# Classes logarithmiques ambiges des corps quadratiques

par

FLORENCE SORIANO (Talence)

**0. Introduction.** La notion de corps logarithmiquement principal (relativement à un nombre premier $p$) a été introduite par J.-F. Jaulent à l'occasion de l'étude de certaines pro-$p$-extensions canoniques des corps de nombres en liaison avec la $K$-théorie : l'arithmétique des classes logarithmiques, qui se révèle semblable (quoique plus complexe) à celle des classes de diviseurs au sens habituel donne, en effet, des informations directes sur celle des noyaux modéré et sauvage des corps considérés : plus précisément, si $K$ désigne un corps de nombres qui contient les racines $2l$-ièmes de l'unité, le $l$-groupe des classes logarithmiques s'interprête par la théorie d'Iwasawa comme le quotient des genres

$$ \widetilde{Cl}_K = \Gamma\mathcal{C} $$

du groupe de Galois $\mathcal{C} = \text{Gal}(\overline{K^c}/K^c)$ attaché à la pro-$l$-extension abélienne complètement décomposée partout maximale $\overline{K^c}$ du corps cyclotomique $K^c = K[\zeta_{l^\infty}]$ relativement au groupe procyclique $\Gamma = \text{Gal}(K^c/K)$ (cf. [J1]), tandis que la cohomologie galoisienne permet de montrer que la $l$-partie $l^\infty H_2(K)$ du noyau des symboles de Hilbert dans $K_2(K)$ est donnée, elle, par l'identité (cf. [Sc], th. 7.3)

$$ l^\infty H_2(K) = \Gamma(\mathbb{T}_l \otimes_{\mathbb{Z}_l} \mathcal{C}), $$

où $\mathbb{T}_l = \lim_{\leftarrow\leftarrow\mu_{l^n}}$ désigne le module de Tate.

Il résulte de cela (cf., par exemple, [J2], mais on peut aussi le montrer directement), que pour $l = 2$ et en présence des racines 4-ièmes de l'unité, il existe un isomorphisme canonique

$$ \{\pm 1\} \otimes_{\mathbb{Z}} \widetilde{Cl}_K = {}^2H_2(K) $$

entre les quotients d'exposant 2 respectifs du 2-groupe des classes logarithmiques et du noyau hilbertien de sorte en particulier que $\widetilde{Cl}_K$ et ${}^2H_2(K)$ sont alors simultanément triviaux.
Les résultats de J. Browkin et A. Schinzel (cf. [BS]) permettant de dresser
la liste des extensions quadratiques Q(√±d) de Q pour lesquelles le 2-groupe
2∞H₂(K) est trivial, il était tentant de regarder si la condition de trivialité
2∞H₂(K) = 1 était encore corrélée ou non avec la condition logarithmique
analogue alors même que l'hypothèse μ₄ ⊂ K n'était plus satisfaite. Nous
nous proposons donc dans cet article de déterminer la liste des corps quadra-
tiques K = Q(√±d) du corps des rationnels dont le 2-groupe des classes
logarithmiques (au sens de [J₃]) Cl_Q(√±d) est trivial et de comparer la clas-
sification obtenue à celle, tirée de [BS], des mêmes corps K, pour lesquelles
c'est 2∞H₂(K) qui est trivial.

1. Notations et position du problème. Nous utilisons dans ce travail les notations de [J₃]. En particulier nous posons :

1.1. DÉFINITION. Le corps de nombres $K$ est dit 2-logarithmiquement principal si et seulement si son 2-groupe des classes logarithmiques $\widetilde{Cl}_K$ est trivial.

EXEMPLES. 1. Comme nous le verrons au paragraphe 5, l'exemple le plus simple est le corps des nombres rationnels $K = \mathbb{Q}$.

2. Si *i* désigne une racine primitive quatrième de l'unité dans $\mathbb{C}$, le corps de nombres $K = \mathbb{Q}(i)$ étant 2-régulier (cf. par exemple, [GJ], Th. 2.1.iv.a.), son 2-noyau hilbertien $H_2(K)$ est en particulier trivial. Et ainsi, l'isomorphisme $\{\pm1\} \otimes \mathbb{Z} \widetilde{Cl}_K = {}_2H_2(K)$ montre que $K = \mathbb{Q}(i)$ est effectivement un corps de nombres 2-logarithmiquement principal.

Remarque. Le lien étroit entre la notion de groupe des classes loga-
rithmiques avec celle du 2-Sylow du noyau hilbertien, nous suggère de citer
certains auteurs dont les travaux concernent la trivialité du 2-noyau hilber-
tien des extensions quadratiques de Q.

1. En 1972, les calculs de J. Tate (cf. [BT], appendice) montrent que le noyau hilbertien est trivial pour les corps quadratiques imaginaires dont le discriminant $\Delta$ de valeur absolue strictement inférieure à 35 n'est pas congru à 1 modulo 8.

2. En 1982, J. Browkin et A. Schinzel publient dans [BS] les calculs du 2-rang du noyau hilbertien des extensions quadratiques de Q.

3. En 1993, H. Qin (cf. [Qi]) prouve la trivialité du noyau hilbertien de $\mathbb{Q}(\sqrt{-6})$ par une méthode basée sur les travaux de Tate et transposable dans l'étude d'autres exemples de corps quadratiques imaginaires.

4. Un article récent de M. Skałba (cf. [Sk]) étudie les cas particuliers des extensions quadratiques imaginaires $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ et $\mathbb{Q}(\sqrt{-19})$, comme application d'une généralisation du théorème de Thue.
5. Enfin H. Thomas par des méthodes algorithmiques dresse dans [Th] la liste complète des extensions quadratiques de $\mathbb{Q}$ et de $\mathbb{Q}(i)$ dont le 2-noyau hilbertien est trivial.

Notre principal outil dans l'étude de la condition $\widetilde{Cl}_K = 0$ est l'inégalité des classes logarithmiques ambiges (cf. [J₃], Th. 4.5) qui établit en particulier qu'une extension quadratique $F$ du corps $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels, de groupe de Galois $G$, est 2-logarithmiquement principale si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

(i) on a

$$ \prod_{\mathfrak{p}|\infty} d_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q}) \cdot \prod_{\mathfrak{p} \nmid \infty} \tilde{e}_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q}) = [F : F \cap \mathbb{Q}^c] \cdot (\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}} : \tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}} \cap \mathcal{N}_{F/\mathbb{Q}}) $$

où $d_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q})$ désigne le degré local en $\mathfrak{p}$ de l'extension $F/\mathbb{Q}$, $\tilde{e}_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q})$ le degré de ramification logarithmique, $\mathbb{Q}^c$ la $\mathbb{Z}_l$-extension cyclotomique, $\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}}$ le groupe des unités logarithmiques de $\mathbb{Q}$ et $\mathcal{N}_{L/K}$ le $\mathbb{Z}_l$-tensorisé des normes dans l'extension $F/\mathbb{Q}$;

(ii) le morphisme $\varphi$ du premier groupe de cohomologie $H^1(G, \widetilde{Pl}_F)$ des diviseurs principaux dans celui $H^1(G, \widetilde{Dl}_F)$ des diviseurs logarithmiques de degré nul de $F$, déduit de la suite exacte

$$ 1 \to \widetilde{Pl}_F \to \widetilde{Dl}_F \to \widetilde{Cl}_F \to 1, $$

est surjectif.

Lors de l'étude de la surjectivité du morphisme $\varphi$, les lemmes 4.1 et 4.2 de [J₃] nous conduisent à introduire la définition suivante :

**1.2. DÉFINITION.** Une 2-extension $L/K$ de corps de nombres est dite (CM)-primitivement ramifiée (au sens logarithmique) si l'une au moins des conditions suivantes est vérifiée :

* l'extension $L/K$ est primitivement ramifiée, c'est-à-dire les diviseurs logarithmiques de $L$ sont sommes de diviseurs ambiges et de diviseurs de degré nul,

* le quotient $\tilde{\mathcal{E}}_K \cap \mathcal{N}_{L/K}/\mathcal{N}_{L/K}(\tilde{\mathcal{E}}_L)$ est engendré par des éléments totalement positifs (on parle alors d'extension (CM)-primitivement ramifiée au sens non trivial).

**Remarque.** Comme $\mathbb{Q}$ ne possède qu'une place paire, le groupe $\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}}$ des unités logarithmiques de $\mathbb{Q}$ coïncide avec le tensorisé du groupe des 2-unités logarithmiques de $\mathbb{Q}$, et est en particulier engendré par $-1$ et $2$. Les 2-extensions (CM)-primitivement ramifiées de $\mathbb{Q}$ comprennent en particulier les extensions quadratiques imaginaires de $\mathbb{Q}$, et les extensions quadratiques réelles dont les unités $-1$ et $-2$ ne sont pas normes.
Sous l'hypothèse de (CM)-primitivité, les deux paragraphes suivants établissent qu'en fait le morphisme $\varphi$ est surjectif si et seulement si ni le radical $\pm d$, ni sa moitié $\pm d/2$ ne sont congrus à 9 modulo 16. Autrement dit, l'ordre du 2-groupe des classes logarithmiques ambiges de l'extension quadratique $F = \mathbb{Q}(\sqrt{\pm d})$ de $\mathbb{Q}$ est donné dans chacun des cas suivants par la formule :

1er cas : pour $\pm d \equiv 1 \pmod{16}$ ou $\pm d \equiv 2 \pmod{32}$, on a

$$|\widetilde{Cl}_F^G| = \frac{\prod_{\mathfrak{p}|\infty} d_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q}) \cdot \prod_{\mathfrak{p}\nmid\infty} \tilde{e}_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q})}{[F: F \cap \mathbb{Q}^c] \cdot (\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}} : \tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}} \cap \mathcal{N}_{F/\mathbb{Q}})} |H^1(G, \widetilde{Dl}_F)|,$$

2nd cas : pour $\pm d \not\equiv 1 \pmod{16}$ et $\pm d \not\equiv 2 \pmod{32}$, on a

$$|\widetilde{Cl}_F^G| = \frac{\prod_{\mathfrak{p}|\infty} d_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q}) \cdot \prod_{\mathfrak{p}\nmid\infty} \tilde{e}_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q})}{[F: F \cap \mathbb{Q}^c] \cdot (\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}} : \tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}} \cap \mathcal{N}_{F/\mathbb{Q}})}.$$

La liste des extensions quadratiques 2-logarithmiquement principales $F$ de $\mathbb{Q}$ est alors dans ce cas facilement déterminée, et fait l'objet du paragraphe 6.

## 2. Classes logarithmiques ambiges des extensions quadratiques de $\mathbb{Q}$

### 2.1. Présentation du problème.
Comme nous l'avons dit, nous souhaitons calculer l'ordre du groupe des classes logarithmiques ambiges d'une extension quadratique $F$ quelconque de $K = \mathbb{Q}$. La formule des classes logarithmiques ambiges permettant de conclure dans le cas primitif (i.e. lorsque $H^1(G, \widetilde{Dl}_F) = 1$ (cf. §3)), le problème est dans le cas contraire ramené à l'étude de la surjectivité du morphisme $\varphi : H^1(G, \widetilde{Pl}_F) \to H^1(G, \widetilde{Dl}_F)$, déduit de la suite exacte

$$1 \to \widetilde{Pl}_F \to \widetilde{Dl}_F \to \widetilde{Cl}_F \to 1.$$

D'après [J3], §4, le nombre de classes logarithmiques ambiges est donné, en effet, par la formule

$$|\widetilde{Cl}_F^G| = |\widetilde{Cl}_{\mathbb{Q}}| \frac{\prod_{\mathfrak{p}|\infty} d_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q}) \cdot \prod_{\mathfrak{p}\nmid\infty} \tilde{e}_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q})}{[F: F \cap \mathbb{Q}^c] \cdot (\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}} : \tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}} \cap \mathcal{N}_{F/\mathbb{Q}})} |\text{Coker } \varphi|.$$

La difficulté majeure de manipulation de cette formule réside donc en l'étude de la surjectivité du morphisme de groupes cohomologiques $\varphi$. Cette étude est bien entendu plus facile lorsque le premier groupe cohomologique $H^1(G, \widetilde{Pl}_F)$ est trivial, puisque le nombre de classes logarithmiques ambiges de $F$ est donné alors par la relation

$$|\widetilde{Cl}_F^G| = |\widetilde{Cl}_{\mathbb{Q}}| \frac{\prod_{\mathfrak{p}|\infty} d_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q}) \cdot \prod_{\mathfrak{p}\nmid\infty} \tilde{e}_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q})}{[F: F \cap \mathbb{Q}^c] \cdot (\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}} : \tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}} \cap \mathcal{N}_{F/\mathbb{Q}})} |H^1(G, \widetilde{Dl}_F)|.$$
Pour ces raisons, au moins dans le cas imprimitif, l'étude de la surjectivité de $\varphi$ est ramenée à celle de la trivialité de l'image d'une classe génératrice du groupe $H^1(G, \widetilde{Pl}_F)$ (d'ordre 1 ou 2). D'où la nécessité dans un premier temps, de revenir sur la définition de $\varphi$ :

**2.2.** *Etude du morphisme* $\varphi$. Le diagramme commutatif suivant (où tous les groupes sont d'ordre 1 ou 2) :

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

déduit des isomorphismes donnés par les lemmes 4.1 et 4.2 dans [J3], montre que les morphismes $\varphi$ et $\bar{\varphi}$ sont équivalents. Plus précisément :

**2.2.1. PROPOSITION.** Soient $\mathbb{Q}$ le corps des nombres rationnels et $F$ une extension quadratique de $\mathbb{Q}$, dont le groupe de Galois $G$ est engendré par un $\mathbb{Q}$-automorphisme $\sigma$. Le morphisme $\varphi$ du premier groupe de cohomologie $H^1(G, \widetilde{Pl}_F)$ des diviseurs principaux de $F$ dans le premier groupe de cohomologie $H^1(G, \widetilde{Dl}_F)$ des diviseurs de degré nul de $F$ induit un morphisme $\bar{\varphi}$ qui à toute classe dans $\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}} \cap \mathcal{N}_{F/\mathbb{Q}}/N_{F/\mathbb{Q}}(\tilde{\mathcal{E}}_F)$ d'une unité logarithmique $N_{F/\mathbb{Q}}(\alpha)$, norme de l'extension $F/\mathbb{Q}$, associe la classe dans le groupe quotient $\text{deg}_F Dl_F / \text{deg}_F Dl_F^G$, du degré d'un diviseur $\mathfrak{A}$ tel que $\mathfrak{A}^{\sigma} - \mathfrak{A} = \tilde{\text{div}}_F(\alpha)$.

**P**reuve. Si $N_{F/\mathbb{Q}}(\alpha)$ désigne une unité logarithmique du corps $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels, norme de l'extension $F/\mathbb{Q}$, il est toujours possible de déterminer un diviseur $\mathfrak{A}$ de $F$ tel que $\mathfrak{A}^{\sigma} - \mathfrak{A} = \tilde{\text{div}}_F(\alpha)$. En effet, la condition normique $N_{F/\mathbb{Q}}(\alpha) \in \tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}}$, qui s'écrit encore $\tilde{\text{div}}_{\mathbb{Q}}N_{F/\mathbb{Q}}(\alpha) = 0$, nous donne les conditions

$$ \tilde{v}_{\mathfrak{p}}(\alpha) + \tilde{v}_{\mathfrak{p}}^{\sigma}(\alpha) = 0, \quad \forall \mathfrak{p} \in Pl_{F/\mathbb{Q}}^{\circ} \text{ (ensemble des places finies de } F\text{).} $$

Faisons donc choix d'un système de représentants $Pl_{F/\mathbb{Q}}^{\circ}$ de $Pl_F^{\circ}$ pour l'action du groupe de Galois $G = \text{Gal}(F/\mathbb{Q})$ (autrement dit, pour chaque premier $p$ de $\mathbb{Q}$ décomposé dans $F/\mathbb{Q}$, faisons choix de l'un des premiers $p$ de $F$ au-dessus de $p$), et considérons le diviseur logarithmique

$$ \mathfrak{A} = - \sum_{\mathfrak{p} \in Pl_{F/\mathbb{Q}}^{\circ}} \tilde{v}_{\mathfrak{p}}(\alpha)\mathfrak{p}. $$

Nous obtenons immédiatement

$$ \mathfrak{A}^{\sigma} - \mathfrak{A} = \sum_{\mathfrak{p} \in Pl_{F/\mathbb{Q}}^{\circ}} \tilde{v}_{\mathfrak{p}}(\alpha)(\mathfrak{p} - \mathfrak{p}^{\sigma}), $$
$$ \begin{aligned} \mathfrak{A}^{\sigma} - \mathfrak{A} &= \sum_{\mathfrak{p} \in Pl_{F/Q}^{\sigma}} (\tilde{v}_{\mathfrak{p}}(\alpha)\mathfrak{p} - \tilde{v}_{\mathfrak{p}}(\alpha)\mathfrak{p}^{\sigma}) = \sum_{\mathfrak{p} \in Pl_{F/Q}^{\sigma}} (\tilde{v}_{\mathfrak{p}}(\alpha)\mathfrak{p} + \tilde{v}_{\mathfrak{p}}^{\sigma}(\alpha)\mathfrak{p}^{\sigma}) \\ &= \widetilde{\mathrm{div}}_{F}(\alpha), \end{aligned} $$

comme attendu.

Deux étapes s'imposent alors :

(i) montrer que l'image deg $\mathfrak{A}$ (mod $Dl_F^G$) de $\mathfrak{A}$ par $\bar{\varphi}$ ne dépend en fait que de l'unité logarithmique de départ $N_{F/Q}(\alpha)$,

(ii) montrer que cette image est nulle dès que $\alpha$ est une unité logarithmique de $F$.

Ainsi, dans un premier temps, nous considérons $\mathfrak{A}$ et $\mathfrak{B}$, deux diviseurs tels que $\mathfrak{A}^{\sigma} - \mathfrak{A} = \mathfrak{B}^{\sigma} - \mathfrak{B} = \widetilde{\mathrm{div}}_{F}(\alpha)$. L'écriture du diviseur $\mathfrak{A}^{\sigma} - \mathfrak{B}^{\sigma}$ sous la forme

$$ \begin{aligned} \mathfrak{A}^{\sigma} - \mathfrak{B}^{\sigma} &= (\mathfrak{A} - \mathfrak{B}) + (\mathfrak{A}^{\sigma} - \mathfrak{A}) + (\mathfrak{B} - \mathfrak{B}^{\sigma}) \\ &= (\mathfrak{A} - \mathfrak{B}) + \widetilde{\mathrm{div}}_{F}(\alpha) - \widetilde{\mathrm{div}}_{F}(\alpha) = \mathfrak{A} - \mathfrak{B} \end{aligned} $$

montre que $\mathfrak{A} - \mathfrak{B}$ est un diviseur ambige et donc que les degrés de $\mathfrak{A}$ et $\mathfrak{B}$ ont même image dans le premier groupe de cohomologie $H^1(G, \widetilde{Dl}_F) \simeq \mathrm{deg}_F Dl_F / \mathrm{deg}_F Dl_F^G$. Enfin, soit $\mathfrak{A}$ un diviseur logarithmique provenant, par la construction précédente, de la norme d'une unité logarithmique de $F$; alors, conservant les notations, nous obtenons banalement $\mathfrak{A} = 0$ donc trivialement $\mathrm{deg}_F \mathfrak{A} = 0$.

Tous les outils de manipulation enfin présentés, commençons par examiner le cas le plus simple correspondant aux extensions primitivement ramifiées.

**3. Application au cas primitif.** Ce chapitre vise à caractériser les extensions quadratiques $F = \mathbb{Q}(\sqrt{\pm d})$ primitivement ramifiées (i.e. telles que $H^1(G, \widetilde{Dl}_F) = 1$). Plus précisément, il établit le résultat suivant :

**3.1. LEMME.** *L'entier naturel $d$ étant supposé sans facteur carré, l'extension quadratique $\mathbb{Q}(\sqrt{\pm d})/\mathbb{Q}$ est primitivement ramifiée si et seulement si $\pm d$ n'est congru ni à 1 modulo 8, ni à 2 modulo 16, ou encore si $d$ est divisible par un premier impair $p$ congru à $\pm 3$ modulo 8, ou enfin si $\pm d = 2$.*

**Préuve.** Si $\pm d = 2$, les corps de nombres $F$ et $F \cap \mathbb{Q}^c$ coïncident, si bien que l'extension est trivialement primitivement ramifiée.

Sinon, il s'agit de vérifier l'existence d'un diviseur premier $p$ ramifié au sens logarithmique dans l'extension $F/F \cap \mathbb{Q}^c$, et dont le degré est générateur du $\mathbb{Z}_2$-module $\mathrm{deg}_{\mathbb{Q}} Dl_{\mathbb{Q}} = 4\mathbb{Z}_2$. Dans le cas de ramification logarithmique en 2, c'est-à-dire $\pm d \neq 1 \pmod 8$ et $\pm d \neq 2 \pmod{16}$, l'extension $F/\mathbb{Q}$ est
primitivement ramifiée (puisque le degré $\deg_F \mathcal{L}$ d'une place sauvage $\mathcal{L}$ de $F$ est égal à 4).

Dans le cas $\pm d \equiv 1 \pmod 8$ ou $\pm d \equiv 2 \pmod{16}$, l'extension $F/\mathbb{Q}$ ne peut être primitivement ramifiée qu'en un diviseur premier $p$ de $\mathbb{Q}$, divisant l'entier $d$. De plus, un diviseur premier impair $p$ de $\mathbb{Q}$ est primitif si et seulement si $\log p$ est une $\mathbb{Z}_2$-base de $\deg_{\mathbb{Q}} Dl_{\mathbb{Q}}$, soit $p \equiv \pm 3 \pmod 8$.

Remarque. Dans cette situation, le conoyau de $\varphi$ est clairement tri-
vial, si bien que la formule des classes logarithmiques ambiges est aisément
applicable.

4. Application au cas (CM)-primitif. Nous notons $F$ une exten-
sion quadratique de $\mathbb{Q}$, que nous supposons dans ce paragraphe (CM)-
primitivement ramifiée (au sens non trivial), si bien que $F$ est une extension
non primitivement ramifiée et de la forme $\mathbb{Q}(\sqrt{\pm d})$, où $d$ est un entier sans
facteur carré et strictement supérieur à 2.

Ce chapitre se restreignant au cas imprimitif (sinon cf. §3), nous avons
les congruences

$$
\pm d \equiv 1 \pmod{8} \quad \text{ou} \quad \pm d \equiv 2 \pmod{16}.
$$

L'une des conséquences immédiates de cette hypothèse de (CM)-primitivité
au sens non trivial est, comme nous allons le voir, l'existence d'un élément
$\alpha$ de norme 2 dans l'extension $F/\mathbb{Q}$.

4.1. LEMME. Si $F/\mathbb{Q}$ désigne une extension quadratique de $\mathbb{Q}$, que nous supposons (CM)-primitivement ramifiée au sens non trivial, alors l'unité logarithmique 2 est norme dans l'extension $F/\mathbb{Q}$.

Preuve. Soit $d$ l'entier positif, supposé sans facteur carré, tel que
$F = \mathbb{Q}(\sqrt{\pm d})$. Dire que $2$ est norme dans l'extension $F/\mathbb{Q}$, c'est dire que
les symboles quadratiques de Hilbert $[2, \pm d]_p$ attachés aux places $p$ de $\mathbb{Q}$
valent tous $+1$. Lorsque $p$ est infini ou étranger à $d$, le symbole $[2, \pm d]_p$
est naturellement trivial. Enfin, lorsque $p$ désigne un diviseur premier im-
pair de $d$, $p$ est congru à $\pm 1$ modulo 8 (puisque l'extension $F/\mathbb{Q}$ n'est pas
primitivement ramifiée), si bien que

$$
[2, \pm d]_p = \left(\frac{2}{p}\right) = 1.
$$

La formule du produit $\prod_{p \in P} [2, \pm d]_p = 1$, où $P$ désigne l'ensemble des places de $\mathbb{Q}$, établit la trivialité de l'expression $[2, \pm d]_2$. Par conséquent, $2$ est norme locale partout dans l'extension $\mathbb{Q}(\sqrt{\pm d})/\mathbb{Q}$ et donc, par le principe de Hasse, norme globale.

Enfin, en notant que le groupe $\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}}$ des unités logarithmiques de $\mathbb{Q}$ est engendré par les entiers $-1$ et $2$, et en nous plaçant sous la condition de
(CM)-primitivité au sens logarithmique, nous pouvons convenir que 2 est un représentant d'une classe génératrice du groupe (éventuellement trivial) $H^1(G, \widetilde{Pl}_F)$. Toutes les hypothèses restrictives ayant été faites, nous allons chercher à déterminer l'image par $\varphi$ de la classe de 2 dans $H^1(G, \widetilde{Pl}_F)$.

Dire que 2 est norme dans l'extension quadratique $\mathbb{Q}(\sqrt{\pm d})/\mathbb{Q}$ revient évidemment à affirmer que $\pm d$ est norme dans l'extension quadratique $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$, c'est-à-dire, puisque l'anneau $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ est principal, qu'il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que l'on ait $u^2 - 2v^2 = \pm d$. En effet, si $\pm d$ est la norme de l'élément $\alpha$ dans l'extension $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$, alors $\alpha$ s'écrit sous la forme $q \times \prod_{p \in I} \pi_p^{n_p} \bar{\pi}_p^{n'_p}$ où $q$ est un rationnel ne faisant intervenir que les premiers $p$ non décomposés dans l'extension $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ et $I$ désigne l'ensemble des premiers $p$ se décomposant en deux irréductibles notés $\pi_p$ et $\bar{\pi}_p$. L'identité $N_{L/K}(\pi_p/\bar{\pi}_p) = 1$ nous permet de supposer que les entiers $n_p$ et $n'_p$ sont de même signe. Cela étant, le radical $\pm d$ étant supposé sans facteur carré, le passage à la norme

$$ \pm d = N_{L/K}(\alpha) = q^2 \times \prod_{p \in I} p^{n_p+n'_p} $$

nous donne alors $q = \pm 1$ et $n_p + n'_p = 0$ ou 1, si bien que $\alpha$ est alors un entier de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.

Introduisons maintenant les nouvelles notations suivantes :

* $\alpha = (u + \sqrt{\pm d})/v$ et $\beta = u + \sqrt{\pm d}$,

* $\bar{\alpha}$ et $\bar{\beta}$ les conjugués respectifs de $\alpha$ et $\beta$.

Nous avons par construction (en abrégeant $N_{F/\mathbb{Q}}$ par $N$)

$$ N(\beta) = \beta\bar{\beta} = (u + \sqrt{\pm d})(u - \sqrt{\pm d}) = u^2 \mp d = 2v^2, $$

et par suite,

$$ N(\alpha) = N\left(\frac{\beta}{v}\right) = \frac{N(\beta)}{v^2} = 2, $$

comme attendu. L'étude de la surjectivité de $\bar{\varphi}$ nous suggère l'étude de la parité des p-valuations logarithmiques de $\beta$.

**4.2. LEMME.** *En conservant les hypothèses et notations précédentes, les p-valuations logarithmiques de $\beta = u + \sqrt{\pm d}$ sont paires en toute place finie modérée (i.e. impaire) p de F.*

**Préuve.** Nous avons le système suivant :

(1) $\beta\bar{\beta} = 2v^2,$

(2) $\beta + \bar{\beta} = 2u,$

(3) $\beta - \bar{\beta} = 2\sqrt{\pm d},$

(4) $2v^2 = u^2 \mp d.$
Plaçons nous dans le cas où **p** désigne une place de $F$, au-dessus d'un nombre premier impair $p$, et raisonnons par l'absurde, en supposant que la **p**-valuation de $\beta$ est impaire. Sous ces hypothèses, **p** divise $\beta$. Or, les **p**-valuations de $\beta$ et $\bar{\beta}$ ayant même parité (d'après (1)), **p** divise aussi $\bar{\beta}$, donc $u$ et $\sqrt{\pm d}$ (avec (2) et (3)), et enfin $v$ (avec (4)). Ainsi $p$ divise $u$ et $v$, ce qui implique d'après (4) que le carré $p^2$ divise l'entier $d$, supposé sans facteur carré.

Lorsque **p** désigne une place sauvage $\mathcal{L}$, deux cas interviennent :

**4.3.** Le cas décomposé $\pm d \equiv 1 \pmod 8$. Dans le cas $\pm d \equiv 1 \pmod 8$ (où l'extension locale $F_{\mathcal{L}}/\mathbb{Q}_2$ est triviale), nous imposons, pour des raisons techniques, quelques conditions supplémentaires aux entiers $u$ et $v$.

**4.3.1. LEMME.** Soient $F$ une extension quadratique de $\mathbb{Q}$ (CM)-primitivement ramifiée (au sens non trivial) et d l'entier naturel, supposé sans facteur carré, tel que $F = \mathbb{Q}(\sqrt{\pm d})$. En conservant les notations précédemment précisées, il est toujours possible, lorsque l'entier $\pm d$ est congru à 1 modulo 8, de choisir les entiers $u$ et $v$ satisfaisant les deux propriétés suivantes :

$$ \begin{cases} u^2 - 2v^2 = \pm d, \\ 2u \mp d + 3 \in 32\mathbb{Z}. \end{cases} $$

Preuve. Ecrivons $\pm d = u^2 - 2v^2$ pour deux entiers $u$ et $v$. De la congruence $\pm d \equiv 1 \pmod 8$, nous concluons que $u$ est impair, ce qui nous donne $u^2 \equiv 1 \pmod 8$; il suit que $v$ est pair, autrement dit $v \equiv 0 \pmod 4$ ou $v \equiv 2 \pmod 4$.

* 1er cas : pour $v \equiv 0 \pmod 4$, nous pouvons, quitte à changer $u$ en $-u$, supposer $u \equiv -1 \pmod 4$.

* 2ième cas : pour $v \equiv 2 \pmod 4$, choisissons $u \equiv 1 \pmod 4$, et considérons le couple $(u', v')$ défini par

$$ u' + v'\sqrt{2} = (u + v\sqrt{2})(1 + \sqrt{2})^2. $$

Nous avons encore $\pm d = u'^2 - 2v'^2$ avec, maintenant

$$ \begin{cases} u' = 3u + 4v \equiv -1 \pmod 4, \\ v' = 2u + 3v \equiv 0 \pmod 4 \end{cases} $$

et le remplacement du couple $(u, v)$ par le couple $(u', v')$ nous ramène au cas précédent.

Cela acquis, écrivons donc $\pm d = u^2 - 2v^2$ avec $u \equiv -1 \pmod 4$, disons $u = -1 + 4a$, et $v \equiv 0 \pmod 4$, disons $v = 4b$. Nous obtenons, comme annoncé,

$$ 2u \mp d + 3 = 2u - u^2 + 2v^2 + 3 = -2 + 8a - 1 + 8a - 16a^2 + 32b^2 + 3, $$

$$ 2u \mp d + 3 = -16a(a - 1) + 32b^2 \equiv 0 \pmod{32}. $$
L'intérêt de la construction d'un tel élément $\alpha$ provient du lemme suivant :

**4.3.2. LEMME.** *Sous l'hypothèse de (CM)-primitivité au sens non trivial, il existe un diviseur logarithmique $\mathfrak{B}$ de degré nul tel que*

$$ \widetilde{\mathrm{div}}_F(\beta) = 2\mathfrak{B} + \varrho(\mathcal{L} - \mathcal{L}^\sigma) $$

où $\varrho$ est l'entier $0$ (resp. $1$) si $\pm d \equiv 1 \pmod{16}$ (resp. $\pm d \equiv 9 \pmod{16}$).

**Preuve.** Compte tenu du lemme 4.2, il s'agit ici d'examiner la $\mathcal{L}$-valuation logarithmique de $\beta$ :

* Si $\pm d \equiv 1 \pmod{16}$, les complétés en 2 des corps de nombres $F$ et $\mathbb{Q}$ coïncident. Nous sommes alors amenés à faire choix d'une racine de $\pm d$, que nous noterons $\delta$ et prendrons congrue à $-1$ modulo 8. Par suite, il vient successivement :

$$ (\delta + 1)^2 \equiv 1 + 2\delta + \delta^2 \equiv 0 \pmod{64}, $$

$$ \delta \equiv -\frac{\pm d + 1}{2} \pmod{32}, $$

$$ \delta + u \equiv \frac{2u \mp d - 1}{2} \pmod{32}. $$

C'est ici qu'intervient la troisième propriété de $d$, puisqu'elle nous permet d'écrire $2u \mp d - 1 \equiv -4 \pmod{32}$, et donc d'établir la parité de la $\mathcal{L}$-valuation logarithmique de $\beta$.

* Si $\pm d \equiv 9 \pmod{16}$, nous faisons alors choix d'une racine de $\pm d$, que nous noterons encore $\delta$ et prendrons congrue à 3 modulo 8. Par suite, $\delta + u \equiv (6u \pm d + 9)/6 \pmod{32}$.

Comme $6u \pm d + 9 = 3(2u \mp d + 3) + 4d$, nous avons $6u \pm d + 9 \equiv 4 \pmod{32}$, soit

$$ 6u \pm d + 9 \in 2^{\mathbb{Z}} \times (\pm 1 + 8\mathbb{Z}_2), $$

et enfin, $\delta + u \in 2^{\mathbb{Z}} \times (\pm 3 + 8\mathbb{Z}_2)$. Ceci prouve que la $\mathcal{L}$-valuation logarithmique de $\beta$ est effectivement impaire. Dans les deux cas, $\mathfrak{B} = \frac{1}{2}(\widetilde{\mathrm{div}}_F(\beta) - \varrho(\mathcal{L} - \mathcal{L}^\sigma))$ est effectivement un diviseur logarithmique de degré nul.

Nous concluons alors par le résultat suivant :

**4.3.3. PROPOSITION.** *Soient $F$ une extension quadratique de $\mathbb{Q}$ (CM)-primitivement ramifiée et $d$ l'entier naturel, supposé sans facteur carré, tel que $F = \mathbb{Q}(\sqrt{\pm d})$ sous la contrainte $\pm d \equiv 1 \pmod{8}$. En désignant par $G$ le groupe de Galois de l'extension $F/\mathbb{Q}$, on trouve le nombre de classes logarithmiques ambiges de $F$ donné selon le cas par la formule correspondante :*
• ou bien $\pm d \equiv 1 \pmod{16}$, auquel cas

$$|\widetilde{Cl}_F^G| = |\widetilde{Cl}_Q| \frac{\prod_{\mathfrak{p}|\infty} d_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q}) \cdot \prod_{\mathfrak{p} \nmid \infty} \tilde{e}_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q})}{[F : F \cap \mathbb{Q}^c] \cdot (\tilde{\mathcal{E}}_Q : \tilde{\mathcal{E}}_Q \cap \mathcal{N}_{F/\mathbb{Q}})} |H^1(G, \widetilde{Dl}_F)|;$$

• ou bien $\pm d \equiv 9 \pmod{16}$, auquel cas

$$|\widetilde{Cl}_F^G| = |\widetilde{Cl}_Q| \frac{\prod_{\mathfrak{p}|\infty} d_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q}) \cdot \prod_{\mathfrak{p} \nmid \infty} \tilde{e}_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q})}{[F : F \cap \mathbb{Q}^c] \cdot (\tilde{\mathcal{E}}_Q : \tilde{\mathcal{E}}_Q \cap \mathcal{N}_{F/\mathbb{Q}})}.$$

Preuve. Avec les notations du lemme 4.3.2, nous obtenons

$$2(\mathfrak{B} + \mathfrak{B}^{\sigma}) = \widetilde{\mathrm{div}}_F(N\beta) = \widetilde{\mathrm{div}}_F(v^2) = 2\widetilde{\mathrm{div}}_F(v),$$

si bien que

$$\mathfrak{B} + \mathfrak{B}^{\sigma} = \widetilde{\mathrm{div}}_F(v),$$

puis

$$\begin{aligned} \widetilde{\mathrm{div}}_F(\alpha) &= \widetilde{\mathrm{div}}_F(\beta/v) = \widetilde{\mathrm{div}}_F(\beta) - \widetilde{\mathrm{div}}_F(v) \\ &= 2\mathfrak{B} + \varrho(\mathcal{L} - \mathcal{L}^{\sigma}) - (\mathfrak{B} + \mathfrak{B}^{\sigma}) = \mathfrak{B} - \mathfrak{B}^{\sigma} + \varrho(\mathcal{L} - \mathcal{L}^{\sigma}); \end{aligned}$$

ce qui nous invite à poser $\mathfrak{A} = \mathfrak{B}^{\sigma} + \varrho\mathcal{L}^{\sigma}$. Il vient ainsi $\widetilde{\mathrm{div}}_F(\alpha) = \mathfrak{A}^{\sigma} - \mathfrak{A}$ avec $\mathrm{deg}_F \mathfrak{A} = \varrho \mathrm{deg}_F \mathcal{L}^{\sigma} = \varrho \mathrm{deg}_F \mathcal{L}$, soit selon le reste modulo 16 de $\pm d$,

$$\mathrm{deg}_F \mathfrak{A} = \begin{cases} 0 & \text{si } \pm d \equiv 1 \pmod{16}, \\ \mathrm{deg}_F \mathcal{L} & \text{si } \pm d \equiv 9 \pmod{16}. \end{cases}$$

Dans le premier cas, le morphisme $\varphi$ est nul, si bien qu'il ne peut être surjectif. Dans le second cas, le $\mathbb{Z}_2$-module des degrés des diviseurs logarithmiques de $F$ coïncidant avec le $\mathbb{Z}_2$-module $4[F \cap \mathbb{Q}^c : \mathbb{Q}]\mathbb{Z}_2 = 4\mathbb{Z}_2$, le $\mathbb{Z}_2$-module des degrés des diviseurs ambiges est en fait le $\mathbb{Z}_2$-module $8\mathbb{Z}_2$ puisque l'extension $F/\mathbb{Q}$ est par hypothèse non primitivement ramifiée. Comme le degré de la place sauvage $\mathcal{L}$ est égale à 4, le degré de $\mathcal{L}$ est générateur du $\mathbb{Z}_2$-module $\mathrm{deg}_F Dl_F$ si bien que l'image par $\varphi$ de l'unité logarithmique 2 n'est pas nulle. Le morphisme $\varphi$ est donc ici surjectif.

**4.4.** Le cas non décomposé $d \equiv 2 \pmod{16}$. Le cas non décomposé se traite de façon analogue; nous en donnons cependant les différentes étapes.

**4.4.1.** LEMME. Sous l'hypothèse de (CM)-primitivité au sens non trivial, il existe un diviseur logarithmique $\mathfrak{B}$ de degré nul tel que

$$\widetilde{\mathrm{div}}_F(\beta) = 2\mathfrak{B} + \varrho\mathcal{L}$$

où $\varrho$ est l'entier égal à 0 (resp. 1) si $\pm d \equiv 2 \pmod{32}$ (resp. $\pm d \equiv 18 \pmod{32}$).

Preuve. Comme pour le lemme 4.3.2, nous examinons la $\mathcal{L}$-valuation logarithmique du nombre $\beta$, qui par définition, est paire si et seulement si
la norme $2v^2$ de $\beta = u + v\sqrt{\pm d}$ appartient à $\{\pm 1\} \times 2\mathbb{Z} \times (1 + 16\mathbb{Z}_2)$. La relation $u^2 - 2v^2 = \pm d$ nous impose les congruences

$$u^2 \equiv 4 \pmod{32}, \quad v^2 \equiv \begin{cases} 1 \pmod{16} & \text{si } \pm d \equiv 2 \pmod{32}, \\ 9 \pmod{16} & \text{si } \pm d \equiv 18 \pmod{32}; \end{cases}$$

ce qui achève la démonstration.

Nous concluons là aussi par le résultat analogue :

**4.4.2. PROPOSITION.** Soient $F$ une extension quadratique de $\mathbb{Q}$ (CM)-primitivement ramifiée et d l'entier naturel, supposé sans facteur carré, tel que $F = \mathbb{Q}(\sqrt{\pm d})$ sous la contrainte $\pm d \equiv 2 \pmod{16}$. En désignant par $G$ le groupe de Galois de l'extension $F/\mathbb{Q}$, on trouve le nombre de classes logarithmiques ambiges de $F$ donné selon le cas par la formule correspondante :

* ou bien $\pm d \equiv 2 \pmod{32}$, auquel cas

$$|\widetilde{Cl}_F^G| = |\widetilde{Cl}_\mathbb{Q}| \frac{\prod_{\mathfrak{p}|\infty} d_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q}) \cdot \prod_{\mathfrak{p} \nmid \infty} \tilde{e}_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q})}{[F : F \cap \mathbb{Q}^c] \cdot (\tilde{\mathcal{E}}_\mathbb{Q} : \tilde{\mathcal{E}}_\mathbb{Q} \cap \mathcal{N}_{F/\mathbb{Q}})} |H^1(G, \widetilde{Dl}_F)|;$$

* ou bien $\pm d \equiv 18 \pmod{32}$, auquel cas

$$|\widetilde{Cl}_F^G| = |\widetilde{Cl}_\mathbb{Q}| \frac{\prod_{\mathfrak{p}|\infty} d_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q}) \cdot \prod_{\mathfrak{p} \nmid \infty} \tilde{e}_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q})}{[F : F \cap \mathbb{Q}^c] \cdot (\tilde{\mathcal{E}}_\mathbb{Q} : \tilde{\mathcal{E}}_\mathbb{Q} \cap \mathcal{N}_{F/\mathbb{Q}})}.$$

**Preuve.** Avec les notations du lemme 4.3.2, nous obtenons

$$2(\mathfrak{B} + \mathfrak{B}^\sigma) = \widetilde{\mathrm{div}}_F(N\beta) - 2\varrho\mathcal{L} = 2\widetilde{\mathrm{div}}_F(v) - 2\varrho\mathcal{L},$$

si bien que

$$\mathfrak{B} + \mathfrak{B}^\sigma = \widetilde{\mathrm{div}}_F(v) - \varrho\mathcal{L},$$

puis

$$\widetilde{\mathrm{div}}_F(\alpha) = \widetilde{\mathrm{div}}_F(\beta) - \widetilde{\mathrm{div}}_F(v) = 2\mathfrak{B} + \varrho\mathcal{L} - (\mathfrak{B} + \mathfrak{B}^\sigma) - \varrho\mathcal{L} = \mathfrak{B} - \mathfrak{B}^\sigma;$$

ce qui invite à poser $\mathfrak{A} = \mathfrak{B}^\sigma$. Il vient ainsi $\widetilde{\mathrm{div}}_F(\alpha) = \mathfrak{A}^\sigma - \mathfrak{A}$ avec $\mathrm{deg}_F \mathfrak{A} = -(\varrho/2) \mathrm{deg}_F \mathcal{L}$, soit selon le reste modulo 32 de $\pm d$,

$$\mathrm{deg}_F \mathfrak{A} = \begin{cases} 0 & \text{si } \pm d \equiv 2 \pmod{32}, \\ -\frac{1}{2} \mathrm{deg}_F \mathcal{L} & \text{si } \pm d \equiv 18 \pmod{32}. \end{cases}$$

Dans le premier cas, le morphisme $\varphi$ est nul, si bien qu'il ne peut être surjectif. Dans le second cas, le degré de la place sauvage $\mathcal{L}$ est égale à 8 si bien que l'entier $2$-adique $-\frac{1}{2} \mathrm{deg}_F \mathcal{L}$ est générateur du $\mathbb{Z}_2$-module $\mathrm{deg}_F Dl_F$ et que l'image par $\varphi$ de l'unité logarithmique 2 n'est pas nulle. Le morphisme $\varphi$ est donc ici surjectif.

Le paragraphe suivant récapitule enfin ces résultats :
**5. Expression de la formule des classes logarithmiques ambiges sur $\mathbb{Q}$**. Les propositions 4.3.3 et 4.4.2 nous suggèrent l'examen préalable du 2-groupe des classes logarithmiques du corps $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels.

**5.1. PROPOSITION.** Le corps $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels est 2-logarithmiquement principal.

Preuve. D'après [J3], th. 2.3, le 2-groupe $\widetilde{Cl}_{\mathbb{Q}}$ des classes logarithmiques de $\mathbb{Q}$ s'identifie au groupe de Galois Gal($\mathbb{Q}^{\text{lc}}/\mathbb{Q}^{\text{c}}$), où $\mathbb{Q}^{\text{c}}$ est la $\mathbb{Z}_2$-extension cyclotomique de $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{Q}^{\text{lc}}$ la pro-2-extension abélienne maximale de $\mathbb{Q}$ qui est localement cyclotomique (i.e. complètement décomposée sur $\mathbb{Q}^{\text{c}}$ en chacune de ses places). Et comme $\mathbb{Q}^{\text{lc}}$ est contenue dans la pro-2-extension abélienne 2-ramifiée maximale de $\mathbb{Q}$ qui n'est autre ici que $\mathbb{Q}^{\text{c}}$ puisque $\mathbb{Q}$ est 2-rationnel au sens de [GJ] ou de [MN], il suit que $\mathbb{Q}^{\text{lc}} = \mathbb{Q}^{\text{c}}$, i.e. $\widetilde{Cl}_{\mathbb{Q}} = 0$.

**5.2. THÉORÈME.** Soient $F$ une extension quadratique (CM)-primitive-ment ramifiée de $\mathbb{Q}$ et d l'entier naturel, supposé sans facteur carré, tel que $F = \mathbb{Q}(\sqrt{\pm d})$. En désignant par $G$ le groupe de Galois de l'extension $F/\mathbb{Q}$, on trouve le nombre de classes logarithmiques ambiges de $F$ donné selon le cas par la formule suivante :

* $1^{\text{er}}$ cas : pour $\pm d \equiv 1 \pmod{16}$ ou $\pm d \equiv 2 \pmod{32}$, il vient

$$|\widetilde{Cl}_F^G| = \frac{\prod_{\mathfrak{p}|\infty} d_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q}) \cdot \prod_{\mathfrak{p}|\nfty} \tilde{e}_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q})}{[F: F \cap \mathbb{Q}^c] \cdot (\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}} : \tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}} \cap \mathcal{N}_{F/\mathbb{Q}})} |H^1(G, \widetilde{Dl}_F)|;$$

* $2^{\text{nd}}$ cas : pour $\pm d \not\equiv 1 \pmod{16}$ et $\pm d \not\equiv 2 \pmod{32}$, il vient

$$|\widetilde{Cl}_F^G| = \frac{\prod_{\mathfrak{p}|\infty} d_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q}) \cdot \prod_{\mathfrak{p}|\nfty} \tilde{e}_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q})}{[F: F \cap \mathbb{Q}^c] \cdot (\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}} : \tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}} \cap \mathcal{N}_{F/\mathbb{Q}})}.$$

**Remarques.** 1. Nous rappelons que dans le cas primitif ou imaginaire, l'extension $F/\mathbb{Q}$ est (CM)-primitivement ramifiée, si bien que les hypothèses du théorème 5.2 s'avèrent considérablement allégées.

2. Lorsque 2 est norme de l'extension $F/\mathbb{Q}$, où l'entier $d$ satisfait, cette fois-ci, l'une des congruences

$$\pm d \not\equiv 9 \pmod{16} \text{ ou } \pm d \not\equiv 18 \pmod{32},$$

sa classe engendre le premier groupe de cohomologie $H^1(G, \widetilde{Pl}_F) \simeq \tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}} \cap \mathcal{N}_{F/\mathbb{Q}}/N_{F/\mathbb{Q}}(\tilde{\mathcal{E}}_F)$, puisque son image par $\varphi$ n'est pas nulle. L'extension est donc là aussi (CM)-primitivement ramifiée.

3. Malheureusement, en l'absence de l'hypothèse de (CM)-primitivité, aucune conclusion ne peut être établie dans le cas général, comme le témoignent ultérieurement certains calculs numériques.
**6. Application aux extensions quadratiques 2-logarithmiquement principales de $\mathbb{Q}$**

**6.1. Les extensions quadratiques réelles de $\mathbb{Q}$**. Les hypothèses sur l'entier $d$ étant conservées, nous considérons dans un premier temps les extensions quadratiques réelles $\mathbb{Q}(\sqrt{d})/\mathbb{Q}$, et nous donnons une autre formulation de la condition

$$ (i) \quad \prod_{\mathfrak{p}|\infty} d_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q}) \cdot \prod_{\mathfrak{p} \nmid \infty} \tilde{e}_{\mathfrak{p}}(F/\mathbb{Q}) = [F : F \cap \mathbb{Q}^c] \cdot (\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}} : \tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}} \cap \mathcal{N}_{F/\mathbb{Q}}) $$

précisée en introduction. Cette condition nous conduit à introduire les deux notations suivantes :

• $t$ désigne le nombre de diviseurs premiers impairs de $\mathbb{Q}$, ramifiés dans l'extension $F/\mathbb{Q}$,

• $2^s$ est l'indice dans le groupe $\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}}$ du sous-groupe $\tilde{\mathcal{E}}_{\mathbb{Q}} \cap \mathcal{N}_{F/\mathbb{Q}}$ des unités logarithmiques normes dans l'extension $F/\mathbb{Q}$.

Cela posé, la condition (i) devient

$$ (i)' \quad \begin{cases} \tilde{e}_2(F/\mathbb{Q}) = 1 & \text{si } d=2, \\ 2^t \times \tilde{e}_2(F/\mathbb{Q}) = 2 \times 2^s & \text{sinon.} \end{cases} $$

**6.1.1. LEMME.** La condition (i) est vérifiée lorsque $d = 2$ et s'écrit sinon sous la forme

$$ t-s = \begin{cases} 1 & \text{si } d \equiv 1 \pmod 8 \text{ ou } d \equiv 2 \pmod{16}, \\ 0 & \text{si } d \not\equiv 1 \pmod 8 \text{ et } d \not\equiv 2 \pmod{16}. \end{cases} $$

**Preuve.** Par définition de l'indice de ramification logarithmique en 2, il vient en effet

$$ \begin{aligned} \tilde{e}_2(F/\mathbb{Q}) &= [\mathbb{Q}_2(\sqrt{d}) : \mathbb{Q}_2(\sqrt{d}) \cap \mathbb{Q}_2^c] \\ &= \begin{cases} 1 & \text{si } d \equiv 1 \pmod 8 \text{ ou } d \equiv 2 \pmod{16}, \\ 2 & \text{si } d \not\equiv 1 \pmod 8 \text{ et } d \not\equiv 2 \pmod{16} \end{cases} \end{aligned} $$

et le lemme 6.1.1 est ainsi établi.

Ces derniers résultats adjoints au lemme 3.1, nous pouvons à présent dresser la liste des extensions quadratiques réelles 2-logarithmiquement principales de $\mathbb{Q}$. Notant que l'extension $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ est bien 2-logarithmiquement principale; supposons donc désormais $(t \ge 1)$, et distinguons deux cas :

1er cas : $d \ne 2$ et $(d \equiv 1 \pmod 8 \text{ ou } d \equiv 2 \pmod{16})$. La condition $t-s=1$ nous conduit à envisager trois possibilités.

• Le cas $t=1$ et $s=0$, auquel cas les extensions obtenues sont

$$ \mathbb{Q}(\sqrt{p}) \text{ ou } \mathbb{Q}(\sqrt{2p}) \text{ avec } p \equiv 9 \pmod{16} \text{ (cf. §5, rq 2),} $$
ainsi que certaines des extensions

$\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ ou $\mathbb{Q}(\sqrt{2p})$ avec $p \equiv 1 \pmod{16}$.

• Le cas $t = 2$ et $s = 1$, qui nous donne les extensions

$\mathbb{Q}(\sqrt{pq})$ ou $\mathbb{Q}(\sqrt{2pq})$ avec $p \equiv \pm3 \pmod 8$ et $q \equiv \pm3 \pmod 8$;

$\mathbb{Q}(\sqrt{pq})$ ou $\mathbb{Q}(\sqrt{2pq})$ avec $p \equiv -1 \pmod 8$ et $q \equiv -1 \pmod 8$.

Dans la dernière situation, en effet, ni $-1$, ni $-2$ ne sont normes, si bien que la condition de (CM)-primitivité est vérifiée. Ainsi, placés sous les hypothèses du théorème 5.2, nous en déduisons les congruences nécessaires : $p \equiv -1 \pmod{16}$ et $q \equiv -9 \pmod{16}$.

• Le cas $t = 3$ et $s = 2$ enfin, qui nous donne les extensions

$\mathbb{Q}(\sqrt{pqr})$ ou $\mathbb{Q}(\sqrt{2pqr})$ avec $p \equiv 3 \pmod 8$, $q \equiv 5 \pmod 8$ et $r \equiv -1 \pmod 8$.

2ième cas : $d \neq 1 \pmod 8$ et $d \neq 2 \pmod{16}$. La condition $t-s=0$ ouvre ici deux possibilités seulement :

• ou bien $t = s = 1$, auquel cas les extensions obtenues sont

$\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ ou $\mathbb{Q}(\sqrt{2p})$ avec $p \equiv -1 \pmod 8$ ou $p \equiv \pm3 \pmod 8$,

• ou bien $t = s = 2$, auquel cas les extensions obtenues sont

$\mathbb{Q}(\sqrt{pq})$ ou $\mathbb{Q}(\sqrt{2pq})$ avec $\begin{cases} p \equiv 3 \pmod 8 \text{ et } q \equiv 5 \pmod 8 \\ p \equiv \pm3 \pmod 8 \text{ et } q \equiv -1 \pmod 8 \end{cases}$.

**6.1.2. THÉORÈME.** *Les extensions quadratiques réelles 2-logarithmique-ment de $\mathbb{Q}$ sont les extensions suivantes (où $p, q, r$ désignent trois premiers impairs distincts arbitraires de $\mathbb{N}$) :*

• $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$,

• $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ ou $\mathbb{Q}(\sqrt{2p})$ avec $p \equiv -1 \pmod 8$, $p \equiv 9 \pmod{16}$ ou $p \equiv \pm3 \pmod 8$,

• $\mathbb{Q}(\sqrt{pq})$ ou $\mathbb{Q}(\sqrt{2pq})$ avec $\begin{cases} p \equiv -1 \pmod{16} \text{ et } q \equiv -9 \pmod{16}, \\ p \equiv \pm3 \pmod 8 \text{ et } q \neq 1 \pmod 8, \end{cases}$ ou

• $\mathbb{Q}(\sqrt{pqr})$ ou $\mathbb{Q}(\sqrt{2pqr})$ avec $p \equiv 3 \pmod 8$, $q \equiv 5 \pmod 8$ et $r \equiv -1 \pmod 8$

et les extensions de la forme

• $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ avec $d = p$ ou $d = 2p$ et $p \equiv 1 \pmod{16}$ lorsqu'on peut écrire

$$ -1 = N\left(\frac{u' + \sqrt{d}}{v'}\right) \quad \text{avec} \quad \begin{cases} u' \equiv \pm7 \pmod{16} & \text{pour } d \equiv 1 \pmod{32}, \\ u' \equiv \pm1 \pmod{16} & \text{pour } d \equiv 17 \pmod{32}, \\ u' \equiv \pm3 \pmod 8 & \text{pour } d \equiv 2 \pmod{32}. \end{cases} $$
Preuve. Examinons le cas des extensions $F$ de la forme $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ ou $\mathbb{Q}(\sqrt{2p})$ (avec $p \equiv 1 \pmod{16}$)). Conformément à la preuve du lemme 4.3.2, il est possible d'écrire $2$ sous la forme $2 = N((u + \sqrt{d})/v)$ avec $\tilde{v}_{\mathcal{L}}(u + \sqrt{d})$ paire. L'analogue de la preuve du lemme 4.1 montre que $-1$ est norme dans l'extension $F/\mathbb{Q}$ si et seulement si $(-1/p) = 1$, i.e. $p \equiv 1 \pmod{4}$. Par conséquent, nous pouvons affirmer que dans cette situation $d$ est effectivement norme dans l'extension quadratique $\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$, c'est-à-dire puisque l'anneau $\mathbb{Z}[i]$ est principal, qu'il existe deux entiers relatifs $u'$ et $v'$ tels que l'on ait $\beta' = u'^2 + v'^2 = d$. L'analogue du lemme 4.2 prouve alors que toutes les $p$-valuations logarithmiques de $u' + \sqrt{d}$ sont paires en toute place finie modérée $p$ de $F$, si bien que le corps quadratique $F = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ est $2$-logarithmiquement si et seulement si $\tilde{v}_{\mathcal{L}}(u' + \sqrt{d})$ est impaire. Bien entendu, les entiers $u'$ et $v'$ ayant des rôles symétriques, nous pouvons supposer $u'$ impair. Trois cas se distinguent alors :

• Lorsque $d = p$ et $p \equiv 1 \pmod{32}$), il est possible de choisir la racine carrée de $p$ congrue à $-1$ modulo 16. Notons alors les deux situations suivantes :

— ou bien $u'$ peut être choisi congru à $-1$ modulo 16, si bien que $\beta' \equiv -2 \pmod{16}$) et $F$ n'est pas $2$-logarithmiquement principal,

— ou bien $u'$ peut être choisi congru à $7$ modulo 16, si bien que $\beta' \equiv 6 \pmod{16}$) et $F$ est $2$-logarithmiquement principal.

• Lorsque $d = p$ et $p \equiv 17 \pmod{32}$), il est possible de choisir la racine carrée de $p$ congrue à $7$ modulo 16. Notons alors les deux situations suivantes :

— ou bien $u'$ peut être choisi congru à $-1$ modulo 16, si bien que $\beta' \equiv 6 \pmod{16}$) et $F$ est $2$-logarithmiquement principal,

— ou bien $u'$ peut être choisi congru à $7$ modulo 16, si bien que $\beta' \equiv -2 \pmod{16}$) et $F$ n'est pas $2$-logarithmiquement principal.

• Lorsque $d = 2p$ et $p \equiv 1 \pmod{16}$), $u'$ et $v'$ ayant des rôles symétriques, les $\mathcal{L}$-valuations logarithmiques attachées à la place sauvage $\mathcal{L}$ de $F$ des nombres $\beta = u' + \sqrt{d}$ et $v' + \sqrt{d}$ sont de même parité. En particulier, $\tilde{v}_{\mathcal{L}}(\beta)$ est impaire si et seulement si $u' \equiv \pm 3 \pmod{8}$).

Le reste est alors immédiat.

**Remarques.** 1. Dans la dernière situation, la condition nécessaire et suffisante obtenue porte uniquement sur les congruences puisque nous sommes assurés de l'existence de $u + \sqrt{d}$ et $u' + \sqrt{d}$. Elle est donc tout à fait explicite et caractérise parfaitement les corps de nombres $2$-logarithmiquement principaux de la forme $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ ou $\mathbb{Q}(\sqrt{2p})$ avec $p \equiv 1 \pmod{16}$).

2. Une sous-extension d'un corps de nombres $2$-logarithmiquement principal n'est pas forcément $2$-logarithmiquement principale. En effet, posons
$K = \mathbb{Q}(\sqrt{p})$ et $L = \mathbb{Q}(i, \sqrt{p})$, où $p$ est un nombre premier congru à 3 modulo 8. Alors l'extension $L$ est 2-logarithmiquement principale (cf. [Th]), bien que le corps de nombres $K$ ne le soit pas.

3. Selon Browkin et Schinzel (cf. [BS], th. 2), les extensions quadratiques dont le 2-Sylow du noyau hilbertien est trivial sont celles de la forme :

* $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$,

* $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ ou $\mathbb{Q}(\sqrt{2p})$ avec $p \equiv 3 \pmod 8$ ou $p \equiv 5 \pmod 8$,

* $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ avec $p \equiv 1 \pmod 8$), $p$ ne pouvant pas s'écrire sous la forme $u^2 - 2v^2$ avec $u > 0$, $u \equiv 1 \pmod 4$ et $v \equiv 0 \pmod 4$,

* $\mathbb{Q}(\sqrt{pq})$ avec $p \equiv 3 \pmod 8$ et $q \equiv 3 \pmod 8$.

Cela nous conduit à la proposition suivante :

**6.1.3. SCOLIE.** *Les extensions quadratiques réelles dont le 2-Sylow du noyau hilbertien est trivial sont 2-logarithmiquement principales.*

**Préuve.** Examinons le seul cas douteux des extensions quadratiques réelles de la forme $F = \mathbb{Q}(\sqrt{p})$ où $p \equiv 1 \pmod{16}$ et dont le 2-Sylow du noyau hilbertien est trivial. D'après les résultats de H. Thomas (cf. [Th], p. 472, Prop. 1, cas 1), le 2-groupe des classes logarithmiques de l'extension biquadratique $K = \mathbb{Q}(i, \sqrt{p})$ est alors cyclique d'ordre 2. En particulier, si $\Delta$ désigne le groupe de Galois de l'extension $K/F$, il coïncide avec son 2-groupe ambige $\widetilde{Cl}_K^\Delta$. La formule des classes logarithmiques ambiges nous donne donc la minoration suivante :

$$|\widetilde{Cl}_F| \geq \frac{(\tilde{\mathcal{E}}_F : \tilde{\mathcal{E}}_F \cap \mathcal{N}_{K/F})}{2},$$

puisque le conoyau du morphisme $[H^1(\Delta, \widetilde{Pl}_K) \to H^1(\Delta, \widetilde{Dl}_K)]$ déduit de la suite exacte

$$1 \to \widetilde{Pl}_K \to \widetilde{Dl}_K \to \widetilde{Cl}_K \to 1$$

est au plus d'ordre 2. Si $\varepsilon$ désigne une unité fondamentale de $F$, $-1$ et $\varepsilon$ sont deux générateurs du 2-groupe des unités logarithmiques de $F$. Comme $K$ est totalement imaginaire, $-1$ ne peut être norme dans l'extension $K/F$. Supposons en revanche que $\varepsilon$ le soit, auquel cas son conjugué $\bar{\varepsilon}$ et leur produit $\varepsilon\bar{\varepsilon} = -1$ sont tous deux normes dans l'extension $K/F$; ce qui ne peut être. Une vérification analogue montre plus précisément que les classes de $-1$ et $\varepsilon$ sont distinctes modulo $\tilde{\mathcal{E}}_F \cap \mathcal{N}_{K/F}$. L'indice $(\tilde{\mathcal{E}}_F : \tilde{\mathcal{E}}_F \cap \mathcal{N}_{K/F})$ est ainsi égal à 4 et le corps quadratique $F$ n'est pas 2-logarithmiquement principal.

**Remarque.** En revanche, aucune réciproque n'est envisageable. En effet, l'extension quadratique $\mathbb{Q}(\sqrt{pq})$ où $p$ et $q$ désignent deux nombres premiers distincts congrus à 5 modulo 8 est primitivement ramifiée et 2-logarithmiquement principale, bien que la 2-partie de son noyau hilbertien ne soit pas triviale.
**6.1.4. Exemples numériques.** Dans ces exemples, nous illustrons la situation des corps de nombres

$\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ et $\mathbb{Q}(\sqrt{2p})$ avec $p \equiv 1 \pmod{16}$.

**EXEMPLE 1.** Lorsque $F = \mathbb{Q}(\sqrt{17})$, nous considérons $\beta' = -1 + \sqrt{17}$ un élément de norme $-4^2$. Comme $u' = -1$, $F$ est 2-logarithmiquement principal.

**EXEMPLE 2.** Lorsque $F = \mathbb{Q}(\sqrt{113})$, nous considérons le nombre $\beta' = 7 + \sqrt{113}$ de norme $-8^2$. Comme $u' \equiv \pm 7 \pmod{16}$, $F$ n'est pas 2-logarithmiquement principal.

**EXEMPLE 3.** Lorsque $F = \mathbb{Q}(\sqrt{34})$, l'unité logarithmique $-1$ est norme de l'élément $\alpha' = (5 + \sqrt{34})/3$. Comme $u' \equiv \pm 3 \pmod{8}$, l'extension $F$ est ici 2-logarithmiquement principale.

**EXEMPLE 4.** Lorsque $F = \mathbb{Q}(\sqrt{226})$, l'unité logarithmique $-1$ est norme de l'élément $\beta' = 15 + \sqrt{226}$. Comme $u' \equiv \pm 1 \pmod{8}$, $F = \mathbb{Q}(\sqrt{226})$ n'est pas 2-logarithmiquement principal.

**6.2. Les extensions quadratiques imaginaires.** Les hypothèses sur l'entier $d$ étant conservées, nous considérons à présent les extensions quadratiques imaginaires $\mathbb{Q}(\sqrt{-d})/\mathbb{Q}$. De façon analogue, nous démontrons successivement les résultats suivants :

**6.2.1. LEMME.** La condition (i) est vérifiée lorsque $d = 2$ et s'écrit sinon sous la forme

$$ (i)'' \qquad t-s = \begin{cases} 0 & \text{si } d \equiv -1 \pmod 8 \text{ ou } d \equiv -2 \pmod{16}, \\ 1 & \text{si } d \not\equiv -1 \pmod 8 \text{ et } d \not\equiv -2 \pmod{16}, \end{cases} $$
où s peut être l'entier 1 ou 2.

**6.2.2. THÉORÈME.** Les extensions quadratiques imaginaires 2-logarithmiquement de $\mathbb{Q}$ sont les extensions suivantes (où $p$ et $q$ désignent deux nombres premiers impairs distincts arbitraires de $\mathbb{N}$) :

* $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$,

* $\mathbb{Q}(i)$,

* $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ ou $\mathbb{Q}(\sqrt{-2p})$ avec $p \equiv \pm 3 \pmod 8$ ou $p \equiv -9 \pmod{16}$,

* $\mathbb{Q}(\sqrt{-pq})$ ou $\mathbb{Q}(\sqrt{-2pq})$ avec $p \equiv 3 \pmod 8$ et $q \equiv 5 \pmod 8$.

**Remarque.** Selon Browkin et Schinzel (cf. [BS], th. 4), les extensions quadratiques imaginaires dont le 2-Sylow du noyau hilbertien est trivial sont celles de la forme :

* $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ ou $\mathbb{Q}(i)$,

* $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ ou $\mathbb{Q}(\sqrt{-2p})$ avec $p \equiv \pm 3 \pmod 8$,
• $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ avec $p \equiv -1 \pmod 8$,

• $\mathbb{Q}(\sqrt{-pq})$ avec $p \equiv 3 \pmod 8$ et $q \equiv 5 \pmod 8$.

Nous constatons alors :

— que toute extension quadratique imaginaire dont le 2-Sylow du noyau hilbertien est trivial, est 2-logaritmiquement principale, dès qu'elle est 2-primitivement ramifiée sur $\mathbb{Q}$,

— qu'un corps de nombres imaginaire dont la 2-partie du noyau hilbertien est trivial, n'est pas nécessairement 2-logarithmiquement principal (comme l'illustre l'exemple $F = \mathbb{Q}(\sqrt{-31})$).

Références

[BT] H. Bass and J. Tate, *The Milnor ring of a global field*, dans: Algebraic K-Theory II, Lecture Notes in Math. 342, Springer, 1973, 349-428.

[BS] J. Browkin and A. Schinzel, *On Sylow 2-subgroups of $K_2(O_F)$ for quadratic number fields* *F*, J. Reine Angew. Math. 331 (1982), 104-113.

[GJ] G. Gras et J.-F. Jaulent, *Sur les corps de nombres réguliers*, Math. Z. 202 (1989), 343-365.

[J1] J.-F. Jaulent, *La théorie de Kummer et le $K_2$ des corps de nombres*, Sém. Théor. Nombres Bordeaux 2 (1990), 377-411.

[J2] —, *Sur le noyau sauvage des corps de nombres*, Acta Arith. 67 (1994), 335-348.

[J3] —, *Classes logarithmiques des corps de nombres*, J. Théor. Nombres Bordeaux 6 (1994), 301-325.

[JN] J.-F. Jaulent and T. Nguyen Quang Do, *Corps $p$-rationnels, corps $p$-réguliers, et ramification restreinte*, ibid. 5 (1994), 343-363.

[MN] A. Movahhedi and T. Nguyen Quang Do, *Sur l'arithmétique des corps de nombres $p$-rationnels*, dans: Séminaire de Théorie des Nombres, Paris 1987/1988, Progr. in Math. 81, Birkhäuser, 1990, 155-200.

[Qi] H. Qin, *Computation of $K_2\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$, J. Pure Appl. Algebra* 96 (1994), 133-146.

[Sc] P. Schneider, *Über gewisse Galoiscohomologiegruppen*, Math. Z. 168 (1979), 181-205.

[Sk] M. Skalba, *Generalization of Thue's theorem and computation of the group $K_2O_F$, J. Number Theory* 46 (1994), 303-322.

[Th] H. Thomas, *Trivialité du 2-rang du noyau hilbertien*, J. Théor. Nombres Bordeaux 6 (1994), 459-483.

Laboratoire de Mathématiques Pures
Université de Bordeaux I
351, cours de la Libération
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E-mail: soriano@math.u-bordeaux.fr

Reçu le 16.5.1995
et révisé le 18.4.1996
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