Reçu par la Rédaction le 19. 1. 1961

La relation d'équivalence et les objets géométriques

par

S. Goląb (Kraków)

Il est bien connu que les relations réflexives, symétriques et transitives nommées tout court relations d'équivalence jouent un rôle important dans presque tous les domaines des mathématiques.

Dans la Note présente nous voulons attirer l'attention sur un rapport qui existe entre les relations d'équivalence pour deux vecteurs glissants (situés sur une même droite) et les objets géométriques non différentiels à une dimension.

Sur une droite affine (et en général dans l'espace affine à n dimensions) on définit un vecteur comme un couple de points $(P_1, P_2)$, un vecteur libre comme l'ensemble de tous les vecteurs équipollents. La relation $\mathcal{R}$ d'équipollence est définie dans ce cas comme il suit. Si nous désignons par $w_i$ la coordonnée affine du point $P_i$ (dans n'importe quel système de coordonnées), alors l'assertion

$$ (1) \qquad (P_1, P_2) \mathcal{R} (P_3, P_4) $$

veut dire que l'on a

$$ (2) \qquad w_4 - w_3 = w_2 - w_1. $$

Du point de vue géométrique la définition la plus simple de la relation $\mathcal{R}$ est la suivante: *le milieu du segment $P_1P_4$ se confond avec le milieu du segment $P_2P_3$* (le milieu d'un segment est une notion invariante de la géométrie affine). Par contre, il est mieux —à mon avis— d'éviter de déterminer les vecteurs équipollents comme ceux qui possèdent même direction, orientation et longueur, car cette dernière définition pourrait suggérer que la notion de vecteurs équipollents peut être introduite seulement dans les espaces métriques.

On démontre sans difficulté que la relation (1) définie par la condition (2) est une relation d'équivalence et qu'elle a un caractère invariant par rapport aux transformations affines de la coordonnée $x$ ($\bar{x} = ax + b$, $a \neq 0$).

On peut poser la question suivante: quelles sont les autres relations d'équivalence (outre (2)) entre les couples de vecteurs? Bien entendu la détermination de toutes les relations possible de ce genre n'est pas un

<footnote>[4] M. Katětov, On the space of irrational numbers, Commentationes mathematicae universitatis Carolinae 1, No 2 (1960), crp. 38-42.</footnote>

<footnote>[5] J. Novák, *Oarakter množiny*, Časopis pro pěstování matematiky a fysiky 66 (1937), crp. 206-209.</footnote>

<footnote>[6] B. Pospíšil, *Théorèmes d'existence pour les caractères des points*, ibid. 67 (1938), crp. 249-355.</footnote>

<footnote>[7] — *Sur les caractères des points dans les espaces topologiques*, Spisy vydávané přírodovědeckou fakultou Masarykovy university 256 (1938), crp. 1-23.</footnote>

<footnote>[8] J. W. Tuckey, *Convergence and uniformity in topology*, Annals of Mathematics Studies, no. 2, Princeton 1940.</footnote>
problème facile. Nous simplifierons la question en cherchant toutes les relations (1) d'équivalence pour lesquelles la condition généralisée (2) peut être écrite sous forme de la relation fonctionnelle

$$ (3) \qquad x_4 = f(x_1, x_2, x_3). $$

Alors les conditions de réflexivité, de symétrie et de transitivité pren-
dront respectivement la forme analytique

$$ \text{I.} \qquad f(x_1, x_2, x_3) = x_2, $$

$$ \text{II.} \qquad f[x_3, f(x_1, x_2, x_3), x_1] = x_2, $$

$$ \text{III.} \qquad f[x_3, f(x_1, x_2, x_3), x_4] = f(x_1, x_2, x_4). $$

Nous supposons que la fonction $f(x_1, x_2, x_3)$ satisfait aux équations fonctionnelles I, II, III pour tous les systèmes $(x_1, x_2, x_3)$ et nous en tirons quelques conséquences. Remarquons tout d'abord que les équations I, II, III ne sont pas indépendantes. Posons notamment dans l'équation III $x_4 = x_1$ et tenons compte de l'équation I. Nous obtenons alors l'équation II. Nous avons donc:

LEMME. L'équation II est une conséquence des équations I et III.

Nous pouvons alors conclure que, sous l'hypothèse (3) quant à la
forme de la relation $\mathbb{R}$, la symétrie découle de la réflexivité et de la tran-
sitivité.

Posons ensuite

$$ (4) \qquad g(x_1, x_2, x_3) \stackrel{df}{=} f(x_2, x_1, x_3). $$

Les équations I et III (il suffit de traiter seulement ces deux équations)
prendront la forme

$$ (5) \qquad g(x_2, x_1, x_3) = x_2, $$

$$ (6) \qquad g[g(x_2, x_1, x_3), x_3, x_4] = g(x_2, x_1, x_4). $$

Or, les équations (5) et (6) sont précisément identiques aux équations (8) et (10) de mon travail [1] qui caractérisent tous les objets géométriques non différentiels à une composante dans l'espace à une dimension. La règle de transformation de la composante $\Omega$ d'un tel objet est

$$ (7) \qquad \bar{\Omega} = g(\Omega, \xi, \bar{\xi}), $$

où $\Omega$ et $\bar{\Omega}$ sont respectivement les composantes de l'objet dans deux
systèmes quelconques de coordonnées (non nécessairement affines),
défini au point dont les coordonnées sont égales à $\xi$ resp. $\bar{\xi}$. Dans le travail
cité j'ai donné la solution générale du système (5) et (6) sans faire aucune
hypothèse de régularité sur la fonction $g$. De la définition d'un objet
géométrique il suit que la fonction $g(\Omega, \xi, \bar{\xi})$ doit, pour chaque couple
de valeurs $\xi, \bar{\xi}$, être inversible par rapport à la variable $\Omega$.

La solution générale du système (5), (6) est de la forme

$$ (8) \qquad g(x_1, x_2, x_3) = G[G^{-1}(x_1, x_2), x_3], $$

où $G(x_1, x_2)$ désigne une fonction arbitraire inversible (pour chaque $x_2$)
par rapport à $x_1$, $G^{-1}(x_1, x_2)$ désignant la fonction unique telle que les
équations

$$ x_3 = G(x_1, x_2), \quad x_1 = G^{-1}(x_3, x_2) $$

sont équivalentes, c'est-à-dire telle que

$$ (9) \qquad G[G^{-1}(x_3, x_2), x_2] = x_3. $$

Comme la formule (8) nous donne la solution générale du système (5), (6),
la formule

$$ f(x_1, x_2, x_3) = G[G^{-1}(x_2, x_1), x_3] $$

fournit la solution générale des équations fonctionnelles I-III. Nous
avons donc:

THÉORÈME 1. Sous l'hypothèse que la relation d'équivalence $\mathbb{R}$ entre deux vecteurs glissants remplit la condition (3), toutes les relations $\mathbb{R}$ sont contenues dans la formule (10), où la fonction $\mathbb{G}$ est arbitraire pourvu qu'elle soit inversible par rapport à la première variable, $\mathbb{G}^{-1}$ désignant la fonction vérifiant la relation (9).

Remarque 1. Grâce au théorème 1 nous avons obtenu une inter-
prétation géométrique des objets non différentiels à une composante dans
l'espace à une dimension.

Remarque 2. Nous obtenons, en particulier, la relation classique
d'équipollence $\mathbb{R}$ des vecteurs $\overrightarrow{P_1P_2}$ et $\overrightarrow{P_3P_4}$, exprimée par la relation (2),
en posant

$$ (11) \qquad G(x_1, x_2) = x_1 + x_2. $$

En admettant l'hypothèse plus restrictive que la fonction $f$ soit
linéaire

$$ (12) \qquad f(x_1, x_2, x_3) = \alpha x_1 + \beta x_2 + \gamma x_3 + \delta, $$

nous obtenons, en tenant compte de l'équation 1,

$$ \alpha x_1 + \beta x_2 + \gamma x_1 + \delta = x_2, $$

d'où il suit

$$ \beta = 0, \quad \gamma = -\alpha, \quad \delta = 0 $$

et la fonction $f$ prend la forme

$$ (13.1) \qquad f(x_1, x_2, x_3) = x_2 + \alpha(x_1 - x_3). $$
L'hypothèse (12) appliquée à l'équation II donne

$$ \beta(\alpha x_1 + \beta x_2 + \gamma x_3 + \delta) + \alpha x_3 + \gamma x_1 + \delta = x_2, $$

ce qui entraîne

$$ \beta^2 = 1, \quad \beta\alpha + \gamma = 0, \quad \beta\gamma + \alpha = 0, \quad \delta(\beta+1) = 0 $$

ou

$$ \beta = \varepsilon, \quad \gamma = -\varepsilon\alpha, \quad (\delta = 0 \text{ ou } \beta = -1), $$

donc la fonction $f$ est, dans ce cas, de la forme

$$ (13.2) \qquad \begin{aligned} f(x_1, x_2, x_3) &= x_2 + \alpha(x_1 - x_3) \\ \text{ou bien} \quad f(x_1, x_2, x_3) &= -x_2 + \alpha(x_1 + x_3) + \delta. \end{aligned} $$

Enfin, en substituant (12) dans III, nous obtenons

$$ \beta(\alpha x_1 + \beta x_2 + \gamma x_3 + \delta) + \alpha x_3 + \gamma x_4 + \delta = \alpha x_1 + \beta x_2 + \gamma x_4 + \delta, $$

ce qui conduit ou bien à la solution triviale

$$ \alpha = \beta = 0; \quad \gamma, \delta \text{ arbitraires} $$

que nous rejetons, car nous admettons implicitement que la fonction $f$ dépend essentiellement de toutes les trois variables, ou bien à la solution

$$ \beta = 1, \quad \gamma = -\alpha, \quad \delta = 0 $$

ce qui signifie que $f$ possède la forme

$$ (13.3) \qquad f(x_1, x_2, x_3) = x_2 + \alpha(x_1 - x_3). $$

En résumant les résultats nous pouvons énoncer le théorème suivant:

**THÉORÈME 2.** Sous les hypothèses que la relation $R$ entre les vecteurs d'une droite est de la forme (12), les conditions I et II sont équivalentes et conduisent au même résultat (13.1) $\equiv$ (13.3). Les conditions I ou III entraînent II, mais non réciproquement; II n'entraîne ni I ni III.

Nos introduirons maintenant une nouvelle propriété IV consistant en ce que les deux vecteurs sont en relation $R$ si nous changeons simultanément leurs orientations, c'est-à-dire si

$$ (\vec{P}_1\vec{P}_2)R(\vec{P}_3\vec{P}_4) \Rightarrow (\vec{P}_2\vec{P}_1)R(\vec{P}_4\vec{P}_3). $$

Cette propriété s'exprime analytiquement par l'équation fonctionnelle

$$ \text{IV.} \qquad f[x_2, x_1, f(x_1, x_2, x_3)] = x_3. $$

Nous n'analyserons pas ici en détail le rapport logique entre la condition IV et les conditions I-III. On peut montrer que la condition IV n'est pas une conséquence logique des conditions I-III. Cela résulte des

considérations valables pour le cas particulier où la fonction $f$ est linéaire. Or, en supposant la fonction $f$ linéaire, la condition IV conduit à l'identité

$$ \alpha x_2 + \beta x_1 + \gamma (\alpha x_1 + \beta x_2 + \gamma x_3 + \delta) + \delta = x_3 $$

ce qui donne pour les coefficients $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ les équations

$$ \beta + \alpha\gamma = 0, \quad \alpha + \beta\gamma = 0, \quad \gamma^2 = 1, \quad \delta(\gamma + 1) = 0. $$

Ces dernières donnent

$$ \gamma = \varepsilon, \quad \beta = -\varepsilon\alpha, \quad (\delta = 0 \text{ ou } \gamma = -1), \quad \text{où } \varepsilon^2 = 1, $$

et la fonction $f$ est, par conséquent, de la forme

$$ (13.4) \qquad f(x_1, x_2, x_3) = \begin{cases} x_3 + \alpha(x_1 - x_2) & \text{ou} \\ -x_3 + \alpha(x_1 + x_2) + \delta. & \text{en} \end{cases} $$

Il est donc évident que (13.1) n'entraîne pas (13.4).

Si nous supposons (12), c'est-à-dire que la fonction $f$ est linéaire et que les propriétés I et IV ont simultanément lieu, nous obtenons

$$ f(x_1, x_2, x_3) = -x_1 + x_2 + x_3 \quad \text{ou} \quad f(x_1, x_2, x_3) = x_1 + x_2 - x_3. $$

D'autre part, les propriétés II et IV étant simultanément vérifiées, on a

$$ \begin{aligned} f &= x_3 + \alpha(x_1 - x_2) \quad \text{ou} \quad f = x_1 - x_2 + x_3 \quad \text{ou} \\ f &= x_2 - x_1 - x_3 \quad \text{ou} \quad f = -(x_1 + x_2 + x_3) + \delta. \end{aligned} $$

Toutes les quatre propriétés ayant simultanément lieu (il suffit de supposer seulement II, III, IV), on obtient

$$ f(x_1, x_2, x_3) = x_2 + \varepsilon(x_1 - x_3) \quad (\varepsilon^2 = 1). $$

Nous povons donc énoncer le

**THÉORÈME 3.** Les seules relations d'équivalence linéaire et remplissant la condition IV entre deux vecteurs d'une droite affine, sont la relation classique (conduisant à la notion de vecteur libre) ou bien la relation $x_4 = x_1 + x_2 - x_3$ consistant en ce que tous les deux vecteurs ont un milieu commun.

En supposant la fonction $f$ linéaire et en admettant toutes les trois propriétés I, II, III pour la relation $R$, nous aurons en comparant (13.1) et (13.2)

$$ (14) \qquad f(x_1, x_2, x_3) = x_2 + \alpha(x_1 - x_3), \quad \alpha \text{ arbitraire} \neq 0. $$

Pour $\alpha \neq -1$ nous obtenons une équivalence différente de l'équivalence classique ($\alpha = -1$). Pourtant on peut dire que dans la famille (14) d'équivalences il en existe une seule essentiellement différente. Du point de vue de la notion de similitude (équivalence) on peut affirmer qu'il existe dans la famille (14) un seul objet, à l'équivalence près. La notion de simili-
tude, introduite par nous [2], a été utilisée dans le cas particulier des
objets à une composante. Nous disons que les objets $\Omega_1$ et $\Omega_2$ sont semblab-
les (équivalents) s'il existe une fonction $\Phi(u)$ strictement monotone et
telle que la relation

$$
(15) \qquad \Omega_2 = \Phi(\Omega_1)
$$

subsiste dans tous les systèmes de coordonnées. En écrivant cette relation
pour le système $\xi$ nous devons avoir

$$
(16) \qquad \bar{\Omega}_2 = \Phi(\bar{\Omega}_1) .
$$

Mais on a (d'après (4) et (7))

$$
(17) \qquad \bar{\Omega}_1 = \Omega_1 + \alpha_1(\xi - \bar{\xi}) , \quad \alpha_1 \neq 0 ,
$$

$$
(18) \qquad \bar{\Omega}_2 = \Omega_2 + \alpha_2(\xi - \bar{\xi}) , \quad \alpha_2 \neq 0 .
$$

En substituant (17), (18) dans (16) et en tenant compte de (15) nous
obtenons

$$
\Phi(\Omega_1) + \alpha_2(\xi - \bar{\xi}) = \Phi[\Omega_1 + \alpha_1(\xi - \bar{\xi})].
$$

Il est évident qu'en posant

$$
\Phi(u) \stackrel{d\xi}{\underset{\alpha_1}{\rightleftharpoons}} \alpha_2 u
$$

on obtient pour $\Phi$ une fonction strictement monotone et en même temps
l'identité de (15) par rapport aux variables $\Omega_1, \xi, \bar{\xi}$. Donc les deux objets
géométriques $\Omega_1$ et $\Omega_2$ admettant les règles de transformation (17) et (18)
sont équivalents et, par conséquent, il est permis de dire que les relations
correspondantes $\mathbb{R}$ sont ,,équivalents".

De ce qui précède on peut tirer comme conséquence:

THÉORÈME 4. Si la fonction $f$ est linéaire, il existe une seule relation essentielle (en faisant abstraction des objets équivalents) $\mathbb{R}$ satisfaisant aux propriétés I, II, III.

Travaux cités

On the functional equation $f(x+y)=f(x)+f(y)$

by

M. Kuczma (Kraków)

One of the most important and best known functional equations
is the functional equation of Cauchy

$$
(1) \qquad f(x+y) = f(x)+f(y).
$$

In the present paper we consider equation (1) for functions $f(x)$ whose
domain and range are multidimensional spaces.

H. Kestelman ([2], th. 2) has proved a theorem which after taking
into account the recent results of S. Kurepa [3] may be formulated as
follows:

If a function $f(x)$ whose domain and range are an $n$-dimensional
and an $m$-dimensional euclidean space respectively satisfies functional
equation (1) and is bounded on a set $V$ of positive Lebesgue measure, i.e.

$$
(2) \quad \|f(x)\| \le a \quad \text{for } x \in V, \quad |V| > 0,
$$

then for every $x(\xi^1, \dots, \xi^n)$ we have

$$
(3) \quad f(x) = \sum_{j=1}^{n} \xi^j f(u^j),
$$

where $u^j (j = 1, \dots, n)$ are the unit vectors of the $n$-dimensional space
which is the domain of the function $f(x)$.

As is well known ([2], [5]), when the domain as well as the range
of the function $f(x)$ is the space of real numbers, a stronger theorem can
be proved. Namely, condition (2) may be replaced by a weaker one:

$$
(4) \qquad f(x) \leq a \quad \text{for} \quad x \in \mathcal{V}, \quad |\mathcal{V}| > 0.
$$

(Thus in this case we assume that $f(x) \le a$ instead of $|f(x)| \le a$.) The
question arises whether an analogical weakening of hypothesis (2) in the
theorem of H. Kestelman is also possible in the multidimensional case.
The purpose of the present note is to give an answer to this question.

<footnote>[1] S. Gołąb, *Sur les objets géométriques non-différentiels*, Bull. Acad. Pol. Sci., Cl. Sci. Math. Nat., 2 (1949), p. 67-72.</footnote>

<footnote>[2] — *La notion de similitude parmi les objets géométriques*, Bull. Acad. Pol. Sci., Cl. Sci. Math., 3 (1950), p. 1-7.</footnote>

<footnote>Reçu par la Rédaction le 30. 1. 1961</footnote>