# 8 Anneaux de Lasker-Noether

Un **anneau de Lasker-Noether** est un anneau commutatif cohérent noethérien fortement discret tel que le radical de tout idéal de type fini est l'intersection d'un nombre fini d'idéaux premiers de type fini. En particulier le radical d'un idéal de type fini est de type fini, et il admet une décomposition primaire (lemme 7.5(ii)). En mathématiques classiques, tout anneau commutatif noethérien est un anneau de Lasker-Noether (voir l'exercice 7.4). Les corps discrets sont des anneaux de Lasker-Noether, de même que l'anneau des entiers. Le nom *Lasker-Noether* fait référence à la décomposition de Lasker-Noether du théorème 8.5.

Si $k$ est un corps discret, $k[X]$ est un anneau cohérent noethérien fortement discret d'après le théorème de la base de Hilbert (théorème 1.5). Tout idéal de type fini de $k[X]$ est principal, donc si le radical de l'idéal principal ($f$) est l'intersection d'un nombre fini d'idéaux premiers de type fini, tout diviseur premier de $f$ correspond à un générateur de l'un de ces idéaux premiers (principaux). Donc si $k[X]$ est un anneau de Lasker-Noether, $k$ est un corps factoriel.

Le lemme 7.5(iii) garantit que dans un anneau de Lasker-Noether nous pouvons calculer les idéaux premiers minimaux au-dessus d'un idéal de type fini donné, qui sont eux-mêmes de type fini. La classe des anneaux de Lasker-Noether est stable par localisation en un idéal premier de type fini (théorème 8.1), et par passage au quotient modulo un idéal de type fini (théorème 8.2).

**Théorème 8.1.** *Soit $S$ un sous-monoïde multiplicatif d'un anneau de Lasker-Noether $R$ tel que $I \cap S$ est vide ou non vide pour tout idéal de type fini $I$ de $R$. Alors $S^{-1}R$ est un anneau de Lasker-Noether<fnref n="1" />.*

*Démonstration.* L'anneau $S^{-1}R$ est noethérien d'après le théorème 6.6 et cohérent d'après l'exercice III.3.4. Soit $J$ un idéal de type fini de $S^{-1}R$. Nous devons montrer que $\sqrt{J}$ est l'intersection d'un nombre fini d'idéaux premiers de type fini de $S^{-1}R$. On écrit $J = S^{-1}I$ pour un idéal de type fini $I$ de $R$. Alors $\sqrt{J} = S^{-1}\sqrt{I} = S^{-1}(P_1 \cap \cdots \cap P_n)$ avec les $P_i$ des idéaux premiers de type fini de $R$. Nous pouvons supposer que $P_i$ a une intersection vide avec $S$ pour $i \le m$, et non vide pour $i > m$. Le théorème 6.9 dit que nous avons $\sqrt{J} = \bigcap_{i=1}^m S^{-1}P_i$. Et $S^{-1}P_i$ est un idéal premier (de type fini) d'après le lemme 6.8. ■

**Théorème 8.2.** *Soient $R$ un anneau de Lasker-Noether et $I$ un idéal de type fini de $R$. Alors $R/I$ est un anneau de Lasker-Noether.*

*Démonstration.* Trivial. ■

<footnote n="1">1. **NdT.** Si $S = R \setminus P$ pour un idéal premier $P$, la condition « $I \cap S$ est vide ou non vide » signifie « $I$ est ou n'est pas contenu dans $P$ ». Comme $I$ est de type fini, le test est effectif si, et seulement si, $P$ est détachable. Une conséquence du théorème 8.1 est donc que pour tout idéal premier détachable, et en particulier pour tout idéal premier de type fini, le localisé $R_P$ est un anneau de Lasker-Noether, comme indiqué juste avant l'énoncé du théorème.</footnote>
Une série de composition pour un module de type fini cohérent fortement discret $M$ est une chaine finie maximale dans le treillis des sous-modules de type fini de $M$. On vérifie facilement qu’un espace vectoriel de dimension finie sur un corps a une série de composition.

Comme le treillis des sous-modules de type fini de $M$ est modulaire, le théorème de Jordan-Hölder-Dedekind (I.5.2) s’applique, donc un module avec une série de composition est noethérien et il satisfait la condition de chaine descendante sur les sous-modules de type fini.

**Théorème 8.3.** Soient $R$ un anneau de Lasker-Noether et $P$ un idéal premier minimal de $R$ tel que tout élément de $R\setminus P$ est inversible. Alors le $R$-module $R$ a une série de composition.

*Démonstration.* L'idéal $P$ est de type fini et l'anneau $F = R/P$ est un corps discret<fnref n="1" />. Comme $P$ est l'unique idéal premier minimal au-dessus de 0², il existe un $n$ tel que $P^n = 0$. Les modules $P^i/P^{i+1}$ sont des espaces vectoriels sur $F$, et sont de dimension finie parce que $R$ est cohérent fortement discret. Donc $R$ admet une série de composition formée d'idéaux de type fini détachables. ■

**Lemme 8.4.** Soit $R$ un anneau commutatif, $I$ un idéal de $R$, et $P_1, \dots, P_n, Q_1, \dots, Q_n$ des idéaux détachables de $R$ tels que $I \subseteq \bigcap_i Q_i$ et $Q_i$ est un idéal primaire appartenant à l'idéal premier $P_i$ pour chaque $i$. Soit $f \in (I : \bigcap_i Q_i) \setminus (\bigcup_i P_i)$. Alors

(i) $I : f = \bigcap_i Q_i$.

(ii) $I : f = I : f^2$.

(iii) $I = (I : f) \cap (I, f)$.

*Démonstration.* Si $x \in \bigcap_i Q_i$, alors $xf \in I$, donc $\bigcap_i Q_i \subseteq I : f$. Inversement, si $xf \in I$, alors $xf \in Q_i$, donc $x \in Q_i$ car $f \notin P_i$. Donc $I : f \subseteq \bigcap_i Q_i$.

Comme $f^2 \in (I : \bigcap_i Q_i) \setminus (\bigcup_i P_i)$, la propriété (i) dit que $I : f = \bigcap_i Q_i = I : f^2$.

De manière évidente $I \subseteq (I : f) \cap (I, f)$. Si $x \in (I : f) \cap (I, f)$, alors il existe un $a \in I$ et un $r \in R$ tels que $x = a + rf \in I : f$. Donc $af + rf^2 \in I$, et par suite $rf^2 \in I$. D'après (ii), cela implique $rf \in I$, donc $x = a + rf \in I$. ■

**Théorème 8.5 (théorème de décomposition primaire).** Soit $R$ un anneau de Lasker-Noether. Alors tout idéal de type fini de $R$ est décomposable.

<footnote n="1">1. **NdT.** D'après le lemme 7.5(iii), $P$ est un idéal premier associé à 0, donc de type fini, donc détachable. L'anneau $F = R/P$ est donc un anneau non trivial discret avec tout élément non nul inversible.</footnote>

<footnote n="2">2. **NdT.** La décomposition primaire de 0 dans $R$ donne celle de 0 dans $R/P$, qui est triviale. Donc $\sqrt{0} = P$.</footnote>
**Démonstration.** Soit $I$ un idéal de type fini propre de $R$. Nous construisons tout d'abord deux idéaux de type fini $J$ et $K$ tels que $J$ admet une décomposition primaire, $I = J \cap K$, et $K$ contient proprement $I$.

D'après le théorème 7.7, les idéaux primaires isolés $Q_1, \dots, Q_k$ de $I$ appartenant aux idéaux premiers minimaux $P_1, \dots, P_k$ au-dessus de $I$ sont de type fini. On pose $J = Q_1 \cap \dots \cap Q_k$. Comme $I : Q_i$ n'est pas contenu dans $P_i$, l'idéal $I : J$ n'est contenu dans aucun $P_i$, donc il existe un $f \in (I : J) \setminus (\cup_i P_i)$ d'après le théorème II.2.3. On prend $K = (I, f)$, et l'on a $I = J \cap K$ d'après le lemme 8.4.

Nous construisons maintenant une chaine ascendante d'idéaux de type fini $H_n$ de $R$ de la manière suivante. D'abord $H_1 = I$. Ensuite $H_{n+1} = R$ si $H_n = R$; sinon nous prenons un $H_{n+1}$ tel que $H_n = J \cap H_{n+1}$, où $J$ est décomposable et $H_{n+1}$ contient proprement $H_n$. Notez que si $H_n$ est décomposable, alors il en va de même pour $H_{n-1}$, et donc il en va de même pour $I$. Comme $R$ est noethérien, il existe un $n$ tel que $H_n = H_{n+1}$; mais cela arrive seulement si $H_n = R$, auquel cas $H_n$, et par suite $I$, est décomposable. $\blacksquare$

**Théorème 8.6.** Soit $P$ un idéal premier détachable propre d'un anneau de Lasker-Noether $R$, et soit $\varphi : R \to RP$ le morphisme naturel. Alors $RP$ est un anneau de Lasker-Noether, et $\varphi$ réfléchit les idéaux de type fini.

**Démonstration.** L'anneau $RP$ est de Lasker-Noether d'après le théorème 8.1. Soit $I$ un idéal de type fini de $RP$; on a un idéal de type fini $J \subseteq R$ tel que $I = J_P$. D'après le théorème 8.5, l'idéal $J$ admet une décomposition primaire $J = Q_1 \cap \dots \cap Q_n$. Si $Q_1, \dots, Q_s$ sont les idéaux primaires de cette décomposition contenus dans $P$, alors, d'après le lemme 6.8 et le théorème 6.9 où l'on prend $S = R \setminus P$, on a $\varphi^{-1}(I) = \varphi^{-1}(J_P) = Q_1 \cap \dots \cap Q_s$, qui est de type fini. $\blacksquare$

Exercices

1. Soit $R$ un anneau de Lasker-Noether qui est un anneau principal. Montrer que $R$ est un anneau à factorisation unique.

2. Soit $G$ l'exemple brouwerien dans l'exercice VII.1.5 d'un corps qui est factoriel mais pas pleinement factoriel. Montrer que $G[X, Y]$ est un anneau intègre à factorisation unique et un anneau cohérent noethérien fortement discret. Montrer que tout idéal principal de $G[X, Y]$ admet une décomposition primaire. Montrer que $G[X, Y]$ n'est pas un anneau de Lasker-Noether.

3. Soit $k$ un corps discret. Montrer que $k$ est factoriel si, et seulement si, $k[X]$ est un anneau de Lasker-Noether.

4. Soit $I$ un idéal de type fini d'un anneau de Lasker-Noether. Montrer que $\sqrt{I}$ est de type fini et que $I$ contient une puissance de $\sqrt{I}$.
5. Soient $R$ un anneau cohérent noethérien fortement discret et $P$ un idéal premier de type fini de $R$ tel que $P^n = 0$. Montrer que $R_P$ est un anneau de Lasker-Noether avec une série de composition.

6. Soit $I$ un idéal de type fini d'un anneau de Lasker-Noether $R$, et soit $P \supseteq I$ un idéal premier détachable propre de $R$. Montrer que $P$ est un idéal premier minimal de $I$ si, et seulement si, il existe un $n$ tel que $(P_P)^n \subseteq I_P$ dans $R_P$.

7. Soit $R$ un anneau de Lasker-Noether et $I$ un idéal de $R$ formé de diviseurs de zéro. Montrer que $rI = 0$ pour un élément non nul $r$ de $I$. (Suggestion : utiliser le théorème II.2.3. On devrait pouvoir affaiblir l'hypothèse à être cohérent noethérien, voire seulement noethérien.)

# 9 Anneaux complètement de Lasker-Noether

La propriété de Lasker-Noether ne passe pas toujours d'un anneau à l'anneau des polynômes : tout corps discret $k$ est un anneau de Lasker-Noether, mais $k[X]$ est un anneau de Lasker-Noether seulement si $k$ est factoriel.

Soit $R$ un anneau tel que $R[X_1, \dots, X_m]$ est un anneau de Lasker-Noether pour tout $m$. Soit $P$ un idéal premier de type fini propre de $R$, et $K$ le corps de fractions de $R/P$. Soit $E$ un corps, extension algébrique de dimension finie de $K$. Nous pouvons écrire $E = K[\alpha_1, \dots, \alpha_n]$ avec $\alpha_i$ entier sur $R/P$ pour chaque $i$. Alors $E$ est isomorphe au corps de fractions de $R[X_1, \dots, X_n]/I$, où l'idéal premier $I$ est engendré d'une part par $P$, et d'autre part, pour chaque $i$, par le relèvement dans $R[X_1, \dots, X_i]$ du polynôme minimal de $\alpha_i$ sur $K[\alpha_1, \dots, \alpha_{i-1}]$. Donc tout corps qui est une extension algébrique de dimension finie de $K$ est factoriel, et $K$ est pleinement factoriel. Cela suggère la définition suivante.

On dit qu'un anneau $R$ est **pleinement Lasker-Noether** si c'est un anneau de Lasker-Noether et si pour chaque idéal premier de type fini $P$ de $R$, le corps de fractions de $R/P$ est pleinement factoriel. Notez que l'anneau des entiers $\mathbb{Z}$ est pleinement Lasker-Noether, de même que tout corps pleinement factoriel.

**Théorème 9.1.** Soit $I$ un idéal de type fini d'un anneau pleinement Lasker-Noether $R$. Alors $R/I$ est un anneau pleinement Lasker-Noether.

*Démonstration.* D'après le théorème 8.2, l'anneau $R/I$ est un anneau de Lasker-Noether. Soit $P$ un idéal premier de type fini de $R/I$. L'image réciproque $P'$ de $P$ dans $R$ est un idéal premier de type fini de $R$, donc le corps de fractions de $(R/I)/P \simeq R/P'$ est pleinement factoriel. ■

**Théorème 9.2.** Si $P$ est un idéal premier détachable d'un anneau pleinement Lasker-Noether $R$, le localisé $R_P$ est un anneau pleinement Lasker-Noether.
**Démonstration.** D'après le théorème 8.1, l'anneau $R_P$ est un anneau de Lasker-Noether. Soit $Q$ un idéal premier de type fini de $R_P$. L'image réciproque $Q'$ de $Q$ dans $R$ est un idéal premier de type fini d'après le théorème 8.6, donc le corps de fractions de $R_P/Q$, qui est isomorphe au corps de fractions de $R/Q'$, est pleinement factoriel. ■

Si $R[X_1, \dots, X_n]$ est un anneau de Lasker-Noether pour chaque $n$, $R$ est un anneau pleinement Lasker-Noether. Nous allons démontrer la réciproque.

**Lemme 9.3.** Soit $S$ un sous-ensemble multiplicatif d'un anneau commutatif cohérent noethérien $R$. Si le morphisme $R \to S^{-1}R$ réfléchit les idéaux de type fini, il en va de même pour $R[X] \to S^{-1}R[X]$.

**Démonstration.** Comme $R \to S^{-1}R$ réfléchit les idéaux de type fini, le noyau de $R \to S^{-1}R$ est de type fini, donc nous pouvons supposer que $R \subseteq S^{-1}R$. L'anneau $S^{-1}R$ est cohérent et noethérien. Soit $I$ un idéal de type fini de $S^{-1}R[X]$, et soit $R[X]_m = \{f \in R[X] : \deg f < m\}$. D'après le lemme 1.1, il existe un $m$ tel que $M = I \cap S^{-1}R[X]_m$ est un $S^{-1}R$-module de type fini, et $I \cap S^{-1}R[X]_n = \sum_{i=0}^{n-m} MX^i$ pour chaque $n \ge m$. Soit $M'$ le $R$-module engendré par un système générateur fini du $S^{-1}R$-module $M$. Alors le module $\tau_S(R[X]_m/M') = (R[X]_m \cap I)/M'$ est de type fini d'après le théorème 6.4, donc le $R$-module $R[X]_m \cap I = M \cap R[X]$ est de type fini.

Soit $J$ l'idéal de $R[X]$ engendré par $M \cap R[X]$. C'est un idéal de type fini de $R[X]$ contenu dans $I \cap R[X]$. Soit $A$ l'idéal (de type fini) de $S^{-1}R$ formé par les coefficients de $X^{m-1}$ des éléments de $M$. Comme $R \to S^{-1}R$ réfléchit les idéaux de type fini, $A \cap R$ est de type fini, donc il existe $f_1, \dots, f_k \in M$ dont les coefficients de $X^{m-1}$ engendrent $A \cap R$. On prend un $s \in S$ tel que $sf_i \in R[X]$ pour chaque $i$. Comme $R[X]$ est cohérent et noethérien, il existe un $p$ tel que $J : s^p = J : s^{p+1}$. Nous allons montrer que l'idéal $I \cap R[X] = J : s^p$, et donc que cet idéal est de type fini.

Supposons que $s^p h \in J$ pour un $h \in R[X]$. Alors $s^p h \in I$, donc $h \in I$, et $h \in I \cap R[X]$. Inversement, supposons que $h \in I \cap R[X]$. Alors $h \in R[X]_n$ pour un $n$, et nous procédons par récurrence sur $n$. Si $n \le m$, alors $h \in J \subseteq J : s^p$. Si $n > m$, alors $h = \sum_i r_i f_i X^{n-m} + g$, où $g \in S^{-1}R[X]_{n-1}$ et $r_i \in R$. Donc $sh = \sum_i r_i s f_i X^{n-m} + sg$, et $sg \in I \cap R[X]_{n-1}$. Par récurrence sur $n$ nous avons $sg \in J : s^p$. Ainsi $h \in J : s^{p+1} = J : s^p$. ■

**Lemme 9.4.** Soit $R$ un anneau pleinement Lasker-Noether et $I$ un idéal propre de type fini de $R[X]$. Soient $M$ un idéal premier minimal au-dessus de $I \cap R$, $K$ le corps de fractions de $R/M$, et $J$ l'idéal engendré par $I$ dans $K[X]$. Si $J$ est propre, l'image réciproque $P$ de $\sqrt{J}$ dans $R[X]$ est une intersection finie d'idéaux premiers de type fini, et $I : P \ne I$.

**Démonstration.** Comme $K$ est un corps factoriel, $\sqrt{J}$ est l'intersection d'un nombre fini d'idéaux premiers principaux de $K[X]$. D'après le lemme 9.3, nous
voyons que l'intersection de chacun de ces idéaux premiers avec $(R/M)[X]$ est
de type fini, et donc $P$ est l'intersection d'un nombre fini d'idéaux premiers de
type fini.

Pour démontrer que $I : P \neq I$, on considère d'abord le cas spécial où
$M \subseteq \sqrt{R} \cap I$ et $K = R/M$. Comme $\sqrt{J}$ est un idéal principal de $K[X]$, il existe
un $g \in R[X]$ dont l'image engendre $\sqrt{J}$. Comme $M \subseteq \sqrt{R} \cap I$, il existe un
$n \geq 1$ tel que $M^n \subseteq I$ et $M^{n-1} \setminus I$ est non vide. On prend un $t \in M^{n-1} \setminus I$ et on
note que $tM \subseteq I$. Comme $g \in \sqrt{I} + M[X]$, il existe un $m \in \mathbb{N}$ tel que $tg^m \notin I$
et $tg^{m+1} \in I$. Alors $tg^m \in (I : P) \setminus I$. Notez que nous n'avons pas besoin du
lemme 9.3 dans ce cas puisque $P$ est une intersection d'idéaux premiers de la
forme $(p) + M[X]$ qui sont clairement de type fini.

Pour traiter le cas général on pose $S = R \setminus M$. Alors $S^{-1}R$ est un anneau
de Lasker-Noether, $S^{-1}M$ est le radical de $S^{-1}I \cap S^{-1}R$, et $S^{-1}R/S^{-1}M = K$.
L'image réciproque de $\sqrt{J}$ dans $S^{-1}R[X]$ est $S^{-1}P$. Le cas spécial nous donne
$S^{-1}I : S^{-1}P \neq S^{-1}I$, donc $I : P \neq I$. ■

**Lemme 9.5.** Si $R$ est un anneau pleinement Lasker-Noether, alors $R[X]$ est un anneau cohérent noethérien fortement discret tel que pour tout idéal premier de type fini $P$ de $R[X]$, le corps de fractions de $R[X]/P$ est pleinement factoriel.

*Démonstration.* D'après le théorème de la base de Hilbert, (théorème 1.5), nous savons que $R[X]$ est un anneau cohérent noethérien fortement discret. L'idéal $P' = P \cap R$ est un idéal premier de type fini de $R$ d'après le théorème 1.2, donc le corps de fractions de $R/P'$ est pleinement factoriel. Le corps de fractions de $R[X]/P \simeq (R/P')(X)/(P/P')(X)$ est une extension de présentation finie d'un corps pleinement factoriel, donc il est pleinement factoriel d'après le théorème 2.6. ■

**Théorème 9.6.** *Si $R$ est un anneau pleinement Lasker-Noether, il en va de même pour $R[X]$.*

*Démonstration.* D'après le lemme 9.5, il suffit de démontrer que si $I$ est un idéal propre de type fini de $R[X]$, alors il existe un nombre fini d'idéaux premiers de type fini qui contiennent $I$ tels qu'une puissance de l'intersection de ces idéaux premiers est contenue dans $I$. Comme un certain produit d'idéaux premiers minimaux au-dessus de $R \cap I$ est contenu dans $R \cap I$, il existe un idéal premier minimal $M$ au-dessus de $R \cap I$ tel que $I + M[X] \neq R[X]$. Si $K$ est le corps de fractions de $R/M$, l'idéal $J$ engendré par l'image de $I$ dans $K[X]$ est propre. D'après le lemme 9.4, l'image réciproque $P$ de $\sqrt{J}$ dans $R[X]$ est une intersection finie d'idéaux premiers de type fini, et $I : P \neq I$. Soit $L$ l'intersection de ces idéaux $P$ lorsque $M$ parcourt les idéaux premiers minimaux de $R$ tels que $J$ est propre. Remplaçons $I$ par $I_2 = I : L \supseteq I : P \neq I$ et recommandons. Ceci nous fournit une chaine ascendante d'idéaux $I = I_1 \subseteq I_2 \subseteq \dots$ et des intersections finies d'idéaux premiers de type fini $L = L_1, L_2, \dots$ telles que
$I_{n+1} = I_n : L_n$, et $I_n \neq I_{n+1}$ sauf si $I_n = R[X]$. Il existe un $n$ tel que $I_n = I_{n+1}$ donc $R[X] = I_n \subseteq I : L_1L_2\cdots L_{n-1}$ et par suite $L_1L_2\cdots L_{n-1} \subseteq I$. ■

Exercices

1. Montrer qu'un corps discret est pleinement factoriel si, et seulement si, c'est un anneau pleinement Lasker-Noether.

2. Montrer que l'anneau des entiers est pleinement Lasker-Noether. Conclure que le corps des nombres rationnels est pleinement factoriel.

3. En considérant les anneaux $Q \subseteq \mathbb{Q}[X]$, construire un exemple brouwerien d'un anneau pleinement Lasker-Noether qui n'a pas d'idéal maximal de type fini.

4. **Un anneau noethérien désagréable (Nagata).** Soient $k$ un corps discret et $X_1, X_2, \dots$ un ensemble dénombrable d'indéterminées. Soit $m_1, m_2, \dots$ une suite d'entiers strictement positifs avec $0 < m_i - m_{i-1} < m_{i+1} - m_i$ pour tout $i$. Soit $P_i$ l'idéal (premier) de $K = k[X_1, X_2, \dots]$ engendré par $\{X_j : m_i \le j < m_{i+1}\}$, soit $S$ l'ensemble des polynômes sur $K$ qui n'appartiennent à aucun $P_i$, et soit $R = S^{-1}K$. Montrer les propriétés suivantes.

(i) $K$, et donc aussi $R$, est cohérent.

(ii) Si $I$ est un idéal de type fini propre non nul de $R$, l'ensemble $\{i : I \subseteq S^{-1}P_i\}$ est fini non vide.

(iii) La localisation $R_i$ de $K$ en $P_i$ est un anneau noethérien.

(iv) $R$ est un anneau (pleinement) de Lasker-Noether si $k$ est (pleinement) factoriel.

(v) $R$ contient des chaines arbitrairement longues d'idéaux premiers de type fini.

5. Soit $S$ un sous-ensemble multiplicatif de type fini d'un anneau pleinement Lasker-Noether $R$. Montrer que $S^{-1}R$ est pleinement Lasker-Noether.

6. Soit $K$ un corps pleinement factoriel. Soient $R = K[X, Y, Z]$ et $I = (X^2 - YZ, Y^2 - XZ)$. Déterminer les idéaux premiers minimaux au-dessus de $I$.

10 Le théorème de l'idéal principal

La **hauteur** d'un idéal premier de type fini détachable d'un anneau noethérien $R$ est définie comme sa hauteur dans l'ensemble des idéaux premiers de type fini détachables de $R$, ordonné par inclusion (voir les définitions de la hauteur et de la profondeur page 23).
**Théorème 10.1** (théorème de l'idéal principal). Soient $a$ un élément non inversible d'un anneau de Lasker-Noether $R$ et $P$ un idéal premier de type fini propre minimal au-dessus de $(a)$. Alors $P$ est de hauteur au plus 1.

*Démonstration.* Soit $Q$ un idéal premier de type fini de $R$ tel que $P \supseteq Q$. Nous allons montrer que $Q$ est égal à $P$ ou qu'il est minimal au-dessus de 0. D'après le lemme 6.8, nous pouvons localiser en $P$ et donc supposer que tout élément de $R \setminus P$ est inversible. Si $a \in Q$, on a $Q = P$ en raison de la minimalité de $P$; nous pouvons donc supposer que $a \notin Q$. Nous montrons alors que $Q$ est minimal au-dessus de 0. Considérons la suite décroissante des puissances symboliques $Q^{(1)} \supseteq Q^{(2)} \supseteq \dots$ de $Q$. Les idéaux $Q^{(i)} + (a)$ forment une suite décroissante d'idéaux qui contiennent $(a)$. Comme l'idéal $P/(a)$ est un idéal premier minimal de $R/(a)$, l'anneau $R/(a)$ est un anneau de Lasker-Noether avec une série de composition d'après le théorème 8.3. D'après le théorème 6.12, les idéaux $Q^{(i)}$ sont de type fini, donc il y a un $n$ tel que $Q^{(n)} + (a) = Q^{(n+1)} + (a)$. Donc, si $q \in Q^{(n)}$, il existe un $r \in Q^{(n+1)}$ et un $x \in R$ tels que $q = r + xa$. Or $a \notin Q$, alors que $xa = q - r \in Q^{(n)}$, donc $x \in Q^{(n)}$. Donc $Q^{(n)} = Q^{(n+1)} + Q^{(n)}a$. D'après le lemme de Nakayama, on a $Q^{(n)} = Q^{(n+1)}$, donc $Q$ est un idéal premier minimal au-dessus de 0 d'après le théorème 6.11. ■

**Lemme 10.2.** Soit $R$ un anneau de Lasker-Noether. Soit $P_0 \supset \dots \supset P_{n-1} \supset P_n$ une suite strictement décroissante d'idéaux premiers de type fini propres et soit $x \in P_0$. Alors il existe des idéaux premiers de type fini $P_1^*, \dots, P_{n-1}^*$ tels que la suite $P_0 \supset P_1^* \supset \dots \supset P_{n-1}^* \supset P_n$ est strictement décroissante et $x \in P_{n-1}^*$.

*Démonstration.* Il suffit de traiter le cas où $n=2$, $x \notin P_1$, et $P_2=0$. Soit $P_1^*$ un idéal premier minimal au-dessus de $(x)$ qui est contenu dans $P_0$. Il est clair que $P_1^*$ est non nul. L'idéal premier $P_0$ a une hauteur au moins égale à 2, tandis que l'idéal premier $P_1^*$ est un idéal premier minimal au-dessus de l'idéal principal $(x)$. Le théorème de l'idéal principal (10.1) nous dit que $P_1^*$ a une hauteur au plus 1. Donc $P_0$ contient proprement $P_1^*$. ■

**Corolaire 10.3.** Soit $R$ un anneau de Lasker-Noether. Soient $P_0 \supset \dots \supset P_{n-1} \supset P_n$ une suite strictement décroissante d'idéaux premiers de type fini propres et $Q_1, \dots, Q_m$ des idéaux premiers de type fini propres qui ne contiennent pas $P_0$. Alors il existe des idéaux premiers de type fini $P_1^*, \dots, P_{n-1}^*$ avec la suite $P_0 \supset P_1^* \supset \dots \supset P_{n-1}^* \supset P_n$ strictement décroissante, et tels qu'aucun $Q_i$ ne contient $P_{n-1}^*$.

*Démonstration.* D'après le théorème II.2.3, l'idéal $P_0$ n'est pas contenu dans la réunion $Q_1 \cup \dots \cup Q_m$. On prend un $x \in P_0 \setminus (Q_1 \cup \dots \cup Q_m)$ et on applique le lemme 10.2. ■

**Théorème 10.4** (théorème de l'idéal principal généralisé). Soient $R$ un anneau de Lasker-Noether et $I = (a_1, \dots, a_n)$. Alors tout idéal premier minimal au-dessus de $I$ est de hauteur au plus $n$.
**Démonstration.** Soit $P$ un idéal premier minimal au-dessus de $I$. Nous procédons par récurrence sur $n$. Si $n=0$, alors $I=0$ et $P$ est un idéal premier minimal de $R$, donc $P$ est de hauteur 0.

Soit $J = (a_1, \dots, a_{n-1})$. Si $P$ est un idéal premier minimal au-dessus de $J$, alors $P$ et de hauteur au plus $n-1$ par hypothèse de récurrence. Il suffit donc de traiter le cas où $P$ n'est contenu dans aucun des idéaux premiers minimaux au-dessus de $J$.

Il nous faut montrer qu'il ne peut pas exister une suite strictement décroissante $P = P_0 \supset P_1 \supset \dots \supset P_n \supset P_{n+1}$ d'idéaux premiers de type fini. Si nous avions une telle suite, d'après le corolaire 10.3, nous pourrions construire une suite strictement décroissante d'idéaux premiers de type fini $P = P_0^* \supseteq P_1^* \supseteq \dots \supseteq P_n^* \supseteq P_{n+1}$ où $P_n^*$ ne serait contenu dans aucun des idéaux premiers minimaux au-dessus de $J$. L'idéal premier $P/J$ de $R/J$ est un idéal premier minimal au-dessus de l'idéal principal $I/J$, donc il est de hauteur 1 d'après le théorème de l'idéal principal, (théorème 10.1). L'idéal $(P_n^*+J)/J$ n'est contenu dans aucun idéal premier minimal de $R/J$, mais $P/J \supseteq (P_n^*+J)/J$. Donc $P/J$ est un idéal premier minimal au-dessus de $(P_n^*+J)/J$. Donc $P$ est un idéal premier minimal au-dessus de $P_n^*+J$, et $P/P_n^*$ est un idéal premier minimal au-dessus de l'idéal $(P_n^*+J)/P_n^*$ de $R/P_n^*$. Dans l'anneau $R/P_n^*$, l'idéal $(P_n^*+J)/P_n^*$ est engendré par $n-1$ éléments. Par récurrence $P/P_n^*$ est de hauteur au plus $n-1$. Donc $P_i^*/P_n^* = P_{i+1}^*/P_n^*$ pour un $i < n$, et $P_i^* = P_{i+1}^*$, ce qui est une contradiction. $\blacksquare$

Le théorème 10.1 implique qu'un idéal premier principal propre dans un anneau de Lasker-Noether est de hauteur au plus 1. La réciproque n'est pas vraie : un idéal premier de hauteur au plus 1 n'est pas nécessairement principal (exercice 3). On a cependant le résultat suivant.

**Théorème 10.5.** Soit $P$ un idéal premier de type fini propre d'un anneau de Lasker-Noether $R$. Alors il existe un $m$ tel que $P$ est de hauteur $m$ et est un idéal premier minimal au-dessus d'un idéal engendré par $m$ éléments.

**Démonstration.** Comme $P$ est minimal au-dessus de $P$, d'après le théorème 10.4, il existe un $n$ tel que $P$ est de hauteur en plus $n$. Nous procédons par récurrence sur $n$. Il y a un nombre fini d'idéaux premiers minimaux $Q_1, \dots, Q_k$ de $R$ contenus dans $P$. Si $P = Q_i$ pour un $i$, alors $P$ est de hauteur 0 et minimal au-dessus de l'idéal 0, qui est engendré par 0 élément. Sinon, nous pouvons trouver pour chaque $i$ un $x_i \in P \setminus Q_i$. Il y a alors un nombre fini d'idéaux premiers minimaux au-dessus de $Q_i + (x_i)$, et si $\hat{Q}$ est l'un d'entre eux, alors $P/\hat{Q}$ est de hauteur au plus $n-1$, donc par récurrence $P/\hat{Q}$ a une hauteur. Soit $m-1$ le maximum des hauteurs des $P/\hat{Q}$ avec $\hat{Q} \subseteq P$ un idéal premier minimal au-dessus d'un $Q_i + (x_i)$. Nous allons montrer que $P$ est de hauteur $m$.

Clairement $P$ est de hauteur au moins $m$ parce que chaque $\hat{Q}$ est de hauteur au moins 1. Soit $P = P_0 \supset \dots \supset P_n$ une suite strictement décroissante d'idéaux
premiers de type fini. Alors $P_n \supseteq Q_i$ pour un $i$. D'après le lemme 10.2, il y a une suite strictement décroissante $P = P_0 \supset P_1^* \supset \dots \supset P_{n-1}^* \supset P_n$ telle que $x_i \in P_{n-1}^*$. Donc $P_{n-1}^*$ contient l'un les idéaux premiers $\hat{Q}$ minimaux au-dessus de $Q_i + (x_i)$. Donc $n \le m+1$ et P est de hauteur au plus m.

Nous venons de montrer que P a une hauteur bien définie.

Si $P$ est de hauteur $m$, nous allons montrer que $P$ est un idéal premier minimal au-dessus d'un idéal $I$ engendré par $m$ éléments. Nous procédons par récurrence sur $m$. Nous pouvons supposer que $m > 0$. Soient $Q_1, \dots, Q_n$ les idéaux premiers minimaux de $R$ contenus dans $P$. Comme $P$ contient proprement chaque $Q_i$, le théorème II.2.3 nous dit qu'il existe un $x \in P \setminus (Q_1 \cup \dots \cup Q_n)$. Donc $P(x)$ est de hauteur au plus $m-1$ dans $R(x)$. Par récurrence il existe un idéal $J \subseteq R$ tel que $J$ est engendré par $m-1$ éléments et $P(x)$ est un idéal premier minimal au-dessus de $(J+x)(x)$. Donc $P$ est un idéal premier minimal au-dessus de $I = J + x). $■

**Corolaire 10.6.** *Tout idéal premier de type fini propre d'un anneau de Lasker-Noether a une hauteur<fnref n="1" />. ■*

Exercices

1. Soit $R$ un anneau cohérent noethérien fortement discret. Montrer que tout idéal premier de type fini de $R$ de hauteur 1 est un idéal premier minimal au-dessus d'un idéal principal.

2. Soit $R$ un anneau de Lasker-Noether intègre. Montrer que $R$ est un anneau à factorisation unique si, et seulement si, tout idéal premier de hauteur 1 est principal.

3. Soit $R = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, et soit $P$ l'idéal engendré par $2$ et $1 + \sqrt{-5}$. Montrer que $R$ est un anneau de Lasker-Noether intègre. Montrer que $R/P$ est un corps discret à 2 éléments, donc $P$ est un idéal premier de type fini. Montrer que $P$ est de hauteur 1 mais n'est pas principal.

11 Notes

Une version constructive du théorème de la base de Hilbert a été donnée
par Jonathan Tennenbaum dans sa thèse de 1973 sous la direction d'Errett
Bishop à l'Université de Californie à San Diego. Tennenbaum a utilisé une
opération génératrice noethérienne plutôt qu'une fonction. C'est l'un des rares
exemples où la notion d'opération de A vers B, due à Bishop, ne peut pas être
interprétée comme une fonction de A vers l'ensemble des sous-ensembles non
vides de B. La forme originale et l'esprit du résultat de Tennenbaum peuvent

<footnote n="1">1. NdT. En particulier un anneau local de Lasker-Noether dont l'idéal maximal est de type fini a une dimension de Krull bien définie.</footnote>
être retrouvées en ignorant la fonction $\varphi$ dans la section 3 et en considérant
la fonction $\rho$ comme une opération. Les exercices 4.5 et 4.6 sur les anneaux
de Tennenbaum constituent une tentative de retrouver la forme du résultat de
Tennenbaum sans s'appuyer sur la notion d'opération.

Le théorème de la base de Hilbert pour les anneaux cohérents noethériens fortement discrets a été démontré par Richman (1974) en s'appuyant sur le résultat de Tennenbaum. Seidenberg (1974a) a montré comment se débarrasser de la dépendance par rapport au résultat de Tennenbaum, et en même temps il a démontré que le théorème de la base de Hilbert est également valable pour les anneaux cohérents noethériens (sans référence à la détachabilité des idéaux de type fini). Notez que cet autre théorème de la base de Hilbert n'est ni moins général ni plus général que celui qui s'applique aux anneaux fortement discrets : aussi bien l'hypothèse que la conclusion sont plus faibles.

Le théorème principal sur la décomposition primaire des idéaux dans les
anneaux noethériens – à savoir que $R[X]$ est un anneau pleinement Lasker-Noether si $R$ est pleinement Lasker-Noether – a d'abord été démontré par Seidenberg (1984), qui ne peut cependant pas être blâmé pour la terminologie.

L'anneau noethérien désagréable de l'exercice 9.4 provient de [Nagata 1962].
Il fournit un exemple d'un anneau pleinement Lasker-Noether qui n'est pas
construit à partir d'un corps discret (ou d'un anneau principal) par ajout d'un
nombre fini d'indéterminées puis par passage à un quotient et à une localisation.
# IX. Algèbres de dimension finie

## Sommaire

<table><tr><td>1</td><td>Représentations</td><td>229</td></tr><tr><td>2</td><td>Le théorème de densité</td><td>232</td></tr><tr><td>3</td><td>Le radical et les facteurs directs</td><td>235</td></tr><tr><td>4</td><td>Théorème de Wedderburn, première partie</td><td>240</td></tr><tr><td>5</td><td>Anneaux de matrices et algèbres à division</td><td>243</td></tr><tr><td>6</td><td>Notes</td><td>245</td></tr></table>

## 1 Représentations

Soit $k$ un corps discret<fnref n="1" />. Une $k$-algèbre est un anneau $A$, qui est aussi un espace vectoriel sur $k$, avec $\lambda(ab) = (\lambda a)b = a(\lambda b)$ pour tous $\lambda \in k$ et $a, b \in A$. Si $A$ et $B$ sont des $k$-algèbres, un **homomorphisme** de $A$ vers $B$ est un homomorphisme d'anneaux qui est aussi une application $k$-linéaire. Le terme **de dimension finie**, appliqué à une structure $S$ qui est un $k$-espace vectoriel, comme une $k$-algèbre, signifie que $S$ est un espace vectoriel de dimension finie sur $k$.

Si $M$ est un espace vectoriel de dimension $n$ sur $k$, les applications $k$-linéaires de $M$ vers $M$ forment une $k$-algèbre de dimension finie $E_k(M)$ qui peut être identifiée à l'algèbre des matrices $n \times n$ sur $k$. Toute $k$-algèbre de dimension finie $A$ est isomorphe à une sous-algèbre de dimension finie de $E_k(A)$ en faisant correspondre à tout élément $a$ de $A$ l'application linéaire $T_a$ de $A$ vers $A$ donnée par $T_a(x) = ax$.

Une **représentation** d'une $k$-algèbre de dimension finie $A$ est donnée par un $k$-espace vectoriel de dimension finie $M$ et un homomorphisme de $k$-algèbres $\varphi: A \to E_k(M)$. Si nous laissons tomber la référence explicite à $\varphi$ et si nous

<footnote n="1">1. NdT. Dans ce chapitre, $k$ désigne toujours un corps discret. Et une $k$-algèbre de dimension finie est toujours (implicitly) non nulle.</footnote>
écrivons $am$ pour $\varphi(a)m$, nous avons la notion d'un $A$-module de dimension finie (sur $k$). Si le noyau $K$ de la représentation $\varphi$ est nul, nous disons que $\varphi$ (ou $M$) est **fidèle**. Si $M$ est un $A$-module fidèle, la $k$-algèbre $A$ peut être identifiée à une sous-algèbre de $E_k(M)$. Le théorème suivant donne plusieurs constructions importantes qui fournissent des espaces vectoriels de dimension finie.

**Théorème 1.1.** Soient $A$ une $k$-algèbre de dimension finie, $M$ un $A$-module de dimension finie, $I$ un sous-espace de dimension finie de $A$, et $N$ un sous-espace de dimension finie de $M$. Alors on obtient les $k$-espaces vectoriels de dimension finie suivants.

(i) Le sous-espace $IN$ de $M$ engendré par $\{ax : a \in I \text{ et } x \in N\}$.

(ii) La sous-algèbre $k + I + I^2 + I^3 + \dots$ de $A$ engendrée par $I$.

(iii) Le **centre** de $A$: $\{a \in A : ax = xa \text{ pour tout } x \in A\}$.

(iv) Le **noyau de la représentation** $M : K = \{a \in A : aM = 0\}$.

(v) Le **centralisateur** de $A/K$: $\{b \in E_k(M) : ab = ba \text{ pour tout } a \in A\}$.

**Démonstration.** Le sous-espace $IN$ est clairement de type fini, donc de dimension finie. Pour chaque $n$ le sous-espace $S_n = I + I^2 + \dots + I^n$ est de dimension finie, donc nous pouvons trouver un $n$ tel que $S_n = S_{n+1}$, d'où ensuite $S_m = S_n$ pour chaque $m \ge n$. Le centre de $A$ est l'intersection des noyaux des applications $k$-linéaires $f_x: A \to A$ données par $f_x(a) = ax - xa$, où $x$ parcourt une base de $A$. Le noyau $K$ de la représentation $M$ est l'intersection des noyaux des applications $k$-linéaires $g_m: A \to M$ données par $g_m(a) = am$, où $m$ parcourt une base de $M$. Le centralisateur de $A/K$ est l'intersection des noyaux des applications $k$-linéaires $h_a: E_k(M) \to E_k(M)$ données par $h_a(b) = ab - ba$, où $a$ parcourt une base de $A$. $\blacksquare$

D'après le théorème 1.1(iv), nous pouvons décider si $M$ est fidèle ou pas. Dans chaque cas, nous pouvons regarder $M$ comme un module fidèle sur $A/K$. L'anneau des endomorphismes de $M^1$ est le centralisateur de l'algèbre $A/K$ vue comme une sous-algèbre de $E_k(M)$.

Si $a$ et $b$ sont des éléments non nuls d'une $k$-algèbre de dimension finie $A$ et si $ab = 0$, nous disons que $a$ est un **diviseur de zéro à gauche**, et que $b$ est un **diviseur de zéro à droite**.

**Corolaire 1.2.** Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie. Tout élément non nul de $A$ est ou bien inversible, ou bien un diviseur de zéro à droite et à gauche.

**Démonstration.** Pour $a \in A$, définissons $\rho_a: A \to A$ en posant $\rho_a(x) = xa$. D'après le théorème II.6.2, ou bien $\rho_a$ a un noyau non nul, auquel cas $a$ est un diviseur de zéro à droite, ou bien $\rho_a$ est surjective, auquel cas $a$ a un inverse à gauche $b$. Dans ce dernier cas, $\rho_a$ est aussi injective, on a $ba = 1$ et

<footnote n="1">1. NdT. $M$ vu comme module sur $A/K$.</footnote>
$\rho_a(ab) = a = \rho_a(1)$, ce qui implique $ab = 1$, donc $a$ est inversible. Ainsi ou bien $a$ est inversible, ou bien $a$ est un diviseur de zéro à droite. De même, ou bien $a$ est inversible, ou bien $a$ est un diviseur de zéro à gauche. ■

Notons que $Aa = A$ si, et seulement si, $a$ est inversible. Donc une algèbre de dimension finie $A$ a un idéal à gauche non trivial de dimension finie si, et seulement si, $A$ contient un diviseur de zéro. Nous ne pouvons pas toujours décider si tout élément non nul de $A$ possède un inverse, c'est-à-dire, si $A$ est une **algèbre à division** ou pas.

**Exemple 1.3.** Soient $a$ une suite binaire et $k = \bigcup_n \mathbb{Q}(ia_n)$. Soit $X$ une indéterminée et $A$ la $k$-algèbre $k[X]/(X^2+1)$, qui est de dimension 2. On vérifie facilement que $A$ est une algèbre à division exactement lorsque $a_n = 0$ pour tout $n$. ■

Une $k$-algèbre de dimension finie $A$ est une algèbre à division si, et seulement si, elle ne contient aucun diviseur de zéro. C'est un théorème de mathématiques classiques que tout module sur une algèbre à division est libre. Donc, en mathématiques classiques, ou bien $A$ contient un diviseur de zéro, ou bien tout $A$-module à gauche de dimension finie sur $k$ est libre. Même si nous ne pouvons pas décider laquelle de ces alternatives est satisfaite, nous pouvons néanmoins, étant donné un $A$-module $M$, ou bien construire une base de $M$ sur $A$, ou bien construire un diviseur de zéro dans $A$.

**Théorème 1.4.** *Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie, $M$ un $A$-module de dimension finie sur $k$, et $u$ un élément non nul de $M^1$. Ou bien $A$ contient un diviseur de zéro, ou bien $M$ est un $A$-module libre avec une base qui contient $u$.*

*Démonstration.* L'ensemble $\{a \in A : au = 0\}$ est un idéal à gauche de $A$, de dimension finie. S'il est non nul, nous avons terminé d'après le corolaire 1.2, donc supposons que $Au$ est un $A$-module libre de rang 1. Alors $N = M/Au$ est un $A$-module de dimension finie plus petite que la dimension de $M$. Si $N = 0$, alors $\{u\}$ est une base du $A$-module $M$. Sinon, par récurrence sur la dimension de $M$, ou bien $A$ contient un diviseur de zéro, ou bien $N$ est un $A$-module libre. Dans ce dernier cas, $M$ est un $A$-module libre avec une base qui contient $u$. ■

Soit $K$ une $k$-algèbre de dimension finie. De nombreuses constructions qui peuvent être effectuées lorsque $K$ est un anneau à division peuvent être tentées, que $K$ soit un anneau à division ou pas ; le résultat sera la construction souhaitée, ou sinon la construction d'un diviseur de zéro dans $K$. Le théorème 1.4 est un exemple de cette technique. Un autre exemple est la construction du polynôme minimal.

Soient $A$ une $k$-algèbre de dimension finie, $K$ une sous-algèbre du centre de $A$, et $a \in A$. Un polynôme unitaire $f \in K[X]$ est appelé le **polynôme minimal**

<footnote n="1">1. NdT. Si la dimension du $k$-espace vectoriel $M$ est $> 0$, un tel $u$ existe toujours.</footnote>
de $a$ sur $K$ si pour tout $g \in K[X]$ on a $g(a) = 0$ si, et seulement si, $f$ divise $g$. On vérifie facilement que le polynôme minimal est unique s'il existe, et que dans ce cas $K[a] \simeq K[X]/(f)$.

**Théorème 1.5.** Soient $A$ une $k$-algèbre de dimension finie, $K$ une sous-algèbre de dimension finie du centre de $A$, et $a \in A$. Alors nous pouvons construire, ou bien un diviseur de zéro dans $K$, ou bien le polynôme minimal de $a$ sur $K$.

*Démonstration.* Pour $n \in \mathbb{N}$, notons $M_n = K + Ka + \cdots + Ka^n$. On considère l'application $K$-linéaire $\varphi_n : K \to M_n/M_{n-1}$ qui envoie 1 sur $a^n$, et on prend le plus petit $n$ tel que $\ker \varphi_n \neq 0$: nous pouvons trouver un tel $n \le 1 + \dim A$ parce que nous avons $M_n = M_{n-1}$ à un certain point. Si $\ker \varphi_n \neq K$, alors $K$ contient un diviseur de zéro. Sinon, on voit facilement que $1, a, \dots, a^{n-1}$ est une base de $M_n = M_{n-1}$ sur $K$, et si $a^n = c_0 + c_1a + \cdots + c_{n-1}a^{n-1}$, alors $p(X) = X^n - c_{n-1}X^{n-1} - \cdots - c_1X - c_0$ est le polynôme minimal de $a$ sur $K$. ■

Exercices

1. Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie. Montrer que $A$ est un anneau cohérent noethérien fortement discret.

2. Montrer que l'algèbre $A$ de l'exemple 1.3 est une algèbre à division exactement lorsque $a_n = 0$ pour tout $n$.

3. Construire un contre-exemple brouwerien pour le théorème qui affirme que si $A$ est une $k$-algèbre de dimension finie, alors ou bien $A$ contient un diviseur de zéro, ou bien tout $A$-module est libre.

4. L'algèbre des quaternions $H$ sur $k$ est la $k$-algèbre de dimension 4 avec une base $\{1, i, j, ij\}$ qui satisfait les égalités

$$i^2 = j^2 = -1, \quad ij = -ji.$$

Pour quels corps discrets $k$ l'algèbre $H$ est-elle une algèbre à division ?
Pour quels $k$ l'algèbre $H$ contient-elle un diviseur de zéro ?

5. Montrer que si $k$ est algébriquement clos et si $A$ est une $k$-algèbre de dimension finie, alors ou bien $A$ est une algèbre à division, ou bien $A$ contient un diviseur de zéro.

## 2 Le théorème de densité

Un module $M$ est dit **réductible**<fnref n="1" /> s'il a un sous-module propre non nul – sinon il est dit **simple** (ou **irréductible**). En mathématiques classiques, le

<footnote n="1">1. **NdT.** Reducible module : pas de traduction dans la littérature mathématique française usuelle.</footnote>
**théorème de densité** affirme que si $M$ est un $A$-module fidèle simple, alors le centralisateur $B$ de $A$ est un anneau à division (lemme de Schur) et $A$ est un anneau dense d'endomorphismes du $B$-espace vectoriel $M$. Cette terminologie renvoie à la situation où $M$ est de dimension infinie sur $B$, et la conclusion est que $A$ est dense au sens que tout ensemble fini $B$-indépendant $\{x_1, \dots, x_k\}$ de $M$ peut être envoyé sur n'importe quel sous-ensemble $\{y_1, \dots, y_k\}$ au moyen de la multiplication par un élément de $A$.

Dans le cas de la dimension finie, qui est celui que nous allons traiter, nous pouvons conclure que $A$ est l'anneau de tous les $B$-endomorphismes du module $M$, c'est-à-dire que $A$ est le centralisateur de $B$ dans $E_k(M)$. D'un point de vue constructif, le théorème de densité est beaucoup plus utile si nous pouvons l'appliquer à un module qui n'est pas nécessairement simple.

**Théorème 2.1** (théorème de densité). Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie d'endomorphismes d'un $k$-espace vectoriel de dimension finie $M$, et soit $u$ un élément non nul de $M$. Notons $B$ le centralisateur de $A$ dans $E_k(M)$. Alors l'une des propriétés suivantes est satisfaite<fnref n="1" />.

(i) $M$ contient un sous-$A$-module non trivial.

(ii) $M$ est un $B$-module libre avec une base qui contient $u$, et $A$ est le centralisateur de $B^2$.

*Démonstration.* En regardant $M$ comme un $B$-module, le théorème 1.4 nous dit que, ou bien $B$ contient un diviseur de zéro, ou bien $M$ est un $B$-module libre avec une base qui contient $u$. Si l'on a un diviseur de zéro $b$ dans $B$, $bM$ est un sous-$A$-module non trivial de $M$.

Nous supposons maintenant que $M$ est un $B$-module libre avec une base $u_1, \dots, u_n$ qui contient $u$. Pour $j = 0, \dots, n$ nous posons

$$L_j = \{ a \in A : au_i = 0 \text{ pour tout } i \le j \}.$$

Il est clair que $L_j$ est un idéal à gauche de $A$, de dimension finie. Nous pouvons supposer que le sous-$A$-module (de dimension finie) $L_j u_i$ de $M$ est égal à 0 ou à $M$ pour tous $j, i^3$. Nous notons

$$M_j = \{ x \in M : L_j x = 0 \}.$$

<footnote n="1">1. **NdT.** Dans ce théorème, on regarde $M$ comme un $A$-module à gauche. Si le cas (i) est exclu, c'est-à-dire si $M$ est un $A$-module simple, le théorème affirme donc que le centralisateur du centralisateur de $A$ est $A$ lui-même. Le théorème de densité à la Richman est donc une forme constructive précise du théorème du bicommutant des mathématiques classiques. Richman nous a prévenu que cette forme constructive est plus utile par la suite que le simple théorème du bicommutant pour les modules simples.</footnote>

<footnote n="2">2. **NdT.** Ainsi $M$, vu comme $B$-module, est isomorphe à un certain $B^n$ et $A \simeq E_{B^{op}}(B^n)$.</footnote>

<footnote n="3">3. **NdT.** Si l'un des $L_j u_i$ est non trivial, nous avons terminé; il suffit donc de traiter le cas où tous les $L_j u_i$ sont égaux à 0 ou à $M$. Voici la démarche du reste de la démonstration. L'algèbre $A$ est incluse dans le centralisateur de $B$ et pour montrer qu'elle lui est égale, il suffit de montrer que les $u_i$ peuvent être envoyés sur n'importe quels $v_i$ par un $a \in A$. Posons $L_0 = A$; on a $L_0 u_1 \neq \{0\}$ et donc $L_0 u_1 = M$. Il existe donc $a_1 \in L_0$ tel que $a_1 u_1 = v_1$.</footnote>
Ce sous-$B$-module $M_j$ de $M$ contient $\sum_{i=1}^j Bu_i$. Nous démontrons ensuite, par récurrence sur $j$, que

$$M_j = \sum_{i=1}^{j} Bu_i.$$

Comme $L_0 = A$, les deux membres sont nuls pour $j = 0$. Supposons l'égalité satisfaite pour un $j < n$. Alors $L_j u_{j+1} = M$ parce que $u_{j+1} \notin M_j$. Soit $x \in M_{j+1}$. Comme $L_{j+1}x = 0$, en posant $b(\ell u_{j+1}) = \ell x$ pour $\ell \in L_j$ nous définissons un élément $b$ de $B$, avec $L_j(x - bu_{j+1}) = 0$. Donc $x - bu_{j+1} \in M_j = \sum_{i=1}^j Bu_i$, donc $x \in \sum_{i=1}^{j+1} Bu_i$.

Pour montrer que $A$ est le centralisateur de $B$, nous construisons, pour des éléments donnés $v_1, \dots, v_n \in M$, un élément $a \in A$ tel que $au_i = v_i$ ($1 \le i \le n$). Comme $L_{i-1}u_i = M$, nous pouvons construire par récurrence des $a_i \in L_{i-1}$ tels que

$$a_i u_i = v_i - (a_1 + \dots + a_{i-1}) u_i.$$

On prend alors $a = a_1 + a_2 + \dots + a_n$. ■

Une $k$-algèbre est dite **simple**<fnref n="1" /> si tout idéal bilatère est trivial. Nous utilisons le théorème de densité pour réduire la question de savoir si une algèbre est simple au cas commutatif.

**Théorème 2.2.** Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie de centre $C$. L'une des propriétés suivantes est satisfaite.

— $A$ possède un idéal non trivial.

— On a une bijection entre idéaux $I$ de $A$ et idéaux $J$ de $C$ donnée par

$$J = I \cap C, \quad I = AJ.$$

*Démonstration.* Soit $R$ la sous-algèbre (de dimension finie) de $E_k(A)$ engendrée par les endomorphismes de multiplication à droite et à gauche par des éléments de $A$. Le centralisateur de $R$ est le centre $C$ de $A$, et les sous-$R$-modules de $A$ sont exactement les idéaux de $A$. D'après le théorème de densité, ou bien $A$ possède un idéal non trivial, ou bien $A$ est un $C$-module libre avec une base qui contient 1 et $R$ est le centralisateur de $C$. Dans le second cas, soient $I$ un idéal de $A$ et $J$ un idéal de $C$. Le fait que $J = (AJ) \cap C$ est une conséquence

<footnote>Posons $L_1 = \{a \in A : au_1 = 0\}$; si on trouve $a_2 \in L_1$ tel que $a_2u_2 = v_2 - a_1u_2$, on aura $(a_1 + a_2)u_i = v_i$ pour $i = 1, 2$. Il suffit d'établir que $L_1u_2 = M$, i.e. $L_1u_2 \neq \{0\}$. Pour cela, posons $M_1 = \{x \in M : L_1x = 0\}$ et montrons que $M_1 = Bu_1$, i.e. pour $x \in M_1$ trouvons $b \in B$ tel que $x = bu_1$. Comme cela équivaut à ce que $\ell x = \ell bu_1 = b(\ell u_1)$ pour tout $\ell \in L_0$, il suffit de faire deux constats. (1) Cette équation définit bien une application $k$-linéaire $b : L_0u_1 = M$ ; si $\ell u_1 = 0$ alors $\ell \in L_1$ or $x \in M_1$ et donc $\ell x = 0$. (2) En outre $b$ commute avec tout $a \in A : b(a(\ell u_1)) = b((a\ell)u_1) = (a\ell)x = a(\ell x) = a(b(\ell u_1))$. Etc.</footnote>

<footnote n="1">1. **NdT.** Fred Richman propose de définir un anneau simple comme un anneau dans lequel tout idéal bilatère qui ne contient pas 1 est nul. Selon cette définition, un corps de Heyting est un anneau simple. Lorsque l'anneau est discret, comme dans le cas présent, la définition revient à dire que si un élément est non nul, l'idéal bilatère qu'il engendre contient 1.</footnote>
immédiate du fait que $A$ est un $C$-module libre avec une base qui contient 1. Nous devons montrer que $I = (I \cap C)A$. Soit $1 = u_0, \dots, u_n$ une base de $A$ sur $C$, et prenons des $r_i \in R$ tels que $r_i u_i = 1$ et $r_i u_j = 0$ si $j \neq i^1$. Si $x \in I$, alors $x = \sum c_i u_i$, donc $r_i x = c_i$ et par suite $x \in (I \cap C)A$. ■

Nous améliorerons ce théorème dans la section suivante, en remplaçant la condition « $A$ possède un idéal non trivial» par «$\text{rad } A \neq 0$».

Exercices

1. **Lemme de Schur.** Soit $M$ un module de dimension finie fidèle irréductible sur une $k$-algèbre de dimension finie $A$. Montrer que le centralisateur de $A$ est un anneau à division.

2. **Théorème de Burnside.** Soient $M$ un espace vectoriel de dimension finie sur un corps algébriquement clos $k$ et $A$ une sous-algèbre de $E_k(M)$. Montrer que, ou bien $M$ contient un sous-$A$-module non trivial, ou bien $A = E_k(M)$.

3. Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie. Montrer que, ou bien le centre de $A$ est de dimension $> 1$, ou bien $A$ possède un idéal non trivial, ou bien tout idéal de $A$ est trivial.

4. On se rapporte aux deux premières affirmations dans la démonstration du théorème 2.2. Montrer que le centralisateur de $R$ est le centre $C$ de $A$.

3 Le radical et les facteurs directs

Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie. Un idéal à gauche $L$ de $A$ est **nilpotent** si $L^n = 0$ pour un $n$. Le **radical** de $A$ est défini par

$$ \mathrm{rad} \, A = \{ x \in A : Ax \text{ est nilpotent} \}. $$

On vérifie facilement que $\mathrm{rad} A$ est un idéal de $A$. De plus $\mathrm{rad} A$ est détachable dans $A$, car si $L$ est un idéal à gauche de dimension $n$, alors $L^n$ est de dimension finie, et $L^n = 0$ si, et seulement si, $L$ est nilpotent$^2$.

Le théorème de structure de Wedderburn pour les algèbres $A$ de dimension finie telles que $\mathrm{rad} A = 0$ repose sur la construction d'idempotents de $A$. En mathématiques constructives, nous avons besoin d'une information supplémentaire donnée par un algorithme qui construit un idempotent ou un élément non nul de $\mathrm{rad} A$.

<footnote n="1">1. **NdT.** L'endomorphisme $r_i$ du $C$-module $A$ défini sur la base $u_0, \dots, u_n$ par $u_i \mapsto u_0 = 1$ et $u_j \mapsto 0$ pour $j \neq i$ est dans le centralisateur de $C$ dans $E_k(A)$, c'est-à-dire dans $R$.</footnote>

<footnote n="2">2. **NdT.** La suite des idéaux $L^k$ est décroissante et devient stationnaire dès que $L^k = L^{k+1}$.</footnote>
**Lemme 3.1.** Soit $L$ un idéal à gauche non nul d'une $k$-algèbre de dimension finie $A$. Alors, ou bien $L$ contient un idéal à gauche nilpotent non nul, ou bien il contient un idempotent non nul.

*Démonstration.* En considérant $Ax \subseteq L$ nous pouvons supposer que $L$ est de dimension finie et nous procédons par récurrence sur la dimension de $L$. Si $L^2 = 0$ nous avons trouvé notre idéal à gauche nilpotent non nul ; si $0 \neq L^2 \neq L$, nous avons terminé par récurrence. Nous pouvons donc supposer que $L^2 = L$.

Comme $L^2 = L \neq 0$, nous pouvons trouver un $x \in L$ tel que $Lx \neq 0$. On définit $f: L \to L$ en posant $f(y) = yx$. D'après le théorème II.6.2, ou bien ker $f$ est un idéal à gauche non nul contenu proprement dans $L$, ou bien $f$ est un isomorphisme. Dans le premier cas nous terminons par récurrence. Voyons le dernier cas. On a $yx = x$ pour un $y \in L$, donc $y^2x = yx = x$ et par suite $(y^2 - y)x = 0$, donc $y = y^2$ est un idempotent non nul dans $L$. ■

Le lemme suivant est un résultat standard reliant idempotents et facteurs directs.

**Lemme 3.2.** Soit $L$ un idéal à gauche de dimension finie d'une $k$-algèbre de dimension finie $A$. Alors $L = Ae$ pour un idempotent $e \in A$ si, et seulement si, $A = L \oplus K$ pour un idéal à gauche $K$.

*Démonstration.* Si $e$ est un idempotent, $A = Ae \oplus A(1 - e)$. Si $A = L \oplus K$, on écrit $1 = e + f$ avec $e \in L$ et $f \in K$. Pour $x \in L$, on a $x = xe + xf$, donc $xf = 0$ et $x = xe$. Inversement, si $x = xe$, alors $x \in L$. Donc $L = Ae$ et $e^2 = e$. ■

**Théorème 3.3.** Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie et soit $L$ un idéal (à gauche) de $A$ de dimension finie. Alors, ou bien $L \cap \text{rad } A \neq 0$, ou bien $A = L \oplus N$ pour un idéal (à gauche) $N$.

*Démonstration.* Nous pouvons supposer $L \neq 0$. D'après le lemme 3.1, ou bien $L \cap \text{rad } A \neq 0$, ou bien $L$ contient un idempotent non nul et donc, d'après le lemme 3.2, un idéal à gauche non nul $K$ facteur direct de $A$. Ainsi $A = K \oplus M$ et $L = K \oplus (M \cap L)$. Par récurrence sur dim $L$, nous pouvons supposer que $M \cap L$ est un facteur direct de $A$, donc de $M$, donc $A = K \oplus (M \cap L) \oplus N = L \oplus N$. Si $L$ est un idéal, et $R = \{r \in A : Lr = 0\}$, alors $N \subseteq R$. Comme $R \cap L$ est un idéal à droite nilpotent de dimension finie contenu dans l'idéal $L$, ou bien $L$ contient l'idéal nilpotent non nul $A(R \cap L)$, ou bien $R \cap L = 0$ et donc $N = R$ est un idéal. ■

Si $A_1$ et $A_2$ sont des $k$-algèbres, alors $A_1 \times A_2$ est une $k$-algèbre de manière naturelle, on l'appelle le **produit** de $A_1$ et $A_2$. Les algèbres $A_1$ et $A_2$ peuvent être identifiées avec les idéaux de $A_1 \times A_2$ engendrés par les idempotents $(1,0)$ et $(0,1)$ respectivement. Inversement, si une algèbre $A$ peut être écrite comme somme directe de deux idéaux bilatères $L$ et $N$ comme dans le théorème 3.3,
alors $L$ et $N$ sont des $k$-algèbres pour elles-mêmes, et $A$ est isomorphe à leur produit.

Si l'idéal $L$ dans le théorème 3.3 est un idéal bilatère, ou bien nous obtenons un élément non nul de $L \cap \text{rad } A$, ou bien $A$ se décompose en un produit de $k$-algèbres. Cette dernière décomposition sera souvent utilisée dans les démonstrations par récurrence sur la dimension de $A$. Un exemple est la version suivante, plus forte, du théorème 2.2.

**Théorème 3.4.** Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie de centre $C$. L'une des propriétés suivantes est satisfaite.

— rad $A \neq 0$.

— On a une bijection entre idéaux $I$ de $A$ et idéaux $J$ de $C$ donnée par

$$J = I \cap C, \quad I = AJ.$$

*Démonstration.* D'après le théorème 2.2, nous pouvons supposer que $A$ possède un idéal non trivial de dimension finie. D'après le théorème 3.3, ou bien rad $A \neq 0$, ou bien $A$ est un produit d'algèbres, auquel cas nous terminons par récurrence sur la dimension de $A$. ■

**Lemme 3.5.** Soit $K$ une $k$-algèbre commutative de dimension finie avec rad $K = 0$. Si $f$ est un polynôme séparable dans $K[X]$, alors $\text{rad}(K[X]/(f)) = 0$.

*Démonstration.* Si $K$ contient un diviseur de zéro, il existe un idéal non trivial, donc $K$ est un produit d'après le théorème 3.3, et nous terminons par récurrence sur la dimension de $K$. Nous allons montrer maintenant que si $g \in K[X]$ et $f$ divise $g^2$, ou bien $f$ divise $g$, ou bien $K$ contient un diviseur de zéro. L'algorithme d'Euclide nous fournit, ou bien un diviseur de zéro dans $K$, ou bien un générateur $d$ de l'idéal $(f,g)$. Dans ce dernier cas écrivons $f = da$ et $g = db$. Comme $f$ est séparable, $a$ est séparable et étranger avec $d$. Comme $f = da$ divise $g^2 = d^2b^2$, ou bien $a$ divise $db^2$, ou bien $K$ contient un diviseur de zéro. Mais puisque $a$ et $d$ sont étrangers, $a$ divise $b^2$. Par suite, ou bien $K$ contient un diviseur de zéro, ou bien $a$ divise $b$ par récurrence sur le degré de $f$. Ainsi $f$ divise $g$ ou $K$ contient un diviseur de zéro. ■

**Lemme 3.6.** Soit $R$ anneau commutatif, $p$ un nombre premier tel que $pR = 0$ et $r$ un élément de $R$. Soit $q$ une puissance de $p$, et $f$ et $g$ des polynômes unitaires de $R[X]$ avec $fg = X^q - r$. Si $f$ et $g$ sont étrangers, alors $f$ ou $g$ est une constante.

*Démonstration.* Si $q = 1$, le théorème est clairement vrai. Supposons que $q > 1$. Écrivons $sf + tg = 1$. En différenciant $fg = X^q - r$ nous obtenons $f'g + fg' = 0$. Comme $sf + tg = 1$, nous concluons que $f$ divise $f'$, donc $f' = 0$. De la même manière nous obtenons $g' = 0$. Donc (théorème VI.6.1) nous pouvons écrire $f(X) = f_0(X^p)$ et $g(X) = g_0(X^p)$. Notons $s(X) = \sum_{i=0}^{p-1} X^i s_i(X^p)$ et
$t(X) = \sum_{i=0}^{p-1} X^i t_i(X^p)$. Alors $s_0 f_0 + t_0 g_0 = 1$ et $f_0 g_0 = X^{q/p} - r$, donc nous terminons par récurrence sur $q$. ■

Le lemme suivant généralise le théorème VI.6.6 du cas des corps à celui des algèbres commutatives de dimension finie réduites. En mathématiques classiques, ces dernières sont des produits de corps et la généralisation est immédiate. Comme il peut arriver que nous ne sachions pas écrire l'algèbre comme un produit de corps, la démonstration constructive est plus délicate.

**Lemme 3.7.** Soient $k$ un corps discret de caractéristique $p$, $q$ une puissance de $p$, $K$ une $k$-algèbre commutative de dimension finie, et $a$ un élément de $K$. Si $X^q - a = fg$ avec $f$ et $g$ unitaires et non constants dans $K[X]$, l'une des propriétés suivantes est satisfaite.

(i) $a \in K^p$.

(ii) $\mathrm{rad} K \neq 0$.

*Démonstration.* Si nous trouvons un idéal non trivial $L$ de $K$, alors d'après le théorème 3.3, ou bien $\mathrm{rad} K \neq 0$, ou bien $K = L \oplus N$ pour deux idéaux non triviaux $L$ et $N$. Dans ce cas, le théorème est satisfait pour $L$ et $N$ par récurrence sur la dimension. Par suite, ou bien $\mathrm{rad} L$ ou $\mathrm{rad} N$ est non nul, ou bien les composantes de $a$ dans $L$ et $N$ sont dans $L^p$ et $N^p$ respectivement, et alors $a \in K^p$.

Nous supposons maintenant que tout élément non nul de $K$ que nous construisons est inversible. Il nous faut écrire $X^q - a$ comme une puissance non triviale. Supposons que $X^q - a = fg^i$ avec $f$ et $g$ des polynômes unitaires de degrés $> 0$. Soit $d$ le pgcd unitaire de $f$ et $g$. Si $d = 1$, le lemme 3.6 est en défaut, donc nous pouvons supposer que deg $d > 0$. Soient $f_1$ et $g_1$ les polynômes unitaires qui satisfont $f = f_1 d$ et $g = g_1 d$. Alors $X^q - a = f_1 d(g_1 d)^i = (f_1 g_1^i) d^{i+1}$. Si $f_1 g_1^i = 1$, nous avons écrit $X^q - a$ sous la forme voulue ; sinon nous continuons avec $f_1 g_1^i$ en tant que nouvel $f$, $d$ en tant que nouveau $g$ et $i+1$ en tant que nouvel $i$. Après au plus $q$ étapes, nous avons écrit $X^q - a = h(X)^m$ avec un polynôme unitaire $h(X)$ et un entier $m > 0$. Clairement $m$ divise $q$, donc $m$ est une puissance de $p$. Par suite $a = (-h(0)^{m/p})^p \in K^p$. ■

**Lemme 3.8.** Soient $k$ un corps discret de caractéristique $p$ qui satis fait la condition $P$, $K$ une $k$-algèbre commutative de dimension finie, $a \in K$, et $L = K[X]/(X^p - a)$. L'une des propriétés suivantes est satisfaite.

(i) $\mathrm{rad} L \neq 0$.

(ii) $\mathrm{rad} L \neq 0$ *implique* $\mathrm{rad} K \neq 0$.

*Démonstration.* Soit $e_1, \dots, e_n$ une base de $K$ sur $k$. Comme $k$ satisfait la condition $P$, ou bien les éléments $e_1^p, \dots, e_n^p$ sont indépendants sur $k^p$, ou bien ils sont dépendants sur $k^p$. Si $\sum a_j^p e_j^p = 0$, alors $\sum a_j e_j \in \mathrm{rad} K$, donc nous
pouvons supposer qu'ils sont indépendants, auquel cas l'application naturelle de $K$ vers $K^p$ est un isomorphisme d'anneaux.

Comme $k$ satisfait la condition $P$, nous pouvons décider si des éléments de $K$ sont linéairement dépendants sur $k^p$ ou pas, donc $K^p[a]$ est une $k^p$-algèbre de dimension finie. D'après le théorème 1.5, nous pouvons construire, ou bien un diviseur de zéro dans $K^p$, et donc dans $K$, ou bien le polynôme minimal de $a$ sur $K^p$. Dans le premier cas, le lemme 3.1 nous donne, ou bien un idempotent de $K$, et nous avons terminé par récurrence sur dim $K$, ou bien un élément non nul de rad $K$, et la propriété (ii) et satisfaite de manière triviale. Sinon, notons $g$ le polynôme minimal de $a$ sur $K^p$. Nous pouvons supposer que $g$ est unitaire. Ou bien on a $g = X^p - a^p$, ou bien $X^p - a^p$ se factorise sur $K^p$. Dans le dernier cas, on a rad $K \neq 0$ ou $a \in K^p$ d'après le lemme 3.7, donc rad $L \neq 0$ et la propriété (i) est satisfaite. Si $X^p - a^p$ est le polynôme minimal de $a$ sur $K^p$, alors $K^p[a]$ est isomorphe à $K^p[X]/(X^p - a^p)$ qui est isomorphe, en tant qu'anneau, à $L$. Puisque $K^p[a] \subseteq K$, nous obtenons la propriété (ii). ■

Exercices

1. Soit $L$ un idéal à gauche de dimension $n$ d'une $k$-algèbre de dimension finie. Montrer que $L^n$ est de dimension finie, et que $L$ est nilpotent si, et seulement si, $L^n = 0$.

2. Montrer que le radical d'une $k$-algèbre de dimension finie $A$ est le radical de Jacobson de $A$. Montrer que $\text{rad}(A_1 \times A_2) = \text{rad } A_1 \times \text{rad } A_2$.

3. Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie avec un radical $J$ de dimension finie. Le **socle à gauche** de $A$ est l'ensemble $\{x \in A : Jx = 0\}$. Montrer que le socle à gauche est un idéal bilatère qui a une intersection non nulle avec tout idéal à gauche non nul. Identifier le radical, et les socles à droite et à gauche, de l'algèbre des matrices triangulaires inférieures $n \times n$ sur un corps discret.

4. Montrer que les quatre propriétés suivantes pour une $k$-algèbre de dimension finie $A$ sont équivalentes.

(i) $\text{rad } A = 0$.

(ii) Tout idéal à gauche de dimension finie de $A$ est un facteur direct.

(iii) Tout sous-module de dimension finie d'un $A$-module de dimension finie est un facteur direct.

(iv) Tout $A$-module de dimension finie est projectif.

5. **Théorème de Maschke.** Soient $G$ un groupe fini, $k$ un corps discret tel que l'entier $n = \#G$ n'est pas nul dans $k$, et $A$ l'algèbre du groupe $G$ sur $k$. Soit $M$ un $A$-module de dimension finie et $\varphi: M \to M$ une application $k$-linéaire telle que $\varphi^2 = \varphi$ et $\varphi(M)$ est un $A$-module à gauche. Soit $\psi(x) = \frac{1}{n} \sum_{g \in G} g\varphi(g^{-1}x)$. Montrer que $\psi$ est un homomorphisme
de $A$-modules, $\psi^2 = \psi$, et $\varphi(M) = M$. Conclure que $\text{rad} A = 0$ (voir l'exercice 4).

# 4 Théorème de Wedderburn, première partie

Pour démontrer le théorème de Wedderburn concernant les algèbres de dimension finie et de radical nul, nous devons faire des hypothèses supplémentaires sur le corps $k$.

**Lemme 4.1.** Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie et $K \neq A$ une sous-algèbre de dimension finie du centre de $A$. L'une des propriétés suivantes est satisfaite.

— $K$ possède un idempotent non trivial.

— $K$ possède un nilpotent non trivial.

— Il existe un $x \in A \setminus K$ qui possède un polynôme minimal $g$ sur $K$, et ce polynôme est de l'une des formes suivantes :

— $g$ est séparable,

— $g(X) = X^p - r$ avec $p$ la caractéristique de $k$,

— $g(X) = X^m$.

**Démonstration.** Nous pouvons supposer que $A = K[a]$ et nous construisons, d'après le théorème 1.5, ou bien un diviseur de zéro dans $K$, ou bien le polynôme minimal $g(X)$ de $a$ sur $K$. Si $K$ contient un diviseur de zéro, alors $K$ contient un idempotent non trivial ou un nilpotent non trivial d'après le lemme 3.1. D'après le théorème VI.6.3, ou bien $K$ contient un idéal non trivial, ou bien nous pouvons factoriser $g$ en un produit de polynômes deux à deux étrangers de la forme $f^m(X^q)$ où $m$ est un entier strictement positif, $q$ est égal à 1 ou à une puissance de la caractéristique finie $p$ de $k$, et $f$ est séparable. Ceci donne une décomposition de $A$ en un produit d'algèbres de la forme $K[X]/f^m(X^q)$, donc nous pouvons supposer que $g(X) = f^m(X^q)$. Si $a^q \in K$, alors $g(X) = X^q - r$. Si $q = p$, nous avons terminé; sinon $a^p \notin K$ alors que $(a^p)^{q/p} \in K$, donc $K[a^p]$ est une sous-algèbre non triviale de $A$ et nous avons terminé par récurrence sur dim $A$. Si $a^q \notin K$ et $m = 1$, alors $f$ est le polynôme minimal de $a^q$ sur $K$ et il est séparable. Si $a^q \notin K$ et $m > 1$, alors le polynôme minimal de $f(a^q)$ sur $K$ est $X^m$. ■

**Théorème 4.2.** Un corps discret $k$ est séparablement factoriel si, et seulement si, toute $k$-algèbre de dimension finie $A$ de radical nul est simple ou possède un idéal non trivial.

**Démonstration.** D'après le théorème 2.2, nous pouvons restreindre notre attention aux $k$-algèbres commutatives. Soit $A$ une $k$-algèbre commutative de dimension finie. Si $A = k$ nous avons terminé; sinon nous pouvons trouver un $a \in A \setminus k$ avec un polynôme minimal $g$.
Supposons d'abord que $k$ est séparablement factoriel et que $\text{rad } A = 0$. Alors $g$ ne peut pas être de la forme $X^m$. Si $g(X) = X^p - r$, $g$ est irréductible d'après le théorème VI.6.6, à moins que $r \in k^p$, auquel cas $\text{rad } A \neq 0$. Si $g$ est irréductible, nous pouvons remplacer $k$ par $k[X]/(g)$ et nous terminons par récurrence sur dim $A$. Donc, d'après le lemme 4.1, nous pouvons supposer que $g$ est séparable. On décompose $g$ en produit de polynômes irréductibles. Si $a$ annule l'un des facteurs, alors $k(a)$ est un corps et, comme $A$ est commutatif, $A$ est une $k(a)$-algèbre de dimension finie. Alors, comme $k(a)$ est aussi séparablement factoriel, nous avons terminé par récurrence sur dim $A$. Si $a$ n'annule aucun des facteurs $f$ de $g$, alors chaque $f(a)$ engendre un idéal non trivial de $A$.

Voyons l'implication réciproque. Soient $K$ un corps, extension de dimension finie de $k$ et $f \in K[X]$ un polynôme séparable. Nous considérons la $k$-algèbre commutative de dimension finie $A = K[X]/(f)$. D'après le lemme 3.5, on a $\text{rad } A = 0$. Les idéaux de type fini de $A$ sont en correspondance bijективement avec les diviseurs unitaires de $f$, donc $f$ est irréductible ou possède une factorisation non triviale. ■

Nous caractérisons maintenant les corps séparablement factoriels en termes de décomposition d'une algèbre en produit d'algèbres simples. Ceci constitue la première partie du théorème de Wedderburn<fnref n="1" />.

**Théorème 4.3** (théorème de Wedderburn, première partie). *Un corps discret $k$ est séparablement factoriel si, et seulement si, toute $k$-algèbre de dimension finie de radical nul est un produit d'algèbres simples.*

*Démonstration.* Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie. D'après le théorème 4.2, $A$ est simple ou contient un idéal non trivial $L$. Dans le premier cas nous avons terminé. Dans l'autre cas nous appliquons le théorème 3.3 et nous écrivons $A$ comme un produit non trivial d'algèbres, et nous terminons par récurrence sur la dimension de $A$.

Inversement, si toute algèbre $A$ de radical nul est un produit d'algèbres simples, alors $A$ ou bien est simple, ou bien contient un idéal non trivial, donc $k$ est séparablement factoriel d'après le théorème 4.2. ■

**Théorème 4.4.** *Un corps discret $k$ satisfait la condition $P$ si, et seulement si, toute $k$-algèbre de dimension finie a un radical de dimension finie.*

*Démonstration.* Supposons que $k$ satisfait la condition $P$. Si nous construisons un élément non nul $a$ de rad $A$, alors en passant à $A/(AaA)$ nous avons terminé par récurrence sur dim $A$. Notons $C$ le centre de $A$. D'après le théorème 3.4, ou bien rad $A \neq 0$, ou bien rad $A = A \cdot \text{rad } C$. Donc nous sommes ramenés à traiter le cas où $A$ est commutative. Si nous construisons un idempotent non

<footnote n="1">1. NdT. En mathématiques classiques, tout corps est séparablement factoriel, et l'énoncé est beaucoup plus pauvre.</footnote>
trivial de $A$, alors nous pouvons écrire $A$ comme un produit de deux algèbres de
dimensions plus petites et nous avons terminé par récurrence sur $dim A$. Soit $K$
une sous-$k$-algèbre de dimension finie de $A$ avec rad $K = 0$. Nous commençons
en prenant $K = k$, et nous procédons par récurrence sur dim $A - \dim K$.

Ou bien $K = A$, auquel cas nous avons terminé, ou bien nous pouvons
appliquer le lemme 4.1 pour construire un élément $a \in A \setminus K$ avec un polynôme
minimal $g$. Ou bien $g$ est séparable, ou bien $g$ s'écrit $g(X) = X^p - r$ avec $p$
la caractéristique de $k$, ou bien $g(X) = X^m$. Si $g(X) = X^m$, $a$ est un élément
non nul de rad $A$. Si $g(X) = X^p - r$, alors, comme $k$ satisfait la condition $P$, le
lemme 3.8 nous dit que, ou bien rad $K[a] \neq 0$, ou bien rad $K[a] = 0$. Dans le
dernier cas, nous remplaçons $K$ par $K[a]$ et nous avons terminé par récurrence
sur dim $A - \dim K$. Si $g$ est séparable, alors rad $K[a] = 0$ d'après le lemme 3.5,
et nous remplaçons $K$ par $K[a]$ comme précédemment.

Voyons l'implication réciproque. Nous allons démontrer la propriété caractéristique (ii) dans le théorème VII.3.1. Soient $K$ un corps, extension de dimension finie de $k$, et $a \in K$. Considérons la $k$-algèbre $L = K[X]/(X^p - a) = K[x]$. Si rad $L = 0$, $a \notin K^p$ car si $a = r^p$, $x - r$ est un élément non nul de rad $L$. Si rad $L \neq 0$, il existe un polynôme $f \in K[X]$ tel que $X^p - a$ divise $f^2$ mais ne divise pas $f$. Dans ce cas, le pgcd de $X^p - a$ et $f$ est un diviseur propre de $X^p - a$, et $a \in K^p$ d'après le théorème VI.6.6. ■

**Corolaire 4.5.** *Un corps discret $k$ est pleinement factoriel si, et seulement si, toute $k$-algèbre de dimension finie contient un idéal nilpotent de dimension finie $I$ tel que $A/I$ est un produit de $k$-algèbres simples.*

*Démonstration.* Un corps discret $k$ est pleinement factoriel si, et seulement si, il est séparablement factoriel et satisfait la condition $P$. Le résultat est donc une conséquence directe des théorèmes 4.3 et 4.4. ■

Exercices

1. Soit $K$ une $k$-algèbre commutative de dimension finie et $g \in K[X]$. Supposons que $g = f_1f_2\cdots f_n$ avec les $f_i$ deux à deux étrangers. Montrer que $K[X]/(g)$ est isomorphe au produit des $k$-algèbres $K[X]/(f_i)$.

2. Soit $k$ un corps factoriel et $f \in k[X]$. Identifier le radical $I$ de $A = k[X]/(f)$, et décrire $A/I$ comme un produit de $k$-algèbres simples.

3. Soient $G$ le groupe symétrique sur $\{1, 2, 3\}$ et $A$ l'algèbre du groupe $G$ sur $\mathbb{Q}$. Décomposer $A$ en un produit de $\mathbb{Q}$-algèbres simples (voir l'exercice 3.5).
# 5 Anneaux de matrices et algèbres à division

La seconde partie du **théorème de structure de Wedderburn** pour les algèbres semi-simples dit qu'une algèbre simple de dimension finie est isomorphe à un anneau de matrices carrées sur une algèbre à division<fnref n="1" />. Ce théorème repose sur la capacité de construire des idéaux à gauche non triviaux. Lorsque nous avons un idéal à gauche non trivial, nous pouvons l'utiliser pour décomposer l'algèbre de départ.

**Théorème 5.1** (théorème de structure de Wedderburn). Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie qui contient un idéal à gauche non trivial. L'une des propriétés suivantes est satisfaite.

(i) Le radical de $A$ est non nul.

(ii) $A$ est un produit de $k$-algèbres de dimension finie (de dimensions plus petites que $A$).

(iii) Il existe un entier $n > 1$ tel que $A$ est isomorphe à l'anneau des matrices carrées $n \times n$ sur une $k$-algèbre de dimension inférieure à celle de $A$.

*Démonstration.* Soit $L$ l'idéal à gauche non trivial dans l'hypothèse. En considérant l'idéal à gauche engendré par un élément non nul de $L$, nous pouvons supposer que $L$ est de dimension finie. Si $L$ n'est pas un $A$-module fidèle, le noyau de la représentation $L$ est un idéal non nul de $A$; donc d'après le théorème 3.3², ou bien $\text{rad } A \neq 0$, ou bien $A$ est un produit.

Supposons maintenant que $L$ est fidèle. L'algèbre $A$ peut être vue comme une sous-$k$-algèbre de $E_k(L)$. Soit $B$ le centralisateur de $A$ sur $L$ (i.e. l'anneau $E_A(L)$). D'après le théorème de densité, (théorème 2.1), ou bien $L$ est réductible (et nous terminons par récurrence sur la dimension de $L$), ou bien $A$ est isomorphe à un anneau complet de matrices à coefficients dans l'anneau opposé à $B$. Il reste à montrer que la dimension de $B$ est inférieure à celle de $A^3$. D'après le théorème 3.3, ou bien $\text{rad } A \neq 0$, ou bien $L$ est un facteur direct de $A$. Dans ce dernier cas, l'algèbre $B$ est une sous-algèbre propre du centralisateur de $A$ sur $A$, qui est l'anneau opposé à $A$. $\blacksquare$

Le problème fondamental et de savoir reconnaitre si une $k$-algèbre de dimension finie est une algèbre à division ou pas, à savoir, être capable d'affirmer que c'est une algèbre à division ou alors de construire un idéal à gauche non trivial. Si nous sommes capables de faire cela, alors le théorème 5.1 implique que toute

<footnote n="1">1. **NdT.** Voir le commentaire après le théorème 5.1, qui explique pourquoi ce théorème est une version constructive du théorème de structure de Wedderburn des mathématiques classiques.</footnote>

<footnote n="2">2. **NdT.** Le noyau est un idéal bilatère, on se reporte alors au commentaire qui suit le théorème 3.3.</footnote>

<footnote n="3">3. **NdT.** À moins que l'on ne se retrouve dans le cas (i).</footnote>
k-algèbre de dimension finie a un radical de dimension finie, et que modulo ce
radical elle est un produit d'anneaux de matrices carrées $n \times n$ sur des algèbres
à division. Cette condition est équivalente à la capacité de reconnaitre si une
représentation de dimension finie arbitraire d'une k-algèbre de dimension finie
est réductible.

**Théorème 5.2.** Les propriétés suivantes pour un corps discret $k$ sont équivalentes.

(i) Toute $k$-algèbre de dimension finie est une algèbre à division ou sinon contient un idéal à gauche non trivial.

(ii) Tout $k$-module à gauche de dimension finie $M$ sur une $k$-algèbre de dimension finie $A$ est réductible ou irréductible.

(iii) Toute $k$-algèbre de dimension finie $A$ a un radical de dimension finie, et $A/\text{rad } A$ est un produit d'anneaux complets de matrices sur des algèbres à division.

Démonstration. Clairement les points (ii) et (iii) impliquent chacun le point (i).

Montrons que (i) implique (ii). Nous pouvons supposer que $M$ est un $A$-module fidèle. Soit $B$ le centralisateur de $A$ sur $M$. Si $B$ contient un diviseur de zéro $b$, $bM$ est un sous-$A$-module non trivial de $M$. Si $B$ est une algèbre à division, alors d'après le théorème de densité, ou bien $M$ est réductible, ou bien $A$ est le centralisateur de $B$, et $M$ est irréductible.

Montrons que (i) implique (iii). Si $A$ est une algèbre à division, nous avons
terminé. Si $A$ contient un idéal à gauche non trivial, alors d'après le théorème 5.1,
ou bien $A$ contient un idéal nilpotent non nul de dimension finie $I$, auquel cas
nous passons à $A/I$ et nous terminons par récurrence sur dim $A$, ou bien $A$ est
un produit de $k$-algèbres de dimension finie et nous terminons par récurrence
sur dim $A$, ou bien $A$ est isomorphe à un anneau complet de matrices et nous
terminons par récurrence sur dim $A$. $\blacksquare$

Pour quels corps $k$ les conditions du théorème 5.2 sont-elles satisfaites ? Les corps finis et les corps algébriquement clos fournissent des exemples faciles. Le corps des nombres réels algébriques $\mathbb{R}^a$ admet seulement trois algèbres à division, et une démonstration constructive de cette assertion montre que ce corps satisfait les conditions du théorème 5.2.

**Théorème 5.3.** Soient $k$ un sous-corps discret du corps des nombres réels $\mathbb{R}$, algébriquement clos dans $\mathbb{R}$, $H = k(i, j)$ l'algèbre des quaternions sur $k$, et $A$ une $k$-algèbre de dimension finie. Ou bien $A$ contient un diviseur de zéro, ou bien $A$ est isomorphe à l'une des algèbres $k, k(i)$, ou $H$.

*Démonstration.* Si $A = k$, nous avons terminé ; sinon en considérant un $\alpha \in A \setminus k$, comme $A$ est de dimension finie, nous pouvons construire un polynôme non trivial annulé par $\alpha$. Le corps $k(i) \subseteq \mathbb{C}$ est discret et algébriquement clos, donc
$k$ est factoriel, et tout polynôme irréductible sur $k$ est de degré au plus 2. Donc, ou bien $A$ contient un diviseur de zéro, ou bien $\alpha$ est de degré 2. Nous pouvons donc supposer que $\alpha \in k(i)$ avec $i \in A$ et $i^2 = -1$. Le centralisateur de $i$ dans $A$ est une algèbre de dimension finie sur le corps algébriquement clos $k(i)$, donc il contient un diviseur de zéro ou est égal à $k(i)$. Nous traitons le deuxième cas. Si $A = k(i)$ nous avons terminé. Sinon nous pourrons construire un $\beta \in A \setminus k(i)$ tel que $\beta^2 = -1$ exactement comme nous avons construit $i \in A$. Comme $i\beta + \beta i$ commute avec $i$ et $\beta$, nous pouvons supposer que $i\beta + \beta i \in k(i) \cap k(\beta) = k$. On pose $i\beta + \beta i = r \in k$ et $j = \beta + ri/2$. Alors $ij + ji = 0$ et $j^2 \in k$. Si $j^2 = s^2$ pour un $s \in k$, alors $j - s$ est un diviseur de zéro non nul dans $A$. Sinon $j^2 < 0$ et nous pouvons normaliser $j$ pour avoir $j^2 = -1$. Si $j'$ est un autre tel élément $j$, alors $jj'$ commute avec $i$, donc $jj' \in k(i)$ et par suite $j' \in k(i, j)$. ■

Est-ce que le corps $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels satisfait les conditions du théorème 5.2 ? Nous n'allons certainement pas produire un contre-exemple brouwerien avec $k = \mathbb{Q}$. Une analyse détaillée de la théorie classique des algèbres à division sur $\mathbb{Q}$, en analogie avec le théorème 5.3, donnera probablement une démonstration.

Exercice

1. Soit $k$ un corps pleinement factoriel et $A$ une $k$-algèbre commutative de dimension finie. Alors, ou bien $A$ est un corps discret, ou bien $A$ contient un idéal non trivial. Soit $k$ un corps factoriel et $A$ une $k$-algèbre qui a pour dimension un nombre premier. Alors, ou bien $A$ est une algèbre à division, ou bien $A$ contient un idéal à gauche non trivial.

6 Notes

La majeure partie du matériau contenu dans ce chapitre est parue dans [Richman 1982]. Il serait intéressant de voir comment la théorie peut être développée pour les anneaux qui possèdent une série de composition (les anneaux artiniens). Les algèbres de Frobenius, les anneaux quasi-Frobenius<fnref n="1" /> et les algèbres de Lie constituent également des sujets de recherche intéressants.

<footnote n="1">1. NdT. Voir par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Alg\'albre_de_Frobenius et https://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_quasi-Frobenius.</footnote>
<figure><img src="image_12.png" /></figure>
# X. Groupes libres

## Sommaire

<table><tr><td>1</td><td>Existence et unicité</td><td>247</td></tr><tr><td>2</td><td>Ensembles de Nielsen</td><td>251</td></tr><tr><td>3</td><td>Sous-groupes de type fini de groupes libres</td><td>253</td></tr><tr><td>4</td><td>Sous-groupes détachables de groupes libres de rang fini</td><td>255</td></tr><tr><td>5</td><td>Sous-groupes conjugués</td><td>259</td></tr><tr><td>6</td><td>Notes</td><td>261</td></tr></table>

## 1 Existence et unicité

Un groupe $F$ est un **groupe libre** sur un sous-ensemble $S$ de $F$ si pour tout groupe $H$ et toute fonction $f$ de $S$ vers $H$, il y a un unique homomorphisme de $F$ vers $H$ qui prolonge $f$. Si $F$ est un groupe libre sur $S$, $S$ est appelé un **système générateur libre**<fnref n="1" /> ou une **base (libre)** de $F$. Avant de montrer comment construire les groupes libres nous démontrons qu’il y a, à un isomorphisme unique près, un unique groupe libre sur un ensemble donné.

**Théorème 1.1.** Soient $F_1$ et $F_2$ deux groupes libres sur des ensembles $S_1$ et $S_2$. Si $f$ est une bijection de $S_1$ sur $S_2$, il y a un unique isomorphisme de $F_1$ vers $F_2$ qui prolonge $f$.

*Démonstration.* Soit $g$ la bijection réciproque de $f$. Comme $F_1$ est un groupe libre sur $S_1$, il y a un unique homomorphisme $f_*$ de $F_1$ vers $F_2$ qui prolonge $f$. De la même manière il y a un unique homomorphisme $g_*$ de $F_2$ vers $F_1$ qui prolonge $g$. L'homomorphisme $f_*g_*$ de $F_2$ vers $F_2$ prolonge l'application identique de $S_2$. Comme $F_2$ est un groupe libre sur $S_2$, et comme l'application identique sur $F_2$ prolonge également l'application identique sur $S_2$, l'homomorphisme identique sur $F_2$ est égal à $f_*g_*$. De la même manière $g_*f_*$ est l'homomorphisme identique

<footnote n="1">1. NdT. (Free) basis.</footnote>
sur $F_1$. Donc $f_*$ est l'isomorphisme demandé ; $f_*$ est unique parce que $F_1$ est libre sur $S_1$.

Pour construire un groupe libre sur un ensemble arbitraire $S$, on définit d'abord l'ensemble $S \cup S^{-1}$ comme $S \times \{1, -1\}$, en identifiant $S$ avec $S \times \{1\}$, et $(s, -\varepsilon)$ est noté $(s, \varepsilon)^{-1}$. Soit $F(S)$ le monoïde libre sur $S \cup S^{-1}$. Nous définissons deux égalités sur $F(S)$. La première, notée par le symbole $\equiv$ (égal), est l'égalité usuelle sur un monoïde libre. Pour définir la seconde égalité, nous prenons au sérieux la notation $x^{-1}$ : on dit que deux mots dans $F(S)$ sont **adjacents** si l'un peut être écrit sous la forme $vw$ et l'autre sous la forme $vxx^{-1}w$ avec $v$ et $w \in F(S)$, et $x \in S \cup S^{-1}$. Deux mots $v$ et $w$ sont **égaux** dans $F(S)$, ce que l'on écrit $v = w$, s'il existe une suite de mots $v \equiv w_1, w_2, \dots, w_n \equiv w$, tels que $w_i$ est adjacent à $w_{i+1}$ pour chaque $i < n$.

Nous devons d'abord montrer que l'application naturelle de $S$ dans $F(S)$ fait de $S$ un sous-ensemble de $F(S)$ : i.e. si $s$ et $s' \in S$ et $s = s'$ comme éléments de $F(S)$, alors $s = s'$ comme éléments de $S$. À cette fin, et aussi pour son utilité générale, nous allons établir la **propriété de Church-Rosser** pour $F(S)$. Si $x_i \in S \cup S^{-1}$ pour $i = 1, \dots, n$, la **longueur** de $z \equiv x_1x_2\cdots x_n$ est définie comme $\ell(z) = n$. La longueur est une fonction sur $F(S)$ par rapport à $\equiv$ (égal) mais pas par rapport à $\equiv=$, par exemple les mots $x$ et $xx^{-1}x$ sont égaux mais leurs longueurs sont respectivement égales à 1 et 3.

**Théorème 1.2** (la propriété de Church-Rosser). *Soient $u$ et $v$ des mots égaux dans $F(S)$. Nous pouvons trouver un entier $n$ et une chaîne $u \equiv w_1, \dots, w_n \equiv v$ de mots adjacents telle que si $\ell(w_{i-1}) < \ell(w_i)$ pour un $i < n$, alors $\ell(w_i) < \ell(w_{i+1})$.*

*Démonstration.* Comme $u = v$, on a une suite de mots adjacents $u \equiv w_1, \dots, w_n \equiv v$. Nous allons démontrer le résultat par récurrence sur la longueur totale $N = \sum \ell(w_i)$ de la suite. Nous pouvons supposer que $n > 1$. Si pour un $i$ nous avons $\ell(w_{i-1}) < \ell(w_i)$ et $\ell(w_i) > \ell(w_{i+1})$, alors $w_{i-1}$ est obtenu à partir de $w_i$ en supprimant un morceau $xx^{-1}$, et $w_{i+1}$ est obtenu à partir de $w_i$ en supprimant un morceau $yy^{-1}$. Si ces deux morceaux coïncident, $w_i$ et $w_{i+1}$ peuvent être omis dans la suite et nous terminons par récurrence. Si ces deux morceaux se superposent sans coïncider, $w_i$ contient un morceau $zz^{-1}z$ et $w_{i-1}$ et $w_{i+1}$ sont tous les deux obtenus en remplaçant ce morceau par $z$, donc $w_{i-1} \equiv w_{i+1}$ une fois de plus, et $w_i$ et $w_{i+1}$ peuvent être omis. Dans le cas restant, où les deux morceaux sont disjoints, nous pouvons supprimer les deux morceaux de $w_i$ pour obtenir une nouvelle suite de longueur totale $N - 4$ et nous terminons par récurrence. ■

C'est une conséquence facile du théorème 1.2 que $S$ est un sous-ensemble de $F(S)$.
La multiplication (associative) sur $F(S)$ respecte l'égalité $\langle = \rangle$; i.e. si $v = v'$ et $w = w'$, alors $vw = v'w'$. Si $v = x_1x_2 \cdots x_n$, on pose $v^{-1} = x_n^{-1} \cdots x_2^{-1}x_1^{-1}$. Alors $vv^{-1} = v^{-1}v = 1$, où $1$ est le mot vide. Donc $F(S)$ est un groupe.

Pour montrer que $F(S)$ est un groupe libre sur $S$, on considère une fonction $f$ de $S$ vers un groupe $H$. Si $\bar{f}$ est un homomorphisme de $F(S)$ vers $H$ qui prolonge $f$, alors $\bar{f}(x_1 \cdots x_n)$ doit être égal à $f(x_1) \cdots f(x_n)$, donc $\bar{f}$ est unique. De plus, en posant $\bar{f}(x_1 \cdots x_n) = f(x_1) \cdots f(x_n)$ on définit un homomorphisme parce que $\bar{f}(w) = \bar{f}(w')$ si $w = w'$. Donc $F(S)$ est un groupe libre sur $S$, auquel nous nous référons comme **le groupe libre sur S**. Nous résumons la discussion précédente comme suit.

**Théorème 1.3.** *Pour un ensemble $S$, $F(S)$ est un groupe libre sur $S$. ♦*

Un mot $w \equiv x_1x_2 \cdots x_n \in F(S)$, avec les $x_i \in S \cup S^{-1}$, est dit **réductible** si $x_i x_{i+1} = 1$ pour un $i = 1, \dots, n-1$. Si $w$ n'est pas réductible, nous disons que $w$ est **réduit**. Notez que si $u$ et $v \in F(S)$ et si $uv$ est réduit, alors $u$ et $v$ sont réduits. Si $S$ est un ensemble discret et si $u$ et $v$ sont des mots réduits de $F(S)$, alors, ou bien $uv$ est réduit, ou bien $u \equiv ax$ et $v \equiv x^{-1}b$ pour un $x \in F(S)$ avec $ab$ réduit.

Si $w = w'$ et si $w'$ est réduit, alors $w'$ est appelé la **forme réduite** de $w$; la propriété de Church-Rosser de $F(S)$ implique que si $w = w'$ et si $w$ et $w'$ sont tous les deux réduits, alors $w \equiv w'$, donc la forme réduite est unique$^1$. Si $S$ est discret, tout élément de $F(S)$ a une forme réduite unique. Ceci nous donne le résultat suivant.

**Théorème 1.4.** *Si $S$ est un ensemble discret, $F(S)$ est un groupe discret. ♦*

**Théorème 1.5.** *Si $w \in F(S)$ et $w^n = v$ avec $\ell(v) \le \ell(w)$ pour un $n > 1$, alors $w = 1$ ou $w$ est réductible. En particulier, un groupe libre est sans torsion; i.e. si $w^n = 1$ pour un $n > 0$, alors $w = 1$.*

*Démonstration.* Écrivons $w \equiv u^{-1}w_1u$ (par exemple : $u \equiv 1$ et $w_1 \equiv w$) et raisonnons par récurrence sur $\ell(w_1)$. Si $w^n = v$ avec $\ell(v) \le \ell(w)$ pour un $n > 1$, alors d'après le théorème 1.2, ou bien $\ell(u^{-1}w_1^n u) \le \ell(v)$, ou bien $w$ est réductible, ou bien $w_1 \equiv x^{-1}w_2 x$ pour un $x \in S \cup S^{-1}$. Dans le premier cas $w_1 \equiv 1$ donc $w = 1$, dans le second nous avons terminé, et dans le troisième nous terminons par récurrence sur $\ell(w_1). ♦*

**Théorème 1.6.** *Soient $F$ et $F'$ des groupes libres sur des ensembles finis $S$ et $S'$. Alors $F$ et $F'$ sont isomorphes si, et seulement si, $\#S = \#S'$. ♦*

<footnote n="1">1. **NdT.** En mathématiques classiques, on a l'habitude d'identifier $(F(S), =)$ avec l'ensemble des mots réduits, muni de la relation $\equiv$. La situation est à priori plus compliquée constructivement lorsque $S$ n'est pas discret. Néanmoins, la théorie développée ici pour le cas général, en munissant $F(S)$ des deux relations $\equiv$ et $=$, s'avère conceptuellement plus simple que celle dans les exposés de mathématiques classiques, basés sur les mots réduits.</footnote>
Démonstration. Si #S = #S', alors F et F' sont isomorphes d'après le théorème 1.1. Pour la réciproque nous devons montrer comment retrouver le nombre d'éléments #S à partir (de la structure) du groupe F. Soit N le sous-groupe de F engendré par les éléments v² pour v ∈ F. Clairement N est un sous-groupe normal. Le groupe quotient F/N est abélien : le carré de tout élément est égal à 1, donc xyx⁻¹y⁻¹ = xyxy = 1. Nous montrons maintenant que F/N est un ensemble fini à 2^#S éléments.

Si $w \equiv x_1x_2 \cdots x_n \in F$ et $s \in S$, notons $\nu_s(w)$ le nombre des indices $i$ tels que $x_i = s$ ou $x_i = s^{-1}$. Si $w = w'$, $\nu_s(w)$ est congruent à $\nu_s(w')$ modulo 2. On note

$$D = \{ w \in F : \nu_s(w) \text{ est pair pour chaque } s \in S \}.$$

Clairement $N \subseteq D$ et $D$ est un sous-ensemble détachable de $F$. Inversement, comme le groupe $F/N$ est abélien, et comme le carré de tout élément de $F/N$ est égal à 1, nous obtenons $D \subseteq N$, et tout élément de $F/N$ peut être écrit de manière unique comme un produit d'éléments distincts de $S$. ■

Lorsque $S$ est un ensemble fini, le nombre entier #S est un invariant de tout groupe $F$ libre sur $S$, appelé le **rang** de $F$. Si $S$ est un ensemble infini dénombrable, on dit que le groupe libre $F(S)$ est de **rang dénombrable**.

**Théorème 1.7.** Pour tout groupe $G$, il existe un groupe libre $F$ et un **épimorphisme** $f: F \to G$. Si $G$ est discret, on peut trouver un $F$ discret.

Démonstration. Soit $F = F(G)$ le groupe libre sur l'ensemble $G$. En utilisant la fonction identique de $G$ vu comme ensemble vers $G$ vu comme groupe, nous obtenons, d'après la définition d'un groupe libre, un unique homomorphisme $f$ de $F(G)$ vers $G$ égal à l'identité sur $G$. ■

**Lemme 1.8.** Soit $U$ un sous-ensemble d'un groupe $G$ tel que $U \cap U^{-1} = \emptyset$. Alors $U$ est une base d'un sous-groupe libre de $G$ si, et seulement si, chaque fois que $u_1u_2\cdots u_n = 1$ avec $n \ge 1$ et les $u_i$ dans $U \cup U^{-1}$, on a une égalité $u_iu_{i+1} = 1$ pour un $i$.

Démonstration. Si $U$ est une base d'un sous-groupe libre de $G$, l'ensemble $U$ satisfait les conditions du lemme d'après le théorème 1.2. Inversement, supposons que $U$ satisfasse les conditions du lemme et considérons le groupe $F(U)$ libre sur $U$. La fonction injective naturelle de $U$ vers $G$ se prolonge de manière unique en un homomorphisme de groupes $f: F(U) \to G$ dont l'image est le sous-groupe engendré par $U$. Supposons que

$$1 = f(u_1 \cdots u_n) = f(u_1) \cdots f(u_n),$$

avec chaque $u_i \in U \cup U^{-1}$. Comme $f$ est injective sur $U$, nous avons $f(u_i) \in U \cup U^{-1}$ dans $G$, donc il y a un $i$ tel que $f(u_i)f(u_{i+1}) = 1$, et donc $u_iu_{i+1} = 1$. Par suite le noyau de $f$ est trivial, donc $F(U)$ est isomorphe au sous-groupe engendré par $U$. ■
### Exercices

1. Montrer que si $F(S)$ est abélien et si $a, b \in S$, alors $a = b$.

2. Montrer que si $w \in F(S)$, $s \in S$ et $sw = ws$, alors $w = s^n$ pour un entier $n$.

3. Montrer que tout mot dans $F(S)$ possède une forme réduite si, et seulement si, $S$ est discret.

4. Montrer que $F(S) \simeq F(T)$ implique que $S$ est isomorphe à $T$ dans les cas suivants :

(i) $S$ est fini,

(ii) $S$ est l'ensemble $\mathbb{N}$,

(iii) $S$ est un sous-ensemble initial<fnref n="1" /> (sans trous) détachable de $\mathbb{N}$.

5. Soit $S$ un ensemble fini de cardinalité $m$. Montrer que si $T$ est un sous-ensemble fini de $F(S)$ de cardinalité strictement plus grande que $m$, il existe un produit non vide d'éléments distincts de $T$ qui est égal à un produit de carrés.

6. Soient $S = \{s_1, \dots, s_m\}$ et $T = \{t_1, \dots, t_n\}$ (non nécessairement discrets). Utiliser l'exercice 5 pour montrer que si $F(S) \simeq F(T)$ et $m < n$, alors $t_i = t_j$ pour un $i < j$.

## 2 Ensembles de Nielsen

Soit $S$ un ensemble discret. Nous étudions les conditions sur un sous-ensemble $U$ de $F(S)$ qui assurent que $U$ est un système générateur libre du sous-groupe $\langle U \rangle$ engendré par $U$. La **longueur réduite** d'un élément $w \in F(S)$ est la longueur de sa forme réduite, et nous la notons $|w|$.

Un sous-ensemble $U$ du groupe libre $F(S)$ est appelé un **ensemble de Nielsen** si

$$ (\text{N0}) \quad U \cap U^{-1} = \emptyset, $$

et pour tous $x, y, z \in U \cup U^{-1}$ nous avons :

$$ (\text{N1}) \quad \text{si } xy \neq 1, \text{ alors } |xy| \geq \max\{|x|, |y|\}, $$

$$ (\text{N2}) \quad \text{si } xy \neq 1 \text{ et } yz \neq 1, \text{ alors } |xyz| > |x| - |y| + |z|. $$

Notez que la condition N0 assure que $1 \notin U$. Nous allons démontrer que si $U$ satisfait les conditions N0 et N2, alors $U$ est un système générateur libre pour $\langle U \rangle$.

**Exemple 2.1** (les conditions N1 et N2 sont indépendantes). Soit $S = \{s, t, u, v\}$. Alors l'ensemble $U = \{s^2, st, ts\}$ satisfait la condition N1 mais, comme $(st)^{-1}(s^2)(ts)^{-1} = t^{-2}$, il ne satisfait pas la condition N2. L'ensemble $V = \{tuv, suv\}$ satisfait la condition N2 mais pas la condition N1. $\blacksquare$

<footnote n="1">1. NdT. Un sous-ensemble $S$ de $\mathbb{N}$ est dit **initial** si $n \in S$ et $m < n$ impliquent $m \in S$.</footnote>
Si $u$ et $v$ sont des mots réduits, il existe des mots réduits uniques $a, b$ et $c$ tels que $u \equiv ab^{-1}, v \equiv bc$, et $ac$ est réduit. Nous appelons $b$ **le morceau de $v$ qui disparait dans le produit $uv$**. De la même manière $b^{-1}$ est appelé **le morceau de $u$ qui disparait dans le produit $uv$**. Le lemme suivant aide à comprendre la signification de la condition N1.

**Lemme 2.2.** Soit $U$ un ensemble fini de mots réduits qui satisfait la condition N1 dans le groupe libre $F(S)$. Si $u$ et $v$ sont des mots dans $U$ et si $b$ est le morceau de $v$ qui disparait dans le produit $uv$, alors $2|b| \le \min(|u|, |v|)$.

**Démonstration.** Il s'agit d'une conséquence facile de la condition N1. ■

Le lemme suivant explique la signification de la condition N2, et il donne le moyen d'invoquer le lemme 1.8.

**Lemme 2.3.** Soient $S$ un ensemble discret et $U$ un ensemble de mots réduits dans $F(S)$ qui satisfait les conditions N0 et N2. Soit $w \equiv u_1u_2\cdots u_n$ avec les $u_i \in U \cup U^{-1}$ et $u_iu_{i+1} \ne 1$ pour $i < n$. Alors il existe des mots $a_i, b_i, c_i$ tels que $u_i \equiv a_ib_ic_i, b_i \ne 1$, et $b_1b_2\cdots b_n$ est la forme réduite de $w$.

**Démonstration.** On définit $a_0 \equiv c_n \equiv 1$. Soient $c_i$ le morceau de $u_i$ et $a_{i+1} \equiv c_i^{-1}$ le morceau de $u_{i+1}$ qui disparaissent dans le produit $u_iu_{i+1}$ pour $i < n$. D'après la condition N2, nous avons

$$|u_{i-1}u_iu_{i+1}| > |u_{i-1}| - |u_i| + |u_{i+1}|,$$

et donc $u_i \equiv a_ib_ic_i$, avec $b_i \ne 1$, si $1 < i < n$. D'après le théorème 1.5, nous savons que $u_1u_1 \ne 1$ et $u_nu_n \ne 1$, donc N2 nous dit que $|u_1u_1u_2| > |u_2|$ et $|u_{n-1}u_nu_n| > |u_{n-1}|$; par suite $b_1 \ne 1$ et $b_n \ne 1$. Comme $c_i$ est le morceau de $u_i$ qui disparait dans le produit $u_iu_{i+1}$, nous obtenons que $a_ib_ib_{i+1}c_{i+1}$ est la forme réduite de $u_iu_{i+1}$, donc le mot $b_1b_2\cdots b_n$ est réduit. ■

**Corolaire 2.4.** Si $U$ est un ensemble de mots qui satisfait les conditions N0 et N2 dans un groupe libre sur un ensemble discret, c'est un système générateur libre pour $\langle U \rangle$.

**Démonstration.** Cela résulte des lemmes 2.3 et 1.8. ■

Dans l'exemple 2.1, l'ensemble $V$ satisfait les conditions N0 et N2, donc $V$ est un système générateur libre de $\langle V \rangle$.

Contrairement à ce qui se passe dans le cas des groupes abéliens, un groupe libre de petit rang peut avoir comme sous-groupe un groupe libre de grand rang. En fait, il y a même des sous-groupes libres de rang infini parmi les sous-groupes de groupes libres de rang fini.

**Théorème 2.5.** Un groupe libre sur un ensemble fini à deux éléments contient un sous-groupe libre de rang dénombrable.
Démonstration. Soit {$x, y$} la base du groupe libre. On considère l'ensemble

$$U = \{ y, xyx^{-1}, x^2yx^{-2}, x^3yx^{-3}, \dots \}.$$

On vérifie facilement que $U$ est un ensemble de Nielsen, donc c'est un système générateur libre pour le groupe qu'il engendre. ■

Exercices

1. Dans un groupe $G$, un élément de la forme $aba^{-1}b^{-1}$ est appelé le commutateur de $a$ et $b$. L'ensemble des commutateurs engendre un sous-groupe distingué appelé le **groupe dérivé de $G$**, noté $D(G)$. On l'appelle aussi le **sous-groupe des commutateurs de $G$**. Le quotient $G/D(G)$ est le groupe abélien engendré par $G$.

Soit $F$ le groupe libre sur l'ensemble fini à deux éléments {$x, y$}. Montrer que {$x^m y^n x^{-m} y^{-n} : m, n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$} est un système générateur libre pour le sous-groupe des commutateurs de $F$.

2. Montrer que si $U$ est un ensemble de Nielsen de mots dans un groupe libre discret et si $w \equiv u_1 \cdots u_n$ avec $u_i \in U \cup U^{-1}$ et chaque $u_i u_{i+1} \neq 1$, alors $|w| \geq \max\{|u_1|, \dots, |u_n|\}$.

3. Montrer que le sous-groupe construit dans le théorème 2.5 est détachable.

3 Sous-groupes de type fini de groupes libres

Nous démontrons dans cette section comment transformer un ensemble fini de générateurs d'un sous-groupe d'un groupe libre sur un ensemble fini $S$ en un ensemble de Nielsen.

**Définition 3.1.** Soient $U$ et $V$ des ensembles finis de mots. Nous disons que $V$ est obtenu à partir de $U$ par une **transformation de Nielsen** si l'on se trouve dans l'un des cas suivants :

$$(T0) \quad V = U \setminus \{1\};$$

$$(T1) \quad V = (U \setminus \{u\}) \cup \{u^{-1}\} \text{ où } u \in U;$$

$$(T2) \quad V = (U \setminus \{u\}) \cup \{v\} \text{ où } v \text{ est égal à } uu', \text{ ou } u'u, \text{ pour un } u' \in U \cup U^{-1} \\ \text{différent de } u \text{ et } u^{-1}.$$

On réfère à une transformation de type T2 en disant que l'on a **remplacé** $u$ par $v$ dans $U$. Notez que si $V$ est obtenu à partir de $U$ par une transformation de Nielsen, alors on a $\langle U \rangle = \langle V \rangle$ et $\#U \geq \#V$. (Les transformations de types T1 et T2 peuvent faire décroître le nombre d'éléments de l'ensemble $U$. Par exemple si $U = \{a, ab, b\}$, la transformation de type T2 qui remplace $b$ par $ab$ diminue le nombre d'éléments.) De plus, si $V$ est obtenu à partir de $U$
par une transformation de type T1 ou T2, et si $\#U = \#V$, alors $U$ est obtenu à partir de $V$ par une transformation du même type.

Si $S$ est un ensemble fini, nous pouvons mettre un ordre total sur les mots de $F(S)$, par rapport à $\langle\equiv\rangle$, de la manière suivante. On fixe un ordre total sur $S \cup S^{-1}$ et on l'étend en l'ordre lexicographique sur les mots de $F(S)$. Si $u$ et $v$ sont des mots de $F(S)$, on définit $u < v$ comme suit :

$$ (i) \ell(u) < \ell(v), \text{ ou} $$

(ii) $\ell(u) = \ell(v)$ et $u$ précède $v$ pour l'ordre lexicographique.

Notez que tout mot a un nombre fini de prédécesseurs pour cette relation d'ordre.

**Théorème 3.2.** Soient $S$ un ensemble fini et $U$ un sous-ensemble fini de $F(S)$. Alors il existe une suite de transformations de Nielsen qui transforme $U$ en un ensemble de Nielsen.

*Démonstration.* Tout d'abord nous définissons une mesure de la taille de $U$ pour laquelle nous pourrons faire une démonstration par récurrence. Si $w$ est un mot, nous pouvons écrire la forme réduite de $w$ de manière unique sous la forme $w_Lw_R$ où $|w_L|$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $\lfloor|w|+1\rfloor/2$. On définit ensuite une fonction $\varphi$ de $F(S)$ vers $\mathbb{N}$, de manière un peu cryptique, en prenant $\varphi(w)$ égal au nombre de mots $v$ tels que $v < w_Lw_R^{-1}$. Notez que si $|u_1| < |u_2|$, alors $\varphi(u_1) < \varphi(u_2)$. Enfin on pose $\varphi U = \sum_{u \in U} \varphi(u)$.

Nous procédons par récurrence sur $\varphi U$. À l'aide d'une suite de transformations de type T0 et T1, nous pouvons supposer que $U \cap U^{-1} = \emptyset$. Si $|xy| < |x|$ pour $x, y \in U \cup U^{-1}$ et $xy \neq 1$, alors $x \neq y$ d'après le théorème 1.5 et nous pouvons remplacer $x$ par $xy$ (ou $x^{-1}$ par $y^{-1}x^{-1}$) et faire décroitre $\varphi U$. Donc nous pouvons supposer que $U$ satisfait N1.

Soient $x, y$ et $z$ des mots réduits dans $U \cup U^{-1}$ avec $xy \neq 1$ et $yz \neq 1$. Supposons que $|xyz| \le |x| - |y| + |z|$. Alors nous pouvons écrire

$$ x \equiv ap^{-1}, \quad y \equiv pq^{-1}, \quad z \equiv qc. $$

Si $|p| > |q|$, $|xy| < |x|$; si $|p| < |q|$, $|yz| < |z|$; si $|p| > |a|$, $|xy| < |y|$; si $|q| > |c|$, $|yz| < |y|$; donc aucun de ces cas ne peut se produire car $U$ satisfait la condition N1. Donc $|p| = |q| \le \min(|a|, |c|)$, $|xy| = |x|$, et $|yz| = |z|$. Notez que $p \neq q$ parce que $y \neq 1$. Si $p < q$ (pour l'ordre lexicographique), alors $\varphi(yz) < \varphi(z)$; tandis que si $q < p$, alors $\varphi(xy) < \varphi(x)$. Dans chaque cas, nous pouvons utiliser une transformation de Nielsen qui diminue $\varphi(u)$ pour un élément $u \in U$ sans changer les autres éléments, ce qui fait décroitre $\varphi U$. ■

**Corolaire 3.3.** Tout sous-groupe de type fini d'un groupe libre de rang fini est libre, avec un ensemble de Nielsen comme système générateur libre. ■
**Théorème 3.4.** Si $F$ est un groupe libre de rang fini $n$ et si $U$ est un système générateur de $F$, alors $U$ contient au moins $n$ éléments. En outre, si $U$ a exactement $n$ éléments, c'est un système générateur libre de $F$.

*Démonstration.* Comme chaque élément d'un système générateur libre de $F$ est le produit d'un nombre fini de mots dans $U$, nous pouvons supposer que $U$ est fini. D'après le théorème 3.2, nous pouvons transformer $U$ en un ensemble de Nielsen $V$ par une suite de transformations de Nielsen. Donc on a $\langle U \rangle = \langle V \rangle$ et $\#V \le \#U$. Comme $V$ est un ensemble de Nielsen, et comme $U$ est un système générateur, $V$ est un système générateur libre de $F$, donc $V$ a $n$ éléments. Si $U$ a $n$ éléments, aucune transformation de type T0 n'a été utilisée pour transformer $U$ en $V$. Par suite $V$ peut être transformé en $U$ par des transformations de types T1 et T2. Mais ces transformations peuvent être utilisées pour définir une fonction surjective du système générateur libre $V$ sur $U$, fonction qui peut être étendue en un endomorphisme de $F$ qui est un isomorphisme. ■

**Théorème 3.5.** *Tout sous-groupe de type fini $G$ d'un groupe libre de rang fini $F$ est détachable.*

*Démonstration.* Comme $G$ est de type fini, le corolaire 3.3 nous dit que $G$ contient un ensemble de Nielsen $U$ qui est un système générateur libre. Soit $w \in F$. D'après le lemme 2.3, tout $w \in G$ peut être écrit comme un produit d'au plus $|w|$ éléments de $U \cup U^{-1}$. Comme $F$ est discret, nous pouvons tester si $w$ peut s'écrire de cette manière. ■

Exercices

1. Montrer que le sous-groupe des commutateurs d'un groupe libre sur un ensemble à deux éléments n'est pas de type fini (voir l'exercice 2.1).

2. Donner un exemple brouwerien d'un sous-groupe dénombrable d'un groupe libre de rang fini qui n'est pas libre.

3. Montrer qu'un groupe libre de rang fini $F$ est **hopfien** au sens que tout morphisme de $F$ sur $F$ est injectif.

4. Montrer que tout sous-groupe de type fini d'un groupe libre discret est libre et détachable.

# 4 Sous-groupes détachables de groupes libres de rang fini

Nous démontrons dans cette section que les sous-groupes détachables d'un groupe libre de rang fini sont libres. De plus, un sous-groupe d'indice fini $n$ dans un groupe libre de rang fini $r$ est libre de rang $n(r - 1) + 1$.
Soit $F$ un groupe et $G$ un sous-groupe de $F$. Une fonction $T$ de $F$ vers $F$ est appelée **transversale (à droite)** pour $G$ si $T(x) \in Gx$ pour chaque $x \in F$, et si $T(x) = T(y)$ chaque fois que $Gx = Gy$. En d'autres termes, $T$ est une fonction de choix pour l'ensemble des classes à droite de $G$ dans $F$. Notez que $T(T(x)y) = T(xy)$ pour tous $x, y \in F$.

Soit $F$ le groupe libre sur un ensemble fini $S$. Si $w \equiv uv$ est un mot réduit dans $F$, $u$ est appelé un **segment initial** de $w$ et $v$ est appelé un **segment final** de $w$. Une transversale $T$ pour un sous-groupe $G$ de $F$ est une **transversale de Schreier** si c'est une fonction de l'ensemble $F$ muni de l'égalité $\langle\equiv\rangle$ vers l'ensemble $F$ muni de l'égalité $\langle\equiv\rangle$ qui vérifie les conditions suivantes : tous les mots $T(w)$ sont réduits et l'ensemble $T(F) = \{T(w) : w \in F\}$ est clos par segments initiaux. Si $T(F)$ est également clos par segments finaux, $T$ est une **transversale de Schreier bilatère**.

**Théorème 4.1.** Soient $F$ le groupe libre sur un ensemble fini $S$ et $G$ un sous-groupe détachable de $F$. Alors $G$ possède une transversale de Schreier, et si $G$ est un sous-groupe normal, il possède une transversale de Schreier bilatère.

*Démonstration.* On munit l'ensemble $F$ de l'ordre total défini juste avant le théorème 3.2. Tout élément de $F$ a un nombre fini de prédécesseurs et $G$ est détachable, donc pour chaque $w \in F$ on peut définir $T(w)$ comme le premier mot dans $Gw$ (notez que $Gw$ est l'ensemble des mots égaux à un mot de la forme $gw$).

Si $w \equiv uv$ est le plus petit élément de $Gw$, alors $u$ est le plus petit élément de $Gu$, car s'il y a un $g \in G$ avec $gu = c < u$, alors $gw = cv < uv \equiv w$. Donc $T$ est une transversale de Schreier.

Si $G$ est normal, on a $Gw = wG$, donc $v$ est le plus petit élément de $Gv = vG$, et par suite $T$ est une transversale de Schreier bilatère. ■

**Lemme 4.2.** Soit $F$ le groupe libre sur un ensemble fini $S$ et $T$ une transversale de Schreier pour un sous-groupe $G$ de $F$. Soient $s$ et $s'$ des éléments de $S \cup S^{-1}$, et $t$ et $t'$ des éléments de $T(F)$ tels que ni $ts$ ni $t's$ n'est égal à un élément de $T(F)$. Soit $u$ la forme réduite de $T(ts)^{-1}t'$. Alors :

(i) $tsT(ts)^{-1}$ et $t's'T(t's')^{-1}$ sont réduits;

(ii) si $tsT(ts)^{-1} = t's'T(t's')^{-1}$, alors $t \equiv t'$ et $s \equiv s'$;

(iii) $sus'$ est réduit sauf dans le cas où $u = 1$ et $s' = s^{-1}$.

*Démonstration.* Si $ts$ n'est pas réduit, $t \equiv t''s^{-1}$ pour un $t'' \in T(F)$, car $T$ est une transversale de Schreier, et donc $ts = t'' \in T(F)$, contrairement à l'hypothèse. Si $sT(ts)^{-1}$ n'est pas réduit, $T(ts) \equiv t''s$ avec $t'' \in T(F)$, car $T$ est une transversale de Schreier. Mais alors

$$t'' = T(t'') = T(T(ts)s^{-1}) = T(tss^{-1}) = T(t) = t,$$
donc $ts = t''s \in T(F)$, contrairement à l'hypothèse. Comme $ts$ et $sT(ts)^{-1}$ sont tous deux réduits, le mot $tsT(ts)^{-1}$ est réduit. De la même manière $t's'T(t's')^{-1}$ est réduit.

Si $tsT(ts)^{-1} = t's'T(t's')^{-1}$, comme ils sont tous deux réduits, $ts$ est un segment initial de $t's'$ ou vice versa, mais $ts$ n'est pas un segment initial de $t'$ (car $t' \in T(F)$ et $ts \notin T(F)$), et de même $t's'$ n'est pas un segment initial de $t$. On a donc nécessairement $ts = t's'$, donc $t = t'$ et $s = s'^1$.

Pour démontrer le point (iii), il suffit de démontrer que $su$ et $us'$ sont réduits. On a $u = T(ts)^{-1}t'$, et $u$ et $sT(ts)^{-1}$ sont réduits. Si $su$ n'est pas réduit, $T(ts)^{-1}$ doit disparaître dans le produit $T(ts)^{-1}t'$ en laissant $s^{-1}$ sur la gauche, donc $T(ts)s^{-1}$ est un segment initial de $t'$. Donc $T(ts)s^{-1}$ est dans $T(F)$ car $T$ est une transversale de Schreier. Ainsi $t = T(T(ts)s^{-1}) = T(ts)s^{-1}$, d'où l'on déduit $ts = T(ts) \in T(F)$, contrairement à l'hypothèse. Donc $su$ est réduit.

De la même manière, si $us' = T(ts)^{-1}t's'$ n'est pas réduit, alors, comme $t's'$ est réduit, $t's'$ est un segment initial de $T(ts)$, donc il est dans $T(F)$, contrairement à l'hypothèse. ■

**Lemme 4.3.** Soient $T$ une transversale pour un sous-groupe d'un groupe $F$, $t, t' \in T(F)$ et $s \in F$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes.

(i) $t' = T(ts)$.

(ii) $t = T(t's^{-1})$.

En outre, lorsque ces conditions sont satisfaites, en notant $f(w) = wT(w)^{-1}$, on a

(iii) $f(ts)f(t's^{-1}) = 1$.

**Démonstration.** Si $t' = T(ts)$, alors

$$T(t's^{-1}) = T(T(ts)s^{-1}) = T(tss^{-1}) = T(t) = t,$$

donc (i) implique (ii), et par suite (ii) implique (i). Si les conditions (i) et (ii) sont satisfaites, on a

$$ 
\begin{aligned}
f(ts)^{-1} &= T(ts)s^{-1}t^{-1} = T(T(t's^{-1})s)s^{-1}t^{-1} \\
&= T(t')s^{-1}t^{-1} = t's^{-1}t^{-1} = (t's^{-1})t^{-1} = f(t's^{-1}).
\end{aligned} 
\quad \blacksquare $$

**Théorème 4.4.** Soit $G$ un sous-groupe du groupe libre $F$ sur un ensemble discret $S$. Soit $T$ une transversale de Schreier pour $G$. On définit la fonction $f$ de $F$ vers $G$ par $f(w) = wT(w)^{-1}$. Alors l'ensemble

$$Y = \{ f(ts) : s \in S, t \in T(F) \text{ et } f(ts) \neq 1 \}$$

est un système générateur libre de $G$.

<footnote n="1">1. NdT. Notez que pour les mots réduits, $=$ et $\equiv$ coïncident.</footnote>
Démonstration. Si $w \in G$, $T(w) = 1$, donc $f(w) = w$. Donc pour démontrer que $G = \langle Y \rangle$, il suffit de démontrer que $f(w) \in \langle Y \rangle$ pour tout $w \in F$. Soit $w \in F$ et $s \in S$. Alors

$$f(w)f(T(w)s) = wT(w)^{-1}T(w)sT(T(w)s)^{-1} = wsToran^{-1} = f(wns).$$

Comme $f(T(w)s) \in Y \cup \{1\}$, on a $f(wns) \in \langle Y \rangle$ si, et seulement si, $f(w) \in \langle Y \rangle$.

Soit maintenant un mot réduit $w \in F$. Ou bien $w = 1 \in \langle Y \rangle$, ou bien $|ws^{-1}| < |w|$ pour un $s \in S$, ou bien $|ws| < |w|$ pour un $s \in S$. Dans les deux derniers cas, par récurrence sur la longueur, ou bien $fMIC^{-1}) \in \langle Y \rangle$, ou bien $f(wns) \in \langle Y \rangle$. Donc $w \in \langle Y \rangle$.

Nous montrons maintenant que $Y$ est un système générateur libre en faisant appel au lemme 1.8. On observe d'abord que l'on a

$$Y^{-1} = \{ f(ts^{-1}) : s \in S, t \in T(F), \text{ et } f(ts^{-1}) \neq 1 \}$$

d'après le lemme 4.3. Donc si $y \in Y \cup Y^{-1}$, on a $y = f(ts)$ avec $s \in S \cup S^{-1}$ et $t \in T(F)$. Ensuite on note que $Y \cap Y^{-1} = \emptyset$ d'après le lemme 4.2(ii). Nous supposons maintenant que $y_1y_2 \cdots y_n = 1$ avec les $y_i \in Y \cup Y^{-1}$. On écrit $y_i \equiv f(t_i s_i) \equiv t_i s_i T(t_i s_i)^{-1}$, avec $s_i \in S \cup S^{-1}$ et $t_i \in T(F)$. D'après le lemme 4.2(i) les $y_i$ sont réduits. Soit $u_i$ la forme réduite de $T(t_i s_i)^{-1} t_{i+1}$ pour $i < n$ et $u_n = T(t_n s_n)^{-1}$. Alors

$$y_1y_2 \cdots y_n = t_1s_1u_1s_2u_2 \cdots u_{n-1}s_nu_n. \qquad (*)$$

Nous devons montrer que $y_iy_{i+1} = 1$ pour un $i < n$. Si $t_i s_i$ était égal à un élément de $T(F)$, $y_i$ serait égal à 1; nous pouvons donc appliquer le lemme 4.2(iii). Ainsi, ou bien les éléments $s_i u_i s_{i+1}$ sont tous réduits pour $i < n$, ou bien on a $u_i = s_i s_{i+1} = 1$ pour un $i < n$. Dans le premier cas, le membre de droite de (*) est réduit parce que $t_1s_1$ et $s_n u_n$ sont aussi réduits d'après le lemme 4.2(i); or c'est impossible car $y_1y_2 \cdots y_n = 1$. Dans le deuxième cas, on a $t_{i+1} = T(t_i s_i)$ pour un $i$, donc $y_iy_{i+1} = 1$ d'après le lemme 4.3. ■

Les théorèmes 4.1 et 4.4 impliquent que les sous-groupes détachables de groupes libres de rang fini sont libres. Si le sous-groupe est d'indice fini, nous pouvons calculer son rang comme suit.

**Théorème 4.5.** Soit $F = F(S)$ un groupe libre de rang $r$ et $G$ un sous-groupe d'indice fini $n$. Alors $G$ est un groupe libre de rang $n(r - 1) + 1$.

Démonstration. Soit $T$ une transversale de Schreier pour $G$, et $Y$ le système générateur libre défini dans le théorème 4.4. Il nous faut montrer que $Y$ a $n(r - 1) + 1$ éléments. On définit les fonctions $\lambda$ et $\mu$

$$\lambda: T(F) \setminus \{1\} \to T(F) \times S, \quad \mu: Y \to T(F) \times S$$
par

$$ \mu(y) = (t, s) \text{ tel que } f(ts) = y \text{ et } \lambda(t) = \begin{cases} (t', s) & \text{si } t \equiv t's \text{ avec } s \in S \\ (t, s) & \text{si } t \equiv t's^{-1} \text{ avec } s \in S. \end{cases} $$

Le lemme 4.2 assure que la fonction $\mu$ est bien définie; elle est clairement injective. La fonction $\lambda$ a son image dans $T(F) \times S$ parce que $T$ est une transversale de Schreier; on voit facilement que $\lambda$ est injective. L'image de $\lambda$ est l'ensemble des couples $(t, s) \in T(F) \times S$ tels que $ts \in T(F)$, ce qui est la même chose que l'ensemble des couples $(t, s)$ tels que $f(ts) = 1$. Donc les images de $\lambda$ et de $\mu$ partitionnent $T(F) \times S$ en deux ensembles disjoints. Le premier contient $n-1$ éléments et le second contient le même nombre d'éléments que $Y$. Comme $T(F) \times S$ a $nr$ éléments, on voit que $\#Y = nr - (n-1) = n(r-1) + 1$. ■

Exercices

1. Montrer que si $G$ est un sous-groupe d'un groupe libre discret, alors $G$ est détachable si, et seulement si, il possède une transversale de Schreier.

2. Construire un exemple brouwerien d'un sous-groupe libre d'un groupe libre de rang fini qui n'est pas détachable.

3. Soit $G$ un sous-groupe de type fini d'un groupe libre de rang fini. Montrer comment on peut déterminer si $G$ a un indice fini.

4. Utiliser le théorème 2.5 pour montrer qu'un sous-groupe détachable d'un groupe libre discret dénombrable est libre.

## 5 Sous-groupes conjugués

Soit $S$ un ensemble et $u, v \in F(S)$. Les éléments $u$ et $v$ sont dits **conjugués** dans $F(S)$ s'il existe un $c \in F$ tel que $u = c^{-1}vc$. Un mot $w \equiv x_1 \cdots x_n$, avec les $x_i \in S \cup S^{-1}$ est **cycliquement réduit** s'il est réduit et $x_n x_1 \neq 1$. Si $S$ est discret, tout mot réduit $w$ de $F(S)$ peut être écrit de manière unique sous la forme $w \equiv v^{-1}w'v$ avec $w'$ cycliquement réduit.

**Théorème 5.1.** Si $F$ est un groupe libre sur un ensemble discret $S$, deux éléments arbitraires $u, v \in F$ sont ou ne sont pas conjugués.

*Démonstration.* Nous pouvons supposer que $u$ et $v$ sont réduits. On écrit $u \equiv a^{-1}u'a$ et $v \equiv b^{-1}v'b$ avec $u'$ et $v'$ cycliquement réduits. Alors $u$ et $v$ sont conjugués si, et seulement si, $u'$ et $v'$ sont conjugués. Nous allons montrer que si $u' \neq v'$ et $u' = c^{-1}v'c$, alors $u'$ est une permutation cyclique de $v'$. Nous pouvons supposer que $c$ est réduit. Comme $u'$ est cycliquement réduit, $c^{-1}v'$ ou $v'c$ n'est pas réduit. Dans le premier cas, on a $c \equiv sd$ et $v' \equiv sw$,
avec $s \in S \cup S^{-1}$. Alors $u' = d^{-1}s^{-1}swsd = d^{-1}wsd$ et $ws$ est une permutation cyclique de $v'$. Comme $|d| < |c|$, nous terminons par récurrence sur $|c|$. Le second cas est similaire. Donc $u$ et $v$ sont conjugués si, et seulement si, $u'$ et $v'$ sont des permutations cycliques l'un de l'autre. ■

Soit $F$ un groupe et $U$ un sous-ensemble de $F$. Pour $w \in F$, on note $w^{-1}Uw = \{w^{-1}uw : u \in U\}$. Si $U$ est un sous-groupe, $w^{-1}Uw$ est un sous-groupe. Les sous-groupes $G$ et $H$ sont dits **conjugués** s'il existe un $w \in F$ tel que $H = w^{-1}Gw$.

**Théorème 5.2.** Soit $F$ un groupe libre de rang fini et soient $G$ et $H$ des sous-groupes de type fini de $F$. Alors, ou bien $G$ est conjugué d'un sous-groupe de $H$, ou bien il ne l'est pas. De même, ou bien $G$ est conjugué de $H$, ou bien il ne l'est pas.

*Démonstration.* Soit $U$ un système générateur libre fini de $G$, et $V$ un système générateur libre fini de $H$. Nous pouvons supposer que $V$ est un ensemble de Nielsen de générateurs pour $H$ et, en remplaçant $G$ par un sous-groupe conjugué, que $U$ contient un élément $u$ qui est cycliquement réduit (le cas $U = \emptyset$ est trivial). Soit $m = \max\{|w| : w \in U \cup V\}$. Nous montrons que, pour chaque $w \in F$,

$$ \begin{array}{l} \text{si } w^{-1}Gw \subseteq H \text{ et } |w| > m, \text{ nous pouvons trouver} \\ \text{un } w' \in GwH \text{ tel que } |w'| < |w|. \end{array} \tag{*} $$

Si (*) est démontré, comme $w' \in GwH$, on a $w'^{-1}Gw' \subseteq H$ ; donc, par récurrence, nous pouvons trouver un $w' \in GwH$ tel que $|w'| \le m$. Le théorème résulte alors du raisonnement suivant. Puisque $F$ est de rang fini, il y a seulement un nombre fini de mots $w$ tels que $|w| \le m$. Pour chaque mot $w$ de ce type, nous testons si $w^{-1}Uw \subseteq H$ ; on peut le faire parce que $U$ est fini et $H$ est détachable. Si un tel $w$ n'existe pas, $G$ n'est pas conjugué d'un sous-groupe de $H$. Si un tel $w$ existe, $w^{-1}Gw$ est un sous-groupe de $H$ conjugué de $G$. Si $w^{-1}Uw \subseteq H$, nous pouvons décider si $\langle w^{-1}Uw \rangle = H$ parce que $H$ est de type fini et $\langle w^{-1}Uw \rangle$ est détachable. Si c'est le cas, $G$ et $H$ sont conjugués ; sinon, ils ne le sont pas.

Pour démontrer (*), nous supposons que $w$ est réduit avec $|w| > m$ et $w^{-1}Gw \subseteq H$. Soit un $u \in U$ cycliquement réduit. Alors $u^{-1}w$ ou $uw$ est réduit. Nous pouvons supposer, en remplaçant $u$ par $u^{-1}$ si nécessaire, que $uw$ est réduit. Si $|w| > |u^{-1}w|$, nous pouvons prendre $w' = u^{-1}w$, sinon on a $|w^{-1}u| \ge |w^{-1}|$. Dans ce cas, c'est au plus la moitié de $u$ qui disparait dans le produit $w^{-1}u$. Comme $uw$ est réduit et $|w^{-1}| = |w| > m \ge |u|$, nous voyons que la forme réduite du produit $w^{-1}uw$ commence avec plus que la moitié du facteur $w^{-1}$, et se termine avec le facteur $w$. En particulier, $|w^{-1}uw| > |w| > m$.

Écrivons $w^{-1}uw$ sur le système générateur libre $V$ de $H : w^{-1}uw = v_1v_2\cdots v_n$ avec les $v_i$ dans $V \cup V^{-1}$ et $v_iv_{i+1} \ne 1$ pour tout $i < n$. Comme
$|w^{-1}uw| > m \ge |v_1|$, on a nécessairement $n > 1$. Si $|wv_1| < |w|$, nous pouvons prendre $w' = wv_1$, et nous pouvons supposer que $|w| \le |wv_1|$. Comme $V$ est un ensemble de Nielsen, les lemmes 2.2 et 2.3 nous disent que la forme réduite de $w^{-1}uw = v_1 \cdots v_n$ commence avec au moins la moitié de $v_1$, et d'après ce qui précède il commence aussi par au moins la moitié de $w^{-1}$. Comme $|w| > m \ge |v_1|$, cela implique que $w^{-1}$ commence avec au moins la moitié de $v_1$. Cependant $|w| \le |wv_1|$, donc $w^{-1}$ commence avec au plus la moitié de $v_1$. Donc la forme réduite de $w^{-1}uw$ commence avec exactement la moitié de $v_1$, et la moitié de $v_1$ disparait dans $v_1v_2$. De la même manière, il se termine avec exactement la moitié de $v_n$. Supposons que $|v_1| \le |v_n|$. Comme $w^{-1}$ commence avec la moitié de $v_1$ et $w$ se termine avec la moitié de $v_n$, la moitié de $v_1$ disparait dans le produit $v_n v_1$, et tout $v_1$ disparait dans le produit $v_n v_1 v_2$. Comme $v_1 v_2 \ne 1$, et comme $V$ est un ensemble de Nielsen, on obtient $v_1 = v_n^{-1}$. De la même manière, si $|v_n| \le |v_1|$, $v_1 = v_n^{-1}$. Donc $v_1 = v_n^{-1}$. Comme $w$ se termine avec la moitié de $v_n = v_1^{-1}$, au moins la moitié de $v_1$ disparait dans le produit $w' = wv_1$, donc $|w'| \le |w|$. Mais $w'^{-1}uw' = v_2 \cdots v_{n-1}$ et nous terminons récurrence sur $n$. ■

Exercices

1. Montrer que le théorème 5.2 est vrai pour tout groupe libre discret.

2. Construire des contre-exemples brouweriens pour des généralisations du théorème 5.2, la première avec $G$ de rang dénombrable et la seconde avec $H$ de rang dénombrable.

6 Notes

Le **problème des mots** pour un groupe $G$ est celui de décider si deux éléments de $G$ sont égaux; autrement dit, résoudre le problème des mots pour $G$, c'est démontrer que $G$ est discret. La terminologie provient de la considération de groupes quotients $F/N$ où $F$ est un groupe libre et $N$ un sous-groupe normal de $F$; dans cette situation le problème devient celui de reconnaitre si un mot de $F$ est ou n'est pas dans $N$. Il pourrait sembler plausible de résoudre le problème des mots quand $F$ est de rang fini et $N$ est de type fini comme sous-groupe normal, i.e. lorsqu'il y a un sous-ensemble fini $A$ de $N$ tel que tout élément de $N$ peut être écrit comme un produit de conjugués d'éléments de $A$. Cependant, une construction célèbre de Novikov et Boone donne de tels $F$ et $A$ pour lesquels le problème des mots ne peut pas être résolu par un machine de Turing, et donc aucun algorithme ne peut être écrit dans un langage de programmation standard pour décider si un mot de $F$ est dans $N$.

Le **problème des mots généralisé** pour un groupe $G$ relativement à un sous-groupe $H$ est de décider si un élément de $G$ est dans $H$. Le problème des mots
généralisé pour un groupe libre de rang fini relativement à un sous-groupe de type fini est résolu par la construction de Nielsen (théorème 3.5).

La construction de Schreier montre, en mathématiques classiques, que tout sous-groupe d'un groupe libre est libre. Pour construire une transversale de Schreier, on munit $S \cup S^{-1}$ d'une relation de bon ordre et on procède comme dans le cas fini.
# XI. Groupes abéliens

## Sommaire

1. Groupes sans torsion de rang fini. 263

2. Groupes divisibles. 268

3. Fonctions de hauteur sur les p-groupes. 271

4. Le théorème d'Ulm. 275

5. Construction de groupes d'Ulm. 279

6. Notes. 282

## 1 Groupes sans torsion de rang fini

Un groupe abélien est un module sur l'anneau des entiers. Ainsi, quand nous étudions les groupes abéliens, nous pouvons faire appel aux faits généraux concernant les modules que nous avons développés dans le chapitre III, ainsi qu'à ceux que nous avons établis pour les modules sur les anneaux principaux dans le chapitre V. Le théorème de structure pour les groupes abéliens de présentation finie est un cas particulier du théorème de structure pour les modules de présentation finie sur les anneaux principaux (théorème V.2.3). Dans cette section, nous étudions les cas les plus simples de groupes abéliens sans torsion qui ne sont pas de présentation finie.

Si $G$ est un module sur l'anneau commutatif $R$ et si $r \in R$, alors $rG = \{rx : x \in G\}$ est un sous-module de $G$. Pour un $x \in G$, il est utile de savoir pour quels $r \in R$ nous avons $x \in rG$. Lorsque $R = \mathbb{Z}$, cette question se ramène celle de savoir si $x \in qG$ pour un nombre $q$ égal à une puissance d'un nombre premier.

**Lemme 1.1.** Si $G$ est un module sur un anneau commutatif $R$, et si $a$ et $b$ sont des éléments étrangers de $R$, alors $abG = aG \cap bG$.

*Démonstration.* Clairement $abG \subseteq aG \cap bG$, et si nous supposons que $x = ay = bz \in aG \cap bG$, nous pouvons écrire $1 = sa + tb$, de sorte que $x = sax + tbx = sabz + tbay = ab(sz + ty) \in abG$. ■
Un groupe abélien $G$ est **sans torsion** si pour tout entier non nul $n$ et tout $x \in G$, $nx = 0$ implique $x = 0$. Si $G$ est un groupe abélien sans torsion, l'application naturelle $G \to Q \otimes G$ qui envoie $x$ sur $1 \otimes x$, est un monomorphisme. Notez que $Q \otimes G$ est discret si, et seulement si, $G$ est discret, et que $Q \otimes G$ est un espace vectoriel sur $Q$. On dit qu'un groupe abélien sans torsion est de **rang** $n$ si $Q \otimes G$ est un espace vectoriel discret de dimension $n$ sur $Q$. Un groupe abélien sans torsion est de rang 1 si, et seulement si, il est isomorphe à un sous-groupe non nul du groupe additif $Q$. En mathématiques classiques, les groupes abéliens sans torsion de rang 1 sont classifiés par les classes d'équivalence de fonctions de l'ensemble $\mathbf{P}$ des nombres premiers vers $\mathbb{N} \cup \{\infty\}$.

Si $x$ est un élément d'un groupe sans torsion $G$, nous définisons la **p-hauteur** de $x$ comme $h_p x = \sup\{n : x \in p^n G\}$, où le supremum est pris dans $\mathbb{N} \cup \{\infty\}$. Naturellement il n'y a aucune raison de croire que nous pouvons calculer $h_p x$ en général<fnref n="1" />; si nous pouvons le faire pour chaque nombre premier $p$ et chaque $x \in G$, nous disons que le groupe $G$ **possède des hauteurs**. Lorsque $G = A \oplus B$, on voit facilement que $G$ possède des hauteurs si, et seulement si, $A$ et $B$ possèdent des hauteurs, auquel cas $h_p^G x = \min(h_p^A x, h_p^B x)$.

**Lemme 1.2.** *Soit $G$ un groupe abélien sans torsion qui possède des hauteurs. Pour $p \in \mathbf{P}$, $m \in \mathbb{N}$ et $x \in G$, les propriétés suivantes sont satisfaites.*

— On a $h_p mx \geq h_p x$ avec égalité dans le cas où $(p, m) = 1$.

— Si $h_p x \in \mathbb{N}$, alors $h_p px = h_p x + 1^2$.

*Démonstration.* Clairement $h_p mx \geq h_p x$. Supposons que $(p, m) = 1$ et $mx = p^n y$. Écrivons $sp^n + tm = 1$. Alors $x = sp^n x + tmx = p^n(sx + y)$; donc $h_p x \geq h_p mx$.

Enfin, on a $px = p^{n+1}y$ si, et seulement si, $x = p^n y$ parce que $G$ est sans torsion. ■

Un **type** est une fonction de $\mathbf{P}$ vers $\mathbb{N} \cup \{\infty\}$; deux types sont dits **égaux** s'ils sont égaux sauf peut-être en un nombre fini de nombres premiers, où ils sont tous les deux finis. L'ensemble des types est muni d'un ordre partiel naturel en posant $\tau_1 \le \tau_2$ si $\tau_1(p) \le \tau_2(p)$ sauf peut-être en un nombre fini de nombres premiers, où ils sont tous les deux finis. On voit alors facilement que l'ensemble des types forme un treillis distributif avec un élément maximum et un élément minimum.

Le **type d'un élément** $x$ dans un groupe sans torsion $G$ qui possède des hauteurs est la fonction $p \mapsto h_p x$ vue comme un type. D'après le lemme 1.2, si $x \in G$ et si $m$ est un entier naturel non nul, alors le type de $x$ est égal au type de $mx$. Comme deux éléments non nuls d'un groupe sans torsion de rang 1 ont un multiple commun, nous pouvons définir le **type d'un groupe sans torsion de**

<footnote n="1">1. NdT. Si le groupe est fortement discret, on peut à priori seulement décider si $h_p x \ge n$.</footnote>

<footnote n="2">2. NdT. Avec la convention usuelle $\infty + 1 = \infty$.</footnote>
**rang 1 qui possède des hauteurs** comme étant le type de n'importe quel élément non nul du groupe. Le théorème qui suit montre que deux groupes de cette sorte qui ont le même type sont isomorphes.

**Théorème 1.3.** Soient $G$ et $G'$ des groupes abéliens sans torsion de rang 1 qui possèdent des hauteurs, de types respectifs $\tau$ et $\tau'$.

— Il existe un morphisme non nul de $G$ vers $G'$ si, et seulement si, $\tau \le \tau'$.

— Si $\tau = \tau'$, les groupes $G$ et $G'$ sont isomorphes.

*Démonstration.* Soit un morphisme non nul $\varphi: G \to G'$. Clairement $h_p\varphi x \ge h_p x$ pour tout $x \in G$, donc $\tau \le \tau'$.

Supposons maintenant que $\tau \le \tau'$, et soient $x$ et $x'$ des éléments non nuls de $G$ et $G'$. D'après le lemme 1.2, il existe des entiers non nuls $m$ et $m'$ tels que $h_p m x \le h_p m' x'$ pour tous les nombres premiers $p$, avec égalité si $\tau = \tau'$. Soit $H$ le sous-groupe de $G \oplus G'$ engendré par $(mx, m'x')$, et soit

$$K = \{ w \in G \oplus G' : nw \in H \text{ pour un entier non nul } n \in \mathbb{N} \}.$$

Clairement, $K$ est un sous-groupe de $G \oplus G'$. Si $y \in G$, alors $ny = \ell mx$ pour des entiers non nuls $\ell$ et $n$, car $G$ est de rang 1. Donc $\ell m' x' \in nG'$ d'après les lemmes 1.1 et 1.2. Par suite, il existe un $y' \in G'$ tel que $ny' = \ell m' x'$, et donc $(y, y') \in K$. Si $\tau = \tau'$, alors, par symétrie, pour tout $y' \in G'$ il existe un $y \in G$ tel que $(y, y') \in K$. Si $(y, y')$ et $(y, z') \in K$, alors $(0, y' - z') \in K$, et donc $y' = z'$ puisque $G$ et $G'$ sont sans torsion. En posant $\varphi(y) = y'$, nous obtenons un morphisme non nul qui est un isomorphisme si $\tau = \tau'$. ■

Les groupes abéliens sans torsion de rang 1 qui possèdent des hauteurs forment une **classe semirigide** au sens suivant.

**Corolaire 1.4.** Soient $A$ et $B$ des groupes abéliens sans torsion de rang 1 qui possèdent des hauteurs. S'il existe des morphismes non nuls de $A$ vers $B$ et de $B$ vers $A$, $A$ et $B$ sont isomorphes. ■

L'hypothèse que $A$ et $B$ possèdent des hauteurs ne peut pas être supprimée dans le corolaire 1.4 ; un exemple est proposé dans l'exercice 7.

En mathématiques classiques, tout groupe abélien sans torsion de type fini est une somme directe de groupes cycliques. Cela n'est pas vrai d'un point de vue constructif (voir l'exercice 2) mais on a le théorème suivant.

**Théorème 1.5.** *Tout sous-groupe de type fini d'un groupe abélien sans torsion de rang fini est une somme directe de groupes cycliques.*

*Démonstration.* Il suffit de considérer les sous-groupes de type fini $G \subseteq \mathbb{Q}^n$. En multipliant $G$ par un dénominateur commun des coordonnées des générateurs de $G$, nous sommes ramenés au cas où $G \subseteq \mathbb{Z}^n$. Alors $G$ est de présentation finie en tant que sous-module de type fini d'un module cohérent, donc $G$ est une somme directe de groupes cycliques d'après le théorème de structure V.2.3. ■
Les groupes abéliens sans torsion de rang fini les plus simples sont les sommes directes finies de groupes abéliens sans torsion de rang 1 qui possèdent des hauteurs. Un tel groupe peut être spécifié, à isomorphisme près, par une famille finie de types. Il est à priori possible que deux familles distinctes de types correspondent à des groupes isomorphes, mais il se trouve que ce n'est pas le cas. Dans le contexte des mathématiques classiques, nous pouvons calculer, de manière invariante, le nombre de facteurs de rang 1 et de type $\tau$ en considérant le sous-groupe

$$G(\tau) = \{ x \in G : \text{type}(x) \geq \tau \}$$

et le sous-groupe $G(\tau^*)$ engendré par $\{G(\sigma) : \sigma > \tau\}$ : le rang du groupe quotient $G(\tau)/G(\tau^*)$ est égal au nombre de facteurs de type $\tau$. Mais comme l'ensemble des types n'est pas discret, cela ne nous permet pas de déterminer ce rang dans un contexte constructif. Notre approche repose sur le lemme suivant au sujet des bases des espaces vectoriels de dimension finie.

**Lemme 1.6.** Soient $e_1, \dots, e_n$ et $e_{n+1}, \dots, e_{2n}$ des bases d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps discret. Soit $\pi_i(x)$ le multiple scalaire de $e_i$ dans l'expression de $x$ sur la base concernée. Soit $R$ la clôture transitive de la relation $\pi_i(e_j) \neq 0$ sur $\{1, \dots, 2n\}$. Alors chaque classe d'équivalence d'éléments de $\{1, \dots, 2n\}$ pour la relation « $i \equiv j \ \text{si} \ R(i, j)$ et $R(j, i)$» a exactement la moitié de ses éléments dans le sous-ensemble $\{1, \dots, n\}$.

**Démonstration.** Soit $C$ une classe d'équivalence d'éléments de $\{1, \dots, 2n\}$. Écrits $C = A \cup B$ avec $A = C \cap \{1, \dots, n\}$ et $B = C \cap \{n+1, \dots, 2n\}$. Pour $S$ égal à $A$ ou à $B$ notons $\pi_S = \sum_{i \in S} \pi_i$ et $V_S$ le sous-espace engendré par $\{e_i : i \in S\}$, i.e. l'image de $\pi_S$. Nous allons montrer que $V_A$ a la même dimension que $V_B$. Par symétrie, il suffit de montrer que $\pi_A V_B = V_A$. Nous montrons que $e_i = \pi_A \pi_B e_i$ pour tout $i \in A$. On a $\pi_A \pi_B e_i = \sum_{k \in A} \sum_{j \in B} \pi_k \pi_j e_i$, mais d'après la définition des classes d'équivalence, $\pi_k \pi_j e_i = 0$ si $i, k \in A$ et $j \in \{n+1, \dots, 2n\} \setminus B$. Donc $\pi_A \pi_B e_i = \sum_{k \in A} \sum_{j=n+1}^{2n} \pi_k \pi_j e_i = \pi_A e_i = e_i$. ■

**Théorème 1.7.** Supposons que $G = H_1 \oplus H_2 \oplus \dots \oplus H_n = K_1 \oplus K_2 \oplus \dots \oplus K_m$, où les $H_i$ et $K_j$ sont des groupes abéliens sans torsion de rang 1 qui possèdent des hauteurs. Alors $m = n$, et il existe une permutation $\sigma$ de $\{1, \dots, n\}$ telle que $H_i \simeq K_{\sigma(i)}$ pour tout $i$.

**Démonstration.** Soient $e_1, \dots, e_n$ des éléments non nuls de $H_1, \dots, H_n$ respectivement, et $e_{n+1}, \dots, e_{n+m}$ des éléments non nuls de $K_1, \dots, K_m$ respectivement. Alors $e_1, \dots, e_n$ et $e_{n+1}, \dots, e_{n+m}$ sont des bases de $\mathbb{Q} \otimes G$, donc $m = n$. Pour le confort de la notation, nous posons $H_{n+i} = K_i$ pour $i = 1, \dots, n$. On considère la fonction $\pi_i$ comme dans le lemme 1.6, et on note que $\pi_i G = H_i$, donc si $\pi_i e_j \neq 0$ nous avons une fonction non nulle de $H_j$ vers $H_i$. Le résultat se déduit maintenant du lemme 1.6 et du corolaire 1.4. ■
Exercices

1. Montrer que tout groupe abélien fini est de présentation finie.

2. Soit $a$ une suite binaire fugitive. Soit $S$ le sous-groupe de $Z \oplus Z$ engendré par l'ensemble $\{(1, na_n) : n \in \mathbb{N}\}$. Montrer que $(Z \oplus Z)/S$ est un exemple brouwerien d'un groupe abélien sans torsion discret de type fini qui n'est pas égal à une somme directe de groupes cycliques.

3. Pour tout entier $i > 0$, soit $A_i$ le sous-groupe de $\mathbb{Q}$ engendré par l'ensemble $\{1/p^i : p \text{ est un nombre premier}\}$. Montrer que $A_i$ possède des hauteur, et que $A_i$ et $A_j$ ne sont pas isomorphes si $i \neq j$. Pour quelles valeurs de $i$ le groupe $A_i$ est-il de type fini ?

4. Soit $a$ une suite binaire, et $A$ le sous-groupe de $\mathbb{Q}$ engendré par 1 et par l'ensemble $\{1/2^n : a_n = 1\}$. Montrer que $A$ est un exemple brouwerien d'un groupe sans torsion de rang 1 qui ne possède pas de hauteur. Montrer que $A$ est une partie détachable de $\mathbb{Q}$ si $a$ est décroissante, mais pas en général.

5. Étant donnée une fonction $f: \mathbf{P} \to \mathbb{N} \cup \{\infty\}$, construire un groupe sans torsion de rang 1, et un élément $x$, tels que $h_p x = f(p)$ pour tout nombre premier $p$.

6. Un sous-groupe $A$ d'un groupe abélien $B$ est **plein** si $B/A$ est un groupe de torsion. Montrer qu'un groupe abélien sans torsion est de rang $n$ si, et seulement si, il contient un sous-groupe plein isomorphe à $\mathbb{Z}^n$.

7. Soient $a$ une suite binaire et $A$ le sous-groupe de $\mathbb{Q}$ engendré par 1 et $\{a_n/2 : n \in \mathbb{N}\}$. Construire des applications non nulles de $\mathbb{Z}$ vers $A$ et de $A$ vers $\mathbb{Z}$, mais montrer que $A$ est un exemple brouwerien d'un groupe qui n'est pas isomorphe à $\mathbb{Z}$. Pourquoi le corolaire 1.4 ne s'applique-t-il pas ? Construire un exemple de cette sorte où $A$ et $B$ ont la propriété que $mA$ et $mB$ sont des sous-groupes détachables pour tout $m$.

8. Construire un exemple brouwerien qui montre que l'hypothèse dans le théorème 1.7 selon laquelle les groupes ont des hauteur est nécessaire.

9. Un exemple d'un groupe sans torsion indécomposable de rang 2 qui possède des hauteur. Soit $G$ le sous-groupe de $\mathbb{Q} \oplus \mathbb{Q}$ engendré par les éléments de la forme $(2^{-m}, 0)$, $(0, 3^{-m})$, et $(5^{-m}, 5^{-m})$. Calculer $h_p(x)$ pour $p > 5$, calculer $h_p(30^m x)$ dans $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$. Dans le calcul de $h_2(x)$, nous pouvons ignorer $(2^{-m}, 0)$, et de manière analogue pour $h_3$ et $h_5$. Le fait que $G$ est indécomposable résulte de ce qu'il a des éléments de trois types deux à deux incomparables.
## 2 Groupes divisibles

Un groupe est *p*-divisible si $pG = G$, **divisible** s'il est *p*-divisible pour tout nombre premier $p$. Le lemme 1.1 nous dit que $G$ est divisible si, et seulement si, $nG = G$ pour tout entier $n 
eq 0$. Le groupe additif des nombres rationnels $\mathbb{Q}$ est un groupe divisible sans torsion. L'exemple le plus simple d'un groupe de torsion divisible non trivial est le sous-groupe *p*-primaire du groupe de torsion $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, noté $\mathbb{Z}(p^{\infty})$, le groupe cyclique d'ordre $p^{\infty}$ pour ainsi dire.

Dans un groupe sans torsion divisible, l'endomorphisme induit par la multiplication par un entier non nul est bijectif, donc est un isomorphisme. Par suite un groupe sans torsion divisible admet une unique structure d'espace vectoriel sur le corps $\mathbb{Q}$. Inversement, il est clair que le groupe additif d'un $\mathbb{Q}$-espace vectoriel est sans torsion et divisible.

Un **groupe abélien cohérent** est un groupe abélien qui est cohérent comme $\mathbb{Z}$-module<fnref n="1" />. On voit facilement qu'un groupe cohérent est fortement discret, et que tout groupe discret de torsion est cohérent.

**Théorème 2.1.** Soit $D$ un sous-groupe divisible d'un groupe $G$ tel que $G/D$ est dénombrable et cohérent. Alors on peut construire un sous-groupe dénombrable $K$ de $G$ tel que $G = K \oplus D$.

*Démonstration.* Soient $x_1, x_2, \dots$ des éléments de $G$ qui énumèrent $G/D$. Comme $G/D$ est cohérent, nous pouvons faire que,

ou bien $\langle x_{i+1} \rangle \cap (\langle x_1, \dots, x_i \rangle + D) = 0$,

ou bien $px_{i+1} \in \langle x_1, \dots, x_i \rangle + D$ pour un nombre premier $p^2$.

Nous allons construire une suite de sous-groupes de type fini $K_1 \subseteq K_2 \subseteq \dots$ de $G$ telle que $K_i + D = \langle x_1, \dots, x_i \rangle + D$ et $K_i \cap D = 0$. Alors $K = \cup_i K_i$ sera le groupe voulu.

On pose $K_0 = 0$. Étant donné $K_i$, on construit $K_{i+1}$ comme suit. Si $x_{i+1} \in K_i + D$ (ce qui est décidable), alors nous posons $K_{i+1} = K_i$. Si $x_{i+1} \notin K_i + D$, alors ou bien $\langle x_{i+1} \rangle \cap (K_i + D) = 0$, ou bien $px_{i+1} \in K_i + D$. Dans le premier cas, on pose $K_{i+1} = \langle x_{i+1} \rangle + K_i$. Dans le deuxième cas, on écrit $px_{i+1} = k_i + d$, où $k_i \in K_i$ et $d \in D$. Comme $D$ est divisible, nous pouvons trouver un élément $d' \in D$ tel que $d = pd'$. Soit $y = x_{i+1} - d'$. Alors $py = k_i$, et nous posons $K_{i+1} = \langle y \rangle + K_i$. On a bien $K_{i+1} + D = \langle x_1, \dots, x_{i+1} \rangle + D$ ; nous devons montrer que $K_{i+1} \cap D = 0$. Pour $w \in K_{i+1} \cap D$, nous écrivons $w = ny + z$ avec

<footnote n="1">1. **NdT.** La condition de cohérence est invisible en mathématiques classiques pour lesquelles tout module sur un anneau noethérien est cohérent.</footnote>

<footnote n="2">2. **NdT.** Le transporteur $\langle x_1, \dots, x_i \rangle : x_{i+1}$ dans $G/D$ est un sous-groupe de type fini de $\mathbb{Z}$, donc de la forme $d\mathbb{Z}$ pour un $d \ge 0$. Si $d=0$ on est dans le premier cas. Si $d=1$ on peut supprimer $x_{i+1}$, ou le remplacer par $0$. Si $d > 1$, on le décompose en facteurs premiers et on utilise cette décomposition pour remplacer $x_{i+1}$ par une suite finie d'éléments $a_k x_{i+1} = x_{k,i+1}$. Par exemple si $d = 45$, on utilisera $(x_{1,i+1}, x_{2,i+1}, x_{3,i+1}) = (9x_{i+1}, 3x_{i+1}, x_{i+1}) : 5x_{1,i+1} \in \langle x_1, \dots, x_i \rangle + D$, $3x_{2,i+1} \in \langle x_{1,i+1} \rangle$ et $3x_{3,i+1} \in \langle x_{2,i+1} \rangle$.</footnote>
$z \in K_i$. Donc $ny = w - z \in D + K_i$. Mais $py \in K_i$, donc si $(p, n) = 1$, alors $y \in K_i + D$, et $x_{i+1} \in K_i + D$ contrairement à notre hypothèse. Par suite $p$ divise $n$, donc $ny \in K_i$ et ainsi $w \in K_i \cap D = 0$. ■

Nous pouvons utiliser le théorème 2.1 pour obtenir un théorème de structure pour les groupes dénombrables cohérents divisibles.

**Théorème 2.2.** Soit $G$ un groupe dénombrable cohérent divisible. Alors $G$ est une somme directe dénombrable de sous-groupes isomorphes à $\mathbb{Q}$ ou à $\mathbb{Z}(p^{\infty})$ pour des nombres premiers $p$.

*Démonstration.* Soit $T$ le sous-groupe de torsion de $G$. Le groupe $G/T$ est cohérent parce que, comme $G$ est cohérent, les sous-groupes de type fini de $G$ sont des sommes directes de groupes cycliques finis ou infinis. Donc le théorème 2.1 dit que nous pouvons écrire $G = T \oplus F$, avec $F$ sans torsion. Il suffit donc de démontrer le théorème dans les cas où $G$ est de torsion, ou sans torsion.

Si $G$ est sans torsion et divisible, alors $G$ admet une unique structure de $\mathbb{Q}$-espace vectoriel, donc tout élément non nul de $G$ est contenu dans un unique sous-groupe de $G$ isomorphe au groupe additif de $\mathbb{Q}$. Soit $x_0, x_1, \dots$ une énumération de $G$. Définissons un sous-ensemble détachable $S$ de $\mathbb{N}$ en posant $i \in S$ si $x_i$ n’est pas dans l’espace vectoriel engendré par $x_0, \dots, x_{i-1}$; ceci est décidable parce que $G$ est cohérent. On voit facilement que $G$ est la somme directe des sous-espaces $\mathbb{Q}x_i \simeq \mathbb{Q}$ pour $i \in S$.

Si $G$ est de torsion, alors $G$ est la somme directe de ses composantes primaires $G_p$, donc nous pouvons supposer que $G$ est un $p$-groupe<fnref n="1" />. Il suffit alors de démontrer que tout élément d’un $p$-groupe discret divisible est contenu dans un sous-groupe isomorphe à $\mathbb{Z}(p^{\infty})$ ; nous pouvons ensuite appliquer le théorème 2.1 de manière répétée. Étant donné un tel élément $x$, nous pouvons construire une suite $x = y_0, y_1, \dots$ telle que $py_{i+1} = y_i$ pour tout $i$. Le sous-groupe engendré par les $y_i$ est le sous-groupe recherché. ■

Un sous-groupe $A$ d'un groupe abélien discret $B$ est **essentiel** si pour tout élément $b$ non nul de $B$ il existe un $n \in \mathbb{Z}$ tel que $nb$ est un élément non nul de $A$; en particulier, $B/A$ est de torsion (mais ce n'est pas suffisant). Une **enveloppe divisible**<fnref n="2" /> d'un groupe abélien discret $A$ est un groupe abélien discret divisible $B$ qui contient $A$ comme sous-groupe essentiel.

**Théorème 2.3.** *Tout groupe abélien dénombrable discret a une enveloppe divisible dénombrable discrète.*

*Démonstration.* Nous pouvons supposer que le groupe est de la forme $F/K$, avec $F$ groupe abélien libre de rang dénombrable, et $K$ un sous-groupe détachable de

<footnote n="1">1. **NdT.** Un groupe fini est appelé *p*-groupe si son ordre est une puissance de $p$. Une définition plus générale est donnée au début de la section 3.</footnote>

<footnote n="2">2. **NdT.** Divisible hull.</footnote>
F. Nous notons $\mathbb{Q}F = \mathbb{Q} \otimes F$ et nous construisons un sous-groupe dénombrable $N$ de $\mathbb{Q}F$ comme suit. Tout d'abord on note que si $A$ est un sous-groupe de type fini de $\mathbb{Q}F$, alors $A \cap F$ est de type fini, car $A$ et les éléments de la base de $F$ qui interviennent peuvent être mis dans un sous-groupe libre de rang fini de $\mathbb{Q}F$. Soit $a_0, a_1, \dots$ une énumération de $\mathbb{Q}F$; nous posons

$$ N_0 = 0 \\ N_{i+1} = \begin{cases} N_i + \mathbb{Z}a_i & \text{si } (N_i + \mathbb{Z}a_i) \cap F \subseteq K, \\ N_i & \text{sinon.} \end{cases} $$

La décision pour savoir si l'on doit mettre $a_i$ dans $N_{i+1}$ est possible parce que $N_i + \mathbb{Z}a_i$ est de type fini.

On pose $N = \bigcup_i N_i$ et $D = \mathbb{Q}F/N$. Le sous-groupe $N$ est détachable dans $\mathbb{Q}F$ parce que $a_i \in N$ si, et seulement si, $(N_i + \mathbb{Z}a_i) \cap F \subseteq K$; donc $D$ est discret. Clairement $N \cap F = K$, de sorte que nous pouvons voir $F/K$ comme un sous-groupe de $\mathbb{Q}F/N = D$. Enfin, si $a_i \in \mathbb{Q}F \setminus N$ est un élément non nul de $D$, il existe un $x \in N_i$ et un $n \in \mathbb{Z}$ tels que $x + na_i \in F \setminus K$. Donc $na_i$ est égal à un élément non nul de $F/K$. ■

L'enveloppe divisible d'un groupe abélien dénombrable discret **cohérent** est un groupe **cohérent**. En fait, on a le résultat plus général suivant.

**Théorème 2.4.** Soient $A \subseteq B$ des groupes abéliens discrets. Si $B/A$ est un groupe de torsion, et si $A$ est **cohérent**, alors $B$ est **cohérent**.

*Démonstration.* Nous montrons d'abord que si $B/A$ est de torsion et si $A$ est de présentation finie, alors $B$ est discret. Étant donné $b \in B$, on a un $n \neq 0$ tel que $nb \in A$. Si $nb \notin nA$ (décidable car $A$ est de présentation finie), alors $b \notin A$. Si $nb = na$ pour un $a \in A$, alors il suffit de décider si $b - a \in A$ ou non. Mais il y a seulement un nombre fini d'éléments de torsion dans $A$.

Dans le cas général, soit $\varphi$ un homomorphisme d'un groupe abélien libre de rang fini $F$ vers $B$. On a un $n \neq 0$ tel que $\varphi(nF) \subseteq A$. Le groupe $B/\varphi(nF)$ est discret, d'après le premier cas, et $A/\varphi(nF)$ est **cohérent** d'après le théorème III.2.5; donc les hypothèses du théorème sont satisfaites dans la situation $A/\varphi(nF) \subseteq B/\varphi(nF)$. Si $B/\varphi(nF)$ est **cohérent**, il en va de même pour $B$ d'après le théorème III.2.5, donc nous pouvons supposer que $\varphi(nF) = 0$. Mais $F/nF$ est fini et $B$ est discret, donc le morphisme induit de $F/nF$ vers $B$ a un noyau fini, et le noyau de $\varphi$ est de type fini. ■

Exercices

1. Montrer que tout groupe de torsion est égal à la somme directe de ses sous-groupes $p$-primaires.
2. Montrer que tout sous-groupe de type fini de $Z(p^\infty)$ est cyclique, que les sous-groupes de type fini de $Z(p^\infty)$ forment une chaine pour l'inclusion, et que pour tout $n$ il existe un sous-groupe fini cyclique de $Z(p^\infty)$ d'ordre $p^n$. Montrer que tout groupe $G$ qui satisfait ces conditions est isomorphe à $Z(p^\infty)$.

3. Soit $a$ une suite binaire fugitive, et soit $H$ le sous-$\mathbb{Q}$-espace de $\mathbb{Q}$ engendré par $\{a_n : n = 1, 2, \dots\}$. Montrer que $H$ est un exemple brouwerien d'un sous-groupe dénombrable divisible de $\mathbb{Q}$, en fait une somme directe dénombrable de copies de $\mathbb{Q}$, qui n'est pas un facteur direct. Pourquoi le théorème 2.1 ne s'applique-t-il pas ?

4. Trouver deux endroits où l'axiome du choix dépendant est utilisé dans la démonstration du théorème 2.2, autres que (de manière indirecte) l'appel au théorème 2.1.

5. Soit $G$ un $p$-groupe discret divisible, et soit $X$ une base de $\{x \in G : px = 0\}$, vu comme espace vectoriel sur le corps $\mathbb{F}_p$. Pour tout $x \in X$, construire une suite $x = y_0, y_1, \dots$ telle que $py_{i+1} = y_i$, et soit $A_x$ le sous-groupe de $G$ engendré par les $y_i$. Montrer que chaque $A_x$ est isomorphe à $Z(p^\infty)$, et que $G$ est somme directe des sous-groupes $A_x$.

6. Construire un exemple brouwerien d'un groupe abélien dénombrable entre $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q}$ qui n'est détachable dans aucune enveloppe divisible.

# 3 Fonctions de hauteur sur les $p$-groupes

Soit $G$ un groupe abélien et $p$ un nombre premier. Nous disons que $G$ est un **p-groupe** si pour chaque $x \in G$ il y a un entier $n > 0$ tel que $p^n x = 0$. Un point important dans la théorie des groupes abéliens est la classification des $p$-groupes dénombrables au moyen des dimensions de certains espaces vectoriels définis en termes de la notion de *hauteur*. Si $x \in G$, rappelons que la $p$-hauteur de $x$ est l'entier naturel $n$ lorsque $x \in p^n G$ et $x \notin p^{n+1} G$. Nous avons déjà vu qu'il peut y avoir des problèmes pour calculer les hauteurs dans les groupes sans torsion. En outre, pour obtenir un théorème de classification pour les $p$-groupes dénombrables, nous devons étendre la notion de hauteur à des valeurs transfinies.

Soit $G$ un groupe abélien, $p$ un nombre premier, $\lambda$ un ordinal et $\lambda_\infty = \lambda \cup \{\infty\}$. Une **fonction de $p$-hauteur** sur $G$ est une fonction surjective $h$ de $G$ sur $\lambda_\infty$ qui satisfait les propriétés suivantes.

(i) On a $hpx \geq hx$ pour tout $x$ ; de plus, si $hx < \infty$, alors $hpx > hx$.

(ii) Si $(m, p) = 1$, alors $hmx = hx$.

(iii) Si $a < hx$ ou si $a = hx = \infty$, il existe un $y$ tel que $py = x$ et $a \leq hy$.
L'ordinal $\lambda$ est appelé le *p-longueur* de $G$. Notez que (i) implique que $h0 = \infty$. Lorsque $hx = \infty$ implique $x = 0$ nous disons que $G$ est *p-réduit*. Si $G$ est un $p$-groupe, alors (i) et (ii) impliquent que si $q$ est un nombre premier autre que $p$, la $q$-hauteur de tout élément de $G$ est $\infty$; dans ce cas nous laissons tomber le préfixe « $p$» dans « $p$-hauteur» et « $p$-longueur». Une telle fonction de hauteur est unique; en fait, $\lambda$ et $h$ sont tous deux des invariants de (la classe d'isomorphisme de) $G$ au sens suivant.

**Théorème 3.1.** Soient $G$ et $G'$ des groupes abéliens avec des fonctions de $p$-hauteur $h$ et $h'$ et des $p$-longueurs $\lambda$ et $\lambda'$ respectivement. Soit $\varphi: G \to G'$ un isomorphisme. Alors il existe un isomorphisme $\rho: \lambda_\infty \to \lambda'_\infty$ tel que $h'\varphi = \rho h$.

*Démonstration.* Nous disons que $\rho$ est défini en $a$ si chaque fois que $x, y \in G$ avec $hx = hy = a$, on a $h'\varphi x = h'\varphi y$. Si $\rho$ est défini en $a$, nous posons $\rho a = h'\varphi x$ pour tout $x$ tel que $hx = a$. Définissons $[0, a] = \{b \in \lambda : b \le a\}$ et

$$ S = \{ a \in \lambda : \rho \text{ est défini en tout élément de } [0, a] \\ \text{et, restreint à } [0, a], \text{ c'est un plongement} \} $$

Nous allons montrer que $S = \lambda$. Supposons que $a \in S$ pour tout $a < b$. Si $hx = b$, nous allons voir que

(i) si $a < b$, alors $\rho a < h'\varphi x$,

(ii) si $c < h'\varphi x$, alors il y a un $a < b$ tel que $\rho a = c$.

Ceci montrera que $b \in S$; donc $S$ est héréditaire, d'où $S = \lambda$.

Pour montrer (i), on suppose que $a < b$. Comme $h$ est une fonction de hauteur, il y a un $z$ tel que $a \le hz < b$ et $pz = x$. Donc $p\varphi z = \varphi x$ et $h'\varphi z = \rho h z \ge \rho a$. Ainsi $\rho a < h'\varphi x$.

Pour montrer (ii), on suppose que $c < h'\varphi x$. Comme $h'$ est une fonction de hauteur, il existe un $z$ tel que $h'z \ge c$ et $pz = \varphi x$. Alors $p\varphi^{-1}z = x$, donc $h\varphi^{-1}z = d < b = hx$. Par suite $h'z = h'\varphi\varphi^{-1}z = \rho h\varphi^{-1}z = \rho d$ et $\rho$ est un plongement sur $[0, d]$. Il existe donc un $a \le d < b$ tel que $\rho a = c$.

Comme $S = \lambda$, la fonction $\rho$ est un plongement (définition page 27) de $\lambda$ dans $\lambda'$. De la même manière nous obtenons un plongement de $\lambda'$ dans $\lambda$. Leur composition est un plongement de $\lambda$ (ou de $\lambda'$) dans lui-même, donc c'est l'identité d'après le théorème I.6.5. Enfin nous posons $\rho\infty = \infty$. ■

Pour illustrer le type de structure que nous traitons, considérons l'exemple le plus simple d'un $p$-groupe abélien qui possède des éléments d'une hauteur transfinie autre que $\infty$. Ce groupe est construit en imposant aux générateurs $x_0, x_1, \dots$ les relations $px_0 = 0$, et $p^n x_n = x_0$ pour $n > 0$.

**Exemple 3.2.** Soit $F$ le groupe abélien libre sur l'ensemble discret $\{x_n : n \in \mathbb{N}\}$. Soit $P$ le quotient de $F$ par le sous-groupe $R$ de $F$ engendré par les éléments $px_0,$
$px_1-x_0, p^2x_2-x_0, \dots$. Un exercice facile établit que $R$ est une partie détachable de $F$, que $P$ est donc discret, et que tout élément de $P$ a un **représentant canonique** dans $F$ de la forme $\sum n_i x_i$ avec $0 \le n_0 < p$ et $0 \le n_i < p^i$ pour $i > 0$. Clairement, $P$ est un $p$-groupe.

Soit $\lambda$ l'ensemble bien ordonné $\{0, 1, 2, \dots, \omega\}$. On définit une fonction $h$ de $P$ vers $\lambda_\infty$ comme suit. Soit $\sum n_i x_i$ le représentant canonique de l'élément $y \in P$. On définit $h(y) = \infty$ si tous les $n_i$ sont nuls; on prend $h(y) = \omega$ si $n_0$ est l'unique $n_i$ non nul; sinon, on prend $h(y) = \min\{v_p n_i : i \neq 0\}$, où $v_p m$ est l'exposant de $p$ dans la décomposition de $m$ en facteurs premiers. On vérifie facilement que $h$ est une fonction de hauteur sur $P$. ■

Le théorème suivant montre que les homomorphismes augmentent (fai-
blement) les hauteurs, dans la mesure où l'on peut donner un sens à cette
affirmation.

**Théorème 3.3.** Soient $G$ et $H$ des groupes avec des fonctions de $p$-hauteur et dont les longueurs sont des segments initiaux d'un même ordinal $\lambda$. Si $\varphi$ est un homomorphisme de $G$ vers $H$, alors $h\varphi x \geqslant hx$ pour tout $x \in G$.

Démonstration. Posons $S = \{a \in \lambda : h\varphi x \geqslant a \text{ si } hx = a\}$, et supposons que $a \in S$ pour tout $a < b$. Si $hx = b$ et $h\varphi x < b$, alors $x = py$ pour un $y$ tel que $hy \geqslant h\varphi x$. Comme $b = hx = hpy > hy$, nous avons $h\varphi y \geqslant hy$. Mais $h\varphi x = hp\varphi y > h\varphi y$, donc $hy > h\varphi y$, une contradiction. Donc $S = \lambda$.

Maintenant posons $S = \{a \in \lambda : h\varphi x > a \text{ si } hx = \infty\}$, et supposons que $a \in S$ pour tout $a < b$. Si $hx = \infty$, alors il existe un $y$ tel que $hy = \infty$ et $py = x$. Si $h\varphi y \ge b$, alors $h\varphi x > b$, donc nous avons montré que $b \in S$. Sinon, $h\varphi y = a < b$, ce qui conduit à une contradiction $h\varphi y > a$ car $a \in S$. Donc $S = \lambda$. ■

Jusqu'à maintenant, la seule interaction entre une fonction de *p*-hauteur sur un groupe et la structure additive du groupe que nous ayons considérée concerne les relations entre *hmx* et *hx*. Nous examinons maintenant la relation fondamentale entre hauteur et addition.

**Théorème 3.4.** *Soit h une fonction de p-hauteur sur un groupe G. On a*

$$
h(x + y) \geq \min(hx, hy)
$$

pour tous $x, y \in G$, avec égalité lorsque $hx \neq hy$.

Démonstration. Soit $\lambda$ la longueur de $G$, et soit $S$ l'ensemble des $b \in \lambda$ pour lesquels $h(x_1 + x_2) \ge b$ chaque fois que $b \le hx_1, hx_2$. Nous allons montrer que si $a \in S$ pour tout $a < b$, alors $b \in S$. Supposons au contraire que

$a = h(x_1 + x_2) < b \leqq hx_1, hx_2.$
Alors $x_1 = py_1$ et $x_2 = py_2$ avec $hy_1 \ge a$ et $hy_2 \ge a$ d'après la condition (iii) sur la fonction de $p$-hauteur. Posons $z = y_1 + y_2$. On a $hz < \infty$ car $hpz < \infty$ et donc

$$a = hpz > hz.$$

Or $a \in S$ et donc $hz \ge a$. Contradiction. On vient de prouver $S = \lambda$. Si $hx_1$ ou $hx_2 < \infty$ on a terminé avec $b = \min(hx_1, hx_2)$.

Si $hx = hy = \infty$, on obtient $h(x + y) \ge b$ pour tout $b \in \lambda$. Comme $\lambda_\infty$ est discret, et comme tout élément $b$ de $\lambda$ est de la forme $hz < hpz$, cela implique $h(x + y) = \infty$.

Il reste à démontrer la dernière affirmation. Si $hx < hy$, alors

$$hx = h((x + y) + (-y)) \ge \min(h(x + y), hy),$$

donc $hx \ge h(x + y)$, et $hx = h(x + y)$. ■

Comme conséquence du théorème 3.4, pour tout $a \in \lambda$, l'ensemble $\{x \in G : hx \ge a\}$ est un sous-groupe de $G$.

Exercices

1. Soit $p$ un nombre premier et $G$ un groupe abélien fini. Montrer que $G$ possède une fonction de $p$-hauteur. Quelle est la $p$-longueur de $G$ (en termes des invariants dans la section V.3) ?

2. Soit $G$ un groupe avec une fonction de $p$-hauteur $h$. Montrer que $h^{-1}(\infty)$ est un sous-groupe $p$-divisible de $G$ qui contient tout sous-groupe $p$-divisible de $G$.

3. Soit $G = A \oplus B$ un groupe abélien avec une fonction de $p$-hauteur $h_G$. Montrer que $A$ possède une fonction de $p$-hauteur qui est égale à la restriction de $h_G$ à $A$, et que la $p$-longueur de $A$ est un segment initial de la $p$-longueur de $G$.

4. Donner un exemple d'un $p$-groupe abélien $G$ avec une fonction de $p$-hauteur, et un sous-groupe $A$ de $G$ tels que $A$ possède une fonction de $p$-hauteur, alors que la fonction de $p$-hauteur sur $G$ ne se restreint pas en une fonction de $p$-hauteur sur $A$.

5. Vérifier les affirmations concernant le $p$-groupe $P$ dans l'exemple 3.2.

6. Soit $a$ une suite binaire. Soit $G$ le sous-groupe du groupe $P$ de l'exemple 3.2 engendré par les éléments $a_n x_n$. Montrer que $G$ est un $p$-groupe dénombrable discret avec une fonction de hauteur. Quelle est la longueur de $G$?
# 4 Le théorème d'Ulm

On considère un nombre premier fixé $p$. Si $G$ est un $p$-groupe dénombrable avec une fonction de hauteur $h$, alors le sous-groupe $D = h^{-1}(\infty)$ est un sous-groupe dénombrable divisible détachable de $G$, et $G/D$ est un $p$-groupe, par conséquent cohérent. D'après le théorème 2.1, nous obtenons $G = D \oplus R$, avec $D$ un groupe dénombrable cohérent divisible, donc de structure connue (théorème 2.2), et $R$ un $p$-groupe dénombrable réduit avec une fonction de hauteur. Nous sommes ainsi amenés à étudier de tels groupes $R$, que nous appelons des **groupes d'Ulm**. Les $p$-groupes finis sont clairement des groupes d'Ulm. Le théorème suivant montre comment construire de nombreux groupes d'Ulm plus grands.

**Théorème 4.1.** Pour tout ordinal $\lambda$, il existe un $p$-groupe réduit avec une fonction de hauteur, et de longueur $\lambda$. En particulier, pour tout ordinal dénombrable $\lambda$, il existe un groupe d'Ulm de longueur $\lambda$.

*Démonstration.* Soit $F$ le groupe abélien libre construit sur les suites finies $\sigma = (a_1, \dots, a_n)$ d'éléments de $\lambda$ telles que $a_1 < a_2 < \dots < a_n$ avec $n \ge 1$. Soit $K$ le sous-groupe de $F$ engendré par les éléments de la forme

$$p(a_1), \text{ et } p(a_1, a_2, \dots, a_n) - (a_2, \dots, a_n) \text{ pour } n > 1,$$

et soit $G$ le groupe quotient $F/K$. Nous disons qu'un élément de $F$ est **en forme standard** si on peut l'écrire $\sum n_i \sigma_i$, où les $\sigma_i$ sont des générateurs libres distincts de $F$, et $0 \le n_i < p$. Tout élément de $G$ provient d'un unique élément de $F$ en forme standard : vu la nature des générateurs de $K$ il est clair qu'on peut trouver un tel élément ; qu'un tel élément soit unique résulte du fait que tout élément non nul $\sum k_i \sigma_i$ de $K$ a une coordonnée non nulle $k_i$ divisible par $p$. On définit $h: G \to \lambda_\infty$ en prenant pour $hx$ le plus petit élément de $\lambda$ qui apparaît dans une suite ayant un coefficient non nul dans la forme standard de $x$, et $hx = \infty$ si $x = 0$. On voit facilement que $h$ est une fonction de hauteur réduite sur $G$ pour laquelle $G$ est de longueur $\lambda$. Clairement $G$ est un groupe d'Ulm si $\lambda$ est un ordinal dénombrable. ■

Un système complet d'invariants pour les groupes d'Ulm est fourni par certains espaces vectoriels dénombrables discrets sur le corps à $p$ éléments $\mathbb{F}_p$, que l'on appellera les **invariants d'Ulm**. Il est utile de définir ces invariants dans le cadre plus général des groupes valués.

**Définition 4.2.** Un $p$-groupe **valué** est un $p$-groupe $H$ avec un ordinal $\lambda$ et une fonction $v: H \to \lambda_\infty$ qui satisfait les propriétés suivantes.

(i) Si $vx < \infty$, alors $vx < vpx$.

(ii) Si $(p, m) = 1$, alors $vmx = vx$.
$$ (iii) \ v(x + y) \geq \min(vx, vy). $$

La fonction $v$ sera appelée la **valuation** du $p$-groupe valué. Nous dirons que $H$ (ou $v$) est **réduit(e)** si $v^{-1}(\infty) = 0$.

Un $p$-groupe valué typique est donné par un sous-groupe $H$ d'un $p$-groupe avec une fonction de hauteur $h$: la fonction $v$ est la restriction de $h$ à $H$. Tout $p$-groupe avec une fonction de hauteur $h$ est un groupe valué pour $v = h$. Si $\lambda$ est un ordinal et si $a, b$ sont des éléments de $\lambda_\infty$, nous écrivons $a \ll b$ si $a < b = \infty$ ou s'il existe un $c$ tel que $a < c < b$. Notons que si $vx > a$, alors $vpx \gg a$.

**Définition 4.3.** Soit $H$ un $p$-groupe valué à valeurs dans l'ordinal $\lambda$. Pour chaque $a \in \lambda$ nous définissons le $a$-ième **invariant d'Ulm** de $H$ comme le groupe

$$ f_H(a) = \frac{\{x \in H : vx \geq a \text{ et } vpx \gg a\}}{\{x \in H : vx > a\}}. $$

La fonction $f_H$ est appelée la **fonction d'Ulm** de $H$. Notons que $f_H(a)$ est un espace vectoriel discret sur le corps $\mathbb{F}_p$.

Un espace vectoriel dénombrable discret sur un corps fini a une base dénombrable, donc un invariant d'Ulm d'un groupe d'Ulm est déterminé par sa dimension, qui est la cardinalité d'un certain sous-ensemble détachable de $\mathbb{N}$. En mathématiques classiques, les invariants d'Ulm sont pensés comme des éléments de $\mathbb{N} \cup \{\infty\}$. Une vertu de notre définition des invariants comme des espaces vectoriels est d'en faire des foncteurs additifs.

Si $H$ est un groupe cyclique fini d'ordre $p^n$ et si $v$ est la fonction de hauteur, alors la longueur de $H$ est $\{0, 1, \dots, n-1\}$ et dim $f_H(n-1) = 1$, tandis que $f_H(a) = 0$ pour $a < n-1$. Les invariants d'Ulm sont clairement additifs en ce sens que si $G$ est une somme directe d'une famille de sous-groupes $H(i)$, alors $f_G(a)$ est la somme directe des espaces vectoriels $f_{H(i)}(a)$. Comme tout $p$-groupe fini est une somme directe finie de $p$-groupes cycliques, les invariants d'Ulm fournissent un système complet d'invariants pour les $p$-groupes finis ; plus généralement, ils fournissent un système complet d'invariants pour les sommes directes de $p$-groupes cycliques finis.

Nous abordons maintenant la preuve du théorème d'Ulm : un groupe d'Ulm est déterminé à un isomorphisme près par ses invariants d'Ulm. Si $H$ est un sous-groupe d'un groupe d'Ulm $G$ et si $x \in G$, nous disons que $x$ est $H$-propre si $x$ est de hauteur maximum parmi les éléments de $x + H$.

**Théorème 4.4** (théorème d'Ulm). Soient $G$ et $G'$ des groupes d'Ulm de longueur $\lambda$ avec des invariants d'Ulm isomorphes, et soit $\varphi$ un isomorphisme préservant les hauteurs d'un sous-groupe fini $H$ de $G$ sur un sous-groupe fini $H'$ de $G'$. Alors $\varphi$ se prolonge en un isomorphisme de $G$ sur $G'$.
Démonstration. Soit $x_1, x_2, \dots$ une énumération de $G$ telle que $px_i$ est dans le sous-groupe engendré par $x_1, \dots, x_{i-1}$ pour chaque $i^1$, et soit $x'_1, x'_2, \dots$ une énumération de $G'$ du même type. Nous allons construire des suites de sous-groupes finis $H_1 \subseteq H_2 \subseteq \dots$ de $G$, et $H'_1 \subseteq H'_2 \subseteq \dots$ de $G'$, et des isomorphismes préservant les hauteurss $\varphi_n: H_n \to H'_n$, telles que $x_n \in H_{2n-1}$ et $x'_n \in H'_{2n}$, et de façon à ce que $\varphi_{n+1}$ prolonge $\varphi_n$. Par symétrie, il suffit de montrer que si $\varphi$ est un isomorphisme préservant les hauteur entre un sous-groupe fini $H$ de $G$ et un sous-groupe fini $H'$ de $G'$, et si $x \in G$ et $px \in H$, alors $\varphi$ peut être prolongé en un isomorphisme préservant les hauteur défini sur le sous-groupe $H + \langle x \rangle^2$.

Si $x \in H$, il n'y a rien à faire. Sinon, en prenant un élément de hauteur maximum dans l'ensemble fini $x+H$, nous pouvons supposer que $x$ est $H$-propre. Parmi de tels $x$, on en prend un qui maximise hpx. Notez que $h(x+z) = \min(hx,hz)$ pour tout $z \in H$ parce que $x$ est $H$-propre. On note $a = hx$. Nous devons définir $\varphi x$.

Comme $h'\varphi px = hpx > a$, nous pouvons trouver un $x' \in G'$ tel que $h'x' \ge a$ et $px' = \varphi px$. Si $h'x' = a$, et si $x'$ est $H'$-propre (notez que ces questions sont décidables), alors nous pouvons prolonger $\varphi$ en posant $\varphi x = x'$. Si $h'x' = a$ mais $x'$ n'est pas $H'$-propre, alors il existe un $z \in H$ tel que

$$h'(x' + \varphi z) > a,$$

donc $h'(px' + \varphi p z) \ge a$, et donc $h(p x + p z) \ge a$. Mais $h(x+z) \ge a$, car $hz = h'\varphi z = a$, donc $x+z$ est $H$-propre. Ainsi, vu notre choix de $x$, nous avons $hpx \ge h(p x + p z)$, donc $hpx \ge a$. Enfin, si $h'x' > a$, nous avons aussi $hpx = h'px' \ge a$.

Nous examinons maintenant le cas où $hpx \ge a$, et donc $x \in f_G(a)$, mais, $x$ étant $H$-propre, $x \notin f_H(a) \subseteq f_G(a)$. Il nous faut trouver un élément $x'_* \in f_{G'}(a)$ qui n'est pas dans $f_{H'}(a)$. Soit $\sigma$ un isomorphisme de $f_G(a)$ vers $f_{G'}(a)$. Notez que l'ensemble fini $f_{H'}(a)$ est un sous-espace détachable de l'espace discret $f_{G'}(a)$. Si $\sigma x \notin f_{H'}(a)$, nous avons terminé. Sinon, en appliquant de manière répétée $\varphi^{-1}$ et $\sigma$, nous pouvons trouver un sous-espace fini $V$ de $f_H(a)$ tel que $\sigma x \in \varphi V = \sigma V$, ou trouver l'élément $x'_*$ que nous cherchons. Mais si $\sigma x \in \sigma V$, alors $x \in V$, ce qui contredit le fait que $x \notin f_H(a)$. Ainsi nous obtenons l'élément $x'_*$ recherché.

Nous pouvons prendre $x'_*$ de sorte que $px'_* = 0$. De plus, $x'_*$ est $H'$-propre, car si $h'(x'_* + z') > a$, et donc $h'z' = a$, alors

$$h'pz' \ge \min(h'p(x'_* + z'), h'px'_*) \ge a,$$

donc $z' \in f_{H'}(a)$, et $x'_* = -z'$ comme éléments de $f_{G'}(a)$, une contradiction.

<footnote n="1">1. **NdT.** L'élément $x_1$ doit être d'ordre $p$, et par exemple tout $x$ d'ordre $p^k$ peut être précédé par $p^{k-1}x, \dots, px$ dans l'énumération.</footnote>

<footnote n="2">2. **NdT.** Ce résultat, appliqué aux $H_n$ et $H'_n$ successifs, permettra de construire par récurrence les isomorphismes $\varphi_n$.</footnote>
On pose $\varphi x = x'_* + x'$, où $px' = \varphi px$ et $h'x' \ge a$, en notant que $x'_* + x'$ est $H$'-propre parce que $x'_*$ l'est. ■

Nous utilisons maintenant le théorème d'Ulm pour démontrer le théorème de Prüfer qui caractérise les sommes directes dénombrables de p-groupes cycliques finis.

**Théorème 4.5 (Prüfer).** Un p-groupe dénombrable discret $G$ est une somme directe de p-groupes cycliques finis si, et seulement si, $p^n G$ est détachable pour chaque $n \in \mathbb{N}$ et $G \setminus \{0\} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} p^n G \setminus p^{n+1} G$.

*Démonstration.* Comme les *p*-groupes cycliques finis $G$ ont les propriétés demandées, il en va de même pour leurs sommes directes. Inversement, si les propriétés demandées sont satisfaites, nous pouvons définir une fonction de hauteur sur $G$ en posant $hx = n$ si $x \in p^n G \setminus p^{n+1} G$, et $h0 = \infty$. Nous pouvons alors construire une somme directe dénombrable de *p*-groupes cycliques finis avec les mêmes invariants d'Ulm que $G$. D'après le théorème d'Ulm, $G$ est isomorphe à ce groupe, donc est une somme directe de *p*-groupes cycliques finis. ■

Un corolaire immédiat du théorème 4.5 est que les *p*-groupes finis sont des sommes directes de groupes cycliques.

Exercices

1. Une **forêt de torsion** est un ensemble discret $X$ avec un sous-ensemble détachable $R$ et une fonction $\pi: X \setminus R \to X$ telle que pour chaque $x \in X$ il existe un $n$ tel que $\pi^n x \in R$. Définir ce qu'est une fonction de hauteur sur une **forêt** de torsion ($X, R, \pi$). Soit $S(X, R, \pi)$ (abrégé en $S(X))$ le groupe abélien libre sur $X$ modulo les relations $px = 0$ si $x \in R$, et $px = \pi x$ si $x \notin R$. Montrer que $S(X)$ est un *p*-groupe discret, et que si $X$ admet une fonction de hauteur, il en va de même pour $S(X)$. Quel est l'ensemble $X$ dans la démonstration du théorème 4.1 ? Les groupes de la forme $S(X)$ pour des $(X, R, \pi)$ qui admettent une fonction de hauteur sont appelés des **p-groupes simplement présentés**. Montrer que tout *p*-groupe fini est simplement présenté.

2. Soit $e$ le générateur d'un groupe cyclique fini $H$ d'ordre $p^3$, et soit $v$ la valuation sur $H$ telle que $ve = 0$, $vpe = 2$, et $vp^2e = 3$. Quels sont les invariants d'Ulm de $H$ ? Plonger $H$ dans un groupe $G$ de façon à ce que la valuation sur $H$ soit la restriction de la fonction de hauteur sur $G$, et que les invariants d'Ulm de $H$ et $G$ soient isomorphes.

3. Quels sont les invariants d'Ulm du groupe dans l'exemple 3.2 ?

4. Soit $\lambda = \{0, 1, 2, 3\}$. Quels sont les invariants d'Ulm du groupe d'Ulm de longueur $\lambda$ construit dans la démonstration du théorème 4.1 ?
5. La formulation classique du théorème 4.5 met $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} p^n G = 0$ à la place de $G \setminus \{0\} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} p^n G \setminus p^{n+1} G$. Montrer que cette version modifiée du théorème 4.5 est équivalente au principe de Markov.

6. Construire un exemple brouwerien d'un groupe d'Ulm de longueur $\lambda \subseteq \{0, 1\}$ qui n'est pas une somme directe de groupes cycliques. Montrer qu'un groupe d'Ulm de longueur $\lambda$ est une somme directe de groupes cycliques si, et seulement si, $\lambda \le \omega$ (i.e. il existe un plongement de $\lambda$ dans $\omega$).

7. Un sous-groupe $H$ d'un $p$-groupe $G$ est **pur** si $p^n H = H \cap p^n G$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Utiliser le théorème 4.4 pour montrer qu'un sous-groupe pur d'un $p$-groupe fini est un facteur direct.

8. Soient $G$ un groupe d'Ulm et $x, y \in G$ des éléments d'ordre $p$. Montrer que $hx = hy$ si, et seulement si, il y a un automorphisme de $G$ qui envoie $x$ sur $y$.

# 5 Construction de groupes d'Ulm

Cela simplifie grandement les choses d'imposer une condition modérée sur la longueur de $G$. Soit $\lambda$ un ensemble bien ordonné. Si $a < b$ dans $\lambda$, nous disons que $b$ est le **successeur** de $a$, et nous écrivons $b = a + 1$, s'il n'y a aucun $c \in \lambda$ tel que $a < c < b$. Pour un entier naturel $n$, nous définissons $b = a + n$ par récurrence sur $n$ en posant $a+0 = a$, et $a+(n+1) = c$ si $b = a+n$ et $c = b+1$. On dit qu'un ensemble bien ordonné $\lambda$ **admet des successeurs** si chaque fois que l'on a $a, b$ dans $\lambda$ avec $b > a$, alors $a + 1$ existe$^2$.

Soit $f$ une fonction qui assigne à tout élément d'un ordinal dénombrable avec successeurs un espace vectoriel dénombrable discret sur $\mathbb{F}_p$. Quand pouvons-nous construire un groupe d'Ulm $G$ tel que $f_G = f$ ? Une condition nécessaire est donnée dans le théorème suivant.

**Théorème 5.1.** Soient $\lambda$ un ordinal avec successeurs et $G$ un groupe d'Ulm de longueur $\lambda$. Si $a \in \lambda$, nous pouvons trouver un entier naturel $n$ tel que $a + n$ existe et $f_G(a + n) \neq 0$.

*Démonstration.* On prend un $x$ tel que $hx = a$ et pour $n$ le plus petit entier naturel tel que $hp^{n+1}x = \infty$ ou $hp^{n+1}x > hp^n x + 1$. Alors $p^n x$ représente un élément non nul de $f_G(a + n)$. ■

Soient $\lambda$ un ordinal dénombrable avec successeurs et $f$ une fonction qui assigne à tout élément d'un ordinal dénombrable avec successeurs un espace

<footnote n="1">1. **NdT.** On voit facilement que les deux définitions de l'égalité « $b = a + 1$ » coïncident.</footnote>

<footnote n="2">2. **NdT.** L'énoncé « $a + n$ existe » est une abréviation pour « il existe un $b$ dans $\lambda$ tel que $b = a + n$ ».</footnote>
vectoriel dénombrable discret sur $F_p$. Nous disons que $f$ est une **U-fonction** si, pour tout $a \in \lambda$, il existe un $n \in \mathbb{N}$ tel que $a+n$ existe et $f(a+n) \neq 0$. Le théorème 5.1 dit qu'une fonction d'Ulm d'un groupe d'Ulm dont la longueur est un ordinal avec successeurs, est une **U-fonction**. Nous allons montrer que, réciproquement, si $f$ est une **U-fonction** sur $\lambda$, alors nous pouvons construire un groupe d'Ulm $G$ de longueur $\lambda$ tel que $f_G(a)$ est isomorphe à $f(a)$ pour chaque $a \in \lambda$. Ce résultat est connu sous le nom de **théorème de Zippin**.

Soit $H$ un $p$-groupe réduit valué à valeurs dans un ordinal dénombrable avec successeurs $\lambda$. Soit $f$ une $U$-fonction sur $\lambda$ et $\varphi^c: f_H(c) \to f(c)$ des fonctions injectives pour chaque $c \in \lambda$. Étant donnés $x \in H$ et $a < vx = b$, nous pouvons construire un $p$-groupe valué fini $K$ qui contient $H$ et tel que les propriétés suivantes soient satisfaites :

(i) la valuation sur $K$ prolonge celle sur $H$;

(ii) les fonctions $\varphi^c$ se prolongent en des fonctions injectives de $f_K(c)$ vers $f(c)$;

(iii) il existe un $y \in K$ tel que $py = x$ et $vy \ge a$.

**Démonstration.** En faisant croître $a$, si nécessaire, nous pouvons supposer que $b = a+1$, ou que $f(a) \neq 0$ et il n'y a aucun élément $z \in H$ tel que $vz = a$. Nous pouvons également supposer que la valeur de $x$ est maximale dans l'ensemble $\{x +pz : z \in H \text{ et } vz \ge a\}$, car si $py = x +pz$, alors $p(y - z) = x$. On ajoute un élément $y \in H$, soumis à la seule relation $py = x$, et on pose

$$v(z + my) = \min(vz, a)$$

pour $z \in H$ et $0 < m < p$. On vérifie facilement que cela définit un $p$-groupe valué $K$ qui contient $H$, dont la valuation prolonge celle sur $H$. Nous devons maintenant prolonger les fonctions $\varphi^c$.

Le plongement $H \subseteq K$ donne des fonctions injectives $f_H(c) \to f_K(c)$ pour chaque $c \in \lambda$. Supposons que $z + my$ représente un élément de $f_K(c)$, avec $z \in H$ et $0 < m < p$. Alors $c = \min(vz, a) \le a$. Comme nous sommes intéressés uniquement par le sous-espace engendré par $z + my$, nous pouvons supposer que $m = 1$. Si $c < a$, alors $z + y = z$ dans $f_K(c)$, donc $z + y$ représente un
élément de $f_H(c)$. Si $c = a$ et $b = a+1$, alors $vp(z+y) > b$, donc $v(pz+x) > vx$, contrairement au choix que nous avons fait pour $x$. Donc si $c < a$ ou $b = a+1$, alors $f_H(c) = f_K(c)$ et il n'y a pas de problème pour étendre $\varphi^c$. Il reste à traiter le cas suivant : $c = a$, il n'y a aucun $z \in H$ tel que $vz = c$, et $f(c) \neq 0$. Alors $f_H(c) = 0$ et $f_K(c)$ est de dimension 1, et nous plongeons ce dernier dans $f(c)$ comme bon nous semble. ■

**Théorème 5.3.** Soient $\lambda$ un ordinal dénombrable avec successeurs et $f$ une $U$-fonction définie sur $\lambda$. Soit $H$ un $p$-groupe fini valué à valeurs dans $\lambda_\infty$. Si $H$ est $f$-admissible, alors il peut être plongé dans un groupe d'Ulm $G$ de longueur $\lambda$ tel que la fonction de hauteur sur $G$ induise la valuation sur $H$, et que $f_G(a) \simeq f(a)$ pour chaque $a \in \lambda$.

*Démonstration.* Si $\mu$ est un sous-ensemble fini de $\lambda$ et si $\varphi^a: f_H(a) \to f(a)$ est une fonction injective pour chaque $a \in \lambda$, alors par des applications répétées du lemme 5.2, nous pouvons plonger $H$ dans un $p$-groupe fini valué $E(H, \mu)$ tel que

(i) la valuation sur $E(H, \mu)$ prolonge la valuation sur $H$;

(ii) les fonctions $\varphi^a$ se prolongent en des fonctions injectives de $f_K(a)$ vers $f(a)$;

(iii) si $a \in \mu$ et si $x \in H$ avec $a < vx$, alors il y a un $y \in E(H, \mu)$ tel que $py = x$ et $vy \ge a$.

Nous allons construire une chaine de groupes finis valués $H = H_0 \subseteq H_1 \subseteq \dots$ avec une même valuation $v$, et des fonctions injectives

$$ \varphi_i^a: f_{H_i}(a) \to f(a) $$

telles que $\varphi_{i+1}^a$ prolonge $\varphi_i^a$ pour chaque $i \in \mathbb{N}$ et $a \in \lambda$. Soit $x_1, x_2, \dots$ une énumération de la réunion disjointe de la famille $\{f(a)\}_{a \in \lambda}$ et soit $a_1, a_2, \dots$ une énumération de $\lambda$, et posons $\mu_n = \{a_1, \dots, a_n\}$. Si $x_n \in f(b)$, on définit

$$ H_{2n} = E(H_{2n-1}, \mu_n), \\ H_{2n-1} = \begin{cases} H_{2n-2} & \text{si } x_n \in \varphi_{2n-2}^b(f_{H_{2n-2}}(b)), \\ H_{2n-2} \oplus \langle y \rangle & \text{où } py = 0 \text{ et } vy = b \text{ sinon.} \end{cases} $$

Dans le dernier cas, prolongeons la fonction $\varphi_{2n-2}^b$ en posant $\varphi_{2n-1}^b(y) = x_n$. Alors le groupe $G = \bigcup_j H_j$ est clairement un $p$-groupe valué dénombrable à valeurs dans $\lambda$. Le fait que $v$ est une fonction de hauteur sur $G$ résulte de la construction $H_{2n} = E(H_{2n-1}, \mu_n)$, pourvu que nous puissions montrer que $v$ envoie $G$ sur $\lambda_\infty$. Cela résulte du fait que $f$ est une $U$-fonction : si $a \in \lambda$, il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $f(a+m) \neq 0$. D'après la construction de $H_{2n-1}$, nous pouvons trouver un élément $y_1 \in G$ tel que $vy_1 = a + m$. Si $m = 0$, nous avons terminé. Sinon, d'après la construction de $H_{2n}$, nous pouvons trouver un élément $y_2$ de $G$ tel que $a \le vy_2 < vy_1$, et nous terminons par récurrence sur $m$.
L'isomorphisme de $f_G(a)$ sur $f(a)$ est fourni par les fonctions $\varphi_j^a$ ; il est
surjectif d'après la construction de $H_{2n-1}$ . $\blacksquare$

Exercices

1. Donner un exemple brouwerien d'un ordinal dénombrable qui n'admet pas de successeurs.

2. Montrer qu'un ordinal a des successeurs si, et seulement si, chaque fois que $a < b$, alors ou bien $a \ll b$, ou bien $b = a + 1$.

3. Soit $\lambda$ un ordinal dénombrable avec successeurs, et $f$ une $U$-fonction sur $\lambda$. En utilisant des arguments semblables à ceux donnés dans les démonstrations du lemme 5.2 et du théorème 5.3, montrer qu'il existe un groupe d'Ulm simplement présenté avec une fonction d'Ulm isomorphe à $f$.

4. Soit $\lambda$ un ordinal dénombrable avec successeurs, et soit $f$ une $U$-fonction sur $\lambda$. Si $f(b) \neq 0$, montrer qu'il existe une $U$-fonction $g$ sur $[0, b]$ et une $U$-fonction $f'$ sur $\lambda$ telles que

(i) $f(a) = g(a) \oplus f'(a)$ pour $a \le b$;

(ii) $f(a) = f'(a)$ pour $a > b$;

(iii) dim $g(b) = 1$.

Conclure que tout élément d'ordre $p$ et de hauteur $a$ dans un groupe d'Ulm $G$ de longueur $\lambda$ est contenu dans un facteur direct $H$ de $G$ de longueur $[0, a]$ avec $\dim f_H(a) = 1$.

5. Utiliser l'exercice 4 pour montrer que si $\lambda$ est un ensemble bien ordonné avec successeurs et si $G$ est un groupe d'Ulm de longueur $\lambda$, alors $G$ est une somme directe de groupes d'Ulm de longueurs $[0, a]$ pour des $a \in \lambda$.

6. Soit $\lambda$ un ensemble bien ordonné avec successeurs tel que $\omega \le \lambda$. Montrer que tout groupe d'Ulm de longueur $\lambda$ contient un facteur direct qui est une somme directe non bornée de groupes cycliques. Pouvez-vous trouver un tel facteur direct dans l'exemple 3.2 ?

6 Notes

Notre construction d'une enveloppe divisible pour un groupe abélien dénom-
brable discret est due à Rick Smith (1981) qui travaillait dans le contexte de
l'algèbre récursive. Dans le même article, il démontre que l'enveloppe divisible
d'un *p*-groupe est unique si, et seulement si, *p*G est détachable dans *G*. La dé-
monstration de la partie « seulement si » de ce théorème fournit une illustration
dramatique de la différence entre mathématiques constructives et mathématiques
récursives. Pour établir l'existence d'un algorithme qui décide pour n'importe
quel élément de *G* s'il appartient à *pG*, il construit un algorithme qui ne fait pas
exactement la chose demandée pour chaque élément, mais qui ne peut pas se
tromper une infinité de fois. D'un point de vue récursif, un tel algorithme peut
être facilement modifié pour obtenir celui que l'on désire : il suffit de changer
un nombre fini de réponses. D'un point de vue constructif, cet algorithme est
essentiellement sans valeur : non seulement nous avons la mauvaise réponse
dans un nombre fini de cas, mais nous n'avons aucune idée sur comment décider
quelles réponses peuvent être considérées comme correctes.

Le traitement par Smith de l'unicité des enveloppes divisibles est calqué sur
le traitement de l'unicité des clôtures algébriques dans [Metakides & Nerode
1979] où il est démontré, pour les corps discrets dénombrables de caractéristique
nulle, que la clôture algébrique est unique si, et seulement si, le corps est factoriel.
Pour plus de précisions sur cette question, voir le traitement de l'unicité des
corps de décomposition dans [Bridges-Richman 1987].

Un contre-exemple en algèbre récursive pour le théorème d'Ulm est soi-disant
construit dans [Lin 1981a], mais il s'appuie sur une démonstration fautive du
théorème de Zippin.

Mal'cev (1971) contient une brève discussion des types des groupes abéliens
sans torsion de rang 1 dans le contexte de l'algèbre récursive.

Le matériau présenté ici sur les théorèmes d'Ulm et de Zippin est une version
simplifiée de [Richman 1973].

Rogers (1980) a étudié les *p*-groupes qui ne sont pas nécessairement discrets
ou nécessairement dénombrables. Elle a examiné les *p*-groupes *G* tels que $p^n G$
est un sous-groupe détachable de *G* pour tout *n*, et elle a démontré, pour les
groupes avec des sous-ensembles dénombrables denses, que cette propriété est
équivalente au fait d'avoir un sous-groupe basique<fnref n="1" />. En mathématiques clas-
siques, tout *p*-groupe possède un sous-groupe basique; mais constructivement
c'est déjà un problème de construire un sous-ensemble dense discret. Tant que
nous n'avons pas d'exemples à l'esprit, il semble inutile de spéculer sur les
extensions de ce résultat.

<footnote n="1">1. NdT. Voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Sous-groupe_basique.</footnote>
<figure><img src="image_13.png" /></figure>
# XII. Théorie des valeurs absolues

## Sommaire

<table><tr><td>1</td><td>Valeurs absolues</td><td>285</td></tr><tr><td>2</td><td>Valeurs absolues localement précompactes</td><td>291</td></tr><tr><td>3</td><td>Corps pseudofactoriels</td><td>294</td></tr><tr><td>4</td><td>Espaces vectoriels normés</td><td>297</td></tr><tr><td>5</td><td>Corps réels et complexes</td><td>300</td></tr><tr><td>6</td><td>Le lemme de Hensel</td><td>305</td></tr><tr><td>7</td><td>Extensions de valeurs absolues</td><td>314</td></tr><tr><td>8</td><td>Indice de ramification et degré résiduel (e et f)</td><td>318</td></tr><tr><td>9</td><td>Notes</td><td>322</td></tr></table>

## 1 Valeurs absolues

Soit $k$ un corps de Heyting. Une **valeur absolue**<fnref n="1" /> sur $k$ est une fonction qui assigne à tout élément $x$ de $k$ un nombre réel $|x| \ge 0$ tel que

— $|x| > 0$ si, et seulement si, $x$ est inversible;

— $|xy| = |x||y|$;

<footnote n="1">1. **NdT.** (Rank one) valuation. Nous avons repris la terminologie «valeur absolue» de Bourbaki. La terminologie «valuation» serait ici en contradiction avec la terminologie française usuelle, de Bourbaki, qui correspond à celle de Krull. En mathématiques classiques, une valuation $v$ sur un anneau $A$ est une fonction $v$ de $A$ vers $\Gamma \cup \{\infty\}$, où $\Gamma$ est un groupe abélien totalement ordonné, telle que : $v(1) = 0$, $v(0) = \infty$, $v(xy) = v(x) + v(y)$ et $v(x + y) \ge \inf(v(x), v(y))$. Lorsque $\Gamma$ est (isomorphe à) un sous-groupe additif de $\mathbb{R}$, la valuation est dite de rang $\le 1$. Si $A$ est un corps de Heyting, la fonction $x \mapsto 2^{-v(x)}$ est alors une valeur absolue. En mathématiques constructives, comme $x = 0$ n'est pas testable, la définition classique ne fonctionne bien que dans le cas des corps discrets. Pour un corps de Heyting, pour que la fonction $v$ soit bien définie, il faut munir $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$ d'une topologie convenable.</footnote>
$$-|x+y| \le |x| + |y|.$$

L'ensemble $\{|x|: x \in k\}$ est inversible forme un groupe appelé le **groupe de valeurs** de la valeur absolue. Un corps avec une valeur absolue est appelé un **corps valorisé**<fnref n="1" />. Un corps valorisé est un espace métrique pour la distance $|x-y|$.

Une **valeur absolue généralisée**<fnref n="2" /> sur un corps de Heyting $k$ est une fonction qui assigne à tout élément $x$ de $k$ un nombre réel $vx \ge 0$ qui satisfait les propriétés suivantes :

(i) $vx \ne 0$ si, et seulement si, $x$ est inversible;

(ii) $v(xy) = (vx)(vy)$;

(iii) il existe une constante $B$ telle que $v(x+y) \le B \cdot \sup(vx, vy)$ pour tous $x$ et $y$.

La constante $B$ de (iii) est appelée une **borne**<fnref n="3" /> pour $v$. Notez que (i) et (ii) impliquent $v1 = 1$, donc en prenant $x = 1$ et $y = 0$ dans (iii) on obtient $B \ge 1$. Notez qu'une valeur absolue généralisée bornée par 1 est une valeur absolue et que toute valeur absolue est une valeur absolue généralisée bornée par 2.

**Théorème 1.1.** Une valeur absolue généralisée est une valeur absolue si, et seulement si, elle est bornée par 2.

*Démonstration.* Supposons que $v$ est une valeur absolue généralisée avec 2 pour borne. Une récurrence facile montre que $v(a_1 + \cdots + a_m) \le m \cdot \sup_{i=1}^m va_i$ si $m$ est une puissance de 2. Comme $m$ est toujours compris entre deux puissances de 2 consécutives, nous obtenons $v(a_1 + \cdots + a_m) \le 2m \cdot \sup_{i=1}^m va_i$ pour tout $m$; en particulier $v(m) \le 2m$. Donc, pour tout $n > 1$,

$$ \begin{align*} v(x+y)^n &= v\left(\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} x^i y^{n-i}\right) \le 2(n+1) \sup_{i=0}^n v\left(\binom{n}{i} x^i y^{n-i}\right) \\ &\le 2(n+1) \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} v x^i v y^{n-i} = 4(n+1)(vx+vy)^n. \end{align*} $$

En prenant les racines $n$-ièmes, pour $n$ assez grand, on obtient $v(x+y) \le vx + vy$. ■

<footnote n="1">1. **NdT.** En anglais, le livre utilise la terminologie de *valued field*, en contradiction avec celle de Bourbaki, pour qui un corps valué est muni d'une valuation et non pas d'une valeur absolue. Nous utilisons dans notre traduction l'innovation terminologique de corps valorisé. Sinon, nous aurions dû utiliser à chaque fois «corps muni d'une valeur absolue», ce qui est un peu lourd.</footnote>

<footnote n="2">2. **NdT.** General valuation. Même problème terminologique que précédemment concernant le mot valuation. Bourbaki ne donne pas de nom particulier à une valeur absolue généralisée, mais il note $V(k)$ l'ensemble des valeurs absolues généralisées sur $k$. Le traitement des valeurs absolues généralisées de [CCA] est semblable à celui de Bourbaki, mais les auteurs prennent en compte la nécessité de démonstrations complètement constructives, notamment pour les corps de Heyting, inconnus en mathématiques classiques.</footnote>

<footnote n="3">3. **NdT.** Bounding constant.</footnote>
Un valeur absolue généralisée est **non triviale** si $vx > 1$ pour un $x \in k$, **non archimédienne** ou **ultramétrique** si $v(x+y) \le \sup(vx, vy)$ pour tous $x$ et $y \in k$, et **archimédienne**<fnref n="1" /> si $vn > 1$ pour un entier $n$. Nous disons que deux valeurs absolues généralisées sont **équivalentes** si elles définissent la même structure uniforme, i.e. pour tout $\varepsilon > 0$ il existe un $\delta > 0$ tel que $v_1x < \delta$ implique $v_2x < \varepsilon$, et $v_2x < \delta$ implique $v_1x < \varepsilon$. Nous disons que $v_1$ et $v_2$ sont **inéquivalentes** s'il existe un $x$ tel que $v_1x < 1$ et $v_2x \ge 1$, ou $v_2x < 1$ et $v_1x \ge 1$.

**Théorème 1.2.** *Soient $v_1$ et $v_2$ des valeurs absolues généralisées et considérons les trois propriétés suivantes.*

(i) Il existe un nombre réel $r > 0$ tel que $v_1x = (v_2x)^r$ pour tout $x$ inversible,

(ii) $v_1$ est équivalente à $v_2$,

(iii) $v_1x < 1$ implique $v_2x < 1$ pour tout $x$.

On a (i) $\Rightarrow$ (ii) $\Rightarrow$ (iii). Et si $v_1$ est non triviale, (iii) $\Rightarrow$ (i).

*Démonstration.* Supposons (i) et montrons (ii). Pour un $\varepsilon > 0$, on prend $\delta = \varepsilon^r$. On a $v_2x < \varepsilon$ ou $v_2x > 0$, et dans ce dernier cas $x$ est inversible, donc si $v_1x < \varepsilon^r$, $v_2x < \varepsilon$. Le même argument fonctionne en échangeant les rôles de $v_1$ et $v_2$.

Supposons (ii) et montrons (iii). Si $v_1x < 1$ on prend un $\delta$ tel que si $v_1y < \delta$, alors $v_2y < 1$. Nous avons $(v_1x)^n < \delta$ pour un $n > 0$, donc $(v_2x)^n < 1$, puis $v_2x < 1$.

Supposons (iii) avec $v_1$ non triviale. Notez que si $v_1y > 1$, alors $v_1y^{-1} < 1$, donc $v_2y > 1$. Comme $v_1$ est non triviale, nous avons un $y$ tel que $v_1y > 1$ et donc $v_2y > 1$. Nous prenons $r = (\log v_1y)/(\log v_2y) > 0$. Il suffit de montrer, pour $x \ne 0$, que $\gamma_1 = (\log v_1x)/(\log v_1y)$ est égal à $\gamma_2 = (\log v_2x)/(\log v_2y)$. Notons $\sim$ pour $<$, ou pour $>$, et soient des entiers naturels $m$ et $n$ avec $n > 0$. Alors $m/n \sim \gamma_1$ implique $v_1(y^m x^{-n}) \sim 1$, qui implique $v_2(y^m x^{-n}) \sim 1$, qui implique $m/n \sim \gamma_2$. ■

**Théorème 1.3.** *Soient $v_1$ et $v_2$ des valeurs absolues généralisées non triviales. Si $v_1$ et $v_2$ sont inéquivalentes, il existe un $x$ tel que $v_1x < 1$ et $v_2x > 1$. Si $v_1$ et $v_2$ ne sont pas inéquivalentes, elles sont équivalentes.*

*Démonstration.* Premier point. Supposons $v_1$ et $v_2$ inéquivalentes. En remplacant $x$ par $x^{-1}$ dans la conclusion, on voit que la propriété est symétrique. Supposons donc qu'il existe un $y$ tel que $v_1y < 1$ et $v_2y \ge 1$. On prend un $z$ tel que $v_2z > 1$ et on pose $x = y^n z$. Alors $v_2x > 1$, et, pour $n$ assez grand, nous avons $v_1x < 1$.

<footnote n="1">1. **NdT.** Une valeur absolue généralisée ultramétrique admet la borne 1 et c'est donc toujours une valeur absolue. Dans la suite, nous abandonnons valeur absolue généralisée ultramétrique au profit de valeur absolue ultramétrique. En mathématiques classiques, la notion de valeur absolue ultramétrique correspond aux valuations de rang $\le 1$ : voir la note du traducteur 1 page 285.</footnote>
Supposons maintenant que $v_1$ et $v_2$ ne sont pas inéquivalentes. D'après le théorème 1.2, il suffit de démontrer que si $v_1x < 1$, alors $v_2x < 1$. Soit $y$ un élément tel que $v_2y > 1$. Alors $v_1(x^ny) < 1$ pour un $n \in \mathbb{N}$. Si nous avions $v_2(x^ny) > 1$, les deux valeurs absolues généralisées seraient inéquivalentes. Donc $v_2(x^ny) \le 1$ (voir l'exercice II.3.1), donc $v_2x^n \le v_2y^{-1} < 1$, et enfin $v_2x < 1$. ■

L'hypothèse de non trivialité dans le théorème 1.2 est essentielle, même si l'on prend pour (iii) la propriété «$v_1x < 1$ si, et seulement si, $v_2x < 1$». En fait, sans l'hypothèse de non trivialité, on ne peut démontrer ni (iii) ⇒ (ii), ni (ii) ⇒ (i).

Pour voir qu'on ne peut pas démontrer (iii) ⇒ (ii), on considère un nombre réel $t \ge 0$ et on définit les valeurs absolues $v_1$ et $v_2$ sur les nombres rationnels en posant $v_1x = |x|^t$, et $v_2x = (v_1x)^t$ si $x \ne 0$. Ici $|x|$ est la valeur absolue usuelle de $x$. Alors $v_1x < 1$ si, et seulement si, $v_2x < 1$, mais si nous avions un $\delta > 0$ tel que $v_1x < \delta \Rightarrow v_2x < 1/2$, nous aurions $t > 0$ ou $\delta^t > 3/4$, et dans ce dernier cas $t = 0$, car si nous avions $t > 0$, nous aurions un $x$ tel que le réel $v_1x < \delta$ soit aussi près que nous le voudrions de $\delta$, donc $v_2x$ serait aussi près que nous le voudrions de $\delta^t > 3/4$. Et nous aurions le moyen de décider si $t > 0$ ou $t = 0$, ce qui est LPO.

Pour voir qu'on ne peut pas démontrer (ii) ⇒ (i), on considère un nombre réel $t$ et on définit les valeurs absolues généralisées $v_1$ et $v_2$ sur les nombres rationnels en posant $v_1x = |x|^t$ pour $x \ne 0$ et $v_2x$ égal à $v_1x$ si $t > 0$ et à $v_1x^2$ si $t < 0$. On prolonge ceci à tous les $t$ par continuité. On vérifie facilement que $v_2$ est une valeur absolue généralisée et que $v_1$ et $v_2$ sont équivalentes. Mais si nous avions un $r$ tel que $v_1x = (v_2x)^r$, nous pourrions décider si $t \ge 0$ ou $t \le 0$, ce qui est LLPO, car $r < 1$ implique $t \le 0$, et $r > 1/2$ implique $t \ge 0$.

Notons que si $v_1 = v_2^r$ ($r > 0$) et si $B$ est une borne pour $v_2$, alors $B^r$ est une borne pour $v_1$. Donc toute valeur absolue généralisée est équivalente à une valeur absolue<fnref n="1" />.

**Théorème 1.4.** Soient $v$ une valeur absolue généralisée sur $k$, $x$ et $y$ dans $k$, et $m$ et $n$ des entiers $> 1$. Alors

$$ (i) \quad vm \le \sup(1, vn)^{\log m / \log n}, $$

$$ (ii) \quad \sup(1, v2) \text{ est une borne pour } v. $$

*Démonstration.* Notons $\log = \log_2$ et remarquons que

$$ v(x_1 + \cdots + x_j) \le B^{1+\log j} \sup_{i=1}^j v x_i. $$

Pour démontrer le point (i), on écrit $m^s = a_0 + a_1 n + \cdots + a_r n^r$, où $0 \le a_i < n$ et $r \log n \le s \log m$. Alors on a

$$ vm^s \le B^{1+\log((n-1)(r+1))} \sup(1, vn)^r. $$

<footnote n="1">1. **NdT.** En effet, pour un choix convenable de $r$, on a $B^r \le 2$, donc $v_1^r$ est une valeur absolue (théorème 1.1).</footnote>
En élevant les deux membres à la puissance $1/s$, et en faisant tendre $s$ vers $\infty$, on obtient le résultat.

Pour démontrer le point (ii), on pose $q = \sup(vx, vy)$ et on considère

$$v(x + y)^s = v \sum_{i=0}^{s} \binom{s}{i} x^i y^{s-i} \le B^{1+\log(s+1)} \sup_{i=0}^{s} q^s v \binom{s}{i}.$$

D'après le point (i), nous avons $v\binom{s}{i} \le \sup(1, v2)^{\log\binom{s}{i}}$. Mais $\binom{s}{i} \le \binom{s}{\lfloor s/2 \rfloor}$, donc

$$v(x + y) \le B^{(1+\log(s+1))/s} q \cdot \sup(1, v2)^{(\log(\lfloor s/2 \rfloor))/s}$$

et $(1 + \log(s + 1))/s \to 0$ tandis que $\log(\lfloor s/2 \rfloor)/s \to 1$ (utiliser la formule de Stirling), donc $v(x + y) \le q \cdot \sup(1, v2) = \sup(1, v2) \cdot \sup(vx, vy)$. ■

Comme corolaires nous obtenons les caractérisations suivantes des valeurs absolues non archimédiennes et archimédiennes.

**Corolaire 1.5.** Soit $v$ une valeur absolue généralisée sur $k$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes.

(i) $v$ est non archimédienne (ultramétrique);

(ii) $v(1 + x) \le 1$ pour tout $x$ tel que $vx \le 1$;

(iii) $vm \le 1$ pour tous les entiers $m$;

(iv) $v2 \le 1$;

(v) $vn \le 1$ pour un entier $n > 1$.

*Démonstration.* Clairement (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ⇒ (v).

Si l'on a (v), alors $v2 \le 1$ d'après le théorème 1.4(i), donc on peut prendre $B = 1$ d'après le théorème 1.4(ii). ■

**Corolaire 1.6.** Soit $v$ une valeur absolue généralisée sur un corps $k$. Les propriétés suivantes sont équivalentes.

(i) $v(x + y) > \sup(vx, vy)$ pour un couple $(x, y)$;

(ii) on a un $q > 0$ tel que si $B$ est une borne pour $v$, alors $B > 1 + q$;

(iii) $v2 > 1$;

(iv) $vm > 1$ pour un entier $m$ ($v$ est archimédienne);

(v) $vn > 1$ pour tous les entiers $n > 1$;

(vi) on a un $x$ tel que $vx \le 1$ et $v(1 + x) > 1$.

*Démonstration.* Clairement (i) implique (ii). Que (ii) implique (iii) se déduit du fait que $v2$ est une borne pour $v$ (théorème 1.4(ii)). Clairement (iii) implique (iv). Que (iv) implique (v) résulte du théorème 1.4(i). Clairement (v) implique (vi) en prenant $x = 1$. Enfin (vi) implique (i) en prenant $y = 1$. ■
Comme conséquence des corolaires 1.5(iv) et 1.6(iii), une valeur absolue généralisée de $k$ est non archimédienne si, et seulement si, elle n'est pas archimédienne, car affirmer $v2 \le 1$ est la même chose que nier $v2 > 1$.

**Exemple 1.7** (un exemple brouwerien d'une valeur absolue non triviale qui n'est ni archimédienne ni non archimédienne). Soit $a$ une suite binaire fugitive. Soit $R = \mathbb{Z}[X]/I$, où $I$ est l'idéal (premier détachable) engendré par l'ensemble $\{a_n(X - 2^n) : n \in \mathbb{N}\}$. Soit $k$ le corps de fractions de $R$. Nous définissons une valeur absolue $v$ sur $R$ en faisant correspondre à un polynôme $f(X)$ la limite de la suite de Cauchy définie par

$$r_m = \begin{cases} |f(2^m)|^{1/m} & \text{si } a_n = 0 \text{ pour tout } n \le m \\ |f(2^n)|^{1/n} & \text{si } a_n = 1 \text{ pour un } n \le m. \end{cases}$$

Ici $|\cdot|$ est la valeur absolue usuelle. La valeur absolue $v$ se prolonge de manière unique à $k$. Elle est non triviale parce que $vX = 2$. Cependant, décider si $v$ est archimédienne revient à décider si $a_n = 1$ pour un $n$, ou non. ■

**Théorème 1.8.** Soit $v$ une fonction sur un corps de Heyting $k$ vers les réels $\ge 0$ qui satisfait les points (i) et (ii) de la définition d'une valeur absolue généralisée. Si $vx \le 1$ implique $v(1+x) \le B$ pour un certain $B$, $v$ est une valeur absolue généralisée de borne $B$.

*Démonstration.* Il suffit de démontrer que l'on ne peut pas avoir $v(x+y) > B \cdot \sup(vx, vy)$.

Supposons que ce soit le cas. Si $vx > 0$ et $v(y/x) < 1$, alors

$$v(x + y) = vx \cdot v(1 + y/x) \le B \cdot vx \le B \cdot \sup(vx, vy),$$

une contradiction, donc $v(y/x) \ge 1$, puis $vy > 0$ et $v(x/y) \le 1$. Mais alors

$$v(x + y) = vy \cdot v(1 + x/y) \le B \cdot vy \le B \cdot \sup(vx, vy),$$

une contradiction. Donc $vx = 0$ et par suite $x = 0$ car $k$ est un corps de Heyting. Mais alors $v(x + y) = vy \le B \cdot \sup(vx, vy)$. ■

Exercices

1. Prenons pour $k$ un anneau commutatif dans la définition d'une valeur absolue généralisée. Montrer que si $k$ admet une valeur absolue généralisée, c'est un anneau local. Vérifier que les théorèmes de 1.1 à 1.4, et les corolaires 1.5 et 1.6, sont valides dans ce contexte plus général. Montrer que le théorème 1.8 est satisfait si $k$ est un anneau local, et construire un contre-exemple (classique) pour ce théorème lorsque $k$ n'est pas supposé local.
2. La valeur absolue triviale. Montrer que tout corps discret admet la valeur absolue $v$ définie par $v(x) = 1$ pour tout $x \neq 0$.

3. Les valeurs absolues p-adiques de $\mathbb{Q}$. Soit $p$ un nombre premier. Tout nombre rationnel non nul s'écrit de manière unique sous la forme $r = \pm p^n a/b$, avec des entiers $a$ et $b$ premiers entre eux et non divisibles par $p$; on définit $v_p r = p^{-n}$. Montrer que $v_p$ est une valeur absolue ultramétrique sur $\mathbb{Q}$. Montrer que toute valeur absolue ultramétrique sur $\mathbb{Q}$ est équivalente à une valeur absolue $v_p$.

4. Soit $v$ une valeur absolue ultramétrique. Montrer que si $vx < vy$, alors $v(x + y) = vy$.

5. Soit $k$ un corps discret. On définit une fonction $v$ sur le corps des fractions rationnelles $k(X)$ en posant $v(f) = 2^{-\deg f}$ pour $f \in k[X]$, et $v(f/g) = v(f)/v(g)$. Montrer que $v$ est une valeur absolue ultramétrique sur $k(X)$.

6. Soit $S$ l'ensemble des valeurs absolues non triviales sur un corps de Heyting $k$, avec pour égalité dans $S$ l'équivalence des valeurs absolues. Montrer que l'inéquivalence est une relation de séparation étroite sur $S$.

## 2 Valeurs absolues localement précompacts

Un sous-ensemble $B$ d'un espace métrique $X$ est borné s'il existe un $N$ tel que $d(x, y) \le N$ pour tous $x, y \in B$. Un espace métrique est **localement précompact** si on peut approximer les sous-ensembles bornés par des ensembles finis, c'est-à-dire, si pour tout sous-ensemble borné $B$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe un sous-ensemble fini $Y$ tel que si $x \in B$, alors $d(x, y) < \varepsilon$ pour un $y \in Y$. Un espace localement précompact est **localement compact** s'il est complet.

On voit facilement qu'un corps valorisé $k$ est localement précompact si, pour tout entier $N > 0$ et tout nombre $\varepsilon > 0$, il existe un sous-ensemble fini $Y$ de $k$ tel que si $|x| \le N$, alors $|x - y| < \varepsilon$ pour un $y \in Y$. Un tel sous-ensemble $Y$ est appelé une $\varepsilon$-approximation de la N-boule. la valeur absolue usuelle et les valeurs absolues p-adiques sur $\mathbb{Q}$ ont cette propriété.

**Théorème 2.1.** Une valeur absolue localement précompacte est archimédienne ou ultramétrique.

*Démonstration.* Notons $|x|$ cette valeur absolue. On considère un sous-ensemble fini $Y$ de $k$ tel que si $|x| \le 2$, alors $|x - y| < 1/3$ pour un $y \in Y$. On considère les entiers $0, 1, \dots, \text{card } Y$. Vus dans $k$, ou bien l'un d'entre eux a une valeur absolue > 1, donc $k$ est archimédienne, ou bien ils ont tous une valeur absolue < 2. Dans ce cas, deux d'entre eux doivent approcher à $1/3$ près un même $y$, donc leur distance est inférieure à $2/3$, i.e. leur différence a une valeur absolue plus