petite que $2/3$; donc $|\cdot|$ est ultramétrique d'après le corolaire 1.5(v) : comme $|1| = 1$, la différence doit être > 1. ■

Soit $k$ un corps valorisé ultramétrique. Le **corps résiduel** de (la valeur absolue de) $k$ est l'ensemble $\bar{k} = \{ x \in k : |x| \le 1 \}$ avec l'égalité définie par $x = y$ si $|x - y| < 1$. Notez que $x \in \bar{k}$ est inversible si, et seulement si, $|x| = 1$, et que $\bar{k}$ est un corps par négation. Le corps résiduel $\bar{k}$ n'est pas nécessairement un anneau local comme nous le verrons dans l'exemple qui suit le théorème 6.2. Cependant, si le groupe de valeurs de $k$ est discret, $\bar{k}$ est un corps discret. Une valeur absolue ultramétrique non triviale sur $k$ est dite **discrète**<fnref n="1" /> si le groupe de valeurs de $k$ est cyclique. Notez qu'une valeur absolue discrète a un groupe de valeurs discret et un corps résiduel discret.

**Théorème 2.2.** Soit $k$ un corps de Heyting avec une valeur absolue ultramétrique non triviale. Alors $k$ est localement précompact si, et seulement si, la valeur absolue est discrète et le corps résiduel fini.

*Démonstration.* Supposons $k$ localement précompact. Comme la valeur absolue est non triviale, on a un $z \in k$ tel que $0 < |z| < 1$. On considère une $|z|$-approximation $x_1, \dots, x_n$ de la $N$-boule pour $N \ge 1/|z|^2$. Montrons que le groupe de valeurs est un sous-ensemble discret de $\{ x \in \mathbb{R} : x \ge 0 \}$. Pour $x \in k$, ou bien $|x^n| \ne 1$, auquel cas $|x| \ne 1$, ou bien $|z| < |x^n| < 1/|z|$, auquel cas $|z| < |x^t| < 1/|z|$ pour $t = 0, 1, \dots, n$. Dans ce dernier cas, on doit avoir des entiers $s, t$ et $i$ avec $s \ne t$, $|x^s - x_i| \le |z|$ et $|x^t - x_i| \le |z|$. Comme $|x^s| > |z|$ et $|x^t| > |z|$, et comme la valeur absolue est ultramétrique, nous avons $|x^s| = |x_i| = |x^t|$, donc $|x| = 1$.

Ainsi, le groupe de valeurs est un sous-ensemble discret de $\{ x \in \mathbb{R} : x \ge 0 \}$. Comme $|z| < 1 < N$, on a un $i$ tel que $|z - x_i| < |z|$, donc $|x_i| \le \sup(|z - x_i|, |z|) = |z| < 1$, $|z| \le \sup(|z - x_i|, |x_i|) = |x_i|$, et finalement $|z| = |x_i|$. Prenons parmi $x_1, \dots, x_n$ l'élément $\pi$ de plus grande valeur absolue strictement plus petite que 1. Pour tout $y$ inversible, on a un entier $m$ tel que $|\pi| < |\pi^{-m}y| \le 1$. On considère un indice $j$ tel que $|x_j - \pi^{-m}y| < |z|$. Notons que $|z| = |x_i| \le |\pi|$. Alors $|x_j| = |x_j - \pi^{-m}y + \pi^{-m}y| = |\pi^{-m}y|$, donc $|\pi^{-m}y|$ ne peut pas être plus petit que 1 d'après le choix de $\pi$. Donc $|\pi^{-m}y| = 1$, et $|y| = |\pi|^m$. Ceci montre que la valeur absolue est discrète.

Pour montrer que le corps résiduel est fini, on considère une 1-approximation finie $Y$ de la 1-boule. Les éléments de $Y$ représentent tous les éléments du corps résiduel, qui est donc fini puisqu'il est discret.

<footnote n="1">1. **NdT.** Dans la terminologie classique, un *anneau de valuation discrète* est un anneau de valuation dont le groupe de valuation est isomorphe à $(\mathbb{Z}, \ge)$. La valeur absolue correspondante s'écrit $|x| = a^{-vx}$ pour un réel $a > 0$. C'est cette situation que décrit ici une valeur absolue discrète. Ceci explique l'utilisation du mot discret dans un sens inhabituel pour les mathématiques constructives.</footnote>

<footnote n="2">2. **NdT.** Ici, $1/|z|$ est introduit en tant qu'élément de valeur absolue > 1. Tout autre ferait aussi bien l'affaire.</footnote>
Inversement, si la valeur absolue est discrète et si le corps résiduel est fini, soit $|\pi| < 1$ un générateur du groupe de valeurs et soit $A$ un système fini de représentants du corps résiduel. Étant donnés $N > 0$ et $\varepsilon > 0$, nous devons trouver un ensemble fini $Y$ tel que si $|x| \le N$, alors $|x - y| < \varepsilon$ pour un $y \in Y$. On considère un entier $m$ tel que $|\pi|^m < \varepsilon$ et $|\pi|^{-m} \ge N$ et on définit

$$Y = \{ \sum_{i=-m}^{m} a_i \pi^i : a_i \in A \}.$$

Si $|x| \le N$, alors $|\pi^m x| \le 1$ et l'on peut écrire<fnref n="1" />

$$\pi^m x = a_{-m} + a_{-m+1}\pi + \dots + a_m\pi^{2m} + a_{m+1}\pi^{2m+1}.$$

En posant $b = a_{m+1}\pi^{m+1}$, on a $|b| < |\pi|^m$, donc $x = \sum_{i=-m}^{m} a_i \pi^i + b$ et $|b| < |\pi|^m < \varepsilon$. ■

Dans le cas localement précompact, on peut décider si la valeur absolue est archimédienne ou ultramétrique, mais on ne peut pas nécessairement décider si la valeur absolue est triviale ou non triviale.

**Exemple 2.3.** Soient $k$ un corps fini et $X$ une indéterminée. Soit $\alpha$ une suite binaire fugitive, avec $\alpha_0 = \alpha_1 = 0$. Soit $F$ le sous-corps de $k(X)$ engendré par $k$ et $\{\alpha_n X : n \in \mathbb{N}\}$. Nous définissons une valeur absolue ultramétrique sur $F$ en posant $|X| = n$ si $\alpha_n = 1$. Donc $|f| = n^{\deg f}$ si $f$ est un polynôme non nul dans $F$. Notez que si $\alpha_n = 0$, alors pour tout $x \in F$, ou bien $|x| > n$, ou bien $|x| \le 1$. Dans ce dernier cas, $|x - t| < 1/n$ pour un $t \in k$. Comme $\alpha_0 = \alpha_1 = 0$, le corps résiduel de $F$ est $k$. Pour obtenir une $\varepsilon$-approximation de la $N$-boule, on considère un $n > \sup(N, 1/\varepsilon)$. Si $\alpha_n = 1$, la valeur absolue est discrète et le théorème 2.2 montre que $F$ est localement précompact. Si $\alpha_n = 0$, $k$ est une $\varepsilon$-approximation de la $N$-boule selon l’argument précédent. ■

### Exercices

1. Montrer que la valeur absolue usuelle et les valeurs absolues $p$-adiques sur $\mathbb{Q}$ sont localement précompactes. Montrer que la valeur absolue triviale sur n'importe quel corps discret est localement compacte.

2. Montrer que la valeur absolue sur le corps des fractions rationnelles $\mathbb{Q}(X)$ donnée par $v(f) = 2^{-\deg f}$ n'est pas localement précompacte (voir l'exercice 1.5).

3. Montrer que tout corps résiduel est un corps par négation.

4. Construire un exemple brouwerien d'une valeur absolue ultramétrique dont le groupe de valeurs est cyclique mais n'est pas discret.

<footnote n="1">1. **NdT.** Puisque $|\pi^m x| \le 1$, $\pi^m x$ est égal dans $\bar{k}$ à un $a_{-m} \in A$. Donc $|\pi^m x - a_m| < 1$; on écrit cet élément sous la forme $\pi y$ avec $|y| \le 1$ et on recommence.</footnote>
### 3 Corps pseudofactoriels

Un corps $k$ avec une valeur absolue $|\cdot|$ est **pseudofactoriel** si le nombre réel $\inf\{|f(a)| : a \in k\}$ existe pour tout polynôme $f \in k[X]$. L'explication de cette terminologie est que le test de racines (théorème VII.1.7) dit qu'un corps discret $k$ est factoriel si, et seulement si, pour tout polynôme $f \in k[X]$, ou bien $f$ a une racine dans $k$, ou bien $f(a) \neq 0$ pour tout $a \in k$. Donc un corps discret $k$ est factoriel précisément lorsqu'il est pseudofactoriel pour la valeur absolue triviale. Un exemple d'un corps factoriel qui n'est pas pseudofactoriel est obtenu en prenant pour $k$ le corps $\bigcup k_n$ où $k_n$ est $\mathbb{Q}(\alpha_n Y)$ (ici, $\alpha$ est une suite binaire fugitive, et si $\alpha_n = 1$, le corps $\mathbb{Q}(Y) \simeq \mathbb{Q}(i\pi) \subseteq \mathbb{C}$ est muni de la valeur absolue induite par celle de $\mathbb{C}$ : l'infimum de $|X^2 + 1|$ sur $k$ ne peut pas être calculé.

Lorsque $k$ est un corps valorisé, nous pouvons construire le **complété** $\hat{k}$ de $k$ de la même manière que nous avons construit $\mathbb{R}$ à partir de $\mathbb{Q}$ en utilisant la valeur absolue usuelle sur $\mathbb{Q}$. La valeur absolue sur $k$ se prolonge de manière naturelle à $\hat{k}$, et $\hat{k}$ est un corps de Heyting complet. Les nombres $p$-adiques sont construits de cette manière à partir de la valeur absolue $p$-adique sur les nombres rationnels. Si $k$ est ultramétrique, et si $E$ est un corps intermédiaire entre $k$ et $\hat{k}$, alors $k$ et $E$ ont le même corps résiduel et le même groupe de valeurs.

**Théorème 3.1** (méthode de Newton). Soient $k$ un corps discret avec une valeur absolue et $\hat{k}$ le complété de $k$. Soit $f$ un polynôme séparable de $k[X]$. Alors il existe un $\delta > 0$ tel que, étant donné un $a_0 \in k$ pour lequel $|f(a_0)| < \delta$, nous pouvons construire une racine de $f$ dans $\hat{k}$.

*Démonstration.* Si $f$ est constant, on prend $\delta = f^1$. Supposons maintenant $\deg f > 0$. On considère un $N$ tel que $|f(a)| \ge 1$ pour tout $|a| \ge N$, et donc $|a| \le N$ lorsque $|f(a)| < 1$. On écrit

$$f(Y + Z) = f(Y) + Zf'(Y) + Z^2g(Y, Z)$$

et l'on considère un $M$ tel que $|g(a, b)| \le M$ si $|a| \le N$ et $|b| \le 1$.

Soient $s$ et $t \in k[X]$ tels que $s(X)f(X) + t(X)f'(X) = 1$. Soit $0 < r \le 1$ tel que $|t(a)| \le r^{-1}$ et $|s(a)| \le r^{-1}$ si $|a| \le N$. Si $|f(a)| < 1$, $|a| \le N$, donc

$$r^{-1}|f'(a)| \ge |t(a)f'(a)| \ge 1 - |s(a)||f(a)| \ge 1 - r^{-1}|f(a)|,$$

d'où

$$|f'(a)| \ge r - |f(a)|.$$

On considère un $\delta \le r/2$ tel que si $u \ge 1/\delta$, on a

$$2M \left( \frac{1}{ru - 1} \right)^2 \le \frac{1}{u}.$$

<footnote n="1">1. **NdT.** Si un polynôme séparable est constant, cette constante est inversible car le polynôme étranger à sa dérivée formelle.</footnote>
Soit maintenant un $a_0$ tel que $|f(a_0)| < \delta$. Nous utilisons alors la **méthode de Newton** pour construire une racine de $f$, précisément comme suit. On définit $a_n$ par récurrence en posant $a_{n+1} = a_n + h_n$, où $h_n = -f(a_n)/f'(a_n)$. Montrons que $|f(a_n)| \le 2^{-n}\delta$. C'est vrai pour $n = 0$. Si $|f(a_n)| \le 2^{-n}\delta < 1$, alors $|a_n| \le N$ et $|f'(a_n)| \ge r - 2^{-n}\delta$, donc $|h_n| \le (r2^n/\delta - 1)^{-1}$. Or

$$|f(a_{n+1})| = |f(a_n + h_n)| = |h_n^2| \cdot |g(a_n, h_n)| \le |h_n|^2 M \le 2^{-(n+1)}\delta$$

(prendre $u = 2^n/\delta$). Donc $\{a_n\}$ est une suite de Cauchy qui converge vers une racine de $f$ dans $\hat{k}$. ■

**Corolaire 3.2.** Soient $k$ un corps discret pseudofactoriel, $\hat{k}$ son complété et $f$ un polynôme séparable de $k[X]$. Alors ou bien $f$ a une racine dans $\hat{k}$, ou bien il existe un $r > 0$ tel que $|f(a)| > r$ pour tout $a \in k$.

*Démonstration.* On prend un $\delta$ comme dans le théorème 3.1. Ou bien $\inf\{|f(a)|: a \in k\} \ge \delta/2$, auquel cas $|f(a)| > \delta/3$ pour tout $a \in k$, ou bien $\inf\{|f(a)|: a \in k\} < \delta$, auquel cas on a une racine de $f$ dans $\hat{k}$ d'après le théorème 3.1. ■

En utilisant la notion du nombre de tours, nous obtenons une nouvelle démonstration de la version discrète du théorème fondamental de l'algèbre.

**Corolaire 3.3.** Soient $k$ un sous-corps discret de $\mathbb{C}$ et $K$ la clôture algébrique de $k$ dans $\mathbb{C}$. Alors $K$ est algébriquement clos.

*Démonstration.* Soit $f$ un polynôme unitaire de degré $n$ à coefficients dans $K$, qui est un corps discret d'après le théorème VI.1.9. On prend un $r > 0$ tel que si $z$ est un nombre complexe de module $r$, alors $|z^n - f(z)| < r^n$. Alors le nombre de tours autour de 0 du chemin obtenu en restreignant $f$ au cercle de rayon $r$ est $n$. Si on avait $\inf\{|f(x)|: |x| \le r\} > 0$, ce nombre de tours serait nul. Donc $\inf\{|f(x)|: |x| \le r\} = 0$. Comme $f$ est un produit de polynômes séparables (théorème VI.6.3), nous pouvons trouver une racine de $f$ dans $\mathbb{C}$ d'après le théorème 3.1. D'après le corolaire VI.1.5, une telle racine est dans $K$, et le corolaire est démontré. ■

Nous donnons dans le théorème suivant des exemples de corps pseudofactoriels.

**Théorème 3.4.** Soit $k$ un corps discret avec une valeur absolue. Si $k$ est localement précompact ou si la valeur absolue est ultramétrique discrète avec un corps résiduel factoriel, le corps $k$ est pseudofactoriel.

*Démonstration.* Soit $f$ un polynôme dans $k[X]$. On doit montrer que $\inf\{|f(a)|: a \in k\}$ existe. Il suffit de traiter le cas où $\deg(f) > 0$ et $|f(0)| > 0$.

Si $k$ est localement précompact, on considère un $N$ tel que $|f(a)| \ge |f(0)|$ si $|a| \ge N$. Donc si $|f(a)| < |f(0)|$, on a $|a| \le N$. Soit $Y_n$ une $1/n$-approximation
de la N-boule. Alors la suite $r_n = \inf\{|f(y)| : y \in Y_n\}$ est une suite de Cauchy et converge vers $\inf\{|f(a)| : a \in k\}$, donc $k$ est pseudofactoriel.

Supposons la valeur absolue discrète avec un corps résiduel factoriel. En remplaçant $f(X)$ par $dc^{\deg f}f(X/c)$ nous pouvons supposer que $f$ est unitaire et que les valeurs des autres coefficients de $f$ sont $< 1$. Supposons le groupe de valeurs engendré par $r < 1$ et considérons un $\pi \in k$ tel que $|\pi| = r$. Nous allons construire une suite d'ensembles finis (possiblement vides)

$$B_m \subseteq \{ b \in k : |b| \le 1 \text{ et } |f(b)| \le r^m \},$$

et des entiers $n_m > 0$ tels que si $|f(a)| \le r^{n_m}$, alors $|a - b| \le r^m$ pour un $b \in B_m$.

L'ensemble $B_1$ est formé par des représentants de chacune des racines de $f$ vue dans le corps résiduel (qui est factoriel), et on prend $n_1 = 1$. Si $|f(a)| \le r$, alors $|a| < 1$ parce que $f$ est unitaire avec de petits coefficients, donc $a$ représente une racine de $f$ dans le corps résiduel. Alors $a \in B_1$ et donc $|a - b| \le r$ pour un $b \in B_1$. Pour construire $B_{m+1}$ à partir de $B_m$, nous procédons comme suit. Pour chaque $b \in B_m$, nous écrivons $f(b + \pi^m X)$ sous la forme $\pi^{e_b} g_b(X)$ avec $g_b \in k[X]$ et la valeur maximum des coefficients de $g_b$ égale à 1. Comme $f(b + \pi^m X) - f(b)$ est divisible par $\pi^m X$, et comme $|f(b)| \le r^m$, nous avons $e_b \ge m$. Soient $c_1^b, \dots, c_s^b$ des représentants des racines de $g_b$ vues dans le corps résiduel, et prenons pour $B_{m+1}$ l'ensemble de tous les éléments de la forme

$$b + \pi^m c_i^b$$

pour $b \in B_m$. Soit $n_{m+1}$ strictement plus grand que $n_m$ et que les $e_b$ pour $b$ dans $B_m$. Supposons que $|f(a)| \le r^{n_{m+1}}$. Alors $|a - b| \le r^m$ pour un $b \in B_m$, donc $a = b + \pi^m c$ pour un $c \in k$ tel que $|c| \le 1$. Comme $|f(a)| \le r^{n_{m+1}}$ et $f(a) = \pi^{e_b} g_b(c)$, nous avons $|g_b(c)| \le r$, donc $c$ représente une racine de $g_b$ vue dans le corps résiduel. Donc $|c - c_i^b| \le r$ pour un $i$, et $|a - (b + \pi^m c_i^b)| = |\pi^m c - \pi^m c_i^b| \le r^{m+1}$.

Si $B_1$ est vide, $1 = |f(0)| \le |f(a)|$ pour tout $a \in k$. Sinon, on calcule $\inf\{|f(a)| : a \in k\}$ comme limite de la suite de Cauchy des valeurs absolues

$$d_n = \inf\{|f(b)| : b \in \bigcup_{m \le n} B_m\}. \blacksquare$$

**Corolaire 3.5.** Soit $k$ un corps discret pseudofactoriel. La clôture algébrique (séparable) de $k$ dans son complété $\hat{k}$ est séparablement factorielle.

*Démonstration.* La clôture algébrique (séparable) $K$ de $k$ dans $\hat{k}$ est un corps discret (théorème VI.1.9). En outre, $K$ est pseudofactoriel parce que $k$ est dense dans $K$. Donc, si $f$ est un polynôme séparable de $K[X]$, ou bien $f$ a une racine dans $\hat{K} = \hat{k}$, ou bien $|f(a)| > 0$ pour tout $a \in K$, d'après le corolaire 3.2. Mais toute racine de $f$ dans $\hat{k}$ est dans $K$, donc $K$ est séparablement factoriel (théorème VII.1.7). $\blacksquare$
Exercices

1. Soit $k$ un corps discret. On munit le corps des fractions rationnelles $K = k(X)$ de la valeur absolue de l'exercice 1.5. Le complété $\hat{K}$ de $K$ est le **corps de séries formelles** sur $k$. Montrer que nous pouvons identifier les éléments de $\hat{K}$ avec des sommes formelles du type

$$f = \sum_{i=m}^{\infty} a_i X^i,$$

où $m \in \mathbb{Z}$ et $a_i \in k$. Montrer que si $a_m \neq 0$, alors $v(f) = m$.

2. L'hypothèse selon laquelle $f$ est séparable ne peut pas être supprimée dans le théorème 3.1. Soit $\{a_n\}$ une suite binaire fugitive. Soit $K$ le corps des séries formelles en $Y$ sur le corps $\mathbb{Z}_2$. Soit $\zeta$ un élément de $K$ qui est transcendant sur $\mathbb{Z}_2(Y)$. Montrer que l'élément

$$\eta = \left( 1 + \sum a_n Y^{2n+1} \right) \zeta^2$$

est transcendant sur $\mathbb{Z}_2(Y)$. Soient $k = \mathbb{Z}_2(Y, \eta)$ et $f(X) = X^2 - \eta$. Montrer que $f$ a une racine dans $K = \hat{k}$ si, et seulement si, $a_n = 0$ pour tout $n$. Montrer que $k$ est pseudofactoriel d'après le théorème 3.4. Le corolaire 3.2 nous permettrait donc de décider si $f$ a ou n'a pas une racine dans $K$.

3. Décrire la valeur absolue sur le complété $\hat{k}$ d'un corps ultramétrique $k$. Montrer que le corps résiduel et le groupe de valeurs de $k$ et $\hat{k}$ sont les mêmes.

4. Montrer que les suites $r_n$ et $d_n$ dans la démonstration du théorème 3.4 sont des suites de Cauchy.

## 4 Espaces vectoriels normés

Soit $k$ un corps valorisé. Un **espace vectoriel normé** sur $k$ est un espace vectoriel $V$ sur $k$, avec une inégalité étroite, et une fonction, appelée **norme**, qui envoie chaque $x \in V$ sur un réel $|x| \ge 0$, satisfaisant les propriétés suivantes.

(i) $|x| \neq 0$ si, et seulement si, $x \neq 0$;

(ii) $|ax| = |a||x|$;

(iii) $|x + y| \le |x| + |y|$.

Si $V$ n'est pas muni d'une inégalité et si nous remplaçons (i) par $\langle |x| = 0$ seulement si $x = 0$\rangle$, nous pouvons utiliser (i) pour définir une inégalité étroite sur $V$. Un espace vectoriel normé est un espace métrique pour la distance $|x - y|$.

On définit l'inégalité **forte** sur $k^n$ en posant $x \neq y$ si $x_i \neq y_i$ pour un $i$. Nous faisons de $k^n$ un espace vectoriel normé en posant $|x| = \sup\{|x_i| : i = 1, \dots, n\}$
(**norme du sup**). Si nous prenons la valeur absolue usuelle sur $\mathbb{Q}$ et sur $\mathbb{R}$, tout sous-corps de $\mathbb{R}$ est un espace vectoriel normé sur $\mathbb{Q}$.

Soit $V$ un espace vectoriel normé sur un corps valorisé $k$. Nous disons que $v_1, \dots, v_n \in V$ sont **métriquement indépendants** si pour tout $\varepsilon > 0$ on a un $\delta > 0$ tel que si $|\sum a_i v_i| < \delta$, alors $|a_i| < \varepsilon$ pour chaque $i$. Si, en outre, tout élément de $V$ peut être écrit comme une combinaison linéaire des $v_i$, nous disons que les $v_i$ forment une **base métrique** de $V$. Ainsi $V$ admet un base métrique si, et seulement si, il y a un isomorphisme bicontinu de $V$ vers $k^n$, ce dernier équipé de la norme du sup.

Le sous-corps $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ de $\mathbb{R}$ est un espace vectoriel normé de dimension finie sur un corps discret qui n'admet pas de base métrique. D'autre part, comme les applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension finie sont continues, si un espace vectoriel normé sur un corps discret valorisé admet une base métrique, toute base est une base métrique.

Deux normes $|\cdot|_1$ et $|\cdot|_2$ sont **équivalentes** s'il existe un $\varepsilon > 0$ tel que $\varepsilon|x|_1 \le |x|_2 \le \varepsilon^{-1}|x|_2$ pour tout $x \in V$. On démontre facilement que les normes $|\cdot|_1$ et $|\cdot|_2$ sont équivalentes si, et seulement si, l'application identique de $(V, |\cdot|_1)$ sur $(V, |\cdot|_2)$ est bicontinue.

Soit $V$ un espace vectoriel normé sur $k$. Un ensemble d'éléments $v_1, \dots, v_n$ de $V$ est appelé une **base** de $V$ si l'application linéaire $\varphi$ de $k^n$ vers $V$ définie par $\varphi(e_i) = v_i$ est un isomorphisme qui préserve l'inégalité. Nous allons voir que pour un corps localement compact $k$, toute base de $V$ est une base métrique ; cela revient à dire que toutes les normes sur $k^n$ sont équivalentes. Attention : un corps discret est localement compact pour la valeur absolue triviale, mais pas nécessairement pour d'autres valeurs absolues – par exemple, $\mathbb{Q}$ avec la valeur absolue usuelle n'est pas complet.

**Lemme 4.1.** Soit $k$ un corps valorisé, et soit $e_1, \dots, e_n$ la base naturelle de $k^n$. Une norme sur $k^n$ est équivalente à la norme du sup si, et seulement si, $e_i$ est éloigné<fnref n="1" /> de $k^{i-1} = ke_1 + \dots + ke_{i-1}$ pour $i = 2, \dots, n$.

*Démonstration.* Le «seulement si» est clair d'après la définition de la norme du sup. Pour le «si», il suffit de démontrer que les fonctions coordonnées $\pi_i(x_1e_1 + \dots + x_n e_n) = x_i$ sont continues. Supposons que $|e_n - \alpha| \ge \delta > 0$ pour tout $\alpha \in k^{n-1}$. Alors $|x_n e_n - \alpha| \ge \delta|x_n|$ pour $|x_n| > 0$ et $\alpha \in k^{n-1}$, et donc $\delta|x_n| \le |x_1 e_1 + \dots + x_n e_n|$ pour tous $x_1, \dots, x_n$. Ainsi, la projection de $k^n$ sur sa dernière coordonnée, et donc aussi sur $k^{n-1}$, est continue. Nous terminons la démonstration par récurrence sur $n$. ■

Un sous-ensemble $A$ d'un espace métrique $X$ est **situé**<fnref n="2" /> si, pour tous $x \in X$ et $\varepsilon > 0$, il existe un $a_0 \in A$ tel que $d(x, a_0) < d(x, a) + \varepsilon$ pour tout $a \in A$;

<footnote n="1">1. **NdT.** Dans un espace métrique $(S, d)$, un élément $x$ est **éloigné** d'un sous-ensemble $T$ s'il existe un $\delta > 0$ tel que $d(x, y) \ge \delta$ pour tout $y \in T$.</footnote>

<footnote n="2">2. **NdT.** Located subset.</footnote>
dans ce cas, la distance

$$d(x, A) = \inf\{d(x, a) : a \in A\}$$

existe. Tout sous-ensemble A localement précompact non vide est situé : considérer un N tel que l'ensemble borné B = { a ∈ A : d(x, a) < N } soit non vide ; approximer B à ε/2 près par un ensemble fini F ⊆ A ; prendre un a₀ ∈ F tel que d(x, a₀) − inf{ d(x, a) : a ∈ F } < ε/2.

**Théorème 4.2.** Si k est un corps valorisé localement compact, kⁿ est un espace normé localement compact pour la norme du sup, et toute norme sur kⁿ est équivalente à cette dernière.

**Démonstration.** Clairement kⁿ est localement compact pour la norme du sup. Considérons une autre norme sur kⁿ. Par récurrence kⁿ⁻¹ est localement compact et donc situé dans kⁿ.

D'après le lemme 4.1, il suffit de montrer que d(eₙ, kⁿ⁻¹) > 0. En utilisant le fait que kⁿ⁻¹ est situé, on définit une suite d'éléments θᵢ ∈ kⁿ⁻¹ de la manière suivante. Pour i > 0, on décide si d(eₙ, kⁿ⁻¹) < 1/i ou d(eₙ, kⁿ⁻¹) > 1/(i + 1).

— Dans le premier cas, on prend pour θᵢ dans kⁿ⁻¹ un élément qui vérifie |θᵢ - eₙ| < 1/i. Dans ce cas, on a aussi |θᵢ₋₁ - eₙ| < 1/(i - 1) (si i ≥ 2) car on est forcément dans le premier cas pour l'indice i - 1.

— Dans le second cas on pose θᵢ = θᵢ₋₁. La suite est alors constante à partir de l'indice i - 1.

Dans le premier cas pour l'indice i, on voit que si j ≥ i ≥ 1, |θⱼ - eₙ| < 1/i (faire une récurrence sur j) et par suite |θⱼ - θᵢ| < 2/i. Dans le deuxième cas pour l'indice i, si j ≥ i ≥ 1, on a |θⱼ - θᵢ| = 0 < 2/i. La suite des θᵢ est donc une suite de Cauchy. Comme kⁿ⁻¹ est complet, la suite converge vers un θ ∈ kⁿ⁻¹ avec |θ - θᵢ| ≤ 2/i pour tous i ≥ 2. Comme eₙ est distinct de tout élément de kⁿ⁻¹, on obtient θ ≠ eₙ, donc |θ - eₙ| > 0, et par suite |θ - eₙ| > 1/ℓ pour un ℓ. Or si l'on avait d(eₙ, kⁿ⁻¹) < 1/(ℓ + 1), on serait dans le premier cas pour l'indice ℓ et donc |θⱼ - eₙ| < 1/ℓ pour tout j ≥ ℓ, d'où |θ - eₙ| ≤ 1/ℓ. Donc d(eₙ, kⁿ⁻¹) ≥ 1/(ℓ + 1). ■

L'hypothèse dans le théorème 4.2 selon laquelle le corps k est localement compact ne peut pas être affaiblie en disant seulement que k est complet, comme dans le contexte classique; l'appel au fait que kⁿ⁻¹ est situé est essentiel dans la démonstration, comme le montre le contre-exemple brouwerien suivant.

**Exemple 4.3.** Soit r ≥ 0 un nombre réel, et soit k le complété du sous-corps R(ri) de C. Alors k est un sous-corps fermé de C. Nous allons construire une norme sur k² telle qu'on ne puisse pas montrer que e₂ est éloigné de k¹ = ke₁.

Soit e₁, e₂ la base naturelle de C², qui est aussi la base naturelle de k² ⊆ C². Tout élément de C² s'écrit de manière unique sous la forme z = α(e₁ − ie₂) +
$\beta(e_1 + ie_2)$ avec $\alpha$ et $\beta \in \mathbb{C}$. Si $z = \gamma_1 e_1 + \gamma_2 e_2 \in k^2$, on a $2\alpha = \gamma_1 + i\gamma_2$, $2\beta = \gamma_1 - i\gamma_2$ et $2(\alpha - \bar{\beta}) = (\gamma_1 + \bar{\gamma}_1) + i(\gamma_2 - \bar{\gamma}_2)$, de sorte que $\alpha - \bar{\beta} \neq 0$ implique $r > 0$.

Munissons $\mathbb{C}^2$ de la seminorme<fnref n="1" /> $\|z\| = |\beta| + r|\alpha|$. Montrons que cela définit une norme sur $k^2$, i.e. que $z \neq 0$ et $z \in k^2$ impliquent $\|z\| > 0$. Supposons $z \neq 0$, donc $\alpha \neq 0$ ou $\beta \neq 0$. Si $\beta \neq 0$, $\|z\| > 0$. Supposons $|\alpha| > 0$. Ou bien $|\alpha - \bar{\beta}| < \sup(|\alpha|, |\beta|)/2$, auquel cas $|\beta| > 0$, donc $\|z\| > 0$; ou bien $|\alpha - \bar{\beta}| > 0$, auquel cas $r > 0$ et par suite $\|z\| \ge r|\alpha| > 0$.

Supposons maintenant que $d(e_2, k^1)$ existe. Notons que $r = \|e_1 - ie_2\| \ge d(e_2, k^1)$. Supposons $d(e_2, k^1) < 1/2$, alors $|\gamma_1 - i| < 1$ pour un $\gamma_1 \in k$, donc $r > 0$. Supposons $d(e_2, k^1) > 0$. On a $r > 0$ ou $r < d(e_2, k^1)$. Si $r < d(e_2, k^1)$, $r = 0$ parce que $r > 0$ est impossible. Ainsi dans tous les cas, ou bien $r > 0$, ou bien $r = 0$, ce qui est équivalent à LPO. ■

Exercices

1. La **métrique triviale** sur un ensemble discret $X$ est définie par $d(x, y) = 0$ si $x = y$, et $d(x, y) = 1$ sinon. Montrer qu'un sous-ensemble de $X$ est détachable si, et seulement si, il est situé pour la métrique triviale.

2. Montrer que l'espace $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ est discret.

3. Définir une notion positive d'inéquivalence entre normes sur un espace vectoriel, et montrer que la norme du sup sur $\mathbb{Q}^2$ est inéquivalente à la norme sur $\mathbb{Q}^2$ induite par un isomorphisme avec $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$.

5 Corps réels et complexes

Tout corps valorisé archimédien contient une copie du corps des nombres rationnels $\mathbb{Q}$, et il y a essentiellement une seule valeur absolue archimédienne sur $\mathbb{Q}$. Le théorème suivant décrit toutes les valeurs absolues non triviales sur $\mathbb{Q}$.

**Théorème 5.1.** *Toute valeur absolue non triviale sur $\mathbb{Q}$ est équivalente à la valeur absolue usuelle ou à la valeur absolue p-adique pour un nombre premier $p$.*

*Démonstration.* Si $|n/p| > 1$ pour des entiers strictement positifs $n$ et $p$, alors $|n| > |p|$ et, par cotransitivité, $|n| > 1$ ou $|p| < 1$. Si $|n| > 1$, alors $|m| > 1$ pour tout entier $m > 1$ d'après le corolaire 1.6. De plus,

$$|m| \le |n|^{\log m / \log n} \quad \text{et} \quad |n| \le |m|^{\log n / \log m}$$

d'après le théorème 1.4, donc $|m| = |n|^{\log m / \log n} = m^r$ pour un $r$; donc la valeur absolue est équivalente à la valeur absolue usuelle. D'autre part si $|p| < 1$,

<footnote n="1">1. **NdT.** Une **seminorme** sur un $k$-espace vectoriel $V$, où $k$ est un corps valorisé, est une fonction qui satisfait les mêmes propriétés qu'une norme, à l'exception de la propriété (i).</footnote>
la valeur absolue est ultramétrique (corolaire 1.5) et nous pouvons supposer
que $p$ est un nombre premier. Si $sm + tp = 1$, on a

$$1 = |sm + tp| \le \sup(|sm|, |tp|),$$

mais $|tp| = |t||p| < 1$, donc $|sm| = 1$ et $|m| = 1$. Ainsi, la valeur d'un entier positif arbitraire $mp^e$ est $|p|^e$ si $(m, p) = 1$; donc la valeur absolue est équivalente à la valeur absolue $p$-adique. ■

Notez que toute valeur absolue non triviale sur $\mathbb{Q}$ est localement précompacte, et que la valeur absolue usuelle est la seule valeur absolue archimédienne sur $\mathbb{Q}$ telle que $|2| = 2$.

Il y a deux types importants de corps archimédiens.

**Définition.** Soit $k$ un corps archimédien. S'il y a un $\delta > 0$ tel que $|a^2 + 1| \ge \delta$ pour tout $a \in k$, on dit que $k$ est un **corps réel**. Si pour tout $\delta > 0$ il existe un $a \in k$ tel que $|a^2 + 1| < \delta$, on dit que $k$ est un **corps complexe**.

En mathématiques classiques tout corps archimédien est réel ou complexe. Cependant, le corps $k$ de l'exemple 4.3 ne peut pas être réel ou complexe.

La construction du corps valorisé $\mathbb{C}$ des nombres complexes à partir du corps valorisé $\mathbb{R}$ des nombres réels peut être utilisée pour construire un corps valorisé de décomposition pour $X^2 + 1$ (unique) sur n'importe quel corps réel.

**Théorème 5.2.** Si $k$ est un corps réel, il peut être plongé dans un corps valorisé $K$ qui contient un élément $i$ tel que $i^2 = -1$ et $K = k(i)$. De plus, si $k$ est plongé dans un corps valorisé $E$ qui contient un élément $j$ tel que $j^2 = -1$, alors $j$ est éloigné de $k$ et $k(j)$ est isomorphe à $K$ en tant que corps valorisé.

**Démonstration.** Soit $K$ l'anneau des sommes formelles $a + bi$ avec $a, b \in k$ et $i^2 = -1$. Nous définissons une inégalité sur $K$ en posant $a + bi \ne 0$ si $a \ne 0$ ou $b \ne 0$, ce qui fait de $K$ un corps de Heyting. Nous définissons une valeur absolue sur $K$ en posant $|a + bi| = \sqrt{|a^2 + b^2|}$.

Pour montrer tout d'abord que l'on a bien une valeur absolue généralisée, il nous suffit de trouver une constante $B$ telle que $|(1 + a)^2 + b^2| \le B$ lorsque $|a^2 + b^2| \le 1$ (théorème 1.8). Or

$$(|1 + a|^2 + b^2| \le 1 + |a^2 + b^2| + 2|a| \le 2 + 2|a| \text{ si } |a^2 + b^2| \le 1,$$

donc il suffit simplement de borner $|a|$. Or si $|a| > 0$, on a $1 \ge |a^2 + b^2| = |a|^2[1 + b^2/a^2] \ge |a|^2\delta$.

Enfin, comme $|2| \le 2$, on a bien une valeur absolue (théorèmes 1.1 et 1.4).

Pour démontrer la seconde affirmation, nous établissons d'abord que $j$ est éloigné de $k$. Pour un $a \in k$ arbitraire, on a $|a| > 2$ ou $|a| < 3$. Si $|a| > 2$, $|a - j| \ge |a| - |j| > 1$; si $|a| < 3$, $|a - j| = |a^2 + 1|/|a + j| > |a^2 + 1|/4$, et ce dernier est uniformément éloigné de 0 parce que $k$ est réel.
On définit $\varphi: K \to k(j)$ en posant $\varphi(a+bi) = a+bj : \varphi$ est un homomorphisme de $K$ sur $k(j)$. Nous montrons d'abord que $\varphi$ préserve l'inégalité. Si $a+bj \neq 0$, $a \neq 0$ ou $bj \neq 0$ car $E$ est un corps de Heyting, donc $a \neq 0$ ou $b \neq 0$, et donc $a+bi \neq 0$. Inversement, si $a+bi \neq 0$, alors $a \neq 0$ ou $b \neq 0$, donc $0 \neq a^2+b^2 = (a+bj)(a-bj)$, d'où $a+bj \neq 0$. La valeur absolue sur $k(j)$ induit, via $\varphi$, une valeur absolue sur $K$. Le lemme 4.1 implique que cette valeur absolue est équivalente à la valeur absolue que nous avons construite sur $K$, donc chacune est une puissance strictement positive de l'autre (théorème 1.2). Comme elles coïncident sur $k$, elles sont égales. ■

**Corolaire 5.3.** *Il y a une seule valeur absolue sur le corps $\mathbb{C}$ qui prolonge la valeur absolue usuelle sur $\mathbb{R}$.*

*Démonstration.* Immédiat d'après le théorème 5.2. ■

**Théorème 5.4** (Gelfand-Tornheim). *Si $k$ est un corps normé<fnref n="1" /> sur $\mathbb{C}$, alors $k = \mathbb{C}$.*

*Démonstration.* Comme $\mathbb{C}$ est complet, il suffit de démontrer que $\mathbb{C}$ est dense dans $k$. Si nous cherchons un élément de $\mathbb{C}$ qui est proche d'un élément donné $a \in k$, alors comme $0$ est proche de $a$ ou $|a| > 0$, nous pouvons toujours supposer être dans le dernier cas. Nous construisons un carré de largeur $|8a|$, centré en $0$, découpé en $4n^2$ petit carrés de largeur $|4a|/n$, et nous considérons la ligne polygonale $S$ formée par les côtés des petits carrés situés sur le périmètre du grand carré. Soit $\delta$ l'infimum des $|z-a|$ pour les $z$ qui se trouvent au milieu des côtés ou au centre des petits carrés. Nous allons montrer que $\delta^3 \le 3|4a|^3/n$, et donc on pourra trouver des nombres complexes arbitrairement proches de $a$ en prenant $n$ suffisamment grand. Par cotransitivité, nous pouvons supposer que $\delta > 0$.

Étant donnée une fonction $f: \mathbb{C} \to k$ et une ligne polygonale $P$ avec les sommets successifs $z_0, \dots, z_n \in \mathbb{C}$, nous définissons l'« intégrale » $I_P(f)$ comme la somme

$$ \sum_{i=1}^{n} (z_i - z_{i-1}) f((z_i + z_{i-1})/2). $$

Clairement $I_P$ est linéaire en $f$, et si $f(z) = cz + d$, alors

$$ I_P(f) = (z_n - z_0)((z_n + z_0)c/2 + d). $$

En particulier, si $P$ est une ligne polygonale fermée, c'est-à-dire si $z_0 = z_n$, l'intégrale $I_P$ est nulle pour les polynômes de degré au plus 1.

Considérons la fonction $g(z) = 1/(z-a)$ de $\mathbb{C}$ vers $k$. Nous majorons tout d'abord $I_Q(g)$ lorsque $Q$ est un carré de largeur $\varepsilon$. Soit $\delta > 0$ un minorant de

<footnote n="1">1. **NdT.** On dit que $k$ est un **corps normé** lorsque $c$ est un corps de Heyting et un espace vectoriel normé sur $\mathbb{C}$, et que la norme est une valeur absolue sur $k$.</footnote>
l'infimum des distances de $a$ aux milieux des côtés ou au centre de $Q$. Notre borne dépendra seulement de $\varepsilon$ et $\delta$; nous pouvons supposer que $0$ est le centre de $Q$. Comme

$$g(z) = \frac{1}{z-a} = \frac{z^2}{a^2(z-a)} - \frac{a+z}{a^2}$$

et comme $I_Q$ est nul pour les polynômes de degré au plus 1, nous avons
$$|I_Q(g)| \le 4\varepsilon(\varepsilon/2)^2/\delta^3 = \varepsilon^3/\delta^3.$$

Comme $I_S(g)$ est égal à la somme des intégrales $I_Q(g)$, où $Q$ parcourt les $4n^2$ petits carrés de largeur $\varepsilon = |4a|/n$, nous avons $|I_S(g)| \le 4|4a|^3/\delta^3 n$. Nous utilisons ceci pour majorer $I_S(1/z)$. On a

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{z-a} - \frac{a}{z(z-a)},$$

et donc

$$|I_S(1/z)| \le \frac{4|4a|^3}{\delta^3 n} + \frac{|a|4|8a|}{|4a|(|4a| - |a|)} = \frac{4|4a|^3}{\delta^3 n} + \frac{8}{3}.$$

Nous calculons maintenant un minorant de $I_S(1/z)$ directement à partir de la définition. Chacun des quatre côtés du carré contribue pour

$$\frac{i}{n} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{1 + i(k - 1/2)/n} + \frac{1}{1 - i(k - 1/2)/n} \right)$$

dont la valeur absolue usuelle est égale à

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{2n}{n^2 + (k - 1/2)^2} \ge \sum_{k=1}^{n} \frac{2n}{2n^2} = 1.$$

En combinant ceci avec le majorant de $|I_S(1/z)|$, nous obtenons

$$4 \le \frac{4|4a|^3}{\delta^3 n} + \frac{8}{3}.$$

Ainsi $\delta^3 \le 3|4a|^3/n$. ■

**Corolaire 5.5.** Soit $k$ un corps archimédien avec $|2| = 2$. Alors $k$ est réel si, et seulement si, $\hat{k} \simeq \mathbb{R}$ comme corps valorisé.

*Démonstration.* Clairement, tout sous-corps de $\mathbb{R}$ est réel. Inversement, si $k$ est réel, $\hat{k}$ est réel et nous construisons $\hat{k}(i)$ (théorème 5.2). Le théorème 5.1 nous permet de supposer que $\mathbb{R} \subseteq \hat{k}$. Comme $\mathbb{R}(i) \simeq \mathbb{C}$ d'après le théorème 5.2, nous avons $\hat{k}(i) = \mathbb{R}(i)$ d'après le théorème 5.4. Mais $i$ est éloigné de $\hat{k}$ car $\hat{k}$ est réel, donc $\hat{k} = \mathbb{R}$. ■

**Théorème 5.6.** Soit $k$ un corps archimédien avec $|2| = 2$. Les propriétés suivantes sont équivalentes.
(i) $k$ est complexe;

(ii) $|a^2 + 1| < 3/4$ pour un $a \in k$;

(iii) il existe un $i \in \hat{k}$ tel que $i^2 = -1$;

(iv) $\hat{k} \simeq \mathbb{C}$.

**Démonstration.** Clairement (i) implique (ii), et (iv) implique (i).

Supposons (ii). Si $|a^2 + 1| < 3/4$, $|a|^2 > 1/4$, donc si $b = (a - 1/a)/2$, on a

$$|b^2 + 1| = |(a^2 + 1)^2/4a^2| \le |a^2 + 1|^2.$$

Définissons une suite en posant $a_0 = a$ et $a_{n+1} = (a_n - 1/a_n)/2$. Nous avons $a_n^2 \to -1$, et l'inégalité $|a_{n+1} - a_n| = |a_n^2 + 1|^2|a_n| < |a_n^2 + 1|$ montre que nous avons une suite de Cauchy.

Supposons maintenant (iii). D'après le théorème 5.1, nous pouvons supposer que $\mathbb{R} \subseteq \hat{k}$, et $\mathbb{R}(i) \simeq \mathbb{C}$ d'après le théorème 5.2, donc $\hat{k} \simeq \mathbb{R}(i)$ d'après le théorème 5.4. ■

En utilisant la condition (ii) du théorème 5.6 et la cotransitivité, nous voyons qu'un corps archimédien est réel si, et seulement si, il n'est pas complexe.

**Corolaire 5.7 (Ostrowski).** Soit $k$ est un corps valorisé localement précompact avec $|2| = 2$. Alors $\hat{k} \simeq \mathbb{R}$ ou $\hat{k} \simeq \mathbb{C}$.

**Démonstration.** Comme $k$ est localement précompact, nous pouvons calculer l'infimum de $|a^2 + 1|$ pour $a \in k$. Si cet infimum est $< 3/4$, $k$ est complexe d'après le théorème 5.6. Si l'infimum est $> 0$, $k$ est réel. ■

Comme le complété $\hat{k}$ d'un corps discret n'est pas discret en général, il est souvent utile de travailler plutôt avec la clôture séparable $\tilde{k}$ de $k$ dans $\hat{k}$. Comme dans le cas ultramétrique le corps $\tilde{k}$ est intimement relié avec le lemme de Hensel, nous appelons $\tilde{k}$ le **hensélisé** de $k$. Le théorème suivant caractérise pour un corps archimédien $k$ le fait d'être réel ou complexe en termes de son hensélisé.

**Théorème 5.8.** Soit $k$ un corps discret archimédien. Alors $\tilde{k}$ est factoriel si, et seulement si, $k$ est réel ou complexe. Si $k$ est complexe, $\tilde{k}$ est algébriquement clos. Si $k$ est réel, le hensélisé de $k(i)$ est $\tilde{k}(i)$, qui est algébriquement clos, et tout polynôme sur $\tilde{k}$ est un produit de polynômes irréductibles de degrés 1 ou 2.

**Démonstration.** Si $\tilde{k}$ est factoriel, ou bien $X^2 + 1$ a une racine dans $\tilde{k}$, ou bien $X^2 + 1$ est irréductible sur $\tilde{k}$. Dans le premier cas, $k$ est complexe d'après le théorème 5.6(iii); dans le second cas, $k$ est réel parce que le point (iii) du théorème 5.6 est impossible, donc $|a^2 + 1| > 1/2$ pour tout $a \in k$. Si $k$ est complexe, $\hat{k} \simeq \mathbb{C}$, donc $\tilde{k}$ est algébriquement clos, donc factoriel. Si $k$ est réel,
$\hat{k} \simeq \mathbb{R}$, et nous pouvons supposer que $\hat{k} = \mathbb{R}$. Soit $f$ un polynôme de degré $> 0$ dans $\bar{k}[X]$. Alors $f$ a une racine complexe $a + bi$, et $a - bi$ est aussi une racine de $f$. Donc $a$ et $b$ sont algébriques sur $\bar{k}$, et donc sont dans $\bar{k}$ (ainsi le hensélisé de $k(i)$ est $\bar{k}(i)$). Si $b = 0$, $X - a$ est un facteur de $f$. Si $b \neq 0$, $X^2 - 2aX + a^2 + b^2$ est un facteur irréductible de $f$ dans $\bar{k}[X]$. ■

Exercices

1. Construire un exemple brouwerien d'une valeur absolue ultramétrique sur $\mathbb{Q}$ qui n'est ni triviale ni équivalente à une valeur absolue $p$-adique. Comparer avec le théorème 5.1.

2. Montrer que $I_S(1/z)$ dans la démonstration du théorème 5.4 tend vers $2\pi i$ lorsque $n \to \infty$, en utilisant que

$$ \int_0^1 (1 + x^2)^{-1} dx = \pi/4. $$

3. Montrer que si tout corps archimédien peut être plongé dans $\mathbb{C}$, alors l'axiome du choix le plus simple du monde est satisfait (utiliser la construction de l'exercice VI.3.1).

## 6 Le lemme de Hensel

Soient $k$ un corps valorisé ultramétrique et $\bar{k}$ son corps résiduel. Soit $f$ un polynôme unitaire de $k[X]$ dont la valeur des coefficients est $\le 1$. Alors $f$ définit un polynôme $\bar{f} \in \bar{k}[X]$. Une forme standard du lemme de Hensel est que si $\bar{f}$ a une racine simple dans $\bar{k}[X]$ et si $k$ est complet, alors $f$ a une racine dans $k$. Plus généralement, si $\bar{f}$ se décompose en facteurs deux à deux étrangers, cette factorisation provient d'une factorisation de $f$ (voir l'exercice 6.2). Notre version du lemme de Hensel concerne la manière d'approximer des factorisations de $f$ par des factorisations en facteurs deux à deux étrangers.

Tout d'abord, nous montrons comment étendre une valeur absolue ultramétrique sur $k$ en une valeur absolue sur $k(X)$, en spécifiant (de manière arbitraire) la valeur absolue de $X$. Le lemme suivant est nécessaire parce que nous n'avons pas moyen de déterminer un coefficient de valeur maximum.

**Lemme 6.1.** Soient $s_1, \dots, s_\ell$ des nombres réels, $\sigma$ leur supremum, et $m$ un entier $> 0$. Alors, sauf pour au plus $(m+1)(\ell-1)$ entiers strictement positifs $n$, nous pouvons construire un sous-ensemble fini $A$ de $\{1, \dots, \ell\}$ tel que

$$ s_i > \sigma - 2^{-(m+n)} \text{ si } i \in A, \text{ et } s_i < \sigma - 2^{-n} \text{ si } i \notin A. $$
**Démonstration.** Pour chaque entier $n > 0$, nous pouvons construire un sous-ensemble fini $A_n$ de $\{1, \dots, \ell\}$ tel que

$$s_i > \sigma - 2^{-(n-1)} \text{ si } i \in A_n, \text{ et } s_i < \sigma - 2^{-n} \text{ si } i \notin A_n.$$

Les $A_n$ forment une chaîne descendante de sous-ensembles finis non vides de $\{1, \dots, \ell\}$. Comme $\#A_1 \le \ell$, il y a au plus $\ell - 1$ valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n+1} \ne A_n$, et donc au plus $(m+1)(\ell-1)$ valeurs de $n$ telles que $A_{m+n+1} \ne A_n$. Pour une autre valeur de $n$ nous posons $A = A_n = A_{m+n+1}$. ■

**Théorème 6.2.** Soient $k$ un corps ultramétrique et $\lambda$ un nombre réel $> 0$. Pour $f(X) = \sum a_i X^i \in k[X]$ on pose $|f| = \sup |a_i| \lambda^i$. Cela définit une valeur absolue sur $k(X)$.

**Démonstration.** Il suffit de démontrer que l'on a défini une valeur absolue sur $k[X]$.
Soit $g(X) = \sum b_i X^i$. La seule difficulté est de montrer que $|fg| = |f||g|$. Clairement $|fg| \le |f||g|$, donc il suffit de montrer que $|fg| + \varepsilon > |f||g|$ pour tout $\varepsilon > 0$. Si $|f||g| < \varepsilon$, nous avons terminé. Supposons donc $|f||g| > 0$, i.e. $|f| > 0$ et $|g| > 0$. On considère $m$ et $n$ tels que

$$2^{-m} \sup(1, |f| + |g|) < \inf(|f|, |g|) \text{ et } 2^{-n} \inf(|f|, |g|) < \varepsilon,$$

et on utilise le lemme 6.1 pour construire des sous-ensembles finis $A$ et $B$ des ensembles d'indices des coefficients de $f$ et $g$, respectivement, tels que

$$\begin{array}{lll}
|a_i| > |f| - 2^{-(n+m)} > 0 & \text{si } i \in A \\
|a_i| < |f| - 2^{-n} & \text{si } i \notin A \\
|b_j| > |g| - 2^{-(n+m)} > 0 & \text{si } j \in B \\
|b_j| < |g| - 2^{-n} & \text{si } j \notin B
\end{array}$$

Soit $r = |f||g| - 2^{-n} \inf(|f|, |g|)$. Si $i \in A$ et $j \in B$, alors

$$\begin{aligned}
|a_i X^i b_j X^j| &> (|f| - 2^{-(n+m)})(|g| - 2^{-(n+m)}) \\
&> |f| |g| - 2^{-(n+m)} (|f| + |g|) > r.
\end{aligned}$$

Si $j \notin B$, $|a_i X^i b_j X^j| < |f|(|g| - 2^{-n}) = |f||g| - 2^{-n}|f| \le r$. Même chose pour $i \notin A$.

On écrit $f = f_1 + f_2$ et $g = g_1 + g_2$ avec $f_1 = \sum_{i \in A} a_i X^i$ et $g_1 = \sum_{j \in B} b_j X^j$. Alors

$$fg = f_1 g_1 + f_1 g_2 + f_2 g_1 + f_2 g_2 \text{ et } |f_1 g_2 + f_2 g_1 + f_2 g_2| < r.$$

En considérant le monôme de plus haut degré dans $f_1 g_1$, on voit que $|f_1 g_1| > r$. Donc $|fg| = |f_1 g_1| > r > |f||g| - \varepsilon$. ■
Nous pouvons maintenant donner un exemple d'un corps résiduel qui n'est
pas un anneau local. Soit $k$ un corps avec une valeur absolue ultramétrique, et
soient $\alpha$ et $\beta$ des nombres réels $> 0$ tels que $\sup(\alpha, \beta) = 1$. En appliquant deux
fois le théorème 6.2, nous obtenons une valeur absolue sur le corps des fractions
rationnelles $k(X, Y)$ telle que $|X| = \alpha$ et $|Y| = \beta$ et $|X + Y| = \sup(\alpha, \beta) = 1$.
Dans le corps résiduel $\overline{k}(X, Y)$, nous avons $X + Y$ inversible, mais nous ne
pouvons pas affirmer que $X$ ou $Y$ est inversible (voir l'exercice II.3.5).

Le théorème suivant donne une borne sur la valeur du reste dans l'algorithme
de division (théorème II.5.2) dans le cas d'un corps ultramétrique.

**Théorème 6.3.** Soient $k$ un corps ultramétrique,

$$
g(X) = b_0 + b_1 X + \cdots + b_m X^m \quad \text{et} \quad \varphi(X) = a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n.
$$

avec $a_n$ inversible. On étend la valeur absolue à $k[X]$ selon le théorème 6.2. On
pose $s = |\varphi(X)|/|a_n X^n|$ et $M = \max(m - n + 1, 0)$. Il existe des polynômes
$q, r \in k[X]$ tels que

$$
g(X) = q(X)\varphi(X) + r(X)
$$

avec $\deg r(X) < \deg \varphi(X)$ et $|r(X)| \le s^M |g(X)|$.

Démonstration. Nous procédons par récurrence sur $m$, que nous pouvons sup-
poser $\ge n$. On écrit

$$
g_1(X) = g(X) - \varphi(X) \frac{X^{m-n} b_m}{a_n}.
$$

Alors $|\varphi(X)X^{m-n}b_m/a_n| = s|b_mX^m| \le s|g(X)|$, donc $|g_1(X)| \le s|g(X)|$ (parce
que $s \ge 1$). Par récurrence, $g_1(X) = q_1(X)\varphi(X) + r(X)$ avec $\deg r(X) <$
$\deg \varphi(X)$ et $|r(X)| \le s^{M-1}|g_1(X)| \le s^M|g(X)|$. On prend $q(X) = q_1(X) +$
$X^{m-n}b_m/a_n$. $\blacksquare$

L'objectif du lemme de Hensel est de construire une factorisation approchée
d'un polynôme avec des facteurs approximativement étrangers.

**Définition 6.4.** Soit $k$ un corps ultramétrique. On étend la valeur absolue à $k[X]$ selon le théorème 6.2. Un **contexte hensélien** est donné par

$$
f, \varphi, \psi, h, A, B, C \in k[X], \quad d \in k, \ L, M \in \mathbb{N}, \ \varepsilon \in \mathbb{Q}
$$

tels que

$$
(i) f = \varphi\psi + h;
$$

$$
(ii) A\varphi + B\psi = d + C;
$$

$$
(iii) |\psi| \le 1 \text{ et } |B| \le 1;
$$

$$
(iv) \varphi = \sum_{i=0}^{n} a_i X^i \text{ et } |a_n| \neq 0;
$$

(v) $\deg f, \deg h, n \le L;$
(vi) $\deg A \le M - L - 1$ et $\deg B \le M - 2(L - n) - 1$;

(vii) $0 < |d| \le 1$ et $\varepsilon < 1$;

(viii) $s^M|C/d| \le \varepsilon$ et $s^{2M}|h/d^2\varphi| \le \varepsilon$ où $s = |\varphi|/|a_nX^n| \ge 1$.

La condition (i) dit que $\varphi\psi$ approche $f$ à $h$ près, et (viii) dit que $h$ est petit par rapport à $\varphi$. La condition (viii) dit également que $|C|$ est petit par rapport à $|d|$, donc (ii) dit $\varphi$ et $\psi$ sont approximativement étrangers<fnref n="1" />.

**Lemme 6.5.** Soit $f, \varphi, \psi, h, A, B, C, d, L, M, \varepsilon$ un contexte hensélien. Alors

(i) $|A\varphi| \le 1$,

(ii) $\deg \psi \le L - n$,

(iii) $\deg C \le M$,

(iv) $\deg Ch, \deg Bh \le M + n - 1$.

*Démonstration.* La définition 6.4(ii) nous donne

$$|A\varphi| \le \sup\{|B\psi|, |d|, |C|\} \le 1$$

en utilisant les majorations sur $|B|, |\psi|, |d|$ et $|C|$ dans la définition. Comme $\deg \varphi\psi = \deg(f - h) \le L$, et comme le coefficient dominant $a_n$ de $\varphi$ est inversible, nous avons $\deg \psi \le L - n$. Donc

$$\deg C \le \sup(\deg A + n, \deg B + L - n) \le M - L - 1 + n$$

et $\deg Ch \le M + n - 1$. Enfin,

$$\deg Bh \le M - (L - n) + n - 1 \le M + n - 1. \blacksquare$$

Le cœur du lemme de Hensel consiste en la possibilité de raffiner un contexte hensélien.

**Théorème 6.6.** Il existe une fonction entre contextes henséliens qui, à partir du contexte

$$f, \varphi, \psi, h, A, B, C, d, L, M, \varepsilon$$

produit un contexte

$$f, \varphi^*, \psi^*, h^*, A, B, C^*, d, L, M, \varepsilon$$

avec les propriétés suivantes<fnref n="2" />.

<footnote n="1">1. **NdT.** Un contexte hensélien pour un corps ultramétrique décrit donc d'une manière précise, contrôlée par $\varepsilon$, une factorisation approchée de $f \in k[X]$ en un produit $\varphi\psi$ de deux polynômes approximativement étrangers. Notez que si $k$ n'est pas discret, seul le degré de $\varphi$ est à priori bien défini. Par ailleurs, la valeur précise de $s$ dépend du choix de $\lambda = |X|$ dans le théorème 6.2.</footnote>

<footnote n="2">2. **NdT.** D'après les égalités dans (ii) et (iii), la valeur de $s$ dans le nouveau contexte est la même que celle dans le premier contexte; et ceci explique qu'il n'y ait pas de $s^*$ dans l'énoncé. Notez que seuls $\varphi, \psi, h$ et $C$ sont modifiés. Le point (i) indique dans quelle mesure la contexte a été amélioré.</footnote>
(i) $|h^*| \le \varepsilon|h|$;

(ii) $\varphi^*$ a le même degré et le même coefficient dominant que $\varphi$;

(iii) $|\varphi^* - \varphi| \le s^M |h/d| \le s^{-M} \varepsilon |d\varphi|$, d'où $|\varphi^*| = |\varphi|$;

(iv) $|\psi^* - \psi| \le s^M |h/d\varphi| \le s^{-M} \varepsilon |d|$.

Démonstration. Nous allons construire $\varphi^* = \varphi + \beta$ et $\psi^* = \psi + \alpha$ qui satisfont les conditions (ii), (iii) et (iv), et nous définirons

$$h^* = f - \varphi^* \psi^* \text{ et } C^* = A\varphi^* + B\psi^* - d.$$

Nous devons d'abord démontrer la condition (i), deg $h^* \le L$, et $s^M |C^*/d| \le \varepsilon$. Le fait que $|\psi^*| \le 1$ résulte de la condition (iv).

D'après le lemme 6.5(iv), nous pouvons appliquer le théorème 6.3 avec $g = Bh/d$ et $g = Ch/d$ ce qui donne

$$Bh/d = q\varphi + \beta,$$

$$Ch/d = p\varphi + r,$$

où deg $\beta < n$, deg $r < n$ et

$$|\beta| \le s^M |Bh/d| \le s^M |h/d|,$$

$$|r| \le s^M |Ch/d| \le \varepsilon|h|.$$

En définissant $\varphi^* = \varphi + \beta$, on obtient les conditions (ii) et (iii). On pose

$$\alpha = Ah/d + q\psi - p.$$

Alors en multipliant 6.4(ii) par $h/d$, on a

$$\alpha\varphi + \beta\psi = h + r,$$

donc deg $\alpha\varphi \le L$, puisque deg $\beta\psi \le n + (L - n)$ d'après le point 6.5(ii), donc deg $\alpha \le L - n$. Nous avons aussi

$$\begin{align*} |\alpha\varphi| &\le \sup\{|\beta\psi|, |h|, |r|\} \\ &\le \sup\{|\beta|, |h|, |r|\} \\ &\le \sup\{s^M |h/d|, |h|, \varepsilon|h|\} = s^M |h/d|, \end{align*}$$

et donc

$$|\alpha| \le s^M |h/d\varphi|.$$

Ainsi la condition (iv) est satisfaite pour $\psi^* = \psi + \alpha$.

Soit $h^* = f - \varphi^* \psi^*$. Alors

$$h^* = h - (h + r) - \alpha\beta = -r - \alpha\beta,$$
donc

$$ \deg h^* \le \sup(\deg r, \deg \alpha\beta) \le L. $$

Nous avons aussi

$$ \begin{aligned} |h^*| &\le \sup(|r|, |\alpha\beta|) \\ &\le \sup\{s^M |Ch/d|, (s^M |h| / |d\varphi|) s^M |h/d|\} \\ &\le \varepsilon|h|, \end{aligned} $$

ce qui donne la condition (i). Nous définissons $C^*$ par

$$ A\varphi^* + B\psi^* = d + C^* $$

Il reste à vérifier la majoration pour $|C^*|$ dans la définition 6.4(viii). Nous avons

$$ C^* = C + A\beta + B\alpha, $$

donc

$$ \begin{aligned} s^M |C^*| \le & s^M \sup\{|C|, |A\beta|, |B\alpha|\} = s^M \sup\{|C|, |A\varphi||\beta/\varphi|, |\alpha|\} \\ = & \sup\{s^M |C|, s^{2M} |h| / |d\varphi|, s^{2M} |h| / |d\varphi|\} \le \varepsilon|d|. \quad \blacksquare \end{aligned} $$

**Définition 6.7.** Soit $k$ un corps ultramétrique. On prolonge la valeur absolue à $k[X]$ via le théorème 6.2. Nous disons que $k$ est **hensélien** si chaque fois que

$$ f, \varphi, \psi, h, A, B, C, d, L, M, \varepsilon $$

est un contexte hensélien, il existe un contexte hensélien

$$ f, \hat{\varphi}, \hat{\psi}, 0, A, B, \hat{C}, d, L, M, \varepsilon $$

tel que $\hat{\varphi}$ a le même degré et le même coefficient dominant que $\varphi^1$.

Notez que cette définition dépend de la valeur absolue $\lambda = |X|$ choisie dans le théorème 6.2. En fait, cette dépendance est seulement apparente, au moins pour les corps discrets, comme nous le verrons dans le théorème 6.11.

**Théorème 6.8** (lemme de Hensel). *Un corps ultramétrique complet est hensélien.*

*Démonstration.* Soit $f, \varphi, \psi, h, A, B, C, d, L, M, \varepsilon$ un contexte hensélien. D'après le théorème 6.6, nous pouvons construire des suites $\{\varphi_i\}, \{\psi_i\}, \{h_i\}$ et $\{C_i\}$ telles que $f, \varphi_i, \psi_i, h_i, A, B, C_i, d, L, M, \varepsilon$ est un contexte hensélien, $\varphi_0 = \varphi, \psi_0 = \psi, h_0 = h, C_0 = C$ et

$$ (i) \quad |h_{i+1}| \le \varepsilon|h_i|; $$

<footnote n="1">1. **NdT.** Notez que l'on a maintenant la factorisation exacte $f = \hat{\varphi}\hat{\psi}$.</footnote>
(ii) $\varphi_i$ a le même degré et le même coefficient dominant que $\varphi$;

(iii) $|\varphi_{i+1} - \varphi_i| \le s^M |h/d| \le s^{-M}\varepsilon |d\varphi|$;

(iv) $|\psi_{i+1} - \psi_i| \le s^M |h/d\varphi| \le s^{-M}\varepsilon |d|$.

Les points (i), (iii) et (iv) impliquent que $h_i \to 0$, et que les autres suites sont de Cauchy. Comme tous les degrés sont bornés, et comme $k$ est complet, nous avons $\varphi_i \to \hat{\varphi}$, $\psi_i \to \hat{\psi}$, et $C_i \to \hat{C}$, avec $\hat{\varphi}, \hat{\psi}, \hat{C} \in k[X]$. Comme toutes les conditions sur $\hat{\varphi}, \hat{\psi}$ et $\hat{C}$ sont des égalités et des inégalités larges satisfaites par $\varphi_i, \psi_i$ et $C_i$, on obtient facilement le résultat<fnref n="1" />. ■

Notez que si $k$ est un corps discret, la clôture algébrique de $k$ dans $\hat{k}$ est un corps hensélien d'après le corolaire VII.1.5, et un corps discret d'après le théorème VI.1.9. Ceci nous donne une grande quantité de corps henséliens discrets : par exemple, la clôture algébrique du corps des rationnels dans le corps des nombres p-adiques.

**Corolaire 6.9.** Soit $f(X) = a_r X^r + \cdots + a_1 X + a_0$ un polynôme sur un corps hensélien $k$. Si pour un $n < r$ on a $a_n \ne 0$ et

$$|(a_j X^j / a_n X^n)^{2(2(r-n)+1)} a_m X^m| < \sup\{|a_i X^i| : 0 \le i \le n\}$$

pour tout $j \le n < m \le r$, alors $f$ a un facteur de degré $n$ dans $k[X]$.

*Démonstration.* Nous définissons un contexte hensélien. On pose $\varphi = a_n X^n + \cdots + a_0$ et $\psi = 1$, donc $h = f - \varphi\psi = a_r X^r + \cdots + a_{n+1} X^{n+1}$. On prend $A = C = 0$, $B = d = 1$, $L = r$ et $M = 2(r-n)+1$. Les hypothèses impliquent qu'il y a un $\varepsilon < 1$ tel que $s^{2M}|h| \le \varepsilon|\varphi|$. Ainsi, $f, \varphi, \psi, h, A, B, C, d, L, M, \varepsilon$ est un contexte hensélien. Comme $k$ est hensélien, nous obtenons le facteur souhaité. ■

**Corolaire 6.10.** Soit $f = a_r X^r + \cdots + a_1 X + a_0$ un polynôme sur un corps hensélien $k$. Si

$$0 < |a_r X^r| < |f| = \sup\{|a_i X^i| : 0 < i < r\},$$

le polynôme $f$ est réductible sur $k$.

*Démonstration.* D'après le lemme 6.1, nous pouvons construire un sous-ensemble fini $A$ de $\{0, \dots, r\}$ tel que

$$|a_i X^i| > |f| - 2^{-(m+t)} \text{ si } i \in A$$

et

$$|a_i X^i| < |f| - 2^{-t} \text{ si } i \notin A.$$

<footnote n="1">1. **NdT.** De plus, $|\hat{\varphi} - \varphi| \le s^M |h/d|$ et $|\hat{\varphi}| = |\varphi|$.</footnote>
De plus, nous pouvons prendre $m$ et $t$ tels que $N = 4r + 2 < 2^m$ et $2^{-t} < |f|$. Alors

$$ (|f| - 2^{-(m+t)})^N > (|f| - 2^{-t}/N)^N \\ > |f|^N - 2^{-t}|f|^{N-1} = |f|^{N-1}(|f| - 2^{-t}), $$

donc

$$ \left( \frac{|f|}{|f| - 2^{-(m+t)}} \right)^N (|f| - 2^{-t}) < |f|. $$

Nous pouvons aussi supposer que $|a_r X^r| + 2^{-(m+t)} < |f|$, donc que $r \notin A$. Soit $n$ le plus grand élément de $A$. Comme $|f| = \sup\{|a_i X^i| : 0 < i < r\}$, nous avons $n > 0$. Les hypothèses du corolaire 6.9 sont satisfaites, donc $f$ a un facteur de degré $n$ dans $k[X]$. ■

**Théorème 6.11.** Soit $k$ un corps hensélien discret avec une valeur absolue triviale ou non triviale, et soit $f$ un polynôme séparable de $k[X]$. Alors il existe un $\delta > 0$ tel que si $|f - \varphi\psi| < \delta$ et si $\deg f = \deg \varphi\psi$, alors $f$ a un facteur dans $k[X]$ de même degré que $\varphi$.

*Démonstration.* Le cas de la valeur absolue triviale est trivial, donc nous pouvons supposer qu'il existe un $e \in k$ tel que $0 < |e| < 1$. Pour tout polynôme non nul $p \in k[X]$, notons $L(p)$ la valeur absolue du monôme dominant de $p$. Comme la fonction qui envoie le polynôme $F(X)$ sur $F(X/e^m)$ est un automorphisme de $k[X]$ uniformément bicontinu sur les polynômes de degré borné, nous pouvons supposer que $|f| = L(f)$. En utilisant l'algorithmme d'Euclide, et en multipliant par une puissance convenable de $e$, nous trouvons $a$ et $b \in k[X]$ tels que $|a| \le 1$, $|b| \le 1$ et

$$ 0 \neq af + bf' = d \in k $$

avec $|d| \le 1$, et $|af| < |e|^2$ et $|bf| < |e|^2|X|$. On pose

$$ \delta = |d|^2 \inf(|X|, |f|). $$

Supposons maintenant que $|f - \varphi\psi| < \delta$ et $\deg f = \deg \varphi\psi$. Comme $\delta \le 2|f| = L(f)$, nous avons $|f| = |\varphi\psi|$ et $L(f) = L(\varphi\psi)$, donc $|\varphi| = L(\varphi)$, i.e. $s = 1$ dans la définition 6.4. On prend $h = f - \varphi\psi$. En multipliant $\psi$ par une puissance convenable de $e$, et en multipliant $\varphi$ par la même puissance de $e^{-1}$, nous pouvons supposer que $|e|^2 < |\psi| < 1$, donc $|f| = |\varphi\psi| < |\varphi| < |f|/|e|^2$. Alors $|a\varphi| < |af|/|e|^2 < 1$ et $|b\varphi| < |bf|/|e|^2 < |X|$. Il existe un $\varepsilon < 1$ tel que $|h| \le \varepsilon\delta \le \varepsilon|d^2|\inf(|X|, |f|) \le \varepsilon|d^2\varphi|$. Notez que si $F \in k[X]$, alors $|F'| \le |F|/|X|$, donc $|f' - \varphi'\psi - \varphi\psi'| \le \varepsilon|d|^2$ et $|b\varphi'| < 1$. Donc

$$ \varepsilon|d|^2 \ge |ah + b(f' - \varphi'\psi - \varphi\psi')| = |d - [(a\varphi + b\varphi')\psi + b\psi'\varphi]|; $$
en posant

$$
\begin{align*}
A &= b\psi', \\
B &= a\varphi + b\varphi', \\
C &= A\varphi + B\psi - d, \\
L &= \max(\deg f, \deg h, n),
\end{align*}
$$

et en prenant $M$ aussi grand que nécessaire ($s = 1$), nous obtenons un contexte hensélien. Comme le corps $k$ est hensélien, le facteur souhaité peut être construit. ■

Ce théorème reste-t-il vrai sans l'hypothèse que la valeur absolue sur $k$ est triviale ou non triviale ?

Rappelons que lorsque $k$ est un corps valorisé discret, nous définissons le hensélisé $\tilde{k}$ de $k$ comme la clôture séparable de $k$ dans $\hat{k}$. Cette terminologie est justifiée par le fait qu’un corps discret avec une valeur absolue ultramétrique est hensélien exactement quand il est séparablement clos dans son complété (théorème 6.13).

**Lemme 6.12.** Soit $\varphi(X) = a_n X^n + \cdots + a_0$ un polynôme sur un corps ultramétrique $k$ avec $|a_n| \neq 0$. Posons $s = |\varphi|/|a_n X^n|$. Soient $C \in k[X]$ et $d \in k$ tels que $s^M |C| < |d|$ et $\deg C \le M$. Alors $\varphi$ et $d + C$ sont premiers entre eux.

Démonstration. Soit $\theta = \theta_0 + \theta_1 X + \cdots + \theta_r X^r$ un facteur commun de $\varphi$ et $d + C$. Soit $d + C = \theta \sigma$ avec $\sigma = \sigma_0 + \sigma_1 X + \cdots + \sigma_t X^t$. Comme $|C| < |d|$, on a $|\theta_0 \sigma_0| = |d| = |d + C| = |\theta| |\sigma|$, donc $|\theta| = |\theta_0|$ et nous pouvons supposer que $\theta_0 = 1$. Supposons, par contradiction, que $r > 0$ et $\theta_r \neq 0$. Comme $\theta$ est un facteur de $\varphi$ et que $|\varphi/\theta| = |\varphi|$, on a $|\theta_r X^r| \ge |a_n X^n|/|\varphi| = 1/s$. Donc $|\sigma_t X^t| \le s|C|$. De la même manière $|\sigma_{t-1} X^{t-1}| \le s^2|C|$ et de même jusqu'à $|\sigma_0| \le s^{t+1}|C|$. Donc $t+1 > M \ge \deg C$ et $\sigma_t = 0$, et nous terminons par récurrence sur $t$, ce qui donne une contradiction pour $t=0$. ■

**Théorème 6.13.** Soit $k$ un corps ultramétrique discret. Alors $k$ est hensélien si, et seulement si, il est séparablement clos dans son complété.

Démonstration. Supposons $k$ séparablement clos dans son complété $\hat{k}$. Comme $\hat{k}$ est hensélien, nous pouvons construire les polynômes voulus $\hat{\varphi}$ et $\hat{\psi}$ à coefficients dans $\hat{k}$. Le coefficient dominant de $\hat{\varphi}$, et par suite le coefficient dominant de $\hat{\psi}$, sont dans $k$. D'après le théorème VII.1.4, tous les coefficients de $\hat{\varphi}$ et $\hat{\psi}$ sont algébriques sur $k$. Le lemme 6.12 dit que $\hat{\varphi}$ et $\hat{\psi}$ sont premiers entre eux, donc étrangers car leurs coefficients sont dans un sous-corps discret. Comme $k$ est séparablement clos dans $\hat{k}$, les coefficients de $\hat{\varphi}$ et $\hat{\psi}$ sont dans $k$ d'après le corolaire VII.1.6.

Supposons maintenant que $k$ est hensélien et que $\theta \in \hat{k}$ est séparable sur $k$, i.e. $\theta$ annule un polynôme séparable $f$ de $k[X]$. Si $\deg f = 1$, $\theta \in k$ et nous avons
terminé. Sinon nous pouvons trouver un $\alpha \in k$ tel que $|f(\alpha)| < 1$. Comme $k$ est discret, on sait si $\alpha$ annule $f$. Donc, ou bien $f$ a une racine dans $k$, et nous obtenons un polynôme de degré plus petit annulé par $\theta$, ou bien $|f(\alpha)| \neq 0$ et la valeur absolue sur $k$ est non triviale. Dans ce cas, comme $f(\alpha) = f - (X - \alpha)\psi$ pour un $\psi \in k[X]$, le théorème 6.11 dit que nous pouvons trouver un facteur linéaire de $f$ dans $k[X]$, et donc obtenir un polynôme de plus petit degré annulé par $\theta$. ■

Comme on l'avait signalé plus tôt, ce théorème montre que la définition d'un corps hensélien pour un corps discret est indépendante du choix de $|X|$.

Exercices

1. Soit $f \in \mathbb{Z}[X]$. Notons $\bar{f}$ l'image de $f$ dans $\mathbb{Z}_p[X]$. Montrer que si $\bar{f}$ a une racine simple dans $\mathbb{Z}_p$, il existe un $x$ dans le complété $p$-adique de $\mathbb{Q}$ qui annule $f$.

2. **Lemme de Hensel.** Soit $k$ un corps hensélien et soit $f$ un polynôme unitaire de $k[X]$ dont tous les coefficients ont une valeur absolue $\le 1$. Si l'image $\bar{f}$ de $f$ dans $\bar{k}[X]$ est un produit de deux polynômes unitaires étrangers $\lambda$ et $\mu$, $f$ est un produit de polynômes unitaires $\varphi$ et $\psi$ tels que $\bar{\varphi} = \lambda$ et $\bar{\psi} = \mu$.

7 Extensions de valeurs absolues

Nous étudions maintenant la question du prolongement d'une valeur absolue de $k$ à $k(\theta)$ lorsque $\theta$ est algébrique sur $k$. En général, nous devons nous restreindre au cas où $k(\theta)$ est de dimension finie sur $k$, i.e. où $\theta$ annule un polynôme irréductible (théorème VI.1.13). L'exemple suivant illustre à la fois les cas archimédien et ultramétrique.

**Exemple.** On munit le corps $\mathbb{Q}$ de la valeur absolue usuelle ou de la valeur absolue 7-adique. Soit $\sqrt{2}$ une racine carrée de 2, fixée, dans le complété $\hat{\mathbb{Q}}$ de $\mathbb{Q}$. Soit $a$ une suite binaire fugitive. Le corps

$$k = \bigcup_n \mathbb{Q}(a_n \sqrt{2}) \subseteq \hat{\mathbb{Q}}$$

est discret, dénombrable, et localement précompact. On définit un corps $E = k(\theta)$ avec $\theta$ algébrique sur $k$ en posant

$$E = \{ s + t\theta : s, t \in k \}$$

où $\theta^2 = 2$ et l'égalité est définie en posant $s + t\theta = 0$ si $s = t = 0$, ou si $a_m = 1$ et $s = (-1)^m t\sqrt{2}$. Notez que $E$ est un corps discret. Si nous arrivions à
prolonger la valeur absolue à E, on aurait dans $\hat{E}$ la disjonction $|\theta - \sqrt{2}| \neq 0$ ou $|\theta + \sqrt{2}| \neq 0$. Et donc $a_m = 0$ pour tous les m impairs, ou $a_m = 0$ pour tous les m pairs, ce qui donne LLPO. ■

**Lemme 7.1.** Soient K un corps ultramétrique et k un sous-corps discret hensélien de K sur lequel la valeur absolue est triviale ou non triviale. Soit $\theta \in K$ une racine d'un polynôme séparable irréductible de degré n sur k. Alors il existe un $\varepsilon > 0$ tel que $|g(\theta)| \ge \varepsilon|g|$ pour tout $g \in k[X]$ de degré $\le n$. Donc les éléments $1, \theta, \dots, \theta^{n-1}$ forment une base métrique de $k(\theta)$ sur k.

*Démonstration.* Nous construisons une suite $1 = \varepsilon_0 \ge \varepsilon_1 \ge \dots \ge \varepsilon_{n-1} > 0$ telle que $|g(\theta)| \ge \varepsilon_m|g|$ si deg $g = m$. Soit $g(X) = g_0 + g_1X + \dots + g_mX^m$. Comme $|g| \le \sup(1, |X|^n) \sup\{|g_i| : 0 \le i \le m\}$, nous pouvons supposer que $|X| = 1$. Nous pouvons supposer aussi que $g$ est unitaire, donc $|g| \ge 1$.

Notons $f$ le polynôme minimal de $\theta$ et supposons que nous avons construit $\varepsilon_{m-1}$. On pose $\mu = \sup(1, |\theta|^n)$ et

$$ \varepsilon_m = \delta(\varepsilon_{m-1}/2\mu)^{n-m+2}|f|^{-1}, $$

où $\delta \le 1$ est obtenu par le théorème 6.11. On écrit $f = qg + r$ avec deg $r < m$. D'après le théorème 6.3, on a $|r| \le |g|^{n-m+1}|f|$, donc

$$ |q| = |f - r|/|g| \le |f||g|^{n-m}, $$

d'où

$$ |q(\theta)| \le |q|\mu \le |f||g|^{n-m}\mu. $$

On a $|g| > \mu/\varepsilon_{m-1}$ ou $|g| < 2\mu/\varepsilon_{m-1}$.

Si $|g| > \mu/\varepsilon_{m-1} \ge 1$, alors, par récurrence,

$$ |g(\theta) - \theta^m| \ge \varepsilon_{m-1}|g(X) - X^m| = \varepsilon_{m-1}|g| > \mu \ge |\theta^m|, $$

et comme la valeur absolue est ultramétrique, on a

$$ |g(\theta)| = |g(\theta) - \theta^m| \ge \varepsilon_{m-1}|g| \ge \varepsilon_m|g|. $$

Si $|g| < 2\mu/\varepsilon_{m-1}$, alors

$$ |g(\theta)| = |r(\theta)|/|q(\theta)| \ge \varepsilon_{m-1}|r|/|f||g|^{n-m}\mu $$

car deg $r < m$. Comme $f$ est irréductible, le théorème 6.11 dit que $|r| \ge \delta$, d'où

$$ \varepsilon_{m-1}|r|/|f||g|^{n-m}\mu > \varepsilon_{m-1}\delta|g|/|f|(2\mu/\varepsilon_{m-1})^{n-m+1}\mu = 2\varepsilon_m|g| > \varepsilon_m|g|. \blacksquare $$

L'hypothèse que la valeur absolue est triviale ou non triviale dans ce lemme était nécessaire pour appliquer le théorème 6.11. Le lemme reste-t-il vrai sans cette hypothèse ?
**Lemme 7.2.** Soient $k$ un corps discret hensélien et $K$ une extension séparable de dimension finie de $k$. Alors deux valeurs absolues sur $K$ qui prolongent la valeur absolue sur $k$ sont égales.

*Démonstration.* On peut écrire $K = k(\theta)$ avec $\theta$ séparable de degré $n$ (corolaire VI.5.5). Notons $f$ le polynôme minimal de $\theta$. Soient $|\iota_1$ et $|\iota_2$ des valeurs absolues sur $K$ qui prolongent celle sur $k$.

Supposons que $|b|_1 > |b|_2$ pour un $b \in K$. Comme $f(\theta) = 0$, si on prend $|X| = 1$ (théorème 6.2), on a $|\theta|_i \le |f(X)|$. Tout élément $a$ de $K$ peut être écrit de manière unique sous forme $a = g_a(\theta)$ avec $g_a \in k[X]$ de degré $< n$. Si la valeur absolue sur $k$ est triviale ou non triviale, alors d'après le lemme 7.1, nous avons pour un $\varepsilon > 0$

$$|f(X)|^n |g_a(X)| \ge |a|_i \ge \varepsilon |g_a(X)|.$$

Mais alors il existe un $m$ tel que $|b^m|_1 > (|f(X)|^n/\varepsilon)|b^m|_2$, ce qui est impossible. Donc si $|b|_1 > |b|_2$, il est impossible que la valeur absolue soit triviale ou non triviale ; mais une valeur absolue sur un corps discret est triviale si, et seulement si, elle n'est pas non triviale, donc $|b|_1 > |b|_2$ implique que la valeur absolue est à la fois triviale et non triviale. En bref $|b|_1 > |b|_2$ est impossible.

Donc $|b|_1 \le |b|_2$ pour tout $b \in K$. ■

Soit $E$ un corps extension de dimension finie d'un corps discret $k$. La **norme**<fnref n="1" /> $N_{E/k}$ de l'extension $E/k$ est définie en posant, pour $x \in E$, $N_{E/k}(x)$ égal au déterminant de la transformation $k$-linéaire de $E$ définie par la multiplication par $x$.

Nous noterons $V_k$ le groupe de valeurs d'un corps valorisé $k$.

**Théorème 7.3.** Soient $k$ un corps discret hensélien et $E$ une extension de dimension finie de $k$. Alors la valeur absolue sur $k$ se prolonge de manière unique à $E$, et $V_E^\ell \subseteq V_k$ pour un entier $\ell > 0$. Donc si le groupe de valeurs de $k$ est discret, il en va de même pour le groupe de valeurs de $E$.

*Démonstration.* Soit $F$ la clôture séparable de $k$ dans $E$. Comme $E^m \subseteq F$ pour un entier $m > 0$ (théorème VI.6.8), toute valeur absolue sur $F$ se prolonge de manière unique à $E$, et nous pouvons supposer que $E$ est séparable. Le lemme 7.2 donne l'unicité. Pour construire une valeur absolue sur $E$, on pose pour $\theta \in E$

$$|\theta| = |N(\theta)|^{1/n},$$

où $N = N_{E/k}$ et $n = \dim_k E$. Pour montrer que cela définit une valeur absolue ultramétrique, il suffit de vérifier que $|N(1+\theta)| \le 1$ si $|N(\theta)| \le 1$ (corolaire 1.5). On suppose $|N(\theta)| \le 1$ et l'on note

$$f(X) = X^m + a_{m-1}X^{m-1} + \dots + a_0.$$

<footnote n="1">1. **NdT.** The field norm of $N_{E/k}$ from $E$ to $k$.</footnote>
le polynôme minimal de $\theta$.

Comme $N(\theta)$ est une puissance de $|N_{k(\theta)/k}(\theta)|^1$, on a $|a_0| = |N_{k(\theta)/k}(\theta)| \le 1$. D'après le corolaire 6.10, on a $|a_i| \le 1$ pour tout $i$, car $\sup |a_i| > 1$ implique que $f$ est réductible, ce qui est impossible. Or $f(X-1)$ est le polynôme minimal de $1+\theta$ et son terme constant est $\pm(1+\sum \pm a_i)$. Comme la valeur absolue est ultramétrique, on a $|1+\sum \pm a_i| \le 1$, et comme $N(1+\theta)$ est une puissance de ce terme, on a $|N(1+\theta)| \le 1$.

Enfin, on prend $\ell = mn$. ■

**Théorème 7.4.** Soient $k$ un corps discret hensélien avec une valeur absolue triviale ou non triviale, et $E$ une extension séparable de dimension finie de $k$. Alors $E$ est hensélien.

*Démonstration.* D'après le théorème 6.13, il suffit de démontrer que $E$ est séparablement clos dans son complété. Soit $E = k(\theta)$. Comme $k$ est séparablement clos dans $\hat{k}$, le théorème VII.2.3 dit que $E$ est séparablement clos dans $\hat{k}(\theta)$. Le lemme 7.1 montre que la norme sur $k(\theta)$ donnée par la valeur absolue est équivalente à la norme du sup sur $k^n$, donc $\hat{k}(\theta) = \hat{E}$. ■

D'après le corolaire 3.5, le hensélisé d'un corps discret pseudofactoriel est séparablement factoriel. Il y a donc un grand nombre de situations où le théorème suivant s'applique.

**Théorème 7.5.** Soit $k$ un corps discret avec une valeur absolue non triviale qui est réelle, ou complexe, ou ultramétrique. On note $\tilde{k}$ le hensélisé de $k$, et on considère un corps $E = k(\theta)$ extension de dimension finie séparable de $k$. Si le polynôme minimal de $\theta$ sur $k$ est un produit $g_1g_2\cdots g_s$ de facteurs irréductibles dans $\tilde{k}[X]$, il existe des valeurs absolues $|\cdot|_1, \dots, |\cdot|_s$ distinctes sur $E$ qui prolongent la valeur absolue $|\cdot|$ sur $k$, et telles que, en notant $\tilde{E}_i$ le hensélisé de $E$ pour $|\cdot|_i$, les propriétés suivantes sont satisfaites.

(i) Le polynôme $g_i$ est le polynôme minimal de $\theta$ sur $\tilde{k}$ vu comme sous-corps de $\tilde{E}_i$.

(ii) Toute valeur absolue sur $E$ qui prolonge $|\cdot|$ est égale à une $|\cdot|_i$.

(iii) Le degré $n_i = [\tilde{E}_i : \tilde{k}]$ est égal au degré de $g_i$, et l'on a $\sum_i n_i = n$.

*Démonstration.* Soit $\alpha$ une racine de $g_i$ dans un corps discret extension de $\tilde{k}$ (c'est possible parce que $g_i$ est irréductible sur $\tilde{k}$). D'après le théorème 7.3 dans le cas ultramétrique, et d'après les théorèmes 5.2 et 5.8 dans le cas archimédien, nous pouvons prolonger $|\cdot|$ à $\tilde{k}(\alpha)$ de manière unique. Comme $\alpha$ annule le polynôme minimal de $\theta$ sur $k$, il y a un monomorphisme $\varphi: E \to \tilde{k}(\alpha)$ qui est

<footnote n="1">1. **NdT.** Si $e_1, \dots, e_r$ est une base de $E$ sur $k(\theta)$, $E$ est la somme directe des $k$-espaces vectoriels $e_i k(\theta)$; alors la multiplication par $\theta$ opère sur chaque facteur direct avec pour déterminant $|N_{k(\theta)/k}(\theta)|$.</footnote>
l'identité sur $k$ et qui envoie $\theta$ sur $\alpha$. Pour $x \in E$, on pose $|x|_i = |\varphi(x)|$. Comme $\tilde{k}(\alpha)$ est le hensélisé de $k(\alpha)$ d'après les théorèmes 7.4 et 5.8, nous pouvons identifier $\tilde{E}_i$ avec $\tilde{k}(\alpha)$, donc (i) et (iii) sont clairs.

Démontrons (ii). On considère une valeur absolue sur $E$ qui prolonge la valeur absolue sur $k$, et on note $\tilde{E}$ le hensélisé de $E$ pour cette valeur absolue. Alors il y a un $i$ tel que $g_i(\theta) = 0$, donc la valeur absolue sur $\tilde{E}$ doit être égale à $|i|$ d'après le lemme 7.2 et le théorème 5.2.

Montrons que $|i| \neq |j|$ si $i \neq j$. Comme $g_i g_j$ est séparable, on a des polynômes $s$ et $t$ tels que $sg_i + tg_j = 1$. Donc $g_i(\theta) = 0$ dans $\tilde{E}_i$ et $g_i(\theta) \neq 0$ dans $\tilde{E}_j$. En prenant une approximation suffisamment précise $g_i^* \in k[X]$ de $g_i$, nous avons $|g_i^*(\theta)|_i$ aussi petit que nous voulons et nous avons $|g_i^*(\theta)|_j$ éloigné de 0, donc $|i| \neq |j|$. ■

Exercices

1. Soit $K$ un corps ultramétrique. Montrer que si $\theta \in K$ est une racine de $f \in K[X]$, alors $|\theta| \le |f|$ si $|X| = 1$ (théorème 6.2).

2. Trouver toutes les valeurs absolues archimédiennes sur les corps suivants.

(i) $\mathbb{Q}[X]/(X^2 - 2)$.

(ii) $\mathbb{Q}[X]/(X^2 + 1)$.

(iii) $\mathbb{Q}[X]/(X^3 - 2)$.

Trouver toutes les extensions de la valeur absolue 5-adique sur $\mathbb{Q}$ pour les mêmes corps.

3. Soit $K$ un corps extension de dimension finie de $\mathbb{Q}$. Montrer qu'un élément $x$ de $K$ est entier sur $\mathbb{Z}$ si, et seulement si, $|x| \le 1$ pour toute valeur absolue ultramétrique sur $K$.

8 Indice de ramification et degré résiduel
(e et f)

Soient $k$ un corps discret avec une valeur absolue discrète et $E$ une extension séparable de $k$ de dimension finie avec une valeur absolue qui prolonge celle de $k$. Si le quotient $V_E/V_k$ des groupes de valeurs de $E$ et $k$ est fini, on définit l'**indice de ramification** $e = e(E/k)$ comme le nombre d'éléments de $V_E/V_k$. De la même manière, si le corps résiduel $\bar{E}$ est de dimension finie sur $\bar{k}$, on définit le **degré résiduel** $f = f(E/k)$ comme la dimension de $\bar{E}$ sur $\bar{k}$. Comme le passage aux hensélisés $\bar{k} \subseteq \bar{E}$ conserve le groupe de valeurs et le corps résiduel, nous pouvons supposer que $k$ est hensélien.

La méthode en mathématiques classiques pour construire $e$ consiste à choisir un $\pi \in k$ qui engendre le groupe de valeurs $V_k$ de $k$. Alors (théorème 7.3) $V_E$
est un sous-groupe du groupe cyclique engendré par $|\pi|^{1/\ell}$, donc il est cyclique et contient $V_k$ comme sous-groupe d'indice fini $e$. Comme nous ne pouvons pas établir qu'un sous-groupe non trivial d'un groupe cyclique est cyclique, notre construction de $e$ doit être plus élaborée. Le problème pour calculer $f$ est qu'une extension algébrique de type fini d'un corps discret n'est pas nécessairement de dimension finie. Nous devons imposer la condition $P$ de Seidenberg sur le corps résiduel.

**Théorème 8.1.** Soit $k$ un corps discret hensélien avec une valeur absolue discrète. Soit $E$ une extension séparable de $k$, de dimension finie $n$. Supposons que le corps résiduel $\bar{k}$ satisfait la condition $P$ de Seidenberg. Alors le groupe quotient $V_E/V_k$ est fini (de cardinalité notée $e$), le corps résiduel $\bar{E}$ est de dimension finie (notée $f$) sur $\bar{k}$, et $n = ef$. En particulier, la valeur absolue sur $E$ est discrète, et $\bar{E}$ satisfait la condition $P$.

*Démonstration.* D'après le théorème 7.3, la valeur absolue sur $k$ s'étend de manière unique à $E$, et le groupe $V_E$ est discret, donc $\bar{E}$ est discret. De plus $V_E/V_k$ est discret parce que $V_k$ est cyclique et $V_E^\ell \subseteq V_k$.

Nous allons construire un sous-ensemble fini $S$ de $E$ qui s'envoie injectivement sur $V_E/V_k$, et un sous-ensemble fini $W$ de $\{w \in E : |w| = 1\}$ qui s'envoie injectivement sur une base de $\bar{E}$ sur $\bar{k}$, avec $SW = \{sw : s \in S \text{ et } w \in W\}$ une base de $E$ sur $k$. Nous faisons une construction par récurrence en commençant avec $S = W = \{1\}$.

À chaque étape de notre construction, nous avons un ensemble fini $S$ d'éléments non nuls de $E$ qui contient 1 et qui s'envoie injectivement dans $V_E/V_k$, et un sous-ensemble fini $W$ de $\{w \in E : |w| = 1\}$ qui s'envoie sur une famille $\bar{k}$-linéairement indépendante $\bar{W} \in \bar{E}$. De plus, nous demandons que $k\bar{W}$, le sous-$\bar{k}$-espace vectoriel de $\bar{E}$ engendré par $\bar{W}$, soit un corps.

Si $b_w \in k$ pour $w \in W$, alors $|\sum_{w \in W} b_w w| = \max |b_w|$ car si $|\sum b_w w| < |b_w'| = \max |b_w|$, nous obtenons en divisant par $b_w'$ une relation de dépendance linéaire dans $\bar{W}$. Donc si $a_{sw} \in k$ avec $s \in S$ et $w \in W$, alors

$$ \left| \sum_{S \times W} a_{sw} s w \right| = \max_W \left| \sum_S a_{sw} s \right| = \max_{S \times W} |a_{sw} s| $$

parce que les valeurs des $a_{sw}s$ non nuls sont distinctes pour un $w$ fixé. Ainsi $SW$ est linéairement indépendant sur $k$. Notons $kSW$ le sous-$k$-espace vectoriel de $E$ engendré par $SW$. Si $|a_{sw}s| = 1$, $s = 1$, donc si $x \in kSW$ et $|x| \le 1$, l'image $\bar{x}$ de $x$ dans $\bar{E}$ est dans $k\bar{W}$.

Si $E = kSW$, nous avons terminé car $S$ s'envoie sur $V_E/V_k$ et $\bar{E} = \bar{k}\bar{W}$. Sinon il existe un $\alpha \in E \setminus kSW$. Comme $k$ est hensélien, $E$ a une base métrique sur $k$ d'après le lemme 7.1, donc $\{\alpha\} \cup SW$ est métriquement indépendant, donc $\alpha$ est éloigné de $kSW$ avec une distance $> 0$. Soit $\pi \in k$ tel que $|\pi| < 1$ engendre $V_k$. Nous pouvons supposer que si $s \in S \setminus \{1\}$, alors $|\pi| < |s| < 1$.
Soit $r$ le maximum des valeurs des éléments de $S \setminus \{1\}$, avec $r = |\pi|$ si $S = \{1\}$. Étant donné $b \in kSW$, nous allons construire l'un des objets suivants :

(i) $b' \in kSW$ tel que $|\alpha - b'| \le r|\alpha - b|$;

(ii) $\beta \in E$ tel que $|\beta|/|s|$ n'est dans $V_k$ pour aucun $s \in S$;

(iii) un corps $K \subseteq E$ extension de $k$ de dimension $m > 1$ tel que $\bar{K}$ est de dimension $m$ sur $\bar{k}$ (donc $V_K = V_k$);

(iv) un corps extension de $\overline{kW}$ de dimension finie contenu dans $\overline{E}$.

Comme le quotient $V_E/V_k$ est discret, ou bien $\beta = \alpha - b$ satisfait (ii), ou bien nous pouvons trouver $t \in k$ et $s \in S$ tels que $\theta = (\alpha - b)/st$ est de valeur absolue 1. Dans ce cas, nous allons voir que, ou bien $\bar{\theta} \in \overline{kW}$, ou bien (iii) est satisfait, ou bien (iv) est satisfait. Voyons d'abord ce qu'il faut faire si $\bar{\theta} \in \overline{kW}$. On a alors un $u \in kW$ tel que $\bar{\theta} = \bar{u}$ et donc $|\theta - u| < 1$. Ou bien $|\theta - u| \le r$, ou bien $\beta = \theta - u$ satisfait (ii). Si $|\theta - u| \le r$, nous posons $b' = b + stu$, et (i) est satisfait parce que $\alpha - b = st\theta$ et $|\theta| = 1$.

Nous retournons à la question si $\bar{\theta} \in \overline{kW}$.

Notons $A_k$ le sous-anneau de $k$ défini par $A_k = \{x \in k : |x| \le 1\}$. Alors $A_k$ est un anneau intègre discret dans lequel $a$ divise $b$ si, et seulement si, $|a| \ge |b|$; ainsi $a$ divise $b$ ou $b$ divise $a$, et le pgcd de deux éléments est l'un d'entre eux. Donc $A_k$ est un anneau intègre à pgcd (voir page 108)<fnref n="1" />.

Comme $V_k$ est discret, et comme $\theta$ est algébrique sur $k$, nous pouvons diviser le polynôme minimal de $\theta$ par son coefficient de valeur absolue maximum pour montrer que $\bar{\theta}$ est algébrique sur $\bar{k}$. D'après le théorème VI.6.3, on a un polynôme unitaire $g$ à coefficients dans $k$, tous de valeur absolue $\le 1$, tel que $\bar{g}$ est séparable et $\bar{g}(\bar{\theta}^q) = 0$, où $q$ est égal à 1 ou à une puissance de la caractéristique finie de $\bar{k}$. Comme $E$ est hensélien (théorème 7.4), on a un $\omega \in E$ qui annule $g$ avec $\bar{\omega} = \bar{\theta}^q$. Le polynôme minimal de $\omega$, qui existe parce que $E$ est de dimension finie sur $k$, divise $g$ et, par le lemme de Gauss (lemme IV.4.3), tous ses coefficients sont de valeur absolue $\le 1$. Nous pouvons donc supposer que $g$ est irréductible. Comme $E$ est hensélien et $\bar{g}$ est séparable, $\bar{g}$ est irréductible. Ainsi $\bar{k}(\bar{\omega})$ est de dimension finie sur $\bar{k}$. Si deg $g > 1$, on pose $K = k(\omega)$ et on obtient (iii). Si deg $g = 1$, $\bar{\theta}$ est purement inséparable sur $\bar{k}$, et donc sur $\overline{kW}$. D'après la condition $P$, nous savons que $\overline{kW}(\bar{\theta})$ est de dimension finie sur $\overline{kW}$. Si cette dimension est égale à 1, $\bar{\theta} \in \overline{kW}$. Sinon $\overline{kW}(\bar{\theta})$ est le corps voulu dans le point (iv).

Si le point (ii) est satisfait, on peut agrandir $S$; si (iv) est satisfait, on peut agrandir $W$. Comme $\alpha$ est éloigné de $kSW$, la situation (i) ne peut se produire qu'un nombre fini de fois. Enfin, si (iii) est satisfait, on a $V_K = V_k$ et $K$ est hensélien (théorème 7.4); de plus, $\bar{K}$ satisfait la condition $P$ parce que $\overline{K/k}$

<footnote n="1">1. **NdT.** Pour tout $x \neq 0$ dans $k$, on a $x \in A_k$ ou $1/x \in A_k$; on dit dans ce cas que $A_k$ est un anneau de valuation du corps discret $k$.</footnote>
est de dimension finie (théorème VII.3.1(ii)); nous terminons par récurrence sur $n$. ■

L'hypothèse dans le théorème 8.1 que $\bar{k}$ satisfait la condition $P$ ne peut pas être supprimée, en tout cas pas complètement. Pour nous en convaincre, nous démontrons le théorème suivant.

**Théorème 8.2.** Soit $K$ un corps discret de caractéristique $p$. Il existe un corps discret hensélien $k$ muni d'une valeur absolue discrète avec pour corps résiduel $\bar{k} = K$ et tel que pour chaque $y \in \bar{k}$ il y a une extension séparable de dimension finie $E$ de $k$ avec $y \in \bar{E}^p$.

*Démonstration.* Lorsque $k$ est un corps de caractéristique $p$, on note $k^{1/p}$ un corps qui contient $k$ et tel que $(k^{1/p})^p = k$. Le fait qu'un tel corps existe est rendu évident par la contemplation de l'isomorphisme $k \simeq k^p \subseteq k$. Soit $k$ le hensélisé du corps des fractions rationnelles $K(T)$ pour la valeur absolue $T$-adique (la valeur absolue de l'exercice 1.5). Si $y=0$, on prend $E=k$. Si $y \neq 0$, on considère le polynôme séparable $f(X) = X^p + TX + y \in k[X]$. On voit facilement que $f(X)$ est irréductible (sur $k^{1/p}$) en considérant la substitution $X = Z - \lambda$, où $\lambda$ est la racine $p$-ième de $y$ dans $k^{1/p}$, et en utilisant le critère d'Eisenstein. Ainsi nous pouvons construire $E = k(\theta)$ avec $f(\theta) = 0$. Clairement $|\theta| = |y|^{1/p} = 1$ et $y = \bar{\theta}^p$. ■

Un corps discret $\bar{k}$ de caractéristique $p$ satisfait la condition $P$ si, et seulement si, $K^p$ est détachable dans $K$ pour tout corps $K$ extension de dimension finie de $\bar{k}$ (théorème VII.3.1(ii)), i.e. pour tout $y \in K$, $y \in K^p$ ou $y \notin K^p$. Le corolaire suivant montre donc que le corps $\bar{k}$ dans le théorème 8.1 doit au moins satisfaire une forme faible de la condition $P$.

**Corolaire 8.3.** Soit $K$ un corps discret. Supposons que pour tout corps discret hensélien $k$ dont le corps résiduel $\bar{k}$ est isomorphe à $K$, et pour tout corps $E$ extension séparable de dimension finie de $k$, le corps résiduel $\bar{E}$ soit de dimension finie sur $\bar{k}$. Alors $K^p$ est détachable dans $K$.

*Démonstration.* Soit $y \in \bar{k}$; on applique le théorème 8.2 pour construire $k$ et $E$ avec $y \in \bar{E}^p$. Alors $\bar{E}$ est de dimension finie sur $\bar{k}$. Donc $\bar{E}^p$ est de dimension finie sur $\bar{k}^p$. Donc $y$ est ou n'est pas dans $\bar{k}^p$. ■

L'hypothèse dans le théorème 8.1 selon laquelle l'extension est séparable ne peut pas être supprimée. On se reporte à l'exercice 3.2 avec $k = \mathbb{Z}_2(Y^2, \eta^2)$ et $E = \mathbb{Z}_2(Y^2, \eta)$ muni de la valeur absolue qui provient du corps des séries formelles en $Y$. Alors le groupe de valeurs de $E$ est égal au groupe de valeurs de $k$ si, et seulement si, $a_n = 0$ pour tout $n$. Le passage aux hensélisés ne change pas la situation.

Les valeurs absolues $p$-adiques sur $\mathbb{Q}$ satisfont les hypothèses du théorème suivant.
**Théorème 8.4.** Soit $k$ un corps discret avec une valeur absolue telle que

(i) la valeur absolue est discrète;

(ii) le hensélisé est séparablement factoriel (c'est le cas par exemple si $k$ est pseudofactoriel);

(iii) le corps résiduel satisfait la condition P.

Si $E$ est une extension finie séparable de $k$, toute valeur absolue sur $E$ qui prolonge celle sur $k$ satisfait les points (i), (ii) et (iii).

*Démonstration.* Soient $\tilde{E}$ le hensélisé de $E$ et $\tilde{k}$ le hensélisé de $k$. Nous pouvons supposer que $\tilde{k} \subseteq \tilde{E}$. On prend un $\alpha \in E$ tel que $E = k(\alpha)$. Comme $\tilde{k}$ est séparablement factoriel, $\tilde{k}(\alpha)/\tilde{k}$ est de dimension finie, donc $\tilde{k}(\alpha)$ est hensélien d'après le théorème 7.4. Par suite $\tilde{k}(\alpha) = \tilde{E}$. Donc $\tilde{E}$ est séparablement factoriel d'après le théorème VII.2.4, donc (ii) est satisfait. Comme les groupes de valeurs et les corps résiduels de $E$ et $\tilde{E}$ sont les mêmes, les points (i) et (iii) sont vérifiés d'après le théorème 8.1. ■

**Théorème 8.5.** Soit $k$ un corps avec une valeur absolue qui satisfait les hypothèses du théorème 8.4. Soit $E$ une extension séparable de dimension $n$ de $k$. Alors il y a un nombre fini $s$ de valeurs absolues sur $E$ qui prolongent la valeur absolue sur $k$. Notons $E_1, \dots, E_s$ le corps $E$ muni de ces valeurs absolues. Alors $e(E_i/k)$ et $f(E_i/k)$ sont définis et l'on a

$$n = \sum_{i=1}^{s} e(E_i/k) f(E_i/k).$$

*Démonstration.* Le théorème 7.5 construit les valeurs absolues sur $E$ (en nombre fini égal à $s$). On a $e(\tilde{E}_i/\tilde{k})f(\tilde{E}_i/\tilde{k}) = n_i = [\tilde{E}_i : \tilde{k}]$ d'après le théorème 8.1, et $n = \sum n_i$ d'après le théorème 7.5. Enfin le hensélisé ne change ni le groupe de valeurs ni le corps résiduel. ■

Exercice

1. Calculer $e$ et $f$ pour les extensions de la valeur absolue 5-adique sur $\mathbb{Q}$ pour l'extension $\mathbb{Q}[X]/(X^3 - 2)$. Vérifier le théorème 8.5 dans ce cas.

# 9 Notes

Pour un traitement plus complet de la théorie constructive des nombres réels et des espaces métriques la lectrice peut consulter [Bishop 1967] et [Bishop-Bridges 1985].

La théorie des valeurs absolues joue un rôle central dans la théorie des corps d'un point de vue constructif. L'étude des corps munis d'une valeur absolue
fournit un mélange intéressant de constructions discrètes, purement algébriques, combinées avec des constructions analytiques comme le complété d'un corps.

Bien que la théorie algébrique des nombres est généralement ressentie comme essentiellement constructive dans sa forme classique, même les auteurs qui attachent une attention particulière aux aspects constructifs de la théorie emploient des techniques hautement non constructives qui annulent leurs efforts. Par exemple, dans l'ouvrage [Borevich et Shafarevich 1966], les auteurs supposent que tout polynôme peut être décomposé en un produit de facteurs irréductibles (tout corps est factoriel), et qu'étant donné un sous-ensemble non vide des entiers naturels, on peut trouver son plus petit élément.

La définition d'une valeur absolue généralisée sur un corps a été adoptée par Staples (1971) dans son traitement constructif des valeurs absolues, et la démonstration du théorème 1.8 se trouve dans cet article. Le problème ici est que nous ne pouvons pas en général décider si $vx \le vy$ ou $vy \le vx$, ni si $vx$ est nul. Notre démonstration du théorème 1.1 est prise dans [Weiss 1963, Proposition 1-1-8]. Les deux dernières affirmations de notre démonstration du théorème 1.2 viennent de [Weiss 1963, Theorem 1-1-4].

La notion d'un corps pseudofactoriel est purement constructive et n'a pas de contrepartie classique (tout corps muni d'une valeur absolue est pseudofactoriel en mathématiques classiques). Cependant, cette notion nous donne exactement l'information requise pour construire une racine d'un polynôme, ou (sinon) pour éloigner ce polynôme de 0, dans le complété du corps (corolaire 3.2). La démonstration du corolaire 3.3 qui utilise le nombre de tours provient de [Brouwer-de Loor 1924]. Le théorème 3.4 montre que nous avons beaucoup de corps pseudofactoriels. Le corolaire 3.5 montre comment factoriser des polynômes séparables dans la clôture séparable ou la clôture algébrique d'un corps pseudofactoriel dans son complété. Par exemple, nous pouvons factoriser les polynômes sur les nombres algébriques *p*-adiques.

Notre démonstration du théorème de Gelfand-Tornheim provient de [Artin 1967, page 24].

Le lemme de Hensel un peu compliqué de la section 4 est une modification de [Artin 1967]. Les hypothèses du lemme sont légèrement affaiblies en ne réclamant pas que le terme dominant de $\varphi$ ait la même valeur absolue que $\varphi$ (on ne réclame pas $s = 1$), ceci en vue de traiter les situations où nous ne pouvons pas déterminer quels coefficients d'un polynôme ont une valeur absolue maximale, et nous devons traiter quelques particularités d'un point de vue constructif. La définition de *hensélien*, quand $s = 1$, est la conclusion du lemme de Hensel donné dans [Artin 1967, theorem 5]. Le théorème essentiel est le théorème 6.13 qui affirme qu'un corps discret avec une valeur absolue ultramétrique satisfait la conclusion du lemme de Hensel exactement quand il est séparablement clos dans son complété.

La construction de la valeur absolue dans le théorème 7.3 provient de
[O'Meara 1963, Theorem 14:1].
Notez qu’un sous-ensemble non vide détachable d’un ensemble de Dedekind est un ensemble de Dedekind.

Soit $S$ un ensemble de Dedekind de valeurs absolues sur un corps de Heyting $k$. Si $p \in S$, alors, comme $p$ est ultramétrique, l’ensemble $R(p) = \{ x \in k : |x|_p \le 1 \}$ est un anneau, qui est local parce que $p$ est discrète. L’anneau $R(p)$ est appelé l’**anneau local en p**. Les éléments de l’anneau $\bigcap_{p \in S} R(p)$ sont appelés les éléments **entiers de S**. Un anneau est appelé un **domaine de Dedekind** si c’est l’anneau des entiers d’un ensemble de Dedekind de valeurs absolues sur un corps de Heyting.

**Théorème 1.2.** *L'anneau des entiers d'un ensemble de Dedekind $S$ de valeurs absolues sur un corps de Heyting $k$ est détachable dans $k$.*

*Démonstration.* Soit $x \in k$. On a un sous-ensemble fini $T$ de $S$ tel que $|x|_p \le 1$ pour toute $p \in S \setminus T$. Alors $x$ est un entier de $S$ si, et seulement si, $|x|_p \le 1$ pour les $p$ dans l'ensemble fini $T$ de valeurs absolues discrètes. ■

Étant données des valeurs absolues inéquivalentes $|_1, \dots, |_n$ sur $k$ et des éléments $x_1, \dots, x_n \in k$, nous sommes intéressés par la construction d'un élément de $k$ qui approche simultanément chaque $x_i$ pour la valeur absolue $|_i$. Nous avons tout d'abord le lemme suivant.

**Lemme 1.3.** *Soient $|_1, \dots, |_n$ des valeurs absolues inéquivalentes non triviales sur un corps de Heyting $k$. Alors il existe un $x \in k$ tel que $|x|_1 > 1$, et $|x|_i < 1$ pour $i \ne 1$.*

*Démonstration.* Si $n=1$, alors, comme $|_1$ est non triviale, il y a un $x \in k$ tel que $|x|_1 > 1$. Si $n=2$, alors, comme $|_1$ et $|_2$ sont des valeurs absolues inéquivalentes non triviales, il existe un $x \in k$ tel que $|x|_1 < 1$ et $|x|_2 > 1$. Pour $n>2$, nous procédons par récurrence. Nous supposons que nous avons un $y \in k$ tel que $|y|_1 > 1$, et $|y|_i < 1$ pour $2 \le i < n$. Nous prenons un $z \in k$, d'après le cas $n=2$, tel que $|z|_1 > 1$ et $|z|_n < 1$, et nous prenons $m$ assez grand pour que $|y^m|_i |z|_i < 1$ pour $2 \le i < n$. Comme $|z_n^{-1}| > 1$, $|y^m|_n > 1$ ou $|y^m|_n < |z_n^{-1}|$. Dans ce dernier cas, $|y^m z|_n < 1$, donc $x = y^m z$ est l'élément voulu. Dans le premier cas, on pose $x_m = zy^m/(1+y^m)$. La suite des $|x_m|_i$ converge vers $|z|_i$ si $i=1$ ou $n$, et converge vers 0 sinon. On prend $x = x_m$ avec $m$ suffisamment grand pour que $|x_m|_1 > 1$ et $|x_m|_i < 1$ pour $2 \le i \le n$. ■

Nous notons $k_p$ le corps $k$ avec la métrique associée à la valeur absolue $|_p$. Le théorème suivant dit que la diagonale est dense dans le produit $\prod_p k_p$.

**Théorème 1.4** (théorème d'approximation faible). *Soient $|_1, \dots, |_n$ des valeurs absolues inéquivalentes non triviales sur un corps de Heyting $k$, $x_1, \dots, x_n$ des éléments de $k$, et un $\varepsilon > 0$. Il existe $x \in k$ tel que $|x - x_i|_i < \varepsilon$ pour tout $i$.*
**Démonstration.** Le lemme 1.3 construit pour chaque $i$ un $y_i \in k$ tel que $|y_i|_i > 1$ et $|y_i|_j < 1$ si $j \neq i$. Pour $m \in \mathbb{N}$, on définit

$$z_{i,m} = y_i^m x_i / (1 + y_i^m).$$

Alors $\lim_{m \to \infty} |z_{i,m} - x_i|_i = 0$, et $\lim_{m \to \infty} |z_{i,m}|_j = 0$ si $j \neq i$. On pose
$$z_m = \sum_{i=1}^n z_{i,m}.$$

Si $m$ est suffisamment grand, $|z_m - x_i|_i < \varepsilon$ pour tout $i$. ■

**Théorème 1.5** (théorème d'approximation forte). Soit $T$ un sous-ensemble fini d'un ensemble de Dedekind $S$ sur un corps de Heyting $k$. Soit $\varepsilon > 0$, et pour tout $p \in T$ soit $x_p \in k$. Alors il existe un $y \in k$ tel que

(i) $|y - x_p|_p < \varepsilon$ pour tout $p \in T$,

(ii) $|y|_q \le 1$ pour tout $q \in S \setminus T$.

**Démonstration.** On peut supposer $\varepsilon \le 1$. Pour chaque $p \in T$, il y a seulement un nombre fini de $q \in S$ tels que $|x_p|_q > 1$. Pour chaque $p \in T$ et $q \in S \setminus T$ tel que $|x_p|_q > 1$, on ajoute $q$ à $T$ et on définit $x_q = 0$. Nous pouvons alors supposer que $|x_p|_q \le 1$ pour tous $p \in T$ et $q \in S \setminus T$.

Fixons $p \in T$. Pour chaque $q \in T \setminus \{p\}$, on a, d'après la définition 1.1(ii), un élément de $k$ qui est un entier de $S$, qui est proche de 1 en $p$, et qui est proche de 0 en $q$. Soit $y_p$ le produit de ces éléments (le produit vide est égal à 1). Les éléments $y_p$ sont proches de 1 en $p$ et proches de 0 en les valeurs absolues $q \in T \setminus \{p\}$. Enfin, on prend $y = \sum_{p \in T} y_p x_p$; donc $|y|_q \le 1$ pour chaque $q \in S \setminus T$, et $y$ est proche de $x_p$ en $p$. ■

Le théorème d'approximation forte nous permet d'écrire les éléments de $k$ comme quotients d'entiers de $S$.

**Théorème 1.6.** Soit $S$ un ensemble de valeurs absolues sur un corps de Heyting $k$, et soit $R$ l'ensemble des entiers de $S$. Alors tout élément de $k$ est un quotient d'éléments de $R$, et $R$ est intégralement clos dans $k$.

**Démonstration.** Soit $x \in k$. D'après la définition 1.1(i), on a un sous-ensemble fini $T$ de $S$ tel que $|x|_q \le 1$ pour chaque $q \in S \setminus T$. Si $|x|_p \le 1$ pour toute $p$ dans l'ensemble fini $T$, alors $x \in R$, donc nous pouvons supposer que $x \neq 0$. Comme les valeurs absolues dans l'ensemble fini $T$ sont discrètes, nous pouvons supposer que $|x|_p > 1$ pour toute $p \in T$.

D'après le théorème 1.5, on a un $y \in k$ tel que

$$|y - x^{-1}|_p < \min\{|x^{-1}|_p : p \in T\} < 1$$

pour toute $p \in T$, et $|y|_q \le 1$ pour toute $q \in S \setminus T$. Comme $|y - x^{-1}|_p < |x^{-1}|_p$ pour toute $p \in T$, et comme $|y|_p$ est ultramétrique, on a $|y|_p = |x^{-1}|_p < 1$
pour toute $p \in T$. En particulier, $y \in R$. Si $p \in T$, alors $|xy|_p = |x|_p|y|_p = |x|_p|x^{-1}|_p = 1$, et si $q \in S \setminus T$, alors $|xy|_q \le 1$. Donc $xy \in R$, et $x = (xy)y^{-1}$ est un quotient d'éléments de $R$.

Enfin, comme les valeurs absolues dans $S$ sont ultramétriques, tout élément de $k$ qui annule un polynôme unitaire de $R[X]$ est dans $R$. $\blacksquare$

Exercices

1. Soit $S$ l'ensemble des valeurs absolues $p$-adiques sur $\mathbb{Q}$. Montrer que l'anneau des entiers de $S$ est $\mathbb{Z}$. Quel est l'anneau des entiers si $S = \{3\}$ ?

2. Vérifier que si $|p|$ est une valeur absolue discrète, alors $\{x : |x| \le 1\}$ est un anneau local.

3. Compléter $\mathbb{Q}$ pour la valeur absolue $p$-adique pour démontrer qu'un domaine de Dedekind n'est pas nécessairement discret.

4. **Théorème des restes chinois.** Utiliser le théorème d'approximation forte pour démontrer que si $a_1$ et $a_2 \in \mathbb{Z}$ sont étrangers, et $b_1$ et $b_2 \in \mathbb{Z}$, alors il existe $x \in \mathbb{Z}$ congruent à $b_i$ modulo $a_i$ pour $i = 1, 2$.

2 Théorie des idéaux

Dans cette section, $k$ est un corps de Heyting, $S$ un ensemble de Dedekind de valeurs absolues sur $k$, et $R$ le domaine de Dedekind correspondant.

Un **idéal fractionnaire** est un sous-$R$-module non nul $A$ de $k$ tel que $|A|_p = \max\{|x|_p : x \in A\}$ existe pour toute valeur absolue $p \in S$, et est égal à 1 pour toutes les $p \in S$ sauf peut-être pour un nombre fini d'entre elles. Autrement dit, pour chaque $p \in S$, il existe un $x(p) \in A$ tel que $|y|_p \le |x(p)|_p$ pour tout $y \in A$, et $|x(p)| = 1$ pour $p$ en dehors d'un sous-ensemble fini de $S$.

**Théorème 2.1.** *Un sous-$R$-module non nul de type fini de $k$ est un idéal fractionnaire.*

*Démonstration.* Soit $A$ un sous-$R$-module non nul de $k$ engendré par $a_1, \dots, a_n$. Comme $k$ est un corps de Heyting, l'un des $a_i$ est non nul, et si $a_i \ne 0$, alors ou bien $a_j \ne 0$, ou bien $a_i + a_j \ne 0$; nous pouvons donc supposer que les $a_i$ sont tous non nuls. Supposons que $a = \sum_{i=1}^n r_i a_i$ est un élément de $A$, et que $p \in S$. Comme $|p|$ est ultramétrique, $|a|_p = \left|\sum_{i=1}^n r_i a_i\right|_p \le \max|r_i a_i|_p \le \max|a_i|_p$. Comme chaque $|p|$ est discrète, l'élément $|A|_p = \max\{|a_i|_p : i = 1, \dots, n\}$ existe. On prend un sous-ensemble fini $T$ de $S$ tel que $|a_i|_p = 1$ pour $p \in S \setminus T$ et $i = 1, \dots, n$. Alors $|A|_p = 1$ si $p \in S \setminus T$. $\blacksquare$

Nous montrerons plus loin qu'inversement, tout idéal fractionnaire non nul est engendré comme $R$-module par deux éléments.
Soient $A$ et $B$ des idéaux fractionnaires. On définit la somme de $A$ et $B$ par $A+B = \{a+b : a \in A \text{ et } b \in B\}$, et le produit de $A$ et $B$ comme l'ensemble $AB$ des sommes finies d'éléments de la forme $ab$, avec $a \in A$ et $b \in B$.

**Théorème 2.2.** Soient $A$ et $B$ des idéaux fractionnaires. Alors $A+B, AB$ et $A \cap B$ sont des idéaux fractionnaires avec les propriétés suivantes :

$$(i) \quad |A+B|_p = \max(|A|_p, |B|_p),$$

$$(ii) \quad |AB|_p = |A|_p|B|_p \text{ et}$$

$$(iii) \quad |A \cap B|_p = \min(|A|_p, |B|_p)$$

pour toute valeur absolue $p \in S$.

*Démonstration.* Comme $\max(1,1) = \min(1,1) = 1 \times 1$, si l'on démontre les égalités voulues pour toute $p \in S$, on voit que la seconde propriété définissant les idéaux fractionnaires est bien satisfaite par les $R$-modules considérés.

On a un $a \in A$ et un $b \in B$ tels que $|A|_p = |a|_p$ et $|B|_p = |b|_p$. Comme $|a|_p$ est discrète, les valeurs absolues $|a|_p$ et $|b|_p$ sont comparables, et nous pouvons supposer que $|A|_p \le |B|_p$.

Tout d'abord $|x|_p \le \max(|a'|_p, |b'|_p) \le \max(|A|_p, |B|_p) = |b|_p$ pour tout $x = a' + b' \in A+B$. Par ailleurs $b \in A+B$, donc $|b|_p$ est atteint pour un $x \in A+B$. Donc $A+B$ est un idéal fractionnaire avec $|A+B|_p = \max(|A|_p, |B|_p)$.

Pour $x \in AB$, on a $|x|_p \le |ab|_p = |A|_p|B|_p$ parce que la valeur absolue $|a|_p$ est multiplicative et ultramétrique, donc (ii) est valide et $AB$ est un idéal fractionnaire avec $|AB|_p = |A|_p|B|_p$.

Si $x \in A \cap B$, alors clairement $|x|_p \le \min(|A|_p, |B|_p)$, donc il suffit de construire un élément $x$ de $A \cap B$ tel que $|x|_p = \min(|A|_p, |B|_p)$. Or l'ensemble

$$T = \{p\} \cup \{q \in S : |a/b|_q < 1\}$$

est fini ; donc, d'après le théorème 1.5, il existe un $y \in k$ tel que $|y|_p = |a/b|_p \le 1$, et $|y|_q \le \min(1, |a/b|_q)$ pour toute $q \in S$. Cette dernière inégalité implique $yb/a \in R$, donc $yb \in A$, et aussi $y \in R$, donc $yb \in B$. Mais $\min(|A|_p, |B|_p) = |A|_p = |a|_p = |yb|_p$, donc $x = yb$ est l'élément cherché. $\blacksquare$

Un idéal fractionnaire $A$ est complètement déterminé par les valeurs absolues $|A|_p$.

**Théorème 2.3.** Soient $A$ et $B$ des idéaux fractionnaires.

$$(i) \text{ On a } A = \{x \in k : |x|_p \le |A|_p \text{ pour toute } p \in S\}.$$

$$(ii) \text{ On a } A \subseteq B \text{ si, et seulement si, } |A|_p \le |B|_p \text{ pour toute } p \in S.$$

*Démonstration.* Il suffit de démontrer (i). Soit $x \in k$ tel que $|x|_p \le |A|_p$ pour toute $p \in S$. On prend un élément non nul $z \in A$ et on considère $xz^{-1}$. Comme $|xz^{-1}|_p \le 1$ en dehors d'un ensemble fini et comme $|p|$ est discrète, ou bien
$xz^{-1} \in R$, et alors $x = (xz^{-1})z \in A$, ou bien $xz^{-1} \neq 0$, et alors $x \neq 0$. Nous pouvons donc supposer que $x \neq 0$.

En remplaçant $A$ par $x^{-1}A$, il suffit de démontrer que $1 \in A$ si $A$ est un idéal fractionnaire tel que $|A|_p \geq 1$ pour toute $p \in S$. En remplaçant $A$ par $R \cap A$, et en utilisant le théorème 2.2, il revient au même de démontrer que $1 \in A$ si $A$ est un idéal fractionnaire contenu dans $R$ avec $|A|_p = 1$ pour toute $p \in S$.

Soit $z$ un élément non nul de $A$. D'après la définition 1.1(i), on a un sous-ensemble fini $T$ de $S$ tel que $|z^{-1}|_q \leq 1$ pour $q \in S \setminus T$. Comme $z \in A \subseteq R$, on a $|z|_q = 1$ pour tout $q \in S \setminus T$. Si $|z|_p = 1$ pour tout $p \in T$, alors $z^{-1} \in R$, donc $1 \in A$. Ainsi, comme $T$ est fini et comme les valeurs absolues $|\cdot|_p$ sont discrètes, nous pouvons supposer que $T$ est non vide et que $|z|_p < 1$ pour toute $p \in T$.

Pour chaque $p \in T$, on prend un $x_p \in A$ tel que $|x_p|_p = 1$. Comme $|z|_q = 1$ en dehors d'un ensemble fini, le théorème 1.5 dit qu'il existe un $y_p \in k$ tel que $|y_p - x_p^{-1}|_p \leq |z|_p < 1$, et $|y_p|_q \leq |z|_q \leq 1$ pour toute $q \in S \setminus \{p\}$. Comme $|x_p^{-1}|_p = 1$, et comme $|\cdot|_p$ est ultramétrique, on a $y_p \in R$. Si $q \in T$, alors

$$ 
\begin{aligned}
\left|1 - \sum_{p \in T} x_p y_p\right|_q &= \left|(1 - x_q y_q) - \sum_{p \in T \setminus \{q\}} x_p y_p\right|_q \\
&\leq \max(|1 - x_q y_q|_q, \max\{|y_p|_q : p \in T \setminus \{q\}\}) \\
&\leq \max(|x_q (x_q^{-1} - y_q)|_q, |z|_q) = |z|_q,
\end{aligned}
$$

et si $q \in S \setminus T$, alors

$$ \left|1 - \sum_{p \in T} x_p y_p\right|_q \leq 1 = |z|_q. $$

Ainsi $(1 - \sum_{p \in T} x_p y_p)z^{-1} \in R$, donc $1 - \sum_{p \in T} x_p y_p \in zR \subseteq A$. Mais $x_p y_p \in A$, donc $1 \in A$. ■

**Corolaire 2.4.** Si $A \subseteq B$ sont des idéaux fractionnaires, $A$ est détachable dans $B$. Donc tout domaine de Dedekind discret est fortement discret.

*Démonstration.* Si $x \in B$, alors le théorème 2.3 dit que $x \in A$ si, et seulement si, $|x|_p \leq |A|_p$ pour toute $p \in S$. On a un sous-ensemble fini $T$ de $S$ tel que $|A|_p = |B|_p = 1$ pour $p \in S \setminus T$. Donc $x \in A$ si, et seulement si, $|x|_p \leq |A|_p$ pour toute $p \in T$, ce qui est décidable.

En prenant $B = R$, on voit que $R$ est fortement discret. ■

Nous pouvons maintenant démontrer que les idéaux fractionnaires sont de type fini.
**Théorème 2.5.** Pour toute $p \in S$, choisissons un élément $d_p$ du groupe de valeurs de $|\cdot|_p$, avec la condition que $d_p = 1$ en dehors d'un sous-ensemble fini de $S$. Soit $A = \{x \in k : |x|_p \le d_p$ pour toute $p \in S\}$. Alors $A \ne 0$, et si y est un élément non nul de $A$, il existe un $x \in A$ non nul tel que $A$ est engendré par $x$ et $y$ comme $R$-module. De plus, $|A|_p = d_p$ pour chaque $p \in S$.

**Démonstration.** D'après le théorème 1.5, il y a un $y$ non nul dans $A$. Soit $T$ un sous-ensemble fini de $S$ tel que $|y|_p = d_p = 1$ pour les $p \in S \setminus T$. D'après le théorème 1.5, il existe un $x \in k$ tel que

(i) $|x|_p = d_p$ pour toute $p \in T$;

(ii) $|x|_q \le 1$ pour toute $q \in S \setminus T$.

Soit $B$ le sous-module de $A$ engendré par $x$ et $y$. Alors

$$|B|_p = \max(|x|_p, |y|_p) = d_p \text{ pour toute } p \in S,$$

donc $|A|_p = |B|_p$ pour toute $p \in S$, puis $A = B$ d'après le théorème 2.3. ■

Soit $I$ l'ensemble des fonctions $a: S \to \mathbb{Z}$ telles que $a(p) = 0$ en dehors d'un ensemble fini (qui dépend de $a$). Alors $I$ est le groupe abélien libre sur l'ensemble $S$. Soit $g_p$ le générateur du groupe de valeurs de $|\cdot|_p$ dont la valeur absolue est $< 1$. On considère l'application $\varphi$ depuis le monoïde des idéaux fractionnaires (pour la multiplication) vers $I$, définie en envoyant $A$ sur la fonction $a$ telle que $|A|_p = g_p^{a(p)}$. Le théorème 2.2(ii) dit que $\varphi$ est un homomorphisme, le théorème 2.3 dit qu'il est injectif, et le théorème 2.5 dit qu'il est surjectif. De plus, si $\varphi(A) \ne \varphi(B)$, alors $A \ne B$ comme sous-ensembles de $k$; i.e. ou bien il existe un élément $x \in A$ tel que $x \ne y$ pour tout $y \in B$, ou bien il existe un élément $y \in B$ tel que $y \ne x$ pour tout $x \in A$.

La base naturelle du groupe abélien libre $I$ sur $S$ est donnée par les fonctions $\delta_p$ qui vérifient $\delta_p(p) = 1$ et $\delta_p(q) = 0$ pour $q \ne p$. Les idéaux fractionnaires correspondants $M_p$ sont des idéaux maximaux de $R$, car si $x \in R$ avec $|x|_p < 1$, alors on a $x \in M_p$, tandis que si $|x|_p = 1$, alors l'idéal $A$ de $R$ engendré par $x$ et $M_p$ vérifie $|A|_q = 1$ pour tout $q \in S$, donc est égal à $R^1$.

Exercices

1. Montrer que tout idéal fractionnaire est détachable dans $k$. Construire un exemple brouwerien d'un sous-module de type fini de la complétion $p$-adique de $\mathbb{Q}$ qui n'est pas détachable.

<footnote n="1">1. **NdT.** La structure du groupe multiplicatif des idéaux fractionnaires de $k$ est donc l'analogue exact de celle du groupe multiplicatif des nombres rationnels $> 0$. Et pour le sous-monoïde des idéaux entiers, le théorème de décomposition unique en facteurs premiers est vérifié, comme pour un anneau principal à factorisation unique. Cependant, comme un anneau principal n'est pas nécessairement à factorisation unique, ce n'est pas non plus nécessairement un domaine de Dedekind.</footnote>
2. Montrer qu'un domaine de Dedekind discret est un anneau de Lasker-Noether intégralement clos dans lequel tout idéal premier propre non nul est maximal.

# 3 Extensions finies

Nous sommes intéressés par les valeurs absolues discrètes $p$ sur un corps discret $k$ qui satisfont la propriété suivante, triviale en mathématiques classiques.

**Propriété 3.1.** Le hensélisé $\bar{k}_p$ est séparablement factoriel, et le corps résiduel $\bar{k}_p$ satisfait la condition P.

Soit $p$ une valeur absolue discrète sur $k$ qui satisfait la propriété 3.1, et soit $E$ une extension finie séparable de $k$. Alors les théorèmes XII.8.4 et XII.8.5 disent que toute valeur absolue sur $E$ qui prolonge $p$ est discrète, et que l'ensemble de ces valeurs absolues est fini.

Les valeurs absolues $p$-adiques sur $\mathbb{Q}$ satisfont la propriété 3.1. Les corps de nombres de la théorie des nombres algébriques sont des extensions de dimension finie de $\mathbb{Q}$, et ils sont munis d'ensembles de Dedekind de valeurs absolues de la manière suivante.

**Théorème 3.2.** Soit $k$ un corps discret et $S$ un ensemble de Dedekind de valeurs absolues sur $k$, chacune d'entre elles satisfaisant la propriété 3.1. Soit $E$ une extension séparable de dimension finie de $k$, et soit $S'$ l'ensemble des valeurs absolues sur $E$ qui prolongent une valeur absolue de $S$. Alors $S'$ est un ensemble de Dedekind de valeurs absolues sur $E$.

*Démonstration.* Nous montrons d'abord que l'ensemble $S'$ est discret. Soient $P$ et $Q \in S'$. Si $P$ et $Q$ prolongent des valeurs absolues distinctes de $S$, alors elles sont distinctes. Supposons maintenant que $P$ et $Q$ prolongent la même valeur absolue $p \in S$. D'après le théorème XII.7.5, l'ensemble des valeurs absolues de $S'$ qui prolongent $p$ est fini, donc $P = Q$ ou $P \neq Q$.

Le fait que toute valeur absolue de $S'$ est discrète se trouve dans le théorème XII.8.4.

Étant donné $x \in E$, nous devons construire un sous-ensemble fini $T'$ de $S'$ tel que $|x|_p \le 1$ pour toute $P \in S' \setminus T'$. Comme $E$ est une extension de dimension finie de $k$, le théorème VI.1.13 dit qu'il existe un polynôme irréductible $f(X) = X^n + a_1X^{n-1} + \cdots + a_n \in k[X]$ tel que $f(x) = 0$. Soit $T$ un sous-ensemble fini de $S$ tel que $|a_i|_p \le 1$ pour chaque $i$ et chaque $p \in S \setminus T$. Soit $T'$ le sous-ensemble fini de $S'$ formé par les valeurs absolues sur $E$ qui prolongent les éléments de $T$. Si $P \in S' \setminus T'$, alors $|a_i|_P \le 1$, donc $|x|_P \le 1$ car $P$ est ultramétrique.

Enfin, nous montrons que si $P$ et $P'$ sont des valeurs absolues distinctes dans $S'$ et si $\varepsilon > 0$, il existe un $x \in E$ tel que $|1 - x|_P$ et $|x|_{P'}$ sont $< \varepsilon$.
et $|x|_Q \le 1$ pour les $Q \in S' \setminus \{P, P'\}$. Soient $P$ et $P'$ qui prolongent $p$ et $p' \in S$
respectivement. Si $p \ne p'$, alors, comme $S$ est un ensemble de Dedekind, on a
un $x \in k$ qui satisfait les propriétés requises. Supposons maintenant que $p = p'$.
Nous pouvons supposer $\varepsilon \le 1$. Soit $S'_p$ l'ensemble fini des valeurs absolues
sur $E$ qui prolongent $p$. D'après le théorème 1.4, il existe un $y \in E$ tel que
$|y|_Q < \varepsilon$ pour toute $Q \in S'_p \setminus \{P\}$ et $|y - 1|_P < \varepsilon$; par conséquent, $|y|_Q \le 1$
pour toute $Q \in S'_p$. D'après le paragraphe précédent, on a un sous-ensemble
fini $T'$ de $S'$, disjoint de $S'_p$, tel que $|y|_Q \le 1$ pour toute $Q \in S' \setminus T'$. Soit $T$ le
sous-ensemble fini de $S$ des valeurs absolues qui ont un prolongement dans $T'$.
Alors $p \notin T$, et, d'après le théorème 1.5, on a un $x \in k$ tel que $|x|_q \le |y|_Q^{-1}$
pour toute $Q$ qui prolonge $q \in T$, $|1-x|_p < \varepsilon$, et $|x|_q \le 1$ pour toute $q \in S \setminus T$.
Alors $|xy|_Q = |x|_Q|y|_Q \le 1$ pour toute $Q \in S'$, $|1-xy|_P = |1-y+(1-x)y|_P < \varepsilon$
et $|xy|_{P'} < \varepsilon$. $\blacksquare$

Soit $R$ un domaine de Dedekind discret et $k$ son corps de fractions. Soit $E$ une extension séparable de dimension finie de $k$. Si les valeurs absolues qui définissent $R$ satisfont la propriété 3.1, le théorème 3.2 montre comment construire un domaine de Dedekind avec $E$ pour corps de fractions. Nous donnons maintenant une caractérisation purement algébrique de ce domaine de Dedekind.

**Théorème 3.3.** Soit $E$ une extension séparable de dimension finie d'un corps discret $k$. Soit $S$ un ensemble de Dedekind de valeurs absolues sur $k$ qui satisfont la propriété 3.1. Soit $S'$ l'ensemble de Dedekind sur $E$ formé par les valeurs absolues qui prolongent une valeur absolue de $S$. Pour tout élément $x \in E$, les propriétés suivantes sont équivalentes.

(i) $x$ est un entier de $S'$.

(ii) $x$ annule un polynôme irréductible unitaire à coefficients dans $R$.

(iii) $x$ est entier sur $R$.

*Démonstration.* Clairement (ii) implique (iii), tandis que (iii) implique (i) parce que toute valeur absolue de $S'$ est ultramétrique et prolonge une valeur absolue de $S$.

Montrons que (i) implique (ii). Soit $\alpha \in E$ un entier de $S'$. Comme $E$ est de
dimension finie, le théorème VI.1.13 dit que $\alpha$ annule un polynôme irréductible
$f(X) = X^n + a_1X^{n-1} + \cdots + a_n \in k[X]$. Ainsi $k[\alpha]$ est une extension de
dimension finie de $k$, et nous pouvons supposer que $k[\alpha] = E$. Il suffit de
démontrer que $|a_i|_p \le 1$ pour toute $p \in S$ et tout $i$. Soit $p \in S$, et soit $\tilde{k}_p$
le hensélisé de $k$ en $p$. Comme $E$ est séparable, le polynôme $f$ est séparable.
Comme $p$ satisfait la propriété 3.1, le corps $\tilde{k}_p$ est séparablement factoriel, donc
le corolaire VII.2.5 dit qu'on a un corps de décomposition $K_p$ pour $f$ sur $\tilde{k}_p$.
Soient $r_1, \dots, r_n$ les racines de $f \in K_p$, et soit $P$ l'unique extension de la valeur
absolue $p$ à $K_p$ obtenue par le théorème XII.7.3. On définit des monomorphismes
$\sigma_i: E \to K_p$ pour $i = 1, \dots, n$, en posant $\sigma_i x = r_i$. D'après le théorème XII.7.5, chaque valeur absolue $|\cdot|$ sur $E$ qui prolonge $p$ est de la forme $|y| = |\sigma_i y|_P$ pour un $i$. Comme $|x|_Q \le 1$ pour toute $Q \in S'$, on obtient $|r_i|_P \le 1$ pour $i = 1, \dots, n$. Les coefficients de $f(X)$ sont des polynômes symétriques en les racines $r_j$, et comme $P$ est ultramétrique, on a $|r_i|_P \le 1$ pour tout $i$. Or $r_i \in k$, donc $|r_i|_P = |r_i|_P \le 1$. ■
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Index des termes

abélien

monoïde —, 35

acyclique

relation —, 28

additif

monoïde —, 35

adjacents

mots —, 248

adjointe

matrice —, 69

admettre des corps de décomposition, 201

AFU, 113

quasi- —, 109

algèbre, 196, 229

d'un monoïde, 59

de présentation finie, 196

des quaternions, 232

homomorphisme d'—s, 229

simple, 234

algébrique

clôture —, 152

extension —, 139

nombre —, 187

algébriquement

dépendants, 144

indépendants, 144

algébriquement clos

corps —, 152

algorithme, 29

d'Euclide, 62

alternant

polynôme —, 75

anneau, 41

à division, 41

à factorisation bornée, 109

à factorisation unique, 113

à pgcd intègre, 108

cohérent, 81

commutatif, 41

de Bézout intègre, 115

de Dedekind-Hasse, 117

de fractions, 84

de Lasker-Noether, 218

de polynômes, 59

de Rees, 199

de valuation, 129

d'un corps discret, 320

des endomorphismes, 41, 64

des séries formelles, 63

euclidien, 117

factoriel, 113

fortement discret, 82

impotent, 103, 141

intègre, 42

à pgcd, 108

avec relation de séparation, 62

strictement borné, 121

local, 84, 96

noethérien, 79

opposé (d'un anneau), 57

principal, 115

réduit, 77

trivial, 41

von-Neumann-régulier, 68, 95

appartenir à un

idéal primaire, idéal premier, 206

application

bilinéaire, 87

linéaire, 52

approximation

de la N-boule, 291

approximation faible
théorème d’—, 326
approximation forte
théorème d’—, 327
arbre finitaire, 6
archimédienne
valeur absolue généralisée —, 287
Artin-Rees
lemme d’—, 198
associé
éléments — s dans un monoïde, 107
idéal premier — à un idéal, 214
automorphisme, 18
intérieur, 37
axiome du choix, 14
dénombrable, 14
dépendant, 15
le plus simple du monde, 15, 33
unique (axiome du non-choix), 10, 30
Azumaya
théorème d’—, 96, 97
base
d’un espace vectoriel normé, 298
d’un module libre, 55
de transcendance, 146
métrique, 298
base (libre)
d’un groupe libre, 247
Bézout
anneau de — intègre, 115
domaine de —, 115
bien fondé
ensemble —, 24
relation —e, 24
bien ordonné
ensemble —, 24
bifoncteur, 89
bijection, 10
bilinéaire
application —, 87
bimodule, 52
bloc de Jordan, 136
borne
inférieure, infimum, 20
pour une valeur absolue généralisée,
286

supérieure, supremum, 20
borné
élément — dans un monoïde régulier,
109
ensemble — (en nombre), 11
module S—, 209
profondeur —e, 23
sous-ensemble — d'espace métrique,
291
brouwerien
contre-exemple —, 6
exemple —, 5
Burnside
théorème de —, 235
canonique rationnelle
forme —, 135
caractère d'un monoïde, 170
caractéristique
d'un anneau, 46
fonction —, 13
polynôme —, 70
cardinalité, 10
catégorie, 16
duale, 19
pré-additive, 37
catégorique
coproduit —, 19
produit —, 18
Cayley-Hamilton
théorème de —, 70
centralisateur, 230
centre, 230
chaine, 22
maximale, 22
Church-Rosser
propriété de —, 54, 248
classe
(à droite ou à gauche), 39
classe semirigide, 265
clôture
algébrique, 152
intégrale, 139
parfaite, 164
séparable, 162, 184
coefficient
dominant, 60
cofacteur, 69
cohérent, 81
commutateur
de deux éléments dans un groupe,
253

sous-groupe des —s, 253
commutatif
anneau —, 41
diagramme —, 92
monoïde —, 35

compagne
matrice —, 135

complémentaire, 9

complet
espace métrique —, 50

compétion, complété
d'un corps valorisé, 294
d'un espace métrique, 51

complexe
corps —, 301
nombre —, 50

composante
d — d'un module, 132
primaire d'un module, 134

composition
série de —, 219

concaténation, 36

condition de chaine
ascendante, 23
des diviseurs, 109
descendante, 23

condition P, 185

conjugués
éléments —, 259
sous-groupes —, 260

consistante
fonction génératrice —, 203

contenu d'un polynôme, 122

contre-exemple brouwerien, 6

converge, 50
vers zéro, 48

coproduit
catégorique, 19

corps, 42
algébriquement clos, 152

de décomposition, 151
de définition, 154
de fractions (d'un anneau intègre),
42
de Heyting, 42, 96
de Seidenberg, 185
des nombres algébriques complexes,
187

factoriel, 175

fixe (d'un groupe d'automorphismes),
169

normé, 302

par négation, 45

parfait, 163

pleinement factoriel, 186

premier, 43, 180

pseudofactoriel, 294

résiduel
d'une valeur absolue ultramé-
trique, 292

séparablement factoriel, 175

valorisé, 286
ultramétrique, 292

cotransitivité de a < b, 49

critère d'Eisenstein, 116

cycle, 37

cyclique
groupe —, 38
module —, 56

cycliquement réduit
mot —, 259

décidable, 7
décomposable
idéal —, 214

décomposition
corps de —, 151
primaire, 214

décomposition bornée
monoïde à —, 109

Dedekind
domaine de —, 326
ensemble de — (de valeurs absolues),
325

Dedekind-Hasse
anneau de —, 117
fonction de —, 117
Dedekind-infini
ensemble —, 13
degré
d'un polynôme, 59
de transcendance, 146
résiduel, 318
dénombrable
axiome du choix —, 14
ensemble —, 11
groupe libre de rang —, 250
densité
théorème de —, 233
dépendants
vecteurs —, 67
dérivé
sous-groupe —, 253
dérivée (formelle), 153
détachable
sous-ensemble —, 9
déterminant, 68
DH-anneau, 121
diagonale
matrice —, 127
diagonalisable, 136
diagramme
commutatif, 92
dimension
d'un espace vectoriel, 66
dimension finie
espace vectoriel de —, 66
direct
facteur —, 57
limite —e, 19, 164
système —, 19
discret
ensemble —, 9
discrète
valeur absolue ultramétrique —, 292
distance, 50
distributif
treillis —, 20, 23
distributivité
loi de —, 41
divise, diviser, 62, 107, 113
diviseur, 62

de zéro, 230
élémentaire, 134
divisible
enveloppe —, 269
groupe abélien —, 268
division
algèbre à —, 231
algorithme de —, 60
domaine
d'intégrité, 42
de Bézout, 115
de Dedekind, 326
dominant
coefficient —, 60
droite
inverse à —, 36
Eisenstein
critère d'—, 116
élément primitif
de *E* sur *k*, 157
élémentaire
matrice —, 65
polynôme symétrique —, 72
endomorphisme, 18
ensemble, 7
bien fondé, 24
bien ordonné, 24
avec successeurs, 279
Dedekind-infini, 13
dénombrable, 11
des parties, 8
discret, 9
fini, 11, 31
finiment énumérable, 11
infini, 11
ω-borné, 13
(partiellement) ordonné, 20
morphisme entre —s, 20
projectif, 15
sous-fini, 31
totalement ordonné, 22
entier
anneau — sur un sous-anneau, 139
élément — sur, 139
entière
extension —, 139
enveloppe divisible, 269
épimorphisme, 17
équivalentes
  matrices —, 127
  normes —, 298
  valeurs absolues généralisées —, 287
espace des lignes, 64
espace métrique, 50
  complet, 50
espace vectoriel, 52, 66
  de dimension finie, 66
  dimension d'un —, 66
  normé sur un corps valorisé, 297
essentiel
  sous-groupe —, 269
étrangers
  éléments — dans un anneau commutatif, 62
Euclidean
  algorithme d'—, 62
euclidien
  anneau —, 117
euclidienne
  fonction —, 117
exemple brouwerien, 5
extension
  algébrique, 139
  entière, 139
  normale, 166
  séparable, 154
extensionnelle
  fonction —, 9
  relation —, 7
facteur, 62
facteurs invariants, 137
factoriel
  anneau —, 113
  corps —, 175
  corps pleinement —, 186
factorisation bornée
  anneau à —, 109
factorisation partielle
  théorème de —, 111
factorisation unique

anneau à —, 113
faible
  Nullstellensatz, 142
famille, 11, 18
  finie, 11
fidèle
  module —, 230
  représentation —, 230
fini
  ensemble —, 11, 31
  groupe de type —, 38
  groupe libre de rang —, 250
  module de type —, 56
  support —, 26
finie
  algèbre de dimension —, 229
espace vectoriel de dimension —, 66
famille —, 11
présentation —, 130, 196, 197
profondeur —, 23
finiment énumérable
  ensemble —, 11
fixe
  corps —, 169
flèche, 16
foncteur, 18
représentable, 19
fonction, 9
  caractéristique, 13
  de Dedekind-Hasse, 117
  de rang, 33
  euclidienne, 117
  fortement extensionnelle, 10
  génératrice, 203
  identité, 9
  injective, 10
  inverse, 10
  surjective, 10, 31
forme
  canonique de Jordan, 105, 136
  canonique rationnelle, 135
  normale de Smith, 128
formule d'interpolation de Newton, 61
forte
  inégalité —, 98
  fortement discret
anneau —, 82

module —, 82

fortement extensionnelle

fonction —, 10

fortement premiers entre eux

éléments — dans un anneau commutatif, 62

fugitive

suite binaire —, 46

Galois

extension de —, 167

groupe de —, 167

gauche

inverse à —, 36

Grayson

ordinal de —, 28

groupe, 36

abélien sans torsion, 264

algèbre d'un —, 59

cyclique, 38

de type fini, 38

de valeurs (corps valorisé), 286

libre sur un sous-ensemble, 247

quotient, 38

symétrique, 37

habité, 29

hauteur

d'un ensemble ordonné, 23

dans un *p*-groupe abélien, 271

hauteur (voir profondeur)

d'un idéal premier, 224

dans un groupe sans torsion, 264

Hensel

lemme de —, 310, 314

hensélien

contexte, 307

corps, 310

hensélisé

d'un corps valorisé discret, 304, 313

héréditaire

sous-ensemble —, 24

Heyting

corps de —, 42, 96

homomorphisme, 17

d'algèbres, 229

d'anneaux, 43

de modules, 52

de monoïdes, 36

non trivial, 36

hopfien, 79, 83, 101, 255

idéal, 43

à droite, 43

à gauche, 43

bilatère, 43

décomposable, 214

fractionnaire, 328

irréductible, 217

maximal, 45

premier, 45

associé, 214

minimal, 212

puissance symbolique d'un —, 212

primaire, 206

isolé, 217

principal, 44

d'un anneau, 44

d'un monoïde commutatif, 109

théorème de l'—, 225

quasi-régulier (voir radical de Jacobson), 77

idempotent, 57

identité

fonction —, 9

matrice —, 64

image, 10, 52

réciproque, 10

immergé

idéal premier —, 215

immerger, immersion (plongement), 43

impaire

permutation —, 37

impotent

anneau —, 103

indécomposable

module —, 96

indépendance

métrique, 298

indépendantes

fonctions linéairement —, 170

indépendants
sous-modules —, 53
vecteurs — (cas discret), 67
indéterminée, 59
indice
  d'un sous-groupe, 39
  de ramification, 318
inégalité, 8
  consistante, 8
  cotransitive, 8
  étroite, 8
  forte, 98
invariante par translation, 40
standard, 8
symétrique, 8
inéquivalentes
  valeurs absolues généralisées —, 287
infimum, borne inférieure, 20
infini
  ensemble —, 11
initial, 251
injective
  fonction —, 10
inséparable
  purement —, 162
intégralement clos, 141
intègre
  anneau —, 42
intérieur
  automorphisme —, 37
interpolation
  de Lagrange, 63
  formule d'— de Newton, 61
  unique, 61
intersection, 8, 11
inverse, 36
  à droite, 36
  à gauche, 36
  fonction —, 10
inversible, 36
irréductible
  élément — d'un monoïde régulier,
    108
  idéal —, 217
  module —, 232
isomorphes par morceaux, 22
isomorphisme, 17

Jacobson
  radical de —, 78
Jordan-Hölder-Dedekind
  théorème de —, 22
k-homomorphisme, 166
Kripke
  schéma de —, 32
  «Kronecker 1», 124
  «Kronecker 2», 125
Krull
  théorème d'intersection de —, 199
Lagrange
  interpolation de —, 63
Lasker-Noether
  anneau de —, 218
lemme
  d'Artin-Rees, 198
  d'échange, 145
  de Gauss, 122
  de Hensel, 314
  de Kőnig, 7
  de Nakayama, 78
  de Schur, 235
libre
  base — d'un groupe (libre), 247
  groupe —, 247
  module —, 55
  monoïde —, 36
  système générateur — d'un groupe
    (libre), 247
limite, 50
  directe, 19, 164
linéaire
  application —, 52
linéairement indépendants
  éléments — sur un anneau local, 98
  vecteurs — sur un anneau à division
    discret, 67
LLPO, 5, 32
local
  anneau —, 84, 96
localemment (pré)compact, 291
localisation, localisé, 84
  d'un anneau en un sous-monoïde mul-
    tiplicatif, 84
d'un module en un sous-monoïde multiplicatif de l'anneau, 84

longueur

d'un groupe abélien, 272

d'un mot, 248

réduite d'un élément d'un groupe libre, 251

LPO, 4

manipulation élémentaire
de colonnes, 65
de lignes, 65

Markov

principe de —, 32

Maschke

théorème de —, 239

matrice

adjointe, 69

compagne, 135

de permutation, 65

de Vandermonde, 71

diagonale, 127

élémentaire, 65

identité, 64

produit, 64

matrices

équivalentes, 127

maximal

idéal —, 45

idéal à gauche — détachable, 78

maximale

chaine —, 22

métrique, 50

base —, 298

minimal

idéal premier —, 212

polynôme —, 135, 143, 231

modulaire

treillis —, 21

module, 51

cohérent, 81

cyclique, 56

de fractions, 84

de présentation finie, 80

de Tennenbaum, 206

de type fini, 56

fortement discret, 82

hopfien, 79

indécomposable, 96

irréductible, 232

noethérien, 79

plat, 91

projectif, 56

réductible, 232

simple, 232

monoïde, 35

à décomposition bornée, 109

à pgcd, 108

abélien, 35

additif, 35

algèbre d'un —, 59

commutatif, 35

libre (sur un ensemble X), 36

multiplicatif, 35

qui satisfait la condition de chaine des diviseurs, 109

régulier, 107

monôme, 59

monomorphisme, 17

morphisme, 16

de k-algèbres, 196

entre ensembles ordonnés, 20

mot, 36

multiplicatif

monoïde —, 35

multiplication, 36

scalaire, 51

multiplicative

norme —, 117

Nakayama

lemme de —, 78

Newton

méthode de —, 295

Nielsen

ensemble de —, 251

transformation de —, 253

nilpotent

élément —, 77

idéal à gauche —, 235

Noether

théorème de normalisation de —, 197
noethérien, 79

anneau —, 79

module —, 79

noethérienne

fonction génératrice — pour un module, 202

nombre

algébrique, 187

complexe, 50

p-adique, 51

réel, 48

réel strictement positif, 48

non archimédienne

valeur absolue —, 287

non nul

idéal à gauche —, 43

non trivial

homomorphisme —, 36

non triviale

valeur absolue généralisée —, 287

non vide, 8

non-égalité, 8

non-générateur, 78

normal

corps — sur un sous-corps, 166

sous-groupe —, 38

normale

extension de corps —, 166

norme, 117, 316

d'une extension finie de corps discrets, 316

du sup, 298

(espace vectoriel normé), 297

multiplicative, 117

sur un anneau intègre discret, 117

normé

corps —, 302

espace vectoriel — sur un corps valorisé, 297

normes

équivalentes, 298

noyau, 38, 52

Nullstellensatz, 201

Nullstellensatz faible, 142

ω-borné

ensemble —, 13

opération, 31

ordinal, 24

avec successeurs, 279

de Grayson, 28

ordinaux

égalité entre —, 27

ordonné

ensemble —, 20

ensemble totalement —, 22

ordre

d'un élément dans un groupe, 36

ou bien..., ou bien..., 26

p-adique

métrique — sur Q, 51

nombre —, 51

valeur absolue —, 291

p-groupe, 271

simplement présenté, 278

valué, 275

p-primaire

module —, 133

paire

permutation —, 37

parfait

corps —, 163

parfaite

clôture —, 164

permutation, 37

impaire, 37

matrice de —, 65

paire, 37

pgcd, 108

anneau intègre à —, 108

monoïde à —, 108

plat

module —, 91

pleinement Lasker-Noether

anneau —, 221

plongement

d'un ordinal dans un autre, 27

plus grand commun diviseur, 108

plus petit commun multiple, 112

polynôme, 59

alternant, 75
caractéristique, 70
contenu d'un —, 122
minimal, 135, 143, 231
primitif, 122
séparable (sur un anneau commutatif), 153
symétrique, 72
symétrique élémentaire, 72
unitaire, 60
premier
corps —, 43, 180
élément — dans un monoïde régulier, 108
idéal —, 45
sous-corps —, 43
premiers entre eux, 108
présentation finie
algèbre de —, 196
extension de — d'un corps discret, 197
module de —, 80
primaire
décomposition —, 214
idéal —, 206
module —, 133
théorème de décomposition —, 219
primitif
élément — de *E* sur *k*, 157
polynôme —, 122
principal
anneau —, 115
principe de Markov, 32
problème des mots, 261
généralisé, 261
produit
cartésien, 9
catégorique, 18
d'algèbres, 236
direct, 53
matrice —, 64
tensoriel, 87
profondeur, 23
bornée, 23
d'un ensemble ordonné, 23
finie, 23
projectif

ensemble —, 15
module —, 56
projection, 57
propre
idéal —, 43
sous-ensemble —, 9
Prüfer
théorème de —, 278
pseudofactoriel
corps —, 294
pseudonorme, 117
puissance symbolique, 212
pur
sous-groupe —, 279
sous-module —, 83
purement
inséparable, 162
transcendante, 146
quasi-AFU, 109
quasi-régulier, 77
à droite (élément), 77
à gauche (élément), 77
élément —, 77
idéal — (voir radical de Jacobson), 77
quaternions
algèbre des —, 232
rationnels, 46
quotient
anneau —, 43
groupe —, 38
structure —, 17
racine
de multiplicité *n*, 63
simple, 63
test de —, 178
radical
d'un idéal dans un anneau commutatif, 44
d'une *k*-algèbre de dimension finie, 235
de Jacobson, 78
rang
d'un groupe abélien sans torsion, 264
d'un groupe libre, 250
d'un module libre, 55
fonction de —, 33
relation de —, 28
rationnelle
test de racine —, 179
réductible
module —, 232
mot —, 249
réduit
anneau commutatif —, 77
groupe abélien —, 272
mot —, 249
p-groupe valué —, 276
réduite
décomposition primaire —, 214
longueur —, 251
réel
corps —, 301
nombre —, 48
Rees
anneau de —, 199
réfléchit les idéaux de type fini, 195
régulier, 47
à gauche, 17
monoïde commutatif —, 107
relation, 7
acyclique, 28
bien fondée, 24
d'égalité, 7
d'inégalité, 8
de dernière différence, 26
de différence, 12, 30
représentable
foncteur —, 19
représentation, 52, 229
fidèle (module), 52
résiduel
degré —, 318
réunion, 8, 11
disjointe, 18

sans élément nilpotent
anneau commutatif —, 77
sans torsion, 264
saturé
sous-monoïde multiplicatif —, 114

Schanuel
astuce de —, 56
schéma de Kripke, 32
Schreier
transversale de —, 256
Schur
lemme de —, 235
Seidenberg
corps de —, 185
seminorme, 300
semirigide
classe —, 265
séparable
clôture —, 162, 184
élément —, 154
extension —, 154
polynôme —, 153
séparablement clos dans..., 154
séparation, 29
anneau intègre avec relation de —,
62
relation de —, 8
série de composition, 219
séries formelles
anneau des —, 63
corps de — sur k, 297
signature
d'une permutation, 37
simple
algèbre —, 234
module —, 232
racine —, 63
simplement existentielle, 6
simplement présenté
p-groupe —, 278
simplifiable, 47
à gauche, 17
simplification, 97
situé
sous-ensemble — d'un espace mé-
trique, 298
socle
d'une algèbre, 239
somme
directe (externe), 53
directe (interne), 53
sous-anneau, 42

sous-corps

premier, 43

sous-ensemble, 7, 30

détachable, 9

héréditaire, 24

propre, 9

sous-espace

dense, 51

sous-fini

ensemble —, 31

sous-groupe, 37

normal, 38

sous-module, 52

pur, 83

sous-monoïde, 36

multiplicatif, 84

saturé, 114

strictement borné

anneau intègre —, 121

strictement positif

nombre réel, 48

successeur, 279

d'un élément dans un ordinal, 279

successeurs

ensemble bien ordonné avec —, 279

ordinal avec —, 279

suite, 11

binaire, 4

fugitive, 46

de Cauchy, 50

de nombres rationnels, 48

exacte, 89

supplémentaire

d'un sous-module dans un module, 57

support

d'un cycle, 37

fini, 26, 53

supremum, borne supérieure, 20

surjective

fonction —, 10, 31

Sylow

2-sous-groupe de —, 189

symétrique

groupe —, 37

polynôme —, 72

système

direct, 19

Tennenbaum, 227

module de —, 206

test de racine, 178

rationnelle, 179

théorème

d'Azumaya, 96, 97

d'intersection de Krull, 199

d'Ostrowski, 304

d'Ulm, 276

de Burnside, 235

de densité, 233

de factorisation partielle, 111

de Gelfand-Tornheim, 302

de la base de Hilbert, 194

de Lüroth, 147

de Maschke, 239

de Prüfer, 278

de Wedderburn, 241, 243

de Zippin, 280

des restes chinois, 328

des valeurs intermédiaires, 188

du reste, 61

fondamental de l'algèbre, 188–190

torsion, 132, 209

forêt de —, 278

totalement ordonné

ensemble —, 22

transcendance

base de —, 146

degré de —, 146

transcendante

purement —, 146

transformation linéaire, 134

diagonalisable, 136

transitif

ensemble bien fondé —, 25

transitive

relation —, 25

transporteur

d'un ensemble *S* dans un idéal à gauche, 44

transversale, 256
de Schreier, 256

treillis, 20

distributif, 20, 23

modulaire, 21

trivial

anneau —, 41

triviale

métrique —, 300

valeur absolue —, 291

type, 264

U-fonction, 280

Ulm

fonction d'—, 276

groupes d'—, 275

invariant d'—, 276

ultramétrique

valeur absolue —, 287

unique

anneau à factorisation —, 113

choix —, 10, 30

interpolation —, 61

unitaire

polynôme —, 60

unité, 36, 41

unités détachables, 41, 107

valeur absolue, 285

généralisée, 286

archimédienne, 287

non archimédienne, 287

ultramétrique, 287

valeur propre, 135

valorisé

corps —, 286

valuation

anneau de —, 129

sur un *p*-groupe, 276

valué

*p*-groupe —, 275

Vandermonde

matrice de —, 71

variété (algébrique), 202

vecteur propre, 135

vecteurs dépendants, 67

von-Neumann-régulier

anneau —, 68, 95

Wedderburn

théorème de —, 241, 243

WLPO, 6
# Postface du traducteur

L'algèbre dans le style de Bishop :
quelques points essentiels du livre
*A course in constructive algebra*

## Introduction

Le livre qui précède, que nous citerons sous la forme [CCA], est une mise à jour des bases de l'algèbre classique dans un style proche des mathématiques constructives à la Bishop. Les versions constructives des théorèmes classiques leur donnent une nouvelle saveur et sont beaucoup plus précises. D'une manière qui peut sembler à priori étonnante, les démonstrations sont souvent plus simples et plus élégantes que celles que l'on trouve dans les textes usuels en mathématiques classiques. Cela tient au fait que, n'ayant plus aucune baguette magique du style « principe du tiers exclu » à sa disposition, on est forcé d'aller plus au fond des choses, et de mieux comprendre les mathématiques. Les raccourcis apparaient qu'autorisent les mathématiques classiques introduisent ainsi souvent des détours inutiles : il n'est pas toujours bon d'être très (trop ?) savant pour traiter les problèmes de nature élémentaire, ou difficiles.

## 1 La réception de l'ouvrage

Après la postface se trouve un chapitre final sur la réception de [CCA]. La lectrice y trouvera une liste bibliographique des travaux qui ont cité le livre depuis sa parution. Cette liste est conséquente, mais la réception de l'ouvrage par la communauté mathématique est plutôt décevante eu égard à son caractère profondément novateur.
La réception de l'ouvrage en France est encore plus confidentielle que celle du livre de Bishop [2]. Je n'ai pratiquement jamais rencontré un ou une mathématicienne française qui ait seulement entendu parler de l'existence de l'ouvrage.

On pourrait s'attendre à ce que la communauté du Calcul Formel soit un peu plus au fait puisque les théorèmes du livre ont tous un contenu calculatoire direct qui leur permet, en principe, d'être implémentés dans les logiciels de calcul formel usuel.

Il m'est arrivé de soumettre un article d'algèbre constructive à la section «Computer Algebra» du *Journal of Algebra*, section dont les recommandations aux auteurs indiquent explicitement l'intérêt de la revue pour les mathématiques constructives. Quelle ne fut pas ma surprise lorsque le rapporteur me demanda d'expliquer ce que signifiait «ou» en mathématiques constructives, car il était dérouté et ne comprenait pas certains arguments. L'article fut finalement rejeté de cette section du *Journal of Algebra*, apparemment par impossibilité de trouver un rapporteur compétent.

J'ai cependant découvert récemment l'article *A constructive approach to Freyd categories* de Sebastian Posur, https://arxiv.org/abs/1712.03492v1. J'extrais un morceau de la section 2, «Constructive category theory». Cet article me semble opérer un tournant salutaire et espéré.

To present our algorithmic approach to Freyd categories, we chose the language of constructive mathematics (see, e.g., [MRR88]). We did that for the following reasons : the language of constructive mathematics

1. reveals the algorithmic content of the theory of Freyd categories,

2. is perfectly suited for describing generic algorithms, i.e., constructions not depending on particular choices of data structures,

3. allows us to express our algorithmic ideas without choosing some particular model of computation (like Turing machines),

4. encompasses classical mathematics, i.e., all results stated in constructive mathematics are also valid classically,

5. does not differ very much from the classical language in our particular setup.

In constructive mathematics the notions of data types and algorithms (or operations) are taken as primitives and every property must have an algorithmic interpretation. For example, given an additive category A we interpret the property

A has kernels

as follows : we have algorithms that compute for given
• $A, B \in \text{Obj}_A$, $\alpha \in \text{Hom}_A(A, B)$, an object $\text{ker}(\alpha) \in \text{Obj}_A$ and a morphism

$$ \text{KernelEmbedding}(\alpha) \in \text{Hom}_A(\text{ker}(\alpha), A) $$

for which $\text{KernelEmbedding}(\alpha) \cdot \alpha = 0$,

• $A, B, T \in \text{Obj}_A$, $\alpha \in \text{Hom}_A(A, B)$, $\tau \in \text{Hom}_A(T, A)$ such that $\tau \cdot \alpha = 0$, a morphism $u \in \text{Hom}_A(T, \text{ker}(\alpha))$ such that

$$ u \cdot \text{KernelEmbedding}(\alpha) = \tau, $$

where $u$ is uniquely determined (up to =) by this property.

Another important example is given by *decidable equality*, where we interpret the property that for all objects $A, B \in A$, we have

$$ \forall \alpha, \beta \in \text{Hom}_A(A, B) : (\alpha = \beta) \lor (\alpha \neq \beta) $$

as follows : we are given an algorithm that decides or disproves equality of a given pair of morphisms...

On the other hand, we allow ourselves to work classically whenever we interpret Freyd categories in terms of finitely presented functors. The reason for this is pragmatic : we want to demonstrate the usefulness of having Freyd categories computationally available, and we believe that this can be done by interpreting Freyd categories in terms of other categories that classical mathematicians care about.

## 2 Une théorie des ensembles revisitée

Dans [CCA], les auteurs introduisent une philosophie des mathématiques qui diffère légèrement de celle de [2, Bishop, 1967]. Ce point de vue se trouve sans doute exprimé de manière plus directe dans les articles [9, 10] et dans le livre [3].

Tout d'abord, comme chez Bishop, le point de vue n'est pas celui d'une mathématique formalisée, mais celui d'une mathématique ouverte à des développements imprévisibles, et pour laquelle le seul critère de vérité est la conviction qu'emporte une démonstration. L'univers mathématique n'est donc pas préexistant, il est bien au contraire une construction proprement humaine, à l'usage de la communauté humaine.

Un point original est cependant le suivant. L'attitude générale dans [CCA] est de considérer que toutes les mathématiques, aussi bien classiques que constructives, explorent un même univers d'objets idéaux, mais avec des outils différents.
Les mathématiques constructives sont une généralisation des mathématiques classiques en ce qu'elles ne supposent ni le principe du tiers exclu ni l'axiome du choix, exactement comme la théorie des groupes est une généralisation de la théorie des groupes commutatifs en ce qu'elle ne suppose plus valide la règle de commutativité.

Commençons par un premier extrait de [CCA].

Notre notion de ce qu'est un **ensemble** est une notion plutôt libérale.

**Définition I.2.1.** Un ensemble $S$ est défini lorsque nous décrivons comment construire ses éléments à partir d'objets qui peuvent avoir été déjà construits, ou peut-être pas, avant $S$ lui-même, et lorsque nous expliquons ce que signifie pour deux éléments de $S$ qu'ils sont égaux.

À la suite de Bishop nous regardons la **relation d'égalité** sur un ensemble comme conventionnelle : quelque chose à préciser lorsque l'ensemble est défini, et qui est soumis à la seule contrainte d'être une relation d'équivalence.

Une relation unaire $P$ sur $S$ définit un **sous-ensemble** $A = \{ x \in S : P(x) \} de $S$ : un élément de $A$ est un élément de $S$ qui satisfait la propriété $P$, et deux éléments de $A$ sont égaux si, et seulement si, ils sont égaux comme éléments de $S$. Si $A$ et $B$ sont des sous-ensembles de $S$, et si chaque élément de $A$ est un élément de $B$, nous disons que $A$ est **contenu** dans $B$, et nous écrivons $A \subseteq B$. Deux sous-ensembles $A$ et $B$ d'un ensemble $S$ sont **égaux** si $A \subseteq B$ et $B \subseteq A$; ceci est clairement une relation d'équivalence sur les sous-ensembles de $S$. Nous avons décrit comment construire un sous-ensemble de $S$, et ce que cela signifie d'être égaux pour deux sous-ensembles de $S$. Donc nous avons défini l'ensemble de tous les sous-ensembles, encore appelé l'ensemble des parties de $S$.

Les lecteurs de Bishop sont ici très étonnés. Les auteurs pensent en effet que la notion de « relation unaire sur un ensemble donné » est suffisamment claire pour que l'on puisse considérer l'ensemble de toutes ces relations unaires. C'est-à-dire considérer que l'on sait les construire, comme par exemple on sait construire un entier naturel, un nombre réel ou une fonction réelle. Or cela semble problématique car nul ne prétend connaitre un langage universel pour les mathématiques, dans lequel on pourrait codifier ces relations unaires. En particulier, si l'ensemble $\Omega$ des parties du singleton $\{0\}$ existe, cela signifie que les valeurs de vérité forment un ensemble et non pas une classe. La difficulté est que l'on semble faire ici comme si l'on savait d'avance comment on pourra reconnaitre ce que seront les valeurs de vérité possibles dans l'avenir.

En fait, il semble que chaque fois qu'un « ensemble des parties de ... » est
implicite ou explicite dans le livre, c'est dans un cadre où n'interviennent pas toutes les parties, mais seulement certaines parties, qui peuvent être regroupées dans un ensemble au sens plus strict adopté par Bishop; ou alors la quantification sur l'ensemble des parties n'est pas nécessaire à la clarté du texte<fnref n="1" />.

J'illustre ceci par un théorème assez extraordinaire, à la démonstration incroyablement simple et élégante<fnref n="2" />.

La décomposition obtenue dans le théorème V.2.3 est essentiellement unique sur n'importe quel anneau commutatif.

**Théorème V.2.4.** Soient $R$ un anneau commutatif, $m \le n$ des entiers $> 0$, et $I_1 \supseteq I_2 \supseteq \dots \supseteq I_m$ et $J_1 \supseteq J_2 \supseteq \dots \supseteq J_n$ des idéaux de $R$. Supposons qu'un $R$-module $M$ soit isomorphe à $\bigoplus_{i=1}^m R/I_i$ et à $\bigoplus_{j=1}^n R/J_j$. Alors

(a) $J_1 = J_2 = \dots = J_{n-m} = R$.

(b) $I_i = J_{n-m+i}$ pour $i = 1, \dots, m$.

Ici, on ne fait aucune hypothèse sur les idéaux $I_i$ et $J_j$. D'un point de vue d'une formalisation du discours, il semble donc qu'il faudrait quantifier sur l'ensemble de tous les idéaux de l'anneau $R$, ensemble tout aussi problématique que l'ensemble des parties de $R$. Mais on voit bien que c'est uniquement dans le cadre d'une formalisation mal maitrisée du discours que la nécessité de «l'ensemble des idéaux de $R$» se fait sentir. Pareillement, on n'a pas besoin de quantifier sur la classe des anneaux commutatifs lorsque l'on écrit : «Soit $R$ un anneau commutatif». Voir à ce sujet l'article [7, Dependent sums and dependent products in Bishop's set theory] de Iosif Petrakis pour un système formel utilisant la quantification sur des classes.

Signalons cependant le passage suivant qui traite de la catégorie des ensembles, et où l'ensemble $\Omega$ des parties de $\{0\}$ joue bien un rôle crucial. Notons que le joli théorème démontré ici ne semble pas avoir d'autre utilité qu'esthétique, dans le cadre de la théorie des catégories. Voir [18] pour une analyse de ce théorème dans le cadre de la théorie des types de Martin-Löf.

[...] La propriété catégorique qui correspond au fait qu'une fonction $f$ est injective est la suivante : si $g$ et $h$ sont des flèches depuis n'importe quel

<footnote n="1">1. L'exception la plus importante se trouve dans la définition des ensembles bien fondés et des ordinaux, voir plus loin page 361.</footnote>

<footnote n="2">2. On ne trouve pas ce théorème dans les grands traités d'algèbre en mathématiques classiques actuels. Par exemple Bourbaki (Algèbre, Chapitre VII, paragraphe 4, section 1), qui est un des meilleurs pour ce problème, ne donne le théorème que pour le cas où $m = n$, $I_1 \neq R$ et $J_1 \neq R$. Et la démonstration est moins belle que celle de [CCA].</footnote>
ensemble *C* vers *A* et si $fg = fh$, alors $g = h$ ; c'est-à-dire $f$ est ** simplifiable à gauche** (on dit aussi **régulier à gauche**). Le fait qu'une fonction $f$ est injective si, et seulement si, elle est simplifiable à gauche, est une démonstration purement routinière.

Une fonction $f$ de $A$ vers $B$ est surjective si pour chaque $b \in B$ il existe un $a \in A$ tel que $f(a) = b$. La propriété catégorique correspondante est que $f$ est **simplifiable à droite**, c'est-à-dire que si $g$ et $h$ sont des flèches de $B$ vers n'importe quel ensemble $C$ et si $gf = hf$, alors $g = h$. Le fait qu'une fonction $f$ est surjective si, et seulement si, elle est simplifiable à droite, est une démonstration moins routinière que la démonstration du résultat correspondant pour les flèches simplifiables à la gauche.

**Théorème I.4.1.** Une fonction est simplifiable à droite dans la catégorie des ensembles si, et seulement si, elle est surjective.

*Démonstration.* Supposons que $f: A \to B$ est surjective et que $gf = hf$. Pour tout $b \in B$ il existe un $a \in A$ tel que $f(a) = b$. Donc $g(b) = g(f(a)) = h(f(a)) = h(b)$, et $g = h$. Réciproquement supposons que $f: A \to B$ est simplifiable à droite, et soit $\Omega$ l'ensemble des sous-ensembles de $\{0\}$. Définissons $g: B \to \Omega$ par $g(b) = \{0\}$ pour tout $b$, et définissons $h: B \to \Omega$ par

$$h(b) = \{ x \in \{0\} : b = f(a) \text{ pour un } a \}. $$

Donc $h(b)$ est le sous-ensemble de $\{0\}$ tel que $0 \in h(b)$ si, et seulement si, il existe un $a$ tel que $b = f(a)$. Clairement $gf = hf$ est la fonction qui fait correspondre à tout élément de $A$ le sous-ensemble $\{0\}$. Donc $g = h$, et par suite $0 \in h(b)$, ce qui signifie que $b = f(a)$ pour un $a$. ■

En fait, un trait original de [CCA] est la considération d'une notion de catégories en tant qu'objets mathématiques à part entière et non comme une simple « manière de parler » :

Nous travaillons avec deux types de collections d'objets mathématiques, les ensembles et les catégories.

Étant donnés deux groupes, ou deux ensembles, il est en général incorrect de demander s'ils sont égaux ; la question pertinente est de savoir s'ils sont ou ne sont pas isomorphes, ou plus généralement quels sont les morphismes entre eux.

Une **catégorie** est une collection d'objets (comme l'est un ensemble).
Une relation d'égalité sur un ensemble construit, pour deux objets *a* et *b* de cet ensemble, une *proposition* « *a* = *b*». Pour spécifier une catégorie *C*, nous devons montrer comment construire, pour deux objets *A* et *B* de *C*, un ensemble *C*(*A*, *B*).

Un intérêt primordial des catégories est de permettre de généraliser la notion de famille d'objets (indexée par un ensemble). Pour la catégorie des ensembles, Bishop ne considère dans [2] que des familles de sous-ensembles d'un même ensemble. Mais dans les mathématiques usuelles, et particulièrement en algèbre, on a parfois besoin d'une notion plus générale, qui correspond à la notion de types dépendants en théorie constructive des types.

En utilisant la notion de foncteur nous pouvons étendre notre définition d'une famille d'éléments dans un ensemble à celle d'une famille d'objets dans une catégorie *C*. Soit *I* un ensemble. Une **famille A d'objets de C indexée par I** est un foncteur depuis *I*, vu comme une catégorie, vers la catégorie *C*. Nous notons souvent une telle famille par {$A_i$}$_{i \in I}$. Si $i = j$, la flèche de $A_i$ vers $A_j$ est notée $A_i^j$, et c'est un isomorphisme.

Avec cela comme outil, il est possible de construire certains objets cruciaux, comme

- les limites et colimites (en particulier les produits et les sommes directes de familles) dans certaines catégories,

- certaines structures algébriques librement engendrées par un ensemble *S* qui n'est pas nécessairement discret,

- de nombreuses opérations usuelles en mathématiques classiques sur les ordinaux (voir la définition des ordinaux dans [CCA] plus loin).

Par exemple on démontre qu’un module librement engendré par un ensemble S est plat ; mais il n’est pas nécessairement projectif (exercice IV.4.9). Le théorème classique selon lequel tout module est quotient d’un module libre reste valable ; la conséquence efficace n’est pas qu’il est quotient d’un module projectif, mais plutôt quotient d’un module plat. Ainsi, en forçant les ensembles à être discrets (selon le principe du tiers exclu), les mathématiques classiques simplifient à outrance la notion de module libre et aboutissent à des conclusions impossibles à satisfaire de manière algorithmique.

Une notion naturelle d'ordinal<fnref n="1" /> est également introduite dans le chapitre I de [CCA], et elle est utilisée dans les problèmes de classification des groupes abéliens (au chapitre XI).

<footnote n="1">1. Cette notion est différente de celle que l'on peut trouver chez Brouwer ou Martin-Löf.
Voir aussi [4, A constructive theory of ordinals].</footnote>
Remarquons que la notion d'ensemble bien fondé définie ci-dessous utilise la quantification sur toutes les parties de W.

Soit W un ensemble muni d'une relation $a < b$. Un sous-ensemble $S$ de W est dit **héréditaire** si $w \in S$ chaque fois que $w' \in S$ pour tout $w' < w$. L'ensemble W, ou la relation $a < b$, est dite **bien fondée** si tout sous-ensemble héréditaire de W est égal à W. Un ensemble ordonné discret est dit bien fondé si la relation $a < b$ (i.e. $a \le b$ et $a \ne b$) est bien fondée. Un **ordinal**, ou **ensemble bien ordonné**, est un ensemble totalement ordonné discret et bien fondé.

Les ensembles bien ordonnés fournissent l'environnement pour les arguments par induction généraux.

Pour des ordinaux $\lambda$ et $\mu$ on définit un **plongement** de $\lambda$ dans $\mu$ comme une fonction $\rho$ de $\lambda$ vers $\mu$ telle que si $a < b$ alors $\rho a < \rho b$, et si $c < \rho b$, alors on a un $a \in \lambda$ tel que $\rho a = c$. [...]

**Théorème I.6.5.** Si $\lambda$ et $\mu$ sont des ordinaux et si $\rho$ et $\sigma$ sont des plongements de $\lambda$ dans $\mu$, alors $\rho = \sigma$.

Lorsque l'on a un plongement de l'ordinal $\lambda$ dans l'ordinal $\mu$, nous écrivons $\lambda \le \mu$. Clairement, une composition de plongements est un plongement, donc cette relation est transitive. Le théorème 6.5 implique que si $\lambda \le \mu$ et $\mu \le \lambda$, alors $\lambda$ et $\mu$ sont isomorphes, i.e. il y a une bijection de $\lambda$ vers $\mu$ qui préserve et réfléchit l'ordre. Il est naturel de dire que deux ordinaux isomorphes sont égaux. [...]

On se retrouve ainsi dans un cadre voisin de la théorie constructive des types dépendants, où tous les types sont créés par des définitions inductives généralisées.

Dans les sections suivantes, nous donnons quelques exemples significatifs de théorèmes classiques auxquels la reformulation constructive apporte un éclairage nouveau et des renseignements supplémentaires précis.

Nous indiquons aussi quelques exemples de théorèmes triviaux en mathématiques classiques et pourtant très importants du point de vue algorithmique.
## 3 L'exemple des anneaux principaux et des modules de type fini sur ces anneaux

Un anneau principal est en mathématiques classiques un anneau intègre dans lequel tout idéal est de type fini. D'un point de vue constructif, même le corps à deux éléments ne satisfait pas cette définition : on considère l'idéal engendré par une suite binaire ; fournir un générateur de cet idéal revient à décider si la suite est identiquement nulle, ce qui est LPO (voir page 4).

Une définition algorithmiquement pertinente, et classiquement équivalente à la définition classique, est celle d'un anneau de Bézout intègre discret qui satisfait une condition de noethérianité convenablement formulée.

Un **monoïde à pgcd** est un monoïde commutatif régulier dans lequel toute paire d'éléments possède un plus grand commun diviseur. Un **anneau intègre à pgcd** est un anneau intègre discret dont les éléments non nuls forment un monoïde à pgcd.

Un **idéal principal** d'un monoïde commutatif $M$ est un sous-ensemble $I$ de $M$ tel que $I = Ma = \{ma : m \in M\}$ pour un $a \in M$. Nous disons que le monoïde $M$ satisfait la condition de **chaine des diviseurs** si pour chaque chaine ascendante $I_1 \subseteq I_2 \subseteq I_3 \subseteq \dots$ d'idéaux principaux, il y a un $n$ tel que $I_n = I_{n+1}$.

On dit qu'un anneau intègre discret satisfait la condition de chaine des diviseurs si le monoïde des éléments non nuls la satisfait.

**Définition IV.2.7.** Un **anneau de Bézout intègre**, ou **domaine de Bézout** est un anneau intègre discret tel que pour tous éléments $a, b$ on a deux éléments $s, t$ tels que $sa + tb$ divise $a$ et $b$. Un **anneau principal** est un domaine de Bézout qui satisfait la condition de chaine des diviseurs.

Le théorème de structure classique dit qu'un module de type fini sur un anneau principal est la somme directe d'un sous-module libre de rang fini et du sous-module de torsion, lui même égal à une somme directe de modules $R/(a_i)$ avec les $a_i$ non nuls mis dans un ordre où chaque $a_i$ divise le suivant.

La forme algorithmique la plus pure de ce théorème est le théorème de réduction d'une matrice en forme normale de Smith.

Une matrice $A = (a_{ij})$ est en **forme normale de Smith** si elle est diagonale et si $a_{ii}|a_{i+1,i+1}$ pour tout $i$.
**Théorème V.1.2.** Toute matrice sur un anneau principal est équivalente à une matrice en forme normale de Smith.

**Théorème V.1.4.** Deux matrices en forme normale de Smith sur un anneau intègre à pgcd sont équivalentes si, et seulement si, les éléments diagonaux correspondants sont associés.

Le théorème de structure pour les modules de présentation finie est une conséquence directe du théorème V.1.2.

**Théorème V.2.3 (théorème de structure).** Soit $M$ un module de présentation finie sur un anneau principal $R$. Alors il existe des idéaux principaux $I_1 \supseteq I_2 \supseteq \dots \supseteq I_n$ tels que $M$ est isomorphe à la somme directe $R/I_1 \oplus R/I_2 \oplus \dots \oplus R/I_n$.

Puisque l'anneau est discret par définition, on peut séparer la somme en deux morceaux : le début, pour les indices de 1 à $k$ disons, est alors le sous-module de torsion, avec $I_k = (a_k) \neq 0$, et le deuxième morceau, pour les $j > k$ avec les $a_j$ nuls, est un module libre de rang $n-k$. Par contre, pour savoir quels $I_j$ (pour les premiers indices $j$) sont égaux à $R$ (et donc pourraient être supprimés sans dommage), il faut disposer d'un test pour l'inversibilité d'un élément, ce qui est la même chose ici que disposer d'un test de divisibilité entre deux éléments.

En mathématiques classiques, le théorème V.2.3 est énoncé pour les modules de type fini. D'un point de vue classique, les modules de type fini sur un anneau principal sont de présentation finie, tandis que d'un point de vue constructif il est clairement impossible d'avoir un algorithme pour réaliser cette implication, même dans le cas simple d'un $\mathbb{Z}$-module $\mathbb{Z}/I$ avec $I$ de type dénombrable (par exemple engendré par une suite binaire).

La manière dont Bourbaki (*Algèbre*, chapitre VII) traite ces théorèmes mérite la comparaison. Le théorème de structure est donné avant le théorème de réduction de Smith pour les matrices. Et les démonstrations, qui utilisent trop le principe du tiers exclu, échouent à produire des algorithmes pour expliciter les théorèmes.

# 4 Les problèmes de factorisation

Le théorème IV.4.7(i) ci-après est usuellement démontré pour les anneaux factoriels, mais la condition noethérienne sous-jacente est en fait inutile.
**Théorème IV.4.7.** Soit $R$ un anneau intègre discret.

(i) Si $R$ est un anneau à pgcd, alors il en va de même pour $R[X]$.

On invite le lecteur à apprécier l'élégance de la démonstration que l'on trouve dans [CCA].

Le théorème classique de décomposition en facteurs premiers dans un monoïde à pgcd qui satisfait la condition de chaine des diviseurs est inaccessible d'un point de vue algorithmique. Il est remplacé en mathématiques constructives par un théorème un peu plus subtil qui rend en pratique les mêmes services que le théorème classique.

**Théorème IV.1.8 (factorisation partielle).** Soient $x_1, \dots, x_k$ des éléments d'un monoïde à pgcd $M$ qui satisfait la condition de chaine des diviseurs. Alors on peut construire une famille $P$ d'éléments de $M$ deux à deux premiers entre eux telle que chaque $x_i$ est associé à un produit d'éléments de $P$.

Soit $M$ un monoïde régulier. Un élément $a \in M$ est dit **borné par l'entier naturel** $n$ si chaque fois que $a = a_0 \cdots a_n$ avec des $a_i \in M$, alors l'un des $a_i$ est inversible. Un élément de $M$ est **borné** s'il est borné par un entier naturel; le monoïde $M$ est à **décomposition bornée** si tous ses éléments sont bornés. Un anneau intègre discret est à **factorisation bornée** si ses éléments non nuls forment un monoïde à décomposition bornée.

Un anneau intègre à pgcd qui satisfait la condition de chaine des diviseurs est appelé un **quasi-AFU**, où AFU est un acronyme pour «anneau à factorisation unique (en facteurs premiers)».

Les anneaux quasi-AFU et les anneaux à pgcd à factorisation bornée sont deux versions constructives non équivalentes (constructivement) de la notion classique d'anneau factoriel. En fait, on trouve dans [CCA] encore trois autres versions constructives de cette notion classique.

**Définition IV.2.1.** Un anneau intègre discret $R$ est appelé un **anneau à factorisation unique**, ou un **AFU**, si tout élément $r$ non nul de l'anneau est inversible ou admet une factorisation essentiellement unique en produit d'éléments irréductibles, i.e. si $r = p_1 \cdots p_m$ et $r = q_1 \cdots q_n$ sont deux factorisations de $r$ en produit d'éléments irréductibles, alors $m = n$ et on
peut réindexer les facteurs de façon à ce que $p_i \sim q_i$ pour chaque $i$. Nous disons que $R$ est **factoriel** si $R[X]$ est un anneau à factorisation unique.

Un corps discret $k$ est dit **pleinement factoriel** si tout corps extension de dimension finie de $k$ est factoriel.

Les cinq versions constructives sont en mathématiques classiques équivalentes à la notion classique, mais elles introduisent des distinctions pertinentes du point de vue algorithmique, totalement invisibles en mathématiques classiques, par la faute de l'utilisation du principe du tiers exclu, qui écrase ces distinctions pertinentes. Dans le théorème IV.4.7 les points (ii) (joint au point (i)) et (vi) (i.e. (i) et (v)) sont deux versions distinctes, inéquivalentes, d'un même théorème de mathématiques classiques sur les anneaux factoriels.

**Théorème IV.4.7.** Soit $R$ un anneau intègre discret.

(i) Si $R$ est un anneau à pgcd, alors il en va de même pour $R[X]$.

(ii) Si $R$ est à factorisation bornée, alors il en va de même pour $R[X]$.

(iii) Si $R$ a ses unités détachables, alors il en va de même pour $R[X]$.

(iv) Si la divisibilité est décidable dans $R$, alors il en va de même pour $R[X]$.

(v) Si $R$ satisfait la condition de chaine des diviseurs, alors il en va de même pour $R[X]$.

(vi) Si $R$ est un quasi-AFU, alors il en va de même pour $R[X]$.

Concernant les problèmes de factorisation des polynômes sur un corps discret, la situation algorithmique n’est pas décrite correctement par les mathématiques classiques. Par exemple, le problème de factorisation dans $k[X]$ n’est pas trivial, contrairement à ce qu’affirme le théorème des mathématiques classiques.

Le chapitre VII de [CCA] explore cette situation en grands détails.

Le théorème constructif de base sur ce sujet est donné dans le chapitre VI. Comme il arrive que la caractéristique d'un corps ou d'un anneau ne soit pas connue d'avance, mais puisse être révélée au cours d'une construction, certaines précautions sont nécessaires dans les énoncés, comme ci-dessous dans le point (i). Notez que si l'on découvre un nombre premier $p$ non nul dans un anneau $k$, il est nécessairement unique (sauf si l'anneau est trivial).

Lorsque $k$ est un corps discret, on laisse simplement tomber l'alternative « $k$ contient un élément non nul non inversible» dans le théorème. Mais il arrive que dans [CCA] le théorème soit utilisé sous la forme précise donnée ici, par exemple dans le chapitre IX sur la structure des algèbres de dimension finie.
**Théorème VI.6.3.** Soient $k$ un anneau commutatif discret avec unités détachables, et $S$ un ensemble fini de polynômes unitaires de $k[X]$. Alors, ou bien $k$ contient un élément non nul non inversible, ou bien nous pouvons construire un ensemble fini $T$ de polynômes unitaires de $k[X]$ tel que :

(i) tout élément de $T$ est de la forme $f(X^q)$ avec $f$ séparable et $q$ égal à 1 ou à une puissance d'un nombre premier nul dans $k$,

(ii) les éléments de $T$ sont deux à deux étrangers,

(iii) tout polynôme de $S$ est un produit de polynômes de $T$.

Lorsque $k$ est un corps discret, on obtient ainsi, en partant d'une famille donnée de polynômes univariés, une famille de polynômes unitaires séparables deux à deux étrangers qui fournit une version plus précise du théorème général de factorisation partielle IV.1.8 (lequel s'applique aux anneaux intègres à pgcd qui satisfont la condition de chaine des diviseurs).

# 5 Les anneaux noethériens, les décompositions primaires et le théorème de l'idéal principal de Krull

Un $R$-module est dit **fortement discret** si tout sous-module de type fini est détachable. Il est dit **cohérent** si tout sous-module de type fini est de présentation finie. La notion d'anneau cohérent fortement discret est fondamentale du point de vue algorithmique en algèbre commutative, en particulier pour la raison suivante : sur un anneau cohérent fortement discret, les systèmes linéaires sont parfaitement compris et maitrisés<fnref n="1" />.

Dans les traités usuels en mathématiques classiques, cette notion est rarement mise en avant parce que l'on préfère la notion d'anneau *noethérien*. En mathématiques classiques, tout anneau noethérien $A$ est cohérent parce que tous les sous-modules de $A^n$ sont de type fini, et tout module de type fini est cohérent pour la même raison. En outre, on a le théorème de Hilbert qui dit que si $A$ est noethérien, toute $A$-algèbre de présentation finie est également un anneau noethérien, tandis que la même affirmation est en défaut si l'on remplace « noethérien » par « cohérent » (voir [17, Soublin, 1970]).

D'un point de vue algorithmique cependant, il semble impossible de trouver une formulation constructive satisfaisante de la noethérianité qui implique la cohérence. Et la cohérence est souvent la propriété la plus importante du point de vue algorithmique. Comme conséquence, la cohérence doit être ajoutée (d'un

<footnote n="1">1. Dans l'article de Posur cité précédemment, ces anneaux sont appelés « calculables ».</footnote>
point de vue constructif) lorsque l'on utilise la notion d'anneau ou de module noethérien.

La définition adoptée pour **module noethérien** dans [CCA] est : module dans lequel toute suite croissante de sous-modules de type fini admet deux termes consécutifs égaux. Il s'agit d'une définition constructivement acceptable, équivalente en mathématiques classiques à la définition usuelle.

Le théorème classique disant que sur un anneau noethérien tout A-module de type fini est noethérien est avantageusement remplacé par les théorèmes constructifs suivants (voir dans [CCA] le corolaire III.2.6, le théorème III.2.7 et le corolaire III.2.8).

Sur un anneau cohérent (resp. cohérent fortement discret), tout A-module de présentation finie est cohérent (resp. cohérent fortement discret).

Sur un anneau cohérent noethérien (resp. cohérent noethérien fortement discret), tout A-module de présentation finie est cohérent noethérien (resp. cohérent noethérien fortement discret).

Deux résultats classiques importants sur les anneaux noethériens ont des démonstrations constructives dans le cadre fixé par [CCA].

**Théorème VIII.2.7 (Artin-Rees).** Soit $I$ un idéal de type fini d'un anneau commutatif cohérent noethérien $R$. Soit $N$ un sous-module de type fini d'un $R$-module de présentation finie $M$. Alors il existe un entier $k$ tel que pour tout $n \ge k$ on a

$$I^{n-k}(I^k M \cap N) = I^n M \cap N.$$

**Théorème VIII.2.8 (théorème d'intersection de Krull).** Soient $M$ un module de présentation finie sur un anneau commutatif cohérent noethérien $R$ et $I$ un idéal de type fini de $R$. Notons $A = \bigcap_n I^n M$. Alors $a \in Ia$ pour tout $a \in A$, et donc $IA = A$.

## Le théorème de la base de Hilbert

Quels sont les anneaux cohérents $R$ pour lesquels les anneaux $R[X_1, \dots, X_n]$ sont également cohérents ? D'un point de vue constructif, on connait deux classes d'anneaux qui satisfont cette propriété : les anneaux cohérents noethériens (voir ci-après) et les domaines de Prüfer (voir [19, Yengui, 2015, Chapter 4]).

Le théorème de la base de Hilbert pour la définition de noethérianité donnée dans [CCA] est le suivant. Les démonstrations remontent à 1974 ([8, Richman, 1974] et [13, Seidenberg, 1974], voir aussi [11, Seidenberg, 1971] et [12, Seidenberg,
1973] pour le cas des anneaux de polynômes sur un corps discret). Elles sont exposées de manière limpide dans [CCA].

**Théorème VIII.1.5** (théorème de la base de Hilbert). Si $R$ est un anneau cohérent noethérien (à gauche), alors il en va de même pour $R[X]$. Si en outre $R$ est fortement discret (à gauche), alors il en va de même pour $R[X]$.

Une version de ce théorème en calcul formel (voir [1, 1994, Théorème 4.2.8]) dit que pour un anneau cohérent noethérien fortement discret $R$, on peut donner un algorithme du type « base de Gröbner » pour calculer l'idéal de tête d'un idéal de type fini dans $R[X] = R[X_1, \dots, X_n]$ pour un ordre monomial donné. On en déduit assez facilement le théorème VIII.1.5. De la sorte, les deux théorèmes peuvent être considérés comme essentiellement équivalents.

Cependant, les algorithmes sous-jacents aux deux démonstrations sont assez différents. On doit aussi remarquer d'une part que les auteurs de 1994 semblent ignorer que le problème a été essentiellement résolu en 1974, et d'autre part que les algorithmes dans [1] ne sont pas certifiés de manière constructive (en particulier, en se basant sur la démonstration classique, aucune borne ne peut être calculée pour le nombre d'étapes de l'algorithme en fonction des données).

## Le théorème de décomposition primaire

L'exposé de [CCA] sur le cadre constructif convenable pour les décompositions primaires est fondé sur les travaux de Seidenberg [14, 1978] et [15, 1984]. Il s'agit dans [CCA] d'une réélaboration de ce travail, de manière simplifiée et synthétique.

Soit $R$ un anneau commutatif. Un idéal $Q$ de $R$ est dit **primaire** si $xy \in Q$ implique $x \in Q$ ou $y^n \in Q$ pour un $n$. On voit alors que $\sqrt{Q}$ est un idéal premier $P$.

Voici maintenant une légère variation par rapport à la terminologie classique, sans réelle importance dans le cas noethérien : les idéaux concernés sont tous de type fini<fnref n="1" />.

Une **décomposition primaire** d'un idéal $I$ d'un anneau commutatif est une famille finie d'idéaux primaires de type fini $Q_1, \dots, Q_n$ telle que $I = \bigcap_i Q_i$ avec les $\sqrt{Q_i}$ de type fini. On dit aussi dans ce cas que l'idéal $I$ est **décomposable**. En mathématiques classiques, tout idéal d'un anneau noethérien admet une décomposition primaire.

Dans le cadre constructif, pour un anneau cohérent noethérien fortement discret, que doit-on ajouter comme hypothèses constructivement acceptables pour avoir les décompositions primaires ?

<footnote n="1">1. Sauf $I$ lui-même, mais dans le cadre des anneaux cohérents noethériens, $I$ est nécessairement de type fini.</footnote>
Voici une réponse possible, donnée dans [CCA].

Un **anneau de Lasker-Noether** est un anneau commutatif cohérent noethérien fortement discret tel que le radical de tout idéal de type fini est l'intersection d'un nombre fini d'idéaux premiers de type fini.

Cette définition est constructivement acceptable parce que les anneaux $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}[X]$, et $k[X]$ lorsque $k$ est corps discret algébriquement clos, satisfont ces hypothèses de manière immédiate. De nombreux anneaux usuels, noethériens en mathématiques classiques, satisfont également ces hypothèses, comme expliqué plus loin.

En fait, on voit facilement que lorsque $k$ est un corps discret, $k[X]$ est un anneau de Lasker-Noether si, et seulement si, le corps $k$ est factoriel. Cette équivalence précise est impossible à énoncer en mathématiques classiques car tous les corps sont factoriels. On pourrait cependant énoncer un résultat analogue en se restreignant au cadre des algorithmes mécanisables à la Turing.

Les premières propriétés importantes des anneaux de Lasker-Noether sont résumées dans les trois théorèmes qui suivent. Le premier énoncé semble presque trop précis, par souci de généralité, voir le commentaire qui suit.

**Théorème VIII.8.1.** Soit $S$ un sous-monoïde multiplicatif d'un anneau de Lasker-Noether $R$ tel que $I \cap S$ est vide ou non vide pour tout idéal de type fini $I$ de $R$. Alors $S^{-1}R$ est un anneau de Lasker-Noether.

Si $S = R \setminus P$ pour un idéal premier $P$, la condition « $I \cap S$ est vide ou non vide» signifie « $I$ est ou n'est pas contenu dans $P$». Comme $I$ est de type fini, le test est effectif si, et seulement si, $P$ est détachable. Une conséquence du théorème VIII.8.1 est donc que pour tout idéal premier détachable, et en particulier pour tout idéal premier de type fini, le localisé $R_P$ est un anneau de Lasker-Noether.

**Théorème VIII.8.2.** Soient $R$ un anneau de Lasker-Noether et $I$ un idéal de type fini de $R$. Alors $R/I$ est un anneau de Lasker-Noether.

**Théorème VIII.8.5** (théorème de décomposition primaire). Soit $R$ un anneau de Lasker-Noether. Alors tout idéal de type fini de $R$ est décomposable.
## Le théorème de l'idéal principal de Krull

Une propriété plus élaborée des anneaux de Lasker-Noether est le fameux théorème de l'idéal principal de Krull, et le fait que tout idéal premier de type fini a une hauteur bien définie.

**Théorème VIII.10.4** (théorème de l'idéal principal généralisé). Soient $R$ un anneau de Lasker-Noether et $I = (a_1, \dots, a_n)$. Alors tout idéal premier minimal au-dessus de $I$ est de hauteur au plus $n$.

**Théorème VIII.10.5.** Soit $P$ un idéal premier de type fini propre d'un anneau de Lasker-Noether $R$. Alors il existe un $m$ tel que $P$ est de hauteur $m$ et est un idéal premier minimal au-dessus d'un idéal engendré par $m$ éléments.

## Anneaux pleinement Lasker-Noether

Enfin, il faut répondre à la question : quelles hypothèses supplémentaires faut-il ajouter à la définition d'un anneau de Lasker-Noether $R$ pour que les anneaux $R[X_1, \dots, X_n]$ soient également de Lasker-Noether ? Voici une réponse donnée dans [CCA] :

> On dit qu'un anneau $R$ est **pleinement Lasker-Noether** si c'est un anneau de Lasker-Noether et si pour chaque idéal premier de type fini $P$ de $R$, le corps de fractions de $R/P$ est pleinement factoriel. Notez que l'anneau des entiers $\mathbb{Z}$ est pleinement Lasker-Noether, de même que tout corps pleinement factoriel.

Les trois théorèmes suivants (avec les théorèmes précédents sur les anneaux de Lasker-Noether) montrent alors que dans ce cadre (c'est-à-dire avec cette définition constructivement acceptable, équivalente en mathématiques classiques à la définition d'anneau noethérien), un très grand nombre de théorèmes classiques concernant les anneaux noethériens ont désormais une démonstration constructive et une signification claire. Cela semble un «miracle» de la même sorte que celui qu'a représenté la parution du livre de Bishop.

**Théorème VIII.9.1.** Soit $I$ un idéal de type fini d'un anneau pleinement Lasker-Noether $R$. Alors $R/I$ est un anneau pleinement Lasker-Noether.

**Théorème VIII.9.2.** Si $P$ est un idéal premier détachable d'un anneau pleinement Lasker-Noether $R$, le localisé $R_P$ est un anneau pleinement Lasker-Noether.
Lasker-Noether.

**Théorème VIII.9.6.** *Si R est un anneau pleinement Lasker-Noether, il en va de même pour R[X].*

*Note.* L'article [6, Perdry, 2004] définit une notion de noethérianité constructivement plus forte que celle de [CCA]. Les exemples usuels d'anneaux noethériens sont noethériens en ce sens. Avec cette notion, la définition d'un anneau de Lasker-Noether devient plus naturelle : c'est un anneau noethérien cohérent fortement discret qui possède un test de primalité pour les idéaux de type fini. L'article développe une théorie agréable des anneaux pleinement Lasker-Noether dans ce contexte.

*Note.* Le calcul de la décomposition primaire dans les anneaux de polynômes sur un corps discret ou sur $\mathbb{Z}$ est un sujet de recherche actif en Calcul Formel. L'article fondateur de Seidenberg est parfois cité, mais, à ma connaissance, le livre [CCA] ne l'est jamais.

# 6 Le théorème de structure de Wedderburn pour les $k$-algèbres de dimension finie

On parle ici de $k$-algèbres unitaires et associatives qui sont des $k$-espaces vectoriels de dimension finie sur un corps discret $k$. Autrement dit, ce sont des algèbres isomorphes à une sous-algèbre de type fini d'une algèbre de matrices $E_k(k^n)$ (algèbre des $k$-endomorphismes de l'espace vectoriel $k^n$). On abrège la terminologie en parlant de « $k$-algèbre de dimension finie».

Dans un anneau $A$ non nécessairement commutatif, le **radical de Jacobson** de $A$ est l'ensemble $I$ des éléments $x$ tels que $1 + xA \subseteq A^\times$. C'est un idéal (bilatère), et le quotient $A/I$ a son radical de Jacobson nul.

Lorsque $A$ est une $k$-algèbre de dimension finie, ce radical peut aussi être défini comme «radical nilpotent» : rad$(A)$ est l'ensemble des éléments $x$ tels que l'idéal (à gauche) $xA$ est nilpotent, i.e. il existe un entier $n$ tel que tout produit $xa_1 \cdots xa_n$ est nul.

Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie. On peut calculer une base du centre de $A$ ainsi que le polynôme minimal sur $k$ d'un élément arbitraire de $A$. On peut aussi calculer une base de l'idéal à gauche et une autre de l'idéal bilatère engendrés par une partie finie de $A$. Mais il peut être difficile de calculer une base du radical, et l'on ne peut pas affirmer en général que le radical est de dimension finie (sur $k$).

Néanmoins, on sait calculer des objets qui sont triviaux en mathématiques classiques (à condition qu'on ne cherche pas à les calculer !). Par exemple, comme
alternative au calcul du radical, on a le théorème suivant.

**Théorème IX.3.3.** Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie et soit $L$ un idéal (à gauche) de $A$ de dimension finie. Alors, ou bien $L \cap \text{rad } A \neq 0$, ou bien $A = L \oplus N$ pour un idéal (à gauche) $N$.

Un module $M$ est dit **réductible** s'il a un sous-module propre non nul ; sinon, il est dit **simple**.

Une $k$-algèbre est dite **simple** si tout idéal bilatère est trivial. Lorsque l'anneau est discret, comme dans le cas présent, la définition revient à dire que si un élément est non nul, l'idéal (bilatère) qu'il engendre contient 1.

La première partie du théorème de Wedderburn affirme qu'une $k$-algèbre de dimension finie de radical nul est un produit de $k$-algèbres simples. Voici la reformulation constructive que l'on trouve dans [CCA]. Un corps $k$ est dit **séparablement factoriel** si les polynômes séparables dans $k[X]$ sont décomposables en facteurs premiers.

Nous caractérisons maintenant les corps séparablement factoriels en termes de décomposition d'algèbres en produit d'algèbres simples. Cela constitue la première partie du théorème de Wedderburn.

**Théorème IX.4.3** (théorème de Wedderburn, première partie). Un corps discret $k$ est séparablement factoriel si, et seulement si, toute $k$-algèbre de dimension finie de radical nul est un produit d'algèbres simples.

Une précision concernant la capacité à calculer une base du radical est donnée dans le corolaire suivant.

**Corolaire IX.4.5.** Un corps discret $k$ est pleinement factoriel si, et seulement si, toute $k$-algèbre de dimension finie contient un idéal nilpotent de dimension finie $I$ tel que $A/I$ est un produit de $k$-algèbres simples.

La seconde partie du **théorème de structure de Wedderburn** pour les algèbres semi-simples dit qu'une algèbre simple de dimension finie est isomorphe à un anneau total de matrices carrées sur une algèbre à division (un corps gauche).

La version constructive de ce théorème donnée dans [CCA] élucide d'une manière surprenante le contenu calculatoire de ce théorème classique.
**Théorème IX.5.1** (théorème de structure de Wedderburn).

Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie qui contient un idéal à gauche non trivial. L'une des propriétés suivantes est satisfaite.

(i) Le radical de $A$ est non nul.

(ii) $A$ est un produit de $k$-algèbres de dimension finie (de dimensions plus petites que $A$).

(iii) Il existe un entier $n > 1$ tel que $A$ est isomorphe à l'anneau des matrices carrées $n \times n$ sur une $k$-algèbre de dimension inférieure à celle de $A$.

Le problème fondamental et de savoir reconnaitre si une $k$-algèbre de dimension finie est une algèbre à division ou pas, à savoir, être capable d'affirmer que c'est une algèbre à division ou alors de construire un idéal à gauche non trivial. Si nous sommes capables de faire cela, alors le théorème 5.1 implique que toute $k$-algèbre de dimension finie a un radical de dimension finie, et que modulo ce radical elle est un produit d'anneaux de matrices carrées $n \times n$ sur des algèbres à division. Cette condition est équivalente à la capacité de reconnaitre si une représentation de dimension finie arbitraire d'une $k$-algèbre de dimension finie est réductible.

**Théorème IX.5.2.** Les propriétés suivantes pour un corps discret $k$ sont équivalentes.

(i) Toute $k$-algèbre de dimension finie est une algèbre à division ou sinon contient un idéal à gauche non trivial.

(ii) Tout $k$-module à gauche de dimension finie $M$ sur une $k$-algèbre de dimension finie $A$ est réductible ou irréductible.

(iii) Toute $k$-algèbre de dimension finie $A$ a un radical de dimension finie, et $A/\text{rad } A$ est un produit d'anneaux complets de matrices sur des algèbres à division.

Et nous restons un peu sur notre faim avec ces interrogations à la fin du chapitre IX.

Pour quels corps $k$ les conditions du théorème 5.2 sont-elles satisfaites ?
Les corps finis et les corps algébriquement clos fournissent des exemples
faciles. Le corps des nombres réels algébriques $\mathbb{R}^a$ admet seulement trois
algèbres à division, et une démonstration constructive de cette assertion
montre que ce corps satisfait les conditions du théorème 5.2.
**Théorème IX.5.3.** Soient $k$ un sous-corps discret du corps des nombres réels $\mathbb{R}$, algébriquement clos dans $\mathbb{R}$, $H = k(i, j)$ l'algèbre des quaternions sur $k$, et $A$ une $k$-algèbre de dimension finie. Ou bien $A$ contient un diviseur de zéro, ou bien $A$ est isomorphe à l'une des algèbres $k, k(i)$, ou $H$.

Est-ce que le corps $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels satisfait les conditions du théorème 5.2 ? Nous n'allons certainement pas produire un contre-exemple brouwerien avec $k = \mathbb{Q}$. Une analyse détaillée de la théorie classique des algèbres à division sur $\mathbb{Q}$, en analogie avec le théorème 5.3, donnera probablement une démonstration.

# 7 Les domaines de Dedekind

Bien que la théorie algébrique des nombres est généralement ressentie comme essentiellement constructive dans sa forme classique, même les auteurs qui attachent une attention particulière aux aspects constructifs de la théorie emploient des techniques hautement non constructives qui annulent leurs efforts. Par exemple, dans l'ouvrage [Borevich et Shafarevich 1966], les auteurs supposent que tout polynôme peut être décomposé en un produit de facteurs irréductibles (tout corps est factoriel), et qu'étant donné un sous-ensemble non vide des entiers naturels, on peut trouver son plus petit élément.

La théorie constructive des domaines de Dedekind dans [CCA] permet de donner une version explicite des exposés classiques de théorie des nombres et de géométrie algébrique concernant les corps locaux, par exemple le livre de J.-P. Serre [16]. Elle donne aussi les hypothèses convenables pour rendre compte des résultats classiques de la théorie des anneaux de Dedekind telle qu'on la trouve par exemple dans Bourbaki.

Cela nécessite de donner des définitions suffisamment précises et contrai-
gnantes, en commençant par celles de la théorie des valeurs absolues.

Citons à titre d'exemple les définitions concernant les domaines de Dedekind.

**Définition XIII.1.1.** Un ensemble discret non vide $S$ de valeurs absolues discrètes non triviales (voir page 292) sur un corps de Heyting $k$ est appelé un **ensemble de Dedekind** lorsque les propriétés suivantes sont satisfaites.

(i) Pour tout $x \in k$, il existe un sous-ensemble fini $T$ de $S$ tel que $|x|_p \le 1$ pour les $p \in S \setminus T$.
(ii) Si $|q|$ et $|q'|$ sont des valeurs absolues distinctes dans $S$, et si $\varepsilon > 0$, il existe un $x \in k$ tel que $|x|_p \le 1$ pour toute $p \in S$, $|x - 1|_q < \varepsilon$, et $|x|_{q'} < \varepsilon$. Par suite, des valeurs absolues distinctes dans $S$ sont inéquivalentes.

Soit $S$ un ensemble de Dedekind de valeurs absolues sur un corps de Heyting $k$. Si $p \in S$, alors, comme $p$ est ultramétrique, l'ensemble $R(p) = \{ x \in k : |x|_p \le 1 \}$ est un anneau, qui est local parce que $p$ est discrète. L'anneau $R(p)$ est appelé l'**anneau local** en $p$. Les éléments de l'anneau $\bigcap_{p \in S} R(p)$ sont appelés les éléments **entiers de S**. Un anneau est appelé un **domaine de Dedekind** si c'est l'anneau des entiers d'un ensemble de Dedekind de valeurs absolues sur un corps de Heyting.

Si le point fort est de rendre compte constructivement de l'essentiel des théo-
rèmes classiques, un point faible est que par exemple un anneau principal intègre
n'est un domaine de Dedekind que dans le cas où l'on dispose d'algorithmes de
factorisation des idéaux principaux en produit d'idéaux premiers. On pourra
comparer par exemple avec l'exposé dans l'ouvrage [5], avec une définition
constructivement plus faible mais plus proche de la définition classique usuelle
(voir la définition XII-7.7 et le théorème XII-7.9). Dans [5], les domaines de
Dedekind admettent une factorisation partielle pour les ensembles finis d'idéaux
de type fini, et les domaines de Dedekind à factorisation totale correspondent
aux domaines de Dedekind de [CCA].

Références

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[5] Henri LOMBARDI et Claude QUITTÉ : *Algèbre commutative. Méthodes construc-tives. Modules projectifs de type fini. Cours et exercices*. Calvage & Mounet, Paris, 2011. Traduction en anglais (version révisée et étendue par les auteurs) par Tania K. Roblot : *Commutative algebra : constructive methods. Finite projective modules*. Springer, Dordrecht, 2015.
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# Réception de l'ouvrage

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