# Prolongement de champs à partir de données en surface: une méthode par minimisation d'une erreur en énergie

Stéphane Andrieux, Amel Ben Abda, Thouraya Nouri Baranger

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Stéphane Andrieux, Amel Ben Abda, Thouraya Nouri Baranger. Prolongement de champs à partir de données en surface: une méthode par minimisation d'une erreur en énergie. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01812906

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Prolongement de champs à partir de données en surface : une méthode par minimisation d'une erreur en énergie

S. Andrieux*, A. Ben Abda**, T. Baranger***

* LaMSID, UMR CNRS-EDF 2832,
1, avenue du Général de Gaulle 92141 Clamart France
stephane.andrieux@edf.fr

** LAMSIN-ENIT,
BP37, Campus Universitaire, le Belvedere, 1002 Tunis. Tunisie.
amel.benabda@enit.rnu.tn

*** Centre de Mécanique, Université Claude Bernard Lyon 1
baranger@univ-lyon1.fr

RÉSUMÉ. On présente une nouvelle méthode de complétion de données, c'est-à-dire de résolution du problème de Cauchy qui consiste à déterminer à l'intérieur d'un solide un champ physique dont des données surabondantes sont connues sur une partie seulement de sa frontière. La méthode est basée sur une fonctionnelle d'erreur en énergie. On détaille la formulation et quelques applications dans le domaine de la thermostatique illustrent les performances de l'approche. Une interprétation énergétique nouvelle de l'algorithme de Koslov est également indiquée.

ABSTRACT. The paper is devoted to a new method for the data completion problem, that is the determination of the complete field within a body, provided overdetermined data is known on only a part of its boundary. The method is based on energy like error functional. Details on the formulation are given and some applications within the framework of thermostatics are displayed showing the efficiency of the new formulation. A new energetic interpretation of the Koslov algorithm is also given.

MOTS-CLÉS : complétion de donnée, problème de Cauchy, thermostatique, algorithme, fonctionnelle d'erreur en énergie

KEYWORDS: Data completion, Cauchy problem, thermal conduction, algorithm, energy error functional
# 1. Introduction

Le développement de méthodes de mesures de champs en surface d'un solide (champ de température, de déplacement) permet d'envisager la détermination (le prolongement) de ces champs à l'intérieur du solide lui-même. Connaissant par exemple le champ de température sur une partie du bord d'un solide, ainsi que le flux de chaleur sortant, peut-on reconstruire le champ dans tout le solide, ainsi que sa valeur sur les bords ?

Ce problème, dit problème de Cauchy, est un problème inverse mal posé du fait de l'absence de solution si les données ne sont pas compatibles, mais surtout du fait de son extrême sensibilité aux « bruits de mesure ».

Les applications sont très variées depuis l'estimation de champ de température dans une tuyauterie à partie de mesures externes jusqu'à la reconstruction de champs « sous la surface » d'un solide. Il est essentiel de disposer de méthodes, robustes vis à vis du bruit de mesure, mais aussi performantes si l'on veut aborder des situations réalistes tridimensionnelles.

# 2. Complétion des données via une fonctionnelle d'erreur en énergie

Pour prendre le problème modèle de la condition de la chaleur stationnaire (avec conductivité isotrope prise égale à l'unité), la formulation est la suivante. Ayant décomposé le bord du solide Ω en une partie Γᵢ, sur laquelle les données surabondantes (température T et flux Φ) sont connues et une partie Γᵢ sur laquelle aucune de ces données n'est disponible, on cherche un champ u et des données (φ,t) tels que :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \Delta u = 0 & \text{dans } \Omega \\ u = T, \nabla u \cdot n = \Phi & \text{sur } \Gamma_c \\ u = t, \nabla u \cdot n = \varphi & \text{sur } \Gamma_i \end{array} \right. \qquad (1) $$

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure1.** Schéma de principe du problème de complétion de données</figcaption></figure>
Plusieurs méthodes ont été proposées pour résoudre le problème : méthode des moments (Hon et Wei, 2001), méthode de régularisation évanescente (Cimetière et al., 2001), méthode d'itération Koslov et al., 1991), cette dernière étant assez largement utilisée dans la littérature. Notre approche consiste à introduire deux champs $u_1$ et $u_2$ solutions de problèmes directs bien posés :

$$ \left\{ \begin{array}{lll} \Delta u_1 = 0 & \text{dans } & \Omega \\ u_1 = T & \text{sur } & \Gamma_c \\ \nabla u_1 \cdot n = \eta & \text{sur } & \Gamma_i \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array}{lll} \Delta u_2 = 0 & \text{dans } & \Omega \\ u_2 = \tau & \text{sur } & \Gamma_i \\ \nabla u_2 \cdot n = \Phi & \text{sur } & \Gamma_c \end{array} \right. \qquad (2) $$

S'appuyant sur le fait que les données manquantes $(\eta, \tau)$ seront solutions du problème précédent si les deux champs $u_1$ et $u_2$ coïncident, on construit une fonctionnelle d'erreur basée sur l' « énergie » du problème étudié :

$$ E(\eta, \tau) = \frac{1}{2} \int_{\Omega} (\nabla u_1 - \nabla u_2)^2 \qquad (3) $$

Le problème de prolongement du champ $u$ ou de manière équivalente celui de la « complétion » des données $(T, \Phi)$ par $(\varphi, t)$ est donc reformulé via un problème de minimisation :

$$ \text{Trouver } (\varphi,t) \text{ minimisant } E \qquad (4) $$

Cette formulation est comme on le voit très générale : chaque fois que l'on dispose d'une « énergie » dans le problème posé, on construira selon le principe ci-dessus une fonctionnelle d'erreur portant sur les champs $u_1$ et $u_2$. Par ailleurs, le cas de matériaux hétérogènes ne pose pas de problème particulier dès lors que cette hétérogénéité est connue. Enfin, la formulation permet de traiter les « mélanges de modélisations » comme l'assemblage de modèles bi ou tridimensionnels et de modèles de structures (plaques ou poutres).

### 3. Propriétés de la fonctionnelle d'erreur en énergie

La fonctionnelle $E$ possède les propriétés suivantes :

- $E$ est positive, convexe et quadratique en $(\eta, \tau)$

- si les données $T$ et $\Phi$ sont compatibles, et si $(\eta, \tau)$ satisfont à la condition d'optimalité du premier ordre de $E$ (nullité du gradient) alors :

$$ u_1(\eta) = u, \quad u_2(\tau) = u + C_{\text{ste}}, \quad \eta = \varphi, \quad \tau = t + C_{\text{ste}} \qquad (5) $$

où $(u, \varphi, t)$ est l'unique solution du problème de Cauchy (1).
- l'erreur en énergie s'interprète également en terme d'écart formulé sur le bord du domaine uniquement :

$$E(\eta, \tau) = \int_{\Gamma_i} (\eta - \nabla u_2 \cdot n)(u_1 - \tau) + \int_{\Gamma_i} (\nabla u_1 \cdot n - \Phi)(T - u_2) \quad (5)$$

Cette dernière expression permet de comparer la méthode proposée à des méthodes de types moindres carrés construites sur l'écart entre les deux champs $u_1$ et $u_2$. Ici l'écart sur les températures est pondéré par l'écart sur les flux : la fonctionnelle possède une interprétation énergétique dans laquelle aucun paramètre de dimensionalisation n'est nécessaire.

On peut également montrer en étudiant les équations associées au gradient de $E$, que la méthode itérative de Koslov, n'est autre qu'un algorithme de minimisation de la fonctionnelle $E$ introduite ici. Ce résultat, outre qu'il fournit une nouvelle preuve de la convergence de cette méthode, montre également que l'algorithme sous jacent à cette méthode est un algorithme de descente à directions alternées (minimisation successives de $E$ à $\eta$ fixée puis à $\tau$ fixé). L'utilisation d'un algorithme plus performant pour minimiser $E$ permet d'espérer des performances nettement améliorées.

### 4. Calcul du gradient de par la méthode de l'état adjoint

Bien que le dépendance affine des champs $u_1$ et $u_2$ vis-à-vis de $(\eta, \tau)$ permette le calcul direct et explicite du gradient de $E$, la technique de l'état adjoint conduit à une meilleure performance globale de la méthode. En effet, moyennant la résolution de deux problèmes adjoints, similaires au problème direct puisque celui-ci est auto-adjoint,

$$ \left\{ \begin{array}{lll} \Delta v_1 = 0 & \text{dans } \Gamma & \Omega \\ v_1 = 0 & \text{sur } \Gamma_i^c & \\ \nabla v_1 \cdot n = \nabla u_2 \cdot n - \Phi & \text{sur } \Gamma_i & \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array}{lll} \Delta v_2 = 0 & \text{dans } \Gamma & \Omega \\ v_2 = 0 & \text{sur } \Gamma_i & \\ \nabla v_2 \cdot n = \nabla u_1 \cdot n - \Phi & \text{sur } \Gamma_i & \end{array} \right. \quad (6) $$

la différentielle de $E$ s'écrit simplement :

$$ \frac{\partial E}{\partial \varphi}(\varphi, t) \psi = - \int_{\Gamma_i} 2v_1 \psi , \quad \frac{\partial E}{\partial t}(\varphi, t) h = - \int_{\Gamma_i} 2(\varphi - \nabla u_2 \cdot n - \nabla v_2 \cdot n) h \quad (7) $$

La mise en oeuvre de la méthode proposée s'effectue grâce à un algorithme de gradient conjugué. Chaque itération nécessite quatre résolutions d'un problème direct de type conduction stationnaire de la chaleur (deux résolutions pour déterminer $u_1$ et $u_2$ et conduisant à la valeur de la fonctionnelle $E$, deux résolutions pour déterminer $v_1$ et $v_2$ et conduisant au gradient de celle-ci).
## 5. Applications

Pour évaluer la méthode, plusieurs situations ont été étudiées sur la géométrie bidimensionnelle de deux cylindres concentriques, le domaine étant relativement épais. Dans tous les cas, les données synthétiques (obtenues par calcul) n'ont pas été bruitées.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 2.** Géométrie du domaine sur lequel les prolongements ont été effectués</figcaption></figure>

Dans le premier cas illustré ici, on s'est intéressé à une conduction anisotrope, avec un rapport de conductivité très élevé (100) entre les deux directions principales. La figure 3 donne les valeurs de la température et du flux reconstruit : on constate une très bonne précision de la méthode dans cette situation très « raide ». On remarque également la propriété énoncée plus haut : le champ $u_2$ converge vers la solution $u$ à une constante près.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 3.** Température et flux reconstruits sur la peau intérieure d'une tuyauterie épaisse à partir de données sur la peau externe. Cas d'une conduction anisotrope (rapport des valeurs propres du tenseur de conductivité égal à 100)</figcaption></figure>

Le second cas traité se rapproche d'un cas industriel, il s'agit de reconstruire un champ de température discontinu sur la peau interne du domaine. On constate là
encore la bonne précision de la méthode y compris sur le flux de chaleur reconstruit. La convergence est obtenue en 13 itérations, soit 52 résolutions du problème «direct». La méthode alternée de Koslov converge ici en 12700 itérations, soit plus de 25 000 résolutions du problème direct.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Figure 4.** Température et flux reconstruits sur la peau intérieure d'une tuyauterie épaisse à partir de données sur la peau externe. Cas d'une stratification thermique (température discontinue)</figcaption></figure>

**6. Perspectives**

La méthode de complétion par minimisation d'une erreur en énergie s'avère très performante en terme de temps calcul. Les situations tridimensionnelles semblent donc pratiquement accessibles. L'extension à d'autres phénomènes physique est immédiate dès lors qu'une énergie ou pseudo-energie existe, c'est bien entendu le cas de l'élasticité pour lequel des travaux sont en cours. Une autre perspective de développement concerne l'extension à des phénomènes dépendant du temps (comme l'équation de la chaleur) : il faut cependant modifier la forme de l'énergie à considérer. Enfin, pour envisager des applications réalistes, il est nécessaire de s'intéresser à la robustesse de la méthode vis à vis du bruit de mesure et d'étudier les cas à petit nombre de données.

**7. Bibliographie**

Andrieux S., Ben Abda A., Baranger-T., Data completion via an energy error functional, *Comptes Rendus Mécanique*, sous presse, 2005

Cimetière A., Delvare F., Jaoua M., Pons F., Solution of the Cauchy problem using iterated Tikhonov regularisation, *Inverse Problems*, 17, 2001, pp 553-570

Hon Y.C., Wei, T., Backus-Gilbert algorithm for the Cauchy problem of the Laplace equation, *Inverse problems*, 17, 2001, pp 261-271

Koslov V.A., Maz'ya V.G., Fomin A.V., An iterative method for solving the Cauchy problem for elliptic equations, *Comput. Meth. Math. Phys.*, Vol. 31, N°1, 1991, pp45-52