Comme $\rho(\phi(a), \phi(B)) > 0$, on peut déterminer un nombre $\delta > 0$ tel que l'inégalité:

$$ (1) \qquad \rho(x, a) < \delta $$

entraîne pour tout point $x \in A$ l'inégalité

$$ (2) \qquad \rho(\phi(x), \phi(a)) < \rho(\phi(a), \phi(B)) $$

et par suite:

$$ (3) \qquad \phi(x) \in H. $$

Ce nombre $\delta$ est nécessairement $< \rho_1$.

Soit maintenant $c$ un point de l'ensemble $G \times S(a, \delta)$; un tel point existe, car $a \in \bar{G}$. Désignons par $G_1$ le composant de l'ensemble ouvert $G \times S(a, \rho_1)$ qui contient $c$. Je dis que l'on a $\bar{G}_1 \supset a$. Supposons en effet le contraire. Alors

$$ (4) \qquad \rho(a, \bar{G}_1) > 0. $$

Soit $c_1$ un point de $G$ tel que:

$$ (5) \qquad \rho(c_1, a) < \rho(a, \bar{G}_1) $$

un tel point existe d'après $a \in \bar{G}$. On a de plus:

$$ (6) \qquad \rho(c_1, a) \le \rho(a, c) < \delta. $$

La frontière $\bar{G}_1 - G_1$ de $G_1$ est une coupure du $R_n$ entre $c$ et $c_1$. Elle contient par suite une coupure irréductible entre $c$ et $c_1$, que nous désignerons par $L$. On a:

$$ (7) \qquad L \subset \bar{G}_1 - G_1 \subset F_n(a, \rho_1) + A $$

$$ (8) \qquad L = L_1 + L_2 \quad \text{où} \quad L_1 = L \times A; \quad L_2 = L \times F_n(a, \rho_1). $$

Comme

$$ (9) \qquad c + c_1 \subset S(a, \delta) $$

on a nécessairement en tenant compte de $\delta < \rho_1$:

$$ (10) \qquad L \times S(a, \delta) = L_1 \times S(a, \delta) \ne 0 $$

donc d'après la signification de $\delta$:

$$ (11) \qquad \phi(L_1) \times H \ne 0. $$

## Sur un problème de M. Knaster.

Par

Stefan Mazurkiewicz (Varsovie).

1. M. Knaster a posé le problème suivant: D désignant un ensemble fermé homéomorphe d'un ensemble plan et situé dans l'espace euclidien à 3 dimensions, est-ce que tout point de D est accessible dans cet espace? (Fund. Math. VIII, Problème 43, p. 376).

2. Les résultats récents de M. Alexandroff permettent d'obtenir d'une manière très simple la solution affirmative de ce problème et ce la pour un nombre quelconque de dimensions. On arrive ainsi au théorème suivant:

A désignant un ensemble fermé situé dans $R_n$ (espace euclidien à n dimensions completé par le point à l'infini) et homéomorphe d'un sous-ensemble du $R_{n-1}$, tout point $a \in A$ est accessible dans $R_n$.

3. Soit $S_n(x, \rho)$ la sphère du $R_n$ de centre $x$ et de rayon $\rho$, $F_n(x, \rho)$ sa frontière. Désignons par $\phi(A)$ le sous-ensemble du $R_{n-1}$ homéomorphe de $A$. $X$ et $x$ étant respectivement -- un sous-ensemble et un point de $A$, désignons par $\phi(X)$ resp. $\phi(x)$ le sous-ensemble et le point correspondant (en vertu de la homéomorphie considérée) de $\phi(A)$.

On peut toujours supposer; que le point $a$ est situé dans le fini.

4. **Lemme:** Soit $G$ un composant de l'ensemble ouvert $S_n(a, \rho)$—$A$. Si $a \in \bar{G}$ et $\rho_1 < \rho$, alors il existe un composant $G_1$ de l'ensemble ouvert $G \times S_n(a, \rho_1)$ tel que $a \in \bar{G}_1$.

**Démonstration.** Posons $B = A \times F_n(a, \rho_1)$. Le point $\phi(a)$ n'est pas contenu dans l'ensemble fermé $\phi(B)$. Soit $H$ le composant de l'ensemble ouvert $R_{n-1} \times \phi(B)$ qui contient $\phi(a)$.
D'autre part, d'après (4): $\phi(\alpha) \in (H - \phi'(L_1))$, donc $H - \phi(L_1) \neq 0$, donc $H$ étant connexe:

$$ (12) \qquad \phi(L_1) \times H \times \overline{H - \phi(L_1)} \neq 0. $$

Soit $\phi(c_2)$ un point de l'ensemble (12), $\phi(c_3) \in (L_1)$ un point différent de $\phi(c_2)$ ($L_1$ ne peut pas se reduire au seul point $c_2$), enfin $d$ un point de l'ensemble $H - \phi(L_1)$ tel que:

$$ (13) \qquad \rho(\phi(c_2), d) = \eta \begin{cases} < \rho(\phi(c_2), \phi(c_3)) \\ < \rho(\phi(c_2), \phi(B)) \end{cases}. $$

Posons:

$$ (14) \qquad \begin{aligned} \phi(L_1) \times \overline{S_{n-1}(\phi(c_2), \eta)} &= \phi(L_3) \\ \phi(L_1) \times [R_{n-1} - S_{n-1}(\phi(c_2), \eta)] &= \phi(L_4) \end{aligned} $$

$$ (15) \qquad \phi(L_3) \times \phi(L_4) = \phi(L_3 \times L_4) = \phi(M) \subset F_{n-1}(\phi(c_2), \eta). $$

On aura, $F_{n-1}(\phi(c_2), \eta)$ contenant le point $d$:

$$ (16) \qquad F_{n-1}(\phi(c_2), \eta) - \phi(M) \neq 0. $$

L'ensemble fermé $\phi(M)$ est par suite un sous-ensemble vrai de la surface spherique $F_{n-1}(\phi(c_2), \eta)$. Donc, $p^r(X)$ désignant le $r$-ensemble nombre de Betti (mod. 2) 1) de l'ensemble $X$, on aura:

$$ (17) \qquad p^{n-2}[\phi(M)] = 0 $$

donc aussi, $M$ étant homéomorphe de $\phi(M)$:

$$ (18) \qquad p^{n-2}(M) = p^{n-2}(L_3 \times L_4) = 0. $$

D'autre part d'après (13), (14):

$$ (19) \qquad \phi(L_3) \times \phi(B) = 0. $$

$$ (20) \qquad L_3 \times B = 0. $$

Enfin, comme $\phi(c_2) + \phi(c_3) \subseteq \phi(L_1)$, on aura: $c_2 + c_3 \subseteq L_1 \subseteq L_2$.

D'après (8), (14) on a la décomposition:

$$ (21) \qquad L = L_3 + (L_3 + L_4). $$

Les ensembles fermés $L_3$ et $L_3 + L_4$ ne sont pas identiques

a $L$, car $L_2 + L_4$ ne contient pas $c_2$ et, en vertu de (13) $L_3$ ne contient pas $c_3$; $L$ étant coupure irreductible entre $c$ et $c_1$, il s'ensuit:

$$ (22) \qquad L_3 \text{ et } L_2 + L_4 \text{ ne coupent pas } R_n \text{ entre } c \text{ et } c_1. $$

Les relations (18), (19) entraînent:

$$ (23) \qquad L_3 \times (L_2 + L_4) = (L_3 \times L_2) + (L_4 \times L_3) $$

$$ (24) \qquad L_3 \times L_2 = A \times L_3 \times L_2 = L_3 \times [A \times L \times F_n(a, \rho_1)] \subseteq L_3 \times B = 0 $$

$$ (25) \qquad L_3 \times (L_2 + L_4) = L_3 \times L_4 $$

$$ (26) \qquad p^{n-2}[L_3 \times (L_2 + L_4)] = 0. $$

D'après la $n$-deuxième généralisation du théorème de Phragmén-Brouwer.⁴ due à M. Alexandroff.<fnref n="1" />) il s'ensuit de (21), (22) et (26), que $L$ n'est pas une coupure entre $c$ et $c_1$ contrairement à la supposition.

Notre lemme est ainsi démontré.

5. Passons maintenant à la démonstration du théorème énoncé. On peut supposer sans restreindre la généralité que $\phi(A)$ n'est pas identique à $R_{n-1}$. Alors d'après le théorème sur l'invariance du nombre des domaines connexes déterminés dans $R_n$ par un ensemble fermé<fnref n="2" />) le domaine $R_n - A$ est connexe et, $A$ étant non dense dans $R_n$, on a: $a \in \overline{R_n} - A$.

Formons maintenant une suite $\{U_k\}$ de domaines connexes de manière suivante:

$$ I. \quad U_1 = R_n - A. $$

$$ \text{II. } U_{k+1} \text{ est un composant de } U_k \times S\left(a, \frac{1}{k}\right), \text{ tel que } a \in \overline{U}_{k+1}. $$

D'après le lemme une telle suite existe.

Soit $b_k$ un point arbitraire de $U_k$. $U_k$ étant connexe et contenant $b_k + b_{k+1}$, il existe un continu $T_k \subseteq U_k$, contenant $b_k$ et $b_{k+1}$.

L'ensemble:

$$ (27) \qquad T = \overline{\bigcup_{k=1}^{\infty} T_k} = \bigcup_{k=1}^{\infty} T_k + a $$

<footnote n="1">1) P. Alexandroff. Une définition des nombres de Betti pour un ensemble fermé quelconque. C. R. 184, p. 317.</footnote>

<footnote n="1">1) P. Alexandroff: Une généralisation nouvelle du théorème de Phragmén-Brouwer. C. R. 184, p. 575.</footnote>

<footnote n="2">2) P. Alexandroff: Sur la décomposition de l'espace par les ensembles fermés. C. R. 184, p. 425.</footnote>
est evidentment un continu et on a $A \times T = a$. Donc $a$ est accessible dans $R_n$, c. q. f. d.

6. Un problème ce pose: le théorème reste-t-il vrai si on supprime la condition que $A$ est fermé? Le résultat suivant me paraît probable: Si l'ensemble $A \subset R_n$ est homéomorphe d'un sous-ensemble vrai du $R_{n-1}$, alors $R_n - A$ est un semi-continu.

Varsovie, 4/X 1928.

On Continuous Curves which are Homogeneous except for a Finite Number of Points.

By

T. C. Benton (Philadelphia).

1. **Introduction.** It is the author's purpose to classify all the plane continuous curves which are homogeneous except for a finite number of points. This has only been completed in the case where the non-homogeneous points may be made to correspond to each other. If the number of non-homogeneous points is greater than 3 it is found that a bounded continuous curve is the sum of a number of curves which are homogeneous except for two points. It is shown that a continuous curve, homogeneous except for two points is a finite number of arcs (not two) joining the two points. Then the general case is solved by replacing each one of the two point curves, whose sum is the given curve, by an arc joining the two non-homogeneous points. The resulting curve can then be either a simple closed curve or in special cases a more complicated curve which is in one-to-one correspondence with the projection of the edges of one of the regular or semi-regular solids upon one of its faces in such a manner that none of the projections of edges have any intersections except the projections of the vertices of the solid.

The paper is an extension of the results of S. Mazurkiewicz<sup>1)</sup> who proved that a bounded continuous curve which is homogeneous at every point is a simple closed curve.

The author is deeply indebted to Dr. J. R. Kline who suggested the problem and gave invaluable assistance in the working

<footnote n="1">1) S. Mazurkiewicz: *Sur les continus homogènes*. Fund. Math, vol. 5 (1922) p. 131. This article will be quoted by paragraph thus: "#16 M."</footnote>