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# Identification d'une loi de comportement biaxiale en grandes déformations pour des tricots élastomériques

Issam Gaied, Sylvain Drapier

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Issam Gaied, Sylvain Drapier. Identification d'une loi de comportement biaxiale en grandes déformations pour des tricots élastomériques. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01812948

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Submitted on 12 Jun 2018

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# Identification d'une loi de comportement biaxiale en grandes déformations pour des tricots élastomériques

## Identification of elastomeric knitted fabrics

Issam GAIED*, Sylvain DRAPIER**

* Département Mécanique et Matériaux
Centre Science des Matériaux et des Structure

** Département Biomatériaux et Mécanique
Centre Ingénierie et Santé

158, cours Fauriel
42023 Saint-Étienne cedex 2 – France
drapier@emse.fr

RÉSUMÉ. Les matériaux tricotés ont intrinsèquement un comportement orthotrope. Dans le cas des tricots élastomériques étudiés ici, dont les déformations normales en fonctionnement sont comprises entre 80 et 120 %, le comportement biaxial en grandes déformations doit être identifié. Pour cela, une méthodologie spécifique a été mise en place où les mesures expérimentales sont obtenues par corrélation d'images et les simulations reposent sur des modèles éléments finis où une formulation corrotationnelle a été implémentée. L'identification des surfaces de réponse est pilotée par un algorithme de Levenberg-Marquardt qui conduit à minimiser l'écart, calculé au sens des moindre carrés linéaires, entre les vecteurs des grandeurs mesurées et simulées.

ABSTRACT. Knitted materials have intrinsically an orthotropic behaviour. In our elastomeric knitted fabrics, the use of which requires normal strains ranging from 80 to 120 %, the biaxial response must be characterized under large deformations. To achieve this, a specific methodology has been proposed in which experimental measures are obtained through a digital image correlation technique and simulated results rely on finite element models using a corrotational formulation implemented specifically. The identification of the response surfaces is controlled by a Levenberg-Marquardt algorithm able to minimize the distance, calculated in the sense of non-linear least squares, between both vectors of measured and simulated results.

MOTS-CLÉS : Identification, grandes déformations, biaxial, corrélation d'images, modèles EF

KEYWORDS: Identification, finite strains, biaxial tension, digital image correlation, FE models
# 1. Introduction

Les techniques d'identification par méthode inverse couvrent aujourd'hui de nombreux domaines de la mécanique des matériaux et des structures. Ces méthodes permettent aussi bien d'identifier des propriétés mécaniques que de caractériser la présence de discontinuités par exemple [BON 98]. Pourtant, l'application de ces méthodes au domaine des grandes déformations est encore très limitée.

Dans le cas des tricots élastomériques que nous étudions plus particulièrement, le domaine des grandes déformations constitue le domaine d'utilisation permettant de générer des pressions de contention sur les membres humains. Ces matériaux structurés, possédant par nature deux directions privilégiées, supportent des déformations normales comprises entre 80 et 120 %. Les efforts mis en jeu dans ces tricots sont par contre de l'ordre de 0,5 N/mm<fnref n="1" />. Pourtant, la caractérisation fine du comportement biaxial de ces tricots est essentielle, elle s'inscrit dans un projet de prévision des distributions des pressions de contention délivrées sur un membre humain.

Dans cet article, nous présentons une méthode spécifique d'identification de ce comportement biaxial en grandes déformations, basée sur l'utilisation d'une méthode expérimentale sans contact et sur des simulations éléments finis avec le code Zéburon© où une formulation corrotationnelle a été implémentée spécifiquement. L'identification de la loi de comportement postulée utilise l'algorithme de Levenberg-Marquardt qui permet de minimiser la fonction objectif définie comme la mesure, au sens des moindre carrés non-linéaires, de l'écart entre les vecteurs mesurés et simulés.

# 2. Stratégie d'identification

Par rapport à l'identification d'un comportement en petites déformations, le domaine des grandes déformations impose de traiter les mesures, autant que les simulations, de façon incrémentale. Comme indiqué sur la figure 1, l'algorithme d'identification se compose d'une partie expérimentale indépendante de la génération successive des résultats simulés.

## 2.1. Mesures expérimentales

Compte-tenu de la discontinuité des structures tricotées, et des grandes déformations, les mesures expérimentales sont réalisées à l'aide d'une technique de corrélation d'images numériques, méthode de champ sans contact. Dans cette méthode, partant d'une paire d'images, la position d'une zone (fenêtre) de la première image est recherchée, dans la seconde image, par maximisation d'une fonction de corrélation re-

<footnote n="1">1. force / unité de longueur : mesure de force et rigidité utilisée dans les tricots ou tissus dont l'épaisseur est difficilement contrôlable</footnote>
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 1.** Principe de l'identification en grandes déformations.</figcaption></figure>

présentant la similitude des fenêtres au sens des niveaux de gris qu'elles contiennent.
La granularité naturelle des tricots fait ici office de traceurs [GAI 05].

Le montage développé permet de solliciter le tricot en traction sans le détériorer
(structure tricotée fragile), mais surtout la caméra CCD utilisée pour l'acquisition des
images est fixée sur un pantographe, ce qui permet de viser le même point de référence
pendant tout l'essai. Ceci est nécessaire pour pouvoir, lors du traitement des images,
extraire des déplacements absolus de points géométriques à partir des déplacements
relatifs entre images. Enfin, ce montage est équipé d'un système de tension transverse
permettant de maintenir la dimension transverse fixe. Le coefficient de liage<fnref n="2" /> des tri-

<footnote n="2">2. assimilable à un coefficient de Poisson pour les milieux continus, au sens des déformations libres induites dans le sens transverse à la sollicitation</footnote>
cots étant très élevé, les déformations induites sont de l'ordre des déformations dans la direction de sollicitation [GAI 04].

## 2.2. Modélisation choisie

Le modèle éléments finis de notre essai, qui nous permet d'obtenir des résultats simulés à comparer aux résultats expérimentaux, est réalisé avec le code de calculs Zébulon©. Le maillage utilisé est bidimensionnel, composé d'éléments quadratiques en contraintes planes.

La spécificité réside ici dans la formulation corrotationnelle qu'il est nécessaire de prendre en charge en grandes déformations. En utilisant le méta-language Zeb-front, nous avons implémenté cette formulation en retenant une mesure logarithmique pour les déformations. Cette formulation nous permet également de vérifier par simulation que dans notre cas de traction biaxiale, le tenseur de rotation résultant de la décomposition polaire de la déformation se réduit à l'identité même pour un matériau isotrope. Ceci correspond bien au comportement attendu pour nos tricots : deux directions privilégiées, et absence de cisaillement.

## 2.3. Identification

Finalement, le schéma d'identification peut-être explicité. Les grandeurs expérimentales (forces aux bords et déplacements) sont mesurées pour former le vecteur $\vec{r}_{exp}$. La procédure d'identification numérique consiste alors à fournir un jeu de paramètres initial $J_0$ pour la loi de comportement choisie, puis générer successivement des jeux de résultats simulés $\vec{r}_i_{EF}$ pour former la mesure de la distance entre les grandeurs mesurées et simulées $R(\vec{r}_{exp}, \vec{r}_i_{EF}) = ||\vec{r}_{exp} - \vec{r}_i_{EF}||^2$. Il est à noter que les résultats des simulations non-linéaires doivent être au préalable extrapolés aux points de mesures géométriques pour être comparés aux mesures expérimentales. Si la fonction objectif ne satisfait pas le critère de convergence, un nouveau jeu de paramètres est alors généré, à travers l'algorithme de Levenberg-Marquardt de Z-optim [LER 99]. Le jeu de paramètres qui permet de satisfaire le critère de convergence correspond au meilleur jeu pour la loi de comportement postulée.

## 3. Tests et résultats

La procédure d'identification décrite ci-dessus (figure 1) a été testée, d'abord en 1D sur une loi hyperélastique dont la forme est similaire à la réponse macroscopique de nos tricots. Nous avons mis en évidence que la comparaison des champs de déplacement seuls ou des forces seules ne permettait pas de retrouver un loi connue. C'est en combinant les déplacements à l'intérieur du tricot et les forces au bord que les calculs convergent le plus vite et vers la solution connue. Ensuite, ces mêmes essais ont été effectués en 2D sur des surfaces de réponse générées.
Le cas des tricots élastomériques a ensuite été traité. Une réponse pragmatique a été recherchée, elle a été posée par observation de la réponse uniaxiale en sens trame et chaîne des tricot. La réponse polynômiale est d'ordre 6 en sens trame, 4 en sens chaîne, et 2 pour le couplage trame-chaîne, soit un total de 18 coefficients à identifier. Sur la figure 2 sont reportés les résultats pour l'identification du comportement d'un tricot *Diaphane* 2 commercialisé par la société Ganzoni France S.A. Dans ce cas précis, 28 images ont été prises pour 4 elongations différentes dans le sens transverse, soit 112 pas de calculs en termes de simulations EF. Le temps d'identification est de 3,5 h sur un PC PIII. Les résultats montrent un bon accord entre les surfaces de réponse identifiées et les mesures expérimentales. L'écart qui apparaît aux faibles et grandes déformations, notamment en sens chaîne (figure 2-b), montre la difficulté d'identifier simultanément la réponse complète du matériau. D'un point de vue pragmatique, ces tricots sont utilisés pour des déformations sens chaîne inférieures à 50 %, ce qui est confirmé par des essais où une déformation sens trame de 100 % en présence d'une déformation sens chaîne supérieure à 70 % (figure 2-b) conduit à une dégradation de la structure du tricot. On peut conclure que dans les zones d'utilisation courantes, les surfaces identifiées reproduisent bien le comportement du tricot, compte-tenu des déformations élevées, mais aussi et surtout du faible niveau d'effort rencontré.

## 4. Conclusion

Nous avons montré dans cet article, les possibilités d'identification d'une loi de comportement en grandes déformations, dés lors que les contraintes de mesures et de représentation sont traitées avec des outils adaptés. Les calculs d'identification ne sont pas coûteux si le problème inverse est bien conditionné, en combinant les grandeurs physiques qui constituent le vecteur des grandeurs à comparer. Il faut maintenant affiner la représentation des surfaces à l'aide de réponses mieux adaptées, la difficulté principale de mesure étant levée.

## 5. Bibliographie

[BON 98] BONNET M., REYNIER M., « On the estimation of the geometrical support of modelling defects using the distributed error in constitutive equation », *Proceedings of Inverse problems, control and shape optimisation, April 8-10, Carthage, Tunisia*, 1998, p. 65-70.

[GAI 04] GAIED I., « Contribution à l'étude de la contention : approche bidimensionnelle, identification du comportement biaxial en grandes déformations des tricots élastomériques », PhD thesis, École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, 2004.

[GAI 05] GAIED I., DRAPIER S., « Identification de la loi de comportement d'un tricot élastomérique », *Revue des Matériaux Composites et Avancés*, vol. à paraître, 2005.

[LER 99] LE RICHE R., GUYON F., « Least squares parameter estimation and the Levenberg-Marquardt algorithm : deterministic analysis, sensitivities and numerical experiments », Rapport technique, 1999, Laboratoire de Mécanique de Rouen, INSA de Rouen.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 2.** Résultats de l'identification du comportement : forces en fonction des déformations sens trame et chaîne (a) force sens trame et (b) force sens chaîne.</figcaption></figure>
# Annexe pour le service de fabrication

## Article pour les actes :

Giens 2005

## Auteurs :

Issam GAIED*, Sylvain DRAPIER**

## Titre de l'article :

Identification d'une loi de comportement biaxiale en grandes déformations pour des tricots élastomériques

## Titre abrégé :

Identification tricots élastomériques

## Traduction du titre :

Identification of elastomeric knitted fabrics

## Date de cette version :

10 février 2005

## Coordonnées des auteurs :

- téléphone : +33.64.77.42.00.79

- télécopie : +33.64.77.42.02.49

- Email : drapier@emse.fr

## Logiciel utilisé pour la préparation de cet article :

LATEX, avec le fichier de style article-hermes.cls,
version 1.10 du 17/09/2001.

## Formulaire de copyright :

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