Nous pouvons ramener la notion de dépendance algébrique à celle d'éléments algébriques de la manière suivante.

**Théorème 2.1.** Si $k \subseteq K$ sont des corps discrets, alors $x_1, \dots, x_n \in K$ sont algébriquement dépendants sur $k$ si, et seulement si, il existe un $i$ tel que $x_i$ est algébrique sur $k(x_1, \dots, x_{i-1})$.

**Démonstration.** Supposons que $x_i$ annule un polynôme non nul $f(X_i)$ à coefficients dans $k(x_1, \dots, x_{i-1})$. Alors on a des polynômes non nuls $g \in k[X_1, \dots, X_i]$ et $h \in k[X_1, \dots, X_{i-1}]$ tels que

$$f(X_i) = g(x_1, \dots, x_{i-1}, X_i)/h(x_1, \dots, x_{i-1}) \text{ et } g(x_1, \dots, x_i) = 0.$$

Donc $x_1, \dots, x_i$, et aussi $x_1, \dots, x_n$, sont algébriquement dépendants sur $k$.

Inversement, supposons que $x_1, \dots, x_n$ sont algébriquement dépendants sur $k$. Alors il existe un polynôme $g$ non nul dans $k[X_1, \dots, X_n]$ tel que $g(x_1, \dots, x_n) = 0$. Alors $g(x_1, \dots, x_{n-1}, X_n)$ est un polynôme en $X_n$ à coefficients dans $k[x_1, \dots, x_{n-1}]$ annulé par $x_n$. Si $g(x_1, \dots, x_{n-1}, X_n) = 0$, alors tout coefficient non nul de $g$, où $g$ est vu comme un polynôme en $X_n$ à coefficients dans $k[X_1, \dots, X_{n-1}]$, donne une relation de dépendance algébrique pour $x_1, \dots, x_{n-1}$, et nous terminons par récurrence sur $n$. Si $g(x_1, \dots, x_{n-1}, X_n) \neq 0$, alors $x_n$ est algébrique sur $k(x_1, \dots, x_{n-1})$. ■

Nous obtenons comme corolaire le lemme d'échange pour la dépendance algébrique.

**Corolaire 2.2.** Soient $k \subseteq K$ des corps discrets et $x, y \in K$. Si $x$ est algébrique sur $k(y)$, ou bien $y$ est algébrique sur $k(x)$, ou bien $x$ est algébrique sur $k$.

**Démonstration.** D'après le théorème 2.1 nous savons que $y, x$ sont algébriquement dépendants sur $k$, donc $x, y$ sont algébriquement dépendants sur $k$. La conclusion résulte du théorème 2.1. ■

Le corolaire 2.2 est l'analogue du lemme d'échange pour la dépendance linéaire des vecteurs : si $x$ est une combinaison linéaire de $y_1, \dots, y_n$, alors ou bien $x$ est une combinaison linéaire de $y_1, \dots, y_{n-1}$, ou bien $y_n$ est une combinaison linéaire de $y_1, \dots, y_{n-1}$ et $x$ (voir l'exercice 2).

**Théorème 2.3.** Soient $k \subseteq K$ des corps discrets. Soient $S$ et $T$ des sousensembles finis de $K$ tels que $K$ est algébrique sur $k(S)$. Ou bien $T$ est algébriquement dépendant sur $k$, ou bien nous pouvons trouver une partition de $S$ en sousensembles finis $S_0$ et $S_1$ avec $\#S_0 = \#T$ et $K$ algébrique sur $k(T \cup S_1)$.

**Démonstration.** Nous procédons par récurrence sur $m = \#(T \setminus S)$. Si $m = 0$, nous pouvons prendre $S_0 = T$. Sinon considérons un $x \in T \setminus S$. Notons $S = \{s_1, \dots, s_k\}$ avec les éléments de $T \cap S$ en premier. Une application répétée du
corolaire 2.2 à x et $k(s_1, \dots, s_j)$ pour $j = k, k-1, \dots$ nous donne le résultat suivant : ou bien on voit que $x$ est algébrique sur $k$, et alors $T$ est algébriquement dépendant, ou bien on trouve un élément $s_i$ algébrique sur $k(s_1, \dots, s_{i-1}, x)$ avec $x$ algébrique sur $k(s_1, \dots, s_i)$. Si $s_i \in T$, $T$ est algébriquement dépendant. Si $s_i \notin T$, on remplace $s_i$ par $x$ dans $S$ et on termine par récurrence sur $m$. ■

Soient $k \subseteq K$ des corps discrets, et soit $B$ un sous-ensemble fini de $K$ qui est algébriquement indépendant sur $k$. L'extension $k \subseteq k(B)$ est dite **purement transcendante**, et si $K$ est algébrique sur $k(B)$, nous disons que $B$ une **base de transcendance** de $K$ sur $k$. Une conséquence immédiate du théorème 2.3 est la suivante.

**Corolaire 2.4.** Deux bases de transcendance d'un corps discret $K$ sur un corps discret $k$ ont le même nombre d'éléments.

Si $B$ est une base de transcendance de $K$ sur $k$, alors le nombre d'éléments de $B$ est appelé le **degré de transcendance de $K$ sur $k$**, et on le note $\text{trdeg}_k K$. Le degré de transcendance d'une extension algébrique est 0, avec l'ensemble vide pour base de transcendance.

Une conséquence purement constructive du théorème 2.3 est que nous pouvons décider la dépendance algébrique lorsque nous avons une base de transcendance.

**Corolaire 2.5.** Soit $K$ un corps discret de degré de transcendance $n$ sur un sous-corps $k$. Tout sous-ensemble fini de $K$ est algébriquement dépendant, ou algébriquement indépendant, sur $k$.

*Démonstration.* Soient $S$ une base de transcendance de $K$ de cardinalité $n$ et $T$ un sous-ensemble fini de $K$. D'après le théorème 2.3, ou bien $T$ est algébriquement dépendant, ou bien nous pouvons agrandir $T$ en un ensemble $T'$ de cardinalité $n$ tel que $K$ est algébrique sur $k(T')$. Si $T'$ était algébriquement dépendant, nous pourrions construire un ensemble $T''$ de cardinalité $n-1$ avec $K$ algébrique sur $k(T'')$; mais cela contredirait le théorème 2.3 parce que $S$ est algébriquement indépendant. ■

**Lemme 2.6.** Soit $K$ un corps discret de degré de transcendance $n$ sur un sous-corps $k$. Si $K$ est algébrique sur $k(S)$ pour un sous-ensemble $S \subseteq K$, alors $S$ contient une base de transcendance de $K$ sur $k$. Si $S$ est un sous-ensemble fini de $K$ algébriquement indépendant sur $k$, alors $S$ peut être étendu en une base de transcendance.

*Démonstration.* Choisissons un sous-ensemble fini $B$ de $S$ tel que tout élément de la base de transcendance, et donc $K$ lui-même, est algébrique sur $k(B)$. D'après le corolaire 2.5, nous pouvons décider si $B$ est algébriquement dépendant ou pas. Si $B$ est algébriquement indépendant, alors $B$ est la base de
transcendance cherchée. Si $B$ est algébriquement dépendant, alors on a un $b \in B$ tel que $K$ est algébrique sur $k(B \setminus \{b\})$, auquel cas nous terminons par récurrence sur $\#B$.

Supposons maintenant que $S$ est un ensemble fini algébriquement indépendant. D'après le théorème 2.3 nous pouvons agrandir $S$ en un sous-ensemble fini $S'$ de $K$ de cardinalité $n$ tel que $K$ est algébrique sur $k(S')$. D'après la première partie de ce lemme, $S'$ contient une base de transcendance ; donc $S'$ est une base de transcendance d'après le corolaire 2.4. ■

**Théorème 2.7.** Soient $k \subseteq K \subseteq L$ des corps discrets. Si deux des trois extensions $k \subseteq L$, $K \subseteq L$ et $k \subseteq K$ ont des bases de transcendance finies, alors il en va de même pour la troisième, et l'on a

$$ \mathrm{trdeg}_k L = \mathrm{trdeg}_K L + \mathrm{trdeg}_k K. $$

*Démonstration.* Si $B_0$ est une base de transcendance de $K$ sur $k$, et $B_1$ une base de transcendance de $L$ sur $K$, on vérifie facilement que $B_0 \cup B_1$ est une base de transcendance de $L$ sur $k$. Si $B_0$ est une base de transcendance de $K$ sur $k$, et $B_1$ est une base de transcendance de $L$ sur $k$, alors, d'après le théorème 2.3, nous pouvons supposer que $B_0 \subseteq B_1$, et donc $B_1 \setminus B_0$ est une base de transcendance de $L$ sur $K$.

Finalement, supposons que $B_0$ est une base de transcendance de $L$ sur $K$ et que $B_1$ est une base de transcendance de $L$ sur $k$. Nous pouvons trouver un sous-ensemble fini $S$ de $K$ tel que chaque élément de $B_1$, et par suite $L$, est algébrique sur $k(S \cup B_0)$. D'après le théorème 2.3, nous pouvons supposer que $S$ est algébriquement indépendant sur $k$. Si $x \in K$, par une application répétée du corolaire 2.2 nous voyons que $x$ est algébrique sur $k(S)$, parce que $B_0$ est algébriquement indépendant sur $K$. ■

Soient $k$ un corps discret et $X$ une indéterminée. Le théorème de Lüroth dit que tout corps intermédiaire entre $k$ et $k(X)$ est de la forme $k(z)$ pour un $z \in k(X)$. Nous ne pouvons pas espérer démontrer le théorème de Lüroth même pour les sous-corps détachables de $k(X)$. Mais le théorème de Lüroth est valide pour un sous-corps détachable de type fini, et un argument trivial en mathématiques classiques donne alors le théorème de Lüroth classique. Nous démontrons d'abord que si $t \in k(X) \setminus k$, alors $k(X)$ est de dimension finie sur $k(t)$.

**Lemme 2.8.** Soient $k$ un corps discret, $X$ une indéterminée, et $t \in k(X) \setminus k$. Si $t = u(X)/v(X)$, avec $u$ et $v$ des polynômes premiers entre eux dans $k[X]$, alors $p(Y) = tv(Y) - u(Y)$ est un polynôme irréductible sur $k(t)$ annulé par $X$.

*Démonstration.* Notez que $p(Y) \neq 0$ parce que $t \notin k$. Clairement $p(X) = 0$, donc $k(X)$ est algébrique sur $k(t)$. Ainsi $t$ est transcendant (i.e. algébriquement indépendant) sur $k$.
D'après le lemme de Gauss, il suffit de démontrer que $p(Y)$ est irréductible dans $k[t][Y]$. Supposons que $p = gh$ avec $g$ et $h \in k[t][Y]$. Comme le $t$-degré de $p$ est 1, $g$ ou $h$ est de $t$-degré 0, disons $g$. Donc $g \in k[Y]$. Comme $g$ divise $p(Y) = tv(Y) - u(Y)$, et comme $u$ et $v$ sont premiers entre eux, on a $g \in k$. Donc $p(Y)$ est irréductible sur $k(t)$. ■

Si $K$ est un sous-corps de $k(X)$ et si $t \in K \setminus k$, le lemme 2.8 dit que $k(X)$ est de dimension finie sur $k(t)$. Comme, en mathématiques classiques, cela implique immédiatement que $K$ est de dimension finie sur $k(t)$, le théorème de Lüroth classique est une conséquence directe du lemme 2.8 et du théorème suivant.

**Théorème 2.9.** Soient $k$ un corps discret, $X$ une indéterminée sur $k$, et $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in k(X)$. Alors $k(\alpha_1, \dots, \alpha_n) = k(z)$ pour un $z \in k(X)$.

*Démonstration.* Soit $K = k(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$. Nous pouvons supposer que $\alpha_1 \notin K$. D'après le lemme 2.8, le corps $k(X)$ est de dimension finie sur $k(\alpha_1)$, donc $k(X)$ est de dimension finie sur $K = k(\alpha_1)[\alpha_2, \dots, \alpha_n]$. Ainsi $X$ annule un polynôme irréductible $f \in K[Y]$. Comme $X$ est transcendant sur $k$, un coefficient $z$ de $f$ n'est pas dans $k$. Nous allons montrer que $k(z) = K$.

Écrivons $z = u(X)/v(X)$ avec $u$ et $v$ des polynômes premiers entre eux dans $k[X]$, et posons $p(Y) = zv(Y) - u(Y)$. Le lemme 2.8 dit que $p(Y)$ est irréductible sur $k(z)$. Nous montrons maintenant que $\deg p = \deg f$, d'où il suit que $k(z) = K$, car $k(z) \subseteq K$.

Pour un polynôme arbitraire $q \in k(X)[Y]$, notons $q^*$ un polynôme primitif de $k[X][Y]$ tel que $q/q^* \in k(X)$ ; en particulier on a $p^* = u(X)v(Y) - v(X)u(Y)$. Soit $m = \deg_X f^*$ le plus grand des $X$-degrés des coefficients de $f^*$. Comme $f$ est un polynôme unitaire, $\deg_X p^* = \deg_Y p^* = \max(\deg u, \deg v) \le m$. Du fait que $f(X) = 0$ et $f$ est irréductible dans $K[Y]$, nous pouvons écrire $p = fg$ avec $g \in K[Y]$. Alors $p^*(Y) = df^*(Y)g^*(Y)$ pour un $d \in k$, donc $\deg_X p^* = m$ et $\deg_X g^* = 0$. Par suite $g^*(Y) \in k[Y]$ ; mais $g^*(Y)$ divise $p(Y)$, qui est irréductible sur $k(z)$, donc $g^*(Y) \in k$. Ainsi $\deg_Y p^* = \deg_Y f^*$, donc $\deg p = \deg f$. ■

Nous terminons cette section avec la construction d'un exemple qui donnera un exemple brouwerien d'un corps séparablement factoriel mais pas factoriel, et qui montrera la nécessité des hypothèses de séparabilité dans les théorèmes VII.1.1 et VII.2.4.

**Théorème 2.10.** Soit $F$ un corps discret de caractéristique 2, et soit $K = F(b, s, t)$, où $b, s$ et $t$ sont des indéterminées. Soient $a = bs^2 + t^2$ et $k = F(a, b)$. Alors $k$ est algébriquement clos dans $K$.

*Démonstration.* Notez que $K$ est de degré de transcendance 3 sur $F$, et que $t^2 \in F(a, b, s) = k(s)$, donc $K$ est algébrique sur $k(s)$. Par suite $a$ et $b$ sont algébriquement indépendants sur $F$, et $s$ est transcendant sur $k$. D'après les
théorèmes 1.6 et IV.4.7, l'anneau $F[a, b]$ est intégralement clos dans $k$, et par suite dans $k(s)$.

Maintenant soit $\theta \in K$ un élément algébrique sur $k$, et soit $f \in F[a, b, X]$ un polynôme non nul tel que $f(\theta) = 0$. Soient $n$ le degré de $f$ et $r \in F[a, b]$ le coefficient dominant de $f$. Le polynôme $r^{n-1}f(X/r)$ est unitaire à coefficients dans $F[a, b]$, donc $r\theta$ est entier sur $F[a, b]$. Par suite $w = (r\theta)^2 \in k(s)$ est aussi entier sur $F[a, b]$, donc $w \in F[a, b]$. Écrivons $r\theta = p/q + (u/v)t$ avec $p, q, u, v \in F[a, b, s]$. Alors $w = p^2/q^2 + (u^2/v^2)(a + bs^2)$, car notre corps est de caractéristique 2, ainsi

$$p^2 v^2 + u^2 q^2 (a + bs^2) = wq^2 v^2. \quad (*)$$

Si $u = 0$, alors $r\theta = p/q$ est entier sur $F[a, b]$ et appartient à $k(s)$, donc $r\theta \in F[a, b]$, et par suite $\theta \in k$ comme voulu. Sinon, soit $n$ le plus grand exposant d'une puissance de $s$ qui divise $u^2q^2$. Le coefficient de $s^n$ dans le côté gauche de l'équation (*) contient seulement des puissances paires de $b$ et il est non nul parce qu'il contient une puissance impaire de $a$. Par suite $w$ (qui est dans $F[a, b]$) et donc aussi $wq^2v^2$, contient seulement des puissances paires de $b$. Mais le coefficient de $s^{n+2}$ dans le côté gauche de (*) contient une puissance impaire de $b$. Donc $u \neq 0$ est impossible. ■

### Exercices

1. Soient $k \subseteq E$ des corps discrets, $S$ un sous-ensemble fini de $E$, et $K$ un sous-corps de $E$ algébrique sur $k$. Montrer que $S$ est algébriquement dépendant sur $K$ si, et seulement si, il est algébriquement dépendant sur $k$.

2. Une **génératrice**<fnref n="1" /> sur un ensemble discret $S$ est une fonction $s$ depuis les sous-ensembles finis de $S$ vers les sous-ensembles de $S$ telle que

(i) si $A \subseteq B$, alors $sA \subseteq sB$,

(ii) $A \subseteq sA$,

(iii) si $B$ est un sous-ensemble fini de $sA$, alors $sB \subseteq sA$,

(iv) si $x \in s(A \cup \{y\})$, alors $x \in sA$ ou $y \in s(A \cup \{x\})$.

Soient $k \subseteq K$ des corps discrets, et pour un sous-ensemble fini $A$ de $K$, définissons $sA = \{x \in K : x$ est algébrique sur $k(A)\}$. Soit $V$ un espace vectoriel discret sur le corps discret $k$, et pour un sous-ensemble $A$ de $V$, définissons $sA$ comme le sous-espace de $V$ engendré par $A$. Montrer que nous obtenons une génératrice dans chaque cas. Développer la théorie de la section précédente dans ce contexte plus général.

<footnote n="1">1. NdT. Span operation.</footnote>
3. Donner un exemple brouwerien d'un corps discret $K$ avec un sous-corps détachable $k$ tel que $K = k(\theta)$ alors que $K$ n'a pas de base de transcendance sur $k$.

4. Construire un exemple brouwerien d'un sous-corps détachable de $\mathbb{Q}(X)$ qui n'est pas de la forme $\mathbb{Q}(z)$.

5. Soient $F$ un corps discret de caractéristique $2$, $b$ et $t$ des indéterminées, et $P$ une assertion. On définit

$$k = \{ x \in F(b) : x \in F(b^2) \text{ ou } P \} \text{ et} \\ K = \{ x \in k(t^2 + bt) : x \in k(t^4 + b^2t^2) \text{ ou } P \}.$$

Montrer que $K$ est un sous-corps détachable de $k(t)$, qui contient proprement $k$, et que l'on a $K = k(z)$ pour un $z$ si, et seulement si, $P$ ou non $P$.

## 3 Corps de décomposition et clôtures algébriques

Soit $f$ un polynôme non constant sur un corps discret $k$; nous voulons construire un corps discret $K$ qui contient $k$ et tel que $f$ a une racine dans $K$. Si nous nous contentons d'un anneau discret $K$ nous prenons pour $K$ le quotient $k[X]/(f)$ : si $\alpha$ est l'image de $X$ dans $K$ on a $K = k[\alpha]$ et $\alpha$ est une racine de $f$. Cependant, $K$ est un corps seulement dans le cas où $f$ est irréductible.

**Théorème 3.1.** Soit $f$ un polynôme non constant sur un corps discret $k$. Soit $K = k[X]/(f)$, et notons $\alpha$ l'image de $X$ dans $K$. Alors $K = k[\alpha]$ est un anneau commutatif discret qui contient $k$, et $f(\alpha) = 0$. En outre $K$ est un corps discret si, et seulement si, $f$ est irréductible.

*Démonstration.* L'algorithme de division (théorème II.5.2) nous permet de décider si un polynôme de $k[X]$ est ou n'est pas divisible par $f$, donc $K$ est discret. Comme $f$ est non constant, $k$ s'envoie sur une copie isomorphe de lui-même dans $K$, que nous pouvons identifier avec $k$. Alors clairement $K = k[\alpha]$ et $f(\alpha) = 0$.

Si $K$ est un corps et si $f = gh$, alors $gh = 0$ dans $K$, donc $g = 0$ dans $K$ ou $h = 0$ dans $K$. Donc $f|g$ ou $f|h$ et par suite $f$ est irréductible. Inversement, si $f$ est irréductible et si $g$ est un élément arbitraire de $K$, alors, d'après le corolaire II.5.7, on a $s$ et $t \in k[X]$ tels que $sf + tg$ divise à la fois $f$ et $g$. Comme $f$ est irréductible, nous pouvons supposer que $sf + tg$ est égal à $f$ ou à $1$. Si $sf + tg = f$ alors $f|g$, donc $g = 0$ dans $K$; si $sf + tg = 1$, alors $t$ est l'inverse de $g$ dans $K$. ■
Si $f$ n'est pas irréductible, il est plus difficile de construire un corps extension de $k$ dans lequel $f$ a une racine : la technique classique et de travailler avec un facteur irréductible de $f$, mais il se peut que nous ne soyons pas capable d'en trouver un (voir l'exemple IV.2.2). En fait, nous ne pouvons pas toujours construire une telle extension (exercice 1). Cependant, si $k$ est dénombrable, nous pouvons construire un tel corps en construisant un idéal maximal détachable $M$ dans $k[X]$ qui contient $f$, sans construire pour autant un générateur de $M$.

**Lemme 3.2.** Soit $R$ un anneau commutatif dénombrable fortement discret. Si $I$ est un idéal propre de type fini de $R$, il est contenu dans un idéal maximal détachable.

*Démonstration.* Soit $r_1, r_2, \dots$ une énumération de $R$. Nous allons construire une suite croissante d'idéaux de type fini $I_j$ démarrant avec $I_1 = I$. Si $I_j$ a été construit, nous construisons $I_{j+1}$ comme suit : si $1 \in I_j + Rr_j$ nous posons $I_{j+1} = I_j$, sinon nous posons $I_{j+1} = I_j + Rr_j$. Soit $M$ la réunion des idéaux $I_j$. Comme $r_j \in M$ si, et seulement si, $r_j \in I_{j+1}$, l'idéal $M$ est détachable. Si $r_j \notin M$, alors $r_j \notin I_{j+1}$ donc $1 \in I_j + Rr_j \subseteq M + Rr_j$, donc $M$ est maximal. ■

**Théorème 3.3.** Soient $k$ un corps discret dénombrable et $f$ un polynôme non constant de $k[X]$. Alors on peut construire un corps discret dénombrable $E$ qui contient $k$ et un $\alpha \in E$ tel que $f(\alpha) = 0$.

*Démonstration.* Les idéaux de type fini de $k[X]$ sont principaux d'après l'algorithme d'Euclide, donc détachables d'après l'algorithme de division. Ainsi le lemme 3.2 s'applique et nous pouvons construire un idéal maximal détachable $M$ de $k[X]$ qui contient $f$. La solution est donnée alors par $E = k[X]/M$ et $\alpha$ est l'image de $X$ dans $E$. ■

Soit $f$ un polynôme unitaire sur un corps $k$. Un corps $K$ extension de $k$ est appelé un **corps de décomposition** pour $f$ sur $k$ si

$$f(X) = (X - \alpha_1) \cdots (X - \alpha_n)$$

et $K = k[\alpha_1, \dots, \alpha_n]$. Notez que $K$ est dénombrable si $k$ est dénombrable.

**Théorème 3.4.** Soit $f(X)$ un polynôme non nul sur un corps discret dénombrable $k$. Alors nous pouvons construire un corps de décomposition discret pour $f$ sur $k$.

*Démonstration.* Application répétée du théorème 3.3. ■

Les corps de décomposition sur des corps dénombrables peuvent être utilisés quand on travaille avec un corps discret arbitraire $k$ de la manière suivante. Si $f$ est un polynôme de $k[X]$, on considère le sous-corps $k_0$ de $k$ engendré par les coefficients de $f$. Comme $k_0$ est dénombrable, $f$ possède un corps de
décomposition sur $k_0$. Nous utilisons alors les zéros de $f$ dans ce corps de
décomposition pour obtenir des informations sur $f$ comme polynôme de $k[X]$.

En mathématiques classiques, le corps de décomposition pour un polynôme
sur un corps $k$ est unique en ce sens que deux corps de décomposition arbitraires
sont isomorphes sur $k$. Constructivement, il se peut que nous ne soyons pas
capables de construire un tel isomorphisme (voir l'exercice 2). Nous avons des
problèmes même si $f$ est irréductible parce que, après avoir ajouté un zéro $\alpha$
de $f$ sur $k$, il se peut que nous ne soyons pas capables de trouver les facteurs
irréductibles de $f$ dans $k[\alpha][X]$ (voir l'exercice 3).

Un corps $\Omega$ est **algébriquement clos** si tout polynôme unitaire de degré au moins 1 dans $\Omega[X]$ a une racine dans $\Omega$. Cela implique que tout polynôme unitaire de $\Omega[X]$ se décompose en un produit de facteurs linéaires sur $\Omega$. Si un corps algébriquement clos $\Omega$ est algébrique sur un sous-corps $k$, alors $\Omega$ est appelé une **clôture algébrique** de $k$. D'un point de vue constructif, il se peut que nous ne soyons pas capables d'immerger un corps discret dans un corps algébriquement clos, ou que nous construisions deux clôtures algébriques sans être capables de construire un isomorphisme entre elles. Cependant, pour les corps discrets dénombrables nous pouvons construire une clôture algébrique.

**Théorème 3.5.** *Soit $k$ un corps discret dénombrable. Alors il existe une clôture algébrique discrète de $k$.*

*Démonstration.* Soit $f_1, f_2, \dots$ un énumération des polynômes non constants de $k[X]$. Soit $k_1$ un corps de décomposition discret pour $f_1$ sur $k$. Si nous avons construit $k_1 \subseteq k_2 \subseteq \dots \subseteq k_j$ nous prenons pour $k_{j+1}$ un corps de décomposition discret de $f_{j+1}$ sur $k_j$. Finalement nous définissons $\Omega = \cup k_j$, i.e. la limite directe des corps $k_j$. Il nous faut montrer que $\Omega$ est algébriquement clos. Soit un $f \in \Omega[X]$. D'après le théorème 3.3, nous avons un corps discret $E$ qui contient $\Omega$ et une racine $\alpha$ de $f$. Alors $\alpha$ est algébrique sur $k$ d'après le corolaire 1.5, donc il y a un polynôme $f_j \in k[X]$ tel que $f_j(\alpha) = 0$. Comme $f_j$ est un produit de facteurs linéaires sur $k_{j+1}$, on en déduit que $\alpha$ est un élément de $k_{j+1} \subseteq \Omega$. ■*

Exercices

1. Déduire l'axiome du choix le plus simple du monde comme conséquence de l'assertion que si $k$ est un corps discret et $f$ est un polynôme non constant sur $k$, alors il existe un corps extension de $k$ dans lequel $f$ a une racine. Idée : pour un ensemble à deux éléments $S$, soit $k_S$ l'anneau engendré par $S$ sur $\mathbb{Q}$ soumis aux relations $s^2 = -1$ pour $s \in S$ et $\sum_{s \in S} s = 0$. Si $T$ est un ensemble d'ensembles à deux éléments avec au plus un élément, on définit $k = \bigcup_{S \in T} k_S$ et l'on considère $f(X) = X^2 + 1$.

2. Soit $a$ une suite binaire fugitive, et soit $k = \bigcup_n \mathbb{Q}(ia_n)$. Énumérer l'anneau $k[X]$ de telle manière que si $a_{2n} = 1$, alors le polynôme $X - i$
précède $X+i$, tandis que si $a_{2n+1} = 1$, alors $X+i$ précède $X-i$. Utiliser cette énumération pour construire un corps de décomposition $E$ pour le polynôme $X^2 + 1$ sur $k$ via le lemme 3.2 et le théorème 3.3. Montrer que $E$ et $\mathbb{Q}(i)$ constituent un exemple brouwerien de deux corps de décomposition pour $X^2 + 1$ sur $k$ qui ne sont pas isomorphes sur $k$.

3. Construire un exemple brouwerien d'un corps $k$, qui se situe entre $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{Q}[i\sqrt{3}]$, tel que le polynôme $X^3 - 2$ n'a pas un corps de décomposition unique sur $k$, alors même qu'il est irréductible sur $k$.

4. **Corps de décomposition non isomorphes.** Soient $a$ une suite binaire fugitive et $e$ une suite dans $\{-1, 1\}$. Soit $P_e$ l'idéal de l'anneau de polynômes $\mathbb{Q}(i)[X]$ engendré par les éléments $(iX - ne_n)a_n$.

(i) Montrer que $P_e$ est un idéal premier détachable.

(ii) Montrer que $P = P_e \cap \mathbb{Q}[X]$ est un idéal premier détachable de $\mathbb{Q}[X]$, et qu'il ne dépend pas de $e$.

(iii) Soit $k$ le corps de fractions de $\mathbb{Q}[X]/P$, et soit $K_e$ le corps de fractions de $\mathbb{Q}(i)[X]/P_e$. Notons $x_e$ l'image de $X$ dans $K_e$. Montrer que $K_e$ est un corps de décomposition pour le polynôme $Y^2 + 1$ sur $\mathbb{Q}(x_e) \simeq k$.

(iv) Soient $e_n = 1$ et $f_n = (-1)^n$ pour tout $n$. Soit $\varphi: K_e \to K_f$ un isomorphisme. Montrer que si $\varphi(ix_e) \neq ix_f$, alors $a_n = 0$ pour chaque $n$ pair, et que si $\varphi(ix_e) = -ix_f$, alors $a_n = 0$ pour chaque $n$ impair.

# 4 Séparabilité et diagonalisabilité

Si $f = a_0 + a_1 X + \cdots + a_{n-1} X^{n-1} + a_n X^n$ est un polynôme sur un anneau commutatif $k$, la dérivée formelle de $f$ est définie par

$$f' = a_1 + 2a_2 X + \cdots + (n-1)a_{n-1} X^{n-2} + n a_n X^{n-1}.$$

Un polynôme $f \in k[X]$ est séparable sur $k$ s'il est étranger à sa dérivée formelle, c'est-à-dire si l'idéal de $k[X]$ engendré par $f$ et $f'$ contient $1$. Lorsque $k$ est un corps discret, l'algorithme d'Euclide nous permet de décider si un polynôme $f$ est ou n'est pas séparable.

**Théorème 4.1.** Soient $k$ un anneau commutatif et $f, g \in k[X]$. Alors :

(i) $(f+g)' = f' + g'$,

(ii) $(fg)' = f'g + fg'$,

(iii) $fg$ est séparable si, et seulement si, $f$ et $g$ sont séparables et étrangers.

*Démonstration.* Le point (i) est clair. Pour démontrer le point (ii) on considère $f = aX^m$ et $g = bX^n$. On obtient

$$(fg)' = (m+n)abX^{m+n-1} = mabX^{m+n-1} + nabX^{m+n-1} = f'g + fg',$$
et le résultat général découle du point (i). Pour le point (iii) on calcule $(fg)' = f'g + fg'$. Clairement l'idéal $(fg, f'g + fg')$ est contenu dans chacun des idéaux $(f, f')$, $(g, g')$ et $(f, g)$. Inversement,

$$ (fg, f'g + fg') \supseteq (f, f'g + fg')(g, f'g + fg') = (f, f'g)(g, fg') \supseteq (f, f')(g, g')(f, g)^2. \blacksquare $$

Si un polynôme $f$ à coefficients dans un corps discret est séparable, nous pouvons trouver des polynômes $s$ et $t$ à coefficients dans le corps engendré par les coefficients de $f$ tels que $sf + tf' = 1$; en effet, l'algorithme d'Euclide utilise uniquement ces coefficients. Ainsi la notion de séparabilité des polynômes sur un corps est absolue en ce sens qu'elle ne dépend pas du corps particulier dans lequel sont considérés habiter les coefficients du polynôme. Nous pouvons caractériser la séparabilité d'un polynôme sur un corps en termes de l'absence de racines multiples.

**Théorème 4.2.** Soit $f$ un polynôme sur un corps discret, et soit $k$ le corps engendré par les coefficients de $f$. Si $f$ est séparable, il n'a jamais de racine multiple dans un corps discret qui contient $k$. Si $f$ n'est pas séparable, il a une racine multiple dans un corps discret qui contient $k$.

*Démonstration.* Nous pouvons supposer le degré de $f$ strictement positif. Si $r$ est une racine de $f$ dans un corps discret qui contient $k$ et si $f(X) = (X - r)g(X)$, alors $f'(X) = g(X) + (X - r)g'(X)$, donc $f'(r) = g(r)$. Si $f$ est séparable, alors $s(X)f(X) + t(X)f'(X) = 1$, donc $t(r)f'(r) = 1$, et donc $g(r)$ (égal à $f'(r)$) est non nul. Inversement, soit $K$ un corps de décomposition pour $f$ sur $k$, et écrivons $f(X) = a \prod_i (X - r_i)$ avec $a \neq 0$. Si $f$ n'est pas séparable, alors $f$ et $f'$ ont un facteur commun non trivial, donc une racine commune $r_j$. Mais $f'(r_j) = a \prod_{i \neq j} (r_j - r_i)$, donc $r_j = r_i$ pour un $i \neq j$. ■

Soit $k$ un sous-corps discret d'un anneau commutatif $E$. Un élément de $E$ est **séparable** sur $k$ s'il annule un polynôme séparable de $k[X]$; l'anneau $E$ est une **extension séparable** de $k$ si tout élément de $E$ est séparable sur $k$, et $k$ est **séparablement clos** dans $E$ si tout élément de $E$ séparable sur $k$ est dans $k$.

Le corps de définition d'un ensemble fini de matrices sur un corps est par définition le corps (dénombrable) engendré par leurs coefficients. Si des matrices sont linéairement dépendantes sur un corps discret $k$, alors elles sont déjà linéairement dépendantes sur leur corps de définition : en effet, si nous traitons ces matrices comme si elles étaient des vecteurs lignes, alors les lemmes III.6.8 et III.6.9 montrent que si des lignes sont indépendantes sur leur corps de définition, alors elles sont indépendantes sur $k$; et des lignes sont ou bien linéairement dépendantes, ou bien linéairement indépendantes (corolaire II.6.5). En particulier, les coefficients du polynôme minimal d'une matrice sont dans le corps de définition de cette matrice, donc le polynôme minimal d'une matrice ne
dépend pas du corps particulier dans lequel sont considérées habiter les entrées de la matrice. De la même manière, si une matrice $A$ peut être écrite comme un polynôme en une matrice $B$, alors le polynôme peut être choisi avec ses coefficients dans le corps de définition de $A$ et $B$. La relation fondamentale entre séparabilité et diagonalisabilité est la suivante.

**Lemme 4.3.** Une matrice sur un corps discret est séparable si, et seulement si, elle est diagonalisable sur un certain corps discret.

*Démonstration.* Si une matrice $A$ est diagonalisable sur un corps $F$, alors le polynôme minimal de $A$ est séparable d'après les théorèmes V.4.3 et 4.2. Inversement, si $A$ est séparable, soit $F$ un corps de décomposition pour le polynôme minimal de $A$ sur le corps de définition de $A$. Alors $A$ est diagonalisable sur $F$ d'après les théorèmes V.4.3 et 4.2. ■

Le lemme suivant nous permet de traduire les questions à propos d'éléments algébriques sur un corps discret en questions à propos de matrices.

**Lemme 4.4.** Soient $E$ un anneau commutatif qui contient un corps discret $k$, $f$ et $g$ des polynômes de $k[X]$, et $\alpha$ et $\beta$ des éléments de $E$ tels que $f(\alpha) = g(\beta) = 0$. Alors il existe des matrices carrées $A$ et $B$ de même taille à coefficients dans $k$ telles que $AB = BA$ et $f(A) = g(B) = 0$, et un homomorphisme d'anneaux de $k[A, B]$ sur $k[\alpha, \beta]$ égal à l'identité sur $k$ qui envoie $A$ sur $\alpha$ et $B$ sur $\beta$.

*Démonstration.* L'anneau $k[X, Y]/(f(X), g(Y)) = k[x, y]$ est de dimension finie sur $k$ et s'envoie naturellement sur $k[\alpha, \beta]$. Soient $T_x$ et $T_y$ les transformations linéaires sur $k[x, y]$ données par les multiplications par $x$ et $y$, et soient $A$ et $B$ les matrices de $T_x$ et $T_y$ par rapport à une base de $k[x, y]$. Alors les isomorphismes naturels $k[A, B] \simeq k[T_x, T_y] \simeq k[x, y]$ et l'homomorphisme de $k[x, y]$ sur $k[\alpha, \beta]$ donnent les résultats souhaités. ■

**Théorème 4.5.** Soit $E$ est un anneau commutatif qui contient un corps discret $k$. Les éléments de $E$ séparables sur $k$ forment un anneau.

*Démonstration.* Il suffit de démontrer que si $\alpha$ et $\beta$ sont séparables sur $k$, alors tout élément de $k[\alpha, \beta]$ est séparable sur $k$. Soient $f$ et $g$ des polynômes séparables annulés par $\alpha$ et $\beta$ respectivement, et prenons $A$ et $B$ comme dans le lemme 4.4. Il suffit de démontrer que tout élément de $k[A, B]$ est séparable. Étant donnée une matrice $C$ dans $k[A, B]$, nous pouvons construire un corps $F$ qui contient le corps de définition de $A$, $B$ et $C$, sur lequel les polynômes minimaux de $A$ et $B$ sont des produits de facteurs linéaires. D'après les théorèmes V.4.3 et V.4.4 nous pouvons diagonaliser simultanément les matrices $A$ et $B$, et donc aussi la matrice $C$, sur le corps $F$. Donc la matrice $C$ est séparable d'après les théorèmes V.4.3 et 4.2. ■
Nous pouvons caractériser le fait qu'une extension $E$ d'un corps discret $k$ est séparable en termes de l'absence d'éléments nilpotents lorsque nous pouvons remplacer le corps de base $k$ par une extension convenable. Cette caractérisation peut servir de définition de la séparabilité dans le cas d'une extension non nécessairement algébrique<fnref n="1" />. Nous allons établir cette caractérisation uniquement pour le cas où $k$ est dénombrable, en laissant la formulation du cas général en exercice.

**Théorème 4.6.** Soit $k$ un sous-corps discret d'un anneau commutatif $E$. Considérons les deux conditions suivantes.

(i) $E$ est séparable sur $k$.

(ii) Pour tout corps discret $K$ extension de $k$, l'anneau $K \otimes_k E$ est sans éléments nilpotents.

Alors (i) implique (ii) ; inversement, si $k$ est dénombrable et si $E$ est algébrique sur $k$, (ii) implique (i).

*Démonstration.* Supposons (i). L'anneau $K \otimes_k E$ est engendré sur $K$ par des éléments séparables sur $k$ ; donc tout élément $\theta$ de $K \otimes_k E$ est séparable sur $K$ d'après le théorème 4.5. Si $\theta^n = 0$, alors $\theta$ annule le polynôme $X^n$ et un polynôme $f(X)$ séparable sur $K$. Le pgcd de $f(X)$ et $X^n$ divise $X^n$ et il est séparable, donc il est égal à $X$, et ainsi $\theta = 0$.

Inversement, supposons (ii) et $k$ dénombrable. Considérons un $\theta \in E$ qui annule un polynôme non nul $f$ sur $k$. Nous procédons par récurrence sur le degré $n$ de $f$. Si $f$ est séparable nous avons terminé. Sinon, d'après les théorèmes 3.4 et 4.2, nous pouvons construire un corps discret $K$ extension de $k$ tel que $f$ a une racine multiple dans $K$. Nous écrivons $f(X) = (X - r)g(X)$ avec $g(r) = 0$, donc $f|g^2$. Alors $g(\theta) \in K \otimes_k E$ et $g(\theta)^2 = 0$, donc $g(\theta) = 0$. Cela signifie que les éléments $1, \theta, \dots, \theta^{n-1}$ de $K \otimes_k E$ sont linéairement dépendants sur $K$, donc aussi sur $k$ (exercice III.5.5). Ainsi nous pouvons trouver dans $k[X]$ un polynôme de degré plus petit que $n$ annulé par $\theta$. ■

Exercices

1. Soient $k \subseteq E$ des anneaux commutatifs et $f$ un polynôme séparable de $k[X]$. Montrer que tout facteur carré de $f$ dans $E[X]$ est inversible dans $E$.

2. Soient $k$ un anneau commutatif, $a \in k$ et $f \in k[X]$. Montrer que $X - a$ est étranger à $f$ si, et seulement si, $f(a)$ est inversible dans $k$.

3. Soient $a_1, \dots, a_n$ des éléments d'un anneau commutatif $k$. Montrer que le polynôme $(X - a_1)(X - a_2) \cdots (X - a_n)$ est séparable si, et seulement si, $a_i - a_j$ est inversible dans $k$ pour tous $i \neq j$.

<footnote n="1">1. Voir par exemple la notion d'extension séparable de corps dans Bourbaki.</footnote>
4. Soient $a, b$ et $c$ des éléments d'un anneau commutatif $k$. Montrer que $aX + b$ est séparable si, et seulement si, $a$ et $b$ sont étrangers. Montrer que si $b^2 - 4ac$ est inversible, alors $aX^2 + bX + c$ est séparable.

5. Soit $E$ un anneau commutatif discret algébrique sur un sous-corps $k$. Montrer que $E$ est séparable sur $k$ si, et seulement si, pour tout sous-ensemble fini $S$ de $k$ et tout sous-ensemble fini $T$ de $E$, il y a un sous-corps dénombrable $k'$ de $k$ qui contient $S$ et tel que, pour chaque corps dénombrable $K$ extension de $k'$, l'anneau $K \otimes_{k'} k'[T]$ est sans éléments nilpotents.

# 5 Éléments primitifs

Soit $E$ un anneau commutatif qui contient un corps discret $k$. Un élément $\theta$ de $E$ est un **élément primitif** de $E$ sur $k$ si $E = k[\theta]$. Nous allons montrer que si $E$ est de type fini et séparable, alors on peut construire un élément primitif si $k$ est suffisamment grand, ou si $E$ est un corps discret.

Nous regardons d'abord la situation où $k$ est suffisamment grand. Le point clé consiste à montrer que $k[A, B] = k[C]$ lorsque $A$ et $B$ sont des matrices séparables qui commutent.

**Théorème 5.1.** Soient $A$ et $B$ des matrices $n \times n$ qui commutent sur un corps discret $k$ de cardinalité plus grande que $n(n-1)/2$. Si $B$ est séparable, il existe un élément $c$ de $k$ tel que $A$ et $B$ peuvent être écrites comme des polynômes en $A + cB$, à coefficients dans $k$.

*Démonstration.* Il suffit de traiter le cas où $k$ est dénombrable, et on peut aussi supposer que $k$ est un corps de décomposition pour les polynômes minimaux de $A$ et $B$ (théorème 3.4).

Nous regardons d'abord le cas où $A$ est aussi séparable. D'après le lemme 4.3 et les théorèmes V.4.3 et V.4.4, nous pouvons supposer que $A$ et $B$ sont diagonales avec les éléments diagonaux $a_1, \dots, a_n$ et $b_1, \dots, b_n$. On prend un $c$ distinct des $(a_j - a_i)/(b_i - b_j)$ pour chaque paire $(i, j)$ telle que $b_i \neq b_j$. Alors $a_i + cb_i \neq a_j + cb_j$ si $a_i \neq a_j$ ou $b_i \neq b_j$. Le théorème d'interpolation II.5.5 nous dit que $A$ et $B$ peuvent être écrites comme des polynômes en $A + cB^1$.

Pour le cas général, nous pouvons supposer que $B$ est de la forme diagonale par blocs comme suit

$$ \begin{pmatrix} B_1 & & & \\ & B_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & B_n \end{pmatrix} $$

<footnote n="1">1. **NdT.** Si $m$ est le nombre de paires $(a_i, b_i)$ distinctes, il existe deux polynômes d'interpolation $g(X)$ et $h(X) \in k[X]$ de degré au plus $m-1$ qui satisfont $g(a_i + cb_i) = a_i$ et $h(a_i + cb_i) = b_i$ pour tous les $i$: on a alors $g(A + cB) = A$ et $h(A + cB) = B$.</footnote>
avec $B_i = \lambda_i I_{n_i}$ et les $\lambda_i$ deux à deux distincts. Comme $AB = BA$, la matrice $A$ a
la même structure de blocs que $B$, mais avec des blocs $A_i$ arbitraires. Nous
pouvons mettre chaque bloc $A_i$ en forme canonique de Jordan sans modifier $B$.
On prend un $c \in k$ comme dans le cas particulier précédent, tel que $B$ et la
diagonale de $A$ peuvent être écrites comme des polynômes en la diagonale de
$A + cB$. Notez que $A + cB$ est en forme canonique de Jordan, donc sa diagonale
peut être écrite comme un polynôme en $A + cB$. Comme $A + cB$ est égal à $A$
en dehors de la diagonale, nous avons réussi. ■

**Corolaire 5.2.** *Soit $E$ un anneau commutatif qui contient un corps discret $k$ et soient $\alpha$ et $\beta$ des éléments de $E$ avec $\alpha$ algébrique et $\beta$ séparable sur $k$. Si $k$ est suffisamment grand, il existe un $\theta \in E$ tel que $k[\alpha, \beta] = k[\theta]$.*

*Démonstration.* Soient $f$ et $g$ des polynômes sur $k$, avec $g$ séparable, tels que $f(\alpha) = g(\beta) = 0$. Soient $A$ et $B$ des matrices comme dans le lemme 4.4. D'après le théorème 5.1, si $k$ est suffisamment grand, il existe un $c \in k$ tel que $A$ et $B$ peuvent être écrites comme des polynômes en $A + cB$. On prend $\theta = \alpha + c\beta$. ■

Si le corps $k$ est trop petit, alors le corolaire 5.2 peut se trouver en défaut (exercice 2). Cependant, si $E$ est un corps discret, le corolaire 5.2 est valable pour n'importe quel $k$. Classiquement, on traite séparément les deux cas où $k$ est fini ou infini. Nous devons être un tout petit peu précautionneux car il se peut que nous ne sachions pas déterminer si $k$ est fini ou infini. Le lemme suivant nous donne un élément primitif quand $E$ est un corps fini.

**Lemme 5.3.** *Soit $k$ un corps discret et soit $G$ un sous-groupe fini du groupe multiplicatif des éléments non nuls de $k$. Alors $G$ est cyclique.*

*Démonstration.* Soient $x$ et $y$ des éléments de $G$ d'ordres $m$ et $n$ respectivement. Nous construisons un élément de $G$ d'ordre $q = ppcm(m, n)$. On écrit $q = ab$ avec $(a, b) = 1$, $a|n$ et $b|m$. Nous montrons que $x^a y^b$ est d'ordre $q$. Clairement $(x^a y^b)^q = 1$; supposons que $(x^a y^b)^i = 1$. Alors $x^{ai} = y^{-bi}$, donc $(x^{ai})^a = 1$, d'où $m|a^2i$ et donc $b|i$. De la même manière $a|i$, donc $q|i$.

Donc si $g$ est un élément de $G$ d'ordre maximal $N$, $x^N = 1$ pour tout $x \in G$. Comme le polynôme $X^N - 1$ a au plus $N$ racines (théorème II.5.5), il y a au plus $N$ éléments dans $G$, donc ils doivent tous être une puissance de $g$. ■

L'astuce pour le cas général est de passer à un sous-corps qui, ou bien est
fini, ou bien contient suffisamment d'éléments.

**Théorème 5.4.** *Soient $k$ un corps discret de type fini et $N$ un entier strictement positif. Ou bien $k$ est fini, ou bien $k$ contient plus que $N$ éléments.*

*Démonstration.* Ou bien 0, 1, 2, ..., $N$ sont des éléments distincts de $k$, ou bien $k$ est de caractéristique finie au plus $N$, donc nous pouvons supposer être dans le
dernier cas. Soit $k_0$ le sous-corps premier (fini) de $k$, et considérons un système générateur $a_1, \dots, a_n$ de $k$, i.e. $k = k_0(a_1, \dots, a_n)$. Soit $S \subseteq k_0[X_1, \dots, X_n]$ l'ensemble fini des polynômes dont le degré en chaque variable $X_i$ est au plus $N$, et soit $\bar{S}$ l'image de $S$ dans $k$ lorsqu'on envoie $X_i$ sur $a_i$. On a $\#\bar{S} \le N$ ou $\#\bar{S} > N$, donc nous pouvons supposer $\#\bar{S} \le N$. Nous allons montrer que $k$ est fini.

Soit $p \in k_0[X_1, \dots, X_n]$. Nous allons construire un polynôme $q \in S$ tel que $p(a_1, \dots, a_n) = q(a_1, \dots, a_n)$. Si $a_t = 0$, nous pouvons remplacer chaque puissance strictement positive de $X_t$ dans $p$ par $X_t$. Si $a_t \ne 0$, alors, comme la suite $1, a_t, \dots, a_t^N$ d'éléments de $\bar{S}$ a $N+1$ termes, deux doivent être égaux, donc l'ordre multiplicatif de $a_t$ est au plus $N$. Par suite pour tout entier $m > 0$, on a $a_t^m = a_t^j$ pour un unique $j < N$, donc nous pouvons remplacer chaque occurrence de $X_t^m$ dans $p$ par $X_t^j$, ce qui nous donne un élément $q$ de $S$. Comme tout élément de $k$ est un quotient de deux tels polynômes $q$, le corps $k$ est fini. $\blacksquare$

**Corolaire 5.5.** Soient $k \subseteq E$ des corps discrets et $\alpha, \beta \in E$. Supposons que $\alpha$ est algébrique et $\beta$ séparable sur $k$. Alors il existe un $\theta \in E$ tel que $k[\theta] = k[\alpha, \beta]$.

*Démonstration.* Nous pouvons supposer que $k$ est engendré par les coefficients de deux polynômes annulés par $\alpha$ et $\beta$. D'après le théorème 5.4, ou bien $k$ est assez grand, donc $k[\alpha, \beta] = k[\theta]$ d'après le corolaire 5.2, ou bien $k$ est fini, donc $k[\alpha, \beta]$ est fini et $k[\alpha, \beta] = k[\theta]$ d'après le lemme 5.3. $\blacksquare$

Dans le corolaire 5.5 il suffit que $\beta$ soit séparable sur $k[\alpha]$ : voir le théorème 6.7.

Exercices

1. Montrer que les matrices $3 \times 3$ diagonales sur un corps $k$ à deux éléments forment une extension finie séparable de $k$ qui n'a pas d'élément primitif.

2. Soit $E$ un anneau commutatif qui contient un corps discret $k$. Soient $\alpha$ et $\beta$ des éléments de $E$ tels que $\alpha$ est séparable sur $k$ et $\beta$ annule un polynôme séparable sur $k[\alpha]$. Montrer que $\beta$ est séparable sur $k$.

3. Construire un exemple brouwerien d'un corps qui n'est ni fini ni infini.

6 Séparabilité et caractéristique p

Un cas extrême de polynôme non séparable est un polynôme non constant $f$ tel que $f' = 0$. C'est possible même lorsque $k$ est un corps discret, si $k$ est de caractéristique finie $p$.
**Théorème 6.1.** Soient $p$ un nombre premier, $R$ un anneau commutatif tel que $pR = 0$, et $q$ une puissance<fnref n="1" /> de $p$. Alors la fonction qui envoie $x \in R$ sur $x^q$ est un homomorphisme d'anneaux, dont l'image $R^q = \{x^q : x \in R\}$ est un sous-anneau de $R$. Si $R$ est réduit, cet homomorphisme est injectif et donne un isomorphisme de $R$ sur $R^q$. Pour un $f \in R[X]$, on a $f' = 0$ si, et seulement si, $f(X) = f_0(X^p)$ pour un $f_0 \in R[X]$.

*Démonstration.* Si $0 < i < p$, le coefficient binomial $\binom{p}{i}$ est divisible par $p$, donc $(a+b)^p = a^p + b^p$. Par récurrence, la fonction qui envoie $x$ sur $x^q$ est un homomorphisme d'anneaux ; l'image d'un homomorphisme d'anneaux est un sous-anneau. L'homomorphisme est injectif si son noyau est nul.

Si $n$ n'est pas divisible par $p$, il est étranger à $p$, donc inversible dans $R$. Donc si $f' = 0$, le coefficient de $X^n$ dans $f$, pour $n$ non divisible par $p$, est $0$ ; donc $f(X) = f_0(X^p)$ pour un $f_0 \in R[X]$. Inversement, la dérivée de $f_0(X^p)$ est clairement $0$. ■

Voici maintenant un critère de séparabilité pour un élément d'un corps discret de caractéristique $p$.

**Théorème 6.2.** Soient $k$ un corps discret de caractéristique $p$, $q$ une puissance de $p$, et $\alpha$ un élément d'un anneau commutatif qui contient $k$. Alors $\alpha$ est séparable sur $k$ si, et seulement si, $\alpha \in k[\alpha^q]$.

*Démonstration.* Si $\alpha \in k[\alpha^q]$, alors en écrivant $\alpha$ comme une combinaison linéaire de puissances de $\alpha^q$ on obtient un polynôme $f \in k[X]$ tel que $f' = 1$ et $f(\alpha) = 0$, donc $\alpha$ est séparable sur $k$. Inversement, supposons que $\alpha$ annule un polynôme séparable $f$ de $k[X]$. Il suffit de démontrer que l'image $\beta$ de $X$ dans $k[X]/(f(X))$ peut être écrite comme un polynôme en $\beta^q$. Soit $T_\beta$ la transformation linéaire de $k[\beta]$ induite par la multiplication par $\beta$, et soit $B$ une matrice pour $T_\beta$. Il suffit de démontrer que $B$ peut être écrite comme un polynôme en $B^q$. Comme $B$ est séparable, nous pouvons supposer que la matrice $B$ est diagonale. D'après le théorème 6.1, la fonction qui envoie $x \in k$ sur $x^q$ est injective, donc des éléments diagonaux de $B^q$ sont égaux si, et seulement si, les éléments diagonaux correspondants de $B$ sont égaux. Le théorème d'interpolation II.5.5 nous dit que la matrice $B$ peut être écrite comme un polynôme en $B^q$. ■

Le théorème suivant est utilisé dans les situations où nous aimerions factoriser des polynômes en produits d'irréductibles mais où nous ne pouvons pas le faire.

**Théorème 6.3.** Soient $k$ un anneau commutatif discret avec unités détachables, et $S$ un ensemble fini de polynômes unitaires de $k[X]$. Alors, ou bien $k$ contient

<footnote n="1">1. **NdT.** Sauf précision contraire, lorsque nous parlons d'une puissance d'un nombre premier, il s'agit toujours d'une puissance $p^m$ avec $m > 0$.</footnote>
un élément non nul non inversible, ou bien nous pouvons construire un ensemble fini $T$ de polynômes unitaires de $k[X]$ tel que :

(i) tout élément de $T$ est de la forme $f(X^q)$ avec $f$ séparable et $q$ égal à 1 ou à une puissance d'un nombre premier nul dans $k$,

(ii) les éléments de $T$ sont deux à deux étrangers,

(iii) tout polynôme de $S$ est un produit de polynômes de $T$.

**Démonstration.** Nous procédons par récurrence sur la somme des carrés des degrés des polynômes dans $S$. Nous allons transformer l'ensemble $S$ en l'ensemble voulu $T$ ou alors trouver un élément non nul non inversible dans $k$. Étant donnés deux éléments $s_1, s_2 \in S$, l'algorithme d'Euclide construit ou bien un élément non nul non inversible de $k$, ou bien un polynôme unitaire $h$ qui engendre l'idéal $(s_1, s_2)$. Si $h \neq 1$, nous pouvons remplacer $s_1$ et $s_2$ par $h$, $s_1/h$ et $s_2/h$, ce qui fait décroitre la somme des carrés des degrés. Nous pouvons donc supposer que les polynômes de $S$ sont deux à deux étrangers.

Si $g$ est unitaire de degré $n > 0$ et si $g' = 0$, alors $n = 0$ dans $k$, donc ou bien $k$ contient un élément non nul non inversible, ou bien un nombre premier $p$ est nul dans $k$. Dans le dernier cas nous pouvons écrire $g = f(X^p)$. En répétant cet argument nous voyons que pour tout $s \in S$ nous pouvons supposer que $s = f(X^q)$ avec $q$ égal à 1 ou à une puissance d'un nombre premier nul dans $k$, et $f' \neq 0$. Nous pouvons supposer que l'algorithme d'Euclide construit un polynôme unitaire $h$ qui engendre l'idéal $(f, f')$. Si $h \neq 1$ nous remplaçons $s$ par $h(X^q)$ et $s/h(X^q)$, ce qui fait décroitre la somme des carrés des degrés. ■

**Corolaire 6.4.** Soient $k \subseteq E$ des corps discrets et $\alpha \in E$ entier sur $k$. Alors il existe $q$, égal à 1 ou à une puissance de la caractéristique finie de $k$, tel que $\alpha^q$ est séparable sur $k$.

**Démonstration.** Soit $g$ un polynôme non nul de $k[X]$ tel que $g(\alpha) = 0$. Alors, d'après le théorème 6.3, nous pouvons écrire $g$ comme un produit $\prod_i f_i(X^q)^{n_i}$ où les $f_i$ sont des polynômes séparables premiers entre eux. Clairement, l'un des $f_i(\alpha^q)$ est nul. ■

**Lemme 6.5.** Soient $p$ un nombre premier et $R$ un anneau commutatif tels que $pR = 0$. Soient $q$ une puissance de $p$ et $a \in R$. Si $X^q - a = f(X)g(X)$, avec $f$ et $g$ des polynômes étrangers unitaires sur $R$, alors $f$ ou $g$ est égal à 1.

**Démonstration.** On a $f'g + fg' = 0$ et $uf + vg = 1$, d'où $g' = g(vg - uf')$ puis $g' = 0$. De même, on a $f' = 0$. Ainsi, il existe des polynômes $f_1$ et $g_1$ tels que $f(X) = f_1(X^p)$ et $g(X) = g_1(X^p)$. Si $q = p$, alors clairement $f_1$ ou $g_1$ est égal à 1. Sinon

$$X^{q/p} - a = f_1(X)g_1(X)$$
et nous terminons par récurrence sur $q$, car si

$$s(X)f_1(X^p) + t(X)g_1(X^p) = 1,$$

alors en notant $s_1(X^p)$ et $t_1(X^p)$ les sommes des monômes dans $s$ et $t$ de degrés divisibles par $p$, nous avons

$$s_1(X^p)f_1(X^p) + t_1(X^p)g_1(X^p) = 1,$$

donc

$$s_1(X)f_1(X) + t_1(X)g_1(X) = 1,$$

et $f_1$ et $g_1$ sont étrangers. ■

**Théorème 6.6.** Soient $k$ un corps discret de caractéristique finie $p$, $a \in k$, et $q$ une puissance de $p$. Si $X^q - a$ est réductible dans $k[X]$, alors $a \in k^q$.

*Démonstration.* D’après le lemme 6.5 le polynôme $X^q - a$ n’a pas deux diviseurs étrangers dans $k[X]$. Donc, d’après le théorème 6.3, nous pouvons écrire $X^q - a$ sous la forme $h(X)^m$ pour un certain polynôme unitaire $h \in k[X]$ et un $m > 1$. Notez que $m$ est une puissance de $p$ car $m$ divise $q$. Comme $h(0)^m = -a$, nous pouvons poser $b = -h(0)^{m/p}$, et $a = b^q$. ■

Soient $E$ un anneau impotent et $k$ un sous-corps discret de $E$. La clôture séparable de $k$ dans $E$ est le sous-corps de $E$ formé par les éléments séparables sur $k$ (théorème 1.9). Le corps $k$ est séparablement clos dans $E$ si $k$ est égal à sa clôture séparable dans $E$. Le théorème suivant généralise le corolaire 5.5 et montre que la clôture séparable est séparablement close.

**Théorème 6.7.** Soient $k \subseteq E$ des corps discrets. Si $\alpha \in E$ est algébrique (séparable) sur $k$ et si $\beta \in E$ est séparable sur $k[\alpha]$, alors $k[\alpha, \beta] = k[\theta]$ pour un $\theta$ (et $\beta$ est séparable sur $k$).

*Démonstration.* En appliquant le corolaire 6.4, on prend $q$ égal à 1 ou à une puissance d'un nombre premier $p$ nul dans $k$, avec $\beta^q$ séparable sur $k$. Alors $k[\alpha, \beta] = k[\alpha, \beta^q]$ d'après le théorème 6.2, et $k[\alpha, \beta^q] = k[\theta]$ pour un $\theta \in E$ d'après le corolaire 5.5. Si $\alpha$ est séparable sur $k$, alors $k[\theta^p] = k[\alpha^p, \beta^p] = k[\alpha, \beta^p] = k[\alpha, \beta] = k[\theta]$, donc $\theta$ est séparable sur $k$ d'après le théorème 6.2. Ainsi $\beta$ est séparable sur $k$ d'après le théorème 4.5. ■

Soient $k \subseteq E$ des corps discrets et $\alpha \in E$ algébrique sur $k$. Alors, d'après le corolaire 6.4, il existe un entier $q$, égal à 1 ou à une puissance de la caractéristique finie de $k$, avec $\alpha^q$ séparable sur $k$. Si $\alpha^q \in k$, alors $\alpha$ est **purement inséparable** sur $k$. Une extension $E$ de $k$ est une **extension purement inséparable** si tout élément de $E$ est purement inséparable sur $k$. Le théorème suivant montre que toute extension algébrique de type fini d'un corps discret est obtenue en composant une extension finie séparable et une extension purement inséparable.
**Théorème 6.8.** Soit $E$ un corps discret qui est un espace vectoriel de type fini sur un sous-corps $k$. Alors il existe un sous-corps $K$ de $E$ qui contient $k$, tel que $K$ est de type fini et séparable sur $k$, et $E$ est purement inséparable sur $K$.

*Démonstration.* On considère un système générateur $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ de $E$ sur $k$. Pour chaque $\alpha_i$, il existe un $q(i)$ tel que $\alpha_i^{q(i)}$ est séparable sur $k$. D'après le théorème 4.5, le corps $K = k[\alpha_1^{q(1)}, \dots, \alpha_n^{q(n)}]$ est séparable sur $k$. Comme chaque $\alpha_i$ est purement inséparable sur $K$, on obtient que $k[\alpha_1, \dots, \alpha_n]$ est purement inséparable sur $K$. ■

Exercice

1. Soient $k$ un corps discret et $f \in k[X]$ un polynôme non constant. Montrer que $f$ n'est pas séparable si, et seulement si, il existe un polynôme $g \in k[X]$ non constant tel que ou bien $g^2$ divise $f$, ou bien la caractéristique de $k$ est égale à $p$ et $g(X^p)$ divise $f$.

# 7 Corps parfaits

Si $k$ est un corps discret de caractéristique $p$, alors $k^p = \{a^p : a \in k\}$ est un sous-corps de $k$ isomorphe à $k$. Un corps discret $k$ est **parfait** si tout polynôme non nul de $k[X]$ est un produit de polynômes séparables. Le théorème suivant est une adaptation de la caractérisation en mathématiques classiques des corps parfaits, sans toutefois réclamer que l'on connaisse la caractéristique du corps.

**Théorème 7.1.** Un corps discret $k$ est parfait si, et seulement si, pour tout nombre premier $p$, ou bien $p \neq 0 \in k$, ou bien $k^p = k$.

*Démonstration.* Supposons que $k$ est parfait. Soient $a \in k$ et $p$ un nombre premier tel que $p = 0$ dans $k$. Alors $X^p - a$ est un produit de polynômes séparables, donc il est réductible. Et $a \in k^p$ d'après le théorème 6.6.

Pour la réciproque considérons un $f \in k[X]$. D'après le théorème 6.3 nous pouvons supposer que $f(X) = g(X^q)$ avec $g$ séparable, et ou bien $q = 1$, ou bien $k$ est de caractéristique finie $p$ et $q = p^e$. Si $q = 1$, $f$ est séparable. Si $q = p^e$, la fonction $x \mapsto x^q$ est un isomorphisme de $k[X]$ vers $(k[X])^q = k^q[X^q] = k[X^q]$. Donc il existe un $h \in k[X]$ tel que $g(X^q) = h(X)^q$. Comme $n^q \equiv n \pmod p$, l'isomorphisme conserve les dérivées formelles, donc $g'(X^q) = h'(X)^q$. Comme $g$ est séparable, $h$ l'est également, donc $f$ est un produit de polynômes séparables. ■

Si $k$ est un corps discret de caractéristique $0$, alors $k$ est parfait, car $p \neq 0$ dans $k$ pour tout nombre premier $p$. Si $k$ est un corps fini de caractéristique $p$, la fonction $x \mapsto x^p$ est un isomorphisme, donc $k$ est parfait ; mais $k(X)$ n'est pas
parfait parce que $X \notin k(X^p)$. Si $k$ est un corps premier, il n'est pas nécessaire
de connaitre sa caractéristique pour démontrer qu'il est parfait.

**Corolaire 7.2.** *Un corps premier discret est parfait.*

*Démonstration.* Soit $p$ un nombre premier. Si $p = 0$ dans $k$, alors $k$ est le corps à $p$ éléments, donc $k = k^p$. ■

**Définition 7.3.** Soit $k$ un sous-corps d'un corps discret $K$. Alors $K$ est une clôture parfaite de $k$ si

(i) $K$ est parfait;

(ii) pour tout $\alpha \in K$, ou bien $\alpha \in k$, ou bien $k$ est de caractéristique finie $p$ et il existe $q = p^e$ tel que $\alpha^q \in k$.

En mathématiques classiques, la clôture parfaite est souvent construite à l'intérieur de la clôture algébrique. Bien que nous ne sachions pas toujours construire une clôture algébrique, nous pouvons cependant construire une clôture parfaite en tant que limite directe.

Si $k_1 \to k_2 \to k_3 \to \dots$ est une suite d'anneaux et d'homomorphismes d'anneaux, la **limite directe** $k_\infty$ est définie comme suit. Les éléments de $k_\infty$ sont les éléments de la réunion disjointe $\cup k_i$ ; deux éléments $a \in k_i$ et $b \in k_j$ sont égaux s'il existe un $m$ tel que $a$ et $b$ ont pour image un même élément dans $k_m$. On voit facilement que $k_\infty$ est un anneau. Si les $k_i$ sont des corps discrets, $k_\infty$ est un corps discret et on peut identifier chaque $k_i$ à un sous-corps de $k_\infty$.

Si nous connaissons la caractéristique finie d'un corps, la construction pro-
posée dans l'exercice 1 nous donne une clôture parfaite. Si nous ne connaissons
pas la caractéristique du corps, nous devons raffiner cette construction.

**Théorème 7.4.** *Tout corps discret possède une clôture parfaite.*

*Démonstration.* Soit $\{p_n : 1 \le n\}$ l'écnumération croissante des nombres premiers. Pour tout $n$, soit $k_n = k$, et définissons $\varphi_n : k_n \to k_{n+1}$ par

$$
\varphi_n(x) = \begin{cases} x^p & \text{si } p \in \{p_j : j \le n\} \text{ et } p = 0 \text{ dans } k, \\ x & \text{sinon.} \end{cases}
$$

Notons $K$ la limite directe du système et $x_n$ l'image de $x$ dans $k_n$ dans $K$. Nous pouvons identifier l'image de $k_1$ dans $K$ avec $k$. Pour montrer que $K$ est parfait, considérons un $\alpha \in K$ et un nombre premier $p$ égal à 0 dans $K$. Il existe un $n \in \mathbb{N}$ et un $x \in k$ tels que $\alpha = x_n$. Nous pouvons supposer $n$ suffisamment grand pour que $p_n \ge p$. Alors $\varphi_n(x) = x^p$, donc

$$
\alpha = x_n = \varphi_n(x)_{n+1} = (x^p)_{n+1} = x_{n+1}^p.
$$

Ainsi $K$ est parfait. Pour vérifier la condition (ii) de la définition 7.3, considérons
un $\alpha \in K$ et prenons un $n \in \mathbb{N}$ et un $x \in k$ tels que $\alpha = x_n$. Si $p_1, \dots, p_n$ sont
tous non nuls dans $k$, alors $\alpha = x_n = x_1 \in k$. Sinon il existe un entier $j \le n$ tel que $p_j = 0$ dans $k$. Alors $\varphi_{n-1} \circ \cdots \circ \varphi_1(x) = x^q$ avec $q = p_j^{n-j}$. Donc

$$ \alpha^q = x_n^q = (\varphi_{n-1} \circ \cdots \circ \varphi_1(x_1))_n = x_1 \in k. \blacksquare $$

La clôture parfaite est essentiellement unique.

**Théorème 7.5.** Si $K$ et $L$ sont des clôtures parfaites du corps discret $k$, il existe un unique $k$-isomorphisme de $K$ sur $L$.

*Démonstration.* Nous définissons une fonction $f$ de $K$ vers $L$ comme suit. Étant donné un $\alpha \in K$, ou bien $\alpha \in k$, auquel cas nous posons $f(\alpha) = \alpha$, ou bien il existe un $q = p^e$ avec $p$ égal à la caractéristique finie de $k$ tel que $\alpha^q \in k$. Dans ce cas il existe un $\beta \in L$ tel que $\beta^q = \alpha^q$. Comme la fonction $x \mapsto x^q$ est un automorphisme de $L$, l'élément $\beta$ est unique et ne dépend pas du choix de $q$. En posant $f(\alpha) = \beta$, nous obtenons un homomorphisme de $K$ vers $L$. De la même manière, en échangeant les rôles de $K$ et $L$, nous construisons un homomorphisme de $L$ vers $K$. Il est facile de voir que les deux fonctions sont inverses l'une de l'autre. Ce sont donc des isomorphismes. $\blacksquare$

**Théorème 7.6.** Un corps discret $k$ est parfait si, et seulement si, tout élément algébrique sur $k$ dans un corps discret qui est une extension de $k$ est séparable sur $k$.

*Démonstration.* Si $k$ est parfait, tout polynôme de $k[X]$ est un produit de polynômes séparables, donc tout élément algébrique sur $k$ dans un corps discret qui est une extension de $k$ est séparable. Inversement, soit $p$ un nombre premier nul dans $k$. Étant donné un $a \in k$, soit $K \supseteq k$ un corps parfait et un $b \in K$ avec $b^p = a$. Comme $b$ est séparable sur $k$, le théorème 6.2 nous dit que $b \in k[b^p] = k$. D'après le théorème 7.1 nous concluons que $k$ est parfait. $\blacksquare$

**Théorème 7.7.** Soit $E$ un corps discret qui contient un corps parfait $k$. Si $\alpha \in E$ est algébrique sur $k$, alors $k[\alpha]$ est parfait.

*Démonstration.* Soit $p$ un nombre premier nul dans $k$. Alors $k[\alpha]^p = k^p[\alpha^p]$. Comme $k$ est parfait, $\alpha$ est séparable sur $k$, et $k^p[\alpha^p] = k[\alpha^p] = k[\alpha]$ d'après le théorème 6.2. Donc $k[\alpha]$ est parfait. $\blacksquare$

Exercices

1. Soit $k$ un corps discret de caractéristique finie $p$. Montrer que la limite directe de la suite $k \to k \to k \to \dots$, où chaque fonction $k \to k$ envoie $a$ sur $a^p$, est une clôture parfaite de $k$.

2. Construire un exemple brouwerien d'un corps discret $k$ de caractéristique finie $p$ tel que ni $k^p = k$, ni $k^p \neq k$.
# 8 Théorie de Galois

Soient $k \subseteq K$ et $k \subseteq E$ des anneaux commutatifs. Un homomorphisme d'anneaux $\sigma: K \to E$ est un **k-homomorphisme** si $\sigma$ est l'identité sur $k$. Nous notons souvent l'image d'un élément $x$ par l'homomorphisme $\sigma$ sous la forme $x^\sigma$, et l'image de $K$ par $\sigma$ sous la forme $K^\sigma$. Nous étendons $\sigma$ en un $k[X]$-homomorphisme de $K[X]$ dans $E[X]$ en posant $X^\sigma = X$. La technique fondamentale pour étendre un $k$-homomorphisme de corps discrets est la suivante.

**Lemme 8.1.** Soient $k \subseteq K \subseteq E$ des corps discrets et $\sigma: K \to E$ un $k$-homomorphisme. Soient $f \in K[X]$ irréductible, $\alpha \in E$ une racine de $f$, et $\beta \in E$ une racine de $f^\sigma$. Alors $\sigma$ s'étend en un homomorphisme de $K[\alpha]$ vers $E$ qui envoie $\alpha$ sur $\beta$.

*Démonstration.* On définit une fonction de $K[\alpha]$ vers $E$ en envoyant $g(\alpha)$ sur $g^\sigma(\beta)$ pour tout $g \in K[X]$. Pour montrer que cette fonction est bien définie, il suffit de voir que si $g(\alpha) = 0$, alors $g^\sigma(\beta) = 0$. Supposons donc que $g(\alpha) = 0$. Alors $f$ divise $g$ parce que $f$ est irréductible et $f(\alpha) = 0$; donc $f^\sigma$ divise $g^\sigma$, et donc $g^\sigma(\beta) = 0$. ■

Si $S$ est un ensemble borné en nombre et si $\sigma: S \to S$ est injectif, alors $\sigma$ est un isomorphisme (voir l'exercice I.2.11). On a un résultat analogue pour le concept de corps.

**Lemme 8.2.** Soit $k \subseteq K$ une extension algébrique de corps discrets. Alors tout $k$-endomorphisme de $K$ est un automorphisme.

*Démonstration.* Soit $\sigma$ un $k$-endomorphisme de $K$. Comme $K$ est un corps, $\sigma$ est injectif. Un $\alpha \in K$ arbitraire annule un polynôme $f$ de $k[X]$. Soit $S$ l'ensemble des racines de $f$ dans $K$. Si $\beta \in S$, alors $f(\beta^\sigma) = f^\sigma(\beta^\sigma) = f(\beta)^\sigma = 0$, de sorte que $\beta^\sigma \in S$. Ainsi $\sigma$ induit une fonction (injective) de $S$ vers $S$. Mais $S$ est borné par le degré de $f$, donc $\sigma$ envoie $S$ sur $S$, donc il existe un $\beta \in S \subseteq K$ tel que $\beta^\sigma = \alpha$. Comme $\alpha \in K$ était arbitraire, $\sigma$ est surjectif. ■

Soient $k \subseteq K$ des corps discrets. Si tout élément de $K$ annule un polynôme de $k[X]$ qui est un produit de polynômes linéaires (polynômes de degré $\le 1$) dans $K[X]$, $K$ est appelé une **extension normale** de $k$. On dit aussi que $K$ est **normal sur k**.

**Théorème 8.3.** Soient $k \subseteq K$ des corps discrets avec $K$ espace vectoriel de type fini sur $k$. Alors $K$ est normal sur $k$ si, et seulement si, $K$ est un corps de décomposition d'un polynôme de $k[X]$.

*Démonstration.* Supposons $K$ normal et engendré par $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ sur $k$. Considérons des polynômes unitaires $f_i \in k[X]$ tels que $f_i(\alpha_i) = 0$ et $f_i$ est un produit
de polynômes linéaires dans $K[X]$. Alors $K$ est un corps de décomposition pour $f_1f_2\cdots f_n$.

Inversement, si $K$ est un corps de décomposition pour un $f \in k[X]$, on a $f(X) = \prod_{i=1}^n (X - \alpha_i)$ avec les $\alpha_i \in K$, et pour $x \in K$, on a un $p \in k[X_1, \dots, X_n]$ tel que $x = p(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$. Soit $S$ le groupe de permutations des indéterminées $X_1, \dots, X_n$, et posons

$$q(X, X_1, \dots, X_n) = \prod_{\sigma \in S} (X - p(X_1^\sigma, \dots, X_n^\sigma)).$$

Comme $q$ est symétrique en $X_1, \dots, X_n$, le théorème II.8.1 nous dit que les coefficients de $q(X, \alpha_1, \dots, \alpha_n)$ sont des polynômes en les coefficients de $f$, donc $q(X, \alpha_1, \dots, \alpha_n) \in k[X]$. Clairement le polynôme $q(X, \alpha_1, \dots, \alpha_n)$ est un produit de polynômes linéaires dans $K[X]$ et $q(x, \alpha_1, \dots, \alpha_n) = 0$. ■

Soient $k \subseteq K$ des corps discrets. L'ensemble des $k$-automorphismes de $K$ forme un groupe $\mathcal{G}(K/k)$ appelé le **groupe de Galois** de $K$ sur $k$. Si $K$ est normal et séparable sur $k$, $K$ est appelé une **extension de Galois** de $k$. Le groupe $\mathcal{G}(K/k)$ est un sous-ensemble de l'ensemble de toutes les fonctions de $K$ vers $K$, donc il possède une inégalité naturelle définie par $\sigma_1 \neq \sigma_2$ s'il existe un $\alpha \in K$ tel que $\sigma_1(\alpha) \neq \sigma_2(\alpha)$. Quand nous disons que $\mathcal{G}(K/k)$ est fini, nous voulons dire fini par rapport à cette inégalité.

**Théorème 8.4.** Soient $k \subseteq K$ des corps discrets. Si $K$ est une extension galoisienne de $k$ de dimension finie, alors $\mathcal{G}(K/k)$ est fini et $\#\mathcal{G}(K/k) = \dim_k K$.

**Démonstration.** Comme $K$ est séparable sur $k$, on a un $\theta$ tel que $K = k[\theta]$. Le polynôme minimal $f$ de $\theta$ sur $k$ est de degré $n = \dim_k K$ et il est séparable. Comme $K$ est normal, nous pouvons écrire $f(X) = (X - \theta_1) \cdots (X - \theta_n)$ avec les $\theta_i \in K$. Comme $f$ est séparable, les $\theta_i$ sont distincts. Les lemmes 8.1 et 8.2 disent que, pour chaque $i = 1, \dots, n$, on a un $\sigma_i \in \mathcal{G}(K/k)$ tel que $\sigma_i(\theta) = \theta_i$. Comme $K = k[\theta]$, cela détermine complètement $\sigma_i$. D'autre part, si $\sigma \in \mathcal{G}(K/k)$, alors $f(\theta^\sigma) = f^\sigma(\theta^\sigma) = f(\theta)^\sigma = 0$, donc $\theta^\sigma = \theta_i$ pour un $i$, i.e. $\sigma = \sigma_i$. Ainsi $\mathcal{G}(K/k) = \{\sigma_1, \dots, \sigma_n\}$, et les $\sigma_i$ sont distincts car les $\theta_i$ sont distincts. ■

Nous construisons des $k$-automorphismes d'une extension normale de $k$ qui étendent des $k$-homomorphismes de sous-corps.

**Lemme 8.5.** Soient $k \subseteq K \subseteq E$ des corps discrets avec $E$ normal sur $k$ et de dimension finie sur $K$. Alors tout $k$-homomorphisme de $K$ dans $E$ peut être étendu en un $k$-automorphisme de $E$.

**Démonstration.** Soit $\sigma: K \to E$ un $k$-homomorphisme. Comme $E$ est de dimension finie sur $K$, il suffit, par récurrence, de voir que si $\alpha \in E$, alors $E$ est de dimension finie sur $K[\alpha]$ et $\sigma$ peut être étendu en un $k$-homomorphisme de $K[\alpha]$ dans $E$.
Comme $E$ est de dimension finie sur $K$, le théorème 1.13 dit que $K[\alpha]$ est de dimension finie sur $K$, donc $E$ est de dimension finie sur $K[\alpha]$ d'après le théorème II.6.6. Comme $E$ est normal sur $k$, on a un polynôme $g \in k[X]$ qui annule $\alpha$ et qui est un produit de polynômes linéaires de $E[X]$. Comme $E$ est de dimension finie sur $K$, le théorème 1.13 dit qu'il existe un polynôme irréductible $f \in K[X]$ qui annule $\alpha$. Clairement $f$ divise $g$ dans $K[X]$, donc $f^\sigma$ divise $g^\sigma = g$. Comme $g$ est un produit de polynômes linéaires de $E[X]$, on obtient que $f^\sigma$ annule un $\beta \in E$. D'après le lemme 8.1 nous pouvons étendre $\sigma$ en un $k$-homomorphisme de $K[\alpha]$ vers $E$ qui envoie $\alpha$ sur $\beta$. ■

La normalité est reliée à l'invariance par automorphismes.

**Théorème 8.6.** Soient $k \subseteq K \subseteq E$ des corps discrets. Si $K$ est normal sur $k$, tout $k$-endomorphisme de $E$ envoie $K$ sur $K$. Si $E$ est de dimension finie et normal sur $k$, et si tout $k$-automorphisme de $E$ envoie $K$ dans $K$, alors $K$ est normal sur $k$.

*Démonstration.* Soient $K$ normal sur $k$ et $\sigma$ un $k$-endomorphisme de $E$. D'après le lemme 8.2, il suffit de démontrer que $K^\sigma \subseteq K$. Soient $\alpha \in K$ et $f \in k[X]$ un produit de polynômes linéaires de $K[X]$ satisfaisant $f(\alpha) = 0$. Comme $f(\alpha^\sigma) = f^\sigma(\alpha^\sigma) = f(\alpha)^\sigma = 0$, et comme $f$ est un produit de polynômes linéaires de $K[X]$, on a $\alpha^\sigma \in K$.

Supposons maintenant que $E$ est de dimension finie et normal sur $k$, et que tout $k$-automorphisme de $E$ envoie $K$ dans $K$. Si $\alpha \in K$, alors $\alpha$ est racine d'un polynôme $f \in k[X]$ qui est un produit de polynômes linéaires de $E[X]$. Comme $E$ est de dimension finie sur $k$, nous pouvons supposer que $f$ est irréductible. Il suffit de démontrer que toute racine $\beta$ de $f$ dans $E$ est dans $K$. D'après le lemme 8.1, on a un $k$-homomorphisme $\sigma: k[\alpha] \to E$ qui envoie $\alpha$ sur $\beta$. D'après le lemme 8.5, on peut étendre $\sigma$ en un $k$-automorphisme de $E$. Mais tout $k$-automorphisme de $E$ envoie $K$ dans $K$. Donc l'élément $\beta = \alpha^\sigma$ est dans $K$. ■

Une propriété cruciale d'une extension de Galois de dimension finie $k \subseteq K$ est que tout élément de $K \setminus k$ est modifié par l'action d'un élément de $\mathcal{G}(K/k)$. En fait, il s'agit d'une propriété caractéristique.

**Théorème 8.7.** Soit $K$ une extension de dimension finie d'un corps discret $k$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes.

(i) $K$ est un extension de Galois de $k$.

(ii) Si $\alpha \in K \setminus k$, il existe un $\sigma \in \mathcal{G}(K/k)$ tel que $\sigma(\alpha) \neq \alpha$.

(iii) Si $\alpha \in K$ et si le polynôme minimal $f$ de $\alpha$ sur $k$ est de degré $n$, alors il existe $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ dans $\mathcal{G}(K/k)$ tels que $f(X) = (X - \sigma_1(\alpha)) \cdots (X - \sigma_n(\alpha))$ et $\sigma_1(\alpha), \dots, \sigma_n(\alpha)$ sont distincts.
**Démonstration.** Supposons (i). Soit $f$ le polynôme minimal sur $k$ d'un élément $\alpha \in K\backslash k$. Comme $K$ est séparable et normal sur $k$, et comme le degré de $f$ est plus grand que 1, il y a une racine $\beta \neq \alpha$ de $f \in K$. D'après le lemme 8.1, nous pouvons construire un $k$-homomorphisme $\sigma: k[\alpha] \to K$ tel que $\sigma(\alpha) = \beta$, et nous pouvons étendre $\sigma$ en un automorphisme de $K$ d'après le lemme 8.5.

Supposons (ii). Soient $\alpha$ et $f$ comme dans (iii). Nous montrons par récurrence comment construire les éléments $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ de $\mathcal{G}(K/k)$. Supposons que nous avons construit $\sigma_1, \dots, \sigma_s$, avec $s < n$, tels que le polynôme $g(X) = (X - \sigma_1(\alpha)) \cdots (X - \sigma_s(\alpha))$ divise $f$ et $\sigma_1(\alpha), \dots, \sigma_s(\alpha)$ sont distincts. Comme $f$ est irréductible sur $k$, et comme $g$ est un diviseur strict de $f$, un coefficient de $g$ est dans $K\backslash k$. D'après (ii), on a un $\tau \in \mathcal{G}(K/k)$ tel que $g^\tau \neq g$. Comme $\tau\sigma_i(\alpha)$ est une racine de $g^\tau$ pour $1 \le i \le s$, on a un $i$ tel que $\tau\sigma_i(\alpha) \notin \{\sigma_1(\alpha), \dots, \sigma_s(\alpha)\}$ : on pose $\sigma_{s+1} = \tau\sigma_i$.

Le fait que (iii) implique (i) est clair. $\blacksquare$

Si $K$ est un corps discret et si $S$ est un ensemble d'automorphismes de $K$, alors l'ensemble $\{x \in K : x^\sigma = x \text{ pour tout } \sigma \in S\}$ est un corps que l'on appelle le **corps fixe** de $S$. Le théorème 8.7 implique que si $K$ est une extension de Galois de dimension finie de $k$, alors $k$ est le corps fixe de $\mathcal{G}(K/k)$. L'exercice 8 montre que la condition 8.7(ii) est plus forte que la seule condition que $k$ est le corps fixe de $\mathcal{G}(K/k)$.

Soit $k \subseteq E$ une extension de Galois de dimension finie. Le théorème fondamental de la théorie de Galois concerne la correspondance entre d'une part les sous-corps $K$ de $E$ qui contiennent $k$ et sont de dimension finie sur $k$, et d'autre part les sous-groupes finis de $\mathcal{G}(E/k)$. Le sous-groupe de $\mathcal{G}(E/k)$ associé à $K$ est $\mathcal{G}(E/K)$.

**Théorème 8.8.** Soit $E$ une extension de Galois de dimension finie d'un corps discret $k$. Soit $K$ un sous-corps de $E$ contenant $k$ et de dimension finie sur $k$. Alors

(i) $E$ est une extension de Galois de dimension finie de $K$;

(ii) $\mathcal{G}(E/K)$ est un sous-groupe fini de $\mathcal{G}(E/k)$;

(iii) le corps fixe de $\mathcal{G}(E/K)$ est $K$;

(iv) si $K$ est normal sur $k$, la restriction à $K$ est un homomorphisme de $\mathcal{G}(E/k)$ sur $\mathcal{G}(K/k)$ de noyau $\mathcal{G}(E/K)$, donc $\mathcal{G}(E/K)$ est un sous-groupe normal de $\mathcal{G}(E/k)$;

(v) si $\mathcal{G}(E/K)$ est un sous-groupe normal de $\mathcal{G}(E/k)$, alors $K$ est normal sur $k$.

**Démonstration.** Comme $E$ est galoisien sur $k$, il est galoisien sur $K$; donc (i) est valide. Le point (ii) est clair, et (iii) découle de la condition 8.7(ii).

Pour démontrer (iv), on prend $K$ normal sur $k$ et $\sigma \in \mathcal{G}(E/k)$. Le théorème 8.6 dit que $K^\sigma = K$, donc la restriction de $\sigma$ à $K$ est un élément de $\mathcal{G}(K/k)$.
Par suite, cette restriction définit un homomorphisme de $\mathcal{G}(E/k)$ vers $\mathcal{G}(K/k)$. Son noyau est clairement $\mathcal{G}(E/K)$. D'après le lemme 8.5, tout élément de $\mathcal{G}(K/k)$ peut être étendu en un $k$-automorphisme de $K$. Donc l'homomorphisme est surjectif.

Pour démontrer (v), on note que pour $\sigma, \tau \in \mathcal{G}(E/k)$, on a $\sigma \in \mathcal{G}(E/K)$ si, et seulement si, $\tau\sigma\tau^{-1} \in \mathcal{G}(E/K^\tau)$; donc $\tau\mathcal{G}(E/K)\tau^{-1} = \mathcal{G}(E/K^\tau)$. Ainsi, si $\mathcal{G}(E/K)$ est un sous-groupe normal de $\mathcal{G}(E/k)$, on a $\mathcal{G}(E/K) = \mathcal{G}(E/K^\tau)$. D'après la propriété 8.7(ii), cela implique que $K^\tau = K$, donc $K$ est normal. ■

Il nous reste à démontrer que tout sous-groupe fini de $\mathcal{G}(E/k)$ est de la forme $\mathcal{G}(E/K)^1$. En fait, nous allons montrer que si $G$ est un groupe fini d'automorphismes d'un corps discret $E$, et si $K$ est le corps fixe de $G$, alors $\dim_K E = \#G$ et $E$ est une extension galoisienne de $K$ de groupe de Galois $G$.

Soit $E$ un corps discret et $M$ un monoïde. Un homomorphisme de monoïdes de $M$ vers le monoïde multiplicatif de $E$ est appelé un **caractère** de $M$ dans $E$. Tout automorphisme de $E$ est un caractère du monoïde multiplicatif $E$ dans $E$. L'ensemble $E^M$ des fonctions de $M$ vers $E$ est un espace vectoriel sur $E$ pour l'addition et la multiplication scalaire naturelles. L'inégalité naturelle sur $E^M$ est définie en posant $f \neq g$ si on a un $m \in M$ tel que $f(m) \neq g(m)$.

Des fonctions $f_1, \dots, f_n \in E^M$ sont **linéairement indépendantes** si, chaque fois que $a_1, \dots, a_n$ sont des éléments non tous nuls de $E$, on a $a_1f_1 + a_2f_2 + \dots + a_nf_n \neq 0$. Le lemme suivant donne un critère simple pour l'indépendance linéaire des caractères.

**Lemme 8.9.** Soient $M$ un monoïde, $E$ un corps discret et $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ des caractères de $M$ dans $E$ tels que $\sigma_i \neq \sigma_j$ si $i \neq j$. Alors $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ sont linéairement indépendants.

*Démonstration.* Nous procédons par récurrence sur $n$. Soient $a_1, \dots, a_n$ des éléments non tous nuls de $E$. Si $n=1$, alors $\sum_{i=1}^n a_i\sigma_i(1) = a_1 \neq 0$, donc nous pouvons renuméroter et supposer que $a_2 \neq 0$. Comme $\sigma_1 \neq \sigma_2$, il y a un $x \in M$ tel que $\sigma_1(x) \neq \sigma_2(x)$. Soit $m$ un élément arbitraire de $M$ et soustrayons l'expression

$$ \sigma_1(x) (a_1\sigma_1(m) + \dots + a_n\sigma_n(m)) \quad (*) $$

de l'expression

$$ a_1\sigma_1(xm) + \dots + a_n\sigma_n(xm) = a_1\sigma_1(x)\sigma_1(m) + \dots + a_n\sigma_n(x)\sigma_n(m). \quad (**) $$

Les termes avec $a_1$ sont supprimés, il reste un terme $a_2(\sigma_2(x) - \sigma_1(x))\sigma_2(m)$ plus une combinaison linéaire des caractères $\sigma_3, \dots, \sigma_n$. Par récurrence, on a un $m$ pour lequel cette expression est non nulle, parce que $a_2(\sigma_2(x) - \sigma_1(x)) \neq 0$. Comme cette expression est la différence de $(*)$ et de $(**)$, l'une des deux doit être non nulle. Donc $m$ ou $xm$ montre que $\sum a_i\sigma_i \neq 0$. ■

<footnote n="1">1. NdT. Cela résultera du théorème 8.11.</footnote>
D'après le lemme 8.9, nous voyons que des automorphismes distincts d'un
corps discret $E$ sont linéairement indépendants sur $E$. Nous allons raffiner
encore un peu ce résultat.

**Lemme 8.10.** Soient $K$ un corps discret et $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ des automorphismes distincts de $K$. Il existe $\omega_1, \dots, \omega_n \in K$ tels que la matrice $\Sigma_n = (\sigma_i(\omega_j))_{1 \le i,j \le n}$ est inversible.

Démonstration. Nous procédons par récurrence sur $n$. Le cas $n=1$ est obtenu en prenant $\omega_1 = 1$. Par récurrence, on a $\omega_1, \dots, \omega_{n-1} \in K$ tels que la matrice $\Sigma_{n-1} = (\sigma_i(\omega_j))_{1 \le i,j \le n-1}$ est inversible. Donc il existe des éléments $a_1, \dots, a_{n-1} \in K$ tels que pour $j=1, \dots, n-1$ on a

$$
a_1 \sigma_1(\omega_j) + \dots + a_{n-1} \sigma_{n-1}(\omega_j) = \sigma_n(\omega_j)
$$

D'après le lemme 8.9, on a un $\omega_n \neq 0 \in K$ tel que

$$
a_1 \sigma_1(\omega_n) + \dots + a_{n-1} \sigma_{n-1}(\omega_n) \neq \sigma_n(\omega_n). \quad (*)
$$

Soit $\Sigma_n = (\sigma_i(\omega_j))_{1\le i,j\le n}$. Pour voir que $\Sigma_n$ est inversible, considérons la i-ième ligne de $\Sigma_n$, notée $\nu_i$. En remplaçant $\nu_n$ par $\nu_n - (a_1\nu_1 + \dots + a_{n-1}\nu_{n-1})$ nous obtenons une matrice de même déterminant que $\Sigma_n$, dont la dernière ligne est nulle sauf pour la dernière entrée qui est non nulle d'après $(*)$. Le déterminant de la matrice modifiée est égal à dét $\Sigma_{n-1}$ multiplié par le coefficient non nul en position sud-est. Donc dét $\Sigma_n \neq 0$. $\blacksquare$

Nous pouvons maintenant compléter la correspondance de Galois entre sous-groupes de $G(E/k)$ et corps intermédiaires entre $k$ et $E$.

**Théorème 8.11.** Soient $E$ un corps discret, $G$ un ensemble de $n$ automorphismes distincts de $E$ et $K$ le corps fixe de $G$. Alors il existe $n$ éléments de $E$ qui sont linéairement indépendants sur $K$. Si $G$ est un groupe, alors $\dim_K E = n$ et $E$ est une extension galoisienne de $K$ de groupe de Galois $G$.

Démonstration. Soit $G = \{\sigma_1, \dots, \sigma_n\}$. D'après le lemme 8.10, on a des éléments $\omega_1, \dots, \omega_n \in E$ tels que la matrice $\Sigma_n = (\sigma_i(\omega_j))_{1 \le i,j \le n}$ est inversible. Soient $a_1, \dots, a_n$ des éléments de $K$ vérifiant $a_1\omega_1 + \dots + a_n\omega_n = 0$. Alors $a_1\sigma_i(\omega_1) + \dots + a_n\sigma_i(\omega_n) = 0$ pour chaque $i$. Or la matrice $\Sigma_n$ est inversible, donc les $a_j$ sont nuls. Donc les $\omega_j$ sont linéairement indépendants.

Supposons maintenant que $G$ est un groupe. Nous allons montrer que les $\omega_j$
engendrent $E$ comme $K$-espace vectoriel. Soit $\omega \in E$. Comme $\Sigma_n$ est inversible,
on a $a_1, \dots, a_n \in K$ tels que

$$
a_1 \sigma_i(\omega_1) + \dots + a_n \sigma_i(\omega_n) = \sigma_i(\omega) \quad (*)
$$
pour $i = 1, \dots, n$. Comme $G$ est un groupe, $\sigma G = G$ pour chaque $\sigma \in G$, donc en transformant (*) par $\sigma$ nous obtenons

$$ \sigma(a_1)\sigma_i(\omega_1) + \dots + \sigma(a_n)\sigma_i(\omega_n) = \sigma_i(\omega) $$

pour $i = 1, \dots, n$. En soustrayant cela de (*), nous obtenons

$$ (a_1 - \sigma(a_1))\sigma_i(\omega_1) + \dots + (a_n - \sigma(a_n))\sigma_i(\omega_n) = 0. $$

Mais $\Sigma_n$ est inversible, donc $a_j = \sigma(a_j)$ pour tous $\sigma$ et $j$, par suite $a_1, \dots, a_n$ sont dans $K$. En prenant pour $\sigma_i$ l'identité dans (*), nous obtenons

$$ a_1\omega_1 + \dots + a_n\omega_n = \omega. $$

Ainsi $\omega_1, \dots, \omega_n$ engendrent $E$ sur $K$.

Le théorème 8.7 montre que $E$ est une extension de Galois de $K$. Le fait que $G$ est son groupe de Galois découle du théorème 8.4. ■

## Exercices

1. Soit $K$ une extension algébrique d'un corps discret $k$. Montrer que $K$ est normal si, et seulement si, tout polynôme de $k[X]$ qui a une racine dans $K$ est divisible par un polynôme de $k[X]$ égal à un produit de polynômes linéaires de $K[X]$.

2. Définir ce qu'est un corps de décomposition pour un ensemble de polynômes. Soient $k \subseteq K$ des corps discrets. Montrer que l'extension $K/k$ est normale si, et seulement si, il existe un ensemble de polynômes de $k[X]$ dont le corps de décomposition sur $k$ est $K$.

3. Formuler et démontrer les lemmes 8.9 et 8.10 pour un anneau commutatif local $K$.

4. Soient $k$ un corps discret et $K = k(X)$. On définit deux $k$-automorphismes $\sigma$ et $\tau$ de $K$ en posant $\sigma(X) = 1/X$ et $\tau(X) = 1 - X$.

(i) Montrer que le groupe $G$ engendré par $\sigma$ et $\tau$ est le groupe symétrique sur trois lettres.

(ii) Soit $I = (X^2 - X + 1)^3 / X^2(X - 1)^2$. Montrer que $X$ est une solution de l'équation polynomiale

$$ f(Y) = (Y^2 - Y + 1)^3 - IY^2(Y - 1)^2 = 0. $$

(iii) Montrer que $k(I)$ est le corps fixe de $G$.

5. Soient $x_1, \dots, x_n$ des éléments distincts d'un corps discret $k$ et $a_1, \dots, a_n$ des éléments de $k$ non tous nuls. Utiliser le lemme 8.9 pour montrer qu'il existe un $m \in \mathbb{N}$ tel que $a_1x_1^m + \dots + a_nx_n^m \neq 0$.
6. Soient $k \subseteq K$ des corps discrets. Supposons que $K$ est un anneau factoriel de dimension finie comme $k$-espace vectoriel. Montrer que $G(K/k)$ est fini et que $\#G(K/k) \le \dim_k K$.

7. Soit $K$ un corps de décomposition de $X^3 - 2$ sur $\mathbb{Q}$. Montrer que si $\omega$ est le quotient de deux racines distinctes de $X^3 - 2$ dans $K$, alors $\omega^2 + \omega + 1 = 0$. En définissant un corps $k$ intermédiaire entre $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{Q}[\omega]$, construire un exemple brouwerien de corps discrets $k \subseteq K$ tels que $\dim_k K = 3$, mais $G(K/k)$ n'est pas fini.

8. Utiliser l'exercice 7 pour construire un exemple brouwerien, utilisant le principe de Markov, de corps discrets $k \subseteq K$ tels que $K$ est séparable et de dimension finie sur $k$, et $k$ est le corps fixe de $G(K/k)$, mais la condition 8.7(ii) n'est pas satisfaite.

# 9 Notes

Un équivalent classique du Nullstellensatz faible dit que si $I$ est un idéal propre de $k[X_1, \dots, X_n]$, il existe une extension $K$ algébrique de $k$ telle que les polynômes de $I$ ont un zéro commun dans $K^n$. Cela résulte de notre version en étendant $I$ en un idéal maximal $M$ (par le lemme de Zorn) et en définissant $K = k[X_1, \dots, X_n]/M$. Avec une restriction (constructive) convenable sur $k$, on peut prouver ce théorème de manière directe.

Pour une comparaison entre les approches constructives et récursives des corps de décomposition et des clôtures algébriques, voir [Bridges-Richman 1987].
<figure><img src="image_11.png" /></figure>
# VII. Factorisation des polynômes

## Sommaire

<table><tr><td>1</td><td>Corps factoriels et corps séparablement factoriels</td><td>175</td></tr><tr><td>2</td><td>Extensions de corps (séparablement) factoriels</td><td>181</td></tr><tr><td>3</td><td>Corps de Seidenberg : la condition P</td><td>184</td></tr><tr><td>4</td><td>Le théorème fondamental de l'algèbre</td><td>187</td></tr><tr><td>5</td><td>Notes</td><td>190</td></tr></table>

## 1 Corps factoriels et corps séparablement factoriels

Dans cette section nous étudions le problème de la décomposition en produit de facteurs irréductibles d'un polynôme sur un corps discret. Nous avons déjà vu un exemple brouwerien d'un corps discret sur lequel cette décomposition est impossible (exemple IV.2.2). Un corps discret $k$ sur lequel tout polynôme non constant peut être écrit comme un produit de facteurs irréductibles est appelé un corps **factoriel**. De manière équivalente, $k$ est factoriel si tout polynôme non constant sur $k$ est irréductible ou possède un facteur non trivial. Comme $k[X]$ est un anneau principal avec unités détachables (pour n'importe quel corps discret $k$), il revient au même de dire que $k$ est factoriel au sens de la définition IV.2.1.

Nous disons que $k$ est **séparablement factoriel** si tout polynôme séparable peut être écrit comme un produit de polynômes irréductibles. Clairement tout corps factoriel est séparablement factoriel. Par certains aspects la notion de corps séparablement factoriel est supérieure à la notion de corps factoriel : le théorème 2.4 montre qu'une extension de dimension finie d'un corps séparablement factoriel est un corps séparablement factoriel, alors que l'exercice 1.5 donne un
exemple d'une extension de dimension finie d'un corps factoriel qui n'est pas un
corps factoriel.

On voit facilement que tout corps fini est factoriel : étant donné un polynôme,
on le divise par tous les polynômes de degré plus petit et l'on regarde si le reste
est nul ou pas. Les corps algébriquement clos discrets sont aussi factoriels, pour
une raison évidente. Le premier théorème non trivial au sujet des corps factoriels
est dû à Kronecker qui a montré que le corps $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels est
factoriel. Cela résulte immédiatement de « Kronecker 1 » (théorème IV.4.8), qui
implique que l'anneau $\mathbb{Z}$ des nombres entiers est factoriel, et du corolaire IV.2.6,
qui implique que le corps de fractions d'un anneau intègre factoriel est factoriel.

Beaucoup de corps intéressants sont de la forme $k(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ où $k$ est un corps fini ou $\mathbb{Q}$. Comme les corps finis et $\mathbb{Q}$ sont factoriels, nous sommes amenés à étudier les extensions simples $k(\alpha)$ d'un corps factoriel $k$ ; les cas les plus importants sont lorsque $\alpha$ est algébrique et lorsque $\alpha$ est transcendant. Nous montrerons tout d'abord qu'une extension d'un corps dénombrable factoriel par un élément séparable est un corps factoriel.

**Théorème 1.1.**<sup>1</sup> Soient $k \subseteq E$ des corps discrets, et $\alpha, \beta \in E$ avec $\alpha$ algébrique sur $k$ et $\beta$ séparable sur $k[\alpha]$. Si $k$ est factoriel, alors $\alpha$ annule un polynôme irréductible sur $k[\beta]$.

*Démonstration.* D'après le théorème VI.6.7, on a un $\theta \in E$ tel que $k[\alpha, \beta] = k[\theta]$. Si $k$ est factoriel, alors $k[\beta]$ et $k[\theta]$ sont tous deux de dimension finie sur $k$ d'après le théorème VI.1.13. Donc $k[\theta]$ est de dimension finie sur $k[\beta]$ d'après le théorème II.6.6. Enfin le théorème VI.1.13 nous dit que nous pouvons trouver un polynôme irréductible sur $k[\beta]$ annulé par $\alpha$. ■

**Corolaire 1.2.** Soient $E$ un corps discret et $k$ un sous-corps dénombrable factoriel. Soit $\beta \in E$ séparable sur $k$. Alors $k[\beta]$ est factoriel.

*Démonstration.* Soit $g(X)$ un polynôme non constant à coefficients dans $k[\beta]$, et soit $E' \supseteq k[\beta]$ un corps discret dénombrable qui contient une racine $\alpha$ de $g$ (théorème VI.3.3). Alors $\alpha$ annule un polynôme irréductible sur $k[\beta]$, qui doit diviser $g(X)$ dans $k[\beta][X]$. ■

Le corolaire 1.2 montre qu'une extension de type fini séparable d'un corps dénombrable factoriel est un corps factoriel. L'exercice 5 montre que la condition de séparabilité est nécessaire. Pour nous débarrasser de la condition de dénombrabilité nous allons montrer qu'un corps discret est (séparablement) factoriel si, et seulement si, tout polynôme (séparable) non constant, ou bien a une racine dans le corps, ou bien est évalué non nul en tout élément du corps.

<footnote n="1">1. **NdT.** Dans le livre original en anglais, la numérotation des énoncés commence à Theorem 1.2 ; elle est donc décalée d'un cran par rapport à la numérotation présente.</footnote>
Pour cela nous construisons, à partir d'un polynôme donné $f$, un polynôme $q$ tel que tout coefficient d'un diviseur unitaire de $f$ est une racine de $q$.

Pour assurer que le polynôme $q$ est un produit de polynômes séparables lorsque $f$ est séparable, nous démontrons ce qui suit.

**Lemme 1.3.** Soit $K$ un corps, extension séparable d'un corps discret $k$. Si $q \in k[X]$ se décompose en un produit de facteurs linéaires dans $K[X]$, alors $q$ est un produit de polynômes séparables.

*Démonstration.* Soit $\alpha \in K$ une racine de $q$. L'élément $\alpha$ annule un polynôme séparable $f \in k[X]$. Soit $h = \text{pgcd}(q, f)$. Alors $h(\alpha) = 0$ et $h$ est séparable car il divise $f$. Par récurrence sur le degré, le polynôme $q/h$ est un produit de polynômes séparables. Donc $q$ est un produit de polynômes séparables. ■

Nous utilisons un corps de décomposition pour construire $q$, mais nous pourrions nous en dispenser car les coefficients de $q$ peuvent être écrits directement en termes des coefficients de $f$.

**Théorème 1.4.** Soient $k$ un corps discret et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire (séparable). Alors il existe un polynôme $q \in k[X]$ (qui est un produit de polynômes séparables) tel que, pour toute extension $E$ de $k$, les coefficients de tout diviseur unitaire de $f$ dans $E[X]$ sont des racines de $q$.

*Démonstration.* Soient $k_0$ le sous-corps dénombrable de $k$ engendré par les coefficients de $f$ et $K_f$ un corps de décomposition pour $f$ sur $k_0$. Nous écrivons

$$f(X) = (X - r_1)(X - r_2)\cdots(X - r_n)$$

dans $K_f$. Soit $S \subseteq k[Y_1, \dots, Y_n]$ l'ensemble des polynômes symétriques élémentaires en les sous-ensembles finis des indéterminées $\{Y_1, \dots, Y_n\}$, et posons

$$q(X) = \prod_{\sigma \in S} (X - \sigma(r_1, \dots, r_n)).$$

Comme les coefficients de $f$ sont les polynômes symétriques élémentaires en tous les $r_i$, le théorème II.8.1 nous dit que $q \in k_0[X]$ et que $q$ est indépendant du corps de décomposition $K_f$.

Si $f$ est séparable, $q$ est un produit de polynômes séparables d'après le lemme 1.3. Si $g$ est un diviseur unitaire de $f$ dans $E[X]$, on construit un corps de décomposition $K_f$ pour $f$ sur le sous-corps de $E$ engendré par les coefficients de $g$ et $f$. Clairement $K_f$ est un corps de décomposition pour $f$ sur $k_0$ et il contient les coefficients de $g$. Tout coefficient de $g$ est un polynôme symétrique élémentaire en certaines des racines de $f$ dans $K_f$, donc c'est une racine de $q$. ■

**Corolaire 1.5.** Si $k$ est séparablement clos dans $K$, et si un polynôme séparable unitaire $f \in k[X]$ a un diviseur unitaire $g \in K[X]$, alors $g \in k[X]$. Si $k$ est algébriquement clos dans $K$ et si le polynôme unitaire $f \in k[X]$ a un diviseur unitaire $g \in K[X]$, alors $g \in k[X]$. ■
**Démonstration.** Tout coefficient de tout diviseur unitaire de $f \in k[X]$ annule un polynôme de $k[X]$ (séparable si $f$ est séparable). Comme $k$ est algébriquement (séparablement) clos dans $K$, ces coefficients sont dans $k$. ■

Le théorème 1.4 nous assure que les coefficients d'un diviseur unitaire d'un polynôme unitaire séparable sont séparables. Nous pouvons laisser tomber l'hypothèse de séparabilité si nous demandons que les deux facteurs soient premiers entre eux.

**Corolaire 1.6.** Soient $k \subseteq E$ des corps discrets, $f \in k[X]$ et $g, h \in E[X]$ des polynômes unitaires tels que $f = gh$ et $\text{pgcd}(g, h) = 1$. Alors les coefficients de $g$ et $h$ sont séparables sur $k$.

**Démonstration.** D'après le théorème VI.6.3, nous pouvons écrire $f$ comme un produit de polynômes unitaires dans $k[X]$ de la forme $F_i(X^{q_i})$, où $F_i$ est séparable et $q_i$ est égal à 1 ou à une puissance de la caractéristique de $k$. On a alors $F_i(X^{q_i}) = a_i(X)b_i(X)$ où $a_i(X) = \text{pgcd}(F_i(X^{q_i}), g(X))$ et $b_i(X) = \text{pgcd}(F_i(X^{q_i}), h(X))$. En outre les $F_i$ sont deux à deux étrangers, donc $g$ est le produit des $a_i$ et $h$ est le produit des $b_i$. Nous sommes ramenés au cas où $f = F(X^q)$ avec $F$ séparable. Nous faisons une récurrence sur $q$. Si $q = 1$ nous avons le résultat par le théorème 1.4. Si $q > 1$, nous avons $0 = f'(X) = g'h + gh'$ donc $g$ divise $g'h$, donc $g$ divise $g'$, donc $g' = 0 = h'$. Par suite $g = G(X^p)$ et $h = H(X^p)$, donc $F(X^{q/p}) = G(X)H(X)$. Par récurrence, les coefficients de $G$ et $H$, qui sont les mêmes que les coefficients de $g$ et $h$, sont séparables sur $k$. ■

Nous allons montrer qu'un corps, extension de dimension finie d'un corps séparablement factoriel, est séparablement factoriel. Tout d'abord nous réduisons le problème de savoir si un corps est (séparablement) factoriel à celui de décider si un polynôme (séparable) a une racine.

**Théorème 1.7 (le test de racine).** Un corps discret $k$ est (séparablement) factoriel si, et seulement si, pour tout $f$ (séparable) dans $k[X]$, ou bien $f$ a une racine dans $k$, ou bien $f(a) \neq 0$ pour tout $a \in k$.

Dans ce cas on dit que le corps $k$ a un **test de racine** (pour les polynômes séparables).

**Démonstration.** Si $k$ est (séparablement) factoriel, nous pouvons construire tous les diviseurs unitaires linéaires de $f$, donc la condition est clairement nécessaire. Pour l'implication réciproque nous utilisons le théorème 1.4 qui nous permet de construire un polynôme $q \in k[X]$ (produit de polynômes séparables) tel que les coefficients de tout diviseur unitaire de $f \in k[X]$ sont racines de $q$. Vu l'hypothèse, nous pouvons construire l'ensemble fini des racines de $q$ dans $k$. Nous obtenons ainsi un ensemble fini de polynômes qui contient tous les diviseurs unitaires de $f$ dans $k[X]$. On peut alors tester les éléments de cet ensemble pour savoir lesquels divisent $f$. ■
Le prototype d'un test de racines est le **test de racine rationnelle** qui dit que si $s/t$ (fraction réduite) est une racine dans $\mathbb{Q}$ du polynôme $a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n \in \mathbb{Z}[X]$, alors $s$ doit diviser $a_0$, et $t$ doit diviser $a_n$. Ceci limite les racines possibles à un nombre fini de cas, que nous pouvons tester. Le test de racine rationnelle joint au théorème 1.7 fournit une démonstration alternative du théorème de Kronecker selon lequel le corps des nombres rationnels est factoriel. En fait, nous obtenons la version légèrement améliorée suivante du théorème « Kronecker 1 ».

**Théorème 1.8.** Si $R$ est un anneau à factorisation unique avec un nombre fini d'unités, alors il en va de même pour $R[X]$. Donc $R$ est factoriel.

**Démonstration.** Soit $K$ le corps de fractions de $R$. Pour montrer que tout élément de $R[X]$ se factorise en polynômes irréductibles dans $R[X]$, il suffit d'après le lemme de Gauss de montrer que $K$ est factoriel. D'après le théorème 1.7, il suffit de voir que $K$ a un test de racine. L'argument esquissé ci-dessus pour le cas des zéros rationnels s'applique ici parce que $R$ est un anneau à factorisation unique avec un nombre fini d'unités. ■

Si $R$ est un anneau à factorisation unique avec un nombre fini d'unités, alors le théorème 1.8 avec une récurrence sur $n$ montre que $R[X_1, \dots, X_n]$ est un anneau à factorisation unique. Donc si $F$ est un corps fini, $F(X_1, \dots, X_n)$ est factoriel d'après le corolaire IV.2.6. De même $\mathbb{Q}(X_1, \dots, X_n)$ est factoriel parce que l'anneau des entiers $\mathbb{Z}$ est un anneau à factorisation unique avec deux unités. Cela ne traite cependant pas tous les cas intéressants. Le théorème « Kronecker 2 » (théorème IV.4.9) montre que si $k$ est un corps factoriel, alors il en va de même pour $k(X)$. Nous présentons maintenant une démonstration élégante de ce théorème, basée sur le «test de racine», qui donne une information supplémentaire pour les corps séparablement factoriels.

**Théorème 1.9.** Si $k$ est un corps (séparablement) factoriel, il en va de même pour $k(X)$.

**Démonstration.** Soit $f(X, Y) \in k[X, Y]$ (séparable comme polynôme en $Y$ sur $k[X]$); il suffit d'après le test de racines de décider s'il existe ou non un $\alpha \in k(X)$ tel que $f(X, \alpha) = 0$. On écrit

$$f(X, Y) = a_0(X) + a_1(X)Y + \cdots + a_n(X)Y^n.$$

Nous remplaçons $Y$ par $Z/(a_n(X))$ et nous multiplions par $a_n(X)^{n-1}$, nous obtenons un polynôme unitaire en $Z$. Donc nous pouvons supposer que $a_n(X) = 1$, et nous cherchons les racines $\alpha \in k[X]$ parmi les diviseurs de $a_0(X)$.

Dans le cas séparable, nous notons $f'(X, Y)$ la dérivée de $f(X, Y)$ comme polynôme en $Y$ et nous calculons $s(X, Y)$ et $t(X, Y) \in k[X, Y]$ tels que

$$s(X, Y)f(X, Y) + t(X, Y)f'(X, Y) = g(X)$$
avec $g(X)$ non nul. Si $k$ est fini, $k(X)$ est factoriel (théorème 1.8) et nous avons terminé. Ainsi le théorème VI.5.4 nous dit que, ou bien nous avons terminé, ou bien nous pouvons trouver des éléments distincts $x_1, \dots, x_m \in k$ avec $m > \deg a_0(X)$ et avec $g(x_i) \neq 0$ pour tout $i$ dans le cas séparable. Dans le cas séparable, chaque polynôme $f(x_i, Y)$ est séparable. Donc (dans tous les cas) nous pouvons construire les ensembles finis $A_i = \{ y \in k : f(x_i, y) = 0 \}$. Si $f(X, \alpha(X)) = 0$, alors $\alpha(x_i) \in A_i$ et nous pouvons construire, par interpolation unique, un ensemble fini de candidats pour $\alpha(X). $■

Exercices

1. Montrer qu'un corps discret $k$ est factoriel si, et seulement si, tout polynôme non constant sur $k$ est irréductible ou admet un diviseur non trivial.

2. Donner un exemple brouwerien d'une extension simple $k(\alpha)$ avec $\alpha$ ni algébrique ni transcendant sur $k$.

3. Un corps premier est un corps discret $k$ tel que tout sous-corps de $k$ est égal à $k^1$. Notons $p_1, p_2, p_3, p_4, \dots$ la suite des nombres premiers congrus à 1 modulo 4, et soit $a$ une suite binaire fugitive. On définit l'anneau $R$ comme l'anneau $\mathbb{Z}$ muni de la relation d'égalité suivante : $d = e$ s'il existe un $n$ tel que $a_n p_n \mid d - e$. Montrer que $R$ est un anneau intègre discret, et que son corps de fractions $k$ est un exemple brouwerien de corps premier qui n'est pas factoriel.

4. Montrer que si $F_1 \subseteq F_2 \subseteq F_3 \subseteq \dots$ sont des corps factoriels, et $F_i$ est algébriquement clos dans $F_{i+1}$ pour tout $i$, alors $F = \bigcup_i F_i$ est factoriel. En déduire que si $k$ est factoriel, il en va de même pour le corps $k(X_1, X_2, \dots)$ avec un ensemble dénombrable d'indéterminées.

5. Soit $u$ une suite binaire croissante au sens large. Soit $F$ un corps discret de caractéristique 2. Prenons $G_i = k$ dans le théorème VI.2.10 si $u_i = 0$, et prenons $G_i = K$ dans le même théorème si $u_i = 1$. Utilisez l'exercice 4 pour montrer que $G = \bigcup_i G_i$ est factoriel. Notez que $G$ contient $k = F(a, b)$ (défini dans le théorème VI.2.10). Soit $\theta$ un élément d'un corps discret extension de $G$ avec $\theta^2 = a$. En considérant le polynôme $X^2 - b$, montrez que $G[\theta]$ est un exemple brouwerien d'une extension de dimension finie d'un corps factoriel qui n'est pas factoriel; et donc d'un corps séparablement factoriel qui n'est pas factoriel.

<footnote n="1">1. **NdT.** Par rapport à la définition donnée page 43, il est demandé en plus ici que $k$ soit discret.</footnote>
## 2 Extensions de corps (séparablement) factoriels

Le corolaire 1.2 dit que si $k$ est un corps factoriel dénombrable et si $\alpha$ est séparable sur $k$, alors $k[\alpha]$ est factoriel. Dans cette section, nous supprimons l'hypothèse de dénombrabilité dans ce théorème, nous démontrons que si $k$ est séparablement factoriel et si $\alpha$ est algébrique sur $k$, alors $k[\alpha]$ est séparablement factoriel, et nous construisons un corps de décomposition (unique) pour un polynôme séparable sur un corps séparablement factoriel.

**Théorème 2.1.** <fnref n="1" /> Soient $k \subseteq E$ des corps discrets, $\alpha \in E$ algébrique sur $k$, et $\beta \in E$ séparable sur $k[\alpha]$. Si $k$ est séparablement factoriel, alors $\beta$ annule un polynôme irréductible sur $k[\alpha]$.

**Démonstration.** D'après le corolaire VI.5.5, on a un élément primitif $\theta$ pour $k[\alpha, \beta]$ sur $k$, qui est séparable sur $k[\alpha]$ d'après le théorème VI.4.5. Pour montrer que $\beta$ annule un polynôme irréductible, il suffit d'après le théorème VI.1.13 de montrer que $k[\alpha, \beta]$ est un espace vectoriel de dimension finie sur $k[\alpha]$. On applique le corolaire VI.6.4 : on prend $q = p^e$ avec $e \ge 0$ tel que l'élément $\lambda = \theta^q$, et donc $\alpha^q$, est séparable sur $k$ (q est égal à 1 ou à une puissance convenable de la caractéristique de finie de $k$). Alors $k[\lambda]$ et $k[\alpha^q]$ sont de dimension finie sur $k$, car $k$ est séparablement factoriel. Par suite, d'après le théorème II.6.6, $k[\lambda]$ est de dimension finie sur $k[\alpha^q]$. Soit $1, \lambda, \lambda^2, \dots, \lambda^s$ une base de $k[\lambda]$ sur $k[\alpha^q]$. Comme $\theta^q = \lambda \in k[\lambda, \alpha]$, et comme $\theta$ est séparable sur $k[\alpha]$, on a $\theta \in k[\lambda, \alpha]$ d'après le théorème VI.6.2, donc $k[\theta] = k[\lambda, \alpha]$. Ainsi $1, \lambda, \lambda^2, \dots, \lambda^s$ engendrent $k[\theta]$ sur $k[\alpha]$. Supposons que $\sum_{i=0}^s a_i \lambda^i = 0$ avec $a_i \in k[\alpha]$. Alors

$$0 = (\sum_{i=0}^{s} a_i \lambda^i)^q = \sum_{i=0}^{s} (a_i)^q \lambda^{iq}$$

où $(a_i)^q \in k[\alpha^q]$. Comme $\lambda$ est séparable sur $k$, le théorème VI.6.2 nous dit que $k[\alpha^q, \lambda] = k[\alpha^q, \lambda^q]$. Ainsi $1, \lambda^q, \lambda^{2q}, \dots, \lambda^{sq}$ est une base de $k[\alpha^q, \lambda]$ sur $k[\alpha^q]$. Par suite $(a_i)^q = 0$, donc les $a_i$ sont nuls. Donc $1, \lambda, \dots, \lambda^s$ est une base de $k[\theta]$ sur $k[\alpha]$, et $k[\theta]$ est de dimension finie sur $k[\alpha]$. ■

**Lemme 2.2.** Soit $k$ un sous-corps discret d'un anneau $E$. Soit $\theta$ un élément de $E$ qui annule un polynôme unitaire de $k[X]$ de degré $n > 0$. Si $\alpha \in k[\theta]$, alors $\theta \in k[\alpha]$ ou $\alpha$ annule un polynôme de $k[X]$ de degré $< n$.

**Démonstration.** Écrivons $\alpha^i = \sum_{j=1}^{n-1} a_{ij} \theta^j$ pour $i = 0, \dots, n-1$. Par des manipulations élémentaires de lignes nous mettons la matrice $\{a_{ij}\}$ en forme triangulaire supérieure. S'il y a un zéro sur la diagonale, $1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$ sont

<footnote n="1">1. NdT. Dans le livre original en anglais, la numérotation des énoncés commence à Theorem 2.0; elle est donc décalée d'un cran par rapport à la numérotation présente.</footnote>
linéairement dépendants sur $k$, donc $\alpha$ annule un polynôme de degré $< n$. Si les éléments diagonaux sont tous non nuls, le déterminant de $\{a_{ij}\}$ est non nul, donc $\theta \in k[\alpha]$. ■

Le théorème suivant, qui a un contenu classique, sera utilisé pour éliminer l'hypothèse de dénombrabilité dans le corolaire (classiquement trivial) 1.2.

**Théorème 2.3.** Soient $K \subseteq E$ des anneaux impotents et $k$ un sous-corps discret de $K$, séparablement clos dans $K$. Soit $\alpha \in E$ algébrique sur $k$. Alors $k[\alpha]$ est séparablement clos dans $K[\alpha]$. Si, en outre, $\alpha$ est séparable et $k$ est algébriquement clos dans $K$, alors $k[\alpha]$ est algébriquement clos dans $K[\alpha]$.

*Démonstration.* Soit $\beta \in K[\alpha]$ séparable sur $k[\alpha]$. D'après le théorème VI.6.7, on a un $\theta \in k[\alpha, \beta]$ tel que $k[\theta] = k[\alpha, \beta]$. Pour montrer que $\beta \in k[\alpha]$ il suffit de montrer que $\theta \in k[\alpha]$. D'après le corolaire VI.6.4, il existe un entier $q$ tel que $\theta^q$, qui est dans $K[\alpha^q]$, est séparable sur $k$, avec $q$ égal à 1 ou à une puissance $p^e$, $k$ étant de caractéristique finie $p$. Alors, d'après le théorème VI.4.5, le corps $k[\alpha^q] \subseteq k[\theta^q]$ est séparable sur $k$. On a donc un polynôme séparable $f \in k[X]$, de degré $n$, annulé par $\alpha^q$. Nous procédons par récurrence sur $n$ pour montrer que $\theta^q \in k[\alpha^q]$; et alors $\theta \in k[\alpha]$, d'après le théorème VI.6.2, parce que $\theta$ est séparable sur $k[\alpha]$.

Si $n = 1$, alors $\alpha^q \in k$, donc $\theta^q \in K$, et donc $\theta^q \in k$ parce que $k$ est séparablement clos dans $K$. Supposons maintenant $n > 1$. Comme $\theta^q \in K[\alpha^q]$, d'après le corolaire VI.1.3, on sait que $\theta^q$ annule un polynôme de degré $n$ sur $K$. Mais $\theta^q$ annule un polynôme séparable sur $k$. En prenant le pgcd de ces deux polynômes, et en utilisant le théorème VI.4.1(iii), nous obtenons un polynôme séparable de degré au plus $n$ dans $k[X]$ annulé par $\theta^q$. Comme $\alpha^q \in k[\theta^q]$, le lemme 2.2 nous dit que, ou bien $\theta^q \in k[\alpha^q]$, et nous avons terminé, ou bien $\alpha^q$ annule un polynôme de degré $< n$ et nous terminons par récurrence. Ainsi $\theta^q \in k[\alpha^q]$.

Supposons maintenant que $\alpha$ est séparable sur $k$ et que $k$ est algébriquement clos dans $K$. Soit $\theta$ un élément de $K[\alpha]$ algébrique sur $k[\alpha]$; il nous faut montrer que $\theta \in k[\alpha]$. D'après le corolaire VI.5.5, nous pouvons supposer que $k[\alpha, \theta] = k[\theta]$. L'élément $\alpha$ annule un polynôme unitaire de degré $n$ dans $k[X]$. Nous procédons par récurrence sur $n$ pour montrer que $\theta \in k[\alpha]$. Comme $\theta \in K[\alpha]$, le corolaire VI.1.3 nous dit que $\theta$ annule un polynôme unitaire de $K[X]$ de degré $n$. L'élément $\theta$ est aussi algébrique sur $k$. En appliquant le corolaire 1.5 au pgcd des polynômes que $\theta$ annule sur $k$ et $K$, nous obtenons un polynôme de degré au plus $n$ dans $k[X]$ annulé par $\theta$. D'après le lemme 2.2, ou bien $\theta \in k[\alpha]$, et nous avons terminé, ou bien $\alpha$ annule un polynôme unitaire de degré $< n$. Dans ce dernier cas l'hypothèse de récurrence montre que $\theta \in k[\alpha]$. ■

Nous pouvons maintenant éliminer la restriction concernant la dénombrabilité dans le corolaire 1.2 et démontrer le résultat analogue pour les corps séparablement factoriels.
**Théorème 2.4.** Soit $k$ un sous-corps séparablement factoriel d'un corps discret $E$, et soit $\alpha \in E$ algébrique sur $k$. Alors $K = k[\alpha]$ est séparablement factoriel. Si $\alpha$ est séparable et si $k$ est factoriel, alors $K$ est factoriel.

*Démonstration.* Soit $f \in K[X]$ séparable. Soit $k_0$ la clôture séparable dans $k$ du corps dénombrable engendré par les coefficients d'un polynôme non nul de $k[X]$ annulé par $\alpha$ et par les coefficients des puissances de $\alpha$ présentes dans les coefficients de $f$. Comme $k$ est séparablement factoriel, $k_0$ est un corps dénombrable. Comme nous pouvons décider si un polynôme séparable sur $k_0$ a une racine dans $k$, et donc dans $k_0$, le théorème 1.7 dit que $k_0$ est un corps séparablement factoriel. Pour compléter la démonstration de la première affirmation, il suffit d'après le théorème 1.7 de trouver les racines de $f$ qui sont dans $k_0[\alpha]$, car le théorème 2.3 dit que $k_0[\alpha]$ est séparablement clos dans $k[\alpha]$, et les coefficients de $f$ sont dans $k_0[\alpha]$.

Comme $k_0[\alpha]$ est dénombrable, nous pouvons construire, d'après le théorème VI.3.4, un corps de décomposition $L$ de $f$ sur $k_0[\alpha]$. Soient $r_1, \dots, r_s$ les racines de $f$ dans $L$. D'après le théorème 2.1, nous trouvons des polynômes $g_i$ irréductibles dans $k_0[\alpha][X]$ annulés par les $r_i$. Si l'un des $g_i$ est linéaire, alors $r_i \in k_0[\alpha]$, et nous avons trouvé une racine de $f$ dans $k_0[\alpha]$. Si aucun $g_i$ n'est linéaire, alors $f$ n'a pas de racines dans $k_0[\alpha]$.

La deuxième affirmation est démontrée exactement la même manière que la première, à ceci près que nous prenons pour $k_0$ la clôture algébrique au lieu de la clôture séparable. $\blacksquare$

Dans la section 1, nous avons montré comment construire un corps de décomposition pour un polynôme sur un corps dénombrable. Pour un polynôme séparable sur un corps séparablement factoriel, nous pouvons nous débarrasser de l'hypothèse de dénombrabilité.

**Corolaire 2.5.** Soit $k$ un corps séparablement factoriel, et soit $f \in k[X]$ un polynôme séparable. Alors il existe un corps de décomposition séparablement factoriel $K$ pour $f$ sur $k$.

*Démonstration.* Nous procédons par récurrence sur le degré $n$ de $f$. Si $n = 1$, on prend $K = k$. Supposons $n > 1$. Comme $k$ est séparablement factoriel, $f$ possède un facteur irréductible $p$. Soit alors $F = k[Y]/(p(Y)) : F$ est un corps et l'élément $\alpha = Y$ de $F$ est une racine de $f$, donc $f(X) = (X - \alpha)q(X)$ dans $F[X]$. D'après le théorème 2.4, le corps $F$ est séparablement factoriel. Donc par récurrence, $q$ a un corps de décomposition séparablement factoriel sur $F$. Ce corps de décomposition est le corps de décomposition voulu pour $f$ sur $k$. $\blacksquare$

Finalement nous montrons que deux corps de décomposition pour un polynôme séparable sur un corps séparablement factoriel $k$ sont toujours isomorphes sur $k$.
**Théorème 2.6.** Soient $k_1$ et $k_2$ des corps séparablement factoriels et $\varphi: k_1 \to k_2$ un isomorphisme. Soient $p_1$ un polynôme séparable de $k_1[X]$ et $p_2$ l'image de $p_1$ par $\varphi$. Soient $K_1$ et $K_2$ des corps de décomposition pour $p_1$ sur $k_1$ et $p_2$ sur $k_2$ respectivement. Alors $\varphi$ peut être étendu en un isomorphisme $K_1 \to K_2$.

*Démonstration.* Il est clair que le polynôme $p_2$ est séparable sur $k_2$. Si deg $p_1 = 0$, il n'y a rien à démontrer, donc supposons que $\alpha_1$ est une racine de $p_1$ dans $K_1$. Comme $k_1$ est séparablement factoriel, $\alpha_1$ est une racine d'un facteur irréductible $q_1$ de $p_1$ dans $k_1[X]$. Soit $q_2$ l'image de $q_1$ par $\varphi$. Alors $q_2$ est un facteur de $p_2$, donc $q_2(\alpha_2) = 0$ pour un $\alpha_2 \in K_2$. L'isomorphisme $\varphi$ s'étend en un isomorphisme, que nous notons encore $\varphi$, de $k_1[\alpha_1]$ vers $k_2[\alpha_2]$ en imposant $\varphi(\alpha_1) = \alpha_2$. Comme le corps $k_1[\alpha_1]$ est séparablement factoriel, nous pouvons étendre cet isomorphisme, par récurrence sur le degré de $p_1$, en un isomorphisme $K_1 \to K_2$. ■

Exercices

1. Soit $k$ un corps dénombrable séparablement factoriel. Montrer qu'il existe une extension séparable dénombrable $K$ de $k$ telle que tout polynôme séparable sur $K$ a une racine dans $K$. Le corps $K$ est appelé une **clôture séparable** de $k$.

2. Soit $k$ un corps dénombrable séparablement factoriel. Montrer que si $K$ et $L$ sont des clôtures séparables de $k$, alors $K$ et $L$ sont $k$-isomorphes.

3. Utiliser le théorème VI.2.10 pour construire un exemple classique qui montre que l'hypothèse que $\alpha$ est séparable est nécessaire dans le théorème 2.3.

4. Soit $k$ un corps séparablement factoriel contenu dans un anneau commutatif discret $R$. Supposons que $R$ est une extension algébrique séparable de type fini de $k$. Montrer que $R$ est de dimension finie sur $k$. (Chercher les idempotents non nuls minimaux $e \in R$; notons que $ke$ est un sous-corps de l'anneau $Re$ et qu'il est isomorphe à $k$.)

**3 Corps de Seidenberg : la condition P**

Soit $k$ un corps discret de caractéristique finie $p$. La condition $P$ de Seidenberg apparait lorsqu'on veut savoir si un élément donné de $k$ a une racine $p$-ième dans $k$, c'est-à-dire si le sous-corps $k^p$ des puissances $p$-ièmes d'éléments de $k$ est détachable dans $k$. La condition introduite par Seidenberg est la première condition dans le théorème suivant.

**Théorème 3.1.** Soit $k$ un corps discret de caractéristique finie $p$. Les propriétés suivantes sont équivalentes.
(i) Étant donnés $a_{ij} \in k$ ($1 \le i \le m$ et $1 \le j \le n$), ou bien il existe des $x_j \in k^p$ non tous nuls tels que $\sum a_{ij}x_j = 0$ pour tout $i$, ou bien, lorsque $\sum a_{ij}x_j = 0$ pour tout $i$ avec les $x_j \in k^p$, les $x_j$ sont tous nuls.

(ii) Si $K$ est un corps extension de dimension finie de $k$, $K^p$ est détachable dans $K$.

(iii) Si $K$ est une extension de dimension finie purement inséparable de $k$, $K^p$ est détachable dans $K$.

(iv) Tout corps $K$ extension de type fini de $k$ avec $K^p \subseteq k$ est de dimension finie.

(v) Tout sous-$k^p$-espace vectoriel de type fini de $k$ est de dimension finie.

*Démonstration.* Pour déduire (ii) de (i), soit $\omega_1, \dots, \omega_n$ une base de $K$ sur $k$ et notons $\omega_i^p = \sum_{j=1}^n b_{ij}\omega_j$. Alors un élément $\sum a_j\omega_j$ arbitraire de $K$ est dans $K^p$ si, et seulement si, il existe des $x_i \in k^p$ tels que

$$ \sum_{j=1}^{n} a_j \omega_j = \sum_{i=1}^{n} x_i \omega_i^p = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} x_i b_{ij} \omega_j, $$

i.e. $a_j = \sum_{i=1}^n x_i b_{ij}$ pour tout $j$ ou, puisque les $\omega_i^p$ sont indépendants sur $k^p$, que le système d'équations

$$ x_0 a_j - \sum_{i=1}^{n} x_i b_{ij} = 0 $$

a une solution non triviale dans $k^p$.

Le point (iii) résulte clairement de (ii). Pour montrer que (iv) découle de (iii), on considère un corps $K$ extension de type fini de $k$ avec $K^p \subseteq k$. Soit $\omega$ l'un des générateurs de $K$ sur $k$. Puisque $k^p$ est détachable dans $k$, ou bien $\omega^p \in k^p$ et donc $\omega \in k$ et nous terminons par récurrence sur le nombre de générateurs, ou bien $X^p - \omega$ est un polynôme irréductible sur $k$ (théorème VI.6.6) donc $k(\omega)$ est une extension de $k$ de dimension $p$. Dans ce cas, $k(\omega)$ satisfait clairement aussi (iii). Mais $K$ est une extension de type fini de $k(\omega)$, donc $K$ est de dimension finie sur $k(\omega)$, donc aussi sur $k$, par récurrence sur le nombre de générateurs.

Pour déduire (v) de (iv), on considère un sous-$k^p$-espace $V$ de type fini de $k$. Alors $V$ engendre un sous-corps $F$ de $k$ qui est de type fini sur $k^p$. Soit $K = F^{-p} \supseteq k$. Alors $K$ est de type fini, donc de dimension finie sur $k$; donc $F = K^p$ est de dimension finie sur $k^p$ et par suite le sous-espace $V$ de type fini de $F$ est de type fini sur $k^p$.

Pour déduire (i) de (v), on considère une base pour le sous-$k^p$-espace de $k$ engendré par les $a_{ij}$. Alors la question dans (i) est réduite à l'existence d'une solution non triviale dans $k^p$ pour un système d'équations linéaires homogènes à coefficients dans $k^p$, ce qui est décidable d'après le théorème II.6.2. ■

Nous disons qu'un corps discret $k$ satisfait la **condition P de Seidenberg**, ou que $k$ est un **corps de Seidenberg**, si, pour tout nombre premier $p$ nul dans $k$, les propriétés équivalentes du théorème 3.1 sont satisfaites.
Le point (ii) du théorème 3.1 nous montre que la condition P est héritée par les extensions de corps de dimension finie. Nous montrons maintenant qu'elle est aussi héritée par les extensions purement transcendantes.

**Théorème 3.2.** Si $k$ est un corps de Seidenberg, il en va de même pour $k(X)$.

*Démonstration.* Nous allons montrer que le point (i) du théorème 3.1 est satisfait par $k(X)$. Soit

$$ \sum_j a_{ij}x_j = 0 $$

un système d'équations sur $k(X)$ pour lequel nous cherchons une solution non triviale dans $k(X)^p = k^p(X^p)$. Nous pouvons supposer que les $a_{ij}$ appartiennent à $k[X]$, et nous cherchons une solution non triviale dans $k^p[X^p]$. En répartissant les exposants de $X$ dans les classes résiduelles modulo $p$, nous obtenons un système d'équations équivalent dans lequel les $a_{ij}$ appartiennent à $k[X^p]$.

Les coefficients des $a_{ij}$ engendrent un sous-$k^p$-espace de $k$ qui, d'après le point (v) du théorème 3.1, est de dimension finie. Soit $\lambda_1, \dots, \lambda_m$ une base de ce sous-espace. Nous écrivons $a_{ij} = \sum_k a_{ijk}\lambda_k$ avec les $a_{ijk} \in k^p[X^p]$. Alors nous pouvons trouver une solution non triviale dans $k^p(X^p)$ du système original si, et seulement si, nous pouvons trouver une solution non triviale dans $k^p[X^p]$ pour le système

$$ \sum_j a_{ijk}x_j = 0, $$

mais maintenant les coefficients et la solution recherchée sont tous dans le même corps $k^p(X^p)$, donc le résultat découle du théorème II.6.2. ■

L'exercice 1.5 montre qu'une extension de dimension finie d'un corps factoriel n'est pas nécessairement un corps factoriel; l'ingrédient manquant est la condition P. Appelons un corps discret $k$ **pleinement factoriel** si tout corps extension de dimension finie de $k$ est factoriel.

**Théorème 3.3.** *Soit $k$ un corps discret. Alors $k$ est pleinement factoriel si, et seulement si, $k$ est séparablement factoriel et satisfait la condition P.*

*Démonstration.* Supposons que $k$ est pleinement factoriel. Comme $k$ est une extension de dimension finie de lui-même, $k$ est (séparablement) factoriel. Pour montrer que $k$ satisfait la condition P, nous allons vérifier le point (ii) du théorème 3.1. Soit $K$ une extension de dimension finie de $k$. Alors $K$ est factoriel, donc pour chaque $a \in K$ ou bien le polynôme $X^p - a \in K[X]$ est irréductible, auquel cas $a \notin K^p$, ou bien il est réductible, auquel cas $a \in K^p$ d'après le théorème VI.6.6.

Inversement, supposons que $k$ est séparablement factoriel et satisfait la condition P. Soit $K$ un corps extension de dimension finie de $k$. Alors $K$ est séparablement factoriel d'après le théorème 2.4, et il satisfait la condition P d'après le théorème 3.1. Soit $f$ un polynôme unitaire de $K[X]$; nous allons
montrer que $f$ a ou n'a pas une racine dans $K$ (donc $K$ est factoriel d'après le théorème 1.7). D'après le théorème VI.6.3, nous pouvons écrire $f$ comme un produit de polynômes unitaires de la forme $g(X^q)$ où $g$ est séparable et $q$ est égal à 1 ou à une puissance de la caractéristique de $k$, donc par récurrence sur le degré nous pouvons supposer que $f$ est de cette forme. Comme $K$ est séparablement factoriel, nous pouvons supposer que $g$ est irréductible. Par suite, si $g(X^q)$ a une racine dans $K$, $g$ est linéaire, donc $g(X^q) = X^q - a$. Nous pouvons décider si $X^q - a$ a une racine dans $K$ d'après le point (ii) du théorème 3.1. ■

Nous obtenons comme corolaire que toute extension purement transcendante d'un corps pleinement factoriel est pleinement factorielle.

**Corolaire 3.4.** Si $k$ est un corps pleinement factoriel alors il en va de même pour $k(X)$.

*Démonstration.* Le théorème 3.3 montre que $k$ est un corps de Seidenberg, donc $k(X)$ est un corps de Seidenberg d'après le théorème 3.2. Mais $k(X)$ est factoriel d'après le théorème 1.9, donc $k(X)$ est pleinement factoriel d'après le théorème 3.2. ■

Exercices

1. Montrer directement que le corps $F$ de l'exercice 1.5 ne satisfait pas la condition $P$.

2. Montrer que deux clôtures algébriques d'un corps dénombrable pleinement factoriel $k$ sont toujours isomorphes sur $k$.

3. Montrer qu'un corps dénombrable discret $k$ est pleinement factoriel si, et seulement si, tout corps extension algébrique de type fini de $k$ est de dimension finie.

4. Construire un exemple brouwerien d'un anneau commutatif discret extension de $\mathbb{Q}$ qui est de type fini et algébrique, mais pas de dimension finie, sur $\mathbb{Q}$.

5. Montrer que si $k$ satisfait la condition $P$, alors il en va de même pour le corps $k(X_1, X_2, \ldots)$ en une infinité dénombrable d'indéterminées.

## 4 Le théorème fondamental de l'algèbre

Les nombres complexes algébriques sur $\mathbb{Q}$ forment un corps discret $\mathbb{C}^a$ (théorème VI.1.9), appelé le corps des **nombres algébriques**. Nous allons montrer dans cette section que $\mathbb{C}^a$ est algébriquement clos (théorème 4.5). Nous utiliserons de nombreux résultats de la théorie de Galois et, sans en donner de démonstration, l'existence des 2-sous-groupes de Sylow dans les groupes finis.
Une démonstration du théorème fondamental de l'algèbre sous la forme que tout polynôme unitaire non constant sur $\mathbb{C}$ a une racine dans $\mathbb{C}$ est indiquée dans les exercices comme corolaire du théorème 4.5.

**Lemme 4.1** (théorème des valeurs intermédiaires pour les polynômes à coefficients rationnels). Soit $f \in \mathbb{Q}[X]$. Si $a$ et $b$ sont des nombres rationnels tels que $f(a) < 0 < f(b)$, il existe $c \in \mathbb{R}$ qui annule $f$.

*Démonstration.* Nous pouvons supposer que $a < b$. Nous définissons pas récurrence deux suites $\{a_n\}$ et $\{b_n\}$ de nombres rationnels. On initialise $a_0 = a$ et $b_0 = b$. On définit ensuite $a_n$ et $b_n$ pour $n > 0$, comme suit : tout d'abord on calcule $c_n = (a_{n-1} + b_{n-1})/2$, puis on pose

(i) $a_n = b_n = c_n$ si $f(c_n) = 0$,

(ii) $a_n = c_n$ et $b_n = b_{n-1}$ si $f(c_n) < 0$,

(iii) $a_n = a_{n-1}$ et $b_n = c_n$ si $f(c_n) > 0$.

Clairement $a_{n-1} \le a_n \le b_n \le b_{n-1}$, et $b_n - a_n \le (b-a)/2^n$ pour tout $n > 0$. Par conséquent la suite $\{c_n\}$ est une suite de Cauchy, qui représente un nombre réel $c$. Pour montrer que $f(c) = 0$, nous devons montrer que $f(c_n)$ converge vers 0.

En appliquant le théorème du reste à $f(X)$ comme polynôme sur $\mathbb{Q}[Y]$, nous obtenons une égalité $f(X) = (X - Y)g(X, Y) + f(Y)$ avec un polynôme $g \in \mathbb{Q}[X, Y]$. On obtient facilement une borne $M$ sur $\{|g(x, y)| : a \le x, y \le b\}$, donc $|f(x) - f(y)| \le M|x - y|$ si $a \le x, y \le b$. Comme les suites $c_n - a_n$ et $b_n - c_n$ convergent vers 0, on déduit que $f(c_n) - f(a_n)$ et $f(b_n) - f(c_n)$ convergent vers 0. Comme $f(a_n) \le 0 \le f(b_n)$ pour tout $n$, il s'ensuit que $f(c_n)$ converge vers 0. ■

**Corolaire 4.2.** Soit $f \in \mathbb{Q}[X]$ de degré impair. Alors $f$ a une racine dans $\mathbb{R}$.

*Démonstration.* Comme $f$ est de degré impair, il existe des nombres rationnels $a$ et $b$ qui satisfont les hypothèses du lemme 4.1. ■

**Lemme 4.3.** Si $a+bi \in \mathbb{C}^a$, alors il existe $c+di \in \mathbb{C}^a$ tel que $(c+di)^2 = a+bi$.

*Démonstration.* Tout d'abord le cas réel, i.e. $b = 0$. Comme $\mathbb{C}^a$ est discret, $a = 0$ ou $a > 0$ ou $a < 0$. Si $a > 0$, le lemme 4.1 nous dit que le polynôme $X^2 - a$ a une racine dans $\mathbb{R}^a$, que nous notons $\sqrt{a}$. Si $a < 0$, $i\sqrt{-a}$ est une racine de $X^2 - a$. Voyons le cas général. Nous prenons pour $c$ et $d$ des racines convenables<fnref n="1" /> des polynômes

$$X^2 - \frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2} \text{ et } X^2 - \frac{-a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}.$$

Alors $c+di$ est une racine carrée de $a+bi$. ■

<footnote n="1">1. NdT. Le réel $cd$ doit avoir le même signe que $b$.</footnote>
La démonstration du théorème final nécessite deux résultats de la théorie des groupes finis.

(i) Si $G$ est un groupe fini et si $2^n$ divise $\#G$, $G$ contient un sous-groupe d'ordre $2^n$.

(ii) Tout groupe fini $G$ contient un sous-groupe $T$ tel que $\#T$ est une puissance de 2 et l'indice de $T$ dans $G$ est impair.

Un sous-groupe $T$ de $G$ qui satisfait (ii) est appelé un **2-sous-groupe de Sylow** de $G$, ou plus simplement un **2-Sylow de $G$**. Ces résultats classiques de la théorie des groupes finis ne présentent aucun problème de constructivité.

**Lemme 4.4.** Soit $f \in \mathbb{Q}[X]$. Alors $f$ a une racine dans $\mathbb{C}^a$.

*Démonstration.* Soit $E$ un corps de décomposition de $f$ sur $\mathbb{Q}$. Il suffit d'immerger $E$ dans $\mathbb{C}^a$. Comme $E$ est de dimension finie sur $\mathbb{Q}$, le groupe de Galois $G$ de $E$ sur $\mathbb{Q}$ est fini. Soit $T$ un 2-Sylow de $G$ et $K$ le corps fixe de $T$. D'après le corolaire VI.5.5, il existe un $\alpha \in K$ tel que $K = \mathbb{Q}[\alpha]$. Alors $\alpha$ annule un polynôme irréductible $g$ de degré $\dim_{\mathbb{Q}} K$, qui est impair car il est égal à l'indice de $T$ dans $G$. D'après le corolaire 4.2, le polynôme $g$ a une racine $\theta \in \mathbb{C}^a$. D'après le lemme VI.8.1, il y a un homomorphisme injectif $\sigma: K \to \mathbb{C}^a$ qui envoie $\alpha$ sur $\theta$.

Supposons que $\#T = 2^n$. D'après (i), nous pouvons trouver des sous-groupes $T_0 \subseteq \dots \subseteq T_n = T$ tels que $\#T_i = 2^i$. Soit $K_i$ le corps fixe de $T_i$. Nous allons étendre progressivement $\sigma$, qui est défini sur $K_n$, pour en faire une immersion de $K_0 = E$ dans $\mathbb{C}^a$. Supposons que $\sigma$ est défini sur $K_{i+1}$. La dimension de $K_i$ sur $K_{i+1}$ est 2, donc $K_i = L[\beta]$ où $\beta$ annule un polynôme irréductible $h$ de degré 2 sur $K_{i+1}$. D'après le lemme 4.3 et les formules pour une racine carrée, $h^\sigma$ a une racine dans $\mathbb{C}^a$, donc nous pouvons étendre $\sigma$ à $K_i$ en application du lemme VI.8.1. ■

**Théorème 4.5** (le théorème fondamental de l'algèbre, version discrète). Le corps $\mathbb{C}^a$ est algébriquement clos.

*Démonstration.* Soit $f \in \mathbb{C}^a[X]$ un polynôme non constant; nous devons montrer que $f$ a une racine dans $\mathbb{C}^a$. Soit $K$ le sous-corps de $\mathbb{C}^a$ engendré par les coefficients de $f$. Le théorème VI.3.3 nous dit comment construire un corps dénombrable discret qui contient $K$ et une racine $\theta$ de $f$, et l'on considère un polynôme $g \in \mathbb{Q}[X]$ annulé par $\theta$. Si $f$ ne divise pas $g$, on remplace $f$ par le pgcd de $f$ et $g$ dans $\mathbb{C}^a[X]$. On peut donc supposer que $f$ divise $g$. D'après le théorème VI.3.4, on sait construire un corps de décomposition dénombrable $E$ pour $g$ sur $\mathbb{Q}$. Comme $E$ est une extension séparable de type fini de $\mathbb{Q}$, nous pouvons construire un $\alpha \in E$ tel que $E = \mathbb{Q}(\alpha)$. Soit $h \in \mathbb{Q}[X]$ le polynôme minimal de $\alpha$, et soit $\beta$ une racine de $h$ dans $\mathbb{C}^a$. Alors $g$ est un produit de facteurs linéaires sur $\mathbb{Q}(\beta)$, car $\mathbb{Q}(\beta) \simeq E$ est normal. Comme $f$ divise $g$, il a une racine dans $\mathbb{C}^a$. ■
Une démonstration du théorème fondamental de l’algèbre, sous la forme que tout polynôme unitaire non constant sur $\mathbb{C}$ a une racine dans $\mathbb{C}$, est indiquée dans les exercices qui suivent.

Exercices

1. Soit $f$ un polynôme unitaire de $\mathbb{C}^a[X]$ de degré $n > 0$. Montrer que pour chaque $x \in \mathbb{C}^a$ il existe une racine $r$ de $f$ dans $\mathbb{C}^a$ telle que $|r - x|^n \le |f(x)|$.

2. Soit $f$ un polynôme unitaire de $\mathbb{C}[X]$ de degré $n > 0$.

(i) Utiliser l'exercice 1 pour montrer que pour tout $x \in \mathbb{C}$ et tout $\varepsilon > 0$ il existe un $r \in \mathbb{Q}(i)$ tel que $|f(r)| < \varepsilon$ et $|r - x|^n < |f(x)| + \varepsilon$.

(ii) Utiliser le point (i) pour construire une suite de Cauchy $r_1, r_2, \dots$ dans $\mathbb{Q}(i)$ telle que $f(r_i)$ converge vers 0. En déduire que $f$ a une racine dans $\mathbb{C}$.

5 Notes

Kronecker (1882) a démontré que les corps de nombres algébriques sont factoriels. Le résultat selon lequel les extensions finies séparables de corps factoriels sont des corps factoriels se trouve dans [van der Waerden 1953], mais la démonstration est incomplète (voir la discussion dans [Mines-Richman 1982]). Un exemple montrant que la condition de séparabilité est nécessaire (exercice 1.5) apparaît pour la première fois dans [Seidenberg 1974].

La condition $P$ a été introduite dans [Seidenberg 1970]. Dans cet article, il a été démontré que les extensions de corps (factoriels) satisfaisant la condition $P$, de dimension finie ou purement transcendantes, satisfont également la condition $P$ (et sont factoriels). Le théorème 3.1 se trouve dans [Richman 1981].

Brouwer et de Loor (1924) ont donné une démonstration constructive que tout polynôme unitaire non constant sur $\mathbb{C}$ a une racine dans $\mathbb{C}$. Bishop (1967) a démontré le résultat en supposant seulement que le polynôme a un coefficient non nul pour une puissance strictement positive de $X$.
# VIII. Anneaux commutatifs noethériens

## Sommaire

1 Le théorème de la base de Hilbert 191

2 Le théorème de normalisation de Noether et le lemme d'Artin-Rees 195
Lemme d'Artin-Rees 198
Théorème d'intersection de Krull 199

3 Le Nullstellensatz 199

4 L'approche de Tennenbaum pour le théorème de la base de Hilbert 202

5 Idéaux primaires 206

6 Localisation 209

7 Décompositions primaires 214

8 Anneaux de Lasker-Noether 218

9 Anneaux complètement de Lasker-Noether 221

10 Le théorème de l'idéal principal 224

11 Notes 227

## 1 Le théorème de la base de Hilbert

Le théorème de la base de Hilbert établit que $R[X]$ est noethérien lorsque $R$ est noethérien. Personne n'a donné de démonstration constructive de ce théorème pour notre définition présente d'anneau noethérien, mais d'autres définitions ont permis une telle démonstration. Les démonstrations classiques usuelles du théorème sont constructives si l'on entend par *anneau noethérien* un anneau où tous les idéaux sont de type fini. Mais seul l'anneau trivial est noethérien en ce sens d'un point de vue constructif. La première démonstration d'un théorème de la base de Hilbert constructivement intéressant a été donnée par Jon Tennenbaum;
nous présentons certaines de ses idées dans la section 4. Dans la section présente, nous démontrons le théorème pour les anneaux cohérents noethériens. Du point de vue classique, ce sont exactement les anneaux noethériens.

Pour un anneau $R$ nous notons le $R$-module $\{f \in R[X] : \deg f < n\}$ par $R[X]_n$. Clairement, le $R$-module $R[X]_n$ est libre de rang $n$. Si $I$ est un idéal à gauche de $R[X]$, alors $I \cap R[X]_n = \{f \in I : \deg f < n\}$. Si $M$ est un sous-$R$-module de $R[X]_n$, alors $X^M M$ est un sous-$R$-module de $R[X]_{n+m}$.

**Lemme 1.1.** Soient $R$ un anneau cohérent noethérien (à gauche) et $I$ l'idéal à gauche de $R[X]$ engendré par $f_1, \dots, f_s$. Si $f_i \in R[X]_n$ pour chaque $i$, il existe un $R$-module de type fini $M \subseteq R[X]_n$ tel que $XM \cap R[X]_n \subseteq M$ et $I \cap R[X]_m = \sum_{i=0}^{m-n} X^i M$ pour tout $m \ge n$.

*Démonstration.* Le corolaire III.2.8 dit que $R[X]_m$ est un $R$-module cohérent noethérien. On construit une chaine $N_1 \subseteq N_2 \subseteq \dots$ de sous-modules de type fini de $I \cap R[X]_n$ comme suit. Soient $N_1 = Rf_1 + \dots + Rf_s$ et $N_{k+1} = N_k + XN_k \cap R[X]_n$. Comme $R[X]_{n+1}$ est cohérent, les modules $N_k$ sont de type fini; comme $R[X]_n$ est noethérien, il y a un $k$ tel que $N_k = N_{k+1}$. On pose $M = N_k$. Clairement $XM \cap R[X]_n \subseteq M$.

Comme $M \subseteq I \cap R[X]_n$, on a $\sum_{i=0}^{m-n} X^i M \subseteq I \cap R[X]_m$ pour tout $m \ge n$. Montrons que $I \cap R[X]_m \subseteq \sum_{i=0}^{m-n} X^i M$: soit $f \in I \cap R[X]_m$. On écrit $f = \sum_{i=1}^s g_i f_i$, où les $g_i \in R[X]_d$, et l'on procède par récurrence sur $d$. Si $d=1$, alors $f \in M$ et c'est terminé. Si $d>1$, on définit $h_i \in R[X]$ par $g_i = g_i(0) + Xh_i$ et l'on pose $f^* = \sum_{i=1}^s h_i f_i \in I$. Notez que $h_i \in R[X]_{d-1}$. Alors $f = \sum_{i=1}^s g_i(0) f_i + Xf^*$, donc $Xf^* \in I \cap R[X]_m$ et par suite $f^* \in R[X]_{m-1}$. Si $m=n$, alors par récurrence sur $d$ on a $f^* \in M$ donc $Xf^* \in XM \cap R[X]_n \subseteq M$ où $f \in N_1 + M = M$. Si $m>n$, alors par récurrence sur $d$ on a $f^* \in \sum_{i=0}^{m-1-n} X^i M$, donc $f \in N_1 + X \sum_{i=0}^{m-1-n} X^i M \subseteq \sum_{i=0}^{m-n} X^i M$. $\blacksquare$

**Théorème 1.2.** Soient $R$ un anneau cohérent noethérien, $I$ un idéal à gauche de type fini de $R[X]$, et $k$ un entier $>1$. Alors $I \cap R[X]_k$ est un $R$-module de type fini. En particulier, $I \cap R$ est un idéal à gauche de type fini de $R$.

*Démonstration.* Soient $n \ge k$ et $M = I \cap R[X]_n$ comme dans le lemme 1.1. Alors $I \cap R[X]_k = M \cap R[X]_k$ est de type fini car $R[X]_n$ est cohérent et $M$ est de type fini. $\blacksquare$

**Lemme 1.3.** Si $R$ est un anneau cohérent noethérien, $R[X]$ est un anneau cohérent. Si, en outre, $R$ est fortement discret (à gauche), il en va de même pour $R[X]$.

*Démonstration.* On montre d'abord la deuxième affirmation. Soit $I$ un idéal à gauche de type fini de l'anneau $R[X]$ et soit $f \in R[X]$. On prend un $n$ tel que $R[X]_n$ contient $f$ et une famille finie de générateurs de $I$. D'après le
lemme 1.1, on sait que le module $M = I \cap R[X]_n$ est de type fini. Si $R$ est forte-
ment discret (à gauche), $M$ est détachable dans $R[X]_n$ d'après le corolaire III.2.8,
donc on peut décider si $f \in I \cap R[X]_n$. Ainsi $I$ est détachable dans $R[X]$.

Soit $g_1, \dots, g_k$ un système générateur de $M \cap R[X]_{n-1}$ ; on pose $g_{k+i} = Xg_i$
pour $i = 1, \dots, k$ et on note $g_{2k+1}, \dots, g_\ell$ des générateurs de $M$. Donc $g_1, \dots, g_\ell$
engendrent $I$ comme idéal de $R[X]$. Soit $e_1, \dots, e_\ell$ la base naturelle du $R[X]$-
module $R[X]^\ell$, et soit $\varphi$ l'application linéaire de $R[X]^\ell$ sur $I$ qui envoie $e_i$ sur $g_i$.
Nous allons construire une famille finie qui engendre ker $\varphi$, ce qui montrera
que $R[X]$ est cohérent.

Comme $R[X]_n$ est un $R$-module cohérent, le $R$-module $R^\ell \cap \ker \varphi$ est de
type fini. Soit $K$ le sous-$R[X]$-module de $R[X]^\ell$ engendré par ces éléments et
les éléments $Xe_i - e_{k+i}$ pour $i = 1, \dots, k$. Nous allons montrer que $K = \ker \varphi$.
Clairement $K \subseteq \ker \varphi$.

Supposons que $\sum_{i=1}^{\ell} r_i g_i = 0$ et montrons que $\sum_{i=1}^{\ell} r_i e_i \in K$. On prend
un $m$ tel que $\deg r_i \le m$ pour tout $i$. Nous procédons par récurrence sur $m$.
Si $m=0$, chaque $r_i \in R$, donc nous avons terminé car $R^\ell \cap \ker \varphi \subseteq K$.
Si $m>0$, on écrit $r_i = s_i + a_i X^m$, où $a_i \in R$ et $\deg s_i < m$. L'égalité
$\sum s_i g_i + X^m \sum a_i g_i = 0$ nous dit que $\sum a_i g_i \in M \cap R[X]_{n-1}$, donc $\sum_{i=1}^k a_i g_i =
\sum_{i=1}^k b_i g_i$ avec $b_i \in R$. Ainsi $\sum_{i=1}^k a_i e_i - \sum_{i=1}^k b_i e_i \in K$, donc il suffit de dé-
montrer que

$$
\sum_{i=1}^{\ell} s_i e_i + X^m \sum_{i=1}^{k} b_i e_i \in K.
$$

Comme $Xe_i - e_{k+i} \in K$ pour $i = 1, \dots, k$, il suffit de démontrer que

$$
\sum_{i=1}^{\ell} s_i e_i - X^{m-1} \sum_{i=1}^{k} b_i e_{k+i} \in K,
$$

et ceci est vrai par récurrence sur $m$. Ainsi, $I$ est de présentation finie. $\blacksquare$

Si $R$ est un anneau et $I$ est un idéal à gauche de $R[X]$, on définit

$$
L(I) = \{ a_n \in R : a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \dots + a_0 \in I \}
$$

comme l'ensemble des coefficients formellement dominants des polynômes de $I$.
Notez qu'un polynôme peut avoir différents coefficients formellement dominants
(certains nuls) selon la manière dont il est écrit, et notez que $L(I)$ est un idéal à
gauche de $R$.

**Lemme 1.4.** Soient $R$ un anneau cohérent noethérien et $I$ un idéal à gauche de type fini de $R[X]$. Alors l'idéal à gauche $L(I)$ de $R$ est de type fini<fnref n="1" />. Soit $J \supseteq I$ un idéal à gauche de $R[X]$ tel que $L(I) = L(J)$, et soit $m > 0$. Si $I \cap R[X]_m$ engendre $I$, alors $J \cap R[X]_m$ engendre $J$.

<footnote n="1">1. NdT. Ce lemme contient en filigrane un algorithme de Buchberger généralisé pour un anneau cohérent noethérien $R$ (à la place d’un corps discret) et les anneaux de polynômes sur $R$, au moins lorsque l’ordre monomial considéré est un ordre lexicographique sur les variables.</footnote>
**Démonstration.** Soient $n$ et $M = I \cap R[X]_n$ comme dans le lemme 1.1, et notons $L_n(I) \subseteq L(I)$ l'ensemble des coefficients formellement dominants des polynômes dans $M$. Comme $XM \cap R[X]_n \subseteq M$, le $R$-module $L_n(I)$ est l'image de l'application $R$-linéaire qui envoie un polynôme de $M$ sur son coefficient en $X^{n-1}$. Comme $M$ est de type fini, il en va de même pour $L_n(I)$. Nous complétons la démonstration de la première affirmation en montrant que $L_n(I) = L(I)$. Soit $h = h_{m-1}X^{m-1} + \dots + h_1X + h_0 \in I$ avec les $h_i \in R$. Si $m \le n$, $h_{m-1} \in L_n(I)$. Si $m > n$, $h \in \sum_{i=0}^{m-n} X^i M$, donc nous pouvons trouver un $g \in M$ ayant $h_{m-1}$ pour coefficient formellement dominant, donc $h_{m-1} \in L_n(I)$.

Maintenant soient $J$ et $m$ comme dans la deuxième affirmation. On peut supposer que $m = n$, en changeant $n$ et $M$ si nécessaire<fnref n="1" />. Soit $h = h_{d-1}X^{d-1} + \dots + h_1X + h_0 \in J$; nous allons montrer que $h$ est dans l'idéal à gauche engendré par $J \cap R[X]_n$. Si $d \le n$, $h \in J \cap R[X]_n$. Si $d > n$, alors, comme $L_n(I) = L(I) = L(J)$, nous pouvons trouver un $g = g_{n-1}X^{n-1} + \dots + g_1X + g_0$ dans $M$ tel que $g_{n-1} = h_{d-1}$. Donc $h - X^{d-n}g \in J \cap R[X]_{d-1}$, donc, par récurrence sur $d$, il est dans l'idéal à gauche engendré par $J \cap R[X]_n$. Ainsi $h$ est dans l'idéal à gauche engendré par $J \cap R[X]_n$. ■

**Théorème 1.5** (théorème de la base de Hilbert). Si $R$ est un anneau cohérent noethérien (à gauche), alors il en va de même pour $R[X]$. Si en outre $R$ est fortement discret (à gauche), alors il en va de même pour $R[X]$.

**Démonstration.** Le lemme 1.3 dit que $R[X]$ est un anneau cohérent et qu'il est fortement discret à gauche si $R$ l'est. Il reste à montrer que $R[X]$ est noethérien. Soit $I_1 \subseteq I_2 \subseteq \dots$ une chaine d'idéaux à gauche de type fini de $R[X]$. Nous construisons deux suites d'entiers $1 = v(1) < v(2) < \dots$ et $n(1), n(2), \dots$ de la manière suivante. On pose $v(1) = 1$. Si $v(m)$ a été construit, on prend un $n(m)$ tel que $I_{v(m)} \cap R[X]_{n(m)}$ engendre l'idéal à gauche $I_{v(m)}$. Si $v(m-1)$ et $n(m-1)$ ont été construits, on utilise le fait que $R[X]_{n(m-1)}$ est noethérien et $I_i \cap R[X]_{n(m-1)}$ de type fini pour chaque $i$ (théorème 1.2) pour trouver un $v(m) > v(m-1)$ tel que

$$I_{v(m)} \cap R[X]_{n(m-1)} = I_{v(m)+1} \cap R[X]_{n(m-1)}.$$

Les idéaux à gauche $L(I_{v(1)}) \subseteq L(I_{v(3)}) \subseteq L(I_{v(5)}) \subseteq \dots$ sont de type fini d'après le lemme 1.4, donc on peut trouver un $m$ tel que $L(I_{v(m-1)}) = L(I_{v(m+1)})$. On a alors $L(I_{v(m-1)}) = L(I_{v(m)})$. Mais $I_{v(m-1)} \cap R[X]_{n(m-1)}$ engendre $I_{v(m-1)}$, donc le lemme 1.4 nous dit que $I_{v(m)} \cap R[X]_{n(m-1)}$ engendre $I_{v(m)}$. De la même manière $I_{v(m)+1} \cap R[X]_{n(m-1)}$ engendre $I_{v(m)+1}$. Donc $I_{v(m)} = I_{v(m)+1}$. ■

<footnote n="1">1. **NdT.** Il se peut que le $R$-module $I \cap R[X]_m$ engendre $I$ comme idéal de $R[X]$ pour un $m$ plus petit que le $n$ du lemme 1.1. On remplace alors l'entier $n$ et le module $M$ du lemme 1.1 par l'entier $m$ et le $R$-module $I \cap R[X]_m$ donnés dans l'hypothèse. Il n'est pas nécessaire ici que le nouveau module $M$ soit de type fini.</footnote>
En particulier, $\mathbb{Z}[X_1, \dots, X_n]$ est un anneau cohérent noethérien fortement discret, de même que $k[X_1, \dots, X_n]$ pour un corps discret $k$.

Exercices

1. Soient $G$ le groupe abélien $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ et $P$ le sous-monoïde de $G$ formé par les couples $(m, n)$ tels que $m > 0$, ou $m = 0$ et $n \ge 0$. On considère l'algèbre $k^{(P)}$ du monoïde $P$ sur un corps discret $k$. Comme $P$ est en notation additive, nous écrivons les éléments de $k^{(P)}$ comme des sommes formelles $\sum a_p Y^p$ où $p \in P$ et $a_p \in k$. Soit $S$ le sous-monoïde multiplicatif de $k^{(P)}$ des éléments $\sum a_p Y^p$ tels que $a_{(0,0)} \ne 0$, et notons $R$ l'anneau $S^{-1}k^{(P)}$.

(i) Montrer que $R$ est un domaine de Bézout avec unités détachables, en fait un anneau de valuation, et donc un anneau cohérent fortement discret.

(ii) Soit $I$ l'idéal de $R[X]$ engendré par les éléments $1 + Y^{(0,1)}X$ et $Y^{(1,0)}$. Montrer que ni $I \cap R$, ni $I \cap R[X]_2$ ne sont des $R$-modules de type fini.

2. Montrer que tout idéal de $\mathbb{Z}[X]$ engendré par un nombre fini de polynômes de degré au plus 1 est ou bien principal ou bien, de manière unique, de la forme $a(X + b, c)$ avec $a$ et $c$ positifs et $0 \le b < c$. Donner un théorème analogue pour les idéaux engendrés par un nombre fini de polynômes de degré au plus 2.

## 2 Le théorème de normalisation de Noether et le lemme d'Artin-Rees

On dit qu'un homomorphisme $\varphi: R \to S$ d'anneaux commutatifs **réfléchit les idéaux de type fini** si $\varphi^{-1}I$ est un idéal de type fini de $R$ pour tout idéal de type fini $I$ de $S$. Le théorème 1.2 dit que si $R$ est un anneau commutatif cohérent noethérien, le morphisme $R \to R[X]$ **réfléchit** les idéaux de type fini; donc par récurrence il en va de même pour le morphisme $R \to R[X_1, \dots, X_n]$. En mathématiques classiques, ce n'est pas un résultat très excitant car **tout** idéal de $R$ est de type fini; mais c'est un outil très efficace pour construire des systèmes générateurs d'idéaux. Dans cette section nous donnons quelques applications importantes de cette technique.

Tout d'abord nous notons que le théorème du reste admet la généralisation suivante pour les polynômes en plusieurs variables.

**Lemme 2.1.** Soient $R$ un anneau commutatif et $\varphi: R[X_1, \dots, X_n] \to R$ l'homomorphisme d'évaluation des $X_i$ en les $a_i$. Alors ker $\varphi = (X_1 - a_1, X_2 - a_2, \dots, X_n - a_n)$.
**Démonstration.** On considère le morphisme

$$ \theta: R[X_1, \dots, X_n] \to R[X_1, \dots, X_n] $$

défini par $\theta(a) = a$ pour $a \in R$ et $\theta(X_i) = X_i - a_i$ pour chaque $i$. L'homomorphisme $\varphi\theta$ envoie les $X_i$ sur 0, donc son noyau est formé par les polynômes avec terme constant nul, i.e. les éléments de l'idéal $(X_1, \dots, X_n)$. Mais $\theta$ est un automorphisme, avec $\theta^{-1}X_i = X_i + a_i$. Donc $\ker \varphi = \theta(\ker \varphi\theta) = (X_1 - a_1, \dots, X_n - a_n)$. ■

Nous utilisons le théorème 1.2 pour calculer des relations dans les anneaux de polynômes modulo les idéaux de type fini ; i.e. étant donnés des polynômes $p_1, \dots, p_n$ et un idéal de type fini $I$, nous construisons un système générateur fini pour les polynômes $f$ tels que $f(p_1, \dots, p_n) \in I$.

**Théorème 2.2.** Soient $R$ un anneau commutatif cohérent noethérien et $\varphi: R[X_1, \dots, X_m] \to R[Y_1, \dots, Y_n]$ un homomorphisme d'anneaux égal à l'identité sur $R$. Alors $\varphi$ réfléchit les idéaux de type fini.

**Démonstration.** Soit $I$ un idéal de type fini de $R[Y_1, \dots, Y_n]$. On doit montrer que $\varphi^{-1}I$ est de type fini. On étend $\varphi$ en un homomorphisme

$$ \varphi^*: R[X_1, \dots, X_m, Y_1, \dots, Y_n] \to R[Y_1, \dots, Y_n]. $$

en posant $\varphi^*(Y_i) = Y_i$. Comme $\varphi^*$ est l'identité sur $R[Y_1, \dots, Y_n]$, $\ker \varphi^* = (X_1 - \varphi(X_1), \dots, X_m - \varphi(X_m))$ est un idéal de type fini (lemme 2.1), et donc $J = (\varphi^*)^{-1}I$ est un idéal de type fini. Enfin $\varphi^{-1}I$, qui est égal à $J \cap R[X_1, \dots, X_m]$, est un idéal de type fini de $R[X_1, \dots, X_m]$ d'après le théorème 1.2. ■

Soit $k$ un corps discret. Un anneau commutatif $R$ qui contient $k$ est dit **de présentation finie** sur $k$ si $R$ est isomorphe à $k[X_1, \dots, X_n]/I$ pour un idéal de type fini $I$. Si $R$ et $S$ sont deux anneaux commutatifs qui contiennent le corps discret $k$, un **morphisme de $k$-algèbres** est un homomorphisme d'anneaux de $R$ vers $S$ égal à l'identité sur $k$. Un anneau de présentation finie sur $k$ est aussi appelé une **$k$-algèbre de présentation finie**<fnref n="1" />.

**Corolaire 2.3.** Si $R$ est une $k$-algèbre de présentation finie, tout morphisme de $k$-algèbres $k[X_1, \dots, X_n] \to R$ a un noyau de type fini.

**Démonstration.** Soient $R = k[Y_1, \dots, Y_m]/I$ et $\varphi: k[X_1, \dots, X_n] \to R$ un morphisme de $k$-algèbres. Relevons le morphisme $\varphi$ en un morphisme $\psi: k[X_1, \dots, X_n] \to k[Y_1, \dots, Y_m]$. Le morphisme $\psi$ réfléchit les idéaux de type fini d'après le théorème 2.2. Donc $\psi^{-1}I$, qui est le noyau de $\varphi$, est de type fini. ■

<footnote n="1">1. **NdT.** Les définitions ci-dessus sont aussi bien valables avec un anneau commutatif arbitraire $k$.</footnote>
Tout anneau commutatif de présentation finie sur un corps discret $k$ peut être vu comme une extension entière d'un anneau de polynômes sur $k$.

**Théorème 2.4** (théorème de normalisation de Noether). Soient $k$ un corps discret et $R = k[x_1, \dots, x_n]$ une $k$-algèbre de présentation finie. Alors il existe des éléments $z_1, \dots, z_n \in R$ et un entier $m \le n$ tels que $R = k[z_1, \dots, z_n]$ est entier sur $k[z_1, \dots, z_m]$ et $z_1, \dots, z_m$ sont algébriquement indépendants sur $k$.

**Démonstration.** Nous procédons par récurrence sur $n$. Si $x_1, \dots, x_n$ sont algébriquement indépendants, ce qui est décidable d'après le corolaire 2.3, alors nous avons terminé. Nous supposons donc qu'il y a une relation non triviale

$$ \sum_{j \in L} a_j x_1^{j_1} \cdots x_n^{j_n} = 0, $$

où $j$ est le $n$-uplet $j_1, \dots, j_n$, les $a_j \neq 0$ sont dans $k$, et $L$ est fini non vide. Soit $d$ un entier strictement plus grand que les $j_i$ pour les $j \in L$. Posons $y_i = x_i - x_n^{d_{n-i}}$ pour $i < n$, et remplaçons $x_i$ par $y_i + x_n^{d_{n-i}}$ dans l'égalité ci-dessus. En développant, nous obtenons

$$ \sum a_j x_n^{j_*} + f(y_1, \dots, y_{n-1}, x_n) = 0, $$

où $j^* = j_1 d^{n-1} + j_2 d^{n-2} + \dots + j_n$, et où le degré en $x_n$ de chaque terme de $f$ est strictement inférieur à $j^*$ pour un $j$. Comme les $j^*$ sont distincts, ceci est une équation de dépendance intégrale de $x_n$ sur $k[y_1, \dots, y_{n-1}]$. Donc $R = k[y_1, \dots, y_{n-1}, x_n]$ est entier sur $k[y_1, \dots, y_{n-1}]$, qui est une $k$-algèbre de présentation finie d'après le corolaire 2.3. Par récurrence, on obtient $k[y_1, \dots, y_{n-1}] = k[z_1, \dots, z_{n-1}]$ entier sur $k[z_1, \dots, z_m]$ avec $z_1, \dots, z_m$ algébriquement indépendants sur $k$. On termine en posant $z_n = x_n$. ■

Un corps discret $K$ qui contient $k$ est appelé **une extension de présentation finie de $k$** s'il est le corps de fractions d'une $k$-algèbre de présentation finie. Le théorème de normalisation de Noether nous donne le moyen de construire une base de transcendance particulièrement agréable pour une extension de présentation finie de $k$.

**Corolaire 2.5.** Soient $k \subseteq K$ des corps discrets avec $K$ une extension de présentation finie de $k$. Il existe une base de transcendance finie $B$ de $K$ sur $k$ telle que $K$ est de dimension finie sur $k(B)$.

**Démonstration.** Par hypothèse, $K$ est le corps de fractions d'une $k$-algèbre de présentation finie $R$. D'après le théorème de normalisation de Noether, nous pouvons écrire $R$ sous la forme $k[X_1, \dots, X_r, Y_1, \dots, Y_s]/P = k[X, Y]/P$ où $k[X] \cap P = 0$ et $R$ est entier sur $k[X]$. Alors on a

$$ K = k(X)[Y]/(k(X)P) = k(X)[y_1, \dots, y_s], $$
qui est une algèbre de présentation finie, et algébrique, sur le corps $k(X)$. Il suffit de montrer que $K$ est de dimension finie sur $k(X)$, c'est-à-dire de montrer ce corolaire quand le degré de transcendance $r$ est nul.

Dans ce cas on a $K = k[Y_1, \dots, Y_s]/P = k[y_1, \dots, y_s]$. Le sous-corps $k[y_s]$ est un espace vectoriel de dimension finie sur $k$ d'après le corolaire 2.3. Mais $K = k[Y_1, \dots, Y_{s-1}, y_s]/P'$, où $P'$ est l'image de $P$ dans $k[Y_1, \dots, Y_{s-1}, y_s]$. Par récurrence sur $s$, $K$ est de présentation finie sur le corps $k[y_s]$, et donc est de dimension finie sur $k[y_s]$. Nous avons terminé : $K$ est de dimension finie sur $k$. ■

Nous obtenons aussi le résultat suivant pour les corps pleinement factoriels.

**Théorème 2.6.** Soit $K$ un corps extension de présentation finie d'un corps discret $k$. Si $k$ est pleinement factoriel, il en va de même pour $K$.

*Démonstration.* Soit $B$ une base de transcendance de $K$ sur $k$ comme dans le corolaire 2.5. Le corps $k(B)$ est pleinement factoriel d'après le corolaire VII.3.4. Comme $K$ est de dimension finie sur $k(B)$, il est pleinement factoriel. ■

Comme autre application du théorème 2.2, nous démontrons le **lemme d'Artin-Rees**.

**Théorème 2.7 (Artin-Rees).** Soit $I$ un idéal de type fini d'un anneau commutatif cohérent noethérien $R$. Soit $N$ un sous-module de type fini d'un $R$-module de présentation finie $M$. Alors il existe un entier $k$ tel que pour tout $n \ge k$ on a

$$I^{n-k}(I^k M \cap N) = I^n M \cap N.$$

*Démonstration.* En passant à l'anneau $R \oplus M$, où $m_1 m_2 = 0$ pour $m_1, m_2 \in M$, nous pouvons supposer que $M$ est un idéal de type fini de $R$. Avec $I = (a_1, \dots, a_m)$, nous définissons le $R$-morphisme $\varphi: R[X_1, \dots, X_m] \to R[Y]$ en posant $\varphi(X_i) = a_i Y$. Le noyau de $\varphi$ est de type fini d'après le théorème 2.2, donc l'image $R[IY]$ de $\varphi$ est un $R[X_1, \dots, X_m]$-module de présentation finie, donc un anneau cohérent noethérien. Maintenant $N[Y]$ est un $R[Y]$-idéal de type fini, donc

$$R[IY] \cap N[Y] = \varphi\varphi^{-1}(N[Y])$$

est un $R[IY]$-idéal de type fini d'après le théorème 2.2. Donc $M[IY] \cap N[Y]$ est un $R[IY]$-idéal de type fini, parce que $M[IY]$ est un $R[IY]$-idéal de type fini et que $R[IY]$ est cohérent. Mais

$$M[IY] \cap N[Y] = \sum_{i=0}^{\infty} (I^i M \cap N) Y^i.$$

On prend alors pour $k$ un entier tel que $M[IY] \cap N[Y]$ soit engendré, comme $R[IY]$-idéal, par $\sum_{i=0}^k (I^i M \cap N) Y^i$. ■
L'anneau $R[\mathrm{IY}]$ dans la démonstration précédente est connu sous le nom d'**anneau de Rees**.

**Théorème 2.8** (théorème d'intersection de Krull). Soient $M$ un module de présentation finie sur un anneau commutatif cohérent noethérien $R$ et $I$ un idéal de type fini de $R$. Notons $A = \bigcap_n I^n M$. Alors $a \in Ia$ pour tout $a \in A$, et donc $IA = A$.

*Démonstration.* Soit $N = Ra$. D'après le lemme d'Artin-Rees, il existe un entier $k$ tel que pour tout $n \ge k$ on a $I^n M \cap N = I^{n-k} (I^k M \cap N)$. Mais $N \subseteq I^n M$, donc en prenant $n = k + 1$ on obtient $N = IN$. ■

**Corolaire 2.9.** Soit $M$ un module de présentation finie sur un anneau commutatif cohérent noethérien $R$ et $I$ un idéal de type fini contenu dans le radical de Jacobson de $R$. Alors $\bigcap_n I^n M = 0$.

*Démonstration.* Si $a \in \bigcap_n I^n M$, alors $a \in Ia$ d'après le théorème 2.8. Donc $a = \lambda a$ pour un $\lambda \in I$, $(1 - \lambda)a = 0$, et $a = 0$. ■

Exercices

1. Soient $k$ un corps discret et $R = k[X_1, X_2]/(X_1X_2)$. Donner $z_1, z_2 \in R$ comme dans le théorème de normalisation de Noether.

2. **Théorème d'intersection de Krull à la Herstein.** Soient $R$ un anneau commutatif, $I$ un idéal de type fini de $R$, et $r \in I$. Soient $M$ un $R$-module noethérien de présentation finie et $K$ et $N$ des sous-modules de type fini de $M$ tels que $K \cap N = IN$.

(i) Montrer que la suite $L_n(r) = \{x \in M : r^n x \in K\}$ est une chaine croissante de sous-modules de type fini.

(ii) Montrer que si $L_n(r) = L_{n+1}(r)$, alors $(r^n M + K) \cap N = IN$.

(iii) Montrer que $K$ est contenu dans un sous-module de type fini $K'$ de $M$ tel que $K' \cap N = IN$ et $I^n M \subseteq K'$ pour un $n$.

(iv) Utiliser (iii) pour démontrer le théorème d'intersection de Krull.

3 Le Nullstellensatz

Soient $k$ un corps discret et $K$ un corps, extension algébrique de $k$. Pour $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n) \in K^n$, le $k$-morphisme naturel de $k[X] = k[X_1, \dots, X_n]$ sur le corps $k[\alpha_1, \dots, \alpha_n]$ a pour noyau

$$M = \{ f \in k[X] : f(\alpha_1, \dots, \alpha_n) = 0 \},$$

de sorte que $M$ est un idéal maximal détachable. Dans cette section nous allons démontrer, avec des hypothèses convenables sur $k$, que tout idéal propre de
type fini de $k[X]$ est contenu dans un tel idéal maximal $M$, et que $M$ est de type fini si $K$ est de dimension finie.

**Théorème 3.1.** Soient $k \subseteq K \subseteq E$ des corps discrets avec $E$ extension de présentation finie de $K$ et $K$ extension de présentation finie de $k$. Alors $E$ est une extension de présentation finie de $k$.

*Démonstration.* Soient $X = (X_1, \dots, X_m)$ et $Y = (Y_1, \dots, Y_n)$ des indéterminées et $x \in K^m$ et $y \in E^n$ des éléments tels que les morphismes $k[X] \to k(x) = K$ et $K[Y] \to K(y) = E$ ont des noyaux de type fini. Alors chacun des morphismes

$$k[X, Y] \to k[x, Y] \to k(x)[Y] \to k(x)[y]$$

réfléchit les idéaux de type fini; le premier est surjectif et son noyau est engendré par le noyau de $k[X] \to k[x]$, le deuxième réfléchit les idéaux de type fini d'après le théorème 2.2 parce que la localisation $k[x] \to k(x)$ le fait, et le troisième est surjectif avec un noyau de type fini. Donc le morphisme composé réfléchit les idéaux de type fini; en particulier, son noyau est de type fini. ■

Nous avons vu qu'une extension de corps de présentation finie est une extension purement transcendante suivie d'une extension algébrique de dimension finie (corolaire 2.5). La réciproque se déduit du théorème 3.1.

**Corolaire 3.2.** Soient $k \subseteq K$ des corps discrets. S'il existe une base de transcendance finie $B$ de $K$ sur $k$ telle que $K$ soit de dimension finie sur $k(B)$, $K$ est une extension de présentation finie de $k$.

*Démonstration.* Supposons qu'une telle base de transcendance $B$ existe. Clairement $k(B)$ est de présentation finie sur $k$. Donc, d'après le théorème 3.1, il suffit de traiter le cas où $K$ est de dimension finie sur $k$. Si $K = k$ nous avons terminé; sinon soit $x \in K \setminus k$ et soit $f \in k[X]$ un polynôme irréductible annulé par $x$. Alors $k(x) \simeq k[X]/(f)$ est une extension de présentation finie de $k$, et $K$ est une extension de présentation finie de $k(x)$ par récurrence sur la dimension. Donc $K$ est une extension de présentation finie de $k$ d'après le théorème 3.1. ■

Du théorème 3.1 et du corolaire 2.3 on déduit que si $K$ est de dimension finie sur $k$, et $\alpha \in K^n$, alors $\{f \in k[X] : f(\alpha) = 0\}$ est un idéal de type fini.

Soit $I$ un idéal de type fini propre de l'anneau de polynômes $k[X_1, \dots, X_n]$. Si nous voulons construire un idéal maximal de type fini qui contient $I$, nous devons supposer $k$ factoriel, même si $n = 1$. Cependant, nous pouvons obtenir le résultat plus faible suivant sans avoir à factoriser les polynômes.

**Lemme 3.3.** Soient $k$ un corps discret et $I$ un idéal de type fini propre de $k[X_1, \dots, X_n] = k[X]$. Alors il existe un idéal propre de type fini $J \supseteq I$ tel que $k[X]/J$ est entier sur $k$.
**Démonstration.** Soit $k[x_1, \dots, x_n] = k[x] = k[X]/I$. D'après le théorème de normalisation de Noether, il existe $y_1, \dots, y_r \in k[x]$, algébriquement indépendants sur $k$, tels que $k[x]$ est entier sur $k[y_1, \dots, y_r]$. Si $r = 0$, il n'y a rien à faire. Si $r \ge 1$, nous allons montrer que $y_1$ n'est pas une unité de $k[x]$. Nous pourrons alors remplacer $I$ par $I + (Y_1)$, où $Y_1$ est un élément de $k[X]$ égal à $y_1$ modulo $I$, et nous terminerons par récurrence sur $r$.

Supposons que $zy_1 = 1$ pour un $z \in k[x]$. Comme $k[x]$ est entier sur $k[y_1, \dots, y_r]$, il existe des $a_i \in k[y_1, \dots, y_r]$ tels que

$$z^m + a_{m-1}z^{m-1} + \dots + a_0 = 0$$

et donc

$$1 + a_{m-1}y_1 + \dots + a_0y_1^m = 0,$$

mais cette égalité contredit l'indépendance algébrique de $y_1, \dots, y_r$ sur $k$. ■

On dit qu'un corps discret $k$ admet des corps de décomposition si pour tout polynôme $f \in k[X]$ il existe un corps de décomposition discret pour $f$ sur $k$. Les corps pleinement factoriels et les corps dénombrables admettent des corps de décomposition.

**Lemme 3.4.** Soit $k$ un corps discret qui admet des corps de décomposition et soit $I$ un idéal de type fini propre de $k[X_1, \dots, X_n] = k[X]$. Alors il existe un corps $K$ extension algébrique de $k$ tel que les polynômes dans $I$ ont un zéro commun dans $K^n$.

**Démonstration.** D'après le lemme 3.3, nous pouvons supposer que la $k$-algèbre $k[x] = k[X]/I$ est entière sur $k$. Pour chaque $x_i$ on a un polynôme unitaire $f_i \in k[Y]$ annulé par $x_i$. Soient $K$ un corps de décomposition de $f = \prod_i f_i$ et $J$ l'idéal engendré par $I$ dans $K[X]$. Comme $I \cap k = 0$, l'idéal $J$ est propre d'après le théorème III.3.3. On écrit $f_1(Y) = \prod_i (Y - \alpha_i) \in K[Y]$. Comme $f_1(X_1) \in I$, on a l'inclusion

$$J = J + \prod_i (X_1 - \alpha_i) \supseteq \prod_i (J + (X_1 - \alpha_i)),$$

de sorte que $J + (X_1 - \beta_1) \neq K[X]$ pour un zéro $\beta_1$ de $f_1$. Remplaçons $J$ par $J + (X_1 - \beta_1)$, et répétons cette procédure pour $f_2, \dots, f_m$. Nous construisons ainsi un idéal propre $J + N$ où $N = (X_1 - \beta_1, \dots, X_n - \beta_n)$. Il est clair que $N$ est un idéal maximal détachable, que $N \supseteq J$ et que $\beta = (\beta_1, \dots, \beta_n)$ est un zéro commun pour les polynômes de $J$, donc $\beta$ est aussi un zéro commun pour les polynômes de $I$. ■

**Théorème 3.5 (Nullstellensatz<fnref n="1" />).** Soient $k$ un corps discret qui admet des corps de décomposition, $I$ un idéal de type fini de $k[X] = k[X_1, \dots, X_n]$ et

<footnote n="1">1. **NdT.** Une version constructive un peu plus générale du Nullstellensatz, dans laquelle $k$ est seulement supposé être un corps discret, se trouve dans l'ouvrage *Algèbre commutative. Méthodes constructives* (référence [5] de la postface), théorèmes VII-1.8 et VII-1.9.</footnote>
$f \in k[X]$. Ou bien $f \in \sqrt{I}$, ou bien il existe un corps $K$, extension algébrique de $k$, et un élément $\alpha \in K^n$ tels que $f(\alpha) \neq 0$ mais $g(\alpha) = 0$ pour tout $g \in I$.

**Démonstration.** On considère l'idéal $I'$ de $k[X, Y]$ engendré par $I$ et $1 - Yf$. Si $I'$ est propre, alors, d'après le lemme 3.4, il existe un corps, extension algébrique $K$ de $k$, et des éléments $\alpha \in K^n$ et $\beta \in K$ tels que $g(\alpha) = 0$ pour tout $g \in I$ et $1 - \beta f(\alpha) = 0$. Si $I' = k[X, Y]$, alors on a des polynômes $h_i \in k[X, Y]$ et $g_i \in I$ tels que

$$1 = h_0 \cdot (1 - Yf) + \sum_{i>0} h_i \cdot g_i. \quad (*)$$

On fait la substitution $Y = 1/f^1$ et l'on choisit un $r$ strictement plus grand que les degrés de $Y$ dans les $h_i$. Alors $f^r \in I$, donc $f \in \sqrt{I}$. ■

## Exercices

1. Dans la démonstration du lemme 3.3, utiliser l'exercice VI.1.1 pour voir directement que $J = I + (Y_1, \dots, Y_r)$ est l'idéal propre souhaité (les $Y_i$ sont des éléments égaux aux $y_i$ modulo $I$).

2. Montrer que si $k$ est un corps discret qui admet des corps de décomposition et si $I$ est un idéal de $k[X_1, \dots, X_n]$, alors $\sqrt{I}$ est l'intersection des idéaux maximaux détachables qui contiennent $I$.

3. Soient $k \subseteq K$ des corps discrets avec $K$ algébriquement clos. Une $k$-variété dans $K^n$ est un ensemble de la forme $\{x \in K^n : f_i(x) = 0 \text{ pour } i = 1, \dots, n\}$, où $f_1, \dots, f_n$ sont dans $k[X] = k[X_1, \dots, X_n]$. L'idéal d'une $k$-variété $V$ est l'ensemble $\{f \in k[X] : f(v) = 0 \text{ pour tout } v \in V\}$. Une $k$-variété $V$ est **irréductible** si, lorsque $V$ est la réunion de deux $k$-variétés $A$ et $B$, on a $V = A$ ou $V = B$.

(i) Montrer que l'idéal de la $k$-variété définie par $f_1, \dots, f_n$ est le radical de l'idéal engendré par $f_1, \dots, f_n$, et que ce radical est détachable.

(ii) Montrer qu'une $k$-variété est irréductible si, et seulement si, son idéal est premier.

# 4 L'approche de Tennenbaum pour le théorème de la base de Hilbert

Soient $R$ un anneau et $M$ un $R$-module discret. Une **fonction générale** noethérienne<fnref n="2" /> pour $M$ est une fonction $\varphi$ de $M^n$ vers $R^{n-1}$, pour $n = 2, 3, \dots$,

<footnote n="1">1. **NdT.** Il s'agit d'un raccourci du langage. On a ici $1 = 0$ dans $k[X, Y]/I' \simeq (k[X]/I)[1/f]$, ce qui implique $f^r = 0$ dans $k[X]/I$ pour un $r$ assez grand, i.e. $f \in \sqrt{I}$. L'égalité (*) permet d'ajouter une précision au résultat de l'énoncé : on peut prendre pour $r$ un entier strictement plus grand que les degrés de $Y$ dans les $h_i$.</footnote>

<footnote n="2">2. **NdT.** Noetherian basis function. Cette terminologie anglaise, que l'on retrouve dans le « théorème de la base de Hilbert » dit qu'un système générateur d'un module est une base de</footnote>
telle que si $x_1, x_2, \dots$ est une suite infinie d'éléments de $M$, alors il existe des entiers $n$ arbitrairement grands tels que $x_n = \sum_{i=1}^{n-1} r_i x_i$, où $(r_1, \dots, r_{n-1}) = \varphi(x_1, \dots, x_n)$.

La fonction $\rho(x_1, \dots, x_n) = x_n - \sum_{i=1}^{n-1} r_i x_i$ sera souvent appelée la **fonction générateur**, sans expliciter $\varphi$, qui est implicite quand nous écrivons $x_n = \sum_{i=1}^{n-1} r_i x_i$ comme conséquence de $\rho(x_1, \dots, x_n) = 0$. Le terme **fonction générateur** provient du fait que les éléments $\rho(x_1), \rho(x_1, x_2), \dots, \rho(x_1, \dots, x_n)$ engendrent le même sous-module que $x_1, \dots, x_n$, donc $\rho$ réalise un changement de système générateur.

Nous disons qu'une fonction générateur $\rho$ est **consistante** lorsque l'on a $\rho(x_1, \dots, x_n) = 0$ chaque fois que $\rho(x_{i(1)}, \dots, x_{i(m)}, x_n) = 0$ pour une suite $1 \le i(1) < i(2) < \dots < i(m) < n$. Clairement tout module discret qui admet une fonction générateur noethérienne en admet une qui est consistante.

**Théorème 4.1.** *Tout module discret qui admet une fonction générateur noethérienne est noethérien.*

*Démonstration.* Soit $\rho$ une fonction générateur noethérienne consistante pour $M$, et soit $I_1 \subseteq I_2 \subseteq \dots$ une chaine de sous-modules de type fini de $M$. On construit une suite $x_1, x_2, \dots$ d'éléments de $M$ et une suite $\alpha(1) < \alpha(2) < \dots$ d'entiers strictement positifs tels que $I_j$ est engendré par $x_{\alpha(j)}, \dots, x_{\alpha(j+1)-1}$. Ensuite on construit une suite $\beta(1), \beta(2), \dots$ d'entiers strictement positifs telle que

(i) $\alpha(j) \le \beta(j) < \alpha(j+1)$;

(ii) si $\rho(x_1, \dots, x_{\alpha(j)-1}, x_{\beta(j)}) = 0$, alors $\rho(x_1, \dots, x_{\alpha(j)-1}, x_i) = 0$ pour $\alpha(j) \le i < \alpha(j+1)$.

Il existe un entier $n$ tel que $\rho(x_{\beta(1)}, \dots, x_{\beta(n)}) = 0$, donc

$$ \rho(x_1, \dots, x_{\alpha(n)-1}, x_{\beta(n)}) = 0 $$

car $\rho$ est consistante. Par suite $\rho(x_1, \dots, x_{\alpha(n)-1}, x_i) = 0$ si $\alpha(n) \le i < \alpha(n+1)$, donc $I_n = I_{n-1}$. ■

**Théorème 4.2.** *L'anneau $\mathbb{Z}$ des entiers, comme module sur lui-même, admet une fonction générateur noethérienne.*

*Démonstration.* Soit $d$ le pgcd $\ge 0$ de $x_1, x_2, \dots, x_{n-1}$. Si $d=0$, on pose $\rho(x_1, \dots, x_n) = x_n$; sinon on prend $\rho(x_1, \dots, x_n)$ égal au reste ($\ge 0$) de la division de $x_n$ par $d$. ■

**Théorème 4.3.** *Soit $B$ un $R$-module discret et soit $A$ un sous-module détachable de $B$. Si $A$ et $B/A$ admettent des fonctions générateurs noethériennes, il en va de même pour $B$. En outre on peut prendre pour fonction générateur pour $B$ une fonction qui étend celle donnée pour $A$.*

<footnote>ce module, ce qui entre en conflit avec la notion de base d'un module libre.</footnote>
Démonstration. Soit $\pi$ l'application linéaire naturelle de $B$ vers $B/A$, et soient $b_1, \dots, b_n$ des éléments de $B$. On considère l'ensemble $J = \{j_1, \dots, j_m\}$ des indices $j$ tels que $\rho_{B/A}(\pi b_1, \dots, \pi b_j) = 0$. Pour $j \in J$, on considère

$$ (r_1^j, \dots, r_{j-1}^j) = \varphi_{B/A}(\pi b_1, \dots, \pi b_j), $$

et on pose

$$ a_j = b_j - \sum_{i=1}^{j-1} r_i^j b_i \in A. $$

On définit $\rho_B(b_1, \dots, b_n) = b_n$ sauf si $n = j_m \in J$ auquel cas nous avons

$$ b_n = a_n + \sum_{i=1}^{n-1} r_i^n b_i $$

de sorte que, en posant $(s_1, s_2, \dots, s_{m-1}) = \varphi_A(a_{j_1}, \dots, a_{j_m})$, nous avons

$$ b_n = \rho_A(a_{j_1}, \dots, a_{j_m}) + \sum_{i=1}^{m-1} s_i a_{j_i} + \sum_{i=1}^{n-1} r_i^n b_i. $$

En remplaçant chaque $a_j$ par l'expression $b_j - \sum_{i=1}^{j-1} r_i^j b_i$, nous calculons des éléments $t_i \in R$ tels que

$$ b_n = \rho_A(a_{j_1}, \dots, a_{j_m}) + \sum_{i=1}^{n-1} t_i b_i. $$

On définit $\varphi_B(b_1, \dots, b_n) = (t_1, \dots, t_{n-1})$, donc

$$ \rho_B(b_1, \dots, b_n) = \rho_A(a_{j_1}, \dots, a_{j_m}). $$

Nous pouvons supposer que $\varphi_{B/A}(x_1, \dots, x_{n-1}, 0) = (0, \dots, 0)$, donc si tous les $b_i$ sont dans $A$, alors $J = \{1, \dots, n\}$ et $a_j = b_j$ pour tout $j \in J$. Ainsi $\rho_B$ étend $\rho_A$. Étant donnée une suite infinie $b_1, b_2, \dots \in B$, nous obtenons une suite infinie $a_{j_1}, a_{j_2}, \dots \in A$ et $\rho_A(a_{j_1}, \dots, a_{j_m}) = 0$ pour une infinité de valeurs $m$. $\blacksquare$

Pour un $R$-module $M$, notons $M[X]$ l'ensemble des polynômes en $X$ à coefficients dans $M$. L'ensemble $M[X]$ est un $R[X]$-module de manière naturelle. Pour $M = R$, le théorème suivant est le théorème de la base de Hilbert pour les anneaux qui admettent une fonction génératrice noethérienne.

**Théorème 4.4.** Si le $R$-module $M$ admet une fonction génératrice noethérienne, il en va de même pour le $R[X]$-module $M[X]$.

Démonstration. Dans ce qui suit, nous attribuons le degré 0 au polynôme nul. Soit $M[X]_N$ l'ensemble des polynômes de $M[X]$ de degré $< N$. Soit $\rho$ une fonction génératrice noethérienne consistante pour $M$ et soit $\rho_N$ la fonction génératrice pour le $R$-module $M[X]_N$ définie par récurrence sur $N$ en regardant $M[X]_N$ comme une «extension de $M[X]_{N-1}$ par $M$» (précisément, on
prend dans le théorème 4.3 $B = M[X]_N$ et $A = M[X]_{N-1}$, et le quotient $B/A$ est isomorphe à $M$).

Pour $f_1, \dots, f_n \in M[X]$ on définit $g_1, \dots, g_n$ comme suit. On pose $g_1 = f_1$. Supposons avoir défini $g_i$ pour $i < n$. Soit alors $N_n = \max\{1 + \deg g_i : 1 \le i < n\}$. On définit $g_n$ par la procédure itérative suivante. Si $\deg f_n < N_n$, on pose $g_n = f_n$. Si $\deg f_n \ge N_n$, soit $c_j$ le coefficient dominant de $g_j$ et $c$ le coefficient dominant de $f_n$. Si $\rho(c_1, \dots, c_{n-1}, c) \ne 0$, on pose $g_n = f_n$. Sinon soient $e(i) = \deg f_n - \deg g_i$ et $(r_1, \dots, r_{n-1}) = \varphi(c_1, \dots, c_{n-1}, c)$, et remplaçons $f_n$ par $f_n - \sum_{i=1}^{n-1} r_i x^{e(i)} g_i$. Ceci diminue le degré de $f_n$, et nous recommandons en haut du paragraphe. Notons que cette construction garantit que $\rho(c_1, \dots, c_n) \ne 0$ si $\deg g_n \ge N_n$.

Résumons ce que nous venons de faire : étant donnés $f_1, \dots, f_n \in M[X]$, on construit $g_1, \dots, g_n, N_n$ comme ci-dessus. Posons alors $\rho(f_1, \dots, f_n) = \rho_{N_n}(g_1, \dots, g_n)$.

Si $f_1, f_2, \dots$ est une suite infinie dans $M[X]$, on construit la suite $g_1, g_2, \dots$ comme ci-dessus et on pose $N(k) = \max\{1 + \deg g_i : 1 \le i \le k\}$. Pour tout $k$ il existe un $n > k$ tel que ou bien $N(k) < N(n)$, ou bien $\rho(f_1, \dots, f_n) = 0$; en effet, en notant $\pi_{N(k)}$ la projection de $M[X]$ sur $M[X]_{N(k)}$, il existe un $n > k$ tel que

$$ \rho_{N(k)}(\pi_{N(k)}g_1, \dots, \pi_{N(k)}g_n) = 0. $$

Donc, ou bien $N(k) < N(n)$, ou bien $N(k) = N(n)$ et $\rho(f_1, \dots, f_n) = \rho_{N(n)}(g_1, \dots, g_n) = 0$.

Nous pouvons construire une suite $\alpha(1) < \alpha(2) < \dots$ d'entiers strictement positifs telle que pour chaque $k$

(i) ou bien $N(\alpha(k)) < N(\alpha(k+1))$, ou bien $\rho(f_1, \dots, f_{\alpha(k+1)}) = 0$;

(ii) $N(\alpha(k)) = N(\alpha(k) + 1) = \dots = N(\alpha(k+1) - 1)$.

Si $c_j$ est le coefficient dominant de $g_j$, il y a des entiers $n$ arbitrairement grands tels que $\rho(c_{\alpha(1)}, \dots, c_{\alpha(n)}) = 0$. Mais cela arrive seulement si $N(\alpha(n)) = N(\alpha(n) - 1)$, et donc $\rho(f_1, \dots, f_n) = 0$. ■

Exercices

1. Montrer que tout module fini admet une fonction génératrice noethérienne.

2. Montrer que tout module discret qui admet une fonction génératrice noethérienne en admet une consistante.

3. Supprimer arbitrairement grand dans la définition d'une fonction génératrice noethérienne. Montrer que si M admet une fonction génératrice noethérienne dans ce nouveau sens, alors il en admet une dans le sens ancien. Pourquoi demander des n arbitrairement grands ? C'est utilisé dans les démonstrations des théorèmes 4.3 et 4.4 ; est-ce qu'on peut éviter facilement cette condition ?
4. Soit $M$ un $R$-module noethérien fortement discret. Est-ce que $M$ admet nécessairement une fonction génératrice noethérienne ? (probablement pas).

5. Disons qu'un $R$-module $M$ est un **module de Tennenbaum** s'il existe un $R'$-module discret $M'$ qui admet une fonction génératrice noethérienne, un homomorphisme d'anneaux $\varphi: R' \to R$, et un épimorphisme $\psi: M' \to M$ de groupes abéliens tels que $\psi(rx) = \varphi(r)\psi(x)$ pour tous $r \in R'$ et $x \in M'$. Montrer que tout module de Tennenbaum est noethérien. Montrer que le théorème de la base de Hilbert est satisfait par les anneaux de Tennenbaum.

6. Soit $a$ une suite binaire, et soit $I$ l'idéal de $Z$ engendré par les éléments $a_n n!$. Montrer que $Z/I$ est un exemple brouwerien d'anneau de Tennenbaum qui n'est pas cohérent. Est-ce que tout anneau noethérien est un anneau de Tennenbaum ?

# 5 Idéaux primaires

Un idéal premier dans un anneau commutatif est l'analogue d'un nombre premier – plus précisément de l'ensemble des multiples d'un nombre premier. Un idéal primaire est l'analogue d'une puissance d'un nombre premier, et le théorème qui dit que tout nombre est un produit de puissances de nombres premiers admet une version adéquate dans certains anneaux plus généraux, comme les anneaux de polynômes en plusieurs variables sur un corps discret : le théorème de décomposition de Lasker-Noether affirme que tout idéal de type fini est intersection finie d'idéaux de type fini primaires. Dans les sections 7 et 8, nous étudions ces anneaux de Lasker-Noether. Dans la section présente, nous donnons quelques propriétés de base des idéaux primaires dans un anneau commutatif.

Soit $R$ un anneau commutatif. Un idéal $Q$ de $R$ est **primaire** si $xy \in Q$ implique $x \in Q$ ou $y^n \in Q$ pour un $n$. Ainsi un idéal détachable $Q$ est primaire si, et seulement si, $R/Q$ est un anneau discret dans lequel tout diviseur de zéro est nilpotent.

**Proposition 5.1.** Soit $Q$ un idéal primaire d'un anneau commutatif; alors $\sqrt{Q}$ est un idéal premier.

*Démonstration.* Si $xy \in \sqrt{Q}$, alors $(xy)^n \in Q$, donc $x^n \in Q$ ou $y^{nm} \in Q$ pour un $m$. Donc $x \in \sqrt{Q}$ ou $y \in \sqrt{Q}$. ■

Si $Q$ est un idéal primaire d'un anneau commutatif $R$ et si $\sqrt{Q} = P$, nous disons que $Q$ appartient à $P$, ou que $P$ appartient à $Q$.
**Théorème 5.2.** Soient $P$ et $Q$ des idéaux d'un anneau commutatif. Alors $Q$ est un idéal primaire appartenant à $P$ si, et seulement si, les trois propriétés suivantes sont satisfaites.

(i) $Q \subseteq P$.

(ii) Si $r \in P$, $r^m \in Q$ pour un $m$.

(iii) Si $rs \in Q$, $r \in Q$ ou $s \in P$.

*Démonstration.* Clairement, les conditions (i) et (ii) sont équivalentes à $Q \subseteq P \subseteq \sqrt{Q}$. Supposons (iii). Si $rs \in Q$, $r \in Q$ ou $s \in P$; comme $P \subseteq \sqrt{Q}$, cela implique que $r \in Q$ ou $s^n \in Q$ pour un $n$; donc $Q$ est primaire. Montrons que $\sqrt{Q} \subseteq P$. Soit $q \in \sqrt{Q}$. Alors $q^n \in Q \subseteq P$ pour un $n$. D'après (iii), nous avons $q^{n-1} \in Q$ ou $q \in P$; donc par récurrence sur $n$ on obtient $q \in P$. Donc $\sqrt{Q} = P$. Inversement, supposons que $Q$ est primaire et $\sqrt{Q} = P$. Si $rs \in Q$, $r \in Q$ ou $s^n \in Q$ pour un $n$; mais $s^n \in Q$ implique $s \in \sqrt{Q} = P$. Donc la condition (iii) est satisfaite. ■

**Corolaire 5.3.** Soient $Q_1$ et $Q_2$ des idéaux primaires appartenant à $P$. Alors $Q_1 \cap Q_2$ est un idéal primaire appartenant à $P$. ■

**Théorème 5.4.** Soit $P$ un idéal maximal détachable d'un anneau commutatif $R$. Soit $Q$ un idéal tel que $Q \subseteq P \subseteq \sqrt{Q}$. Alors $Q$ est un idéal primaire appartenant à $P$.

*Démonstration.* On vérifie la condition (iii) du théorème 5.2. Supposons que $rs \in Q$. Si $s \in P$ nous avons terminé, donc nous pouvons supposer que $s \notin P$. Comme $P$ est maximal, il existe $x \in R$ et $p \in P$ tels que $p + xs = 1$. On prend un $n$ tel que $p^n \in Q$. Alors $(p + xs)^n = p^n + ys = 1$ pour un $y$ dans $R$. Donc $r = rp^n + yrs \in Q$. ■

**Corolaire 5.5.** Soient $P$ un idéal maximal détachable d'un anneau commutatif $R$ et $Q$ un idéal tel que $P^n \subseteq Q \subseteq P$ pour un $n$. Alors $Q$ est un idéal primaire appartenant à $P$. ■

La proposition suivante étend la propriété caractéristique d'un idéal primaire des éléments aux idéaux de type fini.

**Lemme 5.6.** Soient $Q$ un idéal primaire d'un anneau commutatif $R$ et $P = \sqrt{Q}$. Soient $I$ et $J$ des idéaux de type fini tels que $IJ \subseteq Q$. Alors $I \subseteq Q$ ou $J \subseteq P$.

*Démonstration.* Soit $I = (a_1, \dots, a_m)$ et $J = (b_1, \dots, b_n)$. Comme $a_ib_j \in Q$, on a $a_i \in Q$ ou $b_j \in P$. Si $b_j \in P$ pour tous les $j$, $J \subseteq P$; sinon $a_i \in Q$ pour tout $i$, donc $I \subseteq Q$. ■

**Théorème 5.7.** Soient $Q$ un idéal primaire d'un anneau commutatif $R$ et $P = \sqrt{Q}$. Soit $I$ un idéal de type fini de $R$. Si $Q : I$ est de type fini, ou bien $I \subseteq Q$, ou bien $Q : I$ est un idéal primaire appartenant à $P$.
**Démonstration.** Comme $I(Q : I) \subseteq Q$, le lemme 5.6 nous dit que $I \subseteq Q$ ou $Q : I \subseteq P$. Dans le second cas nous montrons que $Q : I$ est un idéal primaire appartenant à $P$. Nous utilisons la caractérisation du théorème 5.2. Nous avons déjà la condition (i) en hypothèse, tandis que (ii) est satisfaite parce que $Q \subseteq Q : I$. Pour vérifier (iii) on suppose que $rs \in Q : I$. Alors $rsI \subseteq Q$, donc $rI \subseteq Q$ ou $s \in P$; i.e. $r \in Q : I$ ou $s \in P$. ■

**Proposition 5.8.** Soient $\varphi : R \to R'$ un homomorphisme d'anneaux commutatifs et $P$ et $Q$ des idéaux de $R'$.

— Si $Q$ est détachable, il en va de même pour $\varphi^{-1}(Q)$.

— Si $Q$ est un idéal primaire appartenant à $P$, $\varphi^{-1}(Q)$ est un idéal primaire appartenant à $\varphi^{-1}(P)$.

**Démonstration.** On suppose que $Q$ est détachable et que $x \in R$. Alors $x \in \varphi^{-1}(Q)$ si, et seulement si, $\varphi(x) \in Q$; donc $\varphi^{-1}(Q)$ est détachable.

Supposons que $Q$ est un idéal primaire appartenant à $P$. Nous utilisons la caractérisation du théorème 5.2. Clairement $\varphi^{-1}(Q) \subseteq \varphi^{-1}(P)$. Si $r \in \varphi^{-1}(P)$, i.e. $\varphi(r) \in P$, on a un $n$ tel que $\varphi(r)^n \in Q$, i.e. $r^n \in \varphi^{-1}(Q)$. Enfin, si $rs \in \varphi^{-1}(Q)$, i.e. $\varphi(rs) \in Q$, on a $\varphi(r) \in Q$ ou $\varphi(s) \in P$. Donc $r \in \varphi^{-1}(Q)$ ou $s \in \varphi^{-1}(P). ■$

Exercices

1. Soient $k$ un corps discret et $R = k[X, Y]$. Montrer que $R$ est un anneau cohérent noethérien fortement discret. Soit $P = (X, Y)$ et $Q = (X, Y^2)$. Montrer que les inclusions $P^2 \subseteq Q \subseteq P$ sont propres. Montrer que $Q$ est un idéal primaire appartenant à $P$. Conclure qu'un idéal primaire n'est pas nécessairement une puissance d'un idéal premier.

2. Soient $k$ un corps discret et $R = k[X, Y, Z]/(XY - Z^2)$. Soient $x, y, z \in R$ les images de $X, Y, Z$ dans $R$. Montrer que $P = (x, z)$ est un idéal premier détachable de $R$, mais que $P^2$ n'est pas primaire. Comparer avec le corolaire 5.5.

3. Soient $Q_1$ et $Q_2$ des idéaux primaires appartenant à un idéal maximal détachable $P$. Montrer que $Q_1 + Q_2$ et $Q_1Q_2$ sont des idéaux primaires appartenant à $P$. Montrer que dans l'anneau $\mathbb{Q}[X, Y, Z_1, Z_2]$ les idéaux

$$Q_1 = ((X, Y)^3, Z_1X + Z_2Y) \text{ et } Q_2 = ((X, Y)^3, Z_1Y + Z_2X)$$

sont des idéaux primaires appartenant à $(X, Y)$, mais que $Q_1 + Q_2$ n'est pas primaire parce qu'il contient $Z_1(X^2 - Y^2)$ (Seidenberg).

4. Soient $\varphi$ un épimorphisme d'un anneau $R$ sur un anneau $R'$ et $Q$ un idéal qui contient le noyau de $\varphi$. Montrer que $Q$ est un idéal primaire appartenant à $P$ si, et seulement si, $\varphi(Q)$ est un idéal primaire appartenant à $\varphi(P)$.
# 6 Localisation

Soit $S$ un sous-monoïde multiplicatif d'un anneau commutatif $R$. Pour un $R$-module $M$ on définit le **sous-module de S-torsion** de $M$ comme

$$ \tau_S(M) = \{ x \in M : sx = 0 \text{ pour un } s \text{ dans } S \}. $$

On vérifie facilement que $\tau_S(M)$ est bien un sous-module de $M$. Si $M = \tau_S(M)$, on dit que $M$ est un **module de S-torsion**<fnref n="1" />.

Le théorème suivant implique que le morphisme $R \to S^{-1}R$ réfléchit les idéaux de type fini si, et seulement si, $\tau_S(R/I)$ est de type fini pour tout idéal de type fini $I$ de $R^2$.

**Théorème 6.1.** Soient $S$ un sous-monoïde multiplicatif d'un anneau commutatif $R$, $I$ un idéal de $R$ et $x \in R$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes.

(i) $x/1 \in S^{-1}I$ dans $S^{-1}R$.

(ii) $sx \in I$ pour un $s \in S$.

(iii) $x$ mod $I$ est un élément de $\tau_S(R/I)$.

**Démonstration.** Clairement les points (ii) et (iii) sont équivalents. Si la condition (i) est satisfaite, on a $x/1 = y/s_1$ pour un $y \in I$ et un $s_1 \in S$. Par suite il existe un $s_2 \in S$ tel que $s_2(s_1x - y) = 0$, donc nous pouvons prendre $s = s_2s_1$ dans (ii). Inversement, si la condition (ii) est satisfaite, alors $x/1 = (sx)/s \in S^{-1}I$. ■

Nous disons qu'un module $M$ est **S-borné** s'il existe un $s \in S$ tel que $sM = 0$. On voit facilement que tout module de $S$-torsion de type fini est $S$-borné. Pour les sous-modules de $S$-torsion de modules de présentation finie sur un anneau cohérent, la réciproque est vraie.

**Théorème 6.2.** Soit $S$ un sous-monoïde multiplicatif d'un anneau commutatif cohérent $R$. Si $M$ est un $R$-module de présentation finie et si $\tau_S(M)$ est $S$-borné, $\tau_S(M)$ est de type fini.

**Démonstration.** Soit $s \in S$ tel que $s\tau_S(M) = 0$. Alors $\tau_S(M)$ est le noyau de l'endomorphisme de $M$ induit par la multiplication par $s$, donc $\tau_S(M)$ est de type fini d'après le théorème III.2.2 et le corolaire III.2.6. ■

**Lemme 6.3.** Soient $S$ un sous-monoïde multiplicatif d'un anneau commutatif $R$, $M$ un $R$-module, et $M'$ un sous-$R$-module de $M$. Si $\tau_S(M')$ et $\tau_S(M/M')$ sont $S$-bornés, il en va de même pour $\tau_S(M)$.

<footnote n="1">1. **NdT.** On a facilement $\tau_S(\tau_S(M)) = \tau_S(M)$ : le sous-module de $S$-torsion de $M$ est donc bien un module de $S$-torsion.</footnote>

<footnote n="2">2. **NdT.** Notons $\varphi_S: R \to S^{-1}R$ et $\pi_I: R \to R/I$ les morphismes canoniques. Le théorème démontre que $\varphi_S^{-1}(\varphi_S(I)) = \pi_I^{-1}(\tau_S(R/I))$. Un idéal arbitraire de $S^{-1}R$ s'écrit $S^{-1}I$ pour un idéal de $R$. Son image réciproque par $\varphi_S$ est donc de type fini si, et seulement si, $\pi_I^{-1}(\tau_S(R/I))$ est de type fini si, et seulement si, $\tau_S(R/I)$ de type fini.</footnote>
**Démonstration.** On prend $s$ et $t \in S$ tels que $s\tau_S(M') = 0$ et $t\tau_S(M/M') = 0$. Un $x \in \tau_S(M)$ représente un élément de $\tau_S(M/M')$, donc $tx \in M'$ et par suite $tx \in \tau_S(M')$. Ainsi $stx = 0$, et nous avons démontré que $st\tau_S(M) = 0$. ■

**Théorème 6.4.** Soit $S$ un sous-monoïde multiplicatif d'un anneau commutatif cohérent $R$. Si $\tau_S(R/I)$ est $S$-borné pour tout idéal de type fini $I$ de $R$ (en particulier si $R \to S^{-1}R$ réfléchit les idéaux de type fini<fnref n="1" />), alors

(i) $\tau_S(M)$ est de type fini pour tout $R$-module de présentation finie $M$;

(ii) si $R$ est fortement discret, il en va de même pour $S^{-1}R$.

**Démonstration.** Pour démontrer le point (i), nous considérons un système générateur $x_1, \dots, x_n$ de $M$ et nous notons $M'$ le sous-module de $M$ engendré par $x_1, \dots, x_{n-1}$. Par récurrence sur $n$, $\tau_S(M')$ est $S$-borné. L'idéal $I = \{r \in R : rx_n \in M'\}$ est de type fini parce que $R$ est cohérent et $M$ est de présentation finie. Par hypothèse $\tau_S(R/I)$ est $S$-borné, donc $\tau_S(M/M') \simeq \tau_S(R/I)$ est $S$-borné. Donc $\tau_S(M)$ est $S$-borné d'après le lemme 6.3. Il est de type fini d'après le théorème 6.2.

Pour démontrer le point (ii), nous considérons un idéal $J$ de type fini de $S^{-1}R$. Donc $J = S^{-1}I$ pour un idéal de type fini $I$ de $R$. On prend un $t \in S$ tel que $t\tau_S(R/I) = 0$. Si $x \in R$ et $tx \in I$, alors $x/s = (tx)/(ts) \in J$ pour tout $s \in S$. Inversement, si $x/s \in J$, $x/1 \in J$, donc $s_1x \in I$ pour un $s_1 \in S$ d'après le théorème 6.1, et par suite $tx \in I$. Donc nous pouvons décider si $x/s \in J$ en testant $tx \in I$. ■

**Théorème 6.5.** Soit $P$ un idéal premier propre de type fini détachable d'un anneau commutatif cohérent $R$, et soit $M$ un $R$-module de présentation finie tel que $P^n M = 0$ pour un entier $n > 0$. Alors $\tau_{R\backslash P}(M)$ est de type fini.

**Démonstration.** Soit $S = R \backslash P$. Comme $M$ est un module sur $R/P^n$, nous sommes ramenés au cas où $P^n = 0$ et nous procédons par récurrence sur $n$. Si $n = 1$, $P = 0$, donc $R$ est un anneau intègre discret et $S$ est l'ensemble des éléments non nuls de $R$. Soit $I$ un idéal de type fini de $R$. Si $I = 0$, on a $\tau_S(R/I) = 0$; et s'il y a un $s \neq 0$ dans $I$, on a $s\tau_S(R/I) = 0$. Nous pouvons décider laquelle de ces alternatives est satisfaite parce que $R$ est discret et $I$ est de type fini. On voit ainsi que $\tau_S(R/I)$ est $S$-borné pour tout idéal de type fini $I$. On en déduit que $\tau_S(M)$ est de type fini d'après le théorème 6.4.

Si $n > 1$, les modules $PM$ et $M/PM$ sont de présentation finie et ils sont annulés par $P^{n-1}$. Alors $\tau_S(PM)$ et $\tau_S(M/PM)$ sont de type fini par récurrence sur $n$, et sont donc $S$-bornés. Par suite, $\tau_S(M)$ est $S$-borné d'après le lemme 6.3, et il est de type fini d'après le théorème 6.2. ■

<footnote n="1">1. **NdT.** D'après la remarque avant le théorème 6.1 expliquée dans la note 2, cela signifie que $\tau_S(R/I)$ est de type fini pour tout idéal de type fini $I$. Et si $\tau_S(R/I)$ est de type fini, il est $S$-borné car c'est un module de $S$-torsion.</footnote>
**Théorème 6.6.** Soit $S$ un sous-monoïde multiplicatif d'un anneau commutatif noethérien $R$. Alors l'anneau $S^{-1}R$ est noethérien.

*Démonstration.* Soit $J_1 \subseteq J_2 \subseteq \dots$ une chaine d'idéaux de type fini de $S^{-1}R$. Alors nous pouvons construire une chaine $I_1 \subseteq I_2 \subseteq \dots$ d'idéaux de type fini de $R$ telle que $J_j = S^{-1}I_j$ pour tout $j$. Il existe un $n$ tel que $I_n = I_{n+1}$, donc $J_n = J_{n+1}$. ■

**Corolaire 6.7.** Soit $R$ un anneau cohérent noethérien fortement discret. Soit $P$ un idéal premier de type fini de $R$ tel que $P^n = 0$ pour un $n$. Alors $R_P$ est un anneau cohérent noethérien fortement discret.

*Démonstration.* Le théorème 6.6 montre que $R_P$ est noethérien. La cohérence résulte de l'exercice III.3.4. Comme $P^n = 0$, le théorème 6.5 nous dit que $\tau_{R\backslash P}(M)$ est de type fini pour tout $R$-module de présentation finie $M$, donc $R_P$ est fortement discret d'après le théorème 6.4. ■

Voir l'exercice 8.5 pour une version plus forte du corolaire 6.7.

Nous étudions maintenant le comportement des idéaux primaires par localisation.

**Lemme 6.8.** Soient $S$ un sous-monoïde multiplicatif d'un anneau commutatif $R$ et $Q$ un idéal primaire de $R$ tel que $Q \cap S = \emptyset$. Alors $x/1 \in S^{-1}Q$ si, et seulement si, $x \in Q$. Si $Q$ appartient à l'idéal premier $P$, $S^{-1}Q$ est un idéal primaire appartenant à l'idéal premier $S^{-1}P$.

*Démonstration.* Il est évident que $x/1 \in S^{-1}Q$ si $x \in Q$. Inversement, si $x/1 \in S^{-1}Q$, alors $sx \in Q$ pour un $s \in S$ d'après le théorème 6.1. Donc $x \in Q$ ou $s^n \in Q$ pour un $n$, mais ce dernier cas est impossible car $Q \cap S$ est vide.

Clairement $S^{-1}Q \subseteq S^{-1}P$ et tout élément de $S^{-1}P$ a une puissance dans $S^{-1}Q$. Supposons que $(x/s_1)(y/s_2) \in S^{-1}Q$. Alors $sxy \in Q$ pour un $s \in S$, donc ou bien $x \in P$, et alors $x/s_1 \in S^{-1}P$, ou bien $sy \in Q$, et alors $y/s_2 \in S^{-1}Q$. ■

**Théorème 6.9.** Soient $S$ un sous-monoïde multiplicatif d'un anneau commutatif $R$, $Q_1, \dots, Q_n$ des idéaux primaires détachables de $R$ tels que $Q_i \cap S$ est vide pour $i = 1, \dots, m$, $Q_i \cap S$ est non vide pour $i = m + 1, \dots, n$, et $I = Q_1 \cap \dots \cap Q_n$. On a $S^{-1}I = \bigcap_{i=1}^m S^{-1}Q_i$.

*Démonstration.* Si $Q_i \cap S$ est non vide, $S^{-1}Q_i = S^{-1}R$. Clairement, $S^{-1}I \subseteq \bigcap_{i=1}^n S^{-1}Q_i = \bigcap_{i=1}^m S^{-1}Q_i$. Inversement, supposons que $x/s \in \bigcap_{i=1}^m S^{-1}Q_i$. D'après le lemme 6.8, nous avons $x \in I$, donc $x/s \in S^{-1}I$. ■

Le lemme 6.8 et le théorème 6.9 impliquent que si $R$ est un anneau commutatif fortement discret tel que tout idéal de type fini est une intersection finie d'idéaux
primaires de type fini, et si $P$ est un idéal premier de type fini de $R$, alors $R_P$ est un anneau commutatif fortement discret (mais voyez l'exercice 8).

Soit $P$ un idéal premier détachable d'un anneau commutatif $R$, et soit un $n > 0$. Si $P^n$ est un idéal primaire, $P^n$ appartient à $P$. Même si $P^n$ n'est pas nécessairement primaire lorsque $P$ n'est pas maximal (voir le corolaire 5.5 et l'exercice 5.2), il y a toujours un idéal voisin qui est primaire. La **puissance symbolique** $P^{(n)}$ de $P$ est l'idéal

$$P^{(n)} = \{ x \in R : sx \in P^n \text{ pour un } s \text{ dans } S = R \setminus P \}.$$

Observez que $P^{(n+1)} \subseteq P^{(n)} \subseteq P^{(1)} = P$, que $P^{(n)}/P^n = \tau_S(R/P^n)$, et que $P^{(n)}$ est l'image réciproque de $S^{-1}P^n$ dans $R$.

**Théorème 6.10.** Soit $P$ un idéal premier détachable d'un anneau commutatif $R$, et soit $n > 0$. Alors $P^{(n)}$ est un idéal primaire appartenant à $P$. Si $P^n$ est primaire, $P^{(n)} = P^n$.

**Démonstration.** Si $xy \in P^{(n)}$, $sxy \in P^n$ pour un $s \in R \setminus P$. Si $x \in R \setminus P$, $sx \in R \setminus P$, donc $y \in P^{(n)}$. Si $P^n$ est primaire et si $x \in P^{(n)}$, alors $sx \in P^n$ pour un $s \in R \setminus P$, donc $x \in P^n$ ou $s^m \in P^n$ pour un $m$. Donc $x \in P^n$. ■

Soit $P$ un idéal premier d'un anneau commutatif $R$. Alors $P$ est un **idéal premier minimal au-dessus d'un idéal** $I$ si $P \supseteq I$ et si pour tout idéal premier $P'$ tel que $P \supseteq P' \supseteq I$ on a $P = P'$. Un **idéal premier minimal de R** est un idéal premier minimal au-dessus de 0.

**Théorème 6.11.** Soit $P$ un idéal premier propre de type fini d'un anneau commutatif $R$. Si $P^{(n)} = P^{(n+1)}$ pour un $n$, $P$ est un idéal premier minimal au-dessus de 0.

**Démonstration.** Soit $Q$ un idéal premier de $R$ tel que $P \supseteq Q$. L'égalité $P^{(n)} = P^{(n+1)}$ implique que $(P_P)^n = (P_P)^{n+1} = P_P(P_P)^n$. Le $R_P$-module $(P_P)^n$ est de type fini et $P_P$ est un idéal quasi-régulier de $R_P^1$, donc d'après le lemme de Nakayama, (lemme III.1.4), nous avons $(P_P)^n = \mathfrak{O}_P \subseteq \mathfrak{Q}_P$. Donc $P^n \subseteq \mathfrak{Q}$ d'après le lemme 6.8², et par suite $P \subseteq \mathfrak{Q}$ d'après le théorème II.2.4. ■

Avec des hypothèses supplémentaires de cohérence et de décidabilité, la puissance symbolique $P^{(n)}$ est un idéal de type fini.

<footnote n="1">1. **NdT.** L'idéal premier $P$ est propre, donc $R_P$ est non trivial et $P_P$ est quasi-régulier : si $x/s \in P_P$, avec $x \in P$ et $s \notin P$, alors $1+x/s = (s+x)/s$ avec $x+s \notin P$, donc $1+x/s$ est inversible dans $R_P$.</footnote>

<footnote n="2">2. **NdT.** Dans le lemme on prend $S = R \setminus P$. Comme $Q$ est premier, il est primaire. La première affirmation du lemme dit que si l'image dans $R_P$ d'un $x$ de $R$ est dans $Q_P$, alors $x \in Q$. On applique cela pour les $x \in P^n$.</footnote>
**Théorème 6.12.** Soit $P$ un idéal premier propre de type fini d'un anneau commutatif cohérent fortement discret $R$, et soit $n > 0$. Alors $P^{(n)}$ est un idéal primaire de type fini appartenant à $P$.

*Démonstration.* D'après le théorème 6.10, il suffit de démontrer que $P^{(n)}$ est de type fini. Mais $P^{(n)}/P^n = \tau_{R\setminus P}(R/P^n)$ est de type fini d'après le théorème 6.5, donc $P^{(n)}$ est de type fini. ■

Exercices

1. On considère les anneaux $Z \subseteq \mathbb{Z}[X]/(2X - 4)$. Montrer que l'idéal $P$ engendré par 2 est premier dans chacun d'eux. Montrer que $2 \in P^{(2)}$ dans l'un et $2 \notin P^{(2)}$ dans l'autre. Construire un exemple brouwerien d'un anneau $R$ fortement discret et d'un idéal premier de type fini $P$ tels que $P^{(2)}$ n'est pas détachable.

2. Soit $S$ un sous-monoïde multiplicatif de type fini d'un anneau commutatif cohérent noethérien $R$. Montrer que si $M$ est un $R$-module de présentation finie, $\tau_S(M)$ est de type fini. (Suggestion : considérer le produit $s$ des générateurs de $S$ et étudier $M_n = \{x \in M : s^n x = 0\}$.)

3. Soit $S$ un sous-monoïde multiplicatif de type fini d'un anneau commutatif cohérent noethérien $R$ fortement discret. Montrer que $S^{-1}R$ est un anneau cohérent noethérien fortement discret.

4. Soit $R$ l'anneau des polynômes sur $\mathbb{Z}$ en les indéterminées $s, x_1, x_2, \dots$ modulo l'idéal engendré par les éléments $sx_i$, et soit $S$ le sous-monoïde multiplicatif de $R$ engendré par $s$. Montrer que $\tau_S(R)$ est $S$-borné mais n'est pas de type fini. Pourquoi le théorème 6.2 ne s'applique-t-il pas ?

5. Soient $a$ une suite binaire et $S$ le sous-monoïde multiplicatif de $\mathbb{Z}$ engendré par $\{1 + a_n : n = 1, 2, \dots\}$. Montrer que $S^{-1}\mathbb{Z}$ est un exemple brouwerien d'un anneau non fortement discret. Pourquoi le théorème 6.4 ne s'applique-t-il pas ?

6. Pour un nombre premier $p$, notons $A_p$ l'anneau des couples $(x, y)$ avec $x \in \mathbb{Z}$ et $y \in \mathbb{Z}_p$ (l'anneau des entiers modulo $p$), en définissant la multiplication par

$$ (x_1, y_1)(x_2, y_2) = (x_1y_1, x_1y_2 + x_2y_1 + y_1y_2). $$

Soit $p_n$ le $n$-ième nombre premier impair, et soit $a$ une suite binaire. Si $a_i = 0$ pour tout $i \le n$, on pose $R_n = \mathbb{Z}$; sinon on prend pour $R_n$ l'anneau $A_{p_i}$ avec $i$ le premier indice inférieur ou égal à $n$ tel que $a_i \ne 0$. Soit $R$ la réunion (la limite directe) des anneaux $R_n$. Montrer que $R$ est un anneau cohérent noethérien fortement discret. Soit $P$ l'idéal de $R$ engendré par 2. Montrer que $\tau_{R\setminus P}(R)$ est un exemple brouwerien
d'un *R*-module qui n'est pas de type fini. Pourquoi le théorème 6.5 ne s'applique-t-il pas ?

7. Soit $S$ un sous-monoïde multiplicatif d'un anneau commutatif $R$, et soit $\varphi$ le morphisme naturel de $R$ vers $S^{-1}R$. Montrer que $\tau_S(R/I)$ est de type fini pour tout idéal de type fini $I$ de $R$ si, et seulement si, $\varphi^{-1}(J)$ est de type fini pour tout idéal de type fini $J$ de $S^{-1}R$.

8. En utilisant les anneaux $Z \subseteq Z[X]/(2X)$, construire un exemple brouwerien d'un anneau $R$ avec un idéal premier $P$ engendré par 2 tel que $R$ est fortement discret alors que $R_P$ n'est pas discret.

9. Soit $K$ un corps discret et $R = K[S, X, Y, Z]/(SXY - Z^2)$. En utilisant les deux idéaux premiers $I = (x, z)$ et $J = (x, y, z)$ de $R$, construire un exemple brouwerien d'un idéal premier $P$ de $R$ tel que $xy \in P^{(2)}$, mais pour lequel on n'a pas $x \in P$ ou $y \in P^{(2)}$. Pourquoi le théorème 6.10 ne s'applique-t-il pas ?

# 7 Décompositions primaires

Un idéal $I$ d'un anneau commutatif admet une **décomposition primaire** s'il existe des idéaux primaires de type fini $Q_1, \dots, Q_n$, appartenant à des idéaux premiers de type fini, tels que $I = \bigcap_i Q_i$. On dit aussi dans ce cas que l'idéal $I$ est **décomposable**<fnref n="1" />. En mathématiques classiques, tout idéal d'un anneau noethérien admet une décomposition primaire (voir l'exercice 4).

Une décomposition primaire est **réduite**<fnref n="2" /> si d'une part aucun idéal primaire de la décomposition ne contient l'intersection des autres idéaux primaires, et d'autre part deux idéaux primaires de la décomposition appartenant au même idéal premier sont égaux. Dans un anneau cohérent fortement discret, nous pouvons remplacer les idéaux primaires appartenant à un même idéal premier par leur intersection (corolaire 5.3), et nous pouvons supprimer les idéaux primaires qui contiennent l'intersection des autres idéaux primaires, de sorte que tout idéal décomposable admet une décomposition primaire réduite.

Soit $I$ un idéal d'un anneau commutatif $R$ et soit $P$ un idéal premier propre de type fini de $R$. Nous disons que $P$ est un **idéal premier associé** à $I$ si $P = \sqrt{I} : a$ pour un $a \in R$.

**Théorème 7.1.** Soit $R$ un anneau commutatif cohérent fortement discret. Soit $I = \bigcap_i Q_i$ une décomposition primaire réduite d'un idéal propre $I$ de $R$. Alors l'ensemble des idéaux premiers associés à $I$ est formé par les idéaux $\sqrt{Q_i}$.

<footnote n="1">1. **NdT.** L'idéal $I = R$ est décomposable : prendre $n = 0$ et la famille vide d'idéaux premiers de type fini.</footnote>

<footnote n="2">2. **NdT.** Irredundant.</footnote>
**Démonstration.** Pour voir que $\sqrt{Q_i}$ est un idéal premier associé à $I$, on prend un $a \in \bigcap_{j \neq i} Q_j$ tel que $a \notin Q_i$. Alors $I : a = \bigcap_j (Q_j : a)$, et $Q_j : a = R$ si $j \neq i$, donc $I : a = Q_i : a$. Enfin le théorème 5.7 nous dit que $Q_i : a$ est un idéal primaire appartenant à $\sqrt{Q_i}$.

Inversement, pour tout $a$, le théorème 5.7 nous dit que l'idéal $\sqrt{I} : a = \bigcap_i \sqrt{Q_i} : a$ est égal à l'intersection des idéaux $\sqrt{Q_i}$ tels que $a \notin Q_i$; donc si $\sqrt{I} : a$ est un idéal premier, $\sqrt{I} : a = \sqrt{Q_i}$ pour un $i$ d'après le théorème II.2.4. ■

**Théorème 7.2.** Soient $R$ un anneau commutatif cohérent fortement discret et $I$ un idéal décomposable de $R$. Alors tout idéal premier minimal au-dessus de $I$ est un idéal premier associé à $I$.

**Démonstration.** Soient $P_1, \dots, P_n$ les idéaux premiers associés à $I$, et soit $P$ un idéal premier minimal au-dessus de $I$. Alors $P \supseteq \sqrt{I} = \bigcap_i P_i$, donc $P \supseteq P_i$ pour un $i$ (théorème II.2.4). Par minimalité $P = P_i$. ■

Dans la situation du théorème 7.2, les idéaux premiers associés à $I$ qui ne sont pas minimaux au-dessus de $I$ sont appelés des **idéaux premiers immergés**. Les idéaux primaires appartenant à un idéal premier immergé ne sont pas nécessairement uniques (voir l'exercice 1), mais les idéaux primaires appartenant aux idéaux premiers minimaux sont uniques.

**Théorème 7.3.** Soient $R$ un anneau commutatif cohérent fortement discret et $I = \bigcap_i Q_i$ une décomposition primaire réduite d'un idéal $I$ avec les idéaux premiers associés $P_i$. Pour chaque $i$ on définit $Q'_i = \{ x \in R : sx \in I \text{ pour un } s \in R \setminus P_i \}$. Alors $Q'_i$ est un idéal détachable contenu dans $Q_i$, et $Q'_i = Q_i$ si $P_i$ est un idéal premier minimal au-dessus de $I$.

**Démonstration.** On vérifie facilement que $Q'_i$ est un idéal de $R$. Comme $R$ est cohérent, l'idéal $I : x$ est de type fini, donc nous pouvons décider si $I : x \subseteq P_i$. Ainsi l'idéal $Q'_i$ est détachable. Si $x \in Q'_i$, $sx \in I \subseteq Q_i$ pour un $s \notin P_i$, donc $x \in Q_i$. Donc $Q'_i \subseteq Q_i$. Si $P_i$ est un idéal premier minimal au-dessus de $I$, $P_i$ ne contient pas $\bigcap_{j \neq i} P_j$ (les idéaux $P_j$ sont distincts parce que la décomposition primaire est réduite), donc en utilisant la cohérence nous pouvons trouver un $a \in \bigcap_{j \neq i} P_j \setminus P_i$. Alors $a^m \in \bigcap_{j \neq i} Q_j \setminus P_i$ pour un $m$, et $a^m Q_i \subseteq I$. Donc $Q_i \subseteq Q'_i$. ■

**Corolaire 7.4.** Soient $R$ un anneau commutatif cohérent fortement discret, $I$ un idéal de $R$ décomposable et $P$ un idéal premier minimal au-dessus de $I$. Alors l'idéal primaire qui appartient à $P$ dans une décomposition primaire réduite de $I$ est l'ensemble $\{ x \in R : sx \in I \text{ pour un } s \in R \setminus P \}$. Donc les idéaux primaires appartenant à des idéaux premiers minimaux sont les mêmes pour toutes les décompositions primaires réduites. ■
**Lemme 7.5.** Soit $I$ un idéal d'un anneau commutatif $R$.

(i) Si l'idéal $I$ est décomposable, il en va de même pour $\sqrt{I}$.

(ii) L'idéal $\sqrt{I}$ est décomposable si, et seulement si, il est égal à l'intersection d'un nombre fini d'idéaux premiers de type fini.

(iii) Si $R$ est un anneau cohérent fortement discret et si $\sqrt{I}$ est décomposable, les idéaux premiers minimaux au-dessus de $I$ sont exactement les idéaux premiers associés à $\sqrt{I}$, et $\sqrt{I}$ est leur intersection.

*Démonstration.* Si $I$, ou $\sqrt{I}$, est égal à $\bigcap_i Q_i$, $\sqrt{I} = \bigcap_i \sqrt{Q_i}$. Ce fait, en notant que les idéaux premiers sont primaires et s'appartiennent à eux-mêmes, démontre les propriétés (i) et (ii). Pour démontrer (iii), on considère un idéal $\sqrt{I}$ décomposable. D'après (ii), nous pouvons écrire $\sqrt{I}$ comme une intersection d'un nombre fini d'idéaux premiers de type fini, et nous obtenons une décomposition primaire réduite de $\sqrt{I}$ à partir de ces idéaux premiers. D'après le théorème 7.2, ce sont des idéaux premiers associés à $\sqrt{I}$, car ils sont tous évidemment minimaux. Comme les idéaux premiers minimaux au-dessus de $\sqrt{I}$ sont les mêmes que les idéaux premiers minimaux au-dessus de $I$, la propriété (iii) est établie. ■

Soient $R$ un anneau commutatif cohérent fortement discret, et $I$ et $P$ des idéaux propres de type fini de $R$ avec $P$ idéal premier minimal au-dessus de $I$. Considérons l'idéal $Q = \{x \in R : sx \in I$ pour un $s \in R \setminus P\}$. On vérifie facilement que $Q$ est un idéal détachable qui contient $I$, et que $Q/I = \tau_{R\setminus P}(R/I)$. Si $Q$ est de type fini, alors $Q = I : s$ pour un $s \notin P$, donc l'idéal $I : Q$ n'est pas contenu dans $P$. Si $I$ est décomposable, le théorème 7.3 nous dit que $Q$ est l'idéal primaire de $I$ appartenant à $P$. Même sans supposer $I$ décomposable, il est également vrai dans certains cas que l'idéal $Q$ est un idéal primaire de type fini.

**Lemme 7.6.** Soient $I$ et $P$ des idéaux de type fini d'un anneau commutatif cohérent fortement discret $R$. Si $P$ est premier et $P^n \subseteq I \subseteq P$ pour un $n$, alors $P$ est l'unique idéal premier minimal au-dessus de $I$, et l'idéal

$$Q = \{x \in R : sx \in I \text{ pour un } s \in R \setminus P\}$$

est un idéal primaire de type fini appartenant à $P$.

*Démonstration.* Comme $P^n \subseteq I$, l'idéal $P$ est contenu dans tout idéal premier qui contient $I$. Il reste à voir que $Q$ est un idéal primaire de type fini appartenant à $P$. Comme $I$ est de type fini, nous pouvons supposer que $I = 0$. Dans ce cas, $Q = P^{(n)}$, et c'est un idéal primaire de type fini appartenant à $P$ d'après le théorème 6.12. ■
**Théorème 7.7.** Soient $R$ un anneau commutatif cohérent fortement discret, $I$ un idéal de type fini tel que $\sqrt{I}$ est décomposable, et $P$ un idéal premier minimal au-dessus de $I$. Alors l'idéal

$$Q^* = \{ x \in R : sx \in I \text{ pour un } s \in R \setminus P \}$$

est un idéal primaire de type fini appartenant à $P$.

*Démonstration.* Soit $K$ le produit des idéaux premiers minimaux au-dessus de $I$ différents de $P$. Il existe un $n$ tel que $(PK)^n \subseteq I$. Soit $J = I : K^n$. Alors $P^n \subseteq J \subseteq P$. D'après le lemme 7.6, l'idéal

$$Q = \{ x \in R : sx \in J \text{ pour un } s \in R \setminus P \}$$

est un idéal primaire de type fini appartenant à $P$. Comme $I$ est contenu dans $J$, l'idéal $Q^*$ est contenu dans $Q$; nous allons montrer qu'ils sont égaux. Si $r \in Q$, $srK^n \subseteq I$ pour un $s \in R \setminus P$. Si $t \in K^n \setminus P$, $str \in I$ donc $r \in Q^*$. ■

L'idéal $Q^*$ du théorème 7.7 est appelé l'idéal primaire isolé au-dessus de $I$ appartenant à $P$.

Exercices

1. Soit $R = \mathbb{Z}[X]$. Montrer que (2) est un idéal premier de $R$, et que $(4, X)$ et $(4, X - 2)$ sont des idéaux primaires de $R$ appartenant à l'idéal premier $(2, X)$. Conclure que $(4, X) \cap (2)$ et $(4, X - 2) \cap (2)$ sont des décompositions primaires réduites de $(2X, 4)$. Ainsi les idéaux primaires appartenant à des idéaux premiers immergés ne sont pas nécessairement uniques.

2. Soit $k$ l'anneau des entiers modulo 2. Considérons les anneaux $k \subseteq k[X]/(X^2)$. Construire un exemple brouwerien d'un anneau $R$ cohérent noethérien fortement discret, tel que tout idéal de type fini de $R$ est primaire, $R$ contient un idéal premier détachable propre, alors que $R$ n'a pas d'idéaux de type fini propres; donc 0 est un idéal primaire sans décomposition primaire.

3. Soient $R$ un anneau cohérent noethérien, $I$ un idéal de type fini de $R$, et $a, b \in R$ avec $ab \in I$. Montrer qu'il existe un $n$ tel que $I = (I + (a)) \cap (I + (b^n))$. Idée : considérer la chaine des idéaux $I : (b^n)$.

4. Nous disons qu'un idéal $I$ est **irréductible** si lorsque $I$ est écrit comme l'intersection de deux idéaux, alors l'un de ces idéaux est égal à $I$. Utiliser l'exercice 3 pour montrer que si $R$ est un anneau cohérent noethérien, et si $I$ est un idéal de type fini irréductible, alors $I$ est primaire. Donner une démonstration en mathématiques classiques que tout idéal dans un anneau noethérien est une intersection d'idéaux primaires en utilisant les principes que tout idéal est primaire ou ne l'est pas, et que tout ensemble d'idéaux dans un anneau noethérien contient un élément maximal.