# Modélisation de la dynamique de l'expression des gènes des plantes lors d'une attaque biotique par intelligence artificielle informée par la physique

Manon Vidal, Régis Duvigneau, Silvia Bottini

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Manon Vidal, Régis Duvigneau, Silvia Bottini. Modélisation de la dynamique de l'expression des gènes des plantes lors d'une attaque biotique par intelligence artificielle informée par la physique. RR-9595, Inria & Université Cote d'Azur, Sophia Antipolis, France. 2025. hal-05210203

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# Modélisation de la dynamique de l'expression des gènes des plantes lors d'une attaque biotique par intelligence artificielle informée par la physique

Manon Vidal, Régis Duvigneau, Silvia Bottini

## RESEARCH
REPORT

N° 9595

Août 2025

Project-Team ACUMES
<figure><img src="image_2.png" /></figure>
<figure><img src="image_3.png" /></figure>

# Modeling gene expression dynamics
of plants during biotic attack
by physics-informed artificial intelligence

Manon Vidal<fnref n="1" />, Régis Duvigneau<fnref n="2" />, Silvia Bottini<fnref n="3" />

Project-Team ACUMES

Research Report N° 9595 — Août 2025 — 34 pages.

**Abstract:**

To defend themselves against biotic threats, plants rely on a complex network of signaling pathways that regulate immune responses. Once activated, these pathways orchestrate molecular events enabling the plant to counteract stress, ultimately determining whether an infection is successfully resisted or not. Understanding the dynamic modulation of these defense mechanisms is therefore crucial for advancing research in plant immunity and improving crop resilience. In this project, we employed a physics-informed neural networks (PINNs) approach to model gene expression dynamics in plants exposed to biotic stress. We began with a simplified PINNs framework based on a first-order linear ordinary differential equation (ODE) in time, selected for its ease of interpretation, low computational cost, and suitability for initial experimental calibration. The model was first trained on synthetic data and then tested on real gene expression data from *Solanum lycopersicum* responding to infection by *Botrytis cinerea*. However, this simple model proved insufficient to fully capture the complexity of the biological response. To overcome this limitation, we introduced a non-linear sigmoidal stress-response term into the ODE, thereby enhancing the model's expressive power. Following calibration on synthetic data, this more advanced model was tested on gene expression data corresponding to the response of *Solanum lycopersicum* to *Cladosporium fulvum* for which more data are available. This time, the model successfully reproduced both simple and complex expression patterns. This work demonstrates that PINNs can be effectively applied to omics data and are capable of modeling biologically realistic and complex temporal responses in plants subjected to biotic stress

**Key-words:** dynamics, plant-pathogen interactions, differential equation modeling, neural networks informed by physical, transcriptomics

<footnote n="1">¹ Inria Center at Université Côte d'Azur – manon.vidal@etu.univ-cotedazur.fr</footnote>

<footnote n="2">² Inria Center at Université Côte d'Azur – regis.duvigneau@inria.fr</footnote>

<footnote n="3">³ Institut Sophia Agrobiotech – silvia.bottini@inrae.fr</footnote>
<figure><img src="image_4.png" /></figure>
Modélisation de la dynamique de l'expression
des gènes des plantes lors d'une attaque biotique par
intelligence artificielle guidée par la physique

**Résumé** : Pour se défendre contre les menaces biotiques, les plantes s'appuient sur un réseau complexe de voies de signalisation qui régulent les réponses immunitaires. Une fois activées, ces voies orchestrent des événements moléculaires permettant à la plante de contrer le stress, ce qui détermine en fin de compte si une infection est freinée avec succès ou non. Il est donc essentiel de comprendre la modulation dynamique de ces mécanismes de défense pour faire avancer la recherche sur l'immunité des plantes et améliorer la résistance des cultures. Dans ce projet, nous avons utilisé une approche de réseaux neuronaux informée par la physique (PINNs) pour modéliser la dynamique de l'expression des gènes dans les plantes exposées à un stress biotique. Nous avons commencé par un cadre PINNs simplifié basé sur une équation différentielle ordinaire (ODE) linéaire du premier ordre dans le temps, choisie pour sa facilité d'interprétation, son faible coût de calcul et son aptitude à l'étalonnage expérimental initial. Le modèle a d'abord été entraîné sur des données synthétiques, puis testé sur des données réelles d'expression génique de *Solanum lycopersicum* réagissant à une infection par *Botrytis cinerea*. Toutefois, ce modèle simple s'est avéré insuffisant pour rendre compte de la complexité de la réponse biologique. Pour surmonter cette limitation, nous avons introduit un terme sigmoïdal non linéaire de réponse au stress dans l'EDO, ce qui a permis d'améliorer le pouvoir d'expression du modèle. Après avoir été calibré sur des données synthétiques, ce modèle plus avancé a été testé sur des données d'expression génique correspondant à la réponse de *Solanum lycopersicum* à *Cladosporium fulvum*, pour laquelle davantage de données sont disponibles. Cette fois, le modèle a reproduit avec succès des modèles d'expression simples et complexes. Ce travail démontre que les PINN peuvent être appliqués efficacement aux données omiques et sont capables de modéliser des réponses temporelles complexes et biologiquement réalistes chez les plantes soumises à un stress biotique

**Mots clés** : dynamique, interactions plante-pathogène, modélisation par équations différentielles, réseaux de neurones informés par la physique, transcriptomique
<table>
  <tr>
    <td>1.Introduction</td>
    <td>7</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2. Matériels et méthodes</td>
    <td>10</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2.1 Recherche de l'équation différentielle ordinaire (EDO) pour la modélisation de la dynamique de l'expression des gènes</td>
    <td>10</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2.1.1. Choix et description du modèle simplifié</td>
    <td>10</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2.1.2. Formulation de l'EDO du modèle simplifié</td>
    <td>10</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2.1.3. Justification biologique et mathématique du modèle simplifié</td>
    <td>11</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2.2 Complexification de l'EDO afin d'y inclure le stress causé par un pathogène: modèle complexe</td>
    <td>11</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2.3 Création et calibration du PINN</td>
    <td>12</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2.3.1. Généralités</td>
    <td>12</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2.3.2. Architecture du PINN</td>
    <td>13</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2.3.3. Fonctions de perte</td>
    <td>13</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2.3.4. Entraînement du PINN</td>
    <td>14</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2.3.5. Prédiction</td>
    <td>15</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2.4 Utilisation de labels sur le modèle complexifié pour améliorer la performance du PINN</td>
    <td>15</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2.5 Données utilisées pour tester le modèle</td>
    <td>15</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2.5.1. Création des données synthétiques</td>
    <td>15</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2.5.2. Données biologiques</td>
    <td>16</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>3. Résultats</td>
    <td>18</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>3.1 Le modèle PINN simplifié entraîné avec des données simulées</td>
    <td>18</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>3.1.1. Effet du nombre de temps de prélèvement sur la performance du modèle simplifié</td>
    <td>18</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>3.1.2. Effet du bruit sur la performance du modèle simplifié</td>
    <td>19</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>3.1.3. Identification des paramètres du modèle simplifié</td>
    <td>21</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>3.2 Le modèle PINN complexe entraîné avec des données simulées</td>
    <td>23</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>3.3 Le modèle PINN simplifié testé sur des données biologiques</td>
    <td>24</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>3.3.1 Données Bc</td>
    <td>24</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>3.3.2. Test du modèle sur les données</td>
    <td>25</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>3.4 Le modèle PINN complexe testé sur des données biologiques</td>
    <td>27</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>3.4.1. Données Cf</td>
    <td>27</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>3.4.2. Modèle complexe testé sur des gènes du cluster 0</td>
    <td>28</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>3.4.3. Modèle complexe testé sur des gènes du cluster 9</td>
    <td>30</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>3.4.4. Test du modèle avec labels sur les données du cluster 9</td>
    <td>32</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>4. Discussion</td>
    <td>35</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>4.1 Résultats de l'étude</td>
    <td>35</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>4.2 Limites du projet</td>
    <td>36</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>5. Conclusion et perspectives</td>
    <td>37</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>5.1 Conclusion</td>
    <td>37</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>5.2 Perspectives</td>
    <td>38</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Bibliographie</td>
    <td>40</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Annexes</td>
    <td>42</td>
  </tr>
</table>
# 1. Introduction

La défense des plantes contre les menaces biotiques nécessite de multiples processus de signalisation responsables de la surveillance, de la perception et de l'activation de la réponse immunitaire, qui sont influencés par des facteurs spatiaux et temporels variables, à différents niveaux biologiques, et qui concourent tous à la réussite ou à l'échec de l'infection¹. Les processus spécifiques activés en réponse à chaque attaque peuvent varier en fonction du mode de vie du pathogène. En outre, une réponse rapide de la plante à ces attaques est essentielle et peut avoir une incidence considérable sur le destin de la plante.

L'hypothèse émise ici est que lorsque les voies de signalisation sont activées, elles jouent un rôle fondamental dans la défense de l'hôte contre les ravageurs, conduisant au succès ou à l'échec de l'infection. Par conséquent, pour pouvoir réduire la vulnérabilité des cultures, il est nécessaire de caractériser globalement la dynamique de la façon dont les plantes modulent leur programme moléculaire pour répondre à ces attaques de grande envergure. L'essor des techniques omiques au cours de la dernière décennie a permis d'étudier des systèmes biologiques complexes grâce à l'analyse de leur contenu au niveau moléculaire. La transcriptomique est de loin la technique omique la plus utilisée pour étudier la réponse des plantes au stress. Elle fournit des détails sur la transcription et la régulation des gènes, ainsi que sur les changements quantitatifs dans l'expression. Habituellement, les données transcriptomiques longitudinales sont analysées en considérant chaque point temporel comme indépendant et en utilisant des approches basées sur l'analyse des profils, y compris des techniques de regroupement ou des modèles statistiques tels que l'ANOVA². Bien que ces approches soient utiles pour la classification des gènes en différents groupes d'expression et la détection des gènes différentiellement exprimés, la continuité temporelle des données n'est pas pleinement appréciée. Une autre approche consiste à utiliser des modèles mathématiques, notamment des modèles de régression et de spline, qui capturent les informations relatives à la continuité temporelle³. Toutefois, ces modèles ne reposent pas sur des hypothèses mécanistes spécifiques et ne parviennent généralement pas à fournir des interprétations mécanistes. En outre, l'analyse du transcriptome avec une résolution temporelle suffisamment élevée est un défi technique et économique, en particulier pour les tissus végétaux, avec des expériences généralement composées de quelques points temporels, entre 2 et 4. Or, ces points temporels sont insuffisants pour fournir des profils d'expression génique permettant de déduire de manière robuste des changements statistiquement significatifs au cours de la période d'infection. Bien que la réutilisation des données omiques recueillies dans la littérature puisse partiellement pallier ce manque, l'effet de lot peut entraver l'analyse conjointe de données non appariées.

L'équipe SMILE à l'ISA a récemment développé HIVE (Horizontal Integration analysis using Variational AutoEncoders), une méthode conçue pour analyser conjointement des données transcriptomiques issues de différentes expériences, même lorsqu'elles ne sont pas appariées⁴. HIVE repose sur l'utilisation d'un auto-encodeur variationnel (VAE), un modèle génératif capable d'apprendre des représentations de faible dimension à partir des données, dans un cadre non supervisé. Cette méthode permet de réduire les effets de lot tout en préservant les principales tendances d'expression génique présentes dans les jeux de données multi-transcriptomiques. Toutefois, bien que HIVE puisse être appliqué à des données longitudinales, il ne prend pas en compte explicitement les dépendances temporelles entre les différents temps de prélèvement. Pour pallier cette limite, plusieurs extensions des VAE ont été développées afin de traiter des séries temporelles de haute dimension. Ces modèles, appelés VAE dynamiques (DVAE)⁵, associent les VAE à des réseaux de neurones récurrents (RNN) ou à des modèles d'espace d'état (SSM)⁶, ce qui permet d'apprendre non seulement une représentation latente, mais aussi la dynamique qui la régit. Parmi ces modèles, on peut citer par exemple le VAE Kalman (KVAE)⁷, le VAE à base de processus gaussien (GMVAE)⁸, ou encore l'ODE2VAE, qui introduit une dynamique continue via des équations différentielles neuronales. Une autre approche récente et prometteuse consiste à intégrer des connaissances physiques ou mathématiques dans les modèles d'apprentissage automatique, dans le cadre de ce qu'on appelle l'apprentissage automatique scientifique⁹,¹⁰,¹¹. L'idée est d'imposer aux modèles des contraintes fondées sur des dynamiques connues ou apprises. Parmi ces approches, une nouvelle catégorie de modèles qui suscite un interêt croissant est celle des réseaux neuronaux informés par la physique (PINNs)¹⁰. Ces modèles, étudiés par l'équipe ACUMES à l'Inria, intègrent des équations différentielles ordinaires ou partielles directement dans la fonction de perte du réseau, ce qui les rend particulièrement adaptés à l'analyse de données bruitées, de haute dimension, ou de séries temporelles¹²,¹³. Cependant, ces modèles restent peu explorés dans le contexte des données omiques, notamment en raison de la méconnaissance des systèmes physiques sous-jacents. C'est pourquoi, dans ce projet, il a été choisi d'explorer le potentiel des PINNs dans un contexte multi-transcriptomique longitudinal, en s'attaquant explicitement au problème posé par l'absence d'un système physique connu. L'objectif est de mieux caractériser les dynamiques d'expression génique au cours du temps, en particulier dans le cadre des interactions plante-pathogène, et ainsi de mieux comprendre leur évolution.
L'objectif de ce travail est de concevoir une nouvelle méthodologie basée sur les PINNs pour analyser des données longitudinales multi-transcriptomiques, dans le but d'étudier la dynamique des interactions plante-pathogène au niveau moléculaire. Un défi important réside dans le fait que la physique est inconnue ou partiellement connue dans le dialogue hôte-pathogène, par conséquent l'approche standard doit être complétée par une étape de sélection ou de pondération des modèles. D'un point de vue pratique, on a choisi d'utiliser la tomate *Solanum lycopersicum* comme système biologique, en raison de son importance agro-économique et de sa sensibilité à plus de 200 maladies causées par plusieurs agents pathogènes différents¹⁴.

## 2. Matériels et méthodes

### 2.1 Recherche de l'équation différentielle ordinaire (EDO) pour la modélisation de la dynamique de l'expression des gènes

#### 2.1.1. Choix et description du modèle simplifié

Afin de modéliser la dynamique du système étudié, une approche différentielle en temps a été choisie. Ce type de modélisation permet de représenter l'évolution d'une grandeur en fonction du temps, ce qui est particulièrement adapté pour analyser un comportement dynamique. De plus, une équation différentielle d'ordre 1 a été retenue, c'est-à-dire qui fait intervenir uniquement la dérivée première de la variable d'intérêt. Ce choix se justifie par la volonté de privilégier un modèle simple, facile à interpréter et à identifier expérimentalement, tout en étant suffisant pour capturer la dynamique essentielle du système. Par ailleurs, le second membre de l'équation a été pris comme linéaire afin de maintenir une formulation simple et directement exploitable dans les phases de calibration et d'analyse. Ce choix permet également une résolution plus aisée et limite les risques d'instabilités numériques lors des simulations. Pour traduire l'expression des gènes d'un organisme en un modèle mathématique, une définition des variables et des paramètres a tout d'abord été effectuée. Une variable et deux paramètres ont été posés :

i. $G(t)$ : cette variable décrit l'expression d'un gène de façon indépendante au cours du temps. Elle va permettre de suivre la variation de l'expression du gène lors d'une perturbation.

ii. $\bar{G}$ : ce paramètre décrit la solution stationnaire de l'EDO, qui correspond à la valeur pour laquelle l'expression du gène reste constante au cours du temps (expression vers laquelle le gène converge lorsque le temps tend vers l'infini).

iii. $\alpha$ : ce paramètre décrit le taux de croissance de l'expression $G(t)$. Il pourra varier selon le gène et la perturbation.

#### 2.1.2. Formulation de l'EDO du modèle simplifié

Après avoir défini la variable et les paramètres décrivant l'expression des gènes dans le temps, l'EDO modélisant l'évolution temporelle de l'expression du gène s'écrit :

$$ (1) \qquad \frac{dG}{dt} = \alpha (G(t) - \bar{G}) \qquad \text{Modèle simplifié} $$

Afin de pouvoir utiliser cette équation pour créer nos données synthétiques, la recherche de la solution a été effectuée, et l'expression d'un gène $G(t)$ est décrite comme :

$$ (2) \qquad G(t) = \bar{G} + (G_0 - \bar{G}) \cdot e^{\alpha t} $$

Inria
Le nouveau terme G0 représente la valeur de l'expression du gène pour t=0, et changera donc selon le gène considéré.

### 2.1.3. Justification biologique et mathématique du modèle simplifié

Cette équation a été choisie comme base pour établir notre modèle simplifié. Elle correspond à un modèle classique de retour vers l'équilibre, ou de relaxation. Elle permet de modéliser une dynamique où l'expression évolue en proportion de son écart à la solution stationnaire. Le système s'auto-régule donc vers cette valeur. Au niveau biologique, ce type d'équation a déjà été utilisée dans le passé¹⁵,¹⁶, et représente donc un bon point de départ pour modéliser la dynamique d'expression des gènes.

## 2.2 Complexification de l'EDO afin d'y inclure le stress causé par un pathogène: modèle complexe

Comme l'équation du modèle simplifié représente seulement l'évolution libre de la valeur d'expression d'un gène en fonction du temps, il a été nécessaire de rajouter un terme à l'équation pour y représenter le stress, en temps que terme de forçage qui va créer une variation. En effet, lorsqu'un pathogène va attaquer une plante, il va y avoir un dialogue moléculaire qui va se mettre en place entre eux et l'expression des gènes de la plante peut alors être modifiée. Ce terme de stress a été ajouté sous la forme S(t), décrit par une fonction sigmoïdale (Fig.1), qui s'écrit:

$$ (3) \qquad S(t) = \bar{S} \cdot \frac{1}{1 + \exp\left(-\frac{t-t_s}{\tau}\right)} $$

avec comme paramètres :

- $\bar{S}$ : ce paramètre décrit la force du stimulus causé par le pathogène, qui peut être positive ou négative.

- $t_s$ : ce paramètre décrit le temps d'activation du signal. Il permet de décrire le moment où l'expression va être modifiée de façon significative.

- $\tau$ : ce paramètre décrit la raideur (« sharpness ») de la courbe. Il permet de quantifier la vitesse de réponse au stimulus.

Ce nouveau terme pourra donc être ajouté à l'équation (1), permettant d'y inclure la notion d'interaction plante-pathogène, et donc de complexifier le système. Cette équation s'écrit :

$$ (4) \qquad \frac{dG}{dt} = \alpha (G(t) - \bar{G}) + \bar{S} \cdot \frac{1}{1 + \exp\left(-\frac{t-t_s}{\tau}\right)} \text{plexe} $$
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig.1 : Modélisation du stress avec la fonction S(t) et ses différents paramètres</figcaption></figure>

## 2.3 Création et calibration du PINN

### 2.3.1. Généralités

Pour le choix du modèle, on s'est appuyé sur l'expertise de l'équipe ACUMES à l'Inria sur les PINNs et leur connaissance de ce type de modèle¹⁷. Les PINNs¹⁰ sont une méthode qui utilise des réseaux de neurones pour résoudre des EDO, en intégrant les lois physiques dans l'apprentissage. Le réseau prédit une solution approchée de l'équation, et son entraînement consiste à minimiser une fonction de perte combinant l'erreur sur les données et l'erreur sur l'EDO. Ce double objectif permet à la fois d'approcher la solution exacte de l'équation tout en respectant au mieux les observations expérimentales. Cette approche présente plusieurs intérêts majeurs: elle permet la résolution de problèmes paramétriques en généralisant les prédictions à différentes conditions, elle facilite la résolution de problèmes inverses en reconstruisant des paramètres inconnus du modèle, et elle offre une solution flexible combinant données expérimentales et contraintes physiques, ce qui est particulièrement utile lorsque les données sont partielles ou bruitées. Cependant, l'utilisation des PINNs présente quelques limites, comme le choix des hyperparamètres (architecture du réseau, fonction d'activation, méthode d'optimisation), les temps de calculs souvent élevés, ainsi que les difficultés possibles de convergence lors de l'entraînement¹⁸.

### 2.3.2. Architecture du PINN

Pour construire ce PINN, le réseau de neurones utilisé pour approximer la solution de l'EDO est un modèle entièrement connecté, dense, composé de deux couches cachées comportant 50 neurones chacune. La fonction d'activation est la fonction tanh(). La couche de sortie est une couche linéaire à un seul neurone, fournissant l'estimation de l'expression génique G(t) au temps t. Ce modèle prend en entrée le temps et les données fournies, et renvoie une prédiction de l'expression génique correspondante. Il est entraîné à partir des points d'observation et du modèle d'EDO, formalisé comme une contrainte (pénalisation).

### 2.3.3. Fonctions de perte

Afin d'entrainer le PINN, il est nécessaire de minimiser une fonction de perte. Dans le cas des PINNs, elle est composée de l'erreur physique ($L_{EDO}$), qui encode l'EDO, et de l'erreur sur les données expérimentales ($L_{data}$). La $L_{EDO}$ va minimiser l'écart entre la dérivée prédite et l'équation théorique, alors que la $L_{data}$ va pénaliser l'écart entre la prédiction du modèle et les données disponibles. Cela va permettre de contraindre le modèle à respecter à la fois les lois physiques du système et les observations mesurées.
Pour le modèle simplifié, les fonctions de perte associées sont définies par :
$$
\begin{align*}
(5) \qquad \mathcal{L}_{\text{EDO}} &= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{dG_{\text{pred}}(t_i)}{dt} - \alpha \cdot (G_{\text{pred}}(t_i) - \bar{G}) \right)^2 \\
&\qquad \mathcal{L}_{\text{data}} = \frac{1}{M} \sum_{j=1}^{M} (G_{\text{pred}}(t_j) - G_{\text{data}}(t_j))^2 \\
&\qquad \mathcal{L}_{\text{total}} = \mathcal{L}_{\text{EDO}} + \mathcal{L}_{\text{data}}
\end{align*}
$$

avec Gpred(tᵢ) qui est la prédiction du modèle pour un point tᵢ de l'intervalle d'entraînement. La dérivée de la prédiction par rapport
au temps est évaluée par différentiation automatique du réseau (rétropropagation). Pour le modèle complexe, qui inclue le terme
de stress, les fonctions de perte associées sont définies par:

$$
\begin{align*}
(6) \quad \mathcal{L}_{\text{EDO}} &= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{dG_{\text{pred}}(t_i)}{dt} - \alpha \cdot (G_{\text{pred}}(t_i) - \bar{G}) - \bar{s} \cdot \frac{1}{1 + \exp\left(-\frac{t_i - t_s}{\tau}\right)} \right)^2 \\
&\quad \mathcal{L}_{\text{data}} = \frac{1}{M} \sum_{j=1}^{M} (G_{\text{pred}}(t_j) - G_{\text{data}}(t_j))^2 \\
&\quad \mathcal{L}_{\text{total}} = \mathcal{L}_{\text{EDO}} + \mathcal{L}_{\text{data}}
\end{align*}
$$

De plus, des poids peuvent être associés à ces fonctions de perte, avec un lambda entre 0 et 1, afin de favoriser les données ou
la contrainte physique, tel que :

$$
(7) \qquad \mathcal{L}_{\text{total}} = \lambda \mathcal{L}_{\text{EDO}} + (1 - \lambda) \mathcal{L}_{\text{Data}}
$$

Ces formules permettent donc d'exploiter les données disponibles tout en imposant les contraintes physiques du modèle dynamique, ce qui est la force des PINNs.

2.3.4. Entraînement du PINN

L'implémentation du PINN repose sur l'utilisation de TensorFlow v2.18. Les données d'entrée sont tout d'abord converties en
tenseurs TensorFlow et dimensionnées correctement pour s'adapter à l'architecture du réseau. L'optimiseur utilisé pour
minimiser la fonction de perte est Adam, avec un scheduler de type InverseTimeDecay qui ajuste dynamiquement le taux
d'apprentissage. L'entraînement s'effectue alors en plusieurs itérations, dont le nombre est défini par le nombre d'époques, avec
à chaque itération le calcul des pertes totales, la rétropropagation du gradient des pertes par rapport aux poids du réseau et la
mise à jour des poids.

Dans le cas où l'on souhaite identifier les paramètres du système en plus de G(t), on doit résoudre un problème inverse. Les
paramètres doivent alors être définis comme des tf.Variable(trainable=True) et ajoutés à la liste des variables optimisées.

Les résultats de l'entraînement sont visualisés à l'aide de courbes permettant d'évaluer la qualité des prédictions. Des courbes de
convergence sont également tracées afin d'analyser la stabilité et la progression de l'apprentissage.

2.3.5. Prédiction

Après l'entraînement, la capacité de prédiction du modèle peut être testée avec d'autres données que celles utilisées pour
identifier les paramètres. En effet, un entraînement (voir **3.4.**) sur les nouvelles données est effectué, mais avec les paramètres
de l'EDO fixés. L'expression génique est alors obtenue, à l'aide du modèle entraîné, et est visualisée sous forme de courbe.
## 2.4 Utilisation de labels sur le modèle complexifié pour améliorer la performance du PINN

Une étude préliminaire a été réalisée afin de savoir si on pouvait utiliser des labels pour étudier différents clusters de gènes. Le but était d'utiliser les données de tous les gènes d'un cluster pour entraîner le modèle, afin d'obtenir les paramètres et la prédiction du PINN pour chaque gène à la fin de l'entraînement. Pour cela, les données en entrée ont été modifiées, afin que chaque gène soit représenté par un label. En entrée du PINN sont donnés le label du gène ainsi que les différents temps de prélèvement pour ce gène, et en sortie l'expression G(t) est donnée.

## 2.5 Données utilisées pour tester le modèle

### 2.5.1. Création des données synthétiques

Pour pouvoir faire une vérification de l'implémentation du PINN, il a été nécessaire de générer des données dites synthétiques. Ces données vont permettre de contrôler tous les paramètres, car les valeurs de ces paramètres sont connues. La solution exacte de l'EDO sera alors connue, et cela permettra de vérifier si le PINN apprend de façon correcte. Afin de créer ces données pour le modèle simplifié, les paramètres ont été choisis de façon à obtenir une courbe exponentielle puis atteignant un plateau, donné par $\bar{G}$, avec $\alpha = -0.1$ et $\bar{G} = 10$. En utilisant Python v3.12 et à partir de l'équation (2), la solution analytique a été calculée, puis des sous-échantillons ont été extraits afin de constituer différents jeux de données de taille 5, 10 et 20. De plus, la solution numérique de l'équation (1) a été réalisée à l'aide de la fonction odeint() fournie par la bibliothèque SciPy1.15.1. La fonction odeint() a été appelée avec une condition initiale $G(0)=G_0$. Ces deux solutions ont été calculées sur un vecteur de temps $t \in [0,50]$, généré à l'aide de la fonction linspace() de NumPy v2.0.2, contenant 500 points régulièrement espacés. Pour le modèle complexe, la même méthode est suivie pour créer les données synthétiques, avec cette fois-ci le respect de l'équation (4), avec $\alpha=-0.1$, $\bar{G}=10$, $\bar{S}=5.0$, $t_s=15.0$, et $\tau=2.0$.

Pour simuler le bruit qui est souvent présent dans les données biologiques, un bruit multiplicatif peut être ajouté aux données générées. Ce bruit est proportionnel à la valeur d'expression :

$$ (8) \qquad \text{data}_{\text{bruitée}} = \text{data}_{\text{originale}} \times (1 + \gamma \cdot (2 \cdot \text{rand} - 1)) $$

où $\gamma$ est le facteur d'intensité du bruit, compris entre 0 et 1, et rand est un vecteur aléatoire de même taille que les données, tiré de la loi uniforme sur $[0,1]$. Le bruit pourra alors varier de 0% à 100%.

### 2.5.2. Données biologiques

Pour tester le modèle développé, on dispose de deux matrices de comptages de données transcriptomiques de *Solanum lycopersicum* confrontée à des pathogènes. Ces matrices ont été obtenues après traitement à travers la pipeline FORMICA, développée par l'équipe SMILE. La pipeline est composée de différentes étapes. La première étape est une étape de contrôle qualité, avec les outils FASTQC et MULTIQC. L'étape d'après est le choix des options pour l'étape de « trimming », qui consiste en l'élimination des séquences à faible qualité et des adaptateurs. Ces options ont été définies par l'ingénieur de l'équipe SMILE, et peuvent être différentes en fonctions des échantillons. Cette étape a été réalisée avec l'outil FASTP, puis des contrôles qualités ont été effectués avec FASTQC et MULTIQC. La dernière étape consiste en l'étape d'alignement sur le génome de référence *S.lycopersicum* (version ITAG3.1 Solanaceae Genomics Network). Cette étape nécessite les outils STAR, FEATURCOUNTS, SAMTOOLS, BIGWIG et RSEM. Des étapes intermédiaires de visualisation des résultats sont réalisées, afin de voir si les résultats sont cohérents. A la fin de toutes ces étapes, les matrices finales sont obtenues, et les comptages sous forme de Transcript Per Million (TPM) sont conservés pour ce projet.

La première matrice dont on dispose est la réponse de *Solanum lycopersicum* à l'attaque de *Botrytis cinerea* (Bc), un champignon pathogène. La matrice contient 15 échantillons: 5 temps d'infection différents, avec 3 réplicats pour chaque temps. Tous les échantillons proviennent de la même expérience¹⁹ (Fig2.a)).

La deuxième matrice donc on dispose est la réponse de *Solanum lycopersicum* à l'attaque de *Cladosporium fulvum* (Cf), un champignon pathogène. La matrice contient 34 échantillons: 9 temps d'infection différents, avec 3 à 6 réplicats selon l'expérience. La moyenne des réplicats est effectuée, afin d'avoir 9 temps d'infections à analyser. Les échantillons proviennent de 5 expériences différentes²⁰,²¹,²²,²³,²⁴, avec un jeu de données qui a donc été assemblé afin de réunir un grand nombre d'échantillons (Fig2.b)). Afin de sélectionner des gènes de la tomate dont l'expression est modulée au cours de l'infection pour tester notre modèle, ce jeu de données a été analysé avec HIVE, outil développé dans l'équipe SMILE, puis un clustering a été réalisé sur ces gènes, avec un modèle de mélange gaussien.
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Fig.2 :** Description des jeux de données. a) Organisation temporelle des expériences, réplicats et références associées, pour le jeu de données de la réponse de Solanum lycopersicum au pathogène Botrytis cinerea. Chaque point représente un temps de mesure, et la couleur est associée à l'article d'où l'expérience provient. b) Organisation temporelle des expériences, réplicats et références associées, pour le jeu de données de la réponse de Solanum lycopersicum au pathogène Cladosporium fulvum. Chaque point représente un temps de mesure, et la couleur est associée à l'article d'où l'expérience provient.</figcaption></figure>

# 3. Résultats

## 3.1 Le modèle PINN simplifié entraîné avec des données simulées

### 3.1.1. Effet du nombre de temps de prélèvement sur la performance du modèle simplifié

Le premier objectif était de voir l'effet du nombre de temps de prélèvement sur l'entraînement du PINN. Des sous-échantillons, du nombre de 5, 10 et 20 temps de prélèvement ont été créés. Avec un nombre de temps de prélèvement de 5, donc 5 échantillons pour 5 temps, il a été montré que le modèle est très performant. En effet, en seulement 3 000 itérations, ou époques, le PINN arrive à approximer la solution exacte donnée par les solutions analytiques et numériques. De plus, les courbes des fonctions de perte atteignent un plateau à 10⁻⁵, ce qui est une preuve de la performance du modèle (Fig.3.a)). En multipliant par deux le nombre de temps de prélèvement, avec donc 10 échantillons pour 10 temps, on peut remarquer que le modèle met un peu plus de temps à converger, avec des résultats satisfaisants au bout de 5 000 époques. Cela se remarque aussi sur les courbes des fonctions de perte, où le plateau est atteint moins rapidement (Fig.3.b)). En multipliant par deux le nombre de données, et avec donc 20 échantillons pour 20 temps, on remarque que cela a peu d'effets sur le modèle. Il atteint toujours un plateau au bout de 5 000 époques (Fig.3.c)). Le fait d'avoir 10 ou 20 temps de prélèvement n'a donc pas d'effet sur le modèle ici. Pour conclure sur cette étude, cela a permis de montrer que plus le nombre de temps de prélèvement augmente, plus la convergence sera difficile. Cela montre la nécessité d'adapter le modèle au nombre de temps qu'on a, ce qui est très important à prendre en compte avec des données biologiques.
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>**Fig.3** : Effet du nombre de temps de prélèvement sur l'entrainement et la performance du modèle. a) Entrainement du modèle avec 5 temps de prélèvement. L'expression génique en fonction du temps est représentée, avec une comparaison de la solution analytique, numérique et de la solution du PINN. En bas à droite sont représentées les fonctions de perte. b) Entrainement du modèle avec 10 temps de prélèvement. L'expression génique en fonction du temps est représentée, avec une comparaison de la solution analytique, numérique et de la solution du PINN. En bas à droite sont représentées les fonctions de perte. c) Entrainement du modèle avec 20 temps de prélèvement. L'expression génique en fonction du temps est représentée, avec une comparaison de la solution analytique, numérique et de la solution du PINN. En bas à droite sont représentées les fonctions de perte.</figcaption></figure>

### 3.1.2. Effet du bruit sur la performance du modèle simplifié

L'objectif suivant était de voir comment le modèle réagissait au bruit. Du bruit multiplicatif de 1%, 10% et 30% a été rajouté aux données synthétiques. Les tests ont été réalisés sur 10 points de données. Avec un bruit de 1%, il a été montré que le modèle sait bien s'adapter, et continue à suivre l'EDO malgré le bruit sur les données (Annexe.1.a)). Au vu des fonctions de perte, du poids a été rajouté sur la LEDO. Avec un poids de 70% (Annexe.1.b)), le modèle semble mieux suivre l'EDO, mais a un peu plus de mal avec les données. Par contre, si on met un poids de 90% ((Annexe.1.c)) sur la LEDO, les fonctions de perte de l'EDO et des données sont en dessous de 10⁻⁴. Pour voir si le modèle peut encore mieux suivre l'EDO et les données, un poids de 99,5% (Fig.4.a)) est ajouté sur la LEDO. La Ldata atteint alors 10⁻⁵, et la LEDO descend à 10⁻⁶, en même pas 5 000 époques. Cela prouve que mettre un poids fort sur la fonction de perte de l'EDO permet au modèle d'être performant. Ensuite, un bruit de 10% a été ajouté aux données. Les mêmes poids ont été testés (Annexe.2.a)b)c)). On remarque que si on n'ajoute pas de poids sur la LEDO, le modèle essayera de s'adapter aux données. Or, ces données sont bruitées, donc ce n'est pas ce qui est souhaitable. Il aura aussi plus de mal à converger, passant de 5 000 à 30 000 époques pour entraîner le modèle. Avec l'ajout progressif de poids, le meilleur résultat est donné pour un poids de 99,5% (Fig.4.b)) sur la LEDO. On peut voir que le modèle passe entre les données, tout en approximant l'EDO de façon très précise. Les fonctions de perte atteignent aussi des valeurs satisfaisantes, avec un plateau à 10⁻³ pour les données et 10⁻⁴ pour l'EDO. Enfin, le modèle a été testé avec un bruit de 30%. On peut remarquer que le modèle aura plus de mal à s'adapter, même avec 30 000 itérations. Il aura tendance à suivre les données bruitées (Annexe.3.a)b)c)). Avec un poids de
99,5% (Fig.4.c)) sur la LEDO, le modèle arrive à suivre l'EDO et à éviter les données bruitées. Les fonctions de perte restent un peu hautes, mais cela est attendu avec des données bruitées. Pour conclure sur cette étude, il a été montré ici que le modèle PINN peut s'adapter aux données bruitées et fonctionner, mais cela nécessite une adaptation au niveau des fonctions de perte. Ici encore, ce modèle pourra donc très bien fonctionner sur des données omiques, qui ont souvent beaucoup de bruit.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>**Fig.4 :** Effet de l'ajout du bruit sur les données sur l'entrainement et la performance du modèle. a) Entrainement du modèle avec un bruit de 1% et un poids de 99,5% sur la LEDO. L'expression génique en fonction du temps est représentée, avec une comparaison de la solution analytique, numérique et de la solution du PINN. En bas à droite sont représentées les fonctions de perte. b) Entrainement du modèle avec un bruit de 10% et un poids de 99,5% sur la LEDO. L'expression génique en fonction du temps est représentée, avec une comparaison de la solution analytique, numérique et de la solution du PINN. En bas à droite sont représentées les fonctions de perte. c) Entrainement du modèle avec un bruit de 30% et un poids de 99,5% sur la LEDO. L'expression génique en fonction du temps est représentée, avec une comparaison de la solution analytique, numérique et de la solution du PINN. En bas à droite sont représentées les fonctions de perte.</figcaption></figure>

### 3.1.3. Identification des paramètres du modèle simplifié

Une fois le modèle testé et calibré sur les données synthétiques, l'étape d'après était de passer à l'identification des paramètres. En effet, dans la partie précédente, les données synthétiques ont été créées avec des paramètres choisis. Le modèle ne cherchait pas à les apprendre. Or, dans les données omiques, les paramètres ne sont pas connus. Il est donc important de passer à l'identification des paramètres, et d'étudier comment le modèle arrive à apprendre les paramètres tout en apprenant l'EDO et les données. Un problème inverse a été effectué, et le test réalisé a été de regarder l'influence du nombre de temps de prélèvement sur l'identification des paramètres. On sait en effet que la valeur exacte de $\alpha$ est -0.1, et que $\bar{G}$ est égal à 10. Le but est donc de voir si à la fin de l'entraînement on retombe sur ces valeurs. On peut remarquer ici que le nombre de temps de prélèvement n'a pas vraiment d'influence sur l'identification des paramètres. Qu'on ait 5,10 ou 20 temps, il faudra réaliser au
moins 25 000 itérations pour obtenir de bons résultats et arriver à un plateau au niveau des fonctions de perte. Les paramètres sont alors bien identifiés, avec des valeurs identifiées proches des valeurs réelles (Fig.5.a)b)c)). L'importance ici est plutôt donnée aux valeurs initiales attribuées aux variables. En effet, il faut qu'elles soient assez proches des valeurs réelles, afin que le modèle puisse les identifier. Cela peut consister en une limite, car il faut avoir une idée des valeurs avant d'entraîner le modèle.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>**Fig.5** : Effet du nombre de temps de prélèvement sur l'identification des paramètres par le PINN. a) Identification des paramètres avec 5 temps de prélèvement. L'expression génique en fonction du temps est représentée, avec une comparaison de la solution analytique, numérique et de la solution du PINN. En bas à droite sont représentées les fonctions de perte. b) Identification des paramètres avec 10 temps de prélèvement. L'expression génique en fonction du temps est représentée, avec une comparaison de la solution analytique, numérique et de la solution du PINN. En bas à droite sont représentées les fonctions de perte. c) Identification des paramètres avec 20 temps de prélèvement. L'expression génique en fonction du temps est représentée, avec une comparaison de la solution analytique, numérique et de la solution du PINN. En bas à droite sont représentées les fonctions de perte.</figcaption></figure>

## 3.2 Le modèle PINN complexe entraîné avec des données simulées

Après avoir testé et optimisé le modèle simplifié ne comprenant pas de terme de stress, j'ai décidé de tester le modèle complexe. Le but était de voir l'effet de l'ajout d'un terme de stress sur la performance du modèle. Ici, il a été testé la capacité du modèle à s'adapter au nombre de temps de prélèvement. En effet, comme ce modèle contient un terme de stress, il est intéressant de voir comment le modèle réagit au nombre de temps de prélèvement, afin de savoir quelles données biologiques on pourra lui donner. Avec 5 temps de prélèvement, il a été montré que le modèle est performant au bout de 25 000 itérations (Fig.6.a)). Quand on double le nombre de temps de prélèvement, au bout de 20 000 itérations, le modèle arrive à être performant et à satisfaire l'EDO et la physique des données (Fig.6.b)). Avec les données simulées, on a donc pu montrer ici que rajouter un terme de stress à l'EDO
était possible. En effet, avec quelques adaptations, le modèle fonctionne toujours et arrive à être performant. Quant à l'identification des paramètres, le modèle réagit de la même façon que le modèle simplifié.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>**Fig.6 :** Effet du nombre de temps de prélèvement sur l'entrainement et la performance du modèle. a) Entrainement du modèle avec 5 temps de prélèvement. L'expression génique en fonction du temps est représentée, avec une comparaison de la solution analytique, numérique et de la solution du PINN. En bas à droite sont représentées les fonctions de perte. b) Entrainement du modèle avec 10 temps de prélèvement. L'expression génique en fonction du temps est représentée, avec une comparaison de la solution analytique, numérique et de la solution du PINN. En bas à droite sont représentées les fonctions de perte</figcaption></figure>

## 3.3 Le modèle PINN simplifié testé sur des données biologiques

### 3.3.1. Données Bc

Afin de tester le modèle simplifié, le choix s'est porté sur le jeu de données de la réponse de *Solanum lycopersicum* à Bc. En effet, ce jeu de données contient des échantillons provenant de la même expérience, ce qui en fait le jeu de données parfait pour tester le modèle de base, car on évite les possibles effets de lots. Le but ici était de sélectionner un gène et d'étudier la dynamique d'expression de ce gène pour un réplicat. Pour cela, le gène Solyc00g020040.1.1 a été choisi. Ce gène a été choisi car vu que le modèle simplifié est un modèle linéaire simple, le gène sélectionné devait avoir le même type de profil, ce qui est le cas pour ce gène.

### 3.3.2. Test du modèle sur les données

Afin de tester le PINN créé, la stratégie ici était d'utiliser le réplicat 1. Le but était d'étudier l'effet de la suppression de temps de prélèvement sur l'identification des paramètres. En effet, le but était de faire une identification de paramètres, comme ils ne sont pas connus pour ce gène. Dans le cas de ce modèle, 2 paramètres sont à identifier: $\alpha$ et $\bar{G}$. Ils sont initialisés à $\alpha$=-0.3 et $\bar{G}$=1.5. Pour entraîner le modèle, 10 000 époques ont été nécessaires, et un poids de 99,5% a été mis sur la $L_{EDO}$. On peut voir que, dans tous les cas, le modèle a beaucoup de mal à approximer à la fois l'EDO et les données, avec l'étude des fonctions de coût. Toutefois, le PINN arrive à passer entre les points, ce qui peut paraître logique avec les données omiques et le bruit, et reproduit bien la dynamique (Fig.7.a)b)c)d)). Dans le cas où tous les temps de prélèvement sont utilisés pour entraîner le modèle (Fig.7.a)), $\alpha$ est identifié à environ 0.0499 et $\bar{G}$ à 1.0976. Le but était de voir quel temps de prélèvement était primordial pour se rapprocher de ces paramètres, qui décrivent la bonne dynamique d'expression pour ce réplicat. Quand on enlève le 2e temps de prélèvement (Fig.7.b)), on trouve $\alpha$=0.0465 et $\bar{G}$=1.1436. On peut voir sur la courbe que la dynamique est conservée. On peut donc tirer la
conclusion que ce temps de prélèvement n'est pas primordial, et qu'il pourrait donc être supprimé. Cela est intéressant car dans l'article d'où provient ce jeu de données¹⁹, il est dit que les résultats biologiques pour le 1er et 2e temps de prélèvement sont très similaires. Cela va avec la conclusion qu'il n'est pas obligatoire de l'avoir. Quand on enlève le 3e point (Fig.7.c)), on trouve $\alpha=0.0462$ et $\bar{G}=0.9262$, et quand on enlève le 4e point (Fig.7.d)), on trouve $\alpha=0.0608$ et $\bar{G}=1.3651$. On peut voir sur les courbes que la dynamique est plus décalée quand on enlève le 4e point, alors qu'elle n'est pas vraiment changée quand on retire le 3e point. Cela s'explique par le $\bar{G}$ qui est plus élevé dans le cas de la surpression du 4e point. On peut donc conclure ici que, tout comme le 2e point, le 3e point n'est pas primordial. Par contre, le 4e point semble un peu plus important. Le 1er et le 5e point semblent les plus importants, ce qu'il faudrait vérifier en les supprimant aussi. Cette étude pourrait nous permettre d'interagir avec les biologistes, et de savoir in silico quels temps de prélèvement sont nécessaires pour une étude de dynamique d'expression de gène.

a)

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

b)

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

c)

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

d)

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

LEGENDES

Solution PINN

Données

$L_{\text{total}}$

$L_{\text{EDO}}$

$L_{\text{data}}$

**Fig.7** : Effet de la suppression de temps de prélèvement sur l'identification des paramètres pour un réplicat. a) Identification avec tous les temps de prélèvement. L'expression génique en fonction du temps est représentée. En bas à droite sont représentées les fonctions de perte. b) Identification sans le 2eme les temps de prélèvement. L'expression génique en fonction du temps est représentée. En bas à droite sont représentées les fonctions de perte. c) Identification sans le 3eme temps de prélèvement. L'expression génique en fonction du temps est représentée. En bas à droite sont représentées les fonctions de perte. d) Identification sans le 4eme temps de prélèvement. L'expression génique en fonction du temps est représentée. En bas à droite sont représentées les fonctions de perte.
## 3.4 Le modèle PINN complexe testé sur des données biologiques

### 3.4.1. Données Cf

Afin de tester le modèle complexe, le choix s'est porté sur le jeu de données de la réponse de *Solanum lycopersicum* à Cf. L'avantage de ce jeu de données est son nombre de temps d'infection. Avec 9 temps d'infection, il sera possible ici d'identifier un plus grand nombre de paramètres, ce qui rend ce jeu de données parfait pour tester le modèle PINN complexe. Tout comme le jeu de données utilisé pour tester le modèle simple, ce jeu de données a été analysé avec HIVE, qui a sélectionné 5 450 gènes parmi les 35 000 gènes de la tomate. La matrice des TPM a été créée, et un Clustering Gaussian Mixture est réalisé. 15 clusters ont été trouvés. Le cluster 0 (Fig.8.a)) et le cluster 9 (Fig.8.c)) sont conservés car ils contiennent des profils différents, ce qui est bien pour tester la généralité de notre modèle. Le cluster 0 contient 1 141 gènes et le cluster 9 contient 8 gènes. 3 gènes sont extraits par cluster: 1 pour identifier les paramètres et 2 pour tester la capacité de prédiction du modèle. Le gène utilisé pour identifier les paramètres pour le cluster 0 est Solyc00g090430.3.1 (Fig.8.b)) et le gène utilisé pour identifier les paramètres pour le cluster 9 est Solyc06g054260.1.1 (Fig.8.d)). Ces gènes vont nous permettre de tester notre modèle, et voir si les paramètres trouvés pour ces gènes conviennent aux autres gènes du même cluster.

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>**Fig.8** : Clustering Gaussian Mixture sur les gènes sélectionnés par HIVE pour les données Cf. a) Profils d'expression des gènes du cluster 0. Le profil d'expression moyen est représenté en noir. b) Profil d'expression du gène Solyc00g090430.3.1. c) Profils d'expression des gènes du cluster 9. Le profil d'expression moyen est représenté en noir. d) Profil d'expression du gène Solyc06g054260.1.1.</figcaption></figure>

### 3.4.2. Modèle complexe testé sur des gènes du cluster 0

L'enjeu ici est de voir si le modèle complexe est capable d'identifier les paramètres sur un gène du cluster 0, et de prédire la dynamique des autres gènes du cluster. Dans le cas de ce modèle, 5 paramètres sont à identifier: $\alpha$, $\bar{G}$, $t_s$, $\tau$, et $\bar{S}$. Les paramètres ont été initialisés tels que $\alpha=0.0$, $\bar{G}=1.0$, $t_s=10.0$, $\tau=1.0$ et $\bar{S}=1.0$. Pour l'identification de ces paramètres, j'ai entraîné le modèle sur les valeurs d'expression du gène Solyc00g090430.3.1. 50 000 itérations ont été nécessaires, et un poids de 99,5% a été posé sur la $L_{data}$. Les paramètres ont été identifiés tels que $\alpha=-0.0642$, $\bar{G}=3.3072$, $t_s=12.3793$, $\tau=2.27$ et $\bar{S}=-0.2091$. On peut voir le
résultat du PINN, et on remarque que le modèle approxime bien les données. Un pic d'expression à 3 est cependant observé, juste avant le deuxième temps d'infection (Fig.9.a)). Cela peut être expliqué par la variabilité biologique ou les effets de lots, et n'invalide pas la modèle. Au niveau des fonctions de perte, on remarque que le modèle arrive à bien apprendre l'EDO, car la fonction de perte $L_{EDO}$ atteint $10^{-6}$ pour 50 000 époques, et il réussit aussi à bien apprendre les données, avec un plateau à $10^{-3}$ pour la $L_{data}$ (Fig.9.b)). Cela prouve ici que le rajout du stress dans le modèle était utile pour réussir à mieux retrouver la dynamique. Ce modèle et ces paramètres ont ensuite été testés sur des gènes du même cluster, ayant un profil similaire (Fig.9.c)d)). Les résultats sont satisfaisants, car on remarque que le PINN arrive à retrouver la dynamique d'expression dans le temps de ces gènes. Le PINN ne passe pas exactement par tous les points, et il y a toujours un pic entre le 1er et 2e temps de prélèvement, mais cela montre que le modèle prend en compte la variabilité qu'il peut y avoir dans les données omiques. Ce modèle parvient donc à identifier les paramètres sur un gène et à prédire les profils de gènes ayant une dynamique similaire.

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>**Fig.9** : Test du modèle sur les gènes du cluster 0. a) Identification des paramètres sur le gène Solyc00g090430.3.1. L'expression génique en fonction du temps est représentée. b) Fonction de perte associée à l'identification des paramètres sur le gène Solyc00g090430.3.1. c) Identification des paramètres sur le gène Solyc00g500069.1.1. L'expression génique en fonction du temps est représentée. d) Identification des paramètres sur le gène Solyc00g500196.2.1. L'expression génique en fonction du temps est représentée.</figcaption></figure>
### 3.4.3. Modèle complexe testé sur des gènes du cluster 9

Le but ici est de voir si le modèle complexe, tout comme il arrive à recréer des dynamiques plutôt simples, arrive aussi à identifier les paramètres et prédire des dynamiques plus complexes. Pour cela, tout comme avec le cluster 0, j'ai entraîné le modèle sur les valeurs d'expression d'un gène, le gène Solyc06g054260.1.1. Les paramètres ont été initialisés tels que $\alpha=0.0$, $\tilde{G}=1.0$, $t_s=10.0$, $\tau=1.0$ et $\tilde{S}=1.0$. 50 000 itérations ont été nécessaires, et un poids de 70% a été posé sur la $L_{EDO}$. Les paramètres ont été identifiés tels que $\alpha=0.0053$, $\tilde{G}=2.0882$, $t_s=9.9956$, $\tau=2.2056$ et $\tilde{S}=0.0109$. Les résultats donnés dans la Fig.10.a) montre que le PINN arrive à bien retrouver la dynamique pour ce gène. Il passe bien par certains points clés, et arriver à recréer la forme de la dynamique. Cette performance est confirmée par les fonctions de perte, avec un plateau à $10^{-5}$ pour la $L_{EDO}$, et en dessous de $10^{-2}$ pour la $L_{data}$ (Fig.10.b)). Le fait que la valeur soit plus haute pour $L_{data}$ s'explique par le fait que le modèle ne doit pas passer par tous les points de façon précise. En effet, les données sont probablement bruitées, et le fait d'interpoler les points rend le modèle plus robuste à la variabilité biologique. J'ai ensuite testé ce modèle et ces paramètres sur des gènes du même cluster, ayant un profil similaire (Fig.10.c,d)). Le PINN arrive à retrouver la bonne dynamique, et approche bien les données. Tout comme pour les prédictions au niveau du cluster 0, le PINN ne parvient pas à passer par tous les points, mais c'est attendu, à cause de la variabilité biologique et des possibles effets de lots, dûs à l'assemblage de différentes expériences pour créer ce jeu de données. Pour conclure cette étude, le modèle parvient donc bien à identifier les paramètres et à prédire la dynamique pour des gènes ayant des profils complexes. Cela rend donc ce modèle adaptable à différents types de dynamiques, ce qui pourrait aller vers une généralisation pour tout type de dynamique.

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>**Fig.10** : Test du modèle sur les gènes du cluster 9. a) Identification des paramètres sur le gène Solyc06g054260.1.1. L'expression génique en fonction du temps est représentée. b) Fonction de perte associée à l'identification des paramètres sur le gène Solyc06g054260.1.1. c) Identification des paramètres sur le gène Solyc02g070940.1.1. L'expression génique en fonction du temps est représentée. d) Identification des paramètres sur le gène Solyc10g006230.4.1. L'expression génique en fonction du temps est représentée.</figcaption></figure>
### 3.4.4. Test du modèle avec labels sur les données du cluster 9

Le modèle paramétrique à labels a été testé sur les données du cluster 9, composé de 8 gènes, donc de 8 labels. Les paramètres ont été initialisés tels que $\alpha=-0.3$, $\bar{G}=1.0$, $t_s=10.0$, $\tau=1.0$ et $\bar{S}=1.0$. Les paramètres $t_s$ et $\tau$ ont été définis comme communs à tous les gènes, alors que les autres paramètres sont spécifiques selon le gène.

L'entraînement a été réalisé sans mettre de poids sur les fonctions de perte, avec 50 000 itérations. Les paramètres ont bien été identifiés, et sont bien variables selon le gène. Les résultats du PINN sont obtenus et sont satisfaisants pour chaque gène (Fig.11.a) à h)). On peut voir que le PINN arrive à bien approximer les données, tout en retrouvant la dynamique générale. Cela est confirmé par les fonctions de perte (Fig.11.i)). Ce test montre donc que l'utilisation des labels pourraient être une piste pour améliorer la performance du PINN, et cela nécessite un travail plus approfondi, notamment en jouant sur les poids ainsi que sur l'initialisation des variables.

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Gène 1

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Gène 2

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

Gène 3

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

Gène 4

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

Gène 5

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

Gène 6
<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>**Fig.11** : Test du modèle avec labels sur les gènes du cluster 9. a) Identification des paramètres sur le gène 1. L'expression génique en fonction du temps est représentée. b) Identification des paramètres sur le gène 2. L'expression génique en fonction du temps est représentée. c) Identification des paramètres sur le gène 3. L'expression génique en fonction du temps est représentée. d) Identification des paramètres sur le gène 4. L'expression génique en fonction du temps est représentée. e) Identification des paramètres sur le gène 5. L'expression génique en fonction du temps est représentée. f) Identification des paramètres sur le gène 6. L'expression génique en fonction du temps est représentée. g) Identification des paramètres sur le gène 7. L'expression génique en fonction du temps est représentée. h) Identification des paramètres sur le gène 8. L'expression génique en fonction du temps est représentée. i) Fonctions de perte associée à l'identification des paramètres sur les gènes du cluster 9.</figcaption></figure>

# 4. Discussion

## 4.1 Résultats de l'étude

L'enjeu de ce projet était, sans connaissances préalables, de prouver qu'une modélisation de type PINNs pouvait être appliquée à la modélisation de l'expression des gènes. En effet, il n'y a pas de littérature disponible à ce sujet, et le but ici était de prouver qu'utiliser les PINNs pour modéliser la dynamique d'expression des gènes était faisable et intéressant.

Il a été montré ici que les PINNs pouvaient être utilisés sur des jeux de données plus petits que ceux habituellement utilisés dans le champ du machine learning, à condition d'avoir un modèle simple. En effet, à travers la création des modèles de type PINNs avec le modèle simplifié, il a été montré qu'ils sont applicables sur des jeux de données allant d'une taille 5 à 20, avec de très bons résultats, y compris avec identification des paramètres du modèle. Cela montre que les PINNs peuvent être adaptés aux données omiques, car souvent les jeux de données sont assez réduits, à cause du temps que prennent les expériences à être réalisées, avec assez peu de données temporelles par expérience.
Il a aussi été montré que les PINNs sont robustes au bruit. En biologie, les données omiques sont souvent très bruitées. Le bruit peut être technique, lié à des erreurs lors des manipulations, ou biologique, lié à la variabilité biologique. Or, lorsqu'on dispose d'une matrice de comptage de données transcriptomiques, il est très compliqué de mesurer le bruit. Savoir que le modèle créé est robuste au bruit est donc très important pour assurer la fiabilité des résultats et prédictions obtenus.

Pour finir, le test du modèle sur les données réelles a montré que les PINNs fournissent des dynamiques qui approximent très bien la dynamique réelle de l'expression des gènes, et cela offre l'espoir que les PINNs pourront être utilisés dans le futur pour prédire la dynamique d'expression des gènes dans le temps. Cela permettrait alors de prédire *in silico* la dynamique d'expression d'un gène d'une plante lors d'une attaque, et on pourrait alors disposer de résultats même lorsque des manipulations ne peuvent être réalisées. Les prélèvements à différents instants peuvent en effet être compliqués, et parfois non réalisables, ce qui cause un manque d'information pour certaines plages de temps. Utiliser les PINNs pourrait alors résoudre ce problème, et on serait donc capable de visualiser la dynamique de réponse de la plante à n'importe quel moment.

## 4.2 Limites de l'étude

Bien que les résultats soient prometteurs, il convient de mentionner tout de même certaines limites à l'approche proposée.

Une des principales difficultés a été de choisir l'EDO de départ. En effet, au début de mon stage, il n'existait pas d'équation disponible pour tester les PINNs sur notre sujet. Il a fallu faire des recherches dans la littérature, et prendre le temps de choisir les différents termes. De plus, il a fallu mettre au point les modèles simplifié et complexe sur les données synthétiques, car il n'existait pas de modèles pour les données omiques. Ce sont des étapes qui demandent beaucoup de temps et de recherche, et il ne faut pas les négliger.

De plus, il a été montré que le choix de l'EDO est primordial. En effet, après avoir choisi l'équation (1) pour créer le modèle de PINN simplifié et l'avoir testé sur les données de la réponse de la tomate à *Botrytis cinerea*, on a pu remarquer la limite de choisir une EDO aussi simple. Le modèle n'arrive pas à satisfaire à la fois les données et l'EDO, tout simplement car les données ne suivent pas correctement cette EDO. Il est donc important pour la suite de ce projet d'envisager de complexifier l'EDO pour s'adapter aux données réelles.

La complexification de l'EDO peut être réalisée par l'ajout d'un terme de stress, comme dans l'équation (4). Ici, une fonction sigmoïdale à été choisie. Or, ce stress peut se présenter de façon différente selon le pathogène considéré, et il peut être compliqué de savoir le modéliser. Il serait donc nécessaire de particulariser ce terme selon le pathogène, afin que l'EDO soit mieux adaptée et décrive mieux les données.

Néanmoins, complexifier l'EDO peut apporter d'autres limites. En effet, plus on ajoute de paramètres inconnus au modèle, plus la phase d'identification devient difficile. Notamment, il faudrait plus de données pour permettre la résolution du problème inverse. Or, en biologie, les jeux de données restent réduits et il est compliqué de trouver beaucoup de données temporelles sur une même expérience. Il sera alors nécessaire de rassembler plusieurs expériences pour construire un jeu de données plus complet, mais cela apportera le problème des effets de lot. Ce problème consiste en le rassemblement des échantillons par expériences plutôt que par sens biologique, et les résultats peuvent donc être faussés. Il est donc nécessaire au préalable de supprimer les effets de lot pour pouvoir utiliser le jeu de données et faire confiance aux résultats.

Le défi principal pour l'utilisation des PINNs sur des données biologiques est donc de trouver l'équilibre entre données et complexité du modèle. En effet, moins on a de données disponibles, moins on peut identifier les paramètres. Le modèle devra donc être le plus simple possible et une grande approximation sera faite au niveau de la prédiction. Pour avoir de meilleurs résultats, il sera alors nécessaire de complexifier le modèle, mais donc il faudra avoir plus de données disponibles. Cela apportera le problème des effets de lots, qui peut être résolu par l'ajout d'un terme dans l'EDO prenant en compte ces effets. Or, l'ajout d'un terme entraînera une complexification du modèle, et il sera d'autant plus dur d'identifier les paramètres. Trouver l'équilibre entre données et complexité du modèle est donc un défi à relever pour utiliser les PINNs de façon optimale sur les données omiques.
# 5. Conclusion et perspectives

## 5.1 Conclusion

Cette étude a permis de développer un nouveau modèle de type PINN, capable de modéliser la dynamique de l'expression des gènes des plantes lors d'une attaque biotique. J'ai tout d'abord pu développer un modèle simplifié, puis on l'a complexifié afin qu'il soit plus adapté aux données omiques. On a pu montrer que le modèle développé est performant sur les données biologiques provenant de la tomate, et est capable de prédire des dynamiques simples ainsi que des plus complexes. On a donc pu faire une preuve de concept en montrant que les PINNs, non développés de base pour le type de données qu'on a en biologie, peuvent finalement être appliqués aux données omiques.

## 5.2 Perspectives

Ici, le but était de montrer que les PINNs étaient applicables aux données biologiques. Afin d'évaluer les performances des PINNs et de motiver le choix d'utiliser ce type de modèle pour modéliser l'expression des gènes, il sera important de tester d'autres modèles plus classiques et déjà publiés. En effet, cela n'a pas encore été réalisé car il était nécessaire avant de s'assurer d'avoir un PINN ayant des performances satisfaisantes. Cela a été prouvé ici, et il faudra maintenant valider le modèle en le comparant avec d'autres approches, telles que citées dans l'introduction.

Bien que le modèle soit performant et robuste au bruit, il possède certaines limites, énoncées dans la partie discussion. En effet, pour le moment, il fonctionne pour certains gènes et certaines dynamiques. Le modèle est donc encore très dépendant de l'EDO choisie, et n'est pas applicable à tout type de dynamique. La principale perspective à ce projet serait donc de généraliser le modèle mathématique. L'objectif serait de trouver des EDO adaptées à différentes dynamiques, en séparant les gènes en cluster, comme il a été fait ici. L'idée serait d'avoir une EDO pour chaque cluster, et donc d'identifier les paramètres pour chaque cluster de gènes, ainsi que les interactions entre ceux-ci. Cela permettrait de généraliser le modèle à différents types de dynamiques. Cela permettrait aussi de voir si les paramètres pourraient être utilisés comme critère pour séparer les gènes en différents cluster.

Néanmoins, la difficulté principale sera causée par le peu de données disponibles. Comme il a été montré précédemment, plus on complexifie le modèle et plus le nombre de paramètres à identifier sera conséquent. Il est possible qu'à un moment donné, le modèle soit tellement complexe qu'il soit impossible mathématiquement d'estimer les paramètres. En effet, le nombre sera devenu trop important, avec des données trop peu nombreuses. Ici, la solution serait donc de passer aux données single-cell RNA-seq. Cette technologie permet de mesurer l'expression des gènes cellule par cellule, alors que le RNA-seq classique fournit une moyenne sur un ensemble de cellules. Ce qui est particulièrement intéressant quant à l'utilisation de ce type de données avec des PINNs est la taille des jeux de données. En effet, un jeu de données single-cell contient des milliers à des millions de cellules, chacune mesurant l'expression de milliers de gènes. Bien qu'apportant un certain nombre de défis, comme le bruit, avoir un jeu de données single-cell permettrait de résoudre des modèles mathématiques contenant un grand nombre de paramètres. Il serait alors possible de développer un PINN capable de prédire un grand nombre de dynamiques différentes.

Bien que les données single-cell soient encore assez peu répandues en biologie végétale, des données single-cell chez *Arabidopsis thaliana* commencent à être disponibles²⁵. Bien que le but du projet ici était d'étudier la tomate, car c'est une plante à grand intérêt agronomique et économique, il serait possible de commencer par utiliser les données single-cell chez *Arabidopsis thaliana* pour développer le modèle. Cela permettrait de complexifier le modèle mathématique et d'obtenir un PINN plus robuste aux différentes dynamiques géniques. Par la suite, avec le single-cell qui se développe, il sera alors possible d'obtenir des jeux de données single-cell provenant de plantes ayant un intérêt agronomique fort, et cela permettrait de développer un modèle PINN capable de prédire la dynamique d'expression des gènes de n'importe quelle plante lors d'une attaque de pathogène.
Bibliographie

1. Wang, Y., Pruitt, R.N., Nürnberger, T., and Wang, Y. (2022). Evasion of plant immunity by microbial pathogens. Nat Rev Microbiol 20, 449–464. https://doi.org/10.1038/s41579-022-00710-3.

2. Cui, X., and Churchill, G.A. (2003). Statistical tests for differential expression in cDNA microarray experiments. Genome Biol 4, 210. https://doi.org/10.1186/gb-2003-4-4-210.

3. Gertheiss, J., Rügamer, D., Liew, B.X.W., and Greven, S. (2024). Functional Data Analysis: An Introduction and Recent Developments. Biometrical Journal 66, e202300363. https://doi.org/10.1002/bimj.202300363.

4. Calia, G., Marguerit, S., Zotta Mota, A.P., Vidal, M., Schuler, H., Miranda Brasileiro, A.C., Guimaraes, P.M., and Bottini, S. (2025). Modelling single-stress omics integration with HIVE enables the identification of responding signatures to multifactorial stress combinations in plants. bioRxiv, https://doi.org/10.1101/2024.03.04.583290.

5. Girin, L., Leglaive, S., Bie, X., Diard, J., Hueber, T., and Alameda-Pineda, X. (2021). Dynamical Variational Autoencoders: A Comprehensive Review. FNT in Machine Learning 15, 1–175. https://doi.org/10.1561/2200000089.

6. Durbin, J., Koopman, S. J., Time Series Analysis by State Space Methods, Oxford University Press, 2001.

7. Fraccaro, M., Kamronn, S., Paquet, U., and Winther, O. (2017). A Disentangled Recognition and Nonlinear Dynamics Model for Unsupervised Learning. Preprint at arXiv, https://doi.org/10.48550/arXiv.1710.05741.

8. Jazbec, M., Ashman, M., Fortuin, V., Pearce, M., Mandt, S., and Rätsch, G. (2021). Scalable Gaussian Process Variational Autoencoders. In Proceedings of The 24th International Conference on Artificial Intelligence and Statistics (PMLR), pp. 3511–3519.

9. Wandel, N., Weinmann, M., Neidlin, M., and Klein, R. (2022). Spline-PINN: Approaching PDEs without Data using Fast, Physics-Informed Hermite-Spline CNNs. Preprint at arXiv, https://doi.org/10.48550/arXiv.2109.07143.

10. Raissi, M., Perdikaris, P., and Karniadakis, G.E. (2019). Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations. Journal of Computational Physics 378, 686–707. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2018.10.045.

11. Zhu, Y., Zabaras, N., Koutsourelakis, P.-S., and Perdikaris, P. (2019). Physics-Constrained Deep Learning for High-dimensional Surrogate Modeling and Uncertainty Quantification without Labeled Data. Journal of Computational Physics 394, 56–81. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2019.05.024.

12. Karniadakis, G.E., Kevrekidis, I.G., Lu, L., Perdikaris, P., Wang, S., Yang, L., (2021). Physics-informed machine learning (2024). Nature Reviews Physics, 3, 422-440 https://doi.org/10.1038/s42254-021-00314-5

13. Glyn-Davies, A., Duffin, C., Akyildiz, Ö.D., and Girolami, M. (2024). Φ-DVAE: Physics-Informed Dynamical Variational Autoencoders for Unstructured Data Assimilation. Preprint at arXiv, https://doi.org/10.48550/arXiv.2209.15609.

14. Meena, M., Zehra, A. (2025). Tomato: A Model Plant to Study Plant-Pathogen Interactions. Food Science & Nutrition technology, 4(1) https://doi.org/10.23880/fsnt-16000171.
15. Uri Alon (2007). An Introduction to Systems Biology: Design Principles of Biological Circuits, Chapman & Hall/CRC, London, ISBN 1584886420

16. Barenco, M., Tomescu, D., Brewer, D., Callard, R., Stark, J., and Hubank, M. (2006). Ranked prediction of p53 targets using hidden variable dynamic modeling. Genome Biology 7, R25. https://doi.org/10.1186/gb-2006-7-3-r25.

17. Coulaud, G., Le, M., and Duvigneau, R. (2024). Investigations on Physics-Informed Neural Networks for Aerodynamics. Preprint at arXiv, https://doi.org/10.48550/arXiv.2403.17470.

18. Krishnapriyan, A.S., Gholami, A., Zhe, S., Kirby, R.M., and Mahoney, M.W. (2021). Characterizing possible failure modes in physics-informed neural networks. Preprint at arXiv, https://doi.org/10.48550/arXiv.2109.01050.

19. Srivastava, D.A., Arya, G.C., Pandaranayaka, E.P., Manasherova, E., Prusky, D.B., Elad, Y., Frenkel, O., and Harel, A. (2020). Transcriptome Profiling Data of Botrytis cinerea Infection on Whole Plant Solanum lycopersicum. MPMI 33, 1103-1107. https://doi.org/10.1094/

20. Zhao, T., Liu, W., Zhao, Z., Yang, H., Bao, Y., Zhang, D., Wang, Z., Jiang, J., Xu, Y., Zhang, H., et al. (2019). Transcriptome profiling reveals the response process of tomato carrying Cf-19 and Cladosporium fulvum interaction. BMC Plant Biology 19, 572. https://doi.org/10.1186/s12870-019-2150-y.

21. Jiang, X., Li, Y., Li, R., Gao, Y., Liu, Z., Yang, H., Li, J., Jiang, J., Zhao, T., and Xu, X. (2022). Transcriptome Analysis of the Cf-13-Mediated Hypersensitive Response of Tomato to Cladosporium fulvum Infection. Int J Mol Sci 23, 4844. https://doi.org/10.3390/ijms23094844.

22. Peng, R., Sun, S., Li, N., Kong, L., Chen, Z., Wang, P., Xu, L., Wang, H., and Geng, X. (2022). Physiological and transcriptome profiling revealed defense networks during Cladosporium fulvum and tomato interaction at the early stage. Front. Plant Sci. 13. https://doi.org/10.3389/fpls.2022.1085395.

23. Liu, G., Liu, F., Zhang, D., Zhao, T., Yang, H., Jiang, J., Li, J., Zhang, H., and Xu, X. (2023). Integrating omics reveals that miRNA-guided genetic regulation on plant hormone level and defense response pathways shape resistance to Cladosporium fulvum in the tomato Cf-10-gene- carrying line. Front. Genet. 14. https://doi.org/10.3389/fgene.2023.1158631.

24. Zhang, D., Bao, Y., Sun, Y., Yang, H., Zhao, T., Li, H., Du, C., Jiang, J., Li, J., Xie, L., et al. (2020). Comparative transcriptome analysis reveals the response mechanism of Cf-16-mediated resistance to Cladosporium fulvum infection in tomato. BMC Plant Biol 20, 33. https://doi.org/10.1186/s12870-020-2245-5.

25. Lee, T.A., Nobori, T., Illouz-Eliaz, N., Xu, J., Jow, B., Nery, J.R., and Ecker, J.R. (2023). A Single-Nucleus Atlas of Seed-to-Seed Development in Arabidopsis. Preprint at bioRxiv, https://doi.org/10.1101/2023.03.23.533992.
Annexes

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

**Fig.12** : Effet du poids sur L<sub>EDO</sub> avec un bruit de 1% sur l'entrainement et la performance du modèle. a) Entrainement du modèle avec un poids de 1% sans poids sur la L<sub>EDO</sub>. L'expression génique en fonction du temps est représentée, avec une comparaison de la solution analytique, numérique et de la solution du PINN. A droite sont représentées les fonctions de perte. b) Entrainement du modèle avec un poids de 1% et un poids de 70% sur la L<sub>EDO</sub>. L'expression génique en fonction du temps est représentée, avec une comparaison de la solution analytique, numérique et de la solution du PINN. A droite sont représentées les fonctions de perte. b) Entrainement du modèle avec un poids de 1% et un poids de 90% sur la L<sub>EDO</sub>. L'expression génique en fonction du temps est représentée, avec une comparaison de la solution analytique, numérique et de la solution du PINN. A droite sont représentées les fonctions de perte.
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>**Fig.13** : Effet du poids sur L<sub>EDO</sub> avec un bruit de 10% sur l'entrainement et la performance du modèle. a) Entrainement du modèle avec un poids de 10% sans poids sur la L<sub>EDO</sub>. L'expression génique en fonction du temps est représentée, avec une comparaison de la solution analytique, numérique et de la solution du PINN. A droite sont représentées les fonctions de perte. b) Entrainement du modèle avec un poids de 10% et un poids de 70% sur la L<sub>EDO</sub>. L'expression génique en fonction du temps est représentée, avec une comparaison de la solution analytique, numérique et de la solution du PINN. A droite sont représentées les fonctions de perte. c) Entrainement du modèle avec un poids de 10% et un poids de 90% sur la L<sub>EDO</sub>. L'expression génique en fonction du temps est représentée, avec une comparaison de la solution analytique, numérique et de la solution du PINN. A droite sont représentées les fonctions de perte.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>**Fig.14** : Effet du poids sur $L_{EDO}$ avec un bruit de 30% sur l'entrainement et la performance du modèle. a) Entrainement du modèle avec un poids de 30% sans poids sur la $L_{EDO}$. L'expression génique en fonction du temps est représentée, avec une comparaison de la solution analytique, numérique et de la solution du PINN. A droite sont représentées les fonctions de perte. b) Entrainement du modèle avec un poids de 30% et un poids de 70% sur la $L_{EDO}$. L'expression génique en fonction du temps est représentée, avec une comparaison de la solution analytique, numérique et de la solution du PINN. A droite sont représentées les fonctions de perte. b) Entrainement du modèle avec un poids de 30% et un poids de 90% sur la $L_{EDO}$. L'expression génique en fonction du temps est représentée, avec une comparaison de la solution analytique, numérique et de la solution du PINN. A droite sont représentées les fonctions de perte.</figcaption></figure>
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