# Analyse dans le suivi de productions d'étudiants de DEUG A(*) en algèbre linéaire. (*) Premier cycle scientifique des universités françaises.

Jean-Luc Dorier, Christian Lavergne

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Jean-Luc Dorier, Christian Lavergne. Analyse dans le suivi de productions d'étudiants de DEUG A(*) en algèbre linéaire. (*) Premier cycle scientifique des universités françaises. IREM de Paris. IREM de Paris, 6, 1990, Cahier de DIDIREM, Régine Douady, 2-86612-099-X. hal-02138114

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INSTITUT
DE RECHERCHE
POUR L'ENSEIGNEMENT
DES MATHEMATIQUES

6

AVRIL 1990

Analyse dans le suivi
de productions d'étudiants de DEUG A (*)
en algèbre linéaire.

par Jean-Luc DORIER

Institut Fourier

Equipe de Didactique des mathématiques

B.P. 74 - 38 402 St Martin d'Hères Cedex

et avec la collaboration de

Christian LAVERGNE

IMAG-TIM3

Equipe de statistique

B.P. 53X 38 041 Grenoble Cedex

(*) Premier cycle scientifique des universités françaises.

DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES

UNIVERSITE-PARIS VII

CAHIER DE DIDIREM
Analyse dans le suivi
de productions d'étudiants de DEUG A (*)
en algèbre linéaire.

par Jean-Luc DORIER

Institut Fourier

Equipe de Didactique des mathématiques

B.P. 74 - 38 402 St Martin d'Hères Cedex

et avec la collaboration de
Christian LAVERGNE
IMAG-TIM3

Equipe de statistique

B.P. 53X 38 041 Grenoble Cedex

<footnote>(*) Premier cycle scientifique des universités françaises.</footnote>
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## SOMMAIRE

### Introduction

1) Nos objectifs p 1

2) Présentation de la section de DEUG étudiée p 3

3) Méthodologie p 4

### A- Prétest de logique et d'algèbre (octobre)

I- Analyse a priori et mode de traitement p 6

1) Objectifs et méthode p 6

2) Définition des blocs p 6

a- Pour la logique p 7

b- pour l'algèbre p 8

3) Analyse des questions regroupées par blocs p 7

i- Bloc EQ1 p 8

ii- Bloc EQ3 p 8

iii- Blocs QA1 et QA2 p 10

iv- Bloc QA3 p 12

v- Bloc AN p 14

vi- Bloc AS p 15

4) Attribution des notes p 15

II- Interprétation des résultats p 16

1) Niveaux par blocs p 22

2) Interprétation générale p 22

III- Comparaison par groupes p 24

### B- Premier devoir surveillé - 7 janvier

I- Analyse a priori - Résultats quantitatifs p 27

II- Attribution d'une note p 31

III- Comparaison par groupe p 32

IV- Corrélation avec le prétest p 33

### C- Examen partiel - 18 janvier

I- Analyse a priori - Résultats quantitatifs p 36

II- Attribution d'une note p 44

III- Comparaison par groupe p 45

IV- Corrélation avec le prétest p 46

### D- Deuxième devoir surveillé - 4 mars

I- Analyse a priori - Résultats quantitatifs p 48

II- Attribution d'une note p 51

III- Comparaison par groupe p 52

IV- Corrélation avec le prétest p 53

### E - Test "vrai/faux" - 13 mars

I- Analyse a priori - Résultats quantitatifs p 55

II- Attribution d'une note p 66

III- Comparaison par groupe p 68

IV- Corrélation avec le prétest p 69

### F - Troisième devoir surveillé - 1er avril

I- Analyse a priori - Résultats quantitatifs p 76

II- Attribution d'une note p 82

III- Comparaison par groupe p 83

IV- Corrélation avec le prétest p 83

### G - Quatrième devoir surveillé - 7 janvier

I- Analyse a priori - Résultats quantitatifs p 86

II- Attribution d'une note p 93

III- Comparaison par groupe p 94

IV- Corrélation avec le prétest p 94

### H - Examen final - 31 mai

I- Analyse a priori - Résultats quantitatifs p 97

II- Attribution d'une note p 104

III- Comparaison par groupe p 105

IV- Corrélation avec le prétest p 106
J - Analyse globale

p 109

I. Les corrélations avec le prétest et entre les devoirs

1) caractéristique du nouvel échantillon

p 110

2) Présentation des outils statistiques utilisés

p 112

3) Les résultats

a- La matrice des corrélations

p 112

b- Les corrélations prétest/devoirs

p 113

c- Les corrélations entre les devoirs

p 118

II- Analyses des données regroupées par thèmes

1) Définition des thèmes et de leurs variables

a- La résolution des systèmes d'équations linéaires

p 122

b- Les questions élémentaires d'algèbre linéaire

p 125

c- Les questions de techniques algèbriques

p 127

d- Les questions de synthèse

p 128

e- les questions d'algèbre linéaire

p 128

f- Le calcul matriciel

p 132

2) Les corrélations globales

p 132

3) ACP sur les nouvelles variables

p 135

4) Corrélation avec le prétest

p 135

III- Quelques réflexions en guise de conclusion

1)Résultats sur l'apprentissage de l'algèbre linéaire

a) Les tâches

p 139

b) Les évolutions individuelles

p 141

c) Critiques méthodologiques

p 143

d) Quelques propositions

p 145

2) Réflexions didactiques sur ce type de recherches

p 147

3) Conclusions

p 148

Bibliographie

p 151
# Introduction

Des travaux ont mis en évidence un certain constat d'échec dans l'enseignement des premiers conceptis de l'algèbre linéaire en première année du cursus des études universitaires scientifiques ([16], [7] et [8]). Principalement, il apparaît que l'aspect particulièrement formel de certains concepts élémentaires de l'algèbre linéaire est une barrière à leur bonne mise en fonctionnement, si bien que, souvent, la faiblesse des acquis antérieurs dans le domaine de la logique est l'objet d'un reproche récurrent des enseignants à leurs étudiants. Cette remarque un peu vague et quelques autres constatations issues de la pratique des enseignants, nous ont conduit à vouloir essayer de mieux cerner la nature des liens entre la logique élémentaire et l'algèbre linéaire, et de mieux délimiter différents aspects de l'enseignement et de l'apprentissage de ces premiers conceptis, à travers une analyse de productions d'étudiants sur le sujet, dans leur suivi.

Ainsi l'étude qui suit a été réalisée à partir d'analyses de copies d'étudiants dans une section de première année de DEUG A (premier cycle scientifique des universités françaises) en algèbre linéaire. Nous avons pour certains étudiants, analysé tous les exercices (ou problèmes) des devoirs réalisés en temps limité et sous surveillance, pendant l'année universitaire 1988/89. En plus nous avons analysé les résultats à un prétest de logique et d'algèbre élémentaires, destiné à nous permettre de mieux cerner les acquis antérieurs des étudiants dans ces domaines.

Les sujets des devoirs et du prétest ont été élaborés par les enseignants seuls, parfois à l'aide de sources didactiques, mais jamais en liaison avec notre analyse. On peut donc dire qu'ils sont représentatifs d'un enseignement assez standard (cf §2).

## 1) Nos objectifs

Nous voulions tout d'abord mieux baliser le contenu de l'algèbre linéaire telle qu'elle est enseignée et évaluée en première année d'université, au moins en relevant les types de tâches proposées et les procédures utilisées par les étudiants pour les aborder. Les différentes analyses devoir par devoir devraient nous permettre de répondre à cette première question.

- Nous voulions ensuite mieux décrire des types d'évolution dans les compétences en algèbre linéaire pour un même individu, en particulier en fonction des connaissances antérieures en logique et en algèbre élémentaires. La méthodologie employée (cf §3) devrait ainsi permettre, à partir d'un échantillon représentatif de tracer des types d'histoire individuelle.

- Nous voulions enfin dégager des hypothèses sur les interactions entre les différents domaines soit à l'intérieur de l'algèbre linéaire soit

autour de celle-ci. Cette dernière étape nous a conduit à nous interroger sur les contenus possibles d'un cours d'algèbre linéaire et leur signification, en fonction de différents objectifs d'apprentissage.

Notre analyse se situe à quelques nuances près (cf §2) dans un contexte standard, c'est-à-dire que l'enseignement dont il est question, ainsi que le contrat global, en particulier en ce qui concerne l'évaluation, sont "classiques". Il s'agit donc de se concentrer sur les méthodes, procédures et erreurs des étudiants en fonction des tâches proposées d'une part, et des connaissances antérieures de chaque individu.

Notre analyse préalable de la nature des concepts d'algèbre linéaire, que nous partageons avec d'autres ([6], [7] et [8]), nous laisse supposer que leur aspect unificateur et simplificateur, ainsi que l'absence de problème "simple" permettant de justifier à lui seul l'introduction de concepts qui n'ont de réelle justification que dans leur emploi répété, conduisent à un enseignement dichotomique.

D'un côté, on propose des problèmes qui soulèvent de "vraies" questions, mais pour lesquels l'algèbre linéaire n'est qu'une façon plus générale, mais pas indispensable, de résolution. Ce nouveau point de vue apporte éventuellement une simplification mais qui n'est vraiment effective que, d'une part, si on maîtrise bien les concepts d'algèbre linéaire et d'autre part, si on a à résoudre plusieurs problèmes du même type. En situation d'enseignement le risque est que la résolution du problème par la méthode utilisant l'algèbre linéaire ne soit qu'un effet du contrat global : "on est en cours d'algèbre linéaire, donc il faut s'en servir", ou bien que les questions qui découpent la tâche obligent à cette démarche. Il n'est par contre pas certain que libre de son choix l'étudiant privilégie la méthode issue de l'algèbre linéaire, on a d'ailleurs observé quelques "dérapages" dans ce sens. Par ailleurs la résolution de ce type de problème nécessite souvent des prérequis liés à des techniques algébriques spécifiques au domaine en jeu (calcul polynomial, calcul intégral ou dérivation etc...). Les difficultés que ce phénomène engendre, peuvent dans certains cas prendre des proportions telles que l'enjeu se trouve entièrement déplacé, et que les questions d'algèbre linéaire n'apparaissent plus que comme secondaires.

D'un autre côté, le deuxième type de problèmes proposés en algèbre linéaire se situe dans un cadre entièrement formel sans référence extérieure. Les espaces utilisés sont généraux, on peut dire que les questions sont de vraies questions d'algèbre linéaire, mais leur intérêt hors ce cadre n'est en général pas visible dans le problème, ce qui peut poser un problème de motivation. L'enseignement visé ici est celui de "techniques-objets", les difficultés qu'il soulève sont liées à l'utilisation du formalisme du langage ensemble, dont on sait que les étudiants ont beaucoup de mal à l'adopter, surtout en l'absence de point d'appui sur un cadre de référence plus concret.
Cette dualité souffre bien sûr quelques nuances et la plupart des problèmes empruntent un peu des deux types. Pourtant il est rare que le tout se mêle en harmonie et que les deux démarches se complètent.

Cette brève description, qui ne s'appuie pour le moment que sur des présupposés est à garder en mémoire pour la lecture des analyses de tâches, menées dans les chapitres suivants. Mais elle est aussi importante pour la lecture des analyses des procédures. On peut se demander en effet, au vu de cette dualité, ce qui est problématique pour les étudiants, comment ils perçoivent de tels enjeux et dans quelle mesure leur bagage initial influe sur ces deux points. Nous espérons pouvoir répondre au moins partiellement à cette question dans le dernier chapitre.

Du point de vue psycho-cognitif, il sera intéressant de voir dans quelle mesure un étudiant est capable de reconstruire la connaissance en jeu, de voir si dans certaines conditions une reconstruction partielle suffit pour gérer un certain type de tâche. Nous essaierons également de voir si certains étudiants sont mieux "préparés" que d'autres à apprendre dans certaines conditions.

Par contre notre analyse est bien sûr limitée par la méthodologie employée, en particulier, l'analyse de devoirs ne permet pas de distinguer réussite et apprentissage, même si l'analyse en terme de procédures permet de pallier un peu cette lacune, mais nous n'insisterons jamais assez pour dire que tous nos résultats ne sont valables que dans le cadre restrictif décrit ci-dessous.

## 2. Présentation de la section de DEUG étudiée

Les étudiants, dont nous avons testé les copies, sont issus de trois groupes de travaux dirigés (TD) d'une même section de DEUG A (premier cycle scientifique des universités françaises).

Le fonctionnement de cette section est dans les grandes lignes le suivant :

- Les horaires hebdomadaires de mathématiques sont de deux fois deux heures de cours par bigroupes d'une soixantaine et de trois fois une heure et demi de travaux dirigés par groupes d'une trentaine, avec quelques séances supplémentaires de TD sur machines. Les trois groupes analysés sont issus de trois bigroupes distincts.

- Chaque bigroupe dispose d'un même enseignant pour les cours et les TD d'analyse et d'un autre pour les TD et les cours d'algèbre. Sauf pour le bigroupe du groupe 4, qui possède des enseignants distincts pour les cours et les TD.

- Les enseignants se réunissent en réunion pédagogique d'une heure à une heure trente, une fois par semaine, pour coordonner les différents bigroupes.

- En plus d'un partiel en février et de l'examen de juin (épreuves de quatre heures), il y a en alternance trois devoirs surveillés (de trois heures, comptant pour le contrôle continu) et trois devoirs à la maison, par semestre. Il y a en outre quelques tests passés de façon irrégulière, sous surveillance en TD. C'est le cas de ce que nous avons appelé le test "vrai/faux".

- L'enseignement de l'algèbre linéaire s'est étalé sur 17 semaines (pour environ la moitié des enseignements hebdomadaires de mathématiques) de fin novembre à la fin de l'année. Ceci représente un temps plus long que la moyenne que l'on peut observer dans les autres sections de DEUG A première année. Souvent ce cours n'occupe en effet que la moitié des plages horaires sur un semestre environ.

Pour introduire les cours d'algèbre linéaire, les enseignants ont fait faire en TD les exercices tirés du cahier DIDIREM n°72 "De la géométrie analytique à l'algèbre linéaire" (14). De plus, J. Robinet a fait un exposé de deux heures en amphithéâtre sur l'histoire des concepts d'algèbre linéaire (17). Puis les enseignants ont fait un discours inaugural de type métamathématique pour souligner le caractère simplificateur et unificateur de l'algèbre linéaire. Enfin il a été montré en TD, sur machine, la simplification apportée par l'algèbre linéaire dans le calcul des termes d'une suite de Fibonacci.

Après ces interventions, que l'on peut qualifier d'expérimentales, et qui avec le choix de se laisser beaucoup de temps pour enseigner l'algèbre linéaire, donnent une certaine spécificité à la section étudiée, le cours est resté assez "classique". Son contenu est le contenu standard depuis la définition des espaces et sous-espaces vectoriels, de familles libres et génératrices, de supplémentaires etc ... aux applications linéaires et matrices jusqu'aux questions de diagonalisation.

Cette section a donc été l'objet de soins particuliers pour l'enseignement de l'algèbre linéaire. Pourtant malgré les quelques interventions à caractère expérimental de l'introduction, l'enseignement n'a pas subi de modification très sensible, on peut donc considérer que la section observée est une section assez "classique" de DEUG A.

## 3. Méthodologie

Pour le prétest, à partir d'une analyse a priori, nous avons défini, en fonction des tâches proposées et des cadres d'intervention des concepts, des "blocs de connaissance", sur le modèle proposé par A. Robert et F. Boschet ([1] et [2]) (chapitre A). Ces blocs, qui rendent compte des résultats de chaque étudiant au prétest, nous ont permis d'obtenir une information plus maniable pour la suite de l'analyse.

Pour chaque devoir (DS, partiel, test ou examen), nous avons fait une analyse détaillée des tâches impliquées dans les questions ainsi que des procédures employées par les étudiants. Nous avons codifié les
procédures les plus souvent rencontrées, et donné sous forme de tableau les résultats quantitatifs du dépouillement. Nous avons également, à l'aide de tableaux croisés, essayé d'évaluer la corrélation entre les résultats à chaque devoir et ceux du prétest (chapitres B à H).

Nous avons analysé les copies du prétest et de sept devoirs. Pour chacun nous donnons ci-dessous l'identificateur utilisé et le nombre de copies analysées :

- Prétest : 84 copies.

- Devoir surveillé n°1 : 39 copies.

- Partiel : 74 copies.

- Devoir surveillé n°2 : 46 copies.

- Test "vrai/faux" : 58 copies.

- Devoir surveillé n°3 : 58 copies.

- Devoir surveillé n°4 : 50 copies.

- Examen : 73 copies.

Nous disposons des huit copies pour malheureusement seulement dix-neuf étudiants, à cause de raisons matérielles qui seront évoquées au dernier chapitre.

Dans un dernier temps (chapitre I) nous avons tenté une analyse globale des corrélations entre tous les devoirs et le prétest. Pour cette partie, en collaboration avec C. Lavergne, nous avons utilisé le logiciel SPAD.N (système portable pour l'analyse des données), pour réaliser les analyses en composantes principales.

Nous espérons que la lecture de ce qui suit pourra éclairer le lecteur sur les questions que nous posions plus haut. Il nous faut toutefois insister sur le caractère spécifique, par ses choix, de notre analyse. C'est-à-dire la nature des prérequis tels qu'ils sont évalués par le prétest, le nombre relativement réduit d'étudiants, la nature même des tâches suggérées dans les devoirs, qui sont autant de paramètres qui conditionnent notre étude et qui auraient pu être l'objet de choix entièrement différents.

# A. - Prétest de logique et d'algèbre - Octobre.

Ce prétest (comme son nom l'indique) a été donné aux étudiants dans les premiers jours de la rentrée et ne porte sur aucun enseignement spécifique fait en DEUG. Il doit permettre d'évaluer le niveau des étudiants à l'arrivée en première année sur des questions de logique "élémentaire" (questions: 1-i) à iv)/ 3/ 4/ 5/ 8/ 9/ 10 ) et d'algèbre de base( questions 1-v) à viii)/ 2/ 6/ 7). Le test a été passé par groupes de TD en environ une heure; les étudiants savaient qu'il ne compterait pas pour le contrôle continu. Nous avons analysé 84 copies.

On trouvera, en annexe A-1, le texte de ce prétest.

## I. Analyse a priori et mode de traitement.

### 1. Objectifs et méthode:

Nous nous sommes inspiré d'un travail d'A. ROBERT et F. BOSCHET portant sur "l'acquisition des premiers concepts d'analyse sur R dans une section ordinaire de première année de DEUG" ([1] et [2]).

Nous voulons ici caractériser les connaissances de chaque étudiant sous forme d'acquis ou d'insuffisances par rapport à un prérequis en logique ou en algèbre. Pour ce faire nous allons déterminer des "blocs" de questions liées à un même prérequis que l'on définira. Pour chaque bloc de questions on déterminera une note entre 0 et 1. Pour mieux visualiser on déterminera alors par rapport aux résultats globaux et pour chaque bloc trois niveaux d'acquisition (blocs vides, pleins et demi-pleins). La perte d'information sera compensée par la possibilité d'interpréter ces résultats de façon opérationnelle.

### 2. Définition des blocs:

Pour définir les blocs de connaissances que l'on veut regrouper autour d'une même prérequis on a procédé comme suit:

#### a. Pour la logique:

On a distingué tout abord deux catégories suivant les contenus:

(EQ) Les questions faisant intervenir une implication et/ou une équivalence logique (Quest. 1-i) à iv)/ 3).

(QA) Les questions liées à des problèmes de quantification (Quest. 4/ 5/ 8/ 9/ 10).

On a ensuite distingué trois niveaux :

(NI) La compréhension brute: on demande si une proposition écrite en langage formel est vraie ou fausse (Quest. 1-i) à iv)/ 8/ 9bis et ter/ 10bis et ter).

(N2) On demande d'effectuer une tâche entièrement dans le domaine formel, en l'occurence de donner la négation d'une proposition quantifiée (Quest. 9 et 10).
(N3) Il faut passer d'un cadre "informel" (langage usuel, graphisme,...) à la traduction en langage formel ou vice-versa (Quest.3/ 4 et 5).

Il n'y a pas à priori de hiérarchie évidente entre les trois niveaux; si ce n'est peut-être que N1 correspond à la tâche la plus simple. Il s'agit en fait au sens de R. DOUADY (4), pour chaque niveau d'être capable de faire fonctionner un même concept dans différents cadres. Or des travaux ([1] et [2]) ont montré qu'à certains seuils, il est plus efficace d'avoir des connaissances même moindres dans plusieurs cadres, ce qui justifie cette différenciation en niveaux. Nous donnerons après l'analyse des questions, une interprétation des blocs par rapport aux connaissances prérequises.

Cette grille nous permet en théorie de dégager 6 blocs (on regarde chaque catégorie à chacun des trois niveaux) pour la logique. En fait la catégorie (EQ) n'intervient pas au niveau (N2) dans le prétest, il reste donc cinq blocs: EQ1; EQ3; QA1; QA2 et QA3.

### b) Pour l'algèbre:

Le nombre de questions est beaucoup plus réduit et l'on ne fera que la distinction entre celles touchant au numérique (AN) (Quest.1-v) à viii) et 2) et celles relatives aux structures (AS) (Quest.6 et 7).

### 3) Analyse des questions regroupées par blocs:

Comme il a été dit en introduction nous allons vers une schématisation des résultats, c'est à dire une compactification des données recueillies permettant des interprétations plus souples et plus accessibles. Néanmoins soucieux de ne pas trop perdre d'information rapidement, nous commencerons par une analyse assez fine question par question, dont nous rassemblons les données brutes dans un tableau (annexe A-2), qui sera notre base de travail.

On va regarder les questions bloc par bloc. Pour chacune on fait une analyse a priori et en dégageant les types d'erreurs significatives (on attribue pour le tableau un code à chaque type). On définit ensuite une note qui sera le résultat qualitatif à la question. Il nous faudra alors harmoniser ces notes, c'est à dire les pondérer par rapport à l'importance relative de chaque question. On pourra alors en faisant la moyenne des questions attachées à un même bloc, attribuer à chaque étudiant une note par bloc. On verra plus loin comment on réduira ces informations en terme de blocs pleins, vides et demi-pleins.

Tout d'abord quelques remarques pour comprendre le tableau:

Dans tout les cas on a laissé une case vide s'il n'y avait pas de réponse (si cela advient dans une colonne de note on l'interprétera par défaut comme un 0).

Dans tous les cas une réponse entièrement exacte est codée 1.

On a enfin codé 0 toutes les réponses fausses qui ne rentraient dans aucun de nos types soit parce qu'elles correspondent à des erreurs anecdotiques soit pour des raisons de non lisibilité.

#### i) Bloc EQ1:

##### Questions 1-4 à iv):

Ces questions sont du type vrai/faux ; il y a donc une part de hasard... Elles testent la compréhension de l'implication et de l'équivalence logique à un niveau élémentaire: on demande de se prononcer sur la véracité de propositons du type P⇒Q ou P Q où P et Q sont supposées assez simples pour ne pas créer de difficultés.

Chaque item a été codé de façon binaire: 1=juste, 0=faux (sauf le blanc pour l'absence de réponse). La colonne tot1, donnant le total des quatre précédentes, représente la note.

Comme on pouvait le prévoir les résultats sont très bons, c'est surtout le dernier item qui fait la différence: il est réussi par 71% des étudiants, contre 100% pour les deux premiers items et 90% pour le troisième. Il n'y a, par ailleurs, aucune non réponse à aucun des items.

Ces quatre questions déterminent à elles seules le bloc EQ1, ce qui est déjà une critique sur sa consistance. Néanmoins un score non parfait à ce bloc est, à moins d'une étourderie, l'indicateur d'un manque de maîtrise de l'équivalence logique.

#### ii) Bloc EQ2:

##### Question 3:

On teste ici la compréhension d'une proposition comportant une équivalence logique, mais de façon plus fine que précédemment puisqu'on demande de "traduire" cette propriété formelle par la donnée d'un ensemble explicite. On demande en plus une démonstration qui doit faire le lien. C'est un changement de cadre explicite, le concept doit pouvoir fonctionner, dans un univers moins clos, en interaction avec des problèmes de récurrence et d'arithmétique. Examinons tout d'abord une démonstration possible pour mieux voir les difficultés logiques du problème.

Une façon de répondre consiste à faire une récurrence portant sur deux indices successifs: on prend comme hypothèse ($H_p$) $2p \in X$ et $2p+1 \notin X$. On peut déjà remarquer que la deuxième partie de l'hypothèse est vérifiée dès que la première l'est. Or pour $p=0$, $0 \in X$ donc ($H_0$) est vraie. On suppose alors que ($H_p$) est vraie, ensuite il y a au moins deux façons de voir que ($H_{p+1}$) est vraie:

On peut dire que si $2p+2 \notin X$ alors $(2p+2)-1=2p+1 \in X$ ce qui est contradictoire avec l'hypothèse de récurrence donc $2p+2 \in X$.

On si on remarque que $a \in X \iff a+1 \notin X$ s'écrit encore $a \in X \iff a+1 \in X$ on peut aussi dire $2p \in X \iff 2p+1 \notin X \iff 2p+2 \in X$.
Dans les deux cas, on démontre par récurrence que $X=(2p/p \le N)$. On peut donc mettre en évidence trois tâches différentes dans la démonstration: la nécessité d'une récurrence, l'idée que si $n \le X$ alors $n+1 \le X$, et enfin le passage plus délicat de $n$ à $n+2$. La troisième tâche semble être la véritable difficulté de logique de la question, cela nécessite une bonne manipulation de l'équivalence et/ou de la contraposée (ou du raisonnement par l'absurde).

Pour rendre compte des résultats à cette question, on a utilisé trois colonnes: une pour la réponse, une pour la démonstration et une pour attribuer une note.

La réponse n'est pas intéressante en soi, par ailleurs le dépouillement a montré qu'elle n'a pas donné lieu à des erreurs significatives (ni par leur nombre ni par leur lien avec les difficultés de logique) aussi a-t-on codé 1 pour la bonne réponse (82% des cas). M quand l'ensemble était "maladroitement écrit" (i.e l'écriture est formellement fausse mais traduit parfaitement la bonne idée) par exemple: $X=\{n \in N/a=2n\}$ ; $X=\{(\forall n \in N \text{ et } x \in X \text{ tel que } x=2n) \text{ ou } x=2n \text{ (4 cas).}$

Enfin on a reproduit la réponse donnée dans les 9 autres cas.

La démonstration pose un problème plus délicat de traitement. 32% des étudiants n'ont rien écrit.

A partir des trois tâches explicitées plus haut, on a distingué quatre types d'erreurs significatives (superposables):

*   **Code A:** Seule la partie directe ($\in X \Rightarrow a+1 \le X$) est utilisée et le passage à $a+2$ n'est pas acquis. On peut attribuer cela à un échec de la mise en fonctionnement de l'équivalence dans un nouveau cadre, le concept semble ne pas être encore assez maîtrisé pour servir d'outil à une démonstration plus complexe. Toutefois les raisons de blocage peuvent être plus liées à la nature récursive de la démonstration si bien que le problème de l'équivalence a pu être escamoté...(22 cas).

*   **Code B:** En plus de la partie directe il y a (au moins pour $a=0$) une démonstration du passage de $a$ à $a+2$. C'est un indicateur assez fiable de la bonne maîtrise du concept d'équivalence. Cela représente seulement 21% des démonstrations au moins entamées (12 cas).

*   **Code R:** Il y a explicitement mise en œuvre d'une récurrence. Ceci est donné à titre indicatif. On n'en a pas déduit de corrélation avec la difficulté logique, sauf la remarque faite plus haut (8 cas).

*   **Code I:** Il y a de bonnes idéess mais qui restent à un niveau intuitif. On peut supposer que dans ce cas le niveau A est atteint mais il serait très hasardeux de s'avancer au delà dans les interprétations...(14 cas).

Pour la note (tot3) on compte:

- Pour la réponse : 0,5 si elle est juste, 0 sinon.

- Pour la démonstration : 1 pour le code B, 0,5 supplémentaire s'il est associé à un R (3 cas), 1,5 si la réponse est exacte (2 cas) et 0 dans tous les autres cas.

Ceci donne une note sur 2. On ne paye pas cher la réponse elle-même, qui n'est que peu sans la démonstration. Et, dans la démonstration, on privilégie la difficulté logique, au détriment de la récurrence. Enfin une réponse incomplète codée B/R reoit la même note qu'une réponse exacte, étant donné la rareté de ces deux cas (5 au total).

Ici encore le bloc EQ3 est représenté par une seule question. Elle a cependant assez de poids, par l'importance de la tâche à accomplir. Une très bonne note 1,5-2 (14 cas soit 17%) est un indicateur de la bonne maîtrise du concept d'équivalence et de la capacité à le faire fonctionner dans un cadre assez complexe.

### iii) Blocs QA1 et QA2:

On traite ces deux blocs ensemble, car ils font tous les deux intervenir les résultats aux questions 9 et 10. Le bloc QA1 est également en partie déterminé par la question 8.

#### Question 8:

On a ici un type de question semblable aux quatre premiers items de 1 sauf qu'on ne vise plus l'implication et l'équivalence mais les problèmes de quantification. On a opéré de même par un traitement binaire avec report d'une note globale par sommation (colonne tot8). Cette question est également fort bien réussie à 90% pour le premier item, et 95% pour les deux autres, avec aucune non réponse.

#### Questions 9 et 10:

Ces deux questions sont faites sur le même modèle: on demande d'abord de nier une proposition formelle, ceci teste la compréhension du fonctionnement interne du langage formel (niveau N3), puis il faut dire si la proposition puis sa négation sont vraie ou fausse (niveau N1). Les questions ter et bis sont donc du même type que les questions 1 ou 8 (contrôle de véracité de proposition en langage formel) mais elles peuvent également nous fournir des indices sur le contrôle du sens dans la première activité. En effet si la négation a été mal faite, que valide la dernière réponse? Doit-on compter comme exacte la bonne réponse pour la vraie négation ou pour celle proposée par l'étudiant? Il y a là un premier type de cohérence à tester. Par ailleurs une bonne connaissance de la logique devrait amener systématiquement deux réponses opposées à 9bis et 9ter puisqu'on doit se prononcer successivement sur la véracité d'une proposition et de sa négation. Il y a donc un autre type de cohérence que l'on peut tester qui est interne à la logique (on a essayé de rendre compte de cette dualité dans la note et pour les blocs).

Pour le début de chaque question voici les codes utilisés:

*   **Code1\*:** tout est bien sauf que l'inégalité n'est pas stricte (pour 9) et large (pour 10). Ce problème de négation des inégalités se superpose à d'autres erreurs mais pour des raisons de lisibilité on n'y fait référence que dans ce cas. Nous n'avons pas retenu comme significatif cette erreur qui nous semble seulement liée aux inégalités et très périphérique à nos
préoccupations (14 cas pour 9) et/ou 10)).

**CodeN:** la phrase est recopieée telle qu'elle en remplaçant "il existe" par "il n'existe pas", c'est donc une négation avec les conventions du langage usuel sans tenir compte des règles du langage symbolique (18 cas pour 9) et 18 aussi pour 10), dont 17 en commun).

**CodeS:** les quantificateurs sont bien niés (on remplace un existiel par un universel et vice-versa et on garde le même ordre) mais l'inégalité est inchangée. Cela révèle une perte de sens, l'activité dans le langage formel est mécanique (14 cas pour 9) et 15 pour 10), dont 12 en commun).

**CodeA:** c'est un peu le cas symétrique du précédent les quantificateurs sont inchangés, seule l'inégalité est niée. Il y a dans ce cas un indice certain d'une mauvaise connaissance dans l'utilisation des quantificateurs (2 cas pour 9) et 6 pour 10), dont 2 en commun).

**CodeB:** le quantificateur existiel reste inchangé (le reste est exact). Ce cas relativement fréquent (14%) semble attester d'une plus grande difficulté à nier un existiel, peut-être y a-t-il là un effet pervers du langage usuel?...(13 cas pour 9) et 11 pour 10), dont 10 en commun).

**CodeL:** il y a inversion dans l'ordre des deux quantificateurs. Il est alors délicat de savoir à quel moment cette inversion s'est faite : est-ce à la lecture de la proposition ou seulement au moment de la nier? De plus cette inversion peut se superposer avec d'autres erreurs précédemment citées. Par exemple à la question 9 une réponse du type:" pour tout p il n'existe pas n tel que p>n" est codée I/N ou "pour tout p il existe n tel que p>n" est codée I/B (10 cas pour 9) et 7 pour 10), dont 3 en commun).

Il serait délicat d'essayer d'établir une sorte de hiérarchie entre ces différents types d'erreurs, que nous ne relevons qu'à titre indicatif. Ils pourront nous être utiles à posteriori pour affiner les corrélations prérequis/connaissances acquises, de façon individuelle. Pour l'instant nous retiendrons que, dans leur ensemble, toutes ces erreurs révèlent un obstacle dans le maniement du formalisme dû à une méconnaissance de règles de logique et/ou à une incapacité à les faire fonctionner. Aussi a-t-on donné une note de façon binaire à ces deux débuts de questions (colonnes 9' et 10').

Il y a, avec un taux très faible de non réponses, un taux de réussite de 30% dans les deux cas et 24 % de doubles bonnes réponses.

Pour les questions bis et ter on a opéré comme pour les questions 1)-i) à iv) et 8. Elles sont inégalement réussies: 43% pour 9bis, 69% pour 9ter, 86% pour 10bis 65% pour 10ter et seulement 7 non réponses partielles ou totales.

Voici comment on a attribué des notes à ces questions en tenant compte des remarques faites plus haut.

On a créé une note partielle pour chacune des cohérences citées plus haut:

**Coh1:** on attribue 0,5 chaque fois que la réponse à 9ter est cohérente avec la réponse de l'étudiant à 9 (même si la réponse à 9 était la bonne), on fait pareil pour 10 et on additionne (il y a 38% de 1, 50% de 0,5 et 12% de 0).

**Coh2:** on attribue 1 si dans les colonnes 9bis et 9ter et 10bis et 10ter il y a deux valeurs identiques (i.e deux fois de suite la réponse à la négation est l'opposée de celle à l'affirmative). On met 0 dans tous les autres cas; c'est en quelque sorte une prime à la cohérence par rapport à la négation. Pour pallier à l'arbitraire du vrai/faux on exige volontairement la double cohérence pour donner un bonus (78% de réussite).

Pour tenir compte des deux niveaux: contrôle de véracité et activité interne au langage formel, on a regroupé ces résultats sur deux notes:

tot9=9bis+9ter+10bis+10ter+coh1 tot10=9+10+coh2 pour le premier niveau pour le deuxième

Un mauvais score global à tot8 et tot9 sera l'indicateur d'une mauvaise connaissance de la quantification à un niveau élémentaire, tandis qu'un résultat moyen peut provenir des difficultés rencontrées au début des questions 9 et 10.

Tot10 mesure le degré d'acquisition des règles du fonctionnement interne du langage formel propres aux quantificateurs.

### iv) Le bloc QA3: Question 4:

Il s'agit dans cette question de donner une traduction dans un cadre graphique de propositions exprimées dans le cadre du langage symbolique. La difficulté de la tâche est concentrée sur le type et la position des deux quantificateurs qui ouvrent chaque proposition, le reste de la phrase étant identique dans les quatre cas. On teste ainsi la résistance des connaissances sur la quantification à un passage obligé dans un cadre plus concret.

On a utilisé cinq colonnes: une pour chaque cas, plus une pour une note globale.

On a fait essentiellement un traitement binaire (0/1). Il y a quelques cas où au lieu d'un dessin les étudiants répondent par une périphrase ("les trois courbes passent par un même point..."), on a traité ces copies pareillement aux autres. Par contre on a mis 0 à celles où les graphes ne représentent pas des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ (2 cas).

On a relevé les erreurs suivantes :

-Pour a) (pour tout entier i, i=1;2;3, il existe un élément a de $\mathbb{R}$ tel que $f_i(a)=1$) un dessin représentant trois courbes concourantes en un point d'ordonnée 1 est fort ambigu. Il n'est pas contradictoire avec la proposition, cependant il est restrictif. On a considéré qu'il correspond à une confusion avec le cas c) (il existe un réel a tel que, pour tout entier i, i=1;2;3, $f_i(a)=1$). Ce cas très fréquent (53% des réponses) est codé C et il
donne un 0 pour la note. On a opéré de même pour la confusion inverse (plus facilement détectable et plus rare: 2 cas), le code C est alors dans la colonne 4-c).

- De plus il y a possibilité du même genre de confusion entre 4-b) (il existe un entier i, i=1,2,3, tel que pour tout réel a, $f_i(a)=1$ et 4-d) (pour tout réel a, pour tout entier i, i=1,2,3, $f_i(a)=1$) on utilise alors les mêmes conventions que ci-dessus. Ce cas est beaucoup moins courant: 18% des réponses.

Chaque question est notée 0 ou 1 et la colonne tot4 donne la somme des quatre notes partielles. A part la première confusion, c'est une question globalement assez bien réussie. Les taux de réussite sont respectivement de 39%, 71%, 83% et 92%, et il y a 31% de réponses entièrement exactes.

### Question 5

Il y a ici un démarche inverse de la question précédente puisqu'on demande de traduire une phrase en langage usuel dans un langage le plus formalisé possible. Il y a donc nécessité de la prise en charge de la formalisation, le changement de cadre s'opère vers le domaine propre à la connaissance visée.

Une bonne réponse est "Etant donnée une suite de réels $u_n$: pour tout a réel positif, il existe n tel que: $-a < u_n < a$. Du point de vue de la compréhension de la phrase, l'important ce sont les deux quantificateurs "pour tout a" et "il existe n" (la quantification sur la suite est secondaire d'autant qu'elle apparaît déjà dans la formulation initiale et qu'elle est ambigue). La propriété est formellement très proche de la convergence de $u_n$ vers 0, aussi une telle confusion est possible (bien que peu doivent connaître cette définition de la convergence). La formulation initiale rend également peu probable la possibilité d'inversion des quantificateurs. Voici les codes utilisés:

**Code 1\***: bonne quantification mais petite erreur d'une autre nature (oubli de a>0 par exemple ...), on ne relève ceci qu'à titre indicatif (7 cas).

**Code A**: oubli des deux quantificateurs. On peut voir ici une méconnaissance quasi-totale de l'utilisation des quantificateurs ou une perte de sens telle, que l'étudiant ne comprend pas la nécessité de quantifier (1 cas).

**Code B**: oubli du quantificateur existentiel. C'est peut-être un degré de moindre méconnaissance. On peut rattacher ce genre d'erreur à celle des questions 9 et 10 (codée B également). Elle est certainement dûe à la plus grande difficulté conceptuelle liée à l'utilisation du quantificateur existentiel, ce qui peut être une déviation du langage usuel (8 cas).

**Code C**: le quantificateur existentiel est remplacé par un universel. C'est une erreur de même nature que précédemment, et il serait difficile de dire la quelle des deux est la plus sérieuse(8 cas).

**Code D**: confusion avec l'expression de la convergence de la suite vers 0. On se raccroche à ce que l'on sait sans trop l'avoir compris. Le sens est donné par "approximation visuelle".

**Code 1**: inversion des quantificateurs. A rapprocher des confusions de la question 4; c'est un signe de la fragilité de la compréhension de l'utilisation des quantificateurs (3 cas).

Comme en 9 et 10 on ne se hasardera pas à faire de hiérarchie et la note tot5 est donnée de façon binaire (1 pour les codes 1 et 1* et 0 dans tout les autres cas). Il y a 20% de non réponses et un taux de réussite de 46% sur les réponses exprimées (39% sur le total).

Un très bon score au bloc QA3 ateste de la réussite à faire deux changements de cadre dans des sens différents, il est le signe d'une bonne maîtrise de la quantification que l'on sait aussi bien utiliser pour revenir à une formulation plus concrète que pour formaliser des propositions du langage usuel. Par contre un score nul est certainement le signe d'une inaptitude à utiliser la quantification en tant qu'outil.

### y) Le bloc AN:

#### Question 1-iv) à viii) :

On teste ici de façon un peu sommaire la connaissance de certaines conventions d'écriture courantes en algèbre sur les racines carrées.

On a fait un traitement binaire des réponses. Il n'y a pas de non réponses et il y a 70% de réussite au premier item, 80% au deuxième et 90% aux deux derniers.

### Question 2\*:

Cette question met en jeu une implication elle n'est pourtant pas sur le fond une question de logique. Elle teste la capacité à traiter une information numérique de façon globale sur une variable, dans le cadre des inégalités. Ce sont donc essentiellement des concepts d'algèbre qui sont en cause.

La deuxième partie de la question est assez mal formulée, à cause de l'emploi d'inégalités strictes. Du coup on comptera exacte la réponse avec 0 à gauche, qui est majoritaire. D'ailleurs la formulation de la question qui dit "quelle est l'inégalité..." avec l'emploi de l'article défini, favorise la réponse avec maximum d'information ($0 < x^2 < 9$) qui est ici fausse à cause des inégalités strictes.

On fait également un traitement binaire des deux réponses, réussie également à 90% sans non réponse.

On met une note globale (tot2) pour ces deux groupes de questions qui déterminent le bloc AN, en faisant la somme des six notes partielles. Le score au bloc évalue ainsi de façon très partielle un certain degré de connaissance des outils de l'algèbre sur les nombres. C'est surtout un
score faible qui pourra être vu comme l'indicateur d'une lacune dans ce domaine. Il faudrait beaucoup d'autres questions par contre pour déceler une bonne maîtrise de ce domaine à peine ébauché dans ce test.

### vi) Le bloc AS:

#### Question 6:

C'est une question sur les structures algébriques. On cherche à savoir si les étudiants sont familiers du vocabulaire et des premières définitions de cette partie de l'algèbre (qui englobe entre autres l'algèbre linéaire). On a répéré un seul grand type d'erreur.

**Code 1\***: réponse exacte mais les 3 variables ne sont pas quantifiées explicitement. On a seulement relevé ce point pour information; c'est une pratique courante qui peut aussi bien attester d'une bonne maîtrise que d'une ignorance totale de la quantification (23 cas).

**Code C**: confusion avec la commutativité. Les propriétés des lois ont été vues mais elles ne sont pas encore intégrées par l'étudiant qui ne se souvient plus de ce qui se cache derrière les noms (8 cas).

La note (tot6) est donnée de façon binaire. Il y a 10% de non réponses et un réussite de 85% sur les réponses exprimées.

#### Question 7:

De même qu'à la question précédente on teste une connaissance de base de l'algèbre de structure.

Pour le dépouillement on reporte dans une première colonne (7) les réponses de chaque étudiant. La notation employée n'est pas toujours celle des étudiants (par exemple on note (R,+)) la réponse:"les réels pour l'addition."). Les bonnes réponses tournent à quelques rares exceptions près autour des 4 ou 5 exemples classiques. Il pourra être intéressant de relever à postériori ceux qui citent de bons exemples plus originaux (cf tableau). Les réponses inexactes sont des copies non conformes de bons exemples (telles que (R, x)); des conceptions naïves (telles que (N,+)) ou des exemples apparemment incohérents ou mal formulés (par exemple (1,2) ou l'addition).

Dans la colonne tot7 on attribue une note de façon binaire. Il y a 8% de non réponses et une réussite de 75% sur les réponses exprimées.

Un bon score au bloc AS sera donc le garant d'une connaissance de base de l'algèbre de structure au moins au niveau "culture" sans pour cela que les connaissance aient un caractère "outil" très développé; on ne teste en effet ici que "l'objet" de connaissance pas sa fonctionnalité. Un mauvais score pourra par contre révéler une lacune totale sur les structures algébriques.

### 4) Attribution de notes :

Nous allons comme il a été dit plus haut définir maintenant une

pondération des questions en tenant compte de l'importance relative de la tâche à accomplir chaque fois. C'est en fait le barème du prétest. On va déjà ramener toutes les notes sur 1, on obtient ainsi les nouvelles notes:

n1=tot1/4 ; n2=tot2/6 ; n3=tot3/2 ; n4=tot4/4; n5=tot5 ; n6=tot6; n7=tot7 ; n8=tot8/3 ; n9=tot9/5 et n10=tot10/3.

Ensuite pour chaque note on définit son coefficient de pondération Ci en distinguant essentiellement deux grands groupes:

C1=C2=C5=C6=C7=1 et C3=C4=C8=C9=2 ; C10=3

Ceci est assez grossier mais sera suffisant pour notre analyse d'autant que chaque bloc recouvre finalement peu de questions.

Il est alors facile d'attribuer une note pour chaque bloc:

EQ1=n1;
EQ3=n3;

QA1=1/2(n8+n9);

QA2=n10;

QA3=1/3(2n4+n5);

AN=n2;

et AS=1/2(n6+n7).

On donnera également une note pour les deux catégories: EQ=1/3(n1+2n3) et QA=1/10(2n8+2n9+3n10+2n4+n5)

et pour les trois niveaux:

N1=1/5(n1+2n8+2n9); N2=n10 et N3=1/5(2n3+2n4+n5)

On détermine enfin la note globale N sur 20 au prétest :

N=20/7(EQ1+EQ3+QA1+QA2+QA3+AN+AS)

arrondie à l'entier le plus proche.

Ces dernières données sont regroupées dans un deuxième tableau en annexe A-3.

## II - Interprétation des résultats:

### 1) Niveaux par blocs:

Pour chaque bloc, on va définir trois niveaux (bloc vide, semi-plein et plein) en fonction de la répartition des notes attribuées au bloc.

#### Blocs " EQuivalence":

Voici le graphe donnant la répartition des notes par tranches aux blocs EQ1 et EQ3 pour tous les étudiants:

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Répartition des notes pour EQ1 et EQ3</figcaption></figure>
On donne en abscisse les tranches de notes de 0,1 en 0,1. Par ex: 0,2-0,3 signifie que la note EQ1 est telle que 0,2≤ EQ1<0,3 (sauf pour la dernière tranche où les deux inégalités sont larges). En ordonnée on reporte le nombre d'étudiants (sur les 84 testés) dans la tranche considérée.

Au vu de ce graphe on détermine les trois tranches suivantes :

EQ1(2) (bloc plein) si EQ1=1
EQ1(1) (bloc semi-plein) si 1> EQ1≥ 0,7
EQ1(0) (bloc vide) si EQ1< 0,7

Avoir EQ1(0) (très rare) veut dire avoir fait des étourderies ou signale de graves lacunes sur l'équivalence et/ou l'implication.

Avoir EQ1(1) correspond en majorité à une erreur en 1)-iv) et montre, à moins d'une étourderie, un manque de familiarité avec l'équivalence.

Avoir EQ1(2) (le plus fréquent) veut dire savoir utiliser l'équivalence et l'implication à un niveau élémentaire. C'est un prérequis de base.

De même on détermine:

EQ3(2) si EQ3≥ 0,7
EQ3(1) si 0,2≤ EQ3 <0,7
EQ3(0) si EQ3 <0,2

Avoir EQ3(2) veut dire savoir utiliser le concept d'équivalence comme outil dans un cadre complexe.

Avoir EQ3(1) (largement majoritaire) est très ambigu, cela veut dire trouver le bon ensemble en 3 et éventuellement amorcer une démonstration, mais ne pas avoir su interpréter l'équivalence dans un nouveau cadre. La difficulté liée à la récurrence dans la question 3 n'autorise malheureusement qu'une interprétation très nuancée de ce score.

Avoir EQ3(0) veut dire avoir une lacune certaine sur le prérequis "maniement de l'équivalence" dont le caractère outil n'est même pas opérationnel à un niveau intuitif dans un cadre numérique.

La répartition pour ces deux blocs est la suivante:

<table><thead><tr><th>score</th><th>0 (vide)</th><th>1 (demi)</th><th>2 (plein)</th></tr></thead><tbody><tr><th>bloc</th><th>effectif</th><th>effectif</th><th>effectif</th></tr><tr><th>EQ1</th><td>5</td><td>6%</td><td>26</td><td>31%</td><td>53</td><td>63%</td></tr><tr><th>EQ3</th><td>14</td><td>17%</td><td>57</td><td>68%</td><td>13</td><td>15%</td></tr></tbody></table>

(les pourcentages sont calculés sur la ligne)

Les deux répartitions sont très distinctes; il est clair que le bloc EQ3 est moins accessible. Pour les deux blocs une majorité assez nette se dégage (EQ1(2) et EQ3(1)); les cas "intéressants" seront ceux dégagés de cette majorité (avec une distinction intrinsèque délicate entre EQ1(0) et EQ1(1)).

Pour voir la corrélation entre les deux nous avons croisé les résultats aux deux blocs.

<table><thead><tr><th></th><th>EQ1(0)</th><th>EQ1(1)</th><th>EQ1(2)</th></tr></thead><tbody><tr><th>EQ3(0)</th><td>0</td><td>0%</td><td>7</td><td>27%</td><td>7</td><td>13%</td></tr><tr><th>EQ3(1)</th><td>5</td><td>100%</td><td>15</td><td>58%</td><td>37</td><td>70%</td></tr><tr><th>EQ3(2)</th><td>0</td><td>0%</td><td>4</td><td>15%</td><td>9</td><td>17%</td></tr></tbody></table>

(les pourcentages sont calculés sur la colonne)

En fait la corrélation n'est pas du tout évidente, contrairement à ce qu'on aurait pu croire. Le plus surprenant est le résultat de la première colonne, qui laisse supposer que EQ1(0) qui concerne d'ailleurs peu de gens, n'est guère significatif. Cela confirme l'idée que EQ1 vide ou semi-plein ne sont guère différentiables.

Les blocs qui nous semblent à priori significatifs sont: EQ1(2) (avoir EQ1 vide ou semi plein est en effet un signe de lacune grave); EQ3(2) et EQ3(0).

Par exemple: avoir EQ1(2) et pas EQ3(0) ou avoir EQ3(2) (donc pas EQ1(0)) signifie avoir atteint le niveau prérequis (selon le prétest) pour un maniement satisfaisant de l'équivalence. Cela représente 62% des cas.

### Blocs "QuAntification".

Voici le graphe donnant la répartitions des notes par tranches aux blocs QA1; QA2 et QA3 pour les 84 étudiants:

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Répartition des notes pour QA1, QA2 et QA3.</figcaption></figure>

On a utilisé le même type de représentation que plus haut.

On définit ainsi:

QA1(2) si QA1≥ 0,8
QA1(1) si 0,6 ≤ QA1 <0,8
QA1(0) si QA1 <0,6

Avoir QA1(2) veut dire à priori être capable de lire une phrase avec deux quantificateurs.

Avoir QA1(1) dénote un doute sur la connaissance des quantificateurs.
Avoir QA1(0) (rare) est à moins d'étourderie ou de fatigue un indicateur de lacunes importantes. Le prérequis sur les quantificateurs n'est pas atteint.

De même on détermine:

QA2(2) si QA2=1
QA2(1) si 0,3 ≤ QA2 <1
QA2(0) si QA2 <0,3

Avoir QA2(2) veut être capable de nier des phrases en langage symbolique comportant deux quantificateurs, c'est à dire avoir un assez bon maniement du formalisme.

Avoir QA2(1) peut vouloir dire soit ne pas avoir su nier une des deux phrases 9 et 10 ou (exclusif) ne pas avoir respecter la cohérence 2. Les règles de fonctionnement interne du langage formel ne sont pas encore bien maîtrisées.

Avoir QA3(0) pointe une méconnaissance du formalisme.

Enfin on a:

QA3(2) si QA3 =1
QA3(1) si 0,6 ≤ QA3 <1
QA3(0) si QA3 <0,6

Avoir QA3(2) veut dire savoir interpréter une phrase quantifiée dans un nouveau cadre moins formel ainsi que quantifier une phrase non formalisée.

Avoir QA3(1) veut dire avoir répondu juste aux quatre items de la question 4 ou avoir réussi la question 5 et au moins 2 items de la 4 (sans avoir tout exact bien sûr).

Avoir QA3(0) est le signe d'une insuffisance de connaissance des quantificateurs, le prérequis n'est pas atteint.

La répartition pour ces trois blocs est la suivante:

<table><thead><tr><th>score</th><th>0(vide)</th><th>1(Demi)</th><th>2(plein)</th></tr></thead><tbody><tr><td>QA1</td><td>10</td><td>12%</td><td>30</td><td>36%</td><td>44</td><td>52%</td></tr><tr><td>QA2</td><td>23</td><td>27%</td><td>46</td><td>55%</td><td>15</td><td>18%</td></tr><tr><td>QA3</td><td>22</td><td>26%</td><td>47</td><td>56%</td><td>15</td><td>18%</td></tr></tbody></table>

(les pourcentages sont calculés sur la ligne)

Dans chaque cas, un bloc emporte une majorité. Pour QA1 c'est le bloc plein, alors que pour QA2 et QA3 c'est le bloc semi plein.

En outre ces deux derniers blocs ont une répartition identiques. On va examiné les corrélations entre les trois blocs.

Examinons d'abord la corrélation de QA1 avec les deux autres.

<table><thead><tr><th></th><th>QA1(0)</th><th>QA1(1)</th><th>QA1(2)</th></tr></thead><tbody><tr><td>QA2(0)</td><td>5 50%</td><td>13 43%</td><td>5 11%</td></tr><tr><td>QA2(1)</td><td>5 50%</td><td>15 50%</td><td>26 59%</td></tr><tr><td>QA2(2)</td><td>0 0%</td><td>2 7%</td><td>13 30%</td></tr><tr><td>QA3(0)</td><td>effectif %</td><td>effectif %</td><td>effectif %</td></tr><tr><td>QA3(1)</td><td>2 20%</td><td>9 30%</td><td>11 25%</td></tr><tr><td>QA3(2)</td><td>1 10%</td><td>2 7%</td><td>12 27%</td></tr></tbody></table>

(les pourcentages se calculent sur la colonne)

A une exception près, personne n'a QA2(2) ou QA3(2) avec QA1(0). On peut donc dire que avoir QA1(0) est significatif d'une lacune importante sur les quantificateurs. Par contre avoir QA2 ou QA3 plein semble un indicateur de solidité, il faudra voir comment les deux sont correlés. A part ces deux cas extrêmes, les répartitions suivent l'allure générale, néanmoins avoir QA1(1) augmente les chances d'avoir QA2 et/ou QA3 vides tout en diminuant celles d'avoir QA2 et/ou QA3 pleins alors que pour QA2(1) et QA3(1), les proportions ne sont guère modifiées. Ceux qui ont QA1 plein sont répartis de façon quasi identique à la répartition générale des blocs QA2 et QA3 avec un très léger glissement vers le bas.

On peut dire qu'avoir QA1 est le prérequis de base sur les questions de quantification. Sa faible corrélation avec QA2 et QA3 laisse toutefois apparaître sa fragilité.

Voici maintenant le tableau croisé donnant la corrélation entre QA2 et QA3:

<table><thead><tr><th></th><th>QA2(0)</th><th>QA2(1)</th><th>QA2(2)</th></tr></thead><tbody><tr><td>QA3(0)</td><td>5 22%</td><td>15 33%</td><td>2 13%</td></tr><tr><td>QA3(1)</td><td>16 70%</td><td>24 52%</td><td>7 47%</td></tr><tr><td>QA3(2)</td><td>2 8%</td><td>7 15%</td><td>6 40%</td></tr></tbody></table>

(les pourcentages sont calculés sur la colonne)

QA2 et QA3 avaient des répartitions globales quasiment identiques, leurs répartitions en fonction de QA1 n'étaient pas sensiblement différentes. Or il apparaît qu'ils ne sont que très peu correlés. En fait pour les trois scores à QA2 on retrouve une répartition à QA3 peu différente de la répartition générale: dans les trois cas il y a une forte majorité de blocs semi-pleins. La seule différence significative est que ceux ayant obtenu QA2 plein sont plus nombreux à avoir QA3 plein (40%) que vide (13%).

Ces différentes remarques nous amènent à considérer un nouveau bloc Q:

Q(0) si QA1 est vide ou si un bloc est vide aucun des deux autres n'étant plein.

Q(2) si QA1 est plein et ni QA2 ni QA3 n'est vide.

Dans tous les autres cas le bloc Quantificateurs sera semi-plein.
Voici la répartition que l'on obtient:

<table><thead><tr><th>Q(0)</th><th>Q(1)</th><th>Q(2)</th></tr></thead><tbody><tr><td>28</td><td>33%</td><td>26</td><td>31%</td><td>30</td><td>36%</td></tr></tbody></table>

Avoir Q(0) signifie ne pas avoir assez d'assurance dans la manipulation des quantificateurs alors qu'avoir Q(2) veut dire avoir le prérequis de base et dans deux cadres plus complexes un minimum de compétence.

La répartition est cette fois assez uniforme pour les trois niveaux. Ce nouveau bloc devrait assez bien mesurer le degré d'acquisition des prérequis sur la quantification.

Les blocs qui nous semble à priori significatifs sont donc: Q(0); Q(2); QA2(2) et QA3(2) (à cause de leur rareté).

### Blocs Algèbre:

Voici le graphe donnant la répartition des notes aux blocs AN et AS:

Répartition des notes pour AN et AS.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

On ne définira que deux niveaux pour AN : le bloc plein si AN≥0,8 et le bloc vide sinon. Avoir AN atteste d'une certaine familiarité avec des écritures et des calculs algébriques simples.

On définit ensuite:

AS(2) si AS=1

AS(1) si 0,5≤ AS <1

AS(0) si AS <0,5

Avoir AS(2) veut dire connaître les premières définitions relatives aux structures algébriques.

Avoir AS(0) est le signe d'une méconnaissance totale des structures algébriques.

AS(1) peut provenir d'une étourderie mais est certainement le signe d'une connaissance très superficielle.

On ne teste que la connaissance "objet", on n'a aucune information sur l'aptitude à utiliser celle-ci en situation.

La répartition à ces deux blocs est la suivante :

<table><thead><tr><th>AN</th><th>AS(0)</th><th>AS(1)</th><th>AS(2)</th></tr></thead><tbody><tr><td>63</td><td>75%</td><td>9</td><td>11%</td><td>28</td><td>33%</td><td>47</td><td>56%</td></tr></tbody></table>

Nous garderons AN et AS(2) comme blocs significatifs des prérequis d'algèbre évalués dans le prétest.

Les indications sont très faibles pour ce qui concerne l'algèbre. Ce test n'évalue pas finement des compétences en algèbre, les résultats mêmes grossiers qu'il fournit pourront cependant mesurer l'acquisition d'un certain prérequis.

### 2) Interprétation générale:

On trouvera, en annexe A-4, le tableau récapitulatif donnant pour chaque étudiant sa note globale N au test et son niveau aux blocs EQ1; EQ2; QA1; QA2, QA3; Q; AN; et AS Ainsi que le nombre Nb(0) de blocs vides (lacunes graves) parmi EQ1; EQ2; QA1; QA2; QA3; AN et AS.

Ce dernier tableau donne une information assez compacte. Elle est bien sûr schématique et partielle, mais aussi d'une lisibilité rapide. Ce sera le point de départ de la suite de notre travail. Pour chaque étudiant on a ainsi un "profil" donnant le degré d'acquisition des prérequis de logique et d'algèbre en termes de mise en fonctionnement de certains concepts dans différents cadres, mise à part la restriction que nous avons émise sur AS. Nous pourrons par la suite mesurer la corrélation entre ce profil et les compétences en algèbre et plus particulièrement en algèbre linéaire.

Voici sur deux exemples comment on peut lire ce tableau.

3a n'a pas de blocs vides il ne semble donc pas avoir de lacune trop importante. D'ailleurs sa note globale au test est 16 donc atteste un bon niveau. Il semble à l'aise avec la quantification et posséder les prérequis de base en algèbre. Ses résultats sur l'équivalence sont un peu plus incertains sans être alarmants. C'est un étudiant qui ne devrait pas être gêné a priori dans l'apprentissage de l'algèbre linéaire par des lacunes antérieures dans ces domaines.

3k a quatre blocs vides (sur sept) donc des lacunes importantes; en particulier sur les deux prérequis d'algèbre ce qui risque d'être un handicap au moment de l'introduction de la structure d'espace vectoriel. Pour la logique les deux blocs de base sont pleins, ce qui assure une certaine compétence, d'autant que le bloc de formalisme est à demi plein. Mais les deux blocs de niveau 3 vides semblent montrer une incapacité à utiliser ces concepts dans des cadres différents sous leur caractère outil. On peut craindre des difficultés au moment de l'introduction de la notion de dépendance linéaire par exemple, où quantificateurs et équivalence sont des outils nécessaires à la construction du concept.
### III - Comparaison par groupes:

Nous allons maintenant comparer les résultats à ce prétest dans les trois groupes.

Voici l'histogramme des notes globales au test donnant la répartition par groupes. On donne en abscisse la note et en ordonnée les effectifs pour chaque groupe.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Histogramme des notes</figcaption></figure>

On a une moyenne globale de 13,2 avec un écart-type de 3,02.

Pour le groupe 3 la moyenne est de 13 avec un écart-type de 2,59.

Pour le groupe 4 la moyenne est 12,8 avec un écart-type de 3,36.

Pour le groupe 6 la moyenne est 13,8 avec un écart-type de 3,08.

Les différences dans la répartition des notes pour les trois groupes ne sont donc pas très significatives.

Voici maintenant un tableau donnant par groupe le nombre d'étudiants ayant obtenu chacun des blocs dont nous avons dit plus haut qu'ils nous semblaient significatifs:

<table><thead><tr><th>n° du groupe</th><th>3</th><th>4</th><th>6</th><th>tout</th></tr></thead><tbody><tr><td>effectif</td><td>30</td><td>29</td><td>25</td><td>8,4</td></tr><tr><td>blocs</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>EQ1(2)</td><td>18 60%</td><td>14 48%</td><td>21 84%</td><td>63%</td></tr><tr><td>EQ3(2)</td><td>5 17%</td><td>3 10%</td><td>5 20%</td><td>15%</td></tr><tr><td>EQ3(0)</td><td>3 10%</td><td>4 14%</td><td>7 28%</td><td>17%</td></tr><tr><td>Q(2)</td><td>10 33%</td><td>8 28%</td><td>12 48%</td><td>36%</td></tr><tr><td>Q(0)</td><td>11 37%</td><td>9 31%</td><td>8 32%</td><td>33%</td></tr><tr><td>QA2(2)</td><td>4 13%</td><td>6 21%</td><td>5 20%</td><td>18%</td></tr><tr><td>QA3(2)</td><td>4 13%</td><td>6 21%</td><td>5 20%</td><td>18%</td></tr><tr><td>AN</td><td>24 80%</td><td>19 66%</td><td>20 80%</td><td>75%</td></tr><tr><td>AS(2)</td><td>14 47%</td><td>18 62%</td><td>15 60%</td><td>56%</td></tr></tbody></table>

(Les pourcentages sont calculés sur l'effectif du groupe)

Pour mieux visualiser ces résultats nous donnons les graphiques suivants :

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

On peut tout de suite dire que les répartitions par blocs ne sont pas très différentes dans chaque groupe puisque l'allure générale se retrouve et que pour chaque bloc les différences n'excèdent jamais 20%.

Voici néanmoins quelques remarques significatives:

- On constate que le groupe 6 est toujours en tête pour les blocs pleins; en particulier pour Q(2) où l'avance est sensible. Ce point est d'autant plus important que ce bloc est comme on l'a dit plus haut un bon indicateur des compétences sur la quantification dans différents cadres. Ce résultat concorde avec la moyenne globale légèrement meilleure pour le groupe 6. Pourtant ce groupe est aussi nettement en tête pour le bloc vide EQ3(0), ce qui pourrait indiquer une assez forte hétérogénéité de niveau; mais ceci n'est pas confirmé par l'écart-type des notes (3,08 pour le groupe 6 contre 3,02 pour le total) ni par les résultats au bloc Q(0) très identiques dans les trois groupes. La particularité la plus visible du groupe 6 est donc son niveau globalement plus élevé que les deux autres.
- Comparons maintenant les groupes 3 et 4. Le groupe 3 obtient de meilleurs résultats pour les blocs EQ. Pour les blocs "quantification" Il est en tête pour Q(2) mais avec moins de QA2(2) et QA3(2) que le groupe 4, qui a par ailleurs moins de blocs Q vides. Plus d'étudiants obtiennent AN dans le groupe 3 mais c'est l'inverse pour AS(2). Les moyennes globales de ces deux groupes sont également très proches, on ne peut donc faire de comparaison globale sur leur niveau. La plus grosse distinction que l'on puisse peut-être faire entre ces deux groupes vient de la répartition des notes qui est plus éclatée pour le groupe 4 (écartype le plus élevé: 3,36) que pour le groupe 3 qui semble plus homogène (écartype le plus faible: 2,59).

Voici maintenant un tableau et trois graphiques donnant pour chaque groupe la répartition du nombre de blocs vides parmi EQ1; EQ2, QA1, QA2, QA3, AN et AS :

<table><thead><tr><th>n° du groupe<br>nb de blocs</th><th>3<br>effectif %</th><th>4<br>effectif %</th><th>6<br>effectif %</th><th>tout<br>%</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>8<br>27%</td><td>10<br>34%</td><td>14<br>56%</td><td>38%</td></tr><tr><td>1</td><td>15<br>50%</td><td>4<br>14%</td><td>2<br>8%</td><td>25%</td></tr><tr><td>2</td><td>4<br>13%</td><td>7<br>24%</td><td>5<br>20%</td><td>19%</td></tr><tr><td>3</td><td>2<br>7%</td><td>6<br>20%</td><td>3<br>12%</td><td>13%</td></tr><tr><td>4</td><td>1<br>3%</td><td>1<br>3%</td><td>1<br>4%</td><td>4%</td></tr><tr><td>5</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0%</td></tr><tr><td>6</td><td>0</td><td>1<br>3%</td><td>0</td><td>1%</td></tr><tr><td>7</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0%</td></tr></tbody></table>

(Les pourcentages sont calculés sur l'effectif du groupe)

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

C'est de nouveau dans le groupe 6 que l'on trouve le plus d'étudiants n'ayant aucun bloc vide. Pourtant si on fait le total des étudiants ayant zéro ou un bloc vide il est distancé par le groupe 3 (77% contre 64%). Dans les deux cas le groupe 4 arrive en queue (48% d'étudiants ne possédant qu'un ou aucun bloc vide).

Le nombre d'étudiants ayant un ou pas de blocs vides est en partie influencé par le niveau général du groupe, ce qui explique en partie les résultats du groupe 6. Mais c'est aussi un signe d'homogénéité, surtout comme pour le groupe 3 dont le niveau global est plutôt faible, alors que beaucoup d'étudiants n'ont que peu de blocs vides. Ces résultats confirme donc doublement nos remarques précédentes.

En conclusion on peut donc dire que le groupe 6 a un niveau légèrement plus élevé que les deux autres. Les groupes 3 et 4 ont des niveaux assez semblables mais le premier est très homogène alors que le second est au contraire plus dispersé. Il sera intéressant de voir ce que ces distinctions relevées sur les prérequis deviendront plus tard.
B - Premier devoir surveillé - 7 janvier.

Ce premier devoir surveillé contenant de l'algèbre linéaire, a été passé par tous les groupes pendant les mêmes 3 heures, il contenait deux exercices d'algèbre et deux exercices d'analyse. On trouvera en annexe B-1 le texte des deux exercices d'algèbre. Nous avons analysé 40 copies : 10 du groupe 3, 12 du groupe 4 et 18 du groupe 6.

I. Analyse a priori - Résultats quantitatifs :

Pour chaque question on a attribué ce que nous appelerons une note binaire c'est-à-dire de 0 ou 1 et éventuellement un code correspondant à un type d'erreur voire de bonne réponse. Nos choix sont explicités dans ce qui suit et les résultats quantitatifs sont récapitulés dans un tableau en annexe B-2.

Premier exercice :

Le premier exercice d'algèbre consiste en la résolution d'un système de quatre équations linéaires à quatre inconnues avec un paramètre $λ$.

La dimension quatre est un choix intermédiaire, c'est ni trop, ni trop peu d'équations et d'inconnues. Le choix d'un système carré est un élément rassurant (pour les étudiants), car habituel. En choisissant le premier pivot classiquement en haut à gauche, on arrive, en une opération, au système triangulaire suivant :

$$ \left\{ \begin{array}{lclcl} 2x & + & 3y & + & z & + & 2t & = & 3 \\ & & & & z & & & & -1 \\ & & & & 2z & & & & -2 \\ & & & & 3z & + & (\lambda-8)t & = & -3 \end{array} \right. $$

On peut donc dire que la partie calculatoire de l'exercice est volontairement rendue élémentaire par le choix des données, d'autant que la technique dite du "pivot de Gauss" a fait l'objet d'un enseignement explicite. De fait, la plupart des étudiants arrivent, même si ce n'est pas toujours en une opération, à ce dernier système.

On peut donc dire que l'évaluation de la réussite à l'exercice ne va pas porter sur l'habileté à utiliser la technique du pivot, qui n'est qu'un outil supposé acquis. La difficulté que l'on veut évaluer réside bien plutôt dans la capacité à interpréter le système obtenu, en fonction des valeurs du paramètre $λ$. D'une façon un peu large, on peut dire que l'enjeu réside dans le contrôle du sens dans la manipulation d'objets algébriques formels.

Ainsi la note binaire N1, que nous avons attribuée à cette question, ne porte que sur cette deuxième phase de la résolution. Le taux de réussite est de 58%. Un seul étudiant n'a pas répondu à la question.

Pour les réponses exactes (N1=1), nous avons distingué :

- Code EXT, pour ceux donnant l'ensemble des solutions en extension sous forme de quadruplets avec variables principales. Ce type de réponses semble le plus achevé. On peut penser que c'est le reflet d'une forme de savoir qui devrait bien préparé à l'algèbre linéaire. Par exemple une telle formulation permet une lecture directe de la dimension, de l'origine et des générateurs de la variété linéaire affine des solutions (7 cas).

- Code EQUA, pour ceux donnant un système minimal de deux ($λ=8$) ou trois ($λ \neq 8$) équations indépendantes déterminant l'ensemble des solutions. Ce type de réponse, qui avait été validé par l'enseignement préalable, est mathématiquement correct. Cependant il peut laisser, à cause de son côté formel, un doute sur la compréhension profonde de ce qu'est l'ensemble des solutions. Parfois certains indices - du genre "t est arbitraire", "on prend y et z comme paramètres" etc...- rendent la réponse plus affirmée, mais dans la plupart des cas la réponse n'est accompagnée d'aucun commentaire (15 cas).

- Code CAL, pour ceux ayant fait une erreur de calcul lors du premier pivot (en général dans le second membre de la dernière équation) mais donnant une bonne interprétation de leur résultat par la suite (2 cas donnant les solutions avec équations indépendantes).

On peut a priori envisager deux grands types d'erreurs : des erreurs d'interprétation dans les phases finales d'équivalence entre les systèmes et la confusion entre variable et paramètre.

- Code INT pour des erreurs dans l'interprétation des derniers systèmes. Par exemple, si l'équation $z=-1$ (ou $t=0$) est délaissée dans une dernière équivalence ou si après avoir retrouvé une équation déjà existante, on conclut "$S=R$" (10 cas).

- Code PARA pour des confusions entre paramètre et variable. Typiquement ce sont les discussions articulées sur les deux alternatives "si $λ=8$ ..." et "si $t=0...$". Souvent la suite de la discussion révèle d'autres indices de cette confusion, en particulier l'équation $z=-1$, mise au niveau des conditions, disparait de l'ensemble des solutions (6 cas).

Une bonne résolution de cet exercice semble un prérequis assez incontournable pour aborder de nombreux problèmes d'algèbre linéaire. Ici l'absence de contexte rend la tâche identifiable, plus ciblée. Dans une activité plus complexe, où la tâche de résolution d'un système est un outil, des erreurs des types répérés plus haut risquent d'être handicapantes, mais on peut aussi s'interroger sur la résistance de certaines "bonnes" réponses (avec seulement un système minimal d'équations) à une demande d'interprétation dans un cadre différent.
## Deuxième exercice

Cet exercice est classique. Un ensemble est identifié comme une variété linéaire affine, on l'explicite alors en cherchant un élément origine et la nature des vecteurs de sa direction. Ici le découpage donne la démarche à suivre et chaque question ne présente pas de grosses difficultés. Le déroulement "imposé" pour la résolution du problème initial est censé être plus simple que la résolution "brute" du système $4x4$ auquel conduisent les conditions $P(1) = P(2) = P'(1) = P'(2) = 1$. Pourtant ceci n'apparaît que dans la mesure où l'on peut comparer les deux méthodes, c'est-à-dire que d'une part, on a eu accès aux deux et d'autre part on est assez compétent dans les deux cadres (en particulier celui de l'algèbre linéaire) pour apprécier le gain. De plus pour un seul calcul, le gain n'est pas évident, ce qui l'est surtout, c'est le caractère généralisable de la démarche à d'autres ensembles. Enfin à la question 2-e, si on ne voit pas immédiatement que $\mathfrak{Q}$ est généré par $(X-1)^2(X-2)^2$, on doit résoudre un système $4x4$ qui n'est guère plus simple que le système initial (c'est le système homogène associé), si bien que finalement le tout paraît plus long que la démarche "naturelle". Dans les faits une dizaine d'étudiants ont, avant de répondre aux questions, posé le système $4x4$ et commencé sur leur copie sa résolution. Seuls trois sont allés jusqu'au bout, un s'est arrêté là, les deux autres sont revenus aux questions de l'énoncé, en exploitant assez mal leur calcul initial. Par ailleurs sur les 25 étudiants ayant abordé la question 2-e, seuls 4 ont donné sans calcul la composition de $\mathfrak{Q}$ (code DIR). On peut également se demander si les abandons soudainement nombreux à cette question, ne viennent pas aussi de la déroute face à un calcul s'annongant laborieus.

Il semble donc que cet exercice, posé dans de telles conditions, ne soit pas, malgré les apparences, une illustration du caractère simplificateur de l'algèbre linéaire. Il faudrait peut-être, pour qu'il joue ce rôle, qu'il soit placé dans un contexte métamathématique explicite où les enjeux soient clairs.

## Questions 2-a et 2-c

Dans ces deux questions, classiques pour des débutants, on demande si un ensemble est un espace vectoriel. Dans le premier cas (2-a), ça n'en est pas un, c'est en fait une variété linéaire affine. Dans le deuxième cas (2-c), c'en est bien un (d'ailleurs la question est affirmative), et c'est la direction de la variété.

Ces deux questions ont un taux de réussite assez important de respectivement 73% et 70%.

Pour la première nous avons relevé 6 cas où la raison invoquée est l'absence dans P du polynôme nul (code P=0). La majorité préfère donc un argument plus général, comme : "$\lambda.P(1)=\lambda$" donc ce n'est pas stable pour la loi externe", ou quelque chose d'identique avec l'addition.

Peut-être peut-on voir ici le même phénomène que ce qui se passe quand les étudiants, plutôt que de se contenter d'un contre-exemple pour montrer qu'une implication est fausse, donnent un ensemble d'objets vérifiants certaines hypothèses qui en font des contre-exemples. C'est-à-dire que pour (se) convaincre les étudiants ont besoin d'un argument plus général qu'un contre-exemple isolé ou comme ici de la seule non appartenance de 0 à l'ensemble, il leur faut un argument plus général, or en pratique c'est souvent moins convaincant, voire faux si aucun objet ne vérifie les hypothèses données.

Ici la méthode d'investigation a aussi joué un rôle, car beaucoup d'étudiants essaient d'abord de montrer que P est un espace vectoriel, ils découvrent ainsi la non-stabilité des lois, avant de se poser la question de l'appartenance du 0.

On a d'ailleurs relevé 6 cas (code CTR), où la contrainte de montrer que $\mathfrak{P}$ est un sev est si forte que les étudiants y arrivent soit en paraphrasant la définition, sans se soucier du sens, soit en contournant les difficultés par des ellipses fallacieuses.

3 étudiants en 2-a, dont un également en 2-c (et c'est le seul), utilisent une définition fausse d'un espace ou d'un sous-espace vectoriel (code DEF). En 2-c, 4 étudiants utilisent la définition axiomatique des espaces vectoriels (code AX). Ces types d'erreurs ou de maladresses ne sont guère significatifs en début d'apprentissage, il est toutefois important de les noter pour en tester la persistance.

Enfin en 2-c, 5 étudiants déduisent, avec des arguments plus ou moins valables, que $\mathfrak{Q}$ est un espace vectoriel de leur croyance que $\mathfrak{P}$ en était un. (code DED).

Pour des débutants, les résultats à ces deux questions peuvent être considérés comme bons, il sera intéressant de regarder le devenir de ceux qui ont échoué à une de ces questions dans les problèmes à venir.

## Question 2-b

Cette question est essentiellement technique, la formulation adoptée, bien qu'un peu lourde, la rend très téléguidée. Cela revient à montrer que P est une variété linéaire affine.

En fait 25 étudiants, soit 62%, ne montrent que la plus évidente des deux inclusions et concluent à l'égalité (code INC), nous leur avons attribué une note N2b de 0.

4 étudiants ont abandonné le problème à cette question.

Les 11 restants, soit 28%, ont répondu correctement.

Ce type de question, que l'on retrouve dans de nombreux problèmes d'algèbre linéaire, pose donc une difficulté identifiée à beaucoup d'étudiants.
Questions 2-d, 2-e et 2-f

La question 2-d se ramène facilement à la résolution d'un système 3x3.

Il y a en fait un taux de réussite de 75% (dont trois erreurs de calcul bénignes non pénalisées) et un seul abandon supplémentaire par rapport à la question précédente. Les 5 erreurs sont dûes à un abandon du calcul (2), à l'obli de deux conditions (2), ou à une impossibilité à traduire le problème en terme de système d'équations linéaires (1).

On a déjà parlé de la question 2-e dans l'introduction, le taux de réussite est de 43%, avec trois cas seulement de réponse directe, sans résolution de système. On compte 8 cas où l'on pose le système 4x4 puis abandonne la résolution.

La question 2-f est une question de synthèse, facile si on a répondu aux précédentes, quasi-inabordable sinon. De fait il n'y a que des abandons ou de bonnes réponses, ces dernières correspondant exactement aux bonnes réponses à la question précédente.

II. Attribution d'une note :

Nous avons attribué au problème la note globale N sur 10 : $N=(3N1+2)(N2a+N2c)+(N2b+N2d+N2e)$.

On rappelle que chaque note particle vaut 0 ou 1.

Le premier exercice présente une tâche plus importante que n'importe laquelle des questions du deuxième exercice. Les questions 2-a et 2-c nous semblent être primordiales pour des débutants en algèbre linéaire. Avec son taux d'échec massif sur le même problème, la question 2-b n'est guère significative. La question 2-d est fort simple. Enfin on a vu que les questions 2-e et 2-f donnent des résultats identiques et posent un problème technique, c'est pourquoi il nous a semblé juste de ne les faire intervenir que peu dans la note, chacune d'elle comptant pour moitié dans N2e.

Nous avons écarté de la suite de notre analyse, la copie (3ab), où l'étudiant a résolu (correctement) le système initial de l'exercice 2, sans répondre aux questions posées.

Le graphique suivant donne la répartition des notes.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>REPARTITION DES NOTES</figcaption></figure>

On obtient alors pour les 39 copies restant, une moyenne de 5,7 avec un écart-type de 2,8. La moyenne est donc plutôt bonne et la répartition assez hétérogène. L'écart-type étant relativement élevé surtout pour une note sur 10, il faudra se méfier des interprétations utilisant des écarts-types, dans la suite de notre analyse. Il y a deux gros pics en N=5 et N=8.

On peut distinguer trois tranches de notes suivantes :

- $N \le 4 : 13$ étudiants.

- $5 \le N \le 7 : 12$ étudiants.

- $N \ge 8 : 14$ étudiants.

Ce découpage semble assez bien rendre compte de trois niveaux distincts décelés par ce devoir.

II - Comparaison par groupes

Avec le nouvel échantillon (par rapport au prétest) nous obtenons pour ce prétest une moyenne de 13,6 avec un écart-type de 2,84. Globalement il n'y a donc pas de grande différence, puisqu'avec l'échantillon total, on avait une moyenne de 13,2 avec un écart-type de 3,02.

Dans le tableau suivant nous récapitulons pour chaque groupe, pour le prétest et pour le premier devoir surveillé, la moyenne et l'écart-type et, seulement pour le devoir, la répartition dans chacun des trois groupes de notes:

<table><thead><tr><th rowspan="2">N°GR</th><th colspan="3">PRETEST</th><th colspan="4">PREMIER DEVOIR SURVEILLE</th></tr><tr><th>EFF</th><th>MOY</th><th>ECAR</th><th>MOY</th><th>ECAR</th><th>N≤4</th><th>5≤N≤7</th><th>N≥8</th></tr></thead><tbody><tr><td>3</td><td>9</td><td>12,8</td><td>2,4</td><td>3,2</td><td>2,7</td><td>6</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>4</td><td>12</td><td>13,5</td><td>3,3</td><td>4,8</td><td>2,2</td><td>6</td><td>5</td><td>1</td></tr><tr><td>6</td><td>18</td><td>14</td><td>3</td><td>7,4</td><td>2</td><td>1</td><td>5</td><td>12</td></tr></tbody></table>

Tout d'abord, on n'observe pas de grande modification dans les données par groupe du prétest, avec notre échantillon réduit, tout au plus le léger écart entre les groupes 3 et 4 s'est inversé au profit du dernier. Ce constat confirmerait une hypothèse émise par A.Robert et F.Boschet ([1] et [2]) sur l'invariance des résultats lorsque l'on ne prend au hasard que la moitié d'une classe.

Pour le premier devoir, la suprématie du groupe 6 se confirme, elle est même beaucoup plus nette. le groupe 3 est légèrement plus en queue, sans que ce soit encore trop significatif. Par contre nos remarques sur l'homogénéité ne sont pas du tout confirmées par les nouveaux écart-types, mais cela confirme ce que nous avons souligné plus haut, on ne peut guère se fier à ces données. La répartition en trois groupes de
notes accentue encore l'effet de suprématie du groupe 6, et montre que l'écart entre les deux autres vient d'une plus grande concentration dans la tranche médiane pour le groupe 4.

Il faudrait bien sûr, pour nuancer ces résultats, pouvoir déterminer dans quelle mesure on évalue l'enseignement fait dans chaque groupe à travers les résultats des étudiants. Une hypothèse serait que cet effet est plus visible en début d'apprentissage (comme ici pour l'algèbre linéaire) parce que les étudiants n'ont pas encore acquis une autonomie suffisante.

## IV - Corrélation avec le prétest

Pour examiner la corrélation avec le prétest, il nous faut tout d'abord examiner les variations obtenues dans les résultats au prétest entre la population initiale et l'échantillon de 39 étudiants testé ici. Le tableau qui suit donne sur deux lignes les principales données chiffrées du prétest en regard pour la population du prétest (1er ech) et pour le nouvel échantillon (2ème ech) :

<table><thead><tr><th colspan="10">Tableau de comparaison avec la population du prétest :</th></tr><tr><th></th><th>EFF</th><th>MOY</th><th>EQ1(2)EQ3(2)EQ3(0)</th><th>Q(2)</th><th>Q(0)</th><th>AN</th><th>AS(2)</th><th>B=0</th><th>B≤1</th><th>B≤2</th></tr></thead><tbody><tr><th>1er ech</th><td>84</td><td>13,2</td><td>63%</td><td>15%</td><td>17%</td><td>36%</td><td>36%</td><td>75%</td><td>56%</td><td>38%</td><td>63%</td><td>82%</td></tr><tr><th>2ème ech</th><td>39</td><td>13,6</td><td>59%</td><td>13%</td><td>21%</td><td>36%</td><td>31%</td><td>92%</td><td>64%</td><td>51%</td><td>82%</td><td>87%</td></tr></tbody></table>

On voit que ce nouvel échantillon donne une répartition assez semblable pour les blocs du prétest.

Certaines données sont un peu à la hausse, en particulier B=0 (aucun bloc vide) qui réalise 51% avec le nouvel échantillon contre 38% avec le précédent, mais l'effectif pour B≤1, avec deux effectifs identiques vient contre-balancer cet écart. De même AN et AS(2) totalisent respectivement 92% et 64% avec le nouvel échantillon contre 75% et 56% avec l'ancien.

Ces différences peuvent s'expliquer par la prépondérance dans le nouvel échantillon du groupe 6, pour lequel les résultats au prétest étaient globalement meilleurs. Néanmoins, pour tous les autres blocs, les écart sont infimes.

Nous donnons maintenant le tableau croisé des résultats au prétest et au premier devoir surveillé.

Dans l'en-tête des colonnes, apparaissent la moyenne au prétest, les différents blocs définis lors du prétest, ainsi que le nombre de blocs vides (B).

Dans l'en-tête des lignes apparaissent la moyenne au premier devoir et les trois tranches de notes.

Nous donnons deux versions du tableau, une où les pourcentages sont calculés sur la ligne et une autre où ils le sont sur la colonne.

Dans chaque version la première ligne donne la répartition selon les blocs du nouvel échantillon de 39 étudiants, dans le premier en pourcentage sur les 39, dans le second en effectif réel.

De plus, pour la répartition en nombre de blocs vides, plutôt que les colonnes B=0 et B=1 etc ..., nous donnons B=0, B≤1, B≤2 et B>2.

Cela nous a semblé plus juste, en effet s'il y a un pourcentage élevé de gens n'ayant aucun bloc vide, dans une catégorie donnée (par exemple N≥8), il se peut, que dans cette même catégorie, le pourcentage de gens ayant un bloc vide soit assez faible (voire plus faible que celui de la répartition globale), mais que la corrélation dans le sens positif soit tout de même très forte. Ce qui est significatif alors, c'est le nombre d'étudiants ayant au plus un bloc vide. De même, pour une corrélation négative, si le nombre de gens n'ayant pas de blocs vides est faible, le nombre de gens ayant un bloc vide peut être élevé alors que le nombre de gens ayant au plus un bloc vide peut encore être inférieur à la moyenne. Comme au delà de 3 blocs vides, il n'y a que 3 étudiants ayant 4 blocs vides et un ayant 6 blocs vides, nous avons regroupé ces cas avec le précédent en B>2.

<table><thead><tr><th colspan="10">Tableau croisé n°1</th></tr><tr><th></th><th>EFF</th><th>MOY</th><th>EQ1(2)EQ3(2)EQ3(0)</th><th>Q(2)</th><th>Q(0)</th><th>AN</th><th>AS(2)</th><th>B=0</th><th>B≤1</th><th>B≤2</th><th>B>2</th></tr></thead><tbody><tr><th>TOTAL</th><td>39</td><td>13,6</td><td>59%</td><td>13%</td><td>21%</td><td>38%</td><td>31%</td><td>92%</td><td>64%</td><td>51%</td><td>62%</td><td>87%</td><td>13%</td></tr><tr><th>MOY</th><td>5,7</td><td>6,4</td><td>6</td><td>5,9</td><td>6</td><td>5,7</td><td>5,6</td><td>5,6</td><td>6,4</td><td>6</td><td>5,8</td><td>5</td></tr><tr><th>N≤4</th><td>13</td><td>12,4</td><td>38%</td><td>8%</td><td>23%</td><td>23%</td><td>38%</td><td>92%</td><td>62%</td><td>23%</td><td>46%</td><td>77%</td><td>23%</td></tr><tr><th>5≤N≤7</th><td>12</td><td>14,3</td><td>50%</td><td>17%</td><td>8%</td><td>42%</td><td>17%</td><td>92%</td><td>67%</td><td>67%</td><td>67%</td><td>92%</td><td>8%</td></tr><tr><th>N≥8</th><td>14</td><td>14,1</td><td>86%</td><td>14%</td><td>29%</td><td>43%</td><td>36%</td><td>92%</td><td>64%</td><td>64%</td><td>71%</td><td>93%</td><td>7%</td></tr></tbody></table>

(Les pourcentages sont calculés sur la ligne)

<table><thead><tr><th colspan="10">Tableau croisé n°2</th></tr><tr><th></th><th>EFF</th><th>MOY</th><th>EQ1(2)EQ3(2)EQ3(0)</th><th>Q(2)</th><th>Q(0)</th><th>AN</th><th>AS(2)</th><th>B=0</th><th>B≤1</th><th>B≤2</th><th>B>2</th></tr></thead><tbody><tr><th>TOTAL</th><td>39</td><td>13,6</td><td>23%</td><td>5</td><td>8</td><td>14</td><td>12</td><td>36</td><td>25</td><td>20</td><td>24</td><td>34</td><td>5</td></tr><tr><th>MOY</th><td>5,7</td><td>6,4</td><td>6</td><td>5,9</td><td>6</td><td>5,7</td><td>5,6</td><td>5,6</td><td>6,4</td><td>6</td><td>5,8</td><td>5</td></tr><tr><th>N≤4</th><td>13</td><td>12,4</td><td>22%</td><td>20%</td><td>38%</td><td>21%</td><td>42%</td><td>33%</td><td>32%</td><td>15%</td><td>25%</td><td>29%</td><td>60%</td></tr><tr><th>5≤N≤7</th><td>12</td><td>14,3</td><td>26%</td><td>40%</td><td>13%</td><td>36%</td><td>17%</td><td>31%</td><td>32%</td><td>40%</td><td>33%</td><td>32%</td><td>20%</td></tr><tr><th>N≥8</th><td>14</td><td>14,1</td><td>52%</td><td>40%</td><td>50%</td><td>43%</td><td>42%</td><td>36%</td><td>36%</td><td>45%</td><td>42%</td><td>38%</td><td>20%</td></tr></tbody></table>

(Les pourcentages sont calculés sur la colonne)

Ces deux tableaux semblent montrer une corrélation assez forte entre le prétest et le premier devoir. La très grande majorité des résultats laisse penser que de bons prérequis de logique favorisent la réussite dans les débuts d'algèbre linéaire et vice versa. Néanmoins on observe une certaine similitude entre les deux tranches qui correspondent à N≥5. Ceci tendrait à prouver qu'un minimum de prérequis est nécessaire à une assez bonne réussite en début d'algèbre linéaire, sans que de très bons prérequis assurent une très bonne réussite. Le plus probant sur ce point semble être la répartition en nombre de blocs vides où l'on voit très nettement la corrélation : 75% de ceux ayant au plus un bloc vide
ont plus de 5 au devoir, alors que 60% de ceux ayant plus de 2 blocs vides ont moins de 5. Les blocs EQ1, EQ2 et Q montrent également bien cette corrélation.

Il semblerait par contre que les deux blocs d'algèbre (AN et AS) n'aient pas d'influence sur les résultats au devoir.

Par ailleurs deux résultats sont en contradiction avec l'ensemble, il s'agit, dans les étudiants ayant une note au devoir supérieur à 8, des effectifs de ceux ayant soit le bloc EQ3, soit le bloc Q, vide. Ces deux effectifs étant particulièrement élevés, on pourrait penser que quelques lacunes en logique, du moment qu'elles ne sont pas trop nombreuses (cf les résultats en fonction du nombre de blocs vides) ne sont pas un obstacle infranchissable à une réussite en début d'algèbre linéaire.

Les effectifs dont nous disposons dans cette analyse sont faibles, ce qui nous engage à la prudence. Par ailleurs nous avons remarqué, lors de nos analyses a priori, les imperfections du prétest et du devoir, qui sont des évaluations ponctuelles. Il semble bien cependant que nous puissions avancer, moduler ces réserves, l'hypothèse d'une tendance à la corrélation entre l'acquisition de prérequis de logique et les premiers résultats en algèbre linéaire.

## C - Examen partiel - 18 janvier

Cet examen partiel a été passé par les trois groupes, dans les mêmes quatre heures. Il contenait, dans cet ordre, deux exercices d'algèbre linéaire, un d'arithmétique des polynômes et un d'analyse. Le barème utilisé par les correcteurs, qui n'était pas connu des étudiants, est respectivement pour chaque exercice de : 2,5; 8; 2,5 et 7.

Nous donnons, en annexe C-1, le texte des trois premiers exercices.

Nous avons analysé les résultats aux deux exercices d'algèbre linéaire. Nous disposions de 74 copies, 29 du groupe 3, 23 du groupe 4 et 22 du groupe 6. C'est donc un échantillon très proche de la population initiale du prétest, qui nous sert de référence.

## I - Analyse a priori - Résultats quantitatifs :

Nous avons attribué à chaque question - voire sous-question- une note, nous avons également évenuuellement donné un code à un certain type d'erreur ou de bonne réponse. Nos choix sont explicités dans ce qui suit et les résultats quantitatifs sont récapitulés dans un tableau en annexe C-2.

### Premier exercice

Cet exercice est à rapprocher du premier exercice du DS n°1, qui a été passé 10 jours avant. Pourtant, nous avons dégagé, lors de l'analyse de cet exercice, en quoi il risquait fort de ne pas apparaître comme l'exemple d'une méthode plus générale. De plus, dans le cas présent, la méthode suggérée par cet exercice serait particulièrement peu efficace, étant donné qu'il n'y a qu'un polynôme de degré 4 ayant 4 valeurs fixées, et que cela reviendrait à chercher une solution particulière, puis à voir que la variété est de dimension 0 donc qu'il n'y a que cette solution "particulière"; alors qu'une résolution soignée du système 4x4 donne d'un seul coup l'unicité et la valeur de la solution.

Bien sûr les étudiants n'ont pas forcément les moyens d'anticiper ce résultat, encore que cela puisse faire partie de leurs connaissances plus ou moins empiriques, liées à une certaine expérience.

Néanmoins sur les 74 étudiants, aucun n'a essayé de réinvestir quoi que ce soit de la méthode du DS n°1.

Le plus simple est en fait de raisonner en prenant un polynôme avec des coefficients indéterminés et en résolvant le système 4x4 qui découle des conditions de l'énoncé. En fait on peut s'économiser quelques calculs en remarquant qu'on peut mettre (X-1) en facteur, on a alors seulement un système 3x3 à résoudre. 6 étudiants ont utilisé cette méthode (code DIV), nous les avons gratifié d'une note NI de 1,5.
Tous les autres ont posé le système 4x4. S'ils l'ont résolu correctement, nous leur avons mis la note N1 de 1. C'est le cas de 47 étudiants, si on rajoute les 6 précédents, cela fait un taux de réussite de 69%.

Dans le cas d'une erreur de calcul (code CAL : 16 cas) nous avons mis une note de 0,5, même si l'erreur n'est pas très grave (en fin de parcours par exemple). Cela peut paraître un peu injuste, pourtant il nous semble qu'il ne faut pas minimaliser l'importance d'une erreur de calcul dans un exercice où l'aspect calculatoire a un rôle justement essentiel ; par ailleurs dans le cas présent, une vérification était très simple à faire. Ce n'est pas un calcul gratuit pour le plaisir d'utiliser le pivot de Gauss, on obtient un résultat par rapport à un problème concret, il semble bon de s'assurer de sa validité a posteriori. C'est encore ici, à un niveau élémentaire, un problème de contrôle du sens dans une activité algébrique abstraite.

Comme on trouve une solution unique, le système triangulaire obtenu après avoir appliquée la méthode du pivot est simple à interpréter. Pourtant dans deux copies, après avoir trouvé une solution unique au système, les étudiants écrivent : "donc les polynômes $P(X) = \lambda(X^3-3X^2+4X-2)$ vérifient les conditions de l'énoncé." (code MULT). Bien que peu fréquent, ce type de réponse nous a semblé intéressant à être relevé, nous avons mis une note de 0,5 à ces deux copies. Cette erreur semble être dûe à un manque de discernement dans les domaines d'intervention de la notion de linéarité.

Dans 4 copies également (code DEG), les étudiants reprennent la recherche pour un polynôme de degré deux puis un, voire même zéro. Or comme dans la première recherche, il n'ont pas eu à supposer que le coefficient du degré 3 n'était pas nul, dès le départ la recherche est faite pour un polynôme de degré au plus 3. Quand cette surcharge n'engendrait pas d'erreur supplémentaire, nous ne l'avons pas pénalisée dans la note.

Un étudiant utilise la méthode des déterminants dite de Cramer (code DET), mais bien qu'il donne la bonne solution, n'explicite aucun des calculs, nous lui avons mis une note de 0,5.

Enfin, deux étudiants cumulent des erreurs assez grossières de calcul et d'interprétation et obtiennent donc une note nulle.

Cette question est élémentaire, le taux de réussite de 69%, est bon dans l'absolu, pourtant il reste encore trop faible. Le nombre d'erreurs de calcul, surtout vu les moyens de contrôle, est finalement élevé. Dans un contexte plus large, une résolution de système peut être une activité centrale, si bien que, ne pas y arriver sans se tromper, peut alors être un handicap fort gênant pour le reste du problème.

### Deuxième exercice.

Cet exercice présente une méthode générale pour trouver un polynôme dont on connaît les valeurs sur autant d'entiers successifs que son degré plus un. Le but est d'arriver à la formule dite de Gregory, qui permet le calcul explicite. La dernière application permet de comparer avec la méthode du I. Comme dans le DS n°1, ceci n'est pas vraiment explicite et la méthode du II n'est une simplification que dans la mesure où elle est utilisée sur de nombreux exemples.

Par ailleurs cet exercice est également l'occasion de travailler sur l'opérateur aux différences finies $\Delta$, qui est un classique. Les questions ne présentent pas de grandes difficultés du point de vue de l'algèbre linéaire, par contre elles ont souvent un côté technique, lié à la manipulation d'écritures formelles, assez délicat.

### Question 1

Cette première question permet de prendre contact avec les objets introduits, ici l'opérateur $\Delta$ aux différences finies. On ne demande cependant pas encore de montrer qu'il est linéaire.

Il est facile de voir que dans $\Delta(P)$, il n'y a plus de terme du degré de $P$, donc que $\Delta(P)$ est de degré au plus $(n-1)$ (si deg($P$)=n). En fait le coefficient du terme de degré $(n-1)$ est $n$ fois celui du terme de degré $n$ dans $P$, il est donc toujours non nul. Ainsi on peut voir que $\Delta(P)$ est finalement exactement de degré $(n-1)$.

Pour tenir compte de ces deux niveaux, nous avons mis une note comme suit.

$N1=1$ si et seulement si, l'étudiant constate non seulement la disparition des termes de degré $n$ dans $\Delta(P)$, mais aussi fait état explicitement de la non annulation du coefficient des termes de degré $n-1$ (6 cas seulement).

$N1= 0,5$, dans les 2 cas suivants :

- Quand la formulation de $\Delta(P)$, à l'aide des coefficients de $P$, est assez claire pour qu'il n'y ait pas de terme de degré $n$ et que le terme de degré $(n-1)$ apparaisse avec le bon coefficient : on peut alors supposer, même si ce n'est pas explicité, que la non annulation du terme de degré $(n-1)$ apparaisse de façon assez évidente pour ne pas avoir à être explicitée (code FORM : 18 cas).

- Quand, une fois constatée la disparition des termes de degré $n$, on conclut que $\Delta(P)$ est au plus de degré $(n-1)$. L'information est incomplète par rapport à ce qui peut être dit, mais au moins il n'y a pas d'erreur ou de point non justifié (code INF : 6 cas).

$N1=0$, dans tous les autres cas (37 cas soit 50%). En particulier quand on déduit directement de la disparition des termes de degré $n$ que $\Delta(P)$ est de degré $(n-1)$ (ce qui représente une grosse majorité), ou encore
quand on se contente de dire que $\Delta(P)$ est au plus du degré de $P$, sans signaler la disparition des termes de degré $n$ (plus rare).

Il y a en plus 2 non réponses.

Les résultats à cette question montrent qu'il y a chez les étudiants, une certaine méconnaisance de la notion de degré d'un polynôme. Il est pourtant fort utile, surtout en algèbre linéaire, de distinguer les polynômes de degré $n$ (qui ne forment pas un espace vectoriel) des polynômes de degré au plus $n$ (qui en sont l'espace engendré).

### Question 2

Cette question ne fait toujours pas intervenir d'algèbre linéaire. Elle est en fait calculatoire et technique. Nous l'avons divisé en trois sous-questions:

2-a Le calcul de $\Delta U_k$.

2-b Le calcul de $\Delta^n U_k$.

2-c Le calcul de $\Delta^n U_k(0)$.

2-a est une question simple, il suffit de ne pas se tromper en écrivant $U_k(X+1)$ et ensuite dans la factorisation. Nous avons mis une note binaire $N$ (0/1). Il y a 47 bonnes réponses, 7 non réponses et 20 mauvaises réponses. Là encore, bien qu'élevé, le taux de réussite de 64%, aurait pu, sur une question aussi simple, l'être un peu plus. En particulier la substitution de $(X+1)$ à $X$ semble poser des problèmes à plusieurs étudiants.

Par ailleurs, nous avons repéré par le code `REC_`, les étudiants qui croient faire une récurrence, alors qu'ils démontrent la propriété au rang $n+1$ sans utiliser l'hypothèse au rang $n$. C'est un comportement fréquent dans ce type de démonstration qui, bien que dépendant d'un entier, se fait directement (5 cas).

La question 2-b demande déjà plus de dextérité dans les calculs, d'autant qu'il faut distinguer des cas entre $k<n$, $k>n$ et $k=n$. De plus, il est nécessaire de bien maîtriser la notion de composition des applications.

Nous avons mis une note N2b de 1, lorsque la formule donnant $\Delta^n U_k$ pour $k \ge n$ est exacte et qu'on reconnaît que $\Delta^n U_k=0$ pour $k<n$. Nous n'avons pas été très regardant sur le cas frontière $k=n$, car il apparaît plus particulièrement dans le calcul de $\Delta^n U_k(0)$. Il y a 7 bonnes réponses.

Nous avons mis une note de 0,5 dans les 2 cas suivants :

- Quand la formule donnant $\Delta^n U_k$ pour $k \ge n$ est exacte, mais quand, le cas $k<n$ est déjà délaissé, soit considéré comme "impossible" (code `K<N`: 6

cas). Il y a là un problème d'interprétation d'un résultat numérique que l'on pourrait rapprocher de celui des discussions de cas lors de la résolution d'un système dépendant d'un paramètre, comme dans le 1er du DS n°1. Des valeurs particulières de certains paramètres donnent une solution atypique, gênante, alors on ignore ce cas, ou on dit qu'il est "impossible".

- Quand au contraire, on reconnaît que $\Delta^n U_k=0$ pour $k<n$, mais qu'il y a une erreur dans la formule pour $k \ge n$ (code `K>N`: 3 cas).

Il y a 38 non réponses.

Nous avons mis la note 0 dans les 19 cas restants.

Pour la formule donnant $\Delta^n U_k$ pour $k \ge n$, nous n'avons pas tenu compte de petites erreurs d'indication, mais nous avons distingué deux types d'erreur, à notre avis plus significatifs :

- Code `ITER`, quand on trouve $\Delta^n U_k = k^n U_{(k-n)}$, c'est-à-dire qu'on itère $n$ fois la même fonction sans voir que l'argument changeant à chaque fois, $k$ ne reste pas $k$ mais diminue d'une unité à chaque itération (7 cas). Dans les 3 cas où ce type d'erreur est couplé avec une bonne réponse pour $k<n$ on a codé `K>N`.

- Code `PRD`, quand la composition de $\Delta$ avec lui-même, est confondue avec un produit, c'est-à-dire qu'on écrit quelque chose du genre : " $\Delta^n U_k = \Delta^{(n-1)}U_k(\Delta U_k) = \dots = k^n (U_{(k-1)})^n$. (6 cas). Il y a souvent d'autres étapes intermédiaires redondantes, qui permettent de glisser de la composition des applications au produit des arguments de façon moins abrupte.

On voit que la composition d'applications opérant sur des objets un peu complexes ne va pas sans poser de problème. C'est pourtant un prérequis nécessaire à l'algèbre linéaire, si on veut pouvoir utiliser des espaces comme des ensembles de polynômes.

La question 2-c ne peut être bien traitée sans avoir fait la question 2-b. En fait $\Delta^n U_k(0)$ est nul, sauf quand $n=k$ où il vaut k! Il est assez fréquent de trouver dans des copies que $\Delta^n U_k(0)=0$ pour tout $(k,n)$; nous avons mis une note N2c de 0 même dans ces cas. Par contre nous avons mis une note de 1 même si on donne $\Delta^n U_k(0)=k^n$ pour $k=n$, à la suite d'une erreur du type `ITER` en 2-b. Au total, il y a 7 "bonnes" réponses, 17 mauvaises ou incomplètes et 50 abstentions !

Finalement cette question est assez peu réussie, déjà 2-a, malgré la facilité, ne l'est qu'à moitié et la suite est plutôt un échec. Voici l'exemple d'un problème du domaine de l'algèbre linéaire, dont la résolution est avortée à cause d'un manque de prérequis relatifs à la manipulation de notations fonctionnelles sur des espaces de polynômes ou de substitution de variables dans un polynôme.
Les étudiants n'ayant pas répondu à cette question ne pourront aboutir à la formule de Gregory, qui demande la connaissance des $\Delta^n U_k(0)$.

### Question 3

Cette question est indépendante de ce qui précède. C'est aussi la première question qui a directement trait à l'algèbre linéaire. Pourtant avec la formulation adoptée, elle est réduite à une démonstration par récurrence. Or elle aurait pu être une question réellement d'algèbre linéaire. En effet pour montrer que les $U_k(k=0,...,n)$ engendrent l'espace des polynômes de degré au plus n, puisqu'ils sont au nombre de $(n+1)$, cela revient au même de montrer qu'ils sont indépendants. Or ces polynômes ayant des degrés 2 à 2 distincts, il est ici plus simple de regarder l'indépendance que le caractère générateur, qui présente des difficultés techniques.

Un étudiant a proposé cette méthode, nous lui avons mis la note N3 maximale de 1 et le code LIB.

Mais la formulation de l'énoncé incite fortement à montrer directement et par récurrence que la famille est génératrice. Et c'est bien sûr ce qu'ont tenté de faire tous les autres étudiants ayant abordé cette question.

La plupart du temps, ça démarre assez bien. Ils posent l'hypothèse de récurrence, la vérifie pour quelques valeurs (il est rare que $n=0$ suffise), puis ils écrivent moyennant l'hypothèse au rang $n$, que la proprité doit être vraie au rang $(n+1)$. Ils isolent alors le terme de degré $n$ en disant que le reste est, d'après l'hypothèse au rang $n$, combinaison des $U_k(k=0,...,n)$. Il reste alors à montrer que $X^{n+1}$ est combinaison linéaire des $U_k(k=0,...,n+1)$. Mais cette tâche n'est pas beaucoup plus simple que la tâche initiale.

De fait, c'est en général à ce stade de la démonstration, que le dérapage a lieu, comme si d'avoir repoussé la vraie démonstration trop loin la rendait finalement inaccessible, à la dernière étape. On trouve alors des arguments creux, voire même pas de justification, le point essentiel étant entièrement escamoté. Nous avons attribué une note de 0 dans ces cas et le code VIDE (7 cas).

Dans d'autres copies, on démontre, par des chemins détournés, une sorte de réciproque évidente (code REC : 6 cas). C'est-à-dire que d'une façon plus ou moins ékulcorée, on dit que les $U_k(k=0,...,n)$ sont des polynômes de degré au plus $n$ donc qu'ils engendrent cet espace. Bien sûr cet argument est masqué dans des méandres qui en cachent l'absurdité. Il est intéressant de remarquer par ailleurs, que ce type d'erreur est assez fréquent dans les exercices où l'on demande de montrer qu'une famille est génératrice. C'est sûrement l'indicateur d'une difficulté conceptuelle dans la nature de la notion de famille génératrice.

Enfin souvent les démonstrations s'arrêtent à ce stade (code BLOC : 9 cas).

Dans les 9 cas où la question est convenablement traitée, souvent les arguments n'en finissent pas de se répéter et la démonstration est pour le moins peu claire et quelque peu redondante (code LONG).

En fait le plus simple est, de remarquer que $a_{n+1}X^{n+1} - a_{n+1}U_{n+1}$ est un polynôme de degré $n$ et qu'il est donc combinaison des $U_k(k=0,...,n)$.

Nous avons attribué une note binaire à cette question.

Il y a 9 bonnes réponses, 33 mauvaises et 32 abstentions.

Avec la formulation de l'énoncé, cette question présente une difficulté d'approche, qui peut expliquer en partie l'échec relevé ici, sans toutefois en justifier l'étendue, qui reste un peu surprenante.

Il serait intéressant, a posteriori, de montrer aux étudiants, les simplifications possibles en utilisant le théorème de la dimension, comme nous l'avons expliqué plus haut.

### Question 4

Nous avons divisé cette question en deux sous-questions :

4-a Montrer que $\Delta$ et $P-> \Delta^k P(0)$ sont linéaires.

Montrer que $\Delta$ est linéaire est élémentaire et ne devrait pas poser de difficulté à une grosse majorité d'étudiants. L'erreur la plus probable risque de venir d'une confusion dans le niveau des variables, c'est-à-dire que certains étudiants peuvent vouloir montrer une linéarité sur le polynôme, réalisant un amalgame entre la variable dans le polynôme et le polynôme en tant que variable de l'application $\Delta$.

Pour montrer que $P-> \Delta^k P(0)$ est linéaire, le plus simple semble être de remarquer que c'est la composée de $\Delta^k$ et de $P-> P(0)$, qui sont toutes deux linéaires. Pourtant ce raisonnement demande de bien maîtriser la notion de composition des applications et nécessite un certain recul par rapport au problème. On peut aussi s'en tirer, plus ou moins bien, en signalant la linéarité de $\Delta^k$ et en faisant le reste "à la main". N'ayant jamais rencontré la première méthode, nous avons été assez indulgent par rapport à la seconde.

Nous n'avons pas réellement relevé beaucoup d'erreurs significatives, mais plutôt des absences de réponse. Nous nous sommes donc contenté d'une note N4a sur 1, partagée en moitiés égales entre les deux applications. Dans tous les cas, une note de 0,5, signifie que seule la linéarité de $\Delta$ a été démontrée.

Il y a 7 notes de 1, 15 de 0,5, 7 de 0 et 45 abstentions.

Le nombre élevé d'abstention rend les interprétations délicates. Il semble toutefois que si, dans un cas simple comme $\Delta$, la question de la linéarité ne pose pas trop de problème, dans un cas un peu plus
complexe comme P--> $\Delta^k P(0)$, avec un taux d'échec de 75% (en ne comptant pas les non réponses), il y ait une difficulté réelle. Le plus souvent, les étudiants se contentent d'écrire la relation de linéarité (quelquefois mal) et de dire qu'elle est vraie, sans comprendre réellement semble-t-il sur quel point doit porter la démonstration.

La notion d'application linéaire est délicate car elle interfère avec le concept de fonction, qui présente souvent lui-même une difficulté conceptuelle importante, même pour les étudiants de ce niveau.

### 4-b La formule de Gregory.

Pour vérifier l'authenticité de la formule de Gregory, on peut soit déterminer les coordonnées sur la base des $U_k$ en calculant les $\Delta^k P(0)$, soit remarquer que la formule est "linéaire", il ne reste alors qu'à la vérifier sur les $U_k$, c'est-à-dire pour une famille génératrice, pour dire qu'elle est valable pour tous les polynômes de degré au plus n. Les deux méthodes sont à peu près équivalentes en difficulté et en quantité de calculs.

En fait cette question a été très majoritairement délaissée, puisqu'il y a 66 non réponses. Il n'y a par ailleurs qu'une seule bonne réponse, par la méthode de recherche des coordonnées. Sur les 7 réponses inexactes ou incomplètes, 5 étudiants ont essayé de faire une analogie avec la formule de Taylor (code TAXL). Ce genre d'amalgame est sans doute un indice du manque de sens donné aux formules algébriques.

Il est bien sûr difficile de tirer des conclusions dans de telles circonstances. Pourtant, si la question du temps limité a sûrement joué un grand rôle, il semble également que ce type de question, assez typique finalement de plusieurs problèmes d'algèbre linéaire (cf les problèmes d'interpolation), déroute facilement les étudiants. On peut se demander si cela est seulement dû à la complexité extérieure de la formule ou s'il y a des raisons plus profondes liées peut-être à la méconnaissance des méthodes d'approche face à un tel problème.

### Question 5

Dans l'esprit du problème, cette question est une application de la formule de Gregory. les valeurs de P en 0, 1, 2 et 3 permettent en effet de calculer facilement $\Delta^k P(0)$ pour $k=1$ à 4, la formule de Gregory donne l'unicité du polynôme (implicitement admise dans l'énoncé), et ses coordonnées sur la base des $U_k$.

En fait seulement 8 étudiants ont répondu à cette question en suivant cette voie. 3 n'ont pas su trouver les valeurs des $\Delta^k P(0)$, nous leur avons mis une note N5 de 0. Les 5 autres répondent correctement (un fait une erreur de calcul dont nous n'avons pas tenu compte), nous leur avons mis une note N5 de 1.

24 étudiants ont répondu comme ils l'avaient fait en I, sans tenir compte des questions précédentes, en résolvant un système $4x4$ (code SYS). Nous avons mis systématiquement la note 0 à ce genre de réponse. Enfin un étudiant a essayé d'utiliser la formule de Taylor.

Le nombre d'abstentions est de 41 soit 55%.

On peut mesurer avec cette question, la distance qui sépare la tâche que suggère la démarche de l'énoncé de la tâche réellement accomplie par les étudiants. Chaque question est plus ou moins réussie dans son contexte propre, mais l'interaction des questions entre elles est entièrement occultée par le morcèlement du problème.

Dans ce contexte, l'ultime question sur la comparaison avec le I est bien sûr entièrement négligée.

## II - Attribution d'une note

En essayant de tenir surtout compte des questions faisant intervenir de l'algèbre linéaire, nous avons attribué une note globale sur 11, mais que l'on considérera sur 10 (vu qu'une seule personne a une note de 1 en 4b), calculée comme suit et arrondie à l'entier le plus proche :

$$N = 2N1 + 1/2(N1+N2a+N2b+N2c) + 2(N3+N4a) + N4b+N5$$

Le graphique suivant donne la répartition des notes ainsi obtenues :

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Répartition des notes au partiel</figcaption></figure>

La moyenne est de 3,2 avec un écart-type de 1,8. C'est donc faible, avec une certaine homogénéité vers le bas. 82% des étudiants ont une note de 4 au plus dont 42% ont 1 ou 2, alors que seuls 5 étudiants ont 7 ou plus.

On peut considérer que ce problème est un échec. Doit-on en conclure que la raison principale en est une mauvaise connaissance des concepts d'algèbre linéaire en jeu ?

Il n'y a finalement que peu de questions d'algèbre linéaire à proprement parler. Les concepts de famille génératrice ou d'application linéaire interviennent à des niveaux assez complexes où ils dépendent d'activités algébriques préliminaires. Si bien que plus qu'une
connaissance de ces concepts, on teste ici la possibilité de les faire intervenir dans un cadre algébrique (ici les polynômes) déjà complexe en soi. Par exemple la démonstration de 3), bien qu'étant une question typique d'algèbre linéaire, nécessite une bonne connaissance de la récurrence et des polynômes, aussi une mauvaise réponse ne veut-elle pas forcément dire que l'étudiant ne connaît pas le concept de famille génératrice, si le contexte extérieur crée une barrière trop forte.

Dans ce problème beaucoup de questions présentent un aspect que l'on peut qualifier de "technique" : avec des calculs, des discussions en fonction du degré, beaucoup d'écritures avec des indices et des coefficients généraux, du maniement d'expressions algébriques formelles (polynômes à coefficients indéterminés)... Les concepts d'algèbre linéaire n'interviennent que dans "l'ossature" du problème et restent indissociables de ce contexte technique.

Pourtant ce genre de difficulté se présente souvent dans des problèmes, où intervient de l'algèbre linéaire, les résultats de ce partiel sont donc intéressants parce qu'ils représentent une aptitude à résoudre un certain type de problèmes classiques d'algèbre linéaire.

Avec la répartition de notes obtenue, nous avons distingué les trois tranches suivantes :

-$N \le 2$ : 31 étudiants. Ceux-ci n'ont pas surmonté les difficultés techniques du deuxième exercice et ont, au mieux, bien résolu le premier.

-$3 \le N \le 4$ : 30 étudiants. Ceux-ci ont un peu moins de difficultés avec les aspects techniques sur les polynômes ou la récurrence, mais ils n'arrivent toutefois pas à dégager une problématique d'approche dans le deuxième exercice.

-$N \ge 5$ : 13 étudiants. Ceux-ci semblent avoir suffisamment de recul pour donner quelques réponses cohérentes dans le II. Le handicap du contexte technique semble être surmonté.

## II - Comparaison par groupes

Le nouvel échantillon est, comme nous l'avons dit, peu modifié par rapport au prétest (10 étudiants de moins). La moyenne et l'écart-type recalculés pour chaque groupe sont donc sensiblement les mêmes, comme on peut s'en rendre compte dans le tableau ci-dessous.

Nous donnons également, dans ce tableau, la moyenne, l'écart-type et la répartition dans les trois tranches de notes, par groupe, pour le partiel.

<table><thead><tr><th rowspan="2">N° GR</th><th colspan="3">PRÉTEST</th><th colspan="3">PARTIEL</th></tr><tr><th>EFF</th><th>MOY</th><th>ECAR</th><th>MOY</th><th>ECAR</th><th>N≤2</th><th>3≤N≤4</th><th>N≥5</th></tr></thead><tbody><tr><td>3</td><td>29</td><td>13,1</td><td>2,6</td><td>2,7</td><td>1,6</td><td>15</td><td>12</td><td>2</td></tr><tr><td>4</td><td>23</td><td>12,7</td><td>3,4</td><td>3,2</td><td>2</td><td>12</td><td>6</td><td>5</td></tr><tr><td>6</td><td>22</td><td>13,9</td><td>3,1</td><td>3,9</td><td>1,5</td><td>4</td><td>12</td><td>6</td></tr></tbody></table>

Entre le prétest et le partiel, l'ordre entre les groupes 3 et 4 s'est inversé assez nettement, alors que le groupe 6 conserve toujours une avance assez marquée.

Pour les écarts-types, les groupes 3 et 6 sont "dans un mouchoir", alors que le groupe 4 confirme son hétérogénéité.

Pour la répartition des notes, le groupe 6 se caractérise par deux effectifs dominants dans les deux tranches de notes les plus élevées, alors que le groupe 4, malgré un bon score dans la tranche $N \ge 5$, a également un fort taux dans la tranche $N \le 2$, qui fait sa faiblesse. Le groupe 3 se confirme comme étant homogènement faible avec presque tous ses étudiants également répartis dans les deux tranches du bas.

## IV - Corrélation avec le prétest

La répartition totale par blocs au prétest est très semblable à celle trouvée avec la population totale du prétest, ce qui n'est pas surprenant, étant donné le peu d'écart numérique entre les deux échantillons.

Nous donnons ci-dessous les deux tableaux croisés des résultats prétest/partiel, sur le modèle de ceux donnés pour le croisement du prétest avec le premier devoir surveillé.

<table><caption>Tableau croisé n°1 : prétest/partiel</caption><thead><tr><th></th><th>EFF</th><th>MOY</th><th>EQ1</th><th>EQ3</th><th>EQ3/0</th><th>Q(2)</th><th>Q(0)</th><th>AN</th><th>AS(2)</th><th>B=0</th><th>B≤1</th><th>B≤2</th><th>B>2</th></tr></thead><tbody><tr><th>TOTAL</th><td>74</td><td>13,2</td><td>65%</td><td>16%</td><td>18%</td><td>34%</td><td>32%</td><td>78%</td><td>57%</td><td>39%</td><td>65%</td><td>84%</td><td>16%</td></tr><tr><th>MOY</th><td>3,2</td><td></td><td>3,4</td><td>5,1</td><td>2,7</td><td>4</td><td>2,5</td><td>3,4</td><td>3,8</td><td>4,1</td><td>3,6</td><td>3,4</td><td>2,25</td></tr><tr><th>N≤2</th><td>31</td><td>12,2</td><td>55%</td><td>6%</td><td>16%</td><td>29%</td><td>39%</td><td>68%</td><td>42%</td><td>23%</td><td>58%</td><td>77%</td><td>23%</td></tr><tr><th>3≤N≤4</th><td>30</td><td>12,9</td><td>70%</td><td>13%</td><td>23%</td><td>27%</td><td>37%</td><td>83%</td><td>57%</td><td>40%</td><td>60%</td><td>83%</td><td>17%</td></tr><tr><th>N≥5</th><td>13</td><td>16,5</td><td>77%</td><td>46%</td><td>8%</td><td>62%</td><td>8%</td><td>92%</td><td>92%</td><td>77%</td><td>92%</td><td>100%</td><td>0%</td></tr></tbody></table>

(Les pourcentages sont calculés sur la ligne)

<table><caption>Tableau croisé n°2 : prétest/partiel</caption><thead><tr><th></th><th>EFF</th><th>MOY</th><th>EQ1</th><th>EQ3</th><th>EQ3/0</th><th>Q(2)</th><th>Q(0)</th><th>AN</th><th>AS(2)</th><th>B=0</th><th>B≤1</th><th>B≤2</th><th>B>2</th></tr></thead><tbody><tr><th>TOTAL</th><td>74</td><td>13,2</td><td>48</td><td>12</td><td>13</td><td>25</td><td>24</td><td>58</td><td>42</td><td>29</td><td>48</td><td>62</td><td>12</td></tr><tr><th>MOY</th><td>3,2</td><td></td><td>3,4</td><td>5,1</td><td>2,7</td><td>4</td><td>2,5</td><td>3,4</td><td>3,8</td><td>4,1</td><td>3,6</td><td>3,4</td><td>2,25</td></tr><tr><th>N≤2</th><td>42%</td><td>12,2</td><td>35%</td><td>17%</td><td>38%</td><td>36%</td><td>50%</td><td>36%</td><td>31%</td><td>24%</td><td>38%</td><td>39%</td><td>58%</td></tr><tr><th>3≤N≤4</th><td>41%</td><td>12,9</td><td>44%</td><td>33%</td><td>54%</td><td>32%</td><td>46%</td><td>43%</td><td>40%</td><td>41%</td><td>38%</td><td>40%</td><td>42%</td></tr><tr><th>N≥5</th><td>18%</td><td>16,5</td><td>21%</td><td>50%</td><td>8%</td><td>32%</td><td>4%</td><td>21%</td><td>29%</td><td>34%</td><td>25%</td><td>21%</td><td>0%</td></tr></tbody></table>

(Les pourcentages sont calculés sur la colonne)

Ces deux tableaux semblent montrer une corrélation assez forte entre le prétest de logique et d'algèbre et le partiel.

Toutes les données vont dans ce sens. Même les blocs d'algèbre, définis au prétest, donnent une bonne corrélation, contrairement à ce que l'on avait observé avec le premier devoir surveillé.

On trouve cependant ça et là queques résultats qui viennent nuancer cette corrélation.
Parmi les étudiants ayant le bloc EQ3 vide, par exemple, on en trouve plus en proportion ayant une note de 3 ou 4 au partiel que de ceux ayant moins de 2; dans une moindre mesure pour ceux ayant le bloc Q vide, les répartitions des deux tranches sont si ce n'est inversées en tout cas à peu près équivalentes.

Ces deux données semblent signifier qu'avoir quelques lacunes en logique, mais pas trop (cf le nombre de blocs vides), tout en étant une barrière pour une bonne réussite au partiel, n'est pas systématiquement synonyme d'échec complet.

Plus que jamais le nombre de blocs vides est un paramètre avec une très forte corrélation. Le pourcentage d'étudiants ayant 5 ou plus au partiel est près du double parmi ceux n'ayant aucun bloc vide de ce qu'il est pour l'échantillon total. A l'autre extrême, aucun étudiant ayant au moins trois blocs vides n'a eu 5 ou plus au partiel.

Ces résultats ne sont pas surprenants, quand on se rappelle l'analyse que nous avons faite plus haut sur le type du problème proposé à ce partiel.

Il apparaît donc que de bon prérequis en algèbre (sûrement d'ailleurs plus étendus que ceux évalués lors du prénom) et aussi en logique soient un atout incontestable pour réussir des problèmes d'algèbre linéaire un peu techniques, sur des espaces comme ceux de polynômes et qu'au contraire des lacunes trop importantes dans ces domaines soit un facteur important d'échec. C'est, résumé, la signification des résultats donnés dans les deux tableaux ci-dessus.

## D - Deuxième devoir surveillé - 4 Mars

Ce deuxième devoir surveillé contenant de l'algèbre linéaire, a été passé par tous les groupes pendant les mêmes trois heures, il contenait deux exercices d'analyse - un calcul d'intégrale d'une fraction rationnelle et un problème mêlant suites numériques et intégrales - et un exercice d'algèbre linéaire. On trouvera, en annexe D-1, le sujet complet de ce devoir.

Nous avons analysé 46 copies : 13 du groupe 3, 15 du groupe 4 et 18 du groupe 6.

### I. Analyse a priori - Résultats quantitatifs :

A chaque question (ou partie de question) on a attribué une note binaire (0/1) et éventuellement un code correspondant à un type d'erreur voire de bonne réponse. Nos choix sont explicités dans ce qui suit et les résultats quantitatifs sont récapitulés dans un tableau en annexe D-2.

Nous avons distingué (dans la première colonne du tableau) ceux qui ont débuté par l'algèbre (code DEB) de ceux qui l'ont gardé pour la fin (code FIN). Les premiers ne représentent que 12 cas sur les 46 étudiés. Aucun étudiant n'a traité l'exercice d'algèbre entre les deux exercices d'analyse ; 74% des étudiants ont donc choisi de suivre l'ordre de l'énoncé pour répondre. On peut penser que ce phénomène peut avoir eu une influence sur les résultats, en particulier sur la forte désaffection dans les dernières questions, aussi nous faudra-t-il garder ce point en mémoire dans nos analyses.

Le but de l'exercice est, après avoir reconnu un endomorphisme, de trouver son noyau et son rang. Ce but n'est pas annoncé, ainsi toute la question 3 consiste à établir des résultats techniques, dont on ne trouve une justification qu'a posteriori. De même la question 1, qui sert à établir que l'application donne bien des images dans E, est une part de la question 2, mais n'est jamais reconnue en tant que telle, d'ailleurs très peu d'étudiants le reconnaissent, au moins explicitement.

#### Question 1

Cette question est purement technique. Il s'agit en fait d'interpréter une écriture algébrique. Il faut distinguer le rôle de chacune des deux variables et réorganiser l'écriture de façon à lire l'information demandée.

En somme tout repose, via la formule du binôme, sur l'égalité suivante :

$$ (a) \int_{0}^{1} (x+t)^{n} P(t) dt = x \int_{0}^{1} P(t) dt + \dots + \int_{0}^{1} t^{n} P(t) dt $$
Les connaissances mathématiques en jeu sont donc simples (formule du binôme et linéarité de l'intégrale). La difficulté réside dans la distinction qu'il reste à faire sur les variables.

Cette question est en fait assez peu réussie puisqu'il y a un taux d'échec de 59% dont 2 non réponses.

Dans tous les cas d'erreur (sauf pour le groupe 6, cf ci-dessous) les réponses commencent par : "(x+t)$^n$P(t) est un polynôme donc sa primitive aussi, donc Q est un polynôme." Il est clair que les rôles respectifs de x et t ne sont pas identifiés. Pour la question du degré, soit on dit que le polynôme à intégrer est de degré n en x donc que Q est de degré $n+1$ (code VAR1 : 5 cas) soit que le polynôme est de degré $2n$ (code VAR2 : 5 cas), grâce à des intégrations par partie successives (incorrectes) soit à cause d'erreurs cumulées.

Dans le groupe 6, on a trouvé (dans 5 cas sur 8 erreurs) des réponses de la forme : " Montrons que $(x+t)^n P(t)$ a une primitive de la forme $(x+t)^{n+1}R(t)$. $( (x+t)^{n+1}R(t) ) = (x+t)^n (n+1)R(t) + (x+t)R'(t) )$ ; il suffit donc de poser $P(t) = (n+1)R(t) + (x+t)R'(t)$. Donc $Q(x) = (x+1)^{n+1}R(1) - x^{n+1}R(0)$, c'est donc un polynôme de degré $n+1$." Ce type de réponse repose certainement sur une analogie avec un exercice traité en TD dans ce groupe.

Dans le cas de l'exercice c'est inexact puisqu'une primitive de $(x+t)^n P(t)$ ne peut en effet contenir de puissances de x plus élevées que n. Le point délicat est quand on écrit : " il suffit donc de poser $P(t) = (n+1)R(t) + (x+t)R'(t)$". Ici encore, bien que d'une façon plus cachée et moins systématique, il y a une méprise sur le rôle des variables x et t.

On voit donc que sous des aspects plus ou moins évolués, une large majorité des étudiants (59%) n'arrivent pas à distinguer clairement variable libre et liée dans un problème assez élémentaire de deux variables. On revient à ce niveau aux prérequis d'algèbre avant l'algèbre linéaire. Dans le cas présent les conséquences sur la suite du problème sont importantes : la question 3 ne peut être en effet convenablement résolue, si on n'a pas vu l'égalité (a), de plus pour la question 4, il est nécessaire d'avoir compris que $d^0Q \le n$, pour voir que $rg(u) \le n+1$.

Enfin sur les 18 bonnes réponses, un tiers (seulement) des étudiants obtiennent l'égalité (a) (code DEV), les autres énoncent un argument plus allusif mais convaincant, sans développer tout le calcul.

### Question 2. :

Cette question ne pose pas de problème, c'est une question élémentaire sur la notion d'application linéaire. Il faudrait normalement rappeler que, par le résultat de la question précédente, on sait que u a bien E comme ensemble d'arrivée, cela reste en fait implicite dans la plupart des copies, et on peut se demander dans quelle mesure le lien entre les deux questions a été fait.

La seule chose à montrer reste donc la linéarité, qui est une conséquence quasi-immédiate de la linéarité de l'intégrale.

De fait, le taux de réussite est de 89%, avec une seule non réponse.

### Question 3. :

On revient ici à une question technique de calcul algébrique formel, dans la lignée de la première.

Si on a bien développé Q, les termes $\int P(t)dt$ apparaissent comme les coefficients du polynôme en x, le début de la question est donc aisé. On remarquera au passage que jusque là, l'hypothèse sur le degré de P est inutile. Par contre elle le devient pour montrer que $\int P^2(t)dt = 0$. La suggestion faite pour montrer qu'alors P est nul, se réfère à une connaissance des étudiants au moment du devoir (passage par une primitive), on peut le démontrer directement en utilisant le fait qu'une fonction continue positive n'a une intégrale nulle que si elle est identiquement nulle sur l'intervalle d'intégration.

Ces trois résultats sont donc indépendants les uns des autres et l'on peut démontrer chacun d'eux en admettant les précédents. On peut d'ailleurs n'en démontrer aucun et faire la suite en les admettant. Aucun ne fait intervenir de connaissance en algèbre linéaire. Nous avons mis deux notes N3 pour le premier et N3bis pour les deux autres.

Pour le premier il y a 16 non réponses et 54% de bonnes réponses sur les réponses effectives, soit 33% de bonnes réponses sur le total.

Pour les deux autres, il y a 24 non réponses et 38% de bonnes réponses sur les réponses effectives, soit 11% de bonnes réponses sur le total.

Dans les deux cas nous n'avons pas relevé d'erreurs significatives par rapport à notre problématique ; il y en aurait toutefois d'autres, par exemple, certains étudiants utilisent un faux théorème qui consiste à dire que l'intégrale du produit est égale au produit des intégrales.

Dans l'ensemble, c'est donc plutôt un échec, qui peut s'expliquer d'une part par le facieur temps, qui a pu jouer surtout pour ceux ayant commencé par l'analyse, d'autre part par la barrière que formait la première question.

### Question 4. :

Comme nous l'avons dit plus haut, cette question pouvait être traitée en admettant les résultats de la question précédente. On obtient alors que Ker(u) ne contient aucun polynôme de degré inférieur ou égal à n autre que le polynôme nul, autrement dit la restriction de u à l'ensemble F des polynômes de degré au plus n est injective, ou encore en utilisant le théorème du rang puisque $Dim(Ker(u)) \le n$, $rg(u) \ge n+1$. Il suffit alors de se souvenir que, en l, on a vu que $d^0Q \le n$ donc que $rg(u) \le n+1$ pour pouvoir conclure que $rg(u) = n+1$ et $dim(Ker(u)) = n$. La restriction de u à F est en fait un automorphisme.
A condition de pouvoir exploiter les résultats des questions précédentes, cette question est une question très intéressante d'algèbre linéaire, où la notion de rang est centrale. Malheureusement, elle arrive après un labyrinte de résultats algébriques que la plupart des étudiants ne dominent pas, si bien que cette dernière question n'évalue plus grand chose, faute de combattants.

Le taux d'abandon est de 52%. Sur les 22 réponses, 18 étudiants tombent dans le piège de dire qu'en 3) on a montré Ker(u)=[0] (Code BIJ), oubliant l'hypothèse sur le degré de Q (beaucoup ne l'ayant d'ailleurs jamais utilisée). Ils concluent alors que le rang est la dimension de E soit 2n+1, donc que u est bijective.

Dans les 4 cas restant, les étudiants n'utilisent que la question 1, c'est-à-dire, comme ils l'ont vu, que le degré de Q est borné (pas toujours par n!), ils en concluent abusivement que Im(u)=F (ou l'équivalent avec leur erreur), alors qu'ils n'ont montré qu'une inclusion et en déduisent le rang.

Cette question est donc un échec total. On pourrait redisputer le découpage des questions, qui en voulant faciliter les tâches, noie les vraies questions au milieu de problèmes algébriques plus techniques. Il faut aussi s'interroger sur la difficulté du concept de rang, qui est un des points les plus forts et les plus riches en début d'algèbre linéaire. Enfin on n'oubliera pas non plus de rappeler le facteur temps qui a pu jouer un rôle non négligeable lors de ce devoir, étant donné la prédominance de l'analyse dans le sujet.

## II - Attribution d'une note :

Ce point est délicat étant donné le taux d'abandon très élevé à certaine questions. Il est inutile de tenir compte de la question 4, qui n'a été réussie, même partiellement par personne, il ne faudra pas trop compter la question 3, à cause des abandons et de son aspect un peu technique. Malgré leur dissemblances, nous ne voyons pas pourquoi faire plus peser la question 1 que 2 ou vice versa. Nous avons donc décidé d'attribuer la note N sur 10 suivante : N = 4(N1+N2) +(N3+N3bis).

Le graphique suivant donne la répartition des notes ainsi obtenues :

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>REPARTITION DES NOTES</figcaption></figure>

La moyenne générale est de 5,74 avec un écart-type de 2,8. Il y a un gros pic sur 4 suivi d'un remous sur 5 et d'un creux en 6. le creux en 7 (comme en 3) est logique vu le barême. Un second pic (moins important) se trouve en 8 suivi de deux remous assez important en 9 et 10.

Ceci s'explique fort bien. La question 2 a été massivement réussie, ce qui explique que très peu d'étudiants aient moins de 4 (et alors en général 0). Pour passer la barre du 8, il faut alors avoir réussi la question 1. En dessous de la barre du 8, les notes sont resserrées sur 4 et 5 (ce qui veut dire qu'avoir réussi la 2 sans la 1 ne permet pas de réussir la 3) alors que passer la barre du 8, la répartition est plus homogène sur 8, 9 et 10 (la réussite à 1 et 2 assure une meilleure réussite en 3).

Nous avons distingué les trois tranches de notes suivantes :

- N≤3 : 4 étudiants. Pour ceux-ci ce devoir est un échec total, ils n'ont pas su dépasser les difficultés liées au contexte algébrique.

- 4≤N≤7 : 23 étudiants. Cette moitié d'étudiants a su dépasser un peu les problèmes techniques mais ils n'ont pas encore des connaissances assez assurées pour s'en dégager entièrement.

- N≥8 : 19 étudiants. Pour ces étudiants les calculs algébriques ne semblent pas poser de problème et ils peuvent mettre en œuvre leurs connaissances d'algèbre linéaire dans un nouveau cadre.

La moyenne des étudiants ayant commencé l'épreuve par l'exercice d'algèbre linéaire et de 5,42 contre 5,85, pour ceux l'ayant gardé pour la fin. Ce choix dans l'ordre ne semble donc pas avoir eu de conséquences très significatives, ce n'est en tout cas pas en commençant qu'on semble réussir le mieux, au contraire. Il faut remarquer que ce sont surtout des étudiants du groupe 3 qui ont choisi de commencer par l'algèbre (tous sauf 2 du groupe 6), alors que c'est le groupe le plus "faible".

## III - Comparaison par groupes.

Avec le nouvel échantillon, nous obtenons, pour le prétest, une moyenne globale de 13,4 avec un écart-type de 3,2, ce qui n'est guère différent des données pour la population totale.

Le tableau qui suit nous donne, pour le nouvel échantillon, et par groupes, la moyenne et l'écart-type au prétest et au DS n°2 ainsi que la répartition par tranches de notes au DS n°2 :

<table><thead><tr><th rowspan="2">N° GR</th><th colspan="4">PRETEST</th><th colspan="3">DS N°2</th><th colspan="3">TRANCHES DE NOTES</th></tr><tr><th>EFF</th><th>MOY</th><th>ECAR</th><th>MOY</th><th>ECAR</th><th>N≤3</th><th>4≤N≤7</th><th>N≥8</th><th>N≤3</th><th>4≤N≤7</th><th>N≥8</th></tr></thead><tbody><tr><td>3</td><td>13</td><td>13,62</td><td>2,47</td><td>5,08</td><td>3,20</td><td>2</td><td>7</td><td>4</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>4</td><td>15</td><td>12,53</td><td>3,70</td><td>5,33</td><td>2,92</td><td>2</td><td>8</td><td>5</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>6</td><td>18</td><td>14,06</td><td>3,32</td><td>6,56</td><td>2,31</td><td>0</td><td>8</td><td>10</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
Par rapport à la population totale du prétest, les données au prétest sont assez modifiées par groupes. L'ordre des moyennes est identiques, mais le groupe 3 et, dans une moindre mesure, le groupe 6 ont une moyenne supérieure, alors que le groupe 4 a une moyenne légèrement plus basse. Donc les écarts sont modifiés, les groupes 3 et 4 sont plus nettement distants et le groupe est plus éloigné du groupe 4 mais légèrement plus proche du groupe 3. Les écart-types conservent eux aussi le même ordre mais le groupe 3 est encore un peu plus homogène alors que les deux autres sont par contre un peu plus dispersés.

Néanmoins ces variations ne sont pas très importantes et on peut dire que les caractéristiques principales de trois groupes ne sont guère modifiées.

Pour les résultats au DS n°2, l'avance du groupe 6 est beaucoup plus nette, puisque la moyenne de ce groupe est supérieure d'au moins un point à celle des autres groupes. Les groupes 3 et 4 sont assez proches mais cette fois-ci, c'est le groupe 4 qui est légèrement en tête. L'ordre des écart-types est lui bouleversé, puisque le groupe 6 est le plus homogène sur le DS n° 2 alors que le groupe 3 est le plus hétérogène, le groupe 4 étant légèrement plus proche sur ce point du groupe 3 que du 6.

Ainsi les caractéristiques des 3 groupes ont assez nettement évolué par rapport au prétest, soit qu'elles se soient accentuées soit au contraire qu'elles aient été inversées.

## IV - Corrélation avec le prétest.

Examinons tout d'abord, si le nouvel échantillon introduit des variations importantes dans la répartition par blocs au prétest. Le tableau qui suit, compare ces résultats pour les deux échantillons :

<table><caption>Tableau de comparaison avec la population du prétest</caption><thead><tr><th></th><th>EFF</th><th>MOY</th><th>EQ1(2)</th><th>EQ3(2)</th><th>EQ3(0)</th><th>Q(2)</th><th>Q(0)</th><th>AN</th><th>AS(2)</th><th>B=0</th><th>B&lt;1</th><th>B&lt;2</th></tr></thead><tbody><tr><td>1er éch</td><td>84</td><td>13,2</td><td>63%</td><td>15%</td><td>17%</td><td>36%</td><td>33%</td><td>75%</td><td>56%</td><td>38%</td><td>63%</td><td>82%</td></tr><tr><td>2ème éch</td><td>46</td><td>13,4</td><td>59%</td><td>17%</td><td>20%</td><td>37%</td><td>33%</td><td>80%</td><td>59%</td><td>46%</td><td>61%</td><td>83%</td></tr></tbody></table>

(les pourcentages sont calculés sur la ligne)

Les données ne diffèrent pas de façon significative. Tout au plus on peut voir une certaine tendance à la hausse dans le nouvel échantillon (surtout pour le pourcentage d'étudiants n'ayant aucun bloc vide) qui peut s'expliquer par une surreprésentation du groupe 6 (qui est le plus "fort") dans le nouvel échantillon comparé à la population du prétest.

Nous donnons maintenant sur le modèle de ce qui a été fait pour le DS n°1 et le partiel, deux versions du tableau des corrélations avec le prétest. L'effectif des étudiants dans la dernière tranche de notes (N≤3), étant très faible, nous avons préféré donner les effectifs dans la ligne correspondante du premier tableau, les pourcentages n'ayant dans ce cas que peu de signification.

<table><caption>Tableau croisé n°1 : prétest/DS n°2</caption><thead><tr><th></th><th>EFF</th><th>MOY</th><th>EQ1(2)</th><th>EQ3(2)</th><th>EQ3(0)</th><th>Q(2)</th><th>Q(0)</th><th>AN</th><th>AS(2)</th><th>B=0</th><th>B&lt;1</th><th>B&lt;2</th><th>B&gt;2</th></tr></thead><tbody><tr><td>TOTAL</td><td>46</td><td>13,4</td><td>59%</td><td>17%</td><td>20%</td><td>37%</td><td>33%</td><td>80%</td><td>59%</td><td>46%</td><td>61%</td><td>83%</td><td>17%</td></tr><tr><td>MOY</td><td>5,74</td><td>6,48</td><td>5,62</td><td>5,89</td><td>6,65</td><td>5,27</td><td>5,62</td><td>6,07</td><td>6,48</td><td>6,07</td><td>5,6</td><td>6,38</td><td></td></tr><tr><td>N≤3</td><td>4</td><td>11</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>3</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>4</td><td>0</td></tr><tr><td>4≤N≤7</td><td>23</td><td>13,6</td><td>39%</td><td>22%</td><td>22%</td><td>35%</td><td>30%</td><td>87%</td><td>61%</td><td>48%</td><td>65%</td><td>83%</td><td>17%</td></tr><tr><td>N≥8</td><td>19</td><td>13,7</td><td>84%</td><td>16%</td><td>21%</td><td>47%</td><td>32%</td><td>74%</td><td>63%</td><td>53%</td><td>63%</td><td>79%</td><td>21%</td></tr></tbody></table>

(Les pourcentages sont calculés sur la ligne)

<table><caption>Tableau croisé n°2 : prétest/DS n°2</caption><thead><tr><th></th><th>EFF</th><th>MOY</th><th>EQ1(2)</th><th>EQ3(2)</th><th>EQ3(0)</th><th>Q(2)</th><th>Q(0)</th><th>AN</th><th>AS(2)</th><th>B=0</th><th>B&lt;1</th><th>B&lt;2</th><th>B&gt;2</th></tr></thead><tbody><tr><td>TOTAL</td><td>46</td><td>13,4</td><td>27</td><td>8</td><td>9</td><td>17</td><td>15</td><td>37</td><td>27</td><td>21</td><td>28</td><td>38</td><td>8</td></tr><tr><td>MOY</td><td>5,74</td><td>6,48</td><td>5,62</td><td>5,89</td><td>6,65</td><td>5,27</td><td>5,62</td><td>6,07</td><td>6,48</td><td>6,07</td><td>5,6</td><td>6,38</td><td></td></tr><tr><td>N≤3</td><td>9%</td><td>11%</td><td>7%</td><td>0%</td><td>0%</td><td>0%</td><td>13%</td><td>8%</td><td>4%</td><td>0%</td><td>4%</td><td>11%</td><td>0%</td></tr><tr><td>4≤N≤7</td><td>50%</td><td>13,6</td><td>33%</td><td>63%</td><td>56%</td><td>47%</td><td>47%</td><td>54%</td><td>52%</td><td>52%</td><td>54%</td><td>50%</td><td>50%</td></tr><tr><td>N≥8</td><td>41%</td><td>13,7</td><td>59%</td><td>38%</td><td>44%</td><td>53%</td><td>40%</td><td>38%</td><td>44%</td><td>48%</td><td>43%</td><td>39%</td><td>50%</td></tr></tbody></table>

(Les pourcentages sont calculés sur la colonne)

Globalement, il semble déjà que la corrélation n'est pas très bonne. Si on regarde les moyennes au prétest, par tranche de notes au DS n°2, on voit que les deux tranches du haut (qui sont les seules vraiment significatives) ont quasiment la même moyenne au prétest, qui est elle-même presque la moyenne générale.

Si on regarde maintenant la moyenne au DS n°2 par bloc du prétest, seuls EQ1(2), Q(2) et B=0 dépassent (et de peu) un écart de 5% par rapport à la moyenne globale. De plus certaines moyennes ont tendance à montrer une corrélation négative comme celle de EQ3(2), EQ3(0) AN ou B>2.

Si on regarde plus dans le détail, les pourcentages ne dessinent pas de tendance générale nette et donnent des résultats contradictoires.

Les blocs les mieux corrélés positivement sont : EQ1 plein, Q plein et B=0.

Ceux qui sont le plus en contradiction avec une corrélation positive sont : EQ3 plein, AN, B≤2 et B>2.

Il n'y a toutefois pas de corrélation négative qui se dessine de façon significative.

De même que nous avons émis quelques réserves plus haut sur la fiabilité de ce que teste ce devoir, les résultats de notre étude de corrélation nous renforcent dans notre prudence. Ce devoir permet-il de bien évaluer des compétences en algèbre linéaire ou même dans un domaine algébrique plus large ? Le nombre important d'abandons et le poids des exercices d'analyse dans le devoir permettent-ils de donner une interprétation valable ?

Ces questionnements nous obligent à la modération. Nous verrons plus loin quelle place donner à ce devoir dans les interprétations globales.
## E - Test "vrai/faux" - 13 mars.

Le contenu de ce "vrai/faux" est inspiré de "algèbre vol.1" collection Léonhard Epistemon rédigé par J-L Ovaert et J-L Verley (151).

Il a été passé en mars, et joue en quelque sorte le rôle de bilan intermédiaire sur les connaissances acquises en algèbre linéaire. Il est à ce titre doublement intéressant pour notre analyse, puisque il nous permettra de repérer et de quantifier des erreurs de débutants en algèbre linéaire et aussi d'estimer la corrélation avec les prérequis en logique et en algèbre (cf prétest).

Dans un premier temps, nous présentons une analyse a priori du test "vrai/faux", en essayant de donner quelques typologies d'erreurs. Nous donnons également, en regard dans cette première partie, question par question, les résultats quantitatifs obtenus, après dépouillement, que nous analysons brièvement. Ensuite nous nous attacherons plus précisément à étudier la corrélation éventuelle entre ces résultats et ceux du prétest de logique.

Deux variantes de ce test ont été distribuées aux étudiants. La première au groupe 3 et la seconde aux groupes 4 et 6. Le lecteur trouvera les deux textes en annexe E-1. Chaque question (sauf la partie C) est en fait, une affirmation dont on demande si elle est vrai ou fausse. Il est explicitement dit dans la consigne, que l'on doit donner une démonstration (pour vrai) ou exhiber un contre-exemple (pour faux). En conséquence nous avons systématiquement compté faux une réponse non justifiée.

Nous avons analysé 58 copies d'étudiants dont nous disposions du prétest, 24 dans le groupe 3, 18 dans le groupe 4 et 16 dans le groupe 6. Nous avons regroupé en annexe E-2, les résultats bruts dans un tableau, qui outre les conventions générales identiques à celles des chapitres précédents, utilise des codes explicités ci-dessous. Le numérotage des questions (A1 à A7, B1 à B4 et C1 et C2) fait référence à la première version du test (celle du groupe3). CA1 désignera un code pour un type d'erreur rencontré à la question A1, et NA1 est une note 0 ou 1 pour cette question. Certaines questions plus complexes ont 2 colonnes de codes, pour certaines de ces questions également, on a été amené à mettre des notes de 0,5.

## I - Analyse a priori - Résultats quantitatifs.

### Question A1.

"Soient x, y, z trois vecteurs de $\mathbb{R}^3$. Si aucun d'entre eux n'est combinaison linéaire des deux autres, la famille $(x,y,z)$ est libre."

Dans la variante, cette question est la A2, elle est identique sauf que x, y et z sont écrits avec des flèches. Nous n'avons pas tenu compte (dans cette question comme dans toutes celles du A) de cette différence typographique, qui, dans ce contexte, ne nous a pas paru déterminante.

C'est une question à la limite de la question de cours. Certaines réponses du genre : "c'est vrai, car c'est la définition d'une famille libre" sont de fait un peu ambiguïes. En effet, ce n'est pas exactement la définition d'une famille libre, mais c'est un critère pratique qui a pu, surtout en TD, être utilisé par les enseignants comme définition. Il est frappant de remarquer, dans ce sens, que ce type de réponses ne se trouve pas dans le groupe 3, alors qu'il y en a 6 dans le groupe 4, et 2 dans le groupe 6. Ainsi ce genre de "parasitage" dépend vraisemblablement de la pratique de chaque groupe. Ce sera un effet de "brouille" dans nos analyses qu'il faudra prendre en compte. Nous avons compté $NA1=0,5$ dans ces cas et dans ces cas seulement.

Si on exclut ces cas, donc au nombre de 8, le taux de réussite à cette question est étonnamment faible : 13 bonnes réponses soit 26% de réussite.

Nous avons distingué essentiellement deux types de réponses erronées ou incomplètes:

- **code REC**, pour les réponses qui démontrent en fait la réciproque, en général par fausse contraposée. Ce sont des démonstrations du genre : "si x est combinaison linéaire de y et z, alors : x-αy-βz=0 donc la famille est liée." Ces réponses pourraient être dûes à des difficultés de logique, on a repéré 11 cas soit 19% des réponses.

- **code EV**, pour les réponses qui se contentent de dire que c'est vrai, au plus en recopiant l'énoncé, sous-entendant que c'est évident. On a également étiqueté sous ce code les réponses décrites plus haut, faisant référence à une définition. Il y a 23 réponses de ce genre, soit 40%. Ce pourcentage est très élevé et rend les interprétations délicates. Il semble difficile de savoir ce que cachent ces "évidences" qui ne sont sûrement pas les mêmes pour tous.

Dans les 13 réponses exactes, nous avons seulement **codé** CA les réponses utilisant la contraposée ou un raisonnement par l'absurde. Elles sont au nombre de 8 (soit 62% des bonnes réponses). Les 5 autres bonnes réponses, sont des démonstrations directes, du genre : " si ax+by+cz=0, alors a=0 sinon $x=(-1/a)(by+cz)$ donc x serait combinaison linéaire de y et z, etc...".

Cette question semble avoir souffert de ce que l'on pourrait appelé le "piège de la fausse question de cours". Il faudra donc être prudent dans nos analyses ultérieures. Si avoir bien répondu, ou avoir essayé de démontrer la réciproque, peuvent être significatifs, les autres réponses, par contre, seront difficilement interprétables.
**Question A2**

"Si les vecteurs x, y, z de $\mathbb{R}^3$ sont deux à deux non colinéaires, la famille $(x,y,z)$ est libre."

C'est la question A1 dans la variante, et elle est identique aux flèches près.

Cette proposition est fausse, un contre-exemple est donné par 3 vecteurs coplanaires, non colinéaires 2 à 2.

C'est une question dans l'ensemble bien réussie : 45 bonnes réponses soit 78% de réussite.

Comme précédemment on a relevé dans les réponses erronées les démonstrations de réciproques (REC) -bien moins nombreuses (5 cas)-, tous déjà dans le type REC pour la question précédente, et les réponses sans justification (EV) (seulement 4).

Pour les bonnes réponses, nous avons distingué les contre-exemples explicites (CEX), que ce soit un dessin ou trois vecteurs donnés avec leurs coordonnées ou en fonction d'une base... et les contre-exemples généraux (CEG) du genre : $x=\alpha y+\beta z$. On a recensé 31 contre-exemples explicites contre 14 généraux. Un contre-exemple "général" donne l'impression (à l'étudiant) d'avoir mieux cerné toute la question. A la limite pour certains étudiants un contre-exemple, s'il n'est pas général n'est pas vraiment probant. Pourtant, d'un point de vue logique, il n'apporte rien de mieux qu'un contre-exemple explicite qui suffit à prouver la fausseté d'une proposition. Dans une certaine mesure un contre-exemple général est une moins bonne réponse, car on y perd en clarté, d'autant que, comme dans le cas présent, on oublie souvent des conditions qui font que ce n'est pas toujours un contre-exemple (ici si $\alpha$ ou $\beta=0$).

Les résultats à cette question semblent attester d'une bonne perception de la notion de dépendance dans $\mathbb{R}^3$.

**Questions A3**

"Soit P un plan de $\mathbb{R}^3$ et D une droite de $\mathbb{R}^3$ non contenue dans P. Alors $\mathbb{R}^3=\text{PUD}$."

Cette fois les deux versions diffèrent beaucoup plus. Dans la deuxième version l'équivalent est la question A4 qui est à la négative et avec deux plans : "soient $P_1$ et $P_2$ deux plans de $\mathbb{R}^3$. Alors $\mathbb{R}^3=P_1 \cup P_2$."

Il semble assez évident que si la version affirmative va induire une confusion avec la somme, par contre la forme négative incite beaucoup plus à la méfiance. Dans la colonne CA3 nous avons mis le code `SQM`, chaque fois que cette confusion était indéniable. Ce sont des réponses du genre : "$D \cap P=\{0\}$ et $dim(P)+dim(D)=3$ donc $\mathbb{R}^3=\text{PUD}$" ou pour la deuxième version : "c'est faux car $dim(P_1)+dim(P_2)=4$".

Les remarques précédentes se constatent dans les faits, puisque le taux de réussite est de 13% dans le groupe 3 alors qu'il est

respectivement de 61% et 38% dans les groupes 4 et 6, pour un taux global de 34%. De plus, on dénombre 14 confusions nettes avec la somme dans le groupe 3, contre 2 dans chacun des deux autres groupes (pour des effectifs respectifs de 24, 18 et 16).

Globalement, on peut dire qu'il y a un problème de confusion entre somme et union ; toutefois les différences de résultats entre les deux versions laissent supposer qu'il est pour une grande part, au moins superficiellement gérable. La question A5 laisserait par contre supposer qu'en profondeur, la difficulté est plus tenace.

**Question A4**

"Soient $D_1, D_2$ et $D_3$ trois droites de $\mathbb{R}^3$ distinctes deux à deux. Alors $\mathbb{R}^3=D_1 \oplus D_2 \oplus D_3$."

L'équivalent dans la deuxième version est la question A3 qui est quasiment identique, si ce n'est qu'on a écrit explicitement :" $\mathbb{R}^3$ est somme directe de $D_1, D_2$ et $D_3$". Donc la différence est, semble-t-il, peu déterminante.

Cette proposition est bien sûr fausse, il suffit de prendre 3 droites dans un même plan. C'est en fait le même argument que la question A2, mais très peu d'étudiants s'en sont rendu compte.

Le taux de réussite à cette question est de 40% avec de gros écarts selon les groupes, 13% pour le groupe 3, 72% pour le 4 et 44% pour le 6. Nous ne voyons pas d'autres raisons plausible à ces écarts que des effets extérieurs au test, venant de la spécificité de chaque enseignement dans les différents groupes.

Nous avons distingué les trois types d'erreur suivants :

Nous avons codé `LIB` les réponses du type :" c'est vrai car trois vecteurs directeurs de chacune des droites, étant non colinéaires deux à deux, forment une base de $\mathbb{R}^3$." C'est en fait le même type d'erreur qu'en A2, par contre le concept de somme directe de trois ensembles semble être compris. Il y a 7 de ces cas soit 12%. En fait cette erreur n'est pas très corrélatée à la question A2 puisque 4 étudiants sur les 7 avaient répondu correctement à A2 !

Code DIM, pour l'utilisation d'un faux théorème de dimension ; ce sont des raisonnements du genre : "$dim(D_1)=dim(D_2)=dim(D_3)=1$ donc $dim(D_1) + dim(D_2) + dim(D_3)=3$ donc c'est vrai". Parfois il est même clairement dit que $dim(D_1+D_2+D_3) = dim(D_1) + dim(D_2) + dim(D_3)=3$. Il y a 6 soit 10% de ces cas.

Code ABU, pour l'utilisation d'une généralisation abusive de la condition $D_1 \cap D_2=\{0\}$ à trois droites en : $D_1 \cap D_2 \cap D_3=\{0\}$ ou $D_1 \cap D_2=\{0\}$ $D_1 \cap D_3=\{0\}$ et $D_2 \cap D_3=\{0\}$. Il y a 17 soit 29% de ces cas. Il apparaît ici
que le passage d'une somme directe de deux à trois ensembles semble être conceptuellement mal compris.

On peut supposer que, dans ces deux derniers cas, le concept de somme directe est resté au niveau mécanique d'une vérification formelle et n'a pas (encore) de réelle signification pour l'étudiant. Cela représente 39% des réponses et 66% des mauvaises.

On a, par ailleurs, relevé des réponses exactes ou fausses mais avec de mauvaises justifications du genre : "c'est faux parce que les droites peuvent avoir une intersection vide", ou "...réduite à un autre point que 0" ou bien faisant référence au parallélisme des droites. Ce genre de parasitage avec la structure affine se rencontre également, mais dans une moindre mesure, à la question précédente. On a regroupé dans la colonne CA sous le code AFF, ce type de réponses aux questions A3 ou A4. Celui-ci peut bien sûr se superposer aux codes précédents. On dénombre ainsi 21 cas de confusion affine/vectoriel soit 36% des réponses. Donc pour un peu plus du tiers des étudiants, il semble qu'il y ait un mauvais transfert de la géométrie à l'algèbre linéaire, parce qu'ils distinguent mal les concepts vectoriels dans la structure affine.

### Question A5

"Soit $(e_1,e_2,e_3)$ une base de $\mathbb{R}^3$, et soit D la droite engendrée par $e_1$. Alors tout sous-espace vectoriel supplémentaire de D contient $e_2$ et $e_3$."

Dans la deuxième version, on a remplacé D par le plan engendré par $e_1$ et $e_2$ et on dit qu'un supplémentaire contient toujours $e_3$. Les deux versions n'ont donc guère de différences significatives.

C'est faux et un contre exemple est donné par le plan engendré par $e_1+e_2$ et $e_3$ par exemple.

Le taux de réussite est de 22%. Pour beaucoup, ce résultat est juste et c'est une quasi-évidence. Les justifications sont très peu consistantes et ne font souvent que réécrire l'énoncé. Ce sentiment d'évidence peut s'expliquer par l'existence d'une confusion plus ou moins consciente au niveau des représentations entre la somme et l'union et donc entre le supplémentaire et le complémentaire. Ainsi face à une question d'abord difficile, portant sur la somme, un étudiant répondrait par intuition, d'après une fausse conception attachée à la notion de complémentaire et non de supplémentaire, même si à un niveau simple il peut consciemment faire la différence (cf question A4).

Dans ces conditions, néanmoins, il est difficile de faire une typologie d'erreurs sans risquer de "tordre" les interprétations. Nous avons donc préféré nous contenter de la note binaire.

### Question A6

"Les fonctions $1, x->shx, x->chx, x->sh^2x, x->ch^2x$ sont linéairement indépendantes dans l'espace vectoriel des fonctions réelles."

Dans la deuxième version les fonctions hyperboliques ont été remplacées par les fonctions trigonométriques. Il se peut que la plus grande familiarité des fonctions trigonométriques ait rendu cette deuxième version plus simple.

La proposition est fausse puisque $ch^2x - sh^2x = 1$. Il est vrai que la relation $cos^2x + sin^2x = 1$ est plus familière aux étudiants.

Le taux de réussite global est de 71% avec des taux respectifs de 70%, 78% et 67% pour chaque groupe 3, 4 et 6. Tout d'abord on peut dire que c'est une question bien réussie, ensuite que notre hypothèse sur la plus grande familiarité des fonctions trigonométriques n'est pas vérifiée, et enfin que les trois groupes sont assez homogènes.

Les échecs sont soit des non réponses, soit des conclusions hâtives du genre "si a=b(shx)+c(chx)+d(sh^2x)+e(ch^2x)=0" alors $a=b=c=d=e=0$ sans justification. Il y a 2 cas d'oubli de la fonction 1, ce qui rend le résultat exact.

Cette fois encore nous n'avons pas fait de typologie d'erreurs, à cause du peu de réponses fausses.

### Question A7

"On définit les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ par $u_n=\sin(n\pi/2)$ et $v_n=\cos(n\pi/2)$.

Le sous-espace vectoriel engendré par $(u_n)$ et $(v_n)$ dans l'espace vectoriel des suites réelles est de dimension 2."

Dans la variante on a remplacé $v_n$ par $(-1)^n$. Sans changer fondamentalement la preuve, ce changement la rend un peu plus complexe. En effet dans le premier cas, si on suppose $a(u_n)+b(v_n)=0$ en regardant $n=0$ et $n=1$ on a directement $a=b=0$ ; par contre dans le deuxième cas on obtient facilement $b=0$ avec $n=0$, mais il y a un peu plus de travail pour avoir $a=0$. Toutefois cette différence ne devrait pas avoir d'effet très significatif.

Donc la proposition est vraie. Pour le démontrer, il suffit de dire que le problème revient à l'indépendance des deux suites puis de la prouver.

Le taux de réussite à cette question est très faible : 18%. Or une seule copie montre un signe de difficulté à interpréter le résultat en terme de famille libre (codée INT). Aussi, vu le succès de la question précédente, on peut avancer deux hypothèses pour interpréter cet échec. D'abord il semble souvent plus difficile de montrer qu'une famille est liée que de montrer qu'elle est libre. Ensuite les suites sont difficiles à manier en tant qu'objets algébriques (même plus que les fonctions) (cf thèse d'A.Robert).

Nous avons répertorié 4 types d'erreurs, mais encore beaucoup échappent à notre grille et il y a 19 non réponses, soit 33%.
**Code GEN**, pour ceux qui reconnaissent une relation de liaison sur quelques valeurs seulement et que l'on généralise (4 cas).

**Code IND**, pour ceux qui traitent les valeurs de n indépendamment les unes des autres. Par exemple : "pour n pair, on peut prendre a non nul et pour n impair, on peut prendre b non nul donc c'est lié" (Un seul cas).

**Code DER**, pour les dérapages au niveau du sens. Ce sont des justifications du genre : " $u_n=(0,1,0,-1,0,1,0...)$ et $v_n=(1,0,1,0,1,0,0...)$ donc (1,0) est une base de l'espace vectoriel engendré par les deux suites." Il y a 11 cas semblables soit 19% des réponses et 28% des réponses effectives ou encore 38% des réponses fausses effectives. Dans ce cas, la difficulté vient apparemment de la complexité des suites comme objet algébrique ; ce qui rend impossible le contrôle du sens des concepts d'algèbre linéaire dans ce cadre.

Il semble bien donc que les résultats à cette question, a priori simple, au niveau des concepts d'algèbre linéaire, attestent de la difficulté conceptuelle que l'on ajoute en travaillant dans un espace de suites numériques.

### Questions B1 et B2

B1-"Si $(e_1,e_2,e_3)$ est une base de $\mathbb{R}^3$, alors $(u(e_1), u(e_2), u(e_3))$ aussi."

B2-"Si $(u(e_1), u(e_2))$ est une famille libre, alors, $(e_1,e_2)$ aussi."

Dans la deuxième version la question B1 est identique aux flèches près à la question B2 ci-dessus. Par contre, au lieu de la question B1 ci-dessus, il y a deux questions, une sur la conservation de la liberté (pour une famille de 2 éléments, question B3) et une sur la conservation du caractère générateur (pour une famille de 4 éléments, question B2). Nous avons traité globalement ces deux questions comme la B1 de la première version. En fait nous n'avons pas tenu compte de la confusion fréquente, dans B2, entre famille génératrice de $Im(u)$ et famille génératrice de $\mathbb{R}^3$, car il n'y avait aucun moyen de tester cela dans la première version. De fait, la question B3 de la deuxième version a pratiquement joué à elle seule le rôle de la question B1 de la première version.

Donc B1 est fausse, il suffit de prendre $u=0$ ou toute application non bijective. B2 est par contre exacte.

Le taux global de réussite est de 47% pour B1 et de seulement 6% pour B2. De plus il y a de gros écarts entre les groupes surtout pour B1 puisque les taux sont respectivement de 67%, 44% et 19% pour les groupes 3, 4 et 6. L'avance du groupe 3 pourrait venir de la différence entre les deux versions, mais rien d'interne au test n'explique l'écart entre les groupes 4 et 6.

Il y a une quasi réciprocité entre les deux propositions, c'est pourquoi nous avons traité les erreurs à ces deux questions globalement.

Nous avons codé REC (dans la colonne CB1) quand, dans l'une (au moins) des deux démonstrations, on démontre ou on essaie de démonter la réciproque de la proposition ; par exemple si pour démontrer B1 on écrit : " si $\alpha e_1+\beta e_2=0$ alors $u(\alpha e_1+\beta e_2)=0$ donc $\alpha u(e_1)+\beta u(e_2)=0$ donc, comme $(e_1,e_2)$ est libre, $\alpha=\beta=0$". En fait ce n'est pas toujours aussi clair, disons que l'on repère surtout ici les cas où la démonstration est abusive ou n'aboutit pas parce que hypothèse et conclusion ne sont pas clairement distinguées l'une de l'autre. Ce cas se présente 34 fois, soit dans 59% des réponses.

Ce type d'erreur fort répandu semble être lié à une difficulté logique intrinsèque à la définition de l'indépendance linéaire. Il semble que la formulation avec quantification et implication de cette définition, la rende peu maniable dans un raisonnement, surtout formel.

Un autre type d'erreur assez fréquent, vient de l'existence chez certains étudiants, d'un modèle implicite ou explicite de bijectivité systématique des applications linéaires. Certains étudiants écrivent en toutes lettres : "u étant linéaire, u est bijective" on trouve encore : "$u(x)=0$ donc $x=0$, (car u est linéaire)". Les deux propositions précédentes deviennent alors vraies, et la difficulté de la démonstration est court-circuitée. Pourtant ce type d'erreur, se superpose quasi systématiquement avec le précédent (sauf dans un cas). Cette erreur codée B11 (dans la colonne CB2) se trouve dans 16 copies, soit dans une proportion de 28%. Ce pourcentage peut sembler a priori relativement élevé, pour une erreur assez grossière. Dans quelques cas on peut déceler dans le discours, une interférence avec le théorème du rang qui dit qu'une application linéaire seulement injective ou surjective est bijective, du genre : " car toute application linéaire est injective donc bijective". Comme si ce résultat déjà fort, induisait par contagion la bijectivité systématique. Dans d'autres cas, on peut se demander si le modèle bijectif implicite ne s'étend pas à toutes les applications. Le cas le plus édifiant est une réponse où les "u" sont rayés comme dans un simplification de produit, dans l'expression $\alpha u(e_1)+\beta u(e_2)=u(0)$, pour obtenir $\alpha e_1+\beta e_2=0$.

Ces deux questions représentent donc des difficultés à plusieurs niveaux. La relative meilleure réussite à la première peut s'expliquer par deux raisons. D'abord c'est une question plus classique que sa réciproque, elle a donc pu faire l'objet d'une remarque de la part d'un enseignant. Par ailleurs, étant fausse, elle possède un contre-exemple (le plus simple étant $u=0$), ce qui évite l'écueil de la démonstration formelle inévitable pour répondre correctement à la deuxième question.
### Question B3

"Si $(e_1,e_2,e_3)$ est une base de $\mathbb{R}^3$, et si $(u(e_1), u(e_2))$ est une base de $\text{Im}(u)$, alors $e_3$ appartient à $\text{Ker}(u)$."

Dans la deuxième version la conclusion, "e₃ appartient à Ker(u)", est remplacé par "$(e_1,e_2)$ est une base d'un supplémentaire de Ker(u)$", avec les mêmes hypothèses.

Dans les deux versions, on est proche du théorème du rang, qui dit que $\dim(Ker(u)) + \dim(\text{Im}(u)) = \dim(E)$, et que tout supplémentaire du noyau est isomorphe à l'image, donc que toute base d'un supplémentaire du noyau donne une base de l'image. Les deux versions sont des réciproques de ce résultat. La première version est un peu plus complexe, puisqu'elle superpose au problème précédent, la confusion supplémentaire/ complémentaire déjà testée en A5. De fait la proposition est fausse, et un contre-exemple est assez simple à trouver, par exemple $u(e_1)=e_1$, $u(e_2)=e_2$ et $u(e_3)=e_2$.

A part deux, tous les étudiants du groupe 3 ont essayé de répondre à cette question, et seulement trois ont trouvé un bon contre-exemple. Les autres ont donné des résultats soit avec peu de démonstration, soit peu cohérents. Ceci rend l'analyse des erreurs difficile.

La deuxième version est un résultat exact, si on interprète le "un" de la conclusion de façon existentielle, c'est-à-dire comme voulant dire que $\text{vec}(e_1,e_2)$ est un supplémentaire de $\text{Ker}(u)$ et non que $\text{Ker}(u)$ supplémentaire de $\text{Ker}(u)$ est ainsi.

Alors, il faut voir que $(u(e_1), u(e_2))$ étant une base de $\text{Im}(u)$, aucun vecteur autre que 0 de la forme $ae_1+be_2$ ne peut être dans le noyau de $u$, donc que $\text{Ker}(u) \cap \text{vec}(e_1,e_2) = \{0\}$, et comme d'après le théorème du rang $\text{dim}(\text{Ker}(u))=1$, ils sont donc supplémentaires.

Si on donne au "un" une valeur universelle, la proposition est fausse, et le contre-exemple ci-dessus convient.

Apparemment, les étudiants, ayant répondu, ont interprété le "un" comme un existentiel.

La démonstration est alors assez délicate et demande une bonne maîtrise de plusieurs concepts qui s'enchassent. L'énoncé même de la proposition est déjà compliqué, et fait appel à beaucoup de notions non encore entièrement assimilées par un débutant.

En fait, seulement 4 étudiants des groupes 4 et 6 ont abordé cette question, dont deux se sont contentés de dire qu'elle était fausse sans justifier. Et aucun ne l'a résolu.

Il semble que cette question, dans les deux versions, soit, pour la population testée au moment du test, d'un niveau de compréhension trop élevé pour que l'on puisse tirer des conclusions intéressantes sur l'utilisation du théorème du rang.

### Question B4

"$v=0$ si et seulement si $\text{Im}(u)=\text{Ker}(v)$."

Cette question est identique dans les deux versions.

La proposition est fausse, on a en effet en général seulement l'inclusion de l'image de $u$ dans le noyau de $v$. Un contre-exemple simple est donné par $u=v=0$. Ici encore, il était facile de répondre si on cherchait un contre-exemple, par contre la question pouvait avoir un abord plus complexe si on cherchait à faire une démonstration. On a dénombré 17 non réponses soit un taux de 29%.

On a relevé une seule réponse entièrement satisfaisante avec un contre-exemple et 3 réponses douteuses (codées DOUT) du genre : "$v=0$ $v=0$ on a a seulement $\text{Ker}(v) \subset \text{Im}(u)$", accréditées de NB4=0,5. Parmi les réponses inexactes ou insuffisamment justifiées, nous avons distingué trois types :

- **Code ABU**, pour les réponses où, après avoir démontré l'inclusion, on prétend avoir démontré l'égalité. Il y a 10 de ces cas soit 24% des réponses effectives. Il est difficile de faire ici, la part entre la "malhonnêteté" et la réelle méprise entre l'inclusion et l'égalité.

- **Code RES**, pour les réponses restrictives où, après avoir démontré l'inclusion, on conclut qu'il n'y a pas égalité. Cela arrive 12 fois, soit dans 29% des réponses effectives. Ce comportement met en évidence un manque de nécessité par rapport au contre-exemple. L'impossibilité à démontrer la deuxième inclusion suffit à conclure. La démonstration d'un résultat partiel, par ailleurs inutile pour répondre stricto senso à la question, semble donner satisfaction aux étudiants, par rapport à la consigne de justification des réponses, alors que l'essentiel de cette justification est délaissé.

- **Code INC**, pour les réponses où l'inclusion est démontrée en tant que telle, et la conclusion à la question, laissée en suspens. Il y a 4 de ces cas soit 10% des réponses effectives.

Pour ces deux derniers types d'erreurs (RES et INC), on a attribué une note NB4. de 0,5, quand la démonstration de l'inclusion était exacte. Finalement, avec les trois réponses douteuses, on arrive à 18 notes de 0,5, donc environ un tiers des étudiants ont 0,5 ou 1 à cette question.

### Question C1

"Soient $a, b$ et $c$ trois réels distincts deux à deux. Montrer que les polynômes $(X-a)(X-b)$, $(X-a)(X-c)$ et $(X-b)(X-c)$ forment une base $B$ de $\mathbb{R}^2[X]$."

Dans la deuxième version on a pris les polynômes $(X-a)^2$, $(X-a)(X-b)$ et $(X-b)^2$.

Dans les deux cas la consigne est de démontrer, il n'y a donc pas de doute sur la réponse. Pour ce faire, on peut démontrer que la famille est libre puis généatrice, mais comme on connaît ici la dimension de $\mathbb{R}^2[X]$, il suffit de montrer l'un des deux. En l'occurence, comme souvent
d'ailleurs, il est ici plus simple de montrer l'indépendance que le côté générateur.

D'autre part pour montrer l'indépendance, il y a essentiellement deux méthodes. Après avoir écrit qu'une combinaison linéaire des trois polynômes est nulle, on peut soit tout redévelopper et réorganiser sur la base $(1,X,X^2)$, ce qui conduit à un système $3 \times 3$, soit on peut remplacer $X$ par des valeurs (judicieusement choisies) pour avoir des relations plus simples.

Dans le cas présent la première méthode aboutit à un système techniquement lourd à résoudre, à cause des valeurs arbitraires de $a, b$ et $c$. Il semble un peu plus simple dans la deuxième version. Donner des valeurs est dans ce cas plus astucieux, surtout dans la première version.

Dans la colonne **CC1** nous avons mis :

- Le code SYS, pour les étudiants ayant utilisé la première technique et ayant échoué, soit par abandon soit qu'ils concluent sans avoir presque fait de calcul que le système ne donne que la solution (0,0,0). Ceux-là représentent 13 cas, soit 22% du total. Le seul cas où cette méthode a abouti est codé S*.

- Le code VAL, pour ceux ayant utilisé, avec succès, la substitution de valeurs dans la combinaison linéaire. Il y a 17 cas soit 29%. On n'a pas relevé de cas où cette méthode ait abouti à un échec.

- Le code DIV, pour ceux qui dans la deuxième version, divisent par $(X-a)^2$. Il y a 3 tels cas et aucun ne donne un argument convaincant pour conclure.

Nous avons fait compté pour 0,5 cette démonstration de la liberté dans la note NC1.

Dans la colonne **CC2**, nous avons mis :

- Le code DIM, quand il est explicitement fait allusion au théorème de la dimension, ou aux familles libres maximales pour, après avoir montré la liberté, dire que la famille est une base. C'est le cas de 25 copies soit 43%.

- Le code GEN, quand on essaie de montrer que la famille est génératrice. Personne n'arrive à montrer correctement ce résultat. L'argumentation est le plus souvent inconsistante, nous avons relevé avec un code spécial, RGN, ceux qui montrent une sorte de réciproque évidente du caractère générateur -c'est-à-dire du genre, une combinaison linéaire des trois polynômes est un élément de $\mathbb{R}^2[X]$ donc la famille est génératrice-. Ce genre de démonstration est assez fréquent au tout début de l'algèbre linéaire, mais c'est une erreur qui semble s'estomper rapidement chez la plupart. On a relevé 11 GEN et 4 RGN, soit au total 26% des étudiants.

Comme précédemment nous avons compté 0,5 dans la note NC1 pour ceux ayant utilisé le théorème de la dimension.

Globalement, cette question est assez bien réussie. (si on ne tient pas compte des non réponses, la moyenne est de 0,46 sur 1). On peut supposer que le choix de la bonne technique pour la démonstration de la liberté est du domaine de la pratique, donc peu significatif en début d'apprentissage. La "triche" dans la résolution du système, quand on a décomposé sur la base $(1,X,X^2)$, peut s'expliquer par la nécessité, liée à diverses contraintes extérieures, de donner une réponse. Enfin la simplification apportée par le théorème de la dimension semble être adoptée par presque la moitié des étudiants.

### Question C2

"Ecrire la matrice de l'application dérivée D: $P=\mathbb{R}^2[X] \rightarrow P'=\mathbb{R}^1[X]$ relative aux bases $B=\mathbb{R}^2[X]$ et $(1,X)$ de $\mathbb{R}^1[X]$."

Cette question est identique dans les deux versions.

Etant la dernière question du test, elle bénéficie d'un taux d'abstention assez élevé, 38%. Par contre sur les réponses effectives le taux de réussite est de 89%.

Il y a un cas d'erreur de calcul (CAL) dans les dérivées, que l'on n'a pas pénalisée au niveau de la note NC2, deux cas d'erreurs de format (FOR) où la matrice est donnée avec $\mathbb{R}^3[X]$ à l'arrivée et enfin deux cas où la matrice est donnée relativement à la base canonique de $\mathbb{R}^3[X]$ au départ, au lieu de $B$ (CAN3).

Les résultats à cette question semblent donc indiquer une assez bonne maîtrise de l'écriture matricielle d'un endomorphisme, au moins dans la cas simple où c'est la tâche principale et que les bases sont identiques.

## II- Attribution d'une note :

A cause des deux versions, mettre une note valable pour tout les groupes est délicat, surtout pour les questions A3 et B3.

De plus, on a vu que pour certaines questions des différences très nettes se dessinent entre les groupes. C'est notamment le cas des questions A4 et B1.

Pour la question A4, les taux de réussite sont respectivement pour les groupes 3, 4 et 6 de 13%, 72% et 44%, alors qu'il n'y a qu'une non-réponse. Etant donné le caractère très spécifique de la question, et la diversité d'origine des erreurs, il est très délicat d'interpréter ce résultat. Il est possible que ce ne soit en fait qu'une différence "culturelle" passagère. Peut-être qu'au moment du test, le groupe 3 avait très peu entendu parler de la somme de trois ensembles...

Pour la question B1 les taux de réussite sont de 67%, 47% et 20%, alors que là aussi il n'y a que 2 abandons. L'écart est moins important et dans un ordre différent. La question touche aussi à des points plus
fondamentaux, donc où les connaissances devraient être plus homogènes. Peut-être ici est-ce le facteur temps qui a fait la différence. Si les abandons à cette question sont très peu nombreux, on remarque que, déjà aux questions A5 et A7, et dans la suite, le groupe 6, et dans une moindre mesure le groupe 4, ont des taux de non réponses élevés, alors que dans le groupe 3 ce taux se maintient plus bas jusqu'à la fin. On mesure aussi cela à la densité des réponses, dans les groupes 4 et 6 les justifications deviennent de plus en plus courtes, voire inexistantes. Ce phénomène, sûrement lié aux conditions de passage du test, explique peut-être en partie les écarts importants relevés à cette question.

Compte tenu de ce que nous venons de remarquer, nous avons donné une note globale au test, en supprimant les questions A3, B2 et A4. Nous avons gardé B1 malgré nos doutes, car nous pensons qu'elle touche un point fondamental. Comme il est difficile de juger "objectivement" de l'importance relative des autres questions entre elles, nous avons tout simplement additionné les notes NA1, NA2, NA5, NA6, NA7, NB1, NB2, NB4, NC1 et NC2, nous obtenons ainsi une note N sur 10 au test "vrai/faux".

On obtient ainsi une moyenne globale de 3,68 avec un écart-type de 1,57.

Le graphique qui suit donne la répartition de ces notes, en distinguant la part de chaque groupe :

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>HISTOGRAMME DES NOTES AU "VRAI/FAUX"
REPARTITION PAR GROUPES</figcaption></figure>

Globalement, la moyenne au test est faible et les notes assez peu dispersées. Ceci s'explique par la présence de questions très majoritairement raîtes (A5, A7, B2, B3 et B4). Les notes s'échelonnent en fait de 1 à 7.

Nous avons distingué les trois tranches de notes suivantes :

- N<3 : 18 étudiants.

- 3≤N<5 : 24 étudiants.

- N≥5 : 16 étudiants.

Ces trois tranches semblent rendre assez bien compte des différents niveaux de réussite à ce test.

### III - Comparaison par groupe

Nous avons, dans le paragraphe précédent, déjà donné des éléments de comparaison des 3 groupes.

Avec le nouvel échantillon de 58 étudiants, on obtient pour le prétest une moyenne de 13,33 et un écart-type de 3,05, ce qui est très voisin des résultats obtenus avec la population de départ.

Le tableau qui suit nous donne pour le nouvel échantillon la moyenne et l'écart-type de chaque groupe au prétest et à ce test "vrai/faux" ainsi que la répartition par tranche de notes au "vrai/faux" :

<table><thead><tr><th rowspan="2">N° GR</th><th colspan="3">PRETEST</th><th colspan="3">TEST "VRAI/FAUX"</th></tr><tr><th>EFF</th><th>MOY</th><th>ECAR</th><th>MOY</th><th>ECAR</th><th>N<3</th><th>3≤N<5</th><th>N≥5</th></tr></thead><tbody><tr><td>3</td><td>24</td><td>13,21</td><td>2,65</td><td>3,85</td><td>1,57</td><td>7</td><td>9</td><td>8</td></tr><tr><td>4</td><td>18</td><td>12,39</td><td>3,2</td><td>3,33</td><td>1,48</td><td>8</td><td>6</td><td>4</td></tr><tr><td>6</td><td>16</td><td>14,56</td><td>3,2</td><td>3,81</td><td>1,29</td><td>3</td><td>9</td><td>4</td></tr></tbody></table>

On voit qu'avec le nouvel échantillon, les données ne sont que très peu modifiées et on retrouve pour chaque groupe les caractéristiques exposés au chapitre A. Ceci confirme encore une fois l'hypothèse de conservation des données avec un échantillon réduit, ici d'un tiers.

Qu'en est-il de ces grandes lignes de distinction pour le "vrai/faux" ?

Le seul point qui se confirme, c'est la faiblesse du groupe 4, qui se retrouve encore dernier pour la moyenne.

Par contre le groupe 3 a rattrappé et même très légèrement devancé le groupe 6. Ceci est à nuancer, à cause de nos réserves par rapport à la question B1. Toutefois il semble que l'écart entre les deux groupes même s'il ne s'est pas inversé, a au moins sensiblement diminué.

Par ailleurs ce même groupe 3, fort homogène sur le prétest est celui qui a maintenant l'écart-type le plus élevé (d'assez loin).

L'évolution semble donc avoir favorisé le groupe le plus homogène ; tout en cassant peut-être cette homogénéité, puisque le groupe 3 se retrouve avec l'écart-type le plus élevé au "vrai/faux".

Le groupe 6 se maintient à un bon niveau, mais son évolution globale est relativement moins importante. Alors que le groupe 4 n'ayant, au départ aucun facteur positif, est resté, relativement, au niveau le plus faible.

Apparemment, les deux facteurs, que sont un bon score et une homogénéité de niveau au prétest, ont joué favorablement dans le score au "vrai/faux", le deuxième facteur ayant un poids plus important.

Ces conclusions sont bien sûr à nuancer, puisqu'elles ne tiennent pas compte de facteurs extérieurs incontrôlables.
## IV - Les corrélations prétest-"vrai/faux".

La question de la corrélation est délicate, surtout sur une population aussi faible. Aussi n'essaierons-nous pas d'obtenir des résultats spectaculaires et tranchés. Nous voulons simplement essayer sur une analyse précise, avec des paramètres spécifiques, de voir si certaines hypothèses sur la corrélation entre prérequis de logique et algèbre linéaire se vérifient dans les faits.

Les questions de ce test étant indépendantes et ayant chacune une importance en soi, nous avons utilisé une méthodologie différente, de ce qui a été fait pour les devoirs et le partiel, pour étudier les corrélations.

### Méthodologie

Nous avons construit un tableau de corrélation entre les deux tests (cf annexe E-3).

Chaque ligne du tableau, correspond aux étudiants ayant obtenu une certaine note ou ayant fait un certain type d'erreur à une question du "vrai/faux", c'est-à-dire correspondant à un certain Caractère relatif au "vrai/faux".

En général, nous avons seulement gardé "avoir la note 1" ( voire 0,5) car la typologie d'erreur est plus fine que "avoir 0".

Dans les colonnes, nous donnons dans l'ordre, l'effectif de la population correspondant au critère de la ligne, son pourcentage calculé sur les 58 étudiants testés, la moyenne et l'écart-type des notes au prétest, le nombre et le pourcentage (sur l'effectif précédent) d'étudiants ayant les blocs EQ1, EQ3 plein et vide, Q plein et vide, AN et AS et enfin la répartition en nombre de blocs vides (B=0 etc...).

### Remarques...

Pour B=4 et 6 nous n'avons pas donné de pourcentages, puisqu'il n'y a qu'un cas chaque fois. Aucun étudiant n'a obtenu 5 blocs vides.

Dans la première ligne (global), nous donnons ces résultats pour la population total des 58 étudiants. Et dans la dernière ligne (moy), nous donnons la moyenne au "vrai/faux" en fonction des blocs du prétest.

Pour faciliter la lecture, nous avons donné dans la même annexe E-3, un tableau simplifié. Nous y avons supprimé l'écart-type qui nous semblait une donnée difficilement exploitable, à cause des effectifs réduits. Nous avons donné seulement les pourcentages ; l'effectif de la ligne, sur lequel ces pourcentages sont calculés, est rappelé dans la colonne "EFF". Nous avons ensuite réorganisé les lignes en plaçant en tête les critères "positifs", la limite se trouve aux lignes CA4=LIB et NC1=0,5, qui ne sont des critères ni entièrement positifs ni vraiment négatifs.

De plus, nous avons remplacé les colonnes B=1 et B=2, par respectivement B≤1 et B≤2. Nous avons conservé les résultats à B=4 et B=6 tels quels, vu qu'un pourcentage, ne veut pas dire grand chose sur

une personne. Nous avons également conservé B=3, 4 et 6 tels quels, à titre indicatif, ces trois dernières colonnes sont le complémentaire de B≤2, et ne sont qu'un raffinement pas toujours très significatif, étant donné que seulement 2 étudiants ont eu plus de trois blocs vides.

### Mode de lecture...

Ainsi, pour un critère positif au "vrai/faux", par exemple NA1=1, On pourra se faire une idée de la corrélation avec les prérequis de logique en comparant les pourcentages avec ceux de la population totale (ligne "global"). Si il y a une bonne corrélation, les pourcentages de gens ayant les blocs EQ1 EQ3, Q, AN et AS devraient être plus élevés, alors que ceux des gens ayant eu les blocs EQ3 et Q vides devraient être plus faibles, de même la moyenne des notes au prétest devrait être plus élevée et la progression des effectifs dans les blocs vides plus rapide. Pour un critère "négatif", par exemple NA2=0, ces données sont bien sûr à inverser.

Pour aider à la lecture du tableau, nous avons mis en gras, les pourcentages ou les moyennes contradictoires avec une bonne corrélation et en italique ceux qui sont neutre, c'est-à-dire qui pour un critère donné, ont un pourcentage quasi-identique (avec une marge d'environ 8%) à celui de la population globale.

On peut ainsi lire ces informations selon deux directions.

Sur les lignes, on mesure le poids des prérequis de logique sur la réussite à une question, ou sur un certain type d'erreur.

Sur les colonnes, on mesure le poids d'un prérequis donné sur l'ensemble du test "vrai/faux".

### Interprétation des résultats

Les tentatives d'interprétation qui vont suivre n'ont qu'un caractère indicatif, elles ne portent que sur notre analyse avec des effectifs réduits.

### Analyse globale

Nous avons calculé le coefficient de corrélation linéaire entre les deux échantillons de notes on trouve r=0,30.

r est positif donc la tendance est vers une corrélation positive, c'est-à-dire que globalement, de bons résultats de logique, sembleraient avoir une influence bénéfique sur les résultats au "vrai/faux". Pourtant ce coefficient r est éloigné de 1, donc cette corrélation est faible. Ce renseignement est un peu limité, nous allons essayé d'affiner.

Si on s'intéresse à la répartition des notes au "vrai/faux" en fonction des blocs de logique et d'algèbre, on obtient des données plus détaillées, qui sont figurées dans le graphes suivant.
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Moyenne au "vrai/faux" en fonction des résultats au prétest de logique.</figcaption></figure>

Ainsi, globalement, il semblerait qu'avoir le bloc EQ3 ou n'avoir aucun bloc vide soient les critères les plus significativement liés à la réussite au test "vrai/faux", suivi de près par le fait d'avoir le bloc Q. A l'inverse, avoir les blocs EQ3 ou Q vides sont deux critères assez reliés à un échec à ce test. Par contre, les blocs AN, AS et surtout EQ1 ne semblent pas très corrélés avec la moyenne au "vrai/faux".

L'écart entre les différentes moyennes atteint jusqu'à 20%, suivant que l'on ait tel ou tel bloc. Ces résultats semblent donc confirmer une corrélation positive entre les prérequis de logique et les résultats au "vrai/faux".

Pour ce qui est du nombre de blocs vides, le seul critère vraiment décisif est de n'avoir aucun bloc vide (moyenne de 4,11). Ensuite les résultats sont contradictoires, en effet la moyenne de ceux ayant 2 blocs vides (3,85) est supérieure à celle de ceux ayant un seul bloc vide (3,39) alors qu'on obtient la même moyenne (3,84) pour ceux ayant au plus 1 ou 2 blocs vides. Ces résultats sont un peu déroutants et rendent les interprétations difficiles. Ils montrent en tous cas que la corrélation n'est pas parfaite.

### Corrélation question par question du "vrai/faux"

Nous allons brièvement dégager pour chaque question du "vrai/faux", les tendances que l'on peut lire dans notre tableau.

### Question A1

Cette question est plutôt bien corrélée, si on se réfère aux lignes NA1=1 et CA1=REC. Les facteurs les plus déterminants sont pour la réussite, d'avoir le bloc Q ou n'avoir aucun bloc vide et pour l'échec, d'avoir AN ou Q vide.

Nous avons toutefois écarté de nos critères la majorité de ceux qui se sont pris au piège de la question de cours, aussi les effectifs restant en jeu sont réduits, ce qui limite d'autant la portée de nos résultats.

Par ailleurs, avoir utilisé une contraposée ou un raisonnement par l'absurde (CA1=CA) ne semble pas être lié à une meilleure acquisition des prérequis en logique. Les pourcentages sur cette ligne donnent, en effet, des résultats contradictoires.

### Question A2

Obtenir un mauvais score à cette question (NA2=0) ou au contraire réussir à donner un contre-exemple (CA2=CEG ou CEX) ne semble pas être en contradiction avec les résultats au prétest, le facteur le plus déterminant pour réussir semble être de n'avoir aucun bloc vide. Les autres critères, sans créer de contradiction, ne donnent pas de corrélation très forte.

Par contre, la distinction entre contre-exemple explicite et général ne semble pas être corrélée aux prérequis de logique, les données sont même légèrement contradictoires avec notre hypothèse.

De même les erreurs de type REC, c'est-à-dire de démonstration de réciproque, ne semblent pas être corrélées à des erreurs de logiques. C'est un résultat surprenant, d'autant que les 5 cas relevés sont des récidivistes de la question précédente. Le faible effectif ne permet pas de conclure toutefois.

### Question A3

Cette question est très mal corrélée au prétest, les variations dans l'énoncé et le manque de justification expliquent sûrement ce fait.

### Question A4

Pour cette question le rapport est assez neutre, la tendance générale va très légèrement dans le sens d'une corrélation et il y a très peu de résultats contradictoires (3 seulement dans les erreurs de généralisation abusive), mais la plupart suivent la répartition globale. Il semble donc que la construction de sens pour la notion de somme directe, ne soit que très peu corrélée à l'acquisition de prérequis de logique.

Pour la ligne CA4=LIB, qui correspond à une erreur que l'on peut qualifier de "positive", la tendance est à une légère corrélation dans le "bon" sens, mais il y a un point contradictoire dans la répartition en blocs vides, qui est plutôt à la baisse.

Par ailleurs, les erreurs de confusion entre les cadres affine et vectoriel (CA=AFF), ne semblent pas corrélées aux résultats du prétest, ce qui n'est pas surprenant en soi, mais dans une certaine mesure, confirme à nouveau la validité de notre méthode d'analyse.

### Question A5

Comme nous l'avons dit plus haut, seule la réussite à cette question est significative, or ceci semble assez bien corrélu avec les résultats du prétest. Un des facteurs les plus déterminants est encore l'absence de bloc vide, mais aussi avoir le bloc EQ3 ou Q.

Ainsi avoir de bons prérequis en logique semble être un facteur positif pour bien répondre à cette question. Or nous avons dit plus haut que la source d'erreur la plus probable, pourrait provenir d'une
confusion complémentaire/supplémentaire, qui a priori n'est pas directement en rapport avec des problèmes de logique. Cette apparente bonne corrélation peut donc nous surprendre. Nous retiendrons toutefois que la question est d'un abord difficile, parce que la notion de supplémentaire est complexe et qu'il faut en avoir une bonne connaissance pour voir que la proposition A5 est fausse. Peut-on aller jusqu'à dire qu'avoir de bons prérequis en logique est un atout pour réussir certaines questions fines d'algèbre linéaire, même pas directement liées à des problèmes de logique ou est-ce seulement l'indicateur que d'autres prérequis ont été acquis?

### Question A6

Pour cette question il ne semble pas y avoir réellement de corrélation, les pourcentages sont tous très proches de la répartition globale. Il faut dire que c'est une question dans l'ensemble bien réussie, et que nous n'avons pas relevé de type d'erreurs se rapprochant d'un problème de logique, ce résultat n'est donc pas surprenant.

### Question A7

Pour ce qui est de la réussite à cette question, la corrélation est bonne, les critères les plus déterminants étant le bloc Q et l'absence de blocs vides. Par contre pour les deux types d'erreurs, les corrélations sont hasardeuses. Pour les erreurs de généralisation (GEN) c'est un peu surprenant, mais l'effectif de 4 est très faible, nos chiffres ne sont donc guère significatifs. Pour les erreurs de dérapage (DER), cela semblerait vouloir dire que les difficultés de sens créées par l'utilisation des suites en l'algèbre linéaire ne sont pas dûes à des insuffisances dans les prérequis de logique.

### Questions B1 et B2

Cette question nous avait semblé essentiellement être difficile à cause d'un problème de confusion entre hypothèse et conclusion, donc pour des raisons très liées à la logique. Or, sans qu'il y ait de contradictions flagrantes, nos données ne semblent confirmer cette hypothèses qu'avec timidité. La réussite à B1 donne une répartition très proche de la répartition globale, avec 2 contradictions guère significatives. Les deux types d'erreurs répertoriées donnent une corrélation légèrement meilleure, surtout l'erreur liée à un modèle de bijectivité. La meilleure corrélation se retrouve pour la réussite à B2, mais l'effectif de 3 rend ces résultats inexploitables.

Il semblerait donc qu'il y ait effectivement une corrélation mais celle-ci n'est pas systématique, ni très forte.

### Question B3

Cette question ayant été massivement ratée (3 cas de réussite) pour des raisons complexes, nous préférons ne pas examiner la corrélation qui n'aurait pas beaucoup de sens.

### Question B4

Avoir une note d'au moins 0,5 à cette question est, à part pour EQ2, bien corrélé aux résultats du prétest. L'effectif concerné étant de 19, c'est une donnée relativement important. Les critères les plus déterminants de cette réussite sont EQ3, Q, AS et l'absence de bloc vide.

Par contre, dans les deux types d'erreurs relevés, la tendance est inversée, c'est-à-dire que la répartition est plutôt positive. Il faut dire que beaucoup des copies comportant l'erreur de conclusion restrictive (RES) ont été accréditées d'une note de 0,5 pour avoir correctement montré l'inclusion de Im(u) dans Ker(v). De plus ces erreurs detectées montre une certaine compréhension du problème, ce qui peut être plus positif qu'une erreur moins repérable voire une non-réponse, et qui sont donc sans code.

### Question C1

Avoir une note de 1 en C1 semble bien corrélé avec les résultats au prétest, avec comme facteurs déterminants, le bloc Q et l'absence ou même un seul bloc vide. Par contre avoir une note de 0,5 ne semble ni corrélé positivement ni négativement au prétest, bien que la tendance soit plutôt du côté négatif. Ceci semblerait signifier que de bonnes bases en logique sont un bon atout pour traiter entièrement ce genre de questions, classiques en algèbre linéaire.

Par ailleurs le choix de la méthode pour montrer la liberté de la famille (CC1=VAL ou SYS) ne semble pas corrélé avec le prétest de logique, ce qui n'est pas surprenant. Ce choix semble plutôt influencé par une pratique de ce type d'exercices.

Au contraire, la différence entre ceux qui emploient des arguments de dimension et ceux qui essaient de montrer que la famille est génératrice pour conclure (CC2=DIM GEN ou RGN), semble être légèrement liée aux résultats du prétest. Le cas de ceux qui croient montrer le caractère générateur par une réciproque (RGN), semble néanmoins donner une mauvaise corrélation, mais là encore l'effectif est très faible (4 cas) ce qui rend les données inexploitables.

Ainsi, il semblerait que cette question comprenne un aspect technique peu corrélé avec la logique et un aspect plus conceptuel qui serait plus lié aux prérequis de logique.
### Question C2

Le succès à cette question, pourtant très majoritairement réussie par ceux l'ayant abordée, semble assez lié aux résultats du prétest. Les facteurs les plus déterminants sont les blocs Q et AN, l'absence de blocs vides et même la présence d'un seul bloc vide.

Il faut se méfier toutefois de cette dernière question qui peut être fortement conditionnée par la rapidité des étudiants, ou les différences dans les conditions de passage du test entre les trois groupes.

### Conclusions

Comme nous ne cessions de le rappeler, il faut être prudent dans nos conclusions.

Avant tout, il semble important de rappeler que par "logique" nous entendons ce qui a été testé par le prétest. Nous avons vu (cf analyse du prétest) qu'il s'agit donc surtout de la capacité à raisonner sur des propositions en langage symbolique et dans une moindre mesure (bloc EQ3 et Q), de passer d'un cadre symbolique à un cadre plus concret ou vice versa.

Ceci dit, de notre étude question par question, se dégage la tendance suivante :

-Il semble exister une corrélation entre logique et algèbre linéaire. Mais la logique serait globalement plus liée à la réussite qu'à l'échec en algèbre linéaire. Ceci est confirmé par le nombre des cases en gras plus élevé dans le bas que dans le haut du tableau.

-Cette corrélation ne semble pas toujours dûe à un problème logique apparent dans une question d'algèbre linéaire (cf les résultats à A1, A5, B1, B2 et C2), et le rapport entre les deux domaines peut avoir des causes plus souterraines.

-Dans les prérequis les facteurs les plus importants sont l'absence de bloc vide et les blocs EQ3 et Q. Alors que le bloc EQ1 est celui qui a le plus mauvais report., et les deux blocs d'algèbre ne semblent guère déterminant au moins pour les questions d'algèbre linéaire examinées.

-Le fait que l'absence de bloc vide soit un facteur déterminant de réussite, dans quasiment toutes les questions, tendrait à prouver que les performances en algèbre linéaire sont plus élevées quand on n'a pas de lacune (bloc vide), même si on ne possède pas tous les prérequis entièrement (bloc plein). Cela confirme un résultat analogue, mis en évidence par A. ROBERT et F. BOSCHET ([1] et [2]) lors de travaux portant sur les connaissances des étudiants de DEUG en analyse.

### F. Troisième devoir surveillé - 1er Avril :

Ce troisième devoir surveillé contenant de l'algèbre linéaire a été passé par les trois groupes dans les mêmes trois heures. Il contient (dans cet ordre) deux exercices d'analyse (sur des fonctions de deux variables) et un problème d'algèbre linéaire. On trouvera en annexe F-1, le texte complet de ce devoir. Nous avons analysé 49 copies : 20 du groupe 3, 16 du groupe 4 et 13 du groupe 6.

### I - Analyse a priori - Résultats quantitatifs :

Nous avons divisé chaque question, et nous avons attribué une note à chaque sous-question, et éventuellement un code correspondant à un type d'erreur ou de bonne réponse. Nos choix sont explicités dans ce qui suit et les résultats quantitatifs sont récapitulés dans un tableau en annexe F-2.

Le but général du problème revient au calcul de la puissance nème de la matrice d'un endomorphisme ; une application au calcul de suites récurrentes, est donnée à la fin (4ème question). Ni le but, ni l'application ne sont reconnus en tant que tels dans l'énoncé. La démarche est assez classique, mais aucun enseignement explicite sur les valeurs propres espaces propres ou caractéristique n'a encore été fait à ce stade, bien que ces notions soient sous-jacentes.

### Question 1

Cette première question est une question élémentaire et classique. Il s'agit d'écrire la matrice d'un endomorphisme et de son carré, alors qu'on donne son expression analytique sur la même base.

La réussite est de 100%. On notera seulement 5 cas (code RET) où les étudiants reviennent à l'expression analytique de $\phi^2$ au lieu de calculer le carré de la matrice. C'est une façon de faire un peu plus longue, cela peut signifier un manque de connaissance du calcul matriciel. Il serait pourtant hasardeux de l'affirmer, c'est pourquoi nous n'avons pas pénalisé cette méthode.

On a attribué une note N1 sur 1 à cette question.

### Question 2

Cette question est longue et comporte plusieurs tâches, aussi l'avons-nous divisée en quatre sous-questions.

2-a Détermination du rang de $\phi^2$+id et $\phi^2$-id (note N2a sur 2).

2-b Donner des bases $B_1$ et $B_2$ de $Ker(\phi^2$+id)= $W_1$ et de $Ker(\phi^2$-id)= $W_2$ (note N2b sur 1).