# Étude du rapport des étudiants à l'activité mathématique en formation initiale à l'enseignement primaire en Suisse

Mickael da Ronch, Ismaël Mili

## ► To cite this version:

Mickael da Ronch, Ismaël Mili. Étude du rapport des étudiants à l'activité mathématique en formation initiale à l'enseignement primaire en Suisse. 2026. hal-05532325v2

HAL Id: hal-05532325

https://hal.science/hal-05532325v2

Preprint submitted on 3 Mar 2026

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>
<figure><img src="image_2.png" /></figure>

# Étude du rapport des étudiants à l'activité mathématique en formation initiale à l'enseignement primaire en Suisse

## Mickael DA RONCH

Haute École Pédagogique du Valais, Saint-Maurice, Suisse

Mickael.DaRonch@hepvs.ch

## Ismaël MILI

Université de Fribourg, Fribourg, Suisse

Ismail.Mili@unifr.ch

**Résumé** : Cet article vise à identifier les conceptions des étudiants suisses relatives à l'activité mathématique ainsi que leurs pratiques en résolution de problèmes. Un questionnaire a été administré à 84 étudiants de Bachelor dès leur entrée en formation à l'enseignement primaire. Les résultats montrent que la majorité des étudiants ont une conception très instrumentaliste de l'activité mathématique. Ils rencontrent également des difficultés dans certaines phases de la résolution de problèmes, notamment la formulation de résultats généraux et les processus de validation, souvent limités à des preuves pragmatiques. Enfin, aucune corrélation significative n'est observée entre leur niveau moyen d'activité mathématique en résolution de problèmes et leurs conceptions de l'activité mathématique.

Mots-clés : conceptions, résolution de problèmes, activité mathématique, formation initiale des enseignants du primaire

## Students' Relationship to Mathematical Activity in Swiss Primary Teacher Education

**Abstract:** This paper aims to identify Swiss students' beliefs of mathematical activity and their problem-solving practices. A questionnaire was administered to 84 Bachelor's students upon their entry into primary school teacher training. The results show that the majority of students have a very instrumental conception of mathematical activity. They also encounter difficulties in some phases of problem solving, particularly in formulating general results and validation processes, which are often limited to pragmatic proofs.

Revue québécoise de didactique des mathématiques, 20xx, vol x, no x, p. 1-5.

https://doi.org/
Finally, no significant correlation is observed between their average level of mathematical activity in problem solving and their conceptions of mathematical activity.

Keywords: beliefs, problem solving, mathematical activity, pre-service teacher training

Contexte de la recherche et problématisation

En Suisse romande, la formation des enseignants relève des cantons, ce qui confère
aux Hautes Écoles Pédagogiques (HEP) une large autonomie dans l’élaboration de
leurs plans de formation. Afin d’harmoniser les apprentissages, le Plan d’études
romand (PER) constitue aujourd’hui le cadre de référence commun chez les
enseignants. En mathématiques, il accorde une place centrale à la résolution de
problèmes et vise explicitement le développement d’une posture scientifique
fondée sur la recherche, l’émission de conjectures, la généralisation et la validation
à l’instar de nombreux autres curricula internationaux (p. ex., NTCM, 1989, 2000,
2009 ; CCSMS, 2010 ; Artigue & Houdement, 2007 ; Cai & Nie, 2007).

En outre, pour soutenir la mise en œuvre du PER, les Moyens d'Enseignement Romands (MER) ont été élaborés, incluant une section entièrement dédiée à la résolution de problèmes nommée ARP (Aide à la Résolution de Problèmes), structurée selon une progression inspirée de Polya (1945). Toutefois, les recherches récentes (Da Ronch et al., 2023, 2026b ; Mili et al., 2025), étendue à l'ensemble des ressources ARP du cycle 2 (élèves de 8 à 12 ans), mettent en évidence un écart notable entre les prescriptions institutionnelles issues du PER et les tâches proposées dans les MER en matière de résolution de problèmes. Les problèmes étudiés offrent rarement des occasions d'expérimenter, de formuler des conjectures de portée générale et de les valider ou invalider à l'aide d'arguments mathématiques. Ils mettent aussi peu en jeu une discussion sur l'unicité ou la pluralité des solutions. Or, toutes ces dimensions sont centrales dans la définition de l'activité mathématique promue par le PER. Leur faible présence pourrait en partie expliquer les difficultés rencontrées par les étudiants face à des problèmes non routiniers, comme cela a déjà été souligné par l'étude de Selden et ses collègues (1989).

Dans ce contexte et dans la continuité des recherches internationales sur les
teachers' beliefs portant sur la nature des mathématiques, leur enseignement et leur
apprentissage (Grigutsch et al., 1998 ; Beswick, 2005, 2011 ; Ernest, 1989 ; Van Zoest
et al., 1994 ; Liljedahl, 2008 ; Thompson, 1984, 1992 ; Radišić, 2024), nous formulons
l'hypothèse raisonnable que les étudiants primo-entrants en formation à
l'enseignement primaire entretiennent un rapport personnel majoritairement
scolaire aux mathématiques et à son activité. Un tel rapport, largement façonné
par leur propre expérience d'élèves, est susceptible de générer des difficultés dans
leurs propres pratiques de résolution de problèmes, et de facto de limiter la mise en œuvre de la résolution de problèmes dans leur futur enseignement en classe.

Le présent article vise donc à examiner en partie cette hypothèse en proposant un questionnaire, à visée diagnostique, permettant d'une part, de repérer de manière déclarative, leurs conceptions sur l'activité mathématique, et d'autre part, d'objectiver leurs pratiques en résolution de problèmes. Par ailleurs, les résultats de cette étude ont constitué des points d'appui pour étayer, a posteriori, au sein de nos institutions, la nécessité de renforcer le travail sur la résolution de problèmes dans la formation des enseignants, enjeu déjà identifié comme étant important chez des étudiants universitaires par exemple (Selden et al., 1989). La validation de notre hypothèse contribuera à justifier plus tard la conception d'un nouveau dispositif de formation centré sur la résolution de problèmes, envisagée comme un levier dans le développement professionnel des futurs enseignants du primaire. Un tel dispositif apparaît en effet susceptible de transformer leurs conceptions et leurs pratiques de l'activité mathématique, avec des retombées potentielles directes sur leurs pratiques futures d'enseignement en classe. Ce point sera d'ailleurs discuté en conclusion.

Dans la suite de cet article, nous présentons d'abord le cadre théorique de cette étude centré en partie sur la notion d'activité mathématique et de situations didactiques susceptibles de la favoriser (partie I). Nous décrivons ensuite notre méthode de recherche, fondée sur l'élaboration et la passation d'un questionnaire auprès d'étudiants primo-entrants en Bachelor de formation à l'enseignement primaire, dans une Haute École Pédagogique de Suisse romande, ainsi que les modalités de recueil, de traitement et d'analyse des données écrites récoltées (partie II). Les résultats de l'enquête sont ensuite présentés (partie III) et discutés à la lumière de travaux internationaux en mathematics education (partie IV). Enfin, l'article se conclut par l'ouverture de perspectives de recherche et de développement professionnel dans la formation des enseignants.

### I. Cadre théorique et questions de recherche

Dans cette partie, nous présentons le cadre théorique qui fonde notre étude ainsi que les questions de recherche qui en découlent. Nous précisons d'abord ce que nous entendons par activité mathématique, avant d'examiner en particulier le processus de validation lié aux typologies de preuve et les dispositifs didactiques susceptibles de favoriser une telle activité. Nous nous appuyons enfin sur des travaux internationaux relatifs aux conceptions des étudiants afin de pouvoir identifier leurs profils à l'entrée en formation.
## I.1. Définition de l'activité mathématique

Pour répondre à notre problématique, il nous faut d'abord préciser ce qu'on entend par « activité mathématique » en tant qu'activité humaine. Il ressort de l'étude épistémologique réalisée dans Da Ronch (2022), qu'un bon nombre de mathématiciens (Polya, 1945 ; Hadamard, 1945 ; Nimier, 1989 ; Halmos, 1980 ; Garey & Johnson, 2002 ; Perrin, 2008) et didacticiens des mathématiques s'accordent à dire que faire des mathématiques est étroitement lié à la résolution de problèmes (Brousseau, 1998 ; Chevallard, 1998 ; Gardes, 2013 ; Da Ronch, 2022 ; Liljedahl & Santos-Trigo, 2019). Il n'est d'ailleurs pas question de limiter cette activité à l'apprentissage de définitions et de théorèmes et de les utiliser seulement dans l'unique but de les appliquer dans certaines situations (Brousseau, 1998). Il n'est pas non plus question de mettre au premier plan le résultat d'un problème comme étant l'objectif ultime de cette activité, puisque ce qui est avant tout intéressant ce sont les processus impliqués au cours de la résolution d'un problème. Le résultat n'est en fait qu'un objectif secondaire à cette activité (Chevallard, 1998). L'activité mathématique invoque donc plusieurs processus concomitants aux dialectiques d'action, de formulation et de validation (Brousseau, 1998). Faire des mathématiques demande donc au sujet qu'il

agisse, qu'il formule, qu'il prouve, qu'il construise des modèles, des langages, des concepts, des théories, qu'il échange avec d'autres, qu'il reconnaisse celles qui sont conformes à la culture, qu'il lui emprunte celles qui lui sont utiles, etc (Brousseau, 1998, p. 49).

Cela requiert donc de proposer des situations qui permettent d'articuler, lors de ces différentes phases, « les raisonnements de plausibilité, purement inductifs, et ceux des nécessités attachés au raisonnement déductif » (Da Ronch, 2022, p. 11) dans la recherche de la vérité mathématique et de son explication en vue de répondre au problème.

Ainsi, l'étude de cas particuliers de petites tailles, par exemple, devrait être une connaissance mobilisée lors de la résolution d'un problème afin d'en extraire des résultats locaux qui, de manière inductive, pourraient amener vers la formulation de résultats plus généraux ou pour le moins généralisables sur le problème. D'ailleurs, la formulation d'un résultat, prouvé ou en l'état de conjecture, fait partie d'une autre connaissance qui devrait être convoquée en résolution de problèmes notamment lors du processus de formulation. Le processus de validation, quant à lui, inhérent au processus de preuve, repose sur des hypothèses fortes liées, par exemple, au tiers-exclu<fnref n="1" />, à la nécessité de preuve et à l'enjeu de

<footnote n="1">¹ Un énoncé mathématique et sa négation ne peuvent pas avoir la même valeur de vérité, autrement dit un énoncé est soit vrai, soit faux.</footnote>
vérité en mathématiques. Les connaissances mobilisées dans le processus de validation lorsqu'on réalise une preuve sont donc liées à des hypothèses et aux règles de la logique mathématique telles que l'implication, la condition nécessaire et la condition suffisante (Da Ronch, 2022).

**I.2. Typologie de preuves pour identifier le niveau de validation dans la pratique des étudiants**

Pour cette dernière phase et afin de repérer le caractère pragmatique ou intellectuel des preuves données par les étudiants, nous utiliserons les niveaux de preuve décrits par Balacheff (1987) selon leur nature et leur type. Les *preuves pragmatiques* de types *empirisme naïf*, *expérience cruciale* ou *exemple générique*<fnref n="2" /> qui ne se détachent pas (ou peu) de l'action et les *preuves intellectuelles* de types *expérience mentale* ou *calcul sur les énoncés* (Balacheff, 1987, 2019). Cela nous permettra donc de repérer à quel niveau de preuve se situe les productions écrites des étudiants. Dans le prochain paragraphe nous présentons un type de situation didactique qui semble enclin à favoriser une activité mathématique telle que nous l'avons défini précédemment.

**I.3. Situation de Recherche pour la classe : un bon candidat pour la pratique d'une activité mathématique authentique**

Les processus d'action, de formulation et de validation et leurs connaissances associées décrits précédemment ne peuvent se mobiliser qu'à travers la rencontre avec un problème et la nécessité éprouvée de le résoudre pour celui qui compte l'investiguer. Nous reprenons la définition donnée par Da Ronch (2022) sur le terme de « problème ». À savoir que ce concept est défini selon un double aspect : syntaxique, relevant de la structure du problème sous la forme d'une question générale et d'un ensemble d'instances, et sémantique, en rapport avec sa consistance épistémologique. Pour davantage de précisions, nous invitons le lecteur ou la lectrice à se référer à l'analyse étymologique et épistémologique réalisée dans le travail de Da Ronch (2022, chap. II).

Pour nos besoins et afin de déterminer les conceptions et les pratiques des étudiants autour de notion d'activité mathématique, nous utiliserons un problème caractérisé par une question et une instanciation pertinente provenant d'une Situation de Recherche pour la Classe (SiRC). Cette dernière a fait ses preuves à différents niveaux d'enseignement, du primaire à l'université, et dans des contextes variés permettant justement d'entrer dans la pratique de l'activité mathématique (voir Da Ronch, 2022 ; Da Ronch et al., 2020). Ces situations sont proches de problématiques issues de la recherche professionnelle en mathématiques, tout en étant accessibles puisque les problèmes proposés sont peu

<footnote n="2">² En réalité l'exemple générique est à la fois de nature pragmatique et intellectuelle. Il se situe donc à la frontière entre ces deux mondes.</footnote>
formalisés et des stratégies initiales existent sans que des prérequis spécifiques hors de portées ne soient nécessaires (Grenier & Payan, 2003 ; Gravier & Ouvrier-Buffet, 2022). Ainsi, les SiRC permettent l'entrée dans les processus d'expérimentation, de formulation et de validation et s'avèrent en adéquation avec la définition de l'activité mathématique donnée ci-avant. Leur caractère accessible permet de s'adresser, sans créer d'empêchement mathématique, à la variété des parcours scolaires des étudiants primo-entrants dans la formation à l'enseignement primaire en Suisse romande.

**I.4. Typologie des profils des étudiants liée à leurs conceptions de l'activité mathématique**

Les conceptions liées aux croyances des mathématiques chez les enseignants (Teacher's beliefs) ont fait l'objet de nombreuses recherches à l'international. Ernest (1989) propose par exemple une typologie distinguant des conceptions instrumentalistes, platoniciennes et orientées vers la résolution de problèmes, des mathématiques, chacune renvoyant à une vision spécifique sur la nature des mathématiques. D'autres ont complété cette approche par les conceptions sur l'enseignement (Van Zoest et al., 1994) et sur l'apprentissage des mathématiques (Beswick, 2005). Beswick (2012), quant à lui, tente de mettre en évidence une distinction entre conception des enseignants sur les mathématiques scolaires et les mathématiques des mathématiciens avec une mise en relation sur leurs pratiques. Les premières sont majoritairement perçues comme procédurales, fermées et centrées sur l'application de techniques, tandis que les secondes sont associées à une activité exploratoire et ouverte. Pour les besoins de notre étude, nous prendrons appui sur la classification initiale d'Ernest (1989) en ne faisant pas de distinction sur les mathématiques scolaires et les mathématiques des mathématiciens puisque d'une part notre point de vue épistémologique tend à les rapprocher et d'autre part, notre étude ne fait pas explicitement cette distinction. Ce point sera d'ailleurs abordé, de façon critique, dans les éléments de discussion.

**I.5. Questions de recherche**

Notre hypothèse relative aux conceptions et aux pratiques de l'activité mathématique des étudiants à l'entrée en formation à l'enseignement primaire donnée en introduction de ce texte, peut ainsi être reformulée par plusieurs questions de recherche qui orienteront la suite de cet article.

* **QR1.** Quels profils peut-on dégager chez les étudiants quant aux conceptions de l'activité mathématique à leur entrée en formation à l'enseignement primaire, et dans quelle mesure ce rapport s'inscrit-il dans une dynamique de professionnalisation ?

* **QR1 bis.** À cette occasion, les étudiants associent-ils un problème de nature non numérique permettant de travailler l'activité mathématique suivant
toutes ces composantes comme étant un problème plus représentatif d'une
telle activité par rapport à un autre orienté, cette fois ci, dans le domaine
numérique et associé à une notion curriculaire prescrite et naturalisée ?

* **QR2.** Dans leurs pratiques de résolution de problèmes, les étudiants mobilisent-ils les différentes composantes de l'activité mathématique (expérimentation, formulation, validation) et quels niveaux de validation s'avèrent mobilisés ?

* **QR3.** Enfin, existe-il une corrélation entre le niveau moyen ordinal d'activité mathématique relevé chez ces étudiants et leurs conceptions sur cette activité en lien avec le choix d'énoncé(s) effectué(s) ?

II. Méthode de conduite de la recherche

Depuis 2021, un questionnaire est proposé à la Haute École Pédagogique du Valais
(HEP-VS) dès le début du premier semestre pour les étudiants en formation de
Bachelor, se destinant au métier d'enseignant du primaire. Dans la cadre de cet
article, nous nous focalisons uniquement sur les données recueillies pour l'année
2021. Elles concernent des traces écrites de 84 étudiants en réponse au
questionnaire proposé et dont les données récoltées ont été traitées de manière
anonymisée.

II.1. Conception du questionnaire et modalités de recueil des données

Ce questionnaire, à visée diagnostique, a été construit pour repérer d'une part, la conception des étudiants sur l'activité mathématique, et d'autre part, de rendre compte de la mise en œuvre d'une telle pratique dans une situation appropriée.

Pour ce questionnaire, deux énoncés ont d'abord été proposés aux étudiants (le questionnaire complet traduit en anglais est proposé en annexe de cet article). Un premier (Q1) relatif à un savoir curriculaire circonscrit à une notion spécifique vue au cours de la scolarité des étudiants en lien avec la notion de proportionnalité. Il est présenté sous la forme d'un enchaînement de tâches indépendantes, présentant des situations de proportionnalité dont le but est de déterminer une quatrième proportionnelle selon la méthode de leur choix (Figure 1).

**Question 1.** Répondre à chacune des questions suivantes (qui fait référence à une situation de proportionnalité), tout en justifiant votre démarche

Sachant que 2 pains coûtent 5 francs, combien coûtent 20 pains ?
Sachant que 4 pains coûtent 10 francs, combien coûtent 12 pains ?
Sachant que 4 pains coûtent 10 francs, combien coûtent 32 pains ?
Sachant que 4 pains coûtent 10 francs, combien coûtent 14 pains ?
Sachant que 4 pains coûtent 7,70 francs, combien coûtent 14 pains ?

<caption>Figure 1. Différentes taches proposées pour la question Q1 en lien avec la proportionnalité.</caption>

Un deuxième (Q2), beaucoup moins cloisonné à un savoir curriculaire précis,
extrait d'une Situation de Recherche de pavage de rectangle par des tuiles carrées
avec des bords colorés (voir Da Ronch, 2022, p. 151 ; Da Ronch et al., 2020) qui
permet de travailler l'activité mathématique selon ses trois composantes : l'expérimentation par l'action, la formulation et la validation (Figure 2).

**Question 2.** On dispose d'une collection de tuiles carrées en quantité suffisante où chaque tuile est partagée en 4 secteurs triangulaires colorés : jaune, rouge, vert, bleu. Il est tout à fait possible de modifier l'ordre des couleurs sur les tuiles, l'essentiel étant qu'il y ait toujours les 4 couleurs différentes sur chacune des tuiles.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Exemple d'une tuile avec la couleur bleue à gauche, rouge en bas, jaune à droite et verte en haut.

On peut assembler ces tuiles à condition d'avoir la même couleur sur le bord en commun.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Motif valide

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Motif non valide

Votre objectif est de trouver une condition pour pouvoir remplir une bande rectangulaire de la hauteur d'une tuile et d'une longueur quelconque, sachant qu'en plus de la contrainte précédente, on doit poser les tuiles de telle sorte que le rectangle pavé possède quatre côtés monochromes et d'une couleur différente comme ci-dessous.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Sous quelle condition une telle bande peut-elle être construite ? Justifiez votre démarche.

<caption>Figure 2. Question Q2 en lien avec une Situation de Recherche pour la Classe (Da Ronch, 2022)</caption>

Enfin, le questionnaire s'achève par une question déclarative (Q3) à savoir :
> « Parmi les deux situations précédentes laquelle, selon vous, représente le plus ce qui relève de l'activité mathématique ? Pourquoi ? »

Le choix de proposer les situations Q1 et Q2 est relatif à notre approche théorique. En effet, nous avons choisi Q1 en lien avec la proportionnalité par son caractère très procédural et calculatoire, et finalement éloigné de l'activité mathématique telle que nous l'avons définie dans cet article. Il s'agit effectivement de mobiliser une méthode appropriée pour calculer une quatrième proportionnelle sans convoquer, chez les étudiants, des processus complexes en lien avec l'expérimentation, la formation ou la validation de résultats généraux inhérents à l'activité mathématique en tant que pratique. A contrario, le choix de Q2 permet justement aux étudiants d'entrer dans une telle pratique (voir les analyses données dans Da Ronch, 2022 et Da Ronch et al., 2020). Enfin, pour Q3, nous avons privilégier le terme général « activité mathématique » plutôt que le terme « activité de recherche mathématique » afin de ne pas influencer l'orientation quant aux choix des énoncés. De plus, aucune précision n'a été apportée durant la passation du questionnaire, ni aucune question de la part des étudiants n'a été soulevée sur ce vocable.
## II.2. Méthode de traitement et d'analyse des données recueillies : codage en double aveugle et test de corrélation de Spearman

Pour traiter et analyser les productions des étudiants et être capable de repérer leurs conceptions de l'activité mathématique, nous avons dans un premier temps coder les réponses à la dernière question Q3 par des couples (1,0) ; (0,1) et (1,1). Ce qui signifie, par exemple, pour le premier couple (resp. le deuxième), que l'étudiant juge que la situation de proportionnalité Q1 (resp. la situation de recherche Q2) représente le plus celle qui relève de l'activité mathématique par rapport à la deuxième situation de recherche Q2 (resp. la première situation de proportionnalité Q1). Le couple (1,1) permet de pointer, quant à lui, un choix double de l'étudiant pour les deux situations relevant de Q1 et Q2.

Dans un second temps et afin de repérer les pratiques de l'activité mathématique des étudiants, nous avons défini pour chaque composante relative à l'activité mathématique (expérimentation, formulation et validation) des indicateurs construit de manière déductive grâce aux analyses *a priori* fournie dans la littérature (Da Ronch, 2022 ; Da Ronch et al., 2020) permettant de pondérer par des catégories (++ ; + ; - ; Ø) ces trois composantes. Nous les résumons dans le Tableau 1 ci-après. Le lecteur peut interpréter ces catégories comme allant de très satisfaisante (++), satisfaisante (+), incomplète (-) à absente (Ø).

Pour illustrer le Tableau 1, nous proposons de donner quelques éléments d'analyse mathématique. Par exemple, l'étude de cas particuliers de petites tailles permet de repérer certaines régularités au niveau de l'existence d'un pavage en fonction de la parité de la longueur du rectangle. Les rectangles de taille 1 × 1 ; 1 × 3 et 1 × 5 sont pavables sous ces conditions par exemple (Figure 3) puisqu'on est capable d'en exhiber un exemple (théorème d'existence).

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 3. Exemples de pavages des rectangles qui respectent les contraintes de coloration aux bords du rectangle.</figcaption></figure>

A l'inverse, les rectangles 1 × 2 et 1 × 4 ne sont pas pavables car, sous ces conditions, lorsque l'on pose la première tuile, les contraintes de coloration du rectangle imposent nécessairement la couleur rouge à droite – puisque la couleur à gauche, du haut et du bas sont déjà fixées par les conditions de coloration du rectangle. La deuxième tuile a donc nécessairement cette même couleur à gauche et par conséquent possède nécessairement la couleur bleue à droite pour des raisons analogues. On conclut que le rectangle 1 × 2 n'est donc pas payable sous les conditions de coloration proposées, puisqu'il ne respecte pas la contrainte de coloration à droite. Un raisonnement similaire pour le 1 × 4 aboutit à la même conclusion (Figure 4).
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 4. Exemples de non-existence de pavage pour les rectangles $1 \times 2$ et $1 \times 4$ avec la contrainte de coloration rouge sur le bord droit qui n'est pas respectée.</figcaption></figure>

L'étude de ces cas particuliers permet ainsi de formuler une CNS quant à l'existence d'un pavage dans ces conditions, à savoir : soit $q \ge 2$ un entier, le rectangle $1 \times q$ sous ces conditions est payable, si et seulement si, sa longueur $q$ est impaire.

La preuve de cette CNS repose sur des arguments mathématiques de périodicité et de coloration (Figure 5). En effet, pour prouver la CS, lorsque $q$ est impair, il suffit de partir du motif $1 \times 2$ de base, et de le translater autant de fois que nécessaire ($\lfloor \frac{q}{2} \rfloor$ fois) pour paver les $q-1$ premières cases. Il suffit ensuite d'ajouter la dernière tuile manquante possédant du bleu à gauche, du rouge à droite, du vert en haut et du jaune en bas. Cette CS et aussi une CN puisque le pavage généré est en fait unique : pour construite le motif de base $1 \times 2$, il n'y a pas d'autre choix que celui décrit précédemment (Figure 5). Ainsi, le pavage de longueur paire ne sera pas payable puisque la couleur droite de la dernière tuile sera forcément du bleu (il y a nécessairement une alternance des couleurs de gauche et de droite sur chacune des tuiles). Elle ne respecte donc pas les contraintes de colorations du rectangle. Une autre manière de procéder serait aussi de répéter $\lfloor \frac{q}{2} \rfloor$ fois le motif de base $1 \times 2$ pour remplir les $q+1$ cases et ôter la dernière tuile, ce qui nous aurait donné également le même pavage valide. Ainsi, nous venons d'établir une preuve de la CNS mentionnée ci-avant et la conjecture est dès lors prouvée<fnref n="3" />.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 5. Preuve de la CNS par argument de forçage et de périodicité</figcaption></figure>

À partir de ces éléments, nous avons pu construire une catégorisation à quatre niveaux pour chacune des composantes et décrire les indicateurs permettant de les repérer à travers les productions écrites analysées (Tableau 1).

<footnote n="3">³ Nous renvoyons le lecteur ou la lectrice intéressé aux travaux de Da Ronch (2022) qui établissent des résultats plus généraux sur les rectangles de taille $p \times q$.</footnote>
## Article soumis à la Revue Québécoise de Didactique des Mathématiques le 1.03.26

<table><caption>Tableau 1. Les trois composantes de l'activité mathématique encodées selon quatre catégories et leurs indicateurs de validité</caption><thead><tr><th colspan="5">Composante relative à l'expérimentation</th></tr><tr><th>Catégorie</th><th>++</th><th>+</th><th>-</th><th>Ø</th></tr></thead><tbody><tr><th>Indicateur</th><td>Plus de 2 cas particuliers sont traités avec une parité différente</td><td>2 cas particuliers sont traités avec une parité différente</td><td>Un cas particulier et traité ou 2 cas avec la même parité</td><td>Aucun cas particulier n'est traité</td></tr></tbody><thead><tr><th colspan="5">Composante relative à la formulation</th></tr><tr><th>Catégorie</th><th>++</th><th>+</th><th>-</th><th>Ø</th></tr></thead><tbody><tr><th>Indicateur</th><td>Formulation complète d'un résultat général (prouvé ou en l'état de conjecture) (SSI relatif à la CNS)</td><td>Formulation partielle d'un résultat général (prouvé ou en l'état de conjecture) (SI ALORS relatif à la CS ou CN)</td><td>Formulation incomplète ou erronée d'un résultat non général (prouvé ou en l'état de conjecture)</td><td>Aucune formulation de généralisation n'est explicitée</td></tr></tbody><thead><tr><th colspan="5">Composante relative à la validation</th></tr><tr><th>Catégorie</th><th>++</th><th>+</th><th>-</th><th>Ø</th></tr></thead><tbody><tr><th>Indicateur</th><td>Preuve intellectuelle - expérience mentale ou calcul sur les énoncés</td><td>Preuve pragmatique - exemple générique</td><td>Preuve pragmatique - expérience cruciale ou empirisme naïf</td><td>Absence de trace de preuve</td></tr></tbody></table>

Pour coder ces trois composantes à l'aide des catégories définies par ces indicateurs, nous avons procédé par un codage en double aveugle des productions de la deuxième situation Q2 de manière indépendante. Nous avons ensuite déterminé la mesure de l'accord intercodeur dans le codage en catégories grâce à la méthode statistique du calcul du coefficient $κ$ de Kappa de Cohen (Cohen, 1960). Cette méthode permet de mesure le degré de concordance entre deux codeurs par rapport au hasard. Landy et Kosh (1977) proposent un tableau d'interprétation de ce coefficient. Plus $κ$ est élevé (proche de 1) plus l'accord entre les deux codeurs est important.
<table><caption>Tableau 2. Interprétation du coefficient de Kappa de Cohen</caption><thead><tr><td>Valeur du coefficient kappa de Cohen (κ)</td><td>Interprétation</td></tr></thead><tbody><tr><td>&lt;0</td><td>Désaccord</td></tr><tr><td>0,00 – 0,20</td><td>Accord très faible</td></tr><tr><td>0,21 – 0,40</td><td>Accord faible</td></tr><tr><td>0,41 – 0,60</td><td>Accord modéré</td></tr><tr><td>0,61 – 0,80</td><td>Accord fort</td></tr><tr><td>0,81 – 1,00</td><td>Accord presque parfait</td></tr></tbody></table>

Le calcul de ce coefficient a donc été réalisé sur chacune des trois composantes relatives aux processus d'expérimentation, de formulation et de validation inhérentes à l'activité mathématique selon l'acceptation donnée. Par ailleurs, lorsque certaines données ont été codées différemment par les deux codeurs, une discussion a eu lieu afin de pouvoir statuer sur la valeur du codage à donner.

Enfin, nous avons cherché à déterminer si une corrélation existait entre le niveau moyen ordinal d'activité mathématique mesuré chez les étudiants grâce à l'analyse des productions de Q2 et le(s) énoncé(s) choisi(s) par ces étudiants à Q3 comme étant le plus représentatif de l'activité mathématique.

Pour ce faire, nous avons d'abord calculé la moyenne ordinale de l'activité mathématique de chaque étudiant. En d'autres termes, nous avons alloué une valeur numérique discrète allant de 3 à 0 pour chaque processus codé ++; +; -; Ø. Ce qui signifie par exemple que le symbole ++ est associé à la valeur 3, le symbole + à la valeur 2, etc. Pour déterminer ensuite la moyenne ordinale d'activité mathématique de chaque étudiant, nous avons pris la valeur de la partie entière supérieure de la moyenne d'activité mathématique calculée à laquelle nous avons pu associer le symbole ++; + ou - pour déterminer la moyenne ordinale pour chacun de ces étudiants. Nous avons effectué ensuite grâce au logiciel R Studio (R Core Team, 2021) un test de corrélation de Spearman $ρ_s$ (Spearman, 1961) avec un calcul de la significativité de la p-valeur sur nos variables ordinales afin de déterminer si une telle corrélation existait. La dispersion a ensuite été calculée grâce à l'écart interquartile (EIQ) permettant d'affiner l'interprétation de la valeur $ρ_s$.

### III. Résultats de l'étude

Dans un premier temps nous analysons les résultats obtenus à partir de la question Q3 visant à identifier les conceptions des étudiants sur l'activité mathématique à
partir des deux situations proposées (Q1 et Q2). Dans un second temps, nous analysons la pratique de l'activité mathématique des étudiants selon les trois composantes évoquées précédemment à partir de la situation Q2. Puis, pour finir, nous donnons une réponse quant à l'existence ou non d'une corrélation entre le niveau moyen ordinal d'activité mathématique de ces étudiants et leurs conceptions sur l'activité mathématique au moyen de ou des énoncés choisis.

### III.1. Conceptions des étudiants sur l'activité mathématique à partir des réponses à la question Q3

Sur 84 étudiants, 45 jugent que la situation Q1 relative à des situations de proportionnalité relève de l'activité mathématique. Seulement 10 étudiants jugent la situation Q2 plus représentative. 29 étudiants sont partagés et mentionnent les deux situations même si la tendance semble s'orienter davantage sur la situation relevant de Q1. Un résumé de ces résultats sont données dans le tableau ci-après (Tableau 3).

<table><caption>Tableau 3. Proportion des étudiants selon la situation ou les situations choisies</caption><thead><tr><th></th><th>Situation Q1</th><th>Situation Q2</th><th>Situations Q1 et Q2</th></tr></thead><tbody><tr><td>Proportion d'étudiants</td><td>45/84</td><td>10/84</td><td>29/84</td></tr><tr><td>Pourcentage (arrondi à l'unité)</td><td>54 %</td><td>12 %</td><td>35 %</td></tr></tbody></table>

La majorité des étudiants ont une vision très instrumentaliste de l'activité mathématique (54 %). Pour eux, l'activité mathématique se résume à une activité calculatoire, avec des enchaînements d'opérations, ou doit être reliée à un domaine spécifique, relevant d'un savoir particulier, rencontré au cours de leur scolarité. Le terme « logique » est souvent évoqué en référence à la situation Q2 chez les étudiants comme étant relatif à la réflexion ou au raisonnement, et ne prend qu'une place secondaire, très souvent déconnectée de l'acceptation scolaire qu'ils ont de l'activité mathématique. Nous donnons ci-après quelques extraits des réponses d'étudiants à la question Q3.

La première, car selon moi, le calcul et les problèmes sont plus importants que la logique dans les mathématiques. De plus le premier exercice reprend beaucoup plus de thèmes mathématiques que le deuxième.

Je trouve que la 1ère activité représente bien les mathématiques. Nous avons dû faire différents calculs tandis que le 2e exercice était basé sur notre réflexion.

Selon moi, la question 1 est beaucoup plus mathématiques car il y a de la proportionnalité ainsi que des calculs tandis que dans la situation 2 nous sommes dans de la logique.

La première activité relève plus de l'activité mathématique, parce qu'il y a clairement un contact avec des opérations et des nombres ex : multiplication,
tandis que la deuxième relève plus du domaine de la logique, il y a moins de contact avec les maths, presque pas même.

Pour moi ce serait plutôt la question 1, j'ai un souvenir des problèmes comme ça, de nombreux problèmes vus à l'école primaire de ce type-là.

Je pense que la 1ère situation concerne plus le domaine des mathématiques que la seconde. Pour moi, le second cas relève de la logique, ce qui est acquis grâce, en effet, aux mathématiques mais qui est un effet secondaire de ceux-ci [...] Il me semble donc évident qu'à mes yeux, le premier cas est un parfait exemple de mathématiques.

D'autres étudiants ont conscience que l'activité mathématique ne se limite pas aux aspects procéduraux et calculatoires, mais ont quand même l'idée que les autres aspects de cette activité (raisonnement par exemple) ne sont pas ou peu rencontrés dans le contexte scolaire comme l'atteste cet extrait d'étudiant.

La première étant très basée sur le calcul, je considère qu'elle représente les mathématiques scolaires. Pour moi les mathématiques sont beaucoup plus que juste faire des calculs, elles doivent pousser à un raisonnement, ce raisonnement peut amener à résoudre des solutions (ou pas) [...] permettant d'appréhender le monde en développant notre réflexion.

Par ailleurs, une minorité d'étudiants (12 %), ayant choisi la situation Q2 comme étant la situation la plus représentative de l'activité mathématique, ont une autre vision, reflétant l'acceptation donnée de l'activité mathématique dans la recherche, comme le montrent certaines productions d'étudiants (voir ci-après). Ils évoquent en effet souvent, à travers leur choix, l'importance en mathématiques de résoudre des problèmes grâce au raisonnement, à la logique, et à l'intériorisation de la représentation des objets mathématiques en jeu. L'activité mathématique ne relève pas juste de l'application de formules apprises à par cœur.

Pour moi les maths sont avant tout de la logique. Dans ces 2 exercices la logique ressort davantage dans le 2e alors que la première ce ne sont seulement des calculs qui sont fait par cœur car on nous a appris à faire de cette manière. Alors je dirai que la deuxième activité relève plus de l'activité mathématique.

Selon moi, la question 2 représente le plus ce qui relève de l'activité mathématique car le raisonnement attaché à cette question est plus complexe que celui de la question 1 où le raisonnement est simple et toujours le même. De plus, les mathématiques servent à résoudre des problèmes et la question 2 est un véritable problème (avec des contraintes). La question 1 relève plus du calcul, d'une procédure que l'on a apprise (la proportionnalité).

Pour moi, l'activité 2 représente mieux ce qui relève de l'activité mathématique. Cet exercice demande de se représenter des formes dans sa tête. Il demande une certaine réflexion et pas seulement de l'application de calcul. Pour moi, les
mathématiques sont autre chose que ce que l'on peut simplement résoudre à la
calculette (comme ex. 1).

Enfin, 35 % de la cohorte d'étudiants n'ont pas tranché entre **Q1** et **Q2**. Pour eux, les deux situations sont représentatives de l'activité mathématique évoquant principalement les raisons explicitées précédemment. Cependant, à travers l'analyse des productions, une part non négligeable semble tout de même s'orienter davantage vers la situation **Q1**. Nous avons tout de même fait le choix de ne pas classer ces productions dans la première catégorie afin de ne pas surinterpréter le discours des étudiants.

À partir de cette analyse, deux profils d'étudiants apparaissent. Un premier très représenté, de nature instrumentaliste, qui a une conception de l'activité mathématique très procédurale en lien étroit avec un savoir précis vu au cours de la scolarité. Un second, beaucoup moins présent, de profil orienté vers la résolution de problèmes, qui, quant à lui, a une vision moins cloisonnée et plus proche de l'acceptation qu'on retrouve de l'activité mathématique dans la recherche.

### III.2. Pratique de l'activité mathématique des étudiants à travers l'analyse des productions écrites relatives à la situation Q2

Le test de Kappa de Cohen réalisé sur les composantes liées à l'expérimentation, à la formulation et à la validation montre un degré significatif de concordance dans le double codage réalisé de manière indépendante. D'après le tableau d'interprétation de Landy et Kosh (1977), ce degré de concordance varie, selon la composante, d'un accord fort à un accord presque parfait dans les codages (Tableau 4). Notre degré de concordance étant significatif pour chaque composante, cela montre par conséquent la fiabilité de nos indicateurs.

<table><caption>Tableau 4. Résultat du calcul du coefficient de Kappa de Cohen et leur interprétation</caption><thead><tr><th></th><th>Expérimentation</th><th>Formulation</th><th>Validation</th></tr></thead><tbody><tr><td><strong>p</strong></td><td>0,89285714</td><td>0,8095238</td><td>0,80952381</td></tr><tr><td><strong>p<sub>h</sub></strong></td><td>0,44196429</td><td>0,4136550</td><td>0,40876559</td></tr><tr><td><strong>κ</strong></td><td>0,808≈0,81</td><td>0,6751465</td><td>0,67783304</td></tr><tr><td><strong>Interprétation de κ</strong></td><td>Accord<br>presque parfait</td><td>Accord fort</td><td>Accord fort</td></tr></tbody></table>

Le Tableau 5⁴ ci-après montre les résultats du double codage réalisé de manière indépendante et qui ont été utilisé dans le calcul de κ. De plus, un tableau de synthèse finale concernant le codage est proposé dans le Tableau 6. Ce tableau

<footnote n="4">⁴ Les écarts dans le codage de plus d'un pas (par exemple (++, -) ; (+, Ø), etc.) n'ont jamais été relevés, ils n'apparaissent donc pas dans le Tableau 5.</footnote>
permet d'illustrer les résultats obtenus après discussion entre les codeurs sur les points de désaccord.

<table><caption>Tableau 5. Codage par deux codeurs pour chacune des composantes et leur pourcentage associé</caption><thead><tr><td>Couple codé (x, y)</td><td>Expérimentation</td><td>Formulation</td><td>Validation</td></tr></thead><tbody><tr><td># (++, ++)</td><td>27 (32 %)</td><td>11 (13 %)</td><td>5 (6 %)</td></tr><tr><td># (++, +)</td><td>6 (7 %)</td><td>3 (4 %)</td><td>0</td></tr><tr><td># (+, +)</td><td>42 (50 %)</td><td>37 (44 %)</td><td>23 (27 %)</td></tr><tr><td># (+, -)</td><td>3 (3,6 %)</td><td>13 (15 %)</td><td>13 (15 %)</td></tr><tr><td># (-, -)</td><td>6 (7 %)</td><td>17 (20 %)</td><td>21 (25 %)</td></tr><tr><td># (-, Ø)</td><td>0</td><td>1 (1 %)</td><td>3 (4 %)</td></tr><tr><td># (Ø, Ø)</td><td>0</td><td>2 (2 %)</td><td>19 (23 %)</td></tr></tbody></table>

Les résultats donnés dans le Tableau 6 de synthèse montrent dans un premier temps que la composante liée à l'expérimentation est bien présente chez la majorité des étudiants. D'après le codage, 75 étudiants (89 %) sont entrés significativement dans ce processus en traitant au moins deux cas particuliers avec une parité différente. Ceci montre que pour résoudre le problème, les étudiants ont dû faire des choix pour fixer la valeur de la variable liée à la longueur du rectangle. L'appropriation du problème par le traitement de cas particuliers est une connaissance liée au processus d'expérimentation. Connaissance qui a donc été mobilisée par la majorité des étudiants

Dans un second temps, on remarque au niveau de la composante liée à la formulation que 51 étudiants (61 %) évoquent explicitement un résultat général sur le problème, prouvé ou en l'état de conjecture. Notons tout de même que seuls 11 étudiants (13 %) ont formulé correctement la condition nécessaire et suffisante (CNS) sous la forme d'une équivalence dans le cas général et 40 étudiants (48 %) ont uniquement donné une condition nécessaire ou suffisante (CN ou CS) sous la forme de « SI ALORS », répondant ainsi partiellement au problème. De plus, 33 étudiants (40 %) semblent avoir formulé un résultat local, incomplet ou erroné, sans généralisation mentionnée, ou n'ont absolument rien formulé explicitement.

Dans un troisième et dernier temps, on note que la majorité des étudiants ne sont pas réellement entrés dans la phase de validation attendue, sans production de preuve (22 étudiants, soit 26 %), ou alors des preuves s'apparentant à des preuves de nature pragmatique et non des preuves intellectuelles par expérience mentale ou calcul sur les énoncés par exemple (56 étudiants, soit 67 %). Au total, on a donc une majorité d'étudiants (78 étudiants, soit 93 %) qui ne sont pas entrés dans le processus de preuve intellectuelle. Les preuves pragmatiques repérées dans les
productions des étudiants relèvent principalement de l'empirisme naïf pour beaucoup d'entre eux : quelques cas particuliers de petite taille traités. Une faible proportion d'étudiants sont plutôt dans l'expérience mentale, en utilisant un exemple de taille assez grand, ou un exemple générique comme preuve de la généralisation. Seuls 5 étudiants (6 %) sont sortis du pragmatisme pour entrer dans la preuve intellectuelle en intériorisant l'action et en la détachant de sa réalisation sur un représentant particulier, avec des règles mathématiques identifiables.

Ces résultats montrent finalement que la majorité des étudiants éprouvent des difficultés à en entrer dans le processus de preuve en se détachant de l'exemple. Beaucoup traitent des cas particuliers, non nécessairement grands, relevant de l'empirisme naïf comme étant une preuve de généralisation. Par ailleurs, la formulation d'un résultat général (prouvé ou en l'état de conjecture) est très souvent partielle et seule la CN ou la CS est mentionnée, sans se préoccuper de la réciproque, de sa valeur de vérité et donc sans évoquer l'équivalence recherchée.

<table><caption>Tableau 6. Synthèse finale du codage après discussion entre les deux codeurs</caption><thead><tr><td>Décision finale sur le codage</td><td>Expérimentation</td><td>Formulation</td><td>Validation</td></tr></thead><tbody><tr><td># ++</td><td>27 (32 %)</td><td>11 (13 %)</td><td>5 (6 %)</td></tr><tr><td># +</td><td>48 (57 %)</td><td>40 (48 %)</td><td>23 (27 %)</td></tr><tr><td># –</td><td>9 (11 %)</td><td>30 (36 %)</td><td>34 (40 %)</td></tr><tr><td># Ø</td><td>0 (0 %)</td><td>3 (4 %)</td><td>22 (26 %)</td></tr></tbody></table>

### III.3. Existe-il une corrélation entre le niveau moyen ordinal d'activité mathématique des étudiants et leur choix d'énoncé entre la situation 1 et 2 relevant de leurs propres conceptions ?

Parmi les 84 étudiants ayant participé à cette étude, 13 ont un niveau moyen ordinal d'activité mathématique considéré comme faible (-). Parmi ces étudiants, 10 choisissent l'énoncé 1 relatif à Q1, 2 les énoncés 1 et 2 et 1 l'énoncé 2 relatif à Q2. 45 étudiants ont un niveau moyen ordinal d'activité mathématique considéré comme correct (+). Parmi les 45 étudiants, 18 ont choisi l'énoncé 1, 14 les énoncés 1 et 2 et 13 l'énoncé 2. Enfin, 26 étudiants ont un niveau moyen ordinal d'activité mathématique considéré comme satisfaisant (++). Parmi les 26 étudiants, 13 ont choisi l'énoncé 1, 7 les énoncés 1 et 2 et 6 l'énoncé 2. Ces résultats sont synthétisés sous la forme d'un nuage de points (Figure 6) et révèlent une dispersion certaine entre le niveau moyen ordinal d'activité mathématique et le choix des énoncés lié à leurs conceptions.
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 6. Nuage de points représentant le niveau moyen ordinal d'activité mathématique des étudiants en fonction de leur choix d'énoncé(s) (N = 84)</figcaption></figure>

Le calcul du coefficient de corrélation de Spearman $\rho_s$ sur notre population (N = 84) nous donne une valeur faible de $\rho_s$ ($\rho_s$ = 0,203). Cette valeur indique donc l'existence d'une relation monotone de faible intensité. C'est-à-dire que lorsque l'une des variables augmente, l'autre tend à augmenter également, mais de manière limitée comme le montre la courbe rouge représenté sur la Figure 7. Ceci signifie que plus le niveau moyen ordinal d'activité mathématique des étudiants est élevé, plus les conceptions des étudiants sur cette activité semblent s'orienter vers notre acception par un choix orienté vers l'énoncé de la question Q2.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 7. Relation monotone de faible intensité entre le niveau moyen ordinal d'activité mathématique des étudiants et le choix d'énoncé(s) non significative d'un point de vue statistique ($\rho_s$ = 0,203, p = 0,064, N = 84)</figcaption></figure>

Toutefois ces propos sont à nuancer car l'analyse de la significativité statistique associée à ce coefficient ne permet pas de tirer une conclusion aussi significative. En effet, la p-valeur obtenue (p = 0,064) est supérieure au seuil de significativité fixé à 5 % (p > 0,05). En conséquence, la corrélation observée ne peut être
considérée comme statistiquement significative. Autrement dit, nous ne pouvons
rejeter l'hypothèse nulle d'absence de corrélation au sein de la population étudiée.
Ces résultats suggèrent donc une légère tendance relationnelle entre ces variables,
sans que celle-ci soit suffisamment robuste pour être généralisée avec un niveau
de confiance statistique standard. Cette absence de significativité peut s'expliquer
par la dispersion des données qui est illustrée par une répartition très hétérogène
du nuage de points figurant sur le Figure 6. Le calcul de l'écart interquartile (EIQ)
sur nos données ordinales vient corroborer ce phénomène de dispersion observée.
En effet, la valeur de l'EIQ est de 1 pour chacune des deux variables : l'une relevant
de l'activité mathématique ($Q_1 = 2, Q_3 = 3, EIQ = 1$) et l'autre du choix d'énoncé(s)
($Q_1^* = 3, Q_3^* = 2, EIQ^* = 1$). Ce résultat traduit une hétérogénéité marquée des profils
et des pratiques étudiantes. Effectivement, notre échelle ordinale a trois niveaux
distincts ++ / + / - et énoncé 1 / énoncés 1 et 2 / énoncé 2, ce qui traduit donc une
dispersion modérée à élevée. Ainsi, ceci indique que 50 % de ces étudiants se
répartissent sur deux niveaux distincts, ce qui témoigne d'une hétérogénéité
notable des profils et des pratiques. Une telle dispersion contribue ainsi à atténuer
la force de la relation observée entre nos variables, et participe à expliquer que le
coefficient de corrélation $\rho_s$ de Spearman mesuré soit relativement faible, c'est-à-
dire proche de la valeur nulle.

En conclusion, bien que le coefficient indique une orientation positive du lien,
celui-ci doit être interprété avec prudence et ne permet pas, à ce stade de l'étude,
de conclure à l'existence d'une association statistiquement significative entre les
variables considérées. Il n'existe donc pas de lien notable entre le niveau moyen
ordinal d'activité mathématique des étudiants et leurs conceptions sur cette
activité en fonction des choix d'énoncé(s) effectué(s). Ainsi, nous ne pouvons pas
dire explicitement que plus le niveau moyen ordinal d'activité mathématique
relevé chez les étudiants est élevés, plus leurs conceptions de l'activité
mathématique est proche de celle identifiée par la recherche.

Enfin, nous constatons également que les étudiants ayant une moyenne ordinale
d'activité mathématique jugée satisfaisante ne savent pas forcément reconnaître
un énoncé ayant un fort potentiel pour générer une activité mathématique au sens
de notre définition. En effet, parmi ces 26 étudiants identifiés, seuls 6 choisissent
l'énoncé relatif à la situation Q2, ce qui représente à peine 23 % de ce panel
d'étudiants.

IV. Discussion sur les résultats de l'étude au croisement des recherches actuelles

Notre étude, basée sur un questionnaire à visée diagnostique, a permis de
répondre à nos différentes questions de recherche orientées sur les conceptions et
les pratiques de l'activité mathématique des étudiants primo-entrants dans la
formation à l'enseignement primaire en Suisse romande. Nous discutons de ces
résultats dans les prochaines sections en les mettant en perspective avec les recherches internationales en pointant aussi leurs limites.

## IV.1. Conception instrumentaliste de l'activité mathématique des futurs enseignants à l'enseignement primaire (QR1 et QR1bis)

Les résultats de notre étude ont permis de montrer que la majorité des étudiants entrant en formation à l'enseignement primaire développent une conception largement instrumentaliste de l'activité mathématique. Cette tendance a été mise en évidence à travers le choix majoritaire d'un énoncé orienté vers des tâches routinières, fermées, en lien direct avec le concept de proportionnalité, mobilisant des procédures de calculs circonscrites à un savoir mathématique prescrit. À l'inverse, le second énoncé, ouvert, non routinier et non adossé à un contenu curriculaire spécifique, nécessitait l'engagement dans une activité mathématique plus authentique, plus complète, impliquant des phases d'expérimentation, formulation et validation. Le profil des étudiants ainsi dégagé correspond à une vision principalement instrumentaliste des mathématiques au sens d'Ernest (1989), centrée sur l'application de techniques opératoires plutôt que sur une vision exploratoire.

Ce résultat n'est toutefois pas surprenant au regard d'une part, des travaux antérieurs, et d'autre part, des ressources curriculaires auxquelles les étudiants ont été confrontées dans leurs parcours antérieurs. En effet, plusieurs recherches soulignent que les croyances mathématiques des enseignants s'enracinent souvent dans les mathématiques scolaires qu'ils ont eux-mêmes expérimentées en tant qu'élèves et qui, de facto, influencent leurs pratiques professionnelles (p. ex., Pajares, 1992 ; Beswick, 2005 ; Ernest, 1989 ; Philipp, 2007 ; Van Zoest et al., 1994) et par conséquent certainement leurs pratiques même de l'activité mathématique en résolution de problèmes. De plus, les recherches relevant de l'analyse des ressources du curriculum suisse, au niveau du cycle 2, semblent corroborer ce fait : très peu de ressources permettent aux élèves d'accéder à une activité mathématique authentique et complète (Da Ronch et al., 2023, 2026b ; Mili et al., 2025). Ceci peut peut-être expliquer les difficultés qu'ont ces étudiants en entrer dans une pratique de l'activité mathématique complète.

Par ailleurs, Beswick (2012) montre dans ses travaux que les enseignants distinguent les mathématiques scolaires, perçues comme procédurales, fermées et orientées vers l'application de méthodes connues, des mathématiques du chercheur, envisagées comme beaucoup plus exploratoires et ouvertes. Ainsi, le choix majoritaire des étudiants en faveur de la tâche routinière peut être interprété comme le reflet d'un rapport à l'activité mathématique encore fortement structuré par une conception instrumentaliste des mathématiques liées à leur parcours scolaires. Cette orientation laisse donc présager que, sans intervention spécifique
dans le cadre de la formation des enseignants, leurs futures pratiques professionnelles pourraient reproduire une vision réduite de l'activité mathématique, limitant la place accordée à l'exploration, à la formulation de conjectures, au débat scientifique, ou encore à la validation ou la réfutation de propositions grâce à des arguments mathématiques. Enfin, soulignons que telle que la question Q3 est posée, nous ne sommes pas en mesure de distinguer si la justification dans le choix des énoncés concerne des conceptions liées réellement la nature même des mathématiques, à leur enseignement ou à leur apprentissage. Ceci pointe donc une limite de notre étude sur la nature même des conceptions déclarées chez les étudiants. Autrement dit, leurs déclarations relèvent-elles d'une posture de futurs professionnels de l'enseignement ? d'étudiants en formation ? ou liées à des convictions uniquement personnelles ?

## IV.2. Pratiques de l'activité mathématique chez les futurs enseignants du primaire : la preuve comme dimension marginalisée chez les étudiants (QR2)

En lien avec l'analyse des résultats à la question Q2, nous avons montré que peu d'étudiants mobilisent une activité authentique suivant les trois composantes qui la définisse. La dimension expérimentale est présente mais les composantes liées à la formulation d'un résultat plus générale et à la preuve sont peu présentes. En particulier, les étudiants s'engagent peu dans le processus de preuve. La majorité propose des preuves s'apparentent à de l'empirisme naïf et n'arrivent pas à se détacher de l'exemple. Par ailleurs et dans un prolongement de ce travail, les études récentes que nous avons menées en 2024 et 2025 avaient pour but d'identifier, au sein d'une population similaire, (cohortes d'étudiants primoentrants dans la formation à l'enseignement primaire), leurs conceptions et leurs pratiques de la preuve en mathématiques (Da Ronch, et al., 2025b ; 2026a). Nos résultats semblent confirmer le résultat de cette présente étude. En effet, à partir d'un autre questionnaire administré auprès d'une population d'étudiants de première année en formation, les analyses font apparaître des écarts entre les conceptions de la preuve en mathématiques et les pratiques de preuve que les étudiants mobilisent spontanément pour évaluer des preuves. Ces futurs enseignants du primaire suisse reconnaissent en fait les preuves intellectuelles déductives comme la norme institutionnelle en matière d'exactitude et de rigueur, tout en privilégiant spontanément les approches empiriques, manipulatives ou basées sur des exemples (Da Ronch et al., 2026a) que l'on retrouve aussi dans cette présente étude au niveau de la validation. Ces faits permettent donc de pointer l'importance à accorder au travail de la preuve en résolution de problèmes dans la formation des enseignants afin de combler les carences repérées dans cette étude et les travaux récents décrits ci-avant.
### IV.3. Pas de relation significative entre les conceptions et les pratiques de l'activité mathématique des étudiants (QR3)

Dans cette étude nous n'avons pas identifié de corrélation statistiquement significative entre les conceptions des étudiants sur l'activité mathématique déclarées à travers le choix des énoncés et leurs pratiques de cette activité en contexte de résolution de problèmes ($\rho_s = 0,203, p - valeur = 0,064, N = 84$). À cette occasion, un phénomène de dispersion a été observé à travers notre échantillon, et le calcul de l'écart interquartile nous a permis de le vérifier. Ainsi, nous ne pouvons pas conclure que plus les étudiants ont une conception de l'activité mathématique proche de celle du chercheur, plus ils sont un niveau moyen d'activité mathématique considéré comme bon. Tout ce que l'on peut dire c'est que ne peut pas rejeter l'hypothèse d'absence de corrélation entre ces deux variables.

Ce résultat peut paraître surprenant. On pourrait en effet s'attendre à ce que les conceptions des étudiants relatives à l'activité mathématique soient liées à leurs pratiques en résolution de problèmes. D'autres travaux ont d'ailleurs mis en évidence une relation entre conceptions et pratiques, non pas en résolution de problèmes, mais dans les pratiques professionnelles en classe de mathématiques (p. ex., Beswick, 2005, 2012 ; Thompson, 1984 ; Liljedahl, 2008).

Enfin, nous avons également mis en évidence que certains étudiants, bien qu'ayant un niveau de maîtrise en résolution de problèmes jugé satisfaisant au regard de la situation proposée, peinent à identifier un problème comme étant un candidat pertinent pour générer une activité mathématique complète. Ce constat souligne la nécessité d'outiller les futurs enseignants sur cette question au cours de leur formation. Autrement dit, il s'agit de les amener à réfléchir à des critères opérationnels leur permettant d'évaluer le potentiel d'un problème à susciter une véritable activité mathématique chez leurs élèves (Mili et al., 2025 ; Da Ronch et al., 2026b).

### Conclusion, perspectives de recherche et leviers pour la formation des enseignants

Cet article avait pour objectif de repérer les conceptions et les pratiques sur l'activité mathématique qu'ont les étudiants primo-entrants dans la formation à l'enseignement primaire dans le contexte Suisse romand. L'étude a été réalisée sur la base des réponses de 84 étudiants de la Haute École Pédagogique du Valais à un questionnaire proposé à l'entrée de leur formation (premier semestre) en 2021. Un profil d'étudiants ressort significativement celui de l'étudiant qui a une vision instrumentaliste au sens d'Erbest (1989) de l'activité mathématique. En effet, les résultats de notre étude montrent que la grande majorité d'entre eux ont une conception très procédurale, calculatoire et attachée à un savoir précis rencontré
au cours de leur scolarité de l'activité mathématique. Par ailleurs, les résultats sur leurs pratiques de l'activité mathématique en résolution de problèmes montrent que, bien qu'ils entrent facilement dans le processus d'expérimentation par l'étude de cas particuliers, ils éprouvent des difficultés dans les autres composantes de cette activité (formulation et validation). En effet, les étudiants peinent à formuler correctement un énoncé généralisé écrit sous la forme d'une condition nécessaire et suffisante et ont, a fortiori, des difficultés à entrer dans le processus de preuve. Ces derniers ne dépassent généralement pas des preuves de nature pragmatique liées à des représentants particuliers comme le confirment par ailleurs nos récents travaux sur les conceptions et pratiques de la preuve en mathématiques (Da Ronch et al., 2025b, 2026a).

À cet effet, depuis 2021, nous avons mis en place un dispositif d'ateliers centrés sur la résolution de problèmes (Da Ronch & Mili, 2024 ; Da Ronch et al., 2025a). Pour ce faire, nous utilisons des SiRFe (Situations de Recherche pour la Formation des enseignants), dans le prolongement des travaux sur les SiRC (Situations de Recherche en Classe) de Grenier et Payan (2003), visant à répondre aux difficultés observées chez les étudiants concernant leurs conceptions et leurs pratiques de l'activité mathématique et de preuve. Ces ateliers permettent aux étudiants de se placer véritablement dans une posture de chercheur et ont pour vocation à faire évoluer leurs conceptions et leurs pratiques de l'activité mathématique et en particulier de la preuve. Ce dispositif est, en quelque sorte, construit sur une stratégie de formation basée sur l'homologie (Houdement & Kuzniak, 1996), avec le souhait que les étudiants utilisent ce qu'ils ont vécu à travers ce dispositif dans leurs pratiques de classe ordinaire. En outre, ce dispositif permet d'objectiver (par les étudiants) et d'institutionnaliser (par le formateur), les savoirs et savoir-faire mathématiques en jeu, en les rattachant au curriculum prescrit en Suisse romande (PER). Elles permettent aussi d'introduire voire de réintroduire certains savoirs professionnels didactiques qui émergent chez les étudiants au cours de ces ateliers et qui sont, ou seront, vus au cours de leur formation (p. ex., la notion de situation didactique, de milieu, de variable didactique, de variable de recherche, de postures de l'enseignant, de formes sociales de travail des élèves, etc.).

D'autres leviers mériteraient sans doute d'être mobilisés à une échelle plus large, notamment tout au long du parcours scolaire des futurs enseignants. Il s'agirait de faire évoluer, dès les premières années de scolarité, leurs conceptions et leurs pratiques relatives à l'activité mathématique et à la preuve, en proposant au niveau des ressources du curriculum prescrit des types de problèmes adéquate qui permettraient d'éviter de creuser un écart entre les mathématiques scolaires et celles du mathématicien. Effectivement, comme nous l'avons montré dans une précédente étude, la grande majorité des problèmes demeure assez éloignée de ceux permettant de faire travailler véritablement la pratique de l'activité mathématique à travers ces trois composantes : l'expérimentation, la formulation et la validation (Da Ronch et al., 2023, 2026b ; Mili et al., 2025). Dans le contexte de
la Suisse romande, les « bons candidats » semblent encore malheureusement trop peu présents dans le curriculum prescrit à l'école primaire. L'introduction de nouveaux problèmes, judicieusement choisis grâce aux études épistémologiques et didactiques réalisées dans notre communauté de recherche, et leur mise en œuvre dans les classes, permettraient sur le long terme de contribuer à l'évolution positive des conceptions et des pratiques sur l'activité mathématique des futurs enseignants du primaire, voire de tous les étudiants de manière générale. Par ailleurs, il serait aussi souhaitable d'outiller les étudiants en formation afin qu'ils puissent évaluer le potentiel d'une ressource à favoriser une véritable activité mathématique, afin que ces derniers puissent proposer des problèmes adéquats à leur élèves. Cette remarque fait suite au fait que certains étudiants, même si dans notre étude, ont des résultats satisfaisants en résolution de problèmes, éprouvent des difficultés à reconnaitre les bons candidats problèmes.

Enfin, la mise en place d'une étude longitudinale, conduite pendant la formation initiale puis prolongée lors de l'entrée dans la profession, permettrait d'évaluer l'impact de ce type de dispositif sur l'évolution des conceptions et des pratiques des futurs enseignants. Un tel suivi offrirait la possibilité d'analyser les transformations progressives de leur rapport à l'activité mathématique et à la preuve, mais également d'examiner la manière dont ces évolutions se traduisent concrètement dans leurs pratiques de classe. Cette approche permettrait ainsi de mieux comprendre les effets différés de la formation et la durabilité des changements observés.

## Bibliographie

Artigue, M., & Houdement, C. (2007). Problem solving in France: didactic and curricular perspectives. *ZDM, 39*(5), 365-382. https://doi.org/10.1007/s11858-007-0048-x

Balacheff, N. (1987). Processus de preuve et situations de validation (Proving Processes and Situations for Validation). *Educational studies in mathematics*, 147-176. https://doi.org/10.1007/BF00314724

Balacheff, N. (2019). L'argumentation mathématique, précurseur problématique de la démonstration. *Actes du XXVIe Colloque de la CORFEM*. https://hal.science/hal-02981131/

Beswick, K. (2005). The beliefs/practice connection in broadly defined contexts. *Mathematics Education Research Journal*, 17(2), 39-68. https://doi.org/10.1007/BF03217415

Beswick, K. (2012). Teachers' beliefs about school mathematics and mathematicians' mathematics and their relationship to practice. *Educational studies in mathematics*, 79(1), 127-147. https://doi.org/10.1007/s10649-011-9333-2
Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. La pensée Sauvage : Grenoble.

Cai, J., & Nie, B. (2007). Problem solving in Chinese mathematics education: Research and practice. ZDM, 39(5), 459–473. https://doi.org/10.1007/s11858-007-0042-3

Chevallard, Y. (1998). Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mathématiques : l’approche anthropologique. *Actes de l’UE de la Rochelle*, pp. 91–118.

Cohen, J. (1960). A Coefficient of Agreement for Nominal Scales. Educational and Psychological Measurement, 20(1), 37–46. https://doi.org/10.1177/001316446002000104

Common Core State Standards for Mathematics (CCSS). (2010). Common Core State Standards initiative. http://www.corestandards.org

Da Ronch, M., Gandit, M., & Gravier, S. (2020). Du problème de Wang vers une nouvelle situation de recherche pour la classe. *Repères IREM, 121*, 77-105. https://hal.science/hal-03030861v1/

Da Ronch, M. (2022). *Pratique de l'activité mathématique en médiation : modèles didactiques et conception d'ingénieries*. (Doctoral dissertation, Université Grenoble Alpes [2020-....]). https://cnrs.hal.science/tel-04089443/

Da Ronch, M., Gardes, M-L., & Mili, I. (2023). Study of the potential of problems to practice a research activity in mathematics at elementary school in French-speaking Switzerland. In Drijvers, P., Csapodi, C., Palmér, H., Gosztonyi, K., & Kónya, E. (Eds.). *Proceedings of the Thirteenth Congress of the ERME (CERME13)* (pp. 96–103). Alfréd Rényi Institute of Mathematics and ERME. https://hal.science/hal-04408292v1.

Da Ronch, M., & Mili, I. (2024). Savoirs professionnels de l'enseignant et Situation de Recherche pour la Classe dans un dispositif de formation du primaire. In *Actes du 50e colloque international de la COPIRELEM Mathématiques et diversité à l'école. Aider les élèves, accompagner les enseignants* (pp. 427-442). 4-6 juin 2024, Bonneuil sur Marne. https://hal.science/hal-04601848/

Da Ronch, M., Gandit, M., & Mili, I. (2025a). Modélisation des situations de recherche pour la formation professionnelle des enseignants. In Derouet, C., Durand-Guerrier, V, Lemrich, C. & Mathé, A-C (Eds.). *Pré-actes du colloque international en hommage à l'œuvre de Guy Brousseau* (pp. 204-208). Université de Bordeaux. https://hal.science/hal-04975494

Da Ronch, M., Mili, I., & Ouvrier-Buffet, C. (2025b). Beliefs on proof in mathematics: A survey of future elementary school teachers in Switzerland.
Submitted to *The sixth Conference of International Network for Didactic Research in University Mathematics*. https://hal.science/view/index/docid/5379849

Da Ronch, M., Mili, I., & Ouvrier-Buffet, C. (2026a). A tool for identifying future primary school teachers' conceptions of proof. Submitted to the 49th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, July 27 to August 1 2026, Helsinki, Finland.

Da Ronch, M., Gardes, M-L., & Mili, I. (2026b). Reliability and Validity of a Tool for Analyzing Resource Potential for Mathematical Activity. Soon Submitted in the journal of *Educational Studies in Mathematics*.

Ernest, P. (1989). The impact of beliefs on the teaching of mathematics. In P. Ernest (Ed.), *Mathematics teaching: The state of the art* (pp. 249–253). New York: Falmer

Gardes, M. L. (2013). *Étude de processus de recherche de chercheurs, élèves et étudiants, engagés dans la recherche d'un problème non résolu en théorie des nombres* (Doctoral dissertation, Université Claude Bernard-Lyon I). https://theses.hal.science/tel-00948332/

Gravier, S., & Ouvrier-Buffet, C. (2022). The mathematical background of proving processes in discrete optimization – Exemplification with Research Situations for the Classroom. *ZDM, 54*(4), 925–940. https://doi.org/10.1007/s11858-022-01400-3

Garey, M. R., & Johnson, D. S. (2002). Computers and intractability (Vol. 29). New York: wh freeman.

Grenier, D., & Payan, C. (2003). Situations de recherche en "classe", essai de caractérisation et proposition de modélisation. In V. Durand-Guerrier & C. Tisseron (Eds.), *Actes du Séminaire National de didactique des mathématiques* (pp. 189–205). IREM de Paris 7.

Grigutsch, S., Raatz, U., & Törner, G. (1998). Einstellungen gegenüber mathematik bei mathematiklehrern. *Journal für mathematik-didaktik, 19*(1), 3–45. https://doi.org/10.1007/BF03338859

Hadamard, J. (1945). The psychology of invention in the mathematical field. Princeton University Press.

Halmos, P. (1980). The heart of mathematics. *American Mathematical Monthly, 87*, 519–524. https://doi.org/10.2307/2321415

Houdement, C., & Kuzniak, A. (1996). Autour des stratégies utilisées pour former les maîtres du premier degré en mathématiques. *Recherches en didactique des mathématiques, 16*(3), 289–322.
Landis, J. R., & Koch, G. G. (1977). The Measurement of Observer Agreement for Categorical *Data. Biometrics*, 33(1), 159-174. https://doi.org/10.2307/2529310

Liljedahl, P. (2008). Teachers' insights into the relationship between beliefs and practice. In J. Maab & W. Schloglmann (Eds.), *Beliefs and attitudes in mathematics education: New research results* (pp. 33-44). Rotterdam, NL: Sense Publishers.

Liljedahl, P., & Santos-Trigo, M. (Eds.). (2019). Mathematical problem solving. Springer International Publishing.

Mili, I., Da Ronch, M., & Gardes, M. L. (2025). Combining a theoretical framework and a statistical measure to assess the reliability of didactic criteria in the analysis of large corpora. *Bosch, M., Bolondi, G, Carreira, S., Spagnolo, C., & Gaidoschik, M. (Eds.). (2025). *Proceedings of the Fourteenth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME14)*. Free University of Bozen-Bolzano and ERME (pp. 2832-2839). https://hal.science/hal-05283880v1

NCTM (1989) Curriculum and evaluation standards for school mathematics. NCTM, Reston.

NCTM (2000) Principles and standards for school mathematics. National Council of Teachers of Mathematics, Reston.

NCTM (2009) Focus in high school mathematics.Reasoning and sense making. NCTM, Reston.

Perrin, D. (2007). L'expérimentation en mathématiques. *Petit x*, 73(6), 6-34.

Philipp, A. (2007). Mathematics teachers' beliefs and affect. In F. K. Lester (Ed.), *Second handbook of research on mathematics teaching and learning*. Reston: National Council of Teachers of Mathematics.

Polya, G. (1945). How to solve it: A new aspect of mathematical method. Princeton university press.

Radišić, J., Buchholtz, N., Yang-Hansen, K., Liu, X., & Kaarstein, H. (2024). Do teachers' beliefs about the nature and learning of mathematics affect students' motivation and enjoyment of mathematics? Examining differences between boys and girls across six countries. *European Journal of Psychology of Education*, 39(2), 1587-1613. https://doi.org/10.1007/s10212-024-00809-6

R Core Team (2021). R a Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna. https://www.R-project.org

Selden J., Mason A., & Selden A. (1989). Can average calculus students solve nonroutine problems? *Journal of Mathematical Behavior*, 8, 45-50

Spearman, C. (1961). The Proof and Measurement of Association Between Two Things. In J. J. Jenkins & D. G. Paterson (Eds.), *Studies in individual differences: The*
search for intelligence (pp. 45-58). Appleton-Century-Crofts.
https://doi.org/10.1037/11491-005

Thompson, A. G. (1984). The relationship between teachers' conceptions of mathematics and mathematics teaching to instructional practice. *Educational Studies in Mathematics, 15*, 105-127. https://doi.org/10.1007/BF00305892

Thompson, A. G. (1992). Teachers' beliefs and conceptions: A synthesis of the research. In D. A. Grouws (Ed.), *Handbook of research on mathematics teaching and learning: A project of the National Council of Teachers of Mathematics* (pp. 127-146). New York: Macmillan Publishing Company.

Van Zoest, L. R., Jones, G. A., & Thornton, C. A. (1994). Beliefs about mathematics teaching held by pre-service teachers involved in a first grade mentorship program. *Mathematics Education Research Journal, 6*(1), 37-55.
https://doi.org/10.1007/BF03217261

## Annexe du questionnaire

**Question 1.** Répondre à chacune des questions suivantes (qui fait référence à une situation de proportionnalité), tout en justifiant votre démarche

*Answer each of the following questions (which refers to a proportionality situation), while justifying your approach*

a. Sachant que 2 pains coûtent 5 francs, combien coûtent 20 pains ?
*Knowing that 2 loaves of bread cost 5 francs, how much do 20 loaves cost?*

b. Sachant que 4 pains coûtent 10 francs, combien coûtent 12 pains ?
*Knowing that 4 loaves of bread cost 10 francs, how much do 12 loaves cost?*

c. Sachant que 4 pains coûtent 10 francs, combien coûtent 32 pains ?
*Knowing that 4 loaves of bread cost 10 francs, how much do 32 loaves cost?*

d. Sachant que 4 pains coûtent 10 francs, combien coûtent 14 pains ?
*Knowing that 4 loaves of bread cost 10 francs, how much do 14 loaves cost?*

e. Sachant que 4 pains coûtent 7,70 francs, combien coûtent 14 pains ?
*Knowing that 4 loaves of bread cost 10 francs, how much do 14 loaves cost?*

**Question 2.** On dispose d'une collection de tuiles carrées en quantité suffisante où chaque tuile est partagée en **4 secteurs triangulaires colorés**: jaune, rouge, vert, bleu. Il est tout à fait possible de modifier l'ordre des couleurs sur les tuiles, l'essentiel étant qu'il y ait toujours les 4 couleurs différentes sur chacune des tuiles.

*You have a collection of square tiles in sufficient quantity where each tile is divided into 4 colored triangular sectors: yellow, red, green, blue. It is quite possible to change the order of the colors on the tiles, the main thing is that there are always the 4 different colors on each tile.*
<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Exemple d'une tuile avec la couleur bleue à gauche, rouge en bas, jaune à droite et verte en haut.

On peut assembler ces tuiles à condition d'avoir la même couleur sur le bord en commun.

*We can assemble these tiles as long as they have the same color on the edge in common.*

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

Motif valide

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

Motif non valide

Votre objectif est de trouver une condition pour pouvoir remplir une bande rectangulaire de la hauteur d'une tuile et d'une longueur quelconque, sachant qu'en plus de la contrainte précédente, on doit poser les tuiles de telle sorte que le rectangle pavé possède **quatre côtés monochromes et d'une couleur différente comme ci-dessous.**

*Your objective is to find a condition to tile a rectangular strip the height of a tile and of any length, knowing that in addition to the previous constraint, the tiles must be placed in such a way that the tiled rectangle has four monochromatic sides and of a different color as below*

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

Sous quelle condition une telle bande peut-elle être construite ? Justifiez votre démarche.

*Under what condition can such a strip be constructed? Justify your approach.*

**Question 3.** Parmi les deux situations précédentes (cf. questions 1 et 2), laquelle, selon vous, représente le plus ce qui relève de l'activité mathématique ? Pourquoi ?