Pour les chocs électrons-neutres, les facteurs $K_\epsilon^n$ et $K_\sigma^n$ sont donnés sur la figure 10.1, pour différentes valeurs du rapport $\omega/\nu_{eff}^n$.

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>FIGURE 10.1. Fonctions $K_\epsilon^n$ et $K_\sigma^n$ pour les chocs $e-n$</figcaption></figure>

Pour les chocs électrons-ions, ils sont montrés (fig. 10.2) sur les courbes différentes suivant que les chocs électron-électron sont négligés ou non : les différences deviennent importantes pour les fréquences $\omega \lesssim \nu_{eff}$ (Ginzburg, 1951; Hwa, 1958).

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 10.2. Fonctions $K_\epsilon^i$ et $K_\sigma^i$ pour les chocs $e-i$</figcaption></figure>
$$ \beta \cdot \bar{\bar{S}} = \frac{1}{4} [\alpha \mu_0 H \cdot H^* + \alpha \epsilon_0 E^* \cdot \mathbf{k} \cdot E] e^{-2\gamma t - 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} $$

$$ \beta^* \cdot \bar{\bar{S}} = \frac{1}{4} [\alpha^* \mu_0 H \cdot H^* + \alpha^* \epsilon_0 E \cdot \mathbf{k}^* \cdot E^*] e^{-2\gamma t - 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}. $$

Par addition et soustraction on en déduit

$$ (9.4.7) \qquad (\beta \pm \beta^*) \cdot \bar{\bar{S}} = \frac{1}{4} [ (\alpha \pm \alpha^*) \mu_0 H \cdot H^* \\ \qquad \qquad \qquad + \epsilon_0 E^* \cdot (\alpha \mathbf{k} \pm \alpha^* \mathbf{k}^*) \cdot E ] e^{-2\gamma t - 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}. $$

Dans (9.4.7), $\mathbf{k}$ et $\mathbf{k}^\dagger$ sont évalués pour les valeurs $\alpha$ et $\beta$: avec $\gamma \ll \omega$ et $|\mathbf{x}| \ll |\mathbf{k}|$, on a donc

$$ \mathbf{x}(\beta, \alpha) = \mathbf{x}(\mathbf{k}, \omega) + i\mathbf{x} \cdot \frac{\partial}{\partial \mathbf{k}} \mathbf{x}(\mathbf{k}, \omega) - i\gamma \frac{\partial}{\partial \omega} \mathbf{x}(\mathbf{k}, \omega) $$

et au premier ordre en $\gamma$ et $\chi$ ($\mathbf{x}_a$ étant du premier ordre en $\gamma$ et $\chi$)

$$ (\alpha \mathbf{x} + \alpha^* \mathbf{x}^\dagger)_{\beta, \alpha} = 2\omega \mathbf{x}_h(\mathbf{k}, \omega) $$

$$ (\alpha \mathbf{x} - \alpha^* \mathbf{x}^\dagger)_{\beta, \alpha} = i \left[ 2\omega \mathbf{x}_a - 2\gamma \frac{\partial}{\partial \omega} (\omega \mathbf{x}_h) + \omega 2\chi \cdot \frac{\partial}{\partial \mathbf{k}} \mathbf{x}_h \right]_{\mathbf{k}, \omega} $$

La somme dans (9.4.7) conduit donc à

$$ (9.4.8) \qquad \mathbf{k} \cdot \bar{\bar{S}} = \omega (\bar{\bar{W}}_M + \bar{\bar{W}}_{EP}) $$

où $\bar{\bar{W}}_M$ et $\bar{\bar{W}}_{EP}$ sont déduits, avec (9.4.5), des expressions (5.2.10) et (9.2.4). La relation (9.4.8) est évidemment valable lorsque $\gamma$ ou/et $\chi$ sont nuls, c'est-à-dire pour un plasma sans pertes, et correspond (9.2.3).

En effectuant la différence dans (9.4.7), on a

$$ 2\chi \cdot \bar{\bar{S}} = \left[ -2\gamma (\bar{\bar{W}}_M + \bar{\bar{W}}_e) + \frac{\delta \bar{\bar{W}}_D}{\delta t} + 2\chi \cdot \omega \frac{\epsilon_0}{4} E^* \cdot \left( \frac{\partial}{\partial \mathbf{k}} \mathbf{x}_h \right) \cdot E \right] e^{-2\chi \cdot r} $$

où $\bar{\bar{W}}_e$ et $\frac{\delta \bar{\bar{W}}_D}{\delta t}$ sont définis en (9.3.8) et (9.3.7), le signe $\sim$ se référant au produit scalaire $\chi \cdot \frac{\partial}{\partial \mathbf{k}}$; elle s'écrit

$$ (9.4.9) \qquad -2\chi \cdot (\bar{\bar{S}} + \bar{\bar{T}}) = 2\gamma \bar{\bar{W}}_0 - \frac{\delta \bar{\bar{W}}_D}{\delta t} $$

$\bar{\bar{W}}_0$ et $\frac{\delta \bar{\bar{W}}_D}{\delta t}$ étant définis avec (9.4.5), et en posant

$$ (9.4.10) \qquad \bar{\bar{T}} = -\frac{1}{4} \epsilon_0 \omega E^* \cdot \left[ \frac{\partial}{\partial \mathbf{k}} \mathbf{x}_h(\omega) \right] \cdot E e^{-2\gamma t - 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} $$

vecteur colinéaire à $\frac{\partial}{\partial \mathbf{k}}$, indiqué par le signe $\sim$.
naire. Ces résultats sont donnés graphiquement sur les figures 8.1 à 8.5, qui donnent l'indice N en fonction de ω/ω_b. La comparaison avec la théorie adiabatique, dont les solutions ont été données en (6.5.9) et (6.5.10), est indiquée sur ces figures. On constate, sous réserve de satisfaire à la condition de validité (6.2.4),

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 8.2.
Ondes extraordinaires (k · B₀ = 0; ions immobiles)</figcaption></figure>

— théorie cinétique (Dnestrovskii et Kostomarov, 1961 b)

— — — — — théorie adiabatique

$$
\left(\frac{\omega_o}{\omega_b}\right)^2 = 2,25
$$
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 3.3.
Ondes transversales</figcaption></figure>

$N = i \frac{c}{\omega} \chi$; les champs décroissent en $e^{-\chi}$, avec $\chi = \frac{1}{c}(\omega_0^2 - \omega^2)^{1/2}$. Cette absence de propagation traduit l'effet d'écran que les charges du milieu opposent à la pénétration du champ : en effet, en revenant à la description « charges dans le vide », les charges induites par ce champ correspondent à un courant de polarisation qui, d'après l'équation de mouvement des charges (3.1.5), est en opposition de phase avec le courant de déplacement associé au champ électrique. Aux fréquences $\omega > \omega_0$ c'est ce dernier qui l'emporte : l'onde pénètre dans le milieu et peut s'y propager; pour $\omega = \omega_0$, les deux courants s'équilibrent, mais dès que $\omega < \omega_0$, le courant de polarisation devient prépondérant et masque alors complètement le champ extérieur : on obtient une onde évanescente¹.

Ainsi, un émetteur placé à la surface de la terre ne transmet, à travers l'ionosphère ($f_{p,max} \approx 10$ à 12 mégacycles, vers 300 km), que les ondes pour lesquelles $\omega > \omega_p$, tandis que seront réfléchies celles de fréquence $\omega < \omega_p$ (fig. 3.4). Cette fréquence est donc appelée fréquence de coupure (et correspond à $N = 0$).

En fait, dans l'ionosphère, les phénomènes de collisions binaires (essentiellement les chocs électrons-molécules) ne sont plus négligeables. Nous verrons plus tard, au chapitre 10, comment cette propagation est modifiée (Cf. en particulier fig. 10.3, page 316).

## Courbes de dispersion 3.2.3

Un certain nombre de diagrammes, différents par les coordonnées choisies, sont utilisés. Nous donnerons ici simultanément les courbes de dispersion dans le

1. L'équation (3.2.1), combinée avec les équations de Maxwell donne (pour E et H perpendiculaires à k) :

$$ i\mathbf{k} \times \mathbf{H} = \frac{i}{\mu_0 \omega} \mathbf{k} \times (\mathbf{k} \times \mathbf{E}) = -i\omega\varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{J} = - \underbrace{i\omega\varepsilon_0\mathbf{E}}_{\text{déplac}} + \underbrace{i\varepsilon_0 \frac{\omega^2}{\omega} \mathbf{E}}_{\text{polaris}} $$

$$ \text{soit} \qquad -k^2 \mathbf{E} = -\varepsilon_0 \mu_0 (\omega^2 - \omega_p^2) \mathbf{E}, $$

c'est-à-dire $k^2$ du signe de la différence (courant de déplacement – courant de polarisation).
### 2.2.2.1. DESCRIPTION DIÉLECTRIQUE

Dans un diélectrique isotrope parfait, un effet nouveau apparaît. Sous l'action du champ électrique extérieur, les charges positives et les charges négatives, liées aux atomes, qui primitivement se neutralisaient, sont déplacées respectivement dans le sens du champ et dans le sens opposé : on dit que le milieu s'est polarisé. A cette polarisation est associée le vecteur polarisation par unité de volume, proportionnel à E (description linéaire) :

$$ (2.2.11) \qquad P = \epsilon_0 \xi E, $$

le coefficient $\xi$, caractéristique du milieu, étant la polarisabilité ou susceptibilité électrique. Cette polarisation diminue le champ électrique $E_0$ qui existait dans le vide, en l'absence de charges; ainsi, le champ électrique dans le diélectrique vaut $1$, $\alpha$ étant un coefficient dépendant de la forme du diélectrique,

$$ E = E_0 - \alpha \xi E. $$

La relation entre l'induction et le champ électriques dans le milieu devient alors

$$ (2.2.12) \qquad \begin{aligned} D &= \epsilon_0 E + P, \\ D &= \varepsilon E = \varepsilon_0 (1 + \xi) E \end{aligned} $$

ce qui, puisque $D = \epsilon_0 E_0$ par continuité, définit la constante diélectrique du milieu :

$$ (2.2.13) \qquad \varepsilon = \varepsilon_0 (1 + \xi) $$

Les considérations qui précèdent ne sont valables que dans le cas de champs statiques. Si les champs sont variables dans le temps, les effets d'inertie des charges qui créent la polarisation vont se faire sentir. Cela se traduira par un déphasage entre le champ E et l'induction D dans le milieu; pour un champ $E = \varepsilon \cos \omega t = \mathcal{R}e (\varepsilon e^{-i\omega t})$, on a donc une relation de la forme

1. Cette modification, dans le vide en présence de charges de polarisation $\rho_p$ (les charges induites par le champ E constant) revient à remplacer (2.2.3), qui s'écrit alors

$$ \begin{array}{l@{\quad}l} \text{par} & \nabla \cdot D' = \rho_p \\ & \nabla \cdot D = 0 \qquad D = \varepsilon E \end{array} $$

en posant, pour la densité moyenne de charge de polarisation $\rho_p$

$$ \begin{array}{l} \rho_p = - \nabla \cdot P, \\ \int \rho_p dV = 0, \end{array} $$

l'intégrale étant étendue à un volume limité par une surface partout extérieure au diélectrique. Alors

$$ \begin{array}{l} \nabla \cdot D' = - \nabla \cdot P \quad \text{soit} \quad \nabla \cdot (\varepsilon_0 E + P) = \nabla \cdot [\varepsilon_0 (1 + \xi) E] = 0; \\ \text{d'où (2.2.13).} \end{array} $$
Modes $TE_{np}$

$$ (4.2.16) $$

$$ H_{\parallel} = H_0 e^{ln\varphi} J_n(s_0 r) $$

$$ \text{avec } J'_n(s_0 a) = 0 $$

$$ (\text{où } J'_n(x) = \frac{d}{dx} J_n(x)), \text{ soit} $$

$$ (4.2.17) $$

$$ s_0 = \frac{q'_{np}}{a} $$

où $q'_{np}$ est la $p$-ième racine de $J'_n(x) = 0$.

Numériquement, on a dans l'ordre croissant

$$ q'_{11} = 1,841 ; q_{01} = 2,405 ; q'_{21} = 3,054 ; q_{11} = q'_{1} = 3,832;... $$

La plus basse fréquence de coupure est donc celle du mode $TE_{11}$, puis vient celle du mode $TM_{01}$, etc.

Dans chaque cas, une fois $E_{\parallel}$ ou $H_{\parallel}$ déterminés, les champs transverses seront déduits à l'aide de (4.2.3) et (4.2.4) et éventuellement les densités $\sigma_s$ et $j_s$ par (4.1.25) et (4.1.26).

### Modes TEM

A côté des modes TE et TM, il existe aussi, en général, des modes où $E_{\parallel} = H_{\parallel} = 0$. Cependant de tels modes n'existent qu'en présence de deux conducteurs : ce sera le cas du guide à faces parallèles et du guide coaxial par exemple. Les solutions s'obtiennent à partir de la solution pour le potentiel électrostatique. Nous ne développerons pas ce point (Cf. par ex. Bers, 1963).

## 4.3. Ondes guidées dans un plasma isotrope

Lorsque le milieu est un plasma isotrope, limité par un conducteur métallique, les résultats précédents sont peu modifiés, le changement principal étant en général un déplacement des fréquences de coupure, dû à la présence du plasma. Cependant, un plasma limité, placé dans le vide ou dans un diélectrique, comme par exemple une colonne de plasma contenue dans un tube de verre, peut se comporter de façon notablement différente, des ondes pouvant se propager dans le milieu extérieur. Nous é. dierons successivement ces deux cas après avoir défini les fréquences de coupure.

### Équations générales. Fréquences de coupure 4.3.1

Pour le plasma isotrope, on a

$$ (4.3.1) \qquad \kappa = \kappa^0 \mathbf{1}, \qquad \kappa^0 = 1 - \frac{\omega_0^2}{\omega^2} $$

d'où, d'après (4.1.15) et (4.1.11),

$$ \nabla_{\perp} \cdot \mathbf{E}_{\perp} = -i\alpha E_{\parallel} ; \quad \nabla_{\perp} \times (\kappa_{\perp} \cdot \mathbf{E}_{\perp}) = \kappa^0 \nabla_{\perp} \times \mathbf{E}_{\perp} = i\omega\mu_0 H_{\parallel} $$
En propagation oblique, cela n'est plus vrai et $\bar{S}$ et $k$ ne sont plus colinéaires. Comme en optique cristalline, pour une onde plane définie par $k$ et par un indice $N = \overline{ON}$ (où $N$ est l'intersection de $k$ avec la surface des indices (fig. 5.3), la direction de $\bar{S}$ (qui est celle du rayon lumineux) est perpendiculaire au plan tangent en $N$ à la surface des indices.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 5.2. Rayons et surfaces d'ondes</figcaption></figure>

En effet, le plan d'onde (P) à l'instant $t$ est l'enveloppe des différentes surfaces d'onde élémentaires $\Sigma, \Sigma', \Sigma''...$ émises par les différents points O, O', O''... du plan d'onde ($P_0$) à l'instant $t_0$, ces différents points étant considérés comme des sources synchrones (Principe d'Huyghens). Soient $R, R', R''...$ les points de contact de ces surfaces $\Sigma, \Sigma', \Sigma''...$ avec le plan d'onde (P). La distance OH entre les deux plans ($P_0$ et P) est telle que
$$OH = v_{\varphi} (t - t_0), \text{ où } v_{\varphi} = \frac{\omega}{k} \text{ est la vitesse de phase, mesurée suivant la normale } k \text{ au plan d'onde (vitesse normale). Or, d'après le principe de Fermat, le rayon arrivant en R est celui qui correspond à la durée de trajet minimum, c'est-à-dire au trajet OR : l'énergie qui parvient en R provient donc du point O, centre de la surface d'onde $\Sigma$, tangente en R au plan d'onde (P). Pour une durée de trajet égale à l'unité, on a}$$

$$OH = v_{\varphi} = \frac{c}{N}.$$

Si $N'$ est le point de surface des indices correspondant au plan d'onde ($P_0$), $ON' = N$; on a donc $OH \cdot ON' = c$ : le plan (P), tangent en R à $\Sigma$, est donc le plan polaire du point $N'$ par rapport à la sphère ($\sigma_0$) de centre O et de rayon $\sqrt{c}$. Inversement, le point R est le pôle du plan tangent à la surface des indices en $N'$ : la direction OR du rayon est donc bien perpendiculaire à ce plan tangent. (Nous établirons cette propriété au § 5.9.3.)

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 5.3. Orientation de $\bar{S}$ relativement à la surface des indices</figcaption></figure>
Alors, la fonction $\Phi^+$, régulière dans tout le demi-plan supérieur, a, dans le demi-plan inférieur (où $\Phi^-$ est régulière), les mêmes pôles que $h(u)$. Donc si $g(k, w)$ et $\partial\varphi/\partial w_3$ sont des fonctions entières de $w$, $h(v)$ le sera aussi, et en particulier $h(u)$ : il en résulte que, d'une part, le numérateur et, d'autre part, le dénominateur de (7.3.5) n'ont pas de pôles. Les seuls pôles de $E(k, \omega)$ sont alors les zéros du dénominateur, c'est-à-dire ceux définis par

$$ (7.3.9) \qquad 1 - \sum_s \frac{\omega_{ps}^2}{k^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial \bar{\varphi}_s / \partial w_3}{w_3 - \frac{\omega}{k}} dw_3 = 0 $$

où, pour toute fonction $\varphi(w^2)$, on a défini

$$ (7.3.10) \qquad \bar{\varphi}(w_3^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(w^2) dw_1 dw_2 $$

en sommant sur les vitesses $w_1$ et $w_2$ perpendiculaires à $k$.

Lorsque $g(k, \omega)$ présente des pôles, leurs contributions conduisent à des modes d'oscillations qui ne sont autre chose que les modes de particules libres, dépendant essentiellement des conditions initiales : ce sont les modes normaux, rencontrés lors de l'étude du modèle multifaisceau. Pour certaines « préparations » initiales, ces pôles sont situés sur l'axe réel : on obtient ainsi des oscillations non amorties, qui correspondent, nous allons le voir plus loin, aux modes associés aux particules résonnantes, c'est-à-dire aux modes associés aux *particules piégées*.

L'équation (7.3.9) est valable pour $Im\omega > 0$, et doit être remplacée, pour $Im\omega \le 0$, par les expressions obtenues en effectuant le prolongement analytique de l'intégrale, conformément à (7.3.7). Quelle que soit la valeur de $Im\omega$, la relation (7.3.9) définit des fréquences $\omega = \omega(k)$, indépendantes des conditions initiales, qui représentent donc les modes propres longitudinales : (7.3.9) est donc l'équation de dispersion des ondes longitudinales. Ces ondes propres intéressent, à travers le champ $E$ satisfaisant à l'équation de Poisson, un grand nombre de particules et sont donc des modes collectifs.

L'équation (7.3.9) correspond à l'équation générale $\kappa_{//} = 0$; on en déduit la constante diélectrique longitudinale du milieu<fnref n="1" />

$$ (7.3.11) \qquad \kappa_{//}(k, \omega) = 1 - \sum_s \frac{\omega_{ps}^2}{k^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial \bar{\varphi}_s(v)}{v - \omega/k} dv. $$

<footnote n="1">1. L'expression (7.3.11) résulte en fait de ce que (7.3.9) définit des modes propres, indépendants des conditions initiales : l'équation (7.3.5), de la forme $\mathcal{A}E = \mathcal{B}$, correspond à $ik \cdot D = \rho_{ext}$, le terme de conditions initiales étant équivalent à un terme source, densité de charge extérieure (Cf. Shafranov, 1963). L'équation (7.3.5), sans excitation extérieure, s'écrit donc $ik\epsilon_0\chi E = 0$, d'où (7.3.11).</footnote>
TABLE

<table><tbody><tr><td>3.5.1. Ondes principales en propagation parallèle</td><td>83</td></tr><tr><td>3.5.1.1. En haute fréquence</td><td>86</td></tr><tr><td>3.5.1.2. Effet Zeeman</td><td>86</td></tr><tr><td>3.5.1.3. Mode sifflement</td><td>87</td></tr><tr><td>3.5.1.4. En très basse fréquence : ondes d'Alfvén</td><td>87</td></tr><tr><td>3.5.2. Indices de groupe des modes droit et gauche</td><td>91</td></tr><tr><td>3.5.3. Effet Faraday</td><td>92</td></tr><tr><td>3.5.4. Ondes principales en propagation perpendiculaire</td><td>94</td></tr><tr><td>3.5.4.1. Onde ordinaire</td><td>94</td></tr><tr><td>3.5.4.2. Onde extraordinaire</td><td>95</td></tr><tr><td>3.5.5. Effet Cotton-Mouton</td><td>97</td></tr><tr><td>3.5.6. Indices de groupe des modes ordinaire et extraordinaire</td><td>97</td></tr><tr><td>3.6. Courbes de dispersion en propagations parallèle et perpendiculaire</td><td>98</td></tr><tr><td>3.7. Propagation oblique relativement au champ magnétique extérieur. Diagramme CMA</td><td>104</td></tr><tr><td>3.7.1. Courbes limites</td><td>106</td></tr><tr><td>3.7.1.1. Propagation parallèle</td><td>106</td></tr><tr><td>3.7.1.2. Propagation perpendiculaire</td><td>108</td></tr><tr><td>3.7.2. Diagramme CMA</td><td>109</td></tr><tr><td>3.7.3. Identification des modes</td><td>111</td></tr><tr><td>3.8. Propagation en très haute fréquence</td><td>114</td></tr><tr><td>3.8.1. Équation d'Appleton-Hartree</td><td>114</td></tr><tr><td>3.8.2. Diagramme CMA en haute fréquence</td><td>116</td></tr><tr><td>3.8.3. Approximations quasi parallèle et quasi perpendiculaire</td><td>117</td></tr><tr><td>3.8.3.1. Propagation quasi perpendiculaire</td><td>117</td></tr><tr><td>3.8.3.2. Propagation quasi parallèle</td><td>121</td></tr><tr><td>3.8.4. Courbes de dispersion des ondes de haute fréquence en propagation oblique, en fonction de la densité</td><td>123</td></tr><tr><td>3.9. Propagation en très basse fréquence : ondes magnétohydrodynamiques</td><td>126</td></tr><tr><td>3.10. Caractéristiques de la propagation dans un plasma à plusieurs composants ioniques</td><td>129</td></tr></tbody></table>

IV. ONDES DANS LES MAGNÉTOPLASMAS FROIDS, HOMOGÈNES ET LIMITÉS

<table><tbody><tr><td>4.1. Équations générales : séparation des composantes parallèles et perpendiculaires. Conditions aux limites</td><td>134</td></tr><tr><td>4.2. Ondes guidées dans le vide</td><td>136</td></tr><tr><td>4.3. Ondes guidées dans un plasma isotrope</td><td>140</td></tr><tr><td>4.3.1. Équations générales. Fréquences de coupure</td><td>140</td></tr></tbody></table>
$$ (1.4.6) \qquad \lambda_D \ll L \ ; \quad \omega_p \gg v \ ; \quad n_e \approx n_i $$
sont satisfaites.

Le concept de longueur de Debye contient implicitement l'hypothèse suivante : il y a beaucoup de particules à l'intérieur d'une sphère de Debye; dans le cas contraire, l'effet d'écran ne pourrait pas s'établir. Cette condition s'écrit

$$ (1.4.7) \qquad \mathcal{N}_D = \frac{4\pi}{3} \lambda_D^3 n_e \gg 1 $$

qui signifie que l'énergie thermique $KT_e$ est bien supérieure à l'énergie potentielle $q_e^2/4\pi\epsilon_0 d$ entre deux particules (distantes en moyenne de $d \sim n_e^{-1/3}$) ce qui assure la non-recombinaison des charges; on a, en effet

$$ \frac{KT_e}{q_e^2 n_e^{1/3}} = \lambda_D^2 n_e^{2/3} \sim \mathcal{N}_D^{2/3} \gg 1. $$

L'inverse du nombre $\mathcal{N}_D$,
(1.4.8)

$$ \Gamma = \mathcal{N}_D^{-1} \ll 1 $$

apparaîtra dans la suite comme un paramètre de développement des équations cinétiques. On a :

$$ \Gamma \sim (d/\lambda_D)^3. $$

## 5. Collisions

Revenons sur la description des interactions abordée au § 1.3. Du point de vue microscopique, ces mécanismes se traduisent par des phénomènes d'importance majeure. Une première catégorie est celle des *collisions inélastiques* (où l'état interne de la particule est modifié) correspondant aux processus d'ionisation, d'excitation, de dissociation, d'échange de charge, etc. Ces processus sont du domaine de la physique atomique et concernent surtout la formation et l'entretien du plasma.

Les effets des *collisions élastiques* (au cours desquelles les particules gardent leur autonomie) se traduisent macroscopiquement par des phénomènes de diffusion, de transfert de quantité de mouvement et d'énergie. C'est de cette deuxième catégorie dont nous allons brièvement discuter ici; nous y reviendrons au chap. 10.

La description macroscopique qui sera donnée au § suivant et qui concerne un fluide d'électrons et un fluide d'ions en interaction électrostatique n'est valable que pour des gaz très fortement ionisés. Dans le cas des gaz partiellement ionisés, les particules neutres constituent un fluide supplémentaire, couplé aux deux fluides précédents par des collisions binaires.
$$
(6.4.1) \qquad \chi \cdot \Phi_{s1} = \frac{KT_s}{m_s} [\chi^2 \mathbf{J}_{s1} + 2 (\chi \cdot \mathbf{J}_{s1}) \chi].
$$

Prenons (ce qui ne restreint pas la généralité) Oz suivant k : on a alors, avec
χ = (0, 0, χ) et

$$
\tau_s = \frac{KT_s}{m_s} \chi^2
$$

$$
(6.4.2) \quad \chi \cdot \Phi_{s1} = \tau_s \mathcal{A} \cdot \mathbf{J}_{s1} \quad \text{où} \quad \mathcal{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
$$

La relation (6.4.2) montre bien que les termes correctifs introduits par (6.3.3 c)
sont d'ordre 1 en $\tau_s$, comme ceux introduits par l'hypothèse de pression scalaire
[Cf. (6.4.7)].

En portant (6.4.2) dans (6.3.3 b), on obtient (en supprimant les indices 1
pour les quantités perturbées)

$$
(1 - \tau_s \mathcal{A}) \cdot \mathbf{J}_s = i\omega \epsilon_0 p_s^2 \mathcal{E}
$$

qui s'écrit, au premier ordre en $\tau_s$, avec $(1 - \tau_s \mathcal{A})^{-1} \# (1 + \tau_s \mathcal{A})$

$$
(6.4.3) \qquad \mathbf{J}_s = i\omega \epsilon_0 p_s^2 (\mathbf{1} + \tau_s \mathcal{A}) \cdot \mathbf{E}
$$

ce qui définit $\boldsymbol{\sigma}_s$. D'où, d'après (2.3.19), le tenseur diélectrique $\boldsymbol{\kappa}$

$$
(6.4.4) \qquad \boldsymbol{\kappa} = \begin{pmatrix} \kappa_{\perp} & 0 & 0 \\ 0 & \kappa_{\perp} & 0 \\ 0 & 0 & \kappa_{\parallel} \end{pmatrix}
$$

où

$$
(6.4.5) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\kappa_{\perp} = 1 - \sum_s \frac{\omega_p p_s^2}{\omega^2} (1 + \tau_s) \\[1em]
\kappa_{\parallel} = 1 - \sum_s \frac{\omega_p p_s^2}{\omega^2} (1 + 3\tau_s).
\end{array}
\right.
$$

Ce résultat montre que les plasmas chauds ont un tenseur diélectrique $\epsilon = \epsilon_0 \kappa$,
non seulement fonction de $\omega$ comme dans le cas des plasmas froids, mais aussi de
$k$ (à travers $\tau_s$), ce qui conduira à un phénomène de dispersion à la fois temporelle
et spatiale. Bien entendu, dans la limite des très grandes longueurs d'onde ($k \to 0$),
les corrections de température disparaîtront, les déplacements thermiques des
charges devenant négligeables pour une onde de longueur d'onde infinie : on se
retrouve alors dans le cas des plasmas froids : en particulier, on retrouvera les
mêmes fréquences de coupures ($N \to 0$); ces fréquences de coupure, indépendantes
de la température associée au modèle choisi pour décrire le milieu, et indépendantes
de l'angle de propagation, relativement au champ magnétique extérieur, constituent
donc des « constantes absolues » de la propagation.

Comparons le résultat (6.4.5) à celui donné par la théorie adiabatique à
$\mathbb{R}^{-1}$ étant un opérateur matriciel $3 \times 3$, inverse de l'opérateur $\mathbb{R}$, et qui comporte
done le facteur (déterminant) $\mathbb{R}^{-1}$.

$\mathcal{D}\mathcal{E}\mathcal{R} = 0$ est l'équation de dispersion du milieu considéré,

U $\delta(\mathcal{D}\mathcal{E}\mathcal{R})$ est la solution générale de l'équation sans second membre (elle
concerne les ondes propres se propageant en l'absence de courant dans l'émetteur).

Mais dans les cas où la propagation est permise (indices $N_1$, définis par la
relation de dispersion, réels) sans amortissement, on s'aperçoit qu'on ne peut pas
définir $E(r, t)$ par la transformation réciproque

$$
(A-4.2) \qquad E(\mathbf{r}, t) = \int_{\text{espace des } \mathbf{k}} E(\mathbf{k}, \omega) e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} d^3\mathbf{k}
$$

de la transformation de Fourier

$$
(A-4.3) \qquad E(\mathbf{k}, \omega) = \frac{1}{8\pi^3} \int_{\text{espace réel}} E(\mathbf{r}, t) e^{-i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} d^3\mathbf{r}.
$$

En effet, le second membre de la relation (A-1.1) admet des pôles dans le domaine
d'intégration.

Cela ne signifie pas véritablement que la transformation formelle des équations de Maxwell soit illicite, mais plutôt que l'on a négligé une partie du rayonnement, la partie transitoire, en ne considérant que le régime permanent.

C'est pourquoi nous devons reconsidérer le problème. Nous verrons alors que :

— la séparation du régime permanent du régime transitoire conduit à une
modification de la transformation de Fourier ;

— cette nouvelle définition de la véritable transformation, qui nous permet
de calculer directement les valeurs permanentes, constitue la condition de
rayonnement ou condition de causalité.

L'émetteur 4.1

— Il est court. Tous ses points sont en phase.

— La linéarité des équations de Maxwell et de la décomposition, en somme d'un terme permanent et d'un terme non permanent, nous permet, après décomposition en série de Fourier, de ramener le problème à une variation temporelle sinusoïdale pour l'étude générale.

— L’instant d’allumage est pris pour instant initial.

Le courant supposé connu qui le parcourt est donc de la forme

$$
J(\mathbf{r}, t) = I_0 Y(t) \sin \omega t \zeta(\mathbf{r})
$$

$I_0$, amplitude du courant

Y(t), fonction de Heaviside

$\zeta(r)$, facteur d'espace que nous prendrons par la suite égal à $\delta(r)$ (distribution de Dirac), ce qui simplifie les calculs sans en restreindre la généralité.
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D'autres formes ont été données, en particulier dans le cas $B_0 \neq 0$ (Heald et Wharton, 1965).

On constate sur ces courbes l'équivalence entre $v_{eff}$ et $v_c$ dans la région des hautes fréquences $\omega \gg v_{eff}$, ce qui se traduit par $K_z \to 1$ et $K_\sigma \to 1$ quand $\omega \to \infty$.

On définira la fréquence effective totale de choc comme la somme

$$v_{eff}^{(tot)} = v_{eff}^{n} + v_{eff}^{l}$$

le calcul de la conductivité faisant intervenir $v_{eff}^n$ et $v_{eff}^l$ de la même façon.

## 10.3. Modifications apportées par les collisions à la propagation dans les plasmas froids

Dans tout ce qui suit, $v$ désignera la fréquence effective totale $v_{eff}^{(tot)}$ définie au paragraphe précédent. Nous nous limiterons aux plasmas froids. Rappelons que toutes les expressions obtenues pour $v=0$ s'appliquent au cas $v \neq 0$ en changeant $m_e$ en $m_e(1 + i\frac{\nu}{\omega})$.

Cas $B_0 = 0$ 10.3.1

— Pour l'oscillation de plasma électronique, définie par $\omega^0 = 0$, on a montré, au § 9.1, que $Re\omega = \omega_0$ et $Im\omega = -\frac{\nu}{2}$, dans la limite, supposée toujours satisfaite, $\nu \ll \omega_0$.

— Pour l'oscillation basse fréquence, l'étude des ondes dans un plasma constitué de neutres, ions et électrons, tenant compte des collisions sur les trois espèces de particules, montre que dans un certain domaine de fréquence, l'oscillation ionique est moins amortie que l'onde sonore ordinaire (Sessler, 1964).

— Pour l'onde électromagnétique transversale, $N^2 = \omega^0$, aux hautes fréquences $\omega \gg \nu$, on a, d'après (2.2.35) et (10.2.8)

$$N_1^2 = \frac{1}{2} \left[ \sqrt{ \left(1 - \frac{X}{1+Z^2}\right)^2 + \left(\frac{ZX}{1+Z^2}\right)^2 } + 1 - \frac{X}{1+Z^2} \right]$$

et une expression analogue pour $N_2^2$; d'où

$$ (10.3.1) \quad \left\{ \begin{array}{l} N_1^2 = \frac{1}{2} \left[ \sqrt{\frac{(1-X)^2+Z^2}{1+Z^2} + 1 - \frac{X}{1+Z^2}} \right] \\ N_2^2 = \frac{1}{2} \left[ \sqrt{\frac{(1-X)^2+Z^2}{1+Z^2} - \left(1 - \frac{X}{1+Z^2}\right)} \right] \end{array} \right. $$

$$ \text{où} \quad X = (\omega_p/\omega)^2, \quad Z = (\nu/\omega) $$

(les indices 1 et 2 indiquent toujours les parties réelle et imaginaire des quantités complexes considérées).
L'équation (9.4.9) exprime le théorème de Poynting dans le cas des ondes complexes, pour les moyennes dans le temps et dans l'espace, d'après (9.4.2.),

$$ (9.4.11) \qquad \frac{\partial}{\partial \mathbf{r}} \cdot (\bar{\mathbf{S}} + \bar{\mathbf{T}}) + \frac{\partial}{\partial t} \bar{\mathbf{W}}_0 = - \frac{\overline{\delta \mathbf{W}_D}}{\delta t}. $$

Dans (9.4.9) et (9.4.11), le vecteur $\bar{\mathbf{T}}$ apparaît comme un flux supplémentaire d'énergie, qui existera chaque fois que le milieu sera spatialement dispersif ($\mathbf{x}$ fonction de $\mathbf{k}$).

Pour un mode propre ($\beta = \mathbf{k}$ réel, $\chi = 0$), (9.4.9) définit l'amortissement de l'onde (en $e^{-2\gamma t}$) [Cf. (9.3.13)]

$$ (9.4.12) \qquad \gamma = \frac{1}{2} \frac{\overline{\delta \mathbf{W}_D}}{\delta t} \Big/ \overline{\mathbf{W}_0} = \frac{\epsilon_0 E^* \cdot \omega \mathbf{\kappa}_a(\omega) \cdot \mathbf{E}}{\mu_0 \mathbf{H} \cdot \mathbf{H}^* + \epsilon_0 E^* \cdot \frac{\partial}{\partial \omega} [\omega \mathbf{\kappa}_a(\omega)] \cdot \mathbf{E}}. $$

Pour une onde qui décroît en se propageant ($\alpha = \omega$ réelle, $\gamma = 0$), (9.4.9) définit l'inverse $\chi$ de la longueur d'atténuation (dans la direction du flux d'énergie)

$$ (9.4.13) \qquad \mathbf{x} \cdot (\bar{\mathbf{S}} + \bar{\mathbf{T}}) = \chi |\bar{\mathbf{S}} + \bar{\mathbf{T}}| = \frac{1}{2} \frac{\overline{\delta \mathbf{W}_D}}{\delta t}. $$

Au chapitre 2, nous avons montré (Cf. (2.2.41) que le module la vitesse de groupe était égal au rapport $\gamma/\chi$

$$ |v_g| = \frac{|\bar{\mathbf{S}} + \bar{\mathbf{T}}|}{\overline{\mathbf{W}_0}} $$

et s'identifie donc avec la vitesse de propagation de l'énergie. Nous allons montrer cette propriété d'une manière plus précise au § suivant.

## 9.5. Vitesse de groupe dans un milieu sans pertes [$\mathbf{x}_a(\omega) = 0$]

Pour un milieu sans pertes ($\mathbf{k}$ et $\omega$ réels), on a, d'après (9.4.8)

$$ (9.5.1) \qquad \mathbf{k} \cdot \bar{\mathbf{S}} = \omega (\overline{\mathbf{W}_M} + \overline{\mathbf{W}_{EP}}). $$

A partir de ce mode ($\mathbf{k}, \omega$), effectuons une variation pour passer à un mode propre voisin $\mathbf{k} + \delta\mathbf{k}, \omega + \delta\omega$ (avec $\mathbf{E} + \delta\mathbf{E}, \mathbf{H} + \delta\mathbf{H}$), le milieu étant alors caractérisé par

$$ (9.5.2) \qquad \mathbf{x} (\mathbf{k} + \delta\mathbf{k}, \omega + \delta\omega) = \left( 1 + \delta\mathbf{k} \cdot \frac{\partial}{\partial\mathbf{k}} + \gamma \frac{\partial}{\partial\omega} \right) \mathbf{x} (\mathbf{k}, \omega). $$

Par variation de (9.5.1), il vient

$$ (9.5.3) \qquad \delta\mathbf{k} \cdot \bar{\mathbf{S}} + \mathbf{k} \cdot \delta\bar{\mathbf{S}} = \delta\omega (\overline{\mathbf{W}_M} + \overline{\mathbf{W}_{EP}}) + \omega (\delta\overline{\mathbf{W}_M} + \delta\overline{\mathbf{W}_{EP}}). $$
<figure><img src="image_5.png" /></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 8.3.</figcaption></figure>

Ondes extraordinaires ($k \cdot B_0 = 0$; ions immobiles)

— théorie cinétique (Dnestrovskii et Kostomarov, 1961 b)

— — — — — théorie adiabatique

$$ \left(\frac{\omega_o}{\omega_b}\right)^2 = 17,6 $$
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 3.4.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 3.5.
Courbes de dispersion des ondes transversales
($B_0 = 0$)</figcaption></figure>

plan $(k, \omega)$ (Diagramme de Brillouin) et dans le plan $(x = \frac{\omega_0^2}{\omega^2}, N^2)$. Dans cette seconde représentation, on peut indifféremment considérer la variable $x$ comme fonction de la fréquence (la densité $\omega_0$ étant alors un paramètre fixé), ou comme fonction de la densité (pour une fréquence donnée); ce dernier choix est bien adapté aux problèmes de la propagation dans l'ionosphère (Cf. § 3.8).

### Vitesse de groupe 3.2.4

D'après (3.2.14), on a :

$$ \omega = (\omega_p^2 + k^2c^2)^{1/2} $$

d'où la vitesse de groupe (Cf. chap. 5) $v_g = \partial\omega/\partial k$, colinéaire à $k$, de module

$$ v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} = (\omega_p^2 + k^2c^2)^{-1/2} kc^2 = \frac{kc^2}{\omega} $$
<figure><img src="image_4.png" /></figure>
qui, portées dans (4.1.17) et (4.1.18), montrent que $E_{\parallel}$ et $H_{\parallel}$ sont encore découplés et vérifient l'équation

$$ (4.3.2) \qquad (\nabla_{\perp}^2 + s^2) F_{\parallel} = 0, \qquad F_{\parallel} = E_{\parallel} \text{ ou } H_{\parallel} $$

avec

$$ (4.3.3) \qquad s^2 = \frac{\omega^2}{c^2} x^0 - \alpha^2. $$

On aura donc des modes TE et TM. En coordonnées cartésiennes, pour des modes en $e^{\pm ik_x x} \pm ik_y y$, on a $-\nabla_{\perp}^2 = k_{\perp}$ (où $k_{\perp} = (k_x, k_y, 0)$) et l'équation (4.3.2) exige, pour avoir des solutions $F_{\parallel}$ non nulles, que

$$ -k_{\perp}^2 + s^2 = 0 $$

c'est-à-dire, avec $\alpha = k_{\parallel}$

$$ k_{\perp}^2 = k_{\perp}^2 + k_{\parallel}^2 = \frac{\omega^2}{c^2} x^0 = \frac{\omega^2 - \omega_0^2}{c^2} $$

$$ \omega^2 = \omega_0^2 + k_{\parallel}^2 c^2 $$

on retrouve naturellement l'équation de dispersion (3.2.13 et 3.2.14) en milieu illimité.

Les composantes des champs transverses seront données par (4.1.19) et (4.1.21)

$$ (4.3.4) \qquad E_{\perp} = \frac{i\alpha}{s^2} \nabla_{\perp} E_{\parallel} + \frac{i\omega\mu_0}{s^2} \nabla_{\perp} \times H_{\parallel} $$

$$ (4.3.5) \qquad H_{\perp} = \frac{i\alpha}{s^2} \nabla_{\perp} H_{\parallel} - \frac{i\omega\epsilon_0}{s^2} \nabla_{\perp} \times E_{\parallel} $$

les valeurs de $s$ étant déterminées par les conditions aux limites. On obtiendra une suite de valeurs propres $l_{np}$. Alors, d'après (4.3.3), les fréquences de coupure seront définies par

$$ \frac{\omega^2}{c^2} x^0 = l_{np}^2 $$

c'est-à-dire

$$ (4.3.6) \qquad \omega_c^{(np)} = (\omega_0^2 + l_{np}^2 c^2)^{1/2} $$

et l'équation de dispersion s'écrit

$$ (4.3.7) \qquad \omega^2 = \omega_c^{(np)} + \alpha^2 c^2 $$

ou encore, pour $N_{\parallel} = \alpha c / \omega$

$$ (4.3.8) \qquad N_{\parallel} = 1 - \left( \frac{\omega_c^{(np)}}{\omega_0} \right)^2 x, \qquad x = \frac{\omega_0^2}{\omega^2} $$

On aura une suite infinie de modes
Ainsi, pour déterminer les différents modes qui contribuent à l'énergie reçue en un point P, dans une direction $\zeta$ donnée, on déterminera les différents $k_\zeta$, correspondant aux points de la surface des indices où les normales sont parallèles à $\zeta$ (fig. 5.4). Cette règle sera précisée au § 5.6.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 5.4. Modes contribuant au champ en P</figcaption></figure>

Du fait de cette propriété, la surface des indices étant de révolution autour de $B_0$, le vecteur $\bar{S}$, normal au plan tangent à cette surface, est dans le plan méridien passant par $k : \bar{S}$ est dans le plan ($k, B_0$). De plus, l'angle $\Psi' = (k, \bar{S})$ dépend de l'angle $\theta$ (à travers la valeur $N = N(\theta)$); on a en effet (fig. 5.5)

$$ (5.3.5) \qquad \operatorname{tg}\Psi' = \frac{dN}{Nd\theta} = \frac{1}{2N^2} \frac{d}{d\theta} N^2. $$

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 5.5. Angle du rayon et du vecteur d'onde</figcaption></figure>

On peut appliquer (5.3.5) à l'expression (3.8.8) d'Appleton-Hartree pour $N^2$

$$ N_{\pm}^2 = 1 - \frac{X}{U - T \pm \Delta'} $$

où, rappelons-le,

$$ X = \frac{\omega_p^2}{\omega^2}, \quad Y = \frac{\omega_b}{\omega}, \quad U = 1 + i \frac{\nu}{\omega}, \quad T = \frac{Y^2 \sin^2 \theta}{2(U-X)} \quad \text{et} \quad \Delta = (T^2 + Y^2 \cos^2 \theta)^{1/2}. $$
Remarquons que pour $k$ réel, il ne peut exister de solution à $\omega$ réelle (Cf. la détermination (7.3.7)) que si

$$ (7.3.12) \qquad \sum_s \omega_{ps}^2 \left( \frac{\partial \varphi_s}{\partial v} \right)_{v=\frac{\omega}{k}} = 0 $$

ce qui implique au moins deux espèces de particules, et des distributions dont les « températures » sont suffisamment écartées : nous verrons que pour $T_e$ » $T_i$, il existe une solution très faiblement amortie, l'onde acoustique ionique.

## 7.4. Modes de Van Kampen. Modes de particules piégées. Domaine de validité de la théorie de Landau

Van Kampen (1955) a utilisé la fonction $\delta$ de Dirac pour résoudre l'équation (7.1.2); la division par le terme $(\omega - k \cdot w)$ exige en effet d'écrire, au lieu de (7.1.3), la solution sous la forme suivante

$$ (7.4.1) \qquad f_1 = \frac{q}{im} E \cdot \frac{\partial f_0}{\partial w} \left[ \mathcal{R} \left( \frac{1}{\omega - k \cdot w} \right) + C \delta(\omega - k \cdot w) \right] $$

où C est une constante qui sera déterminée en portant (7.4.1) dans l'équation de Poisson.

La présence de ce terme en $\delta(\omega - k \cdot w)$ ne correspond pas à un raffinement mathématique, mais à l'existence d'un mode de particules libres, se déplaçant avec la vitesse de phase de l'onde : ce terme traduit donc la présence d'un faisceau de particules « piégées » dans l'onde, dont les vitesses sont contenues dans une bande très étroite autour de $v_\varphi$ (Bohm et Gross, 1949).

A partir de (7.4.1), Van Kampen a montré qu'il n'existait plus d'équation de dispersion, à cause du terme en $\delta(\omega - k \cdot w)$ et il a trouvé une infinité de modes possibles, non amortis. Ces modes de Van Kampen constituent une base complète sur laquelle on peut développer toute perturbation de faible amplitude. L'évolution d'une perturbation initiale, sous forme d'un paquet d'ondes de Van Kampen, se fait en accord avec l'amortissement Landau, qui apparaît ici encore comme résultat d'un mélange de phase entre les modes constituant le paquet d'ondes (Cf. § 7.2).

Enfin, Jackson (1960) a montré qu'un mode de Van Kampen, pris isolément comme condition initiale du problème de Landau, conduisait, à travers une singularité du numérateur de (7.3.5) liée à la présence de la fonction $\delta$, à une oscillation non amortie, du type mode de faisceau.

Jusqu'à présent, l'existence physique des modes de particules libres non amortis, qui s'identifient aux modes de Van Kampen, a été considérée comme très improbable, en raison de la difficulté d'exciter isolément un tel mode. Pourtant, une telle excitation peut avoir lieu lorsqu'une onde de grande amplitude traverse le plasma; les interactions entre le champ et les particules résonnantes sont très
TABLE

<table><tbody><tr><td>4.3.2. Plasma isotrope limité par des conducteurs parfaits.</td><td>14</td></tr><tr><td>4.3.3. Plasma isotrope limité par un diélectrique (ou par le vide).</td><td>14</td></tr><tr><td>4.3.3.1. Modes rayonnants</td><td>14</td></tr><tr><td>4.3.3.2. Modes non rayonnants. Ondes de surface</td><td>14</td></tr><tr><td>4.4. Ondes guidées dans un plasma plongé dans un champ magnétique axial infini.</td><td>14</td></tr><tr><td>4.4.1. Plasma limité par des conducteurs parfaits</td><td>14</td></tr><tr><td>4.4.2. Plasma plongé dans le vide (ou dans un diélectrique isotrope).</td><td>14</td></tr><tr><td>4.5. Ondes dans un magnétoplasma homogène, emplissant entièrement un guide (B<sub>0</sub> axial).</td><td>151</td></tr><tr><td>4.5.1. Équations générales</td><td>151</td></tr><tr><td>4.5.2. Fréquences de coupures.</td><td>154</td></tr><tr><td>4.5.3. Fréquences de résonance</td><td>156</td></tr><tr><td>4.5.3.1. Résonance plasma</td><td>157</td></tr><tr><td>4.5.3.2. Résonances gyromagnétiques.</td><td>158</td></tr><tr><td>4.5.3.3. Résonances d'une lame de plasma, limité par des conducteurs parfaits</td><td>160</td></tr><tr><td>4.5.4. Limite des très hautes fréquences.</td><td>161</td></tr><tr><td>4.5.5. Limite des très basses fréquences.</td><td>161</td></tr><tr><td>4.5.6. Allure des courbes de dispersion.</td><td>163</td></tr><tr><td>4.6. Ondes dans un guide partiellement empli de plasma</td><td>165</td></tr><tr><td>4.6.1. Plasma isotrope.</td><td>165</td></tr></tbody></table>

V. TRANSFERTS D'ÉNERGIE DANS LES MAGNÉTOPLASMAS FROID S HOMOGÈNES.
RAYONNEMENT D'UNE SOURCE.
RAYONS DANS LES PLASMAS FAIBLEMENT INHOMOGÈNES

<table><tbody><tr><td>5.1. Densité et flux d'énergie instantanés dans un plasma froid</td><td>170</td></tr><tr><td>5.2. Valeurs moyennes dans le temps</td><td>172</td></tr><tr><td>5.3. Ondes réelles (ω et k réels). Caractéristiques géométriques de la propagation</td><td>174</td></tr><tr><td>5.4. Vitesse de groupe</td><td>179</td></tr><tr><td>5.5. Ondes complexes [ω (ou k) complexe, k (ou ω) réel]</td><td>183</td></tr><tr><td>5.6. Rayonnement d'une source située dans un plasma homogène illimité</td><td>187</td></tr><tr><td>5.6.1. Méthode de la transformée de Fourier</td><td>187</td></tr><tr><td>5.6.2. Tenseur de Green</td><td>192</td></tr><tr><td>5.7. Généralités sur le problème des antennes.</td><td>194</td></tr><tr><td>5.7.1. Caractéristiques d'une antenne dans le vide</td><td>195</td></tr><tr><td>5.7.2. Résistance de rayonnement d'une antenne plongée dans un plasma froid anisotrope.</td><td>197</td></tr></tbody></table>
Plaçons-nous dans le cas extrêmement simplifié de la diffusion par collision de particules du type boules de billard; les particules d'un faisceau de densité $n$ entrent en collision avec un gaz de particules cibles de densité $N$. Le nombre de particules diffusées sur une épaisseur $dx$ est

$$dn = -nN_{\zeta}dx$$

(négatif car ces particules sont déviées par les collisions et n'appartiennent plus au faisceau), où $\zeta$ est la section efficace de diffusion (ici, $\zeta$ est indépendante de la vitesse). On obtient donc par intégration

$$n(x) = n_0e^{-N\zeta x} \quad \text{où} \quad n_0 = n(0).$$

Interprétée comme la probabilité qu'une particule a d'effectuer un trajet $x$ sans subir de collision, la quantité $e^{-N\zeta x}$ permet de définir une distance moyenne de collision, ou libre parcours moyen (lpm) de diffusion

$$(1.5.1) \qquad I_c = \int_0^\infty nxdx \int_0^\infty ndx = (N\zeta)^{-1}.$$

A partir de (1.5.1), on définit le temps de collision $\tau_c = l_c/v$, $v$ étant la vitesse des particules du faisceau; son inverse $v_c = \tau_c^{-1}$ est la fréquence de collision

$$(1.5.2) \qquad v_c = N\zeta v.$$

En général, le modèle boule de billard ne s'applique pas : la section efficace

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 1. 1.</figcaption></figure>
pression scalaire, où l'on pose $\Psi_s = P_s \mathbf{1}$, avec, à l'équilibre, $P_{s0} = n_{s0}KT_s$; en supposant, pour la pression totale, la loi adiabatique $P_s n_s^{-\gamma_s} = C^t_e$, on en tire immédiatement pour les perturbations $P_{s1}$ et $n_{s1}$

$$ (6.4.6) \qquad P_{s1} = \gamma_s KT_s n_{s1} $$

d'où

$$ \mathbf{x} \cdot \Psi_{s1} = \mathbf{x} P_{s1} = \gamma_s KT_s n_{s1} \mathbf{x} $$

et avec (6.3.3 a), en revenant à $\Phi_{s1}$

$$ (6.4.7) \qquad \mathbf{x} \cdot \Phi_{s1} = \gamma_s \frac{KT_s}{m_s} \xi_{s1} \mathbf{x} = \gamma_s \frac{KT_s}{m_s} (\mathbf{x} \cdot \mathbf{J}_{s1}) \mathbf{x}. $$

L'équation (6.3.3 b) s'écrit donc

$$ (\mathbf{1} - \tau_s \gamma_s \mathcal{A}') \mathbf{J}_{s1} = i \omega \epsilon_0 p_s^2 \mathcal{E}_s, \quad \text{où} \quad \mathcal{A}' = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

et au premier ordre en $\tau_s$ (en omettant les indices 1)

$$ \mathbf{J}_s = i\omega\epsilon_0 p_s^2 (\mathbf{1} + \tau_s \gamma_s \mathcal{A}') \cdot \mathbf{E} $$

conduisant à un tenseur diélectrique de la forme (6.4.4), mais avec

$$ (6.4.8) \qquad \begin{cases} \mathbf{x}'_1 = 1 - \sum_s \frac{\omega_p^2}{\omega^2} = \mathbf{x}^0 \\ \mathbf{x}'_2 = 1 - \sum_s \frac{\omega p_s^2}{\omega^2} (1 + \gamma_s \tau_s). \end{cases} $$

La comparaison de (6.4.4) et (6.4.8) montre que $\mathbf{x}'_1$ est inexact et que $\mathbf{x}'_2$ est correct à condition de prendre $\gamma_s = 3$, pour chaque espèce de particules. Ceci correspond bien à la loi adiabatique pour un mouvement à un seul degré de liberté (ici, dans la direction de $\mathbf{k}$).

## Ondes transversales 6.4.1

En portant l'expression (6.4.4) dans l'équation de dispersion générale (2.4.9), on obtient, comme au § 3.2, deux ondes transversales polarisées rectilignement suivant $Ox$ ou $Oy$, et une onde longitudinale.

Mais ici, $\tau_s = \frac{KT_s}{m_s} \frac{k^2}{\omega^2} = \frac{KT_s}{m_s c^2} N^2$, et l'équation des ondes transversales $N^2 = \mathbf{x}'_1$ s'écrit (pour un plasma à deux composants)

$$ (6.4.9) \qquad N^2 = \frac{1 - \frac{\omega_0^2}{\omega^2}}{1 + \frac{KT_e \omega_p^2}{m_e c^2 \omega^2} (1 + \eta)} $$

où $\eta = \frac{1}{m^2\alpha} (T_i/T_e) \ll 1$, dans les cas usuels. Ainsi que nous l'avons fait remarquer, ce mode présente la même coupure plasma que les plasmas froids.
Nous supposerons, ce qui est presque toujours réalisé, que la relation de dispersion $\mathcal{D}(\mathbf{k}, \omega) = 0$, lorsque $\omega$ tend vers l'infini par l'intermédiaire de sa partie imaginaire $\omega_2 (\omega_2 \to +\infty)$, ne s'annule plus pour $\mathbf{k}$ réel, dès que $\omega_2$ est supérieur à une certaine valeur.

Cela revient à dire qu'il existe une abscisse d'holomorphie pour la transformée de Fourier-Laplace de l'opérateur $\mathcal{R}^{-1}$.

Les équations de Maxwell deviennent, après une transformation de Fourier dans l'espace et de Laplace dans le temps

$$f(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{2\pi} \int_{t\xi+\infty}^{t\xi-\infty} d\Omega \int_{\text{espace des } \mathbf{k}} d^3\mathbf{k} f(\mathbf{k}, \Omega) e^{-i(\Omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r})} \\ f(\mathbf{k}, \Omega) = \frac{1}{8\pi^3} \int_0^\infty dt \int_{\text{espace réel}} d^3\mathbf{r} f(\mathbf{r}, t) e^{i(\Omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r})}$$

L'abscisse (indifférente si assez grande) d'intégration $\xi$ sera choisie de telle sorte que $\mathcal{D}(\mathbf{k}, \Omega)$, ne soit pas nulle pour $\mathbf{k}$ réel (Cf. paragraphe précédent). Dans ces conditions la partie $U\delta$ est nulle à l'intégration et n'est plus à considérer.

Les intégrations sont faites par la méthode des résidus suivant les parcours des figures 1 et 2 respectivement quand on commence à intégrer en $\mathbf{k}$ ou en $\Omega$.

La transformée à calculer est dans ces conditions (application de l'équation A-4.1)

$$E(\mathbf{r}, t) = \frac{i\omega\mu_0\mathbf{I}_0}{(2\pi)^3} \int_{t\xi+\infty}^{t\xi-\infty} d\Omega \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^{\pi/2} d\theta \int_{-\infty}^{+\infty} k^2 dk \frac{\Omega}{\Omega^2 - \omega^2} \frac{\mathbf{\Lambda}(\mathbf{k}, \Omega)}{\mathcal{D}} e^{-i(\Omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r})}$$

Négligeant les intégrations sur les angles de coordonnées sphériques $\theta$ et $\varphi$ nous considérons l'intégrale des pôles

$$\Phi = \int_{t\xi+\infty}^{t\xi-\infty} d\Omega \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\Omega^2 - \omega^2} \frac{1}{\mathcal{D}(\mathbf{k}, \Omega)} e^{-i(\Omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r})} d^3\mathbf{k}.$$

Cette intégrale est toujours une fonction de $\rho$ (avec $k\rho = \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}$) définie presque partout.

Si l'on intègre en $\Omega$ par la méthode des résidus, on obtient deux contributions de régime permanent (pôles $\pm \omega$) conjuguées, ce qui donne une partie réelle et une autre partie provenant des pôles $\omega_k$ (racines de $\mathcal{D}(\mathbf{k}, \omega) = 0$), mais il est impossible de couper l'intégrale totale en 2 parties correspondant : l'une au régime
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Les courbes de dispersion pour les carrés des indices de propagation $N_1$ et d'extinction $N_2$, obtenues avec ces expressions, sont montrées sur la figure 10.3, pour différentes valeurs de Z.

Dès que Z n'est plus négligeable, le rôle des collisions est très important : l'effet d'écran disparaît (Cf. chap. 1) et la coupure pour $X = 1$ n'existe pratiquement plus ; dans l'ionosphère, on n'obtient plus, comme dans le cas sans collision, la réflexion des ondes à l'altitude $z_0$, où $X = 1$. Néanmoins, la réflexion peut avoir lieu à une altitude supérieure. Supposons, pour la fréquence considérée, que l'altitude $z_0$ soit assez basse et corresponde à une fréquence de collision telle que $Z \gg 1$ : alors, d'après (10.3.1), on obtient ($X = 1$)

$$N_1^2 \sim 1 - \frac{X}{2Z^2} \sim 1 \quad ; \quad N_2^2 \sim X/2Z^2 \ll 1 :$$

l'indice $N_1$ reste voisin de l'unité : aucune réflexion n'a lieu et l'onde se propage vers les altitudes supérieures. Au cours de cette propagation, vers les $z > z_0$, la densité électronique augmente tandis que la densité des neutres et, par suite, la fréquence de collision diminuent; donc le rapport $X/Z$ augmente et atteint

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 10.3.</figcaption></figure>

$N_1^2 = (Re N)^2$ et $N_2^2 = (Im N)^2$ en fonction de X, pour le mode transversal, lorsque $B_0 = 0$ (Paramètre Z). [D'après Ratcliffe, 1959]
On calcule, directement à partir des équations de Maxwell, $\mathbf{k} \cdot \delta\mathbf{S}$ et $\delta(\overline{\mathbf{W}}_M + \overline{\mathbf{W}}_{EP})$

$$ \mathbf{k} \cdot \delta \mathbf{S} = \frac{\omega}{4} [\mu_0(\mathbf{H} \cdot \delta \mathbf{H}^* + \mathbf{H}^* \cdot \delta \mathbf{H}) + \epsilon_0 (\delta \mathbf{E} \cdot \mathbf{k}^* \cdot \mathbf{E}^* + \delta \mathbf{E}^* \cdot \mathbf{k} \cdot \mathbf{E})] $$

où, puisque $\mathbf{k}_a = 0$, $\mathbf{k} = \mathbf{k}^\dagger = \mathbf{k}_h$ ; de $\overline{\mathbf{W}}_M$ et $\overline{\mathbf{W}}_{EP}$, on tire

$$ \delta \overline{\mathbf{W}}_M = \frac{1}{4} \mu_0 (\mathbf{H} \cdot \delta \mathbf{H}^* + \mathbf{H}^* \cdot \delta \mathbf{H}) $$

$$ \delta \overline{\mathbf{W}}_{EP} = \frac{1}{4} \epsilon_0 (\delta \mathbf{E}^* \cdot \mathbf{k}_h \cdot \mathbf{E} + \mathbf{E}^* \cdot \mathbf{k}_h \cdot \delta \mathbf{E} + \mathbf{E}^* \cdot \delta \mathbf{k}_h \cdot \mathbf{E}). $$

Alors (9.5.3) devient

$$ \delta \mathbf{k} \cdot \overline{\mathbf{S}} = \delta \omega (\overline{\mathbf{W}}_M + \overline{\mathbf{W}}_{EP}) + \frac{1}{4} \epsilon_0 \omega \mathbf{E}^* \cdot \delta \mathbf{k}_h \cdot \mathbf{E} $$

qui, compte tenu de (9.5.2), se met sous la forme

$$ (9.5.4) \qquad \delta \mathbf{k} \cdot (\overline{\mathbf{S}} + \overline{\mathbf{T}}) = \overline{\mathbf{W}}_0 \delta \omega $$

où $\overline{\mathbf{W}}_0$ et $\overline{\mathbf{T}}$ sont définis en (9.3.8) et (9.4.10), avec $\gamma = \chi = 0$. On retrouve le vecteur $\overline{\mathbf{T}}$ qui représente une densité de flux d'énergie moyenne liée au milieu.

Pour $\omega$ fixé, (9.5.4) donne

$$ (9.5.5) \qquad \delta \mathbf{k} \cdot (\overline{\mathbf{S}} + \overline{\mathbf{T}}) = 0. $$

Traçons la surface des indices. Si l'on passe d'un mode propre ($\mathbf{k}$, $\omega$) à un mode propre voisin ($\mathbf{k} + \delta\mathbf{k}$, $\omega$), le vecteur $\delta\mathbf{k}$ est tangent à cette surface. Il en résulte que le flux d'énergie moyenne $\overline{\mathbf{S}} + \overline{\mathbf{T}}$ est perpendiculaire à la surface des indices (fig. 9.1), généralisant le résultat déjà obtenu au chapitre 5, pour la direction du flux d'énergie.

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>FIGURE 9.1. Surface des indices et direction du flux d'énergie</figcaption></figure>

De (9.5.4), on tire l'expression de la composante de la vitesse de groupe dans la direction $\xi$ du flux d'énergie

$$ (9.5.6) \qquad (v_\theta)_\xi = \left(\frac{\delta\omega}{\delta\mathbf{k}}\right)_\xi = \frac{\overline{\mathbf{S}} + \overline{\mathbf{T}}}{\overline{\mathbf{W}}_0} = v_E $$

qui est donc la vitesse d'énergie, et dont la direction est celle du flux total d'énergie.
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 8.4.</figcaption></figure>

Ondes ordinaires (k · B₀ = 0; ions immobiles)

————— théorie cinétique (Dnestrovskii et Kostomarov, 1961 a)

------- théorie adiabatique

$$ \left(\frac{\omega_o}{\omega_b}\right)^2 = 0,5 $$
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 3.6. Vitesse de groupe et vitesse de phase de l'onde transversale</figcaption></figure>

soit en fonction de la vitesse de phase $v_φ$

$$ (3.2.15) \qquad v_g v_φ = c^2. $$

### 3.3. Le tenseur diélectrique d'un magnétoplasma froid

En présence d'un champ magnétique extérieur $B_0$, l'équation (3.1.5) (pour des variations en $e^{-i\omega t}$) devient, pour le courant $J_s$

$$ (3.3.1) \qquad -i\omega J_s - \omega_{bs} \times J_s = \epsilon_0 \omega_{bs}^2 E, $$

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 3.7. Vecteurs gyromagnétiques</figcaption></figure>

où on a introduit le vecteur « rotation gyromagnétique » (vecteur rotation instantanée des particules s dans $B_0$) (fig. 3.7) :

$$ (3.3.2) \qquad \omega_{bs} = -\frac{q_s}{m_s} B_0 $$

dont le module est la fréquence gyromagnétique des particules s. Pour les deux types de charges, électrons et ions, ces vecteurs ont pour modules (quantités positives)
$$
(2.2.14) \qquad D = D_1 \cos \omega t + D_2 \sin \omega t,
$$

avec

$$
(2.2.15) \qquad D_1 = \varepsilon_1 \varepsilon \qquad D_2 = \varepsilon_2 \varepsilon.
$$

Ce déphasage, c'est-à-dire l'existence de $\varepsilon_2 \neq 0$, est lié aux pertes dans le diélectrique, c'est-à-dire à la présence d'un courant de conduction, ce que nous montrerons plus loin.

En introduisant une constante diélectrique complexe

$$
(2.2.16) \qquad \varepsilon = \varepsilon_1 + i\varepsilon_2
$$

on aura, avec des amplitudes complexes (Cf. 2.1.6)

$$
(2.2.17) \qquad D = \varepsilon E,
$$

dont la partie réelle redonne (2.2.14), compte tenu de (2.2.15) et (2.2.16).

On définira, de même, une susceptibilité complexe

$$
(2.2.18) \qquad \xi = \xi_1 + i \xi_2,
$$

soit

$$
(2.2.19) \qquad \varepsilon_1 = \varepsilon_0 (1 + \xi_1) \qquad \varepsilon_2 = \varepsilon_0 \xi_2.
$$

Dans les équations de Maxwell (2.2.1 à 6), seule la relation (2.2.5) est modifiée
et doit être remplacée par (2.2.17). L'équation (2.2.14) peut se mettre sous la
forme

$$
(2.2.20) \qquad D = \varepsilon_1 E - \frac{\varepsilon_2}{\omega} \frac{\partial E}{\partial t}
$$

d'où

$$
(2.1.21) \quad \frac{\partial}{\partial t} D = \varepsilon_1 \frac{\partial}{\partial t} E + \omega \varepsilon_2 E = \varepsilon_0 (1 + \xi_1) \frac{\partial}{\partial t} E + \omega \varepsilon_0 \xi_2 E.
$$

(2.2.21), porté dans (2.2.2), montre que la polarisation en volume a pour effet
d'ajouter, au courant de déplacement $\varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} E$ dans le vide, un courant de polarisation $\varepsilon_0 \xi_1 \frac{\partial}{\partial t} E$, et un courant de conduction $\omega \varepsilon_0 \xi_2 E$.

2.2.2. DESCRIPTION « CHARGES DANS LE VIDE »

Naturellement, ces résultats se retrouvent en adoptant pour décrire le milieu,
le point de vue « charges dans le vide ». Ici sont seules présentes des charges de
polarisation, de densité moyenne $\rho_p$, qui, en champ variable, sont associées
au courant de polarisation et au courant de conduction. L'ensemble de ces cou-
rants a pour densité

$$
(2.2.22) \qquad J = \sigma E = (\sigma_1 + i\sigma_2) E,
$$
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 4.2.
Courbes de dispersion des modes dans un plasma isotrope limité
 plasmas illimités; plasmas limités)</figcaption></figure>

Plasma isotrope limité par des conducteurs parfaits 4.3.2

Les conditions aux limites sont les mêmes que celles pour les guides vides. On a donc les mêmes types de solutions, avec les mêmes valeurs propres $l_{np}$. La seule différence est que les coupures (4.2.6) sont déplacées vers les fréquences plus élevées, conformément à (4.3.6). En particulier, pour un guide circulaire, totalement empli de plasma on aura

— pour les modes TM$_{np}$

$$
(4.3.9) \qquad \omega_c^{(np)} = \left( \omega_0^2 + \frac{q_{np}^2 c^2}{a^2} \right)^{1/2}
$$

— pour les modes TE$_{np}$

$$
(4.3.10) \qquad \omega_c^{(np)} = \left( \omega_0^2 + \frac{q_{np}^2 c^2}{a^2} \right)^{1/2}
$$

où $q_{np}$ et $q'_{np}$ sont définies en (4.2.15) et (4.2.17).

Remarquons que pour $\omega^2 < \omega_0^2 + \alpha^2 c^2$, $s^2$ devient $< 0$ : il n'existe pas de solution de (4.3.2), satisfaisant aux conditions aux limites.

Plasma isotrope limité par un diélectrique (ou par le vide) 4.3.3

Dans ce cas, une onde va pouvoir se propager dans le diélectrique extérieur. Cette
onde devra se raccorder à l'onde existant dans le plasma, en satisfaisant aux
conditions aux limites (4.1.23) et (4.1.24), apportant des modifications essentielles
au cas précédent. On aura, néanmoins, encore découplage entre E$_{‖}$ et H$_{‖}$,
conduisant, par continuité de E$_{‖}$, à des modes « extérieurs » de même type (TM ou
TE) que les modes intérieurs. De plus, pour chaque couple de modes considéré,
l'un à l'intérieur, l'autre à l'extérieur du plasma, la loi de Descartes imposera la
même dépendance en $e^{i\alpha x}$, $\alpha=k_{‖‖}^D$, tandis que l'égalité des composantes tangen-
Il vient alors

$$ (5.3.6) \qquad \operatorname{tg}\Psi = \frac{1}{2} \frac{N_{\pm}^2 - 1}{\pm \Delta} \frac{Y^2 \sin \theta \cos \theta}{U - X} $$

où $\pm \Delta$ est pris avec le même signe que dans $N_{\pm}^2$. Quand les collisions sont négligées ($U = 1$), on retrouve, au moyen de (5.3.6), les propriétés des ondes principales : $\Psi' = 0$ pour $\theta = 0$ ou $\theta = \frac{\pi}{2}$; et celles du milieu isotrope : $\Psi' \simeq Y^2/\Delta \simeq Y \to 0$. Quand les collisions ne sont plus négligeables, U est complexe, ainsi que $N^2$, et les propriétés précédentes ne sont plus vérifiées; l'angle $\Psi$ peut alors être défini à partir de $\mathcal{R}ek$ et de la surface des indices de propagation ($\mathcal{R}eN$) : même pour les ondes principales cet angle est en général différent de zéro, ce qui montre le rôle important des pertes dans le milieu. Néanmoins, il faut que ces pertes soient faibles, c'est-à-dire $\mathcal{J}mU \ll \mathcal{R}eU = 1$, $v \ll \omega$, $\mathcal{J}mN \ll \mathcal{R}eN$, pour qu'on puisse encore parler de rayon.

La figure 5.6 représente l'ensemble des vecteurs attachés à l'onde, dans le cas général où les vecteurs E et H sont polarisés elliptiquement (propagation oblique)

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 5.6. Caractéristiques géométriques de la propagation dans les milieux anisotropes (Plasmas froids). (D'après Deschamps, 1965)</figcaption></figure>

La figure 5.7 précise les relations angulaires, avec

$$ N = N(0) \quad \text{et} \quad \operatorname{tg}\Psi = N'_{0}/N $$

entre les différentes vitesses

vitesse de phase $v_{\varphi} = \frac{c}{N} = \frac{\omega}{k}$ , $k = |k|$

vitesse de groupe $v_g = \partial\omega/\partial k$ ; vitesse radiale $v_R = v_{\varphi}/\cos\Psi$
importantes, et on sort très rapidement de la description linéaire : la particule, initialement en phase avec le champ, est accélérée; puis, devançant l'onde, elle se trouve, à un moment donné, en opposition de phase avec lui : elle est alors décélérée, et plus tard elle se trouve à nouveau en phase avec le champ. Dans le référentiel lié à l'onde, ce mouvement correspond à une oscillation dans les puits de potentiel de l'onde : la particule y est piégée.

Pour ces particules piégées, le phénomène de mélange de phase n'existe plus et les modes associés aux particules piégées ne sont plus amortis, conformément aux différents résultats précédents. Ainsi, à côté des modes collectifs présentant l'amortissement de Landau, il peut exister, dans le plasma, des modes non linéaires de grande amplitude, non amortis (Bohm et Gross, 1949; Bernstein et al, 1957; Denisse, 1961; McClean, 1962), qui d'ailleurs correspondent aux oscillations d'un plasma excité par un faisceau modulé de charges.

A la lumière de ce qui précède, on peut donc conclure avec J. Dawson (1961) que le traitement de Landau sera valable tant que le régime non linéaire avec les particules piégées n'aura pu prendre place : cela aura lieu pendant un temps $t$ tel que

$$ (7.4.2) \qquad t < \tau_p $$

où

$$ (7.4.3) \qquad \tau_p = \left( \frac{m}{|q_e|kE} \right)^{1/2} $$

est le temps de piégeage, défini par le temps au bout duquel les particules se trouvent en opposition de phase avec le champ; on peut grossièrement le considérer comme celui où l'on pénètre dans le domaine non linéaire : dans le référentiel de l'onde, ce temps s'identifie avec la période d'oscillation $\sim \omega^{-1}$ des électrons qui oscillent dans le puits avec une amplitude maximum de l'ordre de $\lambda \sim k^{-1}$.

Sous la condition (7.4.2), deux situations physiques très différentes existent, pour lesquelles la description de Landau est valable. Appelons $\tau_L$, le temps caractéristique d'amortissement Landau (qui sera calculé plus loin).

a) Si

$$ (7.4.4) \qquad \tau_L \lesssim \tau_p $$

l'onde disparaît par amortissement Landau avant que le régime non linéaire ait pu s'installer.

b) S'il y a des collisions et si

$$ (7.4.5) \qquad \tau_c \lesssim \tau_p $$

($v_c = (\tau_c)^{-1}$ étant la fréquence de collision), les collisions empêchent le piégeage effectif de beaucoup de particules, chacune d'elles ne pouvant pas être continûment accélérée par le champ : le mode de particules piégées ne peut pas s'établir et
<table><tbody><tr><td>5.7.3. Réactance d'une antenne plongée dans un plasma froid anisotrope.</td><td>200</td></tr><tr><td>5.7.4. Diagramme de rayonnement d'un dipôle plongé dans un plasma froid anisotrope.</td><td>202</td></tr><tr><td>5.7.5. Cas des plasmas chauds.</td><td>204</td></tr><tr><td>5.8. Rayonnement à travers une surface plane vide-plasma</td><td>204</td></tr><tr><td>5.9. Propagation dans les milieux faiblement inhomogènes. Tracé des rayons.</td><td>208</td></tr><tr><td>5.9.1. Surfaces équiphase.</td><td>209</td></tr><tr><td>5.9.2. Rayons dans un milieu stratifié, en l'absence de champ magnétique extérieur.</td><td>211</td></tr><tr><td>5.9.3. Rayons dans un milieu stratifié, en présence d'un champ magnétique extérieur.</td><td>212</td></tr><tr><td>5.9.3.1. Méthode dite de la quartique de Booker.</td><td>213</td></tr><tr><td>5.9.3.2. Méthode de Poeverlein</td><td>217</td></tr><tr><td>5.9.3.3. Méthode d'Haselgrove.</td><td>218</td></tr><tr><td>5.9.3.3.1. Relation entre la surface des indices et la surface des vitesses radiales.</td><td>218</td></tr><tr><td>5.9.3.3.2. Équations canoniques du rayon</td><td>221</td></tr><tr><td>5.9.3.3.3. Loi de Descartes.</td><td>223</td></tr><tr><td>5.9.4. Accessibilité. Couplage de modes.</td><td>223</td></tr></tbody></table>

VI. PROPAGATION DES ONDES DANS LES PLASMAS CHAUDS HOMOGÈNES : MODÈLES MACROSCOPIQUES

<table><tbody><tr><td>6.1. La description des plasmas chauds dans l'approximation hydrodynamique</td><td>226</td></tr><tr><td>6.2. Conditions de validité de l'approximation hydrodynamique.</td><td>228</td></tr><tr><td>6.3. Théorie macroscopique adiabatique</td><td>231</td></tr><tr><td>6.4. Ondes rapides adiabatiques en l'absence de champ magnétique extérieur.</td><td>232</td></tr><tr><td>6.4.1. Ondes transversales.</td><td>234</td></tr><tr><td>6.4.2. Ondes longitudinales.</td><td>235</td></tr><tr><td>6.5. Ondes rapides adiabatiques en présence d'un champ magnétique extérieur.</td><td>236</td></tr><tr><td>6.5.1. Propagation parallèle.</td><td>237</td></tr><tr><td>6.5.2. Propagation perpendiculaire.</td><td>238</td></tr><tr><td>6.5.3. Théorie adiabatique à pression scalaire</td><td>238</td></tr><tr><td>6.6. Courbes de dispersion des ondes principales rapides</td><td>239</td></tr><tr><td>6.7. Ondes de très basse fréquence en propagation oblique : mode magnétophone</td><td>241</td></tr><tr><td>6.8. Ondes électrostatiques dans un magnétoplasma</td><td>242</td></tr></tbody></table>
dépend de la vitesse relative des particules entrant en collision. Dans le cas particulier des interactions coulombiennes (diffusion de Rutherford), la section efficace $\zeta$ diverge pour les chocs lointains (les plus nombreux) : cela conduit à des difficultés dans la formulation de la théorie des plasmas, que nous préciserons lors de la description microscopique. Celles-ci sont levées par l'effet d'écran : à l'extérieur de la sphère de Debye, ces interactions sont collectives et se traduisent par un champ de charge d'espace; à l'intérieur (on a alors des collisions binaires) les particules sont faiblement déviées — en laissant de côté les chocs très proches, plus rares — par les collisions sur la particule P : c'est l'effet moyen de ce second phénomène qu'on représente par des fréquences de collision $v_{ei}$, $v_{ii}$ ou $v_{ee}$.

Néanmoins, des ordres de grandeurs des fréquences de collisions électrons-neutres $v_{en}$ et électrons-ions $v_{ei}$ peuvent être obtenus à partir des expressions (1.5.2), dans le modèle boule de billard :

— dans le cas des chocs $e-n$, la section efficace est

$$ \zeta = \pi (R_n + R_e)^2, $$

où $R_n$ et $R_e$ sont les rayons des neutres et des électrons. On peut négliger $R_e \ll R_n$, et alors

$$ v_{en} \sim \pi R_n^2 n_n v, $$

où $n_n$ est la densité des neutres. En prenant pour $v$ la vitesse moyenne thermique, telle que $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{2}KT_e$, on obtient donc

$$ (1.5.3) \qquad v_{en} \sim \pi R_n^2 n_n \left( \frac{3KT_e}{m} \right)^{1/2} $$

soit, avec $R_n \sim 10^{-10}$ mètre

$$ (1.5.4) \qquad v_{en} \sim 2.10^{-16} n_n T_e^{1/2}; $$

dans l'ionosphère, pour la couche F (300 km), $n_n \simeq 6.10^{14}m^{-3}$, $T_e \simeq 10^3$ °K, on a $v_{en} \sim 4\text{sec}^{-1}$; à plus basse altitude, par exemple à 100 km (couche E), $n_n \sim 10^{19}m^{-3}$, $T_e \sim 300$°K, $v_{en} \sim 3.10^4\text{sec}^{-1}$;

— pour les chocs $e-i$, on a $R_i \simeq R_n$, mais $\zeta \gg \pi R_i^2$, en raison de la longue portée des forces de Coulomb. Pour les électrons qui passent à très grande distance de l'ion, supposé immobile, on a de très faibles déviations et d'ailleurs, nous avons vu que l'électron est alors en interaction avec beaucoup d'ions à la fois : il se produit l'effet d'écran de Debye; lorsque l'électron passe de plus en plus près de l'ion, la déviation (due à ce seul ion) augmente, et on pourra considérer que l'électron a subi un « choc » (au sens choc binaire, analogue à celui sur une particule neutre) lorsque la déviation sera supérieure à une certaine
Notons, cependant, que la correction de température est du même ordre que la correction relativiste<fnref n="1" /> et par conséquent peut être négligée ici. La théorie à pression scalaire (où $\kappa_\perp = \kappa^0$, indépendant de $T_e$ et $T_i$) décrira donc ces ondes transversales pour $B_0 = 0$ de manière satisfaisante.

## Ondes longitudinales 6.4.2

L'équation de dispersion des ondes longitudinales est $\kappa_{\parallel} = 0$, ce qui conduit à

$$ (6.4.10) \qquad \omega^2 = \sum_s \omega_{ps}^2 (1 + 3\tau_s) \# \omega_0^2 + 3\tau_e \frac{\omega_p^2}{\omega^2} = \omega_0^2 + 3k^2 \frac{KT_e}{m_e} $$

où, puisque $\omega \approx \omega_0 \# \omega_p$, on a pris cette valeur approchée pour exprimer le terme correctif; finalement

$$ (6.4.11) \qquad \omega^2 = \omega_0^2 + 3k^2V_e^2 $$

où $V_e = (KT_e/m_e)^{1/2}$ mesure la vitesse d'agitation thermique des électrons. Remarquons que, dans ce cas, il existe la même correction relativiste que dans le cas transverse (Clemmow et Willson, 1956), mais cette correction n'est pas comparable au terme dépendant de la température, qui d'ailleurs, est le seul terme en $k^2$ dans l'équation (6.4.11).

Ce mode longitudinal est donc une onde longitudinale qui se propage tant que $\omega \ge \omega_0$; mais puisque $\tau_e$ doit être très inférieur à 1, il en résulte que $\omega$ ne peut différer beaucoup de $\omega_0$ : la propagation se fait dans un domaine de fréquence très étroit, d'autant plus étroit que la température est plus basse; cette limitation entraîne une limite pour $k$ : la condition $\tau_e \ll 1$ s'écrit $k^2V_e^2 \ll \omega^2 \# \omega_p^2$ c'est-à-dire

$$ (6.4.12) \qquad k^2 \ll k_{De}^2 $$

en introduisant $k_{De} = \lambda_{De}^{-1}$ où $\lambda_{De} = (\epsilon_0 KT_e / n_0 e q_e)^{1/2} = V_e / \omega_p$ est la longueur de Debye électronique. On retrouve, avec (6.4.12), la condition fondamentale (1.4.3) nécessaire à l'existence des phénomènes collectifs dans le milieu.

Pour $\omega < \omega_0$, l'indice N, donné par

$$ N^2 = \frac{c^2}{3V_e^2} \left(1 - \frac{\omega_0^2}{\omega^2}\right) $$

devient imaginaire pur : il n'y a plus propagation. La profondeur de pénétration est alors (Cf. (2.2.39)) : $\delta = \frac{c}{\omega N_2} \approx \frac{V_e}{(\omega_0^2 - \omega^2)^{1/2}}$.

L'expression (6.4.11) est, comme nous le verrons, en accord avec le résultat microscopique (Formule de Bohm et Gross). La théorie à pression scalaire, avec $\gamma_e = 3$, conduit à la même expression, et c'est cet accord qui justifie, semble-t-il, l'utilisation très répandue de cette théorie adiabatique à pression scalaire.

<footnote n="1">1. Cette correction conduit à remplacer $\omega_0^2$ par $\omega_0^2 \left(1 - \frac{5 k T_e}{2 m_e c^2}\right)$. (Gershman, 1960.)</footnote>
permanent, l'autre non, pour les mêmes raisons que celles invoquées au paragraphe d'introduction (fonction infinie dans le domaine $k$ réel aux points $k_i (\pm \omega)$).

On peut alors montrer (pour plus de détail voir Lafon J.-P., 1968), en exprimant $E_p$, champ permanent à la fréquence $\omega$, comme somme de deux parties conjuguées, dont l'une est donc la représentation complexe choisie,

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE A-4.1.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE A-4.2.</figcaption></figure>

Ligne continue ou pointillée suivant le signe de $\rho$ (où $k \cdot r = k\rho$)

— que la modification du parcours d'intégration en $k$ depuis l'axe réel jusqu'à un chemin qui passe légèrement au-dessus (ou au-dessous) de l'axe réel au voisinage des pôles $k_i (\pm \omega)$, et dont le reste demeure confondu avec l'axe réel, ne change en rien la valeur totale de $E$ (Cf. fig. 3);

— que le choix du chemin qui passe au-dessus (ou au-dessous) de l'axe réel, au voisinage d'un pôle, inclut une contribution de régime permanent, soit dans la véritable intégrale de régime permanent (correspondant au pôle $\omega$ en $\Omega$), soit dans la partie transitoire (contenant éventuellement les ondes propres);
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des valeurs où $X \approx Z > 1$. Supposons qu'alors $X^2 \approx Z^2 \gg 1$ d'où, avec (10.3.1)

$$N_1^2 \sim \frac{\sqrt{2}+1}{2} \sim 1,2 \quad ; \quad N_2^2 \sim \frac{\sqrt{2}-1}{2} \sim 0,2.$$

L'indice $N_1$ ne diffère pas encore beaucoup de l'unité, mais l'indice d'extinction n'est plus négligeable et cela se traduit par une réflexion appréciable (Cf. Budden, 1961, chap. 16 et 17).

Cas $B_0 \neq 0$ 10.3.2

### 10.3.2.1. PROPAGATION PARALLÈLE A $B_0$

Les expressions des indices des ondes droite et gauche deviennent (dans le cas des hautes fréquences, en négligeant les contributions des ions), avec $Y = \omega_b/\omega$

$$(10.3.2) \qquad N_D^2 = 1 - \frac{X}{(1-Y)^2 + Z^2} (1 - Y - iZ)$$

$$(10.3.3) \qquad N^2 = 1 - \frac{X}{(1 + Y)^2 + Z^2} (1 + Y - iZ).$$

Les variations des indices de propagation et d'extinction pour chacun des deux modes sont montrées sur les figures 10.4 et 10.5.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 10.4. Indices $N_1$ et $N_2$ en fonction de la densité, en propagation parallèle (Paramètre Z)</figcaption></figure>

Cas $\omega > \omega_b$ ($Y < 1$) — mode droit
— mode gauche

(D'après Budden, 1961)
Dans le cas des plasmas froids, $x$ est indépendant de $k$, et donc $\bar{T} = 0$ : le vecteur $\bar{S}$ représente alors le flux total d'énergie, perpendiculaire à la surface des indices, et on a

$$v_g = \bar{S}/\bar{W}_0 = v_E.$$

A titre d'exemple, appliquons les résultats précédents aux oscillations longitudinales d'un plasma chaud.

## Application aux ondes plasmas 9.5.1

Nous avons déjà montré, pour la puissance dissipée dans le milieu, l'accord entre le calcul direct (chap. 7 et 8) et l'expression (9.1.3). Pour calculer la densité et le flux d'énergie associés au milieu, nous prendrons l'expression approchée

$$x_h = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2} - \frac{3k^2}{\omega^2} V_e^2, \quad V_e^2 = \frac{KT_e}{m_e}$$

qui correspond à l'expression (7.5.3) de Bohm et Gross, en y négligeant l'amortissement. On a

$$\frac{\partial}{\partial \omega}(\omega x_h) = 1 + \frac{\omega_p^2}{\omega^2} + \frac{3k^2}{\omega^2} V_e^2$$

$$\frac{\partial}{\partial k}(x_h) = -2k \frac{\partial x_h}{\partial (k^2)} = -2k \frac{3V_e^2}{\omega^2}.$$

D'où, d'après (9.3.8) et (9.4.10)

$$(9.5.7) \qquad \bar{W}_0 = \left(1 + \frac{\omega_p^2}{\omega^2} + \frac{3k^2}{\omega^2} V_e^2\right) \bar{W}_E = 2\bar{W}_E, \quad \text{d'après (7.4.3)}$$

$$(9.5.8) \qquad \bar{T} = 6\bar{W}_E \frac{V_e^2}{\omega^2} k = 3\bar{W}_0 \frac{V_e^2}{\omega^2} k.$$

Le terme supplémentaire dans (9.5.7) apparaît comme une correction de température et va conduire à remplacer l'égalité $\bar{W}_E = \bar{W}_K$ (Cf. (5.5.20)) par $\bar{W}_E = \bar{W}_K + \bar{W}_P$ où $\bar{W}_P$ représente l'énergie potentielle moyenne liée à la compression du milieu; cette dernière est mesurée par le travail que le milieu peut fournir en revenant de la pression $P$ à la pression $P_0$ (le volume variant alors de $V$ à $V_0$); on a, pour les grandeurs instantanées

$$W_P = \int_{V_0}^{V} P_1 dV, \quad P_1 = P - P_0, \quad dV = d(V_0 + V_1) = dV_1.$$

Pour une compression adiabatique, on tire de $PV^\gamma = C^\gamma$, $P_1 = -\gamma P_0 \frac{V_1}{V_0}$ d'où

$$(9.5.9) \qquad W_P = \frac{1}{2} \gamma P_0 V_0 \left(\frac{V_1}{V_0}\right)^2 = \frac{1}{2} \gamma n_0 K T \left(\frac{n_1}{n_0}\right)^2$$
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 8.5.</figcaption></figure>

Ondes ordinaires ($k \cdot B_0 = 0$; ions immobiles)

— théorie cinétique (Dnestrovskii et Kostomarov, 1961 a)

— théorie adiabatique

$$ \left(\frac{\omega_o}{\omega_b}\right)^2 = 5 $$
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIGURE 3.8.
Fréquence gyromagnétique électronique [ω₀ (rad/sec) et f₀ (cycles/sec)]</figcaption></figure>
où $\sigma$ est la conductivité (complexe) du milieu.

Par une transformation analogue à (2.2.20) on a

$$ (2.2.23) \qquad \mathbf{J} = \sigma_1 \mathbf{E} - \frac{\sigma_2}{\omega} \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E} $$

où apparaissent clairement les courants de conduction et de polarisation proprement dits. En portant (2.2.23) dans l'équation :

$$ (2.2.24) \qquad \nabla \times \mathbf{H} = \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{D}' + \mathbf{J} \qquad \mathbf{D}' = \varepsilon_0 \mathbf{E} $$

on obtient

$$ (2.2.25) \qquad \nabla \times \mathbf{H} = \left( \varepsilon_0 - \frac{\sigma_2}{\omega} \right) \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E} + \sigma_1 \mathbf{E}. $$

Par comparaison de (2.2.2), compte tenu de (2.2.21) et de (2.2.25), on obtient :

$$ (2.2.26) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_1 = \varepsilon_0 (1 + \xi_1) = \varepsilon_0 - \frac{\sigma_2}{\omega} \\ \\ \varepsilon_2 = \varepsilon_0 \xi_2 = \frac{\sigma_1}{\omega} \end{array} \right. $$

On en déduit la relation importante entre les grandeurs complexes $\varepsilon$ et $\sigma$

$$ (2.2.27) \qquad \varepsilon = \varepsilon_0 \left( 1 - \frac{\sigma}{i\omega\varepsilon_0} \right) $$

En termes de polarisabilité (2.2.26) donne

$$ (2.2.28) \qquad \sigma = -i\omega\varepsilon_0\xi, $$

traduisant la relation entre les vecteurs complexes P et J

$$ (2.2.29) \qquad \mathbf{J} = \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{P} $$

que nous retrouverons plus loin.

Ce qui précède établit l'équivalence entre les deux descriptions « charges dans le vide » et « diélectrique », et montre qu'on peut caractériser le milieu indifféremment par sa constante diélectrique $\varepsilon$, sa conductivité $\sigma$ ou sa polarisabilité $\xi$ (toutes trois complexes). On voit aussi que les pertes dans le milieu sont liées à $Jm\varepsilon$ (ou $Jm\xi$) et $Re\sigma$, tandis que la polarisation proprement dite du milieu est décrite par $Re\varepsilon$ (ou $Re\xi$) et $Im\sigma$.

### 2.2.2.3. ÉQUATION DE DISPERSION

Pour la description diélectrique, les équations de Maxwell sont inchangées, mise à part l'équation $D = \varepsilon E$ [on a aussi $B = \mu H$ à la place de (2.2.6) : nous verrons
tielles à la paroi exigera $n \times (k_1^P - k_2^P) = 0$, $k_1^D$ et $k_2^D$ étant les composantes, relativement à Oz, du vecteur d'onde à l'extérieur du plasma, $k_1^P = \alpha$ et $k_2^P$ étant celles à l'intérieur.

Dans certains domaines de fréquence, on pourra avoir $(k_1^D)^2 > 0$ ou $< 0$. Dans le premier cas, on aura dans le diélectrique extérieur (supposé illimité) une onde qui s'écartera du plasma : on parlera alors de modes rayonnants. Dans le second cas, on aura, dans le diélectrique, une onde se propageant le long de Oz, mais dont les champs iront en décroissant à partir de la surface limite du plasma : on parlera alors de modes non rayonnants; si à ces valeurs $k_1^{D2} < 0$ sont associées, par les conditions aux limites, des valeurs $(k_1^P)^2 < 0$, on aura aussi dans le plasma des champs décroissants à partir de la limite, on dira que ces modes sont des ondes de surface. Nous allons préciser ces points sur un exemple simple : celui de la lame de plasma située dans le vide, qui va montrer, sans complications de calcul, les aspects essentiels du problème.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 4.3. Lame de plasma à faces parallèles à $B_0$</figcaption></figure>

Étudions les modes TM, pour $\alpha^2 > 0$ (modes propagatifs, dans la direction Oz). Dans le vide, on a les solutions

$$ (4.3.11) \qquad \varepsilon_{ll}^0 = E_{ll}^0(x) e^{i(\alpha x - \omega t)} $$

avec

$$ (4.3.12) \qquad E_{ll}^0 = A^0 e^{i\alpha_0 x} + B^0 e^{-i\alpha_0 x} $$

$$ \text{où} \qquad s_0^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \alpha^2. $$

Dans le plasma, on a de même

$$ (4.3.13) \qquad E_{ll}^P = A e^{lsx} + B e^{-lsx}, $$

$$ (4.3.14) \qquad s^2 = \frac{\omega^2}{c^2} x^0 - \alpha^2 = s_0^2 - \frac{\omega_0^2}{c^2}. $$
(la vitesse « radiale » $v_R$ est la vitesse de propagation du plan d'onde, comptée
le long du rayon). On a

$$
\begin{align*}
\bar{S} \cdot \mathbf{k}/k &= \bar{S} \cos \Psi = \zeta_0 N^{-1} |\mathbf{H}|^2 = \eta_0 N |\mathbf{E}_T|^2 \\
\mathbf{E}_T &= (1 - k^{-1} \mathbf{k} \cdot \mathbf{E}), \quad \zeta_0 = \eta_0^{-1} = (\mu_0 / \varepsilon_0)^{1/2}.
\end{align*}
$$

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 5.7.
Relations angulaires dans le plan k, S̄</figcaption></figure>

5.4. Vitesse de groupe

Les modes propres (ω, k) trouvés au chapitre précédent, du type

$$
A(\mathbf{k}) = A_0 e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}, \quad \omega = \omega(\mathbf{k})
$$

sont des ondes planes, d'amplitude constante, qui remplissent tout l'espace; ils
se propagent avec des vitesses $v_\varphi = \omega/k$, bien définies géométriquement (vitesses
de phase), mais cette propagation ne correspond à aucun transport d'énergie (il
n'y a donc pas de difficulté à ce que $v_\varphi > c$).

Les perturbations rencontrées en pratique sont le plus souvent limitées, soit
dans le temps, soit dans l'espace, soit dans les deux à la fois. Ces perturbations
(par exemple, les impulsions radar lancées vers l'ionosphère, lors de sondages
ionosphériques) peuvent être représentées par une somme d'ondes monochroma-
tiques, en $e^{i(k \cdot r - \omega t)}$, les valeurs $(k, \omega)$, solutions de l'équation de dispersion,
restant respectivement voisines de valeurs centrales $k_0$ et $\omega_0 = \omega (k_0)$. Un tel groupe
d'ondes constitue ce qu'on appelle un *paquet d'ondes* $(k_0, \omega_0)$.

Au cours de la propagation du paquet, chaque onde composante se déplace
avec sa vitesse de phase propre, ce qui conduit, en dehors du centre du paquet,
à une interférence destructrice (appelée aussi *mélange de phases*) entre les diffé-
rentes composantes : au cours du temps, cet effet se traduira par un mouvement
du paquet et un changement de sa forme. Ici, seul nous préoccupe le mouvement du
paquet, c'est-à-dire le mouvement de son sommet. Ce sommet correspond au
maximum d'amplitude, c'est-à-dire au point pour lequel l'interférence est au
l'onde s'amortit par effet Landau et par effet des collisions : l'amortissement Landau est alors (Platzman et Buchsbaum, 1961)

$$ \gamma_L = \gamma_L \frac{1}{1 + (\tau_c / \tau_p)^2} \quad \text{où} \quad \gamma_L \approx \tau_L^{-1}. $$

Rappelons cependant que, s'il y a beaucoup de collisions ($\omega \lesssim \nu_c$), les modes collectifs disparaissent au profit d'ondes de type acoustique dans les gaz neutres.

En conclusion, l'amortissement de Landau sera présent dès que seront satisfaites les conditions (7.4.4.) ou (7.4.5) qu'on peut aussi écrire respectivement

$$ (7.4.6) \qquad \gamma_L \tau_p \gtrsim 1, \quad \text{ou} \quad \nu_c \tau_p \gtrsim 1. $$

Ces conditions, associées à (7.4.3), donnent finalement une limite supérieure de l'amplitude du champ électrique, au-dessous de laquelle le calcul de Landau est correct.

## 7.5. Résolution de l'équation de dispersion des ondes longitudinales. Calcul de l'amortissement de Landau

Plasma à un seul composant : ondes électroniques « rapides » (ions au repos) 7.5.1

Pour une seule espèce de particules, on ne peut pas satisfaire à (7.3.12) et on aura des solutions soit amplifiées, soit amorties; néanmoins, pour les oscillations électroniques de très haute fréquence¹, il y aura très peu de particules résonnantes, c'est-à-dire que la dérivée $(\partial\bar{\varphi}/\partial w_3)_{w_3=\omega/k}$ sera très faible : on pourra donc négliger la contribution du pôle (pour $\Im\omega < 0$), et on aura, en développant le dénominateur de l'intégrant dans (7.3.9)

$$ (7.5.1) \qquad \left(\frac{\omega}{k} - v\right)^{-1} = \frac{k}{\omega} \left(1 + \frac{kv}{\omega} + \left(\frac{kv}{\omega}\right)^2 + \dots\right) $$

donnant, après intégration par parties, le développement²

$$ \begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial \bar{\varphi}}{\partial v} \left(v - \frac{\omega}{k}\right)^{-1} dv &= \frac{k}{\omega} \int_{-\infty}^{+\infty} \bar{\varphi} \frac{\partial}{\partial v} \left[ 1 + \frac{kv}{\omega} + \left(\frac{kv}{\omega}\right)^2 + \dots \right] dv \nonumber \\ (7.5.2) \qquad &= \frac{k^2}{\omega^2} \left[ 1 + 3 \frac{k^2}{\omega^2} \int \bar{\varphi} v^2 dv \right] \end{align} $$

1. Les limites très hautes fréquences, grandes longueurs d'onde et ondes rapides $\omega \gg ka$, se confondent ici.

2. Un tel développement correspond au développement en série de moments, c'est-à-dire, en puissances de $\tau \approx (ka/\omega)^n$, avec $\int_{-\infty}^{+\infty} \bar{\varphi} v^{2m} dv \sim a^{2m}$, $\int_{-\infty}^{+\infty} \bar{\varphi} v^{2m+1} dv = 0$.
TABLE

VII. PROPAGATION DES ONDES DANS LES PLASMAS CHAUDS HOMOGÈNES,
EN L'ABSENCE DE CHAMP MAGNÉTIQUE EXTÉRIEUR : THÉORIE MICROSCOPIQUE
DES ONDES LONGITUDINALES

<table><tbody><tr><td>7.1. Tenseur de conductivité d'un plasma isotrope. Cas de l'équilibre maxwel-lien</td><td>245</td></tr><tr><td>7.2. Étude des ondes longitudinales pour une distribution d'équilibre quel-conque. Modes normaux d'oscillation</td><td>247</td></tr><tr><td>7.3. Évolution d'une perturbation initiale : problème de Landau</td><td>250</td></tr><tr><td>7.4. Modes de Van Kampen. Modes de particules piégées. Domaine de vali-dité de la théorie de Landau</td><td>253</td></tr><tr><td>7.5. Résolution de l'équation de dispersion des ondes longitudinales. Calcul de l'amortissement de Landau</td><td>255</td></tr><tr><td>7.5.1. Plasma à un seul composant : ondes électroniques rapides.</td><td>255</td></tr><tr><td>— Vitesse de groupe</td><td>259</td></tr><tr><td>7.5.2. Plasma à deux composants : ondes pseudosonores et ondes plasma ioniques</td><td>259</td></tr><tr><td>7.5.2.1. Ondes pseudosonore</td><td>259</td></tr><tr><td>7.5.2.2. Onde plasma ionique</td><td>261</td></tr><tr><td>7.5.2.3. Oscillations très amorties</td><td>262</td></tr><tr><td>7.5.2.4. Comparaison avec la théorie hydrodynamique</td><td>265</td></tr><tr><td>7.6. Ondes transversales</td><td>267</td></tr></tbody></table>

VIII. PROPAGATION DES ONDES DANS LES PLASMAS CHAUDS HOMOGÈNES :
THÉORIE MICROSCOPIQUE EN PRÉSENCE D'UN CHAMP MAGNÉTIQUE EXTÉRIEUR

<table><tbody><tr><td>8.1. Le tenseur diélectrique d'un magnétoplasma chaud.</td><td>269</td></tr><tr><td>8.2. Limite des grandes longueurs d'ondes. Comparaison avec les résultats de la théorie adiabatique.</td><td>271</td></tr><tr><td>8.2.1. Limite des grandes longueurs d'ondes.</td><td>271</td></tr><tr><td>8.2.2. Domaine de validité de la théorie adiabatique : approximation des plasmas tièdes</td><td>271</td></tr><tr><td>8.3. Propagation parallèle.</td><td>273</td></tr><tr><td>8.4. Propagation perpendiculaire : résultats en haute fréquence</td><td>274</td></tr><tr><td>8.5. Modes de basse fréquence : ondes magnétosonores.</td><td>279</td></tr><tr><td>8.6. Ondes longitudinales</td><td>282</td></tr><tr><td>8.7. Amortissement cyclotronique et amortissement par effet Cerenkov. Modes de particules piégées</td><td>283</td></tr><tr><td>8.7.1. Mécanismes d'amortissement d'une onde</td><td>283</td></tr></tbody></table>
déviation critique. Adoptons pour caractériser cette situation critique le cas où l'énergie thermique de l'électron est égale à son énergie potentielle dans le champ de l'ion. Celui-ci apparaît alors comme une particule de rayon fictif $\bar{R}_i$, sur laquelle l'électron vient faire un choc du type boule de billard. Par définition, on a donc

$$q^2/4\pi\epsilon_0\bar{R}_i \sim KT_e$$

ce qui, d'après le paragraphe précédent, conduit à prendre

$$\bar{R}_i \sim \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 KT_e} = \frac{1}{4\pi n_e \lambda_{De}^2} \sim \Gamma\lambda_{De} \ll \lambda_{De} \quad \text{puisque } \Gamma \ll 1 :$$

l'électron pénètre profondément dans la sphère de Debye (ce qui est bien conforme à la séparation que nous avons faite entre effets collectifs et effets individuels). Alors, puisque $\epsilon = \pi\bar{R}_i^2$, on a

$$v_{ei} \sim \pi \bar{R}_i^2 n_i v$$

et, avec $v = (3KT_e/m_e)^{1/2}$

$$(1.5.5) \qquad v_{ei} \sim \pi \left( \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 KT_e} \right)^2 n_i \left( \frac{3KT_e}{m_e} \right)^{1/2}$$

soit

$$(1.5.6) \qquad v_{ei} \sim 6 \cdot 10^{-6} n_i T_e^{-3/2}.$$

La fréquence de collision totale sera

$$v_e = v_{en} + v_{ei}.$$

Les valeurs calculées par des méthodes plus rigoureuses (par ex. Cowling, 1945) conduisent, en unités MKSA, à

$$(1.5.7) \qquad v_{en} \sim 10^{-15} n_n T_e^{1/2}$$

et

$$(1.5.8) \qquad v_{ei} \sim 3 \cdot 10^{-5} n_i T_e^{-3/2}$$

ayant les mêmes dépendances fonctionnelles par rapport aux densités et à la température, mais avec des coefficients numériques environ cinq fois plus grands. Lorsque $n_i$ augmente (et cela se fait au détriment de $n_n$) il arrivera un moment où $v_{ei}$ deviendra supérieur à $v_{en}$ : on obtient donc un taux d'ionisation critique $r_c$ permettant de séparer grossièrement les gaz faiblement ionisés d'une part, et les gaz fortement ionisés d'autre part. Pour $T \sim 10^3$ °K, cette limite correspond à $r_c \sim 10^{-4}$ (Cf. § 1.1).
## 6.5. Ondes rapides adiabatiques en présence d'un champ magnétique extérieur

Pour $B_0 \neq 0$, les termes non diagonaux du tenseur $\Phi$ sont couplés par le champ magnétique, et le calcul de $\chi \cdot \Phi$ est long et quelque peu fastidieux; il est donné dans l'Appendice 5 : cette quantité est trouvée proportionnelle à $\tau_s$; au premier ordre en $\tau_s$, on a donc pu prendre l'approximation d'ordre 0 — c'est-à-dire celle des plasmas froids — pour calculer les $J_s$ qui figurent dans l'expression de $\chi \cdot \Phi_s$. On trouve ainsi un tenseur diélectrique $\epsilon = \epsilon_0\kappa$, avec¹

$$ (6.5.1) \quad \left\{ \begin{aligned} \kappa_{11} &= 1 - \sum_s \frac{p_s^2}{1-b_s^2} \left[ 1 + \tau_s \left( \frac{3}{1-4b_s^2} \sin^2\theta + \frac{1+3b_s^2}{(1-b_s^2)^2} \cos^2\theta \right) \right] \\ \kappa_{22} &= 1 - \sum_s \frac{p_s^2}{1-b_s^2} \left[ 1 + \tau_s \left( \frac{1+8b_s^2}{1-4b_s^2} \sin^2\theta + \frac{1+3b_s^2}{(1-b_s^2)^2} \cos^2\theta \right) \right] \\ \kappa_{33} &= 1 - \sum_s p_s^2 \left[ 1 + \tau_s \left( \frac{1}{1-b_s^2} \sin^2\theta + 3 \cos^2\theta \right) \right] \\ \kappa_{12} &= -\kappa_{21} = \sum_s i b_s \frac{p_s^2}{1-b_s^2} \left[ 1 + \tau_s \left( \frac{6}{1-4b_s^2} \sin^2\theta + \frac{3+b_s^2}{(1-b_s^2)^2} \cos^2\theta \right) \right] \\ \kappa_{23} &= -\kappa_{32} = -\sum_s i b_s \frac{p_s^2}{(1-b_s^2)^2} \tau_s (3-b_s^2) \sin\theta \cos\theta \\ \kappa_{31} &= \kappa_{13} = -\sum_s \frac{p_s^2}{(1-b_s^2)^2} \tau_s (2 \sin\theta \cos\theta). \end{aligned} \right. $$

Pour $B_0 = 0$ (et $\theta = 0$), on retrouve pour $\kappa_{11} = \kappa_{22}$ et $\kappa_{33}$ les expressions (6.4.5).

Bien entendu, un tel développement n'est valable que tant que les coefficients des $\tau_s$ restent petits, c'est-à-dire en dehors des valeurs $|b_s| = 1$ ou 2, donc dans un voisinage suffisamment éloigné des fréquences gyromagnétiques $\omega = \omega_b$ ou $\omega = \Omega_b$ et de leurs harmoniques $\omega = 2\omega_b$ ou $\omega = 2\Omega_b^2$. Les voisinages trop proches de ces résonances ne seront pas décrits par la présente théorie dès que les conditions (6.2.1) et (6.2.2) ne seront plus satisfaites.

L'équation de dispersion sera donnée par (2.4.9), après y avoir substitué les $\kappa_{\alpha\beta}$ donnés par (6.5.1). Elle se met encore sous la forme

$$ (6.5.2) \qquad \mathcal{A}\mathcal{N}^4 - \mathcal{B}\mathcal{N}^2 + \mathcal{C} = 0, $$

1. Les expressions (6.5.1) satisfont aux lois générales de symétrie du tenseur de conductivité, en accord avec les relations d'Onsager : $\sigma$ (k, $B_0$) n'est pas changé quand on change le signe du vecteur polaire k, mais est transformé en son transposé quand on change le signe du vecteur axial $B_0$. Avec la géométrie choisie ici (Oz le long de $B_0$, Oy le long de $(B_0 \times k)$ et Ox le long de $(B_0 \times k) \times B_0$), le changement, à la fois des signes de $B_0$ et k, inverse les sens de Ox et Oz, mais pas de Oy, de sorte que, aussi bien pour $\sigma$ que pour $\kappa$

$$ \kappa_{xy} = -\kappa_{yx}, \quad \kappa_{yz} = -\kappa_{zy}, \quad \kappa_{zx} = \kappa_{xz}. $$

2. Les résonances sur les harmoniques successifs apparaîtraient aux ordres suivants en $\tau_s$, en utilisant les équations des moments suivants, mais le calcul macroscopique devient alors inextricable.
— qu’un seul des deux choix possibles conduit à introduire cette contribution dans la partie authentiquement permanente, cependant que l’autre absorbe un terme décroissant vers zéro dans le temps.

Ce choix est fait de telle sorte que le pôle $\omega_k$, qui prend pour $k = k(\omega)$ la valeur $\omega$, prenne une partie imaginaire négative (pour la représentation imaginaire en $e^{-i\omega t}$), lorsque $k$ prend une partie imaginaire d'un certain signe.

Pratiquement cette condition sera utilisée dans l'autre sens, c'est-à-dire : on donne à $\omega$ une petite partie imaginaire positive (ce qui déplace les pôles du côté permis par le parcours modifié); on effectue le calcul (sans difficulté puisqu'il n'y a plus de pôle sur l'axe réel); puis on annule la partie imaginaire en question (Cf. fig. 4).

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE A-4.3.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE A-4.4.</figcaption></figure>

On peut en donner d'autres énoncés (Cf. Lafon, 1968) comme celui-ci, plus « physique » :

On ajoute à la fréquence une partie imaginaire, de telle sorte que le phénomène croisse dans le temps, puis on effectue le calcul, et on annule la partie imaginaire ajoutée.

## Condition d'antirayonnement 4.4

On définit $E_{in}$, champ « entrant », par une symétrie dans le temps et les grandeurs associées (B champ magnétique...), la cause suivant l'effet. Cela veut dire qu'on considère $E_{in}$ comme le régime permanent d'une antenne émettant de — $\infty$ à un temps fini, mais dont le régime d'émission transitoire apparaît avant l'interruption du courant.

On peut alors démontrer (Lafon, 1968) que ce champ, purement mathématique, est obtenu de la même façon que le champ $E_{out}$ précédemment défini, par modification de l'axe réel en $k$, mais avec une condition d'antirayonnement, inverse de la précédente.

On ajoute à la fréquence une petite partie imaginaire de sorte que le phénomène
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 10.5.</figcaption></figure>

Indices $N_1$ et $N_2$ en fonction de la densité, en propagation parallèle (Paramètre Z)

Cas $\omega < \omega_b$ ($Y > 1$)

- mode droit
- mode gauche

(D'après Budden, 1961)

#### 10.3.2.2. PROPAGATION PERPENDICULAIRE A $B_0$

Les expressions des indices des ondes ordinaire et extraordinaire sont (toujours dans le cas des hautes fréquences)

$$ (10.3.4) \qquad N_o^2 = 1 - \frac{X}{1+Z^2} (1 - iZ), \qquad (\text{Cf. fig. 10.3}) $$

$$ (10.3.5) \qquad N_x^2 = 1 - X \frac{(1-X)(1-X-Y^2) + Z^2}{(1-X-Y^2-Z^2)^2 + Z^2(2-X)^2} \left[ 1 - iZ \frac{(1-X)^2 + Y^2 + Z^2}{(1-X)(1-X-Y^2) + Z^2} \right] $$

Les variations des indices de propagation et d'extinction pour le mode extraordinaire sont données sur les figures 10.6 et 10.7.

Ces résultats sont à rapprocher des courbes de dispersion obtenues à partir de calculs rigoureux tenant compte, pour les plasmas complètement ionisés, des collisions *e*-i et *e*-e (Wyller, 1962).
puisque $\frac{V_1}{V_0} = -\frac{n_1}{n_0}$, $n_1$ étant la perturbation de densité. Pour les grandeurs moyennes, on a donc, avec $\gamma = 3$

$$ (9.5.10) \qquad \bar{W}_P = \frac{3}{4} n_0 K T \frac{n_1 n_1^*}{n_0^2}. $$

Or, en prenant $\bar{W}_E \# \bar{W}_K = \frac{1}{4} n_0 m v_1 \cdot v_1^*$, le terme correctif, dépendant de $k$ dans (9.5.7), s'écrit

$$ \frac{3}{4} \frac{K T k^2}{m \omega^2} n_0 m v_1 \cdot v_1^* $$

qui, puisque $v_1$ est colinéaire à $k$, et en tenant compte de l'équation de continuité $\omega n_1 = n_0 k v_1$, redonne (9.5.10). On a donc

$$ (9.5.11) \qquad \bar{W}_0 = \bar{W}_E + \bar{W}_K + \bar{W}_P \quad \text{d'où} \quad \bar{W}_E = \bar{W}_K + \bar{W}_P. $$

Le vecteur $\bar{T}$ s'interprète comme le flux moyen d'énergie, transporté par la perturbation. En effet, le flux total d'énergie a pour valeur instantanée

$$ \Phi = W_0 v_{\phi} = (W_E + W_K + W_P) v_{\phi}. $$

On vérifie que, comme dans le cas des plasmas froids, le flux d'énergie $W_E v_\phi$, associé à l'énergie électrostatique, compense exactement le flux d'énergie associé à l'oscillation des particules : il ne restera donc que le flux de l'énergie d'agitation thermique. En effet, avec $n_1 v_\phi = n_0 v_1$, et $i \epsilon_0 k E = q n_1$ on a

$$ W_K v_\phi = \frac{1}{2} n_0 m v_1^2 v_\phi = \frac{1}{2} m n_1 v_1 \left( \frac{\omega_p^2}{k^2} + 3V_e^2 \right), \quad \text{d'après (7.5.3)} $$

$$ W_E v_\phi = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 v_\phi = \frac{1}{2} m n_1 v_1 \frac{\omega_p^2}{k^2} $$

et, de (9.5.9),

$$ W_P v_\phi = \frac{3}{2} K T \frac{n_1^2}{n_0} v_\phi = \frac{3}{2} K T n_1 v_1. $$

D'où

$$ \Phi = 3 K T n_1 v $$

dont la valeur moyenne est

$$ \bar{\Phi} = 3 K T \bar{n}_1 \bar{v}_1 = \frac{3}{4} K T (n_1 v_1^* + n_* v_1) = \frac{6 K T}{v_\phi} \frac{1}{4} n_0 v_1 v^* $$

$$ \bar{\Phi} = \frac{6 V_e^2}{v_\phi} \bar{W}_K = |\bar{T}| $$

en prenant encore $\bar{W}_E \# \bar{W}_K$ pour évaluer $\bar{T}$ dans (9.5.8).

On vérifie bien que la vitesse de groupe est dans la direction de $k$ et a pour module
le bon accord entre ces deux groupes de résultats. Ces courbes ont été tracées pour différentes valeurs des paramètres $\omega_p^2/\omega_b^2$ et $a/c^2$, dont le produit est égal à $\beta_e$ (Cf. 2.3.9); le domaine de validité, d'autant plus étroit que $\beta$ est grand, se rétrécit donc au fur et à mesure que l'un de ces deux paramètres augmente : c'est ce qu'on constate sur ces figures.

## 8.5. Modes de basse fréquence : Ondes magnétosonores

Dans la limite des ondes rapides $v_φ \gg a_s$, nous avons déjà montré, au § 6.7, qu'il existe, en basse fréquence, deux modes :

— le mode « torsionnel », indépendant des effets de température (pour des températures isotropes), donc identique à la solution des plasmas froids

$$ (8.5.1) \qquad N^2 = \frac{1+A}{\cos^2\theta} $$

(on appelle aussi ce mode : « onde d'Alfvèn oblique »)

— le mode « compressionnel », où les effets de température apparaissent, et qu'on a interprété comme résultant d'un couplage entre l'onde d'Alfvèn compressionnelle et l'onde longitudinale du type pseudosonore : ce mode est le mode magnétosonore

$$ (8.5.2) \qquad N^2 = \frac{1+A}{1+\beta^2 \sin^2\theta} \quad , \quad \beta = \sum_s \beta_s $$

qui, pour $\theta = 0$, se réduit au mode d'Alfvèn ordinaire, indépendant de la température, à condition cependant de négliger les effets d'amortissement, très faibles, pour $V_A \gg a_s$, c'est-à-dire pour $\beta \ll 1$. Exprimées avec les vitesses de phase, et compte tenu des relations $\beta_e V_A^2 = 2V_B^2 s$ et $\beta_i V_A^2 = a_s^2$, (8.5.1) et (8.5.2) s'écrivent respectivement

$$ v_φ^2 = V_A^2 \cos^2\theta \quad ; \quad v_φ^2 = V_A^2 + (2V_B^2 s + a_s^2) \sin^2\theta $$

et la condition d'existence du mode exige que $V_A^2 \ll a_s^2$.

Dans la même limite, le calcul microscopique conduira aux mêmes expressions (8.5.1) et (8.5.2).

Cependant nous avons trouvé, au chapitre 7, lorsque $T_e \gg T_i$, un mode lent longitudinal, très faiblement amorti : le mode pseudosonore. Dans cette nouvelle limite $a_i \ll v_φ // \ll a_e$, on peut s'attendre à une modification différente du mode d'Alfvèn compressionnel, le mode torsionnel restant toujours inaltéré. Au premier ordre à la fois en $\lambda_s = k_s^2 a_s^2 / 2\omega_b^2$ et en $\omega / \omega_{b_s}$, les expressions (8.1.4) et (8.1.5) donnent, pour les $\chi_{\alpha\beta}$ (avec $z_n^3 \ll 1$ pour $n \neq 0$).
$$
(3.3.3) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
|\omega_{be}| = \omega_b = -q_e B_0 / m_e \\
|\omega_{bi}| = \Omega_b = q_i B_0 / m_i
\end{array}
\right.
$$

fréquences gyromagnétiques des électrons et des ions, respectivement. La figure 3.8
précise la valeur numérique de la fréquence $\omega_b$

$$
\omega_b = 1,76 \cdot 10^{11} \mathrm{B}_0. \quad \text{(MKSA)}
$$

On peut associer à chaque vecteur $\omega_{bs}$ un « tenseur gyromagnétique » $G_s$ qui représente l'opérateur $\omega_{bs} \times$, appliqué à $J_s$ :

$$
(3.3.4) \qquad \mathbf{G}_s \cdot \mathbf{J}_s = \omega_{bs} \times \mathbf{J}_s,
$$

ce qui donne, pour les composantes (en omettant l'indice s) :

$$
\sum_{\beta} G_{\alpha\beta} J_{\beta} = (\omega_{\beta} \times \mathbf{J})_{\alpha}.
$$

Posons $\mathbf{b}_s = \omega_{bs}/\omega$, $p_s = \omega_{ps}/\omega$ et multiplions (3.3.1) par $i/\omega$. On obtient alors :

$$
(3.3.5) \qquad (\mathbf{1} - i\mathbf{b}_s \times) \mathbf{J}_s = i\omega \epsilon_0 p_s^2 \mathbf{E}.
$$

Plaçons Oz le long de $B_0$ (Cf. fig. 2.3). Alors<fnref n="1" />

$$
\mathbf{b}_s = (0, 0, b_s) , \quad b_s = - \frac{q_s |\mathbf{B}_0|}{m_s \omega}
$$
et, d'après (3.3.4),

$$
(3.3.6) \qquad \mathbf{G}_s = \begin{pmatrix} 0 & -\omega_{bs} & 0 \\ \omega_{bs} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
$$

Sous forme tensorielle, avec (3.3.6), l'équation (3.3.5) s'écrit :

$$
\left( \mathbf{1} - \frac{i}{\omega} \mathbf{G}_s \right) \cdot \mathbf{J}_s = i \omega \epsilon_0 p_s^2 \mathbf{E}
$$

soit, en posant

$$
\mathcal{A}_s = \mathbf{1} - \frac{i}{\omega} \mathbf{G}_s
$$

$$
(3.3.7) \qquad \mathcal{A}_s \cdot \mathbf{J}_s = i\omega\epsilon_0 p_s^2 \mathbf{E}
$$
où
$$
\mathcal{A}_s = \begin{pmatrix} 1 & ib_s & 0 \\ -ib_s & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
$$

$$
(3.3.8) \qquad \mathcal{A}_s = \begin{pmatrix} 1 & ib_s & 0 \\ -ib_s & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
$$

<footnote n="1">1. On a donc $b_e = \omega_b/\omega$, $b_i = -\Omega_b/\omega$.</footnote>
(§ 22) que, pratiquement, on peut toujours prendre $\mu = \mu_0$. On aura donc l'équation de propagation, analogue à (2.2.8)

$$ (2.2.30) \qquad \nabla^2 \mathbf{E} = \varepsilon \mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \mathbf{E} $$

dont la solution générale est une onde plane en $e^{i(k \cdot r - \omega t)}$, avec, comme en (2.2.10)

$$ k^2 = \mu_0 \varepsilon \omega^2. $$

La vitesse de phase sera

$$ (2.2.31) \qquad v_{\varphi} = (\mu_0 \varepsilon)^{-1/2} = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon/\varepsilon_0}} $$

### 2.2.2.4. MÉCANISME PHYSIQUE DE LA DISPERSION

La modification de la vitesse de propagation (2.2.31) dans le milieu, par rapport à celle dans le vide, s'explique clairement dans la description « charges dans le vide ». Sous l'action de l'onde extérieure, les particules deviennent des oscillateurs qui, à leur tour, rayonnent dans toutes les directions. En un point du milieu, il y a donc superposition du champ extérieur et du champ rayonné par les particules (c'est en fait ce champ total qui agit sur ces dernières), pour former une onde modifiée qui se propage à une vitesse différente de celle de l'onde extérieure. On a donc un mécanisme de diffusion de l'onde incidente par les particules du milieu; si l'agitation thermique des particules est négligeable, les particules étant initialement au repos, rayonnent des ondes de même fréquence, mais de longueur d'onde différente, ce qui se traduit par un changement de $v_φ$, décrit macroscopiquement par l'indice N ($k, \omega$) : ce mécanisme est une *diffusion cohérente* (où $\omega$ et k sont déterminés); si l'agitation thermique n'est plus négligeable, l'onde est, en outre, diffusée par les fluctuations thermiques de densité, mais sur des $\omega$ et k différents : on a alors une *diffusion incohérente* dans toutes les directions; celle-ci est très largement dominée dans la direction de l'onde incidente par la diffusion cohérente.

### 2.2.2.5. INDICE DE PROPAGATION. INDICE D'EXTINCTION

D'après (2.2.31), l'indice a pour valeur

$$ (2.2.32) \qquad N^2 = \varepsilon/\varepsilon_0, $$

soit, pour $\varepsilon$ complexe,

$$ (2.2.33) \qquad N = N_1 + iN_2, $$

avec, d'après (2.2.32)

$$ (2.2.34) \qquad \begin{cases} N_1^2 - N_2^2 = \varepsilon_2/\varepsilon_1 \\ 2N_1N_2 = \varepsilon_2/\varepsilon_0 \end{cases} $$

$N_1$ est l'indice de propagation, $N_2$, l'indice d'extinction.
Les modes rayonnants, $s_0^2 > 0$, seront donc obtenus pour

$$ \omega > \alpha c $$

tandis que, pour les modes non rayonnants, on aura

$$ \omega < \alpha c. $$

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 4.4.</figcaption></figure>

### 4.3.3.1. MODES RAYONNANTS ($s_0^2 > 0$)

D'après (4.3.14), il y a deux cas possibles : $s^2 > 0$ et $s^2 < 0$.

Premier cas : $s^2 > 0$ si $s_0^2 > \frac{\omega_0^2}{c^2}$, c'est-à-dire $\omega^2 > \omega_0^2 + \alpha^2 c^2$.

Pour la solution symétrique (par rapport à $x = 0$), on aura d'après (4.3.4)

$$ (4.3.15) \qquad E_1^0 = E^0 \cos s_0 x, \quad E_2^0 = \frac{i\alpha}{s_0^2} \frac{\partial E_{11}^0}{\partial x} \qquad \text{dans le vide} $$

$$ (4.3.16) \qquad E_{11}^P = E^P \cos sx, \quad E_x^P = \frac{i\alpha}{s^2} \frac{\partial E_{11}^P}{\partial x} \qquad \text{dans le plasma} $$

La continuité de $E_{11}$ et de $D_x = \epsilon E_x$ en $x = \pm a$ donne alors

$$ E^0 \cos s_0 a = E^P \cos sa $$

$$ \epsilon_0 \frac{E^0}{s_0} \sin s_0 a = \epsilon_0 \chi^0 \frac{E^P}{s} \sin sa $$

soit

$$ (4.3.17) \qquad \frac{\operatorname{tg} s_0 a}{s_0} = \frac{\chi^0 \operatorname{tg} sa}{s} $$

avec

$$ (4.3.18) \qquad s^2 = s_0^2 - \frac{\omega_0^2}{c^2}. $$

L'équation (4.3.17), avec (4.3.18), définit un ensemble de racines $s_0 a = \xi_m$, donc de valeurs propres $s_0 = \frac{\xi_m}{a}$, dépendant du paramètre $\frac{\omega_0^2}{c^2}$. On obtient, avec ces nouvelles valeurs propres, des modes analogues aux cas du guide vide et du guide entièrement empli de plasma, dont l'équation de dispersion est

$$ \omega^2 = \alpha^2 c^2 + \left(\frac{\xi_m c}{a}\right)^2. $$
contraire constructrice : ceci a lieu lorsque la phase est *stationnaire*. Précisons ce
point : pour un paquet d'ondes limité dans l'espace, et centré sur un vecteur
d'onde $\mathbf{k}_0$, $\mathbf{k} = \mathbf{k}_0 \pm \Delta\mathbf{k}$ (avec $\Delta\mathbf{k} \sim \frac{1}{\Delta r}$), le champ sera représenté par une
intégrale de Fourier

$$
(5.4.1) \qquad E(\mathbf{r}, t) = \int A(\mathbf{k}) e^{i[\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega(\mathbf{k})t]} d^3\mathbf{k},
$$

où A (k) est essentiellement différent de zéro pour k voisin de k₀. Ces ondes mono-
chromatiques interfèrentront de manière non destructrice lorsque la phase sera
stationnaire, c'est-à-dire lorsque

$$
\frac{\partial}{\partial \mathbf{k}} \varphi(\mathbf{k}) = \frac{\partial}{\partial \mathbf{k}} [\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega(\mathbf{k})t] = \mathbf{r} - \frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}} t = 0, \text{ pour } \mathbf{k} = \mathbf{k}_0
$$

soit

$$
(5.4.2) \qquad \qquad \qquad \qquad r - v_g t = 0.
$$

Le vecteur $e_\alpha$ étant le vecteur unitaire de la direction $\alpha$, la vitesse

$$
(5.4.3) \quad \mathbf{v}_g = \frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}} = \frac{\partial \omega}{\partial k_x} \mathbf{e}_\alpha + \frac{\partial \omega}{\partial k_y} \mathbf{e}_\beta + \frac{\partial \omega}{\partial k_z} \mathbf{e}_\zeta \quad \text{pour } \mathbf{k} = \mathbf{k}_0
$$

est la vitesse de groupe, représentant la vitesse de déplacement du paquet d'ondes.
On vérifie que la composante de $v_g$ le long de $\mathbf{k}$ est (Cf. fig. 5.7)

$$
(5.4.4) \qquad (v_g)_k = \frac{\partial \omega}{\partial |k|}.
$$

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 5.8.
Paquet d'ondes à t = 0</figcaption></figure>

Un point de vue quelque peu différent conduit au même résultat : on peut consi-
dérer que le paquet d'ondes est constitué d'une onde porteuse, modulée en ampli-
tude sur un faible intervalle Δr (fig. 5.8); cela apparaît, en effet, à partir de l'expres-
sion (5.4.1), en développant l'exponentielle au voisinage de k₀. On a en effet, en
posant k = k₀ + δk et par conséquent

$$
(5.4.5) \qquad \omega(\mathbf{k}) = \omega(\mathbf{k}_0) + \left(\frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}}\right)_{\mathbf{k}=\mathbf{k}_0} \delta\mathbf{k} = \omega_0 + \left(\frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}}\right)_0 \delta\mathbf{k}
$$
compte tenu de la condition de normalisation (7.3.10) et de la nullité des intégrales sur $v^{2n+1}$, par suite de la parité de $\bar{\phi}$. En définissant $\omega = \omega_p$ dans le terme correctif,

$$ (7.5.3) \qquad \omega^2 = \omega_p^2 + 3k^2V_e^2 $$

on retrouve la relation de Bohm et Gross, déjà obtenue dans la limite ondes rapides de la théorie adiabatique, avec $\gamma_e = 3$.

Calculons l'amortissement : on sait déjà qu'il est très faible. On va donc chercher une solution de $\kappa_{//}(k, \alpha)=0$ ($\kappa_{//}$ étant explicité en (7.3.11)), pour une fréquence quasi réelle : $\alpha = \omega + i\gamma$ avec $\gamma \ll \omega$. Pour $\omega$ réelle, on a d'après (7.3.11) et (7.3.7b)

$$ (7.5.4) \qquad \kappa_{//}(k, \omega) = 1 - \frac{\omega_p^2}{k^2} \left[ \Re \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\bar{\phi}'(v)}{v-\frac{\omega}{k}} dv + \pi i \bar{\phi}'\left(\frac{\omega}{k}\right) \right] \quad \text{où } \bar{\phi}'(v) = \frac{\partial \bar{\phi}}{\partial v} $$

En développant $\kappa_{//}(k, \alpha)$, au premier ordre en $\gamma$, au voisinage de $\omega$ réelle on a

$$ (7.5.5) \qquad \kappa_{//}(k, \alpha) = \kappa_{//}(k, \omega) + i\gamma \frac{\partial}{\partial\omega} \kappa_{//}(k, \omega) $$

avec, d'après (7.5.4),

$$ (7.5.6) \qquad \frac{\partial}{\partial\omega} \kappa_{//}(k, \omega) = - \frac{\omega_p^2}{k^2} \left[ \frac{1}{k} \Re \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\bar{\phi}'(v)}{\left(v - \frac{\omega}{k}\right)^2} dv + \frac{\pi i}{k} \bar{\phi}''\left(\frac{\omega}{k}\right) \right] $$

L'équation de dispersion $\kappa_{//}(k, \alpha) = 0$ devient, en séparant les parties réelles et imaginaires

$$ (7.5.7) \qquad \Re \kappa_{//}(k, \alpha) = 0 = 1 - \frac{\omega_p^2}{k^2} \left[ \Re \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\bar{\phi}'(v)}{v-\frac{\omega}{k}} dv - \frac{\pi}{k} \gamma \bar{\phi}''\left(\frac{\omega}{k}\right) \right] $$

$$ (7.5.8) \qquad \Im \kappa_{//}(k, \alpha) = 0 = - \frac{\omega_p^2}{k^2} \left[ \pi \bar{\phi}'\left(\frac{\omega}{k}\right) + \frac{\gamma}{k} \Re \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\bar{\phi}'(v)}{\left(v - \frac{\omega}{k}\right)^2} dv \right] $$

L'équation (7.5.7), où le terme $\gamma \bar{\phi}''(\frac{\omega}{k})$ est négligeable dans la limite $\omega \gg ka$,

1. La température, pour un degré de liberté, étant définie par

$$ \frac{1}{2} \text{KT} = \int_{\bar{\phi}} \frac{1}{2} mv^2 dv $$
TABLE

<table><tr><td>8.7.2. Modèles multifaisceaux.</td><td>284</td></tr><tr><td>8.7.3. Modes de particules piégées.</td><td>287</td></tr><tr><td>8.8. Étude de la résonance gyromagnétique électronique</td><td>289</td></tr><tr><td>8.9. Critères de linéarisation.</td><td>291</td></tr></table>

IX. TRANSFERTS D'ÉNERGIE DANS LES PLASMAS CHAUDS HOMOGÈNES

<table><tr><td>9.1. Puissance dissipée dans le milieu</td><td>293</td></tr><tr><td>9.2. Théorème de Poynting pour une onde réelle (k réel, ω réelle)</td><td>295</td></tr><tr><td>9.3. Théorème de Poynting pour un milieu faiblement dissipatif (k réel, ω complexe)</td><td>296</td></tr><tr><td>9.4. Atténuation des ondes dans un milieu dissipatif. Valeurs moyennes dans l'espace.</td><td>299</td></tr><tr><td>9.5. Vitesse de groupe dans un milieu sans pertes</td><td>301</td></tr><tr><td>9.5.1. Application aux ondes plasma.</td><td>303</td></tr><tr><td>9.5.2. Application aux ondes pseudosonores.</td><td>305</td></tr></table>

X. EFFETS DES COLLISIONS SUR LA PROPAGATION DES ONDES

<table><tr><td>10.1. Généralités. Modèles pour les plasmas collisionnels.</td><td>307</td></tr><tr><td>10.2. Transfert de quantité de mouvement. Fréquences effectives de collisions.</td><td>310</td></tr><tr><td>10.2.1. Coefficient de frottement et fréquence de collision</td><td>310</td></tr><tr><td>10.2.2. Conductivité de Lorentz</td><td>312</td></tr><tr><td>10.2.3. Fréquences effectives de collision.</td><td>312</td></tr><tr><td>10.3. Modifications apportées par les collisions à la propagation dans les plasmas froids.</td><td>315</td></tr><tr><td>10.3.1. Cas B₀ = 0.</td><td>315</td></tr><tr><td>10.3.2. Cas B₀ ≠ 0.</td><td>317</td></tr><tr><td>10.3.3. Fréquence critique de collision.</td><td>320</td></tr><tr><td>10.3.4. Effet des collisions sur l'indice de groupe.</td><td>321</td></tr></table>

APPENDICES

<table><tr><td>1. Relation entre D et E. Propriétés générales de la constante diélectrique</td><td>327</td></tr><tr><td>2. Champ électrique effectif agissant sur les électrons</td><td>330</td></tr><tr><td>3. Tenseur de Green. Rayonnement d'un dipôle dans un plasma froid.</td><td>331</td></tr><tr><td>3.1. Forme générale de g<sub>ω</sub> (k).</td><td>331</td></tr><tr><td>3.2. Puissance rayonnée par un dipôle.</td><td>332</td></tr></table>
## 1.6. Propriétés macroscopiques d'un plasma

### Description macroscopique 1.6.1

Puisque, dans un plasma, les effets des interactions individuelles peuvent être négligés devant les effets collectifs, il est donc possible de décrire la dynamique d'un plasma en supposant que les ions et les électrons, pris individuellement, se meuvent indépendamment dans des champs macroscopiques, lentement variables. Ces champs, créés ou modifiés par l'ensemble de toutes les charges au cours de leurs mouvements, devront donc satisfaire aux équations de Maxwell.

#### 1.6.1.1. TRAJECTOIRES INDIVIDUELLES

Une première étape consistera donc à étudier les trajectoires d'une particule dans des champs électromagnétiques donnés. En plus des mouvements bien connus d'une particule chargée dans des champs uniformes, $E$ (constant ou alternatif) ou $B$ constant, que nous retrouverons plus loin (chap. 3), on a mis ainsi en évidence un certain nombre de mouvements de dérive — dérive en champs $E$ et $B$ croisés, $v_D = E \times B/B^2$ ; dérives dues au gradient $\nabla B$, à la courbure des lignes de forces de $B$, à une force extérieure comme la gravitation... —; si les champs sont lentement variables dans le temps et dans l'espace, les particules se meuvent en conservant constantes un certain nombre de grandeurs attachées au mouvement (invariants adiabatiques) : par exemple, le moment magnétique associé à la particule en rotation sur son orbite reste constant, et lorsque la particule se dirige vers une région où les lignes de forces se ressèrent, la particule est réfléchie (miroir magnétique) ; de tels dispositifs ont été utilisés en laboratoire, pour tenter de contenir le plasma, longitudinalement à $B_0$ ; mais on les rencontre dans la nature : il existe autour de la terre des régions où les lignes de forces du champ magnétique terrestre vont se resserrant : des particules de grande énergie se déplacent en s'enroulant autour d'un tube de force et se réfléchissent aux extrémités, au voisinage des pôles : ce sont les ceintures de Van Allen.

Nous nous bornerons ici à ces quelques rappels généraux. De nombreux ouvrages traitent en détail de ces questions (Cf. par exemple Spitzer, 1956; Chandrasekhar, 1960; Delcroix, 1963).

#### 1.6.1.2. MODÈLES HYDRODYNAMIQUES

Dans l'approximation des fluides, un petit élément de volume de densité $n$ se déplace avec une vitesse moyenne $v$, et les champs moyens $E$ et $B$ agissent globalement sur cet élément de volume. On se trouve donc dans une situation analogue à celle de l'hydrodynamique des fluides ordinaires, où les particules d'un même élément de volume se meuvent ensemble. Les résultats de l'étude des trajectoires individuelles pourront être appliqués ici.
avec

$$
(6.5.3) \quad \left\{
\begin{aligned}
\mathcal{A} &= \kappa_{11} \sin^2\theta + \kappa_{33} \cos^2\theta + 2\kappa_{13} \sin\theta \cos\theta \\
\mathcal{B} &= (\kappa_{11}\kappa_{22} + \kappa_{12}^2) \sin^2\theta + \kappa_{33}(\kappa_{11} + \kappa_{22} \cos^2\theta) \\
&\quad + 2(\kappa_{13}\kappa_{22} - \kappa_{12}\kappa_{33}) \sin\theta \cos\theta \\
\mathcal{C} &= \kappa_{33}(\kappa_{11}\kappa_{22} + \kappa_{12}^2)
\end{aligned}
\right.
$$

Les $\kappa_{\alpha\beta}$ contenant des facteurs en $N^2$, l'équation (6.5.2) est en réalité du 3e degré en $N^2$, le coefficient de $N^6$ étant proportionnel, dans la limite $\tau \ll 1$, à $KT/mc^2 \ll 1$. On aura donc, en général, trois racines $N^2$, deux correspondant à celles des plasmas froids, modifiées par des corrections de température, et une nouvelle racine $N^2$ très grande (qui tend vers l'infini quand $T \to 0$), correspondant à une vitesse de phase très petite, et qui doit donc être rejetée. On aura finalement les deux solutions de (6.5.2), limitées au 1er ordre en $\tau_s$.

Pour les ondes principales ($\theta = 0$ et $\theta = \frac{\pi}{2}$), ces solutions sont formellement identiques à celles des plasmas froids, puisqu'il en est alors de même des coefficients $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$, $\mathcal{C}$ (comparer (6.5.3) à (3.4.3), où $\kappa_{11} = \kappa_{22} = \kappa_1$ ; $\kappa_{12} = -\kappa_{21} = -i\kappa_2$ ; $\kappa_{33} = \kappa_3$).

Pour les coupures, définies par $C = 0$, on retrouve comme il a déjà été dit, les coupures des plasmas froids

$\kappa_3 = 0; \kappa_1 \pm \kappa_2 = 0.$

En propagation parallèle 6.5.1

On aura donc

$$
(6.5.4) \qquad \kappa_{33} = 0; \qquad N_{\pm}^2 = \kappa_{11} \pm i\kappa_{12}.
$$

La première correspond à l'onde de plasma, déjà étudiée pour $B_0 = 0$ [Éq. (6.4.10) et (6.4.11)]; la seconde correspond à un mode droit et à un mode gauche

$$
(6.5.5) \qquad N_D^2 = N_+^2 = \kappa_{11} + i\kappa_{12}; \qquad N_G^2 = N_-^2 = \kappa_{11} - i\kappa_{12}.
$$

Avec (6.5.1) et en appelant $\dot{\mathring{N}}_+$ et $\mathring{N}_-$ les solutions trouvées pour les plasmas froids, on a

$$
\begin{align*}
N_{\pm}^{2} &= \dot{\mathring{N}}_{\pm}^{2} - \sum_{s} \frac{p_{s}^{2} \tau_{s}}{(1 - b_{s}^{2})^{3}} \left[ 1 + 3b_{s}^{2} \mp b_{s} (3 + b_{s}^{2}) \right] \\
&= \dot{\mathring{N}}_{\pm} - \sum_{s} \frac{p_{s}^{2} \tau_{s}}{(1 \pm b_{s})^{3}}
\end{align*}
$$

avec $\tau_s = (KT_s/m_s c^2)N^2$, on a donc

$$
(6.5.6) \qquad N_{\pm}^{2} = \frac{\dot{\mathring{N}}_{\pm}^{2}}{1 + \eta_{//\pm}} \# N_{\pm}^{2} (1 - \eta_{//\pm})
$$
mène décroisse quand $t \to +\infty$, puis on effectue le calcul, et on annule le supplément imaginaire donné à $\omega$.

Le contour est modifié, si l'on utilise cette méthode, de façon opposée à la précédente (là où on passait au-dessus du pôle, on passe au-dessous, et inversement).

Ceci est l'analogue de la décomposition en champ entrant et sortant du rayonnement de l'électron.

## 5. Calcul hydrodynamique du tenseur de conductivité d'un magnétoplasma chaud

Pour un plasma chaud, l'équation pour $J_s$, associé à l'espèce $s$ de particules s'écrit (Quemada, 1961)

$$A_s \cdot J_s - \chi \cdot \Phi_s = \sigma_{0s} E, \quad A_s = (1 - i \mathbf{b}_s \times) = \begin{pmatrix} 1 & i \mathbf{b}_s & 0 \\ -i \mathbf{b}_s & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$\text{où} \qquad \sigma_{0s} = i\omega\epsilon_0 p_s^2, \quad \chi = k/\omega.$$

$$\text{Premier ordre en } \tau : \chi \cdot Q = 0$$

$$(A-5.1) \quad \Phi_s - i (\mathbf{b}_s \times \Phi_s + \text{transp.}) = \frac{\mathrm{KT}}{m} [(\chi \cdot J_s) \mathbf{1} + \chi J_s + J_s \chi] = \mathbf{G}.$$

Calcul de $\chi \cdot \Phi$, sans faire intervenir les indices $s$.

Introduisons les vecteurs $\Phi_l$, de composantes $\Phi_{jl} = \Phi_{lj}$ et $G_l$, de composantes $G_{jl} = G_{lj}$ ($j=1, 2, 3$). L'équation pour $\Phi$ se met alors sous la forme d'un système de 3 équations pour les vecteurs $\Phi_l$

$$(A-5.2) \qquad \left\{ \begin{array}{l} A \cdot \Phi_1 + ib\Phi_2 = G_1 \\ -ib\Phi_1 + A \cdot \Phi_2 = G_2 \\ A \cdot \Phi_3 = G_3 \end{array} \right. $$

où, d'après (A-5.1), les $G_l$ s'expriment par

$$G_1 = \frac{\mathrm{KT}}{m} \alpha \cdot J, \quad \alpha = \begin{pmatrix} 3\chi_1 & 0 & \chi_3 \\ 0 & \chi_1 & 0 \\ \chi_3 & 0 & \chi_1 \end{pmatrix}$$

$$G_2 = \frac{\mathrm{KT}}{m} \beta \cdot J, \quad \beta = \begin{pmatrix} 0 & \chi_1 & 0 \\ \chi_1 & 0 & \chi_3 \\ 0 & \chi_3 & 0 \end{pmatrix}$$

$$G_3 = \frac{\mathrm{KT}}{m} \gamma \cdot J, \quad \gamma = \begin{pmatrix} \chi_3 & 0 & \chi_1 \\ 0 & \chi_3 & 0 \\ \chi_1 & 0 & 3\chi_3 \end{pmatrix}$$

où les $\chi_j$ sont les composantes du vecteur $\chi$.
INDEX

a

Absorption, 55, 76, 283

Accessibilité, 76, 223

Agitation thermique, 63, 225, 228
vitesse d', 235

AKHIEZER, 167

ALEXEFF, 265

ALFVEN, 90

ALLIS, 21, 63, 84, 104, 113, 126

AMENT, 200

Amortissement

— Cerenkov, 283, 284, 286

— cyclotron, 283, 286, 289

— Landau, 249, 284

— et régime non linéaire, 254

— dans plasma collisionnel, 255

— calcul, 257

— du mode longitudinal BF, 348

Amplitudes complexes, 46, 49

D'ANGELO, 263

APPLETON, 115

Approximation

— adiabatique, 231, 243

— CGL, 227

— grandes longueurs d'onde, 269, 271

— hydrodynamique, 34, 35, 37, 226

— condition de validité, 228

— MHD, 128, 167, 226

— de l'optique géométrique, 210

— plasmas froids, 63

— plasmas tièdes, 272

— quasi-parallèle, 121

— quasi-perpendiculaire, 117

— quasi-statique, 157, 159, 165

— Vlasov, 39, 245, 269, 331

ASTRÖM, 126

Atténuation le long du rayon, 326

AUER, 97

b

BALAZAR, 118

BALESCU, 341

BALMAIN, 200

BAÑOS, 35

BARKHAUSEN, 123

BAYET, 309

BERNSTEIN, 40, 244, 254, 269

BERS, 21, 134, 165, 167

BHATNAGAR, 309

BLACHIER, 224

BOHM, 249, 253, 254, 263

BOOKER, 117, 213

BOUCHET, 224

BRAMLEY, 200

BRANCH, 165

BRESLER, 187

BRICE, 123

BRILLOUIN, 181, 360, 364

BRUECKNER, 230

BUDDEN, 21, 209, 217, 218, 317

BUCHSBAUM, 21

BUNEMAN, 227, 263

BUNKIN, 187
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 10.6. Indices $N_1$ et $N_2$ du mode extraordinaire, en fonction de la densité, pour $\omega > \omega_b$. (D'après Budden, 1961)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 10.7. Indices $N_1$ et $N_2$ du mode extraordinaire, en fonction de la densité, pour $\omega < \omega_b$. (D'après Budden 1961)</figcaption></figure>
$$ (9.5.12) \qquad v_g = \frac{|\bar{T}|}{W_0} = \frac{6\bar{W}_E V_e^2 \frac{k}{\omega}}{2\bar{W}_E} = \frac{3V_e^2}{v_\varphi} $$

en accord avec (7.5.13).

## Application aux ondes pseudosonores 9.5.2

On a, d'après (7.3.11) et (7.5.16), avec $\omega_p = k_{De}V_e$

$$ (9.5.13) \qquad x_h = 1 - \frac{\Omega_p^2}{\omega^2} - \frac{3k^2V_i^2}{\omega^2} + \frac{k_{De}^2}{k^2} \qquad V_i^2 = \frac{KT_i}{m_i} $$

d'où

$$ \frac{\partial}{\partial \omega} (\omega x_h) = 1 + \frac{\Omega_p^2}{\omega^2} + \frac{3k^2V_i^2}{\omega^2} + \frac{k_{De}^2}{k^2} $$ $$ \omega \frac{\partial}{\partial \omega} (x_h) = -2 \left[ \frac{3V_i^2}{v_\varphi} + v_\varphi \frac{k_{De}^2}{k^2} \right] \quad \text{où} \quad v_\varphi^2 = V_{PS}^2 = \frac{KT_e}{m_i} $$

Dans $\bar{W}_0$, les termes ioniques s'interprètent de la même manière que les termes électroniques dans l'exemple précédent : d'où

$$ \bar{W}_0 = \bar{W}_E + \bar{W}_K^{(i)} + \bar{W}_P^{(i)} + \frac{k_{De}^2}{k^2} \bar{W}_E; $$

cependant on a $\bar{W}_K^{(i)}/\bar{W}_E = \Omega_p^2/\omega^2 \approx 1$, et $\bar{W}_P^{(i)}/\bar{W}_E = 3V_i^2/V_{PS}^2 = 3T_i/T_e \ll 1$; de plus, le dernier terme (électronique) est du même ordre que $\bar{W}_K^{(i)}$ : en effet $(k_{De}^2/k^2) \bar{W}_E = \bar{W}_K^{(i)}$.

Donc

$$ (9.5.14) \qquad \bar{W}_0 \approx 2\bar{W}_K^{(i)} $$

et $\bar{T}$ s'écrit, en module

$$ (9.5.15) \qquad \bar{T} = 2V_{PS} \left[ \bar{W}_K^{(i)} + \frac{3V_i^2}{V_{PS}^2} \right] \# 2\bar{W}_K^{(i)} V_{PS} $$

(9.5.14) et (9.5.15) montrent que toute l'énergie est pratiquement contenue dans l'onde sous forme cinétique $2\bar{W}_K^{(i)} = \left(\frac{\Omega_p^2}{\omega^2} + \frac{k_{De}^2}{k^2}\right) \bar{W}_E$, et que le flux d'énergie, comme il fallait s'y attendre, met en jeu la vitesse $V_{PS}$ qui, dans ce cas, se confond avec la vitesse de groupe $v_g = \frac{\bar{T}}{\bar{W}_0}$.
$$ (8.5.3) \quad \left\{ \begin{array}{l} x_{11} = 1 + \sum_s \frac{\omega_{ps}^2}{\omega_{ds}^2} = 1 + A \\ x_{22} = 1 + A + 2 \sum_s \frac{\omega_{ps}^2}{\omega^3} \lambda_s z_{0s} Z_{0s} \\ x_{33} = 1 - \sum_s \frac{\omega_{ps}^2}{\omega^2} (1 - \lambda_s) z_{0s}^2 Z'_{0s} \\ x_{12} = -x_{21} \neq 0 \\ x_{23} = -x_{32} = -i \sum_s (\lambda_s/2)^{1/2} \frac{\omega_{ps}^2}{\omega^2} z_{0s} Z'_{0s} \\ x_{13} = x_{31} \neq 0. \end{array} \right. $$

Portées dans (2.4.9), les équations (8.5.3) conduisent à l'équation de dispersion

$$ (8.5.4) \quad [x_{33}(x_{22} - N^2) + x_{23}^2] (x_{11} - N^2 \cos^2 \theta) = 0 $$

(où le facteur $x_{23}$, du premier ordre en $\lambda_s$, ne disparaît plus, comme dans (6.7.2) où il était du second ordre en $\tau_s$).

L'équation (8.5.4) donne le mode torsionnel, inchangé, et le mode compresseur

$$ (8.5.5) \quad N^2 = x_{22} + \frac{x_{23}^2}{x_{33}} $$

Pour $a_i \ll \frac{\omega}{k_{ii}} \ll a_e$, ($z_{0e} \ll 1$ et $z_{0i} \ll 1$), on a, d'après (8.5.3), avec (7.5.27) et (7.5.28), et avec $2(\omega_{ps}/\omega)^2 \lambda_s = N^2 \sin^2 \theta \beta_s$

$$ (8.5.6) \quad x_{22} \approx 1 + A - N^2 \sin^2 \theta \beta_i + \frac{i \sqrt{\pi}}{2} \beta_e z_{0e} $$

$$ (8.5.7) \quad x_{23}^2 \approx -\frac{1}{2} N^2 \sin^2 \theta \beta_e (k_{De}/k_{ii})^2 $$

$$ (8.5.8) \quad x_{33} \approx \frac{k_{De}^2}{k_{ii}^2} - \frac{\Omega_p^2}{\omega^2} $$

Dans (8.5.8), les deux termes $\Omega_p^2/\omega^2$ et $k_{De}^2/k_{ii}^2$ sont dans le rapport

$$ \frac{\Omega_p^2 k_{ii}^2}{\omega^2 k_{De}^2} \approx \frac{V_{ps}^2}{v_{\phi//}^2} $$

où $V_{ps} = (KT_e/m_i)^{1/2}$ est la vitesse de phase des ondes pseudosonores (plasma électrons-protons).

Pour $v_{\phi//}^2 \gg V_{ps}^2$, on obtient donc

$$ (8.5.9) \quad N^2 = \frac{1 + A + i \frac{\sqrt{\pi}}{2} \beta_e z_{0e}}{1 + \left( \beta_i + \frac{1}{2} \beta_e \right) \sin^2 \theta} $$

qui, pour $\theta = 0$, redonne l'onde d'Alfvèn ordinaire, avec un terme d'amortissement dû à l'agitation thermique électronique.

Pour $v_{\phi//}^2 \ll V_{ps}^2$, on a
La solution de (3.3.7) est :

$$J_s = i\omega\epsilon_0 p_s^2 A_s^{-1} \cdot E$$

où, d'après (3.3.8) :

$$A_s^{-1} = \frac{1}{1 - b_s} \begin{pmatrix} 1 & -ib_s & 0 \\ ib_s & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - b_s^2 \end{pmatrix}$$

Avec $J_s = \sum_s J_s = \sum_s \sigma_s \cdot E$, le tenseur diélectrique (2.3.20)

$$\mathbf{x} = \mathbf{1} - \frac{1}{i\omega\epsilon_0 s} \sum_s \sigma_s$$

sera de la forme (liée évidemment au choix de coordonnées indiqué sur la figure 2.3).

$$(3.3.9) \qquad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} \mathbf{x}_1 & -i\mathbf{x}_2 & 0 \\ i\mathbf{x}_2 & \mathbf{x}_1 & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{x}_3 \end{pmatrix}$$

où

$$(3.3.10) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \mathbf{x}_1 = 1 - \sum_s \frac{p_s^2}{1-b_s^2} = 1 - \sum_s \frac{\omega_{ps}^2}{\omega^2 - \omega_{bs}^2} \\ \\ \mathbf{x}_2 = \sum_s (-b_s) \frac{p_s^2}{1-b_s^2} = \sum_s \frac{-\omega_{bs}}{\omega} \cdot \frac{\omega_{ps}^2}{\omega^2 - \omega_{bs}^2} \\ \\ \mathbf{x}_3 = 1 - \sum_s p_s^2 = 1 - \sum_s \frac{\omega_{ps}^2}{\omega^2} \end{array} \right.$$

Il est possible d'obtenir une expression de $\mathbf{x}$, sans caractériser le système de coordonnées. Pour cela, multiplions, à gauche, les deux membres de (3.3.5) par $(1 + ib_s \times)$: on obtient (en omettant l'indice $s$)

$$(1 + ib \times) (1 - ib \times) J = (1 + b \times b \times) J = (1 - b^2) J + (b \cdot J)b = i\omega\epsilon_0 p^2 (1 + ib \times) E.$$

En multipliant, d'autre part, (3.3.5) scalairement par $b$, on a $b \cdot J = i\omega\epsilon_0 p^2 b \cdot E$, de sorte que, pour chaque espèce $s$

$$(3.3.11) \qquad J = \frac{i\omega\epsilon_0 p^2}{1-b^2} [1 + (ib \times) - (bb \cdot)] E$$

d'où, pour les composantes de $\mathbf{x}$

$$(3.3.12) \qquad \mathbf{x}_{\alpha\beta} = \delta_{\alpha\beta} - \sum_s \frac{p_s^2}{1-b_s^2} [\delta_{\alpha\beta} - (b_s b_s)_{\alpha\beta} + i (g_s)_{\alpha\beta}]$$

où $g_s$ est défini, d'après (3.3.4), par

$$g_s = \begin{pmatrix} 0 & -b_s & 0 \\ b_s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

L'expression (3.3.12) pourra être commode pour passer dans une description liée à la direction de propagation, par exemple où $Oz$ est pris le long de $k$. Elle sera utilisée dans
De (2.2.34), on déduit facilement

$$
(2.2.35) \qquad \begin{cases} N_1 = (2\epsilon_0)^{-1/2} [(\epsilon_1^2 + \epsilon_2^2)^{1/2} + \epsilon_1]^{1/2} \\ N_2 = (2\epsilon_0)^{-1/2} [(\epsilon_1^2 + \epsilon_2^2)^{1/2} - \epsilon_1]^{1/2}. \end{cases}
$$

Dans la limite où les pertes sont faibles $\epsilon_2 \ll \epsilon_1$ (c'est le cas des diélectriques usuels),
on a donc

$$
(2.2.36) \quad \begin{cases} N_1 \# \sqrt{\epsilon_1 / \epsilon_0} \\ N_2 \# \epsilon_2 / (2\sqrt{\epsilon_1 \epsilon_0}) \end{cases}
$$

Cependant, dans le cas des plasmas, nous verrons qu'il existe des cas où $\epsilon_1 < 0$ :
dans la même limite $\epsilon_2 \ll |\epsilon_1|$, on aura donc

$$
(2.2.37) \quad \begin{cases} N_1 \# \epsilon_2 / (2\sqrt{-\epsilon_1 \epsilon_0}) \\ N_2 \# \sqrt{-\epsilon_1 / \epsilon_0}. \end{cases}
$$

Au contraire, pour $\epsilon_2 \gg \epsilon_1$ (c'est le cas des métaux, où la conductivité réelle $\sigma_1 = \omega\epsilon_2$ est prépondérante), on aura

$$
(2.2.38) \qquad N_1 \# N_2 \# \sqrt{\epsilon_2/2\epsilon_0} = \sqrt{\sigma_1/2\omega\epsilon_0}.
$$

Pour $\omega$ réelle, on a donc $\beta = k + i\chi$ ; dans la limite $\epsilon_2 \gg \epsilon_1$ on retrouve, avec (2.2.38), l'effet de peau observé dans les métaux : la profondeur de pénétration est

$$
(2.2.39) \qquad \delta = \chi^{-1} = (\omega N_2 / c)^{-1} = \sqrt{2 / (\mu_0 \omega \sigma_1)}.
$$

Pour $k$ réel, on a une fréquence complexe $\alpha = \omega - i\gamma$. Lorsque les pertes sont faibles, il existe une relation très simple entre le temps d'amortissement $\tau = \gamma^{-1}$ (à $k$ réel) et la distance d'atténuation $\Lambda = \chi^{-1}$ (à $\omega$ réelle). Plaçons-nous dans le cas $\gamma \ll \omega$. On a, par définition,

$$
(2.2.40) \qquad kc = \alpha N(\alpha, k) = \alpha [N_1(\alpha, k) + iN_2(\alpha, k)]
$$

où, au premier ordre en $\gamma$, on a

$$
N(\alpha, k) = N_1(\omega, k) + \gamma \frac{\partial N_2}{\partial \omega}(\omega, k) + i \left[ \omega N_2(\omega, k) - \gamma \frac{\partial N_1}{\partial \omega}(\omega, k) \right].
$$

Les pertes étant faibles, $N_2$ est aussi du premier ordre en $\gamma$: en effet, en prenant
les parties réelle et imaginaire de (2.2.40), on trouve :

$$
kc = \omega N_1(\omega, k) + (\text{termes d'ordre} \ge 1 \text{ en } \gamma)
$$
$$
0 = - \omega \gamma \frac{\partial N_1}{\partial \omega} - \gamma N_1 + \omega N_2,
$$
Deuxième cas : $s^2 < 0$ si $0 < s_0^2 < \frac{\omega_0^2}{c^2}$, c'est-à-dire $\alpha^2 c^2 < \omega^2 < \omega_0^2 + \alpha^2 c^2$.

Posons $s^2 = -\chi^2$, $\chi = \sqrt{\frac{\omega_0^2}{c^2} - s_0^2}$. La solution dans le vide est inchangée (éq. (4.3.15)), mais dans le plasma on a

$$ (4.3.20) \qquad E_j^P = E^P \mathrm{Ch}_j x, \qquad E_x^P = - \frac{i\alpha}{\chi^2} \frac{\partial E_{jj}^P}{\partial x} $$

et les mêmes conditions aux limites conduisent à

$$ (4.3.21) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \frac{\mathrm{tg} \, s_0 a}{s_0} = \chi^0 \frac{\mathrm{Th} \chi a}{\chi} \\[1em] \chi^2 = \frac{\omega_0^2}{c^2} - s_0^2 \end{array} \right. $$

système qui n'admet pas de solution dans la région considérée.

### 4.3.3.2. MODES NON RAYONNANTS, ($s_0^2 < 0$)

D'après (4.3.15), on a alors $s^2 < 0$.

Dans le vide, on a donc, avec $\chi_0^2 = -s_0^2$

$$ (4.3.22) \qquad \left\{ \begin{array}{l} E_{jj}^0 = E^0 e^{-\chi_0 x} \quad \text{pour } x > a \\ E_{jj}^0 = E^0 e^{+\chi_0 x} \quad \text{pour } x < -a \end{array} \right. $$

le choix des signes assurant des champs nuls pour $x \to \pm\infty$.

Dans le plasma, avec $\chi^2 = -s^2$, on a la solution (4.3.20).

La continuité de $E_{jj}$ et de $D_x$ donne alors, pour $x = \pm a$

$$ E^0 e^{-\chi_0 a} = E^P \mathrm{Ch} \chi a $$

$$ (4.3.23) \qquad -\frac{1}{\chi_0} E^0 e^{-\chi_0 a} = \frac{\chi^0}{\chi} E^P \mathrm{Sh} \chi a $$

D'où la condition

$$ (4.3.24) \qquad \chi^0 \mathrm{Th} \chi a = - \frac{\chi}{\chi_0} $$

avec

$$ (4.3.25) \qquad \chi^2 = \chi_0^2 + \frac{\omega_0^2}{c^2} $$

soit

$$ (4.3.26) \qquad \chi^0 \mathrm{Th} Y = - \frac{Y}{\sqrt{Y^2 - m^2}} $$

$$ \text{où} \qquad Y = \chi a, \quad m = \frac{\omega_0 a}{c} $$
$$E(r, t) = e^{i(k_0 \cdot r - \omega_0 t)} \int_{-\Delta k}^{\Delta k} \mathbf{A}(\delta\mathbf{k}) e^{i[r - (\frac{\delta\omega}{\delta\mathbf{k}})_0 t] \cdot \delta\mathbf{k}} \, d^3(\delta\mathbf{k}),$$

$$(5.4.6) \qquad E(\mathbf{r}, t) = G\left[\mathbf{r} - \left(\frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}}\right)_0 t\right] e^{i(\mathbf{k}_0 \cdot \mathbf{r} - \omega_0 t)} :$$

l'onde porteuse $e^{i(k_0 \cdot r - \omega_0 t)}$ a une amplitude $G(r)$ à l'instant $t=0$; dans le référentiel qui se déplace à la vitesse $v_g = (\partial\omega/\partial\mathbf{k})_0$, la « forme » $G(r)$ reste inchangée, $v_g$ apparaissant donc bien comme la vitesse de déplacement du paquet<fnref n="1" />.

Avec l'équation de dispersion $\mathcal{D}(\mathbf{k}, \omega) = 0$, on a

$$\frac{\partial \mathcal{D}}{\partial \mathbf{k}} \cdot \delta \mathbf{k} + \frac{\partial \mathcal{D}}{\partial \omega} \delta \omega = 0$$

et (5.4.3) s'écrit

$$(5.4.7) \qquad \mathbf{v}_g = - \frac{\partial \mathcal{D}}{\partial \mathbf{k}} \bigg/ \frac{\partial \mathcal{D}}{\partial \omega}.$$

Pour les ondes principales (une seule composante de $\mathbf{k}$), $\mathbf{v}_g$ est donc bien colinéaire à $\mathbf{k}$, c'est-à-dire au flux moyen d'énergie $\bar{S}$. Mais dans les autres cas, $\mathbf{v}_g$ n'est plus parallèle à $\mathbf{k}$, de même que $\bar{S}$ (Cf. (5.3.3)) : nous montrerons que, pour les plasmas froids, $\mathbf{v}_g$ et $\bar{S}$ sont encore colinéaires, $\mathbf{v}_g$ apparaissant donc comme la vitesse d'énergie $\mathbf{v}_E$. Cette dernière propriété $\mathbf{v}_g = \mathbf{v}_E$ se retrouvera encore pour les plasmas chauds, mais sans que $\mathbf{v}_g$ et $\bar{S}$ soient colinéaires, $\bar{S}$ ne représentant dans ce cas qu'une partie du flux total d'énergie (Cf. chap. 9).

Dans le cas où $\omega$ (ou $\mathbf{k}$) est complexe, il est nécessaire d'avoir $\mathfrak{Im}\omega \ll \mathfrak{Re}\omega$ (ou $\mathfrak{Im}\mathbf{k} \ll \mathfrak{Re}\mathbf{k}$) pour que le concept de vitesse de groupe reste valable, et pour que la vitesse de groupe s'identifie avec la vitesse de propagation de l'énergie (vitesse de signal) (Brillouin, 1960). Une discussion générale des relations qui existent entre ces vitesses a été effectuée par Hines (1951). En considérant le paquet comme une modulation d'une onde porteuse, une généralisation du calcul précédent dans le cas où $\mathbf{k}$ est complexe est donnée dans l'Appendice 12, et montre que, dans la région d'absorption, la vitesse de signal est différente de la vitesse de groupe, cette dernière perdant alors tout sens physique.

A titre d'exemple, étudions le mode sifflement, dans la région des grands indices ($N^2 \gg 1$) et pour des fréquences $\omega \ll \omega_b \cos \theta$ (Storey, 1953); l'équation de dispersion (3.8.21) se met alors sous la forme

$$(5.4.8) \qquad N^2 \approx \frac{\omega_p^2}{\omega \omega_b \cos \theta}$$

soit

$$(5.4.9) \qquad \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{2c}{\omega_p} \sqrt{\omega \omega_b \cos \theta} \sim \sqrt{\omega}$$

<footnote n="1">1. La déformation du paquet serait liée aux termes suivants dans le développement (5.4.5) de $\omega(\mathbf{k})$. [Cf. Appendice 12.]</footnote>
donne évidemment, après développement du dénominateur en puissances de $kv/\omega$, la solution (7.5.3) pour $\omega = \mathcal{R}\alpha^{-1}$.

Pour calculer le coefficient de $\gamma = Jm\alpha$ dans (7.5.8) on utilise (7.5.7), à l'ordre zéro en $\gamma$, en la multipliant par $k^2$ et en dérivant par rapport à $k$ : il vient

$$ (7.5.9) \qquad 2k + \omega_p^2 \frac{\omega}{k^2} \mathcal{R} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\bar{\varphi}'(v)}{v - \frac{\omega}{k}} dv = 0. $$

Puis, en portant (7.5.9) dans (7.5.8), et en tenant compte de $\omega \approx \omega_p$, on obtient

$$ (7.5.10) \qquad \gamma_L = \frac{\pi}{2} \omega_p^2 \frac{\omega}{k^2} \bar{\varphi}'\left(\frac{\omega}{k}\right) \approx \frac{\pi}{2} \omega_p^3 \bar{\varphi}'\left(\frac{\omega_p}{k}\right). $$

Ces ondes longitudinales sont donc des ondes amorties ($\gamma_L < 0$) chaque fois que la distribution de vitesses a, dans le voisinage des vitesses de particules résonnantes, une pente négative (fig. 7.2). Cet amortissement est l'amortissement de Landau des ondes longitudinales électroniques.

Une très belle expérience (Malmberg et al, 1965) a permis de mesurer directement cet amortissement, en dépit de sa valeur extrêmement faible. On y montre en particulier que ce sont bien les particules résonnantes qui sont responsables de l'amortissement. D'autres chercheurs (Dolgopolov et al, 1963) ont réussi à le mesurer, en utilisant une onde de plus petite vitesse de phase (celle du mode sifflement), conduisant à des amortissements plus importants.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 7.2. Plasma stable</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 7.3. Plasma instable</figcaption></figure>

Dans le cas contraire, c'est-à-dire chaque fois qu'au voisinage de $\omega/k$, la distribution présentera une pente positive, on aura $\gamma_L > 0$, c'est-à-dire une instabilité : c'est ce qui arrive dans un système faisceau-plasma (fig. 7.3). Bien entendu,

<footnote n="1">1. Ce calcul est plus correct qu'en (7.5.1), car l'intégrale dans (7.5.7.) n'est plus singulière, étant définie comme partie principale.</footnote>
TABLE

<table><tbody><tr><td>4. Condition de rayonnement. Condition d'antirayonnement (J.-P. Lafon)</td><td>334</td></tr><tr><td>5. Calcul hydrodynamique du tenseur de conductivité d'un magnétoplasma chaud</td><td>339</td></tr><tr><td>6. Transformation de Laplace</td><td>341</td></tr><tr><td>7. Propriétés de l'intégrale de Cauchy.</td><td>343</td></tr><tr><td>8. Étude du mode longitudinal de basse fréquence dans la limite T<sub>e</sub> &gg; T<sub>i</sub>.</td><td>346</td></tr><tr><td>9. Intégration de l'équation de Vlasov par la méthode des caractéristiques (méthode des trajectoires). Tenseur diélectrique d'un magnétoplasma chaud</td><td>349</td></tr><tr><td>10. Étude du voisinage de la résonance ω = ω<sub>b</sub></td><td>357</td></tr><tr><td>11. Particules résonnantes.</td><td>359</td></tr><tr><td>12. Vitesse de groupe et vitesse de signal au voisinage d'une fréquence d'absorption.</td><td>360</td></tr><tr><td>BIBLIOGRAPHIE</td><td>365</td></tr><tr><td>INDEX</td><td>377</td></tr></tbody></table>

COLLECTION DE PHYSIQUE

DU CENTRE NATIONAL D'ÉTUDES SPATIALES

D. Quémada, Ondes dans les plasmas, 1968.
Cette approximation des fluides conduit à caractériser le milieu par un certain nombre de grandeurs macroscopiques comme les coefficients de transport (conduc-tivités électrique et thermique), de diffusion, de viscosité... associés aux gradients des forces; la différence essentielle avec les fluides ordinaires réside en l'existence d'une densité de courant **J** qui couple le champ et les particules par un terme de force **J**×**B** figurant dans l'équation de mouvement, et par un terme **J**.**E**, figurant dans l'équation qui traduit le bilan d'énergie. De plus, lorsqu'on ne néglige plus l'agitation thermique des particules, on en représentera les effets par un terme de pression (Cf. chap. 6).

En écrivant que ce courant **J** satisfait aux équations de Maxwell, on construit une *magnétohydrodynamique* des fluides conducteurs (Baños, 1955) qui décrit certaines propriétés très importantes tant du point de vue théorique (étude de la stabilité, des ondes basse fréquence...) que du point de vue technologique (convertisseurs thermoioniques, propulsion ionique) (Cf. par exemple Thomson, 1962). Ainsi, lorsque la conductivité électrique est très élevée, les lignes de forces du champ magnétique sont entraînées par le fluide (on dit qu'elles y sont gelées) et on peut leur associer des propriétés élastiques (pression et tension) qui apparaissent finalement comme celles du fluide (on trouve alors des oscillations caractéristiques dépendant à la fois du fluide et du champ : les ondes d'Alfvèn, que nous étudierons au chap. 3).

C'est aussi sur ce modèle hydrodynamique qu'est basée la description diélectrique d'un plasma que nous préciserons au chapitre 2 : lorsqu'il est soumis à un champ électrique alternatif (par exemple celui d'une onde extérieure incidente), le plasma se comporte globalement comme un diélectrique soumis à un tel champ : on y retrouve des effets de polarisation qui permettent de définir une constante diélectrique (qui, d'ailleurs, comme toutes les grandeurs attachées au milieu, sont en fait des tenseurs, dès qu'un champ magnétique statique est présent), et des effets dissipatifs, comme ceux dus aux collisions, qui sont analogues aux courants de fuite dans les diélectriques solides ou liquides.

## Propriétés macroscopiques 1.6.2

En plus des phénomènes de propagation d'ondes, qui font l'objet de cette monographie, on observe un certain nombre de propriétés fondamentales des plasmas qui peuvent être déduites de ces modèles.

Citons tout d'abord la *diffusion ambipolaire*, où l'on obtient un état stationnaire, les ions et les électrons diffusant à la même vitesse. Ce phénomène s'explique par le fait que les ions, accélérés par le champ électrique créé par la séparation de charge, sont entraînés dans le sillage des électrons plus rapides, en même temps que le champ ralentit ces derniers.

Cependant, au voisinage d'une paroi ou d'une électrode, cette description
où, pour un plasma à deux composants

$$ (6.5.7) \qquad \dot{\mathbf{N}}_{\pm} = 1 - \frac{\omega_0^2}{(\omega \mp \omega_b)(\omega \pm \Omega_b)} $$

$$ \eta_{\parallel\pm} = \frac{\omega}{c^2} \left[ \frac{KT_e}{m_e (\omega \mp \omega_b)^3} + \frac{KT_i}{m_i (\omega \pm \Omega_b)^3} \right]; $$

la correction $\eta_{\parallel}$ doit rester $\ll 1$, ce qui exclut les voisinages trop proches des résonances gyromagnétiques (Cf. § 8.8). Cette correction contient, cependant, pour chacun des modes, une correction résonnante et une correction non résonnante : cette dernière est du même ordre que la correction relativiste et peut donc être négligée; au contraire, plus près de la résonance, la première devient beaucoup plus importante que la correction relativiste : elle doit être conservée.

### En propagation perpendiculaire 6.5.2

Les solutions sont

$$ (6.5.8) \qquad \left\{ \begin{array}{l} N_0^2 = \kappa_{33} \\ N_x = \frac{\kappa_{11}\kappa_{22} + \kappa_{12}^2}{\kappa_{11}} \end{array} \right. $$

— l'onde ordinaire n'est donc plus identique à l'onde transversale trouvée pour $B_0 = 0$ ($\kappa_{33} \neq \kappa_{11}$), contrairement au cas des plasmas froids. On obtient facilement

$$ (6.5.9) \qquad N_0^2 = \frac{1 - \frac{\omega_0^2}{\omega^2}}{1 + \eta_1'} \quad \text{où} \quad \eta_1' = \sum_s \frac{KT_s}{m_s c^2} \frac{\omega_{ps}^2}{\omega^2 - \omega_{bs}^2} $$

— l'onde extraordinaire est donnée par

$$ (6.5.10) \qquad N_x^2 = \frac{\dot{N}_x}{1 + \eta_1''} $$

où, dans le cas des hautes fréquences

$$ \eta_1'' = \frac{8KT_e}{m_e c^2} \frac{\omega_p^2}{\omega^2 - 4\omega_b^2} \left(1 - \frac{3}{2} \frac{\omega_p^2 \omega_b^2}{(\omega^2 - \omega_1^2)}\right), \qquad \omega_1^2 = \omega_b^2 + \omega_p^2. $$

Comme dans le cas où $\theta = 0$, les corrections $\eta_1'$ et $\eta_1''$, dans (6.5.9) et (6.5.10), deviennent très vite plus importantes que les effets relativistes dès qu'on s'approche des résonances.

### Théorie adiabatique à pression scalaire 6.5.3

Celle-ci conduit à des résultats incorrects : en particulier, elle donne $\kappa_{23} = \kappa_{13} = 0$, et aucune correction de température sur les composantes $\kappa_{\alpha\beta}$ autres que $\kappa_{33}$, laquelle, comme lorsque $B_0 = 0$, est décrite correctement avec $\gamma_e = \gamma_i = 3$. Dans le cas $\theta = 0$, on peut d'ailleurs obtenir directement le résultat de la théorie à pression scalaire; il suffit de superposer aux ondes longitudinales (obtenues dans
Le vecteur $\chi \cdot \Phi$ s'exprime à l'aide des vecteurs $\Phi_1$ et $\Phi_3$

$$ \chi \cdot \Phi = \chi_1 \Phi_1 + \chi_3 \Phi_3. $$

L'élimination de $\Phi_2$ dans (A-5.2) conduit immédiatement à

$$ \mathcal{B} \cdot \Phi_1 = A \cdot G_1 - ibG_2 = \frac{\mathrm{KT}}{m} (A \cdot \alpha - ib\beta) \cdot \mathbf{J} $$

où $\mathcal{B} = (A^2 - b^2)\mathbf{1}$.

De sorte que

$$ \chi \cdot \Phi = \frac{\mathrm{KT}}{m} [\chi_1 \mathcal{B}^{-1} \cdot (A \cdot \alpha - ib\beta) + \chi_3 A^{-1} \cdot \gamma] \cdot \mathbf{J}. $$

On a $\chi_1 = \chi \sin \theta$, $\chi_3 = \chi \cos \theta$. Posons, pour simplifier l'écriture, $\sin \theta = S$, $\cos \theta = C$, et

$$ \tau = \frac{\mathrm{KT} k^2}{m \omega^2} = \frac{\mathrm{KT}}{m} \chi^2. $$

Alors

$$ \chi \cdot \Phi = \tau M \cdot J $$

avec

$$ M = \mathcal{B}^{-1} \cdot (A \cdot P - ibQ) + A^{-1} \cdot R $$

où P, Q, R ont les expressions suivantes :

$$ P = \begin{pmatrix} 3S^2 & 0 & SC \\ 0 & S^2 & 0 \\ SC & 0 & S^2 \end{pmatrix} $$

$$ Q = \begin{pmatrix} 0 & S^2 & 0 \\ S^2 & 0 & SC \\ 0 & SC & 0 \end{pmatrix} $$

$$ R = \begin{pmatrix} C^2 & 0 & SC \\ 0 & C^2 & 0 \\ SC & 0 & 3C^2 \end{pmatrix} $$

et

$$ A^{-1} = \frac{1}{1-b^2} \begin{pmatrix} 1 & -ib & 0 \\ ib & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-b^2 \end{pmatrix}, \quad \mathcal{B}^{-1} = \frac{1}{1-4b^2} \begin{pmatrix} 1 & -2ib & 0 \\ 2ib & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1-4b^2}{1-b^2} \end{pmatrix}. $$

On a successivement

$$ A \cdot P - ibQ = \begin{pmatrix} 3S^2 & 0 & SC \\ 4ibS^2 & S^2 & 2ibSC \\ SC + ibSC & S^2 & S^2 \end{pmatrix} $$

$$ \mathcal{B}^{-1} \cdot [A \cdot P - ibQ] = \frac{1}{1-4b^2} \begin{pmatrix} (3-8b^2)S^2 & & SC \\ -2ibS^2 & S^2 & 0 \\ \frac{1-4b^2}{1-b^2}SC & ib\frac{1-4b^2}{1-b^2}SC & \frac{1-4b^2}{1-b^2}S^2 \end{pmatrix} $$

$$ A^{-1} \cdot R = \frac{1}{1-b^2} \begin{pmatrix} C^2 & -ibC^2 & SC \\ ibC^2 & C^2 & ibSC \\ (1-b^2)SC & 0 & 3(1-b^2)SC \end{pmatrix} $$
c

CHANDRASEKHAR, 34, 310

CHAPMAN, 310

CHEW, 227

CHORNEY, 167

CLEMMOV, 63, 104, 235

Collisions, 29, 115, 183, 214, 255, 268, 307

Conditions

— aux limites, 133, 136, 204

— de fermeture, 228

— de rayonnement, 189, 334

Conductivité électrique, 35, 52, 64

— complexe, 50, 54

— de Lorentz, 312

Cône de résonance, 110, 192

Configurations instables, 37

Confinement magnétique, 36, 37

CONSOLI, 103

Constante diélectrique, 35, 48

— complexe, 49, 54

— longitudinale, 252

— scalaire, 65

— propriétés générales, 53, 327

CONTE, 262

Coordonnées tournantes, 74, 90, 352

Corrections de température, 225, 235, 237, 238

— relativistes, 235, 238, 239

Couplage de modes, 37, 122, 133, 224

— magnétique, 187

Coupure, 76, 105, 109

Courbes de dispersion

— plasmas froids isotopes, 69

— magnétoplasmas froids

— propag. parallèle et perpend., 103

— en fonction de la densité, 124

— plusieurs composants ioniques, 132

— modes de guide, 164

— ondes principales adiabatiques, 239, 240

COWLING, 33, 310

CRAWFORD, 195

d

DAWSON, 249, 254

DELCROIX, 21, 34, 226, 241, 265, 288, 309

DENISSE, 21, 226, 241, 254, 265, 309

Densité d'énergie totale, 170, 297

Dérive, 34, 37, 263

Dérivée en suivant le mouvement, 228

DESCHAMPS, 194

Description

— charges dans le vide, 49, 68

— diélectrique, 35, 48, 293

Déviation latérale du rayon, 216

Diagramme

— de Brillouin, 69, 103, 138, 163

— CMA, 63, 104, 109, 197

— en haute fréquence, 116

— de rayonnement, 195, 202

Diamagnétisme, 36, 56

Diffusion

— ambipolaire, 35

— des ondes, 51

Dipôle plongé dans un plasma

— capacité, 200

— rayonnement, 194, 331

— self, 201

Distance d'atténuation, 45, 52

DNESTROVSKII, 274

DOLGOPOLOV, 257

DOUGHERTY, 195

ECKERLEY, 209

e

Effet(s)

— collectifs, 27, 29

— des collisions, 283

— sur l'amortissement de Landau, 255

— sur la propagation, 307

— Cotton-Mouton, 97

— dissipatifs, 35

— Döppler, 283, 285

— d'écran, 27, 30, 32, 40, 68, 265, 309, 316

— Faraday, 92, 123, 218

— de focalisation des rayons, 207

— de peau, 52

— de polarisation, 35, 54

— tunnel, 224

— Zeeman, 81, 86, 96

EIDMAN, 187

Électrons découplés, 54

EMELEUS, 41

EPSTEIN, 326

Équation

— d'Appleton-Hartree, 63, 114, 213

— et direction du flux d'énergie, 177

— de Boltzmann, 38, 40, 308

— d'état adiabatique, 226

— Navier-Stokes, 227
### 10.3.2.3. CAS DE LA PROPAGATION OBLIQUE

Les expressions d'Appleton-Hartree ont été données au chapitre 3 : nous les rap-
pelons ici

$$
(10.3.6) \quad \left\{
\begin{array}{l@{\quad}l@{\quad}l}
N^2 = 1 - \displaystyle\frac{X}{1 + iZ - T \pm \Delta} & & \\
T = \displaystyle\frac{Y^2 \sin^2\theta}{2(1 + iZ - X)}; & \Delta = \sqrt{Y^2 \cos^2\theta + T^2} & \\
\text{signe + : mode gauche ou ordinaire;} & & \\
\text{signe - : mode droit ou extraordinaire.}
\end{array}
\right.
$$

Fréquence critique de collision 10.3.3

Pour $Y \neq 0$ fixé, et lorsque $v = 0$, nous avons déjà précisé que si $\theta \neq 0$, les deux solutions $N_1^2$ et $N_2^2$ de (10.3.6) sont toujours distinctes, puisque $\Delta$ ne peut s'annuler. Lorsque $v \neq 0$, cela n'est plus vrai, et il existe une valeur critique $Z_c$ qui donne $\Delta = 0$, au voisinage de $X = 1$; pour cette valeur, les deux indices sont égaux et le milieu ne présente plus la double réfraction. En effet, la condition $\Delta = 0$ s'écrit, pour $Y \neq 0$, en séparant les parties imaginaire et réelle

$$
\begin{cases}
1 - X = 0 \\
4 \cos^2\theta [(1 - X)^2 - Z^2] + Y^2 \sin^4\theta = 0
\end{cases}
$$

soit
$$Y^2 \sin^4 \theta - 4 \cos^2 \theta Z^2 = 0$$

d'où la fréquence de collision critique $v_{crit} = \omega Z_c$, avec

$$
(10.3.7) \qquad Z_c = \frac{1}{2} Y \frac{\sin^2\theta}{|\cos\theta|}.
$$

La valeur commune de l'indice $N_c^2 = N_1^2 = N_2^2$ est alors, en $X = 1$

$$
(10.3.8) \quad N_c^2 = (N_{c1} + iN_{c2})^2 = 1 - \frac{1 + i (Z_c + Y |\cos \theta|)}{1 + Z_c^2 + Y^2}.
$$

A cette solution double correspondent deux ondes d'indices $N = \pm N_c$ se pro-
pageant avec la même vitesse dans deux directions opposées (une dans la direction
faisant un angle aigu avec $B_0$, l'autre dans la direction opposée). Des conventions
pour définir la polarisation de ces deux ondes sont alors nécessaires (Cf. § 3.5
et aussi Budden, 1961, chap. 5).

Naturellement, à une valeur donnée Z, il pourra correspondre, avec (10.3.7),
un angle critique $\theta_c$, tel que

$$
(10.3.9) \qquad \frac{\sin^2\theta_c}{|\cos\theta_c|} = \frac{2Z}{Y} = \frac{2v}{\omega_b}
$$

si $v \ll \omega_b$, on a donc $\theta_c \sim \pm (\frac{2v}{\omega_b})^{1/2}$. Les relations (10.3.7) et (10.3.9) montrent
que $v_{crit}$ ne dépend que du champ magnétique $B_0$ et de l'angle $\theta$ entre $k$ et $B_0$.
$$ (8.5.10) \qquad N^2 = \frac{1+A}{\cos^2\theta} + i \frac{\sqrt{\pi}}{2} \beta_e z_{0e} \qquad \frac{1 + \beta_i \sin^2\theta}{1 + \beta_i \sin^2\theta} $$

qui donne encore la même limite que (8.5.9) pour $\theta = 0$.

Avec $\beta_e z_{0e} = c\beta_e/aN \cos\theta$, le mode (8.5.9) n'existe plus lorsque $\theta$ devient voisin de $\pi/2$; en dehors de cette région, le terme imaginaire dans (8.5.9) est négligeable et on a

$$ v_{\phi}^2 = V_{A}^2 + (V_{PS}^2 + a_i^2) \sin^2\theta $$

pratiquement identique à (8.5.2), et n'existe que si $V_A^2 \ll V_{PS}^2$, c'est-à-dire $\beta_e \ll 1$. Le mode (8.5.10), où le terme imaginaire, indépendant de $\theta$, est toujours négligeable si $\beta_e \ll a_e/V_A$, donne

$$ v_{\phi}^2 = \cos^2\theta (V_A^2 + a_i^2 \sin^2\theta) $$

pratiquement identique au mode (8.5.1), mais de polarisation différente, et n'existe que si $V_A^2 \ll V_{PS}^2$, c'est-à-dire pour $1 \ll \beta_e \ll a_e/V_A$, ce qui exige $V_A \ll a_e^2$.

Enfin, pour $v_{\phi} \simeq V_{PS}$, on a $|\kappa_{33}| \ll 1$, et alors l'équation de dispersion du mode compressionnel devient $N^2 \simeq \kappa_{23}^2/\kappa_{33}$, soit après calcul (et en négligeant le terme en $\beta_e z_{0e}$, toujours $\ll 1$ si $\beta_e \ll a_e/V_{PS}$)

$$ (8.5.11) \qquad N^2 = \frac{c^2}{V_{PS}^2 \cos^2\theta} \left( 1 + \frac{\beta_e^2}{2} \sin^2\theta \right) $$

ou encore

$$ v_{\phi}^2 = \frac{V_{PS}^2 \cos^2\theta}{1 + (V_{PS}/V_A)^2 \sin^2\theta} $$

L'existence des modes (8.5.9), (8.5.10) et (8.5.11) n'est assurée que si $a_i^2 \ll v_{\phi}^2 \ll a_e^2$. Pour le premier, il faut donc pratiquement que $a_i^2 \ll \frac{V_A^2}{\cos^2\theta} \ll a_e^2$, d'où $\beta_i \ll 1$ (d'autant moins que $\theta$ s'approche près de $\pi/2$) et $V_A^2 \ll a_e^2$ (d'autant plus que $\theta \to \frac{\pi}{2}$). Pour le second, on doit avoir $a_i^2 \ll V_A \ll V_{PS}^2 \ll a_e^2$, conditions indépendantes de $\theta$, soit $\beta_i \ll 1$ et $\beta_e \ll 1$. Enfin, le troisième qui existe pour $\beta_e \ll 1$ exige $\theta$ petit dès que $1 \ge \beta_e \ll a_e/V_A$.

En conclusion, le couplage des modes d'Alfvèn avec le mode pseudosonore conduit, pour $\beta_e < 1$, à deux modes (8.5.9), avec $v_{\phi}^2 > V_A^2 \cos^2\theta$, où $\theta \ne \frac{\pi}{2}$, et (8.5.11) avec $v_{\phi}^2 < V_A^2 \cos^2\theta$: on les appelle respectivement *onde magnétosonore accélérée* et *onde magnétosonore retardée*<fnref n="1" /> (relativement au mode torsionnel); pour $1 < \beta_e \ll a_e/V_A$, les deux solutions (8.5.10) et (8.5.11) donnent deux modes accélérés.

<footnote n="1">1. La théorie adiabatique à pression scalaire conduit aussi à des modes magnétosonores accéléré et retardé, mais dont les expressions des indices sont incorrectes.</footnote>
l'étude de la propagation en milieu inhomogène, Oz étant pris cette fois dans la direction de $\nabla n_0$ (Cf. § 5.9.3).

L'utilisation de coordonnées « tournantes » (Cf. par exemple Allis, Buschbaum et Bers, 1963) simplifie quelque peu les calculs, en rendant le tenseur $\mathbf{x}$ (ainsi que $\boldsymbol{\sigma}$) diagonal. Pour cela, dans le cas où $B_0$ est le long de Oz, à tout vecteur V, de composantes $V_x$, $V_y$, $V_z$, on associe le vecteur « tournant » $\tilde{V}$ de composantes (tournantes) définies par

$$ (3.3.13) \qquad \left\{ \begin{array}{l} V_+ = V_x + iV_y \\ V_- = V_x - iV_y \\ V_z. \end{array} \right. $$

Les équations (3.3.5) deviennent alors (en omettant l'indice $s$)

$$(1 + b) J_+ = i\omega \epsilon_0 p^2 E_+$$

$$(1 - b) J_- = i\omega \epsilon_0 p^2 E_-$$

$$J_z = i\omega \epsilon_0 p^2 E_z$$

soit

$$\tilde{J} = \tilde{\sigma} \cdot \tilde{E}$$

où

$$ \tilde{\sigma} = i\omega\epsilon_0 p^2 \begin{pmatrix} (1+b)^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & (1-b)^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

auquel on associera un tenseur diélectrique $\tilde{\mathbf{x}}$

$$ \tilde{\mathbf{x}} = 1 - \frac{1}{i\omega\epsilon_0} \sum_s \tilde{\sigma}_s $$

qui sera donc diagonal aussi.

Néanmoins, les grandeurs tournantes ne sont pas les grandeurs physiques et il faut revenir aux composantes habituelles : cette opération s'effectue à l'aide de la matrice (unitaire)

$$ (3.3.14) \qquad \begin{aligned} U &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -i & i & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix} \\ E &= U \cdot \tilde{E}. \end{aligned} $$

Alors, d'après les règles de transformation des tenseurs,

$$ (3.3.15) \qquad \sigma = U \cdot \tilde{\sigma} \cdot U^{-1}, \qquad \mathbf{x} = U \cdot \tilde{\mathbf{x}} \cdot U^{-1} $$

qui redonnera (3.3.10)

## 3.4. Équation de dispersion des ondes planes dans un magnétoplasma froid

D'après (3.3.10), le tenseur $\mathbf{x}$ est indépendant de $\mathbf{k}$; cela résulte de l'équation de mouvement (3.1.5), c'est-à-dire du modèle choisi : pour les plasmas froids, le milieu n'est donc pas spatialement dispersif, et, mis à part le « mode collectif »,
soit, en prenant $N_1$ à l'ordre zéro,

$$ \omega N_2 = \gamma \frac{\partial}{\partial \omega} (\omega N_1) = \gamma c \frac{\partial k}{\partial \omega}. $$

Or, dans le cas $\alpha = \omega$, réelle, $\beta$ complexe, l'indice d'extinction $N_2$ est relié à $\chi = \Im\beta$ par

$$ N_2 = \chi c / \omega. $$

On a donc, entre $\gamma$ et $\chi$, la relation

$$ \chi = \gamma \frac{\partial k}{\partial \omega}. $$

qui s'écrit, en en prenant l'inverse

(2.2.41)

$$ \Lambda = v_g \tau, $$

où $v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k}$ est la composante le long de $k$ de la vitesse de groupe qui, dans un milieu isotrope, s'identifie à la vitesse à laquelle se propage l'énergie (Cf. chap. 5) : la relation (2.2.41) exprime cette propriété.

Enfin, s'il n'y a pas de pertes dans le milieu, $\epsilon_2 = 0$, $N^2$ est réel et on a, soit une onde progressive d'amplitude constante ($N = N_1 > 0$), soit une onde évanescente ($N = iN_2$).

### 2.2.2.6. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE LA CONSTANTE DIÉLECTRIQUE

Dans tout ce qui précède, on a caractérisé l'influence du milieu par une relation telle que (2.2.17) :

$$ D = \varepsilon E. $$

En fait, une telle relation n'existe que pour une onde plane (Cf. 2.2.14). Dans le cas où le champ $E$ varie de façon quelconque dans le temps, la forme la plus générale de la relation linéaire entre $D(t)$ et $E(t)$ est (Appendice 1), lorsque le milieu est homogène

$$ (2.2.42) \qquad D(t) = \epsilon_0 E(t) + \epsilon_0 \int_0^\infty \Phi(\tau) E(t - \tau) d\tau. $$

En développant les champs en séries de Fourier dans le temps, on obtient, pour chaque composante de fréquence $\omega$, la relation (2.2.17)

(2.2.43)

$$ D_{\omega} = \varepsilon(\omega) E_{\omega}. $$

où, d'après (2.2.42)

$$ (2.2.44) \qquad \varepsilon(\omega) = \varepsilon_0 \left[ 1 + \int_0^\infty \Phi(\tau) e^{i\omega\tau} d\tau \right] = \varepsilon_1(\omega) + i\varepsilon_2(\omega). $$

La relation (2.2.44) fixe la loi de dispersion du milieu. On en déduit la propriété évidente, $\varepsilon^*$ désignant le conjugué de $\varepsilon$,

(2.2.45)

$$ \varepsilon(-\omega) = \varepsilon^*(\omega). $$
— Pour $x^0 > 0$, c'est-à-dire $\omega > \omega_0$, (4.3.26) n'admet pas de solution, $ThY$ ne pouvant pas être du signe de $-Y$.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

— Pour $x^0 < 0$, $\omega < \omega_0$, on a des solutions (voir la construction graphique ci-dessus).

Étudions la limite $\omega \to 0$. Alors, $x^0 \to -\infty$. La solution graphique devient $\alpha\chi = m$, c'est-à-dire $\chi = \omega_0/c$. Cette limite $\omega \to 0$ correspond donc d'une part à $\chi_0 \to 0$, puisque $\chi^2 = \frac{\omega_0^2}{c^2} + \chi_0^2$, et d'autre part à $\alpha \to 0$ : on a donc $\omega = \alpha c$ au voisinage de l'origine du plan $(\alpha, \omega)$.

D'autre part, quand $\alpha \to \infty$, $\chi \to \infty$ aussi, et $ThY \to 1$ par valeurs inférieures : on a alors, dans (4.3.25), $-x^0 \ge 1$, soit

$$ (4.3.27) \qquad \begin{gathered} \frac{\omega_0^2}{\omega^2} - 1 \ge 1 \\ \omega \le \frac{\omega_0}{\sqrt{2}}. \end{gathered} $$

Dans le cas général où le milieu extérieur aurait été un diélectrique de constant diélectrique $\epsilon_0\kappa_D$, on aurait eu le facteur $\kappa_D$ au premier membre de (4.3.23), et (4.3.27) serait devenu

$$ \omega \le \frac{\omega_0}{\sqrt{1 + \kappa_D}}. $$

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 4.5. Ondes de surface</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 4.6. Dispersion des modes de surface</figcaption></figure>
ce qui explique la variation de ton au cours de la réception, les signaux centrés sur des fréquences élevées se propageant plus vite que ceux centrés sur des fréquences basses. Lorsqu'on observe le phénomène aux fréquences plus élevées, et qu'on ne peut plus, dans (3.8.4), négliger $\omega$ devant $\omega_b$, la vitesse de groupe présente un maximum pour une fréquence critique appelée « fréquence de nez »; l'enregistrement, en fonction du temps, des signaux reçus a l'allure caractéristique montrée sur la figure 5.9 (sifflement à « nez »). On montre que $\omega_N = \omega_b/4$.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIGURE 5.9. Enregistrement (Sonagramme) d'un sifflement présentant un nez (nose Whistler)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE 5.10. Directions de k et $v_g$ pour les sifflements</figcaption></figure>

Revenons au cas $\omega \ll \omega_b \cos \theta$ (fig. 5.10). Avec les composantes $k_x = k \sin \theta$ et $k_z = k \cos \theta$ de k, (5.4.8) sécrit

$$kk_x = \frac{\omega_p^2}{c^2\omega_b} \omega = \gamma\omega \quad \text{avec} \quad k^2 = k_x^2 + k_z^2 \quad \text{et} \quad \gamma = \frac{\omega_p^2}{c^2\omega_b}$$

On en tire

$$v_{gx} = \frac{\partial \omega}{\partial k_x} = \frac{k_x k_z}{\gamma k} \qquad v_{gz} = \frac{\partial \omega}{\partial k_z} = \frac{k^2 + k_z^2}{\gamma k}.$$

D'où

$$(5.4.10) \qquad \operatorname{tg} \Phi = \frac{v_{gx}}{v_{gz}} = \frac{k_x k_z}{k^2 + k_z^2} = \frac{\operatorname{tg} \theta}{2 + \operatorname{tg}^2 \theta} < \operatorname{tg} \theta :$$
sous l'effet de cette instabilité, les phénomènes non linéaires prennent naissance assez rapidement, et la description linéaire tombe en défaut.

Une image physique, bien que peu conforme à la réalité, illustre ces phénomènes : les particules résonnantes, de vitesses comprises entre $\frac{\omega}{k} - \Delta v$ et $\frac{\omega}{k} + \Delta v$, interagissent avec l'onde. Celles qui sont moins rapides que l'onde sont entraînées par elle et lui empruntent de l'énergie; celles qui sont plus rapides sont freinées et lui en cèdent. Dans le plasma stable, où $\bar{\varphi}(v)$ est décrit sur la figure 7.2, il y a plus de particules de la première catégorie que de la seconde : le bilan total est une absorption d'énergie par les particules, au détriment de l'onde qui s'amortit donc. Dans le système plasma-faisceau (fig. 7.3), c'est le contraire qui se produit : l'onde absorbe une partie de l'énergie des particules, et devient instable.

Dans la pratique, cet amortissement Landau est très faible : ainsi pour un équilibre maxwellien, on a, d'après (7.1.10)

$$ (7.5.11) \qquad \bar{\varphi}(v) = \int \varphi(w^2) dw_1 dw_2 = \frac{1}{a\sqrt{\pi}} e^{-v_1^2/a^2}, \quad a^2 = \frac{2KT_e}{m_e} $$

et (7.5.10), pour $\omega \approx \omega_p$, se met sous la forme

$$ \frac{\gamma_L}{\omega_p} = -\left(\frac{\pi}{8}\right)^{1/2} z^3 e^{-z^2/2} $$

avec $z = \frac{\omega_p}{ka_e} = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{k_D}{k}$, où $k_D = \sqrt{2} \omega_p / a_e = \left( \frac{n_0 e q_e^2}{\epsilon_0 K T_e} \right)^{1/2}$ est l'inverse de la longueur

de Debye des électrons. Nous avons vu que l'hypothèse $\gamma_L \ll \omega \approx \omega_p$ exige qu'il y ait peu de particules de vitesses voisines de $v_\varphi$ : on a donc des ondes rapides $v_\varphi \gg a_e$, c'est-à-dire $z \gg 1$. Dès que $k \sim k_D$, on aura un amortissement fort pour lequel les calculs précédents ne sont plus valables (ce cas sera étudié au paragraphe suivant). Des ordres de grandeur sont donnés sur le tableau suivant, avec, d'après (7.5.3) et (7.5.10) et en ne confondant plus $\omega$ et $\omega_p$

$$ (7.5.12) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \left(\frac{\omega}{\omega_p}\right)^2 = 1 + \frac{3}{2}\left(\frac{k}{k_D}\right)^2 \\ \\ \frac{\gamma_L}{\omega_p} = -\sqrt{\frac{\pi}{8}\left(\frac{\omega}{\omega_p}\right)^2 \left(\frac{k_D}{k}\right)^3} e^{-\frac{1}{2}\left(k_D/k\right)^2}. \end{array} \right. $$

<table><tr><td>k/k<sub>D</sub></td><td>0,01</td><td>0,1</td><td>0,15</td><td>0,2</td><td>0,3</td><td>0,5</td></tr><tr><td>ω/ω<sub>p</sub></td><td>1</td><td>1,007</td><td>1,017</td><td>1,03</td><td>1,07</td><td>1,17</td></tr><tr><td>γ<sub>L</sub>/ω<sub>p</sub></td><td>~ 10<sup>-2000</sup></td><td>10<sup>-19</sup></td><td>5.10<sup>-8</sup></td><td>3.10<sup>-4</sup></td><td>10<sup>-1</sup></td><td>0,93</td></tr></table>
## PRÉFACE

La physique des gaz ionisés, appelés, sous certaines conditions, plasmas, s'est beaucoup développée depuis une vingtaine d'années, principalement grâce aux recherches sur la fusion thermonucléaire contrôlée. Dès lors, l'étude des caractéristiques de la propagation des différents types d'onde dans ces plasmas a constitué une méthode d'analyse très efficace de leurs propriétés : cette monographie a pour objet de présenter un exposé systématique de ces caractéristiques.

Mais bien avant, l'étude de l'ionosphère avait conduit les géophysiciens à des travaux sur la propagation des ondes radioélectriques dans les couches ionisées de la haute atmosphère; et dans le même temps, les astrophysiciens s'étaient intéressés aux oscillations de basse fréquence dans la couronne solaire. C'est pourquoi un certain nombre de résultats, déjà anciens, sont repris dans cet ouvrage. Plus récemment, les recherches se sont étendues du côté des basses fréquences pour la magnétosphère, et des hautes fréquences en radioastronomie; la géophysique et l'astrophysique offrent donc un très vaste champ d'application pour une étude d'ensemble de la propagation des ondes : les exemples cités mettent un accent particulier sur les applications dans ces deux domaines.

Cette monographie a eu pour origine différents cours professés par l'auteur dans le cadre, d'une part des enseignements de troisième Cycle (D.E.A. de Physique des Milieux Ionisés et d'Astrophysique, à Paris, depuis 1965; D.E.A. de Physique Spatiale, à Toulouse, depuis 1966) et d'autre part d'une École d'Été de Physique Spatiale, placée sous l'égide du C.N.E.S. (Tarbes, 1966); ils ont couvert essentiellement l'ensemble du sujet traité ici, mis à part les chapitres 4, 8 et 10. Enfin, un exposé plus sommaire du même sujet est enseigné à l'École Supérieure d'Électricité de Paris, depuis 1966.

Deux préoccupations fondamentales ont guidé l'auteur. Tout d'abord, un but pédagogique a été poursuivi : c'est pour cette raison que certaines notions
n'est plus valable : on observe alors une séparation effective des charges, sur une distance de l'ordre de quelques $λ_D$ : on dit qu'il s'est formé une gaine; la différence de potentiel entre les extrémités de la gaine est de l'ordre de quelques fois $KT_e/q_e$ (fig. 1.2).

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 1.2. Répartitions des densités dans une gaine</figcaption></figure>

Dans un champ magnétique $B_0$ qui n'agit pas sur les composantes de vitesses qui lui sont parallèles, on assistera, dans la direction du champ $B_0$, à des phénomènes analogues. Dans la direction perpendiculaire à $B_0$, on observe un phénomène différent; les trajectoires des particules s'enroulent autour des lignes de champ (le libre parcours moyen dans la direction perpendiculaire à $B_0$ est alors de l'ordre du rayon de giration) : la diffusion est complètement modifiée, et est d'autant plus faible que le champ magnétique est intense et qu'il y a peu de collisions. Cette propriété entraîne la possibilité de maintenir un plasma à l'intérieur d'une certaine région de l'espace, et en particulier sans contact avec d'éventuelles parois. C'est le confinement magnétique.

On retrouve cette propriété lorsqu'on analyse, d'un point de vue macroscopique, les propriétés magnétiques d'un plasma. En superposant les moments magnétiques associés à chaque particule, on obtient (Cf. chap. 2) un moment magnétique par unité de volume, c'est-à-dire une aimantation du milieu, qui est dirigée en sens inverse du champ $B_0$ extérieur, appliqué au plasma : le plasma est donc diamagnétique, et le champ total à l'intérieur du plasma est plus faible qu'à l'extérieur. En introduisant la pression cinétique $p = nKT$, on montre alors la relation

$$p + \frac{B^2}{2\mu_0} = C^{\text{te}} = \frac{B_0^2}{2\mu_0}$$

($B_0$ étant la valeur du champ magnétique, à l'extérieur du plasma) où $B^2/2\mu_0$, densité d'énergie magnétique à l'intérieur du plasma, joue le rôle d'une
le cas $B_0 = 0$) les ondes transversales de l'approximation des plasmas froids (modes droit et gauche), puisque ces modes sont, dans l'hypothèse de pression scalaire, indépendants de la température.

## 6.6. Courbes de dispersion des ondes principales rapides

Nous nous limiterons aux allures des courbes $N^2 = N^2(x)$ (fig. 6.2 et 6.3).

Sur ces figures ont été indiquées les limites (6.2.3) et (6.2.4) de la théorie adiabatique, en prenant $\tau_e \approx 10^{-2}$.

Dans la région des faibles indices, l'allure générale des courbes obtenues dans l'approximation des plasmas froids est peu modifiée, ce qui est normal puisque,

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 6.2.
Allure des Courbes de Dispersion en propagation parallèle ($A = \frac{\omega_0^2}{\omega_b \Omega_b} \sim 10^2$)</figcaption></figure>

dans ces régions, les effets de température apparaissent comme de petites corrections, de l'ordre de grandeur des corrections relativistes.
d'où

$$
\left\{
\begin{aligned}
M_{11} &= \frac{3 - 8b^2}{1 - 4b^2} S^2 + \frac{1}{1 - b^2} C^2 \\
M_{22} &= \frac{1}{1 - 4b^2} S^2 + \frac{1}{1 - b^2} C^2 \\
M_{33} &= \frac{1}{1 - b^2} S^2 + 3C^2 \\
M_{12} &= -M_{21} = -ib \left[ \frac{2}{1 - 4b^2} S^2 + \frac{1}{1 - b^2} C^2 \right] \\
M_{23} &= -M_{32} = \frac{ib}{1 - b^2} SC \\
M_{13} &= M_{31} = \frac{2 - b^2}{1 - b^2} SC.
\end{aligned}
\right.
$$

Au premier ordre en $\tau$, on peut prendre, pour calculer $\chi \cdot \Phi$, l'approximation d'ordre 0 pour $J$, c'est-à-dire celle des plasmas froids

$$J^F = \sigma_0 A^{-1} \cdot E = \sigma^F \cdot E.$$

Alors, pour les plasmas chauds

$$A \cdot J^c = \sigma_0 [1 + \tau M \cdot A^{-1}] \cdot E$$

d'où

$$J^c = \sigma \cdot E = \sum_s \sigma_s \cdot E$$

avec, en revenant à l'indice $s$

$$\sigma_s = \sigma_{0s} [A_s^{-1} + \tau_s \cdot A_s^{-1} \cdot M_s \cdot A_s^{-1}].$$

Le tenseur diélectrique dans cette limite devient donc

$$\epsilon = \epsilon_0 \kappa$$

avec

$$\kappa = 1 - \sum_s p_s^2 (A_s^{-1} + \tau_s A_s^{-1} \cdot M_s \cdot A_s^{-1}),$$

ce qui conduit aux $\kappa_{\alpha\beta}$, donnés en (6.5.1).

## 6. Transformation de Laplace¹

Soit une fonction $f(t)$ de la variable réelle $t$, telle que

$$(A-6.1) \qquad f(t) = 0 \quad \text{pour } t < 0$$

$$(A-6.2) \qquad \int dt e^{-\sigma t} |f(t)|, \text{ bornée, où } \sigma \text{ est un nombre réel quelconque.}$$

1. Cet appendice et le suivant ont été rédigés d'après Balescu (1963).
— de Fokker-Planck, 39, 40, 310

— de Landau, 39, 40

— de Lenard-Balescu, 39

— de Maxwell, 47, 58, 174

— composantes parallèles et perp., 135

— de Vlasov, 39, 227, 245, 269, 349

Équation de Dispersion

— forme générale, 59, 61

— plasma isotrope, 65

— ondes guidées, 137, 148, 153

— milieux faiblement inhomogènes, 214

— magnétoplasma adiabatique, 236

— ondes longitudinales (Vlasov), 247, 252

— modèle multifaisceaux, 248

— ondes longitudinales lentes, 260, 346

Équilibre maxwellien, 38, 40, 246, 258, 262, 270

f

FAINBERG, 152

FELDERHOF, 268, 289

FELSEN, 207

FESHBACH, 187, 192

Flux d'énergie, 170, 172, 297, 301

Fonction de dispersion du plasma, 262

Fonction eikonale, 210

FRANK-KAMENETSKII, 282

Fréquence de collision, 31

— éq. Appleton-Hartree, 115

— critique, 320

— et dissipation, 183

— effective, 313

— électrons-neutres, 32, 309, 314

— électrons-ions, 32, 314

Fréquences de coupure, 68

— magnétoplasma froid, 80

— ondes guidées, 137, 141, 154

— plusieurs composants ioniques, 130

— magnetoplasmas chauds, 237

Fréquences de croisement, 130, 224

Fréquences de résonance

— gyromagnétiques, 46, 70

— magnétoplasmas froids, 77, 80, 96

— ondes guidées, 156, 160

— plusieurs composants ioniques, 131

— magnétoplasmas chauds, 241, 273, 289

Fréquence plasma, 28, 46, 65, 261

FRIED, 262, 263

FRIEMAN, 172

g

Gain directionnel d'une antenne, 195, 196

Gaines, 36, 204

GAJEWSKI, 167

GARDNER, 92

GARRIOT, 123

GERSHMAN, 224, 235

GINZBURG, 21, 124, 187, 224, 292, 314, 330

GOLDBERGER, 227

GORBATENKO, 152

GOUDET, 138

GOULD, 157, 165, 263

Gradient de densité, 37, 208

GROSS, 249, 253, 254, 263, 309

GUREVICH, 313

GURNETT, 123

h

HALPERN, 165

Harmoniques

— gyromagnétiques, 241, 273, 283, 286, 289, 360

— sphériques, 309

HÄRM, 310

HARRIS, 41

HARTREE, 115

HASELGROVE, 218, 223

HAVARD, 118

HEALD, 103, 134, 313, 315

HEINZ, 118

HELLIWELL, 183

Hiérarchie BBGKY, 39

HINES, 181

HURWITZ, 97

HWA, 314

i

Indice, 44

— de propagation, 51

— d'extinction, 51
vecteur —, 60

Indice de groupe

— modes D et G, 91

— modes O et X, 97
effets de collisions sur —, 321
Remarquons que l'égalité des deux solutions complexes $N_1^2$ et $N_2^2$ de (10.3.6) implique simultanément

$$ \begin{cases} (N_1)_1 = (N_2)_1 = (N_c)_1 \\ (N_1)_2 = (N_2)_2 = (N_c)_2 \end{cases} $$

ces égalités n'ont lieu que pour $X = 1$; on peut cependant avoir des cas où les parties réelles des deux indices $N_1$ et $N_2$ sont égales sans que les parties imaginaires le soient, ou vice-versa (Cf. fig. 10.8 et 10.9 et fig. 10.10 et 10.11).

Lorsque, à Z constant, on fait varier $\theta$, les courbes (fig. 10.8 et 10.9) pour $N_1 = \Re N$ et $N_2 = \Im N$ pour chacun des deux modes $N_1$ et $N_2$ se déforment continûment depuis le cas de la propagation parallèle (fig. 10.4 et 10.5) jusqu'au cas de la propagation perpendiculaire (fig. 10.6 et 10.7). On traverse alors la valeur $\theta = \theta_c$ pour laquelle les parties réelle et imaginaire des deux indices deviennent égales : des précautions relatives à la dénomination des modes doivent être prises (Cf. Budden, 1961, chap. 6). Par exemple (fig. 10.8 et 10.9), pour $\theta > \theta_c$, les deux modes sont bien identifiés par rapport aux courbes obtenues pour $\theta = \frac{\pi}{2}$; lorsque $\theta < \theta_c$, on garde pour $X < 1$, les mêmes dénominations, mais on doit les inverser pour $X > 1$.

Lorsque à $\theta$ fixé, on fait varier Z (à travers $v$), des phénomènes analogues ont lieu : les figures 10.10 et 10.11, empruntées à Budden (1961), sont tracées pour $\theta = 23^\circ 16'$, respectivement pour $Y = 0,5$ et $Y = 2$.

**Voisinages des résonances.** L'effet des collisions est essentiel au voisinage des résonances : en effet, comme les corrections de température (Cf. chap. 6, 7 et 8), les collisions font disparaître les valeurs infinies de l'indice (Cf. fig. 10.4, 10.5, 10.6 et 10.7). Cela permet dans certains cas de surmonter les difficultés liées à ce problème (pour le rayonnement des antennes, par exemple).

## Effet des collisions sur l'indice de groupe 10.3.4

Dans le cas où $B_0 = 0$, l'indice de groupe devient complexe et vaut, d'après $N^2 = 1 - \frac{X}{1 + iZ}$, pour une fréquence réelle

$$ N_g = \frac{\partial}{\partial \omega}(\omega N) = \frac{1}{N} \left( 1 - i \frac{ZX}{2(1+iZ)^2} \right) $$

dont la partie réelle est liée à la vitesse de propagation de l'énergie

$$ N_{g1} = \frac{c}{v_g} = \Re N_g = \frac{\partial}{\partial \omega}(\omega N_1) = \left(1 + \omega \frac{\partial}{\partial \omega}\right) N_1 $$

d'où

$$ N_{g1} = N_1 + \frac{1}{N_1(1 + Z^2)^2} \qquad N_1 \text{ étant défini en (10.3.1).} $$
L'excitation de ces modes magnétosonores a été proposée pour chauffer les ions d'un plasma (Frank-Kamenetskii, 1960).

## 8.6. Ondes longitudinales

L'équation de dispersion des ondes électrostatiques a été établie au § 6.8

$$ (8.6.1) \qquad \kappa_{11} \sin^2\theta + 2\kappa_{13} \sin\theta \cos\theta + \kappa_{33} \cos^2\theta = 0 $$

et la limite des ondes rapides y a été étudiée; on l'obtiendrait de nouveau avec les expressions microscopiques (8.1.4, 5 et 6).

L'existence de l'onde pseudosonore, pour $T_e$ » $T_t$, lorsque $\theta = 0$, nous conduit à rechercher, dans la limite des basses fréquences, une solution lente telle que $a_1^2 \ll v_\phi^2 \ll a_e^2$. Dans la même limite que celle étudiée au § précédent pour l'onde magnétosonore, on a donc

$$ \begin{align*} \kappa_{11} &\approx 1 + A \\ \kappa_{13} &\approx 0 \\ \kappa_{33} &\approx \left(\frac{k_{D_e}}{k_{\|}}\right)^2 - \left(\frac{\Omega_p}{\omega}\right)^2 \end{align*} $$

expressions qui conduisent à

$$ (8.6.2) \qquad N^2 = \frac{2\omega_p^2 c^2 / a^2}{\Omega_p^2 \cos^2\theta - \omega^2 (1 + A) \sin^2\theta} $$

En excluant le voisinage de $\theta = \frac{\pi}{2}$ (8.6.1) devient alors $\kappa_{11} = 0 = 1 + A$ qui n'a pas de solution basse fréquence], on peut écrire

$$ (8.6.3) \qquad N^2 = \frac{c^2}{V_{ps}^2 \cos^2\theta} \left[ 1 + \frac{\omega^2}{\Omega_p^2} (1 + A) \operatorname{tg}^2\theta \right] $$

l'angle $\theta$ devant satisfaire à la condition

$$ \operatorname{tg}^2\theta \ll \frac{\Omega_p^2}{\omega^2 (1 + A)} $$

Dans ces conditions, on peut aller assez près de $\theta = \frac{\pi}{2}$, pourvu que $\omega$ soit suffisamment petit devant $\Omega_p^2/(1 + A)$. Pratiquement, on a donc

$$ (8.6.4) \qquad N^2 = \frac{c^2}{V_{ps}^2 \cos^2\theta} $$

qui, pour $\beta_e \ll 1$, se confond avec (8.5.11).

Ce mode pseudosonore oblique résulte, comme l'onde magnétosonore, du couplage entre l'onde d'Alfvèn et l'onde pseudosonore; cependant, il dépend peu de $B_0$ et a essentiellement un caractère sonore.
on retrouve les caractéristiques de la propagation des ondes dans les milieux anisotropes, comme celles des ondes lumineuses dans les cristaux.

L'équation (2.4.9), avec (3.3.9), s'écrit :

$$ (3.4.1) \qquad \begin{vmatrix} x_1 - N^2 \cos^2 \theta & -ix_2 & N^2 \sin \theta \cos \theta \\ ix_2 & x_1 - N^2 & 0 \\ N^2 \sin \theta \cos \theta & 0 & x_3 - N^2 \sin^2 \theta \end{vmatrix} = 0 $$

et peut être développée de deux manières différentes. On peut d'abord obtenir une équation bicarrée en $N^2$

$$ (3.4.2) \qquad \mathcal{A}N^4 - \mathcal{B}N^2 + \mathcal{C} = 0 $$

où

$$ (3.4.3) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{A} = x_1 \sin^2 \theta + x_3 \cos^2 \theta \\ \mathcal{B} = (x_1^2 - x_2^2) \sin^2 \theta + x_1 x_3 (1 + \cos^2 \theta) \\ \mathcal{C} = x_3 (x_1^2 - x_2^2) \end{array} \right. $$

dont la solution peut s'écrire :

$$ (3.4.4) \qquad N^2 = \frac{1}{2\mathcal{A}} (\mathcal{B} \pm \mathcal{D}), $$

$\mathcal{D}$ pouvant être mis sous la forme

$$ (3.4.5) \qquad \mathcal{D}^2 = (x_1^2 - x_2^2 - x_1 x_3)^2 \sin^4 \theta + 4x_2^2 x_3^2 \cos^2 \theta, $$

expression qui est toujours positive ou nulle : $\mathcal{D}$ ne s'annule que dans les 3 cas suivants :

$$ (3.4.6) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \text{a)} \quad \theta = 0, \quad x_3 = 0 \\ \text{b)} \quad \theta = 0, \quad x_2 = 0 \\ \text{c)} \quad \theta = \frac{\pi}{2}, \quad x_1^2 - x_2^2 - x_1 x_3 = 0 \end{array} \right. $$

on aura donc toujours deux racines distinctes en propagation oblique (ceci n'est vrai qu'en l'absence de collision : voir chap. 10).

Il en résulte que, $N^2$ étant toujours réel dans un plasma froid et sans collision, l'indice est soit réel, soit purement imaginaire, donnant des régions où il existe des ondes progressives d'amplitude constante et des régions où les ondes sont évanescentes.

On peut aussi résoudre (3.4.2) en $\operatorname{tg}^2 \theta$ : un calcul élémentaire donne

$$ (3.4.7) \qquad \operatorname{tg}^2 \theta = - \frac{x_3 [(N^2 - x_1)^2 - x_2^2]}{(x_1 N^2 - x_1^2 + x_2^2) (N^2 - x_3)} $$

expression qui conduit rapidement aux équations de dispersion :
c'est-à-dire

(2.2.46)

$$ \begin{cases} \epsilon_1(-\omega) = \epsilon_1(\omega) \\ \epsilon_2(-\omega) = -\epsilon_2(\omega) \end{cases} $$

$\epsilon_1$ est une fonction paire de $\omega$; $\epsilon_2$, une fonction impaire.

Il existe de plus, entre $\epsilon_1$ et $\epsilon_2$, des relations générales : ce sont les relations de Kramers-Kronig (1927) (Cf. Appendice 1).

Naturellement, les considérations qui précèdent s'appliquent aussi aux deux autres constantes $\xi$ et $\sigma$, chacune d'elles pouvant être utilisée à la place de $\epsilon$ pour caractériser le milieu.

### 2.2.2.7. DESCRIPTION DIÉLECTRIQUE D'UN PLASMA ISOTROPE

Nous avons vu, au chapitre 1, qu'un plasma soumis à un champ électrique extérieur voit ses particules se déplacer : s'il y a beaucoup de collisions on observe un courant fini, comme dans les conducteurs métalliques; si les collisions sont faibles, certains électrons peuvent être accélérés et, la section efficace de choc diminuant avec l'énergie, ces électrons se « découprent » du reste des particules et gagnent de plus en plus d'énergie (électrons découplés ou « run away »). Dans les deux cas, on a un phénomène qui échappe évidemment à une description diélectrique et exige une approche microscopique.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 2.2. Polarisation d'un gaz électrons-ions</figcaption></figure>

Cependant, dans un champ électrique alternatif, les particules oscillent autour de leur position moyenne d'équilibre, créant ainsi des dipôles élémentaires (les ions et les électrons étant déplacés dans des directions opposées, à partir de leur position d'équilibre où ils se neutralisaient électriquement); elles apparaissent donc comme des charges liées, analogues aux charges de polarisation (fig. 2.2). Dans ce cas, il n'y a donc pas de différence essentielle entre un milieu ionisé et un diélectrique imparfait. On pourra donc décrire le plasma soit par une constante diélectrique complexe, soit (dans la description charges dans le vide) par une conductivité complexe, $\sigma = \sigma_1 + i\sigma_2$. Dans ce dernier cas, nous avons montré que les effets de polarisation sont liés à $\sigma_2$, tandis que les pertes sont décrites
On a donc un mode de basse fréquence, avec des champs à l'intérieur et à l'extérieur du plasma, décroissants quand on s'écarte de la limite : ce sont des ondes de surface (fig. 4.5 et 4.6). Le champ, dans le plasma, décroît exponentiellement (plus exactement en Chx), conformément à l'effet d'écran des particules pour $\omega < \omega_0$. Pour $\alpha = 0$, la profondeur de pénétration

$$ \chi^{-1} = c (\omega_0 - \omega^2)^{-1/2} $$

correspond à celle obtenue dans le plasma illimité (Cf. § 3.2).

Pour les ondes TE, on a des résultats analogues pour les modes rayonnants, mais il n'existe pas de modes non rayonnants, ce qui montre que ces derniers sont associés à la présence d'un champ $E_{\parallel}$, longitudinal, qui se couple, à la surface du milieu, aux oscillations de plasma.

Ces différentes caractéristiques sont générales et se retrouvent dans toutes les structures. Nous les rencontrerons à nouveau dans le cas de guides partielle-ment emplis de plasma. Nous allons aussi les retrouver dans les magnétoplasmas, en examinant d'abord la limite $B_0 \to \infty$.

## 4.4. Ondes guidées dans un plasma plongé dans un champ magnétique axial infini

Pour $B_0$ infini, on a (Cf. 3.3.10), $\kappa_{\perp}=1$, $\kappa_{\parallel}=1 - \frac{\omega_0^2}{\omega^2}$. Alors $D_{\perp}=\epsilon_0 E_{\perp}$ et $D_{\parallel}=\epsilon_0 \kappa_{\perp} E_{\parallel}$. D'où, d'après (4.1.15)

$$ \nabla_{\perp} \cdot E_{\perp} = -i\alpha \kappa_{\perp} E_{\parallel}, $$

et, d'après (4.1.11)

$$ \nabla_{\perp} \times (\kappa_{\perp} \cdot E_{\perp}) = \nabla_{\perp} \times E_{\perp} = i\omega\mu_0 H_{\parallel} $$

Les équations (4.1.17) et (4.1.18) deviennent

$$ (4.4.1) \qquad (\nabla_{\perp}^2 + s_E^2)E_{\parallel} = 0 $$

$$ (4.4.2) \qquad (\nabla_{\perp}^2 + s_H^2)H_{\parallel} = 0 $$

avec

$$ (4.4.3) \qquad s_E^2 = \left( \frac{\omega^2}{c^2} - \alpha^2 \right) \kappa_{\perp} $$

$$ (4.4.4) \qquad s_H^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \alpha^2 $$

différentes pour $E_{\parallel}$ et $H_{\parallel}$. On a encore des modes TE et des modes TM avec des fréquences de coupure différentes.
$\bar{S}$ reste intérieur au cône d'axe $B_0$ et de 1/2 angle au sommet $\theta$. Remarquons d'ailleurs que la condition (5.4.10) correspond à la relation (5.3.5) $tg\Psi = N'_0/N$, soit d'après (5.4.8)

$$ (5.4.11) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad tg \Psi = \frac{1}{2} tg \theta $$

on vérifie bien que $\Phi = \theta - \Psi$, en prenant les tangentes. Pour le paquet centré sur une valeur $\theta = \theta_0$, la valeur maximum de $tg \Phi$ est $1/\sqrt{8}$ qui donne $\Phi \approx 19^\circ$, d'où $\theta_0 \approx 55^\circ$. Cette limitation angulaire sur $v_g$ traduit le fait que les sifflements ont tendance à se propager le long des lignes de forces du champ magnétique terrestre; de plus, alignées le long de ces lignes de force, il existe des colonnes (fibres d'ionisation) où l'ionisation diffère de l'ionisation ambiante (Smith, Helliwell et Yabroff, 1960; Smith, 1961); la propagation est alors guidée (comme la lumière dans les jets des fontaines lumineuses), ce qui limite l'angle $\theta$, donc à fortiori l'angle $\Phi$.

## 5.5. Ondes complexes [$\omega$ (ou k) complexe, k (ou $\omega$) réel]

Dans un plasma froid, des solutions complexes de l'équation de dispersion n'existent que lorsqu'il y a des collisions, seul mécanisme susceptible d'absorber de l'énergie dans ce cas. Nous verrons qu'il n'en sera pas de même pour les plasmas chauds dans lesquels, même en l'absence de collisions, il existe des processus dissipatifs. En nous limitant aux plasmas froids, nous allons généraliser les résultats des paragraphes précédents, dans le cas où les fréquences de collision charges-molécules neutres $v_{s0}$ sont suffisamment petites devant les fréquences $\omega$ considérées pour que les pertes soient faibles.

L'équation du mouvement s'écrit alors

$$ (5.5.1) \qquad m_s \frac{\partial}{\partial t} v_s = q_s (E + v_s \times B_0) - v_{s0} m_s v_s. $$

En procédant comme au § 5.1, on obtient pour les grandeurs instantanées

$$ (5.5.2) \qquad \frac{\partial}{\partial t} W_K = J \cdot E - \sum_s v_{s0} n_{0s} m_s v_s^2 $$

où $W_K$ est la densité d'énergie cinétique instantanée et où le dernier terme s'interprète comme la perte d'énergie, $-\frac{\delta W_F}{\delta t}$, par frottement sous l'effet des collisions (c'est en effet le travail effectué par seconde et par unité de volume par la force de frottement $-v_{s0}m_s v_s$).

Le théorème de Poynting instantané s'écrira donc, sous sa forme habituelle, en portant $J \cdot E$, tiré de (5.5.2), dans (5.1.5)
Pour $k \gtrsim \frac{k_D}{2}$, on est donc sorti du domaine de validité de (7.5.12). Le tableau ci-dessus montre qu'en pratique, pour les ondes rapides, dès que $v_φ$ est supérieure à quelques fois la vitesse thermique $a_e$, cet amortissement peut être négligé.

## VITESSE DE GROUPE

On a $v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} = |v_g| \frac{k}{k}$, dans la direction de $k$, avec d'après (7.5.3)

$$ \omega \frac{\partial \omega}{\partial k} = 3V_e^2 k $$

c'est-à-dire

$$ (7.5.13) \qquad v_g = \frac{3V_e^2}{v_\varphi} = \left(1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}\right) v_\varphi. $$

En conclusion, la théorie microscopique conduit, dans la limite des ondes rapides, à des ondes longitudinales très faiblement amorties, pour lesquelles la relation de Bohm et Gross, déjà obtenue par la théorie adiabatique, est donc satisfaisante. Nous allons maintenant étudier le cas des ondes « très lentes ».

**Plasma à deux composants : Ondes pseudosonores et ondes plasma**

ioniques 7.5.2

### 7.5.2.1. ONDE PSEUDOSONORE

Pour un plasma d'électrons, la seule solution physiquement intéressante (faiblement amortie) est la solution rapide (7.5.3). Des solutions ondes très lentes ne pourront être trouvées que pour un plasma à plusieurs composants ¹. Pour ces ondes très lentes, on ne peut plus développer l'intégrant comme en (7.5.1).

Nous avons déjà remarqué, cependant, qu'il pouvait exister des ondes très peu amorties (ou amplifiées) si la condition (7.3.12) est presque satisfaite. Par exemple, dans le cas de distributions maxweliennes, on a un maximum de $|\bar{\varphi}'|$ pour le point d'inflexion de $\bar{\varphi}$ (fig. 7.4). On pourra donc avoir, entre les deux maxima de $|\bar{\varphi}'|$ et 1. Cf. éq. (7.3.12).

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 7.4. Distributions $\bar{\varphi}$ et $\bar{\varphi}'$ pour $T_e \gg T_i$</figcaption></figure>
## PRÉFACE

de base ont fait l'objet de nombreux rappels et que la théorie élémentaire a été particulièrement développée. Ce livre s'adresse donc en premier lieu aux étudiants abordant la physique des plasmas.

L'autre préoccupation non moins importante, mais l'éloignant parfois de la première, a été d'apporter une aide aux chercheurs spécialisés dans ce domaine : bien que très diverses et souvent complexes, les principales méthodes habituellement utilisées et un certain nombre de résultats généraux ont été rassemblés dans cet ouvrage <fnref n="1" />. Néanmoins, il a été nécessaire de limiter, en raison de son amplement, le sujet traité ici, c'est pourquoi certaines questions, bien qu'essentielles — comme les effets de plasmas dans les solides, les instabilités, les effets non linéaires — ont été exclues ou abordées succinctement.

L'auteur exprime ses remerciements à sa femme pour l'aide qu'elle lui a apportée. Il remercie également Mesdames A. Constantin et A.-M. Pointu pour leurs justes critiques et suggestions à la lecture du manuscrit, et Monsieur P.-M. Velut pour la correction des épreuves. Il exprime sa gratitude à Madame L. Boivin que s'est chargée avec soin et diligence de la frappe du manuscrit.

D. QUEMADA
Orsay, juillet 1967

<footnote n="1">1. Certains paragraphes (en petits caractères) plus spécialisés, ou plus difficiles, pourront être laissés de côté lors d'une première lecture.</footnote>
pression : on l'appelle pression magnétique. Le confinement magnétique sera donc obtenu pour des champs extérieurs $B_0$ tels que $B_0^2 > 2\mu_0 p$.

Au voisinage d'une limite du plasma (par exemple une paroi), il existe un gradient de densité associé à un gradient de pression et à un gradient de champ magnétique, tous deux perpendiculaires à la paroi; des mouvements d'ensemble des particules (mouvements de dérive) s'établissent dans le plasma, qui se tra-duisent par des courants macroscopiques parallèles à sa surface limite (Spitzer, 1956).

Dans le cadre de cette description, on a pu montrer l'existence d'un grand nombre de situations instables (Thomson, 1962), qui se retrouvent aussi dans les liquides conducteurs en présence d'un champ magnétique. Dans ces instabilités, les caractéristiques géométriques des lignes de force de B jouent un rôle essentiel : on parle de *configurations instables*.

D'autres types d'instabilités macroscopiques sont liées aux situations for-tement éloignées de l'équilibre thermodynamique qu'on rencontre en pratique. Lorsque les effets des collisions sont trop faibles pour assurer le retour à l'équilibre thermodynamique, ce retour est obtenu par le développement spontané d'oscil-lations collectives. Ces modes d'oscillation et le plasma interagissent par des mécanismes non linéaires (couplage de modes), lesquels, dans les plasmas, appa-raissent pour des amplitudes du champ relativement faibles. (Cela tient à ce que dans un plasma peuvent exister des modes basse fréquence pour lesquels les effets non linéaires sont très grands.) Un cas particulièrement important est obtenu dans les plasmas inhomogènes, où le gradient de densité est lié à la présence de limites : c'est le cas habituel des plasmas de laboratoire; l'inhomogénéité est alors la source d'instabilités de dérive, ainsi dénommées puisqu'à ce gradient de densité est associé, nous l'avons vu, un mouvement de dérive des particules. Enfin, dans de nombreux cas, ces processus non linéaires conduisent à des états turbulents comme en hydrodynamique des fluides visqueux, où des corrélations à longue distance (supérieures à $\lambda_D$) s'établissent (Cf. par ex. Kadomtsev, 1965).

## 1.7. Propriétés microscopiques des plasmas

### Description microscopique. Théorie cinétique 1.7.1

Les vitesses des particules d'un plasma sont distribuées sur un très large domaine de valeurs : de ce point de vue, la situation est donc analogue à celle des gaz neutres. Si, dans de nombreux cas, on peut se contenter de l'approximation des fluides, il existe plusieurs types de problèmes où les propriétés microscopiques du milieu interviennent. A la place de grandeurs moyennes, le plasma est alors caractérisé par une fonction de distribution des vitesses $f(r, w, t)$ qui représente la « densité », dans l'espace des phases, des particules contenues, à l'instant $t$, dans l'élément de volume $d^3r$ au voisinage du point $r$, et dont les vecteurs vitesses
— Pour $\theta = 0$, on retrouve les deux ondes droite et gauche, qui, aux basses fréquences, donnent l'onde d'Alfvèn, d'indice $N = (1 + A)½$; pour les trop grandes valeurs de $A$ (c'est-à-dire pour des champs magnétiques inférieurs à une certaine valeur critique, dépendant de la densité ionique), cette onde ne sera plus observée : cette condition critique $A \le c^2/a_e^2$ s'écrit

$$ (6.6.1) \qquad \beta \le \frac{m_e}{m_i} \left( \text{où } \beta = \frac{2\mu_0 n_0 KT}{B_0^2} \right) $$

et semble en bon accord avec les résultats expérimentaux.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 6.3.</figcaption></figure>

Allure des Courbes de Dispersion en propagation perpendiculaire ($A = \frac{\omega_0^2}{\omega_b \Omega_b} \sim 10^2$)