dividing $m$. Hence the above equals

$$
\begin{align*}
& \left( \prod_p |\eta(p)|^2 \right) \left( \sum_{\substack{m=1 \\ q(m)=p}}^{\infty} \varphi(m) \prod_{k \nmid m} |\frac{\eta_k(f; p)}{\eta(p)}|^2 \right) \left( \sum_{(n, F)=1}^{\infty} \prod_{k \nmid n} |\frac{\eta_k(f; p)}{\eta(p)}|^2 \right) \\
&= \left( \prod_p |\eta(p)|^2 \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \sum_{k=1}^{\infty} \varphi(p^k) \left| \frac{\eta_k(f; p)}{\eta(p)} \right|^2 \right) \left( \prod_{p \notin \mathcal{P}} \sum_{k=0}^{\infty} \varphi(p^k) \left| \frac{\eta_k(f; p)}{\eta(p)} \right|^2 \right) \\
&= \prod_p \sum_{k=0}^{\infty} \varphi(p^k) |\eta_k(f; p)|^2 \\
&= \prod_p \left( 1 + \sum_{j=1}^{\infty} p^{-j} (|f(p^j)|^2 - |f(p^{j-1})|^2) \right) \\
&= \prod_p \left( 1 - \frac{1}{p} \right) \left( 1 + \sum_{j=1}^{\infty} p^{-j} |f(p^j)|^2 \right) = \mathcal{M}(|f|^2)
\end{align*}
$$

by Lemma 1.

References

[1] H. Daboussi and H. Delange, On a theorem of P.D.T.A. Elliott on multiplicative functions, J. London Math. Soc. (2), 14 (1976), pp. 345-356.

[2] H. Delange, *Quelques résultats sur les fonctions multiplicatives*, C.R. Acad. Sc. Paris, Ser. A, 281 (1975), pp. 997-1000.

[3] P. D. T. A. Elliott, *A mean-value theorem for multiplicative functions*, Proc. London Math. Soc. (3), 31 (1975), pp. 418-438.

[4] K.-H. Indlekofer, *A mean-value theorem for multiplicative functions*, Math. Z. 172 (1980), pp. 255-271.

[5] L. Lucht and F. Tuttas, *Mean-values of multiplicative functions and natural boundaries of power series with multiplicative coefficients*, J. London Math. Soc. (2), 19 (1979), pp. 25-34.

[6] F. Tuttas, *Über die Entwicklung multiplikativer Funktionen nach Ramanujan-Summen*, Acta. Arith. 36 (1980), pp. 257-270.

Received on 28. 11. 1980
and in revised form on 2. 10. 1981
(1936)

Sur les fonctions arithmétiques multiplicatives de module $\le 1$

par

HUBERT DELANGE (Orsay)

1. Introduction. $f$ étant une fonction arithmétique multiplicative complexe telle que $|f(n)| \le 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, G. Halász a étudié le comportement pour $x$ tendant vers $+\infty$ de la somme $\sum_{n \le x} f(n)^{(1)}$. En modifiant légèrement sa formulation, on peut énoncer son résultat principal de la façon suivante.

L'une des deux circonstances suivantes a lieu:

(a) $(1/x) \sum_{n \le x} f(n)$ tend vers zéro quand $x$ tend vers $+\infty$, autrement dit la fonction $f$ possède une valeur moyenne nulle;

(b) Il existe une constante complexe non nulle $C$, une constante réelle $a$ et une fonction réelle $A$ définie sur l'intervalle $[1, +\infty[$ et satisfaisant à

$$
\lim_{x \to \infty} \sup_{x < t \le x^2} |A(t) - A(x)| = 0,
$$

telles que, quand $x$ tend vers $+\infty$,

$$
\frac{1}{x} \sum_{n \le x} f(n) = Cx^{ia} \exp(i\Delta(x)) + o(1).
$$

On voit immédiatement que, dans le cas (b), $|C|$ et $a$ sont bien déterminés par le fait que, si $F(x) = \sum_{n \le x} f(n)$, on a $\lim_{x \to \infty} |(1/x)F(x)| = |C|$ et, pour tout $\lambda > 0$, $\lim_{x \to \infty} \frac{F(\lambda x)}{\lambda F(x)} = \lambda^{ia}$. Par contre, la fonction $A$ et la constante $C$ elle-même ne sont pas déterminées: on peut remplacer $A$ par une fonction $A_1$ quelconque telle que $A_1(x) - A(x)$ tende vers une limite finie $\theta$ quand $x$ tend vers $+\infty$, en remplaçant en même temps $C$ par $C_1 = Ce^{-i\theta}$.

<footnote>(1) Über die Mittelwerte multiplikativer zahlentheoretischer Funktionen, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 19 (1968), p. 365-403.</footnote>
Mais, quand A est fixée, C est déterminée (égale à

$$ \lim_{x \to \infty} F(x)x^{-ia-1} \exp(-iA(x)). $$

Halász détermine effectivement une valeur de C et une fonction A qui conviennent.

Nous montrerons ici que l'on a un résultat semblable à celui de Halász si on considère, au lieu de $\sum_{n \le x} f(n)$, la somme

$$ F(x; k, l) = \sum_{\substack{n \le x \\ n=l \pmod k}} f(n) $$

où $k$ et $l$ sont deux entiers donnés, $k \ge 1$.

On verra que, la fonction $f$ étant fixée, s'il existe des couples $[k, l]$ pour lesquels le cas correspondant à (b) a lieu, la constante $\alpha$ est la même pour tous ces couples et il existe une fonction A valable pour tous.

Nous donnerons aussi des résultats concernant l'existence d'une valeur moyenne de $f$ ou de ses puissances sur une progression arithmétique donnée.

Tous les résultats de cet article ont été énoncés sans démonstration en 1972 dans une note aux Comptes Rendus de l'Académie des Sciences(2).

Il est entendu une fois pour toutes que, tout au long de l'article, la lettre $p$ désignera toujours un nombre premier, tandis que les lettres $m$ et $n$ désigneront toujours des entiers $> 0$.

Dans une série ou un produit infini dont le terme général s'exprime à l'aide de $p$, les nombres premiers seront supposés rangés par ordre croissant.

Une somme vide sera considérée comme égale à zéro, et un produit vide comme égal à 1.

## 2. Preliminaires.

### 2.1. Commençons par donner cinq lemmes utiles pour la suite.

#### 2.1.1. LEMME 1. Soient $u_1, u_2, \dots, u_n, \dots$ et $v_1, v_2, \dots, v_n, \dots$ deux suites de nombres réels ou complexes telles que

$$ \sum_{n=1}^{\infty} |u_n|^2 < +\infty \quad \text{et} \quad \sum_{n=1}^{\infty} |u_n - v_n| < +\infty. $$

Alors le produit infini

$$ \prod_{n=1}^{\infty} (1 + u_n) e^{-v_n} $$

est absolument convergent.

**Démonstration.** Il existe $U > 0$ tel que $|u_n| \le U$ et $|u_n - v_n| \le U$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. Comme $((1+u)e^{-u}-1)/u^2$ et $(e^u-1)/u$ sont des fonctions entières de $u$ (si on les prend égales respectivement à -1/2 et à 1 pour $u=0$), il existe $M > 0$ tel que

$$ |(1+u)e^{-u}-1| \le M|u|^2 \quad \text{et} \quad |e^u-1| \le M|u| \quad \text{pour } |u| \le U. $$

Si on pose $(1+u_n)e^{-v_n} = 1+w_n$, on a pour tout $n \in \mathbb{N}^*$

$$ w_n = ((1+u_n)e^{-v_n}-1)e^{v_n-v_n} + e^{v_n-v_n}-1 $$

et, comme $|u_n| \le U$ et $|u_n - v_n| \le U$,

$$ |w_n| \le M|u_n|^2 e^{v_n-v_n} + M|u_n - v_n| \le Me^U|u_n|^2 + M|u_n - v_n|. $$

Donc $\sum_{n=1}^{\infty} |w_n| < +\infty$.

#### 2.1.2. LEMME 2. Soient $z_1, z_2, \dots, z_q$ des nombres complexes de module $\le 1$ ($q \ge 2$). On a

$$ (1) \qquad \sqrt{1 - \operatorname{Re}(z_1 z_2 \dots z_q)} \le \sum_{j=1}^{q} \sqrt{1 - \operatorname{Re} z_j}, $$

$$ (2) \qquad 1 - \operatorname{Re}(z_1 z_2 \dots z_q) \le q \sum_{j=1}^{q} (1 - \operatorname{Re} z_j), $$

et

$$ (3) \qquad |\operatorname{Im}(z_1 + z_2 + \dots + z_q - z_1 z_2 \dots z_q)| \le (q-1) \sum_{j=1}^{q} (1 - \operatorname{Re} z_j). $$

**Démonstration.** L'inégalité (2) résulte immédiatement de (1) par application de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Pour établir (1) il suffit de considérer le cas où $q = 2$, le cas général s'en déduisant par récurrence sur $q$.

Posons $z_1 = x_1 + iy_1$, $z_2 = x_2 + iy_2$, avec $x_1, y_1, x_2, y_2$ réels.

On a

$$ \begin{aligned} 1 - \operatorname{Re}(z_1 z_2) &= 1 - x_1 x_2 + y_1 y_2 \\ &= (1 - x_1) + (1 - x_2) - (1 - x_1)(1 - x_2) + y_1 y_2 \\ &\le (1 - x_1) + (1 - x_2) + |y_1 y_2| \end{aligned} $$

puisque $x_1 \le 1$ et $x_2 \le 1$.

Mais $y_1^2 \le 1 - x_1^2 = (1-x_1)(1+x_1) \le 2(1-x_1)$ et, de même, $y_2^2 \le 2(1-x_2)$. Donc $|y_1 y_2| \le 2\sqrt{1-x_1}\sqrt{1-x_2}$.

On obtient ainsi

$$ 1 - \operatorname{Re}(z_1 z_2) \le (1 - x_1) + (1 - x_2) + 2\sqrt{1 - x_1}\sqrt{1 - x_2} = (\sqrt{1 - x_1} + \sqrt{1 - x_2})^2. $$

<footnote>(2) 275 (1972), p. 781-784.</footnote>
L'inégalité (3) résulte de

$$ (4) \quad |\mathrm{Im}(z_1+z_2+\dots+z_q-z_1z_2\dots z_q)| \le 2 \sum_{1 \le j<k \le q} \sqrt{1-\mathrm{Re}z_j} \sqrt{1-\mathrm{Re}z_k} $$

en remarquant que

$$ 2\sqrt{1-\overline{\mathrm{Re}z_j}}\sqrt{1-\overline{\mathrm{Re}z_k}} \le (1-\mathrm{Re}z_j)+(1-\mathrm{Re}z_k). $$

On voit immédiatement que, pour établir (4), il suffit de l'établir pour $q=2$; le cas général s'en déduira par récurrence sur $q$ en remarquant que

$$ \begin{aligned} & |\mathrm{Im}(z_1+z_2+\dots+z_{q+1}-z_1z_2\dots z_{q+1})| \\ & \le |\mathrm{Im}(z_1+z_2+\dots+z_q-z_1z_2\dots z_q)| + \\ & \qquad + |\mathrm{Im}((z_1z_2\dots z_q)+z_{q+1}-(z_1z_2\dots z_q)z_{q+1})| \end{aligned} $$

et tenant compte de (1).

Pour $q=2$, on a, avec les mêmes notations que plus haut,

$$ \mathrm{Im}(z_1+z_2-z_1z_2) = y_1(1-x_1)+(1-x_1)y_2, $$

d'où, en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz,

$$ \begin{aligned} |\mathrm{Im}(z_1+z_2-z_1z_2)|^2 &\le (y_1^2+(1-x_1)^2)((1-x_2)^2+y_2^2) \\ &= (1+x_1^2+y_1^2-2x_1)(1+x_2^2+y_2^2-2x_2) \le 4(1-x_1)(1-x_2). \end{aligned} $$

COROLLAIRE. Si $z$ est un nombre complexe de module $\le 1$ on a pour tout $q \in \mathbb{N}^*$

$$ 1-\mathrm{Re}(z^2) \le q^2(1-\mathrm{Re}z) \quad \text{et} \quad |\mathrm{Im}(qz-z^2)| \le q(q-1)(1-\mathrm{Re}z). $$

2.1.3. LEMME 3 (3). Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes de module $\le 1$. On a

$$ \text{ou} \quad 1-\mathrm{Re}(z_1z_2) \ge \frac{1}{2}(1-\mathrm{Re}z_1)-(1-\mathrm{Re}z_2), $$

$$ 1-\mathrm{Re}z_1 \le 2(1-\mathrm{Re}(z_1z_2))+2(1-\mathrm{Re}z_2). $$

Démonstration. L'expression de $1-\mathrm{Re}(z_1z_2)$ que nous avons utilisée plus haut montre que l'on a

$$ 1-\mathrm{Re}(z_1z_2) \ge (1-x_1)+(1-x_2)-((1-x_1)(1-x_2)+|y_1y_2|). $$

Mais, $\alpha$ étant un nombre $> 0$ quelconque, on a

$$ (1-x_1)(1-x_2) = \alpha(1-x_1) \cdot \frac{1}{\alpha} (1-x_2) \le \frac{1}{2} \left( \alpha^2(1-x_1)^2 + \frac{1}{\alpha^2} (1-x_2)^2 \right) $$

et

$$ |y_1y_2| = \alpha|y_1| \cdot \frac{1}{\alpha} |y_2| \le \frac{1}{2} \left( \alpha^2 y_1^2 + \frac{1}{\alpha^2} y_2^2 \right). $$

En tenant compte de ce que $(1-x_1)^2+y_1^2 \le 2(1-x_1)$ et $(1-x_2)^2+y_2^2 \le 2(1-x_2)$, ceci donne par addition

$$ (1-x_1)(1-x_2)+|y_1y_2| \le \alpha^2(1-x_1)+\frac{1}{\alpha^2}(1-x_2). $$

En prenant $\alpha = 1/\sqrt{2}$, on obtient

$$ (1-x_1)(1-x_2)+|y_1y_2| \le \frac{1}{2}(1-x_1)+2(1-x_2), $$

d'où le résultat voulu.

2.1.4. LEMME 4. Soit $u_1, u_2, \dots, u_\nu, \dots$ une suite de nombres complexes de module $\le 1$, et $a_1, a_2, \dots, a_\nu, \dots$ une suite de nombres réels $\ge 0$.

Si $v$ est

$$ (5) \qquad \sum_{\nu=1}^{\infty} a_{\nu} (1 - \mathrm{Re} u_{\nu}) < +\infty, $$

pour tout $q \in \mathbb{N}^*$ la série

$$ \sum_{\nu=1}^{\infty} a_{\nu} ((1-u_{\nu}^{q}) - q(1-u_{\nu})) $$

est convergente.

Ceci entraîne immédiatement les résultats suivants:

1. Si la série $\sum_{\nu=1}^{\infty} a_{\nu} (1-u_{\nu})$ est convergente, pour tout $q \in \mathbb{N}^*$ la série $\sum_{\nu=1}^{\infty} a_{\nu} (1-u_{\nu}^q)$ est convergente;

2. Si, pour un $q \in \mathbb{N}^*$, la série $\sum_{\nu=1}^{\infty} a_{\nu} (1-u_{\nu}^q)$ est convergente, et si on a (5), la série $\sum_{\nu=1}^{\infty} a_{\nu} (1-u_{\nu})$ est convergente.

Démonstration. Soit $q$ fixé $\in \mathbb{N}^*$. D'après le corollaire du lemme 2 on a pour chaque $\nu$

$$ \mathrm{Re}(1-u_{\nu}^{q}) \le q^2(1-\mathrm{Re}u_{\nu}) $$

et

$$ |\mathrm{Im}((1-u_{\nu}^{q}) - q(1-u_{\nu}))| \le q(q-1)(1-\mathrm{Re}u_{\nu}). $$

<footnote>(3) Ce lemme est dû à W. Schwarz (Cf. § 3 de A remark on multiplicative functions, Bull. London Math. Soc. 4 (1972), p. 136-140).</footnote>
Avec (5), la première de ces inégalités montre d'abord que $\sum_{v=1}^{\infty} a_v \text{Re}(1 - u_v^q) < +\infty$, puisque la série

$$ \sum_{v=1}^{\infty} a_v \text{Re}((1 - u_v^q) - q(1 - u_v)) $$

est convergente.

La seconde montre que, quels que soient $m'$ et $m'' \in \mathbb{N}^*$, avec $m' \le m''$,

$$ \left| \sum_{v=m'}^{m''} a_v \text{Im}((1-u_v^q) - q(1-u_v)) \right| \le q(q-1) \sum_{v=m'}^{m''} a_v (1-\text{Re}u_v), $$

et il en résulte que la série

$$ \sum_{v=1}^{\infty} a_v \text{Im}((1 - u_v^q) - q(1 - u_v)) $$

est convergente.

**2.1.5. LEMME 5.** Soit $g$ une fonction complexe définie sur l'ensemble des nombres premiers et satisfaisant à

$$ |g(p)| \le 1 \quad \text{pour tout } p. $$

Soit

$$ A(x) = \sum_{p \le x} \frac{1}{p} \text{Im}g(p) \quad (= 0 \text{ pour } x < 2). $$

$$ \text{Si l'on a } \sum \frac{1}{p} (1 - \text{Re} g(p)) < +\infty, \text{ on a} $$

$$ \lim_{x \to \infty} \left( \sup_{x<t \le x^2} |A(t) - A(x)| \right) = 0. $$

Démonstration. Si $x > 1$, on a pour $x < t \le x^2$

$$ \begin{aligned} |A(t) - A(x)|^2 &= \left| \sum_{x<p \le t} \frac{1}{p} \text{Im}g(p) \right|^2 \le \left( \sum_{x<p \le x^2} \frac{1}{p} |\text{Im}g(p)| \right)^2 \\ &\le \left( \sum_{x<p \le x^2} \frac{1}{p} \right) \left( \sum_{x<p \le x^2} \frac{1}{p} (\text{Im}g(p))^2 \right) \end{aligned} $$

d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Le premier facteur de la dernière expression tend vers $\log 2$ quand $x$ tend vers $+\infty$. Le second tend vers zéro car on a pour chaque $p$

$$ (\text{Im}g(p))^2 \le 1 - (\text{Re}g(p))^2 = (1 + \text{Re}g(p))(1 - \text{Re}g(p)) \le 2(1 - \text{Re}g(p)) \text{ et par suite on a } \sum (1/p) (\text{Im}g(p))^2 < +\infty. $$

**2.2.** Nous allons maintenant donner un théorème qui fournira une formulation plus précise du résultat de Halász cité dans l'introduction, étendu à une hypothèse un peu plus large sur la fonction multiplicative considérée. Π s'agit du théorème suivant:

**THÉORÈME A.** Soit $g$ une fonction multiplicative complexe.

On suppose qu'il existe un ensemble $E$ de nombres premiers, fini ou vide, tel que

$$ |g(p^r)| \le 1 \quad \text{pour tout } r \in \mathbb{N}^* \text{ si } p \notin E, $$

et

$$ (6) \qquad \sum_{p \in E} \frac{|g(p^r)|}{p^r} < +\infty. $$

1. Si l'on a $\sum_{p \notin E} (1/p)(1 - \text{Re}(g(p)p^{-iu})) = +\infty$ pour tout $u$ réel, $(1/x) \sum_{n \le x} g(n)$ tend vers zéro quand $x$ tend vers $+\infty$;

2. S'il existe un $a$ réel tel que

$$ (7) \qquad \sum_{p \in E} \frac{1}{p} (1 - \text{Re}(g(p)p^{-ia})) < +\infty $$

(on sait qu'il ne peut en exister qu'un au plus), pour tout $\lambda > 0$ on a quand $x$ tend vers $+\infty$

$$ (8) \qquad \frac{1}{\lambda x} \sum_{n \le \lambda x} g(n) = \frac{(\lambda x)^{ia}}{1 + ia} \prod_{p \le x} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \left(1 + \sum_{r=1}^{\infty} \frac{g(p^r)}{p^{r(1+ia)}}\right) + o(1). $$

Pour $\lambda = 1$ ceci peut s'écrire

$$ (9) \qquad \frac{1}{x} \sum_{n \le x} g(n) = Cx^{ia} \exp(iA(x)) + o(1), $$

où $C$ est une certaine constante et

$$ (10) \qquad A(x) = \sum_{\substack{p \le x \\ p \notin E}} \frac{1}{p} \text{Im}(g(p)p^{-ia}). $$

La fonction $A$ satisfait à

$$ (11) \qquad \lim_{x \to \infty} \left( \sup_{x<t \le x^2} |A(t) - A(x)| \right) = 0. $$

**2.2.1.** La première partie de ce théorème résulte directement des raisonnements de Halász, tout comme le fait qu'il existe au plus un $a$ réel tel que l'on ait (7).
La deuxième partie pourrait aussi se déduire de ses résultats, mais nous préférons utiliser le théorème suivant qui est une conséquence immédiate du théorème 2 de notre article *On a class of multiplicative arithmetical functions* (Scripta Math. 26 (1961-63), p. 121-141)(⁴):

THÉORÈME B. Soit $f$ une fonction multiplicative complexe satisfaisant à $|f(n)| \le 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

Si l'on a $\sum (1/p)(1 - \text{Ref}(p)) < +\infty$, on a quand $x$ tend vers $+\infty$ $\frac{1}{x} \sum_{n \le x} f(n) = \prod_{p \le x} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \left(1 + \sum_{r=1}^{\infty} \frac{f(p^r)}{p^r}\right) + o(1)$.

### 2.2.2. La fonction $g$ satisfaisant à l'hypothèse initiale du théorème A,
supposons que l'on ait (7).

Soit $g_1$ la fonction arithmétique, évidemment multiplicative, définie par

$$g_1(n) = g(n)n^{-ia}.$$

Soient $h$ et $k$ les fonctions multiplicatives déterminées par

$$h(p^r) = \begin{cases} g_1(p^r) & \text{si } p \in E, \\ 0 & \text{si } p \notin E, \end{cases} \quad \text{et} \quad k(p^r) = \begin{cases} 0 & \text{si } p \in E, \\ g_1(p^r) & \text{si } p \notin E \end{cases} \quad (r \in \mathbb{N}^*).$$

Il résulte de (6) que l'on a

$$(12) \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|h(n)|}{n} < +\infty \quad \text{et} \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{h(n)}{n} = \prod_{p \in E} \left(1 + \sum_{r=1}^{\infty} \frac{g_1(p^r)}{p^r}\right).$$

On vérifie immédiatement que $g_1 = h * k$, de sorte que l'on a pour $x \ge 1$

$$(13) \quad \frac{1}{x} \sum_{n \le x} g_1(n) = \sum_{n \le x} \frac{h(n)}{n} K\left(\frac{x}{n}\right), \quad \text{où} \quad K(x) = \frac{1}{x} \sum_{n \le x} k(n).$$

Le théorème B s'applique à la fonction $k$ et montre que l'on a quand $x$ tend vers $+\infty$

$$(14) \quad K(x) = \prod_{p \le x} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \left(1 + \sum_{r=1}^{\infty} \frac{k(p^r)}{p^r}\right) + o(1).$$

Le lemme 1 montre que le produit infini

$$\prod \left(1 - \frac{1}{p}\right) \left(1 + \sum_{r=1}^{\infty} \frac{k(p^r)}{p^r}\right) \exp \left(-\frac{i}{p} \operatorname{Im} k(p)\right)$$

est absolument convergent.

En effet, son terme général peut s'écrire $(1 + u_p)e^{-v_p}$, où

$$u_p = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{k(p^r) - k(p^{r-1})}{p^r} \quad \text{et} \quad v_p = \frac{i}{p} \operatorname{Im} k(p).$$

On a $|u_p| \le 2 \sum_{r=1}^{\infty} 1/p^r = 2/(p-1)$ et

$$|u_p - v_p| = \left| \frac{\operatorname{Re} k(p) - 1}{p} + \sum_{r=2}^{\infty} \frac{k(p^r) - k(p^{r-1})}{p^r} \right| \le \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re} k(p)) + \frac{2}{p(p-1)},$$

de sorte que $\sum |u_p|^2 < +\infty$ et $\sum |u_p - v_p| < +\infty$.

Si on désigne par $C_1$ la valeur de ce produit infini, la relation (14) donne

$$(15) \quad K(x) = C_1 \exp(iA(x)) + o(1)$$

où $A$ est la fonction définie par (10), car $\sum_{p \le x} (1/p) \operatorname{Im} k(p) = A(x)$.

Le lemme 5 montre que l'on a (11).

(11) entraîne évidemment que, quel que soit $\lambda > 0$, on a quand $x$ tend vers $+\infty$

$$(16) \quad A(\lambda x) - A(x) = o(1),$$

de sorte que, d'après (15), $K(\lambda x) - K(x) = o(1)$.

Compte tenu de ce que l'on a évidemment $|K(x)| \le 1$ pour tout $x \ge 1$, la relation (13) montre alors que l'on a quand $x$ tend vers $+\infty$

$$(17) \quad \frac{1}{x} \sum_{n \le x} g_1(n) = K(x) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{h(n)}{n} + o(1).$$

Comme elle peut s'écrire

$$\frac{1}{x} \sum_{n \le x} g_1(n) = K(x) \sum_{n \le x} \frac{h(n)}{n} + \sum_{n \le x} \frac{h(n)}{n} \left( K\left(\frac{x}{n}\right) - K(x) \right),$$

il suffit de voir que

$$\sum_{n \le x} \frac{h(n)}{n} \left( K\left(\frac{x}{n}\right) - K(x) \right) = o(1).$$

<footnote>(⁴) Nous avons donné dans notre enseignement oral une démonstration de ce théorème sensiblement plus simple que celle de l'article cité, et qui, contrairement à celle-ci, n'utilise aucun théorème taubérien. Nous nous proposons de la publier ailleurs.</footnote>
En fait, quel que soit l'entier $N \ge 1$, on a pour $x > N$

$$ \left| \sum_{n \le x} \frac{h(n)}{n} \left( \mathcal{K}\left(\frac{x}{n}\right) - \mathcal{K}(x) \right) \right| \le \left| \sum_{n=1}^{N} \frac{h(n)}{n} \left( \mathcal{K}\left(\frac{x}{n}\right) - \mathcal{K}(x) \right) \right| + 2 \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{|h(n)|}{n} $$

et il en résulte que

$$ \overline{\lim}_{x \to \infty} \left| \sum_{n \le x} \frac{h(n)}{n} \left( \mathcal{K}\left(\frac{x}{n}\right) - \mathcal{K}(x) \right) \right| \le 2 \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{|h(n)|}{n} $$

On obtient le résultat indiqué en faisant tendre $N$ vers $+\infty$. Compte tenu de (14) et (12) la relation (17) donne

$$ (18) \qquad \frac{1}{x} \sum_{n \le x} g_1(n) = \prod_{p \le x} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \left(1 + \sum_{r=1}^{\infty} \frac{g_1(p^r)}{p^r}\right) + o(1). $$

D'autre part, avec (15), elle donne

$$ (19) \qquad \frac{1}{x} \sum_{n \le x} g_1(n) = C_2 \exp(i\mathcal{A}(x)) + o(1), $$

$$ \text{où } C_2 = C_1 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{h(n)}{n}. $$

En posant $G_1(x) = \sum_{n \le x} g_1(n)$, on a pour $x > 1$

$$ \sum_{n \le x} g(n) = \sum_{n \le x} g_1(n) n^{i\alpha} = \int_{1/2}^{x} t^{i\alpha} dG_1(t) = x^{i\alpha} G_1(x) - ia \int_{1}^{x} t^{i\alpha-1} G_1(t) dt, $$

et, compte tenu de (19), on voit que, quand $x$ tend vers $+\infty$,

$$ \sum_{n \le x} g(n) = C_2 x^{1+ia} \exp(i\mathcal{A}(x)) - ia C_2 \int_{1}^{\infty} t^{i\alpha} (\exp(i\mathcal{A}(t))) dt + o(x). $$

Mais

$$ \begin{align*} & \int_{1}^{x} t^{i\alpha} (\exp(i\mathcal{A}(t))) dt \\ &= \frac{x^{1+ia}-1}{1+ia} \exp(i\mathcal{A}(x)) - \int_{1}^{\infty} t^{i\alpha} (\exp(i\mathcal{A}(x)) - \exp(i\mathcal{A}(t))) dt \\ &= \frac{x^{1+ia}}{1+ia} \exp(i\mathcal{A}(x)) + o(x). \end{align*} $$

En effet, d'une part,

$$ \left| \int_{1}^{x^{1/2}} t^{i\alpha} (\exp(i\mathcal{A}(x)) - \exp(i\mathcal{A}(t))) dt \right| \le 2x^{1/2}, $$

d'autre part, pour $x^{1/2} \le t \le x$,

$$ |\exp(i\mathcal{A}(x)) - \exp(i\mathcal{A}(t))| \le |\mathcal{A}(x) - \mathcal{A}(t)| \le \sup_{i<t \le i^2} |\mathcal{A}(u) - \mathcal{A}(t)|. $$

Quel que soit $s > 0$, dès que $x$ est assez grand ceci est $\le s$, de sorte que

$$ \left| \int_{x^{1/2}}^{x} t^{i\alpha} (\exp(i\mathcal{A}(x)) - \exp(i\mathcal{A}(t))) dt \right| \le \epsilon x. $$

On arrive ainsi à

$$ \sum_{n \le x} g(n) = \frac{C_2}{1+ia} x^{1+ia} \exp(i\mathcal{A}(x)) + o(x), $$

ou

$$ (20) \qquad \frac{1}{x} \sum_{n \le x} g(n) = \frac{C_2}{1+ia} x^{i\alpha} \exp(i\mathcal{A}(x)) + o(1), $$

ce qui n'est autre que (9) avec $O = C_2/(1+ia)$.

En remplaçant $x$ par $\lambda x$ dans (20) et tenant compte de (16), on obtient

$$ \frac{1}{\lambda x} \sum_{n \le \lambda x} g(n) = \frac{C_2}{1+ia} (\lambda x)^{i\alpha} \exp(i\mathcal{A}(x)) + o(1), $$

et, en combinant ceci avec (19) et (18), on obtient

$$ \frac{1}{\lambda x} \sum_{n \le \lambda x} g(n) = \frac{(\lambda x)^{i\alpha}}{1+ia} \prod_{p \le x} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \left(1 + \sum_{r=1}^{\infty} \frac{g_1(p^r)}{p^r}\right) + o(1), $$

ce qui n'est autre que (8).

Le théorème A est ainsi complètement démontré.

**3. Théorème principal.** Dans tout ce qui suit, $f$ est une fonction multiplicative complexe satisfaisant à

$$ |f(n)| \le 1 \quad \text{pour tout } n \in \mathcal{N}^*. $$

**3.1.** Remarque préliminaire. Il existe au plus un couple $(\chi, u)$, où $\chi$ est un caractère de Dirichlet primitif$^5$ et $u$ un nombre réel, pour

<footnote>$^5$ Nous admettons parmi les caractères primitifs la fonction égale à 1 pour tout $n$, le conducteur étant 1. Ainsi, pour tout $k \in \mathcal{N}^*$, il y a $\varphi(k)$ caractères modulo $k$ et chacun d'eux, y compris le caractère trivial, est équivalent à un caractère primitif.</footnote>
lequel on a

$$ \sum \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re}(\chi(p)f(p)p^{-iu})) < +\infty. $$

En effet, supposons que $(\chi_1, u_1)$ et $(\chi_2, u_2)$ soient deux tels couples, les conducteurs de $\chi_1$ et $\chi_2$ étant $k_1$ et $k_2$ (qui sont donc $\neq 2$).

Si $p$ est un nombre premier ne divisant pas $k_1k_2$, le corollaire du lemme 2 donne, en prenant $q = \varphi(k_1)\varphi(k_2)$ et respectivement $z = \chi_1(p)f(p)p^{-iu_1}$, et $z = \chi_2(p)f(p)p^{-iu_2}$,

$$ 1 - \operatorname{Re}(f(p)^q p^{-iqu_1}) \le q^2 (1 - \operatorname{Re}(\chi_1(p)f(p)p^{-iu_1})) $$

et

$$ 1 - \operatorname{Re}(f(p)^q p^{-iqu_2}) \le q^2 (1 - \operatorname{Re}(\chi_2(p)f(p)p^{-iu_2})). $$

Par suite

$$ \sum \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re}(f(p)^q p^{-iqu_1})) < +\infty \quad \text{et} \quad \sum \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re}(f(p)^q p^{-iqu_2})) < +\infty, $$

ce qui entraîne, d'après la théorie de Halász, que $u_1 = u_2$.

Maintenant, toujours pour $p$ ne divisant pas $k_1k_2$, en prenant dans le lemme 3

$$ z_1 = \chi_2(p) \overline{\chi_1(p)} \quad \text{et} \quad z_2 = \chi_1(p) f(p) p^{-iu_1}, $$

on obtient

$$ 1 - \operatorname{Re}(\chi_2(p) \overline{\chi_1(p)}) \le 2(1 - \operatorname{Re}(\chi_2(p)f(p)p^{-iu_1})) + 2(1 - \operatorname{Re}(\chi_1(p)f(p)p^{-iu_1})). $$

Il en résulte que

$$ \sum_{p \nmid k_1 k_2} \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re}(\chi_2(p) \overline{\chi_1(p)})) < +\infty. $$

Si $k_1$ ou $k_2 \ge 3$, de sorte que $\varphi(k_1)\varphi(k_2) \ge 2$, ceci entraîne

$$ \sum_{\substack{p \nmid k_1 k_2 \\ \chi_1(p) \neq \chi_2(p)}} \frac{1}{p} < +\infty, $$

car, si $p \nmid k_1 k_2$ et $\chi_1(p) \neq \chi_2(p)$, on a

$$ 1 - \operatorname{Re}(\chi_2(p) \overline{\chi_1(p)}) \ge 1 - \cos \frac{2\pi}{\varphi(k_1)\varphi(k_2)} $$

puisque

$$ (\chi_2(p) \overline{\chi_1(p)})^{\varphi(k_1)\varphi(k_2)} = 1 \quad \text{et} \quad \chi_2(p) \overline{\chi_1(p)} \neq 1. $$

Ceci implique $\chi_1 = \chi_2$.

Si $k_1 = k_2 = 1$, on a aussi $\chi_1 = \chi_2$ (= la fonction égale à 1 pour tout $n$).

Il est clair que, s'il n'existe aucun couple $(\chi, u)$ du type indiqué, on a

$$ \sum \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re}(\chi(p)f(p)p^{-iu})) = +\infty $$

pour tout caractère $\chi$ et tout $u$ réel, tandis que, s'il en existe un, soit $(\chi_0, a)$, on a

$$ \sum \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re}(\chi(p)f(p)p^{-iu})) < +\infty $$

si, et seulement si, le caractère $\chi$ est équivalent à $\chi_0$ et $u = a$.

3.2. **THÉORÈME 1.** Soit $k \in \mathbb{N}^*$ et $l \in \mathbb{Z}$, et soit $F(x; k, l) = \sum_{n=l (\operatorname{mod} k)}^{n \le x} f(n)$.

L'une des deux circonstances suivantes a lieu:

(a) $\frac{1}{x} F(x; k, l)$ tend vers zéro quand $x$ tend vers $+\infty$;

(b) il existe une constante complexe non nulle $C$, une constante réelle $a$, et une fonction réelle $A$ définie sur l'intervalle $[1, +\infty[$ et satisfaisant à

$$ \lim_{x \to \infty} \sup_{0 \le t \le x} |A(t) - A(x)| = 0, $$

telles que, quand $x$ tend vers $+\infty$,

$$ \frac{1}{x} F(x; k, l) = Cx^{ia} \exp(iA(x)) + o(1). $$

Dans le cas (b), $|C|$ et $a$ sont déterminés (car on a $\lim_{x \to \infty} \left| \frac{1}{x} F(x; k, l) \right| = |C|$

$$ \text{et, pour tout } \lambda > 0, \lim_{x \to \infty} \frac{F(\lambda x; k, l)}{\lambda F(x; k, l)} = \lambda^{ia}). $$

Par contre, la fonction $A$ et la constante $C$ elle même ne sont pas déterminés: on peut évidemment remplacer $A$ par une fonction $A_1$ quelconque telle que $A_1(x) - A(x)$ tende vers une limite finie $\theta$ quand $x$ tend vers $+\infty$, en remplacant en même temps $C$ par $C_1 = C e^{-i\theta}$.

S'il existe des couples $[k, l]$ pour lesquels (b) $a$ lieu, la constante $a$ est la même pour tous et il existe une fonction $A$ valable pour tous.

On peut préciser dans quels cas on a (a) ou (b).

Si l'on a

$$ (21). \qquad \sum \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re}(\chi(p)f(p)p^{-iu})) = +\infty $$
pour tout caractère $\chi$ et tout $u$ réel, c'est le cas (a) qui a lieu quels que soient $k$ et $l$.

S'il existe un caractère primitif $\chi_0$ et un nombre réel a tels que

$$ (22) \qquad \sum \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re}(\chi_0(p)f(p)p^{-ia})) < +\infty, $$

le comportement de $F(x; k, l)$ pour $x$ tendant vers $+\infty$ est déterminé comme suit, $k_0$ étant le conducteur de $\chi_0$.

$$ \text{Posons } (k, l) = \bar{d}, k = \bar{d}k', l = \bar{d}l', \delta_1 = \prod_{x|(\bar{d}, k')} p^{v_p(d)}(\delta_1), \delta_2 = \prod_{p \nmid k'} p^{v_p(d)} $$

(de sorte que $\bar{d} = \delta_1 \delta_2$, $(\delta_2, k') = 1$).

Si $k'$ n'est pas multiple de $k_0$, c'est le cas (a) qui a lieu.

Si $k'$ est multiple de $k_0$, on a quand $x$ tend vers $+\infty$

(23)

$$ \frac{1}{w} F(x; k, l) = \frac{\overline{\chi_0(\delta_2 l')} f(\delta_1)}{(1+ia)k' \delta_1^{l+ia}} x^{ia} \prod_{\substack{p \le x \\ p \nmid k'}} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \sum_{r=v_p(d)}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f(p^r)}{p^{r(1+ia)}} + o(1), $$

ce qui peut s'écrire

$$ (24) \qquad \frac{1}{x} F(x; k, l) = C_{k,l} x^{ia} \exp(iA(x)) + o(1), $$

avec

$$ (25) \qquad A(x) = \sum_{p \le x} \frac{1}{p} \operatorname{Im} (\chi_0(p) f(p) p^{-ia}) $$

et

$$ (26) \quad C_{k,l} = \frac{\overline{\chi_0(\delta_2 l')} f(\delta_1)}{(1+ia)k' \delta_1^{l+ia}} \exp \left( -i \sum_{\substack{p \mid k' \\ p \nmid k_0}} \frac{1}{p} \operatorname{Im} (\chi_0(p) f(p) p^{-ia}) \right) \times \\ \qquad \prod_{\substack{p \nmid k' \\ p \nmid k_0}} \left( 1 - \frac{1}{p} \right) \left( \sum_{r=v_p(d)}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f(p^r)}{p^{r(1+ia)}} \right) \exp \left( -i \frac{1}{p} \operatorname{Im} (\chi_0(p) f(p) p^{-ia}) \right) $$

où le produit infini est absolument convergent.

La fonction $A$ satisfait à (11).

On remarque, d'autre part, que $|C_{k,l}|$ ne dépend que de $k$ et $\bar{d}$.

On est dans le cas (a) ou dans le cas (b) suivant que $C_{k,l} = 0$ ou $C_{k,l} \ne 0$.

On a $C_{k,l} = 0$ si, et seulement si,

$$ f(\delta_1) \prod_{\substack{p \mid 2\bar{d} \\ p \nmid k'}} \left( \sum_{r=v_p(d)}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f(p^r)}{p^{r(1+ia)}} \right) = 0. $$

En particulier, $C_{k,l} \ne 0$ si $k = 2k_0$ et $(k, l) = 1$ (car $\delta_1 = \bar{d} = 1$ et $k' = k$).

Si $f$ est à valeurs réelles, on a $a = 0$ et $A(x) = 0$, de sorte que (24) se réduit à

$$ (1/x) F(x; k, l) = C_{k,l} + o(1) \quad (C_{k,l} \text{ étant évidemment réel}). $$

### 3.3. Démonstration du théorème 1. Remarquons d'abord que, pour démontrer le théorème 1, il suffit d'établir les deux points suivants:

1. Si l'on a (21) pour tout caractère $\chi$ et tout $u$ réel, quels que soient $k$ et $l$, $(1/x)F(x; k, l)$ tend vers zéro quand $x$ tend vers $+\infty$.

2. Dans le cas où il existe un caractère primitif $\chi_0$ et un nombre réel $a$ tels que l'on ait (22), si $k'$ n'est pas multiple du conducteur $k_0$ de $\chi_0$, $(1/x)F(x; k, l)$ tend vers zéro quand $x$ tend vers $+\infty$, et, si $k'$ est multiple de $k_0$, on a (23).

En effet, dans ce dernier cas, le lemme 1 montre que le produit infini

$$ \prod_{\substack{p \nmid k' \\ p \nmid k_0}} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \left( \sum_{r=v_p(d)}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f(p^r)}{p^{r(1+ia)}} \right) \exp \left( -i \frac{1}{p} \operatorname{Im} (\chi_0(p) f(p) p^{-ia}) \right) $$

est absolument convergent, de sorte que la formule (26) définit bien $C_{k,l}$.

Pour le voir, on remarque que, en posant $g(n) = \chi_0(n)f(n)n^{-ia}$, son terme général s'écrit

$$ (1+u_p)e^{-v_p}, $$

où

$$ u_p = \left(1 - \frac{1}{p}\right) \sum_{r=v_p(d)}^{\infty} \frac{g(p^r)}{p^r} - 1 \quad \text{et} \quad v_p = \frac{i}{p} \operatorname{Im} g(p). $$

Pour $p > d$, on a

$$ u_p = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{g(p^r) - g(p^{r-1})}{p^r} $$

et

$$ u_p - v_p = \frac{1}{p} (\operatorname{Re} g(p) - 1) + \sum_{r=2}^{\infty} \frac{g(p^r) - g(p^{r-1})}{p^r}, $$

<footnote>(6) Pour tout $m \in \mathbb{N}^*$, nous désignons par $v_p(m)$ le plus grand $\alpha \in \mathbb{N}$ tel que $p^\alpha | m$.</footnote>
d'où, puisque $|g(n)| \le 1$ pour tout $n$, $|u_p| \le 2/(p-1)$ et

$$ egin{aligned} |u_p - v_p| &\le \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re} g(p)) + \frac{2}{p(p-1)} \\ &= \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re} (\chi_0(p)f(p)p^{-ia})) + \frac{2}{p(p-1)}, \end{aligned} $$

et il résulte de là que $\sum |u_p|^2 < +\infty$ et $\sum |u_p - v_p| < +\infty$.

On voit alors que la relation (23) donne bien (24) où $C_{k,l}$ est définie par la formule (26) et $\mathcal{A}(x)$ par (25).

De plus, le lemme 5 montre que l'on a (11).

Le fait que $C_{k,l} = 0$ si, et seulement si,

$$ f(\delta_1) \prod_{\substack{p \mid \mathcal{P} \\ p \equiv l \pmod{k'}}} \left( \sum_{r=v_p(d)}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f(p^r)}{p^{r(1+ia)}} \right) = 0. $$

résulte de ce que, si $p \nmid 2d$,

$$ \sum_{r=v_p(d)}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f(p^r)}{p^{r(1+ia)}} = 1 + \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f(p^r)}{p^{r(1+ia)}} \neq 0 $$

car

$$ \left| \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f(p^r)}{p^{r(1+ia)}} \right| \le \sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{p^r} = \frac{1}{p-1} < 1. $$

D'autre part, si $f$ est à valeurs réelles, en prenant $k$ et $l$ tels que $C_{k,l} \ne 0$, par exemple $k = 2k_0$ et $(k, l) = 1$, on voit que, pour tout $\lambda > 0$,

$$ \lambda^{ia} = \lim_{x \to \infty} \frac{F(\lambda x; k, l)}{\lambda F(x; k, l)} \quad \text{est réel,} $$

ce qui implique $a = 0$.

Alors (22) se réduit à $\sum \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re} (\chi_0(p)f(p))) < +\infty$ et il en résulte que $\chi_0$ est un caractère réel, de sorte que $\mathcal{A}(x) = 0$.

En effet, s'il existait un $m$ tel que $\chi_0(m)$ ne soit pas réel, on aurait $k_0 \ge 3$, d'où $\varphi(k_0) \ge 2$, et, pour $p = m \pmod{k_0}$,

$$ 1 - \operatorname{Re} (\chi_0(p) f(p)) \ge 1 - \cos \frac{2\pi}{\varphi(k_0)}. $$

**3.3.1.** On voit d'abord que la condition $n \equiv l \pmod{k}$ est équivalente à $n = dn'$ avec $n' \equiv l' \pmod{k'}$,

et par suite

$$ F(x; k, l) = \sum_{\substack{n \le x \\ n' \equiv l \pmod{k'}}} f(dn'). $$

Remarquons que la condition $n' \equiv l \pmod{k'}$ entraîne $(n', k') = 1$, d'où $(n', \delta_1) = 1$ puisque $\delta_1 | k'$, d'où $(\delta_2 n', \delta_1) = 1$ puisque $(\delta_1, \delta_2) = 1$, et par suite $f(dn') = f(\delta_1 \delta_2 n') = f(\delta_1) f(\delta_2 n')$.

On a donc

$$ F(x; k, l) = f(\delta_1) \sum_{\substack{n \le x \\ n' \equiv l \pmod{k'}}} f(\delta_2 n'). $$

A ce point, on voit que, si $f(\delta_1) = 0$, on a bien les conclusions voulues, qu'il existe ou non un couple $(\chi_0, a)$ tel que l'on ait (22). En effet, $F(x; k, l) = 0$ et, dans le cas où il existe $(\chi_0, a)$ tel que l'on ait (22), le terme principal du second membre de (23) est nul.

Il en est de même s'il existe un nombre premier $p$ divisant $\delta_2$ tel que $f(p^r) = 0$ pour tout $r \ge v_p(d)$.

En effet, on a encore $F(x; k, l) = 0$ car, quel que soit $n'$, on a pour le $p$ en question $v_p(\delta_2 n') \ge v_p(\delta_2) = v_p(d)$, d'où $f(v_p(\delta_2 n')) = 0$, et par suite $f(\delta_2 n') = 0$. Par ailleurs, s'il existe un couple $(\chi_0, a)$ tel qu'on ait (22), le facteur correspondant au $p$ en question dans le produit au second membre de (23) est nul.

**3.3.2.** Nous pouvons donc écarter les deux cas que nous venons de considérer et supposer que $f(\delta_1) \ne 0$ et que, ou bien $\delta_2 = 1$, ou bien, pour tout nombre premier $p$ divisant $\delta_2$, il existe au moins un $r \ge v_p(d)$ tel que $f(p^r) \ne 0$.

Dans ce dernier cas, nous désignerons par $v_p(d) + \alpha_p$ le plus petit $r \ge v_p(d)$ tel que $f(p^r) \ne 0$.

Définissons l'entier $\delta$ par

$$ \delta = 1 \quad \text{si} \quad \delta_2 = 1, \quad \delta = \prod_{p \mid \delta_2} p^{\alpha_p} \quad \text{si} \quad \delta_2 > 1, $$

de sorte que $(\delta, k') = 1$ et $f(\delta_2 \delta) \ne 0$.

On voit que, si $\delta > 1$, pour que $f(\delta_2 n') \ne 0$, il faut que $n'$ soit multiple de $\delta$.

En effet, si $n'$ n'est pas multiple de $\delta$, il existe un nombre premier $p$ divisant $\delta$, donc divisant $\delta_2$ et tel que $\alpha_p \ge 1$, tel que $v_p(n') < v_p(\delta) = \alpha_p$. Alors $v_p(\delta_2 n') = v_p(\delta_2) + v_p(n') = v_p(d) + v_p(n') < v_p(d) + \alpha_p$, et par conséquent $f(v_p(\delta_2 n')) = 0$. Donc $f(\delta_2 n') = 0$.
Il résulte de là que l'on a

$$
\begin{align*}
F(x; k, l) &= f(\delta_1) \sum_{\substack{m \le x \mid \delta d \\ \delta m = l' \pmod{k'}}} f(\delta_2 \delta m) \\
&= f(\delta_1) \sum_{m \le x \mid \delta d} f(\delta_2 \delta m) \left( \frac{1}{\varphi(k')} \sum_{\chi \pmod{k'}} \overline{\chi(l')} \chi(\delta m) \right),
\end{align*}
$$

et par suite

$$
(27) \quad F(x; k, l) = \frac{1}{\varphi(k')} f(\delta_1) \sum_{\chi \pmod{k'}} \overline{\chi(l')} \chi(\delta) \left( \sum_{m \le x \mid \delta d} \chi(m) f(\delta_2 \delta m) \right).
$$

Introduisons la fonction multiplicative $f_1$ déterminée par

$$
f_1(p^r) = \begin{cases} f(p^r) & \text{si } p \nmid \delta_2, \\ \frac{f(p^{v_p(\delta_2 \delta) + r})}{f(p^{n_p(\delta_2 \delta)})} & \text{si } p \mid \delta_2, \end{cases} \quad (r \in \mathbb{N}^*).
$$

On vérifie immédiatement que, pour tout $m \in \mathbb{N}^*$,

$$
f(\delta_2 \delta m) = f(\delta_2 \delta) f_1(m).
$$

Ainsi, on voit finalement que l'on a

$$
(28) \quad \frac{1}{x} F(x; k, l) = \frac{1}{\varphi(k')} \cdot \frac{f(\delta_1) f(\delta_2 \delta)}{\delta d} \sum_{\chi \pmod{k'}} \overline{\chi(l')} \chi(\delta) \left( \frac{\delta d}{x} \sum_{m \le x \mid \delta d} \chi(m) f_1(m) \right).
$$

3.3.3. Pour tout caractère $\chi$ modulo $k'$, la fonction $\chi f_1$ satisfait à l'hypothèse initiale sur $g$ du théorème A, l'ensemble $\mathcal{E}$ étant l'ensemble des $p$ qui divisent $\delta_2$.

D'autre part, pour $p > \delta_2$, $\chi(p)f_1(p) = \chi(p)f(p)$.

Si l'on a (21) pour tout caractère $\chi$ et tout $u$ réel, il résulte du théorème A que, pour chaque caractère $\chi$ modulo $k'$,

$$
(1/X) \sum_{m \le X} \chi(m) f_1(m) \text{ tend vers zéro quand } X \text{ tend vers } +\infty.
$$

La formule (28) montre alors que $(1/x)F(x; k, l)$ tend vers zéro quand $x$ tend vers $+\infty$.

Supposons maintenant qu'il existe un caractère primitif $\chi_0$ et un nombre réel $\alpha$ tels que l'on ait (22), et soit $k_0$ le conducteur de $\chi_0$.

Si $k'$ n'est pas multiple de $k_0$, aucun caractère modulo $k'$ n'est équiva-
lent à $\chi_0$, et on voit encore que $(1/\alpha)F(\alpha; k, l)$ tend vers zéro quand $\alpha$
tend vers $+\infty$.

Si $k'$ est multiple de $k_0$, parmi les caractères modulo $k'$, il y en a exactement un, soit $\chi_1$, qui est équivalent à $\chi_0$.

Pour tout caractère $\chi$ modulo $k'$ autre que $\chi_1$, le théorème A montre
que $(1/X) \sum_{m \le X} \chi(m) f_1(m)$ tend vers zéro quand $X$ tend vers $+\infty$.

Mais on a

$$
\sum \frac{1}{p} \left( 1 - \operatorname{Re} \left( \chi_1(p) f_1(p) p^{-ia} \right) \right) < +\infty,
$$

et le théorème A montre (en prenant $g = \chi_1 f_1$ et $\lambda = 1/\delta d$ dans (8)) que,
quand $x$ tend vers $+\infty$,

$$
\begin{align*}
& \frac{\delta d}{x} \sum_{m \le x \mid \delta d} \chi_1(m) f_1(m) \\
&= \frac{\omega^{ia}}{(1 + ia)(\delta d)^{ia}} \prod_{p \le x} \left( 1 - \frac{1}{p} \right) \left( 1 + \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\chi_1(p^r) f_1(p^r)}{p^{r(1+ia)}} \right) + o(1).
\end{align*}
$$

La formule (28) montre donc (compte tenu de ce que $(k', \delta) = (k', l')$
= 1) que l'on a quand $x$ tend vers $+\infty$

$$
(29) \quad \frac{1}{x} F(x; k, l) = \frac{1}{\varphi(k')} \cdot \frac{f(\delta_1) f(\delta_2 \delta)}{(1 + ia)(\delta d)^{1+ia}} \overline{\chi_0(l')} \chi_0(\delta) x^{ia} \times \\
\qquad \times \prod_{p \le x} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \left(1 + \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\chi_1(p^r) f_1(p^r)}{p^{r(1+ia)}}\right) + o(1).
$$

Compte tenu de ce que, pour tout $r \ge 1$,

$$
\chi_1(p^r) = \begin{cases} 0 & \text{si } p \mid k', \\ \chi_0(p^r) & \text{si } p \nmid k', \end{cases}
$$

on a pour $\alpha > k'$

$$
\begin{align*}
& \prod_{p \le x} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \left(1 + \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\chi_1(p^r) f_1(p^r)}{p^{r(1+ia)}}\right) \\
&= \left(\prod_{p \nmid k'} \left(1 - \frac{1}{p}\right)\right) \left(\prod_{\substack{p \le x \\ p \nmid k'}} \left(1 - \frac{1}{p}\right)\right) \left(1 + \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f_1(p^r)}{p^{r(1+ia)}}\right) \\
&= \frac{\varphi(k')}{k'} \prod_{\substack{p \le x \\ p \nmid k'}} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \sum_{r=0}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f(p^r)}{p^{r(1+ia)}}.
\end{align*}
$$
Maintenant, on remarque que les $p$ qui ne divisent pas $k'$ sont ceux qui divisent $\delta_2$ et ceux qui ne divisent pas $k$ (formant deux ensembles disjoints).

Si $p | \delta_2$, on a pour chaque $r \ge 0$

$$ \begin{aligned} \frac{\chi_0(p^r)f_1(p^r)}{p^{r(1+ia)}} &= \frac{1}{f(p^{v_p(\delta_2\delta)})} \cdot \frac{\chi_0(p^r)f(p^{v_p(\delta_2\delta)+r})}{p^{r(1+ia)}} \\ &= \frac{\overline{\chi_0(p^{v_p(\delta_2\delta)})} p^{(1+ia)v_p(\delta_2\delta)}}{f(p^{v_p(\delta_2\delta)})} \cdot \frac{\chi_0(p^{v_p(\delta_2\delta)+r}) f(p^{v_p(\delta_2\delta)+r})}{p^{(i+ia)(v_p(\delta_2\delta)+r)}}, \end{aligned} $$

et il en résulte que

$$ \sum_{r=0}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r)f_1(p^r)}{p^{r(1+ia)}} = \frac{\overline{\chi_0(p^{v_p(\delta_2\delta)})} p^{(1+ia)v_p(\delta_2\delta)}}{f(p^{v_p(\delta_2\delta)})} \sum_{r=v_p(\delta_2\delta)}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r)f(p^r)}{p^{r(1+ia)}}. $$

On peut remplacer $\sum_{r=v_p(d_2\delta)}^{\infty}$ par $\sum_{r=v_p(d)}^{\infty}$ car $v_p(\delta_2\delta) = v_p(d) + \alpha_p$ et, si

$\alpha_p > 0, f(p^r) = 0$ pour $v_p(d) \le r < v_p(d) + \alpha_p$.

Comme $\delta | \delta_2$, on obtient ainsi

$$ \begin{aligned} & \prod_{p \nmid \delta_2} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \left(\sum_{r=0}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f_1(p^r)}{p^{r(1+ia)}}\right) \\ &= \frac{\overline{\chi_0(\delta_2\delta)(\delta_2\delta)^{1+ia}}}{f(\delta_2\delta)} \prod_{p \nmid \delta_2} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \sum_{r=v_p(d)}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f(p^r)}{p^{r(1+ia)}}. \end{aligned} $$

Si $p \nmid k$, on a $f_1(p^r) = f(p^r)$ et $v_p(d) = 0$, et par suite

$$ \sum_{r=0}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r)f_1(p^r)}{p^{r(1+ia)}} = \sum_{r=v_p(d)}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r)f(p^r)}{p^{r(1+ia)}}. $$

Finalement, on voit que, pour $x > k$ (donc $> k'$ et $> \delta_2$),

$$ \begin{aligned} & \prod_{p \le x} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \left(1 + \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\chi_1(p^r) f_1(p^r)}{p^{r(1+ia)}}\right) \\ &= \frac{\varphi(k')}{k'} \cdot \frac{\overline{\chi_0(\delta_2\delta)(\delta_2\delta)^{1+ia}}}{f(\delta_2\delta)} \prod_{p \le x} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \sum_{r=v_p(d)}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f(p^r)}{p^{r(1+ia)}}. \end{aligned} $$

En reportant ceci dans (29) et tenant compte de ce que $d = \delta_1\delta_2$, on obtient bien (23).

### 3.3.4. Remarque. Dans le cas où il existe un caractère primitif $\chi_0$ et un nombre réel $a$ tels que l'on ait (22), on a toujours

$$ |C_{k,l}| \le \frac{\delta_2}{k\sqrt{1+a^2}} \exp \left( 2 - \sum_{p \nmid k} \frac{1}{p} \left( 1 - \operatorname{Re}(\chi_0(p)f(p)p^{-ia}) \right) \right). $$

En effet, on voit d'abord que

$$ |C_{k,l}| = \frac{|f(\delta_1)|}{k' \delta_1 \sqrt{1+a^2}} \times \left| \prod_{p \nmid k'} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \left( \sum_{r=v_p(d)}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f(p^r)}{p^{r(1+ia)}} \right) \exp \left( - \frac{i}{p} \operatorname{Im}(\chi_0(p)f(p)p^{-ia}) \right) \right| $$

On a

$$ \frac{|f(\delta_1)|}{k' \delta_1 \sqrt{1+a^2}} \le \frac{1}{k' \delta_1 \sqrt{1+a^2}} = \frac{\delta_2}{k \sqrt{1+a^2}} $$

(puisque $k = dk' = \delta_1\delta_2k'$).

D'autre part, comme chacun des facteurs du produit infini est évidemment de module $\le 1$, son module est au plus égal à celui du produit obtenu en enlevant les facteurs correspondant aux $p$ qui divisent $2d$ sans diviser $k'$ (s'il y en a), c'est-à-dire du produit

$$ \prod_{p \nmid 2k} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \left(1 + \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f(p^r)}{p^{r(1+ia)}}\right) \exp \left( - \frac{i}{p} \operatorname{Im}(\chi_0(p)f(p)p^{-ia}) \right). $$

En reprenant les raisonnements des paragraphes 2.2 à 2.3.2 de notre article *Sur les fonctions arithmétiques multiplicatives* (7), où la fonction $f$ sera remplacée par la fonction égale à $\chi_0(n)f(n)n^{-ia}$, on voit que, pour chaque $p$, on a pour $|z| < 1/2$

$$ (1-z) \left(1 + \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f(p^r)}{p^{ria}}\right) z^r = \exp \left( \sum_{r=1}^{\infty} \frac{C_r^{(p)} - 1}{r} z^r \right), $$

où les $C_r^{(p)}$ sont des constantes satisfaisant à

$$ |C_r^{(p)}| \le 2^r - 1 \quad \text{pour tout } r \ge 1 \quad \text{et} \quad C_1^{(p)} = \chi_0(p)f(p)p^{-ia}. $$

On obtient une expression du terme général du produit considéré ci-dessus en faisant $z = 1/p$ dans cette formule et multipliant par

<footnote>(7) Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (3) 78 (1961), p. 273-304.</footnote>
$$ \exp\left(-\frac{i}{p} \operatorname{Im}(\chi_0(p)f(p)p^{-ia})\right). \text{ On trouve que ce terme général est égal à} $$

$$ \begin{aligned} & \exp\left(\sum_{r=1}^{\infty} \frac{C_r^{(p)}-1}{rp^r} - \frac{i}{p} \operatorname{Im}(\chi_0(p)f(p)p^{-ia})\right) \\ & = \exp\left(\sum_{r=2}^{\infty} \frac{C_r^{(p)}-1}{rp^r} - \frac{1-\operatorname{Re}(\chi_0(p)f(p)p^{-ia})}{p}\right). \end{aligned} $$

On a

$$ \left| \sum_{r=2}^{\infty} \frac{C_r^{(p)} - 1}{rp^r} \right| \le \sum_{r=2}^{\infty} \frac{2^{r-1}}{p^r} = \frac{2}{p(p-2)}, $$

puisque, pour $r \ge 2$,

$$ \left| \frac{C_r^{(p)} - 1}{r} \right| \le 2^{r-1}. $$

La série $\sum_{p \nmid 2k} \left( \sum_{r=2}^{\infty} \frac{C_r^{(p)} - 1}{rp^r} \right)$ est donc absolument convergente, et le produit est égal à

$$ \exp\left(\sum_{p \nmid 2k} \left(\sum_{r=2}^{\infty} \frac{C_r^{(p)} - 1}{rp^r}\right) - \sum_{p \nmid 2k} \frac{1 - \operatorname{Re}(\chi_0(p)f(p)p^{-ia})}{p}\right). $$

Son module est au plus égal à

$$ \exp\left(2 - \sum_{p \nmid k} \frac{1 - \operatorname{Re}(\chi_0(p)f(p)p^{-ia})}{p}\right) $$

puisque

$$ \sum_{p \nmid 2k} \frac{2}{p(p-2)} \le \sum_{p>2} \frac{2}{p(p-2)} < 1 \quad \text{et} \quad \frac{1 - \operatorname{Re}(\chi_0(2)f(2)2^{-ia})}{2} \le 1. $$

**4. Conditions pour l'existence de valeurs moyennes sur les progressions arithmétiques.** Si $g$ est une fonction arithmétique et $E$ une partie infinie de $N^*$, on appelle „valeur moyenne de $g$ sur $E$” la limite pour $x$ tendant vers $+\infty$ de $(\sum_{n \le x} 1)^{-1} \sum_{n \le x} g(n)$, si cette limite existe et est finie.

Si $E = N^*$, on retrouve la valeur moyenne usuelle.

Etant donné $k \in N^*$ et $l \in Z$, nous désignerons par $P(k, l)$ l'ensemble des $n \in N^*$ tels que $n \equiv l \pmod k$.

Il est clair que $g$ possède une valeur moyenne sur $P(k, l)$ si, et seulement si, $(1/x) \sum_{\substack{n \le x \\ n \equiv l \pmod k}} g(n)$ tend vers une limite finie quand $x$ tend vers $+\infty$, et que la valeur moyenne de $g$ sur $P(k, l)$ est $k$ fois cette limite.

Dans toute cette section comme dans la section 3, $f$ est une fonction multiplicative complexe satisfaisant à

$$ |f(n)| \le 1 \quad \text{pour tout } n \in N^*. $$

Nous conservons les notations de la section 3. En particulier, $d, k', l'$, $\delta_1$ et $\delta_2$ sont définis à partir de $k$ et $l$ comme dans l'énoncé du théorème 1.

Ce théorème permet d'obtenir des résultats concernant l'existence de valeurs moyennes de $f$ sur les ensembles $P(k, l)$.

**4.1.** Remarquons d'abord qu'il résulte du théorème 1 que, si $f$ est à valeurs réelles, elle possède une valeur moyenne sur $P(k, l)$ quels que soient $k$ et $l$.

**4.2.** Les deux théorèmes suivants sont aussi des conséquences im-médiates du théorème 1.

**THÉORÈME 2.** *Etant donné $k \in N^*$ et $l \in Z$, pour que $f$ possède une valeur moyenne nulle sur $P(k, l)$, il faut et il suffit que l'une des conditions suivantes soit satisfaite:*

(i) On a $\sum_{p} \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re}(\chi(p)f(p)p^{-iu})) = +\infty$ pour tout caractère $\chi$ modulo $k'$ et tout $u$ réel.

(ii) Il existe un caractère $\chi_1$ modulo $k'$ et un nombre réel $a$ tels que

$$ \sum \frac{1}{p} \left( 1 - \operatorname{Re} \left( \chi_1(p) f(p) p^{-ia} \right) \right) < + \infty (\delta) $$

et on a

$$ f(\delta_1) \prod_{\substack{p \nmid 2d \\ p \nmid k'}} \left( \sum_{r=v_p(d)}^{\infty} \frac{\chi_1(p^r) f(p^r)}{p^{r(1+ia)}} \right) = 0. $$

La condition $f(\delta_1) = 0$ est suffisante à elle seule.

**THÉORÈME 3.** *Pour que $f$ ait une valeur moyenne nulle sur $P(k, l)$ quels que soient $k$ et $l$, il faut et il suffit que l'on ait*

$$ \sum \frac{1}{p} \left( 1 - \operatorname{Re}(\chi(p)f(p)p^{-iu}) \right) = +\infty $$

pour tout caractère $\chi$ et tout $u$ réel.

<footnote>(⁸) D'après ce qui a été dit au § 3.1, il ne peut exister plus d'un couple $(\chi_l, a)$ tel que ceci ait lieu.</footnote>
Remarquons que la condition indiquée est certainement satisfaites'il existe $\varrho \neq 1$ (et nécessairement de module $\leq 1$) tel que, quand $\alpha$ tend vers $+\infty$,

$$ \sum_{\substack{p \leq \alpha \\ f(p) \neq \alpha}} \frac{1}{p} = o(\log \log \alpha). $$

Cela tient à ce que, si $\chi$ est un caractère modulo $k$, on a pour tout $u$ réel

$$ \sum_{\substack{p \leq \alpha \\ f(p) = 1 \pmod{k}}} \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re}(\chi(p)f(p)p^{-iu})) \geq \sum_{\substack{p \leq \alpha \\ f(p) \neq \alpha}} \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re}(\varrho p^{-iu})) - \sum_{\substack{p \leq \alpha \\ f(p) \neq \alpha}} \frac{1}{p}, $$

et, quand $\alpha$ tend vers $+\infty$, le second membre est équivalent à

$$ \frac{1 - \operatorname{Re} \varrho}{\varrho(k)} \log \log \alpha \quad \text{si } u = 0 \quad \text{et} \quad \frac{1}{\varrho(k)} \log \log \alpha \quad \text{si } u \neq 0 $$

(car, si $u \neq 0$, la série $\sum_{p=1 \pmod{k}} 1/p^{1+iu}$ est convergente).

Par exemple, la condition est satisfaites'il est la fonction $\mu$ de Möbius ou la fonction $\lambda$ de Liouville.

**4.3. THÉORÈME 4.** S'il existe un caractère primitif $\chi_0$ tel que la série

$$ \sum \frac{1}{p} (1 - \chi_0(p) f(p)) $$

soit convergente, $f$ possède une valeur moyenne sur $P(k, l)$ quels que soient $k$ et $l$ ($\varrho$).

Cette valeur moyenne $M(f; k, l)$ est déterminée comme suit, $k_0$ étant le conducteur de $\chi_0$:

Si $k'$ n'est pas multiple de $k_0$, $M(f; k, l) = 0$.

Si $k'$ est multiple de $k_0$,

$$ M(f; k, l) = \overline{\chi_0(\delta_2 l')} f(\delta_1) \delta_2 \prod_{p \nmid k'} (1 - \frac{1}{p}) \sum_{r=v_p(d)}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f(p^r)}{p^r}. $$

Lorsque $k'$ est multiple de $k_0$, on a $M(f; k, l) = 0$ si, et seulement si,

$$ f(\delta_1) \prod_{\substack{p \mid 2d \\ p \nmid k'}} \left( \sum_{r=v_p(d)}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f(p^r)}{p^r} \right) = 0. $$

Il est à noter qu'en particulier, si $k = 2k_0$ et $(k, l) = 1$, $M(f; k, l) \neq 0$.

**Démonstration.** L'hypothèse faite entraîne que

$$ \sum \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re}(\chi_0(p)f(p))) < +\infty, $$

ce qui est le cas particulier de (22) où $a = 0$, et que la série

$$ \sum \frac{1}{p} \operatorname{Im}(\chi_0(p)f(p)) $$

est convergente.

D'après le théorème 1, si $k'$ n'est pas multiple de $k_0$, $(1/\alpha)F(\alpha; k, l)$ tend vers zéro quand $\alpha$ tend vers $+\infty$, et donc $f$ possède une valeur moyenne nulle sur $P(k, l)$.

Si $k'$ est multiple de $k_0$, la relation (23) donne

$$ (30) \quad \frac{1}{\alpha} F(x; k, l) = \frac{\overline{\chi_0(\delta_2 l')} f(\delta_1)}{k' \delta_1} \prod_{\substack{p \le \alpha \\ p \nmid k'}} (1 - \frac{1}{p}) \sum_{r=v_p(d)}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f(p^r)}{p^r} + o(1). $$

D'autre part, on sait que le produit infini

$$ \prod_{\substack{p \nmid k' \\ p \nmid k'}} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \left( \sum_{r=v_p(d)}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f(p^r)}{p^r} \right) \exp \left( - \frac{i}{p} \operatorname{Im} \chi_0(p) f(p) \right) $$

est absolument convergent.

Comme le produit $\prod_{\substack{p \nmid k' \\ p \nmid k'}} \exp \left( \frac{i}{p} \operatorname{Im} \chi_0(p) f(p) \right)$ est convergent, le produit

$$ \prod_{\substack{p \nmid k' \\ p \nmid k}} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \sum_{r=v_p(d)}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f(p^r)}{p^r} $$

est convergent.

La relation (30) montre alors que, quand $\alpha$ tend vers $+\infty$, $(1/\alpha) \times F(\alpha; k, l)$ tend vers

$$ \frac{\overline{\chi_0(\delta_2 l')} f(\delta_1)}{k' \delta_1} \prod_{\substack{p \nmid k' \\ p \nmid k}} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \sum_{r=v_p(d)}^{\infty} \frac{\chi_0(p^r) f(p^r)}{p^r}, $$

et, en tenant compte de ce que $k = k' \delta_1 \delta_2$, on voit que $f$ possède bien la valeur moyenne indiquée sur $P(k, l)$.

La condition pour que $M(f; k, l) = 0$ est simplement que $C_{k,l} = 0$.

**4.3.1.** Remarque. D'après la remarque du paragraphe 3.3.4, lorsque $k'$ est multiple de $k_0$, on a

$$ |M(f; k, l)| \le \delta_2 \exp \left( 2 - \sum_{\substack{p \nmid k \\ p \nmid l}} \frac{1 - \operatorname{Re}(\chi_0(p) f(p))}{p} \right) $$

(car $|M(f; k, l)| = k |C_{k,l}|$).

<footnote>(º) En fait, $f$ est limite-périodique $B$.</footnote>
**4.4.** **THÉORÈME 5.** $k$ et $l$ étant donnés, pour que $f$ possède une valeur moyenne non nulle sur $P(k, l)$ il est nécessaire qu'il existe un caractère $\chi$ modulo $k'$ tel que la série

$$ \sum \frac{1}{p} (1 - \chi(p) f(p)) $$

soit convergente (c'est-à-dire qu'il existe un caractère primitif de conducteur divisant $k'$ satisfaisant à la même condition).

Démonstration. Supposons que $f$ possède une valeur moyenne non nulle sur $P(k, l)$.

On voit d'abord qu'il existe un caractère primitif $\chi_0$ et un nombre réel $a$ tels que l'on ait (22), et que $k'$ est multiple du conducteur $k_0$ de $\chi_0$. (Dans le cas contraire, $f$ aurait une valeur moyenne nulle sur $P(k, l)$).

On a donc (24), et évidemment $C_{k,l} \neq 0$ (plus précisément,

$$ |C_{k,l}| = \frac{1}{k} |M(f; k, l)|. $$

On voit que $a=0$, puisque (24) entraîne que, quel que soit $\lambda > 0$,

$$ \lambda^{ia} = \lim_{x \to \infty} \frac{F(\lambda x, k, l)}{\lambda F(x, k, l)} = 1. $$

Ainsi (22) se réduit à

$$ (31) \qquad \sum \frac{1}{p} \{1 - \text{Re}(\chi_0(p)f(p))\} < +\infty $$

et (24) et (25) à

$$ (32) \qquad \frac{1}{w} F(x; k, l) = C_{k,l} \exp(iA(x)) + o(1) $$

et

$$ A(x) = \sum_{p \le x} \frac{1}{p} \operatorname{Im}(\chi_0(p) f(p)). $$

(32) entraîne que, quand $x$ tend vers $+\infty$, $\exp(iA(x))$ tend vers $M(f; k, l)/kC_{k,l}$.

On déduit facilement de là que $A(x)$ tend vers une limite finie quand $x$ tend vers $+\infty$.

En effet, soit $\varepsilon > 0$ et $< 2\pi - 1/2$.

Il existe $X_0 \ge 1$ tel que, si $\chi'$ et $\chi'' \ge X_0$,

$$ \left| \exp(iA(\chi'')) - \exp(iA(\chi')) \right| \le 2 \sin \frac{\varepsilon}{4}. $$

Alors, pour tout $x \ge X_0$, on a

$$ \left| \exp(iA(x)) - \exp(iA(X_0)) \right| \le 2 \sin \frac{\varepsilon}{4}, $$

c'est-à-dire $\left| \sin \frac{A(x) - A(X_0)}{2} \right| \le \sin \frac{\varepsilon}{4}$, et par suite $A(x)$ appartient à l'un des intervalles

$$ [A(X_0) + 2s\pi - \varepsilon/2, A(X_0) + 2s\pi + \varepsilon/2], \quad \text{où } s \in \mathbb{Z}. $$

On voit que cet intervalle est le même pour tous les $x \ge X_0$, c'est-à-dire $[A(X_0) - \varepsilon/2, A(X_0) + \varepsilon/2]$, car c'est le même pour $x'$ et $x''$ si $X_0 \le x' < x'' \le x'+1$. En effet, on a dans ce cas $|A(x'') - A(x')| \le 1/2$ puisque

$$ A(x'') - A(x') = \sum_{x' < p \le x''} \frac{1}{p} \operatorname{Im}(\chi_0(p) f(p)) $$

et cette somme contient au plus un terme, lequel est de module $\le 1/2$. Si $A(x')$ et $A(x'')$ n'étaient pas dans le même intervalle on aurait $|A(x'') - A(x')| \ge 2\pi - \varepsilon > 1/2$.

Il résulte de là que, si $\chi'$ et $\chi'' \ge X_0$, $|A(x'') - A(x')| \le \varepsilon$.

$A(x)$ tendant vers une limite finie quand $x$ tend vers $+\infty$, la série

$$ \sum \frac{1}{p} \operatorname{Im}(\chi_0(p) f(p)) $$

est convergente.

Avec (31) ceci montre que la série $\sum \frac{1}{p} (1 - \chi_0(p) f(p))$ est convergente.

**4.4.1.** Remarquons que les théorèmes 4 et 5 fournissent une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ possède une valeur moyenne sur $P(k, l)$ quels que soient $k$ et $l$, celle-ci n'étant pas toujours nulle.

**4.4.2.** Notons aussi que, si $f$ possède une valeur moyenne non nulle sur $P(k, l)$, on peut conclure non seulement qu'il existe un caractère $\chi$ modulo $k'$ tel que la série $\sum \frac{1}{p} (1 - \chi(p) f(p))$ converge, mais que l'on a pour ce caractère

$$ \sum_{p \le k} \frac{1 - \text{Re}(\chi(p) f(p))}{p} \le 2 + \log \frac{\delta_2}{|M(f; k, l)|}. $$

Cela résulte de la remarque du paragraphe 4.3.1.

**4.5.** **THÉORÈME 6.** S'il existe un $m_0 \in \mathbb{N}^*$ tel que la série

$$ \sum \frac{1}{p} (1 - f(p))^{m_0} $$
soit convergente, pour tout $m \in \mathbb{N}^*$ la fonction $f^m$ possède une valeur moyenne sur $P(k, l)$ quels que soient $k$ et $l$.

Démonstration. Soit $m$ fixé $\in \mathbb{N}^*$.

On sait que, si l'on a

$$ \sum \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re}(\chi(p)f(p)^m p^{-tu})) = +\infty $$

pour tout caractère $\chi$ et tout $u$ réel, la fonction $f^m$ possède une valeur moyenne nulle sur $P(k, l)$ quels que soient $k$ et $l$.

Supposons donc qu'il existe un caractère primitif $\chi_0$ et un nombre réel $a$ tels que l'on ait

$$ (33) \qquad \sum \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re}(\chi_0(p)f(p)^m p^{-ia})) < +\infty, $$

et soit $k_0$ le conducteur de $\chi_0$.

Soit $h = \varphi(k_0)$ et $\mu = m_0 mh$.

Il résulte du corollaire du lemme 2 que l'on a

$$ \sum \frac{1}{p} \left( 1 - \operatorname{Re} \left( (\chi_0(p)f(p)^m p^{-ia})^{m_0 h} \right) \right) < +\infty, $$

et par suite, puisque $\chi_0(p)^{m_0 h} = 1$ quand $p \nmid k_0$,

$$ (34) \qquad \sum \frac{1}{p} \left( 1 - \operatorname{Re} \left( f(p)^\mu p^{-im_0 ha} \right) \right) < +\infty. $$

D'autre part, il résulte du lemme 4 que la série

$$ \sum \frac{1}{p} (1 - f(p)^\mu) $$

est convergente, de sorte que l'on a

$$ (35) \qquad \sum \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re} (f(p)^\mu)) < +\infty. $$

Du fait que l'on a (34) et (35) il résulte que $a = 0$.

Ainsi (33) se réduit à

$$ \sum \frac{1}{p} \left( 1 - \operatorname{Re} \left( \chi_0(p) f(p)^m \right) \right) < +\infty. $$

Comme la série

$$ \sum \frac{1}{p} \left( 1 - \chi_0(p) f(p)^m \right)^{m_0 h} $$

est convergente, le lemme 4 montre que la série

$$ \sum \frac{1}{p} (1 - \chi_0(p) f(p)^m) $$

converge.

Alors le théorème 4 montre que la fonction $f^m$ possède une valeur moyenne sur $P(k, l)$ quels que soient $k$ et $l$.

**4.6. THÉORÈME 7.** Si, pour un $m_1 \in \mathbb{N}^*$ et un couple $[k_1, l_1]$, la fonction $f^{m_1}$ possède une valeur moyenne non nulle sur $P(k_1, l_1)$, pour tout $m \in \mathbb{N}^*$ la fonction $f^m$ possède une valeur moyenne sur $P(k, l)$ quels que soient $k$ et $l$.

Démonstration. D'après le théorème 5, il existe un caractère $\chi$ modulo $k_1 = k_1/(k_1, l_1)$ tel que la série $\sum \frac{1}{p} (1 - \chi(p)f(p)^{m_1})$ soit convergente.

Alors, d'après le lemme 4, la série

$$ \sum \frac{1}{p} (1 - (\chi(p)f(p)^{m_1})^h), \quad \text{où } h = \varphi(k_1), $$

est convergente, et donc aussi la série

$$ \sum \frac{1}{p} (1 - f(p)^{m_1 h}). $$

Le théorème 6 donne alors la conclusion annoncée.

**4.7. THÉORÈME 8.** $k$ et $l$ étant fixés, s'il existe $h > 0$ multiple de $\varphi(k')$ et $K > 0$ tels que l'on ait

(36) $|\operatorname{Im}(f(p)^h)| \le K(1 - \operatorname{Re}(f(p)^h))$ pour tout $p$ premier, $f$ possède une valeur moyenne sur $P(k, l)^{10}$.

**4.7.1.** En vue de la démonstration de ce théorème, faisons d'abord la remarque suivante:

Soit $g$ une fonction complexe définie sur l'ensemble des nombres premiers et satisfaisant à

$|g(p)| \le 1$ pour tout $p$ premier.

S'il existe un $a$ réel $\ne 0$ tel que

$$ \sum \frac{1}{p} \left( 1 - \operatorname{Re} (g(p) p^{-ia}) \right) < +\infty, $$

<footnote>(10) En fait, il suffirait de supposer que l'on a (36) pour tous les $p$ qui n'appartient pas à un ensemble $E$ tel que $\sum_{p \in E} 1/p < +\infty$.</footnote>
tout nombre complexe de module 1 est adhérent à la suite des nombres $g(p)$. Plus précisément, quel que soit $\theta$ réel et quel que soit $\varepsilon > 0$, on a

$$ \sum_{|\sigma(p)-e^{i\theta}|<\varepsilon} \frac{1}{p} = +\infty. \quad (11) $$

En effet, comme

$$ |g(p)-p^{i\alpha}|^2 = |g(p)p^{-i\alpha}-1|^2 \le 2(1-\operatorname{Re}(g(p)p^{-i\alpha})), $$ 
on a pour tout $\varepsilon > 0$

$$ \sum_{|\sigma(p)-p^{i\alpha}| \ge \varepsilon} \frac{1}{p} < +\infty. $$

Alors, comme $|g(p)-e^{i\theta}| \le |g(p)-p^{i\alpha}|+|p^{i\alpha}-e^{i\theta}|$, on a pour tout $\varepsilon > 0$ et tout $x \ge 2$

$$ \sum_{|\sigma(p)-e^{i\theta}|<\varepsilon} \frac{1}{p} \ge \sum_{|p^{i\alpha}-e^{i\theta}|\le\varepsilon/2} \frac{1}{p} - \sum_{|\sigma(p)-p^{i\alpha}|\ge\varepsilon/2} \frac{1}{p}. $$

Il suffit donc de montrer que, quel que soit $\varepsilon > 0$,

$$ \sum_{|p^{i\alpha}-e^{i\theta}|\le\varepsilon} \frac{1}{p} = +\infty. $$

Comme $|p^{i\alpha}-e^{i\theta}| = |p^{-i\alpha}-e^{-i\theta}|$, on peut raisonner en supposant $\alpha > 0$.

D'autre part, on peut supposer $\varepsilon < 2$, soit $\varepsilon = 2\sin\varphi$, ou $0 < \varphi < \pi/2$.

On a $|p^{i\alpha}-e^{i\theta}| \le \varepsilon$ pour tout $p$ satisfaisant à

$$ (37) \qquad 2m\pi + \theta - 2\varphi < \operatorname{aNlog} p \le 2m\pi + \theta + 2\varphi, \quad \text{avec } m \in \mathbb{N}^*. $$

Or, de ce que l'on a quand $x$ tend vers $+\infty$

$$ \sum_{p \le x} \frac{1}{p} = \log\log x + b + o\left(\frac{1}{\log x}\right), \quad \text{où } b \text{ est une constante,} $$

on déduit aisément que, quand $m$ tend vers $+\infty$, la somme des inverses des $p$ satisfaisant à (37) est équivalente à $\frac{2\varphi}{\pi} \cdot \frac{1}{m}$.

**4.7.2.** Ceci dit, supposons que l'on ait (36) avec $h$ multiple de $\varphi(h')$.

On sait que, si l'on a

$$ \sum \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re}(\chi(p)f(p)p^{-iu})) = +\infty $$

pour tout caractère $\chi$ modulo $k'$ et tout $u$ réel, $f$ possède une valeur moyenne nulle sur $P(k, l)$.

Supposons donc qu'il existe un caractère $\chi_1$ modulo $k'$ et un $a$ réel tels que

$$ \sum \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re}(\chi_1(p)f(p)p^{-i\alpha})) < +\infty. $$

Il résulte du corollaire du lemme 2 que l'on a

$$ \sum \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re}((\chi_1(p)f(p)p^{-i\alpha})^h)) < +\infty, $$ 
et par suite

$$ (38) \qquad \sum \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re}(f(p)^h p^{-i\hbar a})) < +\infty. $$

Comme $e^{i\theta}$ n'est pas adhérent à la suite des nombres $f(p)^h$ si $\theta$ est non nul et assez petit, il résulte de la remarque ci-dessus que l'on a nécessairement $\alpha = 0$.

$$ (38) \text{ se réduit donc à } \sum \frac{1}{p} (1 - \operatorname{Re}(f(p)^h)) < +\infty. $$

Avec (36) ceci montre que la série $\sum \frac{1}{p} (1 - f(p)^h)$ est convergente.

Il résulte alors du théorème 6 que $f$ possède une valeur moyenne sur $P(k, l)$.

Reçu le 27. 2. 1981

(1243)

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<footnote>(11) On a même $\lim_{x \to \infty} (\log\log x)^{-1} \sum_{\substack{p \le x \\ |\sigma(p)-e^{i\theta}| < \varepsilon}} \frac{1}{p} > 0$.</footnote>