# Analyse probabiliste du désaccordement d'une roue de turbine

Louis Ratier, Simon Cambier, Loïc Berthe

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Louis Ratier, Simon Cambier, Loïc Berthe. Analyse probabiliste du désaccordement d'une roue de turbine. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01813019

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# Analyse probabiliste du désaccordement d'une roue de turbine

Louis Ratier* — Simon Cambier* — Loïc Berthe**

* EDF R&D/AMV

1 av du Général de Gaulle, 92141 Clamart Cedex

louis.ratier@edf.fr, simon.cambier@edf.fr

** Stagiaire de l'Ecole Centrale Paris

**RÉSUMÉ.** Sur une roue de turbine, la présence de petits défauts peut entraîner des amplifications vibratoires très importantes localisées sur quelques ailettes. La modélisation d'un aubage désaccordé nécessite la connaissance des écarts qui perturbent la symétrie du système. Or, ces écarts sont aléatoires et la quantification des effets du désaccordement nécessite d'associer au modèle mécanique de l'aubage un modèle probabiliste de son désaccordement. En s'appuyant sur un modèle de désaccordement (modèle probabiliste non paramétrique) et méthode de réduction déjà développés, une méthodologie pour l'analyse probabiliste du désaccordement d'un aubage non liaisonné est mise en oeuvre. Le modèle mécano-probabiliste élaboré est recalé à partir de données mesurées sur des aubages réels en fonctionnement, via la méthode du maximum de vraisemblance et la méthode de simulation de Monte-Carlo.

**ABSTRACT.** On a bladed disk, the presence of small defects can involve very important vibratory amplifications localised on some blades. The modeling of a mistuned bladed disk requires the knowledge of the variations which disturb the symmetry of the system. However, these variations are random and the quantification of the effects of the mistuning requires to associate the mechanical model to a probabilistic model. Based on a nonparametric probabilistic model and on a method of reduction already developed, a methodology for the probabilistic analysis of mistuning of a enshrouded bladed disk is implemented. The mechanical and probabilistic model is adjusted using measured on real bladed disks under operation, via the method of the maximum likelihood and the method of Monte-Carlo.

**MOTS-CLÉS :** Aubages, désaccordement, vibrations, méthode probabiliste non paramétrique, Identification à partir de mesures, Maximum de vraisemblance.

**KEYWORDS:** Bladed disk, mistuning, vibrations, probabilistic nonparametric method, Identification, Maximum likelihood
# 1. Introduction

Un aubage est en générale considéré comme une structure à symétrie cyclique. Cependant, des résultats expérimentaux montrent qu'il peut exister de grandes variations d'amplitudes de vibration entre les ailettes d'un aubage. En effet, dans la réalité les ailettes d'un aubage ne sont pas parfaitement identiques, il existe toujours certains écarts entre leurs caractéristiques (géométrie, conditions aux limites, érosion, corrosion). Ces écarts induisent des localisations des vibrations appelées désaccordement. Sachant que ces écarts sont intrinsèquement aléatoires seule une modélisation probabiliste des aubages de turbine est en mesure de prédire les possibles amplifications des amplitudes vibratoires.

L'objectif de l'étude est de mettre au point une démarche permettant de quantifier les amplifications du niveau des vibrations induites par le désaccordement et leurs probabilités. La méthode d'analyse probabiliste adoptée s'appuie sur un modèle moyen d'aubage accordé et une stratégie permettant d'introduire le désaccordement dans le système moyen. Le modèle moyen d'aubage accordé est obtenu par réduction modale. Cette méthode de réduction définie dans [RAT04] utilise la sous-structuration dynamique. La modélisation probabiliste repose sur l'approche récemment développée par Christian Soize [SOIZ00]. Enfin, le modèle mécanoprobabiliste élaboré est recalé à partir de données mesurées sur des aubages réels en fonctionnement.

# 2. Modélisation mécanique d'un aubage et méthode de réduction

## 2.1 Modèle de secteur

Le modèle étudié est un modèle éléments finis de roue de turbine constitué de 77 ailettes. Le maillage utilisé est le maillage mixte (quadratique sur le voile et le raccord de l'ailette et linéaire sur le reste).

## 2.2 Méthode de réduction

Le désaccordement des aubes créant une rupture de la symétrie cyclique qui ne permet plus d'utiliser les hypothèses de symétrie cyclique classique, la principale difficulté pour pouvoir effectuer de nombreux calculs de réponse sur un aubage désaccordé réside dans l'élaboration d'un modèle de taille réduite par sous-structuration dynamique.
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1. Maillage d'un secteur de roue (disque + ailette), 11437 nœuds</figcaption></figure>

Pour construire le modèle réduit, l'aubage est décomposé par sous structuration dynamique en secteurs de disque et ailettes [RATI04] :

- Le disque est projeté sur les modes encastrés cycliques du disque : $\tilde{\phi}_P^R$ ;

- L'interface est modélisée par des modes cycliques d'interface définis par condensation des sous structures sur l'interface en coordonné cyclique et grâce au complément Schur : $\tilde{\phi}_\Gamma^R$ ;

- Chaque ailette est projetée sur les modes encastrés classiques de l'airette : $\bar{\phi}_L^R$.

Les matrices réduites de masse et de raideur sont alors de la forme :

$$m^R = \begin{pmatrix} \tilde{m}_{PP}^D & \tilde{m}_{PT}^D & 0 \\ \tilde{m}_{GP}^D & \tilde{m}_{GT}^D + \hat{F}_\gamma^T \bar{m}_{GT}^A \hat{F}_\gamma & \hat{F}_\gamma^T \bar{m}_{GL}^A \\ 0 & \bar{m}_{LG}^A \hat{F}_\gamma & \bar{m}_{LL}^A \end{pmatrix} \quad k^R = \begin{pmatrix} \tilde{k}_{PP}^D & \tilde{k}_{PT}^D & 0 \\ \tilde{k}_{GP}^D & \tilde{k}_{GT}^D + \hat{F}_\gamma^T \bar{k}_{GT}^A \hat{F}_\gamma & \hat{F}_\gamma^T \bar{k}_{GL}^A \\ 0 & \bar{k}_{LG}^A \hat{F}_\gamma & \bar{k}_{LL}^A \end{pmatrix}$$

où $\hat{F}_\gamma$ correspond à la matrice de Fourier permettant de passer des coordonnées physiques aux coordonnées cycliques.

L'utilisation d'une représentation cyclique pour le disque permet de réduire le nombre de ddl nécessaires pour reproduire correctement le comportement du disque. L'utilisation de modes d'interface au niveau des interfaces ailette-disque cycliques afin d'assembler les ailettes et le disque permet lui aussi de réduire la taille du système.

Le modèle réduit ainsi constitué est de taille suffisamment faible pour pouvoir tester différentes configurations de désaccordement et faire des calculs de réponses.
## 2.3 Modélisation de l'excitation

La modélisation de l'excitation des aubages demeure un problème complexe car cette excitation dépend du champ de pression régnant dans la turbine qui est a priori inconnu. Pour modéliser cette excitation, on construit alors un pseudo bruit rose en considérant un peigne d'excitation harmonique dont la largeur de bande englobe les modes de la première famille de l'aubage accordé. Le pas de discrétisation fréquentiel est choisi de telle manière que les spectres de réponse soient suffisamment fins.

Une étude des propriétés cycliques de l'excitation permet de modéliser l'excitation de l'aubage par une force E de type excitation tournante à diamètres nodaux. Les forces s'exerçant sur deux ailettes voisines sont alors égales à un déphasage $\frac{2\pi C}{N}$ près, où C désigne le nombre de diamètres nodaux :

$$f_k = f_0 * e^{\frac{i \cdot 2\pi C}{N} (k-1)}, \quad f_k \text{ force exercée sur l'ailette } k.$$

## 2.4 Spectre des amplifications

La réponse fréquentielle est ensuite calculée par synthèse modale en utilisant un amortissement modal $\zeta$ de 0,08 %, valeur qui a été déterminée expérimentalement. Les nm premiers modes de l'aubage sont calculés puis utilisés pour calculer la réponse fréquentielle :

$$U(\omega) = \sum_{k=1}^{nm} \frac{V_k * V_k^T * E}{\omega_k^2 - \omega^2 + 2i\zeta\omega\omega_k}$$

où $\omega_k$ et $V_k$ sont les pulsations et modes propres retenues.

Pour calculer le facteur d'amplification en déplacement, il est nécessaire de se ramener au déplacement physique d'un ddl pour chaque aube. Cela présente deux inconvénients : d'une part un seul ddl est utilisé pour calculer le facteur d'amplification, ce qui implique que certaines vibrations peuvent alors passer inaperçues ; et une restitution en base physique est nécessaire, cette opération est onéreuse en temps de calcul.

Le facteur d'amplification en énergie est plus complet car il utilise l'information contenue dans l'aube dans son intégralité. Néanmoins, il s'avère difficile à calculer :

$$E^k = U^{kT} K^k U^k \quad \text{avec} \quad \begin{cases} U^k : \text{ddl généralisés restreints à l'aube } k \\ K^k : \text{matrice de raideur restreinte à l'aube } k \end{cases}$$
Les ddl des modes d'interfaces entre les ailettes et le disque étant stockés en coordonnées cycliques, on ne peut calculer aisément la restriction de la matrice de raideur à une aube particulière. Une estimation de l'énergie élastique de l'ailette peut néanmoins être faite en ne considérant que l'énergie correspondant aux modes encastrés classiques des ailettes.

En pratique, on observe moins de 2% de différence entre les deux facteurs. C'est cette pseudo énergie que nous considérerons dans la suite.

Voici les spectres en pseudo énergie des ailettes et les facteurs d'amplifications associés en utilisant le modèle de désaccordement de référence correspondant à une turbine réelle sous une excitation à zéro diamètre nodal.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 2 :** Spectre en pseudo énergie des ailettes</figcaption></figure>

Le phénomène de localisation de l'énergie vibratoire est clairement visible : les ailettes numéro 1, 6 et 14 vibrent plus intensément que les autres. Ces dernières vibrent alors beaucoup moins que dans le cas accordé pris comme référence.
### 3. Modèle probabiliste du désaccordement

Pour introduire un modèle probabiliste du désaccordement dans les modèles mécaniques deux méthodes sont possibles. La première, appelée méthode paramétrique, est la méthode traditionnelle qui est basée sur la "probabilisation" de quelques paramètres importants du modèle mécanique. La seconde a été développée récemment par Christian Soize [SOI00] et s'appuie sur la mise au point d'un modèle probabiliste des matrices généralisées à partir de leur propriété de symétrie et de définie-positivité.

#### 3.1 Approche paramétrique

Lorsqu'on cherche à modéliser le désaccordement sur un aubage, on peut introduire les défauts sur les ailettes uniquement sur les secteurs de disque. En effet, les liaisons entre les secteurs de disque étant très rigides, les effets du désaccordement sur le disque seul sont beaucoup moins importants que ses effets sur les ailettes.

Dans la modélisation paramétrique classique, la variation de module d'Young entre les ailettes est supposée être la seule source d'incertitude. Les modules d'Young des différentes ailettes sont supposés statistiquement indépendants. Le désaccordement est donc modélisé par une modification des raideurs des ailettes uniquement :

$$k_k = (1 + u_k^2)k \quad \text{où } u_k \text{ suit une loi uniforme.}$$

Cette loi est paramétrée par le coefficient de dispersion $\delta$ couramment appelé taux de désaccordement en entrée :

$$\delta = 100 * \frac{s_u}{m_u} \quad \text{où} \quad \begin{cases} s_u : \text{écart type de u} \\ m_u : \text{moyenne de u} \end{cases}$$

#### 3.2 Approche non paramétrique

Pour introduire un modèle probabiliste du désaccordement dans le modèle mécanique, on peut également utiliser un modèle probabiliste des matrices généralisées à partir de leur propriété de symétrie et de définie-positivité [SOI00].

Dans le cas de roues aubagées, les matrices qui ont été considérées comme aléatoires sont les matrices généralisées correspondant aux ailettes encastrées (bloc qui constitue $k_{LL}^A$). Ainsi les défauts introduits ne conduisent pas à des couplages inter-ilettes ou entre le disque et une ailette. Cette hypothèse a été justifiée par les travaux d'Evangéline Capiez [CAP04] qui montre que les résultats obtenus en ne
perturbant directement que la partie correspondante aux ddl internes des ailettes sont peu différents de ceux obtenus en perturbant les ailettes et l'interface ailettes-disque.

La dispersion introduite autour du modèle moyen est pilotée par un unique paramètre $\delta$ qui correspond à la dispersion des matrices généralisées de chaque sous-structure.

La dispersion introduite autour du modèle moyen dépend d'un unique paramètre $\delta$ spécifiant la dispersion des matrices généralisées de chaque sous-structure.

### 3.3 Comparaison théorique entre approches paramétrique et non paramétrique

L'approche non-paramétrique est très intéressante pour modéliser le désaccordement. En effet, les sources de désaccordement sont nombreuses et les résultats expérimentaux permettant de les modéliser sont rares.

L'approche paramétrique classique conduit à des simplifications importantes, qui sont parfois difficilement justifiables. La description paramétrique usuelle du désaccordement consiste à tenir compte des incertitudes sur les modules d'Young des matériaux, ce qui revient à perturber les fréquences propres des aubes en supposant les déformées modales inchangées.

A contrario, l'approche non-paramétrique permet de perturber les modèles utilisés de manière plus complète puisqu'elle utilise uniquement l'information objectivement disponible en s'appuyant sur le principe du maximum d'entropie. Les incertitudes de modélisation ou les incertitudes sur les données sont alors prises en compte.

## 4. Réponse d'aubages désaccordés

### 4.1 Calcul des statistiques des grandeurs d'intérêt

Dans le cas du désaccordement, la connaissance de la réponse moyenne n'est pas suffisante et l'on cherche à calculer les quantiles des grandeurs d'intérêt. On peut postuler a priori une loi de probabilité de la réponse du système et recaler les paramètres de cette loi à partir d'un échantillon de petite taille. Les quantiles sont alors calculés grâce à la loi obtenue. Cette méthode permet de calculer n'importe quel quantile en effectuant un nombre restreint de simulations. Malheureusement, la forme de ces lois de probabilité doit être connue a priori.

Pour le désaccordement, plusieurs auteurs ont postulé que le facteur d'amplification maximal d'un aubage suivait une loi de Weibull. Dans notre cas,
cette approche semble difficile à justifier car les données expérimentales sont
insuffisantes pour déterminer une loi de probabilité en particulier pour les queues de
distribution. L'approche que nous avons donc retenue est d'estimer les quantiles sans
postuler de loi a priori et de vérifier la convergence des estimateurs a posteriori.

## 4.2 Résultats de l'approche non-paramétrique

Le désaccordement du système qui est introduit par le modèle probabiliste est
mesuré par un taux de désaccordement défini comme le coefficient de dispersion des
fréquences propres de la première famille modale : $\tau = 100 \cdot \sigma_{f_p} / \mu_{f_p}$ (avec $\mu_{f_p}$ la
moyenne des fréquences propres et $\sigma_{f_p}$ la dispersion). En faisant varier $\delta$, on
obtient la répartition des amplitudes maximales sur un aubage pour différents taux de
désaccordement $\tau$ pour une excitation à zéro diamètre nodal.

Sur la figure 3.1, sont tracées les amplitudes maximales des ailettes 1, 5, 38, 67, et 77, une fois celles-ci classées par ordre croissant d'amplitude

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 3.1** Répartitions des amplitudes maximales sur un aubage
38,67, et 77.</figcaption></figure>

On constate que l'amplification de l'ailette médiane est presque constante et
égale à un. De plus, on peut observer que pour un faible taux de désaccordement,
une partie des ailettes de l'aubage voit son intensité de vibration augmenter tandis
que l'autre partie vibre beaucoup moins fort. Cette courbe met en lumière le
phénomène de localisation d'énergie vibratoire dû au désaccordement.
Afin d'évaluer la nocivité des vibrations et leurs probabilités, les quantiles des amplitudes maximales d'un aubage sont présentés à la figure 3.2

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Figure 3.2** *Amplitudes maximales et leurs quantiles.*</figcaption></figure>

Deux différentes phases peuvent être observées :

- Phase I, on observe une brusque augmentation du facteur d'amplification. Cette augmentation est attribuée directement au désaccordement qui casse la symétrie du système. Certaines ailettes drainent alors l'énergie vibratoire de leurs voisines et vibrent plus intensément.

- Phase II, on assiste à une diminution de l'amplification maximale. Le système devenant de moins en moins symétrique, les ondes cycliques ont de plus en plus de difficultés à se propager.

## 4.3 Comparaison des résultats des approches paramétrique et non-paramétrique

Pour les deux méthodes nous présentons les résultats obtenus en effectuant 200 simulations avec une excitation à zéro diamètre nodal.
Méthode paramétrique

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Méthode non-paramétrique

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 4 : Influence de la méthode de modélisation du désaccordement</figcaption></figure>

Les amplifications obtenues avec la méthode non paramétrique sont plus importantes. La méthode non paramétrique consiste à perturber les blocs des matrices généralisées des ailettes. Elle modélise donc des incertitudes plus larges que la méthode paramétrique. Le phénomène d'amplification découlant de ces incertitudes est alors naturellement plus important. On peut remarquer par ailleurs que les différences entre ces résultats s'estompent lorsque le taux de désaccordement augmente.
## 5. Identification probabiliste à partir de mesures sur sites

Les résultats présentés précédemment ont été obtenus en faisant varier $\delta$ après un recalage classique du modèle moyen (déterministe). Cette étude paramétrique sur $\delta$ est déjà riche d'enseignement, mais afin de fournir des résultats prédictifs, le modèle probabiliste doit également être recalé par rapport à des mesures sur sites. En effet, l'identification du paramètre $\delta$ du modèle probabiliste est importante, car il pilote le niveau de désaccordement introduit. $\delta$ est donc identifié via la procédure présentée ici qui est basée sur l'estimateur du maximum de vraisemblance et qui prend en compte les erreurs de mesures.

### 5.1 Principe de l'identification

Les 77 fréquences de résonance mesurées sur $m$ aubages distincts sont $m$ réalisations notées $F_{exp, k}$ ($k=1$ à $m$) d'une variable aléatoire $F$ à valeurs dans $\mathbb{R}^{77}$. Les mesures sont affectées par des erreurs modélisées par une variable aléatoire $E$ de densité de probabilité $p_E$.

La densité de probabilité de $F$ peut donc s'écrire :

$$p_F(f) = \int p_{F|E=e}(f|e)p_E(e)de$$

où $p_{F|E=e}$ est la loi conditionnelle de $F$ sachant $E=e$.

Le modèle mécanique de l'aubage et le modèle probabiliste non paramétrique du désaccordement permettent de construire la densité $p_{F|E=e}$. Supposant que, dans ces deux modèles, seul le paramètre $\delta$ est à identifier, la fonction de vraisemblance d'une mesure $F_{exp,k}$ s'écrit :

$$\delta \mapsto p_F(F_{exp,k}; \delta) = \int p_{F|E=e}(F_{exp,k} | e; \delta) p_E(e)de$$

Supposant que les $m$ mesures $F_{exp,k}$ ($k=1$ à $m$) sont statistiquement indépendantes, l'estimateur $\hat{\delta}$ du maximum de vraisemblance du coefficient de dispersion $\delta$ calculé à partir des mesures $F_{exp,k}$ ($k=1$ à $m$) s'écrit :

$$\hat{\delta} = \arg\max_{\delta} L(F_{exp,1}, \dots, F_{exp,m}; \delta)$$

où l'on a défini la fonction log-vraisemblance des mesures $m$ $F_{exp,k}$ par :

$$L(F_{exp,1}, \dots, F_{exp,m}; \delta) = \sum_{k=1}^{m} \log \left( \int p_{F|E=e}(F_{exp,k} | e; \delta) p_E(e)de \right)$$

Supposant sans perte de généralité que les erreurs de mesures sont de nature additive et sont statistiquement indépendantes des valeurs à mesurer, on décompose la variable aléatoire selon la somme de deux variables aléatoires indépendantes :
$F = X + E$

où :

- $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{R}^{77}$ dont les composantes sont les 77 valeurs ordonnées de fréquence de résonance non entachée d'erreur de mesure et dont la densité de probabilité dépendante de $\delta$ selon le modèle probabiliste retenu est noté $p_X(\cdot; \delta)$

- $E$ est à valeur dans $\mathbb{R}^{77}$.

La fonction log-vraisemblance des mesures devient :

$$L(F_{\text{exp},1}, \dots, F_{\text{exp},m}; \delta) = \sum_{k=1}^{m} \log \left( \int p_X(F_{\text{exp},k} - e; \delta) p_E(e) de \right)$$

## 5.2 Estimation de la densité de probabilité des fréquences de résonance

La principale difficulté de la méthodologie d'identification par le maximum de vraisemblance proposée ci-dessus est le calcul effectif de $p_X$. La méthode retenue pour estimer numériquement $p_X$ est la méthode de simulation de Monte-Carlo associée à une estimation non paramétrique de la densité [SIL86]. Pour un coefficient de dispersion $\delta$ donné, les trois étapes suivantes sont nécessaires :

1. génération de $n$ réalisations des matrices réduites aléatoires de raideur à partir du modèle moyen recalé et de $\delta$ [SOI00];

2. calcul des $n$ réalisations $X_l$ ($l=1$ à $n$) du vecteur $X$ contenant les fréquences de résonances ordonnées par la résolution des $n$ systèmes mécaniques générés en 1 (dépendantes du $\delta$ fixé);

3. estimation de $p_X$ à partir des $n$ réalisations $X_l$.

La troisième étape, i.e. l'estimation de $p_X$ est effectuée selon la méthode d'estimation non paramétrique des noyaux. Dans le cas de noyaux gaussiens, l'estimation de $p_X$ s'écrit :

$$\hat{p}_{\text{noyau } X}(x; X_n(\delta)) = \frac{1}{(2\pi)^{77/2} \cdot n \cdot \prod_{i=1}^{77} h_n^{(i)}} \sum_{l=1}^{n} \exp\left(-\sum_{i=1}^{77} \left(\frac{x^{(i)} - X_l^{(i)}}{h_n^{(i)}}\right)^2\right)$$

où les $h_n^{(i)}$ sont les fenêtres de convolution composante par composante de $X^{(i)}$.

Choisissant $h_n^{(i)} = \hat{\sigma}_n^{(i)} \cdot n^{\frac{4+77}{2}}$ avec $\hat{\sigma}_n^{(i)}$ un estimateur de l'écart type de $X^{(i)}$, on peut démontrer que $\hat{p}_{\text{noyau } X}(x)$ est convergent et asymptotiquement non biaisé.
## 5.3 Calcul effectif de la vraisemblance

La log-vraisemblance des $m$ mesures $F_{\text{exp},k}$ s'écrit maintenant :

$$L(F_{\text{exp},1}, \dots, F_{\text{exp},m}; \delta) = \sum_{k=1}^{m} \log\left(\int \hat{p}_{\text{noyau}_X}(F_{\text{exp},k} - e; X_n(\delta)) p_E(e) de\right)$$

L'intégrale présente dans cette expression est une intégrale multiple de dimension 77. Afin de calculer numériquement cette intégrale, on a recourt une nouvelle fois à la méthode de simulation de Monte-Carlo.

Soient $E_1, \dots, E_j, \dots, E_p$ p réalisations de la variable aléatoire $E$. L'intégrale peut alors être estimée par :

$$\int \hat{p}_{\text{noyau}_X}(F_{\text{exp},k} - e; X_n(\delta)) p_E(e) de \approx \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \hat{p}_{\text{noyau}_X}(F_{\text{exp},k} - E_j; X_n(\delta))$$

Le coût numérique du calcul de cette intégrale est négligeable car il ne requiert pas de calculs mécaniques supplémentaires. Le nombre $p$ de simulations peut ainsi être très grand et donc la précision de l'estimateur peut être suffisamment petite pour ne pas perturber la maximisation de la vraisemblance.

Finalement, la log-vraisemblance des $m$ mesures $F_{\text{exp},k}$ peut être calculée par :

$$L(F_{\text{exp},k}; \delta) = \sum_{k=1}^{m} \log \left( \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \left( (2\pi)^{77/2} \cdot n \cdot \prod_{i=1}^{77} h_n^i \right)^{-1} \sum_{l=1}^{n} \exp \left( - \sum_{i=1}^{77} \left( (F_{\text{exp},k} - E_{j,k})^i - X_l^{(i)} \right)^2 (h_n^i)^{-2} \right) \right)$$

où les $X_l^{(i)}$ sont $n$ réalisations obtenues à partir du modèle mécanique et du modèle probabiliste associé pour un coefficient de dispersion $\delta$ donné de la $i^{\text{ième}}$ fréquence de résonance, les $E_{j,k}$ sont $p \times m$ réalisations de la variable aléatoire $E$ modélisant les erreurs de mesure, les $h_n^i$ sont les paramètres de fenêtrage de la méthode des noyaux pour l'estimation de $p_X$.

## 5.4 Maximisation de la vraisemblance et comparaison mesures - calculs

La figure 5 montre la log-vraisemblance des mesures en fonction de $\delta$. On peut constater sur cette figure que le maximum de vraisemblance est atteint pour $\delta = 3.5 \%$. Si les erreurs de mesure n'étaient pas prises en compte, on obtiendrait $\delta = 5 \%$ (résultats non présentés ici). La valeur de $\delta = 3.5 \%$ correspond à un taux de dispersion $\tau$ des fréquences propres de la première famille de 0.5 % et à une amplification maximale des vibrations comprise entre 1.5 et 1.7 (quantiles à 5 et 95%, figure3.2).
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>**Figure 5** : Log- vraisemblance des mesures en fonction de δ, pour :
m=3 (nombre d'aubages mesurés),
p=5000 (nombre de simulations de E, les erreurs de mesures sont considérées gaussiennes),
n=50 (nombre de simulations de X et donc de calculs mécaniques, pour une valeur de δ donnée).</figcaption></figure>

Les résultats obtenus par le modèle mécano-probabiliste recalé avec la procédure d'identification proposée peuvent être comparés aux mesures sur site. A cette fin, les 77 fréquences de résonances sont divisées en 7 groupes par ordre de valeurs croissantes, les 11 premières dans le "groupe #1", puis les 11 suivantes dans les "groupe #2", ... jusqu'au 11 dernières pour le "groupe #7".

A titre d'exemple, les densités de probabilité numériques obtenues avec le δ identifié (i.e. δ=3.5 %) et les histogrammes des mesures sont comparées visuellement sur la figure 6 pour les groupes #1, #4 et #7. On peut constater la bonne adéquation de la répartition des fréquences propres numériques et expérimentales.
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>**Figure 6** : Comparaison des résultats expérimentaux et numériques.</figcaption></figure>

**6. Conclusion**

L'étude présentée ici met en œuvre une approche probabiliste du désaccordement sur un cas industriel. Le modèle mécanique réduit moyen est construit par sous-structuration dynamique. Le paramètre pilotant la dispersion du modèle probabiliste est identifié à partir des mesures des fréquences de résonance d'aubages en fonctionnement. Le modèle mécano-probabiliste recalé permet ainsi de quantifier l'effet du désaccordement en terme d'amplification des vibrations sur des aubages réels.
7. Bibliographie

CAPIEZ-LERNOUT E. "Dynamique des structures tournantes à symétrie cyclique en présence d'incertitudes aléatoires. Application au désaccordage des roues aubagées ", Thèse de l'Université de Marne-la-Vallée, Octobre 2004 ;

RATIER L. "Modeling a mistuned bladed disk by modal reduction" Proceedings of ISMA2004 Leuven 2004 September 20-22 ;

SILVERMAN B. W. "Density Estimation for Statistics and Data Analysis". Chapman and Hall: London 1986;

SOIZE C. "A nonparametric model of random uncertainties for reduced matrix models in structural dynamics", Probabilistic Engineering Mechanics, 2000.