# Modélisation des ouvrages de type : déversoir, vanne, orifice, dans les modèles d'hydraulique à surface libre

Jean-Pierre Baume

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Jean-Pierre Baume. Modélisation des ouvrages de type : déversoir, vanne, orifice, dans les modèles d'hydraulique à surface libre. 1988. hal-04970129

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Preprint submitted on 27 Feb 2025

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<figure><img src="image_1.png" /></figure>
MONTPELLIER n° 205

Division Irrigation

Document de travail 87.1

MODELISATION DES OUVRAGES DE TYPE :

DEVERSOIR, VANNE, ORIFICE,

DANS LES MODELES D'HYDRAULIQUE A SURFACE LIBRE

* * *

4

J.P. BAUME
La modélisation des singularités est un problème délicat rencontré dans le développement des modèles d'hydraulique à surface libre. Les équations retenues pour modéliser les ouvrages sont très nombreuses et ne couvrent pas tout le domaine de fonctionnement. En particulier, il est très difficile d'assurer la continuité entre ces formulations, par exemple au moment du passage dénoyé ←→ noyé, ou surface libre ←→ charge. Nous proposons une modélisation plus simple pour les ouvrages de type déversoir orifice (pelle importante) et une formulation dérivée de la précédente donnant de meilleurs résultats pour les vannes de fond (pelle faible).

## I) DEVERSOIR ←→ ORIFICE

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

### I.1) SURFACE LIBRE DENOYE

$$Q = \mu_D L \sqrt{\frac{\rho g}{h_1}} h_1^{3/2}$$

Formulation classique du déversoir dénoyé ($\mu_D \approx 0.4$)

### I.2) SURFACE LIBRE NOYE

$$Q = \mu'_{D} L \sqrt{\frac{\rho g}{h_1 - h_2}} (h_1 - h_2)^{1/2} h_2$$

Formulation classique du déversoir noyé.

Le passage noyé/dénoyé s'effectue pour : $h_2 = \frac{2}{3} h_1$

On a alors : $\mu'_{D} = \frac{2\sqrt{3}}{2} \mu_D$

Pour :
$\mu_D = 0.4$ et $\mu'_{D} = 1.04$

### I.3) CHARGE DENOYE

On prend une formulation du type :

$$Q = \mu L \sqrt{\frac{\rho g}{h_1^{3/2} - (h_1 - \bar{w})^{3/2}}}$$

Cette modélisation s'applique bien aux orifices rectangulaires de grande largeur. La continuité vers le fonctionnement à surface libre est assurée quand : $\frac{h_1}{\bar{w}} = 1$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

et on a alors : $\mu = \mu_D$

.../...
## I.4) CHARGE NOYÉ

Il existe deux formulations suivant que l'on est partiellement noyé ou totalement noyé.

### I.4.1) Charge partiellement noyé

$$Q = \mu L \sqrt{\frac{g}{2}} \left[ \frac{3\sqrt{3}}{2} (h_1 - h_2)^{1/2} h_2 - (h_1 - \omega)^{3/2} \right]$$

Ceci pour : $\frac{h_1}{\omega} > 1$ et $h_2 > \frac{2}{3} h_1$

### I.4.2) Charge totalement noyé

$$Q = \mu' L \sqrt{\frac{g}{2}} (h_1 - h_2)^{1/2} (h_2 - (h_2 - \omega))$$

$$Q = \mu' L \sqrt{\frac{g}{2}} (h_1 - h_2)^{1/2} \omega$$

Formulation classique des orifices noyés.

Ceci pour : $h_1/\omega > 1$ et $h_2 \ge \frac{2}{3} h_1 + \frac{\omega}{3}$

on a : $\mu' = \mu/D$

Le fonctionnement déversoir/orifice est représenté sur le schéma de l'annexe I.

## II-DEVERSOIR <→ VANNE DE FOND

### II.1) Surface libre dénoyé

$$Q = \mu D L \sqrt{\frac{g}{2}} h_1^{3/2}$$

### II.2) Surface libre noyé

$$Q = k \mu D L \sqrt{\frac{g}{2}} h_1^{3/2}$$

k coefficient de réduction de débit en noyé (formulation utilisée par LANCASTRE et reprise dans les abaques du CEMAGREF).

Le coefficient de réduction de débit est fonction de $h_2/h_1$ et de la valeur $\alpha$ de ce rapport au moment du passage noyé <→ dénoyé.

La loi de variation de k a été ajustée sur les résultats expérimentaux.

$$\text{posons } \alpha C = \sqrt{1 - \frac{h_2}{h_1}}$$
$$\text{si } \alpha C > 0.2 \quad \hat{h} = 1 - \left(1 - \frac{\alpha C}{\sqrt{1-\alpha}}\right)^{\beta}$$

$$\text{si } \alpha C \le 0.2 \quad \hat{h} = 5 \alpha \left(1 - \frac{\alpha C}{\sqrt{1-\alpha}}\right)^{\beta} \quad \text{avec } \beta = -2\alpha + 2$$

### II.3) Charge dénoyé

$$Q = L \sqrt{\frac{g}{2}} (\mu h_1^{3/2} - \mu_1 (h_1 - \omega)^{3/2})$$

On constate expérimentalement que le coefficient de débit d'une vanne augmente avec $h_1/\omega$. On a ajusté une loi de variation de $\mu$ de la forme :

$$\mu = \mu_0 - \frac{0.06}{h_1/\omega} \quad \text{avec } \mu_0 \approx 0.4$$

donc

$$\mu_1 = \mu_0 - 0.08 / (h_1/\omega - 1)$$

.../...
Pour assurer la continuité avec la surface libre dénoyé pour : $\frac{h_1}{w} = 1$
il faut donc que : $\mu_D = \mu_0 - 0.08$

soit : $\mu_D = 0.32$ pour $\mu_0 = 0.4$

## II.4) CHARGE NOYE

### II.4.1) Charge partiellement noyé

$$Q = L \sqrt{\frac{\mu}{2g}} \left( k \mu \frac{h_1^{3/2}}{2} - \mu_1 \left( h_1 - \frac{w}{2} \right)^{3/2} \right)$$

k étant le même que pour la surface libre.

Le passage noyé/dénoyé a été ajusté sur les résultats expérimentaux, on a une loi du type :

$$\alpha = 1 - 0.14 \frac{h_1}{w}$$

$$0.4 \le \alpha \le 0.75$$

Pour assurer la continuité avec le fonctionnement à surface libre, il faut donc que le passage noyé $\leftarrow$ dénoyé à surface libre se fasse pour $\alpha = 0.75$ (au lieu de $2/3$ retenu dans la formulation déversoir orifice).

### II.4.2) Charge totalement noyé

$$Q = L \sqrt{\frac{\mu}{2g}} \left( h \mu \frac{h_1^{3/2}}{2} - h_1 \mu_1 \left( h_1 - \frac{w}{2} \right)^{3/2} \right)$$

La formulation de $h_1$ est la même que celle de k en remplaçant :

$$h_2 \rightarrow h_2 - \frac{w}{2}$$

Le passage en totalement noyé a lieu pour : $h_2 \ge \alpha_1 h_1 + (1-\alpha_1) w$

avec $\alpha_1 = 1 - 0.14 \frac{h_2 - w}{w}$

$$(\alpha_1 = \alpha (h_2 - w))$$

Le fonctionnement déversoir/vanne de fond est représenté sur le schéma de l'annexe II, on a regroupé en annexe III les essais effectués et leur comparaison avec les résultats expérimentaux.

L'annexe IV donne les résultats obtenus par la formulation classique retenue dans le logiciel CANAL.
### III- CONCLUSION

La modélisation retenue assure une continuité parfaite entre les divers régimes.

La formulation de type déversoir/orifice s'applique bien aux orifices de grande largeur avec un coefficient de contraction voisin de 1. Le fonctionnement a surface libre est classique pour les déversoirs.

La formulation de type déversoir/vanne de fond, donne une bonne représentation en charge, en particulier un bon suivi du passage noyé → dénoyé. Mais elle est un peu moins bonne à surface libre, encore que pour les faibles pelles, elle soit acceptable.

La formulation retenue pour la vanne de fond a été ajustée à partir des résultats expérimentaux fournis dans les abaques du CEMAGREF. Elle demande a être affinée et confrontée de façon plus systématique avec les résultats disponibles dans la littérature.

* * *
<figure><img src="image_4.png" /></figure>

$$Q = m \cdot l \cdot \sqrt{\frac{h_1 - h_2}{h_1}} \cdot \left( \frac{h_1 - h_2}{h_1 - l} \right)^{3/2}$$
<figure><img src="image_5.png" /></figure>
ESSAIS MODELE ORIFICE ET VANNE

$$W = 0,5 \quad L = 5m$$

$$ \begin{gathered} \mu \text{ orifice} = 0,4 \\ \mu \cdot \text{vanne} = 0,4 \end{gathered} $$

* = passage en noyé

$h_2 = 1 \text{ mètre}$

<table><thead><tr><th>h<sub>1</sub> m</th><th>Q exp m<sup>3</sup>/s</th><th>Q orifice</th><th>Q vanne</th></tr></thead><tbody><tr><td>6</td><td>15,94</td><td>15,93</td><td>15,84</td></tr><tr><td>5,5</td><td>15,19</td><td>15,22</td><td>15,13</td></tr><tr><td>5</td><td>14,36</td><td>14,48</td><td>14,38</td></tr><tr><td>4,5</td><td>13,50</td><td>13,70</td><td>13,59</td></tr><tr><td>4</td><td>12,57</td><td>12,87</td><td>12,75</td></tr><tr><td>3,5</td><td>11,60</td><td>11,98</td><td>11,85</td></tr><tr><td>3</td><td>10,60</td><td>11,02</td><td>10,88</td></tr><tr><td>2,5</td><td>9,54</td><td>9,96</td><td>9,81</td></tr><tr><td>2</td><td>8,42</td><td>8,78</td><td>8,62</td></tr><tr><td>1,5</td><td>7,19</td><td>7,42</td><td>7,22</td></tr><tr><td>1,4</td><td>6,91</td><td>6,99</td><td>6,90</td></tr><tr><td>* 1,375</td><td>5,83</td><td>6,84</td><td>6,74</td></tr><tr><td>1,35</td><td>5,98</td><td>6,68</td><td>6,45</td></tr><tr><td>1,30</td><td>5,30</td><td>6,27</td><td>5,81</td></tr><tr><td>1,25</td><td>4,70</td><td>5,75</td><td>5,10</td></tr><tr><td>1,20</td><td>4,18</td><td>5,15</td><td>4,30</td></tr><tr><td>1,15</td><td>3,50</td><td>4,46</td><td>3,52</td></tr><tr><td>1,1</td><td>2,90</td><td>3,64</td><td>2,90</td></tr></tbody></table>

$h_2 = 2 \text{ mètres}$

<table><thead><tr><th>h<sub>1</sub> m</th><th>Q exp m<sup>3</sup>/s</th><th>Q orifice</th><th>Q vanne</th></tr></thead><tbody><tr><td>4,5</td><td>13,50</td><td>13,70</td><td>13,58</td></tr><tr><td>* 4,4</td><td>13,35</td><td>13,53</td><td>13,38</td></tr><tr><td>4,25</td><td>12,21</td><td>13,29</td><td>13,02</td></tr><tr><td>4,0</td><td>11,07</td><td>12,87</td><td>12,28</td></tr><tr><td>3,75</td><td>10,08</td><td>12,43</td><td>11,37</td></tr><tr><td>3,50</td><td>9,27</td><td>11,98</td><td>10,27</td></tr><tr><td>3,25</td><td>8,48</td><td>11,51</td><td>8,96</td></tr><tr><td>3,00</td><td>7,62</td><td>11,02</td><td>7,53</td></tr><tr><td>2,75</td><td>6,70</td><td>9,97</td><td>6,57</td></tr><tr><td>2,50</td><td>5,67</td><td>8,14</td><td>5,63</td></tr><tr><td>2,25</td><td>4,15</td><td>5,75</td><td>4,35</td></tr></tbody></table>
## CALCULS PAR LE LOGICIEL CANAL

$$W = 0,5 \quad L = 5m$$

$$CD \text{ orifice} = 0,6$$

$$CD \text{ vanne} = 0,6$$

$h_2 = 1 \text{ mètre}$

<table><thead><tr><th>h<sub>1</sub> m</th><th>Q exp m<sup>3</sup>/s</th><th>Q orifice</th><th>Q vanne</th></tr></thead><tbody><tr><td>6</td><td>15,94</td><td>14,86</td><td>15,86</td></tr><tr><td>5,5</td><td>15,19</td><td>14,09</td><td>15,15</td></tr><tr><td>5</td><td>14,36</td><td>13,29</td><td>14,40</td></tr><tr><td>4,5</td><td>13,50</td><td>12,43</td><td>13,62</td></tr><tr><td>4</td><td>12,57</td><td>11,51</td><td>12,78</td></tr><tr><td>3,5</td><td>11,60</td><td>10,51</td><td>11,89</td></tr><tr><td>3</td><td>10,60</td><td>9,40</td><td>10,92</td></tr><tr><td>2,5</td><td>9,54</td><td>8,14</td><td>9,86</td></tr><tr><td>2</td><td>8,42</td><td>6,64</td><td>8,66</td></tr><tr><td>1,5</td><td>7,19</td><td>4,70</td><td>7,28</td></tr><tr><td>1,4</td><td>6,91</td><td>4,20</td><td>6,97</td></tr><tr><td>1,375</td><td>6,83</td><td>4,07</td><td>5,98</td></tr><tr><td>1,35</td><td>5,98</td><td>3,93</td><td>5,65</td></tr><tr><td>1,30</td><td>5,30</td><td>3,64</td><td>5,10</td></tr><tr><td>1,25</td><td>4,70</td><td>3,32</td><td>4,58</td></tr><tr><td>1,20</td><td>4,18</td><td>2,97</td><td>4,04</td></tr><tr><td>1,15</td><td>3,50</td><td>2,57</td><td>3,46</td></tr><tr><td>1,1</td><td>2,90</td><td>2,10</td><td>2,80</td></tr></tbody></table>

$h_2 = 2 \text{ mètres}$

<table><thead><tr><th>h m</th><th>Q exp m<sup>3</sup>/s</th><th>Q orifice</th><th>Q vanne</th></tr></thead><tbody><tr><td>4,50</td><td>13,50</td><td>10,51</td><td>13,62</td></tr><tr><td>4,40</td><td>13,35</td><td>10,29</td><td>13,45</td></tr><tr><td>4,25</td><td>12,21</td><td>9,97</td><td>13,21</td></tr><tr><td>4,00</td><td>11,07</td><td>9,40</td><td>11,63</td></tr><tr><td>3,75</td><td>10,08</td><td>8,79</td><td>10,67</td></tr><tr><td>3,50</td><td>9,27</td><td>8,14</td><td>9,76</td></tr><tr><td>3,25</td><td>8,48</td><td>7,43</td><td>8,83</td></tr><tr><td>3,00</td><td>7,62</td><td>6,64</td><td>7,85</td></tr><tr><td>2,75</td><td>6,70</td><td>5,75</td><td>6,76</td></tr><tr><td>2,50</td><td>5,67</td><td>4,70</td><td>5,49</td></tr><tr><td>2,25</td><td>4,15</td><td>3,32</td><td>3,86</td></tr></tbody></table>