Le cadre proposé a été utilisé pour une discussion sur le rôle des phénomènes de dissolution-cristallisation de la saumure piégée dans les interstices et du phénomène de cicatrisation sous contrainte. Nous avons montré que ce dernier phénomène accompagné d'une déformation viscoplastique des grains peut expliquer l'imperméabilité du sel gemme sur des échelles de temps géologiques. En revanche, l'influence de la dissolution/cristallisation sous l'effet d'une modification de la température ou de la pression sur l'évolution de la perméabilité du sel paraît négligeable, compte tenu des hypothèses introduites.

* *En matière de sûreté des stockages en formations salines, nous avons pu montrer qu'une perméabilité même extrêmement faible, voire non mesurable par les dispositifs de perméamètrie actuels (perméabilité intrinsèque inférieure à 10⁻²² m²), influence de manière sensible l'évolution à long terme du stockage.*

Un exemple d'application du cadre théorique simplifié retenu dans le dernier chapitre de ce mémoire est l'abandon d'une caverne de stockage remplie de fluide. Les phénomènes tels que l'endommagement de la paroi, la perméabilité du sel endommagé, et les couplages hydro-mécaniques ont été pris en compte pour discuter de leur incidence sur l'évolution de la pression de la caverne.

L'ensemble de ce travail permet d'ouvrir quelques perspectives dans le domaine de l'analyse de la sûreté à long terme des stockages suivants :

(a) les dépôts souterrains de déchets radioactifs ;

(b) les cavernes de dissolution remplies de saumure.

Dans le premier cas, il s'agit d'examiner la stabilité de la zone endommagée autour de l'ouvrage et de la barrière ouvragée située entre les déchets et le massif. Les données expérimentales et les outils conceptuels dont nous disposons à la suite de cette étude nous autorisent à envisager une première modélisation sur une structure réaliste. Cette première approche pourrait prendre en compte non seulement le scénario normal d'évolution (fluage des parois des galeries et des puits en condition sèche, avec possibilité de migrations d'inclusions fluides sous gradient de température) mais également un scénario dit "altéré" (intrusion de saumure dans le stockage).

On s'attachera en particulier, à analyser l'évolution du stockage sous l'effet de deux phénomènes :

- la cicatrisation différée des microfissures de la zone endommagée et des vides du remblai et/ou du scellement (sel broyé) due à la déformation viscoplastique des grains et de transferts locaux en solution (cf. les discussions dans Spiers *et al.*, 1986 et Peach, 1991). Cet effet contribue à une meilleure étanchéité du stockage ;

- l'ouverture des microfissures de la zone endommagée et des réseaux conducteurs du massif sain, consécutivement à l'augmentation de la pression de pores induite par la production de gaz dans le stockage. Cette production de gaz trouve son origine dans les réactions chimiques au niveau des containers (radiolyse, corrosion, biodégradation etc.) (on pourra mettre à profit les résultats du projet PEGASUS). Cet effet contribue bien sûr à augmenter la perméabilité autour du stockage.

Dans le deuxième cas, celui de l'abandon des cavités lessivées, on s'intéressera plus particulièrement à l'équilibre mécanique final de l'ouvrage. En effet, on peut s'interroger sur le sens de migration de la cavité sous l'action de deux phénomènes opposés (Bérest, 1990):
- le contraste de densité entre la saumure stockée et la massif qui a tendance à provoquer une montée de la caverne (effet dit de la "bulle de savon");

- un mouvement convectif de la saumure stockée (pour une caverne de taille suffisamment grande) entraînant un mouvement descendant de la caverne. Ce processus résulte : (a) du gradient géothermique qui constitue le moteur du mouvement convectif (b) et de la dépendance de la solubilité de la saumure avec la température. Ainsi, provenant de la partie basse de la caverne, la saumure chaude remonte vers la partie supérieure de la caverne, en se refroidissant. Arrivée en partie supérieure, la saumure se trouve dans un état sursaturé de par sa nouvelle température : une cristallisation se produit alors en paroi. Dans un deuxième temps, la sel en solution redescend grâce au mouvement convectif descendant de la saumure.

A partir d'un calcul couplé qui utiliserait les équations d'évolution établies au chapitre IV sur une structure axisymétrique, une discussion de l'influence respective de ces phénomènes en relation avec une fuite du fluide dans la formation, mériterait alors d'être menée.
AIR LIQUIDE (L'), (1976) *Gas Encyclopedia*, Ed. Elsevier, Amsterdam.

ALLEMANDOU X., DUSSEAULT M., (1993), *Procedures for cyclic creep testing of salt rock, results and discussions*, In : Proc. of the 3rd Conference on Mechanical Behavior of Salt, M. Ghoreychi, P. Bérest, H Hardy, M. Langer. (Eds.) PP 207-218, Trans Tech Publications, Clausthal, ISBN 0-87849-100-7.

ANDERSON E. B., SAVONENKOV V.G., SILIN Y.I. (1990), *Study of structural geochemical characteristics of salt rocks for selection of radioactive waste disposal sites*. Third Conference on Radioactive Waste Management and Disposal, Luxembourg (communication personnelle).

ANTHONY T.R. et CLINE H.E. (1971), *Thermal migration of liquid droplets through solids*, Journal of Applied Physics, Vol. 42, N°9, PP. 3380-3387.

AUFRICHT W.R. HOWARD K.C. (1961), *Salt Characteristics as they affect storage of hydrocarbons*, Journal of Petroleum Technology, Vol. 13, PP. 733-738.

A.T.G. (Association Technique de l'industrie du Gaz en France) (1986), *Manuel pour le Transport et la distribution du gaz, Stockages Souterrains de Gaz*, Tome XIII, Paris.

BAZARGAN B, TELANDRO S, COSENZA Ph, GHOREYCHI M, LAURENS JF, (1994), *In situ gas and brine permeability test in salt design and deployment of experimental device*, 4th Pegasus Meeting, Exeter (GB), 26-27 Juin, Proc. Commission of the European Communities EUR 16001, PP 171-183.

BEAUHEIM R., SAULNIER G. (1988), *Evaluation of excavation effects on rock mass permeability around the waste-Handling shaft at the WIPP site*, Réunion de travail de l'AEN sur l'incidence des travaux d'excavation sur le comportement des dépots de déchets radioactifs, 26 June Winnipeg, USA.

BEAUHEIM R. SAULNIER G. (1989), *In situ hydraulic testing of evaporites at Waste Isolation Pilot Plan Site*, In : Int. Geol Cong. Abst., 1989-07-09 Washington DC, Vol. 28, N°1, P 107.

BEAUHEIM R. L., SAULNIER G. J., AVIS J. D. (1991), *Interpretation of brine-permeability tests of the salado formation at the Waste Isolation Pilot Plant (W.I.P.P.) Site*; SANDIA 1st Interim Report. SAND90-0083.UC721 205 p.

BÉREST P., LEDOUX E., LEGAIT B, DE MARSILY G. (1979), *Effets thermiques dans les cavités en couches salifères*, In : Proc. 4ème Congrès de la Société Internationale de Mécanique des Roches, Montreux; Balkema, Rotterdam.

BÉREST P. (1988), *Phénomènes thermiques en géotechnique*, In : la Thermomécanique des roches coordonné par P. Bérest et Ph. Weber. BRGM.

BÉREST P. (1989), *Problèmes de mécanique associés au stockage souterrain*, Thèse de l'Ecole Nationale Supérieure des Mines de Paris.

BÉREST P. (1990), Les problèmes soulevés par l'abandon des cavités de dissolution profondes dans le sel gemme, Rousset (Ed.), Presses de l'ENPC, Paris, PP 115-130.

BÉREST P. BROUARD B. (1995), *Behavior of sealed solution-mined caverns*, Solution Mining Research Institute, Meeting paper, New Orleans. 26p.
BERNABE Y. (1987), *The effective pressure law for permeability during pore pressure and confining pressure cycling of several crystalline rocks*, J. Geophys. Res., Vol. 92, N°B1, PP 648-657.

BIOT M. (1941), *General theory of three-dimensional consolidation*, J. Applied Physics, Vol 12, PP 155-164.

BIOT M. (1956), *General solutions of the equations of elasticity and consolidation for a porous material*, J. Appl. Mech., Vol. 78, PP 91-96.

BLANC-VALLERON, M.F. (1990), *Les formations paléogènes évaporitiques du bassin paléozoïque de Mulhouse et des bassins plus septentrionaux*, Thèse de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.

BOUCLY Ph., LEGRENEUR J. (1980) *hydrocarbon storage in cavities leached out of salt formations*, Proc. of the Int. Symp. Subsurface Space Rockstore 80' Stockholm, Suède. Pergamon Press, Vol. I. PP251-258.

BOUR O. (1996), Thèse de l'Université de Rennes. A paraître.

BRACE W. F., WALSH J. B., FRANGOS W. T. (1968), *Permeability of granite under high pressure*, J. Geophys. Res., Vol. 73 N°6, PP 2225-2236.

BRODSKY N.S., MUNSON D.E. (1991), *The effect of brine on the creep of W.I.P.P. salt in laboratory tests*, In: Rock Mechanics as a multidisciplinary science. Proc. of the 32nd US Symposium on Rock Mechanics, J.C. Roegiers. (Ed.) PP 703-712, Balkema.

CARSLAW A. R. JAEGER C. J. (1960), *Conduction of heat in solids*, Oxford, Clarendon Press, London, 510p.

CARTER C. L, HANSEN F. D. (1983), *Creep of rocksalt*, Tectonophysics, Vol. 92, PP. 275-333.

CHARLEZ Ph. (1991) *Rocks Mechanics*, Vol.1 Theoretical fundamentals, Ed. Technip, Paris, 334p.

CHEMIN P. (1990), *Etude du rôle des inclusions fluides dans les mécanismes de déformations des roches halitiques. Application aux roches salifères du Bassin bressan*, Thèse de l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, Paris.

CHEN T. (1994), *Evolution de la perméabilité d'agrégat de sels sous contrainte liée à des circulations de fluides*, Thèse de l'Université Joseph Fourier-Grenoble I.

COOK R.F., ROGGENTHEN W. M. (1991), *Fracturing around excavations in salt at the WIPP*, In: Rock Mechanics as a Multidisciplinary Science, Roegiers (Ed.), PP 889-898, Balkema, Rotterdam.

COSENZA Ph., GHOREYCHI M. (1992), *Design of brine and gas permeability field test in rock salt, 2nd "Pegasus" meeting, Bruxelles, 11 et 12 Juin, Proc. Commission of the European Communities EUR 14816, PP 157-172.*

COSENZA Ph., GHOREYCHI M. (1993), *Coupling between mechanical behavior and transfer phenomena in salt* - In: Proc. of the 3rd Conference on Mechanical Behavior of Salt, M. Ghoreychi, P. Bérest, H Hardy, M. Langer. (Eds.) PP 286-307, Trans Tech Publications, Clausthal, ISBN 0-87849-100-7
COSENZA Ph., BAZARGAN B., GHOREYCHI M., TELANDRO S., Cournut
A, (1995), *In situ gas and brine permeability test in salt - Results and interpretation*, 5th
Pegasus Progress Meeting, Rapolano (Italie), 14-15 Juin, Proc. Commission of the
European Communities EUR 16746, PP 167-175.

COUDRAIN-RIBSTEIN A. (1988), *Transport d'éléments et réactions géochimiques dans les aquifères*. Thèse de l'Université de Strasbourg et Ecole des Mines de Paris, France.

COUSSY O. (1989), *A general theory of thermoporoelastoplasticity for saturated porous materials*, Transport in porous media, Vol. 4, PP281-293.

COUSSY O. (1991), *Mécanique des Milieux Poreux*, Ed. Technip, 437 p.

CRISTECU N. et HUNSCHE U. (1991), *A constitutive equation for salt*, 7th Int Congress on Rocks Mechanics, Aachen, 16-20 Sept, 10p, Germany.

DAVIES P. (1989), *Preliminary threshold pressure estimates and status of two-phases simulation of waste-generated gas*, National Academy of Sciences WIPP Review Panel, December 13, 1989, Half Moon Bay, California.

DAVION M. (1953), *Etude sur la vitesse de dissolution des sels cristallisés*, Thèse de 3ème cycle de la Faculté des sciences, Université de Paris.

DAVY Ph. (1994), *On the frequency-length distribution of the San Andreas fault system*, J. Geophys. Res., Vol 98, N°12, PP141-151.

DE MARSILY G. (1981), *Hydrogéologie Quantitative*, Ed. Masson, Paris, 216 p.

DE MARSILY G., FARGE D., GOBLET P. (1987), *How much do we know about coupled transport processes in the geosphere and their relevance to performance assessment*, In : Proc. Geoval Meeting. Swedish Nuclear Power Inspectorate. PP 475-490.

DE MARSILY G. (1991), *Quelques considerations pratiques sur la modélisation des flux thermiques et hydrauliques dans les milieux naturels*, In : La Thermomécanique des Roches. Edition B.R.G.M, N°16, France.

DEWERS T., ORTOLEVA P. J. (1989), *Mechano-chemical coupling in stressed rocks*, Geochimica et Cosmochimica Acta, Vol. 53, PP 1243-1258.

DIENES J. K. (1982), *Permeability, percolation and statistical crack mechanics*, in Issue in Rock Mechanics, Goodman, R. E. & Heuze F. E. (Eds.), PP 86-94, American Institute of Mining, Metallurgical and Petroleum Engineers, New York.

DULLIEN F. A. L. (1992), *Porous media, Fluid Transport and Pore Structure*, Second Edition, Academic Press Inc, 574p.

DURIE R. W. et JESSEN F. W., (1964), *Mechanism of the dissolution of salt in the formation of underground salt cavities*, Soc. Pet. Eng. Jour., Vol 131.

DURUP J.G. (1991), *Long term permeability field test in rocksalt*, 7th Int. Congress on Rocks Mechanics, Aachen, 16-20 Sept, 4p, Germany.

FINLEY R., ZEUCH D., STORMONT J., DAEMEN J. (1994), *Sealing of boreholes using natural, compatible materials : Granular salt*, Eurock'94, PP 753-760, Balkema Rotterdam.
FOKKER P.A., KENTER C.J., ROGAAR H.P. (1993), *The effect of fluid pressures on the mechanical stability of rock salt*, In : Proc. 7th Symposium on Salt, Vol I, PP 75-82, Elsevier Science Publishers.

GHAZALI A. (1995) *Etude par analyse texturale du rôle de l'humidité dans la déformation des roches salifères*, Thèse de l'Ecole des Ponts et Chaussées, Paris.

GHOREYCHI M. (1990), *Conséquences du comportement thermomécanique du sel pour la conception et la sûreté d'un enfoissement de déchets radioactifs*, Stockage en souterrain, PP 229-243, Rousset (Ed.), Presses de l'ENPC, Paris.

GHOREYCHI M. (1991), *Comportement du sel broyé sous l'effet d'une source de chaleur dans des sondages réalisés dans une mine de sel*, Commission of the European Communities EUR 13638 Fr.

GHOREYCHI M., COSENZA Ph. (1993) *Quelques aspects de la sûreté à long terme des stockages à long terme*, Géotechnique et Environnement, 4ème Colloque Franco-Polonais, 16-17 Nov, Nancy PP 209-217.

GIRAUD A. (1993), *Couplages Thermo-Hydro-Mécaniques dans les Milieux Poreux Peu Perméables : Application aux Argiles Profondes*, Thèse de l'Ecole des Ponts et Chaussées, Paris, 269 p.

GLOYNA E., REYNOLDS T. (1961), *Permeability measurements of rock salt*, J. Geophys. Res., Vol. 66 N°11, PP 3913-3912.

GRATIER J. P. (1993), *le fluage des roches par dissolution-cristallisation sous contrainte, dans la croûte supérieure*, Bull. Soc. géol. France, t. 164, N°2, PP 267-287.

GRATIER J. P. (1984) *La déformation des roches par dissolution-cristallisation*, thèse de l'université de Grenoble.

GRAVILENKO P., GUEGUEN Y. (1989), *Pressure dependence of permeability : a model for cracked rocks*, Geophys., J. Int., Vol 98, PP 159-172.

GUEGEN Y., PALCIAUSKAS V. (1992), *Introduction à la physique des roches*, Hermann, Paris, 299 p.

GUINIER A. (1980), *La structure de la matière*, Ed. Hachette CNRS, Paris.

HALPHEN B. (1978), *Problèmes quasistatiques en viscoplasticité*, Thèse de Doctorat d'Etat, Université Pierre et Marie Curie.

HARANO Y., SUDO S., TANAKA Y., MATSUMOTO Y., YAMAMOTO H. (1993), *Rates of growth and dissolution of sodium chloride in its aqueous solution in a cone type crystallizer*, In : Proc. 7th Symposium on Salt, Vol. II, PP 183-189, Elsevier, Amsterdam.

HASSANIZADEH M (1986), *Derivation of basic equations of mass transport in porous media, Part I. Macroscopic balance laws*, Ad. Water Resources, Vol 9, PP 196-206.

HASSANIZADEH M (1986), *Derivation of basic equations of mass transport in porous media, Part 2. Generalized Darcy's and Fick's laws*, Ad. Water Resources, Vol 9, PP 207-222.

HASSANIZADEH M (1988), *Modeling species transport by concentrated brine in aggreted porous media*, Transport in Porous Media, Vol 3, PP 299-318, 1988.
HASSANIZADEH M., LEIJNE T. (1988), *On the modeling of brine transport in porous media*, Water Resources Research, Vol. 24, N°3, PP 321-330.

HEIDUG W., LEROY Y. (1994), *Geometrical evolution of stressed and curved solid-fluid phase boundaries, 1- Transformation kinetics*, J. Geophys. Res., Vol. 99, N°B1, PP 505-515.

HOFRICHTER E. VON (1976) *Zur frage der porosität und permeabilität von salzegesteinen*, Erdoel-Erdgas Zeitung, Vol. 92, PP 77-79.

HORSEMAN S.T. (1984), *Moisture content - :a major uncertainty in storage cavity closure prediction*, In Proc. 2nd Conference on the Mechanical Behavior of Salt, Hannover, Germany, Sept. 24-28, Trans Tech Publications, Clausthal.

HUGOUT B. (1990), *Le stockage souterrain des hydrocarbures liquides et gazeux en cavités salines*, In : Stockage en souterrain, Rousset (Ed.), Presses de l'ENPC, PP 37-53

HUNSCHE U. (1990), *A failure criterion for natural polycrystalline rock salt*, Int. conf. on Constitutive laws for Eng. Mat., Chongquing (China), Acad. Publ. Beijing, Vol II., PP 1043-1046.

HUNSCHE U. (1993), *Failure behavior of rock salt around underground cavities*, 7th Symposium on Salt, Kakihana H. (Ed.), Elsevier B., Amsterdam.

JAMES A.N. (1992), *Soluble materials in civil engineering*, Ellis Horwood, New York 434 p.

JAMET Ph-V (1991), *Sur certains aspects du couplage en milieu poreux entre les champs de temperature et de concentration*, Thèse de l'Ecole des Mines, Paris.

JAEGER J.C. et COOK N.G. (1969) *Fundamentals of Rocks Mechanics*, Methuen (Ed.), London, 513p.

JOCKWER N. (1979), *"Investigation on the migration and the release of water within rock salt", In : Proc. Workshop on the migration of long-lived radionuclides in the geosphere*, PP 249-254. Org. Econ. Coop. Dev. Nucl. Energy Agency, CCE, Paris.

JOCKWER N., ROTHFUCHS T. (1995), *Investigation and modelling of fluid release from rock salt at elevated temperature, Testing and modelling of thermal, mechanical and hydrogeological properties of host rocks for deep disposal of radioactive wastes*, Proc. Workshop 12-13 January, Brussels, Belgium, Commission of the European Communities, EUR 16219.

JOST C. (1960) *Diffusion in solids, liquids, gases*, Academic Press 558 p.

KAZAN Y. (1994) *Comportement thermo-élasto-viscoplastique des ouvrages souterrains dans le sel gemme*, Thèse de l'Ecole Nationale des Mines de Paris.

KLINGENBERG L.J. (1941), *The permeability of porous media to liquids and gases*, Drill Productions Practice. Vol. 2, PP 200-213

LAHLOU R. GHOREYCHI M. (1992), *Détection et caractérisation de l'endommagement du sel gemme à partir de la mesure du seuil de contractance-dilatance*, Rapport présenté au conseil scientifique de G.3S, Juin 1992, Paris.

LAI C. (1971), *Fluid flow through rock salt under various stress states*, Michigan State University, Ph. D. Thesis.
LANGER M. (1981), *The rheological behavior of rock salt*, In: Proc. 1st Conf. on Mech. Behavior of Salt, Penn-State University, PP 201-231, Trans Tech Publications, Clausthal.

LASAGA A.C. (1984), *Chemical Kinetics of water-rock interaction*, Journal of Geophysical Research, Vol. 89, n°B6, PP 4009-4025.

LE CLEAC'H J.M., VAN HASSELT B., DEVEUGHELE M. ARNOULD M. (1992), *Etude des micromécanismes de la déformation de roches halitiques*, Colloque René Houpert, 10-11 Sept. Nancy.

LE GUEN C. (1991), *Mesure de la perméabilité de roches très peu perméables et étude de son évolution sous sollicitations thermomécaniques*, Application aux roches salifères du Bassin Bressan, Thèse de l'Ecole Nationale des Mines de Paris.

LEBRUN P. (1993), *Evolution des caractéristiques pétrophysiques de roches salifères sous sollicitations thermomécaniques*, Thèse de l'Ecole Nationale Supérieure des Mines de Paris.

LEHNER F. K. (1990), *Thermodynamics of rock deformation by pressure solution*, In: Deformation processes in Minerals, Ceramics and Rocks, D. J. Barber P. G. Meredith (Eds.), PP 296-333 London Urwin Hyman.

LEMAITRE J, CHABOCHE J.L., (1988), *Mécanique des matériaux solides*, Dunod, Paris 544p.

LEROY C. (1992), *Essai in-situ dans le sel*, Bilan, Report COSEREP. 624-RP-Cos-92.001.

LE RAVALEC M., GUEGUEN Y. (1994), *Permeability models for heated saturated igneous rocks*, J. Geophys. Res., Vol. 99, PP 24,251-24,261.

LEVY E. (1988) *Dictionnaire de Physique*, Presses Universitaire de France, Paris.

LOUIS C. (1976) *Introduction à l'hydraulique des roches*, Thèse de l'Université Paris VI.

Mc TIGUE D. F. (1986), *Thermoelastic response of fluid-saturated porous rock*, J. Geophys. Res., 91, 9533-9542.

MUNSON D.E., DAWSON P.R. (1981), *Salt constitutive modelling using mechanism map*, Proc. 1st Conf. on Mech. Behavior of Salt, Penn-State University.

MARTIN R. J. (1972), *Time dependent crack growth in quartz and its application to creep of rocks*, J. Geophys. Res., 77, pp 1405-1419.

OLIVELLA S., CARRERA J.; ALONSO E.E., LLORET A., GENS A. and HUERTAS F. (1991), *Hydromechanical behavior of saline media: a review*. In: Proceeding of CEC Workshop: Pilot test on radioactive waste disposal in underground facilities, Braunschweig, Germany, C.C.E., EUR 13985.

OLIVELLA S., GENS A., ALONSO E.E., CARRERA J. (1992), *Constitutive modelling of porous salt aggregates*, Numerical models in Geomechanics, Pande et Pietruszcak (Eds), PP 179-189, Balkema, Rotterdam.

OLIVELLA S., GENS A., CARRERA J., ALONSO E.E. (1991), *Behaviour of porous salt aggregates, constitutive and field equations for coupled deformation, brine, gas and heat transport model*, In: Proc. of the 3rd Conference on Mechanical Behavior of Salt, M. Ghoreychi, P. Bérest, H Hardy, M. Langer. (Eds.) PP 269-284, Trans Tech Publications, Clausthal, ISBN 0-87849-100-7.
OULD AMY M., GHOREYCHI M. (1992) *Dimensionnement des ouvrages souterrains dans les évaporites. Effets mécanismes de l'interaction et du refroidissement des cavités*, In : Proc. First Canadian Symposium on Numerical Modelling Application in Mining and Geomechanics, *Montréal, Québec*, March 27-30, pp 76-87.

PALCIAUSKAS V. V. DOMENICO P.A. (1982), *Characterization of drained and undrained response of thermally loaded repository rocks*, Water Resources. Res., Vol. 18, N°2, PP 281-290.

PATERSON M. (1973), *Non hydrostatic thermodynamics and its geologic applications*, Reviews of Geophysics and Space Physics, Vol II., n°2, PP 355-389.

PEACH C. (1991), *Influence of deformation on the fluid transport properties of salt rocks*, Thèse de l'université d'Utrecht, Geologica Ultraiectina, N°77, Hollande, ISBN 0072-1026 n°77.

PÉRAMI R., CALEFFI, C., ESPAGNE, M. and PRINCE, W. (1993), *Fluage et microfissuration dans les stockages souterrains*, Geoconfine 93, Arnould, Barrès et Côme (Eds.), PP 99-104 Balkema, Rotterdam

PETERSON E., LAGUS P., BROWN J., LIE K (1985), *W.I.P.P. Horizon in situ permeability measurements*, Final Report, SAND85-7166, USA.

PHARR G. M., ASHBY M. F., (1983), *On creep enhanced by a liquid phase*, Acta metall. Vol 31, PP 129-138.

POUYA A. (1991a), *Comparaison de trois variétés de sel du point de vue rhéologique*, Rapport n°9-1314-B09A, Laboratoire de Mécanique des Solides, Ecole Polytechnique, Palaiseau, 77 p.

POUYA A. (1991b), *Comportement rhéologique du sel gemme. Application à l'étude des excavations souterraines*, Thèse de l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, Paris.

RAJ R. (1982), *Creep in polycrystalline aggregates by matter transport through a liquid phase*, J. Geophys. Res., Vol. 87, PP. 4731-4739.

RATIGAN J. L. (1984), *A finite element formulation for brine transport in rock salt*, Int. Journal for numerical and analytical methods in geomechanics, Vol. 8, PP. 225-241.

REYNOLDS T.D., GLOYNA E.F. (1961), *Permeability measurements of rock salt*, J. Geophys. Res., Vol 11, N°11, PP 3913-3921.

RICE J. R. CLEARY M. P. (1976), *Some basic stress diffusion solutions for fluid-saturated elastic porous media with compressible constituents*, Reviews of Geophysics and Space Physics, Vol. 14, N°2, PP 227-241.

ROBINSON, L. H, (1959), *Effect of pore and confining pressure on the failure process in sedimentary rocks*, Colo. Sch. Mines Q Vol. 54, PP 177-199.

ROEDDER E. (1984), *The fluids in salt*, American Mineralogist, Vol.69, PP.413-439, USA.

RUTTER E. H. (1993) *The mechanics of natural rock deformation, Comprehensive Rock Engineering*, Hudson ed., Pergamon Press.
SCHLICH M.K. (1985), *Simulation of the movement of moisture contained in natural rock salt in a temperature gradient*, Ph. D. Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule, Aachen.

SCHLICHTA P. J. (1968), *Growth deformation and defect structure of salt crystals*, Int. Conf. Saline Deposits, Houston, Texas, Ed. R. B. Mattox, publié par Geol. Soc. Am.

SCLOSSER F. (1989), *Eléments de mécanique des sols*, Presses de l'Ecole des Ponts et Chaussées.

SCHNEEBELI G. (1966) *Hydraulique Souterraine*, Eyrolles, Paris.

SCHULZE O. (1991), *Effect of humidity on creep of rocksalt*. Proc. 7th Int. Cong. Rock Mechanics, Aachen, Balkema.

SCHUTJENS, P.M.T.M. (1991), *Intergranular Pressure Solution in Halite Aggregates and Quartz Sands*, Thesis. Geologica Ultraiectina, n°76, Ultrecht.

SHERWOOD T.K., PIGFORD R.L. (1975), *Mass transfer*, Mc Graw-Hill Kogakusha Ltd.

SPIERS C.J., URAI J.L., LISTER G.S. (1984), *The effect of brine (inherent or added) on rheology and deformation mechanisms in salt rock*, In : Proc : 2nd Conference on the Mechanical Behaviour of salt, Hanover, Germany, Sept. 24-28 1984, Trans. Tech. Publications, Clausthal.

SPIERS C.J., URAI J.L., LISTER G.S., BOLAND J.N. ZWART H.J. (1986), *The influence of fluid-rock interaction on the rheology of salt rock*, Final report, Commission of the European Communities, EUR 10399.

SPIERS C.J., PEACH C.J., BRZESOWSKY R.H., SCHUTJEN P.M.T., ZWART H.J. LIEZENBERG J.L. (1988), *Long term rheological and transport properties of dry and wet salt rocks*, Final Report, Commission of the European Communities, EUR 11848.

SPIERS C.J., SCHUTJEN P.M.T., BRZESOWSKY R.H., PEACH C.J. ZWART H.J. (1990), *Experimental determination of constitutive parameters governing creep of rock salt by pressure solution*, Deformation Mechanisms. Rheology and Tectonics, Knipe, R.J. and Rutter E.H (Eds.) N°54, 215-227, Geological Society Spec. Publication, London.

STORK R., ASCHENBACH J., HIRSEKOM R., STELTE N. (1988), *Disposal in Salt formations*, Performance Assessment of Geological Isolation Systems for Radioactive Waste (PAGIS Project), Rapport Commission of the European Communities. EUR 11778 EN.

STORMONT J.C., HOWARD C.L., DAEMEN J.J.K. (1991), *Changes in rock salt permeability due to nearby excavation*, Rock Mechanics as a Multidisciplinary Science, Roeggiers (Ed.), PP 899-907, Rotterdam.

STORMONT J.C., DAEMEN J.J.K. (1992), *Laboratory study of gas permeability changes in rock salt during deformation*, Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr. Vol. 29, N°4, PP 325-342.

SUTHERLAND H. J., CAVE S.P. (1980), *Argon gas permeability of New Mexico rock salt under hydrostatic compression*, Int. J; Rock. Min. Sci. & Geomech. Abstr. Vol. 17, PP. 281-288.
TCHIYEP G. (1995) *Comportement viscoplastique avec rupture des argiles raides, Application aux ouvrages souterrains*, Thèse de l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussées. Paris.

THOREL L., GHOREYCHI M. (1993), *Rock salt damage - Experiment results and interpretation*, In : Proc. of the 3rd Conference on Mechanical Behavior of Salt, M. Ghoreychi, P. Bérest, H Hardy, M. Langer. (Eds.) PP 175-190, Trans Tech Publications, Clausthal, ISBN 0-87849-100-7.

TALBOT C. J. et ROGERS E. A. (1980), *Seasonal movements in a salt glacier in Iran*, Science, Vol. 208, PP 395-397.

THOMAS L.K., KATZ D.L., TEK M.R. (1967), *Threshold pressure phenomena in porous media*, Society of Petroleum Engineers Journal, PP 174-184.

THOREL L. (1994) *Plasticité et endommagement des roches ductiles - Application au sel gemme*. Thèse de l'Ecole des Ponts et Chaussées, Paris.

URAI J.L., MEANS W.D., LISTER G.S. (1986a.), *Dynamic recrystallisation of minerals, dans Mineral and Rock Deformation : Laboratories studies*, The Paterson Volume. Hobbs et Heard (Eds.) Geophysical Monograph 36.

URAI J.L., SPIERS C.J., ZWART H.J, LISTER G.S. (1986b.), *Weakening of rocksalt by water during long-term creep*, Nature Vol. 324, PP554-557.

VAN SAMBECK L.L., RATIGAN J. L., HANSEN F. (1993), *Dilatancy of Rock Salt in Laboratory*, Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr. Vol. 30 N°7, PP 735-738.

VARO L. (1976), *The role of water in the creep properties of halite*, M. Sc. Thesis, Dept. Min. Eng., Univ. Newcastle upon Tyne.

VOLCKAERT G., ORTIZ L., DE CANNIERE P., PUT M, HORSEMAN S.T., HARRINGTON, FIORAVANTE V, IMPEY M. (1995), *Modelling and experiments on gas migration in repository host rocks*, Commission of the European Communities, EUR 16235.

VOUILLE G., TIJANI S.M., de GRENIER F. (1981), *Experimental determination of the Rheological behavior of Tersanne rock salt*, In : Proc. of the First Conference of the Mechanical Behavior of Salt, Trans. Tech. Publications, Clausthal, PP 407-420.

WALSH J. B. (1981), *Effect of pore pressure and confining pressure on fracture permeability*, Int. J. Rock Mech. Min. § Geomech. Abstr., Vol. 18, PP 429-435.

WAVERSIK W.R., PREECE D.S. (1981), *Creep testing of salt, Procedures, Problems and suggestions*, In : Proc. First Conf. on Mech. Behavior of Salt, Penn-State University., Trans. Tech. Publications, Clausthal, PP 421-449.

WIEDERHORN S.M., BOLZ L. (1970), *Stress corrosion and static fatigue of glass*, J. Am. Ceram. Soc., 53, 543-548.

WIECZOREK P., ROTHFUCHS T. (1986), *In situ permeability measurements*, in *Results of temperature tests 6 in the Asse Mine*, Vol I., Rapport C.E.C. EUR 10827 EN/I.

WEBB S., DAVIES P. (1993), *Preliminary "fracturing" model results*, Fluid Flow and Transport Dept., Fracturing Expert Group Presentation (Waste Isolation Pilot Plant), Albuquerque, New Mexico, March 24.
WENKERT, D. D. (1979), *the flow of salt glaciers*, Geophys. Res. Lett., Vol. 6., N°6, PP 523-526.
# ANNEXE I

## QUELQUES PROPRIÉTÉS DES FLUIDES ÉTUDIÉS
<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>Figure 1. Evolution de la viscosité dynamique de quelques gaz en fonction de la température (Gas Encyclopaedia, 1976)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>Figure 2. Evolution du coefficient γ (capacité calorifique à pression constante/capacité à volume constant) en fonction de la pression (Gas Encyclopaedia, 1976)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>Figure 3. Evolution du facteur de compressibilité en fonction de la pression (Gas Encyclopaedia, 1976)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>Figure 4. Facteur de compressibilité de l'argon pour différentes pressions (Gas Encyclopaedia, 1976)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>Figure 5. Facteur de compressibilité de l'azote pour différentes pressions (Gas Encyclopaedia, 1976)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>Figure 6. Viscosité dynamique de la saumure pour différentes températures et différentes fractions massiques en sel (A.T.G., 1986).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>Figure 7. Masse volumique de la saumure pour différentes températures et différentes fractions massiques en sel (A.T.G., 1986).</figcaption></figure>
# ANNEXE II

## DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL DE L'ESSAI IN SITU
# DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL

## 1. ÉQUIPEMENTS DU PUITS

### 1.1 Description générale

L'ensemble du dispositif expérimental du puits comprenait quatre obturateurs et trois chambres qui se trouvaient de bas en haut de la manière suivante (figure 2) :

- chambre 1 ou chambre d'étanchéité inférieure. Cette chambre, de hauteur de 570 mm, a été remplie d'une résine polymérisée à la température du massif estimée à 26 °C (Kazan, 1994), sous une pression de 9,5 MPa.

- chambre 2 ou chambre d'essai. Cette chambre, de hauteur de 750 mm a été successivement remplie de gaz, de saumure, puis de gaz à nouveau, et a été soumise à des pressions allant jusqu'à 6 MPa pour chacun des fluides d'essai. Afin de limiter les processus de dissolution de la paroi consécutifs aux augmentations de la pression de saumure, la chambre d'essai a été remplie de sel broyé provenant du même banc,

- chambre 3 ou chambre d'étanchéité supérieure. Cette chambre, de hauteur de 380 mm, a été remplie de la même façon que la chambre 1.

### 1.2. Les obturateurs

Le but des obturateurs était d'assurer une étanchéité aussi parfaite que possible du puits, c'est-à-dire d'au moins un ordre de grandeur supérieur à la perméabilité du sel, en dehors de la zone d'essai.

Le principe de fonctionnement a été vérifié grâce à la fabrication d'un prototype (figure 4) et testé au laboratoire et in situ aux conditions de service maximum avec un coefficient de sécurité de 1,2 (c'est à dire une pression de 9,6 MPa dans la chambre d'essai et une pression de membrane de 11,6 MPa).

L'essai en laboratoire a été réalisé dans un tube d'acier non décalaminé, avec de l'azote. Les différentes pressions appliquées ont été enregistrées pendant une durée de 24 heures, à la température de 26 °C. L'ensemble des quatre obturateurs pré-assemblé en atelier a été éprouvé une nouvelle fois à 1,2 fois la pression maximum de service. Les parties métalliques des obturateurs, en contact avec les fluides d'essai, notamment la saumure, étaient en inox.

Avant la mise en place dans le puits, les obturateurs ont été testés, pour une dernière fois, au fond de la mine afin de contrôler leur étanchéité. Les pressions de contrôle étaient identiques aux pressions des tests de qualification. Le liquide de gonflage définitif, de l'eau, a alors été utilisé pour l'inflation des membranes.

Après avoir été descendu aux cotes désirées, les deux obturateurs inférieurs ont été ancrés simultanément par injection de liquide dans les membranes gonflables à partir du mur de la niche, par l'intermédiaire d'une ligne en inox. Les deux obturateurs supérieurs ont été ancrés de la même façon.

Afin de contrôler l'étanchéité des chambres de résine, celles-ci ont été mises progressivement en pression de gaz de 0 à 5 MPa (avant injection de saumure). On a vérifié que cette mise en pression n'occasionnait aucune fuite, hormis celle due à la perméabilité du terrain.
<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>ure 1: élément d'obturateur (longueur de l'élément : 200 mm, mesurée après inflation des membranes)</figcaption></figure>

Fig

<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>Figure 2. Équipement du puits</figcaption></figure>

### Nomenclature de la figure 1

1. Arbre 1

2. Tube entretoise

3. Tube Néoprène

4. Tube latex

5. Bague nitrile

6.et 7. Bague fendue polyéthylène

8. et 18 Embout

9. et 17 Bride

10. Cône

11. Joint

12.et 16Tube

13 et 14. Raccord Swageloke

15 Tirant l=140 mm

## 1.3 La résine

Grâce à sa faible viscosité, la résine injectée sous pression dans les chambres 1 et 3 était censée remplir l'ensemble des microvides éventuels de la partie supérieure et inférieure de la zone d'essai. Au bout d'un temps déterminé appelé temps de prise, la résine s'est solidifiée (réaction de polymérisation) et a joué alors son rôle de colmatant : elle a ainsi contribué à interdire tout contournement des obturateurs isolant la chambre d'essai par le fluide.
Le choix de la résine s'est opéré à l'aide des critères suivants :

1- la viscosité du colmatant dans son état initial doit être faible,

2- la réaction de polymérisation ne doit pas être ni trop fortement exothermique afin de ne pas fissurer la roche ni trop rapide pour que la diffusion du colmatant puisse s'accomplir,

3- le colmatant doit rester souple dans son état polymérisé afin de transmettre la pression et d'assurer un contact étroit avec la sel,

4- les réactions physico-chimiques entre le colmatant et les autres matériaux de l'essai (le sel et le fluide d'essai) doivent être limitées.

Le choix s'est porté sur le produit ROCAGIL AL6 qui constitue une association à basse viscosité d'un monomère acrylique et d'une résine en dispersion dans l'eau. Des essais complémentaires ont été effectués afin de trouver une formulation du coulis qui donnait un temps de prise et une élévation de température acceptable (inférieure à 45 °C).

## 2. ÉQUIPEMENTS HORS FORAGE

### 2.1 Système d'injection de saumure

La perméabilité à la saumure est obtenue en mesurant dans le temps le volume du fluide injecté dans la chambre pour maintenir une pression constante. Les essais ont été réalisés pour plusieurs paliers de pression compris entre 2 et 6 MPa.

Le principe de la mesure consiste :

a- à comparer la pression de palier, dite de "référence", donnée par une balance de pression, à la pression de la chambre d'essai, à l'aide d'un capteur de pression différentiel.

b- puis, à corriger l'écart observé en injectant de la saumure dans la chambre d'essai.

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>Figure 3. Systèmes d'injection de fluide (gaz et saumure)</figcaption></figure>
Les éléments de base de l'installation sont :

- une balance de pression à poids mort donnant la pression de référence. L'incertitude maximale sur la valeur de pression délivrée était de 0,03 %,

- deux capteurs de pression différentiels caractérisés par une protection contre les surpressions jusqu'à 10 MPa, une plage de mesure de 0,75 MPa et une précision de 0,1 % de la pleine échelle,

- un injecteur à piston servorégulé. L'injecteur est équipé d'un piston dit "double effet", afin de compenser les différences de pression positives et négatives mesurées par le capteur différentiel. Le volume de liquide injecté était mesuré en continu à partir du déplacement du piston. En outre, le corps de l'injecteur était muni d'un capteur de température et de deux interrupteurs de fin de course. Le fluide remplissant l'injecteur était de la saumure saturée à la température de fonctionnement de l'injecteur. Par conséquent, toutes les parties métalliques étaient en acier inoxydables. Les joints d'étanchéité ont été définis en tenant compte de la présence de saumure à l'intérieur de l'injecteur.

Par ailleurs, un accumulateur contenant de la saumure est prévu pour le remplissage de la chambre au début de l'essai, lorsque le débit requis était supérieur au débit maximum de l'injecteur (500 mm³/mn). Cet accumulateur était maintenu sous pression adéquate à l'aide d'une bouteille d'azote.

## 2.2 Système d'injection de gaz

Le gaz utilisé pour ces essais était l'azote. Ce choix a été motivé d'abord par la nature inerte de ce gaz puis par ses propriétés proches de celle d'un gaz parfait. L'installation pour l'injection du gaz a repris en partie les équipements utilisés pour la saumure (figure 5). Il s'agit, en l'occurrence, de la balance de pression et d'un capteur de pression différentielle. Néanmoins, vu la forte compressibilité du gaz, il a fallu adopter un système spécifique permettant d'ajuster régulièrement le maintien de la pression dans le puits sous forme de créneaux

Le principe du système d'injection de gaz consiste à transférer dans la chambre d'essais une masse de gaz connue chaque fois que la pression de la chambre atteint une valeur limite basse, c'est à dire la pression de référence moins environ 100. La masse de gaz est mesurée par la variation de pression dans une bouteille à volume constant, appelée bouteille de pesée, d'une capacité d'un litre.

Une fois la valeur de seuil bas atteinte, cette bouteille de pesée est alors isolée de la chambre d'essai et est mise en communication avec une autre bouteille dite "tampon" de dix litres. La pression de la bouteille de pesée est augmentée du rapport de volumes des deux bouteilles. Les bouteilles sont de nouveau isolées et la pression de la bouteille tampon est ajustée à l'aide de la bouteille d'alimentation standard de 20 MPa à une valeur supérieure de la pression de référence imposée (afin de garantir au mieux des conditions de régulation, la bouteille de pesée ne pouvaient être directement alimentée par la bouteille de 20 MPa : l'existence de cette bouteille tampon est ainsi justifiée).

L'ensemble de cette séquence est géré par un régulateur électronique programmable qui pilote l'ouverture et la fermeture de trois vannes de régulation.

## 2.3 Thermorégulation de l'essai

Comme l'étude préliminaire de conception l'a montré, les variations de température du fluide injecté influencent sensiblement la mesure de débit correspondant à la fuite dans la formation. Il a donc été convenu de maintenir la température de l'ensemble des installations égale à celle du massif (≈27 °C), à l'endroit de la chambre d'essai.
Pour des raisons de sécurité, il a été impossible d'envisager de réguler la température dans le volume total de la niche. Par conséquent, un système spécial de régulation thermique a consisté à placer les équipements hors forage dans des caissons thermo-régulé en fonction de la température du massif, mesurée dans la chambre d'essai. Un ventilateur a permis d'homogénéiser le flux de chaleur à l'intérieur des caissons et de le faire circuler le long des lignes d'injection.

Pour réduire les coûts et simplifier les installations, pendant la période des essais, nous avons supposé que la température du massif était toujours supérieure à la température ambiante de l'air dans la niche. Ainsi, les caissons sont uniquement équipés d'un système de chauffage et non de refroidissement.
# ANNEXE III

CALCULS ANALYTIQUES DE L'EXTENSION DE LA ZONE ENDOMMAGÉE AUTOUR D'UNE CAVITÉ SOUTERRAINE EN MILIEU PORO-VISCOPLASTIQUE
# CALCULS ANALYTIQUES DE L'EXTENSION DE LA ZONE ENDOMMAGÉE AUTOUR D'UNE CAVITÉ SOUTERRAINE EN MILIEU PORO-VISCOPLASTIQUE

Les calculs ici exposés sur la propagation d'un rayon plastique (ou viscoplastique) sont les mêmes dans leur déroulement que ceux conduits notamment par Bérest (1985) (symétrie sphérique), et Rousset (1988) (symétrie cylindrique). L'originalité tient ici à l'introduction simultanée d'un deuxième seuil de plasticité (correspondant physiquement à l'endommagement) et de la nature poreuse du matériau.

On s'attachera à présenter les solutions en symétrie sphérique. Les solutions données pour une symétrie cylindrique peuvent être obtenues pour l'essentiel suivant la même démarche.

<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>Figure 1. Géométrie et chargement</figcaption></figure>

## 1. Hypothèses et équations générales

Vue la symétrie du problème (figure 1), le champs de déplacement est radial et prend la forme $u(r,t) \in_r$. Les tenseurs de déformations $\epsilon$ et des contraintes $\sigma$ s'écrivent pour une géométrie sphérique:

$$ \epsilon = \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial r} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{u}{r} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{u}{r} \end{bmatrix} \qquad \bar{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_r & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_\theta & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_\varphi \end{bmatrix} $$

avec la propriété supplémentaire $\sigma_\theta(r,t) = \sigma_\varphi(r,t)$.

L'hypothèse des petites perturbations nous permet de décomposer le tenseur des déformations en une partie élastique (notée $\epsilon^e$), une partie viscoplastique (notée $\epsilon^{vp}$) et une
partie due à l'endommagement (notée $\underline{\underline{\varepsilon}}^P$) supposée indépendante du comportement viscoplastique :

$$ \underline{\underline{\varepsilon}} = \underline{\underline{\varepsilon}}^e + \underline{\underline{\varepsilon}}^P + \underline{\underline{\varepsilon}}^{vp} $$

La partie élastique s'écrit :

$$ \underline{\underline{\varepsilon}}^e = \frac{l+v_o}{E_o}(\underline{\underline{\sigma}}-\underline{\underline{\sigma}}_o\underline{\underline{l}})-\frac{v_o}{E_o}tr(\underline{\underline{\sigma}}-\underline{\underline{\sigma}}_o\underline{\underline{l}})+\frac{b}{3K_o}(P-P_o)+\alpha_o(T-T_o) \quad (1) $$

$\sigma_o$: contrainte géostatique initiale ; $P$: pression de pores ; $P_o$: pression de pores initiale, $b$: coefficient de Biot ; $v_o$: coefficient de Poisson drainé ; $\alpha_o$: coefficient de dilatation thermique drainé ; $E_o$: module d'Young drainé, $K_o$: module de compressibilité drainé, $T$: température ; $T_o$: température initiale.

Dans le chapitre II, nous avons pu montrer que le critère d'endommagement, en condition humide, dépendait peu de la contrainte moyenne. Par conséquent, un critère de type Tresca peut être retenu et s'écrit :

$$ F^P = \sigma_r - \sigma_\theta - 2C \quad (2a) $$

Dans le cas du comportement viscoplastique, on considère également un critère de Tresca couramment utilisé dans le domaine de la mécanique du sel (Bérest, 1989; Ghoreychi, 1990) :

$$ F^{vp} = \sigma_r - \sigma_\theta - 2C_l \quad (2b) $$

avec une cohésion $C_l$ très faible en deçà du MPa. On prendra donc $C_l \ll C$.

Dans la pratique, le choix du critère de Tresca pour la sphère revient à un facteur près, à celui de Von Mises fréquemment retenu dans les calculs numériques (aux éléments finis) et admis pour la viscoplasticité du sel (lois de Norton et Menzel-Schreiner). Ce fait tient à l'expression de la contrainte équivalente de Mises $\sigma_{eq} = \sqrt{3J_2}$ (J_2 étant le deuxième invariant du tenseur des contraintes) qui se simplifie en symétrie sphérique en raison de l'égalité $\sigma_\theta=\sigma_\phi$.

Pour simplifier, on admet par ailleurs l'hypothèse d'incompressibilité du matériau puisque la viscoplasticité et la plasticité (prépondérantes par rapport à l'élasticité) exprimée par les critères de Tresca n'entraînent aucune variation de volume.

Les conditions aux limites sont les suivantes :

$$ \sigma_r = -P_l(t) \quad \text{pour } r=r_o $$

$$ \sigma_r = \sigma_o \quad \text{pour } r \to \infty $$

Les conditions initiales s'écrivent :

$$ \underline{\underline{\sigma}} = \underline{\underline{\sigma}}_o\underline{\underline{l}} $$

$$ P(r,t=0) = P_o $$

$$ T(r,t=0) = T_o $$

Dans la zone endommagée considérée comme poreuse, on suppose les pertes de charges négligeables. En outre, on considère que la température et la pression de pores dans la zone viscoplastique ne sont pas perturbées.
## 2. Massif initialement poroélastique

Soit $x$, le rayon de la zone endommagée, et $r_0$, le rayon de la cavité sphérique. Le calcul, rappelé ici brièvement, est mené en trois étapes :

### Étape n°1 : calcul dans la zone endommagée ($r \le x$):

En premier lieu, la contrainte radiale $\sigma_r$ et la contrainte orthoradiale $\sigma_{\theta}$ doivent obéir à l'équation d'équilibre :

$$ \sigma_r - \sigma_{\theta} = -\frac{r}{2} \frac{\partial \sigma_r}{\partial r} \qquad (3) $$

Par ailleurs, ces deux composantes du tenseur des contraintes satisfont le critère d'endommagement. Ainsi, en utilisant (2a) la contrainte radiale à la frontière ($r=x$) s'écrit :

$$ \sigma_r(x) = -P_1 - 4C \ln \frac{x}{r_o} \qquad (4) $$

$P_1$ : pression en paroi de la caverne sphérique.

### Étape n°2 : calcul dans la zone élastique ($r \ge x$):

La contrainte radiale $\sigma_r$ et la contrainte orthoradiale $\sigma_{\theta}$ sont obtenues par les équations de la thermo-poro-élasticité. En outre, elles doivent toujours satisfaire le critère en $r=x$ :

$$ \sigma_r(x) - \sigma_{\theta}(x) - 2C = 0 $$

La connaissance de l'expression de la contrainte orthoradiale $\sigma_{\theta}$ en thermo-poro-élasticité permet d'écrire la contrainte radiale à la frontière ($r=x$) :

$$ \sigma_r(x) = \sigma_o - \frac{2}{3} \frac{1}{1-\nu_o} \left[ b(1-2\nu_o)(P_1-P_o) + \alpha_o E_o (T_o-T_o) \right] + \frac{4}{3} C \qquad (5) $$

$\sigma_o$ : contrainte géostatique initiale ; $P_1$ : pression à l'intérieur de la caverne ; $P_o$ : pression de pores initiale, $b$ : coefficient de Biot ; $\nu_o$ : coefficient de Poisson drainé ; $\alpha_o$ : coefficient de dilatation thermique drainé ; $E_o$ : module d'Young drainé., $T$ : température en $x$; $T_o$ : température initiale.

On rappelle qu'en thermo-poro-élasticité, on a (voir par exemple, Rice et Cleary, 1976; Mc Tigue, 1986; Coussy, 1991) :

$$ \sigma_r = \sigma_o \left( 1 - \frac{r_o^3}{r^3} \right) - P_1 \left( \frac{r_o^3}{r^3} \right) - \frac{1}{r^3} \int_{r_o}^{r} \frac{2\rho^2}{1-\nu_o} \left[ b(1-2\nu_o)(P(\rho)-P_o) + \alpha_o E_o (T(\rho)-T_o) \right] d\rho \qquad (6) $$

$$ \sigma_{\theta\theta} = \sigma_o \left( 1 + \frac{r_o^3}{2r^3} \right) + P_1 \left( \frac{r_o^3}{2r^3} \right) + \frac{1}{r^3} \int_{r_o}^{r} \frac{2\rho^2}{1-\nu_o} \left[ b(1-2\nu_o)(P(\rho)-P_o) + \alpha_o E_o (T(\rho)-T_o) \right] d\rho \qquad (7) $$

$$ -\frac{1}{1-\nu_o} \left[ b(1-2\nu_o)(P_1-P_o) + \alpha_o E_o (T_1-T_o) \right] $$

### Étape n°3 : écriture de la continuité de la contrainte radiale en $r=x$:

La continuité de la contrainte radiale à la frontière de la zone endommagée permet d'obtenir en égalisant les équations (4) et (5) :
$$ \ln \frac{x}{r_o} = -\frac{1}{4C} \left\{ \sigma_o + P_I + \frac{4}{3}C - \frac{2}{3} \frac{1}{1-\nu_o} \left[ b(1-2\nu_o)(P-P_o) + \alpha_o E_o (T-T_o) \right] \right\} \quad (8) $$

### 3. Massif poro-viscoplastique

#### 3.1 Écriture de l'équation régissant les déformations d'endommagement et viscoplastique

Dans le cas viscoplastique, nous supposons que la pression en paroi $P_I$ est monotone décroissante dans le temps. Si l'on admet comme Tchiyep (1995) que le seuil d'endommagement est supérieur au seuil de viscoplasticité, il existe donc dans le massif, dans un premier temps, deux zones. L'une est élastique dans laquelle les déformations irréversibles sont nulles. La deuxième est dite viscoplastique : les déformations irréversibles y sont non nulles. Ces deux zones sont séparées par une frontière de rayon y.

Lorsque le critère d'endommagement est atteint, une troisième zone (la zone endommagée) apparaît. Elle est séparée de la zone viscoplastique en $r=x$.

<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>Figure 2. les différentes zones de déformations</figcaption></figure>

Il convient d'adjoindre aux équations précédentes, la loi de comportement viscoplastique :

$$ \frac{\partial \varepsilon^{vp}}{\partial t} = \frac{1}{\eta} \langle F^{vp} \rangle \quad (9) $$

$\langle x \rangle = x$ si $x \ge 0$, $\langle x \rangle = 0$ sinon; $\eta$ : constante de viscosité.

E $r=y$, le critère viscoplastique est atteint :

$$ (\sigma_r - \sigma_\theta)_{r=y} = 2C_I = -\left. \frac{y}{2} \frac{\partial \sigma_r}{\partial r} \right|_{r=y} \quad (10) $$

Faisons $y=r_o$ et $P_I=\sigma_y$ dans l'équation (6) et dérivons le résultat que l'on reporte dans (10). On a alors la contrainte radiale en $r=y$ que l'on nomme $\sigma_y$ :

$$ \sigma_y = \sigma_o - \frac{2}{3(1-\nu_o)} [b(1-2\nu_o)\delta P + \alpha_o E_o \delta T] + \frac{4}{3} C_I \quad (11) \\ \delta P = (P_I - P_o) \text{ et } \delta T = (T_I - T_o) $$

Dans la zone élastique, on a toujours les équations (6) et (7) vérifiées en remplaçant $P_I$ par $\sigma_y$, et $r_o$ par $y$. On a en utilisant l'expression (11) :
$$ \sigma_r = \sigma_o - \frac{2}{3}(f(P,T) - 2C_I)\frac{y^3}{r^3} - \frac{2}{r^3}\int_y^r f(P,T)\rho^2 d\rho \quad (12) $$

$$ \sigma_{\theta} = \sigma_{o} + \frac{2}{3}(f(P,T) - C_{I})\frac{y^{3}}{r^{3}} + \frac{1}{r^{3}}\int_{y}^{r} f(P,T)\rho^{2} d\rho \quad (13) $$

$$ f(P,T) = \frac{1}{1 - \nu_o} b(1 - 2\nu_o)(P(\rho) - P_o) + \alpha_o E_o (T(\rho) - T_o) $$

Le déplacement radial u dans la zone élastique est donnée par la théorie de la poro-élasticité :

$$ u = -r \frac{\sigma_r - \sigma_o}{4\mu} $$

En remplaçant $\sigma_r$ par son expression (12), on obtient :

$$ u = \frac{1}{4\mu} \left[ \frac{2}{3} (f(P,T) - 2C_I) \frac{y^3}{r^2} + \frac{2}{r^2} \int_y^r f(P,T) \rho^2 d\rho \right] \quad (14) $$

Exploitons l'hypothèse d'incompressibilité du matériau. Pour satisfaire l'équation divu =0, le déplacement radial u doit être de la forme :

$$ u = \frac{\alpha}{r^2} $$

La continuité du déplacement radial et l'équation (14) permet d'identifier la constante $\alpha$. De cette manière, on peut calculer la dérivée $\partial u/\partial r$ ou plus exactement la déformation radiale $\varepsilon_r$ (vu l'expression du tenseur des déformations donnée initialement) :

$$ \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{3\mu} [-f(P,T) + 2C_I] \frac{y^3}{r^3} = \varepsilon_r \quad (15) $$

Rappelons l'hypothèse de partition des déformations :

$$ \underline{\underline{\varepsilon}} = \underline{\underline{\varepsilon}}^e + \underline{\underline{\varepsilon}}^p + \underline{\underline{\varepsilon}}^{vp} $$

Celle-ci se réécrit alors, en utilisant successivement l'équation (15), l'équation d'équilibre et l'expression de la déformation élastique (1) avec $\nu_o=0,5$ (incompressibilité du matériau en condition drainée et isotherme) :

$$ \varepsilon^p + \varepsilon^{vp} = \frac{r}{2E_o} \frac{\partial \sigma_r}{\partial r} - \frac{b}{3K_o} \delta P - \alpha_o \delta T + \frac{1}{3\mu} [-f(P,T) + 2C_I] \frac{y^3}{r^3} \quad (16) $$

## 3.2 Écriture de l'équation régissant la frontière entre la zone endommagée et la zone viscoplastique

### 1ère étape : apparition d'une zone viscoplastique ($\varepsilon^{vp} \neq 0; \varepsilon^p = 0$)
Lorsque la pression en paroi décroît, le seuil de viscoplasticité est rapidement atteint (C₁ étant très faible) : une zone viscoplastique apparaît.

La loi de comportement viscoplastique (9) et l'équation fondamentale (16) s'écrivent alors respectivement :

$$ \frac{\partial \varepsilon^{vp}}{\partial t} = \frac{1}{\eta} \left\langle -\frac{r}{2} \frac{\partial \sigma_r}{\partial r} - 2C_I \right\rangle \quad (17) $$

$$ \varepsilon^{vp} = \frac{r}{2E_o} \frac{\partial \sigma_r}{\partial r} - \frac{b}{3K_o} \delta P - \alpha_o \delta T + \frac{1}{3\mu} [-f(P,T) + 2C_I] \frac{y^3}{r^3} \quad (18) $$

En dérivant l'équation (18) par rapport au temps et en identifiant le résultat à l'équation (17), on obtient après simplification :

$$ \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{\partial \sigma_r}{\partial t} + \frac{E_o}{\eta} \sigma_r \right) = - \frac{4E_o C_I}{r\eta} - \frac{2E_o}{3r\mu} (2C_I - f(P,T)) \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{y^3}{r^3} \right) - \frac{2E_o}{3r\mu} f(P,T) \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{y^3}{r^3} \right) + \frac{2}{3} b \frac{E_o}{rK_o} \delta \dot{P} + \frac{2}{r} \alpha_o E_o c_I \quad (19) $$

L'intégration de cette équation entre $r_o$ et y permet d'établir l'équation d'évolution de la variable y en fonction du chargement en paroi.

### 2ème étape : apparition d'une zone d'endommagement ($\varepsilon^{vp} \neq 0; \varepsilon^{p} \neq 0$)

Si la pression en paroi continue à décroître, le seuil d'endommagement peut être atteint et une zone endommagée prend naissance depuis la paroi. L'équation (19) est toujours satisfaite dans la zone viscoplastique. Intégrons (19) entre les rayons $r=x$ et $r=y$ avec :

en $r=x$

$$ \sigma_r(r=x) = \sigma_x = -P_I - 4CLn \frac{x}{r_o} \quad (\text{équation 4}) \quad (20) $$

$$ \dot{\sigma}_r(r=x) = \dot{\sigma}_x \quad (21) $$

en $r=y$

$$ \sigma_y = \sigma_o - \frac{2}{3} C_I \quad (22) $$

$$ \dot{\sigma}_y = \frac{2C_I}{y^2} \frac{\partial(y^2)}{\partial t} \quad (\text{en dérivant (22) et en notant que } \sigma_y(y(t),t) = \text{cste}) \quad (23) $$

NB : la zone viscoplastique ne voit ni son champ de température ni son champ de pression interstitielle modifiés : $f(P,T) = 0; \dot{f}(P,T) = 0$

Nous obtenons alors :

$$ \dot{\sigma}_x + \frac{E_o}{\eta} \sigma_x = 4C_I \frac{E_o}{\eta} \int_x^y \frac{dr}{r} + \frac{8}{3} (1 + v_o) C_I \frac{\partial y^3}{\partial t} \int_x^y \frac{dr}{r^4} + 2C_I \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{y^2}{r^2} \right) + \frac{E_o}{\eta} \left( \sigma_o + \frac{4}{3} C_I \right) \quad (24) $$

Considérant la relation (4) dans la zone endommagée et l'hypothèse $C_I \ll C$, l'équation (24) se simplifie en :

$$ \dot{P}_I + \frac{E_o}{\eta} P_I = -4C \frac{\dot{x}}{x} - \frac{E_o}{\eta} 4CLn \frac{x}{r_o} - \frac{E_o}{\eta} \sigma_o $$
# ANNEXE IV

CALCULS ANALYTIQUES DE L'ÉVOLUTION À COURT TERME
DE LA PRESSION DE FLUIDE DANS UNE CAVERNE ABANDONNÉE
# ANNEXE IV CALCULS ANALYTIQUES DE L'ÉVOLUTION À COURT TERME DE LA PRESSION DE FLUIDE DANS UNE CAVERNE ABANDONNÉE

Dans le calcul qui suit, la cavité est assimilée à une sphère de rayon $r_o$; l'expansion thermique est prise en compte ainsi que la dissolution complémentaire provoquée par l'augmentation de la pression du fluide.

## 1. Écriture des équations d'évolution dans le massif.

Considérons un petit élément de milieu poreux saturé $d\Omega$ soumis à un chargement thermo-hydro-mécanique. Les couplages résultant d'un tel chargement sont traduits par les équations décrivant les variations volumiques des constituants de l'élément $d\Omega$: le squelette, des pores et du système pore+squelette. Ces équations, encore appelées lois de comportement sont données par (Palciauskas et Domenico, 1982; Mc Tigue, 1986; Coussy, 1991):

- Loi de comportement mécanique :

$$ \sigma = \sigma_o + K_o e^{-b(P-P_o)} - 3\alpha_o K_o (T-T_o) \quad (1a) $$

ou sous une forme tensorielle :

$$ \underline{\underline{\sigma}} = \sigma_o \underline{\underline{l}} + 2\mu \underline{\underline{\epsilon}} + \lambda_o e \underline{\underline{l}} - b(P-P_o) \underline{\underline{l}} - 3\alpha_o K_o (T-T_o) \underline{\underline{l}} \quad (1b) $$

$\underline{\underline{\sigma}}$: tenseur des contraintes; $\sigma=1/3 \text{ tr}\underline{\underline{\sigma}}$: contrainte moyenne, P: pression de pores, $\underline{\underline{\epsilon}}$: tenseur des déformations élastiques; e: déformation volumique élastique; $K_o$: module de compressibilité drainé $\lambda_o$: premier coefficient de Lamé drainé; $\mu$: module de cisaillement; b: coefficient de Biot; T: température, $\rho^{fl}$: masse volumique du fluide. L'indice o indique la valeur prise par ces variables d'état à l'état initial, avant chargement.

-Loi de comportement hydraulique

$$ P = P_o + M \left( -be + m^{\text{thm}} / \rho_o^{\text{fl}} \right) + 3\alpha_m M(T-T_o) \quad (2) $$

$\alpha_m$: coefficient de dilatation linéique du fluide relativement au squelette solide; M: module de Biot; $m^{\text{thm}}$: variation de la masse fluide suite au chargement thermo-hydro-mécanique.

Ces équations généralisent le cas isotherme discuté par Biot (1941). Les constantes qui apparaissent dans (1) et (2) peuvent être classées en 4 familles :

(1) mécanique : le module d'incompressibilité drainé ($P=P_o$) $K_o$;

(2) thermique : le coefficient de dilatation linéique drainé $\alpha_o$;

(3) hydro-mécanique : le coefficient de Biot b et le module de Biot M;

(4) thermo-hydro-mécanique : le coefficient de dilatation linéique du fluide relativement au squelette solide $\alpha_m$.

Ces paramètres ne sont pas indépendants et peuvent être reliés par exemple, pour les paramètres hydro-mécaniques par les relations suivantes :

$$ \frac{1}{M} = \frac{\phi_o}{K^{\text{fl}}} + \frac{b - \phi_o}{K^s} \quad \text{et} \quad b = 1 - \frac{K_o}{K^s} \quad (3) $$
$\phi_O$: porosité, $K^{fl}$: module d'incompressibilité du fluide, $K^S$: module d'incompressibilité de la matrice solide.

La combinaison des lois de conservation (de la masse fluide, de la quantité de mouvement et de l'énergie), des lois de conduction (loi de Darcy pour le comportement hydraulique et loi de Fourier pour l'a diffusion thermique) et des lois de comportement (1) et (2) permet d'écrire les équations suivantes :

- équations de Navier :

$$ \left(\frac{K_o}{3} + \mu\right) \underline{\underline{\text{grad} \, \text{div} \, \underline{\underline{u}}}} + \mu \underline{\underline{\text{div} \, \text{grad} \, \underline{\underline{u}}}} - b \underline{\underline{\text{grad}} \, (P - P_o)} - 3\alpha_o K_o \underline{\underline{\text{grad}} \, (T - T_o)} = 0 \quad (4) $$

- équation de diffusion hydraulique :

$$ \operatorname{div} \underline{\underline{\operatorname{grad} \left[ \frac{k}{\eta}(P-P_o) \right]}} = \frac{1}{M} \frac{\partial(P-P_o)}{\partial t} + b \frac{\partial \operatorname{div} \underline{\underline{u}}}{\partial t} - 3\alpha_m (T-T_o) + \frac{\partial \phi^{\text{chim}}}{\partial t} \quad (5) $$

- équation de diffusion thermique :

$$ \operatorname{div} \left[ \lambda_T \underline{\underline{\operatorname{grad} T}}} \right] = (\rho C) \frac{\partial T}{\partial t} \quad (6) $$

Ces équations appellent quelques commentaires :

a- l'équation de diffusion hydraulique (5) a été obtenue en considérant dans l'équation de comportement hydraulique, l'apport de masse total de saumure (soluté + solvant) m donné par :

$$ \frac{m}{\rho_0^{\text{fl}}} = \frac{m^{\text{thm}}}{\rho_0^{\text{fl}}} + \phi^{\text{chim}} \quad (7) $$

$\rho_0^{fl}$ : masse volumique de la saumure dans les conditions initiales; $\phi^{chim}$ : variation de porosité uniquement due aux effets de dissolution-cristallisation.

Dans l'équation (5), $\mu$ est le module de cisaillement, $k$ est la perméabilité intrinsèque, $\eta$ est la viscosité dynamique du fluide.

b- l'équation de diffusion thermique (6) est ici simplifiée pour ne tenir compte que du transport de chaleur par diffusion (le transport par convection étant négligeable à moyen terme pour des milieux peu perméables comme le sel). Le paramètre $\lambda_T$ est la conductivité thermique du sel, $\rho$ est la masse volumique du sel et $C$ la capacité calorifique.

L'équation de Navier (4) dans laquelle le vecteur déplacement $\underline{\underline{u}}$ est inconnue, peut s'intégrer de r à r<sub>b</sub> (avec T=T<sub>o</sub> et P=P<sub>o</sub> et u=0 en r=r<sub>b</sub>). On obtient après dérivation par rapport à la variable temps t :

$$ \frac{\partial(\operatorname{div} \underline{\underline{u}})}{\partial t} = \frac{b^2}{K_o + 4/3\mu} \frac{\partial(P - P_o)}{\partial t} + \frac{3\alpha_o K_o}{K_o + 4/3\mu} \frac{\partial(T - T_o)}{\partial t} \quad (8) $$

En remplaçant cette expression dans l'équation de diffusion hydraulique (5), on a alors :

$$ \left( \frac{1}{M} + \frac{b^2}{K_o + 4/3\mu} \right) \frac{\partial P}{\partial t} + \left( -3\alpha_m + \frac{3\alpha_o K_o}{K_o + 4/3\mu} \right) \frac{\partial T}{\partial t} + \frac{\partial \phi^{\text{chim}}}{\partial t} = \operatorname{div} \left[ \frac{k(\phi^{\text{chim}})}{\eta} \underline{\underline{\operatorname{grad} P}}} \right] \quad (9) $$
## 2. Principe de résolution des équations d'évolution dans le massif

Dans le paragraphe 1 du chapitre V, avec les hypothèses utilisées, on a pu voir que la porosité et la perméabilité restent sensiblement constantes au cours de l'évolution des grandeurs d'état. On a donc à résoudre le système d'équations couplés suivant :

$$ \Delta \underline{X} = C \dot{\underline{X}} \qquad (10) $$

avec :

$$ \underline{X} = \begin{pmatrix} P - P_o \\ T - T_o \end{pmatrix}; \quad C = \begin{bmatrix} A & B \\ 0 & 1/k_T \end{bmatrix}; \quad \Delta : \text{l'opérateur laplacien.} $$

$$ A = \frac{\eta}{k} \left( \frac{1}{M} + \frac{b^2}{\lambda_o + 2\mu} \right); \quad B = \frac{\eta}{k} \left( -3\alpha_m + \frac{3\alpha_o K_o}{K_o + 4/3\mu} \right); \quad 1/k_T = \rho C / \lambda_T $$

La résolution du système (10) se divise en quatre étapes :

(1)- l'inverse de la matrice $C$ est calculée afin de se ramener au système suivant :

$$ \underline{D} \Delta \underline{X} = \dot{\underline{X}} \qquad (11) $$

$\underline{D}$ : matrice inverse de $C$, ou matrice de diffusivité.

(2)- les valeurs propres $\lambda_i$ ($i=1,2$) et les vecteurs propres $\underline{x}_i$ ($i=1,2$) de la matrice $\underline{D}$ sont également calculées, de telle sorte qu'il est possible d'écrire :

$$ \underline{D} \underline{x}_i = \lambda_i \underline{x}_i \qquad (12) $$

(3)- le vecteur $\underline{X}$ est écrit dans la base des vecteurs propres :

$$ \underline{X} = \sum_{i=1}^{2} \varphi_i(r, t) \underline{x}_i \qquad (13) $$

En remplaçant (12) et (13) dans (11), on a alors le nouveau système :

$$ \sum_{i=1}^{2} \lambda_i \Delta \varphi_i \underline{x}_i = \sum_{i=1}^{2} \dot{\varphi}_i \underline{x}_i \qquad (14) $$

Pour chaque composante des vecteurs $\underline{x}_i$, on a :

$$ \begin{cases} \lambda_1 \Delta \varphi_1 = \dot{\varphi}_1 \\ \lambda_2 \Delta \varphi_2 = \dot{\varphi}_2 \end{cases} \qquad (15) $$

(4)- le système (10) se ramène donc à un système d'équations *découplés* (15) pour lequel on peut résoudre séparément et analytiquement (par transformée de Laplace par exemple) chacune des équations de diffusion.

La mise en œuvre de ce principe de résolution permet d'obtenir l'expression de la dérivée $\frac{\partial}{\partial r} (P - P_o) \bigg|_{r_o}$ qui sera utilisée ultérieurement pour écrire la condition à la limite en paroi ($r=r_o$) de la caverne :
$$ \frac{\partial}{\partial r}(P-P_o)(r_o,t) = -\frac{(P_l-P_o)}{r_o} - \sqrt{A} \int_0^t \frac{1}{\sqrt{\pi(t-\tau)}} \frac{d(P_l-P_o)}{d\tau} d\tau \\ \frac{Bk_T}{1-Ak_T} \int_0^t \left[ \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{\pi(t-\tau)}} - \frac{1}{\sqrt{k_T}} \frac{1}{\sqrt{\pi(t-\tau)}} \right] \frac{d(T_l-T_o)}{d\tau} d\tau \quad (16) $$

P₁ : pression du fluide en paroi (fonction du temps); T₁ : température en paroi (fonction du temps).

### 3. Equation régissant la pression dans la caverne

La pression de fluide P₁ dans la caverne obéit la conservation de la masse de fluide à la paroi :

$$ \begin{aligned} \dot{M} &= \underbrace{V_o \rho_o \dot{f}}_{\substack{\text{Variation de la densité du fluide} \\ \Rightarrow \text{équation d'état du fluide (a1)}}} + \underbrace{\rho_o \dot{f} \dot{V}}_{\substack{\text{Variation de la géometrie de la cavité} \\ \Rightarrow \text{équation de comportement du massif (a2)}}} \\ &= \underbrace{-S_o q}_{\substack{\text{Fuite dans le massif} \\ \Rightarrow \text{loi de conduction du fluide} \\ \text{en milieu poreux (a3)}}} + \underbrace{\dot{M}_{\text{chimique}}}_{\substack{\text{Quantité de masse dissoute/precipitée} \\ \text{à la paroi par unité de temps} \\ \Rightarrow \text{équation de cinétique chimique}}} \end{aligned} \quad (17) $$

M : masse de saumure dans la cavité, ρ<sub>fl</sub><sub>0</sub>: masse volumique de la saumure, S<sub>0</sub> et V<sub>0</sub>: respectivement surface et volume initiaux de la caverne, q : débit massique de fuite à la paroi, V : volume actuel de la caverne.

Explicitons chacun des termes dans l'équation (17) :

#### a1 - Équation d'état du fluide :

On peut prendre une loi linéaire de la forme (Bérest et al., 1979):

$$ \begin{gathered} \rho^{fl} = \rho_o^{fl} (1 - a_s T + b_s P) \quad (18) \\ a_s = 3.76 \ 10^{-4} \, \text{°C}^{-1}; \quad b_s = 3.16 \ 10^{-4} \, \text{MPa}^{-1}; \quad \rho_o^{fl} = 1.198 \ 10^3 \, \text{kg/m}^3 \, (\text{à 25 °C et } 0,1 \, \text{MPa}) \end{gathered} $$

#### a2 - Équation de comportement du massif :

Pour une sphère, nous avons : $\dot{V} = 4 \pi r_0^2 \dot{r} = 4 \pi r_0^2 \dot{u}_0$. Avec $\dot{u}_0$: vitesse de convergence de la paroi donnée dans le cas d'un comportement thermo-poro-élastique du massif, par l'expression suivante :

$$ \frac{\dot{u}_0}{r_o} = \frac{\dot{P}_l}{4\mu} \quad (19) $$

En remplaçant (18) et (19) dans l'équation (17) :

$$ V_o(-\rho_o^{fl} a_s \dot{T}_l + \rho_o^{fl} b_s \dot{P}_l) + \rho_o^{fl} \frac{\dot{P}_l}{4\mu} V'_o = -S_o q + \dot{M}_{\text{chimique}} \quad (20) $$

$V_o'=S_o r_o$; $S_o$: surface de la caverne; $r_o$: rayon de la caverne.
NB : les grandeurs P₁ et T₁ correspondent à des variations (plus exactement des augmentations) de la pression et de la température par rapport à l'état initial.

Cette équation peut être réécrite en considérant la caverne étanche (q=0) :

$$V_o(-\rho_o^{fl} a_s \dot{T}'_l + \rho_o^{fl} b_s \dot{P}'_l) + \rho_o^{fl} \frac{\dot{P}'_l}{4\mu} V'_o = \dot{M}'_{\text{chimique}} \quad (21)$$

P₁' : pression dans la caverne supposée étanche; T₁' : température dans la caverne supposée étanche;

Compte tenu de la faible perméabilité du massif, on suppose que :

- l'évolution de la température de la saumure reste sensiblement la même que la cavité soit étanche ou non ($\dot{T}'_l \approx \dot{T}_l$);

- la quantité de masse dissoute ou précipitée en paroi est peu modifiée par la faible fuite de saumure dans le massif ($\dot{M}'_{\text{chimique}} \approx \dot{M}_{\text{chimique}}$).

A partir de ces deux hypothèses, faisons (20)-(21) :

$$\rho_o^{fl} V_o \left(b_s + \frac{3}{4\mu}\right) (\dot{P}_l - \dot{P}'_l) = -S_o q \quad (22)$$

L'équation (22) doit être complétée par l'expression du débit massique de fuite q. Celui-ci est supposé obéir à la loi de Darcy :

$$q = - \rho_o^{fl} \frac{k}{\eta} \left[ \frac{\partial P}{\partial r} \right]_o \quad (23)$$

k : perméabilité intrinsèque, η : viscosité dynamique du fluide.

L'expression de la dérivée $\frac{\partial P}{\partial r}|_o$ dans (23) est donnée par l'équation (16) :

$$\rho_o^{fl} V_o \left(b_s + \frac{3}{4\mu}\right) (\dot{P}_l - \dot{P}'_l) = -S_o \frac{k}{\eta} \left\{ -\frac{(P_l - P_o)}{r_o} - \sqrt{A} \int_0^l \frac{1}{\sqrt{\pi(t-\tau)}} \frac{d(P_l - P_o)}{d\tau} d\tau + \right. \\ \left. + \frac{Bk_T}{1-Ak_T} \int_0^l \left[ \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{\pi(t-\tau)}} - \frac{1}{\sqrt{k_T}} \frac{1}{\sqrt{\pi(t-\tau)}} \right] \frac{d(T_l - T_o)}{d\tau} d\tau \right\} \quad (24)$$

En utilisant la transformée de Laplace de la relation (24), nous obtenons :

$$P_l^* = \frac{s}{s + \frac{1 + \sqrt{s\tau_h}}{\tau'_h}} P_l^* + \frac{1}{\tau_h} \frac{\tau_{hT}}{\tau_T - \tau_h} \frac{\sqrt{s\tau_h} - \sqrt{s\tau_T}}{s + \frac{1 + \sqrt{s\tau_h}}{\tau'_h}} s \frac{T_l^*}{T_o} \quad (25)$$

P₁* : la "transformée" de Laplace de P₁'; T₁* : la "transformée" de Laplace de T₁.

Les constantes de temps $\tau_h$, $\tau_T$, $\tau_{hT}$ et $\tau'_h$ s'écrivent :

$$\tau_h = \frac{r_o^2}{D_h} ; \quad \tau_T = \frac{r_o^2}{D_T} ; \quad \tau_{hT} = \frac{r_o^2}{D_{hT}} ; \quad \tau'_h = \frac{r_o^2}{D_h}$$
Les termes de diffusivité sont :

$$D_h = \frac{k}{\eta} \frac{1}{\frac{1}{M} + \frac{b^2}{\lambda_o + 2\mu}} ; \quad D_T = \frac{\lambda_T}{\rho_s C_s} ; \quad D_{hT} = \frac{1}{T_o} \frac{k}{\eta} \frac{1}{-3\alpha_m + \frac{3\alpha_o K_o b}{\lambda_o + 2\mu}} ; \quad D'_h = \frac{1}{K^{fl}} + \frac{3}{M} \frac{1}{\mu}$$

k : perméabilité; η : viscosité dynamique; M : module de Biot; b : coefficient de Biot; λ₀ : premier coefficient de Lamé drainé; μ : module de cisaillement; λ_T : conductivité thermique du sel; ρ : masse volumique du sel; C : capacité calorifique du sel; T₀ : température initiale; α_m : coefficient de dilatation linéique du fluide relativement au squelette solide; α₀ : coefficient de dilatation linéique du squelette drainé; K₀ : module de compressibilité drainé; K^{fl} : module de compressibilité de la saumure.

En inversant la relation (25), on obtient la solution recherchée :

$$P_I = f_I(t) \otimes P'_I + f_2(t) \otimes T'_I \quad (26)$$

$P'_I$ : évolution de la pression de la caverne en l'absence de fuite dans le massif; $T'_I$ : évolution de la température de la caverne ; $\otimes$ : le symbole de convolution tel que :

$$f \otimes g = \int_{0}^{t} f(t - \tau)dg(\tau)$$

$f_1$ et $f_2$, fonction du temps sont données par :

$$f_I(t) = \frac{2}{\sqrt{\Delta}} \operatorname{Im} \left[ s_I e^{s_I^2} \operatorname{erfc}(-s_I \sqrt{t}) \right] \quad \text{et} \quad f_2(t) = - \frac{1}{\tau_h'} \frac{\tau_{hT}}{\sqrt{\tau_T - \sqrt{\tau_h}}} \frac{1}{T_o} \frac{2}{\sqrt{\Delta}} \operatorname{Im} \left[ s_I e^{s_I^2} \operatorname{erfc}(-s_I \sqrt{t}) \right]$$

erfc : fonction erreur complémentaire :

$$\operatorname{erfc}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{x}^{\infty} e^{-u^2} du$$

Im: l'opérateur partie imaginaire; le complexe $s_I$ donné par :

$$s_I = \frac{-a + i\sqrt{\Delta}}{2} ; \quad \Delta = a^2 - 4b \quad a = \frac{\sqrt{\tau_h}}{\tau_h'} ; b' = \frac{1}{\tau_h'}$$

L'évolution de la pression dans la caverne étanche $P'_I$ qui prend en compte la dilatation thermique et la dissolution complémentaire consécutive à l'augmentation de pression a été calculée par Bérest *et al.* (1979) :

$$\delta P'_I = \frac{\left[ a_s(1-C_o) + a_I C_o \left(1 - \frac{\rho_o^{fl}}{\rho}\right) \right] \delta T_I + \left[ C_o(a_2 - a_I a_s) \left(1 - \frac{\rho_o^{fl}}{\rho}\right) \right] \delta T_I^2}{\kappa(1-C_o) + b - a_3 C_o \left(1 - \frac{\rho_o^{fl}}{\rho}\right)} \quad (27)$$

$\kappa$ : compressibilité élastique de la caverne donnée par

$$\kappa = \frac{6(1 + \nu)}{4E}$$

E : module d'Young; ν : coefficient de Poisson. Les coefficients $C_o$, $a_1$, $a_2$ et $a_3$ sont des constantes de la loi empirique suivante :

$$C = C_o(1 + a_1\delta T + a_2\delta T^2 + a_3\delta P)$$

$C_o=0,265$ (kg de sel/kg de saumure) ; $a_1=4.07 \ 10^{-4}$ ; $a_2=7.42 \ 10^{-6}$ ; $a_3=2.62 \ 10^{-5}$.
# ANNEXE V

## SOLUTIONS ANALYTIQUES DES ÉQUATIONS D'ÉVOLUTION DES CONTRaintES À L'ÉTAT ASYMPTOTIQUE
# ANNEXE V. SOLUTIONS ANALYTIQUES DES ÉQUATIONS D'ÉVOLUTION DES CONTRAINCES À L'ÉTAT ASYMPTOTIQUE

Les calculs ici exposés sont les mêmes dans leur déroulement que ceux conduits notamment par Pouya (1991b), et Kazan (1994). L'originalité tient ici à l'introduction de la nature poreuse du matériau.

On s'attachera à présenter les solutions en symétrie sphérique. Les solutions données pour une symétrie cylindrique peuvent être obtenues pour l'essentiel, suivant la même démarche.

<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>Figure 1. Géométrie et chargement</figcaption></figure>

## 1. Hypothèses et équations générales

Les propriétés du matériau sont isotropes. Vu la symétrie du problème (figure 1), le champs de déplacement est radial et prend la forme $u(r,t)\epsilon_r$. Les tenseurs de déformations $\epsilon$ et des contraintes $\sigma$ s'écrivent pour une géométrie sphérique:

$$ \epsilon = \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial r} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{u}{r} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{u}{r} \end{bmatrix} \qquad \sigma = \begin{bmatrix} \sigma_r & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_\theta & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_\phi \end{bmatrix} $$

avec la propriété supplémentaire $\sigma_\theta(r,t) = \sigma_\phi(r,t)$.

L'hypothèse des petites perturbations nous permet de décomposer le tenseur des déformations en une partie thermo-poro-élastique (notée $\epsilon^e$), une partie viscoplastique (notée $\epsilon^P$) et une partie due à l'endommagement (notée $\epsilon^\infty$) indépendante de la viscoplasticité :
$$ \underline{\underline{\epsilon}} = \underline{\underline{\epsilon}}^e + \underline{\underline{\epsilon}}^p + \underline{\underline{\epsilon}}^{vp} $$

Dans la suite, on ne s'intéressera pas à la partie due à l'endommagement. La partie thermo-poro-élastique s'écrit :

$$ \underline{\underline{\epsilon}}^e = \frac{1+v_o}{E_o}(\underline{\underline{\sigma}} - \sigma_o \underline{\underline{l}}) - \frac{v_o}{E_o} \mathrm{tr}(\underline{\underline{\sigma}} - \sigma_o \underline{\underline{l}}) + \frac{b}{3K_o}(P-P_o) + \alpha_o(T-T_o) \quad (1) $$

$\sigma_o$ : contrainte géostatique initiale ; $P$ : pression interstitielle ; $P_o$ : pression de pores initiale, $b$ : coefficient de Biot ; $v_o$ : coefficient de Poisson drainé ; $\alpha_o$ : coefficient de dilatation thermique drainé ; $E_o$ : module d'Young drainé, $K_o$ : module de compressibilité drainé, $T$ : température, $T_o$ : température initiale.

ou encore en inversant (1) :

$$ \underline{\underline{\sigma}} - \sigma_o \underline{\underline{l}} = \lambda_o \mathrm{Tr}(\underline{\underline{\epsilon}} - \underline{\underline{\epsilon}}^{vp}) + 2\mu(\underline{\underline{\epsilon}} - \underline{\underline{\epsilon}}^{vp}) - 3\alpha_o K_o (T - T_o) \underline{\underline{l}} - b(P - P_o) \underline{\underline{l}} \quad (2) $$

$\lambda_o$ : premier coefficient de Lamé drainé; $\mu$ : module de cisaillement.

Dans le cas du comportement viscoplastique, on considère également un critère de Tresca couramment utilisé dans le domaine de la mécanique du sel (Bérest, 1989; Ghoreychi, 1990) :

$$ F_{\theta} = \omega(\sigma_{\theta} - \sigma_{r}) - 2C_{l} \quad (3a) $$

$$ F_{\varphi} = \omega(\sigma_{\varphi} - \sigma_{r}) - 2C_{l} \quad (3b) $$

avec $\omega = \pm 1$ a le même signe que $\sigma_{\theta} - \sigma_{r} = \sigma_{\varphi} - \sigma_{r}$ et une cohésion $C_l$ très faible en deçà du MPa. On prendra donc $C_l = 0$.

En outre, les déformations viscoplastiques n'engendrent pas de déformation volumique (Munson et Dawson, 1981; Langer, 1981). On a donc :

$$ \mathrm{Tr} \underline{\underline{\epsilon}}^{vp} = 0 $$

Compte tenu de la symétrie du problème, cette dernière relation implique :

$$ \underline{\underline{\epsilon}}^{vp} = \begin{bmatrix} \epsilon^{vp} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2}\epsilon^{vp} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2}\epsilon^{vp} \end{bmatrix} \quad (4a) $$

Dans le cadre d'un comportement viscoplastique standard, la règle de normalité s'écrit (loi associée) :

$$ \underline{\underline{\epsilon}}^{vp} = \eta F^n(\sigma) \frac{\partial F}{\partial \underline{\underline{\sigma}}} \quad (4b) $$

$\eta$ : constante de viscosité.

Lorsque le critère (3) est satisfait ($\sigma_r > \sigma_\theta$), la règle de normalité (4b) permet alors d'écrire :
$$ \dot{\epsilon}^{vp} = \eta \frac{(\sigma_r - \sigma_{\theta})^n}{\sigma_n} \qquad (4c) $$

$\sigma_n$ : constante de normalisation prise égale à 1 MPa.

Les conditions aux limites sont les suivantes :

$$ \sigma_r = -P_l ; T=T_1 ; P=P_1 \text{ pour } r=r_o $$

$$ \sigma_r = \sigma_o ; T=T_o ; P=P_o \text{ pour } r=r_e \text{ (r_e>>r_o)} $$

L'état de contrainte initial est considéré homogène et isotrope :

$$ \underline{\underline{\sigma}}_o = \sigma_o \underline{\underline{l}} ( \sigma_o = cste ) $$

## 2. Écriture de l'équation d'évolution de la contrainte déviatorique $f=\sigma_r-\sigma_{\theta}$

La relation (2) peut se réécrire sous la forme suivante :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \sigma_r - \sigma_o = \lambda_o \left( \frac{\partial u}{\partial r} + 2 \frac{u}{r} \right) + 2 \mu \frac{\partial u}{\partial r} - 3 \alpha_o K_o \delta T - b \delta P - 2 \mu \epsilon^{vp} \\ \sigma_{\theta} - \sigma_o = \lambda_o \left( \frac{\partial u}{\partial r} + 2 \frac{u}{r} \right) + 2 \mu \frac{u}{r} - 3 \alpha_o K_o \delta T - b \delta P + \mu \epsilon^{vp} \end{array} \right. \quad (5) $$

$$ \left\{ \begin{array}{l} \sigma_{\theta} - \sigma_{o} = \lambda_{o} \left( \frac{\partial u}{\partial r} + 2 \frac{u}{r} \right) + 2 \mu \frac{u}{r} - 3 \alpha_{o} K_{o} \delta T - b \delta P + \mu \epsilon^{vp} \\ \sigma_{r} - \sigma_{o} = \lambda_{o} \left( \frac{\partial u}{\partial r} + 2 \frac{u}{r} \right) + 2 \mu \frac{\partial u}{\partial r} - 3 \alpha_{o} K_{o} \delta T - b \delta P - 2 \mu \epsilon^{vp} \end{array} \right. \quad (6) $$

$\delta P$ : écart de la pression interstitielle à l'état initial; $\delta T$ : écart de la température à l'état initial.

Faisons (6)-(5) :

$$ \sigma_{\theta} - \sigma_{r} = 2\mu \left( \frac{\partial u}{\partial r} + 2 \frac{u}{r} \right) + 3\mu \epsilon^{vp} \quad (7) $$

Or l'équilibre se traduit par l'équation :

$$ \sigma_{\theta} - \sigma_{r} = \frac{r}{2} \frac{\partial \sigma_{r}}{\partial r} \qquad (8) $$

En remplaçant dans (7) :

$$ \frac{\partial \sigma_r}{\partial r} = -4\mu \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{u}{r} \right) + 6\mu \frac{\epsilon^{vp}}{r} \quad (9) $$

L'intégration de l'équation (9) de $r_o$ à $r$ donne :

$$ E_o \frac{u}{r} = - \left( \frac{l+v_o}{2} \right) \delta \sigma_r + \frac{3}{2} E_o \int_{r_o}^{r} \frac{\epsilon^{vp}}{u} du + E_o \frac{u(r_o)}{r} - \left( \frac{l+v_o}{2} \right) (P_l + \sigma_o) \quad (10) $$

Reprenons de nouveau les équations (5) et (6) et formons (4)+2*(6) :

$$ (\sigma_r - \sigma_o) + 2(\sigma_{\theta} - \sigma_o) = (3\lambda_o + 2\mu) \text{tr}\underline{\underline{\epsilon^e}} - 9\alpha_o K_o \delta T - 3b\delta P \quad (11) $$

l'équation (11) peut se réécrire encore :
$$ \operatorname{tr} \underline{\underline{\epsilon^e}} = \frac{1}{(3\lambda_o + 2\mu)} (\operatorname{tr}(\underline{\underline{\sigma}} - \underline{\underline{\sigma}}_o)) + 9\alpha_o K_o \delta T + 3b\delta P \quad (12) $$

En remplaçant dans (6) et en isolant le rapport $u/r$ :

$$ 2\mu \frac{u}{r} = \frac{\lambda_o + 2\mu}{3\lambda_o + 2\mu}(\sigma_\theta - \sigma_o) - \frac{\lambda_o}{3\lambda_o + 2\mu}(\sigma_r - \sigma_o) + \frac{2\mu}{3\lambda_o + 2\mu}b\delta P + \frac{2\mu}{3\lambda_o + 2\mu}3\alpha_o K_o \delta T - \mu\epsilon^{vp} \quad (13) $$

En remarquant que :

$$ \frac{2\mu}{3\lambda_o + 2\mu} = \frac{1 - 2\nu_o}{1 - \nu_o} \quad \text{et} \quad \frac{\lambda_o}{3\lambda_o + 2\mu} = 2\nu_o \frac{\mu}{E_o} $$

La relation (13) se réécrit :

$$ E_o \frac{u}{r} = (1 - \nu_o)(\sigma_\theta - \sigma_o) - \nu_o(\sigma_r - \sigma_o) + (1 - 2\nu_o)b\delta P + \alpha_o K_o \delta T - \frac{E_o}{2} \epsilon^{vp} \quad (14) $$

En utilisant l'équation d'équilibre (8), l'équation (14) devient :

$$ E_o \frac{u}{r} = (1 - 2\nu_o)(\sigma_r - \sigma_o) - (1 - \nu_o) \frac{\partial}{\partial r} (\sigma_r - \sigma_o) + (1 - 2\nu_o) b \delta P + \alpha_o K_o \delta T - \frac{E_o}{2} \epsilon^{vp} \quad (15) $$

Identifions les équations (15) et (10), on obtient :

$$ \frac{\partial}{\partial r}(\sigma_r - \sigma_o) + \frac{3}{r}(\sigma_r - \sigma_o) = f(r,t) \quad (16) $$

avec

$$ f(r,t) = \frac{2}{(1-2\nu_o)r} \left\{ -(1-2\nu_o)b\delta P - \alpha_o E_o \delta T + \frac{E_o}{2}\epsilon^{vp} + \frac{3}{2}E_o \int_{r_o}^{r} \frac{\epsilon^{vp}}{u} du + A(t) \right\} $$

et

$$ A(t) = E_o \frac{u(r_o)}{r} - \left( \frac{1+\nu_o}{2} \right) (P_l + \sigma_o) $$

L'intégration de l'équation (16) entre $r_o$ et $r$ conduit à :

$$ \begin{aligned} \sigma_r = \sigma_o & \left( 1 - \frac{r_o^3}{r^3} \right) - P_l \left( \frac{r_o^3}{r^3} \right) - \frac{1}{r^3} \int_{r_o}^{r} \frac{2\rho^2}{1-\nu_o} \left[ b(1-2\nu_o)(P(\rho)-P_o) + \alpha_o E_o (T(\rho)-T_o) \right] d\rho \\ & + \frac{1}{r^3} \int_{r_o}^{r} \frac{2\rho^2}{1-\nu_o} \left[ \frac{E_o}{2}\epsilon^{vp} + \frac{3}{2}E_o \int_{r_o}^{\rho} \frac{\epsilon^{vp}}{u} du \right] d\rho \\ & + \frac{1}{r^3} \int_{r_o}^{r} \frac{2\rho^2}{1-\nu_o} [A(t)] d\rho \end{aligned} \quad (17) $$

Dans le cas d'un matériau poro-élastique ($\epsilon^{vp}=0$), on retrouve bien sûr la contrainte radiale $\sigma_r^{el}$ :
$$ \sigma_r^{el} = \sigma_o \left(1 - \frac{r_o^3}{r^3}\right) - P_I \left(\frac{r_o^3}{r^3}\right) - \frac{1}{r^3} \int_{r_o}^{r} \frac{2\rho^2}{1-\nu_o} \left[b(1-2\nu_o)(P(\rho)-P_o) + \alpha_o E_o (T(\rho)-T_o)\right] d\rho \quad (18) $$

Ainsi, la relation (17) peut se réécrire :

$$ \sigma_r = \sigma_r^{el} + I_1 + I_2 \quad (19) $$

avec :

$$ I_I = \frac{1}{r^3} \int_{r_o}^{r} \frac{2\rho^2}{1-\nu_o} \left[ \frac{E_o}{2} \varepsilon^{vp} + \frac{3}{2} E_o \int_{r_o}^{\rho} \frac{\varepsilon^{vp}}{u} du \right] d\rho = \frac{E_o}{1-\nu_o} \int_{r_o}^{r} \frac{\varepsilon^{vp}}{u} du $$
(après intégration par partie)

$$ I_2 = \frac{1}{r^3} \int_{r_o}^{r} \frac{2\rho^2}{1-\nu_o} [A(t)] d\rho = \frac{2}{3} \frac{1}{1-\nu_o} (1-\frac{r_o^3}{r}) A(t) $$

Faisons $r=r_e$ dans l'équation (19). Les conditions aux limites permettent alors d'obtenir l'expression de $A(t)$ :

$$ A(t) = -\frac{3}{2} E_o \frac{r_e^3}{r_e^3 - r_o^3} \int_{r_o}^{r_e} \frac{\varepsilon^{vp}}{u} du $$

L'équation (19) est alors donnée par :

$$ \sigma_r = \sigma_r^{el} + \frac{E_o}{1-\nu_o} \int_{r_o}^{r} \frac{\varepsilon^{vp}}{u} du - \frac{E_o}{1-\nu_o} \left(1-\frac{r_o^3}{r^3}\right) \frac{r_e^3}{r_e^3-r_o^3} \int_{r_o}^{r_e} \frac{\varepsilon^{vp}}{u} du \quad (20) $$

L'équation d'équilibre (8) et le résultat (20) permettent d'aboutir à l'expression de la contrainte orthoradiale $\sigma_{\theta}$ :

$$ \sigma_{\theta} = \sigma_{\theta}^{el} + \frac{E_o}{1-\nu_o} \int_{r_o}^{r} \frac{\varepsilon^{vp}}{u} du + \frac{E_o}{1-\nu_o} \varepsilon^{vp} - \frac{E_o}{1-\nu_o} \left(1+\frac{r_o^3}{2r^3}\right) \frac{r_e^3}{r_e^3-r_o^3} \int_{r_o}^{r_e} \frac{\varepsilon^{vp}}{u} du \quad (21) $$

où :

$$ \sigma_{\theta}^{el} = -\frac{1}{2}\sigma_{r}^{el} + \frac{3}{2}\sigma_{o} - \frac{1}{1-\nu_{o}}b(1-2\nu_{o})\delta P(\rho) + \alpha_{o}E_{o}\delta T(\rho) $$

Formons la différence (17)-(20) :

$$ \sigma_r - \sigma_\theta = (\sigma_r^{el} - \sigma_\theta^{el}) - \frac{E_o}{2(1-\nu_o)} \varepsilon^{vp} + \frac{3}{2} \frac{E_o}{1-\nu_o} \frac{1}{r^3} \frac{r_o^3 r_e^3}{r_e^3 - r_o^3} \int_{r_o}^{r_e} \frac{\varepsilon^{vp}}{u} du \quad (22) $$

avec :

$$ \sigma_r^{el} - \sigma_\theta^{el} = -\frac{3}{2}(\sigma_o + P_I)\left(\frac{r_o^3}{r^3}\right) - \frac{3}{2}\frac{1}{r^3}\int_{r_o}^{r} \frac{2\rho^2}{1-\nu_o}\left[b(1-2\nu_o)(P(\rho)-P_o) + \alpha_o E_o (T(\rho)-T_o)\right]d\rho + \frac{1}{1-\nu_o}\left[b(1-2\nu_o)\delta P + \alpha_o E_o \delta T\right] $$
Posons :

$$ \sigma_d = \sigma_r - \sigma_\theta $$

En introduisant $\sigma_d$ dans l'équation (22) et en dérivant :

$$ \dot{\sigma}_d = \dot{\sigma}_d^{el} - \frac{E_o}{2(1-v_o)} \dot{\epsilon}^{vp} + \frac{3}{2} \frac{E_o}{1-v_o} \frac{1}{r^3} \frac{r_o^3 r_e^3}{r_e^3 - r_o^3} \int_{r_o}^{r_e} \frac{\dot{\epsilon}^{vp}}{u} du \quad (23) $$

Puis en remplaçant par son expression (4c), on se ramène à l'équation intégrо-différenetielle suivante :

$$ \dot{\sigma}_d + \frac{E_o}{2(1-v_o)} \frac{\eta}{\sigma_n} \sigma_d^n = \dot{\sigma}_d^{el} + \frac{3}{2} \frac{E_o}{1-v_o} \frac{1}{r^3} \frac{r_o^3 r_e^3}{r_e^3 - r_o^3} \int_{r_o}^{r_e} \frac{\eta \sigma_d^n}{\sigma_n u} du \quad (24) $$

### 3. Résolution de l'équation d'évolution à l'état asymptotique

La résolution de l'équation (24) ne peut se faire que numériquement. Néanmoins, il est possible parvenir à une solution analytique en supposant que les grandeurs d'états (contrainte, température et pression interstitielle) tendent vers un état asymptotique. Celui-ci s'obtient en faisant :

$$ \dot{\underline{\underline{\sigma}}} = 0; \dot{\underline{P}} = 0; \dot{\underline{T}} = 0 $$

Il est donc nécessaire d'attendre un temps suffisant pour qu'un régime permanent thermique et qu'un régime permanent hydraulique puissent s'établir.

Sous cette hypothèse et en faisant $r_e \to \infty$, l'équation (24) devient :

$$ \eta \sigma_d^n = 3 \frac{r_o^3}{r^3} \int_{r_o}^{\infty} \frac{\eta \sigma_d^n}{u} du \quad (25) $$

soit encore :

$$ \sigma_d = \frac{1}{r^{3/n}} \left( \frac{3r_o^3}{\eta} \int_{r_o}^{\infty} \frac{\eta \sigma_d^n}{u} du \right)^{1/n} = \frac{\zeta}{\eta^{1/n} r^{3/n}} \quad (26) $$

On note que la grandeur $\zeta = \left( 3r_o^3 \int_{r_o}^{\infty} \frac{\eta \sigma_d^n}{u} du \right)^{1/n}$ est indépendante du point considéré

(i.e. du rayon $r$). En isolant $\sigma_d$ dans l'équation (25) et en remplaçant dans l'équation d'équilibre (8) :

$$ \frac{\partial \sigma_r}{\partial r} = -2 \frac{\zeta}{\eta^{1/n} r^{3/n+1}} \frac{1}{r} \quad (27) $$

L'intégration de l'équation (27) entre $r_o$ et $\infty$ donne :

$$ \zeta = \frac{\sigma_o + P_l}{-2} \left[ \int_{r_o}^{\infty} \frac{du}{\eta^{1/n} u^{3/n+1}} \right]^{-1} \quad (28) $$
Cette intégrale se calcule simplement si on considère le coefficient de viscosité η indépendant du champs de température :

$$ \zeta = -\frac{3}{2} \left( \frac{\sigma_o + P_l}{n} \right) \eta^{1/n} r_o^{3/n} \quad (29) $$

En remplaçant dans (26) :

$$ \sigma_d = \sigma_r - \sigma_\theta = -\frac{3}{2} \left( \frac{\sigma_o + P_l}{n} \right) \left( \frac{r_o}{r} \right)^{3/n} \quad (30) $$

On constate que :

1- le déviateur limite vers lequel tend l'état de contrainte en milieu poro-viscoplastique en régime stationnaire ne dépend ni du champs hydraulique ni de la température pourvue que la diffusion hydraulique et thermique aboutisse effectivement à un régime stationnaire et que la viscosité soit considérée comme indépendante de la température. Cette dernière hypothèse n'est pas justifiée pour le sel, matériau très thermo-sensible dont la viscosité varie nettement en fonction de la température suivant la loi d'Arrhénius.

2- le déviateur limite est plus faible que le déviateur instantanément atteint en élasticité. Cela signifie que la relaxation de l'état de contrainte confère aux ouvrages souterrains une meilleure stabilité pourvue que l'état de sollicitations thermo-hydro-mécaniques s'exerçant sur la structure (conditions aux limites) n'augmentent pas dans le temps.