RIA
laboria

laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

Contrôle
en boucle ouverte adaptée
de systèmes distribués

Alain
A. Bamberger

C. Saguez

J.P. Yvon

Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
78150 - Le Chesnay
Tél. 954.90.20

Rapport de Recherche n° 128

Juin 1975
# CONTROLE EN BOUCLE OUVERTE ADAPTÉE DE SYSTEMES DISTRIBUÉS

A. Bamberger, C. Saguez, J.P. Yvon

Le contrôle en ligne d'un processus physique est abordé ici par
utilisation de techniques boucle ouverte avec adaptation du modèle aux mesures faites sur le système. On considère donc un système gouverné par une
équation parabolique dont le deuxième membre contient une fonction inconnue.
La méthode consiste à calculer une suite de contrôles obtenus en négligeant
dans la modélisation la fonction inconnue mais en tenant compte des observations faites sur le système physique. Un pas d'échantillonnage étant donné
à chaque nouvelle observation correspond un nouveau contrôle, on a donc étudié le comportement du contrôle obtenu quand le pas d'échantillonnage tend
vers zéro.

Une caractérisation du contrôle obtenu est donnée par une loi de feedback
qu'on peut expliciter dans certains cas à l'aide d'une équation de Riccati.

## ABSTRACT

Using open loop technique it is possible to approach the on-line
control of distributed systems.

An application of the so-called Open Loop Feedback Optimal method is given
here. We consider a system governed by a parabolic equation with an unknown
function in the right hand side member. The method consists in computing a
sequence of controls of problems in which the unknown function is neglected
but in which observations on the physical system are taken in account. We
have studied here the behaviour of the control obtained when the frequency
of observations goes to infinity.

A characterization of the limit control is given by a feedback law which we
can explicit by the Riccati equation of the original problem.
# 1. Introduction

## 1.1. Position du problème.

Les méthodes de résolution des problèmes de contrôle optimal pour des systèmes distribués ont été largement étudiées des deux points de vue, boucle ouverte et boucle fermée.

De manière pratique le contrôle des systèmes se heurte à deux difficultés principales :

i) le contrôle boucle-ouverte n'est pas "robuste" (en général) vis-à-vis des perturbations que peut subir le système (i.e. son caractère d'optimalité peut complètement disparaître si le système est perturbé).

ii) les opérateurs de feedback ne peuvent être obtenus, dans le meilleur des cas, que par la résolution (longue) d'une équation non linéaire de grande dimension.

Cette équation (de Riccati) ne peut être obtenue que dans le cas linéaire-quadratique et donc il faut éventuellement linéariser le système initial. Toutes ces opérations ne peuvent être faites que "hors ligne" et non pas en temps réel.

Les considérations qui précèdent conduisent à penser que *pratiquement* on ne peut pas se contenter d'un contrôle en boucle ouverte et qu'il faut conserver un caractère boucle fermée au contrôle en évitant toutefois la résolution de l'équation de Riccati.

De plus on s'intéresse à des méthodes qui peuvent être utilisées "en ligne" c'est-à-dire des méthodes telles que les calculs puissent être effectués pendant le déroulement du processus.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>
### Remarque 1.1.

Dans certaines situations des méthodes de réduction de la dimension de l'équation de Riccati (cf. CASTI - LJUNG [ 1 ]) permettent peut être d'envisager une résolution en temps réel.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

### Remarque 1.2.

Nous avons mentionné à plusieurs reprises que nous considérions des systèmes "perturbés". Cela veut dire que nous nous refusons à toute modélisation statistique du "bruit" que nous considérons à priori comme "petit" sans autre information particulière.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
## 1.2. Principe de la méthode

Nous allons maintenant donner le principe de la méthode de boucle ouverte adaptée (Open Loop Feedback Optimal) appliquée au contrôle des systèmes distribués.

De manière précise considérons un système régi par l'équation (écrite formellement)

$$ (1.1) \quad \begin{aligned} \dot{y}(t) + Ay(t) &= f(t) + Bv(t) + \xi(t) \\ dt \end{aligned} \qquad \begin{array}{l} y \text{ état du système} \\ v \text{ contrôle} \end{array} $$

$$ (1.2) \quad y(0) = y_o \qquad \begin{array}{l} \xi \text{ bruit d'excitation} \\ f \text{ donné.} \end{array} $$

On veut contrôler ce système en minimisant la fonction économique

$$ (1.3) \quad J(v) = \int_0^T |Cy(t,v) - z_d(t)|^2 dt + \int_0^T (Nv(t),v(t)) dt $$

pour tous les contrôles $v(\cdot)$ tels que :

$$ v(t) \in K \quad \forall t \in [0,T]. $$

L'hypothèse essentielle qui est faite est que le bruit d'excitation $\xi$ du système physique est petit (dans un sens à préciser) et donc qu'on peut modéliser le système physique par

$$ (1.1)' \quad \varphi'(t) + A\varphi(t) = f(t) + Bv(t) $$

$$ (1.2)' \quad \varphi(0) = \varphi_o $$

et que la fonction économique correspondante est
$$
(1.3)' \quad \tilde{J}(v) = \int_0^T |C\varphi(t,v) - z_d(t)|^2 dt + \int_0^T (Nv(t),v(t)) dt
$$

Calculer un contrôle boucle ouverte consiste alors à trouver le contrôle optimal $\tilde{u}$ du problème (1.1)'... (1.3)' .

Evidemment si ξ = 0 alors ũ coïncide avec le contrôle optimal u du pro-
blème (1.1)...(1.3) .

Le principe de la méthode est le calcul d'une succession de
contrôles au cours du déroulement du processus en utilisant les observations
faites sur celui-ci.

Soient donc

$$
0 = t_0 < t_1 < t_2 < \dots < t_N < T
$$

les instants d'observation et supposons qu'on ait contrôlé le
processus jusqu'au temps $t = t_k$ par un contrôle $w(\cdot)$. Donc sur l'intervalle
de temps $[0, t_k[$
l'état du système physique est donné par

$$
(1.4) \quad y'(t) + Ay(t) = f(t) + Bw(t) + \xi(t) \quad t \in ]0, t_k[
$$

$$
(1.5) \quad y(0) = y_0 .
$$

Supposons qu'on puisse observer $y(t_k)$, on peut donc modéliser le
comportement futur de l'état par

$$
(1.6) \quad \varphi'(t) + A\varphi(t) = f(t) + Bv(t) \quad t \in ]t_k, T[
$$

$$
(1.7) \quad \varphi(t_k) = y(t_k)
$$
et donc on peut calculer un nouveau contrôle optimal sur $[t_k, T]$
en minimisant la fonctionnelle

$$ (1.8) \qquad \tilde{J}_k(v) = \int_{t_k}^{T} |C\phi(t;v) - z_d(t)|^2 dt + \int_{t_k}^{T} (Nv(t), v(t)) dt . $$

Donc de façon générale on peut associer à chaque instant d'observation $t_k$ ($0 \le k \le N$) un problème de contrôle dont la solution fournit sur l'intervalle de temps $[t_k, t_{k+1}]$ le contrôle à appliquer au système.

### Remarque 1.3

En général on ne peut pas montrer que le contrôle sur $[0, T]$ ainsi construit est meilleur que le contrôle en boucle ouverte $\tilde{u}$. Cependant on verra au §.4 que, par ce procédé et sur les exemples traités, on a amélioré la valeur de la fonction économique de façon sensible.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

### Remarque 1.4

La méthode ne peut présenter un intérêt pratique que si on la modifie légèrement de façon à calculer le contrôle sur l'intervalle de $[t_k, t_{k+1}]$ avant l'instant $t_k$. Pour cela le mieux qu'on puisse faire est d'utiliser l'observation au point $t_{k-1}$ pour calculer le contrôle à partir de $t_k$ les calculs numériques s'effectuant en temps réel dans l'intervalle de temps $[t_{k-1}, t_k[$.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>
### 1.3. Enoncé des résultats

Nous nous proposons dans cet article d'étudier le comportement du contrôle obtenu lorsque le pas d'échantillonnage tend vers zéro (c'est à dire quand $N \to \infty$).

Il est bien évident qu'on ne peut avoir, en général, la convergence vers le contrôle optimal u du problème (1.1)...(1.3).

Cependant nous allons montrer que la suite des contrôle converge vers un contrôle caractérisé de façon unique par une loi de feedback. Dans le cas linéaire quadratique sans contrainte on peut représenter cette loi sous la forme

$$ \tilde{u}(t) = -N^{-1}B^*[Py(t) + \bar{r}(t) $$

où $p$ est la solution de l'équation de Riccati associée au problème (1.1)... (1.3) mais où $\bar{r}(t)$ est différent de celui qu'on aurait obtenu en supposant $\xi$ connu.

Les deux théorèmes de convergence sont donnés page 22 théorème 2.1 et page 32 théorème 3.2.
## 2. Formulation mathématique

### 2.1. Hypothèses et notations

Les données sont les suivantes

$$ (2.1) \quad \left\{ \begin{array}{l} V, H, \text{espaces de Hilbert}^{(1)} \text{ tels que} \\ V \subset H \subset V' \end{array} \right. $$

chaque espace étant dense dans le suivant avec injection continue,

$$ (2.2) \quad \begin{array}{l} \mathbb{E}, F \text{ espaces de Hilbert,} \\ A \in \mathcal{L}(V; V') \quad \text{vérifiant} \end{array} $$

$$ (2.3) \quad \exists \alpha > 0 : (A\varphi, \varphi) \ge \alpha \|\varphi\|^2 \quad \forall \varphi \in V, $$

$$ (2.4) \quad \left\{ \begin{array}{l} B \in \mathcal{L}(E; H), \\ C \in \mathcal{L}(V; F), \\ N \in \mathcal{L}(E; E) \quad \text{vérifiant} \quad \exists v > 0 : (N e, v) \ge v \|v\|^2 \\ \phantom{N \in \mathcal{L}(E; E) \quad \text{vérifiant} \quad \exists v > 0 : (N e, v)} \forall e \in E, \end{array} \right. $$

$$ (2.5) \quad \xi \in L^2(o, T; V'), $$

<footnote>(1) On le signera par $|\cdot|$, $(\dots)$ (respectivement $\|\cdot\|$, $((\dots))$) les normes et le produit scalaire de $H$ (respectivement $V$).</footnote>
$$
(2.6) \quad E_{ad} \text{ convexe fermé de E.}
$$

On dénote par

$\Lambda_E$ l'isomorphisme canonique de $E$ sur $E'$,

$\Lambda_F$ " " $F$ sur $F'$.

On se propose de résoudre le problème de contrôle suivant.
L'état $y(v)$ du système est solution de l'équation

$$
\begin{array}{ll}
(2.7) & \left\{
\begin{array}{l}
y' + Ay = \xi + Bv & (1) \\
y(c) = y_o \quad y_o \text{ donné dans } H,
\end{array}
\right. \\
& \text{où } v \in L^2(c,T;E) \text{ . La fonction coût est}
\end{array}
$$

$$
(2.8) \quad J(v) = \int_0^T \|Cy(v) - z_d\|_F^2 dt + \int_0^T (Nv,v) dt.
$$
avec $z_d$ donné dans $L^2(c,T;F)$.

Problème exact.

Soit

$$
(2.9) \quad u_{ad} = \{ v \in L^2(c,T,E) \mid v(t) \in E_{ad} \text{ p.p. sur } [0,T] \} .
$$

<footnote>(1) On suppose pour simplifier l'exposé que $f=0$ dans (1.1).</footnote>
On cherche $u \in \mathcal{U}_{ad}$ tel que

$$
(2.10) \quad J(u) \le J(v) \quad \forall v \in \mathcal{U}_{ad}.
$$

Ce problème admet une solution $u$, unique (cf. LIONS [ 2 ]).

■

Nous utiliserons dans la suite une famille de problèmes de con-
trôle que nous allons maintenant définir.

Pour $s \in [0,T[$ et $h$ donné dans $H$, l'état $\varphi(v)$ du système est défini comme la solution de

$$
(2.11) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\varphi' + A\varphi = Bv \\
\varphi(s) = h
\end{array}
\right.
$$

où $v$ est donné dans $L^2(s,T;E)$.

La fonction coût, notée $J_s^h(v)$, est donnée par

$$
(2.12) \quad J_s^h(v) = \int_s^T \|C\varphi(v) - z_d\|^2 \hat{a}t \, dt + \int_s^T (Nv, v) \, dt.
$$

et on cherche $u_s^h \in \mathcal{U}_{ad}^s$ tel que

$$
(2.13) \quad J_s^h(u_s^h) \le J_s^h(v) \quad \forall v \in \mathcal{U}_{ad}^s
$$
avec

$$
(2.14) \quad \mathbf{u}_{\text{ad}}^{\text{s}} = \{ v \in L^2(s,T;E) \mid v(t) \in E_{\text{ad}} \text{ p.p. sur } (s,T) \}
$$

On définit la famille $t \to K(t,s)$ d'opérateurs (non linéaires
si $E_{ad} \neq E$) de $H$ dans $E$ par

$$
(2.15) \quad K(t,s) \cdot h = u_s^h(t) \quad (\text{pour } t \ge s).
$$

Le contrôle optimal $u_s^h$ solution de (2.13) est défini de manière
unique par le système suivant

$$
(2.16) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\varphi'(u_s^h) + A\varphi(u_s^h) = B u_s^h \\
\varphi(s) = h
\end{array}
\right.
$$

$$
(2.17) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
-\Psi'(u_s^h) + A^* \Psi(u_s^h) = C^* \Lambda_F [C \varphi(u_s^h) - z_d] \\[1em]
\Psi(T; u_s^h) = 0
\end{array}
\right.
$$

$$
(2.18) \quad u_s^s(t) = \operatorname{Proj}_{E_{\text{ad}}} \left( (-N^{-1} \Lambda_E^{-1} B^* \Psi(t; u_s^h) ) \right)
$$
## 2.2. Formulation de la méthode

Soit $N$ un entier positif (destiné à tendre vers l'infini) et

$$ \tau = \frac{T}{N} . $$

Nous poserons dans la suite pour $0 \le k \le N$

$$ t_k = k\tau . $$

Le contrôle $u_k^{N}(t)$ qui est "réellement" appliqué au système (2.7) est calculé de proche en proche. De manière précise, $u_k^{N}(t)$ étant connu sur l'intervalle $[0, t_k)$, on prend $u_k^{N}$ sur $(t_k, t_{k+1})$ comme restriction à cet intervalle du contrôle $u_k^{N}$ suivant :

$$ (2.20) \qquad u_k^N(t) = K(t, t_k) \eta_k^N \quad (t_k \le t < T) , $$

l'élément $\eta_k^N \in H$ étant choisi parmi les trois possibilités que nous allons indiquer maintenant.

i) Cas "sans retard".

Définissons tout d'abord l'état réel $y_k^N$ du système comme la solution sur $[0, t_k]$ de

$$ (2.21) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{dy_k^N}{dt} + Ay_k^N = f + Bu_k^N \\ \\ y_k^N(0) = y_0 . \end{array} \right. $$
Alors on prendra

$$ (2.22) \qquad \eta_k^N = y^N(t_k) . $$

ii) Retard sans prédiction.

On suppose maintenant que l'on observe l'état $y^N$ avec un temps de retard $\tau$, c'est-à-dire qu'on ne connaît l'état $y^N$ (défini par (2.21)) que jusqu'à l'instant $t_{k-1}$, on prendra donc

$$ (2.23) \qquad \eta_k^N = y^N(t_{k-1}) \qquad (k \ge 1) $$

iii) Retard avec prédiction

La situation étant la même qu'au ii) précédent, on chercher à prédire la valeur de $y^N$ à l'instant $t_k$ ($k \ge 1$) en résolvant le système annexe

$$ (2.24) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{d\zeta_k^N}{dv} + A\zeta_k^N = Bu^N \quad \text{sur } ]t_{k-1}, t_k[ \\[1.5ex] \zeta_k^N(t_{k-1}) = y^N(t_{k-1}), \end{array} \right. $$

on posera alors

$$ (2.25) \qquad \eta_k^N = \zeta_k^N(t_k) . \qquad (k \ge 1) $$
Les relations (2.23) et (2.25) doivent être remplacées dans le
cas $k = 0$ par

$$
(2.22)' \qquad \eta_o^N = y_o
$$

C'est à dire que les contrôles $u^N(t)$ déterminés par (2.22) ou
(2.23) ou (2.25) coïncident sur le premier intervalle de temps $]0,\tau[$ avec le
contrôle boucle ouverte

$$
(2.26) \qquad u_o^N(t) = K(t;0)y_o
$$

En résumé l'état $y^N$ réel du système est déterminé par l'équation
(2.21) le contrôle $u^N$ étant calculé de proche en proche par la relation
(2.20) le choix de $\eta_k^N$ étant déterminé par l'une des trois égalités (2.22)
(2.23) (2.25).

Nous nous proposons, dans les paragraphes suivants, d'étudier le
comportement de {$u^N, y^N$} lorsque $N$ tend vers l'infini.
## 2.3. Résultats préliminaires

Nous utiliserons dans la suite l'une ou l'autre des hypothèses suivantes

Hypothèse (H1)

$$ (2.27) \qquad E_{ad} \equiv E $$

Hypothèse (H2)

$$ (2.28) \qquad E_{ad} \neq E $$

(2.29) "l'injection de V dans H est compacte"

$$ (2.30) \qquad C \in \mathcal{L}(H; F). $$

## Lemme 2.1

Pour $h \in H$ et $s \in ]0,T[$ donnés, on a la relation

$$ (2.31) \qquad \|K(t,s)h\|_{E} \leq C(1 + |h|) \quad \forall s,t \in [0,T] \ t \geq s, h \in H. $$

avec $C$ indépendant de $s, t$ et $h$.

Démonstration dans LIONS [ 2 ]
### Lemme 2.2

Pour $s$ et $t$ ($t \ge s$) fixés dans $[0,T]$ l'application

$$ (2.32) \qquad h \to K(t,s).h $$

est lipschitzienne de $H$ dans $E$

$$ (2.33) \qquad \|K(t,s)h - K(t,s)\tilde{h}\|_{E} \le \lambda |h - \tilde{h}| \quad \forall h, \tilde{h} \in H $$

la constante $\lambda$ pouvant être choisie indépendante de $s$ et $t$.

### Démonstration

Nous dénoterons par $\varphi_1(v)$ et $\varphi_2(v)$ les solutions de (2.11) cor-
respondant respectivement à $h_1$ et $h_2$ valeurs distinctes de la condition ini-
tiale à l'instant $s$, et par $u_1$ et $u_2$ les deux contrôles optimaux correspondants
(solution de (2.13)) . On a

$$ (2.34) \qquad \int_s^T (C\varphi_1(u_1) - z_d, C[\varphi_1(v) - \varphi_1(u_1)])dt + \int_s^T (Nu_1, v-u_1)dt \ge 0 $$

$$ (2.35) \qquad \int_s^T (C\varphi_2(u_2) - z_d, C[\varphi_2(v) - \varphi_2(u_2)])dt + \int_s^T (Nu_2, v-u_2)dt \ge 0. $$

Prenons $v = u_2$ dans (2.34) et $v = u_1$ dans (2.35) et ajoutons,
on obtient :

$$ (2.36) \qquad \int_s^T (C[\varphi_1(u_1) - \varphi_2(u_2)], C \varphi_0(u_2-u_1))dt - \int_s^T |u_2-u_1|^2 dt \ge 0 $$

où $\varphi_0(v)$ est la solution de (2.11) avec $h = 0$.
Si nous posons $h = h_1 - h_2$, $u = u_1 - u_2$, et notons $\varphi_h(v)$ la solution de (2.11) on a

$$
(2.37) \quad \varphi_1(u_1) - \varphi_2(u_2) = \varphi_o(u) + \varphi_h(o)
$$

et donc (2.36) s'écrit :

$$
\int_S^T |u(t)|^2 dt + \int_S^T |c_{\phi_o}(u)|^2 dt \le \int_S^T (c_{\phi_o}(u), c_{\phi_h}(o)) dt
$$

soit en majorant le membre de droite

$$
(2.38) \quad \int_S^T |u(t)|^2 dt + \int_S^T |c_{\phi_o}(u)|^2 dt \le \frac{1}{2} \int_S^T |c_{\phi_h}(o)|^2 dt .
$$

Par ailleurs si on écrit les conditions d'optimalité (2.16) (2.17)
(2.18) pour $u_1$ et $u_2$ on a

$$
(2.39) \quad u_i(t) = \operatorname{Proj}_{E_{ad}} \left\{ -N^{-1} \Lambda_E^{-1} B^* \Psi(t; u_i) \right\} \quad i = 1,2
$$

la projection étant prise pour la norme $[e] = |(Ne,e)_E|^{\frac{1}{2}}$ et
$\Psi(.;u_i)$ désigne l'état adjoint correspondant à $u_i$ ($i=1,2$).

Ou utilisant le fait que la projection est contractante et les
propriétés de continuité des opérateurs B, Λ<sub>E</sub>, N, N<sup>-1</sup> on obtient

$$
(2.40) \quad \|u_1(t) - u_2(t)\|_{E} \le \theta_o |\Psi(t; u_1) - \Psi(t; u_2)| .
$$

Or on a $\Psi(u_1) - \Psi(u_2) = \Psi(u)$ défini par
$$ (2.41) \quad \begin{cases} -\Psi'(u) + A^* \Psi(u) = C^* \Lambda_F C [\varphi_1(u_1) - \varphi_2(u_2)] \\ \Psi(T) = 0. \end{cases} $$

L'inégalité de l'énergie de (2.41) s'écrit :

$$ |\Psi(s)|^2 + \theta_1 \int_s^T \|\Psi(s)\|_{\mathrm{dt}}^2 \le \theta_2 \int_s^T |\varphi_1(u_1) - \varphi_2(u_2)|^2 \mathrm{dt} $$

d'ou en utilisant (2.37) :

$$ (2.42) \quad |\Psi(s)|^2 \le \theta_3 \left[ \int_s^T |\varphi_o(u)|^2 \mathrm{dt} + \int_s^T |c_{\varphi_h}(o)|^2 \mathrm{dt} \right] $$

et donc d'après (2.40) et (2.42) on a :

$$ \|u_1(t) - u_2(t)\|_E^2 \le \theta_4 \left[ \int_s^T |c_{\varphi_o}(u)|^2 \mathrm{dt} + \int_s^T |c_{\varphi_h}(o)|^2 \mathrm{dt} \right] $$

ce qui donne en utilisant (2.38) :

$$ (2.43) \quad \|u_1(t) - u_2(t)\|_E^2 \le \theta_5 \int_s^T |\varphi_h(o)|^2 \mathrm{dt} $$

Mais en écrivant l'inégalité de l'énergie pour $\varphi_h(o)$ solution de (2.11), on obtient :

$$ \frac{1}{2} |\varphi_h(t,o)|^2 + \alpha \int_s^t \|\varphi_h(t,o)\|_{\mathrm{dt}}^2 \le \frac{1}{2} |h|^2 $$
et donc d'après (2.43) ceci implique

$$
(2.44) \quad \|u_1(t) - u_2(t)\|_E^2 \le \theta_6 |h|^2
$$

Lemme 2.3

On se place dans les hypothèses (H1) ou (H2). Soient {$t_n$} et {$h_n$}
deux suites telles que :

$$
(2.45) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
t_n \to t & \text{avec } t_n \le t \\
h_n \to h & \text{dans } H \text{ faible}
\end{array}
\right.
\qquad \text{quand } n \to \infty.
$$

Alors on a

$$
(2.46) \quad K(t_n; t)h_n \to K(t,t).h \quad \text{dans } E \text{ faible}
$$

quand $n \to \infty$, la convergence ayant lieu dans $E$ fort sous l'hypo-
thèse (H1).

Démonstration

Notons $\varphi_n$ et $\psi_n$ les solutions respectives de (2.16) (2.17) corres-
pondant au contrôle optimal $u_n = u_{t_n}^n$ solution de (2.13) avec $h = h_n$ et
$t = t_n$.

D'après le Lemme 2.1 on a

$$
\|u_n(t)\|_E < \text{Constante pour } t \in [t_n, T]
$$
et donc

$\varphi_n$ est borné dans $W(t_n, T)$

ou on a noté

$$W(s,t) = \{\varphi \in L^2(s,T;V) \mid \frac{d\varphi}{dt} \in L^2(s,T;V') \}.$$

De même on a

$$(2.47) \qquad \Psi_n \text{ est borné dans } W(t_n, T).$$

$$i) \text{ Cas } E_{ad} \equiv E$$

On déduit immédiatement de (2.47) et (2.18) que

$$(2.48) \quad \left\{ \begin{array}{l} u_n \text{ est borné dans } C(t_n, T; H) \\ [u_n]^T_t \to [u]^T_t \text{ dans } C(t, T; H\text{-faible)}. \end{array} \right.$$

(En fait on doit extraire des sous suites mais on démontre a posteriori que toute la suite converge).

De (2.47) et (2.48) on déduit immédiatement (2.46) car u est
contrôle optimal du Problème (2.13) avec $s = t$.

$$ii) \text{ Cas } E_{ad} \neq E$$

Tout d'abord on le montre, comme dans LIONS [1] que

$$(2.49) \quad \frac{d\Psi_n}{dt} \text{ est borné dans } L^2(0,T;H)^{(1)}$$

(1) On utilise ici le fait que A est indépendant de t.
et donc on déduit du résultat de Compacité de LIONS [ 1, Chap 1
n° 12 ] que

$[\Psi_n]^T_t \rightarrow [\Psi]^T_t \text{ dans } C(t,T;H) \text{ fort,}$

cette dernière propriété jointe à (2.49) implique

$\Psi_n(t_n) \rightarrow \Psi(t) \text{ dans } h \text{ fort d'où (2.46).}$

■
**Lemme 2.4.**

Soit $\{z^n\}_{n \ge 0}$ une suite d'éléments de $W(o,T)$ et deux suites $\{t_1^n\}_{n \ge 0}$ et $\{t_2^n\}_{n \ge 0}$ de points de $[o,T]$ telles que

$$
(2.50) \quad z^n \text{ est bornée dans } W(o,T)
$$

$$
(2.51) \quad t_1^n - t_2^n \to 0 \quad \text{quand} \quad n \to \infty
$$

alors

$$
(2.52) \quad z^n(t_1^n) - z^n(t_2^n) \to 0 \quad \text{dans } H - \text{faible quand } n \to \infty .
$$

Démonstration
---

On a pour $\varphi \in V$

$$
\left| \int_{t_1^n}^{t_2^n} \frac{d}{dt} (z^n(t), \varphi) dt \right| \le C \sqrt{|t_2^n - t_1^n|} \|\varphi\|
$$

d'où

$$
(z^n(t_2^n) - z^n(t_1^n), \varphi) \to 0 \quad \text{quand } u \to \infty, \forall \varphi \in V.
$$

On a donc (2.52) car (2.50) implique

$$
|z^n(t)| \le C \quad \forall n, t \in [o,T].
$$
## 2.4. Résultats de convergence.

Ce paragraphe a pour objet de démontrer le résultat suivant.

**Théorème 2.1**

Pour les hypothèses (H1) ou (H2) on a lorsque $N \to \infty$

$y^N \to \bar{y} \quad \text{dans} \quad W(o,T) \quad \text{faible}$

$u^N \to \bar{u} \quad \text{dans} \quad L^\infty(o,T;E) \quad \text{faible} *$

ou $u$ et $y$ sont définis respectivement par (2.20) (2.21), $\bar{y}$ est défini de manière unique comme solution de

$$ (2.53) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{d\bar{y}}{dt} + Ay - BK(t,t)\bar{y} = f \quad \text{sur } ]o,T[ \\[1.5ex] \bar{y}(o) = y_o \end{array} \right. $$

Le contrôle $\bar{u}$ est alors donné par

$$ (2.54) \qquad \bar{u}(t) = K(t,t) \bar{y}(t) $$

**Démonstration**

i) Estimation a priori

D'après le Lemme 2.1 on a

$$ (2.55) \qquad \|u^N(t)\|_E^2 \le C_1 [s + |\eta_k^N|^2] \qquad t_k \le t < t_{k+1} $$
Par ailleurs pour $\bar{t}$ quelconque dans $]o,T[$, l'inégalité de l'énergie pour

$$ (2.56) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{dz}{dt} + Az = g + Bu^N \quad \text{sur } ]o, \bar{t}[ \\[1.5ex] z(o) = y_o \end{array} \right. $$

conduit à l'inégalité

$$ (2.57) \qquad |z(\bar{t})|^2 \le C_2 \left[ |y_o|^2 + \int_0^{\bar{t}} \|g(s)\|_*^2 ds + \int_0^{\bar{t}} \|u^N(s)\|_E^2 ds \right]. $$

On peut alors exprimer $\eta_k^N$ en fonction de $z$ solution de (2.56) en choisissant la valeur de $g$ et $\bar{t}$ :

a) Si $\eta_k^N$ est donné par (2.22) on a

$$ \eta_k^N = z(t_k) \quad \text{avec} \quad \bar{t} = t_k \quad g = f. $$

b) Si $\eta_k^N$ est donné par (2.23) on a

$$ \eta_k^N = z(t_{k-1}) \quad \text{avec} \quad \bar{t} = t_{k-1} \quad g = f. $$

c) Si $\eta_k^N$ est donné par (2.24) (2.25) on a

$$ \eta_k^N = z(t_k) \quad \text{avec} \quad \bar{t} = t_k \quad \text{et} $$

$$ g(t) = \begin{cases} f(t) & 0 \le t < t_{k-1} \\ 0 & t_{k-1} \le t < t_k \end{cases}. $$
Donc d'après (2.41) on a, quelle que soit la détermination de
$\eta_k^N$, la majoration suivante :

$$
(2.58) \quad \left|\eta_k^N\right|^2 \le C_2 \left[ \left|y_o\right|^2 + \int_o^t \left\|f(s)\right\|_*^2 ds + \int_o^t \left\|u^N(s)\right\|_E^2 ds \right]
$$

soit en utilisant (2.55)

$$
(2.59) \quad \|u^N(t)\|_E^2 \le C_3 \left[ s + \int_0^t \|u^N(s)\|_E^2 ds \right]
$$

Ceci quel que soit $t \in [o,T]$. D'où, en appliquant le Lemme de
 Gronwall, on déduit :

$$
(2.60) \quad \|u^N(t)\|_E^2 \le C \quad (C \text{ indépendant de } N \text{ et } t).
$$

De la définition de $y^N$ par (2.21) on déduit de (2.60) que

$$
(2.61) \quad y^N \text{ borné dans } W(o,T) .
$$

ii) **Passage à la limite**

D'après (2.60) (2.61) on peut extraire, des suites {$u^N$}$_{N \ge 1}$
{$y^N$}$_{N \ge 1}$, des sous suites que nous noterons de la même façon telles que

$$
(2.62) \quad u^N \to \bar{u} \quad \text{dans } L^\infty(o,T;E) - \text{faible } *
$$

$$
(2.63) \quad y^N \to \bar{y} \quad \text{dans } W(o,T) - \text{faible}
$$

$$
(2.64) \quad y^N(t) \to \bar{y}(t) \quad \text{dans } H - \text{faible} \quad \forall t \in [o,T]
$$
quand $N \to \infty$. On peut alors passer à la limite dans l'équation (2.21) et on obtient

$$
\begin{gather*}
(2.65) \qquad \left\{
\begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
\displaystyle \frac{d\bar{y}}{dt} + A\bar{y} = f + B\bar{u} & \text{sur } ]0,T[ \\
\bar{y}(0) = y_0
\end{array}
\right. \\
\text{Soit } t \in ]0,T[ \text{ fixé, on a d'après (2.20)}
\end{gather*}
$$

$$
(2.66) \qquad u^N(t) = K(t; t_k(N)) \eta_k^N
$$
avec

$$
(2.67) \qquad t_k(N) \le t < t_{k(N)+1}
$$
(on a donc, par hypothèse, $\lim_{N \to \infty} t_k(N) = \lim_{N \to \infty} t_{k(N)+1} = t$).

Comme nous voulons établir la convergence de $\eta_k^{N}(N)$ vers $\bar{y}(t)$
quand $N \to \infty$ nous devons raisonner de façon différente suivant le choix de
$\eta_k^{N}$.

a) Démonstration de $\eta_k^N$ par (2.22)

$$
\eta_k^N = y^N(t_k(N))
$$

par application du Lemme 2.4 on a

$$
y^N(t_k(N)) - y^N(t) \to 0 \text{ dans } H \text{ faible}
$$
ce qui avec (2.64) entraîne

$$
(2.68) \quad \eta_{k(N)}^N \rightarrow \bar{y}(t) \quad \text{dans } h\text{-faible lorsque } N \rightarrow \infty
$$

b) Détermination de $\eta_k^N$ par (2.23) : le raisonnement est absolument iden-
tique

c) Détermination de $\eta_k^N$ par (2.24) (2.25)

D'après l'équation (2.24) en appliquant la même méthode que pour
la démonstration du Lemme 2.4 on a :

$$
\eta_{k(N)}^{N} - y^{N}(t_{k(N)} - 1) \rightarrow 0 \text{ dans } H\text{-faible}
$$

quand $N \to \infty$ et le résultat (2.68) est encore valable.

En résumé on a

$$
t_{k(N)} \rightarrow t \qquad t_{k(N)} \leq t
$$

$$
\eta_{k(N)}^{N} \rightarrow \bar{y}(t) \quad \text{dans } H\text{-faible}
$$

alors le Lemme 2.3 implique que

$$
(2.69) \quad K(t; t_{k(N)}) \eta_{k(N)}^N \rightarrow K(t; t) \bar{y}(t) \quad \text{dans } E\text{-faible}.
$$

Cette dernière relation jointe à (2.66) entraîne

$$
\bar{u}(t) = K(t; t) \bar{y}(t)
$$

d'où (2.53) (2.54).
### iii) Unicité

Pour cela il faut montrer que l'équation (2.53) admet une solution unique. Soient donc deux solutions $\varphi_1 - \varphi_2$ de (2.53) et $\varphi = \varphi_1 - \varphi_2$.
On a

$$ (2.70) \quad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{d\varphi}{dt} + A\varphi = BK(t;t)\varphi_1 - BK(t;t)\varphi_2 \quad \text{sur } ]0,T[ \\ \\ (2.71) \quad \varphi(0) = 0 \end{array} \right. $$

Ou multipliant (2.70) par $\varphi$ on obtient

$$ \frac{d}{dt} |\varphi(t)|^2 + (A\varphi(t), \varphi(t)) = (BK(t;t)\varphi_1(t) - BK(t;t)\varphi_2(t), \varphi(t)) $$

et donc en intégrant sur $[0,t]$ et en majorant on a

$$ (2.72) \quad \begin{aligned}[t] |\varphi(t)|^2 + 2\alpha \int_0^t ||\varphi(s)||^2 ds \le & 2 \int_0^t |BK(s;s)\varphi_1(s) - BK(s;s)\varphi_2(s)| \times \\ & \quad \times |\varphi(s)| ds \end{aligned} $$

soit en majorant de nouveau le nombre de droite de (2.72) grâce
au Lemme 2.2 :

$$ |\varphi(t)|^2 \le C_5 \int_0^t |\varphi(s)|^2 ds $$

ce qui implique $\varphi(t) \equiv 0$ grâce au Lemme de Gronwall.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>
Remarque 2.4.

Nous avons supposé que les opérateurs A, B, C, N étaient à coef-
ficients indépendants du temps. Cette hypothèse peut être affaiblie en suppo-
sant que les coefficients sont des fonctions "régulières" de t .

■
### 3. Le cas sans contrainte.

Il s'agit dans ce paragraphe de préciser les résultats obtenus dans le cas où $E_{ad} \equiv E$ (Hypothèse (H1)). Pour cela nous allons utiliser explicitement le caractère linéaire quadratique du problème de contrôle en écrivant l'équation de Riccati.

#### 3.1. Les équations de Riccati du problème initial.

Nous nous plaçons dans le cadre des hypothèses et notations du n° 2. Cependant, afin de garder la symétrie du problème, nous supposons que $f$ est non nul à priori, d'où les équations du système

$$ (3.1) \qquad y' + Ay = f + Bv + \xi $$

$$ (3.2) \qquad y(o) = y_o $$

et la fonction économique

$$ (3.3) \qquad J(v) = \int_0^T \|Cy(t;v) - zd(t)\|_F^2 dt + \int_0^T (Nv(t),v(t))dt. $$

Bien que nous considérions le problème sans contrainte nous allons nous placer dans les hypothèses (H2) qui permettent d'écrire l'équation de Riccati du problème (3.1) (3.2) (3.3).

De manière précise on démontre (LIONS [2, Chap 3]) qu'il existe

- une famille d'opérateurs $t \to P(t) \in \mathcal{L}(H;H)$ symétriques

- une fonction $t \to r(t)$ de $W(o,T)$

telles qu'on puisse écrire
$$
(3.4) \quad p(t) = P(t)y(t;u) + r(t)
$$

où y(t;u) est la solution de (3.1) correspondant au contrôle
optimal u de (3.3) et où p(.) est l'état adjoint défini par

$$
(3.5) \quad -p' + A^*p = C^*\Lambda_F (Cy(u) - zd)
$$

$$
(3.6) \quad p(T) = 0 .
$$

De plus on a le résultat suivant :

Théorème 3.1 ( LIONS [2, Chap 3 Théorème 4.4 ] )

L'opérateur P satisfait à l'équation

$$
(3.7) \quad - \frac{dP}{dt} + PA + A^*P + PD_1P = D_2 .
$$

$$
(3.8) \quad P(T) = 0
$$

au sens de

$$
(3.9) \quad \left\{
\begin{array}{l}
-\left(\frac{dP}{dt}(t)\right) \eta + PA\eta + A^*P\eta + PD_1P\eta = D_2\eta \\[1em]
\text{pour tout } \eta \in W(o,T), \quad \frac{d\eta}{dt} \in L^2(o,T;H), \ A\eta \in L^2(o,T;H), \\[1em]
\text{avec}
\end{array}
\right.
$$

avec

$$
D_1 = BN^{-1} \Lambda_E^{-1} B^*
$$

$D_2 = C^* \Lambda_F C .$
De plus la fonction $r(.)$ est solution de

$$ (3.10) \quad \left\{ \begin{array}{l} - \frac{dr}{dt} + A^* r + PD_1 r = P(f + \xi) + g. \\ r(T) = 0 \end{array} \right. $$

avec

$$ (3.11) \qquad g = -C^* \Lambda_F z d, $$

P et r étant alors définis de façon unique

■

## 3.2. Les équations de Riccati du problème adapté

En utilisant ce qui vient d'être dit on peut caractériser le contrôle optimal du problème (2.11) (2.12) (2.13) par un feedback affine :

Soient P toujours défini par (3.7) ... (3.9) et $\bar{r}$ tel que

$$ (3.12) \qquad \bar{r} \in W(o,T) $$

$$ (3.13) \quad \left\{ \begin{array}{l} - \bar{r}' + A^* \bar{r} + PD_1 \bar{r} = Pf + g \\ \bar{r}(T) = 0 \end{array} \right. $$

alors on a, utilisant les notations du n° 2

$$ (3.14) \qquad \Psi_k^N(t) = P(t) \varphi_k^N(t) + \bar{r}(t) \quad \text{sur } [t_k, T] $$
de telle sorte que l'état du modèle est donné par

$$
(3.15) \quad \left\{
\begin{array}{l}
- \varphi_k^N + A \varphi_k^N + D_1 P \varphi_k^N = f + D_1 \bar{r} \quad \text{sur } ]t_k, T[ \\
\varphi_k^N(t_k) = \eta_k^N
\end{array}
\right.
$$

le contrôle $u_k^N$ étant

$$
(3.16) \quad u_k^N(\tau) = - N^{-1} \Lambda_u^{-1} B^* [ P \varphi_k^N(t) + \bar{r}(t) ]
$$

Le passage à la limite lorsque $N \to \infty$ est alors très facile.

Soit comme précédemment $t$ fixé et $k(N)$ tel que

$$
t_k(N) \le t < t_k(N) + 1
$$

on a donc en particulier

$$
(3.17) \quad u_k^N(s) \equiv u_k^{N}(s) \quad \text{pour } s \in [t_k(N), t_k(N) + 1[
$$

D'après le paragraphe précédent on a

$$
\varphi_k^N(t) - \eta_k^N \to 0 \text{ dans } H \text{ faible}
$$

lorsque $N \to \infty$. Donc

$$
(3.18) \quad \lim_{N \to \infty} u_k^N(t) = \lim_{N \to \infty} - N^{-1} \Lambda_u^{-1} B^* [ P(t) m_k^N + \bar{r}(t) ]
$$

dans $E$ - faible .
On peut donc passer à la limite sur l'équation (2.21) et on
obtient

$$
(3.19) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{d\bar{y}}{dt} + A\bar{y} + PD_1\bar{y} = f + D_1\bar{r} \\[1em]
\bar{y}(0) = y_0
\end{array}
\right.
$$

ceci en utilisant (3.18) et le fait que

$$
\eta_k^N - y^N(t) \to 0 \quad \text{dans } H \quad \text{faible quand } N \to \infty.
$$

Cette équation est à comparer avec l'équation de l'état optimal y :

$$
(3.20) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{dy}{dt} + Ay + PD_1y = f + D_1r + \xi \\[1em]
y(0) = y_0
\end{array}
\right.
$$

On a donc le

Théorème 3.2

Lorsque $N \to \infty$ on a

$y^N \to \bar{y} \quad \text{dans } L^2(o,T;V) - \text{faible}$

où $\bar{y}$ est solution de

$$
(3.21) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\bar{y}' + A\bar{y} + PD_1\bar{y} = f + D_1\bar{r} \\[1em]
\bar{y}(0) = y_0
\end{array}
\right.
$$
ou P est donné par le théorème 3.1 et où $\bar{r}$ est la solution de

$$
\begin{align*}
& \left\{
\begin{array}{l}
\bar{r} \in W(o,T) \\
\text{(3.22)} \qquad \begin{aligned}[t]
& - \bar{r}' + A^* \bar{r} + PD_1 \bar{r} = Pf + g \\
& \bar{r}(T) = 0
\end{aligned}
\end{array}
\right.
\quad \text{Le contrôle } u \quad \begin{array}{c} N \\ u \end{array}
\quad \text{converge dans } L^\infty(o,T;E) \text{ - faible } * \text{ vers}
\end{align*}
$$

$$
(3.23) \quad \bar{u} = - N^{-1} \Lambda_E^{-1} B^* [P\bar{y} + \bar{r}]
$$

■
### 4. Résultats numériques.

La méthode exposée ci-dessus a été testée sur le système suivant :

#### 4.1. Système considéré.

On désigne par $y(v)$ la solution

$$ (4.1) \qquad \frac{\partial y}{\partial t} - \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \xi(x;t) + v(t) \quad \text{pour } (x,t) \in ]0,1[ \times ]0,T[ $$

avec les conditions aux limites :

$$ (4.2) \qquad y(0,t) = y(1,t) = 0 $$

et la condition initiale :

$$ (4.3) \qquad y(x,0) = y_0(x) $$

On considère la fonction coût qui au contrôle $v(t)$ associe

$$ (4.4) \qquad J(v) = \int_0^T \int_0^1 |y - zd|^2 dxdt + v \int_0^T |v(t)|^2 dt . $$

avec $y_0(x)$ un état initial donné.

$z_d(x,t)$ une fonction "à approcher" donnée.

$$ (4.5) \qquad \xi(x,t) = \xi_1(x,t) + \mu \xi_2(x,t) $$

(ou le terme $\mu\xi_2(x,t)$ est "la partie inconnue de $\xi$" que l'on estime par 0 dans l'algorithme).

Cet exemple rentre dans le cadre de la théorie présentée ci-dessus.
Le théorème (2.1) assure donc la convergence des méthodes envisagées.

Deux méthodes ont été testées, l'une sans retard, l'autre avec retard.

## 2) Tests numériques :

Dans tous les exemples on a choisi :

$$T = 1$$

$$\xi_1(x,t) = x(x-1) - 2t - (t-1)/6v$$

$$y_0(x) = 0$$

$$z_d(x,t) = x(x-1) + 2(t-1) + x(x-1)t$$

$$v = 0,01$$

$$\mu = 10$$

avec ces données, pour $\mu = 0$ le contrôle optimal est :

$$v(t) = \frac{t-1}{6v}$$

Trois exemples avec des fonctions $\xi_2$ distinctes ont été étudiés.

**Exemple 1** : $\xi_2(x,t) = 1$

**Exemple 2** : $\xi_2(x,t) = t$

**Exemple 3** : $\xi_2(x,t) = \sin(2\pi t)$
Pour chacun de ses exemples l'intervalle de temps $[0,T[$ a été
divisé successivement en N = 10 ; 20 ; 30 parties égales.

Comparaison des fonctions coût :

On donne les valeurs de

$$
R_N = \frac{J_{ad}(N) - J_{opt}}{J_{opt}}
$$

$J_{ad}(N)$ représentant la valeur de la fonction coût, pour le contrôle-
le adapté avec $\tau = \frac{T}{N}$

$J_{\text{opt}}$ représentant la valeur de la fonction coût du système (4.1) - (4.2) - (4.3) - (4.4) pour le contrôle optimal ($\xi = \xi_1 + \mu\xi_2$).

Notons que $J_{ad}(1)$ représente la valeur de la fonction coût, pour
le contrôle optimal du système (4.1) - (4.2) - (4.3) - (4.4) avec $\xi = \xi_1$.
<table><thead><tr><th rowspan="2">R<sub>N</sub></th><th colspan="2">Exemple 1</th><th colspan="2">Exemple 2</th><th colspan="2">Exemple 3</th></tr><tr><th>sans retard</th><th>avec retard</th><th>sans retard</th><th>avec retard</th><th>sans retard</th><th>avec retard</th></tr></thead><tbody><tr><td>N=1</td><td>0,067</td><td>0,067</td><td>0,026</td><td>0,026</td><td>0,045</td><td>0,045</td></tr><tr><td>N=10</td><td>0,038</td><td>0,043</td><td>0,017</td><td>0,016</td><td>0,029</td><td>0,040</td></tr><tr><td>N=20</td><td>0,026</td><td>0,028</td><td>0,012</td><td>0,011</td><td>0,017</td><td>0,023</td></tr><tr><td>N=30</td><td>0,023</td><td>0,024</td><td>0,010</td><td>0,010</td><td>0,014</td><td>0,018</td></tr></tbody></table>

### Remarques :

* Dans les cas envisagés R(N) est une fonction décroissante de N. Cette propriété n'est pas générale

* Les comparaisons des résultats obtenus par les deux méthodes (sans ou avec retard) ne fait pas apparaître de différence significative.

* On constate bien la convergence lorsque N augmente.

* On a introduit $R'_N = \frac{J_{ad}(1) - J_{opt}}{J_{ad}(N) - J_{opt}}$ qui mesure le gain en adaptant.
<table><thead><tr><th rowspan="2">R'N</th><th colspan="2">Exemple 1</th><th colspan="2">Exemple 2</th><th colspan="2">Exemple 3</th></tr><tr><th>sans retard</th><th>avec retard</th><th>sans retard</th><th>avec retard</th><th>sans retard</th><th>avec retard</th></tr></thead><tbody><tr><td>N=1</td><td>1,00</td><td>1,00</td><td>1,00</td><td>1,00</td><td>1,00</td><td>1,00</td></tr><tr><td>N=10</td><td>1,78</td><td>1,53</td><td>1,54</td><td>1,63</td><td>1,55</td><td>1,13</td></tr><tr><td>N=20</td><td>2,58</td><td>2,37</td><td>2,17</td><td>2,30</td><td>2,71</td><td>2,00</td></tr><tr><td>N=30</td><td>2,91</td><td>2,76</td><td>2,43</td><td>2,57</td><td>3,30</td><td>2,58</td></tr></tbody></table>

## Comparaison des contrôles.

Sur les figures 1 → 6 on a représenté pour chacun des exemples choisis, dans les deux cas sans retard et avec retard :

- $C_0$ Contrôle "optimal" (syst réel avec $\xi$)

- $C_1$ Contrôle "adapté" pour $N = 1$

- $C_{10}$ Contrôle "adapté" pour $N = 10$

- $C_{20}$ Contrôle "adapté" pour $N = 20$

- $C_{30}$ Contrôle "adapté" pour $N = 30$
**Commentaires :**

Il y a bien <u>convergence</u> lorsque N augmente. La variation du contrôle de N = 20 à N = 30 est faible relativement à celle de N = 10 à N = 20 : la <u>conclusion pratique</u> est que l'on peut prendre comme intervalle d'adaptation τ=T/N avec N = 20. D'autre part le contrôle limite est effectivement <u>différent</u> du contrôle optimal.

Remarque :

Dans le cas avec retard, l'initialisation du procédé d'adaptation présente une petite difficulté. On remarquera sur les figures n° 2 - 4 - 6 les comportements des contrôles à l'origine. Nous avons pris sur les deux premiers intervalles de temps la valeur du contrôle obtenue en résolvant le problème open-loop.
$$ \xi_2(x,t) = 1 $$

$C_0$ = Contrôle optimal

$C_1$ = Contrôle adapté pour $N = 1$

$C_{10}$ = Contrôle adapté pour $N = 10$

$C_{20}$ = Contrôle adapté pour $N = 20$

$C_{30}$ = Contrôle adapté pour $N = 30$

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Fig. 1 Exemple 1 sans retard</figcaption></figure>
$$ \xi_2(x,t) = 1 $$

$C_0$ = Contrôle optimal

$C_1$ = Contrôle adapté pour $N = 1$

$C_{10}$ = Contrôle adapté pour $N = 10$

$C_{20}$ = Contrôle adapté pour $N = 20$

$C_{30}$ = Contrôle adapté pour $N = 30$

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Fig. 2 Exemple 1 avec retard</figcaption></figure>
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Fig. 3 Exemple 2 sans retard</figcaption></figure>
$$ \xi_2(x,t) = t $$

$C_0$ = Contrôle optimal

$C_1$ = Contrôle adapté pour N = 1

$C_{10}$ = Contrôle adapté pour N = 10

$C_{20}$ = Contrôle adapté pour N = 20

$C_{30}$ = Contrôle adapté pour N = 30

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Fig. 4</figcaption></figure>

Exemple 2

avec retard
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Fig. 5</figcaption></figure>

Exemple 3

sans retard
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Fig. 6 Exemple 3 avec retard</figcaption></figure>
REFERENCES

J. CASTI L. LJUNG
"Some new analytic and computational results for operator Riccati equations"
SIAM Control J. (1975)

J.L. LIONS [1]
Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires.
Dunod Paris 1969

[2] Contrôle optimal de systèmes gouvernés...
Dunod Paris 1968.