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# Étude d'articulation robotique à raideur variable basée sur un réseau Halbach d'aimants cubiques

Henrique Fagundes Gasparoto, Titouan Verdu

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Henrique Fagundes Gasparoto, Titouan Verdu. Étude d'articulation robotique à raideur variable basée sur un réseau Halbach d'aimants cubiques. Congrès Français de Mécanique, Association Française de Mécanique (AFM); CNRS, Aug 2022, Nantes, France. hal-03941094

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# Étude d'articulation robotique à raideur variable basée sur un réseau Halbach d'aimants cubiques

H. FAGUNDES GASPAROTOª, T. VERDUª

a. L@bISEN, Équipe Robotique Connectée

ISEN Yncréa Ouest, 20 Rue Cuirassé Bretagne, 29200 Brest

henrique.gasparoto@isen-ouest.yncrea.fr (www.orcid.org/0000-0003-2061-7596)

titouan.verdu@isen-ouest.yncrea.fr (www.orcid.org/0000-0001-9588-9495)

**Mots clés :** Robots souples, actionneurs à raideur variable, articulation à raideur variable, ressort magnétique torsionnel.

**Résumé :** Dans le but de se rapprocher des performances des animaux, des éléments élastiques sont délibérément introduits dans la structure mécanique des robots souples. Ces éléments élastiques permettent d'affecter le comportement d'une structure robotique ce qui peut réduire les dégâts car une bonne partie de l'énergie du choc peut être absorbée dans les ressorts sous forme d'énergie potentielle élastique. Ainsi, un robot de type bras manipulateur équipé d'articulations à raideur variable peut être configuré pour avoir des comportements distincts : soit plus rigide, soit plus souple. Dans ce travail, différentes topologies de ressorts magnétiques ont été modélisées et comparées, en utilisant des approches analytiques ou numériques.

**Abstract :** In order to approximate to the performance of animals, elastic elements are deliberately introduced into the mechanical structure of soft robots. These elastic elements make it possible to affect the behavior of a robotic structure, which can reduce damage because a good part of the shock energy can be absorbed in the springs in the form of elastic potential energy. Thus, a manipulator arm robot equipped with variable stiffness joints can be configured to have distinct behaviors : either more rigid or more flexible. In this work, different topologies of magnetic springs have been modeled and compared, using analytical or numerical approaches

# 1 Introduction

Les animaux se déplacent très différemment des robots rigides, exécutant des tâches dynamiques de manière efficace et interagissant de manière robuste, souple et continue avec le monde extérieur grâce à l'élasticité de leur corps [1]. Dans le but de se rapprocher des performances des animaux, des éléments élastiques sont délibérément introduits dans la structure mécanique des robots souples. Ces éléments élastiques permettent d'affecter le comportement d'une structure robotique lorsqu'elle rentre en contact avec un être-humain, par exemple, ce qui peut réduire les dégâts car une bonne partie de l'énergie du choc peut être absorbée dans les ressorts sous forme d'énergie potentielle élastique ou être dissipée dans des amortisseurs si nécessaire. Ces batteries d'énergie potentielle élastique servent aussi à réduire l'énergie nécessaire au mouvement dans les structures robotiques lorsqu'elle est convertie en énergie cinétique [2].
Toutefois, lorsqu'il s'agit de contrôler ces systèmes souples, il s'avère que l'obtention de performances n'est pas plus facile. Ce fait est intuitif pour des mesures de performance telles que la précision positionnelle, raison pour laquelle les robots industriels ont traditionnellement été construits pour une rigidité maximale. Une solution possible pour contourner cette ambigüité est d'équiper les structures robotiques avec des actionneurs à raideur variable (VSA, *variable stiffness actuators*) [3]. Ainsi, un robot de type bras manipulateur équipé d'articulations à raideur variable peut être configuré pour avoir des compositions distincts : soit plus rigide, soit plus souple.

Différents types d'approches technologiques ont été déjà appliqués dans la proposition des articulations à raideurs variables. Une différence importante réside dans le type de ressort utilisé : ressorts mécaniques [4-6] ou ressorts magnétiques [7-11]. Les ressorts magnétiques offrent un certain nombre de caractéristiques uniques [12], telles qu'un fonctionnement sans contact. Ils fonctionnent également comme un limiteur de couple pour protéger la transmission en cas de forts pics de charge, sont plus résistants à la fatigue et nécessitent moins d'entretiens. Les résultats récents de recherches montrent qu'il est même possible de concevoir ces ressorts pour qu'ils aient un comportement linéaire en utilisant les réseaux de Halbach [8]. Cependant, ces ressorts magnétiques sont normalement composés d'aimants à géométries complexes en forme d'arc. Ainsi, cet article s'intéresse à étudier la possibilité de construction d'une articulation à raideur variable en s'appuyant uniquement sur des aimants de formes plus simples, comme avec de faces planes [9]. De plus, l'objectif est d'utiliser uniquement des aimants cubiques du même type, de prix réduits, et qui sont facilement trouvables sur le marché. Tout cela, en maintenant les performances raisonnables en termes de densité d'énergie dans ces ressorts grâce à l'utilisation des réseaux de Halbach d'aimants cubiques [13]. Le modèle magnéto-mécanique de l'articulation est fait avec la méthode des volumes finis au lieu de la méthode des éléments finis, ce qui accélère considérablement les simulations. La conception des réseaux de Halbach d'aimants cubiques prend en compte également l'impression 3D de structures qui accueillent les aimants. En conclusion, l'utilisation des aimants cubiques accessibles avec l'impression 3D permettent un vrai prototypage rapide à un cout réduit d'un dispositif robotique avec une importante valeur ajoutée.

## 2 Topologies des Ressorts de Torsion Magnétique

Les ressorts de torsion magnétiques considérés dans ce travail sont ce que l'on appelle des accouplementsmagnétiques à base d'aimants permanents (PMC) [14] ou simplement accouplement magnétique (MC). Les trois topologies qui seront comparées dans cette étude sont présentées ci-dessous.

### 2.1 Version simplifiée d'accouplement magnétique radial

SUDANO et al. (2013) a présenté un dispositif illustré dans Fig. 1 qui peut être utilisé comme un VSA nommé MAVERIC (MAagnetic Variable stiffnEess spRIng-Clutch) par les auteurs, qui est l'une des conceptions les plus simples d'accouplement magnétique (MC).
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Magnetic Variable stiffnEss spRIng-Clutch (MAVERIC) modèle de dispositif utilisé comme élément élastique des Variable Stiffness Actuators (VSAs) [10]. *d* est le décalage linéaire entre les rotors et θ le décalage angulaire ou l'angle du ressort magnétique [15].</figcaption></figure>

MAVERIC est un PMC constitué d'aimants en forme d'arc sans culasse en fer doux pour la fermeture du flux magnétique, également connu sous le nom de dispositif magnétique permanent sans culasse [16]. Sans culasse en fer doux, le flux magnétique est assez dispersé sur la face externe du rotor extérieur et n'est donc pas concentré dans l'entrefer, ce qui réduit la densité énergétique du dispositif.

## 2.2 Accouplement magnétique radial idéal : basé sur le réseau de Halbach

Il existe un moyen de concentrer le flux magnétique dans l'entrefer en utilisant des rotors à base de réseaux de*Halbach* qui sont également sans culasse [17, 18]. Cette technique rend ce que l'on appelle parfois le PMC "idéal" [19, 20]. Figure 2 montre un accouplement magnétique basé sur un réseau de *Halbach* radial avec des aimants arqués.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Accouplement magnétique à base de réseaux radiaux *Halbach* avec aimants arqués, paires de pôles *p* = 4, et niveau de *Halbach* *H*<sub>s</sub> = 3 [15].</figcaption></figure>
Pour définir complètement cet accouplement il est nécessaire de connaître au moins ces paramètres :

— les rayons intérieurs, $r_i^I = r_{int1}, r_i = r_i^{II} = r_{int2}$ [m]

— les rayons extérieurs, $r_o = r_o^I = r_{ext1}, r_o^{II} = r_{ext2}$ [m]

— la hauteur des rotors, $h_1, h_2$ [m]

— la hauteur de l'entrefer, $g$ [m]

— les paires de pôles, $p$ par rotor [–]

— le niveau de Halbach, $H_s$ [–]

— la rémanence magnétique, $B_r$ [T]

— la perméabilité magnétique des aimants, $\mu = \mu_r\mu_0$ [H/m]

— la densité du matériau des aimants, $\rho$ [kg/m³]

Dans cet accouplement magnétique, chaque aimant est identifié par son vecteur d'aimantation M (flèches du sud au nord). Les centres des pôles peuvent être identifiés par le vecteur de magnétisation qui est parallèles à l'axe d'accouplement (axe z), appelé nord N, ou sud S. Les lignes de flux magnétiques sortent par N et pénètrent par S dans les rotors. L'idée d'arrangement de Halbach comprend des aimants avec des vecteurs d'aimantation qui tournent progressivement d'un pôle S vers N, augmentant ainsi le flux d'aimant sortant du pôle N, ce qui élimine le besoin de pièces polaires en fer doux.

Dans un arrangement de Halbach idéal, la concentration maximale du champ magnétique dans l'entrefer des rotors est atteinte lorsque les vecteurs d'aimantation changent continuellement d'un pôle à un autre [21]. Cependant, pour des raisons pratiques, la couronne de rotor est subdivisée en aimants, qui ont une direction prédominante du vecteur de magnétisation. BLÜMLER et CASANOVA (2016) l'appellent la discrétisation du Halbach idéal.

Sur la figure 2 chaque paire de pôles d'aimants occupe un secteur d'angle $\theta_{pair}$ sur le rotor, défini par :

$$ \theta_{pair} = \frac{2\pi}{p} \qquad (1) $$

Avec le nombre de paires de pôles $p$ connu, le nombre de pôles $n_{poles}$ dans un rotor est :

$$ n_{poles} = 2p \qquad (2) $$

Ainsi, nous avons l'angle occupé par un pôle $\theta_{pole}$ défini par :

$$ \theta_{pole} = \frac{\theta_{pair}}{2} = \frac{\pi}{p} \qquad (3) $$

Dans un arrangement de Halbach discret, entre les pôles magnétiques N et S il y a toujours au moins un aimant. Dans ce cas, nous avons un niveau de Halbach $h = 1$. Le paramètre $h$ est égal à zéro dans un accouplement magnétique conventionnel, où les vecteurs d'aimantation passent de S à N sans étape intermédiaire. Ainsi, on peut calculer le nombre d'aimants par pôle $n_{mag_{po}}$ :

$$ n_{mag_{po}} = h + 1 \qquad (4) $$

À partir des équations (2) et (4) il est possible d'obtenir le nombre total d'aimants dans un rotor $n_{mag_R}$

$$ n_{mag_R} = n_{poles} \cdot n_{mag_{po}} = 2p(h + 1) \qquad (5) $$
ou le total dans l'accouplement $n_{mag_T}$ :

$$n_{mag_T} = 2n_{mag_R} = 4p(h+1) \qquad (6)$$

L'équation (7) donne l'angle du secteur occupé par un aimant sur un rotor, $\theta_{mag}$.

$$\theta_{mag} = \frac{\theta_{pole}}{n_{mag_{po}}} = \frac{2\pi}{n_{mag_R}} = \frac{\pi}{p(h+1)} \qquad (7)$$

Bien qu'une valeur supérieure de $h$ assure une meilleure concentration du champ magnétique dans l'entrefer, elle peut faire exploser $n_{mag_T}$. La différence angulaire entre les vecteurs d'aimantation de deux aimants successifs est $\zeta$. Comme d'un pôle $S$ à un pôle $N$ cette différence angulaire est égale à $\pi$, dans un arrangement de Halbach discret, cela donne :

$$\zeta = \frac{\pi}{n_{mag_{po}}} = \frac{\pi}{h+1} \qquad (8)$$

Il est nécessaire de définir des positions angulaires pour connaître la configuration des rotors. Ainsi, $\theta_m$ est la position angulaire du rotor côté conducteur (par exemple un moteur) autour de l'axe fixe $z$, tandis que $\theta_l$ est identique mais pour le rotor côté charge entraînée (par exemple une charge). Ainsi,

$$\theta = \theta_m - \theta_l \qquad (9)$$

Il est encore intéressant de connaître le volume des aimants dans les rotors, de chaque aimant, et le volume total. Respectivement, ils sont $V_{Rout}$, $V_{Rin}$, $V_{mag}$, et $V_T$, calculés par :

$$V_{R_{out}} = \pi (r_{out|1}^2 - r_{int|1}^2) h_1 \qquad (10)$$

$$V_{R_{int}} = \pi (r_{out|2}^2 - r_{int|2}^2) h_1 \qquad (11)$$

$$V_{mag_{out}} = \frac{V_{R_{out}}}{n_{mag_R}} \qquad (12)$$

$$V_{mag_{int}} = \frac{V_{R_{int}}}{n_{mag_R}} \qquad (13)$$

et

$$V_T = 2 V_R \qquad (14)$$

## 2.3 Accouplement magnétique radial basé sur un réseau de Halbach avec des aimants cubiques

La fabrication d'un MC radial de Halbach idéal est assez coûteuse car les aimants en forme d'arc avec de nombreuses directions d'aimantation différentes sont des produits sur mesure. Une option consiste à envisager une adaptation des aimants personnalisés en forme d'arc par des aimants cubiques égaux assemblés dans des directions différentes, comme indiqué dans la figure 3. En raison de l'entrefer créé entre des aimants cubiques lorsqu'ils sont placés côte à côte dans un même rotor, une dispersion du flux magnétique est attendue.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Vue de face d'un Radial-RMCT basé sur un réseau de Halbach avec des aimants cubiques. Configuration avec angle du ressort magnétique $\theta = 0$.</figcaption></figure>

Les analyses et les relations pour les rotors à base d'aimants en forme d'arc sont toujours valables pour les rotors à base d'aimants cubiques. Cependant dans la figure 3 de nouveaux paramètres sont indiqués pour les aimants cubiques. $R_{Base2}$ est le rayon le plus interne qui contient les sommets internes de l'aimant cubique, calculé comme suit

$$R_{Base2} = \sqrt{\left(\frac{l_{mag}}{2}\right)^2 + R_{int2}^2} \qquad (15)$$

$\gamma_{mag_{i2}}$ indique un angle occupé par les sommets intérieurs d'un aimant dans $R_{Base2}$

$$\gamma_{mag_{i2}} = 2 \arcsin \left( \frac{\frac{l_{mag}}{2}}{R_{Base2}} \right) \qquad (16)$$

Elle permet de calculer combien d'aimants dans le rotor interne $n_{mags}$ il est possible d'avoir en fonction de $R_{int2}$ et $l_{mag}$, pour une paire de pôles entière $p$, en utilisant les équations (16) et (15), par

$$n_{mags_{R2}} = n_{mags_{pair}} \left[ \frac{\left( \frac{2\pi}{\gamma_{mag_{i2}}} \right)}{n_{mags_{pair}}} \right] \qquad (17)$$
où ⌊ ⌋ correspond à la fonction floor, et $n_{mags_{pair}}$ peut être trouvé avec les équations (2) et (4)

$$n_{mags_{pair}} = 2 n_{mag_{po}} = 2(H_s + 1) \quad (18)$$

Sinon, il est possible de définir le minimum $R_{int2}$ pour contenir un $n_{mags}$ défini, également pour un nombre entier de paires de pôles $p$, par

$$R_{int2} = \sqrt{\left[ \frac{l_{mag}}{2 \sin\left(\frac{\gamma_{mag2}}{2}\right)} \right]^2 - \left(\frac{l_{mag}}{2}\right)^2} = \sqrt{\left[ \frac{l_{mag}}{2 \sin\left(\frac{\pi}{n_{mags_{pair}}p}\right)} \right]^2 - \left(\frac{l_{mag}}{2}\right)^2} \quad (19)$$

Pour le rotor extérieur, il est impératif de vérifier la possibilité d'augmenter le nombre d'aimants inter-polaires. Cela permet de réduire l'entrefer latéral entre les aimants qui, à son tour, réduit la dispersion du flux magnétique entre les pôles N et S. Dans 3, par exemple, le rotor interne ne comporte qu'un seul aimant interpolaire par pôle alors que le rotor externe comporte trois aimants interpolaires.

## 3 Méthodes

La densité d'énergie potentielle élastique $\rho_{E_p}$ est la mesure permettant d'identifier si une conception de ressort de torsion magnétique est meilleure que les autres. Elle peut être définie comme suit

$$\rho_{E_p} = \frac{E_p}{V_T} \quad (20)$$

où $E_p$ est l'énergie potentielle élastique d'un ressort de torsion générique défini tel que

$$E_p = \int_0^{\theta_{max}} T_r(\theta) d\theta \quad (21)$$

$\theta_{max}$ est l'angle maximal possible du ressort, $V_T$ est le volume total des aimants tel que défini dans les équations 11 et 10, et $T_r(\theta)$ est le couple du ressort, puisque $\theta > 0$ (Eq. (9)). Pour un accouplement magnétique radial (de la section précédente), il est généralement défini à partir d'une fonction sinusoidale comme suit

$$T_r(\theta) = T_{rmax} \sin(p\theta) \quad (22)$$

À partir de Eq. (22), Eq. (21) devient Eq. (23) pour un ressort ou un accouplement magnétique radial.

$$E_p = \frac{T_{rmax} [1 - \cos(p\theta_{max})]}{p} \quad (23)$$

Enfin, pour les accouplement magnétiques, l'angle de ressort maximal possible se produit lorsque les rotors se désaccouplent : [15], et avec Eq. (3) $\theta_{max}$ défini tel que

$$\theta_{max} = \frac{\theta_{pole}}{2} = \frac{\pi}{2p} \quad (24)$$

Ainsi, Eq. (23) avec Eq. (24) devient

$$E_p = \frac{T_{rmax} \left[ 1 - \cos\left(\frac{\pi p}{2p}\right) \right]}{p} = \frac{T_{rmax}}{p} \quad (25)$$
C'est un résultat intéressant, qui montre que plus la paire de pôles *p* est faible, plus l'énergie potentielle du ressort magnétique est élevée. Cependant, comme il est présenté dans la section suivante, *T*<sub>rmax</sub> est une fonction de *p*.

## 3.1 Méthode analytique pour le calcul du couple

Pour un accouplement magnétique radial idéal, Li, Bird et Acharya (2017) introduit une nouvelle formulation analytique pour calculer $T_{rmax}$ en fonction des paramètres de conception susmentionnés. La formulation est basée sur la charge magnétique de surface, également connue sous le nom de modèle Coulombian. Fondamentalement, les volumes des aimants sont représentés par des charges magnétiques distribuées sur les surfaces. Cette formulation est présentée dans les Eqs. (26) -- (29). Cette formulation n'est valable que pour un niveau de $Halbach H_s = 3$, comme dans la Fig. 2.

$$ T_{rmax} = \frac{2 B_{mr}^I (r_i^I) r_i^I B_{mr}^{II} (r_o^{II}) r_o^{II} p}{\mu_0} \int_0^{2\pi} \cos(p \theta_2) \left[ \sqrt{C(r_i^I, r_o^{II}, \theta_2)} - \sqrt{C(r_i^I, r_o^{II}, \theta_2) + h_{1|2}^2} + \frac{h_{1|2}}{2} \log \left( \frac{h_{1|2} + \sqrt{C(r_i^I, r_o^{II}, \theta_2) + h_{1|2}^2}}{-h_{1|2} + \sqrt{C(r_i^I, r_o^{II}, \theta_2) + h_{1|2}^2}} \right) \right] d\theta_2 \quad (26) $$

Où,

$$ B_{mr}^{I}(r) = \frac{2 B_{r}^{I} p (1 + \mu_{r}) [r_{o}^{p-1} - (r_{i}^{I})^{p-1}] r_{o}^{p+1}}{(1 - p) [(1 - \mu_{r})^{2} (r_{i}^{I})^{2p} - (1 + \mu_{r})^{2} r_{o}^{2p}]} \left(\frac{r}{r_{i}^{I}}\right)^{p-1} \quad (27) $$

$$ B_{mr}^{II}(r) = \frac{2 B_{r}^{II} p (1 + \mu_{r}) [r_{i}^{p+1} - (r_{o}^{II})^{p+1}] (r_{o}^{II})^{2p}}{r^{p+1}(1 + p) [(1 - \mu_{r})^{2} r_{i}^{2p} - (1 + \mu_{r})^{2} (r_{o}^{II})^{2p}]} \quad (28) $$

et

$$ C(a, b, \varphi) = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\varphi) \quad (29) $$

Une étude plus approfondie de [20] est nécessaire pour comprendre pleinement la formulation proposée. Cependant, il est possible de comprendre la fonction de chaque équation. Dans l'équation 27 et 28, $B_{mr}^I$ et $B_{mr}^{II}$ représentent l'intensité de la source magnétique, en fonction de $p$, $B_r$, $\mu_r$, et des rayons, dans différents rotors. Dans Eq. (29), $C(a, b, \varphi)$ est la loi des cosinus.

## 3.2 Méthode numérique pour le calcul du couple

RADIA [22] est peut-être l'outil disponible le plus abouti travaillant avec la méthode de l'intégrale de volume pour les applications magnétostatiques. Cet outil disponible gratuitement est une collection de fonctions implémentées en C++, fonctionnant comme une bibliothèque (add-on) pour le logiciel Wolfram Mathematica, qui crée les modèles, appelle le solveur, reçoit les résultats et gère le processus d'optimisation.

L'idée principale de la méthode est de représenter un corps magnétique par des parallélépipèdes [23] et des polyèdres [24] (i.e. des volumes finis) où l'aimantation M est considérée comme uniforme. Que ce soit pour les corps magnétiques durs (aimants) ou doux (fer), les deux sont représentés par ces volumes, et leurs vecteurs d'aimantation M sont déterminés en fonction de l'intensité du champ magnétique H, qui peut être généré extérieurement par d'autres sources de champ ou être dû au champ de démagnétisation. Cette relation peut être linéaire pour les matériaux isotropes (par exemple paramagnétiques et
diamagnétiques) et anisotropes (par exemple les aimants permanents), ou non linéaire pour d'autres matériaux isotropes (par exemple le "fer", c'est-à-dire les matériaux ferromagnétiques doux). Ainsi, comme cela se produit dans le monde réel, les aimants, les bobines et autres champs externes déterminés (les sources de **H**) magnétisent les corps magnétiques doux, réorientant leurs domaines magnétiques. Par conséquent, **M**(**H**), interagissent mutuellement puisque plus d'aimantation génère plus de champ magnétique **H**(**M**). Nous avons donc besoin d'un processus de relaxation itératif pour évaluer comment l'aimantation de chaque volume affecte et est affectée par chaque autre volume (qui est déterminé par une matrice d'interaction) jusqu'à la convergence vers un état stable : **M**(**H**) ↔ **H**(**M**). Après cette étape, le champ magnétique et les autres intégrales peuvent être calculés en additionnant le champ généré par chaque volume discret avec son vecteur de magnétisation stabilisé. Le champ magnétique est calculé par des expressions analytiques (intégrale de surface) [24]. En utilisant les formules analytiques, il n'est pas nécessaire d'appliquer un maillage à l'extérieur des corps pour connaître le champ magnétique en espace libre. Il s'agit d'une différence significative par rapport à la méthode des éléments finis. Ainsi, la précision du calcul du champ ne dépend que du raffinement de la segmentation (discrétisation) sur les corps magnétiques [24].

En général, avec RADIA, les processus de modélisation et de solution sont divisés en plusieurs étapes :

1. Créer les objets qui représentent les corps ou les sources magnétiques (sans avoir recours à un outil de CAO) : aimants, autres matériaux mous, solides porteurs de courants, champ de fond et bobines;

2. Segmenter les objets solides : processus de discrétisation;

3. Spécifier de nouveaux matériaux linéaires et non linéaires, ou simplement appliquer ceux qui existent déjà à des objets déjà créés;

4. Résoudre le problème en effectuant le processus de relaxation, en magnétisant les matériaux mous ou en démagnétisant les matériaux durs;

5. Post-traitement : calcul du champ magnétique ou d'autres intégrales, par exemple pour déterminer la force et le couple magnétiques, en utilisant les tenseurs des contraintes de Maxwell (MST), ou par le gradient d'énergie potentielle.

## 4 Résultats

Pour la comparaison des analyses, un accouplement magnétique radial connu (ressort) est choisi. Pour l'accouplement magnétique radial le plus simple, le modèle de référence est présenté dans [10]. Le Tableau 1 présente ses caractéristiques.

Fig. 4 présente les nouveaux résultats pour l'accouplement magnétique radial idéal.
<table><caption>TABLE 1 – Paramètres de l’accouplement magnétique radial choisi [10]</caption><thead><tr><td>Item</td><td>Valeur</td></tr></thead><tbody><tr><td>r<sub>o</sub> = r<sub>o</sub><sup>I</sup></td><td>10.3 mm</td></tr><tr><td>r<sub>i</sub><sup>I</sup></td><td>6.25 mm</td></tr><tr><td>r<sub>o</sub><sup>II</sup></td><td>6 mm</td></tr><tr><td>r<sub>i</sub> = r<sub>i</sub><sup>II</sup></td><td>1 mm</td></tr><tr><td>h<sub>1|2</sub> = h<sub>1</sub> = h<sub>2</sub></td><td>10 mm</td></tr><tr><td>Entrefer, g</td><td>0.25 mm</td></tr><tr><td>Niveau de Halbach, H<sub>s</sub></td><td>0</td></tr><tr><td>B<sub>r</sub><sup>I</sup></td><td>1.455 T</td></tr><tr><td>B<sub>r</sub><sup>II</sup></td><td>1.425 T</td></tr><tr><td>μ<sub>r</sub></td><td>1.05</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 4 – Résultats analytiques pour les accouplementsmagnétiques radiaux idéaux : énergie potentielle élastique et couple maximal transmissible.</figcaption></figure>

Tableau 2 montre les résultats de la comparaison entre le modèle le plus simple et le modèle idéal basé sur Halbach.

<table><caption>TABLE 2 – Comparaison des résultats entre l’accouplement magnétique radial le plus simple et celui basé sur le réseau de Halbach.</caption><thead><tr><td>Item</td><td>Simplifié</td><td>Halbach</td><td>Δ</td></tr></thead><tbody><tr><td>p -> E<sub>pr</sub></td><td>3</td><td>2</td><td>-33%</td></tr><tr><td>E<sub>pr</sub> [J]</td><td>0.124</td><td>0.700</td><td>+565%</td></tr><tr><td>p -> T<sub>rmax</sub></td><td>7</td><td>6</td><td>-14%</td></tr><tr><td>T<sub>rmax</sub></td><td>0.68</td><td>2.52</td><td>+370%</td></tr></tbody></table>

D’après Tableau 2, les avantages de l’utilisation d’un accouplement magnétique radial idéal basé sur Halbach sont évidents. On constate une réduction du nombre de paires de pôles (une unité) pour chaque optimisation ($E_{pr}$ ou $T_{rmax}$). En utilisant l’option basée sur Halbach, l’énergie potentielle élastique $E_{pr}$ a été multipliée par plus de 5 et le couple maximal transmissible $T_{rmax}$ par presque 4.
# 5 Conclusion et Perspectives

Dans ce travail, différentes topologies de ressorts magnétiques ont été modélisées et comparées, en utilisant des approches analytiques ou numériques. L'option basée sur le réseau Halbach a montré une énergie potentielle élastique et un couple transmissible maximal beaucoup plus efficaces. Les prochaines étapes comprennent la fabrication de l'accouplement magnétique étudié en utilisant des aimants cubiques égaux à coût réduit.

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