ANNALES MATHÉMATIQUES BLAISE PASCAL

ALBERT BENASSI

# Régularité des processus gaussiens elliptiques et le modèle hiérarchique

*Annales mathématiques Blaise Pascal, tome 3, n° 1 (1996), p. 33-49*

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# RÉGULARITE DES PROCESSUS GAUSSIENS ELLIPTIQUES ET LE MODÈLE HIÉRARCHIQUE

Albert BENASSI

LABORATOIRE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES

Université Blaise Pascal (Clermont-Ferrand II) et C.N.R.S. (URA 1501)

69177 AUBIÈRE CEDEX France

## I) Introduction.
Soit {$X(x); x \in \mathbb{R}^d$} un processus gaussien centré défini sur un espace de probabilité $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. Une fonction non décroissante $\psi_l(v)$, $\psi_l(0) = 0$, est appelée module local de continuité pour $X$ en $x$ si

$$ (1.1) \qquad C_0 \le \varliminf_{|h| \to 0} \frac{|X(x+h) - X(x)|}{\psi_l(|h|)} \le C_1 \quad \mathbb{P}\text{p.s. .} $$
$$ 0 < C_0 \le C_1 < \infty. $$

Une fonction non décroissante $\psi_u(v)$, $\psi_u(0) = 0$, est appelée module uniforme de continuité sur $E = (0,1)^d$ si

$$ (1.2) \qquad C_0 \le \varliminf_{|x-y| \to 0; x,y \in E} \frac{|X(x) - X(y)|}{\psi_l(|x-y|)} \le C_1 \quad \mathbb{P}\text{p.s. .} $$
$$ 0 < C_0 \le C_1 < \infty. $$

Remarquons que la loi $0-1$ implique que la $\limsup$ dans (1.1) et (1.2) est dans chaque cas avec probabilité un, une constante notée $C$, telle que $C_0 \le C \le C_1$.

Résoudre le problème du module local (resp. du module uniforme) de continuité pour $X$ c'est déterminer la fonction $\psi_l$ (resp. $\psi_u$) ainsi que la constante $C = C_l$ (resp. $C = C_u$).

Pour déterminer $\psi_l$ ou $\psi_u$ on introduit (cf. Marcus [Ma]), les fonctions $\rho$ et $\omega$,

$$ (1.3) \qquad \rho^2(h) = \sup_{|x-y|=h; x,y \in E} \mathbb{E} \left[ (X(x) - X(y))^2 \right], $$

$$ (1.4) \qquad \omega^2(h) = \inf_{|x-y|=h; x,y \in E} \mathbb{E} \left[ (X(x) - X(y))^2 \right]. $$

Sous certaines conditions portant sur le comportement de $\rho$ au voisinage de zéro ainsi que lorsque $\omega \simeq \rho$, toujours au voisinage de 0, la détermination de la fonction $\psi_l$ est possible ([Ma]). mais pour déterminer la constante $C_l$, la connaissance de $\psi_l$ ne suffit pas.
Pour la fonction $\psi_u$, sa détermination nécessite comme pour $\psi_l$, de faire les hypothèses déjà évoquées sur $\rho$ mais aussi la connaissance des accroissements de $X$. L'hypothèse que ceux-ci sont stationnaires ajoutée à la connaissance du comportement de $\rho$ et de $\omega$ au voisinage de zéro permet de déterminer la fonction $\psi_u$, mais toujours pas la constante $C_u$.

Dans la référence [BJR] nous faisons l'hypothèse que l'espace des noyaux reproduisants de $X$ est l'espace de l'énergie d'un opérateur pseudo-différentiel uniformément elliptique, à coefficients höldériens. Dans ce cas, lorsque l'opérateur est d'ordre $d + 2\alpha$,

$$ (1.5) \qquad \rho(h) \approx \omega(h) \approx h^{\alpha} \quad 0 < \alpha < 1, $$

mais quand l'ordre est égal à $d + 2$, nous avons:

$$ (1.6) \qquad \rho(h) \approx \omega(h) \approx h \sqrt{\log \frac{1}{h}} $$

ce qui nous donne

$$ \psi_l(h) = h^\alpha \sqrt{2\log\log \frac{1}{h}}, \quad \psi_u(h) = h^\alpha \sqrt{2\log \frac{1}{h}} \quad 0 < \alpha < 1, $$

$$ \psi_l(h) = h \sqrt{2\log \frac{1}{h}} \sqrt{\log\log \frac{1}{h}}, \quad \psi_u(h) = h \sqrt{2\log \frac{1}{h}} \sqrt{\log\log\log \frac{1}{h}}, \text{ si } \alpha = 1, $$

la constante $C$ est déterminée en posant

$$ (1.7) \qquad C^2(x) = \lim_{|h| \to 0} \mathbb{E} \left[ \left( \frac{X(x) - X(x+h)}{|h|^\alpha} \right)^2 \right] $$

alors nous avons

$$ (1.8) \qquad C_l = C(x), \quad C_u = \max_{x \in E} C(x) $$

naturellement de (1.1) et (1.2), nous déduisons que

$$ (1.9) \qquad C_0 \le C(x) \le C_1 \quad \text{et} \quad C_0 \le C_u \le C_1 $$

dans ce papier nous voulons résoudre le problème du module local et du module uniforme de continuité pour des Processus Gaussiens Elliptiques (P.G.E) en relaxant les hypothèses de [BJR] dans deux directions:

a) les coefficients de l'opérateur elliptique pseudodifférentiel définissant $X$ pourront être seulement mesurables.

b) L'opérateur pseudodifférentiel elliptique définissant $X$ ne sera plus supposé uiformément elliptique. c'est à dire que dans (1.9) nous pourrons avoir $C_0 = 0$ ou $C_1 = +\infty$ en certains points isolés dits critiques. Nous généralisons alors les résultats de Roux [Ro], à la dimension quelconque et au cas non markovien.
Afin de résoudre ces questions nous introduisons le "Modèle Hiérarchique" qui apparaît comme résumant l'essence de la méthode d'Ondelettes introduite dans $[B.IR]$; c'est ce qui reste quand on ne suppose plus être dans une situation elliptique. Notre modèle hiérarchique est voisin de celui des séries de Fourier aléatoires lacunaires introduites par Marcus [Ma]; il joue un rôle analogue à celles-ci. Dans le cas général il est très difficile de résoudre le problème du module local de continuité. Dans les actes de ce colloque Fernique résout cette question par la seule connaissance de l'espérance du sup de certains accroissements de $X$ ($[Fe]$)

Ce travail doit à Y. Meyer, l'incitation à étudier le cas des processus gaussiens elliptiques dont le symbole associé est à coefficients mesurables.

## Résultats.

Avant d'énoncer nos résultats, nous rappelons succinctement comment associer un Espace de Noyaux Reproduisants (E.N.R) à un symbole elliptique.

### 2.1 Espace de Noyaux Reproduisants.

Soit $l: \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ une fonction mesurable $l(x, \xi)$, à laquelle nous associons formellement pour le moment, l'opérateur $Q$ par:

$$ (2.1) \qquad Qf(x) = \int_{\mathbb{R}^d} l(x, \xi) \hat{f}(\xi) e^{i\xi \cdot x} \frac{d\xi}{(2\pi)^d} $$

où $\hat{f}$ est la transformée de Fourier de $f$.

Posons $A = Q^*Q$ et $<f,g>_A = (Qf, \overline{Qg})_{L^2} = \langle Af,g \rangle = \langle f, Ag \rangle$ Si $<,>$ désigne le crochet de dualité entre l'espace $S(\mathbb{R}^d)$ (de Schwartz) et son dual $S'(\mathbb{R}^d)$, l'espace des distributions tempérées.

Quand $l(x, \xi) = |\xi|^{\frac{4}{d}+\alpha} 0 < \alpha < 1$ l'espace de l'énergie de $A$ est l'espace de Sobolev Homogène $\dot{H}^{\frac{4}{d}+\alpha}$ mais cet espace n'est pas de Hilbert et ne peut donc pas être un E.N.R. Dans $[BJR]$ et dans $[B]$, nous avons utilisé l'E.N.R. $H_{(\alpha)}$ suivant

$$ (2.2) \qquad H_{(\alpha)} = \left\{ U_f = \int_{\mathbb{R}^d} \frac{(e^{i\xi \cdot x} - 1)}{|\xi|^{\frac{4}{d}+\alpha}} \bar{f}(\xi) d\xi \ ; \ <U_f, U_g>_A = (f,g)_{L^2} \right\} $$

Notons $J_\alpha$ l'application $u \in \dot{H}^{\frac{4}{d}+\alpha} \mapsto U_f \in H_{(\alpha)}$ c'est une représentation homogène de $\dot{H}^{\frac{4}{d}+\alpha}$ définie par Bourdeau $[Bo]$.

Dans le cas où $l(x, \xi) \simeq a(x)|\xi|^{\frac{4}{d}+\alpha}$ pour $\xi$ grand et quelque soit $x$ pouvu que $a(x) > 0$, nous procéderons de la façon suivante: soit $\dot{H}_A$ l'espace de l'énergie

de $A$; commençons par le cas où $\tilde{H}_A \supset \dot{H}^{\frac{4}{d}+\alpha}$ avec injection, notée $i_\alpha$, continue.
Nous rendons commutatif le diagramme

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

quand $H_A$ est la fermeture de $H_-(\alpha)$ pour la norme $\|\cdot\|_A$ définie par : $\|f\|_A^2 = \langle f, f \rangle_A$. On vérifie que $H_A$ est un E.N.R.

Dans le cas contraire où $\tilde{H}_A \subset \hat{H}^{\frac{d}{2}+\alpha}$, nous rendons commutatif le diagramme,

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

ce qui nous fournira une E.N.R. $H_A$ comme nous l'avons fait ci-dessus. Le second cas est celui où la fonction $\alpha$ devient infinie en des points isolés.

A l'espace $H_A$ nous pouvons donc associer un processus gaussien centré $X$ (noté $X_A$ si besoin est) de covariance, le noyau de $H_A$.

## 2.2 Enoncé des résultats

Comme annoncé nous envisageons les deux situations suivantes.

**Situation 1.** Cas où l'opérateur est à coefficients mesurables. La fonction $l(x, \xi)$ est donnée par

**L1**

$$l(x, \xi) = a(x) |\xi|^{\frac{d}{2} + \alpha} + \tilde{l}(x, \xi)$$

**L2** $\exists \beta > 0, 0 \le \beta < \frac{d}{2} + \alpha$ et $C_1, C_2 > 0$ telles que si $\tilde{l} \ne 0$ alors :

$$C_1 \le \tilde{l}(x, \xi) \le C_2 [|\xi|^\beta + 1]$$

$$\xi \mapsto \tilde{l}(x, \xi) \text{ est } C^\infty \text{ \(\forall x \in \mathbb{R}^d\)}$$
**L3** Il existe des constantes $m_a$ et $M_a$ telles que :

$$0 < m_a \le a(x) \le M_a < \infty \quad \text{pour } p.\forall x \in \mathbb{R}^d$$

Nous pouvons énoncer le résultat suivant.

**Théorème 1**

Soit $l(x, \xi)$ un symbole de degré $\frac{d}{2} + \alpha$, $0 < \alpha < 1$, vérifiant les hypothèses **L1** à **L3**.
Soit $X$ le P.G.E associé à l'espace de noyaux reproduisants donné par $l$, nous avons:

**- Loi du module uniforme**

$$(2.3) \qquad \overline{\lim}_{|x-y|\downarrow 0} \frac{|X(x) - X(y)|}{|x-y|^\alpha \sqrt{2\log \frac{1}{|x-y|}}} = \frac{\sqrt{d}}{a(E)} \quad \mathbb{P}_{\text{p.s.}}$$

$$\text{avec } a(E) = \inf\{a(x), x \in E\}.$$

**- Loi du module local**

Si $y$ est un point de Lebesgue de la fonction $1/a$

$$(2.4) \qquad \overline{\lim}_{x \to y} \frac{|X(x) - X(y)|}{|x - y|^\alpha \sqrt{2\log\log \frac{1}{|x - y|}}} = \frac{1}{a(y)} \quad \mathbb{P}_{\text{p.s.}}$$

**Situation 2.** Cas où l'opérateur n'est plus uniformément elliptique. Sur la fonction $l(x, \xi)$ nous formulons les hypothèses suivantes

**LC1**

$$l(x, \xi) = a(x) |\xi|^{\frac{d}{2} + \alpha}.$$

**LC2** $a \in C^\mu(\mathbb{R}^d - \{0\})$ pour un $\mu > 0$ de plus $\forall \varepsilon > 0 \exists C_\varepsilon$ et $\bar{C}_\varepsilon$ telles que:

$$0 < \bar{C}_\varepsilon \le a(x) \le \bar{C}_\varepsilon < \infty \quad \forall |x| > \varepsilon.$$

**LC3** $\exists \beta \in \mathbb{R}$ et $q > 0$ tels que

$$(2.5) \qquad a(x) \approx q|x|^\beta \quad \text{au voisinage de 0.}$$

**Théorème 2.** Soit $l(x, \xi)$ un symbole de degré $\frac{d}{2} + \alpha$, $0 < \alpha < 1$ vérifiant les hypothèses **LC1**, **LC2** et **LC3**. Soit $X$ le P.G.E associé à l'espace des noyaux reproduisants donné par $l$ nous avons :
- Si $\alpha \neq \beta$

$$ (2.6) \quad \overline{\lim}_{n \to \infty} \max_{(x,y) \in F_n} \frac{|X(x) - X(y)|}{|x-y|^{\alpha-\beta} \sqrt{2 \log \log \frac{1}{|x-y|}}} = \frac{1}{q} \mathbb{P}_{\text{s.}} $$

- Si $\alpha = \beta$

$$ (2.7) \quad \overline{\lim}_{n \to \infty} \max_{(x,y) \in F_n} \frac{|X(x) - X(y)|}{\sqrt{\log \frac{1}{|x-y|}} \sqrt{2 \log \log \log \frac{1}{|x-y|}}} = \frac{1}{q} \mathbb{P}_{\text{s.}} $$

$$ \text{avec } F_n = \{(x, y) \mid 2^{-n} \le |x-y| \le 2^{-n+1}, 2^{-n} \le |x|, |y| \le 2^{-n+1}\}. $$

Remarque: $\beta = 0$ est le cas traité dans [BJR].

Le reste du papier est organisé de la façon suivante:

Dans la troisième partie nous établissons le modèle hiérarchique. Dans les deux suivantes nous établissons un modèle hiérarchique approché dans chacune des situations précé-dentes pour démontrer successivement les théorèmes 1 et 2.

### III) Le modèle hiérarchique.

Nous commençons par motiver l'introduction du modèle hiérarchique en analysant succinctement la méthode d'ondelettes mise au point dans [BJR] pour l'étude des P.G.E. Ensuite nous présenterons le modèle hiérarchique en lui-même. Nous aurons donc ramené à la fin de cette section, la démonstration des théorèmes 1 et 2, à la construction d'un modèle hiérarchique approché dans chacune de ces deux situations.

#### 3.1 le modèle hiérarchique approché pour les processus gaussiens unifor-mément elliptiques.

Soit $l(x, \xi)$ un symbole de degré $\frac{d}{2} + \alpha, 0 < \alpha < 1$ à coefficients höldériens vérifiant les hypothèses de **L1**, **L2** et **L3**. Soit $H_A$ l'espace des noyaux reproduisant qui lui est associé. Désignons par $X$ un PGE d'E.N.R. $H_A$. Rappelons que $: \exists \mu > 0$ et

$$ l(x, \xi) = a(x)|\xi|^{\frac{d}{2}+\alpha} + \tilde{l}(x, \xi); \quad a \in C^{\mu}(\mathbb{R}^d). $$

Notons $L$ l'o.p.d de symbole $l(x, \xi)$ et $A$ l'opérateur $L^*L$ de $H_A$ sur son dual $H_A'$.
L'opérateur $A^{-1/2} : L^2(\mathbb{R}^d) \to H_A$ est alors bien défini et nous avons : $L \circ A^{-1/2} = I_d + \text{Régularisant}$.

Maintenant donnons nous une b.o.n d'ondelettes de Lemarié-Meyer $(\psi_\lambda; \lambda \in \Lambda)$ (cf. [Me]) de $L^2(\mathbb{R}^d)$ puis introduisons les fonctions $(g_\lambda; \lambda \in \Lambda)$,

$$ (3.1) \qquad g_{\lambda}(x) = \int_{\mathbb{R}^d} \frac{e^{ix \cdot \xi} - 1}{|\xi|^{\frac{d}{2}+\alpha}} \bar{\psi}_{\lambda}(\xi) d\xi, $$
et la constante $C_\alpha$

$$
(3.2) \qquad C_{\alpha}^{2} = \int_{\mathbb{R}^{d}} \left( \frac{1 - \cos(u \cdot \xi)}{|\xi|^{\frac{d}{2} + \alpha}} \right) d\xi \quad u \in S_{d-1}.
$$

Introduisons aussi les ondelettes $(\phi_\lambda; \lambda \in \Lambda)$ de $H_A$ par

$$
(3.3) \qquad \phi_{\lambda} = A^{-1/2}(\psi_{\lambda}) \quad \lambda \in \Lambda,
$$

ainsi que le système de vaguelettes $(G_\lambda; \lambda \in \Lambda)$ de $H_A$ (cf [BJR]) par,

$$
G_{\lambda} = \frac{g_{\lambda}}{a(\lambda)} \quad \lambda \in \Lambda,
$$

Dans [BJR] nous avons prouvé le résultat.

lemme 3.1

Si $l(x, \xi)$ est un symbole comme ci-dessus alors:

(i) $(G_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ est une base de Riesz de $H_A$

(ii) $\forall \epsilon \exists K_\epsilon < \infty$ telle que :

$$
|\phi_{i,j}(x)| < \epsilon \quad \text{si} \quad |2^j x - k| > K_\epsilon
$$

de plus

$$
\lim_{\epsilon \to 0} \left[ \left( \log \frac{1}{\epsilon} \right)^p K_{\epsilon} \right] = 0 \quad \forall p > 1
$$

(iii) Soit $C^e(x)$ la fonction définie par, $N_e$ étant donnée:

$$
\varlimsup_{n \to \infty} \max_{2^{-n} \le |x-y| \le 2^{-n+1}} \sum_{n-N_e \le j \le n+N_e} \sum_{k \in Z^d} \left( \frac{G_{jk}^e(x) - G_{jk}^e(y)}{|x-y|^{\alpha}} \right)^2 = (C^e(x))^2,
$$

la fonction $G_{jk}^e(x)$ est définie par :

$$
(3.5) \qquad \left\{
\begin{array}{ll}
G_{jk}^{\epsilon}(x) = G_{jk}(x)\rho_{jk}^{\epsilon}(x) & ; \quad \rho \equiv 1 \ \text{sur } |x| \le 1 \quad \rho = 0 \ \text{sur } |x| > 2 \\
\rho_{jk}^{\epsilon}(x) = \rho(2^j \frac{x}{K_{\epsilon}} - k) & ; \quad \rho \ge 0 \ \text{et } \rho \in C^{\infty}(\mathbb{R}^d)
\end{array}
\right.
$$

Alors si $C(x)$ est la fonction définie par (1.7), on peut choisir $N_\epsilon$ de telle sorte que :

$$
(C^{\epsilon}(x))^2 \geq C^2(x) - \delta
$$

avec $\delta \downarrow 0$ si $\epsilon \downarrow 0$. $\square$
Nous pouvons maintenant introduire le processus $(Y_n^e(x); x \in \mathbb{R}^d)$ par

$$ (3.7) \qquad Y_n^e(x) = \sum_{n-N_e \le j \le n+N_e} \sum_{k \in Z^d} G_{jk}^e(x) \xi_{j,k} $$

avec $(\xi_{i,n}; j \in Z, k \in Z^d)$ une famille iid. de gaussiennes $\mathcal{N}(0, 1)$.
l'intérêt du processus $Y_n^e(x)$ est que si $|x - y| \simeq 2^{-n}$ alors:

$$ (3.8) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} (i) & \left( \left( \frac{Y_n^e(x) - Y_n^e(y)}{|x-y|^\alpha} \right); x \in 2^{-j} K_e Z^d \right) \text{ sont indépendants} \\ (ii) & \text{leur variance est à } \delta \text{ près celle de } \left( \frac{X(x) - X(y)}{|x-y|^\alpha} \right) \end{array} \right. $$

Ce qui permet de démontrer les lois du module uniforme et du module local de continuité pour $X$ en se ramenant au cas iid bien connu.

Nous dirons alors que le processus $Y^e$ suivant:

$$ (3.9) \qquad Y_n^e(x) = \sum_{j \in Z} \sum_{k \in Z^d} G_{jk}^e(x) \xi_{j,k} $$

est un modèle hiérarchique approché de $X$.

Nous allons maintenant étudier des processus tels que $Y^e$.

## 3.2 Le modèle hiérarchique.

Si $\lambda = 2^{-j}k, j \in Z, k \in Z^d$, désignons par $q_\lambda$ la cellule dyadique de centre $2^{-j}(k + 1/2)$ ($k + 1/2 = (k_i + 1/2, i = 1, d)$) de côtés parallèles aux axes et de longueur $2^{-j}$, et par $|\lambda|$ l'entier $j$.

Soit $(Z(x); x \in \mathbb{R}^d)$, un processus gaussien centré d'espace reproduisant $H_Z$. Nous dirons que $Z$ est un processus gaussien hiérarchique si son espace de noyaux reproduisants satisfait les conditions suivantes:

**D1** $H_Z = \bigoplus_{j=1}^{\infty} H_{j,Z}$ pour une suite $H_{j,Z}$ de sous espaces fermés de $H_Z$.

**D2** $\exists \phi : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ strictement croissante telle que $\phi(j) \ge j \forall j \ge 0$ et $\forall u \in H_{j,Z}$, la transformée de Fourier $\hat{u}$ de $u$ vérifie:

$$ \mathrm{supp} \, \hat{u} \subset \{2^{\phi(j)} \le |\xi| \le 2^{\phi(j+1)}\} := C_j^{\phi}. $$

**D3** $\exists g : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ strictement croissante telle que :

$$ g(j) \to \infty \quad \text{si} \quad j \to \infty, \quad \varlimsup_{j \to \infty} \frac{\log(g(j))}{j} < \infty. $$

De plus $\forall \lambda \in \frac{1}{g(j)}Z^d$, $\exists \psi_\lambda \in H_{j,Z} \cap C^\infty(\mathbb{R}^d)$ avec :

$$ - \mathrm{supp} \, \psi_\lambda \subset q_\lambda, $$

$$ - \{\psi_\lambda; \lambda \in \frac{1}{g(j)}Z^d\} \text{ forme une b.o.n de } H_{j,Z}. $$
**D4** $\exists\alpha \ 0 < \alpha < 1$ telle que la fonction $C_Z$

$$ (3.10) \qquad \overline{\lim}_{y \to x} \mathbb{E} \left( \frac{Z(x) - Z(y)}{|x - y|^{\alpha}} \right)^2 = C_Z^2(x), $$

est bien définie. De plus si $B(y,r)$ est une boule

$$ C_{n+}^2(y,r) = \max_{z \in B(y,r)} \sum_{\lambda \in \frac{1}{g(n)}Z^d} \left[ \psi_{\lambda} \left( x + \frac{1}{g(n)} \right) - \psi_{\lambda}(x) \right]^2 2^{2\alpha\phi(n+1)}, $$

$$ C_{n-}^2(y,r) = \min_{z \in B(y,r)} \sum_{\lambda \in \frac{1}{g(n)}Z^d} \left[ \psi_{\lambda} \left( x + \frac{1}{g(n)} \right) - \psi_{\lambda}(x) \right]^2 2^{2\alpha\phi(n+1)}, $$

alors $\forall y \in \mathbb{R}^d$

$$ \overline{\lim}_{n \to \infty} \inf_{r > 0} C_{n+}(y,r) = \overline{\lim}_{n \to \infty} \inf_{r > 0} C_{n-}(y,r) := \tilde{C}(y), $$

de plus $\tilde{C}(y) = C_Z(y)$ pp $\forall y \in \mathbb{R}^d$;

nous appellerons les points où cette égalité à lieu, "points de Lebesgue" de $C_Z$.

Voici le résultat principal de ce paragraphe.

### Théorème 3.1

Soit $(Z(x); x \in \mathbb{R}^d)$ un processus gaussien centré. Supposons qu'il existe des fonctions $g$ et $\phi$ tels que l'espace autoreproduisant $H_Z$ de $Z$ vérifie les hypothèses **D1** à **D4**. Alors si $E$ est une boule:

- **Loi du module uniforme**

$$ (3.11) \qquad \overline{\lim}_{|x-y| \to 0; x,y \in E} \frac{|Z(x) - Z(y)|}{|x-y|^\alpha \sqrt{2\log \left[ g \left[ \phi^{-1} \left( \log \frac{1}{|x-y|} \right) \right] \right]}} = \bar{C}_Z(E) \sqrt{d} \quad \mathbb{P}\text{p.s.} $$

avec

$$ \bar{C}_Z(E) = \operatorname{ess.\sup}\{C_Z(x); x \in E\}. $$

- **Loi du module local**

Si $y$ est un "point de Lebesgue" de la fonction $C_Z$, alors

$$ (3.12) \qquad \overline{\lim}_{x \to y} \frac{|Z(x) - Z(y)|}{|x - y|^\alpha \sqrt{2\log \left[ \phi^{-1} \left( \log \frac{1}{|x-y|} \right) \right]}} = \bar{C}_Z(y) \quad \mathbb{P}\text{p.s.} $$

**Remarque 3.2.** Si $g(j) = 2^j$ et $\phi(j) = j$, quand $C_Z$ est une fonction de Hölder, le modèle hiérarchique est celui des processus gaussiens uniformément elliptiques traité dans [*BJR*].
## 3.2. Démonstration du théorème 2.1

Soit $(Z(x); x \in \mathbb{R}^d)$ un processus gaussien hiérarchique. Soit alors $(\psi_\lambda, \lambda \in g(j)^{-1}Z^d, j \ge -1)$ la famille des fonctions fournie par **D4** telle que:

$$ (3.13) \qquad Z(x) = \sum_{j \ge -1} \psi_{\lambda}(x) \xi_{\lambda}. $$

Commençons par établir la loi du module uniforme

### 3.2.1. Loi du module uniforme

Soient $x$ et $y \in \mathbb{R}^d$ tels que

$$ (3.14) \qquad 2^{-\phi(j+1)} \le |x-y| \le 2^{-\phi(j)} \quad j > 0. $$

Notons que (3.14) est équivalente à

$$ (3.15) \qquad j \le \phi^{-1} \left( \log \frac{1}{|x-y|} \right) \le j + 1, $$

si $\phi^{-1}$ désigne la fonction réciproque de $\phi$.

Posons

$$ (3.16) \qquad Z_j(x) = \sum_{\lambda_k} \psi_{\lambda_k}(x) \xi_{\lambda_k} 1_{(\lambda_k \in \frac{1}{g(j)} Z^d)} $$

Soit $E = (0,1)^d$ et soit

$$ \Delta_{j,\phi} = \{(x,y) \in E^2 \mid 2^{-\phi(j+1)} \le |x-y| \le 2^{-\phi(j)}\}. $$

### Lemme 3.2

$$ (3.17) \quad \overline{\lim}_{j \to \infty} \max_{x,y \in \Delta_{j,\phi}} \frac{|Z_j(x) - Z_j(y)|}{|x-y|^\alpha \sqrt{2 \log \left[ g \left[ \phi^{-1} \left( \log \frac{1}{|x-y|} \right) \right] \right]}} = \bar{C}_Z(E) \sqrt{d} \mathbb{P}_{\text{p.s.}} $$

**Preuve**

Notons que $(x, y) \in \Delta_{j,\phi}$ implique (3.15). Mais alors:

a) Nous avons $[g(j+1)]^d$ cellules dyadiques de génération $j$

b) si $(x, y)$ et $(x', y') \in \Delta_{j, \phi}$ et sont dans des cellules dyadiques de génération $j$ distinctes alors :

$$ (Z_j(x) - Z_j(y)) \text{ et } (Z_j(x') - Z_j(y')) $$

sont indépendants,
c) dans ce cas

$$ \left( \frac{Z_j(\lambda + h) - Z_j(\lambda)}{|h|^\alpha} \right) , \quad h \text{ vérifiant } (3.15), $$

forme une famille indépendante de $N(0, \sigma(\lambda, h))$ dont les variances, d'après **D4**, satisfont

$$ \overline{\lim}_{j \to \infty} \max_{\lambda \in E} \left[ \max_h \sigma(\lambda, h) \right] = \overline{\lim}_{j \to \infty} \max_{\lambda \in E} \left[ \min_h \sigma(\lambda, h) \right] = \overline{C}_Z. $$

d) d'après le point (C) et (3.18) il vient

$$ \overline{\lim}_{j \to \infty} \max_{\lambda \in E \cap \Lambda_j} \frac{|Z_j(\lambda + h) - Z_j(\lambda)|}{|h|^\alpha \sqrt{2 \log(g(j))}} = \sqrt{d} \overline{C}_Z \quad \text{IPp.s.} . $$

car d'après le point a) il y a $(g(j)^d)$ variables indépendantes au niveau $j$ □

Maintenant posons $\tilde{Z}_j(x) = Z(x) - Z_j(x)$

**Lemme 3.3**

$$ \overline{\lim}_{j \to \infty} \max_{x,y \in \Delta_j, \phi} \frac{|\tilde{Z}_j(x) - \tilde{Z}_j(y)|}{|x-y|^\alpha \sqrt{2\log\left[g\left[\phi^{-1}\left[\log\left(\frac{1}{|x-y|}\right)\right]\right]\right]}} = 0 \quad \text{IPp.s.} $$

*Preuve*

Définissons $\eta^j(\lambda)$ par

$$ \eta^j = \left( \frac{\tilde{Z}_j(\lambda + h) - \tilde{Z}_j(\lambda)}{\cdot |h|^\alpha} \right) \quad \lambda \in \Lambda_j, $$

$h$ vérifiant (3.15). Soit $(\tilde{\eta}^j(\lambda); \lambda \in \Lambda_j)$ une famille de gaussiennes indépendantes telle que

$$ \tilde{\eta}^j(\lambda) \stackrel{(d)}{=} \eta^j(\lambda) \quad \forall \lambda \in \Lambda_j. $$

Grâce au lemme de Slépian nous avons:

$$ \overline{\lim}_{j \to \infty} \max_{\lambda \in E \cap \Lambda_j} \frac{|\eta^j(x)|}{\sqrt{\log(g(j))}} \le \overline{\lim}_{j \to \infty} \max_{\lambda \in E \cap \Lambda_j} \frac{|\tilde{\eta}^j(x)|}{\sqrt{\log(g(j))}} = C \quad \text{IPp.s.} $$

mais l'hypothèse **D4** implique que $C = 0$ □
Les lemmes 3.2. et 3.3 permettent alors aisément de terminer la démonstration de la
loi du module uniforme du théorème 3.1.

3.2.2 Loi du module local de continuité

Nous allons reprendre le schéma de démonstration précédent;

lemme 3.4

Soit $y \in \mathbb{R}^d$ un "point de Lebesgue" de la fonction $C_Z(y)$, nous avons:

$$
\overline{\lim}_{j \to \infty} \max_{x,y \in \Delta_{j,\phi}} \frac{|Z_j(x) - Z_j(y)|}{|x-y|^{\alpha} \sqrt{2\log(j)}} = C_Z(y) \quad \mathbb{P} \text{p.s.} .
$$

Preuve

Nous savons par **D1** que les variables aléatoires

$$
\left( \frac{Z_j(y + 2^{-\phi(j)}) - Z_j(y)}{2^{-\alpha\phi(j)}} ; \ j \ge 0 \right)
$$

sont indépendantes.

Notons les $\eta^j(y)$ et leur variance $\sigma^j(y)$. Si $y$ est "point de Lebesgue" de la fonction $C_Z$, l'hypothèse **D4** implique que:

$$
\overline{\lim}_{j \to \infty} \sigma^j(y) = C_Z(y).
$$

Nous avons alors

$$
\overline{\lim}_{j \to \infty} \frac{|\eta^j(y)|}{\sqrt{2\log(j)}} = C_Z(y) \quad \mathbb{P} \text{p.s.},
$$

car le nombre de v.a.r. indépendantes est $j$ au niveau $j$.

lemme 3.5

$$
\forall y \in \mathbb{R}^d, \quad \overline{\lim}_{j \to \infty} \max_{(x,y) \in \Delta_{j,\phi}} \frac{|\tilde{Z}_j(x) - \tilde{Z}_j(y)|}{|x-y|^\alpha \sqrt{\log(j)}} = 0 \quad \mathbb{P} \text{p.s.}.
$$

Preuve

Elle est identique dans son principe à celle du lemme 3.4 □

Si *y* est un "point de Lebesgue" de la fonction *C*<sub>*Z*</sub>, la démonstration de la loi du module local de continuité découle immédiatement des lemmes 3.4 et 3.5.

Nous pouvons maintenant envisager d'aborder l'objet principal de ce travail à savoir
la démonstration des théorèmes 1 et 2.

IV Analyse des Processus Gaussiens Elliptiques de symboles à coefficients mesurables

Soit $(X(x); x \in \mathbb{R}^d)$ le P.G.E. de symbole $l(x, \xi) = a(x)|\xi|^{\frac{d}{2}+\alpha}+\tilde{l}(x, \xi)$ Nous supposons que $l(x, \xi)$ satisfait les hypothèses **L1**, **L2**, **L3** ci-dessus. Soit $H_A$ l'E.N.R. de X déjà défini.
La démonstration du théorème 1 consistera à construire un modèle hiérarchique approché de $X$ puisqu’alors le théorème 3.1 nous permettra de conclure. Pour cela nous allons analyser avec soin l’espace de noyaux $H_A$.

## 4.1 Etude de l'espace de Noyaux reproduisants.

Nous allons construire une base d' "Ondelettes" de $H_A$ analogue de la base des $(g_\lambda; \lambda \in \Lambda)$ de l'espace $H(\alpha)$ donnée en (3.1).

Rappelons que $0 < a_1 \le a(x) \le a_2 < \infty \text{ p.p. } x \in \mathbb{R}^d$. Il est alors facile de prouver le lemme suivant.

### lemme 4.1.

Il existe un difféomorphisme $H$ de $\mathbb{R}^d$ vérifiant

$$ (i) \quad a_1^{\frac{d}{2}} |x| \le |H(x)| \le a_1^{\frac{d}{2}} |x| \quad \forall x \in \mathbb{R}^d $$

(ii) si $J_H(x)$ est le jacobien de $H$:

$$ J_H(x) = a^2(x) \quad \text{p.p.} \forall x \in \mathbb{R}^d \quad \square $$

Soit alors $H$ un tel difféomorphisme. définissons la famille $(G_\lambda; \lambda \in \Lambda)$ par :

$$ \text{si } \tilde{\psi}_\lambda(x) = (\psi_\lambda \circ H)(x) ; \lambda \in \Lambda \text{ alors} $$

$$ (4.1) \qquad G_{\lambda}(x) = \int_{\mathbb{R}^d} \frac{e^{ix \cdot \xi} - 1}{|\xi|^{\frac{d}{2}+\alpha}} \tilde{\psi}_{\lambda}(\xi) d\xi, \quad \forall \lambda \in \Lambda. $$

### Lemme 4.2.

(i) Si $l(x, \xi) = a(x)|\xi|^{\frac{d}{2}+\alpha}$ la famille $(G_\lambda; \lambda \in \Lambda)$ est une base orthonormée de l'espace $H_A$

(ii) si $\tilde{l} \neq 0$, la famille $(G_\lambda; \lambda \in \Lambda)$ est une base de Riesz de l'espace $H_A$.
Preuve

(i) si $\tilde{l} \equiv 0$ par changement de variable ($y = H(x)$), nous avons

$$ \int_{\mathbb{R}^d} \psi_\lambda(y) \psi_\mu(y) dy = \int_{\mathbb{R}^d} a^2(x) \psi_\lambda(H(x)) \psi_\mu(H(x)) dx = \langle G_\lambda, G_\lambda \rangle_{H_A} = \delta_{\lambda,\mu} \quad \forall \lambda, \mu \in \Lambda $$

(ii) si $\tilde{l} \neq 0$ il vient:

$$ \begin{align*} (LG_\lambda, LG_\lambda)_{L^2} &= \int a^2(x) \tilde{\psi}_\lambda(x) \tilde{\psi}_\mu(x) + \int a(x) \tilde{\psi}_\lambda(x) \tilde{L}(G_\mu) + \\ & \qquad \int a(x) \tilde{\psi}_\mu(x) \tilde{L}(G_\lambda) + \int \tilde{L}(G_\lambda) \tilde{L}(G_\mu) \\ &= \delta_{\lambda,\mu} + R_{\lambda,\mu} \end{align*} $$

Comme nous avons posé

$$ \tilde{L}(G_{\lambda}) = \int \frac{e^{ix \cdot \xi} - 1}{\tilde{l}(x, \xi)} \tilde{\psi}_{\lambda}(\xi) d\xi, $$
la matrice R appartenant à l'algèbre $\mathcal{M}(\gamma, \frac{d}{2} + \beta)$ grâce à l'hypothèse **L2** (cf [BJR]), mais alors le fait que $(G_{\lambda}; \lambda \in \Lambda)$ soit une base de Riesz devient évident. $\square$

Etudions maintenant la variance de $X$.

**lemme 4.3.** : Si $y$ est un point de lebesgue de la fonction $1/a^2$, il vient

$$ \overline{\lim}_{x \to y} \mathbb{E} \left[ \left( \frac{X(x) - X(y)}{|x - y|^{\alpha}} \right)^2 \right] = \frac{1}{a^2(y)}. \quad (4.2) $$

*Preuve*

Grâce au lemme 4.2. point (ii), nous pouvons supposer que $\tilde{l} \equiv 0$, car ce terme n'intervient pas dans la limite de (4.2.). Dans ce cas, grâce au lemme (4.2.2) point (i) nous avons après avoir utilisé le théorème de Mercer pour écrire $X$ sur la base des $(G_{\lambda})$

$$ (4.3) \qquad \mathbb{E} \left( \frac{|X(x) - X(y)|}{|x - y|^{\alpha}} \right)^2 = \sum_{\lambda \in \Lambda} \left( \frac{G_{\lambda}(x) - G_{\lambda}(y)}{|x - y|^{\alpha}} \right)^2 . $$

Si $C_{\alpha}$ est donné par (3.2), comme

$$ \xi \mapsto \frac{(e^{ix\xi} - e^{iy\xi})}{|\xi|^{\frac{d}{2}+\alpha}} $$

a pour transformée de Fourier inverse (au sens des distributions)

$$ \frac{1}{C_{\alpha}} \left[ \frac{1}{|x-z|^{\frac{d}{2}-\alpha}} - \frac{1}{|y-z|^{\frac{d}{2}-\alpha}} \right], $$

L'expression (4.1) peut s'écrire

$$ \frac{1}{C_{\alpha}^2 |x - y|^{2\alpha}} \int_{\mathbb{R}^d} \frac{1}{a^2(z)} \left[ \frac{1}{|x - z|^{\frac{d}{2} - \alpha}} - \frac{1}{|y - z|^{\frac{d}{2} - \alpha}} \right]^2 dz $$

puisque $(a(x)\tilde{\psi}(x))_{\lambda;\lambda \in \Lambda}$ est une b.o.n. de $L^2(\mathbb{R}^d)$.

Puis en effectuant les changements de variables successifs $\eta' = (z - y)$, $\eta'' = |x - y|z$, il vient

$$ \mathbb{E} \left( \frac{|X(x) - X(y)|}{|x - y|^{\alpha}} \right)^2 = \frac{1}{C_{\alpha}^2} \int_{\mathbb{R}^d} \frac{1}{a^2(y+z)} \left[ \frac{1}{|\bar{x} - \bar{z}|^{\frac{d}{2} - \alpha}} - \frac{1}{|\bar{z}|^{\frac{d}{2} - \alpha}} \right]^2 \frac{dz}{h^{2\alpha+d}} $$

avec $\bar{x} = \frac{x-y}{h}$, $h = |x-y|$. En faisant tendre $h$ vers zéro nous obtenons le résultat annoncé $\square$
Reprenons maintenant les notations du lemme 3.1. Définissons alors $G_{j,k}^\epsilon$ comme en (3.5).

Posons

$$Y^\epsilon(x) = \sum_{\lambda \in \Lambda} G_{j,k}^\epsilon(x) \xi_{jk}$$

avec $(\xi_{jk}; j \ge -1, k \in \mathbb{Z}^d)$ une famille i.i.d de gaussiennes $\mathcal{N}(0, 1)$

**Proposition 4.4.**

le processus $Y^\epsilon$ défini en (4.4.) est un processus hiérarchique approché de $X$ pour lequel $\phi(u) = u, g(v) = 2^v, u \text{ et } v \ge 0$

*Preuve*

C'est une conséquence directe des lemmes 4.2, 4.3 et 3.1. $\square$

La démonstration du théorème 4.1. découle directement de la proposition 4.4. et en remarquant que les "points de Lebesgue" de la fonction $C_X$ sont les points de Lebesgue de la fonction $\frac{1}{a^2}$.

## V Cas où le symbole présente des singularités.

**5.1** Soit $(X(x), x \in \mathbb{R}^d)$ un processus gaussien uniformément elliptique dont le symbole qui lui est associé $l(x, \xi) = a(x)|\xi|^{\frac{1}{2}+\alpha}$, $0 < \alpha < 1$ vérifie les conditions **LC1**, **LC2** et **LC3**. Soit $H_A$ l'E.N.R de $X$ défini au paragraphe 2.

Rappelons que $a(x) \simeq q|x|^\beta$, $\beta \in \mathbb{R} - \{0\}$, au voisinage de zéro. Il est facile de prouver le résultat suivant.

**Lemme 5.1**

Il existe un difféomorphisme $H$ de $\mathbb{R}^d - \{0\}$ dans $\mathbb{R}^d - \{0\}$ tel que
$$ \exists \ C_1, C_2, \quad 0 < C_1 \le C_2 < \infty \text{ telles que} $$

(i) $C_1 2^{j^2\beta/d} |x| \le |H(x)| \le C_2 2^{j^2\beta/d} |x|$ si $2^{-j-1} \le |x| \le 2^j$

(ii) $JH(x) = a^2(x)$. $\square$

Comme dans le paragraphe 4, posons

$$ (5.1) \qquad \theta_{\lambda} = \psi_{\lambda} \circ H \quad \lambda \in \Lambda, $$

puis $C_\alpha$ étant donnée par (3.2)

$$ (5.2) \qquad G_{\lambda}(x) = \frac{1}{C_{\alpha}} \int \frac{e^{ix \cdot \xi} - 1}{|\xi|^{\frac{4}{2} + \beta}} \bar{\theta}_{\lambda}(\xi) d\xi $$

**Lemme 5.2.**

La famille $(G_\lambda; \lambda \in \Lambda)$ de (5.2.) est un b.o.n. de $H_A$.

*Preuve*
Identique à celle du point (i) du lemme (4.2.). □

Maintenant nous devons étudier la variance des accroissements de $X$.
**Lemme 5.3**

$$
(5.3.) \quad \lim_{n \to \infty} 2^{-2\beta n} \max_{2^{-n} \le z \le 2^{-n+1}} \mathbb{E} \left[ \frac{|X(x) - X(y)|}{|x-y|^{\alpha}} \right]^2 = \frac{1}{q^2}
$$

Preuve

Par la preuve du lemme 4.3., comme $a$ est continue, nous savons déjà que :

$$
\max_{2^{-n} \le z \le 2^{-n+1}} \mathbb{E} \left[ \frac{|X(x) - X(y)|}{|x - y|^{\alpha}} \right]^2 \approx \frac{1}{a^2(y)} \quad \text{si } y \in [2^{-n}, 2^{-n+1}]
$$

D'après l'hypothèse **LC3** $a(y)^2 \sim q^2 2^{-2\beta n}$ si $y \in [2^{-n}, 2^{-n+1}]$, il en découle (5.3). □

Définissons encore $G_{j,k}^\epsilon$ comme en 3.5. posons alors,

$$
(5.4) \quad Y^{\epsilon}(x) = \sum_{\lambda \in \Lambda} G_{j,k}^{\epsilon}(x) \xi_{j,k} \quad \text{avec} \quad (\xi_{j,k}) \text{ iid } \mathcal{N}(0,1)
$$

**Proposition 5.5.**

Supposons $\beta \neq \alpha$. Alors nous avons l'égalité (2.4.) du Théorème 2.

Preuve

Elle découle immédiatement de la proposition 5.4. et du théorème 3.1. □

**Proposition 5.6.**

Supposons $\alpha = \beta$. Alors nous avons l'égalité (2.7.) du théorème 2.

Preuve

Ici il faut adapter le modèle hiérarchique. Nous allons pour cela établir quelques faits.

Fait 1

$$
\lim_{x \to 0} \frac{\mathbb{E}(X(x)^2)}{\log(1/x)} = \frac{1}{q^2}
$$

L'argument utilisé lors de la démonstration du lemme 4.3,s'adapte et donne

$$
\begin{align*}
\bar{\mathbb{E}}|X(x)|^2 &= \sum_{\lambda} \left( \int \frac{e^{ix \cdot \xi} - 1}{|\xi|^{\frac{d}{2}+\beta} \bar{\theta}_{\lambda}} \right)^2 = \sum_{\lambda} \left[ \frac{1}{C_{\alpha}} \int \left( \frac{1}{|x-y|^{\frac{d}{2}-\alpha}} - \frac{1}{|\eta|^{\frac{d}{2}-\alpha}} \right) \theta_{\lambda} \right]^2 \\
&\approx \int_{\mathbb{R}^d} \frac{1}{q^2 |\eta|^{2\beta}} \left[ \frac{1}{|x-\eta|^{\frac{d}{2}-\alpha}} - \frac{1}{|\eta|^{\frac{d}{2}-\alpha}} \right]^2 d\eta \quad \text{si } |x| \approx 2^{-n} \\
&\approx \frac{1}{q^2} |\log(x)|
\end{align*}
$$
au voisinage de zéro quand $\alpha = \beta$.

Introduisons maintenant le modèle hiérarchique approché en zéro soit

Fait 2 Si

$$ \Lambda_{0,n}^{\epsilon} = \{ \lambda \in \Lambda ; \ d(0, \lambda) \le 2^{-|\lambda|} K_{\epsilon} , \ |\lambda| \le n \} $$

où $K_\epsilon$ est défini au lemme 3.1. point (ii), considérons le processus

$$ Y_{0,n}^{\epsilon} = \sum_{\lambda \in \Lambda_{0,n}^{\epsilon}} G_{\lambda}^{\epsilon} \xi_{\lambda} $$

où $G_\lambda^\epsilon$ est défini comme en (3.5). Nous avons alors

$$ \frac{\mathbb{E} (Y_{0,n}^{\epsilon}(x))^2}{|\log(x)|} \geq \frac{C_1^2}{q^2} - \delta, \quad \text{si } |x| \approx 2^{-n} $$

où, $\delta \downarrow 0$ quand $\epsilon \downarrow 0$.

Ce fait est une conséquence des propriétés de localisation des ondelettes (cf Th1 de [BJR])

maintenant les faits 1 et 2 conduisent à

$$ Y_{0,n}^{\epsilon} \approx \sum_{i}^{n} \xi_k, \quad \xi_k \text{ i.i.d si } |x| \approx 2^{-n}. $$

Le théorème de Levy-Kinchine permet de conclure. □

Bibliographie

[BJR]. Bénassi Albert, Jaffard Stéphane, Roux Daniel: Elliptic Gaussian Random Process. Rapport de Recherches N°95 – 15 Laboratoire de mathématiques Appliquées, URA CNRS 1501 et Université Blaise Pascal Clermont-Ferrand.

[B]. Bénassi Albert: Locally Self Similar Gaussian Processes in Wavelets and statistics, Anestis Antoniadis and Georges Oppenheim (editors). Lectures Notes in Statistics N°103; Springer Verlag pp. 43-54 (1995).

[Bo]. Bourdaud G.: Réalisation des espaces de Besov homogènes. Arkiv för Math. V.26 pp. 41-54 (1988).

[Fe]. Fernique Xavier: Evaluation de fonctions aléatoires Gaussiennes à valeurs vectorielles. Dans ce volume.

[Ma] Marcus M.M. : Gaussian Lacunary Series and the Modulus of Continuity for Gaussian Processes. Z.f.W. 22 pp. 301-322 (1972).

[Me]. Meyer Y.: Ondelettes et opérateurs tome I, Hermann (1990).

[R]. Roux Daniel: Analyse Multi-échelle d'un Processus gaussien Markovien au voisinage d'une Singularité; C.R.A.S. Paris T.375, série I, pp. 1095-1098, (1992)