**Corolaire 6.4.** Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie sur un anneau à division discret $k$. Alors l'intersection de deux sous-espaces de type fini de $V$ est un facteur direct de dimension finie.

*Démonstration.* Soient $A$ et $B$ des sous-espaces de type fini de $V$. Par le corolaire 6.3 nous pouvons trouver un sous-espace $C$ supplémentaire de $B$ dans $V$. La projection sur $C$, restreinte à $A$, est une application linéaire de $A$ vers $C$ dont le noyau est $A \cap B$. Par suite $A \cap B$ est un facteur direct de dimension finie de $V$. ■

Soit $V$ un espace vectoriel sur un anneau à division $k$. Nous disons que $v_1, \dots, v_n \in V$ sont (**linéairement dépendants**) si l'on a des $a_i \in k$ tels que $\sum_i a_i v_i = 0$ avec $a_i \neq 0$ pour un $i$. Lorsque $k$ et $V$ sont discrets, nous disons que $v_1, \dots, v_n$ sont (**linéairement indépendants**) s'ils ne sont pas dépendants; on voit alors facilement que $v_1, \dots, v_n$ forment une base de $V$ si, et seulement si, ils sont indépendants et engendrent $V$ ($k$ et $V$ supposés discrets).

**Corolaire 6.5.** Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie sur un anneau à division discret $k$. Si $v_1, \dots, v_n$ sont des éléments de $V$, alors ou bien $v_1, \dots, v_n$ sont dépendants, ou bien ils sont indépendants.

*Démonstration.* Considérons l'application linéaire $T$ de $k^n$ vers $V$ qui envoie la base naturelle sur $v_1, \dots, v_n$. Le noyau de $T$ est de dimension finie d'après le théorème 6.2, et $v_1, \dots, v_n$ sont dépendants si, et seulement si, le noyau de $T$ est non nul. ■

**Théorème 6.6.** Soient $k \subseteq K$ des anneaux à division discrets tels que $K$ soit un espace vectoriel de dimension finie sur $k$, et soit $V$ un espace vectoriel sur $K$. Alors $V$ est de dimension finie sur $K$ si, et seulement si, $V$ est de dimension finie sur $k$, et dans ce cas on a $\dim_k V = \dim_k K \dim_K E$.

*Démonstration.* Si $V$ est de dimension finie sur $K$, alors, d'après le théorème 4.3, $V$ est de dimension finie sur $k$, et la formule du produit pour les dimensions s'applique. Inversement, supposons que $V$ soit de dimension finie sur $k$ et que nous ayons construit un système $x_1, \dots, x_m \in V$ qui est $K$-indépendant. Alors $Kx_1 + \dots + Kx_m$ est un facteur direct de $V$ en tant qu'espace vectoriel sur $k$, ceci d'après le corolaire 6.3. Si $Kx_1 + \dots + Kx_m = V$, nous avons terminé; sinon un élément de $V$ qui n'appartient pas à $Kx_1 + \dots + Kx_m$ étend le système $K$-indépendant $x_1, \dots, x_m$ et nous terminons par récurrence sur la dimension (sur $k$) d'un supplémentaire de $Kx_1 + \dots + Kx_m$. ■

Dans le théorème 6.6 il est également vrai que si $V$ est de dimension finie sur $k$ et sur $K$, et non nul, alors $K$ est de dimension finie sur $k$. Nous n'aurons pas besoin de ce résultat qui est une conséquence immédiate du théorème d'Azumaya du chapitre suivant.
Exercices

1. Donner un exemple brouwerien pour un espace vectoriel $V$ sur $\mathbb{Q}$ qui contient deux sous-espaces de dimension finie dont l'intersection n'est pas de dimension finie. (Suggestion : considérer l'espace vectoriel $V = \mathbb{Q}^2/S$ avec un sous-espace convenable $S$ de $\mathbb{Q}^2$). Vous pouvez arranger les choses pour que votre exemple soit discret.

2. Généraliser les corolaires 6.3 et 6.4 au cas où $V$ est un module libre sur un anneau à division discret $k$.

3. Montrer qu'une manipulation élémentaire de lignes de type (i) peut être réalisée au moyen de manipulations élémentaires de lignes de types (ii) et (iii).

4. Un anneau $R$ est von-Neumann-régulier si pour chaque $a \in R$ on a un $x \in R$ tel que $axa = a$. Montrer que l'anneau des matrices $n \times n$ sur un anneau à division discret est von-Neumann-régulier. Montrer qu'un anneau est von-Neumann-régulier si, et seulement si, tout idéal principal à gauche est engendré par un idempotent.

# 7 Déterminants

Soit un anneau commutatif $R$ et soit $A = \{a_{ij}\}$ un élément de $\mathrm{Mat}_n(R)$. Le déterminant de $A$ est défini comme

$$ \text{dét } A = \sum_{\sigma} \operatorname{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}, $$

où $\sigma$ parcourt le groupe $S_n$ des permutations de $\{1, 2, \dots, n\}$.

**Théorème 7.1.** Soient $A$ et $B$ des matrices $n \times n$ sur un anneau commutatif.

(i) dét $A = \text{dét } A^t$.

(ii) dét $A$ est une fonction linéaire de chaque ligne de $A$.

(iii) Si deux lignes sont égales, dét $A = 0$.

(iv) dét $AB = \text{dét } A \text{ dét } B$.

*Démonstration.* Pour vérifier le point (i) notez que si $\tau = \sigma^{-1}$, alors

$$ \text{dét } A = \sum_{\sigma} \operatorname{sgn}(\sigma) a_{\tau(1)1} \cdots a_{\tau(n)n} = \text{dét } A^t $$

car $\operatorname{sgn}(\sigma) = \operatorname{sgn}(\tau)$. Le point (ii) est clair d'après la définition de dét $A$ car chaque terme dans la somme qui définit le déterminant contient exactement un élément de la ligne $i$. Concernant le point (iii), si les lignes $i$ et $j$ de $A$ sont égales et si $i \neq j$, alors les permutations peuvent être rangées par paires $\{\sigma, \sigma \cdot (i, j)\}$. Les termes correspondant aux éléments de chaque paire dans la définition du
déterminant sont égaux au signe près, de sorte que leur somme est nulle, ce qui établit le point (iii). Enfin considérons dét $A$ dét $B$ =

$$ 
\begin{aligned}
& \left(\sum_{\sigma} \operatorname{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)}\right) \cdot \left(\sum_{\tau} \operatorname{sgn}(\tau) b_{1\tau(1)} \cdots b_{n\tau(n)}\right) = \\
& \qquad \sum_{\sigma, \tau} \operatorname{sgn}(\sigma\tau) a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)} b_{1\tau(1)} \cdots b_{n\tau(n)} = \\
& \qquad \sum_{\sigma, \tau} \operatorname{sgn}(\sigma\tau) a_{1\sigma(1)} b_{\sigma(1)\tau\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)} b_{\sigma(n)\tau\sigma(n)} = \\
& \qquad \sum_{\sigma} \sum_{\pi} \operatorname{sgn}(\pi) a_{1\sigma(1)} b_{\sigma(1)\pi(1)} \cdots a_{n\sigma(n)} b_{\sigma(n)\pi(n)}.
\end{aligned} 
\quad (7.2) $$

Si $\sigma$ est une fonction de $\{1, 2, \dots, n\}$ vers $\{1, 2, \dots, n\}$ plutôt qu'une permutation, et si $\sigma(i) = \sigma(j)$ pour $i \neq j$, alors

$$ \sum_{\pi} \operatorname{sgn}(\pi) a_{1\sigma(1)} b_{\sigma(1)\pi(1)} \cdots a_{n\sigma(n)} b_{\sigma(n)\pi(n)} = 0 $$

parce que pour chaque permutation $\pi$ les termes dans la somme indexés par $\pi$ et par $\pi \cdot (i, j)$ ont pour somme 0. Par suite nous pouvons considérer que $\sigma$ parcourt toutes les fonctions de $\{1, 2, \dots, n\}$ vers $\{1, 2, \dots, n\}$ dans (7.2), et ainsi

$$ \text{dét } A \text{ dét } B = \sum_{\pi} \operatorname{sgn}(\pi) \prod_{i} \sum_{j} a_{ij} b_{j\pi(i)} = \text{dét } AB. \blacksquare $$

Le **cofacteur** $A_{ij}$ de l'élément $a_{ij}$ dans la matrice $A$ est $(-1)^{i+j}$ fois le déterminant de la matrice de $\mathrm{Mat}_{n-1}(R)$ obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ de $A$. On voit facilement d'après la définition de dét $A$ que, pour chaque $i$,

$$ a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} = \text{dét } A, $$

ce qui explique le nom de cofacteur. D'après le théorème 7.1(iii), nous avons aussi l'égalité

$$ a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{in}A_{jn} = 0 $$

lorsque $i \neq j$. Si nous définissons la **matrice adjointe** de $A$ comme la matrice $B$ dont l'entrée $ij$ est $A_{ji}$, alors

$$ AB = (\text{dét } A)I = (\text{dét } A^t)I = (A^t B^t)^t = BA. \quad (7.3) $$

Ainsi nous pouvons construire une inverse de la matrice $A$ si nous pouvons construire un inverse du déterminant dét $A$.

**Théorème 7.4.** Soient $R$ un anneau commutatif et $A \in \mathrm{Mat}_n(R)$. Alors $A$ est une unité de $\mathrm{Mat}_n(R)$ si, et seulement si, dét $A$ est une unité de $R^1$.

<footnote n="1">1. **NdT.** En fait, la démonstration dit aussi que si la matrice est inversible à gauche, ou à droite, elle est inversible.</footnote>
**Démonstration.** Si $AB = I$, alors (dét $A$)(dét $B$) = dét $I = 1$, et dét $A$ est une unité de $R$. Inversement, si dét $A$ est une unité de $R$, alors (7.3) montre que $A$ est une unité de $\text{Mat}_n(R)$. ■

Nous pouvons maintenant montrer que le rang d'un module libre de rang fini sur un anneau commutatif non trivial est un invariant. En fait, nous démontrons un peu mieux.

**Théorème 7.5.** Soit $R$ un anneau commutatif. Soient $m < n$ des entiers strictement positifs et $\varphi: R^m \to R^n$ un épimorphisme de $R$-modules. Alors $R = 0$.

**Démonstration.** On a une application $R$-linéaire $\psi: R^n \to R^m$ telle que $\varphi\psi = 1$. On étend $\varphi$ en une application linéaire depuis $R^n = R^m \oplus R^{n-m}$ en posant $\varphi(R^{n-m}) = 0$ et l'on regarde $\psi$ comme une application linéaire vers $R^n$. Comme (dét $\varphi$)(dét $\psi$) = 1 et dét $\varphi = 0$, on a $1 = 0$ dans $R$. ■

**Lemme 7.6.** Soient $R$ un anneau commutatif, $M$ un $R$-module, et une matrice $A \in \text{Mat}_n(R)$. Si $U$ est une matrice de format $n \times 1$ à coefficients dans $M$ et si $AU = 0$, alors (dét $A$)$U = 0$.

**Démonstration.** Soit $B$ la matrice adjointe de $A$. Alors $BAU = 0$, et donc (dét $A$)$U = 0$. ■

Si $A \in \text{Mat}_n(R)$ avec $R$ un anneau commutatif, $XI - A$ est une matrice à coefficients dans $R[X]$. Le déterminant de $XI - A$ est appelé le **polynôme caractéristique** de $A$. Le **polynôme caractéristique** d'un endomorphisme $\alpha$ d'un $R$-module libre $F$ de rang $n$ est le polynôme caractéristique de la matrice de $\alpha$ par rapport à une base de $F$. Le polynôme caractéristique de $\alpha$ est unitaire de degré $n$. Si $B$ est la matrice de $\alpha$ par rapport à une autre base de $F$, alors $B = S^{-1}AS$ pour une matrice inversible $S \in \text{Mat}_n(R)$. Par suite, le polynôme caractéristique de $B$ est le déterminant de $XI - S^{-1}AS = S^{-1}(XI - A)S$, qui est égal au déterminant de $XI - A$, de sorte que le polynôme caractéristique de $\alpha$ ne dépend pas de la base choisie de $F$. Le théorème de Cayley-Hamilton dit que $\alpha$ annule son polynôme caractéristique.

**Théorème 7.7 (Cayley-Hamilton).** Soient $R$ un anneau commutatif et $f(X)$ le polynôme caractéristique d'un endomorphisme $\alpha$ d'un $R$-module $F$ libre de rang fini. Alors $f(\alpha) = 0$.

**Démonstration.** Soit $S$ le sous-anneau (commutatif) de l'anneau des endomorphismes de $F$ engendré par $\alpha$ et $R$. Alors $F$ est un $S$-module via la multiplication dans $F$. Soit $A = \{a_{ij}\}$ la matrice de $\alpha$ par rapport à une base $u_1, \dots, u_n$ de $F$, de sorte que

$$ \alpha u_j = \sum_i a_{ij} u_i . $$
Soit $U = (u_1, \dots, u_n)^t$ et soit $C = \alpha I - A$, qui est une matrice $\in \mathrm{Mat}_n(S)$. Alors $C^t U = 0$ et donc (dét $C^t)U = 0$ par le lemme 7.6. Par suite dét $C^t = 0$. Or dét $C^t = \text{dét } C = f(\alpha)$. ■

Exercices

1. Soit $R$ un anneau commutatif et soit une application $f: \mathrm{Mat}_n(R) \to R$ telle que

(i) $f(A)$ est une fonction linéaire de chaque ligne de $A$;

(ii) $f(A) = 0$ si deux lignes de $A$ sont égales.

Montrer qu'il existe un $r \in R$ tel que $f(A) = r$ dét $A$. Utiliser ce résultat pour montrer que dét $AB = \text{dét } A$ dét $B$.

2. Soit $M$ un module libre de rang $n$ sur un anneau commutatif $R$ et soit $\alpha$ un endomorphisme de $M$. Si $A$ et $B \in \mathrm{Mat}_n(R)$ sont des matrices de $\alpha$ par rapport à des bases de $M$, montrer que dét $A = \text{dét } B$.

3. Une autre démonstration du théorème de Cayley-Hamilton.

(i) Montrer que $\mathrm{Mat}_n(R[X])$ est isomorphe à $\mathrm{Mat}_n(R)[X]$ pour tout anneau $R$.

(ii) Soient $S$ un anneau non nécessairement commutatif, $a \in S$, et $f, g \in S[X]$. Montrer que si $f(X) = g(X)(X-a)$, alors $f(a) = 0$. (Attention, il n'est pas vrai que si $f(X) = (X-a)g(X)$, alors $f(a) = 0$.)

(iii) Démontrer le théorème 7.7 en posant $S = \mathrm{Mat}_n(R)$ et en utilisant (7.3) pour factoriser le polynôme caractéristique $f(X)$ sous la forme $g(X)(X-a)$, vu comme un élément de $S[X]$. Enfin appliquer (ii).

4. On considère le déterminant dét $M$ de la **matrice de Vandermonde**

$$ M = \begin{bmatrix} 1 & X_1 & X_1^2 & \cdots & X_1^{m-1} \\ 1 & X_2 & X_2^2 & \cdots & X_2^{m-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & X_m & X_m^2 & \cdots & X_m^{m-1} \end{bmatrix} $$

à coefficients dans l'anneau commutatif $k[X_1, \dots, X_m]$. Montrer que

$$ \text{dét } M = \prod_{i<j} (X_j - X_i). $$

Utiliser cette formule pour démontrer que si $f = f_0 + f_1 X + \cdots + f_{m-1} X^{m-1} \neq 0$ est un polynôme sur un corps de Heyting $k$, et si $a_1, \dots, a_m$ sont des éléments deux à deux distincts de $k$, alors $f(a_i) \neq 0$ pour un $i$.
## 8 Polynômes symétriques

Soient $R$ un anneau commutatif et $f \in R[X_1, \dots, X_n]$ un polynôme à coefficients dans $R$. Nous disons que $f$ est **invariant** par une permutation $\pi$ de l'ensemble des indéterminées $\{X_1, \dots, X_n\}$ si

$$f(X_1, \dots, X_n) = f(\pi(X_1), \dots, \pi(X_n)).$$

Si $f$ est invariant par toute permutation de ses indéterminées, nous disons que $f$ est un **polynôme symétrique**. Si nous considérons

$$f = (Y + X_1)(Y + X_2) \cdots (Y + X_n)$$

comme un polynôme en les indéterminées $Y, X_1, \dots, X_n$ à coefficients dans $R$, il est clair que $f$ est invariant par toute permutation des indéterminées $X_1, \dots, X_n$. Donc si nous écrivons $f$ comme un polynôme

$$Y^n + \sigma_1 Y^{n-1} + \dots + \sigma_n$$

en $Y$ à coefficients dans $R[X_1, \dots, X_n]$, les coefficients $\sigma_i$ sont des polynômes symétriques de $R[X_1, \dots, X_n]$. En développant $f$ comme une somme de monômes, nous trouvons

$$\sigma_1 = \sum_i X_i, \quad \sigma_2 = \sum_{i<j} X_i X_j, \quad \sigma_3 = \sum_{i<j<k} X_i X_j X_k, \dots, \sigma_n = X_1 X_2 \cdots X_n.$$

Les polynômes $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ sont appelés les **polynômes symétriques élémentaires** en $n$ indéterminées.

Clairement tout polynôme dans le sous-anneau $R[\sigma_1, \dots, \sigma_n]$ de $R[X_1, \dots, X_n]$ est symétrique ; le fait que chaque polynôme symétrique a une représentation unique en tant qu'élément de $R[\sigma_1, \dots, \sigma_n]$ est le théorème fondamental des polynômes symétriques.

**Théorème 8.1.** Soit $f$ un polynôme symétrique de $R[X_1, \dots, X_n]$. Alors il existe un unique polynôme $h \in R[Y_1, \dots, Y_n]$ tel que $f = h(\sigma_1, \dots, \sigma_n)$.

*Démonstration.* Nous construisons $h$ par récurrence sur $n$. En remplaçant $R$ par $\mathbb{Z}[r_1, \dots, r_m]$, où les $r_i$ sont les indéterminées qui correspondent aux coefficients des monômes dans l'expression de $f$, nous pouvons supposer, afin de construire $h$, que $R$ est discret ; cette convention technique nous permet de parler de degrés. Si $n=1$, alors $\sigma_1 = X_1$ et tout polynôme est symétrique, de sorte que nous pouvons choisir $h = f(Y_1)$. Si $n > 1$, considérons les polynômes symétriques élémentaires $\tau_1, \dots, \tau_{n-1}$ en les indéterminées $X_1, \dots, X_{n-1}$. Notons que $\tau_i = \sigma_i(X_1, \dots, X_{n-1}, 0)$. Par récurrence nous pouvons construire $g \in R[Y_1, \dots, Y_{n-1}]$ tel que

$$f(X_1, \dots, X_{n-1}, 0) = g(\tau_1, \dots, \tau_{n-1}).$$
Nous pouvons supposer que $g$ ne contient aucun monôme $Y_1^{e_1} \cdots Y_{n-1}^{e_{n-1}}$ tel que $\sum_{i=1}^{n-1} ie_i$ soit supérieur au degré total de $f(X_1, \ldots, X_{n-1}, 0)$. Alors le polynôme

$$f_1 = f - g(\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1})$$

est symétrique et $f_1(X_1, \ldots, X_{n-1}, 0) = 0$. Donc $f_1$ est divisible par $X_n$, et par symétrie il est divisible par $X_i$ pour chaque $i$. Ceci implique que $f_1$ est divisible par $\sigma_n = X_1 X_2 \cdots X_n$, et nous pouvons écrire $f_1 = \sigma_n f_2$ où $f_2$ est symétrique et de plus petit degré que $f_1$ et $f$. Par récurrence sur le degré de $f$ nous savons construire $p \in R[Y_1, \ldots, Y_n]$ tel que $f_2 = p(\sigma_1, \ldots, \sigma_n)$, et nous posons $h = Y_n p + g$.

Pour montrer que $h$ est unique, il suffit de montrer que si $g(\sigma_1, \ldots, \sigma_n) = 0$ pour un $g \in R[Y_1, \ldots, Y_n]$, alors $g = 0$. Nous procédons par récurrence sur $n$. Le cas $n=1$ est trivial, aussi nous pouvons supposer que $n > 1$ et écrire $g = g_m Y_n^m + g_{m-1} Y_n^{m-1} + \cdots + g_0$ comme un polynôme en $Y_n$ ayant ses coefficients $g_i$ dans $R[Y_1, \ldots, Y_{n-1}]$. En substituant $\sigma_i$ à $Y_i$ et en posant ensuite $X_n = 0$ nous obtenons $g_0(\tau_1, \ldots, \tau_{n-1}) = 0$, où les $\tau_i$ sont des polynômes symétriques élémentaires en $X_1, \ldots, X_{n-1}$. Par récurrence sur $n$ nous concluons que $g_0 = 0$. Alors $g = Y_n p$ pour un $p \in R[Y_1, \ldots, Y_n]$. Puis, comme $0 = g(\sigma_1, \ldots, \sigma_n) = \sigma_n p(\sigma_1, \ldots, \sigma_n)$, nous en déduisons que $p(\sigma_1, \ldots, \sigma_n) = 0$, et par récurrence sur $m$ que $p = 0$, et donc que $g = 0$. ■

**Corolaire 8.2.** *Les polynômes symétriques élémentaires $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$ sont algébriquement indépendants sur $R$ ; c'est-à-dire, si $g(\sigma_1, \ldots, \sigma_n) = 0$, alors $g = 0$. ■*

L'anneau de polynômes $R[X_1, \ldots, X_n]$ est un module sur le sous-anneau $R[\sigma_1, \ldots, \sigma_n]$ des polynômes symétriques. Nous montrons que c'est un module libre de rang fini.

**Lemme 8.3.** *Le sous-anneau $R[\sigma_1, \ldots, \sigma_n, X_j, \ldots, X_n]$ de $R[X_1, \ldots, X_n]$ est formé des polynômes qui sont invariants par toute permutation de $X_1, \ldots, X_{j-1}$.*

*Démonstration.* Soit $S = R[X_j, \ldots, X_n]$, et soient $\tau_1, \ldots, \tau_{j-1}$ les polynômes symétriques élémentaires en $X_1, \ldots, X_{j-1}$. Les polynômes de $R[X_1, \ldots, X_n] = S[X_1, \ldots, X_{j-1}]$ qui sont invariants par toute permutation de $X_1, \ldots, X_{j-1}$ constituent le sous-anneau $S[\tau_1, \ldots, \tau_{j-1}]$ d'après le théorème 8.1. On doit donc montrer que $S[\sigma_1, \ldots, \sigma_n] = S[\tau_1, \ldots, \tau_{j-1}]$. Comme chaque $\sigma_i$ est invariant par les permutations de $X_1, \ldots, X_{j-1}$, on a $S[\sigma_1, \ldots, \sigma_n] \subset S[\tau_1, \ldots, \tau_{j-1}]$. Posons

$$f(Y) = (Y + X_1)(Y + X_2) \cdots (Y + X_n) \text{ et} \\ g(Y) = (Y + X_j)(Y + X_{j+1}) \cdots (Y + X_n).$$

Les polynômes unitaires $f$ et $g$ sont des éléments de $S[\sigma_1, \ldots, \sigma_n][Y]$ et l'on a

$$f = gq \text{ où } q = (Y + X_1) \cdots (Y + X_{j-1}) = Y^{j-1} + \tau_1 Y^{j-2} + \cdots + \tau_{j-1}.$$
Par ailleurs, la division de $f$ par $g$ dans $S[\sigma_1, \dots, \sigma_n][Y]$ donne $f = gq_1 + r_1$ avec $\deg(r_1) < \deg(g)$.

Donc on a $\deg_Y(g(q_1 - q)) < \deg_Y(g)$ dans $R[X_1, \dots, X_n][Y]$, ce qui implique $q_1 = q$.

Ainsi $q \in S[\sigma_1, \dots, \sigma_n][Y]$ et donc $S[\tau_1, \dots, \tau_{j-1}] \subset S[\sigma_1, \dots, \sigma_n]$. ■

**Théorème 8.4.** Les monômes $X_1^{i_1} X_2^{i_2} \cdots X_n^{i_n}$ avec $i_k \le k-1$ forment un système libre de $n!$ générateurs de $R[X_1, \dots, X_n]$ lorsque l'on voit cet anneau comme un module sur $R[\sigma_1, \dots, \sigma_n]$.

*Démonstration.* Soit $R_j = R[\sigma_1, \dots, \sigma_n, X_j, \dots, X_n]$. Nous allons montrer que les éléments $1, X_j, X_j^2, \dots, X_j^{j-1}$ forment une famille libre de générateurs de $R_j$ sur $R_{j+1}$. D'après le lemme 8.3, le polynôme $f_j(Y) = (Y - X_1)(Y - X_2) \cdots (Y - X_j)$ a ses coefficients dans $R_{j+1}$. Le polynôme $f_j$ est unitaire de degré $j$, et $f_j(X_j) = 0$. Donc $1, X_j, X_j^2, \dots, X_j^{j-1}$ engendrent $R_j = R_{j+1}[X_j]$ sur $R_{j+1}$. Il reste à voir que $1, X_j, X_j^2, \dots, X_j^{j-1}$ sont indépendants sur $R_{j+1}$. Supposons que $g(X_j) = 0$ pour un $g \in R_{j+1}[Y]$ tel que $\deg g < j - 1$. Comme $g$ est invariant par les permutations de $X_1, \dots, X_j$, nous avons $g(X_i) = 0$ si $1 \le i \le j$, de sorte que $g$ a $j$ racines distinctes; donc $g = 0$ car $X_i - X_j$ est simplifiable d'après l'unicité dans le théorème du reste. ■

Exercices

1. Soit $K$ un corps discret et soient $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ les polynômes symétriques élémentaires de $K[X_1, \dots, X_n]$. Montrer que l'ensemble des $n!$ monômes $X_1^{i_1} X_2^{i_2} \cdots X_n^{i_n}$ avec $i_k \le k-1$ forment une base du corps de fractions de $K[X_1, \dots, X_n]$ en tant qu'espace vectoriel sur le corps de fractions de $K[\sigma_1, \dots, \sigma_n]$.

2. Montrer que l'algorithme suivant réécrit un polynôme symétrique donné $f$ comme un polynôme en les polynômes symétriques élémentaires. On ordonne les monômes $X_1^{i_1} X_2^{i_2} \cdots X_n^{i_n}$ lexicographiquement en posant

$$X_1^{i_1} X_2^{i_2} \cdots X_n^{i_n} \le X_1^{j_1} X_2^{j_2} \cdots X_n^{j_n}$$

si pour chaque $k$ ou bien $i_k \le j_k$ ou bien il y a un $m < k$ tel que $i_m < j_m$. Soit $aX_1^{i_1} X_2^{i_2} \cdots X_n^{i_n}$ le terme dominant de $f$ par rapport à cet ordre lexicographique. Montrer que $i_k \ge i_{k+1}$ pour $k = 1, \dots, n-1$. Retrancher

$$a\sigma_1^{i_1-i_2}\sigma_2^{i_2-i_3}\cdots\sigma_n^{i_n}$$

de $f$. Montrer que la différence a un degré plus petit pour cet ordre lexicographique. Remplacer $f$ par la différence et recommencer.

3. Exprimer $\sum_{i=1}^n X_i^3$ en termes des polynômes symétriques élémentaires $\sigma_1, \dots, \sigma_n$.
4. Soient $R$ un anneau commutatif et $E = \prod_{i<j} (X_i - X_j) \in R[X_1, \dots, X_n]$.

(a) Montrer que le polynôme $E$ est **alternant**, c'est-à-dire

$$E(\pi X_1, \dots, \pi X_n) = \operatorname{sgn}(\pi) E(X_1, \dots, X_n)$$

pour chaque permutation $\pi$, et que $E^2$ est symétrique. Montrer que si 2 est une unité de $R$, alors tout polynôme alternant est de la forme $fE$ où $f$ est un polynôme symétrique.

(b) Montrer qu'il existe un polynôme $d \in \mathbb{Z}[Y_1, \dots, Y_n]$ tel que si $\prod_{i=1}^n (X - r_i) = X^n + a_1 X^{n-1} + \dots + a_n$, où les $r_i$ et $a_j$ sont dans un corps $K$, alors les $r_i$ sont distincts si, et seulement si, $d(a_1, \dots, a_n) \neq 0$ dans $K$.

(c) Montrer que $E$ est invariant par les permutations paires des $X_i$. Montrer que si 2 est une unité de $R$, alors $R[E, \sigma_1, \dots, \sigma_n]$ est l'anneau de tous les polynômes invariants par les permutations paires des $X_i$.

# 9 Notes

Nous laissons ouverte la question de savoir ce que devrait être une inégalité raisonnable sur un anneau à division. Pour qu'un anneau à division soit un anneau à division au sens classique, l'inégalité doit être standard ; mais cette requête est trop faible pour fournir des conséquences utiles. Beaucoup de corps non discrets, comme les nombres réels ou les nombres complexes, sont des corps de Heyting. Quoique les corps discrets soient aussi des corps de Heyting, la tentation d'identifier la notion de corps avec celle de corps de Heyting est amoindrie par l'existence de corps par négation naturels (les corps résiduels de valeurs absolues non archimédiennes) qui ont une inégalité ni cotransitive ni étroite.

Lorsqu'un idéal $P$ dans un anneau commutatif n'est pas détachable ce n'est pas clair de déterminer ce que ce devrait être pour cet idéal d'être premier. Dans l'anneau des nombres réels, l'idéal 0 n'est pas premier selon notre définition, parce qu'il est possible de construire deux nombres réels dont le produit est nul et pour lesquels nous ne pouvons pas dire lequel est nul. En effet, LLPO est équivalent à l'affirmation à propos de nombres réels que si $ab = 0$, alors $a = 0$ ou $b = 0$ (exercice 3.5). Dans les anneaux avec une notion d'inégalité positive, comme les nombres réels, il est naturel de définir un idéal premier comme un idéal tel que chaque fois que $a, b \notin P$, alors $ab \notin P$. Notre définition d'un idéal premier a le mérite de ne pas se référer à l'inégalité.

Comme $P$ est un idéal premier si, et seulement si, $P$ est le noyau d'un homomorphisme dans un corps par négation, il est naturel de définir un idéal maximal comme le noyau d'un homomorphisme sur un corps par négation. Il peut y avoir une meilleure définition mais nous ne le saurons pas tant que nous
n'aurons pas trouvé une théorie intéressante concernant les idéaux maximaux non détachables.

Les modules libres sur des ensembles non discrets ne sont pas juste des curiosités. Ils sont utilisés par exemple pour construire les groupes d'homologie singulière et pour construire les produits tensoriels de modules arbitraires.
# III. Anneaux et modules

## Sommaire

<table><tr><td>1</td><td>Idéaux quasi-réguliers et radical de Jacobson</td><td>77</td></tr><tr><td>2</td><td>Modules cohérents, noethériens</td><td>79</td></tr><tr><td>3</td><td>Localisation</td><td>84</td></tr><tr><td>4</td><td>Produits tensoriels</td><td>87</td></tr><tr><td>5</td><td>Modules plats</td><td>91</td></tr><tr><td>6</td><td>Anneaux locaux</td><td>96</td></tr><tr><td>7</td><td>Anneaux commutatifs locaux</td><td>102</td></tr><tr><td>8</td><td>Notes</td><td>106</td></tr></table>

## 1 Idéaux quasi-réguliers et radical de Jacobson

Un élément $r$ d'un anneau $R$ est appelé **quasi-régulier à droite** si $1 - r$ a un inverse à droite, **quasi-régulier à gauche** s'il a un inverse à gauche. Si $r$ est à la fois quasi-régulier à droite et à gauche, nous disons que $r$ est **quasi-régulier**. Un élément $r \in R$ est **nilpotent** si $r^n = 0$ pour un entier strictement positif $n$; nous disons que $R$ est **sans élément nilpotent** ou **réduit** si tout élément nilpotent est nul. Notez que si $r^n = 0$ et si $s = 1 + r + r^2 + \dots + r^{n-1}$, alors $(1-r)s = s(1-r) = 1$, donc tout élément nilpotent est quasi-régulier. Un idéal à gauche $L$ de $R$ est appelé **quasi-régulier** si tout élément de $L$ est quasi-régulier à gauche.

**Théorème 1.1.** Soit $L$ un idéal quasi-régulier à gauche. Alors tout élément de $L$ est quasi-régulier.

**Démonstration.** Si $r \in L$, alors $s(1-r) = 1$ pour un $s \in R$. Comme $-sr \in L$, l'élément $s = 1 + sr$ a un inverse à gauche $t$. Donc $1 - r = ts(1-r) = t$, et $(1-r)s = ts = 1$. ■

**Lemme 1.2.** Si $ab$ est quasi-régulier à gauche (à droite), alors il en va de même pour $ba$.
**Démonstration.** Si $c(1-ab) = 1$, alors $(1+bca)(1-ba) = 1-ba+bc(1-ab)a = 1$. Si $(1-ab)c = 1$, alors $(1-ba)(1+bca) = 1$. ■

**Théorème 1.3.** *L'ensemble des éléments $r$ tels que $Rr$ est un idéal à gauche quasi-régulier est un idéal bilatère.*

*Démonstration.* Vu le lemme 1.2, il suffit de montrer que si $Ra$ et $Rb$ sont quasi-réguliers, alors il en va de même pour $a+b$. Prendre un $s$ tel que $s(1-a) = 1$ et un $t$ tel que $t(1-sb) = 1$. Alors $ts(1-(a+b)) = 1$. ■

L'idéal du théorème 1.3 est appelé le **radical de Jacobson** de $R$.

**Lemme 1.4 (Nakayama).** *Soient $M$ un $R$-module à gauche de type fini et $L$ un idéal à gauche quasi-régulier de $R$. Si $LM = M$, alors $M = 0$.*

*Démonstration.* Soit $x_1, \dots, x_n$ un système générateur de $M$. Alors $x_1 \in LM$, et nous pouvons écrire $x_1 = a_1x_1 + \dots + a_nx_n$ avec chaque $a_i$ dans $L$. Mais $1 - a_1$ est inversible à gauche. Ainsi $x_1 = (1 - a_1)^{-1}(a_2x_2 + \dots + a_nx_n)$, et donc $M$ est engendré par $x_2, \dots, x_n$. Nous terminons par récurrence sur $n$. ■

Exercices

1. Utilisez l'identité dans la démonstration du lemme 1.2, avec $a = 1$, pour montrer que si un élément d'un anneau possède un unique inverse à gauche alors il possède un inverse à droite [Rudin 1985].

2. Montrer que les anneaux suivants ont leur radical de Jacobson réduit à 0.

(i) L'anneau des entiers $\mathbb{Z}$.

(ii) Tout anneau à division discret.

(iii) L'anneau de polynômes $R[X]$ pour un anneau intègre discret $R$.

(iv) Un anneau von-Neumann-régulier (voir l'exercice II.6.4).

3. Déterminer le radical de Jacobson du sous-anneau de $\mathbb{Q}$ formé par les nombres rationnels qui peuvent être écrits avec un dénominateur impair. Construire un exemple brouwerien pour un anneau intègre discret dénombrable dont le radical de Jacobson n'est pas détachable.

4. Un élément $x$ d'un $R$-module $M$ est appelé un **non-générateur** si pour tout sous-module $A$ de $M$ tel que $Rx + A = M$, alors $A = M$. Montrer qu'un élément $x$ de $R$ est dans le radical de Jacobson de $R$ si, et seulement si, $x$ est un non-générateur du $R$-module à gauche $R$.

5. Un **idéal à gauche maximal détachable** d'un anneau $R$ est un idéal à gauche propre $L$ tel que si $x \in R$, alors $x \in L$ ou $Rx+L = R$. Montrer que tout idéal à gauche maximal détachable contient le radical de Jacobson. Montrer que si tout élément de $R$ qui n'est contenu dans aucun idéal à gauche maximal détachable a un inverse à gauche (le lemme de Zorn
démontre cela en mathématiques classiques), alors le radical de Jacobson est égal à l'intersection les idéaux à gauche maximaux détachables.

6. Soit $A$ une matrice carrée dont les entrées sont dans le radical de Jacobson d'un anneau. Montrer que $I - A$ est inversible, où $I$ est la matrice identité correspondante.

7. Si $J$ est le radical de Jacobson de $R$, montrer que le radical de Jacobson de $R/J$ est nul.

8. Utiliser le lemme II.7.6 pour montrer que si $M$ est un module de type fini sur un anneau commutatif $R$ et si $I$ est un idéal de $R$, alors $IM = M$ si, et seulement si, $(1-r)M = 0$ pour un $r \in R$. Utiliser cela pour démontrer le lemme de Nakayama pour les anneaux commutatifs.

9. Utilisez l'exercice 8 pour montrer que tout module de type fini $M$ sur un anneau commutatif $R$ est **hopfien** : tout épimorphisme de $M$ sur $M$ est un automorphisme (si $f$ est un endomorphisme de $M$, considérer $M$ en tant que $R[f]$-module).

## 2 Modules cohérents, noethériens

Soient $R$ un anneau et $M$ un $R$-module. Alors $M$ est dit **noethérien** si l'ensemble des sous-modules de type fini de $M$, ordonné par l'inclusion, vérifie la condition de chaine ascendante. Un anneau $R$ est **noethérien à gauche** si $R$ est noethérien en tant que module à gauche sur lui-même. Ainsi $R$ est noethérien à gauche si, et seulement si, pour toute suite $I_1 \subseteq I_2 \subseteq I_3 \subseteq \dots$ d'idéaux à gauche de type fini de $R$ il existe un $n$ tel que $I_n = I_{n+1}$.

On voit facilement que l'anneau des entiers est noethérien, comme l'est $k[X]$ si $k$ est un corps discret. Les modules finis sont noethériens, et si $R$ contient un corps discret $k$, alors les $R$-modules qui sont des $k$-espaces vectoriels de dimension finie sont noethériens – plus généralement, si $S$ est un sous-anneau de $R$ et si $M$ est un $R$-module qui est noethérien comme $S$-module, alors $M$ est noethérien comme $R$-module. Le théorème de la base de Hilbert (voir le chapitre VIII) implique que les anneaux de polynômes en plusieurs variables sur les entiers, ou sur un corps discret, sont noethériens.

**Théorème 2.1.** Soit $N$ un sous-module d'un module $M$. Alors $M$ est noethérien si, et seulement si, $N$ et $M/N$ sont noethériens.

*Démonstration.* Notons $\pi$ l'application linéaire naturelle de $M$ vers $M/N$.

Supposons $M$ noethérien. Tout d'abord $N$ est clairement noethérien. Considérons ensuite une chaine croissante de sous-modules de type fini de $M/N$: $J_1 \subseteq J_2 \subseteq \dots$. Nous pouvons construire une chaine $I_1 \subseteq I_2 \subseteq \dots$ de sous-modules de type fini de $M$ telle que $\pi I_m = J_m$. Il existe un $n$ tel que $I_{n+1} = I_n$, donc $J_{n+1} = J_n$, et par suite $M/N$ est noethérien.
Inversement, supposons que $N$ et $M/N$ sont noethériens, et soit $I_1 \subseteq I_2 \subseteq \dots$ une chaine de sous-modules de type fini de $M$. Alors $\pi I_1 \subseteq \pi I_2 \subseteq \dots$ est une chaine de sous-modules de type fini du module noethérien $M/N$, donc il existe un $n$ tel que $\pi I_n = \pi I_{n+1}$. Ainsi $I_{n+1} = I_n + K$ pour un certain sous-module de type fini $K$ de $N$. En itérant cette construction, nous obtenons une suite d'entiers positifs $n_1 < n_2 < \dots$ et une chaine croissante de sous-modules de type fini $K_i$ de $N$, telles que $I_{n_i+1} = I_{n_i} + K_i$. Comme $N$ est noethérien, on a un $i$ tel que $K_i = K_{i-1} \subseteq I_{n_i}$, et ainsi $I_{n_i+1} = I_{n_i}$. ■

Un $R$-module $M$ est **de présentation finie** lorsqu'il existe une application linéaire depuis un $R$-module libre de rang fini sur $M$ avec un noyau de type fini. Le théorème suivant montre que si $M$ est de présentation finie, alors toute application linéaire depuis un $R$-module de type fini sur $M$ a un noyau de type fini.

**Théorème 2.2.** Si $f$ est une application linéaire depuis un $R$-module de type fini $M_1$ sur un $R$-module de présentation finie $M_2$, alors le noyau de $f$ est de type fini.

*Démonstration.* Soit $F_i$ un $R$-module libre de rang fini, et soit $\pi_i$ une application linéaire de $F_i$ sur $M_i$ telle que $\ker \pi_2$ soit de type fini. Par l'astuce de Schanuel (théorème II.4.4), nous avons

$$ \ker f\pi_1 \oplus F_2 \simeq \ker \pi_2 \oplus F_1. $$

Par suite $\ker f\pi_1$ est de type fini. Comme $\pi_1$ est surjectif, le module $\ker f = \pi_1(\ker f\pi_1)$ est aussi de type fini. ■

**Théorème 2.3.** Soit $N$ un sous-module du $R$-module $M$. Alors

(i) si $M$ est de présentation finie et si $N$ est de type fini, $M/N$ est de présentation finie,

(ii) si $N$ et $M/N$ sont de présentation finie, $M$ est de présentation finie.

*Démonstration.* Notons $\pi$ l'application linéaire naturelle de $M$ sur $M/N$.

Pour démontrer (i) considérons une application linéaire $\varphi$ depuis un module libre de rang fini $F$ sur $M$ avec un noyau $K$ de type fini, et soit $N' \subset F$ de type fini avec $\varphi(N') = N$. Alors $K + N' = \ker \pi \varphi$ est de type fini, et $M/N$ est de présentation finie.

Pour démontrer (ii) considérons des applications linéaires $\varphi_1$ et $\varphi_2$ depuis des modules libres de rang fini $F_1$ et $F_2$ sur $N$ et $M/N$ avec des noyaux de type fini $K_1$ et $K_2$ respectivement. Soit $\varphi: F_1 \oplus F_2 \to M$ une application linéaire telle que $\varphi(x_1) = \varphi_1(x_1)$ et $\pi\varphi(x_2) = \varphi_2(x_2)$. Alors $\varphi$ envoie $F_1 \oplus F_2$ sur $M$. Si $K = \ker \varphi$ et si $\pi_2$ est la projection de $F_1 \oplus F_2$ sur $F_2$, on a la suite exacte $0 \to F_1 \cap K \to K \to \pi_2(K) \to 0$. Mais $\pi_2(K) = K_2$ et $K \cap F_1 = K_1$, donc $K$ est de type fini. ■
Un $R$-module est dit **cohérent**<fnref n="1" /> si tout sous-module de type fini est de présentation finie. Un anneau $R$ est **cohérent à gauche** s'il est cohérent en tant que $R$-module à gauche. En mathématiques classiques tout anneau noethérien à gauche est cohérent à gauche.

Dans la suite, si nous ne précisons pas, noethérien signifie noethérien à gauche et cohérent signifie cohérent à gauche.

**Théorème 2.4.** Un $R$-module $M$ est cohérent si, et seulement si, les propriétés suivantes sont satisfaites.

(i) L'intersection de deux sous-modules de présentation finie de $M$ est de type fini.

(ii) Si $x \in M$, alors $\{r \in R : rx = 0\}$ est un idéal à gauche de type fini de $R$.

*Démonstration.* Supposons que $M$ est cohérent et que $N_1$ et $N_2$ sont des sous-modules de type fini de $M$. Soit un $x \in M$. Soit $\varphi_i$ ($i = 1, 2$) une application linéaire depuis un $R$-module libre de rang fini $F_i$ sur $N_i$, et soit $K$ le noyau (de type fini) de l'application linéaire correspondante de $F_1 \oplus F_2$ vers $M$. Notons $\pi_1$ la projection de $F_1 \oplus F_2$ sur $F_1$. Le module $N_1 \cap N_2 = \varphi_1(\pi_1 K)$ est de type fini, cela montre (i). Le sous-module cyclique $Rx$ de $M$ est de présentation finie, donc le noyau de l'application linéaire qui envoie $R$ sur $Rx$ est de type fini, cela montre (ii).

Inversement, supposons (i) et (ii), et soit $A$ un sous-module de type fini de $M$. Si $A$ est cyclique, alors $A$ est de présentation finie par (ii). Sinon $A = N_1 + N_2$ avec chaque $N_i$ engendré par moins d'éléments que $A$. Par récurrence, chaque $N_i$ est de présentation finie, et par (i) l'intersection $N_1 \cap N_2$ est de type fini. Par le théorème 2.3(ii) la somme directe $N_1 \oplus N_2$ est de présentation finie. Mais $N_1 \oplus N_2$ s'envoie sur $A = N_1 + N_2$ avec un noyau isomorphe à $N_1 \cap N_2$, donc $A$ est de présentation finie par le théorème 2.3(i). $\blacksquare$

**Théorème 2.5.** Soit $N$ un sous-module de type fini d'un module $M$. Alors $M$ est cohérent si, et seulement si, $N$ et $M/N$ sont cohérents.

*Démonstration.* Soit $\pi$ l'application linéaire naturelle de $M$ sur $M/N$. Si $M$ est cohérent, alors $N$ est clairement cohérent. Si $B$ est un sous-module de type fini de $M/N$, alors $B = \pi(A)$ pour un sous-module de type fini $A$ de $M$. Mais $A \cap N$ est de type fini d'après le théorème 2.4, donc $B$ est de présentation finie d'après le théorème 2.3(i).

<footnote n="1">1. **NdT.** Bourbaki (Algèbre, chapitre X, ou Algèbre commutative, chapitre I) appelle module pseudo-cohérent ce que [CCA] appelle module cohérent (conformément à l'usage le plus répandu, notamment dans la littérature anglaise), et module cohérent ce que [CCA] appelle module cohérent de présentation finie. Ceci est naturellement à relier aux « faisceaux algébriques cohérents » de J.-P. Serre (précurseurs des faisceaux de modules sur un schéma de Grothendieck) qui sont localement donnés par des modules de présentation finie cohérents. Signalons aussi que le STACKS PROJECT (ouvrage collectif, http://stacks.math.columbia.edu) adopte la définition de Bourbaki pour les modules cohérents.</footnote>
Inversement, supposons que $N$ et $M/N$ sont cohérents, et soit $A$ un sous-module de type fini de $M$. Alors $A \cap N$ est de type fini d'après le théorème 2.2, et par suite il est de présentation finie parce que $N$ est cohérent. Par ailleurs $\pi A$ est de présentation finie parce que $M/N$ est cohérent. Donc $A$ est de présentation finie d'après le théorème 2.3(ii). ■

**Corolaire 2.6.** *Un module de présentation finie sur un anneau cohérent est cohérent.*

*Démonstration.* En utilisant de manière répétée le théorème 2.5, on montre que les modules libres de rang fini sont cohérents. En appliquant une autre fois le théorème 2.5, dans l'autre direction, on montre que les modules de présentation finie sont cohérents. ■

Un module est **fortement discret**<fnref n="1" /> si tout sous-module de type fini est détachable. Un anneau $R$ est **fortement discret à gauche** si $R$ est fortement discret en tant que module à gauche sur lui-même. Notez que $R$ est fortement discret à gauche si, et seulement si, $R/I$ est discret pour tout idéal à gauche de type fini $I$ de $R$.

Les anneaux de polynômes sur les corps discrets sont des exemples d'anneaux cohérents noethériens fortement discrets. En mathématiques classiques, tout anneau noethérien est cohérent fortement discret (mais voir les exercices 3 et 4).

**Théorème 2.7.** *Soit $N$ un sous-module de type fini d'un module cohérent $M$. Alors $M$ est fortement discret si, et seulement si, $N$ et $M/N$ sont fortement discrets.*

*Démonstration.* Si $M$ est fortement discret, alors clairement $N$ et $M/N$ sont fortement discrets. Inversement, supposons que $N$ et $M/N$ sont fortement discrets, et soit $\pi$ l'application linéaire naturelle de $M$ sur $M/N$. Pour montrer que $M$ est fortement discret, considérons un sous-module de type fini $P$ de $M$ et un $x \in M$. Si $\pi x \notin \pi P$, alors $x \notin P$. Si $\pi x = \pi p$ pour un $p \in P$, alors $x \in P$ si, et seulement si, $x - p \in P \cap N$, qui est un sous-module de type fini de $N$ parce que $M$ est cohérent. ■

**Corolaire 2.8.** *Si $M$ est un module de présentation finie sur un anneau noethérien cohérent à gauche $R$, alors $M$ est un module cohérent noethérien. Si en outre $R$ est fortement discret, alors $M$ est fortement discret.*

*Démonstration.* Soit $C$ la classe des $R$-modules cohérents noethériens (fortement discrets). Comme $R \in C$, par récurrence sur $n$ et en utilisant les théorèmes 2.1 et 2.5 (et 2.7), on obtient que $R^n \in C$. Comme $M$ est de présentation finie, $M \in C$ d'après les théorèmes 2.1 et 2.5 (et 2.7). ■

<footnote n="1">1. **NdT.** Strongly discrete. Dans le livre [CCA] la terminologie était initialement : le module « a des sous-modules détachables », i.e. « has detachable submodules ».</footnote>
Exercices

1. Montrer qu'un anneau commutatif $R$ est fortement discret si, et seulement si, $R/I$ est discret pour tout idéal de type fini $I$ de $R$.

2. Montrer que tout idéal non nul de type fini de l'anneau $\mathbb{Z}$ des entiers a une profondeur finie dans l'ensemble ordonné des idéaux de type fini de $\mathbb{Z}$. Montrer que tout idéal non nul de type fini de l'anneau $k[X]$, où $k$ est un corps discret, a une profondeur bornée.

3. Soit $a$ une suite binaire. Soit $k$ le corps à deux éléments et soit $R$ le sous-anneau de l'anneau fini $k[X, Y]/(X, Y)^2$ engendré par $1$, $X$, et $\{a_nY\}$. Montrer que $R$ est un exemple brouwerien pour un anneau noethérien fortement discret mais pas cohérent. Faire la même chose pour l'anneau $\mathbb{Z}/I$ où $I$ est engendré par les éléments $a_n n!$.

4. Construire un exemple brouwerien d'un anneau discret cohérent noethérien $R$, et d'un idéal de type fini $I$ de $R$, tels que $I$ n'est pas détachable dans $R$. (Suggestion : définir $R$ situé quelque part entre $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q}$.)

5. Soit $I$ un idéal de type fini d'un anneau commutatif cohérent noethérien fortement discret $R$. Montrer que le radical de $I$ est détachable. (Suggestion : soit $x \in R$; considérer la chaine croissante des idéaux $I : x^m$.)

6. Montrer que les modules de type fini cohérents sur les anneaux fortement discrets sont discrets.

7. Montrer que si $S$ est un sous-anneau de $R$ et si $M$ est un $R$-module qui est noethérien comme $S$-module, alors $M$ est noethérien comme $R$-module.

8. Montrer que si un module est borné en nombre, alors il est noethérien.

9. Montrer que tout corps discret est cohérent. Montrer que l'anneau $\mathbb{Z}$ est cohérent.

10. Un sous-module $A$ d'un $R$-module $B$ est appelé **pur** si chaque fois qu'un système fini d'équations

$$ \sum r_{ij}x_j = a_i, $$

avec les coefficients $r_{ij}$ dans $R$ et les $a_i$ dans $A$, a une solution dans $B$, alors il a une solution dans $A$. Montrer que $A \subseteq B$ est pur si, et seulement si, toute application linéaire depuis un module de présentation finie vers $B/A$ se relève en une application linéaire vers $B$. Montrer que tout sous-groupe pur non nul du groupe abélien cyclique $\mathbb{Z}$ est égal à $\mathbb{Z}$.

11. Montrer que tout module noethérien $M$ est hopfien (exercice 1.9). (Si $f(z) = 0$, construire une suite telle que $x_0 = z$ et $f(x_i) = x_{i-1}$.)
## 3 Localisation

Soit $R$ un anneau commutatif. Nous construisons des anneaux de fractions sur $R$ essentiellement de la même manière que nous avons construit les nombres rationnels à partir des nombres entiers. D'abord nous décidons d'un sous-ensemble $S$ de $R$ dont nous acceptons les éléments comme dénominateurs; dans la construction des nombres rationnels cet ensemble est l'ensemble des entiers strictement positifs. En général nous demandons que l'ensemble $S$ soit un **sous-monoïde multiplicatif** de $R$, autrement dit que $1 \in S$ et que si $s_1$ et $s_2 \in S$, alors $s_1s_2 \in S$.

Les éléments de l'**anneau de fractions** $S^{-1}R$ sont les couples $r/s$ avec $r \in R$ et $s \in S$. L'addition et la multiplication sont définies par les formules habituelles :

$$ 
\begin{aligned}
r_1/s_1 + r_2/s_2 &= (r_1s_2 + r_2s_1)/(s_1s_2), \\
(r_1/s_1)(r_2/s_2) &= (r_1r_2)/(s_1s_2),
\end{aligned}
$$

mais nous devons faire assez attention pour définir l'égalité des fractions parce que tout élément $s$ de $S$ est inversible dans $S^{-1}R$, et par suite un élément $r$ de $R$ tel que $sr = 0$ doit être nul dans $S^{-1}R$. En gardant à l'esprit cette précaution, nous disons que deux fractions $r_1/s_1$ et $r_2/s_2$ sont **égales** s'il existe un élément $s \in S$ tel que $s(r_1s_2 - r_2s_1) = 0$. On a un morphisme naturel $R \to S^{-1}R$ défini en envoyant l'élément $r$ sur l'élément $r/1$. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que $S^{-1}R$ est un anneau. On dit aussi que $S^{-1}R$ est le **localisé de R en S**.

Plus généralement, si $M$ est un $R$-module, nous pouvons construire le **module de fractions** $S^{-1}M$ dont les éléments sont les fractions $m/s$ avec $m \in M$ et $s \in S$. L'égalité et l'addition sont définies comme pour $S^{-1}R$, tandis que la multiplication par les éléments de $R$, ou de $S^{-1}R$, est définie de la manière évidente. Ainsi $S^{-1}M$ est un $S^{-1}R$-module. Si $N$ est un sous-module de $M$, alors $S^{-1}N$ est un sous-module de $S^{-1}M$. On dit aussi que $S^{-1}M$ est le **localisé de M en S**.

Si $P$ est un idéal premier propre de $R$, $S = R \setminus P$ est un sous-monoïde multiplicatif de $R$. Dans ce cas nous notons $M_P$ le module $S^{-1}M$. Si $P$ est détachable, l'anneau $R_P$ est **local** en ce sens que pour tout $x \in R$, $x$ ou $1-x$ est inversible; en effet, un élément $r/s$ de $R_P$ est inversible si $r \notin P$, tandis que si $r \in P$, $s-r \notin P$, et donc $1-r/s = (s-r)/s$ est inversible. Lorsque $R$ est un anneau intègre discret, $P=0$ est un idéal premier propre détachable et l'anneau $R_P$ est le corps de fractions de $R$.

Soit $r$ un élément d'un anneau commutatif $R$, et soit $S$ le sous-monoïde multiplicatif de $R$ engendré par $r$. D'après les définitions, l'élément $r$ est nul-potent si, et seulement si, $S^{-1}R = 0$. Nous utiliserons cette propriété dans les démonstrations du théorème 3.1, du lemme 3.2 et du corolaire 3.4 ci-après.

Notre premier résultat généralise le théorème II.7.5 qui démontrait en utilisant les déterminants que le rang d'un module libre de rang fini sur un anneau
commutatif non trivial est un invariant.

**Théorème 3.1.** Soit $R$ un anneau commutatif. S'il y a un monomorphisme de $R^m$ vers $R^n$ avec $m > n$, alors $R$ est trivial.

*Démonstration.* Soit $A$ la matrice de format $m \times n$ qui représente une application linéaire injective $\varphi$ de $R^m$ vers $R^n$. Nous démontrons d'abord que les éléments de la première colonne de la matrice sont nilpotents. Si $r$ est un élément de la première colonne, alors notons $S = \{1, r, r^2, \dots\}$ et passons à l'anneau $T = S^{-1}R$. On vérifie facilement que $A$ est la matrice d'un application linéaire injective de $T^m$ vers $T^n$. En utilisant des manipulations élémentaires de lignes et de colonnes sur $A$, ce qui revient à changer les bases de $T^n$ et $T^m$, nous obtenons que la première colonne et la première ligne de $A$ sont nulles sauf pour un 1 dans le coin nord-ouest. Soit $e_1, \dots, e_m$ la nouvelle base de $T^m$. Si $n = 1$ alors $\varphi(e_m) = 0$, et donc $0 = 1$ dans $T$ parce que $\varphi$ est injectif. Si $n > 1$, alors $0 = 1$ dans $T$ par récurrence, avec la matrice obtenue à partir de $A$ en supprimant la première ligne et la première colonne. Ainsi $r$ est nilpotent dans $R$.

Soit $I$ l'idéal de $R$ engendré par les éléments de la première colonne de $A$ et soit $e_1, \dots, e_m$ la base naturelle de $R^m$. Alors $I^k = 0$ pour un certain $k \ge 0$. Mais si $I^k e_1 = 0$ pour un $k \ge 1$, alors $\varphi(I^{k-1}e_1) = 0$, et donc $I^{k-1}e_1 = 0$ car $\varphi$ est injective. Ainsi $e_1 = 0$ et $R$ est trivial. $\blacksquare$

Le théorème 3.1 généralise le théorème II.7.5 parce que si $R^n$ s'envoie sur $R^m$ avec $m > n$, alors, comme $R^m$ est projectif, $R^m$ s'envoie injectivement dans $R^n$. Le théorème suivant sera utilisé dans le chapitre VIII.

**Lemme 3.2.** Soient $R \subseteq T$ des anneaux commutatifs et $A$ une matrice sur $R$. Supposons que

(i) si $(c, 0, \dots, 0)$ est dans l'espace des lignes de $A$ sur $R$, alors $c = 0$,

(ii) $(1, 0, \dots, 0)$ est dans l'espace de lignes de $A$ sur $T$.

Alors $R = 0$.

*Démonstration.* Nous remarquons que si $(R, T, A)$ satisfait les hypothèses et si $S$ est un monoïde de $R$, alors $(S^{-1}R, S^{-1}T, A)$ satisfait aussi les hypothèses.

Nous remarquons aussi que si nous faisons subir à $A$ des manipulations élémentaires de lignes à coefficients dans $R$ et si $A'$ est la nouvelle matrice, alors $(R, T, A')$ satisfait aussi les hypothèses.

Nous allons montrer le résultat par récurrence sur le nombre de lignes de $A$.

Tout d'abord si $A$ a une seule ligne $(a_1, \dots, a_n)$, il existe un $b \in T$ tel que $ba_1 = 1$ et $ba_i = 0$ pour $i > 1$, d'où $a_i = ba_1a_i = a_1ba_i = 0$. Donc $A = (a_1, 0, \dots, 0)$ et d'après (i), $a_1 = 0$, donc $1 = ba_1 = 0$ dans $T$, mais aussi dans $R$.

Supposons maintenant que $A$ a au moins $m + 1$ lignes ($m \ge 1$).
Considérons un coefficient $a = a_{ij}$ de $A$, où $j > 1$, et le monoïde $S = \{1, a, a^2, \dots\}$. On a $(S^{-1}R, S^{-1}T, A)$ qui satisfait les hypothèses, et par manipulations élémentaires de lignes sur $S^{-1}R$ on remplace $a$ par 1 et les autres coefficients de sa colonne par 0. On vérifie alors que si l'on supprime la ligne et la colonne du 1 en question, les hypothèses sont toujours satisfaites. Par hypothèse de récurrence, nous concluons que $a = a_{ij}$ est nilpotent. Nous venons d'établir que tous les coefficients de $A$ en dehors de la première colonne sont nilpotents.

Considérons ensuite un coefficient $a = a_{i1}$ de la première colonne et le monoïde $S = \{1, a, a^2, \dots\}$. On a $(S^{-1}R, S^{-1}T, A)$ qui satisfait les hypothèses, et en multipliant la ligne $\rho_i$ par $1/a$, on remplace $a$ par 1 et ses autres coefficients restent nilpotents. Soit $I$ l'idéal engendré par ces coefficients. On a un $k$ tel que $I^k = 0$. Pour un $r$ arbitraire dans $I^{k-1}$, la ligne $r\rho_i$ a ses coefficients nuls sauf le premier, qui est $r$, ainsi $r = 0$ d'après l'hypothèse (i). Par suite $I = 0$, et donc $\rho_i = (1, 0, \dots, 0)$, d'où $1 = 0$ d'après l'hypothèse (i), i.e. $S^{-1}R = 0$, et $a = a_{i1}$ est nilpotent.

Ainsi les $a_{i1}$ sont nilpotents. Donc 1 est nilpotent dans $T$, i.e. $1 = 0$ dans $T$ et $R$. ■

**Théorème 3.3.** Soient $R \subseteq T$ des anneaux commutatifs, et $I$ un idéal de $R[X]$ tel que $I \cap R = 0$ et $1 \in TI$. Alors $R = 0$.

*Démonstration.* Tout élément de $TI$ peut être écrit sous la forme $t_1p_1 + \cdots + t_m p_m$, avec $p_i \in I$ et $t_i \in T$. Écrivons 1 de cette manière, et appliquons le lemme 3.2 à la matrice des coefficients des $p_i$. ■

**Corolaire 3.4.** Soient $R \subseteq T$ des anneaux commutatifs, et $I$ un idéal de $R[X]$ tel que $1 \in TI$. Alors l'annulateur de $R \cap I$ est formé d'éléments nilpotents.

*Démonstration.* Supposons que $r(R \cap I) = 0$. Soit $S$ le sous-monoïde multiplicatif de $R$ engendré par $r$, et passons à $S^{-1}R$. Le théorème 3.3 s'applique et nous dit que $S^{-1}R = 0$, donc $r$ est nilpotent. ■

Exercices

1. Soit $R$ un anneau commutatif cohérent fortement discret et soit $P$ un idéal premier propre de type fini de $R$. Montrer que $R_P$ est discret.

2. Soient $S$ un sous-monoïde multiplicatif d'un anneau commutatif $R$, $M$ un $R$-module, et $N_1$ et $N_2$ des sous-modules de $M$. Montrer que

$$S^{-1}(N_1 \cap N_2) = S^{-1}N_1 \cap S^{-1}N_2$$

et que

$$S^{-1}(N_1 + N_2) = S^{-1}N_1 + S^{-1}N_2.$$
3. Soit $S$ un sous-monoïde multiplicatif d'un anneau commutatif $R$, et soit $\varphi: R \to S^{-1}R$ le morphisme naturel. Montrer que $S^{-1}R$ est discret si, et seulement si, ker $\varphi$ est détachable dans $R$. Montrer que si $R$ est un anneau discret réduit et si $S$ est de type fini, alors $S^{-1}R$ est discret.

4. Soit $S$ un sous-monoïde multiplicatif d'un anneau commutatif $R$. Montrer que si $M$ est un $R$-module cohérent, $S^{-1}M$ est un $S^{-1}R$-module cohérent.

5. Soit $P$ un idéal premier propre détachable d'un anneau commutatif $R$. Montrer que le radical de Jacobson de $R_P$ est détachable, et que son complément est formé par les unités de $R_P$.

6. Soient $k$ un corps discret et $a, b, c, s$ des indéterminées. Soit $R = k[a, b, c]/(ca, cb, c^2)$ et soit $S = R[s]/(sa+(1-s)b)$. Soit $I$ l'idéal de $R[X]$ engendré par $1 + aX$ et $1 + bX$. Montrer que $I \cap R$ est engendré par $c$ et $b-a$, et que $1 \in SI$. Ainsi, nous ne pouvons pas renforcer le théorème 3.3 en ajoutant à la conclusion que l'annulateur de $I \cap R$ est nul.

7. Montrer qu'une matrice $A$ de format $m \times n$ sur un anneau commutatif $R$ a une inverse à gauche si, et seulement si, les déterminants des matrices carrées $n \times n$ extraites de $A$ engendrent $R$ en tant qu'idéal.

# 4 Produits tensoriels

Soient $A$ un anneau, $R$ un sous-anneau et $B$ un $R$-module à gauche. Il y a une façon naturelle de construire un $A$-module à gauche à partir de $B$. Nous considérons les sommes formelles $\sum a_i b_i$, et nous disons que deux telles sommes formelles sont égales lorsque nous pouvons obtenir l'une à partir de l'autre en appliquant les lois de distributivité à droite et à gauche, la loi d'associativité $(ar)b = a rb)$, et les calculs qui se déroulent entièrement à l'intérieur de $A$ ou de $B$. La structure d'anneau de $A$ est utilisée uniquement pour obtenir la structure de $A$-module sur les sommes formelles ; en général, en utilisant pour $A$ uniquement sa structure de $R$-module à droite, le résultat est un groupe abélien. Nous donnons maintenant la spécification précise de cette construction.

**Définition 4.1.** Soient $R$ un anneau, $A$ un $R$-module à droite, et $B$ un $R$-module à gauche. Le **produit tensoriel** $A \otimes B$ est défini comme le quotient du groupe abélien libre $F(A \times B)$ sur $A \times B$ par le sous-groupe $K(A \times B)$ de $F(A \times B)$ engendré par les éléments de la forme

$$ (i) \ (a_1 + a_2, b) - (a_1, b) - (a_2, b) $$

$$ (ii) \ (a, b_1 + b_2) - (a, b_1) - (a, b_2) $$

$$ (iii) \ (ar, b) - (a, rb). $$

Nous notons l'image de l'élément $(a, b)$ de $A \times B$ dans $A \otimes B$ par $a \otimes b$. Une fonction $f$ de $A \times B$ vers un groupe abélien $G$ est dite **bilinéaire** si
$$
(i) f(a_1 + a_2, b) = f(a_1, b) + f(a_2, b)
$$

$$
(ii) f(a, b_1 + b_2) = f(a, b_1) + f(a, b_2)
$$

$$
(iii) f(ar, b) = f(a, rb),
$$

autrement dit, si la fonction induite de $F(A \times B)$ vers $G$ envoie $K(A \times B)$ sur zéro. Par suite, tout application bilinéaire $f$ de $A \times B$ vers $G$ induit un unique homomorphisme de groupes abéliens de $A \otimes B$ vers $G$ qui envoie $a \otimes b$ sur $f(a, b)$. En conséquence, nous pouvons définir un homomorphisme $\varphi$ de $A \otimes B$ vers $G$ en spécifiant les valeurs qu'il prend pour les éléments $a \otimes b$, et en vérifiant que la fonction

$$
A \times B \to G, \quad (a, b) \to \varphi(a \otimes b)
$$

est bilinéaire.

Le produit tensoriel $A \otimes B$ dépend de l'anneau $R$; si nous voulons une
notation pour indiquer cet anneau, nous écrivons $A \otimes_R B$. Si $A$ est un $S$-$R$-
bimodule, et $B$ est un $R$-module à gauche, alors le groupe abélien $A \otimes_R B$ a une
structure naturelle de $S$-module à gauche obtenue en posant $s(a \otimes b) = sa \otimes b$.
En particulier, si $R$ est commutatif, alors $A \otimes B$ est un $R$-module.

Le produit tensoriel de deux modules cycliques a une description simple.

**Théorème 4.2.** *Soient R un anneau, I un idéal à droite, J un idéal à gauche, et B un R-module à gauche. Alors*

$$
(i) (R/I) \otimes B \simeq B/IB
$$

$$
(ii) (R/I) \otimes (R/J) \cong R/(I+J).
$$

Si *I* est un idéal, alors ce sont des isomorphismes de *R*-modules à gauche.

Démonstration. Dans le point (i), les deux membres ont seulement une structure
de groupes abéliens, i.e. de Z-modules. Pour démontrer (i) nous définissons une
application Z-linéaire $\varphi$ de $(R/I) \otimes B$ vers $B/IB$ en posant $\varphi(r \otimes b) = rb$, et une
application Z-linéaire $\psi$ de $B/IB$ vers $(R/I) \otimes B$ en posant $\psi(b) = 1 \otimes b$. Nous
notons que si $r - r' \in I$, alors $rb - r'b \in IB$, donc $\varphi$ est bien définie. Par ailleurs,
si $b - b' \in IB$, alors $1 \otimes b - 1 \otimes b' = 1 \otimes (b - b') = 0$ dans $(R/I) \otimes B$, donc $\psi$
est bien définie. Comme $r \otimes b = 1 \otimes rb$, les deux applications Z-linéaires $\varphi$ et $\psi$
sont inverses l'une de l'autre.

Le point (ii) résulte du point (i) parce que $I(R/J) = (I+J)/J$.

Si *I* est un idéal (bilatère), alors *R/I* et *B/IB* sont des *R*-modules à gauche
et la structure de *R*-module sur (*R/I*) ⊗ *B* est donnée par *r*(1 ⊗ *b*) = *r* ⊗ *b*, donc
*φ* et *ψ* sont des applications *R*-linéaires. ■

En particulier en prenant $I = 0$ dans le théorème 4.2(i), si $B$ est un $R$-module à gauche, alors $R \otimes_R B \simeq B$.
**Théorème 4.3.** Soient $R$ un anneau, $\{A_i\}_{i \in I}$ une famille de $R$-modules à droite, et $\{B_j\}_{j \in J}$ une famille de $R$-modules à gauche. Alors on a un isomorphisme naturel

$$ \bigoplus_{i \in I} A_i \otimes \bigoplus_{j \in J} B_j \simeq \bigoplus_{i,j \in I \times J} (A_i \otimes B_j). $$

*Démonstration*. Exercice 1. ■

**Corolaire 4.4.** Le produit tensoriel de deux modules libres sur un anneau commutatif $R$ est un module libre. En particulier, $R^m \otimes R^n \simeq R^{mn}$.

*Démonstration*. Cela résulte des théorèmes 4.2 et 4.3. ■

Le produit tensoriel est un **bifoncteur** en ce sens qu'étant données des applications $R$-linéaires $f: A \to A'$ et $g: B \to B'$, il y a un homomorphisme naturel de groupes abéliens $f \otimes g: A \otimes B \to A' \otimes B'$ défini par $(f \otimes g)(a \otimes b) = f(a) \otimes g(b)$. Si $R$ est commutatif, alors $f \otimes g$ est une application $R$-linéaire.

Une suite de deux applications $R$-linéaires $A \to B \to C$ est **exacte en B** si l'image de $A \to B$ est égale au noyau de $B \to C$. Une suite d'applications $R$-linéaires $A_1 \to A_2 \to \dots \to A_n$ est **exacte** si elle est exacte en $A_i$ pour $i = 2, \dots, n-1$. La suite $0 \to A \to B$ est exacte si, et seulement si, $A \to B$ est injective; la suite $A \to B \to 0$ est exacte si, et seulement si, $A \to B$ est surjective.

**Théorème 4.5.** Soit $R$ un anneau, et soient

$$ A \to B \to C \to 0 \quad \text{et} \quad A' \to B' \to C' \to 0 $$

des suites exactes de $R$-modules à droite et à gauche respectivement. Alors la suite

$$ (A \otimes B') \oplus (B \otimes A') \to B \otimes B' \to C \otimes C' \to 0 $$

est exacte.

*Démonstration*. Soit $K$ l'image de $(A \otimes B') \oplus (B \otimes A')$ dans $B \otimes B'$. L'homomorphisme de $B \otimes B'$ vers $C \otimes C'$ envoie $K$ sur 0, donc il induit

$$ \varphi: (B \otimes B')/K \to C \otimes C'. $$

Nous allons montrer que $\varphi$ est un isomorphisme en construisant son inverse. Nous définissons un homomorphisme $\psi: C \otimes C' \to (B \otimes B')/K$ de la manière suivante. Étant donné $c \otimes c' \in C \otimes C'$, nous choisissons un $b \in B$ qui a pour image $c$, et un $b' \in B'$ qui a pour image $c'$. Nous définissons $\psi(c \otimes c')$ comme l'image de $b \otimes b'$ dans $(B \otimes B')/K$; si $b_1$ et $b_2$ ont pour image $c$ et si $b'_1$ et $b'_2$ ont pour image $c'$, alors

$$ b_1 \otimes b'_1 - b_2 \otimes b'_2 = (b_1 - b_2) \otimes b'_1 + b_2 \otimes (b'_1 - b'_2) $$
est un élément de $K$, donc $\psi$ est bien défini. On voit facilement que la bilinéarité requise est satisfaite, ce qui fait que nous avons bien défini un homomorphisme (de groupes abéliens) de source $C \otimes C'$. Clairement, $\varphi$ et $\psi$ sont inverses l'un de l'autre. ■

**Corolaire 4.6.** Soit $M$ un module à gauche sur un anneau $R$, et soit $A \to B \to C \to 0$ une suite exacte de $R$-modules à droite. Alors la suite $A \otimes M \to B \otimes M \to C \otimes M \to 0$ est exacte.

*Démonstration.* Prendre $A' = 0$ et $B' = C' = M$ dans le théorème 4.5. ■

**Corolaire 4.7.** Si $C$ et $C'$ sont des modules de présentation finie sur un anneau commutatif $R$, alors il en va de même pour $C \otimes C'$.

*Démonstration.* Nous pouvons prendre pour $A'$, $B'$, $A$ et $B$ des $R$-modules de type fini dans l'hypothèse du théorème 4.5. ■

La relation d'égalité sur $A \otimes B$ admet la description suivante.

**Théorème 4.8.** Soient $R$ un anneau, $A$ un $R$-module à droite engendré par des éléments $a_1, \dots, a_m$, et $B$ un $R$-module à gauche. L'élément $\sum_{i=1}^m a_i \otimes b_i$ est nul dans $A \otimes B$ si, et seulement si, il existe des éléments $r_{ij} \in R$ et $c_j \in B$ tels que

(i) $b_i = \sum_j r_{ij} c_j$,

(ii) $\sum_i a_i r_{ij} = 0$.

*Démonstration.* Clairement la condition implique l'égalité $\sum a_i \otimes b_i = 0$. Inversement, soit $F$ un $R$-module à droite libre de rang $m$, et envoyons $F$ sur $A$ avec un noyau $K$ en envoyant une base $e_1, \dots, e_m$ de $F$ sur les éléments $a_1, \dots, a_m$. Cela donne la suite exacte

$$K \otimes B \to F \otimes B \to A \otimes B \to 0$$

L'élément $\sum_{i=1}^m e_i \otimes b_i$ de $F \otimes B$ a pour image 0 dans $A \otimes B$, donc il est l'image d'un élément de $K \otimes B$ que nous pouvons écrire sous la forme $\sum_j k_j \otimes c_j$ avec les $k_j \in K$ et les $c_j \in B$, ce qui donne

$$\sum_{i=1}^{m} e_i \otimes b_i = \sum_{j} \left( \sum_{i} e_i r_{ij} \right) \otimes c_j = \sum_{i} e_i \otimes \left( \sum_{j} r_{ij} c_j \right).$$

Comme les $e_i$ sont une base de $F$, nous avons $b_i = \sum r_{ij} c_j$. Comme $\sum_i e_i r_{ij} \in K$, nous avons $\sum_i a_i r_{ij} = 0$. ■
Exercices

1. Soient $\{B_i\}_{i \in I}$ une famille de $R$-modules à gauche et $A$ un $R$-module à droite. Montrer que l'on a un isomorphisme naturel

$$A \otimes \bigoplus_{i \in I} B_i \simeq \bigoplus_{i \in I} (A \otimes B_i).$$

2. Si $S$ est un sous-monoïde multiplicatif d'un anneau commutatif $R$ et si $M$ est un $R$-module, montrer que $S^{-1}M \simeq (S^{-1}R) \otimes M$ comme $S^{-1}R$-modules.

3. Soient $a$ une suite binaire, $A$ le groupe des entiers modulo 5, $C$ le groupe des entiers modulo 25, et soit $B$ le sous-groupe de $C$ engendré par 5 et l'ensemble $\{a_n : n = 1, 2, \dots\}$. Montrer que $A$ et $B$ sont des groupes abéliens discrets, et que $A \otimes B$ est discret si, et seulement si, $a_n = 1$ pour un $n$, ou $a_n = 0$ pour tout $n$.

4. Soit $a$ une suite binaire. Soit $F$ l'anneau des entiers modulo 2, et soit $R$ le sous-anneau de $F[x, y, s, t]/(sx + ty - 1)$ engendré par $x, y$ et l'ensemble $\{a_n s, a_n t : n = 1, 2, \dots\}$. Soit $A = R/(x)$ et $B = R/(y)$. Montrer que $A$ et $B$ sont des $R$-modules de présentation finie discrets, et que $A \otimes B$ est discret si, et seulement si, $a_n = 1$ pour un $n$, ou $a_n = 0$ pour tout $n$.

5. Montrer que le sous-module $A \subseteq B$ est pur si, et seulement si, l'homo-morphisme naturel $M \otimes A \to M \otimes B$ est injectif pour tout module à droite de présentation finie $M$. Montrer que l'expression « de présentation finie » peut être supprimée dans l'affirmation précédente.

# 5 Modules plats

Soit $R$ un anneau et soit $M$ un $R$-module à gauche. Nous disons que $M$ est plat si pour tous $x_1, \dots, x_m \in M$ et tous $r_1, \dots, r_m \in R$ tels que $\sum r_i x_i = 0$, il existe des $y_1, \dots, y_n \in M$ et des $a_{ij} \in R$ tels que $x_i = \sum_j a_{ij} y_j$ et $\sum_i r_i a_{ij} = 0$. La platitude est clairement une propriété locale en ce sens qu'un $R$-module est plat si, et seulement si, tout sous-module de type fini est contenu dans un sous-module plat.

**Théorème 5.1.** Si $\{M_i\}_{i \in I}$ est une famille de $R$-modules, alors $\bigoplus_{i \in I} M_i$ est plat si, et seulement si, chaque $M_i$ est plat.

*Démonstration.* Comme la platitude est une propriété locale, nous pouvons supposer que $I$ est finiment énumérable, disons $I = \{s_1, \dots, s_n\}$. Notons $M = \bigoplus_{i \in I} M_i$.

Supposons tout d'abord que les $M_i$ sont plats. Considérons une égalité dans $M$

$$0 = \sum_{1 \le l \le m} r_l x_l = \bigoplus_{1 \le k \le n} y_k$$
avec $y_k = \sum_{1 \le l \le m} r_l x_{k,l}$ et les $x_{k,l} \in M_{i_k}$.

Par définition de l'égalité dans $M$, puisque $\bigoplus_{1 \le k \le n} y_k = 0$, on est dans (au moins) l'un des deux cas suivants :

- tous les $y_k$ sont nuls,

- deux indices sont égaux dans $I : i_k =_I i_h$ pour $h$ et $k$ distincts dans $\{1, \dots, n\}$.

Le premier cas se traite en considérant les relations données par la platitude dans chaque $M_{i_k}$. Le deuxième cas se ramène au premier par récurrence sur $n$. Supposons maintenant que $M$ est plat et considérons par exemple l'indice $i_1 \in I$ et une égalité $\sum_{1 \le l \le m} r_l x_{l,} = 0$ dans $M_{i_1}$. Puisque $M$ est plat, on écrit

$$x_{l,} =_M \sum_{1 \le j \le p} g_{l,j} z_j \quad \text{avec} \quad \sum_{1 \le l \le m} r_l g_{l,j} =_R 0 \quad \text{pour chaque } j.$$

On écrit $z_j = \bigoplus_{1 \le k \le n} y_{j,k}$ avec $y_{j,k} \in M_{i_k}$, ce qui donne

$$x_{l,} =_M \bigoplus_{1 \le k \le n} \sum_{1 \le j \le p} g_{l,j} y_{j,k}$$

Par définition de l'égalité dans $M$, on est dans (au moins) l'un des deux cas suivants :

- pour chaque $l$, on a $x_l = \sum_{1 \le j \le p} g_{l,j} y_{j,1}$ dans $M_{i_1}$,

- on a dans $I : i_1 =_I i_h$ pour un $h \neq 1$ dans $\{1, \dots, n\}$.

Dans le premier cas, on a dans $M_{i_1}$ les égalités qui nous conviennent.

Le deuxième cas se ramène au premier par récurrence sur $n$. ■

La partie « seulement si » du théorème 5.1 nous donne une information plus précise que seulement « un facteur direct d'un module plat est plat », parce que les $M_i$ ne sont pas nécessairement des facteurs directs de la somme directe.

**Corolaire 5.2.** *Les modules libres et les modules projectifs sont plats.*

*Démonstration.* Le fait que le $R$-module à gauche $R$ est plat est obtenu en prenant $n=1$ et $y_1 = 1$ dans la définition de la platitude. Ensuite le théorème 5.1 montre que les modules libres sont plats. Si $P$ est projectif, alors l'application naturelle du module libre $R^{(P)}$ sur $P$ a une inverse à droite, donc $P$ est un facteur direct de $R^{(P)}$, et donc $P$ est plat. ■

Un diagramme de modules et applications linéaires, comme par exemple le carré

$$\begin{array}{ccc} A & \xrightarrow{\alpha} & B \\ \beta \downarrow & & \downarrow \gamma \\ C & \xrightarrow{\delta} & D, \end{array}$$

est dit **commutatif** si toutes les composées de flèches dans le diagramme qui commencent au même endroit et se terminent au même endroit sont égales. Par exemple le carré est commutatif si, et seulement si, $\gamma\alpha = \delta\beta$.
suivant.

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

D'après l'hypothèse (iii), les lignes et les colonnes sont exactes. Une chasse facile dans le diagramme montre que l'homomorphisme $A \otimes M \to B \otimes M$ est aussi injectif.

Enfin supposons (iv), avec une somme $\sum_i r_i x_i = 0$. Soit $I$ l'idéal à droite de $R$ engendré par les $r_i$ et considérons l'homomorphisme de $I \otimes M$ vers $R \otimes M$. L'élément $\sum_i r_i \otimes x_i$ a pour image zéro, et l'hypothèse (iv) nous dit que nous avons $\sum_i r_i \otimes x_i = 0$. Maintenant nous voyons que (i) est satisfaite en vertu du théorème 4.8. ■

**Corolaire 5.4.** Soient $M$ un $R$-module à gauche, $B$ un $R$-module à droite, et $A$ un sous-module de $B$. Si $B/A$ est plat, alors l'homomorphisme de $A \otimes M$ vers $B \otimes M$ est injectif.

*Démonstration.* Envoyons un module libre $F$ sur $M$ avec $K$ pour noyau, et considérons le diagramme commutatif suivant dans lequel $C = B/A$.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

La colonne du milieu est exacte parce que $F$ est libre; la dernière ligne est exacte parce que $C$ est plat. Soit $x \in A \otimes M$ nul dans $B \otimes M$. Alors $x$ provient d'un $y \in A \otimes F$, qui s'envoie sur un $z \in B \otimes F$, qui provient d'un $w \in B \otimes K$. Maintenant $w$ a une image nulle dans $C \otimes F$, et donc aussi dans $C \otimes K$. Par suite $w$ provient d'un $u \in A \otimes K$, qui s'envoie sur $y$ dans $A \otimes F$ parce qu'il s'envoie sur $z$ dans $B \otimes F$. Ainsi $x = 0$. ■

Exercices

1. Soit $S$ un sous-monoïde multiplicatif d'un anneau commutatif $R$. Montrer que $S^{-1}R$ est un $R$-module plat.
2. Soit $A$ un module à droite plat (sur un anneau $R$) tel que $AI$ est une partie détachable de $A$ pour tout idéal à droite de type fini $I$ de $R$. Soit $B$ un $R$-module à gauche cohérent de type fini. Montrer que $A \otimes B$ est discret.

3. Montrer que les propriétés suivantes sur un anneau $R$ sont équivalentes.

(i) $\prod_{i \in \mathbb{N}} M_i$ est un $R$-module à gauche plat si tous les $M_i$ sont plats.

(ii) $R^{\mathbb{N}}$ est un $R$-module à gauche plat.

(iii) Si $\varphi: R^n \to R$ est une application linéaire de $R$-modules à droite, alors tout ensemble dénombrable d'éléments de $\ker \varphi$ est contenu dans un sous-module de type fini de $\ker \varphi$.

Lorsque $R$ est dénombrable et discret, montrer que (iii) est équivalent au fait que $R$ est cohérent à droite.

4. *Les modules plats de présentation finie sont projectifs.* Soit $F$ un $R$-module à gauche libre de rang fini, et $K$ un sous-module de type fini de $F$. Pour $x \in F$ notons $I_x$ l'idéal à droite de $R$ engendré par les coordonnées de $x$ dans $F$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes.

(i) $F/K$ est plat<fnref n="1" />.

(ii) $x \in I_x K$ pour chaque $x \in K$.

(iii) Pour tout $x \in K$ il existe une application linéaire $f: F \to K$ telle que $x = f(x)$.

(iv) $K$ est un facteur direct de $F$.

Utilisez votre démonstration pour montrer que si $R$ est commutatif et si $F$ est fortement discret, alors on peut décider si $F/K$ est ou n'est pas projectif.

5. Montrer que tout module sur un anneau à division discret est plat. Montrer que si $k \subseteq K$ sont des corps discrets, et si $V$ est un espace vectoriel sur $k$, alors $v_1, \dots, v_n \in V$ sont linéairement dépendants sur $k$ si, et seulement si, ils sont linéairement dépendants sur $K$ dans $K \otimes_k V$.

6. Utiliser le théorème 5.3(ii) pour montrer que si $A \subseteq B$ et si $A$ et $B/A$ sont plats, alors $B$ est plat. En déduire que si tout $R$-module cyclique est plat alors tout $R$-module est plat. Montrer qu'un anneau $R$ est von-Neumann-régulier (voir l'exercice II.6.4) si, et seulement si, tout $R$-module est plat. Montrer que si $R$ est von-Neumann-régulier, alors tout idéal à gauche de type fini de $R$ est un facteur direct, et donc $R$ est cohérent.

<footnote n="1">1. **NdT.** Notez que $F/K$ est un module de présentation finie arbitraire et que la condition (iv) implique que $F/K$ est un module projectif.</footnote>
# 6 Anneaux locaux

Un anneau $R$ est dit **local** si pour tout $r \in R$, $r$ ou $1-r$ est inversible. Une condition équivalente est que si $r_1 + r_2$ est inversible, alors $r_1$ ou $r_2$ est inversible. Un corps de Heyting est un anneau local, et beaucoup de résultats dans cette section et la suivante présentent un intérêt par ce qu'ils disent au sujet des corps de Heyting. En fait, un corps de Heyting peut être caractérisé comme un anneau commutatif local dans lequel 1 ne peut pas être nul et dans lequel tout élément qui ne peut pas être une unité est nul. Un avantage de travailler avec les anneaux locaux plutôt qu'avec les corps de Heyting, outre la plus grande généralité, est que nous n'employons pas de notions négatives comme celles utilisées dans la phrase précédente.

Un endomorphisme $f$ d'un anneau $R$ en tant que $R$-module à gauche est donné par $f(x) = xf(1)$, de sorte que la fonction $f \mapsto f(1)$ est un isomorphisme de l'anneau $E_R(R)$ des endomorphismes de $R$ en tant que $R$-module à gauche vers l'anneau opposé à $R$. Comme l'anneau opposé à un anneau local est local, si $R$ est local, alors le module à gauche $R$ a pour anneau d'endomorphismes un anneau local.

Soit $e$ un idempotent dans un anneau local. Si $e$ est une unité, alors $e = 1$; si $1-e$ est unité, alors $e = 0$ (éventuellement les deux). Donc si l'anneau d'endomorphismes d'un module $M$ est local, tout facteur direct de $M$ est égal à 0 ou à $M$, c'est-à-dire, $M$ est **indécomposable**. Les théorèmes suivants qui traitent de décompositions directes de modules qui ont un anneau d'endomorphismes local sont appelés des **théorèmes d'Azumaya**. Gardez présent à l'esprit que si $R$ est un corps de Heyting, ou même simplement un anneau local, alors $R^n$ est une somme directe de $R$-modules qui ont un anneau d'endomorphismes local.

**Lemme 6.1.** Soit $B \oplus C = A_1 \oplus \cdots \oplus A_n$ un module. Si l'anneau d'endomorphismes de $C$ est local, alors $B \oplus C = B \oplus D$, avec $D \subseteq A_i$ pour un $i$.

*Démonstration.* Soient $\pi_i$, $\pi_B$, et $\pi_C$ les projections sur $A_i$, $B$ et $C$ respectivement. Alors $\pi_C(\pi_1 + \cdots + \pi_n)$ est l'application identique de $C$, donc l'un des $\pi_C\pi_i$ est un automorphisme de $C$. Posons $D = \pi_i C$. Alors $\pi_C$ envoie $D$ isomorphiquement sur $C$, et donc $B \oplus C = B \oplus D$. ■

Le premier théorème d'Azumaya montre que les facteurs directs de modules qui ont des anneaux d'endomorphismes locaux sont de nouveau des sommes directes de modules qui ont des anneaux d'endomorphismes locaux.

**Théorème 6.2.** Soient $A \oplus B = C_1 \oplus \cdots \oplus C_n$ des modules tels que l'anneau d'endomorphismes de chaque $C_i$ est local. Alors il existe des modules $D_j$ tels que

$$A = D_1 \oplus \cdots \oplus D_m \text{ et } B = D_{m+1} \oplus \cdots \oplus D_n,$$
et une permutation $\sigma$ telle que $C_i \simeq D_{\sigma(i)}$ pour chaque $i$.

**Démonstration.** Par le lemme 6.1 nous trouvons $D_1$, contenu dans $A$ ou dans $B$, tel que $D_1 \oplus C_2 \oplus \cdots \oplus C_n = C_1 \oplus C_2 \oplus \cdots \oplus C_n$. Nous pouvons supposer que $D_1 \subseteq B$. Alors $B = B' \oplus D_1$ et $A \oplus B' \simeq C_2 \oplus \cdots \oplus C_n$, et nous terminons par récurrence sur $n$. ■

Le théorème 6.2 implique qu’un facteur direct d’un module libre de rang fini sur un anneau local est un module libre de rang fini. Le théorème d’Azumaya qui suit montre qu’un module dont l’anneau d’endomorphismes est local a la propriété de **simplification** dans une somme directe.

**Théorème 6.3.** Étant donné un isomorphisme de modules $A \oplus C \simeq B \oplus C$, si l’anneau d’endomorphismes de $C$ est local, alors $A \simeq B$.

**Démonstration.** Nous pouvons supposer que $A \oplus C' = B \oplus C = E$ avec $C' \simeq C$. D’après le lemme 6.1, nous pouvons supposer que $C' \subseteq B$ ou que $C' \subseteq C$. Dans le deuxième cas $C'$ est un facteur direct de $C$, donc $C' = C$ ou $C' = 0$, et par suite $A \simeq E/C \simeq B$. Si $C' \subseteq B$, nous écrivons $B = B' \oplus C'$, donc $A \oplus C' = B' \oplus C' \oplus C$, et $A \simeq E/C' \simeq B' \oplus C \simeq B$. ■

Le théorème 6.3 nous montre que si $R$ est un anneau local et si $R^m \simeq R^n$, alors $m = n$ ou $R$ est trivial. Rappelons que ceci est également vrai pour les anneaux commutatifs (théorème II.7.5), mais pas pour les anneaux en général (exercice II.4.3).

On définit une **inégalité** sur un anneau local en posant $r_1 \neq r_2$ si $r_1 - r_2$ est inversible. En utilisant cette inégalité non standard nous pouvons développer de manière naturelle une grande partie de la théorie des espaces vectoriels de dimension finie sur les corps de Heyting dans la situation plus générale des modules libres de rang fini sur un anneau local. Cette inégalité est symétrique et invariante par translation pour n’importe quel anneau et, pour un anneau local, elle est aussi cotransitive. Si elle est consistante, l’anneau est non trivial. L’exercice II.1.5 montre que l’addition et la soustraction sont fortement extensionnelles. Pour démontrer que la multiplication est fortement extensionnelle, nous avons besoin du lemme suivant.

**Lemme 6.4.** Si $a$ et $b$ sont des éléments d’un anneau local $R$, et si $ab$ est inversible, alors $a$ et $b$ sont inversibles.

**Démonstration.** Nous pouvons supposer que $ab = 1$. Il suffit de démontrer que $-a$ ou $b$ est inversible, et nous pouvons donc supposer que $1 + a$ et $1 - b$ sont inversibles. Alors $a - b = (1 + a)(1 - b)$ est inversible, et donc $a$ ou $-b$ est inversible. ■

Si $a, b, c$ et $d$ sont des éléments d'un anneau local $R$, et si $ab \neq cd$, alors $ab \neq ad$ ou $ad \neq cd$ par cotransitivité ; donc $b \neq d$ ou $a \neq c$ d'après le lemme 6.4.
Ainsi la multiplication est fortement extensionnelle. Par suite, si $f(X_1, \dots, X_n)$ est une fonction construite à partir d'éléments de $R$ et des variables $X_1, \dots, X_n$ en utilisant seulement la multiplication et l'addition, et si $f(0, \dots, 0) = 0$, alors $f(r_1, \dots, r_n) \neq 0$ implique que $r_i \neq 0$ pour un $i$.

Une caractérisation standard des anneaux locaux en mathématiques classiques est que les éléments non inversibles forment un idéal. L'exercice 4 explique pourquoi nous n'utilisons pas cette caractérisation, mais les anneaux locaux non triviaux ont effectivement cette propriété.

**Théorème 6.5.** Soit $R$ un anneau local. Alors l'ensemble

$$M = \{ r \in R : \text{si } r \text{ est inversible, alors } R \text{ est trivial} \}$$

est le radical de Jacobson de $R$.

*Démonstration.* Soit $Rr$ un idéal à gauche quasi-régulier. Si $r$ est inversible, alors $1 \in Rr$, donc $0$ est inversible, et par suite $R$ est trivial; ainsi $r \in M$. Inversement, supposons que $m \in M$ et $r \in R$. L'un des deux éléments $rm$ ou $1-rm$ est inversible. Si $rm$ est inversible alors $m$ est inversible d'après le lemme 6.4, donc $R$ est trivial et $1-rm$ est également inversible. Par suite $Rm$ est un idéal à gauche quasi-régulier. ■

Soit $M$ un module sur un anneau local $R$. L'inégalité forte sur $M$ est définie en posant $x \neq y$ s'il existe une application linéaire $f: M \to R$ telle que $f(x) \neq f(y)$. L'inégalité forte sur $M$ est la plus petite inégalité qui rend les applications linéaires de $M$ vers $R$ fortement extensionnelles. Sur le module $R^n$, l'inégalité forte est celle qu'il est naturel d'imposer; elle peut être décrite en termes des coordonnées comme suit.

**Théorème 6.6.** Soient $R$ un anneau local et $x, y$ des éléments de $R^n$. Alors $u \neq v$ pour l'inégalité forte sur $R^n$ si, et seulement si, $x - y$ a une coordonnée inversible dans $R$.

*Démonstration.* Soit $e_1, \dots, e_n$ la base naturelle de $R^n$ et soit $x - y = \sum_i a_i e_i$. Si $a_i$ est inversible, alors $f(x) \neq f(y)$ où $f$ est la projection de $R^n$ sur son i-ième facteur. Inversement, supposons que $f(x) \neq f(y)$ pour une application $R$-linéaire $f: R^n \to R$. Alors $\sum_i \varphi(a_i e_i) \neq 0$, et donc $a_i \varphi(e_i) = \varphi(a_i e_i) \neq 0$ pour un $i$. Par suite $a_i \neq 0$. ■

Nous disons que les éléments $u_1, \dots, u_m$ de $R^n$ sont linéairement indépendants sur l'anneau local $R$ si $\sum_{i=1}^m r_i u_i \neq 0$ dès que l'un des $r_i \in R$ est $\neq 0$. Clairement toute base est linéairement indépendante. Nous allons montrer dans le théorème 6.10 qu'inversement, si $u_1, \dots, u_m$ engendrent $R^n$ et sont linéairement indépendants, alors ils forment une base. Nous montrerons aussi que tout ensemble linéairement indépendant de $R^n$ peut être étendu en une base de $R^n$.
Le lemme 6.4, selon lequel $ab = 1$ implique que $a$ et $b$ sont inversibles, s'étend des anneaux locaux aux matrices sur les anneaux locaux. En outre les matrices inversibles sont toutes des produits de matrices élémentaires.

**Théorème 6.7.** Soit $A$ une matrice $n \times n$ sur un anneau local $R$. Si $A$ est inversible à droite ou à gauche, alors $A$ est un produit de matrices élémentaires, et donc $A$ a un inverse (à droite et à gauche).

*Démonstration.* En considérant les matrices transposées, il suffit de traiter le cas où la matrice $A$ possède une inverse à gauche $B$. Alors $\sum_{j=1}^n b_{1j}a_{j1} = 1$, et il existe un $j$ tel que $b_{1j}a_{j1}$ est inversible. Le lemme 6.4 implique alors que $a_{j1}$ est inversible. Donc nous pouvons trouver un produit $E$ de matrices élémentaires tel que la première colonne de $EA$ est nulle sauf pour un 1 en première position. Comme $(BE^{-1})(EA) = I$, et comme $E$ a un inverse, nous pouvons supposer que $a_{11} = 1$ et $a_{i1} = 0$ pour $i \neq 1$; notons que cela implique que $b_{11} = 1$ et $b_{i1} = 0$ pour $i \neq 1$. Notons $M^*$ la matrice $M$ privée de sa première ligne et de sa première colonne, alors $B^*A^* = I^*$, donc par récurrence sur $n$ nous trouvons un produit $E$ de matrices élémentaires tel que $EA$ est la matrice identité sauf pour $a_{12}, \dots, a_{n1}$. Et ses entrées restantes sont facilement annulées au moyen de manipulations élémentaires. ■

Une conséquence du théorème précédent est que lorsque $A$ est une matrice inversible, $C \neq 0$ si, et seulement si, $CA \neq 0$, car l'équivalence est claire pour une matrice élémentaire. Le même résultat vaut pour la multiplication à droite.

Les deux lemmes suivants concernent l'indépendance linéaire d'éléments dans des modules de type fini.

**Lemme 6.8.** Soit $R$ un anneau local et $M$ une matrice $m \times n$ sur $R$. Soit $A$ une matrice inversible $m \times m$, et soit $B$ une matrice inversible $n \times n$. Alors les lignes de $M$ sont linéairement indépendantes si, et seulement si, les lignes de $AMB$ sont linéairement indépendantes.

*Démonstration.* Comme $A$ et $B$ sont inversibles, il suffit de montrer que si les lignes de $M$ sont linéairement indépendantes, alors il en va de même pour les lignes de $AMB$. Les lignes de $M$ sont linéairement indépendantes si, et seulement si, pour toute matrice $X$ de format $1 \times m$ avec $X \neq 0$, on a $XM \neq 0$. Si $X \neq 0$, alors $XA \neq 0$ et nous avons $XAM \neq 0$ parce que les lignes de $M$ sont linéairement indépendantes, et donc $XAMB \neq 0$. ■

**Lemme 6.9.** Soit $R$ un anneau local et $M$ une matrice $m \times n$ sur $R$. Si les lignes de $M$ sont linéairement indépendantes, alors ou bien $R$ est trivial, ou bien il existe une matrice carrée inversible $A$ et une matrice de permutation $B$ telles que les $m$ premières colonnes de $AMB$ forment la matrice identité de format $m \times m$.
**Démonstration.** La matrice *A* est construite par des manipulations élémentaires de lignes (en partant de la matrice identité) et la matrice *B* en permutant les colonnes (de la matrice identité). Comme la première ligne de *M* est non nulle, nous pouvons en permutant les colonnes et en multipliant par une unité obtenir un 1 en position nord-ouest. Nous pouvons alors annuler les autres coefficients de la première colonne par des manipulations élémentaires de lignes. Les lignes de la matrice qui en résulte sont linéairement indépendantes en vertu du lemme 6.8. Si $m > n = 1$, alors *R* est trivial; sinon par récurrence sur le nombre de lignes, ou bien *R* est trivial ou bien nous pouvons exécuter des manipulations élémentaires sur les lignes 2 à *m*, et permuter les colonnes entre 2 et *n*, de manière à obtenir la matrice identité de format $(m-1) \times (m-1)$ sur les lignes 2 à *m* et les colonnes 2 à *m*. Enfin par des manipulations élémentaires de lignes nous transformons les *m* premières colonnes en la matrice identité. ■

Nous pouvons maintenant démontrer que tout ensemble linéairement indépendant dans un module libre de rang fini sur un anneau local peut être étendu en une base.

**Théorème 6.10.** Soit $R$ un anneau local et soient $v_1, \dots, v_m$ des éléments d'un $R$-module libre de rang fini $F$. Soit $e_1, \dots, e_n$ une base de $F$.

— Si $m < n$, il existe $j$ tel que $v_1, \dots, v_m, e_j$ sont linéairement indépendants,

— si $m = n$, $v_1, \dots, v_m$ est une base de $F$,

— si $m > n$, $R$ est trivial.

**Démonstration.** Nous pouvons supposer que $F$ est l'ensemble des matrices de format $1 \times n$ sur $R$, que $v_i$ est la $i$-ième ligne d'une matrice $M$ de format $m \times n$, et que $e_j$ est la matrice de format $1 \times n$ avec un 1 dans la $j$-ième colonne et 0 ailleurs.

Si $m \le n$, alors par le lemme 6.9 nous pouvons trouver une matrice carrée inversible *A* et une matrice de permutation *B* telles que les *m* premières colonnes de *AMB* forment la matrice identité de format $m \times m$. Si $m = n$, alors *M* est inversible, donc ses lignes sont une base de *F*. Si $m < n$, alors, comme *B* est une matrice de permutation, il existe *j* tel que $e_jB = e_{m+1}$. Les lignes de *AMB*, avec la ligne $e_{m+1}$, sont linéairement indépendantes. Donc les lignes de *AM*, avec la ligne $e_j$, sont linéairement indépendantes. Comme *A* est inversible, les lignes de *M*, avec la ligne $e_j$, sont linéairement indépendantes d'après le lemme 6.8.

Si $m > n$, alors $v_1, \dots, v_n$ forment une base de $F$, donc $v_{n+1}$ peut être écrit comme une combinaison linéaire de $v_1, \dots, v_n$. Mais $v_1, \dots, v_{n+1}$ sont linéairement indépendants, donc $0 \ne 0$ dans $R$, et $R$ est trivial. ■
Exercices

1. Montrer que si $C_1 \oplus \cdots \oplus C_n \simeq D_1 \oplus \cdots \oplus D_n$ et si les anneaux d'endomorphismes des modules $C_i$ et $D_i$ sont locaux, alors il existe une permutation $\sigma$ de $\{1, \dots, n\}$ telle que $C_i \simeq D_{\sigma(i)}$ pour chaque $i$.

2. Utiliser les théorèmes d'Azumaya pour montrer que si $A$ et $B$ sont des matrices carrées sur un anneau local avec $AB = I$, alors $A$ et $B$ sont inversibles.

3. Montrer que l'inégalité définie sur un anneau local est symétrique et cotransitive.

4. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes.

(i) Le principe de Markov.

(ii) Pour tout anneau commutatif dénombrable discret, si les éléments non inversibles de $R$ forment un idéal, alors l'anneau est local.

Idée : pour montrer que (ii) implique (i), considérer une suite binaire $a$, le monoïde

$$S = \{ m \in \mathbb{Z} : m = 1, \text{ ou } m \neq 0 \text{ et } a_n = 1 \text{ pour un } n \}$$

et l'anneau $R = S^{-1}\mathbb{Z}$.

5. Donner un exemple d'éléments $a$ et $b$ dans un anneau avec $ab = 1$, alors que ni $a$ ni $b$ n'est inversible.

6. Montrer que si $R$ est local, alors le module $R^n$ est hopfien (exercice 1.9).

7. Soit $R$ un anneau local et $M$ un $R$-module muni d'une inégalité forte. Montrer que l'addition et la multiplication scalaire dans $M$ sont fortement extensionnelles.

8. Généraliser le théorème II.6.6 au cas d'anneaux locaux $k \subseteq K$, en supposant que le $K$-module $V$ est donné avec une inégalité telle que la multiplication scalaire soit fortement extensionnelle et que chacune des trois occurrences de l'expression « de dimension finie » implique un isomorphisme avec $R^n$ préservant l'inégalité.

9. Soit $k$ le corps des entiers modulo 2. Montrer que $K = k[X]/(X^2)$ est un anneau local isomorphe à $k^2$, mais que l'inégalité sur $K$ en tant qu'anneau local diffère de l'inégalité sur $K$ en tant que $k$-module. Pour l'anneau $V = k[X, Y]/(X, Y)^2$ montrer que l'exercice 8 est en échec parce que $V$ n'est pas un module libre sur $K$.

10. Montrer que si $R$ est un anneau local et si $u_1, \dots, u_m$ est une base de $R^n$, alors $m = n$ ou $R = 0$.

11. Montrer que si $R$ est un anneau local, si $e_1, \dots, e_n$ est une base d'un $R$-module libre $F$, et si $v_1, \dots, v_m$ engendrent $F$, alors il existe un $i$ tel que $v_i, e_2, \dots, e_n$ est une base de $F$.
# 7 Anneaux commutatifs locaux

Si $R$ est un anneau commutatif local, nous définissons $R(X)$, en analogie avec le corps des fractions rationnelles sur un corps, en inversant tous les éléments de $R[X]$ qui ont un coefficient inversible.

**Lemme 7.1.** Soient $R$ un anneau commutatif local et $X$ une indéterminée. Soit $S$ l'ensemble des polynômes dans $R[X]$ qui ont un coefficient inversible. Alors :

(i) $S$ est un monoïde multiplicatif,

(ii) si $fg = 0$ pour $f \in S$ et $g \in R[X]$, alors $g = 0$,

(iii) si $fg \in S$, alors $f \in S$, et si $f + g \in S$, alors $f \in S$ ou $g \in S$.

*Démonstration.* Soient $f = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \dots + a_0$ et $g = b_m X^m + b_{m-1} X^{m-1} + \dots + b_0$. Soit $fg = c_{m+n} X^{m+n} + \dots + c_0$. Supposons que $a_i$ et $b_j$ sont inversibles. Alors $a_i b_j$ est inversible, donc $c_{i+j}$ ou $c_{i+j} - a_i b_j$ est inversible. Dans le premier cas nous avons montré (i) ; dans le second cas, l'élément $\sum a_p b_q$, avec la somme portant sur les indices $p, q$ tels que $p+q=i+j$ et $p \neq i$, est inversible. Comme $R$ est local, il existe un $p < i$ ou un $q < j$ tel que $a_p b_q$ est inversible, donc $a_p b_j$ ou $a_i b_q$ est inversible, et nous avons démontré (i) par récurrence sur $i+j$.

Pour démontrer (ii) supposons que $a_i$ est inversible et que $fg = 0$. Nous pouvons supposer que $a_i = 1$. Alors la matrice $(m+1) \times (m+1)$

$$ \begin{pmatrix} 1 & a_{i-1} & a_{i-2} & \cdots & a_{i-m} \\ a_{i+1} & 1 & a_{i-1} & \cdots & a_{i-m+1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i+m} & a_{i+m-1} & a_{i+m-2} & \cdots & 1 \end{pmatrix} $$

avec $a_j = 0$ si $j < 0$ ou $j > n$, annule le vecteur $(b_0, \dots, b_m)^t$. Notons $d$ le déterminant de la matrice, nous avons $db_j = 0$ pour tous les $j$ (lemme II.7.6). Si $d$ est inversible, nous avons terminé. Si $d-1$ est inversible, alors $a_j$ est inversible pour un $j < i$ (en considérant la formule de définition du déterminant), et nous terminons par récurrence sur $i$.

Pour démontrer (iii) supposons d'abord que $fg \in S$; dans ce cas $c_k$ est inversible pour un $k$. Comme $R$ est local, $a_i b_j$ est inversible pour un couple $(i, j)$ tel que $i + j = k$. Ainsi $a_i$ est inversible, et $f \in S$. Supposons ensuite que $f + g \in S$. Alors $a_i + b_i$ est inversible pour un $i$, et donc $a_i$ ou $b_i$ est inversible. $\blacksquare$

**Théorème 7.2.** Soient $R$ un anneau commutatif local et $X$ une indéterminée. Soit $R(X)$ l'anneau $S^{-1}R[X]$ où $S$ est l'ensemble des éléments de $R[X]$ qui ont un coefficient inversible. Alors $R(X)$ est un anneau local contenant $R[X]$. Si $R$ est un corps de Heyting, il en va de même pour $R(X)$.
*Démonstration.* Si $a/s + a'/s' = (as' + a's)/ss'$ est inversible dans $R(X)$, alors $t(as' + a's) \in S$ pour un $t \in R[X]$, et donc $a$ ou $a'$ est un élément de $S$ d'après le lemme 7.1(iii); par suite $R(X)$ est local. Le lemme 7.1(ii) nous dit que l'application $R$-linéaire naturelle de $R[X]$ vers $R(X)$ est injective.

Supposons que l'inégalité sur $R$ est étroite. S'il est impossible que $a/s$ soit inversible dans $R(X)$, $a$ ne peut pas être un élément de $S$, donc aucun coefficient de $a$ ne peut être inversible, ce qui montre que tous les coefficients de $a$ sont nuls. Donc l'inégalité sur $R(X)$ est étroite.

Si l'inégalité sur $R$ est consistante, i.e. 1 ne peut être égal à 0 dans $R$, comme l'application $R$-linéaire naturelle de $R$ vers $R(X)$ (via $R[X]$) est injective, l'inégalité sur $R(X)$ est consistante. ■

**Théorème 7.3.** Soit $R$ un anneau commutatif local et $e$ un endomorphisme idempotent d'un $R$-module libre de rang fini $F$. Alors le noyau de $e$ est un $R$-module libre de rang fini.

*Démonstration.* L'anneau des endomorphismes du $R$-module $R$ est isomorphe à l'anneau $R$, donc le théorème d'Azumaya 6.2 s'applique. ■

Si $e$ est un idempotent dans un anneau local, alors $e$ est inversible, auquel cas $e=1$, ou $1-e$ est inversible, auquel cas $e=0$. Nous appelons **anneau impotent** un anneau commutatif réduit dans lequel tout idempotent est égal à 0 ou à 1. Un anneau commutatif local réduit est impotent.

**Théorème 7.4.** Soient $R$ un anneau impotent et $g$ un diviseur d'un polynôme unitaire de $R[X]$. Il existe une unité $\lambda$ de $R$ telle que $\lambda^{-1}g$ est unitaire.

*Démonstration.* Soit $gh = X^m + c_{m-1}X^{m-1} + \cdots + c_0$, avec

$$g = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_0 \text{ et } h = b_n X^n + b_{n-1} X^{n-1} + \cdots + b_0.$$

Nous montrons d'abord que $a_ib_j = 0$ si $i+j > m$. Nous procédons par récurrence descendante sur $i+j$ en notant que $a_ib_j$ est triviallement nul si $i+j > 2n$. Supposons que pour un $k > m$, $a_ib_j = 0$ chaque fois que $i+j \ge k+1$. Le coefficient de degré $k$ de $gh$ est

$$a_0b_k + a_1b_{k-1} + \cdots + a Kb_0 = 0.$$

En multipliant cette égalité par $a_ib_{k-i}$ nous obtenons $(a_ib_{k-i})^2 = 0$, et donc $a_ib_{k-i} = 0$ puisque $R$ est réduit. Cela complète la récurrence.

Maintenant considérons l'égalité

$$a_0b_m + a_1b_{m-1} + \cdots + a_m b_0 = 1.$$

En multipliant par $a_ib_{m-i}$ nous voyons que $a_ib_{m-i}$ est idempotent, et donc égal à 0 ou 1 parce que $R$ est impotent. S'ils sont tous nuls, $R$ est trivial et
le théorème est trivialment vrai. Sinon, il existe des indices $i$ et $j$ tels que $i+j=m$ et $a_ib_j=1$. Si $k>i$, alors $a_kb_j=0$, donc $a_k=0$. Ainsi nous pouvons prendre $\lambda = a_i$. ■

**Corolaire 7.5.** Si $g$ et $h$ sont des polynômes à coefficients dans un anneau impotent et si $gh = X^d$, il existe une unité $\lambda$ et un entier naturel $r \le d$ tels que $g = \lambda X^r$.

*Démonstration.* D'après le théorème 7.4, quitte à multiplier $g$ et $h$ par des unités, nous pouvons les supposer unitaires, disons de degrés $r$ et $s = d-r$. Posons $g_1 = X^r g(1/X)$ et $h_1 = X^s h(1/X)$. On a $g_1h_1 = 1$, donc le théorème 7.4 implique que $g_1$ et $h_1$ sont de degrés $\le 0$. Donc $g_1 = 1$, puis $g = 1$. ■

**Lemme 7.6.** Soit $\alpha$ un endomorphisme d'un module libre de rang fini sur un anneau impotent. Si $\alpha$ est nilpotent, le polynôme caractéristique de $\alpha$ est égal à une puissance de $X$.

*Démonstration.* Supposons que $\alpha^m = 0$. Soit $A$ une matrice $n \times n$ pour $\alpha$, et soit $I$ la matrice identité de format $n \times n$. Alors

$$X^m I = (XI - A)(X^{m-1}I + X^{m-2}A + \cdots + XA^{m-2} + A^{m-1}).$$

En prenant les déterminants des deux membres nous obtenons

$$X^{mn} = f(X)g(X)$$

où $f$ est le polynôme caractéristique de $\alpha$. Alors $f$ est égal à une puissance de $X$ d'après le corolaire 7.5. ■

**Théorème 7.7.** Soit $\alpha$ un endomorphisme d'un module libre de rang fini $V$ sur un anneau commutatif local réduit. Soit $f(X)$ son polynôme caractéristique, et supposons que $f(X) = (X - \lambda)^n g(X)$ où $g(\lambda)$ est une unité. Alors $V = H \oplus K$ où $H$ est un module libre de rang $n$, $\alpha - \lambda$ est un automorphisme sur $K$, et $(\alpha - \lambda)^n H = 0$.

*Démonstration.* Le théorème du reste montre que les polynômes $X - \lambda$ et $g(X)$ sont étrangers, donc $(X - \lambda)^n$ et $g(X)$ sont étrangers, et par suite il existe des polynômes $s(X)$ et $t(X)$ tels que

$$s(X)(X - \lambda)^n + t(X)g(X) = 1.$$

Soit $e = s(\alpha)(\alpha - \lambda)^n$. Alors $e^2 = e(1 - t(\alpha)g(\alpha)) = e$ parce que $f(\alpha) = 0$. Soient $H$ le noyau de $e$ et $K$ le noyau de $1 - e$; comme $\alpha e = e\alpha$, on a $\alpha H \subseteq H$ et $\alpha K \subseteq K$. Comme $e = s(\alpha)(\alpha - \lambda)^n = (\alpha - \lambda)s(\alpha)(\alpha - \lambda)^{n-1}$ est l'application identique sur $K$ et $\alpha K \subseteq K$, nous obtenons que $\alpha - \lambda$ est un automorphisme de $K$.
Si le module libre de rang fini $K$ est nul, alors $e = 0$ et $H = V$, donc $g(\alpha)$ est injectif parce que $t(\alpha)g(\alpha) = 1$. Dans ce cas $(\alpha - \lambda)^n = 0$ parce que $0 = f(\alpha) = g(\alpha)(\alpha - \lambda)^n$. D'après le lemme 7.6, nous savons que $f(X)$ est une puissance de $X - \lambda$, donc $g = 1$ et le théorème est vérifié.

Si le rang de $K$ est $> 0$, nous pouvons écrire $f = f_H f_K$, où $f_H$ et $f_K$ sont les polynômes caractéristiques de $\alpha$ restreint à $H$ et $K$ respectivement. Comme $f_K(\lambda)$ est le déterminant de $\alpha - \lambda$ agissant sur $K$, nous obtenons que $f_K(\lambda)$ est une unité. Ainsi $f_H = (X - \lambda)^n g^*(X)$ où $g^*(\lambda)$ est une unité. Par récurrence sur la dimension de $V$, le module $H$ est libre de rang $n$ et $(\alpha - \lambda)^n H = 0$. ■

Exercices

1. Montrer que si $a, b$ et $c$ sont des polynômes sur un corps de Heyting, et si $\deg a \le \deg b$, alors $\deg ac \le \deg bc$.

2. Unités de $R[X]$. Soit $R$ un anneau commutatif. Montrer que si le terme constant de $g$ est inversible et si tous les autres coefficients de $g$ sont nilpotents, alors $g$ est une unité de $R[X]$. Inversement, si $g$ est une unité de $R[X]$, montrer que le terme constant de $g$ est inversible dans $R$, et que tous les autres coefficients de $g$ sont nilpotents. (Considérer $S = \{1, a, a^2, \dots\}$ où $a$ est le coefficient de plus haut degré de $g$ que l'on ne sait pas être nilpotent, et montrer que $S^{-1}R$ est trivial.)

3. Montrer que le théorème 7.4 caractérise les anneaux impotents (il suffit de considérer les polynômes de la forme $aX + b$).

4. Donner un exemple d'un anneau commutatif local où le lemme 7.6 est en défaut.

5. Donner un exemple brouwerien d'un endomorphisme $\alpha$ de $\mathbb{R}^2$, où $\mathbb{R}$ est le corps des nombres réels, tel que le polynôme caractéristique $f$ de $\alpha$ annule $\lambda$, mais ne peut pas être écrit sous la forme donnée dans le théorème 7.7.

6. La forme canonique de Jordan, I. Soit $\alpha$ un endomorphisme d'un module libre de rang fini $V$ sur un anneau commutatif local réduit $R$. On suppose que le polynôme caractéristique de $\alpha$ est un produit de polynômes de la forme $(X - \lambda)^m$ avec des $\lambda$ distincts (pour l'inégalité sur $R$). Montrer que $V$ est une somme directe de sous-modules $V_\lambda$ tels que $\alpha V_\lambda \subseteq V_\lambda$, avec le polynôme caractéristique de la restriction de $\alpha$ à $V_\lambda$ égal à $(X - \lambda)^m$.

7. La forme canonique de Jordan, II. Soit $R$ un anneau commutatif local et soit $\alpha$ un endomorphisme de $R^n$ tel que $\alpha^m = 0$ et im $\alpha^i$ est de dimension finie pour $i = 1, \dots, m$.

(i) Montrer que $H_i = (\ker \alpha) \cap (\text{im } \alpha^i)$ est de dimension finie, et par suite est un facteur direct de $R^n$.
(ii) Montrer que $\ker \alpha = V_0 \oplus \cdots \oplus V_{m-1}$ où $H_i = V_i \oplus H_{i+1}$

(iii) Considérer une base $e_{ij}$ pour chaque $V_i$, donc pour $\ker \alpha$. Poser $e_{ij} = \alpha^i x_{ij}$ et montrer que $\{ \alpha^k x_{ij} : k \le i \}$ est une base de $R^n$.

8. Donner un exemple brouwerien d'un endomorphisme nilpotent $\alpha$ de $\mathbb{R}^2$ tel que $\text{im } \alpha$ n'est pas de dimension finie.

# 8 Notes

Notre théorie des anneaux et modules noethériens fait un usage extensif de l'axiome du choix dépendant. Élaborer une théorie qui n'utilise pas l'axiome du choix dépendant semble trop ambitieux pour le but de ce livre, et il semble probable que la théorie classique serait, au mieux, significativement déformée.

En mathématiques classiques, la condition de chaine ascendante sur les sous-modules est équivalente à la condition de chaine ascendante sur les sous-modules de type fini, et la seconde condition admet des exemples constructifs intéressants (contrairement à la première). D'autre part, la condition de chaine descendante ne semble pas admettre elle-même un traitement constructif. Un cas d'école serait de formuler une condition de chaine descendante qui serait satisfaite par le groupe abélien $\mathbb{Z}(p^\infty)$, la composante $p$-primaire de $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$.

La définition d'un module *cohérent* provient de [Bourbaki 1961, §2, exercice 11] sous le nom de module *pseudo-cohérent*, le terme *cohérent* étant réservé pour les modules pseudo-cohérents de type fini.

Le théorème classique selon lequel un anneau est cohérent à droite si, et seulement si, les produits de modules à gauche plats sont plats nécessite l'axiome du choix sous sa forme forte. L'exercice 5.3 donne la version dénombrable de ce théorème.

La démonstration que les modules de présentation finie plats sont projectifs dans l'exercice 5.4 provient de [Bourbaki 1961, §2, Exercice 23(a)]. La conséquence qu'on en tire pour décider si un module de présentation finie est projectif se trouve dans [Baumslag, Cannonito & Miller 1981, Lemma 5.1], où l'hypothèse de commutativité n'est pas faite mais semble être utilisée; le problème est que $I_x K$ n'est pas nécessairement un sous-module. L'article de Baumslag est écrit dans le contexte de la théorie des fonctions récursives et il utilise le principe de Markov. Pour la relation entre l'algèbre constructive et l'algèbre récursive, voir [Bridges-Richman 1987].

Dans l'article [Julian, Mines et Richman, 1978], un corps est défini comme un anneau commutatif local réduit dans lequel 0 ne peut pas être égal à 1.
# IV. Divisibilité dans les anneaux intègres

## Sommaire

<table><tr><td>1</td><td>Divisibilité dans les monoïdes réguliers</td><td>107</td></tr><tr><td>2</td><td>Anneaux à factorisation unique et domaines de Bézout</td><td>113</td></tr><tr><td>3</td><td>Anneaux de Dedekind-Hasse et anneaux euclidiens</td><td>117</td></tr><tr><td>4</td><td>Anneaux de polynômes</td><td>122</td></tr><tr><td>5</td><td>Notes</td><td>126</td></tr></table>

## 1 Divisibilité dans les monoïdes réguliers

Un monoïde commutatif est appelé un **monoïde régulier**<fnref n="1" /> si $ab = ac$ implique $b = c$. Si $R$ est un anneau intègre discret, l'ensemble des éléments non nuls $R$ forme un monoïde régulier discret. Cet exemple motive notre étude des monoïdes réguliers généraux. La terminologie introduite pour les monoïdes réguliers se transfère aux anneaux intègres discrets en considérant le monoïde des éléments non nuls.

Si $a$ et $b$ sont des éléments d'un monoïde régulier $M$, alors nous disons que $a$ **divise** $b$ et nous écrivons $a|b$ s'il existe un $c \in M$ tel que $b = ca$. Les diviseurs de 1 sont les unités de $M$ et forment un sous-monoïde $U$ de $M$ qui est un groupe. Si $U$ est détachable, nous disons que $M$ est un monoïde **avec unités détachables**<fnref n="2" />. Deux éléments $a$ et $b$ de $M$ sont dits **associés**, ce que l'on écrit $a \sim b$, si chacun divise l'autre. Comme $M$ est régulier, on obtient que $a \sim b$ si, et seulement si, il existe une unité $u$ telle que $b = ua$. À partir de $M$, on construit le monoïde $M/U$ en déclarant que deux éléments sont égaux s'ils sont associés. Nous travaillons dans $M/U$ quand nous nous intéressons aux éléments

<footnote n="1">1. **NdT.** Cancellation monoid.</footnote>

<footnote n="2">2. **NdT.** $M$ has recognizable units.</footnote>
«à une unité très» : en particulier, la relation $a|b$ peut être vue dans $M/U$ où elle est une relation d'ordre.

Nous disons que $d$ est un **plus grand commun diviseur**, ou un **pgcd**, de $a$ et $b$, si $d|a$ et $d|b$ et si pour tout $c$ tel que $c|a$ et $c|b$, on a $c|d$. Remarquez que les pgcds sont uniques dans $M/U$, et que le pgcd de $a$ et $b$ est la borne inférieure de $a$ et $b$ dans l'ensemble ordonné $M/U$. Si $d$ est un pgcd de $a$ et $b$, alors nous le notons pgcd$(a, b)$, vu comme un élément de $M/U$.

Deux éléments $a$ et $b$ sont dits **premiers entre eux** si $\text{pgcd}(a, b) = 1$. Un **monoïde à pgcd**<fnref n="1" /> est un monoïde régulier dans lequel toute paire d'éléments possède un plus grand commun diviseur. Un **anneau intègre à pgcd**<fnref n="2" /> est un anneau intègre discret dont les éléments non nuls forment un monoïde à pgcd.

**Théorème 1.1.** Soient $a, b$ et $c$ des éléments d'un monoïde à pgcd $M$. Alors :

$$ (i) \text{pgcd}(\text{pgcd}(a, b), c) = \text{pgcd}(a, \text{pgcd}(b, c)), $$

$$ (ii) c \cdot \text{pgcd}(a, b) = \text{pgcd}(ca, cb), $$

$$ (iii) \text{si } x = \text{pgcd}(a, b), \text{ alors } \text{pgcd}(a, bc) = \text{pgcd}(a, xc), $$

$$ (iv) \text{si } a|bc \text{ et } \text{pgcd}(a, b) = 1, \text{ alors } a|c^3. $$

*Démonstration.* Le point (i) est facilement vérifié.

Pour le point (ii), posons $d = \text{pgcd}(a, b)$ et $e = \text{pgcd}(ca, cb)$. Alors $cd|e$, donc $e = cdx$. Il reste à voir que $x$ est une unité. On a $ca = ea' = cdx a'$, donc $a = dxa'$. On obtient de la même manière $b = dxb'$. Ainsi $dx|d$, et $x$ est une unité.

Pour le point (iii) nous avons

$$ \begin{aligned} \text{pgcd}(a, bc) &= \text{pgcd}(\text{pgcd}(a, ac), bc) = \text{pgcd}(a, \text{pgcd}(ac, bc)) \\ &= \text{pgcd}(a, c \cdot \text{pgcd}(a, b)) = \text{pgcd}(a, xc). \end{aligned} $$

Enfin le point (iv) est une conséquence immédiate du point (iii) en prenant $x = 1$. ■

Un élément non inversible $p$ d'un monoïde régulier est dit **irréductible** si chaque fois que $p = ab$, alors $a$ ou $b$ est inversible. Nous disons qu'un élément non inversible $p$ est **premier** si chaque fois que $p|ab$, alors $p|a$ ou $p|b$. Il est clair que tout élément premier est irréductible.

**Lemme 1.2.** Dans un monoïde à pgcd tout élément irréductible est premier<fnref n="4" />.

<footnote n="1">1. NdT. GCD-monoid.</footnote>

<footnote n="2">2. NdT. GCD-domain.</footnote>

<footnote n="3">3. NdT. Cela est souvent appelé «lemme de Gauss» dans la littérature française.</footnote>

<footnote n="4">4. NdT. Cela est souvent appelé «lemme d'Euclide» dans la littérature française.</footnote>
**Démonstration.** Soit $p$ un élément irréductible et supposons que $p|ab$. Nous devons montrer que $p|a$ ou $p|b$. Soit $d = \text{pgcd}(p, a)$, et donc $p = cd$ pour un certain $c$. Comme $p$ est irréductible, $c$ ou $d$ est inversible. Si $c$ est inversible, alors $p$ divise $d$, donc $p$ divise $a$. Si $d$ est inversible, alors $\text{pgcd}(p, a) = 1$, donc $p$ divise $b$ d'après le théorème 1.1(iv). ■

**Lemme 1.3.** *Un monoïde à pgcd $M$ a ses unités détachables si, et seulement si, la divisibilité est décidable dans $M$.*

**Démonstration.** Si la divisibilité est décidable dans $M$, alors nous pouvons décider si $u|1$, donc les unités sont détachables. Inversement, supposons que les unités de $M$ sont détachables. Soient $a$ et $b$ des éléments de $M$, et soit $d = \text{pgcd}(a, b)$. On a un élément $s$ tel que $a = sd$. Alors $a|b$ si, et seulement si, $a|d$ si, et seulement si, $s$ est une unité. ■

**Définition 1.4.** Soit $M$ un monoïde régulier. Un élément $a \in M$ est dit **borné par l'entier naturel** $n$ si chaque fois que $a = a_0 \cdots a_n$ avec des $a_i \in M$, alors l'un des $a_i$ est inversible. Un élément de $M$ est **borné** s'il est borné par un entier naturel ; le monoïde $M$ est **à décomposition bornée**<fnref n="1" /> si tous ses éléments sont bornés. Un anneau intègre discret est **à factorisation bornée**<fnref n="2" /> si ses éléments non nuls forment un monoïde à décomposition bornée.

Les unités de $M$ sont exactement les éléments qui sont bornés par 0. Un élément de $M$ est irréductible si, et seulement si, il est borné par 1 mais pas par 0.

Un **idéal principal** d'un monoïde commutatif $M$ est un sous-ensemble $I$ de $M$ tel que $I = Ma = \{ma : m \in M\}$ pour un $a \in M$. Nous disons que le monoïde $M$ **satisfait la condition de chaine des diviseurs** si pour chaque chaine ascendante $I_1 \subseteq I_2 \subseteq I_3 \subseteq \dots$ d'idéaux principaux, il y a un $n$ tel que $I_n = I_{n+1}$. On dit qu'un anneau intègre discret satisfait la condition de chaine des diviseurs si le monoïde des éléments non nuls la satisfait.

Un monoïde régulier $M$ est à décomposition bornée si, et seulement si, pour chaque $a \in M$ il existe un $n$ tel que pour toute chaine $I_0 \subseteq I_1 \subseteq \dots \subseteq I_n$ d'idéaux principaux, avec $I_0 = Ma$, il existe $j < n$ tel que $I_j = I_{j+1}$ ; ainsi un monoïde à décomposition bornée satisfait la condition de chaine des diviseurs. L'anneau des entiers est à factorisation bornée parce que tout entier non nul $n$ est borné par $|n|$. L'anneau de polynômes $F[X]$ sur un corps discret $F$ est à factorisation bornée car tout polynôme non nul $f$ est borné par deg $f$. Un anneau intègre à pgcd qui satisfait la condition de chaine des diviseurs est appelé un **quasi-AFU**<fnref n="3" />, où AFU est un acronyme pour «anneau à factorisation unique (en facteurs premiers)».

<footnote n="1">1. **NdT.** Bounded monoid.</footnote>

<footnote n="2">2. **NdT.** Bounded discrete domain.</footnote>

<footnote n="3">3. **NdT.** Quasi-UFD. Nous ne traduisons pas par «anneau quasi-factoriel», parce que [CCA] utilise «factoriel» en un sens plus fort que le sens usuel en français.</footnote>
**Exemple 1.5.** Soit $a$ une suite binaire. Soit $R = \bigcup_n \mathbb{Z}[a_n/2]$. Alors $R$ est un exemple brouwerien d'un quasi-AFU sans unités détachables, car nous ne pouvons pas décider si $2$ est inversible. Clairement, nous ne pouvons pas écrire les éléments $6$ et $10$ de $R$ comme produits de facteurs irréductibles. Cependant, nous allons voir qu'étant donné un ensemble fini $S$ d'éléments non nuls d'un quasi-AFU, nous pouvons trouver un ensemble $P$ d'éléments deux à deux premiers entre eux tel que tout élément de $S$ est associé à un produit d'éléments de $P$ (théorème 1.8). ■

**Lemme 1.6.** Soit $M$ un monoïde à pgcd qui satisfait la condition de chaine des diviseurs, et soient $p_1, \dots, p_m$ des éléments deux à deux premiers entre eux de $M$. Pour tout $a \in M$, nous pouvons construire des éléments $a_0, a_1, \dots, a_m \in M$ tels que

(i) $a = a_0a_1 \cdots a_m,$

(ii) il existe un $e$ tel que $a_j|p_j^e$ pour $j = 1, \dots, m,$

(iii) $a_0$ et $p_j$ sont premiers entre eux pour $j = 1, \dots, m.$

*Démonstration.* Pour $j = 1, \dots, m$ considérons la suite $x_n = a/\text{pgcd}(a, p_j^n)$. D'après la condition de chaine des diviseurs, il existe un entier $n$ tel que $x_n|x_{n+1}$; posons $n_j = n$ et $a_j = a/x_n = \text{pgcd}(a, p_j^n) = \text{pgcd}(a, p_j^{n+1})$. Comme les $p_j$ sont deux à deux premiers entre eux, il en va de même pour les $a_j$. En utilisant plusieurs fois le théorème 1.1(iv) nous obtenons un élément $a_0$ tel que $a = a_0a_1 \cdots a_m$. Il nous reste avoir que $\text{pgcd}(a_0, p_j) = 1$ pour tout $j$. L'élément

$$a_j = \text{pgcd}(a, p_j^{n_j+1}) = \text{pgcd}(a_0 a_j, p_j^{n_j})$$

est divisible par $\text{pgcd}(a_0, p_j) \text{pgcd}(a_j, p_j^{n_j})$ qui est égal à $\text{pgcd}(a_0, p_j)a_j$, donc $\text{pgcd}(a_0, p_j) = 1$. ■

**Lemme 1.7.** Soit $M$ un monoïde à pgcd qui satisfait la condition de chaine des diviseurs, et soient $a, b \in M$. Alors il existe des éléments $a^+, a^-, c, b^+, b^- \in M$ tels que

(i) $a = a^+cb^- \text{ et } b = a^-cb^+$,

(ii) $a^-|a^+ \text{ et } b^-|b^+$,

(iii) $a^+, c$ et $b^+$ sont deux à deux premiers entre eux.

*Démonstration.* Soient $x = a/d$ et $y = b/d$ où $d = \text{pgcd}(a, b)$. Alors $x$ et $y$ sont premiers entre eux, donc d'après le lemme 1.6 nous pouvons écrire $d = a^-cb^-$ avec $a^-|x^n, b^-|y^m$, et $c$ étranger à la fois à $x$ et $y$. Posons $a^+ = xa^- \text{ et } b^+ = yb^-$, donc $a = dx = a^+cb^-$ et $b = dy = b^+ca^-$. Comme $x^{n+1}, y^{m+1}$ et $c$ sont deux à deux premiers entre eux, il en va de même pour $a^+, b^+$ et $c$. ■
Comme exemple de la décomposition obtenue dans le lemme 1.7, considérons le monoïde $\mathbb{N}^*$ des entiers strictement positifs. Si $a$ et $b$ sont des éléments de $\mathbb{N}^*$, alors $a^+$ et $a^-$ sont les facteurs de $a$ et $b$ formés des nombres premiers qui ont un plus grand exposant dans $a$ que dans $b$. De la même manière $b^+$ et $b^-$ sont les facteurs de $b$ et $a$ formés des nombres premiers qui ont un plus grand exposant dans $b$ que dans $a$, tandis que $c$ est le facteur de $a$ (ou de $b$) formé des nombres premiers qui ont le même exposant dans $b$ et dans $a$. Si $a = 840 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ et $b = 300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$, alors $a^+ = 56$, $a^- = 4$, $c = 3$, $b^+ = 25$, et $b^- = 5$. Notez que $\text{pgcd}(a, b) = a^-cb^-.$

**Théorème 1.8** (factorisation partielle). Soient $x_1, \dots, x_k$ des éléments d'un monoïde à pgcd $M$ qui satisfait la condition de chaine des diviseurs. Alors on peut construire une famille $P$ d'éléments de $M$ deux à deux premiers entre eux telle que chaque $x_i$ est associé à un produit d'éléments de $P$.

*Démonstration.* Voyons d'abord le cas $k=2$. Nous construisons des suites $r_n = a_1(n) \cdots a_{m(n)}(n)$ et $s_n = b_1(n) \cdots b_{m(n)}(n)$ de la manière suivante. On pose $m(0) = 1$, $r_0 = a_1(0) = x_1$ et $s_0 = b_1(0) = x_2$. Pour simplifier la notation nous omettons la dépendance en $n$ de $m$ et des $a_i$ et $b_i$. Supposons que nous avons construit $r_n = a_1 \cdots a_m$ et $s_n = b_1 \cdots b_m$ avec $\text{pgcd}(a_i, a_j) = \text{pgcd}(b_i, b_j) = \text{pgcd}(a_i, b_j) = 1$ si $i \neq j$. Alors nous construisons $r_{n+1}$ et $s_{n+1}$ comme suit. Pour chaque $i$ nous écrivons $a_i = a_i^+ c_i b_i^-$ et $b_i = a_i^- c_i b_i^+$ comme dans le lemme 1.7. Ensuite nous posons

$$r_{n+1} = (a_1^+/a_1^-) \cdots (a_m^+/a_m^-) b_1^- \cdots b_m^- \\ s_{n+1} = a_1^- \cdots a_m^- (b_1^+/b_1^-) \cdots (b_m^+/b_m^-).$$

Nous voyons facilement que, sauf pour les couples $(a_i^+/a_i^-, a_i^-)$ et $(b_i^+/b_i^-, b_i^-)$, les $2m$ facteurs de $r_{n+1}$ et de $s_{n+1}$ sont deux à deux premiers entre eux. Les idéaux principaux $Mr_0s_0, Mr_1s_1, Mr_2s_2, \dots$ forment une chaine ascendante. D'après la condition de chaine des diviseurs, on a un $n$ tel que $r_n s_n \sim r_{n+1} s_{n+1} = a_1^+ \cdots a_m^+ b_1^+ \cdots b_m^+$, donc les éléments $a_i^-, c_i$ et $b_i^-$ sont tous inversibles. Ainsi les éléments $a_1, \dots, a_m, b_1, \dots, b_m$ sont conjugués de $a_1^+, \dots, a_m^+, b_1^+, \dots, b_m^+$ et sont donc deux à deux étrangers. Il nous suffit maintenant de montrer que si nous pouvons écrire les éléments de la famille

$$E = \{ a_i^-, (a_i^+/a_i^-), b_i^-, (b_i^+/b_i^-) : i = 1, \dots, m \}$$

comme produits d'éléments deux à deux premiers entre eux, alors nous pouvons faire la même chose pour $a_1, \dots, a_m, b_1, \dots, b_m$. Supposons que $Q$ est une famille finie d'éléments deux à deux premiers entre eux et que chaque élément de $E$ est associé à un produit d'éléments de $Q$. Nous pouvons supposer que chaque élément de $Q$ divise un élément de $E$. Alors d'après le lemme 1.7 chacun des
$a_1, \dots, a_m, b_1, \dots, b_m$ est associé à un produit d'éléments de $Q \cup \{c_1, \dots, c_m\}$,
et les éléments de cette dernière famille sont deux à deux premiers entre eux.

Pour $k > 2$ nous procédons par récurrence sur $k$. Soit $P = \{p_1, \dots, p_m\}$
une famille d'éléments deux à deux premiers entre eux telle que chacun des
éléments $x_1, \dots, x_{k-1}$ est associé à un produit d'éléments de $P$. D'après le
lemme 1.6, nous pouvons écrire $x_n = a_0 a_1 \cdots a_m$ où $a_i$ divise une puissance
de $p_i$ et $\text{pgcd}(a_0, p_i) = 1$ pour $i = 1, \dots, m$. D'après le cas $k = 2$, nous pouvons
construire pour chaque $i$ une famille finie $S_i$ d'éléments deux à deux premiers
entre eux telle que $a_i$ et $p_i$ sont associés à des produits d'éléments de $S_i$, et
chaque élément de $S_i$ divise une puissance de $p_i$. Alors $\{a_0\} \cup S_1 \cup \cdots \cup S_m$
forme une famille d'éléments deux à deux premiers entre eux qui convient pour
$x_1, \dots, x_m$. ■

Exercices

1. Montrer que l'ensemble des entiers pairs strictement positifs, avec 1, forme un monoïde (multiplicatif) régulier discret M. Trouver des éléments a et b de M qui n'ont pas de pgcd.

2. Construire des éléments a, b et c dans un monoïde régulier discret tels que a|bc, et pgcd(a, b) = 1, mais a ne divise pas c.

3. Montrer que l'ensemble des entiers strictement positifs égaux à 1 modulo 3 est un monoïde (multiplicatif) régulier discret M. Est-ce que M est un monoïde à pgcd ?

4. Le plus petit commun multiple, noté ppcm(a, b), de deux éléments a et b dans un monoïde régulier M est un élément $m \in M$ multiple de a et b qui divise tout multiple commun à a et b. Montrer que si ppcm(a, b) existe, alors pgcd(a, b) existe et est égal à ab/ppcm(a, b). Montrer que si M est un monoïde à pgcd, alors ppcm(a, b) existe toujours. Construire des éléments a et b d'un monoïde régulier discret M tels que pgcd(a, b) existe, mais ppcm(a, b) n'existe pas.

5. Soit $M$ un monoïde régulier. Définir ce que signifie le fait d'être un plus grand commun diviseur, noté pgcd($a_1, \dots, a_n$), ou un plus petit commun multiple, noté ppcm($a_1, \dots, a_n$), d'une famille finie $a_1, \dots, a_n$ d'éléments de $M$. Montrer que si $M$ est un monoïde à pgcd, alors ils existent toujours.

6. Soit $R$ un monoïde à pgcd. Montrer que si $\text{pgcd}(a, b) = 1$, alors $\text{pgcd}(a, b^n c) = \text{pgcd}(a, c)$ pour tout $n$.

7. Soit $M_1 = \{ 2^n : n \in \mathbb{N} \}$, et soit $M_2 = M_1 \setminus \{2\}$. Utiliser ces monoïdes pour construire un exemple brouwerien d'un monoïde régulier discret avec unités détachables dans lequel la divisibilité n'est pas décidable (vous ne pouvez pas décider si $4|8$).
8. Soit $M$ un sous-monoïde d'un groupe abélien multiplicatif $G$. Pour $x$ et $y \in G$, nous disons que $x$ **divise** $y$ (relativement à $M$), si $yx^{-1} \in M$. Définir le pgcd dans $G$ pour cette notion de divisibilité. Montrer que si $M$ engendre $G$ comme groupe et si $M$ est un monoïde à pgcd, alors $\text{pgcd}(a, b)$ existe pour tous $a, b \in G$, et que le théorème 1.1 s'applique. Montrer que tout monoïde régulier peut être immergé comme sous-monoïde d'un groupe abélien (essentiellement) unique qu'il engendre comme groupe.

9. Soit $P$ l'ensemble des idéaux principaux d'un anneau intègre à pgcd $R$, ordonné par inclusion. Montrer que $P$ est un treillis distributif.

10. Soient $a, b$ et $c$ des éléments d'un monoïde régulier. Montrer que si $\text{pgcd}(ca, cb)$ existe, alors $\text{pgcd}(a, b)$ existe et $\text{pgcd}(ca, cb) = c \cdot \text{pgcd}(a, b)$.

11. Soit $R = \mathbb{Z}[Y, X_1, X_2, \dots]/I$, où $I$ est l'idéal engendré par $\{X_{i+1}Y - X_i : i \ge 1\}$. Montrer que $R$ est un anneau intègre à pgcd qui ne satisfait pas la condition de chaine des diviseurs. Montrer qu'il n'existe aucune famille finie $Q$ d'éléments deux à deux premiers entre eux telle que $Y$ et $X_1$ sont associés à des produits d'éléments de $Q$.

12. Montrer que les éléments $a^+, a^-, c, b^+, \text{ et } b^-$ du lemme 1.7 sont uniques à des unités près.

## 2 Anneaux à factorisation unique et domaines de Bézout

Les questions reliées à la factorisation sont plus délicates en algèbre construc- tive qu’en algèbre classique parce qu’il est possible que nous ne sachions pas dire si un élément a ou n’a pas une factorisation non triviale.

**Définition 2.1.** Un anneau intègre discret $R$ est appelé un **anneau à factorisation unique**<fnref n="1" />, ou un **AFU**, si tout élément $r$ non nul de l'anneau est inversible ou admet une factorisation essentiellement unique en produit d'éléments irré-ductibles, i.e. si $r = p_1 \cdots p_m$ et $r = q_1 \cdots q_n$ sont deux factorisations de $r$ en produit d'éléments irréductibles, alors $m = n$ et on peut réindexer les facteurs de façon à ce que $p_i \sim q_i$ pour chaque $i$. Nous disons que $R$ est **factoriel** si $R[X]$ est un anneau à factorisation unique.

Notez qu’un anneau à factorisation unique a ses unités détachables, i.e. la relation $u|1$ est décidable. Les corps discrets sont des exemples triviaux d’anneaux à factorisation unique. Il est bien connu que l’anneau $\mathbb{Z}$ est un anneau à factorisation unique. Notre définition un peu spéciale des anneaux *factoriels* est en accord avec notre utilisation du terme lorsqu’on l’applique aux corps discrets, et elle nous permet de montrer que $R[X]$ est factoriel

<footnote n="1">1. NdT. Unique factorization domain, ou UFD.</footnote>
si $R$ est factoriel. Voici un contre-exemple brouwerien pour le théorème de mathématiques classiques qui affirme que si $R$ et un anneau à factorisation unique alors il en va de même pour $R[X]$.

**Exemple 2.2.** Soient $a$ une suite binaire, $\mathbb{Q}$ le corps des nombres rationnels, $i^2 = -1$, et $k = \bigcup_n \mathbb{Q}(ia_n)$. Alors $k$ est un corps discret, donc un anneau à factorisation unique. Cependant, nous ne pouvons pas factoriser $X^2 + 1$ en produit d'éléments irréductibles dans $k[X]$. ■

Les notions de quasi-AFU, anneau à pgcd à factorisation bornée, anneau à factorisation unique, et anneau factoriel sont équivalentes en mathématiques classiques, mais l'anneau $k[X]$ de l'exemple 2.2 est un exemple brouwerien d'un anneau à pgcd à factorisation bornée qui n'est pas un anneau à factorisation unique, tandis que le corps $k$ de l'exemple 2.2 est un exemple brouwerien d'un anneau à factorisation unique qui n'est pas un anneau factoriel. Dans le théorème 3.5 nous donnons un exemple brouwerien d'un quasi-AFU qui n'est pas un anneau à pgcd à factorisation bornée. On vérifie par contre facilement que les autres implications sont valables.

**Théorème 2.3.** Soit $R$ un anneau intègre discret. Alors

(i) si $R$ est factoriel, c'est un anneau à factorisation unique,

(ii) si $R$ est un anneau à factorisation unique, alors c'est un anneau à pgcd à factorisation bornée,

(iii) si $R$ est un anneau à pgcd à factorisation bornée, alors c'est un quasi-AFU. ■

Un sous-monoïde multiplicatif $S$ d'un anneau commutatif $R$ est dit **saturé** si $xy \in S$ implique $x \in S$.

**Théorème 2.4.** Soit $R$ un anneau intègre discret et soit $S$ un sous-monoïde multiplicatif de $R$ qui ne contient pas $0$. Alors

(i) si $R$ est un anneau à pgcd, il en va de même pour $S^{-1}R$,

(ii) si $S$ est saturé et détachable, $S^{-1}R$ a ses unités détachables.

*Démonstration.* Pour démontrer (i) nous observons que $\text{pgcd}(a/s, b/t) = \text{pgcd}(a, b)/1$. Pour démontrer (ii) nous allons voir que $a/s$ est inversible si, et seulement si, $a \in S$. Si $a/s$ est inversible, alors $ab/st = 1/1$ pour un $b/t \in S^{-1}R$, donc $ab = st \in S$, et $a \in S$. Inversement, si $a \in S$, alors $a(1/a) = 1/1$. ■

**Théorème 2.5.** Soit $R$ un anneau à factorisation unique et soit $S$ un sous-monoïde multiplicatif saturé détachable de $R$ qui ne contient pas $0$. Alors $S^{-1}R$ est aussi un anneau à factorisation unique.
**Démonstration.** Si $r/s \in S^{-1}R$, alors nous écrivons $r$ et $s$ comme produits d'éléments irréductibles de $R$. D'après le théorème 2.4, nous savons décider pour chaque facteur irréductible de $r$ s'il est inversible dans $S^{-1}R$ ou pas. Les facteurs irréductibles de $r$ qui ne sont pas inversibles constituent une décomposition en facteurs irréductibles de $r/s \in S^{-1}R$. ■

**Corolaire 2.6.** Si $R$ est factoriel et si $S$ est un sous-monoïde multiplicatif saturé détachable de $R$ qui ne contient pas 0, alors $S^{-1}R$ est aussi factoriel. ■

Dans le théorème 2.5 l'hypothèse que $S$ est saturé est essentielle. Voici un exemple brouwerien. Soit $a$ une suite binaire fugitive. Soit $R = S^{-1}\mathbb{Z}$ avec

$$S = \{ q : q = 1 \text{ ou } q = 2^{mn} \text{ pour des entiers } m, n \text{ tels que } a_n = 1 \}.$$

Alors $S$ est sous-monoïde multiplicatif détachable de $\mathbb{Z}$ qui ne contient pas 0. Mais nous ne sommes pas capables de dire si 2 est ou n'est pas une unité dans $R$.

**Définition 2.7.** Un **anneau de Bézout intègre**, ou **domaine de Bézout** est un anneau intègre discret tel que pour tous éléments $a, b$ on a deux éléments $s, t$ tels que $sa + tb$ divise $a$ et $b$. Un **anneau principal**<fnref n="1" /> est un domaine de Bézout qui satisfait la condition de chaine des diviseurs.

Notez que si $sa + tb$ divise $a$ et $b$, alors $sa + tb = \text{pgcd}(a, b)$. Un anneau principal est **noethérien**, i.e. pour toute suite $I_1 \subseteq I_2 \subseteq \dots$ d'idéaux de type fini, il existe un $n$ tel que $I_n = I_{n+1}$.

**Théorème 2.8.** Pour un anneau intègre discret $R$, les propriétés suivantes sont équivalentes.

(i) L'anneau $R$ est un domaine de Bézout.

(ii) Tout idéal de type fini de $R$ est principal.

(iii) Tout idéal de type fini de $R$ est principal, et $R$ est un anneau à pgcd. ■

**Corolaire 2.9.** Si $K$ est un corps discret, alors $K[X]$ est un anneau principal à factorisation bornée.

**Démonstration.** Combiner le théorème 2.8 et le corolaire II.5.7. ■

Un exemple d'un domaine de Bézout qui n'est pas un anneau principal est obtenu de la manière suivante. Soit $k$ un corps discret, et soit $M$ le monoïde additif des nombres rationnels $\ge 0$. Soit $R$ l'anneau $k^{(M)}$; les éléments de $R$ peuvent être vus comme des polynômes en $X$ à coefficients dans $k$ avec des exposants dans $M$. Si $m_1, m_2, \dots$ est une suite strictement décroissante de nombres rationnels positifs, alors $(X^{m_1}), (X^{m_2}), \dots$ est une suite strictement croissante d'idéaux de type fini de $R$. Par ailleurs, étant donné un nombre fini

<footnote n="1">1. NdT. Principal ideal domain, ou PID.</footnote>
d'éléments de $R$, ils sont tous contenus dans un $k[X^m]$ pour un $m \in M$, donc $R$ est un domaine de Bézout.

Si $k$ est un corps discret, alors $k[X]$ est un anneau principal, mais $k[X]$ n'est pas nécessairement un anneau à factorisation unique – voir l'exemple 2.2. Un exemple brouwerien d'un anneau principal qui n'est pas un anneau à factorisation unique est construit comme suit. Soit $a$ une suite binaire, et soit $R = \bigcup_n \mathbb{Z}[ia_n]$. Alors $R$ est un anneau principal, mais nous ne pouvons pas factoriser l'élément 2 en produit de facteurs irréductibles. Notez que $R$ est un anneau à pgcd à factorisation bornée. De manière générale un anneau principal est un quasi-AFU.

Dans la section 4 nous montrons que $\mathbb{Q}[X]$ est un anneau à factorisation unique, i.e. $\mathbb{Q}$ est factoriel. Dans le chapitre VI nous verrons qu'un corps discret $k$ est factoriel si, et seulement si, il a un test pour l'existence d'un zéro, i.e. tout polynôme de $k[X]$ a ou n'a pas un zéro dans $k$. Cela nous donnera de nouveaux exemples de corps discrets factoriels.

Exercices

1. Soit $R$ un anneau intègre discret. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes.

(i) $R$ est un anneau à factorisation unique.

(ii) Tout élément non nul de $R$ est inversible ou est un produit d'éléments premiers.

(iii) $R$ est un anneau à pgcd à factorisation bornée, et tout élément non nul est inversible, ou est irréductible, ou possède un diviseur propre.

(iv) $R$ est un quasi-AFU, et tout élément non nul est inversible, ou est irréductible, ou possède un diviseur propre.

Remarque : la démonstration que (iv) implique (i) utilise l'axiome du choix dépendant.

2. Critère d'Eisenstein. Soit $R$ un anneau intègre discret, et soit $f = a_0 + \cdots + a_n X^n \in R[X]$ tel que tout diviseur commun des $a_i$ est inversible. Soit $p \in R$ un élément premier tel que $p$ ne divise pas $a_n$, et $p^2$ ne divise pas $a_0$, mais $p$ divise $a_i$ pour $i < n$. Montrer que $f$ est irréductible dans $R[X]$.

3. Soit $R$ un anneau principal, et soit $S$ un sous-monoïde multiplicatif de $R$ qui ne contient pas $0$. Montrer que $S^{-1}R$ est un anneau principal.

4. Montrer qu'un domaine de Bézout est cohérent. Montrer que si un domaine de Bézout a ses unités détachables, il est fortement discret.

5. Montrer que si $R$ est un domaine de Bézout, tout sous-module de type fini de $R^n$ est libre de rang au plus $n$.
## 3 Anneaux de Dedekind-Hasse et anneaux euclidiens

Il est fréquent qu’un anneau intègre discret admette une fonction vers les entiers naturels qui peut être utilisée pour étudier les questions de divisibilité : par exemple la fonction valeur absolue sur $\mathbb{Z}$, la fonction degré pour les polynômes sur un corps discret, ou la norme pour les anneaux d’entiers algébriques. Si la fonction se comporte bien pour un algorithme de division, ou si elle satisfait la condition de Dedekind-Hasse, alors l’anneau intègre considéré est un anneau principal.

**Définition 3.1.** Soit $\nu$ une fonction depuis l'ensemble des éléments non nuls d'un anneau intègre discret $R$ vers les entiers naturels. Alors on dit que $\nu$ est une

(i) **pseudonorme** si pour tous $a, b$ non nuls dans $R$ avec $b|a$, ou bien $a \sim b$, ou bien il existe un $b' \sim b$ tel que $\nu(b') < \nu(a)$.

(ii) **fonction de Dedekind-Hasse** si pour tous $a, b$ non nuls dans $R$, ou bien $a|b$, ou bien il existe un $r$ non nul dans $(a, b)$ tel que $\nu(r) < \nu(a)$.

(iii) **fonction euclidiennes** si pour tous $a, b$ non nuls dans $R$, ou bien $a|b$, ou bien il existe un $r$ non nul dans $R$ tel que $a|(b-r)$ et $\nu(r) < \nu(a)$.

Un **anneau de Dedekind-Hasse** est un anneau intègre donné avec une fonction de Dedekind-Hasse. Un **anneau euclidien** est un anneau intègre donné avec une fonction de euclidienne.

Nous disons que la fonction $\nu$ est **multiplicative** si $\nu(ab) = \nu(a)\nu(b) > 0$ pour tous $a, b$ non nuls dans $R$. Une pseudonorme multiplicative est appelée une **norme multiplicative**.

La notion de pseudonorme est purement technique. Une notion constructive-ment satisfaisante de norme devrait probablement se situer quelque part entre pseudonorme et norme multiplicative, peut-être à l'une de ces deux extrémités.

**Théorème 3.2.** Toute fonction euclidienne est une fonction de Dedekind-Hasse. Toute fonction de Dedekind-Hasse est une pseudonorme. Si $\nu$ est une pseudonorme, tout élément non nul $a$ est borné par $\nu(a)$. Si $\nu$ est une norme multiplicative, alors $a$ est inversible si, et seulement si, $\nu(a) = 1$.

*Démonstration.* La première affirmation est évidente. Démontrons la seconde. Soit $\nu$ une fonction de Dedekind-Hasse et soit $b$ qui divise $a$. Nous procédons par récurrence sur $\nu(a)$. Ou bien $a|b$, et donc $a \sim b$, ou bien il existe un élément non nul $r \in (a, b) = (b)$ tel que $\nu(r) < \nu(a)$. Dans ce dernier cas par récurrence, ou bien $r \sim b$, et nous pouvons prendre $b' = r$, ou bien il existe $b' \sim b$ tel que $\nu(b') < \nu(r) < \nu(a)$.
Pour démontrer la troisième affirmation, supposons que $\nu$ est une pseudo-norme et soit $a$ un élément non nul. Nous démontrons que $a$ est borné par $n = \nu(a)$ par récurrence sur $n$. Supposons que $a = a_0b$ avec $b = a_1 \cdots a_n$ si $n > 0$, et $b = 1$ si $n = 0$. Si $a|b$ alors $a_0$ est inversible. S'il existe $b' \sim b$ tel que $\nu(b') < \nu(a)$, alors par récurrence $b'$, et donc aussi $b$, est borné par $n - 1$, donc l'un des $a_i$ est inversible.

Finalement supposons que $\nu$ est une norme multiplicative. Comme $\nu(1) = \nu(1)\nu(1) > 0$, nous avons $\nu(1) = 1$. Si $a$ est inversible, alors $ac = 1$ pour un $c$, donc $\nu(a)\nu(c) = 1$ et $\nu(a) = 1$. Inversement, supposons que $\nu(a) = 1$. Comme $1|a$ et que $\nu$ est une pseudonorme, ou bien $a \sim 1$, donc $a$ est inversible, ou bien il existe $b'$ tel que $\nu(b') < \nu(a) = 1$, ce qui est impossible. ■

La condition de Dedekind-Hasse fournit un critère pour qu'un anneau soit un anneau principal à factorisation bornée.

**Théorème 3.3.** Un anneau intègre discret $R$ qui a une fonction de Dedekind-Hasse est un anneau principal à factorisation bornée.

*Démonstration.* Soit $\nu$ une fonction de Dedekind-Hasse pour l'anneau $R$. Comme $R$ est à factorisation bornée d'après le théorème 3.2, il suffit de démontrer que $R$ est un domaine de Bézout. Étant donnés des éléments non nuls $a$ et $b$ de $R$ et un élément non nul $c$ dans l'idéal $(a, b)$, nous montrons par récurrence sur $\nu(c)$ qu'il y a un diviseur commun de $a$ et $b$ dans l'idéal $(a, b)$. Comme $\nu$ est une fonction de Dedekind-Hasse, ou bien $c|a$, ou bien il existe un élément non nul $r$ dans $(c, a)$ tel que $\nu(r) < \nu(c)$. De la même manière, ou bien $c|b$, ou bien il existe un élément non nul $r$ dans $(c, b)$ tel que $\nu(r) < \nu(c)$. Ainsi, ou bien $c$ est un diviseur commun de $a$ et $b$, ou bien il existe un élément non nul $r$ dans $(a, b)$ tel que $\nu(r) < \nu(c)$, et nous terminons par récurrence. ■

**Exemple 3.4** (une norme multiplicative qui est une fonction de Dedekind-Hasse mais qui n'est pas euclidienne). Soit $\rho_0 = (1 + \sqrt{-19})/2$ et soit $R = \mathbb{Z}[\rho_0]$. On vérifie facilement que $R$ est un $\mathbb{Z}$-module libre de base $\{1, \rho_0\}$. La divisibilité dans $R$ est explicite : on calcule la fraction dans $\mathbb{Q}(\sqrt{-19})$ et on l'exprime sur la base précédente. La fonction

$$N(a + b\sqrt{-19}) = (a + b\sqrt{-19})(a - b\sqrt{-19}) = a^2 + 19b^2$$

est une fonction multiplicative sur $\mathbb{Q}(\sqrt{-19})$ qui se restreint en une norme sur $R$. On a aussi

$$N(c + d\rho_0) = c^2 + cd + 5d^2 = (c + d\rho_0)(c - d\rho_0).$$

Pour $\rho = c + d\rho_0 \in R$, $N(c + d\rho_0) \simeq c^2 + d^2 + cd \simeq 0$ ou $1$ ou $3$ mod $4$. Donc $2$ divise $\rho$ dans $R$ si, et seulement si, $N(\rho)$ est pair (en fait multiple de $4$), si, et seulement si, $c$ et $d$ sont pairs. Donc $2$ est premier dans $R$.
Nous voulons montrer que pour tous $\alpha, \beta$ non nuls dans $R$, ou bien $\alpha|\beta$, ou bien il existe un $r$ non nul dans $(\alpha, \beta)$ tel que $N(r) < N(\alpha)$. Nous supposons que $\alpha$ ne divise pas $\beta$ et nous pouvons aussi supposer que 2 ne divise pas à la fois $\alpha$ et $\beta$, car le rapport $\beta/\alpha$ est seul pertinent.

Notons que $4 < \sqrt{19} < 4 + \frac{3}{8}$. Sous les hypothèses précédentes, nous allons voir comment construire un élément $\theta$ de $R$ tel que

$$0 < N(\beta/\alpha - \theta) < 1 \text{ ou } 0 < N(2\beta/\alpha - \theta) < 1 \text{ ou } 2|\alpha.$$

Dans le dernier cas $\alpha = 2\alpha_1$, $(2, \beta) = (1)$ (car $N(\beta)$ impair $\in (\beta)$) donc $\alpha_1 \in (\alpha, \beta)$ avec $N(\alpha_1) < N(\alpha)$. Cela démontrera donc que $N$ est une norme de Dedekind-Hasse sur $R$.

En écrivant

$$\beta/\alpha - \theta = a + b\sqrt{-19}$$

nous pouvons trouver facilement un $\theta \in R$ tel que $|b| \le 1/4$ et $|a| \le 1/2$. Si $|b| \le 3/16$, alors $N(\beta/\alpha - \theta) \le 235/256 < 1$, et nous avons terminé. Sinon $|b| > 3/16$, et nous pouvons trouver un $\theta' \in R$ tel que

$$2\beta/\alpha - \theta' = a' + b'\sqrt{-19}$$

avec $|b'| \le 1/8$ et $|a'| \le 1/2$, donc $N(2\beta/\alpha - \theta') < 1$. Le seul problème est que $\alpha$ pourrait diviser $2\beta$. Mais si $\alpha\delta = 2\beta$, ou bien $2|\delta$, auquel cas $\alpha|\beta$ contrairement à l'hypothèse, ou bien $2|\alpha$.

Par ailleurs $N$ n'est pas une norme euclidienne parce qu'il n'y a pas d'élément $\theta$ de $R$ tel que $N(\beta/\alpha - \theta) < 1$ si $\beta = \rho_0$ et $\alpha = 2$. En fait, $R$ n'admet pas de fonction euclidienne (voir l'exercice 11).

En mathématiques classiques, tout anneau intègre à factorisation bornée $R$ possède une pseudonorme : on prend pour $\nu(x)$ le plus petit $n$ tel que $x$ est borné par $n$. Et si $R$ est un anneau principal, alors $\nu$ est une norme multiplicative et une fonction de Dedekind-Hasse. Constructivement, nous devons réclamer plus. Le théorème suivant donne la construction d'une telle norme si l'anneau principal est aussi un anneau à factorisation unique.

### Théorème 3.5.

- Tout anneau à factorisation unique admet une norme multiplicative.

- Toute pseudonorme sur un domaine de Bézout est une fonction de Dedekind-Hasse.

*Démonstration.* Soit $R$ un anneau à factorisation unique. Pour un élément non nul $a \in R$, on définit $\nu(a) = 2^n$, où $n$ est le nombre d'éléments premiers, en comptant les multiplicités, dans une décomposition en facteurs premiers de $a$. Clairement $\nu$ est une norme multiplicative.

Soient $R$ un domaine de Bézout, $a, b$ non nuls dans $R$ et $\nu$ une pseudonorme sur $R$. On a un $d$ non nul dans $R$ tel que $(a, b) = (d)$. Comme $d$ divise $a$ et
que $\nu$ est une pseudonorme, ou bien $a \sim d$, et alors $a$ divise $b$, ou bien il existe $d' \sim d$ tel que $\nu(d') < \nu(a)$. Par suite $\nu$ est une fonction de Dedekind-Hasse. ■

La valeur absolue est une norme multiplicative euclidienne sur l'anneau des entiers. Si $F$ est un corps discret, alors le degré est une fonction euclidienne sur l'anneau $F[X]$. Notez que cette fonction n'est pas multiplicative, mais que la norme euclidienne $2^{\deg(f)}$ est bien multiplicative.

Une norme euclidienne multiplicative sur l'anneau $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ est donnée par

$$ \nu(a + b\sqrt{2}) = |a^2 - 2b^2| = |(a + b\sqrt{2})(a - b\sqrt{2})|. $$

On voit facilement que $\nu$ est multiplicative. Pour montrer que $\nu$ est euclidienne, considérons des éléments $a + b\sqrt{2}$ et $c + d\sqrt{2} \neq 0$ de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Nous pouvons trouver les nombres rationnels $p$ et $q$ tels que $(a + b\sqrt{2})/(c + d\sqrt{2}) = p + q\sqrt{2}$, puis des entiers $m$ et $n$ tels que $|p - m| \leq 1/2$ et $|q - n| \leq 1/2$. Alors

$$ (p + q\sqrt{2})(c + d\sqrt{2}) = (a + b\sqrt{2}) = (m + n\sqrt{2})(c + d\sqrt{2}) + (s + t\sqrt{2}), $$

donc $\nu(s + t\sqrt{2}) = |(p - m)^2 - 2(q - n)^2|\nu(c + d\sqrt{2}) \leq \nu(c + d\sqrt{2})/2$. Ainsi $\nu$ est euclidienne. ■

**Exemple 3.6** (un anneau principal qui n'est pas à factorisation bornée). Soit $a$ une suite binaire fugitive, et soit

$$ R = \mathbb{Q}[X, a_1Y_1, a_2Y_2, \dots]/(a_1(X - Y_1), a_2(X - Y_2^2), \dots). $$

Alors $R$ est un anneau principal, mais nous ne pouvons pas trouver de borne pour $X$. ■

**Théorème 3.7.** Soit $R$ un anneau intègre discret et soit $\nu$ une fonction de Dedekind-Hasse sur $R$ telle que $\nu(a) = \nu(b)$ si $a \sim b$. Soit $S$ un sous-ensemble multiplicatif de $R$ qui ne contient pas $0$. Alors $\nu$ se prolonge en une fonction de Dedekind-Hasse sur $S^{-1}R$ qui est euclidienne si $\nu$ est euclidienne.

*Démonstration.* Posons $\nu(r/s) = \nu(r/\text{pgcd}(r, s))$. Cette fonction est bien définie parce que $\nu(a) = \nu(b)$ si $a \sim b$. On vérifie sans problème que $\nu$ a les propriétés voulues. ■ ■

**Exemple 3.8** (un anneau intègre avec une fonction euclidienne, mais qui n'a pas ses unités détachables). Soit $R$ l'anneau des entiers, et soit $S$ le sous-ensemble multiplicatif $\{2a_n : n \in \mathbb{N}\}$ pour une suite binaire $a$. Étendez la fonction valeur absolue sur $R$ en une fonction euclidienne sur $S^{-1}R$ (utilisez le théorème 3.7). ■
Exercices

1. Un anneau intègre discret à factorisation bornée $R$ sera appelé un **DH-anneau** si pour tous $a$ et $b$ non nuls dans $R$, avec $a$ borné par $n$, ou bien $a|b$, ou bien il existe $c \in (a,b)$ qui est borné par $n-1$. Montrer qu'un DH-anneau est un anneau principal.

2. Disons qu'un anneau intègre à factorisation bornée $R$ est **strictement borné** si chaque fois que $a$ divise un élément $b$ qui est borné par $n$, alors ou bien $b$ divise $a$, ou bien $a$ est borné par $n-1$. Montrer qu'un anneau intègre à factorisation bornée avec unités détachables est strictement borné. Montrer qu'un DH-anneau (voir l'exercice 1) est strictement borné. Montrer qu'un anneau principal strictement borné est un DH-anneau.

3. Soient $a$ une suite binaire et $R = \mathbb{Q}[Y^2, a_1Y, a_1/(Y^2 - 1), a_2Y, a_2/(Y^2 - 1), \dots]$. Montrer que $R$ est un exemple brouwerien d'un anneau principal à factorisation bornée qui n'est pas strictement borné (voir l'exercice 2) en considérant les éléments $a = Y^2$ et $b = Y^2(Y^2 - 1)$. Montrer que $R$ admet une fonction euclidienne, mais pas une fonction euclidienne multiplicative.

4. Montrer que l'anneau de l'exemple 3.6 est un anneau principal.

5. Soit $R$ un anneau euclidien. Montrer que pour chaque $x \neq 0$ il existe une unité $u$ telle que $\nu(x) \geq \nu(u)$.

6. Montrer que l'anneau $\mathbb{Z}[i]$ des entiers de Gauss admet une norme euclidienne multiplicative.

7. Montrer que toute pseudonorme sur un anneau principal est une fonction de Dedekind-Hasse.

8. **Un étrange principe d'omniscience.** On considère les sous-ensembles $C_n$ de l'ensemble $2^N$ des suites binaires définis par récurrence comme suit.

$$ 
\begin{aligned}
C_0 &= \{0\}. \\
C_{n+1} &= \{ a : \text{si } a_i = 1, \text{ alors ou bien } a_j = 1 \text{ pour un } j > i, \\
&\quad \text{ou bien } a_{i+1}, a_{i+2}, \dots \text{ est dans } C_n \}.
\end{aligned}
$$

Montrer que $a \in C_1$ si $\{m : a_m = 1\}$ est fini ou infini. Montrer que $a \in C_n$ si $\{m : a_m = 1\}$ est borné par $n$. Montrer que LPO est équivalent à $2^N = C_1$. Que faites-vous du principe d'omniscience $2^N = \bigcup_n C_n$ ?

9. **Un anneau principal à factorisation bornée qui n'admet pas de pseudonorme.** Soient $k$ le corps à deux éléments et $a$ une suite binaire ; on définit $\varphi_n : k(X_n) \to k(X_{n+1})$ par

$$ \varphi_n(X_n) = a_n(X_{n+1}^2 + n) + X_{n+1}. $$
Soit $R_n$ le sous-anneau de $k(X_n)$ défini par $R_1 = k[X_1]$, $R_{n+1} = \varphi_n(R_n)$
si $a_n = 0$, et sinon $R_{n+1} = S_n^{-1}\varphi_n(R_n)$, où $S_n$ est le sous-ensemble
multiplicatif engendré par $X_{n+1}^2 + X_{n+1} + 1$. Montrer que la limite
directe $R$ des anneaux $R_n$ est un anneau principal à factorisation bornée.
Montrer que le principe d'omniscience de l'exercice 8 serait vérifié si $R$
admettait une pseudonorme.

10. Montrer que $\mathbb{Z}[(1 + \sqrt{-19})/2]$ est la clôture intégrale de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Q}[\sqrt{-19}]$.

11. Montrer que les unités de l'anneau $R$ de l'exemple 3.4 sont $\pm 1$. Soient $\alpha = 2$ et $\beta = (1 + \sqrt{-19})/2$. En utilisant la fonction $N$, montrer que $\alpha, \alpha + 1, \alpha - 1, \beta, \beta + 1$, et $\beta - 1$ sont deux à deux premiers entre eux. Supposons que $R$ admette une fonction euclidienne $\nu$, et soit $\gamma$ un élément non inversible dans $R$. En divisant $\gamma$ par $\alpha$ et $\beta$, montrer qu'il y a un élément non inversible $\gamma'$ de $R$ tel que $\nu(\gamma') < \nu(\gamma)$.

12. Construire un exemple brouwerien d'un anneau principal muni d'une fonction de Dedekind-Hasse mais unités détachables ni fonction euclidienne. (Regardez $\mathbb{Z}[(1 + \sqrt{-19})/2] \subseteq \mathbb{Q}[\sqrt{-19}]$.)

4 Anneaux de polynômes

Dans cette section nous étudions les propriétés d'un anneau intègre discret $R$
qui sont héritées dans l'anneau des polynômes $R[X]$.

**Définition 4.1.** Soit $R$ un anneau intègre à pgcd, et soit $f \in R[X]$. Le pgcd des coefficients de $f$ est appelé le **contenu** de $f$ et noté par $\text{cont}(f)$. Si $\text{cont}(f) = 1$, alors $f$ est dit **primitif**.

**Lemme 4.2.** Soient $R$ un anneau intègre à pgcd et $K$ son corps de fractions.
Soit $f \in K[X]$, nous pouvons trouver un $c \in K$ et un polynôme primitif
$g \in R[X]$ tels que $f = cg$. Si en outre $f = c'g'$ pour un $c' \in K$ et un polynôme
primitif $g' \in R[X]$, alors $c = uc'$ avec $u$ inversible dans $R$.

Démonstration. On écrit $f = c_0g_0$ avec $c_0 \in K$ et $g_0 \in R[X]$. Soient $g = g_0/\text{cont}(g_0)$ et $c = c_0 \cdot \text{cont}(g_0)$, alors $f = cg$ et $g$ est un polynôme primitif. Si maintenant $f = c'g'$ avec $c' \in K$ et $g'$ un polynôme primitif dans $R[X]$, considérons un élément non nul $d \in R$ tel que $dc$ et $dc'$ sont dans $R$. Alors $dc$ et $dc'$ sont tous deux égaux au contenu de $df$, donc $dc = udc'$ avec $u$ inversible dans $R$. Ainsi $c = uc'$. $\blacksquare$

**Lemme 4.3 (lemme de Gauss).** Soient $R$ un anneau intègre à pgcd et $f, g \in R[X]$. Alors $\text{cont}(fg) = \text{cont}(f)\text{cont}(g)$.

Démonstration. Soient $m = \text{deg } f$ et $n = \text{deg } g$. Nous procédons par récurrence sur $m+n$. Comme $\text{cont}(ah) = a \cdot \text{cont}(h)$ pour une constante $a$ et un polynôme
h, nous pouvons diviser $f$ et $g$ par leur contenu et il suffit de démontrer
le lemme lorsque $f$ et $g$ sont des polynômes primitifs. Soient $c = \text{cont}(fg)$ et
d = $\text{pgcd}(c, f_m)$, où $f_m$ est le coefficient dominant de $f$. Alors $d|(f - f_m X^m)g$. Si
$f = f_m X^m$ le lemme est clair. Sinon, par récurrence, $d|\text{cont}(f - f_m X^m)\text{cont}(g)$.
Comme $g$ est primitif, nous avons $d|(f - f_m X^m)$, donc $d|f$. Comme $f$ est primitif,
nous avons $d = \text{pgcd}(c, f_m) = 1$. De la même manière nous démontrons que
$\text{pgcd}(c, g_n) = 1$. Donc, par le théorème 1.1(iii), nous avons $c = \text{pgcd}(c, f_m g_n) =
1$, et $fg$ est un polynôme primitif. ■

**Corolaire 4.4.** Soient $R$ un anneau intègre à pgcd, $k$ son corps de fractions et $f$ et $g$ des polynômes de $R[X]$. Alors $f$ divise $g$ dans $R[X]$ si, et seulement si, $f$ divise $g$ dans $k[X]$ et $\text{cont}(f)$ divise $\text{cont}(g)$.

*Démonstration.* L'implication «seulement si» est immédiate d'après le lemme de Gauss. Pour démontrer «si» nous pouvons supposer que le polynôme $f$ est primitif. D'après le lemme 4.2, nous pouvons écrire $g = ahf$ avec $h$ un polynôme primitif de $R[X]$ et $a \in k$. D'après le lemme de Gauss, le polynôme $fh$ est primitif, donc $a = \text{cont}(g) \in R$ d'après le lemme 4.2. Ainsi $f$ divise $g$ dans $R[X]$. ■

**Théorème 4.5.** Soient $R$ un anneau intègre à pgcd et $k$ son corps de fractions.
Soient $f$ et $g$ des polynômes de $k[X]$, chacun avec un coefficient inversible
dans $R$. Si $fg$ est un polynôme primitif de $R[X]$, alors $f$ et $g$ sont dans $R[X]$.

*Démonstration.* On a des constantes $a, b \in k$ et des polynômes primitifs $f_1, g_1 \in R[X]$ tels que $f = af_1$ et $g = bg_1$. Comme $f$ et $g$ ont des unités de $R$ parmi leurs coefficients, $a^{-1}$ et $b^{-1}$ sont dans $R$. D'après le lemme de Gauss, le polynôme $f_1g_1 = a^{-1}b^{-1}fg$ est primitif. Donc $a^{-1}b^{-1}$ est une unité de $R$, par suite $a$ et $b \in R$ et donc $f$ et $g \in R[X]$. ■

**Théorème 4.6.** Soient $R$ un anneau intègre à pgcd et $k$ son corps de fractions.
Soient $f$ et $g$ des polynômes de $k[X]$ tels que $fg \in R[X]$. Alors il existe un $b \in k$
tel que $bf$ et $g/b \in R[X]$.

*Démonstration.* On a des constantes $a, b \in k$ et des polynômes primitifs $f_1, g_1 \in R[X]$ tels que $f = af_1$ et $g = bg_1$. D'après le lemme de Gauss, le polynôme $f_1g_1$ est primitif, donc $ab = \text{cont}(fg) \in R$ d'après le lemme 4.2. Par suite $bf = abf_1$ et $g/b = g_1 \in R[X]$. ■

**Théorème 4.7.** Soit $R$ un anneau intègre discret.

(i) Si $R$ est un anneau à pgcd, alors il en va de même pour $R[X]$.

(ii) Si $R$ est à factorisation bornée, alors il en va de même pour $R[X]$.

(iii) Si $R$ a ses unités détachables, alors il en va de même pour $R[X]$.

(iv) Si la divisibilité est décidable dans $R$, alors il en va de même pour $R[X]$.
(v) Si $R$ satisfait la condition de chaine des diviseurs, alors il en va de même pour $R[X]$.

(vi) Si $R$ est un quasi-AFU, alors il en va de même pour $R[X]$.

*Démonstration.* Soit $k$ le corps de fractions de $R$.

Pour démontrer (i) on considère $f$ et $g$ dans $R[X]$. Soit $h$ un polynôme primitif de $R[X]$ tel que $h$ est un pgcd de $f$ et $g$ dans $k[X]$. Soit $d = \text{pgcd}(\text{cont}(f), \text{cont}(g))$. On va montrer que $dh = \text{pgcd}(f, g)$. D'après le corolaire 4.4, $dh$ divise $f$ et $g \in R[X]$. Inversement, supposons que $q$ divise $f$ et $g \in R[X]$. Alors $q$ divise $h$ dans $k[X]$, et $\text{cont}(q)$ divise $\text{cont}(f)$ et $\text{cont}(g)$, donc il divise $d$. Ainsi $q$ divise $dh$ d'après le corolaire 4.4. Nous avons montré que $dh$ est un pgcd de $f$ et $g$.

Pour démontrer (ii) soit $f \in R[X]$ de degré $n$, et soit $a$ son coefficient dominant. Si $a$ est borné par $m$, alors $f$ est borné par $m+n$.

L'assertion (iii) est triviale, car l'anneau $R[X]$ a les mêmes unités que $R$.

Pour démontrer (iv) nous montrons par récurrence sur $n = \text{deg } g$ que nous pouvons décider si $f$ divise $g$. Soient $a$ le coefficient dominant de $f$, et $b$ le coefficient dominant de $g$. Nous pouvons supposer que $\text{deg } f \le \text{deg } g$. Si $a$ ne divise pas $b$, alors $f$ ne divise pas $g$. Si $a|b$, alors il existe des polynômes $q$ et $h$ tels que $g = qf + h$ et $\text{deg } h \le n-1$. Alors $f|g$ si, et seulement si, $f|h$. Par récurrence nous pouvons décider si $f$ divise $h$, et donc nous pouvons décider si $f$ divise $g$.

Supposons que $R$ satisfait la condition de chaine des diviseurs. Soit $(f_1) \subseteq (f_2) \subseteq \cdots$ une chaine ascendante d'idéaux principaux de $R[X]$. Nous construisons un $p$ tel que $(f_p) = (f_{p+1})$ par récurrence sur $\text{deg } f_1$. Soit $a_i$ le coefficient dominant de $f_i$. Alors $a_{i+1}|a_i$ pour chaque $i > 1$, donc il existe un $m$ tel que $a_m|a_{m+1}$. Si $\text{deg } f_m = \text{deg } f_{m+1}$, alors $f_m|f_{m+1}$ et nous avons terminé. Sinon $\text{deg } f_{m+1} < \text{deg } f_m \le \text{deg } f_1$, et nous considérons la suite des $f$ qui commence à $f_{m+1}$. Par récurrence nous trouvons l'entier $n$ tel que $(f_n) = (f_{n+1})$.

L'assertion (vi) résulte de (v) et (i).

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

**Théorème 4.8** (Kronecker 1). Si $R$ est un anneau à factorisation unique infini avec un nombre fini d'unités, alors il en va de même pour $R[X]$. Donc $R$ est factoriel.

*Démonstration.* Soit $k$ le corps de fractions de $R$. Soit $f \in R[X]$ un polynôme de degré $n$. Il suffit de construire un ensemble fini de polynômes qui contient tous les diviseurs de $f$ dont le degré est au plus $n/2$. Soient $a_0, \dots, a_m$ des éléments distincts de $R$, avec $n \le 2m$. Comme $R$ est un anneau à factorisation unique avec un nombre fini d'unités, tout $f(a_i)$ non nul a un ensemble fini de diviseurs. Si un $f(a_i) = 0$, alors $f = (X - a_i)g$ et nous terminons par récurrence sur $n$. Nous pouvons donc supposer que $f(a_i) \ne 0$ pour tout $i$. Notez que si $g|f$, alors $g(a_i)|f(a_i)$ pour tout $i$. Il y a seulement un nombre fini de suites $b_0, \dots, b_m$
telles que $b_i$ divise $f(a_i)$ pour tout $i$. Par le théorème d'interpolation unique (théorème II.5.5) nous avons pour chaque suite $b_0, \dots, b_m$ un unique polynôme $g \in k[X]$ de degré au plus $m$ tel que $g(a_i) = b_i$ pour tout $i$. L'ensemble de ces polynômes $g$ est un ensemble fini de polynômes de $k[X]$ qui contient tous les diviseurs de $f$ dans $R[X]$ de degré au plus $n/2$. Enfin un polynôme $g$ de degré au plus $n/2$ est un diviseur de $f$ si, et seulement si, $g \in R[X]$ et $f/g \in R[X]$, et cela est décidable car $R[X]$ est une partie détachable de $k[X]$. ■

Le théorème «Kronecker 1» montre que $\mathbb{Z}[X_1, \dots, X_n]$ est factoriel pour tout $n$. Avec le corolaire 2.6 nous voyons que $\mathbb{Q}[X_1, \dots, X_n]$ est aussi factoriel. Si $k$ est un corps fini, alors $k[X_1, \dots, X_n]$ est factoriel, car un $f \in k[X_1, \dots, X_n]$ n'a qu'un nombre fini de diviseurs. Cependant, les anneaux à factorisation unique ne sont pas tous factoriels, comme le montre l'exemple 2.2.

Le théorème «Kronecker 1» a pour hypothèse le fait que l'anneau $R$ est infini. Mais les anneaux à factorisation unique finis sont certainement factoriels. Dans le théorème VI.6.8 nous allons éliminer l'hypothèse que l'anneau est fini ou infini.

La clôture algébrique $k$ de $\mathbb{Q}$ – voir le corolaire VI.2.5 – ainsi que l'anneau des polynômes $k[X]$ est un anneau à factorisation unique, donc $k$ est factoriel. Mais «Kronecker 1» ne suffit pas pour démontrer que $k[X]$ est factoriel comme c'était le cas pour $k = \mathbb{Q}$. Une autre astuce de Kronecker montre que $R[X, Y]$ est un anneau à factorisation unique si $R[X]$ en est un.

**Théorème 4.9 (Kronecker 2).** Si $R$ est un anneau factoriel, alors il en va de même pour $R[X]$.

*Démonstration.* Pour $m > 0$, soit $\varphi_m : R[X, Y] \to R[X]$ l'homomorphisme d'anneaux qui est l'identité sur $R[X]$ et qui envoie $Y$ sur $X^m$. Soit $\psi : R[X] \to R[X, Y]$ l'application $R$-linéaire qui envoie $X^n$ sur $Y^q X^r$ où $n = qm + r$ et $0 \le r < m$. Soit $R[X, Y]_m$ l'ensemble des polynômes de $R[X]$ dont le degré en $X$ est strictement plus petit que $m$. Alors :

$\varphi_m \psi$ est l'identité sur $R[X]$,
$\psi \varphi_m$ est l'identité sur $R[X, Y]_m$,
si $a, b \in R[X, Y]$ et $ab \in R[X, Y]_m$, alors $a, b \in R[X, Y]_m$.

Pour factoriser un polynôme $f \in R[X, Y]$ de degré en $X$ inférieur à $m$, consultez le nombre fini de factorisations (à des unités près) $\varphi_m(f) = ab$. Faites un test pour voir si $\psi(a)\psi(b) = f$. Toute factorisation de $f$ doit avoir cette forme. ■

Exercices

1. Montrer que $X^4+1$ est irréductible sur $\mathbb{Q}[X]$ en utilisant les techniques de «Kronecker 1» et du corolaire 2.6. Utiliser «Kronecker 1» pour factoriser $X^4 + 4$.
2. Décomposer $X^4 + 4Y^4$ en facteurs premiers sur l'anneau $\mathbb{Z}[X, Y]$.

3. Utiliser « Kronecker 2 » avec le polynôme $X^2 + Y$ pour voir que même si l'image $\varphi_m(f)$ se factorise dans $k[X]$, le polynôme de départ ne se factorise pas nécessairement.

# 5 Notes

La condition de chaine des diviseurs est définie en termes de chaine ascendante d'idéaux principaux $I_1 \subseteq I_2 \subseteq \dots$ plutôt que de chaine (descendante) d'éléments $a_1, a_2, \dots$ vérifiant $a_{i+1}|a_i$ pour tout $i$. Les deux versions sont équivalentes en présence de l'axiome du choix dépendant. La version avec les idéaux nous permet de démontrer – dans ce chapitre et le chapitre VI – les propriétés de base des anneaux principaux sans utiliser l'axiome du choix dépendant.

Dans les quasi-AFU, les anneaux principaux et les anneaux euclidiens, nous ne savons pas nécessairement factoriser les éléments non nuls. Par contre nous pouvons utiliser le théorème de factorisation partielle pour écrire des éléments non nuls $a_1, \dots, a_n$ dans un quasi-AFU comme produits d'éléments deux à deux premiers entre eux $p_1, \dots, p_m$.

Les théorèmes Kronecker 1 et 2 sont dans [Kronecker 1882]. Il fournissent les algorithmes pour décomposer des polynômes sur les entiers (en plusieurs indéterminées) en produits de polynômes premiers. Nous ne sommes pas concernés ici par l'efficacité de ces algorithmes.
# V. Anneaux principaux

## Sommaire

1. Diagonalisation des matrices. 127

2. Modules de présentation finie. 130

3. Modules de torsion, p-composantes, diviseurs élémentaires 132

4. Transformations linéaires. 134

5. Notes. 137

## 1 Diagonalisation des matrices

La théorie des modules sur un anneau principal est étroitement reliée à la théorie des espaces vectoriels sur un corps et elle est presque identique à la théorie des groupes abéliens, qui sont les modules sur l'anneau des entiers. L'analogue d'un espace vectoriel de dimension finie est un module de présentation finie sur un anneau principal. Un module de présentation finie est donné par une matrice. Dans cette section, nous démontrons quelques faits de base concernant les matrices sur un anneau principal.

Une matrice $A = (a_{ij})$ de format $m \times n$ est dite **diagonale** si $a_{ij} = 0$ lorsque $i \neq j$. Deux matrices $A$ et $B$ de format $m \times n$ sont **équivalentes** s'il y a une matrice inversible $C$ de format $m \times m$ et une matrice inversible $D$ de format $n \times n$ telles que $A = CBD$.

**Lemme 1.1.** Toute matrice sur un anneau principal est équivalente à une matrice diagonale.

*Démonstration.* La clé du problème est donnée par la construction de certaines matrices inversibles de format $2 \times 2$. Si $sa + tb = d \neq 0$ est le pgcd de $a$ et $b$, alors pour tous $u, v$ il existe $w, x$ tels que

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ u & v \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} s & -b/d \\ t & a/d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & 0 \\ w & x \end{pmatrix}. $$
En outre le facteur de droite est inversible puisque son déterminant est égal à 1. De la même manière, si $a$ et $b$ sont dans une même colonne, nous multiplions à gauche comme suit.

$$ \begin{pmatrix} s & t \\ -b/d & a/d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & u \\ b & v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & w \\ 0 & x \end{pmatrix}. $$

Donc si $a$ et $b$ sont des entrées dans une même ligne (ou colonne) d'une matrice $B$, nous pouvons multiplier la matrice $B$ à droite (ou à gauche) par une matrice inversible et obtenir ainsi aux positions occupées par $a$ et $b$ respectivement le pgcd $d$ et $0$, ceci sans changer les entrées hors des lignes (colonnes) de $a$ et $b$.

Étant donnée une matrice $A$ nous allons la multiplier à gauche et à droite par des matrices inversibles et obtenir une matrice diagonale. Si $A = 0$ c'est terminé. Sinon par des échanges de lignes et de colonnes, nous pouvons amener un élément non nul $a_1$ dans le coin nord-ouest. En multipliant à droite par des matrices inversibles nous remplaçons $a_1$ par $a_2$, le pgcd de tous les éléments de la première ligne et nous annulons le reste de première ligne. De la même manière par des multiplications à gauche nous pouvons remplacer $a_2$ par $a_3$, le pgcd de tous les éléments qui se trouvent maintenant dans la première colonne, et nous annulons le reste de première colonne. On continue en remplaçant $a_3$ par $a_4$, le pgcd de tous les éléments qui se trouvent maintenant dans la première ligne, et ainsi de suite. De cette manière, nous produisons une suite $(a_1), (a_2), \dots$ d'idéaux principaux telle que $a_{i+1}|a_i$ pour chaque $i$. Donc, pour un certain $n$, nous obtenons $a_n|a_{n+1}$. Cela signifie que $a_n$ est un pgcd des éléments de la première ligne (ou colonne), tandis que les éléments restants sur la première colonne (ou ligne) sont nuls. Maintenant, revenant à l'étape $n$, par des manipulations élémentaires de colonnes (lignes), nous pouvons annuler tous les éléments de la première ligne (colonne) sans changer le première colonne (ligne). Ainsi, excepté le coin nord-ouest, les premières ligne et colonne sont nulles. Enfin, par récurrence sur la taille la matrice nous obtenons une matrice diagonale. ■

Une matrice $A = (a_{ij})$ est en **forme normale de Smith** si elle est diagonale et si $a_{ii}|a_{i+1,i+1}$ pour tout $i$.

**Théorème 1.2.** Toute matrice sur un anneau principal est équivalente à une matrice en forme normale de Smith.

*Démonstration.* D'après le lemme 1.1, il suffit de traiter le cas d'une matrice diagonale. Soient $a, b$ des éléments diagonaux non nuls et $d = sa + tb$ le pgcd de $a$ et $b$. Alors

$$ \begin{pmatrix} s & t \\ -b/d & a/d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -tb/d \\ 1 & sa/d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & 0 \\ 0 & ab/d \end{pmatrix}. $$
En utilisant de manière répétée cette observation nous pouvons ramener la matrice à une forme diagonale dans laquelle le coefficient nord-ouest divise tous les autres. On termine par récurrence sur la taille de la matrice. ■

Nous voulons montrer maintenant que toute matrice est équivalente à une matrice en forme normale de Smith de manière essentiellement unique.

Étant donnée une matrice $A$, nous notons $\Delta_i(A)$ l'idéal engendré par les déterminants de toutes les sous-matrices carrées de taille $i$ extraites de $A$.

**Lemme 1.3.** Soient $A$ et $B$ des matrices $m \times n$ équivalentes sur un anneau intègre à pgcd $R$. Alors $\Delta_i(A) = \Delta_i(B)$ pour tout $i$.

*Démonstration.* Il suffit de montrer que si $C$ est une matrice inversible de format $m \times m$, alors $\Delta_i(CA) = \Delta_i(A)$. Les lignes de $CA$ sont des combinaisons linéaires des lignes de $A$. Donc les déterminants des sous-matrices $i \times i$ de $CA$ sont des combinaisons linéaires des déterminants des sous-matrices $i \times i$ de $A$. Donc $\Delta_i(A) \supseteq \Delta_i(CA)$. Comme $C$ est inversible, nous avons aussi $\Delta_i(CA) \supseteq \Delta_i(C^{-1}CA) = \Delta_i(A)$. Et donc $\Delta_i(CA) = \Delta_i(A)$. ■

**Théorème 1.4.** Deux matrices en forme normale de Smith sur un anneau intègre à pgcd sont équivalentes si, et seulement si, les éléments diagonaux correspondants sont associés.

*Démonstration.* Soit $D = (d_{ij})$ une matrice en forme normale de Smith. On vérifie facilement que $\Delta_1(D) = (d_{11})$ et que $\Delta_i(D) \cdot (d_{i+1,i+1}) = \Delta_{i+1}(D)$ pour chaque $i \le m-1$. Ainsi les éléments diagonaux de $D$ sont déterminés, à une unité près, par les idéaux $\Delta_i(D)$. Le lemme 1.3 nous dit que cela implique que si deux matrices en forme normale de Smith sont équivalentes alors leurs éléments diagonaux sont associés. ■

## Exercices

1. Trouver une matrice en forme normale de Smith sur $\mathbb{Z}$ qui est équivalente à la matrice

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}. $$

2. Un anneau de valuation<fnref n="1" /> est un anneau commutatif tel que pour tous éléments $a$ et $b$, on a $(a) \subseteq (b)$ ou $(b) \subseteq (a)$. Montrer que toute matrice sur un anneau de valuation est équivalente à une matrice en forme normale de Smith.

<footnote n="1">1. **NdT.** Valuation ring. Il s'agit ici des anneaux de valuation au sens de Kaplansky; Bourbaki réclame qu'un anneau de valuation soit intègre.</footnote>
3. Montrer qu'une matrice carrée sur $\mathbb{Z}$ est inversible si, et seulement si, elle est un produit de matrices élémentaires.

4. Montrer qu'une matrice carrée sur $\mathbb{Z}$ a son déterminant égal à 1 si, et seulement si, elle est un produit de matrices élémentaires correspondant aux manipulations élémentaires de type (iii). Idée :

$$ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. $$

## 2 Modules de présentation finie

Soit $M$ un module sur un anneau commutatif $R$. Une **présentation finie** de $M$ est un triplet $(M, (x_1, \dots, x_n), A)$, où $x_1, \dots, x_n$ est un système générateur fini de $M$ et $A$ est une matrice $m \times n$ d'éléments de $R$ dont les lignes engendrent le module des relations entre les $x_i$. Ainsi pour chaque élément $(\alpha_1, \dots, \alpha_n) \in R^n$ nous avons $\alpha_1 x_1 + \dots + \alpha_n x_n = 0$ si, et seulement si, $(\alpha_1, \dots, \alpha_n) = vA$ pour un $v \in R^m$. Nous pouvons identifier un module de présentation finie avec sa présentation finie.

La matrice $A$ contient toute l'information sur la structure du module $M$. Étant donné le module $M$, la matrice $A$ dépend du choix des générateurs $x_1, \dots, x_n$ de $M$ et du choix des générateurs du module des relations. Si $M \simeq R/(r_1) \oplus \dots \oplus R/(r_n)$, nous obtenons une matrice diagonale $A$ pour $M$; inversement, si nous pouvons obtenir une matrice diagonale $A$ pour $M$, alors nous avons montré que $M$ est une somme directe de modules cycliques. Il nous importe donc d'examiner comment on peut passer d'une matrice de présentation pour $M$ à une autre.

Soit $(M, (x_1, \dots, x_n), A)$ un $R$-module de présentation finie. Alors $(M, (x_1, \dots, x_n), B)$ est un $R$-module de présentation finie si, et seulement si, les lignes de $B$ engendrent le même sous-module de $R^n$ que les lignes de $A$; cela se produit si $B = FA$ pour une matrice $F$ inversible de taille $m$. Que se passe-t-il pour la matrice des relations $A$ d'un module de présentation finie $(M, (x_1, \dots, x_n), A)$ quand nous changeons le système générateur $(x_1, \dots, x_n)$ ?

**Théorème 2.1.** Soit $(M, (x_1, \dots, x_n), A)$ un module de présentation finie sur un anneau commutatif $R$ et soit $E$ une matrice inversible de taille $n$ sur $R$. Alors $(M, (x_1, \dots, x_n), A) = (M, (x_1, \dots, x_n)E^t, AE^{-1})$.

*Démonstration.* Notons $(y_1, \dots, y_n)^t = E(x_1, \dots, x_n)^t$. Clairement $y_1, \dots, y_n$ engendrent $M$. En outre les propriétés suivantes sont équivalentes.

$$ \begin{align*} (r_1, \dots, r_n)E^{-1}(y_1, \dots, y_n)^t &= (r_1, \dots, r_n)(x_1, \dots, x_n)^t = 0, \\ (r_1, \dots, r_n) &= (s_1, \dots, s_m)A \quad \text{pour un } (s_1, \dots, s_m), \\ (r_1, \dots, r_n)E^{-1} &= (s_1, \dots, s_m)(AE^{-1}). \end{align*} $$
Donc le module des relations entre les $y_i$ est engendré par les lignes de $AE^{-1}$. ■

**Corolaire 2.2.** Soient $A$ une matrice $m \times n$ sur un anneau commutatif $R$ et $(M, (x_1, \dots, x_n), A)$ un $R$-module de présentation finie. Soient $E$ une matrice inversible $n \times n$ sur $R$ et $F$ une matrice inversible $m \times m$ sur $R$. Alors $(M, (x_1, \dots, x_n), A) = (M, (x_1, \dots, x_n)E^t, FAE^{-1})$.

**Démonstration.** Comme les lignes de $FAE^{-1}$ engendrent le même module que celles de $AE^{-1}$, le corolaire est une conséquence immédiate du théorème 2.1. ■

**Théorème 2.3** (théorème de structure). Soit $M$ un module de présentation finie sur un anneau principal $R$. Alors il existe des idéaux principaux $I_1 \supseteq I_2 \supseteq \dots \supseteq I_n$ tels que $M$ est isomorphe à la somme directe $R/I_1 \oplus R/I_2 \oplus \dots \oplus R/I_n$.

**Démonstration.** Soit $(M, (x_1, \dots, x_n), A)$ une présentation finie de $M$. D'après le théorème 1.4, on a des matrices inversibles $E$ et $F$ telles que la matrice $D = FAE^{-1}$ est en forme normale de Smith. D'après le corolaire 2.2, nous avons

$$ (M, (x_1, \dots, x_n), A) = (M, (x_1, \dots, x_n)E^t, D). $$

Si $(y_1, \dots, y_n) = (x_1, \dots, x_n)E^t$, alors $M = Ry_1 \oplus \dots \oplus Ry_n$ et $Ry_i \simeq R/I_i$ avec $I_i = (d_{ii})$. ■

La décomposition obtenue dans le théorème 2.3 est essentiellement unique sur n'importe quel anneau commutatif.

**Théorème 2.4.** Soient $R$ un anneau commutatif, $m \le n$ des entiers strictement positifs, et $I_1 \supseteq I_2 \supseteq \dots \supseteq I_m$ et $J_1 \supseteq J_2 \supseteq \dots \supseteq J_n$ des idéaux de $R$. Supposons qu'un $R$-module $M$ soit isomorphe à $\bigoplus_{i=1}^m R/I_i$ et à $\bigoplus_{j=1}^n R/J_j$. Alors

$$ (a) \ J_1 = J_2 = \dots = J_{n-m} = R. $$

$$ (b) \ I_i = J_{n-m+i} \text{ pour } i = 1, \dots, m. $$

**Démonstration.** Pour démontrer (a) il suffit de voir que si $m < n$, alors $J_1 = R$. Soit $S = R/J_1$. Alors

$$ S^n = \bigoplus_{j=1}^{n} R/(J_j + J_1) \simeq M/(J_1 M) \simeq \bigoplus_{i=1}^{m} R/(I_i + J_1) $$

comme $S$-modules. Nous avons une application linéaire surjective de $S^m$ sur $\bigoplus_{i=1}^m R/(I_i + J_1)$, donc de $S^m$ sur $S^n$, donc $S = 0$ d'après le théorème II.7.5.

Puisque (a) est valide, nous pouvons supposer que $m = n$. Pour démontrer (b) il suffit, par symétrie, de voir que $I_k \subseteq J_k$ pour $k = 1, \dots, n$. Soit $x \in I_k$. Alors

$$ \bigoplus_{j=1}^{n} R/(J_j : x) \simeq xM \simeq \bigoplus_{i=k+1}^{n} R/(I_i : x) $$

où $(K : x) = \{r \in K : rx \in K\}$. En appliquant (a) à $xM$ nous obtenons $(J_1 : x) = (J_2 : x) = \dots = (J_k : x) = R$. Donc $x \in J_k$. ■
Exercices

1. Montrer qu'un groupe abélien de présentation finie est une somme directe d'un nombre fini de groupes cycliques finis ou infinis.

2. Donner un exemple brouwerien d'un groupe cyclique qui n'est ni fini ni infini.

3. Montrer que si une matrice $m \times n$ sur un anneau commutatif $R$ a un inverse à gauche et si $m < n$, alors $R = 0$.

4. Soit $H$ un sous-groupe détachable d'un groupe abélien libre (un $\mathbb{Z}$-module libre) sur un ensemble discret. Montrer que pour chaque $h \in H$ il existe un $x \in H$ tel que $h \in \langle x \rangle$ et $H/\langle x \rangle$ est un sous-groupe détachable d'un groupe abélien libre sur un ensemble discret.

5. Utilisez l'exercice 4 pour montrer qu'un sous-groupe détachable d'un groupe abélien libre sur un ensemble discret dénombrable est un groupe abélien libre sur un ensemble discret dénombrable. (Construire des générateurs $x_i$ pour $H$ par récurrence de façon à ce que $H/\langle x_1, \dots, x_{n-1} \rangle$ soit un sous-groupe détachable d'un groupe abélien libre sur un ensemble discret dénombrable pour chaque $n \ge 1$.)

3 Modules de torsion, p-composantes, diviseurs élémentaires

Soit $M$ un module sur un anneau intègre discret $R$. Le sous-module de torsion $\tau(M)$ de $M$ est défini comme $\tau(M) = \{m \in M : am = 0$ pour un $a \neq 0\}$. On voit facilement que $\tau(M)$ est un sous-module de $M$. Si $\tau(M) = M$, alors nous disons que $M$ est un module de torsion. Si $d$ est un élément non nul de $R$ et si $dM = 0$, alors nous disons que $M$ est annulé par $d$.

**Théorème 3.1.** Soit $M$ un module de présentation finie sur un anneau principal $R$. Alors le sous-module de torsion $\tau(M)$ est un sous-module de présentation finie détachable de $M$, et $M \simeq \tau(M) \oplus R^n$ pour un $n$. De plus $\{d \in R : d\tau(M) = 0\}$ est un idéal principal non nul.

*Démonstration.* D'après le théorème 2.3, il existe des idéaux principaux $I_1 \supseteq I_2 \supseteq \dots \supseteq I_m$ tels que $M$ est isomorphe à la somme directe $R/I_1 \oplus R/I_2 \oplus \dots \oplus R/I_m$. Si $I_k = 0$ pour chaque $k$, les conclusions sont claires. Sinon nous trouvons un $k$ tel que $I_k \neq 0$ et $I_i = 0$ pour $i > k$. On a alors $\tau(M) \simeq R/I_1 \oplus \dots \oplus R/I_k$ et $M \simeq \tau(M) \oplus R^{m-k}$. De plus $I_k = \{d \in R : d\tau(M) = 0\}$. $\blacksquare$

Soit $M$ un module sur un anneau commutatif $R$, et soit $d \in R$. Alors la $d$-composante de $M$ est définie par $M_d = \{m \in M : d^k m = 0$ pour un $k$\}.
Nous vérifions facilement que $M_d$ est un sous-module de $M$. Observons que $M_a + M_b \subseteq M_{ab}$ pour tous $a, b \in R$ et que $M_{a^n} = M_a$ pour tout $n > 0$.
**Lemme 3.2.** Soient $M$ un module sur un anneau commutatif $R$, et $a$ et $b$ des éléments étrangers de $R$. Alors $M_{ab} = M_a \oplus M_b$, et si $M$ est de type fini, la projection de $M_{ab}$ sur $M_a$ est réalisée par la multiplication par un élément de $R$. Le module $M_{ab}$ est cyclique si, et seulement si, les sous-modules $M_a$ et $M_b$ sont cycliques.

*Démonstration.* Pour montrer que $M_{ab} = M_a \oplus M_b$, il suffit de voir que $K = K_a \oplus K_b$ pour chaque sous-module de type fini de $M_{ab}$. Nous pouvons donc supposer que $M$ est de type fini. Dans ce cas on a $a^k b^k M_{ab} = 0$ pour un entier strictement positif $k$.

Il existe $s$ et $t \in R$ tels que $sa^k + tb^k = 1$. Soit $\pi_a = tb^k$ et $\pi_b = sa^k$. Alors

(i) $\pi_a M_{ab} \subseteq M_a$ et $\pi_b M_{ab} \subseteq M_b$,

(ii) $\pi_a M_b = 0$ et $\pi_b M_a = 0$,

(iii) $\pi_a x = x$ pour $x \in M_b$ et $\pi_b x = x$ pour $x \in M_a$,

donc $M_{ab} = M_a \oplus M_b$ et la multiplication par $\pi_a$ donne la projection de $M_{ab}$ sur $M_a$.

Si $M_{ab} = Rx$, alors $M_a$ est engendré par $\pi_a x$ et $M_b$ est engendré par $\pi_b x$. Inversement, supposons que $M_a = Ry$ et $M_b = Rz$, et posons $x = y + z$. Alors $y = \pi_a x \in Rx$ et $z = \pi_b x \in Rx$, donc $M_{ab} = Rx$. ■

**Théorème 3.3.** Soit $M$ un module sur un anneau commutatif. Soit $a = p_1^{e_1} \cdots p_m^{e_m}$, où les $p_i$ sont deux à deux étrangers. Alors $M_a = M_{p_1} \oplus \cdots \oplus M_{p_m}$, et si $M$ est de type fini, la projection de $M_a$ sur $M_{p_i}$ est réalisée par la multiplication par un élément de l'anneau.

*Démonstration.* Appliquer le lemme 3.2 de manière répétée. ■

Si $p$ est premier dans un anneau intègre discret $R$, alors un $R$-module $M$ est dit **p-primaire** si $M_p = M$. Si $dM = 0$ pour un élément $d$ non nul $R$ qui est un produit de puissances d'éléments deux à deux étrangers, alors nous pouvons décomposer $M$ en une somme directe de sous-modules primaires<fnref n="1" /> d'après le théorème 3.3.

**Théorème 3.4.** Soient $R$ un anneau principal, $p$ un élément premier dans $R$, et $M$ un $R$-module $p$-primaire de présentation finie. Alors $M$ est isomorphe à une somme directe finie de $R$-modules, tous de la forme $R/(p^n)$ pour un $n > 0$.

*Démonstration.* D'après le théorème de structure (théorème 2.3), $M$ est isomorphe à une somme directe finie de $R$-modules, tous de la forme $R/I$ pour un idéal principal $I$. Comme $M$ est $p$-primaire, chaque $I$ contient une puissance strictement positive de $p$. Si $p^m \in I = (a)$, alors $p^m = ab$. Comme $p$ est premier, nous pouvons écrire $a = up^n$ où $u$ est inversible ; donc $I = (p^n)$. ■

<footnote n="1">1. **NdT.** En fait, si la terminologie « p-primaire » renvoie bien au cas des éléments $p$ premiers, le théorème 3.3 donne un résultat un peu moins fort : si $dM = 0$, alors $M$ est la somme directe de ses $p_i$-composantes pour les $p_i$ définis précédemment.</footnote>
Les puissances de $p$ dans le théorème 3.4 sont appelées les **diviseurs élémentaires** de $M$. Lorsque $M$ peut être écrit comme une somme directe de sous-modules primaires, que l'on appelle ses **composantes primaires**, les diviseurs élémentaires de $M$ sont les diviseurs élémentaires de ces sous-modules primaires de $M$.

Exercices

1. Donnez les composantes primaires du groupe abélien $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$.

2. Soient $R$ un domaine de Bézout et $p$ premier dans $R$. Montrer que $R/(p^m)$ est un anneau de valuation. Démontrer le théorème 3.4 lorsque $R$ est un domaine de Bézout.

4 Transformations linéaires

Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie sur un corps discret $k$, et soit $T: V \to V$ une transformation linéaire<fnref n="1" />. Nous pouvons faire de l'espace vectoriel $V$ un module sur $k[X]$ en définissant $Xv = T(v)$ pour $v \in V$. D'après le théorème de Cayley-Hamilton, le $k[X]$-module $V$ est annulé par le polynôme caractéristique de $T$. Nous allons montrer que le $k[X]$-module $V$ est de présentation finie.

**Lemme 4.1.** Soient $V$ un espace vectoriel sur un corps discret $k$ de base $u_1, \dots, u_n$ et $T: V \to V$ une transformation linéaire telle que $T(u_i) = \sum a_{ji}u_j$. Soit $e_1, \dots, e_n$ une base pour $k[X]^n$, et définissons l'application $k[X]$-linéaire $\varphi: k[X]^n \to V$ qui envoie $\sum f_i(X)e_i$ sur $\sum f_i(T)u_i$. Définissons $d_i \in k[X]^n$ par

$$d_i = Xe_i - \sum_{j=1}^{n} a_{ji}e_j.$$

Alors ker $\varphi$ est un $k[X]$-module libre de base $d_1, \dots, d_n$.

**Démonstration.** De manière évidente on a $d_1, \dots, d_n \in \ker \varphi$. Supposons que $g_1e_1 + \dots + g_n e_n \in \ker \varphi$, avec les $g_i \in k[X]$. En utilisant les relations $Xe_i = d_i + \sum_{j=1}^n a_{ji}e_j$, nous pouvons écrire

$$g_1e_1 + \dots + g_n e_n = h_1d_1 + \dots + h_n d_n + b_1e_1 + \dots + b_n e_n,$$

avec les $b_i \in k$. Donc $b_1e_1 + \dots + b_n e_n \in \ker \varphi$, d'où $b_1u_1 + \dots + b_n u_n = 0$. Comme $u_1, \dots, u_n$ est une base du $k$-espace vectoriel $V$, cela implique que chaque $b_i = 0$. Par suite $d_1, \dots, d_n$ engendrent ker $\varphi$.

Si $h_1d_1 + \dots + h_n d_n = 0$, alors $\sum_{i=1}^n h_i X e_i = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n h_i a_{ji} e_j$ et donc $h_j X e_j = \sum_{i=1}^n h_i a_{ji} e_j$ pour chaque $j$. Si un $h_i$ est non nul, nous pouvons

<footnote n="1">1. **NdT.** Une application linéaire d'un espace vectoriel vers lui-même.</footnote>
supposer que le degré de $h_1$ est maximal parmi les degrés de $h_1, \dots, h_n$. Mais cela est impossible car $h_1X = \sum_{i=1}^n h_i a_{1i}$. Donc $d_1, \dots, d_n$ sont linéairement indépendants. ■

D'après le théorème 2.3, le $k[X]$-module $V$ peut être écrit sous la forme $V = C_1 \oplus \dots \oplus C_s$, où les $C_i$ sont des $k[X]$-modules cycliques, isomorphes à $k[X]/(f_i)$ pour des polynômes unitaires non nuls $f_i$, avec $f_i$ qui divise $f_{i+1}$ pour $i = 1, \dots, s-1$. Le polynôme $f_s$ engendre l'idéal $\{ g \in k[X] : gV = 0 \} = \{ g \in k[X] : g(T) = 0 \}$, et il est appelé le **polynôme minimal** de la transformation linéaire $T$. D'après le théorème de Cayley-Hamilton, le polynôme minimal de $T$ divise le polynôme caractéristique de $T$; les deux polynômes sont égaux si, et seulement si, $V$ est un $k[X]$-module cyclique.

Si $\lambda$ est un zéro du polynôme caractéristique de $T$, nous disons que $\lambda$ est une **valeur propre** de $T$. Si $\lambda$ est une valeur propre de $T$, il existe un élément non nul $v$ de $V$, appelé un **vecteur propre** de $T$, avec $(T - \lambda)v = 0$, c'est-à-dire $Tv = \lambda v$. Ainsi $X - \lambda$ doit diviser le polynôme minimal de $T$, et donc $\lambda$ est aussi une racine du polynôme minimal de $T$.

La décomposition de $V$ en une somme directe de $k[X]$-modules cycliques fournit une base de $V$ comme espace vectoriel sur $k$ par rapport à laquelle la transformation linéaire $T$ a une forme canonique. Soit $c_i$ un générateur de $C_i$ comme $k[X]$-module, et soit $m$ le degré de $f_i$. Alors $c_i, Xc_i, \dots, X^{m-1}c_i$ est une base de $C_i$ comme espace vectoriel sur $k$. En notant $f_i = X^m - b_{i,1}X^{m-1} - \dots - b_{i,m}$, la matrice de la restriction de $T$ à $C_i$ pour la base $c_i, Xc_i, \dots, X^{m-1}c_i$ est

$$ B_i = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & b_{i,m} \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & b_{i,m-1} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & b_{i,m-2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & b_{i,2} \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & b_{i,1} \end{pmatrix}. $$

La matrice $B_i$ est appelée la **matrice compagne**<fnref n="1" /> de $f_i$. Notez que $f_i$ est le polynôme caractéristique de $B_i$. En prenant une telle base pour chaque $C_i$, nous obtenons une base pour $k$ par rapport à laquelle la matrice de $T$ a la forme

$$ \begin{pmatrix} B_1 & & & \\ & B_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & B_s \end{pmatrix} $$

où $B_i$ est la matrice compagne de $f_i$. Cette matrice est appelée la **forme canonique rationnelle**<fnref n="2" /> de $T$. On voit immédiatement que le polynôme caractéristique

<footnote n="1">1. **NdT.** Companion matrix.</footnote>

<footnote n="2">2. **NdT.** On dit parfois : forme réduite de Frobenius.</footnote>
de cette matrice est égal à $f_1f_2\cdots f_s$.

**Théorème 4.2** (forme canonique de Jordan). Soit $T$ une transformation linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $V$ sur un corps discret $k$, telle que le polynôme caractéristique de $T$ est un produit de facteurs linéaires. Alors nous pouvons trouver une base de $V$ relativement à laquelle la matrice de $T$ a la forme

$$A = \begin{pmatrix} J_1 & & & \\ & J_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & J_r \end{pmatrix}$$

où chaque matrice $J_i$ est une matrice $m \times m$ de la forme

$$J(m, \lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \lambda \end{pmatrix}.$$

pour certains $m$ et certains $\lambda$. La diagonale de $A$, c'est-à-dire la matrice $A$ dans laquelle on annule les coefficients hors de la diagonale, peut être écrite comme un polynôme en $A$.

**Démonstration.** D'après le théorème 3.3, nous pouvons écrire le $k[X]$-module $V$ comme une somme directe de modules primaires $V_{X-\lambda}$, et le théorème 3.4 nous dit que $V_{X-\lambda}$ est une somme directe de modules, chacun isomorphe à un $k[X]/((X-\lambda)^m)$ pour un $m$. Ce dernier module a une base sur $k$ de la forme $1, (X-\lambda), \dots, (X-\lambda)^{m-1}$, et relativement à cette base la matrice de la restriction de $T$ à $V_{X-\lambda}$ est de la forme $J(m, \lambda)$. En réalisant cette construction sur chaque $V_{X-\lambda}$, nous obtenons une base relativement à laquelle la matrice de $T$ a la forme voulue $A$. La diagonale de $A$ est un polynôme en $A$ parce que, d'après le théorème 3.3, les projections de $V$ sur les $V_{X-\lambda}$ sont données par des polynômes en $A$. ■

Une matrice $J(m, \lambda)$ dans la décomposition de Jordan est appelée un **bloc de Jordan**.

Nous disons que la transformation linéaire $T: V \to V$ est **diagonalisable** si $V$ admet une base de vecteurs propres de $T$. Ainsi $T$ est diagonalisable si, et seulement si, il existe une base de $V$ relativement à laquelle la matrice de $T$ est diagonale. Nous pouvons exprimer le fait que $T$ est diagonalisable en termes du polynôme minimal de $T$.
**Théorème 4.3.** Soit $T$ une transformation linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $V$ sur un corps discret $k$. Alors $T$ est diagonalisable si, et seulement si, le polynôme minimal de $T$ est un produit de facteurs linéaires unitaires deux à deux distincts.

*Démonstration.* Si $\lambda_1, \dots, \lambda_m$ sont les coefficients diagonaux d'une matrice diagonale qui représente $T$, alors clairement le polynôme minimal de $T$ est $(X - \lambda_1)(X - \lambda_2)\cdots(X - \lambda_m)$. Inversement, si le polynôme minimal de $T$ est $(X - \lambda_1)(X - \lambda_2)\cdots(X - \lambda_m)$ avec les $\lambda_i$ distincts, alors $V$ admet une base de vecteurs propres de $T$ d'après le théorème 3.3. ■

Deux matrices diagonales commutent toujours, donc il n'y a pas d'espoir d'obtenir une base par rapport à laquelle deux transformations linéaires $T_1$ et $T_2$ ont chacune une matrice diagonale, à moins que $T_1$ et $T_2$ commutent. Cette condition s'avère être suffisante.

**Théorème 4.4.** Soient $T_1$ et $T_2$ deux transformations linéaires d'un espace vectoriel de dimension finie $V$ sur un corps discret $k$. Supposons que $T_1$ et $T_2$ commutent. Si $V$ admet des bases de vecteurs propres pour $T_1$ et pour $T_2$, alors $V$ admet une base dont les éléments sont des vecteurs propres communs à $T_1$ et $T_2$.

*Démonstration.* Notons $V_\lambda^i = \ker(T_i - \lambda)$ le sous-espace de $V$ dont les éléments non nuls sont les vecteurs propres de $T_i$ avec la valeur propre $\lambda$. Alors pour $i = 1, 2$, l'espace vectoriel $V$ est une somme directe de sous-espaces $V_\lambda^i$ lorsque $\lambda$ parcourt les valeurs propres de $T_i$. Comme $T_2$ commute avec $T_1 - \lambda$, le sous-espace $V_\lambda^1$ est invariant par $T_2$, donc aussi par la projection de $V$ sur $V_\mu^2$, car celle-ci est un polynôme en $T_2$. Par suite $V_\lambda^1 = \sum_\mu V_\lambda^1 \cap V_\mu^2$, donc $V = \sum_{\lambda, \mu} V_\lambda^1 \cap V_\mu^2$. ■

Exercice

1. Montrer que la forme canonique de Jordan d'une transformation linéaire est unique en ce sens que pour chaque couple $(m, \lambda)$, le nombre de blocs de Jordan $J(m, \lambda)$ qui apparaissent est invariant (indépendant de la base choisie).

# 5 Notes

La forme normale de Smith pour les matrices sur $\mathbb{Z}$ remonte à [Smith 1861]. Les éléments diagonaux sont appelés les **facteurs invariants**; le théorème 1.4 donne la raison de cette terminologie.

La condition de chaine ascendante est utilisée dans le lemme 1.1 pour diagonaliser une matrice. La question de savoir si cette condition est réellement nécessaire, ou si au contraire toutes les matrices sur les domaines de Bézout sont
diagonalisables, a été un supplice de Tantale pour beaucoup de gens pendant
de nombreuses années<fnref n="1" />.

Les démonstrations usuelles de l'unicité de la décomposition d'un module sur un anneau principal en une somme directe de modules cycliques utilisent des décompositions en facteurs premiers, malgré le fait que Kaplansky a démontré le théorème 2.4 plus général en 1949 (en utilisant deux raisonnements par l'absurde). Comme nous ne savons pas nécessairement factoriser complètement les éléments d'un anneau principal, nous avons été conduit à redécouvrir le théorème meilleur (celui de Kaplansky). Le théorème de factorisation partielle (théorème IV.1.8) a été formulé pour donner une version constructive du théorème moins bon<fnref n="2" />.

<footnote n="1">1. **NdT.** Le théorème a été étendu à de nombreuses classes de domaines de Bézout. La plus simple est celle des domaines de Bézout de dimension 1.</footnote>

<footnote n="2">2. NdT. D'une part, on voit facilement que le théorème de factorisation partielle implique l'unicité dans le cas de l'existence d'une décomposition en facteurs premiers. D'autre part, dans la plupart des démonstrations en mathématiques classiques qui utilisent le fait qu'un anneau principal est un anneau à factorisation unique, on peut utiliser comme substitut constructif le théorème de factorisation partielle.</footnote>
# VI. Théorie des corps

## Sommaire

<table><tr><td>1</td><td>Extensions entières et anneaux impotents</td><td><b>139</b></td></tr><tr><td></td><td>Nullstellensatz faible</td><td>142</td></tr><tr><td>2</td><td>Indépendance algébrique et bases de transcendance</td><td><b>144</b></td></tr><tr><td></td><td>Bases de transcendance</td><td>146</td></tr><tr><td></td><td>Théorème de Lüroth</td><td>147</td></tr><tr><td>3</td><td>Corps de décomposition et clôtures algébriques</td><td><b>150</b></td></tr><tr><td>4</td><td>Séparabilité et diagonalisabilité</td><td><b>153</b></td></tr><tr><td>5</td><td>Éléments primitifs</td><td><b>157</b></td></tr><tr><td>6</td><td>Séparabilité et caractéristique p</td><td><b>159</b></td></tr><tr><td>7</td><td>Corps parfaits</td><td><b>163</b></td></tr><tr><td>8</td><td>Théorie de Galois</td><td><b>166</b></td></tr><tr><td>9</td><td>Notes</td><td><b>173</b></td></tr></table>

## 1 Extensions entières et anneaux impotents

Soit $R$ un sous-anneau d'un anneau commutatif $E$. Un élément de $E$ est dit **entier** sur $R$ s'il annule un polynôme unitaire de $R[X]$. La **clôture intégrale de $R$ dans $E$** est l'ensemble des éléments de $E$ qui sont entiers sur $R$. Si tout élément de $E$ est entier sur $R$, nous disons que $E$ est une **extension entière** de $R$ ou simplement qu'il est **entier sur $R$**. Si $R$ est égal à la clôture intégrale de $R$ dans $E$, nous disons que $R$ est **intégralement clos dans $E$**. Si $R$ est un corps, le mot **entier** dans les définitions précédentes peut être remplacé par le mot **algébrique**. Nous allons montrer que la clôture intégrale de $R$ dans $E$ est un sous-anneau de $E$. Nous établissons tout d'abord un lemme.

**Lemme 1.1.** Soient $R \subseteq E$ des anneaux commutatifs. Si $\alpha \in E$ annule un polynôme unitaire $f$ de degré $n$ sur $R$, alors l'anneau $R[\alpha]$ est engendré par $1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$ comme $R$-module.
*Démonstration.* Si $\beta \in R[\alpha]$, on a $\beta = g(\alpha)$ pour un $g \in R[X]$. D'après l'algorithmme de division (théorème II.5.2), on a des polynômes $q$ et $r \in R[X]$ tels que $\deg r \le n-1$ et $g = qf + r$. Alors $\beta = g(\alpha) = r(\alpha)$ est une combinaison R-linéaire de $1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$. $\blacksquare$

Rappelons que l’on dit qu’un R-module $M$ est **fidèle** lorsque $rM = 0$ implique $r = 0$.

**Théorème 1.2.** Soient $E$ un anneau commutatif, $R$ un sous-anneau de $E$, $n \in \mathbb{N}^*$ et $\alpha \in E$. Les propriétés suivantes sont équivalentes.

(i) $\alpha$ annule un polynôme unitaire de degré $n$ sur $R$.

(ii) $R[\alpha]$ est engendré par $n$ éléments comme $R$-module.

(iii) Il existe un sous-$R$-module fidèle $M$ de $E$, engendré par $n$ éléments, tel que $\alpha M \subseteq M$.

*Démonstration.* Supposons (i), alors $R[\alpha]$ est engendré par $1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$. Supposons (ii), alors $M = R[\alpha]$ vérifie (iii). Supposons que (iii) est vérifié et que $m_1, \dots, m_n$ engendrent $M$. Écrivons $\alpha m_j = \sum r_{ij} m_i$ avec des $r_{ij} \in R$. Soit $f$ le polynôme caractéristique de la matrice $\{r_{ij}\}$. Alors $f(\alpha)m_j = 0$ pour chaque $j$ d'après le lemme II.7.6, donc $f(\alpha) = 0$ parce que $M$ est fidèle. $\blacksquare$

**Corolaire 1.3.** Si $\beta$ annule un polynôme unitaire de degré $n$ sur $R$ et si $\alpha \in R[\beta]$, alors $\alpha$ annule un polynôme unitaire de degré $n$ sur $R$.

*Démonstration.* Appliquer le théorème 1.2 avec $M = R[\beta]$. $\blacksquare$

**Corolaire 1.4.** Si $\alpha$ est entier sur $R$ et si $\beta$ est entier sur $R[\alpha]$, alors $R[\alpha, \beta]$ est entier sur $R$. Donc les éléments de $E$ entiers sur $R$ forment un sous-anneau de $E$.

*Démonstration.* D'après le théorème 1.2, $R[\alpha]$ est un $R$-module de type fini, et $R[\alpha, \beta]$ est un $R[\alpha]$-module de type fini. D'après le théorème II.4.3, $R[\alpha, \beta]$ est un $R$-module (fidèle) de type fini, donc le théorème 1.2 dit que $R[\alpha, \beta]$ est entier sur $R$. $\blacksquare$

**Corolaire 1.5.** Soient $R \subseteq E \subseteq F$ des anneaux commutatifs avec $E$ entier sur $R$. Alors tout élément de $F$ entier sur $E$ est entier sur $R$. Si $E$ est une extension de type fini de $R$, alors $E$ est un $R$-module de type fini.

*Démonstration.* Démontrons d'abord le second point. Soit $E = R[a_1, \dots, a_n]$. Alors $R[a_1]$ est un $R$-module de type fini d'après le lemme 1.1, et $E$ est un $R[a_1]$-module de type fini par récurrence sur $n$. Donc $E$ est un $R$-module de type fini d'après le théorème II.4.3. Pour démontrer le premier point, nous pouvons supposer que $E$ est de type fini. Si $\alpha \in F$ est entier sur $E$, il y a un sous-$E$-module fidèle de type fini $M$ de $F$ tel que $\alpha M \subseteq M$. Mais $M$ est un $R$-module de type fini d'après le théorème II.4.3, donc $\alpha$ est entier sur $R$. $\blacksquare$
Le corolaire 1.5 montre que la clôture intégrale de $R$ dans $E$ est intégralement close dans $E$. Un anneau intègre discret est dit **intégralement clos** s'il est intégralement clos dans son corps de fractions.

**Théorème 1.6.** *Tout anneau intègre à pgcd est intégralement clos.*

*Démonstration.* Tout élément du corps de fractions de $R$ peut être écrit sous la forme $u/v$ avec $u$ et $v$ premiers entre eux dans $R$. Soit $f(X) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X + a_0$ un polynôme unitaire de $R[X]$ tel que $f(u/v) = 0$. Alors $v^n f(u/v) = 0$ donc $v|u^n$. Comme $u$ et $v$ sont premiers entre eux, $v$ divise $u$, i.e. $u/v \in R$. ■

Rappelons qu’un anneau commutatif $E$ est impotent si

(i) $a^n = 0$ avec $n > 0$ implique $a = 0$, et

(ii) $a^2 = a$ implique $a = 0$ ou $a = 1$.

La condition (i), qui est équivalente à « $a^2 = 0$ implique $a = 0$», dit que l'anneau $E$ est réduit. La condition (ii) dit que les seuls éléments idempotents de $E$ sont 0 et 1. Tout corps de Heyting est un anneau impotent. Nous allons montrer que si $E$ est une extension impotente d'un corps discret $k$, alors les éléments de $E$ algébriques sur $k$ forment un corps discret. Comme les nombres complexes forment un corps de Heyting, cela implique que les nombres algébriques forment un corps discret.

**Lemme 1.7.** *Soient $a$ et $b$ des éléments d'un anneau impotent tels que $a+b=1$ et $ab=0$. Ou bien $a=0$ et $b=1$, ou bien $a=1$ et $b=0$.*

*Démonstration.* Multiplions l'équation $a+b=1$ par $b$; vu l'égalité $ab=0$, nous avons $b^2=b$. Comme l'anneau est impotent, cela donne $b=0$ ou $b=1$. ■

**Lemme 1.8.** *Soient $E$ un anneau impotent, $k$ un sous-anneau de $E$ et $\alpha \in E$. Si $f, g \in k[X]$ sont étrangers et si $f(\alpha)g(\alpha) = 0$, alors $f(\alpha)$ ou $g(\alpha)$ est inversible, donc ou bien $g(\alpha) = 0$ ou bien $f(\alpha) = 0$.*

*Démonstration.* Comme $f$ et $g$ sont étrangers, on a $s, t \in k[X]$ tels que $s(\alpha)f(\alpha) + t(\alpha)g(\alpha) = 1$. D'après le lemme 1.7 on a $s(\alpha)f(\alpha) = 1$ ou $t(\alpha)g(\alpha) = 1$. Par suite $f(\alpha)$ ou $g(\alpha)$ est inversible, et l'autre est nul. ■

**Théorème 1.9.** *Soient $E$ un anneau impotent et $k$ un sous-corps discret de $E$. Si $\alpha \in E$ est algébrique sur $k$, $k[\alpha]$ est un corps discret. Par suite l'ensemble des éléments de $E$ algébriques sur $k$ est un corps discret.*

*Démonstration.* Soit $\gamma \in k[\alpha]$. Nous pouvons supposer que $k[\alpha] = E$, et nous allons montrer que $\gamma$ est inversible ou nul. D'après le corolaire 1.4, $\gamma$ est algébrique sur $k$. On a donc un polynôme unitaire $g \in k[X]$ tel que $g(\gamma) = 0$. Écrivons $g(X) = X^m h(X)$ avec $h(0) \neq 0$. D'après le lemme 1.8, ou bien $\gamma^m$ est inversible, et donc $\gamma$ est inversible, ou bien $\gamma^m = 0$, et $\gamma = 0$ parce que $E$ est impotent. ■
**Corolaire 1.10.** Soient $k \subseteq K = k(x_1, \dots, x_n)$ des corps discrets. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes.

(i) $K$ est algébrique sur $k$,

(ii) $x_1, \dots, x_n$ sont algébriques sur $k$,

(iii) $K$ est un espace vectoriel de type fini sur $k$.

Dans ce cas on a

(iv) $K = k[x_1, \dots, x_n]$.

**Démonstration.** Clairement (i) implique (ii).

Supposons (ii). Pour démontrer (iii), il suffit de démontrer que $k(x_1, \dots, x_i)$ est un espace vectoriel de type fini sur $k(x_1, \dots, x_{i-1})$ pour chaque $i$. Comme $x_i$ est algébrique sur $k$, il est entier sur $k(x_1, \dots, x_{i-1})$ ; le résultat découle alors du théorème 1.2.

Le théorème 1.2 montre que (i) découle de (iii). Enfin supposons (i). Alors $k[x_1, \dots, x_n]$ est un corps d'après le théorème 1.9, donc (iv) est vérifié. ■

En fait, lorsque la condition (iv) du corolaire 1.10 est vérifiée, il en va de même pour les autres conditions ; ce résultat est parfois appelé le **Nullstellensatz faible**. Nous démontrons un résultat un peu plus fort.

**Théorème 1.11.** Soient $R \subseteq S = R[x_1, \dots, x_n]$ des anneaux commutatifs discrets avec unités détachables. Alors $S$ est entier sur $R$, ou $S$ contient un élément non nul non inversible, ou $R$ contient un élément non nul non inversible.

**Démonstration.** Il suffit de démontrer que pour chaque $i$, $x_i$ est entier sur $R$, ou $S$ contient un élément non nul non inversible, ou $R$ contient un élément non nul non inversible. Notons

$$R(x_i) = \{ fg^{-1} : f, g \in R[x_i] \text{ et } g \text{ est inversible dans } S \}.$$

Alors l'anneau $R(x_i)$ a ses unités détachables, donc par récurrence sur $n$ nous pouvons supposer que $S$ est entier sur $R(x_i)$. En prenant une puissance du produit des dénominateurs qui apparaissent dans les coefficients des polynômes unitaires annulés par les $x_j$ sur $R(x_i)$, nous construisons un polynôme $\beta \in R[X]$ tel que $\beta(x_i)$ est inversible dans $S$ et $\beta(x_i)x_j$ est entier sur $R[x_i]$ pour chaque $j$. Nous pouvons supposer que $\beta$ est unitaire, ou alors que son coefficient dominant est non nul non inversible dans $R$. Nous pouvons supposer que $x_i$ est inversible dans $S$ et, en multipliant par $X$ si nécessaire, nous pouvons supposer que $\beta$ est non constant. Tout élément de $S$ peut être multiplié par une puissance de $\beta(x_i)$ pour en faire un élément entier sur $R[x_i]$. En particulier, ou bien $1 - \beta(x_i) = 0$, auquel cas $x_i$ est entier sur $R$, ou bien $1 - \beta(x_i)$ est un élément non nul non inversible de $S$, ou bien il existe un $m$ tel que l'élément $\alpha(x_i) = \beta(x_i)^m(1 - \beta(x_i))^{-1}$ est entier sur $R[x_i]$, et donc est une racine
d'un polynôme unitaire $f(X) \in R[x_i][X]$. En multipliant $f(\alpha(x_i)) = 0$ par $(1 - \beta(x_i))^d$, où $d$ est le degré de $f$, nous obtenons

$$ \beta(x_i)^{md} = g(x_i)(1 - \beta(x_i)). $$

Comme $\beta(X)^{md}$ et $1 - \beta(X)$ sont étrangers dans $R[X]$, on a $(1 - \beta(x_i))h(x_i) = 1$ pour un $h \in R[X]$, et donc $x_i$ annule le polynôme $(1 - \beta(X))h(X) - 1$. Ou bien le coefficient dominant de ce polynôme est un élément non nul non inversible de $R$, ou bien $x_i$ est entier sur $R$. ■

Voici maintenant la forme la plus familière du Nullstellensatz faible.

**Corolaire 1.12.** Soient $k \subseteq K = k[x_1, \dots, x_n]$ des corps discrets. Alors $K$ est algébrique sur $k$.

**Démonstration.** Les corps discrets $K$ et $k$ n'ont pas d'éléments non nuls non inversibles, donc $K$ est algébrique sur $k$ d'après le théorème 1.11. ■

Si $E$ est un anneau commutatif qui contient un corps discret $k$ et qui est de dimension finie sur $k$, tout $\alpha \in E$ est entier sur $k$ d'après le théorème 1.2. Donc $k[\alpha]$ est un espace vectoriel de type fini sur $k$ parce qu'il est engendré par $1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$ pour un certain $n > 0$. Comme nous pouvons décider si les éléments $1, \alpha, \dots, \alpha^m$ sont linéairement indépendants ou pas, nous pouvons construire un polynôme unitaire $f \in k[X]$ de degré minimum tel que $f(\alpha) = 0$. Si $g(\alpha) = 0$ pour un $g \in k[X]$, alors $f$ divise $g$. En effet, le reste $r$ de la division de $g$ par $f$ est nul parce qu'il vérifie $r(\alpha) = 0$ et $\deg(r) < \deg(f)$. Ainsi $k[\alpha] \simeq k[X]/(f(X))$. Le polynôme $f$ est appelé le **polynôme minimal** de $\alpha$ sur $k$.

En particulier, lorsqu'un anneau $k[\alpha]$ est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps discret $k$, l'élément $\alpha$ possède un polynôme minimal $f$ et $k[\alpha] \simeq k[X]/(f(X))$.

Si $E$ est impotent, le théorème 1.13 montre que $f$ est irréductible.

**Théorème 1.13.** Soient $E$ un anneau commutatif, $k$ un sous-corps discret de $E$ et $\alpha \in E$. Si $\alpha$ annule un polynôme $f$ irréductible sur $k$, alors $k[\alpha]$ est un $k$-espace vectoriel de dimension finie et $f$ est le polynôme minimal de $\alpha$ sur $k$. Si $E$ est impotent et si $k[\alpha]$ est contenu dans un sous-$k$-espace vectoriel de dimension finie de $E$, alors $\alpha$ annule un polynôme irréductible sur $k$.

**Démonstration.** Si $\alpha$ annule un polynôme irréductible de degré $n$ sur $k$, alors $1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$ est une base de $k[\alpha]$ sur $k$. Inversement, supposons que $E$ est impotent et que $V$ est un sous-$k$-espace vectoriel de dimension finie de $E$ qui contient $k[\alpha]$. Alors le théorème 1.2 nous dit que $\alpha$ est entier sur $k$ et que $k[\alpha]$ est un $k$-espace vectoriel de type fini, donc $k[\alpha]$ est de dimension finie d'après le corolaire II.6.3. Soit alors $f$ le polynôme minimal de $\alpha$ sur $k$. Montrons qu'il est irréductible. Notons que d'après le théorème 1.9, l'anneau $k[\alpha]$ est un corps discret. Donc, si $f = gh$, ou bien $g(\alpha) = 0$, ou bien $h(\alpha) = 0$. Mais $g(\alpha) = 0$ implique que $g$ est un multiple de $f$. Ainsi $f$ est irréductible. ■
Exercices

1. Soient $R \subseteq E$ des anneaux commutatifs avec $E$ entier sur $R$ et soit $I$ un idéal de $R$. Montrer que si $\alpha \in IE$, alors il existe des éléments $r_i \in I^i$ tels que $\alpha^n + r_1\alpha^{n-1} + \dots + r_n = 0$. En déduire que $R \cap IE \subseteq \sqrt{I}^1$.

2. Soit $K$ une extension finie de $\mathbb{Q}$. Montrer qu'un élément de $K$ est entier sur $\mathbb{Z}$ si, et seulement si, son polynôme minimal sur $\mathbb{Q}$ a tous ses coefficients dans $\mathbb{Z}$. Montrer que la clôture intégrale de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Q}(i)$ est $\mathbb{Z}[i]$ (l'anneau des entiers de Gauss est la clôture intégrale de $\mathbb{Z}$ dans le corps des nombres de Gauss).

3. Dans un anneau arbitraire, montrer que si $a = 0$ chaque fois que $a^2 = 0$, alors $a = 0$ chaque fois que $a^n = 0$ pour un $n > 0$.

4. Montrer que les corps de Heyting et les corps par négation sont des anneaux impotents.

5. Soient $k$ l'anneau des entiers modulo $2$, $E = k[X]/(X^2)$ et $F = k[X]/(X^2 - X)$. Montrer que $E$ et $F$ sont algébriques sur $k$, mais que ce ne sont pas des corps. Pourquoi le théorème 1.9 ne s'applique-t-il pas ?

6. Soit $k$ un sous-corps discret d'un anneau commutatif $E$. Si $\alpha \in E$ annule un polynôme irréductible sur $k$ de degré $n$, montrer que $1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$ est une base de $k[\alpha]$ sur $k$.

7. Notons $\mathbb{Z}_{(2)}$ l'anneau des entiers localisé en 2. Utiliser l'inclusion $\mathbb{Z}_{(2)} \subseteq \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_{(2)}[1/2]$ pour montrer que la condition «ou bien $R$ contient un élément non nul non inversible» ne peut pas être omise dans la conclusion du Nullstellensatz faible. Utiliser la même inclusion pour construire un exemple brouwerien où le Nullstellensatz faible est en défaut parce que $R$ n'a pas ses unités détachables.

## 2 Indépendance algébrique et bases de transcendance

Soient $k \subseteq K$ des anneaux commutatifs. Les éléments $x_1, \dots, x_n$ de $K$ sont dits **algébriquement indépendants** sur $k$ si pour tout $f \in k[X_1, \dots, X_n]$, $f(x_1, \dots, x_n) = 0$ implique $f = 0$. Si $k$ est discret, les éléments $x_1, \dots, x_n$ sont dits **algébriquement dépendants** sur $k$ s'il existe un $f$ non nul dans $k[X_1, \dots, X_n]$ tel que $f(x_1, \dots, x_n) = 0$; dans ce cas, $x_1, \dots, x_n$ sont algébriquement indépendants si, et seulement si, ils ne sont pas algébriquement dépendants.

Si $K$ est discret et si $S$ est un sous-ensemble fini de $K$, alors nous disons que l'ensemble $S$ est **algébriquement dépendant**, ou **algébriquement indépendant** si ses éléments (ordonnés d'une manière ou d'une autre) le sont.

<footnote n="1">1. **NdT.** Ce résultat est une version constructive du théorème «lying over» pour les extensions entières en mathématiques classiques.</footnote>