<figure><img src="image_122.png" /><figcaption>Fig. 1. Maps of intensity fluctuations (left) and velocities (right) in Hα ± 0.3 Å obtained from quiescent filament observations made at Pic du Midi on Oct. 15 1984 at 9:14 UT. The field of view is 2" × 1".5. In Fig. 1b white contours correspond to downward velocities and black contours to upward ones (velocity levels: ± 1.5 km s⁻¹). The straight line indicates the location of the cross section of Fig. 2</figcaption></figure>

of the lifetime of the fine structure follow from a thermal instability analysis.

## 2. Observations

### 2.1. MSDP Spectrograph at Pic du Midi

High spatial resolution (0.75) observations of a filament were obtained on 1984 October 15 in the Hα line with the Multichannel Subtractive Double Pass Spectrograph (MSDP) operating on the Solar Spectrograph at Observatoire du Pic du Midi (Mein, 1984). The data processing is similar to that used with the Meudon instrument (Mein, 1977). The MSDP simultaneously obtains 9 images of an elementary 30" × 4' field of view (smaller, by a factor 2, than the one at Meudon) with steps through the Hα profile at 9 different wavelengths, 0.266 Å apart, using a 0.085 Å window. We construct, by computing, using the 9 line profile points, maps of intensity fluctuations and Doppler-shifts at a given wavelength in the Hα line (λ = Hα ± 0.3 Å in this study) (Schmieder et al., 1985). The exposure time is 0.27 s. We obtain a final field of view 4' × 5'5 by combining eleven elementary fields of view, every thirty seconds. Each pixel represents 0.22.

### 2.2. Quiescent filament

The filament was located S 18° W 32° on October 15. It looked relatively thin because of its location near the disk center. It had been observed until October 20 1984 in the Hα and C IV lines during the Solar Maximum Mission (SMM 2). Simon et al. (1986a) have analyzed statistically the velocities from the center-to-limb observations in order to study the 3-dimensional nature of the flows. They show the stability of large scale structures during the observations. On October 17 and later the filament appeared as a classical quiescent filament structure with footpoints connected by a large arch. On October 15, the good seeing revealed that the large loops were actually composed of many small scale loops (Fig. 1). The loops seemed to be arranged in a

<figure><img src="image_123.png" /><figcaption>Fig. 2. Intensity (top) and velocity (bottom) cross sections through the filament structures. Intensity units are arbitrary</figcaption></figure>

cluster at the footpoints and somewhat better aligned between them (Simon et al., 1986b).

Using the high resolution of the images on October 15 we study the dimensions of these threads forming the filament.

### 2.3. Fine structures

Figure 1 present maps of intensity fluctuations I and Doppler shifts. As the filament is close to the disk center, the Dopplershifts correspond to velocity $V_{II}$. The length of the threads is around 10" (Fig. 1, left), and the width is around 2", as the I cross section perpendicular to the filament shows. The $V_{II}$ map reveals the smaller amplitudes of the velocities inside the filament as compared to those outside which is in good agreement with previous studies (Malherbe et al., 1981). Such reduced amplitudes are explained by reflexion of the waves in the chromosphere below the filament. The velocities measured in the filament are due to mass motions along the magnetic lines. The matter is magnetically frozen because of the large electric conductivity of the plasma.

The amplitude of the velocity is of the order of 1 km s⁻¹, a value lower than the sound speed $v_s \approx 7$ km s⁻¹ (Fig. 2). No general velocity behaviour is evidenced, i.e. cells of upward and downward motion are spread throughout the filament. The velocity cross sections show structures of dimension comparable to the thread width of a few arcseconds (Fig. 2).

## 3. Model

### 3.1. General description of the model

#### 3.1.1. Description

We construct a model with periodic structure in order to analyse the stability of the fine structure. A crude approximation to this is to consider a one-dimensional structure as shown in Fig. 3 with only two temperatures $T_1$ and $T_2$, and to analyse to first order

143

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<figure><img src="image_124.png" /><figcaption>Fig. 3. The basic one dimensional model used in this paper. The periodic structure is built up of hot slabs with temperature $T_1$ and size $l_1$ and cool slab with temperature: $T_2$, and size $l_2$</figcaption></figure>

perturbation the sign of the instability rate. We have analysed the case of parallel conduction and of perpendicular conduction. The first can explain the fine structure if we take a high temperature of only 4 or 5 10⁵ K, but in general the parallel conduction gives a scale length typical for the length of a magnetic loop. Observations show that the fine structure in a prominence is built up of nearly vertical threads, while the magnetic field is nearly horizontal; hence we consider the perpendicular conduction. It is found that the orthogonal conduction gives lengths ($\approx 10^4$–$10^5$ m) which are small compared to the observational resolution of 3 10⁵ m. However it suggests that the orthogonal conduction can give fine structure unresolved by the method of observation.

#### 3.1.2. Choice of the parameters

##### a) Equation

The basic equation is the conservation of energy:

$$H - L + \text{div}(F_h) = \frac{\rho}{\gamma-1} \frac{D}{Dt} (\log_e T \rho^{-\gamma-1}) \quad (1)$$

where H is the heating, L the cooling by radiation per unit of volume, $F_h$ the flux of heat conduction, and the other quantities have their usual meaning.

We consider a medium in a static state because the observed amplitudes of the velocities (a few km s⁻¹) are less than the sound velocity (typically 10 km s⁻¹ at 10⁴ K).

##### b) Pressure

The electron density can be determined from the Stark effect for high Balmer lines. Different authors give values between 7 10¹⁵ m⁻³ and 10¹⁷ m⁻³ for a quiescent filament. The ratio $n_{HII}/n_{H\alpha} \le 1$ (Hirayama, 1986). The total pressure may be a few times $10^{-2}$ Nm⁻²; here we take $10^{-2}$ Nm⁻².

##### c) Heating

The heating per unit volume is taken in the form $h\rho$, where $\rho$ is the density of the medium. However the heating of the solar atmosphere is controversial and one choice does not imply that we assume a particular mechanism (such as wave heating). The results are not very different with another form for the heating term. It changes only the slope of the straight line in Fig. 4a. If we take a heating term of the form $h\rho^\beta$, we find a slope, for a logarithmic plot, of 2 – $\beta$. For different types of heating $\beta$ lies between 0 and 2, and the slope of the straight line is in the interval (0, 2).

The constant h is determined by assuming that it is sufficient to heat the coronal medium at a temperature of 10⁶ K. We take $\beta = 1$. If the heating is in balance with the cooling function we find

$h = 10^7$ m²·s⁻³. Departures from this value will also be investigated.

##### d) Cooling

For an optically thin medium the cooling by radiation may be taken in the form $L = \rho^2 Q(T)$, where $\rho$ is the density and T the temperature of the medium. The function $Q(T)$ has been calculated by McWhirter et al. (1975), Raymond and Smith (1977), and here we take the fit of Hildner (1974) (in the form given by Rosner et al. (1978)), i.e. $Q(T) = XT^\alpha$, with X and $\alpha$ given in Table 1). This choice is not fundamental. The growth rate of instability depends only linearly on the value of $\alpha$. Hence a difference in $\alpha$ by a factor 2.5 between Hildner and Rosner for $T=10^6$ K only modify the instability rate by a factor of the same order. Moreover, the conduction dominates the cooling function at high temperatures and stabilises the periodic structure for all cooling functions.

##### e) Magnetic field

The magnetic field in a quiescent prominence is typically 8 10⁻⁴ T: (Leroy, 1979; Tandberg Hanssen, 1974). The field lines are nearly horizontal and Athay et al. (1983) found that the mean value of the deviation from a horizontal field is only of the order of 3°. So it is clear that the vertical threads are not along the magnetic field. The orthogonal conduction could play a role in the determination of this fine structure if the parallel conduction were small, due to the great length of the flux tube where the orthogonal conduction is increased due to the narrow width.

##### f) Conduction

We can separate the conduction into two terms: one parallel to the magnetic field, the other perpendicular to it. The conduction term in 1 becomes:

$$V_{II}(K_{II} V_{II} T) + V_{\perp}(K_{\perp} V_{\perp} T)$$

Spitzer (1962) gives:

$$K_{II} = 1.8 \ 10^{-10} T^{5/2} / \log_e(\lambda) W^{-1} K^{-1}$$

and

$$K_{\perp} = K_{II} 2 \ 10^{-31} n^2 / (T^2 B^2)$$

where B is the magnetic field, and $\lambda$ and $n$, are, respectively, a number of order unity and the number of particles per unit volume. (In the latter case the ions are assumed to spiral many times between collisions, which is true in a chromospheric or coronal plasma).
<table><caption>**Table 1.** The cooling function $Q(T) = \chi T^\alpha$ according to Hildner (1974)</caption><thead><tr><th>Temperature range (K)</th><th>χ (MKS)</th><th>α</th></tr></thead><tbody><tr><td>T &lt; 1.5 10<sup>4</sup></td><td>1.759 10<sup>-13</sup></td><td>7.4</td></tr><tr><td>1.5 10<sup>4</sup> &lt; T &lt; 8 10<sup>4</sup></td><td>4.290 10<sup>10</sup></td><td>1.8</td></tr><tr><td>8 10<sup>4</sup> &lt; T &lt; 3 10<sup>5</sup></td><td>2.860 10<sup>19</sup></td><td>0</td></tr><tr><td>3 10<sup>5</sup> &lt; T &lt; 8 10<sup>5</sup></td><td>1.409 10<sup>33</sup></td><td>-2.5</td></tr><tr><td>10<sup>7</sup> &gt; T &gt; 8 10<sup>5</sup></td><td>1.970 10<sup>24</sup></td><td>-1.0</td></tr><tr><td>T &gt; 10<sup>7</sup></td><td>6.230 10<sup>13</sup></td><td>0.5</td></tr></tbody></table>

We take $K_{\parallel} = 10^{-11} T^{5/2}$ MKS which is typical for chromospheric conditions, and $K_{\perp} = 2.0/T^{5/2} B^2$ MKS with B in Tesla. We write the convective flux in the form:

$$F_{\parallel} = K_{\parallel} \cdot T^{(\mu_{\parallel} - 1)} \cdot \frac{dT}{dx} \quad \text{with } \mu_{\parallel} = 3.5$$

and

$$F_{\perp} = K_{\perp} \cdot T^{(\mu_{\perp} - 1)} \cdot \frac{dT}{dx} \quad \text{with } \mu_{\perp} = -1.5 \quad (1')$$

and the conductive term in 1 becomes:

$$\frac{K_{\parallel}}{\mu_{\parallel}} \cdot \frac{d^2 T^{\mu_{\parallel}}}{dx^2} + \frac{K_{\perp}}{\mu_{\perp}} \cdot \frac{d^2 T^{\mu_{\perp}}}{dy^2},$$

where x is a coordinate parallel to the magnetic field and y a coordinate orthogonal to the magnetic field.

### 3.1.3. Discretisation of the equation in one dimension

#### a) Basic equations

We want to find the static state of a structure as shown in Fig. 3, and we investigate first a one-dimensional model. The conductive flux takes the general form, for either parallel or orthogonal conduction.

To discretize the basic Eq. (1) we can rewrite it in an integral form as:

$$\int_V (\rho h - \rho^2 Q(T)) dV + \int_S F ds = \int_V \frac{p}{\gamma - 1} \frac{D}{Dt} (\log T \rho^{-(\gamma-1)}) dV$$

where S is the surface of the volume V.

For a one-dimensional model, two volumes V are taken, the slab $l_1$ and then the slab $l_2$ in Fig. 3, and we have the system:

$$[\rho_1 \cdot h - \rho_1^2 \cdot Q(T_1)] l_1 - 2F = l_1 \cdot \frac{p_1}{\gamma - 1} \cdot \frac{D}{Dt} (\log(T_1 \cdot \rho_1^{-(\gamma-1)}))$$

$$[\rho_2 \cdot h - \rho_2^2 \cdot Q(T_2)] l_2 + 2F = l_2 \cdot \frac{p_2}{\gamma - 1} \cdot \frac{D}{Dt} (\log(T_2 \cdot \rho_2^{-(\gamma-1)})) \quad (2)$$

where F is the heat flux from the hot region 1 to the cool region 2. This flux may be crudely written using the average length $(l_1 + l_2)/2$ as

$$F = \frac{K(T_1^\mu - T_2^\mu)}{\mu(l_1 + l_2)/2}$$

and we have:

$$\rho_1 \cdot h - \rho_1^2 \cdot Q(T_1) - \frac{K_0 \cdot 4}{\mu(l_1 + l_2)l_1} (T_1^\mu - T_2^\mu) = \frac{p_1}{\gamma - 1} \cdot \frac{D}{Dt} (\log_e T_1 \rho_1^{-(\gamma-1)})$$

$$\rho_2 \cdot h - \rho_2^2 \cdot Q(T_2) + \frac{K_0 \cdot 4}{\mu(l_1 + l_2)l_1} (T_1^\mu - T_2^\mu) = \frac{p_2}{\gamma - 1} \cdot \frac{D}{Dt} (\log_e T_2 \rho_2^{-(\gamma-1)}) \quad (3)$$

#### b) Static state

We set the right-hand side of Eq. (3) to zero and divide by $\rho^2$. With the perfect gas law, $p = \rho kT/m$, we have:

$$\frac{k \cdot h \cdot T_1}{p \cdot m} - Q(T_1) - \frac{4 K_0 T_1^2 (T_1^\mu - T_2^\mu)}{\mu(l_1 + l_2)l_1 (p m / k)^2} = 0$$ $$\frac{k \cdot h \cdot T_2}{p \cdot m} - Q(T_2) + \frac{4 K_0 T_1^2 (T_1^\mu - T_2^\mu)}{\mu(l_1 + l_2)l_2 (p m / k)^2} = 0 \quad (4)$$

If we fix $l_1, l_2, p$ and $k$, we have a system of two equations with the two unknowns $T_1$ and $T_2$. But the solution of (4) is not unique for $T_1$ (see Fig. 4), and we choose to fix $l_1, l_2, p$ and $T_1$ and compute $T_2$ and $h$. Then if we change $T_1$ we cover all the possible equilibria.

We introduce a net cooling function $C(T)$ in order to rewrite 4 as:

$$\frac{h T_1}{p m / k} - C(T_1) = 0$$ $$\frac{h T_2}{p m / k} - C(T_2) = 0 \quad (5)$$

This has the advantage that the static state may be given by the intersection of a straight line with the cooling function in a logarithmic diagram just as in the case where there is no conduction. The total cooling functions $C(T_1)$ and $C(T_2)$ depend in general on both temperatures $T_1$ and $T_2$, and we have to solve Eq. 4 before we can plot $C(T_1)$ and $C(T_2)$.

Equation 5 may be written in a more concise form (taking logarithms) as: $\log(hk/pm) + \log(T) = \log(C(T))$ with T equal to $T_1$ or $T_2$, and the solution may be described graphically by plotting $\log(C(T))$. The intersection by the straight line given by $\log(hk/(pm)) + \log(T)$ gives the possible equilibria for given values of $h, p, l_1$ and $l_2$. Figure 4 shows that in general there are three solutions, one cool: A, and two hot, B and C. We now investigate the stability of a periodic structure formed by the equilibria A and B or A and C.

### 3.1.4. Stability of the equilibria

We can analyse qualitatively the stability of the hot medium given in Fig. 4 when the conduction is negligible in comparison with radiative cooling. In this case, the function $C(T)$ reduces to the radiative cooling function, the hot and cool regions are decoupled, and $C(T)$ describes the cooling for both the equilibrium states and departures from equilibrium.

The point B in Fig. 4b for a length of $10^6$ m is unstable. If $T_1$ grows, the heating grows faster than the net cooling function, the medium is heated and $T_1$ grows towards a very hot equilibrium.

The propagation of sound waves are avoided by taking an isobaric perturbation. The variations of the lengths $l_1$ and $l_2$ are found by the conservation of mass, $\rho l = \text{constants}$, as we assume that in a direction perpendicular to x (cf. Fig. 3) we have a fixed length.

$$\begin{align} p &= \text{constant} & T' + \rho' &= 0 \nonumber \\ \rho l &= \text{constant} & l' + \rho' &= 0 \tag{6} \end{align}$$

The first equation of system (3) becomes:

$$\begin{align} T'_1 [-h \rho_1 + (2-x) \rho_1^2 Q(T_1)] - \frac{2F}{\rho_1} F' + \frac{2F l'_1}{l_1^2} &= \frac{\beta p_1}{\gamma - 1} [T'_1 + (\gamma - 1) T'_1] \tag{7} \end{align}$$

with

$$F' = - \frac{T'_1 l_1 + T'_2 l_2}{l_1 + l_2} + \frac{2 K_0}{l_1 + l_2} F [T_1^\mu T'_1 - T_2^\mu T'_2]$$

By using (6) we can rewrite system (3) linearised to the first order of perturbation as:

$$\begin{align} (a \beta + b) T'_{1} + c T'_{2} &= 0 \nonumber \\ e T'_{1} + (f \beta + g) T'_{2} &= 0 \tag{8} \end{align}$$

where a, b, c, e, f, g are given by the static state. $\beta$ is a solution of a second degree equation:

$$\left(\frac{\gamma p_0}{\gamma - 1}\right)^2 \beta^2 + B \left(\frac{\gamma p_0}{\gamma - 1}\right) \beta + C = 0, \quad (9)$$

where B and C are complicated functions of the equilibrium parameters:

$$\gamma p_0 \beta / (\gamma - 1) = 0.5 \left[ -B \pm \sqrt{B^2 - 4C} \right]$$

Since $B^2 - 4C$ is always positive, there are two real solutions and therefore no oscillating transition regime. One solution is always negative and gives a stable perturbation. The sign of the other may change, and determine the stability of the solution.

### 3.2. Parallel conduction

#### 3.2.1. Description of the result

For parallel conduction we take $\mu = 3.5$ so that the conduction increases greatly at high temperatures as shown in Fig. 4 (at high temperatures the conduction term varies as $T_1^{11/2}$). A typical length may be found by equating the cooling and the conduction functions for $T_1 = 10^6$ K and $T_2 = 10^4$ K. We find $l_{\parallel} = 10^8$ m which is typical for the height or the length between two feet of a quiescent filament. This means that below this length the conduction dominates the cooling function at the high temperature and can stabilise the system.

For simplicity we first take $l_1 = l_2 = 1$ which does not change the general argument. Figure 4 shows the logarithm of the net cooling function $C(T)$ as a function of the logarithm of the temperature. The useful lengths are between $10^6$ and $10^8$ m. If the length is too short, there is no cool equilibrium, and if it is too long, there is no contribution of the conduction for temperatures lower than $5 \cdot 10^6$ K, and no stabilising effect.

When the high temperature moves from $8 \cdot 10^4$ K to $10^7$ K the heating changes as plotted in Fig. 5; it presents a minimum when

<figure><img src="image_125.png" /><figcaption>Fig. 4. Plot of the logarithm of the total cooling function (radiative + conduction) as a function of the logarithm of temperature for different scale lengths: $10^6-10^{10}$ m for the parallel conduction in Fig. 4a and $10^3-10^7$ m for the orthogonal conduction in Fig. 4b. The straight lines S represent the assumed heating term of the form $h\rho$ per unit of volume. A: cool equilibria, B and C: hot equilibria</figcaption></figure>

However, equilibrium A is stable. This analysis of thermal instability may be found in Tandberg-Hanssen (1974).

When we have a non-negligible conductive heat flux, there is a link between the hot and the cool equilibrium. So we may expect that the stable cool one could stabilize the unstable hot one. But in general, in the cases with conduction, analysis of the stability cannot be done using Fig. 4. First the length of the structure may be changed, so that, the conductive term changes in a way that cannot be plotted in Fig. 4. Secondly, the two equilibria are linked by the conductive term, and the two temperatures are both allowed to change. However, in a simple case where the lengths are fixed and the low temperature is fixed or negligible in the conductive term, we can make a graphical analysis of the stability. To give a more general discussion of the stability we have to make a quantitative analysis.

We make a first order perturbation analysis for Eqs. (3), and let

$$T_1 \rightarrow T_1 (1 + T'_1 e^{\beta t})$$
<figure><img src="image_126.png" /><figcaption>Fig. 5. Heating and instability as a function of the high temperature for parallel conduction. For the growth rate $\beta$ we plot: - sign $(\beta)/\log_{10}(|\beta|)$. The stable equilibria are for a negative value. The inverse of the function plotted gives the logarithm of the time of evolution</figcaption></figure>

the straight line is tangent to the total cooling curve. Consequently, we deduce that there is an allowed interval for the heating parameter $h$, $\log(h) \in [6.5, 8.5]$. If the heating is too large the cool equilibrium cannot exist.

The stability of the equilibria are shown in Fig. 5. To present a larger range of the instability rate we have plotted: - sign $(\beta)/\log_{10}(|\beta|)$. This transformation is monotonic and simple to inverse, but greatly emphasizes the region of interest where $\beta \approx 0$. Thus, the temperature where we have the change of stability is more clearly shown.

We see that a length of $10^8$ m stabilises the system with a high temperature greater than $1.5 \cdot 10^6$ K. Short lengths stabilise the system with a lower high temperature, but the range of heating is narrower. In particular for $l = 10^6$ m the system is stabilised above $4 \cdot 10^5$ K, but the range of heating is only between $2 \cdot 10^8$ and $7 \cdot 10^8$ kg s$^{-1}$ (for a pressure of $10^{-2}$ Nm$^{-2}$).

The instability growth rate of a hot medium without conduction is expressed by:

$$ \beta = \left(\frac{\gamma - 1}{\gamma p_0}\right) (1 - \alpha_1) \varrho_1^2 Q_1 $$

At a temperature of $10^6$ K the growth time of the instability is $10^4$ s (with $= 5/3$ and $p = 10^{-2}$ Nm$^{-2}$), which may be compared to the

<figure><img src="image_127.png" /><figcaption>Fig. 6. Same as Fig. 5, but with orthogonal conduction in a field of $10^{-4}$ T (1 G). The case $l = 10^7$ m gives the case where the conduction is negligible</figcaption></figure>

lifetime of the measured fine structures. For higher temperatures the growth time of the instability is less. The logarithm of the growth rate is plotted in Fig. 6 for the case $l_\perp = 10^6$ or $10^7$ m since the conduction is too weak to produce a stabilising effect, as we can see from Fig. 4, bottom.

For a short parallel length, e. g. $10^6-10^7$ m, the stability of the system depends strongly on the high temperature. The growth or damping time ranges from $10^2$ s to infinity, and the system may evolve in a time as short as $10^2$ s by destruction or formation of the structure. For high temperatures close to $8 \cdot 10^4$ K we can have an instability growing in only a few seconds!

This analysis of the growth time of the instability and the fact that high and low temperature equilibria exist only in a narrow region of heating when the typical length is a few $10^6$ m, suggest that the fine structure may be in perpetual evolution over a large time interval: [1-10$^5$ s]. This time depends critically on the temperature for lengths of $10^6-10^7$ m.

### 3.2.2. Discussion with $l_1 \neq l_2$

To discuss the case $l_1 \neq l_2$ we set $l_1 = l(1+r)$ and $l_2 = l(1-r)$. If $r$ is taken positive, the hot region is thicker. The conduction term in the hot equation of (4) (first of both) is then reduced, so that the

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system is less stabilised. If $r$ is taken negative, we have a stabilising effect. For example, with the parallel conduction, the curve with $r=0$ and $l=10^8$ m of Fig. 5, which leads to a stable equilibrium above $1.4 \cdot 10^6$ K, gives with $r = -0.9$ a stable equilibrium above $9 \cdot 10^5$ K.

However, if we integrate (1) from a low temperature $T_2$ to a high temperature $T_1$, we find that the region where $T$ is high is much thicker than the region where $T$ is low. This follows from the fact that the temperature increases rapidly when the temperature is in the range $10^{-4}-10^{-5}$ K since the radiative cooling then is very efficient. We then have $l_1 \gg l_2$, and the medium is more unstable than implied by the first analysis with $l_1 = l_2$. However, we recall that the discretisation of the flux is very crude and the energy equation is very non linear. In conclusion, it is not clear what ratio $l_1/l_2$ we have to choose to get a realistic analysis

### 3.2.3. Comparison with the model of Hood and Priest

#### a) Description of the model

Hood and Priest (1979) have modelled the coronal loop by the energy equation in a similar way to the one used here. They assume that the base of a coronal loop is in contact with the corona, and hence that the temperature is fixed at $T_0$ (they take $T_0 = 10^6$ K). They find the temperature $T_1$ at the top as a function of the other parameters $T_0, p, h$, and the length $l$ of the half loop. The boundary conditions are completed with $dT/ds = 0$ at the summit, and they assume the loop to be symmetric. One way to find $T_1$ is to integrate the energy equation along the loop; however, the stability analysis is difficult. Instead they discretise the equation with only two temperatures $T_1$ and $T_0$,

$$ h \varrho_1 - \varrho_1^2 Q(T_1) + \frac{2 K_0}{l^2} T_1^{\mu-1} (T_0 - T_1) = 0 \quad (10) $$

as they used Eq. (1').

#### b) Comparison of the equations

For a high temperature $T_1$, we have $T_1 \gg T_2$ and

$$ \varrho_1^2 Q(T_1) \lesssim \varrho_1 h \ll \varrho_2 h \approx \varrho_2^2 Q_2 \quad (4) \text{ becomes} $$

$$ h \varrho_1 - \varrho_1^2 Q(T_1) - \frac{2 K_0 T_1^\mu}{\mu l^2} = 0 \quad (11) $$

$$ h \varrho_2 - \varrho_2^2 Q(T_2) \approx 0 $$

The equation giving $T_1$ is not very different from Eq. (10): for $T_1 \gg T_0$ the only difference is a factor $\mu$ for the conductive term. However, for $T_1 \ll T_0$ our results may not be compared directly with the results of Hood and Priest. The temperature $T_0$ is fixed to $10^6$ K and the conduction term vanishes at this temperature. In particular it is this difference from the present work that permits Hood and Priest to decrease the scale length $l$ to a very small value. Here a short length gives only a hot equilibrium.

- For a low temperature $T_1$, we have $T_1 < T_0$ and the temperature $T_1$ of Hood and Priest becomes a low temperature corresponding to $T_2$ in our analysis. Then we have to compare:

$$ h \varrho_2 - \varrho_2^2 Q(T_2) + \frac{2 K_0}{l^2} T_2^{\mu-1} (T_0 - T_2) = 0 $$

and (11). For this case the formulations are very different.

#### c) Comparisons of the results

#### (i) Hood and Priest results:

Effect of $h$. This is shown using their Fig. 4, by placing a vertical straight line at $\gamma = \text{constant}$. When $h$ decreases the high temperature equilibrium decreases also. However when $h$ is lower than $h_0$ ($h_0 = \varrho_0 X_0 T_0^\mu$ with $T_0 = 10^6$ K), the hot equilibrium can exist only if the conduction is weak ($\gamma$ and $l_p$ large). There is also a value $h_{\text{max}}$ above which there is no cool solution. Crudely there exists an interval [$h_{\text{min}}, h_{\text{max}}$] where the equilibrium hot - low is possible and stable.

Effect of length. The effect of $l$ is complicated by the fact that we have to distinguish, as before, between $h > h_0$ and $h \le h_0$. For $h > h_0$ there is always a hot equilibrium whose temperature decreases when $l$ increases. But for $h < h_0$ the hot equilibrium is not possible for a range of $L$. For a complete description see their Fig. 4.

Effect of pressure. This is shown by their Fig. 1; if $p$ increases too much their is no possible hot equilibrium.

#### (ii) The result of the present discretisation:

Effect of heating. The straight line in Fig. 4 is given by Eq. (5) and there is a maximum possible heating allowing a cool equilibrium given by:

$$ h_{\text{max}} = \varrho Q(T) \quad \text{with} \quad T = 8 \cdot 10^4 \text{ K} $$

There is a minimum possible heating for a given length, when the two curves are tangent, i. e., $h_{\text{min}}(p, l)$ and $h$ is in the interval [$h_{\text{min}}(p, l)$, $h_{\text{max}}(p, l)$].

Effect of length. If the length is decreased there is a critical length below which there is no hot equilibrium. If we decrease the size of the structure, the conduction becomes too large and the hot equilibrium is not possible.

Effect of pressure. If the pressure is too low there is no cool medium (it is equivalent to the limit for too large heating). If the pressure is too large the hot medium cannot exist. This may be seen from Fig. 4a. If we take a periodic equilibrium with temperatures at points A and C and increase the pressure by a factor 10, the straight line $S_1$ goes to $S_2$. The conduction term is decreased by a factor 100. This is equivalent to considering the curve with $l = 10^8$ m, so we see that the equilibrium becomes A' and C'. If the pressure is increased again there is no point C'.

We conclude that in order to have periodic equilibrium we must have

$$ \begin{align*} h \in [h_{\text{min}}, h_{\text{max}}] & \quad \text{with} \quad p = 10^{-2} \text{ Nm}^{-2}: [10^{6.5}, 10^{8.9}] \\ l > l_{\text{min}} & \quad l_{\text{min}} > 10^{5} \text{ m} \\ p \in [p_{\text{min}}, p_{\text{max}}] & \quad p_{\text{min}} \approx 10^{-3} - 10^{-4} \text{ Nm}^{-2} \\ p_{\text{max}} & \approx 1 - 10^{-1} \text{ Nm}^{-2} \end{align*} $$

### 3.3. Orthogonal conduction

As for parallel conduction, we plot the solution of the system (4) as $\log_{10}$ (total cooling) as a function of $\log_{10}(T)$, see Fig. 4b. The parameters are a magnetic field of $10^{-4}$ T and a pressure of $10^{-2}$ Nm$^{-2}$.

The low value of the orthogonal conduction means that we must have a very narrow width to obtain a conduction term
<figure><img src="image_128.png" /><figcaption>Fig. 7. The structure of the basic two-dimensional model. The magnetic field is parallel to the y axis. T₁ and T₂ are respectively hot and cold temperature regions. The scale lengths along x and y axis are respectively l⊥ and l‖ (in general l⊥ ≠ l‖)</figcaption></figure>

greater than the cooling term, and stabilise the system. Typical lengths are given by equating conduction and radiation at T = 10⁶ K, l = 10⁴ m.

Moreover the orthogonal conduction increases only slowly with the high temperature. For T₁ ≫ T₂ the orthogonal term varies as T₁² T₁μ = T₁⁻⁰.⁵ and the stability of the system with this conduction is even more difficult to find.

The analysis which follows for the orthogonal conduction is valid only if the parallel conduction is negligible, so that there is a large parallel scale of:

$$l_{\parallel} \approx 10^8 - 10^9 \text{ m.}$$

Figure 6 shows the heating and the instability rate as functions of the high temperature T₁. There is also a range [hmin, hmax], similar to the parallel conduction case, where the periodic structure is possible. The range of growth time for the instability is of the same order as for parallel conduction, and allows, also, an immediately rapid fluctuation in temperature. The hot medium is stabilized for reasonable temperatures (T < 2 10⁶ K) only for very short lengths of l ≤ 10⁴ m.

If we have turbulent conditions in the prominences, the orthogonal conductivity may be greatly enhanced. If we take an orthogonal conduction a hundred times larger, the length is increased by a factor of ten. On the other hand, the magnetic field there is only about 10⁻⁴ T, and if we take 10⁻³ T, and the same enhanced conductivity, we have the scale length given here.

### 3.4. Two-dimensional model

To investigate the effect of the two types of conduction we construct a two-dimensional periodic model (Fig. 7). The basic

<figure><img src="image_129.png" /><figcaption>Fig. 8. Iso-contours of the heating: the low temperature and the instability rate in a diagram of log₁₀(l‖), log₁₀(l⊥). The hatched region represents a region where there are no cool equilibria possible. The dotted regions, represent a stable periodic structure. The level on the right of the diagram has the same meaning as the curve plotted in Figs. 5-6 (growth rate: -sign(β)/log₁₀(|β|))</figcaption></figure>

equations are given by the discretisation of l in two dimensions. For the static state we then find:

$$\varrho_1 h - \varrho_1^2 Q(T_1) - 2 \frac{F_{\parallel}}{l_{\parallel}} - 2 \frac{F_{\perp}}{l_{\perp}} = 0$$

$$\varrho_2 h - \varrho_2^2 Q(T_2) + 2 \frac{F_{\parallel}}{l_{\parallel}} + 2 \frac{F_{\perp}}{l_{\perp}} = 0$$

The stability of the system is analysed in the same way as before. We assume that the perpendicular length l⊥ remains constant and the equation of conservation of mass gives the variation δl‖ of the parallel length.

The analysis of stability is made for a high temperature T₁ fixed at 10⁶ K. The low temperature, heating and instability rate are contour plotted in Fig. 8 as functions of log l‖, and log l⊥. The hatched region represents a region where the equilibria cannot exist because the heating is too large and there are no cool equilibria. The possible heating rate is in the interval [10⁶.⁵, 10⁸.⁵] as found before. The low temperature is fixed near 10⁴ K because the cooling function has a large slope near this temperature. A stable equilibrium can only exist in the dashed region of the instability-rate diagram. The instability rate is computed in the same way as for the one dimensional model. When the orthogonal conduction is negligible in comparison with parallel conduction, the instability rate is constant we then have a straight line parallel to the log (l‖) axis, and similarly there is a straight line parallel to the log (l⊥) axis when the parallel conductivity is negligible. Hence, the corners of the level curves occur where the parallel conduction is of the same order as the orthogonal. The inverse of the logarithm of the instability rate is written for each level on the right of the diagram. The system is unstable for orthogonal lengths larger than 10³.⁵ m and parallel lengths larger than 10⁷.⁵ m, with a time of instability of typically a few hours.

### 4. Conclusion

We have presented observations of the fine structure of a quiescent filament seen on the solar disc in both intensity and velocity maps. The velocities are of the order of 1 km s⁻¹ and therefore we investigate a static model. The stability of a hot and cool periodic structure has been found by approximating crudely the heat flux. We find that the periodic equilibria are possible only in a certain range of heating and pressure. The typical length has to be larger than a minimum, which is 10⁵ m for parallel conduction and a few meter for orthogonal conduction. If the typical length is too large the hot equilibria are unstable (point B of Fig. 4) or too hot (point C of Fig. 4). If we compare with the scale of observed fine structure i.e., 10⁶ m, the parallel conduction is too efficient to explain these structures, as this scale length is only possible in a narrow range of heating and pressure. On the other hand, the orthogonal conduction seems to be too small; to explain the observational lengths we need a turbulent medium with an orthogonal conduction enhanced by a factor 10⁴ (in a field of 10⁻³ T).

We conclude that the typical width of the fine structure is between typical scale lengths given by the two classical conductivities, and that the two types of conductivity can influence the structure of the observed threads. We also have to remember

that the energy equation is very non-linear and there is a need for a better approximation than a linear expression for the heat flux.

Acknowledgements. The authors thank Dr. E. Tandberg-Hanssen for helpful comments on this paper. They are also grateful to C. Coutard and R. Hellier for the quality of Hα data obtained with the MSDP spectrograph at Meudon. They are also indebted to S. Bordet for typing the manuscript.

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Chapitre C

Formation
des protubérances solaires
<figure><img src="image_130.png" /><figcaption>(b)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_131.png" /></figure>

**Figures 1** : Formation d'une protubérance dans une région active, au voisinage d'une tache solaire.

Des mouvements photosphériques sont observés (représentés par des flèches), ils cisaillent la structure magnétique: (a), et conduisent à l'alignement des fibriles: (b). Une protubérance peut alors se former. De faibles mouvements convergents sont aussi observés (représentés sur les figures 2). La majorité des protubérances actives se forme selon ce scénario. Rompolt et Bogdan (1986).

<figure><img src="image_132.png" /><figcaption>(b)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_133.png" /></figure>

**Figures 2** : Formation d'une protubérance par des mouvements photosphériques parallèles.

L'évolution est similaire à celle décrite par les figures 1, mais avec des mouvements photosphériques parallèles. Le déplaçement est principalement concentré au niveau de la ligne neutre. La formation d'une faible fraction des protubérances s'effectue selon ce processus. Rompolt et Bogdan (1986).
# 1 Revue des modèles

## 1.1 Contraintes observationnelles

Les protubérances quiescentes, de même que celles des régions actives, se forment au-dessus de la ligne neutre séparant deux régions magnétiques de polarité opposée. De 10 à 30 minutes avant la formation d'une protubérance, un arrangement des fibriles est observé dans la chromosphère: elles subissent une rotation et s'alignent sur la ligne neutre photosphérique. Cette configuration est l'indication d'un champ très cisaillé qui persistera après la disparition de la protubérance. Le champ restant alors fortement cisaillé, la reformation est souvent observée: *Martin* (1973). Cela indique clairement qu'une configuration magnétique très particulière est nécessaire à la formation d'une protubérance. Bien que la formation des protubérances quiescentes et celle des protubérances des régions actives soient similaires, des processus physiques différents pourraient être en jeu. Je vais résumer la formation des deux classes de protubérance séparément, en mettant l'accent sur ces différences.

Les filaments des régions actives se forment en quelques dizaines de minutes jusqu'à quelques heures. Des images de haute résolution spatiale montrent que les fibriles coalignées sont en perpétuelle évolution, se formant et disparaissant en quelques minutes: *Martin* (1986). En moyenne, cependant, leur opacité et leur taille croissent dans le temps: ce dernier pourrait indiquer une modification de la configuration magnétique. Le cisaillement du champ, précédant la formation, est réalisé par des mouvements photosphériques. Rompolt et Bogdan (1986) ont observé deux types de mouvements photosphériques: soit anti-parallèles, soit parallèles, de part et d'autre de la ligne neutre: figures 1 et 2. Un faible mouvement convergent (vers la ligne neutre) est aussi observé dans les deux cas. Le premier cas est le plus fréquemment observé, il sera modélisé par une augmentation du cisaillement. Les fibriles denses vues en $H_α$ croissant en longueur lors de la formation, Rompolt et Bogdan interprètent ces observations par une modification de la configuration magnétique et proposent un modèle de reconnexion magnétique pour expliquer ce fait: figure 3. Cette reconnexion pourrait correspondre aux observations de *Martin* (1986). Elle observe, au niveau chromosphérique, la convergence, puis l'assimilation de petits fragments magnétiques de polarité opposée. Ce phénomène commence quelques heures avant la formation du

<figure><img src="image_134.png" /><figcaption>Figure 3 : Evolution possible des lignes de champ lors de la formation des protubérances.</figcaption></figure>

Les mouvements de cisaillement convergents des figures 1 rapprochent les lignes de champ. La reconnexion de lignes de champ voisines forme alors une boucle magnétique de plus grande taille tout en diminuant l'énergie du système. Ce processus est envisagé pour interpréter l'élongation des fibriles froides lors de la formation des protubérances. D'autres interprétations sans reconnexion sont possibles, par exemple dans le modèle de *Priest* où un tube de champ est torsadé: figure 10 du chapitre B. (1989). Rompolt et Bogdan (1986).
filament et est observé durant toute son existence. Cela indique-t-il une modification fondamentale de la structure magnétique nécessaire à la formation du filament, ou seulement une évolution forcée par la modification des couches sous-jacentes de la photosphère? Une autre interprétation, sans reconnexion, est proposée par *Priest et al* (1989): figure 10 du chapitre B; je l'exposerai plus en détail à la fin de cette section: figures 26 et 27.

Les protubérances quiescentes se forment en un laps de temps plus important: de quelques jours à quelques semaines. D'après les observations en $H_α$, les pieds semblent se former d'abord, puis les arches entre les pieds, moins denses, apparaissent. Cependant, l'observation dans la raie $K_3$ du calcium montre un autre aspect: le filament paraît se former dans sa totalité, alors que seuls, les pieds sont visibles en $H_α$: Malherbe (1988)! Cela peut être interprété par des gradients de température ou de densité. Mais il reste à comprendre le mécanisme de la formation des protubérances: débute-t-elle par celle du corps ou par celle des pieds, ou par les deux à la fois? La différence entre ces types de formation est importante car des mécanismes différents pourraient être en jeu (condensation coronale ou injection de matière chromosphérique ?). Dans le premier cas, par exemple, la formation des pieds pourrait stimuler la formation du corps du filament en modifiant la configuration magnétique. De même, on observe que le filament s'étend progressivement le long de la ligne neutre, en formant de nouvelles structures. La modification de la structure magnétique par la matière condensée, et donc l'extension du filament, ne sont pas comprises actuellement.

La formation des protubérances fait appel à un mécanisme permettant de condenser de la matière froide et dense dans la couronne. Si l'on compare le temps de formation de l'ensemble de la structure au temps d'instabilité thermique de la couronne, on trouve une différence significative: quelques jours à quelques semaines pour le premier contre quelques heures pour le second. Cependant, le champ magnétique canalisant la chaleur, le temps d'évolution individuelle de chaque structure fine est plus significatif: il est beaucoup plus faible (de l'ordre de quelques dizaines de minutes). Il reste cependant difficile à interpréter car il correspond au "mixage" de divers phénomènes: condensation, déplacement de la matière, et variation de la fonction d'émission (liés à la modification de la densité, de l'opacité, du taux d'ionisation, et de la température). Il est à noter que l'on observe un temps de l'ordre du temps d'instabilité coronale lors des apparitions brusques. Cela correspond à l'apparition, en $H_α$, d'un filament qui avait été préalablement chauffé,

mais dont la matière existait à des températures coronales: *Mouradian et al* (1980).

Les observations laissent donc beaucoup de liberté pour les processus de formation des protubérances que l'on peut diviser en deux classes. Dans la première, la protubérance se forme par condensation de matière coronale, tandis que, pour la seconde, la masse est apportée de la chromosphère. Les observations montrent de grandes régions coronales de faible densité, appelées trous coronaux, au-dessus des protubérances quiescentes (voir chapitre A). La matière de la protubérance pourrait donc résulter d'une condensation de la matière coronale. Cependant, l'association de trous coronaux aux protubérances n'est pas systématique. Ces trous sont reliés à des configurations de champ magnétique ouvertes, et leur faible densité peut s'expliquer par le vent solaire (lent) qui prend naissance en partie dans ces régions. De plus, si l'on retient les fortes densités mesurées dans les protubérances ($n_e \ge 10^{11} \text{ p.cm}^{-3}$), la matière de la protubérance représente une fraction importante de la couronne (~20%), et la déplétion de masse observée dans le trou coronal n'est pas suffisante pour fournir cette masse. Il a donc été proposé que cette dernière provienne du vaste réservoir chromosphérique. Un tel processus n'a cependant pas encore été observé. La modélisation actuelle de la formation des protubérances comporte donc ces deux aspects: condensation coronale et injection de matière chromosphérique. Ces deux processus pourraient s'appliquer à des filaments de types différents, ou se compléter: par exemple, le processus de condensation coronale pourrait initialiser la formation de la protubérance et déclencherait un siphon (transport de matière de la chromosphère à la couronne) qui apporterait la quantité de matière nécessaire pour former une protubérance dense. Dans la majorité des modèles étudiés, l'instabilité thermique du plasma coronal a un rôle privilégié; je vais résumer les travaux la concernant au paragraphe suivant.

## 1.2 Propriétés de l'instabilité thermique dans un lieu uniforme

### 1.2.1 Généralités

L'instabilité thermique a été étudiée, dans un contexte astrophysique général, par Field (1965). Les principales hypothèses sont celles d'un plasma de
<figure><img src="image_135.png" /><figcaption>Figure 4 : Fonction de rayonnement $L_r(n_e, T)$.</figcaption></figure>

Elle est calculée dans l'hypothèse optiquement mince et s'écrit: $L_r = n_e^2 Q(T)$. La courbe 1 représente les calculs de Mc Whirter et al (1975), la courbe 2 ceux de Raymond et Smith (1977), enfin la courbe 3 donne une interpolation analytique de Rosner et al (1978) pour la fonction $Q(T)$. Ces fonctions donnent une instabilité thermique du plasma pour $T > 8 \cdot 10^4$ K si la conduction est négligeable et le chauffage uniforme en volume $(\text{erg.cm}^{-3} = 10^{-13} \text{Wm}^{-3})$. Rosner et al (1978).

<figure><img src="image_136.png" /><figcaption>Figure 5 : Calculs récents de la fonction de rayonnement.</figcaption></figure>

Cette figure montre la contribution des différents éléments à la fonction de rayonnement avec les abondances déduites de Meyer (1985). Il est à noter que les éléments peu abondants (d'abondance relative < $2 \cdot 10^{-4}$ par rapport à l'hydrogène) sont très importants. Par exemple, la contribution du fer, d'abondance ~ $4 \cdot 10^{-5}$, est déterminante aux températures coronales. L'interpolation de Rosner et al (courbe 3 de la figure 4) est reportée pour comparaison. Ces nouvelles données diminuent le taux de croissance de l'instabilité thermique dans la région de transition, mais augmentent celui-ci dans la couronne d'un facteur inférieur à 10. Cook et al (1989).

dimension infinie, en équilibre, de répartition uniforme en température et en densité, sans champ magnétique ni gravitation. La stabilité de cet équilibre est testée dans l'approximation des petites perturbations (domaine linéaire), en utilisant la décomposition de Fourier. Dans le contexte solaire, l'équilibre thermique initial est réalisé en égalant la fonction de rayonnement $L_r = n_e^2 Q(T)$ au terme de chauffage coronal $E_H$ ($n_e$ représentant la densité électronique et T la température).

La fonction de rayonnement $L_r$ peut être calculée compte-tenu de l'abondance des éléments chimiques solaires et des connaissances de physique atomique, dans le cas optiquement mince: Mc Whirter et al (1975), Raymond et Smith (1977), Rosner et al (1978): figure 4, et plus récemment Cook et al (1989): figure 5. La fonction de chauffage est, en revanche, totalement inconnue dans le cas de la couronne solaire. Le chauffage est probablement de nature magnétique, mais de nombreuses divergences existent quant au mécanisme. Est-ce un chauffage par ondes magnétiques, ou par dissipation ohmique dans des nappes de courant, ou par dissipation visqueuse? Cela fait l'objet de nombreux travaux dont Priest (1988) donne une excellente réponse. Suivant le traitement de Field, on impose simplement que le chauffage équilibre les pertes radiatives à l'équilibre. Ce dernier est ensuite perturbé, et, grâce à la linéarisation des équations de l'hydrodynamique, on peut tester analytiquement la stabilité linéaire du milieu.

L'instabilité du plasma chaud tient en la dépendance en $\rho^2$ de la fonction de rayonnement ainsi qu'en sa décroissance à haute température: la figure 4 représente $\log_{10}(Q(T))$ en fonction de $\log_{10}(T)$ pour un plasma solaire. Lorsque le plasma est légèrement refroidi, sa densité augmente, et la fonction de rayonnement s'accroît, ce qui refroidit encore plus le plasma: une catastrophe thermique apparaît alors, avec une condensation du plasma coronal. La conduction thermique s'oppose à la formation de gradient de température et a donc un effet stabilisant. Cependant, son importance diminue si la longueur caractéristique de la perturbation augmente; la stabilisation du plasma n'a donc lieu qu'au-dessous d'une longueur caractéristique critique $\lambda_c$. Si les conditions aux limites permettent des modes ayant une longueur supérieure à $\lambda_c$, le plasma coronal est instable.

Une description plus quantitative s'impose pour fixer les ordres de grandeur. Les solutions sont développées sur une base dont les éléments sont de la forme $\exp(ikr + Rt)$, où k est le vecteur d'onde et R le taux de croissance. La fonction de rayonnement est donnée par $L_r = n_e^2 Q(T)$,
<figure><img src="image_137.png" /></figure>

<figure><img src="image_138.png" /><figcaption>**Figures 6** : Stabilité thermique d'un milieu uniforme.
Les résultats de l'étude d'un équilibre uniforme sont représentés pour différentes température d'équilibre $T_o$: a: $10^4$ K, b:$10^5$ K, c: $10^{5.5}$ K, d: $10^6$ K. La courbe 1 représente le mode d'instabilité thermique, le taux de croissance R est réel; les courbes 2 et 3 sont des ondes: les courbes en pointillés (respectivement en trait plein) donnent la partie imaginaire de R (respectivement la partie réelle). La solution avec des ondes adiabatiques est donnée par les courbes en "tirets pointés". Le taux de croissance R et la longueur d'onde $\lambda$ sont normalisés avec des grandeurs coronales typiques: $1/tc = 5 \cdot 10^{-5} s^{-1}$ et $L = 10^8$ m. (La région centrale hachurée délimite une modification de la fonction tracée: elle n'est plus $log_{10}(R)$ qui devient infinie pour $R = 0$).</figcaption></figure>

$log_{10}Q(T)$ étant représenté par la figure 4. Le chauffage est modélisé par: $E_H = H \cdot \rho^\delta \cdot T^\beta$, $\delta$ et $\beta$ étant des paramètres, et H étant choisi pour que le chauffage égalise le rayonnement à l'équilibre. Deux temps caractéristiques interviennent dans le problème: le temps d'évolution thermique, noté $t_{th}$, et le temps de réponse dynamique, noté $t_d$. La résolution des équations linéarisées conduit à trois solutions pour le taux de croissance R, k étant fixé. L'une est purement réelle: elle correspond au mode de condensation. Les deux autres sont complexes $R = Re(R) + i \cdot Im(R)$: ce sont des ondes. Ces dernières se propagent presque adiabatiquement, car $t_d/t_{th} \approx 10^{-1}, 10^{-2}$. Les figures 6 donnent l'évolution de $Re(R)$ et $Im(R)$ en fonction de la longueur d'onde ($\lambda = 2\pi/k$) de la perturbation pour différentes températures d'équilibre: $T_o = 10^4, 10^5, 10^{5.5}$ et $10^6$ K. Les variables ont été normalisées à des grandeurs coronales: la longueur d'onde $\lambda$ est normalisée à $10^8$ m et le taux de croissance R à $1/t_{th} \approx 5 \cdot 10^{-5} s^{-1}$. Un milieu de température $T_o = 10^4$ K est stable pour toutes les perturbations; en revanche, pour $T_o \ge 10^5$ K, une instabilité est présente aux grandes longueurs d'ondes. L'instabilité la plus rapide correspond à une température voisine de $10^{5.5}$ K, car la fonction de rayonnement $L_r$ est alors maximum (et instable). Le temps d'instabilité $(1/R)$ à $T_o = 10^{5.5}$ K est de l'ordre de quelques dizaines de secondes, alors qu'il peut atteindre quelques heures à $T = 10^6$ K. Pour un milieu à $T_o = 10^{5.5}$ K, même les solutions 2 et 3 (ondes) sont instables. On peut donc prévoir une région de transition hautement instable si sa taille est supérieure à la taille critique et une instabilité de la région de transition se développera beaucoup plus vite que dans la couronne. Cependant, les longueurs d'onde critiques données par les figures 6 sont faibles ($\lambda_c \approx 3 \cdot 10^5$ m à $T_o = 10^5$ K et $\lambda_c \approx 5 \cdot 10^6$ m à $T_o = 10^{5.5}$ K); une zone de transition étroite peut donc être stabilisée par la conduction thermique. Ce raisonnement est cependant qualitatif, car le gradient de température est important dans la région de transition alors que l'équilibre considéré ici est uniforme. L'instabilité thermique à des températures coronales n'est présente que pour des longueurs d'onde supérieures à $5 \cdot 10^8$ m; les longues boucles seraient donc les plus instables. Cependant, cela n'est qu'une étape dans l'étude de la stabilité thermique: la structure des boucles coronales est non uniforme en température, et la conduction thermique lie la couronne à la chromosphère. L'étude de la stabilité de ces structures non isothermes va fortement modifier ces résultats. L'étude du cas isotherme apporte néanmoins les éléments nécessaires à la compréhension de ces structures plus complexes.
<figure><img src="image_139.png" /></figure>

<figure><img src="image_140.png" /><figcaption>Figures 6c et 6d</figcaption></figure>

En résumé, le mode le plus instable est celui ne faisant pas intervenir d'ondes. Il est presque isobare, et son taux de croissance est donné par la relation simplifiée:

$$ \gamma R P_o = -F_{cond} T_o^\mu k^2 + (-\beta + \delta - \alpha + 2) L_{r0} \quad (1) $$

(Le flux de conduction est proportionnel à $d(T_o^\mu)/ds$, avec $\mu = 3.5$ pour la conduction parallèlement aux lignes de champ (Spicer, 1962) et $\gamma = Cp/Cv$ est le rapport des chaleurs massiques à pression et à volume constant). En l'absence de conduction, il y a instabilité thermique si $\beta - \delta - \alpha + 2 > 0$. Ainsi, le chauffage, comme la fonction de rayonnement, peut conduire à une instabilité. Dans ce cas, la conduction stabilise les longueurs d'onde plus courtes que $\lambda_c$ (avec $k_c = 2\pi/\lambda_c$, $k_c$ étant la valeur de k qui annule le deuxième membre de l'équation (1)). La formation des protubérances par instabilité thermique a été développée par de nombreux auteurs dont les deux paragraphes suivants sont des exemples.

### 1.2.2 Instabilité dans une arcade

Priest et Smith (1979) ont étudié l'instabilité thermique dans une arcade formée par un champ magnétique sans force à deux dimensions. L'équilibre est calculé en imposant la symétrie par rapport au sommet des lignes de champ, et des conditions de type coronal à la base: la densité et la température sont fixées à $n_o = 5 \cdot 10^{14} \text{ p.m}^{-3}$ et $T_o = 10^6 \text{ K}$, pour le plan $z = 0$. La figure 7 montre un exemple d'équilibre avec une région centrale plus froide. Lorsque la densité de base dépasse une valeur critique (de l'ordre de $10^{15} \text{ p.m}^{-3}$), un équilibre chaud n'est plus possible et le plasma se refroidit au sommet des lignes de champ. La pression diminue au sommet des arches magnétiques, ce qui déclenche des mouvements de matière: figure 8. Ceux-ci ont été modélisés par Ribes et Unno (1980). Il est à noter que ce modèle, bien qu'ayant une température non uniforme, réagit comme un milieu uniforme; cela justifie sa description par référence au paragraphe précédent, par opposition au paragraphe sur les boucles, car la modélisation de la zone de transition chromosphère-couronne n'a pas été réalisée. Un accroissement de la longueur ou du cisaillement des lignes de champ magnétique peut aussi déclencher une instabilité thermique. Ce modèle est donc en accord avec les observations et explique la taille finie de la protubérance: à faible hauteur, la conduction thermique stabilise le plasma chaud; à grande hauteur,
<figure><img src="image_141.png" /><figcaption>**Figure 7 :** Isothermes dans une arcade magnétique. Les conditions aux limites à la base sont fixées à des valeurs typiques de la couronne: $T_0 = 10^6$ K et $n_0 = 5·10^8 p.cm^{-3}$. Une région de basse température est présente au centre. Priest et Smith (1979).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_142.png" /><figcaption>**Figure 8 :** Formation d'une protubérance dans une arcade. Lorsque la pression ou le cisaillement augmente, une instabilité thermique a lieu au sommet de l'arcade (la région correspondante est hachurée sur la figure). La pression décroît et un siphon en résulte, apportant de la matière depuis la chromosphère vers la région où l'intabilité thermique se développe. Il en résulte la formation d'une protubérance. Priest et Smith (1979).</figcaption></figure>

la décroissance de la densité diminue fortement la fonction de rayonnement, responsable de l'instabilité. Cependant, les conditions aux limites à la base sont incorrectes: si l'on poursuit le calcul pour $z < 0$, une zone de transition n'est pas trouvée; au contraire, la température croît! On ne peut donc avoir un profil de température réaliste connectant la couronne à la chromosphère. Le lien que tisse la conduction thermique entre la couronne et la chromosphère est ignoré. Cela a non seulement une implication sur l'équilibre, mais aussi sur la stabilité. Nous verrons, au paragraphe sur l'instabilité dans les boucles coronales, que le rôle de la zone de transition est fondamental: on ne peut analyser la stabilité de la couronne sans la relier aux régions plus froides car la conduction thermique répercute toute perturbation coronale dans ces régions.

### 1.2.3 Développement non linéaire de l'instabilité thermique

Le développement non linéaire de l'instabilité thermique, décrit par Field (1965), a été suivi numériquement par Raju (1968) dans un champ uniforme à une dimension, ainsi que par Hildner (1974) pour deux dimensions. Oran et al (1982) ont poursuivi ce travail. La perturbation initiale évolue sur le temps d'instabilité coronale calculé par la théorie linéaire, puis s'accélère rapidement lorsque la température atteinte est de l'ordre de $10^5$ K: figure 9a. Une condensation froide ($T \approx 2·10^4$ K), et dense est formée. Celle-ci est reliée aux régions chaudes voisines par une zone de transition: figure 9b. La région froide étant formée, le système est stabilisé, dans l'approximation à une dimension utilisée ici. Cela démontre la possibilité de former une condensation froide (une protubérance) dans un milieu initial de type coronal, mais en négligeant le lien thermique avec la chromosphère.

### 1.2.4 Instabilité thermique dans un champ magnétique cisaillé

Chiuderi et Van Hoven (1979) ont analysé la stabilité du plasma coronal dans un champ cisaillé. L'instabilité thermique est réalisée dans la région centrale où l'effet stabilisant de la conduction thermique est annulé par des lignes de champ très longues. Van Hoven et Mok (1984) et Van Hoven et al (1986) ont généralisé ces calculs en incluant la conduction perpendiculaire. Van Hoven et al (1987) ont étudié l'évolution de la condensation dans un champ cisaillé sans gravité ni conduction perpendiculaire au champ magnétique. Les
<figure><img src="image_143.png" /><figcaption>Figures 9 : Evolution non linéaire de l'instabilité thermique.</figcaption></figure>

Les figures (a) montrent l'évolution non linéaire d'un milieu coronal initialement uniforme et instable dans l'approximation linéaire des petites perturbations. L'évolution est sensible à la fonction initiale introduite pour démarrer l'évolution. Il se forme cependant toujours une région dense, semblable à une protubérance. La figure (b) montre un profil de température typique de la condensation obtenue. Oran et al (1982).

<figure><img src="image_144.png" /><figcaption>Figures 10 : Instabilité thermique à deux dimensions dans un champ cisaillé.</figcaption></figure>

La figure (a) donne la répartition de température dans l'approximation linéaire de la perturbation, et la figure (b) montre l'équilibre obtenu après l'évolution non linéaire de perturbation. La température minimum (respectivement maximum) vaut alors $6 \cdot 10^{-3}$ Tc (respectivement 1·3 Tc), Tc représentant la température coronale initiale de l'équilibre uniforme. L'abscisse $\xi$ est proportionnelle à $\sinh(x)$, ce qui permet de visualiser les faibles tailles près de $x=0$; la direction du champ magnétique dans le plan de la figure est montrée pour deux positions: $x=0$ et $x = x_M$. La figure (c) montre l'évolution de la température minimum. Le refroidissement catastrophique, puis le nouvel équilibre sont bien visibles. Van Hoven et al (1987).

<figure><img src="image_145.png" /></figure>

résultats sont résumés par les figures 10. Le champ magnétique initial est:

$$B = B_0 [\sech(x/a) e_y + \tanh(x/a) e_z]$$

Cette configuration est formée de lignes de champ rectilignes qui pivotent progressivement autour de l'axe Ox lorsque $x$ varie. Le champ magnétique a une direction opposée pour les deux limites $x \to \infty$ et $x \to -\infty$. Comme dans les travaux cités précédemment, l'instabilité thermique est créée (au voisinage du plan $x=0$) par la grande longueur des lignes de champ. Cela conduit à former une condensation froide à une température $T \approx 10^4$ K. Le champ magnétique freine simplement le processus, car le plasma est supposé "gelé" dans le champ: la diminution de la pression gazeuse au niveau de la condensation ne se traduit qu'en une faible diminution de la pression totale, ce qui retarde l'évolution car la dynamique du phénomène est régie par la pression totale, somme des pressions gazeuse et magnétique.

En conclusion, ces travaux développent l'étude de la stabilité d'un milieu uniforme infini à des configurations avec champ magnétique, en décrivant l'évolution non linéaire de l'instabilité. Elles omettent cependant un point qui me semble essentiel: la connexion, via la conduction thermique, de la couronne à la haute chromosphère.

## 1.3 Propriétés de l'instabilité thermique dans un milieu non uniforme: boucles coronales

### 1.3.1 Equilibre

Le champ magnétique est supposé statique et canalise seulement la chaleur, ce qui permet de réduire le problème à une dimension. De plus, si l'on néglige la variation de la section du tube de champ et la gravité, les équations de l'équilibre se réduisent à:

$$\frac{\partial}{\partial s} (\kappa_0 T^{5/2} \frac{\partial T}{\partial s}) = n_e^2 Q(T) - E_H \quad (2)$$

où, en abrégé: $C = L_r - E_H$

et $P = \text{constante}$.
<figure><img src="image_146.png" /><figcaption>**Figures 11** : Modélisation du profil de température d'une boucle coronale. L'abscisse est linéaire, mais l'ordonnée est logarithmique. La figure (a) montre l'influence du flux thermique $F_B$ à la base de la boucle, les autres paramètres de l'équilibre étant fixés: 1:$F_B$ = 0, 2:$F_B$ = 500, 3:$F_B$ = $10^3$, 4:$F_B$ = $2 \cdot 10^3$ W.m$^{-2}$. (La résolution de la région de transition nécessite une abscisse logarithmique: figure 14). La figure (b) montre la faible influence de l'exposant $\delta$ de la fonction de chauffage sur l'équilibre, la longueur étant fixée ($E_H$ = H.ρ$^\delta$.T$^\beta$). Le paramètre $\beta$ ou la dépendance de H en fonction de la position dans la boucle (s) ont des effets similaires à ceux donnés pour le paramètre $\delta$ sur le profil de température de l'équilibre.</figcaption></figure>

$Q(T)$ est donnée par l'une des courbes des figures 4 et 5, et $E_H$ est paramétrisée par $E_H$ = H.ρ$^\delta$.T$^\beta$. L'échelle caractéristique donnée par l'équation (2) est:

$$L(T) = \left( \frac{k^2 \kappa_0 T^{11/2}}{P^2 \max(Q(T), E_H / n_e^2)} \right)^{1/2}$$

On a les ordres de grandeurs suivants:

$L(T \approx 10^4$ K) $\approx$ 500 m: la conduction est négligeable dans la chromosphère,

$L(T \approx 10^5$ K) $\approx$ 3·10$^5$ m: taille de la zone de transition,

$L(T \approx 10^6$ K) $\approx$ 3·10$^7$ m: taille d'une boucle coronale moyenne.

Une boucle coronale est donc presque entièrement remplie de matière coronale. Les figures 11 donnent des exemples d'intégration de l'équation (2); l'abscisse étant linéaire, la zone de transition n'est pas résolue; une abscisse logarithmique le permet: figure 14. L'équilibre est déterminé par $T_B$, $F_B$ (température et flux de base), P et les fonctions $Q(T)$ et $E_H$. Les observations montrent que le gradient de température diminue près de la région dont la température est voisine de $2 \cdot 10^4$ K. Cette région, appelée "plateau" pour cela, est créée par l'opacité importante du plasma à cette température, dans le continuum de Lyman $\alpha$. Ainsi, de nombreux modèles supposent la boucle isolée: $F_B \approx 0$. D'autres modèles négligent les problèmes de transfert de rayonnement dans la haute chromosphère et utilisent l'équation (2), abusivement, jusqu'à la chromosphère, ce qui conduit encore à la condition $F_B \approx 0$. Pour ces boucles isolées, des relations d'échelles simples existent. On les obtient par intégration de (2), en ne retenant que les effets les plus importants: Rosner et al (1978), Roberts et Frankenthal (1980), Chiuderi et al (1981). On obtient approximativement:

$$H \propto T_M^{-(\gamma+3)} P^2$$

$$L \propto T_M^{(7-2\gamma)/4} H^{-1/2}$$

$$L \propto P^{-1} T_M^{13/4}$$

avec: $\gamma = \beta - \delta$, L = longueur de la boucle, $T_M$ = température maximum.

Ces relations simples sont vraies pour $T_B \le 10^5$ K, $F_B \le 500 W.m^{-2}$. Cependant, les problèmes de transfert de rayonnement invalident l'équation (2) au-dessous d'une température de $3 \cdot 10^4$ K. Une boucle isolée n'a pas alors de sens particulier: si l'importante opacité du gaz fixe la température
<figure><img src="image_147.png" /></figure>

**Figure 12** : Influence de la température et du flux de base ($T_B$ et $F_B$) sur la stabilité des boucles coronales.

Les courbes représentent la stabilité marginale pour deux fonctions de rayonnement Q(T). L'équilibre est stable au-dessus de chaque courbe. Une température de base faible ou un flux important stabilise la région de transition et donc la boucle. Chiuderi et al (1981).

<figure><img src="image_148.png" /></figure>

**Figure 13** : Taux de croissance de l'instabilité en fonction de la température maximum $T_M$. Ces calculs supposent une boucle isolée à la base ($F_B$ = 0) et une température de base faible: $T_B$ ≈ 6·10³ K. La stabilité est obtenue pour une température maximum grande, ou, ce qui est équivalent, une grande longueur. Mok et Van Hoven (1988).

dans une certaine région (à 2·10⁴ K par exemple), cette zone joue le rôle de thermostat et le flux de chaleur n'est pas imposé par cette région, mais par le chauffage apporté à la couronne. Il est donc nécessaire d'étudier des équilibres non isolés à la base avec une température de base $T_B \ge 2·10^4$ K (une discussion plus détaillée est donnée dans l'article A11). La figure 11a montre l'influence du flux de base pour $T_B = 10^4$ K et la figure 11b décrit l'influence de la fonction de chauffage à longueur fixée. L'équilibre est ainsi insensible au paramètre $\delta$. Il en est de même pour le paramètre $\beta$ ou une fonction de chauffage dépendant de l'abscisse. Cela provient du fait que la conduction répartit la chaleur disponible sur toute la boucle, et de la dépendance rapide du coefficient de conductivité thermique avec la température. Une région coronale presque isotherme en contact avec une zone de transition très étroite est ainsi créée. En conclusion, l'équation (2) permet d'interpréter les observations, mais ne donne aucune indication sur la répartition du chauffage coronal. La simplicité, et donc l'universalité, des échelles de longueurs sont aussi leurs défauts: peu de paramètres intèrissent dans l'équilibre (seulement L, $T_M$, P et H), et l'observation du profil de température ne donne que peu d'informations sur les paramètres du milieu. Les conditions de stabilité des boucles peuvent alors apporter de précieuses informations supplémentaires.

### 1.3.2 Stabilité linéaire

C'est un sujet complexe et controversé. Je me contenterai ici d'esquisser le problème, en schématisant et en ne gardant que les faits marquants. Une discussion plus détaillée est faite dans l'article A11 et dans les références citées. La stabilité d'une boucle incluant de la matière coronale et chromosphérique est fondamentalement différente de celle d'un équilibre uniforme. La fonction de rayonnement est très importante dans la région de transition, et l'équilibre est assuré par la conduction thermique ($L_r \approx C$) et non par le chauffage (dans le milieu uniforme, au contraire, on a: ($L_r \approx E_H$)). La couronne, en revanche, est en équilibre entre le chauffage et la conduction ($E_H \approx C$). Donc, contrairement au milieu uniforme, la conduction thermique est, par construction, de l'ordre de grandeur des fonctions de rayonnement et de chauffage. Une boucle est alors, en général, près de la stabilité marginale. De plus, la fonction de rayonnement étant importante et fortement instable dans la région de transition, la stabilité sera affectée non seulement par les paramètres de la couronne mais aussi par les paramètres décrivant le profil de
<figure><img src="image_149.png" /><figcaption>Figure 14 : Profil de la température d'équilibre ($T_0$) et de la perturbation ($T_1$) pour une boucle isolée ($F_B = 0$).</figcaption></figure>

La perturbation est concentrée dans la région de transition. La température de base $T_B$ est très basse dans cet exemple, mais des résultats similaires sont obtenus pour $T_B < 10^5$ K. Mok et Van Hoven (1988).

<figure><img src="image_150.png" /><figcaption>Figure 15a : Fonctions propres d'une boucle coronale couplée à la chromosphère.</figcaption></figure>

La pression et flux de masse de la perturbation sont représentés pour deux conditions aux limites à la base: le profil en trait continu représente le cas où la perturbation de vitesse et de température s'annule, alors que le profil en traits pointillés représente le cas où la perturbation de pression et de température s'annule. Les deux solutions sont identiques sauf dans la partie inférieure de la chromosphère. Antiochos et al (1985).

température de la région de transition, $T_B$ et $F_B$ par exemple. Pour étudier la stabilité de la boucle, des conditions aux limites, modélisant la réaction de la région adjacente à la boucle doivent être fixées à la base. Mais, comme la réaction des couches supérieures de la chromosphère est inconnue, de multiples conditions aux limites sont possibles! Ces différents points impliquent qu'un grand nombre de paramètres influence la stabilité d'une boucle. Beaucoup d'entre eux n'étant pas fixés par les observations, la comparaison entre les travaux de différents auteurs est donc difficile; ce qui permet d'expliquer, en partie, les controverses existant dans ce domaine.

En se limitant à des boucles de section constante, sans gravité, et isolées ($F_B = 0$), Antiochos (1979), Hood et Priest (1980), concluent que les boucles thermiquement isolées sont instables. Cependant, Chiuderi et al (1981) montrent qu'elles peuvent être stabilisées par une diminution de la température de base $T_B$ et (ou) par un accroissement du flux de base $F_B$: figure 12. Mok et Van Hoven (1988) donnent aussi des conditions permettant de stabiliser les boucles coronales. Cela est réalisé en augmentant sa température maximum $T_M$ (ou sa longueur L): figure 13. Ce résultat, en accord avec les observations, montre clairement la différence avec le milieu uniforme: une augmentation de longueur déstabiliserait un milieu uniforme. Il est à noter que ces résultats sont obtenus dans des conditions différentes de celles de Chiuderi et al: en particulier, la température de base est très faible (≈ $6 \cdot 10^3$ K). Dans les cas instables, l'ordre de grandeur du temps d'instabilité trouvé, comparable au temps d'instabilité thermique de la couronne, ne doit cependant par prêter à confusion: l'instabilité est concentrée dans la région de transition: figure 14. Cette localisation provient de la grande importance de la fonction de rayonnement à ces températures. Ce n'est donc pas une instabilité de la couronne qui est stable si la fonction de chauffage n'est pas trop instable (ce qui serait le cas si $\delta \ll -1$ ou $\beta \gg +1$). Je ne discuterai pas plus amplement de l'effet des divers paramètres si ce n'est du problème du choix des conditions aux limites, qui mérite une attention particulière. Celles-ci sont fixées à la base et au sommet de la boucle. La symétrie supposée de l'équilibre permet de fixer simplement les conditions aux limites au sommet: les modes sont symétriques ou antisymétriques par rapport au sommet de la boucle. De plus, Chiuderi et al (1981) ont montré que le premier mode symétrique en température est le plus instable pour une perturbation isobare. Nous avons généralisé ce résultat, dans l'article A11, à l'ensemble des perturbations. La condition à la limite haute est donc sans équivoque. Il n'en va
<figure><img src="image_151.png" /></figure>

**Figure 15b** : Fonctions propres d'une boucle coronale couplée à la chromosphère.

Le type du tracé représente les mêmes hypothèses que celles données à la figure 15a. L'influence de la température de base ($T_B$) sur le taux de croissane est faible; en revanche, l'épaisseur de la chromosphère est déterminante pour le cas où la vitesse est prise nulle à la base (pointillés). La convergence de ces résultats avec ceux où la perturbation de pression et de température s'annule à la base, ne s'effectue que pour une chromosphère très épaisse. ($L_c$ = longueur de la partie coronale, $L$ = longueur de la boucle, donc $L-L_c$ = longueur de la chromosphère). Antiochos et al (1985).

<figure><img src="image_152.png" /></figure>

**Figures 16** : Modèle d'ancrage des boucles dans la chromosphère.

(a) représente un tube qui s'ouvre dans la chromosphère,

(b) est un tube fermé.

Ces deux modèles conduisent à une vitesse de la perturbation qui doit s'annuler au sommet de la chromosphère. Craig et Mc Claymond (1987).

pas de même à la base: à quelle température doit-on fixer les conditions aux limites et comment réagissent les couches inférieures à une perturbation de la boucle? On pourrait penser que la chromosphère joue le rôle d'un thermostat et d'un réservoir de masse, et donc que les perturbations de température et de densité doivent s'annuler dans la chromosphère. Cependant, il en serait alors de même pour toutes les autres grandeurs de la perturbation: lorsque l'on s'enfonce dans la chromosphère, la densité croît de plusieurs ordres de grandeur, et la perturbation de la boucle, comparativement peu dense, ne peut pénétrer dans ces régions. Si l'on modélise la chromosphère, le choix des conditions aux limites à la base n'est pas important. Cependant, la chromosphère est un milieu complexe dont la modélisation n'a pas encore été effectuée. On cherche donc en général à placer les conditions aux limites au sommet de celle-ci. Antiochos et al (1985) et Mc Clymont et al (1985) ont tenté de donner une réponse à ce problème en modélisant très simplement la chromosphère; mais leurs travaux conduisent à des résultats différents! Antiochos et al imposent à la fonction de chauffage de converger vers la fonction de rayonnement pour simuler une température constante (à $T \approx 10^4$ K), donc une région chromosphérique. Le calcul numérique montre que les conditions à la base de ce modèle de cette "chromosphère" n'ont aucune influence si cette dernière est assez épaisse (figure 15a), que ces résultats sont retrouvés si l'épaisseur est faible, mais que la température et la densité sont fixées à la base: figure 15b. On retrouve ainsi la description intuitive du réservoir de masse et du thermostat, évoquée plus haut, pour modéliser la chromosphère. Cependant, Mc Clymont et al (1985) et Craig et al (1987) opposent à ces résultats des arguments analytiques. Ils modélisent de deux façons le prolongement de la boucle magnétique dans la chromosphère: figures 16. La première correspond à un tube de champ ouvert, alors que la deuxième est composée d'un tube de champ fermé sur lui-même. Ils montrent alors que la vitesse de la perturbation doit s'annuler au sommet de la chromosphère pour ces deux modèles simples. Cela résulte, dans leur analyse, de la faible échelle de hauteur gravitationnelle de la chromosphère et de sa stabilté thermique. Ces résultats contradictoires montrent clairement qu'une modélisation de la chromosphère très sommaire n'est pas suffisante pour étudier les problèmes de stabilité. La réponse de la chromosphère à la perturbation thermique de la boucle nécessite la résolution du transfert de rayonnement qui est la principale source de transport d'énergie. Cet effet de la chromosphère sur la stabilité de la boucle est important si l'instabilité est localisée dans la région de transition; cela a été l'objet des nombreux travaux cités précédemment.
<figure><img src="image_153.png" /></figure>

<figure><img src="image_154.png" /></figure>

<figure><img src="image_155.png" /><figcaption>**Figures 17** : Développement de l'instabilité de la zone de transition.
(a): Equilibre initial. La chromosphère isotherme occupe une partie importante de la boucle, elle n'est pas entièrement représentée.
(b): Evolution temporelle de la température. L'instabilité de la région de transition détruit la région chaude. L'état final est un équilibre isotherme.
(c): Evolution des paramètres du sommet de la boucle. La condensation est presque isobare, bien que rapide (1/2 heure).
Poland et al (1986).</figcaption></figure>
Condensation
from Corona

Chromospheric Injection

Ballistic

Evaporative

<figure><img src="image_156.png" /></figure>

<figure><img src="image_157.png" /></figure>

<figure><img src="image_158.png" /></figure>

**Figures 18** : Schématisation de la formation des protubérances.
En (a), la condensation s'effectue depuis la couronne, alors que, dans les schémas (b) et (c), la matière est apportée depuis la chromosphère: (b) représente un processus balistique où la matière est injectée avec une vitesse importante à la base, alors que, dans le schéma (c), la matière de la chromosphère est évaporée puis condensée dans la couronne. Forbes (1986).

<figure><img src="image_159.png" /></figure>

**Figures 19** : Formation d'une nappe de courant par ouverture des lignes de champ magnétique.
Lors d'une phase d'activité, les lignes de champ magnétique pourraient être ouvertes par une instabilité magnétique. La formation d'une protubérance peut alors avoir lieu dans la nappe de courant où la reconnexion magnétique est couplée à l'instabilité thermique. Kuperus et Tandberg-Hanssen (1967).

Cependant, on verra dans l'article A11 qu'une telle modélisation n'est pas nécessaire pour étudier la stabilité linéaire de la boucle lorsque la couronne est instable car la perturbation est négligeable dans la région de transition.

### 1.3.3 Stabilité non linéaire

Poland et al (1986) ont étudié le développement non linéaire de l'instabilité thermique dans une boucle. L'état initial est représenté par la figure 17a. La chromosphère est simulée très simplement: la température est maintenue constante et uniforme pendant tout le calcul. Aucune résolution du difficile problème concernant le transfert de rayonnement n'a été faite. Cette boucle, de faible longueur, est linéairement instable, et le développement non linéaire de l'instabilité est montré par la figure 17b. L'instabilité de la région de transition conduit au refroidissement de la boucle dans son ensemble, et l'état d'équilibre final est isotherme. La figure 17c donne l'évolution des paramètres du plasma en haut de la boucle: le temps d'évolution diminue rapidement dès que la température s'abaisse en dessous de $10^{5.5}$ K et la condensation est presque isobare. Cette analyse a été faite pour différents types de boucles. Poland et al concluent que les grandes boucles (de hauteur supérieure à 5 $10^6$ m) sont stables: même lorsque ces boucles sont soumises à de grandes perturbations, l'état initial est retrouvé après dissipation de la perturbation. Cela est en accord avec les résultats de l'étude linéaire exposée au paragraphe précédent. En revanche, les boucles courtes sont instables, et constituent, dans leur état d'équilibre stable, une extension isotherme de la chromosphère. Cela est la première étape d'une étude qui s'avère longue et difficile: les difficultés rencontrées lors de l'analyse linéaire de la stabilité sont toujours présentes!

## 1.4 Modèles de formation

### 1.4.1 Généralités

La formation des protubérances solaires fait intervenir des processus physiques encore mal connus: l'instabilité thermique, le chauffage coronal, la reconnexion magnétique et l'éjection de matière froide de la chromosphère (spicules). Pour simplifier le problème, on le sépare souvent en deux parties: un aspect thermique et un aspect purement magnétique. Le premier concerne l'aspect énergétique du plasma dans un champ statique alors que le deuxième
<figure><img src="image_160.png" /></figure>

**Figures 20** : Formation d'une protubérance dans une nappe dé courant. La figure (a) schématise la configuration. La région interne (indice 2) est sans champ magnétique, alors que la région externe (indice 1) possède un champ uniforme de direction opposée de chaque côté de la nappe de courant. Une condensation se développe dans la région interne si la conduction thermique, parallèlement au champ magnétique, est suffisamment réduite donc si $L > L_{max}$. La figure (b) donne l'évolution de la température $T_2$ de la région interne pour $L = L_{max} (1 + \epsilon)$, en fonction du temps. Smith et Priest (1977).

<figure><img src="image_161.png" /></figure>

**Figures 21** : Schéma de reconnexion magnétique. La configuration initiale avec une nappe de courant est donnée par la figure (a) et l'évolution du champ magnétique par les figures (b), (c) et (d). La région où diffuse le champ magnétique est schématisée en pointillés en (c). Elle nécessite des échelles spatiales faibles. Les lignes de champ sont alors rompues dans cette région; il en résulte une nouvelle topologie (d), avec accélération du plasma vers le haut et le bas de la figure (représenté par les flèches).

concerne la recherche des configurations magnétiques pouvant supporter de la matière dense. Dans cette partie, on discutera d'abord l'aspect thermique (paragraphes 1.4.2 et 1.4.3), puis l'aspect magnétique (paragraphe 1.4.4). Les processus énergétiques se classent habituellement en deux catégories: ceux formant la protubérance à partir de la condensation de matière coronale (figure 18a), et ceux apportant cette matière de la chromosphère (figures 18b et 18c). Parmi ces derniers, on distingue ceux injectant dynamiquement la matière chromosphérique à la base (figure 18b), de ceux qui l'évaporent (figure 18c). Cependant, ces distinctions peuvent se révéler trop rigides: selon les modèles, un (ou plusieurs) aspect(s) de cette classification est(sont) utilisé(s).

### 1.4.2 Formation des protubérances à partir de matière coronale

Une condensation peut se former si le plasma coronal est instable et si la configuration magnétique permet de retenir la matière (figure 18a par exemple). L'instabilité est réalisée en diminuant l'effet stabilisant de la conduction thermique: Van Hoven et al (1986) ont réalisé cela dans un champ fortement cisaillé (paragraphe 1.2.4). La couronne étant peu dense, par rapport à une protubérance (facteur 100), cela ne peut cependant pas conduire à la formation de grandes protubérances quiescentes denses ($n_e \ge 10^{11} \text{ p.cm}^{-3}$), mais peut expliquer l'existence de protubérances peu denses de densité de l'ordre de $10^{10} \text{ p.cm}^{-3}$, ou de petites tailles. Kuperus et Raadu (1967) ont suggéré la possibilité de formation d'une protubérance dans une nappe de courant verticale. Celle-ci pourrait être créée par l'ouverture des lignes de champ lors d'une phase d'activité: figures 19, (filaments de régions actives) ou entre deux régions bipolaires qui s'approchent l'une de l'autre (filaments quiescents), ou par un fort cisaillement d'une région bipolaire: Aly et Amari (1988). Smith et Priest (1977) ont modélisé, aux ordres de grandeurs, la condensation dans une nappe de courant: figure 20a. Une condensation apparaît lorsque la longueur de la nappe L excède une valeur critique $L_{max}$. L'évolution temporelle de l'instabilité a alors été suivie en résolvant le système d'équations différentielles, et en estimant simplement l'ordre de grandeur des dérivées spatiales. La figure 20b montre l'évolution de la température centrale de la nappe de courant en fonction du temps pour $L = L_{max} (1 + \epsilon)$. Une condensation rapide, mais pratiquement isobare, est obtenue dans chaque cas. Le champ magnétique isole latéralement la région de condensation de la couronne, et maintient une importante pression, ce qui favorise le rayon-
<figure><img src="image_162.png" /><figcaption>**Figures 22** : Formation des protubérances dans une nappe de courant.
La figure (a) donne l'évolution des lignes de champ magnétique. L'ancrage des lignes de champ dans la photosphère dissymétrise la reconnexion des lignes de champ (à comparer aux figures 21). Des lignes de champ fermées sont formées à basse altitude. Celles-ci sont déformées par le choc super magnétosonique, et donnent lieu à la formation d'un trou dans les lignes de champ, où la matière dense produite par le choc peut s'accumuler. Il y a formation d'une configuration Normale. A plus haute altitude, des plasmoïdes sont créés dans la nappe de courant, puis éjectés vers le haut: figure (b). L'addition de la gravité pourrait stabiliser cette matière froide formée dans la nappe de courant, une protubérance de configuration Inverse en résulterait.
*Malherbe et Forbes (1987).*</figcaption></figure>

nement, donc le refroidissement du milieu. Ces travaux ont été poursuivis par Van Hoven et al (1984) et Steinolfson (1983) qui ont étudié l'interaction entre l'instabilité thermique et l'instabilité résistive du champ magnétique dans une nappe de courant ("tearing mode"). Si le plasma est thermiquement instable, il apparaît un mode d'instabilité qui évolue sur un temps radiatif et qui produit un fort taux de reconnexion du champ magnétique. Tachi et al (1985) ont généralisé ces résultats en incluant une viscosité finie. Van Hoven et Mok (1984) et Van Hoven et al (1986) ont incorporé l'effet de la conduction orthogonale au champ magnétique. Cela conduit à de nouveaux modes d'instabilité avec de faibles échelles spatiales qui pourraient être responsables de la structure fine des protubérances. Ces travaux généralisent l'analyse initiale de Field, mais nécessitent encore de nombreuses hypothèses car l'étude est analytique; de plus, une analyse non linéaire des modes instables est nécessaire pour prouver que l'instabilité produit effectivement une condensation froide.

Récemment, Forbes et Malherbe (1986) et Malherbe (1988) ont présenté une série de calculs résolvant numériquement ce problème. Ces phénomènes couplent l'instabilité thermique à la reconnexion magnétique, à la limite entre deux régions de champ magnétique opposé. Un schéma, simplifié, de reconnexion magnétique est donné par les figures 21. Divers théories ont été proposées: Sweet (1958), Parker (1963), Petschek (1964), et Sonnerup (1970). Elles décrivent différents régimes allant d'une reconnexion lente, relativement à la vitesse d'Alfven: $V/V_A \sim 10^{-4}$, à une reconnexion très rapide: $V/V_A \sim 1$. Ces différentes analyses correspondent à des conditions aux limites différentes que Priest et Forbes (1986) ont unifié et je renvoie aux références citées, pour la description de ce phénomène complexe.

Malherbe (1986) et Malherbe et Forbes (1987) ont résolu numériquement le problème de l'évolution d'une nappe de courant soumise à l'instabilité résistive et radiative, dans une configuration simple à deux dimensions: figures 22. La configuration initiale est en équilibre thermique mais pas mécanique; le champ magnétique est vertical, avec une direction opposée de part et d'autre de la nappe de courant; la température et la pression sont uniformes, de type coronal. Les lignes de champ sont fixées dans la chromosphère ($z=0$) et des conditions flottantes sont données sur les autres bords de la boîte permettant l'entrée (ou la sortie) de champ magnétique ou de matière. La gravité et la conduction thermique ne sont pas incluses dans le calcul. Des configurations Inverses comme Normales peuvent être formées dans une telle structure magnétique. Les figures 22a montrent l'évolution
<figure><img src="image_163.png" /></figure>

<figure><img src="image_164.png" /><figcaption>**Figures 23** : Formation d'une protubérance par évaporation de la chromosphère.</figcaption></figure>

La courbe (1) représente l'équilibre initial, et la courbe (2) l'équilibre obtenu après 1 heure en réduisant le chauffage de 1%. Une condensation froide mais de très faible densité est formée. Il est ensuite nécessaire de chauffer la chromosphère pour apporter de la matière à la protubérance. Le chauffage doit être faible au début pour ne pas détruire la condensation, courbe 3, puis il peut être augmenté (de l'ordre de 50% du chauffage initial) pour accélérer le processus de formation lorsque la masse de la condensation s'est accrue. Une protubérance est formée en quelques heures par ce dernier processus (courbe 4), alors que l'ensemble de la formation dure environ 1 jour. Poland et al (1986).

obtenue à faible valeur du paramètre $\beta$ du plasma (~ 0·1). Les lignes de champ reconnectées se referment pour donner des boucles de basse altitude. Comme le $\beta$ du plasma est faible, l'accélération des lignes de champ est importante, ce qui forme des jets supersoniques verticaux. Le jet dirigé vers le bas est arrêté par les lignes de champ déjà reconnectées; un choc se forme, ce qui augmente la densité de la matière. La perte radiative s'accroît, et le plasma se refroidit, puis se condense dans le creux des lignes de champ magnétique créé par le choc: une protubérance de type Normal est formée. A plus haute altitude, une protubérance de type Inverse peut être créée par un mécanisme analogue à celui décrit par Kuperus et Raadu (1974). La figure 22b donne le résultat final du calcul. La condensation dans une configuration Normale est présente à la base de la nappe de courant. Des îlots de champ magnétique sont formés dans la nappe de courant avec une condensation de la matière. Ces îlots sont éjectés à grande altitude par le processus de reconnexion, mais pouraient être stabilisés par une force de gravité. Ces calculs montrent une formation dynamique des protubérances qui conduit naturellement à des configurations Inverses de grande hauteur (protubérances quiescentes de la couronne polaire) et à des configurations de taille plus modeste dans une configuration Normale (protubérances quiescentes de basse latitude). Cependant, la conduction thermique n'étant pas incorporée, cela sous-estime la difficulté de déstabiliser le plasma coronal qui est en contact thermique avec la chromosphère.

### 1.4.3 Formation des protubérances à partir de matière chromosphérique

L'une des principales difficultés des modèles du paragraphe précédent est le manque de masse disponible dans la couronne. Avec des densités de l'ordre de $10^{11} \text{ p.cm}^{-3}$, seules quelques grandes protubérances quiescentes suffiraient à vider la couronne de toute la masse et il est alors nécessaire d'apporter la matière depuis la chromosphère. Ribes et Unno (1980) ont décrit en détail un mécanisme de siphon stationnaire permettant de pomper la matière dans la chromosphère (sans incorporer cependant d'équations d'énergie). Pickel'ner (1971) et Uchida (1980) ont étudié principalement les effets thermiques d'un tel siphon. Mais comment former un tel déplacement de matière? Une instabilité thermique est un bon candidat: la dépression formée au sommet de la boucle permet d'aspirer la matière le long des lignes de champ, mais elle n'a pas encore été testée dans son évolution non linéaire. Une autre voie
<figure><img src="image_165.png" /><figcaption>Figures 24 : Mécanismes d'injection pour la formation des protubérances.</figcaption></figure>

(a) Injection dissymétrique, $v \approx 20 \text{ km.s}^{-1}$

(b) Injection symétrique, $v \approx 3.5 \text{ km.s}^{-1}$

Dans chaque cas, le modèle prédit un intervalle de variation faible pour la vitesse d'injection et pour l'intensité du champ magnétique pour qu'une protubérance puisse se former. Le $\beta$ du plasma injecté doit être voisin de l'unité: un plasma plus dense ne peut être supporté par le champ et un plasma moins dense ne peut déformer le champ magnétique pour créer un creux au sommet de l'arcade, ce qui est nécessaire pour la stabilité gravitationnelle du plasma dense. An et al (1986).

est d'évaperer une partie de la chromosphère par le chauffage et de condenser cette matière en haut de la boucle.

Cette approche a été calculée par Poland et al (1986), dont la courbe 1 de la figure 23a représente l'état initial. En réduisant de 1% le chauffage coronal, une condensation froide est formée au sommet de la boucle; mais celle-là est de faible densité: elle reste typique de la densité coronale (courbe 2 de la figure 23a). Poland et al ont alors chauffé légèrement la chromosphère, ce qui a permis d'augmenter la densité de la protubérance: figure 23b, courbe 3. Arrivée à ce stade, la condensation froide est très stable et le chauffage peut être augmenté pour accélérer le processus, ce qui donne en 5 heures une densité accrue d'un facteur supérieur à 10, soit une densité typique des protubérances quiescentes: courbe 4. Ces calculs montrent que la formation d'une protubérance est difficile: un processus à plusieurs étapes est nécessaire si l'on n'injecte pas de la matière à la base de la boucle. La formation s'effectue en 1 jour environ. Le processus le plus long est le passage des courbes 2 à 3 qui s'effectue en 21 heures. L'apport de matière ne peut alors se faire que lentement, grâce à un faible chauffage, sous peine de détruire la protubérance. Une fois la condensation dense formée, courbe 4, une grande augmentation du chauffage est nécessaire pour détruire la protubérance. Cela est en accord avec les résultats de Malherbe et Forbes (1986).

Un processus de formation différent a été étudié numériquement par An et al (1986). De la matière froide, de type chromosphérique, est injectée à la base d'une arcade magnétique. Cette injection pourrait être due à des jets de matière froide, tels que les spicules, qui ont une vitesse ascendante de quelques dizaines de $\text{km.s}^{-1}$, ou par l'évaporation de matière chromosphérique: $v \approx$ quelques $\text{km.s}^{-1}$. L'état initial est un plasma coronal isotherme dans une arcade de champ magnétique potentiel. Les équations de la magnéto-hydrodynamique sont résolues numériquement à deux dimensions, en négligeant les pertes radiatives, la conduction thermique et le chauffage coronal. Deux types d'injection de matière ont été testés: la première a lieu seulement dans l'un des pieds de l'arcade (figure 24a), alors que la deuxième consiste en une injection symétrique: figure 24b. An et al, proposent que ces deux types d'injection correspondent respectivement à la formation de filaments de plage et de filaments quiescents. Pour ces deux modèles, la matière froide injectée ne peut être stabilisée au sommet de l'arcade que pour des intervalles restreints de densité, de vitesse du plasma injecté et d'intensité du champ magnétique. Dans l'injection non symétrique,
le plasma doit, de plus, arriver avec une vitesse faible au sommet de l'arcade. Dans les deux cas, la matière injectée doit être suffisamment dense pour pouvoir déformer les lignes de champ. Dans ces conditions, un creux est formé, et la matière dense peut être stabilisée au sommet de l'arcade magnétique. Cependant, la matière ne doit pas être trop dense, sinon le champ magnétique ne peut la soutenir. Cela conduit à une condition importante pour que la formation d'une protubérance puisse avoir lieu: le $β$ du plasma injecté doit être de l'ordre de l'unité. Les figures 24a et 24b donnent deux exemples avec respectivement $β = 1$ et $β = 0.5$. Dans ce modèle de formation, l'intensité du champ magnétique est donc un paramètre fondamental. Cela est en partie en contradiction avec les mesures de champ magnétique dans les protubérances, qui montrent une dispersion bien marquée: Leroy (1988). De plus, la hauteur à laquelle se produit la formation dans le modèle est faible ($1-2 \text{ Mm}$) comparée à la hauteur réelle des protubérances ($10-50 \text{ Mm}$). Cette limite peut s'interpréter simplement en négligeant toute dissipation et en utilisant la conservation de l'énergie dans un tir balistique. La hauteur maximale atteinte est: $h = v^2/2g \approx 1 \text{ Mm}$ pour $v = 20 \text{ km.s}^{-1}$. La formation de protubérances de grandes tailles nécessite alors des vitesses supersoniques !

Le modèle de formation décrit précédemment doit être complété si l'on veut avoir une modélisation plus réaliste de la formation des protubérances. An et al (1987) ont étudié l'influence des mouvements photosphériques, alors que Wu et al (1987) ont introduit le rayonnement du plasma et la conduction thermique dans le modèle précédent. Les résultats des calculs de An et al (1987) sont surprenants: ils montrent que des mouvements photosphériques de cisaillement (même rapides: $v \approx 5 \text{ km.s}^{-1}$), ou des mouvements convergents, ne sont pas favorables à la formation des protubérances. Le trou au sommet des lignes de champ est formé plus rapidement avec ces mouvements photosphériques, mais la condensation de plasma réalisée est moins massive. Cela ne permet pas d'interpréter les observations de Rompolt et Bogdan (1986) décrites au début de ce chapitre. D'autre part, Wu et al (1987) généralisent les conclusions de An et al (1986) ($β \approx 1, v_{injection}$ doit être voisin de la vitesse optimale), à un plasma coronal dont la thermodynamique n'est pas négligée. Ils montrent que la conduction thermique et surtout la fonction de rayonnement du plasma, sont des processus fondamentaux pour la formation d'une protubérance. Ceux-là ayant été négligés dans les travaux de An et al (1987), l'effet des mouvements photosphériques devra être reconsidéré en incorporant ces effets. En particulier, l'accroissement du cisaillement du champ magnétique conduit à l'augmentation de la longueur

<figure><img src="image_166.png" /><figcaption>Figures 25 : Evolution d'une arcade sous l'effet du cisaillement photosphérique.</figcaption></figure>

Le cisaillement de l'arcade produit la montée des lignes de champ, figure 25a, et une instabilité résistive, localisée près de la base, permet la reconnexion des lignes de champ: figures 25b et 25c. Les lignes de champ en hélices, ainsi formées, peuvent piéger une condensation du milieu coronal pour former une protubérance. Pneumann (1983)
des lignes de champ, ce qui modifie la conduction thermique, donc l'équilibre énergétique du plasma.

Dans les travaux présentés dans cette thèse, une approche différente du problème a été faite. Les mouvements photosphériques observés ayant une vitesse faible (comparée aux vitesses sonore et d'Alfven), une évolution quasi-statique du champ magnétique est envisagée. La formation d'une protubérance débute avec peu de matière, qui ne peut donc pas déformer, grâce à la force de gravité, le champ magnétique de façon sensible. Le champ magnétique ne pourra donc retenir le plasma dense que si les lignes de champ sont préalablement localement incurvées vers le haut. Il apparaît donc nécessaire de rechercher de telles configurations magnétiques, sans protubérance, mais avec des courants électriques suffisamment intenses pour créer cette inversion locale de la concavité des lignes de champ.

## 1.5 Structure du champ magnétique lors de la formation

Les travaux d'An et al (1986, 1987) et Wu et al (1986) ont montré que l'injection de plasma dense à la base d'une arcade magnétique, ne peut donner lieu à la formation d'une protubérance que si le $β$ du plasma injecté est de l'ordre de l'unité. Le plasma doit être suffisamment dense pour pouvoir créer un creux au sommet des lignes de champ, mais il ne peut pas l'être trop, sinon le champ ne peut le soutenir. Ce résultat se généralise à tous les mécanismes d'apport de matière froide au sommet des arches magnétiques: la matière de la protubérance doit être apportée très rapidement pour pouvoir déformer les lignes de champ. Cela est contraire aux observations, qui montrent des temps de formation de quelques heures, alors que le temps de chute libre d'une hauteur de 30 Mm est seulement d'environ 500 s. La matière froide ne peut être retenue au sommet des arches que si les lignes présentent initialement un creux. Pneumann (1983) a proposé une évolution permettant de former une telle configuration: figure 25. Une arcade est fortement cisaillée et conduit a la formation d'une structure en hélice qui peut retenir de la matière froide. Cependant, une telle évolution n'a pas actuellement été confirmée par des simulations numériques. L'évolution d'une arcade cisaillée, calculée numériquement est toute autre, en l'absence de résistivité anormale: figures 11, 12 et 13 du chapitre D. La recherche systématique de configurations magnétiques avec creux n'a débuté que récemment: on peut en fixer le

<figure><img src="image_167.png" /></figure>

<figure><img src="image_168.png" /></figure>

<figure><img src="image_169.png" /></figure>

<figure><img src="image_170.png" /></figure>

<figure><img src="image_171.png" /></figure>

<figure><img src="image_172.png" /><figcaption>Figures 26 : Schématisation de l'évolution d'un tube de flux sous l'action du cisaillement et de la torsion photosphérique.</figcaption></figure>

(a) tube de flux cisaillé sans torsion.

(b) tube de flux dont la torsion permet de former un creux pour seulement une ligne de champ: $Φ = Φ_c$.

(c) tube de flux dont la torsion $Φ$ est supérieure à $Φ_c$.
Priest et al (1989).
départ au colloque de Majorque, organisé par J.L. Ballester et E.R. Priest à
Palma de Majorque (1987).

Priest et al (1989) ont développé un modèle de tube de flux torsadé: figures 26. La torsion, créée par des mouvements photosphériques, permet de créer une zone de creux au sommet du tube de champ, si la torsion excède une valeur critique Φcrit. Les figures 26(b et c) représentent respectivement une configuration pour des torsions Φ = Φcrit et Φ > Φcrit. La rotation différentielle et la force de Coriolis sont deux mécanismes permettant d'effectuer cette torsion: le temps nécessaire pour réaliser une torsion d'un tour est de l'ordre de 150 jours pour le premier mécanisme, et seulement de 30 jours pour le deuxième. L'effet du cisaillement du tube de champ n'a pas été retenu dans cette première approche du modèle du tube torsadé; cela permet d'analyser le problème par des méthodes analytiques. Cependant, le cisaillement est un paramètre important du modèle, qui devra être incorporé dans les développements ultérieurs. Priest et al l'ont introduit dans une description qualitative de l'évolution du tube de flux: figures 26 et 27. Le modèle permet alors non seulement de créer une configuration magnétique favorable à la formation des protubérances, mais permet de décrire le support dans une configuration Normale ou Inverse, ainsi que l'évolution et l'éruption. La combinaison du cisaillement et de la torsion du tube de champ conduit à un passage naturel d'une configuration Normale à une configuration Inverse: figures 26 et 27. Le support de la matière dense est toujours réalisé par le champ magnétique du tube de flux: localement, le support est celui d'une configuration Normale. Cela résout le problème du support d'une protubérance d'extension finie dans une configuration Inverse: chapitre B, paragraphe 2.4. Les observations montrent que les protubérances de basse altitude sont de configuration Normale, alors que celles de haute altitude sont de configuration Inverse. Le modèle présenté par Priest et al interprète ce fait par un processus d'évolution: les protubérances se forment à basse latitude dans des configurations peu torsadées, donc Normales, puis migrent vers les pôles. Durant cette évolution la torsion du tube de flux s'effectue progressivement, et la configuration devient Inverse: figures 27. De nombreuses études ont montré qu'une structure torsadée pouvait devenir instable, en MHD idéale, si la torsion était trop importante: Binn et Schindler (1981), Hood (1983, 1984) par exemple. La torsion critique varie, suivant les analyses, de 2.5 π à 20 π: Priest (1980), Einaudi et Van Hoven (1983); ce qui donne une durée de vie de la protubérance qui est comprise entre 20 et 300 jours, si l'on utilise

<figure><img src="image_173.png" /><figcaption>Figures 27 : Schématisation de l'évolution de la configuration magnétique d'une protubérance.</figcaption></figure>

Sous l'action des forces de cisaillement et de torsion au niveau photosphérique, la configuration magnétique de la protubérance évolue d'une configuration Normale à une configuration Inverse. Ces figures représentent les lignes de champ magnétique projetées sur le plan orthogonal à l'axe de la protubérance. Priest et al (1989).
une torsion créée par les forces de Coriolis. Donc, lors de l'évolution, une instabilité magnétique de la configuration peut apparaître: la protubérance subit alors une éruption. Ce modèle de tube de champ torsadé permet de donner une description unifiée des processus physiques se déroulant depuis la formation jusqu'à l'éruption des protubérances.

L'influence du cisaillement n'a pas été incorporée dans les calculs de cet article. Elle fait l'objet de deux articles: A6 et A10, *Démoulin et al* (1988) et *Démoulin et al* (1989). Le premier expose l'influence du cisaillement dans un champ sans force linéaire. Nous montrons, qu'en l'absence de torsion, un creux ne peut être formé dans une région bipolaire que si le champ est forte- ment cisaillé. Le deuxième article étudie la possibilité de former un creux en cisaillant une arcade magnétique en l'absence de reconnexion. Sous l'effet du cisaillement, les lignes de champ ont un rayon de courbure qui diminue au sommet, mais un creux ne peut être formé. Cependant, la diminution du rayon de courbure doit permettre de diminuer la torsion critique nécessaire à la formation d'un creux et, à la limite d'un cisaillement infini, la torsion critique doit s'annuler. Le cisaillement d'une arcade magnétique a été étudié par de nombreux auteurs dans le but de rechercher des instabilités pouvant expliquer les éruptions solaires. Zwingmann (1988) en donne une excellente revue, et j'exposerai les résultats plus en détail au chapitre D. Un point im- portant est que les mouvements de cisaillement ne peuvent pas créer une instabilité idéale dans une arcade magnétique, alors que la torsion d'un tube de flux conduit à une instabilité au-delà d'une torsion critique $\Phi_{crit}$. Le ci- saillement de l'arcade avant la formation de la protubérance apparaît alors comme une condition de stabilisation de la structure magnétique. Une étude de la structure et de la stabilité du champ tridimensionnel comprenant ci- saillement et torsion reste cependant à effectuer.

# 2 Résumé des travaux de thèse

## 2.1 Formation d'une protubérance par instabilité thermique: Communication C4 et article A 11.

Les propriétés de l'instabilité thermique dans un milieu non uniforme ont été résumées au paragraphe 1.3. L'accent a été mis sur l'importance de la zone de transition et de la chromosphère pour la stabilité des boucles coronales.

De nombreux paramètres intervenant, et l'équilibre étant près de la stabilité marginale, un consensus ne s'est pas dégagé des différents travaux sur les conditions de stabilité nécessaires à une boucle coronale. De plus, les modes instables sont concentrés dans la région de transition, et ne peuvent donc conduire à la formation d'une protubérance. Notre travail a suivi deux axes principaux: l'étude de l'influence de l'ensemble des paramètres pour clari- fier le problème, puis la recherche des conditions nécessaires à la formation d'une instabilité dans la couronne. Pour cela, un code numérique à maillage variable, pour avoir une bonne résolution de la zone de transition, a été con- struit. Les taux de croissance et les fonctions propres les plus instables sont alors recherchés.

L'étude systématique de l'influence des différents paramètres a permis de dégager, ou de confirmer les points suivants. Le mode de perturbation symétrique par rapport au sommet de la boucle est plus instable. Les con- ditions au sommet de la boucle sont donc fixées pour avoir le mode le plus instable; les conditions à la limite inférieure (bas de la zone de transition), sont en revanche inconnues. Nous avons testé l'ensemble des différentes pos- sibilités suggérées séparément par divers auteurs. Le mode le plus instable est en général obtenu lorsque l'on fixe la température et que l'on permet un flux de masse à la base. L'influence des paramètres de l'équilibre tels le flux de base $F_B$, ou l'inverse de la température de base $1/T_B$ a été confirmée: une augmentation de la longueur de la boucle fait décroître la valeur du taux de croissance; une stabilisation ne peut cependant pas être atteinte: la stabilité devient marginale pour de grandes longueurs. En conclusion, la stabilité des boucles coronales est très sensible à un ensemble de paramètres, que les observations ne permettent pas de mesurer; on ne peut donc actuellement conclure sur la stabilité des boucles observées.

Les calculs précédents ont été effectués avec les hypothèses que le flux thermique de base $F_B$ est faible, et que le chauffage coronal est peu dépendant de la densité, de la température et de la position. L'instabilité est alors con- centrée dans la région de transition. Si le flux $F_B$ croît, la région de transition peut être stabilisée (le flux $F_B$ influe alors légèrement sur la longueur de la boucle). Le chauffage étant dominant dans la couronne, il est alors nécessaire de le rendre instable pour avoir une instabilité de la région coronale. Si le chauffage est modélisé par $E_H = H.T^8$, $\delta$ doit être supérieur à $\delta_c$ pour avoir une instabilité coronale: typiquement, $\delta_c \ge 3$. L'instabilité a alors d'autres caractéristiques que celles étudiées précédemment: elle est concentrée au
sommet de la boucle, et dépend très peu des conditions aux limites à la base de la boucle. L'influence de la longueur de la boucle est en revanche toujours la même: le taux de croissance est réduit lorsque la longueur augmente. En conclusion, des conditions très particulières sont nécessaires pour rendre instable le plasma coronal: le chauffage coronal doit être une fonction rapidement croissante de la température et il doit être important, ce qui crée un fort gradient de température dans la région de transition.

## 2.2 Un modèle de protubérance solaire avec un tube de flux magnétique torsadé. II. Formation d'un creux dans la structure magnétique avant la formation d'une protubérance solaire: article A6

La formation d'une structure magnétique capable de retenir de la matière froide au sommet des lignes de champ magnétique est une condition préalable à la formation des protubérances solaires. Nous avons recherché de telles configurations dans un champ sans force, linéaire et bidimensionnel. Elles représentent une bonne approximation, locale, du champ tridimensionnel de l'article A9 si l'échelle de variation du champ est beaucoup plus grande le long de la structure qu'orthogonalement. Ces approximations permettent d'étudier le problème analytiquement, mais l'interprétation des résultats n'est réaliste que si l'on utilise une structure tridimensionnelle.

Nous avons imposé la contrainte d'un champ photosphérique bipolaire; les observations montrent que beaucoup de protubérances sont souvent formées dans de telles configurations. De plus, il est plus aisé de créer un creux si l'on lève cette contrainte (en utilisant une région quadrupolaire par exemple). Le problème étant linéaire, nous avons développé la solution sur la base des arcades à deux dimensions. Un creux ne peut être présent au sommet des lignes de champ que si la norme du champ magnétique croît avec l'altitude. Cela peut être réalisé en soustrayant le champ d'une harmonique à celui de l'arcade principale. Cependant, la contrainte d'une région bipolaire ne permet pas de former un creux dans un champ potentiel. Il est alors nécessaire de déformer les lignes de champ en permettant un courant électrique le long de celles-ci. Un creux peut alors être formé dans un champ linéaire sans force, fortement cisaillé: la direction du champ magnétique doit être inclinée de moins de 20 degrés sur l'axe de la structure. Cela permet d'interpréter les observations

décrites au début du chapitre: le champ pivote pour s'aligner dans la direction de l'axe de la protubérance avant la formation d'une protubérance. En résumé, la formation du creux au sommet des lignes de champ nécessite deux conditions: un champ fortement cisaillé et une distribution particulière du champ magnétique photosphérique (schématiquement, le champ doit être faible près de la ligne d'inversion). La projection des lignes de champ dans un plan orthogonal à l'axe de la structure, montre, dans ces conditions de formation de creux, la présence d'un îlot magnétique. Il est composé de lignes de champs qui décrivent une spirale dans la direction de l'axe de la structure. Si de la matière froide est apportée dans cette structure, une protubérance de configuration Inverse est formée.

Ce modèle bidimensionnel décrit la structure locale du champ magnétique, négligeant toute variation le long de l'axe de la structure. Une interprétation des résultats dans une structure tridimensionnelle est cependant nécessaire, car les lignes de champ, formant un creux, peuvent rejoindre la chromosphère comme dans le modèle de Priest et al (1988): figures 26. De la matière froide peut être alors apportée de la chromosphère par l'un des modèles décrits au paragraphe 1.4 pour former une protubérance. Dans le contexte tridimensionnel, cette structure avec creux peut être créée par l'émergence d'un tube de flux torsadé, ou par la torsion d'une arcade de champ magnétique existant. Des processus de reconnexion sont nécessaires pour modifier la topologie de la configuration magnétique, et la structure étudiée ici représente la relaxation au minimum d'énergie (avec la contrainte de conservation de l'hélicité du champ magnétique dans un milieu très conducteur). Dans un tel scenario, une protubérance se formerait dans une configuration Inverse, puis pourrait évoluer vers une configuration Normale, grâce à l'action de la force de gravité sur la structure magnétique.

## 2.3 Peut-on former un creux au sommet des lignes de champ d'une arcade (nécessaire à la formation d'une protubérance) par des mouvements de cisaillement? Article A10

Priest et al (1988), figures 26, ont développé un modèle de tube de champ torsadé permettant de supporter de la matière dense (protubérance). Le
modèle a été développé avec un champ sans cisaillement, et la formation du creux au sommet des lignes de champ nécessite de torsader le tube de champ au-delà d'un angle critique $Φ_{crit}$. D'autre part, l'article précédent a montré l'importance du cisaillement pour créer un creux; il est donc nécessaire d'étudier l'effet du cisaillement sur un tube de flux torsadé: intuitivement, $Φ_{crit}$ devrait décroître avec le cisaillement, et la structure magnétique moins torsadée, nécessaire pour former un creux, sera plus stable. Mais la torsion est-elle nécessaire? Dans ce but, nous avons étudié le cisaillement d'une arcade magnétique, initialement potentielle. Le champ est supposé à deux dimensions, sans force, mais non linéaire; de plus, on impose l'absence de reconnexion, ce qui élimine des solutions telles que celles envisagées dans l'article A6.

L'approximation linéaire du problème montre que le cisaillement réduit la courbure des lignes de champ, mais un creux n'est obtenu que lorsque l'approximation linéaire cesse d'être valide. La résolution numérique du problème non linéaire confirme la décroissance du rayon de courbure des lignes de champ, dans la région de cisaillement: il tend vers zéro pour un cisaillement infini. Ce résultat est ensuite démontré mathématiquement en minimisant l'énergie du champ magnétique. Ainsi, le but initial qui consistait en la création d'un creux, ne peut être atteint en cisaillant simplement une arcade. Cependant, le rayon de courbure étant très faible, la quantité de matière nécessaire pour créer un creux est fortement diminuée. Une faible condensation initiale peut alors engendrer le processus de formation. Enfin, pour ces forts cisaillements, une légère torsion d'un tube de champ peut aussi créer le creux recherché. En conclusion, bien que le cisaillement ne soit pas suffisant pour former une configuration magnétique apte à retenir de la matière dense, il est un paramètre très important.

## 3 Conclusion

L'étude systématique de l'influence des divers paramètres sur la stabilité des boucles coronales a permis de clarifier leurs conditions de stabilité. L'instabilité, lorsqu'elle est présente, est concentrée dans la région de transition. Elle est produite par la dépendance en température et en densité de la fonction de rayonnement. Une instabilité localisée dans la couronne peut cependant être créée si la zone de transition est stabilisée et si le chauffage,

qui domine la radiation dans la partie coronale, est rendu instable. La stabilisation de la zone de transition est nécessaire car le temps caractéristique d'instabilité y est beaucoup plus rapide que celui de la couronne. Cela est réalisé en accroissant la conduction dans la région de transition. Cette étude sera poursuivie en incorporant l'influence d'autres paramètres. Une étude préalable permet de conclure à l'importance de la gravité et d'une fonction de chauffage dépendant de la position. Le couplage de l'instabilité du plasma avec le champ magnétique devra aussi être envisagé: bien que son influence soit a priori négligeable pour un $β$ de plasma faible ($10^{-1} - 10^{-3}$), la stabilité de l'équilibre est très sensible à toute variation des paramètres. Cette étude de la stabilité linéaire permettra de délimiter les régions d'instabilité. Une étude de l'évolution non linéaire est ensuite nécessaire pour démontrer que l'instabilité conduit bien à la formation d'une protubérance, et non à un équilibre voisin du type de l'équilibre de départ. Des configurations de champs magnétiques particulières (avec un creux au sommet des lignes de champ) doivent exister avant la formation des protubérances. Elles nécessitent, pour une région bipolaire, une torsion des lignes de champ qui peut provoquer une instabilité idéale de la structure magnétique. La torsion nécessaire à la formation d'un creux est cependant diminuée par le cisaillement de la structure magnétique. La combinaison de la torsion au cisaillement semble donc être nécessaire dans ce modèle pour former une configuration magnétique stable avec un creux. Cependant, dans l'état actuel des connaissances, l'équilibre et sa stabilité n'ont été étudiés que dans une configuration magnétique présentant soit un cisaillement, soit une torsion. Un modèle tridimensionnel incorporant les deux effets reste à réaliser. D'autre part, une région quadrupolaire présente de nombreux avantages pour la formation d'une protubérance, dont celui de pouvoir former facilement un creux dans les lignes de champ. La formation d'une protubérance pourrait alors avoir lieu au contact de deux régions bipolaires qui s'approcheraient l'une de l'autre. Une nappe de courant est formée à la frontière, et le processus de formation est similaire à celui décrit initialement par Kuperus et Tandberg-Hanssen (1967): figure 19. La configuration magnétique de la protubérance est Inverse par rapport au champ photosphérique proche de la ligne neutre, mais le support de la matière est réalisé par le champ magnétique correspondant à la distribution photosphérique du flux magnétique, comme dans une configuration Normale. Ce modèle pourrait correspondre aux protubérances de haute latitude, particulièrement celles de la couronne polaire, alors que le modèle avec un tube de flux torsadé modéliserait la structure
magnétique des protubérances de plage. Cela interpréterait, en particulier, les aspects différents que présente la structure fine pour ces deux types de protubérances: les filets de la structure fine sont presque verticaux dans les protubérances quiescentes de haute latitude, alors qu'ils semblent suivre des arches de champ magnétique pour les protubérances de plages.

# 4 Publications

# - C4: CAN A THERMAL INSTABILITY FORM A PROMINENCE ?

P. Démoulin

DASOP, Observatory of Paris-Meudon

G. Einaudi

Istituto di Astronomia, Universita' di Firenze, 50125, Firenze Italy

## 1 INTRODUCTION

The possible occurrence of a thermal instability in the solar corona has been investigated by many authors since the well-known paper by Field(1965). A number of questions arise in connection with the thermal stability of a coronal loop. One can study whether or not the loop is stable depending on its physical parameters (such as its length L, apex temperature Tm, pressure p), the properties of the heating mechanism, the boundary conditions of the perturbation (representing the influence of the cromosphere on the loop stability), and, finally, on symmetry properties of the perturbation.

A second question concerns the time scales and the linear effects of a growing perturbation, and a response to this question gives an interesting insight in the overall dynamical properties of a coronal loop. In order to have a real link between theory and observations it is necessary to make a further step in the analysis and to answer the question concerning the non-linear evolution of the instability by studying the behavior of the loop over long time scales.

The problem is very complicated because the number of parameters which influence the stability properties of a loop is very high and at the moment the knowledge of these properties is not complete. Most of the parameters which influence the stability are not observed because the fewly observed parameters are those which relate to the equilibrium.

## 2 DISCUSSION OF THE INSTABILITY

It is possible to subdivide the work done so far into three main categories. The first refers to the study of the instability of an isothermal structure following the results obtained by Field. The interesting result is that isobaric linear perturbations grow provided P/2k greater than $1.1 \times 10^5$ T$^{13/4}$/L cm$^{-3}$ K, where P is the pressure, T the temperature, L the length of the isothermal structure and k the Boltzmann constant. The driving mechanism of such instability is the form of the solar radiation function at high
temperatures. The non-linear evolution of the instability lead to the formation of a thin condensation some what similar to a prominence (Oran et all,1982). The applicability of the isothermal results to the solar corona is jeopardized by the fact that the magnetic field lines are imbedded in the dense cold chromosphere. Since the thermal conduction is effective mainly along the field lines, the simplest possible equilibrium model must in- clude the transition region once the equations are projected on the magnetic lines. The resulting equilibrium solution can represent very well the observed temperature structure with the thin transition region connected to the much longer quasi-isothermal coronal part. A proper stability analysis must therefore include the transition region which can have a dramatic influence on the stability at least for three reasons.

First of all the length of the loop is not a free parameter as in the isothermal case

but it is related to the pressure and the apex temperature of the loop. Secondly, the typical radiative time scales in the transition region are much shorter than those in the corona. Finally, in order to have a stationary solution of the energy equation projected along the field lines, the heating must be negligible in the transition region but must dominate the radiation losses at coronal heights in order to balance the conductive losses there. These three facts have the consequence that the loop is more likely to be ther- mally unstable to perturbations which mainly influence the transition region. It is very difficult to have a destabilization similar to the isothermal case. In fact this isothermal kind of destabilization, which can be seen as the initial stage of the process leading to the formation of a prominence, requires the transition region to be stable,while and at the same time that the form of the heating function is such that it can drive a thermal insta- bility at high temperatures. Most authors in the past have studied the destabilization of the transition region ( see the references in Klimchuk J.A. et all,1987) by discussing the conditions for the instability to arise. Essentially they require an isobaric instability which is governed by a Sturm-Liouville type of equation once the pressure perturbation is set to zero. The apparent discrepancies in the results of various authors are due to the large amount of parameters affecting the instability and the fact that some authors have compared their results with others results obtained under different conditions. Klim- chuk et al. have studied the non-linear evolution of such instabilities, showing that they can be responsible for the formation of low-lying cold loops, but not of prominence-like structures.

The aim of this work is to clarify definitely the conditions under which the

transition region is stabilized and to show that there exist instabilities which can lead to the formation of a prominence. To fullfill this program we have built a numerical code which solves both the stationary energy equation,producing an equilibrium, and the linearized MHD equation including radiation, conduction and heating, producing the growth rate and the spatial profile of the perturbation. The heating function EH is parametrized as EH=H P<sup>beta</sup> T<sup>delta</sup>. We can vary all the parameters of the equilibrium, namely L,Tm,P, the heat flux Fb at the base temperature Tb, the form of the heating function, namely beta, delta and H, and the boundary conditions at the base of the loop which must be satisfied by the perturbation and which are essential in determining whether such perturbation can grow and on which time scales.

<figure><img src="image_174.png" /><figcaption>Figures 1</figcaption></figure>

Typical pertubed mass flux and temperature when the boundary conditions at the base are: dY₁/dS=0 and T₁=0, and the symmetry conditions at the top are: dT₁/dS=0 and Y₁=0. (where Y₁,T₁ are respectively, the pertubed mass flux and temperature) The two first most unstable harmonics are plotted. The curve noted 'E',in the second figure, is the logarithm of the equilibrium temperature (noted LTE) with the scale of the right part of the figure. The pertubation has a great amplitude only in the transition region for T₁.
### 3 PRELIMINARY RESULTS.

We have used boundary conditions at the top of the loop which are consistent with flows of mass bringing material towards the top of the loop. Since we are considering symmetric equilibria with respect to the top, the perturbation is symmetric and therefore the proper boundary conditions at the top are $dT_1/dS=0$ and $V_1=0$. For the boundary conditions at the base we will use the free-fall boundary conditions, namely $dV_1/dS=0$ and $T_1=0$, which seem to lead to the most unstable mode. Adopting such boundary conditions, it follows that $P=0$ at the base and we find that $P$ is negligible in the whole loop. Then the equation reduces to a Sturm-Liouville equation (Chiuderi et al. 1981) and the most unstable harmonics is such that $dV_1/dS=0$ has no zeroes between the base and the top of the loop. For these modes we find that a decreasing base temperature and/or an increasing base heat flux have a stabilizing effect. Furthermore the growth rate of the mode depends strongly on the loop length $L$ of the loop. For $L$ bigger than a critical length $L_c$ function of $T_b$, $T_b$ and $P$ we find stability. The form of the heating function is not important for stability once $L, T_m$ and $P$ are kept fixed. As shown in Fig. 1, these modes are peaked in the transition region, and they correspond to the modes non-linearly studied by Klimchuk et al. However, these modes can not be responsible of the formation of a prominence since they do not exist in long, hot loops and we have seen that in the uniform case an isothermal structure is more unstable if it is longer and hotter. Therefore it seems possible to find conditions under which the perturbations in the transition region are stabilized and only the hot part of the loop is affected by the instability. Of course, as mentioned before, in order to obtain such instability the function $L = EH - ER$ must have the favorable dependence on $T$ and $P$. This contraint provides interesting constraints on the form of the heating function. Other constraints on EH derive from the fact that the length of the loop and its apex temperature depend on its form. At the moment we are investigating which conditions admit the possibility to start the process of formation of a prominence through a thermal instability.

### References

* Chiuderi, C., Einaudi, G., and Torricelli-Ciamponi, G.: 1981, Astron. Astrophys. 97, 27.

* Field, G., B.: 1965, Solar Phys. 142, 531.

* Klimchuk, J.A., Antiochos, S.K., and Mariska, J.T.: 1987, Ap. J. 320, 409.

* Oran, E.S., Mariska, J.T., and Boris, J.P., 1982, Ap. J. 254, 349.

- A6:

# A twisted flux model for solar prominences

## II. Formation of a dip in a magnetic structure before the formation of a solar prominence

P. Démoulin<fnref n="1" /> and E.R. Priest<fnref n="2" />

Received August 11, accepted September 20, 1988

**Summary.** In Paper I (Priest et al., 1988) a model for prominence formation structure and evolution in a three-dimensional curved flux tube was proposed. Here we investigate the possibility of the creation of a dip in a linear force-free field before the prominence forms. A local two-dimensional modelling of the three-dimensional structure is considered and the effects of adding harmonics and shear to the fundamental simple arcade are studied. Once such a dip has been created, the cold plasma may slowly condense and accumulate in the dip, eventually deforming the field lines further.

For a simple arcade with Normal polarity, in the present approximation it is found that the creation of a dip needs the presence of parasite flux at the base, regardless of the shear. It is also possible to create a dip with Inverse polarity on a field line in three dimensions which is modelled as a magnetic island locally. Such a dip does not need parasite flux but does require a large shear. Physically, it may be created either by emergence of the island through the photosphere or by reconnection of the field lines below the photosphere or by the twisting up of the field in three dimensions.

**Key words:** solar prominences - magnetic fields - force-free field

### 1. Introduction

Solar prominences are seen at the solar limb as bridges of chromospheric-like material suspended in the hot corona. On the solar disk, they appear as dark filaments lying on the line between two photospheric regions of unipolar vertical magnetic field polarity inversion. As they are denser by a factor of hundred than the corona, they must be supported against gravity by the magnetic field lines anchored in the photosphere. There are two basic geometries to support a prominence, with either Normal or Inverse magnetic polarity, denoted respectively by N or I (Priest, 1988). The first model of normal polarity was given by Kippenhahn and Schluter (1957), and the first inverse polarity model was suggested by Kuperus and Raadu (1974). The normal polarity configuration has a topology similar to that of a bipolar region. The I configuration is more complex since the magnetic

field in the prominence has the opposite direction from the N configuration and the field may have a neutral point below the prominence. Both configurations exist on the Sun: Leroy (1984) finds that 75% are of the I type: they are mostly big, well-formed quiescent filaments. 25% are of the N type, with much smaller dimensions, are located near active regions and show more activity. It is therefore believed that these filaments inside active regions are of N type, but it is not yet proved since the photospheric scattered light prevents observations at the low height above the solar limb where they are located. The formation of such plage filaments with I configuration, in fact, may be common as this configuration stores much more energy (than an N configuration), which could be released in flares (Martens and Kuin, 1988).

The evolution of prominences has been studied extensively by d'Azambuja and d'Azambuja (1948). Prominences are seen to form within an active region in a few hours. Such a prominence is low, with a height $h$ lower than 10 Mm, dense and it often evolves or disappears in a few days. They are called "plage prominences". By contrast a quiescent filament may form more slowly, in few a days, in a decaying active region, or between two nearby active regions. They are higher than active ones, with $h \approx 20$ to 100 Mm, and evolve slowly over typically a month. The relation between plage and quiescent filaments is not well known. Perhaps a plage filament is formed in an N configuration and then evolves, in a few cases, to become a quiescent one of N or I configuration. Pneumann (1983) has proposed such an evolution in which the field lines of the arcade of an N configuration are pushed together and reconnect to form a lower arcade with low shear, and so lower magnetic energy, with a helical structure at the top. In this evolution, reconnection is essential to change the topology of the configuration from an N configuration to an I one. More recently, Hirayama (1987) has proposed a different evolution where reconnection is not needed. The field is distorted from an initial N configuration to a helical structure without cutting the field lines. The final stage is again an I configuration. However, there are theoretical difficulties with both of these scenarios and Priest et al. (1988) have proposed a single alternative in which a large flux tube is twisted up, and a prominence evolves from N to I polarity.

One condition for the formation of a filament in an active region is that the $H\alpha$ fibrils become nearly parallel to the neutral line. This also applies to quiet regions and implies that the

<footnote n="1">¹ Observatoire de Paris, Section de Meudon, DASOP, F-92195 Meudon Principal Cedex, France</footnote>

<footnote n="2">² Applied Mathematics Department, University of St. Andrews, KY16 9SS St. Andrews, Scotland</footnote>

<footnote>Send offprint requests to: P. Démoulin</footnote>
formation of a filament occurs only in a greatly sheared magnetic field (Martin, 1973). Two types of shearing motion in the photosphere have been proposed by Rompolt and Bogdan (1986). The more commonly observed motion is when the velocity on one side of the neutral line at the photospheric level is opposite to the velocity on the other side. This observational fact is consistent with theoretical models where a great shear favours a thermal instability at the top of the arcade. Priest and Smith (1979) have solved the energy equation in a force-free arcade for a steady state. They found that an increasing shear could lead to the formation of a prominence by a thermal instability at the top of a loop in the arcade because the field line length increases and leads to the thermal instability described by Field (1965). This creates a depression at the top of the loop which may stimulate a siphon mechanism modelled in a simple way by Ribes and Unno (1980). The thermal aspects of the siphon mechanism have been modelled by Pikel'ner (1971) and Uchida (1980).

Even though much work has been done on prominence formation, there is no general consensus even for formation of an N configuration in a simple magnetic arcade. There are three general mechanisms proposed to bring the material from the chromosphere to the top of the arcade to form a prominence. The first is a ballistic mechanism in which the chromospheric mass is accelerated in a surge-like manner and launched ballistically into the corona (An et al., 1987; Wu, 1988). The injection is assumed to begin with a high velocity of $20 \text{ km s}^{-1}$ at the base, which is typical of spicule velocities. With such a mechanism, mass can only reach a low height: typically of the order of $v^2/g$, and so a few Megameters. This mechanism may therefore occur only in low-lying plage filaments. The second mechanism is provided by decreasing somehow the heating of the corona (Poland et al., 1986) which leads to a condensation of hot coronal plasma to typical prominence temperatures, but with a low density. To increase the density at the top of the loop, they increase the heating at the loop base, which evaporates partially the upper part of the chromosphere, and then this material condenses in a dip at the top to form a condensation with a typical prominence density. The third mechanism is to find conditions where the coronal plasma is thermally unstable, so that it may condense at the top of the loop and suck enough mass up from the chromosphere. Field (1965) has studied the thermal stability of an isothermal plasma. One way to destabilise it is to increase the field line length, which decreases the stabilising effect of thermal conduction. The driving mechanism of such an instability is the form of the solar radiation function at high temperatures. The nonlinear evolution of the instability may lead to the formation of a thin condensation similar to a prominence (Oran et al., 1982). But the inclusion of the transition region and the chromosphere provides a strong stabilising effect which increases greatly the difficulty of destabilising the coronal part of the loop (Démoulin and Einaudi, 1988).

In all the three models described above, the field line needs a dip at the top to catch the cold plasma. Otherwise, the plasma will fall down, because at the initial stage the gravitational force is not strong enough to create a well in the field. In particular An et al. (1988) need a plasma $\beta$ of the order of unity to produce a dip in the initial field. The plasma $\beta$ could certainly be decreased to a more realistic value if a dip is imposed in the initial magnetic field, as Poland et al. (1988) postulate in their work. In conclusion, it appears that a dip at the top of the arcade of the initial magnetic field is an important condition for prominence formation.

So we have studied here a means of forming such a dip in a potential or linear force-free field. A three-dimensional model is presented in the paper Demoulin et al. (1988) where we study the relationship between the magnetic supergranule pattern and the prominence feet. When a magnetic island appears in the vertical plane of our two-dimensional model, the third dimension is especially important, since it allows the island to connect to the photosphere in three-dimensional reality and so be accessible to chromospheric material. For simplicity, we have assumed here symmetry of translation along the prominence axis and so we have used a two-dimensional model to study the formation of a dip at the top of a field line. This approach is locally valid when the scale length along the prominence is much greater than the scale length across the magnetic configuration. When an island is formed in this 2D approximation, the field line spirals an infinite distance along the prominence axis. In a fully 3D model, the island field lines would instead be connected to the photosphere (Priest et al., 1988).

## 2. Description of the model

### 2.1. Assumptions

The coordinate system used is shown in Fig. 1: the prominence is located in the yz plane, the vertical is the z-axis, and the x-axis is horizontal and orthogonal to the plane of the prominence. We model the magnetic field before the appearance of a prominence by a linear force-free field for which there are several justifications both theoretical and observational:

a) the equation of force balance reduces to $j \times B = 0$, when the plasma beta ($\beta$) is much lower than unity, when the vertical extent is much smaller than $\Lambda/\beta$, (where $\Lambda$ is the gravitational scale-height of the corona), and when the flow speed is much lower than the second and Alfven speeds.

b) We seek in particular a linear force-free field since it is a state of minimum energy when the normal component of the magnetic field is prescribed at the boundary of a closed volume, and the global helicity $H = \int_V A \cdot B dV$ is fixed (Woltjer, 1958; Heyvaerts and Priest, 1984). This is also justified from an observational point of view since Schmieder et al. (1988) found that a linear force-free field can represent the field of a sunspot with a neighbouring prominence.

<figure><img src="image_175.png" /><figcaption>Fig. 1. The coordinate system of the model. The photospheric level is the xy-plane, the magnetic polarity inversion line the y-axis. The shear angle is the angle between the x-axis and the field direction. The width of the arcade is L</figcaption></figure>

c) The model is static since the time for the formation of a filament is much greater than the sound or Alfven travel time of an arcade. Then, the field may evolve through quasi-static configurations.

d) We used ideal MHD with the field frozen to the plasma since the magnetic Reynolds number is much greater than unity ($R_m \approx 10^{12}$). Reconnection may happen, however, at small-scale current sheets and change the global topology of the field.

(e) We neglect the thermal coupling of the corona to the photosphere. Chromospherical material could be brought up by one of the three mechanisms described in the introduction, but the instability is outside the scope of this paper.

### 2.2. Two-dimensional linear force-free arcade

The hypothesis of a magnetic field which is two-dimensional with the equation div $B=0$ allows us to write $B$ as:

$$B = \left( -\frac{\partial A}{\partial z}, B_y(A), \frac{\partial A}{\partial x} \right).$$

The assumption of linear force-free field leads to:

$$B = \left( -\frac{\partial A}{\partial z}, \alpha A, \frac{\partial A}{\partial x} \right),$$

where $\alpha$ is a constant and $A(x, z)$ satisfies: $\Delta A + \alpha^2 A = 0$.

This equation is linear, and the solution can be written in terms of a base of functions $A(x, z)$ behaving like $\cos(kx)e^{-iz}$ with $l = \sqrt{k^2 - \alpha^2}$ and $k$ describing the periodicity of the function. $B = \text{rot}(Ae_y)$ gives the components of the magnetic field as

$$ \begin{aligned} B_x &= -\frac{l}{k} \cos k \times e^{-iz}, \\ B_y &= -\frac{\alpha}{k} \cos k \times e^{-iz}, \\ B_z &= k^2 \sin k \times e^{-iz}. \end{aligned} \quad (1) $$

This represents an arcade field configuration, as shown schematically in Fig. 1. The horizontal size of the arcade in the x direction is $L$, say, which is half the periodicity length of the field configuration ($k = \pi/L$).

In the yz-plane the field is horizontal, so we can imagine a line current located there, added to represent a prominence. The field lines are coplanar, and the shear angle $\theta$ is given by:

$$r_s \theta = \frac{B_y}{B_x} = \frac{\alpha}{\sqrt{k^2 - \alpha^2}} = \frac{\alpha'}{\sqrt{\pi^2 - \alpha'^2}}$$

with the non-dimensional constant $\alpha' = \alpha \cdot L$.

$h = l/l$ is the scale height of the field. $h = L/\pi$ for a potential field, which implies that the field decreases rapidly with height. This behaviour is not observed for quiescent or active prominences unless we consider a base region of great size. For a typical height of 30 Mm for a quiescent prominence, we need the field of the prominence to take its origin in a photospheric region whose size is much greater than 100 Mm. Even for, say $L \approx 300$ Mm, the second harmonic has a scale height of $k_z = L/(2\pi) = 50$ Mm, which means that the field is dominated by the first harmonic at great heights, where the field must decrease with height. Perhaps the observed increase with height of the field is due to the presence of the prominence, and so the current that supports

it; but we cannot find a good answer for a prominence with a low density which only disturbs a little the magnetic field configuration.

The problem of the rapid decrease of the potential field could be solved by using a force-free field, which is more consistent with observations since $\theta \approx 70^\circ$ to $80^\circ$ in most prominences (Leroy et al., 1984). When $z'$ increases towards $\pi$, the magnetic scale height:

$$h = L/\sqrt{\pi^2 - \alpha'^2}$$

becomes large (see Table 1), and the field becomes a slowly decreasing function of height.

For great shears ($\theta$ near $90^\circ$) we have:

$$\alpha' = \pi(1 - \delta), \quad h \approx L/\pi \cdot \sqrt{2\delta} \quad \text{and} \quad \text{tg}(\phi = 90^\circ - \theta) \approx \sqrt{2\delta}$$

so that

$$\varphi \approx 80 \cdot \sqrt{\delta} (\text{degrees})$$

To obtain a magnetic field which increases with height, we can subtract a small second harmonic, because the fundamental decreases so slowly with height. The effect of the shear is smaller on the higher harmonics than on the fundamental since $l_n = \sqrt{(nk)^2 - \alpha^2} \approx nk$, independent of $\alpha$. The scale height of the harmonics is changed only a little, and we can have a field increasing with height only at low altitudes.

### 2.3. Base flux without parasite polarity

The observed magnetic flux on both sides of a prominence at the photospheric level, is nearly symmetric, and so we have built a symmetrical model, but it is not simply a sine function, so we must add some harmonics to the 2D basic arcade. Even if the harmonics have low amplitude, they could be important in problems such as: the stability of the prominence (Demoulin and Priest, 1988), the formation of the feet (Démoulin et al., 1988) and here the creation of a dip at the top of the arcade.

As both sides of the prominences are observed with no parasite polarity (except at high resolution (Martin, 1986), we impose this in our first investigations (the results can be generalised to include a parasite polarity even more easily). To obtain such constraint, we can simply study the basic arcade together with the nth harmonic. The vertical field on the plane $z=0$ is:

$$B_z(x) = \sin kx + B_n \sin (nkx) \quad (3)$$

which must be positive in the interval $[0, L/2]$

If $B_n$ is negative, the smallest fields occur near the origin, $x=0$ where $B_z(x) = k \times (1 + B_n n)$.

Thus there is no parasite polarity if:

$$-B_n < 1/n. \quad (4)$$

<table><caption>Table 1. The magnetic scale height ($h$) as a function of the departure of the shear angle from $90^\circ$</caption><thead><tr><th>φ</th><th>δ</th><th>h</th></tr></thead><tbody><tr><td>20°</td><td>7·10<sup>-2</sup></td><td>≈0.9 L</td></tr><tr><td>10°</td><td>1.5·10<sup>-2</sup></td><td>≈1.8 L</td></tr><tr><td>2.5°</td><td>10<sup>-3</sup></td><td>≈7 L</td></tr></tbody></table>
We note that this condition is independent of the shear, but we
can add a higher harmonic to avoid a parasite polarity if (4) is not
satisfied for the one harmonic. With more than one harmonic, the
problem is analytically complicated, but in the computations, we
verify numerically that the base flux has not parasite polarity.
Fig. 2.

2.4 Curvature of field lines

The Lorentz force $j \times B = -\nabla \times (B^2/(2\mu_0) + B^2 n/(\mu_0 R_c))$ is zero for a force-free field. At the top of the 2D arcade, (in the yz-plane) it becomes:

$$
\delta_L = - \frac{1}{2\mu_0} \frac{\partial B^2}{\partial z^2} u_z + \frac{B^2}{\mu_0 R_c} u_z
$$

since the field is horizontal at the top and does not depend on the
coordinate y, where the curvature of the field line is given by:

$$
\frac{1}{R_c} = \frac{1}{B} \frac{\partial B}{\partial z}. \qquad (5)
$$

In the simple 2D basic arcade, there is a large field at the base,
and the magnetic pressure is upward. It is balanced by the
"tension" of the field lines which are curved downward. Here, we
want to find a particular configuration whose curvature is up-
ward, so the field strength must increase with height (as observed
in a prominence!) A way to do this is to subtract harmonics from
the fundamental.

3. Results

3.1. Base flux with two harmonics

We add the first and the nth harmonic to give:

<figure><img src="image_176.png" /><figcaption>Fig. 2. The magnetic field B<sub>z</sub> at the base as a function of x across the arcade for: B<sub>1</sub> = 1, B<sub>2</sub> = -0.8 and B<sub>3</sub> varying from 0. to 1. The choice of B<sub>2</sub> is taken to give an increasing magnetic field at low heights, in the yz-plane, of the prominence. The choice of B<sub>3</sub> between 0.2 and 0.8 gives a base flux with no parasite polarity, which is expected from the observations</figcaption></figure>

$$
B = \begin{cases}
-\frac{l_1}{k} \cos kx e^{-l_1 z} - B_n \frac{l_n}{kn} \cos(nkx) e^{-l_n z} \\
-\frac{\alpha}{k} \cos kx e^{-l_1 z} - B_n \frac{\alpha}{kn} \cos(nkx) e^{-l_n z} \\
\sin kx e^{-l_1 z} + B_n \sin(nkx) e^{-l_n z}
\end{cases}
\text{with } l_n = \sqrt{n^2 k^2 - \alpha^2}.
$$

In the case of α ≠ 0, the shear angle varies with height since the
two harmonics do not give fields in the same direction. The first
harmonic is more sheared than the nth one because

$$
\operatorname{tg} \theta=\alpha / l>\operatorname{tg} \theta_{n}=\alpha / l_{n}
$$

The horizontal field B<sub>h</sub> on the plane x=0 varies with height as:

$$
-B_h \frac{d B_h}{d z} = l_1 e^{-2l_1 z} + \frac{(l_n + l_1 n^2)}{n} B_n e^{-(l_1 + l_n)z} + l_n B_n^2 e^{-2l_n z}
$$

The derivative with height of B<sub>h</sub> has three terms, and only the
third one can give an increasing field with height, in the vertical
yz plane. Then a reversed harmonic is needed with B<sub>n</sub> < 0. The
Eq. (7) is quadratic in B<sub>n</sub><sup>0</sup>, with two real solutions: b<sub>1</sub> and b<sub>2</sub>.

$$
b_1 = - \frac{l_1 n}{l_n} e^{(l_n - l_1)z}
$$

$$
b_2 = - \frac{1}{n} e^{(l_n - l_1)z}.
$$

The horizontal field B<sub>h</sub> is increasing with height in the interval
[b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>] for B<sub>n</sub><sup>0</sup>. But the constraint (4) of no parasite flux imposes
1/n > -B<sub>n</sub>(z=0), so the region of increasing field exists only if
|b<sub>1</sub>| < b<sub>2</sub>| so: |l<sub>1</sub>| < |l<sub>2</sub>| or (l<sub>1</sub>/l<sub>n</sub>) < (1/n<sup>2</sup>) which needs a great
shear to decrease the value of l<sub>1</sub>. The shear angle θ of the first
harmonic must be greater than θ<sub>c</sub> with:

$$
\operatorname{tg} \theta_c \approx n \quad \text{with} \quad \alpha \approx k \quad (\text{greater shear}). \qquad (9)
$$

With second harmonic n = 2, it means that the field must be more
sheared, at great heights, than the angle θ_c ≈ 64°. This critical
angle is increased to θ_c ≈ 72° with the third harmonic (n = 3).

This leads to the conclusion that the field line gives a dip at
the top, in a bipolar region, only if the shear is greater than a
critical value which is of the order of the shear angle observed in
the solar prominences.

The dip is present at heights where |Bn| is greater than |b1|. As
this lower bound increases with height the dip disappears at a
height zm given by:

$$
z_m = \frac{1}{l_n - l_1} \log_e \left( \frac{l_n}{l_1} \cdot |B_n| \right).
$$

As the shear increases, $l_1$ decreases to zero, and the maximum
height increases to infinity as $-\log_e(k-x)$. Nevertheless, as the
evolution is logarithmic, for realistic large shears, the maximum
height is near $L/\pi \cdot n$, which is much lower than the typical
horizontal size.

The horizontal field B<sub>x</sub> in the yz plane is positive when
- B<sub>n</sub> > (n l<sub>1</sub> / l<sub>n</sub>) e<sup>(l<sub>n</sub> - l<sub>1</sub>)z</sup> and the component B<sub>y</sub> is positive when
- B<sub>n</sub> > n · e<sup>(l<sub>n</sub> - l<sub>1</sub>)z</sup>. Thus when the field line has a dip, the magnetic
field is an inverse configuration (with a magnetic field crossing
the prominence plane in the opposite direction from a potential
field created by the photospheric boundary conditions). Under
the potential field hypothesis, where many models have been
built, such a configuration is not possible. With α=0, the interval
[b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>] is restricted to:

$$
\left[ -\frac{1}{n} \cdot e^{(l_n - l_1)z}, -n e^{(l_n - l_1)z} \right],
$$

and a well at the top of the arcade needs a parasite polarity at the
base (from Eq. (4)). Such a case is represented in Fig. 3 and 6a.

In conclusion, with a highly sheared magnetic field we are
able to construct a magnetic field which increases with height
above the photosphere, without a parasite polarity at the base.
The simplest configuration with these properties, consists of a

second harmonic (with B₂ satisfying (4)) subtracted from the first
one. The computations show an increasing field strength at low
heights: z < 6'Mm, for a base length of L = 30 Mm, and a constant
α' = 3. The first harmonic, which dominates at great heights, is
then sheared by an angle θ ≈ 81°. To lower this shear angle and to
extend the region of the dip to greater heights, we have to
investigate more complex cases.

3.2. Base flux with three harmonics

A way to have a base flux without a parasitic polarity, when the
condition (4) is not realised, is to add a higher harmonic, as we
discussed in the potential case.

Figure 4 shows an example of this case for B<sub>1</sub> = 1, B<sub>2</sub> = -0.8 and with six values of B<sub>3</sub>: 0., 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1, and for a constant α' = 3.1. The dip in the field lines is present for B<sub>3</sub> lower than 0.07 and the condition of no parasitic polarity imposes 0.2 < B<sub>3</sub> < 0.8. Then, the field arcade produces a dip to catch a condensing plasma when the third harmonic amplitude B<sub>3</sub> lies between 0.2 and 0.6. This range is increased to 0.2 and 0.8 for a constant α' = 3.14, which is the only limit imposed by the condition on the base flux. Figures 4a and 5a show that the region of increasing field is lower than 10 and 15 Mm, respectively, which is in agreement with the observed height of plage filaments. The shear angle θ needed is of the order or greater than 80° which corresponds to the alignment of the fibrils seen before the formation of a filament (Martin, 1973).

The topology of the field lines is shown in Figs. 6b and 6c, for B<sub>1</sub> = 1, B<sub>2</sub> = -0.8, B<sub>3</sub> = 0.4, and two values of α': 3.1 and 3.14. The arrows represent the magnetic field in the xz-plane. They show the formation of an island in both cases, with a neutral point on the vertical z axis. This island is associated with the current that we have allowed to flow along the field lines. In a configuration with a great shear, the field is nearly parallel to the vertical plane, above the magnetic neutral line, and so also are the current. The current density is related to the field along the prominence by:

$$
\mu_0 j(x, z) = \alpha B_y = -\frac{\alpha^2}{k} \cos kx \cdot e^{-lz} \quad (10)
$$

<figure><img src="image_177.png" /><figcaption>Fig. 3. The variations with height z of the horizontal field B<sub>x</sub> in the potential case (α' = 0). A field increasing with height at low heights is present for B<sub>3</sub> < 0.2, which gives parasite polarity at the photospheric level. An increasing field with height is not compatible with the absence of parasite polarity on both sides of the filament channel. At heights greater than 10 Mm the field is dominated by the first harmonic and decreases rapidly with height</figcaption></figure>
<figure><img src="image_178.png" /></figure>

Fig. 4. a The same as Fig. 3, but for a highly sheared magnetic field ($\alpha' = 3.1$). The values of $B_3$ are the same as in Figs. 2 and 3. The field increases with height for $B_3 < 0.6$, which is partially compatible with a condition of no parasite polarity at the base. A dip could form at low heights at the top of the field line for $0.2 < B_3 < 0.6$ without a parasite polarity. b The evolution of the shear angle of the field ($\theta$) with height. In the region of increasing field of Fig. 4a, the second harmonic dominates, and the shear is lower and negative. At great heights, the first harmonic dominates, and the shear is $\theta \approx 81^\circ$.

so that the current density is greater near the plane $x=0$ at low heights and at high shear (larger $\alpha'$). In conclusion, when we shear the 2D arcade more, it creates currents near the plane $x=0$ at low heights. These currents are associated with a magnetic field which leads to the formation of a dip. Both a large shear and a reversed second (or other) harmonic are necessary to create the necessary current in the right direction.

### 3.3. Formation and evolution of a filament

In this section we want to describe from the observational data, from the existing models and from the present work, some ways in which a filament may form.

Fig. 5a and b. The same as Fig. 4 but with a more highly sheared magnetic field ($\alpha' = 3.14$). The region where the field increases with height is greatly extended, and the increases is more rapid. This corresponds to the formation of a dip at the top of the magnetic arcade for a large range of base magnetic field ($B_3$ between 0.2 and 0.8) if we are limited to no parasite polarity. The field at great heights decreases more slowly: it will become uniform as $\alpha'$ approaches the value $\pi$.

#### 3.3.1. Conditions of formation

We have described, in this introduction, three ways to bring chromospheric mass to the top of an arcade, but all need a dip at the top to catch the first cold material. Thus, a necessary condition to form a prominence in an arcade is first to form a dip prior to the condensation (Priest et al., 1988). This could be achieved by having a large shear, which is the condition well observed when a filament is forming in an active region (Martin, 1973). Before the formation of filaments, $\Pi\alpha$ fibrils are seen to rotate and become nearly aligned together, along the photospheric magnetic neutral line. Another condition is to have a particular type of base flux: the formation of a dip without parasite polarity at the base happens for a restricted set of harmonics, as discussed in the previous section. This important condition would be

<figure><img src="image_179.png" /></figure>

Fig. 6a-c. The curves represent both the isocontours of the normal field component ($B_\alpha$) and also the magnetic field lines in the $xz$-plane. The isocontours are equispaced. The arrows show the magnitude and the direction of the magnetic field. The harmonic amplitudes are: $B_1 = 1$, $B_2 = -0.8$. a Potential case: ($\alpha' = 0$). The field lines have a dip at the top for low heights, but there is a parasite polarity on both sides of the origin. It is a quadrupolar region. b and c Force-free cases with $\alpha' = 3.1$ and $\alpha' = 3.14$, $B_3 = 0.4$. There is no parasite base flux (Fig. 2). As the shear increases, the dip develops over a greater interval of height

difficult to verify on a magnetogram since the base flux does not change greatly when this condition is satisfied or not, as shown in Fig. 2. The other conditions for the formation of a filament arise from the thermal conditions along each line. They are particular to each model described in the introduction, but need in each case certain specific conditions. In conclusion, we can say that the formation of a filament is not easy since several parameters must lie in narrow ranges. It may explain how prominences from only at certain locations along large-scale neutral lines on the Sun.

#### 3.3.2. Comparison of 2D and 3D configurations

When the dip is formed, we have the type of configuration shown in Figs. 6b and 6c. In the $xz$-plane, the two-dimensional (2D) field has a neutral point, but as the component along the filament is not zero, this is not neutral point of the field in three-dimension. As the model presented here is two-dimensional, the projection of the field lines of the $xz$ plane is given by the isocontours of the scalar potential $A(x, z)$. It means that the fieldlines which form a dip, are not connected to the photospheric level: they spiral along the $y$ direction (Figs. 6).

In a more realistic three-dimensional model (Démoulin et al., 1988), the third variable ($y$) allows the field lines to connect the photosphere after a finite number of turns. The field lines form a spiral such as in the model of Pneumann (1983) of Priest et al. (1988). The evolution with shear is much more difficult to understand than in the previous 2D configuration. Starting with an arcade with no dip, the non-uniform shear along the $y$ axis form spiral field lines between the photospheric flux concentration (Demoulin et al., 1988). This may be created either by flux emergence or by reconnection or by twisting up the field lines. It should be noted that in a strictly 2D model the condensation process would be inefficient since only the plasma in the island could condense, whereas in a 3D model the connection of island fields to the solar surface would allow much more plasma to flow up from the chromosphere.

#### 3.3.3. Comparison with other models

In the present analysis of the 3D configuration, we can note that when the dense material is brought into the dip, it would leads naturally to the formation of an $I$ type of prominence (Fig. 7a, which is not a section across the prominence, but instead shows two field lines in three dimensions). An $N$ configuration is not permitted in this model without parasite flux. But we may speculate on a possible further development of the prominence which is different from that in Priest et al. (1988). The dense material deposited at low heights ($<15$ Mm) deforms the field line, pushing it to lower levels and decreasing the overlying magnetic pressure. Then, the next field line is pulled by magnetic forces to form a dip, where dense material could be stored again (Fig. 7b). In this way, we could form an $N$ configuration model, which could extend vertically to most of the prominence if the gravitational force dominates the initial magnetic pressure. In this scheme, we can therefore find prominences with an upper $N$ part and a lower $I$ part.

This possible evolution may be compared to Hirayama's (1987). The final stage is similar to his Fig. 4d', but he starts from a typical potential arcade with an $N$ configuration. Out model starts with his Fig. 4a', with no prominence. As the shear increases, the current allowed along the field line changes the field
<figure><img src="image_180.png" /><figcaption>Fig. 7. a Two field lines in the inverse I configuration of a 3-dimensional linear force-free field where a thin prominence (thick vertical line) could form, because a helical structure is present as in two-dimensional configuration of Figs. 6b and 6c. b The deformation of the previous configuration by gravity. The previous I configuration falls to a lower height, then the magnetic pressure decreases at the top of the helix and a dip could form at upper heights. The plasma then could condense there in an N configuration</figcaption></figure>

configuration, and a configuration like 4d', with no prominence, could be formed. In 3 dimensions, it needs reconnection to close the spiral to the photosphere, which will be investigated in future. In this scenario, a plage prominence is formed in an Inverse configuration, and it has the possibility to develop, from the field configuration of the last Fig. 4d' to an N configuration at larger heights, and so to a low-latitude quiescent filament. If the plage filament could grow, it may form a quiescent filament with it amazing vertical threads. Following the model of formation in a dip, the dense material could deform the field as described above, which seems to drive naturally the formation of a dip, starting from a low height, and then going to greater heights, and so the formation of near vertical threads of dense material.

The non-uniform sheae would increase the magnetic energy of the initial linear force-free field arcade. The resulting non-constant force-free field could then relax to a linear force-free state, according to a generalization of Taylor's hypothesis (Heyvaerts and Priest, 1984). During the relaxation process, the field reconnects and dissipates some magnetic energy as heat. The value of α at each time may be determined from the evolution of magnetic helicity. For a greatly sheared field, a dip is formed at the top of low field lines, where dense plasma could be accumulated, supplied by a siphon mechanism from the chromosphere.

Pneuman (1983) has proposed a different evolution from plage to quiescent filaments. He starts from an N filament and squeezes the field arcade near the mid-height; then, the field lines reconnect to give a low-lying arcade with low shear, surmounted by helical structure. This leads to a configuration similar for the future prominence to those of Figs. 6b and 6c, or the end configuration described in the Hirayama evolution. To obtain the starting point of this evolution, we may push together the field lines: the increase of the shear angle may help but the destruction of the field behind the arcade may be another way. It could be accomplished if two opposite polarity field push together and cancel as observed by Martin (1986). Then, the magnetic pressure decreases below the arcade and reconnection could occur. This scheme of evolution may be related to the formation in parallel converging mass motions described by Rompolt et al. (1986). The fist scheme with an increasing shear may be relevant to the formation in anti-parallel converging mass motions as shown in Fig. 1 of Rompolt et al. (1986).

Priest et al. (1988) have proposed that a prominence could be formed in flux tube when the twist is sufficient as it forms a dip at the top of the tube. The twisting mechanism could be the rotational flow due to Coriolis forces or differential rotation. Here we have investigated the shearing effect. An extension of these modes will be both shear and twist the tube. The effect of twisting would be to lower the critical shear needed to form a dip.

Many points remain to be investigated and to understand, in particular:

- a three-dimensional model is needed to explain the filament feet;

- a study of the dynamics of the prominence evolution, in particular of the magnetic field must be achieved in connection with the photospheric motion of giant cells, as proposed by Malherbe and Priest (1983);

- the evolution of the magnetic field when dense material is brought to the top of the arcade, where a well is present;

- the fine-scale structure of prominence threads (Ballester and Priest, 1988).

## 4. Conclusion

We have investigated the possibility of the formation of a dip in a linear force-free field before the formation of a filament. This dip or well is needed in an arcade field for all the mechanisms proposed to bring chromospheric material to the top of the arcade and keep it there. The cold plasma could condense slowly in this hollow, before too much mass is accumulated to deform the field line. In contrast to Priest et al. (1988), we have speculated that the initial configuration could be of inverse (I) polarity, in the sense that the field at the summit is in the opposite direction from that of a potential-like configuration. After the condensation material, it may be possible for the configuration to evolve to one with normal (N) polarity at large heights. The creation of a dip before the prominence forms needs a greatly sheared magnetic field, by an angle up to 80° and a particular magnetic base flux. This could be achieved by antiparallel motion at the photospheric level along the magnetic neutral line. This imposes several necessary conditions for the formation of a prominence above a polarity inversion line.

In this work, we study only a bipolar region with no parasite polarity. It rules out the possibility of forming a field line dip at the top of a potential or slightly sheared field. If we permit parasite polarity at the base, the dip is much easier to form and can exist even in a potential field arcade. The cancelling magnetic field seen by Martin (1986) before the formation of a filament may be relevant to the creation of inverse polarity by reconnection in the present model. The evolution that we have discussed may be compared with that proposed by Hirayama (1987), except that the initial state (normal configuration) has no prominence. The cold material can stay at the top of the arcade only when a well is formed, i.e. in the present analysis for an inverse field configuration. The deformation, by the accumulated mass, may later create a well in the upper arcade, and a normal configuration prominence could form there. Thus, the evolution is the opposite of Hirayama's since the first state is an inverse configuration which later may evolve to a normal one.

**Acknowledgements.** The authors thank U. Anzer and A. Hood for many helpful discussions, Jose-Luis Ballester for organising the prominence workshop where these ideas were born, S. Bordet

for typing the manuscript, and the U.K. Science and Engineering Research Council for financial support.

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CAN A DIP FOR PROMINENCE FORMATION BE CREATED
BY SHEARING A CORONAL ARCADE ?

P. Démoulin¹, T. Amari², P. Browning³, A. Hood², E. Priest²

1 Observatoire de Paris - Section de Meudon, D.A.S.O.P
92195 Meudon Principal Cedex, France

2 Applied Mathematics Department. University of St. Andrews
KY 16 955 St. Andrews - Scotland

3 Department of Pure and Applied Physics,
UMIST, P.O. Box 88, Manchester, England

<u>Submitted to</u>: Astronomy and Astrophysics the Main Journal
Section: the Sun

<u>Send off print requests to</u> T. Amari

**Key words:** Solar prominences, magnetic fields, force-free field

Thesaurus codes: 19.81.1, 19.84.1
## Summary

We investigate the possibility of prominence formation in sheared coronal arcades. The creation of a dip at the summit of field lines is a likely requirement before a prominence can form; then dense plasma is gravitationnaly stable. It is shown that, in fact, no shear profile can create a dip in a two-dimensionnal force-free arcade if the photospheric field is bipolar, but shearing induce very flat field lines. In this configuration we have investigate different effect susceptible to increase the free fall time of dense plasma. We have also analysed the interaction between shear and twist: the critical twist needed to have a dip is a decreasing function of shear. Important photospheric shear then lead to a magnetic configuration favorable to prominence formation.

# 1 Introduction

Solar prominences consist of bridges of chromospheric like material embedded in the hot corona. This dense plasma can be supported against gravity by magnetic Lorentz forces since it is frozen into the magnetic field whose strength of 10 Gauss as measured by Leroy et al (1983, 1984) are sufficient to support the typical observed densities (10¹⁰ – 10¹¹ p.cm⁻³). At prominence locations observations show a near horizontal magnetic field, greatly inclined along the prominence axis with typical shear angles between 60° and 70°. A highly sheared magnetic field in a locally bipolar region seams to be one condition for prominence formation. Martin (1986) observed the formation of a filament in an active region: it starts with the rotation of Hα fibrils which become nearly parallel to the neutral line (where a filament then forms). Two types of shearing motion have been seen by Rompolt and Bogdan (1986). The most commonly observed motion is when the velocity changes sign at the neutral line. It could be simply modelled by a linear force-free field arcade with an increasing α. The second type is described by a global shear motion along the neutral line, with a speed which decreases with distance from the neutral line. This remains difficult to interpret.

A complete description of solar filaments can be found in the books of Tandberg-Hanssen (1974) and Priest (1981) while a review of current understanding and problems is given in Ballester and Priest (1988) and Priest (1988). Observationnally, solar prominences can be divided into two classes (Priest 1988), namely Normal and Inverse configurations (referred to hereafter as N and I respectively). The N configuration have a field component normal to the prominence plane which is in the same direction as the potential field deduced from photospheric observations, while in the I configurations, the direction is reverse. This led to two main models. The Kippenhahn-Schlüter model has N fields created by the photospheric pattern, which support the prominence. But in the Kuperus-Raadu model, support is provided by line tying at the photospheric level. It is modelled by the repulsion of an image prominence below the photosphere. A unified model has been recently proposed by Priest et al (1989). They model the magnetic field around a prominence by a twisted magnetic flux tube. It gives a natural evolution from N to I configurations as the field twist increases. It
also avoids the problem of internal equilibrium at the top of the prominence in the Kuperus-Raadu model (Anzer 1984, 1988). In the flux tube model the prominence is locally supported by the twisted magnetic field, and image repulsion is not needed for the I configuration. One way to distinguish between different prominence model is to investigate if they could describe the initial stage of formation in agreement with observations.

An et al (1987), Wu et al (1987) have modelled prominence formation in a magnetic arcade by ballistically lauching chromospheric material into the corona. They find that a prominence can only be formed if the plasma $\beta$ is of the order of 1, which is far from solar conditions: $\beta \approx 10^{-3} - 10^{-2}$. In their numerical model the plasma pressure needs to be at least of order of the magnetic pressure in order to deform the initial arcade and so create a dip at the top, where dense material can be gravitationally stable. This problem is, in fact, general to all mechanisms of prominence formation: at the initial stage, only a little dense material is available at arcade tops and it rapidly drains down rather than bending the field lines. The creation of a dip at the field line summit prior to condensation is therefore a necessary condition: Priest et al (1989). Such a dip can not be found in a 2D linear force-free arcade in a Normal configuration if no parasite polarity is allowed at the base: Démoulin and Priest (1988). But an Inverse configuration can be formed if the shear is large enough ($\theta \ge 80^{\circ}$), and the base flux has a reversed second harmonic. In this 2D model an island is formed, which represents a local section across the 3D twisted flux model of Priest et al (1989). A dip can be created by twisting a 3D flux tube, but the effect of shear in such twisted configuration has to be investigated in future.

In this paper we investigate the effects of shearing motions on a 2D magnetic arcade. Linear bipolar force-free fields cannot create a dip in a Normal configuration. Since observations show a large magnetic field shear before prominence formation, the question arises: can we form a dip at the top of the arcade only by shearing motions? We first define, in section 2, the boundary value problem which corresponds to the actual physical situation of the photospheric shearing of the feet of the field lines (BVP1) and a simpler one, BVP2, that we shall consider in our numerical attempts (section 3). First we investigate a linear perturbation of a potential field; it shows that, at this approximation, that the shear is favorable to form a dip (sec-

tion 2). However the creation of a dip needs a break down of the linear approximation, then we need to solve the non linear problem. We describe the numerical method we use to solve BVP2 (section 3) and the numerical results we obtain for non linear cases for various shearing profiles (section 4). We show that such a dip cannot be formed at the top of the field line by solving BVP2. In section 5, we present a general analytical argument which prove that this "Non- Existence" result still holds in the cases of the general non linear boundary value problems BVP1 (in all cases) and BVP2 (as far as we follow the minimal energy solution) for all physical displacements. We then discuss in section 6 the possibility of prominences formation in two dimensional sheared magnetic arcades.

# 2 Description of the model

## 2.1 The physical boundary value problem "BVP1"

Let us first recall our main assumptions for the problem of shearing a force free magnetic field. Actually these are the same as those of Amari and Aly (1989a).

i) The corona $D = \{z > 0\}$ is assumed filled of a perfectly conduction plasma since the magnetic Reynolds number is very large $R_m \approx 10^{12}$, therefore the field lines obey the frozen in law.

ii) The starting magnetic field $B_o$ is assumed to be an x-invariant potential magnetic field whose scalar potential $A_o$ (defined by $B_o = \nabla A_o \times x$) is solution of the Laplace equation with non homogeneous Dirichlet boundary conditions $A_o(y, 0) = g(y)$ and decaying to zero at infinity. Moreover we assume that $g$ satisfies:

$$ 
\begin{array}{l}
0 \le g(y) \le A_{max} \\
g(y) = g(-y) \quad (\text{symmetric condition}) \\
y.dg/dy < 0 \quad \text{for } y \ne 0
\end{array}
$$

Then the starting field $B_o$ has an arcade-like topology.
Then, if at $t = 0$ the field starts to be slowly sheared by imposing an x-parallel velocity field to the feet of its lines, the field will evolve through a sequence of force free fields $B_t$ solution of the following boundary value problem refereed to hereafter as BVP1 (Amari and Aly 1989a).

$$B_t = \nabla A_t \times \mathbf{x} + B_{tx} \cdot (A_t) \mathbf{x} \quad (1)$$

$$-\Delta A_t = \frac{d}{dA} B_{tx}^2 / 2 \quad \text{in } \Omega = \{z > 0\} \cap \{y = 0\} \quad (2)$$

$$A_t (y, 0) = g(y)$$

$$\lim_{r=(y^2+z^2)^{1/2} \to \infty} A_t = 0$$

$$X_t (A) = B_{tx} (A) \int_{C_{pt}(A)} \frac{d_{sp}}{\| \nabla A_t \|}$$

$$= -B_{tx} (A) \frac{d\Sigma_t}{dA} = t \cdot \xi (A)$$

$$\text{Topology } \{C_{pt}\} = \text{Topology } \{C_{p0}\} \quad (3)$$

The shear $X_t(A)$ of a field line $C_t(A)$, defined as the difference in the x positions of its left and right feet is supposed to increased proportionnaly to time t. $C_{pt}(A)$ is the projection of $C_t(A)$ on to $\Omega$ and $d\Sigma_t$ is the area between $C_{pt}(A)$ and $C_{pt}(A + dA)$. We also assume that the shear is not applied to all the field lines: $A' (< A_{max})$ is the smallest value of A such that $\xi(A) = 0$ in $[A', A_{max}]$. Eq. (3) expresses the conservation of the topology (arcade like) resulting from the frozen-in Law (ii).

By reporting the value of $B_{tx}$ from Eq. (2d) into the Grad Shafranov Eq. (2a) one obtains a General Differential Equation for $A_t$ which appears to be the solution of a non linear and non local problem. (The theory of non local operator is still in infancy: see Aly and Amari 1985). Although BVP1 is the actual boundary value problem that corresponds to the “physical” shearing of the arcade-like configuration $B_o$, it is not exactly the one we shall consider in our numerical attempts where a simpler situation is investigated.

## 2.2 The simpler boundary value problem: BVP2

We now consider the sequence of force free fields

$$B_{\lambda} = \nabla A_{\lambda} \times \mathbf{x} + B_{\lambda x} (A_{\lambda}) \mathbf{x}$$

where $A_\lambda$ is solution of the following boundary value problem referred to hereafter as BVP2:

$$-\Delta A_{\lambda} = \frac{d}{dA} B_{\lambda x}^2 / 2 \stackrel{\text{def}}{=} \lambda f(A) \text{ in } \Omega \quad (4)$$

$$A_{\lambda} (y, 0) = g(y)$$

$$\lim_{r \to \infty} A_{\lambda} = 0$$

in which $B_{\lambda x}(A)$ (or $\lambda.f(A) \ge 0$) is now assumed to be given and $\lambda \ge 0$ is a growing parameter. BVP2 describes the quasistatic evolution of the equilibrium when the electric current increases. A general analytical study of the properties of the equilibrium states solutions of BVP2 has been given by Heyvaerts et al (1982,1983): it is found in particular that for large values of $\lambda$ there is no solution of the closed type topology, under some assumptions on $f$ (positiveness, compact support) and $g$. These results are generalised in presence of gravity by Amari and Aly (1989b).

The solution $A_0$ of BVP2 (associated to $\lambda = 0$), is identical to the solution of BVP1 (corresponding to $t = 0$) introduced in 2.1. However instead of increasing the shear function $X_t$ given by Eq. (2d) as in BVP1 this is now the component $B_{\lambda x}$ which is growing in BVP2. Of course $B_{\lambda x}$ and $X_t$ are related by Eq. (2d), but in BVP1 $A_t$ is computed directly from the knowledge of $X_t$ and then Eq. (2d) gives $B_{tx}$ (which has not to be given) whereas in BVP2 $A_\lambda$ is computed from $B_{\lambda x}$ (which is given) and then Eq. (2d) gives $X_\lambda$. We shall not discuss in this paper the questions of equilibrium - non equilibrium related to the existence - non existence of onset points by comparing BVP1 and BVP2: see the revue of Zwingmann (1988). However, we shall only be concerned with the problem of creating a dip at the summit of the field line. As a starting point we consider the effect of shearing a potential arcade to the linear approximation in the next paragraph and in the two next sections, we shall consider numerically BVP2.

## 2.3 Linear approximation

The function $f(A)$ is chosen to be:

$$f(A) = k^2 (A + 12bA^3) \quad (5)$$
<figure><img src="image_181.png" /><figcaption>**Figure 1:**
Field lines projected on the plane Oyz for the analytical solution (of section 2.3) obtained by assuming a small perturbation from a potential field. Here for $b = -2, \lambda = 0.4$, a dip is present at field line top, however $\lambda \ll 1$ is not satisfy.</figcaption></figure>

in order to test non linear force-free field (b is a parameter measuring the non linearity of the shear profile). In this paragraph we consider a force free field which is a small perturbation from a potential field (a weakly sheared arcade). Writing $A = A_o + \lambda A_1$, where $\lambda$ is a small parameter, the perturbed field $A_1$ satisfies:

$$ \Delta A_1 = -f(A_o) $$

We choose the unperturbed potential field to be $A_o = \cos(ky)e^{-kz}$. The solution which satisfies the prescribe normal field condition $A_1 = 0$ on the photosphere $z = 0$, at the limit $z \to \infty$ and on $y = \pm \pi/2k$ is:

$$ A_1 = \frac{\cos(ky)}{2} \left[ kze^{-kz} + \frac{9b}{4} (e^{-kz} - e^{-3kz}) \right] + b\cos(3ky) kze^{-3kz} $$

The displacement in height $\delta z_1$ of a field line is given by:

$$ \begin{aligned} \delta z_1 &= -A_1 / (\partial A_o / \partial z) \\ &= \frac{z}{2} + \frac{9b}{8k} (1 - e^{-2kz}) + \frac{bz\cos(3ky)}{2\cos(ky)} e^{-2kz} \end{aligned} $$

This can be negative for certain values of the height $z$, giving a dip if its magnitude is large enough: analyzing the field lines shows that, if $b = -2$, there is no dip for $\lambda = 0.2$ but a dip does appear for $\lambda \ge 0.4$: figure 1. Clearly this latter case of $\lambda \approx 0.4$ is rather outside the range of validity of the perturbation expansion (requiring $\lambda \ll 1$). Nevertheless, in many cases, taking a perturbation expansion to the limits of its validity can give qualitatively correct results. We therefore use a 2D numerical code to study this equilibrium in the full non-linear regime, in order to discover whether the dip predicted by the linearised theory actually exists or not.

## 3. Numerical procedure

In this section we describe the general procedure used to compute non linear field in an infinit space. The force free field used in paragraph 2.3 is limited by vertical boundaries at $y = \pm \pi/2k$ and so the right boundary must be $A = 0$.
## 3.1 Computation grid

We study an isolated magnetic active region, which has a symmetry of translation along the x axis, and is symmetric from the Oyz plane. This allowed to compute the magnetic potential on the quarter plane {$y > 0, z > 0$} - see the argument presented in Amari and Aly 1989a, which shows the symmetry of the solutions of BVP1, $A_t(y, z) = A_t(-y, z)$, and still holds at least for the minimal energy solution of BVP2. The photospheric field and the shear are zero for $|y| \ge y_u$. the vertical extension of this magnetic structure is crudely of the same order of the horizontal one. then we put an uniform, fine, grid in the region $0 \le y \le y_u$, $0 \le z \le z_u = y_u$. The boundaries conditions effects are decreased by taking them away. We then take geometric progression of ratio $c_y = c_z = c$ in the external region: $y_u \le y < y_{max}$, $z_u \le z < z_{max} = y_{max}$. Taking $N_y = N_z = 40$ points, with half on external region, and $y_u/y_{max} = 0.1$, leads to $c \approx 1.2$. The grid size then increase slowly from its neighbour of a factor c. The slow field value and gradient in the external region permit to have important grid size near right and up boundaries.

## 3.2 Boundary conditions

Boundary conditions are shown in Figure 1.

- At left $B_z = -\partial A/\partial y = 0$ is obtained by symmetry

- At bottom $B_z(y, 0)$ and then $A(y, 0)$ is imposed:

$$A(y, 0) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_n}{n \cdot k} \cos (nk_y)$$

with $k = 2\pi/y_p$. We choose $y_p = 1.5$. $y_u$, and show here, results only with the first harmonic (Fig. 1), since harmonics have little effects.

- Right and upper boundaries effect is tested by trying three different conditions: $A = 0$, normal derivative set to zero, and second normal derivative set to zero. The first one imposed a field parallel to the boundary, the second normal to it, and the third one imposed so that there is no particular field direction but only no normal gradient on the parallel field. Such sets of boundary conditions are very different and so could give a good insight

on to the effect of the boundary. With the numerical values given above essentially, the same results are found with all these three cases.

## 3.3 Numerical resolution

The non linear equation Eq. (4) is solved by iteration starting from a potential field (which is given by a linear equation, easily solved). At the $n_{th}$ stage, the approximate numerical solution of BVP1 is $A_n(y, z)$, with $\lambda = \lambda_n$ in Eq. (4). $A_{n+1}$, solution of BVP2 with $a_n = A_{n+1} - A_n$ is then computed by linearising Eq. (4) in terms of the perturbation $a_n \ll A_n$. The linearised equation for $a_n$ is:

$$\Delta a_n + \lambda_n^2 \left( \left( \frac{\partial f}{\partial A} \right)^2 + f \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial A^2} \right) a_n = -2 \cdot \lambda_n \cdot \delta \lambda_n \cdot f \frac{\partial f}{\partial A}$$

which can be solved straight forwardly. The evolution is controlled to force $|a_n/A_n|$ to be less than a given value $\epsilon$, typically between $10^{-2}$ and $10^{-3}$. This linear approximation at each step is refined by estimating the size of the second order term and computing an approximate value of $a_n$ from the preceding step. Thus the errors are decreased to the third order in $|a_n/A_n|$. The effect of cumulative errors is tested, on a few cases by comparing solutions obtained with $\epsilon = 10^{-2}$ and $10^{-3}$. No significant differences were found. For the computations presented here, different grids have also been tested. A large number of points are only necessary when the shear is important, which generally implies a high gradient in the flux function. A computation with only 20 x 20 points with boundary conditions at only $3 \cdot y_u$ gives at least a good approximation.

# 4 Numerical results

Assuming a functional form for $f(A)$ in Eq. (4a) we now look for numerical solutions of BVP2, when $\lambda$ is slowly increasing. We do not reach any onset point $\lambda^*$ ($\lambda < \lambda^*$) and keep following the “minimal” solution on the lower branch. The resulting footpoint displacement $X_\lambda(A)$ is then computed owing
<figure><img src="image_182.png" /><figcaption>**Figure 2:**
Same as figure 1, but for the full non linear force-free field solution ($b = -2, \lambda = 0.4$). No dip is present at field line top.</figcaption></figure>

to Eq. (2d) and remains realistic although it cannot be expressed in the form:

$$X_{\lambda} = \lambda \cdot \mu (A_{\lambda} (y, 0)) \quad \text{as in BVP1}$$

## 4.1 Bounded force free field

We solved equations (4), with the function $f(A)$ given by (5) in the geometry described in paragraph 2.3. A great range of values for and $b$ were tried. The linearised solution suggests that $b$ should be negative if there is a dip: this also follows because we need a change of sign in $B_x dB_x/dA$ to create a dip by pulling some field lines down into a region of low excess magnetic pressure and pushing higher field lines up. The results for $\lambda = 0.4, b = -2$ are shown in figure 2. This has rather flat field lines, but there is certainly no dip, contrary to the predictions of the linearised model. Increasing $\lambda$ or $-b$, gives similar results, although it seems we can make the field lines arbitrary flat.

## 4.2 Unbounded force-free field

The precedent results show that dips in force-free arcades may be very difficult, if no impossible, to form. We have done some other tentives with unbounded force-free field with the geometry described in section 3.

Different profiles have been tried, namely

$$B_{\lambda x}(A) = 1 + \cos(\pi(A - A_m)/A_a) \quad \text{if } |A - A_m| \le A_a \quad (6)$$

$$B_{\lambda x}(A) = 0 \quad \text{otherwise}$$

The function $B_{\lambda x}(A)$ given by Eq. (6) has been chosen to test different shear profiles. The shear is concentrated around $A = A_m$, with an half size of $A_a$. It is prefered to a Gaussian profile since non zero values are localised in an interval, and so there is no compatibility problem with boundary conditions on the right hand side. By choosing $A_m$ and $A_a$ we are allowed to shear whatever region we like.
<figure><img src="image_183.png" /><figcaption>Figures 3:</figcaption></figure>

Field lines projected on the oyz plane. 3a: $\lambda = 1.3$, 3b: $\lambda = 2.2$. Current jx are schematically shown on Fig.a. They create the central void, and flatten field line in this region. These effects increase with height, and extend as shear increase. The right-hand and upper boundaries are located far away at typical 10 times the size of $y_u$ or $z_u$. The computation presented here are made with $B_z = 4 \sin(2\pi y/y_p)$ at the base, $y_p = 150$ Mm and $y_u = z_u = 100$ Mm.

### 4.2.1 Field evolution

As an example, we examine the evolution obtained with $A_m = A_{max}/2$ and $A_a = A_{max}/4$: Fig.3. As $\lambda$ increases $A(y,z)$ is distorted by the terms $B_z \cdot dB_z/dA$ in Eq. (4) which gives a current density

$$ \mu_o \cdot j_x (A) = B_z \cdot dB_z/dA $$

With the shear function given by Eq. (6), two regions of intense current are created, one on either side of the field line $A = A_m$. They are shown schematically on Fig.3a. Both currents create a magnetic field that is opposite in direction from that of the initial arcade in the region $A \approx A_m$. Thus, the magnetic field lines are pushed away from this region as the shear increases as shown in Fig.3b (with a greater $\lambda$ than 3a). Another way to understand this is to say that an extra magnetic pressure $B_z^2/2\mu_o$ is created near $A \approx A_m$ which pushes field lines away from this region. The displacement $X_\lambda$, computed from Eq. (2d), is qualitatively similar to $B_z(y,0)$ profile: Fig.4a, and the maximum shear remains near the maximum of $B_z$. This simple behaviour comes from the fact that we are far from the critical point $\lambda = \lambda^*$ (see Fig.3b Zwingman 1988). It is therefore justifiable to solve BVP2, unless it is BVP1 that is relevant to solar physic. This approach is in fact valid for important shear: Fig.4a shows a footpoint displacement 5 times greater than the photospheric size of the wall structure. Fig.4b confirms this: the field becomes more and more aligned with the x axis as $B_z(y,0)$ increases. A maximum shear angle on the vertical axis is obtained close to 90° for $\lambda \ge 1.3$.

### 4.2.2 Summit field line curvature

The assumption of a symmetric magnetic field produces field lines orthogonal to the z axis. Separating the Laplace force into a pressure and a tension term gives a vertical tension force at $y = 0$ of $B^2/(\mu_0 R_c)$, where $R_c$ is the radius of curvature, such that:

$$ \frac{1}{R_c} = \frac{\partial \log_e B_h}{\partial z} \qquad (7) $$

where $B_h$ is the horizontal field on the z axis. Thus an upward (negative) curvature needs a magnetic field that is increasing with height.