# Ecoulement de l'univers le long d'un gradient de Morse

Jean Louis Jonot

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Jean Louis Jonot. Ecoulement de l'univers le long d'un gradient de Morse : Ecoulement. 2023. hal-04174377

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Preprint submitted on 31 Jul 2023

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# ECOULEMENT DE L'UNIVERS LE LONG D'UN GRADIENT DE MORSE

JONOT JEAN LOUIS

A la mémoire de David Spring

**ABSTRACT.** Un écoulement de Morse est un procédé de représentation des événements d'un univers donné. Cette méthode de représentation est calquée sur la théorie de Morse. L'idée d'une telle représentation est de photographier l'univers en un temps d'écoulement régulier définie par une chronologie fixée sur l'univers.

## 1. LES CHAMPS DE MORSE

On rappelle qu'un univers $\mathcal{W}$ est une $C^\infty$-variété connexe de dimension 4 qui admet un recouvrement localement fini de cartes dont les points sont des événements. Sur chaque univers on peut définir une métrique riemannienne, notée $g$.

**Definition 1.** *Un gradient de Morse, pour la métrique $g$, est un champ de la forme*

$$T = \operatorname{grad} \phi$$

où $\phi$ est une fonction de Morse sur $\mathcal{W}$.

L'existence d'un gradient de Morse sur un univers, muni d'une métrique riemannienne $g$, est donnée par le théorème de densité de Milnor,

**Theorem 1.** *L'ensemble des applications de Morse est un ouvert partout dense pour la $C^\infty$-topologie fine de Whitney sur $C^\infty(\mathcal{W}, \mathbb{R})$.*

Pour les valeurs régulières $t$, chaque composante connexe de $\phi^{-1}(t)$ est une sous-variété connexe de dimension 3 qui sépare l'univers $\mathcal{W}$ en plusieurs composantes connexes, la composante connexe de $\phi^{-1}(t)$ contenant $w$ est une photographie de l'univers au temps d'écoulement $t$ en l'événement $w$. L'univers observable en l'événement $w$ est une sous variété connexe de cette composante qui contient $w$.

Le théorème de Sard permet de photographier l'univers comme une sous-variété de dimension 3 en la valeur $t$ appartenant à un ensemble résiduel de $\mathbb{R}$.

**Theorem 2.** *L'ensemble des valeurs régulières de $\phi$ est un ensemble résiduel de $\mathbb{R}$.*

Pour une valeur régulière $t$ le champ grad $\phi$ est "orthogonal" à la photographie de l'univers au temps d'écoulement $t$.

<footnote>Date: June 30, 2023.</footnote>

<footnote n="1991">1991 Mathematics Subject Classification. 53C42, 57R40, 53825.</footnote>

<footnote>Key words and phrases. Application de Morse, champ gradient, chirurgie de type $(\lambda, 4 - \lambda)$, métrique Lorentzienne, transversalité de Thom.</footnote>
## 2. MÉTRIQUE LORENTZIENNE ASSOCIÉE À UN ÉCOULEMENT DE MORSE

En dehors des événements critiques le gradient de Morse ne s'annule pas, on peut définir une métrique lorentzienne sur l'univers formé des événements réguliers comme suit

$$g(T, T) = -g(T, T) \text{ et } g(X, X) = g(X, X)$$

pour tout champ $X$ orthogonal à $T$. Les événements critiques sont isolés, ils forment une suite finie si $W$ est compact ou une suite qui peut être infinie si l'univers n'est pas compact. Pour cette métrique, $T$ est un champ chronologique en dehors des événements critiques de $W$ et les champs orthogonaux à $T$, qui ne s'annulent pas, sont des champs espaces. Aux champs $X$ pour lesquels

$$[X, T] = aX + bT \text{ et } \dim \mathrm{Vect}\{X, T\} = 2$$

on associe le champ en corde complexe

$$Z = X + iT,$$

la fonction d'onde associée est donnée par

$$\kappa = a + ib.$$

Pour les champs en corde $Z = X + iT$ pour lesquels $X$ est orthogonale à $T$, la représentation en corde d'une particule est donnée par une intégrale première du champ $X$, c'est donc une corde de la photographie de $W$ en $t$ et les surfaces d'univers sont les intégrales premières du système de Pfaff $\{X, T\}$.

**Definition 2.** Les champs en corde $Z = X + iT$, pour lesquels $X$ est orthogonal à $T$, sont les champs de Morse associés à $\phi$.

Pour chaque valeur régulière $t$, on note $g_t$ la métrique induite par $g$ sur $\phi^{-1}(t)$. Cette métrique est riemannienne sur la photographie de l'univers en $t$. L'horloge chronologique est définie par la fonction de Morse $\phi$ et l'évolution de l'univers $W$ est donnée par les photographies $W_t = \phi^{-1}(t)$. Pour analyser l'univers on est amené à décrire l'évolution de la métrique $g_t$ pendant un écoulement de temps $[\alpha, \beta]$. On rappelle la définition d'une horloge,

**Definition 3.** Une horloge sur un univers $W$, de chronologie $\phi$, est la donnée d'une fonction de Morse

$$\phi: W \to \mathbb{R},$$

si l'horloge est sans événement critique, on dit que l'horloge globale sur $W$.

L'existence d'horloge sur un univers $W$ n'est pas, en général, vérifiée. Pour une fonction de Morse $\phi$, la fonction $\phi$ restreint aux événements réguliers de l'univers, noté $W \setminus \Sigma_{\phi}$, est une horloge globale de chronologie $\phi$|$_{W \setminus \Sigma_{\phi}}$.

**Remark 1.** Les événements critiques sont isolés, l'univers privés des événements critiques est connexe si $W$ est connexe. On peut comparer avec les définitions données dans [2].

Si l'univers $W$ est un univers dont le bord est formé par l'union disjointe de deux sous-variétés $\partial_0 W$ et $\partial_1 W$

$$\partial W = \partial_0 W \cup \partial_1 W$$

pour lesquelles il existe un champ $X$ de classe $C^{\infty}$ sur une variété sans bord contenant $W$, qui entre transversalement dans $\partial_0 W$ et sort en $\partial_1 W$ transversalement

$$X \cap \partial_0 W, X \cap \partial_1 W$$
On peut écrire que

$$
\begin{align*}
\frac{d}{dt} \phi(\chi(t, w)) &= \frac{d}{ds} \phi(\chi(t+s, w)) \Big|_{s=0} \\
&= \frac{d}{ds} \phi(\chi(s, w_t)) \Big|_{s=0}, \quad w_t = \chi(t, w) \\
&= d\phi(w) \left( \frac{d\chi}{ds}(s, w_t) \Big|_{s=0} \right) = g(w_t) (T(w_t), \mathcal{T}(w_t)) = 1
\end{align*}
$$

et

$$
\phi(\chi(t, w)) = t + \phi(w).
$$

Soit $W_t = W_t \cap W$ alors

$$
\chi_t(W_0) \subset W_t, \chi_t(w) = \chi(t, w) \in W_t, \forall w \in W_0
$$

la métrique riemannienne $g_t$ sur $W_t$ induit une métrique riemannienne sur $W_0$ qui est le "pullback de $g_t$ par $\chi_t$", notée

$$
\mathfrak{g}(t) = \chi_t^* g_t,
$$

vérifiant

$$
\mathfrak{g}(t)(w)(Y(w), Z(w)) = g_t(\phi_t(w))(T_w \phi_t Y(w), T_w \phi_t Z(w))
$$

où $Y$ et $Z$ sont des champs locaux au voisinage $W_0$ de l'événement $w_0$. Avec cette
notation, l'évolution de la métrique s'écrit

$t \to \mathfrak{g}(t) \text{ avec } \mathfrak{g}(0) = g|_{W_0} \text{ et } t \in ]-\varepsilon, \varepsilon[$.

Localement, tout événement qui suit le flot du champ chronologique $T = \text{grad}(\phi)$ est décrit par son espace référent à l'origine $W_0$ et l'évolution de la métrique riemannienne $\mathfrak{g}(t)$ sur $W_0$ est donnée par l'image réciproque par $\chi_t$, c'est-à-dire $\chi_{-t}$, de la métrique $g_t$ qui est la trace sur $W_t$ de la métrique lorentzienne $g$, c'est aussi la trace de la métrique riemannienne $\mathfrak{g}$. L'évolution peut être décrite de la façon suivante. On se fixe un repère local dans un voisinage $W_0$ de $w_0$, contenant la corde pointée en $w_0$, noté $\{\partial_1, \partial_2, \partial_3\}$. Ce repère se transporte par le flot $\chi_t$ sur $W_t$

$$
\partial_i (w_t) = T_w \chi_t \partial_i (w)
$$

ou encore

$$
\partial_i(w) = T_{\chi_{-t}(w)} \chi_t \partial_i(\chi_{-t}(w)) \text{ avec } \phi(w) = t
$$

et on pose $\partial_0 = \mathcal{T}$ où $\mathcal{T}$ est le champ défini en 2.3, $\{\partial_0, \partial_1, \partial_2, \partial_3\}$ est un repère
dans un voisinage de $w_0 \in \mathcal{W}$. Dans ce repère local, on a les résultats suivants,

**Lemma 1.**

$$
\mathfrak{g}'_{ij}(t) = \mathcal{L}_{\partial_0} \mathfrak{g}_{ij}(t) = \frac{1}{\sigma(t)} \mathcal{L}_T \mathfrak{g}_{ij}(t)
$$

où $\mathcal{L}_{\partial_0}$, $\mathcal{L}_T$ sont les dérivées de Lie le long des champs $\partial_0$ et $T$ avec

$$
\sigma(t)(w) = \sigma(w_t)
$$

pour tout $w \in W_0$.

*Proof.* On a, pour tout $w \in W_0$,

$$
\begin{align*}
\mathfrak{g}_{ij}(t)(w) &= g_t(w_t) (\partial_i(w_t), \partial_j(w_t)) \\
&= g(w_t) (\partial_i(w_t), \partial_j(w_t)) = g_{ij}(w_t) \quad \text{avec } w_t = \phi_t(w),
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\mathfrak{g}'_{ij}(t)(w) &= \mathcal{L}_{\partial_0} g_{ij}(w_t) = \frac{d\mathfrak{g}_{ij}(t)(T(w_t))}{\sigma(w_t)} \\
\mathfrak{g}'_{ij}(t) &= \mathcal{L}_{\partial_0} \mathfrak{g}_{ij}(t) = \frac{1}{\sigma(t)} \mathcal{L}_T \mathfrak{g}_{ij}(t)
\end{align*}
$$

où

$$
\sigma(t)(w) = \sigma(w_t), w \in W_0.
$$

□

Si $\nabla$ est la connexion de Levi-Civita associée à la métrique $g$, on a

$$
\mathcal{L}_{\partial_0} \mathfrak{g}_{ij}(t) = g(\partial_i, \nabla_{\partial_0} \partial_j) + g(\nabla_{\partial_0} \partial_i, \partial_j)
$$

et en posant

$$
\nabla_{\partial_0} \partial_i = \Gamma^k_{0i} \partial_k \text{ et } \nabla_{\partial_0} \partial_j = \Gamma^l_{0j} \partial_l
$$

on a

$$
\begin{align*}
\mathfrak{g}'_{ij}(t) &= g(\partial_i, \Gamma^l_{0j} \partial_l) + g(\Gamma^k_{0i} \partial_k, \partial_j) = \Gamma^l_{0j} g_{il} + \Gamma^k_{0i} g_{kj} \\
\mathfrak{g}'_{ij}(t)(w) &= (\Gamma^l_{0j} g_{il} + \Gamma^l_{0i} g_{lj})(w_t), \quad w_t = \phi(t, w) \\
&= \Gamma^l_{0j}(w_t) \mathfrak{g}_{il}(t)(w) + \Gamma^l_{0i}(w_t) \mathfrak{g}_{lj}(t)(w), \quad \forall i, j \in \{1, 2, 3\}
\end{align*}
$$

ou encore

$$
\begin{gather*}
\mathfrak{g}'_{ij}(t)(w) = \Gamma^l_{0j}(t)(w) \mathfrak{g}_{il}(t)(w) + \Gamma^l_{0i}(t)(w) \mathfrak{g}_{lj}(t)(w), \\
\forall w \in W_0 \text{ avec } \Gamma^l_{0j}(t)(w) = \Gamma^l_{0j}(\phi(t, w))
\end{gather*}
$$

et $g_{i0} = g(\partial_i, \partial_0) = 0, \forall i = 1, 2, 3$. Pour une métrique d'Einstein $g$ sur l'univers $W$,

$$
g = \lambda R + \mu T
$$

où $R$ est le tenseur de Ricci et $T$ est le tenseur énergie-impulsion alors

$$
\mathfrak{g}'_{ij}(t) = \lambda(w_t) (\Gamma^l_{0j} R_{il} + \Gamma^l_{0i} R_{lj}) (w_t) + \mu(w_t) (\Gamma^l_{0j} T_{il} + \Gamma^l_{0i} T_{lj}) (w_t)
$$

avec $w_t = \chi(t, w)$, $R_{il}$ est le tenseur de Ricci et $\Gamma^l_{ij}$ sont les symboles de Christoffel de la connexion $\nabla$. Le tenseur de Ricci associé, en l'événement $w$ au temps $t$, est

$$
\mathfrak{R}_{ij}(t)(w) = (\Gamma^l_{0j} R_{il} + \Gamma^l_{0i} R_{lj})(w_t) \text{ avec } i, j = 1, 2, 3 \quad (2.4)
$$

et le tenseur énergie-impulsion en l'événement $w$ au temps $t$ est définie par

$$
\mathfrak{T}_{ij}(t)(w) = (\Gamma^l_{0j} T_{il} + \Gamma^l_{0i} T_{lj})(w_t). \quad (2.5)
$$

**Remark 2.** Pour la métrique relativiste d'Einstein, les fonctions $\lambda$ et $\mu$ sont

$$
\lambda = \frac{1}{\frac{1}{2}R - \Lambda} \quad \text{et} \quad \mu = -\frac{\kappa}{\frac{1}{2}R - \Lambda},
$$

$\kappa = \frac{8\pi G}{c^4}$, $R$ est la courbure scalaire et $\Lambda$ est la constante cosmologique.

**Theorem 5.** *L'équation d'évolution de la métrique pour un événement qui suit le flot associé à une horloge chronologique est donnée par le flot de Ricci*

$$
\mathfrak{g}'_{ij}(t) = \lambda(t) \mathfrak{R}_{ij}(t) + \mu(t) \mathfrak{T}_{ij}(t) \quad (2.6)
$$

avec $\lambda(t)(w) = \lambda(w_t)$, $\mu(t)(w) = \mu(w_t)$ et $\mathfrak{g}_{ij}(t)$ est le tenseur de la métrique riemannienne associée au tenseur de Ricci $\lambda(t)\mathfrak{R}_{ij}(t) + \mu(t)\mathfrak{T}_{ij}(t)$.
Si le tenseur $T$ est nul alors l'équation d'évolution s'écrit

$$ \frac{d\mathfrak{g}}{dt} = \lambda\mathfrak{R} \qquad (2.7) $$

si $\mathfrak{R}$ est défini dans le repère local $\{\partial_j\}$, pour déterminer $\mathfrak{g}$ on est améné à resoudre l'équation 2.7 qui est donné par un flot de Ricci [1]. Peut-on reconstruire la métrique de l'univers à partir de l'équation d'évolution 2.7? Si oui, on peut étudier le flot de Ricci pour une variété fermée $\mathcal{V}$ de dimension 3 à partir la métrique construite sur le compactifié de l'univers $\mathbb{R}^1 \times \mathcal{V}$ ou sur l'univers compact $\mathbb{S}^1 \times \mathcal{V}$. On peut résumer les résultats obtenus par le théorème suivant,

**Theorem 6.** Si $\phi$ est une horloge chronologique, pour laquelle la métrique est une métrique d'Einstein, l'équation locale d'évolution dans l'espace référent s'écrit

$$ \frac{d\mathfrak{g}}{dt} = \lambda\mathfrak{R} + \kappa\mathfrak{T}, $$

avec $\mathfrak{R}$ et $\mathfrak{T}$ sont les tenseurs définis en 2.4 et 2.5.

La notion de temps est une notion locale, non linéaire si les courbes intégrales sont fermées. Les boucles temporelles pour une horloge $\phi$ sont les courbes intégrales fermées définies par grad $\phi$.

### 3. CHANGEMENT D'HORLOGE

On se fixe deux fonctions de Morse sur un univers fermé $\mathcal{W}$, notées $\phi$ et $\psi$. En dehors des événements critiques de $\phi$ et $\psi$, l'horloge associée à $\phi$ et celle associée à $\psi$ sont définies. Les valeurs qui sont à la fois régulières pour $\phi$ et $\psi$ forment un ensemble résiduel. Pour un événement $w_0$ régulier pour $\phi$ et $\psi$, on suppose qu'il existe des intervalles ouverts $I$ contenant $t_0 = \phi(w_0)$, $J$ contenant $s_0 = \psi(w_0)$ et une paire de difféomorphismes $(\theta, \Theta)$ donnée par le diagramme

$$ \begin{array}{ccc} W & \xrightarrow{\Theta} & W \\ \phi \downarrow & & \downarrow \psi, \quad \theta(t_0) = s_0, \\ I & \xrightarrow{\theta} & J \end{array} \qquad (3.1) $$

$W$ est une carte contenant $w_0$, $\phi(W) = I$ et $\psi(W) = J$.

**Definition 4.** Un changement d'horloge, en un événement $w_0$ régulier pour les chronologies $\phi$ et $\psi$, est la donnée d'une paire $(\theta, \Theta)$ pour laquelle le diagramme 3.1 est commutatif et qui conserve le gradient,

$$ T\Theta(\mathrm{grad}\,\phi) = \mathrm{grad}\,\psi. \qquad (3.2) $$

**Theorem 7.** Si $(\theta, \Theta)$ est un changement d'horloge alors

$$ \theta' \circ \phi = \frac{\|\mathrm{grad}\,\psi\|^2}{\|\mathrm{grad}\,\phi\|^2}. \qquad (3.3) $$

*Proof.* On a pour tout champ local $X$, avec les notations précédentes,

$$ \theta'(\phi(w)) \times \mathbf{g}(w)(\mathrm{grad}\,\phi(w), X(w)) = \mathbf{g}(w)(\mathrm{grad}\,\psi(w), T_w\Theta(X(w))), \forall w \in W \qquad (3.4) $$

en particulier pour $X = \mathrm{grad}\,\phi$,

$$ \theta' \circ \phi = \frac{\|\mathrm{grad}\,\psi\|^2}{\|\mathrm{grad}\,\phi\|^2}. $$
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**Remark 3.** La fonction $\theta$ est strictement croissante sur $I$ et si $\Theta$ est une isométrie alors $\theta$ se prolonge en une translation sur $\mathbb{R}$.

On peut généraliser la définition de changement d'horloge en introduisant dans l'équation 3.2 une fonction $\lambda$ de classe $C^\infty$

$$ \lambda : W \to \mathbb{R}^* $$

vérifiant

$$ T\Theta(\mathrm{grad} \, \phi) = \lambda \mathrm{grad} \, \psi, $$

sous cette hypothèse l'équation 3.3 s'écrit

$$ \theta' \circ \phi = \lambda \frac{\|\mathrm{grad} \, \psi\|^2}{\|\mathrm{grad} \, \phi\|^2}, $$

localement sur $W$ la fonction $\lambda$ est donnée par

$$ \lambda(w) = \frac{\|\mathrm{grad} \, \phi(w)\|^2}{\|\mathrm{grad} \, \psi(w)\|^2} \theta'(\phi(w)), \forall w \in W. $$

Avec cette définition, on peut changer l'orientation de l'écoulement pour des fonctions $\lambda < 0$. Pour une section de bases locales $\partial = \{\partial_\mu\}$ où

$$ \partial_0 = \mathrm{grad} \, \phi \text{ et } \mathbf{g}(\partial_\mu, \partial_0) = 0 \text{ avec } \mu = 1, 2, 3, $$

la section des matrices de $T\Theta$ relativement à la section locale de bases $\partial$ est notée $M_\partial(w)$. Pour un événement $w$ dans $W$, l'application $\mathrm{exp}$ est définie pour la métrique riemannienne $\mathbf{g}$, on a

$$ w = \exp(\mathbf{u}) $$

où $\mathbf{u}$ est un unique vecteur de $T_{w_0}W$. En l'événement $w_0$, les coordonnées de $\mathbf{u}$ dans la base $\partial(w_0) = \{\partial_\mu(w_0)\}$ sont les coordonnées de l'événement $w$ pour l'horloge de chronologie $\phi$ et les coordonnées de $\mathbf{u}$ dans $\{T_{w_0}(\partial_\mu(w_0))\}$ sont les coordonnées de l'événement $w$ pour l'horloge de chronologie $\psi$. Le changement de variable en $w_0$ relativement à la base $\partial(w_0)$, pour passer d'une horloge à une autre, est donné par la matrice $M_\partial(w_0)$.

**Remark 4.** L'équation 3.4 permet d'affirmer que si $X$ est un champ local sur $W$ orthogonal à grad $\phi$ alors $T\Theta(X)$ est orthogonal à grad $\psi$. La photographie au temps d'écoulement $t$, pour l'horloge $\phi$, s'envoie par $\Theta$ sur une photographie au temps d'écoulement $s = \theta(t)$ pour l'horloge $\psi$.

### 4. HORLOGES TRANSVERSALES ET INDÉPENDANTES

La transversalité des horloges de chronologies $\phi$ et $\psi$ est définie par la transversalité des chronologies.

**Definition 5.** Deux fonctions de Morse $\phi$ et $\psi$ sont transversales si

$$ \phi^{-1}(t) \cap \psi^{-1}(s), \forall t, s \in \mathbb{R} \setminus \phi(\Sigma_{\phi}) \cap \mathbb{R} \setminus \psi(\Sigma_{\psi}) $$

et une famille de fonctions de Morse est transversale si les fonctions de Morse sont transversales deux à deux. Les horloges associées sont dites transversales.

L'indépendance d'une famille d'horloge est définie à partir de l'indépendance des gradients des chronologies associées comme suit,
**Definition 6.** Une famille d'horloges de chronologies {$\phi_1, \dots, \phi_n$} est famille indépendante ou libre d'horloges si, pour tout événement régulier $w$ de l'ensemble des horloges, la famille {$\text{grad } \phi_\mu(w)$} est une famille libre de $T_w W$.

**Remark 5.** Une famille indépendante d'horloges est de cardinale $\leq \dim W$.

**Definition 7.** Une famille d'horloges de chronologies {$\phi_1, \dots, \phi_n$} est une famille génératrice si, pour tout événement régulier $w$ de l'ensemble des horloges, la famille {$\text{grad } \phi_\mu(w)$} est une famille génératrice de $T_w W$.

On peut définir la notion de base d'horloges comme une famille indépendante et génératrice d'horloges. Cela signifie que pour tout événement régulier $w$ de cette famille des gradients en $w$ est une base de $T_w W$. Pour un univers $W$ et une famille transversale d'horloges de chronologies {$\phi_1, \phi_2, \phi_3, \phi_4$} on a le théorème suivant,

**Theorem 8.** Si $t_\mu$ est une valeur régulière de $\phi_\mu$ pour tout $\mu$ et si la famille d'horloges, associées aux chronologies $\phi_\mu$, est une famille transversale alors

$$ \bigcap_{\mu=1}^{4} \phi_{\mu}^{-1}(t_{\mu}) $$

est une suite d'événements sans point d'accumulation.

*Proof.* C'est une conséquence du théorème de transversalité de Thom [6]. □

**Theorem 9.** Une famille d'horloges de cardinal $\dim W$ est transversale si et seulement si c'est une base d'horloges.

*Proof.* En chaque événement régulier $w$ pour toutes les chronologies $\phi_\mu$, l'espace tangent $T_w(\phi_\mu^{-1}(\phi_\mu(w)))$ est l'orthogonal pour $g(w)$ de $\mathbb{R}$ grad $\phi_\mu(w)$, la transversalité est équivalente à

$$ \cap_{\mu} T_w (\phi_{\mu}^{-1} (\phi_{\mu}(w))) = o_w $$

ce qui est encore équivalent à l'indépendance de la famille {$\text{grad } \phi_\mu(w)$}. □

Pour une famille {$\phi_1, \phi_2, \phi_3, \phi_4$} de chronologies, en dehors des événements critiques pour l'une des chronologies $\phi_\mu$, la famille

$$ \{\text{grad } \phi_{\mu}\} $$

est une section de bases sur

$$ \cap_{\mu} W \setminus \Sigma(\phi_{\mu}) = W \setminus \cup_{\mu} \Sigma(\phi_{\mu}), $$

$\cup_{\mu} \Sigma(\phi_{\mu})$ est un ensemble discret comme réunion finie d'ensembles discrets, on peut définir un système local de coordonnées $\cap_{\mu} W \setminus \Sigma(\phi_{\mu})$ en posant, dans un voisinage $W$ de $w_0$ suffisamment petit pour que l'application exp existe, les coordonnées de $w \in W$ est donné par un quadruplet $(x^1, x^2, x^3, x^4)$ vérifiant

$$ \mathbf{x} = x^{\mu} \operatorname{grad} \phi_{\mu} \qquad (4.1) $$

où $w$ est défini par

$$ w = \exp(\mathbf{x}). $$

**Definition 8.** Le système de coordonnées défini par 4.1 est dit système de coordonnées gradient relatif à une famille transversale d'horloges de chronologies {$\phi_1, \phi_2, \phi_3, \phi_4$}.
Pour deux événements $w_1$ et $w_2$ suffisamment proche de $w_0$, le changement de coordonnées est donné par

$$ (x_1^1, x_1^2, x_1^3, x_1^4) \to (x_2^1, x_2^2, x_2^3, x_2^4) $$

avec $w_i = \exp(x_i)$ et $x_i = x_i^\mu \text{grad } \phi_\mu$. Si les événements $w_i$ sont génériques, le déplacement de $w_1$ par rapport à $w_2$ pour l'observateur situé en $w_0$ est une $C^\infty$-application

$$ V \subset \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4, \quad (x_1^1, x_1^2, x_1^3, x_1^4) \to (x_2^1, x_2^2, x_2^3, x_2^4). $$

## 5. TOPOLOGIE DES UNIVERS PAR ÉCOULEMENT

La topologie d'un univers connexe peut être décrite par une horloge de chronologie $\phi$. Les singularités de $\phi$ forment un ensemble discret $\{w_\mu\}$ de $\mathcal{W}$, pour chaque événement singuliers on définit une boule fermée $B_\mu$, de bord $\partial B_\mu$, deux à deux disjointes et suffisamment petites pour que $\mathcal{W}_\phi = \mathcal{W} \setminus \sum_\mu B_\mu$ soit connexe. La restriction de $\phi$ à $\mathcal{W}_\phi$ est sans événement singulier. Pour une singularité $w_0$ de type $(\lambda, 4 - \lambda)$, il existe une carte $W$ de $w_0$,

$$ \alpha : W \to \mathbb{R}^4, $$

pour laquelle si $\alpha_\mu(w) = (x_\lambda, x_{4-\lambda})$ avec $x^\lambda = (x^1, \dots, x^\lambda)$ et $x_{4-\lambda} = (x^{\lambda+1}, \dots, x^4)$

$$ \phi(w) = \phi(w_0) - \|x_\lambda\|^2 + \|x_{4-\lambda}\|^2, \quad \alpha_\mu(w) = (x_\lambda, x_{4-\lambda}) $$

et

$$ T\alpha_\mu(\text{grad } \phi(w)) = (-x^1, \dots, -x^\lambda, x^{\lambda+1}, \dots, x^4) = (-x_\lambda, x_{4-\lambda}). $$

Pour obtenir l'univers $\mathcal{W}$, on prend l'univers $\mathcal{W}_\phi$ qui est muni d'une horloge globale de chronologie $\phi|_{\mathcal{W}_\phi}$ et on recolle par chirurgie de type $(\lambda, 4 - \lambda)$ les boules $B_\mu$ si $w_\mu$ est une singularité de type $(\lambda, 4 - \lambda)$. Cette chirurgie se fait comme suit, si $0 \le \lambda \le 4$ on prend un plongement

$$ \beta_\mu : S^{\lambda-1} \times B^{4-\lambda} \to \partial B_\mu, \quad \beta_\mu = \alpha_\mu^{-1} |_{S^{\lambda-1} \times B^{4-\lambda}} $$

l'espace obtenu, en lissant les angles, est l'univers

$$ \chi(\mathcal{W}_\phi, \beta_\mu) \approx \frac{\mathcal{W}_\phi \cup B^4}{\sim} $$

avec si

$$ w \in \partial B_\mu \text{ et } x \in \partial B^4 = S^{\mu-1} \times B^{4-\mu} \cup B^\mu \times S^{4-\mu-1} $$

on a

$$ \beta_\mu(w) = x. $$

On a ajouté par chirurgie à $\mathcal{W}_\phi$ l'événement singulier de type $(\mu, 4 - \mu)$. Pour une famille de plongement $\{\beta_\mu\}$ on obtient par chirurgie l'univers $\mathcal{W}$. La topologie d'un univers par écoulement est la topologie d'un univers muni d'une horloge globale auquel on a ajouté par chirurgie des singularités. Si $\mathcal{W}$ est un univers fermé muni que de deux événements singuliers, on a le théorème suivant,

**Theorem 10.** Si $\mathcal{W}$ est un univers fermé pour lequel il existe une horloge ayant exactement deux événements singuliers alors $\mathcal{W}$ est homéomorphe à $S^4$.

*Proof.* C'est une conséquence directe de la théorie de Morse [3] □

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Pour avoir une approche globale de certains résultats énoncés précédemment, on peut consulter [4] ou [5].
**Definition 9.** Un écoulement est connexe si l'horloge de chronologie $\phi$ vérifie la propriété de connexité suivante, $\phi^{-1}(t)$ est connexe pour toute valeur régulière $t$ de la chronologie $\phi$.

On la théorème suivant,

**Theorem 11.** Si $\mathcal{W}$ est univers fermé muni d'une horloge de chronologie $\phi$ et une sous-variété $\mathcal{V}$ de dimension 4 de bord $\partial\mathcal{V}$ dont les événements critiques sont dans $\text{int} \, \mathcal{V} = \mathcal{V} \setminus \partial\mathcal{V}$ telle que $\mathcal{W} \setminus \mathcal{V}$ est connexe alors

$$ \mathcal{W} \setminus \text{int} \, \mathcal{V} \text{ est difféomorphe à } V \times [0, 1] $$

où $V$ est une variété fermée homéomorphe à une photographie quelconque au temps d'écoulement $t$. En particulier, $\partial\mathcal{V}$ est l'union disjointe de deux exemplaires de $V$.

*Proof.* C'est une conséquence de 2.1. □

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

**Remark 6.** La chronologie $\phi$ d'une horloge sur un univers $\mathcal{W}$ permet de définir un écoulement sans événement critique sur $\mathcal{W} \setminus \Sigma_{\phi}$. Avec les notations précédentes, peut-on transformer $\phi$ en un écoulement de l'univers $\mathcal{W}$ qui soit connexe sur $W_{\phi}$. Si oui, on peut représenter l'univers par un écoulement connexe auquel on a recollé des boules $B_{\mu}$ par chirurgie de type $(\mu, 4 - \mu)$.

## 6. CONCLUSION

Un écoulement, le long d'un champ gradient, est une représentation simple de l'univers. L'univers s'écoule le long d'une chronologie $\phi$, un observateur $O$ en l'événement $w$ se déplace le long de l'intégrale première du champ grad $\phi$ contenant $w$. Pour une photographie de l'univers en $t = \phi(w)$, les événements se déplacent le long des intégrales première de grad $\phi$. La photographie en $t+\Delta t$, avec $[t, t+\Delta t]$ ne contient aucune valeur critique, donne un déplacement relatif des événements entre eux si aucun phénomène physique intervient. Pour un déplacement d'un événement $w_0$ à $w_1$, le long d'une courbe paramétrée par $w_t$, la courbe obtenue dans la photographie $\phi^{-1}(\phi(w_1))$ sera donnée par la projection le long du champ gradient des événements $w_t$ sur $\phi^{-1}(\phi(w_1))$. Observer l'univers au temps d'écoulement $t$ revient à projeter sur $\phi^{-1}(t)$, le long des intégrales premières du champ gradient de $\phi$, les événements de l'univers observable.

## REFERENCES

[1] Anderson M.T., "Géométrisation des variétés de dimension 3 via le flot de Ricci", Publications Gazette 2005, smf gazette 103, page 24-40

[2] Jonot J.L, "Géométrisation des univers quantifiables", hal-04116617

[3] Milnor J., "Morse Theory", Princeton University Press, 1963.

[4] Spring D., "The Golden Age of Immersion Theory in Topology: 1959-1973", Bull. Amer. Math. Soc. 42 (2005).

[5] Spring D., Poénaru V., "Questions de géométrie et théorie de Gromov", Cours de DEA ParisXI

[6] Thom R., "Quelques propriétés globales des variétés différentiables". Comm. Math. Helv. 28 (1): 17-86.

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