# Analyse numérique d'inequations quasi-variationnelles elliptiques associees a des problèmes de contrôle impulsionnel

Maurice Goursat, Jean-Pierre Quadrat

► To cite this version:

Maurice Goursat, Jean-Pierre Quadrat. Analyse numérique d'inequations quasi-variationnelles elliptiques associees a des problèmes de contrôle impulsionnel. [Rapport de recherche] IRIA-RR-186, IRIA. 1976, pp.41. hal-04716367

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ANALYSE NUMÉRIQUE
D'INÉQUATIONS
QUASI-VARIATIONNELLES
ÉLLIPTIQUES ASSOCIÉES
A DES PROBLÈMES
DE CONTRÔLE IMPULSIONNEL

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

M. GOURSAT, J. P. QUADRAT

Rapport de Recherche N° 186

Août 1976
# ANALYSE NUMÉRIQUE D'INÉQUATIONS QUASI-VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES ASSOCIÉES A DES PROBLEMES DE CONTROLE IMPULSIONNEL

M. Goursat, J.P. Quadrat

## Résumé :

Dans une première partie nous posons l'inéquation quasi-variationnelle (I.Q.V.) stationnaire as-sociée au problème de contrôle impulsionnel en gestion de stocks. Nous faisons ensuite l'analyse numérique d'une classe d'I.Q.V. (s'interprétant en termes de contrôle impulsionnel) pour laquelle nous construisons des problèmes approchés et montrons la convergence. Dans la troisième partie nous montrons que l'I.Q.V. initiale peut être approchée par une suite d'I.Q.V. de la classe précé-dente. Nous donnons enfin des résultats numériques pour des exemples tests.

## Abstract :

The first part is devoted to the formulation of the stationary quasi-variational inequality (Q.V.I.) related to the impulse control problem in inventory control. Then we present the numerical ana-lysis of a class of Q.V.I. (the interpretation of which can be given in terms of impulse control) and we prove the convergence of the approximation. In the third part we show the first Q.V.I. can be approximated by a sequence of Q.V.I. in the previous class. At last we give numerical results for some test examples.
# INTRODUCTION

Considérons le problème de gestion de stock dans lequel la demande est modélisée par une diffusion stochastique et dont le contrôle est le réapprovisionnement. Le problème est de minimiser le coût de gestion : coût de stockage, de rupture de stock et de réapprovisionnement. Nous supposons que le seul fait de commander entraine un coût : il apparaît alors clairement que l'on n'aura pas intérêt à commander de façon continue. Le problème sera alors de déterminer les instants de commande et les quantités commandées à ces instants. Ce problème a fait l'objet d'études récentes (A. BENSOUSSAN - J.L. LIONS [3], A. BENSOUSSAN - M. GOURSAT - J.L. LIONS [4]) dans lesquelles il est montré que la résolution d'un système d'inégalités aux dérivées partielles particulier appelé inéquation quasi-variationnelle (I.Q.V) donne la solution.

En fait les I.Q.V ont un intérêt beaucoup plus général car elles résolvent de nombreux problèmes :

- contrôle impulsionnel en économie et en mécanique : gestion de stock, contrôle de files d'attente, lancement de production, démarrage de centrales thermiques (A. BRETON - C. LEGUAY [5]; M. GOURSAT - G. MAAREK [8]; C. LEGUAY [13]; M. ROBIN [15]).

- problèmes de frontière libre (C. BAIOCCHI [2]).

Nous nous proposons ici de faire l'analyse numérique du problème stationnaire. La première partie est consacrée à la position du problème. Dans la formulation obtenue intervient un opérateur non linéaire M lié à l'origine du problème. Dans la seconde partie nous construisons un problème approché dont nous montrons la convergence pour une classe d'I.Q.V (sous certaines hypothèses pour l'opérateur M). La troisième partie est l'application au problème de gestion de stocks : elle nécessite la régularisation de l'opérateur M considéré. Nous terminons par la résolution des problèmes approchés en donnant un algorithme de résolution et quelques résultats numériques.
Le plan adopté est le suivant :

Pages

1. POSITION DU PROBLEME.

1.1. Hypothèses - notations 3

1.2. Le problème de contrôle impulsionnel 3

1.3. L'I.Q.V à résoudre 5

1.4. Formulation précise de l'I.Q.V 7

1.5. Existence et unicité de la solution de l'I.Q.V. 9

2. APPROXIMATION D'UNE CLASSE D'I.Q.V.

2.1. Approximation et algorithme de résolution 10

2.2. Existence et unicité de la solution approchée 11

2.3. Convergence des solutions approchées 14

3. APPROXIMATION DE L'I.Q.V INITIALE - REGULARISATION.

3.1. L'I.Q.V régularisée - propriétés de l'I.Q.V régularisée. 20

3.2. Convergence de la solution de l'I.Q.V. régularisée et résultat d'approximation. 21

4. RESULTATS NUMERIQUES.

4.1. Example d'approximation 28

4.2. Algorithme de résolution 29

4.3. Examples tests 29
# 1. POSITION DU PROBLEME.

## 1.1. Hypothèses - notations.

(1.1) $\mathcal{O}$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^n$ de frontière $\Gamma$ suffisamment régulière.

(1.2) $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{F}_t, P, W_t)$ un mouvement brownien $\mathbb{R}^n$.

(1.3) b une application $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ lipschitzienne, bornée.

(1.4) $\sigma: \mathbb{R}^n \to \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$ de classe $C^1$, telle que $\forall \xi \in \mathbb{R}^n$
$$ \sum_{i,j} a_{ij} \xi_i \xi_j \ge \alpha |\xi|^2 \quad \text{avec} \quad \alpha \ge \alpha_0 > 0 $$
$a_{ij}$ défini par $a_{ij} = (\frac{1}{2} \sigma \sigma^*)_{ij}$

(1.5) $\gamma(x) = a(x)n(x)$ pour $x \in \Gamma$ un champ de vecteurs ou $n(x)$ désigne la normale unitaire dirigée vers l'extérieur de l'ouvert $\mathcal{O}$.

On note alors $x(t)$ la diffusion réfléchie définie par :

$$ (1.6) \quad dx(t) = b(x(t))dt + \sigma(x(t))dW_t - \gamma(x(\tau)) d\eta_t $$

$$ (1.7) \quad x(0) = x_0 \in \bar{\mathcal{O}} $$

ou $\eta_t$ est un processus croissant continu, croissant strictement lorsque $x(t) \in \Gamma$.

## 1.2. Le problème de contrôle impulsionnel.

On considère $g$ un ouvert de $\bar{\mathcal{O}}$ appelé ensemble de continuation et une application

$\xi: \bar{\mathcal{O}} \to \mathbb{R}_+^n$ mesurable telle que :

$$ \forall x \in \bar{\mathcal{O}} \quad x + \xi(x) \in \bar{\mathcal{O}} $$
A partir de $x(t)$ définie par (1.6) (1.7), avec $\mathfrak{S}$ et $\xi$ on définit la diffusion réfléchie contrôlée par :

$$ \theta_1 = \inf \{ t / x(t) \notin \mathfrak{S} \} \quad x(t) \text{ définie par (1.6) (1.7)} $$

$$ (1.8) \qquad x(\theta_1^+) = x(\theta_1) + \xi_1 \quad \text{avec} \quad \xi_1 = \xi(x(\theta_1)) $$

Puis

$$ \theta_2 = \inf \{ t / x(t) \notin \mathfrak{S} \} $$

$x(t)$ diffusion réfléchie définie par (1.6) (1.8)

$$ x(\theta_2^+) = x(\theta_2) + \xi_2 \qquad \xi_2 = \xi(x(\theta_2)) . $$

et on définit de manière identique $\theta_3, \theta_4, \dots$

Pour la construction correcte d'un tel processus nous renvoyons à A. BENSOUSSAN - J.L. LIONS [3].

On note

$$ (1.9) \qquad S = (\mathfrak{S}, \xi) \quad \text{le contrôle impulsionnel.} $$

Le coût associé à ce contrôle est

$$ (1.10) \qquad J_x(S) = E^x \left\{ \int_0^\infty f(x(t)) \exp(-a_0 t) dt + \sum_i k_i \exp(-a_0 \theta_i) \right\} $$

avec

* $x$ condition initiale de la diffusion réfléchie contrôlée.

* $k > 0$ est le coût associé aux sauts (coût de commande en gestion de stocks). Pour simplifier nous prenons ici $k = \text{constante}$.

* $f$ est le coût continu : coût de stockage si $x(t) \ge 0$, de rupture de stock si $x(t) < 0$; $f$ positive bornée.

* $a_0 > 0$ est le coefficient d'actualisation.
Le problème de contrôle est donc :

trouver $S^*$ tel que

$$
(1.11) \qquad J_X(S^*) = \min_S J_X(S)
$$

1.3. L'inéquation quasi-variationnelle (I.Q.V) à résoudre

Un note A l'opérateur défini par :

$$
(1.12) \quad \text{Au} = -\sum_{i,j} a_{ij} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} - \sum_i b_i \frac{\partial u}{\partial x_i} + a_0 u
$$

et M l'opérateur :

$$
(1.13) \quad \begin{array}{ll} \mu u(x) = k + \inf_{\substack{\xi \ge 0 \\ x+\xi \in \mathcal{O}}} & u(x+\xi) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \text{dans } \mathcal{O} \end{array}
$$

Soit y la solution du système d'inéquations suivant :

$$
(1.14) \quad \begin{cases} Ay - f \le 0 \\ y - My \le 0 \\ (Ay - f)(y - My) = 0 \end{cases} \quad \text{dans } \mathcal{O}
$$

$$
(1.15) \quad \begin{cases} \frac{\partial y}{\partial \gamma} \le 0 \\ y - My \le 0 & \text{sur } \Gamma \\ \frac{\partial y}{\partial \gamma} (y - My) = 0 & \end{cases}
$$

On pose alors

$$
(1.16) \quad \mathcal{S}^* = \{ x \in \bar{\mathcal{O}} ; y(x) < My(x) \}
$$
$$
(1.17) \qquad \xi^* \text{ une sélection mesurable de la multiapplication}
$$

$$
\Lambda(x) = \{ \xi \in \mathbb{R}_+^n ; \quad \mathcal{M}y(x) = k + y(x+\xi) \quad x + \xi \in \bar{\mathbb{O}} \}
$$

Alors $S^* = (\mathfrak{s}^*, \xi^*)$ est un contrôle impulsionnel optimal et nous avons

$$
(1.18) \qquad y(x) = J_x(S^*) = \min_S J_x(S) \quad \forall x \in \bar{\mathcal{O}}
$$

Formellement la démonstration de ce résultat se fait de la manière
suivante :

Soit S un contrôle impulsionnel quelconque : on applique la formule de Ito
généralisée à $\exp(-a_0 t)y(x)$ pour le processus $x(t)$ contrôlé par S avec
$x(0) = x$ ; on obtient

$$
(1.19) \quad \left\{
\begin{aligned}
-y(x) &= E\left\{ \int_{0}^{\infty} \left[-a_0 e^{-a_0 t} y(x(t)) + e^{-a_0 t} \sum_i b_i(x(t)) \frac{\partial y}{\partial x_i}\right] dt + \int_{0}^{\infty} \left[\sum_j e^{-a_0 t} \theta_j \left[y(x(\theta_j^+)) - y(x(\theta_j^-))\right]\right] d\eta \right\} \\
&\quad + \sum_i e^{-a_0 \theta_i} \left[y(x(\theta_i^+)) - y(x(\theta_i^-))\right]
\end{aligned}
\right.
$$

soit

$$
\begin{aligned}
-y(x) ={}& E\left\{ \int_0^\infty -e^{-a_0 t} \text{Aydtt} + \sum_i e^{-a_0 \theta_i} [y(x(\theta_i^+)) - y(x(\theta_i^-))] \right\} \\
& - \int_0^\infty \left[ \Gamma \frac{\partial y}{\partial \gamma} \int_0^\eta d\eta \right]
\end{aligned}
$$

en utilisant

$$
Ay \leq f \quad y(x) \leq k + y(x + \xi) \quad \frac{\partial y}{\partial \gamma} \leq 0 \quad \text{successivement}
$$

dans le second membre on obtient

$$
(1.20) \quad -y(x) \ge - \mathbb{E} \left\{ \int_0^\infty e^{-a_0 t} f(x(t)) dt - \sum_i k e^{-a_0 \theta_i} \right\}
$$
Soit

$$y(x) \leq J_x(S)$$

Par le même raisonnement on montre que l'on a

$$y(x) = J_x(S^*) \text{ d'où le résultat.}$$

■

## Remarque 1.1

Ce raisonnement formel est justifié si la formule de Ito généralisée s'applique, c'est à dire si y est suffisamment régulière. Le résultat n'a d'intérêt que si la régularité nécessaire peut s'obtenir dans (1.14) (1.15) sous les hypothèses "raisonnables". On montre dans A. BENSOUSSAN - J.L. LIONS [3] que l'on a le résultat pour $y \in C^0(\bar{O})$, $Ay \in L^2(O)$.

## 1.4. Formulation précise de l'I.Q.V à résoudre.

Soient les espaces

$$V \subset H \subset V'$$

$$\text{avec } H = L^2(O) \qquad V = H^1(O) \quad (\text{ou } H^1_o(O))$$

$|\cdot|$ et $||\cdot||$ désignent respectivement les normes dans H et V.

On définit la forme bilinéaire suivante :

$$(1.21) \qquad a(y,v) = \int_O \left( \sum_{i,j} a_{ij} \frac{\partial y}{\partial x_i} \frac{\partial v}{\partial x_j} + \sum_i a_i \frac{\partial y}{\partial x_i} v + a_0 yv \right) dx$$

avec

$$a_i = b_i + \sum_j \frac{\partial a_{ji}}{\partial x_j}$$

On suppose qu'il existe $\lambda$ et $\alpha > 0$ tels que

$$(1.22) \qquad a(y,y) + \lambda |y|^2 \geq \alpha ||y||^2$$
On considère d'autre part la forme linéaire

$$
(1.23) \qquad l(v) = \int_V f v \, dx \quad f \ge 0 \quad f \in L^\infty(\O)
$$

$$
(\text{on pourrait prendre également } l(v) = \int_{\mathcal{O}} f v \, dx + \int_{\Gamma} g v \, d\Gamma)
$$

et l'opérateur $\mathcal{M}$ vérifiant :

$$
\[
(1.24) \qquad \left\{
\begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
\mathcal{M} : & V \cap L^\infty(\O) \to L^\infty(\O) \\[\medskipamount]
\text{i)} & \forall v \ge 0 \quad Mv \ge 0 \\[\medskipamount]
\text{ii)} & \text{si } u \ge v \ge 0 \quad \text{p.p. alors } Mu \ge Mv \\[\medskipamount]
\text{iii)} & \text{si } v^n \to v \text{ dans } V \text{ faible avec } v \in V \cap L^\infty(\O), \quad v^n \to v \text{ p.p.} \\[\medskipamount]
& v^n \downarrow v \text{, } v^n \to v \text{ dans } L^p(\O) \text{ fort } \forall p \text{ fini} \\[\medskipamount]
& \text{alors } Mv^n \to \chi \text{ dans } L^p(\O) \text{ fort et } \chi \le Mv \\[\medskipamount]
\text{iv)} & \forall \alpha \quad 0 \le \alpha < 1 \quad \forall u \ge 0 \quad u \in V \cap L^\infty(\O) \\[\medskipamount]
& \exists \beta \quad \alpha < \beta < 1 \quad \text{tel que } \beta M(u) \le M(\alpha u)
\end{array}
\right.
\]
$$

Le problème s'écrit alors :

trouver $y \in V \cap L^\infty(\O)$ solution de :

$$
(1.25) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
y \le My \\
a(y,v-y) - l(v-y) \ge 0 \quad \forall v \in V \quad v \le My
\end{array}
\right.
\qquad (P)
$$

Si $V = H_0^1(\O)$ le problème (1.25) est équivalent à (1.14) (1.15). Si l'on prend
$M$ défini par (1.13) on retrouve donc le problème de contrôle impulsionnel de
gestion de stocks initial. On montre aisément que $M$ donné par (1.13) vérifie
les hypothèses de (1.24).

Si on prend $V = H_0^1(\O)$ alors l'interprétation opérationnelle de (1.25) est :
$$
(1.26) \quad \left\{
\begin{array}{l}
Ay - f \le 0 \\
y - My \le 0 \quad \text{dans } \mathcal{O} \\
(Ay - f)(y - My) = 0
\end{array}
\right.
$$

$$
(1.27) \qquad y \big|_{\Gamma} = 0
$$

Cette I.Q.V résout le problème de contrôle impulsionnel (défini en
1.2 pour M donné par (1.13)) pour des diffusions arrêtées sur Γ au lieu
d'être réfléchies sur cette frontière.

1.5. Existence et unicité de la solution de l'I.Q.V.

Théorème 1.1.

Sous les hypothèses précédentes le problème (1.25) admet une solution
unique.

Pour la démonstration cf. A. BENSOUSSAN - J.L. LIONS [3] et T. LAETSCH [12]. L'existence est obtenue par construction d'une suite d'I.V. Construction que nous reprendrons pour les problèmes approchés.

Remarque 1.2.

On peut montrer par des méthodes probabilistes que l'on a $y \in C^0(\bar{\mathcal{O}})$ pour $f \in C^0(\bar{\mathcal{O}})$ (cf. A. BENSOUSSAN - J.L. LIONS [3]).

2. APPROXIMATION D'UNE CLASSE D'I.Q.V.

Dans ce paragraphe nous alions faire l'analyse numérique d'une classe
d'I.Q.V. : le problème à résoudre est donc (1.25) avec M vérifiant (1.24) et
l'hypothèse supplémentaire suivante :

$$
(2.1) \quad M \text{ est continu de } L^2(\mathcal{O}) \text{ dans } L^\infty(\mathcal{O}).
$$
## 2.1. Approximation et algorithme de résolution.

On considère $(V_h, p_h, r_h)$ une approximation interne convergente de $V$ avec $p_h, V_h \subset C(\bar{O}) \quad \forall h$.

$p_h$ injective transforme le cône positif en le cône positif.

L'I.Q.V approchée $(P_h)$ s'écrit :

$$ (2.2) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} \text{Trouver } y_h \in V_h \text{ tel que} \\ p_h y_h \leq M p_h y_h & (P_h) \\ a(p_h y_h, p_h(v_h - y_h)) - 1(p_h(v_h - y_h)) \geq 0 & \forall v_h \in V_h, p_h, v_h \leq M p_h y_h \end{array} \right. $$

L'algorithme de résolution de (2.2) est le suivant :

On construit par récurrence une suite $(y_h^n)$ de solutions d'inéquations variationnelles de la manière suivante :

$$ (2.3) \qquad y_h^0 = \frac{1}{a} \sup_x f(x) $$

$y_h^{n-1}$ étant calculée, $y_h^n$ est donnée par :

$$ (2.4) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} y_h^n \in V_h & p_h y_h^n \leq M p_h y_h^{n-1} \\ a(p_h y_h^n, p_h(v_h - y_h^n)) + \lambda(p_h^n, p_h(v_h - y_h^n)) \geq 1(p_h(v_h - y_h^n)) & \\ \phantom{a(p_h y_h^n, p_h(v_h - y_h^n))} + \lambda(p_h y_h^{n-1}, p_h(v_h - y_h^n)) & \forall v_h \in V_h, p_h, v_h \leq M p_h y_h^{n-1} \end{array} \right. $$

Le problème (2.4) est une I.V que l'on sait résoudre numériquement (cf. par exemple R. GLOWINSKI - J.L. LIONS - R. TREMOLIERES [7]).

On note $A_h$ la matrice définie par :

$$ (2.5) \qquad [A_h y_h, v_h] = a(p_h y_h, p_h v_h) \quad \forall y_h, v_h \in V_h $$

ou $[\cdot, \cdot]$ désigne le produit scalaire usuel dans $\mathbb{R}^N$, $N$ étant la dimension de $V_h$.
On fait alors l'hypothèse suivante :

$$
(2.6) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\text{la matrice } A_h \text{ a tous ses termes hors diagonaux négatifs} \\
\text{ou nuls}
\end{array}
\right.
$$

Remarque 2.1.

Cette hypothèse est suffisante pour que $A_h$ satisfasse au principe
du maximum discret c'est-à-dire :

$$
A_h y_h = f_h \quad f_h \ge 0 \Rightarrow y_h \ge 0.
$$

Remarque 2.2.

L'hypothèse (2.6) est réalisée par exemple en dimension 1 ou 2 pour h
suffisamment petit pour le type d'approximation que nous choisissons (éléments
finis Q₁. cf. J.P. QUADRAT [15]) et pour un opérateur dont la partie princi-
pale est le laplacien.

2.2. Existence et unicité de la solution approchée.

Lemme 2.1.

Sous l'hypothèse (2.6) on a

$$
y_h^0 \ge y_h^1 \ge \dots \ge y_h^n \ge \dots \ge 0 \text{ ou } y_h^n \text{ est la solution de (2.4)}_n.
$$

La démonstration est analogue à celle de A. BENSOUSSAN - J.L. LIONS [3]
pour le problème (1.25).

Dans (2.4)$_1$ on prend :

$$
v_h - y_h^1 = -(y_h^0 - y_h^1)^- \quad \text{soit} \quad v_h = \inf_h (y_h^0 \cdot y_h^1) \quad \text{ce qui est loisible}
$$

et on obtient :

$$
a(p_h y_h^0 - p_h y_h^1, p_h (y_h^0 - y_h^1)^{-}) + \lambda (p_h (y_h^0 - y_h^1), p_h (y_h^0 - y_h^1)^{-}) \ge 0
$$

compte tenu de

$$
v_h \ge 0 \quad (\text{démonstration ci dessous})
$$

donc
$$
P_h v_h \ge 0
$$
et de

$$
\begin{align*}
(2.7) \qquad & a(p_h y_h^0, p_h v_h) = \int_C a_0(p_h y_h^0, p_h v_h) \, dx = \int_C p_h (\sup_x f) \cdot p_h v_h \, dx \\
& = \int_C \sup_x f \cdot p_h v_h \, dx \geq \int_C f \cdot p_h v_h \, dx
\end{align*}
$$

on écrit $y_h^0 - y_h^1 = (y_h^0 - y_h^1)^+ - (y_h^0 - y_h^1)^-$

en utilisant les hypothèses (2.6), (1.22) et l'injectivité de $p_h$ on obtient
$(y_h^0 - y_h^1)^- = 0$ soit $y_h^1 \le y_h^0$.

d'autre part dans (2.4)$_1$ en prenant $v_h = y_h^{1+}$ on obtient

$$
\begin{align*}
(2.8) \qquad & a(p_h y_h^{1+}, p_h y_h^{1-}) - a_h(p_h y_h^{-}, p_h y_h^{-}) + \lambda(p_h y_h^{1+}, p_h y_h^{1-}) \\
& - \lambda(p_h y_h^{1-}, p_h y_h^{1-}) \quad \geq 1(p_h y_h^{1-}) + \lambda(p_h y_h^0, p_h y_h^{1-}) \\
& \geq 0 \quad \text{car } y_h^0 \geq 0
\end{align*}
$$

les mêmes arguments que ci-dessus donnent $y_h^{1-} = 0$ c'est-à-dire $y_h^1 \ge 0$.

Ensuite par récurrence on prend :

$$
v_h - y_h^n = -(y_h^{n-1} - y_h^0)^- \quad \text{dans } (2.4)_n \quad \text{c'est-à-dire} \quad v_h = \inf_h (y_h^{n-1}, y_h^0)
$$

et

$$
v_h - y_h^{n-1} = (y_h^{n-1} - y_h^0)^- \quad \text{dans } (2.4)_n \quad \text{c'est-à-dire} \quad v_h = \sup_h (y_h^{n-1}, y_h^0)
$$

Le premier choix de $v_h$ est évidemment loisible; le second l'est aussi
grâce à l'hypothèse de récurrence $y_h^n \le y_h^{n-1}$ et à la croissance de l'opérateur M.

Le même raisonnent qu'en (2.7) donne $y_h^{n-1} \ge y_h^n$.

En prenant ensuite $v_h = y_h^{n-}$ dans (2.4)$_n$ on obtient $y_h^n \ge 0$ d'où
le résultat du lemme.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
**Théorème 2.1.**

Sous les hypothèses précédentes le problème $(P_h)$ défini par (2.2) admet une solution unique.

**Démonstration.**

a) **existence.**

$\{y_h^n\}$ est décroissante positive : elle converge vers $y_h$.

On prend alors $v_h$ telle que $p_h v_h \le M p_h y_h$

or M est croissant (hypothèse (ii) de (1.24)) donc

$p_h v_h \le M p_h y_h^n \quad \forall n$; ce qui permet de passer à la limite dans

(2.4). On obtient :

$$ (2.9) \quad \left\{ \begin{array}{l} a(p_h y_h, p_h v_h - p_h y_h) \ge l(p_h v_h - p_h y_h) \\[1em] \forall v_h \in V_h \quad p_h v_h \le M p_h y_h \end{array} \right. $$

on a donc l'existence de la solution grâce à (2.9) et à (iii) de (1.24) qui donne $p_h y_h \le M(p_h y_h)$.

b) **Unicité** (cf. T. LAETSCH [12]).

Soient $y_h^1$ et $y_h^2$ deux solutions

Soit $\gamma$ le plus grand réel tel que :

$$ 0 \le \gamma \le 1 \qquad \gamma y_h^1 \le y_h^2 $$

Supposons que $\gamma < 1$ : alors d'après l'hypothèse (iv) de (1.24)

on a : $\exists \delta > 0$ tel que

$$ (2.10) \qquad \gamma < \delta \le 1 \qquad \delta M(p_h y_h^1) \le M(p_h (\gamma y_h^1)) $$
### Remarque 2.3.

Dans le cas où M est donné par (1.13) il suffit de prendre

$$ \frac{1-\delta}{\delta-\gamma} \ge \frac{1}{k} \sup_x \inf_{\xi \ge 0} \inf_{x+\xi \in \mathcal{O}} p_h y_h^{\gamma}(x+\xi) $$

■

Dans ces conditions on a :

$$ (2.11) \qquad \left\{ \begin{array}{l} a(p_h(\delta y_h^1), p_h v_h - p_h(\delta y_h^1)) \ge \delta l(p_h v_h - \delta y_h^1) \\[1em] p_h \delta y_h^1 \le \delta M \int_{V_h} p_h y_h^1 \quad \forall v_h \in V_h, p_h v_h \le \delta M p_h y_h^1 \end{array} \right. $$

et

$$ (2.12) \qquad \left\{ \begin{array}{l} a(p_h y_h^2, p_h v_h - p_h y_h^2) \ge l(p_h v_h - p_h y_h^2) \\[1em] p_h y_h^2 \le M p_h y_h^2 \quad \forall v_h \in V_h, p_h v_h \le M p_h y_h^2 \end{array} \right. $$

mais on a :

$$ \delta l \le 1 \text{ et } \delta M(p_h y_h^1) \le M(p_h (\gamma y_h^1)) \le M(p_h y_h^2) \text{ d'après (2.10) et la croissance de M.} $$

Grâce au théorème de comparaison des solutions d'inéquations variationnelles et à l'hypothèse (2.6) on obtient :

$$ \begin{gathered} \delta y_h^1 \le y_h^2 \quad \text{ce qui contredit la maximalité de } \gamma \text{ et donc } \gamma = 1 \\ \text{ce qui entraîne } y_h^1 \le y_h^2 \text{ et par symétrie } y_h^1 = y_h^2. \end{gathered} $$

■

## 2.3. Convergence des solutions approchées.

Nous allons montrer maintenant que la solution du problème approché $(p_h)$ défini par (2.2) converge lorsque $h \to 0$ vers la solution de l'I.Q.V.
Pour cela nous allons utiliser l'hypothèse (2.1) de continuité de $L^2(\mathcal{O})$
dans $L^\infty(\mathcal{O})$ de l'opérateur $M$.

On note :

$$
(2.13) \qquad \mathcal{Q}^n = \{ v \in V \mid v \le \mu u^n \text{ p.p.} \}
$$

$$
(2.14) \qquad \mathcal{Q} = \{ v \in V \mid v \le \mu u \text{ p.p.} \}
$$

$\overline{\mathcal{Q}}^{\infty L} = \text{adhérence de } \mathcal{Q} \text{ au sens de la topologie de } L^{\infty}.$

Lemme 2.2.

Sous l'hypothèse (2.1) si $u^n \to u$ dans $L^2(\mathcal{O})$ alors $Q \subset \lim_{n \to \infty} \inf Q^n$ et
$$
\overline{\lim_{n \to \infty} Q^n}^L
$$
est convexe.

Démonstration.

Soit $v \in Q$.

On pose $\epsilon_N = \sup_{n \ge N} \left| (M(u) - M(u^n))^+ \right| \mathbf{L}^\infty$

On a donc :

$$
v - \epsilon_N \le M(u^L) \quad \forall n \ge N \text{ c'est-à-dire } v - \epsilon_N \in \liminf q^n
$$

Mais d'autre part :

$u^n \to u$ dans $L^2$ et $M$ vérifie (2.1) donc

$\epsilon_N \to 0$ lorsque $N \to +\infty$ donc

$$
v \in \overline{\lim_{n \to \infty} q^n}^L.
$$

Enfin $q^n$ étant convexe $q^N = \bigcap_{n \ge N} q^n$ est convexe; les $q^n$ forment une suite croissante de convexes $\to$ la réunion est convexe et il en est de même pour l'adhérence donc $\overline{\lim_{n \to \infty} q^n}^L$ est convexe.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>
**Remarque 2.4.**

Dans cet article nous travaillons avec $V = H_0^1(\mathcal{O})$, les résultats sont identiques pour $H_0^1(\mathcal{O})$ à quelques modifications mineures près par exemple remplacer ci-dessus $v - \varepsilon_N$ par $(v - \varepsilon_N)^+$.

**Lemme 2.3.**

Si $K$ est un convexe borné dans $W^{m,p}(\mathcal{O})$ alors
$$ \overline{K}^{\infty} = \overline{K} W^{m,p}. $$

**Démonstration :**

Soit $v \in \overline{K}^{\infty}$ : alors il existe une suite $v^n, v^{n+1} \in K, v^n \xrightarrow{L^\infty} v$ ; mais alors $v^n$ est bornée dans $W^{m,p}$ : il existe donc une sous suite qui converge vers $v$ dans $W^{m,p}$ faible. Or comme toute suite faiblement convergente converge vers $v$, toute la suite converge et d'autre part $K$ étant convexe, on a

$$ \overline{K} \circ (W^{m,p}, W^{m,p}) = \overline{K} W^{m,p} \text{ d'où le résultat.} $$

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

**Proposition 2.1.**

Si $u^n \to u$ dans $L^2$ ; $K$ borné de $W^{m,p}$ alors
$$ Q \cap K \subset \lim_{n \to \infty} \overline{Q^n} \cap K W^{m,p}. $$

La démonstration est immédiate, ceci est une conséquence des lèmes 2.2 et 2.3.

On note maintenant $\Pi_h$ l'opérateur d'interpolation

$$ (2.15) \qquad \Pi_h : H^1(\mathcal{O}) \to p_h V_h \subset H^1(\mathcal{O}). $$

**Lemme 2.4.**

Pour $v \in W^{2,p}$ on a

$$ \| \Pi_h v - v \|_{E^1} \le h \| v \|_{W^{2,p}} \quad \text{pour p suffisamment grand.} $$
Ceci est un résultat classique d'approximation dont on peut trouver
la démonstration par exemple dans Ph. CIARLET - P.A. RAVIART [6].

On pose :

$$
(2.16) \qquad \omega_h^n = \{ v \in V \mid p_h v_h \le M(u_h^n); v = p_h v_h \}
$$

**Proposition 2.2.**

$$
\left|
\begin{array}{l}
u_h \to u \text{ dans } L^2 \text{ alors} \\
\\
\forall v \in W^{2,p} \cap Q \quad \exists v_h^n \in p_h v_h^n \in \omega_h^n \quad \| p_h v_h^n - v \| \to 0 \\
\\
\text{lorsque } h \to 0 \text{ et } n(h) \xrightarrow{h \to 0} \infty
\end{array}
\right.
$$

Démonstration.

$$
\text{Soit } v \in W^{2,p} \cap Q
$$

$$
\text{On note } K = \{w / w \in W^{2,p} \mid \|w\|_{W^{2,p}} \le \|v\|_{W^{2,p}}\}
$$

D'après la proposition 2.1 :

$$
\exists v^n \in K \cap Q^n \quad v^n \to v \text{ dans } W^{2,p}
$$

On considère alors la suite

$$
\Pi_h v^{n(h)}, n(h) \xrightarrow{h \to 0} \infty
$$

$$
\Pi_h v^{n(h)} - 2\omega(v_{n(h)}, h) \in \omega_n^{n(h)} \quad \text{où } \omega(v,h) \text{ désigne le module de continuité de v}
$$

D'après le Lemme 2.4

$$
(2.17) \qquad \| \Pi_h v^{n(h)} - v^{n(h)} \| \le h \| v^{n(h)} \|_{W^{2,p}} \le h \| v \|_{W^{2,p}}
$$

et d'autre part :

$$
(2.18) \qquad \| v^{n(h)} - v \| \to 0
$$

(2.18') Lim sup_{h→0} ω(v^n,h) → 0 car la suite {v^n} étant bornée dans W^{2,p} p suffisamment grand forme un ensemble équicontinu de fonctions et donc grâce à (2.17), (2.18), (2.18') la suite {Π_n v^n(h)-2ω(v^n(h),h)} convient.
**Théorème 2.2.**

Soit $y_h$ solution du problème approché $(P_h)$ défini par (2.2); y la
solution de l'I.Q.V (1.25) ; M vérifiant l'hypothèse (2.1). On a $p_h y_h \to y$
dans V fort.

Démonstration.

On a $|| p_h y_h || \le \frac{|f| |y'|}{\alpha}$ et donc

$p_h y_h \xrightarrow{h \to 0} y^*$ dans V faible, H fort.

D'après 2.1, on a donc :

$M(p_h y_h) \xrightarrow{h \to 0} M(y^*)$ dans $L^\infty$

La proposition 2.2. donne :

$\forall v \in W^{2,p} \quad v \le M(y^*) \quad \exists \tilde{v}_h, p_h \tilde{v}_h \le M(p_h y_h) \quad p_h \tilde{v}_h \to v \text{ dans } V \text{ fort.}$

on peut donc reporter $p_h \tilde{v}_h$ dans (2.2)

$$
(2.19) \quad a(p_h y_h, p_h (\tilde{v}_h - y_h)) \ge 1(p_h (\tilde{v}_h - y_h))
$$

et par passage à la limite en utilisant le fait que $a(\dots)$ est faiblement s.c.i
on obtient :

$$
a(y^*, v - y^*) \geq 1(v - y^*) \quad \forall v \leq M(y^*) \quad v \in V \text{ (par densité)}
$$

On a d'autre part :

$p_h y_h \le M(p_h y_h)$

mais $p_h y_h \to y^*$ dans $L^2(\mathcal{O})$ donc d'après (2.1) $M(p_h y_h) \to M(y^*)$ dans $L^\infty$ et
donc $y^* \le M(y^*)$.
On a donc montré que $p_h v_h \to y$ dans $V$ faible, montrons maintenant la convergence forte : d'après la convergence dans $L^2$ de $p_h v_h \to y$ avec la proposition 2.2. :

$$ \exists v_h \quad p_h v_h \le M(p_h y_h) \quad p_h v_h \to y \text{ dans } V \text{ fort.} $$

$$ \text{d'après (1.22) : } \exists \lambda \quad \alpha > 0 $$

$$ (2.20) \qquad \begin{aligned} & a(p_h v_h - p_h y_h, p_h v_h - p_h y_h) + \lambda |p_h v_h - p_h y_h|^2 \ge \alpha \| p_h v_h - p_h y_h \|^2 \\ & \| p_h v_h - p_h y_h \|^2 \ge \| y - p_h y_h \|^2 - \| y - p_h v_h \|^2 \end{aligned} $$

$$ (2.20) \text{ devient :} $$

$$ (2.21) \qquad \begin{cases} a(p_h v_h, p_h v_h - p_h y_h) - a(p_h y_h, p_h v_h - p_h y_h) + \lambda |p_h v_h - p_h y_h|^2 \\ + \alpha \| y - p_h v_h \|^2 \ge \alpha \| y - p_h y_h \|^2 \end{cases} $$

$$ \text{mais d'autre part comme } p_h v_h \le M(p_h y_h) $$

$$ (2.22) \qquad - a(p_h y_h, p_h v_h - p_h y_h) \le - l(p_h v_h - p_h y_h) $$

et $-l(p_h(v_h - y_h)) \xrightarrow{h \to 0} 0$ puisqu'on a montré que $p_h y_h \to y$ dans $V$ faible.

$$ \text{Ce qui donne pour (2.21) :} $$

$$ (2.23) \qquad \begin{cases} \lambda |p_h(v_h - y_h)|^2 + \alpha \|y - p_h v_h\|^2 - l(p_h(v_h - y_h)) + a(p_h v_h, p_h v_h - p_h y_h) \\ \ge \alpha \|y - p_h y_h\|^2 \end{cases} $$

ce qui donne le résultat car le membre de gauche tend vers 0.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>
### 3. APPROXIMATION DE L'I.Q.V INITIALE - REGULARISATION.

Pour le problème de contrôle impulsionnel en gestion de stocks l'opérateur M défini par $(1.13)$ ne possède pas la propriété $(2.1)$ (continuité de $L^2(\mathcal{O})$ dans $L^\infty(\mathcal{O}))$.

Nous allons définir un opérateur $M_\varepsilon$ régularisé de l'opérateur $M$, auquel va correspondre une I.Q.V régularisée $(P_\varepsilon)$. Nous allons montrer que $y_\varepsilon$ solution de $(P_\varepsilon)$ converge en décroissant vers la solution de l'I.Q.V.

#### 3.1. L'I.Q.V régularisée - Propriétés de $M_\varepsilon$.

Soit $\mu_\varepsilon$ la mesure de probabilité de loi uniforme sur le cube $[-\varepsilon,0]^n$. On définit alors :

$$ (3.1) \qquad \mathcal{O}_\varepsilon = \{ x/x + \varepsilon \in \mathcal{O} \} \cap \mathcal{O} \quad (x + \varepsilon = (x_1 + \varepsilon, x_2 + \varepsilon, \dots)) $$

$$ (3.2) \qquad C_\varepsilon = C_{\mathcal{O}_\varepsilon} $$

et l'opérateur $M_\varepsilon$ par :

$$ (3.3) \qquad M_\varepsilon(y)(x) = \begin{cases} k + \inf_{\substack{\xi \ge 0 \\ x+\xi \in \mathcal{O}}} y * \mu_\varepsilon(x+\xi) & \text{pour } x \in \mathcal{O}_\varepsilon \\ N = \frac{1}{a_0} \sup_{\tau \in \mathcal{O}} f(\tau) & \text{pour } x \in C_\varepsilon \end{cases} $$

Le problème régularisé $(P_\varepsilon)$ est alors :

$$ \text{Trouver } y_\varepsilon \in V \\ (3.4) \qquad \left\{ \begin{array}{l} y_\varepsilon \le M_\varepsilon y_\varepsilon \\ a(y_\varepsilon, v-y_\varepsilon) \ge l(v-y_\varepsilon) \quad \forall v \in V \quad v \le M_\varepsilon y_\varepsilon \end{array} \right. \quad (P_\varepsilon) $$
Montrons que $M_{\varepsilon}$ vérifie (2.1) :

**Lemme 3.1.**

$M_{\varepsilon}$ défini par (3.3) est continu de $L^2(\mathcal{O}) \to L^{\infty}(\mathcal{O})$ transformant le cône positif en le cône positif.

**Démonstration :**

L'application

$$y \in L^2(\mathcal{O}) \quad \rightarrow \quad (y * \mu_{\varepsilon})|_{\mathcal{O}_{\varepsilon}} \in L^{\infty}(\mathcal{O}_{\varepsilon}) \quad \text{est continue.}$$

donc l'application

$$y \in L^2(\mathcal{O}) \quad \rightarrow \quad z \in L^{\infty}(\mathcal{O}) \quad \begin{cases} = y * \mu_{\varepsilon} & \text{pour } x \in \mathcal{O}_{\varepsilon} \\ = N & \text{pour } x \in \mathcal{C}_{\varepsilon} \end{cases}$$

est continue.

D'autre part :

$$z \in L^{\infty}(\mathcal{O}) \quad \rightarrow \quad u(x) = \begin{cases} \text{Inf}_{\substack{\xi \ge 0 \\ x+\xi \in \mathcal{O}}} z(x+\xi) & u \in L^{\infty}(\mathcal{O}) \\ \xi \end{cases}$$

est continue et on obtient donc le résultat du lemme par composition.

■

**3.2. Convergence de la solution de l'I.Q.V régularisée et résultatat d'approximation.**

Nous commençons par donner un résultat de comparaison de solutions qui permettra d'obtenir la convergence par décroissance.

**Lemme 3.2.**

$y_{\varepsilon}$ désigne la solution de $(P_{\varepsilon})$ défini en (3.4); on a :

$$y_{\varepsilon/2} \le y_{\varepsilon}$$
**Démonstration :**

a) nous allons commencer par montrer que :

$$ (3.5) \quad \forall u \in L^2(\O), \ u < N \quad \text{on a} \quad M_\varepsilon u \ge M_{\varepsilon/2} u $$

Nous allons simplement faire la démonstration en dimension 2, l'extension à $\mathbb{R}^n$ étant évidente :

$$ \text{posons } t = (t_1, t_2) \quad t + \varepsilon = (t_1 + \varepsilon, t_2 + \varepsilon) $$

$$ M_{\varepsilon} u(x) \le \begin{cases} k + \frac{1}{2} \int_{t}^{t+\varepsilon} u(s)ds & \forall t \ge x \quad t \in \mathcal{O}_{\varepsilon} \quad x \in \mathcal{O}_{\varepsilon} \\ N & x \in \mathcal{C}_{\varepsilon} \end{cases} $$

$$ \bullet \text{ Pour } x \in \mathcal{O}_{\varepsilon} \quad \exists t \ge x \quad M_{\varepsilon} u(x) = u * \mu_{\varepsilon}(t) \quad \text{car } u \le N $$

$$ (2.6) \quad \begin{aligned} M_{\varepsilon/2} u(x) &\le \operatorname{Inf} \{ u * \mu_{\varepsilon/2}(t), u * \mu_{\varepsilon/2}(t_1+\varepsilon/2, t_2), u * \mu_{\varepsilon/2}(t_1, t_2+\varepsilon) \} \\ &\qquad u * \mu_{\varepsilon/2}(t+\varepsilon/2) \} \\ &\le u * \mu_{\varepsilon}(t) = M_{\varepsilon} u(x) \end{aligned} $$

$$ \bullet \text{ Pour } x \in \mathcal{C}_{\varepsilon/2} \quad \text{on a } M_{\varepsilon} u = M_{\varepsilon/2} u = N $$

$$ \bullet \text{ Pour } x \in \mathcal{C}_{\varepsilon/2} \quad \text{et donc } M_{\varepsilon/2} u \le N = M_{\varepsilon} u $$
b) En utilisant (3.5) montrons maintenant que $y_{\varepsilon/2} < y_{\varepsilon}$ : on procède par récurrence sur les suites d'inéquations variationnelles donnant respectivement les solutions de $(P_{\varepsilon})$ et $(P_{\varepsilon/2})$

$$
(3.7) \quad a(\varphi^p, v-\varphi^p) \ge 1(v-\varphi^p) \quad \forall v \le M_{\varepsilon/2} \varphi^{p-1}
$$

$$
(3.8) \quad a(\Psi^p, v-\Psi^p) \ge 1(v-\Psi^p) \quad \forall v \le M_\varepsilon \Psi^{p-1}
$$

avec

$$
(3.9) \quad \varphi_o = \psi_o = N \text{ (majorant de la solution, défini en (3.3))}
$$

grâce à (3.5) et à la monotonie des I.V par rapport à l'obstacle on obtient

$$
\varphi_1 \le \Psi_1 \le N
$$

La monotonie de $M_\epsilon$ entraine

$$
M_{\epsilon} \varphi_{1} \leq M_{\epsilon} \Psi_{1}
$$

donc d'après (3.5)

$$
M_{\epsilon/2} \varphi_1 \le M_{\epsilon} \varphi_1 \le M_{\epsilon} \Psi_1
$$

et donc par récurrence

$$
\varphi_p \le \Psi_p
$$

Mais $\Psi^p$ (resp $\varphi^p$) converge en décroissant vers $y_\epsilon$ (resp $y_{\epsilon/2}$) (cf. démonstration d'existence A. BENSOUSSAN - J.L. LIONS [3]) et donc $y_{\epsilon/2} \le y_\epsilon \le N$.
Dans la suite on note

$$y_{\epsilon_n} = y_{\epsilon/2n}.$$

**Théorème 3.1.**

La suite {$y_{\epsilon_n}$} solution de $(P_\epsilon)$ défini par (3.4) converge, en décroissant, dans V faible vers $y$ solution de l'I.Q.V.

**Démonstration.**

$$\text{On a } \|y_{\epsilon_n}\| \le \frac{|f|_{V'}}{\alpha}$$

donc il existe une sous suite encore notée $y_{\epsilon_n}^*$ qui converge vers $y^*$ dans $V$ faible et $H$ fort, en décroissant grâce au lemme 3.2.

{$y_{\epsilon_n}$} est décroissante et décroissant, $a(\cdot, \cdot)$ étant s.c.i on obtient à la limite

$$a(y^*, v-y^*) \ge 1(v-y^*) \quad \forall v < M(y^*)$$

Il reste à montrer que $y^* \le My^*$ p.p.

On note

$$z_{\epsilon_n}(x) = \begin{cases} \mu_{\epsilon_n} * y_{\epsilon_n}(x) & x \in \mathcal{O}_{\epsilon_n} \\ N & x \in \mathcal{C}_{\epsilon_n} \end{cases}$$

On a

$$y_{\epsilon_n}(x) \le k + z_{\epsilon_n}(s) \quad \text{p.p.} \quad \forall x \le s$$

Montrons que $z_{\epsilon_n} \to y^*$ dans $L^2(\mathcal{O})$

$$|y^*|_{L^\infty(\mathcal{O})} \le N \quad \text{donc}$$

$$|z_{\epsilon_n} - y^*|_{L^2(\mathcal{O})} \le |z_{\epsilon_n} - y^*|_{L^2(\mathcal{O}_{\epsilon_n})} + N \sqrt{\epsilon_n}$$
Mais d'autre part

$$
\left. z_{\epsilon_n} \right|_{\epsilon_n} = y_{\epsilon_n} * \mu_{\epsilon_n}
$$

$$
| z_{\epsilon_n} - y^* |_{L^2(\mathcal{O}_{\epsilon_n})}^2 = | y_{\epsilon_n} * \mu_{\epsilon_n} - y^* * \mu_{\epsilon_n} + y^* * \mu_{\epsilon_n} - y^* |_{L^2(\mathcal{O})}^2
$$

$$
\leq |y_{\epsilon_n} * \mu_{\epsilon_n} - y^* * \mu_{\epsilon_n}|_{L^2(\mathcal{O}_{\epsilon_n})} + |y^* * \mu_{\epsilon_n} - y^*|_{L^2(\mathcal{O})}
$$

mais

$$
| y_{\epsilon_n} + \mu_{\epsilon_n} - y^* * \mu_{\epsilon_n} |_{L^2(\mathcal{O}_{\epsilon_n})}^2 \leq | \mu_{\epsilon_n} |_{L^1(\mathcal{O}_{\epsilon_n})}^2 | y_{\epsilon_n} - y^* |_{L^2(\mathcal{O}_{\epsilon_n})}^2
$$

(cf. par exemple J.P. AUBIN [1])

donc

$$
| z_{\epsilon_n} - y |_{L^2(\mathcal{O}_{\epsilon_n})}^2 \leq | y_{\epsilon_n} - y^* |_{L^2(\mathcal{O})}^2 + | y^* * \mu_{\epsilon_n} - y^* |_{L^2(\mathcal{O})}^2
$$

$$
|y^* * \mu_{\epsilon_n} - y^*|_{L^2(\mathcal{O})} \to 0 \text{ pour tout } y^* \text{ continue puis par densité pour} \\
\text{tout } y^* \in L^2(\mathcal{O}).
$$

$$
| z_{\epsilon_n} - y^* |_{L^2(\mathcal{O})}^2 \to 0 \quad \text{donc il existe une sous suite.}
$$

$$
z_{\epsilon_n} \to y^* \quad \text{p.p. et donc} \quad y^* \le M(y^*) \quad \text{p.p.}
$$

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Corollaire 3.1.

La suite {$y_{\epsilon_n}$} converge vers $y$ dans $V$ fort en décroissant.
## Démonstration

Ex $\lambda$ $\alpha > 0$ tels que

$$ (3.10) \qquad a(y-y_{\epsilon_n}, y-y_{\epsilon_n}) + \lambda |y-y_{\epsilon_n}|^2 \ge \alpha ||y-y_{\epsilon_n}||^2 $$

$\{y_{\epsilon_n}\}$ est décroissante donc

$$ y \le My \le M\epsilon_n(y_{\epsilon_n}) \quad \text{donc} $$

$$ -a(y_{\epsilon_n}, y-y_{\epsilon_n}) \le -1(y-y_{\epsilon_n}) $$

(3.10) s'écrit

$$ \lambda |y-y_{\epsilon_n}|^2 + a(y,y-y_{\epsilon_n}) - a(y_{\epsilon_n},y-y_{\epsilon_n}) \ge \alpha ||y-y_{\epsilon_n}||^2 $$

mais $y_{\epsilon_n} \to y$ dans V faible donc

$$ a(y,y-y_{\epsilon_n}) \xrightarrow{n \to \infty} 0 $$

$$ 1(y-y_{\epsilon_n}) \to 0 \qquad \lambda |y-y_{\epsilon_n}|^2 \to 0 $$

et par conséquent

$$ || y-y_{\epsilon_n} ||^2 \xrightarrow{n \to \infty} 0 $$

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

## Remarque 3.2.

Sur l'interprétation probabiliste du problème régularisé :
ce problème correspond au cas ou les impulsions du contrôle ne font pas sauter l'état d'un point en un point mais d'un point à une zone, celle-ci correspondant au support de $\mu_\epsilon$, la loi du saut étant uniforme.
Le problème régularisé a donc un intérêt pratique aussi grand que celui du problème initial.

A partir du théorème 2.2 et du corollaire 3.1 nous pouvons maintenant donner le résultat global d'approximation du problème initial. :

**Corollaire 3.2.**

Il existe une suite {$ε_n, h_n$} avec $ε_n \to 0$ $h_n \to 0$ lorsque $n \to \infty$ telle que si $y_h^ε$ est solution de

$$ egin{cases} a(p_h y_h^\epsilon, p_h (v_h - y_h^\epsilon)) \geq 1(p_h (v_h - y_h^\epsilon)) \\ p_h y_h^\epsilon \leq M_\epsilon (p_h y_h^\epsilon) \quad \forall v_h : p_h v_h \leq M_\epsilon (p_h y_h^\epsilon) \end{cases} $$

avec $M_\epsilon$ défini par (3.3) alors

$$ p_h y_h^\epsilon \to y \text{ dans } V, \text{ y solution de l'I.Q.V (1.25).} $$

**Remarque 3.3.**

On n'obtient ici la convergence $p_h y_h^\epsilon \to y$ que pour certaines suites {$ε_n, h_n$} que l'on ne sait pas expliciter; le résultat plus complet serait évidemment $p_h y_h^\epsilon \to y$ lorsque $ε$ et $h \to 0$ indépendamment, on explicite une suite {$ε_n, h_n$} pour laquelle la convergence a lieu.

**Corollaire 3.3.**

Si y désigne la solution de l'I.Q.V (P) pour M défini par (1.13)

y$^h$ désigne la solution de l'I.Q.V discrétisée correspondant (P$^h$)
on a

$$ \lim_{h \to 0} p_h y_n \le y $$

démonstration :

Le corollaire 3.2 montre qu'il existe une suite $\{\varepsilon_n, h_n\}$ telle que

$$ y^{\varepsilon_n, h_n} \to y $$

d'autre part une démonstration analogue à celle du théorème 3.1 montre que

$$ \begin{array}{ccc} y^{\varepsilon,h} & \downarrow & y^h \\ \varepsilon \downarrow 0 & & \\ \hline & & \forall h \text{ fixé} \end{array} $$

$$ \text{et donc } y^{\varepsilon,h} \ge y^h \quad \forall h \quad \forall \varepsilon > 0 $$

$$ \text{et donc } \lim_{n \to \infty} y^{h_n} \le \lim_{n \to \infty} y^{\varepsilon_n, h_n} = y $$

■

Remarque 3.4.

Pratiquement on résout le problème $(P^h)$ plus simple que $P^{\varepsilon,h}$ le corollaire (3.3) donne un résultat de semi continuité pour la suite $(P^h)$.

## 4. RESOLUTION NUMÉRIQUE.

### 4.1. Exemple d'approximation.

On prend une approximation par éléments finis $Q_1$ sur un ouvert $O$ parallèlepipédique.
Les éléments finis $Q_1$ sont des éléments finis parallèlepipédiques;
les fonctions de base $\{e_i\}$ sont linéaires par élément par rapport à chacune
des composantes

$$
V_h = R^N \quad \text{avec } N = \text{nombre de noeuds}
$$

$$
P_h : \mathbb{R}^N \rightarrow \mathbf{V}.
$$

$$
y_h = \sum_{i=1}^{N} y_h^i e_i(x) \quad (e_i(x) = x_1 x_2 \quad \text{sur l'élément } [0,1] \times [0,1])
$$

$$
r_h : V \cap c^\circ(\mathcal{O}) \to \mathbb{R}^N
$$

y

y(ih)

4.2. <u>Algorithme de résolution.</u>

Nous utilisons l'algorithme décrit en 2.1 : résolution d'une suite
d'I.V : chaque I.V est résolue par une méthode de relaxation avec projec-
tion (cf. par exemple R. GLOWINSKI - J.L. LIONS - R. TREMOLIERES [7]).

4.3. Exemples tests.

4.3.1. exemple 1.

$$
\mathcal{O} = ]0,1[ \times ]0,1[
$$

Le problème à résoudre est

$$
(4.1) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
- \Delta y + y - f \le 0 & \\
y - 1 - \inf_{x \in \mathcal{O}} y(x) \le 0 & x \in \mathcal{O} \\
(- \Delta y + y - f)(y - 1 - \inf_{x \in \mathcal{O}} y(x)) = 0 &
\end{array}
\right.
$$
$$
(4.2) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial n} \le 0 \\[1em]
\begin{aligned}
& y - 1 - \inf_{x \in \mathcal{O}} y(x) \le 0 \\
& \frac{\partial y}{\partial n}(y - 1 - \inf_{x \in \mathcal{O}} y(x)) = 0
\end{aligned}
\end{array}
\right.
\quad x \in \Gamma = \partial \mathcal{O}
$$

On note

$$
f_1 = \cos \frac{4\Pi}{3} \left(x_1 - \frac{1}{4}\right)
$$

$$
f_2 = \cos \frac{4\Pi}{3} \left(x_2 - \frac{1}{4}\right)
$$

On prend alors :

$$
(4.3) \quad f = \begin{cases}
2 & \text{si } x_1 \in [0, \frac{1}{4}] \quad x_2 \in [0, \frac{1}{4}] \\
\frac{1}{2}(1+f_2) + \frac{1}{2}(\frac{4\Pi}{3})^2 f_2 & \text{si } x_1 \in [0, \frac{1}{4}] \quad x_2 \in [\frac{1}{4}, 1] \\
\frac{1}{2}(1+f_1) + \frac{1}{2}(\frac{4\Pi}{3})^2 f_1 & \text{si } x_1 \in [\frac{1}{4}, 1] \quad x_2 \in [0, \frac{1}{4}] \\
\frac{1}{4}(1+f_1)(1+f_2) + \frac{1}{4}(\frac{4\Pi}{3})^2(f_1(1+f_2) + f_2(1+f_1)) & \\
\phantom{\frac{1}{4}(1+f_1)(1+f_2) + \frac{1}{4}(\frac{4\Pi}{3})^2(f_1} \quad \text{si } x_1 \in [\frac{1}{4}, 1] \quad x_2 \in [\frac{1}{4}, 1]
\end{cases}
$$

La solution de (4.1) (4.2) pour $f$ donné par (4.3) est alors :

$$
y = \begin{cases}
1 & \text{si } x_1 \in [0, \frac{1}{4}] \quad x_2 \in [0, \frac{1}{4}] \\
\frac{1}{2}(1+f_2) & \text{si } x_1 \in [0, \frac{1}{4}] \quad x_2 \in [\frac{1}{4}, 1] \\
\frac{1}{2}(1+f_1) & \text{si } x_1 \in [\frac{1}{4}, 1] \quad x_2 \in [0, \frac{1}{4}] \\
\frac{1}{4}(1+f_1)(1+f_2) & \text{si } x_1 \in [\frac{1}{4}, 1] \quad x_2 \in [\frac{1}{4}, 1]
\end{cases}
$$

Pas de discrétisation $h = (h_1, h_2)$ avec $h_1 = h_2 = \frac{1}{20}$
initialisation de la suite d'I.V : $y_0 = 2$

Test d'arrêts :

- pour la relaxation (résolution d'une I.V) : $2,5 \cdot 10^{-6}$ (norme $L^1$ discrète).

- pour la comparaison des solutions de deux I.V successives :
  $2,5 \cdot 10^{-5}$ (norme $L^1$ discrète).

Nombre d'I.V résolues : 17.

Nombre global d'itérations de relaxation : 1300.

Remarque.

Le nombre d'I.V à résoudre est fonction décroissante de $\lambda$ (taux d'actualisation). Le domaine de continuation est obtenu beaucoup plus rapidement que la solution de l'I.Q.V.

La figure 1 représente une coupe de la solution calculée (pour $x_1 = x_2$) et la figure 2 représente l'erreur pour la coupe précédente.

4.3.2. Exemple 2.

$$ \mathcal{O} = ]0,1[ \times ]0,1[ $$

Le problème à résoudre est :

$$ (4.5) \qquad \begin{cases} - \Delta y + y - f \le 0 \\ y - 39/64 - \int_{\mathcal{O}} y(x) dx \le 0 \\ (-\Delta y + y - f)(y - 39/64) - \int_{\mathcal{O}} y(x) dx = 0 \end{cases} $$

$$ (4.6) \qquad \begin{cases} \frac{\partial y}{\partial n} \le 0 \\ y - 39/64 - \int_{\mathcal{O}} y(x) dx \le 0 \\ \frac{\partial y}{\partial n}(y - 39/64) - \int_{\mathcal{O}} y(x) dx = 0 \end{cases} $$
Prenons cette fois

$$
(4.7) \quad \left\{
\begin{aligned}
f_1 &= \cos \frac{8\Pi}{3} (x_1 - \frac{1}{4}) \\
f_2 &= \cos \frac{8\Pi}{3} (x_2 - \frac{1}{4})
\end{aligned}
\right.
$$

Prenons $f$ défini par (4.3) alors $y$ défini par (4.4) est solution de (4.5)
(4.6) pour $f$ défini par (4.3) $f_1$ et $f_2$ par (4.7). Les courbes ① des figures
3 et 4 donnent respectivement une coupe de la solution calculée et de
l'erreur.

4.3.3. Exemple 3.

$$
\mathcal{O} = ]0,1[ \times ]0,1[
$$

Le problème à résoudre est

$$
(4.8) \quad \left\{
\begin{array}{l}
- \Delta y + y - f \le 0 \\
y - 1 - \inf_{\substack{\xi \ge 0 \\ x+\xi \in \mathcal{O}}} y(x+\xi) \le 0 \\
(-\Delta y + y - f)(y - 1 - \inf_{\substack{\xi \ge 0 \\ x+\xi \in \mathcal{O}}} y(x+\xi)) = 0
\end{array}
\right.
$$

$$
(4.9) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial n} \le 0 \\[2ex]
\begin{array}{l}
y - 1 - \inf_{\substack{\xi \ge 0 \\ x+\xi \in \mathcal{O}}} y(x+\xi) \le 0 \\[2ex]
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial n} (y - 1 - \inf_{\substack{\xi \ge 0 \\ x+\xi \in \mathcal{O}}} y(x+\xi)) = 0
\end{array}
\end{array}
\right.
$$

Si on prend le même f que dans l'exemple 2, y solution de l'exemple 2 est
solution.

Les courbes (2) des figures 5 et 6 sont respectivement une coupe de
la solution approchée et une coupe de l'erreur.
## CONCLUSION.

Cet article est un prolongement de l'analyse numérique des I.V (R.GLOWINSKI - J.L. LIONS - R. TREMOLIERES [7] et M. GOURSAT - J.P. QUADRAT [11]) il reste à obtenir des majorations d'erreurs.

Ce genre de méthode peut s'appliquer aux I.Q.V paraboliques et aux I.Q.V elliptiques et paraboliques non linéaires provenant d'un problème de contrôle stochastique.
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 1</figcaption></figure>

Coupe de la solution calculée y(x₁,x₂)
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 2</figcaption></figure>

Coupe de l'erreur $e(x_1, x_2)$
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 3</figcaption></figure>

coupes de solutions
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 4</figcaption></figure>

Coupes des erreurs
BIBLIOGRAPHIE

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