# Le chaînage des indices : entre nécessité pratique et justification théorique

Jean-Pierre Berthier

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Jean-Pierre Berthier. Le chaînage des indices : entre nécessité pratique et justification théorique. Courrier des Statistiques, 2003, 108, pp.15-26. hal-05504768

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# Le chaînage des indices

## Entre nécessité pratique et justification théorique

Le chaînage des indices peut apparaître, suivant le point de vue auquel on se place, soit totalement naturel, soit parfaitement artificiel.

Un indice agrégé est censé résumer les différents indices élémentaires considérés. Dès lors que l'on croit à ce résumé, il est tentant de regarder l'indice obtenu comme s'il était lui-même un indice élémentaire. En particulier, il est naturel de considérer qu'il doit être transitif (évolution entre les dates 0 et 2 égale au produit des évolutions entre les dates 0 et 1 et les dates 1 et 2). Ainsi, si l'on annonce que le volume du PIB (produit intérieur brut) a été multiplié par 1,02 entre les années n et n + 1, et par 1,05 entre n + 1 et n + 2, quoi de plus logique que de dire qu'il a été multiplié par 1,02 × 1,05 entre n et n + 2 ? En imposant par construction cette propriété de transitivité, le chaînage peut apparaître très naturel. L'idée, bien qu'intéressante et féconde, comporte cependant une part de naïveté : les indices agrégés ne résument qu'imparfaitement les différents indices élémentaires. En réalité, la transitivité n'est qu'une propriété souhaitable parmi d'autres, et l'on sait qu'il n'est en général pas possible de définir un indice agrégé réunissant toutes les propriétés qu'on voudrait lui voir posséder [1].

D'un autre côté, l'idée de faire intervenir des dates intermédiaires peut apparaître choquante. En quoi, par exemple, la mesure de l'évolution des prix entre 1980 et 2000 doit-elle dépendre des prix de 1990 ? Une démarche axiomatique, s'agissant de calculer l'indice des prix à la consommation (IPC) entre deux dates données, commence par poser qu'il est une fonction des prix et des quantités consommées à chacune

des deux dates. Et l'idée de l'écrire comme une fonction d'autres variables, à savoir les prix et quantités à des dates intermédiaires, est mathématiquement très surprenante. De ce point de vue, le chaînage apparaît comme un pis-aller pratique, lorsque les deux dates sont trop éloignées et que par exemple les produits consommés ne sont pas les mêmes. Si un historien veut évaluer sur très longue période la baisse considérable du prix des transports, dont on peut penser qu'elle a été un facteur important du développement économique, il lui sera difficile de ne pas effectuer de chaînage entre différentes sous-périodes, en se calant sur les grandes dates qui ont marqué l'histoire des transports.

Mais ne voir dans le chaînage qu'un tel pis-aller est cependant très réducteur. D'ailleurs, la méthode est très largement utilisée, bien au-delà du cas des très longues séries. Ainsi, l'IPC est chaîné annuellement ; et les recommandations internationales en matière de comptes nationaux préconisent largement le chaînage, malgré son inconvénient majeur qui est de détruire les égalités comptables. Pourquoi un tel engouement ?

### Des contraintes pratiques et des considérations théoriques

En pratique, le problème ne se limite pas à déterminer, pour un couple de dates données, l'indice le plus adéquat : Laspeyres, Paasche, Fisher, Törnqvist, etc. Dans beaucoup de cas, il s'agit d'établir des séries plus

ou moins longues qui doivent pouvoir être analysées en tant que telles et dont on peut notamment examiner le profil. Or, si l'on décidait que l'évolution des prix entre deux quelconques des années en question était donnée par un indice (Laspeyres ou Fisher par exemple) ne prenant en compte que la situation à ces deux années, la présentation des résultats nécessiterait de remplir un tableau carré (l'évolution entre $n_i$ et $n_{i-1}$ occupant la case intersection de la ligne $n_i$ avec la colonne $n_{i-1}$), impossible à représenter sous forme d'une courbe. Pour y remédier, deux solutions très classiques : fixer une année de référence pour les prix (comptes aux prix d'une année donnée), ou bien chaîner aux prix de l'année précédente. Dans le premier cas, l'évolution entre deux années est prise égale au rapport des deux indices aux prix de l'année de référence, ce qui signifie qu'elle peut dépendre d'une structure de prix « hors épure » : par exemple, évolution de la consommation entre 2000 et 2003, établie à partir de comptes aux prix de 1995. Dans le deuxième cas, on établira des comptes aux prix de l'année précédente et l'évolution entre deux années quelconques sera obtenue en chaînant les évolutions annuelles.

L'argument essentiel qui, pour ses partisans, fait préférer le chaînage aux indices à base fixe (prix d'une année de référence) tient en peu de mots : le chaînage permet de tenir compte des évolutions de structure (de la consommation par exemple). Cette idée s'accompagne, notamment dans le SCN 93 (système de comptabilité nationale 1993), qui analyse la question, de la règle suivante : le chaînage doit être utilisé lorsque la structure se déforme régulièrement.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
## Expression des indices classiques

On s'intéresse ici aux indices de prix entre deux dates $t = 0$ et $t = 1$. On notera $p_i$ le prix du produit i et $q_i$ la quantité correspondante, la valeur $p_i q_i$ étant éventuellement notée $val_i$.

### Indice de Laspeyres

$$L_{1/0}(p) = \frac{\sum_{i} q_{i}(t=0)^{*} p_{i}(t=1)}{\sum_{i} q_{i}(t=0)^{*} p_{i}(t=0)}$$

Cette expression s'interprète comme le rapport du montant de deux « paniers de consommation », en faisant varier les prix mais en ne faisant intervenir que les quantités consommées à la date initiale.

Elle peut également s'écrire comme la moyenne des indices élémentaires pondérée par les valeurs à la date initiale :

$$L_{1/0}(p) = \sum_{i} val_{i}(t=0)^{*} [p_{i}(t=1)/p_{i}(t=0)]$$

### Indice de Paasche

$$P_{1/0}(p) = \frac{\sum_{i} q_{i}(t=1)^{*} p_{i}(t=1)}{\sum_{i} q_{i}(t=1)^{*} p_{i}(t=0)}$$

Cette expression s'interprète comme le rapport du montant de deux « paniers de consommation », en faisant varier les prix mais en ne faisant intervenir que les quantités consommées à la date finale.

Elle peut également s'écrire sous la forme d'une moyenne harmonique des indices élémentaires pondérée par les valeurs à la date finale.

### Indice de Fisher

L'indice de Fisher est égal à la moyenne géométrique des indices de Laspeyres et de Paasche :

$$[F_{1/0}(p)]^2 = L_{1/0}(p) * P_{1/0}(p)$$

### Indice de Divisia

L'indice de Divisia est défini par la limite, lorsqu'elle existe, de l'indice de Laspeyres chaîné (ou, cela revient au même, du Paasche chaîné ou encore du Fisher chaîné) quand le pas de chaînage tend vers zéro.

Il s'écrit :

$$D_{1/0}(p) = \exp \left[ \int_{0}^{1} \sum (\text{val}_i(t) / \text{val}(t)) * (p'_i(t) / p_i(t)) dt \right]$$

val désignant la valeur totale du « panier de consommation » et $p'_i$ la dérivée (par rapport au temps) de $p_i$.
lièrement, de telle sorte qu'à une date intermédiaire correspond une situation économique elle-même intermédiaire. Il est par contre déconseillé d'utiliser le chaînage lorsque les évolutions sont irrégulières, avec notamment des allers-retours. Si l'on admet ces préceptes, on peut montrer [2] que le chaînage est en général justifié pour les principales séries des comptes nationaux, l'exception notable mais pas unique des variations de stocks n'étant pas pour surprendre.

## Le choix de chaîner n'est pas neutre

Avant d'examiner si ces considérations peuvent se justifier d'un point de vue théorique, il est important d'indiquer que la question du chaînage n'est pas sans incidence concrète au niveau des résultats obtenus. Il est en effet courant de penser qu'il s'agit là de subtilités de

spécialistes, aux conséquences numériques négligeables. Le simple exemple de l'évolution du volume de la consommation des ménages sur la période 1960-2000 suffit à montrer le contraire.

Le graphique 1 représente cette évolution mesurée de quatre façons différentes : aux prix de 1960 (début de période), aux prix de 2000 (fin de période), aux prix de 1980 (milieu de période) et enfin chaînée (aux prix de l'année précédente).

Le tableau 1 donne par ailleurs les évolutions moyennes annuelles correspondantes, par décennies et sur l'ensemble de la période.

Le graphique montre bien que la croissance de la consommation des ménages est plus ou moins vive suivant la méthode retenue : entre 1960 et 2000, la consommation a été multipliée par 4,481 aux prix de 1960 mais seulement par 3,189 aux prix de

2000, soit un écart de près d'un point de croissance par an (cf. tableau 1). Les résultats aux prix de 1980 (multiplication par 3,738) et avec le chaînage (3,794) sont intermédiaires et assez voisins. Mais graphique et tableau montrent que, même dans ce cas, les évaluations par décennies sont sensiblement différentes : par exemple, pour la dernière décennie, + 2,3 % par an avec des prix de 1980 contre + 1,6 % avec le chaînage.

## À la recherche d'une justification théorique

Il est aujourd'hui largement recommandé d'utiliser la série chaînée (qui se trouve donc être une série chaînée d'indices de Laspeyres), la justification du SCN 93 en particulier ayant été indiquée ci-dessus. Cette justification peut paraître intuitive. On peut toutefois ne pas être convaincu, et l'expérience montre que les débats, passionnés, autour du chaînage débouchent souvent sur des blocages entre partisans et adversaires, aucun argument n'étant susceptible de convaincre l'autre camp. En rester là est cependant bien frustrant pour qui réfléchit au sujet, et bien des questions restent pendantes : le chaînage doit-il être considéré uniquement comme une pratique, dont la légitimité et les limites obéissent à des règles de l'art dérivées d'une analyse largement intuitive ? ou bien existe-t-il une théorie sous-jacente, qui permettrait de comprendre plus en profondeur à quoi correspond le fait de chaîner ?

Avancer dans cette direction n'est pas aisé, car le chaînage est en définitive quelque chose de compliqué (ne serait-ce que dans son expression mathématique) et qu'il est le plus souvent perçu comme une réponse à un problème pratique. S'il n'apparaît pas envisageable, pour l'instant, de bâtir une théorie générale qui permettrait de déterminer au cas par cas si l'indice-chaîne est meilleur ou moins bon que l'indice non chaîné, on peut tout de même progresser dans la compréhension de la signification du chaînage, dans l'appréciation de son domaine de validité, et donner une assise un peu

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Graphique 1</figcaption></figure>

Source : Comptes nationaux de l'Insee et calculs de l'auteur

<table><caption>Tableau 1</caption><thead><tr><th></th><th>1960-1970</th><th>1970-1980</th><th>1980-1990</th><th>1990-2000</th><th>1960-2000</th></tr></thead><tbody><tr><th>Prix 1960</th><td>1,059</td><td>1,045</td><td>1,029</td><td>1,020</td><td>1,038</td></tr><tr><th>Prix 1980</th><td>1,047</td><td>1,039</td><td>1,025</td><td>1,023</td><td>1,034</td></tr><tr><th>Prix 2000</th><td>1,045</td><td>1,036</td><td>1,022</td><td>1,015</td><td>1,029</td></tr><tr><th>Prix chaînés</th><td>1,055</td><td>1,041</td><td>1,024</td><td>1,016</td><td>1,034</td></tr></tbody></table>

Source : Comptes nationaux de l'Insee et calculs de l'auteur
plus théorique aux règles de bonnes pratiques en vigueur.

Un résultat essentiel pour guider la réflexion théorique sur le chaînage est fourni par le théorème de Hulten [4] : dans le cadre de la théorie du consommateur, si les données de prix et de quantités sont rationalisées par une fonction d'utilité (dont on exigerait notamment qu'elle soit une fonction homogène des différentes quantités consommées), alors l'indice de Divisia est un indice à utilité constante (les formulations des indices à utilité constante sont données dans l'article suivant).

Pour bien comprendre l'éclairage que fournit ce théorème à la question du chaînage, il faut apporter quelques précisions :

- l'indice de Divisia correspond au chaînage en continu, c'est-à-dire à l'indice limite obtenu en chaînant des indices de Laspeyres (ou de façon équivalente de Paasche) avec un pas tendant vers zéro. Il représente l'aboutissement théorique de la notion d'indice-chaîne ;

- l'indice à utilité constante, lorsqu'il existe (c'est-à-dire dans un cadre théorique assez étroit), est généralement considéré comme le meilleur indice possible, car prenant bien en compte les substitutions entre produits [5].

Le fait que l'indice de Divisia soit, sous certaines conditions, égal à l'indice à utilité constante est un argument favorable au principe du chaînage. Cela a aussi une conséquence importante pour notre analyse. Sous les conditions en question, et pour en rester à l'exemple d'un indice de prix, le résultat du chaînage en continu est indépendant de la façon dont ont pu évoluer les prix des produits pris en compte entre leurs valeurs initiales et finales. Dans ce cas, qui est le plus favorable, l'indice-chaîne est donc indépendant de la situation aux dates intermédiaires sur lesquelles s'appuie le chaînage.

## Le chaînage, révélateur de liaisons fonctionnelles

Ce miracle n'en est cependant pas tout à fait un, puisque l'on a supposé que les prix et les quantités résultaient d'un comportement de consommation rationnel, caractérisé par une fonction d'utilité. En définitive, le résultat du chaînage (en continu) est fonction des données initiales et finales (en $t_0$ et $t_1$) mais aussi de la fonction d'utilité, c'est-à-dire du comportement du consommateur. De ce point de vue, l'introduction de points intermédiaires trouve une justification théorique puisque permettant de révéler le comportement en question.

Cette indépendance à l'égard du chemin suivi entre les valeurs initiales et finales peut en fait être établie dans un cadre théorique moins étroit, à condition cependant de se situer dans un cadre pratique plus restreint, celui de l'agrégation de deux indices élémentaires seulement [3] : si l'on considère deux produits, notés 1 et 2, dès lors que les prix relatifs sont fonction des quantités relatives $[p_2/p_1 = f(q_2/q_1)]$, ou l'inverse $[q_2/q_1 = f(p_2/p_1)]$, l'indice de Divisia des prix et celui des volumes ne dépendent que des données initiales et finales (prix et quantités des produits 1 et 2 en début et en fin de période) et de la fonction $f$ en question (laquelle n'a besoin que d'être intégrable et n'a en particulier pas besoin d'être décroissante). On comprend dès lors, sachant que plusieurs fonctions pourraient « faire l'affaire » (en pratique toutes celles compatibles avec les données initiales et finales), que le chaînage peut apporter une information essentielle sur la nature de « la bonne fonction ».

Cette idée selon laquelle l'évolution des prix dépend du comportement du consommateur peut paraître dérangeante. Elle met fin au rêve d'une mesure intrinsèque du mouvement des prix. Cela étant, lorsque l'on calcule des indices de prix de Laspeyres ou de Paasche, dans l'expression desquels interviennent respectivement les quantités consom-

mées en début *ou* en fin de période, on ne fait rien d'autre que tenir compte du comportement du consommateur face à la donnée des prix élémentaires. Il s'agit désormais de tenir également compte de ses choix vis-à-vis de l'évolution des prix relatifs. La construction d'indices prenant en compte les quantités consommées en début et en fin de période (comme l'indice de Fisher) peut d'ailleurs être perçue comme participant de cette nécessité.

## De l'apport potentiel du chaînage

On reprend ici l'exemple de nos deux produits indexés 1 et 2, en posant que les quantités relatives et les prix relatifs sont liés par la relation fonctionnelle $q_2/q_1 = (p_2/p_1)^{-2}$, vérifiée à chaque instant $t$ entre $t = 0$ et $t = 1$. On se situe donc dans le cas où l'indice de Divisia peut être considéré comme l'indice de référence. Les données initiales, à $t = 0$, et finales, à $t = 1$, sont respectivement les suivantes : 1 et 1,1 pour $p_1$, 1 et 1,2 pour $q_1$, 2 et 3 pour $p_2$ (s'en déduisent naturellement les valeurs initiale et finale de $q_2$). Enfin, on admet que $p_1$ et $q_1$ varient de façon linéaire entre $t = 0$ et $t = 1$, $p_2$ suivant quant à lui une évolution linéaire ou parabolique plus ou moins marquée en fonction de la valeur (0, 1, 2 ou 3) d'un paramètre $c$ (cf. graphique 2).

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Ernst Louis Étienne Laspeyres, 1834-1913</figcaption></figure>
Sur la base de cet énoncé, on calcule alors les indices de prix de Divisia, de Laspeyres et Fisher, respectivement égaux à 1,207 (Divisia), 1,233 (Laspeyres) et 1,220 (Fisher). On calcule également un indice de Laspeyres chaîné, en considérant quatre points intermédiaires : $t = 0,2$ ; 0,4 ; 0,6 et 0,8. Par définition, seul cet indice chaîné varie avec la valeur du paramètre c.

Le tableau 2 récapitule les résultats obtenus. On voit que l'indice de Laspeyres chaîné est meilleur (c'est-à-dire plus proche de l'indice de Divisia) que l'indice de Laspeyres à base fixe tant que l'évolution de $p_2$ n'est pas trop irrégulière (c = 0, 1 ou 2). Sans surprise, on observe que l'indice de Fisher, dont l'utilisation est peu fréquente pour des raisons pratiques, est meilleur que l'indice de Laspeyres à base fixe. Mais il est intéressant de noter que l'indice de Laspeyres chaîné lui reste préférable

tant que l'évolution des prix est suffisamment régulière (c = 0 ou 1).

La première conclusion qui semble se dégager est donc que le passage du chaînage (théorique) en continu à un chaînage (pratique) discret ne nuit véritablement que lorsque le mouvement des prix est très irrégulier : même avec une hausse sensible suivie d'une baisse sensible (c = 3), le chaînage fait quasiment jeu égal avec l'indice à base fixe.

## De la régularité des séries

Hors le cadre théorique très restrictif dans lequel nous venons de nous placer, rien ne permet a priori de privilégier le chaînage, lequel risque même de conduire à des résultats incongrus : par exemple, indice de Divisia non égal à 1 alors même que les données initiales et finales sont égales [3].

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Tableau 2**</figcaption></figure>

<table><thead><tr><th></th><th>c = 0</th><th>c = 1</th><th>c = 2</th><th>c = 3</th></tr></thead><tbody><tr><td><strong>Divisia</strong></td><td><strong>1,207</strong></td><td><strong>1,207</strong></td><td><strong>1,207</strong></td><td><strong>1,207</strong></td></tr><tr><td>Laspeyres chaîné</td><td>1,212</td><td>1,216</td><td>1,224</td><td>1,235</td></tr><tr><td>Laspeyres</td><td>1,233</td><td>1,233</td><td>1,233</td><td>1,233</td></tr><tr><td>Fisher</td><td>1,220</td><td>1,220</td><td>1,220</td><td>1,220</td></tr></tbody></table>

Pourtant, il serait de bonne pratique, dans le cas général, de donner la préférence au chaînage si les séries évoluent de façon régulière (cf. SCN 93).

Pour examiner ce point, considérons le cas suivant, adapté de l'exemple précédent :

$$q_2/q_1 = (p_2/p_1)^{-2 + 0,1 \sin(n\pi t)}$$

L'élasticité moyenne des quantités relatives par rapport aux prix relatifs est toujours égale à -2, mais elle est maintenant perturbée par des oscillations.

Afin de fixer une référence, qui ne saurait plus être l'indice de Divisia, nous allons cette fois faire varier $p_1$ de 1 à 1,2 et $p_2$ de 2 à 2,4. Les indices de prix élémentaires sont ainsi tous deux égaux à 1,2 : le « bon » indice de prix agrégé sera donc pris égal à cette même valeur.

Les autres hypothèses demeurent inchangées : les valeurs initiale et finale de $q_1$ s'établissent à 1 et 1,2 ; $p_1$ et $q_1$ varient de façon linéaire ; $p_2$ suit une évolution linéaire ou parabolaque plus ou moins marquée en fonction de la valeur (ici prise à 0, 1/2, 1 ou 3/2) d'un paramètre c.

Sur la base de ce nouvel énoncé, on calcule les indices de prix de Divisia et de Laspeyres chaîné, celui-ci à partir des mêmes quatre points intermédiaires que dans l'exercice précédent : $t = 0,2$ ; 0,4 ; 0,6 et 0,8.

Les calculs ont été effectués pour les quatre valeurs considérées du paramètre c, en distinguant trois niveaux différents de périodicité (valeur du paramètre n) pour la perturbation : 0,1 sin (4 πt) ; 0,1 sin (8 πt) et 0,1 sin (12 πt). Les résultats sont donnés dans le tableau 3. On constate que les écarts relativement à notre indice de référence pris égal à 1,2 sont croissants avec l'irrégularité de l'évolution de $p_2$ mais qu'ils restent quasiment négligeables tant que celle-ci n'est pas trop forte, même si le degré d'irrégularité
Les indices à surplus constant

Cadre théorique

On cherche ici, en s'inspirant des indices à utilité constante, à définir un indice de référence, que nous noterons I, adapté au cas où il existe une liaison fonctionnelle quantité-prix de type $q_i = f_i(p_i)$ pour chacun des produits i pris en compte.

Le cadre recherché nous est offert par la théorie du surplus, selon laquelle le consommateur cherche à maximiser, produit par produit, la différence (le surplus) entre ce qu'il serait prêt à débourser pour acquérir une certaine quantité $q_i$ du produit i en question, autrement dit son consentement à payer, que nous noterons $C_i(q_i)$, et ce qu'il paie réellement, soit $p_i q_i$, pour consommer cette même quantité de produit.

Le maximum recherché est atteint quand la dérivée (par rapport à $q_i$) de $C_i(q_i)$ - $p_i q_i$ est égale à zéro, donc quand $C_i'(q_i)$ est égal à $p_i$. On voit que ces expressions $C_i'(q_i) = p_i$ correspondent bien à notre problème, en posant que les $f_i$ sont les inverses des $C_i'$.

Définition et expression

Notons $p_{i0}$ et $p_{i1}$ les prix aux dates $t = 0$ et $t = 1$, et $q_{i0}$ et $q_{i1}$ les quantités correspondant à ces prix.

Lorsque les quantités sont rationalisées par une fonction de consentement à payer, I est un indice à surplus constant entre les dates $t = 0$ et $t = 1$ si les deux systèmes de prix $[p_{11}/I, ..., p_{i1}/I, ..., p_{n1}/I]$ et $[p_{10}, ..., p_{i0}, ..., p_{n0}]$ correspondent à un même surplus global.

Notons $p_{i1'}$ les prix $p_{i1}/I$ et $q_{i1'}$ les quantités correspondant à ces prix.

Puisque les $f_i$ sont les inverses des $C_i'$ la donnée des $f_i$ permet de « remonter » aux fonctions $C_i$. Celles-ci étant désormais supposées connues, la traduction de la définition de l'indice à surplus constant est que I est la solution de l'équation suivante :

$$ \sum_{i} [C_{i}(q_{i1'}) - p_{i1'} q_{i1'}] = \sum_{i} [C_{i}(q_{i0}) - p_{i0} q_{i0}]. $$

Sachant que $C_i'(q_i) = p_i$, on montre que cette équation peut se mettre sous la forme

$$ \sum_{i} \int_{p_{i0}}^{p_{i1'}} f_i(p_i) dp_i = 0. $$

En dehors de cas particuliers, la détermination de I nécessite de recourir à des procédures numériques.
<table><caption>**Tableau 3**</caption><thead><tr><th></th><th>c = 0</th><th>c = 0,5</th><th>c = 1</th><th>c = 1,5</th></tr></thead><tbody><tr><td><strong>0,1 sin (4πt)</strong></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Divisia</td><td>1,200</td><td>1,201</td><td>1,201</td><td>1,202</td></tr><tr><td>Laspeyres chaîné</td><td>1,200</td><td>1,201</td><td>1,204</td><td>1,208</td></tr><tr><td><strong>0,1 sin (8πt)</strong></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Divisia</td><td>1,200</td><td>1,200</td><td>1,201</td><td>1,201</td></tr><tr><td>Laspeyres chaîné</td><td>1,200</td><td>1,200</td><td>1,201</td><td>1,204</td></tr><tr><td><strong>0,1 sin (12πt)</strong></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Divisia</td><td>1,200</td><td>1,200</td><td>1,200</td><td>1,201</td></tr><tr><td>Laspeyres chaîné</td><td>1,200</td><td>1,202</td><td>1,205</td><td>1,210</td></tr></tbody></table>

**Graphique 3**

Profil de $p_2(t)$ en fonction du coefficient c

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

**Graphique 4**

Profil de $q_2(t)$ pour $c = 1$ et $n = 10$

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

On aura bien sûr noté qu'avec $n = 10$, l'effet de la perturbation est nul à chacune des quatre dates intermédiaires (0,2 ; 0,4, 0,6 et 0,8) retenues pour le calcul du Laspeyres chaîné. Les résultats sont toutefois du même ordre que ceux présentés dans le tableau 3 : par exemple, avec $n = 10$, le Laspeyres chaîné et le Divisia sont respectivement égaux à 1,207 et 1,201 pour $c = 1,5$. Dans la circonstance, le fait de ne chaîner que par quatre points est en effet prépondérant par rapport à l'écart dû au principe même du chaînage (continu).

admissible est plus faible pour le Laspeyres chaîné que pour le Divisia.

Le graphique 3 donne le profil de $p_2(t)$, de $t = 0$ à $t = 1$, en fonction des valeurs du paramètre c. Enfin, le graphique 4 permet de visualiser, pour le cas $c = 1$ et $n = 10$, l'impact de la perturbation introduite : la courbe lisse ($k = 0$) représente en effet le chemin qu'aurait suivi $q_2(t)$ en l'absence de cette perturbation, dont on voit qu'elle induit d'importants mouvements de hausse et baisse (de l'ordre de 20 %).

## Un nouvel indice de référence...

Les deux types de cas examinés jusqu'ici peuvent être considérés comme des cas polaires : d'une part celui, très intéressant théoriquement mais d'application restreinte, où l'indice de Divisia constitue la référence ; d'autre part celui, banal, où tous les indices élémentaires sont égaux et où la référence est donnée par l'indice de Laspeyres (ou de Fisher).

Pour progresser dans notre étude sur la pertinence du chaînage, il faut maintenant se placer dans des conditions de validité théorique aussi peu restrictives que possible (ou du moins pouvant être considérées comme approximativement réunies dans un aussi grand nombre de cas que possible), sachant que « la bonne référence » ne pourra pas être apportée (a priori) par les indices classiques (Divisia, Laspeyres, Fisher...). Mais nous pourrons alors apprécier les performances de ces derniers à l'aune de leur écart à la référence en question.

Nous proposons de considérer ici le cas où il existe une liaison fonctionnelle du type $q_i = f_i(p_i)$ pour chacun des produits i pris en compte, un cas particulier étant alors celui où ces fonctions $f_i$ traduisent l'élasticité des quantités consommées par rapport aux prix des produits. Cette modélisation est certes moins « belle », sur le plan théorique, que celle qui sous-
tend le théorème de Hulten, puisque l'on passe d'un équilibre général, où sont considérés l'ensemble des produits consommés, à la juxtaposition d'équilibres partiels propres à chaque produit. Mais elle offre un cadre beaucoup plus souple, susceptible de représenter une approximation à de nombreux cas concrets et dans lequel on peut s'intéresser à des groupes de produits comme par exemple les biens alimentaires ou les produits énergétiques.

Encore reste-t-il à définir « la bonne référence ». L'idée de départ est de s'inspirer de la théorie du surplus, qui pose en substance que le consommateur cherche à maximiser, produit par produit, la différence entre ce qu'il serait prêt à débourser pour acquérir une certaine quantité du produit en question, autrement dit son consentement à payer, et ce qu'il paie réellement pour consommer cette même quantité de produit. Le surplus maximal est atteint lorsque le consentement marginal à payer, naturellement décroissant, devient égal au prix unitaire [3]. Moyennant quelques hypothèses techniques raisonnables, on aboutit bien à une relation du type recherché : $q_i = f_i(p_i)$. Le coefficient commun qui, appliqué à chaque indice de prix élémentaire, permet de conserver le niveau de surplus global du consommateur nous apportera notre indice de référence. Nous l'appellerons « indice à surplus constant », en abrégé ISC (cf. encadré page 20 et article suivant). L'analogie avec l'indice à utilité constante (IUC) est manifeste, à ceci près que celui-ci ne permet pas de raisonner en équilibres partiels.

Bien sûr, nous avons voulu nous assurer que la référence ISC ne pouvait être contredite par une autre « bonne référence ». De fait, nous le verrons plus en détail dans l'article suivant, on peut identifier trois cas particuliers (et pas un de plus) rentrant dans le cadre théorique ici considéré et pour lesquels il existe déjà une bonne référence : quand tous les indices élémentaires sont égaux, quand l'élasticité des quantités par rapport aux prix est la même

pour tous les produits pris en compte, enfin quand le consommateur maximise une fonction d'utilité de type Cobb-Douglas. Or, dans chacun de ces trois cas, l'ISC est bien égal à la référence « concurrente », respectivement l'indice commun, le Divisia (alors égal à l'indice géométrique) et l'IUC (qui dans la circonstance ne fait qu'un avec le Divisia).

## ... et des confirmations

La référence à l'ISC confirme à la fois l'intérêt du chaînage et la nécessité de règles de prudence.

Considérons par exemple le cas de deux produits notés 1 et 2 avec $q_1 = p_1^{-1,5}$ et $q_2 = p_2^{-2}$ : autrement dit, les élasticités des quantités par rapport aux prix, que l'on notera $e_1$ et $e_2$, sont respectivement égales à - 1,5 et - 2. On supposera par ailleurs que $p_1$ varie de façon linéaire de 1 à 1,1 et que $p_2$ varie de 1 à 1,5 en suivant une évolution linéaire ou parabolique plus ou moins prononcée en fonction de la valeur d'un paramètre c.

Sur la base de cet énoncé, nous avons calculé l'ISC et les indices de Laspeyres et Fisher, respectivement égaux à 1,273 (ISC), 1,300 (Laspeyres) et 1,282 (Fisher). Nous

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Tableau 5</figcaption></figure>

Cas où $e_1 = -1,5$ et $e_2 = -2$

<table><caption>Tableau 6</caption><thead><tr><th></th><th>c = 0</th><th>c = 0,65</th><th>c = 1,38</th><th>c = 2,15</th></tr></thead><tbody><tr><td>ISC</td><td>1,273</td><td>1,273</td><td>1,273</td><td>1,273</td></tr><tr><td>Laspeyres chaîné, pas = 0,2</td><td>1,274</td><td>1,282</td><td>1,300</td><td>1,328</td></tr><tr><td>Laspeyres chaîné, pas = 0,1</td><td>1,270</td><td>1,275</td><td>1,285</td><td>1,300</td></tr><tr><td>Laspeyres</td><td>1,300</td><td>1,300</td><td>1,300</td><td>1,300</td></tr><tr><td>Fisher</td><td>1,282</td><td>1,282</td><td>1,282</td><td>1,282</td></tr></tbody></table>

Cas où $e_1 = -3$ et $e_2 = -2$

<table><thead><tr><th></th><th>c = 0</th><th>c = 1</th><th>c = 1,45</th><th>c = 2,4</th></tr></thead><tbody><tr><td>ISC</td><td>1,262</td><td>1,262</td><td>1,262</td><td>1,262</td></tr><tr><td>Laspeyres chaîné, pas = 0,2</td><td>1,279</td><td>1,289</td><td>1,300</td><td>1,332</td></tr><tr><td>Laspeyres chaîné, pas = 0,1</td><td>1,276</td><td>1,280</td><td>1,285</td><td>1,300</td></tr><tr><td>Laspeyres</td><td>1,300</td><td>1,300</td><td>1,300</td><td>1,300</td></tr><tr><td>Fisher</td><td>1,289</td><td>1,289</td><td>1,289</td><td>1,289</td></tr></tbody></table>
avons également calculé deux indices de Laspeyres chaînés, le premier avec un pas de 0,2 (comme dans les exemples précédents), le second avec un pas de 0,1. Ces derniers calculs ont été effectués pour quatre valeurs distinctes du paramètre c : 0 ; 0,65 ; 1,38 et 2,15 (le graphique 5 permet de visualiser les profils correspondants de p₂). Les trois dernières sont celles pour lesquelles il y a égalité entre l'un ou l'autre des deux Laspeyres chaînés et l'indice de Laspeyres ou celui de Fisher.

Les résultats sont donnés dans le tableau 5. Ils montrent en particulier

que l'indice chaîné est d'autant « meilleur » (c'est-à-dire plus proche de l'indice ISC) que c est faible :

- entre c = 0 et c = 0,65, le chaînage avec un pas de 0,2 (quatre points intermédiaires seulement) est meilleur que l'indice de Laspeyres à base fixe et même meilleur que l'indice de Fisher ;

- entre c = 0,65 et c = 1,38, ce même chaînage est toujours meilleur que l'indice à base fixe ;

- entre c = 1,38 et c = 2,15, l'indice à base fixe devient meilleur que le chaînage avec un pas de 0,2 mais demeure moins bon que le chaînage

avec un pas de 0,1 (huit points intermédiaires) ;

- au-delà de c = 2,15, le Laspeyres à base fixe est meilleur que le Laspeyres chaîné avec un pas de 0,1. Cela étant, les simulations montrent que jusqu'à des valeurs très importantes de c (plus de 20), l'indice-chaîne peut être meilleur que l'indice à base fixe à condition d'augmenter le nombre de points de chaînage.

On notera avec intérêt que les résultats ne sont guère différents avec des élasticités supérieures (cf. tableau 6), le champ de prédominance du chaînage s'étendant même à des valeurs de c légèrement supérieures. Tout ceci tend à confirmer que les indices-chaîne sont préférables aux indices à base fixe lorsque l'évolution des indices élémentaires n'est pas trop irrégulière.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Graphique 6.E1</figcaption></figure>

Source : Comptes nationaux (Insee)

L'échelle des ordonnées est logarithmique.

Le déflateur, pour obtenir les prix « réels », est l'indice de prix de la consommation effective des ménages (même source).

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Graphique 6.E2</figcaption></figure>

Source : Comptes nationaux (Insee)

Le déflateur, pour obtenir les prix « réels », est l'indice de prix du PIB (même source).

## Des cas presque réels...

Sont ici proposés deux exemples presque réels, respectivement notés E1 et E2, d'une part l'agrégation de deux postes voisins de la nomenclature de consommation des ménages par fonction, les postes 0912 (équipement photo, cinéma et instruments d'optique) et 0913 (matériel de traitement de l'information), d'autre part l'agrégation des productions de légumes frais et de pommes de terre.

Les graphiques 6, qui retracent l'évolution des indices de prix réels de nos quatre « produits » (postes 0912 et 0913 de la nomenclature de consommation des ménages par fonction, légumes frais et pommes de terre) sur la période 1970-2000 (ou 2002), montrent à quel point nos deux cas peuvent être contrastés : côté E1, une baisse à la fois régulière et très rapide (surtout pour le matériel de traitement de l'information, dont le prix réel a été divisé par plus de 100), côté E2 de très fortes fluctuations (surtout pour la pomme de terre, dont le prix réel peut varier d'une année sur l'autre dans un rapport allant de 1 jusqu'à 5).
Pour chacun de nos quatre produits, l'hypothèse d'une élasticité constante entre prix réels et volumes paraît tout à fait acceptable. Les graphiques 7 montrent en effet que cette hypothèse conduit à des évolutions des parts en valeur estimées (lesquelles constituent les pondérations des indices élémentaires dans le calcul du Laspeyres par exemple) très proches de celles observées réellement. L'objet n'étant pas ici de déterminer précisément les élasticités en question, ni de tester des modèles, les parts en valeur estimées ont été calculées par simple ajustement sur la période 1970-2000 ou 1970-2002 au moyen de la méthode des moindres carrés ordinaires.

Pour calculer les indices agrégés, on s'est appuyé sur les vrais indices de prix élémentaires et sur les parts en valeur estimées. C'est en ce sens qu'il s'agit d'exemple « presque » réels. Mais c'est aussi grâce à cette entorse à la réalité, en supposant donc constantes les élasticités volume-prix, que nous avons pu calculer (numériquement) notre « bonne référence », à savoir ici l'ISC.

Le cas E1 est a priori favorable au chaînage puisque les évolutions sont régulières, même si l'on constate une accélération du mouvement des prix en fin de période avec le développement de la micro-informatique (graphique 6.E1). Le Laspeyres à base fixe sera par contre pénalisé par l'ampleur de la déformation des parts de valeur dans le temps (graphique 7.E1) : comme les évolutions de prix des deux « produits » considérés sont sensiblement différentes, on comprend intuitivement que cet indice va sous-estimer la baisse effective des prix. Ceci est confirmé par le graphique 8.E1, qui retrace la position des indices de Laspeyres et Fisher, à base fixe et chaînés, relativement à la « bonne référence » que constitue l'ISC. Le Laspeyres chaîné est nettement meilleur que le Laspeyres à base fixe. C'est même le meilleur des quatre indices testés, sauf en fin de période, quand les écarts deviennent excessivement importants. Ainsi, pour la décennie 1990-2000, le Laspeyres à base fixe est très largement supé-

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>**Graphique 7.E1**
Part (%) de valeur du matériel de traitement de l'information dans l'ensemble E1</figcaption></figure>

Source : Comptes nationaux (Insee)

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>**Graphique 7.E2**
Part (%) de valeur de la production de pomme de terre dans l'ensemble E2</figcaption></figure>

Source : Comptes nationaux (Insee)

rieur à l'indice de référence (0,448 contre 0,337) alors que le Laspeyres chaîné lui est nettement inférieur (0,284 contre 0,337).

Globalement, le chaînage apparaît dans ce cas E1 préférable aux indices à base fixe, même si ces résultats auraient été sans doute bien meilleurs si les élasticités volume-prix des deux « produits » pris en compte, respectivement - 0,78 pour le poste 0912 et - 1,94 pour le poste 0913, n'avaient pas été aussi différentes. Rappelons en effet que la bonne référence est apportée par l'indice de Divisia (chaînage en continu) lorsque les élasticités sont égales.

Le cas E2, avec de très fortes fluctuations et des retours fréquents à la position initiale (du moins pour les pommes de terre), est a priori très défavorable au chaînage.

Et, en effet (cf. graphique 8.E2), le Laspeyres chaîné se révèle nettement moins bon que le Laspeyres à base fixe. On peut également constater que le Fisher à base fixe est globalement très bon mais qu'il « ne tient pas la route » face au choc de 1976 sur le prix des pommes de terre. Quant au Fisher chaîné, s'il passe sans encombre le cap de 1976, il n'est pas partout aussi bon que le Fisher à base fixe.
### Graphique 8.E1

Rapport à l'indice de référence (ISC) des indices de Laspeyres et Fisher à base fixe et chaînés

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

Source : Comptes nationaux (Insee)

Les points d'abscisse correspondent à des périodes glissantes de 10 ans.

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

Irving Fisher, 1867-1947

## ... et de nouvelles confirmations

Les deux cas presque réels que nous venons d'examiner tendent à confirmer que le chaînage peut être source d'appréciables gains de précision dans la mesure de l'évolution économique quand les séries élémentaires sont suffisamment régulières, mais qu'il conviendrait plutôt de l'éviter lorsque cette condition n'est pas satisfaite. Ils montrent également, même s'il s'agit de cas plus ou moins « extrêmes », que le choix de l'indice est loin d'être neutre en termes de conséquences numériques. Dans le même registre, ils mettent en lumière la très bonne tenue de cet indice « superlatif » [6] que constitue le Fisher, potentiellement « tout-terrain » mais peu utilisé pour des raisons matérielles.

### Graphique 8.E2

Rapport à l'indice de référence (ISC) des indices de Laspeyres et Fisher à base fixe et chaînés

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

Source : Comptes nationaux (Insee)

Les points d'abscisse correspondent à des périodes glissantes de 10 ans.

### Jean-Pierre BERTHIER

Insee
Direction générale
Chef de la division Agriculture
Bibliographie

[1] « Indices statistiques. Quels outils pour quelles mesures ? », J. Vacher, *Insee Méthodes*, n° 15, 1991.

[2] « Pertinence et mise en œuvre des séries chaînées », J.-P. Berthier, in *Comptabilité Nationale - Nouveau système et patrimoine*, Economica, 2001.

[3] « Les indices additifs : une autre approche de la théorie des indices et de l'étude du chaînage », J.-P. Berthier, *Courrier des statistiques*, n° 104, Insee, décembre 2002.

[4] « Divisia Index Numbers », C.R. Hulten, *Econometrica*, 41, 1973, n° 6, pp. 1017-25.

[5] « Les indices à utilité constante : une référence pour mesurer l'évolution des prix », F. Magnien et J. Pougnard, *Économie et Statistique*, n° 335, 2000.

[6] « Exact and Superlatif Index Numbers », W.E. Diewert, *Journal of Econometrics*, 4, 1976.