Le but de ce chapitre est de donner un aperçu des caractéristiques fondamentales d'un plasma. Les plasmas présentent en effet un certain nombre de propriétés qui leur sont propres et qui ont des incidences importantes sur les ondes qui s'y propagent. Il est donc essentiel de connaître ces propriétés générales avant de commencer l'étude de la propagation des ondes.

## Caractères généraux des plasmas

Le terme « plasma » désigne un ensemble de particules neutres et de particules chargées, dont les caractéristiques satisfont à un certain nombre de conditions que nous allons préciser.

Initialement, de tels systèmes ont été obtenus par ionisation d'un gaz, conduisant aux études déjà anciennes des décharges dans les gaz. Néanmoins, on a observé la présence de ces ensembles dans de nombreux corps contenant des particules chargées à l'état libre, principalement les solides et les liquides conducteurs de l'électricité. C'est pour cette raison qu'il ne semble pas souhaitable de présenter l'« état plasma » comme un quatrième état de la matière, qui, chauffée, passe généralement de l'état solide à l'état liquide, puis du liquide au gaz, enfin du gaz au gaz ionisé, lorsque l'agitation thermique des molécules (ou des atomes) du gaz est suffisante pour les ioniser par collision. Nous préciserons plus loin les différences essentielles qui distinguent un « plasma » d'un gaz ionisé obtenu dans une décharge ordinaire.

Comme dans le cas des gaz neutres, pour lesquels la théorie cinétique a connu le succès que l'on sait, le nombre énorme de particules que contient un volume à notre échelle entraîne la nécessité d'utiliser les méthodes de la mécanique statistique : l'étude d'un plasma sera celle des propriétés statistiques d'un système de particules neutres et de particules chargées.
Dans le modèle plasma froid utilisé jusqu'à présent, les charges, à l'équilibre, étaient supposées fixes et la perturbation (c'est-à-dire l'onde) les faisait osciller autour de leur position d'équilibre. Dans les plasmas chauds, au contraire, il existe à l'équilibre, du fait de l'agitation thermique, des mouvements des particules en l'absence de perturbation. Chaque élément de volume du plasma contient alors des particules de vitesses très différentes; mais, parmi elles, toutes ne jouent pas le même rôle : lorsqu'une onde se propage dans le plasma, certaines particules se déplacent en phase avec elle (à la même vitesse et dans la même direction); ces particules, dites résonnantes, peuvent interagir très fortement avec l'onde et conduire à des phénomènes nouveaux qui n'apparaissent pas dans la théorie des plasmas froids (nous avons rencontré, cependant, un tel mécanisme résonnant, lors de l'étude des résonances gyromagnétiques : dans ce cas, la particule tournait, sur son orbite fixée dans un plan perpendiculaire à B₀, en phase, avec le champ dans ce plan, variant en e⁻iω₀t).

Deux situations physiques très différentes, se présentent alors :

Dans un premier cas, il y a très peu de particules résonnantes (la distribution des vitesses f₀(w) à l'équilibre est telle que $f_0(\frac{\omega}{k}) \ll 1$) : on peut alors, en première approximation, en négliger l'effet; on retrouvera les résultats des plasmas froids, avec de petites corrections, dues aux effets de température.

Dans le deuxième cas, il y a beaucoup de particules résonnantes [la vitesse de phase ω/k de l'onde est de l'ordre de grandeur de la vitesse thermique a = (2KT/m)½] : l'onde interagira très fortement avec le milieu, et la perturbation qu'elle apportera à ce groupe de particules sortira rapidement de la description linéaire. Ainsi, le problème des particules piégées dans les creux de potentiel de l'onde, donc entraînées par elle, exigera un traitement non linéaire (Cf. chap. 7 et 8).

Pour la première situation physique envisagée nous adopterons, dans ce chapitre, une description d'ensemble, où chaque espèce de particules sera considérée
# 1. Relation entre D et E. Propriétés générales de la constante diélectrique

La relation $D = \varepsilon_0 E + P$ (Cf. 2.2.13), pour les champs statiques, va s'écrire pour des champs variables

$$ (A-1.1) \qquad D(t) = \varepsilon_0 E(t) + P(t) $$

où le premier terme représente l'induction dans le vide, qui suit évidemment le champ $E(t)$; la polarisation $P(t)$, au contraire, va suivre le champ $E(t)$ avec un certain retard (et persistera pendant un certain temps après coupure de l'excitation E), dû aux effets de l'inertie des charges.

D'après le principe de superposition, le champ $E(t)$ aura la même action qu'un ensemble d'impulsion infiniment courtes.

Pour l'impulsion, de largeur $dt$, « allumée » en $t = 0$, la réponse, proportionnelle à $dt$, pourra s'écrire, pour $t > 0$

$$ P(t) = \varepsilon_0 E(0) \Phi(t) dt, \quad t > 0 $$

où $\Phi(t)$ est une certaine fonction décroissante de $t$, telle que, d'une part,

$$ \Phi(t) = 0 \quad \text{pour } t < 0, \text{ et d'autre part, } \Phi(t) \to 0 \quad \text{pour } t \to +\infty $$

avec un temps caractéristique $T$ (par ex. $\Phi(t) \sim e^{-t/\tau}$). Pour l'impulsion allumée en $t = \tau$, on aura

$$ (A-1.2) \qquad P(t) = \varepsilon_0 E(\tau) \Phi(t - \tau) d\tau, \quad t > \tau. $$

En superposant toutes les impulsions, de 0 à $t$, on aura donc

$$ (A-1.3) \qquad P(t) = \varepsilon_0 \int_{0}^{t} E(\tau) \Phi(t - \tau) d\tau $$
# 1. Ouvrages généraux

a. *Exposés élémentaires* (dans le cadre d'une introduction à la physique des plasmas).

CHANDRASEKHAR, S. (1960). *Plasma Physics*, Chap. VI. Notes de cours par Sk. TREHAN.

SPITZER, L. (1956). *Physics of Fully Ionized Gases*, Chap. III. Interscience Publish. New York [2d éd. 1962].

b. *Exposés généraux et systématiques*

ALLIS, W. P., BUCHSBAUM, S. J. et BERS, A. (1963). *Waves in Anisotropic Plasmas*. M.I.T. Press [le troisième des auteurs y traite de la propagation dans les magnétoplasmas limités].

DENISSE, J.-F. et DELCROIX, J.-L. (1961). *Théorie des ondes dans les plasmas*. Dunod, Paris [exposé systématique de la théorie adiabatique à pression scalaire limité essentiellement aux propagations parallèle et perpendiculaire au champ magnétique].

STIX, T. H. (1962). *Theory of Plasma Waves*. Monographs in Advanced Physics, McGraw-Hill, New York [ouvrage plus particulièrement consacré à la propagation dans les magnétoplasmas chauds, et aux instabilités].

c. *Exposés centrés sur la propagation dans l'ionosphère*

BUDDEN, K. G. (1961). *Radio Waves in the Ionosphere*. Cambridge Univ. Press, Cambridge.

GINZBURG, V. L. (1960). *Propagation of Electromagnetic Waves in Plasma*. Trad. SYKES et TAYLER, Pergamon Press, Oxford (1964).

KELSO, J. M. (1964). *Radio Ray Propagation in the Ionosphere*. Mc Graw-Hill, New York.

RATCLIFFE, J. A. (1959). *The Magneto-Ionic Theory and Its Application to the Ionosphere*. Cambridge Univ. Press, Cambridge.
Au chapitre 1, nous avons donné un très bref aperçu des phénomènes de collisions binaires. Sans traiter les problèmes fondamentaux posés par les chocs entre particules chargées qui ont été largement développés (Cf. par ex. Spitzer, 1956), nous nous proposons dans ce chapitre d'examiner les principaux effets des collisions sur les caractéristiques de la propagation, en particulier sur les courbes de dispersion.

Ces effets ont été généralement négligés jusqu'à présent, souvent pour des raisons de simplicité; cela était assez bien justifié dans le cas des très hautes fréquences $\omega \gtrsim \omega_p$, puisque nous avons toujours supposé $v \ll \omega_p$ comme une des conditions d'existence d'un plasma. D'une part dans le cas des modes de basse fréquence, qui mettent en jeu les ions, en particulier pour les ondes magnéto-hydrodynamiques, et d'autre part chaque fois qu'on a affaire à un gaz faiblement ionisé, cette hypothèse n'est plus correcte : on peut avoir alors $\omega \lesssim v \ll \omega_p$. Cette situation se rencontre dans l'ionosphère, par exemple.

Nous allons passer en revue les modèles utilisés pour tenir compte des collisions. Puis, nous définirons la fréquence effective de collision $v_{eff}$, et nous donnerons les principales modifications des courbes de dispersion, en particulier pour la propagation dans l'ionosphère.

## 10.1. Généralités — Modèles pour les plasmas collisionnels

Du point de vue de la propagation des ondes, l'effet essentiel des collisions est d'introduire une dissipation d'énergie : les chocs consomment en effet de l'énergie; celle-ci est transférée du mouvement organisé des électrons vers, par exemple, les molécules neutres pour un plasma faiblement ionisé, vers les ions pour un plasma complètement ionisé.
Au chapitre 5, nous avons étudié les échanges d'énergie dans les plasmas froids, en utilisant pour le milieu la description « charges dans le vide »; cette description nous a permis, en utilisant un modèle très simple pour tenir compte des collisions, d'interpréter les équations de bilan d'énergie dans le cas où le milieu est faiblement dissipatif. Nous aurions pu aussi bien choisir la description diélectrique, méthode plus générale, mais d'interprétation physique plus difficile.

Dans le cas des plasmas chauds, nous avons vu aux deux précédents chapitres qu'il existe des mécanismes de pertes d'énergie, même en l'absence de collision. C'est pourquoi, la description « charges dans le vide » ne permettant plus des interprétations simples, nous allons utiliser maintenant la description diélectrique; cette dernière s'applique évidemment aux plasmas froids, ce qui nous permettra de préciser certains aspects rencontrés au chapitre 5.

Nous allons tout d'abord relier la puissance moyenne dissipée dans le milieu, $P = \frac{\delta W_D}{\delta t}$, aux propriétés diélectriques de ce dernier. Puis nous établirons le théorème de Poynting pour une onde réelle et une onde complexe. Nous montrerons que dans le cas d'un milieu spatialement dispersif, un flux d'énergie vient s'ajouter au vecteur de Poynting, et correspond à de l'énergie mécanique transportée par les particules : ainsi par exemple un flux d'énergie acoustique sera associé à l'onde pseudosonore.

## 9.1. Puissance dissipée dans le milieu

Dans l'équation (5.2.9), établie au chapitre 5

$$ \nabla \cdot \bar{S} + \frac{\partial}{\partial t} \bar{W}_{EM} = -\frac{1}{4} (J^* \cdot E + J \cdot E^*) e^{-2\gamma t} $$
# Ondes dans les plasmas

Daniel Quemada

► To cite this version:

Daniel Quemada. Ondes dans les plasmas. DEA. Ed. Hermann, Paris"déposé avec l'aimable autorisation de l'éditeur, en date du 20 oct 2008", France. 1968, pp.382. cel-00339201

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## dans les magnétoplasmas froids, homogènes et limités

Les plasmas de laboratoire et, souvent, ceux rencontrés dans la nature, sont nécessairement limités; nous allons voir que cela entraîne de profondes modifications des résultats obtenus au chapitre précédent.

La description diélectrique nous a permis de caractériser les modes propres pouvant exister dans un plasma homogène. Dans cette description, qui repose essentiellement sur l'hypothèse $λ_{D_e} ≪ L$ ($λ_{D_e}$ étant la longueur de Debye électronique et L une dimension caractéristique du système), les effets d'éventuelles parois, limitant le plasma, sont négligeables devant les interactions binaires entre particules; en particulier, on pourra laisser de côté les chocs sur ces parois pour étudier les phénomènes ayant lieu au sein du plasma. Néanmoins, sur ces parois, les champs doivent satisfaire à certaines conditions aux limites, et, à travers les interactions collectives, la structure des modes propres, même loin des parois, sera changée. Aussi, même lorsque les longueurs d'onde $λ$ considérées sont telles que $λ ≪ L$, — on aurait pu alors espérer pouvoir appliquer, loin des limites, au sein du plasma, les résultats obtenus pour le plasma de dimensions infinies — on doit recommencer l'étude de la propagation, compte tenu des conditions aux limites.

Par ailleurs, la présence de limites modifie les propriétés de l'équilibre, le plasma devenant inhomogène et s'écartant de la neutralité électrique (Cf. chap. 1). On observe alors des couplages de modes, des instabilités,... que nous n'aborderons pas ici. Lorsque ces inhomogénéités à l'intérieur du plasma sont assez faibles, c'est-à-dire lorsque $\frac{\nabla n_0}{n_0} ≪ L^{-1}$ et qu'elles sont principalement localisées au voisinage des parois (sur des distances $\lesssim λ_{D_e}$), on peut, en première approximation, étudier le problème de la propagation en considérant le plasma comme un diélectrique homogène limité, de la même manière qu'on traite la propagation dans les guides d'ondes, partiellement ou complètement emplis de diélectrique solide.
Errata & compléments - ONDES DANS LES PLASMAS

00000000

Page 25 : Fig.1.1 : Remplacer las valeurs $\lambda_D = 10^n$ m par $\lambda_D = 3.10^{n-1}$ m

Page 28 : avant dernière équation : $m_e \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} + \frac{q_e^2 n_e}{\varepsilon_0} \xi = 0$

Page 38 : après l'éq. (1.7.1) : $a = (2KT/m)^{1/2}$

avant dernière équation : $n = n(r, t) = ...$

Page 44 : ...vecteur **k**. Précisons que les **choix de l'origine des coordonnées et de celle du...**

Page 45 : à la fin du 1er paragraphe : ...un facteur $e^{iA}$. (Cela reviendra à changer l'« étiquette » $\Phi_0$ du plan d'onde)

Page 46 : 7ème ligne : ...membre (c'est-à-dire une combinaison linéaire de modes propres)après l'éq. (2.1.5) : avec $k_1$ et $k_2$ réels afin que $g_1$ le soit aussi, puisque l'équation différentielle est à coefficients réels.

Page 51 : 3 lignes avant le titre du §.2.2.2.5 : ...différents : on a alors en plus une diffusion...

1ère éq.(2.2.34) : $N_1^2 - N_2^2 = \varepsilon_1 / \varepsilon_0$

Page 72 : éqs. (3.3.3) : $|\vec{\omega}_{be}| = \omega_b = ... \text{ et } |\vec{\omega}_{bi}| = \Omega_b = ...$

Page 84 : note 2 : ...où $\mathbf{B}_0$ et $\mathbf{k}$ sont de sens inverses

Page 87 : éq.(3.5.11) : $A = \frac{\omega_0^2}{\omega_b^2 \Omega_b}$

Page 95 : début §.3.5.4.2 : $N^2 = \frac{\kappa_1^2 - \kappa_2^2}{\kappa_1}$

Page 96 : éq.(3.5.20) : $N_X^2 = 1 - \frac{\omega_0^2 (\omega^2 - \omega_0^2 - \omega_b^2 \Omega_b)}{(\omega^2 - \omega_b^2)(\omega^2 - \Omega_b^2) - \omega_0^2 (\omega^2 - \omega_b^2 \Omega_b)}$

éq.(3.5.21) : $N_X^2 = 1 - \frac{(\omega^2 - \omega_0^2 - \omega_b^2 \Omega_b)^2 - (\omega_b^2 - \Omega_b^2)^2 \omega^2}{(\omega^2 - \omega_b^2)(\omega^2 - \Omega_b^2) - \omega_0^2 (\omega^2 - \omega_b^2 \Omega_b)}$

Page 109 : 1ère éq. : $[y+m(x-1)]^2 - (m-1)^2 y = 0$

Page 112 : correction au diagramme CMA

Page 127 : fig.3.42 : inverser les dénominations "torsionnel" et "compressionnel"
# Transferts d'énergie

V

dans les magnétoplasmas froids homogènes.

Rayonnement d'une source.

Rayons dans les plasmas faiblement inhomogènes

Nous avons défini, au chapitre 3, les modes propres qui peuvent exister dans un magnétoplasma froid, homogène, illimité. Ces modes transportent en général de l'énergie, et c'est l'étude des caractéristiques de ces transferts d'énergie qui va être traitée dans ce chapitre.

Trois types de problèmes se posent, qui correspondent à trois préoccupations fondamentales :

a) connaître les propriétés énergétiques intrinsèques du milieu et la vitesse de propagation de l'énergie (qui apparaîtra comme la vitesse de groupe);

b) créer les modes propres considérés à l'aide de sources intérieures ou extérieures au plasma;

c) transporter de l'énergie sur un mode donné, et en particulier faire parvenir l'énergie de ce mode en un point donné : c'est la notion d'accessibilité définie par Stix (1962).

Ces trois problèmes seront traités successivement. Tout d'abord, nous dégagerons les relations entre les densités et les flux d'énergie, définis localement dans le milieu, la notion de vitesse de groupe et le rôle des pertes dans le milieu. Puis le rayonnement d'une source ponctuelle et le passage de ce rayonnement à travers une surface plane vide-plasma seront traités lorsque la source est soit dans le vide, soit dans le plasma; en particulier, de première importance en physique spatiale, le problème des antennes sera abordé. Enfin, nous étudierons la propagation de l'énergie; on sait que dans un milieu anisotrope comme un cristal, cette propagation ne se fait pas suivant le vecteur d'onde, mais suivant des trajectoires qu'on appelle les *rayons*: dans un plasma faiblement inhomogène, comme l'ionosphère, nous préciserons les méthodes qui permettent le tracé des rayons, et nous aborderons le problème de l'accessibilité.
des ondes dans les plasmas chauds homogènes.
Théorie microscopique des oscillations longitudinales
en l'absence de champ magnétique extérieur

Lorsqu'on veut tenir compte des effets de particules résonnantes, on ne peut plus se contenter d'un modèle fluide, d'où ces particules sont exclues. En particulier, pour les ondes de vitesse de phase voisine de la vitesse d'agitation thermique, on doit s'attendre, nous l'avons vu, à une description adiabatique incorrecte. Il est alors nécessaire de revenir soit au modèle multifaisceaux, soit au modèle microscopique, décrit par les fonctions de distribution $f_s$, obéissant à l'équation de Vlasov (1.7.3).

Dans ce chapitre, nous nous intéresserons plus spécialement aux oscillations longitudinales d'un plasma. Ce problème sera envisagé suivant ces deux points de vue, et les différents résultats seront discutés.

## 7.1. Tenseur de conductivité d'un plasma isotrope. Cas de l'équilibre maxwellien

Linéarisons l'équation de Vlasov, autour d'un équilibre homogène, isotrope et neutre, et effectuons la transformation de Fourier sur $\mathbf{r}$ et $t$: cela revient à poser (en omettant l'indice $s$)

$$ (7.1.1) \qquad \begin{gathered} f(\mathbf{r}, \mathbf{w}, t) = f_0(\mathbf{w}^2) + f_1(\mathbf{w}) e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}, \quad \text{avec} \quad f_1 \ll f_0 \\ E(\mathbf{r}, t) = 0 + E_1 e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}. \end{gathered} $$

On obtient, au premier ordre par rapport à la perturbation<fnref n="1" />

$$ (7.1.2) \qquad -i (\omega - \mathbf{k} \cdot \mathbf{w}) f_1 + \frac{q}{m} E_1 \cdot \frac{\partial f_0}{\partial \mathbf{w}} = 0 $$

d'où

$$ (7.1.3) \qquad f_1(\mathbf{k}, \omega) = \frac{q}{im} (\omega - \mathbf{k} \cdot \mathbf{w})^{-1} E_1 \cdot \frac{\partial f_0}{\partial \mathbf{w}}. $$

Le tenseur de conductivité $\sigma_s$ associé à la densité de courant $J_s$ transporté par

<footnote n="1">1. Le terme de force dû au champ magnétique de l'onde est $(\mathbf{w} \times \mathbf{B}_t) \cdot (\partial f_0 / \partial \mathbf{w})$; il est nul si $f_0(\mathbf{w})$ est isotrope car alors $(\partial f_0 / \partial \mathbf{w})$ est colinéaire à $\mathbf{w}$ (Cf. 7.1.7).</footnote>
ONDES
DANS
LES PLASMAS

Collection Méthodes
Dans un premier temps, une telle description (nous parlerons alors de description fluide, ou description hydrodynamique) sera effectuée à l'aide de grandeurs moyennes, pour chaque espèce de particules en présence : neutres, électrons et ions. On définira ainsi

les densités : $n_n, n_e, n_i$

les vitesses moyennes : $v_n, v_e, v_i$

les pressions cinétiques : $p_n, p_e, p_i$.

Ces dernières, qui mesurent, pour chaque espèce, l'agitation désordonnée autour de la vitesse moyenne, pourront servir à définir, à travers une loi du type gaz parfait,

les températures cinétiques : $T_n, T_e, T_i$,

cette notion de température n'étant en fait bien définie que dans le cas de l'équilibre thermodynamique<fnref n="1" />.

A partir de ces grandeurs, on définit le taux d'ionisation $r = n_i / (n_n + n_i)$.
Ce paramètre prend des valeurs très différentes, comprises en gros entre $10^{-10}$ et 1, selon le type de système envisagé. Il n'est cependant pas caractéristique, et si la dénomination plasma s'applique bien dans le cas d'un gaz très fortement ionisé ($r \sim 1$), il n'en est pas de même pour les gaz faiblement ionisés ($r \approx 10^{-4}$) où on peut observer, soit les propriétés des plasmas, soit celles des fluides.

## 1.2. Plasmas naturels et plasmas de laboratoire

L'état plasma est très répandu dans la nature : on le rencontre dans les étoiles (en particulier le soleil) qui sont constituées de gaz à très haute température, dans certaines atmosphères de planètes (haute atmosphère terrestre, ionosphère et magnétosphère) où l'ionisation est due à des particules très rapides dont certaines émanent du soleil, dans l'espace interplanétaire et interstellaire. Plus près de nous, on le rencontre dans les flammes, les explosions et les ondes de choc, où l'ionisation se fait par élévation de température; dans les tubes fluorescents, les arcs électriques et en particulier les éclairs atmosphériques, où des champs électriques accélèrent des électrons germes qui, par choc, ionisent les molécules; enfin dans les électrolytes et les solides (métaux et semi-conducteurs).

Au laboratoire, les propriétés des plasmas les font de plus en plus utiliser en électronique et en électrotechnique : par exemple, pour la conversion de la chaleur en énergie électrique (convertisseurs thermo-ioniques) et pour la propulsion ionique. L'application la plus importante, bien qu'encore un peu lointaine, semble-t-il, est, sans conteste, la réalisation de réacteurs à fusion thermonucléaire contrôlée, utilisant des plasmas de Deutérium ou de mélange Deutérium-Tritium; c'est sans nul

<footnote n="1">1. Qui n'est pratiquement atteint que très exceptionnellement dans un plasma. Par exemple, dans un tube fluorescent, on a $T_e \approx 3.10^4$°K et $T_i \approx T_n \approx 300$°K à 400°K. Pour l'étude des ondes, néanmoins, nous nous limiterons généralement à de tels équilibres thermodynamiques.</footnote>
comme un fluide (modèle hydrodynamique), les effets d'agitation thermique apparaissant sous la forme d'un terme de pression; dans le deuxième cas, on devra nécessairement revenir à une description plus fine du plasma qui pourra être obtenue, soit en considérant le plasma comme formé d'un grand nombre de faisceaux (modèle multifaisceaux), soit en adoptant une description statistique, caractérisée par une fonction de distribution des vitesses obéissant à l'équation de Vlasov (1.6.3) (modèle de Vlasov). Ces modèles microscopiques seront étudiés aux chapitres 7 et 8.

## 6.1. La description des plasmas chauds dans l'approximation hydrodynamique

Nous allons considérer chaque ensemble de particules d'une même espèce s comme un fluide. Dans un modèle phénoménologique, on peut écrire une équation de mouvement relative à la vitesse moyenne de ce fluide, les écarts à cette vitesse moyenne (qui représentent justement l'agitation thermique) étant décrits globalement par un terme de pression; lorsque $T = 0$, ce terme de pression disparaît, et on retrouve l'équation du modèle plasma froid.

Pour l'élément de volume de fluide, animé de la vitesse moyenne $v$, la force due à la pression sera $\nabla P$, si la pression est scalaire; plus généralement, $\Psi$ étant le tenseur de pression, elle s'écrira $\nabla \cdot \Psi$, et contiendra à la fois des efforts de pression proprement dite et des efforts tranchants (comme ceux introduits par la viscosité). Si $n$ est la densité des particules du fluide, l'équation du mouvement de l'élément de volume sera

$$ (6.1.1) \qquad nm \frac{dv}{dt} = nq (E + v \times B_0) - \nabla \cdot \Psi. $$

Mais il faudra alors se donner une équation d'état pour le tenseur de pression $\Psi$. De nombreux développements, particulièrement dans le cadre de la magnétohydrodynamique sans collision, ont été donnés aux équations d'état adiabatiques, avec des hypothèses différentes sur la structure du tenseur $\Psi$.

a) L'hypothèse de pression scalaire (appelée aussi approximation MHD)

$$ (6.1.2) \qquad \Psi = \begin{pmatrix} P & 0 & 0 \\ 0 & P & 0 \\ 0 & 0 & P \end{pmatrix} = 1 ; \quad \nabla \cdot \Psi = \nabla P $$

avec une loi adiabatique simple $P \sim n^\gamma$ (Cf. par ex. Denisse et Delcroix, 1961), est satisfaisante, pour $\gamma = 3$, dans le cas des ondes longitudinales de haute fréquence, en l'absence de champ magnétique $B_0$.

b) En présence de $B_0$ et quand il n'y a pas de collision, l'hypothèse de pression scalaire n'est plus valable; on sépare alors, dans $\Psi$, une pression $P_{||}$ dans la direction
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la valeur de P, à l'instant $t$, ne dépendant que des valeurs de l'excitation avant cet instant $t$, donc pour $0 < \tau < t$ (principe de causalité). Avec le changement de variable $\tau' = t - \tau$, (A-1.3) se met sous la forme (en appelant maintenant $\tau$ la variable $\tau'$)

$$ (A-1.4) \qquad P(t) = \epsilon_0 \int_0^t E(t-\tau) \Phi(\tau) d\tau $$

qui conduit à (2.2.42) pour $D(t)$, d'après (A-1.1).

Pour une variation sinusoidale dans le temps, on aura une réponse sinusoidale déphasée, du type (2.2.14), si le champ E a été appliqué pendant un temps suffisamment long devant le temps T de décroissance de $\Phi(t)$ : en première approximation, on peut donc étendre l'intégrale de (A-1.4) jusqu'à $\tau = \infty$ : alors

$$ D(t) = \epsilon_0 E(t) + \epsilon_0 \int_0^\infty E(t-\tau) \Phi(\tau) d\tau. $$

Pour $E(t) = \delta \cos \omega t$, on obtient

$$ (A-1.5) \qquad D(t) = \epsilon_0 \delta \left[ \cos \omega t + \int_0^\infty \cos (t - \tau) \Phi(\tau) d\tau \right] $$

et, en développant le cosinus sous le signe somme, (A-1.5) prend la forme (2.2.14) avec (2.2.15), où

$$ (A-1.6) \qquad \begin{cases} \epsilon_1(\omega) = \epsilon_0 \left[ 1 + \int_0^\infty \cos \omega\tau \Phi(\tau) d\tau \right] \\ \epsilon_2(\omega) = \epsilon_0 \int_0^\infty \sin \omega\tau \Phi(\tau) d\tau \end{cases} $$

relations sur lesquelles on vérifie à nouveau les propriétés de symétrie (2.2.46).

Revenons aux grandeurs complexes : d'après (A-1.6), on a évidemment

$$ (A-1.7) \qquad \epsilon(\omega) = \epsilon_1 + i\epsilon_2 = \epsilon_0 \left[ 1 + \int_0^\infty e^{i\omega\tau} \Phi(\tau) d\tau \right] $$

qui aurait été directement obtenue pour $E(t) = \delta e^{-i\omega t}$. Compte tenu de ce que $\Phi(\tau) = 0$ pour $t < 0$, on a donc
d. Exposé orienté vers la recherche expérimentale

HEALD, M. A. et WHARTON, C. B. (1965). *Plasma diagnostics with microwaves*. J. Wiley & Sons, New York [exposé général des résultats de la propagation et leur utilisation en laboratoire; bibliographie très complète].

## 2. Références spécialisées

AKHIEZER, A. I., FAINBERG, Y. B., SITENKO, A. G., STEPANOV, K., KURILKO, V., GORBATENKO, M. et KIROCHIN, U. (1958). *High Frequency Plasma Oscillations*. Proc. 2d Intern. Conf. Geneva, **31**, 99.

ALEXEFF, I. et NEIDIGH, R. V. (1963). *Observations of Ionic Sound Waves in Plasmas. Their Properties and Applications*. Phys. Rev. **129**, 516.

ALFVEN, H. (1942). *On the Existence of Electromagnetic-Hydrodynamic Waves*, Arkiv. Mat. Astron. Fysik, **29B**, 2.

ALLIS, W. P. (1956). *Motions of Ions and Electrons*. Handbuch der Physik, **21**, 383, S. Flügge, ed., Springer-Verlag, Berlin.

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Il en résulte donc un amortissement des ondes qui se traduit par un indice complexe $N = N_1 + iN_2$. Nous avons donné, au chapitre 2, les relations existant dans le cas isotrope, d'une part entre l'indice de propagation $N_1$ et l'indice d'extinction $N_2$ et, d'autre part, entre les parties réelle $\epsilon_1$ et imaginaire $\epsilon_2$ de la constante diélectrique $\epsilon$ (Cf. (2.2.35)); selon le problème étudié ($\omega$ réelle, $k$ complexe, ou $k$ réel, $\omega$ complexe), on a défini au §2.1 la distance d'atténation $\Lambda = (Imk)^{-1}$, ou le temps d'amortissement $\tau = - (Im\omega)^{-1}$ : ces notions vont évidemment intervenir ici.

Dans la description diélectrique, l'existence de pertes se traduit par un cou- rant de fuite en régime continu, c'est-à-dire par une conductivité de partie réelle non nulle. En régime alternatif, il en est de même et on aura $Re\sigma \neq 0$, c'est-à-dire $Im\epsilon = \epsilon_2 \neq 0$, ce qui donne $N_2 \neq 0$.

Une fois choisi un modèle macroscopique ou microscopique pour décrire le plasma avec collisions, on pourra en principe calculer, comme au chapitre 3, $\sigma$, puis $\epsilon$. En les portant dans les équations de Maxwell, on obtiendra la même équation de dispersion (2.4.9) dont les solutions, complexes, fourniront les deux indices $N_1$ et $N_2$, et soit $\Lambda$, soit $\tau$.

Différentes méthodes, liées au modèle choisi, permettent de déterminer le rôle des collisions. Le calcul de $\sigma$ se faisant à l'aide de l'équation de transfert de la quantité de mouvement, c'est la section efficace attachée à ce processus et, par suite, la fréquence de collision $v_c$ associée (Cf. (1.5.2)) qui devra être précisée.

Dans le modèle plasma froid, on rend compte de l'effet global des collisions par un terme de frottement, proportionnel à la quantité de mouvement — $vmv$ : c'est ce que nous avons déjà fait à plusieurs reprises, notamment au chapitre 3, en établissant l'équation d'Appleton-Hartree. Il reste à relier le coefficient de frottement $v$ à la fréquence de collision $v_c$ : cette relation sera établie au prochain paragraphe.

Pour les plasmas chauds, le point de départ est l'équation de Boltzmann (1.6.2), où le terme $(\frac{\partial f}{\partial t})_{int}$ traduit la variation de la fonction de distribution, due aux interactions. On sépare habituellement cet effet en deux termes : l'un contribuant aux interactions collectives, à l'extérieur de la sphère de Debye, et qui se traduit par le champ électrique moyen de Vlasov; l'autre contribuant aux chocs binaires, à l'intérieur de la sphère de Debye, chocs électrons-électrons, électrons-ions, et aussi, puisqu'ils sont à très courte distance, chocs électrons-neutres (Cf. § 1.5). Une première approximation consiste à exprimer ce second terme d'une manière phénoménologique sous la forme

$$ (10.1.1) \qquad - v(f - f_0) $$

exprimant la relaxation de la fonction de distribution $f$ vers la distribution maxwellienne $f_0$. Lorsqu'on prend $v = C^{te}$, ce terme (10.1.1) conduit, après intégration de
le terme du second membre a pu être interprété comme la puissance $\frac{\delta W_D}{\delta t}$ dis- sipée dans le milieu, à condition de calculer $J$ pour une fréquence réelle (Cf. § 5.5.). Dans le cas où la fréquence est complexe, nous retrouverons ce résultat général au § 9.4. Pour l'instant, nous allons donc supposer essentiellement $\alpha = \omega$ réelle, $\gamma = 0$.

Pour un plasma stationnaire et homogène, la composante de Fourier de $J$ est telle que

$$J(k, \omega) = \sigma(k, \omega) \cdot E(k, \omega)$$

et l'énergie dissipée sur ce mode $(k, \omega)$ a pour expression

$$-\frac{\delta W_D}{\delta t} = -\frac{1}{4}(E^* \cdot J + E \cdot J^*) = -\frac{1}{4}(E^* \cdot \sigma \cdot E + E \cdot \sigma^* \cdot E^*)$$

soit

$$(9.1.1) \qquad \frac{\delta W_D}{\delta t} = \frac{1}{2} E^* \cdot \sigma_h \cdot E$$

où $\sigma_h = \frac{1}{2}(\sigma + \sigma^\dagger)$ est la partie hermitique<fnref n="1" /> du tenseur $\sigma$. En termes de tenseur diélectrique $\epsilon = \epsilon_0\kappa$, on a $\sigma = i\omega\epsilon_0(1 - \kappa)$, d'où

$$(9.1.2) \qquad \sigma_h = \epsilon_0 \omega \kappa_a$$

$\kappa_a = \frac{1}{2i}(\kappa - \kappa^\dagger)$ étant la partie antihermitique du tenseur $\kappa$. Alors

$$(9.1.3) \qquad \frac{\delta W_D}{\delta t} = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^* \cdot \omega \kappa_a \cdot E.$$

Si $\sigma_h(\omega)$ [ou $\kappa_a(\omega)$] est nul, le milieu est dit sans perte.

Reprenons l'exemple des oscillations longitudinales de hautes fréquences d'un plasma froid collisionnel, déjà étudié au § 5.5. La constante diélectrique longitudinale $\kappa_3$ vaut alors, pour $\alpha$ complexe

$$(9.1.4) \qquad \kappa(\alpha) = 1 - \frac{\omega_p^2}{\alpha^2} \left(1 - i \frac{\nu_{0e}}{\alpha}\right)$$

et l'équation de dispersion $\kappa(\alpha) = 0$ s'écrit, au premier ordre en $\gamma$ et $\nu_{0e}$.

$$(9.1.5) \qquad \kappa_h(\alpha) = \kappa_h(\omega - i\gamma) = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2} = 0$$

<footnote n="1">1. $\sigma^\dagger$ est le conjugué hermitique de $\sigma$ [complexe conjugué du transposé : $(\sigma^\dagger)\alpha\beta = \sigma_{\alpha\beta}^*]$.</footnote>
des ondes dans les plasmas chauds homogènes.
Théorie microscopique en présence d'un champ
magnétique extérieur

En présence d'un champ magnétique statique B₀ la résolution de l'équation de Vlasov est plus difficile et conduit à un tenseur diélectrique dont les composantes sont d'une utilisation peu commode. En dehors de l'approximation des grandes longueurs d'ondes, où l'on retrouve les résultats de l'approximation adiabatique, il n'est pratiquement plus possible d'effectuer une étude générale de l'équation de dispersion; on ne peut en préciser les solutions qu'en particularisant le problème étudié (domaine de fréquence, rapports des vitesses de phase aux vitesses thermiques, ordre de grandeur de la densité et du champ magnétique, etc.).

Dans ce chapitre, nous nous limiterons aux plasmas à deux composants, caractérisés par des distributions isotropes dans l'espace des vitesses, qui, dans les applications, seront prises maxwelliennes. Nous étudierons les situations pour lesquelles les températures des deux espèces de particules sont très différentes, essentiellement dans le domaine des basses fréquences où les effets de température, par suite de l'existence de modes très lents, sont les plus importants. Enfin, le voisinage de la résonance gyromagnétique électronique sera étudié, en même temps que l'amortissement *cyclotron*, de même nature que l'amortissement Landau.

8.1. Le tenseur diélectrique d'un magnétoplasma chaud

Il existe deux méthodes générales importantes pour résoudre l'équation de Vlasov linéarisée, lorsque B₀ est différent de zéro : d'une part, la méthode de Fourier-Laplace (Sitenko et Stepanov, 1956; Bernstein, 1958) qui conduit, pour la perturbation $f_1$, à une équation différentielle par rapport à la vitesse; d'autre part la méthode dite « méthode des caractéristiques», pour laquelle on intègre directement l'équation linéarisée, le long des trajectoires du mouvement non perturbé des particules (c'est-à-dire le long d'hélices enroulées autour des lignes de forces
<figure><img src="image_2.png" /></figure>
Nous allons rappeler ici les caractères fondamentaux de la propagation des ondes dans un milieu quelconque. La théorie de Maxwell permet, en caractérisant le milieu par des grandeurs macroscopiques, de préciser la « réponse linéaire » à une excitation donnée, perturbant le milieu. Si ce dernier est homogène et stationnaire, cette réponse sera représentée par une superposition d'ondes planes de fréquence angulaire $\omega$ et de longueur d'onde $\lambda = \frac{2\pi}{k}$; pour chaque composante, le milieu présentera un indice N, en général fonction de $\omega$ et de k : c'est ce phénomène qu'on appelle dispersion, et c'est l'étude de cette dispersion, en particulier de la condition d'existence de l'onde ($\omega, k$) dans le milieu — l'équation de dispersion — qui va faire l'objet de ce chapitre.

## 2.1. Propagation des ondes planes. Oscillations propres et oscillations forcées

Tout au long de cet exposé, on s'intéressera aux plasmas faiblement écartés de l'équilibre, qu'on peut donc décrire par des équations linéaires.

Partant d'un état d'équilibre connu, caractérisé par les valeurs $g_0$ d'un ensemble de paramètres $g$, on peut en effet linéariser[^1] les équations définissant la perturbation du milieu, laquelle est caractérisée par les paramètres $g_1 = (g - g_0) \ll g_0$. On obtient ainsi des équations différentielles linéaires en $g_1$, dont les coefficients ne dépendent que des valeurs $g_0$ à l'équilibre. Pour un équilibre stationnaire et homogène, ces équations linéaires sont donc à coefficients constants et on peut en chercher des solutions du type

$$ (2.1.1) \qquad g_1 = Ge^{i(k \cdot r - \omega t)} $$

où $k$ est un vecteur constant et $\omega$ une constante qui apparaîtra comme une pul-

<footnote n="1">1. Nous reviendrons plus tard (chap. 8) sur les conditions de validité de la linéarisation.</footnote>
Le traitement présenté ici sera donc analogue à celui du chapitre 3, aux conditions limites près, et en considérant que les modes propres, comme dans les guides, ne sont plus des ondes planes, mais des ondes dont la structure est liée aux caractéristiques géométriques de la surface limite du plasma; de plus, la nature du milieu entourant le plasma (vide, diélectrique isotrope ou conducteur métallique) influera beaucoup sur les résultats.

Signalons que les problèmes de transmission et de réflexion, qui n'avaient pas été rencontrés dans le cas des plasmas illimités, où ces concepts n'ont pas de sens, vont être d'une importance fondamentale pour les plasmas limités. Ces questions seront traitées au chapitre 5 dans le cas particulier d'une surface plane séparant le plasma et le vide; de plus, le rayonnement d'une source ponctuelle et des théorèmes généraux sur le rayonnement des antennes y seront abordés. On trouvera des développements de ces questions, du point de vue expérimental, dans l'excellent ouvrage de Heald et Wharton (1965).

Nous nous limiterons dans ce chapitre au cas d'une géométrie cylindrique, de section arbitraire, les génératrices étant parallèles au champ magnétique extérieur $B_0$, pris le long de Oz. Nous étudierons, pour les raisons de simplicité, le cas de la lame de plasma avant de donner les résultats pour le cylindre de plasma, de révolution autour de $B_0$ (sans entrer dans le détail des calculs qui, sans présenter de difficulté, sont quelque peu fastidieux). Au début, nous rappellerons les résultats dans le vide et, toujours pour des raisons de simplicité, nous étudierons les limites $B_0 = 0$ et $B_0$ infini.

Le cas où le champ $B_0$ est perpendiculaire à l'axe Oz du cylindre ne sera pas traité ici. L'étude complète et détaillée en a été donnée (en même temps que pour $B_0//Oz$) par Bers (1963).

## 4.1. Équations générales : séparation des composantes parallèles et perpendiculaires. Conditions aux limites

On déduit des équations de Maxwell, comme au chapitre 2, l'équation d'onde, valable à l'intérieur du plasma, pour une onde $\varepsilon(r,t) = E(r) e^{-i\omega t}$

$$ (4.1.1) \qquad \nabla \times (\nabla \times E) - \frac{\omega^2}{c^2} \mathbf{x} \cdot \mathbf{E} = 0 $$

et de manière analogue, pour $H$

$$ (4.1.2) \qquad \nabla \times (\nabla \times H) + i\omega\varepsilon_0 \nabla \times (\mathbf{x} \cdot \mathbf{E}) = 0 $$

où $\mathbf{x}$ est le tenseur diélectrique réduit des plasmas froids

$$ (4.1.3) \qquad \mathbf{x}(\omega) = \begin{pmatrix} \mathbf{x}_1 & -i\mathbf{x}_2 & 0 \\ i\mathbf{x}_2 & \mathbf{x}_1 & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{x}_3 \end{pmatrix} $$

défini en (3.3.9) et (3.3.10).
Page 128 : fig.3.43 : ajouter "mode torsionnel" en légende pour la figure de droite et "mode compressionnel" pour la figure de gauche

Page 131 : éq.(3.10.14) : .... (pour $b_e \ll \mu_i$)

2 dernières éq. : $\omega_{ll}^2 = ....$

$$ \omega_{ll}^2 = .... = \omega_b \left[ \frac{\Omega_{p2}^2}{\omega_p^2} \Omega_{b1} + \frac{\Omega_{p1}^2}{\omega_p^2} \Omega_{b2} \right] = \left[ \frac{\Omega_{p1}^2 \Omega_{b2}^2 + \Omega_{p2}^2 \Omega_{b1}^2}{\Omega_{p1}^2 + \Omega_{p2}^2} \right]^{\frac{1}{2}} $$

Page 159 : éq.(4.5.35) : $E_{\perp} \propto .... \to 0$

Page 175 : éq.(5.3.4) : .... où $v_{\varphi} = \frac{\omega}{k^2} \mathbf{k} = v_{\varphi} \mathbf{k}/k$

Page 184 : 3ème ligne avant le bas de page : ...le terme $-(J*.E + J.E*)$ ....

Page 185 : fin du 1er alinéa : ...comme réponse à l'excitation $e^{-i\alpha t}$ ...

Page 195 : ligne 11 : ...observées pour la première fois lors de tirs fusées, puis sur les ionogrammes...

9 lignes avant l'éq.(5.7.1) : ....la puissance totale rayonnée par l'antenne et dont une partie peut être perdue par effet Joule....

Page 196 : bas de page : ...précédentes, h étant le vecteur porté par l'antenne.

Page 197 : ligne après l'éq.(5.7.6) : ...équivalents, dans la mesure où dans le $\Delta f$ considéré, $R_r$ peut être supposé constant.

Page 243 : éq.(6.8.5) $N^2 \cos^2 \theta \# \frac{1-x+(1+A)tg^2\theta}{\frac{3}{2}\sum a_s^2 p_s^2 / c^2}$

Page 244 : 1ère ligne $\lambda = \frac{1}{2} \frac{k_{\perp}^2 a^2}{\omega_b^2}$

Page 246 : éq.(7.1.9) $\lambda = -2i\epsilon_0 \omega_{ps}^2 \int \frac{\partial \varphi / \partial (w^2)}{\varphi - w_3}$

1ère des éq.(7.1.11) $\lambda = a\sqrt{\pi}$

bas de page : ... générale (7.1.15), dans le cas des hautes fréquences et pour des ions au repos.

Page 247 : 2ème ligne : sur $w_x$ et $w_y$, après avoir utilisé l'identité
## 5.1. Densité et flux d'énergie instantanés dans un plasma froid

Pour créer une onde, il faut fournir de l'énergie, qui, généralement, apparaîtra aussi bien sous forme d'énergie de l'onde elle-même que sous forme d'énergie cinétique des particules; en particulier, dans un plasma froid, si l'onde créée a une composante longitudinale de champ électrique, elle engendrera des oscillations des particules qui, de ce fait, pourront acquérir de l'énergie. Il n'est généralement pas nécessaire de connaître l'énergie totale de l'onde entière (répartie dans l'espace), et l'énergie cinétique totale du plasma (lesquelles ne sont pas définies dans un plasma illimité); il suffira de décrire les phénomènes à l'aide des densités d'énergie et de flux d'énergie.

Pour un plasma froid, la connaissance des équations linéarisées du mouvement pour chaque espèce s de particules

$$ (5.1.1) \qquad m_s \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{v}_s = q_s (\mathbf{E} + \mathbf{v}_s \times \mathbf{B}_0) $$

permet de déterminer la densité d'énergie cinétique des particules : en multipliant (5.1.1) scaleirement par $n_0 v_s$ et en sommant sur s, on obtient, avec $\mathbf{J}_s = n_0 s q_s \mathbf{v}_s$

$$ (5.1.2) \qquad \frac{\partial}{\partial t} \sum_s \left( \frac{1}{2} n_0 m_s v_s^2 \right) = \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{W}_K = \sum_s \mathbf{J}_s \cdot \mathbf{E} = \mathbf{J} \cdot \mathbf{E} $$

$$ (5.1.3) \qquad \mathbf{W}_K = \sum_s \frac{1}{2} n_0 s m_s v_s^2 $$

où $\mathbf{J}$ est la densité de courant total, et $\mathbf{W}_K$ la densité d'énergie cinétique totale. On déduit, pour le vecteur de Poynting (densité de flux d'énergie)

$$ (5.1.4) \qquad \mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H} $$

l'équation

$$ \nabla \cdot \mathbf{S} = (\nabla \times \mathbf{E}) \cdot \mathbf{H} - \mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{H}) $$

qui, avec les équations de Maxwell (description charges dans le vide), s'écrit

$$ (5.1.5) \qquad \nabla \cdot \mathbf{S} + \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{W}_{\text{EM}} = -\mathbf{J} \cdot \mathbf{E} $$

où

$$ (5.1.6) \qquad \mathbf{W}_{\text{EM}} = \frac{1}{2} (\mu_0 \mathbf{H}^2 + \varepsilon_0 \mathbf{E}^2) = \mathbf{W}_M + \mathbf{W}_E $$

est l'expression bien connue de la densité d'énergie électromagnétique à chaque instant. Avec (5.1.2) et (5.1.5), on obtient l'équation de conservation instantanée

$$ (5.1.7) \qquad \nabla \cdot \mathbf{S} + \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{W}_0 = 0, \quad \mathbf{W}_0 = \mathbf{W}_M + \mathbf{W}_E + \mathbf{W}_K $$

$\mathbf{W}_0$ étant la densité d'énergie totale instantanée.
l'espèce $s$, est défini par

$$ (7.1.4) \qquad J_s = n_{0s}q_s v_s = q_s \int f_{1s} w_s \, d^3 w_s = \boldsymbol{\sigma}_s \cdot \mathbf{E}_1 $$

d'où

$$ (7.1.5) \qquad \boldsymbol{\sigma}_s(\mathbf{k}, \omega) = \frac{q_s^2}{im_s} \int \frac{\mathbf{w}}{\omega - \mathbf{k} \cdot \mathbf{w}} \frac{\partial f_{0s}(\mathbf{w}^2)}{\partial \mathbf{w}} d^3 \mathbf{w}. $$

Lorsque l'équilibre est caractérisé par une fonction isotrope dans l'espace des vitesses

$$ (7.1.6) \qquad f_{0s} = n_{0s} \varphi_s(w^2), \quad \text{où} \quad \int \varphi_s(w^2) \, d^3 w = 1 $$

on a

$$ (7.1.7) \qquad \frac{\partial f_{0s}}{\partial \mathbf{w}_s} = 2n_{0s} \frac{\partial \varphi_s}{\partial(w_s^2)} \mathbf{w}_s $$

et (7.1.5) s'écrit

$$ (7.1.8) \qquad \boldsymbol{\sigma}_s(\mathbf{k}, \omega) = -2i\epsilon_0 \omega_p^2 \int \frac{\partial \varphi_s / \partial(w_s^2)}{\omega - \mathbf{k} \cdot \mathbf{w}_s} \mathbf{w}_s \mathbf{w}_s \, d^3 \mathbf{w}_s. $$

Choisissons $Oz$ le long de $\mathbf{k}$. Alors (7.1.8) s'écrit (en omettant de nouveau l'indice $s$)

$$ (7.1.9) \qquad \sigma_{\alpha\beta}(\mathbf{k}, \omega) = -2i\epsilon_0\omega_p^2 \int \frac{\partial\varphi/\partial(w^2)}{\omega - kw_s} w_\alpha w_\beta dw_1 dw_2 dw_3. $$

Or, $\varphi(w^2)$ étant une fonction paire, il en sera de même de $\frac{\partial\varphi}{\partial(w^2)}$, et l'intégration sur les vitesses $w_1$ et $w_2$, perpendiculaires à $\mathbf{k}$, ne donnera un résultat non nul que pour les composantes diagonales (on retrouve ici, avec $\mathbf{k}$ sur $Oz$, les symétries de $\boldsymbol{\sigma}$ quand $B_0 = 0$); par exemple, si l'équilibre est maxwellien

$$ (7.1.10) \qquad \varphi(w^2) = (a\sqrt{\pi})^{-3} e^{-w^2/a^2} ; \quad a^2 = 2KT/m ; \quad \frac{\partial\varphi(w^2)}{\partial(w^2)} = -a^{-2}\varphi(w^2) $$

on aura, compte tenu des relations

$$ (7.1.11) \qquad \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2/a^2} du = a\sqrt{\pi} ; \quad \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2/a^2} u du = 0 \quad \text{et} \quad \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2/a^2} u^2 du = \frac{1}{2} a^3 \sqrt{\pi} $$

$$ (7.1.12) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} \sigma_{\alpha\beta} = 0 & \text{pour } \alpha \neq \beta \\ \sigma_{11} = \sigma_{22} = i\epsilon_0\omega_p^2 \frac{1}{a\sqrt{\pi}} \int \frac{e^{-v^2/a^2}}{\omega - kv} dv & \\ \sigma_{33} = 2i\epsilon_0\omega_p^2 \frac{1}{a^2\sqrt{\pi}} \int \frac{v^2e^{-v^2/a^2}}{\omega - kv} dv. & \end{array} \right. $$

On obtiendra donc aussi un tenseur $\mathbf{x}$ diagonal, et, comme pour les plasmas froids, l'équation de dispersion (2.4.9) conduira à deux modes transversaux, polarisés suivant $Ox$ et $Oy$, et à un mode longitudinal. Pour ce dernier mode, l'équation de dispersion $\mathbf{x}_3 = 0$ s'écrit, en revenant à la forme générale (7.1.5)
I

Propriétés générales des plasmas

II

Description diélectrique d'un milieu anisotrope.
Forme générale de l'équation de dispersion

III

Propagation des ondes planes
dans les plasmas froids homogènes illimités

IV

Ondes dans les magnétoplasmas froids, homogènes et limités

V

Transferts d'énergie dans les magnétoplasmas froids homogènes.
Rayonnement d'une source.

Rayons dans les plasmas faiblement inhomogènes

VI

Propagation des ondes dans les plasmas chauds homogènes.
Modèles macroscopiques

VII

Propagation des ondes dans les plasmas chauds homogènes.
Théorie microscopique
des oscillations longitudinales en l'absence de champ magnétique extérieur

VIII

Propagation des ondes dans les plasmas chauds homogènes.
Théorie microscopique en présence d'un champ magnétique extérieur

IX

Transferts d'énergie dans les plasmas chauds homogènes

X

Effets des collisions sur la propagation des ondes
<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>FIGURE 1.1.
Domaines des paramètres $n_e$ et $T_e$ pour les plasmas usuels</figcaption></figure>

doute sous l'impulsion de ces recherches sur la fusion que la physique des plasmas proprements dits a pris son essort, se distinguant alors de plus en plus de l'ancienne physique des décharges dans les gaz.

## 1.3. Interactions entre particules.
Plasmas collectifs et plasmas individuels

Les propriétés caractéristiques des plasmas, relativement à celles des fluides, sont essentiellement liées aux mécanismes d'interaction entre les différentes particules.

Pour décrire les forces d'interaction entre les particules d'un plasma, le modèle le plus simple est celui de l'interaction binaire : seules, deux particules entrent en jeu dans la collision. Une telle hypothèse n'est cependant plus valable lorsque la densité augmente : il faut alors tenir compte d'interactions où interviennent 3, 4,... particules : on retrouve alors le problème à N corps.

— Dans le cas des gaz neutres, les forces d'interaction ont un très faible
parallèle à $B_0$, et une pression $P_⊥$ dans les directions perpendiculaires, ce qui traduit les mouvements découplés dans ces directions; le tenseur $\Psi$ s'écrit

$$ (6.1.3) \qquad \Psi = \begin{pmatrix} P_⊥ & 0 & 0 \\ 0 & P_⊥ & 0 \\ 0 & 0 & P_‖ \end{pmatrix} $$

avec la loi adiabatique double, $P_⊥ \sim n^{\gamma_⊥}$, $P_‖ \sim n^{\gamma_‖}$, satisfaisante pour un gaz d'ions en présence d'un champ magnétique fort (Chew, Goldberger et Low, 1956; Lüst, 1959); pour une compression dans la direction de $B_0$, on prend $\gamma_⊥ = 1$ et $\gamma_‖ = 3$, tandis que pour une compression cylindrique, perpendiculaire à $B_0$, $\gamma_⊥ = 2$ et $\gamma_‖ = 1$ (Buneman, 1961; Delcroix, 1963); on alors la loi générale

$$ (6.1.4) \qquad \det(\Psi) = P_⊥ P_‖ \sim n^5 $$

conduisant, dans le cas de la pression scalaire, à la loi $P \sim n^{5/3}$, comme dans le cas des gaz ordinaires. La loi (6.1.3) est encore appelée approximation CGL.

c) La loi adiabatique complète, qui va être développée plus loin, $\Psi$ étant alors un tenseur non diagonal, conduit encore à (6.1.4), $\det(\Psi) \sim n^5$ (Buneman, 1961).

En présence de collisions, d'autres lois du type hydrodynamique peuvent être utilisées, comme par exemple, la loi de Navier-Stokes des fluides visqueux (Whitmer, 1961).

Malheureusement, il est en général difficile de justifier la validité de l'équation d'état choisie. Nous allons préciser ce choix, et en étudier les limites d'application, en déduisant de l'équation de Vlasov (1.7.3)

$$ \frac{\partial f_s}{\partial t} + w_s \cdot \frac{\partial f_s}{\partial \mathbf{r}} + \frac{q}{m} (\mathbf{E} + \mathbf{w}_s \times \mathbf{B}_0) \cdot \frac{\partial f_s}{\partial \mathbf{w}_s} = 0 $$

un ensemble d'équations macroscopiques. En multipliant cette équation successivement par 1, $w_s$, $w_s w_s$, ... et, en en prenant la moyenne sur l'espace des vitesses (Cf. par ex. Spitzer, 1956; Delcroix, 1963), on obtient, pour chaque espèce $s$, une suite infinie d'équations (nous omettons l'indice $s$ pour l'instant)

$$ (6.1.5)^1 \left\{ \begin{array}{l} (a) \frac{\partial n}{\partial t} + \nabla \cdot n\mathbf{v} = 0 \\ (b) mn \left(\frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla\right) \mathbf{v} + \nabla \cdot \Psi = nq (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \\ (c) \left(\frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla\right) \Psi + (\nabla \cdot \mathbf{v}) \Psi + (\nabla \mathbf{v} \cdot \Psi + \text{transposé}) + \nabla \cdot \mathbf{Q} = \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \frac{q}{m} [\mathbf{B} \times \Psi + \text{transposé}] \end{array} \right. $$

<footnote n="1">1. Dans (6.1.5 c), $\nabla \cdot \Psi$ est un tenseur de composantes $(\nabla \cdot \Psi)_{\alpha\beta} = \sum_{\gamma} (\nabla_{\alpha} v_{\gamma}) \Psi_{\gamma\beta}$ ; le tenseur $\mathbf{B} \times \Psi$ se déduit facilement du cas où $\Psi$ est une diade (produit tensoriel de deux vecteurs $\Psi = \mathbf{CD}$) : on a alors $(\mathbf{B} \times \Psi)_{\alpha\beta} = (\mathbf{B} \times \mathbf{CD})_{\alpha\beta} = (\mathbf{B} \times \mathbf{C})_{\alpha\beta} \mathbf{D}_{\beta}$ ; il ne reste qu'à remplacer tout produit : $C_{\gamma} \mathbf{D}_{\delta}$ par la composante $\Psi_{\gamma\delta}$ (en respectant l'ordre!).</footnote>
$$
(A-1.8) \qquad \varepsilon - \varepsilon_0 = \varepsilon_0 \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\omega\tau} \Phi(\tau) d\tau = \varepsilon_0 2\pi \Phi(\omega)
$$

où Φ(ω) est la transformée de Fourier de Φ(t); la transformée inverse est

$$
\Phi(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i\omega'\tau} \Phi(\omega') d\omega'.
$$

En portant cette dernière expression dans (A-1.7), on obtient

$$
\begin{align*}
\epsilon - \epsilon_0 &= \epsilon_0 \int_0^\infty d\tau \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i(\omega - \omega')\tau} \Phi(\omega') d\omega' \\
&= \epsilon_0 \lim_{R \to \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \Phi(\omega') d\omega' \int_0^R e^{i(\omega - \omega')\tau} d\tau \\
&= i\epsilon_0 \lim_{R \to \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \Phi(\omega') d\omega' \left[ \frac{1 - e^{i(\omega - \omega')R}}{\omega - \omega'} \right]
\end{align*}
$$

où le terme en $e^{i(\omega - \omega')R}$ ne contribue pas à l'intégrale sur $\omega'$, lorsque $R \to \infty$.
D'où

$$
(A-1.9) \qquad \epsilon - \epsilon_0 = -i\epsilon_0 \int_{-\infty}^{+\infty} d\omega' \frac{\Phi(\omega')}{\omega' - \omega}.
$$

L'intégrale dans (A.1.9) n'est pas définie pour $\omega = \omega'$ : on lui donne un sens en considérant la variable $\omega$ comme une variable complexe (Cf. Appendice A-6); posons $\omega = \omega_1 + i\omega_2$; alors l'intégrale dans (A-1.7) ne converge que pour les valeurs $\omega_2 > 0$, avec le facteur $e^{-\omega_2\tau}$ : la fonction $\epsilon - \epsilon_0$ dans (A-1.8) n'est donc définie que dans le demi-plan supérieur des $\omega$ complexes (on l'appelle fonction « plus ») : on a donc, d'après (A-6.2) et (A-6.3), lorsque $\omega_2 \to 0$

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} d\omega' \frac{\Phi(\omega')}{\omega' - \omega} = \mathfrak{R} \int_{-\infty}^{+\infty} d\omega' \frac{\Phi(\omega')}{\omega' - \omega} + i\pi \Phi(\omega)
$$

soit

$$
\epsilon - \epsilon_0 = \pi \epsilon_0 \Phi(\omega) - i \mathfrak{R} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\epsilon_0 \Phi(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega'
$$

et avec (A-1.8)

$$
\epsilon(\omega) - \epsilon_0 = -\frac{i}{\pi} \mathfrak{R} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\epsilon(\omega') - \epsilon_0}{\omega' - \omega} d\omega'.
$$
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l'équation d'évolution de $f$, à une équation de mouvement contenant un terme de frottement identique à celui des plasmas froids. Néanmoins, les sections efficaces dépendant de la vitesse relative des particules entrant en collision, il en résulte une fréquence de collision fonction de cette vitesse : le calcul de $\sigma$, avec (10.1.1), ne conduira plus à une expression aussi simple que dans le cas des plasmas froids. La comparaison de ces deux types d'expressions permettra de définir $v_{eff}$. Cependant, la forme (10.1.1) ne permet pas de satisfaire aux lois de conservation instantanées de la charge, de la quantité de mouvement et de l'énergie (Cf. pour la discussion, Bhatnagar, Gross et Krook, 1954). Un modèle plus raffiné a été élaboré par Gross et Krook (1956); étant néanmoins beaucoup plus simple que le terme de Boltzmann, il est souvent utilisé.

Des méthodes plus précises ont été développées dans le cas des plasmas faiblement ionisés pour les collisions électrons-neutres (les collisions électrons-ions et électrons-électrons étant alors négligeables), en développant $f(v)$ en harmoniques sphériques dans l'espace des vitesses (Allis, 1956) qui caractérisent les différentes anisotropies de la fonction $f(v)$; on montre alors (Bayet, Delcroix, Denisse, 1954, 1955) que les harmoniques sphériques sont des fonctions propres de l'opérateur de collision, les valeurs propres étant alors justement les fréquences de relaxation des anisotropies des différents ordres : celle d'ordre 1 s'interprète précisément comme la fréquence de collision associée au transfert de quantité de mouvement. On trouvera des développements et des applications de cette question dans les manuels (Cf. par ex. Bayet, 1958; Delcroix, 1966). Ces propriétés ont été utilisées pour étudier la propagation des ondes, et, mis à part l'amortissement Landau, conduisent pour les plasmas « tièdes » (Cf. chap. 6) à des résultats en accord avec la théorie cinétique (Johnston, 1962).

Enfin, pour les collisions électrons-ions, et électrons-électrons, nous avons signalé au chapitre 1 les difficultés d'application de l'équation de Boltzmann, dues à la longue portée des forces de Coulomb. La section efficace divergeant pour les très faibles déviations, c'est-à-dire pour les grands paramètres d'impact, cette divergence est éliminée en introduisant une longueur de coupure dans les intégrales, longueur qui est prise égale à $\lambda_{De}$, en accord avec l'effet d'écran décrit au chapitre 1. On obtient alors

$$ (10.1.2) \qquad v_{ei}(v) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0^2} \frac{q^4 n_i}{m^2 v^3} \text{Log} \Lambda = 8.10^5 \frac{n_i}{v^3} \text{Log} \Lambda $$

où $\Lambda$ est le paramètre de Spitzer, moyenne du rapport de $\lambda_{De}$ au paramètre d'impact $p_0$, correspondant à une déviation égale à $\frac{\pi}{2}$; dans les cas pratiques, on a $\text{Log}\Lambda \sim 10$. Conformément au modèle choisi, on ne tient donc compte, dans le terme de collision, que des collisions binaires qui ont lieu à l'intérieur de la sphère de Debye. L'effet cumulé de nombreuses collisions, chacune à faible déviation,
$$
(9.1.6) \qquad \chi_a(\alpha) = \chi_a(\omega - i\gamma) = -\frac{\omega_p^2}{\omega^2} \left(\frac{2\gamma}{\omega} - \frac{\nu_{0e}}{\omega}\right) = 0
$$

conduisant à la solution $\alpha = \omega_p - i\frac{\nu_{0e}}{2}$, déjà mentionnée au chapitre 5. L'équation (9.1.6) montre bien que l'expression (9.1.3), en prenant la valeur de $\chi_a$ pour la fréquence complexe $\alpha$, conduirait à $\frac{\delta\bar{W}_D}{\delta t} = 0$ : il n'y aurait pas de pertes dans le milieu! Au contraire, la valeur $\chi_a(\omega)$, pour la partie réelle $\omega$ de la fréquence $\alpha$, est différente de zéro; en effet, de

$$
(9.1.7) \qquad \chi(\omega) = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2} \left(1 - \frac{i\nu_{0e}}{\omega}\right)
$$

on tire

$$
(9.1.8) \qquad \chi_h(\omega) \# \chi_h(\alpha) = 0
$$

$$
(9.1.9) \qquad \chi_a(\omega) = \frac{\nu_{0e} \omega_p^2}{\omega \omega^2} = \frac{\nu_{0e}}{\omega} \quad \text{pour } \omega = \omega_p.
$$

D'après (9.1.3), on retrouve alors le résultat (5.5.13) (avec $\overline{W_E} = \overline{W_K}$)

$$
\begin{align*}
\frac{\delta \bar{W}_D}{\delta t} &= \frac{1}{2} \varepsilon_0 |E|^2 \omega \chi_a(\omega) = \frac{1}{2} \varepsilon_0 |E|^2 \nu_{0e} = \frac{\nu_{0e}}{2} (4 \bar{W}_E) \\
&= 2 \nu_{0e} \bar{W}_E = 2 \nu_{0e} \bar{W}_K = \frac{\delta \bar{W}_F}{\delta t}.
\end{align*}
$$

9.2. Théorème de Poynting pour une onde réelle (k réel, fré-
quence réelle)

A l'aide des équations de Maxwell

$$
(9.2.1) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\nabla \times \mathbf{E} = - \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{H} \\[1em]
\nabla \times \mathbf{H} = \varepsilon_0 \mathbf{K} \cdot \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}
\end{array}
\right.
$$

le théorème de Poynting instantané s'écrit encore sous la forme (5.1.5), avec
une densité d'énergie totale instantanée $W_0$ telle que

$$
(9.2.2) \quad \frac{\partial W_0}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{1}{2} \mu_0 \mathbf{H} \cdot \mathbf{H} + \frac{1}{2} \varepsilon_0 \mathbf{E} \cdot \mathbf{K} \cdot \mathbf{E} \right) = \frac{\partial}{\partial t} (\mathbf{W}_M + \mathbf{W}_{EP})
$$

où $W_{EP}$ représente à la fois l'énergie électrique de l'onde et l'énergie cinétique des particules (il représente la somme des énergies instantanées $W_E + W_K$ de l'équation (5.1.7)).

Pour les grandeurs moyennes dans le temps, associées à un mode où *k* et
*ω* sont réels, le théorème de Poynting s'écrira (Cf. 5.3.1))
de $B_0$), trajectoires qui sont décrites par les particules sous l'effet de leur agitation thermique. C'est cette deuxième méthode (Cf. par ex. Sagdeev et Shafranov, 1958; Mower, 1959) qui, en raison de son importance, est donnée dans l'appendice 9. Avec la géométrie habituelle (Oz le long de $B_0$, Ox dans le plan $(k, B_0)$), elle conduit, dans le cas de l'équilibre isotrope ($f_0 = f_0(w^2)$), au résultat :

$$ (8.1.1) \qquad f_1(\mathbf{r}, \mathbf{w}, t) = - \frac{2q}{m\omega_b} \frac{\partial f_0}{\partial(\omega^2)} \int_0^\infty du \, \mathbf{w}'(u) \cdot \mathbf{E}\left(\mathbf{r}', t - \frac{u}{\omega_b}\right). $$

Les trajectoires non perturbées des particules sont définies par

$$ (8.1.2) \qquad \begin{cases} \mathbf{r}' = \mathbf{r} - \frac{1}{\omega_b} \left[ 2 \sin \frac{u}{2} \mathbf{R}\left(\frac{u}{2}\right) \cdot \mathbf{w}_\perp + u \mathbf{w}_\parallel \right] \\ \mathbf{w}' = \mathbf{R}(u) \cdot \mathbf{w} = \mathbf{R}(u) \cdot \mathbf{w}_\perp + \mathbf{w}_\parallel \end{cases} $$

$\mathbf{w}_\perp$ et $\mathbf{w}_\parallel$ étant les composantes de $\mathbf{w}$, respectivement perpendiculaire et parallèle à $B_0$, et

$$ (8.1.3) \qquad \mathbf{R}(u) = \begin{pmatrix} \cos u & \sin u & 0 \\ -\sin u & \cos u & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

étant un tenseur qui définit la rotation autour du champ magnétique [on a $t' = t - \frac{u}{\omega_b} \text{c'est-à-dire } u = \omega_b (t - t')$].

A partir de (8.1.1), on peut calculer, pour une onde

$$ E(\mathbf{r}, t) = E_0 e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} $$

la densité de courant $J = \sum_s q_s \int f_{1s} \mathbf{w} \, d^3\mathbf{w}$, d'où l'on déduira le tenseur de conductivité, puis le tenseur diélectrique.

Dans le cas de l'équilibre maxwellien, on peut mettre ce tenseur diélectrique sous la forme relativement simple :

$$ (8.1.4) \qquad \mathbf{x} = 1 - \sum_s \left[ \frac{\omega_p^2}{\omega^2} z_0 e^{-\lambda \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \mathbf{S}^{(n)}} \right]_s $$

avec

$$ (8.1.5) \qquad \left\{ \begin{aligned} S_{11}^{(n)} &= -n^2 Z_n F_n(\lambda) \\ S_{22}^{(n)} &= -Z_n G_n(\lambda) \\ S_{33}^{(n)} &= \lambda z_n Z'_n F_n(\lambda) \\ S_{12}^{(n)} &= -S_{21}^{(n)} = inZ_n H_n(\lambda) \\ S_{23}^{(n)} &= -S_{32}^{(n)} = i(\lambda/2)^{1/2} Z_n H_n(\lambda) \\ S_{31}^{(n)} &= S_{13}^{(n)} = (\lambda/2)^{1/2} Z'_n F_n(\lambda) \end{aligned} \right. $$
<figure><img src="image_3.png" /></figure>
sation. Ces solutions sont des *ondes planes* : les surfaces équiphases (les surfaces d'onde) sont définies par

$$ (2.1.2) \qquad \Phi = k \cdot r - \omega t = k_1 x + k_2 y + k_3 z - \omega t = C^{\text{te}}. $$

A un instant donné on a donc un plan d'onde, normal au vecteur **k**. Précisons que l'origine des coordonnées et celle du temps sont arbitraires : étant homogène et stationnaire, le plasma possède les propriétés de translation **r'** = **r** + **r**₀ et **t'** = **t** + **t**₀ dans l'espace et dans le temps. L'équation (2.1.2) définit donc, à un instant donné, une famille de plans d'onde tous perpendiculaires à la direction **k** (fig. 2.1).

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 2.1. Plan d'onde et vecteur d'onde k</figcaption></figure>

Lorsque le temps varie, un plan d'onde, caractérisé par une phase constante $\Phi = \Phi_0$, va se déplacer, en restant parallèle à lui-même; dans ce plan, un point fixé, de coordonnées x, y, z, va se mouvoir parallèlement à la direction **k**: sa vitesse **v** satisfait donc à

$$ k \cdot v = kv $$

où **k** et **v** sont les modules des vecteurs correspondants. La phase étant constante, écrivons que sa variation, au cours du temps, est nulle :

$$ \frac{d\Phi}{dt} = \frac{d}{dt}(k \cdot r - \omega t) = k \cdot \frac{dr}{dt} - \omega = k \cdot v - \omega $$

soit

$$ 0 = kv - \omega. $$

La famille de plans d'onde se déplace donc parallèlement à **k**, avec la vitesse

$$ (2.1.3) \qquad u = \frac{\omega}{k} = v_{\varphi} $$

qui est la vitesse de phase. On caractérise alors le milieu par son indice
En géométrie cylindrique, la symétrie de translation dans la direction Oz et la structure de $\kappa(\omega)$ entraînent l'existence de solutions de (4.1.1) en $e^{i\alpha z}$, où $\alpha$ ne dépend que de $\omega$. Dans (4.1.1) et (4.1.2), nous pourrons séparer l'opérateur $\nabla = \frac{\partial}{\partial r}$ en composantes $\nabla_{\perp}$ et $\nabla_{\parallel}$, respectivement perpendiculaire et parallèle à Oz.

Pour les grandeurs du type

$$ (4.1.4) \qquad \varepsilon(x, y, z, t) = E(x, y) e^{i(\alpha z - \omega t)} = [E_{\perp}(x, y) + E_{\parallel}(x, y)] e^{i(\alpha z - \omega t)} $$ 
on a donc

$$ (4.1.5) \qquad \nabla = \nabla_{\perp} + \nabla_{\parallel} = \nabla_{\perp} + i\alpha $$

où $\alpha$ est le vecteur, de module $\alpha$, dirigé suivant Oz, et où, en coordonnées rectangulaires, $\nabla_{\perp} = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, 0)$.

Pour tout vecteur $A = A_{\perp} + A_{\parallel}$, on a donc

$$ (4.1.6) \qquad \nabla \cdot A = \nabla_{\perp} A_{\perp} + i\alpha A_{\parallel} $$

$$ (4.1.7) \qquad \left\{ \begin{array}{l} (\nabla \times A)_{\perp} = \nabla_{\perp} \times A_{\parallel} + i\alpha \times A_{\perp} \\ (\nabla \times A)_{\parallel} = \nabla_{\perp} \times A_{\parallel} \end{array} \right. $$

$$ (4.1.8) \qquad \left\{ \begin{array}{l} [\nabla \times (\nabla \times A)]_{\perp} = \nabla_{\perp} \times (\nabla_{\perp} \times A_{\perp}) + \alpha^2 A_{\perp} + i\alpha \nabla_{\perp} A_{\parallel} \\ [\nabla \times (\nabla \times A)]_{\parallel} = -\nabla_{\perp}^2 A_{\parallel} + i\alpha (\nabla_{\perp} \cdot A_{\perp}) \end{array} \right. $$

tandis que d'après (4.1.3), on a, pour l'induction électrique

$$ (4.1.9) \qquad D_{\parallel} = \varepsilon_0 (\kappa \cdot E)_{\parallel} = \varepsilon_0 \kappa_3 E_{\parallel} $$

$$ (4.1.10) \qquad D_{\perp} = \varepsilon_0 (\kappa \cdot E)_{\perp} = \varepsilon_0 \kappa_{\perp} \cdot E_{\perp}, \qquad \kappa_{\perp} = \begin{pmatrix} \kappa_{1} & -i\kappa_{2} \\ i\kappa_{2} & \kappa_{1} \end{pmatrix}. $$

Projetées successivement sur Oz et sur $xOy$, les équations de Maxwell s'écrivent donc

$$ (4.1.11) \qquad \nabla_{\perp} \times E_{\perp} = i\omega\mu_0 H_{\parallel} $$

$$ (4.1.12) \qquad \nabla_{\perp} \times E_{\parallel} + i\alpha \times E_{\perp} = i\omega\mu_0 H_{\perp} $$

$$ (4.1.13) \qquad \nabla_{\perp} \times H_{\perp} = -i\omega\varepsilon_0\kappa_3 E_{\parallel} $$

$$ (4.1.14) \qquad \nabla_{\perp} \times H_{\parallel} + i\alpha \times H_{\perp} = -i\omega\varepsilon_0 \kappa_{\perp} \cdot E_{\perp} $$

$$ (4.1.15) \qquad \nabla_{\perp} \cdot (\kappa_{\perp} \cdot E_{\perp}) + i\alpha \kappa_{3} E_{\parallel} = 0 $$

$$ (4.1.16) \qquad \nabla_{\perp} \cdot H_{\perp} + i\alpha H_{\parallel} = 0. $$

De même, (4.1.1) et (4.1.2) se séparent, d'après (4.1.8), en

$$ (4.1.17) \qquad \nabla_{\perp}^2 E_{\parallel} - i\alpha (\nabla_{\perp} \cdot E_{\perp}) + \frac{\omega^2}{c^2} \kappa_3 E_{\parallel} = 0 $$

$$ (4.1.18) \qquad \nabla_{\perp}^2 H_{\parallel} - \alpha^2 H_{\parallel} - i\omega\varepsilon_0 \nabla_{\perp} \times (\kappa_{\perp} \cdot E_{\perp}) = 0 $$
$$ \frac{w_z}{\omega - k w_z} = \frac{\omega}{k(\omega - k w_z)} - \frac{1}{k} $$

$$ E_1(k, \omega) = \frac{\sum \dots}{k + \sum \omega_{ps}^2 \int \frac{\partial \varphi_s}{\partial w_3} d^3 w} $$

Page 251 : éq.(7.3.5) :

5ème ligne au-dessous de l'éq.(7.3.6) ...Laplace, Imω > ν

Page 255 : 2ème ligne : Landau est alors réduit (Platzman....avant l'éq.(7.5.2) : soit, en se limitant aux 4 premiers termes,

Page 259 : dernière ligne : ...entre les deux maxima de $|\varphi_e|$

Page 260 : première ligne : $|\varphi_i|$

Page 261 : avant §.7.5.2.2 : la première condition (7.25.14) ....

Page 263 : éq.(7.5.28) : $Z(z) \equiv i\sqrt{\pi} \sigma$ ....

Page 264 : Fig.7.5 : ajouter des légendes : en haut : branches ioniques

en bas : branches électroniques

Page 265 : après l'éq.(7.5.32) : exprimant l'effet d'écran.

Page 279 : 2ème ligne : ...paramètres $\omega_p^2/\omega_b^2$ et $a^2/c^2$

dernière éq. : $v_{\varphi}^2 = V_A^2 \cos^2 \theta$ ; $v_{\varphi}^2 = V_A^2 + (2V_{PS}^2 + a_i^2) \sin^2 \theta$ la condition d'existence du mode exigeant que $V_A^2 \ll a_i^2$

Page 281 : 6ème ligne après éq.(8.5.11) : ... second, on doit avoir $a_i^2 \ll V_A^2 \ll$ ...

Page 301 : dans l'éq.(9.5.2) remplacer $\gamma$ par $\delta\omega$

Page 313 : éq.(10.2.9) ... $\omega_p^2 \int_0^\infty \frac{v^3}{(\nu - i\omega)} \frac{\partial g_0}{\partial \nu} dv$ ...

Page 342 : dernière éq. : $e^{-i\nu t}$ au lieu de $e^{i\nu t}$

Page 361 : éq.(A.12.3) ... $= A_0 \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} e^{i(k_0 z - w_0 t)} e^{-\frac{(t-t_0)^2}{4a^2}}$
Intégrée sur un volume V, limité par une surface (σ), l'équation (5.1.7) montre que la diminution de l'énergie totale contenue dans V, y compris sous forme d'énergie des particules, est égale aux flux du vecteur S à travers la surface (σ).

En revenant à la figure 2.2, dans le trièdre (D, H, k), attaché à l'onde, on voit que ce vecteur S, perpendiculaire à H, est aussi dans le plan commun à D, E, k, et qu'il forme donc, avec k, un angle égal à (D, E) (fig. 5.1).

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>FIGURE 5.1.
Orientation du vecteur de Poynting</figcaption></figure>

La densité d'énergie cinétique considérée ci-dessus a été définie à partir des perturbations linéaires du système. En réalité, l'énergie physique de ce système, lorsque celui-ci n'est pas linéaire, contiendra à côté des termes $v_1^2$ considérés, d'ordre 2 par rapport à la perturbation, des termes $v_0v_2$, de même ordre, où $v_0$ est la vitesse non perturbée et $v_2$ la perturbation d'ordre 2, c'est-à-dire non linéaire. Ces termes n'existeront donc pas si le système est linéaire, ou si la grandeur à l'équilibre est nulle. Dans le cas d'un plasma froid, neutre à l'équilibre, on aura $v_0 = 0$, et l'énergie cinétique du milieu linéarisé se confondra avec l'énergie réelle du système. Parce qu'elles sont additives, les énergies linéarisées sont d'une grande importance en pratique et nous nous limiterons à de telles énergies dans toute la suite.

Signalons enfin que lorsqu'il existe une grandeur non nulle à l'équilibre, comme par exemple un champ magnétique $B_0$ homogène, remplissant tout l'espace, une densité d'énergie constante lui est associée, $B_0^2/2\mu_0$; une telle énergie n'entrera évidemment pas dans les équations de transfert d'énergie; on peut d'ailleurs l'éliminer en effectuant un changement d'origine des énergies. Le rôle des termes d'ordre 1 par rapport à la perturbation — en $B_0B_1$, par exemple — sera examiné au prochain paragraphe.
$$x_{33} = 1 - \frac{\sigma_{33}}{i\omega\epsilon_0} = 1 + \frac{q^2}{\epsilon_0 m\omega} \int \frac{w_z}{\omega - kw_z} \frac{\partial f_0}{\partial w_z} dw_x dw_y dw_z = 0$$

soit en intégrant sur $w_x$ et $w_y$

$$(7.1.13) \qquad 1 + \frac{q^2}{\epsilon_0 mk} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\omega - kw_z} \frac{\partial \bar{f}_0}{\partial w_z} dw_z = 0$$

où $\bar{f}_0(w_z) = \int f_0(w^2) dw_x dw_y$. La forme (7.1.13) de l'équation de dispersion des ondes longitudinales électroniques a été obtenue pour la première fois par Vlasov (1938).

Dans (7.1.5, 8, 9 et 12) figurent des intégrales qui sont singulières pour les vitesses $w_s = \omega/k$ : on voit apparaître ici le rôle particulier joué par les particules résonnantes dont les vitesses, dans la direction de $k$, sont voisines de $v_\phi = \frac{\omega}{k}$; ces particules, rappelons-le, avaient disparu du modèle macroscopique lors des opérations de moyenne sur l'espace des vitesses. A cause de cette singularité, on ne sait pas quel sens donner à ces intégrales : leur évaluation nécessitera de préciser le problème traité.

Nous allons étudier successivement les « modes normaux » associés au modèle multifaisceaux, et l'évolution d'une perturbation initiale (problème de Landau). Puis nous indiquerons brièvement les résultats obtenus par Van Kampen (1955) et nous donnerons un aperçu du phénomène de piégeage, déjà mentionné au chapitre 6.

## 7.2. Étude des ondes longitudinales pour une distribution d'équilibre quelconque. Modèle multifaisceaux. Modes normaux d'oscillation

Dans le cas des ondes longitudinales, on obtient l'équation de dispersion directement à partir de la solution (7.1.3), en la portant dans l'équation de Poisson

$$i\epsilon_0 k E = \sum_s q_s \int f_{1s}(k, \omega, w) d^3w.$$

En appelant $v$ la composante de $w$, parallèle à $k$, cette équation de dispersion se met sous la forme

$$(7.2.1) \qquad 1 + \sum_s \frac{q_s^2}{\epsilon_0 m_s} \frac{1}{k} \int \frac{\partial f_{0s}}{\partial v} \frac{d^3w}{\omega - kv} = 0$$

ou encore, en intégrant par parties ($f_{0s}(w)$ étant supposée s'annuler à l'infini)

$$(7.2.2) \qquad 1 - \sum_s \frac{q_s^2}{\epsilon_0 m_s} \int \frac{f_{0s} d^3w}{(\omega - kv)^2} = 0.$$

L'équation (7.2.2) n'est fonction que de $k$ et $\omega$ et elle apparaît donc bien comme l'équation de dispersion du mode longitudinal; mais, ainsi qu'il a été dit ci-dessus,
<figure><img src="image_1.png" /></figure>
rayon d'action, et l'effet sur les trajectoires ne se fait sentir que pendant de très courts instants (lorsque deux particules sont très voisines l'une de l'autre), en dehors desquels chaque particule retrouve son mouvement libre (relativement à cette interaction) : le modèle de collision binaire est très bien vérifié dans ce cas, et la théorie cinétique des gaz (basée sur ces hypothèses : densités faibles, chocs binaires) a connu un succès complet.

— Dans les plasmas relativement peu denses, il existe encore des interactions à courte distance entre une particule neutre et une autre particule, neutre ou chargée pour lesquelles le modèle binaire sera toujours satisfaisant. Mais entre les particules chargées, les forces d'interaction (essentiellement les forces coulombiennes) ont une très longue portée, et il est alors impossible de décrire ces interactions comme des chocs binaires : l'effet sur la trajectoire d'une particule est cumulatif, toutes les autres charges intervenant en créant des champs moyens (par exemple le champ électrique de charge d'espace, satisfaisant à l'équation de Poisson) dans lesquels la particule considérée évolue. L'ensemble des particules intervient donc d'une manière *collective* sur le mouvement de l'une d'entre elles. Ce caractère collectif est une propriété essentielle des plasmas.

Bien entendu, une telle description des interactions est un peu trop simplifiée, et comme dans le cas des gaz neutres, on devra tenir compte d'effets de corrélations dès que le plasma deviendra dense.

Néanmoins, cette première approximation a déjà été très utile et permet de pousser assez loin l'étude théorique d'un grand nombre de problèmes. Elle a conduit à distinguer deux comportements — fondamentalement différents — des gaz ionisés : comportement collectif (lorsque les interactions à longue portée sont les plus importantes) et, par opposition, comportement individuel, lorsque les chocs binaires masquent ces phénomènes collectifs. Dans le premier cas, nous parlerons de *plasma collectif*; dans le second, de *plasma individuel* ou encore de *plasma dominé par les collisions*.

Ces deux comportements différents apparaissent clairement quand on applique un champ électrique continu à un plasma. Dans le cas d'un plasma individuel, la mobilité des particules est limitée par les collisions : on a un effet de résistance électrique, comme dans un solide conducteur; dans le cas d'un plasma collectif, la répartition des densités des charges se modifie de façon à créer un champ de charge d'espace qui annule, dans le milieu, les effets du champ extérieur appliqué : on dit alors que les particules font écran à ce champ extérieur.

## 4. Définition et conditions d'existence d'un plasma

Ce qui précède nous conduit naturellement à définir un plasma comme un ensemble statistique de particules chargées, suffisamment dense pour avoir un comportement collectif.
pour les grandeurs moyennes, ou moments, relatifs à l'espèce s

$$
(6.1.6) \left\{
\begin{array}{lll}
\text{(a) densité moyenne} & n = \int f d^3\boldsymbol{w} \\
\text{(b) vitesse moyenne} & \boldsymbol{v} = n^{-1} \int \boldsymbol{w} f d^3\boldsymbol{w} \\
\text{(c) tenseur pression cinétique} & \boldsymbol{\Psi} = m \int (\boldsymbol{w} - \boldsymbol{v}) (\boldsymbol{w} - \boldsymbol{v}) f d^3\boldsymbol{w} \\
\text{(d) tenseur flux de chaleur} & \boldsymbol{Q} = m \int (\boldsymbol{w} - \boldsymbol{v}) (\boldsymbol{w} - \boldsymbol{v}) (\boldsymbol{w} - \boldsymbol{v}) f d^3\boldsymbol{w}
\end{array}
\right.
$$

L'équation (6.1.5 b) correspond évidemment à l'équation phénoménologique (6.1.1), et se réduit bien à (3.1.2) pour $\boldsymbol{\Psi} = 0$.

Dans les équations (6.1.5) figure l'opérateur $\frac{\partial}{\partial t} + \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\nabla}$ à la place de $\frac{d}{dt}$.

En effet, d'après (6.1.6), où $f = f(\mathbf{r}, \mathbf{w}, t)$, les moments sont des fonctions de $\mathbf{r}$ et $t$ (par exemple $n = n(\mathbf{r}, t)$) : la dérivée $\frac{dn}{dt}$ devient donc une dérivée « en suivant le mouvement »

$$
\frac{dn}{dt} = \frac{\partial n}{\partial t} + \frac{dr}{dt} \cdot \frac{\partial n}{\partial \mathbf{r}} = \left( \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \right) n.
$$

Le système (6.1.5), où chacune des équations est couplée à la suivante, ne peut
être résolu qu'en faisant une certaine hypothèse sur un moment, par exemple en
le reliant aux moments d'ordres inférieurs : cette relation constitue une *condition de fermeture* du système des équations des moments. C'est une véritable *équation d'état* : comme pour le modèle phénoménologique, on retrouve donc ici la difficulté du choix de cette condition; néanmoins, les expressions des moments en fonction de $f$ sont connues et nous allons voir que, sous certaines conditions, la série des moments constitue un véritable développement en série d'un petit paramètre, et qu'il est alors possible de caractériser le degré d'approximation adopté.

6.2. Conditions de validité de l'approximation hydrodynamique

A l'inverse des théories microscopiques non locales, dans lesquelles tout le passé de la particule intervient (Cf. Appendice 9), les théories hydrodynamiques sont des théories locales (dans le temps et dans l'espace), où n'apparaissent que les valeurs des moments au point **r** et à l'instant **t**, et leurs variations au point **r** + **dr** et à l'instant **t** + **dt** (cela tient à la forme des équations (6.1.5) et (6.1.6)).

Cette description macroscopique est donc satisfaisante en hydrodynamique des gaz, ou dans le cas des plasmas dominés par les collisions : le libre parcours moyen des particules est alors très faible et une théorie locale est correcte. Au contraire, dans un plasma sans collision, où les seules interactions sont les forces de Coulomb, les libres parcours moyens pourront être très grands, et la description locale tombera en défaut. La situation sera différente suivant que $B_0$ est nul
En séparant les parties réelles et imaginaires dans $ε$, on obtient les relations de Kramers-Krönig

$$ (A-1.10) \qquad \varepsilon_1(\omega) - \varepsilon_0 = \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\varepsilon_2(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' $$

$$ (A-1.11) \qquad \varepsilon_2(\omega) = -\frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\varepsilon_1(\omega') - \varepsilon_0}{\omega' - \omega} d\omega' $$

Compte tenu du caractère impair de la fonction $\varepsilon_2(\omega)$, (A-1.10) s'écrit aussi

$$ \begin{aligned} \varepsilon_1(\omega) - \varepsilon_0 &= \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \left[ \int_0^{\infty} \frac{\varepsilon_2(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' + \int_0^{\infty} \frac{\varepsilon_2(\omega')}{\omega' + \omega} d\omega' \right] \\ &= \frac{2}{\pi} \mathcal{P} \int_0^{\infty} \frac{\omega' \varepsilon_2(\omega')}{\omega'^2 - \omega^2} d\omega'. \end{aligned} $$

## 2. Champ électrique effectif agissant sur les électrons

Pour des milieux considérés comme continus, il figure dans les équations de Maxwell des champs macroscopiques, définis à une échelle grande devant la distance interparticulaire $n^{-1/2}$. Cependant, le champ effectif vu par les charges représente la moyenne spatio-temporelle des champs microscopiques qui varient beaucoup aux voisinages de ces charges. Il est donc nécessaire de relier le champ effectif au champ microscopique.

D'autres définitions du champ effectif ont été utilisées (Cf. Panovski et Phillips, 1955), comme celle identifiant ce champ à celui qui règne au centre d'une cavité, forée à l'intérieur du milieu. Ce champ au centre résulte alors de la superposition du champ extérieur et du champ dû à la polarisation du milieu entourant la cavité (la contribution au champ des charges voisines de la charge considérée, contenues dans la région où la cavité a été forée, étant nulle). En particulier, dans le cas d'une molécule fixée en un point d'un solide, on est conduit, par raison de symétrie, à prendre une cavité sphérique centrée sur la molécule, ce qui conduit à l'expression

$$ (A-2.1) \qquad E_{eff} = E + \frac{P}{3\varepsilon_0} $$

où $P/3\varepsilon_0$ est la polarisation de Lorentz. Mais ce champ représente la moyenne temporelle, au point fixé où se trouve la molécule.

L'application de (A-2.1) aux plasmas a été tentée et conduit à des difficultés (Cf. par ex. Ginzburg, 1964). En fait, dans un plasma, la situation physique est très
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se traduit par un ralentissement et par une diffusion des particules dans l'espace des vitesses. Ces effets ont été étudiés en détail par Chandrasekhar (1943) et par Spitzer (1956). L'équation de Boltzmann se réduit alors à l'équation de Fokker-Planck, dans laquelle les coefficients de ralentissement et de diffusion s'expriment à l'aide du paramètre $\Lambda$. Une forme équivalente du terme de collision avait été donnée par Landau (1936) [Cf. aussi Thomson, 1964, où cette équivalence est montrée].

Sans entrer dans les calculs compliqués de la théorie cinétique, des expressions approchées pour $v_{en}$ et $v_{ei}$ ont été données au § 1.5 et sont en général acceptables pour estimer leur ordre de grandeur. Plus précisément, avec $v \sim (3KT_e/m_e)^{1/2}$ (10.1.2) devient

$$ (10.1.3) \qquad v_{ei} = 2,7 \cdot 10^{-6} n_i T_e^{2/3} \log \Lambda $$

qui, pour $\log \Lambda \sim 10$, conduit à une fréquence de collision de l'ordre de cinq fois celle définie en (1.5.6), en accord avec (1.5.8).

Dans le cas où les collisions entre particules chargées sont dominantes, la distribution des particules reste pratiquement maxwellienne et on cherche, comme dans le cas des gaz neutres (méthode de Chapman-Enskog : Cf. par ex. Chapman et Cowling, 1939), une solution de l'équation de Boltzmann de la forme

$$ f(r, v, t) = f_0(r, v, t) [1 + \Phi(r, v, t)] $$

où $f_0$ est la distribution maxwellienne locale et $\Phi \ll 1$. L'application de cette méthode aux plasmas (Landshoff, 1949) permet de décrire, au premier ordre en $\Phi$, les phénomènes de transport (essentiellement les conductivités électriques et thermiques) en magnétohydrodynamique des gaz complètement ionisés. Le même problème a été aussi traité à partir de l'équation de Fokker-Planck (Cf. par ex. Spitzer et Härm, 1953).

## 10.2. Transfert de quantité de mouvement par les chocs. Fréquences effectives de collision

### Coefficient de frottement et fréquence de collision 10.2.1

Établissons tout d'abord la relation entre le terme de frottement de l'équation de mouvement de l'électron libre, et la fréquence de collision. Si $-gv$ est la force de frottement, l'équation du mouvement sous l'action du champ $E = E_0e^{-i\omega t}$ s'écrira

$$ (10.2.1) \qquad m \frac{dv}{dt} = qE_0 e^{-i\omega t} - gv $$

d'où

$$ (10.2.2) \qquad v = \frac{qE_0}{g - im\omega} e^{-i\omega t}. $$

En fait cette équation ne décrit qu'un mouvement fictif, où le terme $gv$ représente l'effet moyen des collisions sur le mouvement et où $v$ est la vitesse moyenne prise
$$ egin{aligned} k \cdot \bar{S} &= \frac{1}{2} \Re e \left[ (k \times E) \cdot H^* \right] = -\frac{1}{2} \Re e \left[ (k \times H^*) \cdot E \right] \\ &= 2\omega \bar{W}_M = \frac{1}{4} \omega \epsilon_0 (E^* \cdot \mathbf{k} \times E + E \cdot \mathbf{k}^* \times E^*). \end{aligned} $$

Par une transformation analogue à celle du paragraphe précédent, avec la partie hermitique $\mathbf{k}_h$ du tenseur $\mathbf{k}$, $\mathbf{k}_h = \frac{1}{2}(\mathbf{k} + \mathbf{k}^\dagger)$, il vient, pour les densités d'énergie moyennes

$$ (9.2.3) \qquad k \cdot \bar{S} = 2\omega \bar{W}_M = 2\omega \bar{W}_{EP} $$

où $\bar{W}_M$ est défini en (5.2.10), et en posant

$$ (9.2.4) \qquad \bar{W}_{EP} = \frac{1}{4} \epsilon_0 E^* \cdot \mathbf{k}_h \cdot E. $$

Il résulte de (9.2.3) la relation

$$ (9.2.5) \qquad \bar{W}_M = \bar{W}_{EP} $$

qui correspond à (5.5.20), et exprime l'égalité entre les deux formes d'énergies, magnétique d'une part, et, d'autre part, électrostatique et associée aux particules. Mais $\bar{W}_{EP}$ ne représente pas la somme des énergies moyennes électrostatique et cinétique des particules (Cf. (5.20)); par conséquent, nous allons le voir, la somme $\bar{W}_M + \bar{W}_{EP}$ n'est pas la densité moyenne d'énergie totale.

## 9.3. Théorème de Poynting pour un milieu faiblement dissipatif (k réel, fréquence complexe)

Pour une variation temporelle en $e^{-i\alpha t}$ avec $\alpha = \omega - i\gamma$, les équations de Maxwell s'écrivent

$$ (9.3.1) \qquad \begin{cases} \nabla \times E = i\alpha\mu_0 H \\ \nabla \times H = -i\alpha\epsilon_0 \mathbf{k} \cdot E. \end{cases} $$

D'après (5.2.6), il vient

$$ (9.3.2) \qquad \nabla \cdot S = \frac{i}{4} [(\alpha - \alpha^*) \mu_0 H \cdot H^* + \epsilon_0 E^* \cdot (\alpha \mathbf{k} - \alpha^* \mathbf{k}^\dagger) \cdot E] e^{-2\gamma t} $$

où $\mathbf{k} = \mathbf{k}(\alpha)$. En développant $\mathbf{k}$ ($\omega - i\gamma$) au voisinage de $\omega$ réelle, avec $\gamma \ll \omega$, on a, au premier ordre en $\gamma$

$$ \mathbf{k}(\alpha) = \mathbf{k}(\omega) - i\gamma \frac{\partial}{\partial\omega} \mathbf{k}(\omega) $$

soit

$$ (9.3.3) \qquad \begin{cases} \mathbf{k}_h(\alpha) = \mathbf{k}_h(\omega) + \gamma \frac{\partial}{\partial\omega} \mathbf{k}_a(\omega) \approx \mathbf{k}_h(\omega) \\ \mathbf{k}_a(\alpha) = \mathbf{k}_a(\omega) - \gamma \frac{\partial}{\partial\omega} \mathbf{k}_h(\omega) \end{cases} $$
$$
\text{où}
\[
z_n^{(s)} = \frac{\omega - n\omega_b}{k_{\parallel} a_e}, \quad z_n^{(f)} = \frac{\omega + n\Omega_b}{k_{\parallel} a_i}, \quad \lambda_s = \frac{1}{2} \frac{k_1^2 a_s^2}{\omega_b^2} = \frac{\text{KT}_s}{m_s} \frac{k_1^2}{\omega_b^2}, \quad a_s^2 = \frac{2\text{KT}_s}{m_s}
\]
\begin{equation} \tag{8.1.6}
\begin{aligned}
Z_n &= Z(z_n) \quad Z'_n &= Z'(z_n) = \frac{d}{dz_n} Z_n \\
\intertext{la fonction Z étant définie en (7.4.23),}
F_n(\lambda) &= \lambda^{-1} I_n(\lambda) \\
G_n(\lambda) &= \lambda I_n''(\lambda) + (1 - 2\lambda) I_n'(\lambda) + \lambda I_n(\lambda) \\
H_n(\lambda) &= I_n'(\lambda) - I_n(\lambda) \\
I_n(\lambda) &\text{ étant la fonction de Bessel modifiée, du \textit{n}ième ordre} \\
&\quad [I_n(\lambda) = i^{-n} J_n(i\lambda)] \text{ et } I'_n, I''_n, \dots \text{ ses dérivées par rapport à } \lambda.
\end{aligned}
\end{equation}
$$

Les expressions (8.1.5), sommées sur tous les n entiers, sont d'une utilisation pratique assez difficile. Nous allons tout d'abord en étudier la limite pour les grandes longueurs d'onde ($z_n \gg 1$) en excluant les voisinages des résonances gyromagnétiques.

## 8.2. Limite des grandes longueurs d'ondes. Comparaison avec les résultats de la théorie adiabatique

### Limite des grandes longueurs d'ondes 8.2.1

Cette limite est obtenue pour $k_⊥$ et $k_{\parallel} \to 0$, c'est-à-dire pour les deux conditions (8.2.1) et (8.2.2) :

(8.2.1) $z_0^{(s)} = \frac{\omega}{k_{\parallel} a_s} \gg 1$ (et donc $z_n^{(s)} = \frac{\omega + n\omega_b}{k_{\parallel} a_s} \gg 1$, en excluant les voisinages des résonances gyromagnétiques et de leurs harmoniques),

$$ (8.2.2) \qquad \lambda_s = \frac{k_1^2 a_s}{2\omega_b^2} \ll 1 $$

$$
\text{d'où } \left. \begin{array}{l} I_n(\lambda) = I_{-n}(\lambda) \approx \frac{1}{n!} \left(\frac{\lambda}{2}\right)^n \left[1 + \frac{1}{n+1} \left(\frac{\lambda}{2}\right)^2 + \dots \right] \\ z_n Z_n \sim -1 \\ z_n^2 Z_n' \sim 1 \end{array} \right\} \text{en négligeant les termes en } e^{-z_n^2} \ll 1.
$$

En portant ces développements dans (8.1.4), (8.1.5), (8.1.6), on obtient pour les composantes de $\kappa_{\alpha\beta}$, des expressions identiques aux expressions (6.5.1) obtenues par la théorie adiabatique.

### Domaine de validité de la théorie adiabatique : Approximation des plasmas tièdes 8.2.2

L'identité, aux termes d'amortissement près, des résultats microscopique et macroscopique, justifie la validité de l'hypothèse adiabatique dans les domaines définis par (8.2.1) et (8.2.2).
Dans le chapitre précédent, l'équation de dispersion des ondes planes a été établie sans aucune restriction concernant le tenseur diélectrique caractérisant le milieu. L'objet de ce chapitre est d'appliquer ces résultats aux magnétoplasmas, en se plaçant, pour des raisons de simplicité, dans l'approximation des plasmas froids. Ce modèle permet de déduire l'essentiel des caractéristiques de la propagation. Après l'étude du cas isotrope, et la définition, quand $B_0$ n'est plus nul, des propriétés des ondes principales (en propagation parallèle ou perpendiculaire à $B_0$), on recherche les modes propres en propagation oblique; les résultats sont représentés sur le diagramme CMA (Clemmov, Mullaly, Allis); les limites des très hautes fréquences (équation d'Appleton-Hartree) et des très basses fréquences (ondes d'Alfvèn) sont étudiées en détail.

## 3.1. Le modèle plasma froid

Ce modèle suppose que les particules du milieu sont immobiles en l'absence de perturbation et que sous l'action du champ électromagnétique de l'onde, elles oscillent autour de leur position d'équilibre fixe dans l'espace. Cela revient à négliger l'agitation thermique de ces particules devant leur mouvement d'oscillation.

Les champs E et B des équations de Maxwell étant définis comme des moyennes spatio-temporelles des champs microscopiques, nous allons considérer les mêmes moyennes relatives aux particules. Les particules de chaque espèce $s$ sont caractérisées par leur densité $n_s(r, t)$ et leur vitesse moyenne $v_s(r, t)$ satisfaisant aux équations des fluides :

— Équation de conservation du nombre total de particules :

$$ (3.1.1) \qquad \frac{\partial}{\partial t} n_s + \nabla \cdot (n_s v_s) = 0. $$

— Équation de conservation de la quantité de mouvement :
<figure><img src="image_3.png" /></figure>
le long de Oz (en tenant compte de (4.1.16) dans (4.1.18)); et, dans le plan xOy
(en tenant compte de (4.1.11) et de (4.1.13)), elles s'écrivent

$$
(4.1.19) \quad \left( -\alpha^2 + \frac{\omega^2}{c^2} \boldsymbol{\kappa}_\perp \cdot \right) \mathbf{E}_\perp = i\alpha \nabla_\perp \mathbf{E}_\parallel + i\omega \mu_0 \nabla_\perp \times \mathbf{H}_\parallel
$$

$$
(4.1.20) \qquad \alpha^2 \mathbf{H}_{\perp} = -i\alpha \nabla_{\perp} \mathbf{H}_{\parallel} + \omega \varepsilon_0 \alpha \times (\mathbf{k}_{\perp} \cdot \mathbf{E}_{\perp}).
$$

Avec (4.1.12), (4.1.20) peut se mettre sous une des formes équivalentes à (4.1.19)

$$
(4.1.21) \left( -\alpha^2 + \frac{\omega^2}{c^2} \kappa_3 \right) \mathbf{H}_{\perp} = i\alpha \nabla_{\perp} \mathbf{H}_{\parallel} - i\omega \varepsilon_0 \kappa_3 \nabla_{\perp} \times \mathbf{E}_{\parallel} - \omega \varepsilon_0 \alpha \times [(\kappa_1 - \kappa_3)\mathbf{1}) \cdot \mathbf{E}_{\perp}]
$$

$$
(4.1.22) \left( -\alpha^2 + \frac{\omega^2}{c^2} \right) \mathbf{H}_{\perp} = i\alpha \nabla_{\perp} \mathbf{H}_{\parallel} - i\omega \varepsilon_0 \nabla_{\perp} \times \mathbf{E}_{\parallel} - \omega \varepsilon_0 \alpha \times [(\mathbf{k}_{\perp} - \mathbf{1}) \cdot \mathbf{E}_{\perp}].
$$

Les conditions aux limites traduiront, à la traversée de la surface de séparation,
la continuité de la composante tangentielle du champ E (relativement à cette surface
de séparation), et la continuité de la composante normale de H, puisque B = μ₀H :
ces conditions s'écrivent, n étant un vecteur unitaire normal à la surface de sépa-
ration, orienté du milieu 1 vers le milieu 2

$$
(4.1.23) \qquad \mathbf{n} \times (\mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1) = 0
$$

et

$$
(4.1.24) \qquad \mathbf{n} \cdot (\mathbf{H}_2 - \mathbf{H}_1) = 0.
$$

Lorsque la surface limite peut supporter des densités superficielles de charges
σs et de courant jss, telles que

$i\omega\sigma_s = \nabla \cdot j_s$

la continuité de la composante normale de l'induction électrique D = ε ⋅ E et
de la composante tangentielle du champ magnétique H s'expriment alors par

$$
(4.1.25) \qquad \mathbf{n} \cdot (\mathbf{D}_2 - \mathbf{D}_1) = \sigma_s
$$

et

$$
(4.1.26) \qquad \mathbf{n} \times (\mathbf{H}_2 - \mathbf{H}_1) = \mathbf{j}_s.
$$

En fait, on n'aura besoin pratiquement d'exprimer qu'une seule de ces conditions
aux limites (4.1.23) et (4.1.24). Les conditions (4.1.25) et (4.1.26) permettront de
déterminer les densités superficielles de charge ou de courant.

4.2. Ondes guidées dans le vide

Nous allons rappeler brièvement les résultats principaux de la propagation des
ondes guidées par des conducteurs métalliques parfaits.

Dans le vide **x** = **1**: alors, d'après (4.1.15) et (4.1.11)

$$
\nabla_{\perp} \cdot \mathbf{E}_{\perp} = -i\alpha E_{\parallel} \quad \text{et} \quad \nabla_{\perp} \times (\mathbf{k}_{\perp} \cdot \mathbf{E}_{\perp}) = i\omega\mu_0 \mathbf{H}_{\parallel}
$$
## 5.2. Valeurs moyennes dans le temps

Les champs, vitesses, etc., ont été représentés par des grandeurs du type $A = A_0e^{-\alpha t}$, où $A_0$ est complexe : en fait, on ne s'intéresse, par exemple, qu'à la quantité $\mathcal{R}eA$. Les densités et les flux d'énergie seront donc des produits de telles grandeurs, du type $\mathcal{R}eA \cdot \mathcal{R}eB$.

Lorsque $\alpha = \omega$ est réelle, ces produits contiendront des termes oscillants à la fréquence $2\omega$ et des termes constants : les premiers auront une valeur moyenne nulle dans le temps et nous ne nous intéresserons donc qu'à la partie non oscillante. En particulier, il en résultera que la densité d'énergie magnétique, dans un magnétoplasma, dont l'expression instantanée est $W_M = \frac{1}{2\mu_0}(\mathbf{B}_0 + \mathbf{B}_1)^2$, où $\mathbf{B}_1$ est l'induction magnétique de l'onde, aura pour valeur moyenne dans le temps

$$ \langle W_M \rangle = \frac{1}{2\mu_0} \langle B_0^2 + 2\mathbf{B}_0 \cdot \mathbf{B}_1 + B_1^2 \rangle $$

où $\langle \mathbf{B}_0 \cdot \mathbf{B}_1 \rangle = \mathbf{B}_0 \cdot \langle \mathbf{B}_1 \rangle = 0$. En laissant de côté l'énergie magnétostatique $B_0^2/2\mu_0$, on aura donc

$$ \bar{W}_M = B_1^2/2\mu_0. $$

On définira la valeur moyenne, dans le temps, d'un produit AB par

$$ \langle AB \rangle = \langle \mathcal{R}eA \mathcal{R}eB \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} (\mathcal{R}eA \mathcal{R}eB) dt $$

où $T$ représente un temps long devant la période $\tau_0$ : nous prendrons pour $T$ un grand nombre de périodes $T = n\tau_0$.

Dans le cas où $\alpha = \omega$ est réelle, cette moyenne s'identifie avec la moyenne du produit sur une période, que nous noterons

$$ (5.2.1) \qquad \overline{AB} = \overline{\mathcal{R}eA \cdot \mathcal{R}eB} = \tau_0^{-1} \int_0^{\tau_0} (\mathcal{R}eA \mathcal{R}eB) dt $$

soit,

$$ (5.2.2) \qquad \overline{AB} = \frac{1}{4} (A_0 B_0^* + A_0^* B_0) = \frac{1}{2} \mathcal{R}e (A_0 B_0^*). $$

En particulier, on définira le flux moyen d'énergie $\overline{S}$, ou vecteur de Poynting moyen<fnref n="1" />, par

$$ \overline{S} = \frac{1}{4} (\mathbf{E}_0 \times \mathbf{H}_0^* + \mathbf{E}_0^* \times \mathbf{H}_0) = \frac{1}{2} \mathcal{R}e (\mathbf{E}_0 \times \mathbf{H}_0^*). $$

<footnote n="1">1. Certains auteurs définissent un vecteur de Poynting complexe $\mathbf{S} = \mathbf{P} + i\mathbf{Q} = \frac{1}{2}(\mathbf{E} \times \mathbf{H}^*)$ séparant le flux moyen d'énergie en partie active (P) et partie réactive (Q). On a évidemment $\mathbf{P} = \overline{\mathbf{S}}$.</footnote>
la singularité $v = \frac{\omega}{k}$ ne permet pas de donner un sens à cette équation. Néanmoins, s'il n'y a pas de particules résonnantes, l'intégrale dans (7.2.2) est définie et cette équation (7.2.3) est une véritable relation de dispersion.

Cette dernière situation est réalisée lorsqu'on considère un système constitué d'un nombre fini de faisceaux de particules, parallèles entre eux et de vitesses respectives $V_{sj}$ bien déterminées : on a alors

$$ (7.2.3) \qquad f_{0s}(w) = \sum_j n_{sj} \delta(w - V_{sj}) $$

où $\delta$ est la fonction de Dirac.

Pour des faisceaux tous dirigés dans la direction de $k$, (7.2.3) portée dans (7.2.2.) donne l'équation de dispersion (en se limitant aux électrons)

$$ (7.2.4) \qquad R(k, \omega) = 1 - \sum_j \frac{\omega_{pj}^2}{(\omega - kV_j)^2} = 0 $$

où $\omega_{pj} = q_e^2 n_{ej} / \epsilon_0 m_e$ est la fréquence plasma associée au faisceau de densité électronique $n_{ej}$.

Pour 5 faisceaux, la fonction $R(k, \omega)$ est représentée, à $k$ réel fixé, sur la figure (7.1), en fonction de $\omega$. Les solutions $R(k, \omega) = 0$ donnent, entre deux valeurs $kV_j$ consécutives, deux solutions pour $\omega$, certains couples de solutions pouvant être des couples de complexes conjugués. En plus, il existe une solution inférieure au plus petit $kV_j$, une autre supérieure au plus grand.

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>FIGURE 7.1. Modèle multifaisceau : solutions de l'équation de dispersion (7.2.4)</figcaption></figure>

Un ensemble infini de faisceaux constitue un modèle possible pour un plasma chaud, chaque faisceau étant, à la limite, constitué d'une seule particule. Il résulte de ce qui précède que, pour chaque valeur de $k$ donnée, il pourra exister un nombre
DANIEL QUÉMADA, ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de sciences physiques, maître de conférences à la Faculté des sciences de Paris, est né en 1930. Spécialisé dans l'étude de la propagation des ondes dans les plasmas, il a récemment orienté ses recherches vers les applications rencontrées dans l'ionosphère et la magnétosphère.

LE MANUSCRIT de cet ouvrage a été reçu en août 1967. La préparation du texte et la mise au point des illustrations ont pris fin en octobre 1967. Mis en composition le 13 octobre, le livre a été achevé d'imprimer le 7 mai 1968.

© HERMANN, PARIS, 1968

Tous droits de reproduction, même fragmentaire, sous quelque forme que ce soit, y compris photographie photocopie, microfilm, bande magnétique, disque, ou autre, réservés pour tous pays.
Longueur de Debye 1.4.1

Considérons une charge *q* au sein du plasma. Elle se trouve entourée d'un certain nombre de charges de signe opposé qui tendent à neutraliser le champ coulombien de la charge *q* : c'est l'effet d'écran de Debye, observé dans les électrolytes.

Un premier critère permettant de caractériser le comportement collectif résulte de la comparaison de l'ordre de grandeur L des dimensions du système, à la distance $\lambda_D$ au-delà de laquelle l'effet d'écran est effectif. Cette longueur a été calculée pour la première fois par Debye et vaut (en unités MKSA rationalisées)

$$ (1.4.1) \qquad \lambda_D = \left( \frac{\epsilon_0 KT}{nq^2} \right)^{1/2} $$

où $\epsilon_0$ est la constante diélectrique du vide, KT l'énergie thermique des particules, *n* et *q* la densité et la charge des particules; pour les électrons, on a donc :

$$ (1.4.2) \qquad \lambda_{De} \approx 7 \cdot 10^3 \sqrt{\frac{KT}{n}} \text{ mètres} $$

où KT est exprimé en eV (1eV correspond à 11.600 °K) et la densité *n* en $m^{-3}$.

Si $\lambda_D$ » L, les effets d'écran, c'est-à-dire les effets collectifs, ne pourront pas être observés. Ce sera le contraire si

$$ (1.4.3) \qquad \lambda_D \ll L. $$

La condition (1.4.3) est la condition fondamentale nécessaire pour observer les effets de plasma dans un gaz de particules chargées. Elle peut être mise sous la forme,

$$ (1.4.4) \qquad KT \ll \frac{nq^2L^2}{\epsilon_0} = \frac{nqL^3}{L\epsilon_0} \qquad q \approx Vq $$

où $V = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 L} = \frac{L^3 nq}{3\epsilon_0 L}$ est le potentiel à l'intérieur d'une sphère de rayon L, remplie de charges *q*, de densité *n*. L'équation (1.4.4) signifie donc que l'énergie électrique de la charge, due à la charge d'espace (en l'absence de charges de signe opposé), est beaucoup plus grande que son énergie thermique $\frac{1}{2}KT$ (il s'agit ici du mouvement radial, à un seul degré de liberté, qui seul affecte la distribution de potentiel<fnref n="1" />). Cette condition signifie donc que les mouvements thermiques sont négligeables devant les mouvements collectifs induits par la charge d'espace; elle aurait pu d'ailleurs être posée dès le départ pour définir $\lambda_D$.

La figure 1.1 indique les valeurs de $\lambda_{De}$ dans les plasmas usuels.

<footnote n="1">1. Lorsqu'un champ magnétique est présent, le concept de longueur de Debye ne garde plus son sens transversalement à ce champ magnétique (Cf. § 1.6).</footnote>
ou non. Nous nous placerons dans le cas, le plus fréquent, où l'agitation thermique des électrons est plus grande que celle des ions ($a_e \gg a_l$).

a) Pour en préciser les conditions de validité remarquons que si $B_0$ est nul il existe dans le plasma deux échelles de longueur, associées à la vitesse d'agitation thermique $a$ des électrons :

— le l.p.m. $l = av^{-1}$, si $v$ est la fréquence de collision,

— la distance $L = a\omega^{-1}$, parcourue en moyenne pendant une période.

Une théorie locale (à l'échelle de la longueur d'onde $\lambda$) sera valable pourvu que :

— $\lambda \gg l$, s'il y a beaucoup de collisions ($v \gg \omega$),

— $\lambda \gg L$, s'il n'y a pas de collision ($v \ll \omega$); dans ce cas cela signifie que la distribution des particules ne s'est pas notablement modifiée, à cette échelle $\lambda$, pendant une période $\omega^{-1}$.

Dans le premier cas (hydrodynamique des fluides et plasmas collisionnels), on a donc $\lambda \gg a\omega^{-1}$ et $\omega \ll v$, soit $\lambda\omega \simeq v\phi \le a$ : toutes les vitesses de phase sont possibles, en particulier celles qui sont voisines de $a$; les ondes du type sonore seront donc décrites de façon satisfaisante.

Dans le second cas (plasmas sans collision), $\lambda \gg a\omega^{-1}$, c'est-à-dire $\lambda\omega \simeq v\phi \gg a$ : seules les ondes « rapides », de vitesses de phase beaucoup plus grandes que la vitesse thermique, seront correctement décrites. Pour étudier les ondes très lentes $v\phi \le a$, il faudra revenir à la description microscopique, qui montrera des effets d'amortissement importants (amortissement Landau), traduisant les effets de particules résonnantes (Cf. chap. 7 et 8).

b) Lorsque $B_0 \neq 0$, les considérations précédentes s'appliquent encore au mouvement le long de $B_0$; mais dans la direction perpendiculaire, il existe une troisième longueur associée à $a$: le rayon de giration $r_b$ des particules de vitesse $a$

$$r_b = a\omega_b^{-1}.$$

— Si $r_b \ll l$ (c'est-à-dire si $\omega_b \ll v$ : il y a beaucoup de collisions pendant une période cyclotron), le champ magnétique ne joue pas un rôle fondamental; les mouvements parallèle et perpendiculaire (relativement à $B_0$) ne sont pas découpés : il n'y a pas de différence essentielle avec le cas précédent.

— Si $r_b \ll l$ ($\omega_b \ll v$ : il y a beaucoup de rotations entre deux collisions), c'est $r_b$, et non plus $l$, qui représente le l.p.m. transversal; les mouvements parallèle et perpendiculaire seront découpés : on définira des longueurs d'onde $\lambda_{\parallel}$ et $\lambda_{\perp}$, et des vitesses de phase $v_{\phi/\parallel}$ et $v_{\phi/\perp}$, relativement aux perturbations se propageant parallèlement et perpendiculairement à $B_0$, et la description locale exigera

$$ \begin{cases} \lambda_{\parallel} \gg l & \text{ou } L, \text{ suivant que } \omega \ll v \text{ ou } \omega \gg v \\ \lambda_{\perp} \gg r_b & \text{ou } L, \text{ suivant que } \omega < \omega_b \text{ ou } \omega > \omega_b \end{cases} $$

— pour $\omega > \omega_b \gg v$, il faut donc que

$$ \begin{cases} v_{\phi/\parallel} \gg a \\ v_{\phi/\perp} \gg a \end{cases} \quad (\lambda_{\perp} \gg L) $$
différente, et seules les moyennes spatio-temporelles des champs ont un sens. Ces champs moyens s'identifient avec les champs macroscopiques figurant dans les équations de Maxwell (Rosenfeld, 1951). Un calcul rigoureux du champ effectif (Kadomtsev, 1957), tenant compte des faibles corrélations entre les mouvements des différentes particules (calcul au premier ordre en Γ; Cf. (1.4.8) et §1.6.1), conduit à un champ effectif qui ne diffère du champ macroscopique figurant dans les équations de Maxwell, que par des termes d'ordre 1 en Γ. Dans l'approximation de Vlasov, on peut donc confondre le champ effectif moyen et le champ macroscopique.

### 3. Tenseur de Green — Rayonnement d'un dipôle dans un plasma froid

Forme générale de $g_{\omega}(k)$ 3.1

Cette forme a été donnée par Kogelnik (1960). Nous la préciserons en fonction du vecteur indice N. La relation (5.6.14) s'écrit

$$(NN - N^2 \mathbf{1} + \kappa) \cdot g_{\omega}(N) = - \frac{1}{i\omega\epsilon_0} \mathbf{1}$$

d'où

$$(A-3.1) \qquad g_{\omega}(N) = \frac{i \Lambda(N)}{\omega \epsilon_0 \Delta_{\omega}(N)}$$

où

$$(A-3.2) \qquad \Delta_{\omega}(N) = \mathcal{A}N^4 - \mathcal{B}N^2 + \mathcal{C} = \mathcal{A}(N^2 - N_1^2)(N^2 - N_2^2)$$

$\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}$ étant donnés en (3.4.3) et $N_1^2$ et $N^2$ étant les deux solutions de $\Delta_{\omega}(N) = 0$, étudiées au chapitre 3; et

$$(A-3.3) \qquad \Lambda(N) = N^2NN - N^2L + M$$

où, pour $N = (N \cos \varphi \sin \theta, N \sin \varphi \sin \theta, N \cos \theta)$

$$(A-3.4) \qquad L = \begin{pmatrix} L_{xx} & L_{xy} & L_{xz} \\ L_{yx} & L_{yy} & L_{yz} \\ L_{zx} & L_{zz} & L_{zz} \end{pmatrix}$$

où

$$L_{xx} = \kappa_1 \sin^2\theta + \kappa_3 (1 - \sin^2\varphi \sin^2\theta)$$

$$L_{xy} = (i\kappa_2 + \kappa_3 \sin\varphi \cos\varphi) \sin^2\theta$$

$$L_{xz} = \sin\theta \cos\theta (\kappa_1 \cos\varphi + i\kappa_2 \sin\varphi)$$

$$L_{yz} = (-i\kappa_2 + \kappa_3 \sin\varphi \cos\varphi) \sin^2\theta$$

$$L_{yy} = \kappa_1 \sin^2\theta + \kappa_3 (1 - \cos^2\varphi \sin^2\theta)$$

$$L_{yz} = \sin\theta \cos\theta (\kappa_1 \sin\varphi - i\kappa_2 \cos\varphi)$$

$$L_{zx} = \sin\theta \cos\theta (\kappa_1 \cos\varphi - i\kappa_2 \sin\varphi)$$

$$L_{zy} = \sin\theta \cos\theta (\kappa_1 \sin\varphi - i\kappa_2 \cos\varphi)$$

$$L_{zz} = \kappa_1 (1 + \cos^2\theta)$$
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par les électrons sous les effets conjugués du champ et des collisions. Suivant Ratcliffe (1959), calculons directement cette vitesse moyenne. La vitesse instantanée d'un électron libre contient deux contributions, l'une due au mouvement désordonné sous l'action des chocs, l'autre due au mouvement ordonné sous l'action du champ E. On suppose qu'après chaque collision, toute l'énergie acquise à cet instant, dans le champ, est transférée à l'énergie thermique (donc le gaz s'échauffe) : la vitesse ordonnée juste après le choc est donc nulle. Le mouvement ordonné est décrit par

$$m \frac{dv}{dt} = qE_0 e^{i\omega t}$$

soit

$$v(t) = \frac{qE_0}{-im\omega} e^{-i\omega t} + C^{te}.$$

Pour la collision ayant lieu à $t = t_1$, on a $v = 0$; entre les deux collisions ayant lieu à $t = t_1$ et $t = t_2$, la vitesse a pour expression

$$(10.2.3) \qquad v(t) = \frac{qE_0}{-im\omega} e^{-i\omega t} (1 - e^{i\omega\theta}), \quad \forall t_1 < t < t_2$$

en posant $\theta = t - t_1$. Pour $t$ donné, (10.2.3) s'interprète comme la vitesse ordonnée d'un électron ayant subi sa dernière collision $\theta$ secondes avant l'instant $t$. Pour calculer la vitesse moyenne $v(t)$, on doit donc trouver le nombre d'électrons ayant subit une collision entre $\theta$ et $\theta + d\theta$. Or, nous avons vu au § 1.5 que le nombre d'électrons effectuant une collision au bout d'un trajet $x$ est (Cf. (1.5.1))

$$n = n_0 e^{-N\zeta x}$$

soit, avec $x = \bar{v}(t - t_1) = \bar{v}\theta$, d'où $N_c x = N_c \bar{v}\theta = \nu_c \theta$

$$n = n_0 e^{-\nu_c \theta}.$$

Par suite le nombre d'électrons cherché est

$$dn = - \nu_c n_0 e^{-\nu_c \theta} d\theta.$$

La vitesse moyenne à l'instant $t$ est donc

$$\bar{v} = \frac{1}{n_0} \int_{t_1 = -\infty}^{t_1 = t} v(t) dn \\ = \nu_c \frac{qE_0}{im\omega} e^{-i\omega t} \int_{\infty}^{0} (1 - e^{-i\omega\theta}) e^{-\nu_c\theta} d\theta$$

où l'intégrale vaut $-\left[ \frac{1}{\nu_c} + \frac{1}{i\omega - \nu_c} \right]$.
puisque $\kappa_a(\omega)$ est lui-même du premier ordre en $\gamma$ (ce que l'on vérifiera par la suite). Alors

$$ 
\begin{aligned}
\alpha \kappa(\alpha) - \alpha^* \kappa^\dagger(\alpha) &= -2i [\gamma \kappa_h(\alpha) - \omega \kappa_a(\alpha)] \\
&= -2i \left\{ \gamma [\kappa_h(\omega) + \omega \frac{\partial}{\partial \omega} \kappa_h(\omega)] - \omega \kappa_a(\omega) \right\}.
\end{aligned}
$$

D'où

$$ (9.3.4) \qquad \alpha \kappa(\alpha) - \alpha^* \kappa^\dagger(\alpha) = -2i \left\{ \gamma \frac{\partial}{\partial \omega} [\omega \kappa_h(\omega)] - \omega \kappa_a(\omega) \right\}. $$

En portant (9.3.4) dans (9.3.2), il vient

$$ (9.3.5) \qquad \nabla \cdot \bar{S} = \left\{ 2\gamma \left[ \frac{1}{4} \mu_0 H^* \cdot H + \frac{1}{4} \varepsilon_0 E^* \cdot \left( \frac{\partial}{\partial \omega} [\omega \kappa_h(\omega)] \right) \cdot E \right] \right. \\ \left. - \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^* \cdot \omega \kappa_a(\omega) \cdot E \right\} e^{-2\gamma} $$

qui peut s'écrire, en interprétant le terme en $2\gamma$ d'après (5.2.5)

$$ (9.3.6) \qquad \nabla \cdot \bar{S} + \frac{\partial \bar{W}_0}{\partial t} = - \frac{\partial \bar{W}_D}{\partial t} $$

où, en accord avec (9.1.3) (il n'y avait pas le facteur $e^{-2\gamma t}$ puisqu'alors $\gamma$ était nul)

$$ (9.3.7) \qquad \frac{\partial \bar{W}_D}{\partial t} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^* \cdot \omega \kappa_a(\omega) \cdot E \cdot e^{-2\gamma t} $$

et où

$$ (9.3.8) \qquad \bar{W}_0 = \bar{W}_M + \bar{W}_e \quad \text{avec} \quad \bar{W}_e = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E^* \cdot \frac{\partial}{\partial \omega} [\omega \kappa_h(\omega)] \cdot E \cdot e^{-2\gamma t} $$

apparaît comme la densité d'énergie totale, somme de la densité d'énergie magnétique $\bar{W}_M$ et de la densité d'énergie diélectrique $\bar{W}_e$ (sous forme à la fois de l'énergie électrostatique de l'onde et de l'énergie associée aux mouvements cohérents des particules). Dans (9.3.6), le second membre représente la puissance moyenne $\frac{\partial \bar{W}_D}{\partial t}$ dissipée dans le milieu, par exemple, sous l'effet des collisions ou de l'agitation thermique.

La relation (9.3.6) établit donc le théorème de Poynting pour les milieux anisotropes faiblement dissipatifs et précise, même en l'absence de pertes, l'expression $\bar{W}_0$ de la densité moyenne d'énergie totale du milieu, ce que la description « charges dans le vide » ne nous avait pas permis de faire dans le cas général d'un milieu anisotrope.

Revenons, une fois de plus, aux oscillations longitudinales d'un plasma froid collisionnel; on a, d'après (9.1.5)

$$ \kappa_h = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}. $$
Les expressions (6.5.1), où les corrections de température ne dépendent que des paramètres $\tau_s = \frac{1}{2} \frac{k^2 a_s}{\omega^2}$, ont été établies en posant pour seule hypothèse $\tau \ll 1$. On aurait pu les écrire en utilisant les paramètres $\tau_\tau = \tau \sin^2\theta$ et $\tau_{\parallel} = \tau \cos^2\theta$, avec $\tau_\perp \ll 1$ et $\tau_{\parallel} \ll 1$, conditions qui expriment l'hypothèse adiabatique.

Or, d'après (8.2.1), $\tau_{\parallel} = (2z_0^2)^{-1} \ll 1$ : dans le domaine défini par (8.2.2), l'hypothèse adiabatique est donc vérifiée. D'après (8.2.2), $\tau_\perp = 2\lambda \left(\frac{\omega_b}{\omega}\right)^2$ : pour $\omega > \omega_b$, la condition $\lambda \ll 1$ entraîne évidemment $\tau_\perp \ll 1$; pour $\omega < \omega_b$ la condition $\lambda \ll 1$ est satisfaite si $\tau_\perp \left(\frac{\omega}{\omega_b}\right)^2 \ll 1$, ce qui définit un domaine plus large que celui caractérisé par $\tau_\perp \ll 1$.

La discussion phénoménologique du domaine de validité de l'hypothèse adiabatique (donnée au § 6.2) est donc justifiée par ce qui précède. Naturellement les voisinages des résonances gyromagnétiques et de leurs harmoniques sont exclus de ces domaines.

Dans le plan $(x, N^2)$, ces domaines ont été précisés sur la figure 6.1, correspondant à

$$ (8.2.3) \qquad \begin{cases} N_\parallel^2 \ll c^2/a^2 \\ N_\perp^2 \ll \begin{cases} c^2/a^2 & \text{si } \omega > \omega_b \\ x/\beta & \text{si } \omega < \omega_b \end{cases} \end{cases} $$

où $\beta = 2\mu_0 n_0 KT / B_0^2$; pour $n_0$ et $B_0$ fixés, ce domaine est d'autant plus grand que la température $T$ est plus basse : on retrouve alors la limite des plasmas froids, valable dans tout le plan $(x, N^2)$; plus le champ $B_0$ est fort, plus le domaine de validité est grand, ce qui est en accord avec la limite $B_0 \to \infty$, où seule subsiste l'agitation thermique longitudinale, les rayons de Larmor des particules tendant vers zéro (pour $N_\perp$, la théorie des plasmas froids est applicable; pour $N_\parallel$, la condition $\tau_{\parallel} \ll 1$ doit être maintenue); enfin, si $n_0$ décroît, le domaine s'élargit : c'est la limite du vide, avec l'onde électromagnétique classique.

En conclusion : à l'intérieur du domaine défini par (8.2.3), les effets de l'agitation thermique sur la propagation des ondes n'apporteront que des corrections faibles à la théorie des plasmas froids. Mais pour une onde $(k, \omega)$ donnée, avec $n_0$ et $B_0$ fixés, les conditions (8.2.3) limitent la température : on dira que ces conditions (8.2.3) définissent l'approximation des plasmas tièdes, dénomination préférable, nous semble-t-il, à celle de théorie adiabatique.

A l'extérieur du domaine de validité de cette approximation, on doit s'at-

<footnote n="1">1. Ce sont en fait les termes électroniques qui imposent la condition limite : en effet $\frac{\tau_i}{\tau_e} = \frac{m_e T_i}{m_i T_e} < 10^{-1}$ dans tous les cas pratiques.</footnote>
$$ (3.1.2) \qquad n_s m_s \left[ \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}_s \cdot \nabla \right] \mathbf{v}_s = n_s q_s (\mathbf{E} + \mathbf{v}_s \times \mathbf{B}). $$

En posant, pour toute grandeur $g_s(r, t) = g_s^0 + g_s^1(r, t)$ où $g_s^1 \ll g_s^0$, et, pour les valeurs à l'équilibre

$$ (3.1.3) \qquad n_s^0 = n_{0s} ; \quad \mathbf{v}_s^0 = 0 ; \quad \mathbf{E}^0 = 0 ; \quad \mathbf{B}^0 = \mathbf{B}_0, $$

la linéarisation des équations (3.1.1) et (3.1.2) conduit (en omettant l'indice $s$) à

$$ (3.1.4) \qquad \frac{\partial}{\partial t} n^1 + n_0 \nabla \cdot \mathbf{v}^1 = 0 $$

$$ (3.1.5) \qquad n_0 m \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{v}^1 = n_0 q (\mathbf{E}^1 + \mathbf{v}^1 \times \mathbf{B}_0) $$

Dans (3.1.5), la force due au champ magnétique de l'onde disparaît dans la linéarisation<fnref n="1" />.

L'équation (3.1.5), mis à part le facteur $n_0$, est identique à l'équation de la particule libre : dans le cas des plasmas froids, en effet, toutes les particules vibrent de manière identique avec le champ, et la vitesse moyenne d'un élément du fluide est alors égale à la vitesse individuelle de ses constituants.

## 3.2. Équation de dispersion en l'absence de champ magnétique extérieur

Dans le but de dégager les premiers aspects élémentaires, mais caractéristiques, de la propagation des ondes dans les plasmas, nous allons tout d'abord nous placer dans le cas où $\mathbf{B}_0 = 0$. Pour une variation temporelle en $e^{-i\omega t}$ et en posant, pour toutes les quantités perturbées $g_s^1(r, t) = g_s(k, \omega) e^{i(k \cdot r - \omega t)}$, l'équation (3.1.5) devient alors :

$$ -i\omega \mathbf{v}_s = \frac{q_s}{m_s} \mathbf{E} $$

soit, pour la densité de courant $\mathbf{J}_s = n_{0s} q_s \mathbf{v}_s$ (linéarisée), transportée par les particules $s$

$$ (3.2.1) \qquad \mathbf{J}_s = \frac{i\epsilon_0}{\omega} \omega^2 \mathbf{E} = \sigma_s \mathbf{E} $$

qui définit la conductivité $\sigma_s$, où

$$ (3.2.2) \qquad \omega_{ps} = (n_{0s} q_s / \epsilon_0 m_s)^{1/2} $$

<footnote n="1">1. Nous verrons que dans la description microscopique cette force disparaît aussi, mais pour une raison différente : Cf. note page 245. Remarquons que le rapport de cette force magnétique à la force électrique, $v\tilde{B}/E$ est, d'après (2.4.1a), de l'ordre $kv/\omega = v/v_\phi$ : ce n'est un terme relativiste que dans le vide.</footnote>
$$ (2.1.4) \qquad N = \frac{c}{v_{\varphi}} = \frac{kc}{\omega} $$

où c est la vitesse de la lumière dans le vide.

Dans (2.1.1), le facteur G est l'amplitude, de l'onde définie par les constantes $k$ et $\omega$. On aura donc $G = G(k, \omega)$, caractérisant la solution. Un changement de coordonnées, dans le temps et dans l'espace, donnera d'après (2.1.2), un changement de phase $\Phi' = \Phi + A$, où $A = C^{te}$; dans (2.1.1), cela aura pour effet de multiplier l'amplitude par un facteur $e^{iA}$.

Par ailleurs, les équations de Maxwell sont linéaires. Pour un milieu homogène, infini et stationnaire, ces solutions ondes planes ne vérifieront ces équations de Maxwell que lorsque certaines conditions entre $\omega$ et $k$ seront satisfaites; l'étude des solutions de la relation entre $\omega$ et $k$ est fondamentale parce qu'elles décrivent les propriétés d'absorption, d'amplification ou d'instabilité du milieu (Cf. Convert, 1964). Pour une direction de propagation donnée, nous verrons que ces solutions n'existent que pour des valeurs, en général complexes, $\omega = \omega(k)$ [ou $k = k(\omega)$] selon que $k$ [ou $\omega$] est la donnée réelle du problème considéré.

Dans le premier cas ($k$ réel donné), on cherchera les ondes de forme spatiale donnée qui peuvent exister dans le plasma, c'est-à-dire les *ondes propres* (ou *modes propres*). On aura alors, pour les solutions $\alpha = \omega - i\gamma$, une onde en $e^{-\gamma t} \cdot e^{i(k \cdot r - \omega t)}$, $\omega$ caractérisant la fréquence propre de ces oscillations et $\tau = \gamma^{-1}$ le temps d'amortissement ou de croissance (pour l'onde dans son ensemble).

Dans le second cas, on étudiera le problème de la propagation des ondes de fréquence $\omega$ réelle donnée. Pour les solutions $\beta = k + i\chi$, l'onde plane sera en $e^{-\chi \cdot r} \cdot e^{i(k \cdot r - \omega t)}$ : on aura une vitesse de propagation $v_{\varphi} = \frac{\omega}{k}$ et une distance d'atténuation ou d'amplification $\Lambda = \chi^{-1}$; dans le cas de l'atténuation, cette distance définit, pour une onde incidente et dans le vide, la profondeur de pénétration dans le milieu. Si $k = 0$, il n'y aura plus propagation : on parlera alors d'onde évanescente, pour laquelle les champs, par exemple, décroissent exponentiellement en fonction de la distance.

Bien entendu, lorsque $\chi < 0$ (amplification), ou $\gamma < 0$ (instabilité), la description linéaire tombera en défaut après une certaine longueur de propagation, ou après un certain temps. De tels phénomènes mettent en jeu des mécanismes non linéaires, qui, nous l'avons dit, ne seront pas traités ici.

Il faut remarquer que ces deux cas correspondent généralement à des situations physiques essentiellement différentes. Chercher les solutions $\alpha$ à $k$ donné, sans préciser l'agent excitateur, revient à chercher les *solutions libres* du milieu : ce seront les solutions d'équations différentielles linéaires sans second membre, qu'on a appelées modes propres. Ces équations homogènes ne permettront de préciser l'amplitude des champs, par exemple, qu'à une constante multiplicative près;
qui, portées dans (4.1.17) et (4.1.18), donnent pour les composantes parallèles $F_{\parallel} = E_{\parallel}$ ou $H_{\parallel}$, une équation du type

$$ (4.2.1) \qquad (\nabla_{\perp}^2 + s_0^2) F_{\parallel} = 0 $$

où

$$ (4.2.2) \qquad s_0^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \alpha^2 $$

tandis que les composantes perpendiculaires s'expriment en fonction de $E_{\parallel}$ et $H_{\parallel}$, par (4.1.19) et (4.1.22)

$$ (4.2.3) \qquad E_{\perp} = \frac{i\alpha}{s_0^2} \nabla_{\perp} E_{\parallel} + \frac{i\omega\mu_0}{s_0^2} \nabla_{\perp} \times H_{\parallel} $$

$$ (4.2.4) \qquad H_{\perp} = \frac{i\alpha}{s_0^2} \nabla_{\perp} H_{\parallel} - \frac{i\omega\epsilon_0}{s_0^2} \nabla_{\perp} \times E_{\parallel}. $$

En géométrie cartésienne, la recherche des solutions de (4.2.1) en $e^{\pm ik_x x \pm ik_y y}$ conduit, pour $k = (k_x, k_y, 0)$, à l'équation

$$ k_{\perp}^2 = k_x^2 + k_y^2 = s_0^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \alpha^2 $$

qui, avec $\alpha = k_{\parallel}$, s'écrit $k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}$ c'est-à-dire $N^2 = 1$, identique à la solution en milieu infini.

D'après (4.2.1), les composantes $E_{\parallel}$ et $H_{\parallel}$ sont indépendantes (nous verrons que ce n'est plus le cas dans un plasma en présence d'un champ magnétique); il existe deux types de modes : les modes TM (ou modes E), à champ magnétique transversal : $H_{\parallel} = 0$ et $E_{\parallel} \neq 0$, et les modes TE (ou modes H) à champ électrique transversal : $E_{\parallel} = 0$ et $H_{\parallel} \neq 0$. Le type de solutions de (4.2.1) dépend de la géométrie du système et, pour une géométrie donnée, les conditions aux limites ne seront satisfaites que pour certaines valeurs particulières de $s_0$, formant une suite infinie discrète, dépendant en général de deux paramètres (géométrie à deux dimensions). Ces « valeurs propres » dépendant des conditions aux limites seront désignées dans la suite par $l_{np}$; on parlera alors de mode $TE_{np}$ ou $TM_{np}$. Suivant les cas, on aura $s_0^2 \ge 0$.

Pour la valeur propre $s_0 = l_{np}$, on a donc l'équation de dispersion (relation entre $\alpha$ et $\omega$)

$$ (4.2.5) \qquad \alpha^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - l_{np}^2 $$

qui définit une fréquence de coupure ($\alpha = 0$) pour chaque mode

$$ (4.2.6) \qquad \omega_c^{(np)} = cl_{np}. $$

Pour $\omega < \omega_c^{(np)}$, on aura $\alpha^2 < 0$, c'est-à-dire une onde évanescente dans la direction Oz.
Lorsque $\alpha$ est complexe, $\alpha = \omega - i\gamma$, on a des ondes décroissantes ($\gamma > 0$) ou croissantes ($\gamma < 0$). Le produit $\Re A \Re B$ s'écrit

$$ (5.2.3) \quad \frac{1}{4} (A_0 B_0 e^{-2i\omega t} + A_0^* B_0^* e^{2i\omega t}) e^{-2\gamma t} + \frac{1}{4} (A_0 B_0^* + A_0^* B_0) e^{-2\gamma t} $$

et la valeur moyenne $\overline{AB}$ dépendra, en particulier à travers $e^{-2\gamma t}$, de l'intervalle de temps sur lequel elle est définie. Cependant, dans le cas où $\gamma \ll \omega$, on définira $\overline{AB}$ de la manière suivante : considérons la quasi-période $\tau = 2\pi\omega^{-1}$, centrée sur un instant donné $t$; on pourra considérer le facteur $e^{-2\gamma t}$ comme constant sur cette quasi-période $\tau$: en faisant la moyenne sur $\tau$, les deux premiers termes de (5.2.3) donnent zéro, d'où

$$ (5.2.4) \quad \overline{AB} = \frac{1}{4} (A_0 B_0^* + A_0^* B_0) e^{-2\gamma t}, \quad \gamma \ll \omega $$

en accord avec (5.2.2). Mais alors, cette valeur moyenne $\overline{AB}$ est elle-même une fonction du temps, à variation lente : on pourra définir ses variations sur des temps longs devant la quasi-période $\tau$, conduisant, d'après (5.2.4), à des équations d'évolution de la forme

$$ (5.2.5) \quad \frac{\partial}{\partial t} \overline{AB} = -2\gamma \overline{AB}. $$

Ce qui précède revient à considérer des amplitudes lentement variables pour les grandeurs $A = (A_0 e^{-\gamma t}) e^{-i\omega t} = A_0(t) e^{-i\omega t}$. C'est de cette évolution lente des amplitudes $A_0(t)$, ou des produits $A_0(t) B_0(t) = \Phi(t)$ dont nous allons nous occupe ici. Plus généralement, dans le cas où $\gamma$ est elle-même une fonction lentement variable du temps, la solution d'une équation du type (5.2.5) sera

$$ \overline{AB}(t) = \overline{AB}(0) \exp \left[ -2 \int_{0}^{t} \gamma(t') dt' \right] $$

c'est dans ce sens qu'il faut comprendre la définition (5.2.4) de la valeur moyenne $\overline{AB}$, fonction lente du temps. Signalons, au passage, qu'il existe (Frieman, 1963) une méthode générale (élaborée plus spécialement pour traiter les problèmes non linéaires), où l'on considère plusieurs échelles de temps (ici, il y en a deux, définies par $\omega^{-1}$ et $\gamma^{-1}$), et qui pourrait être utilisée ici. Dans toute la suite, nous nous placerons dans le cas où $\gamma$ est indépendant de $t$.

Le vecteur de Poynting moyen $\overline{S}$ sera donc défini par<fnref n="1" />

$$ (5.2.6) \quad \overline{S} = \frac{1}{4} (E \times H^* + E^* \times H) e^{-2\gamma t}. $$

<footnote n="1">1. En supprimant les indices zéro : E et H sont ici des amplitudes complexes, du type $A_0$, essentiellement indépendantes du temps, à ne pas confondre avec les grandeurs figurant dans les expressions instantanées du § précédent, où E et H sont de la forme $A_0 e^{-i\alpha t}$.</footnote>
infini de modes $\omega(k)$ dont les vitesses de phase, dans l'espace des vitesses, seront contenues dans le même domaine que celui des vitesses des faisceaux, c'est-à-dire des particules; or, en général, les distributions $f_0(w)$ couvrent tout l'espace des vitesses : n'importe quelle fréquence $\omega$ est possible pour chaque $k$, il n'y a donc pas d'équation de dispersion.

Ces modes associés aux faisceaux (deux modes par faisceau, en général) ont été étudiés par Bohm et Gross (1949), Twiss (1952) et plus récemment par Dawson (1960). Ce dernier a montré, en particulier, qu'à chaque faisceau est associé un mode amorti et un mode instable (qu'on rencontre déjà dans un système à deux faisceaux); cependant, lorsque le nombre des faisceaux augmente indéfiniment, l'instabilité disparaît et le plasma devient stable. En fait, ces « modes de faisceaux », qu'on appelle modes normaux, sont directement liés aux mouvements libres des particules en régime de faisceau, et sont indépendants des mouvements collectifs des particules, sous l'action du champ E, puisqu'on les trouverait aussi dans un gaz neutre<fnref n="1" /> : en choisissant un certain nombre de faisceaux, n'importe quel mode ($k, \omega$) pourrait être produit. Néanmoins, ce choix de conditions initiales correspond, dans le cadre de la théorie linéaire, à une « préparation » du plasma, irréalisable en pratique : on ne peut pas, en effet, effectuer une sélection de particules de même vitesse, et leur faire subir, à elles seulement, un déplacement qui représentera la perturbation.

Au contraire, pratiquement, on perturbera toutes les particules, quelles que soient leurs vitesses, dans une certaine région de l'espace, pendant un certain temps. Cette perturbation excitera tous les modes normaux à l'intérieur de la bande ($\Delta k, \Delta \omega$), déterminée par la perturbation : on aura ainsi une réponse cohérente, sous forme d'un paquet d'ondes. Après l'excitation, les différents modes normaux (non amortis) se déphaseront les uns par rapport aux autres et interfèrent de manière destructive : l'amplitude du paquet d'ondes diminuera dans le temps. Ce processus d'amortissement sans collision est appelé amortissement Landau, ou amortissement par mélange de phase.

En utilisant le même modèle, l'étude de l'interaction de l'onde avec les particules résonnantes (Dawson, 1961) conduit, dans le cas d'une distribution d'équilibre « normale » ($\frac{\partial f_0}{\partial v} < 0$), à un transfert d'énergie des ondes vers ces particules résonnantes. Ce transfert d'énergie se traduit par un amortissement de l'onde, qui est justement l'amortissement Landau.

<footnote n="1">1. En effet, dans un gaz neutre, considéré comme constitué d'un ensemble infini de faisceaux de particules libres, de tels modes existeraient aussi : une perturbation de vecteur d'onde $k$, sur le faisceau de vitesse V, correspondrait au mode ($k, \omega = kV$), de vitesse de phase V (Bohm et Gross, 1949).</footnote>
<figure><img src="image_2.png" /></figure>
La longueur de Debye est une grandeur liée à l'équilibre statistique. Lorsqu'un plasma collectif est écarté de l'équilibre, il montre des oscillations (collectives), qui concernent essentiellement les électrons, qu'on appelle oscillations de plasma (électroniques). Ces oscillations cohérentes se font à une fréquence (angulaire) caractéristique $\omega_p$, qu'on appelle la fréquence plasma<fnref n="1" />; les électrons oscillent par rapport aux ions qui, eux, sont pratiquement fixés en raison de leur grande inertie; les forces de Coulomb électron-ion assurent la force de rappel. Supposons que la séparation de charge ait lieu dans la direction Ox. Il lui correspond un déplacement d'ensemble des électrons, d'amplitude $\xi(x, t)$, au point $x$, à l'instant $t$, auquel est associée une variation de densité

$$ \delta n_e = -n_e \frac{\partial \xi}{\partial x}, \quad \xi = 0, \text{ aux limites du plasma.} $$

L'équation de Poisson donne alors le champ électrique résultant

$$ \frac{\partial E}{\partial x} = \frac{q_e \delta n_e}{\varepsilon_0} = - \frac{q_e n_e}{\varepsilon_0} \frac{\partial \xi}{\partial x} $$

qui s'intègre immédiatement ($E = 0$ pour $\xi = 0$)

$$ E = - \frac{q_e n_e}{\varepsilon_0} \xi. $$

L'équation du mouvement des électrons de la tranche $(x, x + dx)$ considérée est donc

$$ m_e \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} + \frac{q_e n_e}{\varepsilon_0} \xi = 0. $$

Elle définit la fréquence des oscillations

$$ (1.4.4) \qquad \omega_p = \left( \frac{n_e q_e^2}{m_e \varepsilon_0} \right)^{1/2} $$

dite fréquence plasma électronique.

Nous reviendrons sur l'étude de ces oscillations aux chapitres 3 et 7. Nous montrerons que les ions peuvent aussi, dans certaines conditions, effectuer de telles oscillations, à une fréquence $\Omega_p = (n_i q_i^2 / m_i \varepsilon_0)^{1/2}$.

Ces oscillations traduisent donc encore le comportement collectif d'un plasma.

<footnote n="1">1. Cette dénomination est due à LANGMUIR (1929).</footnote>
— pour $\omega_b > \omega \gg \nu$

$$ \left\{ \begin{array}{l} v_{\phi//} \gg a \\ \frac{k_{\perp} a}{\omega_b} \ll 1 \qquad (\lambda_{\perp} \gg r_b) \\ \hline \frac{k_{\perp} a}{\omega_b} \gg 1 \qquad (\lambda_{\perp} \ll r_b) \end{array} \right. $$

— pour $\omega_b \gg \nu > \omega$, il n'y aura pas de condition sur $v_{\phi//}$, mais la condition $\lambda_{\perp} \gg r_b$, c'est-à-dire $\frac{k_{\perp} a}{\omega_b} \gg 1$ persistera.

En conclusion, dans le cas des plasmas sans collisions, les conditions de validité de la théorie macroscopique seront donc

$$ (6.2.1) \qquad v_{\phi//} \gg a $$

$$ (6.2.2) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} v_{\phi\perp} \gg a & \text{si } \omega > \omega_b \\ \frac{k_{\perp} a}{\omega_b} \ll 1 & \text{si } \omega < \omega_b. \end{array} \right. $$

Sur les diagrammes de dispersion, rapportés à $x = (\omega_p/\omega)^2$ et $N^2 = (kc/\omega)^2$, ces conditions s'expriment par

$$ (6.2.3) \qquad N_7^2 \ll \frac{c^2}{a^2} $$

$$ (6.2.4) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} N_1^2 \ll \frac{c^2}{a^2} & \text{si } x < (\omega_p/\omega_b)^2 \\ N_1^2 \ll \frac{x}{\beta} & \text{si } x > (\omega_p/\omega_b)^2 \end{array} \right. $$

où le paramètre $\beta = \frac{a^2}{c^2} \frac{\omega_p^2}{\omega_b^2} = \frac{2\mu_0 n_0 KT}{B_0^2}$ a déjà été introduit en (2.3.9). Les figures 6.1 (a et b) traduisent les conditions (6.2.3) et (6.2.4).

Naturellement, les résonances ($k \to \infty$) ne seront pas décrites correctement dans ce modèle hydrodynamique.

Sur la figure 6.1 b, on voit que plus $\beta$ est petit, et plus le domaine de validité s'élargit dans la région des basses fréquences.

La condition $\beta \ll 1$ est habituellement utilisée. Avec l'hypothèse supplémentaire $\eta = (r_b/L) \ll 1$, Watson (1956) a montré que le système des équations hydrodynamiques, relativement au mouvement perpendiculaire à $B_0$, se « ferme » et conduit, dans cette limite qui est celle des champs magnétiques très forts, à la loi adiabatique double (6.1.3), le mouvement parallèle à $B_0$ étant décrit par l'équation de Vlasov (Brueckner et Watson, 1956); le modèle est donc hydrodynamique pour le mouvement perpendiculaire à $B_0$, et microscopique pour le mouvement parallèle à $B_0$. Signalons, pour terminer, que des effets stabilisants dus à des valeurs finies de $\beta$ ont été étudiés dans le cas des plasmas instables aux basses fréquences (Cf. Rosenbluth, Krall et Rostoker 1962; Pearlstein et Krall, 1966).
$$
(A-3.5) \quad M = \begin{pmatrix} \chi_1 \chi_3 & i \chi_2 \chi_3 & 0 \\ -i \chi_2 \chi_3 & \chi_1 \chi_3 & 0 \\ 0 & 0 & \chi_1^2 - \chi_2^2 \end{pmatrix} = \chi_3 (\chi_1^2 - \chi_2^2) \chi^{-1}
$$

$\chi^{-1}$ étant le tenseur inverse du tenseur $\chi$. Avec le choix des axes précisé au chapitre 2,
le tenseur $\Lambda(N)$ est donc égal au produit, par $\frac{c^2}{\omega^2}$, du tenseur inverse du tenseur
défini en (2.4.9); pour un plasma froid, ce tenseur prend la forme (3.4.1)

$$
(A-3.6) \quad \mathbf{g}_{\omega}(\mathbf{N}) = \frac{i}{\omega \varepsilon_0 \Delta_{\omega}(\mathbf{N})} \begin{pmatrix} \mathbf{g}_{xx} & \mathbf{g}_{xy} & \mathbf{g}_{xz} \\ \mathbf{g}_{yx} & \mathbf{g}_{yy} & \mathbf{g}_{yz} \\ \mathbf{g}_{zx} & \mathbf{g}_{zy} & \mathbf{g}_{zz} \end{pmatrix}
$$

où

$$
\mathbf{g}_{xx} = (\chi_1 - N^2)(\chi_3 - N^2 \sin^2\theta)
$$

$$
\mathbf{g}_{yy} = \chi_1 \chi_3 - N^2 (\chi_1 \sin^2 \theta + \chi_3 \cos^2 \theta)
$$

$$
\mathbf{g}_{zz} = (\chi_1 - N^2 \cos \theta)(\chi_1 - N^2) - \chi_2^2
$$

$$
\mathbf{g}_{xy} = -\mathbf{g}_{yx} = +i\chi_2(\chi_3 - N^2 \sin^2\theta)
$$

$$
\mathbf{g}_{yz} = -\mathbf{g}_{zy} = +i\chi_2 N^2 \sin \theta \cos \theta
$$

$$
\mathbf{g}_{zx} = \mathbf{g}_{xx} = -N^2 \sin\theta \cos\theta (\chi_1 - N^2)
$$

où les $\chi_{\alpha\beta}$ sont donnés en (3.3.10). Le tenseur (A-3.6) caractérise alors $g_{\omega}(N)$ pour les ondes se propageant dans les directions du plan $xOz$; pour trouver le rayonnement total, il faudra ensuite sommer ces contributions pour les différentes directions de $xOz$, relativement à $J(r)$ qui est donné.

Puissance rayonnée par un dipôle 3.2

En coordonnés sphériques (N, φ, θ) pour N, l'équation (5.6.19) s'écrit

$$
P_{\omega} = \frac{4\pi^3 \omega^3}{c^3} \mathrm{Re} \left[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \, d\theta \int_{0}^{\infty} N^2 dN \int_{0}^{2\pi} d\varphi \, \mathbf{J}_{\omega}^* \cdot \mathbf{g}_{\omega}(\mathbf{N}) \cdot \mathbf{J}_{\omega} \right]
$$

La dernière intégrale dépend de la position relative de J et N et peut être évaluée
de deux manières différentes, grâce à la symétrie de la solution autour de B₀ :
soit pour J_ω fixé et N ayant une orientation caractérisée par (φ, θ) avec g(N)
donné en (A-3.1); soit pour N fixé (par exemple dans le plan xOz, car g_ω(N) est
alors donné par (A-3.6)) et J_ω ayant une orientation quelconque. Dans le second
cas, on bénéficie de la simplification de l'expression (A-3.6) pour g(N).

Alors, avec $\mathbf{J}_{\omega}(\mathbf{k}) = - \frac{i\omega}{(2\pi)^3} \mathbf{p}$

$$
\mathbf{J}_{\omega}^{*} \cdot \mathbf{g}(\mathbf{N}) \cdot \mathbf{J}_{\omega} = \frac{\omega^2}{(2\pi)^6} \mathbf{p} \cdot \mathbf{g} \cdot \mathbf{p}
$$
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On a donc

$$
(10.2.4) \qquad \bar{v}(t) = \frac{qE_0}{m(v_c - i\omega)} e^{-i\omega t}.
$$

Par comparaison de (10.2.2) et (10.2.4), on voit que

$$
(10.2.5) \qquad g = m v_c
$$

et que le terme de frottement — *gv* dans l'équation de mouvement est bien — *v*<sub>c</sub>*mv*, où *v*<sub>c</sub> est la fréquence de collision. Remarquons que *v*<sub>c</sub> est associée à la partie imaginaire de la fréquence angulaire *ω*, et non pas à celle de la fréquence *f* = *ω*/(2π).

Conductivité de Lorentz 10.2.2

A l'aide de (10.2.4) on obtient immédiatement la conductivité électronique du
milieu (conductivité de Lorentz)

$$
(10.2.6) \qquad \sigma_e = \frac{n_0 q \bar{v}}{E} = \frac{\epsilon_0 \omega_p}{\nu_c - i\omega}
$$

ou, en séparant les parties réelle et imaginaire

$$
(10.2.7) \qquad \sigma_e = \sigma_1 + i\sigma_2 = \frac{\nu_c \epsilon_0 \omega_p^2}{\omega^2 + \nu_c^2} + i \frac{\omega \epsilon_0 \omega_p^2}{\omega^2 + \nu_c^2}
$$

et de même

$$
x = 1 - \frac{\sigma_e}{i\omega\epsilon_0} = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega(\omega + i\nu_c)}
$$

$$
(10.2.8) \qquad x = x_1 + i x_2 = \left(1 - \frac{\omega_p}{\omega^2 + \nu_c^2}\right) + i \left(\frac{\nu_c}{\omega} \frac{\omega_p}{\omega^2 + \nu_c^2}\right)
$$

qui montrent bien que σ₁ et x₂ sont liés aux pertes dans le milieu.

Fréquences effectives de collision 10.2.3

De la même manière, l'équation de Vlasov, avec un terme de relaxation en
— *v* (f — f₀), conduit à remplacer — *i*ω par — *i*ω + *v* dans la solution (7.1.3)
pour *f*₁(*k*, *ω*)

$$
f_1(\mathbf{k}, \omega) = \frac{q}{im(\omega + i\nu - \mathbf{k} \cdot \mathbf{v})} E \cdot \frac{\partial f_0}{\partial \mathbf{v}}.
$$

Dans la limite des grandes longueurs d'ondes (k → 0), on a donc une conductivité
(Cf. (7.1.5)) scalaire

$$
\sigma = \sigma_{\alpha\alpha} = - \frac{q^2}{m} \int \frac{1}{v - i\omega} v_{\alpha} \frac{\partial f_0}{\partial v_{\alpha}} d^3 v, \quad \alpha = x, y \text{ ou } z
$$
On en déduit ($\overline{W}_M = 0$)

$$ (9.3.9) \qquad \overline{W}_0 = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E^* \cdot \frac{\partial}{\partial \omega} [\omega \chi_h(\omega)] \cdot E e^{-2\gamma t} $$

$$ \overline{W}_0 = \frac{1}{4} \varepsilon_0 |E|^2 \left(1 + \frac{\omega_p^2}{\omega^2}\right) e^{-2\gamma t} $$

somme de l'énergie électrostatique moyenne (1er terme) et de l'énergie cinétique moyenne des charges (2e terme), qui dans ce cas correspond à la somme $W_E + \overline{W}_K$ du § 5.5. Ces énergies sont égales : l'équation (9.2.5) donne en effet

$$ \begin{align} \overline{W}_{EP} &= 0 = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E^* \cdot \chi_h \cdot E e^{-2\gamma t} \nonumber \\ &= \frac{1}{4} \varepsilon_0 |E|^2 \left(1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}\right) e^{-2\gamma t} \tag{9.3.10} \\ 0 &= \overline{W}_E - \overline{W}_K \nonumber \end{align} $$

et qui, nous l'avons déjà dit, traduit le fait que l'énergie instantanée est tantôt sous forme électrostatique, tantôt sous forme cinétique. On a donc

$$ (9.3.11) \qquad \overline{W}_0 = 2\overline{W}_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 |E|^2 e^{-2\gamma t}. $$

Dans le cas d'un plasma chaud, sans collision, la constante diélectrique longitudinale, pour $\omega$ et $k$ réels, est complexe et sa partie imaginaire a été donnée en (7.5.4) : on a donc

$$ (9.3.12) \qquad \chi_a(k, \omega) = - \pi \frac{\omega_p^2}{k^2} \left(\frac{\partial \varphi}{\partial v}\right)_{v=\frac{\omega}{k}} $$

d'où, d'après (9.1.3)

$$ \frac{\delta \overline{W}_D}{\delta t} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 |E|^2 \omega \chi_a e^{-2\gamma t} = \overline{W}_0 \omega \chi_a $$

identique à l'expression $P_{II}$ trouvée en (8.7.14) pour le modèle multifaisceaux. Puisque, d'après (9.3.6) (avec $\overline{S} = 0$)

$$ \frac{\partial \overline{W}_0}{\partial t} = -2\gamma \overline{W}_0 = -\frac{\delta \overline{W}_D}{\delta t} $$

l'amortissement $\gamma$ est donc donné par

$$ (9.3.13) \qquad \gamma = \frac{1}{2\overline{W}_0} \frac{\delta \overline{W}_D}{\delta t} = \frac{1}{2} \omega \chi_a = - \frac{\pi \omega_p^2}{k^2} \omega \left(\frac{\partial \varphi}{\partial v}\right)_{v=\frac{\omega}{k}} $$

en accord avec (7.5.10) (noter le changement de signe : ici $\alpha = \omega$ i$\gamma$, tandis qu'au § 7.5, on avait posé $\alpha = \omega + i\gamma_L$).
tendre à des amortissements Landau très importants, mettant directement en cause l'existence de l'onde.

## 8.3. Propagation parallèle ($k_1 = 0$)

Pour $\lambda = 0$, les expressions (8.1.4), (8.1.5) et (8.1.6) se simplifient beaucoup. On a alors

$$ (8.3.1) \qquad \chi = 1 - \sum_s \left( \frac{\omega_p^2}{\omega^2} z_0 M \right)_s $$

où

$$ (8.3.2) \qquad M = \begin{pmatrix} M_1 & -iM_2 & 0 \\ iM_2 & M_2 & 0 \\ 0 & 0 & M_3 \end{pmatrix} $$

avec

$$ (8.3.3) \qquad \left\{ \begin{aligned} M_1 &= -\frac{1}{2}(Z_{-1} + Z_{+1}) \\ M_2 &= -\frac{1}{2}(Z_{-1} - Z_{+1}) \\ M_3 &= z_0 Z'_0 \end{aligned} \right. $$

On peut séparer l'équation de dispersion (3.4.1) en plusieurs termes

$$ (8.3.4) \qquad x_{33} = 1 - \sum_s \left( \frac{\omega_p^2}{\omega^2} z_0^2 Z'_0 \right)_s = 0. $$

$$ (8.3.5) \qquad N_D^2 = x_1 + x_2 = 1 - \sum_s \left( \frac{\omega_p^2}{\omega^2} z_0 Z_{-1} \right)_s $$

$$ (8.3.6) \qquad N = x_1 - x_2 = 1 - \sum_s \left( \frac{\omega_p^2}{\omega^2} z_0 Z_{+1} \right)_s $$

correspondant respectivement à l'onde longitudinale (identique à la solution (7.5.29) pour $B_0 = 0$), à l'onde droite et à l'onde gauche (Cf. (3.1.4) et (3.5.5)). Développées au premier ordre en $1/z_0^2$, $1/z_{+1}^2$ et $1/z_{-1}^2$ (donc loin des résonances $\omega = \omega_b$ et $\omega = \Omega_b$), les solutions (8.3.5) et (8.3.6) se réduisent, aux termes d'amortissement près, aux solutions (6.5.7), très peu différentes des solutions correspondantes obtenues dans l'approximation des plasmas froids. Le calcul de l'amortissement, loin des résonances, est donné en appendice 10 (Cf. aussi Gershman, 1959).

D'après les expressions (8.3.3), il apparaît qu'en propagation longitudinale le calcul linéaire ne conduit à aucun harmonique des résonances gyromagnétiques : seules les fréquences fondamentales sont excitées; les expressions (8.3.3) ne dépendent, en effet, que de $z_{+1}$ et $z_{-1}$. On retrouve la remarque faite à la fin du § 6.6. Nous étudierons plus loin ces résonances.
est la fréquence plasma des particules s, déjà définie au chapitre 1. La relation (3.2.1) montre que $J_s$ et E sont colinéaires; il en résulte une conductivité scalaire

$$ \sigma = \sum_s \sigma_s $$

d'où, d'après (2.2.27), une constante diélectrique scalaire

$$ (3.2.3) \qquad x = 1 - \sum_s \frac{\omega_s^2}{\omega^2} = x^0. $$

### PLASMAS FROIDS HOMOGÈNES ILLIMITÉS

Pour un plasma à deux composants (électrons et un seul type d'ions, $\alpha$ fois ionisés), de masses respectives $m_e$ et $m_i$ et de charges $q_e = -e$ et $q_i = \alpha e$ (où $e = +1,6 \cdot 10^{-19}$ coulombs), on a

$$ (3.2.7) \qquad \omega^2 = \omega_p^2 + \Omega_p^2 = \omega_0^2 $$

où

$$ (3.2.8) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \omega_p = \left( \frac{n_0 q_e}{\epsilon_0 m_e} \right)^{1/2} \\[1em] \Omega_p = \left( \frac{n_0 q_i^2}{\epsilon_0 m_i} \right)^{1/2} \end{array} \right. $$

sont respectivement les fréquences plasma électronique et ionique. En tenant compte de la condition de neutralité électrique à l'équilibre

$$ (3.2.9) \qquad \sum_s n_0 s q_s = 0 $$

l'équation (3.2.7) devient

$$ (3.2.10) \qquad \omega^2 = \omega_0^2 = \omega_p^2 \left(1 + \frac{1}{m}\right) $$

où

$$ (3.2.11) \qquad m = \frac{m_i}{\alpha m_e} $$

en pratique, beaucoup plus grand que l'unité.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 3.2. Fréquence plasma en fonction de la densité électronique ($f_p$ en sec$^{-1}$)</figcaption></figure>
seule, la position du champ électrique relativement à la direction de propagation (la *polarisation* de l'onde) sera précisée. Au contraire, s'imposer une fréquence $\omega$ implique l'emploi d'une source extérieure (par exemple un générateur d'hyperfréquences) : on aura alors à résoudre des équations différentielles linéaires avec second membre (dû au terme source), et la solution générale de ces équations inhomogènes contiendra, à côté d'une solution libre, solution générale de l'équation sans second membre (c'est-à-dire un mode propre), une solution forcée, solution particulière de l'équation avec second membre; l'amplitude de la solution sera fixée par celle de la source et éventuellement par des conditions aux limites. Comme dans le cas d'un oscillateur, on observera le phénomène de résonance lorsque la fréquence de la source sera égale à celle d'un mode propre. Cependant, des effets de résonance s'observeront aussi pour les modes propres, chaque fois que la fréquence de l'onde sera égale à une fréquence d'oscillation des particules du milieu : fréquence plasma et fréquences gyromagnétiques par exemple : nous verrons qu'alors, l'indice du milieu devient beaucoup plus grand que l'unité, fini ou infini suivant le modèle choisi pour décrire ce milieu.

Les modes propres définis ici sont les ondes de structure la plus simple que le plasma accepte de propager. La solution la plus générale sera obtenue en superposant ces différentes solutions linéaires : c'est le *principe de superposition* valable pour tous les systèmes linéaires. En particulier, dans le cas de milieux finis homogènes, on pourra représenter un mode de propagation, qui n'est plus alors une onde plane (Cf. la propagation des ondes électromagnétiques dans les guides d'ondes), comme une somme infinie d'ondes planes : ce sera le cas en géométrie cylindrique par exemple; les amplitudes des ondes planes composantes seront déterminées alors par les conditions aux limites (Cf. chap. 4).

### Amplitudes complexes

Les solutions ondes planes du type (2.1.1) sont en fait des combinaisons des solutions linéairement indépendantes en cosinus et en sinus :

$$ (2.1.5) \qquad g_1 = h_1 \cos (k \cdot r - \omega t) + h_2 \sin (k \cdot r - \omega t). $$

Pour la commodité des calculs, on a introduit dans (2.1.1) l'exponentielle : cela implique de considérer les amplitudes comme des grandeurs complexes : $G = G_1 + iG_2$. Alors, pour avoir la solution réelle, on prendra la partie réelle de $g_1$

$$ (2.1.6) \qquad \begin{aligned} \Re(g_1) &= \Re[(G_1 + iG_2) e^{i(k \cdot r - \omega t)}] \\ &= G_1 \cos (k \cdot r - \omega t) - G_2 \sin (k \cdot r - \omega t) \end{aligned} $$

qui est bien de la forme générale (2.1.5).
Pour des limites planes, la solution générale de (4.2.1) sera une combinaison linéaire des solutions en $e^{\pm i\lambda x \pm i\mu y}$, $\lambda^2 + \mu^2 = s_0^2$, c'est-à-dire en produits de sinus et cosinus circulaires ($s_0^2 > 0$) ou hyperboliques ($s_0^2 < 0$).

Pour des limites circulaires $r = (x^2 + y^2)^{1/2} = C^{\text{te}}$, la solution générale sera de la forme $[AJ_m(s_0r) + BN_m(s_0r)]e^{im\varphi}$ où $m$ est un entier quelconque, $\le 0$; $\varphi$ est l'angle polaire dans le plan $(x, y)$; $J_m$ et $N_m$ sont respectivement les fonctions de Bessel et de Neumann, d'ordre $m$, solutions de l'équation de Bessel (Cf. par exemple G. Goudet, 1954). Lorsqu'il n'y a pas de conducteur central, on doit prendre $\mathcal{B} = 0$ pour avoir des solutions finies en $r = 0$ ($N_m(0) = \infty$). Lorsque $s_0^2 < 0$, on exprimera les $J_m$ et $N_m$ (d'argument imaginaire) par les fonctions de Bessel et de Neumann modifiées $I_m$ et $K_m$.

A titre d'exemple, rappelons les résultats pour le guide à faces parallèles, pour le guide rectangulaire et pour le guide circulaire.

Pour le guide à faces parallèles 4.2.1

$(x = a, x = -a)$, les champs sont indépendants de $y$, et on a
$F_{||} = A \sin s_0 x + B \cos s_0 x$ ou $F_{||} = C \sin\chi_0 a + D \cos\chi_0 a$, avec $\chi_0^2 = -s_0^2$.

Modes TM : la continuité de $E$ tangentiel impose pour $x = a$ et $-a$, $E_{||} = 0$, conduisant aux deux types de solutions pour $s > 0$

$$
(4.2.7) \qquad E_{\parallel 1} = E_1^0 \sin s_0 x \qquad s_0 = \frac{m\pi}{a}, \ m \text{ entier} \neq 0
$$

$$
(4.2.8) \qquad E_{\parallel 2} = E_2^0 \cos s_0 x \qquad s_0 = (2m + 1) \frac{\pi}{2a}, \quad m \text{ entier}
$$

et aucune solution pour $s_0^2 < 0$.

Modes TE : la continuité de $H$ normal impose, pour $x = a$ et $-a$, $H_x = 0$
conduisant encore à deux types de solutions pour $s_0^2 > 0$

$$
(4.2.9) \qquad H_{\parallel 1} = H^0 \sin s_0 x \qquad s_0 = (2m + 1) \frac{\pi}{2a}, \quad m \text{ entier}
$$

$$
(4.2.10) \quad H_{\parallel 2} = H_2^0 \cos s_0 x \qquad s_0 = \frac{m\pi}{a}, \quad m \text{ entier} \neq 0
$$

et aucune solution pour $s_0^2 < 0$.

Par exemple, pour le mode TE symétrique (relativement à $x = 0$), (4.2.10),
on a donc l'équation de dispersion

$$
\omega^2 = \alpha^2 c^2 + \left( \frac{m\pi c}{a} \right)^2
$$

représenté (Fig. 4.1) sur le diagramme de Brillouin (α, ω)
Pour une variation temporelle en $e^{-i\alpha t}$, les équations de Maxwell s'écrivent

$$ (5.2.7) \qquad \nabla \times E = i\alpha\mu_0H \quad \text{et} \quad -\nabla \times H = i\alpha\epsilon_0E - J $$

$$ \text{d'où} \qquad \nabla \times E^* = -i\alpha^*\mu_0H^* \quad \text{et} \quad -\nabla \times H^* = -i\alpha^*\epsilon_0E^* - J^*. $$

En prenant la divergence de l'équation (5.2.6), on trouve

$$ \nabla \cdot \bar{S} = \frac{1}{4} e^{-2\gamma t} \left[ i (\alpha - \alpha^*) (\mu_0 H \cdot H^* + \epsilon_0 E \cdot E^*) - (E \cdot J^* + E^* \cdot J) \right] $$

$$ \text{soit, avec } \alpha - \alpha^* = -2i\gamma $$

$$ (5.2.8) \qquad \nabla \cdot \bar{S} = \frac{1}{4} \left[ 2\gamma (\mu_0 |H|^2 + \epsilon_0 |E|^2) - (E \cdot J^* + E^* \cdot J) \right] e^{-2\gamma t}. $$

Nous verrons plus loin (§ 5.5) que le terme réel $\frac{1}{4}(E \cdot J^* + E^* \cdot J) e^{-2\gamma t}$ contient, d'une part l'énergie moyenne dissipée $\frac{\partial \overline{W_D}}{\partial t}$ dans le milieu, sous l'influence des pertes, et d'autre part une partie de l'énergie de l'onde, sous la forme d'énergie du mouvement organisé des particules.

En tenant compte de (5.2.5), on peut mettre (5.2.8) sous la forme

$$ (5.2.9) \qquad \nabla \cdot \bar{S} + \frac{\partial}{\partial t} (\overline{W_M} + \overline{W_E}) = -\frac{1}{4} (J^* \cdot E + J \cdot E^*) e^{-2\gamma t} $$

où les densités moyennes d'énergie, lentement variables dans le temps, sont définies à partir de (5.2.4) et (5.1.6)¹

$$ (5.2.10) \qquad \overline{W_M} = \frac{1}{4} \mu_0 |H|^2 e^{-2\gamma t}, \quad \overline{W_E} = \frac{1}{4} \epsilon_0 |E|^2 e^{-2\gamma t}. $$

La relation (5.2.9) sera utilisée pour établir le théorème de Poynting dans le cas des milieux faiblement dissipatifs (§ 5.5).

Bien entendu, le cas $\alpha$ réel s'obtiendra facilement en faisant $\gamma = 0$ dans les relations précédentes.

## 5.3. Ondes réelles ($\omega$ et k réels). Caractéristiques géométriques de la propagation

A partir des équations de Maxwell, pour l'onde en $e^{i(k \cdot r - \omega t)}$, on obtient la partie longitudinale de $\bar{S}$ à l'aide de

$$ \begin{align*} k \cdot \bar{S} &= \frac{1}{2} \operatorname{Re} [k \cdot (E \times H^*)] = \frac{1}{2} \operatorname{Re} [(k \times E) \cdot H^*] = -\frac{1}{2} \operatorname{Re} [(k \times H^*) \cdot E] \\ &= \frac{1}{2} \operatorname{Re} [\omega \mu_0 |H|^2] = \frac{1}{2} \operatorname{Re} [\omega \epsilon_0 |E|^2 - i J^* \cdot E]. \end{align*} $$

1. De $W_M = \frac{1}{2} \mu_0 H^2$, on tire $\overline{W_M} = \frac{1}{2} \mu_0 \left\{ \frac{1}{4} (H \cdot H^* \times H^* \cdot H) e^{-2\gamma t} \right\} = \frac{1}{4} \mu_0 |H|^2 e^{-2\gamma t}$; il en est de même pour les autres énergies.
### 7.3. Évolution d'une perturbation initiale : Problème de Landau

Pour donner un sens à l'intégrale (7.2.2), on étudie le problème suivant (résolu pour la première fois par Landau en 1946) : on étudie l'évolution d'une perturbation de la fonction de distribution des vitesses au cours du temps, à partir d'une condition initiale $f_1(k, w, t = 0)$ donnée. Naturellement, un tel problème exige d'utiliser, à la place de la transformation de Fourier dans le temps et dans l'espace, qui conduit à (7.1.2), une transformation de Fourier dans l'espace et de Laplace dans le temps, définie par<fnref n="1" />

$$ (7.3.1) \qquad f(k, \omega) = \int_0^\infty e^{i\omega t} f(k, t) dt. $$

La variable $\omega$ qui apparaît dans cette dernière joue le rôle de la fréquence dans la transformée de Fourier, mais elle peut être complexe; cependant, l'intégrale de Laplace (7.3.1) ne converge que lorsque $\mathfrak{Im}\omega$ est supérieure à un certain nombre réel $v \le 0$, qui dépend de la forme de $f(t)$; dans le cas contraire, on donne un sens à cette intégrale, pour tout $\omega$ complexe, en effectuant son prolongement analytique dans la région où $\mathfrak{Im}\omega < v$.

On montre alors (Cf. Appendice 6) que l'étude du comportement temporel de $f(t)$ se ramène à l'étude de la nature et de la localisation des pôles de la fonction $f(\omega)$ dans le plan des $\omega$ complexes.

Dans cette transformation <fnref n="2" />, l'équation (7.1.2) est remplacée par

$$ (7.3.2) \qquad -i(\omega - k \cdot w) f_1(k, \omega, w) + \frac{q}{m} E_1(k, \omega) \cdot \frac{\partial f_0}{\partial w} = g_1(k, w) $$

où $g_1(k, w)$ est la transformée de Fourier spatiale de la perturbation initiale $f_1(r, w, t = 0)$. Remarquons qu'on ne peut plus, à cause de $g_1$, définir une conductivité comme en (7.1.4).

Dans le cas des oscillations longitudinales, avec $k$ parallèle à $Oz$, l'équation (7.3.2) s'écrit (pour l'espèce $s$ de particules)

$$ (7.3.3) \qquad -i(\omega - kw_3) f_{1s} + \frac{q_s}{m_s} E_1 \frac{\partial f_{0s}}{\partial w_3} = g_{1s} $$

et doit être combinée avec la transformée (7.3.4) de l'équation de Poisson

$$ (7.3.4) \qquad ikE_1(k, \omega) = \sum_s \frac{q_s}{\epsilon_0} \int f_{1s}(k, w, \omega) d^3w. $$

$$ f(k, \omega) = \frac{1}{(2\pi)^3} \int d^3r \int_0^\infty dt e^{-i(k \cdot r - \omega t)} f(r, t) $$

<footnote n="1">1. Cette définition de la transformée de Laplace est choisie pour des raisons de commodité. On retrouve la définition habituelle en posant $i\omega = -p$, la condition de convergence devenant $\mathfrak{Re}p > v$.</footnote>

<footnote n="2">2. En définissant la transformée de Fourier-Laplace par</footnote>

<footnote>où $k$ est réel.</footnote>
TABLE

<table><tr><td>PRÉFACE</td><td>15</td></tr><tr><td>INTRODUCTION</td><td>17</td></tr><tr><td>NOTATIONS</td><td>21</td></tr></table>

I. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES PLASMAS

<table><tr><td>1.1. Caractères généraux</td><td>23</td></tr><tr><td>1.2. Plasmas naturels et plasmas de laboratoire.</td><td>24</td></tr><tr><td>1.3. Interactions entre particules; plasmas collectifs et plasmas individuels</td><td>25</td></tr><tr><td>1.4. Définition et conditions d'existence d'un plasma.</td><td>26</td></tr><tr><td>1.4.1. Longueur de Debye</td><td>27</td></tr><tr><td>1.4.2. Oscillations de plasma</td><td>28</td></tr><tr><td>1.4.3. Quasi-neutralité électrique.</td><td>29</td></tr><tr><td>1.4.4. Conditions d'existence</td><td>29</td></tr><tr><td>1.5. Collisions.</td><td>30</td></tr><tr><td>1.6. Propriétés macroscopiques d'un plasma</td><td>34</td></tr><tr><td>1.6.1. Description macroscopique</td><td>34</td></tr><tr><td>1.6.1.1. Trajectoires individuelles</td><td>34</td></tr><tr><td>1.6.1.2. Modèles hydrodynamiques.</td><td>34</td></tr><tr><td>1.6.2. Propriétés macroscopiques</td><td>35</td></tr><tr><td>1.7. Propriétés microscopiques des plasmas.</td><td>37</td></tr><tr><td>1.7.1. Description microscopique. Théorie cinétique.</td><td>37</td></tr><tr><td>1.7.2. Propriétés microscopiques.</td><td>40</td></tr></table>
Leur existence est néanmoins subordonnée à l'absence de tout mécanisme qui viendrait détruire leur cohérence et les amortir : tous les électrons d'un même plan perpendiculaire au déplacement vibrent en phase. Dans un plasma où le degré d'ionisation est relativement faible, les collisions binaires sur les neutres (qui ne sont alors plus négligeables) assurent ce mécanisme destructeur dès qu'elles se produisent en nombre suffisant pendant une période d'oscillation. Si $v$ est la fréquence de ces chocs, une seconde condition nécessaire pour avoir un plasma collectif est donc

$$ (1.4.5) \qquad \omega_p \gg v. $$

## Quasi-neutralité électrique 1.4.3

Lorsque la condition (1.4.3), $\lambda_D \ll L$, est satisfaite, les densités des charges de signe opposé sont telles que la neutralité électrique est pratiquement assurée. Cela résulte de l'hypothèse d'équilibre statistique qu'implique la condition (1.4.3); des écarts, même faibles, à cet équilibre se traduisent par l'apparition de champs électrostatiques très intenses qui, s'ils ne sont pas entretenus ou auto-entretenus (comme par exemple dans le cas des oscillations de plasma), ramènent le système à l'équilibre.

A une séparation complète des charges, sur une distance de l'ordre de $\lambda_D$ (ce qui revient à extraire tous les ions, par exemple, d'une sphère de Debye, de rayon $\lambda_D$), est associée une variation de potentiel $\delta V$ telle que

$$ \delta V \sim \frac{\delta Q}{4\pi\epsilon_0\lambda_D} \sim \frac{n_e q_e \lambda_D^3}{\epsilon_0} = \frac{KT_e}{q_e} $$

où $\delta Q = \frac{4\pi}{3} n_e q_e \lambda_D^3$ est la charge totale créée par l'écart à la neutralité.

Ainsi, la distance de Debye apparaît comme la limite où l'énergie électrostatique (due à la charge d'espace) $q_e \delta V$ est du même ordre que l'énergie thermique $KT_e$; cela signifie que l'agitation thermique ne peut provoquer de séparation de charges que sur des distances inférieures à $\lambda_D$. Pour des distances $L \gg \lambda_D$, on peut donc parler de quasi-neutralité :

$$ (1.4.6) \qquad n_e \approx n_i \qquad (\text{plasma protons-électrons}) $$

Lorsqu'un champ magnétique $B_0$ est présent, le mouvement transverse des particles est affecté, ainsi que nous allons le voir, et la quasi-neutralité à l'équilibre peut ne plus être maintenue dans la direction perpendiculaire à $B_0$.

## Conditions d'existence d'un plasma 1.4.4

Nous pouvons maintenant préciser la définition d'un plasma : c'est un milieu ionisé où les effets collectifs sont dominants, c'est-à-dire où les conditions
<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>FIGURE 6.1.
Domaines de validité de la théorie hydrodynamique</figcaption></figure>

Nous trouverons plus tard, au chapitre 8, une justification des conditions (6.2.1) et (6.2.2) à l'aide du calcul microscopique. Nous allons maintenant étudier la théorie adiabatique complète des ondes rapides, pour lesquelles $v_{\phi}^2 = v_{\phi//}^2 + v_{\phi\perp}^2 \ll a^2$.

### 6.3. Théorie macroscopique adiabatique

Revenons à la résolution du système d'équations (6.1.5). Rappelons tout d'abord que pour un équilibre isotrope $f_{0s} = f_{0s}(w_s^2)$, les valeurs des moments à l'équilibre sont
$$ (6.3.1) \qquad n = n_{0s} ; \quad v_{0s} = 0 ; \quad \Psi_{0s} = n_{0s}KT_s^{-1} ; \quad Q_{0s} = 0 ; \dots $$

D'après la discussion précédente, la théorie macroscopique est valable pour les ondes rapides : l'hypothèse adiabatique semble donc correcte, à priori, pour décrire ces phénomènes rapides, les échanges de chaleur n'ayant pas le temps de s'établir pendant le passage de l'onde.

Pour fermer le système (6.1.5), on peut donc adopter des conditions de fermeture portant sur la pression, du type de celles qui ont été rappelées au § 6.1, et une première étape consistera à écrire la condition adiabatique habituelle pour la perturbation de pression (cette dernière étant supposée scalaire, ce qui, nous l'avons déjà dit, n'est pas satisfaisant pour $B_0 \neq 0$ et $v = 0$); nous verrons que cette condition de fermeture n'est pas cohérente, les termes introduits dans (6.1.5 b) étant du même ordre de grandeur que ceux qui figurent dans l'équation (6.1.5 c), dont on ne tient pas compte. L'étape suivante, en raison même de la signification
<figure><img src="image_2.png" /></figure>

où, avec

$$
\mathbf{p} = (p \sin \Psi \cos \varphi, p \sin \Psi \sin \varphi, p \cos \Psi)
$$

$$
\mathbf{p} \cdot \mathbf{g} \cdot \mathbf{p} = p^2 [\sin^2 \Psi (g_{xx} \cos^2 \varphi + g_{yy} \sin^2 \varphi) + g_{zz} \cos^2 \Psi + g_{xx} \sin 2\Psi \cos \varphi]
$$

L'intégration sur φ donne

$$
\int_{0}^{2\pi} d\varphi \mathbf{p} \cdot \mathbf{g} \cdot \mathbf{p} = \pi p^2 [m + n \cos 2\Psi],
$$

où

$$
m = g_{zz} + \frac{1}{2}(g_{xx} + g_{yy})
$$

$$
n = g_{zz} - \frac{1}{2}(g_{xx} + g_{yy})
$$

conduisant, pour la puissance totale rayonnée, à une expression de la forme

$$
P_{\omega} = (M + N' \cos 2\psi) \frac{\omega^2}{2} p^2
$$

avec

$$
\frac{1}{2}(M + N) = S = \frac{1}{2} \Re e \left[ \frac{i \zeta_0}{\lambda_0^2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \, d\theta \int_{0}^{\infty} \frac{N^2 dN}{\Delta(N)} \Lambda_{zz} \right]
$$

$$
\frac{1}{2}(M - N) = D = \frac{1}{2} \Re e \left[ \frac{i \zeta_0}{\lambda_0^2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \, d\theta \int_{0}^{\infty} \frac{N^2 dN}{\Delta(N)} \left( \frac{\Lambda_{xx} + \Lambda_{yy}}{2} \right) \right]
$$

où ζ₀ = √μ₀/ε₀ est l'impédance caractéristique du vide, λ₀ = 2πc/ω la longueur d'onde dans le vide, et Λ<sub>αβ</sub> les composantes de Λ données en (A-3.6). A titre d'exemple, précisions le calcul de S

$$
\Lambda_{zz}(N) = (x_1 - N^2 \cos \theta)(x_1 - N^2) - x_2^2
$$

$$
\Delta(N) = A (N^2 - N_1^2) (N^2 - N_2^2).
$$
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soit, avec $f_0 = n_0 g(v^2)$

$$ \sigma = - \epsilon_0 \omega_p^2 \int \frac{v_\alpha}{v - i\omega} \frac{\partial g_0}{\partial v_\alpha} d^3 v $$

$$ (10.2.9) \qquad \sigma = -\frac{4\pi}{3} \epsilon_0 \omega_p^2 \int_0^\infty \frac{v^3}{v - i\omega} \frac{\partial g_0}{\partial v} dv \quad \text{où} \quad v = |v|. $$

Lorsque $v$ est indépendant de la vitesse, on retrouve la conductivité de Lorentz (10.2.6).

A partir de (10.2.9), on définit la fréquence effective de collision $v_{eff}$ comme une certaine moyenne de $v_c(v)$, sur l'espace des vitesses, telle que l'expression (10.2.9) prenne la forme (10.2.6) de la conductivité de Lorentz -

$$ \frac{1}{v_{eff} - i\omega} = -\frac{4\pi}{3} \int_{0}^{\infty} \frac{v^3}{v(v) - i\omega} \frac{\partial g_0}{\partial v} dv $$

dans la limite des très hautes fréquences $\omega \gg v$, on obtient en particulier

$$ \Re \sigma_{\text{Lorentz}} \sim v_c \epsilon_0 \left(\frac{\omega_p}{\omega}\right)^2 $$

$$ \Re \sigma_{\text{Vlasov}} \sim -\frac{4\pi}{3} \epsilon_0 \left(\frac{\omega_p}{\omega}\right)^2 \int_0^\infty \nu(v) v^3 \frac{\partial g_0}{\partial v} dv $$

d'où la définition

$$ (10.2.10) \qquad v_{eff}^{(HF)} = -\frac{4\pi}{3} \int_{0}^{\infty} \nu(v) v^3 \frac{\partial g_0}{\partial v} dv. $$

On aurait pu définir aussi une « fréquence efficace moyenne » $\bar{v}$, directement à partir de la fonction de distribution, $\nu(v)$ n'étant fonction que du module de la vitesse

$$ (10.2.11) \qquad \bar{v} = \frac{1}{n_0} \int \nu(v) f(v) d^3 v = 4\pi \int_0^\infty \int \nu(v) v^2 g(v) dv. $$

Pour une loi $\nu(v) = C^{\text{te}} \cdot v^l$, on obtient la relation (Heald et Wharton, 1965)

$$ (10.2.12) \qquad v_{eff}^{(HF)} = \frac{3+l}{3} \bar{v}. $$

Pour les plus basses fréquences $\omega \gtrsim v_c$, on peut écrire la constante diélectrique $\kappa$ sous la forme (Gurevich, 1956, 1958)

$$ (10.2.13) \qquad \kappa = K_\epsilon \left(\frac{\omega}{v_{eff}}\right) \kappa_1 + i K_\sigma \left(\frac{\omega}{v_{eff}}\right) \kappa_2 $$

où $\kappa_1$ et $\kappa_2$ sont définies en (10.2.8).
## 9.4. Atténuation des ondes dans un milieu dissipatif. Valeurs moyennes dans l'espace

Lorsque le milieu comporte des pertes faibles, il peut exister, à côté de l'amortissement dans le temps d'un mode propre (k réel donné, fréquence complexe), des modes qui décroissent dans l'espace en se propageant dans une direction donnée ($\omega$ réelle donnée, indice complexe). On devra alors définir les grandeurs moyennes dans l'espace (sur une distance grande devant la quasi-longueur d'onde $\lambda$) de la même manière qu'on a défini les moyennes dans le temps (Cf. § 5.2) : avec $\beta = k + i\chi$ ($|\chi| \ll |k|$), on aura, pour un produit de grandeurs de la forme $A = A_0 e^{i\beta \cdot r}$, une valeur moyenne dans l'espace (notée $\hat{AB}$ pour la distinguer de la valeur moyenne $\overline{AB}$ dans le temps, en un point donné)

$$ (9.4.1) \qquad \hat{AB} = \frac{1}{4} (A_0 B_0^* + A^* B_0) e^{-2\chi \cdot r}, $$

cette moyenne, définie à un instant donné, conduit à une variation spatiale (sur des distances grandes devant $k^{-1} \sim \lambda$) de l'onde considérée à cet instant donné, caractérisée par

$$ (9.4.2) \qquad \frac{\partial}{\partial r} (\hat{AB}) = -2\chi \hat{AB} $$

en particulier pour

$$ (9.4.3) \qquad \hat{S} = \frac{1}{4} (E \times H^* + E^* \times H) e^{-2\chi \cdot r} $$

on aura

$$ (9.4.4) \qquad \frac{\partial}{\partial r} \cdot \hat{S} = -2\chi \cdot \hat{S}. $$

Pour une onde complexe, $\beta = k + i\chi$, $\alpha = \omega - i\gamma$, on définira donc une valeur moyenne, dans le temps et dans l'espace, par<fnref n="1" />

$$ \overline{\hat{AB}} = \overline{\hat{AB}} = \overline{\hat{AB}} = \frac{1}{4} (A_0 B^* + A_0^* B_0) e^{-2\gamma t - 2\chi r} $$

c'est-à-dire, d'après (5.2.6)

$$ (9.4.5) \qquad \overline{\hat{AB}} = \hat{AB} e^{-2\chi \cdot r}. $$

En particulier

$$ (9.4.6) \qquad \overline{\hat{S}} = \frac{1}{4} (E \times H^* + E^* \times H) e^{-2\gamma t - 2\chi r}. $$

Multiplions scolairement (9.4.6) par $\beta$ et par $\beta^*$. On a, compte tenu des équations de Maxwell, écrites pour l'onde en $e^{i(\beta \cdot r - \alpha t)}$

<footnote n="1">1. L'ordre dans lequel on effectue les moyennes est évidemment indifférent.</footnote>
## 8.4. Propagation perpendiculaire ($k_{\parallel} = 0$) : Résultats en haute fréquence

En négligeant les ions, les solutions pour $\theta = \frac{\pi}{2}$ ont été données par Dnestrovskii et Kostomarov (1961 a et 1961 b) pour l'onde ordinaire et pour l'onde extraordinaire.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 8.1.
Ondes extraordinaires ($k \cdot B_0 = 0$; ions immobiles)</figcaption></figure>

— théorie cinétique (Dnestrovskii et Kostomarov, 1961 b)

— théorie adiabatique

$$ \left(\frac{\omega_o}{\omega_b}\right)^2 = 1,2 $$
Numériquement, en unités MKSA,

$$ (3.2.12) \qquad \begin{gathered} \omega_p^2 = 3,2 \cdot 10^3 \quad n_{0e} \\ f_p = \omega_p / 2\pi \# 9 \sqrt{n_{0e}} \; ; \end{gathered} $$

pour les décharges ordinaires ($n_{0e} \sim 10^{12} \text{cm}^{-3} = 10^{18} \text{m}^{-3}$), cette fréquence se trouve donc dans la gamme des hyperfréquences $f_p = 9 \cdot 10^9 \text{sec}^{-1} \sim 10.000 \text{ Mcycles/sec.}$

Dans le modèle plasma froid, $\kappa$ ne dépendant que de $\omega$, la solution (3.2.6) est une oscillation à fréquence fixée $\omega = \omega_0$, indépendante de $k$ (nous verrons ultérieurement qu'il n'en est plus de même pour un plasma chaud); sa vitesse de groupe $v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k}$ est donc nulle : cette oscillation ne se propage pas. On l'appelle *oscillation de plasma électronique*, et toutes les perturbations longitudinales, quelle que soit leur longueur d'onde, oscillent à cette même fréquence.

Au chapitre 1, on a décrit ces oscillations de plasma comme des oscillations de charge d'espace : une tranche d'électrons, dont la charge, à l'équilibre, est neutralisée par une distribution uniforme d'ions, oscille harmoniquement à la fréquence (angulaire) $\omega_p$; la force de rappel, proportionnelle au déplacement de la tranche d'électrons considérée, est assurée par le champ électrique dû à la séparation des charges.

## Ondes transversales 3.2.2

Les solutions $N^2 = \kappa^2$ (analogues aux solutions dans un diélectrique solide), correspondent aux ondes polarisées rectilignement suivant $Ox$ (seul, $E_x \# 0$), ou $Oy$ (seul, $E_y \# 0$) (Cf. fig. 3.3); D et E sont colinéaires, $\kappa$ étant scalaire. On a :

$$ (3.2.13) \qquad N^2 = 1 - \frac{\omega_0^2}{\omega^2} = N^{02} $$

ou encore

$$ (3.2.14) \qquad \omega^3 = \omega_0^3 + k^2 c^2. $$

Numériquement, en négligeant $\frac{m_e}{m_i} \lesssim 5 \cdot 10^{-4}$ devant 1, on a donc

$$ N^{02} = 1 - (9 \sqrt{n_{0e}} / f)^2 $$

où $f$ est la fréquence d'utilisation (cycles/sec.) et $n_{0e}$ la densité électronique ($m^{-3}$).

L'équation (3.2.14) montre que $k$ n'est réel que si $\omega > \omega_0$. Pour $\omega < \omega_0$, la propagation n'est plus possible, et on a un indice purement imaginaire

<footnote n="1">1. Cf. chap. 5 : Un paquet d'ondes, de forme donnée, est obtenu, par exemple, en surperposant un ensemble d'ondes monochromatiques, dont les vecteurs sont centrés sur une valeur $k_0$. Ce paquet se propage en se déformant : la vitesse avec laquelle son centre se déplace est la vitesse de groupe $v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k}$ pour le mode $\omega(k)$. Ici $\omega(k) = \omega_0$.</footnote>
## 2.2. Propagation des ondes planes dans le vide et dans un diélectrique isotrope. Description diélectrique

### Propagation dans le vide 2.2.1

Dans le vide, caractérisé par sa constante diélectrique $ε_0$ et sa perméabilité magnétique $μ_0$, les équations de Maxwell, en l'absence de sources extérieures, s'écrivent :

$$ (2.2.1) \qquad \nabla \times E = - \frac{\partial}{\partial t} B $$

$$ (2.2.2) \qquad \nabla \times H = \frac{\partial}{\partial t} D $$

$$ (2.2.3) \qquad \nabla \cdot D = 0 $$

$$ (2.2.4) \qquad \nabla \cdot B = 0 $$

avec les « relations de constitution » du milieu

$$ (2.2.5) \qquad D = \varepsilon_0 E $$

$$ (2.2.6) \qquad B = \mu_0 H, $$

où, dans le système MKSA rationalisé, $ε_0μ_0c^2 = 1$,

$$ (2.2.7) \qquad \varepsilon_0 = 10^{-9}/36\pi, \quad \mu_0 = 4\pi 10^{-7} $$

On en déduit, d'après (2.2.1 à 6)

$$ \nabla \times (\nabla \times E) = \nabla (\nabla \cdot E) - \nabla^2 E = - \mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} D $$

d'où l'équation de propagation

$$ (2.2.8) \qquad \nabla^2 E = \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} E. $$

Cette équation admet des solutions ondes planes du type

$$ (2.2.9) \qquad E = E_0 e^{i(k \cdot r - \omega t)}. $$

Par substitution de (2.2.9) dans (2.2.8), avec $\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla$, $\nabla = \frac{\partial}{\partial r} = ik$, $\frac{\partial}{\partial t} = -i\omega$,

on obtient la relation

$$ (2.2.10) \qquad k^2 E = \varepsilon_0 \mu_0 \omega^2 E. $$

Cette onde est transversale ($E \perp k$ puisque $\nabla \cdot E = 0$) et se propage, dans la direction $k$, arbitraire, à la vitesse de phase $v_φ = \omega/k = (ε_0μ_0)^{-1/2} = c$, vitesse de la lumière dans le vide. L'indice (2.1.4) est donc $N = 1$.
<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>FIGURE 4.1. Courbes de dispersion des modes TE et TM d'un guide à faces parallèles</figcaption></figure>

Pour le guide rectangulaire 4.2.2

0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, on a de même des modes TM et TE, pour $s_0^2 > 0$ (il n'y a pas de solution pour $s_0^2 < 0$) :

Modes TM$_{np}$

$$
(4.2.11) \qquad E_{\parallel} = E_0 \sin \lambda x \sin \mu y.
$$

Modes TE$_{np}$

$$
(4.2.12) \qquad H_{\parallel} = H_0 \cos \lambda x \cos \lambda y
$$

$$
\text{où, dans les deux cas, } \lambda = \frac{n\pi}{a}, \quad \mu = \frac{p\pi}{b}
$$

$$
(4.2.13) \qquad s_0^2 = \lambda^2 + \mu^2 = \pi^2 \left( \frac{n^2}{a^2} + \frac{p^2}{b^2} \right)
$$

n et p étant entiers, tous les deux différents de zéro pour les modes TM et au moins l'un différent de zéro pour les modes TE.

La plus basse fréquence de coupure est donc celle du mode TE₀₁, qu'on appelle
pour cette raison, *mode fondamental* ou *mode principal*.

On a des courbes de dispersion analogues à celles de la figure 4.1.

Pour le guide circulaire 4.2.3

$r = a$, il n'existe pas de solutions à $s_0^2 < 0$ et, pour $s^2 > 0$, on a encore des modes TM et des modes TE :

Modes TM$_{np}$

$$
(4.2.14) \qquad E_{\parallel} = E_0 e^{in\phi} J_n(s_0 r)
$$

avec $J_n(s_0a) = 0$, soit

$$
(4.2.15) \qquad s_0 = \frac{q_{np}}{a}
$$

où $q_{np}$ est la $p$-ième racine de $J_n(x) = 0$.
$$
(5.3.1) \qquad \mathbf{k} \cdot \bar{\mathbf{S}} = 2\omega \bar{\mathbf{W}}_M = 2\omega \bar{\mathbf{W}}_E + \frac{1}{2} Jm (\mathbf{J}^* \cdot \mathbf{E}).
$$

La partie transversale de $\bar{S}$ s'obtient à partir de

$$
\begin{align*}
\mathbf{k} \times \bar{\mathbf{S}} &= \frac{1}{2} \Re \left[ \mathbf{k} \times (\mathbf{E} \times \mathbf{H}^*) \right] \\
&= \frac{1}{2} \Re \left[ (\mathbf{k} \cdot \mathbf{H}^*) \mathbf{E} - (\mathbf{k} \cdot \mathbf{E}) \mathbf{H}^* \right]
\end{align*}
$$

$$
(5.3.2) \qquad \mathbf{k} \times \bar{\mathbf{S}} = - \frac{1}{2} \Re [(\mathbf{k} \cdot \mathbf{E}) \mathbf{H}^*]
$$

puisqu'on a toujours $\mathbf{k} \cdot \mathbf{H} = 0$, et par conséquent $\mathbf{k} \cdot \mathbf{H}^* = 0$.

On obtient alors l'expression de $\bar{S}$ à partir de $\mathbf{k} \times (\mathbf{k} \times \bar{\mathbf{S}}) = (\mathbf{k} \cdot \bar{\mathbf{S}})\mathbf{k} - k^2\bar{\mathbf{S}}$,
soit, d'après (5.3.1) et (5.3.2)

$$
(5.3.3) \qquad k^2 \bar{S} = 2\omega \bar{W}_M k + \frac{1}{2} \mathrm{Re} [(\mathbf{k} \cdot \mathbf{E}) (\mathbf{k} \times \mathbf{H}^*)]
$$

pour un milieu isotrope, on a $\mathbf{k} \cdot \mathbf{E} = 0$, donc $\bar{S}$ est dans la direction de $\mathbf{k}$;

pour un milieu anisotrope, on a encore $\mathbf{k} \cdot \mathbf{E} = 0$ pour les ondes principales,
toutes polarisées perpendiculairement à $\mathbf{k}$, sauf l'onde extraordinaire; dans ce
dernier cas, cependant, le vecteur $\bar{\mathbf{S}}$ est encore colinéaire à $\mathbf{k}$ : pour ce mode
(Cf. § 3.5), $\mathbf{e}_y$ étant le vecteur unitaire le long de $\mathbf{O}y$, on a

$$
\begin{align*}
\mathbf{k} \cdot \mathbf{E} &= kE_x \\
- \mathbf{k} \times \mathbf{H} &= (k\mathbf{H}) \mathbf{e}_y = \omega \varepsilon_0 (\mathbf{\kappa} \cdot \mathbf{E})_y \mathbf{e}_y \\
&= \omega \varepsilon_0 (i\mathbf{\kappa}_2 \mathbf{E}_x + \mathbf{\kappa}_1 \mathbf{E}_y) \mathbf{e}_y
\end{align*}
$$

avec (3.5.19); d'où, d'après (3.4.11)

$$
k\mathbf{H} = i\omega\varepsilon_0 \frac{\kappa_1^2 - \kappa_2^2}{\kappa_2} \mathbf{E}_x = i\omega\varepsilon_0 N_x^2 \frac{\kappa_1}{\kappa_2} \mathbf{E}_x
$$

soit

$$
\frac{1}{k^2} (\mathbf{k} \cdot \mathbf{E}) (\mathbf{k} \times \mathbf{H}^*) = i (\varepsilon_0 / \mu_0)^{1/2} N_x \frac{\kappa_1}{\kappa_2} |\mathbf{E}_x|^2 \mathbf{e}_y,
$$

imaginaire pur <fnref n="1" />.

Pour toutes les ondes principales, on a donc

$$
\bar{S} = \frac{2\omega}{k^2} \bar{W}_M \mathbf{k}
$$

qu'on peut encore écrire

$$
(5.3.4) \qquad \bar{S} = 2\bar{W}_M \mathbf{v}_{\phi}, \quad \text{où} \quad \mathbf{v} = \frac{\omega}{k^2} \mathbf{k} = \mathbf{v} \quad \mathbf{k}/k.
$$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

<footnote n="1">1. Ce terme correspond donc à un flux de puissance réactive dans la direction $\mathbf{k} \times \mathbf{B}_0$ (Cf. note page 203).</footnote>
Posons comme en (7.1.6) $f_{0s} = n_{0s}\varphi_s(w^2)$. L'élimination des $f_{1s}$ entre (7.3.3) et (7.3.4) donne la composante de Fourier-Laplace $(k, \omega)$ du champ électrique, qui est la quantité physique dont le comportement temporel est intéressant

$$ (7.3.5) \qquad E_1(k, \omega) = \frac{\sum_s \frac{q_s}{\epsilon_0} \int \frac{g_{1s}(w)}{\omega - kw_3} d^3w}{k + \sum_s \omega_{ps}^2 \int \frac{\partial\varphi_1/\partial w_s}{\omega - kw_3} d^3w} $$

Pour connaître ce comportement temporel, il faut maintenant étudier, conformément à ce qui a été dit ci-dessus, les pôles de $E(k, \omega)$ dans le plan des $\omega$ complexes. Remarquons que les intégrations sur les vitesses perpendiculaires à $k$ ne changent rien au comportement analytique des termes de (7.3.5).

Le numérateur et le dénominateur de (7.3.5) contiennent des intégrales du type

$$ (7.3.6) \qquad \Phi(u) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{h(v)}{v-u} dv \quad \text{où} \quad u = \frac{\omega}{k}, \quad v = w_3. $$

On reconnaît l’intégrale de Cauchy associée à la fonction $h(v)$ de la variable réelle $v$, définie tant que $\mathfrak{J}mu \neq 0$, soit $\mathfrak{J}m\omega \neq 0$. Mais la discontinuité sur l’axe réel entraîne deux déterminations $\Phi^+$ et $\Phi^-$, respectivement au-dessus et au-dessous de l’axe réel des $v$ (Cf. Appendice 7). Or, par définition de la transformée de Laplace, $\mathfrak{J}m\omega > v$, on doit choisir la détermination $\Phi^+$ pour (7.3.6), correspondant à $\mathfrak{J}m\omega > 0$ (demi-plan supérieur) et son prolongement analytique (différent de $\Phi^-$) dans le demi-plan inférieur, pour $\mathfrak{J}m\omega < 0$. Ce prolongement s’obtient en déformant l’axe réel des $v$, en un contour qui passe toujours en dessous du pôle $u = \frac{\omega}{k}$ : on obtient donc

$$ (7.3.7) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} (a) \quad \mathfrak{J}m\omega > 0, & \Phi^+ = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{h(v)}{v-u} dv \\ (b) \quad \mathfrak{J}m\omega = 0, & \Phi^+ = \mathcal{L} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{h(v)}{v-u} dv + \pi i h(u) \\ (c) \quad \mathfrak{J}m\omega < 0, & \Phi^+ = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{h(v)}{v-u} dv + 2\pi i h(u) \\ & = \Phi^- + 2\pi i h(u) \end{array} \right. $$

où $\mathcal{L}$ représente la partie principale (au sens de Cauchy) de l’intégrale : par définition

$$ (7.3.8) \qquad \mathcal{L} \int_{-\infty}^{+\infty} F(v) \, dv = \lim_{\epsilon \to 0} \left[ \int_{-\infty}^{-\epsilon} F(v) \, dv + \int_{\epsilon}^{+\infty} F(v) \, dv \right]. $$
TABLE

## II. DESCRIPTION DIÉLECTRIQUE D'UN MILIEU ANISOTROPE.
FORME GÉNÉRALE DE L'ÉQUATION DE DISPERSION

<table><tbody><tr><td>2.1. Propagation des ondes planes. Oscillations propres et oscillations forcées.</td><td>43</td></tr><tr><td>Amplitudes complexes</td><td>46</td></tr><tr><td>2.2. Propagation des ondes planes dans le vide et dans un diélectrique isotrope.</td><td>47</td></tr><tr><td>2.2.1. Propagation dans le vide</td><td>47</td></tr><tr><td>2.2.2. Propagation dans un diélectrique.</td><td>48</td></tr><tr><td>2.2.2.1. Description diélectrique</td><td>48</td></tr><tr><td>2.2.2.2. Description « charges dans le vide ».</td><td>49</td></tr><tr><td>2.2.2.3. Équation de dispersion</td><td>50</td></tr><tr><td>2.2.2.4. Mécanisme physique de la dispersion</td><td>51</td></tr><tr><td>2.2.2.5. Indice de propagation. Indice d'extinction</td><td>51</td></tr><tr><td>2.2.2.6. Propriétés générales de la constante diélectrique.</td><td>53</td></tr><tr><td>2.2.2.7. Description diélectrique d'un plasma isotrope</td><td>54</td></tr><tr><td>2.3. Description diélectrique d'un milieu anisotrope.</td><td>55</td></tr><tr><td>2.3.1. Perméabilité magnétique d'un plasma.</td><td>55</td></tr><tr><td>2.3.2. Description « charges dans le vide ». Tenseur de conductivité d'un plasma.</td><td>57</td></tr><tr><td>2.4. Forme générale de l'équation de dispersion.</td><td>59</td></tr><tr><td>2.5. Propriétés générales des solutions.</td><td>61</td></tr></tbody></table>

## III. PROPAGATION DES ONDES PLANES
DANS LES PLASMAS FROID S HOMOGÈNES ILLIMITÉS

<table><tbody><tr><td>3.1. Le modèle plasma froid.</td><td>63</td></tr><tr><td>3.2. Équation de dispersion en l'absence de champ magnétique extérieur</td><td>64</td></tr><tr><td>3.2.1. Ondes longitudinales.</td><td>65</td></tr><tr><td>3.2.2. Ondes transversales.</td><td>67</td></tr><tr><td>3.2.3. Courbes de dispersion</td><td>68</td></tr><tr><td>3.2.4. Vitesse de groupe</td><td>69</td></tr><tr><td>3.3. Tenseur diélectrique d'un magnétoplasma froid</td><td>70</td></tr><tr><td>3.4. Équation de dispersion des ondes planes dans un magnétoplasma froid.</td><td>74</td></tr><tr><td>3.4.1. Coupures et résonances.</td><td>76</td></tr><tr><td>3.4.1.1. Fréquence de résonance.</td><td>77</td></tr><tr><td>3.4.1.2. Fréquence de coupure.</td><td>80</td></tr><tr><td>3.4.2. Polarisation des ondes</td><td>81</td></tr><tr><td>3.5. Équations de dispersion en propagations parallèle et perpendiculaire au champ magnétique extérieur : ondes principales.</td><td>83</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_2.png" /></figure>
physique du tenseur **Q** (et puisque $Q_0 = 0$), sera donc obtenue avec les conditions de fermeture (une pour chaque espèce $s$ de particules)

$$ (6.3.2) \qquad \nabla \cdot \mathbf{Q}_s = 0 $$

c'est la condition adiabatique complète.

Considérer de plus en plus d'équations d'évolution des moments, revient à ajouter, à la densité de courant obtenue dans le cas des plasmas froids, des termes correctifs successifs. Nous montrerons dans le cas des ondes longitudinales (mais ce résultat est général), que cette suite de termes correctifs constitue, lorsque le paramètre $\tau_s = \frac{a_s^2}{2v_\varphi^2} = \frac{KT_s}{m_s} \frac{k^2}{\omega^2}$, est tel que $\tau_s \ll 1$ (c'est-à-dire pour les ondes rapides), un développement en puissances de $\tau_s$; nous montrerons en particulier que les termes en $\mathbf{Q}_s$ interviennent, dans l'équation pour $\mathbf{J}_s$, sous forme de termes du second ordre en $\tau_s$: la théorie adiabatique complète constituera donc l'approximation du premier ordre en $\tau_s$.

Bien entendu, un tel développement perdra tout son sens pour $\tau_s \sim 1$, c'est-à-dire pour les ondes très lentes ($v_\varphi \simeq a_s$), et il faudra revenir alors à la description microscopique.

Résolvons le système (6.1.5) par une méthode de perturbation; on linéarise les équations au voisinage de l'équilibre supposé homogène, et on en prend les transformées de Fourier dans l'espace et dans le temps. Cela revient à prendre, pour tout moment $g$, une expression de la forme

$$ g = g_0 + g_1 e^{i(k \cdot r - \omega t)}, \quad g_1 \ll g_0 $$

et à linéariser les équations (6.1.5). On obtient ainsi, pour les perturbations des grandeurs associées au passage de l'onde $(k, \omega)$, $\xi_{s1} = q_s n_{s1}$, $\mathbf{J}_{s1} = n_{0s} q_s \mathbf{v}_{s1}$,

$\mathbf{\Phi}_{s1} = \frac{q_s}{m_s} \mathbf{\Psi}_{s1}$, le système (en omettant l'indice $s$)

$$ (6.3.3) \quad \left\{ \begin{array}{ll} (a) & \xi_1 - \mathbf{\chi} \cdot \mathbf{J}_1 = 0 \\ (b) & \mathbf{J}_1 - i\mathbf{b} \times \mathbf{J}_1 - \mathbf{\chi} \cdot \mathbf{\Phi}_1 = i\omega\epsilon_0 p^2 E_1 \\ (c) & \mathbf{\Phi}_1 - (i\mathbf{b} \times \mathbf{\Phi}_1 + \text{transposé}) - \frac{\text{KT}}{m} [(\mathbf{\chi} \cdot \mathbf{J}_1)\mathbf{1} + \mathbf{\chi}\mathbf{J}_1 + \mathbf{J}_1\mathbf{\chi}] = 0 \end{array} \right. $$

$$ \text{où } \mathbf{\chi} = \mathbf{k}/\omega \quad ; \quad \mathbf{b}_s = \omega b_s / \omega, \text{ avec } \omega b_s = - \frac{q_s}{m_s} \mathbf{B}_0 \quad ; \quad p_s^2 = \omega_p^2 / \omega^2. $$

Nous allons tout d'abord étudier le cas où $B_0 = 0$.

## 6.4. Ondes rapides adiabatiques en l'absence de champ magnétique extérieur

Dans ce cas, on peut calculer immédiatement le terme dû à l'agitation thermique, $\mathbf{\chi} \cdot \mathbf{\Phi}_{s1}$ qui figure dans (6.3.3 b). Multiplions scalairement (6.3.3 c) par $\mathbf{\chi}$. On obtient
Pour le pôle N = N₁ (en supposant que le milieu présente des pertes faibles et que par conséquent N₁ est tel que ImN₁ ≪ ReN₁), l'intégrale sur N peut être évaluée par la méthode des résidus et donne

$$ \frac{N_1^2}{A 2N_1(N_1^2 - N_2^2)} \Lambda_{zz}(N_1). $$

Or, d'après l'équation de dispersion Δ(N₁) = 0, et

$$ \Lambda_{zz}(N_1) = - \frac{\chi_1}{\chi_3} N_1^2 \sin^2\theta (N_1^2 - N_3^2) $$

où $N_x = (\frac{\chi_1^2 - \chi_2}{\chi_1})^{1/2}$ est l'indice du mode extraordinaire défini en (3.5.20).

On a donc pour les deux pôles

$$ S = \frac{\pi \zeta_0}{\lambda_0^2} \Re \left[ \frac{\chi_1}{\chi_3} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\sin^3 \theta}{A(\theta)} \frac{(N_1^2 - N_2^2 - N_3^2)(N_1^2 - N_2^2)}{N_1^2 - N_2^2} \right) \right] $$

$N_1$ et $N_2$ étant fonctions de $\theta$ à travers les coefficients $A, B, C$. Le calcul précédent suppose essentiellement que les deux modes existent, c'est-à-dire s'applique aux régions ①, ③, ⑥, ⑦, ⑨, ⑫, ⑬ du diagramme CMA. Lorsqu'un des modes a disparu, $N_2$ par ex., on a $N_2^2 < 0$, et le pôle $N_2$ ne contribue plus à la partie réelle de l'intégrale. De plus, l'intégrale sur $\theta$ présente un pôle pour $A(\theta) = 0$ (qui définit les résonances $\theta = \theta_R$). Des précautions doivent donc être prises dans les régions où on a des résonances et au voisinage des coupures. Cependant, pour les résonances, $\lambda \to 0$: la distribution du courant dans l'antenne intervient (on ne peut donc plus assimiler l'antenne à un dipôle), en même temps que le modèle plasma froid tombe en défaut.

## 4. Condition de rayonnement — Condition d'antirayonnement (J.-P. Lafon)<fnref n="1" />

En régime permanent, on peut calculer le champ rayonné pour lequel la puissance émise par un émetteur court dans un milieu ionisé, en utilisant, après transformation formelle de Fourier dans l'espace, les équations de Maxwell.

On obtient tout d'abord la transformée de Fourier du champ électrique sous la forme

$$ (A-4.1) \qquad E(k, \omega) = -i\omega\mu_0 \mathcal{R}^{-1}(k, \omega) \cdot J(k, \omega) + U(k, \omega) \delta(\det \mathcal{R}) $$

<footnote n="1">1. Cet appendice est un résumé de l'article cité en référence. J.-P. LAFON, 1968.</footnote>
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