# Implémentation de l'élément fini d'argyris : exemples

Michel Bernadou, Jean-Marie Boisserie

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Michel Bernadou, Jean-Marie Boisserie. Implémentation de l'élément fini d'argyris : exemples. [Rap-
port de recherche] IRIA-RR-301, IRIA. 1978, pp.86. hal-04716539

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ARCHIVES

IMPLÉMENTATION
DE L'ÉLÉMENT FINI
D'ARGYRIS

EXEMPLES

Michel BERNADOU
Jean-Marie BOISSERIE

Rapport de Recherche N° 301

Mai 1978

86p.
<figure><img src="image_2.png" /></figure>
# IMPLÉMENTATION DE L'ÉLÉMENT FINI D'ARGYRIS - EXEMPLES

Michel Bernadou - Jean-Marie Boisserie

## Résumé :

Dans ce rapport nous détaillons l'implémentation de l'élément fini d'ARGYRIS. A l'aide de polynômes de degré 5, cet élément fini réalise une interpolation de type Hermite et il permet de construire des espaces de fonctions approchées de classe $C^1$. L'utilisation conjointe des coordonnées barycentriques et des paramètres d'excentricité permet de définir l'élément fini pour un triangle quelconque indépendamment de toute utilisation d'un élément fini de référence. Des exemples numériques simples de problèmes de potentiel et de plaque complètent ce travail. Les listes FORTRAN correspondantes sont données en annexe.

## Abstract :

In this report, the implementation of the ARGYRIS finite element is described. Using polynomials of fifth degree, this finite element gives rise to an interpolation of Hermite type and it permits the construction of spaces of approximating functions of $C^1$ class. The combined use of barycentric coordinates and eccentricity parameters enables the finite element to be defined for any triangle not involving the notion of a reference finite element. Simple numerical examples of potential and plate problems complete this work. The associated FORTRAN listing is given in the appendix.
# INTRODUCTION.

Un des aspects extrêmement intéressant de la mise en oeuvre de la méthode des éléments finis est son **caractère modulaire** : le programme tout entier est divisé en **modules**, chaque module étant un ensemble de sous-programmes ayant une attribution spécifique. L'intérêt de cette partition réside dans la possibilité

(i) d'interchanger des modules ayant le même type d'attribution ;

(ii) de résoudre certains problèmes particuliers par l'adjonction au programme principal d'un ou de plusieurs modules spécialement adaptés. Ces principes sont à la base du code MODULEF (cf. PERRONNET [1]).

Dans ce rapport nous détaillons l'implémentation de l'**élément fini d'ARGYRIS** (cf. ARGYRIS-FRIED-SCHARPF [1]). Rappelons que cet élément réalise une interpolation de type Hermite à l'aide de polynômes de degré 5, et qu'il permet de construire des espaces de fonctions approchées de **classe C**¹. La mise en oeuvre numérique de cet élément est délicate car :

(i) l'espace fonctionnel est un espace de polynômes de degré assez élevé, i.e., 5;

(ii) dans l'ensemble des degrés de liberté, figurent des valeurs des **dérivées normales** au milieu des côtés. Comme les transformations affines ne conservent pas les angles, la normale au milieu d'un côté d'un triangle est en général transformée en oblique au milieu du côté du triangle correspondant par transformation affine. C'est pourquoi il n'est pas possible, au moins directement, d'utiliser la notion d'éléments finis de référence.

Nous montrons dans le numéro 2 comment l'utilisation conjointe des **coordonnées barycentriques** et des **paramètres d'excentricité** permet de définir l'élément fini pour un **triangle quelconque**, indépendamment de toute utilisation d'un élément fini de référence. En particulier, nous donnons l'expression des 21 fonctions de base à l'aide des coordonnées barycentriques et des paramètres d'excentricité.
Dans le numéro 2 nous montrons comment réaliser les modules "fonctionnelles d'énergie" relatifs aux problèmes de potentiel et de plaque, puis nous donnons quelques résultats numériques dans le cas de problèmes admettant une solution connue.

Les programmes "FORTRAN" correspondants sont donnés en Annexe.

**Notation** : les renvois à BERNADOU [1] sont indiqués par (II,...). ■

## Plan : 1 - IMPLEMENTATION DE L'ELEMENT FINI D'ARGYRIS

1.1. Définition de l'élément fini d'Argyris

1.2. Coordonnées barycentriques. Coordonnées Cartésiennes

1.3. Paramètres d'excentricité

1.4. Passage des degrés de liberté locaux aux degrés de liberté globaux.

1.5. Polynômes de base et leurs dérivées

1.6. Interpolation d'une fonction v et dérivées de la fonction interpolée.

## 2 - RESOLUTION NUMERIQUE DE PROBLEMES DE POTENTIEL ET DE PLAQUE

2.1. Un problème de potentiel

2.2. Un problème de plaque

## BIBLIOGRAPHIE.

### ANNEXE A : Programme principal

### ANNEXE B :

- B-0 - Module fonctions données

- B-1 - Module de triangulation

- B-2 - Module d'interpolation

- B-3 - Module d'intégration

- B-4 - Module rigidité élémentaire

- B-5 - Module second membre élémentaire

- B-6 - Module assemblage

- B-7 - Module résolution

- B-8 - Module sortie

- B-9 - Module service
# 1 - IMPLEMENTATION DE L'ÉLÉMENT FINI D'ARGYRIS

## 1-1. Définition de l'élément fini d'ARGYRIS.

Nous condensons la définition de l'élément fini d'ARGYRIS sur la figure suivante (cf. également (II, Figure 2.3-2)).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 1.1-1 : l'élément fini d'ARGYRIS</figcaption></figure>

Ici, et dans toute la suite les indices appartiennent à l'ensemble {1,2,3} modulo 3.

## 1-2. Coordonnées barycentriques - Coordonnées cartésiennes

Dans tout ce qui suit nous supposons donné un repère orthonormé fixe du plan $\mathbb{R}^2$, $(O, \hat{e}_1, \hat{e}_2)$. Les coordonnées d'un point P sont notées $(x,y)$, i.e.,
$$
\vec{OP} = x \vec{e}_1 + y \vec{e}_2 .
$$

Soit alors un triangle de sommets $a_1(x_1,y_1)$, $a_2(x_2,y_2)$, $a_3(x_3,y_3)$.
L'hypothèse de régularité de la triangulation du domaine $\Omega$ (II, Section 2.1)
entraîne en particulier $\overrightarrow{a_1a_2} \times \overrightarrow{a_1a_3} \neq \vec{0}$.

Les coordonnées cartésiennes (x,y) du point P sont données en fonction
des coordonnées barycentriques ($\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$) par les expressions :

$$
(1.2-1) \quad \begin{cases} x = \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \lambda_3 x_3, \\ y = \lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2 + \lambda_3 y_3. \end{cases}
$$

Rappelons que

$$
(1.2-2) \qquad 1 = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 .
$$

Inversement,

$$
\[
\begin{array}{@{}l@{\qquad}l@{}}
\left(1.2-3\right) \quad \begin{array}{@{}l@{}}
\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\lambda_1 = \frac{(x-x_2)(y_2-y_3)}{\Delta} + \frac{(x_3-x_2)(y-y_2)}{\Delta} \\
\lambda_2 = \frac{(x-x_3)(y_3-y_1)}{\Delta} + \frac{(x_1-x_3)(y-y_3)}{\Delta} \\
\lambda_3 = \frac{(x-x_1)(y_1-y_2)}{\Delta} + \frac{(x_2-x_1)(y-y_1)}{\Delta}
\end{array}
\right. \\
\text{où} \\
\Delta = x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \\
\quad = (x_1-x_3)(y_2-y_3) + (x_2-x_3)(y_3-y_1) \\
\quad = (\overrightarrow{a_1a_3} \times \overrightarrow{a_2a_3}) \cdot (\overrightarrow{e_1} \times \overrightarrow{e_2}) \neq 0.
\end{array}
\right.
\end{aligned}
$$

1-3. Paramètres d'excentricité

L'élément d'ARGYRIS comporte parmi ses degrés de liberté trois dérivées
normales, calculées au milieu des côtés. Nous appelons $b_1, b_2, b_3$ les milieux
respectifs des côtés $a_1a_3, a_3a_1, a_1a_2$ et nous désignons par $c_1, c_2, c_3$ les
pieds des hauteur issues des sommets $a_1, a_2, a_3$, respectivement.
<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Alors les paramètres d'excentricité ($\in \mathbb{R}$) sont définis par les relations

$$ (1.3-1) \qquad \eta_i = 2 \frac{\overline{c_i \cdot b_i}}{\overline{a_{i-1} \cdot a_{i+1}}}, \quad i = 1, 2, 3. $$

Ces paramètres peuvent être facilement calculés à partir des coordonnées des trois sommets du triangle

$$ (1.3-2) \qquad \eta_i = \frac{(\ell_{i+2})^2 - (\ell_{i+1})^2}{\ell_i^2}, \quad i = 1, 2, 3, $$

où

$$ (1.3-3) \qquad \ell_i = \sqrt{(x_{i+1} - x_{i-1})^2 + (y_{i+1} - y_{i-1})^2}, \quad i = 1, 2, 3, $$

désigne la longueur du côté $a_{i-1} \cdot a_{i+1}$ du triangle.

### 1-4. Passage des degrés de liberté locaux aux degrés de liberté globaux

Dans la définition des degrés de liberté de l'élément fini d'ARGYRIS nous utilisons uniquement la géométrie du triangle. Nous qualifions ces degrés de liberté de "locaux". Pour procéder à l'assemblage, il convient de définir des degrés de liberté "globaux", ce qui revient essentiellement à remplacer les directions des côtés du triangle par les directions fixes des vecteurs $\vec{e}_1, \vec{e}_2$, puis à normer.
Les degrés de liberté globaux attachés aux sommets $a_i$, $i = 1, 2, 3$.

Aux 6 degrés de liberté locaux relatifs au sommet $a_i$ du triangle considéré, i.e.,

$$ (1.4-1) \quad \left\{ \begin{array}{l} v \to \{ v(a_i), Dv(a_i)(a_{i-1}-a_i), Dv(a_i)(a_{i+1}-a_i), \\ \qquad D^2v(a_i)(a_{j+1}-a_{j-1})^2, 1 \le j \le 3 \} \end{array} \right. $$

on associe les 6 degrés de liberté globaux suivant :

$$ (1.4-2) \quad \left\{ \begin{array}{l} v \to \{ v(a_i), Dv(a_i)e_1 = \frac{\partial v}{\partial x}(a_i), Dv(a_i)e_2 = \frac{\partial v}{\partial y}(a_i), \\ \qquad D^2v(a_i)(e_1, e_1) = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}(a_i), D^2v(a_i)(e_1, e_2) = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}(a_i), \\ \qquad D^2v(a_i)(e_2, e_2) = \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}(a_i) \}. \end{array} \right. $$

L'expression des degrés de liberté locaux en fonction des degrés de liberté globaux est donnée par les relations suivantes :

$$ (1.4-3) \quad \begin{bmatrix} Dv(a_i)(a_{i-1}-a_i) \\ Dv(a_i)(a_{i+1}-a_i) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{i-1} - x_i & y_{i-1} - y_i \\ x_{i+1} - x_i & y_{i+1} - y_i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial v}{\partial x}(a_i) \\ \frac{\partial v}{\partial y}(a_i) \end{bmatrix} $$

$$ (1.4-4) \quad \begin{bmatrix} D^2v(a_i)(a_2-a_3)^2 \\ D^2v(a_i)(a_3-a_1)^2 \\ D^2v(a_i)(a_1-a_2)^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (x_2-x_3)^2 & 2(x_2-x_3)(y_2-y_3) & (y_2-y_3)^2 \\ (x_3-x_1)^2 & 2(x_3-x_1)(y_3-y_1) & (y_3-y_1)^2 \\ (x_1-x_2)^2 & 2(x_1-x_2)(y_1-y_2) & (y_1-y_2)^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}(a_i) \\ \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}(a_i) \\ \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}(a_i) \end{bmatrix} $$

Les dérivées normales aux milieux des côtés.

Il convient de les normer et de les orienter. Notons tout d'abord que le vecteur $c_i a_i$ a pour composantes :

$$ (1.4-5) \quad \vec{c}_i a_i = a_i - \vec{c}_i = \begin{cases} x_i - \frac{1}{2}(1-n_i)x_{i+1} - \frac{1}{2}(1+n_i)x_{i-1}, \\ y_i - \frac{1}{2}(1-n_i)y_{i+1} - \frac{1}{2}(1+n_i)y_{i-1}. \end{cases} $$

Posons
$$
(1.4-6) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\mathrm{XCAI} = x_i - \frac{1}{2}(1-n_i)x_{i+1} - \frac{1}{2}(1+n_i)x_{i-1} \\
\\
\mathrm{YCAI} = y_i - \frac{1}{2}(1-n_i)y_{i+1} - \frac{1}{2}(1+n_i)y_{i-1}.
\end{array}
\right.
$$

Alors, le degré de liberté global $\frac{\partial v}{\partial v_i}(b_i)$ associé au degré de liberté local $Dv(b_i)(a_i-c_i)$ est défini comme suit :

$$
(1.4-7) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
\frac{\partial v}{\partial v_i}(b_i) = \frac{1}{|c_i a_i|} \frac{XCAI}{|XCAI|} Dv(b_i)(a_i - c_i) & \text{si } XCAI \neq 0, \\[\medskipamount]
\\[\medskipamount]
\frac{\partial v}{\partial v_i}(b_i) = \frac{1}{|c_i a_i|} \frac{YCAI}{|YCAI|} Dv(b_i)(a_i - c_i) & \text{si } XCAI = 0.
\end{array}
\right.
$$

Matrice de passage des degrés de liberté locaux aux degrés de liberté globaux

Soit à calculer la matrice carrée D, de dimension 21, telle que

$$
(1.4-8) \quad [DLLC(v)]_{(1,21)} = [DLGL(v)]_{(1,21)} [D]_{(21,21)}
$$

où

$$
(1.4-9) \quad \left\{
\begin{array}{l}
|DLGL(v)| = \begin{bmatrix}
v(a_1) & v(a_2) & v(a_3) & \frac{\partial v}{\partial x}(a_1) & \frac{\partial v}{\partial y}(a_1) & \frac{\partial v}{\partial x}(a_2) & \frac{\partial v}{\partial y}(a_2) \\
& \frac{\partial v}{\partial x}(a_3) & \frac{\partial v}{\partial y}(a_3) & \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}(a_1) & \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}(a_1) & \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}(a_1) \\
& & \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}(a_2) & \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}(a_2) & \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}(a_2) & \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}(a_3) & \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}(a_3) \\
& & & \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}(a_3) & \frac{\partial v}{\partial v_1}(b_1) & \frac{\partial v}{\partial v_2}(b_2) & \frac{\partial v}{\partial v_3}(b_3)
\end{bmatrix},
\end{array}
\right.
$$

et

$$
(1.4-10) \quad \left\{
\begin{aligned}
& [DLLC(v)] = [v(a_1) \ v(a_2) \ v(a_3) \ Dv(a_1)(a_3-a_1) \ Dv(a_1)(a_2-a_1) \\
& \qquad Dv(a_2)(a_1-a_2) \ Dv(a_2)(a_3-a_2) \ Dv(a_3)(a_2-a_3) \ Dv(a_3)(a_1-a_3) \\
& \qquad D^2v(a_1)(a_3-a_1)^2 \ D^2v(a_1)(a_1-a_2)^2 \ D^2v(a_2)(a_1-a_2)^2 \\
& \qquad D^2v(a_2)(a_2-a_3)^2 \ D^2v(a_3)(a_2-a_3)^2 \ D^2v(a_3)(a_3-a_1)^2 \\
& \qquad D^2v(a_1)(a_2-a_3)^2 \ D^2v(a_2)(a_3-a_1)^2 \ D^2v(a_3)(a_1-a_2)^2 \\
& \qquad Dv(b_1)(a_1-c_1) \ Dv(b_2)(a_2-c_2) \ Dv(b_3)(a_3-c_3)]
\end{aligned}
\right.
$$
Posons

$$
(1.4-11) \quad \begin{bmatrix} d_i \\ 2 \times 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_i - l^{-x_i} & x_{i+1} - x_i \\ y_i - l^{-y_i} & y_{i+1} - y_i \end{bmatrix}, \quad i = 1, 2, 3,
$$

$$
\begin{array}{c}
\text{(1.4-12)} \\
\text{[d}_4\text{]}_{9 \times 9} =
\begin{bmatrix}
\begin{array}{ccc}
X_{31}X_{31} & X_{13}X_{12} & 0 \\
2X_{31}Y_{31} & 2X_{12}Y_{12} & 0 \\
Y_{31}Y_{31} & Y_{12}Y_{12} & 0
\end{array}
&
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}
&
\begin{array}{ccc}
X_{23}X_{23} & 0 & 0 \\
2X_{23}Y_{23} & 0 & 0 \\
Y_{23}Y_{23} & 0 & 0
\end{array}
&
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}
\\
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & X_{12}X_{12} \\
0 & 0 & 2X_{12}Y_{12} \\
0 & 0 & Y_{12}Y_{12}
\end{array}
&
\begin{array}{ccc}
X_{23}X_{23} & 0 & 0 \\
2X_{23}Y_{23} & 0 & 0 \\
Y_{23}Y_{23} & 0 & 0
\end{array}
&
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & X_{13}X_{12} \\
0 & 0 & 2X_{12}Y_{12} \\
0 & 0 & Y_{12}Y_{12}
\end{array}
\\
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}
&
\begin{array}{ccc}
0 & X_{23}X_{23} & X_{31}X_{31} \\
0 & 2X_{23}Y_{23} & 2X_{31}Y_{31} \\
0 & Y_{23}Y_{23} & Y_{31}Y_{31}
\end{array}
&
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}
\end{bmatrix}
\end{array}
$$

où $X_{ij} = x_i - x_j, Y_{ij} = y_i - y_j, 1 \le i,j \le 3,$

et enfin

$$
(1.4-13) \quad n_i = \begin{cases} \left| \overrightarrow{c_i a_i} \right| \frac{XCAI}{|XCAI|} & \text{si } XCAI \neq 0 \\ 0 & \text{, } i=1,2,3, \\ \left| \overrightarrow{c_i a_i} \right| \frac{YCAI}{|YCAI|} & \text{si } XCAI = 0 \end{cases}
$$

où les quantités XCAI et YCAI sont définies par les relations (1.4-6)

et où

$$
(1.4-14) \qquad \left| \overrightarrow{c_i a_i} \right| = \left[ (XCAI)^2 + (YCAI)^2 \right]^{\frac{1}{2}} .
$$

Dès lors la matrice de passage D des degrés de liberté locaux aux degrés de liberté globaux, définie par la relation (1.4-8), s'écrit :
$$
(1.4-15) \quad [D]_{21 \times 21} = \begin{bmatrix} 1 & & & & & \\ & 1 & & & & \\ & & d_1 & d_2 & & \\ & & & d_3 & d_4 & n_1 \\ & & & & n_2 & \\ & & & & & n_3 \end{bmatrix} .
$$

Il s'agit d'une matrice diagonale par blocs.

1-5. Polynômes de base et leurs dérivées

L'espace fonctionnel d'approximation est l'espace vectoriel des poly-
nômes de degrés inférieurs ou égaux à 5 par rapport à l'ensemble des variables
x et y. Grâce aux relations (1.2-1) (1.2-2) il est loisible d'exprimer les
21 monômes de base à l'aide des 21 monômes en λ₁, λ₂, λ₃, homogènes de degré 5.
On montre alors que les polynômes de base s'écrivent sous la forme matricielle
suivante :

$$
(1-5.1) \qquad [p]_{21 \times 1} = [A]_{21 \times 21} \times [\lambda]_{21 \times 1}.
$$

Plus précisément, si l'on pose

$$
(1.5-2) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \sum_{i=1}^{3} v(a_i) p_i^0 + \sum_{i=1}^{3} (Dv(a_i)(a_{i-1} - a_i)p_i^1 + Dv(a_i)(a_{i+1} - a_i)p_i^{1-1} & \\
\displaystyle + \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} D^2 v(a_i)(a_{j+1} - a_j)a_{i-1}^2 p_i^{2,j} + \sum_{i=1}^{3} Dv(b_i)(a_i - a_i)p_i^{1,i} &
\end{array}
\right.
$$

la relation (1.5-1) s'écrit sous la forme indiquée figure 1.5-1.

Remarque 1.5-1 :

Soit $|\Lambda_0|_{21\times21}$ la valeur de la matrice A lorsque $n_1 = n_2 = n_3 = 0$.

Alors on note que

$$
[A]_{21 \times 21} = [\Lambda_0]_{21 \times 21} + \left[ \frac{\begin{smallmatrix} \bullet \\ (15 \times 18) \\ \bullet \end{smallmatrix}}{(6 \times 18)} \middle| \frac{\Lambda_n}{(6 \times 3)} \right]
$$
avec

$$
A_{ij} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -60 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 60 & -60 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -60 & 0 & 60 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 60 & -60 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 14 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -14 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 14 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -14 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 14 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -14 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_1 & 0 & 0 \\ 0 & n_2 & 0 \\ 0 & 0 & n_3 \end{bmatrix}
$$

Dérivées des polynômes de base :

Soit à calculer les dérivées des polynômes de base par rapport aux
variables x et y. Nous procédons en deux temps :

(i) Dérivation par rapport aux $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$.

En notant $\partial_i p = \frac{\partial p}{\partial \lambda_i}$, $\partial^2 p = \frac{\partial^2}{\partial \lambda_i \partial \lambda_j}$ on a :

$$
(1.5-3) \quad \begin{cases} |\partial_i p|_{2 \times 1} = |A|_{2 \times 2} |\partial_i \lambda|_{2 \times 1} , & i=1,2,3, \\ |\partial^2_{ij} p|_{2 \times 1} = |A|_{2 \times 2} |\partial^2_{ij} \lambda|_{2 \times 1} , & i,j=1,2,3. \end{cases}
$$

Les expressions des matrices [λ], [∂ᵢλ], [∂ᵢⱼλ] sont données sur la figure 1.5-2.

(ii) Dérivation par rapport aux x,y.

$$
\frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\partial p}{\partial \lambda_1} \frac{\partial \lambda_1}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial \lambda_2} \frac{\partial \lambda_2}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial \lambda_3} \frac{\partial \lambda_3}{\partial x},
$$

$$
\frac{\partial p}{\partial y} = \frac{\partial p}{\partial \lambda_1} \frac{\partial \lambda_1}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial \lambda_2} \frac{\partial \lambda_2}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial \lambda_3} \frac{\partial \lambda_3}{\partial y},
$$

soit avec la relation (1.2-3) :
<table><caption>Figure 1.5-2 : Expressions des matrices [λ] [θᵢλ] [θᵢⱼλ]</caption><thead><tr><th>[λ]</th><th>[θ₁λ]</th><th>[θ₂λ]</th><th>[θ₃λ]</th><th>[θ₁₁λ]</th><th>[θ₁₂λ]</th><th>[θ₁₃λ]</th><th>[θ₂₂λ]</th><th>[θ₂₃λ]</th><th>[θ₃₃λ]</th></tr></thead><tbody><tr><td>λ<sup>5</sup><br>1</td><td>5λ<sup>4</sup><br>1</td><td>0</td><td>0</td><td>20λ<sup>3</sup><br>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>λ<sup>5</sup><br>2</td><td>0</td><td>5λ<sup>4</sup><br>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>20λ<sup>3</sup><br>2</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>λ<sup>5</sup><br>3</td><td>0</td><td>0</td><td>5λ<sup>4</sup><br>3</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>20λ<sup>3</sup><br>3</td></tr><tr><td>λ<sup>4</sup>λ<br>1 3</td><td>4λ<sup>3</sup>λ<br>1 3</td><td>0</td><td>λ<sup>4</sup><br>1</td><td>12λ<sup>2</sup>λ<br>1 3</td><td>0</td><td>4λ<sup>3</sup><br>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>λ<sup>4</sup>λ<br>1 2</td><td>4λ<sup>3</sup>λ<br>1 2</td><td>λ<sup>4</sup><br>1</td><td>0</td><td>12λ<sup>2</sup>λ<br>1 2</td><td>4λ<sup>3</sup><br>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>λ<sup>4</sup>λ<br>2 1</td><td>λ<sup>4</sup><br>2</td><td>4λ<sup>3</sup>λ<br>2 1</td><td>0</td><td>0</td><td>4λ<sup>3</sup><br>2</td><td>0</td><td>12λ<sup>2</sup>λ<br>2 1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>λ<sup>4</sup>λ<br>2 3</td><td>0</td><td>4λ<sup>3</sup>λ<br>2 3</td><td>λ<sup>4</sup><br>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>12λ<sup>2</sup>λ<br>2 3</td><td>4λ<sup>3</sup><br>2</td><td>0</td></tr><tr><td>λ<sup>4</sup>λ<br>3 2</td><td>0</td><td>λ<sup>4</sup><br>3</td><td>4λ<sup>3</sup>λ<br>3 2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>4λ<sup>3</sup><br>3</td><td>12λ<sup>2</sup>λ<br>3 2</td></tr><tr><td>λ<sup>4</sup>λ<br>3 1</td><td>λ<sup>4</sup><br>3</td><td>0</td><td>4λ<sup>3</sup>λ<br>3 1</td><td>0</td><td>0</td><td>4λ<sup>3</sup><br>3</td><td>0</td><td>0</td><td>12λ<sup>2</sup>λ<br>3 1</td></tr><tr><td>λ<sup>3</sup>λ<sup>2</sup><br>1 3</td><td>3λ<sup>2</sup>λ<sup>2</sup><br>1 3</td><td>0</td><td>2λ<sup>3</sup>λ<br>1 3</td><td>6λ λ<sup>2</sup><br>1 3</td><td>0</td><td>6λ<sup>2</sup>λ<br>1 3</td><td>0</td><td>0</td><td>2λ<sup>3</sup><br>1</td></tr><tr><td>λ<sup>3</sup>λ<sup>2</sup><br>1 2</td><td>3λ<sup>2</sup>λ<sup>2</sup><br>1 2</td><td>2λ<sup>3</sup>λ<br>1 2</td><td>0</td><td>6λ λ<sup>2</sup><br>1 2</td><td>6λ<sup>2</sup>λ<br>1 2</td><td>0</td><td>2λ<sup>3</sup><br>1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>λ<sup>3</sup>λ<sup>2</sup><br>2 1</td><td>2λ λ<sup>3</sup><br>1 2</td><td>3λ<sup>2</sup>λ<sup>2</sup><br>1 2</td><td>0</td><td>2λ<sup>3</sup><br>2</td><td>6λ λ<sup>2</sup><br>1 2</td><td>0</td><td>6λ<sup>2</sup>λ<br>1 2</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>λ<sup>3</sup>λ<sup>2</sup><br>2 3</td><td>0</td><td>3λ<sup>2</sup>λ<sup>2</sup><br>2 3</td><td>2λ<sup>3</sup>λ<br>2 3</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>6λ λ<sup>2</sup><br>2 3</td><td>6λ<sup>2</sup>λ<br>2 3</td><td>2λ<sup>3</sup><br>2</td></tr><tr><td>λ<sup>3</sup>λ<sup>2</sup><br>3 2</td><td>0</td><td>2λ λ<sup>3</sup><br>2 3</td><td>3λ<sup>2</sup>λ<sup>2</sup><br>2 3</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2λ<sup>3</sup><br>3</td><td>6λ λ<sup>2</sup><br>2 3</td><td>6λ<sup>2</sup>λ<br>2 3</td></tr><tr><td>λ<sup>3</sup>λ<sup>2</sup><br>3 1</td><td>2λ λ<sup>3</sup><br>1 3</td><td>0</td><td>3λ<sup>2</sup>λ<sup>2</sup><br>1 3</td><td>2λ<sup>3</sup><br>3</td><td>0</td><td>6λ λ<sup>2</sup><br>1 3</td><td>0</td><td>0</td><td>6λ<sup>2</sup>λ<br>1 3</td></tr><tr><td>λ<sup>3</sup>λ λ<br>1 2 3</td><td>3λ<sup>2</sup>λ λ<br>1 2 3</td><td>λ<sup>3</sup>λ<br>1 3</td><td>λ<sup>3</sup>λ<br>1 2</td><td>6λ λ λ<br>1 2 3</td><td>3λ<sup>2</sup>λ<br>1 3</td><td>3λ<sup>2</sup>λ<br>1 2</td><td>0</td><td>λ<sup>3</sup><br>1</td><td>0</td></tr><tr><td>λ λ<sup>3</sup>λ<br>1 2 3</td><td>λ<sup>3</sup>λ<br>2 3</td><td>3λ λ<sup>2</sup>λ<br>1 2 3</td><td>λ λ<sup>3</sup><br>1 2</td><td>0</td><td>3λ<sup>2</sup>λ<br>2 3</td><td>λ<sup>3</sup><br>2</td><td>6λ λ λ<br>1 2 3</td><td>3λ λ<sup>2</sup><br>1 2</td><td>0</td></tr><tr><td>λ λ λ<sup>3</sup><br>1 2 3</td><td>λ λ<sup>3</sup><br>2 3</td><td>λ λ<sup>3</sup><br>1 3</td><td>3λ λ λ<sup>2</sup><br>1 2 3</td><td>0</td><td>λ<sup>3</sup><br>3</td><td>3λ λ<sup>2</sup><br>2 3</td><td>0</td><td>3λ λ<sup>2</sup><br>1 3</td><td>6λ λ λ<br>1 2 3</td></tr><tr><td>λ λ<sup>2</sup>λ<sup>2</sup><br>1 2 3</td><td>λ<sup>2</sup>λ<sup>2</sup><br>2 3</td><td>2λ λ λ<sup>2</sup><br>1 2 3</td><td>2λ λ<sup>2</sup>λ<br>1 2 3</td><td>0</td><td>2λ λ<sup>2</sup><br>2 3</td><td>2λ<sup>2</sup>λ<br>2 3</td><td>2λ λ<sup>2</sup><br>1 3</td><td>4λ λ λ<br>1 2 3</td><td>2λ λ<sup>2</sup><br>1 2</td></tr><tr><td>λ<sup>2</sup>λ λ<sup>2</sup><br>1 2 3</td><td>2λ λ λ<sup>2</sup><br>1 2 3</td><td>λ<sup>2</sup>λ<sup>2</sup><br>1 3</td><td>2λ<sup>2</sup>λ λ<br>1 2 3</td><td>2λ λ<sup>2</sup><br>2 3</td><td>2λ λ<sup>2</sup><br>1 3</td><td>4λ λ λ<br>1 2 3</td><td>0</td><td>2λ<sup>2</sup>λ<br>1 3</td><td>2λ<sup>2</sup>λ<br>1 2</td></tr><tr><td>λ<sup>2</sup>λ<sup>2</sup>λ<br>1 2 3</td><td>2λ λ<sup>2</sup>λ<br>1 2 3</td><td>2λ<sup>2</sup>λ λ<br>1 2 3</td><td>λ<sup>2</sup>λ<sup>2</sup><br>1 2</td><td>2λ<sup>2</sup>λ<br>2 3</td><td>4λ λ λ<br>1 2 3</td><td>2λ λ<sup>2</sup><br>1 2</td><td>2λ<sup>2</sup>λ<br>1 3</td><td>2λ<sup>2</sup>λ<br>1 2</td><td>0</td></tr></tbody></table>
$$
(1.5-4) \quad \left\{
\begin{aligned}
\partial_x p &= \frac{1}{\Delta} \{ (y_2 - y_3) \partial_{1p} + (y_3 - y_1) \partial_{2p} + (y_1 - y_2) \partial_{3p} \}, \\
\partial_y p &= \frac{1}{\Delta} \{ (x_3 - x_2) \partial_{1p} + (x_1 - x_3) \partial_{2p} + (x_2 - x_1) \partial_{3p} \}.
\end{aligned}
\right.
$$

De même, comme $\partial_{xx}^2 \lambda_i = 0$, $\partial_{xy}^2 \lambda_i = 0$, $\partial_{yy}^2 \lambda_i = 0$, on a

$$
\begin{equation} \tag{1.5-5}
\left\{
\begin{aligned}
\partial_{xx} p &= \frac{1}{\Delta^2} \{ (y_2-y_3)^2 \partial_{11} p + (y_3-y_1)^2 \partial_{22} p + (y_1-y_2)^2 \partial_{33} p \\
&\quad + 2(y_2-y_3)(y_3-y_1) \partial_{12} p \\
&\quad + 2(y_3-y_1)(y_1-y_2) \partial_{23} p \\
&\quad + 2(y_1-y_2)(y_2-y_3) \partial_{31} p \}, \\[1em]
\partial_{xy} p &= \frac{1}{\Delta^2} \{ (y_2-y_3)(x_3-x_2) \partial_{11} p + (y_3-y_1)(x_1-x_3) \partial_{22} p + \\
&\quad + (y_1-y_2)(x_2-x_1) \partial_{33} p + [(y_2-y_3)(x_1-x_3) + (y_3-y_1)(x_3-x_2)] \partial_{12} p \\
&\quad + [(y_3-y_1)(x_2-x_1) + (y_1-y_2)(x_1-x_3)] \partial_{23} p \\
&\quad + [(y_1-y_2)(x_3-x_2) + (y_2-y_3)(x_2-x_1)] \partial_{31} p \}, \\[1em]
\partial_{yy} p &= \frac{1}{\Delta^2} \{ (x_3-x_2)^2 \partial_{11} p + (x_1-x_3)^2 \partial_{22} p + (x_2-x_1)^2 \partial_{33} p \\
&\quad + 2(x_3-x_2)(x_1-x_3) \partial_{12} p + 2(x_1-x_3)(x_2-x_1) \partial_{23} p \\
&\quad + 2(x_2-x_1)(x_3-x_2) \partial_{31} p \}.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
$$

1-6. Interpolation d'une fonction v et dérivées de la fonction interpolée

Soit $\pi_K v$ la fonction interpolée. Les relations (1.4-10) et (1.5-2)
permettent d'écriter

$$
\pi_K v = [DLLC(v)]_{1 \times 21} |p|_{21 \times 1},
$$

ou encore, grâce aux relations (1.4-8) et (1.5-1) :

$$
(1.6-1) \qquad \pi_K v = [DLGL(v)]_{(1,21)}^{[D]} [21 \times 21]^{[A]} [21 \times 21]^{[\lambda]} [21 \times 1]
$$

Par suite

$$
\[
(1.6-2) \quad \left\{
\begin{aligned}
\partial_x \pi_K v &= [DLGL(v)] [D] [A] [\partial_x \lambda], \\
\partial_y \pi_K v &= [DLGL(v)] [D] [A] [\partial_y \lambda], \\
\partial_{xx} \pi_K v &= [DLGL(v)] [D] [A] [\partial_{xx} \lambda], \\
\partial_{xy} \pi_K v &= [DLGL(v)] [D] [A] [\partial_{xy} \lambda], \\
\partial_{yy} \pi_K v &= [DLGL(v)] [D] [A] [\partial_{yy} \lambda].
\end{aligned}
\right.
\]
$$
Les matrices colonnes $[\partial_x \lambda]$ et $[\partial_y \lambda]$ sont définies en fonction des matrices $[\partial_i \lambda]$, $i=1,2,3$ (cf. Figure 1.5-2) comme suit :

$$ (1.6-3) \quad \begin{cases} [\partial_x \lambda] = \frac{1}{\Delta} \{ (y_2-y_3)[\partial_1 \lambda] + (y_3-y_1)[\partial_2 \lambda] + (y_1-y_2)[\partial_3 \lambda] \} \\ [\partial_y \lambda] = \frac{1}{\Delta} \{ (x_3-x_2)[\partial_1 \lambda] + (x_1-x_3)[\partial_2 \lambda] + (x_2-x_1)[\partial_3 \lambda] \}. \end{cases} $$

On obtient de même les matrices $[\partial_{xx} \lambda]$, $[\partial_{xy} \lambda]$, $[\partial_{yy} \lambda]$ en fonction des matrices $[\partial_{11} \lambda]$, $[\partial_{12} \lambda]$, $[\partial_{13} \lambda]$, $[\partial_{22} \lambda]$, $[\partial_{23} \lambda]$, $[\partial_{33} \lambda]$ par analogie avec les relations (1.5-5) (remplacer $p$ par $\lambda$).
## 2 - RESOLUTION NUMÉRIQUE DE PROBLÈMES DE POTENTIEL ET DE PLAQUES

Dans ce numéro nous proposons deux exemples simples d'application. Le premier exemple est relatif au problème du potentiel. Pour ce problème, qui est d'ordre 2, l'utilisation de l'élément d'ARGYRIS est superflue. Il est cependant intéressant de comparer les résultats avec ceux que l'on obtient en utilisant des éléments finis plus simples. Le second exemple est relatif au problème de plaque. Pour ce type de problème (d'ordre 4) l'élément d'ARGYRIS (de classe C¹ est bien adapté : il permet de réaliser une approximation conforme du déplacement.

### 2-1. Un problème de potentiel :

**Formulation variationnelle du problème :**

Soit $\Omega$ un ouvert borné du plan $\mathbb{R}^2$. Le problème s'énonce alors :

$$ (2.1-1) \quad \begin{cases} \text{Trouver } u \in H_0^1(\Omega) \text{ tel que pour tout } v \in H_0^1(\Omega) \text{ on ait} \\ \displaystyle\int_{\Omega} (\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial y}) dxdy = \int_{\Omega} f v dxdy, \end{cases} $$

ce qui est (formellement) équivalent à

$$ (2.1-2) \quad \begin{cases} - \Delta u = f, \\ u|_{\Gamma} = 0. \end{cases} $$

On peut bien sûr envisager des conditions aux limites plus générales.

**Les problèmes approchés :**

La solution $u$ est approchée dans l'espace discret $V_h$ construit à partir de l'élément fini d'ARGYRIS. Le problème discret s'énonce :

$$ (2.1-3) \quad \begin{cases} \text{Trouver } \tilde{u}_h \in V_h \text{ tel que pour tout } v_h \in V_h, \\ a(\tilde{u}_h, v_h) = f(v_h). \end{cases} $$

Les relations (1.6-2) entraînent, en particulier,

$$ (2.1-4) \quad \begin{cases} \partial_x \tilde{u}_h = [DLGL(\tilde{u}_h)] [D] [A] [\partial_x \lambda], \\ \partial_y \tilde{u}_h = [DLGL(\tilde{u}_h)] [D] [A] [\partial_y \lambda]. \end{cases} $$
La matrice de rigidité élémentaire est obtenue à partir de la relation :

$$ (2.1-5) \quad = [DLGL(\tilde{u}_h)]_{(1\times2)} [DA]_{(2\times2)} \left\{ \begin{aligned} & \int_K [\partial_x \lambda \ \partial_y \lambda] (2\times2) \, t^{\lambda} [\partial_x \lambda \ \partial_y \lambda] (2\times2) \, dxdy \\ & t^{\lambda} [DA]_{(2\times2)} \, t^{\lambda} [DLGL(v_h)]_{(2\times1)} \end{aligned} \right\} $$

L'intégrale entre parenthèses peut être calculée exactement (on doit intégrer un polynôme de degré 8) ou bien, évaluée à l'aide d'un schéma d'intégration numérique tel que

$$ (2.1-6) \qquad \forall \hat{\phi} \in P_8(\hat{K}), \hat{E}(\hat{\phi}) = 0, $$

où $\hat{K}$ désigne le triangle de référence.

Dans la Figure 2.1-1 nous donnons un schéma d'intégration numérique vérifiant la condition (2.1-6). Ce schéma est extrait de LYNESS-JESPERSEN [1, page 30] (cf. aussi (II, Figure 3.7-1)).

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

<table><caption>Figure 2.1-1 : Exemple de Schéma d'intégration numérique vérifiant la condition 2.1-6.</caption><thead><tr><th colspan="2">COORDONNEES BARYCENTRIQUES<br>(ζ₁, ζ₂, 1-ζ₁-ζ₂)</th><th>ORDRE DE<br>MULTIPLICITE</th><th>POIDS</th></tr></thead><tbody><tr><td>3.33333333333333Q-01</td><td>3.33333333333333Q-01</td><td>1</td><td>1.44315607677862Q-01</td></tr><tr><td>8.141482341455413Q-02</td><td>4.592925882927229Q-01</td><td>3</td><td>9.50916342672850Q-02</td></tr><tr><td>8.989055433659379Q-01</td><td>5.054722831703103Q-02</td><td>3</td><td>3.245849762319813Q-02</td></tr><tr><td>6.588613844964797Q-01</td><td>1.705693077517601Q-01</td><td>3</td><td>1.032173705347184Q-01</td></tr><tr><td>8.394777409957211Q-03</td><td>7.284923929554041Q-01</td><td>6</td><td>2.72303141744349Q-02</td></tr></tbody></table>
Nous écrivons

$$ \int_K \phi(x,y) dxdy \sim \text{aire}(K) \sum_{\ell=1}^{L} \omega_{\ell} \phi(b_{\ell}). $$

D'une manière générale, la prise en compte de l'intégration numérique
équivaut à la résolution du nouveau problème discret suivant :

$$ (2.1-7) \quad \begin{cases} \text{Trouver } u_h \in V_h \text{ tel que pour tout } v_h \in V_h, \\ a_h(u_h, v_h) = f_h(v_h), \end{cases} $$

où

$$ (2.1-8) \quad \left\{ \begin{aligned} a_h(u_h, v_h) &= \sum_{K \in \mathcal{T}} [\mathrm{DLGL}(u_h)]_{[DA]} \text{ aire}(K) \sum_{\ell=1}^{L} \left[ \omega_{\ell} \{ [\partial_x \lambda \quad \partial_y \lambda]^t [\partial_x \lambda \quad \partial_y \lambda] \} (b_{\ell}) \right], \\ f_h(v_h) &= \sum_{K \in \mathcal{T}} \text{aire}(K) \sum_{\ell=1}^{L} \{ \omega_{\ell} \bar{f}(b_{\ell})^t [\lambda(b_{\ell})]_{1 \times 21} \}^t [DA]_{21 \times 21}^t [\mathrm{DLGL}(v_h)]. \end{aligned} \right. $$

Un problème particulier

$$ \Omega = \{0,1| \times \} \{0,1| $$

$$ (2.1-9) \quad f = -2\{(1-6x-6x^2)y^2(1-y)^2 + x^2(1-x)^2(1-6y+6y^2)\}. $$

La solution exacte est alors

$$ (2.1-10) \quad u = x^2(1-x)^2 y^2(1-y)^2. $$

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 2.1-2 : Prise en compte des conditions aux limites</figcaption></figure>
## Prise en compte des conditions aux limites

Sur la figure 2.1-2 nous indiquons comment s'effectue la prise en compte des conditions aux limites. A chaque sommet de triangles situé sur la frontière est associée une matrice 1×6 dont les éléments sont 0 ou 1. Les éléments de cette matrice correspondent respectivement aux 6 degrés de liberté suivants :

$$ \left[ \begin{matrix} \partial v \quad \partial v \quad \partial^2 v \quad \partial^2 v \quad \partial^2 v \\ \partial x \quad \partial y \quad \partial x^2 \quad \partial x \partial y \quad \partial y^2 \end{matrix} \right]. $$

(i) La valeur 1 indique que le degré de liberté correspondant est bien une inconnue du problème.

(ii) La valeur 0 indique que le degré de liberté correspondant est nul (compte tenu des conditions aux limites) et doit être supprimé. Pour ce faire on supprime la ligne et la colonne afférente à ce noeud dans la matrice de rigidité globale ; il est préférable d'effectuer cette suppression lors de la formation de la matrice de rigidité élémentaire.

Sur la Figure 2.1-2 nous indiquons les trois types de situations rencontrées dans l'étude de notre exemple

* sommet sur un côté parallèle à l'axe des x ;

* sommet sur un côté parallèle à l'axe des y ;

* sommet situé en un coin du carré.

Précisons que les degrés de liberté associés aux dérivées normales aux milieux des côtés des triangles situés sur Γ sont des inconnues du problème.

## Méthode de résolution

Pour résoudre des systèmes d'équations linéaires simultanées à matrice symétrique définie positive, la méthode de factorisation $A = \Gamma^T SS$, désignée sous le nom de méthode de CHOLESKI, est une des plus employée.

Dans le cas que nous traitons, le nombre de coefficients nuls dans la matrice de rigidité A est relativement peu élevé car la base discrète est riche (ensemble des polynômes de degré 5). C'est pourquoi nous utilisons une factorisation à largeur de bande variable (en anglais, "sky-line") de façon à rejeter au mieux les termes nuls.

Définissons la notion de profil d'une matrice triangulaire supérieure S (resp. d'une matrice carrée symétrique A).
**Définition 2.1-1** : Soit une matrice triangulaire supérieure S (resp. une matrice carrée symétrique A) dont les éléments sont notés $S_{ij}$ (resp. $A_{ij}$), i, j = 1, ..., N. Le profil de la matrice S (resp. A) est le N-vecteur ligne P dont les éléments $P(j)$, $j = 1,...,N$, sont tels que

$P(j) \in [1, \dots, j];$

$\text{Si } P(j) \neq 1, \text{ alors } \forall i \in [1, \Gamma(j)-1], S_{ij} = 0 \text{ (resp. } A_{ij} = 0).$

Ainsi, le profil de la matrice triangulaire supérieure S suivante :

$$S = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ \mathbf{O} &  &  &  & 4 \\ \end{bmatrix},$$

est le 5-vecteur ligne

$$P = [1 \ 2 \ 1 \ 4 \ 3].$$

Alors, le résultat principal que nous utilisons est énoncé dans JENNINGS [i] :

**PROPOSITION 2.1-1** : *Soit A une matrice symétrique définie positive. La méthode de Choleski lui associe une matrice triangulaire supérieure S telle que $A = t^{\top}SS$. Alors, les matrices A et S ont le même profil.*

**Résultats numériques :**

Soit N un entier supérieur ou égal à 2. A chaque valeur de N nous associons une triangulation du carré à l'aide de triangles rectangles isocèles dont les côtés ont pour mesure $\frac{1}{N}$, $\frac{1}{N}$ et $\frac{\sqrt{2}}{N}$ (cf. Figure 2.1-3, dans le cas N = 3). Le problème approché est résolu successivement pour N = 2,3, ..., 8, ce qui fournit pour chaque triangle K le vecteur $DLGL(u_h)$.

Sur les graphiques 2.1-1 nous indiquons les variations, en fonction de h, des erreurs absolues $|u-u_h|$, $\left|\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 u_h}{\partial x^2}\right|$ calculées au point $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ et des erreurs absolues $\left|\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial u_h}{\partial x}\right|$, $\left|\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 u_h}{\partial x \partial y}\right|$ calculées au point $(\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$. Ces graphiques sont réalisés sur papier quadrillé logarithmique.
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>(I)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>(II)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>(III)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>(IV)</figcaption></figure>

$$ (I) : |u - u_h| \text{ au point } (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) $$

$$ (II) : \left| \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial u_h}{\partial x} \right| \text{ au point } (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}) $$

$$ (III) : \left| \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 u_h}{\partial x^2} \right| \text{ au point } (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) $$

$$ (IV) : \left| \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 u_h}{\partial x \partial y} \right| \text{ au point } (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}) $$

GRAPHIQUES 2.1-1 : Quelques estimations ponctuelles de l'erreur absolue pour le problème du potentiel.
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 2.1-3 : Exemple de triangulation du carré dans le cas N = 3</figcaption></figure>

## 2-2. Un problème de plaque

**Formulation variationnelle du problème :**

Soit $\Omega$ un ouvert borné du plan $\mathbb{R}^2$. Le problème s'énonce alors :

$$ (2.2-1) \quad \left\{ \begin{array}{ll} \text{Trouver } u \in H_0^2(\Omega) \text{ tel que } \nabla v \in H_0^2(\Omega) \text{ on ait :} \\ \displaystyle \int_{\Omega} \frac{Ee^3}{12(1-v^2)} \{ (1-v) [u_{xx} v_{xx} + 2u_{xy} v_{xy} + u_{yy} v_{yy}] \\ \displaystyle \qquad + v[u_{xx} + u_{yy}] [v_{xx} + v_{yy}] \} dxdy = \int_{\Omega} f v dxdy, \end{array} \right. $$

où $E, v, e$ désignent respectivement le module de Young, le coefficient de Poisson et l'épaisseur de la plaque. Si l'on suppose, pour simplifier, que ces trois paramètres sont constants, alors le problème (2.2-1) est (formellement) équivalent aux équations :

$$ (2.2-2) \quad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{Ee^3}{12(1-v^2)} \Delta^2 u = f \text{ dans } \Omega, \\ u = \frac{\partial u}{\partial n} = 0 \text{ sur } \Gamma = \partial\Omega. \end{array} \right. $$

Pour ce problème, on peut bien sûr envisager des conditions aux limites plus générales.
## Le problème approché

Soit $v_h$ l'espace discret construit à partir de l'élément fini d'ARGYRIS.
Le problème approché s'énonce ainsi :

$$ (2.2-3) \quad \text{Trouver } v_h \in V_h \text{ tel que } \nabla v_h \in V_h, a(u_h, v_h) = f(v_h). $$

Les relations (1.6-2) entraînent alors :

$$ (2.2-4) \quad \left\{ \begin{aligned} \partial_x u_h &= [\mathrm{DLGL}(u_h)] [\mathrm{DA}] [\partial_x \lambda], \\ \partial_y u_h &= [\mathrm{DLGL}(u_h)] [\mathrm{DA}] [\partial_y \lambda], \\ \partial_{xx} u_h &= [\mathrm{DLGL}(u_h)] [\mathrm{DA}] [\partial_{xx} \lambda], \\ \partial_{xy} u_h &= [\mathrm{DLGL}(u_h)] [\mathrm{DA}] [\partial_{xy} \lambda], \\ \partial_{yy} u_h &= [\mathrm{DLGL}(u_h)] [\mathrm{DA}] [\partial_{yy} \lambda]. \end{aligned} \right. $$

Mais la relation (2.2-1) s'écrit :

$$ (2.2-5) \quad a(u,v) = \int_{\Omega} \frac{Ee^3}{12(1-v^2)} [u_{xx} \ u_{xy} \ u_{yy}] \begin{bmatrix} 1 & 0 & v \\ 0 & 2(1-v) & 0 \\ v & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{xx} \\ v_{xy} \\ v_{yy} \end{bmatrix} \mathrm{dxdy}, $$

d'où, en passant à l'intégrale des fonctions approchées :

$$ (2.2-6) \quad \left\{ \begin{aligned} a(u_h, v_h) &= \sum_{K \in \mathcal{K}} \int_{\partial K} [\mathrm{DLGL}(u_h)] (1,21) [\mathrm{DA}] (21 \times 21) \\ & \quad \times \left\{ \begin{aligned} & \iint_K \frac{Ee^3}{12(1-v^2)} [\lambda_{xx} \ \lambda_{xy} \ \lambda_{yy}] (21 \times 3) \begin{bmatrix} 1 & 0 & v \\ 0 & 2(1-v) & 0 \\ v & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{xx} & v_{xy} & v_{yy} \end{bmatrix} \mathrm{dxdy} \\ & \quad \times \begin{bmatrix} \mathrm{DA} \end{bmatrix} (21 \times 21) \begin{bmatrix} \mathrm{DLGL}(v_h) \end{bmatrix} (21 \times 1) \end{aligned} \right\}. $$

Lorsque $E, e, v$ sont constants la fonction à intégrer est un polynôme de degré 6 que l'on peut intégrer *exactement*. On peut également utiliser un schéma d'intégration numérique. Selon BERNADOU-DUCATEL [1] un tel schéma doit vérifier le critère

$$ (2.2-7) \quad \forall \hat{\phi} \in P_6(\hat{K}), \hat{E}(\hat{\phi}) = 0, $$
et ceci, que les coefficients E, e, v soient constants ou variables.

Dans la Figure 2.2-1 nous donnons un schéma d'intégration numérique vérifiant la condition (2.2-7). Ce schéma est extrait de COWPER [1] et LYNESS-JESPERSEN [1] (cf. aussi (II, Figure 3.7-2)).

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

12 noeuds

<table><caption>**Figure 2.2-1** : Exemple de schéma d'intégration numérique exact pour les polynômes de degré 6</caption><thead><tr><th>Poids</th><th>Coordonnées barycentriques des noeuds (ζ<sub>3</sub>=1-ζ<sub>1</sub>-ζ<sub>2</sub>)</th><th>Multiplicité</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,1167862757263407</td><td>ζ<sub>1</sub>=5.014265096581342Q-01 ζ<sub>2</sub>=2.492867451709329Q-01</td><td>3</td></tr><tr><td>0,0508449063702055</td><td>ζ<sub>1</sub>=8.738219710169965Q-01 ζ<sub>2</sub>=6.308901449150177Q-02</td><td>3</td></tr><tr><td>0,0828510756183929</td><td>ζ<sub>1</sub>=6.365024991213939Q-01 ζ<sub>2</sub>=5.314504984483216Q-02</td><td>6</td></tr></tbody></table>

Ainsi la forme bilinéaire $a(u_h, v_h)$ définie en (2.2-6) est approchée par :

$$ (2.2-8) \quad \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} a(u_h, v_h) \sim \sum_{K \in \mathfrak{C}_h} \text{aire}(K) [\text{DLGL}(u_h)] [\text{DA}] \\ \quad \times \left[ \sum_{\ell=1}^{L} \omega_\ell \frac{Ee^3}{12(1-\nu^2)} [\lambda_{xx} \ \lambda_{xy} \ \lambda_{yy}] \begin{bmatrix} 1 & 0 & \nu \\ 0 & 2(1-\nu) & 0 \\ \nu & 0 & 1 \end{bmatrix} \right]^t [\lambda_{xx} \ \lambda_{xy} \ \lambda_{yy}] (b_\ell) \end{array} \right\} . $$

Par analogie, le second membre est approché par :

$$ (2.2-9) \quad \int_{\Omega} f v_h \, dxdy \sim \sum_{K \in \mathfrak{C}_h} \text{aire}(K) \left\{ \sum_{\ell=1}^{L} \left[ \omega_\ell f(b_\ell)^t [\lambda(b_\ell)] (1,21) \right]^t [\text{DA}]_{21 \times 21} \right. \\ \left. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left[ \text{DLGL}(v_h) \right]_{21 \times 1} \right\}. $$
Un problème particulier :

$$ \Omega = ]0,1[ \times ]0,1[ $$

$$ (2.2-10) \quad f = \frac{2Ee^3}{3(1-v^2)} [3x^2(1-x)^2 + 3y^2(1-y)^2 + (1-6x+6x^2)(1-6y+6y^2)]. $$

La solution exacte est alors :

$$ (2.2-11) \qquad u = [xy(1-x)(1-y)]^2. $$

Prise en compte des conditions aux limites :

Pour le problème continu (plaque encastrée) les conditions aux limites sont :

$$ u = \frac{\partial u}{\partial n} = 0 \text{ sur } \Gamma = \partial\Omega. $$

Sur la Figure 2.2-2 nous indiquons les suppressions de degrés de liberté à effectuer pour les sommets de triangles situés sur $\Gamma$ (cf. notations introduites dans l'étude du problème du potentiel) d'une part, et les suppressions des degrés de liberté liées au calcul des dérivées normales au milieu des côtés des triangles situés sur $\Gamma$ d'autre part.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 2.2-2</figcaption></figure>

Prise en compte des conditions aux limites
Résultats numériques

La méthode de triangulation du carré est identique à celle utilisée
dans la Section 2.1 pour le problème du potentiel. Le problème approché est
résolu successivement pour N = 2,3, ...,8 (pour la signification de N, cf.
Figure 2.1-3).

Sur les graphiques 2.2-1 nous indiquons les variations en fonction de h,
des erreurs absolues $|u-u_h|$, $\left|\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 u_h}{\partial x^2}\right|$ calculées au point $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ et des
erreurs absolues $\left|\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial u_h}{\partial x}\right|$, $\left|\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 u_h}{\partial x \partial y}\right|$ calculées au point $(\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$. Ces graphiques sont réalisés sur papier quadrillé logarithmique.

Remarque 2.2-1 : D'autres exemples d'application de l'élément fini d'ARGYRIS sont donnés dans ARGYRIS-LOCHNER [1] pour la résolution de problèmes de structures et dans THOMASSET [1] pour la résolution de problèmes de Stokes et de Navier-Stokes.

<figure><img src="image_14.png" /></figure>
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>(I)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>(II)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>(III)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>(IV)</figcaption></figure>

$$ (I) : |u-u_h| \text{ au point } (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) $$

$$ (II) : \left| \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial u_h}{\partial x} \right| \text{ au point } (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}) $$

$$ (III) : \left| \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 u_h}{\partial x^2} \right| \text{ au point } (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) $$

$$ (IV) : \left| \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 u_h}{\partial x \partial y} \right| \text{ au point } (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}) $$

GRAPHIQUES 2.2-1 : Quelques estimations ponctuelles de l'erreur absolue pour le problème de plaque.
BIBLIOGRAPHIE

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[1] The TUBA family of plate elements for the matrix displacement method.
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[1] On the application of the SHEBA shell element.
Comp. Method Appl. Mech. Engng., **1** (1972), 317-347.

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[1] Méthodes conformes d'éléments finis avec intégration numérique pour
des problèmes de coques. Rapport IRIA-LABORIA N° 245, Août 1977.

BERNADOU M., BOISSERIE J.M.,

[1] Mise en oeuvre numérique de problèmes de coques. Rapport Laboria
(1978), à paraître.

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[1] Méthodes d'éléments finis avec intégration numérique pour des problèmes elliptiques du quatrième ordre. R.A.I.R.O. Analyse Numérique, **12**, N° 1,
(1978) 3-26.

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[1] *The Finite Element Method for Elliptic Problems*. North-Holland,
Amsterdam, 1977.

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[1] Gaussian quadrature formulas for triangles. Internat. J. Numer. Methods Engng., **7**, N° 3 (1973), 405-408.

JENNINGS A.,

[1] Solution of variable bandwidth positive definite simultaneous equations.
The Computer Journal, **14** (1971) page 446.

LAURSEN M.E., GELLERT M.,

[1] Some criteria for numerically integrated matrices and quadrature formulas for triangles. Internat. J. Numer. Methods Engng., **12** (1978),
67-76.

LYNESS J.N., JESPERSEN D.,

[1] Moderate degree symmetric quadrature rules for the triangle.
J. Inst. Maths Applic., **15** (1975), 19-32.

PERRONNET A.,

[1] The club MODULEF, a library of subroutines for finite element analysis.
Proceedings of the "Third International Symposium on Computing Methods in
Applied Sciences and Engineering". Versailles, décembre 1977.
THOMASSET F.,

[1] Etude d'une méthode d'éléments finis de degré 5. Application aux problèmes de plaques et d'écoulement de fluides. Thèse de 3° cycle, Paris XI, 1974.
ANNEXE A

On trouvera ci-après la liste du programme principal relatif
à la résolution de problèmes de potentiel et de plaque.
C

**************

C

TOPOLOGIE DU RECTANGLE - TOUVER-1 DU DE L ANNEAU - TOUVER-1

C

**************

ISN-0023

TOUVER-9

ISN-0024

TOUVER-1

ISN-0025

IVEBER-LAS-1

ISN-0026

NENCT-RIN(LAS-1)

ISN-0027

NINGT-NEGOO(NINGO+MINGO)

C

NINGT-1 SERT A COMPACTER DE L INFORMATION

ISN-0028

H1-DEUPI/DFLOAT(IRA-1)

ISN-0029

H2-UN/DFLOAT(IRB-1)

ISN-0030

IF(TVEBER.EQ.2)-CALL INGDIF

ISN-0031

CALL PSBER1AR.IER.IFR.IHR.IKR.TDINA.IRA.IRB)

ISN-0033

ISN-0034

1 CONTINUE

ISN-0035

STOP

ISN-0035

END
# ANNEXE B

Dans les divers commentaires qui apparaissent dans ces sous-programmes nous renvoyons aux numéros des relations des paragraphes 1 et 2.

Il convient de noter que ces sous-programmes permettent de résoudre des problèmes de potentiel, de plaque *mais aussi de coque* (cf. BERNADOU-BOISSERIE [1]). D'où la prise en compte de plusieurs inconnues à l'aide du paramètre INCO.

Dans l'annexe B nous donnons les listes des programmes principaux relatifs aux problèmes de potentiel et de plaque.

## B-0 - MODULE FONCTIONS DONNEES

- Ce module comporte

- FFF

- TEMP

## B-1 - MODULE DE TRIANGULATION

Ce module fournit la triangulation d'un rectangle. La maille élémentaire est fournie par FIRBER (cf. Figure B-1).

- Ce module comporte

- COOBER

- COOBES - COOBET

- COSIBE

- FIRBER

- IG

- KORDRE
<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure B-1 : La maille élémentaire</figcaption></figure>
## B-2 - MODULE D'INTERPOLATION

Ce module comporte

ART

DRT

FEDA

FEGX

IDERIV

IDERIW

PL-PL1-PL2

PLO

TRIAGO

XLAMB-LAMBX

## B-3 - MODULE D'INTEGRATION

Ce module comporte

INT 12

INT 16

## B-4 - MODULE RIGIDITE ELEMENTAIRE

Ce module comporte

MACOQ3 (coque : cf. rapport Laboria ultérieur)

MAPLAQ (plaque)

MAPOTE (potentiel)

MARIA-MARIB

## B-5 - MODULE SECOND MEMBRE ELEMENTAIRE

Ce module comporte

MARIB (cf. MARIA)

MBCOQ3 (coque : cf. rapport Laboria ultérieur)

MBPOTE
B-6 - MODULE ASSEMBLAGE

Ce module comporte

ASSBER
ASSBES
CHDISK
IBERNA
ISSBER
ISSBES
} , matrice de rigidité
KTYPE
MSSBER
MSSBES
NCOCO
NCQCQ
P5BER2

ZWEBER } second membre

B-7 - MODULE RESOLUTION

Ce module comporte

CHOLSK
CHOLSB
KDIBER
PRIBER-PRIBES
P5BER1 (programme principal)

B-8 - MODULE SORTIE

Ce module comporte

CHLIVC-CHLIVD
CLOCLA-CLOCLB
EDBER1
EDIBER
B-9 - MODULE SERVICE

Ce module comporte

AVANPA

CHECK

CLOCK

LIVEB

LIVEC

LIVE2

LIVE4

LIVIC

MARQUE

MATABA - MATABB - MULMAT - MULMOT - SPRMAT - SPRMOT

MATADD - MATSUB

MATRI X

MATTRA - EGAMST

NULMAT

REASY2
ISH 0034 01 2 INC012MNC0

C GALE-IL DE NTYP1 =NIMARE DE DEGRES-DE LIBERTE INCONNUS

C DANS LA INC011EIE FONCTION... DE WEME POUR NTYP? D.L. CONNUS

C CALE-1SSBER(INCO1,IEKNTVO1,NTYO2)

C CALL HNO01(INCO1,HINC01,HINC01,HINC01)

C IS2H001(IEK01,INC01)1000)

C IF(NTYP1,ED,01) = 01 TO 5

C A PARTIR-DE LA-ON NE CONSIDERE-QUE-LES LIGNES DE A

C A SPECTRES A DES DEGRES DE LIBERTE INCONNUS

C 0-3 KING=1ANTXP1

C IA2 P-1NFINDE DE LA LIGNE OU PECÈDE LE PARQUET DE LIGNES

G OU-1A ETRE-CONSIDERE

G LLE=TAT+MNC

G ISF=HUMEROS-DE3-DEGRES-DE LIBERTE CONNUS

G INC=JYPZ(KNC,KTVP01,INC01)

G 12-NUMERO-D-OPORC DANS-LA-MATRIGE-DE PIGIDITE-LOCALE

G 13-IPERHAT(PIN01,INC01)+ITRANS(INCO-1)

G 3-CONTINUE

G 9-CONTINUE

G 2-CONTINUE

G 1-CONTINUE

G RETIP01

G END

ISH 0002 SUBMITTRE ASRES(A,AMAT,IFR,IFR,IDIAG,TPA,NORD,NPOIN,NAB)

ISH 0003 IHOLIGT-DEAL =01A-H)REAL =0(0-2)

C ASRES -PEAISE L ASSEMBLAGE PROPREMENT DIT SUP UNE LIGNE

C NÉ-PAS REINTRODUIRE LE CONNONK T Y-P-A POUR BIEEN PENDRE LOCALES

C LES "PARTIALFS ET NTYP1 ET NTYP2

C GOMMIN/ARIB/INING01,HINC01,HINC01,HINC01

C 12-NUMERO-0-OPORC 12-IPERHAT(PIN01,INC01)+ITRANS(INCO-1)

C 13-IPERHAT(PIN01,INC01)+ITRANS(INCO-1)

C 14-IPERHAT(PIN01,INC01)+ITRANS(INCO-1)

C 15-IPERHAT(PIN01,INC01)+ITRANS(INCO-1)

C 16-NUMERO-12)AMAT(NPOD)2)

C 17-IPERHAT-IDIAG(2)IFR(2)IFR(HAB2)

C 18-100-FORMATE1X3H10D9,1X12,1X3HJUP9,1X12,1X3H1UP9,1X13,1X3HJUP9,1X

C 19-1X54P01(1N1Y11),1X54P01(1N1Y11),1X54P01(1N1Y11),1X54P01(1N1Y11),1X54P01(1N1Y11),1X54P01(1N1Y11)

C 21X12,1X4H1LIG1X13,1X4H1C01,1X13,1X2H15,1X12,1X24J50,1X12,1X

C 22V012,5Y1X15Y14Y012,1X1Y112(1X1Y11)

C 101-1FURANT(1Y9(2X1F9))

C 32-CHANCE =0EPARA-TIPE POUR DISCERNER LE CAS D'OPERATEURS DECOUPLES

ISH 0013 -ITRANS21

ISH 0014 IF(1INC01),12,10)-JTRANS9

ISH 0015 BORCE-SUR-LES-NOREUS A-L-INTERIEUR D-UN-ELEMENT-DONNE

C 001 JPOIN=1PONTH

C GEME-DRHUM ASSER

C -IFR(1+JPOIN)

C F-H=0JF1G0

C J-H=0400(31)100)

C IF2=IFP+IRA#(JHP-1)

ISH 0021 KTV01,IFR(1A2)HINC01A

C JEK=IFR(1A2)HINC01A

C CG ETRE TROUTES INCONNUES EN UN ELEMENT DANS LE CAS RARE DE

C DEGRIQUE
ISN 0002 SUBROUTINE -AVANPA(IVER)

ISN 0003 FORMAT(141)

ISN 0004 1101 FORMAT(110)

ISN 0005 1102 FORMAT(111)

ISN 0006 1103 FORMAT(112)

ISN 0007 1104 FORMAT(114)

ISN 0008 IF(IVER)=1*2+3

ISN 0009 1 PRINT 1102

ISN 0010 RETURN

ISN 0011 2 PRINT 1101

ISN 0012 RETURN

ISN 0013 3 CONTINUE

ISN 0014 IF(IVER)=2 4*5+6

ISN 0015 4 PRINT 1100

ISN 0017 5 PRINT 1103

ISN 0018 6 PRINT 1104

ISN 0019 6 PRINT 1104

ISN 0020 RETURN

ISN 0021 END

ISN 0002 SUBROUTINE -PHOTSK(FIDAG) ISKY,H,M,JDIAH) IDIAN2)

ISN 0003 D-MENSION FIDAG(2) ISKY(2)

ISN 0004 1100 FORMAT(114,154001) FIDAG)1X,15(1H*,)1H-1H-1)

G G. JOHS PROGRAMME

G CALCULE LE VECTEUR FIDAG

G A(1)J, EST PLACE EN A(FIDAG[J)+1)

G LE VECTEUR ISKY EST LA DONNE DE CE S.P. IL EST CALCULE

G PAR HESPERHSSDE'S

G DANS LA CULENNE J ISKY(J) ANNEE LE NUMERO DE LA LIGNE TELLE

G QU A DESSUS FOUZ LES TERMES SONT NULS

G IDIAH=0

ISN 0006 D)J=1+1H

ISN 0007 ISOH=1+15SKY(J)

ISN 0008 IDIAH=154001

ISN 0017 IDIAH=12=0

ISN 0018 N1=N+1

ISN 0019 D)J=2+4+5+6

ISN 0020 ISOH=1+15SKY(J)

ISN 0021 IDIAH=2+150H

ISN 0022 IDIAH(3)=IDIAH2-1

ISN 0023 PRINT 1100

ISN 0024 CALT-LIITE(FIDAG,H,M)

ISN 0025 RETURN

ISN 0026 EHT

ISN 0002 SUBROUTINE -CHECK(JFINA,JDIMA)

ISN 0003 1100 FORMAT(16X,21H)DIMENSION DE A-DONNEE 17X,25H)DIMENSION DE A NECESSAI
1RE,16X,16EXCEDENT CALCULE(16X,21(1H*,)17X,25(1H*,)16X,16(1H*,)1X/2X,15X,16X,28,19X,16X,7X,28,19X,16X,5X,28/1X)

ISN 0004 IRES=JDIMA-JFINA

ISN 0005 PRINT 1100 JDIMA,JDIMA,JDINA,JDINA,IPES,IPES

ISN 0006 IF(IRES=LT,0) STOP

ISN 0007 RETURN

ISN 0008 END
```
ISN 0002 300 WITH THE CHLTHC(ADIAG(4))
C      2JHS-PROGRAMME - EDITION - DE-VECTEUR
ISN 0003 DOUBLE PRECISION A
ISN 0004 DENSION-A2(2)IDIAG(2)
ISN 0005 1100 FORMAT(1X,9,L13,1X,011,4))
C      TRADITION-ON-FORMAT 1190
(
ISN 0007 DATA HEADMARK/07
ISN 0014 G1 T1 10
(
ISN 0009 ENTRY - CHLTHC(ADIAG(4))
ISN 0011 N1=H
(
ISN 0011 10 CONTINUE
ISN 0012 HF0349=FORMA-1
ISN 0013 N2=H/FORMA
ISN 0014 N3=H(1Y)F0349
ISN 0015 IF(N2=EQ=0)-60 Tn 2
ISN 0017 U1=1 K=19N2
ISN 0023 N4=H+FORMA*(K-1)
ISN 0023 N5=H4+FORMA
(
ISN 0023 1 PRINT 1100*(4(1)S1=4N5N)
ISN 0022 2 CONTINUE
ISN 0022 I=H3=EQ=0)-RETURN
ISN 0024 N4=H4+1
ISN 0025 PRENT 1100*(4(1)S1=4N5N)
ISN 0025 RETURN
ISN 0027 END
```
ISN 0046 00-7-JCOL=JP1,M

ISN 0047 SOM1=ZERD

ISN 0049 ICOLD=MAX(1MO,ISKY(JCOL))

C PROTECTION DE LA DEFINITION DU POINTEUR - A(1C) DOIT EXISTER

ISN 0049 IF(1,ET,ISKY(JCOL)) 60 TO 7

ISN 0051 IF(1,ICOLO,GT,IM1) 60 TO 0

ISN 0053 D3 8-ICOL=ICOLO+IN1

ISN 0054 IA=IDIAG(JCOL)+ICOL

ISN 0055 IB=IDIAG(J)+ICOL

ISN 0059 SOM1=SOM1+A(IA)*A(1B)

ISN 0057 8-CONTINUE

ISN 0058 9 CONTINUE

ISN 0059 IC=IDIAG(JCOL)+I

ISN 0060 A(1C)=AH*(A(1C)-SOM1)

ISN 0061 7 CONTINUE

ISN 0062 10 CONTINUE

ISN 0063 4 CONTINUE

ISN 0064 NI=H+1

ISN 0065 LFIITS=3

ISN 0066 IF(N1,GT,4)-RETURN

ISN 0060 IH=IDIAG(N)+4N

ISN 0069 AH=UN(A(4))

ISN 0070 D3 20 J-N1,M

ISN 0071 IF(1,ISKY(J),NE=1) 60 TO 102

ISN 0073 IA=IDIAG(J)+N

ISN 0074 A(1A)=A(1A)*A(1H)

ISN 0075 D3 20 L=2,N

ISN 0076 I=N-1-L

ISN 0077 IPL=I+1

ISN 0078 SOM1=ZERD

C BALAYAGE - EN - LIGHE

ISN 0079 D3 21 K=0,1,N

ISN 0080 IA=IDIAG(K)+I

ISN 0081 IB=IDIAG(J)+4K

ISN 0082 ITEST=1-ISKY(K)

ISN 0083 IF(1,TEST)-21,22,22

ISN 0084 22-SOM1=SOM1+A(1A)*A(1B)

ISN 0085 21 CONTINUE

ISN 0086 IF=IDIAG(I)+I

ISN 0087 AG=UN(A(11))

ISN 0088 IA=IDIAG(J)+I

ISN 0089 A(1A)=A(1A)-SOM1)*AG

ISN 0090 20 CONTINUE

ISN 0091 RETURN

ISN 0092 100-PRINT-1100,AH,N,M,ILFUITTE

ISN 0093 D3 191 J=1,N

ISN 0094 IA=ISKY(J)

ISN 0095 IB=J

ISN 0096 GALL LAVECA(A(1A),IB-1A+1,2000+J)

ISN 0097 101 CONTINUE

ISN 0098 60 T=1,000

ISN 0099 102 CONTINUE

ISN 0100 GALL LAVEGE(ISKY(N1),M-N+1,M)

ISN 0101 PRINT 1102

ISN 0102 1000 SFP9

ISN 0103 END
ISH 0002

SUBROUTINE -CLOCK

ISH 0003

1100 FORMAT(14,17)TEMP5 CPU RESTANT,2X,18/1H ,17(H+))

ISH 0004

CALL STEEPS(IGLO)

ISH 0005

PRINT 1109,ICLO

ISH 0006

RETURN

ISH 0007

END

ISH 0012

SUBROUTINE -CLOCK(IA,IPA) IRA)

G

DMS PROGRAMME-D EDITION POUR EDITER-UNE-FONCTION

G

L'ENTREE -CLOCEA PERMET-D EDITER-UNE-FONCTION ET

G

CLOCEB UN -TABLEAU...CETTE DESTINATION-EST

C

PRINT ETRI -SUPERFLUE

ISH 0003

0,10M,5104,16(IRA,IRB)

ISH 0004

DIMENSIOM 19(15)

ISH 0005

1100 FORMAT(15,(X+17))

ISH 0006

1101 FORMAT(14,7364)MOSSATITE -OUTILISER -CLOCEA IRA*,1X,15)

ISH 0007

IVER=1

ISH 0008

GO TO 1000

ISH 0009

ENTRY -CLOCEB(16,IRA,IRB)

ISH 0010

IVEP=3

ISH 0011

1000 GINTINUE

ISH 0012

IF(1P9,16,15,1,19-100

ISH 0013

DU 1 IMP=1,IRA

ISH 0014

MUP=IPA+1+1Pp

ISH 0015

DU 2 JDP=1,IRA

ISH 0016

IF(1P8,1-1,10,19,20

ISH 0017

10 14(1P8)=1A(1P8,1P8)

ISH 0018

GJ Tt 8

ISH 0020

23 14(1P8)=1C(1P8,1P8)

ISH 0021

2 GINTINUE

ISH 0022

PRINT 1109,(1A(1K)=K=1,IRA)

ISH 0023

1 GINTINUE

ISH 0024

RETURN

ISH 0025

100 GINTINUE

ISH 0026

PRINT 1101,IRA

ISH 0027

RETURN

ISH 0028

END
ISN 0002 SUBQUOTINE-FORMET(ASVET,INGC)
ISN 0003 INP leg IT REAL *0HA-H)REAL *86-2)
C PROGRAMME ACTIF 3 EDITION
C GEMMANGE PAR LE PROGRAMME DIRECTEUR 3 EDITION -EDIBER
IST 0004
IST 0005
IST 0006
IST 0007
IST 0008
IST 0009
IST 0010
IST 0011
IST 0012
IST 0013
IST 0014
IST 0015
IST 0016
IST 0017
IST 0018
IST 0019
IST 0020
IST 0021
IST 0022
IST 0023
IST 0024
IST 0025
IST 0026
IST 0027
IST 0028
IST 0029
IST 0030
IST 0031
IST 0032
IST 0033
IST 0034
IST 0035
IST 0036
IST 0037
IST 0038
IST 0039
IST 0040
IST 0041
IST 0042
IST 0043
IST 0044
IST 0045
IST 0046
IST 0047
IST 0048
IST 0049
IST 0050
IST 0051
IST 0052
IST 0053
IST 0054
IST 0055
134 99-12

SUBMITTING -FED(ADL,AND,PETA,GXY,1)

G

JUANE LA FEME LIGHE -DU -PRODUIT MATRICIEL -D*A

18N 0003

I'POLIT REAL *{A-H)*REAL *0(5-2)

18N 0014

D'EMESSION DA(21),DA(6,2),AN(3,3)

18N 0005

D'EMESSION PETA(3,4),GXY(3,3)

18N 0006

DATA ZEROF*DOF

G

LIGNES 1 A 3 DU -PRODUIT D*A IDENTIQUES AUX LIGNES 1 A 3 DE A

18N 0007

00-10) -Jol-21

18N 0013

IF(1-4),02

18N 0019

A *{A) *ART(13,PETA)

18N 0019

00-10) -100

G

LIGNES 4 A 3 DU -PRODUIT D*A

18N 0012

2 IF(1-10) 3,4,4

18N 0012

3 13-1-3

18N 0013

13={12)

18N 0014

DA(1)=D1(11-12)*ART(2*13,j,PETA)+

F

00-10) -100

18N 0013

GO TO 100

G

LIGNES 10 A 19 DU -PRODUIT D*A

18N 0019

4 CONTINUE

18N 0017

IF(1-10) 5,6,6

18N 0013

5 CONTINUE

18N 0010

DA(1)=ZERD

18N 0020

13-1-0

18N 0021

00-10) -K=10,10

18N 0022

K=K-9

18N 0023

IF(K=9,1)-6A-10-10

18N 0025

DA(1)=DA(1)+DPT(11,1,K1,GXY)*ART(K,j,PETA)

18N 0026

10 CONTINUE

18N 0027

GO TO 100

G

LIGNES 10 A 21 DU -PRODUIT D*A

18N 0020

6 13-1-19

18N 0029

DA(1)=AN(13,3)*ART(13,PETA)

18N 0030

100 CONTINUE

18N 0031

RETURN

18N 0032

END

18N 0002

SUBMITTING -FAX(AV,YO,NPUT)

C

GECOLE LES POUSSANCES DE 0-A -NPUT -DES-COORDONNEES-D'UN-POINT

C

K=K-9,1)-10-10

18N 0003

DOUBLE-PRECISION -IN,GX(2,6),KO(2)

18N 0004

DATA IN(1,0)

18N 0005

GX(1)=1-10

18N 0006

GX(2)=1-10

18N 0007

GX(3)=K=K-11

18N 0009

SX(2,3)=v0(2)

18N 0010

00-1-1-2

18N 0011

00-1-1-3,4,NPUT

18N 0012

1 GX(1,4)=GX(1,2)*GX(1,3-1)

18N 0013

RETURN

18N 0013

END
ISN 0002 - FONCTION EFF(X,Y) (HCR)
154 0002

FONCTION FREPHA(TPOINJINGO)

G

HUMEROTATIN LOCALE DES DEGRES DE LIBERTE DANS L' ELEMENT FINI

C

P5 ARGYRES - A 21 DEGRES DE LIBERTE

154 0003

DIMENSION IA(6),IB(16)

C

DATA IA14951011127

C

DATA IA14951011127

C

DATA IA14951011127

C

IF(IAEQ=1) GO TO 2

C

IF(IAEQ=1) GO TO 2

C

IF(IAEQ=1) GO TO 2

C

IF(IAEQ=1) GO TO 2

C

IF(IAEQ=1) GO TO 2

C

IF(IAEQ=1) GO TO 2

C

RETURN

C

END

154 0003

FONCTION IDERIV(1)

G

GETTE FONCTION EST UTILISEE DANS PE,PL1,PL2

G

GETTE FONCTION DEPMET DE DERIVER LES MONAMES ORTENUS DANS PLO

G

I-1 EST L'EXPASANT DU MONOME DERIVER

G

IDERIV - L'EXPOSANT DU MONOME DERIVE +1

G

ANULT LE COEFFICIENT MULTIPILICATEUR AGHEVANT DE DEFINIR

G

LE MONOME DERIVE

154 0004

OBLIQUE PRECISION ANULT=ZERO

154 0005

DATA ZERI0.000

154 0006

IF(IAEQ=1) GO TO 2

154 0007

IF(IAEQ=1) GO TO 2

154 0008

I ANULT=ZERO

154 0009

IF(IAEQ=1) GO TO 2

154 0010

IF(IAEQ=1) GO TO 2

154 0011

IF(IAEQ=1) GO TO 2

154 0012

IF(IAEQ=1) GO TO 2

154 0013

RETURN

154 0014

END

154 0015

SUBROUTINE IDERIV(1,11,11,11)FVER

G

C ONLEGUE LES DERIVEES SECONDES DANS PE2 (CF PE1)

C

CONJUGEMENT APROCHURE FIGURE 1-5-2

C

IVERF 2 DERIVATIONS SUGGESTIVES EN I

C

EVERF 1 DERIVATION EN I DUIS UNE DERIVATION EN JFI

154 0016

OBLIQUE PRECISION ANULT=ANALT

C

CYMN/3ANL/ANALT

C

IF(IAEQ=1) GO TO 2

C

ANALT=ANALT

154 0017

IF(IAEQ=1) GO TO 2

154 0018

IF(IAEQ=1) GO TO 2

154 0019

IF(IAEQ=1) GO TO 2

154 0020

IF(IAEQ=1) GO TO 2

154 0021

IF(IAEQ=1) GO TO 2

154 0022

RETURN

154 0023

END

58
184 0002

SUBSTITUTION TEGRA(ENCO)TEF.NTYP(1)NTYP(2)

C ENCO DEBIT LES FONCTIONS ENCONNUES

C 12VP1 EST LE NOMBRE DE DEGRES DE LIBRETE - ENCONNUS

C 12VP2 EST LE NOMBRE DE DEGRES DE LIBRETE - ENCONNUS

C EXTRACTION DE 184 EN FONCTION DE ENCO LES VARIABLES 4TYP1,NTYP2

C 3 ENCO EST-EGAL A 3 ET Y A DANS 184 3 NTYP2 ET 3 NTYP2

184 0003 IF(ENCO11-1)12

1 IFK=TER

184 0004 3 ENCO11-12

184 0005 3 IFK=TER/19**ENCO1)

184 0006 3 ENCO11=ENCO(184)

184 0007 3 ENCO2=ENCO(184)

184 0008 3 ENCO2=ENCO(184)

184 0009 3 ENCO2=ENCO(184)

184 0010 3 ENCO2=ENCO(184)

184 0002

SUBSTITUTION TEGRA(ENCO,1A2,1A2)

C

C 12VP1 ET NTYP2

ENCO2=ENCO(1)

184 0014 4 ENCO11-4455

184 0015 4 ENCO11-4455

184 0016 3 ENCO11-4455

184 0017 5 ENCO11=ENCO1

184 0018 6 ENCO11=ENCO1

184 0019 6 ENCO11=ENCO1

END
ISBN 0032

SOPHOMORE - KOIFER (KYPG, INN)

ISBN 0033 CUMMINS/BRICK/KA(O)KRA(6),KG(6),KD(6),IC2,IC2

ISBN 0004 COMMERCE/TELECOMMERCE

ISBN 0005 DÉMOGRAPHIE-1400-13(54)

ISBN 0007 DATA TA/01797171995,26,27)

C LE SIGNE - EXPRIRE - QUE LE DEGRE DE LIBERTE - EST INCONNU - OU CONNU

C LE GENTER DES DIZAINES A JUNE SIGNIFICATION POUR L'EDITION

C LE GENTER DES DIZAINES - DESIGNE LE DEGRE DE LIBERTE

C LE GENTER LE GENTER DES DIZAINES EST NULLE - GEA - SIGNIFIE.....

C C'EST QU'EST EST - EGAL - A CELEB - DES UNITES

C 1

C 2

C 3

C 4

C 5

C 6

ISBN 0007

DATA 1A/21

1 1923,3,4,5,6,9 5,19-29-3,4,5,6,9

2 3,5,5,6,9,19-29-4,9 2,4,5,9,19-3,9-6,9

3 7,3,8,2,0,19

4 1923,3,4,5,6,9,19-29-3,4,5,6,9

5 6,9,19-29-3,4,5,6,9,19-29-3,5,6,9

6 -79-n2/

ISBN 0031

N=111(KYPG+1)-IA(KYPG)

C GÉNÉRATRICE - DE STINSE - A PERMETTRE - L'UTILISATION SIMULTANÉE DES ELEMENTS

ISBN 0033

FOR-IA(KYPG)

ISBN 0034

JARDINAGE 433

C GENESSION DU POINTEUR - POUR LA PLAQUE

ISBN 0031

IMMERGENCE+50,1) JIPR-1

ISBN 0033

FOR+1OR+2744JIPR

ISBN 0014

FOR-20

ISBN 0015

IC2=0

ISBN 0016 09-1-19-41

ISBN 0017 11=18(1OR+1)

ISBN 0019 1F(11)-19,19,20

ISBN 0011 10-125-1483(11)

ISBN 0020 1C2=IC241

ISBN 0021 KAI(2)=12F/10

ISBN 0022 K8(1C2)=WMD(12F+19)

ISBN 0023 AARH DE PERMETTRE - JUNE CONDENSATION DES DONNEES

ISBN 0023 IF(1K4)(1E24)(10,0) KAI(2)=KRI(1C2)

ISBN 0025 00-10-1

ISBN 0026 2) 1C2=IC2+1

ISBN 0027 KAI(2)=11410

ISBN 0028 KAI(2)=11410(11,19)

ISBN 0029 AFEN DE PERMETTRE - JUNE CONDENSATION DES DONNEES

ISBN 0031 IF(1K4)(1E24)(10,0) KAI(2)=KRI(1C2)

ISBN 0031 CONTENUE

ISBN 0032 RETRACIEN

ISBN 0033 END
154 0012

FONCTION KORDRE (TK,JK)

C KORDRE - PRODUCT - JNE RELATION D ORDRE - SUR LES NOEUDS (ID)

C CETT' NIVEAATTIN DE PEND DE LA CLEF TOUVER (ICE FISHER)

C DE LA FONCTION KORDRE DEPEND LE PROFIL ISKY DE LA MATRICE

C E L ENGENDEMENT DU PROBLEME

C PLEUETS ESSAI DE PEND - ETE - FAIT - AVEC - ILEC=10 - POUR

C BORDRE SET ENGENDEMENT MINIMAL

154 0003 SINTIMIRIRB4/IRB4,IRB1,IRB2,TOUVER,NPOIN,IRAL

154 0004 I=IK

154 0005 J=IK

154 0006 J=K(-1)=J(-1)=IBG)

154 0007 I=KIMMER,GT,0) GT TO 2

154 0008 I CONTINUE

154 0009 I=KIMMER,IRA) I=1

154 0010 I=KIMMER,IRA) I=1

154 0011 I=KIMMER=I+(J/IRB)*IRAL

154 0012 I=KIMRGE=I+(J/IRB)*IRAL

154 0013 I=KIMRGE=I+(J/IRB)*IRAL

154 0014 I=KIMRGE=I+(J/IRB)*IRAL

154 0015 I=KIMRGE=I+(J/IRB)*IRAL

154 0016 I=(I,EQ,0) GT TO 20

154 0017 I=(I,EQ,0) GT TO 21

154 0018 KORDRE=I+(J-2)*IRB2

154 0019 I=KIMRGE=I+(J-2)*IRB2

154 0020 I=KIMRGE=I+(J-2)*IRB2

154 0021 KORDRE=I+(J/IRB)*IRB2

154 0022 I=KIMRGE=I+(J/IRB)*IRB2

154 0023 KORDRE=I+(J/IRB)*IRB2

154 0024 I=KIMRGE=I+(J/IRB)*IRB2

154 0025 I=KIMRGE=I+(J/IRB)*IRB2

154 0012

FONCTION KTYPE(1,3,ING)

C I ET J-SANT-FOUJOURS-LES-COORDONNEES-TOPOLOGIQUES-DES-NOEUDS

C ILS VARTENT DE I A IPA-POUP I ET DE I A IPA-POUR J DANS LE

C GAG-DS- LA-TOPOLOGIE- RECTANGLE

C LINGEST LE QUADRANORDRE DE LA FONCTION

154 0003 CHIMNIRBIRA/IRB4,IRB1,IRB2,TOUVER,NPOIN,IRAL

154 0004 C CIMNIRBIRA/IRB4,IRB1,IRB2,TOUVER,NPOIN,IRAL

C LINGEST REGARDER AVANT-DE-CHANGER-GETTE-CARTE-GOMMON

154 0005 CIMNIRBIRA/IRB4,NTYP(2),ITYP2(6),JTYP2(6)

154 0006 JTYP2(K)=0

154 0007 77-ITYP2(K)=0

154 0008 C NTYP(1) EST-LEGAL A NTYP1 ET NTYP(2)-A NTYP2

154 0009 NTYP(1)=0

154 0010 NTYP(2)=0

154 0011 I=(I-1)*I=IRA)

154 0012 I=(I-1)*I=(J-IPB)

154 0013 I=(I-1)*I=(J-IPB)

154 0014 I=(I-1)*I=(J-IPB)

154 0015 I=(I-1)*I=(J-IPB)*AND,(I2,NE,0)) GT TO

154 0016 I=(I-1)*I=(J-IPB)*AND,(I2,EQ,0)) GT TO

154 0017 I=(I-1)*I=(J-IPB)*AND,(I2,EQ,0)) GT TO

154 0018 I=(I-1)*I=(J-IPB)*AND,(I2,NE,0)) GT TO

1

3

4

5

154 0023 I=(I-1)*I=(J-IPB)*GT TO 2
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>ISN 0021</td>
      <td>G</td>
      <td>POINT</td>
      <td>INTERIEUR</td>
      <td>INCOMPLET</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0024</td>
      <td></td>
      <td>TYPE=1</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0027</td>
      <td></td>
      <td>GT-T1=227</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0027</td>
      <td></td>
      <td>2 CONTINUÉ</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0021</td>
      <td>C</td>
      <td>POINT</td>
      <td>INTERIEUR</td>
      <td>COMPLET</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0021</td>
      <td></td>
      <td>TYPE=2</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0021</td>
      <td></td>
      <td>GT-T1=222</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0030</td>
      <td></td>
      <td>3 CONTINUÉ</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0031</td>
      <td>C</td>
      <td>TYPE=3</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0033</td>
      <td></td>
      <td>GT-T1=277</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0034</td>
      <td></td>
      <td>4 TYPE(3.Eq.0)</td>
      <td>GT TO 6</td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0035</td>
      <td>C</td>
      <td>POINT</td>
      <td>INTERIEUR</td>
      <td>COMPLET</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0037</td>
      <td></td>
      <td>TYPE=4</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0038</td>
      <td></td>
      <td>GT-T1=777</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0033</td>
      <td></td>
      <td>6 CONTINUÉ</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0033</td>
      <td>C</td>
      <td>POINT</td>
      <td>INTERIEUR</td>
      <td>INCOMPLET</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0040</td>
      <td></td>
      <td>TYPE=6</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0042</td>
      <td></td>
      <td>GT-T1=777</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0042</td>
      <td></td>
      <td>5 TYPE(3.Eq.0)</td>
      <td>GT TO 500</td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0044</td>
      <td>G</td>
      <td>TYPE(4.Eq.0)</td>
      <td>GT TO 7</td>
      <td>COMPLET</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0045</td>
      <td></td>
      <td>POINT</td>
      <td>LATERAL</td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0047</td>
      <td></td>
      <td>GT TO 727</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0047</td>
      <td></td>
      <td>50 CONTINUÉ</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0047</td>
      <td></td>
      <td>TYPE(4.Eq.0)</td>
      <td>GT TO 1</td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0051</td>
      <td></td>
      <td>GT-T1=2</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0052</td>
      <td></td>
      <td>7 CONTINUÉ</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0053</td>
      <td>C</td>
      <td>POINT</td>
      <td>LATERAL</td>
      <td>INCOMPLET</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0053</td>
      <td></td>
      <td>TYPE=7</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0054</td>
      <td></td>
      <td>772 CONTINUÉ</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0055</td>
      <td></td>
      <td>TYPE=1</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0055</td>
      <td>C</td>
      <td>LA FONCTION KOISER CONTIENT SOUS FORME DE DATA LES DONNEES</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0055</td>
      <td>C</td>
      <td>SUPPLÉMENTAIRES OUT PRECISENT POUR CHAQUE TYPE ET POUR CHAQUE</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0055</td>
      <td>C</td>
      <td>FUNCTION INCORNUES LES DEGRES DE LIBERTÉ CONNUS ET INCORNUES</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0055</td>
      <td></td>
      <td>CALE KPED(ETYP,ING)</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0057</td>
      <td></td>
      <td>TYPE(2.Eq.0)</td>
      <td>GT-T1=50</td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0050</td>
      <td></td>
      <td>TYPE(1)=IC2</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0050</td>
      <td></td>
      <td>GT-T2=167</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0041</td>
      <td></td>
      <td>20 TYPE(2)=K04(1)</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0042</td>
      <td></td>
      <td>5 CONTINUÉ</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0043</td>
      <td></td>
      <td>TYPE(2.Eq.0)</td>
      <td>GT TO 40</td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0045</td>
      <td></td>
      <td>TYPE(2)=IC2</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0046</td>
      <td></td>
      <td>GT-T3=162</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0047</td>
      <td></td>
      <td>30 TYPE(2)=KB(1)</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0048</td>
      <td></td>
      <td>30 CONTINUÉ</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0049</td>
      <td></td>
      <td>TYPE(2)=KB(1)</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0050</td>
      <td></td>
      <td>GT-T4=161</td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
154-0012

SUBROUTINE LIVE(4A)

C

PERFORM L EDITION DE LA MATRICE A

154-0013

DIMENSION A(21)

154-0014

1100 FORMAT(14X,21(F5,2))

154-0015

PRINT 1100,{A(1),I(1,21)

154-0016

RETURN

154-0017

END

154-0018

SUBROUTINE LIVEC(A,N,N1)

154-0019

DUAL PRECISION A

154-0020

DIMENSION A(N)

154-0021

1100 FORMAT1K 22HEDITION D UN VECTEUR A, 2X,16,2K,11HCOMPOSANTES,

154-0022

150X,13,16,18,19,20,21,22(1H*10X,11(1H*10X,13(1H*1))

154-0023

1101 FORMAT((41X,13,1X,Eq,21))

154-0024

1102 FORMAT((71X,13,1X,Eq,5))

154-0025

1103 FORMAT((61X,14,1X,Eq,6))

154-0026

PRINT 1100,N=N1

154-0027

N2=N1/1000

154-0028

IF(N2-1) > 2*3

154-0029

PRINT 1101,{A(1),I(1)=I,=I,N1}

154-0030

RETURN

154-0031

2 PRINT 1102,{A(1)=I(1)=I,=I,N1}

154-0032

RETURN

154-0033

3 PRINT 1103,{A(1)=I(1)=I,=I,N1}

154-0034

RETURN

154-0035

END

154-0036

SUBROUTINE LIVE2(A,B,N,N1)

154-0037

IMPLICIT REAL *A(A-H),REAL *B(B-Z)

154-0038

GENERIC

154-0039

DIMENSION A(217A(2))

154-0040

1100 FORMAT(9X,19,9HREPERE-D IMPRESSION,1X,19,12X,9HVECTEUR A,18X,9HVECTE

154-0041

1UR 97X,19(1H*1),21X,9(1H*1),18X,9(1H*1),1H*1)

154-0042

1101 FORMAT(41X,14,2X,0,15,0,11X,D15=0)

154-0043

1102 FORMAT(9X,19,9HREPERE-D IMPRESSION,1X,19,12X,9HVECTEUR A,18X,9HVECTE

154-0044

1UR 8,26X,1H0,9X,19(1H*1),21X,9(1H*1),18X,9(1H*1),26X,1H*1=1)

154-0045

1103 FORMAT(41X,14,2X,0,15,0,11X,D15=0,19X,9R,1)

154-0046

1104 FORMAT(634=0, DISTANCE DE A-B DANS UN ESPACE-EUGLIDIEN A N DIM

154-0047

1ENSINS,2X,015,08,6X,57(1H*1))

154-0048

PRINT 1109,N=N1

154-0049

PRINT 1101,{A(1)=B(1),I=I,=I,N1}

154-0050

RETURN

154-0051

ENTRY LIVER(A,B,N,N1)

154-0052

PRINT 1102,N=N1

154-0053

SOM=0

154-0054

Q=0

154-0055

D3 I=1,1,N

154-0056

3= A(1)

154-0057

PRINT 1103,{A(1)=B(1),I(1)=I,=I,N1}

154-0058

SOM=3,0M+0**2

154-0059

1 CONTINUE

154-0060

SOM=8,0RT(SOM)

154-0061

PRINT 1104,50M

154-0062

RETURN

154-0063

END

154-0064

961

154-0065

962
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>ISN 0002</td>
      <td>SUBROUTINE-LIVE4(A,B,C,D,M,N)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0003</td>
      <td>DIVIDUAL PRECISION A,B,C,D</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0004</td>
      <td>DIMENSION A(2),B(2),C(2),D(2)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0005</td>
      <td>1100-FORMAT(1X1,X1,X1,X1)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0006</td>
      <td>1101-FORMAT(20,X1,2X1,D15,8,5X,D15,8,5X,D15,8)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0007</td>
      <td>PRINT 1109,0</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0008</td>
      <td>DBL-1=19,0</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0009</td>
      <td>1 PRINT 1101,19,A(1),B(1),C(1),D(1)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0010</td>
      <td>RETURN</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0011</td>
      <td>END 1010 1019</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>ISN 0002</td>
      <td>SUBROUTINE-LIVE6(I,A,N,M)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0003</td>
      <td>DIMENSION I,A(N)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0004</td>
      <td>1100-FORMAT(1X,14,HAVECTEUR-ENTIER,80,X,13,HOMBRE-REPERE,2X,16,1X,14,{IH+1},180,X,13,{IH+1}/3H-1)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0005</td>
      <td>1101-FORMAT({9(1X,14,1K,19)})</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0006</td>
      <td>PRINT 1190,M</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0007</td>
      <td>IF(M,59,0) GO TO 2</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0009</td>
      <td>PRINT 1101,{I,IA,I(1),I=1,N}</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0010</td>
      <td>CALL AVANPA(-1)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0011</td>
      <td>2-CONTINUE</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0012</td>
      <td>RETURN</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN 0013</td>
      <td>END</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>ISN-0037</td>
      <td>1 JONT-NOUE</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN-0038</td>
      <td>C DE LA PARTIE-SUPER-DIAGONALE ON DÉDUIT-TOUT-AMAT</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN-0039</td>
      <td>D) 7 K=2,21</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN-0040</td>
      <td>E=K=1</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN-0041</td>
      <td>D) 7 L=1,12</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN-0042</td>
      <td>AMAT(K,E)=AMAT(L,K)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN-0043</td>
      <td>7 JONT-NOUE</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN-0044</td>
      <td>C EST GENÉRÉE ET STOCKÉE SOUS FORME TRANSPENSEE</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN-0045</td>
      <td>C PARTIE-DRITE-DE(2-2-8)=AMAT.T (DA)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN-0046</td>
      <td>GALL-MATRIX(20,21,21,21,AMAT+21,DA,21,AMAT+21)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN-0047</td>
      <td>C TRANPOSITION DE -DA</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN-0048</td>
      <td>C CALL-MATRIX(21,21,21+DA+21,DA+21+DA,21)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN-0049</td>
      <td>C *WRITE-GAUSS-DS (2-2-8) =(DA)(AMAT) T (DA)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN-0050</td>
      <td>GALL-MATRIX(20,21,21,21,DA+21,AMAT+21,AMAT+21)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN-0051</td>
      <td>IF(ILEC.EQ.3) CALL PEASY2(AMAT,AMAT+21,21+21+21+1)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN-0052</td>
      <td>RETURN</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ISN-0053</td>
      <td>END</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
ISH 0002
ISN 003
ISN 004
ISN 005
ISN 006
ISN 007
ISN 008
ISN 009
ISN 010
ISN 011
ISN 012
ISN 013
ISN 014
ISN 015
ISN 016
ISN 017
ISN 018
ISN 019
ISN 020
ISN 021
ISN 022
ISN 023
ISN 024
ISN 025
ISN 026
ISN 027

C G
GESTION DES MATRICES DE RIGIDITE... PAR IVEBER
LA VARIABILE - ICILEM - COMPTE-LES MATRICES - GENEREES
ICILEM - EST INITIALISE - DANS P98ERI
C 3E - ICILEM - EST - DES GRAND QUE HELEM - ON SE DORNE - A PELIPE...

ISN 0007
ISN 0008
ISN 0019
ISN 0012
ISN 0014
ISN 0016
ISN 0017
ISN 0019
ISN 0020
ISN 0021
ISN 0022
ISN 0024
ISN 0026
ISN 0027
ISN 0028
ISN 0029
ISN 0030
ISN 0031
ISN 0032
ISN 0034
ISN 0035

I CONTINUe
READ (10) (AMAT(1)=I+1NVASSE)
RETIRN
E N T R Y MAROIEAMAT(X)
IF(IVEBEREQ.11) CALL MAROIEAMAT(X)
IF(IVEBEREQ.21) CALL MACOQ3(AMAT(X))
RETURN
END

ISH 0002 SUBROUTINE MAROIE(N)
ISN 0003 1100 FORMAT(11)11HPASSAGE - EN2X10/1X11(11H0)11X1X1)
ISN 0004 PRINT 1100N
ISH 0005 RETURN
ISH 0006 END

1007
1008
1009
1010
1011
SUBROUTINE MATABA(M,N,L,KA,KB,KC,DA,B,G)

ISN 0002
ISN 0003
ISN 0004
ISN 0005
ISN 0006
ISN 0007

DIMENSION A(KA,2),B(KB,2),C(KC,2)
DATA-ZERO/O,DO/
1100 FORMAT(1H-,35HVERSION MATABD-ERREUR DIMENSION M=2X,IB,1X,35(1H*)
1)

ISN 0009
1E01-FORMAT(1H-,35HVERSION MATABA ERREUR DIMENSION M=2X,IB,1X,35(1H*)
1)

ISN 0009
1102 FORMAT(1H-,64HOPERATION AB DANS A-RENDUE DIFFICILE PARCEQUE L PLUS
1 GRAND QUE N=2X,14,2X,14/1X,64(1H*)
1103 FORMAT(1H-,64HOPERATION AB DANS B-RENDUE DIFFICILE PARCEQUE M PLUS
1 GRAND QUE N=2X,14,2X,14/1X,64(1H*)

ISN 0011
ISN 0013
ISN 0015
ISN 0019
ISN 0017
ISN 0019
ISN 0019
ISN 0023
ISN 0022
ISN 0023
ISN 0024
ISN 0025
ISN 0026
ISN 0027
ISN 0029
ISN 0030
ISN 0031
ISN 0032
ISN 0033
ISN 0034
ISN 0036
ISN 0034
ISN 0039
ISN 0040
ISN 0041
ISN 0042
ISN 0043
ISN 0045
ISN 0046
ISN 0047
ISN 0048
ISN 0049
ISN 0050
ISN 0051
ISN 0052
ISN 0053
ISN 0054
ISN 0055
ISN 0056

IF(L,GT,N)-GO TO 9996
IF(L,GT,300)-GO TO 9997
IVAR=1
IVER=1
DU 1 I=1,N
DU 2 J=1,L
AROW(J)=ZERO
IF(IVEREQ,2)-AROW(J)=G(I,j)
IF(IVAR=1) 7,7,8
7-DJ-2 K=1,N
2 AROW(J)-AROW(J)+A(I,K)*9(K,j)
GO TO 9
8-DJ-4 K=1,N
4 AROW(J)-AROW(J)-A(I,K)*9(K,j)
9-DJ J=1,L
C(I,j)=AROW(I)
3-CONTINUE
1-CONTINUE
6U T) 9999
ENTRY MATABD(M,N,L,KA,KB,KC,DA,B,G)
IF(L,GT,N)-GO TO 9995
IF(L,GT,300)-GO TO 9998
IVAR=1
IVER=1
DU 11 J=1,L
DU 12 I=1,N
AROW(I)=ZERO
IF(IVEREQ,2)-AROW(I)=C(I,j)
IF(IVAR=1) 17,17,18
17-CONTINUE
6U 12 K=1,N
12 AROW(I)-AROW(I)-A(I,K)*9(K,j)
GO TO 19
18 DU 13 K=1,N
13 AROW(I)-AROW(I)-A(I,K)*9(K,j)
19-DJ 14 I=1,N
G(I,j)=AROW(I)
14-CONTINUE
11-CONTINUE
GO TO 9999
<table>
  <tr>
    <td>ISM 0057</td>
    <td>ENTRY</td>
    <td>MULMAT(M,L,KA*KB*KG*A*B*C)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td></td>
    <td>G</td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td></td>
    <td>G</td>
    <td>VERSION RAPIDE MULMAT DANS LE CAS DE MATRICES CREUSES</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0059</td>
    <td></td>
    <td>DO 20 I=1,H</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0059</td>
    <td></td>
    <td>DU 20 J=1,L</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0060</td>
    <td></td>
    <td>G(I,J)=ZERO</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0061</td>
    <td></td>
    <td>20-CONTINUE</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0062</td>
    <td></td>
    <td>200-CONTINUE</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0063</td>
    <td></td>
    <td>DU 21 I=1,H</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0064</td>
    <td></td>
    <td>DU 2L K=1,N</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0065</td>
    <td></td>
    <td>AIK=A(I,K)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0066</td>
    <td></td>
    <td>IF(AIK=EQ+ZERO)-GO TO 22</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0069</td>
    <td></td>
    <td>DU 23 J=1,L</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0069</td>
    <td></td>
    <td>C(I,J)=G(I,J)+AIK*B(K,J)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0070</td>
    <td></td>
    <td>23-CONTINUE</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0071</td>
    <td></td>
    <td>22-CONTINUE</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0072</td>
    <td></td>
    <td>21-CONTINUE</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0073</td>
    <td></td>
    <td>GO TO 9939</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0074</td>
    <td></td>
    <td>ENTRY MULHOT(M,N,L,KA*KB*KG*A*B*C)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td></td>
    <td>G</td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td></td>
    <td>G</td>
    <td>COMME MULMAT NIS AVEC LE SIGNE</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0075</td>
    <td></td>
    <td>DU 30 I=1,H</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0076</td>
    <td></td>
    <td>DU 30 J=1,L</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0077</td>
    <td></td>
    <td>G(I,J)=ZERO</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0079</td>
    <td></td>
    <td>30-CONTINUE</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0079</td>
    <td></td>
    <td>300-CONTINUE</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0080</td>
    <td></td>
    <td>DU 31 I=1,H</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0081</td>
    <td></td>
    <td>DU 31 K=1,N</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0082</td>
    <td></td>
    <td>AIK=A(I,K)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0083</td>
    <td></td>
    <td>IF(AIK=EQ+ZERO)-GO TO 32</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0085</td>
    <td></td>
    <td>DU 33 J=1,L</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0086</td>
    <td></td>
    <td>C(I,J)=C(I,J)-AIK*B(K,J)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0087</td>
    <td></td>
    <td>33-CONTINUE</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0099</td>
    <td></td>
    <td>32-CONTINUE</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0089</td>
    <td></td>
    <td>31-CONTINUE</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0090</td>
    <td></td>
    <td>GO TO 9939</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0091</td>
    <td></td>
    <td>ENTRY SPRMAT(M,N,L,KA*KB*KG*A*B*C)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0092</td>
    <td></td>
    <td>GO TO 200</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0093</td>
    <td></td>
    <td>SPRNOT(M,N,L,KA*KB*KG*A*B*C)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0094</td>
    <td></td>
    <td>GO TO 300</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0095</td>
    <td></td>
    <td>9939-RETURN</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0096</td>
    <td></td>
    <td>9999-CONTINUE</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0097</td>
    <td></td>
    <td>PRINT 1100,H</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0099</td>
    <td></td>
    <td>STOP</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0099</td>
    <td></td>
    <td>9997-CONTINUE</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0100</td>
    <td></td>
    <td>PRINT 1101,H</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0101</td>
    <td></td>
    <td>STOP</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0102</td>
    <td></td>
    <td>9996-PRINT 1102,L,N</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0103</td>
    <td></td>
    <td>STOP</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0104</td>
    <td></td>
    <td>9995-PRINT 1103,H,N</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0105</td>
    <td></td>
    <td>STOP</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ISM 0106</td>
    <td></td>
    <td>END</td>
  </tr>
</table>
ISN 0002 SUBJUTINE-MATADD(M,NKA,KB,KG,AB,G)

ISN 0003 IMPLICIT REAL *R(A-H)REAL *B(O-Z)

ISN 0004 DIMENSION A(KA,2),B(KB,2),C(KC,2)

ISN 0005 DO 1=1,N

ISN 0006 DU-1=1,N

ISN 0007 C(I,J)A(I,J)+B(I,J)

ISN 0008 1-CONTINUE

ISN 0009 60-T) 9999

ISN 0010 ENTRY MATSR(M,NKA,KB,KG,AB,G)

ISN 0011 DO 2=J-1,N

ISN 0012 DO 2=I-1,N

ISN 0013 C(I,J)A(I,J)-B(I,J)

ISN 0014 2-CONTINUE

ISN 0015 9999 RETURN

ISN 0016 END

ISN 0002 SUBJUTINE-HATRIXILOPG,M,N,KOP,AKA,B,KB,G,KC)

ISN 0003 IMPLICIT REAL *R(A-H)REAL *B(O-Z)

ISN 0004 DIMENSION A(KA,2),B(KB,2),C(KC,2)

ISN 0005 CUMMHNIPRWAPDH(300)

ISN 0006 COMMINFJRGW/ECOL(300)

ISN 0007 IF(I,PGD=2), 1,2,2

ISN 0008 1 IF(I,PGD=EQ,0), 60-TO-10

ISN 0010 CALL EGANST(M,NKA,KA,AB,R)

ISN 0011 RETURN

ISN 0012 2-CONTINUE

ISN 0013 INDICA=LOGF(A)

ISN 0014 INDICA=LOGF(R)

ISN 0015 INDIGG=LOGF(G)

ISN 0016 IF(INDICA,NE,INDICC) 60-TO-410

ISN 0017 CALL MATARA(M,N,KOP,KA,KB,KG,AB,G)

ISN 0018 RETURN

ISN 0020 410 CONTINUE

ISN 0021 IF(INDICA,NE,INDICC) 60-TO-420

ISN 0023 CALL MATABB(M,N,KOP,KA,KB,KG,AB,G)

ISN 0024 RETURN

ISN 0025 420 CONTINUE

ISN 0026 CALL HUEHAT(M,N,KOP,KA,KB,KG,AB,G)

ISN 0027 RETURN

ISN 0028 42 CALL MATAND(M,NKA,KB,KG,AB,G)

ISN 0029 RETURN

ISN 0030 43 CALL MATSJR(M,NKA,KB,KG,AB,G)

ISN 0031 RETURN

ISN 0032 10 CALL MATFRA(M,NKA,KB,KG,AB,B)

ISN 0033 RETURN

ISN 0034 END
ISN 0002

SUBJECTIVE MATTRA(M,N,KA,KB,AB)

ISN 0003

IMPLICIT REAL *B(A-H),REAL *B(O-Z)

ISN 0004

DIMENSION A(KA,2),B(KB,2)
1100 FORMAT(111,304)ARGUMENTS DE MATTRA INCORRECTS,2X,1HN,2X,15,2X,1MH,2

ISN 0005

1X,15,2X,2HKA,2X,15,2HKB,2X,15,1X,30(1H+),2X,1H*,9X,9H*,9K,9H**

ISN 0006

IA=1CF1(A)

ISN 0007

IB=1CF1(B)

ISN 0008

IF(A,EQ,1B) GO TO 100

ISN 0010

DO 1=1,N

ISN 0011

B(J,I)=A(I,J)

ISN 0013

1 CONTINUE

ISN 0014

GO TO 9999

ISN 0015

100 CONTINUE

ISN 0016

N=N-1

ISN 0017

DO 3=1,1,41

ISN 0018

I1=1+1

ISN 0021

DO 3=1,1,N

ISN 0022

PLOOF=A(I,J)

ISN 0023

A(I,J)=A(J,I)

ISN 0024

A(J,I)=PLOOF

ISN 0025

3 CONTINUE

ISN 0026

G=0-T-D 99,9,9

ISN 0027

ENTRY EGAMST(M,N,KA,KB,AB)

ISN 0028

DO 2=1,4

ISN 0029

B(I,J)=A(I,J)

ISN 0030

2 CONTINUE

ISN 0031

9999 RETURN

ISN 0032

SUBJECTIVE MIDDLE(B,X)

ISN 0033

CALC DU SECOND MEMORE DES PROBLEMES DE POTENTIEL ET DE PLAQUE

ISN 0034

IMPLICIT REAL *B(A-H),REAL *B(O-Z)

ISN 0035

COMMON/BERNARD/DELT2,8G(2,3)

ISN 0036

COMMON/DEBARD/ALSGH(3),AN(3,3)+AUX(2,1,6)+04(21,21)+GL(3,6,9)

ISN 0037

COMMON/LEGBER/ILSG,IVEBER

ISN 0038

DIMENSION X(2)

ISN 0039

DATA DEMT/A,SN07

ISN 0040

GALL TRIAGLYPH<14>AX,AN+04)

ISN 0041

GALL QMEHATT(21,21,9)

ISN 0042

DJ-1=1,16

ISN 0043

ISN 0044 CALL INT16(ALSGH,APOLDS,1)

ISN 0045

CALL PLOGLP,ALSGH)

ISN 0046

CALL LAMRAX,ALSGH,X(F)

ISN 0047

DJ-2=L-1,21

ISN 0048

2 AUX(E,1)=PL(1,9,0,9,GL)

ISN 0049

DJ-3=K-1,21

ISN 0050

3 B(K)=B(K)+40105*AXY(K,1)*FFF(XF(1),XF(2),1)

ISN 0051

1 CONTINUE

ISN 0052

RETURN

ISN 0053

END

ISN 0054

END
ISN 0012 - EQUATION NC000(NINC01,NINC02)
ISN 0013 - 1100 FOR GT(11=5,0,HG1)=2X(1X=51H*)
ISN 0014 - IF(NINC0,GT,10)=0) TO 1
ISN 0015 - MUNCH,HINGO
ISN 0016 - NOTC,HINGO
ISN 0017 - RETURN
ISN 0018 - I,HINGO=NINC01,10
ISN 0019 - PRINT 1100,HINGO
ISN 0020 - NINC01=0(NINC01,10)
ISN 0021 - RETURN
ISN 0022 - END

ISN 0012 - SUBROUTINE NC000(INCT,NINC01,NJC01,NJC02)
ISN 0013 - IF(NINC0,GT,10)=0) TO 1
ISN 0014 - MJC01=1
ISN 0015 - RETURN
ISN 0016 - I,HINGO=NINC0
ISN 0017 - RETURN
ISN 0018 - I,HINGO=NINC0
ISN 0019 - MJC02=NINC0
ISN 0020 - RETURN
ISN 0021 - END

ISN 0012 - SUBROUTINE NOLMAT(N,H,A)
ISN 0013 - IMPLICIT IT REAL*0(A=4),REAL*0(0=7)
ISN 0014 - GENERIG
ISN 0015 - DIMENSION A(N,N)
ISN 0016 - DATA ZERO,ZERO1,0,DO=1,0-127
ISN 0017 - DO 1=1,N
ISN 0018 - DO 1=1,N
ISN 0019 - A(I,J)=ZERO
ISN 0020 - CONTINUE
ISN 0021 - RETURN
ISN 0022 - E=N,T,R,Y,NOLMAT(H,N,A)
ISN 0023 - DO 2=1,N
ISN 0024 - DO 2=1,N
ISN 0025 - IF(ABS(A(I,J))=LT,ZERO1)=A(I,J)=ZERO
ISN 0026 - CONTINUE
ISN 0027 - RETURN
ISN 0028 - END
ISN 0002

FONCTION DE (F, FUPR, GL)

C

PL - CALCULE LA VALEUR DE LA IEME COMPOSANTE OU VEGTEUR (LAMBOA)

C

PMD - DE LA VALEUR IVER EST SANS SIGNIFICATION

ISN 0033

IPLOCIT REAL * (TA-H), REAL * (B-0-2)

ISN 0034

LITBEP #2 FAL (21)

ISN 0035

GONANBRL AMJET

ISN 0036

DMEGIST IN GE (361)

ISN 0037

DATA TAL/56,0590046741,14,04,01,10,30-32,23,03,02,20,31,13,11,129

ISN 0038

DTA ZEBRA 007

ISN 0039

1100 FIPHA (111, 104EDDUP A0,2X,9411,2X,14,2X,2411,2X,14,2X,2H12,2X,14

1,2672413,2X,14/1X,10 (111#))

ISN 0041

IVAP=1

ISN 0042

GO 1-100

ISN 0043

191 GINTENUE

ISN 0044

C GENTIL DE LAMBOA

ISN 0045

RETURN

ISN 0046

ENTRY DEBIL FUPR, GL)

ISN 0047

ENTRY PEL CALCULES VALEURS DES DERIVEES D11(IVER-1), D21(IVER-2)

ISN 0048

C 13(FUPR=1) DE LA IEME COMPOSANTE - DE (LAMBOA)

ISN 0049

C 1AP=2

ISN 0050

GO 1-100

ISN 0051

201 GINTENUE

ISN 0052

IF (FUPR=2) 10,29,30

ISN 0053

C GENTIL DE D11LAMBOA

ISN 0054

10 IK*INERIUI(11)

ISN 0055

RETURN

ISN 0056

C GENTIL DE D2LAMBOA

ISN 0057

20 IK*INERIUI(12)

ISN 0058

RETURN

ISN 0059

C GENTIL DE D3LAMBOA

ISN 0060

30 IK*INERIUI(13)

ISN 0061

RETURN

ISN 0062

RETURN

ISN 0063

RETURN

ISN 0064

ENTRY DEBIL FUPR, GL)

ISN 0065

C PL2-CALCULE LA VALEUR DES DERIVEES D11(IVER-1), D12(IVER-2), D13(IVER-1)

ISN 0066

C 1K=2EP=3

ISN 0067

C 1AP=3

ISN 0068

C 01 T1-190

ISN 0069

301 GINTENUE

ISN 0070

G9 T149, 50,40,70,30,00) FUPR

ISN 0071

C GENTIL DE D11LAMBOA

ISN 0072

C 2 DERIVATIONS PRINCIPALES SUR 11

ISN 0073

40 GENT FUPR(11,1K=1,1K=1,1)

ISN 0074

C 02=12

ISN 0075

C 03=13

ISN 0076

GO T1 300

ISN 0077

C GENTIL DE D12-LAMBOA

ISN 0078

C DERIVATION SUP FI DUIS SUD 12

ISN 0079

C 30 GENT FUPR(11,12,01,42,2)

ISN 0080

C 03=13

ISN 0081

GO T1 300

ISN 0082

C CALCULE DE D13 LAMBOA

ISN 0083

C DERIVATION SUP FI DUIS SUD 13
154 0042 60 CALL IDERTM(12,13,14,15,16)

154 0143 J2=12

154 0144 G 63-T1-309

G CALC DE D22-LANDBA

G 2 DERIVATIONS - CONSECUTIVES SUR 12

154 0045 70 CALL IDERTM(12,13,14,15,16)

154 0047 J1=11

154 0047 J3=13

154 0049 G1-T1-309

G CALC DE D23-LANDBA

G DERIVATION - SUR - 13 - DUTS SUR 13

154 0143 G 80 CALL IDERTM(12,13,14,15,16)

154 0151 J2=11

154 0041 G1-T1-309

G CALC DE D33-LANDBA

G 2 DERIVATIONS - CONSECUTIVES SUR 13

154 0052 G1 CALL IDERTM(13,14,15,16)

154 0053 J2=11

154 0054 J2=12

154 0057 300 CONTINUE

154 0059 IF LAMULT EQ *FEB1 RETURN

G REQUEST DE D22

154 0144 G SUBMITTING DLOGLALAN9)

154 0053 G DEPEND

154 0141 G 100 CONTINUE

154 0061 I0=TAT(F)

154 0062 G*F0740)*1

154 0143 I2=49(F)10)*1

154 0144 J3=8(F11+12)

154 0066 IF(F1+12=13)F=10) G1 TO 200

154 0067 IF(F14R-2) 10+201=301

154 0068 200 CONTINUE

154 0069 PINTI 13+90+10+11+12+13

154 0071 SFP

154 0072 END

154 0092 SUBMITTING DLOGLALAN9)

G GANT DORIE ALANB=FLAMBDAL=LANDBA2-LANDBA3)

C GLO-GALCHEE LES PUISSANCES DE LANDBA DE 0-A-5

154 0143 IF LAMULT EQ *FEB1 REAL *F=0-2)

154 0094 DIMENSION ALANB(1),GL(3,6)

154 0095 DATA M111=207

154 0096 D3-1=13

154 0097 G*F1)*1=11

154 0144 G1=1+2+3

154 0099 G*F1=1)*GL(F+J-1)*ALANB(1)

154 0099 I CONTINUE

154 0011 CONTIN

154 0012 END
```
ISN-0002 SURRJUTINE-P5RER2(IE9,IFR,IHR,IKR,NAB)
ISN 0033 COMMIN/BURA/TPA,IRAI,IRA2,IRB,IRB1,IRB2,IOUVER,NPOIN,IRAL
ISN-0004 COMMIN/BURB/INGO,NINCDA,MINC0,MINC0
ISN-0006 COMMIN/BURG/N2,N3P,ISOH2,ISOM
ISN-0009 COMMIN/BURG/KBRD9
ISN 0032 COMMIN/BURH/NTYP1,NTYP2,ITYP2(6),ITYP2(6)
ISN 0030 COMMIN/BURI/ATYP2(6,7,3),ATYP2(6,7,3)
ISN 0005 COMMON/BURG/NELEH,ICOLEH
ISN 0010 COMMON/BURG/ICOTO
ISN 0011 DIMENSION IER(2),IKR(2),THR(2)
ISN 0012 DIMENSION IER(NAB,2)
G MEMIRE -DES TYPES DE POINT - RENCONTRES
ISN 0013 DIMENSION KTYP(7,3)
ISN 0014 1100 FORMAT(14-3)HIER71K,3(14+1)/1H+1)
ISN-0015 1101 FORMAT(1H-20)HIFR-POUR - L-INGONNUE-2X-11/1X-20(1H+1))
ISN 0016 FUPMAT(1H-14)FONCTION KTYPE-71X-14(3H+1))
ISN 0017 DD-1-IELEM=1,NELEM
ISN 0018 I1=NP9IN#(IELEM-1)
ISN 0017 UU-L-POIN=1,NPOIN
ISN 0020 I2=16(IP9IN+11)
ISN 0021 IOP=12/100
ISN 0022 JOP=100(12,100)
ISN 0023 I3=KJPDRE(JOP,JDP)
ISN 0024 IKR(13)=K40PD+10A12
ISN 0025 I4=JDP+JDP-1)*IRA
ISN 0026 IER(14)=0
ISN 0027 1 CONTENUE
ISN 0028 N2=0
ISN 0029 N2P=0
ISN 0030 IGETO=0
ISN 0031 DD-2-1=1,3
ISN 0032 DD-2-1=1,5,7
ISN 0033 2-KTYPL(1)-I)=0
ISN 0034 DD-10,INGO=1,MINGO
ISN 0035 G CECL *OUR-EVITER UN-CALCUL INEXACT DE IGETO-LORSQUE-IOUVER=0
ISN 0036 DD-11-JOP=1,IRB
ISN-0037 I4=IOP+(10P-1)*IRA
ISN 0039 IF(INGO,E9,11)-N2=N2+1
ISN-0040 I1=KTYPE(10P1,JOP1,INGO)
ISN 0041 IGETO=ICOTO+NTYP1
ISN-0042 CALL 'SSPES(INGO,IE2,IE0)
ISN 0043 IER(14)=IER(14)+IE2*NTYP2+IEO+NTYP1
ISN 0044 IHR(14)=11+1
ISN 0045 N2P=12P+NTYP1+NTYP2
ISN 0046 KTYPL(11+1,INGO)=KTYP(11+1,INGO)+1
ISN 0047 KT=KTYP(11+1,INGO)
ISN 0048 IF(KT,NE=1)-69-T9-12
ISN 0050 DD-12-K=1,5,6
ISN 0051 JTYPE(K,11+1,INGO)=ITYP2(K)
ISN 0052 JFYP2(K,11+1,INGO)=ITYP2(K)
ISN 0053 12 CONTINUE
ISN 0054 IF(INGO,E9,MINGO)=IER(14)+NINCDA*IHR(14)
```
1-CONTINUE
ISN-0056
ISN-0057
10-CONTINUE
ISN-0058
ISN-0059
ISOM2-ICATO
ISN-0050
DO 30-I=1,N2
ISN-0061
I2=IKR(11)
ISN-0062
KOTRN=HOD(12,10)
ISN-0063
I2=I2/10
ISN-0064
IOP=I2/100
ISN-0065
JOP=HOD(12,100)
ISN-0076
I4=IIP+(JOP-1)*IRA
ISN-0067
IEK=HOD(1ER(14),MINCD)
ISN-0069
DO 30-INC=I,MIND
ISN-0070
CALL-ISSER(INCD,IEK,IEO,IE2)
ISN-0071
JE2=HINO(IE2,1)
ISN-0072
IFR(14,INC0)=ISOM+JEO+1000+ISOM2+JE2
ISN-0073
ISOM=ISOM+IEO
ISN-0074
ISOM2=ISOM2+IE2
ISN-0075
30-CONTINUE
ISN-0076
PRINT-1100
ISN-0077
CALL-GLOCLB(1ER,IRA,IRB)
ISN-0079
CALL-AVANPA(-1)
ISN-0079
PRINT-1102
ISN-0080
CALL-AVANPA(-1)
ISN-0081
CALL-GLOCLB(IHR,IRA,IRB)
ISN-0082
CALL-AVANPA(-1)
ISN-0083
DJ-3-INC=I,MINGO
ISN-0084
PRINT-1101,INGO
ISN-0085
CALL-AVANPA(-1)
ISN-0086
3-CALL-GENELB(1FR(17,INC0),IRA,IRB)
ISN-0087
RETURN
ISN-0089
END
ISN-0002 FUNCTION TEMP(XA,XIN(X))

ISN-0003 INPECGT REAL *3A-H)BREAL *8(0-2)

ISN-0004 GENERIC

ISN-0005 SUMHMYBIRHANTYP1H1YP2H1YP2(4)H1YP2(6)

ISN-0006 COMHMHLEGREPLEGCTVERER

ISN-0007 DIMENSION XA(2),Y(2),Y(2)

ISN-0008 DATA ZEP11H1DEH1Y0101.60.2.00/

ISN-0009 DATA DEJPEF/6283185309/

ISN-0010 TEMPERA

ISN-0011 IF(1E8ER4E+2) 0) TO 77

ISN-0013 IF(1E80,NE,3) RETURN

ISN-0014 CONTINUE

ISN-0015 IF(1E8,FG,0) K1=1YP2(1NC)

ISN-0016 IF(1E8,FG,11) K1=1AND1NG,10000)

ISN-0021 A(1)=XA(1)

ISN-0022 Y(1)=XA(2)

ISN-0023 I=2

ISN-0024 A(1)=Y(1)*Y(1-1)

ISN-0025 Y(1)=Y(1)*Y(1-1)

ISN-0026 CONTINUE

ISN-0027 KK=0401PEK(11)

ISN-0028 50-71(1)=33,45,5,5,5),SK

ISN-0029 1 CONTINUE

ISN-0030 TEMP(2)=Y(2)-Y(1))*SIN(XK)

ISN-0031 RETURN

ISN-0032 2 CONTINUE

ISN-0033 TEMP=DEJPEF*(X(2)-X(1)+GOS(XK))

ISN-0035 3 CONTINUE

ISN-0036 TEMP=DEJPEF*(Y(1)-Y(1)) *SIN(XK)

ISN-0037 RETURN

ISN-0038 4 CONTINUE

ISN-0039 TEMP=DEJPEF*(Y(2)-Y(1))*SIN(XK)

ISN-0040 RETURN

ISN-0041 CONTINUE

ISN-0042 TEMP=DEJPEF*(DEJPEF*Y(1)-Y(1)+GOS(XK))

ISN-0043 RETURN

ISN-0044 6 CONTINUE

ISN-0045 TEMP=DEJPEF*(SIN(XK))

ISN-0046 RETURN
ISN 0012

SURPRISANTE YLAMH(1)ALAM9,YO)

C VALLEl DES-CORDONNEES -BARYCENTRIQUES A-PARTIR DES CARTESIENNES

C GOUVERNEMENT AUK - RELATIONS (1-2-3)

C X -CORDERNEES - DES - TPOIS - SOMMETS - DU - TRIANGLE

C YO - CORDERNEES - DU - POINT - CONSIDERE

C ALAM9 - MECTEUR - DES - CORDERNEES - BARYCENTRIQUES

ISN 0013
IMPUCIT REAL *A(4-11) REAL *a(7-2)

ISN 0014
DEGENSION X(2) XO(2) ALAM(2)

ISN 0015
COMMUN/BERNARDELT, DELT2, RG(2,3)

ISN 0016
DATA - ZERO - DOY

ISN 0017
ALAMH(1) = (XO(1) - X(3)) * (X(4) - X(4)) + (XO(2) - X(4)) * (X(5) - X(3)) / DELT

ISN 0018
ALAMH(2) = (XO(1) - X(5)) * (X(6) - X(2)) + (XO(2) - X(6)) * (X(1) - X(5)) / DELT

ISN 0019
RETURN

ISN 0020
ENTRAX LAND(X)ALAM9,KO)

C VALLEl DES-CORDONNEES - CARTESIENNES A-PARTIR DES - BARYCENTRIQUES

C GOUVERNEMENT AUK - RELATIONS (1-2-1)

ISN 0012
UJ - 1 - 13 - 2

ISN 0013
YO(1) = ZEPH

ISN 0014
UJ = -HJD(U2)

ISN 0015
DU - 2 - K = 13

ISN 0016
K1 = 2K + 10

ISN 0017
XO(1) = YO(1) + ALAM9(K) * X(K1)

ISN 0018
2 - CONTINUE

ISN 0019
1 - CONTINUE

ISN 0020
RETURN

ISN 0021
END