Nous aboutissons à la relation de dispersion non quadratique

$$
\[
\check{\zeta}_Q \equiv (\check{z}_q - 2\check{\Delta})\check{\Delta} \stackrel{\check{Q}\text{fixé}}{=} -C\check{Q}^2 \left\{ 1 + \check{\Delta}^{-1/2} \left[ \frac{i\sqrt{2}}{\pi\sqrt{C}}(r-r^*) + \frac{3i/2}{\pi\sqrt{C}}(r+r^*) \right] + O(\check{\Delta}^{-1}) \right\} \tag{149}
\]
$$

avec les notations $C = \frac{128}{\pi^3} [\Gamma(5/4)]^4$ et $r = (1+iC^{1/2} \check{Q})^{1/2}$. À faible $\check{Q}$, on peut faire l'approximation $r \approx 1$; on retrouve les deux premiers termes du développement (86) du coefficient du départ quadratique de la branche, soit l'ordre dominant pour la partie réelle et pour la partie imaginaire. À grand $\check{Q}$, on peut faire l'approximation $r \approx \exp(i\pi/4)C^{1/4} \check{Q}^{1/2} + \exp(-i\pi/4)C^{-1/4} \check{Q}^{-1/2}/2$, ce qui donne naissance à des contributions en $\check{Q}^2$, $\check{Q}^{5/2}$ et $\check{Q}^{3/2}$; on retrouve alors la limite à faible $\check{q}$ du développement (136).$^{37}$ Le raccordement est parfait, et il n'existe pas, dans la branche du continuum de type II près du point d'annulation du potentiel chimique, d'autre échelle de nombre d'onde que $\check{q} \approx \check{\Delta}^{-1/2}$ et $\check{q} \approx \check{\Delta}^0$. Pour être complets, développons les résidus dans les voies de phase et de module, et le déphasage entre ces deux voies conduisant au résidu global maximal :

$$
|\check{Z}_-| \stackrel{\check{Q}\text{fixé}}{=} \frac{16\check{Q}}{\check{\Delta} \to +\infty \check{\Delta}^{1/2}} \left[ 1 - \frac{\sqrt{2}\check{Q}\operatorname{Re}r}{2\pi\check{\Delta}^{1/2}\sqrt{1+C\check{Q}^2}} + O(\check{\Delta}^{-1}) \right], \quad |\check{Z}_+| \stackrel{\check{Q}\text{fixé}}{\sim} \frac{8C\check{Q}^3}{\check{\Delta} \to +\infty \check{\Delta}^{5/2}} \quad \text{et} \quad \theta + \frac{\pi}{2} \stackrel{\check{Q}\text{fixé}}{=} \frac{\check{\Delta}^{-1/2} \operatorname{Re}r}{\pi\sqrt{C}} \tag{150}
$$

4.8. Prolongement analytique pour $\mu > 0$ par les fenêtres $\epsilon > \epsilon_2(q)$ et cas $\mu < 0$

Nous examinons brièvement dans cette section la ou les branches d'excitation collective du
continuum obtenues par prolongement analytique de l'équation aux énergies propres à travers
des intervalles en énergie autres que [$\epsilon_1(q)$, $\epsilon_2(q)$]. Rappelons que les points de branchement
$\epsilon_i(q)$ de l'équation et leur domaine d'existence en le nombre d'onde $q$ ont fait l'objet de la
Section 4.2.1.

4.8.1. Du côté BCS : $\mu > 0$

Commençons par le cas d'un potentiel chimique strictement positif. Pour des nombres d'onde $q < q_0$, où $q_0$ est donné par (57), les autres intervalles de prolongement possibles sont [$\epsilon_2(q)$, $\epsilon_3(q)$] et [$\epsilon_3(q)$, $+\infty$]. Dans la procédure (12), il faut alors utiliser respectivement la forme III et la forme IV des densités spectrales $\rho_{ss'}(\epsilon, \mathbf{q})$, au sens de la Table 2.

La différence essentielle avec la forme de type II est que les $\rho_{ss'}(\epsilon, \mathbf{q})$ dépendent de l'énergie réelle $\epsilon$ au travers des deux premières racines $s_1$ et $s_2$, ou de la deuxième racine $s_2$ de l'équation cubique (71) sur $s$, cette équation dépendant paramétriquement de $\epsilon$. Il faut maintenant prolonger analytiquement les densités spectrales donc les racines $s_i$ à des valeurs complexes $z$ de l'énergie dans le quatrième quadrant $Re z > 0$ et $Im z < 0$ auquel notre étude est limitée. En utilisant les formules de Cardan, on trouve que les racines $s_i$ présentent, en fonction de $z$, des lignes de coupure là où le discriminant de Cardan est réel négatif, et un point de branchement là où il s'annule. ³⁸ On se débarrasse des lignes de coupure en effectuant numériquement un relèvement continu des trois racines $s_i(z)$ de l'équation cubique le long d'un chemin $\mathcal{C}$ reliant $z$ à un

<footnote>$^{37}$Remplaçons en effet $\check{q}$ par $\check{\Delta}^{-1/2}\check{Q}$ dans (136) et développons jusqu'à l'ordre relatif $\check{\Delta}^{-1/2}$. Le terme $a_0$ redonne la contribution en $\check{Q}^2$, le terme $a_1$ redonne la contribution en $\check{Q}^{5/2}$, et le bout en $\check{q}^{3/2}$ du terme $a_3$ redonne la contribution en $\check{Q}^{3/2}$. Le terme $a_2$ et le bout en $\check{q}^{7/2}$ de $a_3$ contribuent aux ordres relatifs $\check{\Delta}^{-1}$ et $\check{\Delta}^{-3/2}$, hors de portée de (149).</footnote>

<footnote>$^{38}$Ce phénomène est général pour un polynôme $P(X, z)$ dont les coefficients dépendent analytiquement de $z$. Considérons un relèvement analytique d'une racine $s(z)$ le long d'un chemin dans le plan complexe. En dérivant l'équation définitoire $P(s(z), z) = 0$ par rapport à $z$, on trouve que $ds/dz = -\partial_z P(s, z) / \partial_X P(s, z)$, ce qui reste bien défini tant que $\partial_X P(s, z) \neq 0$ donc tant que $s(z)$ n'est pas racine multiple de $P(X, z)$.</footnote>
point origine $\epsilon_0$ fixé dans l'intervalle de prolongement analytique $[\epsilon_2(q), \epsilon_3(q)]$ (par exemple, son milieu) ou $[\epsilon_3(q), +\infty[$ (par exemple $2\epsilon_3(q)$). En revanche, on ne peut pas éliminer les points de branchement des $s_i(z)$. Leurs positions dans le plan complexe (autres que les valeurs attendues $\pm 2\Delta$) sont données par les racines du polynôme $P_8(X)$ de degré huit, voir (59), dont on a déjà signalé dans la Section 4.2.2 qu'il est relié au discriminant de l'équation cubique. Heureusement, il résulte de la note 21 que $P_8(X)$ n'admet à l'intérieur du quatrième quadrant qu'une seule racine complexe $\alpha$. Il reste à préciser de quel côté de $\alpha$ s'effectue le relèvement continu des $s_i(z)$ : à point de départ $\epsilon_0$ et d'arrivée $z$ fixé, passer d'un côté de $\alpha$ ou de l'autre a pour effet d'échanger les racines $s_2(z)$ et $s_3(z)$, comme nous l'avons vérifié numériquement, ce qui change les densités spectrales. Dans la présente étude, nous avons choisi de ne jamais passer sous le point $\alpha$, c'est-à-dire de faire le tour par au-dessus et par la gauche si $\text{Re } z < \text{Re } \alpha$ et $\text{Im } z < \text{Im } \alpha$; la ligne de coupure correspondante sur les $s_i(z)$, et donc sur les densités spectrales prolongées $\rho_{ss'}(z, q)$,<fnref n="39" /> est la demi-droite verticale partant de $\alpha$ vers le bas.

Les résultats de notre étude numérique sont présentés sur la Figure 8, pour trois valeurs de la force des interactions, $\Delta/\mu = 1/10$ dans le régime de couplage faible, $\Delta/\mu = 1$ dans le régime de couplage fort et $\Delta/\mu = 5$ près du point d'annulation du potentiel chimique. Nous trouvons une branche $q \mapsto z_q$ de type III, du moins tant que $\Delta/\mu$ n'est pas trop grand (elle est absente du quatrième quadrant pour $\Delta/\mu = 5$), voir les Figures 8a et 8b. Son domaine d'existence en nombre d'onde est un intervalle $[q_1, q_0]$; la borne supérieure a la valeur maximale accessible $q_0$, mais la borne inférieure est strictement positive, parce que la partie réelle de $z_q$ s'annule (et $z_q$ passe virtuellement dans le troisième quadrant) avant que $q$ n'atteigne zéro. Dans le régime de couplage faible, on peut comme dans la Section 4.6.2 faire tendre $\tilde{\Delta}$ vers zéro à $\tilde{z}$ fixé et réduire l'équation aux énergies propres à $\tilde{M}_{+\downarrow}^{(0)}(\tilde{z}, \tilde{q}) + \tilde{M}_{-\downarrow}^{(0)}(\tilde{z}, \tilde{q}) = 0$ comme dans (102). Pour $\tilde{q} > 2/3$, il résulte directement de l'équation (99) que

$$ \rho_{+}^{(0)[III]}(\tilde{z}, \tilde{q}) + \rho_{-}^{(0)[III]}(\tilde{z}, \tilde{q}) = \frac{\pi \tilde{z}}{2 \tilde{q}} = \rho_{+}^{(0)[III]}(\tilde{z}, \tilde{q}) + \rho_{-}^{(0)[III]}(\tilde{z}, \tilde{q}) \quad (151) $$

si bien que le terme de Nozières prend exactement la même forme pour les intervalles de prolongement $[\epsilon_1, \epsilon_2]$ et $[\epsilon_2, \epsilon_3]$. Pour $\tilde{q} < 2/3$, l'intervalle de prolongement $[\epsilon_2, \epsilon_3]$ est coupé en deux par $\tilde{q}(2+\tilde{q})$ mais, comme on passe au-dessus du point $\alpha$ dans le relèvement continu des racines, c'est la troisième colonne de (99) qui compte et la relation (151) reste vraie. En effet, la borne $\tilde{q}(2+\tilde{q})$ n'est autre que la limite de $\alpha$ à faible $\tilde{\Delta}$ (voir la phrase après (99) et la note 21). On en déduit que les branches de type II et de type III coïncident dans la limite $\tilde{\Delta} \to 0$ à $\tilde{q}$ fixé, ce que le calcul numérique confirme magistralement, voir la Figure 8a. En revanche, nous trouvons suivant les cas une ou deux branches de type IV, voir les Figures 8d, 8e, 8f. Leur domaine d'existence en nombre d'onde est une réunion de deux intervalles, au gré des annulations de la partie réelle ou de la partie imaginaire de $z_q$. L'intervalle haut est compact pour $\Delta/\mu$ assez grand, mais s'étend jusqu'à l'infini sinon. Chose remarquable, l'intervalle bas commence en $q=0$, où $z_q$ tend vers

<footnote n="39">³⁹Les racines $s_i(z)$ sont ensuite insérées dans les arguments des fonctions elliptiques incomplètes $E$ et $F$, voir (66) et (67) par exemple. Ces fonctions elliptiques présentent des lignes de coupure décrites dans la note 20, que l'on peut toujours déplacer par déformation continue, et des points de branchement inamovibles. Montrons par l'absurde que les arguments de $E$ et $F$ n'atteignent jamais ces points de branchement, au cours du voyage des $s_i(z)$ dans le plan complexe : si c'était le cas, on aurait $1 + (1-s^2)\text{sh}^2\Omega = 0$, avec $\text{sh}^2\Omega = (z^2 - 4\Delta^2)/(4\Delta^2)$ et $s$ solution de l'équation déduite de (71) par remplacement de $\epsilon$ par $z$; des manipulations élémentaires dans (71) ainsi modifiée font tomber sur la condition impossible à satisfaire $1/\text{sh}^2\Omega = 0$. Pour calculer numériquement les fonctions $E$ et $F$, on revient à leur définition intégrale, voir la Section 8.111 de [20], et on déplace si nécessaire la ligne de coupure de la racine carrée dans l'intégrande par relèvement continu. On peut aussi travailler directement sur les fonctions (66), (67), en écrivant par exemple $f_{--}(\pi/2 - \operatorname{asin} s_2) = \int_{s_2}^{1} (dX/\sqrt{1-X^2})(X^2\operatorname{sh}^2\Omega/[1+(1-X^2)\operatorname{sh}^2\Omega]^{3/2})$ grâce au changement de variable $X = \cos \alpha$.</footnote>
<figure><img src="image_9.png" /></figure>

**FIGURE 8.** Dans un gaz de fermions en interaction de portée nulle (cas des atomes froids), branches du continuum $q \mapsto z_q$ obtenues en effectuant le prolongement analytique des équations aux énergies propres à travers d'autres intervalles que celui $[\epsilon_1(q), \epsilon_2(q)]$ de type II utilisé jusqu'à présent. Trait plein noir ou tireté noir : partie réelle; trait plein rouge ou tireté rouge : partie imaginaire. Les interruptions des branches, dues à des sorties du quatrième quadrant seul exploré ici (annulations de la partie réelle ou imaginaire de $z_q$) sont repérées par des pointillés verticaux. Pour $\mu > 0$, résultats numériques pour les branches de type III (prolongement par l'intervalle $[\epsilon_2(q), \epsilon_3(q)]$) en (a) et (b), et de type IV (intervalle $[\epsilon_3(q), +\infty]$) en (d), (e) et (f). Pour $\mu < 0$, résultats numériques pour les branches de type IV en (c) (l'intervalle $[\epsilon_3(q), +\infty$[ est le seul possible). Ici $k_0 = (2m\mu)^{1/2}/\hbar$, $k_\mu = (2m|\mu|)^{1/2}/\hbar$, $\Delta/\mu = 1/10$ en (a) et (d), $\Delta/\mu = 1$ en (b) et (e), $\Delta/\mu = 5$ en (f) (pas de branche de type III pour cette valeur) et $\Delta/\mu = -1/5$ en (c). L'intervalle $[\epsilon_2(q), \epsilon_3(q)]$ se ferme et la branche de type III cesse d'exister en $q = q_0(\Delta)$ donné par (57) et repéré par un trait plein vertical gris. En couplage faible, en (a), la branche de type III se confond presque avec celle précédemment étudiée de type II et est très bien reproduite par la solution de (102) (gros points bleu foncé ou orange). Vignettes : agrandissements; les valeurs à $\tilde{q} < 0,001$ sont tirées de (154) après résolution numérique de (153) récrite comme une équation sur $s_2(z)$. Trajectoires des branches de type IV dans le plan complexe pour $\Delta/\mu = 1/10$ en (g), $\Delta/\mu = 1$ (noir) et $\Delta/\mu = 1/2$ (vert) en (h), $\Delta/\mu = 5$ en (i); les flèches indiquent le sens des $q$ croissants. Partout pour les branches de type IV : en trait plein (en tireté), branche hypoacoustique (155) [hyperacoustique (157)] et son émanation éventuelle à grand $q$ après excursion hors du quatrième quadrant. En (c) : la branche en pointillé est d'une autre nature, voir son comportement analytique (158) à faible $\tilde{q}$ (trait plein orange).
zéro; ce comportement diffère de celui de la branche du continuum de type II étudiée dans les autres sections et évoque plutôt la branche acoustique.

Montrons maintenant analytiquement que les branches collectives de type IV n'ont pas un départ acoustique $z_q \approx q$ mais un départ hyperacoustique $z_q \approx q^{4/5}$ (la vitesse de groupe ou de phase diverge en $q=0$) ou hypoacoustique $z_q \approx q^{3/2}$ (la vitesse tend vers zéro). Pour cela, construisons une forme approchée de l'équation sur $z_q$ à basse énergie et à bas nombre d'onde, d'abord en remplaçant les éléments de matrice de $M$ non prolongés par leur ordre dominant en $q$ à $\zeta \equiv \bar{z}/\bar{q}$ fixé,<fnref n="40" />

$$ \tilde{M}_{--}(\bar{z}, \bar{q}) \approx \tilde{M}_{--}(0, 0) \equiv \frac{A}{(2\pi)^3}, \quad \tilde{M}_{++}(\bar{z}, \bar{q}) \approx \frac{(B+C\zeta^2)}{(2\pi)^3} \bar{q}^2, \quad \tilde{M}_{+-}(\bar{z}, \bar{q}) \approx \frac{D\zeta\bar{q}}{(2\pi)^3} \quad (152) $$

puis en remplaçant shΩ par $-i$ dans les équations (66)–(68) utiles au prolongement analytique (12). Nous avons admis dans la seconde étape, en le vérifiant numériquement, que $s_2(z)$ est dans le quatrième quadrant, tout comme $\zeta$. Nous aboutissons ainsi à une équation aux énergies propres beaucoup plus simple,

$$ \begin{aligned} & [i\pi^2 \tilde{\Delta} \phi_{--}(s_2) + A\tilde{q}] \left[ -i \frac{\pi^2 \zeta^2}{4\tilde{\Delta}} \phi_{++}(s_2) + (B + C\zeta^2)\tilde{q} \right] - \left[ -\frac{\pi^2}{2}\zeta\phi_{+-}(s_2) + D\zeta\tilde{q} \right]^2 \approx 0 \quad \text{où} \\ & \left\{ \begin{aligned} \phi_{--}(s) &= \frac{\ln(1+\sqrt{1-s^2})-\ln(1-\sqrt{1-s^2})}{2} \\ \phi_{++}(s) &= \frac{1}{2}\phi_{--}(s) + \frac{(1-s^2)^{1/2}}{2s^2} \\ \phi_{+-}(s) &= \frac{(1-s^2)^{1/2}}{s} \end{aligned} \right. \end{aligned} \quad (153) $$

Pour être cohérent, il faut aussi approximer l'équation (71) sur $s_2(z)$ comme suit,

$$ \frac{4}{\zeta^2} (1 - i s_2 \tilde{\Delta}) \approx \frac{1 - s_2^2}{-s_2^2} \quad (154) $$

ce qui permet d'éliminer facilement $\zeta$ et de considérer (153) comme une équation sur $s_2(z)$.

Un premier type de solution de (153) correspond à $\zeta \to 0$ donc $s_2 \to -i/\tilde{\Delta} + 0^+$. Dans la limite $\tilde{q} \to 0$, on trouve par tâtonnements que $\zeta^2/\tilde{q}$ a une limite finie et non nulle $\gamma$,<fnref n="41" /> et que (153) se réduit à une équation affine sur $\gamma$. D'où le comportement hypoacoustique exact de la branche :

$$ \tilde{z}_q = \gamma^{1/2} \tilde{q}^{3/2} [1 + O(\tilde{q})] \quad \text{avec} \quad \gamma = \left. \frac{-4i\pi^{-2}B\tilde{\Delta}\phi_{--}(s)}{(\phi_{++}\phi_{--} - \phi_{+-}^2)(s)} \right|_{s=-i/\tilde{\Delta}+0^+} \quad (155) $$

Pour que $z_q$ soit dans le quatrième quadrant, il faut que $\gamma$ ait une partie imaginaire négative, ce qui impose $\tilde{\Delta} \in ]0, \tilde{\Delta}_0]$ avec $\tilde{\Delta}_0 \approx 2,138$.<fnref n="42" /> Ceci explique pourquoi la branche hypoacoustique n'apparaît pas à faible $\tilde{q}$ sur la Figure 8f. De plus, on montre que, parmi les résidus $Z_\pm$ de la Section 4.3, celui $Z_+$ dans la voie des petits écarts de phase est dominant, et diverge comme $\tilde{q}^{-1/2}$; à faible $\tilde{q}$, les modes hypoacoustiques sont donc surtout des modes de phase du paramètre d'ordre.

<footnote n="40">⁴⁰On donne $A = \int d^3\tilde{k}(\tilde{\Delta}^2/2\tilde{\epsilon}_k^3)$, $B = \int(d^3\tilde{k}/2\tilde{\epsilon}_k)((\tilde{\xi}_k/4\tilde{\epsilon}_k^2) + (\tilde{\Delta}^2\tilde{k}^2/2\tilde{\epsilon}_k^4))$, $C = \int d^3\tilde{k}((-1)/8\tilde{\epsilon}_k^3)$ et $D = \int d^3\tilde{k}(\tilde{\xi}_k/4\tilde{\epsilon}_k^3)$. Il n'y a pas de terme linéaire en $\zeta$ dans $\tilde{M}_{++}(\tilde{z}, \tilde{q})$ car c'est une fonction paire de $\tilde{z}$. D'après la relation (A6) de [21], on a aussi $B = \int d^3\tilde{k}(\tilde{k}^2/6\tilde{\epsilon}_k^3)$ comme dans l'équation (23) de la référence [23].</footnote>

<footnote n="41">⁴¹$\zeta^2/\tilde{q}$ ne peut pas tendre vers l'infini car $\phi_{++}\phi_{--} - \phi_{+-}^2$ ne s'annule pas en $s = -i/\tilde{\Delta} + 0^+$. Supposer que $\zeta^2/\tilde{q} = o(1)$ conduit au résultat contradictoire $\zeta^2 \approx \tilde{q}$.</footnote>

<footnote n="42">⁴²Si $\tilde{\Delta} = \text{sh}\tau$, $\phi_{--} = \tau + i\pi/2$, $\phi_{++} = (\tau - \text{sh}\tau\text{ch}\tau + i\pi/2)/2$ et $\phi_{+-} = \text{ich}\tau$ dans (155). De plus, $\gamma^{1/2} \sim -2i/[3\tilde{\Delta}(\pi^2/8 - 1)]^{1/2}$ lorsque $\tilde{\Delta} \to 0$.</footnote>
Un second type de solution de (153) correspond à $|\zeta| \to +\infty$ donc $s_2 \to 1 - i0^+$. Alors, dans (153), on néglige $B$ devant $C\zeta^2$, on divise l'équation restante par $(\pi^2\zeta/2)^2$, on développe et on regroupe par puissances de $\check{q}$, puis on néglige les termes en $\check{q}^2$ pour obtenir :

$$ (\phi_{--}\phi_{++} - \phi_{+-}^{2})(s_2) + \frac{4\check{q}}{\pi^2} \left[ D\phi_{+-}(s_2) + iC\check{\Delta}\phi_{--}(s_2) - \frac{iA}{4\check{\Delta}}\phi_{++}(s_2) \right] = 0 \quad (156) $$

Il reste à remplacer chaque contribution par son ordre dominant en le petit paramètre $u = (1 - s_2^2)^{1/2}$ : dans le second terme de (156), il suffit de savoir que $\phi_{--} \sim \phi_{++} \sim \phi_{+-} \sim u$, mais dans le premier, il faut développer chaque fonction $\phi$ jusqu'à l'ordre relatif $u^4$ (c'est l'ordre sous-sous-dominant) pour obtenir l'équivalent $u^6/45$. D'où la loi $u \sim \check{q}^{1/5}u_0$ et le comportement hyperacoustique exact de la branche :

$$ \check{z}_q = \beta^{1/2} \check{q}^{4/5} [1 + O(\check{q}^{2/5})] \quad \text{avec} \quad \beta = \frac{4(i\check{\Delta} - 1)}{u_0^2} \quad \text{et} \quad u_0 = \left(\frac{180}{\pi^2}\right)^{1/5} \left(\frac{iA}{4\check{\Delta}} - iC\check{\Delta} - D\right)^{1/5} \quad (157) $$

Dans (157), il faut choisir la détermination de la racine cinquième de manière que $u_0$ soit dans le premier quadrant et que $\beta$ ait une partie imaginaire négative, ce qui peut être fait pour toute valeur de $\check{\Delta} > \check{\Delta}_1 \approx 0,05283$, d'où la présence systématique d'une branche hyperacoustique de type IV à faible $\check{q}$ sur la Figure 8.<fnref n="43" /> On vérifie que, parmi les résidus $Z_\pm$ de la Section 4.3, celui $Z_+$ dans la voie des petits écarts de phase est dominant, et diverge comme $\check{q}^{-4/5}$; à faible $\check{q}$, les modes hyperacoustiques sont donc eux aussi surtout des modes de phase du paramètre d'ordre.

Il reste à comprendre physiquement la branche de type IV sur l'intervalle haut en nombre d'onde. Nous affirmons que cette composante connexe n'est que le prolongement à grand $q$, c'est-à-dire le résultat de l'irruption dans le quatrième quadrant, de la branche hypoacoustique ou de la branche hyperacoustique. On le voit bien en prolongeant mentalement les courbes sur la Figure 8d, la composante à grand $q$ serait le retour de la branche hyperacoustique après un passage dans le premier quadrant. De même, sur la Figure 8e, la composante à grand $q$ semble être le retour de la branche hypoacoustique après un détour dans le premier quadrant. En revanche, sur la Figure 8f, nous interprétons la composante à grand $q$ comme la première entrée de la branche hypoacoustique dans le quatrième quadrant, cette dernière pointant dès son départ à faible $q$ vers le premier quadrant, voir la discussion après l'équation (155). Pour rendre ces interprétations plus faciles à suivre, nous avons représenté sur les Figures 8g, 8h et 8i la trajectoire des branches de type IV à $\mu > 0$ dans le plan complexe. Pour les justifier numériquement, nous représentons également la trajectoire des branches pour $\Delta/\mu = 1/2$ sur la Figure 8h : la branche hypoacoustique y est connexe dans le quatrième quadrant. Ces figures conduisent à la remarque empirique suivante : les branches qui s'aventurent dans le troisième quadrant (Re $z < 0$ et Im $z < 0$) ne reviennent jamais (aux $q$ ultérieurs) dans le quatrième quadrant, à l'inverse de celles qui s'aventurent dans le premier quadrant.

### 4.8.2. Du côté CBE : $\mu < 0$

Pour terminer, cherchons une branche du continuum dans le cas d'un potentiel chimique strictement négatif. Comme nous l'avons dit dans la Section 4.2.1, les densités spectrales admettent alors, sur l'axe des énergies réelles, $\epsilon_3(q)$ de l'équation (56) comme seul point de non-analyticité. Le prolongement analytique de l'équation aux énergies propres ne peut se faire qu'à travers l'intervalle $[\epsilon_3(q), +\infty[$, donc ne peut être que de type IV. L'adimensionnement des variables doit être revu et le calcul des densités spectrales doit être refait. Nous exprimons désormais les nombres d'onde en unités de $k_\mu = (2m|\mu|)^{1/2}/\hbar$, par exemple $\check{q} = q/k_\mu$, les énergies en

<footnote n="43">⁴³Le prolongement de $\beta$ à $\check{\Delta} \in [0, \check{\Delta}_1]$ [a une partie imaginaire positive et vérifie $\beta^{1/2} \sim (8\pi\check{\Delta}/45)^{1/5}$ lorsque $\check{\Delta} \to 0$.</footnote>
unités de $|\mu|$, par exemple $\tilde{\epsilon} = \epsilon/|\mu|$ et $\tilde{\xi}_k = \tilde{k}^2 + 1$, les densités spectrales et les éléments de matrice de $M$ en unités de $2mk_\mu/\hbar^2$. Nous trouvons que les densités spectrales réduites sont toujours données par la forme IV de la Table 2, à condition que l'on remplace le terme $1 - \tilde{q}^2/4$ par $-(1 + \tilde{q}^2/4)$ dans l'équation cubique (71). Pour $\tilde{\epsilon} > \tilde{\epsilon}_3(\tilde{q})$, l'équation modifiée admet en effet, pour tout $\tilde{q} > 0$, trois racines réelles, $s_1(\epsilon) < -1$, $s_2(\epsilon) \in [0, 1]$ qui intervient dans les densités spectrales, et $s_3(\epsilon) > 1$, comme le montre une discussion graphique. Le prolongement analytique de $s_2$ aux énergies complexes $z$ se fait par relèvement continu comme dans la Section 4.8.1, en ne passant jamais en dessous de son ou de ses points de branchement, c'est-à-dire des racines complexes du polynôme $P_8(X)$ dans le quatrième quadrant.<fnref n="44" />

Nous avons étudié numériquement le cas $\tilde{\Delta} = \Delta/|\mu| = 1/5$, voir la Figure 8c. À faible $\tilde{q}$, nous trouvons une branche hyperacoustique dont le départ est bien décrit par (157) si l'on pense à changer le facteur $i\tilde{\Delta} - 1$ en $i\tilde{\Delta} + 1$ dans $\beta$ mais qui finit par quitter le quatrième quadrant; l'équation (157) ainsi modifiée permet d'ailleurs de montrer que cette branche hyperacoustique existe au voisinage de $q = 0$ pour toute valeur de $\tilde{\Delta}$. Nous trouvons aussi une deuxième branche, qui n'atteint pas les grands $\tilde{q}$ mais tend vers la valeur $2\Delta$ en l'origine des nombres d'onde en serrant de près l'axe réel (sa partie imaginaire tend vers zéro comme $q^3$). Nous lui prédisons analytiquement un départ quadratique.<fnref n="45" />

$$ z_q = \lim_{q \to 0} 2\Delta - \frac{1}{\tilde{\Delta} \sin^2 \psi} \frac{\hbar^2 q^2}{2m} + O(q^3) \quad \text{avec} \quad \frac{\psi(\psi + \sin \psi \cos \psi)}{2 \sin^2 \psi} = [1 - 8\pi \tilde{M}_{+-}(2\tilde{\Delta}, 0)]^2 \quad (158) $$

représenté par un trait plein orange sur la Figure 8c et en bon accord avec les résultats numériques; l'équation transcendante sur $\psi = \pi/2 - \text{asin } s_2$ admet une solution unique dans l'intervalle $[0, \pi]$. Le résultat (158) ne vaut en fait que pour $\psi < \pi/2$ c'est-à-dire $\tilde{\Delta} < 0, 222$; pour $\tilde{\Delta} > 0, 222$, la branche en question sort du quatrième quadrant vers le premier quadrant (sa partie imaginaire s'annule) avant d'atteindre $\tilde{q} = 0$.<fnref n="46" /> Le départ quadratique (158) n'est pas sans rappeler celui (82) de la branche du continuum habituelle; le raisonnement ayant conduit à (92) donne ici aussi des résidus de limite nulle en $q = 0$, $\tilde{Z}_- \approx \tilde{q}$ et $\tilde{Z}_+ \approx \tilde{q}^3$. On n'observe en revanche pas de branche hypoacoustique. D'ailleurs, le raisonnement conduisant à (155) ne se transpose pas au cas $\mu < 0$ :

<footnote n="44">⁴⁴ Pour $\mu < 0$, il faut remplacer $\tilde{q}$ par $i\tilde{q}$ dans la définition (59) de $P_8(X)$. Alors $P_8(X)$ admet pour $\tilde{q} < \tilde{q}_*(\tilde{\Delta})$ une seule racine $\alpha$ strictement à l'intérieur du quatrième quadrant, et en admet deux, $\alpha$ et $\alpha'$, sinon. Ici, $\tilde{q}_*(\tilde{\Delta})$ est la racine réelle positive du discriminant de Cardan $\delta$ de la note 21 considéré comme un polynôme en $\tilde{q}$ et lui aussi soumis à la substitution $\tilde{q} \to i\tilde{q}$.</footnote>

<footnote n="45">⁴⁵ Si on admet que $z_q - 2\Delta \approx q^2$, on voit que $\text{sh}\Omega \approx q \to 0$ et $\text{ch}\Omega \to 1$ dans (66), (67), (68) si bien que $f_{--}(\psi) \sim (1/2)\text{sh}^2\Omega(\psi + \sin\psi \cos\psi)$, $f_{++}(\psi) \sim \psi$, $f_{+-}(\psi) \sim \text{sh}\Omega \sin\psi$. De plus, le bord inférieur du continuum de paire brisée vaut $2(\Delta^2 + \mu^2)^{1/2} > 2\Delta$ pour $\mu < 0$ et $q = 0$; du coup, $M_{++}(z_q, q)$ et $M_{+-}(z_q, q)$ ont une limite finie et non nulle $M_{++}(2\Delta, 0)$ et $M_{+-}(2\Delta, 0)$ lorsque $q \to 0$, alors que $M_{--}(z_q, q) = O(q^2)$ puisque $M_{--}(2\Delta, 0) = 0$ comme dans (53) et $M_{--}(z, q)$ varie quadratiquement en $q$ et linéairement en $z - 2\Delta$ autour de $(z, q) = (2\Delta, 0)$. Compte tenu de la procédure de prolongement (12) et du facteur $1/q$ dans la densité spectrale, voir la Table 2, la contribution de $M_{++}$ et $M_{--}$ est négligeable dans l'élément de matrice prolongé alors que celle de $M_{+-}$ ne l'est pas. Enfin, en faisant $q \to 0$ dans l'équation (71) modifiée pour $\mu < 0$, sachant que $z_q$ est dans le quatrième quadrant et que $\sin\psi = [1 - s_2^2(z_q)]^{1/2}$, on trouve que $\text{sh}\Omega \sim -i\tilde{q}/(\tilde{\Delta} \sin\psi)$ et on aboutit à (158). L'expression (85) de $\tilde{M}_{+-}(2\tilde{\Delta}, 0)$ et son signe valent toujours si l'on pose $\tau = \text{argsh}(\mu/\Delta) < 0$ et si l'on remplace le facteur désormais imaginaire pur $-(e^{2\tau} - 1)^{1/2}$ par $(1 - e^{2\tau})^{1/2}$.</footnote>

<footnote n="46">⁴⁶ Dans la limite $\tilde{q} \to 0$, la racine $s_2(z)$ obtenue par relèvement continu est positive pour $\tilde{z} = 2\tilde{\Delta} + (C - i0^+)\tilde{q}^2/\tilde{\Delta}$ dès que le coefficient réel $C$ est $< -1$, comme c'est le cas dans (158). À l'aide de (71) modifiée pour $\mu < 0$, on trouve en effet que $s_2^2(z) \to (1 + C - i0^+) / (C - i0^+) \text{ donc } s_2(z) \to [(1 + C - i0^+) / (C - i0^+)]^{1/2} \text{ puisque } s_2 \text{ doit être proche de } 1 \text{ lorsque } C \gg 1$. Or on a $s_2 = \cos\psi$. La condition $s_2 > 0$ impose donc $\psi < \pi/2$. De plus, nous avons calculé analytiquement le coefficient du terme en $q^3$ dans le développement (158). On trouve qu'il est imaginaire pur, qu'il est $< 0$ pour $\psi < \pi/2$, et qu'il s'annule en changeant de signe en $\psi = \pi/2$. C'est aussi à cette valeur seuil $\psi = \pi/2$ ($\tilde{\Delta} \approx 0, 222$) que $\tilde{q}_q$ se confond au second ordre en $\tilde{q}$ avec la racine réelle $\tilde{\epsilon}_2(\tilde{q})$ du polynôme $P_8(X)$ de (59) transposé au cas $\mu < 0$, donc avec un point de non-analyticité de deux des racines $s_i(\tilde{z})$ : pour $\mu < 0$, il faut en effet remplacer $\tilde{q}$ par $i\tilde{q}$ dans (59), et donc dans (62), comme le dit la note 44.</footnote>
pour $z = o(\check{q})$, on trouve numériquement que $s_2(z) = o(1)$, et que c'est la racine $s_3(z)$ qui admet la limite attendue $i/\check{\Delta}$, dans le relèvement continu passant au-dessus du point de branchement $\alpha$.

**5. Conclusion**

Dans un gaz tridimensionnel spatialement homogène non polarisé de fermions de spin 1/2 en interaction attractive, préparé à la limite thermodynamique à température nulle donc apparié entièrement et condensé par paires liées ↑↓, nous avons étudié analytiquement la branche du continuum correspondant aux modes d'excitation collective du gaz par brisure de paires. Comme l'a montré la référence [3], sous certaines conditions, de tels modes peuvent se manifester expérimentalement par un pic lorentzien en pulsation $\omega \mapsto |Z_q/(\hbar\omega - z_q)|^2$ dans l'intensité d'une fonction de réponse en fréquence sur la variable collective du gaz perturbé que constitue le paramètre d'ordre complexe $\Delta(r, t)$. Nous avons donc analysé l'énergie complexe $z_q$ du mode ainsi que son résidu $Z_q$ pour une excitation non polarisante très faible et bornée en temps mais de nature arbitraire, en fonction du vecteur d'onde **q**, afin d'aboutir à une description complète de la branche. Mathématiquement, nous utilisons la théorie BCS dépendant du temps linéarisée autour de la solution stationnaire d'énergie minimale, pour obtenir une équation sur les énergies propres des modes, qu'il faut toujours prolonger analytiquement au demi-plan complexe inférieur à travers la ligne de coupure due au continuum de paire brisée à **q** fixé, si l'on veut trouver $z_q$. Physiquement, le fait que $Im z_q$ soit strictement négative reflète l'amortissement du mode par brisure de paires et émission de fermions libres de vecteurs d'onde $q/2 \pm k$ dans le continuum, $k \in \mathbb{R}^3$. Notre travail étudie analytiquement la branche à nombre d'onde $q$ quelconque, et pour une force des interactions quelconque; il va donc significativement au-delà des travaux précédents, qui n'obtiennent des résultats analytiques que dans la limite des faibles nombres d'onde $q \to 0$, c'est-à-dire seulement sur le départ quadratique de la branche $z_q - 2|\Delta| \propto q^2$, dans la limite de couplage faible $|\Delta|/\mu \to 0^+$ [2] ou pour un couplage $|\Delta|/\mu$ quelconque mais un potentiel chimique $\mu > 0$ [3].

Dans la limite de couplage faible $|\Delta|/\mu \to 0^+$, la partie réelle de la relation de dispersion présente trois échelles de variation en nombre d'onde. (i) La première $q_1 = k_0|\Delta|/\mu$, où $k_0$ est le nombre d'onde minimisant l'énergie $\epsilon_k$ d'une quasi-particule BCS ($\epsilon_{k_0} = |\Delta|$), correspond sans surprise à $q \approx 1/\xi$ où $\xi$ est la taille d'une paire liée ↑↓. La branche admet une loi limite universelle lorsque $z_q$ est exprimé en unités de $|\Delta|$ et que $|\Delta|/\mu$ tend vers zéro à $q/q_1$ fixé : cette loi vaut aussi bien pour des fermions en interaction de contact attractive dans l'onde $s$ (cas des atomes froids) que pour des fermions chargés présentant de plus une interaction de Coulomb répulsive à longue portée (cas d'un supraconducteur BCS au sens de la référence [2] c'est-à-dire sans réelle inclusion des phonons du réseau cristallin). Si l'on part de $q = 0^+$, la partie réelle croît, présente un maximum $\approx 2,16|\Delta|$ en $q/q_1 \approx 1,70$, puis décroît et tend vers zéro comme $|\Delta|q_1/q$, à un facteur logarithmique en $q/q_1$ près; la partie imaginaire est décroissante et diverge linéairement en $-\mu q/k_0$ à des corrections logarithmiques en $q/q_1$ près. À l'ordre dominant, le résidu est porté par la voie des petits écarts en module du paramètre d'ordre à sa valeur d'équilibre. Le mode du continuum est un mode de module et l'on peut négliger le couplage phase-module dans les équations BCS linéarisées. (ii) La deuxième échelle de nombre d'onde est $q_2 = k_0(|\Delta|/\mu)^{2/3}$ : sur la partie réelle de la branche, la décroissance en $1/q$ de l'échelle précédente s'interrompt graduellement, Re $z_q$ passe par un minimum de l'ordre de $\mu(|\Delta|/\mu)^{4/3}$ et situé en $q_{min} \approx q_2$, à des facteurs logarithmiques en $|\Delta|/\mu$ près, puis remonte; ceci est dû à l'entrée en jeu du couplage phase-module. La partie imaginaire continue à décroître de la même manière approximativement linéaire en $q$. Même si le résidu dans la voie de module l'emporte encore, celui dans la voie de phase n'est plus négligeable. Le mode du continuum est en cours d'hybridation phase-module. (iii) La troisième échelle est $q_3 = k_0$; la partie imaginaire de $z_q$ est
approximativement proportionnelle à $-\mu q/k_0$, avec un coefficient logarithmique en $|\Delta|/\mu$, alors que la partie réelle est croissante, approximativement proportionnelle à $\mu(q/k_0)^{3/2}$, là aussi avec un coefficient logarithmique en $|\Delta|/\mu$; les résidus en phase et en module sont presque égaux : le mode vit avec des amplitudes presque égales dans les deux voies. En $q = 2k_0$, l'intervalle entre points de branchement de l'équation aux énergies propres, par lequel le prolongement analytique a été effectué, se referme et la branche cesse d'exister. Les résultats aux échelles $q_2$ et $q_3$ valent pour une interaction à courte portée, comme dans les gaz d'atomes froids, à laquelle nous nous limitons dans la suite; on ne sait pas s'ils survivent au moins qualitativement à l'interaction de Coulomb.

Au voisinage droit du point d'annulation du potentiel chimique, $\mu/|\Delta| \to 0^+$, qui se situe dans le régime d'interaction forte, du côté à longueur de diffusion positive du raccordement CBE-BCS, la branche du continuum $z_q$ est, à l'ordre dominant en $\mu/|\Delta|$, purement réelle et quadratique en $q$, $z_q - 2|\Delta| \approx -128[\Gamma(5/4)]^4\pi^{-5}\hbar^2q^2/2m$, sur tout son domaine d'existence $|0, 2k_0|$, domaine qui devient de plus en plus étroit puisqu'ici $k_0 = (2m\mu)^{1/2}/\hbar$, où $m$ est la masse d'un fermion, tend vers zéro. À l'ordre suivant apparaît dans $z_q$ une partie imaginaire non nulle, qui révèle l'existence de deux échelles de nombre d'onde. La première échelle, $Q_1 = k_0(\mu/|\Delta|)^{1/2}$, correspond à la limite de validité de l'approximation quadratique sur $z_q$ (celle-ci exige $q \ll Q_1$, ce que la référence [3] ne disait pas) mais n'a pas reçu à ce jour d'autre interprétation physique. À cette échelle, la partie imaginaire est d'ordre de grandeur $\mu(\mu/|\Delta|)^{3/2}$, et passe de manière monotone d'un départ quadratique à un plongeon asymptotique semiquintique en $q$. La seconde échelle est $Q_2 = k_0$: à l'ordre dominant, la partie imaginaire de $z_q$ est de l'ordre de $\mu(\mu/|\Delta|)^{1/4}$, est décroissante, et varie avec la même loi de puissance $q^{5/2}$ que dans la partie asymptotique $q \gg Q_1$ de l'échelle précédente. Aux deux échelles, le résidu dominant est porté par les petits écarts en module du paramètre d'ordre à sa valeur d'équilibre : le mode du continuum reste de ce point de vue un mode de module, même s'il faut absolument inclure le couplage phase-module dans le calcul de son énergie pour avoir le bon résultat, au contraire de ce qui se passe dans la limite de couplage faible à $q = O(q_1)$.

Les résultats précédents, obtenus pour $\mu > 0$ et $q < 2k_0$, découlent d'un prolongement analytique de l'équation aux énergies propres à travers la ligne de coupure joignant ses deux premiers points de branchement $\epsilon_a(q)$ et $\epsilon_b(q)$ sur le demi-axe réel positif des énergies. Ils correspondent toujours à une branche du continuum de limite $2|\Delta|$ et de départ quadratique en $q = 0$. Pour un nombre d'onde pas trop grand ($q < q_0(\Delta, \mu) \in ]2k_0/\sqrt{3}, 2k_0|$), il existe un troisième point de branchement $\epsilon_c(q)$. Le prolongement analytique par l'intervalle [$\epsilon_b(q), \epsilon_c(q)$] donne naissance à une nouvelle branche d'excitation dans le quadrant inférieur droit du plan complexe, du moins pour $|\Delta|/\mu$ pas trop grand et $q$ pas trop petit; à faible couplage, elle coïncide presque avec la branche du continuum étudiée précédemment.

Enfin, il reste à effectuer le prolongement analytique par l'intervalle non compact [$\epsilon_{\max}(q), +\infty$] où $\epsilon_{\max}(q)$ est le plus grand des points de branchement sur l'axe réel. Pour $\mu > 0$ et $q < 2k_0$, on a $\epsilon_{\max}(q) = \epsilon_c(q)$ ou $\epsilon_b(q)$ selon que $q$ est inférieur ou supérieur à $q_0(\Delta, \mu)$, comme le montre le paragraphe précédent. Pour $\mu > 0$ mais $q > 2k_0$, ou pour $\mu < 0$ à $q > 0$ quel-conque, l'équation aux énergies propres n'admet qu'un seul point de branchement d'énergie réelle positive, c'est le bord inférieur $2\epsilon_{k=q/2}$ du continuum de paire brisée, avec lequel $\epsilon_{\max}(q)$ se confond donc. En prolongeant par [$\epsilon_{\max}(q), +\infty$], nous trouvons cette fois deux nouvelles branches. Leur domaine d'existence en nombre d'onde présente en général plusieurs composantes connexes, dont les bords marquent leurs points d'entrée ou de sortie du quadrant inférieur droit du plan complexe. Pour $\mu > 0$, lorsque ces branches atteignent $q = 0$, elles adoptent aux faibles nombres d'onde un comportement hypoacoustique (l'énergie complexe $z_q \approx q^{3/2}$ tend vers zéro plus vite que linéairement et la vitesse de phase tend vers zéro) ou au contraire hyperacoustique (l'énergie $z_q \approx q^{4/5}$ tend vers zéro plus lentement que linéairement et la vitesse
de phase diverge), le résidu dominant étant toujours porté par les petits écarts en phase du paramètre d'ordre à sa valeur d'équilibre. Pour $\mu < 0$, on observe une branche hyperacoustique; en revanche, la branche hypoacoustique est remplacée par une autre branche, de limite $2|\Delta|$ (soit, comme l'espérait la référence [30], le double du paramètre d'ordre plutôt que l'énergie de liaison d'une paire $2(|\Delta|^2 + \mu^2)^{1/2}$) et de départ quadratique purement réel en $q = 0$ pour $\Delta/|\mu| < 0,222$, et qui ressemble alors à la branche du continuum habituelle, si ce n'est qu'elle est du côté bosonique du raccordement CBE-BCS.

Indiquons pour terminer quelques prolongements possibles de ce travail. La théorie BCS que nous avons utilisée n'est plus quantitative dans le régime d'interaction forte, en particulier à la limite unitaire souvent mise en oeuvre dans les expériences d'atomes froids; il serait bon dans ce cas de faire appel à une approche plus élaborée, comme celle de la référence [31]. Notre calcul de la relation de dispersion du mode du continuum ne tient pas compte de son couplage à la branche acoustique de Bogoliubov-Anderson (dans les gaz de particules neutres), qui n'a *a priori* pas de raison d'être négligeable à nombre d'onde et à force des interactions quelconques. Enfin, on pourrait se demander quelle est la contribution de la branche du continuum aux grandeurs thermodynamiques du gaz de fermions à basse température, c'est-à-dire pour $k_B T$ petit devant l'énergie de liaison d'une paire.

## Remerciements

Nous sommes redevables à Serghei Klimin, Jacques Tempere, Alice Sinatra, Felix Werner, Ludovic Pricoupenko et Pascal Naidon d'utiles discussions et suggestions sur la branche du continuum. Nous remercions Serghei Klimin pour ses remarques sur le texte de l'article.

## Annexe A. Sur le calcul analytique des densités spectrales

### A.1. *Dans la limite de couplage faible*

Montrons comment passer de l'expression (29) de la densité spectrale $\rho^{(0)}$ à l'expression (30), en intégrant sur le nombre d'onde réduit $\tilde{K}$ à valeur fixée $u$ du cosinus de l'angle polaire. Il suffit pour cela de trouver les points d'annulation de l'argument de la distribution $\delta$ de Dirac dans l'intégrande. Pour simplifier, nous pouvons tout de suite imposer $\tilde{\epsilon} \equiv \epsilon/\Delta \ge 2$ (la densité spectrale est nulle sinon) et nous ramener au domaine d'intégration $u \ge 0$ et $\tilde{K} \ge 0$ par parité de l'intégrande. Posons $a = \tilde{q}u \ge 0$ si bien que $x_{\pm} = \tilde{K} \pm a/2$ et $e_{\pm} = [1 + (\tilde{K} \pm a/2)^2]^{1/2}$ dans (16). Il faut résoudre l'équation $\tilde{\epsilon} = e_+ + e_-$ sur la variable $\tilde{K}$. En enchaînant des élévations au carré et des regroupements de termes pour faire disparaître la racine carrée, il vient :

$$ \tilde{\epsilon} = e_+ + e_- \Leftrightarrow \tilde{\epsilon}^2 = e_+^2 + e_-^2 + 2e_+e_- \Leftrightarrow 2e_+e_- = \tilde{\epsilon}^2 - (e_+^2 + e_-^2) \Leftrightarrow (2e_+e_-)^2 - (e_+^2 + e_-^2 - \tilde{\epsilon}^2)^2 = 0 \text{ et } \tilde{\epsilon}^2 \ge e_+^2 + e_-^2 \quad (A.1) $$

Introduisons $\tilde{R} = [\tilde{\epsilon}^2 - (4 + a^2)]/(\tilde{\epsilon}^2 - a^2)$ et explicitons chaque terme de (A.1), pour obtenir la racine $\tilde{K}_0$ et sa condition d'existence :

$$ \tilde{\epsilon} = e_+ + e_- \Leftrightarrow \tilde{K}^2 = \frac{\tilde{\epsilon}^2}{4} \tilde{R} \text{ et } \frac{(\tilde{\epsilon}^2 - a^2)^2 + 4a^2}{2(\tilde{\epsilon}^2 - a^2)} \ge 0 \Leftrightarrow \tilde{K} = \tilde{K}_0 \equiv \frac{\tilde{\epsilon}}{2} \tilde{R}^{1/2} \text{ et } \tilde{\epsilon} \ge (4 + a^2)^{1/2} \quad (A.2) $$

En effet, la première inégalité impose $\tilde{\epsilon}^2 - a^2 \ge 0$ (la fraction en jeu a un numérateur $\ge 0$), et il faut avoir $\tilde{R} \ge 0$. Pour le même prix, on obtient la valeur de $e_+ - e_-$ en $\tilde{K} = \tilde{K}_0$ par une astuce d'écriture, et donc les valeurs de $e_{\pm}$ et de $x_{\pm}$ :

$$ e_+ - e_- = \frac{e_+^2 - e_-^2}{e_+ + e_-} = \frac{2a\tilde{K}_0}{\tilde{\epsilon}} = a\tilde{R}^{1/2} \Rightarrow e_+ = \frac{\tilde{\epsilon} + a\tilde{R}^{1/2}}{2}, \quad e_- = \frac{\tilde{\epsilon} - a\tilde{R}^{1/2}}{2}, \quad x_+ = \frac{\tilde{\epsilon}\tilde{R}^{1/2} + a}{2}, \quad x_- = \frac{\tilde{\epsilon}\tilde{R}^{1/2} - a}{2} \quad (A.3) $$
L'identité ci-dessous qui en résulte permet d'intégrer (29) sur le nombre d'onde pour obtenir
(30) :

$$
\delta(e_+ + e_- - \bar{e}) = J^{-1} \Theta(\bar{e} - (4 + a^2)^{1/2}) \delta(\bar{K} - \bar{K}_0) \quad \text{avec} \quad J = \frac{d}{d\bar{K}} (e_+ + e_-) = \frac{x_+}{e_+} + \frac{x_-}{e_-} \ge 0 \quad (A.4)
$$

A.2. Dans le cas général

Dans la limite continue du modèle sur réseau, montrons comment exprimer les densités spec-
trales ρ<sub>ss'</sub>(e, q), s, s' ∈ {−, +}, en termes d'intégrales elliptiques comme dans la Table 2, en par-
tant de leur définition (13) et en nous limitant au cas μ > 0 et ε > 2Δ. D'abord, on adimensionne
comme dans (58), (64) puis on intègre (13) en coordonnées sphériques d'axe polaire la direction
de q. L'intégration sur l'angle azimutal est immédiate, puisque l'intégrande n'en dépend pas. On
intègre ensuite sur u, cosinus de l'angle polaire, après s'être ramené à u ≥ 0 par parité de l'inté-
grande. Il faut pour cela trouver les points d'annulation de l'argument du δ de Dirac dans (13),
donc résoudre l'équation ϵ = ϵ<sub>+</sub> + ϵ<sub>-</sub> sur u, avec ϵ<sub>±</sub> = ϵ<sub>k±q/2</sub> (on notera de même ϵ̃<sub>±</sub> = ϵ̃<sub>k±q/2</sub>).
Posons a = k̂<sup>2</sup> + 1/4 q̂<sup>2</sup> − 1 et b = k̂q, si bien que

$$
\xi_{\pm} = a \pm b u \quad \text{et} \quad \xi_{\pm} = [(a \pm b u)^2 + \Delta^2]^{1/2} \qquad (A.5)
$$

C'est un reparamétrage astucieux, au sens où $a = 0$ à l'endroit du minimum de $k \mapsto \min_u \epsilon_+ + \epsilon_-$, fonction introduite dans [3] pour déterminer les valeurs extrêmes de $k$ accessibles à $\epsilon_+ + \epsilon_-$ fixé. Récupérons une partie du travail effectué dans la limite d'interaction faible (Section A.1) en utilisant directement les deux extrémités de la chaîne (A.1) :

$$
\epsilon = \epsilon_+ + \epsilon_- \Leftrightarrow u^2 = \frac{\epsilon^2}{4b^2} \check{R} \text{ et } \frac{(\epsilon^2 - 4a^2)^2 + 16a^2 \Delta^2}{\epsilon^2 - 4a^2} \ge 0 \Leftrightarrow u = u_0 \equiv \frac{\epsilon}{2b} \check{R}^{1/2} \text{ et } -\frac{1}{2}(\epsilon^2 - 4\Delta^2)^{1/2} \le a \le \frac{1}{2}(\epsilon^2 - 4\Delta^2)^{1/2} \tag{A.6}
$$

avec cette fois $\check{R} = [(\check{e}^2 - 4(a^2 + \check{\Delta}^2))/(\check{e}^2 - 4a^2)]$, puis en procédant comme dans (A.3) pour calculer
$\check{e}_+ - \check{e}_-$ en $u = u_0$ :

$$
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{\check{e}_+^2 - \check{e}_-^2}{\check{e}_+ + \check{e}_-} = \frac{4abu_0}{\check{e}} = 2a\check{R}^{1/2} \implies \check{e}_+ &= \frac{\check{e}}{2} + a\check{R}^{1/2}, \quad \check{e}_- = \frac{\check{e}}{2} - a\check{R}^{1/2}, \quad \check{\xi}_+ = a + \frac{\check{e}}{2}\check{R}^{1/2}, \quad \check{\xi}_- = a - \frac{\check{e}}{2}\check{R}^{1/2}
\end{split}
\tag{A.7}
\end{equation}
$$

Nous obtenons ainsi l'expression du δ de Dirac adaptée à l'intégration polaire :

$$
\delta(\check{e} - \check{e}_+ - \check{e}_-) = \frac{\Theta(1 - u_0)}{J} \delta(u - u_0) \quad \text{avec} \quad J = \frac{d}{du}(\check{e}_+ + \check{e}_-) = b \left( \frac{\check{\xi}_+}{\check{e}_+} - \frac{\check{\xi}_-}{\check{e}_-} \right) \ge 0 \quad (A.8)
$$

Comme nous avons tenu compte dans (A.8) de la contrainte géométrique $u_0 \le 1$ au moyen d'une
fonction de Heaviside $\Theta$, on peut intégrer sur $u \in [0, +\infty[$. Il reste à intégrer sur la variable
radiale $\check{k}$, ce qui, à cause de la fonction $\Theta$, n'est pas si simple que ça, le domaine d'intégration
se fractionnant en divers sous-intervalles suivant le nombre de racines de l'équation $u_0(\check{k}) = 1$.
Expliquons comment procéder sur l'exemple de $\check{\rho}_{+-}$. D'abord, on utilise $a$ plutôt que $\check{k}$ comme
variable d'intégration. Ensuite, compte tenu du domaine de variation de $a$ dans (A.6) et du
paramétrage hyperbolique (65) de l'énergie $\check{e}$ par $\Theta$, on pose $a = \frac{1}{2}(\check{e}^2 - 4\check{\Delta}^2)^{1/2} \sin\theta = \check{\Delta}\text{sh}\Omega \sin\theta$
où $\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$. Alors, en utilisant (10),

$$
\begin{align}
\check{\rho}_{+-}(\check{e}, \check{q}) &= \int_{-\frac{1}{2}(\check{e}^2 - 4\check{\Delta}^2)^{1/2}}^{\frac{1}{2}(\check{e}^2 - 4\check{\Delta}^2)^{1/2}} da \frac{4\pi\check{e}\check{\Delta}^2 a \Theta(1-u_0)/\check{q}}{(\check{e}^2 - 4a^2)^{3/2} (\check{e}^2 - 4(a^2 + \check{\Delta}^2))^{1/2}} \nonumber \\
&= \frac{\pi\check{\Delta}}{2\check{q}} \text{sh}\Omega\text{ch}\Omega \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta \frac{\Theta(1-u_0)\sin\theta}{(1+\text{sh}^2\Omega\cos^2\theta)^{3/2}} \tag{A.9}
\end{align}
$$

Pour connaître le signe de l’argument de Θ suivant la valeur de s ≡ sinθ, il faut par continuité
trouver ses points d’annulation donc résoudre l’équation cubique u₀² = 1 sur s, c’est-à-dire (71) à
un réarrangement trivial près. La discussion graphique de (71) est faite sur le Figure 3c et dans la Section 4.2.2, rappelons-en ici les conclusions : (i) si $\check{\epsilon} < \check{\epsilon}_2(\check{q})$, l'équation admet une seule racine réelle $s_3$, qui est $> 1$, si bien que $u_0(s) < 1$ pour tout $s \in [-1, 1]$; (ii) si $\check{\epsilon}_2(\check{q}) < \check{\epsilon} < \check{\epsilon}_3(\check{q})$ (ce qui peut se produire seulement si $\check{q} < \check{q}_0$), l'équation admet trois racines réelles, les deux premières $s_1$ et $s_2$ dans $]-1, 1[$, la troisième $s_3 > 1$, si bien que $u_0(s) < 1$ sur $[-1, s_1[ \cup [s_2, 1]$; (iii) si $\check{\epsilon}_3(\check{q}) < \check{\epsilon}$, l'équation admet trois racines réelles, $s_1 < -1$, $s_2 \in ]-1, 1[$ et $s_3 > 1$, si bien que $u_0(s) < 1$ sur $]s_2, 1]$.
Les énergies critiques $\check{\epsilon}_{2,3}(\check{q})$ et le nombre d'onde critique $\check{q}_0$ sont définis dans la Section 4.2.1. L'intégrale dans le troisième membre de (A.9) s'écrit donc

$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta \frac{\Theta(1-u_0)\sin\theta}{(1+\mathrm{sh}^2\Omega\cos^2\theta)^{3/2}} = \begin{cases} \displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{d\theta \sin\theta}{(1+\mathrm{sh}^2\Omega\cos^2\theta)^{3/2}} & \quad \text{si } 2\check{\Delta} < \check{\epsilon} < \check{\epsilon}_2(\check{q}) \\ \displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left( \int_{-\pi/2}^{\mathrm{asin}\,s_1} + \int_{\mathrm{asin}\,s_2}^{\pi/2} \right) \frac{d\theta \sin\theta}{(1+\mathrm{sh}^2\Omega\cos^2\theta)^{3/2}} & \quad \text{si } \check{\epsilon}_2(\check{q}) < \check{\epsilon} < \check{\epsilon}_3(\check{q}) \quad (\text{A.10}) \\ \displaystyle \int_{\mathrm{asin}\,s_2}^{\pi/2} \frac{d\theta \sin\theta}{(1+\mathrm{sh}^2\Omega\cos^2\theta)^{3/2}} & \quad \text{si } \check{\epsilon}_3(\check{q}) < \check{\epsilon} \end{cases} $$

L'intégrale du cas (i) dans (A.10) est nulle par imparité de l'intégrande. Dans les autres cas, il reste à effectuer le changement de variable $\theta = \alpha - \pi/2$ dans l'intégrale de borne inférieure $-\pi/2$ et $\theta = \pi/2 - \alpha$ dans l'intégrale de borne supérieure $\pi/2$; on fait ainsi apparaître la fonction $f_{+-}(\psi)$ de (68), exprimable analytiquement de manière simple. Pour les densités spectrales $\check{\rho}_{++}$ et $\check{\rho}_{--}$, on procède de même, si ce n'est qu'il faut reconnaître des intégrales elliptiques, complètes dans le cas (i), incomplètes comme dans (66), (67) sinon. On retrouve bien la Table 2.

Annexe B. Sur la limite $\Delta/\mu \to +\infty$

B.1. À l'échelle de nombre d'onde $\check{q} \approx \check{\Delta}^0$

Il s'agit d'expliquer comment ont été calculés les développements suivants, utiles à l'obtention du résultat (136) sur la branche du continuum de type II (ici, $\check{q}$ et $\check{Z} = \check{z} - 2\check{\Delta}$ sont fixés, avec $\mathrm{Im}\,\check{Z} < 0$) :

$$ \begin{aligned} \check{M}_{++}(\check{z}, \check{q}) & \stackrel{\check{q}, \check{Z} \text{ fixés}}{=} \check{\Delta}^{3/4} \int_0^{+\infty} d\check{K} \frac{(2\pi)^{-2}\check{K}^2}{\check{Z} - \check{K}^4} + \check{\Delta}^{1/2} \int_0^{+\infty} d\check{K} \frac{(2\pi)^{-2}}{\check{K}^2} \left(1 - \frac{1}{\sqrt{1 + \check{K}^4}}\right) \\ & \quad + \check{\Delta}^{1/4} \int_0^{+\infty} d\check{K} \frac{(2\pi)^{-2}(5\check{q}^2 - 12)\check{K}^4}{6(\check{Z} - \check{K}^4)^2} + O(\check{\Delta}^{-1/4}) \\ & = -\frac{(-\check{Z})^{-1/4}}{8\pi\sqrt{2}} \check{\Delta}^{3/4} + \frac{[\Gamma(3/4)]^2}{4\pi^{5/2}} \check{\Delta}^{1/2} + \frac{(5\check{q}^2 - 12)}{192\pi\sqrt{2}(-\check{Z})^{3/4}} \check{\Delta}^{1/4} + O(\check{\Delta}^{-1/4}) \end{aligned} \quad (\text{B.1}) $$

$$ \begin{aligned} \check{M}_{--}(\check{z}, \check{q}) & \stackrel{\check{q}, \check{Z} \text{ fixés}}{=} \frac{(-\check{Z})^{3/4}}{8\pi\sqrt{2}} \check{\Delta}^{-1/4} + \frac{3[\Gamma(3/4)]^2\check{Z} + 4[\Gamma(5/4)]^2\check{q}^2}{12\pi^{5/2}} \check{\Delta}^{-1/2} \\ & \quad + \frac{(12 - 13\check{q}^2)(-\check{Z})^{1/4}}{192\pi\sqrt{2}} \check{\Delta}^{-3/4} + O(\check{\Delta}^{-5/4}) \end{aligned} \quad (\text{B.2}) $$

$$ \check{M}_{+-}(\check{z}, \check{q}) \stackrel{\check{q}, \check{Z} \text{ fixés}}{=} -\frac{[\Gamma(5/4)]^2}{\pi^{5/2}} \check{\Delta}^{1/2} + \frac{(-\check{Z})^{1/4}}{8\pi\sqrt{2}} \check{\Delta}^{1/4} + \frac{(3\check{q}^2 - 4)(-\check{Z})^{-1/4}}{64\pi\sqrt{2}} \check{\Delta}^{-1/4} + O(\check{\Delta}^{-1/2}) \quad (\text{B.3}) $$

Pour cela, partons des expressions intégrales (8) des éléments de matrice, adimensionnons-les et intégrons formellement sur les angles polaire et azimuthal d'axe la direction de $\mathbf{q}$. Restent des intégrales sur le nombre d'onde relatif $\check{k}$ de certaines fonctions $f(\check{k}, \Delta)$. Appliquons-leur l'analyse
multi-échelle expliquée dans le texte au-dessus de (136), ce qui revient à séparer le domaine d'intégration en trois sous-intervalles :

$$
\begin{align}
\int_0^{+\infty} d\check{k} f(\check{k}, \check{\Delta}) &= \int_0^{\eta \check{\Delta}^{3/8}} d\check{k} f(\check{k}, \check{\Delta}) + \int_{\eta \check{\Delta}^{3/8}}^{A \check{\Delta}^{3/8}} d\check{k} f(\check{k}, \check{\Delta}) + \int_{A \check{\Delta}^{3/8}}^{+\infty} d\check{k} f(\check{k}, \check{\Delta}) \nonumber \\
&= \int_0^{\eta/\epsilon} d\check{K}_b \underbrace{\check{\Delta}^{1/4} f(\check{\Delta}^{1/4} \check{K}_b, \check{\Delta})}_{\equiv f_b(\check{K}_b, \epsilon)} + \int_{\eta}^{A} d\check{K}_{bc} \underbrace{\check{\Delta}^{3/8} f(\check{\Delta}^{3/8} \check{K}_{bc}, \check{\Delta})}_{\equiv f_{bc}(\check{K}_{bc}, \epsilon)} \nonumber \\
&\quad + \int_{A\epsilon}^{+\infty} d\check{K}_c \underbrace{\check{\Delta}^{1/2} f(\check{\Delta}^{1/2} \check{K}_c, \check{\Delta})}_{\equiv f_c(\check{K}_c, \epsilon)} \tag{B.4}
\end{align}
$$

où le petit paramètre est $\epsilon = \check{\Delta}^{-1/8}$. Les paramètres de coupure $\eta$ et $A$ sont arbitraires; à la fin du développement de Taylor en $\epsilon$, il faudra prendre les limites $A \to +\infty$ et $\eta \to 0$ dans le coefficient de chaque puissance $\epsilon^n$.47 Il reste à développer les fonctions $f_b$, $f_c$ et $f_{bc}$ en puissances de $\epsilon$ à $\check{K}_b$, $\check{K}_c$ et $\check{K}_{bc}$ fixés, avec des coefficients $f_b^{(n)}$, $f_c^{(n)}$ et $f_{bc}^{(n)}$, puis à intégrer. Si l'intégrale d'un $f_b^{(n)}$ diverge UV ou l'intégrale d'un $f_c^{(n)}$ diverge IR lorsque $\epsilon \to 0$, il faut sortir un équivalent simple de l'intégrande (typiquement, une somme de lois de puissance en la variable d'intégration) qui laissera derrière lui une intégrale convergente. On redéveloppe alors le tout en puissances de $\epsilon$.

Donnons l'exemple de l'élément de matrice $\check{M}_{++}$, à déterminer avec une erreur relative $O(\epsilon^8)$
donc une erreur absolue $O(\epsilon^2)$. Commençons par l'échelle (c). Le développement de Taylor de
l'intégrande s'écrit

$$
f_c(\check{K}, \epsilon) \underset{\epsilon \to 0}{\equiv} \frac{(2\pi)^{-2} \epsilon^{-4}}{\check{K}^2 \sqrt{1 + \check{K}^4}} + f_c^{(4)}(\check{K}) \epsilon^4 + f_c^{(12)}(\check{K}) \epsilon^{12} + O(\epsilon^{20}) \quad (B.5)
$$

L'intégrale du premier terme diverge IR lorsque $\epsilon \to 0$; nous passons par une succession de manipulations élémentaires pour la réduire à une somme de lois de puissance :

$$
\begin{align}
\int_{A\epsilon}^{+\infty} \frac{d\check{K}}{\check{K}^2 \sqrt{1 + \check{K}^4}} &= \int_{A\epsilon}^{+\infty} \frac{d\check{K}}{\check{K}^2} \left( \frac{1}{\sqrt{1 + \check{K}^4}} - 1 \right) + \int_{A\epsilon}^{+\infty} \frac{d\check{K}}{\check{K}^2} \nonumber \\
&= \int_0^{+\infty} \frac{d\check{K}}{\check{K}^2} \left( \frac{1}{\sqrt{1 + \check{K}^4}} - 1 \right) - \int_0^{A\epsilon} d\check{K} \left[ -\frac{1}{2}\check{K}^2 + O(\check{K}^6) \right] + \frac{\epsilon^{-1}}{A} \nonumber \\
&= -\frac{[\Gamma(3/4)]^2}{\pi^{1/2}} + \frac{A^3}{6}\epsilon^3 + \frac{\epsilon^{-1}}{A} + O(\epsilon^7) \tag{B.6}
\end{align}
$$

L'intégrale du deuxième et du troisième terme de (B.5) converge UV mais diverge IR; les mêmes manipulations s'imposent. Il suffit cependant de savoir que

$$
f_c^{(4)}(\check{K}) \underset{\check{K} \to 0}{=} -\frac{(2\pi)^{-2} \check{Z}}{\check{K}^6} + \frac{(2\pi)^{-2}(5\check{q}^2 - 12)}{6\check{K}^4} - \frac{(2\pi)^{-2} \check{Z}}{2\check{K}^2} + O(1) \quad \text{et} \quad f_c^{(12)}(\check{K}) \underset{\check{K} \to 0}{=} O(1/\check{K}^{10}) \quad (B.7)
$$

<footnote>$^{47}$Ce passage à la limite est en fait nécessaire seulement pour $\check{M}_{--}$. En ce qui concerne $\check{M}_{++}$ et $\check{M}_{+-}$, la dépendance en $A$ et $\eta$ disparaît toute seule dans les coefficients des $\epsilon^n$ utiles ici; on pourrait donc prendre $\eta = A = 1$ ce qui reviendrait à garder pleinement les échelles (b) et (c) mais à introduire l'échelle (bc) seulement comme une coupure.</footnote>
À l'ordre du calcul, les deux termes les plus divergents de $f_c^{(4)}(\check{K})$ contribuent, et $f_c^{(12)}(\check{K})$ est négligeable. La même procédure est à répéter pour les échelles (bc) et (b). Il suffit ici de savoir que

$$f_{bc}(\check{K}, \varepsilon) = \varepsilon \to 0 - \frac{(2\pi)^{-2}}{\check{K}^2} \varepsilon^{-5} + (2\pi)^{-2} \left( -\frac{\check{Z}}{\check{K}^6} + \frac{1}{2} \check{K}^2 \right) \varepsilon^{-1} + \frac{(2\pi)^{-2}(5\check{q}^2 - 12)}{6\check{K}^4} \varepsilon + O(\varepsilon^3) \quad (B.8)$$

$$f_b(\check{K}, \varepsilon) = \varepsilon \to 0 \frac{(2\pi)^{-2}\check{K}^2}{\check{Z} - \check{K}^4} \varepsilon^{-6} + \frac{(2\pi)^{-2}(5\check{q}^2 - 12)\check{K}^4}{6(\check{Z} - \check{K}^4)^2} \varepsilon^{-2} + f_b^{(2)}(\check{K})\varepsilon^2 + O(\varepsilon^6)$$

$$\text{où } f_b^{(2)}(\check{K}) = (2\pi)^{-2} \frac{\check{K}^2}{2} + O(\check{K}^{-2}) \qquad (B.9)$$

On aboutit ainsi au second membre de (B.1), dont le lecteur reconnaîtra ci-dessus tous les éléments.

## B.2. À l'échelle de nombre d'onde $\check{q} \approx \check{\Delta}^{-1/2}$

Pour établir l'équation (148) sur le couplage phase-module $M_{+-}$, nous procédons comme il est expliqué dans le texte qui la précède. Après moyenne angulaire formelle de (8) en coordonnées sphériques d'axe polaire la direction de $\mathbf{q}$, $M_{+-}$ s'écrit comme une intégrale sur le nombre d'onde $\check{k}$ d'une certaine fonction $F(\check{k}, \check{\Delta})$. Prenons comme petit paramètre $\varepsilon = \check{\Delta}^{-1/8}$, séparons le domaine d'intégration en deux autour de la coupure $\Lambda \check{\Delta}^{1/4}$ ($\Lambda$ est une constante) et effectuons les changements de variable (130) de type (a) et (c) :

$$\check{M}_{+-}(\check{z}, \check{q}) = \int_{0}^{\Lambda \check{\Delta}^{1/4}} d\check{k} F(\check{k}, \check{\Delta}) + \int_{\Lambda \check{\Delta}^{1/4}}^{+\infty} d\check{k} F(\check{k}, \check{\Delta}) = \int_{0}^{\Lambda \varepsilon^{-2}} d\check{K}_a F(\check{K}_a, \check{\Delta}) + \int_{\Lambda \varepsilon^2}^{+\infty} d\check{K}_c \underbrace{\check{\Delta}^{1/2} F(\check{\Delta}^{1/2} \check{K}_c, \check{\Delta})}_{\equiv F_c(\check{K}_c, \varepsilon)} \quad (B.10)$$

Il reste à développer en puissances de $\varepsilon$ sous le signe intégral à $\check{K}_a$ ou $\check{K}_c$ fixé, avec $\check{Q} = \check{\Delta}^{1/2} \check{q}$ et $\check{\zeta}$ défini par (142) fixés,

$$F_a(\check{K}_a, \varepsilon) = \varepsilon \to 0 \frac{(2\pi)^{-2} \check{K}_a^2 (\check{K}_a^2 - 1)}{\check{\zeta} - (\check{K}_a^2 - 1)^2} + O\left(\frac{\varepsilon^8}{1 + \check{K}_a^2}\right) \quad \text{et} \quad F_c(\check{K}_c, \varepsilon) = \varepsilon \to 0 \frac{-(2\pi)^{-2} \varepsilon^{-4}}{(1 + \check{K}_c^4)^{1/2}} + O\left(\frac{\varepsilon^4}{\check{K}_c^2}\right) \quad (B.11)$$

puis à intégrer :

$$\int_{0}^{\Lambda \varepsilon^{-2}} d\check{K}_a F_{a}^{(0)}(\check{K}_a) = F_{a}^{(0)}(+\infty) \Lambda \varepsilon^{-2} + \int_{0}^{+\infty} d\check{K}_a [F_{a}^{(0)}(\check{K}_a) - F_{a}^{(0)}(+\infty)] + O(\varepsilon^2) \quad (B.12)$$

$$\int_{\Lambda \varepsilon^2}^{+\infty} d\check{K}_c F_c^{(-4)}(\check{K}_c) = \int_{0}^{+\infty} d\check{K}_c F_c^{(-4)}(\check{K}_c) - \int_{0}^{\Lambda \varepsilon^2} d\check{K}_c F_c^{(-4)}(\check{K}_c) = - \frac{[\Gamma(5/4)]^2}{\pi^{5/2}} - \Lambda \varepsilon^2 F_c^{(-4)}(0) + O(\varepsilon^{10}) \quad (B.13)$$

Ici, les fonctions $F^{(n)}$ sont les coefficients des termes d'ordre $\varepsilon^n$ dans (B.11). Dans (B.12), on a utilisé une astuce moins-plus en soustrayant à l'intégrande sa limite à l'infini. Dans l'intégrale restante, l'intégrande est désormais un $O(1/\check{K}_a^2)$; on peut donc remplacer la borne supérieure par $+\infty$, en commettant une erreur $O(\varepsilon^2)$ négligeable. Dans (B.13), pour passer du deuxième au troisième membre, on a d'abord effectué la première intégrale puis, dans la seconde intégrale, on a approximé l'intégrande par sa valeur en l'origine; comme ce dernier varie quartiquement près de $\check{K}_c = 0$, l'erreur commise est bien un $O(\varepsilon^{10})$. En regroupant les contributions (B.12) et (B.13) dans $\check{M}_{+-}$ avec des poids 1 et $\varepsilon^{-4}$, on constate que les termes linéaires en $\Lambda$ dans les derniers membres de ces équations se compensent. Il reste (148).
Références

[1] R. Combescot, M. Y. Kagan, S. Stringari, « Collective mode of homogeneous superfluid Fermi gases in the BEC-BCS crossover », *Phys. Rev. A* **74** (2006), article no. 042717.

[2] V. A. Andrianov, V. N. Popov, « Gidrodinamičeskoe dejstvie i Boze-spektr sverhtekučih Fermi-sistem », *Teor. Mat. Fiz.* **28** (1976), p. 341, [Theor. Math. Phys. **28**, 829 (1976)].

[3] H. Kurkjian, S. N. Klimin, J. Tempere, Y. Castin, « Pair-breaking collective branch in BCS superconductors and superfluid Fermi gases », *Phys. Rev. Lett.* **122** (2019), article no. 093403.

[4] K. M. O'Hara, S. L. Hemmer, M. E. Gehm, S. R. Granade, J. E. Thomas, « Observation of a strongly interacting degenerate Fermi gas of atoms », *Science* **298** (2002), p. 2179.

[5] T. Bourdel, J. Cubizolles, L. Khaykovich, K. M. Magalhães, S. J. J. M. F. Kokkelmans, G. V. Shlyapnikov, C. Salomon, « Measurement of the interaction energy near a Feshbach resonance in a $^6$Li Fermi gas », *Phys. Rev. Lett.* **91** (2003), article no. 020402.

[6] M. Bartenstein, A. Altmeyer, S. Riedl, S. Jochim, C. Chin, J. H. Denschlag, R. Grimm, « Collective excitations of a degenerate gas at the BEC-BCS crossover », *Phys. Rev. Lett.* **92** (2004), article no. 203201.

[7] M. W. Zwierlein, C. A. Stan, C. H. Schunck, S. M. F. Raupach, A. J. Kerman, W. Ketterle, « Condensation of pairs of fermionic atoms near a Feshbach resonance », *Phys. Rev. Lett.* **92** (2004), article no. 120403.

[8] S. Nascimbène, N. Navon, K. J. Jiang, F. Chevy, C. Salomon, « Exploring the thermodynamics of a universal Fermi gas », *Nature* **463** (2010), p. 1057.

[9] M. J. H. Ku, A. T. Sommer, L. W. Cheuk, M. W. Zwierlein, « Revealing the superfluid lambda transition in the universal thermodynamics of a unitary Fermi gas », *Science* **335** (2012), p. 563.

[10] P. W. Anderson, « Random-phase approximation in the theory of superconductivity », *Phys. Rev.* **112** (1958), p. 1900.

[11] H. Kurkjian, "Cohérence, brouillage et dynamique de phase dans un condensat de paires de fermions", thèse de doctorat, École Normale Supérieure, Paris, 2016.

[12] H. Kurkjian, Y. Castin, A. Sinatra, « Three-phonon and four-phonon interaction processes in a pair-condensed Fermi gas », *Annalen der Physik* **529** (2017), article no. 1600352.

[13] Y. Castin, « Simple theoretical tools for low dimension Bose gases, Cours de l'école de printemps des Houches 2003 *Quantum Gases in Low Dimensions*, édité par M. Olshanii, H. Perrin, L. Pricoupenko », *J. Phys. IV France* **116** (2004), p. 89.

[14] V. Gurarie, « Nonequilibrium dynamics of weakly and strongly paired superconductors », *Phys. Rev. Lett.* **103** (2009), article no. 075301.

[15] C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, G. Grynberg, *Processus d'interaction entre photons et atomes*, InterEditions et Éditions du CNRS, Paris, 1988.

[16] P. Nozières, *Le problème à N corps : Propriétés générales des gaz de fermions*, Dunod, Paris, 1963.

[17] Y. Castin, « Basic tools for degenerate Fermi gases », in *Proceedings of the International School of Physics "Enrico Fermi"* (M. Inguscio, W. Ketterle, C. Salomon, éds.), Lecture notes of the 2006 Varenna Enrico Fermi School on Fermi gases, SIF, 2007.

[18] A. Schirotzek, Y. Shin, C. H. Schunck, W. Ketterle, « Determination of the superfluid gap in atomic Fermi gases by quasiparticle spectroscopy », *Phys. Rev. Lett.* **101** (2008), article no. 140403.

[19] M. Marini, E. Pistolesi, G. C. Strinati, « Evolution from BCS superconductivity to Bose condensation : Analytic results for the crossover in three dimensions », *Eur. Phys. J. B* **1** (1998), p. 151.

[20] I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik, *Tables of integrals, series, and products*, 5ème éd., Academic Press, San Diego, 1994, 1171 pages.

[21] H. Kurkjian, Y. Castin, A. Sinatra, « Concavity of the collective excitation branch of a Fermi gas in the BEC-BCS crossover », *Phys. Rev. A* **93** (2016), article no. 013623.

[22] S. N. Klimin, H. Kurkjian, J. Tempere, « Anderson-Bogoliubov collective excitations in superfluid Fermi gases at nonzero temperatures », *J. Low Temperature Phys.* **196** (2019), p. 102.

[23] S. N. Klimin, J. Tempere, H. Kurkjian, « Phononic collective excitations in superfluid Fermi gases at nonzero temperatures », *Phys. Rev. A* **100** (2019), article no. 063634.

[24] Z. Hadzibabic, S. Gupta, C. A. Stan, C. H. Schunck, M. W. Zwierlein, K. Dieckmann, W. Ketterle, « Fiftyfold improvement in the number of quantum degenerate fermionic atoms », *Phys. Rev. Lett.* **91** (2003), article no. 160401.

[25] D. S. Petrov, C. Salomon, G. V. Shlyapnikov, « Weakly bound dimers of fermionic atoms », *Phys. Rev. Lett.* **93** (2004), article no. 090404.

[26] A. J. Leggett, « Cooper pairing in spin-polarized Fermi systems », *J. physique Colloq.* **41** (1980), p. C7-19.

[27] J. R. Engelbrecht, M. Randeria, C. A. R. Sá de Melo, « BCS to Bose crossover : Broken-symmetry state », *Phys. Rev. B* **55** (1997), p. 15153.

[28] W. Zwerger (éd.), *The BCS-BEC Crossover and the Unitary Fermi Gas*, Lecture Notes in Physics 836, Springer, Berlin, 2012.
[29] Y. Castin, I. Ferrier-Barbut, C. Salomon, « La vitesse critique de Landau d'une particule dans un superfluide de fermions », C. R. Phys. **16** (2015), p. 241.

[30] T. Cea, C. Castellani, G. Seibold, L. Benfatto, « Nonrelativistic dynamics of the amplitude (Higgs) mode in superconductors », Phys. Rev. Lett. **115** (2015), article no. 157002.

[31] R. Haussmann, M. Punk, W. Zwerger, « Spectral functions and rf response of ultracold fermionic atoms », Phys. Rev. A **80** (2009), article no. 063612.