### 3.5.1.3. MODE SIFFLEMENT

Pour $\omega^2 \gg \Omega_b^2$ et $\Omega_p$

$$ (3.5.9) \qquad N_{\pm}^2 \approx 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega(\omega \mp \omega_b)} = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2\left(1 \mp \frac{\omega_b}{\omega}\right)} $$

qui montre que, dans ce domaine, $N_G > N^0$ et $N_D < N^0$.

Dans la région $\Omega_b < \omega < \omega_b$, l'onde droite constitue le mode « sifflement » (whistler mode) observé lors de la propagation dans l'ionosphère. Récemment, on a observé aussi, dans la région $\omega < \Omega_b$, un sifflement protonique correspondant à la propagation sur le mode gauche. Nous reviendrons sur ces ondes aux § 3.8 et 3.10.

### 3.5.1.4. EN TRÈS BASSES FRÉQUENCES

Pour $\omega^2 \ll \Omega_b^2$ et $\Omega_p^2$, les équations (3.5.6) et (3.5.7) deviennent

$$ (3.5.10) \qquad N^2 = 1 + A = \frac{c^2}{V_A^2} $$

en posant

$$ A = \frac{\omega_p^2}{\omega_b^2} + \frac{\Omega_p^2}{\Omega_b^2} $$

soit

$$ (3.5.11) \qquad A = \frac{\omega_0}{\omega_b \Omega_b} = \frac{n_{0e} m_e + n_{0i} m_i}{\varepsilon_0 B_0^2} = \frac{\rho}{\varepsilon_0 B_0^2} $$

où la seconde égalité est obtenue avec (3.4.22), $\rho = n_{0e}m_e + n_{0i}m_i$ étant la densité de masse du plasma. Le paramètre A caractérise l'état non perturbé du milieu. Pratiquement, on a, pour un plasma électrons-protons

$$ A = 1,89 \cdot 10^{-16} \frac{n_0}{B_0^2} \quad (\text{MKSA}). $$

Les deux modes se confondent en un seul, appelé mode d'Alfvèn, et dont la vitesse de phase commune déduite de (3.5.10) est

$$ (3.5.12) \qquad V_A = \frac{c}{\left(1 + \frac{\rho}{\varepsilon_0 B_0^2}\right)^{1/2}} $$

Ces ondes d'Alfvèn ne sont pas dispersives ($V_A$ est indépendant de $\omega$). Dans le cas général où $\rho \gg \varepsilon_0 B_0^2$, donc où $A \gg 1$ (plasmas denses ou champs magnétiques faibles), on a l'expression classique de la vitesse d'Alfvèn

$$ (3.5.13) \qquad V_A = \frac{B_0}{(\mu_0 \rho)^{1/2}} $$

$\mu_0$ étant la perméabilité magnétique du vide. Pour la limite inverse, $A \ll 1$ (plasma raréfié ou champ magnétique fort), on retrouve l'onde électromagnétique dans le vide : $v_\varphi = c$, $N = 1$.
et 3.28) du cas illimité; en haute fréquence au voisinage de $\omega = \omega_p$, en négligeant les ions, cette condition est $[\omega = \omega_I$ étant la racine de $\kappa_1 = 0$ (Cf. (3.4.24))] :

$$ (\omega^2 - \omega_b^2)(\omega^2 - \omega_p^2)(\omega^2 - \omega_I^2) < 0. $$

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

On a donc deux cas possibles $\omega_b < \omega \le \omega_p$ ou $\omega_p \le \omega < \omega_b$, pour l'allure de la courbe $\omega(\alpha)$, au voisinage de $\omega_p$, dans la limite $\alpha \to \infty$.

### 4.5.3.2. RÉSONANCES GYROMAGNÉTIQUES $\omega \to \omega_b$ ou $\Omega_b$, $\kappa_1$ et $\kappa_2 \to \infty$.

Pour $\omega \to \omega_{bs}$, avec $\omega_{bs} = \omega_b$ ou $\Omega_b$, on a $\kappa_1 \sim \kappa_2 \sim (\omega^2 - \omega_{bs}^2)^{-1}$ tandis que d'après (3.5.6) et (3.5.7), $\kappa_1^2 - \kappa_2^2 = N_D^2 N_G^2$, avec $N_D^2 \sim (\omega - \omega_b)^{-1}$ et $N_G^2$ fini, ou $N_G^2 \sim (\omega - \Omega_b)^{-1}$ et $N_D^2$ fini; d'où

$$ (4.5.32) \qquad \frac{\kappa_1^2 - \kappa_2^2}{\kappa_1} \quad \text{fini} $$

$$ (4.5.33) \qquad \frac{\kappa_2}{\kappa_1} = \begin{cases} \frac{N_D - \kappa_1}{\kappa_1} = \frac{N_D}{\kappa_1} - 1 & \to -1 \quad (\text{car } \frac{N_D}{\kappa_1} \sim (\omega - \omega_b)^{1/2} \to 0), \text{ si } \omega \to \omega_b \\ \frac{\kappa_1 - N_D}{\kappa_1} = 1 - \frac{N_D}{\kappa_1} & \to 1 \quad (\text{de même } \frac{N_D}{\kappa_1} \to 0), \text{ pour } \omega \to \Omega_b. \end{cases} $$

Alors

$$ s_H \sim -\alpha^2 \to -\infty \quad \text{d'après (4.5.32),} $$

$$ r_H \sim i\omega\epsilon_0\alpha\kappa_3 \left(\frac{\kappa_2}{\kappa_1}\right) $$

d'où, d'après (4.5.17)

$$ (4.5.34) \qquad H_{\parallel} \sim -i\omega\epsilon_0 \frac{\kappa_3}{\alpha} \left(\frac{\kappa_2}{\kappa_1}\right) E_{\parallel} \to 0 \text{ pour } E_{\parallel} \text{ fini : on n'a donc encore que des modes TM.} $$

L'équation pour $E_{\parallel}$ devient alors

$$ \begin{aligned} \left[ \nabla_1^2 + \kappa_3 \left( \frac{\omega^2}{c^2} - \frac{\alpha^2}{\kappa_1} \right) \right] E_{\parallel} &\sim -i\omega\mu_0\alpha \frac{\kappa_2}{\kappa_1} H_{\parallel} \\ &\sim -\frac{\omega^2}{c^2} \kappa_3 \left( \frac{\kappa_2}{\kappa_1} \right)^2 E_{\parallel}, \end{aligned} $$

d'après (4.5.34), et où, de (4.5.33), $(\kappa_2/\kappa_1)^2 = 1$.
fixée sur un véhicule spatial, les effets de son mouvement dans le plasma environnant, ainsi que le rôle de son sillage et de celui du véhicule, deviennent importants.

D'une manière générale, on ne sait pas traiter exactement la plupart de ces problèmes et seuls des résultats très partiels ont été obtenus, au cours des dernières années, en utilisant des méthodes approchées.

Une situation particulière, qui ne se rencontre que lorsque l'antenne est plongée dans le plasma, est obtenue lorsque la fréquence de l'onde émise conduit à $v_g = 0$ au voisinage de l'antenne : l'énergie ne se propage plus; elle s'accumule dans le milieu environnant lorsque l'antenne émet et lui est restituée lorsque celle-ci devient réceptrice. On observe alors, au voisinage de cette fréquence, un élargissement du signal qu'on appelle « flèche de résonance »; ces flèches de résonance ont été observées pour la première fois sur les ionogrammes enregistrés par le satellite Alouette (Cf. par ex. Lockwood, 1963) et leurs fréquences ont été calculées par de nombreux auteurs (Cf. Dougherty et al, 1965); dans le cas de la propagation perpendiculaire à $B_0$, l'étude théorique et une vérification expérimentale en laboratoire ont été effectuées (Crawford, 1965; Crawford et al, 1967).

Pour des raisons de simplicité, nous nous limiterons ici au cas des antennes fixes, plongées dans un plasma stationnaire et homogène, mais rendu anisotrope par la présence d'un champ magnétique statique. Il ne sera question, dans ce qui suit, que des plasmas froids.

Nous rappellerons, tout d'abord, les caractéristiques générales des antennes dans les milieux non ionisés.

## Caractéristiques d'une antenne dans le vide 5.7.1

Nous nous limiterons, pour la réception, à des ondes incidentes complètement polarisées, ou totalement dépolarisées. Les définitions qui suivent se généralisent aux cas intermédiaires (Ko, 1962).

Une antenne est un dispositif linéaire qui assure la transition entre une onde guidée et une onde libre. Elle peut être décrite par une impédance

$$Z = R + iL$$

identique en réception ou en émission, ce dispositif étant passif.

Dans toute la suite, nous supposerons négligeables les pertes dans l'ensemble constitué par l'antenne et par le circuit récepteur ou émetteur. Si $I$ est le courant dans l'antenne, la puissance complexe transmise est

$$P = ZI^2.$$

La grandeur $R_r = ReZ$ est appelée la résistance de rayonnement de l'antenne : elle caractérise la puissance totale rayonnée par l'antenne et perdue par effet Joule dans le milieu

$$P_r = R_r \bar{I}^2.$$

Mais, l'antenne ne rayonnant pas également dans toutes les directions, on définit un diagramme de rayonnement qui peut être caractérisé par le gain directionnel en émission $G_R$; en réception, les propriétés de l'antenne sont représentées soit pas le gain directionnel en réception $G_R$, soit par la longueur équivalente $h$ de l'antenne.

### GAIN DIRECTIONNEL EN RÉCEPTION $G_R$

Si $\varphi$ et $\theta$ repèrent la direction du vecteur de propagation $k$ dans un système de référence lié à l'antenne, on a

$$ (5.7.1) \qquad G_R = \frac{A(\theta, \varphi)}{A_0} $$
De la même manière

$$V_y^q = \frac{1}{2i}(V_{+1}^q - V_{-1}^q) = \frac{\pi}{i} \sum_m (J_{m-1} - J_{m+1}) \frac{J_{m-q}}{\alpha - m} = \frac{2\pi}{i} \sum_m \frac{J'_m J_{m-q}}{\alpha - m}$$

d'après la relation

(A-9.19)

et

$$J_{m-1}(x) - J_{m+1}(x) = 2J'_{m}(x)$$

$$V_z^q = V^q = 2\pi \sum_m \frac{J_m J_{m-q}}{\alpha - m}$$

On déduit alors les $C_l$, $S_l$, $R_l$, d'après (A-9.14)

$$C_l = \frac{1}{2}(V_l^{+1} + V_l^{-1})$$

$$S_l = \frac{1}{2i}(V_l^{+1}) - V_l^{-1}$$

$$R_l = V_l^0$$

Dans les $C_l$, les termes en $J_{m-q}$ donneront $J_{m+1} + J_{m-1} = \frac{2m}{\beta w} J_m$; dans

$S_l$, ils donneront $J_{m-1} - J_{m+1} = 2J_m$; dans $R_l$, ils donneront $J_m$.

On a donc, avec $\omega_b \alpha = \omega + i\nu_c - k_{||}u = \omega_b \alpha(u)$

$$\sigma = -4\pi i \epsilon_0 \omega_p^2 \sum_m \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{du}{\omega_b (\alpha - m)} \int_0^{\infty} w dw g'(u, w) K_m(u, w)$$

où

$$K_m(u, w) = \begin{pmatrix} \frac{m^2}{\beta^2} J_m^2 & -\frac{imw}{\beta} J_m J_m' & \frac{mu}{\beta} J_m^2 \\ \frac{imw}{\beta} J_m J_m' & w^2 J_m'^2 & iuw J_m J_m' \\ \frac{mu}{\beta} J_m^2 & -iuw J_m J_m' & u^2 J_m^2 \end{pmatrix}$$

l'argument des fonctions de Bessel étant $\beta w$, indépendant de $u$.

Plaçons-nous dans le cas où $f_0$ est maxwellienne

$$g_0 = (a \sqrt{\pi})^{-3} e^{-\frac{u^2 + w^2}{a^2}}, \quad g'_0(u, w) = -\frac{1}{a^2} g_0$$

Alors, dans $\sigma$

$$\sigma = \frac{4 i \epsilon_0 \omega_p^2}{a^2 \sqrt{\pi}} \sum_m \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-\frac{u^2}{a^2}} d(u/a)}{\omega_b \alpha - m \omega_b} \int_0^{\infty} \frac{w}{a} d\left(\frac{w}{a}\right) e^{-\frac{w^2}{a^2}} K_m(u, w)$$
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIGURE 3.13.
Valeurs du paramètre $A = \rho/\varepsilon_0 B_0^2$, (plasma électrons-protons)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>FIGURE 3.14</figcaption></figure>
Par suite

$$ \nabla_{\perp}^2 E_{\parallel} + \kappa_3 \left( 2 \frac{\omega^2}{c^2} - \frac{\alpha^2}{\kappa_1} \right) E_{\parallel} = 0 $$

— si $(\alpha^2/\kappa_1) \to \infty$, on a $E_{\parallel} \to 0$

— si $(\alpha^2/\kappa_1)$ reste fini, on a $E_{\parallel}$ fini, non nul, et l'équation de dispersion aux voisinages des résonances gyromagnétiques est

$$ (4.5.35) \qquad k_{\perp}^2 = s_E^2 = \kappa_3 \left( 2 \frac{\omega^2}{c^2} - \frac{\alpha^2}{\kappa_1} \right). $$

Les champs transverses, calculés avec (4.5.10) et (4.5.11), compte tenu de (4.5.32) et (4.5.33), sont, pour $\alpha^2/\kappa_1$ fini

$$ (4.5.36) \quad E_{\perp} \sim \frac{i\omega^4}{c^4} \frac{1}{\alpha \left( \frac{\alpha^2}{\kappa_1} - \frac{2\omega^2}{c^2} \right)} \left[ \left( \frac{\omega^2}{c^2} - \frac{\alpha^2}{\kappa_1} \right) \nabla_{\perp} E_{\parallel} - i \frac{\kappa_2}{\kappa_1} \frac{\omega^2}{c^2} \nabla_{\perp} \times E_{\parallel} \right] \to \\ H_{\perp} \sim \frac{i\omega \epsilon_0}{\frac{\alpha^2}{\kappa_1} - \frac{2\omega^2}{c^3}} \left[ \nabla_{\perp} \times E_{\parallel} - i \frac{\kappa_2}{\kappa_1} \nabla_{\perp} E_{\parallel} \right], $$

fini, non nul, soit, d'après (4.5.35)

$$ (4.5.37) \qquad H_{\perp} = -i\omega\epsilon_0 \frac{\kappa_3}{s_E^2} [\nabla_{\perp} \times E_{\parallel} \pm i\nabla_{\perp} E_{\parallel}], \\ \text{où les signes sont } \begin{cases} + \text{ pour } \omega = \omega_b \\ - \text{ pour } \omega = \Omega_b. \end{cases} $$

Quelle que soit la géométrie du problème, on obtient donc des champs $H_{\perp}$ polarisés circulairement. On retrouve, avec $E_{\perp} = 0$, la polarisation longitudinale (relativement à Oz) du champ E aux résonances, mais on n'a plus un champ irrotationnel puisque, d'après (4.1.12)

$$ \nabla_{\perp} \times E_{\parallel} = i\omega\mu_0 H_{\perp} \neq 0: $$

l'approximation quasi statique n'est donc plus valable dans ce cas (elle donnerait d'ailleurs un résultat identique à (4.5.31)).

### Voisinage des résonances gyromagnétiques

En posant

$$ \omega_c^2 = \omega_0^2 + s_E^2 c^2 $$

$$ (4.5.38) \qquad \omega_c'^2 = \frac{1}{2} (\omega_0^2 + \omega_c^2) $$

on a

$$ \alpha^2 c^3 = \frac{2\kappa_1}{\kappa_3} (\omega^2 - \omega_c'^2) $$

et $\alpha^2$ est du signe du produit $\kappa_1\kappa_3 (\omega - \omega_c')$. Au voisinage de $\omega = \omega_b$ on aura donc $\alpha^2 > 0$ pour

$$ (\omega - \omega_b)(\omega - \omega_l)(\omega - \omega_0)(\omega - \omega_c') > 0 $$

avec $\omega_l > \omega_b$, $\omega_p$, et $\omega_c' > \omega_p$. On obtient donc pour $\alpha \to \infty$, 3 cas possibles :
<figure><img src="image_19.png" /></figure>

où $A(\theta, \varphi) = \frac{P}{S\Delta f}$ est la surface effective de l'antenne; P, la puissance extraite de l'onde (pour la polarisation de E incident la plus favorable, c'est-à-dire qui donne P maximum) et S la densité de flux d'énergie incidente, dans la direction de k, pour un intervalle de fréquence $\Delta f$; et où

$$A_0 = \frac{1}{4\pi} \int d\Omega A(\theta, \varphi)$$

est la surface effective moyenne; des considérations thermodynamiques permettent de montrer que cette surface est indépendante de l'antenne

$$(5.7.2) \qquad A_0 = \frac{\lambda^2}{4\pi}.$$

Donc

$$(5.7.3) \qquad G_R(\theta, \varphi) = \frac{4\pi}{\lambda^2} A(\theta, \varphi).$$

## GAIN DIRECTIONNEL EN ÉMISSION $G_E$

On définit $G_E$ de la même manière

$$G_E(\theta, \varphi) = \frac{\mathcal{J}(\theta, \varphi)}{\mathcal{J}_0}$$

où $\mathcal{J}(\theta,\varphi)$ est la puissance rayonnée dans la direction $(\theta, \varphi)$, par unité d'angle solide et par intervalle de fréquence $\Delta f$, et où

$$\mathcal{J}_0 = \frac{1}{4\pi} \int d\Omega \mathcal{J}(\theta, \varphi).$$

On montre que

$$(5.7.4) \qquad A(\theta, \varphi) = \frac{\lambda^2}{4\pi} G_E$$

de sorte que $G_E = G_R$: mais cette relation n'est valable que dans un milieu isotrope.

## LONGUEUR ÉQUIVALENTE h

Elle caractérise la tension moyenne $\bar{V}$ induite aux bornes de l'antenne par un champ $E_{inc}$ incident

$$\bar{V} = h \cdot E_{inc}$$

h et $G_R$ sont évidemment liés, en vertu des définitions précédentes.
les intégrations se séparent. Les intégrales sur $u$ sont de la forme

$$Y_q = \frac{a^q}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{u}{a}\right)^q \frac{e^{-u^2/a} \, d(u/a)}{\omega + i\nu_c - k_{//}a \frac{u}{a} - m\omega_b} = \frac{a^q}{k_{//}a \sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{y^a e^{-y^2} dy}{\zeta_m - y}$$

où

$$\zeta_m = \frac{\omega + i\nu_c - m\omega_b}{k_{//}a}$$

soit, avec la fonction de la variable $\zeta$ complexe

$$Z(\zeta) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int \frac{e^{-\zeta^2} dy}{y - \zeta}$$

définie dans le 1/2 plan supérieur et qui correspond au terme $i\nu_c$ dans $\zeta_m$

$$Y_0^m = - \frac{1}{k_{//}a} Z(\zeta_m)$$

$$Y^m = \frac{1}{2k_{//}} Z'(\zeta_m)$$

$$Y_2^m = \frac{a\zeta_m}{2k_{//}} Z'(\zeta_m).$$

Les intégrales sur $w$ sont de trois types ($\frac{w}{a} = y$)

$$F_m = \int_0^\infty e^{-v^2} y dy J_m^2(\beta y)$$

$$G_m = \int_0^\infty e^{-v^2} y^3 dy J_m'(\beta y)$$

$$H_m = \int_0^\infty e^{-v^2} y^2 dy J_m(\beta y) J_m'(\beta y)$$

on a évidemment

$$H_m = \frac{a}{2} \frac{\partial F_m}{\partial (\beta a)}$$

Il vient alors

$$\sigma = \frac{4i\epsilon_0}{a^2} \omega_p^2 \sum_m T^m$$

avec

$$T_{11}^m = \frac{m^2}{\beta^2} Y_0^m F_m$$

$$T_{22}^m = Y_0^m G_m$$

$$T_{33}^m = Y_2^m F_m$$

$$T_{12}^m = -T_{21}^m = -\frac{im}{\beta} Y_0^m H_m$$

$$T_{23}^m = -T_{32}^m = i Y_1^m H_m$$

$$T_{13}^m = T_{13}^m = \frac{m}{\beta} Y_1^m F_m$$
<figure><img src="image_20.png" /></figure>

<figure><img src="image_21.png" /></figure>
<figure><img src="image_13.png" /></figure>

Au voisinage de $\omega = \Omega_b$ (en se limitant au cas $\Omega_b < \omega_p$ qui donne $(\omega - \omega_p)(\omega - \omega'_c) > 0$ et $(\omega - \omega_b)(\omega - \omega_I) > 0$), on a $\alpha^2 > 0$ si $(\omega - \Omega_b)(\omega - \omega_{II}) > 0$ avec $\omega_{II} > \Omega_b$, conduisant au seul cas possible $\omega \le \Omega_b$

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

### 4.5.3.3. RÉSONANCES D'UNE LAME DE PLASMA, LIMITÉ PAR DES CONDUCTEURS PARFAITS

Aux voisinages des résonances, les ondes deviennent des ondes TM; la condition $E_{||} = 0$, pour $x = \pm a$, donne pour la solution symétrique

$$ (4.5.39) \qquad E_{||} = E \cos s_B x \qquad s_B = (2m + 1) \frac{\pi}{2a} $$

— pour $\omega \ne \omega_0$, on a donc

$$ (4.5.40) \qquad \alpha^2 = - \frac{\kappa_1}{\kappa_3} (2m + 1)^2 \frac{\pi^2}{4a^2} $$

— pour $\omega \ne \omega_b$ ou $\Omega_b$

$$ (4.5.41) \qquad \alpha^2 = \frac{\kappa_1}{\kappa_3} \left[ 2 \frac{\omega^2}{c^2} \kappa_3 - (2m+1)^2 \frac{\pi^2}{4a^2} \right] ; $$

avec $\nabla_\perp = (\frac{\partial}{\partial x}, 0, 0)$, on obtient d'après (4.5.37), avec $\frac{\kappa_2}{\kappa_1} = \pm 1$
Pour un circuit adapté ($R' = R_r$), la puissance moyenne délivrée au récépteur est

$$ \bar{P} = R' \bar{T}^2 $$

avec

$$ 2R_r \bar{I} = \bar{V} $$

$$ (5.7.5) \quad \bar{P} = \frac{1}{4R_r} \bar{V}^2 = \frac{|\mathbf{h} \cdot \mathbf{E}|^2}{4R_r} $$

Or cette puissance par intervalle de fréquence est égale à

$$ AS \Delta f = \frac{\lambda^2}{4\pi} G_R S \Delta f \text{ où} $$

$$ S = \frac{1}{2} | \mathcal{R} e (\mathbf{E} \times \mathbf{H}^*) | = \frac{1}{2} \eta_0 E^2 $$

$$ (\eta_0 = \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} = \zeta_0^{-1}). $$

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

En caractérisant la longueur effective de l'antenne dans la direction de $E_{inc}$, par $h_{||} = h \cdot |E_{inc}|/|E_{inc}|$, on a donc

$$ (5.7.6) \qquad G_R (\theta, \varphi) = 2\pi \frac{\zeta_0 h_r^3}{R_r \lambda^2} $$

Les concepts $G_R$ et $h_{||}$ sont donc équivalents.

## Résistance de rayonnement d'une antenne plongée dans un plasma

### froid anisotrope 5.7.2

Lorsqu'on néglige les ions, l'étude de la propagation des ondes planes dans un plasma froid anisotrope a montré (Cf. chap. 3) qu'en général il y a au plus deux ondes transversales qui se propagent, une, ou les deux, pouvant être éteintes pour certains domaines de valeurs des paramètres $X = \frac{\omega_p^2}{\omega^2}$ et $Y = \frac{\omega_b}{\omega}$. L'existence des ces modes caractéristiques a été précisée sur le diagramme CMA (fig. 3.33) en hautes fréquences.

#### 5.7.2.1. EN L'ABSENCE DE CHAMP MAGNÉTIQUE

(Y = 0), on a un milieu isotrope, de constante diélectrique $\epsilon = \epsilon_0 \kappa_0 = \epsilon_0 (1 - X)$. Or, la résistance de rayonnement d'un dipôle de longueur $l$ dans le vide est

$$ R_r^0 = \frac{2\pi}{3} \sqrt{\frac{\zeta_0}{\epsilon_0} \left(\frac{l}{\lambda_0}\right)^2} = 80\pi^2 \left(\frac{l}{\lambda_0}\right)^2 \text{ ohms} $$

où

$$ \lambda_0^2 = \frac{4\pi^2}{k_0^2} = \frac{4\pi^2}{\omega^2 \epsilon_0 \mu_0} $$

soit

$$ R_r^0 = \frac{\mu_0^{3/2}}{6\pi} \frac{\omega^2 l^2}{\sqrt{\epsilon_0}} $$

Dans le milieu de constante diélectrique $\epsilon$, on aura donc, pour le même dipôle

$$ (5.7.7) \qquad \frac{R_r}{R_r^0} = \sqrt{\left(\frac{\epsilon}{\epsilon_0}\right)^{1/2}} = \sqrt{1-X} $$
Or, en posant $\beta ay=z$ et $(\beta a)^2 = \left(\frac{k_1 a}{\omega_b}\right)^2 = 2\lambda$, l'intégrale dans $F_m$ se met sous la forme de Weber (Cf. Watson, 1956)

$$f_m = \int_0^\infty e^{-z^2/2\lambda} zdz J_m(z) = \lambda e^{-\lambda} I_m(\lambda)$$

où $I_m(\lambda)$ est la fonction de Bessel modifiée (Cf. p. 344). Alors

$$F_m = \frac{1}{2\lambda} f_m = \frac{1}{2} e^{-\lambda} I_m(\lambda).$$

D'où

$$ 
\begin{align*}
H_m &= \frac{a}{2} \frac{\partial F_m}{\partial (\beta a)} = \frac{a}{2} \frac{\partial F_m}{\partial \lambda} \cdot \sqrt{2\lambda} \\
&= \frac{a}{4} \sqrt{2\lambda} e^{-\lambda} [I'_m(\lambda) - I_m(\lambda)].
\end{align*}
$$

Pour calculer $G_m = \left(\frac{a}{2\lambda}\right)^2 g_m$

$$g_m = \int_0^\infty e^{-z^2/2\lambda} z^3 dz J_m'(z)$$

on utilise les relations (A-9.18) et (A-9.19), qui donnent

$$J_m'(z) + \frac{m^2}{z^2} J_m^2 = \frac{1}{2} (J_{m+1}^2 + J_{m-1}^2)$$

d'où en intégrant sur z

$$g_m + m^2 f_m = \frac{1}{2} \int_0^\infty e^{-\frac{z^2}{2\lambda}} z^3 dz (J_{m+1}^2 + J_{m-1}^2)$$

L'intégrale peut s'évaluer à partir de $f_{m+1}$ et $f_{m-1}$. On a en effet

$$\frac{\partial f_m}{\partial \lambda} = \frac{1}{2\lambda^2} \int_0^\infty e^{-\frac{z^2}{2\lambda}} z^3 dz J_m^2(z)$$

donc

$$g_m = -m^2 f_m + \lambda^2 \frac{\partial}{\partial \lambda} (f_{m+1} + f_{m-1}) = -m^2 f_m + \lambda^2 \frac{\partial}{\partial \lambda} [\lambda e^{-\lambda} (I_{m+1} + I_{m-1})].$$

Or, $J_m(i\lambda) = i^m I_m(\lambda)$, d'où

$$I_{m+1} + I_{m-1} = 2I'_m, \quad I'_m = \frac{\partial I_m}{\partial \lambda}.$$

Alors

$$ 
\begin{align*}
g_m &= -m^2 \lambda e^{-\lambda} I_m + 2\lambda^2 \frac{\partial}{\partial \lambda} (\lambda e^{-\lambda} I'_m) \\
&= \lambda e^{-\lambda} [-m^2 I_m + 2\lambda^2 I_m + 2\lambda(1-\lambda)I'_m].
\end{align*}
$$

De l'équation pour $I_m$

$$\lambda^2 I_m'' + \lambda I_m' - (\lambda^2 + m^2) I_m = 0$$
L'existence de ces oscillations basse fréquence est essentiellement due à la présence du champ magnétique $B_0$. Pour $B_0 = 0$, on ne peut pas observer d'oscillation de fréquence $\omega < \omega_p$, le courant de polarisation ne pouvant plus être compensé par le courant de déplacement (Cf. note p. 68). Ici, au contraire, la présence d'un champ magnétique modifie le mouvement des charges dans le plan perpendiculaire à $B_0$: pour les composantes parallèles à $B_0$, la situation sera identique à celle obtenue pour $B_0 = 0$ (coupure plasma pour le mode ordinaire en propagation perpendiculaire, Cf. § 3.5.4); pour les composantes perpendiculaires, le courant de polarisation, supérieur au courant de déplacement, permettra néanmoins la propagation de l'onde ($k^2 > 0$¹). La densité d'énergie de l'onde est donc essentiellement sous forme cinétique, qui joue donc ici le même rôle que l'énergie électrique de l'onde dans le vide.

Les vitesses de phase des deux ondes, droite et gauche, tendent donc vers la même limite $V_A$ aux très basses fréquences. En superposant ces deux modes, avec des amplitudes égales, on obtient l'onde d'Alfvèn, transversale, polarisée rectilignement. L'onde d'Alfvèn est la solution qu'on obtient directement à partir de l'équation (3.4.1), avec $\theta = 0$, en prenant, pour $\omega \ll \Omega_b$ et $\Omega_p$, les expressions limites des $\chi_{\alpha\beta}$ (Cf. § 3.9). Elle a été décrite pour la première fois par Alfvèn (1942), dans l'approximation magnétohydrodynamique.

Cette onde d'Alfvèn est directement liée aux propriétés magnétodynamiques du milieu, et principalement à celles des ions (la densité de masse étant essentiellement due aux ions : $\rho \# n_{0i}m_i$); mais c'est une onde électromagnétique transversale : seul le champ électromagnétique assure l'entretien et la propagation de l'onde, et non pas des forces mécaniques comme c'est le cas pour des ondes sonores (qui, elles, sont longitudinales, et se propagent grâce aux collisions).

1. Ainsi en très basse fréquence, l'équation de mouvement donnera $E + v_i \times B_0 = 0$, soit $\frac{ng^2}{m_i} E + J_i \times \Omega_b = 0$, d'où pour les composantes perpendiculaires

$$- \Omega_b^2 J_{i\perp} = \epsilon_0 \Omega_p^2 \Omega_b \times E_\perp.$$

Les courants de polarisation $J^P$ (dû aux ions) et de déplacement $J^D$ sont donc

$$J_{\perp}^{P} = - \epsilon_0 \frac{\Omega_p^2}{\Omega_b^2} \Omega_b \times E_{\perp} \quad \text{et} \quad J_{\perp}^{D} = -i\omega\epsilon_0 E_{\perp}.$$

En coordonnées tournantes ($B_0$ le long de Oz), $E_\pm = E_\alpha \pm iE_y$, $J_\pm = J_\alpha \pm iJ_y$, on a

$$J_{\perp}^{P} = -i\epsilon_0 \frac{\Omega_p^2}{\Omega_b} E_{\pm} \quad \text{et} \quad J_{\perp}^{D} = -i\omega\epsilon_0 E_{\pm}$$

soit

$$J_{\pm}^{P} = \frac{\Omega_p^2}{\omega \Omega_b} J_{\pm}^{D} \gg J_{\pm}^{D}$$

le courant de polarisation, en phase avec le courant de déplacement, permet donc la propagation des ondes ($k^2 > 0$) jusqu'à $\omega = 0$.
$$H_x = \pm i \frac{\partial E_{\parallel}}{\partial x}$$

$$H_y = - \frac{\partial E_{\parallel}}{\partial x}.$$

Le champ $H_⊥$ est donc polarisé circulairement à droite pour $\omega = \omega_b$ et à gauche pour $\omega = \Omega_b$, traduisant les effets de résonance à $\omega_b$ pour les électrons et à $\Omega_b$ pour les ions. Dans le référentiel qui tourne autour de $\Omega_b$ à la fréquence $\omega_b$, dans le sens direct, les électrons voient un champ $H_⊥$ constant : sous l'action de $E_{\parallel}$, de fréquence $\omega_b$, ils ont donc, au second ordre par rapport à la perturbation, un mouvement de dérive, perpendiculaire à $E_{\parallel}$ et $H_⊥$, qui s'ajoute à un mouvement oscillatoire qui correspond à une résonance paramétrique. En revenant au référentiel fixe, ils décrivent donc des spirales dans les plans $z = C^{te}$, ce qui exprime le gain d'énergie cinétique associé à la résonance, gain dû aux effets non linéaires.

### Limite des très hautes fréquences 4.5.4

Pour $\omega \gg \omega_p, \omega_b, \kappa \to 1$, on retrouve la limite du vide. Les modes d'ordre de plus en plus élevé, avec des fréquences de coupure $\omega_c \gg \omega_p$, se rapprocheront donc de plus en plus des modes TE et TM du vide, avec $\omega \to \alpha c$.

### Limite des très basses fréquences 4.5.5

Pour $\omega \ll \Omega_p, \Omega_b$, on a

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \chi_1 \approx 1 + A & A = \frac{\omega_0^2}{\omega_b \Omega_b} \\ \\ \chi_2 \approx 0 & \\ \\ \chi_3 \approx -x & x = \frac{\omega_0^2}{\omega^2} \to +\infty \end{array} \right. $$

Alors, d'après (4.5.6 et 9), $r_E = 0$: il existe des modes TM et des modes TE. Pour les modes TM, on a

$$(\nabla_{\perp}^2 + s_E^2) E_{\parallel} = 0,$$

d'où

$$k_{\perp}^2 = s_E^2 = \frac{\omega^2}{c^2} x \left( \frac{N_{\parallel}^2}{1+A} \quad 1 \right) = \frac{\omega_0^2}{c^2} \left( \frac{N_{\parallel}^2}{1+A} - 1 \right)$$

soit pour $s_E = e_{np}$

$$N_{\parallel}^2 = \left(1 + \frac{c^2 e_{np}^2}{\omega_0^2}\right) (1 + A).$$

C'est le mode d'Alfvèn, modifié par les conditions aux limites $s_E = e_{np}$.
5.7.2.2. EN PRÉSENCE D'UN CHAMP MAGNÉTIQUE, il faut tenir compte des différents modes caractéristiques qui peuvent se propager, et de leur polarisation. Sur le diagramme CMA, on voit immédiatement que, dans la région ⑤, $R_r = 0$. Dans les régions ③, ⑦, ⑧, il existe des résonances ($N \to \infty$) qui conduisent à des difficultés (la puissance tend vers l'infini, donc, pour un courant fini dans l'antenne, $R_r \to \infty$) sur lesquelles nous reviendrons.

Pour les régions ① et ②, un calcul numérique (Weil et Walsh, 1964 et 1965) à partir des expressions théoriques (Kogelnik, 1960) pour $R_r$, a été fait dans les cas du dipôle électriquement court et de la boucle magnétique.

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

Nous avons vu, au § précédent, qu'il y a deux modes de propagation possibles, et que la puissance totale est la somme des puissances rayonnées sur chacun de ces modes. La résistance de rayonnement contient alors deux termes, l'un $M$, indépendant de l'orientation de l'antenne par rapport à $B_0$, et l'autre $N$ qui en dépend (Cf. Appendice 3) :

$$ \frac{R_r}{R_0^2} = M + N \cos 2\Phi \\ \text{où } M = M(X, Y) \quad \text{et} \quad N = N(X, Y). $$

Pour le dipôle électrique :

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE 5.17. Variations des composants $M$ et $N$ de la puissance rayonnée par un dipôle</figcaption></figure>
on tire

$$ \lambda^2 I_m'' - m^2 I_m = \lambda^2 I_m - \lambda I_m' $$

d'où

$$ g_m = \lambda e^{-\lambda} [\lambda^2 I_m + \lambda^2 I_m + \lambda (1 - 2\lambda) I'] $$

soit enfin

$$ G_m = \frac{a^2}{4} e^{-\lambda} [\lambda I_m'' + (1 - 2\lambda) I' + \lambda I_m] $$

D'où

$$ \frac{\sigma}{i\omega\epsilon_0} = \frac{\omega_p^2}{\omega^2} \zeta_0 e^{-\lambda} \sum_m S_m \quad \left( \zeta_0 = \frac{\omega}{k_{||}a} \right) $$

$$
\left\{
\begin{aligned}
S_{11}^m &= -m^2 Z_m \frac{I_m}{\lambda} \\
S_{22}^m &= -Z_m [\lambda I_m'' + (1 - 2\lambda) I_m' + \lambda I_m] \\
S_{3\alpha}^m &= \zeta_m Z' I_m \\
S_{12}^m &= -S_{21}^m = im Z_m (I_m' - I_m) \\
S_{23}^m &= -S_{32}^m = i Z_m' \sqrt{\lambda/2} (I_m' - I_m) \\
S_{13}^m &= S_{31}^m = m Z_m' \frac{1}{\sqrt{2\lambda}} I_m
\end{aligned}
\right.
$$

en accord avec les expressions (8.1.5) pour les composantes de $\mathbf{x}$ quand on fait
tendre $v_e$ vers zéro.

## 10. Étude du voisinage de la résonance $\omega = \omega_b$

Dans ce qui suit, on supposera que la condition $\frac{|\omega - \omega_b|}{\omega_b} \ll 1$ est toujours satis-
faite.

Étude du voisinage « lointain » : $|(\omega - \omega_b)| ka_e| \gg 1$.

Posons $z = \frac{\omega - \omega_b}{Ka_e}$. Pour $|z| \gg 1$, on peut négliger $Im Z(z) \sim e^{-z^2}$, et
prendre $Z(z) \sim -\frac{1}{z}$. On a alors

$$ (A-10.1) \qquad \frac{K^2 c^2}{\omega^2} \sim - \frac{\omega}{\omega (\omega - \omega_b)} $$

qui correspond à la solution plasmas froids.

Pour $\omega > \omega_b$, on a K purement imaginaire, correspondant à une onde
évanescente (on se trouve alors entre la coupure $\omega_D$ et la résonance $\omega_b$).

Pour $\omega < \omega_b$, la solution de (A-10.1) donne K réel. Cherchons une solution
faiblement amortie $K = k(1 + i\gamma)$ avec $0 < \gamma \ll 1$. L'équation devient

$$ (A-10.2) \qquad \frac{k^2 c^2}{\omega^2} (1 + 2i\gamma) = + \frac{\omega_p^2}{\omega ka_e} (1 - i\gamma) Z(z) $$
Indices de groupe des modes droit et gauche 3.5.2

De la relation Nω = kc, on tire

$$
(3.5.14) \qquad N + \omega \frac{\partial N}{\partial \omega} = c \frac{\partial k}{\partial \omega} = \frac{c}{v_g} = N_g
$$

où $v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k}$ est la vitesse de groupe, et $N_g = \frac{c}{v_g}$ l'indice de groupe; on peut écrire

$$
(3.5.15) \qquad N_g = \frac{1}{N} \left( N^2 + \frac{\omega}{2} \frac{\partial N^2}{\partial \omega} \right).
$$

Pour les modes droit (signe supérieur) et gauche (signe inférieur), on a donc

$$
N_{g\pm} = N_{D,G}^{-1} \left\{ 1 \pm \frac{\omega_0^2 [\omega (\omega_b - \Omega_b) \pm 2\omega_b \Omega_b]}{2 (\omega \mp \omega_b)^2 (\omega \pm \Omega_b)^2} \right\}
$$

qui se met sous la forme, en négligeant $\Omega_b$ devant $\omega_b$

$$
(3.5.16) \qquad N_{g\pm} = N_{D,g}^{-1} \left\{ 1 \pm \frac{\omega_b (\omega \pm 2\Omega_b)}{2\omega_b^2} (N_{D,g}^2 - 1) \right\}.
$$

Au voisinage des résonances gyromagnétiques, $N_{D,G}^2 \to \infty$, on a

$$
N_{g+} \sim \frac{\omega_b^2}{2\omega_0^2} N_D^3 \to \infty \quad \text{et} \quad N_{g-} \sim -\frac{\omega_b \Omega_b}{2\omega_0^2} N_G^3 \to -\infty.
$$

Au voisinage des coupures, $N_{D,G}^2 \to 0$

$$
N_{g\pm} \sim \pm \frac{\omega_b (\omega \pm 2\Omega_b)}{2\omega_b^2 N_{D,G}} \to \infty.
$$

En très hautes fréquences $N_D^2 = N_G^2 \approx 1 - \omega_0^2/\omega^2$

$$
N_{g\pm} \sim 1 + \frac{\omega_0^2}{2\omega^2} \left(1 \pm \frac{\omega_b}{2\omega}\right).
$$

Enfin, en très basse fréquence $N_D^2 = N_G^2 = 1 + A$, on obtient directement à partir de
(3.5.15)

$$
N_{g\pm} = N_{D,G} = \sqrt{1 + A}
$$

puisque pour ces ondes non dispersives on a $v_g = v_\phi = V_A$.

Remarquons que pour la courbe (x = ω₀², N²), on a ∂N²/∂ω = ∂N²/∂x dx/dω soit,
d'après (3.5.15), NN_g = N² - x ∂N²/∂x; pour x = 0, et pour ∂N²/∂x = 0, on a donc,
Les champs transverses sont

$$E_{\perp} = \frac{ic}{\omega} \frac{N_{\parallel}}{x_1 - N_{\parallel}^2} \nabla_{\perp} E_{\parallel}$$

$$H_{\perp} = \frac{1}{i\omega\mu_0} \frac{x_1}{x_1 - N_{\parallel}^2} \nabla_{\perp} \times E_{\parallel}.$$

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE 4.10. Mode d'Alfvèn (TM)</figcaption></figure>

Pour les modes TE, $E_{\parallel} = 0$; si $r_H$ est fini, (4.5.7) donne

$$(\nabla_{\perp}^2 + s_H^2) H_{\parallel} = 0$$

d'où

$$k_{\perp}^2 = s_H^2 = \frac{\omega^2}{c^2} (1 + A - N_{\parallel}^2)$$

soit pour $s_H = h_{np}$

$$N_{\parallel}^2 = 1 + A - \left(\frac{ch_{np}}{\omega_0}\right)^2 x.$$

C'est un second mode d'Alfvèn; il présente des coupures pour

$$\omega_c^A = \frac{(1 + A)^{1/2}}{ch_{np}}.$$

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE 4.11. Mode d'Alfvèn (TE)</figcaption></figure>

Cette coupure n'est autre que la coupure basse fréquence $\omega_{c1}$ de la figure 4.9.

Les champs transverses sont

$$E_{\perp} = - \frac{1}{i\omega\epsilon_0(x_1 - N_{\parallel}^2)} \nabla_{\perp} \times H_{\parallel}$$

$$H_{\perp} = \frac{ic}{\omega} \frac{N_{\parallel}}{x_1 - N_{\parallel}^2} \nabla_{\perp} H_{\parallel}.$$
On trouve la loi $M = \sqrt{1-X}$ pour $Y=0$. Pour $Y \neq 0$, il apparaît, sur ces courbes, l'influence énorme du champ magnétique, particulièrement au passage des régions ① à ②, où M décroît très vite, tandis que N croît très vite (cela est dû à la disparition du mode estraordinaire quand on passe de ① à ②). Ces effets ont été observés (Walsh et al, 1964) sur un satellite en rotation sur lui-même, ce qui a permis de séparer M et N (on recevait le bruit radioélectrique cosmique).

Pour une boucle magnétique de rayon a, on a des résultats analogues. Dans le vide
$$R_r^o = \frac{\pi}{6} \zeta_0 (k_0 a)^4 \sim \epsilon_0^{3/2},$$
ce qui donnera donc ici, en l'absence de champ magnétique
$$R_r/R_r^o = M = (1-X)^{1/2}.$$
(5.7.8)

On obtient des variations moins brutales qu'avec le dipôle et, de plus, N reste toujours négatif.

Dans les régions ③, ⑦ et ⑧, il existe, pour chaque valeur de θ, une courbe de résonance (N → ∞). Il lui correspond alors une puissance infinie, donc la théorie faite jusqu'à présent tombe en défaut. En effet, un certain nombre d'objections peuvent être faites : on n'a pas tenu compte des ions; un modèle fluide et froid (traitement hydrodynamique), quand N → ∞, λ → 0, n'a plus de sens; de plus, au voisinage des résonances, avec N fini mais très grand, la puissance rayonnée est très grande, donc les champs le sont aussi : la linéarisation des équations n'est plus correcte; enfin, on n'a pas tenu compte des collisions. Même en laissant toutes ces objections de côté, et en gardant la description plasma froid, les résultats précédents (pour un dipôle électriquement court) ne sont plus valables, quand λ → 0, car alors l'antenne n'est plus électriquement petite ni en longueur, ni même en diamètre. Comme dans le vide, on doit alors tenir compte du déphasage entre les champs émis par les différents points de l'antenne, c'est-à-dire qu'il faut connaître la répartition du courant dans l'antenne.

On a montré, au § précédent, que la puissance rayonnée est de la forme

$$P \sim \mathrm{Re} \int J^*(k) \cdot g(k) \cdot J(k) \, d^3k$$

P est convergent, quand $k \to \infty$, si $|J(k)|^2 \sim O(k^{-4})$.

Une solution approchée a été trouvée (Staras, 1964) en choisissant une répartition de courant dans une antenne cylindrique :

$$J(\rho) = C^{te} \frac{e^{-\rho}}{\rho} u \quad (5.7.9)$$

(u est le vecteur unitaire de ζ)

avec $\rho^2 = \frac{\xi^2 + \eta^2}{a^2} + \frac{\zeta^2}{l^2}$, où a et l sont le rayon et la demi-longueur effectifs de l'antenne; cette répartition limite évidemment le courant dans le voisinage de la surface et laisse la puissance finie lorsque $k \to \infty$, puisque

$$J_k = \frac{l\Pi_0}{4\pi^2} [1 + k_1^2 a^2 + k_{11}^2 l^2]^{-1}$$

où $k_⊥$ et $k_{‖}$ sont les composantes de k par rapport à la direction de l'antenne.

<figure><img src="image_24.png" /></figure>
où $z = \frac{\omega - \omega_b}{ka_e}(1 - i\gamma) = x(1 - i\gamma)$. En développant $Z(z)$ au voisinage de $x$ réel

$$Z[x(1 - i\gamma)] \approx Z(x) - i\gamma x Z'(x)$$

avec, pour $x \gg 1$

$$Z(x) \sim -\frac{1}{x} + i\sqrt{\pi}e^{-x^2}$$

et, aux termes en $e^{-x^2}$ près (justifié pour calculer $\gamma Z'$)

$$Z'(x) = -2(1 + xZ) \sim 0.$$

Alors, dans (A-10.2), on a

$$\frac{k^2 c^2}{\omega^2} (1 + 2i\gamma) = + \frac{\omega_p^2}{\omega ka_e} (1 - i\gamma) \cdot \left[ -\frac{1}{x} + i\sqrt{\pi} e^{-x^2} \right]$$

soit

$$\frac{k^2 c^2}{\omega^2} (1 + 3i\gamma) = - \frac{\omega_p^2}{\omega ka_e} \frac{1}{x} (1 - i\sqrt{\pi} xe^{-x^2})$$

d'où

$$(A-10.3) \qquad \frac{k^2 c^2}{\omega^2} = \frac{\omega_p^2}{\omega (\omega_b - \omega)}$$

$$(A-10.4) \qquad \gamma = \frac{\sqrt{\pi}}{3} \frac{\omega_b - \omega}{ka_e} \exp \left[ - \left( \frac{\omega_b - \omega}{ka_e} \right)^2 \right].$$

En fait, la condition $\gamma \ll 1$ est satisfaite pratiquement dès que $|x| > 2$. Avec (A-10.3), cela fixe un écart $\Delta\omega_b = \omega_b - \omega$, minimum, tel que

$$(A-10.5) \qquad \left( 2 \frac{a \omega_p}{c \omega_b} \right)^{2/3} \le \frac{\Delta \omega_b}{\omega_b} \ll 1.$$

Cette solution n'existe donc, puisqu'au « voisinage » de la résonance on a $(\Delta\omega_b/\omega_b) \ll 1$, que si $\beta_e = (a\omega_p/c\omega_b)^2 \ll 1$, condition qui est réalisée en pratique<fnref n="1" />. Cette solution correspond à la partie de la branche D, au voisinage $\omega < \omega_b$ de la pseudorésonance $\omega = \omega_b$ (fig. 6.2, p. 239), telle que

$$(A-10.6) \qquad \frac{A}{m} \ll N^2 \le \left( \frac{A}{2 \frac{a}{c} m} \right)^{2/3} :$$

pour $A = 10^5$, par exemple (et $m = 2000$), ces limites correspondent à

$$50 \ll N^2 \ll 2.10^2.$$

<footnote n="1">1. On a en effet $\beta_e = (\frac{a_e}{c})^2 \frac{\omega_p^2}{\omega_b^2} \neq (\frac{a}{c})^2 \frac{A}{m}$ où $\beta_e$, $m$ et $A$ sont définis en (2.3.9), (3.4.22) et (3.5.11). Pour $a_e/c = 10^{-3}$, $m = 2.10^3$, on a donc $\beta_e = 5.10^{-8} A$ : la condition $\beta_e \ll 1$ exige donc pour A des valeurs pas trop élevées, disons $A \lesssim 10^4$, c'est-à-dire des plasmas pas trop denses (ce qui est aussi exigé par le modèle de Vlasov), ou des champs magnétiques pas trop faibles.</footnote>
d'après (3.5.14), $N_g = N$ : c'est le cas en hautes fréquences, en très basses fréquences, et pour le mode droit, au minimum de N, situé entre $\omega_b$ et $\Omega_b^{-1}$.

L'allure des courbes $N_g = f(x)$ sera montrée en même temps que les courbes de dispersion (fig. 3.21). On constate évidemment que l'indice de groupe n'est pas défini dans les bandes non passantes entre les coupures et les résonances.

Effet Faraday 3.5.3

L'existence des deux modes polarisés circulairement à droite et à gauche, de vitesses de phases différentes, entraîne, comme en optique cristalline, une rotation du plan de polarisation lors de la propagation d'une onde polarisée rectilignement. Supposons, en effet, qu'un telle onde tombe, avec une incidence normale, sur un magnétoplasma semi-infini, la direction Oz de propagation étant parallèle au champ magnétique $B_0$. Soit Ox la direction de la polarisation. On sait qu'on peut considérer cette onde comme résultant de la superposition de deux ondes polarisées circulairement à droite et à gauche. Ces deux dernières ne se propageant pas à la même vitesse, les champs correspondants n'auront pas tourné du même angle, au bout d'une distance L; en recomposant alors les deux vibrations circulaires, on obtiendra une vibration rectiligne, qui aura tourné d'un angle $\alpha$ (fig. 3.15). Cette rotation est proportionnelle à la différence des indices : on a en effet, entre les deux vibrations circulaires, de même fréquence, une différence de phase

$$ \varphi = (k_D - k_G) L = \frac{\omega}{c} (N_D - N_G) L. $$

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>FIGURE 3.15. Effet Faraday</figcaption></figure>

1. Il existe une relation géométrique très simple entre N et $N_g$ : on vérifie en effet que, puisque $NN_g = N^2 - x \frac{dN^2}{dx}$, la tangente à la courbe de dispersion au point $(x_1, N_1^2)$ coupe l'axe des N^2 au point d'ordonnée $N_1N_g$ : on retrouve donc la propriété $N = N_g$ pour les points à tangente horizontale ainsi que $N_g \to \infty$ pour les coupures et les résonances.
Dans le diagramme de Brillouin (x, ω), ces courbes de dispersion sont montrées sur la figure 4.12.

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIGURE 4.12.
Dispersion des modes basse fréquence</figcaption></figure>

Ces modes d'Alfvèn TE ont été observés expérimentalement en géométrie cylindrique dans le sodium liquide (Lundquist, 1949), la théorie devant alors tenir compte d'effets de résistivité finie, ce qui restreint l'intervalle de fréquence où ces ondes existent. Les modes TM ne peuvent pas être observés dans un liquide (incompressible), puisqu'ils possèdent une composante $E_{\parallel}$, à laquelle est associée une composante de vitesse parallèle à **k**: on ne peut donc plus satisfaire $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$. Plus récemment le mode torsionnel a été observé dans un plasma d'hydrogène (Wilcox et al, 1961; Jephcott et al., 1961).

## Allure des courbes de dispersion 4.5.6

Les résultats qui précèdent permettent de tracer les courbes de dispersion dans le plan (α, ω). Nous donnerons ces courbes dans les deux cas $ω_0 > ω_b$, et $ω_c < ω_b$. Les caractéristiques générales de ces diagrammes sont les suivantes :

- aux basses fréquences, il apparaît des modes du type Alfvèn, comme dans le cas illimité : ces modes sont dus essentiellement à la présence du champ $B_0$. Le mode d'Alfvèn proprement dit, $\omega \sim \alpha V_A$, présente une résonance à $\omega = \Omega_b$. L'autre mode qui n'est du type Alfvèn que dans un domaine de $\omega$, centré sur $\omega = \Omega_b$, présente une coupure $\omega_{c1} = \omega_c^A$ quand $\alpha \to 0$, et une résonance, quand $\alpha \to \infty$, pour une fréquence égale à la plus petite des valeurs $\omega_0$ et $\omega_b$.

- aux plus hautes fréquences, on observe d'une part deux modes du type ondes guidées dans le vide, avec les coupures $\omega_{c2}$ et $\omega_{c3}$, et qui tendent vers l'onde dans le vide pour $\omega$ et $\alpha \to \infty$; et d'autre part un mode « plasma », dont la coupure $\omega_c$ , donnée en (4.5.27), est indépendante de $B_0$, et qui résonne sur la plus grande des deux fréquences $\omega_0$ et $\omega_b$. Pour certaines valeurs des paramètres, lorsque $\omega_{c2} < \omega_c$, on a donc un point de couplage entre le « mode plasma » et un des « modes de guide » : alors,
Avec cette répartition de courant, on peut calculer l'impédance $Z = R_r + iL$. Pour $R_r$, un calcul numérique, dans le cas où

$f = 5kc, f_b = 1,4 Mcs, f_p = 9Mc, v = 0$ ($X = 3, 6.10^6, Y = 8.10^4$ Région ⑧) donne (Staras, 1964) les courbes de la figure 5.18.

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIGURE 5.18. Résistance de rayonnement pour le courant (5.7.9).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

Une telle approximation semble néanmoins justifiée, parce que l'on peut montrer que Z est une fonction stationnaire du courant J, et qu'elle est donc peu sensible au choix du courant au voisinage de sa valeur exacte (il existe d'ailleurs une méthode variationnelle du calcul de Z, se référer à Ament, 1964). De plus, dans la limite du dipôle court et mince ($a \ll l, k_0 l < 1, k_0 a \ll 1$) dans le vide, on trouve pour $R_r$ et L, les expressions classiques

$$R_r^0 = 80\pi^2 \left(\frac{l_{eff}}{\lambda}\right)^2 \quad L^0 = -\frac{120}{k_0 l_{eff}} \left(\log \frac{l_{eff}}{a} - 1\right)$$

où $l_{eff}$ est la longueur effective de l'antenne définie par $l_{eff} = \frac{1}{I_{0a}} \int J dV = 2l$.

### Réactance d'une antenne, plongée dans un plasma froid, anisotrope 5.7.3

Il existe très peu de résultats concernant cette réactance. La raison principale en est l'existence d'une gaine au voisinage de la surface métallique de l'antenne, qui a pour effet d'ajouter une capacité $C_g$ à la capacité C de l'antenne nue : on mesure donc une capacité $C_m$

$$C_m = \frac{CC_g}{C + C_g} \qquad (5.7.10)$$

La théorie des gaines étant encore imparfaite, on ne connaît pas très bien $C_g$. Ainsi, deux théories, tenant compte des effets de gaine, sont en complet désaccord : l'une (Balmain 1964) a été contrôlée, en laboratoire, par des mesures d'impédance de sonde; l'autre (Bramley, 1965) est liée à des mesures effectuées à bord d'une fusée.
Remarquons que la solution numérique pour le voisinage proche de $\omega_b$ (fig. 8.6), avec

$$k' \lesssim k_0 = \left( \frac{\omega_b \omega_p^2}{a_e c^2} \right)^{1/2} = \frac{\omega_b}{a_e} \beta_e^{1/2}$$

correspond à un indice

$$\text{(A-10.7)} \qquad N^2 \le \frac{k'^2 c^2}{\omega_b^2} = \left( \frac{c}{a_e} \frac{\omega_p^2}{\omega_b^2} \right)^{2/3} = \frac{c^2}{a_e^2} \beta^{2/3}$$

du même ordre de grandeur que la limite supérieure dans (A-10.6).

## 11. Particules résonnantes

Dans l'approximation linéaire, on calculera la phase du champ $E = E_0 e^{i(k \cdot r - \omega t)}$ au point où se trouve la charge à l'instant $t$, en prenant la position non perturbée (quand $E = 0$) de cette charge à cet instant $t$.

$$\text{Si } B_0 = 0 \quad 11.1$$

le mouvement non perturbé est défini par $r(t) = r_0 + v_0 t$, et on aura

$$\text{(A-11.1)} \qquad k \cdot r - \omega t = k \cdot r_0 + (k \cdot v_0 - \omega)t.$$

Le champ, et par suite, la force qui s'exerce sur la charge, ne dépendra pas du temps si (en prenant $k$ le long de $Oz$)

$$\text{(A-11.2)} \qquad v_{0z} = \frac{\omega}{k} = v_{\varphi}.$$

Les particules remplissant cette condition sont dites résonnantes; cela ne pourra avoir lieu que pour l'onde longitudinale, pour laquelle, au voisinage des résonnances plasmas, on peut avoir $v_\varphi < c$, tandis que pour l'onde transversale on a toujours $v_\varphi > c$.

$$\text{Si } B_0 \neq 0 \quad 11.2$$

le mouvement non perturbé est défini par $\dot{v} = \frac{q}{m} v \times B_0 = \omega_b \times v$, d'où

$$\begin{cases} v_z(t) = v_{z0} \\ v_x(t) = v_\perp \cos \omega_b t \quad \text{et} \quad r_x(t) = \frac{v_\perp}{\omega_b} \sin \omega_b t + r_{0x} \end{cases}$$

Alors, la phase devient, pour $k = (k_x, 0, k_z)$

$$k \cdot r - \omega t = k \cdot r_0 + \frac{k_x v_\perp}{\omega_b} \sin \omega_b t + (k_z v_{0z} - \omega) t$$

où $r_0 = r(t=0)$.

En utilisant le développement

$$\text{(A-11.3)} \qquad e^{i\alpha \sin \varphi} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} J_n(x) e^{in\varphi}$$
D'où la rotation $\alpha$, en radians

$$ (3.5.17) \qquad \alpha = \frac{\varphi}{2} = \frac{1}{2} (k_D - k_G) L = \frac{\omega}{2c} (N_D - N_G) L. $$

A titre d'exemple, plaçons-nous au voisinage de la coupure $N_D = 0$. Avec (3.5.9), on trouve, pour la rotation Faraday par unité de longueur

$$ \frac{\alpha}{L} = - \frac{\omega_D}{c\sqrt{2}} \left( \frac{\omega_b}{\omega_D + \omega_b} \right)^{\frac{1}{2}} $$

où $\omega_D$ est donné en (3.4.29). Pour $n_0 = 2.10^{11}$, $B_0 = 3.10^{-4}$, on a $\omega_b = 5,3.10^7$ et $\omega_D = 6,3.10^7$

d'où $\frac{|\alpha|}{L} = 0,1 \text{ radian/mètre} \sim \frac{1}{6} \text{ tour par mètre.}$

Au voisinage d'une résonance, cet effet deviendra particulièrement important (Cf. fig. 3.16 a).

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE 3.16a.</figcaption></figure>

Si le milieu est absorbant, les deux ondes circulaires ne garderont pas, en général, des amplitudes égales, et, à la place d'une vibration rectiligne, on obtiendra, par superposition au bout d'un trajet L, une vibration polarisée elliptiquement.

Cet effet est utilisé comme moyen de diagnostic (il dépend de $n_0$ et $B_0$) aussi bien dans les plasmas de laboratoire que dans l'ionosphère (nous y reviendrons au § 3.8) et qu'en astrophysique, où il permet l'étude des radio-galaxies (Gardner et Whiteoak, 1963). De la mesure de la rotation pour deux longueurs d'onde différentes, on peut déduire la distance entre la source et l'observateur.
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIGURE 4.13.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Allure des courbes de dispersion pour un magnétoplasma emplissant entièrement un guide, à B₀ axi
Dans le vide on a, pour un dipôle électriquement court et mince (longueur 2l, rayon a)

$$L^0 = - \frac{60}{k_0 l} \left[ \log \frac{2l}{a} - 1 \right] \sim \epsilon_0^{-1/2}$$

qui tend vers l'infini pour $a \to 0$.

On aura donc, pour $Y = 0$ ($B_0 = 0$), dans un milieu de constante diélectrique $\epsilon$ et dans les régions où il n'y a pas de résonance (l'approximation dipôle est alors valable), par exemple pour les régions ① et ②, une capacité (sans gaine)

$$(5.7.11) \qquad \frac{C}{C^0} = \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\epsilon}} = (1 - X)^{-1/2}.$$

Un résultat théorique, pour une antenne réelle (avec $J \sim \frac{e^{-\rho}}{\rho}$ et sans tenir compte de la gaine), conduit à une inductance L (tandis que dans le vide c'est une capacitance), pour $\Phi = 0$, et pour les valeurs données plus haut des paramètres X et Y² (région ⑧).

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIGURE 5.19. Capacité et self d'un dipôle ($B_0 = 0$)</figcaption></figure>

Pour $B_0 \neq 0$, quand on néglige la présence d'une gaine, et dans les régions où il n'y a pas de résonance, on peut calculer C dans la limite quasi statique. Le problème se ramène alors à la résolution de l'équation de Poisson dans le vide, mais avec une antenne dont la surface est transformée par $x' = x$, $y' = y$, $z' = \sqrt{\frac{x_1}{x_3}} z$. Si C' est la capacité calculée dans cet espace $(x', y', z')$, la capacité de l'antenne est alors

$$(5.7.12) \qquad C = \sqrt{x_1 x_3} C'$$

On obtient ainsi des expressions de C pour des antennes cylindriques ou coniques. En fait, un certain nombre de résultats expérimentaux montrent l'influence importante des gaines autour de l'antenne. Cette influence (qui joue aussi bien sur $R_r = ReZ$ que sur $ImZ$) est liée, semble-t-il, à la génération d'ondes de plasma, qui absorbent une partie de la puissance rayonnée; mais cette question n'est pas encore bien élucidée à l'heure actuelle.
il vient

$$ (A-11.4) \qquad e^{i(k \cdot r - \omega t)} = e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_0} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} J_n \left( \frac{k_x v_\perp}{\omega_b} \right) e^{-i(\omega - n\omega_b - k_z v_{0z})t} $$

On obtient donc une superposition d'ondes se propageant dans la direction Oz. Pour chacune d'elles, la phase du champ vu par la particule sera indépendante du temps si

$$ (A-11.5) \qquad \omega - n\omega_b - k_z v_{0z} = 0, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots $$

Dans le référentiel où la particule est au repos, la fréquence du champ E, modifiée par effet Doppler, devient $\omega' = \omega - k_y v_{0z}$. La condition (A-11.5) est donc la condition de résonance dans le référentiel de la particule

$$ \omega' = n\omega_b. \\ \text{Ces conditions} \\ \omega = n\omega_b + k_z v_{0z} $$

se trouvent réalisées, pour $n \neq 0$, aux voisinages des « résonances » gyromagnétiques et de leurs harmoniques; pour $n = 0$, on retrouve la condition (A-11.2) obtenue pour $B_0 = 0$.

## 12. Vitesse de groupe et vitesse de signal au voisinage d'une fréquence d'absorption

Le concept de vitesse de groupe a été introduit pour des paquets d'ondes se propageant dans un milieu sans perte. Dans le cas où la fréquence centrale $\omega_0$ d'un paquet se trouve dans une bande d'absorption, Brillouin (1960) a montré que cette vitesse de groupe $v_g$ perd toute signification physique, et doit être remplacée dans cette région par une vitesse $v_s$, appelée *vitesse de signal*.

Cette modification peut s'expliquer ainsi : au cours de leur propagation, les composantes du paquet sont plus amorties du « côté » de la bande d'absorption que de l'autre, et le paquet va se déformer pendant la propagation, son centre se déplaçant vers l'extérieur de la bande d'absorption. En définissant la vitesse du paquet par celle du maximum de son amplitude on conçoit que, par suite du déplacement du centre, cette vitesse puisse être différente de $v_g$, vitesse du centre en l'absence d'absorption.

Pour illustrer ce qui précède, considérons un paquet d'ondes, de fréquence centrale $\omega_0$, se propageant dans un milieu dispersif homogène; caractérisons ce paquet par<fnref n="1" />

$$ (A-12.1) \qquad S(z, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} A(\omega) e^{i(kz - \omega t)} d\omega $$

<footnote n="1">1. Nous nous limitons ici au cas où le vecteur $\mathbf{k}$ a une direction Oz fixée; dans un milieu anisotrope cela n'est plus vrai et on devra tenir compte de la variation de l'angle entre $\mathbf{k}$ et $v_g$ au cours de la propagation.</footnote>
Pour $n_0$ et $B_0$ fixés, on peut déduire des courbes de dispersion des modes droit et gauche (Cf. fig. 3.18 à 3.20), la variation, en fonction de $\omega$, de la rotation Faraday par unité de longueur. Cette variation est montrée sur les figures 3.16 a et b.

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIGURE 3.16 b.</figcaption></figure>

Dans la limite des hautes fréquences, on a, d'après (3.5.8), $N_D \# N_G \# N^0$, et, au premier ordre en $\omega_b/\omega$, $N_D^2 - N_G^2 \# - 2\omega_b\omega_p/\omega^3$. Alors

$$N_D - N_G \# - \omega_b \frac{\omega_p^2}{\omega^3 N^0}$$

proportionnel à l'intensité du champ magnétique $B_0$ : on retrouve la loi de Verdet, $\alpha/LB_0 = c^{\text{te}}$, pour la polarisation rotatoire magnétique en optique. Mais ici, au voisinage de $\omega \gtrsim \omega_p$, l'effet devient très important ($N^0 \ll 1$).

## Ondes principales en propagation perpendiculaire 3.5.4

Les équations de dispersion sont :

### 3.5.4.1. ONDE ORDINAIRE

$N^2 = \kappa_3 = \kappa^0$ : c'est une onde transversale, polarisée rectilignement le long de $B_0$, identique au mode transversal obtenu en l'absence de champ magnétique.
un des modes de guide est coupé à $\omega = \omega_c$, mais se trouve très perturbé entre $\omega_0$ et $\omega_b$, tandis que le mode plasma, très perturbé lui aussi, est coupé à $\omega = \omega_{c2}$.

De nombreux cas existent, et l'allure des courbes obtenues dépend en grande partie des valeurs respectives des fréquences de coupures et de $\omega_0, \omega_b, \omega_c$ (Cf. 4.5.38), etc., compte tenu de l'étude du voisinage des résonances gyromagnétiques [Cf. Bers, 1963; dans le cas des hautes fréquences, Stover et Kino, 1964; Halpern et Schmidt, 1965.]

## 4.6. Ondes dans un guide partiellement empli de plasma

### Plasma isotrope 4.6.1

Lorsque $B_0 = 0$, nous avons étudié au § 4.3 les modes pouvant exister dans un plasma limité par un diélectrique isotrope, en particulier par le vide. Nous avons alors obtenu des modes rayonnants, ou des modes non rayonnants, ces derniers apparaissant en général comme des ondes de surface. Le problème du guide partiellement empli de plasma s'en déduit facilement en imposant, à l'onde extérieure, les conditions aux limites sur le guide conducteur. Pratiquement, on doit tenir compte d'un diélectrique entourant le plasma (c'est par exemple un tube de verre), et du vide séparant le diélectrique du guide. On doit donc raccorder trois types de solution, une dans chacun des milieux. Les calculs sont plus compliqués, mais les caractéristiques de la propagation, dégagées au § 4.3, restent valables.

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

On trouvera des développements dans le cas de la géométrie cylindrique dans de nombreux articles; en général, pour les modes non rayonnants, les calculs reposent sur l'approximation quasi statique. Nous donnons ici les courbes de dispersion dans le cas de la géométrie cylindrique (Branch et Mihran, 1955; Trivelpiece, 1958; Trivelpiece et Gould, 1959) pour les modes indépendants de $\varphi$ (Cf. fin du § 4.5.2).

On voit sur les courbes de dispersion la faible influence du rayon extérieur fini $b$. Seule la constante diélectrique du milieu extérieur joue un rôle, déjà signalé : la limite supérieure de $\omega$ pour ces modes non résonnants est $\frac{\omega_0}{\sqrt{1 + x_D}}$.
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE 5.20.
Capacité d'un dipôle ($B_0 \neq 0$)</figcaption></figure>

Ces effets sont d'ailleurs considérablement augmentés pour les antennes en mouvement : il apparaît alors un sillage ionisé dont les dimensions peuvent atteindre un grand nombre de fois celles de l'antenne. De la même façon, il existe un sillage dû au mouvement du véhicule sur lequel est fixée l'antenne, et les effets observés dépendent très fortement de sa position par rapport à l'antenne, surtout aux très basses fréquences (Storey, 1963).

Diagrammes de Rayonnement d'un dipôle plongé dans un plasma froid,

anisotrope 5.7.4

En tenant compte des différents modes caractéristiques, on peut calculer (Kuehl, 1962) le vecteur de Poynting associé aux ondes émises par un dipôle **p** (*p*<sub>x</sub>, *O*, *p*<sub>z</sub>). Les expressions se simplifient pour *x*₂ = 0 (B₀ très fort ou basses fréquences) :

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

Pour un dipôle le long de Ox, on trouve
$$ (5.7.13) \quad \begin{aligned} S^z(\theta, \Phi) &= A \frac{p_x^2}{r^2} \left[ \frac{\chi_1 \chi_3^2 \cos^2 \theta \cos^2 \Phi}{[\chi_1 \cos^2 \theta + \chi_3 \sin^2 \theta]^{1/2}} + \sqrt{\chi_1 \sin^2 \Phi} \right] \\ \text{avec} \quad A &= k_0^4 / (32\pi^2 \epsilon_0^3 / \mu_0) \end{aligned} $$
$$ \epsilon_0 = k_0^2 / (32\pi^2 \epsilon_0^3 / \mu_0) $$

donnant un diagramme de rayonnement qui n'a pas la symétrie de révolution autour de l'axe du dipôle.

Pour un dipôle le long de Oz

$$ (5.7.14) \quad S^z(\theta) = A \frac{p_x^2}{r^2} \chi_1 \chi_3^2 \sin^2 \theta [\chi_1 \cos^2 \theta + \chi_3 \sin^2 \theta]^{-1/2} $$

Pour $B_0 = 0$, on retrouve bien ($\chi_1 = \chi_3$) le diagramme habituel, avec $S \sim \sqrt{\chi_3} \sim \sqrt{1-X}$
Dans le plan $(B_0, \mathbf{p})$, où $\Phi = 0$, on a, en prenant la direction d'observation par rapport au dipôle $(\mathbf{r}, \mathbf{p}) = \alpha$,

$$ S^x(\alpha, 0) = S^z(\alpha). $$

Dans la limite $B_0 \to \infty$, on trouve dans les deux cas suivants :
où d'amplitude A(ω) est une fonction centrée sur ω₀ : nous prendrons, pour
simplifier les calculs, une fonction gaussienne

$$
(A-12.2) \qquad A(\omega) = A_0 e^{-\alpha(\omega - \omega_0)^2}
$$

où $\alpha^{-1} \sim (\Delta\omega)^2$ fixe sur la « largeur en fréquence », $\Delta\omega$, du paquet.

1 — Supposons le milieu non absorbant pour les fréquences voisines de ω₀.
Alors, k = k(ω) est réel, et en posant ω = ω₀ + u, on a

$$
k(\omega) = k(\omega_0) + u \left(\frac{\partial k}{\partial \omega}\right)_{\omega=\omega_0} = k_0 + u k'_0.
$$

D'où

$$
S(z, t) = A_0 e^{i(k_0 z - \omega_0 t)} \int_{-\infty}^{+\infty} du \, e^{-\alpha u^2 + i(k'_0 z - t)} u
$$

et, en posant $\theta = t - k'_0 z$

$$
S(z, t) = A_0 e^{i(k_0 z - \omega_0 t)} e^{-\frac{\theta^2}{4\alpha}} \int_{-\infty}^{+\infty} du \, e^{-\alpha \left(u - \frac{t\theta}{2\alpha}\right)^2}
$$

où l'intégrale vaut (π/α)½. D'où

$$
S(z, t) = A_0 \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} e^{-\frac{\theta^2}{4\alpha}} e^{i(k_0 z - \omega_0 t)}
$$

la seconde exponentielle est la porteuse, tandis que la première fixe la « modula-
tion », c'est-à-dire l'amplitude du signal en fonction du temps.

En z = 0, on a

$$
S(0, t) = A_0 \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} e^{-i\omega_0 t} e^{-\frac{t^2}{4\alpha}}
$$

En z = z₀, on a un signal centré sur
l'instant t₀ = k'₀z₀, de même forme¹ que
le signal S (0, t)

(A.12.3)

$$
S(z_0, t - t_0) = A_0 \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} e^{i(k_0 z - \omega_0 t)} e^{-\frac{(t-t_0)^2}{4\alpha}}
$$

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE A-12.1.</figcaption></figure>

(où, cette fois-ci, la largeur Δt du paquet est caractérisée par α½ : on retrouve la relation d'incertitude Δt · Δω ≈ 1) : ce signal s'est donc propagé à la vitesse

$$
v_g = \frac{z_0}{t_0} = (k'_0)^{-1} = \left(\frac{\partial \omega}{\partial k}\right)_0 .
$$

1. Il a déjà été signalé, au chapitre 5, que la déformation du paquet était lié au terme suivant, $\frac{1}{2} k u^2$ dans le développement de k. Nous préciserons ce point pour k complexe, puisqu'alors on doit faire intervenir la déformation du paquet.
On l'appelle pour cette raison l'onde ordinaire

$$ (3.5.18) \qquad N_0^2 = 1 - \frac{\omega_0^2}{\omega^2} = N^{02}. $$

Comme l'oscillation de plasma pour $\theta = 0$, cette onde est évidemment indépendante de $B_0$, puisque les courants excités par le champ E, parallèle au champ magnétique $B_0$, ne sont pas affectés par ce dernier.

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>a) Mode ordinaire.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>b) Mode extraordinaire</figcaption></figure>

<caption>FIGURE 3.17. Polarisations des ondes en propagation perpendiculaire</caption>

### 3.5.4.2. ONDE EXTRAORDINAIRE

$N^2 = \frac{\kappa_1 - \kappa_2}{\kappa_1}$ : cette onde, polarisée dans le plan $(x, y)$ est donc une onde « mixte », à polarisation ni purement longitudinale, ni purement transversale : on l'appelle *onde extraordinaire*. D'après (3.4.34) on a, dans ce cas

$$ (3.5.19) \qquad E_x/E_y = i\kappa_2/\kappa_1. $$

Puisque, en général, $\kappa_1 \neq \kappa_2$, cette onde est une onde polarisée elliptiquement dans le plan perpendiculaire à $B_0$, à gauche ou à droite suivant les signes de $\kappa_1$ et $\kappa_2$. Pour les coupures $\kappa_1 \pm \kappa_2 = 0$, on obtient des ondes circulaires droite et gauche; pour la résonance $\kappa_1 = 0$ (éq. (3.4.24) et (3.4.25)), une onde polarisée rectilignement suivant $Ox$, donc purement longitudinale, conformément au résultat général du § 3.4.

Précisons qu'à la composante longitudinale $E_x$ du champ E est associée, par l'équation de Poisson, une densité de charge d'espace; cette dernière trouve son origine dans les vitesses $v_{ex}$ et $v_{ix}$, différentes pour les électrons et les ions : ces vitesses longitudinales prennent naissance sous l'action des champs croisés $E_y$ et $B_0$. (On a aussi, sous l'action des champs $E_x$ et $B_0$, des vitesses $v_{ey}$ et $v_{iy}$ différentes; mais elles sont transversales et ne contribuent pas à la charge d'espace. Ceci correspond au fait que, transversalement à $k$, le système admet la symétrie
<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>FIGURE 4.14. Courbes de dispersion des ondes de surface dans le cas d'une colonne de plasma, le milieu extérieur étant le vide ($\kappa_D = 1$) ou le verre ($\kappa_D = 4$) (mode $TE_{op}$ indépendant de $\phi$)</figcaption></figure>

Dans le cas des modes dépendant de $\phi$, en $e^{in\phi}$, on a des résultats analogues pour $\alpha \to \infty$, mais pour $\alpha \to 0$, les fréquences de coupure sont finies. Par exemple, pour le « mode dipolaire » ($n = 1$), et pour le vide ($\kappa_D = 1$), on a les courbes de dispersion ci-dessous (fig. 4.15).

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>FIGURE 4.15. Dispersion du mode dipolaire</figcaption></figure>
### 5.7.4.1. DIPOLE DIRIGÉ SUIVANT Ox :

pour $X < 1$ la puissance totale reste finie, avec une résistance de rayonnement ($l$ = longueur du dipôle) :

$$R_f(x) = \frac{\pi}{6} \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} \cdot \frac{l^2}{\lambda_0^2} (4 - X)$$

pour $X \to 1$, toute la puissance est pratiquement rayonnée dans la direction du dipôle
pour $X > 1$, on a une puissance totale rayonnée qui tend vers l'infini;

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>FIGURE 5.21. Diagramme de rayonnement d'un dipôle Ox. (D'après Kuehl, 1962)</figcaption></figure>

### 5.7.4.2. DIPOLE DIRIGÉ SUIVANT Oz

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>FIGURE 5.22. Diagramme de rayonnement d'un dipôle Oz. (D'après Kuehl, 1962)</figcaption></figure>
2 — Pour $k = \beta + i\gamma$, complexe, la situation est différente parce que l'amortissement, caractérisé par $\gamma(\omega)$, n'est pas le même pour les différentes composantes du paquet. On a

$$S(z, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} A(\omega) e^{-\gamma z} e^{i(\beta z - \omega t)} d\omega.$$

Avec $\omega = \omega_0 + u$, en se limitant au second ordre en $u$ pour $\beta$ et $\gamma$ — ce qui implique d'avoir un paquet assez étroit en fréquence ($\alpha$ grand <fnref n="1" />) et de ne pas être trop près du maximum de l'absorption —, on a

$$\beta = \beta_0 + \beta'_0 u + \frac{1}{2} \beta''_0 u^2; \quad \gamma = \gamma_0 + \gamma'_0 u + \frac{1}{2} \gamma''_0 u^2$$

et pour le paquet $A(u) = A_0 e^{-\alpha u^2}$

$$(A-12.5) \qquad S(z, t) = e^{i(\beta_0 z - \omega_0 t)} A_0 e^{-\gamma_0 z} \int_{-\infty}^{+\infty} du \, e^{-au^2 + bu}$$

où

$$a = \alpha + \frac{1}{2}\gamma''_0 z - \frac{i}{2}\beta''_0 z \\ b = -\gamma'_0 z - i\theta, \qquad \theta = t - \beta'_0 z$$

Avec $v = u - \frac{b}{2a}$, l'intégrale s'écrit, (d'après les hypothèses, $Rea > 0$ et l'intégrale converge)

$$e^{b^2/4a} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-av^2} dv = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{b^2/4a}.$$

L'amplitude (complexe) $A(z, t)$ de la modulation est donc

$$A(z,t) = \frac{\sqrt{\pi A_0}}{\sqrt{a}} e^{-\gamma_0 z + b^2/4a}.$$

En posant

$$\lambda = \gamma'_0 z, \quad \mu = 2\alpha + \gamma''_0 z, \quad \nu = \beta''_0 z$$

(quantités indépendantes du temps), on a, après calcul, une amplitude

$$(A-12.6) \qquad A(z, \theta) = \sqrt{2\pi A_0 (\mu - i\nu)}^{-\frac{1}{2}} H(z, \theta)$$

où

$$H(z,\theta) = \exp \left\{ \gamma_0 z + \frac{1}{2(\mu^2 + \nu^2)} \left[ \mu\theta^2 + 2\lambda\nu\theta - \lambda^2\mu + i(\nu\theta^2 - 2\lambda\mu\theta - \lambda^2\nu) \right] \right\}$$

dont le module est de la forme

$$(A-12.7) \qquad |A(z, \theta)| = \sqrt{2\pi A_0 (\mu^2 + \nu^2)}^{-\frac{1}{4}} e^{-f_0(z)} e^{-g_0 \theta^2 - 2h_0 \theta}.$$

<footnote n="1">1. Plus précisement, $\beta''_0 u \ll \beta''_0$, pour $u \sim \alpha^{-1/2}$, soit $\alpha \gg (\beta''_0/\beta_0)^2$, et de même pour $\gamma$, $\alpha \gg (\gamma''_0/\gamma_0)^2$.</footnote>
de translation, ce qui donne donc un effet global nul.) Ce qui précède montre le rôle essentiel joué par le champ $B_0$ dans la structure de cette onde extraordinaire.

Les trois fréquences de coupure sont $\omega = \omega_0$ (onde ordinaire) et $\omega = \omega_D$, $\omega_G$ (onde extraordinaire), $\omega_D$ et $\omega_G$ étant les mêmes qu’en propagation parallèle (éq. 3.4.31). Elles correspondent, pour $B_0$ faible, au triplet Zeeman, observé perpendiculairement à $B_0$. On trouve, au voisinage de $\omega = \omega_p$, la raie centrale $\omega = (\omega_p^2 + k^2c^2)^{1/2}$, polarisée le long de $B_0$, et les deux raies latérales $\omega = [ (\omega_p \pm \frac{1}{2}\omega_b)^2 + \frac{1}{2}k^2c^2 ]^{1/2}$, polarisées circulairement à droite et à gauche dans le plan perpendiculaire à $B_0$.

Seule, l'onde extraordinaire présente des résonances, définies par $\kappa_1 = 0$, qui sont les deux résonances hybrides $\omega_I$ et $\omega_{II}$, données par (3.4.24) et (3.4.25) :

$$ \omega_I = (\omega_p^2 + \omega_b^2)^{1/2} \quad ; \quad \omega_{II} = \left( \frac{\omega_p^2 + \omega_b^2 \Omega_b}{\omega_p^2 + \omega_b^2} \omega_b \Omega_b \right)^{1/2} $$

Avec les expressions (3.4.21) pour $\kappa_1$, et (3.5.6) et (3.5.7) pour $\kappa_1^2 - \kappa_2^2 = N_D^2 N_0^2$, on obtient facilement pour l'indice $N_x$ de l'onde extraordinaire :

$$ (3.5.20) \qquad N_x^2 = 1 - \frac{\omega_0^2 (\omega^2 - \omega_0 - \omega_b \Omega_b)}{(\omega^2 - \omega_b^2)(\omega^2 - \Omega_b^2) - \omega_0^2 (\omega^2 - \omega_b \Omega_b)} $$

qui, après calcul, se met sous la forme :

$$ (3.5.21) \qquad N^2 = \frac{(\omega^2 - \omega^2 - \omega_b \Omega_b)^2 - (\omega_b - \Omega_b)^2 \omega^2}{(\omega^2 - \omega_b^2)(\omega^2 - \Omega_b^2) - \omega_0^2 (\omega^2 - \omega_b \Omega_b)} $$

Examinons les expressions limites de $N_x^2$ :

a) aux très hautes fréquences (3.5.21) devient

$$ (3.5.22) \qquad N_x^2 \approx 1 - \frac{\omega_0^2}{\omega^2} = N^{02} $$

on retrouve l'onde électromagnétique ordinaire.

b) pour $\omega > \omega_p \gg \Omega_p$ et $\Omega_b$

$$ (3.5.23) \qquad N_x^2 \approx N^{02} - \frac{\omega_0^2 \omega_b^2}{\omega^4 N^{02}} $$

qui montre que dans cette région $N_x < N_0 = N^0$.

c) aux très basses fréquences, on obtient :

$$ (3.5.24) \qquad N_x^2 = 1 + \frac{\omega_0^2 (\omega_0^2 + \omega_b \Omega_b)}{\omega^2 \Omega_b^2 + \omega_0^2 \omega_b \Omega_b} = 1 + \frac{\omega_0^2}{\omega_b \Omega_b} = 1 + A $$

c'est l'onde d'Alfvèn définie en (3.5.10).

L'onde ordinaire, indépendante de $B_0$, est le mode habituellement utilisé dans les méthodes de diagnostics hyperfréquences (Cf. p. 118-119).
Champ magnétique axial 4.6.2

Dans le cas où $B_0 \neq 0$, on doit encore raccorder les solutions sur les surfaces limites. On aura là aussi des modes rayonnants et des modes non rayonnants. Néanmoins, les calculs deviennent fastidieux et, le plus souvent, seuls des cas particuliers ont été étudiés dans la limite de l'approximation quasi statique (Smullin et Chorney, 1958; Stover et Kino, 1964) ou de l'approximation MHD (Stix, 1957; Gajewski, 1959; Wilcox et al., 1961). Des approches générales ont cependant été déjà effectuées (Akhiezer et al., 1958).

Cependant, l'approximation quasi statique tombe en défaut dès que la fréquence n'est plus basse et que les champs transverses ne sont plus négligeables : nous avons déjà signalé les différences au voisinage de $\omega = \omega_b$. Aussi une étude systématique, excluant cette approximation, est nécessaire : elle a été faite par A. Bers (Allis et al., 1963).
pour $X < 1$, on a une résistance de rayonnement

$$R(\phi) = \frac{2\pi}{3} \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} \frac{l^2}{\lambda_0^2}$$

avec, quand $X \to 1$, une directivité le long de Ox, c'est-à-dire, perpendiculaire au dipôle. pour $X > 1$, on a encore une puissance totale rayonnée qui devient infinie.

### Cas des plasmas chauds 5.7.5

Il existe peu de résultats. Kuehl (1963) a donné un calcul basé sur l'approximation hydro-dynamique, mais un tel modèle n'est pas correct au voisinage des résonances, car les effets thermiques deviennent alors très importants ($v_φ \to 0$). Il faut revenir dans ce cas au modèle microscopique et tenir compte également des effets de gaine.

Avec les gaines, le problème devient beaucoup plus difficile, car on peut penser que les ondes longitudinales naissent à la « lisière » de la gaine, par couplage avec les ondes électromagnétiques transversales. Ceci dépend beaucoup du modèle choisi pour décrire la gaine.

## 5.8. Rayonnement à travers une surface plane vide-plasma

### Plasma isotrope 5.8.1

Dans le cas où $B_0 = 0$, le plasma se comporte comme un diélectrique isotrope, de constante diélectrique, scalaire, $\epsilon = \epsilon_0 \kappa^0 = \epsilon_0 (1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2})$.

La surface des indices est alors une sphère, de rayon $\kappa^{0.5} < 1$ dans le plasma, et de rayon 1 dans le vide.

Les conditions aux limites (Cf. chap. 4 : continuité des composantes tangentielles $E_t$ et $H_t$ sur la surface de séparation $\Sigma$) impliquent que toutes les ondes, réfléchies ou transmises, aient des vecteurs d'onde de mêmes composantes tangentielles que le vecteur d'onde incident : c'est la loi de Descartes.

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>FIGURE 5.23. Passage plasma isotrope-vide</figcaption></figure>

Au vecteur $k_i$ incident dans le plasma, correspond donc une onde réfléchie $k_r$ dans le plasma et une onde transmise $k_t$ dans le vide (fig. 5.23), et ce, pour tout vecteur incident $k_i$; on obtient, à la limite, $k_i$ parallèle à la surface de séparation (rayon latéral), par conséquent un angle de réfraction limite définissant un cône à l'intérieur duquel se trouvent toutes

les ondes transmises; sur la surface de ce cône, on aura un maximum de puissance transmise.

Inversement, parmi les ondes émises par une source placée dans le vide,
En un point donné $z = z_0$, on a donc une amplitude de modulation

$$|A(z_0, \theta)| = K(z_0) e^{-g_0 \theta^2 - 2h_0 \theta}$$

où $K(z_0)$ est un facteur constant et où l'exponentielle contient, à travers $\theta$, la dépendance temporelle. Le centre du paquet, défini comme le point d'amplitude maximum se trouve en $\theta = \theta_c$ tel que

$$(A-12.8) \qquad \theta_c = -\frac{h_0}{g_0} = -\frac{\lambda v}{\mu} = -\frac{\beta_0'' \gamma_0' z^2}{2\alpha + \gamma_0'' z}$$

et est donc déplacé (à droite ou à gauche suivant les signes de $\beta''$ et $\gamma_0'')$ par rapport au point $\theta = 0$ qui était la position du centre du paquet lorsque le milieu n'est pas absorbant. Lorsque $\theta_c < 0$, le centre du paquet est arrivé en $z_0$ au bout d'un temps $t < t_0$: sa vitesse de propagation (appelée vitesse de signal $v_s$) est donc $v_s > v_g$; au contraire, si $\theta_c > 0$, on a $v_s < v_g$.

Rapporté à son centre $\theta = \theta_c$, le paquet en $z_0$ a pour amplitude

$$|A(z_0, \tau)| = K(z_0) e^{h_0^2/g_0} e^{-g_0 \tau^2}, \quad \tau = \theta - \theta_c$$

séparant une atténuation d'ensemble, exprimée par le facteur $K e^{h_0^2/g_0}$, du facteur temporel $e^{-g_0 \tau^2}$, qui fixe la « largeur du paquet »

$$(\Delta t)^2 \approx g_0^{-1} = 2\mu + \frac{2v^2}{\mu} = 2 \left[ 2\alpha + \gamma_0'' z + \frac{\beta_0''^2 z^2}{2\alpha + \gamma_0'' z} \right]$$

et précise l'élargissement de ce paquet au cours de sa propagation. Lorsque $k$ est réel, cet élargissement se réduit à $\frac{\beta_0''^2 z^2}{\alpha}$, dépendant de $\frac{d^2 k}{d\omega^2}$.

En plus du déplacement (A-12.8) dans le temps, on observe au cours de la propagation un déplacement de la fréquence centrale $\omega_0$: en $z$ donnée, celle-ci est définie par $\omega_c = -\left(\frac{\partial\Phi}{\partial t}\right)_{\theta=\theta_c}$, $\Phi$ étant la phase dans (A-12.5) : avec (A-12.6) on a donc

$$(A-12.9) \qquad \omega_c = \omega_0 + \frac{1}{\mu^2 + v^2} (v\theta_c - \lambda\mu) = \omega_0 - \frac{\lambda}{\mu} = \omega_0 - \frac{\gamma_0' z}{2\alpha + \gamma_0'' z}$$

Si les calculs qui précèdent montrent simplement l'essentiel de l'effet de l'absorption sur la propagation de l'énergie, ils ne sont pas rigoureux. L'intégrale (A-12.4) doit être évaluée par la « méthode du col », qui traduit analytiquement le principe de la phase stationnaire; la contribution principale à (A-12.4) s'obtient alors en effectuant l'intégration le long d'un contour du plan des $\omega$ complexes, sur lequel la phase reste stationnaire et pour lequel l'intégrant présente un maximum (le col).

Au premier ordre en $\frac{1}{2\alpha}$ les résultats (Quemada et Velut, 1967) sont les suivants :
La résonance hybride inférieure du mode extraordinaire a été proposée pour chauffer les ions d'un plasma (Auer, Hurwitz et Miller, 1958). Ces auteurs ont donné une description précise de cette résonance hybride. On peut en donner une image physique simple (Stix, 1962) : aux fortes densités, $\omega_{II} \approx (\omega_b\Omega_b)^{1/2}$, d'où $\omega_{II} \gg \Omega_b$, le mouvement des ions est donc très peu affecté par le champ $B_0$, et se fait pratiquement parallèlement au champ $E_\alpha$ (ellipse très aplatie dans la direction Ox. Les électrons, pour lesquels $\omega_{II} \ll \omega_b$, effectuent principalement un mouvement en champ croisé ($E_\alpha$ et $B_0$) : ellipse très aplatie dans la direction Oy. On montre que ces ellipses ont, à la résonance $\omega = \omega_{II}$, la propriété suivante : le grand axe ionique est égal au petit axe électronique (Auer et al, 1958), ce qui assure des mouvements électroniques et ioniques (dans la direction Ox) en phase : la charge d'espace $\rho$ des ions est donc neutralisée, ce qui conduit à un courant de polarisation $J^P = \frac{\omega}{k}\rho \# 0$ : l'onde peut donc se propager.

### Effet Cotton-Mouton 3.5.5

Si une vibration rectiligne transversale tombe, sous incidence normale, sur un magnéto-plasma semi-infini, le champ $B_0$ étant parallèle à la surface de séparation vide-plasma (dans la géométrie choisie ici, le champ $E$ de l'onde est donc dans le plan yOz), elle se décomposera en les deux modes, ordinaire (3.5.18) et extraordinaire (3.5.20), qui se propagent à des vitesses différentes et vont donc présenter une différence de marche $\delta = (N_0 - N_x)L$ au bout d'un trajet L. Cette différence demarche n'existe pas en l'absence de champ magnétique, où la vibration transversale se propage sans déformation. Dans la limite des très hautes fréquences, on obtient, d'après (3.5.20)

$$N_0 - N_x \approx \frac{N_0^2 - N_x^2}{2N^0} \approx \frac{\omega_0^2}{2\omega^4 N^{0.5}} \omega_b^2$$

d'où une différence de marche par unité de longueur, proportionnelle à $B_0^2$. On retrouve l'effet Cotton-Mouton de biréfringence magnétique, observé en optique, dans les liquides diamagnétiques par exemple.

### Indices de groupe des modes $N_0$ et $N_x$ 3.5.6

Avec les relations (3.5.14), on a, pour ces modes, avec la seule variable $\omega^2$

$$N_g = \frac{1}{N} \left( N^2 + \omega^2 \frac{\partial(N^2)}{\partial(\omega^2)} \right) = \frac{1}{N} \left( N^2 - x \frac{\partial N^2}{\partial x} \right).$$

**POUR LE MODE ORDINAIRE.** On retrouve le résultat (3.2.15) sous la forme

$$N_g N_0 = 1.$$

**POUR LE MODE EXTRAORDINAIRE.** On obtient, après quelques calculs,

$$N_{gx} = N_x^{-1} \left\{ 1 + \frac{(N_x^2 - 1)^2}{\omega_0^2} \left[ \omega_b \Omega_b + \frac{\omega^2(\omega_b - \Omega_b)^2}{(\omega^2 - \omega_0^2 - \omega_b \Omega_b)^2} \right] \right\}.$$

Au voisinage des résonances hybrides $\omega_I$ et $\omega_{II}$, on a

$$N_{gx} \approx \frac{N_x^3}{\omega_0^2} \left( \frac{\omega^4 - \omega_I^2 \omega_{II}^2}{\omega^2 - \omega_0^2 - \omega_b \Omega_b} \right) \to \infty$$
seules pénétreront dans le plasma celles pour lesquelles $k$ est intérieur à ce cône (fig. 5.24).

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>FIGURE 5.24. Pénétration d'une onde dans un plasma isotrope</figcaption></figure>

Plasma anisotrope 5.8.2

Les mêmes règles s'appliquent. Les modifications essentielles proviennent de ce que la surface des indices comprend en général plusieurs nappes (fig. 5.25), entraînant l'existence de plusieurs ondes réfléchies et de plusieurs ondes réfractées; les rayons correspondants sont perpendiculaires à la surface des indices, aux points où aboutissent les $k/k_0$ associés. Mais, en dehors du cas où le plan d'incidence passe par $B_0$, le résultat dépendra beaucoup des orientations de $k$ et de la surface de séparation $\Sigma$, par rapport à la surface des indices.

Examinons, à titre d'exemple, le cas particulier où $\Sigma$ est perpendiculaire

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>FIGURE 5.25. Surface des indices et directions des rayons</figcaption></figure>
— le paquet, centré en $\omega_0$, parti de $z = 0$ à $t = 0$, arrive en $z$ à l'instant

$$ (A-12.10) \qquad t_s = \beta'_s z + \frac{\beta_0''' z}{4\alpha} $$

— la fréquence centrale est

$$ \omega_s = \omega_0 - \frac{\gamma_0' z}{\alpha} $$

d'où, en développant $\beta'_s$ au voisinage de $\omega_0$

$$ (A-12.11) \qquad t_s = \left( \beta'_0 - \frac{\gamma_0' \beta_0'' z}{2\alpha} + \frac{\beta_0''' z}{4\alpha} \right) z $$

le déplacement (A-12.8) en temps $\theta_c$ est donc modifié par le facteur en $\beta_0'''$.

### Vitesse de signal et vitesse de groupe en un point donné

Définissons la vitesse de signal $v_s$ par $v_s^{-1} = \frac{dt}{dz}$, soit, d'après (A-12.12).

$$ v_s^{-1} = \beta'_0 - \frac{\gamma_0' \beta_0'' z}{\alpha} + \frac{\beta_0''' z}{4\alpha} $$

Pour le paquet centré en $\omega_0$ au départ, on a donc une vitesse de propagation $v_s$, telle que (en négligeant le terme en $\beta'''$ pour $\alpha$ et $z$ grands)

$$ v_s^{-1} = v_g^{-1} - \frac{\gamma_0' \beta_0'' z}{\alpha} $$

différente de $v_g^{-1}$ dès que $\gamma'$ n'est plus négligeable.

A titre d'exemple, considérons la région $\omega \lesssim \omega_b$, avec $\beta = k_1$ et $\gamma = k_2$ déterminés à la fin du chapitre 8 par la théorie des plasmas chauds.

Les courbes $\beta(\omega)$ et $\gamma(\omega)$ sont tracées sur la figure 8.6. On en déduit l'allure de $v_s^{-1}$, qui présente un maximum pour une fréquence comprise entre la fréquence donnant $v_g^{-1}$ maximum et la fréquence $\omega_b$ (fig. ci-contre).

Ces résultats sont comparables à ceux obtenus par Brillouin (Ann. Physik (1914) in Brillouin, 1960); en particulier, ils donnent une vitesse de signal finie en $\omega = \omega_b$, où $v_g \to \infty$, et perd donc tout sens physique.

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIGURE A-12.2.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIGURE A-12.3.</figcaption></figure>
et au voisinage des coupures $\omega_D$ et $\omega_G$

$$N_{\omega x} \approx N^{-1/2} \frac{\omega^2 - \omega_D \omega_G}{\omega_D^2} \rightarrow \infty.$$

En très hautes fréquences, on obtient

$$N_{\omega x} \approx 1 + \frac{\omega_D^2}{2\omega^2} \left(1 - \frac{\omega_b^2 + \Omega_b^2}{\omega^2}\right)$$

et en très basses fréquences, on retrouve évidemment l'onde d'Alfvèn, avec

$$N_{\omega x} = N_x = (1 + A)^{1/2}.$$

L'allure des courbes $N_\omega = f(x)$ sera montrée fig. 3.22. Là encore, l'indice de groupe n'est pas défini pour les bandes non passantes, entre les coupures et les résonances.

## 3.6. Courbes de dispersion en propagations parallèle et perpendiculaire

Dans le cas où $B_0 = 0$, nous avons utilisé le diagramme de Brillouin $(k, \omega)$, d'une part, et d'autre part le diagramme $(x, N^2)$, où la variable $x = \omega_b^2/\omega^2$ pouvait être considérée soit comme fonction de $\omega$ (à densité $n_0$ fixée) soit comme fonction de la densité $n_0$ (à fréquence fixée). Dans le cas où $B_0 \neq 0$, nous allons encore utiliser le diagramme de Brillouin, mais pour le diagramme $(x, N^2)$, les deux choix, variable $\omega$ ou variable $n_0$, ne sont plus équivalents : en effet, les expressions des indices $N_D$, $N_G$ et $N_x$ dépendent des rapports $\omega_b/\omega$ et $\Omega_b/\omega$; dans le premier cas, ces rapports sont encore fonctions de la variable $\omega$, et dépendront donc de $x$, tandis que dans le second, ces rapports seront des paramètres dépendant de $B_0$ et de $\omega$. Nous donnerons ici les courbes de dispersion $[x(\omega), N^2]$, réservant au cas des hautes fréquences (§ 3.8) le diagramme $[x(n_0), N^2]$, bien adapté aux problèmes de l'ionosphère. Enfin, dans certains cas, par exemple pour l'étude des voisinages des résonances gyromagnétiques, on utilise le diagramme $(\omega_b/\omega, N)$ ou $(\omega_b/\omega, N^2)$; la variable $\omega_b/\omega$ est alors fonction de $B_0$, ce qui correspond à la situation expérimentale la plus fréquente où $\omega$ et $n_0$ sont fixées, et où l'on fait varier $B_0$ pour « passer » par la résonance.

De très nombreux auteurs ont donné des courbes numériques qui, en plus, tiennent compte des collisions électrons-molécules. Dans le cas des hautes fréquences, signalons par exemple Consoli (1962), Wharton et Heald (1965).

Nous allons donner, tout d'abord, l'allure des courbes de dispersion des ondes principales, dans les plans $(k, \omega)$ et $(x(\omega), N^2)$, pour $\omega_0 < \omega_b$; $\Omega_b < \omega_0 < \omega_b$; $\omega_b < \omega_0$, qui correspondent respectivement à $A \ll 1$; $A \sim 1$; $A \gg 1$. Les diverses limites étudiées : (3.5.8), (3.5.9), (3.5.10), quand $\theta = 0$, et (3.5.22), (3.5.24), quand $\theta = \pi/2$, permettent de préciser l'allure des courbes de dispersion pour
à $B_0$ et plaçons-nous encore dans le cas de la région ⑦ (fig. 3.31) : la surface des indices comprend alors deux nappes (fig. 5.25).

### 5.8.2.1. PASSAGE VIDE-PLASMA

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>**FIGURE 5.26a.**
**Rayons au passage vide-plasma**</figcaption></figure>

Considérons tout d'abord une source située dans le vide (fig. 5.26a). Au rayon incident $\alpha$ correspondront un rayon réfléchi $\alpha'$ dans le vide et, dans le plasma, deux rayons réfractés $\beta$ et $\gamma$ (avec la condition $k \cdot \bar{S} > 0$), correspondant à chacune des deux nappes (1) et (2). Il existe un angle limite $\alpha_l$ pour lequel le rayon $\alpha$ donne, dans le plasma, un rayon $\beta_l$ et un rayon latéral $\gamma_l$. (Cf. fig. 5.25).

Les directions $\beta'$ et $\gamma'$, qui correspondent à des ondes réfléchies, ne donnent évidemment aucun rayon dans ce cas.

On voit, en particulier, la possibilité d'avoir des ondes inverses (« backward waves ») où les composantes tangentielles, par rapport à $\Sigma$, des directions de propagation $k$ (de la phase) et $\beta$ (de l'énergie (rayon)) sont de sens contraires.

### 5.8.2.2. PASSAGE PLASMA-VIDE

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>**FIGURE 5.26b.**
**Rayons au passage plasma-vide**</figcaption></figure>
<figure><img src="image_27.png" /></figure>

D : mode droit, G : mode gauche, P : oscillation de plasma

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>a) Propagation parallèle $\theta=0$</figcaption></figure>

O : mode ordinaire, X : mode extraordinaire

<caption>b) Propagation perpendiculaire $\theta = \frac{\pi}{2}$</caption>

FIGURE 3.18.
Allures des courbes de disposition des ondes principales, pour $\omega_0 < \Omega_b$
(Plasmas peu denses, champ magnétique fort : $A < \frac{1}{m}$)

Mise à part la coupure $\omega_0$ du mode ordinaire, les coupures $\omega_0$ et $\omega_G$ sont pratiquement confondues respectivement avec les résonances $\omega_b \neq \omega_I$ et $\Omega_b \neq \omega_{II}$
Un rayon $\alpha$ dans le vide pourra être engendré (fig. 5.26b), soit par un rayon $\beta$ (nappe 1), soit par un rayon $\gamma$ (nappe 2) dans le plasma. Chacun de ces rayons $\beta$ et $\gamma$ engendrera deux rayons réfléchis $\beta'$ et $\gamma'$.

Pour le rayon latéral émergent $\alpha_2$, on aura une seule onde possible $\beta_2$; et dans toute la région comprise entre les 2 cônes définis par $\beta_2$ et $\beta_L$ (normal aux génératrices du cône de résonance), le mode (1) subira la réflexion totale. Remarquons que ce mode (1) ne peut être émis, à partir de la source, que dans un cône de $1/2$ angle au sommet $\frac{\pi}{2} - \theta_R$, et qu'il émerge dans le vide, dans toutes les directions; le mode (2), de même, peut être émis dans toutes les directions, mais n'émerge que dans des directions situées à l'intérieur d'un cône de $1/2$ angle au sommet $\pi - \varphi$ (Cf. fig. 5.24).

Ces considérations permettent de préciser, pour chaque mode, les régions d'« illumination » dans le plasma, lorsqu'un pinceau d'ondes planes incidentes, de direction arbitraire, dans le vide, tombent sur le plasma. A partir des rayons indiqués sur la figure 5.25, on obtient deux régions, l'une où les deux modes existent, et une où un seul mode existe (fig. 5.27).

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>FIGURE 5.27. Régions d'« illumination » dans un plasma</figcaption></figure>

### 5.8.2.3. EFFETS DE FOCALISATION

Ces effets peuvent être observés dans certains cas. Par exemple, à partir d'une source placée dans le vide, on observe que l'ensemble des rayons émergents $\beta$ admet une enveloppe, c'est-à-dire une surface caustique, et forme une image de la source (fig. 5.28a).

Il en est de même dans le cas où la source est située dans le plasma (fig. 5.28b), la surface caustique ayant alors une forme différente (Cf. Felsen, 1963-1964). Cette différence est liée au fait que la courbure de la nappe (1), qui, pour les grands angles d'incidence, varie moins vite que celle de la sphère de rayon $c$, varie au contraire plus vite que cette dernière pour les petits angles d'incidence.
<figure><img src="image_29.png" /></figure>

D : mode droit, G : mode gauche, P : oscillation de plasma

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

a) Propagation parallèle : $\theta = 0$

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

O : mode ordinaire, X : mode extraordinaire

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

b) Propagation perpendiculaire : $\theta = \frac{\pi}{2}$

FIGURE 3.19.

Allure des courbes de dispersion des ondes principales, pour $\Omega_b < \omega_0 < \omega_b$ ($\frac{1}{m} < A < m$)

Des bandes non passantes, (D), (G), (O), (X) apparaissent pour chaque mode
<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>FIGURE 5.28. Effets de focalisation</figcaption></figure>

## 5.9. Propagation dans les milieux faiblement inhomogènes — Tracé des rayons

Lorsque le milieu n'est plus homogène, on ne peut plus appliquer les méthodes utilisées dans les chapitres précédents. Néanmoins, si les inhomogénéités sont faibles, on pourra, en première approximation, utiliser les résultats du chapitre 3 en assimilant le milieu, au voisinage de chaque point *r*, à un milieu homogène. Toutes les grandeurs caractéristiques du milieu étant fonction de *r*, on définira ainsi un indice N(r). Plus précisément, le milieu sera considéré comme faiblement inhomogène relativement à la perturbation considérée, lorsque ses propriétés (l'indice de réfraction par exemple) varieront peu sur des distances de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde $\lambda$ de la perturbation. Sous cette hypothèse, le milieu pourra être considéré comme localement homogène (à l'échelle de cette
<figure><img src="image_33.png" /></figure>

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>FIGURE 3.20.</figcaption></figure>

Allure des courbes de dispersion des ondes principales pour $\omega_b < \omega_0$ (Plasmas denses, champ magnétique faible, $A > m$)

Les bandes non passantes se sont considérablement élargies
longueur d'onde $\lambda$), et on lui appliquera donc, localement, les résultats obtenus précédemment dans le cas complètement homogène.

Cependant, une telle approximation n'est plus possible aux basses fréquences lorsque la longueur d'onde devient trop grande pour qu'on puisse considérer l'ionosphère comme un milieu faiblement inhomogène. Il faut alors résoudre le problème par des méthodes plus précises — par ex. pour le calcul du coefficient de réflexion, en introduisant l'impédance (ou l'admittance) d'onde — [Cf. la méthode de l'intégrale de phase, due à Eckerley (1932), dont Budden (1961) donne un exposé et des applications].

Au début de ce chapitre, nous avons vu que la propagation de l'énergie ne se faisait pas dans la direction du vecteur d'onde $k$, mais suivant celle de la vitesse de groupe $v_g$.

Dans ce qui suit, nous allons étudier la propagation de l'énergie sur des distances grandes devant la longueur d'onde $\lambda$. D'après les hypothèses de l'optique géométrique, cette propagation se fera le long des rayons, chacun d'eux étant défini comme la trajectoire d'un paquet d'ondes, tangente en chaque point à $v_g$. Nous nous intéresserons donc au tracé de ces rayons, pour lequel nous donnerons plusieurs méthodes.

## Surfaces équiphase 5.9.1

En l'absence de champ magnétique extérieur, l'équation des ondes transversales, déduite des équations de Maxwell, s'écrit

$$ \nabla^2 E - k_0^2 \chi^0 E = 0, $$

où $\chi^0 = 1 - (\omega_0/\omega)^2$, et en posant $k_0 = \omega/c$, nombre d'onde dans le vide.

Dans le cas où le milieu est homogène, $\chi^0$ est constant et nous avons vu que cette équation admet des ondes planes du type

$$ (5.9.1) \qquad E = E_0 e^{i(k \cdot r - \omega t)}, \quad k = k_0 N, $$

où $|N|$ est déterminé par l'équation de dispersion

$$ (5.9.2) \qquad N^2 = \chi^0. $$

Dans le cas du milieu faiblement inhomogène, $\chi^0$, à travers $\omega_0^2$, varie; donc $N$ n'est plus constant, mais devient une fonction lentement variable des coordonnées $(x, y, z)$; il en résulte qu'on pourra chercher des solutions du type précédent

$$ (5.9.3) \qquad E = E_0(r) e^{i[\Phi(r) - \omega t]}. $$

Au voisinage d'un point $r_0$, on aura donc, en négligeant pour l'instant la variation d'amplitude

$$ E(r) = E_0(r_0) e^{i[\Phi(r) - \omega t]}, $$
<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>FIGURE 3.21.</figcaption></figure>

Carrés des indices des modes droit et gauche en fonction de $B_0$ ($\omega$ fixée, paramètre $\frac{\omega_0^2}{\omega^2}$)
où, en développant la fonction $\Phi(r)$ au voisinage du point $r_0$, pris comme origine

$$ (5.9.4) \qquad \Phi = \Phi_0 + \mathbf{r} \cdot \frac{\partial \Phi}{\partial \mathbf{r}}, \qquad \Phi_0 = \Phi(\mathbf{r}_0). $$

Alors

$$ (5.9.5) \qquad E(\mathbf{r}) = E_0(\mathbf{r}_0) e^{i\Phi_0} e^{i\left[\frac{\partial\Phi}{\partial\mathbf{r}} \cdot \mathbf{r} - \omega t\right]}. $$

L'onde (5.9.3) sera solution de (5.9.1) si, dans $\nabla^2 E_\alpha = \nabla \cdot (\nabla E_\alpha)$ pour la composante $E_\alpha$, la contribution de la variation de son amplitude peut être négligée devant celle de la variation de sa phase, c'est-à-dire, si dans

$$ \begin{aligned} \nabla E_{\alpha} &= \nabla [E_{0\alpha}(\mathbf{r}) e^{i[\Phi(\mathbf{r}) - \omega t]}] \\ &= (\nabla E_{0\alpha} + iE_{0\alpha} \nabla \Phi) e^{i[\Phi(\mathbf{r}) - \omega t]}, \end{aligned} $$

le premier terme est négligeable devant le second :

$$ (5.9.6) \qquad |\nabla (\mathrm{Log} E_{0\alpha})| \ll |\nabla \Phi| $$

pour tout $\alpha = x, y$ ou $z$. La relation (5.9.6) est la condition de validité de l'optique géométrique : elle traduit le fait que dans un milieu faiblement inhomogène, l'amplitude varie peu sur une distance de l'ordre de la longueur d'onde, puisqu'elle est déterminée par la valeur de l'indice (qui change peu), tandis que la phase varie beaucoup; d'ailleurs, si le milieu est faiblement dissipatif, la variation de l'amplitude sera essentiellement due à un facteur de phase $\exp[-\int Jm \frac{\partial \Phi}{\partial \mathbf{r}} \cdot d\mathbf{r}]$, comme dans le cas homogène où l'on avait un facteur $\exp(-\chi \cdot \mathbf{r})$. (Ch. chap. 2.)

En comparant (5.9.4) et la phase dans (5.9.1), on déduit le vecteur d'onde local
$$ \mathbf{k} = \frac{\partial \Phi}{\partial \mathbf{r}}, $$

où $\mathbf{k}$ est alors lui-même une fonction lentement variable de $\mathbf{r}$.

Écrivons maintenant la relation définissant l'indice $N(r)$ du milieu,
$$ (k/k_0)^2 = N^2 $$
on obtient

$$ k_0^{-2} \left| \frac{\partial \Phi}{\partial \mathbf{r}} \right|^2 = N^2(\mathbf{r}), $$
soit
$$ (5.9.7) \qquad (\nabla \Phi)^2 = \left(\frac{\partial \Phi}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial \Phi}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial \Phi}{\partial z}\right)^2 = k_0^2 N^2(x, y, z) $$

où la fonction $N(r)$ est, en principe, connue à partir des propriétés locales du milieu $[n_0(r), B_0(r),...]$. La fonction $\Phi(r)$ représente la partie spatiale de la phase; on l'appelle « fonction eikonale ». Nous admettrons que (5.9.6) fixe encore la condition de validité de (5.9.7) quand on se trouve dans un milieu anisotrope, et que l'équation de dispersion s'écrit sous la forme

$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) - k_0^2 \mathbf{\kappa} \cdot \mathbf{E} = 0. $$
<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>a) Propagation parallèle</figcaption></figure>

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>b) Propagation perpendiculaire</figcaption></figure>

FIGURE 3.22.

Allure des variations des indices de groupe des modes principaux
L'équation (5.9.7) définit les surfaces de phase constante, dont les trajectoires orthogonales caractérisent les directions de propagation $k$ (la normale à ces surfaces $\Phi = C^\text{te}$ est évidemment suivant $\nabla\Phi$). Les rayons seront obtenus, comme en optique, par les trajectoires orthogonales des surfaces enveloppes des surfaces équiphases : cela revient en effet à exprimer que la phase est stationnaire.

Rayons dans un milieu stratifié, en l'absence de champ magnétique

extérieur 5.9.2

Pour un milieu stratifié, parallèlement à un plan, et caractérisé par un indice lentement variable $N(z)$, les rayons, de proche en proche, vont suivre la loi de Descartes en chaque point; en se plaçant dans le milieu d'indice $N = 1$, en $z = 0$, on a en M (fig. 5.29)

$$ (5.9.8) \qquad N(z) \sin \varphi = \sin \varphi_0, $$

qui exprime que la projection du vecteur $N$ sur le plan $z = 0$ est constante.

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>FIGURE 5.29. Rayon dans un milieu isotrope stratifié</figcaption></figure>

On a évidemment

$$ \frac{dx}{dz} = \operatorname{tg} \varphi = \frac{\sin \varphi}{\pm \sqrt{1 - \sin^2 \varphi}} = \frac{\sin \varphi_0}{\pm \sqrt{N^2(z) - \sin^2 \varphi_0}}, $$

d'où

$$ x = \pm \sin \varphi_0 \int_0^z d\zeta [N^2(\zeta) - \sin^2 \varphi_0]^{-1/2} $$

*Exemple* — Pour l'onde électromagnétique classique, $N^2(z) = 1 - \frac{\omega_0^2(z)}{\omega^2}$, on a, dans le cas d'une couche où la densité varie linéairement $n(z) \sim z$

$$ N^2(z) = 1 - az. $$

On obtient alors des rayons d'allure parabolique (fig. 5.30).
les différentes valeurs des paramètres. On remarque, sur ces diagrammes, qu'il existe des bandes de fréquence où l'onde ne se propage plus, $N^2$ devenant négatif : le plasma agit comme un filtre de fréquences. Ces bandes non passantes correspondent toujours à une résonance, pour la limite inférieure, et à une coupure, pour la limite supérieure; elles sont indiquées sur les figures 3.18, 3.19 et 3.20.

Nous retrouverons les propriétés générales de ces diagrammes lors de l'étude de la propagation oblique.

Sur les figures 3.18, 3.19 et 3.20, on remarque l'existence de points d'intersection de certaines branches de courbes. Cependant, ces points ne correspondent pas à des « points doubles », au sens de solution double : certes, on obtient, pour les deux modes concernés, la même valeur de l'indice pour la même fréquence (Cf. (3.4.6)), mais, en général, la polarisation des champs et des vitesses des particules est différente, ce qui assure l'absence de couplage linéaire entre ces deux modes. Il n'en sera pas de même dès que la propagation ne sera ni rigoureusement parallèle, ni rigoureusement perpendiculaire au champ magnétique; alors, ces points d'intersection auront disparu pour laisser place à des régions où les courbes de dispersion des deux modes deviendront très voisines; des transferts d'énergie d'un mode sur l'autre pourront avoir lieu dans ces régions. Nous rencontrerons des exemples de tels couplages au chapitre 5.

Enfin, au voisinage de $\omega = \omega_b$, la figure 3.21 montre les valeurs des carrés des indices $N_D^2$ et $N_G^2$, en fonction de $\omega/\omega_b$.

## 3.7. Propagation oblique relativement au champ magnétique extérieur. Diagramme C.M.A. (Clemmow-Mullaly-Allis).

En propagation oblique, les fréquences de résonance deviennent fonction de l'angle de propagation $\theta$. Aussi, les diagrammes $(k, \omega)$ ou $(x, N^2)$ ne sont-ils pas bien adaptés à une discussion générale des propriétés des ondes. Il est alors utile d'introduire, comme pour l'étude des propriétés optiques des cristaux anisotropes, la surface des indices $N = N(\theta)$, ou encore la surface des vitesses de phase $u = u(\theta) = \frac{c}{N(\theta)}$, appelées encore vitesses normales. La symétrie des solutions entraîne que ces surfaces soient de révolution autour de $B_0$, qui de ce point de vue joue le rôle de l'axe optique pour les cristaux uniaxes : on obtient aussi une surface de révolution à deux nappes. On pourrait poursuivre l'analogie : pour une direction $k$ donnée, les deux vibrations (champ D) qui se propagent sans déformation dans un cristal uniaxe sont toujours transversales, et ont toujours des polarisations rectilignes, perpendiculaires entre elles : on peut alors définir l'ellipsoïde des indices dont la section elliptique par le plan d'onde détermine complètement les deux modes propres : les valeurs des indices (longueur des demi-axes de l'ellipse) et les polarisations (direction de ces demi-axes). Ici, au
<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>FIGURE 5.30. Rayons dans une couche, d'indice $N^2 = 1 - \frac{z}{100}$. (D'après Kelso, 1964)</figcaption></figure>

On rend compte, ainsi, de la réflexion sur les couches ionosphériques; en prenant un modèle parabolique $N^2 = 1 - a^2z^2$, cette réflexion se fait sur un couche d'autant plus basse que l'angle d'incidence est grand. Au contraire, au voisinage de la verticale, on peut avoir transmission (fig. 5.31).

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>FIGURE 5.31. Modèle d'ionosphère $N^2 = 1 - a^2z^2$: reflexion et traversée des rayons</figcaption></figure>

Rayons dans un milieu stratifié, en présence d'un champ magnétique extérieur $B_0$ 5.9.3

Dans le cas de la propagation oblique par rapport au champ magnétique $B_0$, la théorie des rayons, comme l'étude des modes propres, se complique considérablement. Différentes méthodes ont été proposées : on en trouvera une revue détaillée
contraire, les ondes n'ont pas, en général, une polarisation rectiligne, et l'ellip-
soïde des indices ne présente plus le même intérêt. C'est pourquoi on n'utilise
que la surface des indices (ou celle des vitesses normales).

Les deux paramètres fondamentaux du problème sont la densité $n_0$ du plasma et le champ magnétique statique $\mathbf{B}_0$; posons¹

$$
(3.7.1) \qquad x = \frac{\omega_0^2}{\omega^2} = p_e^2 + p_i^2 \quad \text{et} \quad y = \frac{\omega_b^2}{\omega^2} = b_e^2
$$

d'où, d'après (3.4.22)

$$
(3.7.2) \qquad p_e^2 = \frac{m}{m+1} x \approx x \qquad p_i^2 = \frac{1}{m+1} x \approx \frac{x}{m}
$$

$$
(3.7.3) \qquad |b_i| = \frac{b_e}{m} = \frac{\sqrt{y}}{m}.
$$

En fonction de ces paramètres, les expressions des indices s'écrivent, d'après
(3.5.1), (3.5.6), (3.5.7), (3.5.18) et (3.5.20) :

$$
(3.7.4) \quad \text{oscillation de plasma} \quad x = 1
$$

$$
(3.7.5) \quad \text{mode droit} \qquad N_D^2 = 1 - \frac{x}{(1 - \sqrt{y})(1 + m^{-1}\sqrt{y})}
$$

$$
(3.7.6) \quad \text{mode gauche} \qquad N_G^2 = 1 - \frac{x}{(1 + \sqrt{y})(1 - m^{-1}\sqrt{y})}
$$

$$
(3.7.7) \quad \text{mode ordinaire} \quad N^2 = 1 - x
$$

$$
(3.7.8) \quad \text{mode extraordinaire} \quad N_x^2 = 1 - \frac{x(1-x-m^{-1}y)}{(1-y)(1-m^{-2}y) - x(1-m^{-1}y)} \\
\qquad = \frac{(1-x-m^{-1}y)^2 - y(1-m^{-1})^2}{(1-y)(1-m^{-2}y) - x(1-m^{-1}y)}
$$

Pour décrire les différents types d'onde pouvant se propager, on étudie l'allure
des surfaces des vitesses normales en différents points du plan (x, y), en précisant
les méridiennes de ces surfaces : on obtient ainsi le diagramme CMA (Clemmov
et Mullaly, 1955, Allis, 1959). Sur ce diagramme, les différentes conditions cri-
tiques [coupures (u → ∞) et résonances (u → 0)] sont satisfaites le long de cer-
taines courbes limites. Mais, seules les résonances étant fonctions de θ [Cf. (3.4.13),
(3.4.14), (3.4.15)], on aura toujours, en dehors des limites correspondant aux

1. Les notations adoptées par les physiciens de l'ionosphère (convention internationale) sont légèrement différentes :

$$
X^2 = \frac{\omega_b^2}{\omega^2} = p_e^2 \quad \text{et} \quad Y = \frac{\omega_b}{\omega} = b_e
$$

nous les retrouverons dans le cas des hautes fréquences.
dans un article de Bremmer (1958); nous examinerons successivement les trois plus importantes.

### 5.9.3.1. MÉTHODE DITE DE LA QUARTIQUE DE BOOKER (1935, 1936, 1939)

On utilise un système de coordonnées où Oz est vertical, k et B₀ ayant des orientations à priori quelconques dans ce système; nous continuerons à désigner par θ l'angle (B₀, k). Une onde plane tombe sur le milieu, stratifié parallèlement à xOy, en un point de cote z = 0, le vecteur k, situé dans le plan xOz, faisant l'angle φ₀ avec Oz.

On a alors dans le milieu une onde du type

$$E = E_0 e^{i(k \cdot r - \omega t)}$$

où k, lié à l'indice, est fonction lentement variable de la coordonnée z.

Avec $s = k/k = (\sin \varphi, 0, \cos \varphi)$
et $k = |k| = k_0 N(z)$, on a

$$ \begin{aligned} k \cdot r &= k_0 N(z) s \cdot r \\ &= k_0 N(z) [x \sin \varphi + z \cos \varphi]. \end{aligned} $$

En tenant compte de la loi de Descartes

$$ (5.9.9) \qquad N(z) \sin \varphi = \sin \varphi_0 $$

il vient

$$ (5.9.10) \qquad k \cdot r = k_0 (x \sin \varphi_0 + qz) $$

en posant

$$ (5.9.11) \qquad q = N(z) \cos \varphi $$

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

où, le milieu étant anisotrope, N(z) dépend aussi de φ et de θ. Remarquons que la quantité k₀q n'est pas autre chose que la composante verticale du vecteur d'onde k.

Dans le cas où l'onde tombe normalement sur les couches d'égale densité, sin φ₀ = 0, et l'onde prend la forme

$$E = E_0 e^{i(k_0 q z - \omega t)}$$

qui est du même type que les solutions trouvées dans le cas homogène, avec q = N : l'équation d'Appleton-Hartree, dans ce cas, était une équation bicarrée en N²; nous aurons donc ici, pour l'incidence normale, une équation pour q

$$ (5.9.12) \qquad A (q^2)^2 - B q^2 + C = 0 $$

et les représentations des solutions, pour un angle θ entre k et B₀ fixé, correspondront aux variations de N² en fonction de X = ω₀²/ω², à son tour fonction de z à travers la densité n(z) du milieu. Ces variations ont été données page 124 et sont reproduites sur la figure 5.32.
coupures, des surfaces fermées, $u$ restant fini (c'est ce qui fait souvent préférer la surface des vitesses à celle des indices).

A l'aide des vitesses $u_D$, $u_G$, $u_O$, $u_X$ des modes principaux, l'équation de dispersion (3.3.7), résolue en $tg^2\theta$ s'écrit sous la forme très simple :

$$ \operatorname{tg}^2\theta = - \frac{(u^2 - u_D)(u^2 - u_G)}{(u^2 - u_O^2)(u^2 - u_X^2)} $$

où

$$ u_X^2 = \frac{1}{2} (u_D^2 + u_G^2) $$

Nous allons montrer tout d'abord que les courbes limites obtenues pour les ondes principales partagent le diagramme en 13 régions, dans chacune desquelles la surface des vitesses garde le même type de structure. $N^2$ (et $u^2$) changeant de signe en passant par zéro ou par l'infini, les courbes limites partagent, pour chaque mode, le plan $(x, y)$ en régions de propagation et en régions de non propagation; à la traversée d'une courbe limite, un mode peut donc disparaître, ou apparaître.

Courbes limites 3.7.1

### 3.7.1.1. PROPAGATION PARALLÈLE

L'étude des ondes principales a donné, pour la propagation parallèle :

a) — La résonance plasma $\omega = \omega_0$, c'est-à-dire $x = 1$,

b) — Les coupures $N_D$ et $N_G = 0$, données par (3.4.31), c'est-à-dire d'après (3.7.5) et (3.7.6)

$$ (3.7.9) \qquad x = (1 \pm \sqrt{y})(1 \mp \frac{\sqrt{y}}{m}) $$

qui correspondent aussi aux coupures $N_X = 0$. D'après (3.7.8) cette équation s'écrit

$$ [y + m(x - 1)]^2 - (m - 1)^2 y = 0. $$

Elle définit une parabole tangente à $Ox$ au point $(x = 1, y = 0)$, passant par les points $(x = 0, y = 1)$, $(x = 0, y = m^2)$ et $(x = 1, y = (m - 1)^2)$, et dont l'axe a pour pente $-m$, le sommet étant très voisin du point $(x = 1, y = 0)$, puisque $m \gg 1$.

La parabole entière représente la coupure $N_X = 0$. Les coupures $N_D = 0$ et $N_G = 0$ sont respectivement représentées par des arcs de cette parabole (fig. 3.24 et 25), correspondant aux choix des signes supérieur ou inférieur dans (3.7.9) : $N_D = 0$ pour l'arc $x < 1$, $N_G = 0$ pour l'autre arc.

c) Les résonances sont les deux résonances gyromagnétiques

$$ \omega = \omega_b \quad \text{et} \quad \omega = \Omega_b $$

c'est-à-dire les deux droites d'ordonnées $y = 1$ et $y = m^2$.
<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>FIGURE 5.32.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>FIGURE 5.33.</figcaption></figure>

Mais on peut aussi considérer (5.9.12) comme une quartique en $q$, ce qui donne des solutions réelles $\pm q$ (pour $N^2 > 0$) (fig. 5.33), ou complexes conjuguées (pour $N^2 < 0$).

Revenons maintenant au cas où l'incidence n'est plus normale. L'axe O étant fixé par la direction du gradient de densité, l'orientation du champ magnétique $B_0$ est quelconque. L'équation de dispersion (2.4.9) reste valable, $\varphi$ désignant l'angle de $k$ avec $\nabla n$: il suffira d'y porter les composantes de $N = (\sin \varphi_0, 0, q)$ en vertu de (5.9.10) et (5.9.11); on obtient l'équation de dispersion générale (en posant $\sin \varphi_0 = S$ et $\cos \varphi_0 = C$)

$$ (5.9.13) \qquad \begin{vmatrix} \kappa_{xx} - q^2 & \kappa_{xy} & \kappa_{xz} + Sq \\ \kappa_{yx} & \kappa_{yy} - S^2 - q^2 & \kappa_{yz} \\ \kappa_{zx} + Sq & \kappa_{zy} & \kappa_{zz} - S^2 \end{vmatrix} = 0 $$

C'est le calcul de $\kappa$ qui est modifié; nous écrirons de nouveau l'équation de mouvement (3.1.5), avec un terme de frottement dû aux collisions, $-\nu n_0 m \nu$ entre électrons et neutres (les ions étant considérés comme immobiles) : on est ainsi conduit à une équation analogue à (3.3.1)

$$ (5.9.14) \qquad (-i\omega + \nu - \omega_b \times) \mathbf{J} = \epsilon_0 \omega_b^2 \mathbf{E} $$

mais dans laquelle $\omega_b$ a une direction quelconque. En posant

$$ b = \frac{\omega_b}{\omega + i\nu}, \qquad p^2 = \frac{\omega_b^2}{\omega(\omega + i\nu)} $$

(5.9.14) est identique à l'équation (3.3.3), dont la forme inversée est donnée en (3.3.11)

$$ \mathbf{J} = \frac{i\omega\epsilon_0 p^2}{1 - b^2} [1 + (ib \times - (bb.)) \mathbf{E}] $$

Il lui correspond le tenseur diélectrique (3.3.12), ce qui donne

$$ (5.9.15) \qquad \mathbf{x} = \mathbf{1} - (i\omega\epsilon_0)^{-1}\sigma = \mathbf{1} - \frac{p^2}{1-b^2}[\mathbf{1} - \mathbf{b}\mathbf{b} + i\mathbf{g}]. $$
Les vitesses de phase $u_{D,G}$ sont égales à $c$ ($N = 1$) pour $x = 0$.

Pour déterminer les régions de propagation ($N^2 > 0$) et celles d'évanescence ($N^2 < 0$), on remarque que le paramètre $A = \omega_0^2/\omega_b\Omega_b$, défini en (3.5.11), s'exprime en fonction de $x$ et $y$ :

$$A = m\omega_b^2/\omega_b^2 = mx/y.$$

Les courbes $A = C^{te}$ sont donc les droites, passant par l'origine, $y = \frac{m}{A}x$. Or, les courbes $(x, N^2)$, données sur les figures 3.18, 3.19, 3.20, ont été précisément tracées pour des valeurs données de $A$ : pour chaque mode, elles permettent de préciser, pour les valeurs de $x$, les intervalles interdits, pour lesquels il n'y a pas propagation. En suivant une droite $A = C^{te}$, sur le diagramme CMA, on détermine un segment « interdit » et, alors, en faisant varier $A$, la région où il n'y a plus propagation. La figure 3.23 précise, pour l'onde droite, ce résultat qui a été porté sur la figure 3.24.

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>FIGURE 3.23. Détermination des régions de propagation et d'évanescence</figcaption></figure>

On peut d'ailleurs remarquer que pour $x$ et $y$ très petits (cas des très hautes fréquences et des champs $B_0$ très faibles) il y a toujours propagation, avec $N^2 \# N^{02} = 1 - x$ : dans le voisinage de l'origine et, par conséquent, dans toute la région à gauche des arcs de parabole, la propagation est possible, alors qu'elle est impossible à droite.

Dans les régions de propagation, on a donc, soit des ondes rapides ($u_{D,G} > c$), soit des ondes lentes ($u_{D,G} < c$).

Ces résultats sont portés sur les figures 3.24 et 3.25.
Avec les notations déjà introduites $X = \frac{\omega_2^2}{\omega^2}$, $Y = \frac{\omega_b}{\omega}$ de composantes $(\alpha, \beta, \gamma)$, et en posant $U = 1 + i \frac{\gamma}{\omega}$ comme cela a été fait pour l'équation d'Appleton-Hartree, on a donc

$$p^2 = X/U, \quad b = Y/U, \quad g = \frac{1}{U} \begin{pmatrix} 0 & -\gamma & \beta \\ \gamma & 0 & -\alpha \\ -\beta & \alpha & 0 \end{pmatrix}$$

et (5.9.15) s'écrit, après avoir multiplié haut et bas par $U^2$

$$(5.9.16) \qquad \kappa = 1 - \frac{X}{U(U^2 - Y^2)} \begin{pmatrix} U^2 - \alpha^2 & -iU\gamma - \alpha\beta & iU\beta - \alpha\gamma \\ iU\gamma - \alpha\beta & U^2 - \beta^2 & -iU\alpha - \beta\gamma \\ -iU\beta - \alpha\gamma & iU\alpha - \beta\gamma & U^2 - \gamma^2 \end{pmatrix}$$

En portant (5.9.16) dans (5.9.13) et en développant, on obtient la quartique de Booker

$$(5.9.17) \qquad F(q) = a_0 + a_1 q + a_2 q^2 + a_3 q^3 + a_4 q^4 = 0$$

où

$$(5.9.18) \quad \left\{ \begin{array}{l} a_0 = (U - X)(C^2U - X)^2 - C^2[Y^2(C^2U - X) + S^2\alpha^2X] \\ a_1 = -2C^2S\alpha\gamma X \\ a_2 = 2(C^2U - X)[Y^2 - U(U - X)] + X(Y^2 - C^2\gamma^2 + S^2\alpha^2) \\ a_3 = 2S\alpha\gamma X \\ a_4 = U(U^2 - Y^2) - X(U^2 - \gamma^2). \end{array} \right.$$

Bien entendu, les courbes $q = q(X)$ ne sont plus symétriques, comme dans le cas $\varphi_0 = 0$ (fig. 5.33), mais dissymétriques (fig. 5.34).

Il nous faut maintenant définir les *rayons*. Ce seront les trajectoires suivies par un paquet d'ondes, c'est-à-dire les courbes le long desquelles la phase reste stationnaire. Pour un parcours de 0 à z, en prenant comme origine des z la « limite inférieure » de l'ionosphere, la phase sera (Cf. 5.9.11) :

$$(5.9.19) \qquad \Phi = \int_{-z}^{z} k \cdot dr - \omega t \\ = k_0 [Sx + \int_{0}^{z} q(\zeta) d\zeta - ct],$$

où le paramètre $S = \sin \varphi_0$ caractérise le paquet d'ondes — qui est constitué d'un pinceau étroit

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>FIGURE 5.34. Solutions de (5.9.17).</figcaption></figure>

(D et G repèrent les deux solutions qui pour $-\cos \varphi_0$ θ petit seraient les ondes droite et gauche)
<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>FIGURE 3.24. Onde droite</figcaption></figure>

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>FIGURE 3.25. Onde gauche</figcaption></figure>

### 3.8.3.2. PROPAGATION PERPENDICULAIRE

On a obtenu

a) — la coupure plasma du mode ordinaire, $x = 1$,

b) — les deux coupures $\omega_D$ et $\omega_G$ du mode extraordinaire, représentées par la parabole complète (3.7.9),

c) — les deux résonances hybrides du mode extraordinaire $\omega = \omega_I$ et $\omega = \omega_{II}$, données par (3.9.24 et 25), qui, d'après (3.7.8) sont définies par

$$ (y - 1)(y - m^2) + mx(y - m) = 0 $$

La courbe limite correspondante est donc une hyperbole, dont l'équation, pour $m \gg 1$, s'écrit

$$ y^2 + mxy - m^2(y + x - 1) = 0, $$

ou encore

$$ x = (y - 1)(y - m^2)/m (m - y). $$

Cette courbe passe par les points $(x = 0, y = 1)$, $(x = 0, y = m^2)$, $(x = 1, y = 0)$ et $(x = 1, y \neq m)$. Elle admet l'asymptote horizontale $y = m$ (c'est la limite de la résonance hybride inférieure $\omega_{II} = (\omega_b\Omega_b)^{1/2}$, obtenue pour $x$ grand).

Remarquons que, d'après (3.5.20), $N_x = 1$ (c'est-à-dire $u_x = c$) pour $\omega^2 - \omega_0^2 - \omega_b\Omega_b = 0$, c'est-à-dire ici pour $y = m(1-x)$ : cette droite permet de séparer, à l'intérieur de la parabole $N_x = 0$, la région des ondes rapides ($u_x > c$) de celle des ondes lentes ($u_x < c$).
d'ondes pour lesquelles on a, en z = 0, une légère variation de l'angle d'incidence autour d'une position moyenne définie par S = S₀ —; les rayons seront donc déterminés par

$$k_0^{-1} \left( \frac{\partial \Phi}{\partial S} \right)_{S=S_0} = x + \int_0^z \left( \frac{\partial q}{\partial S} \right)_{S=S_0} d\zeta = 0,$$

soit

$$(5.9.20) \qquad \frac{dx}{dz} = - \left( \frac{\partial q}{\partial S} \right)_{S=S_0}, \quad q = q(z, S).$$

(Remarquons que dans le cas où le rayon ne reste pas dans le plan d'incidence, on devra ajouter à (5.9.20) une équation analogue sur la variable y)

$$\frac{dy}{dz} = - \left( \frac{\partial q}{\partial R} \right)_{R=0}$$

obtenue pour une variation du terme $(k \cdot r)_y = k_0 R y$ dans la phase, variation autour d'une valeur initiale centrée sur R = 0.)

On calcule $\partial q/\partial S$ à partir de la quartique de Booker

$$\frac{dF}{dS} = \frac{\partial F}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial S} + \sum_{i=0}^{4} \frac{\partial a_i}{\partial S} q^i = 0.$$

L'équation (5.9.20) se met donc sous la forme

$$(5.9.21) \qquad \frac{dx}{dz} = \frac{\sum_{i=0}^{4} \frac{\partial a_i}{\partial S} q^i}{\frac{\partial F}{\partial q}}$$

où les dérivées, fonctions de S, sont prises pour la valeur S = S₀.

Un certain nombre de propriétés du rayon sont directement déduites de l'équation (5.9.21), et elles sont à relier aux propriétés de la composante $k_z$ (portionnelle à q), visible sur la figure 5.34. Considérons un rayon incident sur l'ionosphère<fnref n="1" />. Dès son entrée dans la couche inférieure, ce rayon se décompose en deux ondes [correspondant, dans la limite $\theta \gg 0$, aux ondes (D) et (G)]. Suivons une de ces ondes, par exemple l'onde (D). D'après la figure 5.34, q va en décroissant.

Puisque $N \sin \varphi = \sin \varphi_0 = S = C^{\text{te}}$ et que $N \cos \varphi = q$, il en résulte que $tg \varphi = \frac{S}{q}$

va en croissant : le vecteur propagation s'écarte de la normale jusqu'à devenir horizontal, pour $q = 0$ (fig. 5.35), trajet AB); mais au point B, le rayon est encore

<footnote n="1">1. Le plan d'incidence définit le plan xOz : nous supposerons dans la suite qu'il n'y a pas de « déviation latérale », c'est-à-dire que le rayon reste toujours dans ce même plan d'incidence initiale. Mais ceci n'est pas le cas général, et on observe des déviations latérales, généralement très faibles, dues au champ magnétique; nous négligerons cet effet, qui d'ailleurs disparaît quand certaines conditions de symétrie entre B₀ et xOz sont satisfaites.</footnote>
Par un raisonnement analogue à celui fait pour la propagation parallèle, on sépare facilement les régions de propagation des régions de non-propagation. Ces résultats sont représentés sur les figures 3.26 et 3.27.

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>FIGURE 3.26. Onde ordinaire</figcaption></figure>

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>FIGURE 3.27. Onde extraordinaire</figcaption></figure>

Diagramme CMA 3.7.2

Les 5 courbes limites précédentes :

a) la coupure plasma $u_o = \infty, x = 1,$

b) les coupures communes aux modes D, G et X, $u_D = u_G = u_X = \infty$, qui sont représentées par la parabole

$$[y + m(x - 1)]^2 - (m - 1)^2 y = 0,$$

c) les résonances gyromagnétiques des modes D et G, $u_D = u_G = 0$

$$y = 1 \text{ et } y = m^2,$$

d) les résonances hybrides du mode X, $u_X = 0$, représentées par l'hyperbole

$$(y - 1)(y - m^2) + mx(y - m) = 0$$

délimitent 13 régions dans le plan $(x, y)$, numérotées de façon arbitraire (fig. 3.28).

La surface des vitesses normales $u$, fermée et de révolution autour de $B_0$, est aussi symétrique par rapport au plan $\theta = \frac{\pi}{2}$, ainsi que le montre l'équation de
<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>FIGURE 5.35.</figcaption></figure>

Vecteur propagation et rayon sous incidence oblique. (D'après Budden, 1961)

dirigé obliquement. Puis on arrive au point C où deux des quatre racines de la quartique sont égales, donc où $\partial F/\partial q = 0$. D'après (5.9.21), ce point correspond à $dx/dz = \infty$ : le rayon est horizontal, mais en ce point $q < 0$ et $k$ est dirigé obliquement vers le bas. Puis le rayon ressort de l'ionosphère avec le même angle d'incidence. Le comportement du mode (G) serait comparable, la réflexion intervenant à des altitudes supérieures. [Il est important de se souvenir que la courbe tangente au vecteur d'onde $k$ n'a aucun rapport avec le tracé du rayon !]

On trouvera dans l'ouvrage de Budden (1961) de nombreux développements relatifs à cette méthode.

### 5.9.3.2. MÉTHODE DE POEVERLEIN (1948, 1949, 1950)

<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>FIGURE 5.36.</figcaption></figure>

Construction de Poeverlein (cas où le plan d'incidence est plan méridien de la surface des indices). Une seule nappe de la surface a été représentée

Il existe une deuxième méthode permettant le tracé des rayons, basée sur une construction graphique. On applique, pour les passages successifs à travers les différentes couches de l'ionosphère, les constructions des rayons du type de celles étudiées au § 5.8.

On trace (fig. 5.36), avec la même origine, les sections des surfaces des indices par le plan d'incidence, pour des valeurs successives du paramètre X. En portant la valeur $S = \sin \phi_0$ de départ sur la trace de la limite de séparation des couches, on a la valeur de la pro-
dispersion résolue en $tg^2\theta$. Dans chacune de ces 13 régions, cette surface comporte 0, 1 ou 2 nappes suivant que, des deux solutions de (3.4.4), aucune, une seule ou les deux, sont positives (correspondant alors à 0, 1 ou 2 modes pouvant se progager). De plus, quand il y a deux nappes, elles n'ont jamais de point commun : en effet, d'après (3.4.5), $\mathcal{D}$ est toujours positif et ne s'annule jamais, sauf, éventuellement, d'après (3.4.6), dans les directions $\theta = 0$ et $\theta = \frac{\pi}{2}$.

Les résonances sont définies par $tg^2\theta_R = -x_3/x_1$, ce qui montre que $u \to 0$ sur le cône d'axe $B_0$ et de demi-angle au sommet $\theta_R$. On aura un angle $\theta_R$ réel dans les régions où $x_1$ et $x_3$ sont de signes contraires. Compte tenu des courbes limites

$$x_1 = 0 \text{ et } x_1 = \infty$$

qui définissent les résonances, et de $x_3 = 0$, on régionne facilement le plan $(x,y)$ (fig. 3.28); une nappe de la surface des vitesses passe par l'origine (en étant tangente au cône de résonance) dans les régions ③, ⑦, ⑧, ⑩, ⑮; pour $\theta = \frac{\pi}{2}$, cette nappe correspond toujours, évidemment, au mode X.

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>FIGURE 3.28. Signe de $tg^2\theta_R$</figcaption></figure>

Inversement, dans les régions où $x_1$ et $x_3$ sont de même signe (régions ①, ②, ④, ⑤, ⑥, ⑨, ⑩, ⑫) il n'y a pas de résonance, donc $u$ reste fini, non nul, quel que soit $\theta$.

Dans les régions où il y a résonance, les courbes $tg^2\theta_R = C^{te}$ montrent qu'on passe d'une manière continue des résonances hybrides ($\theta = \frac{\pi}{2}$) aux résonances gyromagnétiques ($\theta = 0$), et que la coupure plasma apparaît aussi, à la limite
jection de tous les indices intéressés (loi de Descartes); aux intersections A, B, C, ... avec les différentes surfaces des indices (chacune correspondant aux valeurs des paramètres prises à l'altitude z, on peut les repérer par la valeur de z), on connaît la direction des rayons et on peut tracer graphiquement le rayon en fonction de l'altitude. Un grand nombre de cas ont été étudiés par Budden (1961); nous lui empruntons la figure 5.37. Sur cette figure, la section de la surface des vitesses radiales $v_R$ précise, pour chaque direction du rayon, la valeur de l'indice radial $N_R = c/v_R$ en fonction de l'altitude.

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>Section de la surface des indices (mode D ou X)</figcaption></figure>

<caption>Section de la surface des vitesses radiales
(1er quadran)</caption>

FIGURE 5.37.

Construction de Poeverlein. Rayon « D » (Paramètre X). (D'après Budden, 1961)

### 5.9.3.3. MÉTHODE D'HASELGROVE (1954)

Nous allons étudier, pour terminer, la méthode de Haselgrove (Cf. par ex. Kelso, 1964) qui repose sur le principe de Fermat et une formulation hamiltonienne des équations définissant le rayon, que l'on résout ensuite sur calculateur électronique. Cette méthode est utilisée en particulier pour l'analyse de l'Effet Faraday observé dans l'ionosphère.

#### 1. Relation entre la surface des indices et la surface des vitesses radiales

Considérons le cas d'un rayon dans l'ionosphère et un point P de ce rayon : $P(r)$. En ce point P, la valeur de l'indice $N(r)$, pour une fréquence donnée, ne
$\theta \to 0$, comme une résonance (ce qui correspond à l'oscillation de plasma, sur une fréquence propre du milieu).

Nous commencerons donc par indiquer dans chaque région les différents modes D, G, O, X pouvant se propager : on obtient ainsi le nombre de nappes

<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>FIGURE 3.29.
Courbes tg²θR = Cte</figcaption></figure>

<caption>FIGURE 3.30.
Formes générales de la surface des vitesses</caption>

dans les deux directions $\theta = 0$ et $\theta = \frac{\pi}{2}$. Nous marquerons ensuite, dans les régions à résonance, le cône tangent à l'origine de la surface des vitesses. La surface peut être intérieure ou extérieure au cône : par continuité, elle sera intérieure (en forme d'haltère) s'il existe, pour $\theta = 0$, un mode de plus que pour $\theta = \frac{\pi}{2}$, et extérieure (en forme de roue), s'il existe pour $\theta = \frac{\pi}{2}$, un mode de plus que pour $\theta = 0$.

### Identification des modes 3.7.3

L'identification des modes peut se faire :

soit à l'aide des indices D, G, O, X dans les deux directions $\theta = \theta$ et $\theta = \frac{\pi}{2}$;
soit par comparaison de $u_D$ et $u_G$ d'une part, de $u_O$ et $u_X$ d'autre part, pour une fréquence donnée. D'après les figures 3.18, 19 et 20, on peut en effet indiquer les régions où $N_D \le N_G$ et celles où $N_X \le N_O$. En particulier quand deux modes existent, le passage continu vers une des courbes qui limitent une région permet de choisir entre ces deux modes : par exemple dans la région ①, la nappe extérieure correspond, pour $\theta = 0$ et $\theta = \frac{\pi}{2}$, aux modes D et X,
dépend¹ que de l'orientation du vecteur d'onde **k**; soit $\chi = k/k$ le vecteur unitaire dans la direction de **k**, au point P (r). La direction du rayon en P sera repérée par le vecteur unitaire de $\bar{S}$, $\sigma = \bar{S}/S$, où $\bar{S} = |\bar{S}|$: la vitesse radiale $v_R$ ne dépendra que de la direction du rayon, c'est-à-dire de $\sigma$. Lorsque P décrit le rayon, la direction $\bar{S}$ est celle de la tangente à la trajectoire de P : on a donc, $s$ étant l'arc compté le long du rayon

$$ (5.9.22) \qquad \frac{dr}{ds} = \sigma. $$

Introduisons les deux vecteurs

$$ (5.9.23) \qquad U = \frac{c}{\omega} k = N\chi $$

$$ (5.9.24) \qquad V = v_R \sigma. $$

Si $\Psi'$ est l'angle entre **k** et $\bar{S}$, on a donc

$$ (5.9.25) \qquad U \cdot V = N v_R \chi \cdot \sigma = N v_R \cos \Psi' = c $$

puisque, par définition $v_\phi = v_R \cos \Psi'$.

Quand on donne à $\chi$ toutes les orientations possibles, l'extrémité N du vecteur U décrit la surface des indices $\Sigma_N$, tandis que l'extrémité R du vecteur V décrit la surface des vitesses radiales $\Sigma_R$. Ces surfaces peuvent être respectivement définies par les relations

$$ |U| = N(\mathbf{r}), \quad |V| = v_R(\mathbf{r}). $$

Définissons les deux fonctions

$$ (5.9.26) \qquad G(\mathbf{r}, U) = \frac{|U|}{N(\mathbf{r}, \chi)} $$

$$ (5.9.27) \qquad F(\mathbf{r}, V) = \frac{|V|}{v_R(\mathbf{r}, \sigma)} $$

considérées chacune comme fonctions de deux variables. En un point r donné, les deux équations

$$ (5.9.28) \qquad G(r, U) = 1 \quad \text{et} \quad F(r, V) = 1 $$

sont respectivement les équations des surfaces $\Sigma_N$ et $\Sigma_R$.

1. Cela n'est vrai que pour un plasma froid, où les $\chi_{\alpha\beta}$ ne sont fonctions que de $\omega$.

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>FIGURE 5.38. Relations géométriques entre U, $\Sigma_N$ et V, $\Sigma_R$</figcaption></figure>
puisque cette nappe devra avoir des points à l'infini sur la courbe limite, coupure $u_D = u_X = \infty$, etc.

Nous pouvons alors indiquer les modes sur les différentes nappes tracées sur le diagramme. On peut vérifier, par continuité quand $\theta$ varie de 0 à $\frac{\pi}{2}$, ou quand on passe d'une région à l'autre, que cette identification est correcte.

La forme des surfaces des vitesses est très grossièrement indiquée sur la figure 3.31 sur laquelle, pour le tracé des courbes limites, la grande valeur du

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>FIGURE 3.31. Allures de la surface des vitesses (Diagramme CMA)</figcaption></figure>
— Des propriétés analytiques de ces deux fonctions résultent de leur définition : lorsqu'on multiplie U et V par un scalaire m

$$G(\mathbf{r}, m\mathbf{U}) = \frac{m |\mathbf{U}|}{N} = mG(\mathbf{r}, \mathbf{U})$$

$$F(\mathbf{r}, m\mathbf{V}) = \frac{m |\mathbf{V}|}{v_R} = mF(\mathbf{r}, \mathbf{V})$$

ces deux fonctions sont donc des formes homogènes du premier degré respectivement en U et V, et d'après le théorème d'Euler, on a

$$ (5.9.29) \qquad \begin{cases} G(\mathbf{r}, \mathbf{U}) = \mathbf{U} \cdot \frac{\partial G}{\partial \mathbf{U}} \\ F(\mathbf{r}, \mathbf{V}) = \mathbf{V} \cdot \frac{\partial F}{\partial \mathbf{V}} \end{cases} $$

de plus, il résulte de (5.9.25), que

$$(5.9.30) \qquad F G = \frac{|\mathbf{V}| \cdot |\mathbf{U}|}{v_R N} = \frac{\mathbf{U} \cdot \mathbf{V}}{\cos \Psi} \frac{v_\varphi}{v_R c} = 1.$$

— Les propriétés géométriques des deux surfaces ont été déjà précisées au § 5.3 (page 176) : nous allons montrer que la direction du rayon est perpendiculaire au plan tangent en N à la surface des indices. Nous avons vu que la direction de k (c'est-à-dire de N) était normale au plan tangent (le plan d'onde), en R, à la surface des vitesses radiales (qui est la surface d'onde pour une durée de trajet égale à l'unité) : si N et R' sont respectivement l'extrémité de N et son intersection avec le plan d'onde, on a

$$PN \cdot PR' = U \cdot V = c$$

conformément au résultat du § 5.3. Soit N' la projection de N sur le rayon : on a de même

$$PR \cdot PN' = U \cdot V = c.$$

Les points R' et N' d'une part, R et N' d'autre part, sont donc conjugués par rapport à la sphère de centre P, et de rayon $\sqrt{c}$. Il en résulte que, lorsque R décrit la surface $\Sigma_R$, R' décrit la surface podaire de $\Sigma_R$ par rapport à P, tandis que N décrit la surface des indices $\Sigma_N$. Ces deux dernières surfaces étant inverses l'une de l'autre, il en résulte (propriété de la transformation par podaires réciproques) que $\Sigma_R$ est l'inverse de la surface podaire N de $\Sigma$ par rapport à P; or cette dernière est le lieu de N', inverse de R. Donc N' est dans le plan tangent en N à la surface des indices.

Par conséquent, U et V sont respectivement dans les directions des gradients $\partial F/\partial V$ et $\partial G/\partial U$; posons

$$U = \alpha \frac{\partial F}{\partial V} \qquad V = \beta \frac{\partial G}{\partial U}$$
<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>FIGURE 3.32. Comparaison des vitesses de phase des ondes principales</figcaption></figure>

rapport $m = \frac{m_i}{\alpha m_e}$ ne permet pas de respecter l'échelle. On peut préciser cette forme en comparant les différentes vitesses des ondes principales entre elles et chacune à la vitesse $c$. Mais alors, plusieurs des 13 régions doivent être subdivisées, ce qui complique énormément le diagramme. Ces limites supplémentaires sont indiquées sur la figure 3.32.

Pour $\theta = 0$, cette comparaison est immédiate. Pour $\theta = \frac{\pi}{2}$, dans la région comprise entre la fréquence hybride supérieure $\omega_I$ et la coupure $\omega_G$, on a déjà signalé la limite $u_X = c$, c'est-à-dire la droite $y = m(1-x)$; dans le domaine où $u_X < c$, on a donc $u_X < u_0$ puisqu'on a toujours $u_0 > c$; dans le domaine où $u_X > c$, il apparaît une nouvelle limite définie par $u_0 = u_X$, c'est-à-dire la droite $\Delta$, $y = -mx + (m^2 - m + 1) \# -m(x-m+1)$, qui passe par le point $(x=1, y=(m-1)^2)$ c'est-à-dire $\omega_0 = \omega_G$. Au-dessous de cette droite, $N_X$ est supérieur à $N_O$ (cette région contient en particulier la région où $\omega_0 > \omega_G$ et où on a toujours $N_X > N_O$, cf. fig. 3.18 et 3.19); au-dessus de cette droite c'est le contraire : $N_X < N_O$ (dans cette région on a toujours $\omega_0 > \omega_G$, cf. fig. 3.20).

Enfin, la grande valeur de $m = \frac{m_i}{\alpha m_e}$ rendant difficile le tracé du diagramme CMA, certains auteurs (Stix, 1962, Allis et al., 1963) utilisent un diagramme en coordonnées logarithmiques.

Nous allons maintenant étudier plus en détail la propagation oblique dans les limites hautes et basses fréquences.
soit avec (5.9.25) et (5.9.29)

$$V \cdot U = \alpha V \cdot \frac{\partial F}{\partial V} = \alpha F = c$$

$$U \cdot V = \beta U \cdot \frac{\partial G}{\partial U} = \beta G = c$$

d'où

$$ (5.9.31) \quad \left\{ \begin{array}{l} U = \frac{c}{F} \frac{\partial F}{\partial V} \\ V = \frac{c}{G} \frac{\partial G}{\partial U} \end{array} \right. $$

## 2. Équations canoniques du rayon

Le mouvement du point P, le long du rayon fixé par (5.9.22), suit la loi

$$\frac{dr}{dt} = \frac{dr}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = \sigma v_R$$

$\frac{ds}{dt}$ étant la vitesse $v_R$ par définition. D'après (5.9.24) et (5.9.30), — en y faisant $G = 1$, d'après (5.9.28) —
on a

$$ (5.9.32) \quad \frac{dr}{dt} = V = c \frac{\partial G}{\partial U} $$

D'autre part, nous avons montré, au § 5.9.1, que le vecteur d'onde $k(r)$, au point $P(r)$, était le gradient de la fonction eikonale $\Phi$ : d'après (5.9.23) $k = \frac{\partial \Phi}{\partial r}$ s'écrit

$$U = \frac{c}{\omega} \frac{\partial \Phi}{\partial r}.$$

Il en résulte que

$$ (5.9.33) \quad \nabla \times U = 0, \quad \frac{\partial U_x}{\partial y} - \frac{\partial U_y}{\partial z} = 0; \quad \frac{\partial U_x}{\partial z} - \frac{\partial U_y}{\partial x} = 0; \quad \frac{\partial U_y}{\partial x} - \frac{\partial U_x}{\partial y} = 0.$$

Or, puisque $G = 1$ (surface des indices), toutes les dérivées totales de $G$ s'annulent :
par exemple

$$\frac{dG}{dx} = 0 = \frac{\partial G}{\partial x} + \frac{\partial G}{\partial U} \cdot \frac{\partial U}{\partial x}$$

soit, d'après (5.9.33)

$$\frac{\partial G}{\partial x} + \frac{\partial G}{\partial U_x} \frac{\partial U_x}{\partial x} + \frac{\partial G}{\partial U_y} \frac{\partial U_x}{\partial y} + \frac{\partial G}{\partial U_z} \frac{\partial U_x}{\partial z} = 0$$

qui s'écrit

$$\frac{\partial G}{\partial x} + \frac{\partial G}{\partial U} \cdot \nabla U_x = 0.$$

Avec (5.9.32), on a

$$\frac{\partial G}{\partial U} \cdot \nabla U_x = \frac{1}{c} \frac{dr}{dt} \cdot \nabla U_x = \frac{1}{c} \frac{dU_x}{dt}.$$
## 3.8. Propagation en très haute fréquence

### Équation d'Appleton-Hartree 3.8.1

Pour les très hautes fréquences, les ions restent pratiquement au repos, par suite de leur grande inertie : cela revient donc à prendre la limite $m_i \to \infty$, c'est-à-dire $m \to \infty$; $\Omega_p$ et $\Omega_b$ tendent alors vers 0. D'après (3.3.10) et (3.7.2),

$$ (3.8.1) \quad \begin{cases} x_1 = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2 - \omega_b^2} = 1 - \frac{x}{1-y} \\ x_2 = - \frac{\omega_b}{\omega} \frac{\omega_p^2}{\omega^2 - \omega_b^2} = - \sqrt{y} \frac{x}{1-y} \\ x_3 = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2} = 1-x, \end{cases} $$

expressions qui, portées dans (3.4.3), donnent, après calcul

$$ (3.8.2) \quad \begin{cases} A = (1-y)^{-1} [1 - y - x (1 - y \cos^2\theta)] \\ B = (1-y)^{-1} [2(1-x)^2 - 2y - xy (1+\cos^2\theta)] \\ C = (1-y)^{-1} (1-x) [(1-x)^2 - y] \\ D^2 = (1-y)^{-2} x^2 y [y^2 \sin^4\theta + 4y(1-x)^2 \cos^2\theta]. \end{cases} $$

L'équation de dispersion s'obtient en portant les expressions (3.8.2) dans la solution de (3.4.2), écrite sous la forme<fnref n="1" />

$$ (3.8.3) \qquad N^2 = 1 - \frac{2 (A - B + C)}{2 (A - B \pm D)} $$

d'où

$$ (3.8.4) \quad \begin{cases} N^2 = 1 - \frac{2x(1-x)}{2(1-x) - y \sin^2\theta \pm \Delta} \\ \Delta = [y^2 \sin^4\theta + 4y(1-x)^2 \cos^2\theta]^{1/2}. \end{cases} $$

Ces expressions se simplifient en posant

$$ t = \frac{y \sin^2 \theta}{2(1-x)} $$

$$ (3.8.5) \qquad N^2 = 1 - \frac{x}{1 - t \pm \sqrt{y \cos^2 \theta + t^2}} $$

Dans (3.8.4) et (3.8.5), le signe + correspond à l'onde G (pour $\theta = 0$) et à l'onde O

<footnote n="1">1. Qu'on obtient facilement en résolvant l'équation (3.4.2) pour l'inconnue $\frac{1}{N^2 - 1}$ : l'intérêt de cette méthode est de faire disparaître la variable $\theta$ du numérateur; elle ne figure plus alors que dans $\mathcal{D}$.</footnote>
D'où l'on tire

$$ \frac{dU_x}{dt} = -c \frac{\partial G}{\partial x} $$

et des relations identiques pour les autres composantes, c'est-à-dire au total

$$ (5.9.34) \qquad \frac{dU}{dt} = -c \frac{\partial G}{\partial \mathbf{r}}. $$

Les équations (5.9.32) et (5.9.34), de forme identique aux équations de Hamilton, sont les équations canoniques du mouvement pour les variables conjuguées r et U, la fonction G (r, U) jouant le rôle de l'hamiltonien

$$ (5.9.35) \qquad \dot{\mathbf{r}} = c \frac{\partial G}{\partial U}, \qquad \dot{U} = -c \frac{\partial G}{\partial \mathbf{r}} $$

où la notation $\dot{a}$ désigne la dérivée $\frac{da}{dt}$.

Ces équations (5.9.35) peuvent aussi être déduites d'une formulation variationnelle, à partir du principe du Fermat

$$ (5.9.36) \qquad \delta \int_{A}^{B} N_{R} ds = 0 $$

l'intégrale étant prise le long du rayon joignant deux points A et B fixés. Or $ds = v_{R}dt = |V|dt$, $N_{R} = \frac{c}{v_{R}}$, d'où $N_{R}ds = c \frac{|V|}{v_{R}} dt = cF$ et (5.9.36) s'écrit, en utilisant

$$ (5.9.37) \qquad \delta \int_{A}^{B} F(r, \dot{\mathbf{r}}) dt = 0. $$

Les équations d'Euler associées à (5.9.37) sont

$$ (5.9.38) \qquad \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial F}{\partial \dot{\mathbf{r}}} \right) = \frac{\partial F}{\partial \mathbf{r}} $$

où les composantes de r sont les coordonnées courantes d'un point du rayon et
$$ \dot{\mathbf{r}} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = V. $$

Or, d'après (5.9.30) et (5.9.31)

$$ \frac{\partial F}{\partial \dot{\mathbf{r}}} = \frac{\partial F}{\partial V} = \frac{F}{c} U = \frac{1}{cG} U $$

et (5.9.38) devient

$$ (5.9.39) \qquad \frac{d}{dt} \left( \frac{U}{G} \right) = c \frac{\partial}{\partial \mathbf{r}} \left( \frac{1}{G} \right) $$

soit, en effectuant les dérivations

$$ G\dot{U} - \dot{G}U = -c \frac{\partial G}{\partial \mathbf{r}} $$

qui pour la surface $G = 1$ (et donc $\dot{G} = 0$) redonne bien (5.9.34).

1. Avec (5.9.26), l'éq. (5.9.32) se met sous la forme très simple $\dot{\mathbf{r}} = \frac{c}{N^2} (\mathbf{U} - \frac{\partial \mathbf{N}}{\partial \mathbf{r}})$
(pour $\theta = \frac{\pi}{2}$); le signe — correspond à l'onde D (pour $\theta = 0$) et à l'onde X (pour $\theta = \frac{\pi}{2}$).

L'équation (3.8.5) est l'équation d'Appleton-Hartree (Appleton, 1933; Hartree, 1931). Il y intervient habituellement une fréquence de collision v, qui représente les chocs des électrons sur les molécules neutres du gaz. La prise en considération de ces chocs provient de ce que l'équation d'Appleton-Hartree a été établie pour décrire la propagation des ondes électromagnétiques dans l'ionosphère, où les fréquences de collision électrons-molécules ne sont pas toujours négligeables devant la fréquence de l'onde. Nous reviendrons au chapitre 10 sur le rôle des collisions dans la propagation. Nous nous bornerons ici à introduire cette fréquence de collision v, dans le second membre de l'équation pour la quantité de mouvement (3.1.5), par un terme de frottement $-vn_{0e}m_e v_e$. Formellement cela revient à remplacer dans (3.1.5) la masse $m_e$ par l'expression $m_e(1 + i\frac{v}{\omega})$, c'est-à-dire à remplacer $x$ et $\sqrt{y}$ dans (3.8.4) par

$$x' = \frac{n_{0e}q_e}{\epsilon_0 m_e (1 + i \frac{v}{\omega}) \omega^2} = \frac{x}{1 + i \frac{v}{\omega}}$$

et

$$\sqrt{y'} = \frac{-q_e B_0}{m_e (1 + i \frac{v}{\omega})} = \frac{\sqrt{y}}{1 + i \frac{v}{\omega}}$$

Les notations habituellement utilisées<fnref n="1" /> sont

$$ (3.8.6) \qquad X = \frac{\omega_p^2}{\omega^2}; \quad Y = \frac{\omega_b}{\omega}; \quad U = 1 + iZ, \quad Z = \frac{v}{\omega} $$

soit

$$ (3.8.7) \qquad \begin{cases} x' = \frac{X}{U} & y' = \frac{Y^2}{U^2} \\ t' = \frac{Y^2 \sin^2\theta}{2U(U-X)} = \frac{T}{U}, & \text{en posant} \\ T = \frac{Y^2 \sin^2\theta}{2(U-X)}. \end{cases} $$

Il vient alors :

$$ (3.8.8) \qquad \begin{cases} N^2 = 1 - \frac{X}{U - T \pm \sqrt{Y^2 \cos^2\theta + T^2}} \\ T = \frac{Y^2 \sin^2\theta}{2(U-X)}. \end{cases} $$

<footnote n="1">1. Convention de l'URSI.</footnote>
### 3. Loi de Descartes

Avec $G = \frac{|U|}{N}$, l'équation (5.9.39) s'écrit, pour $\chi = U/|U|$

$$ (5.9.40) \qquad \frac{d}{dt}(N\chi) = c \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{N}{|U|} \right). $$

C'est la généralisation de la loi de Descartes. Pour un milieu stratifié horizontalement, avec $Oz$ vertical, on a en effet

$$ N = N(z), \qquad \frac{\partial}{\partial r} = (0, 0, \frac{\partial}{\partial z}), $$

$$ \chi = (\sin \varphi, 0, \cos \varphi) $$

et (5.9.40) projeté sur $Ox$ donne

$$ \frac{d}{dt}(N \sin \varphi) = 0 : $$

le long d'un rayon, on a donc

$$ N \sin \varphi = C^{\text{te}}. $$

Haselgrove a écrit les équations canoniques en coordonnées généralisées : ce sont ces équations (Cf. par ex. Haselgrove, 1957) qui sont résolues sur ordinateur et donnent le tracé des rayons. Plus simplement, avec le choix des axes ci-dessus, on obtient (Budden, 1961).

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

$$ (5.9.41) \qquad \left\{ \begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= \frac{c}{N^2} \left( N \sin \varphi - \cos \varphi \frac{\partial N}{\partial \varphi} \right) \\ \frac{dz}{dt} &= \frac{c}{N^2} \left( N \cos \varphi + \sin \varphi \frac{\partial N}{\partial \varphi} \right) \\ \frac{d\varphi}{dt} &= - \frac{c}{N^2} \sin \varphi \frac{\partial N}{\partial z} \end{aligned} \right. $$

Signalons enfin que lorsque les propriétés du milieu dépendent lentement du temps, une méthode générale, basée sur l'équation eikonale (5.9.7), a été développée par Weinberg (1962) et conduit : d'une part aux équations canoniques (5.9.35), d'autre part aux équations déterminant le changement de $\omega$ le long du rayon.

### Accessibilité. Couplage de modes 5.9.4

L'étude du tracé des rayons qui vient d'être faite montre qu'une région particulière, par exemple de forte densité, ne sera atteinte par le signal issu d'un récepteur (généralement situé dans des régions de faible densité) que sous certaines conditions, en dehors desquelles ce signal sera réfléchi. Si la région qu'on cherche à atteindre peut être le siège d'une résonance, par exemple, et qu'on cherche à exciter cette résonance, il est de première importance de connaître ces conditions qu'on appellera *conditions d'accessibilité* (Stix, 1962).
(pour $\theta = \frac{\pi}{2}$); le signe — correspond à l'onde D (pour $\theta = 0$) et à l'onde X (pour $\theta = \frac{\pi}{2}$).

L'équation (3.8.5) est l'équation d'Appleton-Hartree (Appleton, 1933; Hartree, 1931). Il y intervient habituellement une fréquence de collision $v$, qui représente les chocs des électrons sur les molécules neutres du gaz. La prise en considération de ces chocs provient de ce que l'équation d'Appleton-Hartree a été établie pour décrire la propagation des ondes électromagnétiques dans l'ionosphère, où les fréquences de collision électrons-molécules ne sont pas toujours négligeables devant la fréquence de l'onde. Nous reviendrons au chapitre 10 sur le rôle des collisions dans la propagation. Nous nous bornerons ici à introduire cette fréquence de collision $v$, dans le second membre de l'équation pour la quantité de mouvement (3.1.5), par un terme de frottement $-vn_{0e}m_e v_e$. Formellement cela revient à remplacer dans (3.1.5) la masse $m_e$ par l'expression $m_e(1 + i\frac{v}{\omega})$, c'est-à-dire à remplacer $x$ et $\sqrt{y}$ dans (3.8.4) par

$$x' = \frac{n_{0e}q_e}{\epsilon_0 m_e (1 + i \frac{v}{\omega}) \omega^2} = \frac{x}{1 + i \frac{v}{\omega}}$$

et

$$\sqrt{y'} = \frac{-q_e B_0}{m_e (1 + i \frac{v}{\omega})} = \frac{\sqrt{y}}{1 + i \frac{v}{\omega}}$$

Les notations habituellement utilisées<fnref n="1" /> sont

$$ (3.8.6) \qquad X = \frac{\omega_b^2}{\omega^2}; \quad Y = \frac{\omega_b}{\omega}; \quad U = 1 + iZ, \quad Z = \frac{v}{\omega} $$

soit

$$ (3.8.7) \qquad \begin{cases} x' = \frac{X}{U} & y' = \frac{Y^2}{U^2} \\ t' = \frac{Y^2 \sin^2\theta}{2U(U-X)} = \frac{T}{U}, & \text{en posant } T = \frac{Y^2 \sin^2\theta}{2(U-X)}. \end{cases} $$

Il vient alors :

$$ (3.8.8) \qquad \begin{cases} N^2 = 1 - \frac{X}{U - T \pm \sqrt{Y^2 \cos^2\theta + T^2}} \\ T = \frac{Y^2 \sin^2\theta}{2(U-X)}. \end{cases} $$

<footnote n="1">1. Convention de l'URSI.</footnote>
Nous avons vu que lorsqu'on tend vers une coupure, l'onde est réfléchie; la condition d'accessibilité ($k_x$ et $k_y$ restant constants en vertu de la loi de Descartes) est donc que $k_x$ ne s'annule pas au cours de la propagation. Il peut cependant arriver, lorsque les fréquences de coupure $\omega_D$ et $\omega_G$ sont assez voisines des fréquences de résonance, qu'un effet « tunnel » ait lieu à travers la bande non passante, où l'onde est évanescente, et qu'une partie de l'énergie émerge du côté de la résonance (Budden, 1955).

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>FIGURE 5.39. Couplage mode G, mode plasma</figcaption></figure>

Une autre possibilité existe lorsque des couplages de modes sont possibles. Ainsi (fig. 5.39) en propagation oblique, de l'énergie envoyée sur le mode « gauche » se propage et se réfléchit sur la coupure plasma. Au retour, les conditions de propagation ayant changé puisqu'on ne revient pas par le même trajet, il peut se faire qu'un point de couplage existe entre le mode (G) et l'oscillation de plasma (P) (cas de propagation à $\theta \neq 0$). De l'énergie passe alors sur ce dernier mode et la résonance est atteinte (Cf. Gershman et al, 1957; Ginzburg, 1960). Un tel couplage peut être obtenu dans l'interaction cohérente de deux ondes dans l'ionosphère (Blachier et Bouchet, 1966); la trajectoire d'une des ondes, de fréquence voisine de la fréquence plasma dans la région d'interaction, y est déterminée par une résolution, sur ordinateur, de la quartique de Booker. Signalons enfin que de tels couplages ne sont vraiment efficaces que lorsque le gradient de densité, sur une longueur d'onde mesurée dans le vide, est assez élevé : ainsi on pourrait exciter, au voisinage de la résonance hybride supérieure, des ondes longitudinales à partir d'une onde transversale se propageant perpendiculairement à $B_0$ dans un plasma inhomogène, avec $\nabla n_0 \cdot B_0 = 0$ (Kuehl, 1967).

Enfin, des transferts d'énergie d'un mode sur un autre peuvent avoir lieu; ainsi, dans l'exosphère, on observe la génération de sifflements protoniques, qui ne peuvent avoir un éclair atmosphérique comme origine : le mode ionique est coupé pour les fréquences $\omega_{G1} \ge \omega \ge \omega_{B1}$ (Cf § 3.10) et seul le sifflement électronique se propage. A plus haute altitude, et sous certaines conditions, la composante de fréquence $\omega$ d'un sifflement électronique peut engendrer la composante $\omega$ d'un sifflement protonique lorsqu'elle passe à l'altitude où cette fréquence est égale à la fréquence de croisement (Cf. §. 3.10) : les deux signaux ont alors même vitesse de groupe.

Le calcul de l'accessibilité directe, sans effet tunnel et sans couplage de modes, est spécial à chaque cas particulier. Stix (1962) en donne quelques exemples.
Nous laisserons de côté, pour l'instant, les phénomènes liés aux collisions et nous
nous bornerons à utiliser les expressions (3.8.4) ou (3.8.5).

Diagramme CMA en haute fréquence 3.8.2

Dans la limite des hautes fréquences, le diagramme CMA se simplifie, les courbes
limites se réduisant à :

<table>
  <tr>
    <td>— la coupure plasma &omega; = &omega;<sub>p</sub></td>
    <td>x = 1</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>— les coupures &omega; = &omega;<sub>D</sub>, &omega;<sub>G</sub></td>
    <td>y = (x - 1)<sup>2</sup></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>— la résonance gyromagnétique &omega; = &omega;<sub>b</sub></td>
    <td>y = 1</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>— la résonance hybride supérieure &omega; = &omega;<sub>I</sub></td>
    <td>y = 1 - x</td>
  </tr>
</table>

et les expressions des indices des ondes principales deviennent (Cf. (3.7.4) à (3.7.8))

$$
(3.8.9) \qquad N_D^2 = 1 - \frac{x}{1 - \sqrt{y}}
$$

$$
(3.8.10) \qquad N_G^2 = 1 - \frac{x}{1 + \sqrt{y}}
$$

$$
(3.8.11) \qquad N_D^2 = 1 - x,
$$

$$
(3.8.12) \qquad N_x^2 = 1 - \frac{x(1-x)}{1-x-y} = \frac{(1-x)^2 - y}{1-x-y}
$$

On obtient ainsi 8 régions (fig. 3.33), les régions ⑨, ⑩, ⑪, ⑫ et ⑬ de la figure 3.31
étant rejetées à l'infini.

<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>FIGURE 3.33.
Les huit régions du diagramme CMA en haute fréquence</figcaption></figure>
La figure (3.34) montre les formes des méridiennes des surfaces des vitesses dans chacune des huit régions ainsi définies.

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>FIGURE 3.34.</figcaption></figure>

### Approximations quasi parallèle et quasi perpendiculaire¹ 3.8.3

#### 3.8.3.1. PROPAGATION QUASI PERPENDICULAIRE (Q₁)

Pour
(3.8.13) $t^2 \gg y \cos^2\theta$ ou $y \sin^4\theta \gg 4(1-x)^2 \cos^2\theta$

l'équation (3.8.4) devient

$$N^2 = 1 - \frac{x}{1 - t \pm t \pm (y \cos^2\theta/2t)}$$

1. Ces dénominations sont choisies conformément aux conventions adoptées ici (Cf. note page 79). On en trouve de différentes dans la littérature, par exemple quasi longitudinale et quasi transverse (Booker, 1935).
qui, pour les déterminations + et – s'écrivent :

$$ (3.8.14) \qquad N_+^2 = \frac{1-x}{1-x \cos^2\theta} = N_{Q0}^2 $$

$$ (3.8.15) \qquad N_-^2 = \frac{(1-x)^2 - y \sin^2\theta}{1-x-y \sin^2\theta} = N_{Qx}^2 $$

Dans la limite $\theta \to \frac{\pi}{2}$, on voit que $N_+$ s'identifie au mode ordinaire $N_0 = 1-x$,

et $N_-$ au mode extraordinaire $N_x^2 = \frac{(1-x)^2 - y}{1-x-y}$, d'après (3.8.11 et 12). En propagation quasi perpendiculaire, nous appellerons ces deux modes $N_+$ et $N_-$ respectivement quasi ordinaire (QO) et quasi extraordinaire (QX).

a) Le mode (QO), (3.8.14), a la propriété remarquable d'être indépendant de l'intensité de $B_0$, tant que la condition (3.8.13) est satisfaite. La résonance $x = (\cos^2\theta)^{-1}$ ne serait atteinte que pour $x \to \infty$ (d'après 3.8.13), c'est-à-dire, finalement, soit pour des fréquences extrêmement basses, qui sont exclues du cas étudié, soit pour des densités $n_{0e}$ très élevées, où les hypothèses de départ ne sont plus satisfaites. Ce mode est donc pratiquement identique au mode ordinaire pour $\theta = \frac{\pi}{2}$, lui-même identique au mode transversal en l'absence de champ magnétique statique; donc

$$ (3.8.16) \qquad N_{Q0}^2 \approx 1-x. $$

Sur la figure (3.31), on voit que ce mode ne se rencontre que dans les régions ①, ②, ③ et ⑥.

Ce mode n'existe donc que pour $x \le 1$, avec la coupure $x = 1$ comme pour $\theta = \frac{\pi}{2}$. C'est ce mode qui est habituellement utilisé dans les mesures de densités électroniques, par interférométrie (comme en optique) (Cf. par exemple Wharton, Havard et Heinz, 1958; Papoular et Balazard, 1965). Pour les fréquences $\omega$ du générateur, telles que $\omega > \omega_p$, on détermine le déphasage entre l'onde transmise à travers le plasma et l'onde dans le vide. D'après (3.8.16), la longueur d'onde

<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>FIGURE 3.35. Schéma de pont interférentiel HF</figcaption></figure>
dans le plasma, $\lambda_p = 2\pi k^{-1} = 2\pi c (\omega^2 - \omega_p^2)^{-1/2}$, est plus grande que la longueur d'onde dans le vide, $\lambda_0 = 2\pi c\omega^{-1}$ : cela conduit à une différence de phase entre les ondes se propageant dans deux bras, dont l'un contient le plasma (fig. 3.35); on règle le déphaseur pour que, en l'absence de plasma, les deux ondes transmises soient en phase, ou mieux, en opposition de phase.

Pour un plasma de décharge, avec une densité variable dans le temps (fig. 3.36), supposons la fréquence $\omega$ du générateur inférieure à la fréquence plasma $\omega_{p0}$ correspondant à la densité maximum $n_0$ : il existe alors une densité $n_c$ pour laquelle la fréquence de coupure est égale à $\omega$. Lorsque $n(t) < n_c$ il y a donc transmission, et lorsque $n(t) > n_c$, la propagation n'étant plus possible, toute la puissance est réfléchie. Dans le premier cas, on observe donc des franges dues à l'interférence de l'onde transmise et de l'onde directe; l'interfrange varie puisque la longueur d'onde $\lambda_p$, fonction de $n$ par l'intermédiaire de $\omega_p$, est fonction du temps. Dans le second cas, il n'y a plus de franges et on ne pourra connaître la densité dans cette région qu'en augmentant la fréquence du générateur (c'est-à-dire en diminuant la longueur d'onde utilisée).

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>FIGURE 3.36. Réponse du pont interférentiel</figcaption></figure>

De plus, l'étude de l'onde transmise, ou de l'onde réfléchie, indépendamment du montage interférentiel, permet de mesurer, par une méthode de tout ou rien, la densité maximum dans la colonne de plasma. L'onde incidente est choisie conformément à cette polarisation (fig. 3.37), qui est quasi rectiligne le long de $B_0$ (et ce d'autant plus que l'on se trouve près de la coupure).
<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>FIGURE 3.37. Disposition géométrique pour la mesure de densités par interférométrie HF</figcaption></figure>

b) Le mode (QX), (3.8.15), existe dans les régions ①, ③, ④, ⑥, ⑦; l'équation (3.8.15) est identique à l'équation de dispersion pour $\theta = \frac{\pi}{2}$, quand on y remplace $\omega_b$ par $\omega_b \sin \theta$.

On obtient donc les fréquences de coupure et les fréquences de résonance en faisant ce changement dans $\omega_I$ (3.4.24) et $\omega_D$ (3.4-29); en particulier, la résonance hybride en propagation quasi perpendiculaire devient

$$ (3.8.17) \qquad \omega_x^2 = \omega_p^2 + \omega_b^2 \sin^2\theta $$

très voisine de $\omega_I$. Remarquons que dans la région ⑤, figure 3.31, la nappe correspondant au mode X (qui correspond à des angles $\theta$ tels que $\theta_R < \theta < \frac{\pi}{2}$) satisfait entièrement à la condition (3.8.13); cette dernière s'écrit, pour la résonance (3.8.17), $\text{tg } \theta_R \gg 2$, et est à fortiori satisfaite pour tous les points de la surface des vitesses, en dehors de la résonance : l'approximation $Q \perp$ est donc satisfaite, pour ce mode, même pour des angles $\theta$ qui ne sont plus très voisins de $\frac{\pi}{2}$.

Il n'en est plus de même dans les régions ①, ④, ⑥ et ⑦ où seule une petite portion de la nappe est décrite par (3.8.15).

### Polarisation des modes quasi perpendiculaires

A l'aide des expressions (3.4.33) et (3.4.40), on calcule facilement

— pour le mode QO

$$ \frac{E_z}{E_x} \# \frac{x-1}{\text{tg } \theta} \qquad \frac{E_y}{E_x} \# -i \sqrt{y} \frac{1-x \cos^2 \theta}{y \sin^2 \theta + (1-x) \cos^2 \theta} $$
pour $\theta$ voisin de $\frac{\pi}{2}$, on a $E_x \ll E_z$, pendant que $E_y/E_x$ reste fini; la polarisation est donc pratiquement le long de Oz, c'est-à-dire de $B_0$, ainsi que nous l'avons annoncé à propos de l'utilisation de ce mode QO; on parlera de polarisation quasi rectiligne.

— pour le mode QX

$$ \frac{E_z}{E_x} \# \frac{y \sin^2\theta - (1-x)^2}{xy \operatorname{tg} \theta} \qquad \frac{E_y}{E_x} = i \frac{y \sin^2\theta - (1-x)}{\sqrt{y}(\cos^2\theta - x)}; $$

pour $\theta$ voisin de $\frac{\pi}{2}$, on a $E_x \ll E_z$, $E_y/E_x$ restant fini; la polarisation, pratiquement dans le plan xOy, est elliptique : on parlera de polarisation quasi elliptique.

Les expressions précédentes peuvent être utiles pour étudier des cas particuliers, pour certaines valeurs de x et y.

### 3.8.3.2. PROPAGATION QUASI PARALLÈLE (Q//)

Cas où x est éloigné de 1.

Dans la limite inverse de (3.8.13), on a

$$ (3.8.18) \qquad t^2 \ll y \cos^2\theta \quad \text{ou} \quad y \sin^4\theta \ll 4(1-x)^2 \cos^2\theta $$

le voisinage de $x=1$ étant exclu. L'équation (3.8.4) devient

$$ (3.8.19) \qquad N^2 = 1 - \frac{x}{1 - t \pm \sqrt{y \cos \theta \left(1 + \frac{t^2}{2y \cos^2 \theta}\right)}} $$

soit, d'après (3.8.18)

$$ (3.8.20) \qquad N_{\perp}^2 \approx 1 - \frac{x}{1 \pm \sqrt{y \cos \theta}} = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega (\omega \pm \omega_b \cos \theta)} $$

Dans la limite $\theta \to 0$, ces solutions (3.8.20), pour les signes + ou -, s'identifient respectivement aux modes gauche et droit (3.8.9) et (3.8.10) : nous les appellerons modes quasi gauche et quasi droit

$$ (3.8.21) \qquad N_{QG}^2 = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega (\omega + \omega_b \cos \theta)} \qquad N_{QD}^2 = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega (\omega - \omega_b \cos \theta)} $$

Le mode (QD) existe dans les régions ①, ⑥, ⑦, ⑧ et le mode (QG) dans les régions ①, ②, ③, ④, ⑥, ⑦. Le mode (QD) ne présente une résonance cyclotron $\omega = \omega_b \cos \theta$ que dans les régions ⑦ et ⑧, au voisinage de $y \ge 1$, $x > 1$. Dans ce voisinage, la condition (3.8.18) pour la résonance ($y \cos^2\theta_R = 1$) s'écrit $\operatorname{tg}^2\theta_R \ll 2$ ($x-1$), d'autant plus sévère que $x$ est voisin de 1. Lorsque cette condition est satisfaite, l'approximation quasi parallèle est valable pour la nappe tout
entière de la surface des vitesses du mode (QD), qui correspond à des angles $\theta < \theta_R$.

La résonance $\omega = \omega_b \cos \theta$ ne met en jeu que la composante longitudinale (le long de $k$) de $B_0$: ceci est bien naturel, la composante transversale, faible pour $\theta$ petit, n'ayant qu'un rôle négligeable sur le mouvement des charges.

Polarisation des modes (QD) et (QG) (voisinage de $x = 1$ exclu)
Les expressions (3.4.33) donnent ici

$$ \frac{E_y}{E_x} = i \frac{1 \mp \sqrt{y \cos \theta}}{\sqrt{y \mp \cos \theta}} $$ $$ \frac{E_z}{E_x} = - \sin \theta \frac{1 - x \mp \sqrt{y \cos \theta}}{(1 - x) \cos \theta \mp \sqrt{y(\cos^2\theta - x)}}; $$

ce dernier rapport est « 1, sauf au voisinage de la résonance où, alors, $E_x/E_z = \operatorname{tg} \theta$.

On a donc une polarisation quasi circulaire, sauf pour la résonance où l'on retrouve une polarisation longitudinale.

Dans le cas où $x \simeq 1$,

les approximations précédentes ne sont plus valables : le calcul numérique donne alors des courbes de dispersion, qui, en dehors de $x \simeq 1$, représentent (3.8.20), mais qui pour $x \simeq 1$ se raccordent approximativement à l'oscillation de plasma longitudinale (fig. 3.38) : il apparaît donc des régions de « couplage » entre les modes, d'autant plus fort que $\theta$ est petit. Nous reviendrons sur ce point au § 5.9.4.

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>FIGURE 3.38. Propagation quasi parallèle</figcaption></figure>

Cette onde (QD) est importante : les « sifflements » sont des groupes d'ondes de ce type qui se propagent dans l'ionosphère et la magnétosphère. Identifiés
pour la première fois par Barkhausen (1930), ils ont pour origine des éclairs atmosphériques et correspondent à des signaux radioélectriques (c'est-à-dire des « paquets » d'ondes, cf. chap. 5) dans une gamme de fréquences allant de quelques Mcycles jusqu'aux fréquences acoustiques. Il sera montré au chapitre 5, d'une part que ces signaux se propagent le long des lignes de force du champ magnétique terrestre, d'autre part que leur vitesse de groupe, $v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k}$, varie proportionnellement à $\omega^{1/2}$, correspondant, par battement avec l'oscillateur local du récepteur, à un signal reçu dont le ton descend, d'où leur nom. Récemment des sifflements ioniques (H⁺, He⁺, O⁺...) ont été observés (Smith et Brice, 1964) : ils correspondent à une propagation de signaux ayant la même origine, mais empruntant un mode (QG) (ionique), dans la gamme des très basses fréquences<fnref n="1" />; les caractéristiques de la propagation observées ont été utilisées pour étudier les concentrations ioniques dans l'ionosphère (Gurnett et Shawhan, 1965-1966).

Ce sont ces deux modes QD et QG, à polarisations quasi circulaires, qui permettent aussi d'observer l'effet Faraday dans l'ionosphère; on utilise une source très haute fréquence, placée sur un satellite, pour laquelle on a $x \ll 1$ et $y \ll 1$. La rotation $d\alpha$ du plan de polarisation, pour un trajet $dL$, peut alors, d'après (3.5.17) et (3.8.20), se mettre sous la forme simple

$$d\alpha = \frac{C}{\omega^2} n_0 B_0 \cos\theta \, dL, \text{ où C est une constante.}$$

En supposant que les propriétés de l'ionosphère ne dépendent que de l'altitude $z$, la rotation le long d'un trajet rectiligne, incliné de l'angle $\varphi$ sur la verticale, entre deux altitudes $z_1$ et $z_2$, s'écrit

$$\alpha = \frac{C}{\omega^2} \int_{z_1}^{z_2} n_0 B_0 \cos \theta \frac{dz}{\cos \varphi}.$$

Dans un très large domaine on peut considérer la quantité $\frac{B_0 \cos \theta}{\cos \varphi}$ comme invierte, de sorte que $\alpha$ permet de mesurer l'intégrale de la densité $n_0(z)$ entre les deux altitudes $z_1$ et $z_2$ (Garriott, 1960).

## Courbes de dispersion des ondes de haute fréquence en propagation oblique, en fonction de la densité 3.8.4

En choisissant $\sqrt{y} = \omega_b/\omega = Y$ comme paramètre, on peut convenir de représenter la solution $k^2$ en fonction des valeurs de la densité $n_{0e}$; les courbes de dis-

<footnote n="1">1. Il existe alors plusieurs fréquences de résonance gyromagnétiques ioniques : dans le cas de H⁺ et He⁺, les sifflements protoniques sont observés pour des fréquences $\omega$ telles que $\Omega_{bHe} < \omega < \Omega_{bH}$ (Cf. § 3.10).</footnote>
persion N² en fonction de X = (ωₚ/ω)² seront donc tracées en faisant varier ωₚ et en gardant Y constant (c'est-à-dire B₀ et ω constants).

Dans cette représentation, elle aussi très répandue dans la littérature (Cf. par ex. Ginzburg, 1960), on peut tracer les courbes de dispersion pour différentes valeurs de l'angle de propagation θ, et pour différentes valeurs du paramètre Y. Nous en donnons quelques exemples (fig. 3.39, 3.40 et 3.41).

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>FIGURE 3.39.</figcaption></figure>

Ondes principales en fonction de la densité réduite X = ω₀² / (ωe²) (Paramètre Y = ωb / ω)
<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>FIGURE 3.40. Courbes de dispersion en fonction de la densité : propagation oblique, $Y < 1$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>FIGURE 3.41. Courbes de dispersion en fonction de la densité : propagation oblique, $Y > 1$</figcaption></figure>
### 3.9. Propagation en très basse fréquence : ondes magnéto-hydrodynamiques

Pour $\omega \ll \Omega_b$ (soit $y \gg m^2$), on a (Cf. 3.3.10)

$$ (3.9.1) \qquad \begin{cases} x_1 = 1 + \frac{\omega_p^2}{\omega_b^2} + \frac{\Omega_p^2}{\Omega_b^2} = 1 + \frac{\omega_b^2}{\omega_b \Omega_b} = 1 + A \\ x_2 \approx 0 \\ x_3 = 1 - \frac{\omega_b^2}{\omega_p^2} = 1 - x, \end{cases} $$

où $x \gg 1$ et $\frac{x}{A} = \frac{\omega_b \Omega_b}{\omega^2} \gg 1$. Le tenseur diélectrique devient diagonal, avec $|x_3| \gg x_1$.

En effectuant ces approximations dans (3.4.3), on obtient, puisque $\theta \ll \theta_R$ n'atteint la valeur $\pi/2$ que pour $x \to \infty$.

$$ \text{et} \quad \begin{cases} A \sim -x \cos^2\theta \\ B \sim -(1+A)x(1+\cos^2\theta) \\ C \sim -(1+A)^2x \end{cases} \\ \mathcal{D} \sim (1+A)x \sin^2\theta. $$

Alors (3.4.4) donne

$$ N^2 = \frac{1+A}{2 \cos^2\theta} (1 + \cos^2\theta \mp \sin^2\theta) $$

conduisant aux modes MHD respectivement appelés ordinaire et extraordinaire<fnref n="1" />

$$ (3.9.2) \qquad N_{ord}^2 = \frac{1+A}{\cos^2\theta}, \qquad N_{ext}^2 = 1+A $$

qui apparaissent dans la région B, et qui se réduisent tous les deux, en propagation parallèle, au mode d'Alfvèn déjà étudié. On peut retrouver ces résultats directement, et en déduire la polarisation de ces deux modes. En tenant compte des relations (3.9.1), l'équation de dispersion (3.4.1) s'écrit

$$ (3.9.3) \qquad \begin{cases} x_1 - N^2 \cos^2\theta & 0 & N^2 \sin\theta \cos\theta \\ 0 & x_1 - N^2 & 0 \\ N^2 \sin\theta \cos\theta & 0 & x_3 - N^2 \sin^2\theta \end{cases} = 0 $$

et conduit à deux modes, entièrement découplés (quel que soit $\theta$) :

a) $N^2 - x_1 = 0$: c'est le mode extraordinaire, polarisé rectilignement le long de $Oy$;

<footnote n="1">1. Ces appellations sont conformes, par continuité, avec celles adoptées dans les autres domaines de fréquences (Allis et al., 1963). Elles sont cependant inversées chez Aström (1950), le premier mode présentant une résonance au voisinage de $\theta = \frac{\pi}{2}$ et le second étant indépendant de $\theta$.</footnote>
b) N² ($x_1 \sin^2\theta + x_3 \cos^2\theta$) - $x_1x_3 = 0$, polarisé dans le plan xOz. Dès que la fréquence est assez basse pour que

$$|x_3| \gg N^2$$

cette équation s'écrit pratiquement

$$(3.9.4) \qquad x_3 (x_1 - N^2 \cos^2 \theta) = 0$$

et donne le mode ordinaire $N^2 = x_1/\cos^2\theta$, polarisé rectilignement suivant Ox, lorsque $\theta < \theta_R \le \frac{\pi}{2}$; en effet, la première équation, associée à (3.9.3), devient

$$(x_1 - N^2 \cos^2 \theta) E_x + N^2 \sin \theta \cos \theta E_z = 0$$

d'où, avec (3.9.4), $E_x \neq 0$, $E_z \approx 0$. Pour $\theta = 0$, l'équation (3.9.3) donne directement $N^2 = x_1$, polarisé suivant Ox; pour $\theta = \frac{\pi}{2} (x \to \infty)$, la polarisation, d'après (3.9.3), serait le long de Oz, mais avec $N^2 = x_3 \to -\infty$ : il ne reste donc que la première solution a).

La figure 3.42 montre la section de la surface des vitesses dans ce cas.

<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>FIGURE 3.42. Surface des vitesses pour les ondes magnéto-hydrodynamiques</figcaption></figure>

Nous avons mis l'accent, lors de l'étude des modes principaux, sur le rôle essentiel joué par les ions dans l'existence de l'onde d'Alfvèn. L'analyse du mouvement des ions montre que ces deux modes sont respectivement des ondes de torsion (mode lent) et de compression (mode rapide). D'où les dénominations (très répandues) de mode torsionnel et mode compressionnel, que nous allons justifier.

Aux très basses fréquences considérées ici, le mouvement des ions est essentiellement contrôlé par les forces dues aux champs, la force d'inertie jouant un rôle négligeable. La vitesse $v_i$ des ions satisfait donc à

$$E + v_i \times B_0 = 0.$$
(Cette équation est d'ailleurs une des équations fondamentales de l'approximation magnétohydrodynamique.) Avec $B_0$ le long de $Oz$, la vitesse des ions est dirigée suivant $Ox$ pour le mode extraordinaire et suivant $Oy$ pour le mode ordinaire (fig. 3.43). Dans le plan $(k, B_0)$, traçons (fig. 3.44) deux plans d'onde déphasés de $\pi$: on peut indiquer schématiquement les directions des vecteurs $v_i$ pour chacun de ces plans d'onde. Au mode extraordinaire est alors associé un mouvement de compression dans la direction de $k$ et de cisaillement dans la direction perpendiculaire à $k$, sauf pour $\theta = 0$, où seul ce dernier persiste; au mode ordinaire est associé un cisaillement pur, dans la direction $k \times B_0$, et ce, quel que soit $\theta$. Bien

<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>FIGURE 3.43. Polarisation des modes magnétohydrodynamiques</figcaption></figure>

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>FIGURE 3.44. Mouvements des ions associés aux modes extraordinaire et ordinaire</figcaption></figure>
que la terminologie soit quelque peu impropre, c'est la raison pour laquelle ces deux modes sont respectivement appelés *mode compressionnel et mode torsionnel*.

## 3.10 Caractéristiques de la propagation dans un plasma à plusieurs composants ioniques.

Avec les expressions (3.3.10) des $x_i$ on a encore

a/ pour la propagation parallèle :

$$ (3.10.1) \qquad N_D^2 = x_1 + x_2 = 1 - \sum_s \frac{p_s^2}{1 - b_s} = \frac{c_s^2}{u_D^2}, $$

$$ (3.10.2) \qquad N_G^2 = x_1 - x_2 = 1 - \sum_s \frac{p_s^2}{1 + b_s} = \frac{c_s^2}{u_G^2}. $$

b/ pour la propagation perpendiculaire :

$$ (3.10.3) \qquad N_O^2 = x_3 = 1 - \sum_s p_s^2 = \frac{c_s^2}{u_O^2}, $$

$$ (3.10.4) \qquad N_x^2 = \frac{x_1^2 - x_2^2}{x_1} = \frac{c^2}{u_x^2}, \qquad u_x^2 = \frac{1}{2}(u_D^2 + u_G^2). $$

On pose

$$ (3.10.5) \left\{ \begin{array}{l} \mu_i = \frac{m_i}{m_e} : \text{masse de l'ion d'espèce i, relativement aux électrons} \\ \alpha_i = \frac{n_i}{n_e} : \text{concentration de l'ion d'espèce i, relativement aux électrons} \end{array} \right. $$

d'où

$$ (3.10.6) \left\{ \begin{array}{l} p_i^2 = \frac{n_i q_i^2}{\varepsilon_0 m_i \omega^2} = \frac{\alpha_i}{\mu_i} \left(\frac{q_i}{q_e}\right)^2 p_e^2, \\ b_i = - \frac{q_i B_0}{m_i \omega} = \frac{1}{\mu_i} \left(\frac{q_i}{q_e}\right) b_e. \end{array} \right. $$

La condition de neutralité $\sum_s n_s q_s = 0$ s'écrit alors

$$ 1 + \sum_i \frac{q_i}{q_e} \alpha_i = 0. $$

Dans le cas de deux espèces d'ions simplement chargés (par exemple $H^+$ et $He^+$), on a donc

$$ p_i^2 = \frac{\alpha_i}{\mu_i} p_e^2, \qquad b_i = - \frac{1}{\mu_i} b_e \quad (i=1 \text{ pour } H^+, \text{ et } 2 \text{ pour } He^+) $$

$$ \sum_i \alpha_i = 1 $$
et

$$
(3.10.7) \qquad N_D^2 = 1 - p_e^2 \left( \frac{1}{1-b_e} + \sum_i \frac{\alpha_i}{\mu_i + b_e} \right)
$$

$$
(3.10.8) \qquad N_G^2 = 1 - p_e^2 \left( \frac{1}{1+b_e} + \sum_i \frac{\alpha_i}{\mu_i - b_e} \right)
$$

$$
(3.10.9) \qquad \begin{gathered}
N_0^2 = 1 - p_e^2 \left( 1 + \sum_i \frac{\alpha_i}{\mu_i} \right) \\
N_x^2 \text{ étant déduit de } (u_D + u_G^2) = 2u_x^2.
\end{gathered}
$$

Fréquence de croisement 3.10.1

Avec un seul type d'ion, nous avons vu qu'on ne pouvait pas avoir N<sub>D</sub> = N<sub>G</sub>.
Au contraire, dès qu'il y a deux espèces d'ions, il existe une fréquence ω<sub>CR</sub> telle
que N<sub>D</sub> = N<sub>G</sub> : alors, d'après (3.10.4), N<sub>X</sub> a aussi cette valeur commune : les
trois modes ont même indice.

Cette fréquence $\omega_{CR}$ est appelée fréquence de croisement. Elle est donc définie par $\kappa_1 + \kappa_2 = \kappa_1 - \kappa_2$, c'est-à-dire

$\kappa_2 = 0$

soit

$$
(3.10.10) \qquad \sum_s b_s \frac{p_s^2}{1-b_s^2} = b_e p_e^2 \left( \frac{1}{1-b_e^2} - \sum_i \frac{\alpha_i}{\mu_i^2 - b_e^2} \right) = 0.
$$

Pour un seul type d'ion, la seule solution étant obtenue pour $\omega \to 0$ (mode d'Alfvèn), on doit rechercher cette fréquence au-dessous de la plus grande des fréquences gyromagnétiques ioniques $\omega_{CR} < \Omega_{b1}$ ($\Omega_{b1} = \Omega_{bH^+}$ dans l'exemple $H^+, He^+$); alors $b_e^2 \gg 1$ et on obtient, avec $\alpha_1 + \alpha_2 = 1$, la seule solution

$$
(3.10.11) \qquad \frac{\omega_{CR}^2}{\omega_b^2} = \frac{\alpha_1}{\mu_2^2} + \frac{\alpha_2}{\mu_1^2}, \quad \text{soit} \quad \omega_{CR}^2 = \alpha_1 \Omega_{b2}^2 + \alpha_2 \Omega_{b1}^2
$$

conduisant bien (pour un seul type d'ion), pour $\alpha_2 \to 0$, $\alpha_1 \to 1$, et $\mu_2 \to \infty$, à
$\omega_{CR} \to 0$.

Fréquences de coupure 3.10.2

Elles sont définies par

$1/\kappa_3 = 0$, pour l'oscillation de plasma et le mode ordinaire, soit

$$
(3.10.12) \qquad \omega_0^2 = \omega_p^2 + \Omega_{p1}^2 + \Omega_{p2}^2
$$

$2/\kappa_1 = \mp \kappa_2$, soit, pour le mode droit (et le mode extraordinaire)

$$
1 - b_e - p_e^2 - p^2 (1 - b_e) \sum_i \frac{\alpha_i}{\mu_i + b_i} = 0
$$
conduisant pour $\omega_p^2 \gg \omega_b^2$, à la seule solution (pour $b_e \ll \mu_i$)

$$ (3.10.13) \qquad \omega_D = \omega_p + \frac{1}{2} \omega_b; $$

et pour le mode gauche (et le mode extraordinaire)

$$ 1 + b_e - p_e^2 - p_b^2 (1 + b_e) \sum_i \frac{\alpha_i}{\mu_i - b_i} = 0 $$

donnant deux solutions (toujours dans la même limite $\omega_p^2 \gg \omega_b^2$)

$$ (3.10.14) \qquad \omega_{G1} = \omega_p - \frac{1}{2} \omega_b \quad (\text{pour } b_e \ll \mu_i) $$

et

$$ (3.10.15) \qquad \omega_{G2} = \omega_b \left( \frac{\alpha_1}{\mu_2} + \frac{\alpha_2}{\mu_1} \right) = \alpha_1 \Omega_{b2} + \alpha_2 \Omega_{b1} \quad (\text{pour } b_e \ll 1). $$

Il apparaît donc une nouvelle coupure sur le mode gauche (naturellement $\omega_{G2} \to 0$ pour une seule espèce d'ions : $\alpha_2 \to 0, \Omega_{b2} \to 0$).

### Fréquences de résonance 3.10.3

En propagation parallèle, $N_D$ ou $N_G \to \infty$ pour $\kappa_1 \pm \kappa_2 \to \infty$, c'est-à-dire pour les fréquences gyromagnétiques

$$ (3.10.16) \qquad \begin{cases} \omega = \omega_b & \text{pour } N_D \\ \omega = \Omega_{b1} & \text{et } \omega = \Omega_{b2} \end{cases} \qquad \text{pour } N_G. $$

En propagation perpendiculaire, $N_x \to \infty$ pour $\kappa_1 = 0$ soit

$$ 1 - b_e^2 - p_e^2 - p_b^2 (1 - b_e^2) \sum_i \frac{\alpha_i \mu_i}{\mu_i^2 - b_e^2} = 0. $$

Si $b_e^2 \ll \mu_i$, on obtient

$$ (3.10.17) \qquad \omega_1^2 = \omega_0^2 + \omega_b^2. $$

Si $b_e^2 \gg 1$, il y a deux solutions

$$ \omega_1^2 = \omega_b^2 \sum_i \frac{\alpha_i}{\mu_i} = \omega_b (\alpha_1 \Omega_{b1} + \alpha_2 \Omega_{b2}) $$

et

$$ \omega_{111}^3 = \frac{\omega_b^2}{\mu_1 \mu_2} \left( \frac{\alpha_1 \mu_1 + \alpha_2 \mu_2}{\alpha_1 \mu_2 + \alpha_2 \mu_1} \right) = \omega_b \left[ \frac{\Omega_{p2}^2}{\omega_p^2} \Omega_{b1} + \frac{\Omega_{-1}^2}{\omega_p^2} \Omega_{b2} \right]. $$

Lorsqu'il n'y a plus qu'un seul type d'ion, $\omega_{II}$ tend vers la fréquence hybride basse $\omega_{II} = \sqrt{\omega_b \Omega_b}$, tandis que la nouvelle résonance $\omega_{III} \to 0$.
<figure><img src="image_62.png" /></figure>

<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>FIGURE 3.45.
Allure des courbes de dispersion pour un plasma constitué de deux espèces d'ions</figcaption></figure>
Indices de groupe des modes droit et gauche 3.5.2

De la relation Nω = kc, on tire

$$
(3.5.14) \qquad N + \omega \frac{\partial N}{\partial \omega} = c \frac{\partial k}{\partial \omega} = \frac{c}{v_g} = N_g
$$

où $v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k}$ est la vitesse de groupe, et $N_g = \frac{c}{v_g}$ l'indice de groupe; on peut écrire

$$
(3.5.15) \qquad N_g = \frac{1}{N} \left( N^2 + \frac{\omega}{2} \frac{\partial N^2}{\partial \omega} \right).
$$

Pour les modes droit (signe supérieur) et gauche (signe inférieur), on a donc

$$
N_{g\pm} = N_{D,G}^{-1} \left\{ 1 \pm \frac{\omega_0^2 [\omega (\omega_b - \Omega_b) \pm 2\omega_b \Omega_b]}{2 (\omega \mp \omega_b)^2 (\omega \pm \Omega_b)^2} \right\}
$$

qui se met sous la forme, en négligeant $\Omega_b$ devant $\omega_b$

$$
(3.5.16) \qquad N_{g\pm} = N_{D,g}^{-1} \left\{ 1 \pm \frac{\omega_b (\omega \pm 2\Omega_b)}{2\omega_b^2} (N_{D,g}^2 - 1) \right\}.
$$

Au voisinage des résonances gyromagnétiques, $N_{D,G}^2 \to \infty$, on a

$$
N_{g+} \sim \frac{\omega_b^2}{2\omega_0^2} N_D^3 \to \infty \quad \text{et} \quad N_{g-} \sim -\frac{\omega_b \Omega_b}{2\omega_0^2} N_G^3 \to -\infty.
$$

Au voisinage des coupures, $N_{D,G}^2 \to 0$

$$
N_{g\pm} \sim \pm \frac{\omega_b (\omega \pm 2\Omega_b)}{2\omega_b^2 N_{D,G}} \to \infty.
$$

En très hautes fréquences $N_D^2 = N_G^2 \approx 1 - \omega_0^2/\omega^2$

$$
N_{g\pm} \sim 1 + \frac{\omega_0^2}{2\omega^2} \left( 1 \pm \frac{\omega_b}{2\omega} \right).
$$

Enfin, en très basse fréquence $N_D^2 = N_G^2 = 1 + A$, on obtient directement à partir de
(3.5.15)

$$
N_{g\pm} = N_{D,G} = \sqrt{1 + A}
$$

puisque pour ces ondes non dispersives on a $v_g = v_\phi = V_A$.

Remarquons que pour la courbe (x = ω₀², N²), on a ∂N²/∂ω = ∂N²/∂x dx/dω soit,
d'après (3.5.15), NN_g = N² - x ∂N²/∂x; pour x = 0, et pour ∂N²/∂x = 0, on a donc,
Indices de groupe des modes droit et gauche 3.5.2

De la relation Nω = kc, on tire

$$
(3.5.14) \qquad N + \omega \frac{\partial N}{\partial \omega} = c \frac{\partial k}{\partial \omega} = \frac{c}{v_g} = N_g
$$

où $v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k}$ est la vitesse de groupe, et $N_g = \frac{c}{v_g}$ l'indice de groupe; on peut écrire

$$
(3.5.15) \qquad N_g = \frac{1}{N} \left( N^2 + \frac{\omega}{2} \frac{\partial N^2}{\partial \omega} \right).
$$

Pour les modes droit (signe supérieur) et gauche (signe inférieur), on a donc

$$
N_{g\pm} = N_{D,\alpha}^{-1} \left\{ 1 \pm \frac{\omega_0^2 [\omega (\omega_b - \Omega_b) \pm 2\omega_b \Omega_b]}{2 (\omega \mp \omega_b)^2 (\omega \pm \Omega_b)^2} \right\}
$$

qui se met sous la forme, en négligeant $\Omega_b$ devant $\omega_b$

$$
(3.5.16) \qquad N_{g\pm} = N_{D,\alpha}^{-1} \left\{ 1 \pm \frac{\omega_b (\omega \pm 2\Omega_b)}{2\omega_b^2} (N_{D,\alpha}^2 - 1) \right\}.
$$

Au voisinage des résonances gyromagnétiques, $N_{D,\alpha}^2 \to \infty$, on a

$$
N_{g+} \sim \frac{\omega_b^2}{2\omega_0^2} N_D^3 \to \infty \quad \text{et} \quad N_{g-} \sim -\frac{\omega_b \Omega_b}{2\omega_0^2} N_G^3 \to -\infty.
$$

Au voisinage des coupures, $N_{D,G}^2 \to 0$

$$
N_{g\pm} \sim \pm \frac{\omega_b (\omega \pm 2\Omega_b)}{2\omega_b^2 N_{D,G}} \to \infty.
$$

En très hautes fréquences $N_D^2 = N_G^2 \approx 1 - \omega_0^2/\omega^2$

$$
N_{g\pm} \sim 1 + \frac{\omega_0^2}{2\omega^2} \left(1 \pm \frac{\omega_b}{2\omega}\right).
$$

Enfin, en très basse fréquence $N_D^2 = N_G^2 = 1 + A$, on obtient directement à partir de
(3.5.15)

$$
N_{g\pm} = N_{D,G} = \sqrt{1 + A}
$$

puisque pour ces ondes non dispersives on a $v_g = v_\phi = V_A$.

Remarquons que pour la courbe (x = ω₀², N²), on a ∂N²/∂ω = ∂N²/∂x dx/dω soit,
d'après (3.5.15), NN_g = N² - x ∂N²/∂x; pour x = 0, et pour ∂N²/∂x = 0, on a donc,
D'où la rotation $\alpha$, en radians

$$ (3.5.17) \qquad \alpha = \frac{\varphi}{2} = \frac{1}{2} (k_D - k_G) L = \frac{\omega}{2c} (N_D - N_G) L. $$

A titre d'exemple, plaçons-nous au voisinage de la coupure $N_D = 0$. Avec (3.5.9), on trouve, pour la rotation Faraday par unité de longueur

$$ \frac{\alpha}{L} = - \frac{\omega_D}{c\sqrt{2}} \left( \frac{\omega_b}{\omega_D + \omega_b} \right)^{1/2} $$

où $\omega_D$ est donné en (3.4.29). Pour $n_0 = 2.10^{11}$, $B_0 = 3.10^{-4}$, on a $\omega_b = 5,3.10^7$ et $\omega_D = 6,3.10^7$

d'où $\frac{|\alpha|}{L} = 0,1 \text{ radian/mètre} \sim \frac{1}{6} \text{ tour par mètre.}$

Au voisinage d'une résonance, cet effet deviendra particulièrement important (Cf. fig. 3.16 a).

<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>FIGURE 3.16a.</figcaption></figure>

Si le milieu est absorbant, les deux ondes circulaires ne garderont pas, en général, des amplitudes égales, et, à la place d'une vibration rectiligne, on obtiendra, par superposition au bout d'un trajet L, une vibration polarisée elliptiquement.

Cet effet est utilisé comme moyen de diagnostic (il dépend de $n_0$ et $B_0$) aussi bien dans les plasmas de laboratoire que dans l'ionosphère (nous y reviendrons au § 3.8) et qu'en astrophysique, où il permet l'étude des radio-galaxies (Gardner et Whiteoak, 1963). De la mesure de la rotation pour deux longueurs d'onde différentes, on peut déduire la distance entre la source et l'observateur.