# Modélisation du microformage par un modèle à gradient de plasticité et un modèle cœur-peau

Nicolas Pernin, Jérôme Chambert, Philippe Picart

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Nicolas Pernin, Jérôme Chambert, Philippe Picart. Modélisation du microformage par un modèle à
gradient de plasticité et un modèle cœur-peau. 17e Congrès Français de Mécanique, 2005, Troyes,
France. pp.1-6. hal-00020705

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Submitted on 28 Apr 2023

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# Modélisation du micro-formage par un modèle à gradient de plasticité et un modèle cœur-peau

Nicolas Pernin, Jérôme Chambert & Philippe Picart

Institut FEMTO-ST – UMR 6174
Département de Mécanique Appliquée (LMARC)
24, rue de l'Epitaphe, 25000 Besançon
nicolas.pernin@univ-fcomte.fr

## Résumé :

La modélisation des procédés de mise en forme de pièces métalliques en faibles dimensions (quelques mm³) nécessite de tenir compte de phénomènes appelés effets d'échelle. Afin de traiter ce problème, deux approches distinctes sont présentées dans ce travail : un modèle à gradient de plasticité et un modèle cœur-peau. La première approche consiste à prendre en considération les déformations et les gradients de déformation. Le Laplacien de la déformation plastique équivalente à un certain point d'intégration est déterminé à partir des dérivées d'un polynôme, qui est interpolé en utilisant les valeurs du multiplicateur plastique aux points d'intégration voisins. La seconde approche est un modèle appelé cœur-peau qui consiste à modéliser le comportement du matériau en distinguant le cœur (partie interne) de la peau (partie externe). Enfin, l'implémentation numérique de ces modèles sera testée sur une éprouvette trouée soumise à un chargement de traction uniaxiale.

## Abstract :

The modelling of metal forming for small mechanical components, about few mm³, needs in a significant way to take account of phenomena related to size effects. The paper focuses on two different approaches: the first one consists in the analysis of deformation not only in terms of strain but also of strain gradients. Here the Laplacian of the effective plastic strain at an integration point is evaluated from the derivatives of a polynomial, which is interpolated by using the values of the plastic multiplier in the neighbouring of this integration point. The second one consists in a surface layer modelling, where two different materials are considered: the surface and the inner material. Finally, these modelling are investigated on a 2D tensile test for a specimen with a centred hole.

## Mots clefs :

forgeage ; MEF ; effets d'échelle ; modèle à gradient ; effet de surface libre.

## 1 Introduction

Dans les domaines de la mécanique de précision, de l'automobile, de l'électronique, de l'aéronautique et dans toutes les applications nécessitant des micro capteurs ou actionneurs, l'utilisation de procédés de mise en forme comme le forgeage pour la réalisation de pièces de petites dimensions est encore limitée par la compréhension de l'effet de la réduction de taille sur le comportement du matériaux. Dans de nombreux cas, le comportement du matériau ne peut pas être étudié par des approches conventionnelles macroscopiques. L'objectif de cet article est de présenter deux nouvelles approches : la première est fondée sur la théorie du gradient de déformation plastique, le comportement du matériau est analysé en fonction de la déformation et du taux de déformation ; la seconde est un modèle cœur-peau pour lequel la structure est constituée d'une partie interne (le cœur) et d'une partie externe (la peau) ayant des comportements distincts.
La première section décrit comment le Laplacien de la déformation plastique équivalente est pris en compte dans le cadre du modèle à gradient de plasticité proposé : comme dans [2], le Laplacien à un point d'intégration est évalué à partir des dérivées d'un polynôme, qui est interpolé en utilisant les valeurs du multiplicateur plastique calculés aux points d'intégration voisins. Le voisinage utilisé représente le plus petit recouvrement d'une sphère centrée sur le point d'intégration considéré. Le rayon de cette sphère est lié à un paramètre de longueur interne caractéristique du matériau.

Une modélisation de type cœur-peau est présentée dans la deuxième section. Des études expérimentales sur des essais de forgeage de structures volumiques à taille de grain constante ont montré que la contrainte d'écoulement décroit lorsque la taille des échantillons est réduite de manière homothétique [3]. Ces résultats expérimentaux peuvent s'expliquer par l'effet de « surface libre » : le taux de grains de surface augmente lorsque la taille des éprouvettes diminue [1]. Un modèle cœur-peau est alors proposé, pour lequel le matériau est subdivisé en deux parties : une partie interne (le cœur) et une partie externe (la peau) ayant des comportements distincts.

Dans la troisième partie, les formulations proposées sont appliquées pour simuler des essais de traction d'une éprouvette trouée.

## 2 Modèle non-local à gradient de plasticité

Pour introduire l'aspect non-local d'un modèle à gradient de plasticité, il est nécessaire de présenter quelques notations. Définissons un voisinage autour de chaque point d'intégration $X_i$, considérons un paramètre de longueur interne $l_c$ et la sphère $B(X_i, l_c)$ centrée sur le point d'intégration considéré $X_i$ avec un rayon $l_c$. Le voisinage du point $X_i$ représente le plus petit recouvrement de la sphère $B(X_i, l_c)$ de volume $V$ (figure 1). $\Delta\lambda$ est la valeur du multiplicateur plastique au point $X_i$ pour un incrément de chargement donné.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG. 1 – Détermination du volume $V$ autour du point $X_i$.</figcaption></figure>

### 2.1 Détermination du Laplacien du multiplicateur plastique

Pour déterminer le Laplacien $\nabla^2\Delta\lambda$ en chaque point d'intégration $X_i$, nous avons considéré les points d'intégration dans le voisinage $V$ du point $X_i$. Soit $N_i$ le nombre de points d'intégration « voisins » de $X_i$ contenus dans le volume $V$. Les valeurs de $\Delta\lambda$ aux $N_i$ points d'intégration sont utilisées pour calculer le Laplacien au point $X_i$ suivant la formule :

$$ \nabla^2 \Delta \lambda \sum_{j=1}^{N_i} g_{ij} \Delta \lambda_j \quad (1) $$

Les coefficients $g_{ij}$ sont déterminés en utilisant un polynôme complet du second ordre dans l'espace tridimensionnel. Le multiplicateur plastique au point $X_i$ s'écrit alors sous la forme matricielle :

$$ \Delta\lambda a^T v \quad (2) $$
où $a [a_1 \ a_2 \ a_3 \ a_4 \ a_5 \ a_6 \ a_7 \ a_8 \ a_9 \ a_{10}]^T$ et $v [1 \ xy \ z \ x^2 \ y^2 \ z^2 \ xy \ yz \ zx]^T$

Les valeurs de $\Delta\lambda$ sont connues aux points d'intégration de coordonnées $X_k(x_k, y_k, z_k)$ avec $k=1, \dots, N_i$, ce qui conduit au système suivant :

$$ \begin{bmatrix} \Delta\lambda_1 \\ \Delta\lambda_2 \\ \vdots \\ \Delta\lambda_{N_i} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & x_1 & y_1 & z_1 & x_1^2 & \dots & z_1 x_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 & x_2^2 & \dots & z_2 x_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{N_i} & y_{N_i} & z_{N_i} & x_{N_i}^2 & \dots & z_{N_i} x_{N_i} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_{10} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e_1 \\ e_2 \\ \vdots \\ e_{N_i} \end{bmatrix} \Leftrightarrow \Delta\Lambda \ M^T a + e \quad (3) $$

Le vecteur $\Delta\Lambda [\Delta\lambda_1 \cdots \Delta\lambda_{N_i}]^T$ représente les valeurs du multiplicateur plastique aux points d'intégration voisins du point $X_i$. Le vecteur $e [e_1 \cdots e_{N_i}]^T$ représente les valeurs de l'erreur entre les valeurs connues et les valeurs approchées par le polynôme. Le vecteur $a$ est obtenu à partir d'une méthode des moindres carrés en utilisant :

$$ \text{Errure} \sum_{j=1}^{N_i} (\Delta\lambda \ \Delta\lambda_j)^2 $$

Pour minimiser les erreurs, nous devons résoudre un système de $(N_i + 10)$ équations, qui s'écrit :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \Delta\Lambda & M^T a + e \\ \frac{\partial(e^T e)}{\partial a} & 0 \end{array} \right. \qquad (4) $$

En multipliant les deux membres de l'équation (4) par $M$, on obtient $Ga M\Delta\Lambda$ où $G$ est définie par :

$$ G = MM^T = \begin{bmatrix} \Sigma 1 & \Sigma x_j & \Sigma y_j & \Sigma z_j & \Sigma x_j^2 & \dots & \Sigma z_j x_j \\ \Sigma x_j^2 & \Sigma x_j y_j & \Sigma x_j z_j & \Sigma x_j^3 & \dots & \Sigma z_j x_j^2 \\ \Sigma y_j^2 & \Sigma y_j z_j & \Sigma x_j^2 y_j & \Sigma x_j^2 z_j & \dots & \Sigma x_j y_j z_j \\ \multicolumn{7}{c}{\text{sym}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \Sigma z_j^2 x_j^2 & \end{bmatrix} $$

Dans cette matrice, le symbole $\Sigma$ représente la somme de $j=1$ à $N_i$. La matrice $M$ est définie par $M [v_1 \ v_2 \ \dots \ v_j \ \dots \ v_{N_i}]$ où $v_j$ représente le vecteur $v$ déterminé au $j^{\text{ème}}$ point d'intégration voisin. Le vecteur $a$ peut s'exprimer alors en fonction de $\Delta\Lambda$ par :

$$ a \ G^1 M \Delta\Lambda \ G^1 \sum_{j=1}^{N_i} \Delta\lambda_j v_j \quad (5) $$

En utilisant les équations (2) et (5), l'expression du Laplacien $\nabla^2\Delta\lambda$ devient finalement :

$$ \nabla^2 \Delta \lambda = 2(a_5 + a_6 + a_7) \qquad (6) $$

Pour exprimer $\nabla^2\Delta\lambda$ explicitement en fonction de $\Delta\lambda_j (j \in N_i)$, les coefficients $g_{ij}$ de l'équation (1) sont déterminés par $g_{ij} \ g^T v_j$ avec $g^T = 2 \times (5^{\text{ème}} \text{ ligne de } G^1 + 6^{\text{ème}} \text{ ligne de } G^1 + 7^{\text{ème}} \text{ ligne de } G^1)$.
## 2.2 Formulation du gradient

La déformation plastique équivalente non-locale $\tilde{\epsilon}$ au point d'intégration $X_i$ est obtenue par la moyenne des valeurs locales aux points voisins en utilisant une fonction de pondération :

$$ \tilde{\epsilon}(X_i) = \frac{1}{\phi(X_i)} \int_V \psi(X_j, X_i) \epsilon(X_j) dV \quad (7) $$

où $X_i$ est le vecteur position du point d'intégration considéré et $X_j$ ($j \in N_i$) le vecteur position d'un des points d'intégration voisins inclus dans le volume $V$ déterminé précédemment. $\psi(X_j, X_i)$ représente une fonction de pondération et la fonction $\phi(X_i)$ est définie par :

$$ \phi(X_i) = \int_V \psi(X_j, X_i) dV $$

Le matériau étant supposé homogène et isotrope, la fonction $\psi(X_j, X_i)$ ne dépend que de la distance $\rho = |X_i - X_j|$ entre les points $X_j$ et $X_i$: $\psi(X_j, X_i) = \psi(\rho)$. De nombreuses fonctions $\psi(\rho)$ ont été proposées dans la littérature. La fonction gaussienne (fig. 2) semble être la plus communément utilisée [4] :

$$ \psi(\rho) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}l_c^3} \exp\left[ -\frac{\rho^2}{2l_c^2} \right] \quad \text{et} \quad \int_{IR^3} \psi(\rho) dV = 1 $$

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIG. 2 – Fonction de pondération de type gaussienne.</figcaption></figure>

De manière identique à [5], l'intégrale (7) est réécrite en fonction des gradients de déformation en développant $\epsilon(X_j)$ en série de Taylor :

$$ \epsilon(X_j) = \epsilon(X_i) + \frac{\partial \epsilon}{\partial X_{ik}}(X_{jk}, X_{il}) + \frac{1}{2!} \frac{\partial^2 \epsilon}{\partial X_{ik} \partial X_{il}}(X_{jk}, X_{il})(X_{jl}, X_{il}) + \dots \quad (8) $$

où $X_{jk}$ est la $k^{ème}$ composante du vecteur $X_j$. En incorporant (8) dans (7) et après calcul, on obtient :

$$ \tilde{\epsilon}(X_i) = \epsilon(X_i) + c_k \frac{\partial^2 \epsilon}{\partial X_{ik}^2} + \dots \quad \text{et} \quad c_k = \frac{1}{2! \phi(X_i)} \int_V \psi(\rho) (X_{jk} - X_{il})^2 dV \quad (9) $$

Les coefficients $c_k$ ($k=1$ à 3) sont égaux $c_k$, si bien que l'équation (9) devient :

$$ \tilde{\epsilon} = \epsilon + c \nabla^2 \epsilon \quad \text{avec} \quad \nabla^2 \sum_k \frac{\partial^2}{\partial X_{ik}^2} \quad (10) $$
Dans le contexte d'une formulation par éléments finis de type incrémentale, une difficulté majeure est de déterminer $\tilde{\varepsilon}$ pour chaque point d'intégration au temps $t + \Delta t$. En effet, les valeurs locales $\varepsilon$ aux points voisins n'ont pas encore été nécessairement toutes calculées au temps $t + \Delta t$. Dans ce article, les valeurs non- locales de $\tilde{\varepsilon}$ au temps $t + \Delta t$ sont calculées à partir des valeurs non- locales obtenues au temps $t$.

### 3 Modèle cœur-peau

Pour une taille de grain constante, le taux de grains de surface augmente lorsque la taille des éprouvettes est réduite de manière homothétique par un facteur d'échelle $\lambda$ (voir figure 3). D'après [3], il apparaît alors un effet de surface libre, qui peut être décrit en décomposant le matériau en une partie interne (le cœur) et une partie externe (la peau) ayant des comportements distincts. Généralement, les grains de surface sont moins résistants que les grains à cœur.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIG. 3 – Définition des grains de surface et des grains internes pour des éprouvettes homothétiques.</figcaption></figure>

Afin de tenir compte de cet effet de surface libre, nous avons développé une modélisation par éléments finis dans laquelle il est possible d'introduire deux lois constitutives différentes : une pour le cœur et une autre pour la peau. Une procédure automatique, qui permet de sélectionner des couches d'éléments finis externes, a été développée pour des maillages 2D et 3D (figures 4.1 et 4.2). Cette procédure permet également de prendre en considération les symétries du problème (figures 4.3 et 4.4).

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIG. 4 – Sélection automatique des couches d'éléments externes : (1) une couche, (2) deux couches, (3) et (4) prise en compte des conditions de symétrie.</figcaption></figure>

### 4 Test numérique de validation

Les modèles proposés ont été implémentés dans le code de calcul par éléments finis POLYFORM, développé dans notre laboratoire pour des problèmes élasto-plastiques 2D et 3D en grandes déformations. Afin de valider les modèles, un essai de traction sur une éprouvette trouée a été simulé en déformation plane en utilisant les trois modèles élasto-plastiques : local classique, non-local à gradient de plasticité et cœur-peau. Les dimensions de l'éprouvette sont représentées sur la figure 5.1. Du fait des symétries, seulement un quart de l'éprouvette est discrétisé en utilisant des éléments à 4 nœuds avec 4 points d'intégrations. Trois discrétisations ont été utilisées pour étudier la dépendance au maillage (figures 5.2, 5.3 et 5.4).
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIG. 5 – (1) Géométrie et conditions de chargement ; (2) maillage grossier ($l_e$=0,5 mm) ; (3) maillage intermédiaire ($l_e$=0,25 mm) ; (4) maillage raffiné ($l_e$=0,125 mm)</figcaption></figure>

La condition de chargement consiste à appliquer un déplacement imposé vertical $u$ de 0,5 mm sur la partie supérieure de l'éprouvette en utilisant 250 incréments de charge. Le module de Young et le coefficient de Poisson sont respectivement égaux à 200 MPa et à 0,3. La loi de comportement prend la forme suivante :

$$ \bar{\sigma} \quad \sigma_0(k + \bar{\epsilon})^n \qquad (11) $$

où $\sigma_0$ et $k$ sont des constantes du matériau et $n$ l'exposant d'écrouissage. Pour le modèle local classique et le modèle non-local à gradient, le comportement est donné par ($\sigma_0$=500 MPa ; $k$=1 ; $n$=0,2).

## 4.1 Résultats numériques pour le modèle cœur-peau

Le comportement du matériau est donné par : ($\sigma_0$=500 MPa ; $k$=1 ; $n$=0,2) à cœur et ($\sigma_0$=480 MPa ; $k$=0,8 ; $n$=0,1) sur la peau. L'épaisseur de la couche en surface est de 0,5 mm correspondant à la taille de grain. La courbe force-déplacement est correctement décrite par le modèle cœur-peau (figure 6). On remarque également que l'effort obtenu par le modèle cœur-peau est plus faible que celui simulé par le modèle élasto-plastique local conventionnel. En outre, la dépendance au maillage est importante.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIG. 6 – Evolution des courbes force-déplacement pour les modèles local et cœur-peau avec trois maillages différents.</figcaption></figure>
## 4.2 Résultats numériques pour le modèle non-local à gradient de plasticité

Pour tester le modèle, une valeur non réaliste du paramètre *c* a été choisie : -50 MPa·mm⁻¹. Sur la figure 7, la valeur maximale de la déformation plastique équivalente obtenue par le modèle local évolue de 31% pour 105 éléments à 57% pour 1473 éléments, alors qu'elle reste à environ 41% pour le modèle non-local quel que soit le raffinement du maillage. En outre, la distribution de la déformation plastique équivalente obtenue par le modèle non-local est relativement indépendante du maillage contrairement à celle obtenue par le modèle local classique.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIG. 7 – Distributions de la déformation plastique équivalente pour les modèles local et non-local.</figcaption></figure>

## 5 Conclusion

Deux modèles ont été implémentés dans le code de calculs par éléments finis POLYFORM pour des conditions de chargement quasi-statique afin de tenir compte, premièrement des effets de la réduction de taille sur le comportement du matériau, et deuxièmement de la dépendance vis-à-vis du maillage. Le modèle cœur-peau permet de séparer les comportements interne et externe du matériau afin de considérer le taux des grains de surface. Le modèle non-local à gradient de plasticité permet de réduire la dépendance au maillage et de prendre en considération les effets de la microstructure. Ces modèles seront très prochainement appliqués à des procédés de mise en forme des métaux tels que le découpage de précision et le micro-forgeage afin d'améliorer la simulation numérique de ces derniers.

## Références

[1] U. Engel et R. Ecksrein. Microforming from basic research to its realisation. *J. Mater. Proc. Techn.*, 125-126 :35-44, 2002.

[2] X. Li et S. Cescotto. Finite element method for gradient plasticity at large strains. *Int. J. Numer. Methods Engrg.*, 39 :619-633, 1996.

[3] A. Messner, U. Engel, R. Kals et F. Vollertsen. Size effect in the FE-simulation of micro-forming processes. *J. Mater. Proc. Techn.*, 45 :371-376, 1994.

[4] G. Pijaudier-Cabot et Z.P. Bazant. Nonlocal damage theory. *J. Engrg. Mech.*, 113 :1512-1533, 1987.

[5] Z.P. Bazant, T. Belytschko et T.P. Chang. Continuum theory for strain softening. *J. Engrg. Mech.*, 110(12) :1666-1692, 1984.