Les facteurs $K_1^{x,y}$, les rayons du faisceau $\omega_{\xi,\eta}$, et les rayons de courbure du front d'onde $R_{\xi,\eta}$ après propagation dans le premier système sont donnés en annexe B.2.
De la même manière, on peut déterminer l'amplitude de l'onde dans le plan du capteur, après propagation dans le second système

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{G}_2(x, y) = \frac{\exp\left(i \frac{2\pi}{\lambda} \sqrt{B_2^x B_2^y}\right)}{i\lambda \sqrt{B_2^x B_2^y}} & \int_{\mathbb{R}^2} \mathcal{G}_1(\xi, \eta) \\
& \times [1 - T(\xi, \eta)] \exp\left[i \frac{\pi}{\lambda B_2^x} (A_2^x \xi^2 - 2x\xi + D_2^x x^2)\right] \\
& \times \exp\left[i \frac{\pi}{\lambda B_2^y} (A_2^y \eta^2 - 2y\eta + D_2^y y^2)\right] d\xi d\eta,
\end{aligned}
\tag{I.2.35}
\end{equation}
$$

où $A_2^{x,y}$, $B_2^{x,y}$, and $D_2^{x,y}$ sont les coefficients de la matrice de transfert pour le second système (ils sont donnés annexe B, Eq. (V.B.7)).

Dans le cas d'une particule opaque, la transmittance de l'objet, notée $1-T(\xi, \eta)$, peut être décomposée sur une base de fonctions gaussiennes. Ceci permet d'obtenir une expression analytique de l'Eq. (I.2.35) [24].

La transmittance est telle que

$$
T(\xi, \eta) = \sum_{k=1}^{N} A_k \exp \left[ -\frac{B_k}{r^2} (\xi^2 + \eta^2) \right], \quad (I.2.36)
$$

avec $r$ le rayon de la particule (les objets elliptiques peuvent également être pris en compte). Les coefficients $A_k$ et $B_k$ grâce à une résolution itérative de l'équation de Kirchhoff pour un bord franc [24]. En utilisant l'Eq. (I.2.35) on peut obtenir une expression analytique de l'onde de référence $\mathcal{R}(x, y)$ et de l'onde objet $\mathcal{O}(x, y)$ de telle sorte que

$$
\mathcal{G}_2(x, y) = \frac{\exp\left(i \frac{2\pi}{\lambda} \sqrt{B_2^x B_2^y}\right)}{i\lambda\sqrt{B_2^x B_2^y}} [\mathcal{R}(x, y) + \mathcal{O}(x, y)]. \quad (I.2.37)
$$

Les ondes de référence et objet sont alors données par

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{R}(x, y) = \frac{\exp\left(i \frac{2\pi}{\lambda} \sqrt{B_1^x B_1^y}\right)}{i\lambda\sqrt{B_1^x B_1^y}} & K_1^x K_1^y K_2^x K_2^y \\
& \times \exp\left[-\frac{\pi}{\lambda} \left(\frac{N_x}{B_2^x} x^2 + \frac{N_y}{B_2^y} y^2\right)\right] \\
& \times \exp\left[i \frac{\pi}{\lambda} \left(\frac{M_x}{B_2^x} x^2 + \frac{M_y}{B_2^y} y^2\right)\right],
\end{aligned}
\tag{I.2.38}
\end{equation}
$$
et

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{O}(x, y) = & \frac{\exp\left(i \frac{2\pi}{\lambda} \sqrt{B_1^x B_1^y}\right)}{i\lambda \sqrt{B_1^x B_1^y}} K_1^x K_1^y \\
& \times \exp\left[i \frac{\pi}{\lambda} \left(\frac{D_2^x}{B_2^x} x^2 + \frac{D_2^y}{B_2^y} y^2\right)\right] \sum_{k=1}^{N} A_k K_2^{x_{eq}} K_2^{y_{eq}} \\
& \times \exp\left[-\frac{\pi}{\lambda} \left(\frac{N_{x_{eq}}}{B_2^x} x^2 + \frac{N_{y_{eq}}}{B_2^y} y^2\right)\right] \\
& \times \exp\left[i \frac{\pi}{\lambda} \left(\frac{M_{x_{eq}}}{B_2^x} x^2 + \frac{M_{y_{eq}}}{B_2^y} y^2\right)\right].
\end{aligned}
\tag{I.2.39}
\end{equation}
$$

Les différents paramètres des Eqs. (I.2.38) et (I.2.39) sont explicités dans l'annexe B.2.
Il est finalement possible de calculer l'intensité de l'hologramme $g(x, y)$ comme

$$
g(x, y) = \mathcal{G}_2(x, y) \mathcal{G}_2^*(x, y). \tag{I.2.40}
$$

Un exemple d'hologrammes, obtenus en utilisant le modèle présenté Eq. (I.2.40), est proposé
Fig. I.2.9. On peut distinguer trois types de situations :

1. La particule est située avant le premier waist (région (1) dans la Fig. **I.2.8**). Comme illustré par la Fig. **I.2.9**(a), la figure d'interférences est elliptique.

2. La particule est située entre les deux waists (région (2)). On remarque qu'ici, la figure d'interférences est hyperbolique (voir Fig. 1.2.9(b)).

3. La particule est située après le second waist (région (3)). Dans ce cas, les franges d'interférences sont de nouveau elliptiques (voir Fig. 1.2.9(c)).

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIGURE I.2.9 – Simulation des hologrammes d’une particule de 100 µm de diamètre en situation de confinement pour (a) $z_p \approx 55$ mm, $z \approx 165$ mm ; (b) $z_p \approx 80$ mm, $z \approx 140$ mm ; $z_p \approx 120$ mm, $z \approx 100$ mm (illustration reprise de la référence [21]).</figcaption></figure>

Dans le cas extrême où la particule est située dans l'un ou l'autre des waists, on visuali-
sera des franges horizontales ou verticales. L'accord qualitatif entre le modèle développé et
les données expérimentales est mis en évidence Fig. I.2.10. On remarque ici que les holo-
grammes enregistrés dans les conditions de la Fig. I.2.9 sont très proches de ce que notre
modèle de formation d'images avait prédit. Le modèle ayant été validé, il pourra servir de
base pour la reconstruction des hologrammes et l'extraction de données quantitatives.
<figure><img src="image_21.png" /></figure>

FIGURE I.2.10 – Hologrammes expérimentaux d’une particule de 100 µm de diamètre en situation de confinement pour (a) $z_p \approx 55$ mm, $z \approx 165$ mm ; (b) $z_p \approx 80$ mm, $z \approx 140$ mm ; $z_p \approx 120$ mm, $z \approx 100$ mm (illustration reprise de la référence [21]).

**2.5 Quelques remarques**

Ce chapitre a été l'occasion de faire le lien entre les concepts d'imagerie optique non-conventionnelle et l'holographie. Ainsi, je suis revenu sur l'intérêt et les principes généraux de l'holographie numérique. Après un rappel des modèles de formation d'images classiques (dans un milieu d'indice uniforme), j'ai présenté les développements réalisés pour la mise en œuvre de modèles adaptés à des situations expérimentales plus complexes, telles que l'analyse d'écoulements canalisés.

Comme j'ai pu l'évoquer précédemment, l'holographie numérique est une méthode d'imagerie en deux étapes : l'enregistrement et la reconstruction. L'étude des modèles de formation d'images vont nous permettre, dans le chapitre suivant, de mettre en place les méthodes de reconstruction classiques de l'holographie et de les étendre à la microscopie holographique.
<figure><img src="image_22.png" /></figure>
# Chapitre 3

## L'holographie : les méthodes de reconstruction classiques

Le chapitre précédent était consacré à l'étude de la formation d'images en holographie numérique. Ces modèles serviront de base à la mise au point de méthodes de reconstruction adaptées. Ce chapitre s'appuiera en partie sur le travail de synthèse que j'ai mené lors de mon Post-Doctorat à l'Institut Langevin de l'ESPCI [12] et sur les travaux liés à la reconstruction en microscopie holographique menés au laboratoire Charles Coulomb [25, 26]. Nous ne traiterons ici que les approches « propagatives » de reconstruction, les méthodes inverses feront l'objet d'un chapitre consacré.

### 3.1 La reconstruction holographique

#### 3.1.1 D'Huygens-Fresnel à la reconstruction des hologrammes

Comme le laisse à penser la Fig. 1.2.5, il est possible d'utiliser le principe d'Huygens-Fresnel pour la rétro-propagation des hologrammes. On modifie alors l'Eq. (1.2.18) qui devient :

$$I(x, y, z) = \iint_{x', y'} I_H(x', y', z_0) e^{i \frac{k}{2z} [(x-x')^2 + (y-y')^2]} dx'dy', \quad (I.3.1)$$

avec $I(x, y, z)$, l'intensité du champ après propagation sur une distance $z$ et $I_H$ l'intensité de l'hologramme telle que donnée par l'Eq. (1.2.5), la distance $z$ sera alors négative pour signifier que l'on réalise une rétropropagation. Il est à noter que dans le cas d'un hologramme ayant été enregistré en configuration hors-axe, on remplacera $I_H$ par $I_{H_F}$ (voir Eq. (1.2.11)). Dans le cas d'un enregistrement réalisé en phase-shifting, $I_H$ est à remplacer par $I_{H_{PS}}$.

La reconstruction des hologrammes simulés Figs. 1.2.2 et 1.2.4 est proposée Fig. 1.3.1. L'objet utilisé pour les simulations est représenté Fig. 1.3.1(a), pour l'amplitude et (d) pour la phase. L'amplitude (b) et la phase reconstruite (e) dans le cas de l'holographie hors-axe, ainsi que celles obtenues en holographie à décalage de phase (c,f) sont très similaires à l'objet simulé. Notons qu'ici, les hologrammes avaient été simulés à la distance $z = z_{opt}$ et donc reconstruits à $z = -z_{opt}$.

#### 3.1.2 Interprétation du principe d'Huygens-Fresnel comme une transformée de Fourier

Les méthodes de calcul de l'Eq. (1.3.1) sont similaires à celles de l'Eq. (1.2.18), nous y revidrons par la suite. Il est possible d'introduire une troisième méthode permettant d'enregistrer et reconstruire les hologrammes d'objets dont les dimensions latérales sont plus
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE I.3.1 – Reconstruction des hologrammes simulés Figs. I.2.2 et I.2.4.</figcaption></figure>

(a) amplitude de l'objet, (b) amplitude reconstruite en holographie hors-axe,

(c) amplitude reconstruite en holographie à décalage de phase. (d-f) phase de l'objet et reconstruction en holographie hors-axe et à décalage de phase

grandes que celles du capteur d'imagerie. On peut réécrire l'Eq. (I.3.1)

$$
I(x, y, z) = e^{i \frac{k}{2z} (x^2 + y^2)} \iint_{x', y'} I_H(x', y', z_0) e^{i \frac{k}{2z} (x'^2 + y'^2)} \\
\times e^{-i \frac{k}{z} (xx' + yy')} dx'dy'. \qquad (I.3.2)
$$

On reconnaît ici l'expression de la transformée de Fourier de $I_H(x', y', z_0)$ $e^{i \frac{k}{2z} (x'^2 + y'^2)}$. En remplaçant $k = 2\pi n_{\text{imm}}/\lambda$ dans l'Eq. (I.3.2) on peut définir les fréquences spatiales $f_x, f_y$ associées. Elles sont telles que :

$$
f_x = \frac{x'n_{\text{imm}}}{\lambda z}, \quad f_y = \frac{y'n_{\text{imm}}}{\lambda z}. \tag{I.3.3}
$$

On peut alors écrire

$$
I(x, y, z) = e^{i \frac{k}{2z} (x^2 + y^2)} \mathcal{F}_{f_x, f_y} \left\{ I_H (x', y', z_0) e^{i \frac{k}{2z} (x'^2 + y'^2)} \right\} \quad (I.3.4)
$$

Contrairement aux approches basées sur la convolution présentées Eqs. (I.2.21) et (I.2.28), le champ dans le plan de l'objet varie en fonction de la distance de propagation. Pour mettre ce point en évidence, estimons la taille d'un pixel dans le plan objet. Exprimons l'Eq. (I.3.3) pour la propagation d'un pixel. En utilisant les propriétés de la FFT (Fast Fourier Transform),
on sait que $N\Delta f_x\Delta x = 1$ et ainsi l'Eq. (I.3.3) devient :

$$ \frac{1}{N\Delta x} = \frac{\Delta x' n_{\text{imm}}}{\lambda z} \qquad (I.3.5) $$

et permet d'exprimer les dimensions d'un pixel dans le plan de l'objet

$$ \Delta x' = \frac{\lambda z}{N \Delta x n_{\text{imm}}}. \qquad (I.3.6) $$

En considérant que les dimensions des pixels du capteur sont constantes, on remarque que, contrairement aux approches convolutives (Eqs. (I.2.26) et (I.2.29)) les dimensions du champ reconstruit varient en fonction de la distance de propagation/reconstruction. Ainsi, les dimensions des pixels objet seront telles que :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \Delta x' < \Delta x & \text{si } z > z_{\text{opt}} \\ \Delta x' = \Delta x & \text{si } z = z_{\text{opt}} \\ \Delta x' > \Delta x & \text{sinon} \end{array} \right. \qquad (I.3.7) $$

Ainsi, selon les dimensions de l'objet, on pourra se placer dans l'une des trois situations

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIGURE I.3.2 – Évolution de l'horizon reconstruit en fonction de la distance de propagation $z$.</figcaption></figure>

pour obtenir un enregistrement correct. Ce point est illustré par la Fig. I.3.2. Ici, l'horizon reconstruit (par abus de langage, l'étendue optique) est proposé en fonction de la distance de reconstruction pour les approches convolutives en rouge (Eqs. (I.2.26) et (I.2.29)) et basé sur l'expression de la propagation comme une transformée de Fourier en bleu (Eq. I.3.3). On voit ici que l'utilisation de la reconstruction basée sur la FFT sera bien adaptée pour imager des objets dont les dimensions latérales sont supérieures à celles du capteur. Dans le cas contraire, les méthodes basées sur l'interprétation du principe d'Huygens-Fresnel comme un produit de convolution sont à privilégier.

### 3.1.3 Retour sur les problématiques d'échantillonnage

Nous avons pu voir dans la Section 2.3.2 que l'échantillonnage de la réponse impulsionnelle du système était important dans la manière de calculer l'intégrale d'Huygens-Fresnel. Intéressons nous maintenant aux répercussions sur les résultats de reconstruction. Pour ce
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIGURE I.3.3 – Influence du choix de la méthode sur la reconstruction des hologrammes en fonction de la distance d'enregistrement *z*. Adapté de la référence [12]</figcaption></figure>

faire, j'ai réalisé une expérience simple, dont le principe est détaillé Ref. [12] : on utilise une mire USAF-1951 que l'on positionne à trois distances différentes telles que

- $z < z_{opt}$

- $z = z_{opt}$

- $z > z_{opt}$.

Les hologrammes acquis sont ensuite reconstruits avec les trois méthodes présentées ici, à savoir la reconstruction basée sur l'utilisation d'une FFT (voir Eq. (I.3.2)), sur l'échantillonnage de la FTO (I.2.28) et sur l'échantillonnage de la réponse impulsionnelle (I.2.21). Les résultats obtenus sont proposés Fig. I.3.3. On voit sur la ligne centrale, pour $z = z_{opt}$, que les trois méthodes donnent des résultats identiques. Pour $z < z_{opt}$, les problèmes d'échantillonnage de la réponse impulsionnelle se traduisent par l'apparition de répliques dans la reconstruction. Les deux autres méthodes donnent de meilleurs résultats, malgré un léger phénomène de repliement fréquentiel pour la reconstruction basée sur la transformée de Fourier. Pour $z > z_{opt}$, la méthode basée sur l'échantillonnage de la réponse impulsionnelle donnera les meilleurs résultats. Ici, bien que l'on soit dans le cas où $z > z_{opt}$, la méthode basée sur l'échantillonnage de la FTO donne de bons résultats. Ceci est dû aux dimensions de l'échantillon choisi, mais on constate que la méthode basée sur l'échantillonnage de la FTO est proche de présenter des répliques fréquentielles. En revanche, la méthode basée sur le calcul de la FFT ne permet pas d'obtenir une reconstruction exploitable. En effet, l'objet, de dimensions comparables à celles du capteur d'imagerie, est situé loin du capteur. La dimension des pixels dans le plan objet est ici trop importante. Nous aborderons par la suite les méthodes à grandissement variable qui permettent de s'affranchir de ces problèmes.
3.2 Reconstruction à grandissement variable

3.2.1 Principe

Comme nous l'avons vu jusqu'ici, les méthodes de reconstruction classiques ne per-
mettent pas d'ajuster le grandissement de l'hologramme reconstruit. Celui-ci est fixe dans le
cas d'une reconstruction « convolutive » et dépendant de la distance de reconstruction dans
le cas de l'implémentation à une FFT. Ce point apparaît clairement Fig. 1.3.2. Ainsi, si l'on
note Δx la taille des pixels dans le plan du capteur et Δξ la taille des pixels dans le plan de
l'objet, le grandissement vaudra

$$
\gamma_{\text{conv}} = \frac{\Delta\xi}{\Delta x} = 1 \tag{I.3.8}
$$

pour les algorithmes convolutifs et

$$
\gamma_{\text{FFT}} = \frac{\Delta x'}{\Delta x} = \frac{\lambda z}{N \Delta x^2} \qquad (\text{I.3.9})
$$

pour l'implémentation sous forme d'une FFT. Dans la suite nous prendrons le grandisse-
ment donné par l'Eq. (I.3.9) comme référence. Cette valeur sera notée $\gamma_0$ dans la suite du
document. Parmi les méthodes existantes, nous reviendrons sur la transformée de « Fresnel-
Bluestein » proposée par J. Restrepo [27] et dont des améliorations ont été proposées pour
étendre la gamme de grandissements accessibles [12].

Reprenons l'Eq. (I.3.2) et traitons le problème discret à une dimension<fnref n="1" />

$$
E(p) = \frac{\exp\left(i\frac{2\pi}{\lambda}z\right)}{i\lambda z} \exp\left(i\frac{\pi}{\lambda z}p^2 \Delta x'^2\right) \sum_{n=0}^{N-1} E_0(n) \exp\left(i\frac{\pi}{\lambda z} n^2 \Delta x^2\right) \exp\left(-i\frac{2\pi}{\lambda z} np \Delta x \Delta x'\right). \quad (I.3.10)
$$

Ici, $n\Delta x$ et $p\Delta x'$ sont respectivement les coordonnées dans le plan du capteur et dans le plan de reconstruction (plan de l'objet). En utilisant l'Eq. (I.3.9), nous pouvons réécrire l'Eq. (I.3.10) comme

$$
E(p) = \frac{\exp\left(i\frac{2\pi}{\lambda}z\right)}{i\lambda z} \exp\left(i\frac{\pi\lambda z p^2}{N^2\Delta x^2}\right) \sum_{n=0}^{N-1} E_0(n) \exp\left(i\frac{\pi}{\lambda z} n^2 \Delta x^2\right) \exp\left(-i2\pi\frac{np}{N}\right) \quad (\text{I.3.11})
$$

On peut remarquer dans l'Eq. (I.3.11), que le produit $2np$ peut être réécrit $2np = n^2 + p^2 - (p-n)^2$. Ainsi, l'Eq. (I.3.11) devient [12, 28, 29] :

$$
E(p) = \frac{\exp\left(i\frac{2\pi}{\lambda}z\right)}{i\lambda z} \exp\left[-\frac{i\pi}{\lambda z}\Delta x' (\Delta x - \Delta x') p^2\right] \\
\times \sum_{n=0}^{N} E_0(n) \exp\left[\frac{i\pi}{\lambda z}\Delta x (\Delta x - \Delta x') n^2\right] \exp\left[\frac{i\pi}{\lambda z}\Delta x \Delta x' (p-n)^2\right]. \quad (I.3.12)
$$

<footnote n="1">1. Les variables spatiales de l'Eq. (I.3.2) étant séparables, l'extension à deux dimensions ne pose pas de problèmes</footnote>
<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIGURE I.3.4 – Reconstruction pour $\gamma = 0,8$ (a), $\gamma = 1$ (b), $\gamma = 2,5$ (c) (illustration reprise de la référence [12]).</figcaption></figure>

En introduisant le grandissement de la reconstruction $\gamma = \Delta x'/\Delta x$ dans l'Eq. (I.3.12), on obtient

$$E(p) = \frac{\exp\left(i\frac{2\pi}{\lambda}z\right)}{i\lambda z} \exp\left[-\frac{i\pi}{\lambda z}\gamma(1-\gamma)\Delta x^2 p^2\right] \times \sum_{n=0}^{N} E_0(n) \exp\left[\frac{i\pi}{\lambda z}(1-\gamma)\Delta x^2 n^2\right] \exp\left[\frac{i\pi}{\lambda z}\gamma\Delta x^2 (p-n)^2\right]. \quad (I.3.13)$$

Sous cette forme, on peut remarquer que le grandissement est indépendant des paramètres expérimentaux tels que la distance d'enregistrement $z$ et la longueur d'onde $\lambda$ de la source. Il peut donc être ajusté au choix. Notons également que l'Eq. (I.3.13) n'est autre que le produit de convolution spatial entre deux fonctions $f$ et $g$ telles que

$$f(n) = E_0(n) \exp \left[ \frac{i\pi}{\lambda z} (1 - \gamma) \Delta x^2 n^2 \right], \quad (I.3.14)$$

et

$$g(n) = \exp\left(\frac{i\pi}{\lambda z}\gamma\Delta x^2 n^2\right). \quad (I.3.15)$$

Cette propriété permet une implémentation efficace de la reconstruction à grandissement variable mettant à profit des propriétés de la transformée de Fourier :

$$E(\xi) = \frac{\exp\left(i\frac{2\pi}{\lambda}\xi\right)}{i\lambda\xi} \exp\left[-\frac{i\pi}{\lambda\xi}\gamma(1-\gamma)\xi^2\right] \mathcal{F}_x^{-1}\{\mathcal{F}_{f_x}[f(x)] \times \mathcal{F}_{f_x}[g(x)]\} \quad (I.3.16)$$

Les résultats obtenus avec l'Eq. (I.3.16) sont proposés Fig. I.3.4 au travers de la reconstruction d'une mire USAF-1951 pour des valeurs de $\gamma$ allant de 0,8 à 2,5.

### 3.2.2 Gestion des répliques et des alias

Les algorithmes de reconstruction à grandissement variable permettent de « zoomer » sur les détails d'une reconstruction ou de reconstruire des objets dont les dimensions ne sont pas compatibles avec le capteur d'imagerie. Néanmoins, de part leur implémentation<fnref n="2" />

<footnote n="2">2. La circularité imposée par les algorithmes classiques de FFT est ici en cause. On pourrait imaginer, au prix d'un doublement des dimensions de la grille de calcul, symétriser les hologrammes avant traitement.</footnote>
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIGURE I.3.5 – (a) Procédure de suppression de l'aliasing. (b) Procédure de suppression des répliques (illustration reprise de la référence [12]).</figcaption></figure>

des répliques ou des alias peuvent apparaître dans les reconstructions. Prenons pour valeur de grandissement de référence le grandissement défini Eq. (I.3.9) qui sera noté $\gamma_0$. Nous nous retrouvons face à deux cas de figures :

1. $\gamma < \gamma_0$, la reconstruction est susceptible de présenter des répliques

2. $\gamma > \gamma_0$, la reconstruction peut être soumise à un phénomène d'aliasing

Une procédure de suppression des alias, proposée par Hennelly [29], et illustrée Fig. I.3.5(a) permet de limiter les effets indésirables que l'on peut observer lorsque $\gamma > \gamma_0$. Avant la reconstruction, l'hologramme est multiplié par un chirp définit (en 1D) par :

$$C(x) = \exp\left(i\frac{\pi}{\lambda z}x^2\right) \qquad (I.3.17)$$

Le résultat est masqué puis multiplié par $C^*$, le complexe conjugué de $C$. La taille du masque est choisie de telle sorte à correspondre aux dimensions du champ reconstruit à la distance $z$.

Pour traiter le problème des répliques, que l'on observe lorsque $\gamma < \gamma_0$, un masque de dimension $\gamma_0/\gamma \times N$ pixels est appliqué autour de l'objet d'intérêt. Le reste de l'hologramme étant porté à 0. Cette procédure est illustrée Fig. I.3.5(b). Afin d'illustrer les bénéfices de la méthode de filtrage, des hologrammes de mire USAF ont été acquis et reconstruits pour des valeurs de grandissement allant de 0, 5 × $\gamma_0$ à 2, 5 × $\gamma_0$. Les résultats obtenus, avant la procédure de filtrage, sont proposés Fig. I.3.6(a) pour $\gamma = 0, 5 \times \gamma_0$, Fig. I.3.6(b) pour $\gamma = \gamma_0$, et Fig. I.3.6(c) pour $\gamma = 4 \times \gamma_0$. Nous pouvons ici clairement remarquer l'apparition de répliques (Fig. I.3.6(a)) et d'alias (Fig. I.3.6(c)).

Les méthodes de reconstruction discutées ici s'appliquent de manière générale à l'ensemble des études en holographie. Néanmoins, si l'on s'intéresse à la microscopie holographique, quelques spécificités demeurent, notamment dans certaines situations (objectifs DIN, objectifs à grande ouverture ...). Dans la section suivante, nous aborderons les spécificités de la reconstruction dans le contexte de la microscopie holographique.
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE I.3.6 – Illustration du phénomène de répliques et d'alias. (a) Reconstruction pour $\gamma = 0, 5 \times \gamma_0$, (b) Reconstruction pour $\gamma = \gamma_0$, (c) Reconstruction pour $\gamma = 4 \times \gamma_0$. (d) Mêmes résultats que (a) avec retrait des répliques. (f) Mêmes résultats que (c) avec retrait des alias (illustration reprise de la référence [12]).</figcaption></figure>

## 3.3 Reconstruction en microscopie holographique

Lors de mon Post-Doctorat au laboratoire Charles Coulomb (UMR CNRS, Université de Montpellier), je me suis, entre autres, intéressé aux problématiques liées à la reconstruction d'objets épais en microscopie holographie [25, 26]. En effet, contrairement aux méthodes d'holographie plus conventionnelles que l'on nomme parfois « imagerie sans lentille », la microscopie holographique repose sur l'utilisation d'un objectif de microscope. La qualité des résultats obtenus dépendra alors de la position de l'objet par rapport à ce dernier. En effet, les objectifs de microscopes sont en général corrigés pour leurs aberrations dans leurs plans principaux. Dès lors que l'objet n'est pas dans le plan principal objet et que le capteur n'est pas dans le plan principal image, la qualité des résultats obtenus se retrouve détériorée.

Je vais ici résumer les résultats importants des références [25] et [26] qui ont permis de montrer qu'il était :

- possible de réaliser des reconstructions sans distorsion, c'est à dire en maintenant les axes *x*, *y*, *z* orthogonaux tout en conservant le même échantillonnage plan à plan;

- possible de reconstruire des hologrammes enregistrés avec des objectifs à grande ouverture numérique, hors des plans de correction, le tout sans distorsion de phase.

La clé de la méthode est de considérer la reconstruction holographique comme une lentille numérique et de considérer le couple reconstruction/objectif de microscope comme un dispositif afocal. La conservation de la phase optique par un dispositif afocal permettra ici de travailler indépendamment dans l'espace objet ou dans l'espace image.
<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>FIGURE 1.3.7 – Schéma de principe du dispositif de microscopie holographique (illustration adaptée de la référence [25]).</figcaption></figure>

**3.3.1 Problématique liée à la reconstruction d'objet étendus en microscopie holographique**

Avant de rentrer plus avant dans la reconstruction d'hologrammes d'objets étendus, reprenons la configuration expérimentale présentée Fig. 1.3.7. Il s'agit d'un interféromètre de Mach-Zehnder en configuration hors-axe. L'onde issue d'un laser est séparée en deux ondes cohérentes en phase au moyen du premier cube séparateur (noté CS₁) : l'onde de référence notée *R* et l'onde d'illumination de l'objet notée *O*. Cette dernière est l'association de l'onde plane d'illumination et de la composante diffractée par l'objet étudié. Les deux ondes sont recombinées hors-axe au moyen du cube recombinant noté CS₂ et l'intensité de l'hologramme, donnée par l'Eq. (1.2.7), est enregistrée dans le plan de la caméra (plan C sur la Fig. 1.3.7). L'objectif utilisé est un objectif x60 NA 1.4 DIN 160, c'est à dire qu'il est corrigé à une distance finie de 160 mm. On pourra néanmoins remarquer que les résultats obtenus ici pourront être étendus au cas, plus conventionnel, d'objectifs corrigés à l'infini.

Classiquement, la reconstruction de l'hologramme est faite dans le demi-espace image [30-32]. Dans notre cas, la reconstruction consiste à repropager l'hologramme du plan C au plan O, qui est l'image du plan objet O' au travers de l'objectif de microscope. Cette distance est notée *d* sur la Fig. 1.3.7. Néanmoins, dans les références citées précédemment, l'objet était considéré comme étant bidimensionnel et infiniment fin. Regardons de plus près ce qu'il se passe dans le cas d'un objet épais. On notera $C'$ le plan capteur vu dans le demi-espace objet. Si l'objet est proche du capteur, alors $d \to 0$. De la même manière si l'objet s'approche du plan focal objet de l'objectif de microscope, alors $d \to \infty$. Dans ce cas, réaliser la reconstruction dans le demi-espace image se traduit par de fortes distorsions en fonction de la distance axiale de reconstruction. Si on parvient à déplacer le problème de reconstruction dans le demi-espace objet, il devient nécessaire d'ajuster $d' = |C'O'|$. Dans ce cas, $d'$ est une petite distance et la reconstruction se retrouve facilitée et indépendante de la distance *d* vue au travers de l'objectif de microscope. Il est cependant nécessaire de discuter de la possibilité de passer d'un demi-espace à l'autre au préalable.
### 3.3.2 Calibration de la reconstruction : masque de phase

L'Eq. (I.2.7) donne l'intensité de l'hologramme $I_H$ dans le plan C. La présence de l'objectif de microscope, la courbure de l'onde de référence et le hors-axe font que la phase optique n'est pas la même dans les plans C et C'. Ainsi, pour pouvoir réaliser la reconstruction dans le demi-espace objet, il est nécessaire de compenser :

— la courbure de l'objectif de microscope;

— la courbure de l'onde de référence;

— l'angle de hors-axe introduit à l'enregistrement.

Pour réaliser cette calibration, commençons par analyser la courbure de phase du terme d'ordre +1 ($R^*O$ dans l'Eq. (I.2.7)) dans le plan C. Ainsi, dans un premier temps, on considère qu'il n'y a pas d'objet dans le plan O' et que l'objectif est éclairé par une onde plane. Le champ objet est donc plan dans le plan C'. Cette onde est focalisée dans le plan focal arrière de l'objectif de microscope et le champ objet présente une courbure de phase $\varphi_{obj}$ dans le plan C qui est telle que (voir Fig. I.3.7) :

$$ \varphi_{\text{obj}}(x, y) = e^{ik(x^2+y^2)/2r}, \qquad (I.3.18) $$

où $r$ est le rayon de courbure de l'onde objet et $k = 2\pi/\lambda$ est le module du vecteur d'onde dans l'air (milieu de propagation de l'onde dans le demi-espace image). Procédons de même avec l'onde de référence. Sa courbure est donnée par la distance $r' = |RC|$. Notons que dans le cas où la référence est une onde plane, $r' \to \infty$. De manière générale, la courbure de phase du complexe conjugué de l'onde de référence, notée $\varphi_{\text{ref}*}$ est donnée par :

$$ \varphi_{\text{ref}*}(x, y) = e^{-ik(x^2+y^2)/2r'}. \qquad (I.3.19) $$

Ainsi, en associant les Eqs. (I.3.18) et (I.3.19), on peut déterminer la courbure de phase du terme d'ordre +1, $\varphi_{+1}$, dans le plan C (voir Eq. (I.2.7)) :

$$ \varphi_{+1}(x, y) = e^{ik(x^2+y^2)/2r''}, \qquad (I.3.20) $$

avec $1/r'' = 1/r - 1/r'$. On peut alors écrire l'hologramme $I_{H1}$ corrigé de la courbure de phase du terme d'ordre +1 comme

$$ \begin{aligned} I_{H1}(x, y) &= \varphi_{+1}^*(x, y) I_H(x, y) \\ &= e^{-ik(x^2+y^2)/2r''} I_H(x, y). \end{aligned} \qquad (I.3.21) $$

Il est maintenant nécessaire d'ajuster correctement la distance $r''$. Pour ce faire, calculons la transformée de Fourier de l'Eq. (I.3.21)

$$ \tilde{I}_{H1}(k_x, k_y) = \mathcal{F}_{k_x, k_y} \left\{ e^{-ik(x^2+y^2)/2r''} I_H(x, y) \right\}, \qquad (I.3.22) $$

si le paramètre $r''$ est correctement ajusté, l'Eq. (I.3.22) permet d'obtenir le spectre de l'hologramme enregistré dans le plan focal arrière de l'objectif de microscope. En d'autres termes, la pupille formée par le terme d'ordre +1 sera au point. Ceci est illustré Fig. I.3.8(a-c). Pour cette expérience, l'objet (une mire USAF-1951 à contraste négatif) est positionné au voisinage du plan focal objet de l'objectif de microscope. La valeur absolue du spectre, représentée en échelle logarithmique met en évidence les trois ordres de diffraction prévus par l'Eq. (I.2.7). Pour faciliter la visualisation de la mise au point de la pupille, nous avons remplacé l'objet par un diffuseur statique. Son spectre, représenté en (c) après ajustement de $r''$ permet de visualiser la mise au point de la pupille, mettant en évidence la correction de la courbure de l'objectif et de l'onde de référence.
<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>FIGURE I.3.8 – Principe du masque de phase pour la reconstruction en microscopie holographique. L'objet est ici positionné dans le plan focal objet de l'objectif. Les spectres sont représentés en échelle logarithmique. (a) spectre de $I_H$, (b) zoom sur l'ordre +1, (c) ordre +1 mis au point (nous avons ici utilisé un diffuseur pour mieux mettre en évidence les bords de la pupille), (d) ordre +1 corrigé et recentré, (e) phase de l'hologramme $I_{H_2}$ après correction des courbures et du hors-axe (illustration reprise de la référence [25]).</figcaption></figure>

Pour que la calibration soit complète, il faut maintenant compenser l'hors-axe introduit lors des acquisitions. Si l'on reprend l'Eq. (I.2.7), l'introduction du hors-axe a décalé l'ordre +1 de $\delta k_x = 2\pi f_x$ et $\delta k_y = 2\pi f_y$. On note $\tilde{I}_{H_2}$ le spectre de l'hologramme après correction du hors-axe. Ce dernier est donné par :

$$ \tilde{I}_{H_2}(k_x, k_y) = \begin{cases} \tilde{I}_{H_1}(k_x + \delta k_x, k_y + \delta k_y) \text{ si } \sqrt{k_x^2 + k_y^2} < r_{\text{pup}} \\ 0 \text{ sinon,} \end{cases} \qquad (I.3.23) $$

où $r_{\text{pup}}$ est le rayon de la pupille. On peut alors retrouver l'hologramme corrigé $I_{H_2}$ en calculant la transformée de Fourier inverse de l'Eq. (I.3.23) :

$$ I_{H_2}(x, y) = \mathcal{F}_{x,y}^{-1} \{ \tilde{I}_{H_2}(k_x, k_y) \}. \qquad (I.3.24) $$

Les Eqs. (I.3.22) et (I.3.23) définissent un masque de phase $M_\Phi(x, y)$ que l'on pourra appliquer directement à $I_H(x, y)$ et qui est défini par :

$$ M_{\Phi}(x, y) = e^{-ik(x^2+y^2)/2r''} e^{i(\delta k_x x + \delta k_y y)}, \qquad (I.3.25) $$
et l'hologramme corrigé permettant le passage du demi-espace image au demi-espace objet peut être calculé comme :

$$ 
\begin{gathered}
I_{H_2}(x, y) = \mathcal{M}_{\Phi}(x, y) I_H(x, y) \quad \text{et,} \\
\tilde{I}_{H_2}(k_x, k_y) = \begin{cases} \tilde{I}_{H_2}(k_x, k_y) \quad \text{si} \quad \sqrt{k_x^2 + k_y^2} < r_{\text{pup}} \\ 0 \quad \text{sinon} \end{cases} \qquad (I.3.26)
\end{gathered}
$$

L'hologramme corrigé est proposé Fig. 1.3.8(e). On remarque ici que la phase du champ reconstruit est quasiment plate, ce qui illustre les capacités de $\mathcal{M}_{\Phi}$ à corriger la courbure introduite par l'onde de référence et l'objectif de microscope.

### 3.3.3 Équivalence demi-espace image, demi-espace objet et système afocal de reconstruction

Maintenant que les problématiques de courbure introduites par l'objectif de microscope et l'onde de référence sont traitées, nous pourrons facilement traiter la reconstruction dans le demi-espace image ou dans le demi-espace objet. Ici, les hologrammes considérés dans le demi-espace image sont notés $I_{H_n}$ et $\tilde{I}_{H_n}$ et associés aux coordonnées $x, y, k_x, k_y$. Les pas d'échantillonnage seront donnés par $\Delta x$ dans l'espace direct et $\Delta k = 2\pi/(N\Delta x)$ dans l'espace de Fourier. De la même manière, les hologrammes dans le demi-espace objet seront notés $I'_{H_n}$ et $\tilde{I}'_{H_n}$ et associés aux coordonnées $x', y', k'_x, k'_y$. Les pas d'échantillonnage associés sont alors $\Delta x' = \Delta x/G$ et $\Delta k' = 2\pi/(N\Delta x') = \Delta k \times G$ où G est le grandissement de l'objectif de microscope. On peut ainsi écrire :

$$ 
\begin{gathered}
I'_{H_n}(x', y') = I_{H_n}(x, y) \\
\tilde{I}'_{H_n}(k'_x, k'_y) = \tilde{I}_{H_n}(k_x, k_y)
\end{gathered}
\qquad (I.3.27)
$$

En repartant de l'hologramme corrigé $I_{H_2}(x, y)$ donné par l'Eq. (I.3.26), il est possible de le reconstruire indépendamment dans le demi-espace objet ou image. On peut alors écrire

$$ 
\begin{gathered}
I_{H_3}(x, y, z) = \mathcal{F}_{x,y}^{-1} \left\{ e^{i(k_x^2+k_y^2)z/2k} \tilde{I}_{H_2}(k_x, k_y) \right\} \\
I'_{H_3}(x', y', z') = \mathcal{F}_{x,y}^{-1} \left\{ e^{i(k_x'^2+k_y'^2)z'/2k_{\text{med}}} \tilde{I}'_{H_2}(k_x', k_y') \right\},
\end{gathered}
\qquad (I.3.28)
$$

$z = 0$ correspond au plan de la caméra C, $z' = 0$ correspond au plan C'. La propagation dans le demi-espace objet se fait dans l'huile de microscope d'indice $n_{\text{imm}}$ et est associée au vecteur d'onde $k_{\text{imm}} = 2\pi n_{\text{imm}}/\lambda$. Les distances de propagation $z$ et $z'$ sont liées et sont telles que :

$$ z = z' \frac{G^2}{n_{\text{imm}}} \qquad (I.3.29) $$

Cette équivalence stricte entre la reconstruction dans le demi-espace image et le demi-espace objet permet de concevoir l'étape de reconstruction comme l'ajout d'une lentille numérique $\mathcal{L}(x, y)$ telle que l'association de l'objectif de microscope et de $\mathcal{L}(x, y)$ soit un dispositif afocal. Cette lentille a donc une focale $r$. On peut ainsi conceptualiser la reconstruction en microscopie holographique comme proposé Fig. 1.3.9 où l'ajout du masque de phase $\mathcal{M}_{\Phi}(x, y)$ et de la lentille numérique $\mathcal{L}(x, y)$ rend la reconstruction possible indépendamment du demi-espace considéré.
<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>FIGURE 1.3.9 – Schéma de principe du dispositif de microscopie holographique (illustration adaptée de la référence [25]).</figcaption></figure>

**3.4 Quelques remarques sur les approches « propagatives » de reconstruction**

Ce chapitre était l'occasion de revenir sur les approches classiques de reconstruction holographique et de les mettre en perspective avec mes contributions au domaine [12, 25, 26]. Ces approches reposent sur la réinterprétation du principe d'Huygens Fresnel comme une transformée de Fourier (Eq. (1.3.2) ou comme un produit de convolution (Eqs. (1.2.21) et (1.2.28)). Néanmoins, l'utilisation d'algorithmes de transformée de Fourier rapide [33] peut causer des artefacts dans les reconstruction. De plus, bien que les résultats présentés ici reposaient sur une configuration d'holographie hors-axe, l'utilisation de ces méthodes de reconstruction en configuration de Gabor confrontera au bruit d'image jumelle qui nuit à la qualité des résultats obtenus. Ce point est illustré Fig. 1.3.10 qui présente la reconstruction

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>FIGURE 1.3.10 – Reconstruction d'un hologramme simulé en configuration de Gabor. (a) Hologramme, (b) amplitude reconstruite, (c) phase reconstruite.</figcaption></figure>
d'un hologramme simulé en configuration de Gabor. Pour rendre la reconstruction indépendante de la méthode de calcul de l'intégrale de Fresnel, nous nous sommes placés dans le cas où $z = z_{opt}$. On voit ici que l'objet reconstruit est superposé à son image en défaut de mise au point. Cette dernière correspond à l'ordre -1 de diffraction. Comme tous les ordres de diffraction se propagent selon le même axe, ils se retrouvent superposés lors de la reconstruction. Si on compare les résultats obtenus en configuration de Gabor à ce que l'on a pu obtenir dans les configurations précédentes (voir Fig. 1.3.1), on peut remarquer que le bruit d'image jumelle entâche à la fois l'amplitude et la phase reconstruite.

Dans le chapitre suivant, nous verrons comment la connaissance du modèle théorique de formation des images peut-être utilisée pour pallier ces limitations, notamment en configuration de Gabor, avec l'introduction des méthodes de reconstruction par approche inverse.
# Chapitre 4

## Holographie et approches problèmes inverses

Le chapitre précédent a permis de mettre en place les bases de la reconstruction holographique basée sur les approches dites de « rétropropagation de la lumière », c'est à dire sur une implémentation directe du principe d'Huygens-Fresnel. Ces approches donnent de très bons résultats mais peuvent présenter des artefacts. De plus, si l'application le nécessite, ces méthodes n'apportent pas de solution aux problématiques d'image jumelle rencontrées en holographie de Gabor. En effet, pour certaines applications en environnement expérimental sévère, ou n'offrant qu'un nombre d'accès optiques limités, l'holographie dans sa configuration de Gabor reste la plus simple à mettre en place.

Une possibilité pour s'affranchir du bruit d'image jumelle consiste à ne pas reconstruire les hologrammes et leur appliquer différentes méthodes de traitement du signal. Ainsi, en 1970 Menzel proposa, dans le cadre de l'imagerie de gouttelettes, une analyse directe du contenu fréquentiel des hologrammes [34] reposant sur un fit direct d'un modèle de formation d'images [35]. L'analyse du contenu fréquentiel (au sens spatial du terme) des hologrammes a également été proposée en utilisant des transformées temps-fréquence telles que la transformée de Wigner [36, 37]. Néanmoins ces approches sont limitées à l'analyse de profils 1D. En effet la transformée de Wigner d'un signal 2D, par exemple un hologramme, donne une représentation 4D de l'information qui est difficile à exploiter.

Des méthodes purement numériques peuvent également être considérées. Plutôt que de transformer l'hologramme via la rétropropagation de la lumière, les approches inverses offrent un cadre rigoureux pour l'extraction quantitative du contenu des hologrammes. Ici, on cherche à trouver les paramètres du modèle de formation d'images qui permettent de rendre compte, au mieux, des hologrammes acquis [38, 39]. L'utilisation de telles approches pour le traitement d'hologrammes a démontré ses capacités à améliorer la précision de l'extraction d'information, tout en permettant la reconstruction d'objets qui étaient hors du champ du capteur [40, 41]. Le but est ici d'avoir une représentation de l'hologramme dans un espace offrant un nombre de paramètres limités. En ce sens, ces approches sont parfois rangées dans la catégorie des méthodes de « détection compressée » (Compressive Sensing) [42-46].

Mon travail autour de l'utilisation et du développement des méthodes de reconstruction par approches inverses s'est déroulé au cours de mon post-Doctorat au Laboratoire Hubert Curien (UMR CNRS, Université de Saint-Étienne) et couvre également les problématiques abordées dans le cadre de l'encadrement du stage Master 2 d'Élian Dib, et de ma participation à l'encadrement de la Thèse de Frédéric Jolivet. Ce chapitre s'articulera autour des articles publiés dans cette période [21, 47-52]. Je reviendrai ainsi sur la formation d'image en imagerie holographique de particules, détaillerai les principes de la reconstruction par approches inverses et reviendrai sur les applications que j'ai été amené à faire pour l'extraction quantitative d'information et l'amélioration de la résolution.
## 4.1 Approches paramétriques : imagerie holographique de gouttes-lettres

Les approches inverses telles que j'ai pu les utiliser et développer peuvent se grouper en deux grandes familles :

- les approches paramétriques pour lesquelles le modèle de formation d'image a un nombre de paramètres limités;

- les approches régularisées pour lesquelles on va chercher à reconstruire un plan de transmittance en introduisant des connaissances a priori sur les propriétés de l'objet à reconstruire.

Dans le cas de l'holographie de gouttes/particules, les modèles de formations auront peu de paramètres : la position $(x, y, z)$ de la goutte, son rayon $r$, et selon les modèles, son indice de réfraction $n$. Je vais dans un premier temps m'attarder sur les méthodes parcimonieuses, et pour ce faire, regardons d'un peu plus près les modèles de formation d'images pour l'holographie de gouttes.

### 4.1.1 Formation d'images en holographie de gouttes : le modèle de Tyler Thompson

Dans le cadre du modèle de Tyler/Thompson [53], nous nous placerons à une distance $z$ du capteur telle que $z \gg r^2/\lambda$. On pourra alors négliger les effets de réfraction de la lumière par la goutte et la considérer comme un objet opaque diffractant. Notons $\mathcal{T}(x, y) = 1 - \vartheta(x, y)$ la transmittance de d'objet, avec $\vartheta(x, y)$ l'ouverture associée à la particule :

$$ \vartheta(x, y) = \begin{cases} 1 & \text{si } \sqrt{x^2 + y^2} < r \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}. \qquad (I.4.1) $$

Notons $I_z(x, y)$ l'intensité enregistrée sur le capteur positionné à une distance $z$. En utilisant le théorème d'Huygens-Fresnel on peut écrire $I_z(x, y)$, en considérant que $R(x, y) = 1$, comme [50] :

$$ I_z(x, y) \propto |1 - \vartheta(x, y) * h_z(x, y)|^2, \qquad (I.4.2) $$

où $h_z(x, y)$ est la réponse impulsionnelle du système telle que donnée par l'Eq. (I.2.19). L'Eq. (I.4.2) s'écrit donc :

$$ I_z(x, y) \propto 1 - \frac{1}{\lambda z} \mathcal{F}_{\frac{x}{\lambda z}, \frac{y}{\lambda z}} \{\vartheta(\xi, \eta)\} \sin \left[ \frac{\pi}{\lambda z} (x^2 + y^2) \right] + \left[ \frac{1}{\lambda z} \mathcal{F}_{\frac{x}{\lambda z}, \frac{y}{\lambda z}} \{\vartheta(\xi, \eta)\} \right]^2, \quad (I.4.3) $$

où $\xi, \eta$ sont les coordonnées spatiales dans le plan de la particule. Dans le cas d'une ouverture circulaire, la transformée de Fourier de $\vartheta(x, y)$ a une expression analytique qui est donnée par :

$$ \mathcal{F}_{\frac{x}{\lambda z}, \frac{y}{\lambda z}} \{\vartheta(\xi, \eta)\} = 2\pi r^2 \left( \frac{\lambda z}{2\pi r \sqrt{x^2 + y^2}} \right) J_1 \left( \frac{2\pi r \sqrt{x^2 + y^2}}{\lambda z} \right), \quad (I.4.4) $$

avec $J_1$ la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 [54]. On pourra de plus introduire la fonction de Bessel cardinale (par analogie au sinus cardinal) $J_{1_c}(x) = J_1(x)/x$ et simplifier l'expression de l'Eq. (I.4.4)

$$ I_z(x, y) \propto 1 - \frac{2\pi r^2}{\lambda z} J_{1_c} \left( \frac{2\pi r \sqrt{x^2 + y^2}}{\lambda z} \right) + \left[ \frac{2\pi r^2}{\lambda z} J_{1_c} \left( \frac{2\pi r \sqrt{x^2 + y^2}}{\lambda z} \right) \right]^2 . \quad (I.4.5) $$
Ainsi le modèle basé sur l'Eq. (I.4.5) nécessitera l'optimisation de 3 paramètres de position x, y, z et un paramètre de rayon r.

## 4.1.2 Formation d'images en holographie de gouttes : la théorie de Lorenz-Mie

Bien que je ne l'ai pas utilisée dans le cadre de mes travaux, il est néanmoins nécessaire de donner quelques éléments liés à la théorie de Lorenz-Mie [55] brillamment résumés en annexe de la référence [56]. A noter qu'ici, nous négligerons le champ interne aux particules et nous ne nous intéresserons qu'à la contribution diffusée en avant par la particule. Si on considère une sphère homogène dont l'indice de réfraction complexe $n_{\text{sph}}$ est connu,

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>FIGURE I.4.1 – Repères et notations utilisés pour la théorie de Lorenz-Mie</figcaption></figure>

la théorie de Lorenz-Mie donne une solution analytique des équations de Maxwell pour le champ électrique $E_{\text{diff}}$ et le champ magnétique $H_{\text{diff}}$ diffractés et exprimés en coordonnées sphériques. Dans le cas d'une illumination par une onde plane, la composante selon $\theta$ du champ diffracté $E_{\text{diff}}^{\theta}(r, \theta, \varphi)$ peut être exprimée comme la série sur $n$ suivante [56] :

$$E_{\text{diff}}^{\theta}(r, \theta, \varphi) = -\frac{E_0}{kr} \sum_{n=0}^{\infty} c_n [a_n \xi'_n(kr) \tau_n(\cos \theta) \cos \varphi - ib_n \xi_n(kr) \pi_n(\cos \theta) \sin \varphi], \quad (I.4.6)$$

où $\xi_n$ et $\xi'_n$ sont les fonctions de Ricatti-Bessel d'ordre n, et $\pi_n$ et $\tau_n$ les polynômes de Legendre. Les coefficients $a_n$ et $b_n$ sont les coefficients de diffusion de Mie, qui ne dépendent que de la longueur d'onde $\lambda$, du rayon de la sphère et de son indice de réfraction. Enfin, $E_0$ est l'amplitude de l'onde incidente et $c_n = (-i)^{n2n+1/(n(n+1))}$ assure la conservation de l'énergie. On pourra faire quelques remarques supplémentaires concernant l'Eq. (I.4.6) :

- un simple changement de coordonnées permettra de passer du champ $E_{\text{diff}}^{\theta}(r, \theta, \varphi)$ à sa représentation cartésienne;

- la distance entre les objets et le capteur est telle que l'approximation scalaire peut être appliquée. Ainsi, le champ complexe diffracté correspondra à celui calculé selon l'une des trois directions de propagation, par exemple $E_{\text{diff}}^x(x, y, z)$.

Ici, le modèle basé sur l'Eq. (I.4.6) permettra, en plus des paramètres précédents, d'accéder à l'indice de réfraction des particules analysées.

## 4.1.3 Principe de la reconstruction paramétrique

Contrairement aux méthodes basées sur le calcul de la rétropropagation que nous avons présenté jusqu'ici, les approches inverses permettent le traitement de l'hologramme dans
l'espace direct, limitant de ce fait les artefacts de reconstruction et les problématiques liées
au bruit d'image jumelle en holographie de Gabor [40, 41]. Quelque soit le modèle de for-

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>FIGURE I.4.2 – Schéma de principe de la reconstruction par approche inverse (adapté de la référence [21])</figcaption></figure>

mation d'images utilisé (par exemple l'Eq. (I.2.40) pour les environnements confinés, l'Eq. (I.4.5) pour des particules situées loin du capteur, ou l'Eq. (I.4.6) lorsque la réfraction de la gouttelette ne peut plus être négligée), le principe de l'approche inverse paramétrique sera le même. Je me baserai essentiellement sur le modèle de Tyler/Thompson (Eq.(I.4.5)) pour les discussions à venir. Les principaux changements étant liés au nombre de paramètres à optimiser, les discussions suivantes pourront être facilement généralisées.

Le schéma de principe de la reconstruction paramétrique est proposé Fig. 1.4.2 et repose
sur 3 étapes principales :

1. **La détection globale** qui vise à avoir une première estimation d'un jeu de paramètres $\{\hat{\theta}_e = (\hat{x}_e, \hat{y}_e, \hat{z}_e, \hat{r}_e)\}$ (le nombre de paramètres dépendant du modèle de formation d'images utilisé). On réalise ici une recherche exhaustive dans une version discrète de l'espace des paramètres $\{\theta = (x, y, z, r)\}$. On cherchera ici à maximiser la corrélation normalisée pondérée entre les données et le modèle de formation d'images [57]. Cette étape permet de limiter les problématiques d'extrema locaux qui pourraient être rencontrés lors de l'optimisation de l'estimation.

2. **L'optimisation locale** au cours de laquelle on affine l'estimation précédente dans l'espace continu des paramètres. Cette étape vise à minimiser l'écart, au sens des moindres carrés non-linéaires pondérés, entre les données et le modèle. On obtient alors l'estimation des paramètres du modèle $\{\theta_e = (x_e, y_e, z_e, r_e)\}$

3. Le nettoyage est la dernière étape du processus. Ici, le dernier objet détecté est retiré à l'hologramme (ou aux résidus), permettant d'améliorer le rapport signal à bruit pour la détection du reste des objets contenus dans l'hologramme acquis.

Cet algorithme est déroulé tant que des objets sont détectés et s'arrête dès que les valeurs
de paramètres estimées sont aberrantes (valeurs hors de la gamme de recherche, amplitudes
négatives ...).

Maintenant que les principes généraux de la reconstruction par approches inverses pa-
ramétriques sont posés, je vais détailler les développements que j’ai pu faire autour de ces
méthodes pour l’analyse quantitative d’hologrammes et l’amélioration des résultats d’opti-
misation.
## 4.2 Application des approches paramétriques à la calibration automatique de dispositifs expérimentaux

Ces travaux sont traités en détail dans la référence [21] et ont contribué aux développements des problématiques de co-conception au sein du laboratoire Hubert Curien. Je reviendrai ici sur la méthodologie permettant d'utiliser la connaissance du modèle de formation d'images, évoquée dans la section 2.4 pour la calibration.

### 4.2.1 Problématique

Revenons au dispositif expérimental proposé Fig. 1.2.8 lorsque nous discutions de la formation d'image en holographie. On remarque que deux paramètres influenceront particulièrement la qualité de la reconstruction des objets :

- la distance entre la lentille sphérique (SL) et la lentille cylindrique (CL) ici notée $z_l$ qui, si on considère les distances focales des lentilles connues (à la tolérance constructeur près), pilotera la position des deux waists $z_{w1}$ et $z_{w2}$ par rapport à CL;

- la distance entre CL et le capteur d'imagerie que l'on notera $z_{tot} = z_p + z$. Pour faciliter les discussions suivantes, nous poserons $z = z_{tot} - z_p$ la position de la particule par rapport au capteur.

Ces paramètres pourraient être estimés en même temps que les paramètres des particules, mais comme il s'agit de paramètres fixes du dispositif, nous proposons d'estimer $z_l$ et $z_{tot}$ en premier lieu. Ainsi dans la suite, j'aborderai la méthode retenue pour obtenir la meilleure estimation possible de ces deux paramètres et l'incidence que cela aura sur la qualité des reconstructions.

Pour réaliser cette calibration, nous disposerons un objet de rayon connu ($r = 50 \ \mu m$) à différentes positions dans le montage ce qui nous permettra de déterminer avec précision $z_l$ et $z_{tot}$.

### 4.2.2 Analyse de la précision de l'estimation : étude des bornes de Cramèr-Rao du modèle

Pour calibrer au mieux notre dispositif, il est nécessaire d'analyser la variance sur l'estimation des différents paramètres du modèle. Cet aspect nécessite le calcul des bornes de Cramèr-Rao du modèle de formation d'images [58-63]. Ces dernières pourront être estimées, pour chaque paramètre du modèle, en inversant la matrice d'information de Fisher. Nous nous plaçons ici dans l'hypothèse d'un bruit blanc gaussien. Comme nous fixons le rayon de la particule, notre modèle a 4 paramètres : {$\theta = x, y, z, z_l$}. Ainsi la matrice d'information de Fisher $F_{i,j}$ est une matrice $4 \times 4$ dont les éléments sont donnés par :

$$F_{i,j} = \text{SNR}^2 \sum_{x,y} \frac{\partial \bar{g}(x, y)}{\partial \theta_i} \frac{\partial \bar{g}(x, y)}{\partial \theta_j}, \qquad (I.4.7)$$

où SNR représente le rapport signal à bruit de l'hologramme et $\bar{g}(x, y)$ la version centrée et normalisée du modèle de formation d'image donné Eq. (I.2.40). Si les paramètres du modèle ne sont pas corrélés entre eux, les termes non diagonaux de $F_{i,j}$ sont nuls. Les bornes de Cramèr-Rao peuvent être obtenues en inversant la matrice de Fisher (Eq. (I.4.7)). En considérant que les paramètres du modèle ne sont pas corrélés, l'inverse de la matrice de Fisher
$F_{i,j}^{-1}$ devient :

$$F_{i,j}^{-1} = \begin{pmatrix} \sigma_x^2 & \epsilon_{yx} & \epsilon_{zx} & \epsilon_{zlx} \\ \epsilon_{xy} & \sigma_y^2 & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zly} \\ \epsilon_{xz} & \epsilon_{yz} & \sigma_z^2 & \epsilon_{zlz} \\ \epsilon_{xzl} & \epsilon_{yzl} & \epsilon_{zzl} & \sigma_{zl}^2 \end{pmatrix}, \qquad (I.4.8)$$

où $\epsilon_{i,j} \ll \sigma_{i,j}^2$. Cette hypothèse permet d'exprimer les termes diagonaux de l'Eq. (I.4.8) comme :

$$\sigma_i^2 \approx F_{i,j}^{-1} = \frac{1}{\text{SNR}^2} \left[ \sum_{x,y} \left| \frac{\partial \bar{g}(x, y)}{\partial \theta_i} \right|^2 \right]^{-1} \qquad (I.4.9)$$

L'évolution des bornes de Cramèr-Rao pour $z_l$ (en bleu) et $z = z_{tot} - z_p$ (en rouge) en

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>FIGURE I.4.3 – Évolution des bornes de Cramèr-Rao pour $z_l$ en bleu et $z = z_{tot} - z_p$. Les lignes verticales correspondent aux positions des deux waists $z_{w1}$ et $z_{w2}$</figcaption></figure>

fonction de la position de la particule $z_p$ est proposée Fig. I.4.3. On remarque que dans les deux courbes présentent deux minima correspondant respectivement aux positions des deux waists du faisceau $z_{w1}$ et $z_{w2}$. La sensibilité étant très élevée dans ces deux régions, nous nous en servirons pour le reste de la calibration. Deux étapes sont nécessaires :

1. Tout d'abord, on positionne un objet calibré dans le premier waist. L'optimisation nous permettra d'obtenir la position du premier waist et ainsi remonter à la valeur de $z_l$.

2. Enfin, on positionne le même objet dans le second waist. Après optimisation, on pourra obtenir la position du second waist par rapport au capteur et en déduire $z_{tot}$.

Cette calibration n'a ensuite plus besoin d'être réalisée si le montage n'est pas modifié.

### 4.2.3 Calibration du montage

Comme j'ai pu l'évoquer précédemment, la calibration du montage sera effectuée en deux étapes, la première permettant de déterminer $z_l$ et la seconde $z_{tot}$. Pour déterminer $z_l$ on positionne un disque opaque de diamètre 50 µm dans le premier waist du faisceau. Compte-tenu de la configuration proposée Fig. I.2.8, ce dernier est horizontal et a une largeur de quelques µm. Le disque opaque n'est donc éclairé que selon une corde, la localisation selon l'axe y et le rayon r du disque seront donc mal estimées. Néanmoins, le paramètre le plus important dans ce cas est $z_l$, la calibration ne sera alors pas affectée. L'hologramme
<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>FIGURE I.4.4 – Hologrammes enregistrés (a-e) et résidus après calibration (f-j) pour différentes valeurs de $z_p$. La zone 1 correspond à la région entre CL et le premier waist. La zone 2 est comprise entre les deux waists et la zone 3 après le second waist.</figcaption></figure>

enregistré dans le premier waist ainsi que les résidus de traitement sont respectivement présentés Fig. I.4.4(b) et (g). Une fois cette étape menée à bien, la distance $z_l$ est fixée et ne sera plus optimisée.

Pour fixer $z_{tot}$ l'objet calibré est maintenant positionné dans le second waist. Ce dernier est vertical. Ainsi, comme ce fût le cas précédemment, l'estimation de la position $x$ et du rayon $r$ seront mauvaises, mais n'entachent pas l'estimation de $z = z_{tot} - z_{w2}$ du fait de l'absence de corrélation entre les différents paramètres du modèle. L'hologramme de l'objet positionné dans le second waist et les résidus de reconstruction peuvent respectivement être visualisés Fig. I.4.4(d) et (i). Tous les paramètres du montage étant fixés, il est possible d'utiliser le dispositif en n'optimisant plus que les autres paramètres du modèle $\{\theta = (x, y, z, r)\}$. Les résultats pour des hologrammes de particules positionnées dans les trois zones sont illustrés Fig. I.4.4 et montrent les capacités de la méthode de calibration. Davantage d'indicateurs chiffrés sont disponibles dans la référence [21].

Les approches inverses permettent d'extraire des indicateurs quantitatifs avec une grande précision. De même si le modèle de formation d'image est bien connu, il est possible d'utiliser ces approches pour la calibration. Il est possible d'aller plus loin dans une logique de co-conception. En effet, il est possible d'utiliser les approches inverses pour optimiser le montage expérimental afin de répondre à certaines contraintes de résultat. C'est ce que je vais montrer dans la prochaine section au cours de laquelle je détaillerai l'utilisation des approches inverses pour l'optimisation de la localisation axiale d'objets dans le cadre d'une approche co-conçue.

## 4.3 Co-conception pour l'optimisation de la résolution axiale

L'holographie, dans sa configuration de Gabor, présente des avantages indéniables quant à sa simplicité de mise en œuvre et sa relative immunité aux variations de l'environnement expérimental. Il y a bien entendu des inconvénients notamment liés à la mauvaise exploitation de la dynamique de la caméra. En effet cette dernière est majoritairement occupée par l'onde de référence. Ainsi, les structures hautes-fréquences des hologrammes, qui permettent une localisation précise des objets, n'ont que peu de dynamique accessible
et sont difficiles à détecter. Une solution serait d'atténuer la contribution de l'onde de référence sans pour autant la couper complètement. Dans ce cadre, j'ai été amené, dans une logique de co-conception, à proposer une solution alternative reposant sur un filtrage sélectif du contenu de l'hologramme. Ces travaux, menés lors de mon post-Doctorat au laboratoire Hubert Curien font l'objet de la référence [50].

### 4.3.1 Dispositif expérimental et modèle de formation d'images

Pour réaliser ce filtrage sélectif, il est possible de modifier le montage d'holographie de Gabor pour lui ajouter un système afocal de type 4-f. Le montage à optimiser est illustré

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>FIGURE I.4.5 – Montage d'holographie de Gabor co-conçu avec optimisation de la dynamique de détection. Adapté de la référence [50]</figcaption></figure>

Fig. I.4.5. Il s'agit d'une configuration de Gabor à laquelle est ajouté un filtrage 4-f. Le filtre est un masque d'amplitude $M_\alpha(k_x, k_y)$, où $(k_x, k_y)$ sont les coordonnées dans l'espace de Fourier, dont on cherchera à optimiser le rayon et l'opacité. Avant de pouvoir optimiser ces paramètres, il est une nouvelle fois nécessaire de mettre en place le modèle de formation d'image associé. Pour ce faire, repartons de l'Eq. (I.4.2) qui donne l'intensité enregistrée sans le dispositif 4-f. La première lentille du dispositif (encadré bleu de la Fig. I.4.5) réalise une transformée de Fourier optique de ce qui est situé dans son plan focal objet (ici une particule). On positionne le masque d'amplitude dans le plan focal arrière de la seconde lentille (plan de Fourier). La seconde lentille permettra de réaliser la transformée de Fourier du spectre masqué de l'hologramme de notre particule. Ainsi, l'intensité $I_z(x, y)$ dans le plan du capteur peut s'écrire :

$$I_z(x, y) \propto \left| \mathcal{F}_{\frac{x}{\lambda z}, \frac{y}{\lambda z}} \left[ \mathcal{F}_{k_x, k_y} \{1 - \vartheta(\xi, \eta)\} M_\alpha(k_x, k_y) \right] * h_z(x, y) \right|^2, \quad (I.4.10)$$

où

$$M_\alpha(k_x, k_y) = \begin{cases} \alpha \text{ si } \sqrt{k_x^2 + k_y^2} \le \frac{\rho_M}{\lambda f}, \\ 1 \text{ sinon} \end{cases}, \quad (I.4.11)$$

et $\rho_M$ les dimensions physiques du masque circulaire. Introduisons l'ouverture géométrique du masque géométrique $\vartheta_M(k_x, k_y)$ qui est telle que :

$$\vartheta_M(k_x, k_y) = \begin{cases} 1 \text{ si } \sqrt{k_x^2 + k_y^2} \le \frac{\rho_M}{\lambda f}, \\ 0 \text{ sinon} \end{cases}. \quad (I.4.12)$$
On peut alors réécrire l'Eq. (I.4.11) comme :

$$ \mathcal{M}_{\alpha}(k_x, k_y) = 1 - (1 - \alpha) \vartheta_M(k_x, k_y). \qquad (I.4.13) $$

En introduisant l'Eq. (I.4.13) dans l'Eq. (I.4.10), on obtient une expression analytique de l'hologramme filtré $I_z(x, y)$

$$ I_z(x, y) \propto \alpha^2 - \alpha \frac{2\pi r^2}{\lambda z} J_{1_c} \left( \frac{2\pi r \sqrt{x^2 + y^2}}{\lambda z} \right) \sin \left[ \frac{\pi}{\lambda z} (x^2 + y^2) \right] \\ \left\{ \frac{2\pi r^2}{\lambda z} \alpha (1 - \alpha) J_{1_c} \left( \frac{2\pi r \sqrt{x^2 + y^2}}{\lambda z} \right) \sin \left[ \frac{\pi}{\lambda z} (x^2 + y^2) \right] \right\} \times \vartheta_M(x, y) \\ + \text{Termes de second ordre.} \qquad (I.4.14) $$

Davantage de détails sur le calcul de l'Eq. (I.4.14) pourront être trouvés en annexe de la référence [50].

### 4.3.2 Optimisation des paramètres du masque

Pour dimensionner le masque, revenons à l'Eq. (I.4.11). Deux paramètres peuvent être optimisés : le rayon $\rho_M$ du masque et sa transparence $\alpha$.

Le choix de $\rho_M$ doit être tel que l'on puisse améliorer le contraste du contenu haute fréquence de l'hologramme en perturbant le moins possible l'onde de référence. Ainsi, si l'on reprend l'Eq. (I.4.14), il est possible de dimensionner le masque afin d'agir sur la première annulation du terme $J_{1_c}\left(\frac{2\pi r \sqrt{x^2+y^2}}{\lambda z}\right)$. Le rayon optimal $\rho_M$ est alors donné par :

$$ \rho_M = \frac{1.22\lambda f}{2r} \qquad (I.4.15) $$

Notons que dans ce cas, le masque sera optimal pour une configuration expérimentale donnée. En effet, le rayon dépend de la longueur d'onde $\lambda$, de la distance focale $f$ des lentilles du montage 4-f et surtout du rayon $r$ de la particule analysée.

Pour déterminer la transparence du filtre $\alpha$, nous nous sommes basés sur l'analyse des bornes de Cramèr-Rao du modèle de formation d'image, de la même manière que dans l'étude précédente. En nous fixant pour contrainte que le second lobe de diffraction devait occuper autant de dynamique capteur que le premier, nous avons pu obtenir une valeur optimale de la transparence $\alpha = 0.13$. L'étude complète ayant mené à cette valeur ne sera pas détaillée ici mais est disponible dans la référence [50]. La Fig. I.4.6 illustre le modèle de formation d'images proposé Eq. (I.4.14). L'hologramme non-filtré (a) est équivalent à ce qu'on aurait obtenu en appliquant le modèle de Tyler/Thompson (Eq. (I.4.5)). Le spectre de l'hologramme (b) est filtré passe-haut avec une coupure au niveau de la première annulation de la fonction de Bessel cardinale formée par le spectre (c). La transformée de Fourier inverse de l'hologramme (d) présente un contenu en hautes-fréquences spatiales mieux contrasté que précédemment. Ce point est mis en évidence si l'on compare les profils obtenus en moyennant les intensités simulées radialement. Le profil filtré (gris) est tel que la dynamique du second lobe de diffraction soit similaire à celle du premier lobe. Ceci permettra de réaliser l'ajustement de notre modèle sur davantage de franges, améliorant d'autant l'estimation des paramètres. Notons que les Figs. I.4.6(b,c) ne sont données qu'à des fins d'illustration. En effet, le modèle de formation d'image donné Eq. (I.4.11) est analytique et ne nécessite pas l'utilisation de la transformée de Fourier.
<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>FIGURE 1.4.6 – Simulation du montage d'holographie co-conçu. (a) Hologramme non filtré. (b) Module de la transformée de Fourier de l'hologramme (échelle log). (c) Spectre filtré avec les paramètres $\rho_M$ et $\alpha$ optimaux. (d) Hologramme après filtrage. (e) Moyenne radiale des hologrammes représentés en (a) (profil bleu) et en (d) (profil gris)</figcaption></figure>

<table><caption>TABLE 4.1 – Écart-type et erreur-type sur l'estimation de $z$ et $r$ (sur 100 échantillons) sans filtrage et avec filtrage</caption><thead><tr><th></th><th>σ<sub>z</sub> (μm)</th><th>σ&#773;<sub>z</sub> (μm)</th><th>σ<sub>r</sub> (nm)</th><th>σ&#773;<sub>r</sub> (nm)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Non filtré</td><td>46,7</td><td>0,47</td><td>127,8</td><td>1,29</td></tr><tr><td>Filtré</td><td>29,6</td><td>0,29</td><td>75,2</td><td>0,75</td></tr><tr><td>Amélioration (%)</td><td>58%</td><td>58%</td><td>70%</td><td>70%</td></tr></tbody></table>

Une expérience a également été menée pour valider le concept. Afin de limiter les artefacts introduits par les modulateurs spatiaux de lumière, le masque a été photoinscrit sur une lame de verre. Ses caractéristiques ont été adaptées pour la détection de particules de 50 µm de diamètre. Les hologrammes acquis avec et sans filtrage sont proposés Fig. 1.4.7(a) et (b). Les profils d'intensité estimés à partir des moyennes radiales montrent un comportement très proche de celui prévu par les simulations présentées Fig. 1.4.6. Afin de juger de l'intérêt de la méthode, comparons les résultats obtenus dans le cadre de l'estimation de $z$ (c) et $r$ (d) pour une séquence de 100 hologrammes avec et sans filtrage. Les résultats obtenus en l'absence de filtrage sont représentés par les croix bleues et ceux en présence du filtre par les ronds rouges. On remarque que pour les deux paramètres, les courbes obtenues après filtrage semblent moins dispersées. Pour s'en assurer, il est possible d'estimer l'écart-type $\sigma_{z,r}$ et l'erreur-type $\sigma_{z,r}$ de nos estimations. Les résultats obtenus sont résumés dans la Table 4.1. On peut remarquer une amélioration de l'estimation de 58% pour $z$ et de 70% pour $r$.

Les paramètres du modèle ont ici été estimés individuellement, hologramme par hologramme. Cependant, il peut être intéressant d'estimer les paramètres constants sur toute une séquence d'acquisition. Par exemple, si on suit un objet dont les dimensions ne varient pas au cours du temps, on pourra utiliser une séquence d'images pour améliorer l'estimation de son rayon. On dit ici que l'on réalise une estimation conjointe du rayon de la particule. Nous verrons dans la section suivante que cette estimation conjointe pourra mener à une « super-résolution » sur les paramètres pouvant être estimés conjointement sur une séquence.
<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>FIGURE I.4.7 – Expérience d'holographie filtrée. (a) Hologramme non filtré. (b) Hologramme filtré. (c) Influence sur l'estimation de *z*. (d) Influence sur l'estimation de *r*.</figcaption></figure>

## 4.4 Approches paramétriques et estimation conjointe

Ces travaux ont une nouvelle fois été menés lors de mon post-Doctorat au laboratoire Hubert Curien. Ils ont donné lieu à quatre articles [47-49, 52], dont un dans le cadre de l'encadrement du stage Master 2 d'Élian Dib [49]. Je me placerai d'ailleurs dans le cadre offert par cette dernière référence, qui est à mon sens le plus général, et m'appuierai sur cette démarche pour revenir sur les résultats obtenus en utilisant ces approches. Ainsi, le principe de l'optimisation jointe sera appliqué dans le cadre du suivi lagrangien (utilisé en PTV : *Particle Tracking Velocimetry*) 3D de particules en écoulement et de suspensions colloïdes soumises au mouvement brownien.

### 4.4.1 Principe général de l'approche retenue

Comme j'ai pu l'évoquer précédemment, au cours d'une séquence d'acquisitions holographiques, certains paramètres peuvent rester constants. Ainsi, il peut être astucieux de ne pas estimer ces paramètres image par image, mais de les optimiser sur la séquence d'acquisitions ou *a minima* sur une série de sous-séquences. C'est le principe de l'optimisation conjointe telle que sa réalisation est discutée Fig. 1.4.8. La méthode proposée repose sur 2 étapes :

1. La première étape de l'optimisation conjointe est en fait une reconstruction par approche inverse paramétrique classique pour laquelle on cherchera, objet par objet, hologramme par hologramme à estimer les paramètres du modèle de formation d'images rendant le mieux compte des objets.

2. La seconde étape visera à raffiner l'optimisation des paramètres. Dans le cas particulier de la référence [49], la séquence complète d'hologrammes permettait de
<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>FIGURE I.4.8 – Schéma de principe de l'optimisation conjointe. L'illustration concerne l'utilisation dans le cadre du suivi 3D de gouttelettes et est adaptée de la référence [49]</figcaption></figure>

construire plusieurs trajectoires. Dans le cas du suivi d'un objet unique, le reste de la procédure ne sera réalisé qu'une fois. La reconstruction conjointe se déroule alors de la manière suivante :

- des piles d'hologrammes sont construites en tirant aléatoirement des hologrammes dans la séquence complète. Cette étape a pour but de limiter l'influence des bruits corrélés (par exemple la présence d'objets non pris en compte par le modèle de formation d'image), mais également pour des soucis de gestion mémoire : en effet la suite des calculs ne sera plus réalisée sur des hologrammes seuls, mais sur des sous-séquences.

- pour chaque hologramme des piles nouvellement construites, on applique notre reconstruction conjointe. Ici les paramètres constants sont estimés sur l'ensemble de la sous-séquence alors que les paramètres variables sont estimés individuellement. À la fin de cette étape, on obtient une estimation affinée de l'ensemble des paramètres.

Nous allons maintenant nous attarder sur quelques résultats obtenus qui démontrent que cette approche peut-être vue comme une approche super-résolue.

### 4.4.2 Holographie « super-résolue » par approche inverse conjointe

Ces travaux ont été les premiers que j'ai pu mener sur les approches conjointes. Ils viisaient à prouver la faisabilité de la technique [47]. Ici, nous avons considéré un objet circulaire opaque en translation 2D. Ainsi, les paramètres *z* et *r* devaient être constants sur la séquence d'acquisitions. L'optimisation conjointe vise ici à améliorer la précision sur l'estimation des paramètres du modèle. On parle ici de super-résolution, au sens estimation du terme.

En holographie de Gabor, que l'on appelle parfois imagerie sans lentille, les leviers d'amélioration de la résolution sont assez limités. En effet, en l'absence d'optique de formation d'image, c'est la distance objet-capteur qui fixe l'ouverture numérique du système et la taille des pixels du capteur fixera la résolution. Ainsi, des approches sub-pixel ont été développées [64-66]. Ici, on enregistre des séquences d'hologrammes pour lesquels le capteur (ou
la scène analysée) est décalé d'une quantité sub-pixélique aléatoire. Moyennant l'estimation du décalage et une étape de recalage, il est possible d'augmenter la résolution d'un facteur $\sqrt{N_{img}}$ où $N_{img}$ est le nombre d'images acquises [67]. Ces approches de super-résolution (SR) du pixel ont prouvé leur efficacité. Néanmoins elles posent un certain nombre de problèmes quant à la précision du recalage et sont limitées à l'imagerie d'objets statiques. En effet, la nécessité de déplacer le capteur ou la scène entre chaque acquisition ne permet pas d'avoir plusieurs objets suivant des trajectoires différentes dans le champ.

Dans ce cadre, une approche problème inverse peut être envisagée. L'optimisation portant sur les objets dont les paramètres appartiennent au modèle de formation d'image, l'optimisation sera moins sensible à la présence d'objets statiques ou ne suivant pas le mouvement d'ensemble de l'image. La validation sur des simulations et des données expérimentales a été réalisée en détail dans la référence [47], je ne reviendrai que sur la validation expérimentale. Pour valider le concept, nous avons enregistré les hologrammes d'un disque

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>FIGURE I.4.9 – Illustration expérimentale de l'optimisation conjointe. (a) Hologramme acquis. (b) Hologramme super-résolu (facteur 4) après estimation des décalages par approche inverse (pour illustration uniquement). (c) Résultat de l'estimation de *z* et *r* sur les images individuelles (couleurs transparentes) et sur les piles construites (couleurs pleines). Illustration adaptée de la référence [47].</figcaption></figure>

opaque de 50 µm de rayon en translation dans le plan (x, y). Un objet fixe a été ajouté dans le champ. Un exemple d'hologramme acquis est présenté Fig. I.4.9(a). Pour illustration, j'ai présenté en (b) l'hologramme obtenu en utilisant les valeurs estimées par approches inverses pour le recalage. Notons néanmoins que le rapport signal à bruit de l'hologramme est amélioré, même si les décalages image à image ne sont pas sous-pixel, contrairement aux approches conventionnelles de super-résolution du pixel. Regardons maintenant d'un
<table><caption>TABLE 4.2 – Comparaison des résultats d’estimation de *z* et *r* pour les méthodes de SR classique, l’approche inverse paramétrique et l’optimisation jointe</caption><thead><tr><th>Méthode</th><th>z<sub>moy</sub> (mm)</th><th>σ<sub>z</sub> (μm)</th><th>r<sub>moy</sub> (μm)</th><th>σ<sub>r</sub> (μm)</th></tr></thead><tbody><tr><td>VandeWalle [66]</td><td>234,48</td><td>1240</td><td>52,85</td><td>1,513</td></tr><tr><td>Approche paramétrique [40, 41]</td><td>234,41</td><td>82,79</td><td>49,94</td><td>0,374</td></tr><tr><td>Optimisation jointe [47]</td><td>234,41</td><td>12,41</td><td>50,04</td><td>0,066</td></tr><tr><td>Fabricant</td><td>n.a</td><td>n.a</td><td>50</td><td>1</td></tr></tbody></table>

peu plus près les résultats obtenus. Pour réaliser l'optimisation conjointe, j'ai construit des piles de 20 hologrammes et optimisé conjointement les paramètres *r* et *z* sur chaque pile comme le suggère le schéma synoptique de la Fig. 1.4.8. Les résultats sont regroupés sur le graphique de la Fig. 1.4.9(c) où les résultats de l'estimation de *z* (points bleus) et *r* (croix vertes) sont représentés pour l'approche paramétrique classique (couleurs transparentes) et pour l'optimisation jointe (couleurs pleines). On peut rapidement remarquer que les estimations sont moins dispersées dans le cadre de l'optimisation jointe. Une analyse quantitative est proposée Table 4.2 où l'on compare les résultats obtenus par les méthodes SR classiques et les approches problèmes inverses que nous développons. On remarque que sur le jeu de données analysées, les approches classiques [66] donnent des résultats très en retrait. En effet, les mouvements de l'objet n'étaient pas sous-pixel et une occultation fixe était présente. Ces deux points nuisent aux performances des méthodes classiques. Un gain significatif est apporté par les approches paramétriques sans mécanisme SR. L'optimisation jointe des paramètres améliore encore davantage l'estimation. Rappelons que les approches SR permettent en théorie un gain sur l'estimation des paramètres de $\sqrt{N_{img}} \approx 4,5$ dans notre cas. Ici, le gain est de 6,7 pour l'estimation de *z* et de 5,7 pour l'estimation de *r* ce point illustre l'existence de corrélations entre les paramètres du modèle, comme suggéré dans la référence [67].

L'optimisation jointe permet d'obtenir des estimations « super-résolues » de paramètres constants dans une séquence tout en optimisant l'estimation des autres. Appliquons maintenant ces résultats au suivi lagrangien d'une particule en mouvement brownien [48]. Une étude très similaire a été menée par la suite pour l'étude de gouttelettes en sortie d'injeteur [49]. Je ne l'aborderai pas ici pour éviter toute redondance.

### 4.4.3 Application à la trajectographie 3D haute-résolution

Comme nous avons pu le voir précédemment, les approches inverses avec optimisation conjointe permettent d'accéder à une estimation très précise des paramètres constants dans une séquence d'images. Pour valider le concept sur une expérience plus réaliste que la précédente, j'ai proposé d'étendre le concept au suivi 3D d'une particule de latex de 1 µm en mouvement brownien. Au delà de la précision de localisation atteinte dans cette étude, ce sont les capacités à extraire des informations quantitatives sur le mouvement brownien que j'ai cherché à mettre en avant [48]. Ces travaux sont en partie inspirés des travaux publiés par l'équipe de D. Grier [68].

Le déplacement quadratique moyen d'un objet se diffusant dans un liquide pendant un intervalle de temps $\Delta t$ est tel que [69, 70] :

$$ 
\begin{aligned}
\Delta r^2 (\Delta t) &= \langle |\mathbf{r}(t + \Delta t) - \mathbf{r}(t)|^2 \rangle \\
&= 2dD\Delta t + (v\Delta t)^2,
\end{aligned} 
\qquad (I.4.16) $$
<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>FIGURE I.4.10 – (a) Trajectoire reconstruite après analyse paramétrique (bleu) et conjointe (orange). (b) Déplacement quadratique moyen estimé et fit de l'Eq. (I.4.16). (c) Densité spectrale du mouvement mesuré (bleu) et ajustement de la théorie d'Einstein [69] (orange). Illustration adaptée de la référence [47].</figcaption></figure>

où $d$ est la dimensionnalité du mouvement considéré, $D = k_B T \gamma^{-1}$ le coefficient de diffusion des particules dans leur environnement, $\gamma$ le coefficient de trainée et $\mathbf{r}(t) = \{x(t), y(t), z(t)\}$ le vecteur déplacement de notre particule et ses coordonnées 3D. À partir de nos $N$ hologrammes, il est possible d'estimer le déplacement quadratique moyen sur un intervalle de temps $\Delta t = s \times 2\pi/\omega_{CCD}$, avec $s$ un entier donnant le nombre d'images à considérer pour l'intervalle de temps et $2\pi/\omega_{CCD}$ la période d'acquisition de la caméra. Le déplacement quadratique moyen pour $s$ images $\Delta r_s^2$ est donné par [68] :

$$ \Delta r_s^2 = \left( \left\lfloor \frac{N}{s} \right\rfloor \right)^{-1} \sum_{k=1}^{\lfloor N/s \rfloor} \left| \mathbf{r}_{(k+1)} - \mathbf{r}_{(k)} \right|^2 \quad (I.4.17) $$

La trajectoire obtenue et les déplacements quadratiques moyens estimés sont reportés Fig. I.4.10(a,b). Les trajectoires obtenues en utilisant une approche paramétrique (en bleu) et une approche conjointe (en orange) sont très proches. Pour s'assurer du fait que le mouvement de la particule est bien un mouvement brownien, confrontons les statistiques de nos estimations aux statistiques de la théorie du mouvement brownien. Pour ce faire, ajustons l'Eq. (I.4.16) aux données acquises. On remarque que l'accord est plutôt bon et nous permet d'estimer un déplacement quadratique moyen $\Delta r'_{\text{exp}}$ tel que :

$$ \Delta r'_{\text{exp}} = \sqrt{\langle \Delta x^2 \rangle + \langle \Delta y^2 \rangle + \langle \Delta z^2 \rangle} \approx 0,251 \ \mu\text{m}, \quad (I.4.18) $$

qui est à comparer à la valeur prévue par la théorie de Stokes-Einstein [69] :

$$ \Delta r'_{\text{exp}} = \sqrt{6D\Delta t} \approx 0,271 \ \mu\text{m}. \quad (I.4.19) $$

L'accord entre les deux valeurs est plutôt bon. Pour s'en assurer, nous avons comparé la densité spectrale de puissance du déplacement à la valeur prévue par la théorie (Fig. I.4.10(c)) :

$$ |\mathcal{F}\{\Delta r^2\}| = k_B T \gamma^{-1} \omega^{-2}. \quad (I.4.20) $$
L'accord est une nouvelle fois plutôt bon et permet d'estimer la valeur de $D = 0,2893 \pm 0,0054 \ \mu\text{m.s}^{-1}$ qui est très proche de la valeur théorique $D_{\text{th}} = 0,2469 \ \mu\text{m.s}^{-1}$.

## 4.5 Quelques remarques sur les approches inverses

Ce chapitre, dernier de la partie liée à la formation d'image et à la reconstruction en holographie, a été l'occasion de revenir sur mes contributions à la reconstruction des hologrammes par approches inverses paramétriques. Bien que j'ai pu réaliser quelques travaux sur les approches régularisées pendant ma participation à la thèse de Frédéric Jolivet, j'ai préféré ne pas les aborder pour davantage rentrer dans les considérations de métrologie quantitatives qu'offrent un modèle paramétrique. Ainsi, après une présentation du principe de reconstruction d'hologrammes par approches inverses, je suis revenu sur mes contributions au domaine de la mécanique des fluides au travers de problématiques variées telles que la calibration de dispositifs et les méthodes expérimentales co-conçues. L'exploitation de la redondance d'information qu'offre une séquence vidéo d'acquisitions holographiques a également pu être exploitée pour offrir une « super-résolution » de l'estimation des paramètres n'évoluant pas, menant à de nouvelles applications en métrologie fine.

Cette habilitation a pour but de mettre en perspective les compétences que j'ai pu acquérir et faire acquérir dans le contexte de l'imagerie optique non-conventionnelle. Comme a pu le montrer la Fig. 1.1.2, les méthodes d'imagerie optique non-conventionnelles nécessitent de connaître le modèle de formation d'image afin d'extraire une information quantitative sur la scène qui est imagée. Néanmoins, j'ai jusqu'ici négligé un aspect important de l'imagerie optique non-conventionnelle : la mise au point de dispositifs expérimentaux permettant d'accéder aux quantités que l'on souhaite mesurer. Dans la partie suivante, je ne reviendrai que sur mes contributions expérimentales à l'imagerie optique non-conventionnelle, notamment au travers des développements de l'imagerie laser Doppler.
Deuxième partie

Dispositifs d'imagerie optique
non-conventionnelle
<figure><img src="image_43.png" /></figure>
# Chapitre 1

# Introduction : mise en place de dispositifs expérimentaux pour l'imagerie quantitative

Jusqu'ici, je suis revenu sur les concepts généraux de l'imagerie optique non conventionnelle au travers de l'holographie numérique. Mes contributions s'étendent également sur le développement des dispositifs d'imagerie. En effet, pour extraire une donnée quantitative, il est nécessaire de maîtriser le traitement des données, mais également de développer les méthodes d'acquisition adaptées.

## 1.1 De l'imagerie de phase quantitative à l'imagerie quantitative

On peut ranger l'holographie numérique dans la catégorie des méthodes d'imagerie quantitatives de phase (Quantitative Phase Imaging : QPI). L'extraction de la phase est rendue possible, lors de la reconstruction des hologrammes, grâce à l'utilisation de dispositifs spécifiques comme évoqué dans les chapitres précédents. La phase peut ensuite être liée à une donnée quantitative moyennant :

- la connaissance du modèle de formation des images;

- la connaissance du phénomène physique analysé.

Ainsi, la QPI trouve de nombreuses applications dans des domaines tels que l'imagerie biologique et biomédicale [71], les contrôles non destructifs [72-74], la mécanique des fluides [75]... Chaque thématique nécessitera le développement de dispositif ad-hoc dont je détaillerai le principe par la suite. Je me concentrerai davantage sur les développements expérimentaux liés à l'holographie hors-axe. En effet, les développements que j'ai pu réaliser en holographie en ligne (configuration de Gabor) l'ont été dans le contexte des approches de reconstruction problème inverse présentées dans la partie précédente.

## 1.2 Cas de l'holographie : sur quels paramètres du montage agir ?

Rappelons que l'holographie repose sur l'enregistrement d'interférences entre une onde de référence et l'onde issue de l'objet analysé (voir Fig. 1.2.1). Bien qu'une configuration de microscopie holographique ait déjà été présentée (Fig. 1.3.7), je ne suis jusqu'ici pas rentré dans le détail des paramètres sur lesquels il est possible d'agir pour extraire différentes quantités sur l'objet étudié. Ainsi, les conditions d'illumination de l'objet (direction, sens, polarisation ...), les propriétés de l'onde de référence (phase, polarisation, fréquence ...). Ainsi, nous pourrons distinguer les configurations en réflexion, en transmission, avec ou sans modulation temporelle de l'onde de référence. Je mettrai l'accent sur ce dernier point qui a été au centre des mes recherches lors de mes post-Doctorats à l'Institut Langevin et au laboratoire Charles Coulomb, et qui est un des éléments clé de mes projets à venir.
1.3 Organisation générale de la partie

Cette partie sera donc l'occasion de faire le point sur les développements expérimentaux
réalisés dans le cadre de mes travaux en imagerie optique non-conventionnelle. Ainsi, je
reviendrai sur les principes de l'holographie hétérodyne et ses applications à l'imagerie à
décalage de phase. Au delà de cette propriété, l'holographie hétérodyne permet de réaliser
l'imagerie de phénomènes à l'origine d'un décalage Doppler du spectre de l'onde d'illumini-
nation. Je discuterai des applications de ces techniques aux contrôles non-destructifs et à
l'imagerie biomédicale.
# Chapitre 2

## Principes et propriétés de l'holographie hétérodyne

Ces travaux couvrent mes périodes de post-doctorat à l'Institut Langevin de l'ESPCI et au Laboratoire Charles Coulomb de l'Université de Montpellier. Les résultats présentés couvriront les références [72-74, 76, 77]. Je ne reviendrai pas sur l'intégralité des développements, mais détaillerai les éléments qui permettront de motiver au mieux les perspectives et projets qui seront quant à eux détaillés en fin de document.

### 2.1 Principes de l'holographie hétérodyne

Reprenons l'Eq. (I.2.5) qui donne l'intensité enregistrée dans le plan du capteur d'image-rie. Jusqu'ici, nous avons introduit l'holographie à décalage de phase (Eq. (I.2.12)) et l'holo-graphie hors-axe (Eq. (I.2.7)). Cette dernière introduit une modulation spatiale de l'intensité des hologrammes pour permettre de retrouver la phase optique. Une dernière possibilité est de moduler temporellement la distribution d'intensité enregistrée dans le plan du capteur. On parle de détection hétérodyne<fnref n="1" />. En effet la modulation temporelle de l'interférogramme permet de faire entrer son contenu fréquentiel dans la bande passante de la caméra. La dé-tection hétérodyne offre un filtre de fréquence centrale ajustable dont la bande passante est la fréquence d'acquisition de la caméra. Ainsi l'holographie hétérodyne sera une méthode de choix pour l'analyse de phénomènes qui sont à l'origine d'un élargissement spectral de l'onde d'illumination, comme par exemple l'élargissement Doppler que subit une onde à la traversée d'un milieu faiblement diffusant en mouvement ou quand elle est réfléchie par une surface en vibration.

#### 2.1.1 Modulation acousto-optique

Pour pouvoir réaliser la modulation temporelle des interférogrammes, nous nous sommes tournés vers l'utilisation de modulateurs acousto-optiques (AOM). Le principe de fonctionnement d'un AOM est proposé Fig. II.2.1(a). Il s'agit d'un réseau de Bragg mis en vibration à la pulsation $\omega_M$. Le modulateur de Bragg génère une infinité d'ordres de diffrac-tion dont l'angle respectif par rapport à l'axe optique dépend du pas du réseau. Ici seuls les ordres 0, +1 et -1 sont représentés. De part la vibration du réseau, les ordres +1 et -1 « battent » à la pulsation mécanique $\omega_M$. Ainsi, si l'on note $\omega_L$ la pulsation du laser, les ordres +1 et -1 oscillent respectivement aux pulsations $\omega_L+\omega_M$ et $\omega_L-\omega_M$. Les AOM ont des bandes-passantes typiques dans la bande radio-fréquences (de 80 MHz à quelques centaines de MHz). Ces valeurs sont incompatibles avec une détection caméra plein champ. En effet les cadences d'acquisition des capteurs de l'état de l'art ne sont, pour l'heure, pas suffisantes pour envisager de détecter directement cette modulation fréquentielle. Pour s'affranchir de

<footnote n="1">1. On pourrait de la même manière parler d'hétérodynage spatial pour l'holographie hors-axe.</footnote>
<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>FIGURE II.2.1 – Principe de fonctionnement d'un modulateur acousto-optique. (a) Configuration à un modulateur, (b) Configuration à deux modulateurs en cascade.</figcaption></figure>

cette difficulté, il est possible d'envisager une configuration à deux AOM telle qu'illustrée Fig. II.2.1(b). On considère ici deux AOM oscillant aux pulsations $\omega_{M_1}$ et $\omega_{M_2}$. On injecte l'ordre $-1$ du premier AOM dans le second. Cet ordre, modulé à $\omega_L - \omega_{M_1}$ va de nouveau être modulé par le second AOM. On génère ainsi trois nouveaux ordres de diffraction dont les pulsations sont

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Ordre } +1 : \omega_L + \omega_{M_2} - \omega_{M_1} = \omega_L + \Delta\omega \\ \text{Ordre } 0 : \omega_L - \omega_{M_1} \\ \text{Ordre } -1 : \omega_L - \omega_{M_1} - \omega_{M_2} \end{array} \right. \qquad (II.2.1) $$

On pourra remarquer que les modulateurs n'agissent pas sur la porteuse à $\omega_L$. En effet, les AOM ne reposent que sur des phénomènes optiques linéaires, il n'est pas ici question de réaliser un doublage de fréquence. Regardons de plus près l'ordre $+1$ défini Eq. (II.2.1). On introduit ici le battement hétérodyne $\Delta\omega = \omega_{M_2} - \omega_{M_1}$. Bien qu'il soit impossible de détecter les battements de chaque AOM individuellement, il est en revanche possible de les piloter de telle sorte que $\Delta\omega$ tombe dans la bande passante de la caméra utilisée.

## 2.1.2 Intégration des AOM dans un montage de microscopie holographique

L'intégration de deux modulateurs dans le même bras de l'interféromètre peut poser des problèmes de longueur de bras, mais peut se montrer avantageuse dans le cas où le signal issu d'un des deux bras est très faible par rapport à l'autre. Il existe une autre solution, parfaitement équivalente pour intégrer les AOM dans le montage. Nous allons la discuter plus en détail. Les deux principales manières d'intégrer des AOM dans un montage d'holographie hors-axe pour la détection hétérodyne sont présentées Fig. II.2.2. La première configuration (a) correspond au cas précédent : on récupère l'ordre $-1$ du premier AOM pour

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>FIGURE II.2.2 – Intégration des AOM. (a) Montage en cascade, (b) Montage équilibré.</figcaption></figure>
l'injecter dans le second (il est tout à fait possible d'insérer l'ordre +1 à la place en gardant l'ordre −1 du second AOM). Si l'on considère uniquement l'enveloppement lentement variable (moyennage temporel de la contribution en $\omega_L$), le terme d'interférences entre l'objet et la référence (voir Eq. (I.2.5)) porte alors une modulation temporelle à la pulsation $\Delta\omega$. Examinons maintenant le second cas de figure (b). Ici, on positionne un AOM dans chaque bras en faisant interférer entre eux les ordres −1 (le choix de l'ordre +1 donnera un résultat équivalent). Si on intègre les deux modulations temporelles dans l'Eq. (I.2.5), on remarque que le terme d'interférences entre l'onde objet et l'onde de référence porte une modulation temporelle à la pulsation $\Delta\omega$. Les deux méthodes sont donc parfaitement équivalentes en ce qui concerne la modulation fréquentielle et le choix de l'une ou l'autre sera fonction des contraintes expérimentales (précision du contact optique, budget photons dans le bras objet ...).

Les grands principes de l'holographie hétérodyne ayant été posés, nous allons maintenant nous attarder sur quelques propriétés et particularités de cette configuration.

## 2.2 Propriétés de l'holographie hétérodyne

### 2.2.1 Holographie hétérodyne et décalage de phase

Pour lier l'holographie hétérodyne et l'holographie à décalage de phase, exprimons le déphasage relatif entre deux images $\Delta\varphi$ en fonction du battement hétérodyne $\Delta\omega$. On peut écrire [78]

$$ \Delta\varphi(\Delta\omega) = \frac{2\pi\Delta\omega}{\omega_{\text{CCD}}}, \qquad (\text{II.2.2}) $$

avec $\omega_{\text{CCD}}$ la pulsation d'acquisition de la caméra. En prenant l'Eq. (II.2.2), et en exprimant $\Delta\omega$ en fonction de $\omega_{\text{CCD}}$, on peut retrouver les mêmes propriétés que l'holographie à décalage de phase. En effet, si on choisit $\Delta\omega = \omega_{\text{CCD}}/2$, alors $\Delta\varphi = \pi$ et on se retrouve dans une configuration à décalage de phase à deux phases. De même si $\Delta\omega = \omega_{\text{CCD}}/4$, alors $\Delta\varphi = \pi/2$ ce qui correspond à une configuration à quatre phases. Pour mettre ce point en évidence, on peut calculer la réponse en fréquence normalisée de la détection hétérodyne. On peut l'exprimer comme [79] :

$$ \text{PSF}_N(\Delta\omega) = \left| \text{sinc}\left(\frac{\Delta\omega\tau_{\text{exp}}}{2}\right) \frac{1}{n_{\varphi}} \sum_{n=0}^{n_{\varphi}-1} e^{\frac{i2\pi n}{n_{\varphi}}} e^{\frac{i2\pi n \Delta\omega}{\omega_{\text{CCD}}} \right|^{2}. \qquad (\text{II.2.3}) $$

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>FIGURE II.2.3 – Réponse fréquentielle normalisée en fonction du battement hétérodyne pour (a) une détection classique, (b) une détection à deux phases, (c) une détection à quatre phases.</figcaption></figure>
Ici, $\tau_{exp}$ est le temps d'exposition des hologrammes, et $n_{\varphi}$ le nombre d'hologrammes acquis pour parcourir un déphasage total de $2\pi$ sur la séquence d'acquisitions. Le terme de l'Eq. (II.2.3) dépendant de $\tau_{exp}$ représente l'intégration temporelle du signal sur la durée nécessaire à l'acquisition d'une image.

Les PSF normalisées simulées pour une acquisition classique (a), à deux phases (b) et à quatre phases (c), sont illustrées Fig. II.2.3. J'ai ici simulé le fonctionnement d'une détection hétérodyne utilisant un capteur ayant une fréquence d'acquisition $f_{CCD} = \omega_{CCD}/2\pi = 10$ Hz, et un temps d'exposition $\tau_{exp} = 100$ ms. Les ordres +1, -1 et 0, définis Eq. (I.2.5), sont respectivement représentés par les disques vert, rouge et bleu. Dans le cas homodyne (a), les trois ordres de diffraction sont superposés dans la bande passante de la détection. Pour une détection à deux phases (b), l'ordre 0 est dans un minimum de la PSF, alors que la détection est maximale pour les ordres +1 et -1. Enfin, pour une détection à quatre phases, seule la détection de l'ordre +1 est possible, les deux autres ordres étant dans des minima de la PSF. On peut remarquer que ce comportement est exactement le même que celui simulé Fig. I.2.3.

L'usage d'une détection hétérodyne ne se limitera pas à l'holographie à décalage de phase. En effet, reprenons l'Eq. (II.2.2). Le battement hétérodyne $\Delta\omega$ peut être écrit comme l'association d'une composante statique et d'une composante dynamique de telle sorte que :

$$ \Delta\omega(t) = \frac{\omega_{CCD}}{n_{\varphi}} + \Delta\omega'(t). \qquad (II.2.4) $$

L'Eq. (II.2.2) devient alors

$$ \Delta\varphi(t) = \frac{2\pi}{n_{\varphi}} + \frac{2\pi\Delta\omega'(t)}{\omega_{CCD}}. \qquad (II.2.5) $$

On peut remarquer que le premier terme (composante statique) permet d'assurer le décalage de phase, alors que le second terme (composante dynamique) permettra de balayer le spectre du phénomène à analyser.

### 2.2.2 Holographie hétérodyne et bruit de photon

On peut montrer que l'holographie hétérodyne permet d'acquérir une information quantitative jusqu'au bruit de photon [76, 80, 81]. Dans les conditions optimales, qui seront discutées par la suite, il est possible d'extraire une information holographique à des niveaux tels qu'un seul photo-électron est reçu par pixel durant toute une séquence d'acquisitions. Néanmoins, pour atteindre de telles limites, il est nécessaire de combiner l'holographie hors-axe et l'holographie à décalage de phase [80]. En effet, bien que l'holographie hors-axe et l'holographie à décalage de phase permettent de réaliser la sélection du champ objet, elles ne peuvent pas, à elles seules s'affranchir de toutes les sources de bruit d'oscillateur local qui peuvent dégrader la qualité de la phase reconstruite, notamment en présence d'un signal faible. L'holographie à décalage de phase permettra de filtrer efficacement les sources statiques de bruit (bruit électronique, courant d'obscurité) alors que l'holographie hors-axe sera moins affectée par les fluctuations temporelles de l'oscillateur local.

Le double hétérodynage permet de s'affranchir de la majorité des sources expérimentales de bruit. Néanmoins, comme l'émission laser et la détection du signal sont des processus aléatoires, le signal enregistré sur le capteur reste soumis à un bruit poissonnien, c'est le bruit de photon (shot-noise). Contrairement aux autres sources de bruit, celle-ci ne peut être évitée et représente la limite ultime de détection du signal en holographie.

L'étude complète des contributions du signal et du bruit en holographie à double hétérodynage a été menée dans la référence [76]. Reprenons rapidement les principaux résultats. Le montage mis en place pour cette étude est proposé Fig. II.2.4(a). Il s'agit d'une configuration Mach-Zehnder hors-axe classique. Ici les deux modulateurs acousto-optiques sont
<figure><img src="image_47.png" /></figure>

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>FIGURE II.2.4 – Étude des lois d’échelle du signal et du bruit en holographie à double hétérodynage. (a) Configuration expérimentale. (b) Signal de pilotage du switch SW. Adapté de la référence [76].</figcaption></figure>

positionnés dans chacun des bras. Une attention particulière a été portée aux signaux de pi-
lotage des modulateurs. En effet, nous cherchions ici à pouvoir réaliser des acquisitions à 4
phases, que l'on illumine l'objet ou non. Ainsi l'écart de pulsation entre les deux AOM est tel
que $\Delta\omega = \omega_1 - \omega_2 = \omega_{\text{CCD}}/8$. De plus, le switch SW module le premier AOM à la pulsation
$\omega_{\text{CCD}}/2$ de telle sorte que le signal de l'objet soit coupé une image sur deux. En réalisant
une démodulation 4 phases sur les images d'indice pair, il est possible de déterminer les
lois d'échelle du signal, alors que si on réalise la démodulation sur les indices impairs, nous
déterminons les lois d'échelle du bruit d'oscillateur local.

Pour évaluer ces lois d'échelles, différentes séquences d'images sont construites pour
réaliser la démodulation en une, deux ou quatre phases sur les hologrammes avec signal
objet que nous notons $H_n$ et les hologrammes sans signal objet notés $H'_n$. L'hologramme
démodulé à une phase est calculé en soustrayant une image avec signal et une image sans
signal, pour s'affranchir des composantes statiques du bruit. En effet, ces composantes ne
sont pas présentes dans toutes les autres démodulations. L'hologramme démodulé à une
phase $H_1$ s'écrit alors

$$
H_1 = I_0 - I_1, \tag{II.2.6}
$$

où $I_n$ représente l'intensité du n<sup>ième</sup> hologramme. De la même manière, on pourra définir les hologrammes démodulés à deux phases en présence de signal objet $H_2$ et sans objet $H'_2$ comme

$$
\begin{align}
H_2 &= I_0 - I_4 \nonumber \\
H'_2 &= I_1 - I_5. \tag{II.2.7}
\end{align}
$$

Enfin, les hologrammes démodulés à quatre phases sont déterminés comme :

$$
\begin{align}
H_4 &= I_0 - I_4 + i (I_2 - I_6) \notag \\
H'_4 &= I_1 - I_5 + i (I_3 - I_7). \tag{II.2.8}
\end{align}
$$

On définit alors les hologrammes $H_{4K}$ et $H'_{4K}$ :

$$
\begin{align}
H_{4K} &= \sum_{k=0}^{k-1} (I_{8k} - I_{8k+4} + i(I_{8k+2} - I_{8k+6})) \nonumber \\
H'_{4K} &= \sum_{k=0}^{k-1} (I_{8k+1} - I_{8k+5} + i(I_{8k+3} - I_{8k+7})) \tag{II.2.9}
\end{align}
$$
<table><caption>TABLE 2.1 – Facteurs d'échelle du signal et du bruit</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">Nombre d'hologrammes</th><th colspan="2">Temps d'exposition</th><th colspan="2">Modes de Champ</th></tr><tr><th>Signal</th><th>Bruit</th><th>Signal</th><th>Bruit</th><th>Signal</th><th>Bruit</th></tr></thead><tbody><tr><td>Détection classique</td><td>Nb</td><td>Nb</td><td>T<sub>exp</sub></td><td>T<sub>exp</sub></td><td>n.a.</td><td>Nb<sub>modes</sub></td></tr><tr><td>Détection hétérodyne</td><td>Nb<sup>2</sup></td><td>Nb</td><td>T<sub>exp</sub><sup>2</sup></td><td>T<sub>exp</sub></td><td>n.a.</td><td>Nb<sub>modes</sub></td></tr></tbody></table>

afin de pouvoir réaliser la démodulation quatre phases en sommant de manière cohérente l'information. Ainsi, une acquisition de 64 hologrammes avec le montage proposé Fig. II.2.4 permettra d'utiliser une démodulation 4 phases sur 32 images pour les séquences avec et sans signal objet. Les résultats obtenus sont proposés Fig. II.2.5 et permettent de confirmer

<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>FIGURE II.2.5 – Étude des lois d'échelle du signal et du bruit en holographie à double hétérodynage. (a) Évolution de l'intensité du signal et du bruit en fonction du nombre d'hologrammes acquis. (b) Évolution de l'intensité du signal et du bruit en fonction de la surface du filtre d'ordre +1. Adapté de la référence [76].</figcaption></figure>

les intuitions liées aux facteurs d'échelle du signal et du bruit en holographie hétérodyne. En regardant plus dans le détail l'évolution du signal et du bruit sur l'intensité moyenne des hologrammes $|\bar{H}|^2$ (a), on remarque que le signal évolue avec une pente proche de 2. Ce résultat est logique, en effet l'holographie hétérodyne permet une détection cohérente du signal et dans ce cas, l'amplitude du champ croit linéairement avec le nombre d'images acquises. Si on s'intéresse maintenant au bruit, on constate que l'intensité moyenne dépend linéairement du nombre d'hologrammes. Si on raisonne en amplitude, le bruit évolue donc comme la racine carrée du nombre d'hologrammes acquis. Le bruit étant aléatoire, il varie d'une image à l'autre et est donc détecté de manière incohérente.

Si on s'intéresse maintenant à l'influence du nombre de modes de champ sur les facteurs d'échelles (b), on peut remarquer que ce paramètre influe peu sur le signal. En effet, lorsque l'on filtre l'ordre +1, l'intensité du signal est majoritairement associée aux composantes spectrales de basse fréquence. En revanche, on constate que l'intensité bruit évolue toujours linéairement, cette fois en fonction du nombre de modes de champ. En effet, le bruit étant aléatoire, il est réparti équitablement sur l'ensemble du spectre.

Cette étude est résumée dans le tableau 2.1. On compare ici une détection hétérodyne (cohérente) et classique (incohérente). On remarque ici clairement l'avantage d'une détection hétérodyne. En effet, comme il s'agit d'une détection cohérente, l'intensité du signal
détecté évolue comme le carré du nombre d'hologrammes et de manière plus générale du temps d'acquisition, alors que la détection du bruit est elle incohérente et donc dépend linéairement du temps consacré à l'acquisition des images. Cette propriété permettra, si on est en mesure de maintenir la cohérence de la détection sur la durée des acquisitions, de reconstruire des hologrammes enregistrés à la limite du shot-noise, c'est à dire avec un photo électron par pixel sur la durée de la séquence.

## 2.3 Analogie avec les récepteurs superhétérodynes

L'utilisation d'une détection hétérodyne reposant sur la modulation acousto-optique présente d'autres avantages. Pour s'en rendre compte, regardons ce qu'il se passe du côté de l'électronique. La Fig. II.2.6 propose le schéma de principe de fonctionnement d'un récepteur superhétérodyne tel qu'un analyseur de spectre par exemple. Le signal à analyser, noté $s(t)$ est modulé en amplitude par le signal $b(t)$ dont la fréquence évolue au cours du temps. Ce signal à fréquence variable est issu d'un oscillateur commandé en tension (VCO : Voltage Controled Oscillator) piloté par une rampe de tension. Le battement $v(t)$ est filtré par un filtre de bande passante ajustable centré sur la fréquence $f_0$. Enfin le battement est démodulé grâce au détecteur d'enveloppe, ou détecteur de crête. Lorsqu'il y a accord de fréquence entre une composante de fréquence du signal à analyser et la rampe de fréquence générée, un pic est détecté sur le spectre.

Le principe de fonctionnement d'un montage d'holographie hétérodyne est finalement très proche du principe énoncé Fig. II.2.6. Le signal à analyser correspond dans ce cas au champ objet et le rôle du signal à fréquence connue est joué par l'onde de référence modulée temporellement au moyen des AOM. Le filtre passe bande est la bande passante temporelle de la caméra. Enfin, l'étape de démodulation est assurée en combinant les images (voir Eq. (I.2.12)), et/ou par filtrage de l'ordre +1 du spectre de l'hologramme.

Cette analogie permet de montrer que l'holographie hétérodyne ne sera pas limitée à une utilisation pour l'holographie à décalage de phase, ou pour l'imagerie aux limites ultimes de bruit, mais offre un filtre de bande passante ajustable qui pourra, selon les signaux de pilotage des AOM, permettre l'analyse de signaux dynamiques. Ainsi, dans le chapitre suivant, nous discuterons des applications de la technique que j'ai pu mettre en place pour les contrôles non-destructifs et pour l'analyse d'écoulements sanguins.

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>FIGURE II.2.6 – Schéma de principe d'un récepteur superhétérodyne en électronique</figcaption></figure>
## 2.4 Conclusion : vers l'imagerie laser Doppler

Ce court chapitre était l'occasion de poser les principales propriétés de l'holographie hétérodyne. Ainsi, le fonctionnement des modulateurs acousto-optiques et la relation de la technique au phase-shifting ont été présentés. Après un bref rappel des lois d'échelles du signal et du bruit pour ce type de détection. Comme nous avons pu le voir en fin de chapitre, le pilotage des modulateurs ne se limite pas au simple phase-shifting et il est possible d'identifier l'holographie hétérodyne à la réception super-hétérodyne en électronique, ouvrant ainsi la voie à l'imagerie résolue en fréquence (au sens temporel du terme) comme par exemple l'imagerie laser Doppler.
# Chapitre 3

## Imagerie laser Doppler : contrôles non-destructifs et imagerie des milieux diffusants

Ces travaux couvrent mes périodes de post-doctorat à l'Institut Langevin de l'ESPCI et au Laboratoire Charles Coulomb de l'Université de Montpellier. Les résultats présentés couvriront les références [72-74, 77, 82]. Je ne reviendrai pas sur l'intégralité des développements, mais détaillerai les éléments qui permettront de motiver au mieux les perspectives et projets qui seront quant à eux détaillés en fin de document. L'extension d'une partie des ces travaux à l'imagerie tridimensionnelle fait l'objet de mon projet ANR JCJC - THTTM qui a permis le financement de la Thèse de Riadh Abbessi et qui sera discuté en détail dans la partie « projet » de ce document.

### 3.1 Imagerie laser Doppler d'objets en vibration harmonique : mesure quantitative de l'amplitude de vibration

#### 3.1.1 Effet Doppler et modulation de fréquence

Pour mettre en place le modèle physique qui permettra d'analyser quantitativement les résultats, il convient de faire quelques rappels. Nous utiliserons une nouvelle fois les liens forts entre les théories ondulatoires de la lumière et l'électronique.

Considérons un signal $v(t)$ modulé angulairement. On pourra l'exprimer comme :

$$v(t) = A \cos[\theta(t)] = A \cos[\omega_p t + \Phi(t)]. \qquad (II.3.1)$$

L'Eq. (II.3.1) permet de définir la phase instantanée $\theta(t)$ du signal $v(t)$. Elle est l'association de deux composantes :

- une composante statique à la pulsation de la porteuse $\omega_p$;

- une composante dynamique $\Phi(t)$ qui contiendra l'information du signal modulant $m(t)$.

On peut également définir les pulsation $\omega_i(t)$ et fréquence $f_i(t)$ instantanées qui sont telles que :

$$\omega_i(t) = \frac{d\theta(t)}{dt} = 2\pi f_i(t). \qquad (II.3.2)$$

Intéressons nous plus particulièrement au cas d'un signal modulé en fréquence par un signal $m(t)$. Dans ce cas on peut réécrire la fréquence instantanée du signal

$$f_i(t) = f_p + km(t), \qquad (II.3.3)$$
où $f_p = \omega_p/2\pi$, et réexprimer la phase instantanée $\theta(t)$

$$ \theta(t) = \omega_p t + 2\pi k \int_0^t m(x) dx. \qquad (II.3.4) $$

Ainsi, le signal modulé en fréquence $v(t)$ s'écrit

$$ v(t) = A \cos \left[ \omega_p t + 2\pi k \int_0^t m(x) dx \right]. \qquad (II.3.5) $$

Dans le cas particulier où le signal $m(t)$ est un signal sinusoïdal, on a

$$ m(t) = M \cos(\omega_m t), \qquad (II.3.6) $$

avec $\omega_m$ la pulsation du signal modulant. On peut alors déduire que le signal modulant $v(t)$ prend la forme

$$ v(t) = A \cos [\omega_p t + \beta \sin(\omega_m t)]. \qquad (II.3.7) $$

Par la suite, nous aurons besoin d'analyser le spectre de $v(t)$. Pour ce faire, nous utiliserons le développement en série de Jacobi-Anger qui est tel que [54] :

$$ e^{i z \cos(\theta)} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} i^n J_n(z) e^{in\theta}, \qquad (II.3.8) $$

où $J_n$ est la fonction de Bessel de première espèce et d'ordre $n$. En appliquant la décomposition en série de Jacobi-Anger à l'Eq. (II.3.7), on obtient l'expression de $v(t)$ suivante<fnref n="1" />

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>FIGURE II.3.1 – Modulation de fréquence. (a) Signal modulant $m(t)$. (b) Signal modulé $v(t)$. (c) Spectre de $v(t)$ pour $\beta = 1$. (d) Spectre de $v(t)$ pour $\beta = 5$.</figcaption></figure>

<footnote n="1">1. La méthode est similaire à la décomposition en série de Fourier de signaux périodiques.</footnote>