# Émission spontanée cohérente de lumière

Jean-Jacques Greffet, François Marquier, Rémi Carminati, Karl Joulain,
Jean-Philippe Mulet, Yong Chen, Stéphane Mainguy

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Jean-Jacques Greffet, François Marquier, Rémi Carminati, Karl Joulain, Jean-Philippe Mulet, et al. Émission spontanée cohérente de lumière. Journal de Physique IV Proceedings, 2004, 119, pp.35-41. 10.1051/jp4:2004119006 . hal-00270124

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# Émission spontanée cohérente de lumière

J.J. Greffet¹, F. Marquier¹, R. Carminati¹, K. Joulain¹, J.-P. Mulet¹, Y. Chen² et S. Mainguy³

1École Centrale Paris CNRS, Grande Voie des Vignes, 92295 Châtenay-Malabry Cedex, France
e-mail: greffet@em2c.ecp.fr

²Laboratoire de Photonique et Nanostructures, 91460 Marcoussis France

³CEA/CESTA GOPT, 33114 Le Barp Cedex France

**Abstract.** Il a été montré récemment que le rayonnement émis par une source thermique en champ proche a des propriétés extrêmement différentes de ce que l'on observe en champ lointain. L'intensité en champ proche est supérieure de plusieurs ordres de grandeur et a des propriétés de cohérence considérablement modifiées. Nous résumons ces travaux puis nous montrons que l'on peut tirer parti de ceci pour réaliser des sources thermiques partiellement spatialement cohérentes en champ lointain. Nous soulignons le rôle essentiel essentiel des ondes de surface dans ces effets. Nous montrons aussi que les transferts d'énergie et que les forces de Casimir à courte distance sont pilotés par les ondes de surface.

## 1. INTRODUCTION

On considère généralement que l'exemple type d'une source de lumière incohérente est une source thermique, c'est-à-dire un corps porté à température T tel qu'un filament de tungstène. Au contraire, un laser ou une antenne sont des sources de rayonnement cohérent. On parle de cohérence spatiale lorsque le rayonnement produit par la source est quasi-parallèle, on parle de source temporellement cohérente lorsque le rayonnement produit est quasi monochromatique. L'origine de la cohérence spatiale est aisée à comprendre dans le cas d'une antenne filaire parcourue par un courant induit par un générateur. Chaque élément de longueur de l'antenne est assimilable à un dipôle rayonnant. Ces dipôles placés en différents points de l'antenne ont une différence de phase bien définie de sorte que leurs rayonnements peuvent interférer produisant des lobes d'émission. A contrario, les courants aléatoires dus au mouvement d'agitation thermique des charges dans un corps porté à température T sont décorrélés. Il s'en suit que les rayonnements qu'ils produisent n'interfèrent pas. Cela conduit à un rayonnement très peu directif.

Cependant, il a été montré récemment, que le rayonnement produit par une interface plane à température T peut être cohérent spatialement [1] et temporellement [2] en champ proche. Ce phénomène est dû à l'excitation d'une onde de surface telle qu'un plasmon de surface ou un phonon-polariton de surface. Ces modes étant des modes délocalisés, ils créent une cohérence spatiale du champ électromagnétique le long de l'interface. Ceci ouvre la voie à la réalisation d'une source de lumière cohérente en champ lointain. Nous montrerons dans cet article qu'en gravant un réseau sur une interface, on peut produire une source qui émet du rayonnement thermique dans des lobes très étroits. Il s'agit là de la signature de la cohérence spatiale du rayonnement.

Dans le paragraphe qui suit, nous discutons de la densité d'états électromagnétiques en champ proche et nous montrons qu'elle est dominée par les ondes de surface. Nous discutons brièvement les conséquences pour le transfert d'énergie radiatif à courte distance. Nous montrons ensuite que la force de Casimir à courte distance est due aux plasmons en interaction. Nous montrons enfin qu'une source de lumière thermique peut être partiellement cohérente spatialement.

## 2. DENSITÉ LOCALE D'ÉTATS ÉLECTROMAGNÉTIQUES EN CHAMP PROCHE

Nous allons discuter dans cette section de l'évolution de la densité d'énergie lorsque l'observateur se rapproche d'une surface portée à une température T non nulle. Les résultats présentés sont issus d'un calcul basé sur une approche de type force de Langevin. Les sources de rayonnement sont des courants aléatoires dus à l'agitation thermique. La fonction de corrélation de ces courants est donnée par le théorème de fluctuation-dissipation. Il est alors possible de calculer le champ rayonné au-dessus de l'interface, c'est un problème équivalent au problème du rayonnement d'un dipôle placé sous une interface. Techniquement, cela revient à calculer le tenseur de Green
du problème. De la connaissance du champ, on passe aisément à la fonction de corrélation du champ et à la densité d'énergie rayonnés par un demi espace [1]. Le résultat est représenté sur la figure 1 dans le cas de l'émission d'un demi espace de verre à 300 K.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 1.** Densité d'énergie électromagnétique rayonnée par un demi espace de verre amorphe à la température de 300 K pour 3 hauteur différentes.</figcaption></figure>

On constate deux effets a priori surprenants. D'une part le spectre devient quasimonochromatique en champ proche. D'autre part, la densité d'énergie augmente de plusieurs ordres de grandeurs. Ces deux effets peuvent être interprétés de la façon suivante. Il faut tout d'abord ravoir à l'esprit qu'un élément de volume de verre comporte des atomes de silicium et d'oxygène qui portent des charges électriques du fait de leur différence d'électronégativité. Un élément de volume est donc assimilable du point de vue électromagnétique à un moment dipolaire aléatoire. Lorsque l'on se rapproche de l'interface, les composantes en $1/r^2$ et $1/r^3$ du champ ryonné deviennent prépondérantes. Cela explique l'accroissement de la densité d'énergie en champ proche. Le caractère quasi monochromatique provient quant à lui de la fréquence d'oscillation propre des atomes de la maille. Dans le cas d'un cristal, cette fréquence est la fréquence des phonons optiques. Un point de vue complémentaire consiste à raisonner en utilisant la relation de dispersion des ondes de surface. Lorsqu'elle présente une asymptote horizontale pour une certaine fréquence, il y a un pic de densité d'états électromagnétiques à cette fréquence. Les modes correspondants sont des ondes de surface de grand vecteur d'onde qui sont donc des ondes évanescentes localisées près de l'interface. On retrouve ainsi les deux caractéristiques observées sur la figure 1 : caractère monochromatique et densité d'états importante au voisinage de l'interface.

Cette approche, basée sur un modèle de Langevin, permet de remonter à la densité locale d'états électromagnétiques au voisinage de milieux à pertes. Il suffit de diviser la densité d'énergie par le nombre moyen d'occupation de chaque état et par l'énergie de cet état. Dans le vide, on trouve que la densité locale d'états électromagnétiques est proportionnelle à la partie imaginaire de la trace du tenseur de Green. Ce résultat simple est valable dans le vide mais cesse d'être valable au voisinage d'une interface réelle. Une discussion approfondie de la densité d'états au voisinage d'une interface d'un milieu à pertes est donnée dans la référence [3]. Notons qu'une mesure naturelle conduisant à cette quantité est la mesure locale de la densité d'énergie. Dans ce qui suit, nous allons examiner deux types de phénomènes très fortement liés au fait que la densité d'états est dominée par les ondes de surface, le transfert d'énergie et les forces exercées entre deux plans séparés de quelques dizaines de nanomètres.
### 3. TRANSFERT D'ÉNERGIE PAR RAYONNEMENT À COURTE DISTANCE

Afin d'évaluer le flux d'énergie échangé entre deux surfaces de température $T_1$ et $T_2$ séparées par une distance d, il suffit de calculer le flux du vecteur de Poynting au travers d'un plan. Lorsque l'on prend en compte les ondes propagatives uniquement, on trouve que le flux entre deux plans de températures voisines est de la forme $h(T_1-T_2)$ où le coefficient d'échange h est de l'ordre de $5 \text{ W}\text{K}^{-1}\text{m}^{-2}$. Le calcul peut être fait suivant l'approche esquissée plus haut reposant sur le calcul du rayonnement des courants fluctuants[4]. En linéarisant le flux, on obtient une forme du coefficient h qui est tracée sur la figure 2 dans le cas de deux demi espaces de SiC à une température de 300 K. On observe que le coefficient de transfert ne varie pas avec la distance tant que la distance est supérieure à une dizaine de micromètres mais croît fortement quand la distance décroît.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 2.** Coefficient de transfert d'énergie radiative en fonction de la distance séparant deux demi-espaces de SiC de températures voisines de 300 K.</figcaption></figure>

On note que le coefficient est de l'ordre de $10^4$ pour une distance de l'ordre de 10 nm. Il est clair que les ondes évanescentes jouent un rôle essentiel dans le transfert d'énergie à courte distance. On peut considérer qu'il s'agit d'un transfert d'énergie par effet tunnel puisqu'il est effectivement dû aux ondes évanescentes. Un autre point de vue consiste à noter que le transfert d'énergie à courte distance est dû aux collisions entre phonons de surface de l'interface supérieure avec les phonons de surface de l'interface inférieure. Ce point de vue est suggéré par la figure 3 qui montre le contenu spectral du transfert radiatif. On y voit que le transfert est essentiellement monochromatique et a lieu à la fréquence des phonons optiques. Ces effets montrent que le transfert à courte distance est considérablement plus grand que ce que donnerait l'approche habituelle. Une étude plus détaillée de ces effets est décrite dans les références [5, 6]. On retiendra que le transfert d'énergie par ondes évanescentes (ou par effet tunnel) devient prépondérant en champ proche.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 3.** Spectre du coefficient d'échange radiatif. On voit que le flux est transféré à la fréquence des phonons optiques.</figcaption></figure>
## 4. FORCE DE CASIMIR

Nous veons de discuter le rôle des ondes de surface dans le transfert d'énergie entre deux interfaces planes parallèles. Il existe également un transfert d'impulsion et donc une force qui s'exerce entre les deux plans. Pour la calculer, il suffit, connaissant les champs, d'en déduire le flux du tenseur des contraintes de Maxwell. Cela conduit à une expression de la force de Casimir qui est par exemple donnée dans la référence [7]. La force de Casimir a été introduite comme une conséquence macroscopique de l'énergie du vide. Chaque mode électromagnétique de la cavité formée par les deux plans peut à température nulle héberger une énergie hv/2. L'énergie électromagnétique est alors fortement dépendante du nombre de modes contenus dans la cavité. Ce nombre dépend de la largeur de la distance entre les deux interfaces. La variation d'énergie électromagnétique avec la distance signifie qu'il existe une force entre les armatures. Lorsque la distance est grande devant la longueur d'onde dans le vide associé à une fréquence, les modes sont les modes habituels d'un guide d'onde plan. En revanche, lorsque la distance entre les interfaces est inférieure au micromètre, on a vu que la densité d'états est dominée par les ondes de surface. La variation d'énergie et donc la force sont donc essentiellement dues aux plasmons de surface. Plusieurs auteurs ont déjà discuté le rôle des plasmons de surface en étudiant les contributions des pôles [8, 9]. Dans ce qui suit, nous abordons le problème en traçant la contribution à la force de chaque mode caractérisé par un vecteur d'onde k parallèle à l'interface et une pulsation $\omega$. Cela permet de mettre en évidence l'influence des ondes de surface. Sur la figure 4a, nous avons tracé la force en fonction de la fréquence et de la polarisation. On constate que la force résulte de deux contributions, l'une attractive, l'autre répulsive. On voit aussi que la force existe dans une gamme de fréquence réduite qui coïncide avec la zone d'existence des plasmons de surface. Enfin, seules les ondes évanescentes de polarisation p contribuent à la force. Sur la figure 4 b, on observe qu'il apparaît deux branches dans la relation de dispersion associée aux combinaisons linéaires symétriques et anti-symétriques. La branche d'énergie supérieure donne une contribution répulsive tandis que la branche d'énergie inférieure donne une contribution attractive. Cela suggère deux images physiques expliquant la force de Casimir. La première est analogue à la liaison chimique. On constate que les deux plasmons des deux interfaces interagissent ce qui conduit à deux solutions symétriques et antisymétriques d'énergie différentes. On retrouve ainsi l'image de l'orbitale liante et antiliante. La seconde image est basée sur la force électrostatique. On sait qu'un plasmon de surface a une composante du champ normal à l'interface et par conséquent une densité de charge surfacique. Lorsque les plasmons des deux interfaces sont en opposition de phase, les densités de charge surfaciques associées aux plasmons de surface se trouvant en vis-à-vis sont de signe opposé. Il y a donc une force attractive. A contrario, l'autre combinaison linéaire conduit à une force répulsive. Les résultats montrés sur la figure 4 ont été obtenus pour un modèle de Drude. Un calcul prenant en compte les données expérimentales des matériaux redonne l'allure observée pour des métaux tels que l'argent ou l'aluminium. En revanche, des métaux tels que l'or ou le cuivre sont mal représentés par le modèle de Drude, on observe une disparition de la branche supérieure et un élargissement de la branche inférieure.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Figure 4.** a) Spectre de la force de Casimir. On observe que la seule contribution provient des ondes évanescentes de polarisation p. La fréquence correspond à la fréquence des plasmons de surface. b) Force représentée dans le plan $(k, \omega)$. On reconnaît la relation de dispersion des plasmons de surface.</figcaption></figure>
# 5. ÉMISSION SPONTANÉE DE LUMIÈRE COHÉRENTE

## 5.1 Cohérence spatiale

On a vu que le spectre du champ rayonné thermiquement est quasi monochromatique de sorte que le champ est partiellement cohérent temporellement. On peut alors naturellement se poser la question de la cohérence spatiale du champ émis thermiquement en champ proche. Il a été montré [1] que le champ est cohérent spatialement lorsqu'une onde de surface peut se propager. Ceci peut sembler surprenant au premier abord puisque le rayonnement thermique peut être vu d'un point de vue classique comme le rayonnement dû au mouvement aléatoire d'agitation thermique des électrons et ions d'un matériau. En différents points d'une surface, on ne s'attend pas à avoir un mouvement corrélé des charges. Pourtant, cela est possible. Le mécanisme est simple à comprendre dans le cas d'un cristal tel que le SiC. Faisons pour cela une expérience de pensée en supposant que le cristal est à 0 K de sorte que toutes les charges sont immobiles sauf dans un élément de volume du cristal. Autour de ce point, les charges ont un mouvement d'agitation thermique de sorte que l'élément de volume est assimilable à un dipôle aléatoire. Il rayonne et ce faisant, il peut exciter une onde de surface qui peut se propager le long de l'interface sur des distances de l'ordre de quelques longueurs d'onde. La propriété essentielle est le fait qu'un phonon est un mode étendu. Dès lors qu'il est excité en un point, il contribue à l'état vibratoire le long de la surface. Le second point essentiel est qu'il s'agit d'un cristal partiellement ionique. La vibration des ions entraine l'existence d'un dipôle électrique dans chaque maille. Chacun de ces dipôles induits par le phonon rayonne donc un champ électromagnétique. Ce champ est ainsi cohérent spatialement. On voit qu'en quelque sorte chaque élément de volume est équivalent à un dipôle aléatoire qui s'habille d'un phonon de surface. Celui-ci est spatialement étendu, il vibre et rayonne de façon cohérente le long de la surface. Le champ L'extension spatiale du phonon de surface est donnée par la longueur d'atténuation de l'onde de surface. On voit que cette longueur définit la longueur de cohérence le long de la source.

Un mécanisme analogue existe dans les métaux avec des ondes de surface appelées plasmons de surface. Ce sont des ondes de densité d'électrons qui se propagent le long de l'interface également. De façon surprenante, de tels plasmons de surface existent dans l'infrarouge pour le tungstène. Ainsi, les filaments de tungstène des lampes à incandescence émettent des chmps cohérents spatialement dns l'infrarouge alors même que l'on cite généralement ces sources comme le prototype de la source incohérente. On peut se demander pourquoi ces effets de cohérence sont généralement négligés. La réponse est qu'il s'agit d'un effet de champ proche et qu'à moins de faire une mesure de corrélation en champ proche, on ne peut pas mettre en évidence ces propriétés. Nous allons voir dans la partie suivante qu'il est néanmoins possible d'exporter en champ lointain la cohérence de champ proche réalisant ainsi une source thermique cohérente.

## 5.2 Émission cohérente

L'idée, pour réaliser une source thermique cohérente, consiste simplement à coupler l'onde de surface avec une onde propagative à l'aide d'un coupleur. Plusieurs façons peuvent être utilisées pour coupler des ondes de surface à des ondes propagatives dans le vide. Le coupleur le plus pratique et le plus efficace est un réseau de période a. Une onde de surface de vecteur d'onde $k$ et de pulsation $\omega$, va pouvoir être diffractée par le réseau et donner lieu à des ordres de diffraction de vecteur d'onde parallèle à l'interface $k+p2\pi/a$ où $p$ est un nombre entier.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Figure 5.** Mesure par microscopie à force atomique du réseau de SiC. b) Spectre de réflectivité à un angle de 47º en polarisation p. En traits pleins, on a représenté les mesures de réflectivité à température ambiante tandis que les calculs sont représentés en pointillés. On note un excellent accord. Les creux de réflectivité correspondent à une absorption due à l'excitation d'ondes de surface. Reproduit d'après Greffet et al., Nature 2002.</figcaption></figure>
Pour obtenir une émissivité maximale, nous avons effectué des calculs numériques de diffraction pour différents profils de réseau afin de maximiser le couplage de l'onde de surface avec les modes du vide[10]. En vertu de la loi de Kirchhoff, ceci est équivalent à maximiser l'absorption. Dans le cas d'un réseau qui ne diffracte que l'ordre zéro, avoir une absorption totale revient à annuler la réflectivité. Des spectres expérimentaux et théoriques de réflectivité pour différents angles d'incidence sont présentés sur la figure 6. On observe qu'ils présentent des minima prononcés : la réflectivité passe de 0,9 pour une surface plane à 0. C'est le phénomène d'absorption totale bien connu pour des réseaux métalliques[11]. Il est dû à l'excitation résonante des plasmons de surface. Nous avons pu mettre en évidence le même phénomène d'absorption totale dans l'infrarouge lié cette fois à l'excitation résonante d'un phonon polariton de surface. On note sur la figure 5 que la réflexion passe par zéro. L'accord entre les mesures et le calcul est excellent. Cela est dû notamment à la qualité de la gravure réalisée. Une autre propriété remarquable de cette source est la dépendance du spectre par rapport à l'angle d'observation que l'on observe sur la figure 5 b.

Nous avons ensuite effectué des mesures d'émission thermique. L'échantillon de SiC a été porté à une température de 500°C. Des premiers résultats ont été décrits dans la référence [10]. Les mesures indiquées sur la figure 6 ont été effectuées avec un nouveau montage utilisant un spectromètre à transformée de Fourier à l'Ecole Centrale Paris. Nous montrons sur la figure 6 le flux émis en fonction de l'angle d'observation pour deux longueurs d'onde différentes. Le fait marquant est que l'on observe des lobes d'émission tout à fait comparables à ceux que l'on observe pour des antennes. Cela est une signature de la cohérence spatiale des courants induits le long de l'interface. Le pic d'émissivité à 11.36 µm n'atteint pas 1 alors que l'on a obtenu en réflexion une absorptivité de 1. Cela est dû au fait que l'indice optique dépend de la température. Des mesures complémentaires de l'indice en fonction de la température nous ont permis de vérifier ce point et de trouver là encore un excellent accord entre théorie et mesures. Notons que des mesures d'émission ont également été réalisées par l'équipe de M. Kreiter [12] sur des réseaux d'or. On observe alors de l'émission due aux plasmons de surface. Il faut retenir que la possibilité d'exciter des ondes de surface permet de modifier profondément les propriétés radiatives des surfaces.

## Conclusion

En résumé, nous avons montré que la physique de l'émission thermique de lumière peut être profondément modifiée en champ proche. Lorsqu'il y a des ondes de surface excitées, le rayonnement de champ proche est cohérent temporellement et spatialement. Nous avons également montré que la présence des ondes de surface entraîne l'existence d'une amplification très forte de la densité d'énergie au voisinage de l'interface dans un intervalle de fréquences très étroit. En d'autres termes, la densité locale d'états électromagnétiques est dominée par les ondes de surface au voisinage de l'interface. Lorsque l'on envisage un système à deux interfaces planes parallèles, il peut apparaître des transferts d'énergie et d'impulsion entre les deux interfaces. Comme on peut s'y attendre, le transfert croît fortement avec la distance et se fait dans la gamme de fréquences pour laquelle la densité d'états électromagnétiques est élevée. Enfin, nous avons montré comment l'on peut réaliser une source de lumière thermique cohérente spatialement. Du fait de l'agitation thermique, chaque élément de volume est assimilable à un dipôle fluctuant aléatoire. Si l'interface peut donner lieu à des ondes de surface, l'élément de volume les excite. On aboutit ainsi à un dipôle fluctuant habillé par des ondes de surface qui sont étendues spatialement le long de l'interface. Lorsque l'on grave un réseau sur l'interface, alors l'onde de surface peut être transformée en onde propagative par diffraction.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>**Figure 6.** Emissivité d'une surface de SiC sur laquelle on a gravé un réseau. On observe un diagramme de rayonnement ressemblant à celui d'une antenne. C'est la signature de la cohérence spatiale du champ le long de l'interface. On peut monter à la longueur de cohérence transverse dans la source à partir de la mesure de la largeur angulaire des pics d'émission.</figcaption></figure>
Remerciements

Ce travail a été rendu possible par le contrat 71 de l'Action Concertée Incitative Matériaux et par un programme d'échanges
bilatéraux Procope.

Références

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[2] Andrei Shchegrov, K. Joulain, R. Carminati, J.J. Greffet, Phys.Rev.Lett. **85**, 1548 (2000)

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[12] M. Kreiter, J.Oster, R. Sambles, S. Herminghaus, S. Mittelr-Neher, W. Knoll, Opt.Commun. **168** 117 (1999)