# Formulation Covariante du Couplage Electro-Magneto-Mécanique

Mina Chapon, Rodrigue Desmorat, Boris Kolev

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Mina Chapon, Rodrigue Desmorat, Boris Kolev. Formulation Covariante du Couplage Electro-Magneto-Mécanique. 2025. hal-05051531

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# Formulation Covariante du Couplage Electro-Magneto-Mécanique

M. Chapon, R. Desmorat, B. Kolev

Université Paris-Saclay, CentraleSupélec, ENS Paris-Saclay, CNRS, LMPS - Laboratoire de Mécanique Paris Saclay, 91190, Gif-sur-Yvette, France,
mina.chapon@ens-paris-saclay.fr

## Résumé :

Le présent travail porte sur la reformulation du couplage électro-magnéto-mécanique à partir du cadre de la relativité générale, pour les milieux continus non conducteurs. Un élément central de ce travail est l'introduction d'un lagrangien de couplage qui est fonction de la métrique, du quadri-potentiel électrique (version 4D du potentiel électrique et du potentiel vecteur), mais également d'une fonction dite champ matière parfaite, introduite par Souriau, et de leurs premiers gradients respectifs. On obtient alors un lagrangien qui est la somme de quatre termes, et qui décrit les phénomènes physiques présents : la gravitation, l'électromagnétisme, la mécanique des milieux continus hyperélastiques et le couplage électro-magnéto-mécanique. L'expression générale de ce dernier lagrangien dit de couplage s'obtient à partir du principe de covariance générale, qui détermine les arguments de sa densité lagrangienne. Apparaissent alors le quadrivecteur courant (électrique) et la conformation, un tenseur introduit par Souriau qui fait intervenir la métrique et le champ matière, et qui converge vers l'inverse du tenseur de Cauchy Green droit à la limite classique (où l'on se place dans un espace-temps statique, où la vitesse de la lumière tend vers l'infini). Enfin pour l'électromagnétisme du vide, en se plaçant dans l'espace-temps plat de la relativité restreinte on retrouve le tenseur énergie-impulsion usuel. Sa partie spatiale correspond au tenseur des contraintes électromagnétiques de Maxwell. Le calcul du tenseur énergie-impulsion est effectué à partir du nouveau lagrangien proposé. De la conservation (divergence) du tenseur énergie-impulsion, on déduit les équations de conservation électro-magnéto-mécanique, qui font apparaître la force de Lorentz.

## Abstract :

The present work focuses on reformulating the electro-magneto-mechanics coupling in the General Relativity framework, for non conducting continuous media. A core element of this work is the introduction of a coupling Lagrangian which is function of the metric tensor, the four-potential (a 4D version of the electric potential and 3D vector potential), but also a function called the perfect matter field, introduced by Souriau, and their first gradient, respectively. One then obtains a Lagrangian which is the sum of four terms, which each describe a physical phenomenon : gravitation, electromagnetism, continuum mechanics and electro-magneto-mechanics coupling. The general expression of the aforementioned coupling Lagrangian is obtained from the General Covariance, which sets the arguments of its density. Then the electric current four-vector and the conformation appear. The conformation is a tensor introduced by Souriau which involves the metric tensor and the matter field, and whose classical limit (meaning its
value when we are in a static space-time, where the speed of light is consider infinite) is the inverse of the right Cauchy Green tensor. Finally, in the case of electromagnetism in vacuum, when working in a flat space-time of special relativity one recovers the usual stress-energy tensor. Its spatial part corresponds to the Maxwell stress tensor. Also the stress-energy tensor obtained through the new Lagrangian is computed. Its conservation (using the divergence) yields the electro-magneto-mechanic conservation equations, where the Lorentz force appears.

# Mots clefs : Couplages multiphysiques ; Relativité générale ; Electromagnétisme ; Hyperélasticité

## 1 Introduction

Le couplage électro-magnéto-mécanique est utilisé dans diverses situations, par exemple pour réaliser des capteurs à partir de matériaux piezoélectriques [25]. On emploie aussi des "smart materials", dont le comportement met en jeu des couplages multiphysiques, pour le suivi de l'intégrité de structures, car leur comportement électro-magnéto-mécanique permet d'accéder à des grandeurs mécaniques via des mesures électromagnétiques [3]. La formulation initiale du couplage électro-magnéto-mécanique est souvent attribuée à Toupin [27]. Elle remonte aux années 1960, et coïncide avec les travaux de Tiersten [26] et de Brown [1] sur le comportement magnétoélastique. Soixante ans plus tard, ces problématiques sont toujours d'actualité : non linéarités des intéractions électro-magnéto-mécaniques [21], formulation de la magnétoélasticité en grandes transformations [4], problèmes multi-échelles [22, 18] ou encore extension aux phénomènes dissipatifs [17] sont toujours au coeur de travaux aussi bien théoriques que pratiques, ou encore numériques. Le couplage électro-magnéto-mécanique dans les milieux continus a aussi été abordé dans le cadre de la relativité générale, dès la fin des années 1960. Sur ce sujet, Eringen s'associe à Grot [8] et à Maugin [16, 6], qui a lui même publié deux séries d'articles [13, 14] portant respectivement sur le couplage magnétoélastique et électrodynamique. De Groot et Suttorp étudient en parallèle les matériaux polarisés [5]. Le présent travail se détache cependant de ces références par l'absence d'espace-temps dans un premier temps, par l'exigence de la covariance générale et la présence du champ matière [23, 24, 12], mais aussi par la définition au sens de Hilbert du tenseur énergie-impulsion (la comparaison avec celui de Noether est traitée dans [7, 11]).

L'objectif est ici de proposer un lagrangien (parfois appelé action) covariant général qui décrive le couplage électro-magnéto-mécanique de la matière parfaite et électrisée, nom donné par Souriau à la matière élastique et non conductrice (sans aimantation ni polarisation). Dans un premier temps, il s'agit d'introduire un lagrangien pour la gravitation et l'électromagnétisme dans le vide. Puis de décrire la matière parfaite et électrisée à l'aide du champ matière et des courants électrique et de matière, à la manière de Souriau [23, 24]. Une somme de lagrangiens est considérée, et on montre comment leurs variations permettent de retrouver les équations de Maxwell dans la matière, et le tenseur-énergie impulsion qui, à son tour, permet par sa conservation de retomber sur les équations de conservation classiques de la mécanique. Enfin, la présentation se termine par un théorème, résultat nouveau, qui liste les arguments de la densité lagrangienne (parfois appelée lagrangien) de couplage lorsque le lagrangien est covariant général.
## 2 Gravitation et électromagnétisme dans le vide en relativité générale

Dans cette première section, on s'intéresse à la formulation covariante de la gravitation et de l'électromagnétisme dans le vide. Pour ce faire, deux lagrangiens sont introduits, ainsi que le cadre de la relativité générale. L'Univers $\mathcal{M}$ est défini comme une variété de dimension 4 orientable munie d'une métrique pseudo-riemannienne $g$, qui lui confère une structure pseudo-riemannienne. On note le tout $(\mathcal{M}, g)$.

### 2.1 Gravitation

La gravitation est décrite par un lagrangien (ou action) dépendant de la métrique, la fonctionnelle d'Hilbert-Einstein

$$ \mathcal{H}[g] = \int \frac{1}{2\kappa} R^g \mathrm{vol}_g, $$

où $\kappa$ est la constante d'Einstein, et $R^g$ la courbure scalaire de l'Univers. On ne requiert pas que la densité lagrangienne (ou lagrangien) soit intégrable sur tout l'Univers, mais seulement sur un domaine relativement compact $\mathcal{U}$. Quand la dépendance à $\mathcal{U}$ a besoin d'être explicitée, on précisera

$$ \mathcal{H}_{\mathcal{U}}[g] = \int_{\mathcal{U}} \frac{1}{2\kappa} R^g \mathrm{vol}_g, $$

mais on retirera l'indication si on a seulement besoin d'écrire le lagrangien comme l'intégrale de sa densité.

Selon le postulat principal de la relativité générale, le lagrangien doit être covariant général, c'est à dire qu'il doit être invariant suite aux reparamétrisations de l'Univers (et non pas seulement aux changements de coordonnées). Concrètement cela revient à ce que le lagrangien soit invariant sous l'action de tout difféomorphisme $\varphi : \mathcal{U} \to \bar{\mathcal{U}}$, avec $\mathcal{U}$ et $\bar{\mathcal{U}}$ deux ouverts de $\mathcal{M}$. La covariance générale s'écrit donc

$$ \mathcal{H}_{\mathcal{U}}[\varphi^* g] = \mathcal{H}_{\bar{\mathcal{U}}}[g], \qquad (2.1) $$

où $\varphi^*$ désigne le pullback par $\varphi$.

Les phénomènes physiques tendent à favoriser les chemins qui minimisent leur action, ils vérifient le principe de moindre action. En notant les variations de la fonctionnelle d'Hilbert-Einstein par rapport à la métrique $\delta_g \mathcal{H}$, l'équation d'Einstein est alors obtenue par l'extrémalisation $\delta_g \mathcal{H} = 0$. On définit le tenseur d'Einstein comme le gradient de la fonctionnelle d'Hilbert-Einstein :

$$ (\mathbf{G}^g)^\sharp = 2\kappa \frac{\delta \mathcal{H}}{\delta g}, \qquad (\mathbf{G}^g)^\sharp = g^{-1} \mathbf{G}^g g^{-1}, $$

où le tenseur d'Einstein (covariant) est défini comme $\mathbf{G}^g = \mathbf{Ric}^g - \frac{1}{2} R^g g$, avec $\mathbf{Ric}^g$ la courbure de Ricci, et où $(\mathbf{G}^g)^\sharp$ désigne sa forme contravariante. Les variations de la fonctionnelle $\mathcal{H}$ selon la métrique sont alors exprimées comme

$$ \delta_g \mathcal{H} = d\mathcal{H} \cdot \delta g = \int (\mathbf{G}^g)^\sharp : \delta g \mathrm{vol}_g, $$
et ainsi le long des lignes extrémales, l'équation d'Einstein dans le vide s'écrit

$$G^g = 0.$$

La covariance générale (2.1) mène à la conservation du tenseur d'Einstein [20], c'est à dire

$$\mathrm{div}^g (\mathbf{G}^g)^\sharp = 0, \qquad (2.2)$$

où on définit la divergence comme $\mathrm{div}^g (\mathbf{G}^g)^\sharp = \mathrm{tr}_{23} (\nabla^g \mathbf{G}^g)$.

Notons que la communauté des physiciens utilise parfois les variations selon la cométrique $g^{-1}$, au lieu de la métrique elle même. Cela peut mener à des différences de signe dans les définitions puisque la variation de la cométrique s'écrit $\delta_g g^{-1} = -g^{-1} \delta_g g^{-1}$.

## 2.2 Electromagnétisme dans le vide

La seconde étape consiste à décrire l'électromagnétisme dans le vide. Pour cela, on commence par introduire le champ électromagnétique sous la forme du tenseur de Faraday $\mathbf{F}$, une 2-forme différentielle sur l'Univers $\mathcal{M}$. On fait l'hypothèse que cette 2-forme est fermée, c'est à dire que $d\mathbf{F} = 0$, ce qui permet de retrouver les équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Thomson (2.5). Sous certaines hypothèses topologiques, on peut admettre que $\mathbf{F}$ est exacte, et dérive donc d'un potentiel. Ce potentiel est une 1-forme sur $\mathcal{M}$ notée $\mathbf{A}$, on l'appelle le quadri-potentiel, avec $\mathbf{F} = d\mathbf{A}$. Il est défini à une transformation de jauge $\mathbf{A} \to \mathbf{A} + d\chi$ près, avec $\chi$ une fonction réelle. Le tenseur de Faraday est invariant de jauge, ce qui signifie qu'il ne change pas sous l'effet des transformation de jauge de $\mathbf{A}$ (de par la propriété $d^2\chi = 0$).

La loi de comportement électromagnétique isotrope linéaire s'écrit dans la formulation covariante 4D de l'électromagnétisme

$$\mathbf{D} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{F}^{\sharp}, \quad \mathbf{F}^{\sharp} = g^{-1} \mathbf{F} g^{-1},$$

où $\mathbf{D}$ est le déplacement électrique, et $\mu_0$ désigne la perméabilité magnétique. Notons que dans un espace-temps, les composantes du tenseur de Faraday combinent le champ électrique 3D $\mathbf{E} = (E^i)$ et l'induction magnétique 3D $\mathbf{B} = (B^i)$, tandis que le déplacement électrique est composé du champ magnétique 3D $\mathbf{H} = (H^i)$ et du déplacement électrique 3D $\mathbf{D} = (D^i)$.

Pour obtenir les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère (dans le vide), il est nécessaire d'introduire un lagrangien $\mathcal{L}$. Les équations sont obtenues comme les points critiques des variations du lagrangien selon le quadri-potentiel $\mathbf{A}$. Pour cela, on ajoute à la fonctionnelle d'Hilbert-Einstein le lagrangien électromagnétique traditionnel $\mathcal{L}^{\mathrm{EM}}$, dont la densité est quadratique en $\mathbf{F} = d\mathbf{A}$, ce qui donne

$$\mathcal{L}[g, \mathbf{A}] = \mathcal{H}[g] + \mathcal{L}^{\mathrm{EM}}[g, \mathbf{A}], \quad \mathcal{L}^{\mathrm{EM}}[g, \mathbf{A}] = \int -\frac{1}{4\mu_0} ||\mathbf{F}||_g^2 \mathrm{vol}_g,$$

avec $||\mathbf{F}||_g^2 = F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$. Le lagrangien $\mathcal{L}$ est covariant général en plus d'être invariant de jauge :

$$\mathcal{L}[g, \mathbf{A}] = \mathcal{L}[g, \mathbf{A} + d\chi].$$

Les variations du quadri-potentiel sont calculées avec une intégration par partie

$$\delta_{\mathbf{A}} \mathcal{L} = \int_{\mathcal{W}} \frac{1}{2\mu_0} \mathbf{F}^{\sharp} : \delta(d\mathbf{A}) \, \mathrm{vol}_g = \int_{\mathcal{W}} \frac{1}{\mu_0} \mathrm{div}^g (\mathbf{F}^{\sharp}) \cdot \delta\mathbf{A} \, \mathrm{vol}_g,$$
et la minimisation des variations $\delta_A \mathcal{L} = 0$ donne alors

$$ \operatorname{div}^g \mathbf{D} = 0, \quad \mathbf{D} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{F}^{\sharp}, $$

qui peut être interprété comme les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère, avec $\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E}$, $\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H}$, et $\varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1$ (2.6).

De plus, les variations de $\mathcal{L}$ selon la métrique s'écrivent

$$ \delta_g \mathcal{L} = 0 = \delta_g \mathcal{H} + \delta_g \mathcal{L}^{\mathrm{EM}}, $$

et permettent d'obtenir l'équation d'Einstein pour l'électromagnétisme du vide

$$ (\mathbf{G}^g)^{\sharp} = \kappa \mathbf{T}^{\mathrm{EM}}, $$

où le terme source $\mathbf{T}^{\mathrm{EM}}$ est le tenseur énergie-impulsion, contravariant, qui est défini comme

$$ \mathbf{T}^{\mathrm{EM}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}^{\mathrm{EM}}}{\delta g}. \qquad (2.3) $$

On peut l'exprimer avec le tenseur de Faraday :

$$ \mathbf{T}^{\mathrm{EM}} = \frac{1}{\mu_0} g^{-1} \mathbf{F} g^{-1} \mathbf{F} g^{-1} + \frac{1}{4\mu_0} \|\mathbf{F}\|_g^2 g^{-1}. \qquad (2.4) $$

Enfin, la conservation du tenseur d'Einstein et l'équation d'Einstein permettent de montrer la conservation du tenseur énergie-impulsion électromagnétique :

$$ \operatorname{div}^g \mathbf{T}^{\mathrm{EM}} = \operatorname{div}^g (\mathbf{G}^g)^{\sharp} = 0. $$

Si on néglige les effets du champ électromagnétique sur le champ gravitationnel, on peut se placer dans l'espace-temps plat de Minkowski de la relativité restreinte, et faire l'hypothèse que l'on a une métrique diagonale $g = \eta = \operatorname{Diag}(-1, 1, 1, 1)$. On se munit alors du système de coordonnées canonique ($x^\mu$), plus particulièrement de la base induite par les champs de vecteurs ($\frac{\partial}{\partial x^\mu}$), et de sa base duale ($dx^\mu$) (les indices grecs vont de 0 à 3). Dans ces bases, les composantes du tenseur de Faraday et du déplacement électrique sont

$$ \mathbf{F} = (F_{\mu\nu}) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{c}E^1 & \frac{1}{c}E^2 & \frac{1}{c}E^3 \\ -\frac{1}{c}E^1 & 0 & -B^3 & B^2 \\ -\frac{1}{c}E^2 & B^3 & 0 & -B^1 \\ -\frac{1}{c}E^3 & -B^2 & B^1 & 0 \end{pmatrix}_{(dx^\mu)}, \quad \mathbf{D} = (D^{\mu\nu}) = \begin{pmatrix} 0 & -cD^1 & -cD^2 & -cD^3 \\ cD^1 & 0 & -H^3 & H^2 \\ cD^2 & H^3 & 0 & -H^1 \\ cD^3 & -H^2 & H^1 & 0 \end{pmatrix}_{(\frac{\partial}{\partial x^\mu})}. $$

En utilisant le produit extérieur ($\wedge$) et intérieur (contraction à gauche $i_X \operatorname{vol}_q = X \cdot \operatorname{vol}_q$), on peut les réécrire en faisant apparaître les quantités 3D usuelles [19, 9] :

$$ \begin{gathered} \eta = -dx^0 \wedge dx^0 + \mathbf{q}, \qquad \mathbf{A} = \frac{1}{c} \phi dx^0 - \mathbf{q} \mathbf{A}, \\ \mathbf{F} = \frac{1}{c} dx^0 \wedge (\mathbf{q} \mathbf{E}) - i_{\mathbf{B}} \operatorname{vol}_{\mathbf{q}}, \qquad \mathbf{D}^{\flat} = c \, dx^0 \wedge (\mathbf{q} \mathbf{D}) - i_{\mathbf{H}} \operatorname{vol}_{\mathbf{q}}, \end{gathered} $$

où $\phi$ désigne le potentiel électrique, $\mathbf{A} = (A^i \frac{\partial}{\partial x^i})$ le potentiel vecteur (les indices latins allant de 1 à 3), $\mathbf{q} = \delta_{ij} dx^i dx^j$ la métrique euclidienne 3D et $\operatorname{vol}_{\mathbf{q}} = dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3$ la forme volume 3D
associée. De cette manière, l'identité $d\mathbf{F} = 0$ permet de retomber sur les équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Thomson :

$$ \mathrm{rot} \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \quad \mathrm{div} \mathbf{B} = 0, \qquad (2.5) $$

et $\mathrm{div}^n(\frac{1}{\mu_0}\mathbf{F}) = 0$ mène quant à elle aux équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère dans le vide :

$$ \mathrm{rot} \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}, \quad \mathrm{div} \mathbf{E} = 0. \qquad (2.6) $$

Finalement, on peut écrire le tenseur énergie-impulsion par blocs :

$$ \mathbf{T}^{\mathrm{EM}} = ((T^{\mathrm{EM}})_{\mu\nu}) = - \begin{pmatrix} \varepsilon^{\mathrm{EM}} & \frac{1}{c} \mathbf{S} \\ \frac{1}{c} \mathbf{S} & -\sigma^{\mathrm{EM}} \end{pmatrix}, $$

où $\varepsilon^{\mathrm{EM}} = \frac{1}{2}(\varepsilon_0 ||\mathbf{E}||_q^2 + \frac{1}{\mu_0} ||\mathbf{B}||_q^2)$ est l'énergie électromagnétique, $\varepsilon_0$ désignant la permittivité électrique du vide, $\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}$ est le vecteur de Poynting, et $\sigma^{\mathrm{EM}} = \varepsilon_0 \mathbf{E} \otimes \mathbf{E} - \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} \otimes \mathbf{B} + \varepsilon^{\mathrm{EM}} \mathbf{q}^{-1}$ est le tenseur des contraintes de Maxwell. Notons que le signe devant le tenseur énergie-impulsion vient du choix de la convention pour la métrique et de la définition de $\mathbf{T}^{\mathrm{EM}}$ (2.3).

### 3 Matière parfaite et électrisée

Le champ matière, introduit par Souriau dans [24], décrit la matière par le biais de sa présence dans l'Univers à 4 dimensions $\mathcal{M}$. C'est une fonction lisse à valeur vectorielle

$$ \Psi : \mathcal{M} \to V, m \mapsto X, $$

où $V$ est un espace vectoriel à 3 dimensions. Dans cet espace vectoriel, les labels des points matériels $X$ forment un ouvert $\mathcal{B} \subset V$, nommé le body et qu'on suppose être une variété de dimension 3. Ces deux notions permettent à leur tour de définir le tube d'Univers (ou World tube), une variété à 4 dimensions sur l'Univers $\mathcal{M}$ qui est telle que $\mathcal{W} = \Psi^{-1}(\mathcal{B}) \in \mathcal{M}$. Souriau suppose également que pour la matière parfaite, $\Psi$ est une submersion sur le world tube $\mathcal{W}$, signifiant que son application linéaire tangente $T\Psi$ est de rang 3, et que son noyau est de type temps.

Le body $\mathcal{B}$ est muni d'une mesure de charge électrique $\mu^e$ et d'une mesure de masse $\mu^m$, qui sont toutes deux des formes volumes 3D. On peut alors retrouver la notion de charge électrique $Q$ et de masse $m$ rencontrées en mécanique, comme des intégrales sur le body $\mathcal{B}$ :

$$ Q = \int_{\mathcal{B}} \mu^e, \quad m = \int_{\mathcal{B}} \mu^m. $$

Les mesures de charge et de masse $\mu^e$ et $\mu^m$ sont proportionnelles à $\mathrm{vol}_q$ sur le body $\mathcal{B}$ (à condition qu'il soit muni de la métrique euclidienne 3D $\mathbf{q}$) :

$$ \mu^e = \rho_e \mathrm{vol}_q, \quad \mu^m = \rho_r \mathrm{vol}_q, $$

avec $\rho_e$ la densité de charge électrique et $\rho_r$ la masse volumique au repos. Les formes volumes $\mu^e$ and $\mu^m$ peuvent aussi être tirées en arrière du body vers le world tube $\mathcal{W}$ par un pullback par le champ
matière $\Psi$. Cela permet de définir deux 3-formes $\omega^e$ et $\omega^m$ sur $\mathcal{W}$, proportionnelles entre elles :

$$ \omega^e = \Psi^* \mu^e, \quad \omega^m = \Psi^* \mu^m. $$

L'application linéaire tangente $T\Psi$ étant de rang 3 pour la matière parfaite, et puisque $\mu_e$ et $\mu_m$ ne s'annulent pas sur $\mathcal{B}$, on peut définir deux courants, de manière unique, comme des quadri-vecteurs qui ne s'annulent pas sur le world tube $\mathcal{W}$ :

$$ i_{\mathbf{J}_e} \mathrm{vol}_g = \Psi^* \mu^e, \quad i_{\mathbf{J}_m} \mathrm{vol}_g = \Psi^* \mu^m, \qquad (3.1) $$

où $\mathbf{J}_e$ désigne le quadri-vecteur courant électrique, et $\mathbf{J}_m$ le quadri-vecteur courant de matière. Pour la matière parfaite, $\mathbf{J}_e$ et $\mathbf{J}_m$ sont de type temps, c'est à dire que le carré de leur norme est négatif $(g(\mathbf{J}, \mathbf{J}) < 0)$ et qu'ils sont proportionnels au vecteur de type temps unitaire $\mathbf{U}$ :

$$ \mathbf{J}_e = \rho_e \mathbf{U}, \quad \mathbf{J}_m = \rho_r \mathbf{U}. $$

La conservation des courants découle de leur définition (3.1). En effet par définition de la divergence, on a pour chacun des courants

$$ (\mathrm{div}^g \mathbf{J}) \mathrm{vol}_g = d(i_{\mathbf{J}} \mathrm{vol}_g) = d(\Psi^* \mu) = 0. $$

De cette manière, pour $\mathbf{J}_e$ et $\mathbf{J}_m$ on a les deux lois de conservation

$$ \mathrm{div}^g \mathbf{J}_e = 0, \quad \mathrm{div}^g \mathbf{J}_m = 0. \qquad (3.2) $$

Remarquons que dans notre cas, ces lois de conservation proviennent directement de la définition des courants, là où traditionnellement en électromagnétisme la conservation de la charge (et donc du courant électrique 3D) est inclue dans les équations de Maxwell [10].

Une formulation variationnelle de l'électromagnétisme et de l'hyperélasticité ou encore de leur couplage, nouveauté ici, est réalisée à l'aide d'un lagrangien $\mathcal{L}$ (ou action), qui est la somme de quatre termes

$$ \mathcal{L}[g, \Psi, \mathbf{A}] = \mathcal{H}[g] + \mathcal{L}^{\mathrm{EM}}[g, \Psi, \mathbf{A}] + \mathcal{L}^{\mathrm{Elas}}[g, \Psi] + \mathcal{L}^{\mathrm{EMM}}[g, \Psi, \mathbf{A}], $$

où $\mathcal{L}^{\mathrm{Elas}}$ désigne le lagrangien pour l'hyperélasticité et $\mathcal{L}^{\mathrm{EMM}}$ est celui pour l'électromagnétisme couplé à la matière (par la présence du champ matière $\Psi: \mathcal{M} \to \mathcal{V}$). Leurs densités lagrangiennes (ou lagrangiens) sont choisies comme :

$$ \mathcal{L}[g, \Psi, \mathbf{A}] = \int \frac{1}{2\kappa} R_g \mathrm{vol}_g + \int -\frac{1}{4\mu_0} \|\mathbf{F}\|_g^2 \mathrm{vol}_g + \int (\rho_r c^2 + E(\mathbf{K}, \Psi)) \mathrm{vol}_g + \int -\mathbf{A} \cdot \mathbf{J}_e \mathrm{vol}_g. \qquad (3.3) $$

La partie hyperélastique du lagrangien, $\mathcal{L}^{\mathrm{Elas}}$, est issue du théorème de Souriau dans [24] (voir aussi [12]), où est démontrée sa covariance générale. Dans l'expression du lagrangien (3.3), $E$ est une densité d'énergie interne, supposée petite par rapport à $\rho_r c^2$ dans le cas de la matière parfaite, et $\mathbf{K}$ désigne la conformation, un tenseur d'ordre deux contravariant défini comme

$$ \mathbf{K} = T\Psi g^{-1} (T\Psi)^*, $$
où $*$ désigne la transposée duale. La conformation est une généralisation relativiste du tenseur de Cauchy-Green droit de la mécanique des milieux continus classique (ou plutôt son inverse [15, 12]).

La covariance générale de la partie couplée $\mathcal{L}^{\text{EMM}}$ est démontrée en utilisant la définition du courant électrique comme une fonction du champ matière $\mathbf{J}_e = \mathbf{J}_e(g, \Psi)$ (3.1). L'action d'un difféomorphisme $\varphi$ s'écrit en effet

$$i_{\varphi^*} \mathbf{J}_e \operatorname{vol}_{\varphi^*g} = \varphi^* (\Psi^* \mu^e) = (\Psi \circ \varphi)^* \mu^e,$$

ce qui montre que le difféomorphisme agit naturellement sur le courant électrique par pullback. En utilisant le fait que le pullback commute avec la contraction, on peut conclure sur la covariance générale du lagrangien. Mais la partie couplée du lagrangien n'est pas invariante de jauge à proprement parler. En effet, le lagrangien est dit faiblement invariant de jauge, car on n'a $\mathcal{L}[g, \mathbf{A}] = \mathcal{L}[g, \mathbf{A} + d\chi]$ que si le terme suivant s'annule :

$$\mathcal{L}[g, \Psi, \mathbf{A} + d\chi] - \mathcal{L}[g, \Psi, \mathbf{A}] = \int_{\mathcal{U}} \operatorname{div}^g (\chi \mathbf{J}_e) \operatorname{vol}_g = \int_{\partial \mathcal{U}} \chi \mathbf{J}_e \cdot \mathbf{n}^b i_{\mathbf{n}} \operatorname{vol}_g, \quad (3.4)$$

où $\mathbf{n}$ désigne la normale au bord $\partial \mathcal{U}$ de $\mathcal{U}$. Cette quantité s'annule pour les courants électriques ou les transformations de jauge nuls au bord, et dans ce cas le lagrangien est bien faiblement invariant de jauge.

Les variations du lagrangien selon le quadri-potentiel $\mathbf{A}$ permettent de retrouver les équations de Maxwell dans la matière. De la même manière que dans le vide, les variations s'écrivent

$$\delta_{\mathbf{A}} \mathcal{L} = \int_{\mathcal{U}} \left( \frac{1}{\mu_0} \operatorname{div}^g (\mathbf{F}^{\sharp}) - \mathbf{J}_e \right) \cdot \delta \mathbf{A} \operatorname{vol}_g,$$

ce qui donne

$$\operatorname{div}^g (\mathbf{D}) = \mathbf{J}_e, \quad \mathbf{D} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{F}^{\sharp},$$

et permet de retrouver les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère (dans un espace temps plat de Minkowski).

La variation $\delta_g \mathcal{L}$ du lagrangien selon la métrique $g$ donne l'équation d'Einstein pour la matière

$$(\mathbf{G}^g)^{\sharp} = \kappa \mathbf{T}, \quad \mathbf{T} = \mathbf{T}^{\text{EM}} + \mathbf{T}^{\text{Elas}} + \mathbf{T}^{\text{EMM}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}^{\text{EM}}}{\delta g} - 2 \frac{\delta \mathcal{L}^{\text{Elas}}}{\delta g} - 2 \frac{\delta \mathcal{L}^{\text{EMM}}}{\delta g}, \quad (3.5)$$

où $\mathbf{T}$ désigne le tenseur énergie-impulsion total, $\mathbf{T}^{\text{Elas}}$ sa partie hyperélastique et $\mathbf{T}^{\text{EMM}}$ sa partie couplée. L'obtention de l'expression de la partie hyperélastique $\mathbf{T}^{\text{Elas}}$ est détaillée dans [12]. Elle repose sur la décomposition orthogonale par rapport à $\mathbf{U}$ de la métrique en $g = -\mathbf{U}^b \otimes \mathbf{U}^b + h$, avec $\mathbf{U}$ le vecteur type temps unitaire sur l'Univers et $h$ un champ de tenseurs covariants symétriques tel que $h\mathbf{U} = 0$. On a alors

$$\mathbf{T}^{\text{Elas}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}^{\text{Elas}}}{\delta g} = \rho_r (c^2 + e) \mathbf{U} \otimes \mathbf{U} + 2\rho_r g^{-1} (T\Psi)^* \frac{\partial e}{\partial \mathbf{K}} (T\Psi) g^{-1},$$

où $e = E/\rho_r$ est la densité spécifique d'énergie interne. On peut ensuite montrer que le terme couplé $\mathcal{L}^{\text{EMM}}$ ne contribue pas au tenseur énergie-impulsion total ($\mathbf{T}^{\text{EMM}} = 0$). Pour cela, on commence par
utiliser la définition du courant électrique (3.1) :

$$ \delta_g (i_{\mathbf{J}_e} \operatorname{vol}_g) = \delta_g (\Psi^* \mu^e) = 0, $$

et puisqu'on a $\delta_g \operatorname{vol}_g = \frac{1}{2} g^{-1} : \delta g \operatorname{vol}_g$, la variation du courant électrique selon la métrique s'écrit

$$ \delta_g \mathbf{J}_e = -\frac{1}{2} (g^{-1} : \delta g) \mathbf{J}_e . $$

De cette manière, les variations du crochet de dualité $\mathbf{A} \cdot \mathbf{J}_e$ s'annulent :

$$ \delta_g \int \mathbf{A} \cdot \mathbf{J}_e \operatorname{vol}_g = \int \mathbf{A} \cdot \left(-\frac{1}{2} g^{-1} : \delta g\right) \mathbf{J}_e \operatorname{vol}_g + \int \mathbf{A} \cdot \mathbf{J}_e \left(\frac{1}{2} g^{-1} : \delta g\right) \operatorname{vol}_g = 0. $$

Ainsi, finalement le tenseur énergie-impulsion total s'exprime comme

$$ \mathbf{T} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{F}^{\sharp} \mathbf{F} g^{-1} + \frac{1}{4\mu_0} \|\mathbf{F}\|_g^2 g^{-1} + \rho_r (c^2 + e) \mathbf{U} \otimes \mathbf{U} + 2\rho_r g^{-1} (T\Psi)^* \frac{\partial e}{\partial \mathbf{K}} (T\Psi) g^{-1}. $$

L'équation d'Einstein (3.5) et la conservation du tenseur d'Einstein (2.2) permettent de montrer la conservation du tenseur énergie-impulsion total :

$$ \operatorname{div}^g (\mathbf{T}^{\mathrm{Elas}} + \mathbf{T}^{\mathrm{EM}}) = 0. \qquad (3.6) $$

On peut alors faire apparaître naturellement la force de Lorentz $\mathbf{F}^L = g^{-1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{J}_e$. Pour ce faire, on calcule la divergence du tenseur énergie-impulsion électromagnétique et on utilise l'identité $d\mathbf{F} = 0$, qui permet de montrer que $\nabla \mathbf{F} : \mathbf{F}^{\sharp} = 0$. On obtient alors

$$ \operatorname{div}^g \mathbf{T}^{\mathrm{EM}} = \frac{1}{\mu_0} g^{-1} \mathbf{F} \cdot \operatorname{div}^g (\mathbf{F}^{\sharp}), $$

Et enfin, en reconnaissant l'équation de Maxwell $\operatorname{div}^g (\frac{1}{\mu_0} \mathbf{F}^{\sharp}) = \mathbf{J}_e$, on peut retrouver la forme de la conservation du tenseur énergie-impulsion hyperélastique qui fait intervenir la force de Lorentz en utilisant (3.6) :

$$ \operatorname{div}^g \mathbf{T}^{\mathrm{EM}} = g^{-1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{J}_e = \mathbf{f}^L = - \operatorname{div}^g \mathbf{T}^{\mathrm{Elas}}. $$

# 4 Couplage électro-magnéto-mécanique

Cette dernière section a pour but de proposer un lagrangien (ou action) covariant général pour le couplage entre l'électromagnétisme et la mécanique, dans le cas de la matière élastique non conductrice. On utilise pour cela le lagrangien complet

$$ \mathcal{L}[g, \Psi, \mathbf{A}] = \mathcal{H}[g] + \mathcal{L}^{\mathrm{EM}}[g, \mathbf{A}] + \mathcal{L}^{\mathrm{Elas}}[g, \Psi] + \mathcal{L}^{\mathrm{EMM}}[g, \Psi, \mathbf{A}], $$

et l'objectif est alors de proposer des arguments pour la densité lagrangienne (ou lagrangien) de la partie couplée, $L^{\mathrm{EMM}}$, en utilisant la covariance générale de $\mathcal{L}$.

A la manière de [2], on commence par introduire le repère de la matière au repos, $\mathcal{R}_{\mathrm{rest}}$, qui est un
repère de $T_m \mathcal{M}$. Le repère est défini en chaque point $m \in \mathcal{M}$ comme

$$ \mathcal{R}_{\text{rest}} = (U, \mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2, \mathcal{E}_3), $$

où $U = W/\|W\|_g$, avec $W$ défini comme $i_W \text{vol}_g = d\Psi^1 \wedge d\Psi^2 \wedge d\Psi^3$, où $d\Psi^I$ est un champ de covecteur sur $\mathcal{M}$ (les indices en majuscule allant de 1 à 3 sur le body), et $\mathcal{E}_I$ est quant à lui défini par $\mathcal{E}_I(d\Psi^J) = \delta_I^J$, avec de plus $U(\mathcal{E}_I) = 0$. Le repère $\mathcal{R}_{\text{rest}}$ étant covariant général, les arguments de départ de la densité lagrangienne peuvent être remplacés par leurs composantes dans le repère de la matière au repos (qu'on notera $[\cdot]_{\mathcal{R}_{\text{rest}}}$) et ainsi former un lagrangien covariant général. Utilisons alors cette idée dans le résultat suivant :

**Théorème 4.1** Si le lagrangien de couplage, qui dépend de la métrique $g$, du champ matière $\Psi$ et du champ des quadri-potentiels $A$,

$$ \mathcal{L}^{\text{EMM}}[g, \Psi, A] = \int L_0^{\text{EMM}} (g_{\mu\nu}, \partial_{\rho}g_{\mu\nu}, \Psi^I, \partial_{\rho}\Psi^I, A_{\mu}, \partial_{\rho}A_{\mu}) \text{vol}_g $$

est covariant général sous l'action des difféomorphismes qui préservent l'orientation de l'Univers, alors sa densité, initialement fonction des trois champs évalués en un point $m \in \mathcal{M}$ et de leurs dérivées partielles respectives, peut être ramenée à une fonction

$$ L_0^{\text{EMM}} = L^{\text{EMM}}(\Psi, [K]_{\mathcal{R}_{\text{rest}}}, [A]_{\mathcal{R}_{\text{rest}}}, [\nabla^g A]_{\mathcal{R}_{\text{rest}}}). $$

# 5 Conclusion

En partant de la description de la gravitation et de l'électromagnétisme du vide, une formulation covariante de l'hyperélasticité et de l'électromagnétisme de la matière non conductrice a été proposée, en prenant appui notamment sur les courants électriques et de matière, définis à partir du champ matière. Le Théorème 4.1 donne quant à lui la forme générale des lagrangiens de couplage, en prenant appui sur le repère de la matière au repos. Notons qu'il inclut le lagrangien usuel utilisé dans la Section 3, puisque le terme en $A \cdot J_e$ est proportionnel à la première composante de $A$ dans le repère.

# Références

[1] W. F. Brown. Theory of Magnetoelastic Effects in Ferromagnetism. *Journal of Applied Physics*, 36(3):994-1000, Mar. 1965.

[2] M. Chapon, L. Darondeau, R. Desmorat, C. Ecker, and B. Kolev. General Covariant Relativistic Gradient Hyperelasticity. working paper or preprint, Nov. 2024.

[3] M. Chen, P. Gao, F. Geng, L. Zhang, and H. Liu. Mechanical and smart properties of carbon fiber and graphite conductive concrete for internal damage monitoring of structure. *Construction and Building Materials*, 142:320-327, July 2017.

[4] K. Danas. A unified theoretical modeling framework for soft and hard magnetorheological elastomers. In *Electro- and Magneto-Mechanics of Soft Solids*, volume 610 of CISM International Centre for Mechanical Sciences, pages 59-139. Springer Nature Switzerland, Feb. 2024.
[5] S. R. de Groot and L. G. Suttorp. The relativistic energy-momentum tensor in polarized media - VI. The difference between the energy-momentum tensors in the presence and in the absence of external fieds. *Physica*, 39:77-83, 1968.

[6] A. C. Eringen and G. A. Maugin. *Electrodynamics of Continua II*. Springer New York, New York, NY, 1990.

[7] M. J. Gotay and J. E. Marsden. Stress-energy-momentum tensors and the Belinfante-Rosenfeld formula. In M. J. G., J. E. M., and V. Moncrief, editors, *Contemporary Mathematics*, volume 132, pages 367-392. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1992.

[8] R. A. Grot and A. C. Eringen. Relativistic continuum mechanics part II- electromagnetic interactions with matter. *International Journal of Engineering Science*, 4(6):639-670, 1966.

[9] F. W. Hehl and Y. N. Obukhov. *Foundations of Classical Electrodynamics: Charge, Flux, and Metric*. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 2003.

[10] J. D. Jackson. *Classical Electrodynamics*. John Wiley & Sons, New York NY, 3rd ed. edition, 1999.

[11] J. Kijowski and G. Magli. Unconstrained variational principle and canonical structure for relativistic elasticity. *Reports on mathematical physics*, 39(1):99-112, Feb. 1997.

[12] B. Kolev and R. Desmorat. Souriau's general covariant formulation of Relativistic Hyperelasticity revisited. *Journal of the Mechanics and Physics of Solids*, 181:105463, Dec. 2023.

[13] G. A. Maugin. Relativistic theory of magnetoelastic interactions. I. *Journal of Physics A: General Physics*, 5(6):786-802, June 1972.

[14] G. A. Maugin. On the covariant equations of the relativistic electrodynamics of continua. I. General equations. *Journal of Mathematical Physics*, 19(5):1198-1205, May 1978.

[15] G. A. Maugin. On the covariant equations of the relativistic electrodynamics of continua. III. Elastic solids. *Journal of Mathematical Physics*, 19(5):1212-1219, May 1978.

[16] G. A. Maugin and A. C. Eringen. Variational formulation of the relativistic theory of microelectromagnetism. *Journal of Mathematical Physics*, 15(9):1494-1499, Sept. 1974.

[17] C. Miehe, D. Rosato, and B. Kiefer. Variational principles in dissipative electro-magneto-mechanics: A framework for the macro-modeling of functional materials. *International Journal for Numerical Methods in Engineering*, 86(10):1225-1276, 2011.

[18] C. Miehe, D. Vallicotti, and S. Teichtmeister. Homogenization and multiscale stability analysis in finite magneto-electro-elasticity. Application to soft matter EE, ME and MEE composites. *Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering*, 300:294-346, Mar. 2016.

[19] C. W. Misner, K. S. Thorne, and J. A. Wheeler. *Gravitation*. Princeton University Press, Oct. 2017.

[20] E. Noether. Invariante Variationsprobleme. *Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse*, pages 235-257, 1918.

[21] R. W. Ogden, D. J. Steigmann, G. Maier, F. G. Rammerstorfer, J. Salençon, B. Schrefler, and P. Serafini, editors. *Mechanics and Electrodynamics of Magneto- and Electro-elastic Materials*, volume 527 of CISM International Centre for Mechanical Sciences. Springer, Vienna, 2011.

[22] E. Polukhov and M. A. Keip. Multiscale stability analysis of periodic magnetorheological elastomers. *Mechanics of Materials*, 159:103699, Aug. 2021.

[23] J. M. Souriau. La relativité variationnelle. *Publ. Sci. Univ. Alger. Sér. A*, 5:103-170, 1958.

[24] J. M. Souriau. *Géométrie et relativité*. 1964.
[25] S. Taleb, W. M. Van Lingen, and M. Acuautla. Toward high quality tactile sensors using ZnO/P(VDF-TrFE) flexible piezoelectric composite films. *Materials Advances*, 5(19):7671-7678, 2024.

[26] H. F. Tiersten. Variational Principle for Saturated Magnetoelastic Insulators. *Journal of Mathematical Physics*, 6(5):779-787, May 1965.

[27] R. A. Toupin. Stress tensors in elastic dielectrics. *Archive for Rational Mechanics and Analysis*, 5(1):440-452, Jan. 1960.