# Méthode géométrique de calcul pour un translateur 6R

Laurentiu Racila, Marc Dahan

► To cite this version:

Laurentiu Racila, Marc Dahan. Méthode géométrique de calcul pour un translateur 6R. CFM 2009 - 19ème Congrès Français de Mécanique, Aug 2009, Marseille, France. hal-03391235

HAL Id: hal-03391235

https://hal.science/hal-03391235v1

Submitted on 21 Oct 2021

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons CC BY 4.0 - Attribution - International License
# Méthode géométrique de calcul pour un translateur 6R

L. RACILA<sup>a</sup>, M. DAHAN<sup>b</sup>

a. Université de Craiova, Faculté de Mécanique, str. C. Bucuresti nr.107, Craiova, Roumanie

b. Université de Franche-Comté, FEMTO-ST, 24 rue de l'Epitaphe, Besançon, France

## Résumé :

Les mécanismes spatiaux parallèles 6R ont été très étudiés du point de vue théorique mais il n'existe pas d'applications pratiques pour ce type de mécanismes, à l'exception du mécanisme « Turbula » de Schatz. Une autre possible application industrielle est présentée dans ce papier : il s'agit d'un translateur 6R construit à partir d'un mécanisme de Wohlhart, une généralisation du mécanisme rectangulaire de Bricard. La méthode géométrique développée permet de mettre en évidence l'existence de deux plans liés aux mouvements du mécanisme et de montrer que ces deux plans restent parallèles à eux-mêmes. Il est alors possible de déterminer exactement le déplacement de l'un d'eux, le plateau mobile du translateur, par rapport au second, le plan fixe ou bâti, en fonction des différents paramètres d'entrée.

## Abstract :

Expted « Turbula » mechanism presented by Schatz in 1975, we have no knowledge of industrial application for overconstrained mechanisms. New possible application is 6R translator presented by Racila and Dahan. This translator is based on Wohlhart mechanism, a generalisation of Bricard rectangular mechanism. The aim of the paper is to present a geometrical method to find the main parameters of the translator, the analytical distance between the fixed and the mobile planes.

## Mots clefs : mécanismes, surcontraints, cinématique, translateur

## 1 Introduction

Les mécanismes surcontraints ont toujours attiré dans l'attention des chercheurs depuis Sarrus [12] quand, en 1853, il présente son mécanisme considéré aujourd'hui comme le premier mécanisme spatial surcontraint. Plus tard, en 1897 et 1927, Raoul Bricard [3,4] décrit six types de mécanismes surcontraints : l'octaèdre déformable avec symétrie axiale, planaire et doublement repliable et trois mécanismes à six liaisons rotoïdes, le mécanisme à symétrie axiale, planaire et le mécanisme rectangulaire. Depuis, beaucoup d'auteurs ont décrit de tels mécanismes : Bennett [2], Myard [9], Goldberg [7], Schatz [13], Waldron [15, 16], Mavroidis et Roth [8], Wohlhart [16, 17] ou encore Dietmaier [6].

Cependant, ces mécanismes surcontraints sont considérés comme des cas particuliers les uns des autres et seuls les mécanismes 6R de Bricard sont indépendantes, les autres s'obtenant par combinaisons de mécanismes surcontraints de types 4R et 5R.

Une première analyse détaillée des mécanismes de Bricard a été réalisée par Baker [1] en s'appuyant sur la trigonométrie classique pour déterminer les équations de fermeture. En 1987, Karl Wohlhart [16] présente un mécanisme 6R surcontraint avec trois plans partiels de symétrie. Ce mécanisme, que nous appelons mécanisme de Wohlhart, est considéré comme une généralisation du mécanisme rectangulaire de Bricard.

Aujourd'hui, ce qu'il manque, ce sont des applications pratiques pour ces mécanismes, car à l'exception du mécanisme « Turbula » de Schatz [13], il n'existe pas d'autres applications industrielles. Une possible application, présentée par Racila et Dahan [11], développée au sein du département de Mécanique Appliquée de l'institut FEMTO-ST à Besançon, concerne un translateur 6R.

Dans cet article, nous présentons une méthode géométrique qui conduit à la détermination exacte de la distance entre le plan fixe et le plan mobile du translateur, lors de l'évolution du mécanisme 6R. Les résultats obtenus sont conformes aux résultats analytiques présentés en [10].
# 2 Propriétés géométriques du translateur 6R

## 2.1 Le parallélisme des plans

On considère le mécanisme symétrique de Wohlhart, dont $\alpha$ et $2\pi-\alpha$ sont les angles de torsions et $a$ la même longueur des six barres. Dans sa position classique (fig. 1), l'élément $O_5O_6$ est fixé et le mouvement d'entrée est donné par la barre $O_6O_1$. Le paramètre d'entrée est l'angle $\theta= (x_6,x_1)$ et comme sortie est considéré l'angle $\varphi=(x_5,x_6)$.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG. 1 – Mécanisme symétrique de Wohlhart</figcaption></figure>

On considère maintenant le mécanisme dans la nouvelle position (fig. 2) où on impose aux trois centres des liaisons impaires de rester dans un plan fixe. Les trois autres liaisons, $O_2$, $O_4$, $O_6$, déterminent un plan qui reste parallèle au plan fixe pendant la déformation du mécanisme. Pour rendre la figure 2 plus facile à comprendre, la liaison $O_3$ n'a pas été représentée.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIG. 2 – Position intermédiaire du translateur 6R</figcaption></figure>
Au contraire du translateur défini à partir du mécanisme rectangulaire (dont les angles de torsions $\alpha = \pm \pi/2$) et pour lequel les barres 1 et 2 sont dans le même plan que les axes des liaisons $O_2$ et $O_6$ (les barres sont perpendiculaires aux axes en formant un quadrilatère inscriptible [10]), dans notre cas, les barres et les axes ne sont plus coplanaires.

Les axes des liaisons $O_2$, $O_4$ et $O_6$ sont concourants en un point V. Ces trois liaisons $O_2$, $O_4$ et $O_6$ ont des mouvements dans des plans perpendiculaires au plan horizontal et forment un triangle équilatéral. Les intersections du plan $O_1O_2O_6$ avec les plans verticaux de mouvement ($O_2O'''V$, $O_4O'''V$ et $O_6O'''V$) des liaisons paires donnent les droites $O_2O'$, $O_4O'$ et $O_6O'$ qui sont concourants au même point O'.

La distance entre les plans fixe et mobile est $OO''$. En raison de la symétrie du mécanisme, on peut écrire que cette distance est :

$$h = T_1T' = T_3T' = T_5T' = OO'' \quad (1)$$

## 2.2 Détermination de la distance entre les plans

L'angle $O_1T_1O_6$ est rectangulaire à cause de la symétrie (le triangle $O_1O_2O_6$ est isocèle). Sachant que l'angle $O_6O_1T_1$ est égal à $\varphi/2 - \pi/2$ et que la longueur de la barre $O_1O_6$ est $a$, on obtient :

$$O_1T_1 = a \cdot \sin \frac{\varphi}{2} \quad (2)$$

D'autre part, dans la position initiale du translateur, l'angle d'entrée est $\theta = 0°$ et les liaisons sont toutes dans le plan de base fixe en formant un triangle équilatéral de côté $2a$, ayant le centre du cercle circonscrit en O. On note cette position initiale de la liaison $O_1$ avec A. La distance parcourue par cette liaison pendant la déformation du mécanisme est notée $b$ (fig. 2). Suivant [10], elle est égale à :

$$b = \frac{2a}{\sqrt{3}} \left( 1 - \cos \frac{\theta}{2} \right) \quad (3)$$

On peut donc en déduire que :

$$O_1O = AO - AO_1 = \frac{2a\sqrt{3}}{3} - b = \frac{2a - b\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}} \cdot \cos \frac{\theta}{2} \quad (4)$$

On peut aussi déduire la longueur du $OT'_1=O''T_1$, en sachant que le triangle $O_2O_4O_6$ est équilatéral de côté $O_2O_6 = 2a \cdot \cos \frac{\varphi}{2}$. On obtient :

$$OT' = \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \cos \frac{\varphi}{2} \quad (5)$$

Dans ces conditions, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle $O_1T_1T'_1$ et en tenant compte des relations (2), (4) et (5), on obtient géométriquement la distance entre le plan fixe et le plan mobile :

$$h_{géo} = T_1T'_1 = a\sqrt{\sin^2 \frac{\varphi}{2} - \frac{1}{3}\left(2\cos \frac{\theta}{2} - \cos \frac{\varphi}{2}\right)^2} \quad (6)$$

On peut aussi tracer les variations de cette distance en fonction de l'angle d'entrée $\theta$ (fig. 3), sachant que celui-ci varie entre 0° et 120°, c'est-à-dire entre les deux positions planes (initiale et finale) que le translateur peut matériellement occupées.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIG. 3 – Variation de la distance $h_{géo}$ en fonction de l’angle d’entrée $\theta$</figcaption></figure>

On retrouve les courbes présentées en [10] qui confirment la validité des calculs.

## 3 L'équivalence analytique géométrique

La relation analytique pour la distance entre le plan fixe et mobile est donnée en [11] :

$$h_{an} = \frac{\left| a \cdot \sin \frac{\theta}{2} \cdot \sin \frac{\varphi}{2} \cdot \sin \alpha \right|}{\sqrt{\sin^2 \frac{\varphi}{2} \cdot \sin^2 \alpha + \left( \sin \frac{\theta}{2} \cdot \cos \frac{\varphi}{2} + \cos \frac{\theta}{2} \cdot \sin \frac{\varphi}{2} \cdot \cos \alpha \right)^2}} \quad (7)$$

On connaît aussi la relation d’entrée-sortie pour le mécanisme symétrique de Wohlhart [5, 11] :

$$\cos \theta \cdot \cos \varphi \cdot (1 + \cos^2 \alpha) + (\cos \theta + \cos \varphi) \cdot \sin^2 \alpha - 2 \cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 0 \quad (8)$$

Quelques calculs bien orientés permettent d'aboutir à une écriture plus simple de la relation (7) :

$$h_{an} = \frac{2a}{\sqrt{3}} \left| \sin \frac{\theta}{2} \cdot \sin \frac{\varphi}{2} \cdot \sin \alpha \right| \quad (9)$$

Il reste à démonter que les relations (6) et (9) sont équivalentes.

En égalant le carré de ces deux relations et en regroupant les termes, on obtient :

$$\sin^2 \frac{\varphi}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\varphi}{2} \cos \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\varphi}{2} \sin^2 \frac{\theta}{2} \sin^2 \alpha = \frac{5}{4} \quad (10)$$

On réécrit maintenant l'équation d'entrée-sortie en l'ordonnant par rapport à la variable $\cos \alpha$. On obtient une équation de deuxième ordre :

$$(\cos \theta \cdot \cos \varphi - \cos \theta - \cos \varphi + 1) \cdot \cos^2 \alpha - 2 \cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \cdot \cos \alpha + (\cos \theta \cdot \cos \varphi + \cos \theta + \cos \varphi) = 0 \quad (11)$$

dont les solutions sont :

$$\cos \alpha_{1,2} = \frac{2 \cos \frac{\theta}{2} \cos \frac{\varphi}{2} \pm 1}{2 \sin \frac{\theta}{2} \sin \frac{\varphi}{2}} \quad (12)$$

Ces deux solutions doivent vérifier l'équation (10).

En introduisant la relation $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha_1$ dans l'équation (10) et après quelques calculs simples on
obtient l'identité :

$$ \cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2} = 1 \qquad (13) $$

Pour la deuxième solution, l'égalité (10) devient :

$$ \cos \frac{\theta}{2} \cos \frac{\varphi}{2} = 0 \qquad (14) $$

qui conduit à $\theta = \pm \pi$ ou $\varphi = \pm \pi$. Ces cas représentent les positions extrêmes du mécanisme symétrique de Wohlhart, quand tous les éléments du mécanisme sont superposés (cas théorique, uniquement obtenu en mode filaire, sans matière). Pour le translateur, ce n'est pas une restriction car celui-ci travaille dans un domaine compris entre 0° et 120°.

Les deux relations (6) et (9) sont bien équivalentes. Ce fait est aussi prouvé aussi par les courbes présentées dans la figure 3.

## 4 Le prototype

Un prototype de ce translateur a été réalisé au Département de Mécanique Appliquée de Besançon, pour un angle de torsion $\alpha = \pi/2$.

Il est présenté dans la figure 4 pour trois valeurs de l'angle d'entrée :

- la première, pour un angle $\theta = 0°$ (position limite initiale);

- la deuxième pour un angle entre $\theta = 0°$ et $\theta = 90°$ (position intermédiaire);

- la troisième pour un angle $\theta = 90°$ (position d'ouverture maximale).

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIG. 4 –Translateur 6R en trois positions</figcaption></figure>

On peut augmenter la précision de déplacement du plateau du translateur, il faisant varier l'angle de torsion $\alpha$ des barres. C'est ce que l'on observe sur la figure 3 où la pente la plus douce est obtenue quand l'angle de torsion de égal à 150°,
## 5 Conclusion

Le papier présente une méthode géométrique de calcul pour la distance entre les deux plans matérialisés d'un translateur, le plan fixe (bâti) et le plan mobile (plate-forme), obtenu à partir d'un mécanisme surcontraint de type 6R. On y montre l'équivalence des résultats obtenus entre cette méthode et ceux publiés antérieurement. Les relations analytiques obtenues sont plus simples et applicables à toutes les configurations géométriques.

Un tel translateur peut trouver facilement des applications dans le monde industriel, que ce soit en tant que plan de focalisation pour l'instrumentation optique ou d'ascenseur pour une plate-forme quelles que soient les charges à déplacer en raison des trois points d'appui qui définissent le plan de transfert.

## References

[1] Baker J.E., An Analysis of the Bricard Linkages, Mechanism and Machine Theory, vol. 15, pp. 267–286, 1980.

[2] Bennett G.T., A new Mechanism, Engineering 76, p. 777–778, 1903

[3] Bricard R., Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé. In Journal de Mathématiques pures et appliquées, Liouville 3, 113–148, 1897.

[4] Bricard R., Leçons de Cinématique, Tome II - Cinématique Appliquée, Gauthier-Villars, Paris, 1927.

[5] Chen Y., You Z., Tarnai T., Threefold-symmetric Bricard Linkages for Deployable Structures. In International Journal of Solids and Structures, no. 42, 2287-2301, 2005.

[6] Dietmaier P., A new 6R space mechanism, Proc. 9th World Congress on the Theory of Machines and Mechanisms, vol. 1, pp. 52–56, Milano, Italy, 1995.

[7] Goldberg M., New five-bar and six-bar linkages in three dimensions, Transaction of the A.S.M.E., vol. 65, p. 649–663, 1943.

[8] Mavroidis C., Roth B., Analysis and Synthesis of Overconstrained Mechanisms, Proc. of the 1994 ASME Design Technical Conferences, vol. DE-70, pp. 115-133, Minneapolis, September 1994

[9] Myard F. E, Chaîne fermée à cinq couples rotoïdes, déformable au premier degré de liberté“, Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences, vol. 192, p. 1352-1354, 1931

[10] Racila L., Existence et cinematique de des mécanismes articulés spatiaux à six barres, Mémoire de Thèse, Université de Franche-Comté, Besançon, 2006.

[11] Racila L., Dahan M., Bricard Mechanism Used as Translator, In Proceedings of the 12th IFTOMM World Congress, vol. 3, 337–341, Besançon, France, 2007.

[12] Sarrus P-F., Note sur la transformation des mouvements rectilignes alternatifs, en mouvements circulaires ; et réciproquement, Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences, Vol. 36, p. 1036-1038, 1853.

[13] Schatz P., Rhytmusforschung und Technik, Verlag freies Geistesleben, Stuttgart, 1975.

[14] Waldron K.J, Symmetric Overconstrained Linkages, Transactions of the ASME, Journal of Engineering for Industry, V91, p. 158-162, 1969.

[15] Waldron K.J., Overconstrained Linkages, Environment and Planning B, Vol. 6, pp. 393-402, 1979.

[16] Wohlhart K., A New 6R Space Mechanism. In Proceedings of the 7th IFTOMM World Congress, vol. 1, 193–198, Sevilla, 1987.

[17] Wohlhart K., The Two Types of the Orthogonal Bricard Linkage. In Mech. Mach. Theory, Vol. 28, 809–817, 1993.