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# Analyse d'une évaluation entre pairs en algèbre au collège en France

Sylvie COPPÉ

Université de Genève, FPSE, équipe DiMaGe
sylvie.coppe@unige.ch

**Résumé** : Dans le cadre d'une recherche collaborative associant des enseignants et la chercheuse, autrice de cet article, sur le thème de l'enseignement de l'algèbre au collège en France, nous avons élaboré et expérimenté une séance d'évaluation entre pairs (selon deux modalités) dans laquelle les élèves devaient transformer un programme de calcul en une expression littérale. Une fois leur réponse produite, elles ou ils devaient se prononcer sur la validité de la réponse d'un autre élève ou de celles de l'ensemble des élèves de la classe. Ensuite, l'enseignant organisait un débat dans la classe sur les réponses. Dans ce texte, en utilisant les notions de contrat didactique et de milieu, et nos travaux sur les vérifications, nous analysons les réponses et les arguments donnés par les élèves, puis nous montrons la potentialité de ce type d'activités pour la construction des connaissances algébriques.

Mots-clés : algèbre, programmes de calcul, évaluation entre pairs, argumentation

## Analyzing algebra students' peer assessment skills at the college (middle school) level in France

**Abstract:** This article presents the results of a collaborative research project on algebra teaching strategies in middle schools in France. Together with a group of teachers, the author developed and tested a two-step peer assessment exercise in which students were asked to transform a computational program into a literal expression. Once they had produced their answers, students were then asked to assess the validity of either another student's answer or those of the entire class. Next, the teacher organized a class discussion on the answers. We analyze the students' answers and arguments based on our own studies on verification and the notions of didactic contract and didactic milieu, and discuss the potential of this type of activity for building algebra knowledge.

Keywords: algebra, computational program, peer assessment, argumentation
## Introduction

Depuis 2002, la chercheuse autrice de cet article a animé un groupe de recherche collaborative (Bednarz, 2013; Desgagné et al., 2001) avec des enseignant·es de collège en France (élèves de 11 à 15 ans) ayant pour but de produire des ressources pour les enseignant·es et formateur·rices de mathématiques sur l'enseignement de l'algèbre (Cherpin et al., 2022; Coppé, 2020). Ce groupe de recherche, nommé SESAMES Algèbre<fnref n="2" />, produit des documents diffusés sur le site PEGAME (http://pegame.ens-lyon.fr/) qui comporte deux entrées : « Enseigner » constituée de propositions d'activités pour les classes, classées par niveaux, explicitées et commentées pour les rendre plus accessibles et « Se former », partie dans laquelle nous proposons des documents qui explicitent nos choix pour les activités et qui devraient permettre aux enseignant·s de se les approprier et d'en comprendre les buts et les enjeux.

De 2012 à 2016, tout le groupe a participé au projet européen de recherche ASSIST-ME (Assess Inquiry in Science, Technology and Mathematics Education) dont l'objectif était, d'une part, d'analyser l'influence sur les apprentissages des élèves et les pratiques enseignantes de nouveaux dispositifs d'évaluations formatives en lien avec les évaluations sommatives dans le cadre de démarches d'investigations en sciences, mathématiques et technologie et, d'autre part, de concevoir et de diffuser des méthodes d'évaluations formatives en conformité avec la culture et les pratiques de chaque pays. Dans ce cadre, nous avons conçu et expérimenté des séances dans lesquelles nous avons développé des outils d'évaluation formative pour l'enseignement de l'algèbre. Dans cet article, nous décrivons et analysons une de ces séances dans laquelle nous proposons un dispositif d'évaluation entre pairs à propos d'une tâche d'algèbre visant la conversion d'un programme de calcul (registre verbal) en une expression littérale (registre algébrique).

Dans la première partie, nous donnerons quelques éléments sur nos choix en algèbre, puis, dans la deuxième, nous évoquerons quelques éléments sur l'évaluation formative et notamment l'autoévaluation. Enfin, après avoir décrit l'expérimentation, nous analyserons les productions des élèves et leur évolution en nous centrant sur le point de vue de l'argumentation des élèves.

<footnote n="1">¹ Voici la liste des enseignant·es qui participent/ont participé au groupe : Christophe Alves, Olivier Arrouch, Véronique Berger, Serge Betton, Maud Chanudet, Anne Sophie Cherpin, Vincent Duval, Stéphane Garapon, Alexandra Goislard, Sylvie Martin-Dametto, Claire Piolti-Lamorthe, Sophie Roubin, Étienne Spaak.</footnote>

<footnote n="2">² Ce groupe a été créé au sein du laboratoire ICAR (CNRS, Université de Lyon, ENS Lyon) et soutenu par l'Institut français de l'éducation (IFE). En 2011, il a intégré le dispositif du réseau des Lieux d'éducation associés (LéA) en association avec le collège Ampère de Lyon.</footnote>
# 1. Le contexte de cette étude

Comme nous l'avons mentionné, ce travail collaboratif avait pour but la production de ressources pour les enseignant.es sur l'enseignement de l'algèbre afin de favoriser le développement de connaissances algébriques chez les élèves par le biais notamment de la résolution de problèmes en travaillant sur le sens plutôt que sur les techniques de calcul, mais sans pour autant les négliger. Ainsi, nous avons travaillé dans plusieurs directions. Nous en citons trois qui sont en lien avec cette étude. Tout d'abord, en partant d'un constat partagé dans le groupe selon lequel l'enseignement de l'algèbre restait encore trop formel et ne permettait pas aux élèves de travailler sur le sens, nous avons élaboré des problèmes à mettre en œuvre dans les classes pour introduire l'algèbre. Nous avons suivi en cela ce que Chevallard (1998) appelle les raisons d'être. Pour cela, dans un premier temps, nous nous sommes appuyé es sur les travaux de Bednarz et Janvier (1996) qui ont défini quatre perspectives principales d'introduction de l'algèbre :

* l'approche par la généralisation/récurrence,

* l'approche par la résolution de problèmes/mise en équation,

* l'approche par la modélisation,

* l'approche technologique/fonctionnelle.

Puis, plus récemment, nous avons utilisé les travaux de Kieran (2007) qui définit trois aspects de l'activité algébrique avec le modèle GTG pour conceptualiser l'activité algébrique : l'activité générative, l'activité transformationnelle et l'activité globale au niveau méta. Cela nous a donc permis d'élaborer plus particulièrement des problèmes de généralisation et de preuves qui étaient peu proposés dans les classes au début de notre recherche (les problèmes amenant à des équations ont toujours été moins oubliés, mais ils sont souvent proposés après de nombreux exercices techniques). Il est cependant à noter que la situation a commencé à évoluer en France à partir de 2005, à la suite de changements de programmes qui préconisent de plus en plus explicitement les activités de preuve en algèbre (notamment dans le programme de 2016) comme en témoignent, dans l'extrait suivant (figure 1), les deux dernières phrases de chaque colonne.

## Utiliser le calcul littéral

Mettre un problème en équation en vue de sa résolution.

Développer et factoriser des expressions algébriques dans des cas très simples.

Résoudre des équations ou des inéquations du premier degré.

- Notions de variable, d'inconnue.

Utiliser le calcul littéral pour prouver un résultat général, pour valider ou réfuter une conjecture.

Comprendre l'intérêt d'une écriture littérale en produisant et employant des formules liées aux grandeurs mesurables (en mathématiques ou dans d'autres disciplines).

Tester sur des valeurs numériques une égalité littérale pour appréhender la notion d'équation.

Étudier des problèmes qui se ramènent au premier degré (par exemple, en factorisant des équations produits simples à l'aide d'identités remarquables).

Montrer des résultats généraux, par exemple que la somme de trois nombres consécutifs est divisible par 3.

<caption>Figure 1. Extrait du programme français mis en place en 2016, cycle 4
(Ministère de l'Éducation nationale, 2015, p. 73)</caption>
Pour élaborer ces problèmes, nous avons largement utilisé les programmes de calcul (Alves et al., 2013). Rappelons qu’un programme de calcul (Drouhard, 1995; Chevallard, 2007; Ruiz Monzon, 2010) se présente sous forme d’un texte qui décrit un calcul à faire sur des nombres. Voici deux exemples de problèmes à partir d’un programme de calcul, le premier peut aboutir à une résolution d’équation et le second à l’établissement d’une preuve.

Je pense à un nombre, j'ajoute 4, puis je multiplie le résultat par 7. J'ajoute le nombre de départ et je trouve 25. Quel était le nombre de départ?

Je pense à un nombre, je le multiplie par 5 puis j'ajoute 3. Je multiplie le résultat par 2 et j'enlève 10 fois le nombre de départ. Fais quelques essais. Que constates-tu? Est-ce toujours vrai? Prouve-le.

Un autre constat portait sur les erreurs récurrentes en calcul littéral. En étudiant les manuels, et grâce à la connaissance du terrain qu'avaient les enseignant·es, nous avons observé que la propriété de distributivité de la multiplication sur l'addition n'était pas suffisamment utilisée comme un élément de justification des calculs. Quand elle est citée (soit dans les traces écrites soit lors des interactions enseignant·e/élève), il arrive assez souvent que ce soit avec des termes courants comme « transformer » ou « simplifier » (qui ne disent rien des opérations mathématiques à faire) ou bien avec des ostensifs au sens de Bosch et Chevallard (1999) comme des flèches ou des couleurs. Or, comme nous l'avons souligné (Assude et al., 2012), ces termes ou ces ostensifs ne permettent notamment pas des contrôles et vérifications performantes. Par exemple, pour l'erreur suivante assez fréquente, lorsqu'un élève développe 3(2x + 5) en 6x + 5, elle ou il a bien transformé le produit en une somme, mais ce n'est pas juste.

> Il en résulte que la propriété de distributivité perd sa prépondérance technologique pour justifier et valider les calculs. Il y a donc un risque que les élèves ne l'utilisent pas et se rabattent sur des techniques portant sur les transformations d'écritures exclusivement basées sur des ostensifs, avec des critères de vérification peu opérationnels portant sur la forme. (Assude et al., 2012, p. 55).

Sur l'utilisation de ces termes courants et des ostensifs, il semble qu'il n'y a pas d'évolution en France puisqu'une étude à grande échelle (étude PRAESCO<fnref n="3" />) réalisée récemment dans le cadre de la DEPP<fnref n="4" /> (Coppé et al., 2021) montre que 64 % des enseignant·es interrogé·es, pour donner une relance sur une erreur de calcul littéral, utilisent des arguments du type « on n'ajoute pas des pommes et des

<footnote n="3">³ Pratiques d'enseignement spécifiques aux contenus</footnote>

<footnote n="4">⁴ Direction de l'évaluation, de la prospective et de la performance</footnote>
poires » et que les trois quarts d'entre elles ou eux estiment que ce sont des arguments concrets et faciles pour les élèves.

Enfin un troisième axe de notre travail portait sur le développement des contrôles et des vérifications. Dans notre définition des processus de vérifications (Coppé, 1993), nous considérons que ceux-ci font partie des processus de validation à la différence qu'ils peuvent quelquefois ne porter que sur la vraisemblance et pas sur la certitude, mais pour l'élève c'est suffisant à ce moment-là.

> Dans une situation de résolution de problème, un élève a identifié un résultat partiel ou final et il se pose la question de la validité de son résultat. Nous appellerons vérification tout argument avancé ou toute action mise en œuvre par l'élève pour limiter l'incertitude sur le résultat, si l'élève en a besoin, à ce moment-là et dans cette situation. Une vérification a pour conséquence, soit d'accroître la vraisemblance et éventuellement d'acquérir la certitude du résultat, soit d'engendrer un doute plus grand et, éventuellement, de déboucher sur une phase de rectification. (Coppé, 1993, p. 27)

De plus, nous avons montré que les vérifications relevaient souvent de ce que nous avons appelé le travail privé de l'élève (c'est-à-dire ce qui n'est pas donné à voir à l'enseignant e), c'est pourquoi on peut avoir l'impression que les élèves ne vérifient pas (Coppé, 1998). Il nous est donc apparu important de donner à voir des démarches et des méthodes de vérifications dans le travail quotidien de la classe, pour que les élèves puissent élargir leur palette. Mais, les vérifications sont fortement liées aux connaissances mathématiques des élèves, comme nous l'avons montré dans une autre expérimentation (Chalancon et al., 2002). Par exemple, pour pouvoir vérifier en testant sur des valeurs numériques, il est nécessaire que l'élève comprenne le statut de variable (c'est-à-dire que dans une expression littérale, x peut prendre n'importe quelle valeur). Le travail fait dans ces séances d'évaluation par les pairs a été l'occasion de développer les vérifications.

## 2. Mise en place d'évaluations entre pairs

Comme nous l'avons mentionné en introduction, la participation du groupe de recherche au projet ASSIST-ME a été l'occasion pour nous de réfléchir aux processus d'évaluation. Tout au long de notre travail collaboratif, nous avions eu des discussions sur les évaluations sommatives, notamment parce que si on introduit des changements dans les types de tâches proposées aux élèves pendant les séances d'enseignement, on va également modifier ceux proposés en évaluation à visée certificative. Il s'avérait donc nécessaire de vérifier leur compatibilité avec celles de l'institution soit à l'échelle de l'établissement, soit à celle de l'examen de fin de collège.
Le travail dans le projet ASSIST-ME a été l'occasion de travailler sur l'évaluation formative (à noter que les programmes scolaires français de l'époque de notre expérimentation soulignaient déjà l'importance d'évaluations autres que sommatives) ou plutôt sur le caractère formatif de l'évaluation. En effet, les travaux anglophones et francophones (Allal et Mottier Lopez, 2005; Black et William, 2009) s'accordent sur le caractère continu de l'évaluation formative, qui porte sur des savoirs et savoir-faire déjà enseignés ou en cours d'enseignement, qui peut se dérouler à tout moment d'une séance d'enseignement. Black et William (1998) indiquent que l'évaluation devient formative quand elle sert à adapter l'enseignement aux besoins repérés des élèves notamment par la notion de feedback. Comme on peut le noter dans la citation suivante, ils incluent les processus d'autoévaluation ou d'évaluation entre pairs dans l'évaluation formative puisque ces processus permettent bien aux élèves d'avoir un feedback sur leurs apprentissages et aux enseignant.es d'adapter leur enseignement selon les informations recueillies.

> Nous utilisons le terme général d'évaluation pour désigner toutes les activités entreprises par les enseignant·es – et par les élèves lors de l'autoévaluation – qui fournissent des informations à utiliser en retour pour modifier les activités d'enseignement et d'apprentissage. Cette évaluation devient une évaluation formative lorsque les données sont effectivement utilisées pour adapter l'enseignement aux besoins des élèves. (Black et William, 1998, p. 140, traduction libre<fnref n="5" />)

Pour Shavelson et al. (2008), comme indiqué sur la figure 2, il y a un continuum entre des évaluations formelles et planifiées (voire des évaluations « prêtes à l'emploi » produites par des chercheurs : « *Embedded-in-the-curriculum formative assessment* »), celles moins formelles dans l'interaction et celles « *on the fly* » qui peuvent arriver de façon spontanée à l'initiative de l'enseignant·e ou d'un élève.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 2. Continuum des évaluations formatives selon Shavelson et al. (2008, p. 300)</figcaption></figure>

<footnote n="5">⁵ « We use the general term assessment to refer to all those activities undertaken by teachers – and by their students in assessing themselves – that provide information to be used as feedback to modify teaching and learning activities. Such assessment becomes formative assessment when the evidence is actually used to adapt the teaching to meet student needs » (Black et William, 1998, p. 140).</footnote>
En ce qui nous concerne, nous avons choisi de travailler sur l'introduction, dans des séquences portant sur l'algèbre, de dispositifs d'évaluation formative comportant de l'évaluation entre pairs en utilisant des questionnaires élèves de positionnement et/ou des votes. Black et al. (2004) précisent qu'il y a différentes organisations possibles pour l'évaluation entre pairs, le principe étant que les élèves soient placés en position de réfléchir sur la validité de la production (orale ou écrite) d'au moins un élève de leurs camarades. Pour nous, l'organisation régulière de séances incluant des évaluations entre pairs (nous nous situons dans « *embedded assessment* ») peut être un moyen de faire entrer les élèves dans l'autoévaluation en leur donnant des occasions (voire des habitudes) d'argumenter sur la validité de réponses produites (et notamment les leurs).

Cela rejoint les propos de Allal (1999) qui souligne l'importance pour les élèves de développer des compétences leur permettant de se positionner par rapport à leur travail ou par rapport aux réponses des autres dans un but de régulation, ce qui devrait permettre, selon elle, d'accroître l'autonomie de l'élève et une meilleure adaptation au monde.

> En s'autoévaluant, l'élève est amené à expliciter ses représentations, à réfléchir sur ses stratégies, à confronter ses démarches avec celles d'autres élèves, à intégrer des critères externes dans ses cadres de référence, à gérer activement les relations entre les différentes tâches à accomplir. (Allal, 1999, p. 43-44)

Ainsi, en demandant aux élèves de fournir un retour sur les réponses d'autres élèves, nous pensons que cela peut favoriser la mise en place de questionnements sur la validité de leurs propres réponses (et/ou démarches), leur donner des outils de vérification et ainsi les entrainer à avoir pour eux-mêmes ce retour sur leur réponse. Bien sûr, c'est un travail qui se construit sur la durée.

Tous ces dispositifs supposent un changement de contrat dans la classe (dans le sens où les élèves ne doivent pas seulement produire des réponses, mais également se questionner sur leur validité) qui, en accordant davantage de responsabilités aux élèves dans les procédures de validation, a des effets sur les responsabilités respectives de l'enseignant et des élèves quant à la construction des savoirs.

## 3. Cadre théorique

Pour faire l'analyse de cette expérimentation, nous utilisons tout d'abord les notions de contrat et milieu didactiques (Brousseau, 1986, 1990). Ainsi, cette activité vise à modifier le contrat didactique habituel et fréquent de la classe de mathématiques puisque l'élève doit non seulement répondre à la question, mais aussi se prononcer sur la validité des réponses des autres. Il y a ainsi une redistribution des responsabilités entre l'enseignant et qui ne donne pas son avis
notamment lors du débat, et les élèves qui doivent valider des réponses et pas seulement les produire. Ce changement de contrat introduit alors un enrichissement volontaire du milieu en y introduisant les réponses des autres, ce qui, selon nous, devrait permettre à chaque élève de se questionner sur des réponses qu'elle ou il n'a pas forcément envisagées et ainsi, mobiliser des connaissances pour produire des arguments de validation. Mais, comme nous le verrons plus loin, à la fois dans l'analyse a priori et a posteriori, ce n'est pas forcément toujours le cas. Par exemple, les élèves pourraient être d'accord sur une réponse fausse et avoir ainsi un feedback qui renforce leur erreur. On retrouve là les distinctions sur le milieu faites par Perrin-Glorian (1999) qui distingue le milieu « potentiel » et le milieu « activé » ou par Schubauer-Leoni et al. (2007) qui évoquent un milieu qui « ne fait pas milieu ». Ces deux citations de Perrin-Glorian (1999) qui, bien qu'elles concernent des situations a-didactiques de résolution de problèmes plus classiques que la nôtre, montrent bien cette distance entre le milieu cognitif et le milieu tel qu'envisagé par l'enseignant-e.

> Si le rapport personnel de certains élèves n'est pas idoine au rapport institutionnel, ces objets de savoir placés dans le milieu de la situation didactique risquent de ne pas pouvoir apporter les rétroactions attendues aux actions de l'élève. Pour ces élèves, la situation a-didactique ne permettra pas l'apprentissage prévu : la dévolution ne peut se faire convenablement du fait de l'absence dans les connaissances disponibles de l'élève d'éléments supposés dans le milieu. [...] Dans ce cas le milieu avec lequel agit l'élève n'est pas le milieu construit par l'enseignant. (Perrin-Glorian, 1999, p. 294)

> L'absence dans le milieu effectif de certains objets que le maitre y avait prévu (ou la présence d'objets non prévus) concerne surtout des connaissances auxquelles le sujet a besoin de faire appel de lui-même, ce que j'appellerai la partie cognitive du milieu, ou abrégé, le milieu cognitif. (Perrin-Glorian, 1999, p. 294)

Dans ce cadre, nous faisons l'hypothèse que, dans certains cas, lors de la validation d'une réponse, les connaissances mises en jeu peuvent être différentes de celles qui ont permis de résoudre le problème et, par conséquent, cet enrichissement du milieu par les réponses des autres peut permettre de faire évoluer les connaissances des élèves à certaines conditions que nous allons voir dans les analyses.

Pour analyser les arguments des élèves, nous avons utilisé nos travaux sur les vérifications et notamment la distinction entre les vérifications de type interne (liées au savoir mathématique) et celles externes (liées à des éléments de forme ou au contrat didactique comme « j'ai bien utilisé toutes les données du problème »).

> Nous appellerons processus de vérification interne tout processus de vérification mettant en jeu des savoirs ou des savoir-faire typiquement mathématiques, ne
dépendant pas nécessairement de la situation dans laquelle on les utilise. [...] Les autres processus, qui utilisent des connaissances portant sur d'autres savoirs ou savoir-faire moins mathématiques (notamment ceux qui n'utilisent pas seulement la logique du problème mais qui dépendent davantage du contrat) seront appelés des vérifications de type externe. Ces processus ont la propriété d'être généralisables à tous les problèmes ou à des classes de problèmes très étendues [...]. Certains peuvent être très courts et/ou se limiter à des arguments simples. (Coppé, 1993, p. 36)

On peut faire le parallèle entre des vérifications de type externe et ce que Rhéaume et Oliveira (2015) désignent par « des mises entre parenthèses du sens lors de la vérification ».

Ainsi, nous cherchons à répondre aux questions suivantes : dans le cadre de l'enseignement/apprentissage de l'algèbre (au niveau du collège en France), quelles sont les capacités des élèves à se positionner, en justifiant, sur des réponses qu'ils n'ont pas produites? Quels types d'arguments sont avancés pour justifier? Et finalement, de façon plus générale, dans quelle mesure ce type de dispositif d'évaluation entre pairs visant à ajouter une tâche supplémentaire de validation (jeu sur le contrat didactique habituel) et à enrichir le milieu, peut-il favoriser la construction des connaissances en jeu?

# 4. Description du dispositif d'évaluation entre pairs

Voyons maintenant le dispositif expérimenté dans des classes de collèges en France au niveau 4e et 3e (élèves de 13 à 15 ans). Nous présentons la tâche en indiquant les objectifs poursuivis, puis nous faisons une analyse a priori des réponses (correctes et erronées) ainsi que des types d'arguments produits pour de possibles vérifications.

## 4.1 La tâche proposée

Voici la tâche que nous avons proposée. Elle est le fruit d'une élaboration collective, tant pour son contenu que sa mise en œuvre. Elle est proposée dans les premiers mois de l'année au début du travail sur l'algèbre. Plus précisément, cette tâche est la première d'une séquence de reprise sur l'enseignement de l'algèbre (puisqu'en France, cet enseignement commence en classe de 5e). Dans cette séquence, les élèves vont travailler sur les conversions entre des programmes de calcul et des expressions littérales (dans les deux sens) et sur les équivalences des expressions littérales pour notamment produire des preuves ou ensuite résoudre des équations.

Outre l'utilisation du dispositif d'évaluation entre pairs pour faire entrer les élèves dans l'autoévaluation, comme mentionné plus haut, un second objectif concerne davantage l'enseignant e qui pourra ainsi poser un diagnostic sur la maitrise de
savoirs ou savoir-faire anciens dont elle ou il sait, par ailleurs, qu'ils sont source
de difficulté. Ainsi, nous nous situons bien dans le cas d'une tâche d'évaluation à
la fois diagnostique et formative.

Voici un programme de calcul

Choisir un nombre

Ajouter 4

Multiplier la somme par 5

Soustraire 8 au résultat

Quelle expression littérale décrit ce programme de calcul?

<caption>Figure 3. Le problème proposé aux élèves</caption>

Cette tâche, conforme aux programmes français de 2016, est proposée aux niveaux 4e et 3e, pour des élèves qui ont déjà rencontré l'algèbre, mais sans que l'on sache de quelles façons, c'est-à-dire avec quelles organisations praxéologiques (au sens de Chevallard, 1998), notamment quels types de tâches ont été travaillés et quels éléments technologiques ont été utilisés. Sachant qu'en France l'algèbre est introduite en classe de 5e, on pourrait penser que cette activité est trop facile pour des élèves des niveaux que nous avons choisis. Cependant, même si les programmes préconisent ce genre d'activités, il n'est pas sûr que les élèves les aient déjà rencontrées car les pratiques peuvent être très différentes selon les enseignant es. Là encore nous renvoyons aux résultats de l'enquête PRAESCO (Coppé et al., 2021) qui montre des pratiques très variées concernant l'introduction et le travail sur l'algèbre. Par exemple 40 % des enseignant es interrogé es déclarent commencer les chapitres de calcul algébrique par des exercices de technique comme développer, réduire ou factoriser. Si environ la moitié des enseignant es déclarent passer autant de temps sur les problèmes et sur les techniques, 40 % déclarent passer davantage de temps sur les exercices techniques. Il se peut donc que certains élèves n'aient jamais rencontré ce type de tâches d'autant plus que l'utilisation des programmes de calcul n'est pas encore si fréquente; on peut le constater dans les manuels.

Le choix (en termes de variables didactiques) de la forme du programme de calcul est justifié par les raisons suivantes qui portent sur la mobilisation de la lettre, sur les aspects syntaxiques et sur les justifications des calculs :

* Déterminer si les élèves mobilisent le calcul littéral (ce qui est explicitement demandé) plutôt que le calcul numérique. Ici comme il n'y a pas de finalité autre que celle de produire une expression littérale, on peut penser que les élèves peuvent difficilement utiliser un nombre comme exemple générique comme elles ou ils pourraient le faire dans une activité de preuve.
* Déterminer si les élèves maitrisent les règles de calcul comme la priorité des opérations et l'usage des parenthèses et également si elles ou ils peuvent écrire une expression littérale plutôt qu'un calcul séquentiel.

* Déterminer si les élèves peuvent justifier l'équivalence de différentes écritures et avec quels arguments (niveau technologique) puisque les élèves peuvent écrire différentes expressions (réduites ou non) et que cela peut engendrer des discussions sur les différentes formes des expressions et sur leurs équivalences.

## 4.2 Le dispositif expérimental

Nous avons testé cette activité, en utilisant deux protocoles qui diffèrent par l'utilisation de Plickers (https://plickers.com) (celles et ceux des enseignant es qui n'étaient pas familier ères ou pas équipé es pour l'utilisation de Plickers n'ont pas introduit cet outil), dans neuf classes de la région lyonnaise de 4e (élèves de 13-14 ans) ou de 3e (élèves de 14-15 ans) avec cinq professeurs qui font partie du groupe de recherche collaborative, notés P1 à P5. Nous avons choisi à la fois des classes en réseau d'éducation prioritaire (REP)<fnref n="6" /> et des classes non REP. Nous avons filmé la séance dans seulement quatre classes (avec une caméra pointée sur l'enseignant e, ce qui nous permet d'analyser les débats). Nous avons collecté les feuilles de travail des élèves pour toutes les classes sauf deux (mais nous avons le film avec les réponses des élèves). Nous avons aussi les traces des votes Plickers et certaines copies de tableau blanc. À noter que ce dispositif questionne aussi le travail fait lors des phases de mises en commun (constituées ici d'un débat), dont on sait qu'elles sont difficiles à mettre en œuvre pour les enseignant es.

Le tableau suivant rend compte des différents cas.

<table><caption>Tableau 1. Récapitulatif des classes selon l'enseignant e (Pn, n de 1 à 5 désigne l'enseignant e), le niveau de classe, le protocole 1 ou 2.</caption><thead><tr><th>Protocole 1</th><th>Protocole 2</th><th>Film</th><th>Documents élèves</th></tr></thead><tbody><tr><td></td><td>P1 3<sup>e</sup> D REP</td><td></td><td>oui</td></tr><tr><td></td><td>P1 3<sup>e</sup> F REP</td><td></td><td>oui</td></tr><tr><td></td><td>P2 3<sup>e</sup> REP</td><td></td><td>oui</td></tr><tr><td></td><td>P5 4<sup>e</sup></td><td></td><td>oui</td></tr><tr><td>P1 4<sup>e</sup> A REP</td><td></td><td>x</td><td>oui</td></tr><tr><td>P1 4<sup>e</sup> E REP</td><td></td><td>x</td><td>oui</td></tr><tr><td>P3 3<sup>e</sup> A</td><td></td><td>x</td><td>non</td></tr><tr><td>P3 3<sup>e</sup> B</td><td></td><td>x</td><td>non</td></tr><tr><td>P4 3<sup>e</sup> B REP</td><td></td><td>x</td><td>oui</td></tr></tbody></table>

<footnote n="6">⁶ Ce sont des établissements qui comportent un nombre important d'élèves de milieux sociaux défavorisés.</footnote>
Le scénario prévu est le suivant. Tout d'abord, les élèves résolvent le problème individuellement. Ensuite les deux protocoles suivants sont utilisés :

* Protocole 1 : en circulant dans la classe pendant le temps de recherche, l'enseignant e collecte quatre réponses, puis en utilisant l'application Plickers, elle ou il fait voter les élèves sur la validité de chacune (on ne peut pas voter sur davantage de réponses avec cette application). L'enseignant e organise alors un débat argumentatif entre élèves, sans intervenir et sans conclure sur la validité des réponses puis propose un nouveau vote. Pendant le débat, l'enseignant e distribue la parole, reformule les propos des élèves si besoin, mais ne donne pas son avis. Voici la feuille de travail distribuée aux élèves dans laquelle nous avons tenté de recueillir des arguments explicites sur le maintien ou sur le changement de vote.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 4. Feuille de travail des élèves avec le protocole 1 (vote Plickers)</figcaption></figure>

* Protocole 2 : les élèves échangent leur copie entre voisin es et se prononcent par écrit sur la réponse de l'autre élève, puis le débat a lieu et ensuite chaque élève exprime son accord ou non avec le positionnement en vrai ou faux.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 5. Feuille de travail des élèves avec le protocole 2 (positionnement sur réponse d'un élève autre élève)</figcaption></figure>

En faisant une analyse a priori des réponses et des vérifications en utilisant la distinction vérifications internes/externes, voyons maintenant, comment ces éléments s'articulent pour l'analyse des productions des élèves.

## 4.3 Analyse a priori des réponses possibles et des vérifications

L'analyse a priori des réponses montre qu'il y a trois réponses correctes possibles selon leur forme plus ou moins réduite :

1. la réponse non réduite $5(x + 4) - 8$ qui traduit pas à pas le programme de calcul en tenant compte des priorités de calcul et donc des parenthèses (nous faisons l'hypothèse qu'elle sera la plus fréquente des réponses justes);

2. la réponse $5x + 20 - 8$ qui correspond au développement de la précédente expression (cette réponse nous semble peu probable car si les élèves développent l'expression, ils réduiront ensuite par effet de contrat didactique);

3. la réponse réduite $5x + 12$.

Nous n'avions aucune exigence sur la forme de cette réponse correcte et nous avions choisi le programme de calcul afin que ces trois réponses apparaissent pour pouvoir aborder le niveau technologique (l'utilisation de la distributivité pour prouver l'équivalence des expressions) en rendant explicites les types d'arguments
utilisés par les élèves. Nous pensions que comme les élèves avaient déjà eu un
enseignement de l'algèbre (notamment celles et ceux de 3e), elles ou ils pouvaient
penser à réduire soit par effet de contrat didactique, soit pour avoir une expression
« plus simple ».

De nombreuses réponses fausses ou incorrectes sont envisageables :

4. un ou plusieurs calcul(s) numérique(s) comme exemple(s) pour montrer comment fonctionne le programme de calcul, avec éventuellement une réponse numérique;

5. un schéma du programme de calcul en ligne ou colonne avec des flèches pour montrer la succession des calculs (portant sur des nombres ou une variable) sans avoir une seule expression à la fin;

6. des expressions erronées comme $5x + 4 - 8$ ou $x + 4 \times 5 - 8$ qui ne tiennent pas compte des priorités opératoires (simple traduction du programme de calcul) ou des expressions réduites des précédentes et qui sont donc erronées comme $5x +/ - 4$ ou $x + 12$;

7. des expressions comme $5x - 12$ ou bien $20x - 8$ qui proviennent d'une erreur dans la réduction de l'expression correcte $5(x + 4) - 8$;

8. une expression littérale (ou des égalités) avec plusieurs variables pour décrire le programme comme $x + 4 = y \times 5 = z - 8$.

Ainsi, du fait du choix de la forme du programme de calcul, il y a un nombre
important de réponses correctes ou erronées, ce qui est essentiel pour engendrer
des discussions sur la validation.

En plus de l'analyse a priori des réponses, nous avons fait une analyse a priori des
positionnements en termes de vrai/faux et des arguments associés pour chacune
des réponses en utilisant les vérifications internes et externes.

Dans le tableau de l'annexe 1, nous reprenons la liste des réponses possibles avec
des arguments a priori qui peuvent servir au positionnement sur la réponse d'un
autre élève en distinguant les vérifications, externes ou internes, qui peuvent être
utilisées pour valider ou invalider (certains arguments pouvant servir dans les
deux cas).

Envisageons quelques cas pour mettre en avant ce qui peut se passer suivant la
réponse initiale de l'élève (que nous désignons par A) lorsqu'elle ou il se
positionne sur la réponse de l'autre élève (que nous désignons par B) et voir ainsi
les effets en termes de milieu.

Tout d'abord considérons que les élèves A et B donnent la même réponse (juste ou erronée). Dans ce cas, l'argument utilisé par A (et par B) pour valider a une grande probabilité d'être « c'est juste car j'ai la même réponse ». Dans ce cas, on constate
que le milieu n'est pas enrichi et que, de fait, cela va même à l'encontre de l'objectif de validation puisque cela risque de renforcer A et B sur la vraisemblance de leur réponse même si elle fausse.

Examinons maintenant les cas 1, 2 ou 3 dans lesquels l'élève A a trouvé une bonne réponse (réduite ou non) et que B a une réponse erronée. On peut alors penser que A pourra utiliser des arguments internes pour invalider la réponse de B et même dans certains cas, qu'il pourra pointer ou qualifier les erreurs, ce qui l'amène à mobiliser des connaissances mathématiques. On peut aussi avoir le cas où A a une réponse non réduite (cas 1 ou 2) et B réduite. Il se peut alors que cela permette à A de faire évoluer sa réponse en mobilisant des connaissances sur la distributivité (lors de la validation) et donc ensuite de revenir sur sa réponse et la faire évoluer. Dans ce cas, l'introduction dans le milieu de la réponse réduite peut avoir un effet positif.

Voyons enfin le cas où A a une réponse incorrecte (cas 4 à 8). Pour A, cette tâche n'est pas problématique puisque A a pu répondre en utilisant des connaissances communes (par exemple en faisant une simple traduction du texte en français par des symboles mathématiques sans prendre en compte les priorités opératoires). Le fait d'être confronté à une réponse de B différente (qui n'est pas une « traduction » aussi directe) et à devoir se prononcer sur sa validité peut l'amener à remettre en cause sa réponse (par exemple parce qu'il ou elle se demande pourquoi il y a des parenthèses ou d'où vient le 12) et donc à mobiliser des connaissances mathématiques. Dans ce cas-là, le milieu joue son rôle pour faire évoluer la réponse de A, voire ses connaissances.

Ces deux derniers exemples illustrent, selon nous, comment, par le biais de cette situation d'évaluation entre pairs, les changements de contrat et milieu peuvent avoir des effets sur les connaissances des élèves et permettre ainsi des évolutions.

Nous analysons maintenant les réponses des élèves dans les différentes classes et suivant les deux protocoles.

## 5. Analyses des données et discussion

Nous allons analyser les données collectées selon chacun des protocoles (car les types de réponses ne sont pas tout à fait les mêmes). Nous mettrons en avant la diversité de réponses, puis nous analyserons les arguments convoqués par les élèves.

### 5.1 Protocole 1

Les réponses par classe de l'ensemble des élèves avant et après le débat se trouvent en annexe 2. Un premier résultat montre la variété des réponses, on retrouve ainsi
toutes celles prévues dans l'analyse a priori. Il nous parait important de souligner
que dans 3 classes sur 5, avant le débat, on voit encore apparaitre des réponses qui
n'utilisent pas les expressions littérales, ce qui montre qu'une part (faible) des
élèves (7 sur 105) ne sont pas encore entrés dans le domaine algébrique. De plus,
on constate que de façon très minoritaire, certaines réponses sont apparues, mais
lors du premier vote, les élèves qui les avaient produites n'ont pas voté pour elles.
On peut penser que la seule exposition des réponses a pu amener certains élèves à
changer d'avis.

Toutefois, selon les classes, la variété est plus ou moins grande. Ainsi, dans la
classe P4 3e A, toutes les réponses étaient correctes, données sous forme
d'expressions littérales plus ou moins réduites. Lors du second vote, seuls deux
élèves votent pour l'expression correcte mais non réduite. Ici l'enrichissement du
milieu par les réponses réduites a permis des discussions sur la transformation des
expressions et sur la propriété de distributivité comme élément de justification
(ce qui était un objectif pour être un appui pour la suite de la séquence). On peut
donc dire que le milieu potentiel et le milieu activé étaient assez proches pour la
plupart des élèves. De point de vue de l'évaluation formative, cela donne à
l'enseignant e un renseignement important sur les connaissances des élèves à ce
moment-là qui va lui permettre de poursuivre sa séquence de classe. Finalement
on peut surement penser que dans cette classe, cette tâche était trop facile pour les
élèves, mais c'est le seul cas.

Dans les deux autres classes de 3e de P3, on peut noter que l'expression réduite
n'est pas apparue, ce qui nous porte à nous interroger. Peut-être est-ce dû à un
effet de contrat didactique local pour cette activité, à savoir que les élèves ont
produit une réponse et n'ont pas continué. Ou bien elles ou ils ne considèrent pas
le calcul littéral comme un outil et donc s'arrêtent à la première expression obtenue
si on ne leur dit rien de plus. Pourtant, il est sûr que ces élèves de 3e ont déjà
pratiqué le calcul littéral et ont été entrainé es aux types de tâches de
développement et réduction.

Dans la classe de P1 4e E, aucune bonne réponse n'est apparue à la fin du travail
individuel. Comme c'est une classe de 4e, on peut penser que cette moins bonne
réussite est un effet du niveau de classe. Certainement pour cette même raison,
dans l'autre classe de 4e, il n'y a pas eu d'expression réduite.

Dans cette classe de P1 4e E, lors du débat qui a été très riche, les élèves ont, d'une
part, collectivement décidé de supprimer la réponse basée sur un exemple de
calcul 4 + 5 = 9 x 5 = 45 - 8 = 37 en avançant l'argument que la question
demandait « une expression littérale et qu'ici il n'y avait pas de lettres » et d'autre
part, ils ont corrigé collectivement l'écriture de ce calcul en faisant référence à des
connaissances sur les priorités de calcul et sur le signe =. Cette discussion sur l'organisation des calculs a amené la question suivante d'un élève : « est-ce que dans les calculs avec des lettres, les priorités existent aussi? » L'enseignante ayant répondu par l'affirmative (les enseignant.es avaient pour consigne de ne pas se prononcer sur la validité des réponses, mais ils ou elles pouvaient répondre à d'autres questions), il a alors proposé la nouvelle réponse (n + 4) x 5 - 8 pour laquelle les élèves ont ensuite voté de façon assez massive. Nous soulignons donc le fait que, lors de ce débat sur la validation, cet élève a pu mettre en discussion un élément de savoir qui était resté complètement implicite pour lui, à savoir que les règles de calcul qu'il connaissait dans le cadre numérique étaient vraies dans le cadre algébrique. Nous rapprochons ce résultat de ce que Pilet (2012) nomme des besoins d'apprentissages implicites. Dans cette même séance, nous avons également noté, à la suite de questions d'élèves : « si n est le nombre choisi, il ne peut pas être égal à n + 4, il reste le nombre de départ » ou encore « 5x c'est 5 fois x ou 5 plus x? ». Pour conclure sur ce débat dont nous avons déjà rendu compte (Coppé et Roubin, 2019), nous avons dégagé deux types d'objets de savoir qui ont été discutés :

* des éléments portant sur des savoirs enseignés anciens comme la multiplication des relatifs, les priorités opératoires et les parenthèses. Ainsi, cette modalité d'évaluation formative a bien permis à l'enseignant d'avoir des informations sur l'état des connaissances de ses élèves dans cette phase de rappel.

* des objets paramathématiques (Chevallard et Joshua, 1991) comme le signe égal (« il doit y avoir la même chose de chaque côté du signe = ») ou la lettre (« on n'est pas obligé de mettre x, on peut mettre une autre lettre » ou « x ça représente tous les nombres »).

Par conséquent, dans ces classes de 4e, le milieu activé était en quelque sorte plus éloigné du milieu potentiel puisque les réponses attendues sont moins apparues, voire pas apparues comme dans la classe de P1 4e E. Ainsi, dans cette classe, il aurait pu arriver que le milieu ne fasse pas milieu parce que les élèves n'auraient eu que le choix entre des réponses fausses, ce qui, en plus, les aurait conforté es dans cette voie. Finalement, c'est l'intervention de l'élève sur la priorité des opérations en calcul littéral qui a enrichi le milieu et a permis d'avancer. Dans une autre expérimentation (Coppé et Moulin, 2017) en classe de 6e sur les fractions, dans un cas semblable, nous avions décidé d'introduire la bonne réponse en évoquant un élève fictif et nous avons montré que cela n'avait pas eu d'effet puisqu'aucun élève n'avait pu défendre cette réponse et qu'elle n'avait donc pas été choisie lors du vote. Ceci est un point particulièrement délicat lors de ces séances.
Enfin, le dernier résultat que nous pouvons mettre en avant est qu'il y a une évolution entre les deux votes dans le sens des réponses correctes même s'il reste quelques erreurs. Sur la feuille de réponse, nous demandions aux élèves de dire si elles ou ils avaient changé d'avis et pourquoi. Nous n'avons ces feuilles de réponses que pour trois classes. Voici les arguments utilisés par les élèves pour justifier leur changement ou non de vote, que nous avons classés selon trois types :

* T1 : Des arguments ne mettant pas en jeu des éléments de savoir (par exemple, « je n'ai pas changé d'avis, car c'était ma première réponse »);

* T2 : Des arguments sur la conformité de la réponse qui correspondent aux vérifications externes (il y a des lettres, calcul en ligne, « je n'avais pas remarqué que c'était une écriture littérale »);

* T3 : Des arguments mathématiques mettant en jeu des propriétés qui correspondent aux vérifications internes (par exemple, « il faut mettre une parenthèse pour qu'on fasse le calcul en priorité »).

<table><caption>Tableau 2. Les arguments des élèves classés selon les trois types (le nombre entre parenthèses indique le nombre d'occurrences de l'argument)</caption><thead><tr><th></th><th></th><th>J'ai changé d'avis</th><th>Je n'ai pas changé d'avis</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">Classe de P1 4<sup>e</sup> A</td><td>T1</td><td>Il y a une faute (2)</td><td>Simple et juste, je ne voulais pas changer d'avis (3)</td></tr><tr><td>T2</td><td></td><td>Conformité de la réponse (3)</td></tr><tr><td>T3</td><td>Utilisation des parenthèses (3)</td><td>Priorité des calculs, utilisation des parenthèses (7)</td></tr><tr><td rowspan="3">Classe de P1 4<sup>e</sup> E</td><td>T1</td><td>Plus facile, pas le même résultat (3)</td><td>Pas vrai, j'ai gardé ma réponse (2)</td></tr><tr><td>T2</td><td>Conformité expression littérale (4)</td><td></td></tr><tr><td>T3</td><td>Priorité des calculs, utilisation des parenthèses (9)</td><td></td></tr><tr><td rowspan="3">Classe de P4 3<sup>e</sup> A</td><td>T1</td><td></td><td>Simple, rapide... (10)</td></tr><tr><td>T2</td><td></td><td></td></tr><tr><td>T3</td><td>Transformations d'écritures, distributivité (2)</td><td>Transformations d'écritures, distributivité (4)</td></tr></tbody></table>

Bien sûr ce tableau est à interpréter en faisant des liens avec les réponses obtenues dans chaque classe. Ainsi, pour les deux classes de P1 où il y avait une variété de réponses erronées, on trouve davantage d'arguments, dont une bonne moitié du troisième type, ce qui est à mettre en lien avec la richesse du débat. Mais certains utilisent tout de même encore ceux des deux premiers types, notamment des
arguments portant sur la forme de la réponse dans la classe de P4 3e A (dans laquelle les réponses étaient justes). Dans ce cas, nous ne pouvons pas exclure que ce grand nombre de réponses de type 1 peut être le signe de la trop grande facilité de cette tâche.

Si l'on rassemble les résultats par types d'arguments (tableau 3), on constate que ce sont les arguments de type 1 et 3 qui sont majoritaires. Nous retenons que les arguments de type 3 apparaissent assez fortement, ce qui est un bon signe de la mobilisation de connaissances mathématiques et notamment de la propriété de distributivité. On peut aussi penser que les élèves mobilisent cet argument parce que les enseignant.es qui participent au groupe de recherche ont l'habitude de l'utiliser dans leurs classes.

<table><caption>Tableau 3. Récapitulatif des arguments pour le protocole 1</caption><thead><tr><td></td><td>J'ai changé d'avis</td><td>Je n'ai pas changé d'avis</td><td>total</td></tr></thead><tbody><tr><td>Argument de type 1 T1</td><td>5</td><td>15</td><td>20</td></tr><tr><td>Argument de type 2 T2</td><td>4</td><td>3</td><td>7</td></tr><tr><td>Argument de type 3 T3</td><td>5</td><td>11</td><td>16</td></tr></tbody></table>

Pour conclure sur ce premier type d'expérimentation, nous voulons souligner l'investissement des élèves dans les débats à la fois par leur attitude active et concentrée mais aussi cognitivement par les arguments avancés.

## 5.2 Protocole 2

Cette modalité a été testée dans quatre classes de trois enseignant es (voir l'ensemble des résultats dans l'annexe 3). Pour faire cette analyse, nous allons considérer les réponses de chaque élève, les évaluations en vrai ou faux de l'autre élève et les arguments produits pour valider ou non ces réponses.

Comme pour dans la modalité 1, les réponses que nous avions prévues dans l'analyse a priori sont apparues avec des différences selon les classes, qui s'expliquent encore une fois par ce que nous désignons par le parcours algébrique antérieur des élèves. Ainsi, dans la classe de P1 3e F, on note 18 réponses erronées sur 23 alors que dans l'autre classe de cette même enseignante P1 3e D, il y a 10 réponses correctes sur 21. Enfin, il est à souligner qu'un nombre important d'élèves (20 élèves sur 73) de chaque classe restent au niveau du calcul numérique.

Nous n'avons les réponses finales retenues par les élèves que dans deux classes. À la fin de l'activité, le nombre de réponses déclarées correctes augmente tout de même, ce qui est encourageant, mais il reste quelques réponses erronées.

En ce qui concerne le positionnement sur la réponse d'un autre élève, nous observons que tous les cas se produisent, à savoir des réponses correctes évaluées
comme fausses ou le contraire. Même si une grande majorité d'élèves se déclarent d'accord avec la position de l'élève évaluateur trice, il en reste certain es qui ne veulent pas changer d'avis, notamment dans le cas des réponses fausses déclarées fausses, ce qui peut signifier que ces élèves ont confiance en leur réponse et donc en leurs connaissances et que les arguments d'un pair ne sont pas suffisants pour les convaincre. Cette résistance peut poser un vrai problème d'enseignement.

Voyons maintenant les arguments qui sont employés. Pour cela nous reprenons les trois types utilisés dans l'analyse précédente. Bien sûr certains arguments sont différents puisque l'objectif de l'argumentation n'est pas le même mais on retrouve des similitudes. Par exemple, les arguments de conformité de la réponse peuvent suffire dans un premier temps quand la réponse n'est pas une expression littérale.

On trouve également dans chaque classe les arguments de type 1 qui consistent à comparer la réponse de l'autre élève avec la sienne. De la même façon, si l'élève a produit la même réponse, cet argument est suffisant. Dans le cas où la réponse est évaluée comme fausse parce que différente de sa propre réponse, les élèves ne mobilisent pas vraiment de connaissances et le milieu n'est donc pas suffisant. Dans la classe de P1 3e F, il est à noter qu'il y a encore quatre élèves qui ont la conception erronée bien connue du signe égal comme un résultat et qui la mobilisent ici pour invalider la réponse de leur camarade (« c'est faux parce qu'il n'y a pas de résultat »).

Enfin, dans le cas de réponses erronées évaluées comme fausses, un nombre important d'élèves évaluateur trices proposent également la rectification en expliquant soit ce qui est faux soit en donnant la réponse qu'elles ou ils estiment correcte.
Analyse d'une évaluation entre pairs en algèbre au collège en France

<table><caption>Tableau 4. Les arguments des élèves classés selon les trois types</caption><thead><tr><th></th><th></th><th>Réponse évaluée comme JUSTE</th><th>Réponse évaluée comme FAUSSE</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">Classe de P1 3e D</td><td>T1</td><td>Même chose (4)<br>C'est bien fait (4)</td><td>Donne leur réponse (3)</td></tr><tr><td>T2</td><td>Conformité : il faut une écriture littérale (1)</td><td>Non-conformité : il faut une écriture littérale (5)</td></tr><tr><td>T3</td><td></td><td>Repérage de l'erreur (2)<br>Énoncé d'un élément de connaissance (utilisation des parenthèses, etc.) (1)</td></tr><tr><td rowspan="3">Classe de P1 3e F</td><td>T1</td><td>Même chose (1)<br>C'est bien fait (5)</td><td>Donne leur réponse (2)</td></tr><tr><td>T2</td><td></td><td>Non-conformité : il faut une écriture littérale (3)<br>Pas de résultat (4)</td></tr><tr><td>T3</td><td>Énoncé d'un élément de connaissance (1)</td><td>Repérage de l'erreur (4)</td></tr><tr><td rowspan="3">Classe de P2 3e</td><td>T1</td><td>Même chose (1)<br>C'est bien fait (4)</td><td>Donne leur réponse (3)<br>Tu n'as pas compris (2)</td></tr><tr><td>T2</td><td>Conformité : il faut une écriture littérale (1)</td><td>Non-conformité : il faut une écriture littérale (3)</td></tr><tr><td>T3</td><td>Énoncé d'un élément de connaissance « tu as bien utilisé la distributivité » (1)</td><td></td></tr><tr><td rowspan="3">Classe de P5 4e</td><td>T1</td><td></td><td>Pas même résultat (2)<br>Donne leur réponse (1)</td></tr><tr><td>T2</td><td>Conformité : il faut une écriture littérale (1)</td><td>Non-conformité : il faut une écriture littérale (2)</td></tr><tr><td>T3</td><td>Énoncé d'un élément de connaissance « tu as bien utilisé la distributivité » (1)</td><td>Repérage de l'erreur (2)</td></tr></tbody></table>

En faisant la somme de ces arguments sur toutes les classes (tableau 5), on peut remarquer que les plus nombreux sont ceux de type 1. Ainsi, quand il s'agit de réponses considérées comme vraies, les élèves peuvent estimer qu'ils n'ont pas à chercher trop d'arguments, les plus basiques pouvant suffire. Comme nous l'avons expliqué ci-dessus, les arguments de type 2 sur la non-conformité peuvent suffire lorsque la réponse est numérique. Enfin on trouve tout de même des arguments mobilisant des connaissances mathématiques comme des vérifications explicites étape par étape avec soit des indications d'erreurs (par exemple : « 4 + x ne font pas 4x ») soit une vérification plus globale des points importants (par exemple : « tu as bien mis les parenthèses, tu as bien utilisé la distributivité et les calculs sont justes »). Mais bien sûr, ce sont les élèves qui ont trouvé la réponse qui utilisent ce genre d'arguments.
<table><caption>Tableau 5. Récapitulatif des arguments protocole 2</caption><thead><tr><th></th><th>Réponse évaluée comme JUSTE</th><th>Réponse évaluée comme FAUSSE</th><th>Total</th></tr></thead><tbody><tr><td>Argument de type 1</td><td>19</td><td>13</td><td>32</td></tr><tr><td>Argument de type 2</td><td>3</td><td>17</td><td>20</td></tr><tr><td>Argument de type 3</td><td>3</td><td>9</td><td>12</td></tr></tbody></table>

En conclusion de cette seconde modalité, nous voyons que les élèves sont capables de mobiliser différents types d'arguments allant de certains assez peu appuyés sur des connaissances mathématiques à d'autres qui pourraient aider les élèves à rectifier leurs réponses initiales. Mais ce travail doit être complété soit par un débat (c'est la modalité que nous avions choisie, mais dont nous n'avons pas de trace) soit par des discussions entre les deux élèves pour se mettre d'accord sur une solution.

## Conclusion

Nous avons décrit et analysé un dispositif de classe orienté sur une évaluation entre pairs sur le thème de l'algèbre au collège en France. Nous retenons plusieurs points des analyses faites. Le premier porte sur les compétences en algèbre des élèves de ces classes. Cette tâche, proposée comme une tâche de rappel servant à introduire le chapitre d'algèbre et que nous avons analysée comme devant être assez peu problématique à ces niveaux de classe, reste encore non maitrisée par une proportion importante d'élèves à la fois en classe de 4e et de 3e (davantage tout de même en 4e) alors que cela fait deux à trois ans que ces derniers travaillent l'algèbre. En annexe 4, le récapitulatif des réponses sur toutes les classes montre qu'environ 50 % des élèves échouent, dont 17 % environ qui ne mobilisent pas du tout le calcul littéral, restant dans le cadre numérique. Les autres échouent parce qu'ils ne considèrent pas les priorités opératoires, ce qui montre que les aspects syntaxiques sont encore peu maitrisés, les élèves restant sur des procédures de calcul en étapes. Toutes ces remarques rejoignent encore une fois nos questionnements sur le travail mathématique proposé aux élèves en ce qui concerne la mobilisation d'une lettre comme variable ou comme nombre généralisé (si ce n'est pas indiqué explicitement) et sur la mobilisation des propriétés, notamment la distributivité de la multiplication sur l'addition comme élément de justification.

Le deuxième point concerne les questions de recherche. Nous nous demandions si les élèves étaient capables de se prononcer sur la validité de réponses produites par les autres en donnant des arguments et nous avons vu que c'était le cas même si des arguments de différents types, dont certains peu mathématiques, cohabitent encore. Dans toutes les classes, même celles réputées comme étant difficiles, nous
avons noté une grande implication des élèves pour ce travail tant au niveau de la résolution de la tâche en elle-même que dans les débats. Par ces raisons, nous pensons que ce dispositif d'évaluation par les pairs est tout à fait adapté pour des élèves de collège. De façon globale, sur l'ensemble des classes, la tâche proposée semble être plus adaptée pour les élèves de 4e que de 3e.

Nous avons également noté, avec les deux protocoles, une évolution positive des réponses avant et après le débat. Ainsi, l'hypothèse faite sur les effets de l'enrichissement du milieu par les réponses des autres élèves nous semble en grande partie validée, moyennant cependant certaines conditions, notamment celle de l'existence d'au moins une réponse juste produite par un élève (pour qu'elle puisse être donnée à voir et discutée) et celle portant sur les appariements de réponses (ne pas mettre ensemble deux élèves qui ont la même réponse fausse). On peut penser que c'est par la répétition de ce type d'activités que les élèves pourront développer des aptitudes à l'autoévaluation.

Du point de vue des pratiques enseignantes, introduire ce dispositif d'évaluation formative nous semble, d'une part, pertinent pour les apprentissages (ici en algèbre, mais on pourrait l'adapter à d'autres domaines), car il permet des interactions de qualité entre les élèves amenant à des discussions argumentatives tout à fait intéressantes et, d'autre part, assez faciles à mettre en place dans les classes parce que la tâche proposée peut être mise en œuvre sur un temps assez court (moins d'une séance). Ce sont des critères importants pour que des activités de ce type soient diffusées plus largement dans les pratiques. Cependant, la gestion de la mise en commun et du débat nécessite à la fois un grand investissement de l'enseignant e pour être à l'écoute des arguments des élèves, mais aussi pour être suffisamment en retrait afin de ne pas donner son avis. Cette mise en œuvre peut donc se révéler délicate, comme c'est souvent le cas pour les mises en commun. L'introduction de ces nouveaux dispositifs devrait être un objet de formation comme, de façon plus générale, la gestion des interactions.

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Rhéaume, S. et Oliveira, I. (2015). « Je me suis vérifié... j'ai relu la question pis j'ai reregardé ma réponse » : illustrations de mises entre parenthèses du sens lors de la vérification. Dans A. Adihou, L. Bacon, D. Benoit et C. Lajoie (dir.), *Regards sur le travail de l'enseignant de mathématiques. Actes du colloque du Groupe de didactique des mathématiques du Québec* (p. 167 180). Université de Sherbrooke.

Ruiz Munzón, N. (2010). *La introducción del álgebra elemental y su desarrollo hacia la modelización funcional* [Thèse de doctorat inédite]. Université autonome de Barcelone.

Schubauer-Leoni, M. L., Leutenegger, F., Ligozat, F. et Fluckiger, A. (2007). Un modèle de l'action conjointe professeur-élèves : Les phénomènes didactiques qu'il peut/doit traiter. Dans G. Sensevy et A. Mercier (dir.), *Agir ensemble. L'action didactique conjointe du professeur et des élèves* (p. 51-91). Presses universitaires de Rennes.

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Annexe 1

Les réponses de l'élève A et les évaluations de ces réponses de l'élève B en fonction des types et de la nature des vérifications

<table><thead><tr><th></th><th>Réponse de l'élève A</th><th>Évaluation de l'élève B<br>Accord<br>Type et nature de vérifications</th><th>Évaluation de l'élève B<br>Désaccord<br>Type et nature de vérifications</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">1</td><td rowspan="2">Correcte proche du PC<br>5 (x + 4) - 8</td><td><strong>Externe</strong><br>Même réponse<sup>7</sup><br>Il y a une lettre</td><td><strong>Externe</strong><br>Pas même réponse<sup>8</sup></td></tr><tr><td><strong>Interne</strong><br>Retrouver l'expression à partir<br>du programme<br>Il y a bien les parenthèses</td><td><strong>Interne</strong><br>Pas terminé (car pas réduite)</td></tr><tr><td rowspan="2">2</td><td rowspan="2">Correcte développée<br>5x + 20 - 8</td><td><strong>Externe</strong><br>Même réponse<br>Il y a une lettre</td><td><strong>Externe</strong><br>Pas même réponse<br>Ne correspond pas au PC à cause<br>du 20</td></tr><tr><td><strong>Interne</strong><br>Retrouver l'expression à partir<br>du programme et développer<br>Refaire seulement le<br>développement</td><td><strong>Interne</strong><br>Pas terminé (car pas réduite)</td></tr><tr><td rowspan="2">3</td><td rowspan="2">Correcte réduite<br>5x + 12</td><td><strong>Externe</strong><br>Même réponse<br>Il y a une lettre</td><td><strong>Externe</strong><br>Pas la même réponse (car réduite)</td></tr><tr><td><strong>Interne</strong><br>Retrouver l'expression à partir<br>du programme et la réduire<br>Refaire seulement la réduction</td><td><strong>Interne</strong><br>Montrer erreur de calcul dans le<br>développement</td></tr><tr><td rowspan="2">4</td><td rowspan="2">Un calcul/plusieurs<br>calculs comme<br>exemple(s)</td><td><strong>Externe</strong><br>Même technique</td><td><strong>Externe</strong><br>Pas le même exemple</td></tr><tr><td><strong>Interne</strong><br>Refaire le/les calcul(s)</td><td><strong>Interne</strong><br>C'est une formule qui est<br>demandée</td></tr></tbody></table>

<footnote n="7">⁷ « Même réponse/technique » signifie que l'élève qui évalue considère que la réponse de l'autre élève est juste car il a trouvé la même.</footnote>

<footnote n="8">⁸ « Pas même réponse » signifie que l'élève qui évalue considère que la réponse de l'autre élève est fausse car il n'a pas trouvé la même.</footnote>
<table><tr><td>5</td><td>Un schéma de programme en ligne ou colonne</td><td><strong>Externe</strong><br/>Même technique<br/><strong>Interne</strong><br/>Refaire le/les calcul (s)<br/>Vérifier pas à pas les calculs</td><td><strong>Externe</strong><br/>Pas même réponse<br/><strong>Interne</strong><br/>Pas forme demandée<br/>Refaire le/les calculs</td></tr><tr><td>6</td><td>5x + 4 - 8 ou<br/>x + 4 x 5 - 8 ou 5x + / 4<br/>ou x + 12<br/>Réponse erronée car<br/>pas de prise en compte<br/>des parenthèses</td><td><strong>Externe</strong><br/>Même réponse<br/>Il y a des lettres<br/><strong>Interne</strong><br/>Retrouver l'expression à partir du programme en se trompant</td><td><strong>Externe</strong><br/>Pas même réponse<br/><strong>Interne</strong><br/>Retrouver l'expression à partir du programme<br/>Pointer erreur de parenthèses<br/>Pointer erreur de calcul</td></tr><tr><td>7</td><td>5x - 12 ou 20x - 8<br/>Réponse erronée car<br/>erreur dans la<br/>réduction à partir<br/>d'une expression<br/>littérale correcte</td><td><strong>Externe</strong><br/>Même réponse<br/>Il y a des lettres<br/><strong>Interne</strong><br/>Refaire en se trompant</td><td><strong>Externe</strong><br/>Pas même réponse<br/><strong>Interne</strong><br/>Refaire et comparer<br/>repérer erreurs de calcul</td></tr><tr><td>8</td><td>Des formules avec<br/>plusieurs variables ou<br/>la variable ne désigne<br/>pas toujours le même<br/>nombre</td><td><strong>Externe</strong><br/>Même réponse<br/>Il y a des lettres<br/><strong>Interne</strong><br/>Refaire en se trompant</td><td><strong>Externe</strong><br/>Pas même réponse<br/>Il ne peut y avoir qu'une lettre<br/><strong>Interne</strong><br/>Indiquer que la variable n'est pas<br/>correctement utilisée</td></tr></table>
Annexe 2

Les réponses et les votes dans les classes utilisant le protocole 1 (total 105 élèves)

P1 4e A : 18 élèves

<table><thead><tr><th>Réponses</th><th>Votes avant le débat</th><th>Votes après le débat</th></tr></thead><tbody><tr><td>x + 4 x 5 - 8</td><td>7</td><td>2</td></tr><tr><td>Des calculs sur un exemple numérique</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>(x + 4) x 5 - 8</td><td>11</td><td>16</td></tr></tbody></table>

P1 4e E : 19 élèves

<table><thead><tr><th>Réponses</th><th></th><th>Votes avant le débat</th><th>Votes après le débat</th></tr></thead><tbody><tr><td>22 + 4 = 26</td><td>26 x 5 = 130</td><td>5</td><td>0</td></tr><tr><td>130 - 8 = 122</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>n + 4 = n</td><td></td><td>2</td><td>0</td></tr><tr><td>n x 5 - 8 = n</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>n + 4 x 5 - 8</td><td></td><td>10</td><td>2</td></tr><tr><td>4 + 5 = 9 x 5 = 45 - 8 = 37 remplacée ensuite par (n + 4) x 5 - 8</td><td></td><td>2</td><td>16</td></tr></tbody></table>

P3 3e A : 26 élèves

<table><thead><tr><th>Réponses</th><th></th><th>Votes avant le débat</th><th>Votes après le débat</th></tr></thead><tbody><tr><td>x + 4 x 5 - 8</td><td></td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>x + 4 = x x 5 - 8</td><td></td><td>4</td><td>0</td></tr><tr><td>7 + 4 = 11</td><td>11 x 5 = 55</td><td>Enlevée car pas de lettres</td><td></td></tr><tr><td>55 - 8 = 47</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>(x + 4) x 5 - 8</td><td></td><td>19</td><td>25</td></tr><tr><td>(x + 4) x 5 - 8x</td><td></td><td>3</td><td>0</td></tr></tbody></table>

P3 3e B : 25 élèves

<table><thead><tr><th>Réponses</th><th></th><th>Votes avant le débat</th><th>Votes après le débat</th></tr></thead><tbody><tr><td>x → 4x → 20x → 12x</td><td></td><td>Enlevée car pas conforme</td><td></td></tr><tr><td>(15 + 4) x 5 - 8</td><td></td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>(x + 4) x 5 - 8</td><td></td><td>18</td><td>20</td></tr><tr><td>X + 4 x 5 - 8</td><td></td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>X + 4 = x x 5 = x - 8</td><td></td><td>4</td><td>3</td></tr></tbody></table>

P4 3e A : 17 élèves

<table><thead><tr><th>Réponses</th><th>Votes avant le débat</th><th>Votes après le débat</th></tr></thead><tbody><tr><td>(x + 4) x 5 - 8</td><td>6</td><td>2</td></tr><tr><td>12 + 5x</td><td>10</td><td>14</td></tr><tr><td>20 + 5x - 8</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>((x + 4) 5 - 8)</td><td>1</td><td>0</td></tr></tbody></table>
Annexe 3

Les réponses et évaluations en vrai/faux dans les classes utilisant le protocole 2 (total 73 élèves)

A : accord avec élève qui évalue

D : désaccord avec élève qui évalue

R : la réponse (évaluée comme fausse) est rectifiée par l'évaluateur.trice

<table><thead><tr><th colspan="5">Classe de P5 4e (9 élèves)</th></tr><tr><th>Types de réponses</th><th>Avant<br>évaluation<br>entre pairs</th><th>Evaluée<br>comme<br>JUSTE</th><th>Evaluée<br>comme<br>FAUSSE</th><th>Après<br>évaluation<br>entre pairs</th></tr></thead><tbody><tr><td>Correcte proche PC<br>(5x + 4) - 8</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>AA</td></tr><tr><td>Correcte développée<br>5x + 20 - 8</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Correcte réduite 5x + 12</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>A</td></tr><tr><td>Un calcul/plusieurs calculs<br>comme exemple(s)</td><td>3</td><td></td><td>3R</td><td>DAA</td></tr><tr><td>Un schéma de programme<br>en ligne ou colonne</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Réponse erronée 5x + 4 - 8 ou<br>5x +/-4 ou x +20 - 8 ou x + 12</td><td>2</td><td>1</td><td>1R</td><td>AA</td></tr><tr><td>Réponse erronée<br>5x - 12</td><td>1</td><td></td><td>1R</td><td>A</td></tr><tr><td>Des formules avec plusieurs<br>variables</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Réponses déclarées justes après le débat

5 (x + 4) - 8 : 8 élèves

(x + 4 x 5) - 8 : 1 élève

<table><thead><tr><th colspan="5">Classe de P1 3e D (21 élèves)</th></tr><tr><th>Types de réponses</th><th>Avant<br>évaluation<br>entre pairs</th><th>Evaluée<br>comme<br>JUSTE</th><th>Evaluée<br>comme<br>FAUSSE</th><th>Après<br>évaluation<br>entre pairs</th></tr></thead><tbody><tr><td>Correcte proche PC<br>5 (x + 4) - 8</td><td>6</td><td>5</td><td>1</td><td>AAAAAA</td></tr><tr><td>Correcte développée<br>5x + 20 - 8</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Correcte réduite 5x + 12</td><td>4</td><td>4</td><td></td><td>AAAA</td></tr><tr><td>Un calcul/plusieurs calculs<br>comme exemple(s)</td><td>6</td><td></td><td>6R</td><td>AAADAA</td></tr><tr><td>Un schéma de programme<br>en ligne ou colonne</td><td>1</td><td></td><td>1R</td><td>A</td></tr></tbody></table>
Analyse d'une évaluation entre pairs en algèbre au collège en France

<table><tr><td>Réponse erronée 5x + 4 - 8 ou 5x +/-4 ou x + 20-8 ou x +12</td><td>3</td><td>1</td><td>2R</td><td>ADA</td></tr><tr><td>Réponse erronée 5x - 12 ou 20x - 8</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>A</td></tr><tr><td colspan="5">Des formules avec plusieurs variables</td></tr></table>

Réponses déclarées justes après le débat

5 (x + 4) - 8 : 11 élèves

5x +12 : 4 élèves

x + 4 x 5 - 8 : 1 élève

5x - 8 + 12 : 1 élève

Un calcul numérique : 1 élève

<table><thead><tr><th rowspan="2">Types de réponses</th><th colspan="4">Classe de P1 3e F (23 élèves)</th></tr><tr><th>Avant<br>évaluation<br>entre pairs</th><th>Evaluée<br>comme<br>JUSTE</th><th>Evaluée<br>comme<br>FAUSSE</th><th>Après<br>évaluation<br>entre pairs</th></tr></thead><tbody><tr><td>Correcte proche PC<br>5 (x + 4) - 8</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>A</td></tr><tr><td>Correcte développée<br>5x + 20 - 8</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Correcte réduite 5x + 12</td><td>4</td><td>4</td><td></td><td>AAAA</td></tr><tr><td>Un calcul/plusieurs calculs</td><td>4</td><td></td><td>1<br>3R</td><td>AADA</td></tr><tr><td>Un schéma de programme en<br>ligne ou colonne</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Réponse erronée 5x + 4 - 8 ou<br>5x +/-4 ou x+20-8 ou x +12</td><td>14</td><td>4</td><td>10R</td><td>DAAADDD<br>DDAAAAA</td></tr><tr><td>Réponse erronée<br>5x -12</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td colspan="5">Des formules avec plusieurs<br>variables</td></tr></tbody></table>
<table><thead><tr><th colspan="5">Classe de P2 3e (20 élèves)</th></tr><tr><th>Types de réponses</th><th>Avant<br>évaluation<br>entre pairs</th><th>Évaluée<br>comme<br>JUSTE</th><th>Évaluée<br>comme<br>FAUSSE</th><th>Après<br>évaluation<br>entre pairs</th></tr></thead><tbody><tr><td>Correcte proche PC<br>5 (x + 4) - 8</td><td>4</td><td>3</td><td>1R</td><td>AAAD</td></tr><tr><td>Correcte développée<br>5x + 20 - 8</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Correcte réduite 5x +12</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>AD</td></tr><tr><td>Un calcul/plusieurs calculs<br>comme exemple(s)</td><td>7<br>1 non évaluée</td><td>3</td><td>3R</td><td>AAADDD</td></tr><tr><td>Un schéma de programme en<br>ligne ou colonne</td><td>1</td><td></td><td>1</td><td>A</td></tr><tr><td>Réponse erronée 5x + 4 - 8 ou<br>5x +/-4 ou x +20 -8 ou x +12</td><td>6</td><td>4</td><td>1<br>1R</td><td>DAA-AA</td></tr><tr><td>Réponse erronée<br>5x - 12</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Des formules avec plusieurs<br>variables</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Annexe 4

La répartition des réponses pour l'ensemble des élèves (105 élèves pour le protocole 1 et 73 pour le protocole 2)

<table><thead><tr><th>Types de réponses</th><th>Total<br>105 + 73 = 178</th><th>Pourcentage</th></tr></thead><tbody><tr><td>Correcte proche PC 5 (x +4) - 8</td><td>55 + 13 = 68</td><td>38,2 %</td></tr><tr><td>Correcte réduite 5x + 12</td><td>10 + 11 = 21</td><td>11,8 %</td></tr><tr><td>Un calcul/plusieurs calculs comme exemple(s)</td><td>8 + 20 = 28</td><td>15,7 %</td></tr><tr><td>Un schéma de programme en ligne ou colonne</td><td>0 + 2 = 2</td><td>1,1 %</td></tr><tr><td>Réponse erronée 5x +4 - 8 ou 5x +/-4 ou x +20-8 ou x +12</td><td>26 + 25 =51</td><td>28,7 %</td></tr><tr><td>Réponse erronée 5x - 12 ou 20x - 8</td><td>0 + 2 = 2</td><td>1,1 %</td></tr><tr><td>Des formules avec plusieurs variables</td><td>6</td><td>3,3 %</td></tr></tbody></table>