peu différent de ci-dessus, nous allons démontrer l'existence d'un ensemble $E$ jouissant des propriétés suivantes:

1.° $E$ est situé dans un carre, dont le côté est égale à un. 2.° $mes E=1$, 3.° pour chaque point $x \in E$ il existe une droite $l$, qui a avec $E$ un seul point commun, à savoir le point $x$.

Cet exemple montre donc qu'il existe des ensembles fermés plans de mesure $> 0$, pour lesquels tous les points sont rectilinéairement accessibles. Nous nous servirons plusieurs fois de l'axiome de M. Zermelo quoique il ne serait pas difficile de s'en passer.

Nous construirons, en employant la méthode de MM. Mazurkiewicz et Saks (un peu modifiée), un certain ensemble plan, ensuite un ensemble dans l'espace à 3 dimensions moyennant duquel nous obtiendrons une classe non dénombrable d'ensembles, laquelle nous permettra enfin atteindre notre but.

## Notations employées dans le présent travail.

1.° $<a, b>$ désigne le segment rectiligne fermé joignant les points $a$ et $b$.

2.° $mes E$ désigne la mesure de l'ensemble $E$ au sens de M. Lebesgue.

$\hat{a}, \hat{b}$ désigne l'ensemble de tous les points dont les coordonnées $x, y, z$ satisfont à la condition vue entre les accolades $\{\dots\}$.

4.° Il nous faudra considérer outre des ensembles de points aussi des ensembles dont les éléments sont des droites et il sera nécessaire de faire la distinction entre la droite $l$ et l'ensemble de tous les points de cette droite. Ce dernier ensemble sera désigné par $ens l$.

5.° Si $R$ est une correspondance biunivoque entre les points de l'espace ou du plan, le symbole $R_{pro E}$ désigne ce qui correspond au $E$ par cette correspondance. Nous aurons besoin dans la suite des différentes translations et rotations, que nous considérons toujours comme des correspondances entre des points de l'espace ou du plan.

6.° Nous aurons besoin de faire la distinction entre la direction, (définie par un faisceau de droites parallèles et ayant la même orientation) et la direction "double" ou bi-direction définie par un faisceau de droites parallèles dont on n'a pas choisi aucune orientation. Chaque direction (simple) peut être représentée par un nombre réel $\varphi$ on plus généralement par $\varphi + 2N\pi$ ($N$ entier), où

$$x = t \cos \varphi + x_0, \quad y = t \sin \varphi + y_0, \quad t > 0$$

sont les équations des demi droites appartenant à cette direction. D'une manière analogue le nombre $\varphi$ représente aussi la bi-direction :

$$x = t \cos \varphi + x_0, \quad y = t \sin \varphi + y_0$$

(où le paramètre $t$ peut prendre toutes les valeurs). Pour que deux nombres $\varphi$ et $\varphi'$ représentent la même bi-direction il faut et il suffit qu'il existe un nombre entier $N$, tel que: $\varphi = \varphi' + N\pi$.

Sur la mesure des ensembles plans dont tous les points sont rectilinéairement accessibles.

Par

Otton Nikodym (Cracovie).

§ 1. L'objet du présent travail. est de donner la résolution du problème suivant posé par M. S. Banach dans les *Fundamenta Math.* vol. VI (p. 279).

Un ensemble plan fermé, dont tout point est linéairement accessible, est-il nécessairement de mesure superficielle nulle ?

Cette question est intimément liée à l'étude de la mesure des projections des ensembles fermés.

Dans cet ordre d'idées MM. S. Mazurkiewicz et S. Saks <fnref n="1" />) ont obtenus un résultat fort intéressant en démontrant qu'il existe un ensemble plan, fermé, dont les projections orthogonales sur toutes les droites :

$$x = t \cos \varphi, \quad y = t \sin \varphi, \quad 0 \le \varphi < \pi,$$

ont la mesure 0 l'exception étant faite pour une seule droite, pour laquelle on obtient un ensemble de mesure positive. Les auteurs ont remarqués, à la fin de leur article, qu'on peut modifier convenablement leur construction afin d'obtenir „un ensemble plan fermé, dont la projection sur toute droite $y = mx$ ($-M \le x \le M$) est un segment de longueur $\ge 1$ et sur toute autre droite passant par l'origine — un ensemble de mesure nulle; $M$ désigne un nombre non négatif quelconque“ . En s'appuyant sur un lemme d'ont l'énoncé est un

<footnote n="1">¹) Sur les projections d'un ensemble fermé. *Fundamenta Mathematicae*. Tome 8. p. 109—113.</footnote>
Si $a, b$ sont deux nombres tels que

$$0 < b - a < \pi$$

nous désignerons par bi-angle $\langle a, b \rangle$ ou $\ang a b$ l'ensemble de toutes les bi-directions pour lesquelles ils existent leurs nombres $\varphi$ représentant, satisfaisant à l'inégalité

$$a \leqq \varphi \leqq b.$$

$\varphi \in \ang a b$ vent dire que la bi-direction représentée par le nombre $\varphi$ appartient à l'ensemble $\ang a, b$. Dans ce cas nous employerons l'expression: la bi-direction $\varphi$ appartient au bi-angle $\langle a, b \rangle$: L'expression $\varphi$ se trouve en dehors de l'ang $\langle a, b \rangle$ signifera que la bi-direction n'appartient pas à $\ang a, b$. Nous désignerons parfois par une même lettre un nombre et la direction ou la bi-direction correspondante.

7. Nous employerons souvent des différentes projections, soit des projections orthogonales soit obliques ou même des projections par des rayons partant d'un point, et c'est dans ce but que nous allons introduire la notation suivante:

Si $E$ est un ensemble de points, le symbole

$$\text{proj}_{\Lambda}^{\beta} E$$

désigne l'ensemble de points qu'on obtient en projettant tous les points le $E$ sur la droite (ou le plan) $A$ par moyen des rayons d'un faisceau de droites (ou de plans) désigné par $B$.

Dans le cas des projections orthogonales nous nous permettons de supprimer l'un ou autre indice en écrivant simplement:

$$\text{proj}_{\Lambda} E \text{ ou } \text{proj}^{\beta} E,$$

mais seulement si la présence de l'autre indice sera indifférente. P. ex. si $\varphi$ est une bi-direction le symbole $\text{mes } \text{proj}_{\varphi} E$ désigne la mesure de l'ensemble obtenu par la projection orthogonale de l'ensemble $E$ sur n'importe quelle droite du faisceau "bi-direction $\varphi$".

8. $\alpha \in \beta$ vent dire que $\alpha$ appartient comme élément à l'ensemble $\beta$.

9. $S(a, r)$ représente le cercle ouvert, c'est-à-dire l'ensemble de tous les points dont la distance du point $a$ est inférieure à $r$.

$S(a, r)$ représente le cercle fermé, c'est-à-dire l'ensemble de tous les points dont la distance du point $a$ est $\leq r$.

## § 2. Nous démontrerons le suivant:

### I. Théorème auxiliaire:
Soient $0 < r' < r, \eta > 0$ et $\alpha, \beta$ des nombres positifs, satisfaisant à l'inégalité $0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$.

Dans ces conditions on peut construire un ensemble $F'$ jouissant des propriétés suivantes:

1. $F$ est somme d'un nombre fini de cercles fermés dont les rayons sont égaux.

$$2) F \subset S(0, r).$$

$$3) \text{ Si } -\frac{\pi}{2} - \alpha \leqq \lambda \leqq -\frac{\pi}{2} + \alpha,$$

on a: $\text{mes } \text{proj}^2 F > 2r'$

$$4) \text{ Si } -\frac{\pi}{2} + (\alpha + \beta) \leqq \lambda \leqq -\frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta).$$

on a: $\text{mes } \text{proj}^2 F < 2\eta$.

Pour démontrer ce théorème j'emploierai la méthode analogue à celle qui est exposé dans le mémoire cité de MM. Mazurkiewicz est Saks. J'en expose ici la démonstration de ce lemme parce que ses conséquences semblent être paradoxales et sa démonstration, quoique facile, est assez longue et pénible et ne paraît pas être tout-à-fait évidente.

**Démonstration:** Envisageons un système des coordonnées rectangulaires $x, y$ et soit le sens positif pour les angles celui, qui fait coïncider l'axe $+x$ avec l'axe $+y$ après une rotation de l'angle $+\frac{\pi}{2}$. Nous ne considérons que des demidroites avec lesquelles l'axe $+x$ fait un angle $\geq -\frac{\pi}{2} - \alpha$ et $\leq \frac{\pi}{2} - \alpha$. Désignons par $A(\varphi)$ la demidroite issue du point $A$ et avec laquelle l'axe $+x$ fait un angle égal à $\varphi$. La droite illimitée portant la demidroite $A(\varphi)$ sera désignée par $\overline{A(\varphi)}$.

Nous avons supposé que

$$ (1) \qquad \alpha > 0, \quad \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}. $$

Choisissons un nombre $\beta'$ où $0 < \beta' < \beta$ et posons

$$ (2) \qquad \gamma = \frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta'). $$

On a évidemment

$$ (3) \qquad 0 < \gamma < \frac{\pi}{2}. $$

### I. Lemme.
Si $-\frac{\pi}{2} + \alpha + \beta' < l < \frac{\pi}{2} - \alpha - \beta'$ et $c > 0$ est inférieur aux nombres: $\cos \alpha, \sin \alpha$ et $\sin \beta'$, on a $\cos (l + \alpha) > c$.

En effet, si $l \geq 0$, on a: $0 < l + \alpha < \frac{\pi}{2} - \beta'$, d'où

$$ (4) \qquad \cos (l + \alpha) > \sin \beta' $$
Dans le cas où $l<0$ on a : $-\frac{\pi}{2} + \alpha < l + \alpha < \alpha$, d'où, si $l + \alpha \le 0$, il s'ensuit que :

$$ (5) \qquad \cos (l + \alpha) > \cos \left(-\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha $$

et si $l + \alpha > 0$, on obtient

$$ (6) \qquad \cos (l + \alpha) > \cos \alpha. $$

Les inégalités (4), (5) et (6) démontrent le lemme.

Remarque A. Soit

$$ (6 \text{ bis}) \qquad -\frac{\pi}{2} + \alpha + \beta' < l < l' < \frac{\pi}{2} - \alpha - \beta' $$

et soit A un point quelconque. La droite $\overline{A(l')}$ ne passe jamais par le domaine convexe de l'angle : $[A(-\frac{\pi}{2}-\alpha), A(l)]$.

Par conséquant il existe une droite $m$, parallèle à $\overline{A(l')}$ et cou-
pant les deux demidroites $A(-\frac{\pi}{2}-\alpha)$, $A(l)$, cette droite $m$ pou-
vant être choisie de manière à ce que la distance du point $A$ soit
si petite qu'on veut. Envisageons une droite $m$ comme ci-dessus et
soient $P$ et $Q$ ses points d'intersection avec $A(-\frac{\pi}{2}-\alpha)$ et $A(l)$
respectivement. Les points $A, P, Q$ forment donc tou-
jours'un triangle, qui nous donne :

$$ (7) \qquad PQ = QA \frac{\cos (l + \alpha)}{\cos (l' + \alpha)} $$

$$ (8) \qquad AP = QA \frac{\sin (l' - l)}{\cos (l' + \alpha)} $$

comme $-\frac{\pi}{2}-\alpha < -\frac{\pi}{2} < l$, la demidroite $A(-\frac{\pi}{2})$ coupe néces-
sairement le segment ouvert $(P, Q)$ dans un point, soit $S$. Elle
coupe aussi la demidroite $P(l)$ dans un point, soit $R$.

Remarque B. Soit $P_1$ le point d'intersection des demidroites $P(l)$ et $Q(-\frac{\pi}{2}-\alpha)$. Cherchons une condition suffisante pour qu'il soit $PR < PP_1$.

On a : $PP_1 = AQ$ et $PR = AP \frac{\sin \alpha}{\cos l}$, c'est qu'on tire du triangle $APR$. Cela nous donne, par rapport à (8):

$$ PR = AQ \frac{\sin (l' - l)}{\cos (l' + \alpha)} \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos l} $$

Mais d'après l'hypothèse :

$$ (9) \qquad \cos l > \cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha, $$

d'où et par rapport au lemme I : $PR < AQ \frac{\sin (l' - l)}{c}$.

Par conséquent: Si l'on suppose que $0 < l' - l < c$, on obtient $PR < PP_1$ et cela quels que soient $l$ et $l'$ satisfaisant à la condition (6 bis).

Remarque C. Le triangle $ARP$ nous donne :

$$ AR = AP \cdot \frac{\cos (\alpha + l)}{\cos l}, $$

donc, en vertu de (8):

$$ AR = QA \cdot \frac{\cos (\alpha + l)}{\cos l} \cdot \frac{\sin (l' - l)}{\cos (\alpha + l')} $$

Par rapport à (9) et en vertu du lemme on en obtient :

$$ AR < QA \cdot \frac{\cos (\alpha + l) \cdot \sin (l' - l)}{\sin \alpha \cdot c} $$

donc

$$ (10) \qquad AR < \frac{QA}{c^2}. $$

Par conséquent, si $QA < c^2 \cdot \epsilon$, où $\epsilon > 0$, on a toujours
$AR < \epsilon$, quelques soient $l$ et $l'$ satisfaisants à la con-
dition (6 bis).

Remarque D. Soit $\lambda$ tel que $-\frac{\pi}{2} - \alpha \le \lambda \le -\frac{\pi}{2}$ et envisageons le segment $AS$. Du triangle $APS$ on tire :

$$ AS = AP \cdot \frac{\cos (\alpha + l')}{\cos l'} $$

d'où, par rapport à (8):

$$ AS = AQ \frac{\sin (l' - l)}{\cos l'} $$
On en conclut, comme plus haut, que: $AS < \frac{AQ}{c}$ parce que l'inégalité (9) est vraie pour $l'$.

Par conséquent: $mes \ proj^2 AS < \frac{AQ}{c} \sin u$.

Donc, si l'on suppose que $AQ < \frac{\varepsilon \cdot c}{\sin \alpha}$, on obtient

$mes \ proj^2 AS < \varepsilon$

quelque soit $\lambda$, où $-\frac{\pi}{2} - \alpha \le \lambda \le -\frac{\pi}{2}$ et quelques soient $l$ et $l'$ satisfaisant à la condition (6 bis).

Remarque E. Soit $-\frac{\pi}{2} - \alpha \le \lambda \le -\frac{\pi}{2} + \alpha$. Etant donné un vecteur $\overrightarrow{MN}$ désignons par $proj^2 \overrightarrow{MN}$ le vecteur $\overrightarrow{M'N'}$ qu'on obtient en projetant $\overrightarrow{MN}$ sur la droite

$$ (13 \text{ bis}) \qquad x = t \cos\left(\lambda + \frac{\pi}{2}\right), \quad y = t \sin\left(\lambda + \frac{\pi}{2}\right), $$

et par $mes \ proj^2 \overrightarrow{MN}$ la mesure algébrique de $\overrightarrow{M'N'}$, en considérant comme le sens positif de la droite (13 bis) celui de la direction $\lambda + \frac{\pi}{2}$.

Par rapport à (8) on a:

$$ mes \ proj^2 \vec{AP} = QA \left( \frac{\sin(l' - l)}{\cos(l' + \alpha)} \right) \cos\left(-\frac{\pi}{2} - \alpha - \lambda - \frac{\pi}{2}\right) $$

donc

$$ (13 \text{ ter}) \qquad mes \ proj^2 \vec{AP} \le 0 $$

$$ \text{parce que } -\frac{\pi}{2} \le \lambda \le -\frac{\pi}{2} + 2\alpha < \frac{\pi}{2}. $$

D'une manière analogue on obtient

$$ mes \ proj^2 \vec{AQ} = QA \cdot \cos\left(l - \lambda - \frac{\pi}{2}\right) > 0 $$

$$ \text{parce que } 0 < l - \lambda < \pi. $$

Il s'ensuit que les points $proj^2 P$, $proj^2 A$, $proj^2 Q$ procédent dans la direction $\lambda + \frac{\pi}{2}$, si $-\frac{\pi}{2} - \alpha < \lambda \le -\frac{\pi}{2} + \alpha$ et $-\frac{\pi}{2} + (\alpha + \beta') \le l < l' \le \frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta')$.

Cherchons maintenant des conditions suffisantes pour que $|mes \ proj^2 \vec{AQ}| > |mes \ proj^2 \vec{AP}|$. On trouve qu'une telle condition est: $0 < l' - l < c^2$.

En effet, soit $0 < l' - l < c^2$. Il s'ensuit progressivement:

$$ \frac{l' - l}{c} < c < \sin \beta', \quad \frac{\sin (l' - l)}{\cos (l' + \alpha)} \cos (\alpha + \lambda) < \sin \beta', $$

ce qui résulte des faits: $0 < c < 1$, $0 \le \cos(\alpha + l) \le 1$, $\sin(l' - l) < (l' - l)$ et $\cos(l' + \alpha) > c$ (I Lemme).

Mais on a:

$$ \pi - \beta' \ge l + \frac{\pi}{2} + \alpha \ge l - \lambda \ge l + \frac{\pi}{2} - \alpha \ge \beta', $$

d'où $\sin(l - \lambda) \ge \sin \beta'$, donc

$$ \frac{\sin (l' - l)}{\cos (l' + \alpha)} \cos (\alpha + \lambda) < \sin (l - \lambda) $$

c'est à-dire $|mes \ proj^2 \vec{AQ}| > |mes \ proj^2 \vec{AP}|$.

Remarque F. Cela posé, envisageons le segment $AB$, où $B(\ne A)$ est un point situé sur la demidroite $A(l)$. Divisons $AB$ en $n$ parties égales:

$$ AA_1 = A_1 A_2 = \dots = A_{n-1} B, $$

où $n \ge 3$. Posons $A_0 \overline{A}$ et $A_n \overline{A} B$ et définissons $P_i$ comme le point d'intersection des droites: $A_i(-\frac{\pi}{2} - \alpha)$ et $\overline{A_{i+1}(l')}$, ($i=0, 1, \dots, n-1$).

Soit maintenant $-\frac{\pi}{2} - \alpha \le \lambda \le -\frac{\pi}{2} + \alpha$ et $0 < l' - l < c^2$.

Ce qui nous intéresse, c'est la projection de l'ensemble:

$$ (13) \qquad T \xrightarrow{\hat{}} xy \{x \ge a\} \cdot \sum_{i=0}^{n-1} P_i A_{i+1}, $$

où $a$ désigne l'abscisse du point $A$.

Dans le cas où $-\frac{\pi}{2} \le \lambda \le -\frac{\pi}{2} + \alpha$, on peut démontrer que $proj^2 T \supseteq proj^2 AB$.

En effet, soient $P'_0, A'_0, P'_1, A'_1, \dots, P'_n, A'_n$ les projections des points $P_0, A_0, P_1, A_1, \dots, P_n, A_n$ sur la droite (13 bis) orientée comme
plus haut. Par rapport à la remarque $\mathcal{E}$, si l'on suppose que $0 < l' - l < c^2$, les projections ci-dessus sont écrites dans leur ordre. Il s'ensuit que

$$P'_0 A'_n = \text{proj}^2 \sum_{i=0}^{n-1} P_i A_{i+1}.$$

Par conséquent, en vertu de la remarque B, $\text{proj}^2 T$ est un segment dont $A'_n$ est l'une de ses extrémités, parce que la demidroite $A_0(-\frac{\pi}{2})$ ne coupe qu'un seul de segments $P_i A_{i+1}$, à savoir le segment $P_0 A_1$.

Mais la demidroite $A_0(\lambda)$ coupe nécessairement le segment $P_0 A_1$, dans un point E qui se trouve sur le segment $\hat{xy} \{x \ge a\} \cdot P_0 A_1$ et on a $\text{proj}^2 E = A_0$. On en déduit facilement que dans notre cas $\text{proj}^2 T \supset \text{proj}^2 AB$.

Dans le cas où $-\frac{\pi}{2} - \alpha \le \lambda \le \frac{\pi}{2}$, on trouve par un raisonnement analogue que

$$\text{proj}^2 T \subset \text{proj}^2 AB.$$

Supposons que $0 < l' - l < c^2$. Il s'ensuit que $0 < l' - l < c$ car $c < 1$; par conséquent, d'après la remarque B, la projection de $T$ diffère de celle de $AB$ d'un segment, qui est précisément identique à $\text{proj}^2 AS$, où $S$ est le point d'intersection des demidroites $A_0(-\frac{\pi}{2})$, $P_0(l')$.

On en conclut que:

$$\text{proj}^2 AB = \text{proj}^2 AS + \text{proj}^2 T.$$

Soit maintenant $n$ tel que

$$\frac{AB}{n} < \frac{\sin \alpha}{\varepsilon c}.$$

D'après la remarque D, il s'ensuit que: $\text{mes } \text{proj}^2 AS < \varepsilon$.

D'une façon générale, ayant donné un segment droit quelconque $AB$, où l'abscisse de $A$ est inférieure à celle de $B$, désignons par $\theta(n, l')$ l'opération qui consiste à remplacer $AB$ par l'ensemble $T$ construit comme ci-dessus (13); on suppose ici que $-\frac{\pi}{2} +

$+ (\alpha + \beta') < l < l' < +\frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta')$, où $l$ désigne la direction de $AB$. Cette opération est univoque.

En résumant on peut affirmer que si

$$ (12 \text{ ter}) \qquad -\frac{\pi}{2} + \alpha + \beta' < l < l' < \frac{\pi}{2} - \alpha - \beta', \\ l' - l < c^2 $$

$$ \text{et} \qquad n > \frac{AB}{\varepsilon \cdot c} \sin \alpha, $$

on a, quelque soit $\lambda$, satisfaisant à la condition: $-\frac{\pi}{2} - \alpha \le \lambda \le -\frac{\pi}{2} + \alpha$ la propriété suivante:

Il suffit qu'on ajoute à l'ensemble $\text{proj}^2 T$ un segment de longueur $< \varepsilon$, pour que la somme ainsi obtenue renferme l'ensemble $\text{proj}^2 AB$; $T$ est le résultat de l'opération $\theta(n, l')$ appliquée au segment $AB$ et est défini par (13).

Remarque G. Soit $d$ la longueur du segment $AB$ et $d'$ la somme des longueurs de tous les segments dont se compose $T$. $d$ est évidemment inférieur à la longueur de $P_0 A_1$ prise $n$ fois. Par rapport à (7) on trouve:

$$P_0 A_1 = A_0 A_1 \cdot \frac{\cos (l + \alpha)}{\cos (l' + \alpha)}$$

donc:

$$d' < d \frac{\cos (l + \alpha)}{\cos (l' + \alpha)}.$$

Le triangle $A_0 P_0 A_1$ est analogue au triangle APQ considéré plus haut. Envisageons le point $R$, c'est-à-dire le point d'intersection des demidroites $A_0(-\frac{\pi}{2})$ et $P_0(l)$ et appelons la longueur du segment $A_0 R$: l'hauteur de l'ensemble $T$. D'après (10) on a

$$(15) \qquad A_0 R < \frac{A_0 A_1}{c^2} = \frac{AB}{nc^2}.$$

On en conclut que: Le nombre $\varepsilon \ge 0$ étant donné, si l'on prend

$$n > \frac{AB}{c^2 \cdot \varepsilon}.$$
l'hauteur de l'ensemble $T$, que l'on obtient de $AB$ en y appliquant l'opération $\theta(n, l')$, est $< \varepsilon$.

Remarque H. Soit

$$ (15 \text{bis}) \quad \left\{ \begin{array}{l} 0 < l' - l < c^2 \text{ et} \\ -\frac{\pi}{2} + \alpha + \beta' < l < l' < -\frac{\pi}{2} - \alpha - \beta' \end{array} \right. $$

comme d'habitude. Soient

$$ (15 \text{a}) \quad A_1 B_1, A_2 B_2, \dots, A_m B_m. $$

une suite finie de segments fermés n'ayant pas de points communs et supposons qu'ils aient la direction $l$. Choisissons un nombre positif $\sigma$. Appliquons l'opération $\theta(n, l')$ à chaque segment (15a), où $n$ désigne un nombre naturel qui ne sera déterminé que dans la suite. On en obtient une suite

$$ (16) \quad T_1, T_2, \dots, T_m $$

d'ensembles dont chacun est une somme de $n$ segments fermés poséant la direction $l'$.

Désignons par $d$ la somme des longueurs des tous les segments (15a).

Supposons que $n$ satisfasse à l'inégalité:

$$ (17) \quad n > \frac{4d}{c^2 \cdot \sigma} $$

On a à fortiori $n > \frac{A_i B_i}{c^2 \cdot \frac{\sigma}{4}}$, ($i = 1, \dots, n$), donc, d'après la remarque $F$, l'hauteur de chaque $T_i$ est inférieure à $\frac{\sigma}{4}$.

Soit $-\frac{\pi}{2} - \alpha \le \lambda \le -\frac{\pi}{2} + \alpha$. Si $n > \frac{d}{\varepsilon \cdot c} \sin \alpha$, où $\varepsilon > 0$ est choisi arbitrairement, on a: $n > \frac{A_i B_i}{\varepsilon \cdot c} \sin \alpha$, donc, en vertu de la remarque $E$: l'ensemble $\text{proj}^2 A_i B_i$ est contenu dans l'ensemble $\text{proj}^2 T_i$ augmenté d'un segment convenable de longueur $\le \varepsilon$.

Il s'ensuit que

$$ \text{mes } \text{proj}^2 \sum_{i=1}^{m} A_i B_i \le \text{mes } \text{proj}^2 \sum_{i=1}^{m} T_i + m\varepsilon. $$

Soit $d'$ la somme des longueurs de tous les segments constituants tous les $T_i$. D'après la remarque $G$ on trouve

$$ d' < d \frac{\cos(\alpha + l)}{\cos(\alpha + l')} $$

Le nombre $n$ n'est pas été choisi jusqu'à maintenant. Choisissons le de sorte que:

$$ n > \frac{4d}{c^2 \cdot \sigma} \quad \text{et} \quad n > \frac{dm}{\varepsilon \cdot c} \sin \alpha; $$

dans ces conditions on a, quelques soient $l$ et $l'$, satisfaisant à (15bis)

1) la hauteur de $T_i \le \frac{\sigma}{4}$.

2) la somme des longueurs des tous les segments de $\sum_{i=1}^{m} T_i$ est $< d \frac{\cos(\alpha + l)}{\cos(\alpha + l')}.$

3) si $-\frac{\pi}{2} - \alpha \le \lambda \le -\frac{\pi}{2} + \alpha$,

on a:

$$ \text{mes } \text{proj}^2 \sum_{i=1}^{m} A_i B_i \le \text{mes } \text{proj}^2 \sum_{i=1}^{m} T_i + \varepsilon. $$

Convenons de dire que $\sum_{i=1}^{m} T_i$ est un des résultats de l'opération $\theta'(\sigma, \varepsilon, l')$ appliquée à l'ensemble $\sum_{i=1}^{m} A_i B_i$, si les propriétés 1), 2), 3) subsistent, les $T_i$ étant construits comme plus haut par moyen de l'opération $\theta(n, l')$. Le résultat obtenu peut être exprimé en disant que pour chaque $\varepsilon > 0$ et $\sigma > 0$ on peut trouver un nombre $n_0$ tel que, si l'on choisit $n < n_0$ et qu'on applique l'opération $\theta(n, l')$ à chaque segment $A_i B_i$, on en obtient un ensemble $\sum_{i=1}^{m} T_i$, qui est un des résultats de l'opération $\theta'(\sigma, \varepsilon, l')$ appliquée à $\sum_{i=1}^{m} A_i B_i$.

**Lemme II.** Soit $E$ un ensemble fermé, borné et tel qu'il n'existe aucune droite $x = a$ n'ayant de points communs avec $E$ et telle que

$$ E \hat{\times} \{x < a\} \neq 0, \quad E \hat{\times} \{x > a\} \neq 0. $$
Dans ces conditions on a

$$\mathrm{proj}_0 E = \mathrm{proj}_0 E_1,$$

où $E_1$ désigne le plus petit domaine convexe, fermé et contenant l'ensemble $E$.

En effet, on a

$$\mathrm{proj}_0 E \subset \mathrm{proj}_0 E_1.$$

Il suffit donc démontrer l'inclusion inverse.

Soient $a_1$ et $a_2$ les bornes inférieure et supérieure de l'ensemble $\mathrm{proj}_0 E$. $E$ étant un ensemble fermé, il existe deux points $P_1$ et $P_2$ tels que

$$P_1 \in E, P_2 \notin E, \mathrm{proj}_0 P_1 = (a_1, 0), \mathrm{proj}_0 P_2 = (a_2, 0).$$

On a $P_1 \neq P_2$. Envisageons le segment droit fermé $P_1 P_2$. Des hypothèses il résulte que

$$\mathrm{proj}_0 P_1 P_2 = \mathrm{proj}_0 E.$$

D'autre part on a

$$\mathrm{proj}_0 P_1 P_2 = \mathrm{proj}_0 E_1,$$

d'où résulte le lemme II.

Remarque I. Nous aurons à considérer dans la suite des parallélogrammes, possédant deux cotés parallèles à l'axe $y$. Nous les appelons parellelogrammes normaux. Les cotés parelèles à l'axe $y$ seront appelées $\text{ bases}^u$<fnref n="1" />). Les cotés non parelèles à l'axe $y$ seront appelées tout court $\text{ côtés}^u$. Étant donné un segment rectiligne $AB$ non parallèle à l'axe de $y$, on en peut contruire d'une infinité de manières des parellelogrammes normaux $ABCD$ pour lesquels 1) $AB$ est une de deux cotés, 2) les bases sont situées sur les demidroites $A(-\frac{\pi}{2})$ et $B(-\frac{\pi}{2})$.

Les parallélogrammes normaux satisfaisant à ces deux conditions seront appelés $\text{parallélogrammes appartenant à } AB^u$.

Soient

$$A_1 B_1, A_2 B_2, \dots, A_m B_m \quad (m \ge 1)$$

des segments rectilignes, fermés, parallèles et n'ayant pas de points communs. Supposons que leurs direction ne soit pas parellele à l'axe $y$.

Soit $\varepsilon > 0$; je dis qu'il existe un nombre $\sigma_0 > 0$ tel que, si l'on remplace les $A_i B_i$ par des parallélogrammes $A_i B_i C_i D_i$ y appartenant respectivement et possédant les basses $< \sigma_0$, on aura, quelque soit $\varphi$:

$$\text{mes } \mathrm{proj}^{\varphi} \sum_{i=1}^{\infty} A_i B_i C_i D_i \le \text{mes } \mathrm{proj}^{\varphi} \sum_{i=1}^{\infty} A_i B_i + \varepsilon$$

et
$$\mathrm{proj}^{\varphi} \sum_{i=1}^{\infty} A_i B_i \subset \mathrm{proj}^{\varphi} \sum_{i=1}^{\infty} A_i B_i C_i D_i.$$

L'inclusion ci-dessus étant évidente, il suffit seulement de démontrer l'inégalité.

Soit $\sigma > 0$; envisageons l'ensemble

$$M_i = \overline{S} < A_i, \sigma > + A_i B_i + S < B_i, \sigma >$$

et ses projections. On a:

$$\mathrm{proj}^{\varphi} \sum_{i=1}^{\infty} M_i = \mathrm{proj}^{\varphi} \sum_{i=1}^{\infty} A_i B_i + \sum_{i=1}^{\infty} \mathrm{proj}^{\varphi} S < A_i, \sigma > + \sum_{i=1}^{\infty} \mathrm{proj}^{\varphi} < B_i, \sigma >$$

donc:

$$\text{mes } \mathrm{proj}^{\varphi} \sum_{i=1}^{\infty} M_i \le \text{mes } \mathrm{proj}^{\varphi} \sum_{i=1}^{\infty} A_i B_i + 4m\sigma.$$

Posons $\sigma_0 = \frac{\varepsilon}{4m}$ et choisissons $\sigma$ tel que $0 < \sigma < \sigma_0$. On obtient ainsi

$$(20) \qquad \text{mes } \mathrm{proj}^{\varphi} \sum_{i=1}^{\infty} M_i \le \text{mes } \mathrm{proj}^{\varphi} \sum_{i=1}^{\infty} A_i B_i + \varepsilon.$$

Si l'on désigne par $M_i'$ le plus petit domaine convexe et fermé, enfermant $M_i$, on a d'après le lemme II:

$$\mathrm{proj}^{\varphi} M_i = \mathrm{proj}^{\varphi} M_i'$$

donc

$$(21) \qquad \mathrm{proj}^{\varphi} \sum_{i=1}^{\infty} M_i = \mathrm{proj}^{\varphi} \sum_{i=1}^{\infty} M_i'$$

Soit $A_i B_i C_i D_i$ ($i=1, \dots, m$) un parallélogramme quelconque appartenant à $A_i B_i$ et possédant sa base $= \sigma$.

On a évidemment

$$A_i B_i C_i D_i \subset M_i'$$

donc
$$\mathrm{proj}^{\varphi} A_i B_i C_i D_i \subset \mathrm{proj}^{\varphi} M_i',$$

<footnote n="1">¹) comp., le Mémoire de MM. Mazurkiewicz et Saks.</footnote>
donc
$$ \operatorname{proj}^{\varphi} \sum_{i=1}^{m} A_i B_i C_i D_i \subset \operatorname{proj}^{\varphi} \sum_{i=1}^{m} M_i'. $$

Des relations (20) et (21) on obtient donc: quelque soit $\varepsilon > 0$, on a

$$ mes^{\varphi} \sum_{i=1}^{m} A_i B_i C_i D_i \leq mes \operatorname{proj}^{\varphi} \sum_{i=1}^{m} A_i B_i + \varepsilon, $$

si les bases sont suffisamment petites.

§ 3. Ayant achevé tous les préliminaires, nous pouvons passer à la construction principale.

Soit $N \ge 4$ un nombre qui ne sera déterminé que plus tard. Considérons la suite des directions:

$$ (22) \qquad l_i \stackrel{\cdot}{=} \gamma + i \cdot \frac{2\gamma}{N}, \quad (i=0,1,2,\dots,N-1), $$

$$ \text{où } \gamma = \frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta'), \quad (\text{comparez } (2)). $$

Pour qu'on ait

$$ (23) \quad \left\{ \begin{array}{l} -\frac{\pi}{2} + (\alpha + \beta') < l_1 < -\frac{\pi}{2} + (\alpha + \beta) \quad \text{et} \\ \frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta) < l_{N-1} < \frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta'), \end{array} \right. $$

il suffit de supposer que

$$ (24) \qquad N > \frac{2\gamma}{\beta - \beta'} $$

S'uppôposons donc que N satisfasse à la condition (24), et qu'on ait

$$ (24 \text{ bis}) \qquad \frac{2\gamma}{N} < c^2. $$

Soit $0 < r' < r'' < \varrho < r'$, où $r'$ et $r$ sont les nombres introduits dans l'énoncé du théorème auxiliaire (p. 118). Marquons le point $W$ d'intersection de la demidroite $0(l_1)$ avec la circonférence du cercle $S(0, \varrho)$ et soit $W'$ le point de la même circonférence, diamétralement opposé à $W$. Soit $N_0 \ge 4$ un nombre naturel assez grand, pour que les côtés des polygones réguliers (à $4N_0 + 2$ sommets) inscrits dans le cercle $S(0, \varrho)$ n'aient pas de points communs avec la circonférence du cercle $S(0, r'')$. Envisageons un polygone dont $W$ est un des sommets. $W'$ en est aussi un. Soient

$$ (25) \quad \left\{ \begin{array}{l} W, W_1, \dots, W_{N_0}, W_{N_0+1}, \dots, W_{2N_0}, W', \\ W'_1, \dots, W'_{N_0}, W'_{N_0+1}, \dots, W'_{2N_0}, W \end{array} \right. $$

les sommets consécutifs, considérés dans le sens positif de parcours.

Envisageons la somme suivante de segments fermés rectilignes:

$$ (26) \quad F_1 = \overline{W_1} \sum_{k=1}^{N_0} \langle W_k W_{2N_0-k+1} \rangle + \sum_{k=1}^{N_0} \langle W'_k W'_{2N_0-k+1} \rangle + \langle W W' \rangle. $$

L'ensemble $F_1$ satisfait aux conditions du lemme II en ce qui concerne les projections $\operatorname{proj}^2$, où

$$ (27) \qquad -\frac{\pi}{2} - \alpha \le \lambda \le -\frac{\pi}{2} + \alpha. $$

Cela résulte du fait que, en vertu de (23), la droite $\overline{0(l_1)}$ ne passe pas par le domaine convexé de l'angle $[0, -\frac{\pi}{2} - \alpha)$, $[0, -\frac{\pi}{2} + \alpha)]$. Par conséquent, quelque soit $\lambda$, satisfaisant à (27), l'ensemble $\operatorname{proj}^2 F_1$ est identique à la projection $\operatorname{proj}^2$ du polygone régulier dont les sommets sont (25). Comme, d'après ce qui précède, le cercle $S<0, r''>$ se trouve dans l'intérieur du polygone, il s'ensuit que:

$$ mes \operatorname{proj}^2 F_1 > mes \operatorname{proj}^2 S < 0, r'' > $$

c'est-à-dire:

$$ (28) \qquad mes \operatorname{proj}^2 F_1 > 2r''. $$

Soit maintenant $\dot{o}_1 > 0$ tel que les cercles

$$ \begin{align*} S \langle W, \sigma_1 \rangle, \quad S \langle W_k, \sigma_1 \rangle, \\ S \langle W', \sigma_1 \rangle, \quad S \langle W'_{k_1}, \sigma_1 \rangle \end{align*} \quad (k=1, \dots, N_0) $$

n'aient pas de points communs ni deux à deux ni avec la circonférence $S(0, r)$ et que $2\sigma_1$ soit inférieur aux distances mutuelles des segments envisagés dans la somme $F_1$. Soit $\eta' > 0$. Applications à la somme $F_1$ la remarque I faite dans le §2, en remplaçant chaque segment par un parallélogramme y appartenant respectivement, dont la base est suffisamment petite et inférieure à $\sigma_1$. On obtient ainsi $2N_0 + 1$ parallélogrammes normaux dont les cotés ont la direction $l_1$. Ils n'ont pas de points communs deux à deux et ne sortent jamais de l'intérieur du cercle $S(0, r)$. En désignant par $E_1$ la somme de tous ces polygones, on a pour $\sigma$ (voir la remarque mentionnée) suffisamment petit:

$$ mes \operatorname{proj}^{\varphi} E_1 \le mes \operatorname{proj}^{\varphi} F_1 + \eta' \\ F_1 \subset E_1 $$

quelque soit $\varphi$.
En particulier, si $|\lambda - l_1| \le |l_2 - l_1| = \frac{2\gamma}{N}$, on a:

$$mes \ proj^2 E_1 \le mes \ proj^2 F_1 + \eta'$$

Soit $d_i$ la somme des longueurs de tous les segments (26) dont $F_i$ se compose.

On a:

$$mes \ proj^2 F_1 \le d_1 \sin \frac{2\gamma}{N} < \frac{2\gamma d_1}{N}$$

On obtient ainsi: $proj^2 F_1 \subset proj^2 E_1$ et

$$(30) \qquad mes \ proj^2 E_1 \le \frac{2\gamma d_1}{N} + \eta'$$

$$\text{pour } |\lambda - l_1| \le \frac{2\gamma}{N}.$$

$$\text{Si } -\frac{\pi}{2} - \alpha \le \lambda \le -\frac{\pi}{2} + \alpha \text{ on a:}$$

$$(31) \qquad mes \ proj^2 E_1 \ge mes \ proj^2 F_1 > 2r''.$$

Voila le premier pas dans la construction.

Pour aller plus loin, convenons d'appeler «côté supérieure» d'un parallélogramme normal celle de ses deux côtés, à laquelle «appartient» le parallélogramme suivant la définition du § 2 (Rem. I) L'ensemble $E_i$ c'est la somme d'un nombre fini de parallélogrammes normaux et $F_1$ la somme de ses côtés supérieures. Appliquons à $F_1$ l'opération $\theta'(\sigma, \epsilon, l_2)$ où $\sigma$ et $\epsilon$ sont des nombres positifs suffisamment petits, (nous indiquons ici seulement la marche générale des considérations détaillées, qui vont suivre), de sorte que l'on obtienne un ensemble-somme $F_2$ de segments situés dans $E_1$. On remplace ensuite les segments de $F_2$ par des parallélogrammes y appartenant. On s'arrange de manière à ce que la somme $E_2$ de ses parallélogrammes soit contenue dans $E_1$. On procède ainsi de suite en envisageant successivement les directions $l_3, ..., l_{N-1}$. D'une manière générale, supposons qu'on a déja obtenu les ensembles $E_i$ et $F_i$, ($1 \le i \le N-2$) où $F_i$ est somme d'un nombre fini de segments droits et fermés, — désignons les par:

$$(32) \qquad A_1^i B_1^i, A_2^i B_2^i, \dots,$$

sans points communs et ayant tous la même direction $l_i$ (voir 22) et où $E_i$ désigne la somme des parallélogrammes fermés, sans points communs deux à deux et appartenant respectivement aux segments (32).

$$(33) \qquad A_1^i B_1^i C_1^i D_1^i, A_2^i B_2^i C_2^i D_2^i, \dots$$

ces parallélogrammes. Les segments (32) présentent leurs côtés supérieures.

Supposons de plus que:

a) si $-\frac{\pi}{2} - \alpha \le \lambda \le -\frac{\pi}{2} + \alpha$ on ait:

$$mes \ proj^2 E_i \ge mes \ proj^2 F_i > 2r'' - (i - 1) \eta''$$

b) si $d_i$ désigne la somme des longueurs de tous les segments (32), on ait:

$$d_i \le d_1 \frac{\cos (l_1 + \alpha)}{\cos (l_1 + \alpha)}$$

c) Quelque soit $\varphi$:

$$mes \ proj^2 E_i \le mes \ proj^2 F_i + \eta'$$

$\eta'$ désigne ici le nombre introduit plus haut (p. 131) et $\eta'' > 0$ un nombre positif arbitraire.

Soit $\sigma_i > 0$ un nombre inférieur aux longueurs de toutes les bases des parallélogrammes (33).

Appliquons à $F_i$ l'opération $\theta'(\sigma, \epsilon, l_{i+1})$ conformément à la remarque H, et en choisissant $\epsilon = \eta''$ et $\sigma < \sigma_i$. En vertu de (22), (24) et (24 bis), on obtient ainsi pour chaque parallélogramme $A_i^i B_i^i C_i^i D_i^i$, un ensemble $T_i^i$, jouissant des propriétés suivantes:

$$1) \text{ la hauteur de } T_i^i \le \frac{\sigma_i}{4},$$

$$2) \text{ la somme des longueurs de tous les segments dont } \sum_k T_k^i \text{ se compose, est inférieure où égale à}$$

$$d_i \frac{\cos (l_i + \alpha)}{\cos (l_{i+1} + \alpha)}$$

$$3) \text{ Si } -\frac{\pi}{2} - \alpha \le \lambda \le -\frac{\pi}{2} + \alpha, \text{ on a:}$$

$$mes \ proj^2 F_i \le mes \ proj^2 \sum_k T_k^i + \eta''$$
4) Les segments, composant les $T_k^i$, ont la même direction $l_{i+1}$, ils sont fermés et sans points communs deux à deux. On a en outre $T_k^i \subset A_k^i B_k^i C_k^i D_k^i$.

Définissons:

$$F_{i+1} = \sum_k T_k^i$$

et désignons par $d_{i+1}$ la somme des longueurs de tous les segments de $F_{i+1}$. D'après b) et 2) on trouve:

$$d_{i+1} \le d_1 \frac{\cos (l_i + \alpha)}{\cos (l_{i+1} + \alpha)} \cdot \frac{\cos (l_i + \alpha)}{\cos (l_i + \alpha)}$$

c'est-à-dire:

$$d_{i+1} \le d_1 \frac{\cos (l_i + \alpha)}{\cos (l_i + \alpha)}$$

par conséquent, la propriété b) se conserve d'une manière inductive, si l'on passe de $i$ à $i+1$.

Comme d'après 4):

$$T_k^i \subset A_k^i B_k^i C_k^i D_k^i$$

et d'après 1) la „hauteur“ de $T_k^i$ est $\le \frac{\sigma_i}{4}$, on peut trouver un nombre $\sigma' > 0$ tel que, si l'on remplace chaque segment de $T_k^i$ par un parallélogramme y „appartenant“, et ayant la base $< \sigma'$, on ne sorte jamais du $A_k^i B_k^i C_k^i D_k^i$. En y appliquant la remarque I, choisissons un nombre $\sigma' > 0$ et $< \sigma'$ tel que, quelque soit $\varphi$, on ait:

$$(35) \qquad \text{mes } \operatorname{proj}^\varphi E_{i+1} \le \text{mes } \operatorname{proj}^\varphi F_{i+1} + \eta'$$

$$(36) \qquad \operatorname{proj}^\varphi F_{i+1} \subset \operatorname{proj}^\varphi E_{i+1};$$

où $E_{i+1}$ désigne la somme de tous les parallélogrammes nouveaux, étendue à $k=1, 2, \dots$. On a $E_{i+1} \subset E_i$. Nous avons eu la relation 3! :

$$\text{mes } \operatorname{proj}^2 F_i \le \text{mes } \operatorname{proj}^2 F_{i+1} + \eta'',$$

si $-\frac{\pi}{2} - \alpha \le \lambda \le -\frac{\pi}{2} + \alpha$, donc, pour les mêmes $\lambda$ on a, en vertu de a) et (36):

$$\text{mes } \operatorname{proj}^2 E_{i+1} \ge \text{mes } \operatorname{proj}^2 F_{i+1} > 2r'' - i\eta'',$$

c'est-à-dire, la propriété a) se conserve, si l'on passe de $i$ à $i+1$.

En outre (35) montre que la propriété c) se conserve aussi par l'induction.

Des raisonnement ci-dessus il résulte qu'on peut former deux suites d'ensembles

$$(36 \text{ bis}) \qquad E_1 \supset E_2 \supset \dots \supset E_{N-1} \text{ et} \\ F_1, F_2, \dots, F_{N-1},$$

où $F_i$ se compose de segments droites fermés, ayant la même direction $l_i$ et où $E_i$ est la somme des parallélogrammes appartenant aux segments dont se compose $F_i$, et tous peut être arrangé de sorte que, pour $i=1, 2, \dots, N-1$ :

1') Si $-\frac{\pi}{2} - \alpha \le \lambda \le -\frac{\pi}{2} + \alpha$, on ait:

$$\text{mes } \operatorname{proj}^2 E_i > 2r'' - (i-1)\eta'',$$

2') si $l_i \le \lambda \le l_{i+1}$, on ait:

$$\text{mes } \operatorname{proj}^2 E_i \le \text{mes } \operatorname{proj}^2 F_i + \eta'$$

3') la somme $d_i$ des longueurs des segments dont $F_i$ se compose soit au plus égale à:

$$d_1 \frac{\cos (l_i + \alpha)}{\cos (l_i + \alpha)}$$

En vertu de 3') et en rapport au lemme I, on a:

$$d_i < \frac{d_1}{c}$$

donc, en vertu de 2'), si $l_{i-1} \le \lambda \le l_{i-1}$, on a:

$$\text{mes } \operatorname{proj}^2 E_i \le \frac{d_1}{c} \sin \frac{2\gamma}{N} + \eta' \quad (\text{voir (22)}) \\ (i=1, 2, \dots, N-1),$$

donc d'après (22), (23) et (36 bis):

$$\text{si } -\frac{\pi}{2} + (\alpha + \beta') \le \lambda \le -\frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta'),$$

on a:

$$(37) \qquad \text{mes } \operatorname{proj}^2 E_{N-1} < \frac{2d_1\gamma}{cN} + \eta'$$

On a en outre: si $-\frac{\pi}{2} - \alpha \le \lambda \le -\frac{\pi}{2} + \alpha$:

$$(38) \qquad \text{mes } \operatorname{proj}^2 E_{N-1} > 2r'' - (N-2)\eta''$$
Les propriétés (37) et (38) peuvent être réalisées quelques soient $\eta'$, $\eta''$ et $N$, ce dernier nombre étant seulement assujetti de satis- faire aux conditions:

$$N \ge 4, N > \frac{2\gamma}{\beta - \beta'}, N > \frac{2\gamma}{c^2}.$$

Disposons de ces nombres de sorte que:

$$\eta'' < \frac{2(r'' - r')}{N - 2}, \quad \eta' < \frac{\eta}{2} \\ N > 4 + \frac{2\gamma}{\beta - \beta'} + \frac{4d_1\gamma}{c\eta} + \frac{2\gamma}{c^2},$$

où $\eta$ c'est le nombre introduit dans l'énonce du théorème auxiliaire p. 113.

On obtient ainsi de (37) $mes \ proj^2 E_{N-1} < \eta$ pour

$$-\frac{\pi}{2} + (\alpha + \beta') \le \lambda \le \frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta'),$$

donc à fortiori pour

$$-\frac{\pi}{2} + (\alpha + \beta) \le \lambda \le \frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta)$$

et $mes \ proj^2 E_{N-1} > 2r'$ pour

$$-\frac{\pi}{2} - \alpha \le \lambda \le -\frac{\pi}{2} + \alpha.$$

L'ensemble $E_{N-1}$ est fermé, contenu dans le cercle ouvert $S(0,r)$ et est une somme d'un nombre fini de parellelogrammes fermés.

Envisageons maintenant l'ensemble $E'$ de tous les points (du plan considéré), dont la distance de l'ensemble $E_{N-1}$ est $\le \tau$, où $\tau > 0$ est un nombre 1) inférieur à la plus courte distance de $E_{N-1}$ à la frontière du cercle $S(0,r)$ et 2) inférieur à $\frac{\eta}{2\mu}$, où $\mu$ désigne le nombre de parallélogrammes dont $E_{N-1}$ se compose. On trouve facilement que $E' \subset S(0,r)$ et que:

$$mes \ proj^2 E' < 2\eta \\ \text{pour } -\frac{\pi}{2} + (\alpha + \beta) \le \lambda \le +\frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta).$$

D'autre part d'après le théorème de Heine-Borel on peut trouver un nombre fini de cercles fermés dont les rayons sont $= \tau$ et dont

les centres appartiennent à $E_{N-1}$, ces cercles étant choisis de manière que leur somme contienne l'ensemble $E_{N-1}$. En désignant cette somme par $E$ on conclut de ce qui précède que: $E \subset S(0, r)$ et que:

$$1) \text{ si } -\frac{\pi}{2} - \alpha \le \lambda \le -\frac{\pi}{2} + \alpha, \text{ on a:}$$

$$mes \ proj^2 E > 2r',$$

$$2) \text{ si } -\frac{\pi}{2} + (\alpha + \beta) \le \lambda \le +\frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta), \text{ on a}$$

$$mes \ proj^2 E > 2\eta.$$

Notre théorème auxiliaire (p. 118) est ainsi démontré.

§ 4. Ceci posé, envisageons dans l'espace à trois dimensions un système des coordonnées rectangulaires $x, y, z$.

Nous avons besoin de considérer des projections des différents ensembles sur les droites ($\varphi$):

$$x = 0, y = t \cos \varphi, z = t \sin \varphi,$$

à savoir des projections obtenues au moyen des plans y perpendiculaires. La projection de l'ensemble $E$, obtenue de cette façon, sera désignée par $proj_{(\varphi)} E$. C'est un ensemble de points situés sur la droite ($\varphi$).

Soit

$$(1) \quad C \xrightarrow{\hat{a}} xyz \left\{ \begin{array}{l} a \le x \le b \\ (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 \le r^2 \end{array} \right\}$$

un cylindre, où $y_0, z_0$ sont des nombres réels arbitraires, $r$ un nombre positif et $a, b$ des nombres satistaisant à l'inégalité:

$$(2) \quad -\frac{\pi}{4} \le a < b \le +\frac{\pi}{4}.$$

Soient d'autre part $r'$ et $\varepsilon$ des nombres tels que

$$(3) \quad 0 < r' < r$$

$$(4) \quad \varepsilon > 0.$$

Posons

$$(5) \quad \eta \xrightarrow{a} \frac{b-a}{10}$$

et

$$(6) \quad \varphi_k \xrightarrow{a} \frac{b+a}{2} + 2k\eta \quad (k = -2, -1, 0, 1, 2).$$
Les intervalles

$$ (7) \quad \begin{aligned} & \langle \varphi_{-2} - \eta, \varphi_{-2} + \eta \rangle, \quad \langle \varphi_{-1} - \eta, \varphi_{-1} + \eta \rangle, \quad \langle \varphi_0 - \eta, \varphi_0 + \eta \rangle, \\ & \langle \varphi_1 - \eta, \varphi_1 + \eta \rangle, \quad \langle \varphi_2 - \eta, \varphi_2 + \eta \rangle \end{aligned} $$

c'est-à-dire les intervalles:

$$ \left\langle \frac{b+a}{2} + (2k-1) \frac{b-a}{10}, \quad \frac{b+a}{2} + (2k+1) \frac{b-a}{10} \right\rangle \\ (k = -2, -1, 0, 1, 2), $$

n'ont pas de points communs, l'abstraction faite de leurs extrémités, et la somme des intervalles (7) est précisément l'intervalle $<a, b>$.

Envisageons le cercle

$$ (8) \quad K \stackrel{\sim}{=} \hat{xyz} \left\{ x=0 \; \middle| \; (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 \le r^2 \right\} $$

qui est identique avec l'ensemble $\text{proj}_{0rz} C$.

Soit $\varepsilon' > 0$ un nombre, satisfaisant à l'inégalité

$$ (8 \text{ bis}) \qquad \varepsilon' < \frac{\varepsilon}{10}. $$

Envisageons dans le plan $Oyz$ un ensemble $E$ jouissant des propriétés 1, 2, 3, 4, énumérées dans l'énoncé du théorème auxiliaire I, après la substitution suivante:

$$ S(0, r) \mid K, \ r' \mid r', \ 2\eta \mid \varepsilon', \ \alpha \mid \eta, \ \beta \mid \eta $$

On sait qu'un tel ensemble existe.

L'ensemble $E$ est somme d'un nombre fini de cercles fermés et
(9) $E \subset K$.

Outre cela on a:

$$ (10) \qquad \text{mes } \text{proj}_{(\psi)} E \ge 2r' $$

pour toutes les directions $\psi$ situées dans le bi-angle

$$ \ang \langle -\eta, +\eta \rangle \text{ et} $$

$$ (11) \qquad \text{mes } \text{proj}_{(\psi)} E < \varepsilon' $$

pour tous les $\psi$ situés en dehors du bi-angle

$$ \ang \langle -2\eta, +2\eta \rangle. $$

Désignons par $S(\theta)$ la rotation de l'espace autour de l'axe $y=y_0$, $z=z_0$, la grandeur algébrique de cette rotation étant $\theta$ (on prend

un tel sens positif des rotations, qui fait transporter l'axe $+Oy$ dans l'axe $+Oz$ par une rotation de grandeur $\frac{\pi}{2}$).

Définissons les ensembles :

$$ (12) \qquad F_k \stackrel{\sim}{=} \hat{xyz} \left\{ \varphi_k - \eta \le x \le \varphi_k + \eta \; \middle| \; (y, z) \in S(\varphi_k) \text{ pro } E \right\} $$

$$ (13) \qquad F \stackrel{\sim}{=} \sum_{z=-2}^{+2} F_k. $$

On voit que les ensembles $F_k$ sont congruents deux à deux au sens euclidien et se produisent l'un de l'autre par une simple rotation, suivie d'une translation convenable.

On a:

$$ (14) \qquad \text{proj}_{0z} F_k = \langle \varphi_k - \eta, \varphi_k + \eta \rangle $$

et

$$ (15) \qquad \text{proj}_{0yz} F_k = S(\varphi_k) \text{ pro } E. $$

Outre cela on voit que:

$$ (16) \qquad F \subset C $$

et que $F_k$ est une somme d'un nombre fini de cylindres fermés, dont les rayons sont égaux et dont les projections sur l'axe $Ox$ coïncident avec l'intervalle (14).

Soit maintenant:

$$ (17) \qquad \psi \in \langle \varphi_k - \eta, \varphi_k + \eta \rangle. $$

On a:

$$ (18) \left\{ \begin{array}{l} \text{mes } \text{proj}_{(\psi)} F_k = \text{mes } \text{proj}_{(\psi-\varphi_k)} [S(-\varphi_k) \text{ pro } F_k] = \\ \qquad = \text{mes } \text{proj}_{(\psi-\varphi_k)} E \ge 2r' \quad \text{d'après (10)} \end{array} \right. $$

parce que $\psi - \varphi_k \in \langle -\eta, +\eta \rangle$.

Nous en tirerons une conséquence importante pour la suite.

Soit $\psi \in \langle a, b \rangle$, il existe alors un indice $k$, tel que:

$$ \psi \in \langle \varphi_k - \eta, \varphi_k + \eta \rangle. $$

On en déduit en vertu de (18) que: $\text{mes } \text{proj}_{(\psi)} F_k \ge 2r'$, d'où à fortiori:

$$ (19) \qquad \text{mes } \text{proj}_{(\psi)} F \ge 2r' $$

pour tous les $\psi$, où $\psi \in \langle a, b \rangle$.
### III. Lemme 1)
Soient $0 < k' < k$ et $\delta > 0$, soit d'autre part $M$ un nombre naturel. Dans ces conditions il existe un nombre $l_0$ tel que, quelque soit l'ensemble $E$, qui est une somme d'un nombre fini et $\le M$ d'intervalle, dont chacun a la longueur $\delta$, si l'on remplace ces intervalles par des ensembles n'importe quels, respectivement y situés et de mesure $\ge l'\cdot \delta$, la somme de tous ces ensembles (remplaçants) aura la mesure $\ge k'$.

Je donne ici la démonstration suivante, que M. Saks m'a bien voulu communiquer, cette démonstration étant beaucoup plus simple que la mienne.

Soient $\Delta_1, \Delta_2, \dots, \Delta_N, (N \le M)$ les intervalles de longueur $\delta$, et tels que $E = \sum_{i=1}^N \Delta_i$.

On a d'après l'hypothèse :

$$ (a) \qquad \text{mes } E = \text{mes} \sum_{i=1}^{N} \Delta_i \ge k > k'. $$

Si l'on remplace chaque $\Delta_i$ par un ensemble $F_i$, où $F_i \subset \Delta_i$ et mes $F_i \ge l\delta$, on obtient :

$$ \text{mes} (E - \sum_{i=1}^{N} F_i) \le \sum_{i=1}^{N} \text{mes} (\Delta_i - F_i) \le M \cdot \delta \cdot (1-l), $$

donc, en rapport à (a) :

$$ \text{mes} \sum_{i=1}^{N} F_i \ge \text{mes} E - M\delta(1-l) \ge k - M\delta(1-l). $$

Il suffit, donc, prendre $l_0 \ge 1 - \frac{k-k'}{M\delta}$, pour qu'on ait pour chaque $l$ supérieur à $l_0$: mes $\sum_{i=1}^N F_i \ge k'$. Le lemme est donc démontré.

### § 5. Soit $a$ un nombre satisfaisant à l'inégalité :

$$ (1) \qquad 0 < a < 1. $$

Envisageons une suite infinie :

$$ q_0 > q_1 > \dots > q_n > \dots $$

où $0 < aq < 1$ et $\lim_{n \to \infty} q_n = 1$.

On a évidemment :

$$ (2) \qquad a q_0 > a q_1 > \dots > a q_N > \dots $$

et

$$ (2 \text{ bis}) \qquad \lim_{n \to \infty} (a q_n) = a. $$

Considérons le cylindre circulaire :

$$ (3) \qquad C \cdot \hat{d}^j xyz \begin{cases} -\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4} \\ y^2 + z^2 \le 1 \end{cases}. $$

D'après le résultat obtenu dans le § 4, il existe les ensembles :

$$ (4) \qquad F_{t_1} \hat{d}^j G_{t_1} \quad (t_1 = -2, -1, 0, 1, 2), $$

satisfaisant aux conditions (β) par rapport au cylindre (3) et aux nombres $a q_0$ et $\varepsilon$, où $\varepsilon$ est un nombre positif, qu'on se donne arbitrairement à l'avance.

L'ensemble $F_i$ est une somme d'un nombre fini des cylindres fermés, que nous désignerons par $C_{(i, 1)}$, $C_{(i, 1)}, \dots$; ces cylindres ont leurs rayons égaux pour tous les indices et ont la même longueur $\frac{\pi}{2\cdot 5}$.

On a

$$ \text{proj}_{0x} C_{(i_1, k_1)} = \Delta_{i_1} \quad (k_1 = 1, 2, \dots) $$

où par définition :

$$ \Delta_i \cdot \hat{d}^j = \left\langle \frac{\pi(2i_1 - 1)}{10}, \frac{\pi(2i_1 + 1)}{10} \right\rangle. $$

On a $\text{mes } \Delta_i = \frac{\pi}{2\cdot 5}$.

Outre cela :

$$ (5) \qquad \text{mes } \text{proj}_{(\varphi)} G_{t_1} \ge 2 a q_0 $$

pour chaque direction $\psi$ située dans le bi-angle $\ang \Delta_{i_1}$.

Posons :

$$ (5 \text{ bis}) \qquad F^{(1)} \cdot \hat{d}^j \sum_{i_1=-2}^{+2} G_{i_1}. $$

On a

$$ (6) \text{mes } \text{proj}_{(\varphi)} \left[ F^{(1)} - \sum_{N=-\infty}^{+\infty} \hat{xyz} \left\{ \varphi - \frac{3\pi}{4\cdot 5} + N\pi \le x \le \varphi + \frac{3\pi}{4\cdot 5} + N\pi \right\} \right] < \varepsilon. $$

<footnote n="1">1) M. Saks a simplifié le lemme que j'ai utilisé dans la première rédaction de ce travail.</footnote>
Faisons maintenant des constructions analogues en prenant pour
le point de départ les cylindres $C_{(i_1, k_1)}$ au lieu de $C$. Soit $\varrho_1$ le ra-
yon des cylindres $C_{(i_1, k_1)}$.

Envisageons deux nombres $\varepsilon'$ et $p'$ où $\varepsilon' > 0$ et $0 < p' < 1$;
ces nombres ne serons déterminés que plus tard. Pour chaque cou-
ple $(i_1, k_1)$ des indices considérés il existe, d'après le § 4, cinq
ensembles

$$
F_{(i_1, k_1), i_2}, \quad (i_2 = -2, -1, 0, 1, 5)
$$

qui satisfont aux conditions (β) par rapport au cylindre $C_{(i_1, k_1)}$ et
aux nombres $\varrho_1, p'$ et $\varepsilon'$.

Posons

$$
\Delta_{i_1, i_2} = \left\langle \frac{a_{i_1} + b_{i_1}}{2} + \frac{(2i_2 - 1)\pi}{4.5^2}, \quad \frac{a_{i_1} + b_{i_1}}{2} + \frac{(2i_2 + 1)\pi}{4.5^2} \right\rangle,
$$

où $a_{i_1}, b_{i_1}$ désignent les extrémités de l'intervalle $\Delta_{i_1}$.

On a $\text{mes } \Delta_{i_1, i_2} = \frac{\pi}{2 \cdot 5^2}$.

On a

$$
(7) \qquad \text{mes } \mathrm{proj}_{(\psi)} F_{(i_1, k_1), i_2} \ge 2 \varrho_1 p'
$$

pour $\psi \in \text{ang } \Delta_{i_1, i_2}$ et

$$
\[
\begin{array}{@{}l@{\qquad}l@{}}
\text{mes } \mathrm{proj}_{(\varphi)} \left[ \displaystyle\sum_{i_2=-2}^{+2} F_{(i_1, k_1), i_2} - \displaystyle\sum_{N=-\infty}^{+\infty} \hat{xyz} \left\{ \varphi - \frac{3\pi}{4.5^2} + N\pi \le x \le \varphi + \right. \right. & \\
\left. \left. \qquad + \frac{3\pi}{4.5^2} \quad N\pi \right] \right] < \varepsilon' & \text{(7 bis)}
\end{array}
\]
$$

pour tous les nombres $\varphi$.

Les longueurs des tous les intervalles $\Delta_{i_1, i_2}$ étant égaux, on peut
construire les ensembles $F_{(i_1, k_1), i_2}$ de sorte, que les rayons de tous les
cylindres, dont ils se composent, soient égaux, parce qu'on peut
choisir les ensembles $F_{(i_1, k_1), i_2}$ de sorte qu'ils soient congruents au
sens euclidien et se produisent l'un de l'autre par une simple ro-
tation, suivie d'une translation convenable.

Supposons qu'on ait arrangé tous cela de cette manière. Pour
préciser le nombre $p'$, observons d'abord que les intervalles $\Delta_{i_1, i_2}$
$(i_1 = -2, -1, 0, 1, 2)$ n'ont pas de points intérieurs communs et

$$
\sum_{i_1=-2}^{+2} \Delta_{i_1, i_2} = \Delta_{i_1}.
$$

L'ensemble $F'_{(i_1, k_1), i_2}$ se trouve dans le cylindre $C_{(i_1, k_1)}$ dont le rayon est $\varrho_1$, donc l'ensemble

$$
(8) \qquad \operatorname{proj}_{(\psi)} F'_{(i_1, k_1), i_2}
$$

est situé dans un intervalle de longueur $2\varrho_1$, qui se trouve sur la
droite $x=0$, $y=t \cos \psi$, $z=t \sin \psi$, et est produit par la pro-
jection de $C_{(i_1, k_1)}$.

Donc l'ensemble

$$
\operatorname{proj}_{(\psi)} \sum_{k_1} F'_{(i_1, k_1), v}
$$

s'obtient en remplaçant chaque intervalle

$$
\mathrm{proj}_{(\psi)} C_{(i_1, k_1)} \quad (k_1 = 1, 2, \dots)
$$

par l'ensemble (8), dont la mesure est, d'après (7), $\ge 2\varrho_1 p'$, si
$\psi \in \text{ang } \Delta_{i_1, i_2}$.

Mais

$$
\sum_{k_1} \mathrm{proj}_{(\psi)} C_{(i_1, k_1)} = \mathrm{proj}_{(\psi)} \sum_{k_1} C_{(i_1, k_1)} = \mathrm{proj}_{(\psi)} G_{i_1}
$$

et d'après (5) $\text{mes } \mathrm{proj}_{(\psi)} G_{i_1} \ge 2aq_0$ pour $\psi \in \text{ang } \Delta_{i_1} \subset \text{ang } \Delta_{i_1}$.
En outre l'ensemble $\mathrm{proj}_{(\psi)} G_{i_1}$ est toujours situé dans un segment
de longueur 2. D'après (2) on a: $0 < aq_1 < aq_0$.

On se trouve donc dans les conditions du lemme III, d'après
lequel on peut choisir $p'$ (indépendamment du choix des indices
$i_1, i_2$ et de la direction $\psi$) de sorte qu'on ait:

$$
\text{mes } \mathrm{proj}_{(\psi)} \sum_{k_1} F_{(i_1, k_1), i_2} \ge 2aq_1.
$$

Définissons :

$$
(8 \text{ bis}) \qquad G'_{i_1 i_2} \bar{d}_j \sum_{k_1} F_{(i_1, k_1), i_2}.
$$

On a d'après ce que nous venons de dire :

$$
\text{mes } \mathrm{proj}_{(\psi)} G_{i_1 i_2} \ge 2 a q_1 \text{ pour } \psi \in \mathrm{ang} \, \Delta_{i_1 i_2}.
$$

Définissons

$$
(9) \qquad F^{(2)} \xrightarrow{\bar{d}_j} \sum_{i_1} \sum_{i_2} G_{i_1, i_2}.
$$

Je dis que, si $\psi \in \left\langle -\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4} \right\rangle$, on a :

$$
\text{mes } \mathrm{proj}_{(\psi)} F^{(2)} \ge 2 a q_1.
$$
En effet, soit $\psi \in L(-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4})$.

Il existe un indice $i_1$, tel que : $\psi \in \Delta_{i_1}$, donc il existe un autre indice $i_2$, tel que $\psi \in \Delta_{i_2}$.

Pour ces indices on a

$$mes \ proj_{(\psi)} G_{i_1, i_2} > 2aq_1,$$

donc d'après (9) :

$$mes \ proj_{(\psi)} F^{(2)} \geq 2aq_1.$$

Soit maintenant $\varphi$ un nombre arbitraire et posons

$$P_{\varphi} = \sum_{N=-\infty}^{+\infty} \hat{xyz} \{ \varphi - \frac{3\pi}{4.5^2} + N\pi \le x \le \varphi + \frac{3\pi}{4.5^2} + N\pi \}.$$

D'après (7 bis) on a

$$mes \ proj_{\varphi} \left[ \sum_{i_2=-2}^{+2} F_{(i_1, k_1), i_2} - P_{\varphi} \right] < \varepsilon.$$

Mais d'après (8 bis) et (9) on a

$$F^{(2)} - P_{\varphi} = \sum_{i_1} \sum_{i_2} \left[ \sum_{i_3} F_{(i_1, k_1), i_2} - P_{\varphi} \right],$$

donc

$$mes \ proj_{(\varphi)} [F^{(2)} - P_{\varphi}] < m_1 \varepsilon,$$

où $m_1$ désigne le nombre de couples $(i_1, k_1)$, c'est-à-dire, le nombre de cylindres desquels se compose l'ensemble $F^{(1)}$.

Le nombre $\varepsilon'$ n'est pas déterminé jusqu'ici. Déterminons le de sorte qu'on ait $m_1 \varepsilon' < \frac{\varepsilon}{2}$.

Nous aurons ainsi :

$$mes \ proj_{(\varphi)} [F^{(2)} - P_{\varphi}] < \frac{\varepsilon}{2},$$

pour tous les nombres $\varphi$.

En outre on voit que $F^{(2)} \subset F^{(1)} \subset C$.

Cela posé, faisons une construction analogue (à celle que nous venons de considérer), mais en partant des cylindres $C_{(i_1, k_1), (i_2, k_2)}$ et des nombres $\frac{\varepsilon}{2^2}$ et $2aq_2$.

D'une façon générale, supposons qu'on ait déjà fait le $n^{\text{ième}}$ pas dans

cette suite de constructions. A savoir, supposons ce qui suit: 1) L'ensemble $F^{(n)}$ est une somme d'un nombre fini de cylindres fermés:

$$(10) \qquad C_{(i_1, k_1), (i_2, k_2), \dots, (i_n, k_n)}$$

où $i_1, \dots, i_n$, prennent des valeurs $-2, -1, 0, 1, 2$ et les indices $k_1, k_2, \dots, k_n$ admettent des valeurs naturels en nombre fini.

$$(11) \qquad 2) \qquad F^{(n)} \subset \hat{xyz} \left\{ \begin{array}{l} -\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4} \\ y^2 + z^2 \le 1 \end{array} \right\}$$

3) Les ravons de tous les cylindres (10) sont égaux deux à deux, leurs axes sont parallèles à l'axe $Ox$ et l'ensemble

$$proj_{Ox} C_{(i_1, k_1), \dots, (i_n, k_n)}$$

coïncide avec l'intervalle

$$(12) \qquad \Delta_{i_1, i_2, \dots, i_n}$$

pour tous les $k_1, k_2, \dots, k_n$ considérés.

4) Les intervalles (12) n'ont pas de points intérieurs communs et on a :

$$(13) \qquad \sum_{i_1} \sum_{i_2} \cdots \sum_{i_n} \Delta_{i_1, i_2, \cdots, i_n} = \left\langle -\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4} \right\rangle.$$

5) On a toujours

$$(14) \qquad mes \ \Delta_{i_1, i_2, \dots, i_n} = \frac{\pi}{2.5^n}.$$

6) Les ensembles

$$(15) \qquad G_{i_1, i_2, \dots, i_n} = \sum_{k_1} \sum_{k_2} \cdots \sum_{k_n} C_{(i_1, k_1), (i_2, k_2), \dots, (i_n, k_n)}$$

ont la propriété :

$$(16) \qquad mes \ proj_{(\varphi)} G_{i_1, i_2, \dots, i_n} \ge 2aq_{n-1}$$

pour toutes les bi-directions $\varphi$ appartenant au bi-angle $\ang \Delta_{i_1, i_2, \dots, i_n}$.

En outre 6) $mes \ proj_{(\varphi)} F^{(n)} \ge 2aq_{n-1}$ pour

$$(17) \qquad \psi \in L(-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4})$$
$$
(18) \quad 7 \text{ mes } \text{proj}_{(\varphi)} \left[ F^{(n)} - \sum_{N=-\infty}^{+\infty} \hat{xyz} \left\{ \varphi - \frac{3\pi}{4.5^n} + N\pi \le x \le \varphi + \frac{3\pi}{4.5^n} + N\pi \right\} \right] < \frac{\epsilon}{2^{n-1}}
$$

et 8)

$$
(19) \quad F^{(n)} \subset F^{(n-1)}.
$$

Notre procédé étant supposé d'être ainsi précisé jusqu'au $n^{\text{ème}}$
pas, le $n+1$ $^{\text{ème}}$ pas se présente comme il suit: Soient $\varepsilon'' > 0$ et
$0 < p'' < 1$ deux nombres, dont le choix ne sera précisé qu'ensuite.

Envisageons le cylindre

$$
(20) \quad C_{(i_1, k_1), (i_2, k_2), \ldots, (i_n, k_n)}
$$

un de ceux, dont $F^{(n)}$ est la somme (voir (10)).

Soit $\rho_n$ le rayon du cylindre (20). La projection du cylindre (20)
sur l'axe $0\alpha$ coïncide avec l'intervalle $\Delta_{i_1, i_2, \dots, i_n}$, dont la longueur
est $\frac{\pi}{2 \cdot 3^n}$.

Il existe des ensembles :

$$
(21) \quad F_{(i_1, k_1), (i_2, k_2), \dots, (i_n, k_n), n+1} \\
\qquad (i_{n+1} = -2, -1, 0, 1, 2)
$$

satisfaisant aux conditions (β) par rapport au cylindre (20) et aux
nombres $\rho_n p''$ et $\varepsilon''$.

L'ensemble (21) est une somme d'un nombre fini de cylindres
fermés, que nous désignerons par :

$$
(22) \quad C_{(i_1, k_1), (i_2, k_2), \dots, (i_n, k_n), (n+1, k_{n+1})} \\
\qquad (k_{n+1} = 1, 2, \dots)
$$

Leurs longueurs sont égales, à savoir $= \frac{\pi}{2.5^{n+1}}$ et leur projec-
tions sur l'axe $0\alpha$ coïncident avec l'intervalle

$$
(23) \quad \Delta_{i_1, i_2, \ldots, i_{n+1}},
$$

qui, par définition, est identique avec l'intervalle :

$$
(24) \quad \left\langle \frac{A+B}{2} + \frac{\pi}{2.5^n} \cdot \frac{2i_{n+1}-1}{10}, \quad \frac{A+B}{2} + \frac{\pi}{2.5^n} \cdot \frac{2i_{n+1}+1}{10} \right\rangle,
$$

où A et B désignent les extrémités gauche et droite de l'inter-
valle Δᵢ₁, i₂, ..., iₙ.

On voit que les intervalles

$$
\Delta_{i_1, i_2, \ldots, i_n, i_{n+1}}
$$
$$
(i_{n+1} = -2, -1, 0, 1, 2)
$$

n'ont pas de points intérieurs communs et qu'ils remplissent l'inter-
valle $\Delta_{i_1, i_2, \dots, i_n}$ tout entier. Les longueurs des intervalles (23) sont
égales deux à deux et le raisonnement du § 4 montre qu'on peut
construire les ensembles (21) de telle manière que tous les cylin-
dres, 'dont ils se composent, aient le même rayon indépendamment
du choix des indices.

Définissons :

$$
(25) \quad G_{i_1, i_2, \ldots, i_{n+1}} \stackrel{df}{=} \sum_{k_1} \sum_{k_2} \cdots \sum_{k_n} F_{(i_1, k_1), \ldots, (i_n, k_n), i_{n+1}}
$$

et

$$
(26) \quad F^{(n+1)} = \sum_{i_1=-2}^{+2} \sum_{i_2=-2}^{+2} \cdots \sum_{i_{n+1}=-2}^{+2} G_{i_1, i_2, \ldots, i_{n+1}}
$$

D'après la définition des ensembles (21) on a :

$$
(27) \quad F_{(i_1, k_1), \dots, (i_n, k_n), i_{n+1}} \subset C_{(i_1 k_1), \dots, (i_n k_n)},
$$

$$
(28) \quad \text{mes } \text{proj}_{(\psi)} F_{(i_1, k_1), \dots, (i_n, k_n), i_{n+1}} \ge 2 \rho_n p''
$$

pour $\psi \in \text{ang } \Delta_{i_1, i_2, \dots, i_{n+1}}$ et

$$
(29) \quad \text{mes } \text{proj}_{(\varphi)} \left[ \sum_{i_{n+1}=-2}^{+2} F_{(i_1, k_1), \dots, (i_n, k_n), i_{n+1}} - \sum_{N=-\infty}^{+\infty} \hat{xyz} \left\{ \varphi - \frac{3\pi}{4.5^{n+1}} + N\pi \le x \le \varphi + \frac{3\pi}{4.5^{n+1}} + N\pi \right\} \right] < \epsilon''
$$

pour tous les nombres $\varphi$.

Soit $\psi$ une bi-direction située dans le bi-angle :

$$
\ang \Delta_{i_1, i_2, \dots, i_n, i_{n+1}}
$$

D'après (27) l'ensemble

$$
(30) \quad \mathrm{proj}_{(\psi)} F_{(i_1, k_1), \dots, (i_n, k_n), i_{n+1}}
$$
est situé dans un intervalle de longueur $2\epsilon_n$, qui se trouve sur la droite

$$x=0, \quad y=t \cos \psi, \quad y=\sin \psi,$$

et est produit par la projection du cylindre

$$C(i_1, k_1), \dots, (i_n, k_n).$$

Donc l'ensemble

$$(31) \quad \text{proj}_{(\psi)} \sum_{k_1} \sum_{k_2} \dots \sum_{k_n} F(i_1, k_1), \dots, (i_n, k_n), i_{n+1}$$

s'obtient, en remplaçant chaque intervalle

$$(32) \quad \text{proj}_{(\psi)} C_{(i_1, k_1), \dots, (i_n, k_n)}, \quad (k_1, \dots, k_n = 1, 2, \dots),$$

dont la somme, étendue à tous les $k_1, k_2, \dots, k_n$, est identique à

$$(32) \quad \text{proj}_{(\psi)} G_{i_1, i_2, \dots, i_n}$$

par un ensemble convenable, à savoir par l'ensemble:

$$\text{proj}_{(\psi)} F(i_1, k_1), \dots, (i_n, k_n), i_{n+1}$$

dont la mesure, d'après (28), est $\ge 2q_n p''$.

Le nombre de tous les intervalles (32) est fini, d'où le nombre d'intervalle (32), pour $i_1, i_2, \dots, i_n$ fixes, est majoré par un nombre, qui est indépendant du choix de la bi-direction $\psi$ est des indices $i_1, \dots, i_n$.

Outre cela, d'après (11) et (15), l'ensemble,

$$\text{proj}_{(\psi)} G_{i_1, i_2, \dots, i_n}$$

est situé toujours dans le même segment de longueur 2 et d'après (16)

$$\text{mes proj}_{(\psi)} G_{i_1, i_2, \dots, i_n} \ge 2 a q_{n-1}$$

pour

$$\psi \in \text{ang } \Delta_{i_1, i_2, \dots, i_n}.$$

D'après (2) on a:

$$0 < a q_n < a q_{n-1}.$$

On se trouve donc dans les conditions du lemme III. D'après ce lemme, on peut choisir $p''$ (indépendamment du choix de $\psi$ et des indices $i_1, i_2, \dots, i_{n+1}$) de sorte qu'on ait:

$$\text{mes proj}_{(\psi)} \sum_{k_1} \sum_{k_2} \dots \sum_{k_n} F(i_1, k_1), \dots, (i_n, k_n), i_{n+1} \ge 2 a q_n.$$

Supposons qu'on ait choisi $p''$ de cette manière.

On a donc

$$(33) \quad \text{mes proj}_{(\psi)} G_{i_1, i_2, \dots, i_{n+1}} \ge 2 a q_n$$

pour tous les groupes d'indices $i_1, \dots, i_{n+1}$ et pour chaque $\psi$ tel que

$$\psi \in \text{ang } \Delta_{i_1, i_2, \dots, i_{n+1}}.$$

Je dis que, si $\psi \in \left\langle -\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4} \right\rangle$, on a

$$\text{mes proj}_{(\psi)} F^{(n+1)} \ge 2 a q_n.$$

En effet, soit

$$\psi \in \left\langle -\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4} \right\rangle.$$

Il existe certainement, un groupe d'indice $i_1, \dots, i_n$, telle que

$$\psi \in \Delta_{i_1, i_2, \dots, i_n}.$$

donc il existe un indice $i_{n+1}$ tel que

$$\psi \in \Delta_{i_1, i_2, \dots, i_n, i_{n+1}}.$$

Donc on a, d'après (33),

$$\text{mes proj}_{(\psi)} G_{i_1, i_2, \dots, i_{n+1}} \ge 2 a q_n.$$

Mais, en vertu de (26), on voit que

$$\text{proj}_{(\psi)} F^{(n+1)} \supset \text{proj}_{(\psi)} G_{i_1, i_2, \dots, i_{n+1}},$$

d'où enfin

$$(34) \quad \text{mes proj}_{(\psi)} F^{(n+1)} \ge 2 a q_n$$

pour

$$\psi \in \left\langle -\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4} \right\rangle.$$

Envisageons maintenant un nombre arbitraire $\varphi$ et posons

$$P_{\varphi} = \sum_{N=-\infty}^{+\infty} \hat{xyz} \left\{ \varphi - \frac{3\pi}{4.5^{n+1}} + N\pi \le x \le \varphi + \frac{3\pi}{4.5^{n+1}} + N\pi \right\}.$$

D'après (29) on a:

$$(29) \quad \text{mes proj}_{(\varphi)} \left[ \sum_{i_{n+1}=-2}^{+2} F_{(i_1, k_1), \dots, (i_n, k_n), i_{n+1}} - P_{\varphi} \right] < \varepsilon''.$$
Mais d'après (25). et (26):

$$
F^{(n+1)} = \sum_{i_1} \dots \sum_{i_n} \sum_{k_1} \dots \sum_{k_n} \sum_{i_{n+1}} F_{(i_1, k_1), \dots, (i_n, k_n), i_{n+1}}
$$

donc

$$
F^{(n+1)} - P_{\varphi} = \sum_{i_1} \dots \sum_{i_n} \sum_{k_1} \dots \sum_{k_n} \left[ \sum_{i_{n+1}} F_{(i_1, k_1), \dots, (i_n, k_n), i_{n+1}} - P_{\varphi} \right].
$$

Le nombre de tous les groupes considérés d'indices

$$
i_1, i_2, \dots, i_n, k_1, k_2, \dots, k_n
$$

est égal au nombre de tous les cylindres (20), (dont la somme est $F^{(n)}$); il est donc fini, soit $m_n$.

On a donc :

$$
\text{mes } \mathrm{proj}_{\varphi} [F^{(n+1)} - P_{\varphi}] \le m_n \cdot \varepsilon''.
$$

Le nombre $\varepsilon''$ n'étant pas précisé jusqu'ici, choisissons le de
sorte qu'on ait:

$$
(35) \qquad m_n \varepsilon'' < \frac{\varepsilon}{2^n}.
$$

Il en résulte l'inégalité :

$$
(36) \quad \text{mes } \mathrm{proj}_{(\varphi)} [F^{(n+1)} - P_{\varphi}] < \frac{\varepsilon}{2^n},
$$

pour tous les $\varphi$.

En outre on voit que $\tilde{F}^{(n+1)}$ est un ensemble fermé, composé d'un nombre fini de cylindres fermés

$$
C_{(i_1, k_1), (i_2, k_2), \dots, (i_{n+1}, k_{n+1})},
$$

ayant le même rayon et la même longueur.

On a aussi :

$$
(37) \qquad F^{(n+1)} \subsetneq F^{(n)}.
$$

§ 6. Nous avons obtenu une suite infinie d'ensembles fermés:

$$
(1) \quad F^{(1)} \supset \dots \supset F^{(n)} \supset \dots,
$$

situés dans le cylindre

$$
(2) \quad C = \hat{xyz} \left\{ \begin{array}{l} -\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4} \\ y^2 + z^2 \le 1 \end{array} \right\}
$$

et qui jouit des propriétés suivantes: Pour chaque bi-direction $\varphi$,

$$
\text{située dans le bi-angle } \ang \left\langle -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right\rangle, \text{ on a}
$$

$$
(3) \quad \text{mes } \mathrm{proj}_{(\varphi)} F^{(n)} \ge 2a \cdot q_{n-1},
$$

où $\lim q_n = 1$.

Pour chaque nombre $\varphi$ on a :

$$
(4) \text{ mes } \mathrm{proj}_{(\varphi)} \left[ F^{(n)} - \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{xyz} \left\{ \varphi - \frac{3\pi}{4.5^n} + N\pi, \varphi + \frac{3\pi}{4.5^n} + N\pi \right\} \right] < \frac{\epsilon}{2^{n-1}},
$$

où $\epsilon$ est un nombre positif et donné d'avance.

Définissons :

$$
(5) \quad H(a) \xrightarrow{a} \prod_{n=1}^{\infty} F^{(n)} \quad (\text{voir (1) § 5}).
$$

Cet ensemble est fermé, non vide et on a toujours

$$
(6) \quad \mathrm{proj}_{(\varphi)} H(a) = \prod_{n=1}^{\infty} \mathrm{proj}_{(\varphi)} F^{(n)}
$$

parce que les ensembles $F^{(n)}$ sont fermés.

Outre cela, en vertu de (1), on a

$$
(7) \quad \mathrm{proj}_{\varphi} F^{(n+1)} \subset \mathrm{proj}_{\varphi} F^{(n)} \quad (n=1, 2, \dots),
$$

d'où il suit, d'après (6):

$$
(8) \quad \text{mes } \mathrm{proj}_{\varphi} H(a) = \lim_{n \to \infty} \text{mes } \mathrm{proj}_{\varphi} F^{(n)}.
$$

De la propriété (3) on tire :

$$
(9) \quad \text{mes } \mathrm{proj}_{(\varphi)} H(a) \ge 2a \\
\text{pour } \varphi \in \left\langle -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right\rangle.
$$

Soit maintenant $\varphi \in \left\langle -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right\rangle$; je dis que

$$
(10) \quad \text{mes } \mathrm{proj}_{(\varphi)} [\hat{H}(a) - xyz \{x = \varphi\}] = 0.
$$

En effet, posons

$$
(11) \quad P_n = \sum_{N=-\infty}^{+\infty} \hat{xyz} \left\{ \varphi - \frac{3\pi}{4.5^n} + N\pi \le x \le \varphi + \frac{3\pi}{4.5^n} + N\pi \right\}.
$$
On a d'après (5)

$H(a) \subset F^{(n)}, (n = 1, 2, \dots)$ donc

$H(a) - P_n \subset F^{(n)} - P_n,$

d'où, en vertu de la propriété (4):

$$ (12) \qquad \text{mes } \text{proj}_{(\varphi)}[H(a) - P_n] \le \frac{\varepsilon}{2^{n-1}}. $$

Mais on a évidemment:

$$ (13) \qquad P_n \supset P_{n+1} \supset \dots $$

et

$$ (14) \qquad \Pi_{k=0}^{\infty} P_{n+k} = \sum_{N=-\infty}^{+\infty} \hat{xyz} \{x=\varphi + N\pi\}, $$

d'où

$$ (15) \qquad H(a) - \sum_{N=-\infty}^{+\infty} \hat{xyz} \{x=\varphi + N\pi\} = \sum_{k=0}^{\infty} [H(a) - P_{n+k}]. $$

On sait que $F^{(n)} \subset C$; donc $H(a) \subset C$, d'où on obtient

$$ \text{proj}_{0x} H(a) \subset \text{proj}_{0x} C $$

$$ (16) \qquad \text{proj}_{0x} H(a) \subset \left\langle -\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4} \right\rangle. $$

La longueur de l'intervalle $\langle -\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4} \rangle$ étant inférieure à $\pi$, il s'ensuit que le nombre

$$ \varphi + N\pi $$

n'appartient pas à $\langle -\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4} \rangle$ pour $N \neq 0$.

$$ (17) \qquad H(a) - \sum_{N=-\infty}^{+\infty} \hat{xyz} \{x=\varphi + N\pi\} = H(a) - \hat{xyz} \{x=\varphi\} $$

d'où, en vertu de (15):

$$ (18) \qquad H(a) - \hat{xyz} \{x=\varphi\} = \sum_{k=0}^{\infty} [H(a) - P_{n+k}] $$

et par conséquent:

$$ \text{mes } \text{proj}_{(\varphi)}[H(a) - \hat{xyz}\{x=\varphi\}] \le \sum_{k=0}^{\infty} \text{mes } \text{proj}_{(\varphi)}[H(a) - P_{n+k}]. $$

En vertu de (12) on en déduit:

$$ \text{mes } \text{proj}_{(\varphi)}[H(a) - \hat{xyz}\{x=\varphi\}] \le \frac{\varepsilon}{2^{n-1}} [1 + \frac{1}{2} + \dots] \le \frac{\varepsilon}{2^{n-2}}. $$

Si l'on fait croître $n$ vers l'infini, on en obtient enfin

$$ (19) \qquad \text{mes } \text{proj}_{(\varphi)}[H(a) - \hat{xyz}\{x=\varphi\}] = 0, \\ \text{pour} \\ \varphi \varepsilon \left\langle -\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4} \right\rangle. $$

Ceci posé, envisageons une suite infinie

$$ (20) \qquad 0 < a_1 < a_2 < \dots < a_m < \dots $$

convergente vers 1 et construisons des ensembles correspondantes:

$$ H(a_1), H(a_2), \dots $$

pour lesquels on ait:

$$ (21) \qquad \text{mes } \text{proj}_{(\varphi)} H(a_m) \ge 2a_m $$

$$ \text{et} \quad \text{mes } \text{proj}_{\varphi} [H(a_m) - \hat{xyz}\{x=\varphi\}] = 0, \\ \text{pour chaque} \\ \varphi \varepsilon \left\langle -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right\rangle. $$

Définissons:

$$ (22) \qquad H \underset{\overline{d}}{\stackrel{\infty}{\sum}} H(a_m). $$

On a toujours

$$ \text{proj}_{(\varphi)} H = \sum_{m=1}^{\infty} \text{proj}_{(\varphi)} H(a_m) $$

$$ \text{donc, pour } \varphi \varepsilon \left\langle -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right\rangle, \text{ on a:} \\ \text{mes } \text{proj}_{\varphi} H \ge \text{mes } \text{proj}_{\varphi} H(a_m) \ge 2a_m. $$

Ceci étant vraie pour $m=1, 2, \dots$, on en tire la relation

$$ \text{mes } \text{proj}_{\varphi} H \ge 2. $$

On a $H \subset C$ parce que $H(a_n) \subset C$.

On a donc:

$$ \text{mes } \text{proj}_{(\varphi)} H \le 2, \text{ d'où on obtient enfin } \text{mes } \text{proj}_{(\varphi)} H = 2 \text{ pour} $$

$$ (23) \qquad \varphi \varepsilon \left\langle -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right\rangle. $$
Je dis que

$$mes \ proj_{(\psi)} [H - \hat{xyz} \{x = \psi\}] = 0$$

pour chaque nombre $\psi$ appartenant à $\langle -\frac{\pi}{2}, +\frac{\pi}{2} \rangle$. En effet, en vertu de (22), on a l'identité suivante:

$$H - \hat{xyz} \{x = \psi\} = \sum_{m \mid}^{\infty} [H(a_m) - \hat{xyz} \{x = \psi\}],$$

d'où il suit:

$$mes \ proj_{(\psi)} [H - \hat{xyz} \{x = \psi\}] \leq \sum_{m \mid}^{\infty} mes \ proj_{(\psi)} [H(a_m) - \hat{xyz} \{x = \psi\}] = 0.$$

Cela posé, définissons:

$$(25) \qquad E_{\varphi} \circ \mathrm{proj}_{0y} [H \hat{xyz} \{x = \varphi\}]$$

pour $-\frac{\pi}{4} \le \varphi \le \frac{\pi}{4}$.

**§ 7.** On obtient ainsi une classe indénombrable d'ensembles se trouvant dans le cercle $y^2+z^2 \le 0$, $x=0$ et jouissant des propriétés suivantes:

1) $mes \ proj_{\psi} \Sigma_{\varphi} E_{\varphi} = 2$ pour chaque

$$\psi \in \langle -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \rangle.$$

la sommation étant étendue à tous les $\varphi$, où

$$\varphi \in \langle -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \rangle.$$

2) $mes \ proj_{\psi} \Sigma_{\varphi=\psi} E_{\varphi} = 0$ pour chaque

$$\psi \in \langle -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \rangle,$$

la sommation étant étendue à tous les $\varphi$ situés dans $\langle -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \rangle$ et différents de $\psi$.

La première propriété résulte de l'identité:

$$\mathrm{proj}_{\psi} \Sigma_{\varphi} E_{\varphi} = \mathrm{proj}_{(\psi)} H$$

et la deuxième est une conséquence des identités suivantes:

$$\Sigma_{\varphi+\psi} E_{\varphi} = \mathrm{proj}_{0y} [H - \hat{xyz} \{x = \psi\}].$$

$\mathrm{proj}_{\varphi} \mathrm{proj}_{0y} M = \mathrm{proj}_{(\varphi)} M$ pour chaque ensemble $M$.

La classe $\{E_{\varphi}\}$ d'ensembles, que nous venons d'obtenir, va nous servir pour le point de départ pour la deuxième partie de raisonnement, qui sera d'un caractère un peu différent. En restant sur le plan $0yz$, faisons des projections obliques sur l'axe $0y$, des différents ensembles $E_{\varphi}$.

On démontre aisément que, pour des projections obliques considérées, on a

$$(4) \qquad mes \ proj_{0y}^{\psi+\frac{\pi}{2}} \sum_{\varphi} E_{\varphi} = \frac{2}{\cos \psi}.$$

$$(5) \qquad mes \ proj_{0y}^{\psi+\frac{\pi}{2}} \sum_{\varphi=\psi} E_{\varphi} = 0,$$

pour tous les nombres $\psi$, situés dans l'intervalle

$$\langle -\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4} \rangle.$$

Nous avons ainsi obtenu, dans le plan $0yz$, une configuration composée du cercle $K$:

$$(6) \qquad x=0, y^2+z^2 \le 1,$$

des ensembles $E_{\varphi}$, $(-\frac{\pi}{4} \le \varphi \le \frac{\pi}{4})$ y situés, des faisceaux $F_{\varphi}$ de droites:

$$(7) \qquad x=0, y \cos \varphi + z \sin \varphi - c = 0$$

$$\text{où} \qquad |c| \le 1$$

et de l'axe $0y$. [On emploie ces droites, en faisant la projection oblique du cercle $K$:

$$(8) \qquad \mathrm{proj}_{0y}^{\varphi+\frac{\pi}{2}} K.$$

Ayant cette configuration, en faisons la projection centrale sur le plan $0xy$, au moyen des rayons partant du point fixe $T$:

$$(9) \qquad T: x=z=2, y=0.$$

Cette projection produit une correspondance entre les éléments mentionnés plus haut de la configuration considérée et les éléments correspondants, situés dans le plan $0xy$. Dans la suite nous emploierons le signe $*_a^b$ pour désigner des éléments correspondants aux différents éléments de la dite configuration.
On voit qu'au cercle $K$ correspond une ellipse $K^*$ et aux ensembles $E_\varphi$ correspondent les ensembles $E_\varphi^*$, situés dans cette ellipse.

Cherchons, quel est l'image du faisceau $F_\varphi$ (voir (7)). Les équations (7) équivalent à:

$$ (10) \qquad x=0, y=-z \operatorname{tg} \varphi + \frac{c}{\cos \varphi}, $$

puisque $\cos \varphi \neq 0$, d'après la supposition

$$ -\frac{\pi}{4} \le \varphi \le \frac{\pi}{4}. $$

Le nombre

$$ (11) \qquad \frac{c}{\cos \varphi} $$

est égal à la coordonnée $y$ du point d'intersection de la droite (10) avec l'axe $Oy$.

On voit, que le faisceau $F_\varphi$ de droites parallèles se transforme en un faisceau de droites passant par le point

$$ (12) \qquad T_{\varphi+\frac{\pi}{2}}, $$

dont les coordonnées sont:

$$ (13) \qquad x=2, y=2 \operatorname{tg} \varphi, z=0. $$

Donc, à la droite (10) corresponde la droite, qui joint le point $T_{\varphi+\frac{\pi}{2}}$ avec le point:

$$ x=0, y=\frac{c}{\cos \varphi}, z=0. $$

On obtient ainsi la droite:

$$ y - \frac{c}{\cos \varphi} = \frac{2 \operatorname{tg} \varphi - \frac{c}{\cos \varphi}}{2 - 0} (x - 0) $$

$$ y - \frac{c}{\cos \varphi} = \left( \operatorname{tg} \varphi - \frac{c}{2 \cos \varphi} \right) x $$

$$ (14) \left\{ \begin{array}{l} y \cdot 2 \cos \varphi + x (c - 2 \sin \varphi) - 2c = 0 \\ z = 0, \quad |c| \le 1. \end{array} \right. $$

Les droites (14) ferment précisément le faisceau $F_\varphi^*$; elles remplissent un angle, dont les bras sont:

$$ (15) \qquad 2y \cos \varphi + x (\pm 1 - 2 \sin \varphi) \mp 2 = 0, z=0. $$

## Sur les ensembles accessibles.

Il s'ensuit que la projection oblique et parallèle

$$ \operatorname{proj}_{O_\varphi}^{\varphi+\frac{\pi}{2}} E_{\varphi'} $$

dans le plan $Oyz$, se transforme en une projection centrale, à savoir

$$ \operatorname{proj}_{O_\varphi}^{(T_{\varphi+\frac{\pi}{2}})} (E_{\varphi'}^*) $$

sur la même droite $Oy$, cette projection étant produite par des droites du faisceau $F^*$

On voit que

$$ (16) \qquad \operatorname{proj}_{O_\varphi}^{\varphi+\frac{\pi}{2}} E_{\varphi'} = \operatorname{proj}_{O_\varphi}^{(T_{\varphi+\frac{\pi}{2}})} (E_{\varphi'}^*) $$

donc, d'après (4) et (5):

$$ (17) \qquad \operatorname{mes} \operatorname{proj}_{O_\varphi}^{(T_{\varphi+\frac{\pi}{2}})} \sum_{\varphi'} E_{\varphi'}^* = \frac{2}{\cos \varphi} $$

et

$$ (18) \qquad \operatorname{mes} \operatorname{proj}_{O_\varphi}^{(T_{\varphi+\frac{\pi}{2}})} \sum_{\varphi' \neq \varphi} E_{\varphi'}^* = 0 $$

$$ \text{pour tous les } \varphi \text{ et } \varphi' \in \left\langle -\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4} \right\rangle. $$

Remarquons, ce qui sera important dans le suite, à savoir que l'ensemble

$$ (19) \qquad \operatorname{proj}_{O_\varphi}^{(T_{\varphi+\frac{\pi}{2}})} \sum_{\varphi'} E_{\varphi'}^* $$

se trouve dans un segment fermé, dont la mesure est précisément égale à la mesure de l'ensemble (19). Cela résulte du fait que:

$$ \operatorname{proj}_{O_\varphi}^{\varphi+\frac{\pi}{2}} \sum_{\varphi'} E_{\varphi'} \subset \operatorname{proj}_{O_\varphi}^{\varphi+\frac{\pi}{2}} K, $$

et l'ensemble du second membre est un intervalle fermé de longueur $\frac{2}{\cos \varphi}$.

On peut dire brièvement que $\pi$ l'ensemble (19) est de mesure pleine$^*$, pour exprimer la propriété dont on vient de parler.

Ceci posé, appliquons à la configuration, obtenue dans le plan $Oxy$, la transformation polaire $\Phi$ par rapport au cercle $K_1$:

$$ (20) \qquad K_1: (x-2)^2 + (y+4)^2 = 1, z=0; $$
c'est-à-dire, faisons correspondre au chaque point A du plan Oxy:

$$ (21) \quad (x_1, y_1, z_1 = 0) \text{ où } (x_2, y_2) \neq (2, -4) $$

la droite $\Phi$ pro A:

$$ (22) \quad (x-2)(x_1-2)+(y+4)(y_1+4)=1, $$

et à chaque droite l: $ax+by+c=0$, ne passant pas par le point (2, -4), faisons correspondre le point $\Phi$ pro l'.

$$ (23) \quad \xi = 2 + \frac{a}{-(2a-4b+c)}, \quad \eta = -4 + \frac{b}{-(2a-4b+c)}. $$

Voyons ce qui se produit par la transformation $\Phi$, si l'on l'applique à notre configuration.

Remarquons d'abord qu'aucune droite du faisceau $F_{\varphi}^{*}$ ne passe jamais par le centre (2, -4) du cercle $K_1$. En effet, les équations de ces droites sont d'après (14):

$$ y \cdot 2 \cos \varphi + x(c - 2 \sin \varphi) - 2c = 0, \quad |c| \le 1, $$

donc, si l'on prend pour $x$ et $y$ respectivement les valeurs 2, -4 on obtient la valeur

$$ \begin{aligned} -8 \cos \varphi + 2(c - 2 \sin \varphi) - 2c &= -8 \cos \varphi - 4 \sin \varphi = -4 [2 \cos \varphi + \sin \varphi], \end{aligned} $$

qui n'est jamais $=0$, parce que dans le cas contraire, on obtient la relation

$$ \operatorname{tg} \varphi = -2, $$

ce qui est impossible, puisque $|\varphi| \le \frac{\pi}{4}$.

Il s'ensuit que pour chaque droite l des faiseaux $F_{\varphi}^{*}$ considérés, le symbole $\Phi$ pro l a un sens précis.

On peut aussi démontrer que l'ellipse $K^*$ n'a pas de points communs avec $K_1$. On en déduit que l'ensemble de droites $\Phi$ pro $E_{\varphi}^*$ est complètement déterminé.

Au point $T_{\varphi+\frac{\pi}{2}}$, dont les coordonnées sont (13)

$$ x=2, \quad y=2 \operatorname{tg} \varphi, $$

correspond la droite:

$$ (24) \quad t_{\varphi+\frac{\pi}{2}} \cdot \overline{\operatorname{tg} \varphi} \quad \Phi \text{ pro } T_{\varphi+\frac{\pi}{2}}, $$

dont l'équation est:

$$ (25) \quad \dot{y} = \frac{1}{2 \operatorname{tg} \varphi + 4} - 4. $$

On voit que les droites $t_{\varphi+\frac{\pi}{2}}$, pour $|\varphi| \le \frac{\pi}{2}$, remplissent la bande:

$$ (26) \quad \hat{xy} \{-4 + \frac{1}{2} \le y \le -4 + \frac{1}{2}\} $$

et sont parallèles à l'axe OX. On voit aussi que la correspondance ainsi obtenue entre les nombre $\varphi$, où $|\varphi| \le \frac{\pi}{2}$, et les ordonnées des droites correspondantes $t_{\varphi+\frac{\pi}{2}}$ est biunivoque et bicontinue.

Au faisceau $F_{\varphi}^{*}$ de droites correspond, d'après (14) et (23), l'ensemble de points $(\xi, \eta)$, où:

$$ (27) \quad \left\{ \begin{array}{l} \xi = 2 + \frac{2 \sin \varphi - c}{-4 \sin \varphi - 8 \cos \varphi} \\ \eta = -4 + \frac{1}{2 \operatorname{tg} \varphi + 4} \\ -1 \le c \le +1 \end{array} \right. $$

Donc, si $c$ varie dans l'intervalle $(-1, +1)$, $\xi$ varie de

$$ (28) \quad 2 + \frac{2 \sin \varphi + 1}{-4 \sin \varphi - 8 \cos \varphi} \text{ à } 2 + \frac{2 \sin \varphi - 1}{-4 \sin \varphi - 8 \cos \varphi}, $$

de sorte que le point $(\xi, \eta)$ décrit un segment rectiligne fermé. Nous avons donc

$$ (29) \quad \Phi_{\text{pro}} F_{\varphi}^{*} = \hat{xy} \left\{ \begin{array}{l} y = -4 + \frac{1}{2 \operatorname{tg} \varphi + 4} \\ 2 + \frac{2 \sin \varphi + 1}{-4 \sin \varphi - 8 \cos \varphi} \le x \le 2 + \frac{2 \sin \varphi - 1}{-4 \sin \varphi - 8 \cos \varphi} \end{array} \right. $$

La différence de ces quantités:

$$ f(\varphi) = \frac{2}{-4 \sin \varphi - 8 \cos \varphi} $$

n'est jamais 0, d'où en raison de continuité, cette fonction est toujours $<0$ dans $-\frac{\pi}{4} \le \varphi \le +\frac{\pi}{4}$ et sa valeur absolue dans cet intervalle est supérieure à une quantité positive fixe. Si l'on désigne par $\eta_{\varphi}$ l'ordonnée de la droite $t_{\varphi+\frac{\pi}{2}}$, on voit que la quan-
tité $f(\varphi)$, considérée comme une fonction continue de $\eta_{\varphi}$, a une valeur absolue supérieure à un nombre positif fixe (voir (26)).

Donc, l'ensemble de points <fnref n="1" />):

$$ (31) \qquad \sum_{\varphi} \Phi \operatorname{pro} F_{\varphi}^* $$

possède des points intérieurs.

Définissons:

$$ (32) \qquad e_{\varphi} = \sum_{\varphi} \Phi \operatorname{pro} E_{\varphi}^* \quad \text{pour } |\varphi| \le \frac{\pi}{4}; $$

$e_{\varphi}$ est un ensemble de droites.

Désignons par:

$$ (33) \qquad \{l_{\varphi}\}_{\psi} $$

l'ensemble de toutes les droites du faisceau $F_{\varphi}^*$, qui contiennent au moins un point de l'ensemble $E_{\varphi}^*$. Ce sont précisément ces droites (dudit faisceau), dont on doit faire usage, en effectuant la projection : $\operatorname{proj}_{0\psi}^{(T_{\psi+\frac{\pi}{2}})} E_{\varphi}^*$.

Définissons:

$$ (24) \qquad \{L_{\varphi}\}_{\psi} = \sum_{\varphi} \Phi \operatorname{pro} \{l_{\varphi}\}_{\psi}. $$

Cet ensemble, dont les éléments sont des points, se trouve dans le segment (29) $\Phi \operatorname{pro} F_{\varphi}^*$ et se compose de points d'intersection des droites, appartenant à $e_{\varphi}$, avec la droite $t_{\psi+\frac{\pi}{2}}$. D'après une remarque faite plus haut, l'ensemble

$$ \operatorname{proj}_{0\psi}^{\psi+\frac{\pi}{2}} \sum_{\varphi} E_{\varphi}^* $$

est de mesure pleine. Donc le faisceau $\sum_{\varphi} \{l_{\varphi}\}_{\psi}$ (pour $\psi$ fixe) est un faisceau de droites partant du point $T_{\psi+\frac{\pi}{2}}$ et passant par les points d'un ensemble de mesure pleine. Par conséquent l'ensemble:

$$ (25) \qquad \Phi \operatorname{pro} \sum_{\varphi} \{l_{\varphi}\}_{\psi} = \sum_{\varphi} \Phi \operatorname{pro} \{l_{\varphi}\}_{\psi} = \sum_{\varphi} \{L_{\varphi}\}_{\psi} $$

est un ensemble de mesure pleine et on a:

$$ (26) \qquad \operatorname{mes} \sum_{\varphi} \{L_{\varphi}\}_{\psi} = \operatorname{mes} [\Phi \operatorname{pro} F_{\varphi}^*], $$

car on sait que:

$$ (27) \qquad \sum_{\varphi} \{L_{\varphi}\}_{\psi} \subset \Phi \operatorname{pro} F_{\varphi}^* $$

D'une façon analogue, on a:

$$ (28) \qquad \operatorname{mes} \sum_{\varphi \vdash \psi} \{L_{\varphi}\}_{\psi} = 0, $$

parce que:

$$ \operatorname{mes} \operatorname{proj}_{0\psi}^{\psi+\frac{\pi}{2}} \sum_{\varphi \vdash \psi} E_{\varphi}^* = 0 $$

et:

$$ \Phi \operatorname{pro} \sum_{\varphi \vdash \psi} \{l_{\varphi}\}_{\psi} = \sum_{\varphi \vdash \psi} \Phi \operatorname{pro} \{l_{\varphi}\}_{\psi} = \sum_{\varphi \vdash \psi} \{L_{\varphi}\}_{\psi}. $$

Définissons:

$$ (29) \qquad M_{\psi} = \sum_{\varphi} \{L_{\varphi}\}_{\psi} - \sum_{\varphi \vdash \psi} \{L_{\varphi}\}_{\psi} $$

la sommation étant étendue à tous les $\varphi$ appartenant à $\langle -\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4} \rangle$ et différents de $\psi$.

L'ensemble:

$$ \sum_{\varphi} \{L_{\varphi}\}_{\psi} = \{L_{\psi}\}_{\psi} + \sum_{\varphi \vdash \psi} \{L_{\varphi}\}_{\psi} $$

est de mesure pleine, donc, le deuxième terme du second membre étant de mesure 0 d'après (28), l'ensemble $\{L_{\varphi}\}_{\psi}$ est de mesure pleine:

$$ (30) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \operatorname{mes} \{L_{\varphi}\}_{\psi} = \operatorname{mes} [\Phi \operatorname{pro} F_{\varphi}^*] \\ \{L_{\varphi}\}_{\psi} \subset \Phi \operatorname{pro} F_{\varphi}^* \end{array} \right. $$

On en déduit que $M_{\psi}$ est de mesure pleine:

$$ (31) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \operatorname{mes} M_{\psi} = \operatorname{mes} [\Phi \operatorname{pro} F_{\psi}^*] \\ M_{\psi} \subset \Phi \operatorname{pro} F_{\psi}^* \end{array} \right. $$

<footnote n="1">¹) c'est à dire l'ensemble de points correspondants aux rayons employés pour les projections des différents points du cercle $K$.</footnote>
Envisageons les droites de l'ensemble

$$ (32) \qquad \sum_{\varphi} e_{\varphi}, $$

passant par les points de $M_\psi$.

Je dis que

I. si $A \in M_\psi$, il existe au moins une droite de l'ensemble (32) passant par $A$.

En effet, soit $A \in M_\psi$; on a d'après (29)

$$ (33) \qquad A \in \{L_\psi\}_\psi. $$

L'ensemble $\{L_\psi\}_\psi$ c'est précisément l'ensemble de points d'intersection des droites de l'ensemble $e_\psi$ par la droite $t_{\psi+\frac{\pi}{2}}$; donc il existe une droite de l'ensemble (32) passant par $A$.

Démontrons maintenant que

II. si $A \in M_\psi$ et $l \in \Sigma e_\varphi$, on a nécessairement: $l \in e_\psi$, et $l$ n'ap-
partient pas à $e_{\varphi'}$, si $\varphi' \neq \psi$.

En effet, soit

$$ (34) \qquad A \in M_\psi, \quad l \in \Sigma e_\varphi, \quad A \in \text{ens } l. $$

Supposons qu'il existe un nombre $\varphi'$, tel que

$$ (35) \qquad \varphi' \neq \psi, \quad l \in e_{\varphi'}. $$

D'après (29)

$$ (36) \qquad A \in \{L_\psi\}_\psi $$

$$ (37) \qquad A \text{ non } \in \{L_{\varphi'}\}_{\varphi'}. $$

et

L'ensemble $\{L_\varphi\}_\varphi$ se compose de points d'intersection des droites de l'ensemble $e_\varphi$ par la droite $t_{\psi+\frac{\pi}{2}}$. D'après (34) et (35) on a:

$$ (38) \qquad A \in \text{ens } l, \quad l \in e_{\varphi'}. $$

outre cela, on a $A \in \text{ens } t_{\psi+\frac{\pi}{2}}$, puisque (38).

Par conséquent:

$$ A \in \text{ens } l. \quad \text{ens } t_{\psi+\frac{\pi}{2}}, $$

d'où $A \in \{L_{\varphi'}\}_\psi$, ce qui est en contradiction avec (37).

On a donc démontré que, si $A \in M_\psi$, $A \in \text{ens } l$, et $l \in \Sigma e_\varphi$, il s'ensuit que $l \text{ non } \in e_\varphi$ pour $\varphi \neq \psi$.

Mais on a supposé que $l \in \Sigma e_\varphi$. Il en résulte que $l \in e_\psi$.

III. Si $A \in M_\psi$, $\psi \neq \psi'$, $B \in M_{\varphi'}$, et si $l$ est une droite, telle que

$$ A \in \text{ens } l, \quad l \in \Sigma e_\varphi, $$

il s'ensuit que:

$$ B \text{ non } \in \text{ens } l. $$

En effet, supposons les hypothèses vérifiées.

On a, en vertu de II:

$$ l \text{ non } \in e_{\varphi'}. $$

Si l'on avait $B \in \text{ens } l$, on en déduirait, d'après II, que

$$ l \in e_{\varphi'}. $$

ce qui est en contradiction avec ce que nous venons d'obtenir.

IV. Si $A \in M_\psi$, il existe une droite $l$, passant par $A$ et telle que:

$$ I \quad A = \text{ens } l. \quad \Sigma M_{\varphi}^1). $$

En effet, d'après I, il existe une droite $l$ satisfaisant aux conditions:

$$ l \in \Sigma e_\varphi, \quad A \in \text{ens } l. $$

Soit $l$ une telle droite. On a:

$$ (39) \qquad \text{ens } l. \quad \sum_{\varphi} M_{\varphi} = \text{ens } l. M_{\psi} + \text{ens } l. \sum_{\varphi' \neq \psi} M_{\varphi'}. $$

Je dis que le deuxième terme du second membre est un ensemble vide.

En effet, supposons que

$$ B \in \text{ens } l. \quad \Sigma M_{\varphi}; $$

il existe un nombre $\varphi'$, tel que

$$ \varphi' \neq \psi, \quad B \in M_{\varphi'}. $$

Donc on a:

$$ \varphi' \neq \psi, \quad B \in M_{\varphi'}, \quad B \in \text{ens } l, \quad A \in M_{\psi}, \quad l \in \Sigma e_{\varphi}, $$

d'où, en vertu de III, on tire:

$$ A \text{ non } \in \text{ens } l. $$

ce qui est impossible.

<footnote n="1">¹) I A veut signifier l'ensemble composé d'un seul point A.</footnote>
On a donc:

$$ \text{ens } l. \sum_{\varphi \to \psi} M_{\varphi} = 0, $$

d'où, d'après (39):

$$ \text{ens } l. \sum_{\varphi} M_{\varphi} = \text{ens } l. M_{\psi} \subset \text{ens } l. \text{ens } t_{\psi+\frac{\pi}{2}}, $$

$$ \text{c'est-à-dire, } \text{ens } l. \sum_{\varphi} M_{\varphi} = I A. $$

c. q. f. d.

On en tire une conséquence importante:

$$ \text{Si } A \in \sum_{\varphi} M_{\varphi}, $$

il existe une droite $l$, telle que:

$$ (40) \qquad \text{ens } l. \sum_{\varphi} M_{\varphi} = I A. $$

L'ensemble $\sum_{\varphi} M_{\varphi}$ est un ensemble plan. On sait déjà que:

$$ (41) \quad \left. \begin{array}{l} M_{\varphi} \subset \Phi \text{ pro } F_{\varphi}^{*} \quad \text{et} \\ \text{mes } M_{\varphi} = \text{mes } (\Phi \text{ pro } F_{\varphi}^{*}). \end{array} \right\} $$

Outre cela, on sait que l'ensemble

$$ (42) \qquad \sum_{\varphi} [\Phi \text{ pro } F_{\varphi}^{*}] $$

contient des points intérieurs.

Il existe donc un carré :

$$ (43) \qquad N \hat{x} \hat{y} \left\{ \begin{array}{l} \xi_0 - \tau \le x \le \xi_0 + \tau \\ \eta_0 - \tau \le y \le \eta_0 + \tau \end{array} \right\} $$

qui est contenu dans l'ensemble (42).

D'après ce qu'on a dit plus haut (41) et (26)), on voit que l'ensemble

$$ R \hat{x} N \sum_{\varphi} M_{\varphi} $$

jouit de la propriété suivante:

$$ \text{Si } \eta_0 - \tau \le y_1 \le \eta_0 + \tau. $$

l'ensemble

$$ R \hat{x} \hat{y} \{y = y_1\} $$

est de mesure pleine. Donc la mesure superficielle de l'ensemble $R$ est égale à la mesure du carré (43).

En outre, pour chaque point $A$ de l'ensemble $R$, on peut trouver une droite $l$, telle que

$$ R \text{ ens } l = I A. $$

Si l'on y applique la translation

$$ x' = x - \xi_0, \quad y' = y - \eta_0 $$

et ensuite la transformation :

$$ x'' = \frac{1}{2\pi}x', \quad y'' = \frac{1}{2\pi}y', $$

on obtient un ensemble $R''$, qui jouit des propriétés suivantes :

1. $R''$ est situé dans un carré de côté égal à un.

2. la mesure superficielle de l'ensemble $R''$ est $= 1$.

4. pour chaque point $A$ de l'ensemble $R''$ il existe une droite, qui n'a avec $R''$ que le seul point $A$ commun.

Le problème de M. S. Banach est ainsi résolu par négatif, parce que tout ensemble ayant la mesure positive, contient un ensemble fermé de mesure positive.

Le résultat obtenu peut s'exprimer d'une manière, qui semble d'être tout à fait paradoxale.

A savoir, on a obtenu un ensemble $\Pi$ de droites coupant le carré et tel qu'on peut enlever de chaque droite de $\Pi$ seulement un point de manière que l'ensemble de points restants forme dans le carré un ensemble de mesure nulle, tandis que les points enlévés forment un ensemble de mesure pleine.

On peut se poser la question analogue pour le plan entier: Existe-t-il un ensemble $\Pi_1$ de droites tel qu'on peut enlever de chaque droite de $\Pi_1$ un seul point, de sorte que ces points recouvrent le plan entier à un ensemble de mesure nulle près ?

Nous n'insistons pas sur ce problème.

### Note 1).

M. S. Banach a proposé, (dans une lettre) à résoudre le problème suivant, concernant les ensembles plans. L'ensemble $E$ étant supposé mesurable ($L$), peut on affirmer que l'équation

$$ (1) \qquad \lim_{\pi \to \pi_0} \frac{\text{mes}(R_{\pi_0} \cdot E)}{\text{mes} R_{\pi_0}} = 1 $$

<footnote n="1">1) de M. A. Zygmund.</footnote>
subsiste pour presque tous les points P de l'ensemble E, $R_P$ désignant ici des rectangles centrés en P, leurs diamètres tendant vers 0?

M. Zygmund a bien voulu me communiquer que l'exemple construit ci-dessus permet d'y donner la réponse négative. En effet on remarque que, si E est un ensemble fermé et si P est un point de E, tel qu'on peut trouver un segment (B', B) ouvert et satisfaisant aux conditions

$$P \varepsilon (B', B), \quad (B', B) \cdot E = IP,$$

l'équation (1) peut être en défaut, parce qu'on peut aisément construire une suite infinie {$R_n$} de rectangles, centrés en P, et tels que
1) leurs diamètres tendent vers 0.

$$2) \lim_{n \to \infty} \frac{\text{mes}(E \cdot R_n)}{\text{mes} R_n} = 0.$$

Envisageons donc un sous-ensemble F fermé de l'ensemble $R''$ (p. 167), de sorte que $\text{mes} F > 0$. Tout point de F' est accessible par des lignes droites illimitées. D'après ce qui précède, aucun point de F ne possède la propriété exprimée par l'équation (1).

La réponse négative ci-dessus contient la résolution d'un problème semblable au problème de M. C. Carathéodory, concernant le théorème de M. Vitali<fnref n="1" />). Cette question a été résolue<fnref n="2" />) pour la première fois par M. Banach<fnref n="3" />).

## Sur une propriété caractéristique des ensembles analytiques.

Par

W. Sierpiński (Varsovie).

Dans son Mémoire « Sur les ensembles analytiques »<fnref n="1" />) M. N. Lusin a démontré que, lorsqu'on néglige un ensemble énumérable de points, tout ensemble analytique peut être regardé comme ensemble de valeurs d'une fonction $f(t)$ continue dans $(0 \le t < 1)$ du côté droit en chaque point $t$.

Le but de cette Note est de démontrer que le théorème de M. Lusin subsiste même sans négliger un ensemble énumérable de points: nous pouverons notamment ce

**Théorème:** *Tout ensemble (A) linéaire peut être regardé comme ensemble de valeurs d'une fonction $f(t)$ continue dans $(0 < t \le 1)$ du côté gauche en chaque point $t$<fnref n="2" />).*

Nous partirons de la définition des ensembles (A) (analytiques) au moyen des systèmes déterminants<fnref n="3" />). Soit E un ensemble (A) linéaire donné. Il existe donc un système déterminant d'intervalles fermés {$\delta_{n_1, n_2, \dots, n_k}$}, dont le noyau est E, c'est-à-dire

$$E = \sum \delta_{n_1} \delta_{n_2} \delta_{n_3} \dots$$

la sommation s'étendant à toutes les suites infinies de nombres naturels $n_1, n_2, n_3, \dots$

<footnote n="1">¹) *C. Carathéodory. Vorlesungen über reelle Funktionen 1918, p. 304 (en bas de page).* Le problème de M. Carathéodory suppose que les côtés des rectangles soient parallèles aux axes du système de coordonnées, tandis que le problème, dont on parle, ne le suppose pas.</footnote>

<footnote n="2">²) *S. Banach. Sur le théorème de M. Vitali. Fund. Math. T. V. p. 130-136.*</footnote>

<footnote n="3">³) M. S. Saks propose d'étudier le problème de M. Banach (considéré dans la note ci-dessus), en supposant que les côtés des rectangles soient parallèles aux axes du système des coordonnées.</footnote>

<footnote n="1">¹) *Fundamenta Mathematicae, t. X, p. 12-15.*</footnote>

<footnote n="2">²) *Il suffirait évidemment de poser $\varphi(t) = f(1 - t)$ pour obtenir une fonction continue du côté droit dans $(0 \le t < 1)$, dont l'ensemble de valeurs est l'ensemble (A) considéré.*</footnote>

<footnote n="3">³) V. p. e. *Fund. Math. t. VIII, p. 362.*</footnote>