# Convection naturelle dans une cavité rectangulaire inclinée de différents rapports de forme

Rida Zarrit ¹,²*, Mohamed Seghir Boumaza ²†, Sofiane Kherrour ¹ et Bachir Dadda ¹

¹ Unité de Recherche Appliquée en Energies Renouvelables, URAER
Centre de Développement des Energies Renouvelables, CDER
47133, Ghardaïa, Algeria

² Laboratoire de Physique de Guelma, LPG
Département Science de la matière, Université 8 Mai 1945, Guelma, Algeria

(reçu le 15 Décembre 2015 – accepté le 25 Mars 2016)

**Résumé** - Dans ce travail, nous étudions numériquement la convection naturelle instationnaire et bidimensionnelle dans une cavité rectangulaire inclinée et chauffée différentiellement. Le nombre de Rayleigh varie entre $10^3 \le Ra \le 10^4$, le rapport de forme ($1 \le A \le 6$) et l'angle d'inclinaison $\theta$ comprise entre $\theta=0°$ et $180°$. En utilisant l'approximation de Boussinesq, les équations de Navier Stokes sont écrites avec la formulation fonction de courant-vorticité ($\psi-\Omega$), puis elles sont discrétisées par la méthode des différences finies. Nos calculs mettent en évidence l'influence de l'angle d'inclinaison et le rapport de forme sur la structure de l'écoulement et le transfert de chaleur.

**Abstract** - In this work we study numerically the unsteady and two-dimensional natural convection in an inclined rectangular cavity heated differentially. The Rayleigh number varies between $10^3 \le Ra \le 10^4$, the aspect ratio ($1 \le A \le 6$) and the tilt angle $\theta$ between $0°$ and $180°$. Using the Boussinesq approximation, the Navier Stokes equations are written with the stream function-vorticity ($\psi-\Omega$) formulation and are discretized by the finite difference method. Our calculations show the influence of the inclination angle and the aspect ratio on the structure of the fluid flow and heat transfer.

**Keywords** - Natural convection - Inclined cavity - Finite differences – Boussinesq approximation - Aspect ratio.

## 1. INTRODUCTION

Dans les milieux confinés, quand un fluide est soumis à un gradient de densité causés par des variations locales de température, des forces volumiques dues au champ de gravité induisent un mouvement convectif; c'est la convection naturelle. Ces écoulements de convection naturelle en espace confiné sont présents dans de nombreux phénomènes naturels et processus industriels (eg. le refroidissement des circuits électriques et les réacteurs nucléaires, le confort thermique dans l'habitat, les systèmes thermiques solaires).

L'étude d'un tel phénomène, a conduit à une importante bibliographie spécialisée qui s'est accumulée au fur des années. Une étude détaillée de la convection naturelle dans des milieux confinés a été donnée par Béjan [1]. La majorité des travaux portant sur deux cas: la cavité horizontale chauffée par le bas dite de Rayleigh-Bénard et la cavité verticale différentiellement chauffée. La convection de Rayleigh-Bénard et l'instabilité hydrodynamique ont fait l'objet d'études intensives durant les dernières années. Parmi les premières études portant sur le sujet, nous pouvons citer les travaux de Gelfgat [2] et D'Orazio *et al.*, [15], Ouertatani *et al.*, [19] et Lappa [16], ou encore la

<footnote>* r.zarrit@uraer.dz, s_kherrour@uraer.dz, dadbac@uraer.dz</footnote>

<footnote>† ms.boumaza@yahoo.fr</footnote>
cavité verticale différentiellement chauffée par un gradient de température horizontal. Parmi ces études, on trouve celles de De Vahl Devis [9], Küblерck et al., [12], Wan et al., [4], Markatos et al., [18] et Barakos et al., [8].

En effet l'inclinaison peut aussi avoir un rôle important sur les phénomènes physiques rencontrés dans les domaines industriels et naturels. La littérature comporte de nombreux travaux relatifs au sujet de la convection naturelle dans une enceinte. Aussi, l'écoulement de la convection naturelle dans des cavités rectangulaires inclinées a été étudié expérimentalement et numériquement par de nombreux chercheurs. En se limite aux travaux liés à notre étude. A titre d'exemple, plusieurs études numériques ont été réalisées par Hamady et al., [7], Soong et al., [3], Wang et al., [11], Raos [17] et Henderson et al., [6] et récemment Pivovarov [5], G. Huelsz et al., [10] et Khezzar et al., [13, 14].

L'objectif de ce travail est l'étude de l'influence de l'inclinaison de l'enceinte sur l'aspect thermique, et la détermination de la structure de l'écoulement. Nous considérons de l'air avec un nombre de Prandtl $Pr = 0.71$, et $10^3 \le Ra \le 10^4$, pour différentes inclinaisons variant de $\theta^0$ à $180^0$. Le rapport de forme $A = H/L$ varie entre 1 et 6.

## 2. FORMULATION MATHEMATIQUE

L'écoulement de convection naturelle est supposé laminaire. Il est régi par les équations de conservation de masse, de quantité de mouvement et de l'énergie. Le fluide considéré est supposé newtonien, incompressible et visqueux et obéit à l'approximation de Boussinesq, $\rho = \rho_0(1 - \beta(T' - T_0))$. Les propriétés physiques du fluide sont considérées constantes, sauf dans le terme de force de pesanteur. On suppose également que la dissipation visqueuse et les sources de chaleurs sont négligeables dans l'équation de l'énergie.

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Fig. 1: Représentation schématique de l'enceinte dans un repère cartésien</figcaption></figure>

On considère la longueur de la cavité (L) comme longueur caractéristique, ($L^2/\alpha$) comme temps caractéristique et ($\alpha/L$) comme une vitesse caractéristique. Toutes les grandeurs adimensionnelles du problème sont données par:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
(X, Y) = \left( \frac{X'}{L}, \frac{Y'}{L} \right), \tau = \frac{t' \alpha}{L^2}, U = \frac{u L}{\alpha}, \\[1em]
V = \frac{v L}{\alpha}, \Psi = \frac{\Psi'}{\alpha}, \Omega = \frac{\Omega' L^2}{\alpha}, T = \frac{T' - T_0}{\Delta T'} \\[1em]
\text{et } \Delta T' = T'_c - T'_F \text{ et } T' = \frac{T'_c - T'_F}{2}
\end{array}
\right.
\qquad (1)
$$

Pour un écoulement laminaire les équations adimensionnelles qui régissent le système, écrites en formulation fonction de courant-vorticité ($\Psi - \Omega$), sont:

$$
\frac{\partial \phi}{\partial \tau} + \frac{\partial}{\partial X} \left( U \cdot \phi - \Gamma \frac{\partial \phi}{\partial X} \right) + \frac{\partial}{\partial Y} \left( V \cdot \phi - \Gamma \frac{\partial \phi}{\partial Y} \right) = Q \quad (2)
$$

Pour-$\phi = T$

$$
\Gamma = 1 \quad \text{et} \quad Q = 0 \tag{3}
$$

Pour-$\phi = \Omega$

$$
\Gamma = \text{Pr} \quad \text{et} \quad Q = \text{Ra} \cdot \left( \sin \theta \cdot \frac{\partial T}{\partial X} + \sin \theta \cdot \frac{\partial T}{\partial Y} \right) \quad (4)
$$

$$
\frac{\partial^2 \Psi}{\partial X^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial Y^2} = -\Omega \quad (5)
$$

Avec-

$$
U = \frac{\partial \Psi}{\partial Y} \quad \text{et} \quad V = \frac{\partial \Psi}{\partial X} \qquad (6)
$$

Pour-$r < 0$

Les conditions initiales sont :

$$
T = U = V = \Psi = \Omega = \tag{7}
$$

Pour- $r \ge 0$, les conditions aux limites hydrodynamiques sont caractérisées par l'imperméabilité des parois rigides et le nom glissement des particules fluides sur celles-ci, ce qui donne, $U = V = 0$.

Les conditions aux limites thermiques sont :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
T = \mp \frac{1}{2} : X = \mp \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad -\frac{A}{2} \le Y \le +\frac{A}{2} \\[1em]
\frac{\partial T}{\partial Y} = 0 : Y = \mp \frac{A}{2} \quad \text{et} \quad -\frac{1}{2} \le X \le +\frac{1}{2}
\end{array}
\right.
\qquad (8)
$$

Où A, est le rapport de forme de la cavité $A = H / L$.
Sur les parois actives du domaine, le nombre de Nusselt local est donné par l'expression suivante:

$$Nu_C^L(Y, \tau) = -\left.\frac{\partial T}{\partial X}\right|_{X=\pm\frac{1}{2}} \qquad (9)$$

Tandis que le nombre de Nusselt moyen est représenté par:

$$Nu_C = \frac{1}{A} \cdot \int_{-A/2}^{+A/2} \left. -\frac{\partial T}{\partial X} \right|_{x=\pm 1/2} dY \qquad (10)$$

### 3. MODELE NUMERIQUE

La méthode de résolution utilisée est basée sur un schéma numérique aux différences finies. La procédure de résolution consiste à utiliser la méthode implicite aux directions alternées (ADI) (Kübelbeck et al., [12], Aydin [20]) pour l'équation (2), qui est une forme générique des deux équations paraboliques, l'équation de l'énergie est celle du transport de vorticité.

La méthode (ADI) donne lieu à un système algébrique tridiagonal facile à résoudre par l'algorithme de Thomas. L'équation de courant (5), exprimant la vorticité Ω en fonction des dérivées partielles secondes de ψ a été résolue par la méthode explicite de sur-relaxation par point (SOR). Les composantes de la vitesse (6) sont déduites de la discrétisation par un schéma aux différences centrées.

#### Balayage suivant la direction X

$$a_{1,J}^1 \phi_{1-1,J}^{K+1/2} + b_{1,J}^1 \phi_{1,J}^{K+1/2} + c_{1,J}^1 \phi_{1+1,J}^{K+1/2} = d_{1,J}^1 \qquad (11)$$

Avec-

$$d_{1,J}^1 = aa_{1,J}^1 \phi_{1,J-1}^K + bb_{1,J}^1 \phi_{1,J}^K + cc_{1,J}^1 \phi_{1,J+1}^K + \Theta_{1,J}^{K+1/2} \qquad (12)$$

$$\left\{ \begin{array}{l} a_{1,J}^1 = -\frac{U_{1-1,J}^k}{2\Delta X} - \frac{\Gamma}{\Delta X^2} \qquad aa_{1,J}^2 = \frac{V_{1-1,J}^k}{2\Delta Y} + \frac{\Gamma}{\Delta Y^2} \\ \\ b_{1,J}^1 = +\frac{2}{\Delta \tau} - \frac{2\Gamma}{\Delta X^2} \qquad Bb_{1,J}^2 = +\frac{2}{\Delta \tau} - \frac{2\Gamma}{\Delta Y^2} \qquad (13) \\ \\ c_{1,J}^1 = \frac{U_{1+1,J}^k}{2\Delta X} - \frac{\Gamma}{\Delta X^2} \qquad cc_{1,J}^2 = -\frac{V_{1+1,J}^k}{2\Delta Y} + \frac{\Gamma}{\Delta Y^2} \end{array} \right.$$

La température-

$$\Theta_{1,J}^{k+1/2} = 0 \qquad (14)$$

La vorticité-

$$\Theta_{1,J}^{k+1/2} = Ra \cdot Pr \left( \frac{\sin \theta}{2 \Delta X} \left( T_{1+1,J}^{k+1/2} - T_{1-1,J}^{k+1/2} \right) - \frac{\cos \theta}{2 \Delta Y} \left( T_{1,J+1}^{k+1/2} - T_{1,J-1}^{k+1/2} \right) \right) \qquad (15)$$
Balayage suivant la direction Y

$$a_{I,J}^2 \phi_{I-1,J-1}^{K+1} + b_{I,J}^2 \phi_{I,J}^{K+1} + c_{I,J}^2 \phi_{I,J+1}^{K+1} = d_{I,J}^2 \quad (16)$$

Avec-

$$d_{I,J}^2 = aa_{I,J}^2 \phi_{I,J-1}^{K+1/2} + bb_{I,J}^2 \phi_{I,J}^{K+1/2} + cc_{I,J+1}^2 \phi_{I,J+1}^{K+1/2} + \Theta_{I,J}^{K+1} \quad (17)$$

$$ \left\{ \begin{aligned} a_{I,J}^2 &= -\frac{V_{I,J-1}^k}{2\Delta Y} - \frac{\Gamma}{\Delta Y^2} & \quad aa_{I,J}^2 &= \frac{U_{I-1,J}^k}{2\Delta X} - \frac{\Gamma}{\Delta Y^2} \\ b_{I,J}^2 &= +\frac{2}{\Delta \tau} + \frac{2\Gamma}{\Delta Y^2} & \quad bb_{I,J}^2 &= \frac{2}{\Delta \tau} - \frac{2\Gamma}{\Delta X^2} \\ c_{I,J}^2 &= \frac{V_{I,J+1}^k}{2\Delta Y} - \frac{\Gamma}{\Delta Y^2} & \quad cc_{I,J}^2 &= -\frac{U_{I+1,J}^k}{2\Delta X} + \frac{\Gamma}{\Delta X^2} \end{aligned} \right. \quad (18) $$

La température-

$$\Theta_{I,J}^{k+1} = 0 \quad (19)$$

$$\Theta_{I,J}^{k+1} = Ra \cdot Pr \left( \frac{\sin \theta}{2 \Delta X} \left( T_{I+1,J}^{k+1} - T_{I-1,J}^{k+1} \right) - \frac{\cos \theta}{2 \Delta Y} \left( T_{I,J+1}^{k+1} - T_{I,J-1}^{k+1} \right) \right) \quad (20)$$

L'équation de courant (5), qui exprime la vorticité Ω en fonction des dérivées secondes de ψ, a été résolue par un schéma numérique explicite SOR. Les composantes de la vitesse (6) sont exprimées par un schéma de différence centrées.

L'équation de courant est donnée par la formule suivante:

$$\psi_{I,J}^{P+1} = \psi_{I,J}^{P} + \frac{\gamma}{\gamma^*} \left( \psi_{I+1,J}^{P} + \psi_{I+1,J}^{P} \right) + \left( \frac{\Delta X}{\Delta Y} \right)^2 \psi_{I,J+1}^{P} + \left( \frac{\Delta X}{\Delta Y} \right)^2 \psi_{I,J-1}^{P+1} - \gamma^* \psi_{I,J}^{P} - \Delta X^2 \Omega_{I,J}^{P} \quad (21)$$

$$\text{Avec-} \quad \gamma^* = 2 \left( 1 + \left( \frac{\Delta X}{\Delta Y} \right)^2 \right)$$

Le coefficient de sur-relaxation,

$$\gamma = \frac{2 \cdot (1 - (1 - \zeta)^{1/2})}{\gamma} \quad (22)$$

Avec-

$$\zeta = \frac{\left[ \cos\left(\frac{\pi}{n-1}\right) + \left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right)^2 \cos\left(\frac{\pi}{m-1}\right) \right]}{\left[ 1 + \left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right)^2 \right]} \quad (23)$$

La vorticité sur les frontières du domaine a été évaluée par extrapolation des nœuds intérieurs, suivant la méthode de Woods, (Roach [20])
$$ \Omega_P = -\frac{1}{2}\Omega_{P+1} - 3 \cdot \left( \frac{\Psi_{P+1} - \Psi_P}{\Delta\eta^2} \right) \quad (24) $$

L'indice P désigne une paroi rigide et $\Delta\eta$ représente le pas d'espace dans la direction normale à cette paroi. Les composantes de la vitesse U et V sont déterminées explicitement par les expressions 18 et 19:

$$ U_{I,J}^{K+1} = \frac{\psi_{I,J+1}^{K+1} - \psi_{I,J-1}^{K+1}}{2 \cdot \Delta Y} \quad (25) $$

$$ V_{I,J}^{K+1} = \frac{\psi_{I+1,J}^{K+1} - \psi_{I-1,J}^{K+1}}{2 \cdot \Delta Y} \quad (26) $$

Pour calculer le nombre de Nusselt moyen, on calcule d'abord le nombre de Nusselt local à partir de l'${Eq. (9)}$. En utilisant un schéma aux différences finies d'ordre un à droite pour la paroi chaude et à gauche pour la paroi froide. Enfin, le nombre de Nusselt moyen est calculé à partir de l'${Eq. (10)}$, en utilisant la méthode d'intégration de Simpson.

Le critère de convergence appliqué pour atteindre le régime permanent (régime établi) est:

$$ \frac{\sum_{I} \sum_{J} |f_{I,J}^{K+1} - f_{I,J}^{K}|}{\sum_{I} \sum_{J} |f_{I,J}^{K+1}|} \le \varepsilon \quad (27) $$

Où f peut représenter les variables suivantes: T, $\Omega$ et $\psi$.

La précision $\varepsilon$ fixée au préalable entre ($10^{-4}$ et $10^{-6}$). Nos résultats sont en bon accord avec les résultats disponibles dans la littérature. Le maximum d'erreur ne dépasse pas 1.8 %.

Le **Tableau 1** montre cette comparaison en termes de nombre de Nusselt en fonction du nombre de Rayleigh Ra.

<caption>**Tableau 1:** Comparaison des résultats du nombre de Nusselt Nu<sub>ch</sub> pour:</caption>

$$ 10^3 \le Ra \le 10^6, \theta = 90^\circ, A = 1 $$

<table><thead><tr><th></th><th>10<sup>3</sup></th><th>10<sup>4</sup></th><th>10<sup>5</sup></th><th>10<sup>6</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>De Vahl Davis [8] (DF)*</td><td>1.117</td><td>2.238</td><td>4.509</td><td>8.817</td></tr><tr><td>Barakos et al., [9] (VF)*</td><td>1.114</td><td>2.245</td><td>4.510</td><td>8.806</td></tr><tr><td>Wan et al., [8] (EF)*</td><td>1.117</td><td>2.254</td><td>4.598</td><td>8.976</td></tr><tr><td>Le présent travail (DF)*</td><td>1.118</td><td>2.254</td><td>4.525</td><td>8.815</td></tr></tbody></table>

*(DF)*- Différences finies ; (VF)*- Volumes finis ; (EF)*- Eléments finis

Le **Tableau 2** montre cette comparaison en termes de nombre de Nusselt en fonction du rapport de forme A.
<caption>**Tableau 2:** Comparaison des résultats du nombre de Nusselt Nu<sub>ch</sub> pour:</caption>

$$ \Theta = 0^{\circ} ; Ra = 10^{4} ; A = 1 \text{ et } 4 $$

<table><thead><tr><th></th><th>A = 1</th><th>A = 4</th></tr></thead><tbody><tr><td>Ouertatani et al., [19]</td><td>2.158</td><td>2.252</td></tr><tr><td>Soong et al., [3]</td><td>-</td><td>2.525</td></tr><tr><td>Le présent travail</td><td>2.160</td><td>2.247</td></tr></tbody></table>

La figure 2 montre la comparaison de la température adimensionnelle relative au plan médian de la cavité (X = 0.5) avec les données expérimentales de Krane *et al.*, [22] pour un rapport de forme A = 1 et Ra = 1.89×10<sup>-5</sup>. Les résultats élaborés par notre code numérique montrent un bon accord avec les données expérimentales.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig. 2: Comparaison de nos résultats avec les résultats expérimentaux de Krane *et al.*, [22] pour Ra = 8.9×10<sup>5</sup> et A = 1</figcaption></figure>

## 4. DISCUSSION DES RESULTATS

Dans cette étude, on se limite à l'influence des paramètres gouvernant le système. L'étude de la convection naturelle de l'air (Pr = 0.71), confiné dans une cavité rectangulaire 2D chauffée différentiellement par deux côtés et inclinée par rapport au plan horizontal. Tous les résultats présentés ici ont été obtenus avec les paramètres principaux, à savoir, le nombre de Rayleigh Ra variant de 10<sup>3</sup> à 10<sup>4</sup>, le rapport de forme A, (1 ≤ A ≤ 6). L'angle d'inclinaison θ incrémenté de θ=0°, cavité horizontale chauffée par le bas (Rayleigh-Bénard) vers 180°, cavité horizontale chauffée par le haut. Les isothermes et les lignes de courant pour le cas Ra = 10<sup>4</sup> sont présentées seulement pour les angles (0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°).

Pour un nombre de Rayleigh Ra donné et un rapport de forme A fixé préalablement, les étapes utilisées pour procéder aux calculs numériques sont:

L'augmentation de l'angle d'inclinaison θ de 0° vers 180° avec une incrémentation de 5°. Dans ce cas, les champs de vitesses et de température à θ=0° sont d'abord calculés en faisant une estimation initiale de la vitesse et du champ de température (U = V = 0 et T = T<sub>ini</sub>). Ensuite la solution obtenue pour l'angle θ=0° est utilisée comme condition initiale pour la solution du cas suivant d'inclinaison θ = 5°. Et ainsi de
suite jusqu'à l'angle critique $\theta_{cr}$, alors une variation brusque dans la valeur du nombre de Nusselt est détectée.

Dans l'intervalle contenant cet angle critique, les calculs sont répétés avec une incrémentation de 1° afin de localiser l'angle critique $\theta_{cr}$ avec cette précision.

L'évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction du nombre de Rayleigh et de l'angle d'inclinaison est représentée par les figures (3-a-, 3-b-, 3-c-, 3-d-, 3-e-, 3-f-, 3-g-) pour les différents rapports de forme. On remarque bien que cette évolution est subdivisée en trois parties, la première partie a lieu pour ($0° \le \theta \le \theta_{cr}$), la seconde partie est comprise entre $\theta_{cr}$ et 90° et la troisième partie pour ($90° \le \theta \le 180°$).

Lorsque l'enceinte rectangulaire chauffée différentiellement est inclinée par rapport à la direction de la pesanteur, l'angle d'inclinaison $\theta$ devient un paramètre supplémentaire qui joue un rôle important. En augmentant $\theta$ de 0° à 180°, l'écoulement de fluide et le transfert de chaleur sont affectés par des instabilités thermiques et dynamiques. Ces instabilités généralement sont associées à la convection naturelle dans une enceinte chauffée par le bas.

Lorsque ($0° \le \theta \le \theta_{cr}$), le mécanisme de la convection de Rayleigh-Bénard s'établit près de $\theta=0°$, qui se traduit par une augmentation remarquable du nombre de Nusselt.

Cette position favorise le transfert de la chaleur par convection dès que $Ra > Ra_{cr}$. Le nombre de Nusselt commence à décroître lentement jusqu'à atteindre un seuil critique minimale à $\theta = \theta_{cr}$. Au-delà de $\theta_{cr}$, la convection naturelle devient stable et bidimensionnel. Généralement, entre ($0° \le \theta \le \theta_{cr}$), le nombre de Nusselt moyen $Nu_{ch}$ prend des valeurs plus élevées que dans l'intervalle ($\theta_{cr} \le \theta \le 180°$). La figure 3 montre que la valeur de $\theta_{cr}$ dépend du nombre de Rayleigh et du rapport de forme A de l'enceinte.

Dans la seconde partie ($\theta_{cr} \le \theta \le 90°$), l'augmentation de l'angle d'inclinaison de la cavité au-delà de l'angle $\theta_{cr}$ a pour conséquence une augmentation régulière du nombre de Nusselt moyen $Nu_{ch}$. Entre 60° et 80°, le nombre de Nusselt prend une valeur maximale selon le nombre de Rayleigh et le rapport de forme.

Dans la troisième zone ($90° \le \theta \le 180°$), en augmentant l'angle d'inclinaison $\theta$ au-delà de 90°, le nombre de Nusselt commence à diminuer rapidement. Quand l'angle d'inclinaison s'approche de $\theta=180°$, cavité horizontale chauffée par le haut, le nombre de Nusselt moyen $Nu_{ch}$ tend vers une valeur fixe ($Nu_{ch} = 1$) indiquant ainsi que le régime d'écoulement est purement conductif, puisque la cavité horizontale est chauffée du haut vers le bas.

Les figures (4-a-, 4-b- et 4-c-) et (5-a-, 5-b- et 5-c-) présentent l'évolution des lignes de courant et les isothermes respectivement. Les isothermes montrent deux zones, la première près des parois où les isothermes sont des lignes confinées et parallèles aux parois verticales chauffées. Cela témoigne d'un fort gradient de chaleur (formation de couche limite par effet d'un écoulement convectif).

La deuxième zone, située au centre de la cavité, montre une stratification thermique du haut vers le bas. Le transfert thermique est donc purement conductif.
<figure><img src="image_3.png" /></figure>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>-a-</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>-b-</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>-c-</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>-d-</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>-e-</figcaption></figure>

<caption>-f-</caption>

Fig. 3: Effet de Ra sur les variations de Nu<sub>ch</sub> en fonction de θ pour plusieurs rapports de forme A
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>-a-</figcaption></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>-b-</figcaption></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>-c-</figcaption></figure>

Fig. 4: Isothermes pour plusieurs angles d'inclinaison $0° \le \theta \le 180°$ avec ($\Delta\theta = 30°$) pour plusieurs rapports de forme ($1 \le A \le 5$) et pour $Ra = 10^4$
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>-A-</figcaption></figure>

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>-B-</figcaption></figure>

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>-C-</figcaption></figure>

Fig. 5: Lignes de courant pour plusieurs angles d'inclinaison $0° ≤ θ ≤ 180°$ pour plusieurs rapports de forme ($1 ≤ A ≤ 5$) et pour $Ra = 10^4$

## 5. CONCLUSIONS

Dans ce travail, nous avons présenté une étude sur le transfert de chaleur par convection naturelle instationnaire et laminaire dans une enceinte fermée. Le nombre de
Rayleigh variant de $10^3 \le Ra \le 10^4$, le rapport de forme $1 \le A \le 6$ ($1 \le A \le 6$). L'angle d'inclinaison $\theta$ compris entre 0° et 180°.

Nos calculs mettent en évidence l'influence de l'angle d'inclinaison, le nombre de Rayleigh et le rapport de forme sur la structure de l'écoulement et le transfert de chaleur.

Les résultats trouvés révèlent l'existence d'un angle critique $\theta_{cr}$ dépendant du rapport de forme A et du nombre de Rayleigh Ra.

La valeur maximale de Nusselt moyen $Nu_{ch}$ se trouve dans l'intervalle ($0^\circ \le \theta < \theta_{cr}$) pour $A < 2$ et dans l'intervalle ($\theta_{cr} \le \theta \le 90^\circ$) pour $A < 2$.

En général, au voisinage de ($\theta \approx 0^\circ$), l'écoulement est multicellulaire (rouleaux longitudinaux formant des cellules contrarotatives). Pour ($\theta > \theta_{cr}$), l'écoulement est monocellulaire. Dans le cas où ($\theta \approx 180^\circ$), le fluide stagne et une stratification thermique est bien marquée.

Les résultats numériques obtenus sont en bonne concordance avec les résultats disponibles dans la littérature.

## REFERENCES

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