# Identification et mesures de champ en grandes déformations : application à un tricot élastomérique sous chargement biaxial

Sylvain Drapier

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Sylvain Drapier. Identification et mesures de champ en grandes déformations: application à un tricot élastomérique sous chargement biaxial. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. hal-01490614

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Submitted on 15 Mar 2017

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# Identification et mesures de champ en grandes déformations : application à un tricot élastomérique sous chargement biaxial

Sylvain Drapier

LTDS - UMR 5513 CNRS/ECL/ENISE/ENSMSE
École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Etienne
158, Cours Fauriel
42023 Saint-Étienne cedex 02
sylvain.drapier@emse.fr

**RÉSUMÉ.** Les méthodologies d'identification sont aujourd'hui très répandues en petites perturbations. Le travail présenté ici vise des applications en grandes déformations où le processus d'identification s'appuie sur des moyens expérimentaux et numériques adaptés. En particulier, une méthode expérimentale de champ permet de déterminer des champs de déplacements sur un trajet de chargement complet, et une formulation EF corrotationnelle est implémentée pour rendre compte du changement de configuration matérielle. Les applications visées sont des tricots élastomériques dont l'utilisation courante induite des déformations biaxiales de l'ordre de 100 %. Leur comportement est représenté à travers un modèle hypoélastique biaxial.

**ABSTRACT.** Identification strategies are nowadays widely used for small perturbations. The presented work aims at applying such methodologies for finite strains where the identification process relies on both suited experimental and numerical. Particularly, an experimental full-field method gives access to displacement fields over a whole loading path, and a corrotationnal FE formulation is implemented to account for material configuration changes. Applications are here elastomeric knitted fabrics, the use of which requires biaxial strains up to 100%. Their behaviour is represented through a hypoelastical model.

**MOTS-CLÉS :** Identification, Grandes déformations, Méthode de champs, Formulation corrotationnelle, Tricot élatosmérique, Hyposélasticité, Biaxialité.

**KEYWORDS:** Identification, Finite strains, Full-field method, Corrotationnal formulation, Knitted elastomeric fabrics, Hypoelasticity, Biaxiality.
# 1. Introduction

Les techniques d'identification par méthode inverse couvrent aujourd'hui de nombreux domaines de la mécanique des matériaux et des structures. Ces méthodes permettent aussi bien d'identifier des propriétés mécaniques que de caractériser la présence de discontinuités par exemple (Bonnet *et al.*, 1998). Pourtant, l'application de ces méthodes au domaine des grandes déformations est encore très limitée.

Dans cet article, nous présentons une méthode spécifique d'identification d'un comportement biaxial en grandes déformations, basée sur l'utilisation d'une méthode expérimentale sans contact et sur des simulations éléments finis avec le code Zébulon© où une formulation corrotationnelle a été implémentée spécifiquement. L'identification de la loi de comportement hyposélastique biaxiale postulée utilise l'algorithme de Levenberg-Marquardt qui permet de minimiser la fonction objectif définie comme la mesure, au sens des moindre carrés non-linéaires, de l'écart entre les vecteurs mesurés et simulés.

La méthodologie est ici appliquée à des tricots élastomériques, dont l'utilisation comme article de contention sur les membres humains requière des déformations normales comprises entre 80 et 120 %. Ces matériaux structurés, possédant par nature deux directions privilégiées, exercent, par contre, des efforts faibles de l'ordre de 0,5 N/mm<fnref n="1" />. Pourtant, la caractérisation fine du comportement biaxial de ces tricots est essentielle, elle s'inscrit dans un projet de prévision des distributions des pressions de contention délivrées sur un membre humain (Gaied *et al.*, 2006).

# 2. Stratégie d'identification

Par rapport à l'identification d'un comportement en petites déformations, le domaine des grandes déformations impose de traiter les mesures, autant que les simulations, sur un l'ensemble du trajet de chargement. Comme indiqué sur la figure 1, l'algorithme d'identification se compose d'une partie expérimentale indépendante de la génération successive des résultats simulés pour chacun des états de chargement.

## 2.1. Mesures expérimentales

Compte-tenu de la discontinuité des structures tricotées, et des grandes déformations, les mesures expérimentales sont réalisées à l'aide d'une méthode de champ sans contact. Dans cette technique de corrélation d'images numériques, partant d'une paire d'images représentant 2 états du même milieu, la position d'une zone (fenêtre) de la première image est recherchée dans la seconde image par maximisation d'une fonction de corrélation mesurant la similitude des fenêtres au sens des niveaux de gris qu'elles

<footnote n="1">1. force / unité de longueur : mesure de force et rigidité utilisée dans les tricots ou tissus dont l'épaisseur est difficilement contrôlable</footnote>
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 1.** *Principe de l'identification en grandes déformations.*</figcaption></figure>

contiennent. La granularité naturelle des tricots fait ici office de traceurs (Drapier *et al.*, 2007).

Un montage spécifique a été développé, muni d'un support de caméra monté sur un pantographe, ce qui permet de centrer les images enregistrées sur le même point de référence pendant tout l'essai. Ceci nous permet d'obtenir des points géométriques fixes dans l'espace qui sont utilisés pour déduire des déplacements absolus de points géométriques à partir des déplacements relatifs entre images. Enfin, ce montage est équipé d'un système de tension transverse permettant de maintenir la dimension transverse fixe. Le coefficient de liage, assimilable à un coefficient de Poisson pour les milieux continus (au sens des déformations libres induites dans le sens transverse à la sollicitation), étant élevé pour ces tricots, les déformations transverses induites sont de l'ordre des déformations dans la direction de sollicitation (Gaied, 2004).
## 2.2. Modélisation choisie

Le modèle éléments finis de notre essai, qui nous permet d'obtenir des résultats simulés à comparer aux résultats expérimentaux, est réalisé avec le code de calculs Zébulon©. Le maillage est bidimensionnel, composé d'éléments quadratiques en contraintes planes. La spécificité réside ici dans la formulation corrotationnelle qu'il est nécessaire de prendre en charge en grandes déformations. En utilisant le méta-language Zeb-front, nous avons implémenté cette formulation en retenant une mesure logarithmique pour les déformations. Cette formulation nous permet également de vérifier par simulation que dans notre cas de traction biaxiale, le tenseur de rotation résultant de la décomposition polaire de la déformation se réduit à l'identité dans toute la zone d'intérêt, même pour un matériau isotrope. Ceci correspond bien au comportement attendu pour nos tricots : deux directions privilégiées, et absence de cisaillement.

## 2.3. Identification

Finalement, le schéma d'identification peut-être de la figure 1 peut être explicité. Les grandeurs expérimentales (forces aux bords et déplacements) sont mesurées à chaque pas de chargement (temps) pour former le vecteur $\mathbf{r}_{exp}$. La procédure d'identification numérique consiste alors à fournir un jeu de paramètres initial $J_0$ pour la loi de comportement choisie, puis générer successivement des jeux de résultats simulés $\mathbf{r}_{i EF}$ pour former la mesure globale de la distance entre les grandeurs mesurées et simulées $R(\mathbf{r}_{exp}, \mathbf{r}_{i EF}) = \|\mathbf{r}_{exp} - \mathbf{r}_{i EF}\|^2$, en ayant au préalable adimensionné les grandeurs physiques de nature différente. Il est à noter que les résultats des simulations non-linéaires doivent être au préalable extrapolés aux points de mesures géométriques pour être comparés aux mesures expérimentales. Si les critères de convergence ne sont pas satisfaits (Le Riche et al., 1999), un nouveau jeu de paramètres est alors généré, à travers l'algorithme de Levenberg-Marquardt de Z-optim. Le jeu de paramètres qui permet de satisfaire le critère de convergence correspond au meilleur jeu pour la loi de comportement postulée.

# 3. Tests et résultats

La procédure d'identification décrite ci-dessus (figure 1) a été testée, d'abord en 1D sur une loi hyperélastique proche de la réponse macroscopique de nos tricots, puis en 2D sur des surfaces de réponse générées (Gaied, 2004). Nous avons mis en évidence que seule l'utilisation combinée des déplacements à l'intérieur du tricot et des forces au bord permet de retrouver la loi postulée, tout en augmentant la vitesse de convergence.

Le cas des tricots élastomériques a ensuite été traité. Un modèle hypoélastique a été retenu pour rendre compte simplement de la réponse uniaxiale en sens trame et chaîne des tricot. La surface de réponse est polynômiale d'ordre 6 en sens trame, 4 en sens chaîne, et 2 pour le couplage trame-chaîne, soit un total de 18 coefficients à
identifier. On peut visualiser sur la figure 2 les réponses mesurée et identifiée pour un tricot *Diaphane 2* commercialisé par la société Ganzoni France S.A. Dans ce cas pré-cis, 28 images ont été prises pour 4 élongations différentes dans le sens transverse, soit 112 pas de calculs en termes de simulations EF. Le temps d'identification est de 1,5 h sur un PC PIV. Les résultats montrent un bon accord entre les surfaces de réponse identifiées et les mesures expérimentales. L'écart qui apparaît aux faibles et grandes déformations, notamment en sens chaîne (figure 2-b), montre la difficulté d'identifier simultanément la réponse complète du matériau. D'un point de vue pragmatique, ces tricots sont utilisés pour des déformations sens chaîne inférieures à 50 %, ce qui est confirmé par des essais où une déformation sens trame de 100 % en présence d'une déformation sens chaîne supérieure à 70 % (figure 2-b) conduit à une dégradation de la structure du tricot. On peut conclure que dans les zones d'utilisation courantes, apparaissant dans le rectangle en trait plein sur la figure 2, les surfaces identifiées reproduisent bien le comportement du tricot, compte-tenu des déformations élevées, mais aussi et surtout du faible niveau d'effort rencontré. L'écart relatif entre les réponses mesurée et identifiée ne dépassant pas 8 %.

## 4. Conclusion

Nous avons montré dans cet article, les possibilités d'identification d'une loi de comportement en grandes déformations, dés lors que les contraintes de mesures et de représentation sont traitées avec des outils adaptés. Les calculs d'identification ne sont pas coûteux si le problème inverse est bien conditionné, en combinant les grandeurs physiques qui constituent le vecteur des grandeurs à comparer. Il faut maintenant affiner la représentation des surfaces à l'aide de réponses mieux adaptées, la difficulté principale de mesure étant levée.

## 5. Bibliographie

* Bonnet M., Reynier M., « On the estimation of the geometrical support of modelling defects using the distributed error in constitutive equation », *Proceedings of Inverse problems, control and shape optimisation*, April 8-10, Carthage, Tunisia, p. 65-70, 1998.

* Drapier S., Gaied I., « Identification strategy for orthotropic knitted elastomeric fabrics under large biaxial deformations. », *Inverse Problems in Science and Engineering*, 2007.

* Gaied I., Contribution à l'étude de la contention : approche bidimensionnelle, identification du comportement biaxial en grandes déformations des tricots élastomériques, PhD thesis, École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, 2004.

* Gaied I. Drapier S., Lun B., « Experimental assessment and analytical 2D predictions of the stocking pressures induced on a model leg by Medical Compressive Stockings », *Journal of Biomechanics*, vol. 39, p. 3017-3025, 2006.

* Le Riche R., Guyon F., Least squares parameter estimation and the Levenberg-Marquardt algorithm : deterministic analysis, sensitivities and numerical experiments, Rapport technique, Laboratoire de Mécanique de Rouen, INSA de Rouen, 1999.
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 2.** Résultats de l'identification du comportement : forces en fonction des déformations sens trame et chaîne (a) force sens trame et (b) force sens chaîne. Cadre en traits pleins = zone de déformations 'utiles'.</figcaption></figure>