Il y a, a priori, deux façons d'aborder ce type de questions :

On peut commencer par regarder le rang des images des vecteurs de la base (ou des vecteurs colonnes de la matrice), on a ensuite par le théorème du rang la dimension des noyaux, il suffit donc de choisir le bon nombre de vecteurs indépendants dans chaque noyau pour en avoir une base. On peut aussi commencer par déterminer une base de chaque noyau, on a alors immédiatement le rang grâce au même théorème du rang.

Il se trouve que tous les étudiants ayant abordé la question ont choisi de commencer par la détermination du rang, comme le suggère l'énoncé.

Dans le cas présent, les rangs sont respectivement 1 et 2. Le rang 1 se repère directement, pour le rang 2 on voit assez facilement une relation de liaison ($(\phi^2-id)(e_1)+(\phi^2-id)(e_2)+(\phi^2-id)(e_3)=0$) donc que $rg(\phi^2-id) \le 2$, pourtant même si c'est évident, il ne faut pas oublier ensuite de justifier que le rang est deux exactement. On a rencontré 16 cas (code REC) soit 33%, où cette justification n'apparaît pas. Cet "oubli" peut être jugé comme insignifiant, tellement la chose est simple, pourtant, surtout en début d'apprentissage, il nous a semblé important de le remarquer et même de le pénaliser. Aussi nous avons attribué une note de 1 (sur 2) dans ce cas-là, ainsi que dans les cinq cas où les explications sont trop laconiques (code EV).

La question est entièrement réussie dans 24 copies soit un taux de 49%. En général, le raisonnement est du genre de celui-ci-dessus, mais dans 4 copies, on utilise la méthode dite de Gauss (code GAUSS).

Il reste donc deux non réponses et un cas où l'étudiant annonce un rang 3 sans explication. On peut donc dire que ce début de question est un assez bon succès.

Pour la recherche des bases des noyaux, la plupart des étudiants écrivent les équations complètes (code EQUA) éventuellement après (ou avant) avoir déduit la dimension par le théorème du rang (code EQ/DM) 17+15 cas soit 65%. Dans ce cas, en fait, la connaissance de la dimension par le théorème du rang n'est qu'un moyen de valider des résultats trouvés indépendamment, et non pas un moyen de faciliter la recherche de la base. Dans 8 cas, soit 16%, on donne la base en exhibant un nombre égal à la dimension de vecteurs indépendants (code DIM). Cette façon de faire semble marquer la meilleure compréhension des concepts de base et de dimension, cependant il y a, parfois, un manque d'arguments explicites qui rend ces réponses un peu douteuses.

Les trois "bonnes" réponses sans code n'étaient pas justifiées clairement, nous les avons notées 1, au bénéfice du doute.

Cette deuxième partie de la question a été notée de façon binaire (N2b = 0 ou 1). Il y a 4 non réponses et le taux de réussite est de 86%.

Economiquement parlant, il aurait certainement été plus rentable de commencer par la recherche du noyau et de déduire ensuite le rang. Pourtant la méthode employée par les étudiants (et suggérée par

l'énoncé), même si elle fait double emploi, permet un contrôle intéressant avec le théorème du rang. Ce contrôle est rarement explicite chez les étudiants mais on trouve souvent des traces qui laissent penser qu'il a eu lieu. Bien sûr il existe des problèmes plus complexes, où l'économie devient une nécessité, il serait donc bon que les étudiants apprennent assez rapidement à utiliser le théorème du rang dans ce sens.

2-c Montrer que $W_1 \oplus W_2=E$ (note N2c sur 2).

2-d Montrer que $B_1 \cup B_2$ est une base de E (note N2d sur 1+1).

Si on regarde l'union des deux bases comme une juxtaposition de n-uplet (c'est-à-dire qu'on répète deux fois le même élément si nécessaire), ces deux questions sont identiques. Dans le premier cas, il suffit, après avoir remarqué que $dimW_1 + dimW_2=3$, de démontrer que l'intersection est réduite à 0. Dans le deuxième cas, il suffit de montrer l'indépendance des trois vecteurs de $B_1 \cup B_2$. Il est ici certainement plus simple, "techniquement parlant", de commencer par 2-d, puis d'en déduire 2-c. Pourtant encore une fois, l'énoncé induit implicitement l'autre ordre.

En fait, à part 7 cas (dont 6 déduisent 2-c de 2-d, le septième ne répondant pas à 2-c), tous les étudiants ont effectivement traité ces 2 questions dans l'ordre de l'énoncé.

Dans la note N2d nous avons ajouté un point à ceux qui repèrent l'identité des deux questions et n'en démontrent qu'une, déduisant l'autre. Dans ce cas nous avons codé DED dans la colonne C2c quand la supplémentarité est déduite de la base (6 cas) et dans la colonne C2d si c'est l'inverse (8 cas).

Pour la question 2-c, nous avons attribué une note de 2 à ceux utilisant un argument de dimension et démontrant correctement que l'intersection est réduite à 0, aux six déduisant cette question de 2-d, ainsi qu'à un étudiant ayant raisonné entièrement de façon géométrique. Ce dernier remarque directement que $W_1$ est un plan et $W_2$ une droite qui lui est sécante donc qu'ils sont supplémentaires (code GEOM).

Cela fait au total 17 notes 2, soit un taux de réussite de 35%.

Nous avons attribué une note de 1 :

- Aux réponses où l'argument sur la dimension est correct, mais la démonstration relative à l'intersection est fausse ou inexistante (code INT : 10 cas). Dans 6 de ces copies, nous avons retrouvé la même démonstration, elle consiste à faire le produit des deux matrices de $\phi^2-id$ et $\phi^2-id$, à trouver la matrice nulle et en déduire que l'intersection des noyaux est réduite à 0. Ceci est bien sûr inexact, le produit de deux endomorphismes nul signifie que le noyau du deuxième contient l'image
du premier (cf "vrai/faux"), mais n'induit rien sur les deux noyaux. Un contre-exemple simple consiste à prendre pour deuxième endomorphisme, l'endomorphisme nul, le premier ne l'étant pas, tout en ayant un noyau non réduit à 0. Cette fausse démonstration doit être le fruit d'une analogie douteuse avec un exercice déjà traité en TD, mais nous nous contenterons de la signaler faute de pouvoir en faire une meilleure interprétation.

- Aux réponses où, au contraire, le problème de l'intersection est bien analysé, mais où l'argument sur la dimension est fallacieux (code DIM : 9 cas). Typiquement dans ce cas on déduit de $dimW_1+dimW_2=3$, que $W_1+W_2=E$ puis de $W_1∩W_2=\{0\}$, que la somme est directe. Ce passage est délicat et suivant l'ordre dans lequel on dit les choses ce peut être vrai ou faux, en particulier un certain laconisme peut éviter des erreurs. Pourtant quand l'implication entre $dimW_1+dimW_2=3$ et $W_1+W_2=E$ est clairement explicitée avant d'avoir regardé l'intersection, il est à peu près certain que les notions de somme et de somme directe ne sont pas comprises dans tout leur sens.

-Aux réponses où, le problème de l'intersection est bien traité mais, où cette fois au lieu d'utiliser un argument de dimension, on revient à la démonstration directe de $W_1+W_2=E$ (code SOM : 5 cas). Ceci n'est pas inexact, mais c'est beaucoup plus lourd et plein de pièges, aussi nous a-t-il semblé juste de le sanctionner comme un manque de connaissance de techniques plus simples mais aussi conceptuellement plus fines.

Il y a enfin 3 réponses entièrement fausses et 7 non réponses.

Pour la question 2-d, nous avons mis une note binaire (0/1) (augmentée de 1 si elle est déduite de la précédent ou vice versa). Cette question est en général réussie du moment qu'elle est abordée ; on ne compte que 3 échecs, 9 non réponses et donc 37 bonnes réponses soit un taux de réussite de 76%.

Signalons enfin un cas particulier. Un étudiant (6k) répond à la question 2 ainsi : il donne le rang de chacun des endomorphismes (en oubliant la réciproque), en déduit la dimension du noyau, puis exhibe une base de E, qu'il partitionne en l'union d'une base de $Im(φ^2+id)$ et d'une base de $Im(φ^2-id)$, il montre ainsi (sans le dire explicitement) que ces deux images sont supplémentaires. Alors en utilisant, semble-t-il une généralisation abusive du théorème du rang (sous sa forme complète qui dit que tout supplémentaire du noyau est isomorphe à l'image), il conclut que la base de $Im(φ^2-id)$ est aussi une base de $Ker(φ^2+id)$ et de même avec $Im(φ^2+id)$ et $Ker(φ^2-id)$. Il achève la question, en montrant clairement qu'il a compris la similitude entre les questions 2-c et 2-d.

Cette réponse est un cas particulier, l'erreur commise, même si elle est importante, semble déjà contenir des indices d'une maturation plus avancée que dans les autres réponses, du concept de supplémentaire. Nous avons néanmoins appliqué notre grille d'analyse et d'évaluation

même dans ce cas, si bien que cet étudiant a un code REC et une note de 1 pour 2-a, une note de 0 pour 2-b et deux notes de 2 pour 2-c et 2-d avec un code DED en 2-d.

Finalement cette question qui peut paraître simple au premier abord, permet sur une trame assez élémentaire de racrocher plusieurs concepts que l'on peut aborder différemment, surtout grâce au théorème du rang. Ce dernier est un résultat très condensé, mais très riche en information si bien que son utilisation peut présenter des degrés qu'il nous a semblé intéressant de repérer.

Globalement la réussite des étudiants est assez bonne, puisque si on additionne les 4 notes, on obtient une moyenne de 4,5 sur 7. Néanmoins on peut reprocher un certain manque d'unité dans les réponses d'un même étudiant ; en effet seulement 7 étudiants utilisent 2-a pour simplifier 2-b (code DIM) (aucun ne fait l'inverse!) et 14 s'évitent 2 démonstrations en 2-c et 2-d, de plus un seul étudiant a utilisé ces deux simplifications. Ceci semble dénoter un manque de recul par rapport à la tâche à accomplir. Est-ce cependant une exigence que l'on peut avoir à l'égard de débutants ?

### Question 3

Nous avons également découpé cette question en 3 parties :

3-a Ecrire la matrice de $φ^2$ dans la nouvelle base (note N3a sur 2).

3-b Ecrire la relation entre les deux matrices (note N3b sur 1).

3-c calcul de $A^n$ (note N3c sur 1).

C'est dans cette question que l'on recueille les fruits des questions précédentes. 3-a est une question simple, puisque la nouvelle base est formée de vecteurs des noyaux de $φ^2-id$ et $φ^2-id$. Ecrire la matrice $N$ de $φ^2$ dans cette base, n'est plus qu'une formalité. Il est alors facile de voir que le carré de $N$ donc de $φ^2$, c'est-à-dire $φ^4$ est l'identité. On sait alors que $A^4$ est aussi la matrice identité et donc que $A^n$ ne prend que 4 valeurs suivant la congruence de n modulo 4.

Toute la démarche du problème était implicitement axée sur ce "dénouement", or l'immense majorité des étudiants, ayant traité la question, n'a pas vu la simplicité du début en liaison avec ce qui précédait, ils ont "sauté" sur le changement de base (et certainement reproduit un mécanisme bien appris), et a donc écrit d'emblée, la matrice de passage, cherché son inverse (en résolvant un système de 9 équations à 9 inconnues) écrit (numériquement) la relation demandée en 3-b et enfin déduit (parfois avec une erreur de calcul) la nouvelle matrice

Ce comportement se retrouve dans 25 copies (code PASS). Nous avons alors mis une note N3a de 0.

Il y a par ailleurs 9 non réponses à 3-a.

Dans 4 copies, la matrice est donnée directement mais avec la base
canonique au départ au lieu de la base $B_1 \cup B_2$ (code DEP) ; dans une autre copie c'est à l'arrivée que l'on trouve la base canonique (code ARR).

Ces deux types d'erreurs sont bien sur sanctionnés d'une note N3a nulle, ainsi que 3 autres cas dûs à des erreurs cumulées.

Dans 4 copies, la matrice est donnée sans écrire le changement de base, avec la bonne base $B_1 \cup B_2$ au départ et à l'arrivée, mais en reprenant les calculs laborieux des $\phi^2(e_i)$, comme si les vecteurs de la base étaient quelconques (code LONG) ! (note N3a=1).

Il reste enfin 3 copies auxquelles nous avons attribué une note N3a de 2, dans ces trois cas on reconnaît immédiatement le caractère immédiat de la tâche grâce aux questions précédentes.

Pour la question 3-b, nous avons mis une note N3b de 1 si la formule de changement de base est bien écrite. Dans le cas où la matrice de passage et son inverse sont données explicitement nous avons diminué la note de 0,5, pour une erreur de calcul trop grossière (code CAL : 2 cas).

De même pour la question 3-c, nous avons mis une note binaire, avec éventuellement un 0,5 en cas d'erreur de calcul (code CAL : 3 cas). Dans la colonne C3c nous avons également repéré par le code DIR (10 cas), ceux qui trouvent la valeur de $A^n$ en calculant directement $A^3$ et $A^4$ sans utiliser 3-b.

Encore plus qu'avec la précédente, on peut mesurer avec cette question le manque de recul des étudiants par rapport à leur activité. L'aspect calculatoire l'emporte sur le contrôle du sens dans la démarche induite par l'énonce, les étudiants suivent pas à pas les instructions et exécutent des tâches ponctuelles précises, souvent bien, mais ils perdent, jusqu'à l'absurde, le sens de ce qu'on leur demande de faire.

### Question 4

Dans cette question, il s'agit de voir que le triplet $(u_{n+1}, v_{n+1}, w_{n+1})$ est l'image par A du triplet $(u_n, v_n, w_n)$. La suite est une question de formulation.

De tels exemples, classiques du reste, avaient été vus en TD auparavant si bien que le principal intérêt de la question est de rappeler aux étudiants une application du calcul de la puissance nème d'un endomorphisme. Pour cette raison et parce que c'est la dernière question (à laquelle une non réponse n'est pas toujours significative à cause du facteur temps), nous avons choisi de ne pas tenir compte du 4) dans notre analyse.

## II - Attribution d'une note

La question 1 ayant été réussie par tous, il n'était pas utile de la faire intervenir dans la note, de même il nous a semblé que N2b n'était pas très significative, ayant été pratiquement systématiquement réussie par ceux ayant abordé la question. En additionnant les 6 notes restantes, on obtient la note N sur 10 suivante : $N=N2a+N2c+N2d+N3a+N3b+N3c$ (nous avons arrondi le total au demi point supérieur).

Le tableau ci-dessous donne la répartition des notes ainsi obtenues.

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

La moyenne globale est de 4,8 avec un écart-type de 2,1. Etant donné que l'on a enlevé deux questions faciles du barême, on peut considérer que c'est plutôt bon.

La répartition n'est pas très homogène. Il y a un gros pic sur 5, avec une montée progressive depuis 0, mais avec par contre, une chute brutale après 7.

On peut avancer l'hypothèse que le manque de cohésion dans les réponses et les calculs dispersés, manquant de sens par rapport au contexte général du problème, sont une cause du manque de très bonnes notes, malgré une réussite globale assez bonne. Le barême que nous avons adopté accentue encore cet effet. Il est aussi important de souligner que cette attitude peut aussi être conditionnée par le fait qu'il s'agit d'un devoir surveillé où le temps est un facteur contraignant qui peut gêner la prise de recul et exagérer le parti pris systématique de "la fin justifie les moyens". Ceci est d'ailleurs une remarque très générale qui peut s'appliquer à toutes nos analyses.

Nous avons distingué 3 tranches de notes :
- $N \le 3 : 12$ étudiants soit 24%.
- $4 \le N \le 5 : 19$ étudiants soit 39%.
- $N \ge 6 : 18$ étudiants soit 37%.
On obtient ainsi trois groupes, numériquement assez bien équilibrés, qui rendent compte de trois niveaux de réussite à ce devoir.
### III - Comparaison par groupes

Regardons tout d'abord si notre nouvel échantillon présente des différences significatives, par groupe, pour les résultats au prétest.

La nouvelle moyenne au prétest est de 13,5 avec un écart-type de 2,97, contre 13,2 et 3,02. Donc globalement c'est assez identique.

Dans le tableau ci-dessous nous donnons, par groupe, l'effectif, la moyenne et l'écart-type au prétest et au devoir surveillé n°3, ainsi que la répartition dans les trois tranches pour ce dernier devoir.

<table><thead><tr><th rowspan="2">N° GR</th><th colspan="3">PRETEST</th><th colspan="3">TROISIEME DEVOIR SURVEILLE</th></tr><tr><th>EFF</th><th>MOY</th><th>ECAR</th><th>MOY</th><th>ECAR</th><th>N≤3</th><th>4≤N≤5</th><th>N≥6</th></tr></thead><tbody><tr><td>3</td><td>20</td><td>13,40</td><td>2,72</td><td>4,70</td><td>1,81</td><td>5</td><td>8</td><td>7</td></tr><tr><td>4</td><td>16</td><td>13,31</td><td>2,85</td><td>3,88</td><td>2,13</td><td>5</td><td>8</td><td>3</td></tr><tr><td>6</td><td>13</td><td>13,92</td><td>3,62</td><td>5,92</td><td>2,02</td><td>2</td><td>3</td><td>8</td></tr></tbody></table>

Les moyennes au prétest sont dans chaque groupe, légèrement supérieures, avec le nouvel échantillon, surtout pour les groupes 3 et 4. Les remarques sur l'hétérogénéité sont à reconsidérées, en effet si le groupe 3 est toujours le plus homogène, par contre le groupe 6 a un écart-type nettement plus important alors que le groupe 4 en a un plus réduit.

Pour le devoir n°3, on retrouve le même ordre dans les moyennes, c'est-à-dire 6-3-4 dans l'ordre décroissant. Pourtant cet ordre est ici plus net puisqu'il y a chaque fois environ 1 point d'écart entre les moyennes, ce qui sur 10 commence à être significatif. Les écart-types sont tous assez voisins, et nous donnent donc pas de renseignements, si ce n'est une tendance à l'uniformisation dans l'hétérogénéité dans tous les groupes. Pourtant la répartition en tranche montre qu'entre les groupes 3 et 4 c'est le nombre de gens en dessus de 6, qui fait la différence, alors que pour le groupe 6 la répartition est globalement plus vers le haut.

Il semblerait donc que le groupe 3 réussisse mieux par la percée de quelques étudiants, et que le groupe 6 confirme son avance par progression uniforme.

### IV - Corrélation avec le prétest

Avant la corrélation, regardons si le nouvel échantillon comporte des différences significatives. Le tableau qui suit donne, en regard, pour la population du prétest (1er ech) et pour l'échantillon des 49 étudiants du DSn°3 (2ème ech), les caractéristiques au prétest.

<table><thead><tr><th></th><th>EFF</th><th>MOY</th><th>EQ1(2EQ3(2EQ3(0)Q(2)Q(0)ANASB=0B&lt;1B≤2</th><th>1er ech</th><th>84</th><th>13,2</th><th>63%</th><th>15%</th><th>17%</th><th>36%</th><th>33%</th><th>75%</th><th>56%</th><th>38%</th><th>63%</th><th>82%</th></tr></thead><tbody><tr><th>2ème ech</th><td>49</td><td>13,5</td><td>55%</td><td>20%</td><td>18%</td><td>37%</td><td>35%</td><td>82%</td><td>61%</td><td>39%</td><td>66%</td><td>86%</td><td>14%</td><td>31%</td><td>5%</td><td>5%</td><td>5%</td></tr></tbody></table>

( les pourcentages sont calculés sur la ligne)

A part peut-être, la différence pour les blocs EQ1 et EQ3 pleins, les deux échantillons ne présentent que des différences infimes. On peut dire ici encore, que l'hypothèse sur l'invariance des résultats quand on prend au hasard la moitié des effectifs d'un échantillon est confirmée.

Nous donnons maintenant sur le modèle de ce qui a été fait pour les DS n°1 et 2 et le pariel, deux versions du tableau croisé des résultats prétest/DSn°3 :

<table><caption>Tableau croisé n°1 : prétest/DS n°3</caption><thead><tr><th></th><th>EFF</th><th>MOY</th><th>EQ1(2EQ3(2EQ3(0)Q(2)Q(0)ANASB=0B&lt;1B≤2B≤2</th><th>TOTAL</th><th>49</th><th>13,5</th><th>55%</th><th>20%</th><th>18%</th><th>37%</th><th>35%</th><th>82%</th><th>61%</th><th>39%</th><th>66%</th><th>86%</th><th>14%</th></tr></thead><tbody><tr><th>MOY</th><td>4,8</td><td>12</td><td>12,3</td><td>33%</td><td>8%</td><td>33%</td><td>17%</td><td>42%</td><td>83%</td><td>58%</td><td>25%</td><td>42%</td><td>67%</td><td>33%</td><td>31%</td><td>31%</td><td>31%</td></tr><tr><th>N≤3</th><td>19</td><td>13,3</td><td>68%</td><td>11%</td><td>11%</td><td>32%</td><td>37%</td><td>89%</td><td>47%</td><td>37%</td><td>68%</td><td>95%</td><td>5%</td><td>5%</td><td>5%</td><td>5%</td><td>5%</td></tr><tr><th>4≤N≤5</th><td>18</td><td>14,6</td><td>56%</td><td>39%</td><td>17%</td><td>56%</td><td>27%</td><td>72%</td><td>78%</td><td>50%</td><td>78%</td><td>89%</td><td>11%</td><td>78%</td><td>50%</td><td>89%</td><td>11%</td></tr></tbody></table>

(Les pourcentages sont calculés sur la ligne)

<table><caption>Tableau croisé n°2 : prétest/DS n°3</caption><thead><tr><th></th><th>EFF</th><th>MOY</th><th>EQ1(2EQ3(2EQ3(0)Q(2)Q(0)ANASB=0B≤1B≤2B≥2</th><th>TOTAL</th><th>49</th><th>13,5</th><td>27</td><td>10</td><td>9</td><td>18</td><td>17</td><td>40</td><td>30</td><td>19</td><td>32</td><td>42</td><td>7</td></tr></thead><tbody><tr><th>MOY</th><td>4,8</td><td>5,1</td><td>6,1</td><td>3,8</td><td>5,6</td><td>4,4</td><td>4,7</td><td>4,9</td><td>5,4</td><td>5,3</td><td>5</td><td>3,1</td><td>3,1</td><td>3,1</td><td>3,1</td><td>3,1</td><td>3,1</td></tr><tr><th>N≤3</th><td>24%</td><td>12,3</td><td>15%</td><td>10%</td><td>44%</td><td>11%</td><td>30%</td><td>25%</td><td>23%</td><td>16%</td><td>16%</td><td>19%</td><td>57%</td><td>57%</td><td>57%</td><td>57%</td><td>57%</td></tr><tr><th>4≤N≤5</th><td>39%</td><td>13,3</td><td>48%</td><td>27%</td><td>23%</td><td>34%</td><td>41%</td><td>42%</td><td>30%</td><td>37%</td><td>40%</td><td>43%</td><td>14%</td><td>14%</td><td>14%</td><td>14%</td><td>14%</td></tr><tr><th>N≥6</th><td>37%</td><td>14,6</td><td>37%</td><td>70%</td><td>34%</td><td>56%</td><td>29%</td><td>32%</td><td>47%</td><td>47%</td><td>44%</td><td>38%</td><td>29%</td><td>29%</td><td>29%</td><td>29%</td><td>29%</td></tr></tbody></table>

(Les pourcentages sont calculés sur la colonne)

Ces tableaux semblent attester une assez bonne corrélation entre le prétest de logique et le troisième devoir, encore plus nettement peut-être qu'avec le premier. Encore une fois peu de blocs vides (Ø ou 1) est un très bon critère de réussite. Les blocs d'algèbre (AN et AS) ne semblent pas ou très peu corrélés avec ce devoir.

La corrélation a lieu aussi bien dans le sens de la réussite que dans celui de l'échec. Cependant il est intéressant de constater quelques phénomènes dans les deux tranches 4≤N≤5 et N≥6. En effet dans les colonnes EQ1(2), EQ3(0) et B≤2, les résultats sont dans l'ordre inverse de ce qu'ils devraient être dans le cas d'une corrélation absolue. Le même effet se produit entre les deux tranches 4≤N≤5 et N≤3, pour la colonne Q(0). Ces quelques interventions semblent montrer que s'il y a globalement une corrélation assez forte, c'est une tendance qui souffre quelques nuances et n'a pas un côté systématique.

Pourtant certaines données sont significatives, par exemple 47% des étudiants n'ayant aucun bloc vide (l'acune complète) en logique ont plus de 6 à ce devoir, alors que 57% de ceux ayant au moins trois blocs vides et 41% de ceux en ayant deux ou plus ont une note inférieure ou égale à 3.
Il semble donc bien que l'acquisition ou non de prérequis de logique soit un facteur assez déterminant dans la réussite en algèbre linéaire, au moins pour les prérequis testés par le prétest et pour les travaux d'algèbre linéaire de ce devoir, que l'on peut caractériser comme des tâches classiques de débutants sur les questions de noyau, rang et écriture matricielle des endomorphismes.

## G - Quatrième devoir surveillé - 20. Mai

Ce quatrième devoir surveillé contenant de l'algèbre linéaire, a été passé par les trois groupes pendant les mêmes trois heures. Il contient, dans cet ordre, un problème d'analyse (sur la résolution d'une équation différentielle) et deux exercices d'algèbre linéaire. On en trouvera, en annexe G-1, le texte complet, ainsi qu'un corrigé.

Nous avons analysé 50 copies, 19 du groupe 3, 20 du groupe 4 et 11 du groupe 6.

## I - Analyse a priori - Résultats quantitatifs :

A chaque question, ou sous-question, nous avons attribué une note et éventuellement des codes correspondants à certains types d'erreurs ou de bonnes réponses. Nos choix sont explicités dans ce qui suit et les résultats quantitatifs sont regroupés dans un tableau que l'on trouvera en annexe G-2.

### *Premier exercice...*

Ce premier exercice consiste en la résolution d'un système de trois équations linéaires à trois inconnues, dépendant d'un paramètre.

Au moment de ce devoir les étudiants venaient de voir la méthode de résolution par les déterminants dite de Cramer. Or dans le cas proposé, elle est certainement l'outil le plus adapté à la situation, car le système est carré de faible dimension (3x3) et de plus, le paramètre m intervient dans beaucoup de coefficients, ce qui rend la discussion de cas pénible si l'on fait une résolution avec la technique du pivot.

Il y a eu 4 non réponses à cette question.

Un seul étudiant a essayé d'appliquer directement la méthode du pivot de Gauss et abandonne (code GAUSS). Nous lui avons mis une note nulle.

Tous les autres appliquent la méthode de Cramer.

Il doit y avoir alors trois étapes :

- I-1 Calcul du déterminant général du système et recherche de ses racines (enm). On trouve : $D = -4(m-1)^2(m+2)$.

- I-2 Dans les cas où ce déterminant n'est pas nul, calcul explicite de la solution unique, c'est-à-dire des trois déterminants associés.

- I-3 Pour les deux valeurs de m qui annulent le déterminant, résolution du système. Dans le cas $m=1$, on trouve une droite et dans le cas $m=-2$, il n'y a pas de solution.

Nous avons attribué une note sur 1 et des codes pour chacune des trois étapes séparément.
### Étape I-1

Il y a 76% de réussite (sur les 45 réponses effectives).

Les mauvaises réponses sont soit dues à une erreur sur le signe du déterminant (code SGN : 6 cas), soit à une erreur sur le coefficient de $(m-1)^2(m+2)$ (code COEF : 3 cas). Nous avons mis une note de 0,5 à ces erreurs qui nous ont semblé assez bénignes ; par contre, il y a deux cas d'erreurs de calcul plus importantes (code CAL), auxquels nous avons attribué une note nulle.

### Étape I-2

Cette étape est beaucoup moins bien traitée. En fait la longueur des calculs à effectuer semble avoir rebuté la plupart des étudiants.

5 étudiants, bien qu'ils aient calculé le déterminant principal, éludent entièrement ce calcul et n'écrivent même pas les formules donnant les valeurs de x, y et z.

Un étudiant (code *), après avoir calculé correctement le déterminant, revient à une résolution par la méthode du pivot et se perd dans des calculs méandreux.

24 étudiants écrivent correctement les valeurs de x, y et z de façon formelle en fonction des déterminants non développés, sans essayer de les calculer (code FORM). Ceci confirme ce que nous disions plus haut, à propos du découragement des étudiants face aux calculs. Certains disent même qu'ils laissent momentanément les calculs et les traiteront à la fin, s'il leur reste du temps. C'est d'ailleurs une assez bonne stratégie dans une épreuve en temps limité. Pourtant, ces formules étant une recopie directe du cours, nous n'avons attribué aucun point à ce type de réponse.

8 étudiants donnent correctement, une ou deux valeurs de x, y ou z et ensuite abandonnent (code INC). A ces cas nous avons attribué une note NI2 de 0,5.

Il y a 5 copies, où l'on trouve des erreurs de calcul (code CAL), dans ces cas, la note attribuée dépend de la gravité de la ou des erreurs rencontrée(s) et de la tâche accomplie par ailleurs.

Dans une de ces copies, nous avons même mis la note 1 (c'est d'ailleurs le seul cas où NI2=1), car les trois calculs sont entièrement faits et seul celui sur y comporte une erreur de calcul.

### Étape I-3

La discussion des cas où le système n'est pas de Cramer peut se faire en traitant les deux cas par la méthode du pivot ou bien en utilisant des résultats plus théoriques sur les déterminants caractéristiques et les inconnues principales et secondaires.

Quand le nombre de cas particuliers et la dimension du système sont faibles, comme c'est le cas ici, il est sûrement plus simple de résoudre chaque système par la méthode du pivot. La deuxième méthode est surtout un outil théorique et n'est guère efficace (voire indispensable) que dans le cas d'un nombre indéfini de variables et d'équations. Nous avons mis le code D, dans les 4 cas où les étudiants ont employé cette dernière méthode, deux fois avec succès et deux fois en se trompant pour le cas m=1 (code D/m=1).

Au total, il y a 13 non réponses à cette étape.

Dans 3 cas, les erreurs commises auparavant, superposées à celles commises ici ne permettent pas de mettre de point à la question.

Il y a 12 copies où le cas m=1, présente une erreur (code m=1). Nous avons alors mis une note NI3 de 0,5, quel que soit le type d'erreur commise, considérant que la simplicité de la tâche n'autorisait aucune bévue.

Quand il est traité, le cas m=-2 l'est toujours correctement.

Il y a enfin 20 réponses entièrement bonnes, soit un taux de réussite absolue de 40%. Dans ces cas nous avons mis le code EXT, quand l'ensemble des solutions pour m=1 est donné en extension de la forme $S=[(1/4, z-11/4, z)/z \in \mathbb{R}]$ (4 cas) et le code DRT, quand il est dit que ce même ensemble est une droite de $\mathbb{R}^3$ (3 cas).

Globalement, on peut dire que cette question est assez réussie. Le calcul du déterminant principal et l'écriture de la solution unique dans le cas d'un système de Cramer sont deux points très majoritairement acquis. Mais les calculs explicites de déterminants un peu complexes, sont boudés et sujets à de nombreuses erreurs de calculs. On peut voir ici une trace du mépris à l'égard du calcul algébrique, mais ce peut être aussi l'effet d'une statégie en temps limité, qui consiste à garder pour la fin (si on a le temps) les calculs longs et peu payants. De plus la résolution des deux cas particuliers par la méthode du pivot est loin d'être encore sans faille, puisque 45% des étudiants ayant abordé ce point en utilisant la méthode du pivot (33 au total) commettent une erreur dans le cas m=1. Finalement si l'aspect théorique de la résolution est compris, c'est le calcul explicite et le traitement des cas particuliers qui sont les moins bien réussis, ce qui est gênant quand on pense à l'utilité pratique que revêt (même en mathématiques) l'obtention explicite des solutions.
Nous avons attribué une note globale NI sur 3, à l'exercice en additionnant les trois notes partielles. On obtient une moyenne de 1,41 et la répartition suivante :

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Répartition des notes au 1er exercice du DS n°4</figcaption></figure>

C'est une répartition assez régulière. les 6 étudiants ayant obtenu 0 créent une certaine inertie qui explique entre autres la moyenne un peu basse. Si on enlève les 3 copies blanches on a une répartition encore mieux équilibrée. La barre de 1,5 représente bien la limite entre ceux qui connaissent plus ou moins la démarche de résolution et ceux qui sont capables de l'appliquer en pratique, en faisant un minimum de calculs sans erreur.

### Deuxième exercice

Cet exercice porte sur l'étude d'un endomorphisme u de l'espace E des polynômes de degré inférieur ou égal à 2. Les questions sont classiques, assez élémentaires et très progressives dans la difficulté.

L'endomorphisme est donné de façon analytique, c'est-à-dire que l'image d'un polynôme à coefficients indéfinis est explicitée sur la base canonique (1, X, X²).

C'est donc typiquement une application directe du cours dans un cadre légèrement plus complexe que celui de la géométrie. Beaucoup d'étudiants ne s'y sont d'ailleurs pas trompés, et confondent le polynôme et ses coordonnées sur la base canonique, ce qui revient à travailler dans $\mathbb{R}^3$. Bien que cette confusion ne soit jamais explicitée et rendue licite, nous n'en avons pas tenu compte dans nos analyses, car elle nous semble être une étape de formulation nécessaire pour des débutants.

### Question 1

On demande le noyau et l'image de u.

Un calcul très simple (résolution d'un système 3x3) montre que le noyau est réduit à $\{0\}$. Il suffit alors d'appliquer le théorème du rang pour en déduire que $Im(u)=E$.

A part deux étudiants n'ayant pas traité la question, tous ont trouvé que $Ker(u)=[0]$ en résolvant le système 3x3 soit par la méthode du pivot

soit par la méthode de Cramer (code `DET`: 3 cas). Dans le cas d'un système homogène, la méthode de Cramer est particulièrement efficace. Ici on déduit que le rang est 3, donc que $u$ est bijectif si bien qu'il n'y a qu'un déterminant à calculer.

Par contre 21 étudiants, soit 44% de ceux ayant répondu, ne donnent pas l'image correcte. Les réponses entièrement exactes bénéficient d'une note de 1,5.

Dans 3 cas, l'image n'est pas donnée correctement, pourtant on dit que le rang est trois ! (code `RANG`). On pourrait croire que c'est juste un oubli, pourtant dans un de ces cas, l'étudiant donne une base explicite de l'image formée de 3 polynômes, or il est clair qu'il n'a pas saisi que $Im(u)$ est en fait tout $E$. Il est toutefois délicat de dire, dans ces cas, si les notions de dimension et de rang sont vraiment mal comprises et jusqu'à quel point, sur une erreur aussi ponctuelle, qui peut n'être qu'une étourderie. Nous avons mis une note N1 de 1 dans ces 3 cas.

Dans 5 cas la réponse est : $Im(u)=E/(0)$ (code `COMP`). Ceci semble être dû à une confusion entre supplémentaire et complémentaire, associée à l'idée plus ou moins explicitée que le noyau et l'image sont supplémentaires, ce qui est une fausse version classique du théorème du rang. Ce type d'erreur est le signe d'une incompréhension des notions de rang et de supplémentaire. On peut même dire que la notion de sous-espace vectoriel est en jeu, puisque $E/(0)$ n'en est évidemment pas un.

Nous avons mis une note N1 de 0,5 (pour le noyau) dans ces cas, ainsi que dans les 13 autres cas où l'image de $u$ n'est pas donnée ou est inexacte.

Il est assez surprenant de voir qu'une application aussi simple du théorème du rang ne soit pas mieux réussir. Il semblerait que dans les 13 cas de fausses ou non réponses sans code, beaucoup n'aient même pas envisagé ce théorème comme le bon outil de résolution et aient buté sur une résolution directe, dont on sait qu'elle pose des problèmes techniques. Donc plus que la méconnaissance du théorème du rang, c'est la méconnaissance de certains domaines de son application qui semble en jeu ici.

### Question 2

Cette question est ultra classique et dans le cas présent très simple. Il suffit de traduire l'écriture analytique en terme de coordonnées sur la base canonique de $E$.

De fait, tous les étudiants ont répondu, et il n'y a qu'un seul échec. C'est un étudiant qui a gardé les coefficients $a_i$ du polynôme dans l'écriture de la matrice.

Nous avons mis une note N2 binaire (0/1).
### Question 3

Cette question est aussi classique et simple, mais elle porte sur des notions un peu plus élaborées : valeurs et vecteurs propres.

Nous avons divisé la question en :

- 3-a Recherche des valeurs propres.

- 3-b Recherche des vecteurs propres associés.

3-a revient à un calcul de déterminant $3x3$ et à une mise en facteur dans un polynôme de degré 3. C'est donc une tâche simple.

Il n'y a qu'une seule non réponse.

Nous avons relevé 6 erreurs de signe (code S.G.N.), dont deux seulement sont en correspondance avec une erreur de signe en 1-1. Nous n'avons pas pénalisé cette erreur au niveau de la note et mis N3a=1.

Un étudiant n'a pas factorisé le déterminant et n'obtient donc pas les valeurs propres (code FACT), nous lui avons mis une note de 0,5.

Un étudiant fait une erreur de calcul, autre que le seul signe, et trouve d'autres valeurs propres. Nous lui avons mis une note nulle.

Tous les autres ont tout juste.

En comptant les erreurs de signe, le taux de réussite est donc de 96%.

En 3a on trouve que 2 est une valeur propre simple et 4, une valeur propre double. En 3b, il s'avère que les deux espaces de vecteurs propres sont des droites, donc que u n'est pas diagonalisable.

Pour trouver ces vecteurs propres, il faut résoudre chaque fois, un système $3x3$. La réponse peut être formulée sous la forme d'un ensemble donné en extension, d'équations indépendantes (ici 2) ou de la donnée d'une base de l'espace propre. Le plus utile pour la suite, c'est la donnée d'une base et en pratique, c'est ce que l'on cherche toujours directement. Mais certains étudiants ayant enregistré ce mécanisme, en ont perdu un peu le sens, si bien qu'ils disent donner l'ensemble alors qu'en fait ils en donnent une base.

Faut-il en conclure que ces étudiants croient vraiment qu'il n'y a qu'un ou deux vecteurs propres, ou est-ce seulement une maladresse de langage ? Considérant la fréquence de telles ambiguïtés, l'absence d'incidences vérifiables sur la suite du problème et l'hypothèse que ce type de réponse est induit par une pratique de classe mal explicitée, nous avons choisi de ne pas tenir compte de ces lapsus dans nos analyses.

Il y a 8 non réponses à cette question.

Sur les 42 réponses effectives, il y en a 29, soit 69% d'entièremment exactes. Signalons le cas d'un étudiant qui au lieu de calculer le polynôme caractéristique directement, calcule la trace et le déterminant de la matrice (code TR/D).

Nous avons relevé 6 cas d'erreur de calcul dans la résolution de l'un des systèmes (code CAL), ce qui fait baissé la note de 0,5. Ces erreurs ne mettent toutefois pas en cause la compréhension de la notion de vecteur propre.

Dans 3 copies, par contre, après une résolution correcte du système pour $\lambda=4$, les étudiants donnent une base de l'espace propre associé contenant deux vecteurs (code 2VP). Ceci semble montrer que ces étudiants n'ont pas compris la distinction entre l'ordre et le rang d'une valeur propre. Ici 4 est une valeur propre double, ils donnent donc deux vecteurs propres, et même s'il est assez évident qu'ils sont liés (certains donnent même le vecteur nul!), ils annoncent que c'est une base de l'espace propre. On retrouve ici un comportement incohérent, induit par la règle : "la fin justifie les moyens". Il n'est pas du tout évident que ces étudiants n'aient pas bien compris la notion de dépendance linéaire, mais dans un contexte où ils sont poussés par une contrainte forte (ici la croyance que l'ordre de la valeur propre égale la dimension de l'espace propre), ils perdent leur moyen de contrôle et sont amenés à dire n'importe quoi pour coller à ce qu'ils croient être vrai par tous les moyens.

Nous avons diminué la note de 0,5 dans ces cas.

Au total il y a 10 notes de 0,5 et un 0 (CAL et 2VP cumulés), hormis les non réponses.

Comme en 1, c'est plus le côté calculatoire que l'aspect théorique qui est source d'échec ici. Pourtant encore une fois, la résolution explicite de la question est primordiale pour permettre de trouver la matrice de passage (non demandée dans le problème) donnant la forme triangulaire de la question 4, elle a donc une utilité pratique indéniable.

### Question 4

Cette question est plus technique. La triangulation des matrices par la méthode dite de Jordan n'était pas, pour les étudiants considérés, un objet d'enseignement explicite, mais elle avait été illustrée en TD sur un ou deux exemples explicites avant le devoir.

Cette dernière question est avant tout sujette aux abandons, puisque 33 étudiants, soit près des deux tiers, n'y répondent pas.

6 seulement y répondent correctement et bénéficient d'une note N4 de 1.

Nous avons mis une note de 0,5 à 2 étudiants ayant utilisé une méthode correcte mais ayant fait une erreur de calcul (code CAL) ainsi qu'à un étudiant ayant écrit une matrice de passage avec 3 indéterminées sur la dernière colonne (il a reconnu que les deux première correspondent aux vecteurs propres), puis qui résoud un système $3x3$ avec une erreur de calcul (code PASS).
Un autre étudiant a commencé cette méthode mais s'arrête immédiatement (code PASS). Nous lui avons mis 0.

Deux étudiants s'étant trompés en 3, trouvent que la matrice est diagonalisable (code DIAG). Nous leur avons mis 0.

L'échec relatif à cette question est difficile à interpréter étant donné que c'est la dernière question. Cependant le taux d'abandon est tel, comparé à celui des questions précédentes, qu'il semble bien que le manque de temps ne puisse pas, seul, tout justifier.

## II - Attribution d'une note.

En essayant de tenir compte de l'importance relative de chaque question, nous avons attribué la note globale suivante sur 10 :

$$N = N1 + 2N1 + N3a + 2N3b + N4, \text{ arrondie à l'unité supérieure.}$$

Nous n'avons pas tenu compte de la question 2, parce qu'elle a été réussie par tous les étudiants sauf un. Le premier exercice mis à part, les questions 1 et 3b nous ont semblé le plus refléter les différences de niveaux, ce qui justifie leur plus fort coefficient.

On obtient ainsi une moyenne de 6,26 avec un écart-type de 1,85. Ce qui représente donc une bonne moyenne avec toutefois une assez grande dispersion.

Le graphique suivant donne la répartition de ces notes :

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

On peut distinguer les trois grandes tranches suivantes :

- $N \le 5$ : 15 étudiants. Il semble que ces étudiants aient des difficultés assez importantes dans ces exercices simples un peu calculatoires de début d'algèbre linéaire.

- $6 \le N \le 7$ : 23 étudiants. Ceux-ci semblent être un peu plus à l'aise sans toujours maîtriser les concepts en jeu entièrement, et ont encore des difficultés avec les calculs.

- $N \ge 8$ : 12 étudiants. Ces étudiants semblent bien maîtriser les calculs et avoir une bonne connaissance des concepts en jeu.

## III - Comparaison par groupes

Avec le nouvel échantillon, nous obtenons pour le prétest une moyenne de 13 et un écart-type de 2,72, contre 13,2 de moyenne et un écart-type de 3,02 avec l'échantillon initial. Ceci s'explique par le peu d'étudiants du groupe 6 dans le nouvel échantillon, alors que ce groupe est le plus "fort" et assez hétérogène pour les résultats du prétest.

Dans le tableau ci-dessous, nous donnons pour les 50 copies analysées, la moyenne et l'écart-type par groupe pour le prétest et pour le DS n°4, ainsi que pour ce DS, la répartition par tranches de notes.

<table><thead><tr><th rowspan="2">N°GR</th><th rowspan="2">EFF</th><th colspan="2">PRETEST</th><th colspan="4">DEVOIR SURVEILLE N°4</th></tr><tr><th>MOY</th><th>ECAR</th><th>MOY</th><th>ECAR</th><th>N≤5</th><th>6≤N≤7</th><th>N≥8</th></tr></thead><tbody><tr><td>3</td><td>19</td><td>13</td><td>2,5</td><td>6</td><td>2,1</td><td>8</td><td>6</td><td>5</td></tr><tr><td>4</td><td>20</td><td>12,9</td><td>2,8</td><td>6,3</td><td>1,9</td><td>5</td><td>11</td><td>4</td></tr><tr><td>6</td><td>11</td><td>13,1</td><td>3,1</td><td>6,5</td><td>1,1</td><td>2</td><td>6</td><td>3</td></tr></tbody></table>

La suprématie du groupe 6 au prétest n'est plus évidente avec le nouvel échantillon de même que la plus grande hétérogénéité du groupe 4. Par contre les autres caractéristiques restent identiques malgré la diminution de l'échantillon.

Pour le DS n°4 les moyennes des 3 groupes sont encore à peu près identiques, avec une légère avance du groupe 6, par contre les groupes 3 et 4 ont inversé leurs performances. Les écart-types sont assez élevés pour les groupes 3 et 4 et plus faibles pour le groupe 6 ce qui est une inversion totale par rapport au prétest, surtout pour les groupes 3 et 6.

Dans les groupes 4 et 6, il y a un fort noyau d'étudiants qui se trouvent dans la tranche de notes médianne, mais proportionnellement il y en a plus dans la tranche inférieure pour le groupe 4, que pour le 6 et vice versa pour la tranche supérieure. Le groupe 3 est, quant à lui, assez équitablement réparti sur les 3 tranches avec une certaine tendance vers le bas.

L'évolution des groupes pour ce DS est assez surprenante, surtout pour le groupe 4, qui s'en sort plutôt mieux que d'habitude. Le peu d'effectif du groupe 6 dans cet échantillon peut expliquer le semi échec apparaît de ce groupe au DS n°4. On a déjà remarqué plus haut, que les résultats au prétest de ces 11 étudiants étaient plus faibles que ceux des 25 de l'échantillon initial.

## IV - Corrélation avec le prétest.

Avant tout, regardons les nouvelles données au prétest avec l'échantillon de 50 étudiants examinés pour le DS n°4, en comparaison avec la population de référence.
## Comparaison entre les deux échantillons

<table><thead><tr><th>EFF</th><th>MOY</th><th>EQ3</th><th>EQ3(2)</th><th>EQ3(0)</th><th>Q(2)</th><th>Q(0)</th><th>AN</th><th>AS(2)</th><th>B=0</th><th>B&lt;1</th><th>B&lt;2</th></tr></thead><tbody><tr><td>8.4</td><td>13.2</td><td>3,02</td><td>63%</td><td>15%</td><td>17%</td><td>36%</td><td>33%</td><td>75%</td><td>56%</td><td>38%</td><td>63%</td><td>82%</td></tr><tr><td>5.0</td><td>13</td><td>2,72</td><td>54%</td><td>14%</td><td>14%</td><td>22%</td><td>36%</td><td>76%</td><td>56%</td><td>30%</td><td>60%</td><td>84%</td></tr></tbody></table>

(les pourcentages sont calculés sur la ligne)

Il est clair que le nouvel échantillon est globalement plus faible. Les plus grands écarts se trouvent pour les blocs EQ1 et Q et aussi pour la répartition par nombre de blocs vides. Tous ces écarts vont dans le même sens.

Ce phénomène s'explique par la sous-représentation dans le nouvel échantillon du groupe 6 qui est le plus fort au prétest de même que par une légère prédominance du groupe 4 qui est le plus faible.

Nous donnons, ci-dessous, sur le modèle de ce qui a été fait depuis le premier devoir, deux tableaux de corrélation entre le prétest et le DS n°4.

## Tableau croisé n°1 : prétest/ DS n°4

<table><thead><tr><th>TOTAL</th><th>EFF</th><th>MOY</th><th>EQ1(2)</th><th>EQ3(2)</th><th>EQ3(0)</th><th>Q(2)</th><th>Q(0)</th><th>AN</th><th>AS(2)</th><th>B=0</th><th>B&lt;1</th><th>B&lt;2</th><th>B&gt;2</th></tr></thead><tbody><tr><td>50</td><td>13</td><td>54%</td><td>14%</td><td>14%</td><td>22%</td><td>36%</td><td>76%</td><td>56%</td><td>30%</td><td>60%</td><td>84%</td><td>16%</td><td>54%</td></tr><tr><td>MOY</td><td>6.3</td><td>6.4</td><td>7.9</td><td>6</td><td>7.3</td><td>6.2</td><td>6.1</td><td>6.8</td><td>7.1</td><td>6.5</td><td>6.4</td><td>5.4</td><td>5.4</td></tr><tr><td>N=5</td><td>15</td><td>11.9</td><td>47%</td><td>0%</td><td>13%</td><td>13%</td><td>40%</td><td>87%</td><td>33%</td><td>20%</td><td>53%</td><td>80%</td><td>20%</td></tr><tr><td>6&lt;N=7</td><td>23</td><td>13.1</td><td>57%</td><td>13%</td><td>13%</td><td>17%</td><td>35%</td><td>74%</td><td>65%</td><td>30%</td><td>61%</td><td>87%</td><td>13%</td></tr><tr><td>N=28</td><td>12</td><td>14.1</td><td>58%</td><td>33%</td><td>17%</td><td>42%</td><td>33%</td><td>67%</td><td>67%</td><td>42%</td><td>67%</td><td>83%</td><td>17%</td></tr></tbody></table>

(Les pourcentages sont calculés sur la ligne)

## Tableau croisé n°2 : prétest/ DS n°4

<table><thead><tr><th>TOTAL</th><th>EFF</th><th>MOY</th><th>EQ1(2)</th><th>EQ3(2)</th><th>EQ3(0)</th><th>Q(2)</th><th>Q(0)</th><th>AN</th><th>AS(2)</th><th>B=0</th><th>B&lt;1</th><th>B&lt;2</th><th>B&gt;2</th></tr></thead><tbody><tr><td>50</td><td>13</td><td>27</td><td>7</td><td>7</td><td>11</td><td>18</td><td>38</td><td>28</td><td>15</td><td>30</td><td>42</td><td>8</td><td>8</td></tr><tr><td>MOY</td><td>6.3</td><td>6.4</td><td>7.9</td><td>6</td><td>7.3</td><td>6.2</td><td>6.1</td><td>6.8</td><td>7.1</td><td>6.5</td><td>6.4</td><td>5.4</td><td>5.4</td></tr><tr><td>N=5</td><td>30%</td><td>11.9</td><td>26%</td><td>0%</td><td>29%</td><td>18%</td><td>33%</td><td>34%</td><td>18%</td><td>20%</td><td>27%</td><td>29%</td><td>38%</td></tr><tr><td>6&lt;N=7</td><td>46%</td><td>13.1</td><td>48%</td><td>43%</td><td>43%</td><td>36%</td><td>44%</td><td>45%</td><td>54%</td><td>47%</td><td>47%</td><td>48%</td><td>38%</td></tr><tr><td>N=28</td><td>24%</td><td>14.1</td><td>26%</td><td>57%</td><td>29%</td><td>45%</td><td>22%</td><td>21%</td><td>29%</td><td>33%</td><td>27%</td><td>24%</td><td>25%</td></tr></tbody></table>

(Les pourcentages sont calculés sur la colonne)

La plupart des données de ce tableau semblent montrer une assez bonne corrélation entre le prétest de logique et ce dernier devoir d'application des premières notions d'algèbre linéaire.

Avoir les blocs EQ3 ou Q pleins comme n'avoir aucun bloc vide ou en avoir au plus un, sont les prérequis les mieux corrélatés avec le DS n°4. C'est-à-dire qu'au fur et à mesure que l'on descend dans les tranches de notes du DS n°4, de moins en moins de gens répondent à ces critères.

Avoir le bloc EQ1 plein, ne pas avoir le bloc Q vide ou avoir plus de 2 blocs vides sont des critères qui augmentent la probabilité de ne pas être dans la tranche N≤5, mais qui, par contre, ne différencient pas les deux autres tranches. De même avoir le bloc AS plein augmente les chances d'être dans la tranche N≥8 sans faire de distinction entre les deux autres.

Par ailleurs, avoir le bloc EQ3 vide ou avoir le bloc AN plein ou avoir au plus deux blocs vides sont des critères mal corrélatés au DS n°4, qui donnent même des résultats parfois contradictoires.

Finalement, on peut dire que la corrélation existe sans être systématique. Il semble que l'avancée (par rapport au temps et par rapport aux concepts) dans le domaine de l'algèbre linéaire proprement dit, rende les prérequis de logique moins déterminants que dans les problèmes du tout début de l'algèbre linéaire. Au stade où se situe ce devoir, des compétences propres en algèbre linéaire se sont mises en place qui prennent le devant sur celles de logique, même si elles leur sont corrélatées.

Il sera donc intéressant de regarder la corrélation qui existe entre ce devoir et les précédents, et les évolutions qui se sont produites selon les individus et leurs compétences de départ. C'est un des buts de notre travail, que nous examinerons plus loin.
H - Examen final - 31 mai

Cet examen final a été passé par les trois groupes pendant les mêmes 4 heures. Il contient, dans cet ordre, un problème d'algèbre linéaire, un problème d'analyse autour d'une équation différentielle et deux exercices au choix sur des questions d'intégration. On trouvera en annexe H-1, le texte complet de ce sujet.

Nous avons analysé 73 copies, 26 du groupe 3, 26 du groupe 4 et 21 du groupe 6. Notre échantillon est donc, comme pour le partiel, très proche de la population initiale du prétest.

I - Analyse a priori - Résultats quantitatifs.

Nous avons attribué à chaque question une note et éventuellement un code, correspondant à un type d'erreur ou de bonne réponse. Nos choix sont explicités dans ce qui suit et les résultats quantitatifs sont regroupés dans un tableau en annexe H-2.

Le problème est classique. Une famille d'endomorphismes est représentée par une matrice 3x3 dépendant d'un paramètre m. On demande d'abord de déterminer valeurs et vecteurs propres pour chaque valeur de m et de dire quand c'est diagonalisable. Ensuite pour trois valeurs du paramètre, on demande de calculer la matrice à la puissance 1989. Pour chacune des trois valeurs, il y a une méthode différente, explicitée par le découpage des questions. Ces trois méthodes assez classiques avaient été utilisées par les trois groupes, en travaux dirigés, sur des exemples, sans faire l'objet d'un enseignement spécifique.

Question 1.

Cette question est simple (c'est une application directe du cours) et calculatoire. Il s'agit de calculer le déterminant de $(A(m)-\lambda_{id})$ et de le factoriser.

On trouve que 4 est valeur propre simple et 2m valeur propre double, sauf bien sûr, quand $2m=4$ c'est-à-dire $m=2$. Dans ce cas, 4 est valeur propre triple. Or ce dernier point est rarement bien explicité. Comme il est surtout une gêne pour la suite, nous n'avons pas tenu compte de cet oubli dans cette question, pensant que s'il est persistant, il sera pénalisé dans la suite.

Tous les étudiants ont abordé la question et il n'y a que 5 échecs, 4 sont des erreurs de calcul dans le déterminant, et un étudiant (6s) essaie vainement de résoudre directement le système $A(m)V=\lambda V$.

Nous avons mis une note binaire (0/1) à la question.

Question 2.

Cette question est également une application directe du cours.

Pour $m=2$, on trouve qu'il y a un plan de vecteurs propres. Pour les autres valeurs, 4 correspond à une droite de vecteurs propres (nécessairement) et 2m correspond à un plan si $m=1$ et à une droite sinon. Donc l'ensemble M des valeurs de m telles que $A(m)$ est diagonalisable est réduit à $\{1\}$.

La plupart des étudiants ne distinguent pas le cas $m=2$ a priori, dans la recherche des vecteurs propres. Ce cas apparaît alors comme particulier dans la résolution des deux systèmes, ainsi que le cas $m=1$, pour $\lambda=2m$.

Question 2-a

Cette partie de la question est le centre du problème. Il y a deux difficultés principales. La première est purement calculatoire et ne concerne que la résolution numérique des deux systèmes. La deuxième est plus conceptuelle, il s'agit de savoir mener la discussion des cas particuliers apparaissant dans la résolution des systèmes en ayant en tête les résultats sur les valeurs propres qui permettent un contrôle sur la résolution. Ainsi on ne peut trouver de solution unique (surtout pas nulle), ou pas de solution, aux systèmes correspondants aux valeurs propres, et l'infinité de solutions que l'on trouve ne peut avoir une dimension supérieure à l'ordre de la valeur propre. C'est pourquoi, sauf pour $m=2$, le système correspondant à $\lambda=4$ a nécessairement pour ensemble de solution une droite et celui pour $\lambda=2m$ une droite ou un plan. Dans le cas $m=2$ les deux systèmes sont identiques et l'ensemble des solutions peut être une droite, un plan ou même tout l'espace (ce qui se voit sans résoudre de système).

En pratique on s'aperçoit que ces deux difficultés ne sont pas surmontées par un nombre assez grand d'étudiants, puisque la question n'est entièrement bien résolue que dans 23 copies, soit 32% des cas. Ces étudiants bénéficient d'une note N2a de 1.

Nous avons distingué les types d'erreurs suivants :

- Pour $\lambda=4$, les étudiants disent que le cas $m=2$ est impossible, car ils trouvent alors que l'espace propre associé a une dimension supérieure à l'ordre de la valeur propre correspondante (code IMP_5 cas). Si le cas $m=2$ est par ailleurs correctement Géré pour $\lambda=2m$, malgré l'ambiguïté, nous n'avons pas tenu compte de cette erreur dans la note (4 cas). Par contre dans le cas où $m=2$ est entièrement écarté par la suite, nous avons mis une note de 0,5.

- Il y a une erreur de calcul dans la résolution, mais les cas particuliers et la discussion sont exacts par ailleurs (code CAL : 10 cas). Nous avons alors mis une note divisée de moitié : $N2a=0,5$. Nous n'avons pas relevé les cas où les erreurs de calculs étaient associées à des erreurs plus graves des types qui vont suivre.
- Il y a une erreur dans le traitement des cas particuliers (code CP : 23 cas). Ce type d'erreur possède des nuances. Dans certaines copies les cas particuliers n'apparaissent pas du tout, dans d'autres on énonce un résultat pour m=2 ou 1 et les cas m=2 ou 1 ne sont plus envisagés par la suite ou le sont de façon erronée. Dans d'autres copies encore, les variables et les paramètres se mélangent dans les discussions ou bien on trouve des cas particuliers qui n'en sont pas. Suivant l'importance de l'erreur commise, nous avons alors mis une note de 0,5 (13 cas) ou de 0 (10 cas).

Enfin trois étudiants n'ont pas abordé cette question.

Dans l'ensemble, cette question qui est une question de mise en pratique du cours et qui repose sur des résolutions de systèmes d'équations linéaires avec paramètre (pas très compliqués) est assez mal réussie. Il y a grosso mode un tiers de réussite, un tiers d'échec et un tiers de semi réussite ou semi échec, alors que de cette question dépend plus ou moins tout le reste du problème. On voit que les problèmes calculatoires ne sont pas surmontés pour 14% des étudiants, que la discussion de cas particuliers est un problème pour 32% et que très peu d'étudiants montrent assez de recul par rapport aux concepts en jeu pour contrôler le sens de leurs calculs dans ce type de question.

### Question 2-b

Cette question dépend étroitement de la précédente. Dans la mesure du possible, nous avons donc analysé les réponses en correspondance avec les erreurs éventuellement commises précédemment.

Il y a 10 non réponses, soit 7 de plus qu'à la question précédente.

Il y a 25 bonnes réponses soit un taux de réussite de 34%. Nous avons alors mis une note N2b=1. Parmi ces bonnes réponses, nous avons distingué deux types.

-L'argument utilisé est qu'un endomorphisme est diagonalisable si toutes les valeurs propres sont réelles et si chaque espace propre a pour dimension l'ordre de la valeur propre correspondante (code D=M: 16 cas).

-L'argument utilisé est soit que les espaces propres doivent être en somme directe et recouvrir tout E, soit, ce qui revient au même, que la somme des dimensions des espaces propres doit être égale à la dimension de E (code SOM: 10 cas).

Le premier argument est souvent plus facile à utiliser, mais dans le cas présent où la dimension et le nombre de valeurs propres sont faibles les deux méthodes sont assez équivalentes. Dans le deuxième cas il est bien sûr inutile de redémontrer que les espaces propres sont en somme directe. C'est pourtant ce qui est fait dans deux copies.

Nous avons distingué par ailleurs les erreurs suivantes.

- Le fait que A(1) est diagonalisable est bien explicité, mais les autres cas ne sont pas envisagés explicitement, il manque donc la condition nécessaire (code CN: 10 cas). Ce genre "d'oubli" est assez classique.

- Au contraire les cas autres que m=1 sont envisagés et m=1 est oublié, il manque donc la condition suffisante (code CS: 2 cas).

- Au cas m=1 vient se rajouter le cas m=2, parce que ces étudiants partent du fait que la dimension de l'espace propre doit être égale à l'ordre de la valeur propre, mais ils n'ont pas vu que si m=2, il n'y a en fait qu'un seul espace propre (code m=2.5 cas).

A ces trois types d'erreurs, ainsi que dans trois autres cas spécifiques, nous avons mis une note N2b de 0,5 (soit 20 cas au total).

Il reste 18 réponses fausses (pour des raisons variées) auxquelles nous avons mis une note nulle.

Cette question, qui pourtant semble conceptuellement plus difficile que la précédente est cependant légèrement mieux réussie par les étudiants (et ce malgré sa dépendance justement par rapport à la 2-a). On peut avancer, semble-t-il, l'hypothèse que ceci vient de ce que la tâche est mieux ciblée, que la réponse est plus simple à formuler et aussi qu'il n'y a pas de calculs.

### Question 2-c

Cette question est une réécriture de résultats trouvés précédemment. Elle est par ailleurs plus largement reprise dans la suite. Elle est en fait redondante.

Nous avons donc décidé de ne pas tenir compte de cette question dans notre analyse.

### Question 3

Cette question dépend de la précédente, mais on peut aussi reprendre les calculs avec m=1, et elle devient alors une question indépendante. En pratique une vingtaine d'étudiants, visiblement peu sûrs (à tort ou à raison) de leur réponse en 2, ont effectivement fait ou refait ces calculs.

### Question 3-a

Il s'agit ici de montrer qu'il existe une base de vecteurs propres orthogonaux.

La condition nécessaire et suffisante de l'existence d'une telle base, quand on sait (grâce à 2) que A(1) est diagonalisable et qu'il y a deux espaces propres, est que ces deux espaces soient orthogonaux. Montrer cela suffit donc pour répondre à la question, et c'est très simple, puisqu'en 2 on a donné des équations de cette droite et de ce plan. Pourtant aucun étudiant n'a utilisé ce raisonnement et tous ceux ayant
abordé la question, ont essayé plutôt d'exhiber une base orthogonale de vecteurs propres. C'est trop pour cette question, mais c'est aussi en fait anticiper sur la question suivante, où l'on demande de donner une base orthonormée de vecteurs propres.

De plus les étudiants se répètent souvent inutilement et n'utilisent que très rarement les données du contexte. Par exemple, il est frappant de voir que 25 d'entre eux trouvent nécessaire de montrer, avec la définition, que les trois vecteurs qu'ils exhibit, forment une famille libre (code LIB). En fait ce sont trois vecteurs propres, donc il suffit de voir que les deux vecteurs du même espace propre ne sont pas colinéaires (c'est-à-dire proportionnels). De plus, deux lignes plus loin ils démontrent que ces vecteurs sont orthogonaux deux à deux, or en dimension trois, c'est un résultat de géométrie très classique que trois vecteurs deux à deux orthogonaux ne peuvent être linéairement dépendants.

Pour trouver les trois vecteurs orthogonaux soit les étudiants ne donnent spas d'explication, soit au contraire ils posent d'interminables équations qui ne prennent pas en compte la nature des espaces propres.

En dépit de ces maladresses, il y a 57 bonnes réponses soit un taux de réussite de 78%. Nous avons alors mis une note de 1.

Il y a par ailleurs 8 réponses erronées et donc 8 non réponses.

On peut considérer que c'est une question réussie, mais sur le plan pratique seulement. Car on mesure par ailleurs le manque de contrôle du sens et d'unité dans les tâches accomplies. Ceci aboutit à des réponses très ambiguës. Ici par exemple, que penser de ceux qui disent qu'il est bien "clair" que les vecteurs sont indépendants ou de ceux qui n'en parlent même pas. Savent-ils mieux d'où vient l'indépendance des vecteurs que ceux qui croient nécessaire de la vérifier directement ? Les indices qui nous permettent de penser que ce point est compris sont faibles en l'absence de justification explicite. Il semble bien toutefois que très peu d'étudiants aient atteint un niveau de compréhension suffisant pour envisager tous les aspects de la question et les relier entre eux.

### Question 3-b

Cette question paraît a priori assez simple et les calculs ne sont pas trop complexes. Le fait qu'une matrice orthogonale a pour inverse sa transposée n'est pas pour les étudiants en question un résultat de cours, ce qui explique la forme de la question.

14 étudiants ne répondent pas à cette question.

29 répondent de façon entièrement correcte, ce qui donne un taux de réussite de 40%.

17 étudiants donnent une base orthogonale non normée (code NORM). Dans certains cas ceci peut sembler être une étourderie, mais dans quelques cas, ils donnent une base dont tous les vecteurs ont même

norme en disant explicitement que c'est une base orthonormée. Si le calcul de PIP et celui de P⁻¹ sont faits et exacts nous avons mis une note de 0,5, sinon nous avons mis 0.

Dans trois cas, malgré une bonne matrice de passage et même dans 2 cas, après avoir trouvé que PIP=id, les étudiants font néanmoins directement le calcul de P⁻¹ (code DIR). Si les calculs sont exacts, nous avons mis une note de 1 (1 cas), sinon nous avons mis 0 (2 cas).

### Question 3-c

On a que $A(1)^{1989}=PD^{1989P-1}$. Il reste à faire les calculs.

Nous avons mis la note de 1 quand la formule est juste et les calculs entièrement faits de façon exacte : 17 cas.

Nous avons mis 0,5 quand la formule est bonne et quand les calculs ne sont pas faits (22 cas) ou sont faits avec des erreurs (code CAL : 5 cas). On retrouve ici une certaine répugnance de la part des étudiants à faire des calculs (surtout en temps limité), comme on l'avait déjà observé dans le premier exercice du DS n°4.

Nous avons mis un 0 dans tous les autres cas qui se divisent en 19 abstentions et 10 erreurs.

Dans l'ensemble cette question est très moyennement réussie, si on omet le calcul explicite de la fin, 30 étudiants (soit 41%) ont répondu au problème avec une formule exacte et une matrice de passage ainsi que son inverse calculées explicitement.

### Question 4

Cette question est indépendante du reste du problème et très simple. Une fois qu'on a remarqué que $A(2)=4Id+N$ avec $N^2=0$, ce qui est une banale vérification, il est immédiat avec la formule du binôme (que les étudiants avaient utilisée auparavant dans des exercices sur des matrices) que $A(2)^{1989}=4^{1988}(4Id +1989N)$.

Il y a 36 bonnes réponses donc quasiment un taux de réussite de 50% ce qui n'est pas si mal, compte tenu que c'est une question qui est proche de la fin du problème.

Nous avons mis 16 fois la note 0,5 quand la formule du binôme est approximative et que le résultat final est donc faux mais que la technique est comprise.

Enfin il y a 5 non réponses et donc 16 réponses erronées (pour des raisons très diverses).

Cette question ne fait pas réellement intervenir de concept d'algèbre linéaire, c'est plutôt purement un problème de calcul matriciel.

### Question 5

Dans cette question il s'agit de trigonaliser une matrice, comme dans le deuxième exercice du DS n°4. On peut alors assez facilement, par
exemple par une méthode analogue à la question 4 ou par récurrence avec un peu de flair, trouver la puissance de la matrice triangulaire, et en déduire la puissance de $A(3)$.

Pour la recherche d'une base dans laquelle la matrice est triangulaire, il y a 20 réponses entièrement exactes, soit un taux de réussite de 27%.

Il y a aussi 27 non réponses soit un taux d'abstention de 40%, ce qui est très élevé, mais pas outre mesure, étant donné que c'est la dernière question du problème.

Nous avons mis 0,5, à ceux qui ont la bonne technique, c'est-à-dire qui reconnaissent que les deux premiers vecteurs sont des vecteurs propres et qui, pour le calcul du troisième, écrivent les bonnes équations par rapport aux bonnes bases mais font une erreur de calcul (code `CAL`: 8 cas).

Il reste donc 18 autres erreurs.

La plupart sont dues à un mélange dans les rôles des deux bases. C'est-à-dire que ces étudiants ont compris que les deux premiers vecteurs à trouver sont des vecteurs propres mais ils perdent pied lors du calcul du troisième, il est apparemment difficile pour eux de faire la part des rôles entre les deux bases, celle de départ et celle sur laquelle la matrice sera diagonale. Ils écrivent alors des équations erronées, qui mélangeant les deux bases, soit au niveau des coordonnées soit au niveau de la matrice.

On trouve par exemple ce raisonnement :
$$f(v_1)=4 v_1 ; f(v_2)=6 v_2 \text{ et } f(v_3)=v_2 + 6v_3$$

$$f(e_1)=5 e_1 - e_2 ; f(e_2) = -e_1 + 5e_2 \text{ et } f(e_3)=2e_1 - 2e_2 + 6e_3$$

donc comme $f(e_1) = f(v_1) ; f(e_2) = f(v_2) ; f(e_3) = f(v_3)$, on a :

$$4 v_1 = 5 e_1 - e_2 ; 6 v_2 = -e_1 + 5e_2 \text{ et } v_2 + 6v_3 = 2e_1 - 2e_2 + 6e_3 \text{ etc...}$$

ou alors :

On a $f(v_3)= v_2 + 6v_3$ donc $5x-y+2z=0, -x+5y-2z=y$ et $6z=6z$ etc..."

c'est-à-dire que dans la deuxième partie de l'inégalité $v_2$ et $v_3$ sont "devenus" $e_2$ et $e_3$.

Ou bien encore, des démonstrations, où on utilise la matrice déjà triangulée pour écrire $f(v_3)$, alors que les coordonnées sont celles sur la base de référence.

Toutes ces difficultés rencontrées lors du calcul de $v_3$ ont été codées `MEL`. Il y a 13 cas de ce type.

Il n'est pas toujours facile de déterminer si ces erreurs correspondent à des difficultés conceptuelles précises ou si ce ne sont que des étourderies. Souvent il semble que la difficulté commence par l'appréhension des données, on ne sait pas trop par quel bout commencer, si bien qu'à force de tourner en rond, on finit par confondre les données et les inconnues. Ceci pourrait expliquer cette confusion entre les deux bases, celle existante et celle à trouver.

Pour le calcul de $A^{1989}$, il y a 7 bonnes réponses notées 1.

Dans 7 copies, on trouve correctement $A^{1989}$ (A' est la matrice triangulaire) mais les calculs pour $A^{1989}$ sont inexact, nous avons alors mis une note de 0,5.

Il y a par ailleurs, 2 réponses inexactes et donc 57 abstentions...mais c'est la toute dernière question du problème.

## II - Attribution d'une note.

La question qui nous paraît la plus importante par rapport à l'algèbre linéaire est la question 2-a, qui par ailleurs présente une tâche un peu plus lourde que les autres questions. En donnant à cette question le poids 2 et aux autres un poids de 1 on obtient une note N sur 10.

$$N=N1 + 2N2a + N2b + N3a + N3b + N3c + N4 + N5a + N5b$$

Le graphique ci-dessous donne la répartition des notes ainsi obtenues.

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>REPARTITION DES NOTES A L'EXAMEN</figcaption></figure>

La moyenne est de 5,2 avec un écart-type de 2,2.

C'est donc une bonne moyenne avec un écart-type assez élevé donc une répartition assez étendue des notes.

Ce bilan (si un examen peut jouer ce rôle) semble donc plutôt positif, au moins extérieurement. On a vu pourtant dans l'analyse des questions, combien certaines réponses étaient ambigues ou fragiles. Une bonne note à ce devoir consacre une certaine réussite à résoudre des problèmes de diagonalisation et de calcul matriciel, mais elle n'assure que peu la solidité des concepts d'algèbre linéaire sur lesquels toute cette théorie repose. Il peut y avoir un certain danger à croire à la réussite de ces étudiants quand on voit qu'aucun étudiant n'utilise par exemple le fait que deux espaces propres sont toujours en somme directe et que même beaucoup le démontrent sur un exemple sans utiliser la nature d'espace propre, ou d'autres comportements de ce genre qui ne sont pas pénalisés dans la note mais qui reflètent pourtant une incompréhension que ce type de problème écarte.
Nous avons distingué les trois tranches de notes suivantes :

- $N \ge 7 : 22$ étudiants. Les problèmes calculatoires sont sûrement surmontés et les concepts d'algèbre linéaire assez bien acquis pour bien réussir ce devoir.

- $4 < N < 7 : 26$ étudiants. Il y a encore des difficultés calculatoires et les concepts ne sont pas tous bien intégrés, mais ces étudiants arrivent à un résultat déjà satisfaisant dans le calcul matriciel.

- $N \le 4 : 25$ étudiants. Les problèmes calculatoires et/ou avec les concepts sont encore trop forts pour arriver à un résultat satisfaisant.

### III - Comparaison par groupes

Nous donnons, dans le tableau ci-dessous, pour les trois groupes de l'échantillon des 73 étudiants, la moyenne et l'écart-type au prétest et à l'examen ainsi que pour l'examen la répartition par tranche de notes.

<table><thead><tr><th rowspan="2">N° GR</th><th rowspan="2">EFF</th><th colspan="2">PRETEST</th><th colspan="2">EXAMEN</th><th rowspan="2">N≤4</th><th rowspan="2">4&lt;N&lt;7</th><th rowspan="2">N≥7</th></tr><tr><th>MOY</th><th>ECAR</th><th>MOY</th><th>ECAR</th></tr></thead><tbody><tr><td>3</td><td>26</td><td>13,12</td><td>2,30</td><td>5,13</td><td>1,86</td><td>9</td><td>11</td><td>6</td></tr><tr><td>4</td><td>26</td><td>12,92</td><td>3,25</td><td>4,48</td><td>2,29</td><td>12</td><td>8</td><td>6</td></tr><tr><td>6</td><td>21</td><td>13,81</td><td>3,14</td><td>6,45</td><td>2,01</td><td>4</td><td>7</td><td>10</td></tr></tbody></table>

Les données au prétest ne sont effectivement que très peu modifiées avec l'échantillon légèrement réduit dont nous disposons.

Pour les moyennes à l'examen l'ordre est le même entre les trois groupes que pour le prétest, mais les écarts entre chaque paire de groupes sont nettement accentués puisqu'il sont passés de environ 1/40ème de la note à environ 1/10ème.

Au niveau des écarts-types, on conserve également le même classement avec des ordres d'amplitude similaires, si ce n'est peut-être que l'homogénéité du groupe 3 est un peu moins marquée et que d'une façon générale les écarts-types de l'examen sont plus élevés que ceux du prétest (ne pas oublier que la note du prétest est sur 20 et celle de l'examen sur 10).

Si on regarde les répartitions par tranche de notes, on voit que la tranche la plus remplie est pour le groupe 6, celle des notes élevées, pour le groupe 3, la médiane et pour le groupe 4, celle des notes les plus basses. Ce résultat est en accord avec l'ordre des moyennes et confirme la hiérarchie des groupes.

Par contre les groupes 3 et 4 ont tous deux pour tranche la moins pleine, celle des notes les plus élevées, avec des effectifs identiques. C'est donc parmi les étudiants les plus faibles que s'est creusé l'écart entre ces deux groupes, la distinction se fait dans l'inversion des effectifs relatifs entre la tranche des notes les plus basses et celle des notes intermédiaire. Cet écart n'était pas aussi marqué lors du prétest, on l'a

vu se dessiner au fur et à mesure des devoirs, de façon imprécise surtout à cause du fait que nos échantillons ne sont jamais complets et difficilement comparables. On peut dire, néanmoins, que cette évolution se confirme dans les résultats de l'examen qui sont une forme de bilan de l'année.

L'avance du groupe 6, toujours confirmée tout au long des devoirs, est ici fort claire et on voit, par la répartition en tranches, quelle repose sur une structuration solide de forme pyramidale avec une base de très bons étudiants. Le fait qu'il y ait une forte proportion de redoublants dans ce groupe n'est sûrement pas étranger à cette remarque.

### IV - Corrélation avec le prétest

Nous donnons, ci-dessous, deux tableaux croisés des résultats prétest/examen sur le modèle de ce qui a été fait depuis le premier devoir surveillé.

La répartition totale par blocs au prétest avec le nouvel échantillon est très voisine de ce qui a été trouvé avec la population de départ, ce qui était prévisible étant donné le peu de différence d'effectif entre les deux.

<table><caption>Tableau croisé n°1 : prétest/examen</caption><thead><tr><th></th><th>EFF</th><th>MOY</th><th>EQ1</th><th>EQ3</th><th>EQ3(0)</th><th>EQ(2)</th><th>EQ(0)</th><th>AN</th><th>AS(2)</th><th>B=0</th><th>B<1</th><th>B<2</th><th>B>2</th></tr></thead><tbody><tr><th>TOTAL</th><td>73</td><td>13,2</td><td>60%</td><td>15%</td><td>16%</td><td>33%</td><td>38%</td><td>79%</td><td>59%</td><td>38%</td><td>63%</td><td>85%</td><td>15%</td></tr><tr><th>MOY</th><td>5,21</td><td>5,39</td><td>6,68</td><td>4,75</td><td>6,23</td><td>4,5</td><td>5,53</td><td>5,59</td><td>6,23</td><td>5,67</td><td>5,57</td><td>3,64</td><td></td></tr><tr><th>N≤4</th><td>25</td><td>12,4</td><td>68%</td><td>8%</td><td>16%</td><td>20%</td><td>44%</td><td>72%</td><td>48%</td><td>24%</td><td>60%</td><td>72%</td><td>28%</td></tr><tr><th>4&lt;N<7</th><td>26</td><td>12,5</td><td>42%</td><td>8%</td><td>31%</td><td>23%</td><td>42%</td><td>77%</td><td>62%</td><td>31%</td><td>50%</td><td>88%</td><td>12%</td></tr><tr><th>N≥7</th><td>22</td><td>15,1</td><td>73%</td><td>32%</td><td>0%</td><td>59%</td><td>18%</td><td>91%</td><td>68%</td><td>64%</td><td>82%</td><td>95%</td><td>5%</td></tr></tbody></table>

(les pourcentages sont calculés sur la ligne)

<table><caption>Tableau croisé n°2 : prétest/examen</caption><thead><tr><th></th><th>EFF</th><th>MOY</th><th>EQ1</th><th>EQ3</th><th>EQ3(0)</th><th>EQ(2)</th><th>EQ(0)</th><th>AN</th><th>AS(2)</th><th>B=0</th><th>B<1</th><th>B<2</th><th>B>2</th></tr></thead><tbody><tr><th>TOTAL</th><td>73</td><td>13,2</td><td>44</td><td>11</td><td>12</td><td>24</td><td>26</td><td>58</td><td>43</td><td>28</td><td>46</td><td>62</td><td>11</td></tr><tr><th>MOY</th><td>5,21</td><td>5,39</td><td>6,68</td><td>4,75</td><td>6,23</td><td>4,5</td><td>5,53</td><td>5,59</td><td>6,23</td><td>5,67</td><td>5,57</td><td>3,64</td><td></td></tr><tr><th>N≤4</th><td>34%</td><td>12,4</td><td>39%</td><td>18%</td><td>33%</td><td>21%</td><td>42%</td><td>31%</td><td>28%</td><td>21%</td><td>33%</td><td>29%</td><td>64%</td></tr><tr><th>4&lt;N<7</th><td>36%</td><td>12,5</td><td>25%</td><td>18%</td><td>67%</td><td>25%</td><td>42%</td><td>34%</td><td>37%</td><td>29%</td><td>28%</td><td>37%</td><td>27%</td></tr><tr><th>N≥7</th><td>30%</td><td>15,1</td><td>36%</td><td>64%</td><td>0%</td><td>54%</td><td>15%</td><td>34%</td><td>35%</td><td>50%</td><td>39%</td><td>34%</td><td>9%</td></tr></tbody></table>

(les pourcentages sont calculés sur la colonne)

Si on regarde la ligne des moyennes à l'examen en fonction des blocs du prétest, on voit que globalement la corrélation est assez nette dans le sens positif, surtout avec les blocs EQ3 et Q, aussi bien vide que plein et avec le nombre de blocs vides, surtout pour la distinction entre 0 et plus. Les blocs EQ1, AN et AS sont beaucoup moins bien corrélés, de même il n'y a pas beaucoup de différences entre au plus un et au plus deux blocs vides.
La corrélation du prétest avec la réussite à l'examen est aussi bien marquée dans le sens positif. En effet si on regarde la dernière ligne du premier tableau, on voit d'abord que la moyenne au prétest des étudiants dans cette tranche est très nettement supérieure à la moyenne globale et que les pourcentages sont toujours assez nettement supérieurs dans le cas d'un bloc plein et inférieurs dans le cas d'un bloc vide, à ceux de la première ligne. De même la répartition par blocs vides, regardée dans les deux tableaux, montre que la probabilité d'être dans la première tranche de notes à l'examen augmente beaucoup quand le nombre de blocs vides diminue, surtout quand on arrive à aucun bloc vide. Ainsi 50% des étudiants n'ayant eu aucun bloc vide au prétest ont 7 ou plus à l'examen (contre 30% pour l'échantillon total) alors qu'il n'y a que 5% des étudiants ayant eu plus de 2 blocs vides (i.e. un sur 11) qui ont 7 ou plus à l'examen.

Ainsi il semblerait que les prérequis de logique aient ce qu'il conviendrait d'appeler en restant très vague, une influence assez marquée pour bien réussir à l'examen.

Par contre, les corrélation avec les deux tranches de notes du bas sont beaucoup moins évidentes. Ces deux tranches réunies sont le complémentaire de la précédente, prises ensembles, elles sont donc, comme la première, corrélées de façon positive. Mais si on les examine séparément en les comparant, on voit déjà que pour ces deux tranches les moyennes au prétest sont identiques. Il y a bien sûr des corrélations positives avec les blocs AN et AS et le nombre de blocs vides (sauf pour au plus un bloc vide), mais il y a aussi des corrélations négatives comme pour les blocs EQ1 plein ou EQ3 vide ou encore avec les étudiants ayant au plus un bloc vide. Il y a aussi certaines absences de corrélation comme avec les blocs EQ3 plein ou Q vide et plein. Finalement il semble bien que ces deux tranches ne soit pas vraiment différentiables en fonction des résultats au prétest, comme si les prérequis de logique n'agissaient sur la réussite ou l'échec à l'examen qu'à partir d'un certain seuil de compétences, indépendantes de la logique et donc plus intrinsèques à l'algèbre linéaire.

Il est délicat de tirer des conclusions ayant valeur de généralités quand on travaille, comme nous, sur de faibles échantillons et des tests ponctuels. Il semblerait toutefois qu'au moins pour le type de problème, comme celui de cet examen, qui est un type classique de fin de premier cours d'algèbre linéaire, les prérequis de logique n'aient un rôle qu'après un certain seuil de compétences, qu'il est nécessaire d'atteindre indépendamment, et qu'alors le degré d'acquisition de ces prérequis ait une influence assez importante dans la poursuite de la réussite.

De façon synthétique, on pourrait dire que les prérequis de logique sont un atout en plus qui favorise l'obtention de très bons résultats si on a les connaissances d'algèbre linéaire suffisantes par ailleurs, mais que posséder ces prérequis n'est pas suffisant pour réussir, pas plus que ne pas les posséder n'empêche d'obtenir des résultats moyens.
# J. - Analyse globale

Après avoir analysé séparément les résultats à ces huit épreuves et avoir regardé les corrélations des sept dernières avec le prétest, nous allons essayer de faire une analyse plus globale de nos résultats.

Rappelons tout d'abord que les huit devoirs sont dans l'ordre :

- le prétest de logique

- le devoir surveillé n°1 (DS1)

- le test "Vrai/Faux"

- le devoir surveillé n°2 (DS2)

- le partiel

- le devoir surveillé n°3 (DS3)

- le devoir surveillé n°4 (DS4)

- l'examen.

Nous disposons de l'ensemble des huit copies pour dix-neuf étudiants. C'est un nombre peu élevé. Cela est en fait dû à des problèmes d'ordre matériel. En effet les devoirs surveillés, bien qu'intervenant dans une note de contrôle continu, n'étaient nullement obligatoires, si bien que tous les étudiants ne sont pas toujours venus. Par ailleurs, les copies devaient être rendues aux étudiants ce qui a obligé à faire des photocopies, entre le moment de l'épreuve et la redistribution des copies. Ce système lourd explique certains "trous" dans les échantillons relatifs aux devoirs.

Cependant si on ne garde que le prétest, le partiel et l'examen, nous disposons alors de soixante-huit trios de copies, ce qui est déjà statistiquement plus intéressant, mais les données par individus sont alors moins importantes.

Dix-neuf peut sembler très faible, et il ne faut pas nous le cacher. Dans ces conditions, nous ne pouvons faire une analyse statistique très poussée, ni obtenir des résultats très significatifs. Un réel travail statistique aurait demandé de tester un nombre nettement plus important d'étudiants (quelques centaines), mais il aurait également nécessité l'élaboration de tests mieux ciblés, permettant d'obtenir des données gérables avec un nombre important d'individus. Notre étude se situe, modestement en amont de cette étape, comme un travail préalable de déftrichage.

Comme nous l'avons déjà signalé en introduction, les conditions de notre étude sont très proches des conditions standard. Toutefois les spécificités de la section de DEUG étudiée sont les suivantes :

- une organisation globale induisant une meilleure coordination cours/TD avec un même enseignant au sein d'une équipe soudée.

- une volonté explicite de donner plus de temps pour l'enseignement de l'algèbre linéaire.

- une introduction du cours d'algèbre linéaire, en collaboration avec des didacticiens et comportant des séances à caractère expérimental.

Néanmoins les contenus et les méthodes employées sont traditionnels, en particulier pour les devoirs et l'évaluation.

Notre étude prend donc en compte une réalité existante dans toute sa complexité, nous nous proposons de mieux déterminer selon les contenus analysés précédemment, les méthodes et les procédures mises en œuvres par les étudiants, et leurs interactions, à un niveau individuel et dans un processus à long terme, en particulier en fonction des connaissances antérieures en logique et en algèbre élémentaires.

Ainsi, sur cet échantillon très mince de dix-neuf étudiants, nous avons pu quantifier des données variées (dont le nombre aurait été d'autant plus limité que le nombre d'étudiants à observer aurait été élevé). Nous espérons pouvoir ainsi dégager des diagnostics et élaborer des hypothèses d'enseignement, mais qu'il faudra ensuite vérifier avec des tests adaptés (que notre étude devrait aider à constituer), sur des populations plus importantes. Cette étude peut également permettre d'entamer une typologie d'erreurs (non exhaustive) et peut-être même une typologie d'individus à travers l'histoire des résultats en algèbre linéaire de dix-neuf étudiants représentatifs d'une réalité, tout au long d'une année universitaire.

# I. Les corrélations avec le prétest et entre les devoirs

## J. - Caractéristiques du nouvel échantillon

On trouvera en annexe J-1, un tableau donnant pour chacun des dix-neuf étudiants, les notes au prétest et à chaque bloc, le nombre de blocs vides, ainsi que les notes et la tranche dans laquelle il se trouve, pour les devoirs surveillés, le prétest, l'examen et le "vrai/faux" (que nous désignerons par la suite globalement sous le nom de "devoirs").

A la fin de cette annexe on donne également un tableau de comparaison des données devoirs par devoirs entre le nouvel échantillon de dix-neuf étudiants (ech2) et l'échantillon global testé à chaque devoir (ech1).

On voit que les écarts entre les deux échantillons ne sont jamais très importants.

C'est pour le prétest, peut-être, que les écarts sont les plus élevés, mais c'est là aussi que la différence entre les effectifs est la plus nette puisqu'on a un rapport de 4. Pour les différents blocs, les écarts ne dépassent pas les 20%, en valeur relative, et en fait rarement les 10%, de plus les différences ne sont pas toujours dans le même sens, et se compensent même relativement. Pour la répartition en nombre de blocs vides, on voit qu'il y a surtout plus d'étudiants n'ayant aucun bloc vide, au détriment de ceux en ayant un seul vide. En fait il n'y a que deux étudiants ayant un seul bloc vide, qui ont respectivement des notes de 11 et 12 au prétest. Pour éviter d'avoir des classes sous-représentées,
nous avons regroupé les étudiants ayant un ou deux blocs vides (sous le code B=1/2). Il semblerait alors que le nouvel échantillon des dix-neuf étudiants ait des résultats légèrement meilleurs au prétest. Il est surtout un peu différent, ce qui montre que l'hypothèse de conservation des caractéristiques, si elle semble supporter une réduction de moitié, n'est plus valable quand on ne prend qu'un quart des individus.

De toutes façons ce nouvel échantillon n'a pas été "choisi" au hasard. En effet, puisqu'on dispose de toutes les copies, c'est que les étudiants concernés ont suivi tout le contrôle continu (en algèbre linéaire), on peut donc dire que les dix-neuf étudiants du nouvel échantillon sont parmi les plus assidus , ce qui n'est pas une carctéristique neutre quant à la réussite!...

Les moyennes aux devoirs sont quasiment identiques dans les deux échantillons pour DS2, V/F, DS3 et DS4 ; le nouvel échantillon est un peu moins bon pour le DS1 et déjà un peu meilleur pour le partiel, mais l'écart n'est que de l'ordre de 10%. Pour l'examen l'écart est plus élevé (20%) au profit des dix-neuf étudiants, ce qui peut s'expliquer assez bien par la raison évoquée plus haut, en effet, il est assez logique que l'assiduité soit payante pour l'examen.

Les écart-types sont tous très semblables, tout au plus, il semble y avoir un peu plus d'homogénéité dans le nouvel échantillon pour le DS3 et l'examen.

Pour les répartitions par tranches on retrouve les effets des écarts de moyennes et légèrement la différence des écarts-types pour DS3 ; à part ces points, les différences sont minimes.

Les analyses faites précédemment pour chaque devoir et les conclusions, qu'on en a tirées, ne sont donc pas remises en question. L'étude qui suit va bien sûr s'appuyer sur elles.

Nous rappelons ici la significations des notations utilisées pour désigner les blocs de connaissances définis au prétest (cf chapitre A, p 6). EQ1 : savoir déterminer si une phrase exprimée en langage symbolique et comprenant une équivalence ou une implication est vraie ou fausse.

QA1 idem pour des phrases contenant des quantificateurs.

QA2 : savoir nier en langage formel une phrase formelle contenant des quantificateurs.

EQ3 : savoir traduire graphiquement ou en langage usuel une phrase formelle contenant une equivalence ou une implication, ou inversement.

QA3 : idem pour des phrases contenant des quantificateurs.

Q : Formé à partir des QAi.

AN : connaissances d'algèbre élémentaire numérique.

AS : connaissances élémentaires sur les structures algébriques.

Pour chaque bloc nous avons défini trois états (sauf deux pour AN) : plein, semi plein et vide désigné par respectivement 2, 1 et 0. Par exemple EQ3(1) désigne le bloc EQ3 plein.

Enfin B désigne le nombre de blocs vides parmi les précédents sauf Q.

## 2. Présentation des outils statistiques utilisés

En codant comme on l'a vu lors de l'analyse du prétest : 0,1 ou 2 (vide, semi-plein et plein) pour chaque bloc EQ1, EQ3, QA1, QA2, QA3, Q, AN et AS, ainsi que 0, 1, 2, 3 et 4 pour le nombre de blocs vides (B), avec les notes au prétest et aux 7 devoirs, on obtient un tableau comportant 17 caractères lus sur dix-neuf individus.

Une technique classique de statistique consiste à faire une analyse en composantes principales (ACP) de ces tableaux (19) et [10].

Schématiquement cela consiste à regarder les individus comme des points d'un espace euclidien dont la dimension est égale au nombre de caractères observés, la norme en général étant celle de la variance. En vue d'une ACP normée, on commence par centrer les variables et les diviser par leur écart-type (c'est-à-dire leur norme).

Afin d'obtenir une visualisation et des représentations planes de ces dix-neuf points, sans trop perdre d'information, on cherche alors des plans sur lesquels les projections des individus conservent en moyenne le "mieux" leurs distances. On démontre que cela revient à déterminer les axes principaux du système, par des techniques de diagonalisation. Les deux premiers axes donnent le meilleur plan, le premier et le troisième le deuxième meilleur etc... Pour chaque axe, on peut connaître la contribution de chaque caractère et le pourcentage d'information représenté.

Pour chaque individu, outre bien sûr ses coordonnées sur chaque axe principal, on dispose, par la données des carrés des cosinus que le vecteur représentant l'individu fait avec les axes principaux, d'une idée de la qualité de la représentation (plus le cosinus carré est élevé, meilleure est la représentation). On connaît également la contribution de chaque individu à chaque axe.

Outre ces résultats et les représentations graphiques, qui les accompagnent, on obtient de façon préliminaire, la matrice des corrélations, qui mesure deux à deux le degré de la dépendance linéaire des caractères.

## 3. Les résultats

Pour des questions de vraisemblance une ACP avec dix-sept caractères lus sur dix-neuf individus, n'est guère envisageable. Cependant il est possible de ne faire intervenir que certains caractères dans l'ACP, on donne ensuite les coordonnées des autres caractères sur les axes principaux. On dit que les premiers caractères sont actifs et que les autres sont illustratifs. On crée ainsi une dualité entre deux groupes de variables, qui peut permettre de traiter le problème de façon plus adéquate.

Dans notre cas nous distinguerons d'un côté les dix caractères liés au prétest et de l'autre, les sept notes aux devoirs.

### a. La matrice des corrélations

Nous avons divisé cette matrice (symétrique) en trois blocs : prétest/prétest, prétest/devoirs et devoirs/devoirs.

Le premier bloc n'est plus dans le champ de l'analyse présente.

Le bloc prétest/devoirs sera une information complémentaire, plus compacte, moins détaillée, des sept paragraphes, que nous avons déjà
consacrés à la corrélation de chaque devoir avec le prétest (cf chapitres précédents).

Le dernier bloc devoirs/devoirs est une information nouvelle, qui sera utilement complétée par une ACP ne portant que sur ces sept variables.

b. Les corrélations prétest/devoirs

Nous donnons ci-dessous, le bloc de la matrice des corrélations prétest/devoirs, en distinguant en gras les corrélations de valeur absolue supérieure à 0,25.

<table><thead><tr><th></th><th>Note</th><th>EQ1</th><th>EQ3</th><th>QA1</th><th>QA2</th><th>QA3</th><th>Q</th><th>AN</th><th>AS</th><th>B</th></tr></thead><tbody><tr><td>DS1</td><td>0,23</td><td>0,44</td><td>0,09</td><td>-0,21</td><td>0,10</td><td>0,28</td><td>0,17</td><td>-0,34</td><td>0,20</td><td>-0,16</td></tr><tr><td>DS2</td><td>0,81</td><td>0,41</td><td>0,55</td><td>0,24</td><td>0,48</td><td>0,54</td><td>0,56</td><td>0,08</td><td>0,49</td><td>-0,56</td></tr><tr><td>V/F</td><td>0,25</td><td>0,35</td><td>-0,09</td><td>0,14</td><td>0,24</td><td>0,23</td><td>0,33</td><td>0,16</td><td>0,28</td><td>-0,37</td></tr><tr><td>DS3</td><td>0,45</td><td>0,26</td><td>0,16</td><td>0,34</td><td>0,48</td><td>-0,03</td><td>0,46</td><td>0,09</td><td>0,19</td><td>-0,27</td></tr><tr><td>DS4</td><td>0,36</td><td>0,43</td><td>0,01</td><td>0,01</td><td>0,44</td><td>-0,12</td><td>0,30</td><td>-0,17</td><td>0,32</td><td>-0,26</td></tr><tr><td>Exam</td><td>0,46</td><td>0,27</td><td>0,27</td><td>0,05</td><td>0,02</td><td>0,46</td><td>0,23</td><td>-0,21</td><td>0,45</td><td>-0,39</td></tr></tbody></table>

On voit ainsi que la note du prétest est assez fortement corrélée positivement avec toutes les autres notes. On peut cependant distinguer trois groupes, le partiel, qui y est très fortement corrélaté ; le vrai/faux, les DS 3 et 4 et l'examen, qui ont des coefficients de corrélation encore assez élevés et enfin les DS 1 et 2, qui ont des coefficients plus faibles.

Les blocs QA1, QA2 et QA3, pris indépendamment, sont moyennemment bien corrélés mais Q, qui est une combinaison des trois, est beaucoup mieux corrélaté. Il semble donc plus intéressant de garder le seul bloc Q, pour rendre compte des lacunes et des prérequis dans les questions de quantification. Les blocs QAi interviennent de toutes façons dans le nombre de blocs vides.

Les blocs EQ1 et Q, ainsi que le nombre de blocs vides (B) sont globalement les mieux corrélés à tous les devoirs. On retrouve ici la tendance générale que l'on a pu observer en faisant les tableaux croisés à chaque devoir.

Rappelons que Q est vide si et seulement si QA1 est vide ou si un des trois QAi est vide, aucun des autres n'étant plein, alors que Q n'est plein que si QA1 est plein et aucun des deux autres n'est vide. Q teste donc plus "l'épaisseur" des lacunes sur la quantification, que leur nature.

Il semble donc que ce soit bien la quantité de lacunes en logique, au moins au sens de ce qui est évalué par le prétest (cf chapitre A), plus qu'un type précis de connaissance, qui soit le facteur le plus diserimant par rapport à l'algèbre linéaire. On peut donc avancer l'hypothèse qu'il existe un certain seuil minimal de connaissance antérieures en logique qu'il faut avoir dépassé pour réussir en algèbre linéaire. Ce phénomène pourrait correspondre à une transformation d'un apport de type quantitatif en un nouvel acquis de

type qualitatif, c'est-à-dire qu'un minimum de compétences dans tous les aspect d'un domaine assez vaste, permettrait d'accéder plus facilement à une connaissance précise d'un niveau plus élevé dans la hierarchie, de façon très schématique une certaine quantité minimale de connaissances d'ordre (n-1) permet d'accéder au rang n. C'est une remarque fondamentale, d'autant qu'elle va à l'encontre d'une idée assez largement répandue qui consiste à penser que la connaissance se construit par petits pas graduels et pas du tout selon ce schéma de transformation moins douce de la "quantité" vers la "qualité".

Ce résultat est analogue pour l'algèbre linéaire, à une des conclusions mises en évidence par A. Robert et F. Boschet lors de leur étude sur les notions de convergence de suites et de fonctions ([1] et [2]).

Ceci est bien sûr à nuancer en fonction de la nature du matériau de notre étude, en particulier les domaines de la logique et de l'algèbre linéaire sont plus vastes que ce que couvrent les seuls problèmes en jeu dans notre analyse.

Pour les blocs liés aux prérequis d'algèbre, les résultats sont beaucoup moins tranchés.

Le bloc AS, qui mesure des prérequis sur la connaissance des structures algébriques élémentaires, donne une corrélation globalement moyenne. Il est surtout corrélaté au partiel, où on utilise l'ensemble des polynômes en tant qu'ensemble structurel. Il l'est un peu aussi avec le DS4, mais là, la liaison est moins évidente, étant donné, qu'il s'agit surtout, dans ce devoir de calcul de valeurs et de vecteurs propres et de résolutions de systèmes linéaires.

Le bloc AN, qui mesure un prérequis en calcul algébrique élémentaire, n'est jamais bien corrélaté positivement, on trouve même des coefficients fortement négatifs. En particulier le coefficient de corrélation DS1/AN (-0,34), nous engage à la prudence. En effet le DS1 consiste essentiellement à résoudre des systèmes d'équations linéaires, il n'y a donc aucune raison, pour qu'il soit corrélaté négativement avec le bloc AN.

En fait dans notre nouvel échantillon, tous les étudiants, sauf un, ont le bloc AN plein, ce bloc n'a donc plus de signification, si bien que nous l'avons supprimé de la suite de notre analyse.

Pour mieux voir comment le prétest est en relation avec les résultats aux devoirs nous avons également fait une ACP en utilisant les tranches de notes.

Rappelons que, pour chaque devoir, la tranche 1 correspond aux notes les plus élevées, et la tranche 3, aux notes les plus basses, la tranche 2 étant bien sûr la tranche médiane. Nous avons essayé d'obtenir chaque fois, une répartition en trois tranches, qui distinguent bien trois niveaux tout en donnant des effectifs numériques assez équilibrés pour éviter les effets de taille.
Ces nouvelles variables sont qualitatives et donc pour pouvoir en faire une ACP il faut les mettre sous forme disjonctive, c'est-à-dire que l'on définit une variable par tranche et par devoir ; par exemple, la variable D1(1) vaut 1 ou 0, suivant que l'individu est dans la tranche 1 du DS1 ou non etc...

Dans ce tableau on a aussi repris, outre la note, les neuf variables les plus significatives du prétest, mises sous forme disjonctive : EQ1, EQ3, EQ3v (bloc vide), Q, Qvid (bloc vide), AS, B=0, B=1/2, B>2.

De plus on a mis sous forme disjonctive la variable R, qui désigne les redoublants, et la variable PASS qui vaut 1 si et seulement si l'étudiant a réussi l'examen de juin ou de septembre.

On obtient ainsi un tableau complet de 33 variables.

Faisons maintenant une ACP avec les dix variables du prétest actives, celles liées aux devoirs étant illustratives. On trouvera en annexe J-2, les résultats numériques et graphiques détaillés de cette étude.

Le premier plan principal (axes 1 et 2) sépare très distinctement les individus en 3 groupes qui correspondent exactement au nombre de blocs vides : B=0, B=1/2 et B>2.

L'axe 1 distingue la réussite de l'échec au prétest, toutes les variables lui sont fortement corrélatées positivement pour un bloc plein et négativement sinon.

L'axe 2 différencie deux niveaux dans l'échec, entre B=1/2 et B>2. La variable Qv qui correspond au bloc Q vide, se situe plutôt du côté de B=1/2 que de celui de B>2, c'est en fait parce que deux des trois individus ayant B>2 n'ont pas Q vide. Ce paradoxe est donc spécifique de notre échantillon.

Dans ce plan, tous les étudiants ont une bonne représentation (la somme des deux premiers cosinus carrés est toujours assez élevée), d'ailleurs on distingue bien sur le graphique trois groupes compacts d'individus (B=0, B=1 ou 2 et B>2) dont les centres d'inerties sont assez éloignés de l'origine.

De plus ce plan donne à lui seul environ 66% de l'information contenue dans les 11 variables du prétest.

On peut donc dire que la variable B (divisée entre ces trois groupes de valeurs) est à elle seule, un bon indicateur pour le prétest (11) et [2].

Regardons maintenant la position des variables illustratives dans le premier plan principal.

La variable R est juste dans le demi-plan "réussite" et nettement du côté de B>2 par rapport à l'axe 2. Ceci tendrait à montrer que les redoublants ont globalement, légèrement mieux réussi le prétest de logique mais que s'ils l'ont raté, ils l'ont plutôt "plus raté".

La variable PASS est elle, plus nettement dans le demi-plan "réussite" et quasiment sur l'axe 2. Donc il y a eu, en proportion, un plus grand succès aux examens, parmi ceux ayant réussi le prétest, mais pour les autres, le degré d'échec au prétest ne semble pas avoir eu beaucoup d'incidence sur le passage.

Les variables correspondant aux tranches 3 des sept devoirs sont assez bien regroupées. Leur centre d'inertie est nettement dans le demi-plan de l'échec. Par contre, il n'est que très légèrement plus du côté de B>2 par rapport à l'axe 2. En fait ce centre est pratiquement au milieu de B>2 et de B=1/2.

P(3), qui correspond à la tranche 3 du partiel est un peu plus à l'écart, elle est beaucoup plus nettement du côté de l'échec et de B>2.

Il semble donc que n'avoir aucune lacune en logique soit un bon critère pour ne pas être dans la dernière tranche de notes pour les devoirs. Par contre, sauf pour le partiel, avoir une ou deux lacunes plutôt que plus de deux ne semble pas mieux préserver d'un échec aux devoirs.

Pour les tranches 1 et 2, la situation est moins claire. On va déjà distinguer l'examen des autres devoirs.

A part pour l'examen donc, les variables correspondant aux tranches 1 sont assez bien regroupées. Le centre d'inertie du paquet est dans le demi-plan "réussite", mais pas de façon très nette, ici encore c'est pour le partiel que c'est le plus franc.

Il semble donc que n'avoir aucun bloc vide soit un facteur favorable mais pas définitif pour très bien réussir aux devoirs.

L'axe 2 divise, très légèrement ces six devoirs en deux groupes : DS1, DS3 et DS4 d'une part, DS2, vrai/faux et partiel d'autre part.

Ceci semble être dû à l'étudiant 6t, qui, bien qu'ayant eu quatre blocs vides au prétest, se trouve dans la tranche 1 du DS1, du DS3 et du DS4, ce qui explique que les trois variables correspondantes sont légèrement plus vers B>2 par rapport à l'axe 2 et légèrement moins vers B=0 par rapport à l'axe 1.

Les variables correspondant aux tranches 2 (à part toujours l'examen) sont également assez bien regroupées. Leur centre d'inertie se trouve très proche de l'origine, donc dans une position assez neutre par rapport aux résultats du prétest.

On peut également distinguer deux groupes : DS1, DS3 DS4 et partiel d'une part et DS2 et vrai/faux par ailleurs. Or l'étudiant 6t est dans les tranches 2 du DS 2, du vrai/faux et du partiel. Donc sauf pour le partiel, ceci explique que le deuxième groupe soit un peu plus vers B>2 par rapport à l'axe 2 et un peu moins vers B=0 par rapport à l'axe 1.

P(2) est, elle, très nettement plus vers la réussite et vers B=1/2, en dépit de 6t, ce qui montre que le partiel est le devoir où les trois tranches se découpent le mieux en rapport avec le prétest. Ceci confirme
la forte corrélation observée plus tôt entre les deux notes du partiel et du prétest.

Toujours en excluant l'examen, les deux groupes de variables correspondant aux tranches 1 et aux tranches 2, se chevauchent selon l'axe horizontal, même si le premier est globalement plus vers B=0 que l'autre. Pourtant dans les deux groupes, les abscisses sont toutes plus élevées que celles des variables des tranches 3. Il semble donc que le niveau des prérequis de logique, sépare assez bien l'échec de la semi-réussite ou de la réussite, mais qu'il a une influence moins tranchée entre la réussite et la semi-réussite aux devoirs.

Regarding maintenant ce qui se passe pour l'examen.

E(1), qui correspond à la tranche 1 de l'examen, est très nettement dans le demi-plan de réussite, ce qui signifie que ne pas avoir de lacune de logique est un facteur déterminant pour la réussite à l'examen. E(1) est aussi nettement vers B>2 par rapport à l'axe 2, ce qui s'explique par le fait que l'étudiant 4ab, ayant trois blocs vides, se trouve dans la tranche I à l'examen.

E(2) et E(3) ont des abscisses quasiment identiques, Alors que E(2) est situé plus vers B=1/2 par rapport à l'axe 2. Il semble donc qu'une très bonne réussite au prétest soit un facteur très fort pour une très bonne réussite à l'examen, mais que la séparation dans les deux tranches inférieures, en fonction du degré d'échec au prétest soit moins nette.

En fait la position de ces variables trouve aussi une raison dans la composition du nouvel échantillon. En effet cet échantillon sous représente la tranche 3 de l'examen par rapport à la population testée au départ (16% contre 34%) et ce, au profit essentiellement de la tranche 2. En fait tout se passe comme ci certains étudiants de la tranche 2 avaient été surestimés, ce qui explique, au moins en partie, que E(2) se situe plus dans le demi-plan de l'échec, que les variables correspondant aux tranches 2 des autres devoirs.

Ce phénomène explique-t-il tout ou y a-t-il aussi des raisons dûes à la nature d'une épreuve d'examen où l'on a tendance à bannir des questions trop difficiles, que l'on aurait conservées dans un devoir ordinaire ?

En conclusion, les grandes lignes qui ressortent de cette première analyse sont les suivantes :

- Le nombre de lacunes en logique élémentaire semble être le facteur qui mesure le mieux le niveau d'acquisition des prérequis, par rapport à la réussite ultérieure.

- Il semblerait qu'il existe un seuil minimal d'acquisition de connaissances de logique, au delà duquel un changement de type quantitatif/qualitatif peut avoir lieu en faveur de l'apprentissage de notions d'algèbre linéaire. Ainsi l'absence de lacune de logique paraît

être un facteur déterminant pour atteindre un certain niveau de réussite en algèbre linéaire (au moins la tranche 2 aux devoirs). Alors que la présence de lacunes en logique semble augmenter sensiblement le risque d'échec.

On peut voir dans ces résultats la confirmation aussi bien que la conséquence de la nature formelle des raisonnements demandés en algèbre linéaire sur lesquels les étudiants ont peu de possibilités de contrôle tant au niveau interne qu'externe.

### c- Les corrélations entre devoirs

Nous donnons ci-dessous la matrice des corrélations entre les notes aux devoirs dans un ordre qui fait apparaître divers groupes, que nous avons encadrés, où les coefficients de corrélations sont les plus élevés.

<table><thead><tr><th></th><th>DS1</th><th>Part DS4</th><th>DS2</th><th>V/F</th><th>DS3</th><th>Exam</th></tr></thead><tbody><tr><th>DS1</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Part</th><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>DS4</th><td>0,48</td><td>1</td><td>0,52</td><td>0,60</td><td>1</td><td></td></tr><tr><th>DS2</th><td>0,22</td><td>0,18</td><td>-0,03</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>V/F</th><td>0,19</td><td>0,58</td><td>0,17</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>DS3</th><td>0,29</td><td>0,37</td><td>0,06</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Exam</th><td>0,25</td><td>0,44</td><td>0,26</td><td>0,45</td><td>0,49</td><td>0,37</td></tr></tbody></table>

L'examen est assez bien corrélat positivement avec tous les autres devoirs, mais aucune corrélation n'est supérieure à 0,5.

Les six autres devoirs peuvent se diviser en deux groupes de trois : DS1, Partiel et DS4 d'une part et DS2, Vrai/faux et DS3 d'autre part. A l'intérieur de ces deux groupes, les corrélations sont toutes assez importantes (au moins de l'ordre de 0,5 sauf celles avec DS2) alors qu'à l'extérieur, seules les deux corrélations du partiel avec le vrai/faux et le DS3 sont importantes.

Pour ces deux groupes de trois variables regardons les matrices des corrélations partielles on obtient :

<table><thead><tr><th></th><th>DS1</th><th>Part DS4</th><th>DS2</th><th>V/F</th><th>DS3</th><th>V/F</th></tr></thead><tbody><tr><th>DS1</th><td>1</td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Part</th><td>0,25</td><td>1</td><td>0,47</td><td>1</td><td></td><td></td></tr><tr><th>DS4</th><td>0,32</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>DS1</th><td>Part DS4</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

Les dessins ci-dessus rendent compte des types de liaisons qui existent dans les trios.
Dans le premier cas, il y a bien des corrélations fortes dans les trois paires du trio, indépendamment du troisième devoir, par contre dans le deuxième cas, la liaison entre DS2 et DS3 n'a lieu que parce que chacun est corrélat au vrai/faux. Le coefficient de 0,08 signifie en effet que les résultats à ces deux devoirs sont quasiment indépendants conditionnellement à ceux du vrai/faux.

Examinons maintenant les types de tâches impliquées dans chaque devoir. On voit que dans le DS1, le DS4 et le partiel, une grosse partie des questions concerne la résolution de systèmes d'équations linéaires, qu'elle soit demandée explicitement ou que ce soit l'outil adapté pour répondre à la question (recherche de polynômes vérifiant certaines conditions, recherche d'un noyau ou de vecteurs propres etc...). De plus de tous les devoirs ce sont les seuls où ce type de questions a une importance prépondérante.

Dans le DS1 et le partiel, il y a en plus des questions qui ont trait au calcul polynomial. Dans ces deux devoirs, on opère dans un espace de polynômes et toutes les questions nécessitent de faire des manipulations sur les écritures polynomiales ou sur des systèmes d'équations linéaires formées à partir d'égalisation de coefficients de polynômes. Or on a vu que, dans ces questions, les difficultés étaient essentiellement liées à des techniques de calcul algébrique plutôt qu'à l'utilisation de concepts d'algèbre linéaire.

Le DS4 nécessite l'utilisation du calcul matriciel à travers des questions techniques ne faisant intervenir les concepts d'algèbre linéaire que dans un cadre calculatoire simple de type algorithmique : détermination de noyaux, calcul de valeurs propres et recherche de vecteurs propres.

Ces trois devoirs mettent donc surtout en œuvre des tâches dans des cadres que nous qualifierons au sens large de "calculatoires".

Les résultats du DS2, nous l'avons dit, sont biaisés par des abandons massifs, les questions qu'il soulève sont aussi essentiellement techniques, mais elles font appel également à des connaissance assez conceptuelles, comme la distinction de deux variables dans un polynôme.

Le test vrai/faux est, nous l'avons remarqué, très axé sur le côté conceptuel de l'algèbre linéaire, les questions y sont posées dans un cadre très général et testent un niveau assez élevé d'acquisition des concepts.

Le DS3 se situe entièrement dans un cadre numérique explicite, les questions sont plutôt classiques, mais elles dépassent (surtout dans la question 2) la simple utilisation des concepts dans un calcul direct de type algorithmique. Une bonne réussite demande de savoir changer de point de vue à l'intérieur d'une question et de pouvoir contrôler le sens des calculs à faire.

On peut donc dire que ce deuxième groupe de devoirs correspond à des tâches d'un niveau plus conceptuel et plus formel, jouant éventuellement sur des changements de cadres.

Le sujet de l'examen repose sur la donnée explicite d'un endomorphisme qui dépend d'un paramètre. Les questions où le paramètre est fixé à une valeur numérique, sont donc essentiellement des questions calculatoires, alors que celles où ce paramètre est considéré comme quelconque font plus appel à des connaissance de type conceptuel. Ceci explique que l'examen se trouve à la charnière entre les deux groupes.

La bonne corrélation du partiel avec le vrai/faux, et dans une moindre mesure avec le DS3, s'explique peut-être par le fait que des trois problèmes du groupe "calcul" le partiel est celui où le contrôle du sens des calculs est le plus essentiel.

Pour le reste, il semblerait que les réussites dans les domaines calculatoire et conceptuel puissent être indépendantes. En particulier le coefficient de corrélation de 0,17 entre le DS4 et le vrai/faux ou de 0,06 entre ce même DS4 et le DS3, semble montrer que l'on peut très bien réussir un problème classique de trigonalisation correspondant à des questions très ciblées de type algorithmique (DS4), sans avoir bien compris les notions conceptuelles d'algèbre linéaire (comme somme, supplémentaire etc...).

Ce poin est à souligner, et ce n'est pas un moindre paradoxe quand on pense que les techniques de réduction de matrices ainsi que les prolongements intéressants de ces calculs, reposent en grande partie sur des résultats théoriques concernant justement les sommes de sous-espaces vectoriels et les sous-espaces supplémentaires.

Nous donnons en annexe J-3, les résultats de l'ACP prenant les 7 notes des devoirs en variables actives et les paramètres du prétest en illustratif.

Le premier axe divise, comme précédemment, globalement l'échec de la réussite.

Le deuxième oppose les deux groupes de devoirs que nous venons d'expliciter, alors que l'examen lui est quasiment orthogonal (coefficient de corrélation de 0,06). On a donc une très bonne confirmation de notre première analyse et une preuve tangible de la dualité calcul/concept à l'intérieur de l'algèbre linéaire.

On obtient ainsi un premier plan principal donnant environ 66% de l'information contenue dans les 7 notes.
Nous donnons ci-dessous la représentation graphique des étudiants dans ce plan et une tentative d'interprétation.

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

On voit que même avec un échantillon de dix-neuf étudiants, on obtient une assez bonne représentation des divers cas de figures. Les difficultés en calcul aussi bien que celles d'ordre conceptuel sont des causes d'échec ou de réussite, alors que l'un quelconque des deux types d'erreurs peut arriver à compenser l'autre. Les différents groupes sont assez bien répartis. On ne peut bien sûr pas déterminer, avec notre échantillon, si un type de difficultés se rencontre plus souvent que l'autre.

On trouvera dans l'annexe J-3, le même graphique, où nous avons essayé d'encercler les individus en fonction de leur nombre de blocs vides au prétest.

On voit que l'axe 1 précédent sépare assez bien les étudiants n'ayant aucun bloc vide des autres, à quatre exceptions près de l'axe 1 (6r et 6t d'une part, 4ad et 3a de l'autre). Par contre les trois étudiants ayant plus de deux blocs vides ne peuvent être isolés de ceux en ayant un ou deux.

L'axe 2, ne définit pas de séparation très nette entre les trois groupes définis par leur nombre de blocs vides. Mais les deux étudiants ayant réussi globalement (3ae et 4d) et ceux ayant réussi plutôt grâce au côté conceptuel (6k et 6p) ont tous aucun bloc vide. Les deux étudiants ayant échoué de façon globale (4z et 3h) ont un ou deux blocs vides. Sur les trois ayant échoué plutôt à cause du côté conceptuel, deux ont un ou deux blocs vides (3b et 3g) et un en a plus de deux (4ab).

Ces résultats tendraient à montrer que l'aspect conceptuel est le plus corrélatif aux prérequis de logique.

Mais sur les trois étudiants ayant des difficultés conceptuelles qu'ils compensent par de bonnes capacités en calcul, deux n'ont pas de bloc vide (6y et 3a) et un en a plus de deux (6t).

Nos résultats sur ce point sont donc mal assurés, et l'hypothèse selon laquelle le côté conceptuel de l'algèbre linéaire est plus corrélatif à la logique demanderait des vérifications plus poussées.

## II. Analyse des données regroupées par thèmes

Le découpage par devoirs nous a déjà fourni des résultats intéressants, nous ne saurions toutefois en exploiter beaucoup plus les données. Aussi nous proposons-nous de redéfinir des variables en regroupant, par thèmes, les questions prises globalement sur tous les devoirs. Ces thèmes et les variables leur correspondant une fois définies, nous pourrions dégager les corrélations.

En complément de ce qui suit, et pour mieux comprendre la teneur de chaque thème, nous renvoyons le lecteur aux analyses détaillées des questions (cf l'analyse du devoir où chaque question intervient).

Chaque note ou code à une question est repérée par l'identificateur défini auparavant (N ou C et le numéro de la question) précédé d'un code repérant le devoir où il intervient (1, 2, 3 et 4 pour les DS, P pour le partic), V pour le vrai/faux et E pour l'examen).

On trouvera en début de l'annexe J-4 un tableau donnant les valeurs de chaque variable définie ci-dessous pour les dix-neuf étudiants.

Pour délimiter nos nouvelles variables, nous avons été guidé par principalement trois critères :

- La création d'un thème se justifie par le fait qu'il correspond dans le champ de l'algèbre linéaire à un domaine (voire un sous-domaine) bien identifiable, c'est-à-dire délimité et relativement important.

- A l'intérieur des thèmes, il nous a semblé utile de distinguer suivant les cas des niveaux de compétence (découpage horizontal) ou des sous-thèmes (découpage vertical) mais aussi des procédures spécifiques à chaque thème.

- Enfin une condition nécessaire à la création d'une variable est qu'elle puisse regrouper assez de données, le découpage qui suit a donc bien sûr été guidé par la nature des devoirs analysés.

### 1. Définition des thèmes et de leurs variables

#### a. La résolution de systèmes d'équations linéaires

Nous avons défini six variables correspondant à ce thème.

- S1 caractérise la réussite à la résolution par la méthode du pivot de Gauss, de systèmes numériques sans paramètre. C'est le niveau le plus élémentaire. Nous n'avons pas distingué les questions où la demande de
résolution est explicite de celles pour lesquelles le système n'est pas donné a priori mais apparaît comme outil adapté de résolution (recherche de polynômes vérifiant certaines conditions, détermination de vecteurs propres...).

En aditionnant les notes de toutes les questions concernées on obtient une note $S1$ sur $5.5 : S1 = 1-N2d + 1-N2e + P-NI + 4-NI-3 + 4-N3d$.

Nous n'avons pas pris en compte la recherche du noyau dans le DS4 (questionII-1) puisqu'elle a été réussie par les dix neuf étudiants.

La moyenne est de 2,74, donc juste à la moitié, ce qui n'est pas beaucoup pour une tâche en apparence aussi simple.

- S2 caractérise la réussite à la résolution, par la méthode du pivot de Gauss, de systèmes dépendant d'un paramètre.

On définit une note $S2$ sur 2 par : $S2 = 1-N1 + E-N2a$.
La moyenne est de 0,68.

- DET caractérise la réussite aux calculs de déterminants avec ou sans paramètre.

On définit une note sur 4 par : $DET = 4-N1I + 4-N1I-2 + 4-N3a$.
La moyenne est de 2,84.

(Nous n'avons pas pris en compte la question E-N1 car tous les étudiants ont eu la note maximale).

Nous avons ensuite défini des variables correspondant à des procédures mises en œuvre pour résoudre des tâches plutôt que, comme jusqu'à présent, des variables évaluant la réussite à une tâche indépendamment de la procédure adoptée. Nous avons, pour ce genre de variables, en général, utilisé les codes de bonnes réponses ou d'erreurs définis lors de l'analyse des devoirs. Pour harmoniser les données, les variables de procédures liées à une erreur sont définies par un entier négatif.

- CAL caractérise les erreurs de calcul dans la résolution d'un système linéaire ou le calcul de déterminant.

On définit une note CAL sur (-5) en décomptant (-1) pour chaque code CAL, rencontré en 1-C1, P-C1, 4-C3b ou E-C2a, et également (-1) pour le code $m=1$ rencontré en P-C13.

On obtient une moyenne de (-1). Les erreurs de calcul ne sont donc globalement, pas très fréquentes.

- EXT correspond à la donnée d'un ensemble de solution en extension dans la résolution d'un système, notre hypothèse est que ce genre de réponse, plutôt qu'un système dont les équations sont indépendantes, peut ultérieurement être un facteur positif pour la mise en fonctionnement des concepts de générateurs et de dimension.

On définit une variable EXT sur 2 en comptant un à chaque code EXT, rencontré en 1-C1 ou 4-C13.

La moyenne est de 0,47.

- INT caractérise les erreurs d'interprétation dans la résolution de système, c'est-à-dire des confusions entre paramètre et variables dans les discussions de cas, ou une mauvaise gestion des cas particuliers (oubli ou abandon).

Nous avons défini la variable INT sur (-2), en décomptant (-1) pour un code PARA ou INT rencontré en 1-C1 et (-1) pour le code CP rencontré en E-C2a. La moyenne est de (-0,79).

Nous avons ensuite fait une ACP sur ces 6 caractères, dont nous donnons les résultats numériques et graphiques en annexe J-4a.

L'axe 1 (47% de l'information) oppose globalement l'échec à la réussite.

L'axe 2 (25% de l'information) oppose la capacité à faire un calcul numérique ($S1$, $DET$, $CAL$) à la possibilité de contrôler le sens dans les activités de calcul algébrique ($S2$, $INT$), la variable EXT est pratiquement orthogonale à cet axe.

On obtient ainsi un plan principal contenant environ 72% de l'information et permettant de distinguer les étudiants selon leur niveau global en résolution de systèmes linéaires, leur dextérité dans les calculs et leur capacité à contrôler le sens de ces calculs (cf graphe commenté dans l'annexe J-4a).

On voit que les étudiants qui ont le mieux réussi, n'ont pas de difficulté avec le contrôle du sens, alors qu'il n'y a pas d'étudiant, même très bon calculateur qui ne réussisse vraiment, s'il ne maîtrise pas le sens (le quart de plan inférieur gauche est quasiment vide). Par contre les deux étudiants les plus globalement en échec (4i et 3e) sont ceux ayant les notes les plus basses à CAL (-3) et par ailleurs des notes très mauvaises à S1 et à DET. Enfin seul 6p, malgré des notes moyennes à S1 et DET et une erreur de calcul, réussit plutôt bien, tout en étant assez mauvais calculateur.

Il semble donc qu'un minimum de dextérité en calcul soit nécessaire pour ne pas échouer dans la résolution des systèmes linéaires alors qu'un bonne maîtrise du sens est la condition sine qua non d'une réussite franche dans ce domaine. Globalement, les difficultés au niveau du contrôle du sens (cf analyse des questions II-1 du DS1 et 2-a de l'examen) semblent être plus fréquentes que les difficultés d'ordre calculatoire (il y a plus d'individus dans le demi-plan inférieur).

Nous définissons, à partir de cette ACP, la variable sys1, en prenant, pour chaque étudiant, l'opposée de sa coordonnée sur l'axe 1. Cette variable qui est une combinaison linéaire des six de départ mesure globalement la réussite dans la résolution de sytème d'équation linéaire.

La variable sys2 est définie en prenant la coordonnée sur l'axe 2, c'est aussi une combinaison linéaire des six autres. Si sys2 est positive, l'étudiant a plutôt un meilleur contrôle du sens qu'il n'est bon calculateur et vice versa si elle est négative, la valeur absolue mesure l'étendue de l'écart.
Ces deux variables représentent donc à elles seules, 72% de l'information contenue dans les six autres, c'est ce que l'on peut faire de mieux avec deux variables seulement.

### b. Les questions élémentaires d'algèbre linéaire

Dans ce thème, nous avons regroupé les premières questions faisant intervenir des concepts élémentaires d'algèbre linéaire, dans un cadre simple où la tâche, souvent de type algorithmique ou "question de cours", est entièrement explicite.

- **EL1** caractérise la réussite aux questions qui consistent à dire si un ensemble est un espace vectoriel ou un sous-espace vectoriel, ou si une application est linéaire. Ce sont les plus élémentaires que l'on puisse poser en algèbre linéaire (quoiqu'on sache qu'avèque des espaces de suites ou de fonctions, elles peuvent révéler de grosses difficultés conceptuelles).

On définit une note sur 4 par : $EL1 = 1-N2a + 1-N2c + P-N4a + 2N2$.
La moyenne est de 2,74.

- **EL2** caractérise la réussite aux questions consistant à écrire la matrice d'un endomorphisme dans une base donnée, ou à écrire la matrice dans une nouvelle base en donnant la matrice de passage et la formule de changement de base.

On définit une note sur 5 par : $EL2 = V-NC2 + 3-N1 + 4-N2 + 3-N3b + E-N3b$.
La moyenne est de 3,66.

- **EL3** caractérise la réussite aux questions où il faut voir si une famille, donnée explicitement, est libre ou génératrice ainsi qu'aux questions où l'on doit déterminer l'image d'une application linéaire. On n'a pas considéré ici les questions relatives à la détermination d'un noyau qui reviennent à une résolution de système linéaire.

On définit une note sur 5 par : $EL3 = P-N3 + V-NA6 + V-NA7 + V-NC1 + 4(N1-0,5)$.

La moyenne est 1,76. Cette moyenne faible est dû à la difficulté de certaines questions du vrai/faux, cela montre aussi que des questions élémentaires d'algèbre linéaire dans un cadre un peu moins classique, mettent à rude épreuve la mise en fonctionnement des concepts.

Pour les procédures, on a défini les variables suivantes :

- **GEN** vaut (-1) si l'étudiant a le code GEN ou RGN à la question C2 du vrai/faux, c'est-à-dire si, pour montrer que trois polynômes forment une base d'un espace de dimension 3, après avoir vu qu'ils sont indépendants, il essaie de montrer que les polynômes sont générateurs, plutôt que d'utiliser un argument simple de dimension. Cette procédure est une maladresse un débutant.

On obtient une note sur (-1) dont la moyenne est (-0,37).

- **RGN** vaut (-1) si l'étudiant a le code RGN à la même question que précédemment, c'est-à-dire si, en essayant de montrer que les trois polynômes sont générateurs, il se contente de dire, perdu au milieu d'un discours sans consistance, que toute combinaison linéaire des trois est un polynôme de degré au plus deux et conclut. Cette erreur est, semble-t-il, assez récurrente dans ce genre de question.

On obtient une note sur (-1) dont la moyenne est (-0,23).

- **MAL** repère les maladresses commises dans les débuts d'algèbre linéaire. On décompte (-1) :

- Quand l'étudiant revient à la définition axiomatique des espaces vectoriel, pour montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel, au lieu de vérifier que l'ensemble est un sous-espace vectoriel (code 1-C2c).

- Quand l'étudiant emploie une méthode utilisant l'égalisation des coefficients ou une division illicite pour voir si une famille de polynômes est libre plutôt qu'une substitution de valeurs (code SYS ou DIV en V-CC1).

- Quand l'étudiant calcule la matrice du carré d'un endomorphisme en revenant à l'expression analytique, au lieu de faire le carré de la matrice (code RET en 3-C1).

On obtient une note sur (-2), dont la moyenne est (-0,21).

Comme précédemment, nous avons fait une ACP, sur ces 6 variables, dont les résultats numériques et graphiques sont donnés en annexe J-4b.

Comme toujours, l'axe1 (38% de l'information) oppose globalement la réussite à l'échec.

L'axe 2 (24% de l'information) est plus délicat à interpréter. Il oppose fortement RGN et GEN (côté positif) à EL2 (côté négatif). MAL et EL3 sont assez nettement respectivement du côté de RGN et GEN et du côté de EL2 ; alors que EL1 est quasiment orthogonal à l'axe.

De façon un peu schématique, cet axe semble donc opposer la réussite aux niveaux élémentaires 2 et 3 à des erreurs de maladresses (en comptant GEN et RGN comme des maladresses).

On obtient ainsi un plan principal regroupant environ 62% de l'information contenue dans les six variables de départ, et présentant la répartition des étudiants selon les deux axes précédents. Une tentative d'interprétation de la répartition des projections des individus dans ce plan est donnée en annexe J-4b.

On voit que la réussite a des causes moins tranchées que l'échec (dans la demi-plan gauche les individus sont en moyenne plus proche de l'axe 1). Les causes gauche se partagent assez équitablement entre les maladresses et les difficultés plus réellement conceptuelles. Pourtant le poids des maladresses semble un peu moins fort, en effet les individus situés dans le demi-plan d'échec sont globalement situés plus vers le côté des échecs à EL2 et EL3 que vers les maladresses, alors les deux étudiants ayant fait le plus d'erreurs de maladresse (6k et 6r), s'en sortent globalement plutôt bien.
Ce résultat, qui demanderait à être confirmé, nous engagerait à l'indulgence envers les maladresses de débutants qui devraient disparaître d'autant qu'elles ne semblent pas perturber la mise en fonctionnement des concepts qui est une difficulté d'une autre nature.

Comme précédemment nous définissons deux variables élé1 et élé2, en prenant les opposés des coordonnées sur les deux premiers axes principaux.

Ainsi élél évalue globalement la réussite aux questions élémentaires en début d'algèbre linéaire, alors que élé2 évalue la part des maladresses et de la compréhension des niveaux 2 et 3 (plus ele2 est positive plus il y a de maladresses et meilleur est la compréhension des niveaux 2 et 3). Ces deux variables concentrent à elles seules 65% de l'information contenue dans les six variables de départ.

### c_ Les questions de techniques algébriques, autres que linéaires

Sous ce nom un peu vague, nous avons regroupé toutes les questions de transition qui interviennent dans un problème d'algèbre linéaire. Elles n'utilisent pas de concepts d'algèbre linéaire à proprement parlé, mais permettent d'obtenir des résultats intermédiaires utiles pour aborder les questions d'algèbre linéaire. Ces questions de synthèse dépendent fortement du cadre dans lequel est posé le problème, essentiellement de la nature de l'espace vectoriel en jeu (polynômes, suites, fonctions ...). Elles font en général appel à des techniques algébriques, par exemple relatives au calcul polynomial (DS1 et Partiel) ou au calcul intégral (DS2).

On définit une note ALG sur 8 par :
$$ALG = 1-N2b + P-N1 + P-N2a + P-N2b + P-N2c + 2-N1 + 2-N3 + 2-N3bis. $$
La moyenne est de 2,37.

Cette moyenne est très faible. Pourtant ce genre de question peut avoir un grande importance dans un problème. Par exemple pour le partiel ou le DS2, elles sont un passage obligé pour l'accès aux questions d'algèbre linéaire.

Il semble donc que les étudiants manqueraient de prérequis assez larges dans des domaines variés, que nous qualifierons au sens large de techniques de calcul algébrique, pour pouvoir bien faire de l'algèbre linéaire. En fait on voit, en regardant l'évolution des types de problèmes posés en algèbre linéaire au cours d'un enseignement (par exemple en regardant les devoirs de notre étude, mais cette tendance est très générale), que cette question est détournée. En effet au fur et à mesure que les concepts d'algèbre linéaire deviennent plus nombreux, les problèmes posés sont de plus en plus decontextualisés. Les espaces vectoriels de référence deviennent plus simples, il n'y a, en fait, plus réellement de cadre extérieur de référence. Cette attitude permet bien sûr de ne pas superposer les difficultés et de se concentrer sur les connaissances enseignées sur le moment, mais elle fait perdre aussi de

vue le côté unificateur de l'algèbre linéaire en restreignant le champ de ses applications.

On voit donc qu'il existe un hiatus entre les tout débuts de l'algèbre linéaire, où l'interférence avec des cadres algébriques extérieurs est inévitable, mais problématique, et le moment où les concepts linéaires sont assez consistants pour intervenir seuls dans des problèmes où les interactions avec un cadre extérieur sont écartées, mais dont on peut se demander l'utilité qu'ils ont.

### d_ Les questions de synthèse

Ce sont ces questions qui achèvent généralement un devoir, qui servent à faire le bilan de tout ce qui a été démontré avant, pour tirer la conclusion qui est le but (parfois implicite) de tout le problème. C'est souvent l'illustration du pouvoir unificateur et simplificateur de l'algèbre linéaire, quoique nous ayons vu lors de l'analyse des devoirs (cf DS1 question 2-f ou partiel question 5) que cette fonction des questions de synthèse est conditionnée à beaucoup de prérequis difficiles à obtenir.

On définit ainsi une note sur 4 par :
$$SYNT = 1-N2I + P-N5 + P-N4b + 3-N3a. $$
La moyenne est de 0,42.

Cette moyenne est très faible. L'accès à une question de synthèse est conditionnée à la réussite de pratiquement toutes les questions antérieures, ainsi qu'à une bonne vision d'ensemble du problème. Ceci explique qu'il est particulièrement difficile d'y parvenir.

On a vu, par exemple, qu'un seul étudiant (qui d'ailleurs n'est plus dans notre nouvel échantillon) a réussi la question 4-b du partiel. Donc en fait la note SYNT est calculée sur 3. Le spectre des notes est de fait très réduit, un étudiant a deux (c'est la meilleur note), six autres ont un et les douze autres ont zéro.

### e_ Les questions d'algèbre linéaire

Nous regroupons ici les questions d'algèbre linéaire, autres que les questions élémentaires, que nous avons déjà traitées en b). Les cinq premières variables ci-dessous définissent des compétences dans cinq domaines de connaissances distincts, chacun représenté par au moins trois questions dans le corpus de devoirs dont nous disposons. Les trois dernières variables repèrent des procédures ou des fausses conceptions.

Toutes ces variables sont déterminées en fonction des analyses faites pour chaque devoir, auxquelles nous renvoyons le lecteur pour plus de détails sur leur signification.

- LIB caractérise la réussite aux questions utilisant la notion de famille libre autrement que dans le cadre élémentaire de la question, où l'on demande de déterminer si une famille donnée explicitement est libre ou pas (cf EL3).

On définit une note sur 3 par : $LIB = V-NA1 + V-NA2 + V-NB1$.
La moyenne est 1,53.
- SOM caractérise le réussite aux questions utilisant les notions de somme et de supplémentaire.

On définit une note sur 6 par : SOM = V.NA5 + V.NB3 + 3-N2c + 3-N2d.

La moyenne est de 2,68.

La question B3 du vrai/faux est réussite par un étudiant seulement, qui n'a pas réussi la question A5. On peut donc considérer que cette question est en fait noter sur 5. Nous rappelons que les question 2-c et d sont liées et notées chacune sur 2, en prenant en compte la possibilité de déduction de l'une par l'autre.

- RG caractérise la réussite aux questions utilisant les notions de rang et de noyau d'une application linéaire, dans une tâche autre que celle élémentaire de recherche du noyau d'une application connue explicitement, qui correspond à une résolution de système.

On définit une note sur 3 par : RG = 3-N2a + 3-N2b + V.NB4.

La moyenne est de 2,21.

Il y a dans cette note deux types de questions très distinctes. Les questions 2-a et b, du DS3 sont en fait essentiellement calculatoires, il faut déterminer les bases de deux noyaux d'applications connues explicitement et donner leur rangs alors que la question B-4 du vrai/faux est une question très conceptuelle, posée dans un cadre très formel et qui a été massivement rateée. En fait seuls quatre étudiants ont obtenu 0,5 à N-B5, les autres ont en zéro ; on peut donc presque considéré que RG n'est formé que des questions assez calculatoires 2-a et b du DS3.

- TRI caractérise la réussite aux questions où il est demandé de montrer qu'un endomorphisme, donné par sa matrice est dont on a auparavant calculé les valeurs propres, est associé à une matrice triangulaire relativement à une certaine base que l'on demande d'expliciter.

On définit une note sur 2 par : TRI = 4-N4 + E-N5a.

La moyenne est de 0,55.

- VP caractérise la réussite aux questions relatives aux valeurs et aux vecteurs propres, autres que le cas élémentaire de leur recherche pour un endomorphisme donné explicitement. (nous avons quand même, inclus la question 2-a) de l'examen, qui à cause du paramètre offre une tâche plus délicate).

On définit une note VP sur 4 en ajoutant E-N2b et E-N3a et en comptant (+1) s'il n'y a pas le code LIB dans E-C3a (ce qui semble prouver que les étudiants ont compris que deux espaces propres distincts sont en somme directe), en comptant également (+1) s'il n'y a pas le code 2VP en 4-C3b (ce code repère les étudiants qui croient que l'ordre d'une valeur propre est toujours égal à la dimension du sous-espace propre associé).

La moyenne est de 2,95.

- CTR caractérise la capacité d'un étudiant à contrôler le sens de son travail, à prendre du recul par rapport au problème. Cette variable prend en compte les comportements montrant, par exemple par l'utilisation d'une simplification en rapport avec un résultat antérieur, que l'étudiant maîtrise le sens de sa démarche à travers les concepts d'algèbre linéaire.

On définit une note sur 4 en comptant 1 :

- Quand l'étudiant a le code EQ/DM en 3-C2b, avec (+1) supplémentaire s'il a le

code DIM. Dans ces cas, l'étudiant a utilisé le théorème du rang pour valider ou même pour déduire (code DIM) le rang connaissant le noyau ou vice versa.

- Quand l'étudiant a le code DEQ (ou GEOM) en 3-C2c ou 3-C2d. Ces deux cas sont exclusifs, ils significant que l'étudiant a déduit que l'union des deux bases de sous-espaces est une base de l'espace du fait que ces deux espaces sont supplémentaires ou vice versa (ou bien a utilisé un raisonnement géométrique très adéquat).

- Quand l'étudiant a une note 4-N1 égale à 1,5, ce qui signifie qu'il a utilisé l' théorème du rang pour déduire l'image d'un endomorphisme de la connaissance du noyau.

On obtient ainsi une moyenne de 1,47.

- REC évalue des erreurs qui consistent dans une démonstration à confondre l'hypothèse et la conclusion.

On définit une note sur (-3) en décomptant (-1) :

- Quand l'étudiant a le code REC en V-CA1.

- Quand l'étudiant a le code REC en V-CB1.

Ces deux cas correspondent à une difficulté à utiliser l'implication de la définition formelle d'une famille libre dans le courant d'une démonstration.

- Quand l'étudiant a le code MEL en E-C5a. Il n'arrive alors pas à écrire la relation vérifiée par le troisième vecteur de la base sur laquelle un endomorphisme de R3 à une matrice triangulaire, mélangé les deux bases.

On obtient ainsi une moyenne de (-0,84). Ces erreurs ne sont donc, somme toute, pas très nombreuses.

- AFF repère les étudiants ayant des représentations affines qui interfèrent avec leur perception des concepts linéaires.

On définit la note AFF en comptant (-1) à un étudiant possédant le code AFF en V-CA1.

On a une moyenne de (-0,26).

Nous avons ensuite fait une ACP sur les sept premières de ces nouvelles variables (nous avons laissé la variable AFF en illustratif, car elle nous a semblé d'une nature différente des autres, plus liée au contexte géométrique). Les résultats numériques et graphiques de cette analyse sont rassemblés en annexe J-3c.

Nous avons entouré dans la matrice des corrélations, les coefficients supérieurs, en valeur absolue, à 0,40. Il y en a cinq et ils sont tous positifs. Il semblerait donc que les différentes compétences ou procédures d'algèbre linéaire ne soit pas très corréls les unes aux autres.

On trouve que LIB et CTR sont les deux variables globalement les plus corrélées aux autres. Les compétences sur les familles libres, semblent donc être un prérequis assez général, pour avoir de bonnes compétences globales en algèbre linéaire. Alors que de bonnes compétences dans tous les domaines d'algèbre linéaire sont sûrement une condition nécessaire pour pouvoir avoir un bon recul sur les problèmes et contrôler le sens de son travail.

Il est assez normal que les compétences en trigonalisation dépendent de celles relatives aux valeurs et aux vecteurs propres (0,53 de coefficient de corrélation entre VP et TRI).
L'axe 1 (35% de l'information) oppose, comme d'haditude, globalement la réussite à l'échec.

L'axe 2 (20% de l'information) oppose RG et REC (du côté positif) à TRI et, dans une moindre mesure, à SOM (du côté négatif) ; LIB, VP et CTR lui sont pratiquement orthogonales.

REC est liée à des difficultés de type conceptuel et de logique, et intervient à propos des notions de familles libre ou d'écriture matricielle d'endomorphisme, alors que, nous l'avons remarqué, RG teste surtout des compétences de type calculatoire (résoudre un système, trouver une base de l'espace des solutions, en déduire le rang d'une application), il n'y a donc pas a priori de proximité entre ces deux variables, si ce n'est que les concepts d'algèbre linéaire en jeu, sont d'un niveau médian pas trop élémentaires, mais pas non plus trop évolués.

TRI et SOM ont elles plus de familiarités, les compétences qu'elles testent utilisent des concepts parmi les plus évolués de ceux d'algèbre linéaire connus par les étudiants testés. De plus les questions où elles interviennent, bien qu'elles n'aient pas un caractère algorithmique, ne sont pas non plus poseés dans un cadre formel (sauf un peu pour SOM la question V-A5 qui n'a pas un poids très lourd), elles interviennent dans un cadre numérique.

Ces deux tendances peuvent permettre de donner une signification un peu plus synthétique à l'axe 2, mais il faut rester prudent et ne pas trop se laisser tenter par l'amalgame.

L'axe 3 (19% de l'information) oppose SOM, CTR et dans une moindre mesure RG (pour le côté positif) à TRI et REC et à, dans une moindre mesure, LIB et VP (pour le côté négatif).

Il y a eu une inversion entre SOM et REC par rapport à l'axe 2.

Trois ou quatre variables aussi distinctes de chaque côté, cela semble trop pour obtenir une synthèse, par proximité, de la signification de cet axe. Nous nous contenterons d'interprétations prudentes en gardant toutes les variables telles quelles.

Les axes 2 et 3 représentent en fait pratiquement le même poucentage d'information, ainsi les deux plans axe1-axe2 et axe1-axe3 sont aussi riches en information. Nous avons donc essayé de faire une interprétation de la répartition des individus dans chacun de ses deux plans (cf annexe J-4c).

Le premier plan semble montrer que l'échec n'est globalement pas plus lié aux variables RG et SOM qu'aux variables REC et TRI (les individus situés dans le demi-plan d'échec sont assez regroupés sur l'axe 2), avec toutefois une certaine prédominance des difficultés de confusion d'hypothèse ou relatives au rang d'un endomorphisme. La réussite est, par contre, assez nettement partagée entre les deux groupes RG et REC d'une part et SOM et TRI d'autre part. Il n'y a aucun étudiant ayant réussi dans les deux groupes et la réussite dans un domaine se fait toujours au détriment de l'autre.

De plus les étudiants ayant assez bien ou bien réussi se divisent équitablement entre ceux qui n'ont pas commis de confusion entre hypothèse et conclusion et bien réussi les questions sur le rang et ceux ayant bien traité les questions relatives aux notions de somme et de supplémentaire et de trigonalisation de matrice, ces deux groupes étant disjoints.

Le deuxième plan présente une situation plus contrastée, tous les cas de figures sont en fait représentés. Numériquement, il semble cependant que les variables TRI, REC, LIB et VP sont plus souvent une source de réussite alors que de mauvaises compétences dans ces domaines peuvent être la cause d'échec très net (cf étudiant 3h). A contrario, ceci peut vouloir dire aussi qu'il est assez fréquent de réussir assez bien en algèbre linéaire, même en n'ayant pas un bon recul sur les tâches à accomplir et en n'étant pas très compétents sur les question de rang de somme et de supplémentaire.

Nous définissons, à partir de cette analyse, trois nouvelles variables AL1, AL2 et AL3 en prenant respectivement l'opposée de la coordonnée sur l'axe 1 et les coordonnées sur les axes 2 et 3. Nous obtenons ainsi avec trois variables qui regroupent environ 72% de l'information contenue dans les sept variables de départ. Les significations de AL2 et AL3 risquent par contre de ne pas être très maniables.

## f. Le calcul matriciel

Nous avons regroupé ici les questions de calcul sur des matrices en ne prenant en compte éventuellement que l'étape finale d'une question, où la matrice est traitée comme un objet algébrique de façon quasiment indépendante de la représentation d'un endomorphisme. Ce sont essentiellement des questions de calcul de puissance nième ou de décomposition en somme de deux matrices dont les puissances nièmes sont simples.

On définit une note CMAT sur 4 par : $CMAT = 3N3c + E-N3c + E-n4 + E-N5b$.

La moyenne est de 1,71.

Il ne faut pas oublier que dans notre analyse, ces questions sont des questions de synthèse donc dépendent de questions antérieures relatives à des calculs vecteurs et valeurs propres et de trigonalisation.

## 2. les corrélations globales

Nous venons de définir vingt-trois nouvelles variables regroupées par thèmes, dont nous avons analysé les corrélations à l'intérieur des thèmes.

Nous donnons en annexe J-4d, la matrice des corrélations entre les vingt-trois variables, avec, pour faciliter la lecture, une matrice où n'apparaissent que les corrélations de valeur absolue supérieure à 0,5 (elles sont toutes positives) et une autre où n'apparaissent que les corrélations de valeur absolue supérieure à 0,3 (les coefficients négatifs sont entourés).
Les variables AFF et RG donnent des résultats un peu surprenants, puisqu'elles sont souvent assez fortement corrélées négativement avec les autres. Ceci n'a guère de signification et nous préférions écarter ces deux variables de la suite de notre analyse. Il ne reste ainsi qu'un seul coefficient négatif de valeur absolue supérieure à 0,3, c'est celui entre RGN et SI qui vaut (-0,31). Ces deux variables n'ont pas a priori de familiarité, et ce coefficient n'a pas non plus beaucoup de signification.

Globalement EL1 est la variable la plus fortement corrélée à toutes les autres. Il semblerait donc que les premières questions élémentaires d'algèbre linéaire (démontrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel ou qu'une application est linéaire) d'une part dépendent de beaucoup de prérequis (corrélation avec les variables de résolution de systèmes linéaires ou avec ALG) mais aussi qu'elles conditionnent assez fortement la suite des performances en algèbre linéaire, les plus fortes corrélations sont pour les prérequis, avec les techniques algébriques, et pour les autres, avec les questions relatives aux valeurs et aux vecteurs propres et à la trigonalisation.

Les variables EL2 et EL3 sont surtout assez fortement corrélées entre elles et à EL1, ainsi qu'aux variables relatives aux questions plus évoluées d'algèbre linéaire. Ainsi les questions que nous avons qualifiées d'élémentaires jouent le rôle de prérequis en algèbre linéaire. Par contre elles semblent elles-mêmes peu conditionnées par les questions de résolution de systèmes linéaires. Les erreurs de maladresse dans ces questions élémentaires semble par ailleurs n'avoir d'influence qu'à court terme, puisque MAL n'est significativement corrélée qu'à LIB et SOM et encore avec des coefficients de 0,35, donc assez faibles. De même, GEN est corrélée, avec des coefficients du même ordre à LIB, VP et TRI.

RGN par contre, à part un coefficient de 0,42 avec VP, ne semble pas avoir d'impact sur les compétences en algèbre linéaire. Avec un coefficient de (-0,06), elle n'est même pas liée à REC, dont on aurait pu croire qu'elle testait une procédure assez semblable, en effet croire démonter qu'une famille est généatrice en montrant que toute combinaison linéaire d'éléments de la famille est dans l'espace (RGN) est aussi une confusion entre hypothèse et conclusion (REC). En fait il semble que ce genre de réponses, plus qu'une procédure correspondant à un fonctionnement précis, soit un effet du contrat pédagogique, qui fait que certains étudiants dans certaines circonstances se sentent obligés de donner une réponse à la question ou de démontrer que ce qu'on leur demande est vrai, à tout prix. Face à une telle contrainte, s'il n'ont pas les moyens de donner une réponse exacte, ils écrivent "n'importe quoi", c'est-à-dire qu'ils donnent une explication pseudo-savante dénuée de sens, sûrement même pour eux, et qui a extérieurement vaguement rapport avec la question, c'est ce qu'on peut appeler un comportement de type "la fin justifie les moyens". Ainsi par exemple, pour montrer qu'une famille est généatrice, si l'étudiant ne voit pas comment aborder

la question mais sent un besoin impératif de donner une réponse, il se raccroche à une combinaison linéaire, et cela produit l'erreur vue plus haut. On comprend mieux dans ces conditions la mauvaise corrélation de la variable RGN et même celle de REC avec les autres, puisque ce comportement n'a rien de spécifique ni à la logique ni à l'algèbre linéaire.

Faire des erreurs de calcul (CAL) dans la résolution de systèmes d'équations linéaires semble corrélu avec de mauvaises compétences dans les toutes premières questions d'algèbre linéaire (EL1), surtout avec le fait de faire des maladresses (MAL), et également avec des problèmes dans les questions de trigonalisation (TRI) (aboutissement de plusieurs tâches calculatoires, où les erreurs peuvent être fréquentes). Mais cela ne semble pas très corrélu au reste des questions d'algèbre linéaire. On pourrait donc distinguer, avec la variable CAL, un type d'étudiants faisant des erreurs de calcul ou des maladresses, ceci n'ayant pas d'influence trop néfaste sur le reste des compétences.

Par contre les performances dans la résolution de systèmes d'équations linéaires (S1 et S2) sont corrélées en plus avec le calcul matriciel et, seulement pour les systèmes dépendant d'un paramètre, avec les questions sur les familles libres et sur la somme et les supplémentaires. De plus les erreurs d'interprétation semblent avoir une influence dans les domaines relatifs aux valeurs et vecteurs propres.

Il apparaîtrait donc que bien savoir résoudre des systèmes d'équations linéaires soit un prérequis pour de nombreux domaines d'algèbre linéaire. On peut voir ici aussi un effet de seuil. En effet les résolutions numériques ont un effet direct sur la réussite puisque ce sont des outils dans de nombreuses questions d'algèbre linéaire. Par contre même si cette remarque est aussi valable pour les systèmes dépendant d'un paramètre, il semble que les procédures en jeu aient un effet plus complexes sur l'acquisition d'autres notions d'algèbre linéaire. Ainsi plus que l'acquisition de certains points, c'est bien un niveau global minimum qui parrait être requis dans la résolution des systèmes linéaires, pour mieux réussir en algèbre linéaire.

Les compétences en techniques algébriques sont fortement corrélées (coefficients supérieurs à 0,4) à pratiquement toutes les questions d'algèbre linéaires qui n'ont pas trait aux applications linéaires ou au calcul matriciel. Ceci s'explique sûrement pour la raison que nous avons explicitée plus haut : les problèmes assez "évolues" d'algèbre linéaire (donc surtout ceux où interviennent des applications linéaires et le calcul matriciel) sont décontextualisés, il n'y a plus d'utilisation des espaces vectoriels de polynômes, de fonctions ou de suites, qui nécessitent des compétences techniques dans ces domaines. Par contre dans les questions relatives aux notions de familles libres, de somme et de supplémentaire, ou dans les questions de synthèses, des compétences
techniques en calcul algébrique sont requises comme préliminaires.

On retrouve à peu près les mêmes gros coefficients de corrélation pour les questions de synthèses. Ces questions interviennent en effet également dans les problèmes où l'algèbre linéaire est un outil opérant dans un cadre extérieur, la réussite à ces questions est alors conditionnée par celle aux questions antérieures, qui touchent aux domaines énumérés précédemment.

La variable du calcul matriciel est assez fortement corrélée d'une part aux compétences en résolution de systèmes linéaires, et d'autre part aux questions élémentaires d'algèbre linéaire, elle est peu corrélée avec les questions de techniques algébriques et avec assez peu des variables de l'algèbre linéaire plus évolué (surtout SOM et TRI). Il semblerait donc que le calcul matriciel soit une branche un peu à part dans l'algèbre linéaire qui possède des prérequis communs, mais développe des compétences indépendantes.

Voilà les grandes lignes d'hypothèses que l'on peut tirer d'une telle matrice.

### 3. ACP sur les nouvelles variables

Comme nous l'avons remarqué précédemment il est fort délicat de faire une ACP sur un nombre trop élevé de variables. Pour réduire ce nombre nous avons défini plus haut de nouvelles variables à partir des axes principaux de certaines ACP, qui condensent au mieux l'information contenues dans plusieurs autres.

Nous nous proposons de faire maintenant une ACP sur les dix variables : sys1, sys2, ele1, ele2, ALG, SYNT, AL1, AL2, AL3 et CMAT.

Les résultats de cette analyse sont donnés avec quelques commentaires en annexe J-5.

L'interprétation est en fait très délicate. Sauf peut-être pour permettre de mieux visualiser les grandes lignes de ce que nous venons de voir, il ne nous a pas semblé possible de tirer beaucoup d'informations nouvelles vraiment fiables. Nous nous contenterons donc essentiellement pour ce chapitre, de ce qui est donné en annexe.

### 4. Correlations avec le prétest

Nous allons maintenant regarder comment les variables liées aux thèmes, ainsi que les sept nouvelles (que nous avons définies avec les axes principaux des trois ACP réalisées ci-dessus), sont corrélées avec les prérequis de logique.

Nous donnons en annexe J-6, la matrice des corrélations entre les trente nouvelles variables et celles du prétest, ainsi que la position de ces trente variables dans le plan principal de l'ACP sur les variables du prétest tel qu'il a été défini en annexe J-2.

Les variables de résolution de systèmes linéaires ne sont pas très bien corrélées au prétest. La corrélation est un peu plus forte avec S2 qu'avec S1, mais celle avec INT est au contraire très faible. De même sys1 est moyennement corrélée et sys2 l'est assez peu. Il semble peu probable que les prérequis de logique aient une influence directe sur les capacités des étudiants à résoudre un système linéaire numérique et la corrélation que l'on trouve n'est sûrement liée qu'à un état de réussite ou d'échec global. Par contre, on aurait pu penser que les capacités d'interprétation et de discussion de cas soient plus influencées par les compétences en logique, ce que nos résultats ne semblent nullement confirmer (mauvaise corrélation de INT et sys2).

On remarquera que le fait d'écrite les ensembles de solutions de systèmes linéaires en extension (EXT) semble être assez lié à des compétences en logique, mais on n'a pas vu précédemment de corrélation entre ce type de procédure et des compétences en algèbre linéaire.

Les compétences dans les questions élémentaires d'algèbre linéaire ont dans l'ensemble des corrélations assez fortes avec la logique, sauf pour les maladresses. Le poids de la logique semble être donc assez fort dans les premières questions d'algèbre linéaire et semble agir de façon indépendante des erreurs de maladresse.

Les corrélations avec RGN sont toutes très faibles (sauf celles avec EQ1 qui est négative!) alors qu'on aurait pu penser que justement ce genre d'erreur soit fortement lié à des capacités en logique... Mais il faut se rappeler que RGN correspond en fait à deux erreurs superposées, si bien que la mauvaise démonstration du caractère générateur n'est repérée que sur les étudiants ayant déjà commis l'erreur GEN. Nous resterons donc très réservé sur ce point.

Les compétences en techniques algébriques ont des corrélations globalement fortes avec les variables du prétest de logique. y a-t-il entre les deux types de compétences une relation de cause à effet ? Cela ne semble pas évident a priori et si c'est le cas elle ne pourrait sûrement pas, à elle-seule, expliquer de si forts coefficients. Une autre raison partielle, peut venir de la nature des problèmes qui nous ont servi à évaluer ALG. On n'a pas en effet évalué les compétences en techniques algébriques de façon neutre mais à l'intérieur de problèmes d'algèbre linéaire assez formels où le poids de la logique a pu intervenir de façon détournée.
Cette forte corrélation est un point intéressant qui pourrait peut-être
nous permettre de mieux cerner la nature des prérequis nécessaire à
l'algèbre linéaire. Ceux-ci ne consisteraient-ils pas, plutôt qu'en un peu
de logique et un peu de techniques algébriques, en des compétences
dans les questions où les deux (logique et techniques algébriques) sont
indissociables ? Ceci expliquerait mieux, semble-t-il les corrélations que
l'on trouve entre les techniques algébriques et la logique ou entre ces
deux domaines et les compétences en algèbre linéaire.

Les questions de synthèses sont également assez fortement corrélatées
au prétest. Ces questions étant elles-même très corrélées à beaucoup
d'autres, ce résultat n'est pas un fait très marquant.

Le calcul matriciel n'est qu'assez peu corrélaté à la logique. Ce résultat
ne nous surprend pas, les compétences requises ici sont plutôt de type
calculatoires (cf la corrélation avec les questions sur la résolution de
systèmes linéaires).

Globalement la corrélation entre les questions "évaluées" d'algèbre
linéaire et la logique est assez forte, cela se voit en regardant les
corrélations avec ALI, qui sont souvent supérieures à 0,45 en valeur
absolue. Les types de questions les plus corrélés sont celles sur les
familles libres, sur les sommes et les supplémentaires et sur la
trigonalisation. Les questions sur les valeurs et les vecteurs propres ou
sur le rang le sont moins.

Le contrôle du sens ne semble que moyennement dépendre de la
logique.

Les erreurs de confusion entre hypothèse et conclusion ont des
corrélations plutôt faibles avec la logique, ce qui, comme nous l'avons
déjà remarquer à propos de RGN, peut provenir d'un comportement de
type "la fin justifie les moyens". Il se peut aussi que l'algèbre linéaire
soit le terrain de difficultés proches de celles rencontrées en logique
mais qui ont un caractère spécifique non directement lié à des
compétence en logique hors le cadre de l'algèbre linéaire.

Ce dernier résultat sur la nature des prérequis de logique pourrait,
dans un sens s'ajouter à notre remarque à propos de ALG. En effet
certaines compétences en logique semblent revêtir un caractère très
spécifique dans le cadre de l'algèbre linéaire et ne pouvoir de fait être
seulement évaluées dans un contexte "neutre". Ainsi l'utilisation de la
définition formelle d'une famille libre, par exemple, semblerait être liée
à la mise en fonctionnement de compétences de logique, mais celles-ci
pourraient bien être trop particulières pour pouvoir être défrichées de
façon préalable, dans un autre cadre.

Sur ce point précis, il est important de remarquer que la définition
d'une famille libre peut être expliquée par une succession d'étapes qui

semblent permettre de mieux en comprendre la nécessité. En effet, la
dépendance linéaire est sûrement une notion conceptuellement plus
accessible, puisqu'elle découle directement de la définition d'une
combinaison linéaire. Il est facile alors de définir une famille liée comme
une famille dans laquelle un élément est combinaison linéaire des autres.
Il ne reste plus alors qu'à définir une famille libre comme une famille
qui n'est pas liée. Ce point de vue va en quelques sortes à rebrousse poil
de la présentation "classique" qui est faite de cette notion aux étudiants.
Son inconvénient majeur est que l'on n'aboutit pas à une définition
exploitable, en terme de résolution de problèmes, d'une famille libre,
mais elle a l'avantage non négligeable de privilégier le sens, en évitant
ainsi aux étudiants l'introduction un peu abrupte d'une définition très
formelle qu'ils ont du mal à faire fonctionner. Le travail nécessaire pour
reconstruire ensuite cette définition formelle est en fait un pur problème
de logique, qui associe des quantifications, une implication et une
négation avec l'interaction du cadre formel et de celui d'un langage plus
usuel. Cela utilise donc a priori des compétences évaluées lors du prétest,
mais plus ou moins séparément. Surtout cette démarche comprend en
plus un enjeu, il est facile en effet de voir que vérifier qu'aucun vecteur
d'une famille n'est combinaison linéaire des autres, n'est guère possible
tel quel, au delà de trois vecteurs. Ainsi le formalisme apparaît comme le
prix à payer pour pouvoir résoudre en pratique des problèmes concrets,
car c'est bien là en effet l'intérêt de cette définition.

Voilà donc une activité mettant en œuvre essentiellement des
compétences de logique, mais dans un cadre lié à l'algèbre linéaire, qui la
rend très spécifique. On peut ainsi mieux comprendre comment
l'acquisition de prérequis en logique peuvent ne pas suffire à surmonter
toutes les difficultés liées au formalisme de l'algèbre linéaire. Nous
pensons également avoir montré sur cet exemple comment on peut
allier, avec profit, dans une même activité, de la logique et de l'algèbre
linéaire.
# III- Quelques réflexions en guise de conclusion

## I) Résultats sur l'apprentissage de l'algèbre linéaire

### a - Les tâches

Nous avons montré en introduction comment la nature des concepts d'algèbre linéaire nous semble conduire à un enseignement dichotomique où coexistent des problèmes développant des "techniques-objets" dans un cadre purement formel et d'autre part des problèmes concrets qui requièrent des aptitudes dans l'utilisation de techniques algébriques parfois pointues et où les concepts d'algèbre linéaire ne sont pas absolument nécessaires, mais utilisés par un effet de contrat, faute de voir la généralisation ou la simplification qu'ils apportent.

Les analyses précédentes ont permis de mettre à jour cette dichotomie à travers la nature des sujets abordés. On voit clairement que c'est d'abord la deuxième catégorie de devoirs qui est rencontrée. C'est le cas du deuxième exercice du DS1, du Partiel et du DS2. (Dans le deuxième exercice du DS4, l'espace de référence est un espace de polynômes, mais toutes les questions sont transposables telles qu'elles dans $\mathbb{R}^3$, elles restent très formelles et il n'y a jamais réellement de changement de cadre à gérer, enfin le problème n'aboutit pas à une application aux polynômes).

Dans chacun de ces trois problèmes on a pu constater une ou plusieurs difficultés de nature technique non directement liées à l'algèbre linéaire, et qui ont empêché un grand nombre d'étudiants d'accéder à une résolution satisfaisante, voire à une résolution tout court, du problème de départ. Pour le DS1, d'une part beaucoup d'étudiants ont eu du mal à montrer correctement que $\mathcal{P}=(P/\mathbb{P}(0)=P(1)=P'(0)=P'(1)=1)$ et si $P_0$ est un polynôme quelconque de $\mathcal{P}$, $\mathcal{Q}=(P-P_0/\mathbb{P})$ est l'ensemble des polynômes dont les valeurs (ainsi que celles de leur dérivée) en 0 et 1 sont nulles. Cette difficulté est liée à une inaptitude à utiliser correctement le langage ensembliste et la logique. D'autre part une maladresse quasi générale a consisté à résoudre un système linéaire $4 \times 4$ pour déterminer $\mathcal{Q}$, alors qu'un minimum de connaissances sur les polynômes suffit pour déduire sans calculs que c'est l'ensemble des multiples de $X^2(X-1)^2$. Pour le partiel, la difficulté est venue d'une part du calcul de $\Delta U_k$, qui était un banal calcul algébrique sur des expressions polynomiales -mais compliqué par une discussion portant sur deux indices-, et d'autre part de la nécessité d'une récurrence pour montrer qu'une famille de polynômes est génératrice. Enfin dans le DS2, l'utilisation de polynômes à deux variables et de résultats sur l'intégration a handicapé beaucoup d'étudiants.

Par ailleurs le DS1 et le Partiel présentent des résolutions de problèmes d'interpolation, qui peuvent être vues comme des simplifications, à condition de comprendre qu'elles offrent une méthode générale utilisable telle quelle, avec d'autres données numériques, et généralisable à des problèmes voisins. Pourtant les problèmes ne sont pas présentés dans cette optique, aucun commentaire métamathématique ne les accompagne. Aussi dans les deux cas les étudiants sont en grosse majorité passé à côté de l'intérêt. Dans le premier cas, ils ont résolu un système $4 \times 4$ quasiment aussi "difficile" que celui que le cheminement induit par les questions leur faisait éviter et dans le deuxième cas, ils n'ont pas vu du tout l'utilisation possible de la formule de Gregory et ont répondu à la dernière question de façon indièrement indépendante du reste du problème. Dans le DS2, la problématique est plus interne à l'algèbre linéaire, pourtant on peut dire que les étudiants ont également majoritairement répondu à côté. Ils n'ont pas compris le sens de l'activité qu'on leur proposait, si bien qu'arrivés à la question finale, ils ont entièrement oublié le contexte dans lequel ils travaillaient et ont donné un réponse fausse, faute de maîtriser la situation et d'avoir le recul nécessaire par rapport aux activités précédentes qui ont pu être traitées comme des ilôts indépendants.

Dans ces cas, l'utilisation de l'algèbre linéaire n'est qu'un effet du contrat général qui veut qu'on utilise dans les problèmes les notions en cours d'apprentissage, ou tout simplement, est explicitement demandée dans une question. Mais le côté simplificateur et unificateur des concepts échappe complètement. L'activité devient entièrement artificielle et l'approche épistémologique est impossible.

En revanche, dès le DS3, et déjà dans le test "vrai/faux" qui est d'une nature un peu spécifique, les problèmes se situent entièrement dans des espaces très généraux. Singulièrement cette tendance est irréversible et après les quelques tentatives d'applications de l'algèbre linéaire à d'autres domaines des premiers devoirs, les questions des devoirs suivants ne visent plus que l'utilisation purement interne des concepts dans un contexte très général.

Or particulièrement dans le test "vrai/faux", ou dans les tentatives de trigonalisation, on a pu voir comment les questions ne faisant intervenir que le cadre purement formel sont sources de réponses apparemment incohérentes dont on a l'impression que seule la pression de l'obligation à donner une réponse peut les justifier, ce que nous avons appelé un comportement du type "la fin justifier les moyens". D'autant que dans ces conditions l'enseignement lui-même se trouve paraître plus valorisant, pour l'enseignant comme pour ses étudiants.
Mais parallèlement à ces résultats, nos dernières analyses ont mis à jour une dualité dans les types de tâches, qui se superpose à la précédente. Schématiquement le premier type concerne des tâches calculatoire ou algorithmique, la trame de la question est connue de l'étudiant, seules les données sont nouvelles, le deuxième type concerne les questions plus conceptuelles où la tâche ne correspond pas à un raisonnement stéréotypé, mais nécessite une bonne connaissance intrinsèque des concepts souvent dans plusieurs cadres. Dans ces questions la part créative de l'étudiant est plus grande, outre les problèmes de dévolution, il y a de forts risques de dérapage et de perte de sens. Cette distinction, contrairement à la précédente ne semble pas être spécifique à l'algèbre linéaire. Elle est plus un effet pervers du contrat pédagogique global, en particulier des options d'évaluation. La nécessité d'évaluer par un spectre de notes classant les étudiants selon des critères tranchés pousse toujours en effet à privilégier les calculs et les techniques algorithmiques au détriment de points plus conceptuels dont la mise en fonctionnement est difficilement évaluable.

Les diverses difficultés issues de ces deux dualités conduisent l'enseignement de l'algèbre linéaire à se réduire rapidement à des problèmes d'une part où il n'est plus fait référence à un cadre extérieur, donc à une vraie problématique, mais aussi où l'utilisation du formalisme est réduite, puisqu'enfin il ne s'agit plus ou moins que d'appliquer des algorithmes bien ciblés, à quelques variantes près. Ce constat est un peu sévère mais à peine exagéré. On a vu que les problèmes posés dans des cadres concrets engendrent des difficultés liées à des prérequis de techniques algébriques et que les problèmes trop formels conduisent à une perte de contrôle du sens par les étudiants qui sont prêts à écrire "n'importe quoi" pour donner une réponse. On comprend dans ces conditions l'évolution inélectable que subissent les sujets des problèmes et le soulagement que peuvent ressentir les enseignants quand ils peuvent enfin aborder des questions de diagonalisation et de trigonalisation.

## b. Les évolutions individuelles

Ceci dit, l'enseignement et les problèmes étant ce qu'ils sont, avec ces difficultés, quelles sont les grandes hypothèses que l'on peut avancer sur le comportement des étudiants en fonction des tâches proposées et des connaissances antérieures ?

Avant de donner, en réponse à cette question, une synthèse des résultats précédens, signalons qu'un travail intéressant serait de retracer pour chacun des dix-neuf étudiants une histoire abrégée et commentée de leur parcours en algèbre linéaire, à partir des données recueillies. Néanmoins cette tâche qui demande beaucoup de temps, n'a pas forcément sa place dans l'étude présente déjà bien longue, nous espérons toutefois que ce pourra en être un prolongement dans un avenir très proche.

La nature des compétences antérieures dans le domaine de la logique élémentaire semble avoir un effet sur la réussite globale en algèbre linéaire. Les deux domaines ne sont pas cependant dans une situation de transfert direct, il apparaît que dans le niveau d'acquisition des connaissances antérieures en logique, il existe un seuil global au delà duquel les chances de réussite en algèbre linéaire deviennent plus élevées. On peut penser qu'alors s'opère une transformation du quantitatif vers le qualitatif. L'important est de ne pas avoir de "trou" dans les connaissances antérieures, au delà d'un certain minimum de compétences dans le domaine de la logique élémentaire (le quantitatif), un réinvestissement peut s'opérer qui permet d'accéder à une connaissance nouvelle en algèbre linéaire donc plus fine, hiérarchiquement plus élevée (le qualitatif). Il est intéressant de remarquer que l'on retrouve peut-être ici une interprétation proche de l'idée piagétienne sur l'acquisition des différentes facettes d'un schème comme prérequis à l'acquisition du schème lui-même. Comme nous l'avons déjà fait remarquer, ce résultat va à l'encontre d'une idée couramment répandue, qui veut que les connaissances s'acquierten par petits pas successifs, de proche en proche. Nous pensons plutôt et nos résultats semblent le confirmer que l'apprentissage est fait de ruptures et de sauts, qu'alterner des périodes de déséquilibration et de rééquilibration permettant aux connaissances de s'organiser selon des processus plus complexes que la simple progression linéaire (cf [4]).

Par ailleurs, certaines difficultés en algèbre linéaire, a priori très liées à des compétences de logique, ne semblent pas être mieux résolues par les étudiants ayant les résultats les plus élevés au prétest de logique. On peut donc penser qu'indépendamment du constat précédent, un enseignement préalable de la logique ne résoud pas tous les problèmes liés au formalisme de l'algèbre linéaire et que certaines questions de logique ne seront abordées avec profit que dans le cadre de l'algèbre linéaire (cf p.141 à propos de la définition d'une famille libre).

La nature des problèmes d'algèbre linéaire favorise les erreurs du type "la fin justifie les moyens". La perte de contrôle du sens et le manque de recul sont des difficultés générales à toute activité mathématique, mais elles deviennent particulièrement fortes ici. D'une part dans les problèmes formels où les appuis ne sont pas solides et les dérapages fréquents. Mais aussi dans les problèmes faisant référence à un cadre concret où la démarche est induite par les questions mais jamais explicitée par un discours métamathématique, et où il s'agit plus, finalement, de faire de l'algèbre linéaire (contrat) que de résoudre des problèmes.

Sur le plan individuel, on remarque qu'il existe des comportements très variés. Il faut distinguer la réussite aux problèmes algorithmisés, où l'aspect calculatoire est fort, et la réussite moins facilement évaluable à des questions mettant en jeu des connaissances plus conceptuelles. Les
deux aspects ont des influences sur la réussite apparemment assez équilibriées mais aussi quasi indépendantes (cf pp. 123-125). Un minimum de connaissance antérieures en logique mais aussi dans des domaines de techniques algébriques sont des facteurs favorables à la réussite au niveau conceptuel. Les compétences dans la résolution des systèmes d'équations linéaires semblent avoir une influence directe sur le côté calculatoire mais aussi, pour les systèmes avec paramètre, une influence plus profonde et qui agit sûrement à des niveaux très divers sur de nombreuses compétences en algèbre linéaire. Le contrôle du sens nécessaire pour mener à bien une discussion de cas dans une telle résolution pourrait donc apparaître comme un bon début pour aborder le côté formel des concepts plus évolués d'algèbre linéaire. La nature des tâches et le spectre assez large des prérequis exigibles selon différents types de questions, rendent les possibilités de réussites et d'échec en algèbre linéaire fort complexes.

Les remarques qui précèdent sont dans une certaine mesure le constat de l'échec d'un enseignement qui, ne pouvant assurer une bonne mise en fonctionnement des premiers concepts, dans leur aspect le plus fort, se réfugie dans des tâches algorithmisees et calculatoires. Pour surmonter cette difficulté, il pourrait être utile de jouer sur les prérequis. Mais nous avons vu que cela ne suffira sûrement pas. Enseigner de la logique hors contexte est un point délicat et c'est un sujet que l'on épuise vite. Par ailleurs les techniques algébriques nécessaires dans les divers problèmes d'algèbre linéaire sont tellement diversifiées et en même temps si ponctuelles, que l'on voit mal comment organiser, de façon rationnelle, un enseignement préalable profitable de ces notions. La résolution des systèmes d'équations linéaires, principalement quand ils dépendent d'un paramètre, pourrait par contre se prêter tout à fait à un enseignement préalable qui peut être une bonne introducion à un cours d'algèbre linéaire.

## c- Critiques méthodologiques

### Portée et limite de nos données et de nos résultats

Les quelques remarques qui précèdent, sont le fruit de notre étude, ce qui fait qu'elles sont la conséquence directe de la nature de notre analyse. Or il nous faut ici, en en faisant la critique, rappeler les limitations que nous imposent les données qui sont à la source de ce travail aussi bien que la méthodologie employée. Tout d'abord les prérequis que nous testons à travers le prétest ont été l'objet d'un choix arbitraire qui aurait pu être tout autre (autres questions de logique, plus de question d'algèbre etc...) pourtant ils conditionnent de nombreux résultats de nos analyses de façon très forte. On aurait également pu envisager d'évaluer des compétences en géométrie analytique en guise de prérequis. En effet après notre travail, la question des rapports entre

les compétences en géométrie analytique et en algèbre linéaire reste entière, faute d'avoir les moindres données de nos étudiants dans le premier domaine. C'est pourtant un point qui mériterait d'être éclairci.

De plus le choix des sujets des problèmes concernés par notre évaluation aurait pu être très différent tout en restant représentatif... Nous n'avons pas utilisé, volontairement, de moyen de contrôle sur le contenu des épreuves pas plus que sur leurs conditions de passage. En particulier la mixité des sujets (analyse/algèbre) est un facteur dont on ne peut mesurer les effets. Il est bien évident que ces restrictions limitent d'autant la portée de notre analyse et donc de nos résultats

Par ailleurs même si nous avons essayé de répertorier des procédures et si nous ne nous sommes pas contenté de seulement noter les réponses, et même si nous avons employé pour le prétest la technique d'évaluation par bloc (qui est d'ailleurs un choix), nous ne pouvons toujours pas réellement distinguer dans nos analyses apprentissage et réussite. Or s'il y a certainement de grands rapports entre les deux notions, il est assez clair que la réussite n'est qu'une apparence d'un apprentissage ; nous touchons là une question méthodologique de fond, qu'il nous semble illusoire de pouvoir résoudre dans l'état actuel. Tout au plus devons-nous nous contenter de réduire le décalage en allant chercher au delà des simples réponses, les comportements, les procédures qui les ont motivées. La nature figée des réponses écrites est néanmoins une barrière incontournable qui en limite les possibilités d'analyse.

Il est bien clair également que la réduction aussi bien que l'instabilité dans les différents échantillons testés à chaque devoir, par rapport à la population initiale, dont on a recueilli les données au prétest, est un point faible de notre étude. Nous pensons a posteriori, qu'on pourrait un peu réduire cette difficulté, mais les problèmes logistiques (photocopies, présence des étudiants etc...) restent incontournables et il ne parait guère possible en gardant l'optique d'une analyse brute comme la nôtre, d'améliorer beaucoup ce double effet de perte et de rétrécissement dans les données.

Le choix des méthodes statistiques utilisées, quant à lui, a bien sûr conditionné nos résultats. A contrario, c'est en fonction de ce que nous voulions regarder que nous avons mis en place ces outils.

Les tableaux croisés, réalisés après chaque devoir, sont une façon assez simple de se donner une idée et une appréciation visuelle des corrélations entre le prétest et les devoirs, cependant ils ne portent que sur la note globale à chaque devoir et ne donnent donc que des renseignements généraux. Les méthodes statistiques plus sophistiquées telles que les ACP, que nous avons utilises à la fin, permettent de donner des renseignements plus fins. On se heurte pourtant à deux types de problèmes et de limitations dans ce genre d'étude :
- Tout d'abord, le choix des variables actives d'une part et représentatives d'autre part est primordial, il induit plus ou moins les réponses et limite les interprétations possibles. Il doit donc être motivé par un résultat préliminaire que l'on cherche à confirmer ou même une impression que l'on cherche à préciser. La quantité des possibles est immense dès que l'on a assez de données et s'il faut savoir tirer le maximum d'information, il faut aussi savoir se limiter pour ne pas être submergé sous les résultats.

- Le deuxième problème vient justement de la difficulté que l'on a à interpréter ces résultats. La richesse des informations que l'on peut tirer d'une ACP en rend la lecture fort difficile et parfois ambigu. On sait bien comment les réductions successives peuvent conduire à un appauvissement, puis à une sur-interprétation des résultats finaux. Encore une fois il faut savoir ici tirer les informations intéressantes, sans dépasser les limites de la fiabilité.

Il nous serait délicat de juger si nous avons pu surmonter ces deux difficultés. Le lecteur aura peut-être eu l'impression que nous avons rempli beaucoup de tableaux, dessiné beaucoup de graphes, pour ne donner que des conclusions qui demanderaient encore des compléments. Nous répondrons que d'une part nous nous méfions des interprétations trop peu justifiées et que d'autre part, rien ne prouve qu'avec moins de dommées, nos conclusions n'auraient pas encore été plus incertaines. Une idée synthétique qui puisse se justifier par des résultats précis est en effet le fruit d'une longue réflexion qui se nourrit de beaucoup de matériaux ; son aspect réducteur, qui en fait la force, a tendance à faire oublier ce point fondamental. De plus nous espérons que des lecteurs avertis pourront dans les résultats détaillés, que nous avons mis à jour, trouver des renseignements plus spécifiques qui n'apparaissent donc pas dans nos conclusions, voire qui feront des interprétations qui nous ont échappées et qui leur semblent intéressantes.

Ces remarques, indispensables pour mieux relativiser nos conclusions, étant faites, regardons maintenant ce que notre travail nous a inspiré comme possibilités de modifications dans l'enseignement de l'algèbre linéaire en première année de DEUG scientifique.

### d) Quelques propositions

Le premier point c'est que la notion de prérequis de logique semble devoir être redéfinie, de même que la notion de prérequis en techniques algébriques. Dans ces deux domaines en effet si des connaissances antérieures semblent être un atout pour l'algèbre linéaire, cela ne suffit pas et des connaissances spécifiques semblent devoir être acquises en début d'apprentissage.

Pourquoi alors ne pas traiter ces deux problèmes conjointement et ce, d'emblée dans le contexte de l'algèbre linéaire, mais en se limitant à des questions d'un niveau élémentaire ?

Notre proposition consite à réduire en volume la première phase de l'enseignement de l'algèbre linéaire. Par exemple en traitant les notions d'espace vectoriel, de sous-espace, de familles génératrice, libre, liée et de base, de somme, de supplémentaire d'application linéaire, mais en excluant toutes les notions ayant trait au calcul matriciel ; les notions de noyau et d'image pourraient ou non faire partie de cette première phase. On pourrait ainsi faire un travail assez large, en traitant des exemples dans des espaces variés, mais en n'utilisant que des concepts élémentaires d'algèbre linéaire, auxquels on donnerait ainsi leur sens simplificateur et unificateur, tout en renforçant les compétences en logique et en techniques algébriques. En effet si techniques algébriques, logique et concepts élémentaires d'algèbre linéaire sont indissociables, pourquoi ne pas faire travailler les étudiants explicitement sur les trois en même temps, plutôt que de se borner à ne travailler que sur le dernier domaine en gérant forcément mal les lacunes dans les deux autres ?

L'algèbre linéaire est un domaine vaste, dont les contours sont mal définis, même pour les concepts élémentaires. On a vu qu'en tout début d'apprentissage, des problèmes étiquetés "d'algèbre linéaire", font appel à des compétences qui ne sont pas toujours du domaine de l'algèbre linéaire au sens strict du terme, mais qui permettent ensuite de faire un réel travail sur les concepts d'algèbre linéaire. A l'opposé, rapidement les problèmes deviennent très ciblés sur des techniques de calcul matriciel, dans un cadre neutre où les matrices et les endomorphismes ne sont pas rattachés à un contexte extérieur de façon significative.

Doit-on alors laisser l'algèbre linéaire se réduire au calcul matriciel et à quelques techniques plus ou moins algorithmiques ? Ou peut-on au contraire élargir le champ des cadres d'intervention dès l'apprentissage des premiers concepts ? Le gain de temps obtenu par la suppression du calcul matriciel pourrait être réinvesti dans une approche plus en profondeur, et on pourrait alors aussi, élargir explicitement l'objet d'enseignement aux compétences spécifiques à certains cadres intervenant dans les problèmes ainsi qu'à des compétences en logique pour l'algèbre linéaire.

Cette démarche implique également un recentrage de l'objet d'enseignement à un niveau plus métamathématique, les étudiants doivent en effet pouvoir saisir la nature simplificatrice et unificatrice des concepts qu'ils utilisent.

Nous pensons que notre étude est déjà une justification de telles propositions, nous sommes toutefois conscient qu'il est à présent nécessaire de donner une forme plus concrète à ces suggestions de même qu'il faudra à partir cette première étude remonter une analyse plus ciblée et portant sur une population plus vaste.
## 2) Réflexions didactiques sur ce type de recherches

On peut se poser la question de l'utilité d'une analyse, telle que nous l'avons faite. Savoir comment les connaissance antérieures de logique élémentaire conditionnent la réussite en algèbre linéaire constitue la question initiale qui a motivé notre travail. Les éléments de réponses que nous avons été à même de donner restent limités. Une lecture rapide de nos résultats pourraient se résumer à la seule conclusion que les étudiants ayant de bons prérequis réussissent mieux, autrement dit que les bons étudiants restent toujours les meilleurs. On nous dira -avec raison- qu'une analyse aussi longue était inutile pour justifier une telle évidence.

On pourrait alors souligner qu'un premier résultat intéressant de notre travail est de mettre en lumière le fait que la formation des connaissance nouvelles et les rapports qu'elles entretiennent avec les connaissance antérieures semblent être des phénomènes complexes sur lesquels il faut se garder d'avoir des opinions trop hâtivement fondées et/ou trop tranchées. Le savoir ne se constitue pas petit à petit dans un processus quasi linéaire où la maîtrise de certains prérequis serait à elle seule le garant de l'accès à un nouvelle connaissance. Les processus en jeu sont beaucoup plus complexes et il est difficile d'en cerner tous les aspects. En fait, nous avons quelques éléments de réponses qui sont donnés par les études en psychologie cognitive et en didactique des mathématiques mais, au niveau de études de terrain, les limites méthodologiques de l'investigation ne permettent pas de bien préciser les résultats.

D'autre part, dans notre cas, le choix d'une complète indépendance par rapport à l'enseignement représentait une idée séduisante et en quelque sorte un pari, mais cela nous a conduit à beaucoup d'incertitude sur la nature des données recueillies. Nous pensons a posteriori que même pour ce type de pré-analyse, il aurait fallu contrôler, même très peu, la nature des épreuves, voire leur coordination, et les conditions de passage etc... Nous aurions pu ainsi avoir plus de confiance dans ce que nous aurions recueilli et faire un travail plus riche sans beaucoup plus de coût. Nous pensons qu'apparaît ici un deuxième résultat didactique qui remet en cause la portée des évaluations a priori, dont il semblerait, contrairement à une opinion répandue, qu'elles restent très limitatives.

Par exemple afin de mieux analyser les deux dualités que nous avons mis en évidence dans la nature des tâche proposées, et ce pour mieux comprendre les types d'apprentissage qu'elles peuvent générer et qu'elles permettent d'évaluer, nous aurions pu proposer une épreuve qui parte d'un problème classique, par exemple de trigonalisation mais que l'on place dans le contexte d'un espace concret et auquel on rajoute une ou deux questions moins stéréotypées. On peut trouver de bons exemples avec des problèmes d'économies, mais cela demande souvent beaucoup de préambules, ou bien on peut construire quelque chose d'un

peu plus artificiel avec des polynômes ou des fonctions. De la même façon, pour améliorer l'idée du DS1, du partiel ou du DS2, il pourrait être intéressant de trouver des sujets où la problématisation soit plus apparente et qui proposent une meilleure dévolution aux étudiants tout en faisant en sorte que les questions techniques soient moins contraignantes. On trouvera en annexe J-7, une proposition dans ce sens, qui utilise les carrés magiques. Avec de tels sujets, il serait, semble-t-il plus facile d'évaluer la capacité des étudiants à utiliser de l'algèbre linéaire dans des contextes neufs et à mettre en fonctionnement leurs connaissance dans des tâches moins algorithmisées, et ce, sans que les problèmes techniques soient si difficiles qu'ils brouillent entièrement les données (cf DS2 et partie).

Un certain type de contrôle de l'enseignement lui-même aurait sans doute était préférable, bien que difficilement gérable. On a vu, par exemple pour le test "vrai/faux", que des écarts dans les réponses des trois groupes ne semblaient pouvoir s'expliquer que par des différences dans l'enseignement pratiqué dans chaque groupe. Ce genre de parasitage, qui peut dans des cas moins caractérisés nous échapper entièrement, est un phénomène ennuyeux. On pourrait semble-t-il y remédier, au moins partiellement, en donnant des directives aux enseignants, mais pour être efficace ce devrait être fastidieux et finalement rendre le contexte moins standard. Une autre solution consisterait à faire des observations en cours et/ou en TD, afin de faire entrer dans l'analyse une variable prenant en compte les différences entre les enseignants, mais cela demanderait de passer énormément de temps mettre en place une méthodologie des observations, de plus c'est un problème délicat.

## 3) Conclusions

Finalement en dépit des améliorations qu'il resterait à faire, qu'avons nous obtenu ?

Tout d'abord nous avons pu recueillir une analyse des tâches qui nous semble intéressante sur le plan didactique (cf § précédent). Cependant ce n'est qu'une analyse en l'état et, hors-mis des hypothèses plus ou moins fondées, nous n'avons encore aucun élément de réponse sur les effets que des modifications éventuelles pourraient apporter.

Notre position sur la nature des prérequis en logique élémentaire et sur les techniques algébriques, ainsi que sur la façon dont ils s'articulent avec l'acquisition des concepts d'algèbre linéaire est, à la suite de notre travail, beaucoup plus argumentée et surtout elle s'appuie sur des résultats précis. Cependant nous devons, faute de données, rester plus vague en ce qui concerne certains prérequis en algèbre et surtout en ce qui concerne la géométrie analytique.

Pour ce qui touche aux évolutions individuelles des étudiants, notre appréciation du problème a pu s'éclaircir. Nous cernons mieux en
particulier certains types de comportements, mais aussi il nous est plus facile de "prévoir", avec assez de certitude, sur des tâches précises, les procédures qui ont le plus de chance d'être mise en œuvre par les étudiants, en fonction de leurs connaissances antérieures. Ce point reste bien sûr encore flou, tant il est vrai que les comportements ne sont pas prédéterminés. Il est simplement possible à partir d'un diagnostic de la tâche proposée et des connaissances antérieures d'un individu donné, de savoir ce qu'il saura sûrement faire et ce qu'il ne saura sûrement pas faire. Cependant cette analyse, doublée d'une réflexion épistémologique et didactique, peut permettre à petite échelle d'espérer améliorer un enseignement.

Enfin à la lumière d'une interprétation didactique mais aussi d'une réflexion assez profonde de nature épistémologique - nous avons réalisé parallèlement à ce travail une étude historique et épistémologique de l'émergence des premiers concepts d'algèbre linéaire - nous pouvons proposer une alternative dont on peut penser qu'elle sera plus satisfaisante sur les plans cognitif, didactique et épistémologique. Nous touchons toutefois là à l'extension maximale que l'on peut proposer de notre travail, sans y réinvestir des apports consistants -mise en place d'une ingénierie détaillée, expérimentation et confrontation des observations avec les effets attendus-.

Il est important pour comprendre la portée que peut avoir notre travail, de bien mesurer la part de didactique qu'il comprend. Extérieurement, cette étude peut en effet sembler se situer à un niveau seulement pédagogique. Nous pensons pourtant qu'il a, à pratiquement tous les niveaux, des spécificités didactiques. Dès le départ le choix de la méthode d'analyse par blocs est une option didactique, qui repose sur l'idée que l'on peut caractériser les connaissances selon leur fonctionnement et suivant les cadres où elles agissent. Cette technique associée à la caractérisation des réponses en termes de procédures, nous a permis de relier prérequis et connaissances nouvelles selon un mode qui correspond mieux à ce que nous semblent être les processus d'acquisition des connaissances. Autrement dit nous nous sommes appuyés sur les théories didactiques (cf en particulier [1], [2] et [7]) et les hypothèses sur la construction du savoir, pour analyser les données recueillies. En particulier l'idée que l'on n'apprend pas petit à petit mais qu'il existe des phases de déstabilisation suivie par des périodes de réorganisation, ou bien le concept de contrat, sont des éléments qui nous ont permis de regarder nos données sous un autre angle et surtout d'en donner des interprétations différentes.

Le travail didactique est bien sûr visible également au niveau de l'analyse des tâches. En particulier, l'introduction de la dimension épistémologique est fondamentale, pour pouvoir en arriver à nos conclusions. C'est parce que nous nous sommes d'abord interrogé sur la

nature des concepts de l'algèbre linéaire et sur leur origine, que nous avons par exemple dégagé une dichotomie au niveau des tâches et cette réflexion préalable nous a guidé dans beaucoup de nos interprétations. La façon même dont nos conclusions ont pu être reprises, pour donner les propositions que nous avons énoncées plus haut, relève d'une démarche où l'apport didactique est fondamental.

Nous avons montré en détail les limitations que la nature même de notre étude imposait aux résultats que l'on pouvait en tirer. Pour certains points assez locaux, nous avons déjà pu proposer des améliorations. Nous restons cependant convaincu que les difficultés méthodologiques sont grandes et pour certaines nous envisageons mal de pouvoir les contourner. Dans ce dernier paragraphe, nous avons essayé de montrer comment les outils didactiques pourraient permettre de rendre ce genre d'études plus intéressant du point de vue de la recherche, malgré les difficultés qui y sont liées. Nous espérons que ces quelques réflexions tout en enrichissant la lecture de notre propre travail seront utiles à ceux qui voudraient faire des études de même nature même à propos d'autres domaines mathématiques que l'algèbre linéaire.
Bibliographie

[1] F. BOSCHET - A. ROBERT, *Acquisition des premiers concepts d'analyse sur $\mathbb{R}$ dans une section ordinaire de première année de DEUG*, Cahier de didactique des mathématiques n°7, IREM de Paris VII.

[2] A. ROBERT, Rapport enseignement/apprentissage (début de l'analyse sur $\mathbb{R}$). Fascicule 1, *Analyse d'une section de DEUG A première année (les connaissances antérieures et l'apprentissage)*, Cahier de didactique des mathématiques n°18, IREM de Paris VII.

[3] H. AUTHIER, *Etude comparative de diverses production d'étudiants de première année de DEUG scientifique selon les séries du baccalauréat d'origine*. Annexe sur la méthode graphique par M. Cantateuzene, Cahier de didactique des mathématiques n°31, IREM de Paris VII, Septembre 1986.

[4] R. DOUADY, *Jeu de cadres et dialectique outil-objet*, Thèse d'état. Université de Paris VII-1984. Même titre in *Recherche en Didactique de Mathématiques* (RDM) vol 7 n°2 1986 pp 5-31.

[5] J-L. OVAERT et J-L. VERLEY, *Algèbre volume 1*, Collection Léhonard Epistémon, CEDIC/ Fernad Nathan 1981.

[6] A. ROBERT, J. ROBINET et I. TENAUD, *De la géométrie à l'algèbre linéaire*, Brochure de l'IREM de Paris VII n°72, Décembre 87.

A. ROBERT et J. ROBINET, *Quelques résultats sur l'enseignement de l'algèbre linéaire*, Cahier de didactique des mathématiques n°53, IREM de Paris VII, 1989.

[7] J. ROBINET, *Esquisse d'une génèse des notions d'algèbre linéaire enseignées en DEUG*, Cahier de didactique des mathématiques n°29, éd. IREM de Paris VII. Mai 1986.

[8] G. HAREL, *Variation in linear algebra content presentations*, in *For the learning of mathematics* 7,3, Montreal, Novembre 1987.

G. HAREL, *Learning and teaching linear algebra : difficulties and an alternative approach to visualizing concepts and processes*, in *Focus on learning problems in mathematics*.

[9] C. ROBERT, *Analyse descriptive multivariée*, Collection Statistique en biologie et en médecine, Flammarion 1989.

[10] J-M. BOUROCHE et G. SAPORTA, *L'analyse de données, Collection "Que sais-je"*. Presses Universitaires de France (quatrième édition 1980).
Analyse dans le suivi
de productions d'étudiants de DEUG A (*)
en algèbre linéaire.

ANNEXES

par Jean-Luc DORIER

Institut Fourier

Equipe de Didactique des mathématiques

B.P. 74 - 38 402 St Martin d'Hères Cedex

et avec la collaboration de

Christian LAVERGNE

IMAG-TIM3

Equipe de statistique

B.P. 53X 38 041 Grenoble Cedex

<footnote>(*) Premier cycle scientifique des universités françaises.</footnote>
## SOMMAIRE DES ANNEXES

<table><tr><td>A-1 Texte du prØtest</td><td>p 1</td></tr><tr><td>A-2 Tableau des donnØes brutes au prØtest</td><td>p 5</td></tr><tr><td>A-3 Tableau des notes aux blocs du prØtest</td><td>p 12</td></tr><tr><td>A-4 Tableau de la rØpartition par blocs au prØtest</td><td>p 16</td></tr><tr><td>B-1 Texte du premier devoir surveillØ</td><td>p 20</td></tr><tr><td>B-2 Tableau des donnØes brutes au DS n°1</td><td>p 22</td></tr><tr><td>C-1 Texte des trois premiers exercices du partiel</td><td>p 24</td></tr><tr><td>C-2 Tableau des donnØes brutes au partiel</td><td>p 26</td></tr><tr><td>D-1 Texte et corrigØ du deuxiŁme devoir surveillØ</td><td>p 30</td></tr><tr><td>D-2 Tableau des donnØes brutes au DS n°2</td><td>p 35</td></tr><tr><td>E-1 Textes des deux versions du test "vrai/faux"</td><td>p 37</td></tr><tr><td>E-2 Tableau des donnØes brutes au "vrai/faux"</td><td>p 40</td></tr><tr><td>E-3 Tableaux croisØs prØtest/"vrai/faux"</td><td>p 45</td></tr><tr><td>F-1 Texte du troisiŁme devoir surveillØ</td><td>p 48</td></tr><tr><td>F-2 Tableau des donnØes brutes au DS n°3</td><td>p 51</td></tr><tr><td>G-1 Texte et corrigØ du quatriŁme devoir surveillØ</td><td>p 53</td></tr><tr><td>G-2 Tableau des donnØes brutes au DS n°4</td><td>p 58</td></tr><tr><td>H-1 Texte de l'examen</td><td>p 61</td></tr><tr><td>H-2 Tableau des donnØes brutes à l'examen</td><td>p 64</td></tr><tr><td>J-1 Tableau global et comparatif pour les 19 Øtudiants</td><td>p 67</td></tr><tr><td>J-2 RØsultats de l'ACP sur les variables du prØtest (tranches de notes en reprØsentatif)</td><td>p 71</td></tr><tr><td>J-3 ACP sur les notes aux devoirs</td><td>p 79</td></tr><tr><td>J-4 Tableau des donnØes par thŁmes</td><td>p 87</td></tr><tr><td>J-4a ACP sur les variables de rØsolution de systŁmes</td><td>p 90</td></tr><tr><td>J-4b ACP sur les variables des questions ØlØmentaires</td><td>p 95</td></tr><tr><td>J-4c ACP sur les variables des questions plus ØvoluØes</td><td>p 100</td></tr><tr><td>J-4d Matrices de corrØlations entre les 23 variables</td><td>p 107</td></tr><tr><td>J-5 ACP sur sys1, sys2, ele1, ele2, ALG, SYNT, AL1, AL2, AL3 et cmat</td><td>p 110</td></tr><tr><td>J-6 Matrice des corrØlations des 30 variables avec le prØtest et reprØsentation de ces variables dans le plan principale l'acp sur les variables du prØtest.</td><td>p 117</td></tr><tr><td>J-7 Une proposition de problŁme.</td><td>p122</td></tr></table>
<figure><img src="image_23.png" /></figure>
## Texte du prétest

1. Soit a un nombre réel, les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses : (rayez les mentions inutiles)

# ANNEXE A-1

## Texte du prétest

i) $a=3 \Rightarrow a^2 = 9$ VRAI / FAUX

ii) $a^2 = 9 \Rightarrow a=3$ VRAI / FAUX

iii) $a=3 \Leftrightarrow a^2 = 9$ VRAI / FAUX

iv) $a \neq 3 \Leftrightarrow a^2 \neq 9$ VRAI / FAUX

v) $\sqrt{4} = \pm 2$ VRAI / FAUX

vi) $\sqrt{4} = 2$ VRAI / FAUX

vii) $\sqrt{4} = -2$ VRAI / FAUX

viii) $\sqrt{4} = -1 - 2$ | VRAI / FAUX

2. a) Si $x$ est un nombre réel non nul, $-1 < x < 3$ entraine toujours $1 < x^2 < 9$ VRAI / FAUX

b) Quelle est l'inégalité vérifiée par $x^2$ ?
$$ \dots < x^2 < \dots $$

( Répondez par des nombres )

3. Trouvez le sous ensemble $X$ de $\mathbb{N}$ défini par les deux propriétés: $0 \in X$ et pour tout $a: a \in X$ si et seulement si $a+1 \notin X$.

Réponse:

Démonstration:
4- Soient $f_1, f_2, f_3$ trois fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Traduire graphiquement les propriétés suivantes:

a) pour tout entier $i$, $i=1;2;3$, il existe un élément $a$ de $\mathbb{R}$ tel que $f_i(a)=1$.

b) il existe un entier $i$, $i=1;2;3$, tel que pour tout réel $a$, $f_i(a)=1$.

c) il existe un réel $a$ tel que, pour tout entier $i$, $i=1;2;3$, $f_i(a)=1$.

d) pour tout réel $a$, pour tout entier $i$, $i=1;2;3$, $f_i(a)=1$.

5-Écrire dans un langage le plus formalisé possible la phrase suivante :
*Etant donnée une suite $(u_n)$ de réels, tout intervalle de $\mathbb{R}$ de centre 0 contient un élément de la suite.*

6- Soit $E$ un ensemble, qu'appelle-t-on loi associative sur $E$ ?

7- Citez un groupe en précisant la loi de groupe.

8- Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses : (rayez la mention inutile) :

a) Pour tout entier naturel $x$, il existe un entier naturel $y$ tel que : $x = 6y$ .

b) Pour tout entier naturel $y$, il existe un entier naturel $x$ tel que : $x = 6y$ .

c) Il existe un entier naturel $y$, tel que pour tout entier naturel $x$ : $x = 6y$ .

9-Soit (P) la proposition suivante :
(P) Il existe un entier $n$ tel que pour tout entier $p, q \in n$. Quelle est la négation (P') de cette proposition ?

Dire si 9bis) (P) est vraie
9ter) la négation (P') est vraie
VRAI / FAUX
VRAI / FAUX

10-Soit (Q) la proposition suivante :
(P) pour tout $n \in \mathbb{N}$, Il existe $n' \in \mathbb{N}$ tel que $n' > n$.
Quelle est la négation (Q') de cette proposition ?

Dire si 10bis)(Q) est vraie
10ter) la négation (Q') est vraie
VRAI / FAUX
VRAI / FAUX