# Outils d'aide à la décision pour une conception robuste des structures mécaniques

Boubker Ait Brik, Noureddine Bouhaddi, Scott Cogan

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Boubker Ait Brik, Noureddine Bouhaddi, Scott Cogan. Outils d'aide à la décision pour une conception robuste des structures mécaniques. 17e Congrès Français de Mécanique, 2005, Troyes, France. hal-00020001

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Submitted on 28 Apr 2023

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# Outils d'aide à la Décision pour une Conception Robuste des Structures Mécaniques

B. AIT BRIK, N. BOUHADDI, S. COGAN

Institut FEMTO ST, UMR 6174, Laboratoire de Mécanique Appliquée R. Chaléat,
24 Chemin de l'Epitaphe 25000 Besançon, FRANCE

## Résumé :

Dans cet article nous proposons une méthodologie d'aide à la décision et d'optimisation multiobjectifs. Cette méthodologie consiste à introduire des incertitudes sur les variables de conception au cours du processus d'optimisation afin de trouver des solutions qui sont à la foi robustes et optimales.

## Abstract :

In this article we propose a methodology of decision-making aid and multiobjective optimization. This methodology consists in introducing uncertainties on the design variables during the process of optimization in order to find robust and optimal solutions

## Mots clefs :

Optimisation multiobjectifs ; Réseau de neurones ; Robustesse.

## 1 Introduction

L'utilisation des algorithmes évolutionnaires pour résoudre des problèmes d'optimisation multi-objectifs sont aujourd'hui largement appliquée dans les différents domaines de l'ingénierie pour réduire les coûts et les délais de conception, de fabrication...

Ces méthodes peuvent être classées en deux grandes catégories : les approches déterministes qui considèrent seulement des valeurs nominales des variables de conception et les approches robustes qui prennent en compte des incertitudes sur les variables de conception (variable d'optimisation).

L'optimisation robuste a les mêmes caractéristiques que l'optimisation déterministe au niveau du traitement des données mais avec des incertitudes sur les variables de conception et sur les fonctions objectifs ainsi que dans le traitement des contraintes. En ingénierie mécanique, ces incertitudes sont inhérentes aux défauts de modélisation, aux propriétés mécaniques des matériaux (module d'Young, masse volumique,...), aux processus de fabrication et d'assemblage (épaisseurs de tôles et d'autres variables géométriques)...

Dans une phase de conception en avant projet, ces incertitudes sont introduites pour prendre en compte la méconnaissance de certaines variables de conception.

Une fonction de robustesse est un estimateur qui permet d'évaluer l'impact des incertitudes des paramètres de conception sur la fonction objectif. Cependant en peut donner plusieurs définitions à la robustesse qu'on souhaite utiliser pour évaluer les incertitudes sur les paramètres de conception. Généralement la construction d'une fonction de robustesse est basée sur la moyenne et l'écart type [1] et [2].

Dans ce travail, la robustesse $f^r$ d'une fonction objectif $f$ est définie par le rapport entre la moyenne et l'écart type :

$$f^r = (\sigma_f / \mu_f)^{-1} \qquad (1)$$

Le rapport $\sigma_f / \mu_f$ désigne la dispersion (ou la fonction vulnérabilité $f^v(x)$) de $f$.

où : $\mu_f$ et $\sigma_f$ sont respectivement la moyenne et l'écart type calculées sur l'ensemble des échantillons $(f_i)_{1 \le i \le N}$ d'une fonction $f(x)$, $N$ représente le nombre de simulation de Monte Carlo.
## 2 Méthode proposée

Le but de la méthode proposée (figure 1) est de trouver des solutions au problème posé au concepteur, en prenant compte des incertitudes sur les paramètres de conception au cours de l'optimisation. Pour cela nous définissons un nouveau problème d'optimisation multi-objectif robuste (POMR) capable de trouver les optimums stables lorsque les paramètres d'optimisations sont aléatoires.

Le POMR est construit en optimisant simultanément les fonctions coûts initiales et leurs robustesses : Si le problème d'optimisation multi-objectif (PMO) initial est défini sous la forme :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \underset{x}{\text{Min}} F(x) = (f_1(x), f_2(x), \dots, f_m(x)) \\ \text{avec } x \in C \end{array} \right. \qquad (2) $$

alors, le problème d'optimisation multi-objectif robuste (POMR) est posé de la manière suivante

$$ \left\{ \begin{array}{l} \underset{x}{\text{Min}} F^*(x) = (f_1(x), f_1^v(x), f_2(x), f_2^v(x), \dots, f_m(x), f_m^v(x)) \\ \text{avec } x \in C^* \end{array} \right. \qquad (3) $$

Avec $f^r(x)$ est la robustesse de la fonction objective $f_i(x)$ et $1 \le i \le m$

Les solutions robustes vis-à-vis des incertitudes sont celles qui permettent de minimiser simultanément les fonctions coûts initiales $(f_1(x), f_2(x), \dots, f_m(x))$ et de maximiser leurs robustesses $(f_1^v(x), f_2^v(x), \dots, f_m^v(x))$. ou de minimiser leurs vulnérabilités $f_i^v(x)$ $1 \le i \le m$.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig. 1 : Méthode d'optimisation robuste proposée</figcaption></figure>

Une fois le problème d'optimisation robuste posé, le deuxième problème consiste à évaluer numériquement $f^r$ de manière simple et avec un nombre aussi réduit que possible de calculs de la fonction, puisqu'il ne
s'agit pas seulement de caractériser un optimum, mais d'intégrer un critère de robustesse à l'algorithme de recherche. Pour cela nous utilisons les réseaux de neurones surtout la famille des perceptron multi couches.

## 2.1 Algorithme évolutionnaire

Les algorithmes génétiques sont des algorithmes d'exploration fondés sur les mécanismes de sélection naturelle et de la génétique. Ils utilisent à la fois les principes de la survie des structures les mieux adaptées, et les échanges d'information aléatoire, pour former un algorithme d'exploration qui possède certaines des caractéristiques de l'exploration humaine. A chaque génération, un nouvel ensemble de créatures artificielles qui représentent les variables d'optimisation est crée à partir des meilleurs valeurs des variables de la génération précédente ce qui permet à l'algorithme d'explorer de nouveaux points et d'améliorer la performance de l'exploration génétique afin de trouver les solution optimales.

L'algorithme évolutionnaire utilisé dans cette étude est basé sur le concept de dominance de Pareto. Les solutions sont classées en rang. Le procédure de 'ranking' à été utilisé par Srinivas et Deb [3]. Les individus qui ne sont pas dominés, sont affectés au front n°1, puis ils sont éliminés de la population. L'ensemble suivant d'individus non dominés est identifié et affecté au rang 2... Cette procédure est réitérée jusqu'à ce que tous les individus de la population aient un rang. Les solutions situées dans les premiers fronts ont une probabilité plus forte pour être sélectionné.

Après le classement de chaque population en rang, on attribue à chaque individu $x_i$ une valeur $f_i$ appelée 'fitness' telle que $f_i = 1/r$ avec r égale au rang de l'individu $x_i$.

Généralement l'objective de la résolution d'un problème multi objective n'est pas seulement de trouver l'ensemble Pareto optimal, mais aussi que les solutions soient uniformément réparties dans cet ensemble. Pour cela, il est nécessaire d'introduire la technique de formation des niches. Les valeurs de la fonction fitness sont ainsi divisées par une fonction $m_i$

$$m_i = \sum_{j=1}^{N} \text{sh}(d(x_i, x_j)) \quad (4)$$

Avec $x_i$ et $x_j$ sont des individus, N nombre des individus dans la population. Et $sh$ est la fonction de niche donnée par :

$$\text{sh}(d(x_i, x_j)) = \begin{cases} 1 - d(x_i, x_j)/\sigma & \text{si } d(x_i, x_j) < \sigma \\ 0 & \text{si } d(x_i, x_j) > \sigma \end{cases} \quad (5)$$

Avec $\sigma$ constante fixée par le décideur afin définir l'intervalle des niches, et $d(x_i, x_j)$ distance entre les deux individus.

Après la définition de la nouvelle fonction de fitness, on utilise les opérations standard d'un algorithme génétique : sélection, croisement et mutation.

L'approche d'optimisation déterministe classique ne prend pas en compte les incertitudes sur les variables de conception. Ce qui donne un ensemble de solutions optimales mais non robuste. Dans le domaine de l'ingénierie, la question que se pose l'ingénieur n'est pas de trouver l'optimum mais de trouver l'optimum robuste, car les incertitudes doivent être prises en compte.

## 2.2 Réseaux de neurones

Par leur construction, les algorithmes génétiques sont très coûteux en terme d'évaluation. Le couplage d'un algorithme génétique avec le calcul des structures en mécanique pour évaluer les réponses d'une structure est pratiquement inexploitable (coût très élevé), il est alors primordial d'utiliser des méthodes d'approximation ou les méta modèles comme les surfaces de réponses et les réseaux de neurones. Le choix de l'une ou l'autre de ces méthodes d'approximation dépend du type de problème traité et de la qualité recherchée : relation entrée-sortie du modèle (dynamique non linéaire), nombre de paramètres, incertitudes sur les paramètres,...

Les deux méthodes sont généralement utilisées pour l'approximation des fonctions multimodales, des systèmes non linéaires...Cependant l'utilisation des réseaux de neurones pour l'approximation des fonctions à plusieurs variables est plus intéressante vue le temps de calcul faible pour l'approximation par rapport à la méthode des surfaces de réponses. Dans cet article la méthode des réseaux de neurones est utilisée pour évaluer la robustesse des fonctions coût. Ainsi, à chaque génération de calcul, un réseau de neurone est créé
et est utilisé pour le calcul de la robustesse. La simulation de Monte Carlo est bouclée sur le réseau de neurone et non le modèle nominal.

Depuis les années 1960, plusieurs modèles de réseaux de neurones ont été proposés et appliqués pour résoudre des problèmes d'ingénierie [4].

Le type de réseau utilisé dans cette étude est un réseau à deux couches cachées. Le réseau de neurone ainsi construit est intégré dans l'algorithmes génétique afin d'évaluer la robustesse : à chaque génération le réseau de neurone est actualisé, entraîné et validé. Ce réseau de neurone est utilisé pour évaluer les incertitudes sur les paramètres de conception. La simulation de Monte Carlo effectuée sur ce réseau de neurone et non sur le modèle nominal permet de réduire considérablement le temps de calcul.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig. 2 : hybridation AG-RN</figcaption></figure>

## 3 Simulation numérique

On s'intéresse au problème d'optimisation du comportement dynamique d'un portique 2D représenté en Figure 2. Le portique est discrétisé par des éléments poutre 2D (3 DDLs par nœud $U_x, U_y, \theta_z$) .Le modèle élément fini est composé de 87 DDL.

Les caractéristiques géométriques et mécaniques du portique sont: $b = 5 \times 10^{-3}$ m; $h = 10^{-2}$ m; E(Module d'Young) = $2,1 \times 10^{11}$ N/m²; $\rho$ (densité) = 7800 kg/m³; v(coefficient de Poisson) = 0,3. Le chargement ponctuel est constitué d'une masse m et d'une inertie I (Tableau 1), situées à une distance l=1.6 mm de l'extrémité B.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 1 : Description du portique 2D</figcaption></figure>

<table><caption>Tableau 1 : Paramètres de conception pour l'optimisation</caption><thead><tr><td>paramètres</td><td>Valeurs nominales</td><td>variations</td></tr></thead><tbody><tr><td>langueur (A,B)</td><td>4.8×10<sup>-3</sup> m</td><td>20%</td></tr><tr><td>langueur (B,C)</td><td>5×10<sup>-3</sup> m</td><td>20%</td></tr><tr><td>Densité (B,C)</td><td>7800 Kg/m<sup>3</sup></td><td>20%</td></tr><tr><td>Module de Young (B,C)</td><td>2.1 N/m<sup>2</sup></td><td>50%</td></tr><tr><td>Masse m</td><td>0.16 kg</td><td>30%</td></tr><tr><td>Inertie I</td><td>0.05×10<sup>-4</sup></td><td>30%</td></tr></tbody></table>

Le problème d'optimisation est défini avec deux fonctions objectives et une fonction contrainte inégalité, comme suit :

Masse totale de la structure, à minimiser, 2ème fréquence propre, à maximiser et Contrainte : 1ér fréquence propre inférieure à 3.2 Hz.

La méthode d'optimisation robuste proposée est utilisée pour rechercher les conceptions optimales et robustes du portique en présence des incertitudes sur les 6 paramètres de conception.

Différents tests, nous ont permis de définir les paramètres de notre AG : la taille de la population(100), le nombre total de générations (200), la probabilité de croisement (0.8), la probabilité de mutation (0.15), le coefficient de Sharing =0.2. Pour le réseau de neurones on utilise 2 couches cachées et 5 neurones par couche.
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. 2: Front de Pareto : comparaison solutions déterministes / stochastiques</figcaption></figure>

L'examen des résultats (tableau 1) montre que l'optimisation déterministe s'avère insuffisante et non robuste parce qu'on ne tient pas compte de l'effet des incertitudes sur les paramètres de conception. L'approche proposée permet de trouver des solutions optimales et robustes. L'ensemble des solutions optimales calculées par la procédure d'optimisation multi objectif proposée est de grande dimension. Dans la pratique, il est difficile pour le concepteur d'exploiter utilement cet espace de solutions en se basant uniquement sur les outils standard tel que les fronts de Pareto. On envisage alors d'utiliser les méthodes de datamining [5].

<table><caption>Table. 1 : Comparaison des solutions robustes et déterministes</caption><thead><tr><th></th><th>F1</th><th>F2</th><th>Comparaison déterministe</th><th>Fv1</th><th>Fv2</th><th>Comparaison robuste</th></tr></thead><tbody><tr><td></td><td>1.93</td><td>13.02</td><td>1</td><td>3.1</td><td>15</td><td>2</td></tr><tr><td></td><td>2.88</td><td>23.49</td><td>1</td><td>4.05</td><td>27.7</td><td>2</td></tr><tr><td></td><td>2.1</td><td>17.22</td><td>1</td><td>3.87</td><td>20.3</td><td>3</td></tr><tr><td></td><td>1.95</td><td>9.86</td><td>2</td><td>2.99</td><td>10.1</td><td>1</td></tr><tr><td></td><td>3.26</td><td>23.46</td><td>2</td><td>4.9</td><td>23.1</td><td>1</td></tr><tr><td></td><td>2.61</td><td>18.63</td><td>3</td><td>2.45</td><td>18</td><td>1</td></tr></tbody></table>

## References

[1] E. Sandgren, T.M. Cameron, Robust design optimization of structures through consideration of variation, Comput. Struct. 80 (2002) 1605-1613.

[2] K.H. Lee, G.J. Park, Robust optimization considering tolerances of design variables, Comput. Struct. 79 (2001) 77-86.

[3] N. Srivinas and K. Deb, Multiobjective Optimization using Nondominated Sorting in Genetic Algorithms, Technical Report, Departement of Mechanical Engineering, Institut of Technology, India, 1993.

[4] W. Carpenter and J. Barthelemy. A Comparison of Polynomial Approximations and Artificial Neural Nets as Response Surfaces. Structural Optimisation, 5:166-174, 1993.

[5] Y. Kohonen, Self Organizing Maps. Springer, New York, 3rd edition, 2000.