# Использование компьютерного моделирования для проверки работоспособности теории агрегации частиц, обладающих дипольным моментом

Roman M Balabin

► To cite this version:

Roman M Balabin. Использование компьютерного моделирования для проверки работоспособности теории агрегации частиц, обладающих дипольным моментом. Методы и средства обработки информации, Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова, Oct 2005, Moscow, Russia. ⟨hal-05201953⟩

HAL Id: hal-05201953

https://hal.science/hal-05201953v1

Submitted on 6 Aug 2025

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d'enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons Attribution - ShareAlike 4.0 International License
Секция «Проблемы системного и прикладного программирования»

Вторая Всероссийская научная конференция
«Методы и средства обработки информации»
Факультет вычислительной математики и кибернетики
МГУ им. М.В. Ломоносова

Дата: 5 октября 2005 г.

Автор: Балабин Р.М.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ДЛЯ ПРОВЕРКИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ
ТЕОРИИ АГРЕГАЦИИ ЧАСТИЦ,
ОБЛАДАЮЩИХ ДИПОЛЬНЫМ МОМЕНТОМ

РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, Москва, BalabinRM@yandex.ru

Компьютерное моделирование используется для проверки работо-
способности теории агрегации частиц в различных областях науки и
техники. Например, возможно исследование кинетики агрегации частиц,
расчёт функции парной корреляции расстояний между частицами и
нахождение размеров агрегатов. Также возможно изучение влияния
свойств частиц на вид образующихся агрегатов и на саму кинетику их
агрегации.

Для компьютерного моделирования агрегации частиц применяются
как методы молекулярной динамики и методы броуновской динамики,
так и методы Монте-Карло. Методы молекулярной динамики, например,
позволяют исследовать агрегацию частиц в многофазных коллоидных
системах, учитывать взаимодействие частиц по теории ДЛФО. А методы
броуновской динамики в двух- и трёхмерном пространстве учитывают
агрегацию частиц в потоке жидкой дисперсионной среды. Так, если
между частицами превалируют силы отталкивания, частицы образуют
слойстые структуры.

Методы Монте-Карло, в свою очередь, используются для расчёта
возможных конфигураций кластеров и нахождения их доли в смеси.
Например, в модели, где образование кластеров происходит путём слу-
чайного последовательного присоединения частиц по одной, методами
Монте-Карло вычисляются конфигурации кластеров и их доля в конеч-
ной системе.

В настоящее время считается твердо установленным, что межмоле-
кулярные силы имеют в основном электростатическую природу [1].
Кроме того, известно, что дипольный момент является важным парамет-
ром, характеризующим физическое взаимодействие различных частиц. Для процессов агрегации частиц без дипольных моментов построены соответствующие теории [2, 3], и получены уравнения, описывающие их кинетику.

Большое значение наличие дипольного момента приобретает при исследовании ассоциации, агрегации и седиментации макромолекул. В этом случае дипольный вклад в общую энергию межчастичного взаимодействия весьма существенен, и пренебречь им не представляется возможным.

Многие известные модели физического взаимодействия одиночных частиц построены с учетом только диполь-дипольного фактора взаимодействия [4]. Их результаты нашли широкое применение при описании не склонных к специфическим видам взаимодействия веществ.

Дипольный момент одиночных частиц известен для целого ряда веществ. Но для случая макромолекул и иных частиц, склонных к ассоциации, подобных данных оказывается недостаточно для расчета их поведения в смесях и растворах. Для полного описание систем, содержащих указанные вещества, необходимо знание дипольного момента, как одиночной частицы, так и агрегата из нескольких таких частиц. Причем, число частиц в агрегате может меняться в широких пределах: от двух (процесс димеризации) до многих миллионов и более (процесс образования новой фазы с выпадением наиболее крупных кластеров в осадок) [1].

Из вышесказанного можно сделать вывод, что создание теории расчета дипольного момента кластера (или фрактала) имеет большое значение для успешного изучения межмолекулярного взаимодействия на всех уровнях организации материи.

В открытой печати авторами не обнаружено строгой физической теории и методологии расчета дипольного момента для системы агрегированных частиц с произвольным числом членов.

В этой работе предпринята попытка создания подобной теории и проверки полученных результатов методом компьютерного моделирования.

Для построения указанной теории авторами была рассмотрена задача о присоединении одиночной частицы к агрегату при наличии у обоих дипольного момента.

Ниже изложены основные моменты, принятые за аксиому, при расчете дипольного момента кластера из $N$ одинаковых частиц радиусом $a$, обладающих дипольным моментом $p_0$: энергия диполь-дипольного взаимодействия намного меньше средней кинетической энергии частиц, взаимодействием диполей не в непосредственной близости друг от друга (до момента присоединения частицы) можно пренебречь, распределение
диполей по направлениям вблизи границы агрегата соответствует распределению Гиббса.

Первое представление позволяет использовать малость отношения потенциальной энергии диполь-дипольного взаимодействия к средней кинетической энергии для разложения получаемых соотношений в ряд Тейлора. Второе — пренебречь искажением стохастического броуновского движения не присоединенной частицы (вследствие наличия сил электростатического притяжения) до касания агрегата. Третье — определить вероятность той или иной ориентации присоединяемой частицы по отношению к дипольному моменту кластера.

Рассмотрим систему, состоящую из агрегата заданного размера и одиночной сферической частицы. Дипольный момент агрегата равен $\vec{p}_N$, его радиус $R_N$.

Рассмотрим момент времени предшествующий касанию и закреплению частицы на поверхности агрегата. В этот момент частица ориентируется по направлению поля диполя согласно каноническому распределению Гиббса [5]:

$$w \sim e^{-\frac{U}{kT}} = e^{\frac{p_0 E_N \cos \varphi}{kT}}, \quad (1)$$

где $W$ — вероятность ориентации частицы под углом $\varphi$; $E_N$ — величина напряженности электрического поля, создаваемого дипольным моментом агрегата в центре присоединяемой частицы; $\varphi$ — угол между диполем одиночной частицы и вектором электрической напряженности.

Используя выражение для величины поля диполя на расстоянии $r$:

$$\vec{E}_N = \frac{1}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0} \left[ \frac{3(\vec{p}_N \cdot \vec{r})}{r^5} - \frac{\vec{p}_N}{r^3} \right] \quad (2)$$

можно получить выражение для вероятности ориентации каждой проекции вектора $\vec{p}_0$ (ось $z$ выбрана по направлению дипольного момента агрегата). Далее, перейдя в сферическую систему координат и проинтегрировав полученные выражения во всем интервале углов, получаем выражения для средних проекций.

Как и следовало ожидать из соображений симметрии, ненулевой оказывается только проекция на ось $z$. Среднее значение этой проекции равно
$$ \langle p_{0z} \rangle = \frac{4}{15} p_0 A, \qquad (3) $$

где:

$$ A = \frac{1}{4\pi\epsilon\epsilon_0} \cdot \frac{p_0 p_N}{kT \cdot r^3} \qquad (4) $$

После присоединения величина дипольного момента нового агрегата станет равной $\vec{p}_{N+1}$, причем

$$ \vec{p}_{N+1} = \vec{p}_N + \vec{p}_0 \qquad (5) $$

или в среднем:

$$ \langle p_{N+1} \rangle - \langle p_N \rangle = \langle p_{0z} \rangle \qquad (6) $$

При переходе к бесконечно малым изменениям полученные выражения (3) и (6) позволяют записать дифференциальное уравнение

$$ \frac{dp_N}{dN} = p_N \cdot \frac{4}{15} \cdot \frac{p_0^2}{4\pi\epsilon_0 \cdot kT} \cdot \frac{1}{r^3}, \qquad (7) $$

В приближении сплошного кластера можно записать, что:

$$ r = a \left( \sqrt[3]{N} + 1 \right) \qquad (8) $$

В общем виде решение уравнения (7) с учетом (8) громоздко, но его можно существенно упростить, сделав предположении о большом числе частиц, входящих в агрегат. Тогда единицей в скобках выражения (8) можно пренебречь и записать, что:

$$ \frac{dp_N}{p_N} = \beta \frac{dN}{N}, \qquad (9) $$

где
$$ \beta(p_0, a, T) = \frac{4}{15} \cdot \frac{p_0^2}{4\pi\epsilon_0 \cdot kT \cdot a^3} \qquad (10) $$

Для внесении коррекции, в связи с допущением о большом числе частиц в агрегате (что неверно на начальном этапе его роста), в решение уравнения (9) была внесена поправка, которая позволила получить зависимость дипольного момента кластера от количества входящих в него частиц при их числе более $10^6$:

$$ p_N = p_0 \cdot (2 - e^{0.047 \cdot \beta}) N^{\beta} \qquad (11) $$

Необходимо отметить, что, несмотря на то, что полученная зависимость является степенной, относительное увеличение дипольного момента агрегата (по сравнению с единичной частицей) невелико. Быстрое возрастание степенной функции нивелируется малостью параметра $\beta$, который для реальных физических систем не превышает 0.1.

Для проверки полученных соотношений было проведено моделирование процесса агрегации сферических частиц одинакового радиуса с итерационным расчетом дипольного момента получаемого кластера. Моделирование проводилось по методу DLA (Diffusion Limited Aggregation) [6-12] с дополнительной свободой перемещения частиц внутри кластера для достижения «сплошности».

Результаты моделирования позволяют говорить о применимости полученных выражения для модельных систем в области больших агрегатов [13-18]. Отклонение не превышает 5-7% в зависимости от выбранных параметров построения (максимального единичного шага частицы, относительного размера ячейки и др.).

В дальнейшем предполагается расширение возможностей, как теоретической модели, так и программы моделирования с целью исследования фрактальных структур [19-23].

Заявка на участие в конференции. 1. Фамилия, имя, отчество: Балабин Роман Михайлович. 2. Ученая степень, ученое название: -. 3. Место работы (полное название): Российский Государственный Университет нефти и газа им. И.М. Губкина. 4. Должность: студент. 5. Адрес, на который отсылается приглашение. Телефон, факс (095) 335-86-39, (926) 592-79-20. Адрес: Россия, Москва, 117437, ул. Ак. Волгина, 29-2-176. E-mail: BalabinRM@yandex.ru. 6. Название доклада: а) Использование компьютерного моделирования для проверки работоспособности агрегации частиц, обладающих дипольным моментом; б) Метод многомерного анализа как алгоритм обработки спектральных данных: на при-
мере продуктов нефтепереработки. 7. Секция: «Проблемы системного и прикладного программирования». 8. Нужна ли Вам гостиница на время пребывания (дата приезда и отъезда): нет.

Версия 2009 г.

Впервые опубликовано как:

Балабин Р.М. Использование компьютерного моделирования для проверки работоспособности теории агрегации частиц, обладающих дипольным моментом. = Using computer modeling to test the feasibility of the theory of aggregation of particles with a dipole moment. // Методы и средства обработки информации : Труды второй Всероссийской научной конференции, Москва, 05–07 октября 2005 года. – Москва: Издательский отдел факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова, 2005. – 651 с. – ISBN 5-89407-230-1.

## Литература

1. Межмолекулярные взаимодействия: от двухатомных молекул до биополимеров; под ред. Б. Пюльмана – М.: Мир, 1981. – 592 с.

2. Кройт Г.Р. Наука о коллоидах. М.: ИЛ, 1955. – 416 с.

3. Русанов А.И., Куни Ф.М. О равновесии полидисперсных систем. – ДАН СССР, 1969, т.185, №2, с. 386-389

4. London F // Z. Physik, 63, 245 (1930).

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.В, Статистическая физика. М.: Наука, Физматлит, 1995. – 606 с.

6. Witten T., Sander L. // Physical Review B 27 (1983), р. 5686-5697.

7. Балабин Р.М. Создание экспресс-метода анализа показателей качества индустриального масла на основе многомерного анализа спектральных данных. // Достижения ученых XXI века: Тезисы докладов международной конференции, Тамбов, 2005. – С. 192–194.

8. Царев А.В., Балабин Р.М., Карпов С.А., Сюняев Р.3. Оптимизация эксплуатационных и экологических свойств спирто-бензиновых топлив под действием микроволновой обработки. // Альтернативная энергетика и экология.

9. Балабин Р.М. Возможности современных математических методов при обработке спектральных данных: бензиновые фракции. // Современные информационные технологии. – Пенза: Пензенская гос. технологическая акад., 2005. – № 1. – С. 139–144.

10. Балабин Р.М., Сафиева Р.З. Разработка методов оперативного контроля качества для нефтеперерабатывающей промышленности. // Актуальные проблемы науки и высшего образования. Научный сборник. Филиал МГУТУ в г Унеча – М: МГУТУ, 2005. – С. 130–134.

11. Лихацкий В.В., Балабин Р.М., Сюняев Р.3. Моделирование процессов агрегирования дипольных частиц асфальтенов. // Структура и динамика молекулярных систем, Яльчик.
12. Балабин Р.М., Сюняев Р.З. Построение кривой стеклования нефти по данным диэлектрической спектроскопии. // Структура и динамика молекулярных систем, Яльчик.

13. Балабин Р.М., Сюняев Р.З. Анализ влияния термодинамических параметров на проводимость и вязкость нефти. // Структура и динамика молекулярных систем, Яльчик.

14. Goual L., Firoozabadi A. Measuring asphaltenes and resins, and dipole moment in petroleum fluids. // AIChE Journal. – 2002. – Vol. 48, iss. 11. – P. 2646–2663.

15. Сафиева Р.З., Балабин Р.М. Метод экспресс определения показателей качества бензиновых фракций. // Актуальные проблемы науки в России. – Вып. 3, т. 1. – Кузнецк, 2005. – С. 72.

16. Cirkel P.A., van der Ploeg J.P.M., Koper G.J.M. Branching and percolation in lecithin wormlike micelles studied by dielectric spectroscopy. // Phys Rev E. – 1998. – Vol. 57, iss 6. – P. 6875.

17. Балабин Р.М., Сюняев Р.З. Оценка коэффициента динамической вязкости нефти в скважине по данным диэлектрической спектроскопии. // Актуальные проблемы науки в России. – Вып. 3, т. 1. – Кузнецк: ПГУ, 2005. – С. 12–16.

18. Syunyaev R.Z., Balabin R.M. Frequency Dependence of Oil Conductivity at High Pressure. // Journal of Dispersion Science and Technology.

19. Balabin R.M. Dispersed Structure of Ethanol-Gasoline Fuel According to Dynamic Light Scattering Method. // Journal of Dispersion Science and Technology.

20. Bordi F., Cametti C., Tan J.S., Boris D.C., Krause W.E., Plucktaveesak N., Colby R.H. Determination of Polyelectrolyte Charge and Interaction with Water Using Dielectric Spectroscopy. // Macromolecules. – 2002. – Vol. 35. – P. 7031–7038.

21. Ray J., Manning G.S. Effect of Counterion Valence and Polymer Charge Density on the Pair Potential of Two Polyions. // Macromolecules. – 1997. – Vol. 30, iss. 19. – P. 5739–5744.

22. Semenov A.N., Nyrkova I.A., Khokhlov A.R. Polymers with Strongly Interacting Groups: Theory for Non-Spherical Multiplets. // Macromolecules. – 1995. – Vol. 28, iss. 22. – P. 7491–7500.

23. Stepanyan R., Subbotin A., Knaapila M., Ikkala O., ten Brinke G. Self-Organization of Hairy-Rod Polymers. // Macromolecules. – 2003. – Vol. 36 (10). – P. 3758–3763.