<figure><img src="image_184.png" /><figcaption>Figures 4:
Evolution of:
- (a) the footpoint displacement $X_{\lambda}(z)$,
- (b) the shear angle $\theta(z)$ and field norm $B_{h}(z)$,
- (c) of the half field line length $L/2(z)$,
for different $\lambda$. The parameters are the same as those used in figures 3.</figcaption></figure>

The example of the last paragraph shows that as increases $B_h$ decreases less rapidly with height in the sheared region: Fig. 4b. For great shear $B_h$ becomes near flat, but we do not found an increasing field with height. In this sheared region the force equilibrium is dominated by the pressure $B_x^2/2\mu_0$ which is uniform, has A is nearly constant in this region. Then $B_h$ is nearly constant, and $R_c$ is large but always negative.

In conclusion, strong shear could reduce the top downward curvature to low value: $1/R_c \approx -10^{-4}Mm^{-1}$ in Fig.4b, with $\lambda = 13$. The field line is then near flat at its top. However, the general trial function used here produced a flat region at great height: $z \approx 100$ Mm, even if the shear is produced at $y = \pm 40$ Mm. This is produced by the wellknown, inflating effect of a shear arcade well shown by comparing Fig.3 a and 3b. To form a magnetic configuration needed for prominence formation, we needs to concentrate the shear near the neutral line.

## 4.3 Discussion

By trying different geometry and shear profile, we have obtained flat field lines, but no dip at arcade summit. In the shear region, the field is dominated by $B_x$, and then the force balance reduced to a constant magnetic pressure balance, with a uniform magnetic field. Effect of harmonics have been tried without more success. Then it seems that the formation of a dip in a bipolar two dimensionnal region is impossible just by shearing. In the next section we present an analytical argument which shows that this result holds in general for both BVP1 and BVP2.

# 5 Non existence of a “dip” in an magnetic arcade

## 5.1 BVP1 problem

We present the proof of the following result: by shearing the arcade-like configuration $B_0$, it is not possible to create a so called “dip” or region of positive curvature for the curve $C_{pt}(A)$ at the top of the configuration.
<figure><img src="image_185.png" /></figure>

<figure><img src="image_186.png" /></figure>

One way to consider BVP1 is the variational approach introduced in Aly and Amari (1985). In the set of functions

$$ 
\begin{array}{l}
U = \{u / E_1(u) < \infty; u(y,0) = g(y)\} \\
topology \{C(u)\} \sim topology \{C(u_0)\}
\end{array}
$$

one has to make the functional energy:

$$ E_1(u) = \int_{\Omega=\{z>0\}} |\nabla u|^2 dy dz + \int_0^\infty X^2(u) \left| \frac{du}{d\Sigma} \right|^2 d\Sigma \quad (8) $$

minimum (i.e find a function $A_t$ in such that $E_1(A_t) = \inf_{u \in U} E_1(u)$). Let us now assume that the curves $C_{pt}(A)$ have a dip at their top. We then construct from $A_t$ a sequence $A'_t$ by effecting a so called "Steiner Symmetrisation" who was introduced in Amari and Aly 1989a to deduce the symmetry of solutions of BVP1 with respect to the z-axis. The field lines $C'_{pt}(A')$ of $A'_t$ are defined in the following way: For each value of z a field line $C_{pt}(A)$ may be decomposed in 2k branches $y = y_ν(z)$, $ν = 1, 2, ... 2k$ $k = 1$ (resp $k = 2$) in the case of no (resp one) dip, with $y_1 > y_2 > ... > y_{2k}$ the absciss of the points of intersections of $C_{pt}(A)$ with a line parallel to the y-axis: Fig.5 . The curves $C'_{pt}(A')$ are then defined by the two branches $y = y(z)$ and $y = -y(z)$ where

$$ y(z) = \frac{1}{2} \sum_{\nu=1}^{2k} (-1)^{\nu-1} y_{\nu}(z) = \frac{1}{2} \sum_{\nu=1}^{2k} (y_{2\nu-1} - y_{2\nu}) \quad (9) $$

Then $\Omega = \{z > 0\}$ is unchanged by the Steiner Symmetrization with respect to the z-axis since it is symmetric with respect to the z-axis and therefore $\Omega' = \Omega$ and only the $C_{pt}(A)$ are changed. The curve $C'_{pt}(A')$ now cuts each parallel to the z-axis in only two points and then have no dip: Fig.5 . The boundary conditions on $\partial\Omega$ are also conserved since $A_t$ is symmetric (i.e. $g(y) = g(-y)$, and the asymptotic condition $A(\infty) = 0$ is also conserved.

i) Let us first prove that:

$$ \int_0^\infty X^2(u) \left|\frac{du}{d\Sigma}\right|^2 d\Sigma $$
<figure><img src="image_187.png" /><figcaption>Figures 5:</figcaption></figure>

Example of the effect of the Steiner Symmetrisation on a symmetric magnetic configuration with one dip. The curve $C_{pt}(A_t)$ is transformed to $C'_{pt}(A_t)$ by $Y(z_s) = Y_1 - Y_2 + Y_3 - Y_4$. The surface $\xi_t$, behind $O_Y, O_z$ axis and $C_{pt}(A_t)$, is conserved by this transformation.

<figure><img src="image_188.png" /><figcaption>Figure 6:</figcaption></figure>

Schematisation of a twisted flux tube in a sheared arcade.

is unchanged by the Steiner Symmetrisation. Clearly, the area $\Sigma_t(A)$ is conserved by the symmetrisation since owing to Eq. (9)

$$ \Sigma_t'(A') = \oint ydz = \frac{1}{2} \sum_{\nu=1}^{2k} (-1)^{\nu-1} \oint y_\nu dz = \Sigma_t(A) \quad (10) $$

The shear $X_t(A)$ given by Eq. (2d) and the second term in the RHS of $C(A_t)$ given by Eq. (8) is therefore unchanged by the symmetrisation since the shear $X_t(A)$ is conserved.

ii) Moreover one may now prove that

$$ \int_{\Omega} |\nabla A_t'|^2 dy dz \le \int_{\Omega} |\nabla A_t|^2 dy dz \quad (11) $$

Indeed, let us first use the Schwarz inequality to get

$$ 4 \le \left( \sum_{\nu=1}^{2k} -1 \right)^2 \le \left( \sum_{\nu=1}^{2k} \left| \frac{\partial y_\nu}{\partial A_t} \right| \right) \left( \sum_{\nu=1}^{2k} \frac{1}{\partial y_\nu / \partial A_t} \right) $$

Derivating Eq. (9) with respect to $z$ and applying once more the Schwarz inequality one gets

$$ 4 (\partial y / \partial z)^2 = \left( \sum_{\nu=1}^{2k} (-1)^{\nu-1} \partial y_\nu / \partial z \right)^2 \le \left( \sum_{\nu=1}^{2k} \left| \partial y_\nu / \partial A_t \right| \right) \left( \sum_{\nu=1}^{2k} \frac{\left| \partial y_\nu / \partial z \right|^2}{\left| \partial y_\nu / \partial z \right|} \right) $$

Adding then the two last equations and using the property

$$ |\partial y_\nu / \partial A_t| = (-1)^\nu (\partial y_\nu / \partial A_t) $$

and Eq. (9) it comes:

$$ 2 \frac{1 + (\partial y / \partial z)^2}{|\partial y / \partial A_t|} \le \sum_{\nu=1}^{2k} \frac{1 + (\partial y_\nu / \partial z)^2}{|\partial y_\nu / \partial A_t|} \quad (12) $$

Rewriting the LHS and the RHS of Eq. (10) in terms of the two independent variables $z$ and $A_t$ with $0 \le A_t \le \sup A_t = M$, Eq. (12) then appears as an inequality between the two integrands (with the measure $dz dA_t$) of the two new integrals and Eq. (11) is therefore proved.

Thus, one may deduce from the results i) and ii) that the solution $A'_t$ of BVP1, with no dip in the topology of the field line satisfies the same constraint as $A_t$ but with so not larger energy. We may then conclude that a physically relevant solution of BVP1 (which makes the energy an absolute minimum) has no "dip".
## 5.2 BVP2 problem

Although BVP1 the actual boundary value problem which corresponds to the “physical” shearing of the arcade-like configuration $B_o$, it is not exactly the one considered in the numerical attempts of the previous sections. Nevertheless we may now prove that if one starts from the arcade like potential configuration ($\lambda = 0$) and then increases then the result of paragraph 5.1 still holds: the solution A admits no dip at the top of its arcade-like field lines $C_{p\lambda}(A_\lambda)$.

Indeed a possible variational approach to BVP2 is to make

$$E_2(u) = \int_{\Omega} |\nabla v|^2 dydz \qquad (13)$$

an absolute minimum in the appropriate Sobolev space of functions which satisfies:

$$U = \{u / E_1(u) < \infty ; u(y,0) = g(y)\}$$

with the integral side condition (constraint):

$$\int_{\Omega} B_x^2 dydz = \Lambda \qquad (14)$$

where $\Lambda > 0$ is a constant. Then the Lagrange multiplies rules asarts that the condition for Eq. (13) and Eq. (14) is

$$-\lambda_0 \Delta v = \lambda \frac{d}{dv} B_x^2 = \lambda f(A) \quad \text{in } \Omega \qquad (15)$$

$$v(y,0) = g(y)$$

where $\lambda_0$ and $\lambda$ are real numbers. The non degeneracy condition is satisfied since $f(A)$ is non identically null and we may then choose $\lambda_0 = 1$. Therefore $\lambda$ in Eq. (14a) is nothin more than a Lagrange multiplies for Eq. (12) and Eq. (13).

Let us now assume that $C_{p\lambda}(A)$ has a “dip” at its top. We then construct from $A_\lambda$ solution of Eq. (12) and Eq. (13) by effecting a Steiner Symmetrisation with respect to the z axis a sequence $A'_\lambda$ whose $C'_{p\lambda}(A')$ are exactly define in the same way as in 5.1. $\Omega$ isunchanged by the symmetrisation,

$A'_\lambda(y,0) = g(y)$ and $C'_{p\lambda}(A')$ has no dip. We may now owing to Eq. (2d) define a shear $X_\lambda$ associated to $B_{\lambda z}(A_\lambda)$ and by applying, the same argument as in paragraph 5.1 one redealy deduces that

$$\int_{\Omega} B_x^2 (A'_\lambda) dydz = \int_{0}^{\infty} X_\lambda^2 (A_\lambda) \left| \frac{dA_\lambda}{d\Sigma} \right|^2 d\Sigma = \Lambda$$

is unchanged since $\Sigma_\lambda$ and $X_\lambda$ are conserved. Moreover the result of Eq. (11) still holds:

$$E_2(A'_\lambda) \le E_2(A_\lambda) \qquad (16)$$

Thus $A'_\lambda$ satisfies the same constraints as $A_\lambda$: Eq. (14), $A'_\lambda(y) = g(y)$ and makes $E_2(A'_\lambda)$ not larger than $E_2(A_\lambda)$. Where as a solution of (15ab) to make $E_2(u)$ an absolute minimum and $C_{p\lambda}(A)$ has no dip. We therefore conclude as in 5.1 that the field lines of the physically relevant solution of BVP2 have no dip.

It is worth notising that by means of the variational approach (minimum problem) (15ab) one obtains only one solution - the one which makes $E_2(u)$ an absolute minimum - while the full BVP2 may have several solution for a given value of $\lambda$ (Heyvaerts et al 1982). However this should not affect our result since the numerical attempts of the previous sections follow this branch of solution: the “Minimal solution”. One may notice that it is proved in Amari and Aly (1989b) that the energy of the minimal solution if it is finite is always lower than the energy of any other finite energy solution even in presence of a gravitational field. Eventually our result rests on the assumptions of symmetry for g and of an arcade-like topology for the starting configurations $A_o$. In a forthcoming paper (Aly and Amari in preparation) more general results and details about the properties of BVP1 and BVP2 means of the powerfull variational methods of nonlinear functional analysis will be presented.

# 6 Prominence formation

In paragraph 4 we have shown that various $B_x(A)$ profiles do not form a dip at the summit of an arcade configuration. In paragraph 5 we have demonstrated that in such 2D configurations (without a magnetic island) a dip
cannot be formed if there is no parasite polarity at the base. Thus the initial goal has failed. Nevertheless, numerical solutions have shown that field lines can become very flat at their tops. Such case is more favorable to prominence formation, since the free-fall time of dense material is larger and may ever become greater than the typical thermal condensation time, in which case a prominence could form even if an initial dip is not present. Therefore we investigate here in order of magnitude the process of prominence formation.

## 6.1 Prominence equilibrium

Eq. (7) can be generalized to include pressure and gravity so that:

$$ \frac{1}{R_c} = \frac{\partial \log_e B_h}{\partial z} + \frac{(\frac{\partial p}{\partial z} + \rho g) \mu_0}{B_h^2} \quad (17) $$

In the solar corona the plasma pressure is much less than the magnetic pressure

$$ \frac{\mu_0 P_c}{B_h^2} \approx 10^{-2} $$

and the gravitational scale height is of the order of $50Mm^{-1}$. Thus the pressure term can be neglected if:

$$ \frac{\mu_0 \partial P / \partial z}{B_h^2} \approx 210^{-4} Mm^{-1} $$

is much smaller than the curvature, it is not valid for great shear. When dense material is present at the top of the arcade, it could create a dip, if the density is greater than a value $\rho_{crit}$ (which is the value of $\rho$ that set the second hand side of Eq. 17 to zero). For a well formed quiescent prominence the gravitational term is important, since

$$ \frac{\mu_0 \rho g}{B_h^2} \approx 10^{-1} Mm^{-1} $$

with a typical density of $10^{11} p.cm^{-3}$, a ionisation degree $n_{HII}/n_{HI} \approx 1$ and a field of 10 G. A density as low as $10^8 p.cm^{-3}$ gives $10^{-4} Mm^{-1}$. And we have

shown in section 4 that the field line top curvature could be reduced less than this value, then low density 100 times lower than typical prominence densities are sufficient to create a dip in a great shear field. For active region prominence magnetic fields are typically 5 times greater, and so the initial density needs to be 25 times greater than in the previous case, for the same shear. It therefore would seem to need a very great shear indeed. When a little dip has been formed, it may be sufficient to catch dense material since the gravitational scale height of prominence plasma is only $H_g \approx 0.3 Mm$. Moreover, as the density increases, the dip increases from equation Eq. 17. A simple relation to the prominence width, $e$, could be written if we suppose that field lines are roughly circular of radius $R_c$ in the prominence, that $e \ll R_c$ and that the prominence plasma height is limited by $H_g$: $8R_c.H_g \approx e^2$. It gives:

$$ e_{Mm} \approx 1.5 R_{cMm}^{1/2} $$

For a typical prominence $B_h \approx 10$ G, $n_e \approx 10^{11} p.cm^{-3}$ gives $e \approx 5$ Mm, a value close to observation width. The prominence width varies like $R_c^{1/2}$ or $\rho^{-1/2}$, then prominence may be larger at its formation, than after (near a factor 10).

## 6.2 Dynamic formation

In the last section we have assumed that the dense material stays at the top of the loop, even if the curvature is negative, and have shown that for an initial curvature there is a critical density $\rho_{crit}$ to bend down the magnetic lines. In fact, when only a little dense material is formed to the top, with a negative curvature, it falls down along the field lines. It is only if the falling time ($t_{fall}$) for plasma to fall down to the photosphere is longer than characteristic time of dense material formation $t_{form}$, that field lines be bent. A characteristic time of formation is the coronal radiative (or heating) time (few hours), which is also roughly the time needs to condense coronal plasma to prominence-like temperatures. The falling time may be much greater than the vertical free fall time: $\delta t_{vff} = (2\delta z/g)^{1/2}$ for several reasons:

- flat field lines
- plasma viscosity

- a difference of pressure between front and back of the falling dense material.

To investigate crudely the first effect we restrict our attention to the upper part of the arcade ($z \approx h, y \ll R_c$) so that $y^2 \approx +2.(z-h) \cdot R_c$. The free fall along a flat line takes a time $\delta t$ for a fall of $\delta z$, with:

$$ \delta t \approx (R_c/\delta z)^{1/4} \cdot \delta t_{vff} $$

By comparison with the vertical free fall time, there is the factor $(R_c/\delta z)^{1/4}$, which has a little importance. For $R_c \le 10^4$ Mm and $\delta z \approx 20$ Mm we have $\delta t_{vff} \approx 400$ s and $\delta t \le 2 \cdot 10^3$ s which is too short to condense coronal material.

The viscous time is $t_v \approx l^2/\nu$, where $l$ is the shortest scale length in the flow, and $\nu = \eta/\rho$ is the kinematic viscosity. With the classical viscosity of a fully ionised plasma (Spitzer 1962), with $p = 10^{-2} N \cdot m^{-2}$ we find:

$$ \nu \approx 2 \cdot 10^{10} \cdot m^2 s^{-1} \quad \text{for } T \approx 10^6 \text{ K} $$

$$ \nu \approx 5 \cdot 10^6 \cdot m^2 s^{-1} \quad \text{for } T \approx 10^5 \text{ K} $$

In order to obtain $t_v \approx 10^4$s so that the plasma motion would be slowed during the condensation time, we need:

$$ l \approx 10^7 m \quad \text{for } T \approx 10^6 \text{ K} $$

$$ l \approx 10^5 m \quad \text{for } T \approx 10^5 \text{ K} $$

Thus the plasma viscosity is efficient only near coronal temperatures, at the initial stage of condensation.

When the condensed plasma moves along a flux tube, the plasma is compressed above the condensation and depressed below. If the magnetic field is strong enough ($\beta \ll 1$), and the characteristic motion time is less than the radiative time, the condensation behaves like a piston. For a small displacement $y$ ($\ll R_c$), the difference of pressure is of the order of: $\delta P \approx 4yP_0/L$ with $P_0$ the static pressure of the loop and $L$ the loop length. The pressure

difference could stabilize the condensation at the top of the loop if: $\delta P \ge$ gravitational force projected along the field line or:

$$ 4R_c/L > e/H_g $$

with $H_g$ the gravitational scale height of the condensation and e its horizontal size. A flat field line at its top increases the ratio $R_c/L$, and so favours the stabilisation. For example, the figure 4c gives $R_c/L \approx 0.3$ for a potential magnetic field, and $R_c/L \approx 10$ for $\lambda = 1.3$. The stabilizing pressure effect is then increased by a factor 30, and the size e, determined by the condensation process could be as large as $100 H_g$, until pressure does not stabilize the dense plasma.

## 6.3 Twisting motions

From these rough estimates, we can conclude that a flat field line helps dense material to condense at field line top. But a detailed condensation model is needed if we want to know how flat the field line must be. An easier way to stabilize dense material is to form field dip by another process. It could be done in a quadrupolar region, with two bipolar regions who are push together by convective rolls motions: Démoulin, Amari and Priest (in preparation). Another way is achieved by twisting a flux tube: Priest et al (1989) consider the case without shear. Browning et al (1989) have analysed the effect of twisting a right flux tube: it lead to expulse magnetic field line from the twisted region, and to create straight field lines except near the boundaries. This simple behaviour leads to simplify the problem from a 2D to a 1D, easily resolved analytically. By introducing a field line curvature which is much lower than those given by the twist, this property would certainly remain. It will simplify greatly the problem of the interaction between twist and shear. Here we want just give an order of magnitude of the effect, by twisting the shear arcade that we have obtained: Fig. 3a. First we note that the twist angle $\Phi$ is near uniformly shared along a twisted flux tube even if the radius change. We have:

$$ 2\pi r B_{\Phi} = \mu_0 I $$

$$ \pi r^2 B_s = F $$
Then $d\Phi/ds$ is independent of $s$. Secondly, a dip is present in the tube if a field line starting from point A (Fig.6) makes more than half a turn to go to point B. With this approximation the critical twist is obtained when $s \approx 2(a.R_c)^{1/2}$, where a is the top flux tube radius, and $R_c$ the top arcade curvature radius. As the twist is uniformly shared along the tube, it gives a critical twist for the whole tube:

$$ \Phi_c(\lambda) \approx \frac{\pi L}{2(a.R_c)^{1/2}} = \frac{\pi L}{2(a_{base}.f.R_c)^{1/2}} $$

where $f$ is the factor of expansion of the flux tube. Looking at Fig. 3a, and 4c, we can compute $\Phi_c(\lambda)$. It is a decreasing function of shear. With a base $a_{base} \approx 5$ Mm we have:

$$ \lambda = 0 \qquad f \approx 2 \qquad \Phi_c \approx 2.5\pi $$

$$ \lambda = 1.3 \qquad f \approx 20 \qquad \Phi_c \approx \pi/4 $$

Thus shearing an arcade leads to decrease $\Phi_c$ of a factor 10. Zwingmann (1988) has demonstrated that shearing an arcade does not lead to an instability. Hood (1983,1984) has shown that an instability occured when the twist is great enough: $\Phi > \Phi_{inst}$. $\Phi_{inst}$ is of order of $\Phi_c$ without shear, then a dip may not be possible to form in an unsheared field as the whole magnetic structure is destroyed before. However, in a greatly sheared field structure, a little twist is sufficient to create a dip. This twist may be much below $\Phi_{inst}(\lambda)$, and then a great sheared field is needed in a bipolar two dimensional field in order to form a magnetic configuration which can support dense material.

# 7 Conclusion

In this paper we have investigated the possibility of dip formation at the top of a simple magnetic arcade by only shearing motions. A two-dimensional analysis is carried out, which requires the solutions of a Grad-Shafranov equation. An initial potential arcade is progressively sheared in a quasi static way, by increasing the tangential field component $B_x(A)$ at the photospheric level. This solution is not relevant for studying non equilibrium onset (Zwingmann 1988), but it is qualitatively adequate below the first onset point. The required footpoint displacement is computed after the solution

of the Grad-Shafanov equation. Several different shear functions have been investigated with the aim of trying to form a dip at field line top. Initially, both linearisation of the problem, and numerical computations seemed to be promising, but we then proved that for 2D bipolar arcades shearing does not in general give a dip. This has been established for the two different problems of imposing $B_x(A)$, or more physically imposing the position of the field line footpoints. However, numerical computations have shown that shear can reduce greatly the downward, negative field line top curvature. In order of magnitude we have shown that these flat field lines may be a promising site of prominence formation: dense plasma could bend down the magnetic structure if field line curvature is reduced below a critical value. For great sheared field, this could be achieved if the electron density is greater than few $10^8 \text{p.cm}^{-3}$ (a typical coronal one), in a field strength of 10 G. Then, if a thermal instability is present, which leads to form dense plasma from the coronal one, it could deformed the magnetic field to create a dip. It will remain catch in it as the gravitational scale height of prominence plasma is only 0.3 Mm. We have also investigate different effects susceptible to increase the free fall time of the dense plasma: flat field line, viscosity and pressure. The later one is the most efficient, if field lines are flat at the top, and may stabilize dense plasma even if it does not bend down field lines. The full problem is a competition between condensation (or balisting loaching) and cold plasma falling under gravity. The solution of this problem needs a complex numerical simulation. An easier problem is to investigate the effect of twisting field lines to create a dip.

The critical shear $\Phi_c$ needed to create a dip is a decreasing function of shear. $\Phi_c$ is of the order of the critical twist $\Phi_{inst}$ with no shear, then the configuration with a dip seems to be not available in this case. For great shear, $\Phi_c$ is reduced by a factor (~10): shear seems necessary, in order to produce a lower threshold for the critical twist. This could explain why prominences are seen to be formed exclusively in a greatly sheared field. The interaction between shear and twist will be investigated in more details in a future paper.
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# Chapitre D

## Evolution et éruption des protubérances solaires
# 1 Revue des travaux

## 1.1 Evolution

### 1.1.1 Généralités

Le chapitre précédent a décrit en détails la formation des protubérances. La configuration du champ magnétique est apparue comme fondamentale à cette formation: les observations montrent la rotation du champ magnétique (visualisé par les fibres) et son quasi-alignement avec l'axe de la protubérance. Cela a été modélisé par un accroissement du cisaillement du champ magnétique, et des configurations magnétiques pouvant retenir du plasma froid ont été trouvées: elles nécessitent soit un fort cisaillement, soit une forte torsion des lignes de champ. Un modèle de formation entre deux régions bipolaires, à l'étude, a aussi été présenté: une configuration magnétique pouvant retenir du plasma dense est créée par l'approche lente de ces deux régions. Une nappe de courant est alors entretenue à la limite de celles-ci, grâce à une reconnexion stationnaire des lignes de champ.

Ces travaux sur la formation des protubérances se prolongent naturellement en l'étude de l'évolution des configurations magnétiques. En particulier, les observations montrent des éruptions soudaines des protubérances: elles doivent être provoquées par une instabilité de la structure thermique ou magnétique. Outre l'importance de ces éruptions dans les relations Soleil-Terre, ces éruptions nous permettent d'avoir accès à des informations que l'on ne pouvait déceler dans les phases d'évolution lente. En particulier, le plasma étant contraint de se déplacer selon les lignes de champ, ces éruptions nous fournissent une vue fugitive de l'ensemble de la configuration magnétique: notamment, une structure torsadée apparaît souvent dans ces phases d'activité: Zirin (1988).

### 1.1.2 Modèles d'évolution

L'évolution des protubérances est liée à l'ensemble de l'activité magnétique solaire, et donc, en particulier, au cycle solaire. La convection solaire est l'ingrédient principal de l'évolution car elle est à l'origine du champ magnétique. Les cellules de super-granulation et les rouleaux de convection font évoluer les régions magnétiques. Ces mouvements photoshériques peuvent être pris comme conditions aux limites pour l'évolution
<figure><img src="image_189.png" /></figure>

**Figures 1** : Modèles d'évolution bidimensionnels stationnaires de la structure magnétique des protubérances.

La structure magnétique évolue sous l'action des mouvements photosphériques de convection. Des mouvements divergents (respectivement convergents) sont nécessaires pour produire un mouvement ascendant de la protubérance pour les configurations Normales (respectivement Inverses). Les flèches indiquent la vitesse orthogonale aux lignes de champ. Malherbe et Priest (1983a).

des champs magnétiques des protubérances. Divers processus intervenient dans l'évolution des protubérances: les principaux sont la formation et l'évolution des centres d'activité, la naissance de nouvelles régions bipolaires, et le déplacement relatif (particulièrement le rapprochement) de régions bipo-laires. Un autre élément capital dans l'évolution des protubérances est le chauffage de la couronne. Celui-ci doit être d'origine magnétique. De nom-breux modèles sont cependant en compétition, et les dépendances spatiale et temporelle sont inconnues. Dans un tel contexte, les protubérances solaires et particulièrement leur évolution peuvent apporter des éléments décisifs. Elles permettent de visualiser l'évolution de la convection et de la configuration du champ magnétique; leur formation et leur disparition peuvent donner de fortes contraintes sur le chauffage de la couronne.

L'évolution des protubérances solaires a été étudiée en détails par d'Azambuja et d'Azambuja (1948); des revues récentes ont été écrites par Martin (1973), Priest (1981), Hirayama (1985). Malherbe et Priest (1983a) ont développé des modèles d'évolution stationnaire des configura-tions magnétiques sous l'action des mouvements de rouleaux de convection photosphérique: figures 1 a-d. Des mouvements divergents (respectivement convergents) sont nécessaires pour avoir des mouvements montants dans la protubérance pour les configurations Normales (respectivement Inverses). En particulier, cela est en accord avec les mesures de Leroy (1988) du champ magnétique dans les protubérances quiescentes et les mouvements de convec-tion observés à haute (respectivement basse) latitude qui sont convergents (respectivement divergents): Malherbe (1984).

Pneumann (1983) a proposé une évolution dans laquelle le cisaillement photosphérique du champ magnétique est l'élément clé: figures 25 du chapitre C. Le cisaillement accroît l'énergie de la configuration magnétique. Cette énergie peut être diminuée si une instabilité résistive permet aux lignes de champ de se reconnecter comme le montre la figure 25b du chapitre C. Hirayama (1985) a étendu cette évolution en incorporant une protubérance: figures 2 a-d. L'évolution s'effectue alors d'une configuration Normale (ou K-S car la configuration est de même topologie que celle proposée par Kippenhahn et Schlüter (1957)), à une configuration Inverse (ou K-R, car la configuration est analogue à celle proposée par Kuperus et Raadu (1973)). Cette évolution pourrait décrire celle d'une protubérance de plage qui, progressivement croît, pourrait devenir une protubérance quiescente. Ce scénario nécessite cependant la reconfiguration des lignes de champ dans l'arcade, ce que
<figure><img src="image_190.png" /></figure>

**Figures 2 :** Evolution de la configuration magnétique des protubérances. L'évolution, donnée par la série de figures A, reprend l'évolution, décrite par Pneumann (1983), d'une arcade (chapitre C, figures 25), en ajoutant de la matière dense au sommet des lignes de champ. Le cisaillement de l'arcade ne forme pas ici une configuration magnétique favorable à la création de la protubérance: de la matière froide est supposée présente depuis le début de l'évolution; mais il produit l'évolution d'une configuration Normale, à une configuration Inverse. L'évolution décrite par la série de figures B est plus plausible: elle ne nécessite pas de reconnexion des lignes de champ. La schématisation de l'apparence possible de la protubérance est donnée à chaque étape par les deux dernières rangées de figures. Hirayama (1985).

les calculs numériques de MHD actuels ne laissent pas apparaître: Bishamp et Welter (1988).

Un scénario différent a été proposé par Hirayama (1985): d'après l'analyse des observations, figures 2 a'-d', l'évolution ne nécessite pas de reconnexion des lignes de champ. Elle a été modélisée par l'augmentation de la torsion des tubes de champ par Priest et al (1989): chapitre C, figures 26 et 27. La schématisation de l'apparence du plasma de la protubérance est donnée au bas de la figure pour chaque configuration magnétique: chaque étape correspond à une morphologie bien précise. Cette modélisation de l'évolution conduit à unifier les protubérances calmes: les différentes classes ne seraient que le résultat de l'évolution d'une même structure. Cependant, le colloque de Majorque (1987) a montré que cette évolution possible demandait à être confirmée par les observations. En définitive, les trois classes de protubérances calmes (de plage, quiescente de haute et de basse altitude) gardent leurs mystères: est-ce des objets différents ou bien le résultat de l'évolution de la structure magnétique?

### 1.1.3 Disparitions brusques des protubérances

Les protubérances quiescentes et de plage sont sujettes à de violentes éruptions qui détruisent une partie ou l'ensemble du filament. Cela conduit à un fort accroissement de l'émission lumineuse dans l'ensemble du spectre et à une éjection de matière. Ces instabilités peuvent être classées schématiquement en deux grandes catégories: thermiques et magnétiques. Dans la première, le plasma de la protubérance est chauffé, alors que dans la deuxième, c'est l'ensemble de la structure, et en particulier la configuration magnétique, qui évolue rapidement. L'ensemble des protubérances stables est soumis à ces événements catastrophiques; cependant, les mécanismes mis en jeu ou/et les ordres de grandeur des paramètres ne sont pas les mêmes. Les éruptions des protubérances de plage sont associées à des "flares", et plus particulièrement au "two ribbons flares" ou éruption en double filets. Ces éruptions sont caractérisées par une forte augmentation de l'énergie lumineuse émise, particulièrement aux hautes énergies (UV, X) et à une accélération importante de particules chargées. La formation de deux rubans lumineux au niveau chromosphérique, de chaque côté de la protubérance, caractérise ces éruptions de protubérance de plage. Les éruptions des protubérances quiescentes sont quant à elles moins spectaculaires: elles sont
moins rapides et moins énergétiques. Elles conduisent cependant à une importante éjection de matière.

La tendance actuelle est de décrire ces phénomènes, d'apparence si diversifiée, à l'aide d'un modèle unique. Cependant, des mécanismes différents pourraient particulariser ces classes. Je vais donc d'abord présenter les disparitions des protubérances séparément des "flares". Le lien entre ces évènements se fera à travers la description des modèles. Je ne tenterai pas de faire une revue exhaustive du sujet qui est très vaste. Il a en particulier été très étudié durant la dernière période d'activité du Soleil grâce aux données spatiales de satellites tels que S.M.M. (Solar Maximum Mission). Les disparitions brusques peuvent être classées principalement en deux classes (thermiques et dynamiques) que je vais décrire rapidement.

### a. Disparitions brusques thermiques

Une disparition brusque thermique est produite par l'échauffement de la matière froide de la protubérance. Mouradian et al (1981,1986) ont suivi la disparition d'un filament dans la raie $H_α$ et ont montré que cette matière devenait visible dans les raies ultra-violettes successivement formées à des températures plus chaudes. Malherbe et al (1983) et Simon et al (1984) ont étudié ce processus de chauffage: le phénomène dure quelques minutes et s'accompagne de faibles vitesses (< 10 km.s⁻¹), donc sans formation de choc. La reformation du filament est souvent observée après cette phase d'activité. Le filament se condense alors rapidement en quelques heures, ce qui est court par rapport au temps nécessaire à la première formation (quelques semaines): Malherbe (1988). Ces phénomènes apparaissent purement thermiques, la structure magnétique de la protubérance demeurant inchangée durant toute l'évolution.

### b. Disparitions brusques dynamiques

Les disparitions brusques dynamiques se caractérisent par des mouvements de montée d'une partie ou de l'ensemble de la protubérance. Ces mouvements peuvent être lents (quelques km.s⁻¹ pour une protubérance quiescente) ou rapides (quelques dizaines de km.s⁻¹ pour une protubérance de plage). La montée de la protubérance s'accompagne aussi d'une forte turbulence, de la disparition progressive de la matière froide, d'une augmentation de l'émission lumineuse dans les domaines UV et X, et de la formation de deux filets d'émission en $H_α$ au niveau chromosphérique. Le
<figure><img src="image_191.png" /></figure>

**Figure 3** : Schématisation de l'évolution temporelle de l'émission électromagnétique lors d'une éruption ( "flares").

Bien que les "flares" soient très diversifiées, on peut schématiser l'évolution en quatre phases dont la durée est approximativement d'une dizaine de minutes pour la phase précédant l'éruption, d'une minute pour la phase impulsive, de cinq minutes pour la phase correspondant au "flash", et d'environ une heure pour la phase principale. La première phase correspond probablement à l'initialisation de la reconnexion à un faible régime, celui-là s'intensifiant ensuite durant le "flash", pour décroître progressivement dans la phase principale. Priest (1982).

phénomène étant moins énergétique pour ces protubérances quiescentes que pour celles des régions de plage, les filets d'émission en $H_α$ n'apparaissent qu'occasionnellement. L'observation de cette activation des filaments est souvent corrélée à l'activité photosphérique: naissance de polarités parasites près du filament (Martin (1983, 1986), Schmieder et al (1985), Simon et al (1986)) ou mouvements photosphériques de torsion: (Martres et al (1982)). Le lent mouvement de cisaillement du champ photosphérique est aussi une possibilité souvent retenue par les modèles de "flares" car il accroît l'énergie de la configuration magnétique.

## 1.2 "Flares"

Le phénomène de "flare" correspond à une brusque libération d'énergie dans l'atmosphère solaire. Cela se traduit par une forte augmentation de l'énergie émise dans tout le domaine spectral des ondes électromagnétiques, depuis les ondes radio millimétriques jusqu'aux rayons X durs. Une éjection de matière, et l'accélération de particules de haute énergie, accompagnent en général l'émission électromagnétique. L'énergie du "flare" provient vraisemblablement de l'énergie magnétique stockée dans des champs magnétiques possédant de forts courants (champs fortement torsadés ou cisaillés). La figure 3 donne schématiquement l'évolution observée dans les différentes longueurs d'onde. Une activité anormale est présente dans la région qui va subir le "flare", avant son déclenchement ("preflare phase"). Puis l'éruption a lieu brusquement en environ une minute ("impulsive phase"), suivie de l'augmentation progressive de la luminosité en $H_α$ ("flash phase"). Enfin, l'intensité lumineuse émise décroît lentement, en quelques heures ("main phase"). Cette description moyenne des "flares", ne doit cependant pas cacher la diversité du phénomène: l'énergie émise dans chaque domaine et le temps de chaque phase peuvent être fortement modifiés d'un événement à l'autre. Malgré cette diversité, on regroupe généralement les "flares" en deux classes (Priest, 1981): ceux formés dans une boucle magnétique simple (ou "compact flares") et ceux formant une éruption en double filets. Les premiers sont associés aux points brillants observés aux rayons X dans la couronne solaire alors que les seconds font intervenir l'éruption de protubérances de plage. Les propriétés de ces éruptions ont été exposées dans de nombreuses revues dont Svestka (1976) et (1981), Sturrock (1980), Priest (1981), Martin (1980), Gaisauskas (1984) et Svestka (1986), Rust et Batche-
(a)

<figure><img src="image_192.png" /></figure>

(b)

<figure><img src="image_193.png" /></figure>

Figures 4 : Observation d'une éruption en double filets.
Les figures (a) et (b) montrent deux instants de la phase principale de l'éruption. La photographie de la figure (b), prise environ quatre heures après celle de la figure (a), montre que les rubans brillants dans la chromosphère se sont séparés et ont diminué d'intensité. Sur cet exemple la protubérance s'est reformée à la position spatiale qu'elle occupait avant l'éruption. Zirin (1988).

lor (1986) et Zirin (1988). Ici, je me limiterai à la description simplifiée des éruptions en doubles filets qui font intervenir des mécanismes vraisemblablement identiques à ceux qui donnent lieu aux disparitions brusques, mais les paramètres, et donc l'intensité du processus, sont différents. Les éruptions en double filets sont les processus énergétiques les plus violents existant sur le soleil et leur nom provient des filets d'émission qui se forment au niveau chromosphérique de part et d'autre du filament lors de l'éruption: figures 4.

Les figures 5 schématisent l'évolution de la structure magnétique lors d'une éruption en double filets. Cette description ne garde que les aspects les plus importants, et donne une description globale du phénomène. Les différents modèles d'éruption peuvent être décrits schématiquement par l'évolution représentée par les figures 5; cependant, un consensus ne s'est pas encore dégagé, en particulier sur la cause de l'instabilité. Cette évolution schématique va permettre de relier les observations à diverses longueurs d'ondes. La configuration magnétique initiale peut être Normale ou Inverse: figure 5a. L'évolution est vraisemblablement provoquée par des mouvements de convection photosphériques: figures 1. Cette évolution est très lente pendant quelques jours à quelques semaines, mais elle s'accélère quelques dizaines de minutes avant le début de l'éruption (figure 5b). D'importants mouvements de matière sont alors observés le long de l'axe de la protubérance, des mouvements de torsion sont aussi présents et la matière de la protubérance devient plus sombre. Ces observations montrent que la protubérance, mais aussi la configuration magnétique deviennent instables. L'éruption termine cette phase d'activation ("preflare phase"); la protubérance est alors éjectée, toujours vers le haut, à des vitesses de l'ordre de $10 \text{ km.s}^{-1}$. Simultanément, les filets apparaissent de part et d'autre du filament: ils sont provoqués par l'impact sur la chromosphère de particules de haute énergie spiralant le long des lignes de champ, ainsi que par la conduction thermique de l'énergie libérée dans la couronne. Cette énergie est probablement libérée dans une nappe de courant localisée sous la protubérance: figure 5c; le début de l'éruption ("impulsive flare") marquerait l'initialisation brusque de la reconnexion. Celle-là se poursuit ensuite, à un niveau plus faible, durant toute l'évolution de l'éruption: "flash" et "main phase". L'éruption du filament provoque une éjection importante de matière ($10^{12} - 10^{13} \text{ kg}$) dans le milieu interplanétaire à des vitesses finales de l'ordre de $700 \text{ km.s}^{-1}$. L'interaction de la structure magnétique montante avec le milieu coronal provoque un choc qui condense la matière coronale: il se forme un "transient", bulbe magnétique formant
<figure><img src="image_194.png" /></figure>

<figure><img src="image_195.png" /><figcaption>**Figures 5** : Evolution de la structure magnétique dans une éruption en double filets.</figcaption></figure>

(a) : évolution lente de la structure avant l'éruption.

(b) : une instabilité provoque la montée rapide de la protubérance. L'instabilité peut provenir de la configuration magnétique seule, ou être due à la présence de la protubérance.

(c) : la montée du filament entraîne la formation d'une nappe de courant où la reconnexion magnétique convertit l'énergie magnétique en énergie électromagnétique et cinétique (accélération de particules et éjection de matière).

(d) : l'éruption conduit à l'éjection d'un plasmoïde contenant de la matière dense. Une onde de choc est produite à l'interface couronne-plasmoïde car les vitesses d'éjection sont comparables à la vitesse d'Alfven du plasma coronal.
Priest (1982).

une cavité peu dense, entourée d'une coquille de matière condensée, qui est éjecté du soleil. Sous la protubérance, la reconnexion des lignes de champ magnétiques crée des boucles magnétiques très chaudes (~ $10^7$ K), dont l'ancrage dans la chromosphère est marqué par des filets brillants: figures 4. Après avoir été formées par la reconnexion dans la nappe de courant, ces boucles chaudes se refroidissent progressivement, tandis que d'autres boucles chaudes se forment à plus haute altitude, donnant l'illusion du mouvement d'une boucle magnétique chaude. Les rubans chromosphériques s'éloignent alors progressivement durant l'éruption: figure 4b. Ces boucles chaudes sont appelées "postflare loops", elles se forment et évoluent cependant durant la phase principale de l'éruption. Au niveau chromosphérique, la distribution du champ magnétique est peu modifiée durant l'évolution du "flare", ce qui montre que l'éruption est provoquée par une instabilité localisée dans la couronne (en incorporant la protubérance dans ce terme) et non pas dans la chromosphère ou dans la photosphère. Les fibriles chromosphériques sont presque alignées avec l'axe de la protubérance avant l'éruption, ce qui laisse supposer que le champ magnétique est fortement cisaillé. Leur évolution durant l'éruption indique une modification de la structure magnétique conduisant à une décroissance du cisaillement. De plus, les "post flare loops" sont presque orthogonales à l'axe de la protubérance. Cela indique que l'énergie magnétique accumulée dans le champ fortement cisaillé est libérée durant l'éruption. Des champs de 100 G, ce qui est une valeur typique des grandeurs mesurées dans les régions actives, sont suffisants pour stocker la quantité d'énergie libérée dans un "flare". Cette énergie magnétique ne peut être transformée rapidement que dans une nappe de courant, région où la résistivité du plasma est non négligeable car l'échelle de longueur est faible. Les modèles d'éruption analysent donc les conditions pouvant conduire à la formation de nappes de courant. Celles-ci peuvent être formées par l'évolution de la configuration magnétique ou par la naissance de nouveaux flux interagissant avec le champ existant. Les éruptions en double filets étant toujours associées à l'éruption d'une protubérance, cette dernière peut être à l'origine de l'instabilité.
<figure><img src="image_196.png" /><figcaption>(a) Preflare Heating</figcaption></figure>

<figure><img src="image_197.png" /><figcaption>(b) Impulsive Phase</figcaption></figure>

<figure><img src="image_198.png" /><figcaption>(c) Main Phase</figcaption></figure>

Figures 6 : Modèle de flare induite par l'émergence d'une polarité para-site.

(a) : Phase précédant l'éruption: la reconnexion du flux émergeant avec le champ magnétique s'effectue lentement.

(b) : Phase impulsive: la reconnexion s'accélère rapidement (à cause de la turbulence qui accroît la résistivité du plasma) et provoque l'accélération de particules énergétiques.

(c) : Phase principale: la reconnexion atteint un nouveau régime d'évolution quasi-statique. La dissipation de l'énergie dans la nappe de courant peut provoquer la formation de rubans chromosphériques.

Heyvaerts et al (1977).

## 1.3 Modèles d'éruptions

### 1.3.1 Généralités

Les différentes études ont été exposées dans de nombreuses revues dont Spicer et Brown (1981), Priest (1986), Zwingmann (1988) et Hood (1988) ainsi que dans les livres édités par Sturrock (1980) et Priest (1981). Je ne vais pas tenter de décrire l'ensemble de ces travaux mais je vais discuter seulement une fraction d'entres eux, particulièrement ceux qui sont les plus proches de mes travaux. Trois classes principales de modèles d'éruption se dégagent. Dans la première classe, l'éruption est provoquée par une cause extérieure, par exemple l'émergence d'un nouveau flux, ou l'onde de choc provoquée par une autre éruption. Dans la seconde, l'éruption est créée par une instabilité de la structure magnétique. Enfin, dans la dernière classe, la cause de l'éruption est liée à la présence de la protubérance. Les deux premières classes, négligeant la présence de la protubérance, peuvent donner une unification dans les mécanismes engendrant les éruptions en doubles filets et les "flares" compacts. La dernière classe, en revanche, peut aussi être appliquée aux disparitions brusques dynamiques des protubérances quiescentes. Tous ces processus conduisent à la formation de nappes de courant où l'énergie magnétique est dissipée. Les divers modèles de reconnexion ont été exposés par Priest (1982) et Priest et Forbes (1986). Les observations montrent des configurations magnétiques très cisaillées. Cela est sûrement une condition nécessaire, mais non suffisante, à la formation d'une éruption, car le champ magnétique peut alors emmagasiner une grande énergie.

### 1.3.2 Modèles avec flux émergent

Heyvaerts et al (1977) ont développé un modèle d'éruption fondé sur l'émergence d'un tube de flux dont la direction du champ magnétique est opposée à celle du champ existant. Le processus débute par un faible taux de reconnexion, figure 6a, qui correspond à la phase "preflare". La reconnexion s'accélère violemment lorsqu'une hauteur critique du flux émergent est atteinte: figure 6b. Enfin, la reconnexion se poursuit durant la phase principale: figure 6c. Ce modèle s'applique principalement aux "compact flares", mais peut aussi donner lieu à une éruption en double filets si une protubérance est présente dans la configuration magnétique initiale. Les rubans chromosphériques sont formés par le même mécanisme que celui décrit par les figures 5 ou la figure 16. Ce processus a été étudié en détails par Forbes et Priest
<figure><img src="image_199.png" /></figure>

**Figure 7 :** Schéma d'éruption d'un tube de champ torsadé. Le filament de plage est supposé être dans un tube qui est torsadé par des mouvements photosphériques. Lorsque la torsion $\Phi$ dépasse une valeur critique $\Phi_{crit}$, l'effet stabilisant de l'ancrage des lignes de champ dans la photosphère du tube de champ et de l'arcade qui l'entoure, ne suffit plus: une éruption de la configuration magnétique a lieu. *Priest (1982).*

<figure><img src="image_200.png" /></figure>

**Figure 8 :** Instabilité d'un plasma parcouru par un courant: "kink mode". La figure représente la perturbation d'une configuration magnétique créée par un tube de courant rectiligne. Les forces de pression magnétiques produites dans la perturbation tendent à amplifier celle-ci: la structure magnétique est instable. *Hood (1988).*

(1984) grâce à un code numérique. Il peut être étendu à toute évolution de configuration magnétique conduisant à la formation d'une nappe de courant. Il en est ainsi, en particulier, si la configuration initiale possède un point neutre.

### 1.3.3 Modèles avec torsion d'un tube de flux

L'instabilité d'une structure magnétique peut être produite dans un tube de champ torsadé par des mouvements photosphériques: figure 7. Le mode le plus instable, pour une structure coronale, est le mode de "kink": une interprétation simple de cette instabilité est donnée à la figure 8. L'ancrage des lignes de champ au niveau photosphérique a un effet stabilisant car il limite le nombre de modes possibles. L'instabilité n'est alors possible que pour une torsion $\Phi$ supérieure à une valeur $\Phi_{crit}$, qui dépend de la configuration magnétique étudiée, mais aussi des conditions aux limites imposées pour modéliser la réponse de la photosphère. Les valeurs extrêmes sont: $\Phi_{crit} = 2.5 \pi$ pour *Hood et Priest* (1980) et $\Phi_{crit} = 20 \pi$ pour *Einaudi et Van Hoven* (1983). L'évolution temporelle d'une boucle torsadée a été calculée par *Steinolfson et Tajima* (1988). Une évolution quasi-statique est présente jusqu'à une torsion critique: passée cette limite, l'énergie cinétique s'accroît rapidement.

L'étude de l'instabilité linéaire d'un tube de flux n'est cependant pas suffisante pour montrer que pour $\Phi > \Phi_{crit}$, le système subit une éruption. L'instabilité idéale se développe en détruisant l'équilibre initial, mais l'ancrage des lignes de champ dans la photosphère impose la topologie aux lignes de champ, et la torsion des lignes de champ provoque une importante force de rappel. Dans ces conditions, lorsque $\Phi \ge \Phi_{crit}$, il est probable que le tube de flux évolue vers un équilibre voisin, où le champ est non seulement torsadé selon le tube de flux, mais le tube de flux lui-même forme une hélice. De tels équilibres, tridimensionnels par nature, sont difficiles à calculer. La déstabilisation de ce nouvel équilibre nécessite une torsion supplémentaire (dont l'ordre de grandeur est inconnu), et la formation d'une nappe de courant: une instabilité résistive est nécessaire pour modifier la topologie du champ magnétique et libérer brusquement l'énergie emmagasinée. Un tel modèle d'éruption rejoint alors les modèles décrits dans le paragraphe précédent, l'éruption est ici induite par un processus d'évolution particulier: la torsion du tube de champ.
### 1.3.4 Modèle avec cisaillement d'une arcade

Les configurations magnétiques donnant lieu à des éruptions sont toujours très fortement cisaillées. Cela permet au champ magnétique d'accumuler de l'énergie, mais une instabilité est-elle présente dans une telle structure lorsque l'on augmente le cisaillement ?

#### a Champ sans force non linéaire

De nombreux travaux ont été effectués dans cette direction. Ils supposent une structure magnétique bidimensionnelle: une arcade magnétique, pouvant être cisaillée par des mouvements photosphériques. L'évolution est supposée être quasi-statique et la grande valeur du nombre de Reynolds magnétique de la couronne (~ $10^{10}$ – $10^{12}$) permet de négliger la résistivité du plasma. Le potentiel scalaire du champ magnétique A(x,z) vérifie alors l'équation de Grad-Shafanov:

$$ \Delta A + \frac{\partial}{\partial A} \left( B_y^2 (A) / 2 \right) + \mu_0 \frac{\partial}{\partial A} (p(A)) = 0 \quad (1) $$

où $B_y (A)$ est la composante du champ magnétique parallèle à l'axe de la structure et $p(A)$ est la pression du plasma. La structure magnétique est fixée par les conditions aux limites au niveau photosphérique: les lignes de champ sont ancrées dans la photosphère. La structure subissant seulement des mouvements de cisaillement, cela impose au potentiel A(x,0) une distribution fixée lors de l'évolution quasi-statique. Un premier problème noté P1 consiste à imposer à la fois $p$ et $B_y$ au niveau photosphérique, ce qui détermine totalement l'évolution de la structure magnétique décrite par l'équation (1):

$$ B_y (A) = \lambda_B \cdot f_B (A) \quad (2) $$

$$ P(A) = \lambda_p \cdot f_p(A) \quad (3) $$

$f_B$ et $f_p$ étant deux fonctions de A quelconques mais fixées lors de l'évolution. Cependant, Jochers (1978) a montré que la composante tangentielle du champ $B_y$ ne pouvait pas être fixée au niveau photosphérique. L'ancrage des lignes de champ doit être imposé par leur déplacement photosphérique $d_y (A)$ qui est relié à $B_y (A)$ par:

$$ d_y (A) = B_y (A) \cdot \int_{\text{ligne}} \frac{ds}{|\nabla A|} \quad (4) $$

l'intégrale étant effectuée selon la ligne de champ. Le déplacement de cisaillement s'écrit:

$$ d_y (A) = \lambda_s \cdot f_s (A) \quad (5) $$
<figure><img src="image_201.png" /><figcaption>Figures 9: Diagramme d'évolution d'un système régi par une équation de Grad-Shafanov.</figcaption></figure>

Le paramètre N représente une quantité physique de la configuration, par exemple son énergie; $\lambda$ est un paramètre mesurant les modifications apportées par la photosphère.

(a) : L'évolution est stable pour toutes les valeurs de $\lambda$.

(b) : Une perte d'équilibre est présente pour $\lambda > \lambda^*$.

(c) : Une perte d'équilibre existe pour $\lambda > \lambda_2^*$ sur la branche inférieure et pour $\lambda < \lambda_1^*$ sur la branche supérieure.

Zwingmann (1988).

<figure><img src="image_202.png" /><figcaption>Figure 10 : Diagramme d'évolution d'une arcade magnétique. L'énergie magnétique $W_t$, normalisée à l'énergie de la configuration potentielle $W_0$, est décrite en fonction des paramètres $\lambda_p$ et $\lambda_s$ donnant respectivement l'évolution de la pression et du cisaillement photosphérique. Un point de non équilibre n'est présent que si $\lambda_p$ est supérieur à une valeur critique $\lambda_p$ (fonction de $\lambda_s$) de l'ordre de 3.5 à 6. Zwingmann (1987).</figcaption></figure>

La résolution de ce dernier problème est difficile car l'équation (4) fait inter-venir un opérateur non local. Ainsi, de nombreux auteurs se sont limités àla résolution du premier problème en supposant que des résultats analogues pourraient être déduits du problème P2. Zwingmann (1988) a effectué une revue des différents travaux.

Le problème P1 a été étudié en détails en résolvant l'équation:

$$ \Delta A + \lambda \cdot f(A) = 0 \qquad (6) $$

Birn et al (1978) ont montré que, lorsque $f(A)$ vérifie : $f.\partial^2 f/\partial A^2 \ge 0$ et $\partial f/\partial A > 0$, l'augmentation du paramètre $\lambda$ ($\ge 0$) n'entraîne pas de perte d'équilibre: le diagramme d'évolution du système est alors donné par la figure 9a. Low (1977) montre, sur un exemple analytique particulier, que le diagramme d'évolution est du type de la figure 9b: un point de non équilibre est présent en $\lambda = \lambda^*$. Heyvaerts et al (1982) montrent que le diagramme peut être encore plus complexe pour une classe importante de fonctions: $f(A)$ finie et à support borné; un exemple de diagramme est représenté par la figure 9c. Aly et Amari (1987) ont ensuite généralisé les théorèmes d'Heyvaerts et al àdes champs magnétiques incluant une pression gazeuse avec gravité. Cependant, ces résultats peuvent-ils être transposés au problème P2? L'influence du terme de pression dans l'équation (1) peut être traitée par l'équation (5). Amari et Aly (1985) ont montré que l'accroissement du déplacement $d_v(A)$, àpartir d'une configuration potentielle, conduit au début àl'accroissement de la composante $B_v(A)$, mais que l'évolution s'inverse àfort cisaillement. L'accroissement du cisaillement ne peut donc être imposé en augmentant $B_v(A)$ comme il est supposé dans le problème P1. L'augmentation du cisaillement conduit àdécrire le diagramme de la figure 9b en entier: lorsque $\lambda_B = \lambda_B^*$ est atteint, $B_v(A)$ et donc $\lambda_B$ décroissent lorsque le cisaillement augmente ($\lambda_s$ croît). Zwingmann (1987) a résolu numériquement le problème P2 en le reformulant: le champ magnétique est décrit par les potentiels d'Euler: $B = \nabla\alpha \times \nabla\beta$, ce qui permet d'imposer le déplacement des lignes de champ àla base de la configuration. La pression et le cisaillement sont imposés par les équations (3) et (5). La figure 10 donne l'évolution de l'énergie de la structure en fonction des deux paramètres (non dimensionnés) $\lambda_s$ et $\lambda_p$. Un point de non équilibre ne peut être atteint que si le paramètre $\lambda_p$ dépasse une valeur critique $\lambda_p^*$ fonction de $\lambda_s$. Cela est en accord avec les théorèmes de Heyvaerts et al (1982). Cependant, contrairement aux résultats du problème P1, le cisaillement de l'arcade ne conduit pas àun point de non équilibre: le
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<figure><img src="image_203.png" /></figure>

**Figures 11 :** Evolution d'un couple d'arcades cisaillées symétriquement. Le cisaillement photosphérique des arcades provoque l'expansion de la structure magnétique: figures 11a et b. Une nappe de courant est produite sur chaque bord de la boîte lorsque l'arcade centrale se déploie dans tout le domaine horizontal du calcul: figure 11c. Une autre nappe de courant est ensuite créée au centre du domaine et un plasmoïde se détache: figure 11d. Mikic et al (1987).

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<figure><img src="image_204.png" /></figure>

**Figures 12 :** Evolution d'un couple d'arcades cisaillées non symétriquement. L'arcade la plus cisaillée subit une plus grande expansion: figure 12a; une nappe de courant se forme alors entre les deux régions dipolaires: figure 12b et l'éjection d'un plasmoïde a lieu: figure 12c, suivie par la formation d'autres plasmoïdes: figure 12d. Cette évolution est réalisée avec un cisaillement beaucoup plus faible que celui nécessaire pour former un plasmoïde avec le cisaillement symétrique décrit par les figures 11. Bishamp et Welter (1989).

diagramme d'équilibre en fonction de $\lambda_s$ est similaire à celui de la figure 9a. La pression du plasma dans l'atmosphère solaire étant inférieure d'un facteur 10 à $10^3$ à la pression magnétique, on en conclut que le cisaillement d'une arcade magnétique bidimensionnelle ne peut conduire à une éruption par perte d'équilibre (ce qui n'exclut pas que le système puisse devenir instable, en particulier en présence d'une résistivité finie).

## b Modèles numériques MHD

Mikic et al (1987) et Biskamp et Welter (1988) ont utilisé d'importants codes numériques, développés pour les plasmas de laboratoire, pour suivre l'évolution MHD d'une arcade magnétique cisaillée par des mouvements photosphériques. Les calculs présentés dans ces deux articles résolvent le système des équations MHD à deux dimensions en incluant la viscosité et la résistivité du plasma. Ces deux grandeurs ont cependant été accrues pour que les temps caractéristiques associés $\tau_v$ et $\tau_R$, ne soient pas très longs comparés au temps d'Alfven $\tau_A$ (nécessaire à une onde magnétique pour traverser la structure): $\tau_R$ et $\tau_v$ sont pris de l'ordre de $10^4 \tau_A$. Lorsque l'évolution s'effectue sur un temps très supérieur à $\tau_A$, un équilibre magnétique est presque réalisé à chaque étape: l'évolution est alors quasi-statique. Les mouvements photosphériques utilisés ont un temps caractéristique de l'ordre de $100 \tau_A$ pour réaliser cette condition.

Mikic et al ont étudié l'évolution d'une arcade double: figures 11, chaque arcade étant soumise à la base à un mouvement de cisaillement. Une instabilité se développe dans la structure, ce qui conduit à la formation d'une nappe de courant, puis à l'éjection d'un plasmoïde. Une telle instabilité n'avait pas été trouvée dans des études antérieures, par exemple Hood (1983). Cependant, l'interaction de l'arcade centrale avec les bord du domaine de calcul (et donc avec une arcade symétrique) avant la formation de la nappe de courant centrale, donne lieu à une reconnexion prématurée non réaliste. Bishamp et Welter ont effectué des calculs similaires: figures 11. Ils montrent en particulier que l'instabilité décrite par Mikic et al n'est présente que parce que le cisaillement est symétrique et qu'elle est due à des erreurs numériques d'arrondi. Pour un cisaillement non symétrique, l'arcade la plus cisaillée augmente plus rapidement de taille: figures 12, et la reconnexion avec l'autre arcade donne lieu à la formation d'un plasmoïde bien avant que ne puisse se produire l'instabilité décrite par les figures 11. Cependant, lorsque les contraintes des parois latérales sont supprimées, l'évolution du champ magnétique est totalement différente: figures 13a. Un plasmoïde est formé
<figure><img src="image_205.png" /><figcaption>Figures 13 : Evolution d'arcades cisaillées non symétriquement sans parois latérales.</figcaption></figure>

(a) : Un couple d'arcades cisaillées conduit à la formation d'un îlot qui n'est pas éjecté contrairement aux résultats des figures 12.

(b) : L'interaction de trois arcades est nécessaire pour former des éjections de plasmoïdes.

Bishamp et Welter (1989).

dans l'arcade la moins cisaillée, mais il n'est pas éjecté. Bishamp et Welter ont répété ce calcul pour différents types de cisaillement ; le résultat est analogue et ils concluent que le cisaillement de deux arcades n'est pas suffisant pour former l'éjection de plasmoïdes. Les figures 13b représentent l'évolution d'une configuration plus complexe: le champ magnétique comprend trois dipoles, et dans cette configuration, le cisaillement photosphérique conduit à une éruption.

Ces calculs numériques sont en accord avec l'étude de l'évolution d'arcade de champ magnétique sans force non linéaire exposée au paragraphe précédent: une éruption ne peut être créée dans une arcade magnétique par des mouvements de cisaillement photosphérique. Les résultats sont cependant applicables dans des conditions différentes que je vais exposer brièvement en deux points. Les travaux décrits dans le paragraphe a supposent que les lignes de champ sont ancrées dans la photosphère. Les résultats numériques de Mikic et al permettent de justifier partiellement cette hypothèse: la vitesse de déplacement des pieds des lignes par rapport au plasma photosphérique, est beaucoup plus faible que la vitesse de cisaillement. Cependant, ce résultat est obtenu avec une photosphère peu réaliste où la pression gazeuse est négligeable devant la pression magnétique et où la température est typique de la couronne. Le problème d'ancrage des lignes de champ dans la photosphère solaire dense étant un problème général à tous les types d'instabilités magnétiques coronales, il n'est pas encore résolu. De plus, l'évolution du champ magnétique est décrite par une équation de Grad-Shafanov, ce qui suppose une évolution iéale (sans diffusion du champ magnétique). Les calculs de Bishamp et Welter montrent cependant une évolution différente pour une arcade cisaillée: le champ magnétique de l'arcade devient sans force linéaire après un temps d'évolution de l'ordre de 500 $\tau_A$! Cela a été réalisé pour différents profils de cisaillement et différentes distributions de champ photosphérique et cela semble donc invalider les travaux du paragraphe a. Cependant, le temps résistif $\tau_R$ de l'arcade utilisé dans le calcul est seulement de $10^4 \tau_A$, et il peut être réduit à 400 $\tau_A$ si une échelle de longueur 5 fois plus faible est présente dans la structure. De plus, les instabilités résistives croissent sur un temps hybride, par exemple $\tau_E = \tau_A^{2/5} \tau_R^{3/5}$, qui est de l'ordre de 300 $\tau_A$ dans le présent calcul. Les calculs de Bishamp et Welter apportent en fait une preuve à l'hypothèse de Taylor-Heyvaerts (Heyvaerts et Priest 1984), selon laquelle un champ magnétique linéaire sans force est créé en un temps de relaxation
<figure><img src="image_206.png" /></figure>

**Figure 14** : Non équilibre thermique dans une boucle coronale.
Cette figure représente la température du sommet de la boucle $T_1$, en fonction du chauffage. Elle a été obtenue en résolvant l'équation de l'énergie le long de la boucle: équation (2) du chapitre C. Partant d'un équilibre avec un faible chauffage $H_i$, l'équilibre est réalisé sur la branche inférieure pour une température $T_i$. Si le chauffage augmente, un point de non équilibre est atteint en $H = H_{crit}$. Le système doit alors évoluer vers une haute température $T_f$ dont la valeur dépend de l'importance de la conduction thermique et donc de la longueur $L$ de la boucle (les valeurs données sur la figure sont non dimensionnées). Hood et Priest (1981).

(ici le temps d'instabilité résistive $τ_E$). Cette évolution minimise l'énergie du champ magnétique, lorsque la composante normale du champ photosphérique est fixée et que l'hélicité du champ est conservée. Les calculs numériques de Bishamp et Welter, ne remettent donc pas en cause les résultats du paragraphe a, ils s'appliquent simplement dans des conditions différentes lorsque l'effet de la résistivité est important: soit à long terme, soit lorsque de faibles échelles spatiales sont présentes.

### 1.3.5 Modèles de non équilibre thermique

Pour la majorité des modèles d'éruption ou de "flares", le champ magnétique est la source d'énergie; cependant, Hood et Priest (1981) ont suggéré qu'un "compact flare" pourrait être créé par une instabilité thermique localisée dans une boucle sans protubérance. Ils ont étudié la possiblité de créer une instabilité thermique en résolvant approximativement l'équation de l'énergie. La température du haut de la boucle, $T_1$, est tracée en fonction du chauffage sur la figure 14. Partant d'une basse température au sommet de la boucle ($T_i$ sur la figure), avec donc un faible chauffage $H_i$, l'augmentation du chauffage jusqu'à la valeur $H_{crit}$ amène le système à un point où aucun équilibre voisin n'existe. Le système est alors supposé évoluer jusqu'à une haute température, $T_f$, dépendant de la longueur de la boucle $L$ (non dimensionnée).

Peut-on étendre ce mécanisme aux éruptions en double filets? Malherbe et Forbes (1986) ont étudié différents mécanismes de chauffage permettant de détruire une protubérance: par des ondes, par des nappes de courant, par dissipation visqueuse et par conduction de l'énergie depuis la couronne. Ils concluent que les conditions requises pour une disparition brusque thermique sont très contraignantes. Cela est en accord avec la difficulté rencontrée par Poland et al (1986) pour détruire, par apport de chaleur, une protubérance. Les mécanismes de destruction les plus vraisemblables sont une forte augmentation du chauffage magnétique ou la conduction d'énergie depuis une région chaude voisine. Dans chaque cas, l'amplitude nécessaire des paramètres est celle rencontrée avec les "flares". L'étude de la stabilité thermique d'une protubérance dans une configuration magnétique sera étudiée par le code développé dans l'article A11, Démoulin et Einaudi (1989e). La principale difficulté est de résoudre le problème de l'équilibre thermique à basse température. Ce problème, exposé au chapitre précédent, fait intervenir la résolution, au moins approximative, du transfert de rayonnement. La disparition brusque thermique d'une partie du filament conduit à alléger la
<figure><img src="image_207.png" /></figure>

**Figure 15** : Processus énergétiques dans une éruption en double filets.
Le site principal de la conversion de l'énergie magnétique est situé sous la protubérance dans une nappe de courant de faible extension. Le chauffage est réparti dans l'arcade, en contact avec la nappe de courant, et l'apport de chaleur au niveau chromosphérique conduit à l'évaporation de la chromosphère et à la formation de deux rubans lumineux. L'accélération de particules dans la nappe de courant provoque différentes émissions radio, et l'envol de la partie supérieure de la configuration magnétique donne lieu à la formation d'un choc qui crée une éjection importante de matière. Martens et Kuin (1989).

:

<figure><img src="image_208.png" /></figure>

**Figure 16** : Modèle de reconnexion magnétique dans l'éruption en double filets.

Cette figure schématise l'évolution obtenue par des calculs numériques. Un jet supersonique est formé à la limite inférieure de la nappe de courant; son interaction avec les lignes de champ magnétique sous-jacentes comprime le plasma et crée les "post flare loops" qui sont représentés en grisé sur la figure. La conduction thermique de la chaleur évapore la partie supérieure de la chromosphère; un mouvement de matière montant est alors créé et alimente en matière, au travers du choc lent isotherme, le choc rapide. Schmieder et al (1986).
<figure><img src="image_209.png" /><figcaption>Figure 17 : Schématisation du circuit électrique pour la modélisation de l'éruption en double filets.</figcaption></figure>

(1) : ligne de courant modélisant la protubérance,

(2) : nappe de courant où s'effectue la reconnexion,

(3) : courants fermant les circuits dans la photosphère,

(4) : lignes de champ reconnectées sous la nappe de courant,

(5) : lignes de champ reconnectées entourant le filament,

(7) : lignes d'inversion du champ au niveau photosphérique,

(8) : rubans lumineux chromosphériques.

Martens et Kuin (1988)

protubérance. La structure magnétique évolue donc, suite à cet évènement, avec la contrainte d'ancrage des lignes de champ dans la photosphère. On montre dans l'article A4 qu'une telle évolution peut initialiser une évolution dynamique. Le modèle pourrait être probablement étendu à la phase de préactivité existant avant une éruption en double filets. L'instabilité thermique en détruisant la matière froide, peut favoriser l'évolution de la structure magnétique vers une catastrophe: le "flare" est alors déclenché par une perte d'équilibre thermique.

### 1.3.6 Modèles avec instabilité de la protubérance

Van Tend et Kuperus (1978) ont modélisé simplement l'interaction d'une protubérance avec un champ magnétique en étudiant l'équilibre d'une ligne de courant dans un champ potentiel. Ils ont montré que lorsque l'intensité du courant I dépasse une valeur critique $I_{crit}$, un point de non équilibre est atteint et la protubérance subit alors une éruption. Ce travail a été étendu à des configurations plus générales dans l'article A4, Démoulin et Priest (1988). Kaastra (1985) a étudié l'évolution dynamique de l'éruption: la figure 15 montre les différents processus intervenant dans cette évolution. L'équilibre des forces pour le filament et pour la nappe de courant, complété par une relation phénomélogique entre le courant et la hauteur du filament ainsi que la courbe d'évolution de la vitesse du filament déduite des observations, ont permis à Kaastra de modéliser avec succès l'évolution d'une éruption en double filets. Cette étude permet de localiser les diverses émissions décrites par la figure 7 dans la configuration magnétique: figure 15. L'évolution détaillée de la nappe de courant et du processus de reconnexion a été réalisée par Forbes et Priest (1983), Malherbe et al (1984), et Forbes (1988). La figure 16 résume les principaux phénomènes intervenant durant l'éruption en liaison avec la reconnexion magnétique.

Martens et Kuin (1989) ont développé le modèle de Kaastra (1985) en lui adjoignant les équations décrivant l'intensité des courants dans la protubérance et dans la nappe de courant. La figure 17 représente les circuits électriques dans la configuration magnétique. L'évolution du système est provoquée par des mouvements de convection photosphérique convergents. Cela induit un champ électromoteur qui accroît l'intensité du courant dans la protubérance. Celle-là, repoussée par l'action de son image sous la photosphère (modélisant l'ancrage des lignes de champ dans la photosphère), se déplace lentement vers de plus hautes altitudes. La figure 18 montre cette
<figure><img src="image_210.png" /><figcaption>**Figure 18 :** Evolution du courant du filament durant l'éruption en fonction de sa hauteur</figcaption></figure>

La courbe continue représente les positions d'équilibre et les points, l'évolution du filament. La reconnexion sous la protubérance débute juste après que le courant de la protubérance ait atteint sa valeur maximale. Martens et Kuin (1988).

mévolution, quasi-statique, le long de la branche ascendante. Le sommet de la courbe correspond à un point de non équilibre, à partir duquel les études précédentes supposent le départ de l'éruption. Les travaux de Martens et Kuin montrent, en revanche, une décroissance du courant du filament et une faible activité; cette phase est associée à la phase de "preflare" de la figure 3. Les figures 19 donnent une évolution plus détaillée de l'éruption: l'origine des figures est l'instant de formation de la nappe de courant, juste après que le maximum d'intensité dans la protubérance ait été atteint: figure 18. Le départ de l'éruption de la protubérance est brutal, et correspond à l'emballement de la reconnexion. Le courant de la nappe de courant croît rapidement: c'est la phase impulsive: figure 3. Le temps de l'impulsion (quelques heures) n'est cependant pas conforme aux observations qui donnent quelques minutes. Cela doit provenir des hypothèses introduites dans le modèle, en particulier d'une évolution quasi-statique à chaque instant du champ magnétique: le modèle ne peut résoudre des temps de l'ordre du temps d'Alfven $\tau_A$ de la structure. Ce travail permet d'interpréter les différentes étapes observées lors d'une éruption en double filets. Il met l'accent sur l'importance de la présence du filament dans l'éruption -ce que les divers modèles des paragraphes précédents ont négligé- et l'on observe effectivement que les éruptions en double filets sont toujours accompagnées de l'éruption d'une protubérance de plage. La présence de la phase de faible activité précédant l'éruption est aussi clairement mise en évidence. Durant cette phase, d'évolution métastable, une perturbation extérieure peut déclencher l'éruption, ce qui est une circonstance souvent observée. Ce modèle peut aussi s'appliquer aux protubérances quiescentes: si les mouvements de convection sont lents, un équilibre est atteint, et ce n'est que si les mouvements s'accélèrent que l'éruption a lieu: on a une disparition brusque dynamique.

Certains points du modèle demandent cependant à être approfondis. Les mouvements photosphériques créent un champ électromoteur qui induit un courant dans la protubérance. Pourquoi le courant est-il localisé seulement dans la protubérance, alors que sa résistivité est plus importante que celle de la couronne ? Le modèle supposant un champ coronal potentiel ne permet aucun courant dans la couronne. La diminution de l'intensité du courant dans la protubérance avant et durant l'éruption peut être interprétée comme une diminution de la composante orthoradiale du champ, mais sans composante du champ parallèle à la protubérance; ce ne peut donc être une diminution du cisaillement du champ durant l'éruption (ce que les obser-
<figure><img src="image_211.png" /></figure>

<figure><img src="image_212.png" /><figcaption>Figures 19 : Développement de l'éruption en double filets.
L'origine de l'abscisse des figures correspond à la création de la nappe de courant sous la protubérance. Une phase de pré-activation ("preflare phase") dure environ 25 h, suivie d'une phase impulsive à t = 42.5 h. Le courant de reconnexion augmente alors rapidement, tandis que le courant du filament diminue. Martens et Kuin (1988).</figcaption></figure>

vations montrent). De plus, avant l'éruption, le champ est presque aligné dans la direction de l'axe de la protubérance. Cela permet d'accumuler une énergie importante dans le champ, ce qui n'est pas permis dans le modèle car le champ est supposé potentiel. Une importante généralisation du modèle sera donc d'inclure une composante du champ parallèle à la protubérance en utilisant un champ sans force. L'équilibre d'une protubérance nécessite dans le modèle, des mouvements de convergence photosphériques. Cela provient de l'application aux circuits électriques du modèle des équations régissant les circuits électriques usuels. En MHD, le comportement est différent, et les équations des circuits doivent être modifiées. Ces points seront discutés plus en détails au paragraphe 2.2. Un dernier point délicat mérite d'être signalé: le traitement de la reconnexion dans la nappe de courant. Il devra inclure en particulier une composante du champ parallèle à l'axe de la protubérance, ce qui n'a pas encore été étudié !

## 2 Résumé des articles

### 2.1 Instabilité d'une protubérance dans un champ linéaire sans force: communication C4 et article A4

L'équilibre d'une ligne de courant, d'intensité I (modélisant une protubérance), dans un champ linéaire sans force a été étudié avec la géométrie de la figure 1 de l'article A4. Celle-ci permet une résolution analytique du problème, tout en gardant les faits observationnels essentiels: la protubérance est localisée au-dessus d'une ligne neutre du champ photosphérique dans un champ fortement cisaillé. L'équilibre est en général stable aussi bien pour les configurations Normales ($I < 0$) qu'Inverses ($I > 0$). Cependant, nous avons trouvé, pour chaque configuration, des conditions où il existe une région d'instabilité. L'augmentation progressive du courant I traversant la protubérance, induite par des mouvements photosphériques, peut alors conduire en un point où il n'existe pas d'équilibre voisin: l'éruption de la protubérance a alors lieu.

Les résultats montrent que les conditions d'instabilité pour les deux configurations sont similaires. La présence d'une région d'instabilité nécessite deux conditions. D'abord, les forces magnétiques doivent dominer les forces de gravité (ou, plus précisément, $\eta' > \eta'_{crit}$, ces paramètres étant définis dans
l'article A4). Une deuxième condition porte sur la répartition du champ photosphérique. Celui-ci est décomposé en série de Fourier, on montre que seules les deux premières harmoniques sont importantes et q'une région d'instabilité n'est présente que si la deuxième harmonique a une amplitude suffisamment importante et que son signe est le même que (respectivement opposé à) celui de la première harmonique pour une configuration Inverse (respectivement Normale). L'amplitude de la deuxième harmonique minimun nécessaire est cependant faible: le champ photosphérique est dominé par la première harmonique, et il reste bipolaire. L'influence du cisaillement est relativement peu importante car la région d'instabilité peut exister aussi dans un champ potentiel; aucun cisaillement critique n'est donc présent. Cependant, son augmentation accroit la taille de la région d'instabilité.

Ce modèle explique la différence d'activité observée entre les filaments de plage et les filaments quiescents. L'ordre de grandeur des paramètres des protubérances permet de montrer que la première condition ($\eta' > \eta'_{crit}$) est toujours réalisée pour les filaments de plage, alors qu'elle ne l'est pour les filaments quiescents que si la masse est très faible. De plus, les filaments de plage sont dans des régions d'activité où le champ photosphérique évolue rapidement (en quelques jours). La deuxième condition portant sur une répartition particulière du champ photosphérique peut donc aussi être réalisé en un court laps de temps (de l'ordre de la semaine). La protubérance est alors instable. Les deux conditions nécessaires à l'instabilité sont, par contre, plus difficiles à réaliser pour les protubérance quiescentes. Une évaporation par chauffage de la protubérance peut permettre de réaliser la première condition, ce qui déclenche une éruption seulement si la deuxième est vérifiée. Une disparition brusque thermique ne donne donc pas toujours lieu à une disparition brusque dynamique.

## 2.2 Modélisation de l'éruption des protubérances (travaux en cours)

L'article précédent a permis d'étudier les conditions d'instabilité d'une protubérance; dans cet article, on poursuit ce travail par une étude dynamique et non linéaire de l'instabilité. Un travail analogue a été effectué par Martens et Kuin (1988): figures 17 à 19; cependant, l'équation décrivant l'évolution du courant I de la protubérance est peu réaliste. Elle est inspirée de l'équation

régissant un circuit électrique RLC où les courants sont localisés dans les fils du circuit. Une telle modélisation a été utilisée avec succès pour le chauffage de la couronne par Ionson (1982, 1986). Mais cela suppose une structure statique, avec des perturbations dépendant du temps de faible amplitude. Les équations de la partie temporelle peuvent alors s'interpréter en terme d'équations de circuits électriques. La modélisation effectuée par Martens et Kuin est cependant différente car elle conduit à décrire l'évolution du courant de la protubérance par:

$$R.I + L \frac{dI}{dt} = V$$

où R est la résistance du circuit comprenant le filament et celle de la photosphère,

L l'inductance du circuit,

V la tension provoquée par les mouvements photosphériques convergents sous la protubérance.

Cependant, cette équation suppose que le champ électromoteur $E_m = v \times B$, provoqué par les mouvements photosphériques (créant la tension V), conduit à créer un courant uniquement dans la protubérance. La région voisine (la couronne) est cependant plus conductrice! Une autre critique est que la présence du courant I nécessite une tension, donc des mouvements photosphériques: la protubérance ne peut être en équilibre dans un champ statique avec cette équation! Bien que les équations de base soient les mêmes (électromagnétisme), les approximations à utiliser sont totalement différentes pour un circuit électrique et pour un plasma de la couronne, ou de la protubérance: la grande valeur du nombre de Reynolds magnétique ($10^{12}$ pour des tailles de $10^7$ m) impose à la matière d'être "gelée" dans le champ magnétique. Dans le présent problème, c'est cette condition qui va fournir l'équation décrivant l'évolution du courant I et non l'équation d'un circuit électrique hypothétique. Sans mouvement photosphérique, la protubérance sera soutenue par la force de Laplace: $j \times B$, le courant étant créé grâce à la déformation des lignes de champ par la gravité. A deux dimensions, cette condition impose que la composante selon l'axe de la protubérance du potentiel vecteur du champ magnétique (notée A), à l'emplacement de la protubérance, reste fixée au cours de l'évolution: $A(y = 0, z = h(t)) = constante$. Ce potentiel A a deux contributions. La première, notée $A_{ph}$ est due au champ sans force donné par les conditions aux limites photosphériques: elle a été calculée dans l'article A4. La seconde, notée $A_{fil}$ est due aux courants parcourant le
filament. Elle peut être estimée en ordre de grandeur par:

$$A_{fil} \approx \frac{\mu_0 I (Q - P)}{2\pi}$$

où (Q-P) est la taille verticale du filament. Le système d'équations est complété par les équations décrivant l'évolution de la hauteur h et de la taille Q-P de la protubérance. L'évolution de la hauteur et donc de la taille et de l'intensité du courant de la protubérance est provoquée par les mouvements photosphériques. Ils peuvent être de trois types: convergents (ou divergents), de cisaillement, ou modifier seulement la concentration du flux au niveau photosphérique. Ces mouvements, en augmentant l'intensité par-courant la protubérance, peuvent conduire au point de non-équilibre décrit dans l'article A4. La lente évolution due à ces mouvements photosphériques ($10m.s^{-1}$ en ordre de grandeur), provoque alors une évolution quasistatique suivie d'une éruption de la protubérance lorsque le point de non équilibre est dépassé. Ceci permet d'expliquer que les protubérances ont des éruptions n'éjectant de la matière que vers le haut.

Le système d'équations régissant ce phénomène étant complexe, l'étude a débuté en supposant que le courant garde la valeur maximale obtenue lorsque le point de non équilibre est atteint. Ceci est en partie justifié par la rapidité de l'éruption par rapport au temps d'évolution du champ photosphérique (Martens et Kuin ont aussi trouvé un courant I presque constant: figure 19). Ce type d'analyse montre une faible différence d'évolution entre les configurations Normale et Inverse. La protubérance est éjectée à une vitesse croissant jusqu'à une limite de quelques centaines de kilomètres par seconde. Le profil de vitesse en fonction du temps dépend relativement peu du cisaillement et de l'amplitude des harmoniques du champ photosphérique. Cette analyse permet de montrer que l'énergie cinétique du filament est faible devant l'énergie emmagasinée par le champ magnétique (autre que celle du champ potentiel), de l'ordre de $10^{-3} - 10^{-2}$ fois moins. On en conclut que l'équation du filament n'est pas suffisante pour fournir l'énergie d'un "flare", mais que cette dernière est contenue dans le champ fortement cisaillé et particulièrement dans le fondamental des harmoniques de ce champ.

Cette étude a été prolongée en levant l'hypothèse d'une intensité constante, et en ne retenant que l'hypothèse d'une taille finie mais constante pour la protubérance. Les résultats précédents restent valables pour la configuration Inverse, mais diffèrent sensiblement pour la configuration Normale.

L'article A4 a montré que l'on devait avoir $\eta' > \eta'_{crit}$ pour avoir une éruption. Pour de grandes valeurs de $\eta'$ de la configuration Normale, l'évolution du courant suit la courbe d'équilibre: aucune éruption n'est possible. Ce n'est que lorsque $\eta'$ est voisin, mais supérieur à $\eta'_{crit}$, qu'une éruption est possible. Elle est cependant de faible vitesse. La configuration Inverse a, par contre, une intensité I qui croît pendant l'éruption, ce qui amplifie la vitesse de la protubérance car on s'éloigne d'autant plus de la courbe d'équilibre.

Cette étude a permis de mettre en évidence le rôle d'initiation au "flare" de l'instabilité de la protubérance. L'énergie cinétique du filament n'est pas suffisante pour expliquer l'énergie rayonnée par un "flare". Le filament ne fait que déclencher l'éruption en poussant les lignes de champ les unes contre les autres: une nappe de courant est alors formée au-dessous de la protubérance. C'est dans cette région qu'a lieu la conversion de l'énergie magnétique, ce qui donne lieu à la formation des "post flares loops" ainsi que des rubans chromosphériques.

Pour poursuivre cette étude de l'évolution du filament, on doit inclure l'évolution de la nappe de courant qui se forme sous la protubérance. Celle-ci a été récemment détaillée par Priest et Forbes (1989), mais dans le cas d'un champ potentiel. Les calculs numériques de reconnexion sont effectués actuellement sans composante du champ magnétique dans la direction de symétrie de translation: Malherbe (1988). La modélisation de la reconnexion reste un domaine encore peu connu bien que très étudié. Cependant, deux limites importantes peuvent être étudiées: celle d'une reconnexion très lente, et celle où la connexion des lignes de champ n'est pas brisée. Ces deux limites sont très importantes car elles permettent d'encadrer la réalité (une modélisation phénoménologique fixant la rapidité de reconnexion peut en-suite être étudiée). La première limite est la plus simple car les équations déjà décrites n'ont pas à être modifiées, la deuxième limite pourra être étudiée numériquement grâce aux techniques numériques développés dans l'article A12.

## 3 Conclusion

Les éruptions des protubérances de plages sont des phénomènes fascinants: la chromosphère s'embrase soudainement en deux longs filets et la protubérance est violemment éjectée. Cette éruption fait intervenir des processus physiques complexes permettant de transformer l'énergie magnétique
en énergié cinétique (accélération de particules et éjection de matière) et en énergie électromagnétique (des ondes radio aux rayons X-durs). Quelle est l'origine d'un tel phénomène? Les modèles théoriques sont nombreux: émergence de nouveau flux magnétique, instabilité magnétique d'un tube de flux torsadé ou d'une structure cisaillée par des mouvements photoshériques, non équilibre thermique, ou instabilité globale de la protubérance dans la configuration magnétique. Les observations montrent que l'éruption en double filets est toujours associée à l'éruption d'une protubérance, il semble donc naturel de rechercher l'instabilité de la structure magnétique dans la présence de la protubérance.

Nous avons étudié la stabilité d'une protubérance dans un champ magnétique. Pour les deux topologies, Normales et Inverses, de la configuration magnétique, une région d'instabilité est présente si deux conditions sont réalisées. La première nécessite un champ magnétique important, ou une protubérance peu massive. La deuxième impose à la distribution de champ photoshérique d'être concentrée (respectivement peu concentrée) près de la ligne neutre pour une configuration Inverse (respectivement Normale). Cette étude permet d'expliquer la faible activité des filaments quiescents comparée à celle des filaments de plage et indique comment une disparition brusque thermique de la protubérance peut induire une éruption (ou une disparition brusque dynamique). il est à noter que le cisaillement de la structure magnétique n'a qu'une faible influence sur la taille de la zone d'instabilité. C'est donc un paramètre peu important pour le déclenchement de l'instabilité. L'étude de l'évolution dynamique va permettre de montrer son importance sur l'énergétique de l'éruption.

De nombreux travaux ont modelisés l'évolution d'une éruption en double filets en terme de l'éruption d'une protubérance de plage. Cependant, quelques points nécessitent d'être revus: en particulier les équation régissant l'évolution des courants et la modélisation de la reconnexion dans une nappe de courant. Nous développons actuellement un nouveau modèle dans ce but. Les premiers résultats montrent l'importance de la topologie de la configuration: une éruption brusque n'est obtenue que pour des configurations Inverses. L'énergie magnétique, stokée dans la première harmonique du champ, est alors libérée dans une nappe de courant formée sous la protubérance. Le rôle de cette dernière est d'initier, par son instabilité, la reconnexion, son énergie cinétique maximale reste faible devant l'énergie disponible dans le champ magnétique. Le rôle énergétique de la protubérance est donc sec-

ondaire dans la phase principale de l'éruption. La modélisation de la reconnection dans la nappe de courant reste délicate, car les différentes études, analytiques ou numériques, n'ont étudié que la reconnexion avec un champ magnétique à deux composantes. Dans le modèle, deux limites extrêmes peuvent être testées: un taux de reconnexion nul ou infiniment rapide. Les évolutions correspondantes fixent les limites de l'évolution réelle. La modélisation de la région de reconnexion est ensuite nécessaire pour préciser l'évolution du système dans ce domaine. Le but final est de décrire, dans un même modèle, l'évolution des protubérances quiescentes et celles de plage.

# 4 Publications
- C5: NON EQUILIBRIUM OF A PROMINENCE CURRENT IN A LINEAR FORCE FREE FIELD

P. DEMOULIN¹, E. PRIEST²

1. Observatoire de Paris, Section de Meudon, DASOP
92 195 Meudon Principal Cedex France

2. Applied Mathematics Department
University of St. Andrews
KY 16 955 St. Andrews, Scotland

## ABSTRACT

We analyse the equilibrium of a prominence by modelling it as a line of current under the action of gravity and of a two dimensional constant force free field. We show that a region of non equilibrium may occur, if the field strength is great enough, for some distribution of the base flux. This occurs for both Kippenhahn-Schlüter and Kuperus-Raadu topologies and the region of non equilibrium increases with the shear.

## 1. INTRODUCTION

Solar filaments have been modelled by the interaction between a line current and a potential magnetic field. Basic configurations have been suggested by Kippenhahn and Schlüter (1957), and Kuperus and Raadu (1974). Van Tend and Kuperus (1978) have analysed the stability of a massive current line in a potential field, with a repulsion between the current filament and its image below the photosphere to model the effect of field lines tying on photosphere. The prominence loses equilibrium when the current exceeds a certain critical value for the particular field chosen.

The observations of Leroy 1983 show that the field is greatly sheared near a prominence and so we need, at least, a linear force free field rather than a potential field, but Amari and Aly (1986) do not find instability in this case. Demoulin and Priest (1988) have investigated more general cases to show that does indeed exist in certain field configurations, and that it increases with the shear. We present here some of the main features of this model.
## 2. DESCRIPTION OF THE MODEL

<figure><img src="image_213.png" /><figcaption>Figure 1</figcaption></figure>

Figure 1 shows the geometry of the line current filament equilibrium in a linear force-free arcade ($A(y,z)$: magnetic potential). The magnetic field potential is fixed on the region boundary. The filament is in equilibrium between gravity, the magnetic arcade force and the repulsion force between the prominence and all the "image" currents.

The analytical solution of this problem gives the dimensionless equilibrium equation of the filament in the form :

$$I'(h') = \frac{n' \cdot B_y'(h') \pm \sqrt{(n' \cdot B_y'(h'))^2 + 4 \cdot R'(h')}}{2 \cdot R'(h')} \quad (1)$$

where dashes denote dimensionless variables and :

$$n' = \sqrt{\frac{B_y(0)^2 \cdot L}{\lambda \cdot g \cdot \mu_0}}$$

$B_y(0)$ is the base magnetic field at the origin g is solar gravity

$\lambda$ is the prominence line mass density

$B_y(h')$ is the horizontal magnetic field orthogonal to the prominence on the z axis

$R'(h')$ is the repulsion between the prominence and all the image currents. $R'(h')$ behaves qualitatively like $1/h'$.

The plus sign in (1) gives a Kuperus Raadu (KR) prominence, supported by only the repulsion between currents, and the negative sign gives à Kippenhahn Schlüter (KS) prominence supported by both the repulsion and the arcade field.

The equilibrium height depends on the parameters $\eta'$, $\alpha'$ (shear) and the amplitudes of the odd harmonics of the arcade field for a given equilibrium current.

## 3. RESULTS

<figure><img src="image_214.png" /><figcaption>Figure 2</figcaption></figure>

The analysis of (1) shows that, in both Kuperus Raadu and Kippenhahn Schlüter configurations, the field needs to dominate the repulsion term to give a region of unstable equilibrium. It gives a critical value, $\eta'$ crit of the order of unity, below which there is no region of instability. Figure 2 shows the current as a function of height in the KR case with only the third harmonic and
$\dot{\eta}' = 10$. The arrows show the direction of the total force in non equilibrium situations, which implies that the decreasing part of the current function is unstable. The instability region increases in size with $\alpha'$ (and also with ) and exists even in the potential case $\alpha' = 0$. Typical instability height regions are in the KR case : [ 0.1 L, 0.4L ] and in the KS case : [0.05 L, 0.2 L] in terms of the base region size L.

This result is obtained with an arcade containing first and third harmonics with different signs for the third and first in the KS case. The instability region is present even with a low contribution for the third harmonic : $\frac{|\beta_i'|}{|\beta_i'|} > 0.14$ in the KR case and $\frac{|\beta_i'|}{|\beta_i'|} > 0.02$ in the KS one. So, the first harmonic dominates everywhere the magnetic field arcade. A greater third harmonic increases the region of instability, with no change on the topology of the field lines and higher harmonics have a negligible influence on the instability region.

## 4. CONCLUSION

This analysis shows that filaments can be unstable easily with simple base flux configurations in both KR and KS cases, if the magnetic field is large enough, even for a potential case.

The model explains the activity difference between active region and quiescent prominences, since $\eta'$ and the shear $\alpha'$ are greater in the first case.

A generalisation to a 3 dimensional model with a periodicity in the prominence axis direction may explain the existence of filaments feet (Demoulin and Priest 1988 b).

## REFERENCES

Amari, T., and Aly, J.J., 1987, Solar Phys., in press.

Démoulin, P., and Priest E.R., 1988a, submitted

Démoulin, P., and Priest E.R., 1988b, in preparation.

Kippenhahn, R., and Schluter, A., 1957, Z. Astrophys. **43**, 36.

Kuperus, M., and Raadu, M.A. : 1974, Astron. Astrophys. **31**, 189.

Leroy, J.L., Bommier, V., and Sahal-Bréchot, S. : 1983, Solar Phys. **83**, 135.

Van Tend, W. and Kuperus, M. : 1978, Solar Phys. **59**, 115.

Astron. Astrophys. 206, 336-347 (1988)

ASTRONOMY
AND
ASTROPHYSICS

- A4:

# Instability of a prominence supported in a linear force-free field

P. Démoulin¹ and E.R. Priest²

¹Observatoire de Paris, Section de Meudon, DASOP, F-92195 Meudon Principal Cedex, France

²Applied Mathematics Department, University of St. Andrews, KY 16 9SS St. Andrews, Scotland

Received January 14, accepted April 15, 1988

**Summary.** We analyse the equilibrium of a prominence by modelling it as a line of current under the action of gravity and of a two-dimensional constant force-free field. We show that a region of non-equilibrium may occur, if the field strength is great enough, for some distribution of the base flux. This occurs for both Kippenhahn-Schluter and Kuperus-Raadu topologies and the region of non-equilibrium increases with the shear.

**Key words:** solar prominences - instability - force-free field - magneto-hydrodynamics

## 1. Introduction

Solar filaments are bridges of cold material ($T \approx 7000$ K) suspended in the hot corona ($T \approx 10^6$ K). Their basic properties have been summarised in the books by Tandberg-Hanssen (1974), Jensen et al. (1979) and Priest (1982), p. 56-72. As their densities are typically one hundred times greater than the coronal values, they must be supported against gravity by a magnetic field. There are two basic geometries proposed by Kippenhahn and Schluter (1957) and Kuperus and Raadu (1974) with different properties (denoted KS and KR respectively). In a KS prominence the filament is supported by the upward magnetic tension, and the magnetic polarity of the prominence is the same as in the underlying photosphere. In a KR prominence the filament is supported by the anchoring of the field lines in the photosphere represented by the repulsion of image currents below the photosphere, and the polarity in the filament is opposite to that in the photosphere. These models have been extended to more complicated configurations by Milne et al. (1979) for the KS case and Lerche and Low (1980) for the KR case. Analytical models have been built when the external field is potential by Malherbe and Priest (1983).

Many authors have tried to model a filament as a line of current and plasma in equilibrium under gravity in a potential field (see the review of Anzer, 1984). In particular Van Tend and Kuperus (1978) and Van Tend (1979) have examined the stability of a line of current in a potential magnetic field. The current filament is in equilibrium between the following forces:

- the action of an average coronal magnetic field,

- the force of gravity,

- the repulsion term between the current filament and its image current below the photosphere due to line tying.

They found that the equilibrium can become unstable when the current exceeds a certain critical value, and then the filament erupts and approaches another equilibrium at greater height.

The observations of Leroy et al. (1983, 1984), show that the magnetic field configuration near prominences is greatly sheared: the angle between the prominence axis and the magnetic field is roughly 20°, so we need a more complex structure than a potential field: for example a force-free field. Recently Amari and Aly (1987) built a model of a line current in equilibrium in a linear force free field. Their work is preferable in principle to the order-of-magnitude models of Van Tend and Kuperus, since it deals with the full partial differential equations. It is summarised in the first part of this article. They find that the equilibrium of the line current always exists and never becomes unstable: as the current increases, the equilibrium height of the filament increases monotonically. They concluded that the instability region of the previous models does not exist but it is important to note that they imposed a particular geometry (which imposes some constraints on the decrease of field with height) and a force free field (it was potential in previous models).

Here we want to discuss more generally the problem as posed by Aly and Amari since they used only the first harmonic of the force-free field arcade. In particular we show that a region of nonequilibrium can occur when two harmonics are taken in both the KS and KR configurations.

## 2. Description of the model

### 2.1. Assumptions

We make several assumptions in our model, as follows.

a) The magnetic field is two-dimensional: $B(y, z)$ (although filaments have dense feet which are separated by a distance of the order of a supergranule cell width, which is also the order of the distance $L$ in Fig. 1).

b) Outside the filament the field is force free: $j \times B = 0$, since the plasma beta ($\beta$) is lower than unity and the vertical extent is much smaller than $\Lambda/\beta$, where $\Lambda$ is the gravitational scale-height of the corona.

c) The force-free field is linear: $\text{rot } B = \kappa B$.

This has two justifications:

- We can solve the equations analytically.

- A linear force-free field is a state of minimum energy, when the normal component of the magnetic field is prescribed at the boundary of a closed volume and the global helicity $C = \int_j A \cdot B \, dV$ is fixed. This last condition is satisfied when there is no velocity at the boundary surface (Woltjer, 1958).

<footnote>Send offprint requests to: P. Démoulin</footnote>
<figure><img src="image_215.png" /><figcaption>Fig. 1. The geometry of the equilibrium. The filament is modelled by a line of current I, parallel to the x axis at height h. The vertical magnetic field is imposed at the photosphere (z = 0) and is fixed vertical on the walls y = -L/2 and y = L/2, decreasing to zero when z goes to infinity</figcaption></figure>

So the field, outside a prominence, could be a linear force-free field if the time of evolution at the photospheric boundary is greater than the dissipative time at low scales.

d) The filament is represented by a line of current and mass parallel to the x-axis (Fig. 1).

e) The thermal coupling of the filament to the photosphere along a field line is not included: we assume that a massive line of dense material exists at a certain height in the corona.

f) The gravitational field is vertical and constant, since the height of a prominence is lower than a solar radius.

g) We used ideal MHD since the magnetic Reynolds number is much greater than unity ($R_m \approx 10^{12}$), and we neglect the existence of very short lengths (of the order of a meter).

h) The model is static since the time of solution of a filament (except in eruption phases) is greater than the sound or Alfvén travel-time of the structure (day to months compared with a few minutes).

i) The magnetic field lines are fixed in the photosphere due to the high inertia of the photospheric matter (Kuperus and Raadu, 1973).

j) We constrain the force-free field between two fixed vertical boundaries with no normal field. Thus we study a limited region and assume that neighbouring regions have vertical fields strong enough to hold the magnetic field vertical at the boundaries $y = \pm L/2$ for vertical positions of the filament. This restriction is discussed in Sect. 5.

## 2.2. Differential equation for the potential

The equation div $B=0$ with hypothesis (a) allows us to write $B$ as:

$$B = \left( B_x(A), \frac{\partial A}{\partial z}, \frac{-\partial A}{\partial y} \right) \qquad (1)$$

as a function of the potential $A(y, z)$. The x-component of the Maxwell equation *rot* $B=\mu_0 j$ gives:

$$-\Delta A(y, z) = \mu_0 J_x(y, z) \qquad (2)$$

At the location of the filament $y=0, z=h$, we impose the density of the current to be

$$j_x(y, z) = I \cdot \delta(y) \cdot \delta(z - h) \qquad (3)$$

Outside the filament the current is given by the x-component of (1), namely

$$\mu_0 j_x = \chi B_x = \chi^2 A \qquad (4)$$

and (2) becomes

$$\Delta A + \chi^2 A = 0 \qquad (5)$$

We can then rewrite (2) in a unique form inside and outside the filament as:

$$\frac{\Delta A + \chi^2 A + \mu_0 I \cdot \delta(y) \cdot \delta(z - h)}{\Delta A + \chi^2 A + \mu_0 I \cdot \delta(y) \cdot \delta(z - h) = 0} \qquad (6)$$

Outside the filament location (6) reduces to (5). At the filament the term $\chi^2 A$ has no contribution in (6) since $\mu_0 I \cdot \delta(y) \cdot \delta(z - h)$ dominates (we can also add to the potential $A$ an arbitrary constant such that $A(o, h)$ is zero).

As we are only interested in the magnetic field outside the filament the solution of (6) gives $A(y, z)$ and so

$$B = \left( \chi A, \frac{\partial A}{\partial z}, \frac{-\partial A}{\partial y} \right) \qquad (7)$$

The Eq. (6) is elliptic and we have to give the boundary conditions everywhere at the boundary of the volume. We take:

$A(y, z)=0$ (or constant) on $y = \pm L/2$ and as $z \to \infty$

and $A(y, o)$, fixed by the photospheric flux (Fig. 1).

## 2.3. Solution

The potential $A(y, z)$ is written:

$$A(y, z) = A_1(y, z) + \frac{I \cdot \mu_0}{2 \cdot \pi} G(y, z | o, h) \qquad (8)$$

to separate the general solution from the particular one and we have to solve the following two problems for $A_1$ and $G$ respectively.

$$\Delta A_1 + \chi^2 A_1 = 0$$

$A_1(y, o) = A(y, o)$ fixed

$$A_1(\pm L/2, 2) = 0 \qquad \lim_{z \to \infty} A_1(y, z) = 0 \qquad (9)$$

$$\Delta G + \chi^2 G = -2\pi\delta(y), \delta(z-h)$$

$$G(y, o | o, h) = 0 \qquad \lim_{z \to \infty} G(y, z | o, h) = 0 \qquad (10)$$

One may notice that the Greens function $G(y, z | o, h)$ depends only on the position of the line current and $\chi$, but not on the photospheric field. Furthermore, the general solution $A_1(y, z)$ depends only on the distribution of $A(y, o)$ and $\chi$. Also, we have put the line current by symmetry on the axis $y=0$, so the magnetic field must be symmetric about the z-axis, and $A(y, z)$ must be an even function of $y$.

The general solution of (9) is

$$A_1(y, z) = \sum_{n=0}^{\infty} (B_{2n+1}^0)^2 \cdot L \cdot \cos\left(\frac{(2n+1) \cdot \pi \cdot y}{L}\right) \cdot e^{-(\gamma_{2n+1}) \cdot z} \qquad (11)$$

where

$$\gamma_{2n+1} = \sqrt{\left(\frac{(2n+1) \cdot \pi}{L}\right)^2 - \chi^2}$$

$(B_{2n+1}^0)$ is the coefficient of the $n$th harmonic, it is homogeneous to a magnetic field)

(11) represents the classical 2D force-free arcade in rectangular coordinates. $B$ could be obtained by using Eq. (7).

The general solution of (10) is the Greens function namely,

$$G(y, z | o, h) = \frac{2 \cdot \pi}{L} \sum_{p=0}^{\infty} \frac{1}{\gamma_{2p+1} \cdot L} \cos\left( (2p+1) \cdot \frac{\pi \cdot y}{L} \right) \left[ e^{-\gamma_{2p+1} \cdot z - h} - e^{-\gamma_{2p+1} \cdot (z+h)} \right] \qquad (12)$$

This function is the potential created by the line current at $y=0, z=h$ in a box with no normal field at the boundaries. It consists of an infinite number of images of the current filament in the vertical walls $y = \pm L/2$ and in the photosphere boundary $z=0$. There is also a current in the volume as the field is force-free. All these induced currents create magnetic fields which react on the prominence current and produce a vertical force which is referred to in this article as the "repulsion term". The prominence current is also subjected to the action of the magnetic arcade, which effect is called simply the "magnetic field support".

## 2.4. Current equilibrium

$B(y, z)$ is deduced from Eq. (7). As the field has been chosen symmetrical $B_z(y=0, z)=0$ and the equilibrium of the filament is given by

$$I \cdot B'_v \text{ext}(o, h) = \lambda g \qquad (13)$$

where $B'_v \text{ext}$ is the magnetic field created by all the currents except the line current at $z=h$, and (13) is rewritten more explicitly as:

$$\lim_{z \to h} [B_y(o, z) - B_{y \text{filament}}(o, z)] \cdot I = \lambda g$$

This gives:

$$I^2 \cdot R(h) - I \cdot B(h) = \lambda g$$

with

$$R(h) = \frac{\mu_0}{L} \sum_{p=0}^{\infty} e^{-2\gamma_{2p+1} \cdot h} \qquad (14) \\ B(h) = \sum_{n=0}^{\infty} B_{2n+1}^0 \cdot L \cdot e^{\gamma_{2n+1} \cdot h}$$

Where $I \cdot B(h)$ is the interaction between the line current $I$ and the linear force-free field arcade given by (11) and $I^2 R(h)$ is the repulsion between the line current $I$ and all the current images and force-free currents.

This equation (14) has the same form as the equation of equilibrium given by Van Tend and Kuperus (1978). The differences are: that $B(h)$ is here deduced from a linear force-free analytical field instead of an order of magnitude of a potential field; and that $R(h)$ is computed in a more self-consistent way, as it is not only the repulsion term between the filament current and

its image below the photosphere. We notice that:

$$\lim_{h \to 0} R(h) = \frac{\mu_0}{4\pi \cdot h}$$

which is the repulsion between two currents: so when $h$ is small the repulsion between the two currents dominates. But at greater heights the repulsion term decreases more rapidly than $1/h$ like

$$\lim_{h \to \infty} R(h) = \frac{\mu_0}{L} e^{-2\gamma_{2h}}$$

The solutions of (14) are:

$$I(h) = \frac{B(h) \pm \sqrt{B(h)^2 + 4 \cdot \lambda \cdot g \cdot R(h)}}{2 \cdot R(h)} \qquad (15)$$

The positive solution gives a Kuperus-Raadu configuration, in which the filament is supported by the repulsion term against gravity and the magnetic field arcade force.

The negative solution gives a Kippenhahn-Schlüter configuration, in which the filament is supported by the repulsion term and the magnetic field against gravity.

## 2.5. Dimensionless equation

The equilibrium current depends on the parameters: $h, \lambda, g, L, B_{2n+1}^0$ and $\chi$. To decrease this number of parameters we non-dimensionalise the equation. An important non-dimensional factor is $B(h)^2/4 \cdot \lambda \cdot g \cdot R(h)$ where $R(h)$ has the dimension $\mu_0/L$, and $B(h)$ the dimension of a magnetic field. For $B(h)$ we can take the photospheric field and then form the dimensionless parameter:

$$\eta' = \sqrt{\frac{(B_y(0))^2 \cdot L}{\lambda \cdot g \cdot \mu_0}} \qquad (16)$$

If we denote dimensionless variables by a prime we have:

$$B'(h', \chi', B_{2n+1}^0, \dots) = \frac{B(h)}{B(0)} = \sum_{n=0}^{\infty} B_{2n+1}^0 \cdot L^{\gamma_{2n+1} \cdot h'} \qquad (17a)$$

$$R'(h', \chi') = \frac{R(h)}{\mu_0/L} = \sum_{p=0}^{\infty} e^{-2\gamma_{2p+1} \cdot h'} \qquad (17b)$$

$$I' = \frac{I}{\sqrt{\frac{\lambda \cdot g \cdot L}{\mu_0}}} = \frac{\eta' \cdot B'(h') \pm \sqrt{(\eta' \cdot B'(h'))^2 + 4R'(h')}}{2 \cdot R'(h')} \qquad (17c)$$

$$A'(y', z') = \frac{A(y, z)}{\sqrt{\lambda \cdot g \cdot L \cdot \mu_0}} = [\eta' \cdot A_1(y', z') + I' \cdot G'(y', z')] \qquad (17d)$$

$$A'_1(y', z') = \sum_{n=0}^{\infty} B_{2n+1}^0 \cdot \cos[(2n+1)\pi y'] \cdot e^{-\gamma_{2n+1} \cdot z'} \qquad (17e)$$

$$G'(y', z') = \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\cos(2p+1)\pi y'}{\gamma_{2p+1}} \times [e^{-\gamma_{2p+1} \cdot z'} - e^{-\gamma_{2p+1} \cdot (z'+h')}] \qquad (17f)$$

with

$$\chi' = \alpha L, \quad h' = h/L, \quad y' = y/L, \quad z' = z/L$$

$$\gamma'_{2p+1} = \sqrt{(2p+1)^2 \cdot \pi^2 - \chi'^2} \qquad (17g)$$
The parameters are now: $η'$, $α'$, $B_{2n+1}^{0}$ and the equilibrium height: $h'$

## 2.6. Unstable equilibrium

Here we discuss the general behaviour of the solutions.

### 2.6.1. $I > 0$ (KR configuration)

(17c) gives the limits:

$$ \text{If } \eta'^2 \cdot B'(h')^2 \gg 4 \cdot R'(h') \quad I'(h') \approx \frac{\eta' \cdot B'(h')}{R'(h')} \quad (18a) $$

$$ \text{If } \eta'^2 \cdot B'(h')^2 \ll 4 \cdot R'(h') \quad I'(h') \approx \sqrt{\frac{1}{R'(h')}} \quad (18b) $$

In the second case, where the repulsion term dominates, the current is a monotonically increasing function of height, and so there is no unstable equilibrium. In first case, the current equilibrium could decrease with height if $B'(h')$ decreases more rapidly with height than the repulsion term $R'(h')$.

We conclude that if the magnetic field is strong enough and decreases rapidly enough with height, the current equilibrium could be a decreasing function of height, somewhere, and so a region of instability could exist in the KR configuration.

<figure><img src="image_216.png" /><figcaption>Fig. 2. The magnitude of the repulsion term is plotted as a function of height $h' = h/L$ for different values of $α' = αL$ (continuous curves). The approximation $1/(4πh')$ is plotted (dashed) for comparison. The magnitude of the magnetic field is plotted in two cases: KS (dotted) and KR (dash-dotted). The figure is for $α' = 1$, $B_1^{0'} = 1$, $B_3^{0'} = -0.2$ in the KS case and $α' = 1$, $B_1^{0'} = 0$, $B_3^{0'} = 1$ in the KR case. The heights $h_1', h_2'$, $h_3'$ defined in Sect. 3.2 are shown for the KR case ($α' = 1$).</figcaption></figure>

### 2.6.2. $I < 0$ (KS configuration)

(17c) gives the limits:

$$ \text{If } \eta'^2 \cdot B'(h')^2 \gg 4 \cdot R'(h') \quad I'(h') = - \frac{1}{\eta' \cdot B'(h')} \quad (19a) $$

$$ \text{If } \eta'^2 \cdot B'(h')^2 \ll 4 \cdot R'(h') \quad I'(h') = - \sqrt{\frac{1}{R'(h')}} \quad (19b) $$

In the second case the current is also always a monotonically increasing function of height. In the first case $|I'(h')|$ is a decreasing function of height if $B'(h')$ increases with height, so a region of instability could exist also in this configuration.

In the two last sections we discuss in more detail the existence and the size of the region of instability.

## 2.7. Behaviour of the term $R'(h')$

$Log_0(R'(h'))$ is plotted in Fig. 2. In the limit as $h' \to 0$, $R'$ behaves like $(4πh')^{-1}$, and so $R'(h')$ could be approximated by $(4πh')^{-1}$, when $h' \le 0.1$, as the error is only a few percent when $h' \approx 0.1$.

When $h'$ increases, the repulsion term $R'(h')$ decreases very rapidly, more than $(4πh')^{-1}$, as

$$ \lim_{h' \to \infty} R'(h') = e^{-2\gamma_1 h'} $$

However, as $γ'_1 = \sqrt{π^2 - α'^2}$, this decrease could be greatly reduced by a great shear $α' \le π$.

As an approximation of $R'(h')$ at great height, we can take the two largest terms, namely,

$$ R'(h') \approx e^{-2\gamma_1 h'} + e^{-2\gamma_2 h'} $$

which is good when $2\gamma'_3 \cdot h' \ge 1$.

<figure><img src="image_217.png" /><figcaption>Fig. 3. A plot of $log_{10} I'(log_{10}(h'))$ for the KR case $I > 0$ ($B_1^{0'} = 0$, $B_3^{0'} = 1$, $η' = 10$) shows the region where $I'$ is a decreasing function of height $h'$. In this region the current filament is unstable and erupts to a greater equilibrium height. (The arrows show the direction of the total force in non equilibrium situations.) The region of instability exists even in the potential case, and the size of the region increases with the shear ($α'$)</figcaption></figure>

In conclusion, we used in the analytical approximation of the instability region, the limits:

$$ h' \le 0.1 \quad R'(h') \approx 1/4πh' $$

$$ h' \ge 0.1 \quad R'(h') \approx e^{-2\gamma_1 h'} + e^{-2\gamma_2 h'} $$

## 3. $I > 0$: Kuperus-Raadu configuration

### 3.1. Instability conditions

Amari and Aly (1987) have shown that with only the fundamental harmonic ($B'(h') = γ'_1 e^{-2\gamma_1 h'}$), the current is always a monotonically increasing function of height, so there is never a region of

instability. This can be verified rapidly here by taking (18a), with this particular form of field. $B'(h')$ decreases as $e^{-2\gamma_1 h'}$ and $R'(h')$ decreases like $1/h'$ for $h' \ll 1$ and as $e^{-2\gamma_2 h'}$ for $h' \gg 1$. Thus $B'(h')$ never decreases more rapidly than $R'(h')$, and so there is no region of instability.

The answer is different if we take the third harmonic instead: $B'(h') = γ'_3 e^{-2\gamma_1 h'} \cdot B'(h')$ decreases more rapidly than $R'(h')$ at great height as $γ'_3 > 2γ'_1$ for all $α'$. So we have to study in more detail the size of the region of instability when the third harmonic is present. First we study the instability region with this third harmonic alone, and we then increase the size of the first harmonic, finally discussing also the influence of the other harmonics.

### 3.2. Analytical approximation for the height of the instability region

From 18a we can say that the instability region is given approximately by

$$ \eta'^2 \cdot (B'(h'))^2 \ge 4 \cdot R'(h') \quad (20a) $$

and

$$ \frac{d(B'(h')/R'(h'))}{dh'} \le 0 \quad (20b) $$

For the third harmonic ($B'(h') = γ'_3 e^{-2\gamma_1 h'}$) (20a) gives two heights: $h'_1 < h'_2$ and (20b) gives one height $h'_3$. The instability region is approximately described by the range of the $h'$ values, which must be greater than $h'_1$ and $h'_3$ and smaller than $h'_2$.

#### 3.2.1. $h'_1$

$h'_1$ is obtained at low height, so we can use the limit $h' \to 0$ of $R'(h')$. Thus (20a) becomes:

$$ \eta'^2 e^{-2\gamma_1 h'} \approx \frac{4}{4 \cdot \pi \cdot h'} \quad \text{and with} \quad 2h'γ'_3 \ll 1 \text{ it gives } h'_1 \approx \frac{1}{\pi \cdot \eta'^2} \quad (21a) $$

with the hypothesis that $h'_1 < 0.05$

#### 3.2.2. $h'_2$

$h'_2$, the other limit of (20a) is obtained with $R'(h') \approx e^{-2\gamma_1 h'} + e^{-2\gamma_2 h'}$:

$$ \eta'^2 e^{-2\gamma_1 h'} = 4(e^{-2\gamma_1 h'} + e^{-2\gamma_2 h'}) $$

so

$$ h'_2 = \frac{1}{2(γ'_3 - γ'_1)} \log \left( \frac{\eta'^2}{4} - 1 \right) \quad (21b) $$

with the hypothesis $h'_2 \gg 0.05$

#### 3.2.3. $h'_3$

The condition (20b) is always true at great height $h'$, so there exists only a lower limit $h'_3$ where

$$ \frac{d \log_e (B'(h'_3))}{dh'} - \frac{d \log_e (R'(h'_3))}{dh'} = 0 $$

then

$$ h'_3 = \frac{1}{2(γ'_3 - γ'_1)} \log_e \left( \frac{γ'_3}{γ'_3 - 2γ'_1} \right) \quad (21c) $$

with the hypothesis $h'_3 \gg 0.05$

These analytical bounding values show that the instability region exists if $η'$ is greater than $η_{crit} \approx 6$ few unity, even in the potential case, and that the region grows with increasing $η'$ or $α'$. All these results are discussed in more detail in the next section, and the curves $h'_1$, $h'_2$, $h'_3$ are plotted in Figs. 4a and 4b.

### 3.3. Instability region size variation

Figure 3 shows the evolution of the current magnitude as a function of the height for different shear $α'$. The region of decreasing current is present even in the potential case since here $η' = 10 > η'_{crit} \approx 6$ (see Fig. 4b). The current decreases rapidly with shear, and so an equilibrium in the potential case on the low increasing part of the curve $I'(h')$, could become unstable when the shear increases. The effect of shearing the structure is more clearly shown in Fig. 4a: the instability region size increases with $α'$.

The most important fact for the existence of the region of instability is that $η'$ must be greater than a critical value:

$$ \eta' > \eta'_{crit} \approx 6 \quad (22) $$

as shown in Fig. 4b.

It comes from (20a) which says that the magnetic arcade field must dominate the repulsion term somewhere. When the magnetic field increases, the region of instability increases in size, and it could be a second way to have an erupting filament.

If we add the first harmonic to this result, obtained with the only third one, the region of instability decreases in size as shown by Fig. 4c. In the case of a potential field the region disappears rapidly when we add the first harmonic: it disappears for $(B_1^0/B_3^0)_{crit} \approx 0.25$, but when we increase the shear $α'$, the region stays for a greater value of $B_1^0/B_3^0$. For $α' = 2$: $(B_1^0/B_3^0)_{crit} \approx 0.8$ and for $α' = 3$: $(B_1^0/B_3^0)_{crit} \approx 7$.

We conclude that with great shear, an instability region can exist even if the first harmonic dominates the photospheric flux.

### 3.4. Effect of greater harmonics

We can repeat the same discussion with the fifth harmonic, seventh harmonic and so on, as we have done for the third. By modifying (21a), (21b) and (21c) we can see that for greater harmonics the instability region size decreases. The critical $η'$ is little changed as it is crudely obtained by equating (21b) to (21c) which gives:

$$ \frac{\eta'^2}{4} = 1 + \frac{γ'_{2n+1}}{γ'_{2n+1} - 2γ'_1} $$

where the right hand side is near 2 for $η' \ge 2$

From this we conclude that weak harmonics greater than 3 are not important for studying the instability condition.

### 3.5. Topology of the field lines

Figure 5 shows the simple case where only the third harmonic is present. In fact, the topology of field lines is only weakly dependent on the shear $α'$ or the value of $B_1^0$. The addition of the first
<figure><img src="image_218.png" /></figure>

a

<figure><img src="image_219.png" /></figure>

harmonic eliminates the "parasite" polarities of the third one (the dashed curves) and does not affect the topology near the filament since the two polarities have the same behaviour here.

From (17d) and (18a) the potential $A'(0, z')$ in the instability region is (for the third harmonic):

$$A'(0, z') = \eta' \cdot e^{-\gamma_3 z'} \left( 1 + \gamma_3 \cdot \frac{G'(0, z')}{R'(h'_{\text{equ}})} \right), \quad (23)$$

This shows that the parameter $\eta'$ does not affect the field topology.

We can regard the Figs. 5a, b and c as representative of the general behaviour of the field lines for all parameters $\alpha'$, and $B'^0_1$. Figure 5a shows the filament close to the photosphere. If the height increases, an X point appears and increases in height with the filament. The existence of the region of instability (i.e. a decreasing current equilibrium) does not affect very sensitively the field topology: the field created by the current is lower, and it increases a little the position of the X-point.

In conclusion we can say that the presence or not of the instability region does not affect the topology of the field lies, in a sensitive way, as the filament increases its equilibrium height.

<figure><img src="image_220.png" /></figure>

b

**Fig. 4a-c.** A plot of the boundaries of the KR instability region as a function of $\alpha' = \alpha L$, $\eta' = B_y(0) (L/\lambda g \mu_0)^{1/2}$, and $B'^0_1$ (the amplitude of the first harmonic). **a** shows the variation with $\alpha'$ for $\eta' = 10$, **b** the variation with $\eta'$ for $\alpha' = 0$, and **c** the variation with $B'^0_1$ for $\alpha' = 3$ and $\eta' = 10$. The upper limit is shown by "+" and the lower by "-". The continuous curves give the analytical approximations and the heights $h'_1$, $h'_2$, $h'_3$ are defined in the text. The region of instability increases with $\alpha'$ and $\eta'$, but decreases when the fundamental harmonic is present. For $\alpha' = 0$ and $\eta' = 10$ the region disappears when $B'^0_1 = 0.25$ but when $\alpha'$ is increased this upper limit is greater and the region exists even when the first harmonic dominates the base flux

From (23) we can crudely estimate the region where the filament magnetic field dominates the arcade one. From (17f) we can estimate $G'(0, z')$ when $|z' - h'| \ll |z' + h'|$

$$\begin{aligned} \text{as } G'(0, z') &\approx \sum_{p=0}^{\infty} \frac{1}{\gamma'_2 p + 1} e^{-\gamma'_2 p} |z' - h'| \\ &= -\int \left( \sum_{p=0}^{\infty} e^{-\gamma'_2 p} \cdot X \right) \quad \text{with } X = z' - h' \end{aligned}$$

$$\text{and as } \lim_{X \to 0} \sum_{p=0}^{\infty} e^{-\gamma'_2 p} \cdot X = \lim_{X \to 0} R'(X, \alpha') = \frac{1}{4\pi h'}$$

$$\text{we have } \lim_{z' \to h'} G'(0, z) = -\frac{1}{4\pi} \log_e (|z' - h'|) \quad (24)$$

The filament magnetic field is of the same order of magnitude as the arcade one when:

$$1 \approx -\frac{\gamma'_3 \log_e (|z' - h'|)}{4\pi e^{-2\gamma'_3 h_{\text{equ}}}}$$

$$\text{where we have used } R'(h'_{\text{equ}}) = e^{-2\gamma'_3 h_{\text{equ}}} \text{ as } h'_{\text{equ}} \ge 0.1$$

$$\text{so } \log_{10} (|z' - h'|) \approx \frac{-4\pi}{6 \cdot \gamma'_3} e^{-2\gamma'_3 h'_{\text{equ}}} \quad (25)$$

<figure><img src="image_221.png" /></figure>

<figure><img src="image_222.png" /></figure>

<figure><img src="image_223.png" /></figure>

**Fig. 5a c.** Evolution of the field line topology in the plane $z' - h'$, when the equilibrium height ($h'_{\text{equ}}$) is increased from 0.1 to 0.4 in the KR case ($I > 0$). The dashed lines represent the negative value of the field potential. The parameters are $\eta' = 10$, $\alpha' = 2.5$, $B'^0_1 = 0$ and $B'^0_3 = 1$. The general behaviour depends less on $\eta'$ and $\alpha'$. We can note the presence of an X point in the latter two cases and the presence of parasite photospheric flux for $|z'| > 0.18$. Since only the third harmonic arcade is present here

The region dominated by the filament current increases with height but is limited, in this simple analyse, to $|z' - h'| = 10^{-4} \pi \cdot h'_{\text{equ}} \approx 0.3$. This value depends weakly on $\alpha'$ as $\gamma'_3 (\alpha' = 0) = 3\pi$ and $\gamma'_3 (\alpha' = \pi) = 2\pi$ and is lower at low heights by the exponential factor in (25).

### 4. $I < 0$: Kippenhahn-Schlüter configuration

The discussion follows the same course as in the case $I > 0$.

#### 4.1. Instability conditions

Amari and Aly (1987) found that in this case there is no instability region as they consider only the first harmonic. It can easily be seen from (19a) that when we take only one harmonic the current is a monotonically increasing function of height. To have a region of instability we must have two harmonics, and the magnetic strength could increase with height as shown in Fig. 2. This case is supported by the observations of magnetic fields in quiescent prominences as reported by Leroy et al. (1983).

#### 4.2. Analytical approximation of the height of the instability region

From (19a) we can say that the instability region is given approximately by:

$$(B'(h'))^2 \ge 4 \cdot R'(h') \quad (26a)$$

$$\frac{dB'(h')}{dh'} \ge 0 \quad (26b)$$

If we study the case where $B'^0_1 > 0$, $B'^0_3 < 0$:

The first condition gives in general two heights $h'_1$, $h'_2$ and the second one: $h'_3$. The height $h'_2$ is all the time greater than $h'_3$ (see Fig. 2), and so is of no interest as the instability region is bounded above by $h'_3$.

The instability region is therefore approximately $h'$ lying between $h'_1$ and $h'_3$.

#### 4.2.1. $h'_1$

$h'_1$ is obtained at low height ($h'_1 < 0.1$) and so we take $R'(h') \approx 1/4\pi h'$. To have an explicit expression we have to simplify more the equation:

$$\eta'^2 \left( \gamma'_1 e^{-\gamma'_1 h'} + \frac{B'^0_3}{B'^0_1} \gamma'_3 e^{-\gamma'_3 h'} \right)^2 = \frac{4}{4\pi h'_1} \quad (27)$$

We can suppose $\gamma'_1 h'_1 \ll 1$, $\gamma'_3 h'_1 \ll 1$ and so

$$h'_1 = \frac{1}{\pi \eta^2 \left( \gamma'_1 + \frac{B'^0_3}{B'^0_1} \gamma'_3 \right)^2} \quad (28)$$

We can note that $h'_1$ becomes infinite when $\gamma'_1 + B'^0_3/B'^0_1 \gamma'_3 = 0$, and so the initial hypothesis would not be true in this case. Figure 7 shows how the analytical approximation breaks down. In fact, the exponentials are important in Eq. (27) when $h'_1$ increases, since the second term on the left side decreases rapidly, which avoids the zero of the left side.

#### 4.2.2. $h'_3$

$$\frac{dB'(h')}{dh'} = 0 \quad \text{gives:} \quad h'_3 = \frac{1}{\gamma'_3 - \gamma'_1} \log_e \left( - \frac{B'^0_3}{B'^0_1} \left( \frac{\gamma'_3}{\gamma'_1} \right)^2 \right) \quad (29)$$

which is true only when (26a) is realised. Figure 7 shows that it is a good approximation.
### 4.3. Instability region size

Figure 6 shows the evolution of the magnitude of the current as a function of height. The general behaviour is similar to the case $I > 0$ (Fig. 3): the instability region increases in size when $\alpha'$ increases.

We can note however two differences: the great variation with height of the current when $\alpha'$ is great and the fact that the current is an order of magnitude lower than in the case $I > 0$.

The first could be explained by the competition between the two harmonics near the point where $\gamma'_1 B'_1^0 + \gamma'_3 B'_3^0 \approx 0$. The second is due to the fact that in the KS configuration ($I < 0$) both the image repulsion and magnetic field arcade support the prominence against gravity, and that in the KR configuration only the repulsion supports the prominence, so the current needs to be greater in the latter case.

Figure 7b shows the influence of $h'$ on the size of the instability region. The instability needs $\eta' > \eta'_{crit}$ as in the case $I > 0$, but with a lower value:

$$ \eta' > \eta'_{crit} \approx 4 $$

We can note that the region of instability is smaller and grows to a limiting size fixed by $h'_3$.

Figure 7a is similar to Fig. 4a, with a great effect of increasing shear. The plot $h'_1$ shows the poor approximation for the lower boundary given by (28). The evolution of the instability region size is similar to the case $I > 0$ even when we vary the value of the third harmonic (Fig. 7c). If $\alpha' = 0$, we have to add an important third harmonic to have an instability: $B'_3^0 \approx 0.15$, which decreases to 0.1 for $\alpha' = 2$ and to 0.02 for $\alpha' = 3$.

### 4.4. Effect of higher harmonics

It is $h'_3$ which gives the size of the instability region. (29) is generalised to

$$ h'_3(i) = \frac{1}{\gamma'_1 - \gamma'_3} \log_e \left( - \frac{B'_1^0 (\gamma'_1)^2}{B'_1^0 (\gamma'_1)^2} \right) $$

<figure><img src="image_224.png" /><figcaption>Fig. 6. The same as Fig. 3 but for the KS case. With $B'_1^0 = 1$, $B'_2^0 = -0.2$, $\eta' = 10$, note the lower height of the instability region and also that the equilibrium current is lower by a factor 50. Increasing the shear $\alpha'$ creates a region of strongly decreasing current only for a large shear $\alpha'$</figcaption></figure>

for the $i$ harmonic. $h'_3(i)$ is a decreasing function of $i$, that harmonics greater than the third one do not give a greater instability region, and we can neglect them. (In this case $\eta'_{crit}$ is a function of the harmonic).

### 4.5. Topology of field lines

From (17d) and (19a) the potential $A'(0, z')$ can be written:

$$ A'(0, z') = \eta' A'_1(0, z') - G'(0, z') / (\eta', B'(z')) $$

$$ \text{With } A'_1(0, z') = e^{-\eta' \gamma'_1} G'(0, z') \approx -1/4\pi \log_e (|z' - h'|) $$

we have:

$$ \log_{10} |z' - h'| = \frac{-4\pi\eta'^2\gamma'_1}{6} e^{-2\eta'_1(z' - h')} \quad (30) $$

by equating the two terms of $A'(0, z')$

For $\alpha' = 0$, $\eta' = 10 = \log_{10} |z' - h'| \approx 1.710^3 \cdot e^{-2\pi z'}$, which is always large except at a great height. It means that the current dominates the arcade field in a region lower than the size ($z' - h'$) given by (30). At low height the region is very small and unphysical, and, as the height increases, the region where the current dominates suddenly increases greatly in size! We can also note that this very rapid variation is not so important with a great shear $\alpha' \approx \pi$. To make this more quantitative, we compute the case $\alpha' = 2$, for which

$$ h'_{\text{equ}} = z' = 1 \quad \log_{10} |z' - h'| = -10 $$

$$ h'_{\text{equ}} = z' = 2 \quad \log_{10} |z' - h'| = -0.08 $$

$$ \text{and } \log_{10} (z' - h') = -1 \text{ when } h'_{\text{equ}} \approx 1.5 $$

This strange behaviour is confirmed by the numerical computation of Figs. 8a-c. For $h'_{equ} = 1.5$, the current field is not apparent even if we zoom in the region around $h'_{equ}$. For $h'_{equ} = 1.7$, the size of the current field region is of the order of 0.1 and for $h'_{equ} = 2$ the region grows to all the upper volume.

In all the cases we find very peculiar KS configurations.

## 5. Discussion

### 5.1. Prominence dimensionless magnetic field strength

In parts 3 and 4, we have seen that $\eta'$ must exceed a certain value $\eta'_{crit}$ to have an instability region. $\eta'$ is computed with the base magnetic field strength, but it represents a mean field since the real photospheric magnetic field is concentrated at supergranule boundaries. At this level, the magnetic field is not force-free since it is concentrated by granule and supergranule flows. At a higher level the plasma density decreases rapidly and the magnetic field dominates the plasma. Spruit (1981) has estimated the height above the photosphere where the field becomes more regular and so dominates the plasma to be 750 km for active regions and 1600 km for quiet ones. These heights are much lower than prominence locations and so this region where the magnetic field has spread out and formed a "regular" pattern can be taken as the base of our coronal and prominence field. We measure the base magnetic flux therefore in the chromosphere. To evaluate $\eta'$ we take the mean magnetic field value found in prominences since this changes by less than a factor 2 with height.

$$ \eta' = \sqrt{\frac{(B_0)^2 \cdot L}{\lambda' \cdot g' \cdot \mu_0}} \approx 1.3 \sqrt{\frac{(B_G)^2 \cdot L_{M \cdot m}}{\eta'_{10} \cdot l_{M \cdot m} \cdot h_{M \cdot m}}} \quad (31) $$

<figure><img src="image_225.png" /></figure>

<figure><img src="image_226.png" /></figure>

<figure><img src="image_227.png" /><figcaption>Fig. 7a-c. The same as Fig. 4 but for the KS case, showing a narrow region of instability with no increase with $\eta'$. The critical $\eta'$ is a little lower than $\eta'_{crit} \approx 4$. The dependence on $\alpha'$ is a little greater than in the KR case, and the region of instability is reduced if $B'_3^0$ decreases. a shows the variations with $\alpha'$ for $\eta' = 10$, b the variations with $\eta'$ for $\alpha' = 0$, and c the variation with $B'_3^0$ for $\alpha' = 3$ and $\eta' = 0$</figcaption></figure>

with $B_G$, the magnetic field in Gauss. $l_{Mm}$, $l_{Mm}$, $h_{Mm}$ are the length $L$, width and height of the prominence in megameters (since we concentrate the prominence in our model into a line of mass density $\lambda'$ per unity length). $n_{10}$ is the ion number density per cubic centimeter ($n_{10} = 1$ when there is $10^{10} \text{ P cm}^{-3}$).

The average value for quiescent and active prominences are respectively:

$$ B_{G} \approx 6G, l_{Mm} \approx 5, h_{Mm} \approx 50, n_{10} \approx 1 \text{ to } 10 $$

$$ B_G \approx 50G, l_{Mm} \approx 5, h_{Mm} \approx 15, n_{10} \approx 10 $$

with $L_{Mm} \approx 30$ (size of a supergranule cell)

so (31) becomes:

$$ \begin{array}{l} \text{for quiescent prominences: } \eta' \approx 2.7 \text{ for } n_{10} = 1 \\ \eta' \approx 0.8 \text{ for } n_{10} = 10 \end{array} $$

$$ \text{for active region prominences: } \eta' \approx 13 $$

These order of magnitude estimates, show that a quiescent filament is likely to be in a stable equilibrium most of the time since $\eta'$ is less than $\eta'_{crit}$ defined in Sects. 3 and 4. By contrast, active region prominences can have a value for greater than $\eta'_{crit}$ and so they are much more likely to be unstable. The photospheric magnetic configuration evolves rapidly ($\sim 1 \text{ min to } 1 \text{ h}$)

in an active region and so the field may reach a nonequilibrium configuration when its magnetic field becomes twisted so much that $I$ exceeds the maximum value for equilibrium.

A quiescent filament can also erupt sometime. It could be triggered by a thermal instability, which is beyond the scope of this paper, or by a magnetic instability as described here. In this latter case, $\eta'$ must be larger than the above value. If we use the observation of low densities found by Bommier et al. (1986), $n_{10} \approx 1$ and is of the order of $\eta'_{crit}$. So we conclude that a quiescent prominence could become nonlinearly unstable to twisting if the magnetic field is increased (by a factor less than two), or if the density or the width decrease sufficiently.

### 5.2. Prominences shear ($\alpha'$)

Leroy et al. (1983-1984) found an angle $\theta$ between the prominence axis and the magnetic field in the range $[10^\circ, 20^\circ]$. If we model a prominence by a simple two dimensional force-free arcade, such as the first harmonic of (11), we have: $\cos \theta = \alpha'/\pi$

$$ \text{For } \theta = 20^\circ \quad \alpha' = 2.95 $$

$$ \text{For } \theta = 10^\circ \quad \alpha' = 3.09 $$
<figure><img src="image_228.png" /></figure>

**Fig. 8a-c.** Evolution of the KS field line topology when the equilibrium height increases from 1.5 to 2. Note the rapid change in the importance of the field current (the field lines are equispaced with the potential field). At a low height the current field is important only very close to the filament. The solid (or dashed) lines represent the positive (or negative) values of the magnetic potential. The parameters are: $\alpha' = 2$, $\eta' - 10$, $B_1'' = 1$, $B_3'' = -0.2$. a is for h'equ = 1.5, b for h'equ = 1.7 and c for h'equ = 2.0

We see that the magnetic field of prominences is greatly sheared, which produces an instability region of large size. Comparing Figs. 4a and 7a shows that the instability region size grows more rapidly in the KS case near $\alpha' = \pi$. (Note that $\alpha'$ max

= 3.14 in Fig. 4a and only 3 in Fig. 7a). Since it is believed that the magnetic configurations are KS for active-region prominences and KR for quiescent ones, we find that active region prominences have a greater region of instability than quiescent ones.

This is increased by the greater shear found in active region prominences, since the magnetic field is nearly aligned with the prominence axis.

### 5.3. Effects of harmonics

Amari and Aly 1986 have shown that with only the first harmonic of (11) there is no region of instability. We have found here that, by adding the third harmonic, an unstable region can exist. Figures 4c and 7c show that the third harmonic amplitude can be low: we could have an instability for $|Bo^3/Bo^1| > 0.14$ in the KR case and $|Bo^3/Bo^1| > 0.02$ in the KS one.

The third harmonic decreases more rapidly with height than the first one and the base field is dominated by the first harmonic when $|Bo^3/Bo^1| < 0.33$ (the base magnetic topology is fixed by the first harmonic since no parasitic polarity on both sides of the filament is created by the low amplitude third harmonic).

We conclude that a region of instability can exist even if the base flux is dominated by the first harmonic (with a positive base flux on one side and a negative one on the other side). We also note that the KS model can be easily destabilized.

### 5.4. Observational field

Chromospheric magnetic field data could be used to compare more precisely this model with observations. As it is two-dimensional, we must neglect the periodic structure of a filament along its axis, and we have to take an average of the data along the filament axis. $\alpha'$ is given by the angle between the filament axis and the magnetic field in the prominence. Then the chromospheric vertical magnetic field can be developed as a Fourier integral:

$$B_z(y, z=0) = \int_{-\infty}^{\infty} k'_y B_z^\circ(k'_y) \sin h'_y x dk'_y$$

Since observational data are limited in the y direction we must add extra information for the field behaviour outside the observational region, of size L. We can build a periodic model, of period 2L by adding on both sides of the observational region image fields, and then use the imposed periodicity. (The base flux is then continuous, and there is no flux between the regions of size L).

We can instead add a decreasing field on both sides of the observational region. The instability region size must depend on the extra field added on both sides of the observational region, but we expect that it will depend only weakly on it since the most important parameters $\eta'$ and $\alpha'$ remain the same and harmonics greater than the third have little effects.

### 5.5. Boundary conditions

We have chosen here magnetic lines anchored in the photosphere. It seems to be a good approximation since the photospheric density is of the order of one billion times denser than the corona.

The vertical boundaries shown in Fig. 1 need neighbouring regions with large magnetic fields. In such a case, the magnetic field could stay nearly vertical for every prominence height. In reality, we expect the same field magnitude over each supergranule, and then the neighbouring regions would react slightly to the change in prominence height. This could be modeled by allowing the boundary line to rotate around the foot points in the photosphere. But even such simple a case introduces analytical difficulties since the Greens function $G(y, z|0, h)$ cannot be developed with such a simple basis as in (12). This problem could be resolved numerically.

As a first step, we can analyse the influence of the boundary conditions by removing the vertical walls, and using a very simple form for the repulsion term: $R(h') \sim 1/4\pi h'$. It means that the current prominence has only an image source below the photosphere. Figure 2 shows the different repulsion function, and since the instability region stays at a low height, the results are similar.

The results of Sect. 3 for KR models are changed by increasing the size of the instability region, which becomes (0.1, 0.5) for all $\alpha'$; $\eta'_{crit}$ is decreased to $\eta'_{crit} \approx 2.5$, but the third harmonic needs to be greater:

$$\frac{B_3''}{B_1''} > 0.56$$

The results of Sect. 4 for KS models are little affected since the instability region height is near 0.1, where we can use the limit $R(h') \sim 1/4\pi h'$ for all $\alpha'$.

From this simple case we have suggested that the effect of the particular geometry used here is not important, since the results remain similar with a different choice of boundary conditions.

### 5.6. Horizontal stability

Van Tend and Kuperus (1978) discuss the horizontal stability of a current line in an arcade. Their Fig. 4 shows that a KR configuration is stable, but not a KS one. In the geometry of Fig. 1, the image current from the vertical walls must stabilise the prominence current. The analytical solution of (10) is very difficult when we do not locate the filament on the symmetrical vertical axis: Oz. The delta function $\delta(y - c)$ cannot be developed with a base of cosines and sines which satisfy individually the boundary condition $G(\pm L/2, 0|c, h) = 0$. Furthermore, the reaction of the neighbouring regions may be crucial in this analysis, since the horizontal force depends on the distance between filament and the image currents. The neighbouring regions may greatly stabilize the filament current when they impose a vertical field at $y = \pm L/2$. This stabilization is decreased with the amplitude of deformation allowed.

In conclusion, horizontal stability may need a numerical treatment region with a modelling of neighbouring boundary effects. We can expect horizontal instability when a boundary reaction parameter lies below a critical value.

### 5.7. Magnetic configuration

We have imposed: $\lim_{z \to \infty} A(y, z) = 0$ which implies that the field lines are closed. In fact, observations show that open field lines also exist on the Sun, in particular above quiescent prominences.

So this work needs to be extended to a more general force-free configuration. The difficulty is to build a linear force-free field in an infinite region with no reversal in the field. In the case of open field lines this difficulty may be described in another way: at great height the magnetic field lines are opened by the solar wind, and the field is therefore not force-free, so that building a force-free field in an infinite volume is unrealistic. If we want to build an open magnetic configuration, we need to include a region of non-force-free field.

This extension is important, as we have seen that the vertical dependence of the magnetic field determines whether the equilibrium is stable or not. The horizontal stability could also be changed if the curvature of the field lines is upwards (for the potential $A_1(y, z)$).

## 6. Conclusions

We have studied the vertical stability of a prominence in a linear force-free arcade field in two dimensions. The magnetic field is limited by an horizontal plane which represent the chromospheric boundary, and by two fixed vertical boundaries with no normal field. The field is assumed to vanish at great distance. This well defined mathematic problem admits analytical solutions: a basic arcade solution together with an infinite number of harmonics. The prominence is modelled by a line current which is in vertical equilibrium at the centre of the region since we have assumed a symmetrical base flux. We have analysed the height of equilibrium and the stability of this line current in both the Kippenhahn-Schlüter (KS) and Kuperus-Raadu (KR) configurations. For most of the base flux configurations the equilibrium is globally stable, but we have found, in both cases, particular base flux configurations where the current can reach a point of non-equilibrium. Then the prominence may erupt. We have studied the conditions for the occurrence of such catastrophe, as functions of the following dimensionless parameters of the problem: —the field shear $\alpha' = \alpha \cdot L$, where L is the horizontal region size and $\alpha$ is the constant of the force-free field defined by:

$$\text{rot } B = \alpha B;$$

$$-\text{the parameter } \eta' = \sqrt{\frac{B_y(0)^2 \cdot L}{\lambda \cdot g \cdot \mu_0}}$$

where $B_y(0)$ is the horizontal field normal to the prominence at the chromospheric level, $\lambda$ the mass density of the line prominence, and $g$ the solar gravity;

The harmonic amplitudes in terms of the amplitude of the first one: $B_3''$, $B_5''$, ... (there is no even harmonic since the field is assumed even at the prominence plane which is near the observed photospheric field of a prominence).

Both the KR and KS cases are similar since the instability region has the following properties:

(i) it exists only for $\eta'$ greater than the value $\eta'_{crit}$ which is of the order of few times unity;

(ii) it increases in size with both $\eta' = (By(0)^2 \cdot L/\lambda g \mu_0)^{1/2}$ and shear $\alpha' = \alpha L$;

(iii) it exists even in the potential case ($\alpha' = 0$) when $\eta' > \eta'_{crit}$;

(iv) it is affected only a little by harmonics greater than the third;

(v) it needs only a low third harmonic amplitude and so the base flux is dominated by the first harmonic;

(vi) it increases in size with the third harmonic amplitude.
The differences between the two configurations (KR and KS) for the region of instability, are qualitatively of less importance:

(i) a different sign is need for the third harmonic;

(ii) the region of instability has a great height and size in the KR case;

(iii) the equilibrium current is lower by a factor of 10 in the KS case than in the KR one, and the magnetic field created by the filament is greater than that of the arcade only very close to the filament; the general topology is an arcade one in the KS configuration.

The model explains the activity difference between active and quiescent prominences. The instability of active filaments is the result of the greater magnetic field strength (more precisely the parameter $η'$), a greater shear $α'$ and a greater variation of the base magnetic flux.

In connection with Anzer's (1984) critisms of the Kuperus-Raadu model we may note that we have considered here a KR model supported by line tying of the field lines in the dense photosphere. Then the vertical support, by an image current below the photosphere, needs a great current in the prominence: one to two orders of magnitude greater than in the KS case. The origin of this current is suggested to be magnetic reconnection stimulated by the solar wind, but, as mentioned by Anzer, it has not yet been proved that the mechanism proposed by Kuperus and Raadu (1974), could work. Moreover, in a current sheet model, this great current, in the KR configuration gives a strange field configuration, since the field, nearly horizontal in the prominence, must become nearly vertical at its edges. In all the cases we may note that it is possible to support a prominence at every height, but the current needed in the prominence increases rapidly with height. A KR model in a quadrupolar region is more attractive since it is then supported by the photospheric field as in the KS configuration, which needs a lower current.

In the model presented here, there is only a global equilibrium of the prominence since it has no extension in the vertical direction. Its generalisation to *n* currents may be difficult since the currents attract themselves, and a force is needed to balance this squeezing effect. If the prominence material is frozen into the field, the arcade would then be deformed until it can stop this squeezing. Such a deformation of the arcade field may be difficult to treat analytically. A generalisation to a current sheet of this work may instead be possible.

This model can be extended in several directions:

(i) A study of the global horizontal stability, which is crucial in a KS configuration with an arcade.

(ii) A 3-dimensional model with a periodicity in the x direction which may explain the existence of filament feet (Demoulin and Priest, 1988, submitted to *Astron. Astrophys.*).

(iii) A study of the interaction of two currents in a linear force-free field, with a possible extension to *n* currents. Also the

replacement of the current filament by a current sheet, which is not expected to change the present results qualitatively.

(iv) A more detailed stability analysis.

In connection with the last point it is important to note that we have been able to demonstrate the existence of a global nonequilibrium point (at the current peak) beyond which the global equilibrium is non linearly unstable and a catastrophe occurs, a property which is thought to be essential for a prominence eruption and a two-ribbon flare. However, we have considered only one mode of disturbance, namely a bodily upwards, or downwards motion of the filament, and it is possible that another mode of instability occurs at a lower threshold: nevertheless, it is not sufficient simply to demonstrate local instability to such a mode since it may either saturate nonlinearly at a low level or produce small-scale structure rather than giving rise to the global eruption we have suggested here.

*Acknowledgements.* The authors thank S. Bordet for typing the manuscript.

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## Conclusion

Des observations coordonnées de plusieurs instruments ont été utilisées pour analyser la dynamique des protubérances solaires. Elles montrent une différence d'évolution dynamique entre les deux grandes classes de protubérances: quiescentes et de plage. L'étude détaillée des spectres de données spatiales, a permis de montrer qu'il existe une composante de grande vitesse (~50 km.s⁻¹), lors de l'activation d'une protubérance de plage. Les champs de vitesses ont été interprétés dans la structure magnétique, déduite de l'extrapolation des mesures du champ magnétique photosphérique. Ces observations simultanées dans plusieurs raies permettent de découvrir différents aspects d'un filament, nécessaires à la compréhension de l'ensemble du phénomène. Ces observations simultanées devront donc être systématisées, ce qui pourra être réalisé avec le télescope THEMIS (cartographie en intensité et en vitesse dans 2 raies, et mesure du champ magnétique photosphérique vectoriel), en coordination avec des observations satellites (par exemple SOHO). Les méthodes actuelles d'extrapolation du champ magnétique utilisent seulement la composante longitudinale du champ magnétique; de nouvelles méthodes devront être développées pour utiliser les trois composantes du champ mesurées par le télescope THEMIS. Le champ magnétique mesuré dans les protubérances fournit une contrainte supplémentaire pour extrapoler le champ coronal. Nous avons développé des méthodes, à deux dimensions, pour utiliser ces données. Les travaux sur la généralisation à 3 dimensions, bien qu'à l'état embryonnaire, montrent la difficulté de l'entreprise. En particulier, la solution du problème, fixée par les conditions aux limites pouvant être observées, n'est pas unique !

La modélisation du support des protubérances est généralement effectuée à 2 dimensions, en supposant que celles-là sont homogènes. La protubérance est modélisée par un fil de courant, ou mieux une nappe de courant infiniment fine. Si des modèles de support existent pour des configurations Normales, le support d'une configuration Inverse ne peut, par contre, être trouvé dans un champ bipolaire pour la partie supérieure de la nappe de courant. Deux axes de recherche se dégagent actuellement pour résoudre ce problème: soit une configuration magnétique tridimensionnelle torsadée, soit une configuration formée par l'approche de deux régions bipolaires.
La modélisation à 2 dimensions ne permet cependant d'interpréter ni les pieds, ni la structure fine des protubérances. Nous avons développé un modèle analytique tridimensionnel de la structure magnétique: il permet de localiser les pieds des protubérances dans le réseau de super-granulation, et donne le lien existant avec la convection solaire. Ce modèle devra être étendu à une modélisation plus réaliste de la protubérance (nappe de courant au lieu du fil de courant utilisé) et à une évolution temporelle. Ce dernier point sera une généralisation tridimensionnelle des travaux de Malherbe et Priest (1983). Du point de vue observationnel, un travail patient de digitalisation des spectro-héliogrammes devrait permettre de suivre précisément l'évolution des rouleaux de convection grâce aux traceurs que sont les filaments.

L'étude de la stabilité thermique d'une structure périodique, alternative-ment froide et chaude, nous a permis de modéliser simplement la structure fine. Nous avons trouvé des temps d'évolution de l'instabilité thermique du plasma, comparables aux temps d'évolution déduits des observations. Une étude plus détaillée est cependant nécessaire: elle sera l'extension directe des travaux que nous avons effectués sur la stabilité thermique. Ensuite, la déformation des lignes de champ mangétique par le plasma dense, devra être incorporée: elle pourrait interpréter l'apparence des filets de la structure fine dont la direction privilégiée est verticale. Une formation produite par une instabilité magnétique (et plus particulièrement le mode de "tearing" couplé à l'instabilité thermique) peut aussi être envisagée pour expliquer ces struc-tures fines. Peu de travaux leur ayant été consacrés, elle restent mystérieuses.

Les conditions de formation des protubérances peuvent nous permettre d'avoir de précieuses informations sur les paramètres du milieu coronal. On peut les diviser schématiquement en deux parties : thermiques et magnétiques. Nous avons étudié en détail un type particulier de formation des protubérances: celui par instabilité thermique du plasma coronal. Cette étude numérique généralise les nombreuses études précédentes, et définit des conditions très strictes nécessaires au déclenchement de l'instabilité: le flux thermique à la base de la zone de transition doit être important et le chauffage coronal doit être instable. L'instabilité thermique est alors générée par le chauffage et non par la fonction de rayonnement comme le supposent les études précédentes. Cette étude sera poursuivie pour des situations plus générales: une étude préliminaire montre l'importance de la gravité et d'un taux de chauffage dépendant de la position spatiale. L'influence de la chromosphère a été modélisée par un ensemble des conditions aux limites plausibles

au sommet de la chromosphère. Son influence est cruciale pour l'instabilité déclenchée par la fonction de rayonnement (l'instabilité est alors concentrée dans la région de transition); cependant, cette influence est négligeable pour une instabilité coronale déclenchée par la fonction de chauffage coronal. Cette instabilité nécessitant un grand flux thermique dans la région de transition, un travail de longue haleine sera nécessaire pour comprendre la réaction de la partie supérieure de la chromosphère à ce flux thermique provenant de la couronne.

Les protubérances solaires subissent parfois des éruptions soudaines. L'interaction d'une ligne de champ, modélisant une protubérance, avec un champ sans force linéaire nous a permis de trouver des conditions où une instabilité globale de la ligne de courant est présente. Cette étude se poursuit actuellement par l'étude de l'évolution dynamique. Les résultats préliminaires montrent que l'éruption du filament ne peut être qu'une initialisation des éruptions en double filets. L'énergie cinétique du filament est au plus de l'ordre du centième de l'énergie émise lors de l'éruption. L'énergie libérée est en fait stockée dans la première harmonique du champ magnétique fortement cisaillé. L'éruption du filament provoque alors la formation d'une nappe de courant qui permet de dissiper l'énergie magnétique. Deux limites peuvent être étudiées sans modéliser la structure interne de cette nappe de courant: avec une reconnexion soit très rapide, soit nulle. Ces limites permettent de borner l'évolution de la structure magnétique. Une modélisation détaillée de la structre interne sera ensuite étudiée. Cependant, l'entreprise est difficile car, malgré de nombreux travaux analytiques et numériques, la reconnexion dans un champ fortement cisaillée n'a pas encore été étudiée.

L'étude des protubérances solaires quiescentes semble, à priori, restreinte à celle de l'interaction d'un plasma dense avec un champ magnétique. Cependant, même en se limitant au contexte solaire, le petit monde des protubérances est beaucoup plus riche qu'il n'y parait à première vue. Elles donnent des renseignements fondamentaux sur l'intensité et la topologie du champ magnétique coronal. Elles montrent en particulier que la couronne est parcourue par d'importants courants (champ fortement cisaillé) et que la topologie du champ est parfois complexe (protubérance de configuration Inverse). Ces champs emmagasinent une importante énergie qui est restituée lors des éruptions solaires. Les protubérances participent activement à celles-ci, en fournissant une partie importante de la masse éjectée, voire en déclenchant l'éruption (éruption en double filets). Lors de ces
éruptions, la matière de la protubérance éjectée permet aussi de visualiser les lignes de champ magnétique. Ces formidables traceurs du champ magnétique que sont les protubérances se révèlent aussi au niveau de la convection solaire: non seulement les pieds des protubérances tracent surement le réseau de super-granulation au niveau des lignes neutres du champ, mais les protubérances elles mêmes, comme les taches solaires, sont suspectées de tracer les rouleaux de convection à grande échelle ... à suivre! Une autre possibilité, encore à l'état d'embryon, est d'utiliser les protubérances solaires pour étudier un autre paramètre fondamental de la couronne: son chauffage. Les protubérances solaires nous permettent ainsi d'étudier finement l'atmosphère solaire. Les études observationnelles futures passent par l'observation simulée dans un large éventail de longueurs d'onde, ce qui permettra de déduire les différents paramètres de l'atmosphère solaire.

...

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# Publications de l'auteur

## * Articles publiés ou sous presse.

- A1: Dynamics of solar filaments.

VI. Center-to-limb study of Hα and CIV velocities in a quiescent filament.

Simon, G., Schmieder, B., Démoulin, P., Poland, A.I. 1986a, Astronomy and Astrophysics, **166**, 319.

- A2: Fine structures in solar filaments.

I. Observations and thermal stability.

Démoulin, P., Raadu, M.A., Malherbe, J.M., Schmieder, B. 1987a, Astronomy and Astrophysics, **183**, 142.

- A3: Some dynamical aspects of a quiescent filament.

Schmieder, B., Poland, A., Thompson, B., Démoulin, P. 1988, Astronomy and Astrophysics, **197**, 281.

- A4: Instability of a prominence supported in a linear force-free field.

Démoulin, P., Priest, E.R.

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- A5: The magnetic field around quiescent solar prominences computed from observational boundary conditions.

Démoulin, P., Malherbe, J.M., Priest, E.R.

1989a, Astronomy and Astrophysics, **211**, 440.

- A6: A twisted flux model for solar prominences.

II. Formation of a dip in a magnetic structure before the formation of a solar prominence.

Démoulin, P., Priest, E.R.

1989b, Astronomy and Astrophysics, sous presse.
- A7: Relation ship between a spot and a filament observed during spacelab 2 mission.

Schmieder,B., Dere,K.P., Raadu,M.A., Démoulin,P., Alissandrakis,C.E.

1989a, Advances in Space Research, sous presse.

- A8: Dynamics of a filament at the boundary of a spot region with magnetic shear.

Schmieder,B., Raadu,M.A., Démoulin,P., Dere,K.P.

1989b, Astronomy and Astrophysics, 213,402.

- A9: A three dimensionnal model for solar prominences.

Démoulin,P., Priest,E.R., Anzer,U.

1989c, Astronomy and Astrophysics, sous presse.

* Articles soumis à une revue à "referee".

- A10: Can a dip for prominence formation be created by shearing a coronal arcade ?

Démoulin,P., Amari,T., Browning,P., Hood,A., Priest,E.

1989d, Soumis à Astronomy and Astrophysics.

- A11: Formation of a prominence by a thermal instability.

Démoulin,P., Einaudi,G.

1989e, Soumis à Astrophysical Journal.

- A12: Constant force free magnetic field around quiescent prominences computed from boundary conditions.

Démoulin,P., Raadu,M.A., Malherbe,J.M.

1989f, Soumis à Astronomy and Astrophysics.

* Communications à des congrès internationaux

- C1: Thermal stability analysis of the fine structure of solar prominences.

Démoulin,P., Malherbe,J.M., Schmieder,B., Raadu,M.A.

1986, Proceedings of CPP workshops, "Coronal and Prominence Plasmas". NASA Conference publication 2442, ed. A.I. Poland,p143.

- C2: Constraints on filament models deduced from dynamical analysis.

Simon,G., Schmieder,B., Démoulin,P., Malherbe,J.M., Poland,A.I.

1986b, Proceedings of CPP workshops, "Coronal and Prominence Plasmas". NASA Conference publication 2442, ed. A.I.,Poland,p177.

- C3: Analyse de la stabilité des structures fines des protubérances solaires quiescentes.

Démoulin,P.

5-6 Mars 1987b, Journées d'études SOHO-THEMIS "Transport d'énergie dans l'atmosphère solaire", Collège de France, Paris, p. 73.

- C4: Can a thermal instability form a prominence ?

Démoulin,P., Einaudi,G.

1987c, Workshop on dynamics and structure of solar prominences.

Mallorca, Spain, 18-20 Nov. 1987, collection "Conferences i communications", ed. J.L.,Ballester et E.R.,Priest, num. 5, Universitat de les Illes Balears, Palma, p. 93.

- C5: Non-equilibrium of a prominence supported in a force-free field.

Démoulin,P., Priest,E.R.

1987d, Workshop on dynamics and structure of solar prominences.

Mallorca, Spain, 18-20 Nov. 1987, collection "Conferences i communications", ed. J.L.,Ballester et E.R.,Priest, num. 5, Universitat de les Illes Balears, Palma, p. 45.