Université de Lille
École d'ingénieurs IPSA

École doctorale Sciences Pour l'Ingénieur

Unité de recherche CRISTAL UMR 9189

Thèse présentée par

Naouel KACI

Soutenue le 24 novembre 2020

En vue de l'obtention du grade de docteur de l'Université de Lille

Discipline : Automatique

Analyse structurelle et diagnostic robuste des
actionneurs électromécaniques:
Approche Bond Graph

Thèse dirigée par

Professeur Belkacem OULD BOUAMAMA
Ecole Polytech' Lille

Directeur de thèse

Professeur Islam BOUSSAADA
Ecole IPSA

Co-directeur de thèse

Composition du jury

Rapporteurs
Wolfgang Borutzky
Giovanni Jacazio

Professeur au Bonn-Rhein-Sieg university
Professeur à Politecnico di Torino

Président du jury Noureddine Zerhouni

Professeur à Ecole Nationale Supérieure de
Mécanique et des microtechniques Besançon

Examinatrice Geneviève Dauphin-Tanguy

Professeur émérite à Ecole Centrale de Lille

Invité Achour Debiane

Directeur Recherche et Développement à
CERTIA
Université de Lille
École d'ingénieurs IPSA

École doctorale Sciences Pour l'Ingénieur

Unité de recherche CRISTAL UMR 9189

Thèse présentée par

Naouel KACI

Soutenue le 24 novembre 2020

En vue de l'obtention du grade de docteur de l'Université de Lille

Discipline : **Automatique**

# Analyse structurelle et diagnostic robuste des actionneurs électromécaniques: Approche Bond Graph

Thèse dirigée par

Professeur Belkacem OULD BOUAMAMA
Ecole Polytech' Lille
Professeur Islam BOUSSAADA
Ecole IPSA

Directeur de thèse

Co-directeur de thèse

## Composition du jury

Rapporteurs
Wolfgang Borutzky
Giovanni JACAZIO

Professeur au Bonn-Rhein-Sieg university
Professeur à Politecnico di Torino

Président du jury Noureddine Zerhouni

Professeur à Ecole Nationale Supérieure de Mécanique et des microtechniques Besançon

Examinatrice Geneviève Dauphin-Tanguy

Professeur émérite à Ecole Centrale de Lille

Invité Achour Debiane

Directeur Recherche et Développement à CERTIA
Structural analysis and robust diagnosis
of electromechanical actuators: Bond
Graph approach

**Thesis supervised by** Professeur Belkacem OULD BOUAMAMA Supervisor
Professeur Islam BOUSSAADA Co-Supervisor

**Committee members**

**Referees** Professeur Wolfgang BORUTZKY Bonn-Rhein-Sieg University
Professeur Giovanni JACAZIO Politecnico di Torino

**Examiners** Professeur Geneviève DAUPHIN-TANGUY École Centrale de Lille
Professeur Noureddine ZERHOUNI École Nationale Supérieure de Mécanique et des Microtechniques Besançon

**Guest** Achour DEBIANE Director Research and Development of CERTIA
**Mots clés :** diagnostic robuste, bond-graph, transformation linéaire fractionnaire, système mécatronique

**Keywords:** robust diagnosis, bond-graph, linear fractional transformation, mechatronic systems
Cette thèse a été préparée dans les laboratoires suivants.

## CRISTAL

Centre de Recherche en Informatique, Signal et Automatique de Lille
CNRS UMR 9189
Avenue Paul Langevin
59650 Villeneuve d'Ascq
France.
Site web : www.cristal.univ-lille.fr

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

## DR2I

Direction de la Recherche et de l'Innovation (DR2I)
IPSA École d'ingénieurs de l'air et de l'espace
62 bis, Boulevard de Brandebourg
94220 Ivry-sur-Seine
Site web : https://www.ipsa.fr/

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

## CERTIA

Centre d'Études et de Recherche en Techniques Industrielles Appliquées
ZA La Varenne,
5 rue des Artisans,
93160 Noisy le Grand,
France.
Site web : www.certia.fr

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
"Where there is a will, there is a way"

William Hazlitt
xii
Je dédie ce travail
à mes enfants, à mon mari
à mes parents et à toute ma famille
# Analyse structurelle et diagnostic robuste des actionneurs électromécaniques : approche Bond Graph

## Résumé

L'orientation de l'industrie aéronautique vers des technologies plus propres a conduit à remplacer progressivement les réseaux d'actionneurs hydrauliques classiques par des actionneurs Electromécaniques (EMA). La sureté de fonctionnement imposée dans le domaine aéronautique nécessite une détection précoce et une localisation des défaillances pour assurer la fiabilité et la disponibilité de l'actionneur. L'un des défauts critiques identifié est le grippage (appelé Jamming) qu'il faut alors surveiller en fonction de l'architecture d'instrumentation existante. La résolution de cette problématique, objectif principal de la thèse, a été réalisée en trois étapes par une approche intégrée en utilisant la théorie Bond Graph (BG). Une première étape concerne l'analyse des conditions de surveillabilité structurelle (aptitude à détecter et à isoler les défauts) des modèles Bond Graph (BG) déterministes obtenus de l'EMA. Sur la base des résultats de surveillabilité obtenus, un placement de capteur a été proposé par la synthèse d'un observateur pour améliorer les performances de surveillabilité des sous-systèmes (principalement pour surveiller le défaut fixé par l'industriel : le Jamming). L'intérêt scientifique d'une telle approche réside dans le fait qu'elle soit indépendante des valeurs numériques des paramètres à ce niveau en exploitant les propriétés structurelles et causales du BG. Une deuxième partie consiste à la validation analytique des propriétés structurelles obtenues. Pour cela, a été proposé l'implémentation des relations de redondance analytiques robustes aux incertitudes paramétriques déduites sur le modèle BG étendu, appelé BG-LFT. Et enfin une validation industrielle par cosimulation avec le logiciel Amesim© a été réalisée dans la troisième partie.

**Mots clés :** diagnostic robuste, bond-graph, transformation linéaire fractionnaire, système mécatronique
# Structural analysis and robust diagnosis of electromechanical actuators: Bond Graph approach

## Abstract

The orientation of the aviation industry towards cleaner technologies has led to the gradual replacement of conventional hydraulic actuator networks by Electromechanical actuators (EMA). The operating safety required in the aeronautical domain requires earlier fault detection and isolation to ensure the reliability and availability of the actuator. One of the critical identified failure is a jamming which must then be monitored based on the existing instrumentation architecture. The resolution of this problem which is the main objective of the PhD. thesis, was carried out in three stages using a Bond Graph theory (BG) as an integrated and unified approach. The first step concerns the structural monitorability (ability to detect and isolate faults) analysis based on deterministic Bond Graph (BG) models obtained from the EMA. Based on the structural monitorability conditions results, a sensor placement was proposed by the synthesis of an observer to improve the monitoring performances of the subsystems (mainly to monitor the fault required by the manufacturer: jamming). The scientific interest of such approach lies in the fact that it is independent of the numerical values of the parameters at this level by exploiting the structural and causal properties of the BG. A second step consists in the analytical validation of the obtained structural properties. For this task, the implementation of analytical redundancy relations, robust to parametric uncertainties, deduced from the extended BG model (called BG-LFT), have been proposed. And finally, an industrial validation by cosimulation with the *Amesim©* software was carried out in the third part.

**Keywords:** robust diagnosis, bond-graph, linear fractional transformation, mechatronic systems
Remerciements

Ce travail a été mené au sein du laboratoire CRISTAL de l'université de Lille,
en collaboration avec le laboratoire DR2I de l'IPSA et la société CERTIA. Je tiens à
remercier ici toutes les personnes qui ont contribué à ce que ces trois années de doctorat
soient effectuées dans des conditions optimales, motivantes et enrichissantes.

Mes remerciements s'adressent en particulier :

- aux directeurs de thèse : les Professeurs Belkacem Ould-Bouamama et Islam Boussaada pour avoir accepté de m'encadrer mais aussi et surtout pour leur grande expertise technique et scientifique, leurs qualités humaines, leurs encouragements, les idées et conseils prodigués ;

- aux membres de la direction de l'IPSA : le Directeur M. Francis Pollet, le Directeur associé M. Stéphane Roberdet et le Directeur de la recherche M. Karim Trabelsi, pour m'avoir soutenue en m'offrant les meilleures conditions de réalisation de cette thèse ;

- au Directeur de la Recherche et Développement de CERTIA M. Achour Debiane, pour l'intérêt qu'il a porté à mon travail, pour ses conseils et pour m'avoir permis de valider les algorithmes sur le banc de test par la co-simulation avec logiciel Amesim®.

Toute ma reconnaissance va également à l'ensemble des membres du jury qui ont
accepté de participer à l'examen de ce travail : les Professeurs Wolfgang Borutzky
et Giovanni Jacazio pour l'avoir évalué, les Professeurs Geneviève Dauphin-Tanguy et
Noureddine Zerhouni pour l'avoir examiné, et M. Achour Debiane pour sa participation
au jury en qualité d'industriel invité.

Un grand merci à tous mes collègues pour leurs encouragements : aux enseignants, aux membres de l'administration et surtout à Monsieur Fabien Bonnefoi enseignant en Informatique pour m'avoir aidée à résoudre mes problèmes de compilation sous LATEX.

Enfin, je remercie chaleureusement mes enfants et mon mari pour la patience et
la compréhension dont ils ont fait preuve, ainsi que mes parents pour leur soutien
permanent.
# Table des matières

<table><tr><td>Résumé</td><td>xv</td></tr><tr><td>Remerciements</td><td>xvii</td></tr><tr><td>Table des matières</td><td>xix</td></tr><tr><td>Introduction générale</td><td>1</td></tr><tr><td>Avant propos</td><td>1</td></tr><tr><td>Contexte et motivations</td><td>1</td></tr><tr><td>Principales contributions et résultats obtenus</td><td>5</td></tr><tr><td>Organisation du manuscrit</td><td>6</td></tr><tr><td>1 Etat de l'art</td><td>7</td></tr><tr><td>1.1 Préambule sur le diagnostic des actionneurs électromécaniques</td><td>7</td></tr><tr><td>1.2 Diagnostic : objectifs et définitions</td><td>9</td></tr><tr><td>1.2.1 Terminologie</td><td>9</td></tr><tr><td>1.3 Les différents défauts pouvant affecter un EMA</td><td>11</td></tr><tr><td>1.3.1 Les défauts mécaniques et de structure</td><td>11</td></tr><tr><td>Bourrage du canal de retour de billes : le jamming</td><td>12</td></tr><tr><td>1.3.2 Les défauts moteur</td><td>13</td></tr><tr><td>1.3.3 Les défauts électriques ou électroniques</td><td>13</td></tr><tr><td>1.3.4 Les défauts capteur</td><td>14</td></tr><tr><td>1.3.5 Défauts au niveau de la charge</td><td>14</td></tr><tr><td>1.4 Modélisation des EMAs : Etat de l'art</td><td>14</td></tr><tr><td>1.4.1 Le modèle pour l'analyse</td><td>15</td></tr><tr><td>1.4.2 Le modèle pour le contrôle</td><td>16</td></tr><tr><td>1.4.3 Le modèle pour le prototypage virtuel</td><td>16</td></tr><tr><td>1.4.4 Le modèle pour le diagnostic</td><td>17</td></tr><tr><td>1.5 Caractéristiques des méthodes de diagnostic</td><td>17</td></tr><tr><td>1.5.1 Méthodes de diagnostic à base de données</td><td>18</td></tr><tr><td>1.5.2 Méthodes de diagnostic avec modèle</td><td>19</td></tr><tr><td>1.6 Synthèse des méthodes de diagnostic des EMAs</td><td>23</td></tr><tr><td>1.7 Méthodes de détection et d'isolation de fautes (FDI) d'un EMA à base de modèle</td><td>23</td></tr></table>
<table><tbody><tr><td>1.8</td><td>Pourquoi les bond graph LFT pour le diagnostic des EMAs?</td><td>26</td></tr><tr><td>1.9</td><td>Conclusions du chapitre</td><td>27</td></tr><tr><td><b>2</b></td><td><b>Diagnostic à base des BG-LFT</b></td><td><b>29</b></td></tr><tr><td>2.1</td><td>Eléments de base de la théorie Bond Graph (BG)</td><td>30</td></tr><tr><td>2.1.1</td><td>Causalités en bond graphs</td><td>35</td></tr><tr><td>2.1.2</td><td>Causalité intégrale et dérivée</td><td>36</td></tr><tr><td>2.1.3</td><td>Chemin causal</td><td>39</td></tr><tr><td>2.2</td><td>Analyse structurelle des conditions de surveillabilité d'un modèle Bond Graph</td><td>39</td></tr><tr><td>2.2.1</td><td>Problématique et intérêt des Bond Graphs</td><td>39</td></tr><tr><td>2.3</td><td>Surveillabilité structurelle d'un modèle bond graph</td><td>42</td></tr><tr><td>2.3.1</td><td>Graphe bipartite et Bond Graph</td><td>43</td></tr><tr><td>2.3.2</td><td>Décomposition de Dulmage Mendelsohn</td><td>44</td></tr><tr><td>2.3.3</td><td>Décomposition de Dulmage-Mendelsohn à partir d'un modèle Bond-Graph</td><td>45</td></tr><tr><td>2.3.4</td><td>Cardinalité à partir du modèle bond-graph</td><td>45</td></tr><tr><td></td><td>Le cardinal de contraintes</td><td>46</td></tr><tr><td></td><td>Le cardinal de l'ensemble des variables inconnues</td><td>47</td></tr><tr><td>2.4</td><td>Conditions de surveillabilité structurelle basé sur un modèle Bond Graph</td><td>48</td></tr><tr><td>2.4.1</td><td>Détectabilité structurelle</td><td>48</td></tr><tr><td>2.4.2</td><td>Cas particulier : conflit causal</td><td>48</td></tr><tr><td>2.4.3</td><td>Isolabilité structurelle</td><td>50</td></tr><tr><td>2.5</td><td>Algorithme de diagnostic à base du modèle Bond-Graph</td><td>52</td></tr><tr><td>2.5.1</td><td>Relation de redondance analytique au sens des Bond graphs</td><td>52</td></tr><tr><td></td><td>Définition : Chemins causaux</td><td>53</td></tr><tr><td></td><td>Bond graph pour le diagnostic et détecteur dualisé</td><td>54</td></tr><tr><td>2.6</td><td>Algorithme de génération des indicateurs de fautes par BG</td><td>54</td></tr><tr><td></td><td>Analyse de la Matrice de Signature de Fautes du moteur</td><td>58</td></tr><tr><td>2.7</td><td>La théorie des BG LFT pour un diagnostic robuste</td><td>59</td></tr><tr><td>2.7.1</td><td>Élément BG avec incertitude additive</td><td>61</td></tr><tr><td>2.7.2</td><td>Modèle BG avec incertitude multiplicative</td><td>62</td></tr><tr><td>2.8</td><td>Construction d'un modèle BG LFT</td><td>64</td></tr><tr><td>2.9</td><td>Génération des RRA robustes</td><td>64</td></tr><tr><td>2.10</td><td>Génération des seuils de sensibilité</td><td>66</td></tr><tr><td>2.11</td><td>Diagnostic par les observateurs</td><td>67</td></tr><tr><td>2.11.1</td><td>Conclusion</td><td>69</td></tr><tr><td><b>3</b></td><td><b>Modèle Bond Graph de l'actionneur électromécanique</b></td><td><b>71</b></td></tr><tr><td>3.1</td><td>architecture de l'EMA</td><td>72</td></tr><tr><td>3.1.1</td><td>Le moteur électrique</td><td>72</td></tr><tr><td>3.1.2</td><td>Réducteur</td><td>73</td></tr><tr><td>3.1.3</td><td>Transformation</td><td>74</td></tr><tr><td>3.2</td><td>Modèle analytique de l'EMA</td><td>74</td></tr></tbody></table>
<caption>Table des matières</caption>

xxi

<table><tbody><tr><td>3.2.1</td><td>Modélisation du moteur synchrone à aimants permanents MSAP</td><td>75</td></tr><tr><td></td><td>Principe de fonctionnement</td><td>75</td></tr><tr><td></td><td>Modèle électrique équivalent pour une phase</td><td>76</td></tr><tr><td>3.2.2</td><td>Équations électriques de la MSAP dans un repère lié au stator</td><td>77</td></tr><tr><td>3.2.3</td><td>Équation mécanique de la MSAP</td><td>79</td></tr><tr><td>3.2.4</td><td>Équation du couple électromagnétique de la MSAP</td><td>80</td></tr><tr><td>3.2.5</td><td>Commande du moteur synchrone</td><td>80</td></tr><tr><td></td><td>Modélisation de la MSAP dans le repère de Park</td><td>82</td></tr><tr><td>3.2.6</td><td>Modèle d'état de la MSAP</td><td>85</td></tr><tr><td>3.2.7</td><td>Modélisation du moteur asynchrone (MAS)</td><td>85</td></tr><tr><td></td><td>Principe de fonctionnement</td><td>86</td></tr><tr><td>3.2.8</td><td>Équations électriques de la MAS dans un repère lié au stator</td><td>86</td></tr><tr><td>3.2.9</td><td>Equation mécanique de la MAS</td><td>89</td></tr><tr><td>3.2.10</td><td>Équation du couple électromagnétique de la MAS</td><td>89</td></tr><tr><td>3.2.11</td><td>Commande du moteur asynchrone</td><td>90</td></tr><tr><td></td><td>Modélisation de la MAS dans le repère de Park</td><td>90</td></tr><tr><td></td><td>Équations de flux</td><td>91</td></tr><tr><td></td><td>Couple électromagnétique</td><td>91</td></tr><tr><td>3.2.12</td><td>Modèle d'état de la MAS</td><td>92</td></tr><tr><td>3.3</td><td>Modélisation dynamique de l'EMA à sortie en rotation</td><td>92</td></tr><tr><td>3.4</td><td>Bond-graph à mots de l'EMA</td><td>93</td></tr><tr><td>3.4.1</td><td>Modèle de la structure de commande d'un EMA</td><td>94</td></tr><tr><td>3.4.2</td><td>Modèle du variateur</td><td>95</td></tr><tr><td>3.4.3</td><td>Modèle BG simplifié d'un moteur électrique</td><td>96</td></tr><tr><td>3.4.4</td><td>Modèle du réducteur</td><td>97</td></tr><tr><td>3.5</td><td>Conclusion</td><td>99</td></tr></tbody></table>

4 Banc d'essais

101

<table><tbody><tr><td>4.1</td><td>cahier des charges</td><td>103</td></tr><tr><td>4.2</td><td>Architecture du banc d'essai</td><td>104</td></tr><tr><td>4.3</td><td>Caractéristiques du banc</td><td>104</td></tr><tr><td></td><td>Servomoteur 1 (PP1)</td><td>104</td></tr><tr><td></td><td>Servomoteur 2 (PP2)</td><td>106</td></tr><tr><td></td><td>Capteur de couple</td><td>106</td></tr><tr><td></td><td>Variateurs alimentant les moteurs électriques</td><td>107</td></tr><tr><td>4.4</td><td>Analyse des modes de défaillances et de leur criticité d'un EMA</td><td>108</td></tr><tr><td>4.5</td><td>Bond graph à mots du banc d'essai</td><td>110</td></tr><tr><td>4.6</td><td>Modèle Bond graph du banc d'essai</td><td>110</td></tr><tr><td>4.7</td><td>Validation du modèle</td><td>113</td></tr><tr><td>4.7.1</td><td>Implémentation du système de diagnostic</td><td>115</td></tr><tr><td>4.7.2</td><td>Génération des Relations de Redondance Analytiques déterministes</td><td>115</td></tr><tr><td>4.7.3</td><td>Condition de surveillabilité du Jamming</td><td>117</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>4.7.4 Analyse de la surveillabilité sans observateur</td><td>120</td></tr><tr><td>4.7.5 Synthèse d'un capteur logiciel (observateur) pour la surveillance du Jamming</td><td>122</td></tr><tr><td>4.7.6 Analyse de l'observabilité de l'arbre de couplage</td><td>123</td></tr><tr><td>4.7.7 Vérification de l'observabilité structurelle du modèle</td><td>126</td></tr><tr><td>4.7.8 Surveillance du Jamming avec ajout de l'observateur</td><td>128</td></tr><tr><td>4.7.9 Valeurs des paramètres du banc et de leurs incertitudes</td><td>131</td></tr><tr><td>4.8 Implémentation de l'observateur sous Amesim</td><td>131</td></tr><tr><td>4.9 Diagnostic robuste</td><td>134</td></tr><tr><td>4.9.1 Réaction des résidus déterminites à un défaut sur le Jamming</td><td>135</td></tr><tr><td><strong>Conclusion et perspectives</strong></td><td><strong>141</strong></td></tr><tr><td>Conclusions</td><td>141</td></tr><tr><td>Perspectives</td><td>142</td></tr><tr><td><strong>Bibliographie</strong></td><td><strong>143</strong></td></tr></table>
# Introduction générale

## Avant propos

Les travaux de la présente thèse ont été réalisés dans le cadre d'un travail de collaboration entre la direction de la recherche et l'innovation (DR2I) de l'école d'ingénieurs en aéronautique IPSA (https://www.ipsa.fr/) et Centre de Recherche en Information, Signal, et Automatique de Lille CRIsIAL - UMR 9189 (https://www.cristal.univ-lille.fr/). Ils portent sur une problématique industrielle de diagnostic des actionneurs électromécaniques (EMA) posé par la société CERTIA (www.certia.fr) dans le cadre du projet Européen Astib http://www.astib-cs2.eu/. Ce travail de recherche, dirigé par les Professeur Belkacem Ould-Bouamama et Professeur Islam Bousaada, est effectué au laboratoire CRIsIAL.

Les activités de recherche de CRISTAL couvrent les thématiques de recherches liées aux grands enjeux scientifiques et sociétaux du moment tels que : BigData, interactions homme-machine, robotique, commande et supervision de grands systèmes ... etc.

Le présent travail s'inscrit dans le cadre de la thématique de recherche de l'équipe : Méthodes et Outils pour la Conception Intégrée de Systèmes (MOCIS), et concerne la surveillance robuste des systèmes à base de modèles Bond-Graph incertains.

L'objectif de la thèse est l'application de ces outils théoriques au diagnostic d'un banc d'essais d'un moteur électromécanique pour répondre à un besoin industriel fixé par la société CERTIA. Le défaut principal identifié est le grippage de l'arbre de transmission du moteur de l'EMA.

## Contexte et motivations

L'orientation de l'industrie vers des technologies plus propres a conduit l'industrie aéronautique à se tourner vers d'autres types d'énergie, renouvelables et plus écologiques. Apparait alors l'objectif d'un avion plus électrique voire même tout électrique.
Des recherches sont menées pour remplacer les réseaux de transmission hydrauliques, pneumatiques et mécaniques classiques par des réseaux de transmission électrique. L'actionneur électromécanique (EMA) fait partie de cet objectif, où les circuits hydrauliques de son prédécesseur (actionneur hydraulique) sont supprimés et la puissance du moteur est transmise à la charge par des réducteurs mécaniques (par exemple, boîte de vitesses, écrou-vis).

De nos jours, les EMA sont utilisés sur les avions commerciaux tels que le Boeing B787 comme actionneurs de première ligne pour plusieurs commandes de vol secondaires et le freinage du train d'atterrissage [38], mais ils ne sont pas suffisamment fiables pour remplacer les servo-actionneurs hydrauliques (HSA) classiques en mode normal pour les fonctions critiques pour la sécurité telles que les commandes de vol. Plusieurs études sont menées, au niveau du système, pour assurer les exigences en termes de contraintes de poids et de taille pour l'intégration [65], de frottement au niveau du système [71], de rejet de chaleur pour l'équilibre thermique de l'actionneur [74], d'interzug réfléchie réduite pour les performances dynamiques, de transmission de puissance entre le moteur et la charge [70]. Sur la base des travaux de recherche consultés, les études concernent principalement l'analyse de la dynamique du système et des effets extérieurs sur les performances des EMA, où quelques méthodes à base d'observateurs ont été développés pour la détection des fautes capteurs. La détection et l'isolation des défauts physiques tels que le grippage, l'excentricité des arbres, les bobines... ne sont pas considérés. L'objectif de ce travail de recherche est de contribuer à l'analyse des conditions de surveillabilité structurelle en fonction de l'architecture d'instrumentation existante et d'implémenter les algorithmes de diagnostic robustes aux incertitudes paramétriques à base de modèle BG LFT appliqué aux EMA.

L'EMA est un système mécatronique non linéaire, la sureté de fonctionnement imposée dans le domaine aéronautique nécessite une méthode de diagnostic robuste pour assurer la fiabilité et la disponibilité des composants en fonctionnement normal ou défectueux. Les exigences de fonctionnement imposent des procédures de détection et d'isolation des défaillances (FDI) en ligne qui peuvent informer les systèmes intelligents de contrôle tolérant aux défaillances et de contrôle adaptatif des défaillances (FTC et FAC).

La méthodologie FDI est basée sur la comparaison entre le comportement réel du système, donné par les capteurs, et le comportement en fonctionnement normal qui est fourni par un modèle. Lorsque le comportement observé diffère du comportement nominal, la méthode de diagnostic utilise cette différence, exprimée sous la forme d'un
vecteur résiduel non nul également appelé alarme, comme base de l'étape d'isolation pour identifier le composant défectueux à l'aide d'une procédure logique. En fonction du système étudié et des données disponibles, deux types de méthodes de diagnostic ont été développés :

- les approches sans modèles appelées méthodes qualitatives : elles utilisent une méthode d'apprentissage afin d'établir une relation mathématique entre les causes (défauts) et les effets (mesure par capteurs et observations d'experts). La variation inconnue des paramètres du système rend difficile l'identification de tous les modes du système d'exploitation. Parmi les contributions de recherche sur le diagnostic sans modèle, la contribution de [21] où ils ont développé une méthode FDI utilisant une approche d'analyse des signaux dans le domaine fréquentiel pour identifier l'usure des roulements et des vis à billes dans un système d'entraînement d'un EMA. L'un des principaux problèmes rencontrés dans les approches basées sur les données est la dissimulation des défauts dus à des conditions de fonctionnement différentes et non constantes. Et dans [93] on a observé que, comme la vitesse et la charge du moteur EMA varie, la quantité de vibrations change et les fréquences des défauts sont réparties sur le spectre des fréquences, ce qui rend difficile l'identification des défauts.

La difficulté des méthodes sans modèles, est leur nécessité de disposer d'une grande quantité de données du processus et ce dans des situations de fonctionnement normal et anormal, ce qui n'est pas toujours possible dans les systèmes réels.

- les approches basées sur les modèles nommés méthodes quantitatives : en utilisant des modèles analytiques [50]. Un facteur clé déterminant la performance des méthodes de FDI basées sur le modèle (observateurs, espace de parité...) est, justement, la précision de leur modèle, mais il faut des valeurs numériques des paramètres du modèle pour l'évaluation finale. Cependant, les méthodes graphiques présentent un grand intérêt car leurs modèles ne captent que la structure du système en représentant ses variables, et un ensemble d'équations de comportement, tout comme les nœuds et les arcs. De plus, la structure graphique permet d'analyser les conditions de surveillabilité en utilisant l'analyse structurelle pour suggérer le placement d'un capteur sans connaître les valeurs numériques des paramètres du système. C'est pourquoi les méthodes graphiques sont bien adaptées au diagnostic structurel basé sur un modèle. Dans ce contexte, parmi les modèles qualitatifs (digraphe, graphique bipartite et digraphe signé),
le Bond Graph (BG), en tant qu'outil puissant et multidisciplinaire de modélis-
sation, est bien adapté en raison de ses propriétés causales, comportementales et
structurelles. Le diagnostic BG permet, non seulement d'analyser les conditions
de surveillabilité hors ligne, mais aussi de générer des algorithmes robustes aux
incertitudes paramétriques pour une mise en œuvre en temps réel. Une compa-
raison de la méthode BG avec d'autres méthodes graphiques pour le FDI est
donnée dans [14].

Dans les méthodes basées sur les modèles, le fonctionnement du système réel est comparé à son modèle (en l'absence d'erreurs), ce qui génère les indicateurs de défaillance représentés par la relation de redondance analytique (RRA). Un composant dont la valeur est éloignée de sa valeur nominale générera un résidu non nul même si les valeurs mesurées sont correctes, ce qui entraînera une fausse alarme. Cet écart de la valeur nominale est dû aux incertitudes des paramètres du modèle ou aux measures de bruit et n'a aucun effet sur le bon fonctionnement du système. Pour éviter ce type de fausses alarmes, la solution consiste à générer des résidus robustes sensibles aux défauts mais insensibles aux incertitudes paramétriques. La transformation linéaire fractionnaire par bond-graph (BG-LFT) offre cette possibilité. La méthodologie BG-LFT consiste à séparer la partie nominale d'un modèle de sa partie incertaine quel que soit le type d'incertitude (incertitudes paramétriques structurées et non structurées, incertitudes de modélisation, bruits de mesure...).

Ce travail de recherche a été réalisé en trois étapes :

— La première partie concerne l'analyse des conditions de surveillabilité structu-
relle (aptitude à détecter et isoler les défauts) des modèles BG déterministes et
la proposition de placement de capteur. À cette étape, aucune valeur numérique
des paramètres n'est nécessaire pour le modèle structurel. En effet, la descrip-
tion structurelle d'un système n'exprime que les liens entre les variables et les
contraintes. Les résultats de cette partie ont été publiés [53]. Sur la base des
résultats de surveillabilité obtenus, la synthèse d'un observateur pour améliorer
les performances de surveillabilité des sous-systèmes (principalement pour sur-
veiller le défaut fixé par l'industriel : le jamming). L'intérêt scientifique d'une
telle approche réside dans le fait qu'elle soit indépendante des valeurs numé-
riques des paramètres.

— La deuxième partie consiste à la validation analytique des résultats des propriétés structurelles obtenues. Pour cela a été proposé l’implémentation des relations de redondance analytiques robustes aux incertitudes paramétriques déduites sur
le modèle BG étendu, appelé BG-LFT. Ce type de modèle permet d'introduire explicitement les incertitudes paramétriques (additives et multiplicatives) sur les éléments BG concernés. Les résultats de cette partie ont donné lieu à la publication [52].

- Et enfin une validation industrielle par co-simulation avec le logiciel Amesim a été réalisée dans la troisième partie.

## Principales contributions et résultats obtenus

Les principales contributions à ce travail de recherche sont :

- Analyse des conditions de surveillabilité d'un système non linéaire d'un modèle BG

- Intégration d'un observateur dans un modèle BG pour l'amélioration des conditions de surveillabilité

- Application industrielle d'un système de diagnostic robuste à base de modèle BG-LFT par co-simulation Amesim®

Ces contributions ont donné lieu aux publications suivantes :

### Conférences internationales avec comité de lecture :

- Naouel KACI, Belkacem OULD-BOUAMAMA, Islam BOUSSAADA, Achour DEBIANE. *Structural diagnosability analysis. Application to an induction motor*. 2017 IEEE 11th International Symposium on Diagnosis for Electrical Machines, Power Electronics and Drives (sdemped), Aug 2017, Tinos, Greece.

- Naouel KACI, Belkacem OULD-BOUAMAMA, Achour DEBIANE and Islam BOUSSAADA, *Bond Graph model based for robust diagnosis of electromechanical actuators*, 2019, 8th International Conference on Systems and Control (ICSC), Marrakesh, Morocco, Oct 2019.

### Conférence nationale :

- Naouel Kaci, Belkacem Ould-Bouamama, Islam Boussaada and Achour Debiane. Diagnostic en ligne robuste des actionneurs électromécaniques. 5e édition de la Journée Régionale des Doctorants en Automatique (JRDA 2018). Amiens, France.
# Organisation du manuscrit

Le chapitre 1 présente les différents défauts pouvant affecter les principaux composants d'un EMA. Un état de l'art sur le diagnostic de l'actionneur électromécanique a été réalisé avec une présentation du diagramme à cycle V pour les besoins de modélisation d'un système mécatronique. Les méthodes qualitatives et quantitatives les plus utilisées dans la littérature pour le diagnostic des EMA ont été, par la suite, décrites. L'objectif de ces méthodes étant d'éviter les fausses alarmes, les non détections et les retards dans la détection des défauts. Dans ce chapitre, nous avons aussi montré l'importance de la prise en considération des incertitudes dans la procédure de décision et leurs effets sur la dégradation des performances du diagnostic. Le chapitre 2 décrit l'analyse structurelle d'un système, présente les étapes de modélisation des éléments bond graph incertains sous forme LFT d'un système physique. Les étapes de l'algorithme de génération des relations de redondance analytique (RRA) à partir des modèles BG LFT y sont décrites. La partie incertaine des RRA est utilisée pour générer les seuils adaptatifs des résidus. Un exemple pédagogique d'illustration a été utilisé dans ce chapitre comme fil conducteur. Dans le chapitre 3 l'architecture de l'EMA et de sa commande ont été présentées ainsi qu'une représentation incrémentielle des principaux composants de l'EMA, en mettant l'accent sur les défauts mécanique du système. Le chapitre 4 présente l'application industrielle de l'étude, à savoir un banc d'essais qui représente un système électromécanique composé de deux moteurs synchrones couplés par un arbre de couplage. Le but de notre étude est de détecter et d'isoler des défauts notamment le grippage qui un défaut majeur et critique de l'EMA. Les résultats expérimentaux de notre travail développés avec le logiciel de co-simulation Amesim® y sont présentés.

Enfin, une **conclusion générale** met en avant les points clefs relatifs à notre travail autour du diagnostic robuste des EMA. Elle suggère aussi des compléments de travaux qui concernent la validation sur le système réel.
Chapitre 1

# Modélisation et diagnostic des actionneurs électromécaniques : état de l'art

## 1.1 Préambule sur le diagnostic des actionneurs électromécaniques

Les actionneurs électromécaniques (EMA) suscitent un intérêt croissant dans les applications aérospatiales à la place des actionneurs hydrauliques conventionnels, en particulier depuis l'orientation vers les modèles d'avions et d'engins spatiaux tout électriques. Comparés aux actionneurs hydrauliques, ils présentent des avantages tels que la facilité d'utilisation et d'installation, des systèmes propres (pas de fuite d'huile), ils présentent un meilleur rendement, une rigidité élevée et un temps de réponse ultra-rapide [55]. Cependant, ces nouvelles technologies doivent répondre à la condition non négligeable de sûreté et de fiabilité. Les actionneurs sont des composants essentiels à la sécurité d'un système aérospatial, ceux-là étant présents essentiellement au niveau des commandes de vols primaires, donc une panne d'actionneur non détectée peut entraîner de graves conséquences, d'où la nécessité d'anticiper les différents modes de défaillances des assemblages, souvent complexes, des EMAs. Afin de permettre à l'EMA de continuer sa mission en cas de défaut, il est indispensable d'identifier tout changement imprévu (le défaut) du système avant qu'il ne conduise à un arrêt totale (la défaillance).
Les programmes de recherche sur les actionneurs ont abouti à des systèmes suffisamment matures pour être introduits dans les derniers programmes d'aéronefs commerciaux [38] : les actionneurs électro-hydrostatiques (EHA) utilisés comme actionneurs de secours pour les commandes de vols primaires et secondaires de l'Airbus A380 / A400M / A350 et les EMA comme actionneurs de première ligne pour plusieurs commandes de vols secondaires et le freinage des trains d'atterrissage du Boeing B787. Malgré ces évolutions des EMAs, nous n'avons toujours pas suffisamment de recul et de maîtrise concernant leurs défaillances possibles, des activités de recherche sont menées pour un développement plus important de l'EMA avec la volonté de valider leur faisabilité en termes de technologie et démontrer leur intégration dans le système d'actionnement de commande de vol ([103], [17]).

Un EMA est composé de sous-systèmes électriques, électroniques et mécaniques, il présente des modes de défaillance complexes et toute défaillance dans ces sous-ensembles doit être détectée, identifiée et isolée rapidement et surement en utilisant un ensemble limité de signaux de capteurs disponibles. Les applications aérospatiales, en particulier, ont des contraintes très strictes de poids et de volume, où de multiples systèmes redondants entraînent une pénalité considérable en termes de coûts et de poids ([51]). Afin de répondre aux exigences strictes de fiabilité, un actionneur sans redondance matérielle doit être équipé d'un système sophistiqué de diagnostic et de pronostic qui dépendra des paramètres et/ou des variables à surveiller, du type de défaut à détecter et des performances attendues. Plusieurs méthodes de diagnostic existent, le choix de la méthode la plus adaptée se fait selon la nature des informations disponibles du système, le type de défauts à détecter et la complexité du système. Ainsi, si seules les données entrée/sortie sont disponibles sur le système, une méthode par apprentissage est plus adaptée, par contre si un modèle mathématique du système est disponible, les méthodes analytiques seront les mieux adaptées ([35]).

Dans ce chapitre, après un rappel sur la terminologie propre au diagnostic, une présentation des modèles de l'EMA selon leurs applications, puis un état de l'art sur les différentes méthodes de diagnostic est développé.
# 1.2 Diagnostic : objectifs et définitions

## 1.2.1 Terminologie

En automatique, le diagnostic (qu'on désigne aussi par surveillance) est une procédure (ensemble d'algorithmes) qui permet, la détection (génération d'alarmes) et la localisation (isolation) des pannes dans les systèmes industriels. Toutefois, dans la littérature spécialisée, notamment à la Fédération Internationale du Contrôle Automatique (IFAC), la définition largement adoptée concerne les activités de Détection et de Localisation de défauts connues sous l'appellation anglaise de FDI (Fault Detection and Isolation). Cette opération est réalisée en deux étapes : une étape de détection (génération de l'alarme) et une phase de localisation du composant défectueux sur la base de signatures répertoriées. Quelquefois en rajoute une étape de diagnostic qui consiste à identifier le type de fautes, on note cette approche FDID (Fault Detection and Isolation and Diagnosis). Nous pouvons évidemment dans une approche de supervision rajouter l'activité de Commande Tolérante aux fautes (FTC : Fault Tolerant control) qui concerne la synthèse de lois de commande tolérante à la faute par accommodation (la faute est estimée et peut être compensée par le régulateur) ou reconfiguration (lorsque l'impact de la faute ne peut être estimé). Enfin ces dernières années on a rajouté une couche supplémentaire ; le pronostic qui vise la prédiction des états futurs du système en estimant la durée de vie du composant défaillant. Ainsi le processus de pronostic est aujourd'hui considéré comme un des principaux leviers d'action dans la recherche d'une performance globale on parle alors dans l'industrie de PHM (Prognostics and Health Management).

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 1.1 – Architecture d'un système de supervision</figcaption></figure>
Un défaut ou faute est la déviation non tolérée d'au moins une caractéristique d'un paramètre système par rapport à sa valeur usuelle, un défaut peut conduire à une défaillance provoquant l'arrêt de fonctionnement du composant. L'évolution temporelle d'un défaut est variable, ([79]), on distingue ainsi les fautes naissantes, ce sont des fautes qui se produisent lentement au fil du temps et qui sont liées à l'usure des composants et à la dérive des paramètres; des fautes intermittentes qui apparaissent pour des durées très courtes, mais qui peuvent parfois avoir des conséquences désastreuses et des fautes brusques qui sont persistantes avec des conséquences catastrophiques.

La défaillance est l'interruption permanente de la capacité d'un système à exécuter une fonction requise dans des conditions de fonctionnement spécifiques.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 1.2 – Les différents types de fautes dans un système physique</figcaption></figure>

Comme l'illustre la figure ci-dessus, les fautes peuvent concerner chacune des parties constituant un système physique et leurs conséquences si elles ne sont pas diagnostiquées à temps entravent la sûreté de fonctionnement du système dans sa globalité. Les équipements pertinents à surveiller sont spécifiés dans le cahier de charge et l'objectif du système de surveillance est de minimiser les fausses alarmes, les non détections et les retards dans la détection.

— Les défauts contrôleurs causent des perturbations au niveau des régulateurs
qui se caractérise par une sortie ne correspondant pas à celle que devrait être
élaborée par l’algorithme installé.

— Les défauts actionneurs représentent les dysfonctionnements d'un dispositif agissant sur la dynamique du système, par exemple un défaut dans le moteur asynchrone servant à actionner le bras de l'EMA, ou encore le débit fourni par une pompe n'est pas conforme à celui requis par sa caractéristique. .

— Les défauts processus correspondent à des altérations dans les paramètres internes du système qui entraînent une modification de sa dynamique tels que le bourrage de la vis à bille ou le grippage d'un arbre mécanique de rotation.

— Les défauts capteurs impactent les systèmes de mesure : le signal délivré est différent de la valeur physique réelle de la variable à mesurer.

1.3 Les différents défauts pouvant affecter un EMA

Un actionneur électromécanique, alimenté par une source de puissance électrique, est à l'origine d'actions mécaniques, effort et/ou déplacement, sur un corps quelconque (la charge). L'EMA exerce un mouvement de translation ou bien de rotation sur la charge en transmettant la puissance du moteur à la charge par l'intermédiaire de ré-ducteurs mécaniques (boite à vitesse ou vis-écrou par exemple). Un EMA est constitué de sous systèmes électriques, mécaniques et des capteurs, chacun de ces sous systèmes peut être affecté par des défauts, ces défauts sont classés en quatre catégories ([7]) : les défauts mécaniques ou structurels, les défauts moteur, les défauts électrique ou électrique et les défauts capteur. Il convient de noter que tous les composants électriques ou mécaniques, dans le moteur de l'EMA doivent être surveillés par des algorithmes de surveillance capables de détecter de très faibles dégradations de performance où des fautes brusques peuvent survenir. Dans ce qui suit, chacun de ces défauts est présenté avec le mode de défaillance auquel il peut conduire, s'il n'est pas diagnostiqué et corrigé dans les temps, il conduira à la panne de l'EMA.

1.3.1 Les défauts mécaniques et de structure

Les défauts mécaniques et de structure sont susceptibles d'être la principale source
de préoccupation pour les EMAs utilisés dans des conditions exigeantes qui caracté-
risent les applications aérospatiales. Leurs causes principales sont les charges excessives,
les facteurs environnementaux, problèmes de lubrifications et des défauts de fabrica-
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 1.3 – Les principaux composants d'un EMA</figcaption></figure>

tions. Très peu de méthodes de diagnostic efficaces pour ce type de défauts ont été développées jusqu'à présent bien qu'ils aient été l'objet d'études approfondies au cours de ces dernières décennies. On dénombre pas moins de dix composants mécaniques et de structure de l'EMA (la vis, l'écrou, le roulement, le piston, les joints...) qui ont déjà fait l'objet d'études de diagnostic de l'équipe de M. Balaban [7], pour chacun de ces composants, des fautes ont été détectées, certaines parmi elles ont un caractère critique, c'est à dire causant la panne de l'EMA, comme par exemple la fissure du piston, notons tout de même que la probabilité d'occurrence de cette faute est très faible. Le mode de défaillance concerné par notre étude est un défaut mécanique qui consiste en un grippage de l'arbre de l'EMA connu sous le nom de jamming. L'industriel CER-TIA veut détecter et isoler ce défaut récurrent de jamming d'autant qu'il ne peut pas être facilement résolu par des modifications de conception. Le paragraphe qui suit est consacré à ce défaut de jamming.

## Bourrage du canal de retour de billes : le jamming

Le canal de retour est un composant d'un actionneur à vis à billes qui transporte les billes dans les circuits à l'intérieur de l'écrou depuis l'extrémité d'un circuit jusqu'à son début, lorsque l'écrou se déplace le long de la vis en rotation. Un bourrage dans le canal de retour, provoqué par exemple par un débris ou une bille déformée, arrêterait cette circulation et ferait que la vis à billes se comporterait de la même manière qu'un vérin beaucoup moins efficace (aussi connu sous le nom de vis acme). Les actionneurs à vis à billes modernes intègrent généralement plusieurs circuits de mouvements indépendants de billes, ainsi un bourrage dans l'un d'entre eux ne serait pas catastrophique, mais
conduirait tout de même à une efficacité fortement diminuée et à la vie utile restante
connue sous l'appellation anglaise de Remaining Useful Life (RUL) de l'actionneur plus
faible. Une situation très rare où tous les canaux se coinceraient conduirait probable-
ment à de graves dommages de l'écrou dans un court laps de temps. Ce risque de
grippage est une donnée importante pour la certification de l'EMA dans les applica-
tions de contrôle de vol primaires associées au choix de l'architecture du système de
commande de vol. Le premier objectif de la fonction de diagnostic étant d'anticiper le
blocage de l'actionneur, ([103]) propose deux algorithmes spécifiques développés pour
répondre aux exigences de l'EMA.

1.3.2 Les défauts moteur

Les défauts moteur constituent la catégorie de fautes la plus fréquente dans les EMAs, ces derniers étant sollicités à des vitesses de rotation très élevées induisant une élévation importante de la température et des contraintes mécaniques importantes les rendant ainsi assujettis à des courts-circuits de bobinage, des excentricités d'arbre de rotor. Ces dernières années, plusieurs recherches approfondies ont été menées sur les défauts de moteurs électriques comme [10]) et [11]. Ainsi des études ont été menées pour identifier les erreurs au niveau des connecteurs qui se traduisent par une élévation de la valeur de la résistance. Des travaux ont concerné le stator, une défaillance au niveau de la bobine, qui se traduit par des performances de l'EMA dégradées, est détectée par une diminution de courant ou courant intermittent. Au niveau du rotor, une défaillance est constatée au cas où des liaisons des aimants du rotor sont détériorées ou bien si excentricité du rotor.

1.3.3 Les défauts électriques ou électroniques

Plusieurs travaux ont été menés pour diagnostiquer les défauts électriques et élec-
troniques dans les systèmes de puissance et de commande des EMA [42] et [43]. Les
défaillances les plus probables ou les plus significatives de cette catégorie sont au ni-
veau de la source de courant (court-circuit, circuit ouvert, emballement thermique,
performances atténuées...), du condensateur de contrôle s'il y a un défaut au niveau du
diélectrique, du transistor de contrôle, des câblages...
### 1.3.4 Les défauts capteur

Comme annoncé précédemment, la structure d'un EMA se présente comme une cascade de boucles de régulation (courant, vitesse et position) chacune de ces variables est mesurée par un capteur, en plus parfois un capteur d'effort, ces capteurs peuvent être le siège de fautes de biais ou de dérive. Nous rappelons que le biais correspond à un saut brutal du signal alors que la dérive se manifeste par une évolution anormale, lente et continue du signal s'éloignant progressivement de sa valeur nominale. Des travaux ce sont intéressés aux fautes capteurs parmi eux [84].

### 1.3.5 Défauts au niveau de la charge

La charge actionnée par l'EMA peut présenter des défauts ; dans notre cas la charge est un moteur synchrone, analogue au moteur de l'EMA voir chapitre 4 qui traite du banc de test. Les défauts au niveau de la charge ne font pas l'objet de notre étude.

## 1.4 Modélisation des EMAs : Etat de l'art

La phase de modélisation est primordiale puisqu'elle permet la mise en évidence des propriétés intrinsèques des composants constituants l'EMA où l'environnement immédiat de l'actionneur doit être tenu en compte tout en définissant une méthode qui permette d'optimiser les performances du système, ou du sous-système auquel appartient l'actionneur.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 1.4 – Schéma d'un système de commande de vol d'un EMA</figcaption></figure>

Modéliser un EMA revient donc à modéliser ses différentes parties et pour cela, selon les besoins, on peut être amené à concevoir une modélisation détaillée si l'objectif
est le diagnostic, l'analyse, ou la synthèse des lois de commande ou bien alors, une
modélisation haute fidélité en utilisant la méthode des paramètres distribués et les
éléments finis, si l'objectif est de réaliser une analyse des contraintes mécaniques et ou
thermiques par exemple. Le premier type de modèles dit Entrée-Sortie (E/S) est décrit
en général par des équations différentielles ordinaires (EDO) alors que le deuxième est
représenté par des équations à dérivées partielles (EDP) non adaptées au contrôle et/ou
diagnostic. Une fois le modèle obtenu, celui-ci est implémenté dans des environnements
de simulation puis, quand c'est possible, validé sur le système réel. A partir du cahier
des charges jusqu'au produit fini la conception d'un actionneur élecro-mécanique suit
les étapes de diagramme du cycle en V de la figure 1.5. Différents types de modèles sont
utilisés pendant le processus de développement d'un système mécatronique [49], dans
la phase descendante du cycle V, le système est progressivement défini et le niveau de
détail des modèles augmente en conséquence.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 1.5 – Diagramme à cycle V pour la conception d'un système mécatronique et sa modélisation associée</figcaption></figure>

1.4.1 Le modèle pour l'analyse

Un modèle pour l'analyse fournit une vue détaillée des paramètres surveillés. Les travaux de recherche [66], [65], [73] consacrés à la conception et le dimensionnement préliminaire des EMAs proposent un dimensionnement multicritères de l'EMA. [38]
propose une modélisation haute fidélité au niveau du système avec une vue transversale des domaines physiques impliqués dans les EMA, le formalisme Bond-Graph, outil de modélisation multisciplinaire avec un langage unique bien adapté aux systèmes mécatroniques tel que l'EMA. On s'intéresse dans ce travail de recherche aux modèles décrits pas des EDO (équations différentielles ordinaires) pour le diagnostic des EMA. La méthode bond-graph permet d'étudier graphiquement la dépendance qualitative entre les effets multidisciplinaires et non linéaires qui se produisent dans la transmission de l'énergie de l'alimentation à la charge entraînée.

### 1.4.2 Le modèle pour le contrôle

Les modèles sont développés au niveau du système pour prendre en charge la conception de commande, une tâche d'ingénierie majeure. L'EMA est asservi en position. La manière la plus courante de modéliser la commande de l'EMA met en évidence une structure en cascade, voir figure 1.3, qui implique trois boucles imbriquées : la boucle de courant (interne), la boucle d'asservissement de vitesse (au milieu) puis la boucle de position (externe). [94] a obtenu un modèle linéaire de l'EMA par identification et propose un modèle du système de contrôle en utilisant deux approches : le théorème de Kharitonov et la méthode H infini avec une comparaison en boucle fermée des deux méthodes. Les travaux de [77] ont permis de construire un contrôle adaptatif permettant de compenser les effets de jeu dans un système d'actionnement électromécanique en compensant ce couple de jeu perturbateur estimé. Pour cela, ils ont opté pour un modèle mathématique non linéaire et continu pour le couple perturbant couplé à un observateur adaptatif. Ces travaux concernent le contrôle (objectif non concerné par la présente thèse) et nécessitent un modèle linéaire, linéarisé ou une classe de modèle non linéaire.

### 1.4.3 Le modèle pour le prototypage virtuel

On a recours à ce type de modélisation essentiellement lorsque le but recherché est l'innovation et la rupture technologique. C'est le cas pour les travaux qui visent à proposer des architectures d'EMA innovant pour remplacer les systèmes hydrauliques existants. Rappelons que les contraintes liées à la structure de l'EMA sont multidisciplinaires, couplées et non linéaires, mais, pas toujours prises en compte dans les architectures des modèles. Dans une telle situation, un modèle virtuel pour les systèmes EMA et leurs composants devrait être conçu et développé. A travers leurs travaux, [39] ont
apporté une réponse très concrète à l'ingénierie aéronautique en répondant à plusieurs
besoins et ce en proposant des modèles EMA ainsi que leurs implémentations numé-
riques en respectant des exigences, à savoir une distinction clairement faite entre l'effet
fonctionnel, les effets parasites (commutation pour l'électronique de puissance, pertes
en fer et en cuivre pour les machines électriques, inertie, frottement et compliance pour
la transmission mécanique) et les défauts (grippage et jeu libre).

1.4.4 Le modèle pour le diagnostic

La conception orientée diagnostic nécessite d'avoir des modèles qui lient les flux
de puissance d'entrées aux sorties des divers composants. Le modèle est créé soit à
partir d'expressions mathématiques dérivées d'équations physiques ou extrapolées à
partir de résultats de simulation et/ou données constructeurs soit à partir de méthodes
d'apprentissage. La modélisation pour le diagnostic permet à partir d'un nombre réduit
de paramètres (force, inertie...) d'estimer l'ensemble des caractéristiques intrinsèques
d'un composant (frottement, élasticité...) ([10], [11], [17], [16]... etc).

1.5 Caractéristiques des méthodes de diagnostic

Le choix parmi les nombreuses approches de diagnostic développées dépend des
applications visées et du cahier de charges. Ainsi, la nature des informations disponibles
sur le système ou le type de défauts à détecter conduisent à la mise en œuvre de
stratégies spécifiques. Par exemple, si seules des données entrée / sortie sont disponibles
sur le système, une méthode par apprentissage apparait naturellement adaptée, par
contre si un modèle mathématique est disponible, les méthodes analytiques pourront
être privilégiées car ne nécessitant ni apprentissage ni données historiques sur le système
réel.

Dans l'industrie aéronautique la détection de défauts est réalisée en utilisant la
redondance matérielle : plusieurs capteurs ou actionneurs avec la même fonction. Tou-
tefois, afin de diagnostiquer un éventuel défaut dans l'actionneur, par exemple, il n'est
pas courant de comparer l'état des systèmes redondants ([51]). Bien que ces techniques
de redondance matérielle restent largement répandues ([82], [45]), les sur-coûts et poids
qu'elles impliquent sont un frein à l'autonomie des engins aérospatiaux ce qui a motivé
le développement de techniques basées sur la redondance analytique. L'approche ana-
lytique exige un modèle mathématique quantitatif précis pour être efficace, une chose
qui n'est pas toujours possible, les inexactitudes relatives des modèles sont inévitables
dans la pratique. Comme il est difficile de faire la distinction entre les fautes réelles
dérivant de défaillances de composants du système, d'erreurs dans le modèle ou les
mesures du capteur, les méthodes de détection de défaillances peuvent dans certains
cas manquer de robustesse.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 1.6 – Architectures des redondances physique et analytique</figcaption></figure>

1.5.1 Méthodes de diagnostic à base de données

Contrairement aux méthodes à base de modèles mathématiques représentant le sys-
tème, les méthodes sans modèles, à base de données, exploitent les données collectées
(dans différents modes aussi bien normal que défaillant) sur le système pour expliquer
tout nouvel événement provenant du système. Lorsque le modèle analytique n'est pas
facilement disponible, ces méthodes sont considérées comme une alternative aux mé-
thodes à base de modèle [78]. Dans le domaine du diagnostique des défaillances des
actionneurs, les techniques basées sur les données comprennent l'analyse par ondelettes,
l'analyse statistique, l'analyse de réseau neuronal et l'analyse de domaine fréquentiel.
Parmi les travaux consacrés au diagnostic à base de données, nous pouvons citer [7]
qui utilisent plusieurs caractéristiques statistiques, notamment l'écart-type du cap-
teur d'accéléromètre, l'écart de température du thermocouple par rapport à la dérive
nominale du thermocouple. Dans [12], des capteurs de vibrations sont utilisés pour sur-
veiller les fréquences de défaut qui apparaîtraient lorsque les composants commencent
à s'user. Dans [8], le degré de chevauchement des densités de probabilité de signal entre
un ensemble EMA "sain" de référence et des EMA avec des condensateurs vieillis ar-
tificiellement pendant les conditions de fonctionnement en régime permanent ont été
utilisés pour évaluer leur état.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIGURE 1.7 – Architecture de détection de fautes par une méthode basée sur les données</figcaption></figure>

Ces travaux se sont concentrés principalement sur l'extraction de caractéristiques, mais plusieurs autres travaux incluaient également la classification de fautes et le pro- nostic, tels que [21], ils ont utilisé une approche basée sur l'analyse de signaux dans le domaine fréquentiel des signaux pour repérer une usure au niveau du roulement et de la vis à bille dans le système d'actionnement d'un EMA. [18], utilisent des techniques de fonctionnalité FFT en plus d'une méthode de suivi d'erreur de réseau neuronal. La classification automatique de fautes a été réalisée par un classificateur à logique floue avec fusion de données avec un modèle de pronostic utilisant un filtre de Kalman. L'un des principaux problèmes rencontrés dans les approches basées sur les données est le masquage des défauts dus à des conditions de fonctionnement différentes et non- constantes. En effet, à mesure que la vitesse et la charge du moteur de l'EMA varient, la quantité de vibrations change et les fréquences de défauts sont réparties dans tout le spectre de fréquence, ce qui rend difficile l'identification des défauts [93].

En conclusion, pour les systèmes dynamiques en boucle fermée les méthodes à base
de données ont montré leurs limites par rapport aux méthodes à base de modèle, en
effet les processus d'apprentissage dans des modes défaillants et dans des situations
de vol paraissent difficiles à réaliser dans des conditions réelles de fonctionnement, de
plus,ces dispositifs présentent des inconvénients liés à leur manque de généralité et leur
impossibilité de prendre en compte des situations non prévues [47].

1.5.2 Méthodes de diagnostic avec modèle

Ce sont des méthodes qui utilisent des modèles opératoires construits à partir
des lois physiques du processus, elles sont aussi appelées "méthodes externes de sur-
veillance". Les performances de ces dernières dépendent fortement du modèle utilisé. Selon la méthode, deux types de modèles peuvent être utilisés :

— Les modèles qualitatifs déduits d'une abstraction graphique (bond graph, graphes causaux, ou biparti) ou d'une base de connaissance (logique floue par exemple) du système physique;

— Les modèles quantitatifs (sous forme analytique).

Le principe du diagnostic à base de modèle se fait en deux étapes, dans un premier temps il consiste à comparer le fonctionnement réel du système à son fonctionnement estimé (en l'absence de fautes), une fois le modèle généré, les indicateurs de défaillances peuvent être déduits à partir du modèle mathématique en mode défaillant et en mode normal sans aucun apprentissage. Ces indicateurs de fautes sont représentés par les Relations de Redondance Analytique (RRA) ou des résidus (évaluation numérique des RRA). Un résidu est un indicateur de présence de fautes calculé à partir de l'écart entre les valeurs mesurées du système surveillé et les valeurs prédites par le modèle de ce système, voir figure ci-dessous. S'il n'y a pas de fautes, le signal du résidu est de faible amplitude voir nul ce qui indique que le système est en fonctionnement normal, dit aussi sain. Par contre, si le signal du résidu n'est pas nul, cela indique une présence de fautes. Pour que l'évaluation des résidus lance des alarmes en cas de faute un travail de détection de seuils de tolérance des variables et/ou paramètres est réalisé. Dans un deuxième temps, les signaux des résidus sont comparés aux valeurs seuils, s'ils sont supérieurs à ces derniers un message d'alarme est émis, cette étape correspond à la détection. Notons que la détection de défaut est une opération délicate puisqu'il faut, dans un contexte soumis aux aléas de fonctionnement du système et aux perturbations de l'environnement, décider d'une façon binaire, et avec certitude, s'il y a défaut ou non, et distinguer les perturbations, les incertitudes de mesure et paramétriques des défaillances.

La deuxième étape concerne la localisation (l'isolation du défaut). La localisation consiste à un filtrage des alarmes pour retrouver son origine et isoler le composant ou le phénomène défectueux. À la différence de la détection où un seul résidu est nécessaire, la procédure de localisation nécessite un ensemble de résidus pour former des signatures répertoriées.

La génération de résidus à base de modèle analytique peut être obtenue par diverses méthodes : les observateurs diagnostiques ([68], [111]), les relations de parité ([88], [22]) et les méthodes graphiques ([85], [3]).

**Les observateurs** Appelés aussi reconstructeurs d'état ou estimateurs, ils recons-
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE 1.8 – Schéma usuel pour la détection et la localisation des fautes</figcaption></figure>
truisent la sortie du système à partir des mesures ou du sous-ensemble des mesures. La différence entre les sorties mesurées et celles prédites par l'observateur est utilisée comme vecteur des résidus ([114], [58], [40]). La limite de cette approche réside du fait qu'elle soit principalement adaptée aux défauts capteurs et actionneurs et non pas aux défauts physiques (système). De plus le calcul du gain de l'observateur pour assurer la convergence de l'estimateur est fastidieux pour les modèles non linéaires.

**Espace de parité** Cette méthode vérifie la cohérence des équations mathématiques des systèmes avec les mesures. Les relations de parité sont soumises à une transformation dynamique linéaire avec les résidus transformés utilisés pour détecter et isoler les défauts ([41], [29]). Cette approche est limitée dans la plupart des cas aux systèmes linéaires invariants dans le temps.

**Les méthodes graphiques** présentent un grand intérêt car leurs modèles mettent en évidence la structure du système en représentant les variables système et les équations de comportement par des nœuds et des arcs. De plus, la structure du graphe est indépendante des valeurs numériques des paramètres du système ce qui permet d'analyser les propriétés structurelle en terme de contrôle et/ou diagnostic sans avoir besoin de connaître les valeurs numériques des paramètres. C'est pourquoi les méthodes graphiques sont bien adaptées au diagnostic structurel basé sur un modèle. Dans ce contexte, parmi les modèles qualitatifs (digraphe, diagramme bipartite et digraphe signé) l'outil Bond Graph est, en tant qu'outil puissant et multidisciplinaire de modélisation dynamique des systèmes linéaires et non linéaires [26] [101], bien adapté en raison de ses propriétés causales, comportementales et structurelles. Une comparaison de l'outil Bond Graph avec d'autres modèles graphiques pour le FDI est donnée dans [14] où une revue complète des méthodes graphiques développées pour étudier la possibilité de surveillance et la possibilité de diagnostic et / ou pour réaliser des applications de diagnostic en ligne est proposée.

Pour la génération des résidus avec les méthodes basées sur le modèle, les schémas basés sur les observateurs et l'espace de parité nécessitent le développement d'un modèle complet or un modèle ne peut pas être facilement obtenu en raison de la non-linéarité et de la complexité d'un processus, c'est la raison pour laquelle les méthodes graphiques sont proposées comme une alternative à ces limites. Parmi les approches graphiques, le formalisme Bond Graph permet non seulement de déduire systématiquement les équations dynamiques du système mécatronique (linéaires et non linéaires) du modèle graphiques mais d'analyser les conditions de surveillabilité (quels défauts pouvant affecter le système, y compris les défauts capteurs peuvent être détectés et iso-
lés?). Grâce à l'aspect modulaire et graphique du bond graph, les RRAs sont générées automatiquement : un logiciel dédié permet d'automatiser ces procédures [13].

## 1.6 Synthèse des méthodes de diagnostic des EMAs

Plusieurs travaux consacrés au diagnostic des EMAs, nous avons classé dans le tableau ci-dessous les méthodes suivant qu'elles soient à base de modèle ou bien à base de données, pour chaque catégorie, nous avons distingué les méthodes qualitatives des méthodes quantitatives. Une synthèse de ces méthodes consultées est donnée dans le tableau 1.1.

## 1.7 Méthodes de détection et d'isolation de fautes (FDI) d'un EMA à base de modèle

Le travail développé dans [58] reprend trois méthodes pour générer les résidus : l'estimation de paramètres, les observateurs et les relations de parité. Il met l'accent sur le fait que l'objectif d'obtenir une détection précoce des défaillances doit toutefois être mis en balance avec la nécessité de maintenir le taux de faux positifs (qui signifie fausses alarmes) le plus faible possible. Les fausses alarmes non seulement réduisent la confiance du diagnostique, mais peuvent aussi entraîner des vérifications inutiles. Dans cet article, l'auteur s'intéresse au FDI d'un actionneur pour détecter les fautes au niveau de la bobine du moteur en utilisant le filtre de Kalman. L'intérêt de cette méthode, tient compte des caractéristiques du bruit pour améliorer la robustesse de détection des fautes. Toutefois, le modèle utilisé très simpliste, linéaire, d'une part, ne tient pas compte des incertitudes paramétriques d'autre part. Et enfin les résultats sont obtenus par simulation et non sur système réel. Concernant le diagnostic à base de Bond Graph, [67] a repris les travaux développés au laboratoire CRISTAL (UMR9189) de Lille pour présenter la méthode de la génération des relations de la redondance analytique en utilisant les propriétés causales et structurelles du bond graph. De plus, le modèle bond graph présenté représente un modèle d'un moteur DC. La complexité d'un moteur synchrone ou asynchrone avec les transformations de Park donnant le modèle non linéaire du triphasé des actionneurs électromécaniques n'est pas considérée. Et enfin, les résultats ont été validés par simple simulation. [17] ont proposé un modèle linéaire qui tient compte des jeux mécaniques au niveau de l'EMA. Ils comparent
<table><caption>TABLEAU 1.1 – Synthèse des méthodes de diagnostic des EMA</caption><thead><tr><th colspan="5">Méthodes de diagnostic</th></tr></thead><tbody><tr><td>A base de modèle : Nécessitent pas d'apprentissage ni de données historiques expérimentales. Difficile d'obtenir des modèles.</td><td>Qualitative</td><td>Bond graph, Diagramme, Graphs causaux, arbre de défaillances, ...</td><td>[30], [56], [114],</td><td>Affichent la structure graphique du modèle permet de déduire des propriétés structurelles. Bond Graph, modèle issu de la description physique permet en plus par des progrès automatisquement les indicateurs de fautes, d'analyser les propriétés de surveillabilité et d'obser- servabilité et déduire les équations d'état pour les systèmes</td></tr><tr><td>Sans modèle : basées uniquement sur des données expérimentales et/ou expertes. Pour l'isolation de défauts un apprentissage dans des modes défaillants est requis.</td><td>Qualitative</td><td>Observateurs, Identification, Espace de parité, Espace d'état...</td><td>[5], [40], [111], [29], [17], [106]</td><td>Nécessitent un modèle d'état linéaire ou d'une classe non linéaire décrit des équations de l'er principe. Adapté principalement pour le diagnostic des fautes capteurs et actionneurs.</td></tr><tr><td></td><td>Quantitative</td><td>Logique floue, ...</td><td>[90], [64], [109]</td><td>basées sur l'expertise humaine de type if then else, simples à implé-menter mais pas très précises.</td></tr><tr><td></td><td>Quantitative</td><td>Réseaux de neurons, Lois de probabilités Bayésiennes...</td><td>[6], [69], [97], [113], [112], [21], [98], [115], [18]</td><td>basées sur l'expertise humaine de type if then else, simples à implé-menter mais pas très précises.</td></tr></tbody></table>
## 1.7. Méthodes de détection et d'isolation de fautes (FDI) d'un EMA à base de modèle25

les pannes de friction (résistance mécanique) avec le modèle réel. Pour construire le modèle, l'ensemble des vecteurs des paramètres du modèle réel ainsi que de l'ensemble des vecteurs des paramètres du modèle de grippage sont identifiés. Ce modèle sera implémenté en temps réel pour déterminer la loi de dégradation de la vis à rouleaux à partir de l'analyse des signaux et compare les valeurs nominales avec les valeurs réelles. Le diagnostic utilisé est basé sur une méthode d'identification ; le résidu est donc la différence entre la valeur nominale du paramètre connu (système non défaillant) et la valeur réelle du paramètre identifié en temps réel (après apparition du défaut). La dégradation est exprimée en pourcentage par rapport à la valeur nominale. Deux types de dégradations sont considérées : une dégradation sur le jamming (grippage) et une dégradation tribologique (étude de l'usure) indiquée par le jeu mécanique. Le symptôme de dégradation suite à un grippage est affecté au coefficient de frottement de l'arbre de rotation. Il n'est pas toujours simple de donner un sens physique à un paramètre identifié. D'autre part, les erreurs de mesure ne sont pas considérées pour une meilleure évaluation d'une dégradation et la dégradation peut être noyée dans une erreur de mesure. Pour la simulation, trois types de dégradations sont considérées, la première : le grippage, la seconde la surface et la troisième : les deux ensemble (grippage et surface).

Beaucoup d'autres travaux ont été consacrés au diagnostic des EMA avec des méthodes basées sur des modèles. Nous pouvons citer les travaux développés dans [84] et [46] pour la surveillance des capteurs des EMAs, [vanek2014] ont utilisé les Méthodes LPV (linear parameter-varying) , [108] ont opté pour les observateurs en mode glissant, dans [5] des approches non linéaires basées sur les observateurs ont été développés, dans [40] la méthode H infini a été appliquée pour surveiller, localement, les systèmes hydrauliques des avions modernes ; c'est-à-dire en analysant la dynamique entrée-sortie de l'actionneur. Des approches de surveillance à l'échelle du système utilisant le comportement entrée-sortie de la dynamique globale de l'aéronef sont fournies par [70] et [107]. [105] propose un système hybride combinant des approches de détection de défauts locales et à l'échelle du système. Si ces différentes approches sus-citées permettent de détecter assez bien les défauts des actionneurs, aucune ne tente d'isoler les différents défauts, qui peuvent survenir par exemple sur les parties mécaniques de l'actionneur lui-même ainsi que sur les capteurs de l'actionneur nécessaires à la fermeture de l'actionneur.

Dans [83] un système de diagnostic amélioré incluant l'isolation des défauts est proposé pour les actionneurs à commande hydraulique. Cet article présente la confi-
guration d'un système de détection et de diagnostic de fautes pour détecter et isoler
systématiquement les défauts dans les sous-composants d'un système d'actionnement.
Sur la base de la matrice de signatures de fautes réalisable du système, un filtre ré-
siduel est conçu. Les résidus du filtre proposé forment la base du processus de prise
de décision pour détecter et isoler les défauts. Le système de diagnostic développé est
implémenté dans un modèle d'avion non linéaire, incluant un modèle non linéaire du
système d'actionnement, permettant une validation par simulation des performances
de détection et d'isolation du système développé pour différents scénarios de défauts
d'actionneur et de capteur.

Pour la surveillance des défaillances des EMA dans [103] et [93], des approches basées sur le traitement du signal sont proposées, mais dans aucun d'entre eux, les problèmes d'isolation des défauts ne sont discutés. Dans [18], une approche basée sur l'identification des paramètres en ligne est discutée, en prenant également en compte les aspects d'isolation des défauts basés sur les caractéristiques statistiques des paramètres identifiés. Le procédé comprend la résolution d'un problème d'optimisation non convexe pour l'identification de paramètres ainsi qu'une analyse statistique pour surveiller un actionneur. La surveillance de tous les actionneurs d'un avion civil moderne avec une telle méthode semble être assez compliquée si l'on tient compte de la puissance de calcul limitée sur les systèmes d'aéronefs en combinaison avec le nombre d'actionneurs pouvant facilement dépasser vingt pour les configurations modernes augmentées.

1.8 Pourquoi les bond graph LFT pour le diagnos-
tic des EMAs ?

Comme cela a été présenté dans les paragraphes précédents l'indicateur de présence
de fautes, le résidu est calculé à partir de l'écart entre les valeurs mesurées du système
surveillé et les valeurs prédites par le modèle de ce système, un composant qui verrait sa
valeur éloignée de sa valeur nominale engendrera un résidu non nul bien que les valeurs
mesurées soient correctes, ce qui est appelé : fausse alarme. Cette déviation de la valeur
nominale est nommée incertitude paramétrique et elle est sans aucun effet sur le bon
fonctionnement du système. Pour éviter ce type de fausses alarmes, la solution est
de générer des résidus robustes sensibles aux défauts mais insensibles aux incertitudes
paramétriques. Les bond graph LFT offre cette possibilité, en effet, la méthodologie BG
LFT consiste à séparer la partie nominale d'un modèle de sa partie incertaine quelque
soit le type de l'incertitude (incertitudes paramétriques structurées et non structurées,
incertitudes de modélisation, bruits de mesures...) Le détail des BG et des BG LFT
seront repris en détails dans le chapitre suivant. Très peu de travaux sur le diagnostique
des EMAs en utilisant les bond graph LFT existent dans la littérature, parmi eux, nous
citons [32] qui s'est intéressé au diagnostic du phénomène de jeu dans l'EMA.

En conclusion de cette revue de littérature des différentes méthodes de diagnostic,
la méthode Bond Graph présente les avantages suivants :

1. Un langage unifié utilisant un seul outil pour la modélisation dynamique de l'EMA considéré comme un système mécatronique mettant en jeu plusieurs domaines physiques

2. Permet de générer systématiquement les équations dynamiques (sous forme d'état) même non linéaire.

3. Approche intégrée : le bond graph sera utilisé non seulement pour la modélisation mais aussi pour l'analyse structurelle des conditions de surveillabilité et d'observabilité et proposition de placement de capteurs

4. Génération automatique d'indicateurs de fautes robustes aux incertitudes paramétriques directement du modèle bond graph grace à ses propriétés causales

5. anticipation des problèmes numériques de simulation (présence de boucles al-gébriques et différentielles) et d'observabilité avant conception de systèmes de diagnostic et/ou de contrôle.

1.9 Conclusions du chapitre

L'industrie aéronautique est confronté depuis la croissance fulgurante du trafic aé-
rien à des problèmes économiques et environnementaux, ce qui a amené les avionneurs
à encourager les recherches vers l'avion tout électrique. Dans cette optique est apparue
l'objectif de remplacer les circuits hydrauliques lourds et encombrants des actionneurs
hydrauliques et les remplacer par des actionneurs électromécaniques. L'objectif de cette
thèse étant de proposer une méthode de diagnostic en ligne pour les EMAs nous avons
débuté ce travail par un importante recherche bibliographique autour des méthodes
de modélisation et de diagnostic des EMAs. Nous avons recensé beaucoup de travaux
concernant le diagnostic des EMAs, dans leur grande majorité, la validation de ces
méthodes s'est effectuée par simulation et non sur système physique. L'EMA étant un
système pluridisciplinaire, nous avons fait le choix stratégique d'utiliser le formalisme
Bond Graph comme outil unique pour la modélisation et aussi pour l'analyse de diag-
nostic structurelle, ce qui va nous permettre de désigner quels défauts peuvent affecter
le composant, y compris les défauts de capteurs qui peuvent être détectés et isolés et ce
avant conception et implémentation temps réel. Il nous permet aussi la proposition du
placement du capteur pour rendre le système diagnosable et robuste aux incertitudes
paramétriques.
Chapitre 2

Diagnostic à base des BG-LFT

La représentation la plus usuelle des systèmes linéaires reste la représentation d'état
ou celle par fonctions et matrices de transfert. L'analyse des propriétés de ces systèmes
en termes de commande (observabilité, stabilité commandabilité) et de diagnostic (gé-
nération de Relations de redondance analytique, surveillabilité) est réalisée sur la base
des valeurs numériques des paramètres du modèle (qui ne sont pas toujours disponibles
dans le système réel). Toutefois, il s'est avéré que, lors de l'analyse d'un système numé-
riquement spécifié, un grand nombre de caractéristiques dépendent plus de la structure
du système proprement dite que des valeurs des différents paramètres. Il est alors judi-
cieux d'étudier ces propriétés en considérant le système sans avoir besoin de connaitre
les valeurs numériques des paramètres. On s'intéressera alors à la structure du modèle.

Un système est considéré comme un ensemble de composants (sous-systèmes) in-
terconnectés entre eux. L'analyse structurelle d'un système consiste alors à décrire les
composants du système et les relations qui existent entre eux. Chaque composant est
décrit par son équation constitutive liant les variables effort et flux le caractérisant
(cf. théorie des bond graphs). Ces relations sont génériques : algébrique F(e,f)=0, ou
dynamique de forme F(e,∫fdt) ou F(f,∫edt).

L'un des avantages de l'analyse des propriétés des systèmes est la généricité des résultats obtenus. Ces propriétés, dites structurelles car liées à la structure du système, ont ainsi une validité générique par rapport aux valeurs des paramètres. Les travaux consultés dans la littérature [24], [9], [61], [37] et [104] traitent des modèles graphiques (digraphes, graphes bipartites...) issues d'équations d'état linéaires ou une classe de systèmes non linéaire et ne considèrent pas la robustesse aux incertitudes paramétriques.
Dans ce chapitre, il sera montré comment les Bond Graph comme outil de modélisation multiphysique d'un système technologique permet de prendre en compte non seulement les interactions des différents phénomènes physiques (mécaniques, électriques, hydrauliques, thermiques, ...) mis en jeu au sein d'un même système mais de déduire les conditions de surveillabilité structurelle c'est-à-dire l'aptitude à détecer et à isoler un défaut en exploitant des propriétés propres (causales structuelles) au bond graph (versus d'autres types de graphes) et ce sans avoir besoin d'un calcul numérique. Finalement, afin de garantir la robustesse du système de surveillance aux incertitudes paramétriques (afin d'éviter les fausses alarmes), un modèle bond graph augmenté (nommé LFT Linear Fractional Transformation) est déduit et utilisé pour générer des indicateurs de fautes robustes en générant systématiquement des seuils d'alarme à partir du modèle graphique.

## 2.1 Eléments de base de la théorie Bond Graph (BG)

La théorie Bond Graph (BG) pour la modélisation des systèmes est largement développée dans la littérature depuis son apparition en 1961 par Paynter [89] puis par ses disciples Karnopp, Margolis and Rosenberg [72] et plus tard par des chercheurs reconnus comme J. thoma, G. Dauphin-Tanguy, J W. Borutzky, P. Breedveld ([102], [110], [15], [26]) Des logiciels dédidés pour les bond graphs ont été développés : 20sim [59] et Symbols 2000 [80].

Dans cette section nous exposons les bases de la théorie BG pour introduire son application au diagnostic. Pour une meilleure compréhension, un exemple pédagogique représenté par un moteur à courant continu entrainant une charge est utilisé.

Le BG est un outil puissant qui permet la modélisation dynamique des échanges de puissance des systèmes continus. Il permet de modéliser les systèmes indépendamment de leur nature physique et ce en exploitant l'analogie entre les variables de différents domaines. Ce langage est parfaitement adapté pour la modélisation de systèmes mécaniques, hydrauliques, chimiques, génie-thermique...

Plus formellement, un BG est un graphe de liaisons orientées $G(V, A)$ contenant des noeuds $V$ et des arcs $A$ (liaisons) et les jonctions pour connecter différents sous-systèmes. Les noeuds $V$ modélisent les éléments physiques (résistance, inertie, capacité...), les arcs $A$, représentent des transferts de puissance instantanés. Ces liaisons
<table><caption>TABLEAU 2.1 – Eléments de base d'un Bond Graph</caption><thead><tr><th>Elément BG</th><th>Définition</th></tr></thead><tbody><tr><td>$S_e, S_f$</td><td>Source d'effort, source de flux</td></tr><tr><td>$D_e, D_f$</td><td>Détecteur d'effort, détecteur de flux</td></tr><tr><td>$R$</td><td>Elément résistif</td></tr><tr><td>$I$</td><td>Elément d'inertie</td></tr><tr><td>$C$</td><td>Elément capacitif</td></tr><tr><td>$TF, GY$</td><td>Transformateur, Gyrateur</td></tr><tr><td>0 - Junction</td><td>Jonction pour effort commun</td></tr><tr><td>1 - Junction</td><td>Jonction pour flux commun</td></tr></tbody></table>

sont représentées par des demi-flèches labellisées par une paire de variables effort-flux $(e, f)$ reliant les noeuds entre eux comme représenté dans la figure : 2.1. Le sens de la demi-flèche (donnant un aspect graphique "graph") indique l'orientation (par convention positive) du transfert de puissance. À chaque liaison est associée deux variables, une variable d'effort $e$ et une variable de flux $f$; le produit de ces deux variables est la puissance échangée $p$ :

$$P(t) = e(t) \cdot f(t) \qquad (2.1)$$

D'un point de vue physique, l'effort est la variable intensive (tension, pression, température, force...) et le flux est la dérivée de la variable extensive (courant, débit, flux de chaleur, vitesse...). V est l'ensemble des éléments représentant les processus énergétiques fondamentaux,

$$V = \{S_e\} \cup \{S_f\} \cup \{D_e\} \cup \{D_f\} \cup \{R\} \cup \{I\} \cup \{C\} \cup \{TF\} \cup \{GY\}$$

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIGURE 2.1 – Représentation BG d'un échange de puissance entre deux éléments</figcaption></figure>

**Les sources $S_e$ et $S_f$** sont des éléments actifs car elles fournissent de la puissance au système.

**La source $S_e$ :**

Dans le domaine électrique, $S_e$ représente un générateur de tension. Ainsi un générateur de tension (supposé idéal), modélisé par $(S_e : E)$ applique une tension
E aux bornes du circuit électrique auquel il est relié. E représente le paramètre de modélisation de la source de tension. La source de tension va générer un courant i dans le circuit. La puissance instantanée fournie par cette source au circuit est $P = E \cdot i$. Dans le domaine mécanique, $S_e$ représente la force appliquée par un vérin linéaire (translation) ou alors, le couple appliqué par un moteur ou par un vérin rotatif (rotation). Dans le domaine hydraulique, $S_e$ représente une pression constante fournie par une pompe. Dans le domaine thermique, elle représente une température constante délivrée par une source thermique. **La source $S_f$ :**

Dans le domaine électrique, de manière analogue, $S_f$ représente un générateur de courant idéal. Dans le domaine hydraulique, elle représente un débit volumique constant. Dans le domaine thermique, elle représente une entropie ou flux de chaleur constant.

Leur représentation générale est donnée dans la figure 2.2.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIGURE 2.2 – Représentation Bond Graph d'une source d'effort et d'une source de flux</figcaption></figure>

**Détecteur d'effort et détecteur de flux** indiquent la présence de capteurs dans le système. Ils sont connectés à la jonction 0 (respectivement 1) par une flèche entière pour montrer qu'ils échangent des informations (pas une puissance).

**L'élément R** est utilisé pour représenter tout phénomène physique liant la variable d'effort à la variable de flux dans le domaine physique considéré. La puissance fournie est dissipée dans le système. Il est caractérisé par la loi algébrique linéaire ou non linéaire ($F_R(e, f) = 0$) et sa représentation générale est donnée par la figure 2.3(a). Dans le domaine électrique, le modèle de l'élément de type R est représenté dans la figure2.3(b), où $u - R_1 \cdot i = 0$ avec u la différence de potentiel aux bornes de la résistance R, parcourue par le courant i. Dans le domaine mécanique (rotation), le modèle de l'élément résistif R est représenté dans la figure2.3(b) où $\tau - f_r \cdot \omega = 0$ avec $\tau$ le couple résultant dû au frottement de l'élément $f_r$ qui tourne à la vitesse $\omega$.
$$ \underset{f}{\overset{e}{\rightleftharpoons}} R \qquad (a) $$

$$ \underset{i}{\overset{u}{\rightleftharpoons}} R: R_1 \qquad (b) $$

$$ \underset{\omega}{\overset{\tau}{\rightleftharpoons}} R: f_r \qquad (c) $$

<caption>FIGURE 2.3 – Représentation Bond Graph d'un élément de type R</caption>

**L'élément I** est utilisé pour modéliser tout phénomène physique liant la variable de flux à la variable de moment, noté $p : (F_I(f, \int(edt)) = 0)$ dans le domaine physique considéré comme représenté dans la figure 2.4(a). Il représente un élément passif de stockage d'énergie à inertie. Dans le domaine électrique, I représente l'inductance électrique ou tout phénomène inductif, voir figure 2.4(b). Dans le domaine mécanique, cet élément représente un élément de stockage d'énergie par inertie tel que la masse (ou tout phénomène inertiel). L'effort $e$ représente la force ou le couple selon que le mouvement soit une translation ou une rotation, le flux $f$ représente la vitesse de translation ou de rotation et $I$ la valeur de la masse (pour une translation) ou de l'inertie (pour une rotation) voir figure 2.4(c).

$$ \underset{f}{\overset{e = dp/dt}{\rightleftharpoons}} I \qquad (a) $$

$$ \underset{i}{\overset{u = d\varphi/dt}{\rightleftharpoons}} I : L \qquad (b) $$

$$ \underset{\omega}{\overset{\tau = d\Phi/dt}{\rightleftharpoons}} I : J \qquad (c) $$

<caption>FIGURE 2.4 – Représentation Bond Graph d'un élément de type I</caption>

**L'élément C** est utilisé pour modéliser tout phénomène physique liant la variable
d'effort à la variable de déplacement qui peut être : une charge, le déplacement d'un ressort, ou l'angle de rotation d'un arbre, et ce dans le domaine physique considéré $F_C(e, f(f dt)) = 0$. C'est un élément passif de stockage d'énergie potentielle, explicite ou implicite. Dans le domaine électrique, il s'agit du condensateur. En mécanique (translation ou rotation), il s'agit des ressorts ou tout phénomène d'élasticité. En hydraulique, les réservoirs... La modélisation de cet élément est donnée à la figure 2.5(a), dans le domaine électrique par la figure 2.5(b) et dans le domaine mécanique (rotation) par la figure 2.5(c).

$$ \frac{e}{f = dq/dt} \quad C \qquad (a) $$

$$ \frac{u}{i = dq/dt} \quad C: C_1 \qquad (b) $$

$$ \frac{\tau}{\omega = d\theta/dt} \quad C: 1/k \qquad (c) $$

<caption>FIGURE 2.5 – Représentation Bond Graph d'un élément de type C</caption>

**Transformateur TF** est un élément 2-ports tel que représenté sur la figure 2.6. Il est conservatif de puissance ($e_1 \cdot f_1 = e_2 \cdot f_2$), utilisé pour modéliser les changements de domaines physiques qui se font sans perte de puissance, exemple du réducteur de vitesse dans un moteur. Avec $e_1 = n \cdot e_2$ et $f_2 = n \cdot f_1$

$$ \frac{e_1}{f_1} \quad \text{TF :} \quad \frac{e_2}{n} \quad f_2 $$

<caption>FIGURE 2.6 – Représentation Bond Graph d'un élément TF</caption>

**Gyrateur** Comme le transformateur, le gyrateur est un élément 2-ports, conservatif de puissance. Il intervient dans la modélisation des changements de domaines
physiques qui se font sans perte de puissance. Toutefois, par rapport au TF, les relations caractéristiques de cet élément sont croisés : $e_2 = k f_1$ et $e_1 = k f_2$.

$$ \begin{array}{ccc} \cline{1-1} e_1 = u & & e_2 = \tau \\ f_1 = i & \text{GY :} & f_2 = \omega \\ \cline{1-1} & K & \end{array} $$

<caption>FIGURE 2.7 – Représentation Bond Graph d'un élément GY</caption>

**0-Jonction, 1-jonction** est utilisée pour regrouper les éléments BG qui partagent le même effort (respectivement, le même flux).

**Elément modulé** Tous les éléments précédents sont passifs et prédéfinis. Les sources, les transformateurs, les résistances, les éléments capacitifs et d'inertie variables sont représentés respectivement par MSe, MSf, MTF, MGY, MR, MC, MI. En conservant le même nombre de ports BG, ces éléments modulés sont caractérisés, chacun, par un port de signal d'entrée supplémentaire permettant d'alimenter la variable correspondante à partir d'un signal externe ("M" signifie modulé). Les éléments de stockage d'énergie modulés doivent être évités car ils violent la conservation de l'énergie.

### 2.1.1 Causalités en bond graphs

Les éléments bond graphs présentés ci-dessus permettent de représenter l'architecture d'un système physique où apparaissent les échanges de puissance entre les éléments. Le modèle mathématique sera représenté par l'ensemble des équations mathématiques (algébriques, différentielles ou algébro-différentielles) déduites directement du modèle bond graph par les équations constitutives (des jonctions et des éléments). L'une des propriétés importantes du modèle bond graph est la causalité : en effet les bond graphs permettent de définir la structure de calcul et d'orienter la programmation du modèle vers une simulation plus robuste. Ceci est un avantage évident sur les représentations graphiques.

Examinons la figure 2.8, les deux systèmes A et B échangent de la puissance. Lors du calcul du modèle deux situations sont possibles : soit A applique un effort e à B qui réagit en envoyant à A un flux f (ce qui se traduit par le bloc diagramme a1 de la figure 2.8) soit A fournit un flux f à B qui renvoie à A un effort e (ce qui se traduit par le bloc
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 2.8 – Modèle BG causal (a1) (b1), leurs blocs diagramme correspondants (a2) (b2) et règle d'affectation de la causalité (c)</figcaption></figure>

diagramme b1 dans 2.8). Ces deux schémas de simulations sont mis en évidence sur le modèle bond graph (a2 et b2 de la figure 2.8) par la position du trait causal placé perpendiculairement à chaque lien, en suivant la convention schématisée par la figure (c) de 2.8 : *Le trait causal est placé près (respectivement loin) de l'élément pour lequel la valeur de la variable effort (respectivement flux) est une donnée.*

La position de ce trait (qui concerne l'ordre de calcul) est indépendante du sens de la demi flèche (qui montre la direction de la puissance). Dans le tableau 2.9 sont résumées les règles de causalité des différents éléments bond graph.

Pour illustrer les règles de construction du modèle BG d'un système, nous allons considérer un cas d'étude : un moteur continu entrainant une charge 2.10a. La première étape pour la construction du BG est de créer le bond graph à mots 2.10c du circuit à modéliser 2.10b, cela revient à mettre en évidence l'échange de puissance entre les différents sous-systèmes du système à modéliser. Dans le modèle BG 2.10d, la partie électrique est modélisée par les éléments : résistance, inductance et source d'effort. La transformation de la puissance électrique en puissance mécanique est représentée par un gyrateur. La partie mécanique est modélisée par les éléments suivants : la résistance mécanique qui représente le frottement, l'élément I qui représente l'inertie du moteur et la source d'effort qui représente la charge. Les capteurs sont représentés par des détecteurs de débit.

## 2.1.2 Causalité intégrale et dérivée

Comme indiqué plus haut, les propriétés causales du bond graph est une originalité par rapport aux autres types de modèles. Cette propriété est exploitée pour la simulation (déduction automatique et systématique des équations d'état et des schémas bloc de simulation) l'analyse de la dynamique (découplage des parties rapides et lentes
<table><caption>FIGURE 2.9 – Règles de causalité des différents éléments Bond Graphs</caption><thead><tr><th>Élément</th><th>Symbole</th><th>Équation causale</th><th>Bloc diagramme</th><th>Règle</th></tr></thead><tbody><tr><td>Source d'effort Se</td><td>Se:e</td><td>e donné</td><td>f</td><td>L'effort (ou flux) imposé par la source d'effort (ou de flux) est une donnée connue pour le système.</td></tr><tr><td>Source de flux Sf</td><td>Sf</td><td>f donné</td><td>Système</td><td>Règle : La causalité est obligatoire</td></tr><tr><td>Jonction 0</td><td>e<sub>2</sub>/f<sub>2</sub> 0 e<sub>3</sub>/f<sub>3</sub> f<sub>4</sub>/e<sub>4</sub></td><td>e<sub>2</sub> = e<sub>1</sub><br>e<sub>3</sub> = e<sub>1</sub><br>e<sub>4</sub> = e<sub>1</sub><br>f<sub>1</sub> = -f<sub>2</sub> + f<sub>3</sub> - f<sub>4</sub></td><td>f<sub>2</sub>→(-)<br>f<sub>3</sub>→(+)<br>f<sub>4</sub>→(-)<br>e<sub>1</sub>→e<sub>2</sub>=e<sub>1</sub><br>e<sub>3</sub>→e<sub>1</sub>=e<sub>3</sub><br>e<sub>4</sub>→e<sub>1</sub>=e<sub>4</sub></td><td>Un seul effort peut donner sa valeur aux autres, (ici e<sub>1</sub>).</td></tr><tr><td>Jonction 1</td><td>e<sub>2</sub>/f<sub>2</sub> 1 e<sub>3</sub>/f<sub>3</sub> f<sub>4</sub>/e<sub>4</sub></td><td>f<sub>2</sub> = f<sub>1</sub><br>f<sub>3</sub> = f<sub>1</sub>,<br>f<sub>4</sub> = f<sub>1</sub><br>e<sub>1</sub> = -e<sub>2</sub> + e<sub>3</sub> - e<sub>4</sub></td><td>e<sub>2</sub>→(-)<br>e<sub>3</sub>→(+)<br>e<sub>4</sub>→(-)<br>f<sub>1</sub>→f<sub>2</sub>=f<sub>1</sub><br>f<sub>3</sub>→f<sub>1</sub>=f<sub>3</sub><br>f<sub>4</sub>→f<sub>1</sub>=f<sub>4</sub></td><td>Règle : Un seul trait causal près de la jonction 0.</td></tr><tr><td>TF</td><td>e<sub>1</sub>/f<sub>1</sub> → TF e<sub>2</sub>/f<sub>2</sub><br>e<sub>1</sub>/f<sub>1</sub> → TF e<sub>2</sub>/f<sub>2</sub></td><td>e<sub>1</sub> = me<sub>2</sub><br>f<sub>2</sub> = mf<sub>1</sub>,<br>e<sub>2</sub> = 1/m e<sub>1</sub><br>f<sub>1</sub> = 1/m f<sub>2</sub>,</td><td>e<sub>2</sub>→[m 0]<br>f<sub>1</sub>→[0 m]<br>e<sub>1</sub>→[1/m 0]<br>f<sub>2</sub>→[0 1/m]<br>e<sub>2</sub>→[1/r 0]<br>f<sub>1</sub>→[0 1/r]</td><td>Un effort et un flux sont imposés au TF<br>Règle : Un seul trait causal près de TF</td></tr><tr><td>GY</td><td>e<sub>1</sub>/f<sub>1</sub> → GY e<sub>2</sub>/f<sub>2</sub><br>e<sub>1</sub>/f<sub>1</sub> → GY e<sub>2</sub>/f<sub>2</sub></td><td>e<sub>1</sub> = rf<sub>2</sub><br>e<sub>2</sub> = rf<sub>1</sub>,<br>f<sub>2</sub> = 1/r e<sub>1</sub><br>f<sub>1</sub> = 1/r e<sub>2</sub>,</td><td>f<sub>2</sub>→[r 0]<br>f<sub>1</sub>→[0 r]<br>e<sub>1</sub>→[1/r 0]<br>e<sub>2</sub>→[0 1/r]<br>e<sub>2</sub>→[1/r 0]</td><td>Deux flux ou deux efforts sont imposés au GY<br>Règle : Deux traits ou aucun trait près de GY</td></tr><tr><td>C</td><td>e/f → C:C<sub>1</sub><br>e/f → C:C<sub>1</sub></td><td>e = Φ<sub>C</sub>(∫ fdr) = Φ<sub>C</sub>(q)<br>f - d/dt (Φ<sub>C</sub><sup>-1</sup>(e))</td><td>e→[Φ<sub>C</sub>(∫ fdr)]<br>e→[d/dt (Φ<sub>C</sub><sup>-1</sup>(e))]</td><td>Causalité préférentielle intégrale<br>Causalité dérivée</td></tr><tr><td>I</td><td>e/f → I:I<sub>1</sub><br>e/f → I:I<sub>1</sub></td><td>f = Φ<sub>I</sub>(∫ edt) = Φ<sub>I</sub>(p)<br>e - d/dt (Φ<sub>I</sub><sup>-1</sup>(f))</td><td>e→[Φ<sub>I</sub>(∫ edt)]<br>f→[d/dt (Φ<sub>I</sub><sup>-1</sup>(f))]</td><td>Causalité préférentielle intégrale<br>Causalité dérivée</td></tr><tr><td>R</td><td>e/f → R:R<sub>1</sub><br>e/f → R:R<sub>1</sub></td><td>e = Φ<sub>R</sub>(f)<br>f = Φ<sub>R</sub><sup>-1</sup>(e)</td><td>e→[Φ<sub>R</sub>(f)]<br>e→[Φ<sub>R</sub><sup>-1</sup>(e)]</td><td>Causalité résistance<br>Causalité conductance</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE 2.10 – Représentation Bond Graph d'un circuit</figcaption></figure>

d'un système), des propriétés de commande et de surveillance. En fonction de l'utilisation du modèle BG on distingue deux types de causalité des éléments dynamiques : une causalité intégrale (pour générer un modèle de simulation sous forme d'état ou bloc diagramme) et une causalité dérivée lorsque le modèle sera utilisé pour générer les relations de Redondance Analytique car dans ce cas précis les conditions initiales (généralement inconnues dans un système réel) n'apparaissent par dans le résidu.

**Causalité intégrale** dans laquelle les éléments dynamiques sont en causalité préférentielle intégrale; voir l'élément *I* de la figure 2.11a. L'équation dynamique de cet élément, dans ce cas, est donnée par l'équation 2.2.

**Causalité dérivée** dans laquelle les éléments dynamiques sont en causalité préférentielle dérivée; voir l'élément *I* de la figure 2.11b. L'équation dynamique du système, dans ce cas, est donnée par l'équation 2.3.

$$i(t) = \frac{1}{L_e} \cdot \int_{t_0}^{t} u_L(t) \, dt + i_0 \qquad (2.2)$$

$$u_L(t) = L_e \cdot \frac{di(t)}{dt} \qquad (2.3)$$

Les équations 2.2 et 2.3 sont équivalentes, les modèles BG dont elles dépendent le sont également. La seule différence réside dans le fait que si le modèle est en causalité intégrale, on ait besoin de connaitre la condition initiale $i_0$ pour déterminer le courant
## 2.2. Analyse structurelle des conditions de surveillabilité d'un modèle Bond Graph 39

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE 2.11 – Bond graph causal associé au schéma de la figure 2.10b</figcaption></figure>

$i(t)$. La causalité intégrale est préférée pour des travaux de simulation, le calcul intégral étant plus robuste aux bruits par contre, il a été montré notamment dans les travaux menés par l'équipe de recherche du laboratoire Cristal de l'université de Lille (parmi eux nous pouvons citer [95]) que la causalité dérivée des éléments de stockage est préférée pour le diagnostique des systèmes par BG puisque les conditions initiales sont inconnues dans le processus réel. L'algorithme de diagnostic sera ainsi plus aisément embarqué sur un système réel. A noter cependant qu'en causalité dérivée, on amplifie le bruit.

### 2.1.3 Chemin causal

Dans un BG sont définis des chemins causaux parcourus en suivant la propagation de l'information effort ou flux, quelque soit le sens des demi-flèches [26].

Le chemin causal est dit simple si la variable suivie ne change pas, il est dit mixte lorsque celle-ci change, en cas de présence de gyrateur par exemple. Habituellement, les chemins causaux sont utilisés pour étudier l'observabilité, la contrôlabilité et la diagnosabilité du système.

## 2.2 Analyse structurelle des conditions de surveillabilité d'un modèle Bond Graph

### 2.2.1 Problématique et intérêt des Bond Graphs

Les performances des techniques de diagnostic dépendent principalement de la précision du modèle. Une fois le modèle établi, les performances du système de surveillance en termes de diagnosabilité (la capacité de détecter et d'isoler les défauts) peuvent être établies par une analyse formelle des modèles analytiques de défauts déduits des
modèles du système. Les méthodes de diagnostic basées sur une analyse quantitative souffrent d'un certain nombre de problèmes. Leurs comportements sont généralement définis par des équations différentielles d'ordre élevé avec des non-linéarités complexes qui sont difficiles à modéliser et à analyser à l'aide de schémas analytiques ou numériques. Cependant, les méthodes graphiques présentent un grand intérêt car leurs modèles capturent la structure du système en représentant uniquement les liens entre les variables du système et un ensemble d'équations par un graphe. De plus, la structure du graphe est indépendante des valeurs numériques des paramètres du système et ne tient compte que de l'existence ou non de liens entre les variables et les équations. C'est pourquoi les méthodes graphiques sont bien adaptées pour définir des méthodes qualitatives de diagnostic et principalement celles basées sur les modèles structurels.

La théorie des graphes a été développée et largement utilisée pour étudier le problème de l'analyse structurelle [24]. La détermination des propriétés de diagnosabilité (quels composants peuvent être contrôlés et comment les rendre surveillables en fonction du placement optimal des capteurs) pourrait être très utile avant la mise en œuvre industrielle. La plupart des modèles graphiques développés sont basés sur les digraphes (directed graphes) ou bien les graphes bipartites (bipartite graphs). Ces derniers sont des outils puissants et efficaces pour étudier de nombreuses propriétés du système, telles que l'observabilité, la commandabilité et la diagnosabilité. Les digraphes et les graphes bipartites utilisent des modèles mathématiques analytiques pour générer le modèle structurel. Le digraphe est généralement obtenu à partir d'équations d'état linéaires [24] et le graphe bipartite est déduit de l'ensemble des contraintes (dérivées des équations d'état) [9], [61]. Une autre méthode graphique largement plébiscité par les scientifiques aussi bien pour la modélisation, le diagnostic que l'observabilité est le formalisme bond graph introduit par Paynter en 1961 [89], a fait, depuis, l'objet de beaucoup de recherches dans le domaine de la mécatronique. Plusieurs laboratoires Français utilisent ce formalisme pour la modélisation, le diagnostic, le prototypage virtuel, etc, nous pouvons citer comme exemples le laboratoire Cristal de l'université de Lille, l'institut Clément Ader de l'INSA de Toulouse...

Les méthodes graphiques présentent un certain nombre de caractéristiques différentes des autres méthodologies de diagnostic, une revue détaillée des méthodes graphiques pour le diagnostic des systèmes dynamiques [14] a présenté leurs caractéristiques suivantes :

- Les méthodes sont facilement implémentées et interprétées.

- Ses propriétés structurelles permettent d'obtenir des informations hors ligne sur
## 2.2. Analyse structurelle des conditions de surveillabilité d'un modèle Bond Graph 41

les propriétés de diagnostic du système.

- Le modèle topologique peut être facilement représenté sous forme graphique, ce qui facilite la visualisation et l'interprétation des modèles de diagnostic. Les méthodes de diagnostic sont facilement exprimées sous la forme d'algorithmes graphiques bien connus.

- Les algorithmes de diagnostic ou de raisonnement montrent explicitement les relations de cause à effet entre les défauts et les mesures, ce qui les rend accessibles aux applications de gestion des alarmes.

- Ces méthodes sont générales et tout type d'expression de comportement, par exemple analytique, logique, tabulaire, probabiliste et flou, peut être capturé sous la forme graphique proposée.

Cependant, toujours dans le travail présenté dans [14], les chercheurs y ont décrit certains inconvénients de ces méthodes graphiques à savoir :

- Les algorithmes graphiques utilisent des modèles structurels et des formes qualitatives des données pour tirer des inférences diagnostiques. Cela peut conduire à la perte d'informations et à l'incapacité de distinguer les fautes.

- L'analyse de la robustesse dans ces méthodes peut être implicite. Ceci est une considération très importante pour les applications réelles, et elle est discutée en détail plus tard.

Concernant l'analyse de diagnosabilité, les digraphes ne permettent que le diagnostic des actionneurs et des capteurs contrairement aux graphes bipartites qui permettent le diagnostic de l'ensemble du système [24]. Parmi les approches graphiques qualitatives, la méthode des digraphes signés (Signed Directed Graphs SDG) pour le diagnostic des défauts est l'une des méthodes basées sur le modèle qui ont été largement appliquées [75], en particulier aux processus chimiques. Les SDG utilisent une représentation de type graphe orienté pour capturer les relations causales entre les variables du système. Leur structure est similaire aux digraphes, mais la différence est que les nœuds (variables système) prennent des valeurs qualitatives : "0", "+" ou "-" par rapport à la valeur de référence de la variable. Les états de sortie qualitatifs (signatures de défauts) sont empilés pour former une table de vérité. La table de vérité est similaire à la matrice de signature de fautes, des bond graph, et sa structure détermine en ligne quels défauts peuvent être détectés et quels défauts peuvent être isolés. Une comparaison de cet outil avec les Bond Graph pour le diagnostic est donnée dans [86].
## 2.3 Surveillabilité structurelle d'un modèle bond graph

Cette section concerne la diagnosabilité (qu'on appelle aussi surveillabilité) structurelle c'est-à-dire l'aptitude à détecter et à isoler un défaut. Le but est de montrer comment les propriétés causales, structurelles et fonctionnelles du bond graph peuvent être facilement utilisées pour déduire les conditions de surveillabilité d'un défaut qui peut affecter n'importe quel système et ce sans avoir besoin d'un calcul complexe numérique. En outre, il sera montré comment la décomposition canonique bien connue de Dulmage Menselshon de tout système surdéterminé, juste déterminé et sous déterminé [33] du modèle analytique peuvent être affichés graphiquement et de façon modulaire à partir du modèle BG. Concrètement, d'un point de vue pratique, les résultats de l'analyse de surveillabilité structurelle permettront de connaître en phase de conception (c.à.d. avant la réalisation industrielle) quels sous-systèmes d'un processus complexe peuvent être surveillés en se basant uniquement sur le modèle architectural.

Le modèle de comportement structurel de tout système physique peut être défini par une paire (C, Z), où $Z = \{z1, z2, ..., zn\}$ est un ensemble de variables et de paramètres, et $C = \{c1, c2, ..., cn\}$ est un ensemble de contraintes. Les contraintes peuvent s'exprimer sous plusieurs formes : algébrique, équations aux différences, règles, etc.

Un graphe $G = (C, Z, A)$ est dit bipartite s'il est partitionné en deux ensembles disjoints $C$ et $Z$ tel que chaque lien $a_i$, ($a_i \in A$) possède un point d'arrivée dans $C$ et un point de départ dans $Z$. $A$ étant l'ensemble des arcs (liens) défini comme suit :

$\{C_i, Z_j\} \in A$ si la variable apparaît dans la contrainte $C_i$.

L'ensemble des variables Z peut être partitionné comme suit :

$Z = K \cup X$, où $K$ est l'ensemble des variables connues (variables mesurées et l'ensemble des entrées $y$ et de contrôle $u$), et $X$ est l'ensemble des variables inconnues.

La structure du système peut être définie comme suit : $\forall (c, z) \in C \times Z, a = (c, z) \in A \iff$ la variable $z$ apparaît dans la contrainte $c$.

La structure de la contrainte $c$ est un sous ensemble des variables $Z(c)$ tel que Un arc (un lien) $(c, z)$, $c \in C, z \in Z$ et signifie que chaque variable $z$ est impliquée dans l'équation $c$ de telle manière que chaque arête a un point final en $C$ et l'autre en $Z$. Un graphe bipartite peut être représenté par une matrice d'incidence. Il s'agit d'une matrice booléenne où chaque ligne correspond à une contrainte $c_i$ et chaque colonne à une variable $z_j$. Un «1» à la position $(i, j)$ indique qu'il existe un bord reliant la
contrainte $c_i$ et la variable $z_j$. Cette matrice est utilisée en diagnostic pour trouver les redondances (ARR) en fonction de différents couplages [9].

### 2.3.1 Graphe bipartite et Bond Graph

En comparant avec d'autres modèles graphiques (graphes signés-SDG, digraphes, graphiques bipartites, ...) où les sommets sont des variables et les liens représentent une influence mutuelle entre ces variables, le BG est également un graphe, mais les sommets sont des éléments BG (composants physiques et jonctions) étiquetés par des variables de puissance, et les liens représentent la puissance échangée. Parmi tous les modèles graphiques, le BG est bien reconnu comme un puissant outil de modélisation. De plus, les BG permettent non seulement de générer des équations d'espace d'état dynamiques mais également de déterminer les propriétés de commande et de diagnostic à l'aide d'un logiciel dédié (CAMP-G, Twente sim, Symbols2000...) [10], [11]. Sur la base de la littérature consultée, seul [12] présente un logiciel dédié (utilisant la plate-forme Matlab) pour la génération de RRA à partir de l'équation de l'espace d'état en utilisant la théorie des graphes bipartites.

Considérons d'abord le lien des BG avec un graphe bipartite. Les contraintes C du modèle BG peuvent être considérées comme toute relation liée aux variables et aux paramètres du système. Elles sont représentées par les contraintes structurelles $C_s$, déduites de l'ensemble des équations de jonction $j$ qui représentent les lois de conservation de la masse et de l'énergie.

$$C = \{C_s\} \cup \{C_b\} \cup \{C_m\}$$

Le nombre d'équations dites de structure est alors égale au nombre d'équation aux jonction $C_j$ (de jonctions 0 (effort commun), de jonction 1 (flux commun)) et au nombre d'équations associées à 2 ports (transformateur TF, gyrateur GY) :

$$C_s = \{C_{J0}\} \cup \{C_{J1}\} \cup \{C_{TF}\} \cup \{C_{GY}\}$$

Les équations de comportement ($C_b$) décrivent les phénomènes physiques qui se sont produits dans les éléments passifs du bond graph (Résistif R, Capacitif C et Inertiel I) :

$$C_b = \{C_c\} \cup \{C_I\} \cup \{C_R\}$$
Les équations de mesure ($C_m$) représentent les équations du capteur :

$$C_m = \{C_{De}\} \cup \{C_{Df}\}$$

où $D_e$ et $D_f$ sont des détecteurs d'effort et de flux respectivement. L'ensemble des variables $Z = K \cup X$ se compose de variables connues ($K$) et inconnues ($X$). L'ensemble de variables connues $K$ contient les variables sources d'effort ($S_e$) et de flux ($S_f$) : $\{MS_e\} \cup \{MS_f\} \cup \{S_e\} \cup \{S_f\}$ et les variables de mesure. Les sources peuvent être contrôlées (sources modulées $MSe$ et $MSf$). Les variables inconnues $X$ sont la paire de variables de puissance conjuguées (flux et effort) :

$$X = \{e_1, f_1\} \cup \{e_2, f_2\} \cup \dots \{e_n, f_n\}$$

### 2.3.2 Décomposition de Dulmage Mendelsohn

Cette section présente le concept de décomposition de Dulmage – Mendelsohn. Ces définitions formelles sont principalement utilisées dans [33]. L'approche structurelle est basée sur la détermination d'une correspondance complète entre $C$ et $X$ dans le graphique bipartite $G$. La correspondance est définie comme un ensemble d'arêtes à partir du graphique $G$ où aucune arête n'a un sommet d'extrémité commun et une correspondance parfaite est une correspondance dans un graphique $G$ qui couvre tous ses sommets.

**Définitions** : Dans [33], il est montré que tout système à surveiller peut être décomposé en trois sous systèmes :

- Un sous-système structurellement surdéterminé $M^+$, où le couplage est complet par rapport aux variables inconnues $X$ mais incomplet par rapport aux contraintes $C$. Autrement dit, un ensemble $C$ de contraintes est structurellement surdéterminé si le nombre de contraintes (équations) est supérieur au nombre de variables inconnues $X$ : cet ensemble d'équations doit être considéré, dans le cas générique, comme l'ensemble d'équations contenant une redondance. C'est ce type de systèmes qui est intéressant car la redondance d'informations signifie l'existence de sous systèmes surveillables.

- Un sous-système structurellement juste déterminé $M^0$ : il existe un couplage complet par rapport aux variables $X$ et aux contraintes $C$. Dans ce cas, le nombre d'équations dans le système est égal au nombre de variables.

- Un sous-système structurellement sous-déterminé $M^-$, où il existe un couplage
complet par rapport aux contraintes C mais incomplet pr rapport aux variables
inconnus X : le nombre de variables inconnu est supérieur au nombre d'équations.

Cette décomposition canonique proposée pour la première fois par Dulmage – Mendelsohn [33] est représentée par la matrice adjacente (2.12) d'un graphe biparti avec C et X comme ensembles de sommets. Dans la figure 2.12, les zones blanches sont des zéros, les zones grises contiennent un « 1 » et la ligne oblique représente un couplage maximal dans le graphe défini par cette matrice adjacente.

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIGURE 2.12 – Décomposition selon Dulmage-Mendelsohn</figcaption></figure>

2.3.3 Décomposition de Dulmage-Mendelsohn à partir d'un
modèle Bond-Graph

Une méthode basée sur la théorie des graphes perd parfois certaines informations
lors de l'écriture de la structure du graphe décrivant le système. Cela est dû au fait que
la construction se fait généralement à partir d'une équation d'état, ce qui n'explique
pas toutes les relations constitutives du système étudié. De plus, la décomposition de
Dulmage-Mendelsohn basée sur un modèle structurel nécessite la détermination de l'en-
semble des équations analytiques (contraintes) et des variables correspondantes : cette
tâche n'est pas triviale pour les systèmes complexes. Dans ce qui suit, il sera montré
comment la représentation Bond-graph peut être utilisée pour déduire différents sous-
systèmes directement à partir des bond-graph. La méthode est basée sur la cardinalité
de l'ensemble des contraintes et de l'ensemble des variables du modèle BG.

2.3.4 Cardinalité à partir du modèle bond-graph

Les éléments fondamentaux d'une structure de jonction sont les liaisons et les nœuds représentés par les jonctions bond-graph : 0, 1, *TF* et *GY*. Les jonctions 0 et 1 correspondent aux nœuds conservateurs d'énergie. La jonction *TF* (transformateur) et la
jonction *GY* (gyrateur) sont utilisés pour modéliser la transformation des phénomènes d'une énergie à une autre. Les nœuds 0, 1, *TF* et *GY* sont considérés comme des nœuds de la structure de jonction. Deux variables conjuguées seront associées à chaque liaison dans chaque structure de jonction (SJ). Elles sont appelées la variable "effort" et la variable "flux", désignées respectivement par *e* et *f*.

Les nœuds représentent l'ensemble des composants qui se compose des sources (*Se*, *Sf*), des éléments passifs du graphe de liaison (*I*, *C* et *R*) et de l'ensemble des détecteurs d'effort et de flux (*De*, *Df*) respectivement. La structure des jonctions est représentée par la figure 2.13.

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIGURE 2.13 – Représentation des structures de jonction d'un bond-graph</figcaption></figure>

## Le cardinal de contraintes

Considérons la structure de jonction (SJ) de la figure 2.14 où se produisent plusieurs phénomènes représentés par un ensemble de *n* éléments bond-graph ($E_1 \cdots E_n$). Avec $E \in \{I \ C \ R \ D_e \ D_f \ S_e \ S_f\}$. A cette jonction sont connectés *m* capteurs ($S_1 \cdots S_m$).

Cette $j^{ème}$ jonction est entièrement définie par une équation structurelle de conservation de l'énergie, *n* équations comportementales décrivant comment cette énergie est transformée et *m* équations de mesure.

$$ card(C_s) = 1 \qquad (2.4) $$

$$ card(C_b) = |C_b^j| = \sum_{i=1}^{n} E_i \qquad (2.5) $$

$$ card(C_m) = |C_m^j| = \sum_{j=1}^{m} S_j \qquad (2.6) $$
<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>FIGURE 2.14 – Représentation des structures de jonction d'un bond-graph</figcaption></figure>

Le cardinal de l'ensemble des contraintes $|C^j|$ sur la $j^{ème}$ jonction est égal au nombre
de l'ensemble des contraintes indiquées ci-dessus, tel que :

$$
\begin{equation}
\mathrm{card}(C^j) = |C^j| = 1 + \sum_{i=1}^{n} E_i + \sum_{j=1}^{m} S_j \tag{2.7}
\end{equation}
$$

$$
= 1 + |C_c^j| + |C_m^j| \tag{2.8}
$$

Le cardinal de l'ensemble des variables inconnues

Le nombre de variables inconnues sur une jonction représente le cardinal de l'en-
semble des variables inconnues (X). De ce fait, le nombre de variables inconnues sur
une jonction 0 est égale la somme des variables de flux $\sum f_i = 0$ plus la grandeur de
l'effort commun puisque ($e_1 = e_2 = \cdots = e_i = e_i$) qui relie tous les éléments de cette
$j^{ème}$ jonction. De la même manière, le nombre de variables inconnues sur la jonction 1
est la somme des variables d'effort ($\sum e_i = 0$) ainsi que la variable de flux commun à
cette jonction et là ($f_1 = f_2 = \cdots = f_n = f_i$).

Par généralisation, le cardinal des variables inconnues $|X^j|$ de la façon suivante :

$$
\mathrm{card}(X^j) = |X^j| = 1 + (\sum E_{i=1}^n)
$$

Le cardinal des variables inconnues $|X|$ et le cardinal des contraintes $|C|$ d'un
modèle bond-graph à $l$ jonctions d'un système à surveiller sont déterminés par les
relations suivantes :

$$
\mathrm{card}(C) = |C| = \sum_{j=1}^{l} |C^j| = l + \sum_{j=1}^{l} (|C_c^j| + |C_m^j|) \quad (2.9)
$$
$$ card(X) = |X| = \sum_{j=1}^{l} |X^j| = l + \sum_{j=1}^{l} (|C_c^j|) \qquad (2.10) $$

## 2.4 Conditions de surveillabilité structurelle basé sur un modèle Bond Graph

### 2.4.1 Détectabilité structurelle

**Théorème 1.** Un défaut F qui affecte un composant $E_i$ appartenant à un sous-système modélisé par un modèle bond graph en causalité dérivée est détectable si et seulement s'il existe au moins un détecteur connecté à ce sous-système (détecteur d'effort ou de flux) : $|C_m| \ge 1$

*Démonstration :* Des équations 2.9 et 2.10 nous déduisons que le cardinal de contraintes $Card(C)$ peut s'écrire sous la forme :

$$ Card(C) = |C| = |X| + |C_m| = card(X) + card(C_m) $$

Avec la condition que le système soit surdéterminé c'est à dire qu'il existe au moins un capteur ($card(C_m) \neq 0$).

Rappelons que les relations de redondance analytique (RRA) (qui sont des relations où toutes les variables sont connues, c'est-à-dire mesurées) n'existent que pour des sous-systèmes surdéterminés. Elles correspondent aux relations qui ne sont pas impliquées dans l'appariement complet et, par conséquent, ne sont pas nécessaires pour éliminer les variables inconnues. D'un point de vue causal, les RRA ne sont pas des contraintes appariées (toutes les variables sont connues) (Figure 2.15(a)) Dans un modèle bond-graph en causalité dérivée [96], une RRA candidate est générée à partir d'une équation structurelle (jonction 0 ou 1) reliée à un capteur : les variables inconnues (efforts et flux) sont éliminées en utilisant des chemins causaux en partant de la variable inconnue vers la variable connue (mesurée) (Figure 2.15(b)).

### 2.4.2 Cas particulier : conflit causal

Pour décrire un cas de conflit causal considérons, pour illustration, un système électrique RLC avec un capteur de courant (détecteur de flux). Le modèle bond-graph de ce circuit "exemple" est représenté à la figure 2.16. D'après le modèle bond-graph acausal, il est facile de voir que $card(C) = 5$ et $card(X) = 4$. les systèmes semblent
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIGURE 2.15 – RRA à partir du graphe biparti (a) et à partir du bond graph (b)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>FIGURE 2.16 – Représentation des structures de jonction d'un bond-graph</figcaption></figure>
être surveillables. Mais, en mettant le bond-graph en causalité dérivée et en dualisant le capteur de flux, un conflit causal apparaît sur le bond-graph lorsqu'on essaie de mettre les deux éléments dynamiques en causalité dérivée : le système n'est alors plus surdéterminé mais juste déterminé. Par conséquent, l'un des éléments dynamiques (de type I ou C) doit être assigné avec une causalité intégrale; dans ce cas, une nouvelle variable inconnue apparaît : la condition initiale. Nous avons alors en fait : $card(C) = 5$ et $card(X) = 4 + 1$.

### 2.4.3 Isolabilité structurelle

Les RRA sont déduites des équations de conservation d'énergie au niveau des jonctions [96]. Considérons $m$ candidats RRA. Les chemins causaux pour la génération des RRA (qui conduit à un graphe orienté où les nœuds sont des contraintes représentées par des éléments Bond-graph), un ensemble de composants (noté $COMP(ARR)$) sera couvert par chemin causal tel que :

$$ egin{cases} COMP(RRA_1) = \{E_{11} \cdots E_{1i} \cdots E_{1n}\} \\ \vdots \\ COMP(RRA_m) = \{E_{m1} \cdots E_{mi} \cdots E_{mn}\} \end{cases} $$

En raison de l'aspect fonctionnel et graphique du bond-graph, il est important de noter que la RRA générée à partir du bond-graph est considérée avec les éléments constituants le modèle BG du système :

$$ COMP(RRA) \subset \{C, R, I, TF, GY, De, Df, Se, Sf\} = \bigcup_i COMP(RRA_i) $$

**Théorème 2.** Deux défauts composants $F_i$ et $F_j$ sont dits fortement isolables (ou discriminables) si et seulement s'il existe deux sous systèmes surdéterminés $M_i^+$ et $M_j^+$ avec $F_i \in M_i^+$ et $F_j \in M_j^+$ tel que :

$$ COMP(RRA_i) \cap COMP(RRA_j) = \emptyset $$

*Démonstration* Soit $r$ l'évaluation d'une RRA ($r = Eval(RRA)$), si $r$ est proche de zéro, alors la RRA est satisfaite. Si un défaut se produit dans le composant $E$, la RRA est différente de zéro et $r$ génèrera une alarme (l'étape de détection pour laquelle la
condition de détectabilité structurelle est donnée ci-dessus). Le problème d'isolabilité du défaut (identification du composant défectueux) est basé sur la matrice de signature de faute (MSF) qui est booléenne, où les lignes représentent les différentes RRA et les colonnes l'ensemble de défauts F. La valeur booléenne $s_{ij}$ est égale à 1 si le $i_{ème}$ résidu est affecté par le $j_{ième}$ défaut. Le vecteur de signature de chaque défaut de composant $E_j$ est donné par le vecteur ligne suivant :

$$V_{E_j(j=1, \dots, m)} = [S_{j1}, S_{j2}, \dots, S_{jn}].$$

La paire de défauts composants $(E_i, E_j)$ est isolable si leurs vecteurs de signature sont différents :

$$\forall l(l = 1, \dots, m), V_{Ej} \neq V_{El}(j \neq l)$$

À partir du modèle BG tel que développé ci-dessus, la matrice de signature de fautes MSF peut être réalisée comme indiqué dans la figure 2.17, où $E_{Fj}$ représente le défaut qui peut affecter le $j_{ème}$ composant. Chaque élément $E_j$ de la MSF représente un élément du modèle bond graph parcouru par les chemins causaux lors de la procédure d'élimination des variables inconnues. Les zones grises représentent un zéro (c'est-à-dire, le défaut n'affecte pas la RRA correspondante) :

$$E_j = \begin{cases} E_j & \text{si } E_{Fj} \subset \text{COMP}(\text{RRA}_i) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>FIGURE 2.17 – Table de signature de faute</figcaption></figure>
## 2.5 Algorithme de diagnostic à base du modèle Bond-Graph

Les performances des techniques de diagnostic dépendent principalement de la pré-
cision du modèle. Une fois le modèle établi, les performances du système de surveillance
en termes de diagnosabilité (la capacité de détecter et d'isoler les défauts) peuvent être
établies par une analyse formelle des modèles analytiques de défauts déduits des mo-
dèles du système. Il y a eu une recherche significative dans le domaine de la détection
de défauts basée sur un modèle (1 - 4). L'approche de la redondance analytique consiste
à définir des sous-systèmes sur-déterminés (représentant la partie surveillable du sys-
tème global) car il est le seul à présenter des redondances. La première étape consiste
à générer un ensemble de résidus (relations entre les variables connues i.e. mesurées
du système) utilisés pour la génération d'alarmes en présence de défauts. La deuxième
étape consiste à isoler les défauts (trouver l'origine du défaut ou le composant défec-
tueux) en se basant sur un raisonnement logique issue de la matrice de signature de
fautes. Les éléments de cette matrice $a_{ij}$, booléens (0,1), sont formés par l'ensemble
des fautes $\{f_j\}$ à surveiller et l'ensemble des indicateurs de fautes $\{RRA_i\}$ appelés
relations de redondance analytique (RRA).

### 2.5.1 Relation de redondance analytique au sens des Bond graphs

Le modèle BG permet de déduire systématiquement ces relations de redondance
analytique. Une RRA est une contrainte calculée à partir d'un sous-système surdé-
teminé et observable et exprimée en termes de variables connues i-e : mesurées du
processus. Elle a la forme symbolique suivante :

$$F(k) = 0$$

L'évaluation numérique d'une RRA conduit à un résidu $r : r - F(k) \approx 0$ dont la valeur
numérique en l'absence de défaillances est proche de zéro mais jamais nulle en raison
de la présence des incertitudes des mesures et des paramètres du modèle. Dans une
représentation par bond graph, la relation d'une RRA devient :

$$F(SSe, SSf, Se, Sf, MSe, MSf, \theta) = r \approx 0$$
Où $\theta$ est le vecteur paramètres. Pour un moteur $\theta = [R_A, L_A, R_M, J_M, k]$. $SSe, SSf$, sont respectivement Source de Signal d'effort et de flux qui représentent les sorties de capteurs ($Y$), pour le moteur ce sont les capteurs de courant $SSf: Im$ et de vitesse $SSf: \omega_m$. $Se, Sf, Mse, MSf$ sont les sources simples ou modulées et qui représentent les entrées d'un système ($u$). Dans le cas du moteur ce sont la tension d'entrée ($MSE: Ua$) et le couple de charge ($Se: \tau_1$) (voir figure 2.19).

La problématique est donc de déduire la relation redondante par une élimination
de variables inconnues sur le modèle bond graph causal.

Définition : Chemins causaux

Le parcours d'un modèle bond graph peut se faire en suivant le transfert de la puissance (à l'aide des « liens de puissance ») ou bien en suivant la propagation de la causalité (comme pour les graphes orientés). C'est ce deuxième cas que nous envisageons ici. Un chemin causal voir figure 2.18 dans une structure de jonction bond graph est une alternance de liens et d'éléments de base, appelés « nœuds », telle que (i) tous les nœuds ont une causalité complète et correcte et (ii) deux liens du chemin causal ont en un même nœud des orientations causales opposées.

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE 2.18 – Chemin causal : mixte direct (a), mixte indirect (b)</figcaption></figure>

Chaque lien du bond graph étant porteur de deux variables : « e » et « f », il est
possible de parcourir le bond graph en suivant deux chemins, soit en suivant la variable
effort soit en suivant la variable flux. Le chemin peut être mixte direct si son parcours
comporte un GYrateur imposant le changement de variable suivie 2.18 (a) ou mixte
indirect s'il passe par un élément passif R, I ou C 2.18 (b).

Un parcours de chemin causal permet de déterminer par exemple les conditions d'observabilité (chemin d'une variable d'état à un capteur) et d'atteignabilité ou commandabilité (chemin d'une source à une variable d'état). Dans le cas de la surveillance, on s'intéressera à l'élimination de variables inconnues (pour la génération de RRA),
dans ce cas le sommet du graphe est la variable inconnue et la destination est la variable connue (mesurée ou source) : on utilise pour cela une source de signal ou capteur dualisé.

## Bond graph pour le diagnostic et détecteur dualisé

Un capteur (détecteur) dans un modèle bond graph en causalité intégrale destiné à la simulation permet d'indiquer la valeur numérique de la variable mesurée : il transforme la variable de puissance en un signal. Dans une procédure d'élimination (ou de calculabilité) d'une variable inconnue, les capteurs sont dualisés et deviennent des sources d'information notées *SS* (Source de Signal). Cette observation est le point initial de la procédure d'élimination de la variable inconnue. Les conditions initiales dans les processus industriels ne sont pas connues en général, c'est pourquoi le modèle bond graph utilisé pour la surveillance est mis en causalité dérivée 2.19.

Puisque la génération des RRA se fait directement sur le BG en causalité dérivée, un détecteur d'effort (ou de flux) dont la causalité est inversée (dualisée) est considéré comme une source de signal ($SSe = \tilde{D}_e$) ou ($SSf = \tilde{D}_f$) modulée par la valeur mesurée. La dualisation d'un détecteur lui donne beaucoup d'importance sur le modèle bond graph en causalité dérivée car il devient une source d'information qui impose sa valeur à la jonction, il n'est donc plus facultatif sur un modèle bond graph et son retrait va engendrer un conflit de causalité. Cette valeur du détecteur est imposée à l'équation de jonction « 1 » ou « 0 ». L'équation de conservation d'énergie modélisée par les jonctions « 0 » ou « 1 » représente une RRA candidate.

## 2.6 Algorithme de génération des indicateurs de fautes par BG

Le point de départ de la procédure de génération des indicateurs de fautes est le système physique avec l'architecture d'instrumentation et le cahier des charges (quels défauts et équipements critiques à surveiller). L'algorithme de génération des RRA à partir du modèle BG sur un système industriel réalisé selon les étapes suivantes :

1. Sur la base de l'analyse physique du système réel, élaboration du modèle bond graph en causalité intégrale (adapté pour la simulation).

2. Validation du modèle sur la base d'essais expérimentaux avec identification des valeurs numériques des paramètres.
3. Vérification de l'état du couplage sur le modèle bond graph déterministe en causalité dérivée préférentielle : si le système est sur-déterminé mettre le modèle bond graph en causalité dérivée en inversant les causalités des capteurs qui deviennent des sources de signal (SS). Si un conflit de causalité apparaît (impossibilité de mettre l'élément dynamique en causalité dérivée), le système n'est pas redondant (plus de variables inconnues que d'équations) alors il faut soit ajouter un capteur ou un observateur soit connaître les conditions initiales de l'élément bond graph concerné.

4. Écrire l'équation de jonction de structure « 0 » et « 1 » contenant au moins un détecteur qui sera alors la RRA candidate :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \sum_{i=1}^{n} b_i f_i + \sum S_e = 0, & \text{pour les jonctions "0"} \\ \sum_{i=1}^{n} b_i e_i + \sum S_f = 0, & \text{pour les jonctions "1"} \end{array} \right. \qquad (2.11) $$

$b = \mp 1$ suivant que la demi-flèche entre ou sort de la jonction.

5. Les variables inconnues, effort (e) et flux (f) sont alors éliminées par un parcours de chemin causal de la variable connue ($SSf : f_m \text{ et } SSe : e_m$) vers l'inconnue. La RRA issue de la jonction « 0 » aura comme unité celle du flux et celle issue de la jonction « 1 » l'effort. Chacune des RRA sera sensible aux fautes pouvant affecter le composant parcouru par le chemin causal pour l'élimination des variables inconnues. Les RRA candidates issues du modèle bond graph du moteur sont :

$$ \left\{ \begin{array}{l} C_{J1A} : U_A - U_R - U_L - U_e = 0 \\ C_{J1M} : \tau_L - \tau_R - \tau_J + \tau_e = 0 \end{array} \right. \qquad (2.12) $$

Les variables $U_A, U_R, U_L$ et $U_e$ de la 1re relation et $\tau_R, \tau_J$ et $\tau_e$ pour la deuxième sont inconnues. Elles seront éliminées sur le graphe par un parcours du chemin causal de la variable inconnue à une variable connue (capteur ou source
d'énergie) comme le montre le schéma des équations suivantes :

$$
\left\{
\begin{aligned}
U_A &=? \rightarrow MS_e : U_A \rightarrow U_A = MS_e : U_A \\
U_R &=? \rightarrow C_{R_A}^{-1}(U_R, i) \rightarrow i = \frac{U_R}{R_A} \rightarrow C_{m1}^{-1}(SSf : i_m, i) \rightarrow SSf : i_m = \frac{U_R}{R_A} \\
&\rightarrow U_R = R_A \cdot i_m \\
U_L &=? \rightarrow C_{L_A}^{-1}(i, U_L) \rightarrow i = \frac{1}{L_A} \int U_L dt \rightarrow C_{m1}^{-1}(i, i_m) \rightarrow SSf : i_m = \frac{1}{L_A} \int U_L dt \\
&\rightarrow U_L = L_A \cdot \frac{di_m}{dt} \\
U_e &=? \rightarrow C_{GY}^{-1}(U_e, \omega) \rightarrow \omega = \frac{U_e}{K} \rightarrow C_{m2}^{-1}(\omega_m, \omega) \rightarrow \omega_m = \frac{U_e}{K} \rightarrow U_e = K \cdot \omega_m \\
\tau_L &=? \rightarrow S_e : -\tau_L \rightarrow \tau_L = S_e : -\tau_L \\
\tau_f &=? \rightarrow C_{R_M}^{-1}(\tau_f, \omega) \rightarrow \omega = \frac{\tau_f}{R_M} \rightarrow C_{m2}^{-1}(SSf : \omega_m, \omega) \rightarrow SSf : \omega_m = \frac{\tau_f}{R_M} \\
&\rightarrow \tau_f = R_M \cdot \omega_m \\
\tau_J &=? \rightarrow C_{J_M}^{-1}(\omega, \tau_J) \rightarrow \omega = \frac{1}{J_M} \int \tau_J dt \rightarrow C_{m2}^{-1}(\omega, \omega_m) \rightarrow SSf : \omega_m = \frac{1}{J_M} \int \tau_J dt \\
&\rightarrow \tau_J = J_M \frac{d\omega_m}{dt} \\
\tau_e &=? \rightarrow C_{GY}^{-1}(\tau_e, i) \rightarrow i = \frac{\tau_e}{K} \rightarrow C_{m2}^{-1}(\omega_m, \omega) \rightarrow \omega_m = \frac{\tau_e}{K} \rightarrow \tau_e = K \cdot i_m
\end{aligned}
\right.
$$

6. On génère alors les RRA en remplaçant dans les équations de jonction 2.12 les variables inconnues par leurs expressions on obtient alors :

$$
RRA_1 = U_A - R_A \cdot i_m - L_A \cdot \frac{di_m}{dt} - K \cdot \omega_m \quad (2.13)
$$

$$
RRA_2 = K \cdot i_m - \tau_L - R_M \cdot \omega_m - J_M \frac{d\omega_m}{dt} \quad (2.14)
$$

Les parcours des chemins causaux sont représentés en tirets sur le modèle gra-
phique (2.19 b) et par le graphe orienté correspondant (2.19 a). Ce chemin est
une alternance entre une variable («e » ou « f ») et une contrainte « c » du
composant (élément bond graph). Cependant, les séquences produites ne sont
utiles que si l'on émet l'hypothèse de calculabilté des différentes variables. Il est
aisé de vérifier que ce graphe orienté correspond au couplage de la figure 2.20.
La signature du résidu est ensuite aisément déduite : en effet la RRA est sensible
aux défauts associés aux paramètres et capteurs contenus dans son expression
et au défaut physique lié à l'équation de conservation. Une RRA déduite par
exemple de l'équation de conservation de masse ou d'énergie sera sensible à une
fuite de la matière ou d'énergie. De plus les paramètres ont un sens physique
plus explicite que les équations déduites par le premier principe ou d'état. Ainsi
<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIGURE 2.19 – Graph orienté correspondant aux RRAs (a) et parcours du chemin causal de RRA1 (b)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIGURE 2.20 – Couplage correspondant à la figure 2.19(b)</figcaption></figure>
l'ensemble des fautes (noté pour lesquelles le résidu $RRA_1$ est sensible sont : la source de tension $U_A$), la résistance électrique ($R_A$, l'inductance $L_A$), les capteurs de courant et de vitesse, le système de transformation de l'énergie électrique en énergie mécanique (K). Nous pouvons aussi rajouter un défaut de type perte de charge (perte de tension).

$$ 
\begin{aligned}
\mathrm{COMP}(ARR_1) &\subset \{U_A, R_A, i_m, L_A, J_M, K, \omega_m\} \\
\mathrm{COMP}(ARR_2) &\subset \{\tau_L, R_M, i_m, J_M, K, \omega_m\}
\end{aligned}
 $$

$\tau_L, J_M$ et $R_M$ représentent les défauts associés à la charge, l'inertie mécanique et les frottement mécaniques. Si la seconde RRA est indépendante (signature différente) de la première, alors elle est gardée sinon elle est rejetée. Le lecteur pourra par exemple vérifier que les RRAs déduites des équations de conservation du Gyrateur sont dépendantes de celle obtenues. Finalement répéter le points 4 jusqu'à obtention de l'ensemble des RRAS indépendantes. Ce processus d'élimination des variables inconnues se ramène à un graphe orienté montrant l'ordre de calcul de la RRA (2.19 (a)).

7. Les RRAs étant déduites, on forme alors la matrice de signature de fautes (MSF) permettant de vérifier si le cahier des charges fixé est satisfait. Un placement de capteur graphique sur le modèle bond graph peut alors être proposé pour améliorer les performances du système de surveillance.

## Analyse de la Matrice de Signature de Fautes du moteur

L'objectif de la procédure de localisation (réalisée hors ligne) est de fournir (avant implémentation) à l'opérateur la liste des défaillances pouvant être détectées et localisées. On se propose en qualité de cahier des charges de déterminer les conditions de surveillabilité des composants suivants : les capteurs de courant et vitesse, la partie électrique et la partie mécanique du moteur, la source d'alimentation électrique, et les défauts pouvant affecter les phénomènes de transformation de l'énergie électrique en énergie mécanique (GY).

Sur la figure 2.21 (a) est représentée la MSF du moteur. Mb et Ib représentent respectivement les indices booléens de détectabilité et d'isolabilité. Les parties électriques et mécaniques sont constituées respectivement des couples. On voit que tous les défauts pouvant affecter les composants sont détectables mais seul un défaut associé à la partie mécanique est isolable, son degré d'isolabilité peut être évalué par la distance
de Hamming 2.21 (b). On voit que les défauts de la partie mécanique (f6), la partie électrique (f3) et la source d'alimentation (f1) ont deux bits de parités différents : f6 peut être plus facilement discerné par rapport à f3 et f1.

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIGURE 2.21 – Matrice de surveillabilité (a) et distances de Hamming (b)</figcaption></figure>

## 2.7 La théorie des BG LFT pour un diagnostic robuste

Dans l'industrie, il est très difficile de trouver un modèle précis pour décrire le comportement dynamique d'un système. Les incertitudes sur certains paramètres du modèle, si elles ne sont pas prises en compte, rend le modèle non robuste. Les fonctions telles que le contrôle et le diagnostic basées sur le modèle dépendent fortement de la précision du modèle et de la prise en compte de ces incertitudes. En général, les paramètres des systèmes mécatroniques sont considérés comme incertains. Pour la robustesse de l'algorithme de diagnostic, les incertitudes paramétriques sont prises en compte dans l'étape de modélisation BG à l'aide des transformations fractionnaires linéaires (LFT). Les LFT sont des objets très génériques utilisés dans la modélisation des systèmes incertains. La méthodologie consiste à séparer la partie nominale de la partie incertaine d'un élément, quel que soit son type d'incertitude (incertitude paramétrique structurée ou non structurée, incertitude de modélisation, bruits de mesure ...), comme l'illustre la figure 2.22 où les valeurs nominales du modèle sont regroupées dans une matrice augmentée dénommée *M*, et les incertitudes (additive ou multiplicative, voir définitions 2.7.1 et 2.7.2 respectivement) sont rassemblées dans une matrice $\delta$ à structure diagonale.
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIGURE 2.22 – Représentation LFT</figcaption></figure>

La mise sous forme LFT exige que le modèle soit propre et observable [32]. La méthodologie bond graph permet par des chemins causaux de vérifier ces propriétés directement sur le modèle bond graph comme suit :

Propriété 1 Un modèle bond graph est propre si et seulement s'il ne contient aucun composant dynamique en causalité dérivée lorsque il est en causalité intégrale préférentielle, et réciproquement [31].

Propriété 2 Un modèle bond graph est structurellement observable en état si et seulement si les conditions suivantes sont respectées [100], [99] :

(a) Sur le modèle BG en causalité intégrale, il existe un chemin causal entre tous les éléments dynamiques *I* et *C* en causalité intégrale et un détecteur *De* ou *Df* [31] ;

(b) Tous les éléments dynamiques de type *I* et *C* admettent une causalité dérivée dans un modèle BG en causalité dérivée préférentielle. Cependant si ces éléments dynamiques *I* ou *C* restent en causalité intégrale, la dualisation de détecteurs *De* et *Df* doit permettre de les mettre en causalité dérivée [31].

La modélisation des éléments BG incertains (*R*, *I*, *C*, *TFetGY*) a été largement développée dans [54]. Dans ce qui suit, nous allons présenter les avantages des BG-LFT pour le diagnostic robuste en considérant comme exemple d'étude : l'élément *R* (qui peut représenter une friction mécanique, une restriction hydraulique, une résistance électrique...) et qui n'est jamais connue avec précision dans le processus réel.

Le modèle BG déterministe de l'élément physique *R* est donné dans la figure 2.23, en causalité résistance dans 2.23a et en causalité conductance dans la figure 2.23b. Le BG

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>(a) Élément *R* en causalité résistance (b) Élément *R* en causalité conductance</figcaption></figure>

<caption>FIGURE 2.23 – Modèle BG déterministe d’un élément *R*</caption>
incertain de cet élément peut être exprimé selon la manière avec laquelle l'incertitude a été introduite additive ou multiplicative, comme décrit dans ce qui suit.

## 2.7.1 Élément BG avec incertitude additive

Une incertitude paramétrique introduite de façon additive sur un élément R en causalité résistance s'exprime comme suit :

$$e_R = (R_n + \Delta R) \cdot f_R \qquad (2.15)$$

$$= R_n \cdot f_R + \Delta R \cdot f_R \qquad (2.16)$$

$$= e_n + e_{inc} \qquad (2.17)$$

Où $R_n$ représente la valeur nominale de l'élément R et $\Delta R$ son incertitude additive. $e_R$ et $f_R$ sont respectivement l'effort et le flux dans l'élément R. L'effort introduit par l'incertitude additive $\Delta R$ est indépendant de la valeur nominale du paramètre $R_n$ comme l'indique l'équation 2.17. Cette forme de représentation est donc valable pour les systèmes linéaires à paramètres constants. On peut envisager de l'étendre pour modéliser des systèmes complexes à paramètres variables. Le modèle BG équivalent du modèle mathématique décrit dans 2.17 en causalité résistive est représenté dans la figure 2.24a, et en causalité conductance dans la figure 2.24b.

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>(a) Causalité résistance</figcaption></figure>

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>(b) Causalité conductance</figcaption></figure>

<caption>FIGURE 2.24 – Modèle BG LFT d'un élément R avec une incertitude additive</caption>

Dans le cas où l'incertitude est introduite de façon additive sous forme d'un élément BG, les propriétés structurelles du modèle incertain empêchent la génération automatisque des RRA robustes, et génère des erreurs dans la simulation du modèle. Dans [32] il a été montré que les modèles BG des éléments C et I en causalité intégrale montrent que l'incertitude représentée par un élément BG est causalement liée au paramètre nominal et n'a aucun lien causal avec le reste du modèle. Cette situation donne lieu à une boucle différentielle entre l'élément nominal et l'incertitude. Ainsi, sur des modèles complexes, où le nombre d'incertitudes paramétriques est important, la simulation de
la dynamique du modèle devient pratiquement impossible à cause des boucles algébro-différentielles. Cette limite est aussi observée dans le cas de modèles BG où les éléments C et I sont placés en causalité dérivée.

## 2.7.2 Modèle BG avec incertitude multiplicative

Une incertitude paramétrique introduite de façon multiplicative sur un élément R en causalité résistance s'exprime comme suit :

$$e_R = R_n(1 + \delta_R) \cdot f_R \qquad (2.18)$$

$$= R_n \cdot f_R + \delta_R \cdot R_n \cdot f_R \qquad (2.19)$$

$$= e_n + \delta_R \cdot e_n \qquad (2.20)$$

$$= e_n + e_{inc} \qquad (2.21)$$

Avec $R_n$ représente la valeur nominale de l'élément R et $\delta R$ son incertitude multiplicative. $e_R$ et $f_R$ sont respectivement l'effort et le flux dans l'élément R. En comparant l'équation 2.17 et l'équation 2.21, nous observons clairement que dans le cas de l'incertitude additive l'effort introduit par l'incertitude est complètement décorrélé de l'effort introduit par le paramètre nominal. Mais dans le cas de l'incertitude multiplicative, l'effort apporté par l'incertitude multiplicative est fonction de l'effort apporté par le paramètre nominale.

L'introduction d'une incertitude multiplicative sur l'élément R en causalité conductance donne :

$$f_R = \frac{1}{R_n} \cdot (1 + \delta_{\frac{1}{R}}) \cdot e_R \qquad (2.22)$$

$$= \frac{1}{R_n} \cdot e_R + \delta_{\frac{1}{R}} \cdot \frac{1}{R_n} \cdot e_R \qquad (2.23)$$

$$= f_n + \delta_{\frac{1}{R}} \cdot f_n \qquad (2.24)$$

$$= f_n + f_{inc} \qquad (2.25)$$

Avec $\delta_{\frac{1}{R}} = \frac{-\Delta R}{R_n + \Delta R}$ l'incertitude multiplicative sur l'élément R en causalité conductance. $e_R$ et $f_R$ sont respectivement l'effort et le flux dans l'élément R. $f_n = \frac{1}{R_n} \cdot e_R$ et $f_{inc} = \delta_{\frac{1}{R}} \cdot \frac{1}{R_n} \cdot e_R$ représentent respectivement le flux engendré par le paramètre nominal et le flux introduit par l'incertitude multiplicative.

Les modèles bloc diagramme déduits des équations 2.21 et 2.25 sont représentés par
<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>FIGURE 2.25 – Modèle bloc diagramme LFT d'un élément R en causalité résistance 2.25a puis en causalité conductance 2.25c avec incertitude multiplicative et leurs modèles BG LFT correspondants</figcaption></figure>

la figure 2.25a en causalité résistance (flux imposé) et par la figure 2.25c en causalité conductance respectivement. Les modèles BG LFT, selon la causalité considérée, sont donnés dans les figures 2.25b et 2.25d.

Les signes — qui apparaissent dans les modèles bond graphs de la 2.25 sont dus aux conventions de signes des jonctions 1 et 0. Les symboles $De^*$ et $Df^*$ représentent des détecteurs fictifs, ils sont employés pour préciser le fait qu'il n'y a pas de détecteurs réels sur les sorties auxiliaires (capteurs virtuels). Sur les modèles BG LFT des figures 2.25b et 2.25d, les détecteurs fictifs sont utilisés pour illustrer le principe de la modélisation BG sous forme LFT, ces variables sont connues (le système est supposé observable). Le passage d'un modèle BG déterministe à un modèle incertain sous forme LFT consiste donc à introduire des sources modulées d'effort ou de flux, qui sont ajoutées respectivement au niveau des jonctions 1 ou 0. Ainsi, le modèle reste, de point de vue causal, correct et ses propriétés structurelles ne sont pas modifiées
(commandabilité, observabilité, ... ). De plus, ces sources modulées sont causalement liées au reste du modèle, où leur apport énergétique se propage sous forme d'effort ou de flux, et s'ajoute au bilan énergétique au niveau des jonctions. Cette forme standard est donc la mieux adaptée au diagnostic des systèmes à paramètres incertains.

2.8 Construction d'un modèle BG LFT

La construction du modèle LFT d'un système se fait en remplaçant chacun des éléments incertains par son BG-LFT correspondant [52]. Le BG-LFT de l'exemple 2.10 est donné dans la figure 2.26. Les éléments de type $R : R_e \times R_m$ et les éléments de type $I : L_e, J_m$ sont incertains, ils ont donc été modélisés de telle sorte à ce que leur incertitudes soient prises en compte. Les éléments de type $R$ sont modélisés en causalité résistance et les éléments de type $I$ en causalité dérivée préférentielle.

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>FIGURE 2.26 – Représentation BG LFT de l'exemple de l'étude</figcaption></figure>

2.9 Génération des RRA robustes

Les étapes de la génération des RRA robustes à partir d'un modèle BG propre, observable et sur-déterminé sont les suivantes :
1re étape Vérification de l'état du couplage sur le modèle bond graph déterministe en causalité dérivée préférentielle. Si le système est sur-déterminé, alors poursuivre vers les étapes 2 et 3;

2e étape Le modèle bond graph est mis sous forme LFT;

3e étape L'expression symbolique de la RRA est déduite à partir des équations aux jonctions.

Pour la jonction 0, l'expression de la RRA sera déduite de la somme algébrique : $\sum b_i \cdot f_{in} + \sum Sf + \sum wi = 0$.

Pour la jonction 1, elle se déduira d l'équation $\sum b_i \cdot e_{in} + \sum Se + \sum wi = 0$.

Avec $\sum Sf$ la somme des sources de flux liées à la jonction 0, $\sum Se$ la somme des sources de flux liées à la jonction 1, et $b_i = \pm 1$ suivant que la demi-flèche entre ou sort de la jonction. Les variables inconnues sont $e_{in}$ et $f_{in}$, ils sont éliminant en suivant les chemins causaux qui permettent de changer les variables inconnues par les variables connues. $\sum wi$ est la somme des entrées modulées correspondant aux incertitudes sur les éléments liés à la jonction.

4e étape Les variables inconnues sont éliminées en parcourant les chemins causaux entre les détecteurs ou les sources et les variables inconnues;

5e Après élimination des variables inconnues, les RRAs incertaines sont sous la forme :

$$RRA = \Phi(\{\theta_n\}, \sum SSf, \sum SSe, \sum W_i) = 0 \quad (2.26)$$

avec $\{\theta_n\}$ est l'ensemble des valeurs nominales des paramètres i-e : les valeurs des éléments R, C, I ...

L'application de cet algorithme au modèle de la figure 2.25, on extrait les équations des RRA robustes suivants :

$$RRA_1 = U_a - R_e \cdot i_m - L_e \cdot \frac{di_m}{dt} - K \cdot \omega_m + W_{Re} + W_{Le} \quad (2.27)$$

$$RRA_2 = K \cdot i_m - \tau_L - R_m \cdot \omega_m - J_m \frac{d\omega_m}{dt} + W_{Rm} + W_{Jm} \quad (2.28)$$
avec

$$W_{Re} = \delta_{Re} \cdot R_e \cdot i_m$$

$$W_{Le} = \delta_{Le} \cdot L_e \cdot \frac{di_m}{dt}$$

$$W_{Rm} = \delta_{Rm} \cdot R_m \cdot w_m$$

$$W_{Jm} = \delta_{Jm} \cdot J_m \cdot \frac{dw_m}{dt}$$

## 2.10 Génération des seuils de sensibilité

Les RRA robustes générées sont constituées de deux parties bien séparées grâce à l'utilisation du modèle BG-LFT, une partie nominale noté $r_n$ :

$$r_n = \Phi(\{\theta_n\}, \sum SSf, \sum SSe) = 0 \qquad (2.29)$$

et une partie incertaine notée a tel que :

$$a = \sum W_i \qquad (2.30)$$

où :

$$W_i = \Phi(\{\theta_n\}, \sum SSf, \sum SSe, \{\delta_\theta\}) = 0 \qquad (2.31)$$

et $\{\delta_\theta\} = \{\delta_R\} \cup \{\delta_I\} \cup \{\delta_C\} \cup \{\delta_{TF}\} \cup \{\delta_{GY}\}$ sont respectivement les valeurs des incertitudes multiplicatives sur les éléments R; I; C; RS; TF and GY.

La partie incertaine de la RRA sera utilisée pour générer des seuils adaptatifs de fonctionnement normal sous forme d'une enveloppe qui contient le résidu en absence de défauts. Des equations 2.29, 2.30 and 2.31 on obtient :

$$r_n + \sum W_i = 0 \Rightarrow r_n = - \sum W_i \qquad (2.32)$$

Une incertitude paramétrique peut être définie comme une légère déviation du paramètre de sa valeur nominale, sans aucun effet sur le bon fonctionnement du système [52]. Elle peut être constante ou variable et elle peut varier aléatoirement dans un sens positif comme dans un sens négatif. Compte tenu de cette nature des incertitudes paramétriques, et en utilisant les propriétés de la valeur absolue d'un réel, l'effort (ou le flux) $w_i$ apporté par une incertitude paramétrique peut être bornée en considérant sa
valeur absolue. Le seuil supérieur (positif) du résidu noté a peut être généré tel que :

$$a = \sum |W_i|$$

Le seuil adaptatif du résidu est généré sous forme d'une enveloppe :

$$-a \le r_n \le a \qquad (2.33)$$

La RRA obtenue se compose de deux parties parfaitement séparées, un résidu nominal noté $r_n$ qui décrit le fonctionnement du système, et la partie incertaine notée a, qui représente le seuil de fonctionnement normal du système.

## 2.11 Diagnostic par les observateurs

Lorsque l'état du système n'est pas mesurable, on construit un observateur qui permet de reconstruire l'état à partir d'un modèle du système dynamique et des mesures d'autres grandeurs disponibles. La théorie de l'observateur d'état a été introduite dans les années soixante par Luenberger pour les systèmes linéaires. Kalman a formulé un observateur en considérant un système linéaire stochastique. Des travaux de recherches sont toujours menés pour l'extension de la théorie de l'observateur aux systèmes non linéaires [19], mais l'utilisation la plus commune est l'emploi d'un filtre de Kalman étendu [20]. Le principe de base de la génération de résidus à l'aide d'observateurs est de réaliser une estimation des sorties du système à partir des grandeurs accessibles à la mesure. Le vecteur résidu étant l'écart entre la sortie estimée et la sortie mesurée. Cet écart n'est généralement pas nul en fonctionnement normal, à cause des bruits et des incertitudes.

Tout comme les RRA, les observateurs permettent de générer des indicateurs de fautes et c'est l'erreur d'estimation qui constitue le résidu. Comme indiqué dans la figure 2.27, un résidu $r(t)$ est un signal qui exprime la différence entre la valeur $\hat{y}$ de la sortie prédite par le modèle de comportement en l'absence de défaillance, et la valeur $y(t)$ réellement mesurée de cette sortie. Le résidu $r(t)$ est affecté par une faute f si l'apparition de la faute f à l'instant t entraine $|r(t)| > seuil$.

Pour la détection des erreurs, un seul observateur Kalman, Lunenberger ... ) est suffisant, alors que, pour la localisation des défauts, un ensemble correctement structuré de résidus est nécessaire. Il faut donc utiliser une banque d'observateurs, dit dédiés pour le diagnostic [36]. Le concept de base de la génération d'un résidu basé sur un
<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>FIGURE 2.27 – Schéma bloc d’un diagnoser par observateur</figcaption></figure>

observateur analytique est illustré par le schéma fonctionnel d'un observateur linéaire donné dans la figure 2.27. L'objectif du diagnostic étant d'avoir le résidu $r = 0$ en absence de faute.

Les équations d'état d'un système dynamique sont données ci-dessous :

$$ egin{cases} \dot{x}(t) = A \cdot x(t) + B \cdot u(t) \\ y = Cx(t) + D \cdot u(t) \end{cases} $$

où $x \in \mathbb{R}^n, y \in \mathbb{R}^m, u \in \mathbb{R}^p, n$ étant le nombre d'états, $m$, le nombre d'entrées et $p$ le nombre de sortie. $A \in \mathbb{R}^{n*m}$ est la matrice d'état, elle représente les interactions dynamiques entre les différents éléments internes du système. $B \in \mathbb{R}^{n*m}$ est la matrice d'entrée, elle représente l'action des entrées sur l'évolution dynamique du système. $C \in \mathbb{R}^{p*m}$ est la matrice de sortie, elle représente les sorties des capteurs. $D \in \mathbb{R}^{p*m}$ est la matrice de couplage (souvent $D = 0$), indique le couplage direct entre les entrées et les sorties.

Les équations d'état de l'observateur sont :

$$ egin{cases} \hat{x}(t) = A \cdot \hat{x}(t) + Bu(t) + K[y(t) - C\hat{x}] \\ \hat{y} = C\hat{x}(t) \end{cases} $$

où $K$ est le gain de l'observateur.

En introduisant l'erreur d'estimation $\tilde{x} = \dot{x} - \hat{x}$ on obtient la dynamique de l'erreur d'estimation comme suit :

$$ \tilde{x} = \dot{x} - \hat{x} = (Ax + Bu) - (A\hat{x} + Bu + K(y - C\hat{x})) = A(x - \hat{x}) - KC(x - \hat{x}) \quad (2.34) $$

Le résidu $r$ dont l'expression est $y - C\hat{x}$, en fonctionnement normal, du fait du bruit
et des incertitudes, n'est pas nul. Plusieurs travaux sont consacrés pour le diagnostic robuste aux incertitudes à base d'observateurs [4].

Pour les systèmes continus, le diagnostic par observateur peut être efficace et bien adapté pour des défauts d'actionneurs et de capteurs, avec de faibles performances d'isolabilité. Le filtre de Kalman est largement utilisé pour les systèmes bruités. Cependant, cette méthode reste difficile à mettre en œuvre dans le cas de systèmes complexes.

## 2.11.1 Conclusion

La réalisation d'un système de surveillance à base de modèle est une opération coûteuse nécessitant plusieurs étapes complexes. L'outil bond graph par ses propriétés causales et structurelles et grâce à son aspect graphique, et comportemental par son architecture fonctionnelle est bien adapté pour la conception intégrée de tels systèmes allant de la modélisation, la détermination hors ligne des conditions et moyens de surveillabilité avant réalisation industrielle et finalement la génération d'algorithmes de surveillance robuste en ligne. Il a été montré comment les propriétés structurelles des bond graphs sont exploitées pour déduire les conditions de surveillabilité structurelle sans avoir besoin de valeurs numériques des paramètres ni de la description précise du système ou une forme particulière du modèle. Cette propriété est importante d'un point de vue industrielle car on peut proposer à cette étape de conception l'architecture d'instrumentation pour satisfaire le cahier des charges de surveillance. La phase d'implémentation du système de surveillance nécessite la génération des indicateurs de fautes (RRA), les propriétés causales de cet outil graphique permettent alors de les générer systématiquement par un parcours de chemins causaux. Afin d'améliorer la procédure de décision de génération des alarmes pour éviter des fausses alarmes et non détection, des seuils adaptatifs tenant compte des incertitudes paramétriques (explicitement introduites sur le modèle bond graph) sont générés directement du modèle bond graph de surveillance.
Chapitre 3

Modèle Bond Graph de
l'actionneur électromécanique

L'actionneur électromécanique EMA est le siège de phénomènes physiques variés. Parmi eux, les effets électrodynamiques basés sur l'interaction de champs et de sources électromagnétiques, produisant un effort ou un mouvement à partir d'une source d'énergie électrique. Les besoins pour la modélisation de l'EMA sont divers et variés selon les applications. Nous pouvons distinguer les modélisations qui s'appuient sur une représentation très détaillée, visant à décrire finement l'ensemble des phénomènes qui interagissent au niveau de l'actionneur en utilisant par exemple la méthode de simulation par éléments finis, des modélisations à caractère global qui se définissent plus par la cohérence de l'ensemble des lois physiques mis en jeu que par leur degré de finesse ou de précision vis-à-vis de la description de tel ou tel phénomène particulier. Pour les besoin de surveillance de l'actionneur, une modélisation qui met en évidence l'ensemble des variables et paramètres du système est nécessaire. Nous avons opté pour le formalisme Bond-Graph qui permet un diagnostic qualitatif et quantitatif.
## 3.1 architecture de l'EMA

Les EMA utilisent un embrayage mécanique pour actionner une surface de commande de vol. Ceci grâce à une boîte à vitesse (gearbox) et, selon le type d'actionnement, on peut associer une vis à bille (ballscrew) pour produire une translation. L'entraînement électrique à vitesse variable est composé d'un moteur électrique et d'un convertisseur statique. Ils peuvent fonctionner directement à partir d'une source de tension continue ou, moyennant un redresseur, à partir d'une source de tension alternative. Pour illustrer les différentes parties constituantes de l'EMA nous présentons une coupe d'un EMA 3.1 tirée du catalogue de la société SKF, qui servira de support visuel pour indiquer l'emplacement réel des parties qui seront décrites dans ce chapitre.

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>FIGURE 3.1 – Coupe d'un actionneur électrique</figcaption></figure>

### 3.1.1 Le moteur électrique

Dès l'apparition du concept de l'avion plus électrique dans les années 1970, des recherches ont été menées pour le développement des moteurs électriques pour les systèmes d'actionnement, principalement les moteurs asynchrones (MAS) et des moteurs à aimants permanents MSAP. Dans les actionnements électriques, l'organe principal est le moteur électrique qui est généralement associé à une alimentation et à un dispositif de commande électroniques.

Le moteur asynchrone (MAS) est le plus utilisé de tous les moteurs à courants alternatifs en raison de sa réputation de solidité et de robustesse ainsi que de son coût de revient relativement modéré. Ainsi Lucas Aerospace a développé dans les années 1980 un actionneur de direction d'un train d'atterrissage dont le moteur est un moteur asynchrone. Dans les années 1990, la même équipementier a utilisé la MAS dans le système d'actionnement des spoilers et des ailerons [25].

Le moteur synchrone présente une taille réduite et fournit des couples élevés. Le
stator d'un moteur synchrone est le même que celui d'un moteur asynchrone. Le rotor est constitué d'un empilement de tôles ferromagnétiques qui supporte un bobinage alimenté par un courant continu. Les courants dans le bobinage statorique crée un champ tournant. Le champ tournant du rotor tourne au synchronisme et avec un déphasage constant par rapport à celui du stator. Comme ce champ est fixé par rapport au rotor, contrairement au cas du moteur asynchrone, le rotor tourne au synchronisme.

Les moteurs synchrones à aimants permanents sont les moteurs les plus envisagés pour être implantés dans des systèmes d'actionnement en aéronautique. Les travaux de recherche dans le cadre du programme Electrically Powered Actuator Design ont abouti à des moteurs synchrone implantés dans des EMA et testés lors de vol d'avions militaires [23].

La plupart des moteurs qu'ils soient synchrones ou asynchrones sont équipés de résolveur, un capteur mécanique qui réalise la mesure de position nécessaire à la commande électronique.

Dans ce chapitre, on présente la modélisation de la machine synchrone à aimants permanents et de la machine asynchrone triphasées dans différents repères.

### 3.1.2 Réducteur

L'utilisation de moteurs électriques en entraînement direct conduit à une limite en termes d'efforts surfaciques. Il est donc nécessaire de recourir à des systèmes de réduction de vitesse pour accroître l'effort transmissible à la charge. Or, il existe, une irréversibilité intrinsèque en cas de panne due au grippage, car pour les applications aéronautiques, selon la surface de contrôle de vol concernée, certaines devant revenir à leur position de départ en cas de coupure de l'alimentation, d'autres devant rester immobiles. Le grippage étant l'une des pannes la plus redoutée pour ce genre d'actionneur, a amené les avionneurs à considérer, encore aujourd'hui, que les EMA manquent de maturité du fait que la probabilité de grippage existe toujours et est difficile à prédire avec le peu d'expérience de vol [28] et que la sûreté n'est pas démontrée selon les normes aéronautiques telles qu'elles sont définies actuellement.

Dans le réducteur (rotation/rotation), il existe plusieurs types de transmission différentes, leur rôle étant d'adapter les impédances mécaniques moteur-charges en adaptant les caractéristiques nominales du moteur (couple nominal $C_n$ et vitesse angulaire nominale $\omega_n$) sur celles de la charge (force nominale $F_n$ et vitesse linéaire nominale $V_n$). Trois grandes familles de transmission existent :
— une transmission à axes perpendiculaires : engrenages ou roue et vis sans fin

— une transmission à axes parallèles : courroie ou train d'engrenages

— une transmission à axes en ligne : liaison directe ou train planétaire

Il a été montré dans [55] que les réducteurs induisent d'énormes inerties et masses équivalentes. Pour ces raisons, un entraînement direct (en ligne) est souhaitable car il permet d'obtenir une transmission réversible, rigide et sans jeu. Il reste à noter que cette solution, bien qu'avantageuse au niveau des performances, va entraîner l'installation d'une puissance motrice bien supérieure, jusqu'à 10 fois la puissance requise. Ceci vient du fait que pour les solutions industrielles, les mêmes moteurs, ayant des vitesses de rotation standard (2800 ou 4200 tr/min), sont employés pour toutes les applications, peu importe la grandeur de la vitesse désirée. Par contre, pour les applications aéronautiques, la conception sur mesure des moteurs peut être envisagée afin limiter autant que possible le poids et la puissance inutile.

### 3.1.3 Transformation

Ce système permet de transformer le mouvement de rotation du moteur (grande vitesse et faible couple) en mouvement de translation de la tige (vitesse faible et couple fort). Il peut être de type glissement ou roulement (vis à bille ou à rouleaux). Les vis à glissement présentent des rendements médiocres, elles sont en général irréversibles et présentent des tailles excessives. Lorsqu'une contrainte de durée de vie est combinée à un effort dynamique élevé les systèmes vis à bille sont plus appropriées.

## 3.2 Modèle analytique de l'EMA

La modélisation des actionneurs électromécaniques consiste à établir les lois analytiques reliant les grandeurs d'entrée électriques (tension entre phases, courant de ligne) aux grandeurs de sortie mécaniques (couple, vitesse) via ses caractéristiques internes (flux et inductances). Ces relations de liaison permettent en temps réel, la connaissance et le contrôle des grandeurs électromécaniques de l'actionneur afin de satisfaire le cycle de fonctionnement requis via les modules d'alimentation et de commande.

Le convertisseur d'énergie qu'est l'EMA transforme l'énergie électrique reçue en énergie mécanique, par l'intermédiaire d'un champ magnétique, se modélise en se basant sur les relations constitutives flux/courant qui permettent d'établir les équations différentielles qui régissent la dynamique du convertisseur. Équations dans lesquelles
figurent les grandeurs utiles que sont notamment :

— la tension électrique développée aux bornes de chaque phase du convertisseur;

— le moment du couple électromagnétique produit.

Le schéma de la figure 3.2 met en évidence les parties constituantes de l'EMA,
dans les paragraphes qui suivent nous allons exprimer les équations qui modélisent les
différentes parties constituantes de l'actionneur.

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>FIGURE 3.2 – Schéma bloc d’un EMA</figcaption></figure>

3.2.1 Modélisation du moteur synchrone à aimants perma-
nents MSAP

La machine synchrone à aimants permanents est très performante, elle est utilisée en tant que moteur dans des applications de haute précision et de haute puissance. Le moteur synchrone associé à des convertisseurs statiques simples, aussi appelé brushless, permet d'obtenir des performances très voisines de celles du moteur à courant continu sans leurs inconvénients [2]. Pour faire varier la vitesse du moteur synchrone, il faut varier la fréquence de ses tensions et courants d'entrée [76]. Le plus souvent on utilise un variateur composé de deux convertisseurs en cascade : un redresseur alimenté par le réseau fournit une tension continue, qui par la suite est convertie en tension alternative de fréquence variable à l'aide d'un onduleur [81].

Principe de fonctionnement

L'inducteur est le rotor, qui peut être soit bobiné, soit à aimants permanents.
Nous ne présenterons que les rotors à aimants permanents, qui sont donc sans balais
 brushless) comme dans l'installation du test bench de l'étude. L'induit est quant à
lui logé dans le stator. L'alimentation des enroulements du stator génère un champs magnétique tournant. Cette alimentation est de forme sinusoidale lorsque le moteur est connecté directement au réseau. Lorsque le moteur est alimenté par l'intermédiaire d'un onduleur (cas des moteurs autopilotés et les moteurs brushless), les ondes sont en forme de créneaux. La pulsation du champs magnétique dépend de la fréquence de l'alimentation *f* et du nombre de paires de pôles *p* :

$$ \Omega = \frac{2\pi f}{p} $$

Les *p* aimants du rotor vont s'aligner sur ce champs magnétique, et vont générer une rotation à la même pulsation $\Omega$ : la machine est dite synchrone car les deux pulsations (rotor et stator) sont identiques

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>FIGURE 3.3 – Modèle du moteur synchrone à aimants permanents</figcaption></figure>

## Modèle électrique équivalent pour une phase

L'architecture du moteur synchrone et de son modèle électrique sont donnés dans la figure 3.3. Chaque phase d'une machine synchrone peut se modéliser par le circuit de la figure 3.3b constitué d'une réactance, une résistance une force électromotrice (fem) en série. L'équation électrique du modèle 3.3b qui correspond à une phase est la suivante :

$$ \underline{V}_s(t) = \underline{E}(t) + (r_s + j\underline{X}_s)\underline{I}_s(t) \qquad (3.1) $$

$I_s(t)$ est le courant de phase circulant dans les enroulements statoriques $[A]$.

$V_s(t)$ est la tension simple aux bornes d'un enroulement $[V]$.
$E(t)$ est la force électromotrice à vide de la machine, selon la forme du bobinage statorique, la fem est trapézoïdale dans le moteur synchrone à aimants permanents $[V]$.

$X_s = L \cdot \omega$ est la réactance de la phase.

L'inductance $L$ est la somme de l'inductance propre à la bobine $L_p$, et des induc-
tances mutuelles $M$ des bobines des deux autres phases : $L = L_p + 2 \cdot M$ [Henry].

La fem est directement proportionnelle à la vitesse de rotation du rotor puisque
(Loi de Lenz) :

$$
E(t) = k_e \cdot \omega(t) \tag{3.2}
$$

$k_e$ est la constante de force électromotrice $[V/(rad/s)]$.

Le couple moteur est proportionnel à l'intensité i(t) :

$$
C_m(t) = K_t \cdot i(t) \tag{3.3}
$$

Théorème du moment dynamique en projection sur l'axe de rotation :

$$
C_m = C_{em} - J_m \frac{d\omega_m}{dt} - C_{fm} \quad (3.4)
$$

$C_m$ couple de sortie du moteur [$Nm$]

$C_{fm}$ couple de frottement du moteur [$Nm$]

$C_{em}$ couple électromagnétique du moteur [$Nm$]

$J$ moment d'inertie du rotor du moteur par rapport à son axe de rotation [$kg.m^2$].

3.2.2 Équations électriques de la MSAP dans un repère lié au
stator

Les équations électriques régissant le fonctionnement d'une machine synchrone dans
un repère fixe (a, b, c) lié au stator, dont la théorie a été détaillée est développée dans
la littérature [1], [57], [60], sont décrites ci-dessous :

$$
[V_s] = [R_s][i_s] + \frac{d[\phi_s]}{dt} \qquad (3.5)
$$

avec :

$[V_s]$ : Vecteur des tensions statoriques ; $[R_s]$ : Matrice des résistances statoriques ;

$[i_s]$ : Vecteur des courants statoriques ; $[\phi_s]$ : Vecteur des flux statoriques.
$$[V_s] = \begin{bmatrix} V_a \\ V_b \\ V_c \end{bmatrix}; [R_s] = \begin{bmatrix} R_s & 0 & 0 \\ 0 & R_s & 0 \\ 0 & 0 & R_s \end{bmatrix}; [i_s] = \begin{bmatrix} i_a \\ i_b \\ i_c \end{bmatrix}; [\phi_s] = \begin{bmatrix} \phi_a \\ \phi_b \\ \phi_c \end{bmatrix}$$

$R_s$ : résistance d'une phase statorique.

Les flux totalisés $[\phi_s]$ des phases statoriques s'écrivent dans le repère lié au stator sous la forme matricielle suivante :

$$[\phi_s] = [L_{ss}][i_s] + [\phi_{sf}] \qquad (3.6)$$

avec :

$$[L_{ss}] = \begin{bmatrix} L_{sa} & M_{ab} & M_{ac} \\ M_{ba} & L_{sb} & M_{bc} \\ M_{ca} & M_{cb} & L_{sc} \end{bmatrix} \quad \text{est la matrice des inductances statoriques.}$$

$L_{sa}, L_{sb}, L_{sc}$ : inductances propres des phases a, b et c respectivement.

$M_{ab}, M_{ac}, M_{ba}, M_{bc}, M_{ca}$ et $M_{ac}$ : inductances mutuelles entre les phases a, b et c deux à deux.

$$[\phi_{sf}] = [L_{sf}] \cdot i_f \qquad (3.7)$$

$[\phi_{sf}] = [\phi_{af} \ \phi_{bf} \ \phi_{cf}]^T$ représente le vecteur de projection du flux de l'aimant permanent sur les 3 trois phases (a, b, c)

$[L_{sf}] = \begin{bmatrix} L_{af} \\ L_{bf} \\ L_{cf} \end{bmatrix}$ correspond à la matrice des inductances mutuelles stator-aimants, et

$L_f = \hat{\phi}_{fd}$ est la valeur maximale de ces inductances mutuelles.

$i_f$ : courant équivalent de l'aimant permanent.

La matrice des inductances mutuelles entre les phases statoriques et les aimants permanents dépend de la position angulaire électrique $\theta_r$ du rotor :
$$L_{sf} = L_f \begin{bmatrix} \cos \theta_r \\ \cos(\theta_r - \frac{2\pi}{3}) \\ \cos(\theta_r + \frac{2\pi}{3}) \end{bmatrix}$$

avec

$\theta_r = N_p \cdot \theta_m$ position électrique du rotor.

$N_p$ : nombre de paires de pôles.

$\theta_m$ : position mécanique réelle du rotor.

A partir des équations 3.5, 3.6 et 3.7 nous pouvons écrire l'expression de la tension $V_s$, donnée par l'équation 3.8 valable pour l'étude du fonctionnement de la MSAP dans tous les régimes :

$$[V_s] = [R_s] \cdot [i_s] + \frac{d\{[L_{ss}][i_s]\}}{dt} + \frac{d[L_{sf}] \cdot i_f}{dt} \quad (3.8)$$

Après développement, l'équation 3.8 devient :

$$[V_s] = [R_s] \cdot [i_s] + [L_{ss}] \frac{d[i_s]}{dt} + \omega_r \frac{d[L_{ss}]}{d\theta_r} [i_s] + \omega_r \frac{d\phi_{sf}}{d\theta_r} \quad (3.9)$$

Les équations 3.8 et 3.9 sont des équations différentielles à coefficients variables, l'étude de ce type d'équations est fastidieuse, des transformations mathématiques (Park et Clark), permettent de modéliser la MSAP avec des équations différentielles à coefficients constants. La transformation de park, décrite ci-dessous permet la modélisation de la MSAP dans un repère lié au rotor. La transformation de Clark, elle, permet sa modélisation dans un repère lié au stator.

### 3.2.3 Équation mécanique de la MSAP

Selon la loi de mouvement de Newton, l'équation fondamentale de la mécanique régissant un corps en mouvement est :

$$J \cdot \frac{d\Omega}{dt} + f \cdot \Omega = C_{em} - C_r \quad (3.10)$$

avec :

$\omega_r = N_p \cdot \Omega$

$\omega_r$ vitesse angulaire électrique du rotor.

$\Omega$ vitesse angulaire mécanique réelle du rotor.
$J$ : moment d'inertie total ramené sur l'arbre du moteur;

$f$ : coefficient de frottement visqueux;

$C_{em}$ : couple électromagnétique délivré par le moteur;

$C_r$ : le couple résistant appliqué sur l'arbre du moteur.

### 3.2.4 Équation du couple électromagnétique de la MSAP

Le couple électromagnétique fourni par la machine, qui est la dérivée de l'énergie mécanique par rapport à la position électrique du rotor, est donné par l'expression suivante :

$$C_{em} = \frac{1}{2} \cdot N_p \cdot [i_s]^T \cdot \left[ \frac{d[L_s]}{d\theta_r} \right] \cdot [i_s] \quad (3.11)$$

### 3.2.5 Commande du moteur synchrone

Dans le cas du moteur synchrone, une fonction essentielle assurée par le module de commande vise à piloter les fréquences de rotation des champs présents dans le moteur afin de garantir la synchronisation des pulsations au niveau du stator et du rotor. À cette fin, les signaux d'alimentation appliqués sur les phases de la machine sont élaborés à partir de l'information de position du rotor, généralement issue d'un capteur solidaire de l'arbre de la machine. En plus de la fonction de synchronisation des champs au sein du moteur, le module de commande (scalaire ou vectorielle) permet, en agissant sur les grandeurs d'alimentation, d'asservir une grandeur de sortie mécanique (position, vitesse ou couple) conformément aux consignes données par un opérateur externe. L'objectif de la commande scalaire est d'asservir le courant lu dans les phases en fonction de l'angle électrique moteur. Cela est alors possible en jouant sur la tension aux bornes de chaque phase par une modulation de largeur d'impulsion (MLI). Cette technique présente un inconvénient majeur : la variation dans le temps de la consigne d'asservissement en courant, difficile à tenir en contrôle temps réel (décalage impactant les performances). C'est pourquoi il est plus intéressant de travailler avec la projection des grandeurs dans un repère tournant, et c'est globalement le principe de la commande vectorielle. D'après les équations des flux que nous présentons dans ce chapitre, nous pouvons remarquer la non-linéarité du modèle du moteur synchrone à aimants permanents, qui est due au couplage entre les grandeurs statorique et rotorique. En effet, le principe de la commande vectorielle de la machine synchrone à aimants permanents par orientation
du flux rotorique, consiste à découpler les grandeurs électriques du moteur afin de disposer de variables de contrôle indépendantes [57].

La structure de la commande vectorielle d'un moteur synchrone triphasé est donnée dans le schéma synoptique de la figure 3.4 qui montre les transformées de Park directe et inverse, utilisées pour passer de l'espace triphasé (réel) vers l'espace biphasé $d-q$ (fictif) [63]. Les axes $d-q$ tournent à une vitesse angulaire $\omega$ par rapport au stator. Le contrôleur proportionnel et intégral PI est utilisé pour la boucle de courant. Le resolver est un capteur qui fournit le déplacement $\theta$, notons qu'une commande sans capteurs mécaniques intégrés est possible [1], dans ce cas, l'information relative aux grandeurs internes intervenant dans le contrôle du convertisseur (flux, couple) est reconstruite en temps réel à partir de procédés d'estimation numérique.

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>FIGURE 3.4 – Synoptique de la commande vectorielle d'un moteur triphasé</figcaption></figure>

La transformée de Park s'opère en deux étapes [87] :

- D'abord une transformée triphasé-diphasé où les grandeurs triphasées $G_{abc}$ sont liées aux grandeurs diphasées $G_{0\alpha\beta}$ et homopolaire correspondantes.

- Puis une rotation directe qui permet de passer du repère $(\alpha, \beta)$ vers le repère $(d, q)$ d'un angle $\theta$.

Le choix du référentiel pour la modélisation de la MSAP au sens de l'automatique pour estimer la vitesse et la position à l'arrêt est essentiel ; le cas parfait consiste à utiliser le référentiel de Park lié au rotor. Notons que cette solution n'est adaptée que pour une commande avec capteur, elle devient non adaptée si la commande est sans capteur car
les quatre entrées (deux courants et deux tensions) de l'estimateur seront dépendantes de la position estimée. Dans ce dernier cas, la transformation de Clark lié au stator est adaptée. Notre système étudié est à commande avec capteur embarqué, nous allons donc limiter notre présentation à la transformée de Park dans le repère lié au rotor.

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>FIGURE 3.5 – Schéma général de la machine synchrone dans les repères (a, b, c) et (d, q)</figcaption></figure>

## Modélisation de la MSAP dans le repère de Park

La transformation de Park permet d'obtenir un système équivalent formé par deux enroulements orthogonaux qui sont situés dans le même plan que les enroulements a, b et c voir figure 3.5.

**Equations électriques dans le repère (d − q)** Un système biphasé (d, q) par deux bobines décalées de $\frac{\pi}{2}$ dans l'espace, peut créer un champ tournant identique à celui créé par un système triphasé quelconque (a, b, c). La matrice $[P(\theta_r)]$ qui permet cette transformation est orthogonale, son déterminant vaut 1. Elle est donnée par l'équation 3.12.

$$[P(\theta_r)] = \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix} \cos(\theta_r) & \cos(\theta_r - \frac{2\pi}{3}) & \cos(\theta_r + \frac{2\pi}{3}) \\ -\sin(\theta_r) & -\sin(\theta_r - \frac{2\pi}{3}) & -\sin(\theta_r + \frac{2\pi}{3}) \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} \quad (3.12)$$

L'inverse de la matrice de passage $[P(\theta_r)]$ est égale à sa transposée donnée par l'équation $[P(\theta_r)]^T$ dans 3.13 :
$$[P(\theta_r)]^{-1} = [P(\theta_r)]^T = \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix} \cos(\theta_r) & -\sin(\theta_r) & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos(\theta_r - \frac{2\pi}{3}) & -\sin(\theta_r - \frac{2\pi}{3}) & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos(\theta_r + \frac{2\pi}{3}) & -\sin(\theta_r + \frac{2\pi}{3}) & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} \quad (3.13)$$

En appliquant la transformée de Park sur les grandeurs du stator, la tension des phases A,B,C du stator est alors remplacée par la tension des phases fictives d, q, comme suit :

$$\left\{ \begin{aligned} V_d &= R_s i_d + \frac{d\phi_d}{dt} - \omega_r \phi_q \\ V_q &= R_s i_q + \frac{d\phi_q}{dt} + \omega_r \phi_d \end{aligned} \right. \qquad (3.14)$$

$V_d$ : tension dans l'axe d (direct) [V]

$i_d$ : courant dans l'axe d [A]

$\phi_d$ : flux dans l'axe d [W]

$\omega_r$ : vitesse du rotor [rad/s]

$V_q$ : tension dans l'axe q (quadrature) [V]

$i_q$ : courant dans l'axe q [A]

$\phi_q$ : flux dans l'axe q [W]

**Equations de flux** Les flux peuvent être exprimés par la transformation de Park selon l'équation :

$$[\phi_{dq}] = [P(\theta_r)] \cdot [\phi_{abc}]$$

qui, appliquée à l'équation 3.6 donne :

$$\begin{bmatrix} \phi_d \\ \phi_q \end{bmatrix} = [p(\theta_r)] \begin{bmatrix} L_{sa} & M_{ab} & M_{ac} \\ M_{ba} & L_{sb} & M_{bc} \\ M_{ca} & M_{bc} & L_{sc} \end{bmatrix} [P(\theta_r)]^T \cdot i_f \begin{bmatrix} L_{af} \\ L_{bf} \\ L_{cf} \end{bmatrix} = [P(\theta_r)] \begin{bmatrix} \phi_a \\ \phi_b \\ \phi_c \end{bmatrix} \quad (3.15)$$

Les flux totalisés dans chaque phase s'expriment comme suit :

$$\left\{ \begin{aligned} \phi_d &= L_d i_d + K_e \\ \phi_q &= L_q i_q \end{aligned} \right. \qquad (3.16)$$

avec :

$$K_e = \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \hat{\phi}_{fd},$$

$\hat{\phi}_{fd}$ : valeur crête du flux généré par les aimants lorsque son axe longitudinal est
aligné avec celui de l'un des enroulements statoriques.

$L_d$ et $L_q$ sont les inductances directe et en quadrature respectivement. Elles sont supposées indépendantes de la position de $\theta_r$.

Après application de la transformée de Park, en combinant les expressions des équations 3.14, 3.15 et 3.16, on aboutit aux équations électriques de la MSAP exprimées dans le repère lié au rotor comme suit :

$$ egin{cases} v_d = R_s i_d + L_d \left(\frac{di_d}{dt}\right) - \omega_r L_q i_q \\ v_q = R_s i_q + L_q \left(\frac{di_q}{dt}\right) - \omega_r L_d i_d + K_e \omega_r \end{cases} \quad (3.17) $$

**Couple électromagnétique** L'expression du couple dans le référentiel de Park se détermine du bilan énergétique du MSAP dans ce référentiel là. Le bilan de puissance de la MSAP est donné par l'équation 3.18 :

$$ [v_d i_d + v_q i_q] = [R_s i_d^2 + R_s i_q^2] + \left[\frac{1}{2} L_d \left(\frac{di_d^2}{dt}\right) + \frac{1}{2} L_q \left(\frac{di_q^2}{dt}\right)\right] + [\omega_r \phi_d i_q - \omega_r \phi_q i_d] \quad (3.18) $$

En fonctionnement, toute l'énergie consommée par la machine 3.19 est convertie en énergie magnétique emmagasinée par les inductances du stator 3.20 et une énergie mécanique 3.21 comme l'indique l'équation 3.18. Le terme $P_{js}$ représente la puissance perdue par effet joule au niveau stator 3.22.

$$ P_{fm} = v_d i_d + v_q i_q \quad (3.19) $$

$$ P_{ms} = \frac{1}{2} L_d \left(\frac{di_d^2}{dt}\right) + \frac{1}{2} L_q \left(\frac{di_q^2}{dt}\right) \quad (3.20) $$

$$ P_{tr} = \omega_r \phi_d i_q - \omega_r \phi_q i_d = \omega_r (K_e i_q + (L_d - L_q) i_q i_d) \quad (3.21) $$

$$ P_{js} = R_s i_d^2 + R_s i_q^2 \quad (3.22) $$

L'expression du couple électromagnétique est donnée par la relation suivante :

$$ C_{em} = N_p (K_e i_q + (L_d - L_q) i_q i_d) \quad (3.23) $$

$$ C_{em} = N_p \cdot K_e i_q + N_p \cdot (L_d - L_q) i_q i_d $$

$$ C_{em} = K_t \cdot i_q + N_p \cdot (L_d - L_q) i_q i_d \quad (3.24) $$

avec :
$K_t$ : constante de couple.

### 3.2.6 Modèle d'état de la MSAP

La forme générale du modèle d'état de la MSAP est la suivante :

$$ \begin{cases} \frac{d[X]}{dt} = [A][X] + [B][U] \\ [Y] = [C][X] \end{cases} \qquad (3.25) $$

[X] Vecteur d'état du système,

[A] Matrice d'évolution,

[B] Matrice de commande,

[U] Vecteur de commande,

[Y] Vecteur de sortie (grandeurs mesurables),

[C] Matrice de sortie.

Selon le modèle électrique de la MSAP dans le repère (d-q), les composantes du vecteur d'entrée de la machine sont les tensions $v_d$ et $v_q$ et les composantes du vecteur de sortie sont les courants statoriques $i_d$ et $i_q$.

Les équations électrique de la MSAP peuvent être modélisées par une représentation d'état comme suit :

$$ \frac{d[i_{dq}]}{dt} = \begin{bmatrix} \frac{-R_s}{L_d} & \omega_r \frac{L_q}{L_d} \\ -\omega_r \frac{L_d}{L_q} & \frac{-R_s}{L_q} \end{bmatrix} [i_{dq}] + \begin{bmatrix} \frac{1}{L_d} & 0 \\ 0 & \frac{1}{L_q} \end{bmatrix} [v_{dq}] + \begin{bmatrix} 0 \\ \omega_r K_e \end{bmatrix} \qquad (3.26) $$

### 3.2.7 Modélisation du moteur asynchrone (MAS)

Dans la machine asynchrone (MAS), le rotor tourne à une vitesse légèrement différente de la vitesse de synchronisme. Comme sus-indiqué, il s'agit d'une machine robuste, fiable, de coût modéré, sans besoin de maintenance périodique, capable de démarrer en boucle ouverte et facile à commander pour des applications à vitesse variable ne nécessitant pas une haute précision dynamique. Les moteurs asynchrones sont les mieux adaptés pour une vitesse de rotation constante et exigée. Ses propriétés font que la MAS est parfaitement adaptée pour plusieurs applications industrielles, dont les actionnements aéronautiques.
## Principe de fonctionnement

Le stator de la machine à induction (MAS) est triphasé. Son rotor, à pôles lisses, est soit bobiné soit à cage, dans les deux cas il peut être modélisé par un bobinage triphasé en court circuit, voir figure 3.6. Les enroulements statoriques identiques, alimentés par un système triphasé équilibré de tensions de pulsation $\omega_s$, créent un champ magnétique tournant à la vitesse synchrone :

$$ \Omega_s = \frac{\omega_s}{p} \qquad (3.27) $$

Le champ tournant produit par le stator induit des courants dans les enroulements rotoriques. Ces courants, soumis à l'action du champ magnétique statorique, produisent un couple et le rotor se met en mouvement. Suivant la loi de Lenz, le rotor se met à tourner avec le sens de rotation du champ tournant. Néanmoins, si le rotor tourne à la vitesse de synchronisme, les enroulements rotoriques ne seront plus exposés à un flux variable, et aucun courant n'y sera induit. Le couple produit est nul dans ce cas-là, ce qui fait que la vitesse du rotor $\Omega_e$ ralentit. Lorsque $\Omega_e$ devient inférieure à la vitesse de synchronisme, le rotor ressent un champ magnétique variable, et un couple est produit de nouveau pour accélérer le rotor. La différence relative entre la vitesse de rotation du rotor et la vitesse de synchronisme est appelée le glissement, qui est noté $g$ :

$$ g = \frac{\Omega_s - \Omega_e}{\Omega_s} \qquad (3.28) $$

$$ g = \frac{\omega_s - \omega_e}{\omega_s} \qquad (3.29) $$

La pulsation des courants rotoriques $\omega_r$ est égale à la pulsation du champ tournant vue dans le repère du rotor :

$$ \omega_r = \omega_e - \omega_s \qquad (3.30) $$

$$ = g \cdot \omega_s \qquad (3.31) $$

## 3.2.8 Équations électriques de la MAS dans un repère lié au stator

Les équations électriques régissant le fonctionnement d'une machine asynchrone dans un repère fixe ($sa, sb, sc$) lié au stator et le repère mobile ($ra, rb, rc$), lié au rotor,
<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>FIGURE 3.6 – Modèle dynamique de la machine asynchrone</figcaption></figure>

dont la théorie a été détaillée et développée dans la littérature [48], [60], sont décrites ci-dessous :

$$ \left\{ \begin{aligned} [V_s] &= [R_s][i_s] + \frac{d[\phi_s]}{dt} \\ [V_r] &= 0 = [R_r][i_r] + \frac{d[\phi_r]}{dt} \end{aligned} \right. \qquad (3.32) $$

avec :

$[V_s]$ : Vecteur des tensions statoriques ; $[R_s]$ : Matrice des résistances statoriques ;

$[i_s]$ : Vecteur des courants statoriques ; $[\phi_s]$ : Vecteur des flux statoriques.

$[V_r]$ : Vecteur des tensions rotoriques ; $[R_r]$ : Matrice des résistances rotoriques ;

$[i_r]$ : Vecteur des courants rotoriques ; $[\phi_r]$ : Vecteur des flux rotoriques.

$$ [V_s] = \begin{bmatrix} V_{sa} \\ V_{sb} \\ V_{sc} \end{bmatrix}; [R_s] = \begin{bmatrix} R_s & 0 & 0 \\ 0 & R_s & 0 \\ 0 & 0 & R_s \end{bmatrix}; [i_s] = \begin{bmatrix} i_{sa} \\ i_{sb} \\ i_{sc} \end{bmatrix}; [\phi_s] = \begin{bmatrix} \phi_{sa} \\ \phi_{sb} \\ \phi_{sc} \end{bmatrix} $$

$R_s$ : résistance d'une phase statorique.

$$ [V_r] = \begin{bmatrix} V_{ra} \\ V_{rb} \\ V_{rc} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}; [R_r] = \begin{bmatrix} R_r & 0 & 0 \\ 0 & R_r & 0 \\ 0 & 0 & R_r \end{bmatrix}; [i_r] = \begin{bmatrix} i_{ra} \\ i_{rb} \\ i_{rc} \end{bmatrix}; [\phi_r] = \begin{bmatrix} \phi_{ra} \\ \phi_{rb} \\ \phi_{rc} \end{bmatrix} $$

$R_r$ : résistance d'une phase rotorique.

Les flux totalisés $[\phi_s]$ des phases statoriques s'écrivent dans le repère lié au stator
sous la forme matricielle suivante :

$$[\phi_s] = [L_{ss}] \cdot [i_s] + M_{sr}[R(\theta_e)] \cdot [i_r] \quad (3.33)$$

Les flux totalisés [$\phi r$] des phases rotoriques dans le repère lié au rotor sont donnés sous la forme matricielle suivante :

$$[\phi_r] = [L_{rr}] \cdot [i_r] + M_{sr}[R(\theta_e)] \cdot [i_s] \quad (3.34)$$

avec :

$$[L_{ss}] = \begin{bmatrix} L_{sa} & M_{ab} & M_{ac} \\ M_{ba} & L_{sb} & M_{bc} \\ M_{ca} & M_{cb} & L_{sc} \end{bmatrix} \quad \text{est la matrice des inductances statoriques.}$$

$L_{sa}, L_{sb}, L_{sc}$ : inductances propres des phases a, b et c respectivement.

$M_{ab}, M_{ac}, M_{ba}, M_{bc}, M_{ca}$ et $M_{ac}$ : inductances mutuelles entre les phases a, b et c deux à deux. $M_{sr}$ est un scalaire, c'est la valeur maximale de l'inductance mutuelle entre un enroulement du rotor et un du stator.

$$[L_{rr}] = \begin{bmatrix} L_{ra} & M_{ab} & M_{ac} \\ M_{ba} & L_{rb} & M_{bc} \\ M_{ca} & M_{cb} & L_{rc} \end{bmatrix} \quad \text{est la matrice des inductances rotoriques.}$$

$L_{ra}, L_{rb}, L_{rc}$ : inductances propres des phases a, b et c respectivement.

$$[R(\theta_e)] = \begin{bmatrix} \cos(\theta_e) & \cos(\theta_e - \frac{4\pi}{3}) & \cos(\theta_e - \frac{2\pi}{3}) \\ \cos(\theta_e - \frac{2\pi}{3}) & \cos(\theta_e) & \cos(\theta_e - \frac{4\pi}{3}) \\ \cos(\theta_e - \frac{4\pi}{3}) & \cos(\theta_e - \frac{2\pi}{3}) & \cos(\theta_e) \end{bmatrix} \quad (3.35)$$

$[R(\theta_e)]$ est une matrice circulante.

$\theta_e = N_p \cdot \theta_m$ position du rotor.

Des équations 3.32 et 3.33 on peut écrire :

$$[V_s] = [R_s] \cdot [i_s] + \frac{d\{[L_{ss}][i_s]\}}{dt} + \frac{d\{M_{sr}[R(\theta_e)][i_s]\}}{dt} \quad (3.36)$$

$$[V_s] = [R_s] \cdot [i_s] + [L_{ss}] \frac{d[i_s]}{dt} + M_{sr} \frac{d[I_r]}{dt} + \omega_e \cdot M_{sr} \frac{d[i_r]}{d\theta_e} \quad (3.37)$$
avec : $[i_r] = \begin{bmatrix} i_{ra} \\ i_{rb} \\ i_{rc} \end{bmatrix}$ vecteur des courants rotoriques. Et :

$$[V_r] = [R_r] \cdot [i_r] + \frac{d\{[L_{rr}][i_r]\}}{dt} + \frac{d\{M_{sr}[R(\theta_e)][i_r]\}}{dt} \quad (3.38)$$

$$[V_r] = [R_r] \cdot [i_r] + [L_{rr}] \frac{d[i_r]}{dt} + M_{sr} \frac{d[I_s]}{dt} + \omega_e \cdot M_{sr} \frac{d[i_s]}{d\theta_e} = 0 \quad (3.39)$$

On rappelle que, puisque les enroulements rotoriques sont en court-circuit, les tensions rotoriques sont nulles.

### 3.2.9 Équation mécanique de la MAS

L'équation fondamentale de la mécanique, selon la loi de mouvement de Newton de la machine électrique est :

$$J \cdot \frac{d\Omega}{dt} + f \cdot \Omega = C_{em} - C_r \quad (3.40)$$

avec :

$$\omega_r = N_p \cdot \Omega$$

$\omega_r$ vitesse angulaire électrique du rotor.

$\Omega$ vitesse angulaire mécanique réelle du rotor.

$J$ : moment d'inertie total ramené sur l'arbre du moteur;

$f$ : coefficient de frottement visqueux;

$C_{em}$ : couple électromagnétique délivré par le moteur;

$C_r$ : le couple résistant appliqué sur l'arbre du moteur.

### 3.2.10 Équation du couple électromagnétique de la MAS

Le couple électromagnétique produit par la machine est calculé par l'équation suivante :

$$C_m = N_p \cdot [i_s]^T \cdot M_{sr} [R(\theta_e + \frac{\pi}{2})] \cdot [i_r] \quad (3.41)$$
### 3.2.11 Commande du moteur asynchrone

Comme pour la machine synchrone, on distingue deux types de commandes; la commande scalaires qui permet un contrôle des grandeurs en amplitude seulement et la commande vectorielle qui permet un contrôle des grandeurs en amplitude et en phase.

Le contrôle de la machine asynchrone requiert le contrôle du couple, de la vitesse ou même de la position. Le contrôle le plus primaire est celui des courants et donc du couple, puisque l'on a vu dans l'équation 3.41 que le couple est fonction des courants. Après la régulation du couple, on peut réguler la vitesse. Pour augmenter la vitesse on impose un couple positif, pour la diminuer, un couple négatif.

La structure de la commande vectorielle d'un moteur asynchrone triphasé est donnée dans le schéma synoptique de la figure 3.4 qui montre les transformées de Park directe et inverse, précédemment décrites, utilisées pour passer de l'espace triphasé (réel) vers l'espace biphasé $d-q$ (fictif) [63]. Les axes $d-q$ tournent à une vitesse angulaire $\omega$ par rapport au stator.

#### Modélisation de la MAS dans le repère de Park

La mise en équations des moteurs triphasés conduit à des équations différentielles à coefficients variables 3.36. L'étude analytique du comportement du système peut s'avérer fastidieuse. La transformée de Park, qui rappelons-le est une transformation mathématique qui permet de décrire le comportement de la machine avec des équations différentielles mais à coefficients constants, nous permet aussi une représentation biphasé de la machine. Les matrices de la transformée de Park et sa mise en application sont données par les équations 3.12, 3.13 et 3.15.

Le modèle de la machine asynchrone dans le repère (d-q) s'écrit comme suit :

#### Transformée de Park sur les grandeurs du stator

$$ \begin{cases} V_d = R_s i_d + \frac{d\phi_d}{dt} - \omega_s \phi_q \\ V_q = R_s i_q + \frac{d\phi_q}{dt} + \omega_s \phi_d \end{cases} \qquad (3.42) $$
## Transformée de Park sur les grandeurs du rotor

$$ egin{cases} V_d = R_s i_d + \frac{d\phi_d}{dt} - \omega_r \phi_q \\ V_q = R_s i_q + \frac{d\phi_q}{dt} + \omega_r \phi_d \end{cases} \qquad (3.43) $$

## Équations de flux

La transformée de Park qui projette les grandeurs triphasées statoriques et rotoriques du flux sur le repère diphasé (d-q) s'exprime comme suit :

$$ [\phi_{s-dq}] = [L_s][i_s] + M_{sr} \cdot [R(\theta)][i_r] \qquad (3.44) $$

$$ [\phi_{r-dq}] = [L_r][i_r] + M_{sr} \cdot [R(\theta)][i_s] \qquad (3.45) $$

Après développement :

$$ \phi_{sd} = L_s \cdot i_{sd} + \frac{3}{2} M_{sr} i_{rd} \qquad (3.46) $$

$$ \phi_{sq} = L_s \cdot i_{sq} + \frac{3}{2} M_{sr} i_{rq} \qquad (3.47) $$

$$ \phi_{rd} = L_r \cdot i_{rd} + \frac{3}{2} M_{sr} i_{sd} \qquad (3.48) $$

$$ \phi_{rq} = L_r \cdot i_{rq} + \frac{3}{2} M_{sr} i_{sq} \qquad (3.49) $$

## Couple électromagnétique

L'expression du couple dans le repère (d-q) est la suivante :

$$ C_m = p \cdot [i_s] \cdot M_{sr} \cdot [R(\theta_e)] \cdot [i_r] \qquad (3.50) $$

$$ C_m = p \cdot \frac{3}{2} M_{sr} (i_{sq} \cdot i_{rd} - i_{sd} \cdot i_{rq}) \qquad (3.51) $$
### 3.2.12 Modèle d'état de la MAS

Nous présentons ici le modèle où l'état correspond aux courants statoriques $i_s$ et aux flux rotoriques $\phi_r$ exprimés dans le repère (d-q) :

$$ egin{cases} \frac{di_s}{dt} = -\gamma I_2 i_s + K \left( \frac{1}{T_r} - p\omega J_2 \right) \phi_r + \frac{1}{\sigma L_s} u_s \\ \frac{d\phi_r}{dt} = \frac{M}{T_r} i_s - \left( \frac{1}{T_r} - p\omega J_2 \right) \phi_r \end{cases} \quad (3.52) $$

$\gamma = \frac{R_s}{\sigma L_s}$ avec :

$\sigma = 1 - \frac{M^2}{L_s L_r}$ est le coefficient de dispersion de Blondel. On rappelle que $M = \frac{2}{3} M_{sr}$.

$I_2 = P[0] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ est une matrice identité de la rotation d'un angle nul.

$K = \frac{M}{\sigma L_s L_r}$

$T_r = \frac{L_r}{R_r}$

$J_2 = P[\frac{\pi}{2}] = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ est la matrice de la rotation d'un angle $\pi/2$. C'est l'analogue matriciel de l'imaginaire pur $j$.

## 3.3 Modélisation dynamique de l'EMA à sortie en rotation

L'approche choisie pour la modélisation de l'EMA en vue de réaliser une méthode de diagnostique robuste est la méthode des bond-graph. Cette méthode sert à situer chaque composant par rapport au système global tout en définissant les interfaces ainsi que les échanges de puissance entre les différents composants. La modélisation de chaque élément s'effectue d'une manière distincte en respectant les exigences préalablement définies par le formalisme Bond-graph. Le modèle obtenu est implémenté dans un environnement de co-simulation. Dans le cadre de cette thèse nous avons opté pour le logiciel Amesim® qui permet une modélisation réaliste et robuste des composants et des phénomènes selon une approche physique dite multi-ports.

Le schéma synoptique simpliste de la figure 3.7 montre une vue d'ensemble des échanges de signaux et de puissances dans un EMA à sortie en rotation. $\theta_{ref}$ est la
## 3.4. Bond-graph à mots de l'EMA

93

commande en rotation (radian), $C^*$ est le couple de référence de commande du moteur ($N.m$). $U_s$ et $I_s$ sont les tension ($V$) et courant ($A$) de l'alimentation électrique respectivement. $C_c$ et $\omega_c$ sont, respectivement, le couple ($N.m$) et la vitesse angulaire ($rad/s$) que l'EMA fournit à la charge. $C_{ext}$ et $\omega_{ext}$ sont le couple ($N.m$) et la vitesse angulaire ($rad/s$) de la perturbation aérodynamique. Les grandeurs : $i, \omega, \theta$ et $C$ sont le courant ($A$), la vitesse de rotation ($rad/s$), la position angulaire ($rad$) et le retour de couple ($N.m$) respectivement. Les flèches représentent un échange de signal et les demi-flèches, du formalisme bond graph, représentent un échange d'énergie donc un échange de deux variables de puissance (exemple couple et vitesse angulaire). La position et la vitesse angulaire du moteur sont fournis par le resolver qui un capteur intégré au moteur.

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>FIGURE 3.7 – Synoptique de la structure de l'EMA</figcaption></figure>

## 3.4 Bond-graph à mots de l'EMA

Le bond graph à mot de la figure 3.8 met en évidence l'échange de puissance entre les différents sous-systèmes de la structure à modéliser, comme représenté dans le synoptique de la figure 3.7. Ces différentes parties se résument en :

- une structure de contrôle pour assurer que l'EMA agit selon la commande tout en rejetant toute perturbation.

- une électronique de puissance (EDP) qui mesure la puissance fournie au moteur par l'alimentation.

- un moteur électrique qui transforme l'énergie électrique en énergie mécanique
- un réducteur qui assure la transmission mécanique en transformant une énergie à grande vitesse angulaire/faible couple en faible vitesse/grand couple.

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>FIGURE 3.8 – Bond graph à mots de l'EMA</figcaption></figure>

### 3.4.1 Modèle de la structure de commande d'un EMA

Typiquement l'EMA est une boucle d'asservissement de position (comme indiqué dans la figure 3.9) qui, dans un aéronef, doit suivre la demande du pilote ou du pilote automatique et doit rejeter la perturbation qui est générée par les actions aérodynamiques. La manière la plus courante de contrôler l'EMA est d'utiliser une structure en cascade. Elle comprend trois boucles de base : la boucle de courant (intérieure), la boucle de vitesse (centrale) et la boucle de position (extérieure). Si nécessaire, un capteur de force peut être inséré entre la tige de l'EMA et la surface de contrôle de vol afin d'atteindre la performance de rejet de la perturbation grâce à un retour de force supplémentaire [39]. La conception du contrôleur est généralement basée sur l'approche linéaire et implique des correcteurs proportionnels et intégraux série. En règle générale, les exigences de performance considérées pour les systèmes de contrôle en boucle fermée concernent principalement la stabilité, la rapidité et la précision pour la poursuite de la position et le rejet de la perturbation de la charge aérienne.

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>FIGURE 3.9 – Bloc diagramme de la structure de commande de l'EMA</figcaption></figure>

Le schéma-bloc générique de la structure de commande du moteur électrique triphasé a été présenté dans la figure 3.4.Y sont représentées les trois tensions du varia-teur, $U_{aref}$, $U_{bref}$ et $U_{cref}$, qui génèrent les tensions appliquées aux phases du moteur en