La transformée de Laplace $\varphi(z)$ de $f(t)$ est

$$ (A-6.3) \qquad \varphi(z) = \int_0^\infty dt e^{itz} f(t), $$

où $z$ est une variable complexe, le domaine d'intégration étant étendu de $t=0$ à $t=\infty$. (Noter la différence avec la transformée de Fourier, $F(\omega)$, où $\omega$ est supposée réelle, et le domaine d'intégration étant étendu de $t=-\infty$ à $+\infty$.)

Dans (A-6.3), l'intégrale ne converge que pour tout $z$ tel que $\text{Im}z \ge \sigma$. Si $\sigma_0$ est la plus petite valeur de $\sigma$ telle que la condition (A-6.2) soit satisfaite, alors l'intégrale (A-6.3) converge dans tout le demi-plan supérieur, que nous appelons $S^+$, défini par $\text{Im}z > \sigma_0$, $\sigma_0$ étant appelé ordonnée de convergence (fig. A-6.1).

Alors, $\varphi(z)$ est une fonction analytique régulière dans $(S^+)$, qu'on peut prolonger analytiquement dans $(S^-)$, où se trouvent tous les points singuliers de $\varphi(z)$.

Nous allons voir que la propriété fondamentale de $\varphi(z)$ est la suivante : la nature et la localisation des pôles de $\varphi(z)$, en nous limitant à ce cas, permet de connaître la dépendance temporelle de $f(t)$.

La « formule d'inversion » de (A-6.3) est

$$ (A-6.4) \qquad f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{(C)} dz \, e^{-itz} \varphi(z) $$

où le contour d'intégration (C) du plan des $z$ complexes est parallèle à l'axe des $z$ réels, et situé au-dessus de l'ordonnée $\text{Im}z = \sigma_0$. D'après les propriétés des intégrales d'une fonction d'une variable complexe, on peut déformer ce contour (C) en n'importe quel autre, à la seule condition que ce dernier passe au-dessus de tous les pôles. On peut par exemple prendre la droite $\text{Im}z = -\infty$, avec les chemins verticaux et les cercles autour des pôles (fig. A-6.2). Pour une fonction $\varphi(z)$ n'ayant comme points singuliers que des pôles (simples $z_j$, doubles $z_k$,...)

$$ \varphi(z) = \psi(z) + \sum_j \frac{a_j}{z - z_j} + \sum_k \frac{b_k}{(z - z_k)^2} + \dots $$

il n'y a pas de contributions à (A-11.4) le long des parties verticales de C (elles se détruisent deux à deux) et le long des parties horizontales (l'intégrant est négligeable) : il ne reste donc que la somme des résidus des pôles, multipliée par $2\pi i$ : d'où

$$ f(t) = i \left[ \sum_j a_j e^{itz_j t} + \sum_k b_k i t e^{itz_k t} + \dots \right] $$

Ainsi, l'ordre du pôle détermine la puissance de $t$, devant l'exponentielle (pôle d'ordre $n \leftarrow t^{n-1}$), tandis que la localisation du pôle détermine le genre de variation de l'exponentielle (pôle à l'origine $\rightarrow$ constante; pôle sur l'axe réel $\rightarrow$ oscil-
Instabilités, 37, 41, 45, 133

— de dérive, 37

— de faisceau, 249, 257, 263

Intégrale de Cauchy, 251, 343

Interférométrie HF, 118

j

JACKSON, 253

JOHNSTON, 309

k

KADOMTSEV, 37, 331

KELSO, 212, 218, 326

KINO, 165, 167

KOGEJNIK, 187, 193, 198

KOLOMENSKII, 187

KOSTOMAROV, 274

KRALL, 230

KRAMERS, 54, 330

KRÖNIG, 54, 330

KROOK, 309

KUEHL, 202, 204, 224

l

LAFON, 189, 334

LANDAU, 247, 283, 310

LANSHOFF, 310

LANGMUIR, 28

Libre parcours moyen, 31, 36, 228

LIFSHITZ, 283

LIGHTHILL, 187, 188

Linéarisation, 64

— condition de validité, 291

— énergies linéarisées, 171

LITTLE, 265

LOCKWOOD, 195

Loi de Verdet, 94

Longueur de Debye, 27, 30, 133, 235

Longueur équivalente d'une antenne, 196

Low, 227

LÜST, 227

m

Mac LEAN, 254

Magnétohydrodynamique, 35

MALMBERG, 257

MARCUWITZ, 187

Mécanismes non linéaires, 37, 45, 161, 225, 254, 287

Mélange de phase, 179, 249

Méthode

— des caractéristiques (trajectoires), 269, 349

— de Chapman-Enskog, 310

— de l'Intégrale de phase, 209

MIHRAN, 165

MILLER, 97

Mode(s) (cf. ondes)

— collectifs, 252

— d'Alfven, 87, 126, 161, 281

— dipolaire, 166

— électrostatiques, 242, 243, 282

— fondamental d'un guide, 139

— MHD, 126

— compressionnel, 127, 129, 242, 279

— torsionnel, 127, 129, 242, 279

— magnétosonores, 241, 279, 281

— normaux d'oscillation, 247, 249

— Van Kampen, 253

— propres (D, G, O, X)

— plasmas froids, 105

— guidés, 153

— magnétoplasmas adiab., 237, 238

— (théorie cinétique), 273, 276

— quasi (O, X, D, G), 118, 121

— sifflement, 87, 122, 182, 224

— ionique, 123, 224

— rayonnants, non rayonnants (guide), 144, 145, 149, 150

— TE, TM, 137, 140, 154

Modèle multifaisceaux, 247, 248, 284

— pour les plasmas collisionnels, 307

Moments, 38, 228, 255

MONTGOMERY, 39

MORSE, 187, 192

MOTLEY, 263

MOWER, 270

MULLALY, 63, 104

n

NEIDIGH, 265

Neutralisé, 29, 40, 66

o

Onde(s) (Cf. Modes)

— acoustique ionique, 253, 261

— inverses, 206
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 10.8. N₁ = ReN et N₂ = JmN pour les deux modes, Z = 0,18 , Y = 0,5. (D'après Budden, 1961)</figcaption></figure>
## 8.7. Amortissement cyclotronique et amortissement par effet Cérenkov. Modes de particules piégées

### Mécanismes d'amortissement d'une onde 8.7.1

L'amortissement d'une onde se propageant dans un plasma est dû à l'absorption d'énergie par les charges, cette énergie étant ensuite redistribuée aux mouvements thermiques. Cette absorption d'énergie peut se faire de deux manières différentes :

- sous l'effet des collisions, lorsque $\omega \lesssim \nu$,

- par interaction forte avec les particules résonnantes, lorsque $\omega \gg \nu$.

Sauf aux très basses fréquences, où l'absorption collisionnelle (non résonnante) devient importante (et maintient maxwellienne la distribution des vitesses), ce seront les mécanismes non collisionnels (résonnants) qui seront responsables de l'amortissement de l'onde et se traduiront par une modification locale (dans l'espace des vitesses) de la distribution. Dans le cadre de la théorie linéaire, on ne saura pas dire comment cette absorption d'énergie est ensuite répartie dans le plasma. Seule une description non linéaire permettra de résoudre ce problème. Nous avons déjà rencontré, au chapitre 7, un exemple d'un tel amortissement : l'amortissement Landau, quand $B_0 = 0$.

Lorsque $B_0 \neq 0$, il existe dans le plasma deux types de particules résonnantes :

a) Le premier type correspond à un électron en rotation dans le champ $B_0$, et animé de la vitesse $w_z$ parallèle à $B_0$; il voit la composante (transverse à $B_0$) du champ électrique de l'onde droite, à une fréquence $\omega' = \omega - k_{||}w_z$, modifiée par effet Doppler ($\omega$ étant la fréquence du champ dans le référentiel au repos); si $\omega' = \omega_b$, $\omega_b$ désignant la fréquence gyromagnétique de cet électron, celui-ci voit un champ stationnaire et va donc absorber une partie de l'énergie de l'onde. (Cf. Appendice 11). Plus généralement, on aura des particules résonnantes sur les harmoniques $n\omega_b$, la condition définissant la vitesse des électrons résonnants étant

$$ (8.7.1) \qquad \omega - n\omega_b - k_{||}w_z = 0 $$

et une condition analogue pour les ions. Ce mécanisme traduit l'absorption cyclotron.

b) Le deuxième type est défini par une charge en mouvement le long du champ $B_0$; cette charge sera aussi en résonance avec le champ $E_z$ de l'onde, quand sa vitesse sera égale à la vitesse de phase de l'onde, comme dans le cas des oscillations longitudinales, électroniques et ioniques, lorsque $B_0 = 0$. Cette égalité de vitesses implique évidemment que l'onde considérée soit une onde lente. De tels modes lents existent aussi quand $B_0 \neq 0$: modes d'Alfvèn, mode pseudosonore, modes magnétosonores. L'absorption qui résulte de cet effet de résonance est le mécanisme inverse de l'émission Cérenkov (Cf. par ex. Landau et Lifshitz, 1959;
— en propagation parallèle<fnref n="1" /> ($\theta = 0$)

$$ (3.4.8) \qquad x_3 = 0 $$

$$ (3.4.9) \qquad N^2 = x_1 \pm x_2 $$

— en propagation perpendiculaire ($\theta = \frac{\pi}{2}$)

$$ (3.4.10) \qquad N^2 = x_3 $$

$$ (3.4.11) \qquad N^2 = \frac{x_1^2 - x_2^2}{x_1} $$

Dans chacun de ces cas, on est en présence de deux modes découplés (cela pouvait se voir directement sur l'équation (3.4.1)) : ces quatre modes sont appelés *ondes principales* (Allis et Buschbaum, 1963), auxquelles s'ajoute l'oscillation de plasma (3.4.8).

## Coupures et Résonances 3.4.1

Pour certaines valeurs des paramètres $n_{0s}$ et $B_0$, l'indice N tend vers zéro ou vers l'infini. Ces deux cas sont désignés par les dénominations

$$ (3.4.12) \qquad \begin{cases} \text{coupure, quand } N \to 0 \\ \text{résonance, quand } N \to \infty. \end{cases} $$

Le passage par une résonance s'accompagnant d'un changement de signe de $N^2$, il s'en suit que coupures et résonances délimitent les régions de propagation et les régions d'évanescence. Lorsqu'on s'approche d'une coupure (N décroissant vers zéro), on obtient habituellement une réflexion tandis qu'au voisinage d'une résonance (N croissant vers l'infini), on obtient une réflexion, ou une absorption, ou partiellement les deux. De tels effets s'observent dans le cas d'un milieu inhomogène, par exemple; ce sont eux qui, expérimentalement, limiteront les possibilités d'observation d'une résonance : la notion d'« accessibilité » (Stix, 1962) très importante en pratique, sera examinée plus loin, au chapitre 5.

D'après (3.4.2) et (3.4.3), les coupures sont donc définies par $C = 0$ :

$$ (3.4.13) \qquad x_3 = 0 $$

$$ (3.4.14) \qquad x_1 \pm x_2 = 0, $$

conditions qui sont indépendantes de l'angle de propagation $\theta$, relatif à $B_0$; les

<footnote n="1">1. Dans toute la suite, conformément à une convention de plus en plus généralement adoptée, les termes *transversal* et *longitudinal* concernent les positions relatives de E et k, tandis que les termes *perpendiculaire* et *parallèle* s'appliquent à celles de k relativement à $B_0$.</footnote>
par $\sigma_1$, ces pertes traduisant l'absorption d'énergie, par exemple sous l'effet des chocs que subissent les particules, au cours de leur mouvement d'oscillation. Naturellement, cette description diélectrique ne sera valable que pour des longueurs d'onde $\lambda$ telles que

$$ (2.2.47) \qquad \lambda \gg \lambda_{D\epsilon} $$

## 2.3. Description diélectrique d'un milieu anisotrope

Lorsque le milieu est anisotrope, par exemple pour un cristal, par sa nature même, ou pour un milieu soumis à un champ magnétique statique $B_0$, les caractères fondamentaux de la description diélectrique des milieux isotropes sont inchangés. Les modifications essentielles apparaissent dans les relations de constitution du milieu, qui, sous les hypothèses choisies, restent linéaires; mais elles ne sont plus de simples relations de proportionnalité entre les composantes correspondantes des inductions et des champs comme dans le cas isotrope, où on avait pu écrire

$$ D_{\alpha} = \epsilon E_{x} \qquad (\alpha = x, y \text{ ou } z). $$

Dans le milieu anisotrope, une composante de $D$ va dépendre de toutes les composantes de $E$, par exemple

$$ D_x = \epsilon_{xx}E_x + \epsilon_{xy}E_y + \epsilon_{xz}E_z. $$

On aura donc

$$ (2.3.1) \qquad D_{\alpha} = \sum_{\beta} \epsilon_{\alpha\beta} E_{\beta}. $$

En introduisant le tenseur $\epsilon$, de rang deux, de composantes $\epsilon_{\alpha\beta}$

$$ (2.3.2) \qquad \epsilon = \begin{pmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zz} \end{pmatrix} $$

on pourra écrire (2.3.1) sous la forme équivalente

$$ (2.3.3) \qquad D = \epsilon \cdot E $$

relation qui n'est valable que dans le cas d'une onde plane.

Remarquons que dans les milieux anisotropes, les propriétés de polarisation et d'absorption du milieu ne sont plus reliées, comme dans le cas isotrope, à $Re\epsilon$ et $Im\epsilon$ respectivement; nous verrons au chapitre 9 qu'elles sont reliées aux parties hermitique et antihermitique du tenseur $\epsilon$ (Cf. p. 293).

### Perméabilité magnétique d'un plasma 2.3.1

De la même façon, on écrira, pour le champ magnétique dans le milieu

$$ (2.3.4) \qquad B = \mu \cdot H, $$

le tenseur $\mu$ caractérisant les propriétés magnétiques du milieu. Excepté le cas
Plasma limité par des conducteurs parfaits 4.4.1

Pour les modes TE, on a les mêmes solutions que dans le vide, avec la coupure (4.2.6). Pour les modes TM, on a encore les mêmes valeurs propres $l_{np}$ que dans le vide, mais l'équation de dispersion est maintenant

$$ (4.4.5) \qquad x_3 \left( \frac{\omega^2}{c^2} - \alpha^2 \right) = l_{np} $$

et les fréquences de coupure sont données par

$$ (4.4.6) \qquad \omega_c^2 = \omega_0^2 + c^2 l_{np}^2 $$

comme dans le cas des plasmas isotropes (4.3.6).

La différence entre les modes TE et TM s'explique ici par l'absence de mouvement perpendiculaire à $B_0$, dans la limite $B_0 \to \infty$ : seul subsiste le mouvement parallèle à $B_0$; pour les modes TE, seul $H_{\parallel}$ est différent de zéro mais n'agit pas sur le mouvement des particules le long de $B_0$ : on retrouve les mêmes modes que dans le vide; pour les modes TM, le champ $E_{\parallel} \neq 0$ affecte ce mouvement, ce qui se traduit en particulier par la coupure (4.4.6), dépendant de $\omega_0$.

Plasma plongé dans le vide (ou dans un diélectrique isotrope) 4.4.2

Nous allons retrouver, comme pour $B_0 = 0$, des modes rayonnants et des modes non rayonnants, dans le cas des modes TM; les modes TE se propageant comme dans le vide, ne seront pas affectés par la présence du plasma.

Pour les modes TM, on aura donc dans le vide et dans le plasma

$$ (4.4.7) \qquad \begin{cases} (\nabla_l^2 + s_0^2) E_{\parallel}^0 = 0, \\ (\nabla_l^2 + s_R^2) E_{\parallel}^R = 0, \end{cases} $$

où $s_0^2$ et $s_R^2$ sont définis en (4.2.2) et (4.4.3), avec

$$ (4.4.8) \qquad s_R^2 = x_3 s_0^2. $$

On a donc relativement aux signes de $s_0^2$ et $s_R^2$, quatre régions, délimitées par $\omega = \omega_0$ et $\omega = \alpha c$.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 4.7. Modes TM pour $B_0$ infini</figcaption></figure>
$$
(5.5.3) \qquad \nabla \cdot S = - \frac{\partial W_0}{\partial t} - \frac{\delta W_F}{\delta t}
$$

où $W_0 = W_M + W_E + W_K$ est la densité d'énergie totale, et où

$$
(5.5.4) \qquad \frac{\delta W_F}{\delta t} = \sum_s \nu_{s0} n_{0s} m_s v_s^2.
$$

Mais la dissipation due aux collisions, bien que faible, entraîne, pour les grandeurs
oscillantes telles que W<sub>K</sub>, une variation lente dans le temps, et c'est cette évolution
lente du système qui nous intéresse. On devra alors définir des moyennes tempo-
relles, comme nous l'avons fait au § 5.2, par exemple

$$
(5.5.5) \qquad \bar{W}_K = \frac{1}{4} \left( \sum_s n_{0s} m_s |v_1|^2 \right) e^{-2\gamma t}
$$

pour une variation en $e^{-t\alpha t}$, avec $\alpha = \omega - i\gamma$, $\gamma \ll \omega$; (5.5.1) s'écrit alors

$$
(5.5.6) \qquad (-i\alpha + \nu_{0s}) m_s v_s = q_s (E + v_s \times B_0).
$$

En multipliant (5.5.6) par $n_{0s}v_s^* e^{-2\gamma t}$, en sommant sur s, et en posant d'après
(5.5.4)

$$
(5.5.7) \qquad \frac{\delta \bar{W}_F}{\delta t} = \frac{1}{2} \left( \sum_s \nu_{s0} n_{0s} m_s |v_s|^2 \right) e^{-2\gamma t}
$$

on obtient avec (5.5.5)

$$
(5.5.8) \quad -i\alpha \bar{W}_K + \frac{1}{2} \frac{\delta \bar{W}_F}{\delta t} = \frac{1}{4} \mathbf{J}^* \cdot \mathbf{E} e^{-2\gamma t} + \frac{1}{4} \sum_s n_{0s} q_s (\mathbf{v}_s^* \times \mathbf{v}_s) \cdot \mathbf{B}_0 e^{-2\gamma t}.
$$

La somme de (5.5.8) et de son complexe conjugué conduit à

$$
(5.5.9) \quad -i(\alpha - \alpha^*) \bar{W}_K + \frac{\delta \bar{W}_F}{\delta t} = \frac{1}{4} (\mathbf{J}^* \cdot \mathbf{E} + \mathbf{J} \cdot \mathbf{E}^*) e^{-2\gamma t}
$$

les termes magnétiques disparaissant dans la somme. Le théorème de Poynting
(5.2.9) s'écrit donc, compte tenu de $\alpha - \alpha^* = -2i\gamma$

$$
(5.5.10) \qquad \nabla \cdot \bar{S} + \frac{\partial}{\partial t} (\bar{W}_M + \bar{W}_E) = 2\gamma \bar{W}_K - \frac{\delta \bar{W}_F}{\delta t}
$$

soit, d'après (5.2.5)

$$
(5.5.11) \qquad \nabla \cdot \bar{S} + \frac{\partial}{\partial t} (\bar{W}_M + \bar{W}_E + \bar{W}_K) = - \frac{\delta \bar{W}_F}{\delta t}
$$

qui généralise le théorème de Poynting dans le cas des milieux faiblement dissi-
patifs.

Dans (5.5.9) et (5.5.10), le terme — (J\* · E + J\* · E\*) contient donc deux effets :
d'une part, lorsque l'onde est amortie (γ > 0), la diminution — $\frac{\partial}{\partial t} \bar{W}_K = 2\gamma \bar{W}_K$ de
la densité d'énergie cinétique des particules et d'autre part, la diminution — $\frac{\delta \bar{W}_F}{\delta t}$
$|\bar{\phi}'|$, une région où $|\bar{\phi}'| \approx 0$ si, des deux distributions $\bar{\phi}_e$ et $\bar{\phi}_i$, l'une est très pointue et l'autre est très plate, c'est-à-dire si les deux températures $T_e$ et $T_i$ sont très différentes.

Examinons le cas le plus fréquent où $T_e \gg T_i$, et cherchons s'il peut exister une onde telle que

$$ (7.5.14) \qquad a_i \ll \frac{\omega}{k} \ll a_s, \quad a_s = 2KT_s/m_s. $$

Dans (7.3.9), qui s'écrit

$$ (7.5.15) \qquad \frac{\omega_p^2}{k^2} \int \frac{\partial \bar{\phi}_e / \partial v}{v - \frac{\omega}{k}} dv + \frac{\Omega_p^2}{k^2} \int \frac{\partial \bar{\phi}_i / \partial v}{v - \frac{\omega}{k}} dv = 1 $$

on peut alors évaluer les intégrales en négligeant les contributions des pôles : en vertu de (7.5.14), il n'existe en effet que très peu de particules résonnantes. Relativement aux ions, l'onde est une onde rapide, et on peut développer l'intégrale « ionique » comme en (7.5.2)

$$ \int \frac{\partial \bar{\phi}_i / \partial v}{v - \frac{\omega}{k}} dv \approx \frac{k^2}{\omega^2} \left( 1 + 3 \frac{k^2}{\omega^2} \frac{KT_i}{m_i} \right). $$

Pour calculer l'intégrale « électronique », on y néglige le terme $\omega/k$ : pour une distribution maxwellienne en $e^{-a^2/v^2}$, on a

$$ \frac{\partial \bar{\phi}_e}{\partial v} = -2 \frac{v}{a_e^2} \bar{\phi}_e $$

d'où

$$ \int \frac{\partial \bar{\phi}_e / \partial v}{v - \frac{\omega}{k}} dv \approx - \frac{2}{a_e^2} \int \bar{\phi}_e dv = - \frac{2}{a_e^2}. $$

En portant ces expressions dans (7.5.15), on obtient l'équation de dispersion

$$ (7.5.16) \qquad \left(1 + \frac{k_{De}^2}{k^2}\right) \omega^4 - \Omega_p^2 \omega^2 - 3 \frac{k^2}{k_{Di}^2} \Omega_p^4 = 0 $$

en posant $k_{De}^2 = 2\omega_{ps}^2/a_s^2$ ; les longueurs

$$ k_{De}^{-1} = \left( \frac{\epsilon_0 K T_e}{n_{0e} q_e^2} \right)^{1/2} \quad \text{et} \quad k_{Di}^{-1} = \left( \frac{\epsilon_0 K T_i}{n_{0i} q_i^2} \right)^{1/2} $$

sont respectivement les longueurs de Debye électronique et ionique. Remarquons que pour $T_e \gg T_i$, on a toujours $k_{De}^2 \ll k_{Di}^2$.

Dans la limite $k^2 \ll k_{De}^2$, (7.5.16) devient (pour un plasma $\alpha$ fois ionisé)

$$ (7.5.17) \qquad \omega^2 = \frac{\Omega_p^2}{k_{De}^2} k^2 = \alpha \frac{KT_e}{m_i} k^2. $$
INTRODUCTION

Lorsqu'un système est écarté de sa position d'équilibre stable puis abandonné à lui-même, il prend un mouvement oscillatoire de part et d'autre de cette position d'équilibre. Les caractéristiques de ces oscillations propres et, plus généralement, celles des ondes se propageant dans un milieu, dépendent essentiellement des paramètres qui définissent cet équilibre. C'est pourquoi l'étude des modes d'oscillation d'un milieu constitue un des plus puissants moyens d'analyse des propriétés de ce milieu. De plus, dans le cas des milieux inaccessibles ou difficilement accessibles, on peut utiliser l'onde elle-même comme agent de transport de l'information : ainsi on calcule la répartition de la densité électronique de l'ionosphère à partir de la mesure du temps du trajet aller-retour d'un signal radar émis à partir du sol et qui se réfléchit à une certaine altitude.

Cet ouvrage présente un exposé systématique des caractéristiques des ondes pouvant se propager dans un magnétoplasma dont les propriétés sont supposées connues; inversement, ces résultats pourront être utilisés pour déterminer les caractéristiques d'un plasma en mesurant certaines grandeurs directement ou indirectement attachées à la propagation d'une onde dans ce plasma.

La connaissance des propriétés de la propagation des ondes dans les plasmas est évidemment fondamentale dans tous les domaines de la physique où de tels milieux apparaissent : en astrophysique (atmosphère des étoiles et en particulier du soleil, espaces interstellaire et interplanétaire), en géophysique (ionosphère et magnétosphère), en physique des solides, dans l'étude des réactions thermonucleaires, en hydrodynamique (ondes de choc), en électronique et en électrotechnique (convertisseurs thermo-ioniques, propulsion). La physique spatiale, dans son développement actuel, rencontre, en particulier, les problèmes liés aux mesures effectuées à bord des ballons, des fusées ou des satellites (par ex. les problèmes des antennes), qui sont en connexion très étroite avec les mécanismes de propagation des ondes.
<figure><img src="image_5.png" /></figure>
— Pour $\theta = \frac{\pi}{2}$, on retrouve les ondes ordinaires et extraordinaires, sans grand changement, à l'existence de nouvelles résonances près : sur $\omega = \omega_b$ et $\omega = \Omega_b$ pour l'onde ordinaire, sur les harmoniques $\omega = 2\omega_b$ et $\omega = 2\Omega_b$ pour l'onde extraordinaire. Pour $\omega \approx \omega_I$ et $\omega \approx 2\omega_b$, ainsi que pour $\omega = \omega_II$ et $\omega = 2\Omega_b$, on observe des pseudo-résonances, régions où l'indice varie très vite sans tendre vers l'infini. Ces effets de pseudo-résonance ne représentent évidemment qu'une approximation grossière des phénomènes ayant lieu au voisinage des fréquences de résonance. Remarquons, néanmoins, que les harmoniques $\omega = 2\omega_b$ et $\omega = 2\Omega_b$ n'apparaissent que pour $\theta \neq 0$ (Cf. (6.5.1) pour $\chi_{\alpha\beta}$), c'est-à-dire dès que la propagation n'est plus rigoureusement parallèle à $B_0$ : cela correspond au fait que, lorsque $\theta = 0$, la phase du champ reste constante tout le long de l'orbite d'une particule; tandis que, si $\theta \neq 0$, la particule voit, le long de son orbite, un champ dont la phase varie, le plan d'onde n'étant plus parallèle au plan de l'orbite : il y a alors formation d'harmoniques.

Signalons enfin que la recherche des modes adiabatiques très lents ($v_\phi \sim a_e$ ou $a_i$), qui, rappelons-le, ne peuvent pas être correctement décrits par une théorie hydrodynamique, conduit, en ne s'imposant évidemment plus $\tau_s \ll 1$, à raccorder les branches « résonnantes » à des branches correspondant à des ondes peu dispersives, de vitesses de phase voisines de $a_e$ ou $a_i$ (Delcroix, Denisse, Quemada, 1961) : ces dernières correspondent à la troisième racine de l'équation (6.5.2) (qui tend vers l'infini quand $T \to 0$) qui a été éliminée en se fixant $\tau_s \ll 1$.

## 6.7. Ondes de très basse fréquence en propagation oblique : mode magnétosonore

En très basse fréquence, $\omega \ll \Omega_b$, $\Omega_\phi$, les expressions (6.5.1) des $\chi_{\alpha\beta}$ deviennent, au premier ordre en $\frac{1}{b_s^2} = \frac{\omega^2}{\omega_b^2}$

$$ (6.7.1) \quad \left\{ \begin{aligned} \chi_{11} &\approx \dot{\chi}_{11} = 1 + A \\ \chi_{22} &\approx \dot{\chi}_{22} - N^2 \sin^2\theta \sum_s \beta_s \\ \chi_{33} &\approx \dot{\chi}_{33} - \frac{1}{2} N^2 \sum_s \beta_s (3b_s^2 \cos^2\theta - \sin^2\theta) \\ \chi_{12} &\approx +\frac{i}{2} N^2 \sum_s b_s^{-1} \beta_s \left(\cos^2\theta - \frac{3}{2} \sin^2\theta\right) \\ \chi_{23} &\approx -\frac{i}{2} N^2 \sum_s b_s \beta_s \sin\theta \cos\theta \\ \chi_{31} &\approx 0 \end{aligned} \right. $$

avec $\dot{\chi}_{11} = \dot{\chi}_{22} = 1+A$ et $\dot{\chi}_{33} = 1-x$, $x \gg 1$; dans (6.7.1), on a utilisé le para-
lation stationnaire; pôle dans $S^+ \to$ oscillation exponentiellement croissante;
pôle dans $S^- \to$ oscillation exponentiellement décroissante¹).

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE A-6.1.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE A-6.2.</figcaption></figure>

## 7. Propriétés de l'intégrale de Cauchy²

### Définition 7.1

A toute fonction $f(x)$ d'une variable réelle $x$, satisfaisant à des conditions générales de continuité et de convergence à l'infini et définie sur un certain domaine de $x$ (par exemple de $-\infty$ à $+\infty$), on associe la fonction de la variable complexe $z$

1. $S^+$ et $S^-$ désignent maintenant les deux demi-plans $\text{Im}z > 0$ et $\text{Im}z < 0$.

2. Cf. note Appendice 6.
— d'Alfven, 35, 63, 90, 96, 242, 280

— de surface, 143, 146

— longitudinales, 65, 82, 235, 255, 259

— circulaires, 82

— évanescentes 45, 53, 68

— Droite et gauche, 84

— ordinaire et extraordinaire, 95

— principales, 63, 83, 94

— planes, 43

— plasma électronique, 235, 255

— plasma ionique, 261

— pseudo-sonore, 259, 261, 279, 280, 282

— réfléchies, réfractées, 204

— transversales, 47, 67, 84, 234, 266

Oscillations

— collectives, 37

— de plasma, 28, 67, 84, 105, 185

P

PALLADINO, 85

PANOFSKI, 284

PAPOULAR, 118

Paquets d'ondes, 123, 179, 249, 360

Particules piégées, 225, 252

— modes de —, 253, 254, 284, 287

Particules résonnantes, 225, 247, 283, 359

Partie principale d'une intégrale, 251

PEARLSTEIN, 230

PHILLIPS, 284

Plasmas

— collectifs (sans collision), 26, 38, 39, 228

— individuels (collisionnels, dominés par les
collisions), 26, 228

• modèles pour les —, 307

— inhomogènes, 37 (Cf. Tracé des Rayons)

Polarisation

— des ondes, 46, 62, 81, 121, 122

— diélectrique, 48, 327

POVERLEIN, 217

Principe

— de Fermat, 176, 218, 222

— de la phase stationnaire, 190, 363

Profondeur de pénétration, 45, 52, 235

Propagation

— plasmas froids, 76, 104

— magnétoplasmas adiabatiques, 237

— théorie cinétique, 273, 274

• caractéristiques géométriques de la —, 174

• effets des collisions sur la —, 307, 317, 318,
320

Pseudo-résonances, 241

Puissance absorbée, dissipée, 174, 268, 286,
293, 297

q

Quartique de Booker, 213, 215, 224

QUEMADA, 241, 263, 339, 364

r

RATCLIFFE, 311

Rayon(s), 176

— équations canoniques, 221

— latéral, 204

Rayonnement

— Cerenkov, 187

— d'une source ponctuelle, 187

• résistance de —, 195, 197

Réflexion, 69, 76, 134, 212, 217, 224

Régions d'illumination, 207

Relation

— de Bohm et Gross, 235, 256

— de Kramers-Krönig, 54, 330

Résonance(s)

— d'indice, 76, 77, 105

— gyromagnétiques, 109, 158, 241, 273, 289

• voisinage de la —, 289, 357

— hybrides, 109, 120, 276

— plasma, 111, 157

ROSENBLUTH, 230

ROSENFELD, 331

ROSTOKER, 230

S

SAGDEEV, 270

SCHMIDT, 165

Section efficace, 31, 32

SESSLER, 315

SHAFRANOV, 270, 284

SHAWHAN, 123

SITENKO, 187, 269

SMITH, 123, 183

SMULLIN, 167

Sonagramme, 182

SPITZER, 34, 37, 41, 227, 307, 310

STARAS, 199

STEPANOV, 269

STIX, 21, 76, 85, 113, 167, 223, 224

STOREY, 181, 202

STOVER, 165, 167
$$Re N = N_1$$

$$ImN = N_2$$

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 10.9. $N_1 = ReN$ et $N_2 = ImN$ pour les deux modes, $Z = 0,18$, $Y = 2$. (D'après Budden, 1961)</figcaption></figure>
Panofski, Phillips, 1962) : elle sera appelée absorption Cérenkov (Shafranov, 1958) et est caractérisée par la condition

$$ (8.7.2) \qquad \omega - k_{\parallel}w_s = 0; $$

lorsque $\theta = 0$, elle se confond avec l'absorption Landau.

L'absorption cyclotron se traduit par une augmentation de l'énergie transverse des particules et, le mouvement longitudinal étant, dans l'approximation linéaire, découplé du mouvement transversal, la condition (8.7.1) restera pratiquement satisfaite pendant de longs intervalles de temps : l'absorption cyclotron se fait d'une manière continue et nous verrons au § 8.7.3 qu'elle ne s'accompagne d'un phénomène de piégeage, comme c'est le cas pour les oscillations longitudinales (Cf. § 7.4), qu'au bout d'un temps beaucoup plus long. Au contraire, l'absorption Cérenkov est directement associée à une modification de la vitesse longitudinale, et le piégeage aura lieu plus tôt : la condition (8.7.2) n'est satisfaite que pendant des intervalles de temps très inférieurs au temps de piégeage $\tau_p$ : comme dans le cas de l'amortissement Landau, il s'établit une situation quasi stationnaire, où des particules absorbent de l'énergie à l'onde, pendant que d'autres lui en cèdent. (Il y a formation d'un « plateau » dans la distribution des vitesses parallèles : mais on sort alors de la description linéaire.)

### Modèle multifaisceaux 8.7.2

Dans l'étude des oscillations longitudinales, lorsque $B_0 = 0$, le modèle multifaisceaux a permis de préciser les modes de particules piégées et les échanges d'énergie entre l'onde et les particules. Ce modèle peut être appliqué ici, quand $B_0 \neq 0$, pour étudier l'interaction d'une onde avec les particules du plasma. Plaçons-nous, pour simplifier, dans le cas d'une onde en propagation parallèle au champ magnétique, le plasma étant représenté par la superposition de faisceaux parallèles à $B_0$ (le long de $Oz$). Dans le faisceau $l$, constitué de différentes espèces s de particules de vitesses $V_s^{(l)}$, parallèles à $Oz$, et de densités moyennes $\bar{n}_s^{(l)} = n_{0s} g_{0s}(V_{sl})$, les perturbations $n_s^l$ et $w_s^l$ de densité et de vitesse, apportées par l'onde, sont déterminées par les équations linéarisées (en omettant l'indice $l$)

$$ (8.7.3) \qquad \frac{\partial}{\partial t} n_s + V_s \frac{\partial}{\partial z} n_s + \bar{n}_s \nabla \cdot \mathbf{w}_s = 0 $$

$$ (8.7.4) \qquad \bar{n}_s \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{w}_s + \bar{n}_s V_s \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{w}_s = \frac{\bar{n}_s q_s}{m_s} (\mathbf{E} + \mathbf{V}_s \times \mathbf{B}_\perp + \mathbf{w}_s \times \mathbf{B}_0) $$

où $\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}_\perp$ (perpendiculaire à $\mathbf{k}$, donc à $\mathbf{B}_0$) sont les champs de l'onde. La densité (linéarisée) de courant microscopique $j_s = q_s (\bar{n}_s \mathbf{w}_s + n_s \mathbf{V}_s)$ a pour composantes, relativement à $\mathbf{B}_0$
résonances seront obtenues pour $\mathcal{A} = 0$, c'est-à-dire pour les angles de propagation $\theta_R$, définis par

$$ (3.4.15) \qquad \operatorname{tg}^2 \theta_R = - \frac{\kappa_3}{\kappa_1}. $$

En revenant aux équations de Maxwell (dans la description charges dans le vide),

$$ (3.4.16) \qquad i\mathbf{k} \times \mathbf{E} = i\mathbf{k} \times \mathbf{E}_{\perp} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}_{\perp} $$

$$ (3.4.17) \qquad i\mathbf{k} \times \mathbf{B} = i\mathbf{k} \times \mathbf{B}_{\perp} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}_{\perp} + \mu_0 \mathbf{J}_{\perp} $$

où $\mathbf{E}_{\perp}$ et $\mathbf{B}_{\perp} = \mathbf{B}$ sont les composantes des champs de l'onde, perpendiculaires à $\mathbf{k}$, on voit que :

pour une coupure ($k \to 0$), d'une part $\mathbf{B} = \mathbf{B}_{\perp} = 0$ (il n'y a plus alors de flux d'énergie), et, propriété déjà rencontrée en l'absence de champ magnétique $\mathbf{B}_0$, le courant de déplacement annule le courant de particules;

pour une résonance ($k \to \infty$), on a, d'après (3.4.16), $\mathbf{E}_{\perp} = 0$ : le champ E est donc longitudinal (propriété que nous retrouverons lors de l'étude de la polarisation), et d'après (3.4.17), $\mathbf{J}_{\perp}$ est infini, à moins que $\mathbf{B}_{\perp}$ ne soit nul.

### 3.4.1.1. FRÉQUENCES DE RÉSONANCE (Eq. 3.4.15).

En propagation parallèle, les résonances ont donc lieu pour $\kappa_1 = \infty$ et $\kappa_3 = 0$.

La première condition

$$ (3.4.18) \qquad \kappa_1 = \infty $$

est, d'après (3.3.10), satisfaite pour les fréquences positives, $\omega = |\omega_{bs}|$, donc pour les résonances gyromagnétiques électronique $\omega = \omega_b$ et ionique $\omega = \Omega_b$.

La seconde condition

$$ (3.4.19) \qquad \kappa_3 = 0 $$

correspond (pour $\theta_R = 0$), à $\mathcal{A} = \mathcal{B} = \mathcal{C} = 0$ : l'équation (3.4.2) n'existe plus et la valeur de $N^2$, obtenue dans la double limite $\theta \to 0$, $\kappa_3 \to 0$, dépendra de la façon dont cette double limite a été effectuée. Nous verrons que (3.4.19), qui définit la coupure plasma, peut aussi être interprétée comme une résonance (Cf. p. 111).

En propagation perpendiculaire, les résonances sont obtenues pour

$$ (3.4.20) \qquad \kappa_1 = 0. $$
des milieux ferromagnétiques, comme les ferrites, par exemple, où $\mu$ est beaucoup plus grand que $\mu_0$, on pourra prendre, pour les solides et liquides non ferromagnétiques, et pour les plasmas plongés dans des champs magnétiques $B_0$ forts,

$$ \mu = \mu_0 \mathbf{1} $$

où $\mathbf{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ est le tenseur unité, de sorte que (2.3.4) s'écrira, comme dans

le vide

$$ (2.3.5) \qquad \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H}. $$

Justifions cette hypothèse dans le cas d'un plasma. Sous l'action de $B_0$, les électrons (la contribution des ions étant considérée alors comme négligeable), tournant à la fréquence $\frac{\omega_b}{2\pi} = -q_e B_0 / 2\pi m_e$ sur leurs orbites de rayon $r_b$, constituent des dipôles magnétiques élémentaires, de moment magnétique

$$ \mathcal{M} = \text{SI} = \pi r_b^2 q_e \frac{\omega_b}{2\pi} = - \frac{\mathbf{W}_\perp}{B_0} \quad (q_e < 0) $$

où $\mathbf{W}_\perp = \frac{1}{2} m v_\perp^2 = \frac{1}{2} m_e (\omega_b r_b)^2$ est l'énergie cinétique des électrons, dans leur mouvement perpendiculaire à $B_0$. En prenant la moyenne sur l'unité de volume, $\overline{\mathbf{W}_\perp} = n_e K T_e$ (correspondant à 2 degrés de liberté), $n_e$ étant la densité électrique, on a un moment total par unité de volume

$$ (2.3.6) \qquad \mathbf{M} = \overline{\mathcal{M}} = - \frac{n_e K T_e}{B_0^2} \mathbf{B}_0 $$

aimantation de sens contraire à $B_0$: le plasma est diamagnétique. La relation entre $\mathbf{B}$ et $\mathbf{H}$ s'écrit alors pour les champs statiques

$$ (2.3.7) \qquad \mathbf{H} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}_0 - \mathbf{M} $$

$$ (2.3.8) \qquad \mathbf{H} = \frac{1}{\mu_0} \left( 1 + \frac{1}{2} \beta \right) \mathbf{B}_0 $$

en posant

$$ (2.3.9) \qquad \beta = \frac{2\mu_0 n_e K T_e}{B_0^2} = \frac{P_c}{P_m} $$

rapport de la pression cinétique $P_c = n_e K T_e$ à la « pression » du champ magnétique, $P_m = B_0^2 / 2\mu_0$. En présence de l'induction $\tilde{\mathbf{B}}$ d'une onde, (2.3.7) deviendra, pour le champ magnétique total, $\mathbf{B} = \mathbf{B}_0 + \tilde{\mathbf{B}}$

$$ \mathbf{H} = \left( 1 + \mu_0 \frac{n_e K T_e}{B^2} \right) \mathbf{B} $$
Reprenons l'exemple de la lame de plasma. On montre qu'il n'existe pas de solutions pour $s_E^2 < 0$.

#### 4.4.2.1. POUR LES MODES RAYONNANTS,

$s_E^2 > 0$, $\omega > \omega_0$, on a donc

dans le vide
$$E_0 = E^0 \cos s_0 x$$

dans le plasma
$$E_\perp = E^\perp \cos s_E x.$$

Puisque $x_\perp = 1$, on a, dans le vide et dans le plasma

$$E_x = \frac{i\alpha}{s_0^2} \frac{\partial E_{\parallel}}{\partial x}.$$

La continuité, en $x = \pm a$, de $E_\parallel$ et de $D_x$, conduit à

$$ (4.4.9) \qquad \begin{cases} s_E \operatorname{tg} s_E a = s_0 \operatorname{tg} s_0 a \\ s_E^2 = x_3 s_0^2 \end{cases} $$

qui définissent une suite infinie de valeurs $s_E = l_m$; d'où l'équation de dispersion des modes TM dans le plasma

$$ \omega^2 = \alpha^2 c^2 + \frac{l_m^2 c^2}{x_3} , \quad \omega > \alpha c \text{ et } \omega > \omega_0 $$

ou

$$ (4.4.10) \qquad (\omega^2 - \omega_0^2)(\omega^2 - \alpha^2 c^2) = l_m^2 c^2 \omega^2 $$

et, avec $N_\parallel = \alpha c/\omega$,

$$ (4.4.11) \qquad N_\parallel^2 = 1 - \left(\frac{l_m c}{\omega_0}\right)^2 \frac{x}{1-x} \qquad 0 < x < 1 $$

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 4.8. Courbes de dispersion des modes TM pour une lame de magnétoplasma dans le vide ($B_0 \to \infty$)</figcaption></figure>
de la densité d'énergie cinétique sous l'effet des collisions, énergie qui est convertie en chaleur; la première, associée au mouvement des particules, organisé sous l'effet de l'onde — et dont l'amplitude diminue en même temps que celles des champs (diminution $\overline{W}_M$ et $\overline{W}_E$) — entre dans la variation de la densité d'énergie du milieu (Cf. 5.5.11); la seconde est associée aux mouvements désordonnés des particules, sous l'effet des collisions, et exprime la véritable dissipation<fnref n="1" />.

Le résultat précédent semble contradictoire : dans un plasma froid sans pertes, $J$ et $E$ sont, d'après (5.1.1), en quadrature, et le produit $(J^*E)$ étant imaginaire pur, on a $(J^*E + J^*E^*) = 0$, d'où l'utilisation habituelle de ce terme pour exprimer les pertes dans le milieu. En fait, il n'y a pas contradiction, car, dans (5.5.6, 8 et 9), aussi bien que dans (5.2.8), le courant $J$ a été évalué comme réponse à l'excitation $e^{-i\alpha r}$, $\alpha = \omega - i\gamma$. Pour $\gamma \ll \omega$, on peut donc écrire

$$J(\alpha) = J(\omega) - i\gamma \frac{\partial}{\partial \omega} J(\omega).$$

D'où

$$(5.5.12) \quad \frac{1}{2} \operatorname{Re} [J^*(\alpha) \cdot E] e^{-2\gamma t} = \frac{1}{2} \operatorname{Re} [J^*(\omega) \cdot E] e^{-2\gamma t} \\ \qquad - \gamma \frac{1}{2} Jm \left[ \frac{\partial J^*(\omega)}{\partial \omega} \cdot E \right] e^{-2\gamma t}.$$

Le premier terme du second membre exprime bien la perte d'énergie réelle, $J(\omega)$ n'étant plus en quadrature avec $E$ (le terme en phase exprime justement cette perte d'énergie (Cf. chap. 2)), tandis que le second terme contribue à la densité d'énergie totale (à travers le mouvement cohérent des particules). Nous précisons ce résultat, d'une manière plus directe, en utilisant la description diélectrique (chap. 9).

Un exemple simple illustre ce qui précède. Considérons l'oscillation de plasma électronique en présence de collisions électrons-molécules (avec $v_{e0} \ll \omega_p$) et en négligeant le mouvement des ions. La résolution de l'équation de dispersion donne alors la solution $\alpha = \omega - i\gamma$, avec $\omega = \omega_p$ et $\gamma = v_{e0}/2$ (Cf. chap. 9). On a alors, d'après (5.5.7) et (5.5.5),

$$(5.5.13) \qquad \frac{\delta \overline{W}_F}{\delta t} = \frac{1}{2} v_{e0} n_{0e} m_e |v_e|^2 e^{-2\gamma t} = 2 v_{e0} \overline{W}_K$$

(ce résultat est d'ailleurs valable pour toutes les ondes de hautes fréquences pour lesquelles on peut négliger les ions). En portant (5.5.13) dans (5.5.10), [où, pour l'onde longitudinale on a $\overline{S} = 0$, $\overline{W}_M = 0$], on obtient

<footnote n="1">1. La différence entre ces deux types d'énergie apparaîtrait clairement si, le système devenant instable, les ondes étaient faiblement amplifiées ($\gamma<0$) : on aurait alors une augmentation de l'énergie organisée tandis que la variation $-\frac{\delta \overline{W}_F}{\delta t}$ resterait égale à la diminution d'énergie due aux collisions.</footnote>
L'équation (7.5.17) est celle d'une onde très lente de vitesse de phase $V_{\text{PS}}$ telle que

$$ (7.5.18) \qquad V_{\text{PS}}^2 = \alpha \frac{KT_e}{m_i} $$

donc non dispersive. Cette onde est appelée *onde pseudosonore*¹ ou *onde acoustique ionique*.

Pour un plasma protons-électrons, on a, pour $KT_e=1\text{eV}$ ($T_e \# 11.600^\circ\text{K}$)

$$ (7.5.19) \qquad V_{\text{PS}} \# 10^4 \text{ m/sec} \sim 3.10^{-5} \text{c} $$

et, d'après (7.5.18)

$$ V_{\text{PS}} = \sqrt{\frac{T_e}{T_i}} V_i = \sqrt{\frac{m_e}{m_i}} V_e $$

qui montre qu'en général $V_{\text{PS}}$ est plus voisin de $V_i$ que de $V_e$.

Remarquons que la condition posée au départ, $a_i \ll a_e$, qui exige donc $T_i \ll (m_i/m_e)T_e$, est moins restrictive que celles exigées par les conditions (7.5.14) : pour la solution (7.5.17), on a en effet

$$ (\omega/ka_e)^2 = KT_e/m_i a_e^2 = m_e/2m_i \ll 1 $$

$$ (\omega/ka_i)^2 = KT_e/m_i a_i^2 = T_e/2T_i $$

la deuxième condition (7.5.14) n'est donc bien satisfaite que pour $T_e \gg T_i$.

### 7.5.2.2. ONDE PLASMA IONIQUE

Dans la limite $k^2 \gg k_{\text{De}}^2$, (7.5.16) donne

$$ \omega^4 - \Omega_p^2\omega^2 - 3\frac{k^2}{k_{\text{Di}}^2}\Omega_p^4 = 0. $$

Si $k^2 \ll k_{\text{Di}}^2$, la seule racine positive est

$$ (7.5.21) \qquad \omega^2 = \Omega_p^2 \left(1 + 3\frac{k^2}{k_{\text{Di}}^2}\right) = \Omega_p^2 + 3\frac{KT_i}{m_i}k^2. $$

Elle définit des oscillations de plasma ioniques, à des fréquences voisines de $\Omega_p$, analogues aux oscillations de plasma électroniques. Dans cette limite, (7.5.14) est bien satisfaite

$$ \frac{\omega}{ka_e} \approx \frac{\Omega_p}{ka_e} \approx \frac{k_{\text{De}}}{k} \frac{\Omega_p}{\omega_p} \ll 1 ; \quad \frac{\omega}{ka_i} \approx \frac{\Omega_p}{ka_i} \approx \frac{k_{\text{Di}}}{k} \gg 1. $$

1. Cette dénomination est justifiée à la fois par le caractère non dispersif de l'onde, et par le fait que les électrons et les ions oscillent en phase dans l'onde, assurant partout la neutralité électrique du milieu : le calcul des vitesses moyennes $v_e$, $v_i$ et des perturbations de densité $n_e$, $n_i$ à partir de (7.1.3), qui est valable pour les modes propres à condition d'interpréter les intégrales sur les vitesses comme en (7.3.7) (Cf. aussi note page 334), donnerait (voir plus loin, éq. (7.5.24))

$$ v_e/v_i = -T_i Z'_e/T_e Z'_i \quad \text{et} \quad \xi = n_e a_e + n_i a_i = \text{Cte} \left( Z'_e + \frac{T_e}{T_i} Z'_i \right). $$

Dans la limite $T_e \gg T_i$, on obtient $v_e = v_i$ et $\xi = 0$.
Relativement à ces phénomènes de propagation, le milieu plasma présente un grand nombre de propriétés nouvelles, non rencontrées dans les autres milieux, solides, liquides ou gaz neutres. Ainsi, la présence d'un champ magnétique statique le rend anisotrope; il en résulte un comportement en plusieurs points comparable à celui des milieux cristallins anisotropes (cristaux uniaxes), ou soumis à un champ magnétique, comme par exemple le phénomène de double réfraction. Il existe plusieurs fréquences caractéristiques, en particulier de résonance, qui dépendent en général de la densité électronique et ionique du champ magnétique et de l'angle que la direction de propagation fait avec ce champ magnétique; on rencontre des ondes de basse fréquence, les unes longitudinales (analogues aux ondes sonores habituelles, mais fondamentalement différentes quant à leur mécanisme d'entretien), les autres transversales, liées au champ magnétique extérieur (en particulier, les ondes d'Alfvèn).

Dans des conditions déterminées, certains de ces modes deviennent instables, et, de plus, des instabilités nouvelles apparaissent : l'étude de ces effets ne sera pas traitée ici; de la même façon, nous ne parlerons pas des phénomènes nonlinéaires qui résultent de l'existence de ces instabilités et qui assurent le retour du système soit à l'équilibre thermodynamique, soit à des situations stationnaires spéciales comme les états turbulents. Bien qu'un grand nombre des résultats présentés ici soient valables pour un équilibre quelconque, nous supposerons, dans la plupart des cas, que l'état d'équilibre est décrit par une fonction de distribution isotrope dans l'espace des vitesses (en particulier maxwellienne, ce qui permet de définir une température pour chaque espèce de particules); cela excluera les systèmes faisceaux-plasmas ainsi que les équilibres à température anisotrope, qui conduisent à des instabilités.

Au chapitre 1, les plasmas sont définis, ainsi que leurs conditions d'existence. A travers les interactions collectives entre particules, ils apparaissent comme des milieux tendant à rester électriquement neutres. Leurs propriétés générales sont ensuite brièvement exposées.

Le chapitre 2 rappelle et précise les bases de la description diélectrique linéaire des plasmas en termes des composantes $ε_{αβ}$ du tenseur diélectrique $ε$, qui généralise pour les milieux anisotropes la constante diélectrique des milieux isotropes. La correspondance entre cette description et la description mécanique d'un système de charges dans le vide est établie à l'aide de la relation entre $ε$ et le tenseur de conductivité $σ$; c'est en fait $σ$ qui sera déduit d'équations cinétiques décrivant le milieu. En général, $σ$, et par conséquent $ε$, dépend de la fréquence angulaire $ω$ et du vecteur d'onde $k (|k| = 2π/λ)$ de l'onde. On obtient ainsi la relation de dispersion $D(k, ω) = 0$, dont les solutions définissent les ondes propres pouvant se propager dans le milieu. Naturellement, ces solutions seront fonctions des expressions de $ε(k, ω)$, qui dépendent à leur tour du modèle choisi pour décrire le système.
w ont, dans l'espace des vitesses, leurs extrémités contenues dans l'élément de volume $d^3w$ (on parle alors de l'élément de volume $d^3rd^3w$ de l'espace des phases). Dans un gaz neutre, homogène et isotrope, à l'équilibre thermodynamique, les vitesses sont réparties suivant la distribution maxwellienne, à la température T ($n$ étant la densité moyenne) :

$$ (1.7.1) \qquad f(w^2) = n(a\sqrt{\pi})^{-3/2}e^{-w^2/a^2} $$

où $a = (2KT/m)^{1/2}$ mesure une vitesse de l'ordre de grandeur de la vitesse d'agitation thermique.

Dans un plasma collectif, l'équilibre thermodynamique est encore caractérisé par une distribution de ce type, mais, ainsi que nous l'avons dit, cet équilibre est souvent difficile à observer en raison des très nombreux processus qui s'opposent à l'évolution vers un tel équilibre. Néanmoins, on rencontre des situations où la distribution est encore maxwellienne : ainsi, pour un milieu inhomogène, on peut définir un équilibre thermodynamique local, donné par (1.7.1), $w$ représentant alors la vitesse des particules relativement à une vitesse moyenne de déplacement d'ensemble; on peut aussi observer des cas où l'on a deux distributions maxwelliennes, une pour les ions et une pour les électrons, mais chacune à des températures très différentes (Cf. par ex. les colonnes positives de certaines décharges classiques).

A partir de la fonction de distribution, on définit, par intégration sur l'espace des vitesses, la valeur moyenne (appelée *moment*) de toute quantité microscopique. $A(r, w, t)$ :

$$ \begin{gathered} A(r, t) = \langle A \rangle = n^{-1} \int A(r, w, t) f(r, w, t) d^3w \\ n = n(r, t) = \int f(r, w, t) d^3w. \end{gathered} $$

où

L'évolution du système vers un état stationnaire sera souvent difficile à décrire, mettant très tôt en jeu, nous l'avons vu, des effets non linéaires. On ne s'intéressera ici qu'à l'évolution d'une petite perturbation qui a écarté le système de son équilibre. Dans un plasma dominé par les collisions, cette évolution est assez bien décrite, comme pour les gaz neutres, par l'équation de Boltzmann

$$ (1.7.2) \qquad \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{w} \cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}} + \frac{1}{m} \mathbf{F} \cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{w}} = \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\text{int}} $$

où $\mathbf{F}$ est la force extérieure appliquée aux particules se trouvant au point $\mathbf{r}$, à l'instant $t$, et $(\partial\mathbf{f}/\partial t)_{\text{int}}$ représente la variation de $\mathbf{f}$ due aux interactions; à l'aide d'un certain nombre d'hypothèses, le second membre prend une forme bien définie, qui dépend des valeurs de $\mathbf{f}$ avant et après une collision; cette équation décrit bien le retour à l'équilibre thermodynamique. Lorsqu'on tient compte des inter-
mètre $β_s = 2μ_0n_0sKT_s/B_0^2$ (déjà introduit en (2.3.9) et (6.2.4)) pour exprimer le facteur $2τ_s p_s^2 b_s^{-2} = N^2β_s^2$, figurant dans les $κ_αβ$.

Alors, l'équation de dispersion (2.4.9) s'écrit, au premier ordre en $1/b_s^2$ et en $τ_s$.

$$ (6.7.2) \qquad (κ_{22} - N^2) [(κ_{11} - N^2 \cos^2\theta) κ_{33} - N^2 \sin^2\theta κ_{11}] = 0 $$

de la même forme que celle donnée par (3.9.3) dans le cas des plasmas froids; un traitement analogue, en tenant compte de $|κ_{23}| \gg 1$, conduit aux deux modes

$κ_{11} - N^2 \cos^2\theta = 0$, polarisé suivant $Ox$

$κ_{22} - N^2 = 0$, polarisé suivant $Oy$.

Le premier

$$ (6.7.3) \qquad N^2 = \frac{1 + A}{\cos^2\theta} $$

est identique au mode torsionnel trouvé pour les plasmas froids.

Le second

$$ (6.7.4) \qquad N^2 = \frac{1 + A}{1 + \beta \sin^2\theta}, \qquad \beta = \beta_e + \beta_i $$

correspond au mode compressionnel $N^2 = 1 + A$ des plasmas froids (et s'identifie à lui pour $θ = 0$). Quand $θ = 0$, nous avons vu que le caractère compressionnel de ce mode froid disparaissait; dans un plasma chaud, nous montrerons (chap. 7) qu'il existe pour $θ = 0$, à côté de ces deux ondes d'Alfvèn transversales, un mode longitudinal, donc compressionnel pur : le mode pseudosonore. Lorsque $θ \neq 0$, le mode d'Alfvèn compressionnel peut donc se coupler au mode pseudosonore, pour donner le mode (6.7.4), tandis que le mode torsionnel (6.7.3) reste inchangé. C'est pourquoi le mode compressionnel (6.7.4) est appelé mode magnétosonore.

Nous retrouverons ces modes dans le traitement microscopique (chap. 8).

## 6.8. Ondes électrostatiques dans un magnétoplasma

Jusqu'à présent, nous n'avons trouvé qu'un seul mode longitudinal, le mode plasma électronique, et l'existence du mode pseudosonore vient d'être signalée. Ces modes sont obtenus, soit quand $B_0 = 0$, soit quand $B_0 \neq 0$, pour $θ = 0$ (Cf. § 8.3). Pour $θ$ quelconque, il est possible de chercher des modes longitudinaux, pour lesquels il n'y aura pas de champ magnétique de l'onde, le champ électrique dérivant d'un potentiel $E = -\nabla\Phi$, $\nabla \times E = -\frac{\partial}{\partial t} B = 0$. Ces modes seront appelés modes électrostatiques. Ils seront donc définis par

$$ (6.8.1) \qquad k \times E = 0 $$

$$ (6.8.2) \qquad k \cdot x \cdot E = 0. $$

Plus généralement, ces modes seront tels que $E_L \gg E_T$, où $E_L$ et $E_T$ sont les composantes de $E$ relativement à $k$. Or, l'équation (2.4.4)
$$
(A-7.1) \qquad \Phi(z) = (2\pi i)^{-1} \int_{-\infty}^{+\infty} dx \frac{f(x)}{x-z}
$$

$\Phi(z)$ est analytique dans tout $S^+$ ou $S^-$, excepté sur l'axe réel (car $\frac{1}{x-z}$ reste borné tant que $\Im z \neq 0$).

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

Étude du cas $\Im z \to 0$ 7.2

Si $z \to y$ réel (avec $\Im z > 0$), $\Phi(z) \to$ une limite bien définie $\Phi^+(y)$,
" (avec $\Im z < 0$), $\Phi(z) \to \Phi^-(y)$.

Les limites $\Phi^+(z)$ et $\Phi^-(z)$ sont différentes : $\Phi(z)$ est discontinue sur l'axe réel.
Calcul de $\Phi^+(y)$ et $\Phi^-[y]$ réel.

Pour calculer $\Phi^+$, on déforme le contour de façon que $z$ reste dans $S^+$ (au-
dessus du contour)

\[
(A-7.2) \quad \Phi^+(y) = \frac{1}{2} f(y) + \frac{1}{2\pi i} \mathcal{L} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(x)}{x-y} dx
\]
\[
\text{où}
\]
\[
(A-7.3) \quad \mathcal{L} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(x)}{x-y} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \left\{ \left[ \int_{-\infty}^{y-\epsilon} + \int_{y+\epsilon}^{+\infty} \right] \frac{f(x)}{x-y} dx \right\}.
\]
\[
\text{avec } \epsilon > 0
\]

$$
(A-7.3) \quad \mathcal{L} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(x)}{x-y} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \left\{ \left[ \int_{-\infty}^{y-\epsilon} + \int_{y+\epsilon}^{+\infty} \right] \frac{f(x)}{x-y} dx \right\}.
$$
avec $\epsilon > 0$

Pour $\Phi^-(y)$, on procède de la même manière ($z$ reste dans $S^-$)

$$
\Phi^{-}(y) = -\frac{1}{2}f(y) + \frac{1}{2\pi i} \mathcal{L} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(x)}{x-y} dx \quad \text{劃线} \quad x=y \quad \text{z}
$$

d'où les Formules de Plemelj

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\Phi^+(y) - \Phi^-(y) = f(y) \\
\\
\Phi^+(y) + \Phi^-(y) = \frac{1}{\pi i} \mathcal{L} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(x)}{x-y} dx.
\end{array}
\right.
$$

Prolongements analytiques de $\Phi^+(z)$ dans $S^-$ et de $\Phi^-(z)$ dans $S^+$ 7.3

Par la même technique, on définit
Surface

— des indices, 62, 104, 176, 188, 218

• et direction des rayons, 205

• et direction du flux d'énergie, 302

— des vitesses

— de phase, 104, 127

— radiales, 218

— d'onde, 176

t

Taux d'ionisation, 24, 33

Temps

— d'amortissement, 45, 52, 254

— de piégeage, 254, 288

— de relaxation, 40, 41

Tenseur de conductivité

— plasmas froids, 57

— plasmas chauds, 245, 285, 339, 351

Tenseur de Green, 192, 331

Tenseur de flux de chaleur, 228

Tenseur de pression, 226, 228

Tenseur diélectrique, 55

— réduit, 59

— magnétoplasma froid, 73

— milieux faiblement inhomogènes, 214

— plasma chaud, 233, 236, 270

Tenseur gyromagnétique, 72

Théorie de Landau, 250

• domaine de validité, 253

— macroscopique adrabatique, 231, 232, 234

• comparaison avec la théorie de Vlasov,
265, 271

THOMSON, 35, 37, 310

TIDMAN, 39

Tracé des Rayons, 208

— milieu isotrope stratifié, 211

— méthode

• de Booker, 213

• de Poverlein, 217

• d'Haselgrove, 218

Transferts d'énergie, 85, 169

Transformées

— de Fourier, 187

— de Fourier-Laplace, 250

— de Laplace, 250, 341

TREHAN, 40

TRIVELPIECE, 157, 165

TWISS, 249

V

Valeurs moyennes

— dans le temps, 172

— dans l'espace, 299

VAN KAMPEN, 247, 253, 289

Vecteur(s)

— gyromagnétiques, 70

— de Poynting, 170, 172, 183

VELUT, 364

Vitesse

— d'Alfven, 87

— d'énergie, 181

— de groupe, 53, 67, 69, 179, 259

• et vitesse d'énergie, 301

• au voisinage d'une bande d'absorption, 360

— de signal, 181, 301, 360

— de phase, 44

— radiale, 179

W

WALSH, 198, 199

WATSON, 230

WEIBEL, 41

WEIL, 194, 198

WEINBERG, 223

WHARTON, 103, 118, 134, 313, 315

WHITEOAK, 92

WHITMER, 227

WILCOX, 167

WILLSON, 235

WONG, 263

WYLLER, 318

Y

YABROFF, 183
Re N = N₁

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

Im N = N₂

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

z = 4,25·10⁻² = z_c

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

z = 5·10⁻²

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

z = 10⁻¹

<caption>FIGURE 10.10.</caption>

ReN et ImN pour les deux modes, θ = 23°16′, Y = 0,5. (D'après Budden, 1961)
$$j_{\perp} = \bar{n}_s q_s w_{s\perp}$$

$$j_{\parallel} = \bar{n}_s q_s w_{s\parallel} \left(1 + \frac{kV_s}{\omega - kV_s}\right) = \frac{\omega}{\omega - kV_s} \bar{n}_s q_s w_{s\parallel}$$

d'après (8.7.3).

Après transformation de Fourier, et compte tenu de $k \times E_{\perp} = \omega B_{\perp}$, on obtient pour la densité $j_{s\perp}$

$$-i(\omega - kV_s)j_{s\perp} = \epsilon_0 \bar{\omega}_{ps}^2 \left(1 - \frac{kV_s}{\omega}\right) E_{\perp} + \omega_{bs} \times j_{s\perp}$$

où $\bar{\omega}_{ps}^2 = \bar{n}_s q_s^2 = \omega_{ps}^2 g_{0s}(V_s)$ et $\omega_{bs} = -\frac{q_s}{m_s} B_0$ sont associés au faisceau $l$, de densité $\bar{n}_s^0$. Cette équation s'écrit :

$$(8.7.5) \qquad \left(1 - i \frac{\omega_{bs} \times}{\omega - kV_s}\right) j_{s\perp} = i \epsilon_0 \frac{\omega_{ps}^2}{\omega} g_{0s} E_{\perp}$$

formellement identique à l'équation (3.3.5) (pour les composantes perpendiculaires à $B_0$), lorsqu'on introduit la fréquence modifiée par effet Doppler $\omega' = \omega - kV_s$;

en remplaçant dans (3.3.5) $b_s = \frac{\omega_{bs}}{\omega}$ par

$$b'_s = \frac{\omega_{bs}}{\omega'} = \frac{\omega_{bs}}{\omega - kV_s}$$

le calcul du § 3.3 s'applique donc ici et donne pour solution de (8.7.5)

$$(8.7.6) \qquad j_{s\perp} = \frac{i \epsilon_0}{\omega} \omega_{ps}^2 g_{0s} A_s^{-1} \cdot E_{\perp}$$

$$\text{où } \mathcal{A}_{s\perp}^{-1} = (1 - b_s'^2)^{-1} \begin{pmatrix} 1 & -ib_s' \\ ib_s' & 1 \end{pmatrix}$$

Pour la composante $j_{s\parallel}$, on obtient

$$(8.7.7) \qquad j_{s\parallel} = i\omega \epsilon_0 \frac{\omega_{ps}^2}{\omega'^2} E_{\parallel}$$

En prenant la moyenne sur l'ensemble des faisceaux, on définit un tenseur de conductivité $\sigma_s$ associé aux particules $s$

$$J_s = \langle j_s \rangle = \sigma_s \cdot E$$

où la moyenne est prise sur $V_s$; pour une distribution continue de faisceaux, caractérisée par

$$\bar{n}_s(V) = n_{0s} g_{0s}(V), \quad \text{avec} \quad \int_{-\infty}^{+\infty} g_{0s}(V) dV = 1$$
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE 3.9. Variations de $\omega_1$ et $\omega_{11}$, en fonction de $n$ et $B_0$, pour un plasma protons-électrons ($\omega_1$ – $\omega_{11}$ — -)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIGURE 3.10. Fréquence de coupure $\omega_G$ d'un magnétoplasma (électrons-protons)</figcaption></figure>
qui montre clairement qu'il n'existe pas une relation de proportionalité du type (2.3.4) entre $H_{total}$ et $B_{total}$. Cependant, pour les champs magnétiques assez forts, et les plasmas ni trop denses, ni trop chauds, de telle manière que $\beta \ll 1$, (2.3.8) redonnera pratiquement (2.3.5). Numériquement

$$ \beta \# 4 \cdot 10^{-25} \frac{n(\text{KT})}{B_0^2} \left[ \frac{m^{-3} \times (\text{eV})}{(\text{tesla})^2} \right]; $$

pour $n = 10^{18} \text{m}^{-3}$, $KT_e = 10^2 \text{eV}$, $B_0 = 1000$ gauss, on a $\beta \approx 4 \cdot 10^{-3}$ : l'effet d'aimantation est donc négligeable dans la plupart des cas pratiques où $KT_e$ est beaucoup plus faible que dans l'exemple choisi. Au premier ordre en $\beta$, on obtiendra des corrections dues à la température; néanmoins, le modèle précédent est trop approché pour les donner correctement : il faudra utiliser la théorie cinétique pour les obtenir (chap. 6, 7 et 8).

## Description charges dans le vide. Tenseur de conductivité d'un plasma 2.3.2

Dans le cas d'un diélectrique comme un cristal, la description du milieu à l'aide d'une conductivité n'a pas de signification physique réelle puisqu'il n'y a pas de charges libres. Il n'en est pas de même dans le cas d'un plasma, où, au contraire, les propriétés du milieu seront décrites à l'aide d'une équation de mouvement des particules : on saura donc relier directement les vitesses des particules, donc au total, la densité de courant $J$, au champ électrique total $E$ régnant dans le milieu. Nous montrerons au chapitre 3 que pour une onde plane monochromatique $(k, \omega)$, on a, au lieu de (2.3.3), une relation du type (2.2.22)

$$ (2.3.10) \qquad J(k, \omega) = \sigma(k, \omega) \cdot E(k, \omega), $$

où, le milieu étant anisotrope, $\sigma(k, \omega)$, comme $\varepsilon$, est maintenant un tenseur, dépendant en général de $k$ et de $\omega$. La relation (2.3.10) est une généralisation de la loi d'Ohm et n'existe que pour les systèmes homogènes et stationnaires à l'équilibre¹.

Bien que la densité de charge $\rho$, induite dans le milieu par le champ $E$ total, figure explicitement dans les équations de Maxwell, il faut noter que le milieu

1. De manière analogue à (2.2.17), la relation (2.3.10) n'existe que pour une onde plane. En général, la densité de courant $J$ en un point $r$, à l'instant $t$, dépend, à travers le mouvement des charges, de la distribution du champ électrique aux points où ces charges se trouvaient à des instants antérieurs : la relation linéaire la plus générale entre $J$ et $E$ sera donc de la forme

$$ (2.3.11) \qquad J(r,t) = \int \Gamma(r, r', t, t') \cdot E(r', t') dr' dt', $$

qui généralise la forme (2.2.42) de la relation entre $D$ et $E$ (on avait supposé qu'il n'y avait pas de dispersion spatiale : $\varepsilon$ ne dépendait pas de $k$). Dans (2.3.11) $\Gamma$ est une grandeur caractéristique du milieu; pour les systèmes homogènes dans l'espace et stationnaires dans le temps, elle ne dépend que des différences $r-r'$ et $t-t$ (invariance par translation dans l'espace et le temps); la relation (2.3.11) définit alors une convolution, dont la transformée de Fourier conduit à (2.3.10).
Les coupures sont obtenues pour les valeurs

$$ \omega_c = (\omega_0^2 + l_m^2 c^2)^{1/2}. $$

### 4.4.2.2. POUR LES MODES NON RAYONNANTS,

$s_E^2 > 0$, $\omega < \omega_0$, on a comme au § précédent

$$ \text{dans le vide } E_{II}^0 = \begin{cases} E^0 e^{-\chi_0 x} & x > a, \\ E^0 e^{+\chi_0 x} & x < a \end{cases}, \qquad \chi_0^2 = -s_0^2 = \alpha^2 - \frac{\omega^2}{c^2} $$

$$ \text{dans le plasma} \qquad E_{II}^P = E^P \cos s_E x. $$

Les conditions aux limites donnent en $x = \pm a$

$$ E^0 e^{-\chi_0 a} = E^P \cos s_E a $$

$$ \chi_0 E^0 e^{-\chi_0 a} = s_E E^P \sin s_E a $$

d'où, avec $s_E^2 = (\frac{\omega_0^2}{\omega^2} - 1) \chi_0^2$

$$ (4.4.12) \qquad \operatorname{tg} s_E a = \frac{1}{\sqrt{-\chi_3}} = \frac{1}{\beta} $$

$$ \text{en posant} \qquad \beta = \sqrt{-\chi_3} = \frac{\sqrt{\omega_0^2 - \omega^2}}{\omega}. $$

Si $p_0$ est la solution, pour $0 < s_E a < \frac{\pi}{2}$, de (4.4.12), on a alors

$$ s_E = l_{En} = \frac{p_0 + n\pi}{a}, \quad n \text{ entier,} $$

et l'équation de dispersion s'écrit

$$ \left(\frac{\omega_0^2}{\omega^2} - 1\right) (\alpha^2 c^2 - \omega^2) = l_{En}^2 c^2. $$

Quand $\omega \to 0$, $\beta \to \infty$, et alors $p_0 \to 0$

$$ \omega = \frac{\alpha c}{\sqrt{1 + \left(\frac{n\pi c}{\omega_0 a}\right)^2}}. $$

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

Pour le mode principal ($n = 0$), on a donc un mode basse fréquence $\omega = \alpha c$ de vitesse de phase $c$. Pour les autres modes on a $v_\phi < c$. Quand $\omega \to \omega_0$, (avec

$\omega < \omega_0$), $\beta \to 0$ et $p_0 \to \frac{\pi}{2}$; alors $\alpha^2 \to \infty$,

$$ \alpha^2 \sim \frac{l_{En}^2}{1 - \frac{\omega^2}{\omega_0^2}} = \frac{(2n + 1)^2 \pi^2}{4a^2 \left(1 - \frac{\omega^2}{\omega_0^2}\right)}, \qquad \omega^2 = \omega_0^2 \left(1 - \frac{l_{En}^2}{\alpha^2}\right). $$
$$
(5.5.14) \qquad \frac{\partial \bar{W}_E}{\partial t} = 2\gamma \bar{W}_K - 2\nu_{eo} \bar{W}_K
$$

d'où

$$
(5.5.15) \qquad \frac{\partial \bar{W}_E}{\partial t} = -2\gamma \bar{W}_K = \frac{\partial \bar{W}_K}{\partial t}
$$

qui exprime l'égalité $\overline{W}_E = \overline{W}_K$, laquelle résulte de l'égalité $W_E = W_K$ entre les densités d'énergie instantanées (l'énergie est alternativement sous les deux formes $W_E$ electrostatique, et $W_K$ cinétique). L'énergie totale est évidemment

$$
(5.5.16) \qquad \bar{W}_{tot} = \bar{W}_E + \bar{W}_K = 2 \bar{W}_E = 2 \bar{W}_K \\
\text{d'où, d'après (5.5.15)}
$$

$$
(5.5.17) \qquad \frac{\partial}{\partial t} (\bar{W}_{tot}) = -2\gamma \bar{W}_{tot} = -\nu_{eo} \bar{W}_{tot}
$$

en accord avec (5.2.5), et montrant que l'énergie s'amortit en $e^{-\nu_{eo}t}$, conformément
à la forme du terme de collision (Cf. chap. 10).

L'éq. (5.5.14) montre que dans (5.2.3) le terme $-\frac{1}{4}(\mathbf{J}^* \cdot \mathbf{E} + \mathbf{J} \cdot \mathbf{E}^*) e^{-2\gamma t}$ contient non seulement la perte d'énergie dissipée $-\frac{\partial \bar{W}_P}{\partial t} = -2\nu_{eo} \bar{W}_K$, mais aussi la diminution d'énergie cinétique de l'onde $-\frac{\partial \bar{W}_K}{\partial t} = 2\gamma \bar{W}_K$.

En vertu des remarques précédentes, la définition de la densité totale d'éner-
gie, dans la description « charges dans le vide », est assez délicate. Comme dans
le cas α = ω réelle, on a (Cf. (5.3.1)) pour α = ω − iγ,

$$
(5.5.18) \quad \mathbf{k} \cdot \bar{\mathbf{S}} = (\alpha + \alpha^*) \bar{\mathbf{W}}_M = (\alpha + \alpha^*) \bar{\mathbf{W}}_E - \frac{i}{4} (\mathbf{J}^* \cdot \mathbf{E} - \mathbf{J} \cdot \mathbf{E}^*) e^{-2\gamma t},
$$

qui montre que la densité moyenne d'énergie emmagasinée par les particules est liée
à Jm (J\*·E), quantité représentant la seule contribution du terme instantané
J·E quand il n'y a pas de pertes (J et E en quadrature). Pour relier ce terme
Jm (J\*·E) à l'énergie cinétique moyenne W<sub>K</sub>, on prend la différence entre (5.5.8)
et son complexe conjugué : on obtient

$$
(5.5.19) \qquad (\alpha + \alpha^*) \bar{W}_K = \frac{i}{4} (\mathbf{J}^* \cdot \mathbf{E} - \mathbf{J} \cdot \mathbf{E}^*) e^{-2\gamma t} + \frac{i}{4} \sum_s n_{0s} q_s (\mathbf{v}_s^* \times \mathbf{v}_s - \mathbf{v}_s \times \mathbf{v}_s^*) \cdot \mathbf{B}_0 e^{-2\gamma t}
$$

les termes magnétiques (qui ne disparaissent plus dans la différence) représentant
l'énergie de couplage entre le champ B₀ et les courants Js, laquelle participe à la
densité d'énergie totale. Lorsque B₀ = 0, on a donc l'égalité

$$
(5.5.20) \qquad \bar{W}_M = \bar{W}_E - \bar{W}_K
$$
Enfin, si $k^2 \gg k_{Di}^2$, la solution de (7.5.20) n'est plus acceptable car, donnant $(\omega/ka_e) \ll 1$, elle conduit à $(\omega/ka_i) \ll 1$. Dans la région $\omega > \Omega_p$, la condition d'existence $(\omega/ka_i) \gg 1$ implique une limite pour les fréquences $\omega \gg \Omega_p$, bien naturelle, les ions ne pouvant évidemment plus répondre des excitations de trop grande fréquence.

### 7.5.2.3. OSCILLATIONS TRÈS AMORTIES

Lorsque $T_e$ et $T_i$ deviennent du même ordre de grandeur, il n'est plus possible d'évaluer approximativement les intégrales figurant dans l'équation de dispersion et il faut préciser les fonctions $\bar{\phi}_s$.

Les intégrales dans (7.3.9) s'écrivent, après intégration par parties

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\bar{\phi}'(v)}{v - \frac{\omega}{k}} dv = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\bar{\phi}(v)}{\left(v - \frac{\omega}{k}\right)^2} dv. $$

Pour un équilibre maxwellien, avec $\bar{\phi}(v)$ donné en (7.5.11), l'intégrale s'écrit en posant $z = \omega/ka$, considérée comme variable complexe,

$$ (7.5.22) \qquad \frac{1}{a^2 \sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-v^2}}{(v-z)^2} dv = \frac{1}{a^2 \sqrt{\pi}} \frac{d}{dz} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-v^2}}{v-z} dv. $$

La fonction complexe de la variable $z = x + iy$

$$ (7.5.23) \qquad Z(z) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-v^2}}{v-z} dv = X(z) + iY(z) $$

est la « fonction de dispersion du plasma », tabulée par Fried et Conte (1961). Elle est définie par (7.5.23) pour $y = Jmz > 0$, et par son prolongement analytique pour $y = Jmz < 0$, conformément à (7.3.7)

$$ (7.5.24) \qquad Z(x - iy) = Z(x + iy) + 2i \sqrt{\pi} e^{-(x-iy)^2}, \quad y > 0 $$

et possède les propriétés suivantes :

$$ (7.5.25) \qquad Z(z^*) = -[Z(-z)]^*, \quad \text{soit} \quad \begin{aligned} X(-x, y) &= -X(x, y) \\ Y(-x, y) &= Y(x, y) \end{aligned} $$

$$ (7.5.26) \qquad Z' = -2(1+zZ), \qquad Z(0) = i\sqrt{\pi}, \quad \text{où} \quad \left(Z' = \frac{dZ}{dz}\right) $$

$$ (7.5.27) \qquad \text{pour } z \to 0, \quad Z(z) = i\sqrt{\pi}e^{-z^2} - 2z\left(1 - \frac{2z^2}{3} + \dots\right) $$
Le modèle le plus simple est celui appelé *plasma froid*: on y néglige l'agitation thermique des particules de sorte qu'on peut écrire une équation du mouvement du même type que celle qu'on écrit pour la particule individuelle. Bien que ce modèle puisse sembler à priori quelque peu éloigné de la réalité, il permet en fait de dégager une vue d'ensemble et une classification des différents types d'ondes propres, un grand nombre de ces résultats n'étant que peu modifiés dans les théories plus élaborées. C'est cette approximation des plasmas froids qui sera d'abord étudiée au chapitre 3, pour un plasma homogène et illimité. Une description très détaillée des différents modes propres est d'abord effectuée, dans les deux cas particuliers des propagations parallèle et perpendiculaire au champ magnétique extérieur. Le milieu étant homogène, nous sommes en présence d'ondes planes. Ces ondes, appelées *ondes principales*, montrent des caractéristiques essentielles, en particulier des fréquences de coupure et des fréquences de résonance délimitant des régions à propagation (bandes passantes) et des régions où les ondes sont évoquées (bandes non passantes). Puis la propagation oblique est étudiée, et les résultats sont représentés sur le diagramme CMA; les limites hautes fréquences (équations d'Appleton-Hartree, et en particulier les approximations « quasi parallèle » et « quasi perpendiculaire ») et basses fréquences (modes magnétioniques) sont examinées.

Les modifications apportées par la présence de limites, circonstances qui ont lieu dans tous les plasmas de laboratoire, sont analysées au chapitre 4, qui constitue une étude des modes de propagation dans les guides d'onde entièrement ou partiellement emplis de plasmas homogènes.

Le chapitre 5 rassemble un certain nombre de problèmes liés à la propagation de l'énergie : après avoir défini les densités et flux d'énergie, on précise les théorèmes du transfert d'énergie dans le cas général des milieux faiblement dissipatifs. Puis, le rayonnement d'une source est étudié, ainsi que le passage à travers une surface plane séparant le plasma du vide; un développement particulier est réservé au problème du rayonnement des antennes. Enfin, le problème des trajectoires de l'énergie, c'est-à-dire les rayons, est traité dans le cas des milieux faiblement inhomogènes, l'ionosphère par exemple, même si les longueurs d'onde sont assez grandes; et pour finir, les principales méthodes du tracé des rayons (Booker, Poverlein, Haselgrove) sont étudiées.

En introduction à la théorie des plasmas chauds homogènes et illimités, un modèle hydrodynamique est développé au chapitre 6. Après en avoir précisé les limites de validité, les principaux résultats sont présentés sous forme de corrections de température à apporter aux modes obtenus dans l'approximation des plasmas froids. Une théorie microscopique est ensuite développée, en utilisant soit les équations cinétiques de Vlasov, soit le modèle multifaisceaux. Dans le cas isotope (chap. 7) on étudie en détail les oscillations longitudinales, en particulier l'amortissement sans collision (*amorissement Landau*) et le phénomène de *piégeage*.
actions coulombiennes, un certain nombre de difficultés (déjà signalées au § 1.5) surviennent dans le calcul; dans le cas d'une particule déterminée soumise à l'action de toutes les autres (problème de la « particule-test »), on décrit alors le second membre de (1.7.2) comme la superposition d'un terme de frottement et d'un terme de diffusion, en se limitant aux collisions binaires pour lesquelles les particules sont faiblement déviées, ce type de collisions apparaissant comme dominant (Jeans, 1929) : on obtient ainsi l'équation de Fokker-Planck, de la forme (1.7.2), avec un second membre qui exprime ces phénomènes de frottement et de diffusion dans l'espace des vitesses (cette équation décrit le mouvement Brownien). Dans le cas général le second membre devient le « terme de collision de Landau » et l'équation (1.7.2), l'équation de Landau.

Dans le cas des plasmas collectifs, les approximations précédentes ne sont plus valables. Pour les faibles valeurs du paramètre Γ, introduit en (1.4.8), l'évolution est décrite par l'équation de Vlasov

$$ (1.7.3) \qquad \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{w} \cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}} + \frac{1}{m} \mathbf{F}' \cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{w}} = 0 $$

dont la forme rappelle (1.7.2) (cette équation est quelquefois appelée équation de Boltzmann sans collision), mais où on a inclus dans la force $F'$, en plus des forces extérieures, les forces d'interactions entre particules, en termes d'un champ E moyen, décrit par l'équation de Poisson. Cette équation sera utilisée aux chapitres 6, 7 et 8.

La justification de cette équation de Vlasov est obtenue dans le cadre d'un formalisme général, déduit de la mécanique statistique, qui conduit à un système d'équations d'évolution (Hiérarchie BBGKY <fnref n="1" />) pour des fonctions de distribution $f^{(1)}, f^{(2)}, \dots, f^{(N)}$, à 1, 2, \dots, N particules. L'équation d'évolution de $f^{(1)}$ (qui n'est autre que la fonction $f$ considérée au début de ce paragraphe) est de la forme (1.7.2), avec un second membre — exprimant les interactions — qui dépend de $f^{(2)}$. Un développement en puissance de $\Gamma$ conduit, à l'ordre zéro, à l'équation (1.7.3), le second membre s'exprimant finalement sous forme du champ électrique moyen de charge d'espace. Le premier ordre en $\Gamma$ conduit à l'équation de Lénard-Balescu dont l'équation Fokker-Planck et l'équation de Landau sont des formes approchées. Cette équation traduit essentiellement les effets des collisions ee, ii, ei, représentées par les fréquences $v_{ee}, v_{ii}, v_{ei}$. On trouvera dans la littérature (Cf. par exemple Montgomery et Tidman, 1964) de nombreux développements relatifs aux théories cinétiques.

A partir de (1.7.3), on déduit, en effectuant des moyennes sur l'espace des vitesses, des équations d'évolution pour les grandeurs moyennes : densité $n$, vitesse $v$, tenseur de pression, etc., équations que nous utiliserons au chapitre 6.

<footnote n="1">1. Born, Bogolioubov, Green, Kirkwood, Yvon.</footnote>
$$N \times (N \times E) + \mathbf{x} \cdot E = 0$$

pour $E = E_L + E_T$ et avec

$$N \times (N \times E) = (N \cdot E_L) N - N^2 (E_T + E_L) = - N^2 E_T$$

s'écrit

$$\mathbf{x} \cdot E_L = (N^2 - \mathbf{x} \cdot E_T) E_T.$$

On aura donc $|E_L| \gg |E_T|$ si $N^2 |\mathbf{x}_{\alpha\beta}|$, quels que soient $\alpha$ et $\beta$. Cette condition est en particulier satisfaite pour les résonances des plasmas froids, $N^2 \to \infty$, c'est-à-dire pour $A = \mathbf{x}_{11} \sin^2\theta + \mathbf{x}_{33} \cos^2\theta = 0$: on retrouve la polarisation longitudinale pour tous les modes à la résonance, sauf pour $\theta = 0$ où, alors, $\mathbf{x}_1$ et $\mathbf{x}_2$ tendent aussi vers l'infini.

Les deux relations (6.8.1) et (6.8.2) s'écrivent

$$k \begin{pmatrix} -\cos\theta & \sin\theta \\ \mathbf{x}_{11}\sin\theta + \mathbf{x}_{31}\cos\theta & \mathbf{x}_{13}\sin\theta + \mathbf{x}_{33}\cos\theta \end{pmatrix} \cdot E_L = 0$$

d'où l'équation de dispersion des modes électrostatiques, compte tenu de
$\mathbf{x}_{31} = \mathbf{x}_{13}$

$$(6.8.3) \qquad \mathbf{x}_{11} \sin^2\theta + 2\mathbf{x}_{13} \sin\theta \cos\theta + \mathbf{x}_{33} \cos^2\theta = 0.$$

Pour les plasmas froids, $\mathbf{x}_{13} = 0$ et (6.8.3) redonne l'équation (3.4.38) qui correspondait à toutes les résonances, sauf celles obtenues pour $\theta = 0$, à savoir $\omega = \omega_b$ et $\omega = \Omega_b$.

Dans l'approximation adiabatique, $\mathbf{x}_{13}$ est d'ordre 1 en $\tau_s$. Avec les expressions (6.5.1), l'équation (6.8.3) se met donc sous la forme

$$(6.8.4) \qquad \dot{\mathbf{x}}_{11} \sin^2\theta + \dot{\mathbf{x}}_{33} \cos^2\theta =$$

$$\sum_s \tau_s \frac{p_s^2}{1-b_s^2} \left\{ 3 \sin^2\theta \left[ \frac{\sin^2\theta}{1-4b_s^2} + \frac{(1+b_s^2)\cos^2\theta}{(1-b_s^2)^2} \right] + \cos^2\theta \left[ \sin^2\theta + 3(1-b_s^2)\cos^2\theta \right] \right\}$$

où les $\dot{\mathbf{x}}_{\alpha\beta}$ sont les valeurs de $\mathbf{x}_{\alpha\beta}$ pour les plasmas froids.

Dans la limite des $B_0$ forts (au premier ordre en $1/b_s^2$) on obtient, avec
$\tau_s = a_s^2 N^2 / 2c_s^2$, $a_s^2 = 2KT_s / m_s$

$$(6.8.5) \qquad N^2 \cos^2\theta \# \frac{1 - x + (1+A) \operatorname{tg}^2\theta}{3 \sum_s a_s^2 p_s^2 / c_s^2}.$$

Examinons le cas des hautes fréquences, pour lesquelles on peut négliger les ions :

— Pour $\theta = 0$, (6.8.4) conduit à

$$1 - x = 3\tau_e p_e^2$$

c'est-à-dire à la relation de Bohm et Gross, pour $\omega \# \omega_p$

$$\omega^2 = \omega_p^2 + 3 \frac{KT_e}{m_e} k^2.$$

— Pour $\theta = \pi/2$, l'expression (6.8.5) n'est plus valable. On obtient directement de (6.8.3)

$\mathbf{x}_{11} = 0$, soit

$$(6.8.6) \qquad \mathbf{x}_{11} = 1 - \frac{p_e^2}{1 - b_e^2} \left( 1 + \frac{3\tau_e}{1 - 4b_e} \right) = 0.$$
<figure><img src="image_10.png" /></figure>

$$ \Phi^{+}(y - i\eta) = \frac{1}{2}f(y - i\eta) + \frac{1}{2\pi i} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(x)}{x - y + i\eta} dx \quad \eta > 0 $$

et

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

$$ \Phi^{-}(y + i\eta) = -\frac{1}{2}f(y + i\eta) + \frac{1}{2\pi i} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(x)}{x - y - i\eta} dx \quad \eta > 0. $$

## Origine de la discontinuité sur l'axe réel 7.4

En général $f(x)$ peut être prolongée analytiquement pour tout $x$ complexe : elle possède alors un certain nombre de pôles $x = x_j$. On peut calculer $\Phi(z)$ par la méthode des résidus en complétant l'axe réel par un demi-cercle à l'infini, par exemple au-dessus de l'axe réel.

a) Alors, pour $z \in S^+$

$$ \Phi(z) = \Phi^+(z) = 2\pi i \left[ \sum_j \text{Résidus des } x = x_j^+ \text{ (au-dessus de l'axe réel)} \right] + 2\pi i \text{ (Résidu de } x = z) $$

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

b) et pour $z \in S^-$

$$ \Phi(z) = \Phi^{-}(z) = 2\pi i \left[ \sum_j \text{Résidus des } x = x_j^+ \right], $$

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

mais le prolongement analytique de $\Phi^+$, pour $z \in S^-$, est encore donné par (a); de même le prolongement de $\Phi^-$ pour $z \in S^+$ est donné par (b).

## Expression de $\Phi^+(z)$ 7.5

(dans le cas où $f(x)$ peut être prolongée dans $S_-$)

On a
IMPRIMÉ EN FRANCE, MAME, TOURS

DÉPÔT LÉGAL DEUXIÈME TRIMESTRE 1968

NUMÉRO D'ÉDITION 2.244

HERMANN, ÉDITEURS DES SCIENCES ET DES ARTS
Re N = N₁

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

Im N = N₂

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>FIGURE 10.11.</figcaption></figure>

ReN et ImN pour les deux modes, θ = 23°16′, Y=2. (D'après Budden, 1961)
cette moyenne vaut

$$ \langle j_s \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} j(V) g_{0s}(V) dV. $$

On a alors

$$ (8.7.8) \qquad \sigma_s = \begin{pmatrix} \sigma_{1s} & -\sigma_{2s} & 0 \\ \sigma_{2s} & \sigma_{1s} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{3s} \end{pmatrix} $$

où

$$ (8.7.9) \qquad \left\{ \begin{aligned} \sigma_{1s} &= \frac{i\epsilon_0\omega_{ps}^2}{\omega} \int dV \, g_{0s}(V) \frac{\omega'^2}{\omega'^2 - \omega_{bs}^2} \\ \sigma_{2s} &= \frac{i\epsilon_0\omega_{ps}^2}{\omega} \int dV \, g_{0s}(V) \frac{i\omega_{bs}\omega'}{\omega'^2 - \omega_{bs}^2} \end{aligned} \right. $$

$$ (8.7.10) \qquad \sigma_{3s} = i\omega\epsilon_0\omega_{ps}^2 \int dV \, g_{0s}(V) \frac{1}{\omega'^2} $$

et

$$ \omega' = \omega - kV = \omega'(V). $$

Dans (8.7.9) et (8.7.10), les intégrales sont singulières et s'exprimeront (Cf. chap. 7) comme la somme d'une partie principale, réelle, et d'une partie imaginaire, contribution du pôle. Or, nous avons vu, au § 2.2, que les pertes dans le milieu étaient liées à $\Re(e\sigma)$, donc ici à la partie imaginaire des intégrales<fnref n="1" />, c'est-à-dire aux pôles qui traduisent la présence de particules résonnantes.

Les singularités des intégrales (8.7.9) ont lieu pour $\omega - kV_s = \omega_{bs}$, c'est-à-dire pour les particules résonnantes qui voient la fréquence du champ $E_⊥$ (modifiée par effet Doppler) égale à la fréquence gyromagnétique : les pôles de ces intégrales contribueront à l'amortissement cyclotron. Par ailleurs, l'intégrale contenue dans (8.7.10) est singulière pour $\omega' = \omega - kV = 0$, c'est-à-dire pour les particules en résonance avec le champ $E_‖$ de l'onde : le pôle donnera l'amortissement Cérenkov, de même type que l'amortissement Landau [(8.7.10) conduit directement à (7.2.2)]. Remarquons l'absence de particules résonnantes sur les harmoniques $\omega' = n\omega_b$ : cela est dû au choix $k//B_0$ fait au début de ce calcul qui ne conduit donc pas aux résonances sur ces harmoniques (Cf. § 8.3).

Nous avons vu au chapitre 5 que la puissance absorbée par le milieu (par unité de volume) était donnée par

$$ (8.7.11) \qquad P = \frac{1}{2} \Re(e(J \cdot E^*) $$

quand on prend les valeurs de J pour $\omega$ et $k$ réels.

<footnote n="1">1. Pour les termes $\sigma_s$, l'absorption est liée à $Jm\sigma_s$ (Cf. éq. (8.7.12)) : c'est encore le pôle de l'intégrale qui contribue aux pertes d'énergie.</footnote>
<figure><img src="image_13.png" /></figure>

<figure><img src="image_14.png" /></figure>
est complètement décrit par (2.3.10), puisqu'il existe une relation entre $\rho$ et $J$, l'équation de conservation de la densité de charge <fnref n="1" />

$$ (2.3.12) \qquad \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0 $$

qui pour une onde plane s'écrit

$$ (2.3.13) \qquad \omega\rho = \mathbf{k} \cdot \mathbf{J} = k\mathbf{J}_{\parallel} $$

où $\mathbf{J}_{\parallel}$ est la composante longitudinale (parallèle à $\mathbf{k}$) de $\mathbf{J}$.

Naturellement, indépendamment de ces charges $\rho$ et courants $\mathbf{J}$, induits par le champ perturbateur (champ total), il pourra exister dans le plasma des charges $\rho_{ex}$ et des courants $\mathbf{J}_{ex}$ extérieurs comme, par exemple, ceux qui créent la perturbation.

Comparons les deux descriptions « charges dans le vide » et « diélectrique ». Pour une onde plane en $e^i(k, r-\omega t)$, les équations de Maxwell s'écrivent, avec, pour toute grandeur $g_1$ (densité, composante d'un champ, etc.)

$$ (2.3.14) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{\partial}{\partial t} g_1 = -i\omega g_1 \\[1em] \displaystyle \nabla g_1 = \frac{\partial}{\partial \mathbf{r}} g_1 = i\mathbf{k} g_1 \end{array} \right. $$

dans la description charges dans le vide

$$ (2.3.15) \qquad \left\{ \begin{array}{l} (a) \quad \mathbf{k} \times \mathbf{E} = \omega \mathbf{B} \\ (b) \quad \mathbf{k} \times \mathbf{H} = -\omega \mathbf{D}' - i(\mathbf{J} + \mathbf{J}_{ex}) \\ (c) \quad \mathbf{k} \cdot \mathbf{B} = 0 \\ (d) \quad \mathbf{k} \cdot \mathbf{D}' = -i(\rho + \rho_{ex}) \\ (e) \quad \mathbf{D}' = \varepsilon_0 \mathbf{E} \\ (f) \quad \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H}. \end{array} \right. $$

dans la description diélectrique

$$ (2.3.16) \qquad \left\{ \begin{array}{l} (a) \quad \mathbf{k} \times \mathbf{E} = \omega \mathbf{B} \\ (b) \quad \mathbf{k} \times \mathbf{H} = -\omega \mathbf{D} - i \mathbf{J}_{ex} \\ (c) \quad \mathbf{k} \cdot \mathbf{B} = 0 \\ (d) \quad \mathbf{k} \cdot \mathbf{D} = -i\rho_{ex} \\ (e) \quad \mathbf{D} = \varepsilon \cdot \mathbf{E} \\ (f) \quad \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H} \end{array} \right. $$

où on a fait figurer les termes source, $\rho_{ex}$ et $\mathbf{J}_{ex}$.

La comparaison des équations (2.3.15 b) et (2.3.16 b) conduit, après élimination de $\mathbf{J}_{ex}$, à la relation entre $\mathbf{J}(\mathbf{k}, \omega)$ et $\mathbf{E}(\mathbf{k}, \omega)$

$$ (2.3.17) \qquad \mathbf{J} - i\omega\varepsilon_0\mathbf{E} = -i\omega\varepsilon\cdot\mathbf{E}. $$

Avec (2.3.10), (2.3.17) s'écrit

$$ (2.3.18) \qquad \varepsilon \cdot \mathbf{E} = \varepsilon_0 \left( 1 - \frac{\sigma}{i\omega\varepsilon_0} \right) \cdot \mathbf{E}, $$

<footnote n="1">1. (2.3.12), intégrée sur le volume du diélectrique, conduit à (2.2.29) (Cf. note page 42).</footnote>
Ces deux limites correspondent à

$$N_{II}^2 \to 1 + \left( \frac{n\pi c}{\omega_0 a} \right)^2 \quad \text{pour } x \to \infty$$

$$N_{II}^2 = \left[ \frac{(2n + 1) \pi c}{2a\omega_0} \right]^2 (x - 1)^{-1} \quad \text{pour } x \to 1 \ (x > 1).$$

Les courbes de dispersion sont représentées sur la figure 4.8.

## 4.5. Ondes dans un magnétoplasma homogène, emplissant entièrement un guide ($B_0$ axial)

Avec $B_0$ dirigé le long de Oz, on a

$$(4.5.1) \qquad \kappa_{\perp} = \begin{pmatrix} \kappa_1 - i\kappa_2 \\ i\kappa_2 \end{pmatrix} \qquad \kappa_3 = 1 - \frac{\omega_0^2}{\omega^2}$$

Nous allons voir que les composantes $E_{\parallel}$ et $H_{\parallel}$ ne sont plus indépendantes comme dans les cas étudiés précédemment.

### Équations générales 4.5.1

Dans les équations (4.1.17) et (4.1.18) figurent $\nabla_{\perp} \cdot E_{\perp}$ et $\nabla_{\perp} \times (\kappa_{\perp} \cdot E_{\perp})$. Nous allons exprimer ces termes en fonction des composantes parallèles. En coordonnées cartésiennes (le résultat est vrai aussi pour des coordonnées quelconques) on a, $\kappa_1$ et $\kappa_2$ étant indépendants de $x$ et $y$

$$\begin{aligned} \nabla_{\perp} \cdot D_{\perp} &= \epsilon_0 \nabla_{\perp} \cdot (\kappa_{\perp} \cdot E_{\perp}) \\ &= \epsilon_0 \left[ \frac{\partial}{\partial x} (\kappa_1 E_x - i\kappa_2 E_y) + \frac{\partial}{\partial y} (i\kappa_2 E_x + \kappa_1 E_y) \right] \\ &= \epsilon_0 [\kappa_1 \nabla_{\perp} \cdot E_{\perp} - i\kappa_2 (\nabla_{\perp} \times E_{\perp})_{\parallel}]. \end{aligned}$$

D'où, pour $\kappa_1 \neq 0$, d'après (4.1.15) et (4.1.11)

$$(4.5.2) \qquad \nabla_{\perp} \cdot E_{\perp} = -i\alpha \frac{\kappa_3}{\kappa_1} E_{\parallel} - \omega \mu_0 \frac{\kappa_2}{\kappa_1} H_{\parallel}$$

D'une manière analogue, on calcule

$$\nabla_{\perp} \times (\kappa_{\perp} \cdot E_{\perp}) = i\kappa_2 \nabla_{\perp} \cdot E_{\perp} + \kappa_1 \nabla_{\perp} \times E_{\perp},$$

soit avec (4.5.2) et (4.1.11)

$$(4.5.3) \qquad \left[ \nabla_{\perp} \times (\kappa_{\perp} \cdot E_{\perp}) \right]_{\parallel} = \alpha \frac{\kappa_2 \kappa_3}{\kappa_1} E_{\parallel} + i\omega \mu_0 \frac{\kappa_1^2 - \kappa_2^2}{\kappa_1} H_{\parallel}.$$
et on retrouve, pour l'oscillation de plasma, la propriété (5.5.15), $\overline{W}_E = \overline{W}_K$
Lorsque $B_0 \neq 0$, l'énergie de couplage magnétique intervient. Compte tenu de la
contribution du terme $Jm \left( \frac{\partial J^*}{\partial \omega} \cdot E \right)$, (signalée en (5.5.12)), à la densité
d'énergie, on voit qu'il est difficile de préciser la forme générale de la densité
d'énergie dans la description « charges dans le vide », exception faite de cas simples
comme l'oscillation de plasma où l'on définit, à priori, la densité d'énergie totale
par $\overline{W}_0 = \overline{W}_E + \overline{W}_K$. Dans le chapitre 9, nous la définirons sans ambiguïté à l'aide
de la description diélectrique.

## 5.6. Rayonnement d'une source située dans un plasma homogène illimité

Le problème du rayonnement d'une source ponctuelle dans un milieu anisotrope a été étudié depuis longtemps. On s'est d'abord intéressé au cas d'une source lumineuse placée dans un cristal biréfringent, puis, plus récemment, au rayonnement Cerenkov dont l'étude a été faite par différents auteurs (Ginzburg, Eidman, 1959; Ginzburg, 1960), en particulier en utilisant la transformation de Fourier dans l'espace (Sitenko, Kolomenskii, 1956); cette méthode sera reprise dans ce paragraphe. Certains de ces travaux reposent sur la notion de tenseur de Green (Cf. par exemple Morse et Feshbach, 1953) que nous rappelons plus loin et qui ramène le problème du rayonnement à une simple intégration. Les tenseurs de Green ont été étudiés d'une manière générale (Bresler, Marcuvitz, 1956), et ont été déterminés dans le cas particulier d'un dipôle électrique rayonnant dans un diélectrique anisotrope (Bunkin, 1957; Kogelnik, 1960); nous étudierons ce dernier problème en le traitant par la méthode de Fourier (Lighthill, 1959), puis par la méthode équivalente du tenseur de Green.

### Méthode de la transformée de Fourier 5.6.1

Soit une source, par exemple un courant $J_\omega(r)$ dans une antenne, placée dans un plasma homogène et illimité, et travaillant sur une fréquence donnée $\omega$. Cette source crée en tout point du milieu un champ $E_\omega(r)$, satisfaisant aux équations de Maxwell, c'est-à-dire à l'équation de propagation

$$ (5.6.1) \qquad \nabla \times \nabla \times E_{\omega} - \frac{\omega^2}{c^2} \mathbf{x} \cdot E_{\omega} = i\omega\mu_0 J_{\omega} $$

qui, après transformation de Fourier, s'écrira (Cf. chap. 2)

$$ (\mathbf{k}\mathbf{k} - k^2\mathbf{1} + \frac{\omega^2}{c^2}\mathbf{x}) \cdot \mathbf{E}_\omega(\mathbf{k}) = -i\omega\mu_0\mathbf{J}_\omega(\mathbf{k}). $$
$$
(7.5.28) \quad \text{pour } z \to \infty, \quad Z(z) \approx \sqrt{\pi} \sigma e^{-z^2} - \frac{1}{z} \left(1 + \frac{1}{2z^2} + \dots \right); \quad \sigma = \begin{cases} 0 & \text{si } y > 0 \\ 1 & y = 0 \\ 2 & y < 0. \end{cases}
$$

Exprimée avec la fonction Z(z), l'équation de dispersion des ondes longitudinales (7.3.9) s'écrit <fnref n="1" />

$$
(7.5.29) \qquad x_{||} = 1 - \sum_s \frac{\omega_{ps}^2}{k^2 a_s^2} Z'(z_s) = 1 - \sum_s \frac{\omega_{ps}^2}{\omega^2} z_s^2 Z'_s = 0
$$

avec

$$
(7.5.30) \qquad z_s = \frac{\omega}{ka_s}, \quad a_s^2 = \frac{2KT_s}{m_s} \quad \text{et} \quad Z'_s = Z'(z_s).
$$

Pour les ondes rapides,

$z_s \ll 1$, on a, d'après (7.5.28), (en négligeant le terme en $e^{-z_s^2}$), l'équation de dispersion

$$
(7.5.31) \qquad \omega^2 = \omega_p^2 \left(1 + 3 \frac{KT_e}{m_e} \frac{k^2}{\omega^2}\right) + \Omega_p^2 \left(1 + 3 \frac{KT_i}{m_i} \frac{k^2}{\omega^2}\right)
$$

qui conduit, puisque $\omega_p^2 \gg \Omega_p^2$, à la solution (7.5.3) donnée par Bohm et Gross.
On montre facilement que la partie imaginaire conduit à (7.5.12).

Pour les ondes très lentes

$z_s \sim 1$, la résolution de (7.5.29) ne peut être faite que numériquement. Elle montre que dans un plasma où le rapport $T_e/T_i$ est de l'ordre de l'unité, il n'existe aucune onde très lente qui ne soit très fortement amortie (Fried et Gould, 1961). La figure 7.5, pour $\omega^2$ réel et $k$ complexe, illustre cette propriété (Quemada, 1963).

Une expérience, effectuée sur un plasma de Césium (Wong, d'Angelo, Motley, 1962) où $T_e \simeq T_i \# 2300$ °K, vérifie très bien ces résultats, avec des longueurs d'atténuation de l'ordre de $\lambda/4$, ce qui correspond donc à un amortissement très important.

Si les électrons présentent une vitesse d'ensemble (ou mouvement de dérive), par rapport aux ions, cet amortissement est diminué et disparaît au-dessus d'une certaine vitesse de dérive critique (Fried et Gould, 1961) : on obtient alors une instabilité, qui est du type instabilité de faisceaux (Buneman, 1959), dont l'existence a déjà été mentionnée.

Lorsque $T_e$ devient très grand devant $T_i$,

on peut alors développer les fonctions $Z_e = Z(z_e)$ et $Z_i = Z(z_i)$, respectivement avec (7.5.27) et (7.5.28) pour les arguments $z_e$ et $z_i$ tels que $z_e \ll 1$ et $z_i \gg 1$.
Alors

$$
\begin{align*}
z_e^2 Z'_e &\approx -2z_e^2 - 2i \sqrt{\pi} z_e^3 e^{-z_e^2} \\
z_i^2 Z'_i &\sim 1 + \frac{3}{2z_i^2} - 2i \sqrt{\pi} \sigma z_i^3 e^{-z_i^2}
\end{align*}
$$

<footnote n="1">1. L'expression (7.5.29) aurait pu être obtenue directement à partir des formules (7.1.12) pour la conductivité, en interprétant les intégrales qui y figurent comme en (7.3.7), c'est-à-dire, dans le cas de l'équilibre maxwellien, en fonction de Z(z).</footnote>
## INTRODUCTION

des particules dans l'onde; en plus du mode longitudinal électronique, on trouve un mode longitudinal ionique qui, en très basse fréquence, est le mode pseudosonore. Le cas des magnéto-plasmas (chap. 8) est développé ensuite, mettant en évidence l'amortissement cyclotron; là encore, apparaissent de nouveaux modes, les ondes magnétosonores. Enfin, le transfert d'énergie, dans les plasmas chauds, est analysé dans le cadre de la description diélectrique (chap. 9).

Les phénomènes de collisions proches ont été négligés pratiquement dans tout ce qui précède; ils interviennent cependant d'une manière importante dans les caractéristiques de la propagation, dès que la fréquence de l'onde n'est plus très grande devant la fréquence de ces collisions. Après avoir rappelé un certain nombre de résultats généraux concernant ces chocs, et en particulier, après avoir défini la fréquence effective de collision, le chapitre 10 résume les principaux effets sur les caractéristiques des modes de haute fréquence dans les plasmas froids.

C'est le système MKSA rationalisé qui sera utilisé tout au long de l'ouvrage.

Nous rappelons ici les valeurs des principales constantes physiques :

Vitesse de la lumière dans le vide $c = 2,998 \cdot 10^8$ m/s

Constante diélectrique du vide $\epsilon_0 = \frac{10^{-9}}{36\pi} = 8,854 \cdot 10^{-12}$ farad/m

Perméabilité magnétique du vide $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} = 1,257 \cdot 10^{-6}$ henry/m

Charge électrique de l'électron $q_e = 1,602 \cdot 10^{-19}$ coulomb

Masse de l'électron $m_e = 0,911 \cdot 10^{-30}$ kg

Masse du proton $m_i = 1,838 \cdot 10^{-27}$ kg

Constante de Boltzmann $K = 1,380 \cdot 10^{-23}$ joule /°K

Électron volt eV $1eV = 1,602 \cdot 10^{-19}$ joule

$1eV \leftrightarrow 11.600$ °K

Des références renvoient à des manuels où des notations différentes ont été utilisées: il a donc paru utile de donner un tableau comparé des notations employées.
De même, pour décrire les phénomènes de transport (conductions électrique et thermique, diffusion,...) dans les gaz complètement ionisés, où les collisions entre particules chargées sont les interactions dominantes, on déduit de (1.7.2) (sous la forme Boltzmann, Landau ou Fokker-Planck) des équations de moments qui sont alors les équations fondamentales de la magnétohydrodynamique des gaz complètement ionisés (un exposé général de ces questions — ainsi que des phénomènes ondulatoires dans les plasmas — est donné par Bernstein et Tréhan, 1960).

A l'équilibre thermodynamique, on peut retrouver l'effet d'écran mentionné au début de ce chapitre. Considérons, en effet, un plasma neutre à l'équilibre ($n_{0e}q_e + n_{0i}q_i = 0$) et supposons qu'autour d'un ion les électrons soient répartis, suivant une distribution de Maxwell, dans le potentiel électrostatique $\Phi$ de l'ion :

$$ (1.7.4) \qquad n_e = n_{0e} e^{-q_e \Phi / KT_e} \approx n_{0e} \left(1 - \frac{q_e \Phi}{KT_e}\right) $$

en se limitant à des charges d'espace faibles, telles que $|q_e\Phi| \ll KT_e$ (Cf. § 1.4.3, où, pour le défaut de charge maximum, on avait $q_e\Phi \sim KT_e$).

Portons (1.7.4) dans l'équation de Poisson

$$ \begin{aligned} \epsilon_0 \nabla^2 \Phi &= -(n_{0i}q_i + n_e q_e) \\ &= \frac{n_{0e} q_e^2}{KT_e} \Phi \end{aligned} $$

qui s'écrit, avec $\lambda_D$ défini en (1.4.1)

$$ \nabla^2 \Phi - \lambda_D^{-2} \Phi = 0 $$

et admet, en symétrie sphérique, la solution

$$ (1.7.5) \qquad \Phi = \frac{A}{r} e^{-\tau} \lambda \qquad (A = C^{te}). $$

A la distance $r = \lambda_D$, le potentiel coulombien est donc réduit par un facteur $1/e$ : c'est l'effet d'écran. Quand on tient compte d'une distribution maxwellienne des ions à la même température, on obtient une solution du type (1.7.5), mais où la distance d'écran $\lambda_D$ est remplacée par

$$ \lambda_{\text{écran}} = \lambda_D (1 + \alpha)^{1/2} $$

où $\alpha = \frac{q_i}{|q_e|}$ est relatif à des ions $\alpha$ fois ionisés.

Pour les écarts à l'équilibre, on définit des temps de relaxation qui fixent, pour un processus donné, des temps caractéristiques de retour à l'équilibre (on suppose en fait que le retour se fait suivant une loi en $e^{-t/\tau}$, où $\tau$ est le temps de relaxation). Ainsi, le temps de relaxation pour une perturbation de la neutralité
$$
\text{Posons} \qquad q = \frac{\omega}{\omega_b}, \quad \lambda = \frac{1}{2} \frac{k_\perp^2 a^2}{\omega_b^2}, \quad \alpha = \alpha(q, \lambda) = \frac{\text{KT}}{m} \frac{k_\perp^2}{\omega_p} = \frac{\omega_b^2}{\omega_p^2} \lambda
$$

(6.8.6) devient

$$
\alpha = \frac{\lambda}{q^2 - 1} \left( 1 + \frac{3\lambda}{q^2 - 4} \right).
$$

Les figures (6.4) montrent les variations de $\alpha(q)$ pour $\lambda = 0,1$ et $\lambda = 1$.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 6.4.
Ondes électrostatiques électroniques</figcaption></figure>

Sur ces figures, on a tracé en pointillé les résultats correspondants obtenus par le calcul microscopique (Bernstein, 1958). On constate le bon accord pour $\lambda \ll 1$ et le désaccord dès que $\lambda \gtrsim 1$ (mis à part le fait que la théorie adiabatique ne conduit pas aux harmoniques successifs $\omega = n\omega_b$ pour $n \ge 3$) : on retrouve ici la limite de validité de la théorie adiabatique donnée au § 6.2, $\lambda = \frac{1}{2} \left( \frac{k_\perp a}{\omega_b} \right)^2 \ll 1$ pour $\omega < \omega_b$, et $\lambda \left( \frac{\omega_b}{\omega} \right)^2 \ll 1$ pour $\omega > \omega_b$, conditions qui se confondent pratiquement dans la région considérée $0 \ll q < 3$.

— Pour $\theta$ quelconque (toujours dans le cas où $B_0$ est fort et pour des températures assez basses), posons encore $q = \frac{\omega}{\omega_b} = \frac{1}{b_e}$, et, en plus de $\lambda = \frac{1}{2} \frac{k_\perp^2 a^2}{\omega_b^2} = \frac{1}{2} \frac{k^2 a^2}{\omega_b^2} \sin^2\theta$, posons $\mu = \frac{1}{2} \frac{k^2 a^2}{\omega_b^2} \cos^2\theta$, de sorte que $p_e q^2 \sin^2\theta = \lambda k^2 / k_D^2$ et $p_e^2 q^2 \cos^2\theta = \mu k^2 / k_D^2$ (où $k_D^{-1}$ est la longueur de Debye). Au premier ordre en $\lambda$ et $\mu$, et en négligeant les ions, l'expression (6.8.4) s'écrit

$$
(6.8.8) \qquad \frac{k_D^2}{k^2} = \frac{\lambda}{q^2 - 1} + \frac{\mu}{q^2}
$$

résultat identique à celui du calcul microscopique (Cf. Bernstein, 1958); l'accord est d'ailleurs obtenu aussi pour les termes en $\lambda^2$ et $\mu^2$, mais pas pour ceux en $\mu\lambda$. De (6.8.8), on tire la solution

$$
(6.8.9) \quad q = \frac{\omega}{\omega_b} = \frac{1}{2} \left\{ 1 + \frac{\omega^2}{k^2 a^2} - \left[ \left( 1 - \frac{\omega^2}{k^2 a^2} \right)^2 + \frac{4\omega^2}{k^2 a^2} \sin^2\theta \right]^{1/2} \right\} .
$$
$$ \Phi^{+}(z) = (2\pi i)^{-1} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(x)}{x-z} dx \qquad z \in S^{+} $$

$$ \Phi^{+}(z) = (2\pi i)^{-1} \mathcal{H} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(x)}{x-z} dx + \frac{1}{2} f(z) \quad z \text{ réel} $$

$$ \Phi^{+}(z) = (2\pi i)^{-1} \mathcal{H} \left. \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(x)}{x-z} dx + f(z) \right\} \quad z \in S^{-} $$

$$ \Phi^{+}(z) = \Phi^{-}(z) + f(z). $$

$\Phi^+$ est analytique dans $S^+$ : donc, si elle possède un prolongement analytique dans $S^-$, ses singularités (il y en a obligatoirement, sinon $\Phi^+ = 0$) sont dans $S^-$; mais dans $S^+$, $\Phi^-$ est régulière, donc les singularités de $\Phi^+$ dans $S^-$ sont celles de $f(z)$.

## 8. Étude du mode longitudinal de basse fréquence dans la limite $T_e \gg T_i$

### Équation de dispersion 8.1

Avec $x = \omega_0^2/\omega^2$; $\epsilon_\alpha = c^2/V_\alpha^2 = \frac{m_\alpha c^2}{KT_\alpha}$ ($\alpha = e$ ou $i$); $m = \frac{m_i}{m_e}$ (gaz une fois ionisé);

$$ \frac{\Omega_p^2}{\omega^2} = \frac{x}{m+1} ; \quad \frac{k_{De}^2}{k^2} = \frac{m\epsilon_e}{m+1 N^2} ; \quad \frac{k^2}{k_{Di}^2} = \frac{m+1}{\epsilon_i} \frac{N^2}{x} $$

l'équation (7.5.16) donne

$$ (A-8.1) \qquad x = \frac{m+1}{1 + \frac{3N^2}{\epsilon_i} - \frac{m\epsilon_e}{N^2}} $$

Pour $T_e \gg T_i$ ($\epsilon_i \gg \epsilon_e$), on obtient, pour $x \to \infty$, $N^2 = m\epsilon_e = \frac{m_i c^2}{KT_e} = \frac{c^2}{V_g^2}$.

La théorie adiabatique ($\gamma = 3$) à pression scalaire (Cf. Delcroix et Denisse, 1961) donne, à la place de (A-8.1)

$$ x = \frac{\left(1 - \frac{N^2}{\gamma \epsilon_e}\right) \left(1 - \frac{N^2}{\gamma \epsilon_i}\right)}{1 - \frac{N^2}{\gamma m \epsilon_e}} $$

donnant la même limite, pour $x \to \infty$, à condition de prendre $\gamma = 1$.

### Courbes de dispersion 8.2

Pour $a_i \ll v_\phi \ll a_e$, on a

$$ (A-8.2) \qquad \frac{c^2}{a_e^2} \ll N^2 \ll \frac{c^2}{a_i^2} \quad \text{c'est-à-dire} \quad \epsilon_e \ll N^2 \ll \epsilon_i. $$
<figure><img src="image_1.png" /></figure>
Les courbes de $N_{g1}$ en fonction de $X$, pour différentes valeurs de $Z$, sont montrées sur la figure 10.12. On y voit que la valeur infinie de l'indice $N_{g1}$, pour $Z = 0$, en $X = 1$, est remplacée par des valeurs finies, d'autant plus faibles que $Z$ est grand.

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>FIGURE 10.12. Indice de groupe d'un plasma isotrope : effet des collisions. (D'après Budden, 1961)</figcaption></figure>

C'est la partie imaginaire $N_2$ de $N$ qui est liée à l'absorption le long du rayon et non pas la partie imaginaire $N_{g2}$ de $N_g$. Lorsque $N_2 \ll N_1$ (cas de l'absorption faible), on peut relier, à travers le facteur de phase $e^{-x \cdot r}$, où $x = Jmk$, l'atténuation le long du rayon, entre deux points $a, b$ (Cf. Kelso, 1964, chap. 6):

$$A = \frac{A(b)}{A(a)} = \exp \left[ - \omega \int_{a}^{b} \frac{N_2}{N_1} dt \right]$$

où $A(x)$ est l'amplitude en $x$, l'intégration étant faite le long du rayon « non perturbé » et en supposant l'absorption nulle : lorsque l'absorption est faible, le rayon est correctement déterminé dans la limite $N_2 \to 0$ (Epstein, 1930).

Dans le cas $B_0 \neq 0$, l'effet des collisions est analogue et fait disparaître les valeurs infinies de l'indice $N_g$ (Cf. fig. 3.22).
— Pour le mode droit $E = E_⊥$, $E_y = iE_x$, on a

$$ J_⊥ \cdot E_⊥^* = (\sigma_1 - i\sigma_2) E \cdot E^* $$

$$ (8.7.12) \qquad P_⊥ = \frac{1}{2} |E|^2 (\Re e \sigma_1 + \Im m \sigma_2). $$

D'après (8.7.9), en se limitant aux contributions des électrons

$$ \begin{align*} \Re e \sigma_1 &= \frac{\pi}{2} \frac{\epsilon_0 \omega_p^2}{\omega k} \omega_b \left[ g_{0e} \left( \frac{\omega - \omega_b}{k} \right) - g_{0e} \left( \frac{\omega + \omega_b}{k} \right) \right] \\ \Im m \sigma_2 &= \frac{\pi}{2} \frac{\epsilon_0 \omega_p^2}{\omega k} \omega_b \left[ g_{0e} \left( \frac{\omega - \omega_b}{k} \right) + g_{0e} \left( \frac{\omega + \omega_b}{k} \right) \right] \end{align*} $$

$$ (8.7.13) \qquad P_⊥ = \frac{\pi \omega_p^2 \omega_b}{2 k \omega} g_{0e} \left( \frac{\omega - \omega_b}{k} \right) \epsilon_0 |E|^2. $$

— Pour le mode plasma, $\omega \neq \omega_p$, en négligeant les ions, $E = E_‖$

$$ (8.7.14) \qquad P_{‖} = \frac{1}{2} (\Re e \sigma_3) |E|^2 = - \frac{\pi \omega \omega_p^2}{2 k^2} \left( \frac{\partial g_{0e}}{\partial V} \right) \epsilon_0 |E|^2. $$
$$ V = \frac{\omega}{k} $$

Nous retrouverons ces questions au chapitre 9.

## Modes de particules piégées 8.7.3

Les modes longitudinaux de grande amplitude (avec des particules piégées dans les puits de potentiel de l'onde), étudiés au § 7.4, ont été interprétés comme des solutions non linéaires ne présentant pas d'amortissement, correspondant à un faisceau modulé de charges.

De telles solutions non linéaires existent aussi pour les ondes transversales, et seront excitées dans un plasma par des faisceaux hélicoïdaux modulés.

Plaçons-nous dans le cas d'une onde droite de grande amplitude se propageant dans un plasma, le long de $B_0$. Pour une telle onde, une accélération non linéaire, $\frac{\pi q}{m} w_⊥ \times B_⊥ = \frac{1}{m} j_⊥ \times B_⊥$, représentant le couplage entre les courants et le champ magnétique de l'onde, vient s'ajouter à l'équation de mouvement (8.7.3); cette accélération se traduit par l'apparition d'une variation (non linéaire) du courant longitudinal, associée à la modification d'énergie transversale (Stix, 1962) : cette variation, autour du courant $J_{0‖} = \frac{\pi q}{m} V$ du faisceau, est donnée par

$$ (8.7.15) \qquad \frac{\delta}{\delta t} j_{‖} = \frac{qk}{m\omega} (j_⊥ \cdot E_⊥) = \frac{qk}{m\omega} \frac{\delta}{\delta t} \left( \frac{1}{2} \bar{n} m w_⊥^2 \right) $$

d'après (5.1.2). Or, comme dans le cas longitudinal, les particules résonnantes, initialement en phase avec le champ, sont d'abord accélérées transversalement;
Pour un plasma à deux composants, cette condition s'écrit

$$
(3.4.21) \qquad \chi_1 = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2 - \omega_b^2} - \frac{\Omega_p^2}{\omega^2 - \Omega_b^2} = 0
$$

soit

$$
\omega^4 - (\omega_0^2 + \omega_b^2 + \Omega_b^2) \omega^2 + \omega_b^2 \Omega_b^2 + \omega_b^2 \Omega_p^2 + \Omega_b^2 \omega_p^2 = 0.
$$

Compte tenu des relations existant entre les fréquences caractéristiques d'un
plasma à deux composants ($\alpha$ fois ionisé)

$$
(3.4.22) \quad \frac{\omega_p^2}{\Omega_p^2} = \frac{\omega_b}{\Omega_b} = \frac{m_i}{\alpha m_e} = m, \quad \text{d'où} \quad \omega_b^2 \Omega_p^2 + \Omega_b^2 \omega_p^2 = \omega_b^2 \omega_b \Omega_b,
$$

la condition (3.4.21) s'écrit

$$
(3.4.23) \quad \omega^4 - (\omega_0^2 + \omega_b^2 + \Omega_b) \omega^2 + \omega_b \Omega_b (\omega_0^2 + \omega_b \Omega_b) = 0;
$$

cette équation a deux racines $\omega^2$ positives, qui définissent les fréquences de résonances hybrides $\omega = \omega_I$ et $\omega' = \omega_{II}$. Pour $m \gg 1$, ces racines sont

$$
(3.4.24) \qquad \omega_I^2 = \omega_p^2 + \omega_b^2
$$

$$
(3.4.25) \quad \omega_{II}^2 = \frac{\omega_p^2 + \omega_b \Omega_b}{\omega_p^2 + \omega_b^2} \quad \omega_b \Omega_b = \frac{\Omega_p^2 + \Omega_b^2}{\Omega_p^2 + \omega_b \Omega_b} \quad \omega_b \Omega_b \quad 1
$$

conduisant, dans les deux limites $\omega_p^2 \ll \omega_b\Omega_b$ et $\omega_0^2 \gg \omega_b$, respectivement aux
fréquences de résonance

$$
(3.4.26) \quad \omega_I = \omega_b; \quad \omega_{II} = \Omega_b \quad \text{(plasma peu dense ou champ magnétique fort),}
$$

$$
(3.4.27) \quad \omega_I = \omega_p; \quad \omega_{II} = \sqrt{\omega_b \Omega_b} \quad \text{(plasma dense ou champ magnétique faible).}
$$

La figure 3.9, qui donne les variations de $\omega_I$ et $\omega_{II}$ en fonction de $n$ et $B_0$,
montre ces deux cas limites.

Remarquons qu'on a pratiquement toujours $\omega_I^2 > \omega_p^2 > \omega_{II}^2$.

FRÉQUENCES DE COUPURE

D'après les expressions (3.3.10) des composantes de $\mathbf{x}$, pour un plasma à deux composants, électrons et ions, les fréquences de coupure sont définies par

$$
(3.4.28) \quad \text{a) } \omega = \omega_0 \quad [\text{éq. (3.4.13)}]
$$

b) les racines de l'équation (3.4.14)

$$
(\omega \mp \omega_b)(\omega \pm \Omega_b) - \omega_b^2 = 0
$$

1. L'expression de $\omega_{II}^2$, donnée par Stix (1962)

$$
\frac{1}{\omega_{II}^2} = \frac{1}{\omega_b \Omega_b} + \frac{1}{\Omega_p^2 + \Omega_b^2}
$$

n'est valable que pour $\Omega_p \gg \Omega_b$.
puisque $1 \cdot E \equiv E$. La relation (2.3.18) est une identité, valable pour tout champ $E$ arbitraire : elle résulte de l'équivalence des deux descriptions; on a par conséquent

$$ (2.3.19) \qquad \varepsilon = \varepsilon_0 \left( 1 - \frac{\sigma}{i\omega\varepsilon_0} \right), $$

qui généralise, aux milieux anisotropes, la relation (2.2.27).

Dans toute la suite, nous désignerons par *tenseur diélectrique réduit*, le rapport

$$ (2.3.20) \qquad \kappa = \varepsilon/\varepsilon_0 = 1 - \frac{\sigma}{i\omega\varepsilon_0}. $$

Une fois choisi un modèle pour décrire le milieu, on pourra, en principe, calculer $\sigma$, et de là $\kappa$, et ce résultat, porté dans les équations de Maxwell, conduira à une condition d'existence de l'onde plane considérée, reliant $k$ et $\omega$ : ce sera l'équation de dispersion des ondes planes, permettant la détermination du (ou des) indice(s) du milieu. C'est cette équation que nous allons étudier maintenant.

## 2.4. Forme générale de l'équation de dispersion

Il résulte de ce qui précède que cette forme générale sera valable pour tous les milieux anisotropes. Plaçons-nous dans le cas où il n'y a pas de charges ni de courants extérieurs, ce qui correspond à la recherche des modes propres. Les équations (2.3.16) s'écrivent alors, en éliminant $H$,

$$ (2.4.1) \qquad \left\{ \begin{array}{l} k \times E = \omega B \\ k \times B = -\omega \mu_0 D \\ k \cdot B = 0 \\ k \cdot D = 0 \\ D = \varepsilon_0 \kappa \cdot E. \end{array} \right. $$

Elles montrent que $k$, $B$, $D$ forment un trièdre droit (fig. 2.3), tandis que $E$ est dans le plan $(k, D)$.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 2.3. Champs de l'onde</figcaption></figure>
En portant (4.5.2) et (4.5.3) dans (4.1.17) et (4.1.18), on obtient, avec $N_{\parallel} = \frac{\alpha c}{\omega}$,

$$
(4.5.4) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
(\nabla_{\perp}^2 + s_E^2) E_{\parallel} = r_E H_{\parallel}, \\[1em]
s_E^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \frac{\kappa_3}{\kappa_1} (\kappa_1 - N_{\parallel}^2),
\end{array}
\right.
$$

$$
(4.5.5) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
s_E^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \frac{\kappa_3}{\kappa_1} (\kappa_1 - N_{\parallel}^2), \\[1em]
r_E = -i\omega\mu_0\alpha \frac{\kappa_2}{\kappa_1},
\end{array}
\right.
$$

$$
(4.5.6) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
r_E = -i\omega\mu_0\alpha \frac{\kappa_2}{\kappa_1}, \\[1em]
\text{et} \\[1em]
(4.5.7) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
(\nabla_{\perp}^2 + s_H^2) H_{\parallel} = r_H E_{\parallel}, \\[1em]
s_H^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \left( \frac{\kappa_1^2 - \kappa_2^2}{\kappa_1} - N_{\parallel}^2 \right),
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
$$

$$
(4.5.7) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
(\nabla_{\perp}^2 + s_H^2) H_{\parallel} = r_H E_{\parallel}, \\[1em]
s_H^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \left( \frac{\kappa_1^2 - \kappa_2^2}{\kappa_1} - N_{\parallel}^2 \right),
\end{array}
\right.
$$

$$
(4.5.8) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
s_H^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \left( \frac{\kappa_1^2 - \kappa_2^2}{\kappa_1} - N_{\parallel}^2 \right), \\[1em]
r_H = i\omega\epsilon_0\alpha \frac{\kappa_2\kappa_3}{\kappa_1}.
\end{array}
\right.
$$

$$
(4.5.9) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
r_H = i\omega\epsilon_0\alpha \frac{\kappa_2\kappa_3}{\kappa_1}. \\[1em]
\text{et} \\[1em]
(4.5.10) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
E_{\perp} = \Delta^{-1} \left\{ (\kappa_1 - N_{\parallel}^2) \left[ i\alpha\nabla_{\perp}E_{\parallel} + i\omega\mu_0\nabla_{\perp} \times H_{\parallel} \right] \right. \\
\qquad \left. \qquad + \kappa_2 \left[ \alpha\nabla_{\perp} \times E_{\parallel} + \omega\mu_0\nabla_{\perp}H_{\parallel} \right] \right\}
\end{array}
\right.
$$

$$
(4.5.10) \qquad E_{\perp} = \Delta^{-1} \left\{ (\kappa_1 - N_{\parallel}^2) \left[ i\alpha \nabla_{\perp} E_{\parallel} + i\omega \mu_0 \nabla_{\perp} \times H_{\parallel} \right] \right. \\
\qquad \left. \qquad + \kappa_2 \left[ \alpha \nabla_{\perp} \times E_{\parallel} + \omega \mu_0 \nabla_{\perp} H_{\parallel} \right] \right\}
$$

$$
(4.5.11) \qquad H_{\perp} = \Delta^{-1} \left\{ (\kappa_1 - N_{\parallel}^2) i\alpha \nabla_{\perp} H_{\parallel} - (\kappa_1 - \kappa_2^2 - \kappa_1 N_{\parallel}^2) i\omega \epsilon_0 \nabla_{\perp} \times E_{\parallel} \right. \\
\qquad \left. - \kappa_2 \left[ \alpha \nabla_{\perp} \times H_{\parallel} - \omega \epsilon_0 N_{\parallel}^2 \nabla_{\perp} E_{\parallel} \right] \right\}
$$

$$
(4.5.12) \qquad \Delta = \frac{\omega^2}{c^2} \left[ (\kappa_1 - N_{\parallel}^2)^2 - \kappa_2^2 \right]
$$

expressions qui, dans le cas isotrope, $\kappa_2 = 0$, $\kappa_1 = \kappa^0$, se réduisent à (4.3.4) et (4.3.5).

Les équations (4.5.4) et (4.5.7) montrent que toute solution pour laquelle
$E_{\parallel} \neq 0$ sera nécessairement telle que $H_{\parallel} \neq 0$. Décrivons-la avec $E_{\parallel}$ en éliminant
$H_{\parallel}$. En appliquant l'opérateur $\nabla_{\perp}^2$ à (4.5.4), on obtient, avec (4.5.7)

$$
(\nabla_{\perp}^4 + s_H^2 \nabla_{\perp}^2) E_{\parallel} = r_E (r_H E_{\parallel} - s_H^2 H_{\parallel}) \\
= r_E r_H E_{\parallel} - s_H^2 (\nabla_{\perp}^2 + s_E^2) E_{\parallel},
$$

qui s'écrit

$$
(4.5.13) \qquad (\nabla_{\perp}^4 + a\nabla_{\perp}^2 + b) E_{\parallel} = 0,
$$

où

$$
(4.5.14) \qquad a = s_E^2 + s_H^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \left[ \frac{\kappa_1^2 - \kappa_2^2}{\kappa_1} + \kappa_3 - \left( 1 + \frac{\kappa_3}{\kappa_1} \right) N_{\parallel}^2 \right],
$$

$$
(4.5.15) \qquad b = s_H^2 s_E^2 - r_E r_H = \frac{\omega^4 \kappa_3}{c^4 \kappa_1} \left[ (\kappa_1 - N_{\parallel}^2)^2 - \kappa_2^2 \right].
$$
Elle est de la forme (en omettant les indices $\omega$)

$$ (5.6.2) \qquad \mathcal{R}(k) \cdot E(k) = S(k) $$

et conduit, après inversion du tenseur $\mathcal{R}(k)$, à

$$ (5.6.3) \qquad E(k) = \mathcal{R}^{-1}(k) \cdot S(k). $$

Dans cette dernière équation, le second membre pourra s'écrire $T(k)/R(k)$, où $T(k)$ sera un vecteur dépendant du terme source $S(k)$ et des composantes de $\mathcal{R}(k)$, et où $R(k) = \text{Det}||\mathcal{R}(k)||$; l'équation de dispersion pour les modes propres s'écrit donc $R(k) = 0$. On a alors

$$ E(k) = \frac{T(k)}{R(k)}. $$

Le champ $E(r)$ est donné par la transformation de Fourier inverse

$$ (5.6.4) \qquad E(r) = \int E(k) e^{ik \cdot r} d^3k = \int \frac{T(k)}{R(k)} e^{ik \cdot r} d^3k. $$

L'intégrale de l'expression (5.6.4) est singulière sur la surface $R(k) = 0$ (nous supposons que $T(k)$, dépendant du courant dans l'antenne, ne contribue pas aux singularités, ce qui est vrai en général (Cf. Lighthill, 1959)); cette surface, en fait, n'est autre que la surface des indices (plus exactement, son homothétique dans le rapport $c/\omega$).

Prenons Oz dans la direction d'observation $r$, et décomposons $k$ en $\alpha = k_{\parallel}$ suivant Oz, et $\beta = k_{\perp}$ suivant Ou (fig. 5.11). On peut alors, dans (5.6.4), séparer les intégrations sur $\alpha = |\alpha|$ et $\beta$.

$$ (5.6.5) \qquad E(z) = \iint d^2\beta \int \frac{T(\alpha, \beta)}{R(\alpha, \beta)} e^{i\alpha z} d\alpha. $$

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIGURE 5.11.</figcaption></figure>

Dans la dernière intégrale, le dénominateur s'annule sur la surface $R = 0$, définissant, pour chaque $\beta$, un pôle $\alpha_{\beta}$ tel que

$$ R(\alpha_{\beta}, \beta) = 0. $$
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 7.5.</figcaption></figure>

Ondes longitudinales : $T_e = T_i$, $\omega^2$ réel (— $\omega^2 > 0$ ; — $\omega^2 < 0$)

$$z_s = \frac{\omega}{ka_s} = x_s + iy_s ; \left(\frac{m_i}{m_e}\right)^{1/2} = 500 \text{ (Césium)}$$
<table><caption>TABLEAU DES NOTATIONS UTILISÉES PAR DIFFÉRENTS AUTEURS</caption><thead><tr><th></th><th>GINZBURG (1960)</th><th>BUDDEN (1961)</th><th>DENISSE DELCROIX (1961)</th><th>STIX (1963)</th><th>ALLIS, BERS BUSCHBAUM (1963)</th><th>QUEMADA (1967)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Espace de particule</td><td>(-s, +)</td><td>e, i</td><td>e, i</td><td>k = e, i</td><td>i = -, +</td><td>s = e, i</td></tr><tr><td>Masse</td><td>m<sub>i</sub>, M</td><td>m<sub>ei</sub> III i</td><td>m<sub>ei</sub>, m<sub>i</sub></td><td>m<sub>i</sub></td><td>m<sub>i</sub></td><td>m<sub>s</sub></td></tr><tr><td>Charge électrique</td><td>e</td><td>e (e &lt; 0)</td><td>n<sub>li</sub></td><td>e<sub>i</sub></td><td>N<sub>i</sub></td><td>q<sub>s</sub>, q<sub>i</sub> = - αq<sub>e</sub></td></tr><tr><td>Densités d'équilibre</td><td>N = N<sub>-</sub>; N<sub>+</sub></td><td>N = N<sub>o</sub>; N<sub>i</sub></td><td>p = n<sub>i</sub>KT</td><td>N<sub>li</sub></td><td>P<sub>0</sub></td><td>n<sub>os</sub> = n<sub>os</sub> KT<sub>s</sub></td></tr><tr><td>Pression d'équilibre</td><td>p<sub>e</sub> = N<sub>k</sub>T<sub>e</sub></td><td>—</td><td>ε<sub>i</sub></td><td>ε<sub>0</sub>K</td><td>ε<sub>0</sub>K</td><td>P<sub>s</sub></td></tr><tr><td>Tenseur diélectrique</td><td>ε<sub>i</sub></td><td>—</td><td>h<sub>e</sub></td><td>l<sub>0</sub></td><td>l<sub>0</sub></td><td>ε<sub>0</sub>X</td></tr><tr><td>Long. de Debye électron.</td><td>D</td><td>e<sub>i</sub>(ωt-k,r)</td><td>e<sub>i</sub>(ωt-kx)</td><td>e<sub>i</sub>(k,r-ωt)</td><td>ω</td><td>γ<sub>D</sub></td></tr><tr><td>Ondes planes</td><td>e<sub>i</sub>(ωt-k,r)</td><td>ω</td><td>ω<sub>e</sub></td><td>ω<sub>e</sub></td><td>ω<sub>e</sub></td><td>ω<sub>e</sub> = ω<sub>1</sub> + iω<sub>2</sub>; α = ω - iγ</td></tr><tr><td>Fréquence</td><td>ω' = ω + iγ</td><td>k</td><td>k = α - iβ</td><td>k = k<sub>r</sub> + ik<sub>i</sub></td><td>k = k<sub>1</sub> + k<sub>2</sub>; β = k + iX</td><td>k = k<sub>1</sub> + iN<sub>2</sub></td></tr><tr><td>Vecteur d'onde</td><td>k = k<sub>o</sub> - iq</td><td>11<sup>2</sup></td><td>y</td><td>n<sup>2</sup></td><td>N<sup>2</sup></td><td>N = N<sub>1</sub> + iN<sub>2</sub></td></tr><tr><td>Carré de l'indice (kc)(ω)<sup>2</sup></td><td>n<sup>2</sup></td><td>μ = μ - iχ</td><td>—</td><td>—</td><td>u<sub>p</sub></td><td>u<sub>p</sub>; μ</td></tr><tr><td>Indice complexe</td><td>μ̄ = n - ix</td><td>V</td><td>u<sub>ψ</sub></td><td>u</td><td>u<sub>g</sub></td><td>v<sub>g</sub></td></tr><tr><td>Vitesse de phase</td><td>v<sub>ψ</sub>h</td><td>U</td><td>v<sub>ψ</sub></td><td>v<sub>g</sub></td><td>S</td><td>v<sub>g</sub></td></tr><tr><td>Vitesse de groupe</td><td>v<sub>gr</sub></td><td>Π</td><td>N</td><td>α</td><td>S</td><td>S<sub>g</sub></td></tr><tr><td>Vecteur de Poynting</td><td>S</td><td>—</td><td>—</td><td>Π<sub>k</sub></td><td>—</td><td>S<sub>g</sub></td></tr><tr><td>Angle entre k et v<sub>g</sub></td><td>—</td><td>—</td><td>—</td><td>α</td><td>—</td><td>S<sub>g</sub></td></tr><tr><td>Fréquence plasma (FP)</td><td>ω<sub>0</sub></td><td>ω<sub>N</sub> = ω<sub>1</sub><sup>(e)</sup>; ω<sub>1</sub><sup>(i)</sup></td><td>ω<sub>p</sub>, Ω<sub>p</sub></td><td>ω<sub>p</sub>-, ω<sub>p+</sub></td><td>ω<sub>p</sub>, Ω<sub>p</sub></td><td>ω<sub>p</sub>s; ω<sub>p</sub>, Ω<sub>p</sub></td></tr><tr><td>Fréquence cyclotron (FC)</td><td>ω<sub>11</sub>, Ω<sub>11</sub></td><td>ω<sub>11</sub> = ω<sub>11</sub><sup>(e)</sup>; ω<sub>11</sub><sup>(i)</sup></td><td>ω<sub>b</sub>, Ω<sub>b</sub></td><td>ω<sub>b</sub>-, ω<sub>b+</sub></td><td>ω<sub>b</sub>s = - q<sub>s</sub>B<sub>0</sub>/m<sub>s</sub> { ω<sub>b</sub> = ω<sub>b</sub>s</td></tr><tr><td>Rapport (FC)<sub>e</sub>/(FC)<sub>i</sub></td><td>—</td><td>γ</td><td>m<sub>i</sub> = m<sub>i</sub>/Zm<sub>e</sub></td><td>1/μZ</td><td>m<sub>s</sub> = m<sub>s</sub>/αm<sub>e</sub></td><td>m<sub>s</sub></td></tr><tr><td>(FP)/ω</td><td>—</td><td>√X<sub>e</sub>, √X<sub>i</sub></td><td>—</td><td>α</td><td>—</td><td>b<sub>s</sub></td></tr><tr><td>(FC)/ω</td><td>—</td><td>—</td><td>—</td><td>γ</td><td>—</td><td>x = ω<sub>0</sub>ω<sub>2</sub>; X</td></tr><tr><td>[(FP)<sub>e</sub><sup>2</sup> + (FP)<sub>i</sub>]<sup>1</sup>/[(FP)<sub>e</sub><sup>2</sup> + (FC)<sub>e</sub>]<sup>1</sup> (FC)<sub>i</sub></td><td>—</td><td>—</td><td>A</td><td>γ<sub>R</sub></td><td>—</td><td>A = n<sub>0</sub>(m<sub>e</sub> + m<sub>i</sub>)/ε<sub>0</sub>B<sub>0</sub><sup>2</sup></td></tr><tr><td>[(FP)<sub>i</sub><sup>2</sup> + (FP)<sub>e</sub>]<sup>1</sup>/(FC)<sub>e</sub> (FC)<sub>i</sub></td><td>—</td><td>—</td><td>ω<sub>1</sub></td><td>ω<sub>L</sub></td><td>—</td><td>ω<sub>D</sub></td></tr><tr><td>Coupures</td><td>—</td><td>—</td><td>ω<sub>2</sub></td><td>ω<sub>LH</sub></td><td>—</td><td>ω<sub>G</sub></td></tr><tr><td>Résonances</td><td>—</td><td>—</td><td>ω<sub>1</sub></td><td>ω<sub>UH</sub></td><td>—</td><td>ω<sub>R</sub></td></tr><tr><td>hybrides</td><td>—</td><td>—</td><td>ω<sub>π</sub></td><td>ω<sub>π</sub></td><td>—</td><td>ω<sub>I</sub></td></tr><tr><td>Vitesse d'Alfvèn</td><td>—</td><td>—</td><td>V<sub>g</sub></td><td>V<sub>g</sub></td><td>u<sub>a</sub></td><td>ω<sub>II</sub></td></tr><tr><td>Vitesse sonore ou pseudo-sonore</td><td>—</td><td>—</td><td>V<sub>g</sub></td><td>—</td><td>u<sub>b</sub></td><td>V<sub>g</sub>s, V<sub>ys</sub></td></tr><tr><td>(Fréq. de collision)/ω</td><td>—</td><td>—</td><td>—</td><td>—</td><td>γ</td><td>Z</td></tr><tr><td>Système d'unités</td><td>—</td><td>—</td><td>—</td><td>—</td><td>—</td><td>—</td></tr><tr><td>Système d'axes</td><td>—</td><td>—</td><td>—</td><td>—</td><td>—</td><td>—</td></tr></tbody></table>
électrique est de l'ordre de $\omega_p^{-1}$ : nous avons vu, en effet, qu'une telle perturbation ne se fait pas sentir au-delà de la distance $\lambda_D$ ; on peut donc dire que le temps nécessaire au réajustement de la neutralité se fait dans un temps de l'ordre de grandeur de celui qu'un électron met à parcourir cette distance $\lambda_D$. En prenant pour vitesse moyenne de l'électron la vitesse thermique $a_e \sim (KT_e/m_e)^{1/2}$, on a donc

$$ \tau_p = \frac{\lambda_D}{a_e} = \left( \frac{\varepsilon_0 K T_e}{n_e q_e^2} \cdot \frac{m_e}{K T_e} \right)^{1/2} = \omega_p^{-1}. $$

D'autres temps de relaxation sont définis, relativement à différents processus de retour à l'équilibre (Spitzer, 1956). En particulier, il est fréquent de trouver dans un tube à décharge entretenu des équilibres maxwelliens pour les électrons d'une part, les ions et les neutres d'autre part, avec $T_e \gg T_i \neq T_n$. Lorsque la source est coupée, la température $T_e$ « relaxe » vers la température $T_n$, sous l'effet des chocs électrons-neutres : on définit ainsi un temps de relaxation $\tau_B$ de l'énergie; ce temps peut être évalué grossièrement en remarquant que, lors d'une collision élastique d'un électron, de masse $m$, et d'un neutre, de masse M, l'électron ne perd que la fraction $2m/M$ de son énergie en excès sur celle du neutre : il faudra donc $M/2m$ collisions pour consommer l'excès d'énergie, soit :

$$ \tau_B = \frac{M l_c}{2m a} $$

où $l_c$ est le lpm des électrons et $a$ la vitesse thermique : cela conduit, en pratique, à des temps de l'ordre de quelques µsec.

Signalons enfin qu'il existe des instabilités liées à certaines propriétés de la fonction de distribution : par exemple, en présence d'un champ magnétique, on peut avoir des distributions maxwelliennes à deux températures différentes, $T_{||}$ et $T_{\perp}$ pour les mouvements dans la direction parallèle au champ d'une part, dans les directions perpendiculaires d'autre part (Weibel, 1959; Fried, 1959). Ces instabilités assurent, par des mécanismes non linéaires, le retour à l'équilibre thermodynamique, où $T_{||} = T_{\perp}$. D'autres instabilités sont liées à la présence de faisceaux de particules au sein du plasma (Emeleus et al, 1958; Harris, 1961).

Après cette revue générale des propriétés des plasmas, nous étudierons, dans le prochain chapitre, la description diélectrique du milieu plasma.
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE A-8.1.</figcaption></figure>

Onde longitudinale ionique ($T_e$ » $T_i$) : Onde pseudosonore et Onde de plasma ionique (pour $T_e$ = 100 $T_i$)

$$
\text{Théorie microscopique } T_e \gg T_i \quad
\left\{
\begin{array}{lll}
\text{(1) Onde pseudosonore éq. (7.5.17)} & N^2 = \epsilon_s \frac{x}{x-m} & \text{pour } k^2 \ll k_{De}^2 \quad (N^2 \ll \epsilon_s x) \\[1em]
\text{(2) Oscillation de plasma ionique éq. (7.5.21)} & N^2 = \frac{\epsilon_i}{3} \left(1 - \frac{x}{m}\right) & \text{pour } k_{De}^2 \ll k^2 \ll k_{Di}^2 \\
& & \quad \left(\epsilon_s x \ll N^2 \ll \epsilon_i \frac{x}{m}\right)
\end{array}
\right.
\\[1em]
\text{Théorie adiabatique aucune condition de température} & x = \frac{\left(1 - \frac{N^2}{3\epsilon_s}\right) \left(1 - \frac{N^2}{3\epsilon_i}\right)}{1 - \frac{N^2}{3\epsilon_s}} & \text{Aucune condition sur } k, \text{ donc sur } \omega
\end{array}
\right.
$$

Les courbes de dispersion sont tracées pour $T_e = 10^2 T_i$ et $T_e = 10^4 T_i$. Dans le premier cas, l'approximation (7.5.21) s'écarte notablement de la courbe exacte et ne peut donc pas être utilisée; cela provient de ce que $k_{De}$ et $k_{Di}$ sont encore trop voisins ($k_{De}^2/k_{Di}^2 = T_e/T_i \approx 10^2$) et qu'on ne peut pas négliger les termes en $k_{De}^2/k^2$ pour $k^2 \ll k_{Di}^2$. Dans le second cas, l'approximation est correcte et,
ceci, d'après (8.7.15), se traduit par une accélération longitudinale : les particules devancent de plus en plus l'onde, jusqu'à se trouver en opposition de phase avec elle; elles commencent alors à être ralenties jusqu'au moment où elles se retrouvent en phase avec le champ. A la propagation de l'onde de grande amplitude sont donc associées des oscillations longitudinales des charges : on retrouve l'oscillation des particules piégées dans des puits de potentiel.

Le temps de piégeage $\tau_p$ — qui ici, sera aussi l'ordre de grandeur du temps pendant lequel la description linéaire reste valable — sera donc défini par le temps pour lequel la phase du champ, vu par une particule, change de $\pi$, donc pour lequel la distance $z$ parcourue par une particule (dans le référentiel de l'onde) sera de l'ordre de la longueur d'onde

$$ (8.7.16) \qquad \int_{0}^{\tau_p} w_{\parallel} dt \approx k^{-1} $$

soit, d'après (8.7.15)

$$ \int_{0}^{\tau_p} w_{\perp}^2 dt \approx \frac{\omega}{k^2}. $$

Or, pour la particule résonnante, le module de la vitesse $w_\perp$ croît proportionnellement à $t$ : $|v_\perp|^2 \approx \frac{q^2 E^2}{m^2} t^2$ (Cf. par ex. Delcroix, 1963); ce résultat aurait d'ailleurs pu être obtenu directement par intégration de (8.7.3). La définition (8.7.16) de $\tau_p$ s'écrit alors

$$ \frac{1}{3} \frac{q^2 E^2}{m^2} \tau_p^3 \approx \frac{\omega}{k^2} $$

soit

$$ (8.7.17) \qquad \tau_p \approx \left( \frac{3m^2\omega}{q^2k^2E^2} \right)^{1/2} $$

qui correspond à (7.4.3) obtenu pour les ondes longitudinales. Ici encore, de tels modes de particules piégées ne pourront être observés que si le mécanisme d'accélération peut prendre place, c'est-à-dire s'il y a peu de collisions pendant le temps $\tau_p$

$$ v \tau_p \lesssim 1. $$

(8.7.17) définit alors l'amplitude du champ $E_\perp$ de l'onde, à partir de laquelle le piégeage a lieu

$$ (8.7.18) \qquad E_\perp^2 \gtrsim \frac{3m^2\omega}{q^2k^2\tau_p^3}. $$

Dans le cas des ondes longitudinales, cette condition s'écrivait (Cf. (7.4.3))

$$ (8.7.19) \qquad E_{\parallel}^2 \gtrsim \frac{m^2}{q^2 k^2 \tau_{pL}^4}. $$
qui, compte tenu de (3.4.22), s'écrit

$$ (3.4.29) \qquad \omega^2 = \omega(\omega_b - \Omega_b) - (\omega_b^2 + \omega_b \Omega_b) = 0. $$

Ces racines sont (en ne conservant que les solutions $\omega > 0$)

$$ (3.4.30) \qquad \omega = \frac{1}{2} \left[ \sqrt{(\omega_b + \Omega_b)^2 + 4\omega_b^2} \pm (\omega_b - \Omega_b) \right]. $$

Sauf pour les plasmas très peu denses ou les champs magnétiques très forts pour lesquels les coupures se confondent en fait avec les fréquences gyromagnétiques, ces expressions deviennent pratiquement, en négligeant les termes en $\frac{1}{m} \ll 1$

$$ (3.4.31) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \omega_D = \frac{1}{2} \left( \sqrt{\omega_b^2 + 4\omega_p^2} + \omega_b \right) \\ \omega_G = \frac{1}{2} \left( \sqrt{\omega_b^2 + 4\omega_p^2} - \omega_b \right) = \omega_D - \omega_b. \end{array} \right. $$

La figure 3.10 donne $\omega_G$ en fonction de $n$ et $B_0$; on en déduit $\omega_D = \omega_G + \omega_b$. Au voisinage de ces coupures et dans la limite des champs magnétiques faibles, $\omega_b \ll \omega_p$, ces fréquences deviennent

$$ (3.4.32) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \omega_D \approx \omega_p + \frac{\omega_b}{2} \\ \omega_G \approx \omega_p - \frac{\omega_b}{2} \end{array} \right. $$

L'onde transversale, au voisinage de $\omega = \omega_p$ (coupure du mode transverse (3.2.13)) a donc été décomposée par le champ magnétique : c'est un *effet Zeeman*; nous verrons, lors de l'étude des ondes qui se propagent parallèlement ou perpendiculairement à $B_0$, que ces deux fréquences (3.4.32) correspondent respectivement au doublet Zeeman (avec deux ondes polarisées circulairement dans le plan perpendiculaire à $B_0$) et au triplet Zeeman (composé de ces mêmes ondes, et, en plus, d'une onde polarisée le long de $B_0$).

## Polarisation des ondes 3.4.2

Pour caractériser chaque solution de (3.4.2), il faut préciser les positions relatives des vecteurs **E** et **k**. Dans le système de coordonnées choisies, où **k** est fixé, cela reviendra à étudier les composantes de **E**. En général, lorsqu'un champ magnétique est présent et pour $\theta$ quelconque, nous ne rencontrerons pas, comme dans le cas $B_0 = 0$, de polarisations simples (purement longitudinale ou purement transversale).

Quand le déterminant (3.4.1) est nul, les composantes de **E** sont proportionnelles aux mineurs correspondants : en développant ce déterminant par rapport à la première ligne, on obtient

$$ (3.4.33) \qquad \frac{E_x}{(N^2 - \kappa_1)(N^2 \sin^2\theta - \kappa_3)} = \frac{E_y}{i\kappa_2(N^2 \sin^2\theta - \kappa_3)} = \frac{E_z}{N^2 \sin\theta \cos\theta (N^2 - \kappa_1)}. $$
<figure><img src="image_7.png" /></figure>
En portant (4.5.2) et (4.5.3) dans (4.1.17) et (4.1.18), on obtient, avec $N_{\parallel} = \frac{\alpha c}{\omega}$,

$$
(4.5.4) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
(\nabla_{\perp}^2 + s_E^2) E_{\parallel} = r_E H_{\parallel}, \\[1em]
s_E^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \frac{\kappa_3}{\kappa_1} (\kappa_1 - N_{\parallel}^2),
\end{array}
\right.
$$

$$
(4.5.5) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
s_E^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \frac{\kappa_3}{\kappa_1} (\kappa_1 - N_{\parallel}^2), \\[1em]
r_E = -i\omega\mu_0\alpha \frac{\kappa_2}{\kappa_1},
\end{array}
\right.
$$

$$
(4.5.6) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
r_E = -i\omega\mu_0\alpha \frac{\kappa_2}{\kappa_1}, \\
\text{et} \\
(4.5.7) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
(\nabla_{\perp}^2 + s_H^2) H_{\parallel} = r_H E_{\parallel}, \\[1em]
(4.5.8) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
s_H^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \left( \frac{\kappa_1^2 - \kappa_2^2}{\kappa_1} - N_{\parallel}^2 \right), \\[1em]
r_H = i\omega\epsilon_0\alpha \frac{\kappa_2\kappa_3}{\kappa_1}.
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
$$

et

$$
(4.5.7) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
(\nabla_{\perp}^2 + s_H^2) H_{\parallel} = r_H E_{\parallel}, \\[1em]
(4.5.8) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
s_H^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \left( \frac{\kappa_1^2 - \kappa_2^2}{\kappa_1} - N_{\parallel}^2 \right), \\[1em]
r_H = i\omega\epsilon_0\alpha \frac{\kappa_2\kappa_3}{\kappa_1}.
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
$$

$$
(4.5.8) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
s_H^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \left( \frac{\kappa_1^2 - \kappa_2^2}{\kappa_1} - N_{\parallel}^2 \right), \\[1em]
r_H = i\omega\epsilon_0\alpha \frac{\kappa_2\kappa_3}{\kappa_1}.
\end{array}
\right.
$$

$$
(4.5.9) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
r_H = i\omega\epsilon_0\alpha \frac{\kappa_2\kappa_3}{\kappa_1}. \\
\text{et} \\
(4.5.10) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
E_{\perp} = \Delta^{-1} \left\{ (\kappa_1 - N_{\parallel}^2) \left[ i\alpha\nabla_{\perp}E_{\parallel} + i\omega\mu_0\nabla_{\perp} \times H_{\parallel} \right] \right. \\
\qquad \left. \qquad + \kappa_2 \left[ \alpha\nabla_{\perp} \times E_{\parallel} + \omega\epsilon_0\nabla_{\perp}H_{\parallel} \right] \right\}
\end{array}
\right.
$$

Ces expressions ont été données aussi par Fainberg et Gorbatenko (1959) et par
Bers (1963).

On vérifie bien sur ces équations que pour le plasma isotrope (κ₂ = 0), les composantes E<sub>ll</sub> et H<sub>ll</sub> se découpulent, conduisant alors à des modes TE ou TM. Pour le plasma anisotrope, il n'existe plus d'ondes TE ou TM pures.

Les composantes $E_{\perp}$ et $H_{\perp}$ seront déduites des solutions $E_{\parallel}$ et $H_{\parallel}$ à l'aide
des relations (4.1.19) et (4.1.20), qui s'écrivent alors, après quelques calculs,

$$
(4.5.10) \quad E_{\perp} = \Delta^{-1} \left\{ (\kappa_1 - N_{\parallel}^2) \left[ i\alpha \nabla_{\perp} E_{\parallel} + i\omega \mu_0 \nabla_{\perp} \times H_{\parallel} \right] \right. \\
\qquad \left. \qquad + \kappa_2 \left[ \alpha \nabla_{\perp} \times E_{\parallel} + \omega \varepsilon_0 \nabla_{\perp} H_{\parallel} \right] \right\}
$$

$$
(4.5.11) \quad H_{\perp} = \Delta^{-1} \left\{ (\kappa_1 - N_{\parallel}^2) i\alpha \nabla_{\perp} H_{\parallel} - (\kappa_1 - \kappa_2^2 - \kappa_1 N_{\parallel}^2) i\omega \varepsilon_0 \nabla_{\perp} \times E_{\parallel} \right. \\
\qquad \left. \qquad - \kappa_2 [\alpha \nabla_{\perp} \times H_{\parallel} - \omega \varepsilon_0 N_{\parallel}^2 \nabla_{\perp} E_{\parallel}] \right\}
$$

où

$$
(4.5.12) \qquad \Delta = \frac{\omega^2}{c^2} \left[ (\kappa_1 - N_{\parallel}^2)^2 - \kappa_2^2 \right]
$$

expressions qui, dans le cas isotrope, $\kappa_2 = 0$, $\kappa_1 = \kappa^0$, se réduisent à (4.3.4) et (4.3.5).

Les équations (4.5.4) et (4.5.7) montrent que toute solution pour laquelle
$E_{\parallel} \neq 0$ sera nécessairement telle que $H_{\parallel} \neq 0$. Décrivons-la avec $E_{\parallel}$ en éliminant
$H_{\parallel}$. En appliquant l'opérateur $\nabla_{\perp}^2$ à (4.5.4), on obtient, avec (4.5.7)

$$
(\nabla_{\perp}^4 + s_E^2 \nabla_{\perp}^2) E_{\parallel} = r_E (r_H E_{\parallel} - s_H^2 H_{\parallel}) \\
= r_E r_H E_{\parallel} - s_H^2 (\nabla_{\perp}^2 + s_E^2) E_{\parallel},
$$

qui s'écrit

$$
(4.5.13) \qquad (\nabla_{\perp}^4 + a\nabla_{\perp}^2 + b) E_{\parallel} = 0,
$$

où

$$
(4.5.14) \qquad a = s_E^2 + s_H^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \left[ \frac{\kappa_1^2 - \kappa_2^2}{\kappa_1} + \kappa_3 - \left(1 + \frac{\kappa_3}{\kappa_1}\right) N_{\parallel}^2 \right],
$$

$$
(4.5.15) \qquad b = s_H^2 s_E^2 - r_E r_H = \frac{\omega^4 \kappa_3}{c^4 \kappa_1} \left[ (\kappa_1 - N_{\parallel}^2)^2 - \kappa_2^2 \right].
$$
On intègre cette dernière intégrale par la méthode des résidus, et il reste alors la somme des contributions de chaque pôle $\alpha_{\beta}$. Pour chacun de ces pôles (supposés simples), on aura donc une contribution $E_{\alpha_{\beta}}$ au champ total

$$E_{\alpha_{\beta}}(z) = 2\pi i \iint d^2\beta \frac{T(\alpha_{\beta}, \beta)}{R'_{\alpha}(\alpha_{\beta}, \beta)} e^{i\alpha_{\beta}z}.$$

Cette intégrale se transforme facilement en intégrale de surface, étendue à la surface des « indices » $R = 0$. La normale à cette surface $R = 0$, définie par $\nabla_k R$, a donc pour composantes $R'_{\beta y}$, $R'_{\beta x}$, $R'_z$; si $\Psi$ est l'angle entre $Oz$ et la normale à $R = 0$, et si $d\sigma$ est l'élément de surface de $R = 0$, on a (fig. 5.12)

$$d^2\beta = d\sigma \cos \Psi \quad \text{et} \quad R'_{\alpha}(\alpha_{\beta}, \beta) = |\nabla_k R| \cos \Psi$$

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIGURE 5.12.</figcaption></figure>

où $\nabla_k R$ est évalué au point $(\alpha_{\beta}, \beta)$.

D'où :

$$(5.6.6) \qquad E_{\alpha_{\beta}}(z) = 2\pi i \int_{R=0}^{\Psi} \frac{T(\alpha_{\beta}, \beta)}{|\nabla_k R|} e^{i\alpha_{\beta}z} d\sigma.$$

La condition de rayonnement à grande distance (qui implique des champs qui tendent vers $0$ quand $r \to \infty$) conduit à éliminer certains pôles, c'est-à-dire à n'intégrer que sur une portion $(R_+)$ de la surface $R = 0$. Cette portion est définie par la condition suivante : l'angle entre $k$ et le vecteur $r$ doit être inférieur à $\pi/2$. Dans le cas général, cette condition angulaire est très difficile à formuler : il est alors plus simple d'exprimer la condition de rayonnement sous forme mathématique (Deschamps, 1961); ainsi, une règle générale, due à J.-P. Lafon (1967) est donnée dans l'appendice 4.

Puis, pour évaluer l'intégrale (5.6.6), on montre, comme en optique, que lorsque $z$ est grand, seuls entrent en ligne de compte les points de $(R_+)$ où la
En portant ces développements dans (7.5.29), après y avoir négligé les termes en $z^3e^{-\lambda t}$, on retrouve l'équation (7.5.16) obtenue par un calcul direct.

Enfin, la limite statique

$\omega = 0$ donne à partir de (7.4.29) dans laquelle, d'après (7.5.26), $Z'(0) = -2$

$$ (7.5.32) \qquad x_{\parallel}(k, \omega) = 1 + \frac{k_{De}^2 + k_{Di}^2}{k^2} $$

exprimant les effets d'écran dus aux particules.

### 7.5.2.4. COMPARAISON AVEC LA THÉORIE HYDRODYNAMIQUE

Comparons ces résultats à ceux qui seraient donnés par la théorie adiabatique à pression scalaire, (ou à $\nabla \cdot \mathbf{Q} = 0$ : il n'y a pas de différence pour les ondes longitudinales lorsque $\gamma_e = \gamma_i = 3$). L'onde très lente est définie, d'après (6.4.8) (sans faire le calcul au 1er ordre en $\tau_s$, bien entendu), par

$$ (7.5.33) \qquad x'_{\parallel} = 1 - \sum_s \frac{\omega_p^2}{\omega^2} (1 - \gamma_s \tau_s)^{-1} = 0. $$

La limite des très basses fréquences est obtenue en ne conservant que les termes sous le signe $\Sigma_s$ (termes » 1), ce qui conduit à une vitesse de phase, dans le cas d'un gaz une fois ionisé ($\alpha = 1$) (Cf. par ex. Denisse et Delcroix, 1961)

$$ V_{SM}^2 = \frac{\omega_p^2 V_i^2 + \Omega_p^2 V_e^2}{\omega_p^2 + \Omega_p^2} = V_i^2 \frac{1 + (\gamma_e T_e / \gamma_i T_i)}{1 + (m_e / m_i)} \quad \text{où} \quad V_s^2 = \gamma_s \frac{KT_s}{m_s}. $$

Dans le cas $T_e \gg T_i$, cette expression s'écrit

$$ (7.5.34) \qquad V_{SM}^2 = \gamma_e \frac{KT_e}{m_i}. $$

Mis à part le facteur $\gamma_e$, ce résultat est identique au résultat microscopique (7.5.18); en particulier il donne les mêmes dépendances en fonction de $T_e$ et de $m_i$<fnref n="1" />. Mais, la théorie adiabatique — qui conduit, pour le choix $\gamma_e = 3$, à une équation de dispersion correcte pour les oscillations de plasma électroniques — donnera, pour l'onde pseudosonore, une vitesse de phase $V_{SM}$ incorrecte. Néanmoins, une théorie « isotherme » pour les électrons ($\gamma_e = 1$) donnerait le résultat exact (7.5.18) : ce choix pourrait être justifié par la grande agitation thermique des électrons ($a_e \gg \omega/k$) qui assurerait les échanges de chaleur et maintiendrait donc isotherme la compression du gaz d'électrons, lors du passage de l'onde.

Pour les fréquences $\omega \simeq \Omega_p$, l'équation (7.5.32) conduit à une oscillation du type oscillation de plasma ionique, donnée en (7.5.21). Dans le calcul microscopique, cette

<footnote n="1">1. Ce point a été clairement vérifié dans les expériences d'Alexeff et Neidigh (1963). Cependant, les conditions expérimentales ne permettent pas, semble-t-il, de discuter la valeur qu'on doit attribuer à $\gamma$ (Cf. aussi Little, 1961).</footnote>
<figure><img src="image_3.png" /></figure>
<figure><img src="image_6.png" /></figure>
dans tout le domaine (A-8.2), la théorie isotherme à pression scalaire serait une approximation acceptable.

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE A-8.2. Idem fig. A-8.1 mais avec $T_e = 10^4 T_i$</figcaption></figure>

## Amortissement du mode basse fréquence 8.3

Dans la limite $T_e \gg T_i$, cet amortissement est très faible. Par un calcul analogue à celui du § 7.5.1, mais en gardant les contributions électronique et ionique, on a

$$x_{II}(k, \alpha) = 0 \qquad \alpha = \omega + i\gamma_L$$

avec

$$x_{II}(k, \omega) = 1 - \sum_s \frac{\omega_{ps}^2}{k^2} \left[ \mathcal{L} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\bar{\varphi}'_s(v)}{v - \frac{\omega}{k}} dv + \pi i \bar{\varphi}'_s\left(\frac{\omega}{k}\right) \right].$$

On en déduit

$$\gamma_L = \frac{\pi \omega}{2 k^2} \sum_s \omega_{ps}^2 \bar{\varphi}'_s\left(\frac{\omega}{k}\right).$$
Pour des amplitudes de champs égales, le rapport $(\tau_p/\tau_{pL})^3$ vaut $3\omega\tau_{pL}$; ce facteur étant en général très supérieur à 1, la description linéaire des ondes longitudinales tombera en défaut beaucoup plus tôt que celle des ondes transversales.

Des modes de particules piégées, associés aux résonances sur les harmoniques $\omega' = n\omega_{bs}$, existent aussi; il faut alors que $k_\perp \neq 0$. Ils correspondent à l'excitation non linéaire de modes analogues à ceux de Van Kampen, associés à des modes de particules libres; ces derniers, rappelons-le, sont dans le cadre d'une description linéaire, impossibles à exciter. De tels modes ont été étudiés pour $\omega \simeq \omega_b$ par la méthode de Van Kampen (Felderhof, II, 1963).

## 8.8. Étude de la résonance gyromagnétique électronique

L'effet des électrons résonnants se traduit par un amortissement cyclotron de l'onde droite. Nous allons étudier cet amortissement dans le cadre de la théorie linéaire, en utilisant l'expression (8.3.5) de l'indice

$$N_D^2 = \chi_1 + \chi_2 = 1 + \sum_s \left( \frac{\omega_p^2}{\omega^2} z_0 Z_{-1} \right)_s$$

Au voisinage de la résonance $\omega = \omega_b$, seuls les termes électroniques contribuent de manière appréciable à $N_D^2$: en tenant compte de $\frac{\omega_b}{\Omega_b} = \frac{\omega_p^2}{\Omega_p^2} \gg 1$, on a en effet

$$(8.8.1) \qquad N_D^2 = 1 + \frac{\omega_p^2}{\omega ka_e} Z\left(\frac{\omega - \omega_b}{ka_e}\right) + \frac{\Omega_p^2}{\omega ka_i} Z\left(\frac{\omega + \Omega_b}{ka_i}\right).$$

L'équation (8.8.1) ne conduit pas, comme dans le cas des plasmas froids, à une valeur infinie de $N_D$, au voisinage de la résonance; celle-ci, obtenue pour $\omega - \omega_b \sim ka_e$, donc pour $Z(\frac{\omega - \omega_b}{ka_e})$ fini, donne $N_D$, c'est-à-dire à $k$, fini. Supposons donc (et nous le vérifierons ensuite) que $\omega_b \gg ka_e$ et, à fortiori, $\omega_b \gg ka_i$. Pour $\omega \sim \omega_b \gg \Omega_b$, $Z(\frac{\omega + \Omega_b}{ka_i}) \sim -\frac{ka_i}{\omega + \Omega_b} \cdot D'$où

$$(8.8.2) \qquad N_D^2 = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega\omega_b} \left[ \frac{\Omega_b}{\omega + \Omega_b} - \frac{\omega_b}{ka_e} Z\left(\frac{\omega - \omega_b}{ka_e}\right) \right].$$
contribution du vide contribution des ions contribution des électrons$$

Pour $\frac{\omega_b}{ka_e} \gg 1$, on pourra donc négliger les contribution sdu vide et des ions

$$(8.8.3) \qquad N_D^2 \approx \frac{\omega_p^2}{\omega ka_e} Z\left(\frac{\omega - \omega_b}{ka_e}\right), \quad |N_D^2| \gg 1.$$

— Assez loin de la résonance, de telle manière que $\frac{\omega - \omega_b}{ka_e} \gg 1$, tout en continuant de satisfaire à $\frac{|\omega - \omega_b|}{\omega_b} \ll 1$ (ce qui est possible puisque $(\omega_b/ka_e) \gg 1$) on trouve (Appen-dice 10)
En particulier, pour les composantes dans un plan perpendiculaire à B₀

$$
(3.4.34) \qquad \frac{E_y}{E_\alpha} = \frac{i\kappa_2}{N^2 - \kappa_1}
$$

et pour les composantes dans le plan (k, B₀)

$$
(3.4.35) \qquad \frac{E_x}{E_z} = \frac{N^2 \sin^2\theta - \kappa_3}{N^2 \sin\theta \cos\theta}.
$$

Dans chacun des cas particuliers, θ = 0 ou θ = π/2, les deux modes sont découpés. On a obtenu un mode polarisé linéairement suivant Oz, c'est-à-dire suivant B₀, et un ou deux modes polarisés dans le plan (x, y), dont la polarisation est définie par (3.4.34) (évidemment, on ne peut plus utiliser (3.4.33) ou (3.4.35) pour caractériser E_z).

AU VOISINAGE D'UNE RÉSONANCE, définie par

$$
(3.4.36) \qquad \mathcal{A} = 0
$$

les expressions (3.4.34) et (3.4.35) montrent immédiatement que

$$
\frac{E_y}{E_\alpha} \sim \frac{i\kappa_2}{N^2} \to 0 \text{ (pour } \kappa_2 \text{ fini)}
$$

et

$$
\frac{E_x}{E_z} \approx \operatorname{tg} \theta = \frac{k_x}{k_z}
$$

l'onde est alors toujours une onde longitudinale (E colinéaire à k), sauf pour
0 = 0, κ₃ ≠ 0 qui correspond alors à κ₂ → ∞ comme N² : on a κ₂/N² → 1 pour
ω → |ωbs| ; l'onde est alors circulaire droite ou gauche (Cf. p. 85). Remarquons
que la condition (3.4.36) détermine les ondes polarisées longitudinalement : leur
équation de dispersion s'obtient facilement à partir de l'équation de Poisson
k · D = 0, c'est-à-dire

$$
(3.4.37) \qquad k \cdot \mathbf{k} \cdot \mathbf{E} = 0.
$$

Dans le système d'axes choisi, avec (3.3.9) pour κ, la condition E colinéaire à
k = (k sin θ, 0, k cos θ), entraîne

$$
(3.4.38) \qquad \kappa_1 \sin^2\theta + \kappa_3 \cos^2\theta = 0
$$

qui est bien la relation (3.4.36).

AU VOISINAGE D'UNE COUPURE

$$
(3.4.39) \qquad \frac{E_y}{E_\alpha} \sim -i \frac{\kappa_2}{\kappa_1}; \quad \frac{E_z}{E_\alpha} \to 0
$$

l'onde a toujours une polarisation perpendiculaire à B₀, sauf pour la coupure
Relativement à $\mathbf{k}$, les vecteurs $\mathbf{D}$ et $\mathbf{B}$ sont transversaux, mais $\mathbf{E}$ ne l'est pas : le champ électrique a une composante longitudinale $E_L$, qui correspond à la présence des charges libres, ou des charges de polarisation. En effet, l'équation de Poisson s'écrit, pour $\mathbf{E}$

$$k \cdot \varepsilon_0 \mathbf{E} = \rho,$$

ce qui donne donc ici $k \cdot \mathbf{E} \neq 0$, donc $E_L \neq 0$. Cette propriété est commune à tous les milieux anisotropes.

En éliminant le champ magnétique $\mathbf{B}$ de l'onde entre (2.4.1 a) et (2.4.1 b), on obtient

$$(2.4.2) \qquad \mathbf{k} \times (\mathbf{k} \times \mathbf{E}) + \frac{\omega^2}{c^2} \mathbf{x} \cdot \mathbf{E} = 0,$$

où $c = (\varepsilon_0\mu_0)^{-1/2}$ est la vitesse de la lumière dans le vide.

Définissons le vecteur indice, sans dimension, par

$$(2.4.3) \qquad \mathbf{N} = \frac{\mathbf{c}}{\omega} \mathbf{k} = \mathbf{k}/k_0,$$

où $k_0 = \frac{\omega}{c}$ est le nombre d'onde dans le vide. Le module de ce vecteur est évidemment l'indice habituel

$$N = \frac{kc}{\omega} = \frac{c}{v_{\phi}}.$$

Exprimée avec (2.4.3), (2.4.2) devient

$$(2.4.4) \qquad \mathbf{N} \times (\mathbf{N} \times \mathbf{E}) + \mathbf{x} \cdot \mathbf{E} = 0.$$

Compte tenu de

$$\begin{aligned} \mathbf{N} \times (\mathbf{N} \times \mathbf{E}) &= (\mathbf{N} \cdot \mathbf{E})\mathbf{N} - \mathbf{N}^2\mathbf{E} \\ &= \mathbf{N}\mathbf{N} \cdot \mathbf{E} - \mathbf{N}^2\mathbf{E} \end{aligned}$$

où $\mathbf{N}$ représente le produit tensoriel du vecteur $\mathbf{N}$ par lui même (dyade). Cette relation résulte de ce que la composante $\alpha$ du produit tensoriel est

$$\sum_{\beta} \mathbf{N}_{\alpha} \mathbf{N}_{\beta} \mathbf{E}_{\beta} = (\sum \mathbf{N}_{\beta} \mathbf{E}_{\beta}) \mathbf{N}_{\alpha} = (\mathbf{N} \cdot \mathbf{E}) \mathbf{N}_{\alpha}.$$

L'équation (2.4.4) s'écrit sous forme tensorielle

$$(2.4.5) \qquad (\mathbf{N}\mathbf{N} - \mathbf{N}^2\mathbf{1} + \mathbf{x}) \cdot \mathbf{E} = 0,$$

qui représente les trois équations

$$(2.4.6) \qquad \sum_{\beta} (\mathbf{N}_{\alpha} \mathbf{N}_{\beta} - \mathbf{N}^2 \delta_{\alpha\beta} + \mathbf{x}_{\alpha\beta}) \mathbf{E}_{\beta} = 0 \quad (\alpha = x, y, z)$$

où $\delta_{\alpha\beta}$ est le symbole de Kronecker ($\delta_{\alpha\beta} = 1$ pour $\alpha = \beta$; $\delta_{\alpha\beta} = 0$ pour $\alpha \neq \beta$).
On obtient pour $E_{\parallel}$ une équation différentielle du 4e ordre, qui conduit, lorsqu'on en cherche des solutions en $e^{ik_{\perp} \cdot r_{\perp}}$, à quatre valeurs possibles pour le vecteur d'onde transverse $k_{\perp}$, avec $\nabla_{\perp} = ik_{\perp}$, valeurs qui sont solutions de

$$ (4.5.16) \qquad k_{\perp}^4 - ak_{\perp}^2 + b = 0. $$

Elles correspondent aux quatre solutions trouvées dans le cas du plasma illimité (deux solutions en $N^2$ qui fournissent deux couples $\pm k_1$ et $\pm k_2$); l'équation (4.5.16), pour $\frac{k_{\perp}c}{\omega} = N\sin\theta$, et $\frac{k_{\parallel}c}{\omega} = \frac{\alpha c}{\omega}N = \cos\theta$, $\theta$ étant l'angle $(B_0, k)$, redonne d'ailleurs l'équation de dispersion générale (3.4.2).

En particulier, pour $k_{\perp} = 0$ (ondes planes se propageant dans la direction $Oz$), on a $b=0$: on retrouve le mode droit et le mode gauche $N_{\parallel}^2 = (\kappa_1 \pm \kappa_2)$ et l'oscillation de plasma $\kappa_3 = 0$ du cas illimité, en propagation parallèle à $B_0$.

Inversement, pour $N_{\parallel} = 0$, on obtient l'équation pour $N_{\perp} = k_{\perp}c/\omega$,

$$ N_{\perp}^4 - \left( \frac{\kappa_1^2 - \kappa_2^2}{\kappa_1} + \kappa_3 \right) N_{\perp} + \kappa_3 \frac{\kappa_1^2 - \kappa_2^2}{\kappa_1} = 0, $$

qui admet de façon évidente les deux racines

$$ N_{\perp}^2 = \kappa_3 \quad \text{et} \quad N_{\parallel}^2 = \frac{\kappa_1^2 - \kappa_2^2}{\kappa_1} : $$

on reconnaît les expressions des indices ordinaire et extraordinaire des plasmas illimités, en propagation perpendiculaire au champ $B_0$. Ce cas correspond aux coupures pour $\alpha = 0$, dans la propagation le long de $Oz$.

La composante $H_{\parallel}$ se calcule en fonction de $E_{\parallel}$ à partir de (4.5.4) ou (4.5.7), avec $\nabla_{\perp}^2 = -k_{\perp}^2$.

$$ (4.5.17) \qquad H_{\parallel} = \frac{s_E^2 - k_{\perp}^2}{r_E} E_{\parallel} = \frac{r_H}{s_H^2 - k_{\perp}^2} E_{\parallel}. $$

Les conditions aux limites fixeront les valeurs de $k_{\perp}$, qui formeront en général une suite discontinue de valeurs $s$. L'équation de dispersion, reliant $\alpha$ et $\omega$, s'écrira donc

$$ (4.5.18) \qquad s^4 - as^2 + b = 0, $$

où $a$ et $b$, fonctions de $N_{\parallel} = \frac{\alpha c}{\omega}$ et de $\omega$, sont données en (4.5.14) et (4.5.15); c'est une équation bicarrée en $\alpha$

$$ (4.5.19) \qquad \kappa_3\alpha^4 + \left[ (\kappa_1 + \kappa_3)s^2 - 2\frac{\omega^2}{c^2}\kappa_1\kappa_3 \right]\alpha^2 + \kappa_1\left(s^2 - \frac{\omega^2}{c^2}\kappa_3\right)\left(s^2 - \frac{\omega^2(\kappa_1^2 - \kappa_3^2)}{c^2\kappa_1}\right) = 0. $$

L'équation (4.5.18) admettra toujours deux solutions en $s^2: s_1^2$ et $s_2^2$. Sa solution générale sera donc une combinaison linéaire de ces deux solutions (chacune contenant les solutions $\pm s$)
phase est stationnaire, c'est-à-dire les points où la normale à R = 0 est parallèle
à la direction d'observation (fig. 5.13). Ce « principe de la phase stationnaire »
correspond à la propriété suivante : dans l'intégrale (5.6.6) la phase $\alpha_{\beta}z$ (dans
l'exponentielle $e^{i\alpha_{\beta}z}$) varie beaucoup, pour z grand, lorsqu'on prend deux direc-

tions voisines $k_1$ et $k_2$, correspondant aux
deux valeurs voisines, mais différentes, $\alpha_1$ et
$\alpha_2$; la superposition de ces deux modes se
détruita donc par interférence. Pour les ondes
voisines de la direction $k_0$, les valeurs corres-
pondantes des $\alpha$ seront égales à $\alpha_0$, au second
ordre près, et ces ondes, restant pratiquement
en phase, interféreront de manière construc-
tive.

Enfin, en introduisant la courbure de
$R = 0$ au voisinage de ces points station-

naires, on peut calculer le champ $E_{\alpha\beta}(r)$ dû à chaque pôle, et en en faisant la somme, le champ total rayonné. Nous ne nous préoccuperons pas ici du calcul des amplitudes, cette question étant traitée en détail dans l'article de Lighthill, (1959), mais seulement de l'identification des modes contribuant au rayonnement, modes qui s'obtiennent donc (en se limitant à la partie $R_+$ de la surface des indices) par la règle déjà donnée au § 5.3 (fig. 5.14).

Nous allons maintenant appliquer cette règle
au cas d'une source rayonnant dans un plasma
indéfini; ensuite, nous examinerons le problème
du rayonnement à travers une limite plane vide-
plasma.

Plaçons-nous par exemple dans la région ⑦ (fig. 3.31), où la surface des vitesses $u = c/N$ est constituée de deux nappes, une nappe (D) avec cône de résonance, intérieure à la sphère de rayon $c$, et une nappe (G) extérieure. La surface des indices $N = c/u$, inverse de la précédente par rapport à cette sphère, a donc une section dont la forme est indiquée sur la figure 5.15.

Pour le mode correspondant à la nappe (G), il existe des solutions $k_G$ dans toutes les directions : on aura donc un rayonnement sur ce mode quelle que soit la direction d'observation choisie.

Pour le mode correspondant à la nappe (D) (fig. 5.15 et 5.16 a), il n'y aura de solutions $k_D$ qu'à l'intérieur du cône de résonance; le rayonnement se fera donc uniquement à l'intérieur d'un cône (C) dont les génératrices seront perpen-

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 5.13. Principe de la phase stationnaire</figcaption></figure>

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE 5.14. Direction des vecteurs d'ondes des modes contribuant au rayonnement dans la direction r</figcaption></figure>
solution est limitée par la condition d'existence $k_{D_e}^2 \ll k^2 \ll k_{D_i}^2$, qui impose, pour cette oscillation, une limite vers les hautes fréquences. Cette limite n'est pas contenue dans la théorie adiabatique, et doit y être introduite indépendamment.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 7.6. Onde longitudinale ionique ($T_e$ ≈ $T_i$) : Onde pseudosonore et onde plasma ionique</figcaption></figure>

Les calculs sont développés dans l'appendice 8; on y trouvera aussi une étude de l'amortissement du mode acoustique ionique.

Enfin, dans le cas général, et en particulier lorsque $T_e \sim T_i$, la solution adiabatique (74.33) existe toujours, et ne présente aucun amortissement, contrairement à la solution microscopique.

Avec les notations déjà utilisées, l'équation de dispersion « adiabatique » s'écrit :

$$ (74.35) \qquad \chi = \left(1 - \frac{V_e^2}{c^2} N^2\right) \left(1 - \frac{V_{ij}^2}{c^2} N^2\right) / \left(1 - \frac{V_{SM}^2}{c^2} N^2\right) $$

La figure 7.6 montre les solutions microscopique et adiabatique (Cf. aussi Appendice 8) dans le cas où $T_e = 100 T_i$, $m_i = 2\,000 m_e$. On y voit le désaccord entre la théorie microscopique et la théorie adiabatique, désaccord qui, néanmoins, disparaîtrait pratiquement dans une théorie isotherme. En fait, le caractère incorrect de la théorie adiabatique tient surtout dans l'absence de conditions pour la validité de (74.35) : aucune condition sur les températures, alors que, à cause de l'amortissement Landau, l'onde n'existe plus dès que $T_e$ n'est plus très grand devant $T_i$; aucune condition sur $k$, ou ce qui revient au même, sur $\omega$, alors qu'on peut s'attendre à une limitation des oscillations ioniques pour les fréquences nettement supérieures à $\Omega_p$.
Pour

$$
\bar{\varphi}_s = \frac{1}{a_s \sqrt{\pi}} e^{-v_s^2 / a_s^2}
$$

il vient

$$
\gamma_L = - \frac{\sqrt{\pi}}{k} u^2 \left[ \frac{\omega_p^2}{a_e^3} e^{-u^2/a_e^2} + \frac{\Omega_p^2}{a^3} e^{-u^2/a_i^2} \right]
$$

où

$$
u^2 = \left(\frac{\omega}{k}\right)^2 = \frac{KT_e}{m_i}, \quad \text{soit} \quad \frac{u^2}{a^2} = \frac{m_e}{2m_i} \ll 1, \quad \frac{u^2}{a_i^2} = \frac{T_e}{2T_i} \gg 1.
$$

Alors

$$
\gamma_L = - \frac{\sqrt{\pi}}{k} u^2 \frac{\omega_p^2}{a_e^3} \left[ 1 + \left( \frac{m_i T_e}{m_e T_i} \right)^{1/2} e^{-\frac{T_e}{2T_i}} \right].
$$

Dans les cas pratiques, le second terme est toujours « 1 : l'amortissement est
donc dû essentiellement aux électrons et a pour valeur

$$
\frac{\gamma_L}{\omega} = - \sqrt{\frac{\pi}{8} \left(\frac{m_e}{m_i}\right)^{3/2} \frac{\omega_p^2}{\omega^2}} = - \sqrt{\frac{\pi m_e \Omega_p^2}{8 m_i \omega^2}}
$$

ou encore

$$
\frac{\gamma_L}{\omega} = - \sqrt{\frac{\pi}{8} \frac{m_e}{m_i} \frac{T_i}{T_e} \left(\frac{k_{D,i}}{k}\right)^2} \quad \text{toujours} \ll 1.
$$

9. Intégration de l'équation de Vlasov par la méthode des caractéristiques (méthode des trajectoires). Tenseur diélectrique d'un magnétoplasma chaud

Méthode des trajectoires 9.1

L'équation de Vlasov linéarisée, avec un terme de frottement dû aux collisions
(Cf. chap. 10) en −v_c (f − f_0) = −v_c f_1 (on fera tendre v_c vers zéro en fin de
calcul), s'écrit

$$
(A-9.1) \quad \left( \frac{\partial}{\partial t} + v_c + \mathbf{v} \cdot \frac{\partial}{\partial \mathbf{r}} + (\omega_b \times \mathbf{v}) \cdot \frac{\partial}{\partial \mathbf{v}} \right) f_1 = - \frac{q}{m} \dot{\mathbf{E}} \cdot \frac{\partial f_0}{\partial \mathbf{v}}
$$

où on a posé (Cf. chap. 3) $\omega_b = -\frac{q}{m} B_0$ pour chaque espèce de particules.

Posons $f_1 = \tilde{f}_1 e^{-v_c t}$. Alors

$$
\left(\frac{\partial}{\partial t} + v_c\right) f_1 = e^{-v_c t} \frac{\partial \tilde{f}_1}{\partial t} \quad \text{et} \quad \text{(A-9.1) s'écrit}
$$

$$
(A-9.2) \quad \left( \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \frac{\partial}{\partial \mathbf{r}} + (\omega_b \times \mathbf{v}) \cdot \frac{\partial}{\partial \mathbf{v}} \right) \tilde{f}_1 = - \frac{q}{m} e^{v_c t} \mathbf{E} \cdot \frac{\partial f_0}{\partial \mathbf{v}}.
$$

Le premier membre représente la variation $\frac{d\tilde{f}_1}{dt}$ le long des trajectoires du mou-
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 8.6.</figcaption></figure>

Solutions de l'équation de dispersion pour $\omega$ réelle donnée, $\le \omega_b$ (*)

— — —. Approx. asymptotique; $k = k_1 + ik_2$; $k_0^3 = \frac{\omega_b \omega_p^2}{a_e c^2} = (\frac{\omega_b}{a_e})^3 \beta_e$

<footnote>(*) Pour $\omega > \omega_b$, la précision des tables numériques n'a pas permis de déterminer exactement la courbe (qui a donc été représentée en pointillé).</footnote>
plasma ($x_3 = 0$), où alors $\frac{E_z}{E_x}$ est indéterminé et dépend du mode choisi (Cf. un exemple page 121).

Dans certains cas, il est utile de connaître la polarisation dans un système d'axes liés à $k$, obtenu par une rotation d'angle $\theta$ autour de $Ov$ (fig. 3.11) : on obtient ainsi le système d'axes $(\theta, \varphi, k)$.

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

$$E_{\theta} = E_{x} \cos \theta - E_{z} \sin \theta$$

$$E_{\varphi} = E_{y}$$

$$E_{k} = E_{x} \sin \theta + E_{z} \cos \theta$$

d'où, par combinaison des équations (3.4.33)

$$ (3.4.40) \qquad \frac{E_{\theta}}{-x_3 \cos \theta (N^2 - x_1^2)} = \frac{E_{\varphi}}{ix_2 (N^2 \sin^2 \theta - x_3^2)} = \frac{E_{k}}{\sin \theta (N^2 - x_1^2) (N^2 - x_3^2)} $$

expressions qui seront utilisées lors de l'étude de la propagation oblique ($\theta \neq 0$).

## 3.5. Équations de dispersion en propagations parallèle et perpendiculaire au champ magnétique extérieur : ondes principales

Avec les expressions (3.3.10) des composantes de $x$, les équations de dispersion (3.4.8) à (3.4.11), pour un plasma à deux composants, prennent des formes

$$ \text{simples lorsque } \theta = 0 \text{ ou } \theta = \frac{\pi}{2} $$

### Ondes principales en propagation parallèle 3.5.1

Les équations de dispersion sont :

$$ (3.5.1) \qquad \text{a)} \quad x_3 = x^0 = 1 - \frac{\omega_0^2}{\omega^2} = 0 $$
Le système (2.4.6) de trois équations à trois inconnues Eβ n'admet de solution non nulle que si son déterminant (associé au tenseur coefficient de E dans (2.4.5)) est nul.

Cette condition est l'équation de dispersion cherchée :

$$
(2.4.7) \qquad \mathcal{D}(\mathbf{k}, \omega) \equiv \mathrm{Det} (\mathbf{NN} - \mathbf{N}^2 \mathbf{1} + \mathbf{x}) = 0
$$

ou

$$
(2.4.8) \qquad \mathcal{D}(\mathbf{k}, \omega) \equiv \| \mathbf{N}_{\alpha} \mathbf{N}_{\beta} - \mathbf{N}^2 \delta_{\alpha\beta} + \mathbf{x}_{\alpha\beta} \| = 0.
$$

Choisissons l'axe Oz le long du champ magnétique statique B₀, et OX dans le plan (N, B₀) (fig. 2.4), avec (B₀, N) = θ; l'équation (2.4.4) devient :

$$
(2.4.9) \quad \left| \begin{array}{ccc} \kappa_{xx} - N^2 \cos^2\theta & \kappa_{xy} & \kappa_{xz} + N^2 \sin\theta \cos\theta \\ \kappa_{yx} & \kappa_{yy} - N^2 & \kappa_{yz} \\ \kappa_{zx} + N^2 \sin\theta \cos\theta & \kappa_{zy} & \kappa_{zz} - N^2 \sin^2\theta \end{array} \right| = 0.
$$

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 2.4.
Système de coordonnées</figcaption></figure>

Pour préciser les solutions de cette équation, il faudra choisir un modèle pour le milieu, afin de déterminer les $\kappa_{\alpha\beta}$.

2.5. Propriétés générales des solutions

— Si le plasma est sans perte, $\mathbf{x}$ est hermitique (Cf. Chap. 9). L'équation (2.4.9), qui ne dépend que du carré de l'indice, donnera donc des solutions N² réelles : comme dans le cas isotrope, on aura soit des N réels, correspondant à des ondes progressives d'amplitude constante, soit des N imaginaires purs, correspondant à des ondes évanescentes.

— L'équation (2.4.9) est une relation entre trois quantités qui sont

soit
$$ \omega, \quad N_{\perp} = N \sin\theta, \quad N_{\parallel} = N \cos\theta $$
$$
(4.5.20) \quad E_{\parallel} = AE_{\parallel}^{(1)} + BE_{\parallel}^{(2)} \quad (\text{où A et B sont des constantes});
$$

par exemple, pour une lame de plasma, on aura pour chacune des solutions une
combinaison linéaire de sinus et cosinus : d'où

$$
E_{\parallel} = (E_{1}^{(1)} \sin s_{1}x + E_{2}^{(1)} \cos s_{1}x) + (E_{1}^{(2)} \sin s_{2}x + E_{2}^{(2)} \cos s_{2}x).
$$

Une solution $s=0$ de (4.5.18) correspond, nous l'avons vu, aux modes droit et gauche et à l'oscillation de plasma $\omega = \omega_0$ du plasma illimité. Dans le cas du plasma limité, à des valeurs finies des $E_{\parallel}$ et $H_{\parallel}$ seraient associées, par (4.5.10) et (4.5.11), des champs transverses infinis pour les ondes droite et gauche; pour $\omega = \omega_0$, l'équation (4.5.19) donne, soit $\alpha = \infty$ (cas qui sera examiné plus loin), soit $\alpha$ fini; on montre que cette dernière solution conduit à des champs partout nuls, dans le cas où les limites sont des conducteurs parfaits (Bers, 1963). Ces trois modes ne peuvent donc pas se propager dans un guide métallique *entièrement* empli de plasma; il en résulte que (4.5.18) doit donc avoir ses deux solutions non nulles.

$$
\frac{\text{Fréquences de coupure } (\alpha = 0)}{4.5.2}
$$

Revenons aux expressions (4.5.4) à (4.5.9). Pour $\alpha = 0$, on a $r_E = r_H = 0$: les deux composantes $E_{\parallel}$ et $H_{\parallel}$ sont à nouveau indépendantes (au voisinage des coupures, les modes sont donc TM ou TE purs) et satisfont à :

$$
(4.5.21) \qquad (\nabla_{\perp}^2 + s_E^2) E_{\parallel} = 0,
$$

$$
(4.5.22) \qquad (\nabla_{\perp}^2 + s^2) H_{\parallel} = 0,
$$

avec

$$
(4.5.23) \qquad s_E^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \kappa_3
$$

$$
(4.5.24) \qquad s_H^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \frac{\kappa_1^2 - \kappa_2^2}{\kappa_1}.
$$

Les équations (4.5.23) et (4.5.24) montrent respectivement que les modes TM correspondent aux ondes ordinaires et les modes TE aux ondes extraordinaires, conformément aux polarisations trouvées au chapitre 3 pour la propagation perpendiculaire (α → 0 donne N|| → 0)

Les expressions (4.5.10) et (4.5.11) donnent alors, quand $\alpha = 0$

— pour la coupure TM

$$
(4.5.25) \quad \left\{
\begin{array}{l}
E_{\perp} = 0, \\
\\
H_{\perp} = -i\omega\epsilon_0 \frac{c^2}{\omega^2} \frac{\kappa_1^2 - \kappa_2^2}{\Delta} \nabla_{\perp} \times E_{\parallel} = \frac{1}{i\omega\mu_0} \nabla_{\perp} \times E_{\parallel}
\end{array}
\right.
$$

— pour la coupure TE

$$
(4.5.26) \quad \begin{cases} E_{\perp} = \frac{i\omega\mu_0}{\kappa_1^2 - \kappa_2^2} (\kappa_1 \nabla_{\perp} \times H_{\parallel} - i\kappa_2 \nabla_{\perp} H_{\parallel}) \\ H_{\perp} = 0. \end{cases}
$$
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE 5.15. Surface des vitesses et surface des indices</figcaption></figure>

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIGURE 5.16. Rayonnement d'une source ponctuelle dans un plasma indéfini</figcaption></figure>
En conclusion, une fois fixées, par l'étude microscopique, les conditions d'existence et les limites de validité de l'oscillation ionique, la théorie macroscopique (isotherme) décrit cette onde d'une façon satisfaisante. Nous retrouverons évidemment cette propriété dans le cas où $B_0 \neq 0$, en particulier pour la propagation parallèle à $B_0$.

## 7.6. Ondes transversales

Pour trouver les modes transversaux $\omega(k)$, pour une polarisation de E fixée par exemple suivant Ox, si $k$ est pris le long de Oz, on pourrait, comme pour les modes longitudinaux, coupler l'équation (7.3.2) à la projection sur cette direction Ox de la transformée de Laplace de l'équation déduite des équations de Maxwell (avec $\nabla \cdot E = 0$)

$$ \nabla^2 E_x - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} = \mu_0 \frac{\partial J_x}{\partial t}. $$

On trouverait, pour $E(k, \omega)$, une expression analogue à (7.3.5), dont les seuls pôles seraient, là encore, les zéros du dénominateur. Mais il est plus simple de calculer la constante diélectrique $\kappa_\perp$ à partir de la conductivité transverse (7.1.12) (Cf. note page 334)

$$ \frac{\sigma_{\perp}}{i\omega\varepsilon_0} = - \frac{\omega_p^2}{\sqrt{\pi\omega ka}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-v^2/2a^2}}{v - \frac{\omega}{k}} dv = - \frac{\omega_p^2 \omega}{\omega^2 ka \sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-v^2}}{v - \frac{\omega}{ka}} dv $$

soit

$$ (7.6.1) \qquad \frac{\sigma_{\perp}}{i\omega\varepsilon_0} = - \frac{\omega_p^2}{\omega^2} z Z(z). $$

La composante transverse de $\kappa$ est donc

$$ (7.6.2) \qquad \kappa_{\perp} = 1 + \sum_s \frac{\omega_p s}{\omega^2} z_s Z_s $$

l'équation de dispersion étant encore

$$ N^2 = \kappa_{\perp}. $$

La limite des ondes rapides ($z_s \gg 1$), en négligeant les facteurs $e^{-s^2/2} \ll 1$, donne avec (7.5.28)

$$ (7.6.3) \qquad N^2 = 1 - \sum_s \frac{\omega_p^2}{\omega^2} (1 + \tau_s) $$

où

$$ \tau_s = \frac{1}{2z_s^2} = \frac{KT_s}{m_s \omega^2} $$

a déjà été introduit au § 6.3.
vement non perturbé. Ces trajectoires sont définies par le système des « caractéristiques » associées à l'opérateur du premier membre de (A-9.2)

$$ egin{cases} \frac{d\mathbf{r}'}{dt'} = \mathbf{v}' \\ \frac{d\mathbf{v}'}{dt'} = \omega_b \times \mathbf{v}' \end{cases} $$

équations dont les solutions donnent les trajectoires $\mathbf{r}'(t')$. On considère la trajectoire de la particule qui passe en $\mathbf{r}$, avec la vitesse $\mathbf{v}$, à l'instant $t$. Cette trajectoire sera définie à l'aide de la variable $s = t - t'$ (on remonte le temps à partir de $t$, le long de cette trajectoire). On a donc

$$ (A-9.3) \quad \begin{cases} \frac{d\mathbf{r}'}{ds} = -\mathbf{v}'(s) \\ \frac{d\mathbf{v}'}{ds} = -\omega_b \times \mathbf{v}'(s) \end{cases} $$

avec les conditions « initiales » (à l'instant $t$)

$$ (A-9.4) \quad \begin{cases} \mathbf{r}'(0) = \mathbf{r} \\ \mathbf{v}'(0) = \mathbf{v}. \end{cases} $$

Avec $\mathbf{v}$ le long de $B_0$, la solution de (A-9.3) et (A-9.4) s'écrit

$$ \mathbf{v}'(s) = \mathbf{R}(s) \cdot \mathbf{v}, \quad \text{où} \quad \mathbf{R}(s) = \begin{pmatrix} \cos s\omega_b & \sin s\omega_b & 0 \\ -\sin s\omega_b & \cos s\omega_b & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \mathbf{r}'(s) = \mathbf{r} - \left( \int_0^s \mathbf{R}(s) \, ds \right) \cdot \mathbf{v}. $$

Alors, (A-9.2) s'écrit

$$ \frac{df_1}{dt'} = - \frac{q}{m} e^{v_0 t'} \left[ \mathbf{E}(\mathbf{r}', t') \cdot \frac{\partial f_0(v')}{\partial \mathbf{v}'} \right] $$

soit, à $t$ fixé, $t' = t - s$

$$ -\frac{df_1}{ds} = -\frac{q}{m} e^{-v_0 s} \left[ \mathbf{E}(\mathbf{r}', t-s) \cdot \frac{\partial f_0(v')}{\partial \mathbf{v}'} \right]. $$

En intégrant de $s=0$ à $s=\infty$, avec $f_1(\infty) = 0$, on obtient

$$ (A-9.5) \quad \begin{cases} f_1(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) = -\frac{q}{m_*} \int_0^\infty ds \, e^{-v_0 s} \mathbf{E}(\mathbf{r}', t-s) \cdot \frac{\partial f_0(v')}{\partial \mathbf{v}'} \\ \mathbf{r}' = \mathbf{r} - \frac{2}{\omega_b} \left[ \sin \frac{s\omega_b}{2} \mathcal{R}\left(\frac{s}{2}\right) \cdot \mathbf{v}_\perp + \frac{s\omega_b}{2} \mathbf{v}_{\|} \right] \\ \mathbf{v}' = \mathcal{R}(s) \cdot \mathbf{v}_\perp + \mathbf{v}_{\|} \\ \mathcal{R}(s) = \begin{pmatrix} \cos s\omega_b & \sin s\omega_b \\ -\sin s\omega_b & \cos s\omega_b \end{pmatrix} \end{cases} $$
— pour $\omega > \omega_b$, une onde évanescente,

— pour $\omega < \omega_b$, une onde faiblement amortie, de nombre d'onde $k(1 + i\chi)$, avec $0 < \chi \ll 1$, telle que

$$ (8.8.4) \qquad \frac{k^2 c^2}{\omega^2} = \frac{\omega_p^2}{\omega(\omega_b - \omega)}, \quad \text{identique à la solution plasmas froids (3.5.9)} $$

et

$$ (8.8.5) \qquad \chi = \frac{\sqrt{\pi}}{3} \zeta e^{-\zeta^2} \quad \zeta = \frac{\omega_b - \omega}{ka_e} \gg 1. $$

Cette solution faiblement amortie n'existe pratiquement que lorsque le paramètre $\beta_e = (a_e \omega_p / c \omega_b)^2 = \frac{2\mu_0 n_0 e K T_e}{B^2}$ est $\ll 1$, et est limitée à la bande de fréquence

$$ (2\beta)^{1/2} \ll \frac{\omega_b - \omega}{\omega_b} \ll 1 $$

qui correspond à une région d'indices déterminée (Cf. Appendice 10)

$$ \frac{\omega_p^2}{\omega_b^2} \ll N^2 \ll N_m^2 $$

où

$$ (8.8.6) \qquad N_m \approx \frac{c}{a_e} \beta_e^{1/2}. $$

— Dans le voisinage immédiat de la résonance, avec $\omega - \omega_b \sim ka_e$, la résolution de (8.8.3) doit être effectuée numériquement. Cette résolution numérique conduit, pour $\omega$ réelle donnée, à des solutions à $k$ complexe, $k = k_1 + ik_2$. Remarquons que, quel que soit $k_2$, $Z(\frac{\omega - \omega_b}{ka_e})$ reste finie : on aura donc, avec (8.8.3), des solutions $k_1$ finies (c'est-à-dire $\Re N$ finie) contrairement au cas des plasmas froids où les résonances correspondaient à $N \to \infty$. Dans le cas où $\beta_e \ll 1$ (condition satisfaite en pratique), les valeurs numériques de $k_1$ et $k_2$ sont données sur la figure 8.6.

La variation de $k_2$ montre un maximum vers $\frac{\omega - \omega_b}{ka_e} \sim 1$, correspondant au fait qu'on a alors un nombre maximum de particules résonnantes.

Enfin, l'ordre de grandeur de l'indice $N_1^2 = k_1^2 c^2 / \omega^2$, avec $k_1 \lesssim k_0$, correspond à la limite supérieure (8.8.6) du voisinage lointain : on a un raccordement des deux types de solutions; en effet cet indice est tel que

$$ N^3 \# \frac{k_0^3 c^3}{\omega} = \frac{c}{a_e} \frac{\omega_p^2}{\omega_b^2} = \left(\frac{c}{a_e}\right)^3 \beta_e $$

et on vérifie que l'on a $(ka_e)^3 \simeq (k_0 a_e)^3 = \beta_e \ll 1$ : la condition posée au départ est bien vérifiée.

## 8.9. Conditions de validité de la linéarisation

En électrodynamique, on s'impose habituellement la condition de linéarisation

$$ (7.7.1) \qquad qE\lambda \ll \frac{1}{2} ma^2 $$
c'est l'oscillation de plasma, polarisée longitudinalement (donc le long de $B_0$), déjà rencontrée en l'absence de champ magnétique $B_0$ (Cf. § 3.2) avec la fréquence $\omega = \omega_0$. L'absence d'influence du champ $B_0$ sur cette oscillation est naturelle puisque le champ électrique et, par conséquent, les courants, vibrent parallèlement à $B_0$: les forces $v \times B_0$ sont donc nulles.

$$b) N_{\pm}^2 = x_1 \pm x_2$$

qui correspondent à deux ondes transversales (polarisées dans le plan perpendiculaire à $B_0$); l'onde transversale (3.2.13), pour $B_0 = 0$, s'est dédoublée : la pré-sence du champ magnétique a rendu le milieu biréfringent.

Avec les expressions de $x_1$ et $x_2$, pour un plasma à deux composants, l'équation de dispersion devient

$$(3.5.2) \qquad N_{\pm}^2 = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega (\omega \mp \omega_b)} - \frac{\Omega_p^2}{\omega (\omega \pm \Omega_b)}$$

Ces deux ondes transversales sont polarisées circulairement à droite et à gauche : en effet, d'après (3.4.34), on a

$$(3.5.3) \qquad \frac{E_y}{E_x} = \frac{i x_2}{N_{\pm}^2 - x_1} = \pm i$$

— l'onde polarisée à droite (qu'on appellera *onde droite*¹), pour laquelle on a $E_y/E_x = +i$, correspond donc à

$$(3.5.4) \qquad N_{\pm}^2 = x_1 + x_2$$

— l'onde polarisée à gauche (qu'on appellera *onde gauche*¹, pour laquelle $E_y/E_x = -i$, correspond à

$$(3.5.5) \qquad N_{-} = x_1 - x_2$$

Pour l'onde qui se propage dans la direction du champ magnétique², le champ électrique de l'onde droite tourne dans le sens de rotation des électrons dans le champ magnétique $B_0$, tandis que celui de l'onde gauche tourne en sens inverse,

1. Ce sont les ondes « extraordinaire » (droite) et « ordinaire » (gauche) des physiciens de l'ionosphère. Nous préférons (avec Allis et al., 1963) garder ces deux dernières dénominations pour les ondes en propagation perpendiculaire, conformément à la tendance actuelle.

2. Ces polarisations droite et gauche sont définies relativement au trièdre d'axe Oz fixé par $B_0$: à l'onde droite correspondent les électrons résonnants. Dans le cas où $B_0$ et $k$ sont de même sens, ces définitions coïncident avec celles des opticiens (relativement au trièdre d'axe Oz le long de $k$). Si l'on change $k$ en $k' = -k$, on a les mêmes solutions puisque l'équation de dispersion est en $N^2$ et en $tg^2 \theta$; cependant la polarisation relativement à $k'$ sera inversée : nous conviendrons d'appeler toujours *onde droite*, celle qui tourne dans le sens direct relativement à $B_0$, c'est-à-dire dans le sens de la rotation gyromagnétique des électrons, et qui résonne sur $\omega = \omega_b$, et *onde gauche*, l'autre. De sorte que pour $k'$, dirigé vers les $z<0$, la solution onde droite, par exemple, tournera donc à gauche, relativement à $k'$, sens qui, néanmoins, correspond toujours à la rotation des électrons dans $B_0$.
soit $\omega, N = |N|, \theta,$

elle permettra donc de déterminer une de ces quantités lorsque les deux autres sont connues. Ainsi, la propagation, dans une direction donnée $\theta$, d'une onde de fréquence $\omega$ fixée, sera caractérisée par

$$N = N(\omega, \theta).$$

La fréquence d'un mode propre de forme spatiale donnée (à travers les données, soit $N_⊥$ et $N_‖$, soit $N$ et $\theta$) sera

$$\omega = \omega(N_⊥, N_‖) \text{ ou } \omega = \omega(N, \theta).$$

— A chaque solution de (2.4.9) correspondra, dans le système d'équations (2.4.6), des composantes de E, définies toutes à une constante multiplicative près. L'amplitude des champs solutions reste arbitraire; au contraire, la direction (relativement à Ox, Oy, Oz) est déterminée. Cette direction sera le plus souvent repérée relativement à $k$: on définit ainsi la polarisation de l'onde (qui n'a évidemment rien à voir avec la polarisation d'un diélectrique!).

— Dans le cas où on néglige la dispersion spatiale ($x_{\alpha\beta}$ indépendant de $k$), les solutions de (2.4.9) ont les propriétés générales de symétrie suivantes :

— la symétrie de révolution autour de $B_0$ (Cf. fig. 2.3),

— si $(\omega_1, k_1, \theta_1)$ est solution, sont aussi solutions les ondes $(\omega_1, k_1, -\theta_1)$, contenue dans la symétrie de révolution autour de $B_0$,

$$ \left. \begin{array}{l} (\omega_1, k_1, \pi - \theta_1) \\ (\omega_1, k_1, \pi + \theta_1) \end{array} \right\} \begin{array}{l} \text{déduites des précédentes en inversant la direction de} \\ \text{propagation (équation ne dépendant que de } N^2, \text{ donc} \\ \text{que de } k^2). \end{array} $$

Il en résultera que la surface décrite par l'extrémité du vecteur N (surface des indices) sera donc de révolution autour de Oz et admettra l'origine comme centre de symétrie (donc xOy comme plan de symétrie). Il suffira d'étudier la propagation pour $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$. Néanmoins, pour une propagation dans une direction « contraire » à $B_0 (\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi)$, certaines précautions devront être prises pour définir la polarisation du champ (Cf. p. 89).
Les conditions aux limites fixeront les valeurs de $s_E$ et de $s_H$

$$s_E = e_{np} \qquad s_H = h_{np}$$

Les fréquences de coupure seront donc déterminées, avec (4.5.23) et (4.5.24) :

— pour les coupures TM, par

$$(4.5.27) \qquad x_3 = \left( \frac{ce_{np}}{\omega} \right)^2$$

c'est-à-dire

$$\omega_{e}^{np} = (\omega_{0}^{2} + c^{2}e_{np}^{2})^{1/2}$$

d'une manière analogue au cas isotrope;

— pour les coupures TE, par

$$(4.5.28) \qquad \frac{x_1^2 - x_2^2}{x_1} = \left( \frac{ch_{np}}{\omega} \right)^2$$

L'équation (4.5.28) est susceptible d'une résolution graphique simple, utilisant les courbes de dispersion du mode extraordinaire (fig. 3.18, 3.19, 3.20) qui donnent, pour chaque valeur de $k_\perp$, les valeurs de $\omega$ telles que

$$\frac{x_1^2 - x_2^2}{x_1} = \left( \frac{ck_\perp}{\omega} \right)^2$$

Si $h_{\alpha\beta}$ est la plus petite des valeurs propres $h_{np}$, on aura donc les fréquences de coupure correspondantes en prenant $k_\perp = h_{np}$. On obtient ainsi trois domaines pour ces fréquences de coupure $\omega_{c1} < \omega < \omega_{c2}$, $\omega_{c2} < \omega < \omega_{c3}$ et $\omega > \omega_{c3}$ (en blanc sur la fig. 4.9).

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE 4.9.
Détermination des
coupures des modes TE</figcaption></figure>
diculaires aux k_D limites, c'est-à-dire aux génératrices de ce cône de résonance.

On obtient donc au total des directions où les deux ondes (D) et (G) participent au rayonnement, et d'autres où seule une onde (l'onde (G)) est rayonnée (fig. 5.16 b), ce qui définit deux régions, respectivement intérieure et extérieure à (C).

Pour les directions situées sur (C), l'évaluation de l'intégrale (5.6.6), qui fait intervenir la courbure de la surface des indices, requiert quelques précautions, car le rayon de courbure tend alors vers l'infini. On obtient une augmentation de l'intensité rayonnée dans ces directions particulières.

Tenseur de Green 5.6.2

L'équation (5.6.1) montre qu'il existe une relation linéaire, entre la « réponse » $E_\omega(r)$ et l'excitation $J_\omega(r)$, de la forme

$$ (5.6.7) \qquad E_\omega(r) = \int \mathcal{T}_\omega(r, r') \cdot J_\omega(r') \, d^3r' $$

où le tenseur $\mathcal{T}$ dépend du milieu. L'expression (5.6.7) définit la solution de l'équation inhomogène (5.6.1).

La généralisation (Cf. Morse et Feshbach, 1953) de la méthode des fonctions de Green pour la résolution des équations différentielles inhomogènes (rappelons que, une fois déterminées, ces fonctions, réponses à une excitation élémentaire, permettent, par une simple intégration, de trouver la solution générale, réponse à une excitation quelconque) permet de chercher les solutions $G_\omega(r-r_0)$ (fonctions de $r-r_0$ quand le milieu est homogène) de l'équation (5.6.1), pour une excitation unité, localisée au point $r_0$: cette excitation est alors exprimée à l'aide de la fonction $\delta(x)$ de Dirac¹ sous la forme $(2\pi)^3 \delta(r-r_0)$ 1, où 1 est le tenseur unité, déjà défini en (2.3.5), l'expression $\delta(r-r_0)$ symbolisant le produit $\delta(x-x_0) \delta(y-y_0) \delta(z-z_0)$. On aura donc l'équation pour $G_\omega(r-r_0)$

$$ (5.6.8) \qquad \left( \nabla \times \nabla \times - \frac{\omega^2}{c^2} \mathbf{x} \right) G_\omega(r-r_0) = i\omega\mu_0 (2\pi)^3 \delta(r-r_0) \mathbf{1}. $$

Les solutions de (5.6.8), une fois connues, la solution générale de (5.6.1) s'exprimera (Cf. par ex. Arfken, 1966) par la convolution, de la forme (5.6.7)

$$ (5.6.9) \qquad E_\omega(r) = (2\pi)^3 \int G_\omega(r-r') \cdot J(r') \, d^3r'. $$

Pour calculer $G_\omega(r-r')$, on passe en transformées de Fourier dans l'espace : on a

$$ (5.6.10) \qquad E_\omega(r) = \int E_\omega(k) e^{ik \cdot r} \, d^3k $$

$$ (5.6.11) \qquad E_\omega(k) = (2\pi)^3 \int E_\omega(r) e^{-ik \cdot r} \, d^3r $$

1. Pour laquelle nous rappelons les caractéristiques fondamentales :

$$ \delta(x) = (2\pi)^{-1} \int_{-\infty}^{+\infty} elzx \, dz; \qquad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x - x_0) \, dx = f(x_0). $$
Le résultat (7.6.3), à l'amortissement près, est l'équation de dispersion des ondes transversales rapides et se confond avec la solution (6.4.9) de la théorie adiabatique.

En ce qui concerne l'amortissement Landau de ces ondes transversales en l'absence de champ $B_0$, il faut remarquer qu'elles ont des vitesses de phases $v_φ ≥ c$ : pour des distributions acceptables du point de vue relativiste, il n'y aura pas de particules résonnantes et, par conséquent, pas d'amortissement.

Enfin, la recherche numérique des solutions lentes de (7.6.2) ne conduit à aucun mode faiblement amorti, même si $T_e \gg T_i$ ou $T_i \ll T_e$.

L'étude des ondes transversales dans un plasma isotrope a été effectuée par la méthode de Van Kampen (Felderhof, I, 1963) et montre qu'à côté des modes propres il existe des solutions stationnaires, comme dans le cas des ondes longitudinales; ces solutions correspondent aussi à des modes de particules piégées.
où $v_1$ et $v_II$ désignent les composantes de $v$ relativement à $B_0$. Pour une perturbation

$$E(\mathbf{r}, t) = E(\mathbf{k}, \omega) e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}, \quad f_1(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) = f_1(\mathbf{k}, \mathbf{v}, \omega) e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}$$

on a

$$E(\mathbf{r}', t-s) = E(\mathbf{k}, \omega) e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} e^{i\Psi(\xi)}$$

où, en posant $\xi = s\omega_b$, avec $\mathbf{k} = (k_\perp, 0, k_\parallel)$

$$\Psi(\xi) = \frac{1}{\omega_b} \left[ (\omega - k_{\parallel}v_{\parallel})\xi - 2 \sin\frac{\xi}{2} k_{\perp} \left( \cos\frac{\xi}{2} v_{\perp} + \sin\frac{\xi}{2} v_{\parallel} \right) \right].$$

Désignons par $w \cos \varphi$, $w \sin \varphi$, $u$ les composantes de la vitesse $v$, $\varphi$ étant l'angle des plans $(\mathbf{k}, \mathbf{B}_0)$ et $(\mathbf{v}, \mathbf{B}_0)$ : il vient

$$(A-9.6) \qquad \left\{ \begin{array}{l} f_1(\mathbf{k}, \mathbf{v}, \omega) = -\frac{q}{m\omega_b} E(\mathbf{k}, \omega) \cdot \int_0^\infty d\xi \frac{\partial f_0(v')}{\partial v'} e^{i\Phi(\xi)} \\ \Phi(\xi) = \alpha\xi - \beta w [\sin \varphi - \sin(\varphi - \xi)] \end{array} \right.$$

en posant

$$(A-9.7) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \alpha = \frac{\omega + i\nu_c - k_{\parallel}u}{\omega_b} \\ \beta = \frac{k_{\perp}}{\omega_b}. \end{array} \right.$$

Dans le cas où $f_0(v) = n_0 g_0(v)$ est isotrope (le cas $f_0(v)$ anisotrope est traité dans Stix (1962) par ex.), on a

$$\frac{\partial f_0}{\partial v'} = n_0 \frac{\partial g_0}{\partial v'} = 2n_0 \frac{\partial g_0}{\partial (v'^2)} v' = 2n_0 \frac{\partial g_0}{\partial (v^2)} v'$$

puisque, dans le mouvement non perturbé, le module de la vitesse reste constant, $v'^2 = v^2$. Alors

$$(A-9.8) \qquad f_1(\mathbf{k}, \omega) = -\frac{2n_0q}{m\omega_b} E(\mathbf{k}, \omega) \cdot \int_0^\infty d\xi \, v'(\xi) e^{i\Phi(\xi)}.$$

Cette expression est équivalente à celle que l'on déduit de l'intégration par la méthode de Fourier (Cf. Bernstein, 1958).

## Calcul du tenseur de conductivité 9.2

Nous allons calculer l'intégrale $L(v)$ de (A-9.8). Tout d'abord, avec

$$e^{i\beta w \sin \Psi} = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} J_m(\beta w) e^{im\Psi}$$

où $J_m$ est la fonction de Bessel d'ordre $m$, on a

$$e^{i\Phi(\xi)} = \sum_{n,m} J_n(\beta w) J_m(\beta w) e^{i[\alpha\xi - n\varphi + m(\varphi - \xi)]}$$
exprimant que l'énergie gagnée par la charge dans le champ E, sur une longueur d'onde, est très inférieure à son agitation thermique. On définit ainsi un champ critique $E'_c = \frac{ma^2}{q\lambda}$. Cette condition n'a évidemment un sens que si $\lambda \ll 1$, l'étant le libre parcours moyen. On peut aussi définir un champ critique $E''_c$ par la condition, analogue à (7.7.1), qui résulte de la comparaison de la vitesse acquise sous l'action de E, et de la vitesse thermique

$$ (7.7.2) \qquad \left(\frac{qE}{m\omega}\right)^2 \ll a^2 \qquad E_c'' = \frac{m\omega a}{q}. $$

Le rapport $E'_c/E''_c = a/2\lambda\omega \approx a/v_φ$ montre qu'en général ($v_φ \gg a$), c'est $E'_c$ qui impose la condition de linéarisation.

En fait, les conditions (7.7.1) et (7.7.2) utilisent la vitesse ordonnée et n'expriment pas une condition sur le véritable échauffement. Pour cela, il faudrait tenir compte des collisions. Nous verrons (Cf. (9.1.1)) que la puissance absorbée par les électrons est $P = \frac{1}{2} E^* \cdot \sigma_h \cdot E$. Lorsque $B_0 = 0$, cela donne

$$ P = \frac{1}{2} \frac{v_e \epsilon_0 \omega_p^2}{\omega^2 + v_e^2} E^2, \quad (\text{Cf. (10.2.7)}); $$

mais, en même temps, les électrons perdent une fraction de leur énergie par collision sur les molécules; chaque collision transférant la fraction $\frac{2m}{M}$ de leur excès d'énergie sur les neutres (Cf. § 1.7). En négligeant l'énergie thermique des neutres et en supposant qu'à chaque instant toute l'énergie gagnée dans le champ est transférée au mouvement thermique par les collisions, on a donc

$$ \frac{\epsilon_0 \omega_p^2}{\omega^2 + v_e^2} E^2 = \frac{6m}{M} K T_e $$

où $T_e$ est une fonction lentement variable du temps. Cette égalité définit un champ critique $E_c$ (Ginzburg, 1960)

$$ E_c = \left[ \frac{6m}{M} K T_e \frac{\omega^2 + v_e^2}{\epsilon_0 \omega_p^2} \right]^{1/2} $$

et la linéarisation sera valable si

$$ E^2 \ll E_c^2. $$

Les valeurs de $E_c$ dans un plasma sont en général peu élevées aux basses fréquences, lorsque $\omega \ll v_c$: ainsi dans l'ionosphère, $E_c \sim 10^{-5}$ à $10^{-3}$ volts/m; elles sont encore plus faibles dans les plasmas fortement ionisés. Pour les hautes fréquences, $\omega \gg v_c$, elles sont plus élevées, de $10^{-1}$ à 1 volt/m.

Dans un magnétoplasma, le facteur $\omega^2 + v_c^2$, intervenant dans le numérateur de $E_c$, est remplacé par $(\omega - \omega_b)^2 + v_c^2$, ce qui conduit, au voisinage de la résonance gyromagnétique, à des champs critiques $E_c$ beaucoup plus faibles lorsque les collisions ne jouent pas un rôle important.
c'est-à-dire dans le sens de rotation des ions (fig. 3.12). On vérifie sur (3.5.2) que ces deux cas correspondent bien respectivement aux résonances gyromagnétiques $\omega = \omega_b$ et $\omega = \Omega_b$ des électrons et des ions.

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE 3.12. Ondes droite et gauche</figcaption></figure>

Au voisinage de $\omega = \omega_b$ (ou de $\omega = \Omega_b$) les électrons (ou les ions) voient, dans le référentiel de l'onde, un champ électrique constant : bien qu'on sorte du domaine de validité de la théorie linéaire, on peut dire, qualitativement, que des accélérations importantes sont alors communiquées aux particules, ce qui correspond à un transfert d'énergie de l'onde vers le plasma, c'est-à-dire à une absorption importante.

Pour $\omega \neq \Omega_b$, cette absorption d'énergie a pu être utilisée pour chauffer les ions : pour cela, un signal HF pénètre dans le plasma le long des lignes de forces de $B_0$, avec une fréquence $\omega$ légèrement inférieure à $\Omega_b$; l'onde se scinde en un mode droit et un mode gauche; si $B_0$ décroît le long des lignes de forces, la résonance a lieu au voisinage de $\omega = \Omega_b$, et l'onde gauche est absorbée dans cette région; cette configuration est appelée la « baie magnétique », par analogie avec l'amortissement des vagues le long d'une plage (Stix et Palladino, 1958).

Les expressions (3.5.2) peuvent s'écrire, en tenant compte de (3.4.22)

$$ (3.5.6) \quad N_D^2 = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega(\omega - \omega_b)} - \frac{\Omega_p^2}{\omega(\omega + \Omega_b)} = 1 - \frac{\omega_0^2}{(\omega - \omega_b)(\omega + \Omega_b)} $$

$$ (3.5.7) \quad N_G^2 = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega(\omega + \omega_b)} - \frac{\Omega_p^2}{\omega(\omega - \Omega_b)} = 1 - \frac{\omega_0^2}{(\omega + \omega_b)(\omega - \Omega_b)} $$

Les fréquences de coupures $\omega_D$ et $\omega_G$ ont été définies en (3.4.31).

Étudions la propagation de ces ondes transversales dans différents domaines de fréquences :
<figure><img src="image_9.png" /></figure>
Reprenons l'exemple de la lame de plasma, limitée par des plans parallèles par-
faitement conducteurs, $x = \pm a$, pour les solutions symétriques, $E_{\parallel}$ ou $H_{\parallel}$,
en cos sx.

— pour les modes TM, la situation est identique à celle des plasmas iso-
tropes (mêmes équations pour $E_{\parallel}$, $E_{\perp}$ et $H_{\perp}$) : on a donc (Cf. (4.2.8)),

$e_m = (2m + 1) \frac{\pi}{2a}$, comme dans le vide, d'où les coupures $\omega = \omega_c^{(m)}$ telles que

$$
\omega_c^{(m)} = \left[ \omega_0^2 + \left( \frac{(2m + 1)\pi c}{2a} \right)^2 \right]^{1/2}
$$

— pour les modes TE, les conditions aux limites en $x = \pm a$ donnent, pour
un conducteur parfait (continuité de $E_y$)

$$
\sin s_H a = 0,
$$
d'où

$h_m = \frac{m\pi}{a}, \text{ m entier} \neq 0$

comme dans le vide (Cf. (4.2.10)).

Cependant, pour une géométrie quelconque, la continuité de la composante
tangentielle de $E_\perp$ fait intervenir à la fois $\nabla_\perp \times H_\parallel$ et $\nabla_\perp H_\parallel$. La détermination
de $h_{np}$ exigera la résolution simultanée de l'équation exprimant les conditions
aux limites et de la relation (4.5.28). Prenons par exemple un guide cylindrique
entièrement empli de plasma, et placé à la coupure $\alpha = 0$. Pour un mode $TE_{np}$,
caractérisé par

$$
H_{\parallel} = H_0 J_n(s_H r) e^{in\phi},
$$

la continuité de $E_φ$, en $r = a$, s'exprimera par

$$
(4.5.29) \qquad \kappa_1 x J'_n(x) - \kappa_2 x J_n(x) = 0, \quad \text{où} \quad x = s_H a,
$$

— pour $n=0$, on retrouve la condition du vide $J'_0(x)=0$, soit

$$
s_H = \frac{q'_{0p}}{a} = h_{0p} \quad (\text{Cf. (4.2.18)})
$$

et la construction graphique de la figure 4.9 donnera la solution.

— pour $n \neq 0$, la valeur $x = ah_{np}$ sera une solution commune de (4.5.29) et (4.5.28) dont la résolution sera spécifique du problème considéré.

Fréquences de résonance (α → ∞) 4.5.3

Revenons aux équations couplées pour $E_{\parallel}$ et $H_{\parallel}$, (4.5.4) à (4.5.9). La limite $\alpha \to \infty$, c'est-à-dire $N_{\parallel} \to \infty$ pour $\omega$ fini, dépendra des valeurs de $\kappa_1, \kappa_2, \kappa_3$, c'est-à-dire des fréquences considérées. Nous allons étudier successivement le résonance plasma et les résonances gyromagnétiques, les valeurs de $k_{\perp} = s$ restant naturellement finies.
et des relations analogues entre $J_\omega(\mathbf{r})$ et $J_\omega(\mathbf{k})$, et enfin

$$ (5.6.12) \qquad \mathbf{G}_{\omega}(\mathbf{r}-\mathbf{r}') = \int \mathbf{g}_{\omega}(\mathbf{k}) e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')} d^3\mathbf{k}. $$

Cela conduira, par substitution de (5.6.12) dans (5.6.9), et compte tenu de (5.6.11), pour J, à la relation entre les composantes de Fourier de $E_\omega(\mathbf{k})$ et $J_\omega(\mathbf{k})$

$$ (5.6.13) \qquad E_{\omega}(\mathbf{k}) = g_{\omega}(\mathbf{k}) \cdot J_{\omega}(\mathbf{k}). $$

La transformée de Fourier de (5.6.8) déterminera $g_\omega(\mathbf{k})$

$$ (5.6.14) \qquad (\mathbf{k}\mathbf{k} - k^2 \mathbf{1} + \frac{\omega^2}{c^2} \mathbf{\kappa}) \cdot \mathbf{g}_\omega(\mathbf{k}) = i\omega\mu_0 \mathbf{1} $$

$$ \text{puisque} \qquad \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}') = (2\pi)^{-3} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')} d^3\mathbf{k}. $$

En appelant, comme ci-dessus, $\mathcal{R}(\mathbf{k})$ le tenseur coefficient de $g_\omega(\mathbf{k})$ dans (5.6.14), on aura donc

$$ (5.6.15) \qquad \mathbf{g}_{\omega}(\mathbf{k}) = i\omega\mu_0 \mathcal{R}_{\omega}^{-1}(\mathbf{k}). $$

De même qu'en (5.6.3) et (5.6.4), cela fera apparaître, comme pôles du second membre, les racines de l'équation de dispersion

$$ \mathcal{R}(\mathbf{k}) \equiv \mathrm{Det} (\mathcal{R}_{\omega}) = 0. $$

La solution (5.6.15), pour une orientation quelconque de $\mathbf{k}$, a été donnée par Kogelnik (1960), pour un plasma froid. Elle est donc de la forme (Cf. Appendice 3)

$$ (5.6.16) \qquad g_{\omega}(\mathbf{k}) = \frac{\mathcal{L}(\mathbf{k})}{\mathcal{R}(\mathbf{k})}. $$

La solution (5.6.16) pour $g_\omega(\mathbf{k})$ permet donc, en principe, de calculer le champ rayonné par une distribution de courant $J_\omega(\mathbf{r})$ quelconque. Bien entendu, on pourra lui superposer n'importe quelle solution libre, solution de l'équation (5.6.1), écrite sans second membre. La solution générale devra néanmoins satisfaire à la « condition de rayonnement », déduite du principe de causalité.

Lorsque, dans (5.6.16), $\mathbf{k} = \mathbf{k}(\omega)$ sera solution de l'équation de dispersion, un pôle apparaîtra dans $g_\omega(\mathbf{k})$ et ces termes contribueront de manière dominante dans l'intégrale (5.6.10) pour $E_\omega(\mathbf{r})$ qui, avec (5.6.13), s'écrit

$$ (5.6.17) \qquad \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \int \mathbf{g}_{\omega}(\mathbf{k}) \cdot \mathbf{J}_{\omega}(\mathbf{k}) e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} d^3\mathbf{k} : $$

on retrouve les résultats du calcul direct (Éq. (5.6.5)). Ces contributions seront évaluées par la méthode des résidus, nous en verrons un exemple plus loin.

A partir de l'expression (5.6.16) pour $g_\omega(\mathbf{k})$, on peut exprimer la puissance rayonnée par une distribution de courants élémentaires $J(\mathbf{r})$

$$ P = \frac{1}{4} \int (\mathbf{J}^* \cdot \mathbf{E} + \mathbf{J} \cdot \mathbf{E}^*) d^3\mathbf{r} = \frac{1}{2} \mathrm{Re} \int (\mathbf{J}^* \cdot \mathbf{E}) d^3\mathbf{r}. $$
et

$$L(v) = \int_{0}^{\infty} d\xi v'(\xi) e^{i\Phi(\xi)} = \sum_{n,m} J_n J_m e^{-i(n-m)\varphi} \int_{0}^{\infty} d\xi' v'(\xi') e^{i(\alpha-m)\xi'}$$

Or, d'après (A-9.5)

$$v'(\xi) = \begin{pmatrix} w \cos (\varphi - \xi) \\ w \sin (\varphi - \xi) \\ u \end{pmatrix}$$

En passant en coordonnées tournantes $L_p$, ($p = -1, 0, +1$)

$$L_{\pm 1} = L_x \pm iL_y, \quad L_0 = L_z$$

on a

$$\begin{cases} L_{\pm 1} = i\omega \sum_{n,m} J_n J_m A_{\pm 1}(\varphi) \\ L_0 = i\omega \sum_{n,m} J_n J_m A_0(\varphi) \end{cases} \quad \text{(A-9.9)}$$

avec

$$A_p(\varphi) = -ie^{-i(n-m-p)\varphi} \int_0^\infty d\xi e^{i(\alpha-m-p)\xi}$$

L'intégrale dans $A_p$ a pour valeur $\frac{i}{\alpha - m - p}$, le terme en $iv_c$ dans $\alpha$ assurant la convergence en $e^{-\frac{v_c}{\omega_b}\xi}$ pour $\xi \to \infty$. D'où

$$\text{(A-9.10)} \qquad A_p = \frac{e^{-i(n-m-p)\varphi}}{\alpha - m - p} \quad (p = -1, 0, 1).$$

Pour l'espèce de particules considérée, le tenseur de conductivité est, d'après

$$\text{(A-9.8)} \qquad \sigma = - \frac{2\epsilon_0 \omega_p^2}{\omega_b} \int d^3v \frac{\partial g_0}{\partial (v^2)} vL$$

soit

$$\text{(A-9.11)} \quad \sigma = - \frac{2i\epsilon_0\omega_p^2}{\omega_b} \int_{-\infty}^{+\infty} du \int_0^\infty w dw g_0'(u, w) M(u, w) , \text{ avec } g_0'(u, w) = \frac{\partial g_0}{\partial (v^2)}$$

où, d'après (A-9.9)

$$\text{(A-9.12)} \qquad M = \begin{pmatrix} w^2 C_x & w^2 C_y & uwC_z \\ w^2 S_x & w^2 S_y & uwS_z \\ uwR_x & uwR_y & u^2 R_z \end{pmatrix}$$

avec

$$\begin{pmatrix} C_l \\ S_l \\ R_l \end{pmatrix} = \sum_{n,m} J_n J_m \int_0^{2\pi} d\varphi \begin{pmatrix} \cos \varphi \\ \sin \varphi \\ 1 \end{pmatrix} A_l, \quad (l = x, y, z).$$
<figure><img src="image_10.png" /></figure>
### 3.5.1.1. EN HAUTE FRÉQUENCE

Pour $\omega^2 \gg \omega_b^2$, (3.5.4) devient

$$ (3.5.8) \qquad N^2 = 1 - \frac{\omega_b^2}{\omega^2} = N^{02}, $$

on retrouve l'onde électromagnétique ordinaire (3.2.13), obtenue en l'absence de champ magnétique.

### 3.5.1.2. EFFET ZEEMAN

Pour $\omega_b^2 \ll \omega_p^2$, les expressions (3.5.6) et (3.5.7) deviennent (en négligeant les ions), pour $\omega$ voisin de $\omega_p$

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

Au voisinage de $\omega \sim \omega_p$ (donc pour $k^2c^2 \ll \omega_p^2$), en remplaçant $\omega$ par $\omega_p$ dans le terme correctif $\omega_b/\omega$, on a donc

$$ N^2 = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2} \left(1 \pm \frac{\omega_b}{\omega_p}\right) \approx 1 - \frac{\left(\omega_p \pm \frac{\omega_b}{2}\right)^2}{\omega^2} $$

soit

$$ N_D^2 = 1 - \frac{\omega_D^2}{\omega^2}, \qquad N_G^2 = 1 - \frac{\omega_G^2}{\omega^2}. $$

où $\omega_D$ et $\omega_G$ sont définies en (3.4.32). On en déduit les deux modes

$$ (D) \quad \omega^2 = \omega_D^2 + k^2c^2 $$

$$ (G) \quad \omega^2 = \omega_G^2 + k^2c^2. $$

L'onde $\omega^2 = \omega_p^2 + k^2c^2$ a été dédoublée en deux ondes (D) et (G) : c'est le doublet Zeeman, observé dans la direction de $B_0$, la « raie » $\omega = (\omega_p + k^2c^2)^{1/2}$ ayant été dédoublée en deux « raies » $\omega = (\omega_b^2 + k^2c^2)^{1/2}$ et $\omega = (\omega_G^2 + k^2c^2)^{1/2}$, à polarisations circulaires respectivement droite et gauche, relativement à $B_0$.
$$
4.5.3.1. \text{RÉSONANCE PLASMA} \quad \omega \rightarrow \omega_0, \quad \kappa_3 \rightarrow 0.
$$

On a alors

$$
s_H^2 \sim - \frac{\omega^2}{c^2} N_{\parallel}^2 = - \alpha^2 \to \infty
$$

$r_H \sim \frac{\kappa_2}{\kappa_1} \alpha \kappa_3$, indéterminé

et (4.5.17) donne

$$
(4.5.30) \qquad H_{\parallel} \approx \frac{\kappa_3}{\alpha} E_{\parallel}
$$

conduisant à $H_{\parallel} = 0$ pour tout $E_{\parallel}$ fini : on a des modes TM. Alors, avec

$$
s_B^2 \sim - \frac{\omega^2 \kappa_3}{c^2 \kappa_1} N_{\parallel}^2 = - \frac{\kappa_3 \alpha^2}{\kappa_1}
$$

et
$$
r_B \sim \frac{\kappa_2}{\kappa_1} \alpha \rightarrow \infty
$$

on tire de (4.5.4) et de (4.5.30)

$$
\left( \nabla_{\perp}^2 - \frac{\kappa_3 \alpha^2}{\kappa_1} \right) E_{\parallel} \sim \alpha \frac{\kappa_3}{\alpha} E_{\parallel} \to 0 \quad \text{pour } E_{\parallel} \text{ fini.}
$$

— Si $\kappa_3 \alpha^2 \to \infty$, on obtient $E_{\parallel} = 0$.

— Si $\kappa_3 \alpha^2$ reste fini, on a alors $E_{\parallel}$ fini, non nul, et l'équation définissant les résonances au voisinage de $\omega = \omega_0$ s'écrit

$$
(4.5.31) \qquad k_{\perp}^2 = s_E^2 = - \frac{\kappa_3}{\kappa_1} \alpha^2
$$

$s_E$ étant défini par les conditions aux limites. Pour les champs transverses, on a,
d'après (4.1.19) et (4.1.20)

$$
E_{\perp} \sim - \frac{i}{\alpha} \nabla_{\perp} E_{\parallel} \to 0
$$

$$
H_1 \sim - \frac{i}{\alpha} \nabla_\perp H_\parallel \to 0,
$$

pour $E_{\parallel}$ fini. Le champ est donc longitudinal (relativement à $k_{\parallel} = \alpha$). Dans ce
cas, on a donc $\nabla \times E_{\parallel} = \nabla_{\perp} \times E_{\parallel} + i\alpha \times E_{\perp} = 0$, d'après (4.1.12) : le champ E
est irrotationnel et le problème peut être traité dans l'approximation quasi sta-
tique; c'est dans cette approximation que (4.5.31) a été d'abord obtenue (Trivel-
piece et Gould, 1959). On remarque, comme dans le cas illimité, la polarisation
longitudinale des ondes au voisinage des résonances.

Voisinage de la résonance plasma

Les valeurs propres *s* étant réelles, on obtient α² > 0 dans (4.5.31) pour
— (κ₃/κ₁) > 0 : on retrouve la condition d'existence des résonances tg²θR > 0 (Cf. fig. 3.27
Avec (5.6.9) et (5.6.12), cette puissance se met sous la forme (en omettant les indices $\omega$)

$$ 
\begin{aligned}
P &= \frac{1}{2} (2\pi)^{-3} \mathcal{R}e \int \mathbf{J}^*(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{G}(\mathbf{r} - \mathbf{r}') \cdot \mathbf{J}(\mathbf{r}') \, d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{r}' \\
&= \frac{1}{2} (2\pi)^{-3} \mathcal{R}e \int \mathbf{J}^*(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{g}(\mathbf{k}) e^{i\mathbf{k} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}')} \cdot \mathbf{J}(\mathbf{r}') \, d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{r}' \, d^3\mathbf{k}
\end{aligned}
$$

où l'on reconnaît, dans l'intégrant, les transformées de Fourier inverses $J^*(k)$ et $J(k)$ (Cf. éq. 5.6.11); d'où

$$ (5.6.18) \qquad P_{\omega} = 4\pi^3 \mathcal{R}e \int \mathbf{J}_{\omega}^{*}(\mathbf{k}) \cdot \mathbf{g}_{\omega}(\mathbf{k}) \cdot \mathbf{J}_{\omega}(\mathbf{k}) \, d^3\mathbf{k} $$

soit, en fonction de l'indice, en remplaçant chaque composante $k_\alpha$ par $\frac{\omega}{c} N_\alpha$

$$ (5.6.19) \qquad P_{\omega} = \frac{4\pi^3 \omega^3}{c^3} \mathcal{R}e \int \mathbf{J}_{\omega}^{*}(\mathbf{N}) \cdot \mathbf{g}_{\omega}(\mathbf{N}) \cdot \mathbf{J}_{\omega}(\mathbf{N}) \, d^3\mathbf{N}. $$

Appliquons ce dernier résultat au calcul du rayonnement émis, dans un plasma froid, par un dipôle élémentaire de moment $\mathbf{p}e^{-i\omega t}$, placé à l'origine des coordonnées et orienté de façon quelconque; on a

$$ J_{\omega}(\mathbf{r}) = -i\omega\mathbf{p}\delta(\mathbf{r}) $$

et

$$ J_{\omega}(\mathbf{k}) = - \frac{i\omega}{(2\pi)^3} \mathbf{p}, \text{ indépendant de } k; $$

d'où, d'après (5.6.18)

$$ (5.6.20) \qquad P_{\omega} = \frac{\omega^2}{4} [\mathbf{p}^* \cdot \mathbf{\Gamma}(\omega) \cdot \mathbf{p} + \mathbf{p} \cdot \mathbf{\Gamma}^*(\omega) \cdot \mathbf{p}^*] $$

avec

$$ (5.6.21) \qquad \mathbf{\Gamma}(\omega) = (2\pi)^{-3} \int \mathbf{g}_{\omega}(\mathbf{k}) \, d^3\mathbf{k} = \frac{1}{\lambda_{\omega}^3} \int \mathbf{g}_{\omega}(\mathbf{N}) \, d^3\mathbf{N}, \qquad \lambda_{\omega} = \frac{2\pi}{k_{\omega}} = \frac{2\pi c}{\omega}. $$

Écrite avec les composantes $p_\alpha$, $\Gamma_{\alpha\beta}$, (5.6.19) devient

$$ P_{\omega} = \frac{\omega^2}{4} \sum_{\alpha\beta} [p_{\alpha}^{*} \Gamma_{\alpha\beta} p_{\beta} + p_{\alpha} \Gamma_{\alpha\beta}^{*} p_{\beta}^{*}] $$

soit, en permutant les indices $\alpha$ et $\beta$ dans le deuxième terme de la somme

$$ (5.6.22) \qquad P_{\omega} = \frac{\omega^2}{2} \mathbf{p}^* \cdot \mathbf{\Gamma}_h \cdot \mathbf{p} $$

où $\mathbf{\Gamma}_h = \frac{1}{2}(\mathbf{\Gamma} + \mathbf{\Gamma}^\dagger)$ est la partie hermitique du tenseur $\mathbf{\Gamma}^\dagger$.

On donne en appendice (Appendice 3) un exemple d'application de (5.6.22).

## 5.7. Généralités sur le problème des antennes (Cf. Deschamps et Weil, 1965)

Le comportement d'une antenne plongée dans un plasma dépend de nombreux facteurs, en particulier du rôle de la gaine qui se forme au voisinage de la surface de l'antenne et de la répartition du courant dans l'antenne elle-même; en outre, lorsque cette antenne est

1. $\Gamma^\dagger$ est le conjugué hermitique $\Gamma$ (c'est le conjugué du transposé $(\Gamma^\dagger)_{\alpha\beta} = (\Gamma_{\alpha\beta})^*$).
Le vecteur V, de composantes C,, S,, R,, s'exprime en coordonnées tournantes

$$
V_l^q ; (q = -1, 0, +1).
$$

$$
(A-9.13) \qquad V_l^{q+1} = C_l \pm iS_l \qquad V^0 = R_l
$$

et, on a

$$
(A-9.14) \qquad V_q^l = \sum_{n,m} J_n J_m \int_0^{2\pi} d\varphi e^{iq\varphi} A_l;
$$

la forme de (A-9.14), avec (A-9.10), conduit à définir le vecteur V<sup>q</sup><sub>p</sub>, p = -1, 0, +1,
tel que

$$
(A-9.15) \qquad V_{\pm 1}^{q} = V_{\pm a}^{q} \pm iV_{\pm b}^{q}, \qquad V_{0}^{q} = V_{z}^{q}
$$

d'où, d'après (A-9.10)

$$
\begin{align*}
V_p^q &= \sum_{n,m} J_n J_m \int_0^{2\pi} d\varphi e^{i q \varphi} A_p \\
&= \sum_{n,m} J_n J_m \int_0^{2\pi} d\varphi \Psi_{m+p}^{m+p+q}
\end{align*}
$$

en posant

$$
\Psi_{\mu}^{\lambda} = \frac{e^{i(n-\lambda)\varphi}}{\alpha - \mu}.
$$

Or, l'intégrale

$$
\int_0^{2\pi} d\varphi \Psi_{\mu}^{\lambda} = \begin{cases} \frac{2\pi}{\alpha - \mu} & \text{pour } \lambda = n \\ 0 & \text{pour } \lambda \neq n. \end{cases}
$$

Alors, en ne prenant dans la somme sur *n* que les termes non nuls *n* = *λ*,

$$
(A-9.16) \qquad V_p^q = 2\pi \sum_m J_m \frac{J_{m+p+q}}{\alpha - (m+p)}.
$$

D'où

$$
(A-9.17) \quad V_{\alpha}^{q} = \frac{1}{2}(V_{+1}^{q} + V_{-1}^{q}) = \pi \sum_{m} J_{m} \left( \frac{J_{m+1+q}}{\alpha - (m+1)} + \frac{J_{m-1+q}}{\alpha - (m-1)} \right);
$$

la somme sur *m* étant prise de -∞ à +∞, on peut changer (*m* + 1) en *m* dans
le premier terme du second membre de (A-9.17) et changer (*m* - 1) en *m* dans le
second terme : il vient

$$
V_{\alpha}^{q} = \pi \sum_{m} (J_{m-1}^{q} + J_{m+1}^{q}) \frac{J_{m-q}}{\alpha - m} = \frac{2\pi}{\beta w} \sum_{m} m \frac{J_{m} J_{m-q}}{\alpha - m}
$$

d'après la relation

$$
(A-9.18) \quad J_{m-1}(x) + J_{m+1}(x) = \frac{2m}{x} J_m(x) , \quad x = \beta w.
$$