# Chapitre 10. Philosophie et mathématiques chez Charles-Ange Laisant. L'enseignement de la géométrie comme science expérimentale

Évelyne Barbin

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OpenEdition
Journals

## Édition électronique

URL : https://journals.openedition.org/sabix/3373
DOI : 10.4000/sabix.3373
ISSN : 2114-2130

## Éditeur

Société des amis de la bibliothèque et de l'histoire de l'École polytechnique (SABIX)

## Édition imprimée

Date de publication : 1 mai 2023
Pagination : 118-129
ISSN : 0989-3059

## Référence électronique

Évelyne Barbin, « Chapitre 10. Philosophie et mathématiques chez Charles-Ange Laisant. L'enseignement de la géométrie comme science expérimentale », *Bulletin de la Sabix* [En ligne], 70 | 2023, mis en ligne le 28 octobre 2023, consulté le 22 septembre 2025. URL : http://journals.openedition.org/sabix/3373 ; DOI : https://doi.org/10.4000/sabix.3373

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C.A. Laisant
La Mathématique
Philosophie

Enseignement

Bibliothèque
de la Revue générale des Sciences

Philosophie Enseignement

Éditions
Chapitre 10

Philosophie
et mathématiques

chez Charles-Ange Laisant

L'enseignement de la géométrie comme
science expérimentale

Évelyne Barbin*

Laisant écrit en 1898 que « la mathématique » est une science expérimentale et rejoint ainsi des conceptions que Jules Houël en 1867 et Charles Méray en 1874 ont avancées avant lui. Il joue un rôle de passeur en faisant connaître en 1901 les Nouveaux éléments de géométrie de ce dernier, alors qu'une réforme de l'enseignement de la géométrie se met en place en France. Les manuels de Carlo Bourlet et d'Émile Borel s'en inspirent de manière différente. Au-delà de la

France, la réforme de l'enseignement passe aussi
par une approche expérimentale des mathéma-
tiques. Le souci de Laisant d'unifier les éléments
de « la mathématique » le rend proche du réseau
autour de l'Université de Chicago, dans lequel
Adelia Hornbrook, John Dewey, Eliakim Moore
et George Myers promeuvent la « laboratory
method ». Laisant se trouve ainsi à la croisée
de plusieurs réseaux où se pose la question de
passer d'une géométrie expérimentale à une
théorie géométrique.

Les mathématiques comme science expérimentale selon Laisant

Dans l'ouvrage *La Mathématique. Philosophie – Enseignement*, paru en 1898, Laisant écrit que « toutes les sciences sont expérimentales » et il précise<fnref n="1" />:

Ce qui distingue la Mathématique des autres
sciences, c'est qu'elle emprunte à l'expérience, au
monde extérieur, un minimum de notions. Et, une
fois cette première base établie, par la seule puissance
de la logique, elle édifie sur ces fondations un monu-
ment d'une incomparable splendeur, et dont le cou-
ronnement ne sera jamais atteint.

L'aspect expérimental des mathématiques et ses
conséquences pédagogiques sont approfondis
dans ses ouvrages ultérieurs, en particulier à
propos de la géométrie. Ainsi, dans son Initiation
mathématique de 1906, il critique la démonstra-
tion « peu naturelle » du théorème de Pythagore
figurant dans les Éléments d'Euclide et il lui pré-
fère un « moyen très simple qui a été inventé dans
l'Inde ». Ce moyen « est un jeu de patience des
plus simples ; l'enfant qui l'aura pratiqué une fois
ou deux ne l'oubliera pas de sa vie<fnref n="2" /> » et il peut
« constituer une démonstration très correcte ».

<footnote>* Laboratoire de mathématiques Jean Leray et Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques des Pays de la Loire, Université de Nantes.</footnote>

<footnote n="1">1. [Laisant, 1898, 15].</footnote>

<footnote n="2">2. [Laisant, 1906, 66-68].</footnote>
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 1.</figcaption></figure>

Le théorème de Pythagore
dans l'Initiation
mathématique<fnref n="3" />.

Depuis Euclide, au IIIe siècle avant J.-C., les ouvrages de géométrie reposent sur l'énoncé d'axiomes, considérés comme vrais, à partir desquels les propositions sont déduites. Mais, Laisant insiste sur le bouleversement apporté à la notion d'axiome par l'invention des géométries non-euclidiennes et il cite Henri Poincaré : « il n'y a pas de Géométries plus ou moins vraies ; il y a des géométries plus ou moins commodes4 ». Ceci a conduit le mathématicien Jules Houël, quelques vingt ans plus tôt, à accorder une origine expérimentale à la géométrie.

L'origine expérimentale
de la géométrie chez Houël
et Laisant

En 1898, Laisant connaît Houël depuis plus de
25 ans<fnref n="5" /> (voir chap. 2). Ce dernier a traduit en
français les écrits des « inventeurs » des géomé-
tries non-euclidiennes, Nikolaï Lobatchevski en
1866 et János Bolyai en 1868. Dans son *Essai sur
les principes fondamentaux de la géométrie* (1867),
il écrit que « les commencements de la géomé-
trie ont besoin d'être totalement révisés et refon-
dus<fnref n="6" /> ». Il considère que c'est « un faux point de
vue métaphysique » de concevoir la géométrie
comme une science pure du raisonnement et les
axiomes comme des vérités nécessaires, car c'est
l'expérience qui nous fait connaître les premières
notions et les axiomes. Il écrit aussi : « C'est par
suite d'une confusion d'idées que plusieurs géo-

mètres veulent bannir des éléments de géométrie
la considération du mouvement7 ». Il introduit le
mouvement de translation, pour montrer l'axiome
des parallèles, puis le mouvement de rotation8.

Laisant dénonce également la part importante
accordée à la logique dans la géométrie et dans
son enseignement. Dès le XVIIe siècle, l'enseigne-
ment de la géométrie français s'est éloigné du
modèle euclidien avec les critiques d'Antoine
Arnauld9 dans ses *Nouveaux éléments de géomé-
trie* de 1667. Laisant repousse aussi les Éléments
de géométrie d'Adrien-Marie Legendre, réédités
au long du XIXe siècle, car, écrit-il, pour amener
l'élève à chercher par lui-même, à découvrir les
propriétés, à se poser des problèmes, « il faut
soigneusement éviter la forme dogmatique et
pénible de Legendre<fnref n="10" /> ».

Pour lui, « on a voulu trop longtemps réduire la
Géométrie à un mécanisme logique et [...] on
s'imaginait la diminuer en lui attribuant une
origine expérimentale<fnref n="11" /> ». Par exemple, depuis
Euclide, on définit les triangles égaux par leur
superposabilité. Mais, une superposition peut
s'effectuer effectivement par glissement dans le
plan ou bien par retournement, or<fnref n="12" /> :

La différence philosophique est capitale,
puisqu'on n'arrive à la superposition [par
retournement] qu'en sortant de l'espace
à deux dimensions que l'on étudie. Elle
engendre une conséquence intéressante, car
c'est la base même de la symétrie, qu'on doit
étudier le plus tôt possible.

Laisant explique que de nouveaux contenus
doivent être introduits « précocement » dans
l'enseignement. Il indique les principaux sujets
que doit comprendre un « enseignement métho-
dique et raisonné » de la géométrie : l'idée géné-
rale de transformation, l'homothétie puis la simi-
litude, l'inversion, « cette méthode si puissante, si

<footnote n="3">3. [Laisant, 1906, 68].</footnote>

<footnote n="4">4. [Laisant, 1898, 92].</footnote>

<footnote n="5">5. [Laisant, 1898, 142].</footnote>

<footnote n="6">6. [Houël, 1867, vi].</footnote>

<footnote n="7">7. [Houël, 1867, 59].</footnote>

<footnote n="8">8. [Barbin, 2015, 228-231].</footnote>

<footnote n="9">9. [Barbin, Menghini, Moktefi, 2013, 59].</footnote>

<footnote n="10">10. [Laisant, 1898, 222].</footnote>

<footnote n="11">11. [Laisant, 1898, 223].</footnote>

<footnote n="12">12. [Laisant, 1898, 224].</footnote>
féconde et si simple, même dans des cours tout à fait élémentaires<fnref n="13" /> ».

La « Géométrie moderne » ne doit pas être banlieue de l'enseignement, ni rejetée en bloc à la fin des études, car « donner de bons outils à l'ouvrier quand la tâche est finie ne me paraît pas être le comble de la logique<fnref n="14" /> ». Quelques années plus tôt, Laisant a pris connaissance d'un ouvrage de géométrie qui s'accorde avec les changements qu'il souhaite.

## Laisant « exhume » les Nouveaux éléments de géométrie de Charles Méray

Méray a été enseignant de lycée avant de devenir professeur à l'Université de Dijon en 1867. En 1874, il écrit un manuel en dehors de tout programme et peu connu, jusqu'à ce que Laisant le découvre et lui consacre un article en 1901 dans la revue *L'Enseignement mathématique*<fnref n="15" /> :

> On peut affirmer que les Nouveaux éléments sont, dans toute la force du terme, une œuvre de conscience. Il ne faut pas longtemps au lecteur pour s'en apercevoir. « L'origine première des vérités géométriques est incontestablement expérimentale » dit l'auteur dès la préface. [...]

> C'est au mouvement de translation que cette notion [le parallélisme] est empruntée; et,ussé-je faire frémir d'indignation certains admirateurs des Grecs, je trouve que l'au-teur a cent fois raison, et que chaque élève comprendra mieux le mouvement d'un tiroir et le rôle des glissières, que des digres-sions raffinées sur le fameux *Postulatum*.

Nous examinons la manière dont Méray traite et relie la translation et le parallélisme, comme nous le ferons pour les deux autres auteurs de manuels dans cet article. Il est important de noter que, contrairement aux manuels de l'époque, il aban-

donne la distinction entre géométrie plane et géométrie dans l'espace. Sa géométrie s'appuie sur la notion de mouvement<fnref n="16" /> :

> Le plus simple des mouvements qui puissent animer une figure solide, est celui de transport ou de translation, analogue au mouvement d'un tiroir bien ajusté dans son ouverture, d'un piston dans son corps de pompe, d'une caisse de wagon sur une voie bien rec-tiligne [...].

Par définition, deux droites (distinctes) sont 'parallèles', quand une simple translation de l'une suffit pour la superposer à l'autre. Méray démontre que deux droites parallèles coïncident après toute translation qui amène un point quel-conque de l'une, à être situé sur l'autre<fnref n="17" />. Ceci lui permet de déduire l'axiome des parallèles à partir de la notion de translation. Le manuel est réédité en 1903, probablement avec l'aide de Laisant. En effet, le début du XXe siècle connaît des réformes sur l'enseignement des mathématiques en France et ailleurs, auxquelles Laisant est mêlé, directement ou non. Les réformes prônent un enseignement expérimental des mathématiques, en particulier en géométrie.

## Le mouvement international pour une réforme de l'enseignement (1890-1910)

Les promoteurs de la réforme présentent quatre grands types d'arguments<fnref n="18" />. Le premier argument est mathématique, de prendre en compte les tra-vaux mathématiques récents, ceux de Bolyai et Lobatchevski, mais aussi ceux de Felix Klein et de David Hilbert. Le deuxième est pédagogique, de lutter contre un enseignement trop dogmatique ou artificiel, d'utiliser des expériences et des situa-tions réelles. Le troisième est épistémologique, de relier les mathématiques entre elles et aux autres sciences. Le quatrième et dernier est politique ou social, celui de la nécessité de dispenser un ensei-gnement plus démocratique correspondant aux besoins de la société.

<footnote n="13">13. [Laisant, 1898, 226].</footnote>

<footnote n="14">14. [Laisant, 1898, 226].</footnote>

<footnote n="15">15. [Laisant, 1901, 99-100].</footnote>

<footnote n="16">16. [Méray, 1874, 10].</footnote>

<footnote n="17">17. [Méray, 1874, 12].</footnote>

<footnote n="18">18. [Barbin, 2020, 219].</footnote>
La « laboratory method » dans la réforme outre-atlantique

Nous examinons la réforme de l'enseignement
en Grande-Bretagne et aux États-Unis car les
livres de Laisant y sont connus, en particulier
La Mathématique Philosophie – Enseignement
de 1898. L'Américain Jacob Young le cite une
demi-douzaine de fois dans son ouvrage de 1907
sur l'enseignement mathématique élémentaire et
secondaire<fnref n="19" />.

L'aspect expérimental y joue un rôle impor-
tant. En Grande-Bretagne, les promoteurs de
la réforme utilisent le terme de « workshops »,
et les auteurs Américains celui de « laboratory
method » pour désigner<fnref n="20" />: 1) un enseignement
lié aux autres sciences pour l'Anglais John Perry;
2) une « géométrie concrète » pour l'Américaine
Adelia Hornbrook; 3) une approche théorique
et pratique des mathématiques pour l'Américain
Eliakim Moore; 4) un moyen de lier les domaines
mathématiques pour Moore ou George Myers.

Perry est un ingénieur devenu professeur de
mathématiques au Royal College of Science à
Londres. En 1901, il affirme devant l'Association
britannique pour l'avancement des sciences :
« Un professeur ne doit jamais ignorer que la
méthode correcte d'enseigner n'importe quel
sujet doit passer par un travail expérimental<fnref n="21" /> ».
Dans son projet d'un « Cours de mathématiques
élémentaires pour les garçons et les filles », il pro-
pose, par exemple, de déterminer des aires des
figures irrégulières avec un planimètre, en pesant
des morceaux de carton, ou en comptant des
carrés sur du papier quadrillé, etc.<fnref n="22" />. L'utilisation
du papier quadrillé est très présente, dans le
calcul de taux, pente d'une courbe, détermina-
tion de maximum et de minimum, etc. Le Cours
contient aussi des « illustrations expérimentales »
du Livre VI des Éléments d'Euclide, qui sert encore
de base à l'enseignement de la géométrie en
Grande-Bretagne<fnref n="23" />.

La « géométrie concrète » de Hornbrook s'at-
taque au problème difficile de tracer un chemin
graduel du « concret » au théorique. Professeure
de mathématiques à Evansville (Indiana) puis
principale de l'Université de l'Académie de
Chicago, elle écrit en 1895 un texte sur les
méthodes de laboratoire pour l'enseignement des
mathématiques dans les écoles secondaires et en
1896 un manuel scolaire Concrete geometry for
beginners, qui semble destiné aux enseignants<fnref n="24" />.
Elle écrit dans la préface<fnref n="25" /> :

Le but de l'ouvrage est d'éveiller graduellement, par des méthodes simples et naturelles, la conscience mathématique de l'élève et de guider ses perceptions de manière à l'amer- ner à poser des bases solides pour la géomé- trie démonstrative au moyen de ses propres observations et inventions.

Moore est mathématicien et, à partir de 1894,
directeur du département des mathématiques de
l'Université de Chicago. Son but est aussi de cher-
cher à joindre l'expérience à la théorie. Dans l'ar-
ticle de 1903 « On the foundations of mathema-
tics », il examine les conséquences de la géométrie
formelle d'Hilbert et explique que l'enseignement
de la géométrie démonstrative doit être réformé,
tout en résolvant « le problème fondamental
qui est l'unification des mathématiques pures et
appliquées<fnref n="26" /> ». Il s'accorde avec le philosophe
John Dewey, lui aussi de l'Université de Chicago,
pour tracer un passage graduel de la géométrie
pratique à la théorique<fnref n="27" />. À cet effet, il promeut
la méthode de laboratoire : « La méthode de
laboratoire [est une manière] de développer chez
chaque étudiant un véritable esprit de recherche
et une appréciation, tant pratique que théorique,
des méthodes fondamentales de la science<fnref n="28" /> ».

Myers est un astronome et mathématicien à
l'Université de Chicago qui écrit plusieurs articles
sur la « laboratory method » dans les années

<footnote n="19">19. [Young, 1907].</footnote>

<footnote n="20">20. [Barbin, 2020, 227].</footnote>

<footnote n="21">21. [Perry, 1902, 19]. Toutes les citations en anglais sont traduites en français par l'auteur de l'article.</footnote>

<footnote n="22">22. [Perry, 1902, 25-29].</footnote>

<footnote n="23">23. [Barbin, Menghini, Moktefi, 2013, 65-69].</footnote>

<footnote n="24">24. [Barbin, 2020, 228].</footnote>

<footnote n="25">25. [Hornebrook, 1896, 3].</footnote>

<footnote n="26">26. [Moore, 1903, 409].</footnote>

<footnote n="27">27. [Barbin, 2020, 226-227].</footnote>

<footnote n="28">28. [Moore, 1903, 411-412].</footnote>
## Moore et Laisant sur le papier quadrillé

La « laboratory method » prône l'usage d'instruments qui, en géométrie, ne se limitent plus à la règle et au compas. Un instrument universel est le papier quadrillé. En 1906, dans « Le papier quadrillé comme instrument mathématique », Moore montre son rôle pour résoudre « le problème de la corrélation plus étroite de l'arithmétique, de l'algèbre et de la géométrie », ou encore carrément « le problème de l'unification des mathématiques élémentaires pures et appliquées ». Il propose « de canoniser le papier quadrillé<fnref n="30" /> ».

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. 2. L'étude de l'hyperbole avec le papier quadrillé chez Moore<fnref n="31" />.</figcaption></figure>

1900. Comme Moore, il montre le rôle de cette méthode pour corréler les domaines mathématiques dans l'enseignement<fnref n="29" />:

> La corrélation [des domaines] fait que l'éducation de l'élève – y compris son éducation mathématique – résulte d'une étude rationnelle par l'élève de sa propre expérience. Pour les mathématiques dans l'enseignement secondaire, cela signifierait non seulement que l'algèbre, la géométrie, la physique et l'astronomie devraient être enseignées côte à côte. Cela signifie plus que cela; cela signifie aussi la méthode de laboratoire appliquée aux mathématiques.

Dans L'Éducation fondée sur la science de 1905, Laisant présente le papier quadrillé comme instrument d'un enseignement expérimental, par exemple, son usage pour voir la somme des entiers successifs. Il y voit un moyen de conduire à l'abstraction<fnref n="32" />:

> Précisément, plus [une science] est abstraite et plus elle est simple. En géométrie, par exemple, quand on fera dessiner des figures à l'enfant sur du papier quadrillé, il aura le sentiment de ce qu'on appelle des lignes et il les tracera. Or qu'est-ce qu'une ligne?

> Cela n'existe que dans notre esprit. [...] Nous savons très bien que rien de ce que nous appelons figure géométrique n'existe dans la nature, mais nous en avons la notion nette, précise, par le fait même de la contemplation des objets extérieurs qui par leurs formes se rapprochent des figures en question.

Plusieurs manuels de géométrie élémentaire parus au tournant du siècle, anglais et américains, introduisent un aspect expérimental et posent la question cruciale de savoir comment passer de l'expérience à la théorie<fnref n="33" /> ?

<footnote n="29">29. [Myers, 1903, 25].</footnote>

<footnote n="30">30. [Moore, 1906, 338].</footnote>

<footnote n="31">31. [Moore, 1906, 321].</footnote>

<footnote n="32">32. [Laisant, 1905, 26].</footnote>

<footnote n="33">33. [Barbin, 2020, 231].</footnote>
## La réforme de 1905 en France : les manuels de Borel et Bourlet

La réforme en France connaît deux étapes, en 1902 et en 1905³⁴. Le programme de géométrie de 1905 adopte l'ordre habituel des matières, mais les Instructions pour le premier cycle suivent les conceptions de Méray que Laisant a promues<fnref n="35" /> :

> Premier cycle. – Si le programme est rédigé dans l'ordre habituel, c'est afin de n'imposer aucun ordre particulier; il est entendu que celui qui est indiqué n'est pas celui qu'on suivra dans l'enseignement. [...] Un appel constant à la notion de mouvement semble devoir faciliter l'enseignement de la géométrie; c'est ainsi que le parallélisme sera lié à la notion expérimentale de translation, que l'étude des droites et plans perpendiculaires résultera de la rotation; l'idée d'égalité sera liée à celle du transport des figures.

Il indique pour le cycle suivant : « Second cycle. – La forme à donner à l'enseignement est celle qui est adoptée actuellement, les études faites dans le premier cycle ayant préparé les élèves à recevoir un enseignement logique<fnref n="36" /> ». Ainsi, à un enseignement expérimental fondé sur le mouvement succède un « enseignement logique » qui suppose l'énoncé d'axiomes et de propositions à l'intérieur d'une théorie. La lecture de leurs manuels permet de voir comment Émile Borel et Carlo Bourlet envisagent l'enseignement dans le premier cycle et le passage de l'un à l'autre cycle.

## La géométrie de Borel (1905)

Borel a fait partie de la commission qui a conçu les nouveaux programmes. Dans son manuel Géométrie. Premier et Second cycles 1905, il écrit<fnref n="37" /> :

> Je suis fermement convaincu que dans quelques dizaines d'années au plus tard, l'enseignement de la géométrie aura une base plus moderne. Il trouvera cette base

> dans les travaux des grands géomètres et analystes du XIXe siècle qui nous ont appris que : La Géométrie est l'étude du groupe des mouvements. [...] J'ai cherché à écrire une Géométrie plus concrète, où les considérations de symétrie, de déplacements, sont invoquées le plus souvent possible.

Borel connaît probablement les écrits américains car il a donné une conférence sur les laboratoires de mathématiques en 1904 devant des professeurs de lycée<fnref n="38" />.

Nous savons, grâce à une lettre de Borel à Laisant de 1906, qu'il prend des distances vis-à-vis de l'ouvrage de Méray, qui lui paraît « inutilement compliqué et inutilisable sur une grande échelle ». Il formule ainsi son désaccord principal<fnref n="39" /> :

> Ce qu'il y a de pis c'est l'introduction de la translation; ce qu'il y a d'incomplet, c'est de ne pas introduire en même temps la rotation: il n'est question de cercle dans son livre qu'après plusieurs chapitres.

> Pour ma part, dans ma géométrie récente, que je vous fais envoyer, j'ai cité Méray [...] mais je me suis gardé de le suivre pas à pas.

En effet, Méray n'introduit le mouvement de rotation qu'au chapitre IV, dans lequel est traité la perpendicularité des droites et des plans. Pour lui, la translation est liée à l'axiome des parallèles. Tandis que, pour Borel, il s'agit d'introduire la géométrie comme l'étude du groupe des mouvements, la rotation aussi bien que la translation.

Selon Borel, il est bon de conserver l'édifice euclidien jusqu'à ce qu'on puisse le remplacer par un édifice aussi parfait, en harmonie avec la science actuelle et « adapté aux exigences de la société moderne ». L'ordre suivi dans la partie I de son manuel est complexe, car il mêle des notions récentes, à d'autres plus anciennes, comme celles des « perpendiculaires et obliques », héritées du manuel d'Antoine Arnauld.

<footnote n="34">34. [Belhoste, 1990].</footnote>

<footnote n="35">35. [Arrêtés, 1905, 493, 494].</footnote>

<footnote n="36">36. [Arrêtés, 1905, 496].</footnote>

<footnote n="37">37. [Borel, 1905, v et vii].</footnote>

<footnote n="38">38. [Borel, 1904].</footnote>

<footnote n="39">39. [Borel, 1906].</footnote>
## Partie I – « La droite et le cercle »

I à X : figures planes, symétrie par rapport à un axe, perpendiculaires et obliques, etc.

X1 à XIII : mouvement de translation, angle, mouvement de rotation.

XIV à XXVII : cas d'égalité des triangles, polygones réguliers, etc.

Partie II – « Le plan et les corps ronds ». Cette partie « étend la première partie à l'espace ».

Partie III – « Similitude. Aires et volumes ». « La géométrie en quelque sorte arithmétique ou algébrique » : applications de l'algèbre à la géométrie, trigonométrie, homothétie.

Tab. 1. L'ordre du manuel de Borel.

La définition de la translation suit l'introduc-
tion de l'équerre et de l'idée de « glissement ».

Un exemple de mouvement de translation est le
mouvement de l'équerre le long de la règle.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Fig. 3.
L'équerre et
la translation dans
le manuel de Borel<fnref n="40" />.</figcaption></figure>

La « propriété fondamentale de la translation » est énoncée ensuite, à savoir que, dans une translation, tous les points d'une figure se déplacent de longueurs égales. Deux définitions de droites parallèles sont énoncées : d'une part, on peut les faire coïncider par translation et, d'autre part, elles ne se rencontrent pas. Cette seconde définition est celle qui figure dans les Éléments d'Europe. L'équivalence des deux définitions n'est pas montrée. La définition de la distance entre deux parallèles résulte de la « propriété fondamentale » et elle permet d'obtenir l'axiome des parallèles.

Le Cours abrégé de géométrie
de Carlo Bourlet (1906)

Bourlet est professeur au Lycée Saint-Louis et à l'École des Beaux-Arts, il écrit, en 1904, un article élogieux<fnref n="41" /> sur l'ouvrage de Méray dans les Nouvelles annales mathématiques. Son Cours est destiné à favoriser une « géométrie plus intuitive<fnref n="42" /> » :

La réforme de méthode consiste essentiellement à rattacher la notion de parallélisme à celle de translation. [...] Elle présente le double avantage d'être beaucoup plus intuitive et, par suite, plus facilement accessible aux jeunes cerveaux, et de ranger les faits

<footnote n="40">40. [Borel, 1905, 4].</footnote>

<footnote n="41">41. [Bourlet, 1904].</footnote>

<footnote n="42">42. [Bourlet, 1905, v].</footnote>
géométriques, dans un ordre de complication graphique croissante. [...]

La réforme d'enseignement invite les professeurs à faire souvent appel à l'expérience, dans le premier Cycle, et à réaliser une union étroite entre la Géométrie et ses applications au Dessin graphique.

Le chapitre I est en effet consacré à des exercices graphiques.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Fig. 4.</figcaption></figure>

Un dallage dans
le manuel de Bourlet<fnref n="43" />.

Le chapitre II porte sur les « déplacements élémentaires », dont les « plus simples sont la translation rectiligne et la rotation ». Bourlet rompt avec l'ordre euclidien en commençant par la translation, définie à partir de l'idée de glissement d'un T ou d'une équerre. Puis il énonce un postulat qui lui a été inspiré par la lecture de Méray : « Postulat. Deux translations rectilignes successives peuvent être remplacées par une seule<fnref n="44" /> ».

Bourlet passe de la définition de deux parallèles à la démonstration du « dit axiome des parallèles » par une suite de raisonnements et de théorèmes successifs :

1) Définition. Deux droites, situées dans un même plan, sont dites parallèles lorsque l'une se déduit de l'autre par une translation.

2) Théorème. Deux droites parallèles qui ont un point commun coïncident.

3) Théorème. Deux droites parallèles distinctes ne se rencontrent pas.

4) Théorème. Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles (en utilisant le postulat).

5) L'axiome des parallèles. La preuve repose sur le tracé de deux parallèles à l'aide d'une équerre glissant sur une règle et sur le postulat. L'unicité est démontrée par l'absurde.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Fig. 6.</figcaption></figure>

La démonstration du « dit axiome des parallèles » chez Bourlet<fnref n="46" />.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Fig. 5.</figcaption></figure>

Définition d'une translation
et composition de deux translations
chez Bourlet<fnref n="43" />.

## La discussion à la Société française de philosophie de 1907

Une discussion sur l'enseignement de la géométrie a lieu à la Société française de philosophie en mars 1907. Bourlet y présente les nouveaux programmes avant de donner un exposé sur la notion de groupe et sur les groupes de transformations. Plusieurs philosophes sont présents, comme Pierre Boutroux et Léon Brunschvicg, et des mathématiciens, comme Émile Borel. Laisant ne semble pas être là.

<footnote n="43">43. [Bourlet, 1906, 60].</footnote>

<footnote n="44">44. [Bourlet, 1906, 67].</footnote>

<footnote n="45">45. [Bourlet, 1906, 66-68].</footnote>

<footnote n="46">46. [Bourlet, 1906, 72].</footnote>
En 1906, des « Éclaircissements » sur les nouveaux programmes ont été rédigés par un inspecteur, que Bourlet cite<sup>47</sup> :

> Voici pour ma part comme je comprends les choses. Prenons par exemple la théorie des parallèles qui est celle dont on a le plus discuté. Je trouve excellent d'introduire cette notion par le glissement d'une équerre le long d'une règle, de la rendre ainsi familière aux élèves, de leur donner le sens et la possession intime; mais je ne crois pas qu'il convienne de fonder sur l'idée de translation, la définition des parallèles qu'on doit apprendre aux élèves. Plus tard, en effet, ils feront de la géométrie logique, ils fonderont l'étude de la translation sur la définition euclidienne de la parallèle et il me semble très imprudent de mettre dans un jeune cerveau, sous la forme lapidaire d'une définition une idée qu'il ne pourra conserver plus tard.

Ceci pose la question cruciale de savoir comment passer de l'expérience à la théorie. Pour Bourlet, il n'y a pas de « cercle vicieux » entre les deux cycles car il est possible de concevoir dans le premier cycle un enseignement à la fois expérimental et logique<sup>48</sup> :

> Le plan que j'ai conçu consiste à faire une nouvelle géométrie complète et rigoureuse (autant que l'ancienne) basée sur les propriétés des déplacements et dont la notion de groupe est le fil conducteur. Puis réduire, abréger cette géométrie en substituant aux démonstrations délicates du début, des vérifications expérimentales.

Borel intervient le premier après l'exposé de Bourlet. Il est en gros d'accord avec Bourlet, mais il estime nécessaire de distinguer deux questions, celle de créer un enseignement logique basé sur la notion de mouvement et celle de rendre intuitif l'enseignement élémentaire en premier et second cycles, tout en réservant l'enseignement logique à la classe de mathématiques. Elles sont distinctes car la première est « intérieure » aux mathéma-

tiques, tandis que la seconde « au contraire » a un intérêt plus grand et plus général, « au point de vue social ». Il s'agit de la formation de l'esprit des élèves de « toute la partie cultivée de la nation » alors qu'une faible minorité iront jusqu'en classe de mathématiques<sup>49</sup>. Or, dit-il, beaucoup d'élèves s'ennuient dès que les mathématiques sont trop abstraites.

## Conclusion

### Unification des mathématiques et expérimentation

En 1898, Laisant s'explique ainsi sur le titre de son ouvrage : « La mathématique est une ». « La mathématique ne comporte pas, dans ses éléments, des procédés pédagogiques différents les uns des autres<sup>50</sup> ». Il faut donc une « refonte » de l'enseignement pour lutter contre l'impression d'un « entassement » d'éléments disparates<sup>51</sup> :

> C'est ce débroussaillement, ce déblaiement qui doit être surtout la grande œuvre actuelle. Lorsqu'il aura été opéré, lorsque les éléments d'Arithmétique, d'Algèbre et de Géométrie auront été dégagés de la foule des propositions parasites et réduits à l'exposition des idées directrices et des méthodes essentielles, on aura gagné un temps précieux, et du même coup on aura ainsi rendu plus nettes les notions jetées dans les cerveaux.

Cette citation est traduite dans l'ouvrage de Young<sup>52</sup>. Son propos rejoint ceux du réseau de l'Université de Chicago visant une approche expérimentale et la corrélation entre les domaines mathématiques. Laisant conçoit leur unification dans la manière particulière dont toutes les mathématiques sont expérimentales. Car, comme nous l'avons vu plus haut : « Ce qui distingue la Mathématique des autres sciences, c'est qu'elle emprunte à l'expérience, au monde extérieur, un minimum de notions ». Les mathématiques apparaissent comme une en raison de cet emprunt expérimental spécifique.

<footnote n="47">47. [Bourlet, 1907, 227-228].</footnote>

<footnote n="48">48. [Bourlet, 1907, 228].</footnote>

<footnote n="49">49. [Bourlet, 1907, 242].</footnote>

<footnote n="50">50. [Laisant, 1898, 265-266].</footnote>

<footnote n="51">51. [Laisant, 1898, 270].</footnote>

<footnote n="52">52. [Young, 1907, 98].</footnote>
# Références

## Archives

**Borel Émile**, (1906). Lettre de Borel à Laisant du 6 février 1906, Papiers Charles-Ange Laisant, Bibliothèque nationale de France – Départements des Manuscrits, NAF 28336 (3), F. 349-350.

## Sources primaires

Arrêtés des 27, 28 juillet et 8 septembre, (1905). *L'Enseignement mathématique*, 7, 491-497.

**Borel Émile**, (1904). « Les exercices pratiques de mathématiques dans l'enseignement secondaire », *Revue générale des sciences pures et appliquées*, 10, 431-440.

—, (1905). *Géométrie. Premier et second cycle*, Paris, Armand Colin.

**Bourlet Carlo**, (1904). *Bibliographie, Nouvelles annales de mathématiques, 4, 4, 211-219*.

—, (1906). *Cours abrégé de géométrie. Géométrie plane*, Paris, Hachette.

—, (1907). *L'enseignement de la géométrie, Bulletin de la Société française de Philosophie*, 7, 225-261.

**Hornbrook Adelia**, (1896). *Concrete geometry for beginners*, New York, American Book Company.

**Houël Jules**, (1867). *Essai critique sur les principes fondamentaux de la géométrie élémentaire*, Paris, Gauthier-Villars.

**Laisant Charles-Ange**, (1898). *La Mathématique. Philosophie – Enseignement*, Paris, Carré et Naud.

—, (1901). « Une exhumation géométrique », *L'Enseignement mathématique*, 3, 98-105.

—, (1905). *L'Éducation fondée sur la science*, Paris, Félix Alcan.

—, (1906). *Initiation mathématique*, Paris, Hachette.

**Méray Charles**, (1874). Nouveaux éléments de géométrie, Paris, Savy.

**Moore Eliakim**, (1903). « On the foundations of mathematics ». *Science*, 17, 428, 401-416.

—, (1906). « The Cross-Section Paper as a Mathematical Instrument », *The School Review*, 14, 5, 317-338.

**Myers George**, (1903). « Correlations of subjects in secondary mathematical teaching », *The School Review*, 11, 1, 21-30.

**Perry John**, (éd.), (1902). *Discussion on the teaching of mathematics*, London, Macmillan and Co.

**Young Jacob**, (1907). *The Teaching of Mathematics in the Elementary and the Secondary School*, New-York, Longmans, Green and Co.
## Sources secondaires

**Barbin Évelyne, Menghini Marta, Moktefi Amirouche,** (2013). « Les dernières batailles d'Euclide : sur l'usage des *Éléments* pour l'enseignement de la géométrie au XIXe siècle », Barbin, É., Moyon, M., (éd.), Les ouvrages de mathématiques entre recherche, enseignement et culture, Limoges, PULIM, 57-68.

**Barbin Évelyne,** (2015). « Le mouvement et le calcul : le rôle de l'expérience mathématique selon Jules Houël », Barbin, É., Cléro, J.-P. (éd.), *Les mathématiques et l'expérience : ce qu'en en dît les philosophes et les mathématiciens*, Paris, Hermann, 223-246.

—, (2020). « From experimental geometry to theoretical geometry in new pedagogical movements at the turn of 19th-20th centuries (1872-1906) », Barbin, É. et al., *Proceedings of the Sixth International Conference on the History of Mathematics Education*, Münster, WTM Verlag.

**Belhoste Bruno,** (1990). « L'enseignement secondaire français et les sciences au début du XXe siècle. La réforme de 1902 des plans d'études et des programmes », *Revue d'histoire des sciences*, 43, 4, 371-400.