# Comptes Rendus
Mathématique

Quentin Gendron

## Équation de Pell-Abel et applications

Volume 360 (2022), p. 975-992

https://doi.org/10.5802/crmath.346

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e-ISSN : 1778-3569
Cette célèbre équation a été étudiée en profondeur dans différents contextes depuis son introduction par Abel [1]. Dans cet article, Abel donne des conditions nécessaires et suffisantes sur le polynôme *D* pour que l'équation de Pell-Abel possède une solution. Cette équation a été par la suite réétudiée par Tchebychev [22] en lien avec les polynômes qui s'écartent le moins possible de l'axe des abscisses sur une union d'intervalle. Cette étude a été approfondie par Achieser, Markoff, Zolotareff et beaucoup d'autres. On pourra par exemple consulter [7, 19, 20] et les références de ces textes pour plus de détails. Sans prétendre à l'exhaustivité, il est intéressant de noter que cette équation est aussi apparue en lien avec la physique mathématique [9], les systèmes dynamiques [16], les billards dans les ellipsoïdes [10] ou les points d'ordres finis sur les courbes hyperelliptiques définies sur le corps des rationnels [17].

## Solutions de Pell-Abel

Dans cet article je me propose tout d'abord d'étudier les degrés des solutions de l'équation de Pell-Abel sur certaines courbes hyperelliptiques. Une courbe hyperelliptique $C_D$ est totalement réelle si les racines de $D$ sont contenues dans $\mathbb{R}$. Je vais en particulier montrer le résultat suivant.

**Théorème 1.** Étant donné un entier $g \ge 1$.

Il n'existe pas de courbe hyperelliptique totalement réelle de genre $g$ telle que l'équation de Pell-Abel possède une solution de degré $r \le g$.

Pour tout $r \ge g+1$ il existe une courbe hyperelliptique totalement réelle $C_D$ de genre $g$ telle que l'équation de Pell-Abel possède une solution primitive de degré $r$.

Il est intéressant de noter que l'on montrera dans la section 4.2 qu'il n'existe pas de courbes hyperelliptiques de genre $g$ qui possèdent une solution à Pell-Abel de degré $r \le g$. Pour construire des solutions pour tout $r \ge g+1$, j'utiliserai la théorie des différentielles abéliennes sur les courbes algébriques complexes (ou surfaces de Riemann). En effet, on peut associer une différentielle canonique à chaque courbe hyperelliptique définie par un polynôme $D$ comme ci-dessus. Je monterai que cette différentielle est étroitement liée à l'équation de Pell-Abel, ce qui me permettra de montrer le résultat ci-dessus.

Ce résultat est sans aucun doute connu des spécialistes. Des versions plus ou moins explicites de celui-ci peuvent se trouver dans [7, 20] et surtout [5]. Toutefois, comme l'écrit Serre [19, paragraphe 2.5] à propos de résultats similaires : « Il n'est pas facile de dire à qui ces théorèmes sont dus. L'une des difficultés est qu'ils sont rarement énoncés explicitement, et, du coup, ils ne sont pas démontrés en détails ». Aussi je pense qu'il est intéressant d'énoncer clairement ce résultat important et de le prouver de manière relativement élémentaire.

Je vais maintenant donner deux applications intéressantes de ce résultat que je n'ai pu trouver dans la littérature. Les sujets que je vais aborder reflètent mes goûts et il est probable que des applications similaires à d'autres problèmes sont possibles.

## Les $k$-différentielles

La première application du théorème 1 est au domaine des $k$-différentielles sur les surfaces de Riemann. Étant donné un entier $k \ge 1$, une $k$-différentielle est une section non nulle de la puissance tensoriel kième du fibré canonique d'une surface de Riemann. Une $k$-différentielle est primitive si elle n'est pas la puissance d'une $k'$-différentielle avec $0 < k' < k$.

Un problème délicat est de savoir s'il existe des $k$-différentielles satisfaisant certaines propriétés. Dans cet direction, je montrerai le résultat suivant.

**Théorème 2.** Soit $g \ge 2$ et $k \ge 1$, il existe une $k$-différentielle primitive avec un unique zéro d'ordre $k(2g-2)$ sur une courbe hyperelliptique totalement réelle de genre $g$ si et seulement si $(g, k) \ne (2, 2)$.
Notons que le [12, théorème 1.3] donne l'existence de *k*-différentielles primitives avec un unique zéro sur des surfaces de Riemann de genre *g*, sauf dans le cas où *g* = *k* = 2. L'originalité du présent résultat est donc de donner l'existence de tels objets sur une courbe hyperelliptique. Le théorème 2 est une application directe du théorème 1 et de résultats élémentaires de géométrie algébrique.

De plus, ce théorème est un cas particulier d'un résultat plus général. On peut en effet se demander s'il existe des *k*-différentielles holomorphes primitives sur des courbes hyperelliptiques dont le diviseur est supporté sur des points conjugués par l'involution hyperelliptique. J'étudie ce problème dans la section 3.3. En particulier, la proposition 18 donne des conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence de telles *k*-différentielles.

### Les points de torsion

La seconde application que je souhaite donner est au sujet des points de torsion sur les courbes hyperelliptiques. Étant donnés une courbe hyperelliptique $C$ et point de Weierstraß $W$ de $C$, on considère l'application d'Abel-Jacobi $\varphi_W: C \to J_C$ qui envoie le point $W$ sur l'origine de la jacobienne $J_C$ de $C$. Un point de $n$-torsion primitif modulo $W$ sur $C$ est un point $P$ tel que $\varphi_W(P)$ est un point de $n$-torsion de la jacobienne qui n'est pas de $n'$-torsion pour tout $0 < n' < n$. De manière équivalente, on dira que la différence $P - W$ est de $n$-torsion.

**Théorème 3.** Soient $g \ge 2$ et $n > 2$. Il existe un point de Weierstraß $W$ et un point $P$ non de Weierstraß sur une courbe hyperelliptique totalement réelle de genre *g* tels que $P - W$ est de $n$-torsion si et seulement si $n > 2g$.

De fait, je montrerai qu'il n'existe aucune courbe hyperelliptique de genre *g* avec un point de $n$-torsion primitif pour $2 < n \le 2g$. De nombreux exemples de points de $n$-torsion sont déjà connus (voir par exemple [4, 14] entre beaucoup d'autres) et le théorème 3 est prouvé en genre 2 dans le [8, paragraphe 4]. Toutefois, ce résultat ne semble pas connu pour $g \ge 3$. La preuve utilise des résultats classiques sur les surfaces de Riemann et la relation entre la différentielle canonique et l'équation de Pell-Abel détaillée dans la section 2.

### Structure

Cet article est organisé de la façon suivante. Dans la section 2, je donne les rappels sur l'équation de Pell-Abel et la preuve du théorème 1 sur le degré des solutions. La section 3 est dédiée à l'application aux *k*-différentielles. Le théorème 2 et une généralisation de celui-ci y sont prouvés. Dans cette section, je donne aussi quelques rappels sur les *k*-différentielles, qui peuvent être utiles à la section précédente. Le théorème 3 est prouvé dans la section 4, après quelques rappels sur les points de *n*-torsion.

### Remerciements

Cet article vient du mon envie de comprendre la partie liée aux différentielles abéliennes du séminaire Bourbaki de Jean-Pierre Serre [19]. Je remercie donc Nicolas Bourbaki d'organiser son séminaire et de mettre les vidéos en accès libre sur internet. Je remercie Mikhail Sodin de m'avoir procuré une copie de la traduction anglaise de [20] et John Boxall pour avoir porté à ma connaissance certaines références. Enfin, je remercie Jean-Pierre Serre et Andrei Bogatyrëv pour leurs commentaires bienveillants sur un brouillon de ce texte et le ou la rapporteur pour des suggestions qui ont améliorées la présentation de celui-ci.
## 2. Équation de Pell-Abel et différentielle canonique

Le but de cette section est de prouver le théorème 1 sur les solutions de l'équation de Pell-Abel. Pour cela, je commencerai par une discussion de cette équation et de la différentielle canonique sur les courbes hyperelliptiques totalement réelles. Elle s'inspire du [19, paragraphe 2]. D'autres bonnes références sur l'équation de Pell-Abel sont [7] et [20], où de nombreuses sources sont données et [5], dont la section 2 est proche de cette section.

### 2.1. L'équation de Pell-Abel sur les courbes hyperelliptiques

On fixe un entier $g \ge 0$ et on se donne $2g + 2$ nombres réels

$$a_0 < b_0 < a_1 < \dots < a_g < b_g.$$

Pour chaque $j = 0, \dots, g$ on note $E_j = [a_j, b_j]$ et $E$ la réunion des $E_j$. On définit le polynôme

$$D(x) = \prod_{i=0}^{g} (x - a_i) (x - b_i)$$

et la courbe hyperelliptique affine $C_D^{aff}$ de genre $g$ donnée par l'équation $y^2 = D(x)$. Sa complétée $C_D$ s'obtient en lui ajoutant deux points à l'infini, que l'on note $\infty_+$ et $\infty_-$. Ces points sont caractérisés par le fait que $y/x^{g+1}$ prend respectivement la valeur 1 au premier et $-1$ au second. Une courbe hyperelliptique ramifiée uniquement au dessus de point réels, comme $C_D$, est appelée **totalement réelle**. Notons que $D(x)$ est inférieur ou égal à 0 si $x \in E$ et strictement supérieur à 0 sinon.

L'algèbre affine de $C_D^{aff}$ est un $\mathbb{C}[x]$-module libre de base $\{1, y\}$. Après normalisation par une constante multiplicative, ses éléments inversibles sont de la forme :

$$f = P + yQ, \text{ avec } P, Q \in \mathbb{C}[x] \text{ et } P^2 - DQ^2 = 1. \qquad (2)$$

On supposera que le polynôme $Q$ est non nul. Cela revient à ne pas considérer les solutions triviales ($\pm 1, 0$). L'équation $P^2 - DQ^2 = 1$ est appelée **équation de Pell-Abel**. Le degré d'une solution $f$ est le degré de $P$. Pour un polynôme $D$ fixé, on dira que $f$ est une solution **primitive** si le degré de $P$ est minimal parmi les solutions distinctes de $f = \pm 1$.

**Remarque 4.** Dans certaines sources l'équation de Pell-Abel est l'équation $P^2 - DQ^2 = c$, où $c \in \mathbb{C}^*$ et les polygones $P$ et $Q$ sont unitaires. Les deux formulations sont équivalentes et l'on passe de l'une à l'autre par normalisation multiplicative.

Une différence importante entre les équations de Pell et de Pell-Abel est que cette dernière n'a pas toujours de solutions non triviales. De façon plus précise, soit $r$ un entier supérieur ou égal à 1. Il y a équivalence entre les deux conditions suivantes.

(i) L'équation (2) possède une solution de degré $r$.

(ii) Le diviseur $r(\infty_+ - \infty_-)$ de la courbe $C_D$ est linéairement équivalent à 0.

On peut reformuler le point (ii) de la manière suivante. Soit $J_D$ la jacobienne de $C_D$. Le diviseur $\infty_+ - \infty_-$ définit un point $P_\infty$ de $J_D$. Le point (ii) signifie que $r P_\infty = 0$, autrement dit que $P_\infty$ est un point d'ordre fini divisant $r$. De plus, cet ordre est égal à $r$ si la solution est primitive de degré $r$.

En genre $g = 0$, le fait que $J_C = 0$ implique donc que l'équation de Pell-Abel a des solutions pour tout $r \ge 1$. Les solutions sont données par les polynômes de Tchebychev usuels $P, Q$ respectivement de première et seconde espèce (modulo normalisation). Dans le cas $g = 1$, la jacobienne est égale à la courbe et l'existence de points de $r$-torsion pour $r \ge 2$ est claire. Si $g \ge 2$, il est facile de construire des exemples de courbes hyperelliptiques dont l'équation de Pell-Abel
n'a pas de solution. Par exemple, dans le cas $g = 2$, s'il existe une solution primitive de degré $r$ de l'équation de Pell-Abel sur $C_D$, alors il existe une $r$-différentielle primitive sur $C_D$ avec un unique zéro d'ordre $2r$ en $\infty_+$ (voir la section 3 pour plus de détails). On sait par le [3, théorème 1.1] que la dimension de l'espace des modules des $r$-différentielles primitives avec un unique zéro sur les surfaces de Riemann de genre 2 est égal à 3. Donc sa projection à l'espace $M_2$ des surfaces de Riemann de genre 2 est de dimension 2 et les courbes hyperelliptiques qui possèdent des solutions primitives de degré $r$ à l'équation de Pell-Abel forment des diviseurs (éventuellement non irréductibles) dans $M_2$.

## 2.2. La différentielle canonique

Je vais maintenant introduire la différentielle canonique sur une courbe hyperelliptique totalement réelle $C_D$, tout d'abord arbitraire puis telle que l'équation de Pell-Abel possède une solution. Je souhaite souligner ici que cette différentielle n'est pas canoniquement associée à une courbe hyperelliptique abstraite $C$, mais qu'elle dépend du choix du polynôme $D$ définissant la surface $C$. Quelques rappels sur les différentielles abéliennes sont donnés dans la section 3 et peuvent être utiles au lecteur peu familier avec cette théorie.

### Différentielle canonique sur une courbe hyperelliptique totalement réelle

On se donne une courbe hyperelliptique totalement réelle $C_D$. Étant donné un polynôme unitaire $A \in \mathbb{R}[x]$ de degré $g$, on lui associe la forme différentielle $\eta_A = A(x) \frac{dx}{y}$ sur $C_D$. Cette forme est holomorphe ailleurs qu'en l'infini et possède un pôle simple en $\infty_+$ et en $\infty_-$, dont les résidus sont respectivement $-1$ et $+1$. Notons que $\eta_A$ est une forme de troisième espèce et que changer $A$ revient à ajouter à $\eta_A$ une forme de première espèce, i.e. une différentielle holomorphe. Puisque l'espace vectoriel des différentielles holomorphes a pour base les formes $x^j \frac{dx}{y}$ avec $0 \le j < g$, on en déduit qu'il existe un unique polynôme $A$ tel que

$$ \int_{b_{j-1}}^{a_j} \frac{A(x)}{\sqrt{D(x)}} dx = 0 \quad \text{pour } j = 1, \dots, g. \qquad (3) $$

Ces intégrales sont les périodes réelles de $\eta_A$. Dans cette formule, on note $\sqrt{\cdot}$ la racine positive. Dans la suite, si $t$ est négatif, on définit $\sqrt{t}$ comme $i\sqrt{-t}$. On peut maintenant introduire l'objet central de cette section.

**Définition 5.** Le polynôme $A$ satisfaisant l'équation (3) est le polynôme canonique de $C_D$ et est noté $R$. La forme différentielle $\eta_R$ est la différentielle canonique de $C_D$, que l'on notera simplement $\eta$.

La formule (3) dit que dans chaque intervalle intermédiaire $T_j = [b_{j-1}, a_j]$ l'intégrale de $\eta = R(x) \frac{dx}{\sqrt{D(x)}}$ est nulle. Cela entraîne que $R(x)$ change de signe dans $T_j$, donc s'annule en au moins un point intérieur de $T_j$. Comme le nombre d'intervalle $T_j$ est égal au degré de $R$, on obtient le résultat suivant.

**Lemme 6.** Le polynôme $R(x)$ a une racine et une seule à l'intérieur de chaque $T_j$ et n'a aucune autre racine (réelle ou complexe).

Comme les zéros de $\eta$ sont les préimages des racines de $R$, le lemme 6 implique que la différentielle canonique $\eta$ possède exactement $2g$ zéros simples. On note $z_j$ le zéro de $\eta$ dont la projection par l'application hyperelliptique appartient à l'intervalle $T_j$ et tel que la partie réelle de l'intégrale de $\eta$ de $b_{j-1}$ à $z_j$ est positive. Le zéro qui est conjugué à $z_j$ par l'involution hyperelliptique est noté $\bar{z}_j$.
On s'intéresse maintenant aux $g + 1$ intégrales

$$ \eta_j = \int_{a_j}^{b_j} \frac{R(x)}{\sqrt{D(x)}} dx = \int_{a_j}^{b_j} \eta, \quad \text{pour } j = 0, 1, \dots, g. \qquad (4) $$

Les nombres $2\eta_j$ sont appelés les *périodes imaginaires* de la différentielle canonique $\eta$. Notons que comme $R$ est un polynôme réel et $D(x) \le 0$ pour $x \in E$, les parties réelles des $\eta_j$ sont nulles.

Je vais maintenant énoncer une propriété importante satisfaite par les périodes imaginaires. Cette propriété est une conséquence du théorème des résidus et du fait que les résidus aux pôles de $\eta$ sont $\pm 1$. Les détails sont donnés à la fin de la [19, section 2.3].

**Lemme 7.** *Il existe des signes $\varepsilon_j \in \{-1, 1\}$ tels que l'on ait :*

$$ \sum_{0 \le j \le g} \varepsilon_j \eta_j = i\pi. $$

J'introduis maintenant les dernières quantités qui vont permettre de paramétrer les différentielles canoniques. Pour $j = 1, 2, \dots, g$ on définit les valeurs

$$ \lambda_j = \int_{b_{j-1}}^{z_j} \eta = \int_{a_j}^{z_j} \eta. \qquad (5) $$

On appelle les quantités $2\lambda_j$ les *périodes plates* de $\eta$. En effet, elles correspondent à l'intégrale de $\eta$ entre les zéros $\bar{z}_j$ et $z_j$. Notons que, comme la restriction de $\eta$ à l'intervalle $]b_{j-1}, z_j[$ est strictement positive, les $\lambda_j$ sont des nombres réels strictement positifs.

*Différentielle canonique si l'équation de Pell-Abel a une solution*

Jusqu'à présent, la discussion ne dépendait pas du fait que l'équation de Pell-Abel possède une solution sur $C_D$ ou non. Dans la suite de ce paragraphe, je travaillerai sous l'hypothèse que cette équation possède une solution $f = P + yQ$ de degré $r$ sur $C_D$.

Le premier résultat relie la solution de Pell-Abel à la différentielle canonique.

**Lemme 8.** *Soit $C_D$ une courbe hyperelliptique totalement réelle telle que l'équation de Pell-Abel possède une solution $f = P + yQ$ de degré $r$. La différentielle canonique $\eta$ de $C_D$ est égale à*

$$ \eta = \frac{1}{r} \frac{df}{f} \qquad (6) $$

**Démonstration.** Il est clair que $\frac{df}{f}$ possède deux pôles simples en $\infty_+$ et $\infty_-$ de résidus respectifs $-r$ et $r$. Pour prouver que $\frac{df}{f} = r\eta$, il suffit donc de prouver que les périodes réelles de la forme $\frac{df}{f}$ sont nulles. Pour $j = 1, \dots, g$, on considère $f$ comme une fonction $f(x)$ sur l'intervalle $T_j = \{b_{j-1}, a_j\}$ en choisissant une détermination de $y$. Cela permet de considérer $f$ comme une fonction $f(x)$ sur $T_j$. Comme cette fonction est réelle, et ne s'annule pas, on en déduit que $f(b_{j-1}) = f(a_j) = \pm 1$. L'intégrale de $\frac{df}{f}$ est donc la fonction $\log(f)$ qui prend les mêmes valeurs aux extrémités de $T_j$. Cela entraîne que l'intégrale sur $T_j$ de sa dérivée est nulle et donc le lemme 8. $\square$

On peut maintenant préciser le lemme 7 dans le cas où l'équation de Pell-Abel est résoluble sur $C_D$. Rappelons que $2\eta_i$ est la ième période imaginaire de $\eta$.

**Proposition 9.** *Soit $C_D$ une courbe hyperelliptique totalement réelle telle que l'équation de Pell-Abel possède une solution de degré $r$ et $\eta$ sa différentielle canonique. Les $r_j = r|\eta_j|/\pi$ sont des nombres entiers qui satisfont l'équation*

$$ \sum_{0 \le j \le g} r_j = r. \qquad (7) $$
**Démonstration.** Fixons l'un des intervalles $E_j = [a_j, b_j]$ avec $j = 0, ..., g$. On considère $f$ comme une fonction $f(x) = P(x) + iy_1(x)Q(x)$ sur $E_j$, où $y_1$ est la fonction $y_1(x) = \sqrt{-D(x)}$. Cette fonction est à valeurs complexes et de module 1. On peut donc l'écrire sous la forme $f(x) = e^{i\theta(x)}$ avec $\theta: E_j \to \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$. On peut relever $\theta$ en une fonction continue $\theta: E_j \to \mathbb{R}$ en lui imposant sa valeur en $a_j$. Comme $f(a_j) = \pm 1$, cette valeur est de la forme $c_0\pi$, avec $c_0 \in \mathbb{Z}$. La valeur de $f$ en $b_j$ est alors $c_1\pi$ avec $c_1 \in \mathbb{Z}$. On a donc :

$$P(x) = \cos(\theta(x)) \quad \text{et} \quad y_1(x)Q(x) = \sin(\theta(x)).$$

De plus, par le lemme 8 on a :

$$\int_{a_j}^{b_j} r \eta = \int_{a_j}^{b_j} \frac{df}{f} = i \int_{a_j}^{b_j} d\theta = i (\theta(b_j) - \theta(a_j)) = (c_1 - c_0) i\pi.$$

Le nombre $r_j = |c_1 - c_0|$ est donc un entier strictement supérieur à 0. Par le lemme 7, il existe des signes $\pm$ tels que :

$$\sum_j \pm r_j = r. \qquad (8)$$

Il reste donc à montrer que tous les signes sont positifs. Comme $\theta$ est strictement monotone sur $E_j$ entre $c_0\pi$ et $c_1\pi$, son cosinus s'annule $|c_1 - c_0|$ fois. Cela implique que le nombre de racines de $P$ dans $E_j$ est $r_j$ et comme $P$ a au plus $r$ racines, on a donc :

$$\sum_j r_j \le r. \qquad (9)$$

L'équation (7) est alors obtenue en comparant les équations (8) et (9). $\square$

Une différentielle canonique satisfaisant l'équation (7) est dite de degré $r$. De plus, si les $r_j$ sont premiers entre eux on dit que la différentielle $\eta$ est *primitive*. On vérifie facilement que $f$ est primitive si et seulement si la différentielle $\eta$ est primitive.

La proposition 9 possède déjà des conséquences intéressantes sur les solutions de l'équation de Pell-Abel. En particulier, je souhaite faire la remarque suivante, qui se trouve dans le [20, paragraphe 5.1].

**Remarque 10.** L'équation (7) implique qu'il n'existe pas de solution de degré $r \le g$ de l'équation de Pell-Abel sur une courbe hyperelliptique totalement réelle de genre $g$. Ce résultat est valable pour toutes les courbes hyperelliptiques complexes comme je le montrerai dans la section 4.2.

### La structure plate d'une différentielle canonique

Pour terminer la discussion des différentielles canoniques, je vais décrire la structure plate induite par une différentielle canonique $\eta$ sur une courbe totalement réelle qui possède une solution à Pell-Abel de degré $r$. Cette structure est obtenue en intégrant $\eta$ sur le complémentaire de ses pôles. Le lecteur non familier avec cette théorie pourra consulter la section 3.1 et les nombreuses références sur le sujet, comme par exemple [15].

Pour énoncer le résultat j'introduis la notion de peigne. Un peigne est une demi-bande horizontale avec des coupures horizontale. Plus précisément, soient $M \in \mathbb{N}^*$ et $g \le M-1$ des entiers naturels, on définit le peigne $\Pi_M(q_1, ..., q_g; h_1, ..., h_g)$ avec $q_1 < \dots < q_g$ des entiers contenus dans l'intervalle $[1, M-1]$ et $h_i > 0$ par l'ensemble

$$\{\xi \in \mathbb{C} : \Re(\xi) > 0 \text{ et } 0 < \Im(\xi) < M\pi\} \setminus \bigcup_{j=1}^{g} \{\Im(\xi) = \pi q_j \text{ et } 0 < \Re(\xi) < h_j\}. \qquad (10)$$

La figure 1 donne un exemple de peigne avec deux coupures horizontales.

Je peux maintenant donner la description des surfaces plates associées aux différentielles canoniques sur des courbes hyperelliptiques qui possèdent une solution à Pell-Abel.
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 1. Le peigne $\Pi_M(1, 2; h_1, h_2)$ avec $M = 3$.</figcaption></figure>

**Proposition 11.** Soit $\eta$ une différentielle canonique de degré $r$ sur une courbe hyperelliptique totalement réelle $C_D$ avec $2\eta_j = \pm \frac{2ir_j\pi}{r}$ ses périodes imaginaires et $2\lambda_\ell$ ses périodes plates. La surface plate associée à $r\eta$ est obtenue de la façon suivante.

(1) On se donne le peigne $\Pi = \Pi_r(q_1, \dots, q_g; r\lambda_1, \dots, r\lambda_g)$, avec $q_i = \sum_{j=1}^i r_{j-1}$.

(2) On fait une réflexion de $\Pi$ le long de $\mathbb{R}$ puis une rotation centrale au point (0,0).

(3) On identifie par translation verticale les droites du bord du domaine ainsi créé.

(4) Pour chaque segment obtenu par les images des dents du peigne, on identifie par translation la partie supérieure du segment avec la partie inférieure du segment d'ordonné opposée.

Notons que le lemme 14 ci-dessous donne la réciproque de cette proposition. Une surface plate obtenue de cette façon est représentée sur la figure 2.

**Démonstration.** La surface de Riemann $C_D$ est obtenue en collant deux plans le long des intervalles $E_j$ (voir par exemple la figure 5). Considérons la restriction de la différentielle canonique $\eta$ au demi-plan supérieur $\mathbb{H}^-$ de $\mathbb{C}$ dont le point à l'infini correspond à $\infty$. Je montrerai que l'image de ce demi-plan par intégration de la différentielle est le peigne $\Pi$. En supposant ce résultat, la fin de la preuve est comme suit. Comme $\eta$ est une différentielle réelle, l'image par intégration au demi plan inférieur bordant $\mathbb{H}^-$ est donnée par la réflexion $\Pi$ le long de l'une des demi-droites de $\Pi$. De plus, $\eta$ est anti-invariante par l'involution hyperelliptique. Donc, l'image de l'autre plan par intégration de $\eta$ est la rotation d'angle $\pi$ de l'image du premier plan. Les identifications des bords de ces quatre peignes sont induits par les identification des demi-plans pour former la courbe $C_D$.

Il reste à montrer que l'image de $\mathbb{H}^-$ par l'intégration de $\eta$ est le peigne $\Pi$. Soit $t > 0$, considérons les courbes $\gamma_t$ définies par la concatenation du segment d'ordonné $1/t$ et d'abscisses comprises entre $-t$ et $t$ avec le demi-cercle supérieur de centre $i/t$ et de rayon $t$. Comme la restriction de $\eta$ au domaine bordé par $\gamma_t$ est holomorphe, l'intégrale de $\eta$ sur $\gamma_t$ est nulle. Par la symétrie de $\eta$ et le fait qu'elle possède un pôle de résidu 1 à l'infini, l'intégral de $r\eta$ au demi-cercle est égal à $r\pi$. De plus, la limite de l'intégrale sur le segment est égale à l'intégrale de $\eta$ sur $\mathbb{R}$. Comme la restriction de la différentielle $\eta$ aux intervalles $]-\infty, a_0]$ et $]b_g, \infty[$ est réelle, l'image de ces demi-droites sont des demi-droites horizontales. L'image des intervalles $[b_i, a_{i+1}]$ par l'intégration de $r\eta$ est donnée de la façon suivante. L'image du segment $[b_i, c_{i+1}]$ est horizontale, vers la droite et de longueur $r\lambda_i$. L'image du segment $[c_{i+1}, a_{i+1}]$ est horizontale, vers la gauche et de longueur $r\lambda_i$. Donc, par la proposition 9, l'intégrale de $r\eta$ sur les intervalles $E_i$ sont des segments verticaux de hauteur $\pi r_i$. L'image de $\mathbb{R}$ par l'intégration de la restriction de $\eta$ est donc le bord du peigne $\Pi$. Comme $\eta$ ne s'annule pas sur $\mathbb{H}^-$, son image par intégration est le peigne $\Pi$. $\square$
Les surfaces de translation de la proposition 11 peuvent s'obtenir par une construction différente. La remarque suivante décrit cette construction.

**Remarque 12.** Pour obtenir la surface de translation de la proposition 11 on commence par prendre un cylindre horizontal infini de hauteur $2r\pi$ et on considère un point $a_0$ sur celui-ci. On fait $2g$ coupures horizontales de la façon suivante. Pour tout $i = 1, ..., g$ la coupure $c_i^+$, resp. $c_i^-$, est de longueur $2r\lambda_i$, centrée sur le point à une distance $\sum_{j=1}^{i} r_j\pi$ au dessus, resp. en dessous, de $a_0$. On obtient alors deux composantes de bord pour chaque coupure, que j'appelle lèvres supérieures et inférieures respectivement. On identifie alors par translation (verticale) la lèvre inférieure de $c_i^+$ avec la lèvre supérieure de $c_i^-$. On identifie de même la lèvre supérieure de $c_i^-$ avec la lèvre inférieure de $c_i^+$.

Sur une surface de translation de la proposition 11, les (préimages dans la surface de Riemann hyperelliptique des) points $a_i$ et $b_j$ sont donnés de la façon suivante. Le point $b_i$ pour $i < g$ correspond au milieu du segment obtenu en identifiant la lèvre inférieure de $c_{i+1}^+$ avec la lèvre supérieure de $c_{i+1}^-$. Le point $b_g$ est le point qui se trouve au dessus de $a_0$ à distance $r$. Le point $a_i$ pour $i > 0$ correspond au milieu du segment obtenu en identifiant la lèvre supérieure de $c_i^+$ avec la lèvre inférieure de $c_i^-$. Enfin, les zéros $z_i$ et $\bar{z}_i$ de la différentielle correspondent respectivement aux sommets de droite et de gauche des segments $c_i^{\pm}$.

**Exemple 13.** La surface de translation associée au peigne $\Pi_3(1,2;3\lambda_1, 3\lambda_2)$ (après division par $\pi$) par la construction de la proposition 11 est représentée dans la figure 2. Elle est associée à une différentielle canonique de degré 3 multipliée par $\frac{3}{\pi}$.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**FIGURE 2.** Une différentielle canonique (multipliée par $\frac{r}{\pi}$) en genre 2 et de degré $r = 3$ dont les demi périodes plates sont $\lambda_i = \pi\lambda_i'/r$.</figcaption></figure>

## 2.3. La preuve du théorème 1

Je vais commencer la preuve du théorème 1 par un lemme fondamental sur les différentielles canoniques. Ce résultat est similaire au [7, théorème 2.1] et au résultat énoncé dans la [20, section 5.5].

**Lemme 14.** Étant donnés un entier strictement positif $r$, des entiers $\{r_j\}_{j \in \{0, ..., g\}}$ strictement positifs de somme strictement inférieure à $r$ et $\lambda_\ell > 0$. Notons $q_i = \sum_{j=0}^{i} r_j$ les sommes partielle des $r_j$. La différentielle $(C, \omega)$ associée à une surface de translation $S$ obtenue par la construction
de la proposition 11 à partir du peigne $\Pi_r(q_1, \dots, q_g; r\lambda_1, \dots, r\lambda_g)$ est une différentielle canonique de degré r sur une courbe hyperelliptique totalement réelle de genre g qui possède une solution de degré r à Pell-Abel.

La preuve de ce résultat s'appuie sur le très bel argument d'Achieser exposé dans la [20, section 5.4]. Elle repose sur la formule de Schwarz-Christoffel, qui est par exemple exposée dans l'excellent [18, IV.2.3], et qui s'énonce de la façon suivante. Étant donné un domaine polygonal simplement connexe $P$ dont les sommets sont $w_1, \dots, w_N$ et d'angles intérieurs $\psi_1\pi, \dots, \psi_N\pi$. Soit $\phi: \mathbb{H} \to P$ une uniformisante qui s'étend en un homéomorphisme sur chaque arête de $P$ et qui envoie l'infini sur le point $w_N$. Il existe $N-1$ nombres réels $\alpha_1, \dots, \alpha_{N-1}$ tels que

$$ \phi(z) = C \int_{z_0}^{z} \frac{dw}{(w - \alpha_1)^{1-\psi_1} \dots (w - \alpha_{N-1})^{1-\psi_{N-1}}}. \qquad (11) $$

Ces rappels fait, je suis maintenant en mesure de donner la preuve du lemme 14.

**Démonstration.** On considère sur une surface plate $S$ obtenue par la construction de la proposition 11 à partir du peigne $\Pi = \Pi_r(q_1, \dots, q_g; r\lambda_1, \dots, r\lambda_g)$ et la différentielle $(C, \omega)$ associée. On commence par montrer que $C$ est une courbe hyperelliptique. Le quotient $S'$ de $S$ par la rotation de centre $(0,0)$ et d'angle $\pi$ donne une surface de translations et rotation d'angles $\{0, \pi\}$. Une telle surface plate est représentée dans la figure 3 en prenant le quotient de la différentielle de la figure 2.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 3. La surface plate (multipliée par $\frac{r}{\pi}$) sur $\mathbb{P}^1$ obtenue par quotient de la différentielle de la figure 2. Les arêtes indexées par le même numéro sont identifiées deux à deux par une rotation d'angle $\pi$ et une translation verticale.</figcaption></figure>

On peut associer à cette surface une différentielle quadratique $(C', \xi)$ (voir section 3.1). On vérifie facilement que $C'$ est $\mathbb{P}^1$ en calculant la caractéristique d'Euler. De plus, la rotation sur $S$ possède 2g-2 points fixes, qui correspondent aux singularités d'angles $\pi$ de $S'$. Donc la courbe $C$ est hyperelliptique et l'involution hyperelliptique correspond à la rotation.

Comme la surface $S'$ est symétrique et on peut considérer sa moitié inférieure. On retrouve le peigne $\Pi$. Soit $\phi$ le biholomorphisme entre $\Pi$ et $\mathbb{H}$ normalisé en imposant

$$ \phi(a_0) = 0, \phi(b_g) = i\pi r \quad \text{et} \quad \phi(\infty) = \infty. $$
Le biholomorphisme $\phi$ est donné par l'inverse de l'application de Schwarz-Christoffel :

$$ \phi: \mathbb{H} \to \Pi: z \mapsto r \int_{a_0}^{z} \frac{(w-c_1)\cdots(w-c_g)}{(w-a_0)^{1/2}(w-b_0)^{1/2}\cdots(w-a_g)^{1/2}(w-b_g)^{1/2}} dw, \quad (12) $$

avec $a_i, b_j, c_k \in \mathbb{R}$. On en déduit que la différentielle $\omega$ est définie sur la courbe hyperelliptique totalement réelle $C_D$, où le polynôme $D$ est donné par

$$ D(w) = \prod_{i=0}^{g} (w - a_i) (w - b_i) $$

et que le polynôme canonique $R$ introduit dans la définition 5 est

$$ R(w) = (w - c_1) \cdots (w - c_g). $$

Maintenant, on définit sur la droite réelle la fonction

$$ P(x) = \cos(i\phi(x)). \quad (13) $$

Notons que cette fonction est analytique et s'étend à $\mathbb{C}$ en une fonction holomorphe par la même formule. De plus, pour tout $i \in \{0, \dots, g\}$ elle possède $r_i$ zéros sur l'intervalle $E_i$ et ne s'annule pas ailleurs. Comme $\phi$ est un homéomorphisme sur ces intervalles, les zéros de $P$ sont simples. On en déduit que $P$ est un polynôme de degré $r$.

Il reste à vérifier que $P$ satisfait l'équation de Pell-Abel sur $C_D$. Il est clair que la fonction $S(x) = i \sin(i\phi(x))$ satisfaisait à l'équation $P^2 - S^2 = 1$. On en déduit que $S$ est un polynôme. Il reste à vérifier que $S$ est divisible par $D$. Cela est clairement impliqué par le fait que l'ensemble des racines de $S$ contient les points $a_i$ et $b_j$. $\square$

Avant de passer à la preuve du théorème 1 je souhaite faire quelques commentaires sur le résultat que l'on vient de prouver.

L'un des points fondamentaux de la preuve est d'écrire $P$ comme le cosinus d'une intégrale hyperelliptique. Il existe d'autres moyens d'obtenir ce résultat. L'un des plus élégant est donné via les équations différentielles ordinaires. On pourra se reporter à la [6, section 2] pour obtenir cette version.

La figure 4 montre le polynôme associé à la différentielle de la figure 2.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 4. Le polynôme $P$ associé à la différentielle canonique de la figure 2.</figcaption></figure>

Le polynôme $R$ est égal à $(x - c_1)(x - c_2)$. De plus, $c_i$ est l'image de $z_i$ et $\bar{z}_i$ par l'involution hyperelliptique. La demi période plate $\lambda_i$ est simplement égale à l'intégrale de la forme $R/\sqrt{D}dx$ du point $b_{i-1}$ à $c_i$. Le fait que chaque intervalle $E_i$ possède un unique zéro de $P$ est équivalent au fait que $r_i = 1$.
On peut se demander si, étant donnée une différentielle canonique, on peut trouver de manière effective l'équation de la courbe hyperelliptique $C_D$ et le polynôme $P$. Ce problème est très difficile en général, mais des résultats intéressants ont étés obtenus par [2] et développés dans [5] via les fonctions automorphes.

Je donne maintenant la preuve du théorème 1. Rappelons que celui-ci donne l'existence d'une solution primitive de degré $r$ de l'équation de Pell-Abel sur une courbe hyperelliptique totalement réelle de genre $g$ si et seulement si $r \ge g+1$.

**Démonstration.** Au vu de la remarque 10, il suffit de montrer qu'il existe des solutions de degré $r$ pour tout $r \ge g+1$. Par le lemme 14, il suffit de montrer qu'il existe une différentielle canonique de degré $r$ sur une surface de genre $g$ qui n'est pas de degré $r'$ pour un $r' < r$. Pour cela il suffit de considérer les entiers $r_i = 1$ pour $i \in \{0, \dots, g-1\}$ et $r_g = r-g$. On considère alors pour $q_i = \sum_{j=1}^i r_{j-1}$ le peigne

$$ \Pi_r(q_1, \dots, g_r; r\lambda_1, \dots, r\lambda_g) $$

avec $\lambda_i > 0$ pour tout $i \in \{1, \dots, g\}$. Par le lemme 14, la différentielle obtenue par la construction de la proposition 11 est canonique de degré $r$ sur une surface totalement réelle de genre $g$. Le choix des $r_i$ impliquent qu'elle est primitive. Donc la solution de l'équation de Pell-Abel associée à cette différentielle est primitive. $\square$

On peut de plus déduire une description de l'ensemble des composantes connexes des lieux formés par les couples donnés par les différentielles canonique primitive de degré $r$ sur les courbes hyperelliptiques totalement réelles de genre $g$ sur lesquelles l'équation de Pell-Abel est résoluble. Un résultat similaire est donné par [5, l'équation (19)].

**Corollaire 15.** *L'espace des modules des différentielles canonique primitive de degré $r$ sur les courbes hyperelliptiques totalement réelles de genre $g$ satisfaisant à l'équation de Pell-Abel est une union de cônes ouverts $(\mathbb{R}_+^*)^{g-1}$, où cette union est prise sur toute les partitions $(r_0, \dots, r_g)$ de $r$ à $g+1$ éléments telles que $\text{pgcd}(r_0, \dots, r_g) = 1$.*

Pour terminer cette section, je donne une remarque sur le corps de définition des courbes considérées.

**Remarque 16.** On peut se demander si il existe des courbes algébriques définies sur $\mathbb{Q}$ ou un autre sous-corps de $\mathbb{R}$ avec des points de $r$-torsions (voir entre beaucoup d'autres références [14]). Afin d'étudier ce problème, [17] associe un graphe aux courbes hyperelliptiques avec un point de $r$-torsion. Ce graphe est la préimage du segment $[-1, 1]$ par le polynôme $P$. Dans le cas des courbes hyperelliptiques totalement réelles, on obtient une union de $g+1$ segments disjoints. Chacun de ces segments contient $r_i - 1$ sommets en son intérieur. Donc ce cas ne semble pas être le cas le plus adéquat pour étudier ce problème.

### 3. Les $k$-différentielles

Dans cette section, je donne tout d'abord quelques rappels sur les $k$-différentielles méromorphes et la structure plate qui leur est associée pour tout $k \ge 1$. Beaucoup plus d'informations peut se trouver dans [15, 21] dans le cas des différentielles abéliennes et quadratiques et [3] dans celui des $k$-différentielles pour $k \ge 3$. La preuve du théorème 2 est donnée dans la section 3.2. Enfin le théorème 2 est généralisé au cas des $k$-différentielles dont le diviseur est supporté sur des points conjugués par l'involution hyperelliptique dans la section 3.3.
### 3.1. Rappels sur les k-différentielles

Une différentielle abélienne est une paire $(C, \omega)$ où $C$ est une surface de Riemann et $\omega$ est une section méromorphe non nulle du fibré cotangent $K$ de $C$. Si la section est méromorphe et ne possède que des pôles simples alors on dit qu'elle est de troisième espèce. Dans le cas où $\omega$ est holomorphe, on dit quelle est de première espèce.

La différentielle $\omega$ induit par intégration une structure de translation et une métrique plate sur la surface $C$ privée des zéros et des pôles de $\omega$. Cette métrique s'étend aux zéros de $\omega$ en une métrique singulière. Plus précisément, un zéro d'ordre $m$ de $\omega$ correspond à une singularité conique d'angle $(m+1)2\pi$ de la métrique plate. De plus, un pôle simple de résidu $r$ correspond à un cylindre infini de circonférence $2i\pi r$. Réciproquement, on peut associer à une surface de translation satisfaisant certaines conditions une différentielle méromorphe. On peut par exemple vérifier que la surface de translation représentée dans la figure 2 correspond à une différentielle abélienne possédant les propriétés énoncées.

Le théorème de Riemann-Roch implique qu'une différentielle $\omega$ possède $2g-2$ zéros comptés avec multiplicité. Étant donnée une partition $\mu = (m_1, \dots, m_n)$ de $2g-2$, on définit donc l'espace des modules des différentielles abéliennes dont les ordres des zéros sont égaux à $m_1, \dots, m_n$. Cet espace des modules se nomme strate de différentielles abéliennes de type $\mu$ et se note $\Omega.M_g(\mu)$. Ces strates sont des variétés orbifoldes complexes de dimension $2g-1+n$.

La discussion précédente peut être étendue au cas des $k$-différentielles pour tout $k \ge 2$. Une $k$-différentielle $\xi$ est une section non nulle du produit tensoriel $k^{\text{ième}}$ du fibré canonique d'une surface de Riemann. Une $k$-différentielle en dite primitive si elle n'est pas la puissance d'une $k'$-différentielle avec $k' < k$.

On obtient une surface plate en intégrant la racine $k^{\text{ième}}$ d'une $k$-différentielle $\xi$. Cette surface est une surface dont les changements de cartes, dans le complémentaires des singularités de $\xi$, sont donnés par une composition de translations et de rotations d'angles multiples de $2\pi/k$. Par exemple dans le cas d'une différentielle quadratique, les changements de cartes sont des compositions de translations et de rotations d'angles $\pi$. De manière équivalente, on peut obtenir une $k$-différentielle en identifiant les arêtes d'un polygone par des translations et des rotations d'angles multiples de $2\pi/k$. Une différentielle quadratique est représentée de cette façon sur la figure 3.

De plus, étant donnée une partition $\mu = (m_1, \dots, m_n)$ de $k(2g-2)$, on considère les espaces des modules des $k$-différentielles dont les ordres des zéros et éventuellement des pôles sont égaux à $m_1, \dots, m_n$. Cet espace des modules se nomme strate de $k$-différentielles de type $\mu$ et se note $\Omega^k M_g(\mu)$. Ces strates sont des variétés orbifoldes telles que les composantes paramétrant les $k$-différentielles primitives sont toutes de dimension complexe égale à $2g-2+n$.

### 3.2. Preuve du théorème 2

Je donne maintenant la preuve du théorème 2. Rappelons que celui-ci donne l'existence d'une $k$-différentielle primitive avec un unique zéro sur une surface de Riemann hyperelliptique totalement réelle sauf dans le cas particulier des différentielles quadratiques sur les courbes de genre 2.

Par le théorème 1, pour tout $r \ge g+1$, il existe une courbe hyperelliptique totalement réelle $C_D$ et des points $(z, z')$ conjugués par l'involution hyperelliptique tels que

$$rz - rz' \sim \mathcal{O}, \qquad (14)$$
où $\mathcal{O}$ est le fibré trivial de $C_D$. De plus, cette équation n'est satisfaite sur $C_D$ pour aucun entier $m \in \{1, ..., r-1\}$. Comme ces points sont conjugués par l'involution hyperelliptique, on a l'égalité classique

$$ (g-1)z + (g-1)z' \sim K, \qquad (15) $$

où $K$ est le fibré canonique de $C_D$. Prenons maintenant $r = k(g-1)$, on obtient des équations (14) et (15) que

$$ 2rz = kK. \qquad (16) $$

Donc $z$ est l'unique zéro d'une $k$-différentielle $\xi$. Le fait que $r$ est minimal parmi les entiers satisfaisant cette équation implique que $\xi$ est une $k$-différentielle primitive. Comme $r \ge g+1$, on a l'existence d'une $k$-différentielle primitive qui possède un unique zéro pour tout $k \ge \frac{g+1}{g-1}$. L'unique restriction induite par cette inégalité est dans le cas $g = k = 2$. Il est bien connu qu'il n'existe pas de différentielles quadratiques primitives en genre 2 avec un unique zéro. Cela conclut la preuve du théorème 2.

Pour terminer cette section, je souhaite noter les points suivants.

### Remarque 17.

(1) Le lieu hyperelliptique est de dimension $2g-1$ et la projection de $\Omega^k M_g(k(2g-2))$ de dimension $2g-2$ dans l'espace des modules $M_g$. Il n'était donc pas *a priori* évident que ces deux lieux s'intersectent.

(2) En genre 2 on peut donner une représentation plate de $k$-différentielles primitives de la strate $\Omega^k M_2(2k)$. Je ne connais aucun moyen de savoir si cette représentation plate correspond à une $k$-différentielle sur une surface totalement réelle. De plus, dans le cas des courbes de genre $g \ge 3$ je ne connais aucun moyen de déterminer si une représentation plate d'une telle $k$-différentielles est sur une courbe hyperelliptique (réelle ou même complexe).

(3) Il serait intéressant de pouvoir donner une relation explicite entre la représentation plate d'une différentielle canonique et de la $k$-différentielle associée.

## 3.3. $k$-différentielles dont le diviseur est de support est conjugué

Dans cette section, je vais généraliser le théorème 2 au cas des $k$-différentielles dont le diviseur est supporté sur des points $(z, \iota(z))$, où $\iota$ est l'involution hyperelliptique. Le résultat suivant donne une description de cette situation.

**Proposition 18.** Soient $C$ une courbe hyperelliptique de genre $g$ et $k \ge 2$. S'il existe une $k$-différentielle primitive $\xi$ sur $C$ telle que $(\xi) = nz + n'\iota(z)$ avec $n > n' \ge 0$, alors l'équation de Pell-Abel est résoluble sur $C$ et $2k(g-1) \ge n \ge (k+1)g - (k-1)$.

Réciproquement, si $2k(g-1) \ge n \ge (k+1)g - (k-1)$ alors il existe une courbe hyperelliptique totalement réelle $C$ et une $k$-différentielle primitive $\xi$ sur $C$ dont le diviseur est de la forme $nz + n'\iota(z)$.

Notons que l'on retrouve le théorème 2 en posant $n = 2k(g-1)$. De plus, le cas $n = n'$ n'est pas considéré car il correspond à la puissance $k$-ième d'une différentielle abélienne dont le diviseur est $(g-1)z + (g-1)\iota(z)$. La fin de cette section est constituée de la preuve de la proposition 18.

Soit $C$ une courbe hyperelliptique de genre $g$ telle qu'il existe une $k$-différentielle holomorphe $\xi$ dont le diviseur est $(\xi) = nz + n'\iota(z)$ avec $n > n'$. On supposera que $C$ est donnée par l'équation $y^2 = \prod_{i=0}^{2g+1}(x-x_i)$ et que les points $z$ et $\iota(z)$ sont les points à l'infini $\infty_\pm$ de $C$. Une base des $k$-différentielles holomorphes sur $C$ est donnée par

$$ x^i \frac{dx^k}{y^k}, \quad \text{pour } i \in \{0, \dots, kg-k\} \quad \text{et} \quad x^i \frac{dx^k}{y^{k-1}}, \quad \text{pour } i \in \{0, \dots, kg-k-g-1\}. $$
Donc la $k$-différentielle $\xi$ sur $C$ est de la forme

$$ \xi = \left( \sum_{i=0}^{kg-k} (\alpha_j x^i + \beta_j x^j y) \right) \frac{dx^k}{y^k}, $$

où $\alpha_j, \beta_j \in C$ et $\beta_j = 0$ pour $j \ge kg - k - g$. De plus, le diviseur de la fonction $y$ sur la surface de Riemann $C$ est

$$ (y) = \sum_{i=0}^{2g+1} (x_i, 0) - (g+1)(\infty_{+} + \infty_{-}) $$

et celui de la forme $dx$ est

$$ (dx) = \sum_{i=0}^{2g+1} (x_i, 0) - 2(\infty_{-} + \infty_{+}). $$

On en déduit que le support du diviseur de $dx^k/y^k$ est $k(g-1)(\infty_+ + \infty_-)$. Donc pour que le support du diviseur de $\xi$ soit contenu dans $\infty_\pm$, il faut que la fonction $f = \sum (\alpha_j x^j + \beta_j x^j y)$ soit un élément inversible de l'algèbre affine de $C$. Comme la discussion de la section 2.1, s'étend sans difficultés aux courbes hyperelliptiques générales, on déduit de (2) que $f$ est une solution de l'équation de Pell-Abel (après normalisation). Supposons que $f$ est une solution primitive de degré $r$ de Pell-Abel. alors le diviseur de $\xi$ est

$$ (k(g-1)+r)\infty_{+} + (k(g-1)-r)\infty_{-} \sim kK. \qquad (17) $$

On a alors $n = k(g-1)+r$ et le théorème 1 donne $r \ge g+1$, ce qui implique que $n \ge (k+1)g-(k-1)$. L'inégalité $2k(g-1) \ge n$ est une conséquence directe du fait que l'on ne considère que des $k$-différentielles holomorphes.

La réciproque est une conséquence directe du théorème 1 et des calculs que l'on vient de réaliser.

# 4. Les points de torsion

Le but de cette section est de démontrer le théorème 3 qui donne l'existence de points de $n$-torsion modulo un point de Weierstraß sur certaines courbes hyperelliptique de genre $g$ pour $n \ge 2g+1$. Quelques rappels sur les points de torsion sont donnés dans la section 4.1 et la preuve du théorème dans la section 4.2.

## 4.1. Rappels sur les points de torsion

Soit $C$ une courbe hyperelliptique de genre $g \ge 2$. On considère un point de Weierstraß $W$ sur $C$ et l'application d'Abel-Jacobi $\varphi_W: C \to J_C$ qui envoie $W$ sur l'origine. Un *point de $n$-torsion* modulo $W$ est un point $P \in C$ tel que $\varphi_W(P)$ est un point de $n$-torsion de la jacobienne, mais pas de $n'$-torsion pour tout $0 < n' < n$. Notons que les points de 2-torsion modulo $W$ sont exactement les autres points de Weierstraß de $C$.

On peut étendre ces considérations au cas des surfaces de Riemann de genre 1. Dans ce cas, on fixe un point arbitraire $W$ sur la surface $C$ de genre 1. Un *point de $N$-torsion* modulo $W$ est un point $P \in C$ tel que $P$ est un point de $N$-torsion sur la courbe elliptique $(C, W)$ mais pas de $n'$-torsion pour tout $0 < n' < n$. J'appelle *points de Weierstraß* les points de 2-torsion de $(C, W)$.

Je souhaite insister sur le fait que l'ordre $n$ d'un point $P$ dépend du choix du point de Weierstraß. En effet, prenons une surface de Riemann $C$ de genre 1 donnée par le quotient de $C$ par le réseau $\mathbb{Z}v_1 \oplus \mathbb{Z}v_2$. Considérons les points $W_0$ et $W_1$ de $C$ donnés respectivement par l'image de l'origine et de $\frac{1}{2}v_1$. Le point $P_1$ donné par l'image de $\frac{1}{6}v_1$ est de 6-torsion modulo $W_0$ et de 3-torsion modulo $W_1$.
Pour terminer ces rappels, je discute l'ordre de torsion du point $z = \infty_+$ sur une courbe $C$ de genre $g \ge 2$ qui possède une solution primitive d'ordre $r$ à l'équation de Pell-Abel. Étant donné un point de Weierstraß $W$ de $C$. En notant $z'$ le conjugué de $z$, on déduit de $z + z' \sim 2W$ que $2rz \sim 2rW$. Cela implique que le point $z$ est un point $\ell$-torsion modulo $W$ avec $\ell|2r$. Le fait que la solution est primitive de degré $r$ et que $z$ n'est pas de Weierstraß implique que soit $\ell = 2r$ ou $\ell = r$.

## 4.2. Preuve du théorème 3

Je commence par montrer que pour $3 \le r \le 2g$ il n'existe pas de points de $r$-torsion sur les courbes hyperelliptiques. Ce résultat est donné dans [23, théorème 2.8] et [11, lemme 3.139]. Je donne ici une preuve un peu différente, mais essentiellement équivalente à celles proposées par ces auteurs.

Supposons qu'il existe un tel point $P$ de $r$-torsion sur une courbe hyperelliptique $C$. Par définition il existe un point de Weierstraß $W$ tel que $r(P - W) \sim \mathcal{O}$, où $\mathcal{O}$ est le fibré trivial de $C$. De plus, on a l'égalité classique $(2g - 2)W \sim K$ avec $K$ le fibré canonique de $C$. Donc l'existence de ce point de $r$-torsion est équivalente à l'existence d'une solution à l'équation

$$rP + (2g - 2 - r)W \sim K.$$

Si $r \le 2g - 2$, il n'existe pas de solution à cette équation car les diviseurs des différentielles sur les courbes hyperelliptiques sont invariants par l'involution hyperelliptique $\iota$. Dans le cas $r = 2g - 1$, cela est une conséquence du théorème des résidus. En effet, il n'existe pas de différentielles avec un unique pôle simple sur une surface de Riemann compacte. Enfin, dans le cas $r = 2g$, on utilise l'égalité classique $-2W + P + \iota(P) \sim \mathcal{O}$ pour obtenir l'équation équivalente $(2g+1)P - \iota(P) \sim K$ qui n'a pas de solutions pour la même raison que dans le cas précédent.

On montre maintenant que si $r \ge 2g + 1$, alors il existe une courbe hyperelliptique totalement réelle de genre $g$ avec un point de $r$-torsion modulo un point de Weierstraß. Fixons une différentielle canonique $\eta$ de degré $r$ sur une courbe hyperelliptique totalement réelle $C_D$ de genre $g$.

On commence par se donner la base symplectique $(\alpha_1, \dots, \alpha_g, \beta_1, \dots, \beta_g)$ de $H_1(C_D, \mathbb{Z})$ présentée dans la figure 5.

Les cycles $\alpha_i$ encercles l'union des intervalles $\cup_{j \le i-1}[a_j, b_j]$ dans la copie du plan telle que $\int_{\alpha_j} \eta$ est un nombre imaginaire strictement positif. Les cycles $\beta_i$ commencent au point $b_{i-1}$, suivent l'intervalle $[b_{i-1}, a_i]$ dans la même copie du plan puis $[a_i, b_{i-1}]$ dans l'autre copie du plan.

On se donne une base $\{\omega_1, \dots, \omega_g\}$ de l'espace vectoriel des différentielles abéliennes holomorphes sur $C_D$. Notons $A_i^j = \int_{\alpha_j} \omega_i$ et $B_i^j = \int_{\beta_j} \omega_i$ les périodes des $\omega_i$ relativement à la base symplectique de la figure 5. Rappelons que $\eta_k$ est égal à $\int_{a_k}^{b_k} \eta$ et que $r_k = \pm \frac{i r \eta_k}{\pi}$. Il suit immédiatement des équations (3) et (4) et du choix des $\alpha_i$ que

$$\int_{\alpha_j} \eta = 2 \sum_{k \le j} \eta_k = \frac{2\pi}{ir} \sum_{k \le j} r_k \quad \text{et} \quad \int_{\beta_j} \eta = 0.$$

On note $q_j = \sum_{k \le j} r_k$ les sommes partielles de $r_k$. La loi de réciprocity pour les différentielles de première et troisième espèce (voir par exemple [13, p. 230]) implique pour tout $i \in \{1, \dots, g\}$ l'équation

$$\sum_{j=1}^{g} B_i^j \sum_{k \le j} 2\eta_k = 2i\pi \int_{-\infty}^{\infty} \omega_i. \qquad (18)$$
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>**FIGURE 5.** Une base symplectique de l'homologie sur une courbe hyperelliptique totale-ment réelle de genre 2.</figcaption></figure>

Dans l'équation précédente, le chemin d'intégration entre les points $\infty_-$ et $\infty_+$ n'intersecte aucun des lacets de la base symplectique. Le fait que la courbe hyperelliptique soit totalement réelle implique que

$$ \int_{\infty_{-}}^{\infty^{+}} \omega_{i} = 2 \int_{b_{g}}^{\infty_{+}} \omega_{i} + \int_{a_{0}}^{b_{g}} \omega_{i}. $$

De plus, $\int_{a_0}^{b_g} \omega_i$ est égal à la moitié de l'intégral de $\omega_i$ le long d'un chemin $\alpha_g$ qui encercle l'union des $g+1$ segments $[a_i, b_i]$. Comme $\omega_i$ est holomorphe et $\alpha_g$ est homotopiquement nul, cela implique que $\int_{a_0}^{b_g} \omega_i = 0$. Finalement, on obtient l'égalité

$$ \int_{b_g}^{\infty^+} \omega_i = - \sum_{j=1}^{g} \frac{q_j}{2r} B_i^j. \qquad (19) $$

De cette équation il suit que $\infty_+$ est un point de $r$ torsion modulo $b_g$ si et seulement si les entiers $q_j$ sont pairs pour tout $j \le g-1$. Si cette condition n'est pas satisfaite, alors on obtient un point de $2r$-torsion. Finalement, pour obtenir un point de $r$-torsion, il suffit de considérer une différentielle canonique telle $r_0 = \cdots = r_{g-1} = 2$ et $r_g = r - 2g + 2$. Une telle différentielle existe car par hypothèse $r \ge 2g-1$ et elle est canonique de degré $r$ par le lemme 14.

## Références

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