# La construction du champ de probabilité avec la solution fondamentale de l'équation parabolique normale aux coefficients holderiens

Halina Milicer Gruzewska

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Halina Milicer Gruzewska. La construction du champ de probabilité avec la solution fondamentale de l'équation parabolique normale aux coefficients holderiens. Annales de l'ISUP, 1960, IX (4), pp.371-376. hal-04092971

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LA CONSTRUCTION DU CHAMP DE PROBABILITÉ
AVEC LA SOLUTION FONDAMENTALE
DE L'ÉQUATION PARABOLIQUE NORMALE
AUX CŒFFICIENTS HOLDERIENS

Halina MILICER GRUŻEWSKA

INTRODUCTION

On a démontré que la solution de l'équation parabolique normale
((1.1) [1]), sans terme linéaire, dite l'équation de Kolmogoroff, qui
n'est autre que la solution fondamentale normée, est la densité de la
probabilité de passage (fonction de passage) de processus stochastique.
Les hypothèses qu'on y fait se trouvent précisées dans l'article [1]
comme Supposition I et II, et la solution en question c'est la fonction
U(X, t, Y, τ), définie par la formule (1.2) du même article. On a dé-
montré aussi [2], qu'on peut définir dans chaque champ de probabilité
la probabilité conditionnelle (ou de passage). Dans cet article au con-
traire on demande, si l'on peut construire le champ de probabilité, dès
qu'on a la solution de la dite équation (1.1), [1] : U(X, t; Y, τ). La ré-
ponse est positive.

1/ On déduit facilement des articles [1] et [2], que la fonction :

$$
f(X, t, Y, \tau) = f(X, t) U(X, t; Y, \tau) \quad (1.1)
$$

- dite fonction de champ dans $R_{2n}$ - sera la densité de la probabilité, définie pour $X \subset R_n$, $Y \subset R_n$, $0 \le t < \tau \le T = \text{const}$, si seulement la fonction $f(X, t)$ est la densité de la répartition définie pour $X \in R_n$, $0 \le t \le T$
- dite répartition marginale horizontale - Posons :

$$
\varphi(Y, t, \tau) = \int_{R_n} f(u, t; Y, \tau) du = \int_{R_n} f(u, t) U(u, t; Y, \tau) du > 0, \quad (2.1)
$$
$$
t < \tau, Y \in \mathbb{R}_n.
$$

Il nous faut savoir que $\varphi(Y, t, \tau)$ est une fonction de champ dans $R_n$. Mais c'est une conséquence immédiate de la définition de la fonction $U(X, t; Y, \tau)$, [1] et de l'expression (2.1). On sait aussi, que :

$$
\lim_{t \to \tau} \varphi(Y, t, \tau) = f(Y, \tau), \quad (3.1)
$$
dès que la fonction $f(X, \tau)$ est continue au point $(Y, \tau)$, $[3]$, $[1]$. Elle définit aussi la répartition marginale verticale, $[2]$, par la formule :

$$ \int_{-\infty}^{Y} \varphi(v, t, \tau) dv = F(Y, t, \tau), \quad Y \in \mathbb{R}_n, \quad 0 \le t \le \tau \le T. \quad (3'.1) $$

$\varphi(Y, t, \tau)$ est donc la densité de $F(Y, t, \tau)$. La densité de la composante horizontale sera :

$$ U^*(Y, \tau; X, t) = [f(X, t)/\varphi(Y, t, \tau)] \cdot U(X, t; Y, \tau); \quad (4.1) $$

les deux composantes du champ verticale et horizontale seront donc :

$$ \int_{-\infty}^{Y} U(X, t; v, \tau) dv \quad \text{et} \quad \int_{-\infty}^{X} U^*(Y, \tau; u, t) du \quad (5.1) $$

Soit maintenant $\bar{\psi}(u) = 0$ l'équation conjuguée à l'équation $\hat{\psi}(u) = 0$, dite équation (1.1), $[1]$. Nous savons, que si les coefficients de l'équation $\bar{\psi}(u) = 0$ vérifissent les conditions d'Hölder, alors :

$$ \bar{\psi}_{y, \tau}(\Gamma(X, t; Y, \tau)) = 0. \quad (6.1) $$

Il résulte alors de la définition (2.1) et de l'égalité (3.1), par la même méthode que dans l'article [1], que :

$$ \varphi(Y, t, \tau) = f(Y, \tau), \quad (7.1) $$

sous la supposition que la fonction : $f(Y, \tau)/A(Y, \tau)$ est la solution de l'équation $\bar{\psi}(u) = 0$. En effet :

$$ \varphi(Y, t, \tau) = \lambda \int_{\mathbb{R}n} f(u, t) A(Y, \tau) \Gamma(u, t; Y, \tau) \, du, \quad \text{donc :} $$

$$ \varphi(Y, t, \tau)/A(Y, \tau) = \lambda \int_{\mathbb{R}n} f(u, t) \Gamma(u, t; Y, \tau) \, du \rightarrow f(Y, \tau)/A(Y, \tau), $$

parce que les coefficients des parties principales des équations conjuguées sont égaux. Outre cela on sait que :

$$ \bar{\psi}_{y, \tau} \left( \int_{\mathbb{R}n} f(u, t) \Gamma(u, t; Y, \tau) \, du \right) = 0 $$

Alors, si on a :

$$ \bar{\psi}_{y, \tau} (f(Y, \tau)/A(Y, \tau)) = 0, \quad \text{alors :} \quad (6'.1) $$

$$ \lambda \int_{\mathbb{R}n} f(u, t) \Gamma(u, t; Y, \tau) \, du = f(Y, \tau)/A(Y, \tau), \quad \text{car :} $$

$$ f(Y, t)/A(Y, t) \rightarrow f(Y, \tau)/A(Y, \tau), \quad t \rightarrow \tau. $$
On a donc démontré que :

$$ \lambda \int_{R_n} f(u, t) A(Y, \tau) \Gamma(u, t; Y, \tau) \, du \equiv f(Y, \tau), $$

ou que :

$$ \varphi(Y, t, \tau) \equiv f(Y, \tau), \text{ c. q. f. d...} $$

On a donc alors :

$$ f(Y, \tau) = \int_{t}^{\tau} f(u, t) U(u, t; Y, \tau) \, du. $$

D'ici résulte pour la fonction de champ dans $R_{2n}$ une formule élégante.

$$ f(X, t; Y, \tau) = f(X, t) U(X, t. Y, \tau) = f(Y, \tau) U^*(Y, \tau. X, t). \quad (8.1) $$

Je nommerai dès lors le champ des mêmes probabilités marginales par :

### champ simple.

On voit que dans ce cas les probabilités marginales du champ construit avec la solution fondamentale de l'équation (1.1), [1], ne sont pas arbitraires : elles sont toutes les deux une solution de l'équation de Fredholm de seconde espèce :

$$ f(Y, \tau) = \int_{R_n} U(u, t. Y, \tau) f(u, t) \, du, \quad (9.1) $$

dont le noyau $U(X, t; Y, \tau)$ dépend des coefficients de l'équation (1.1), [1], sous les hypothèses I et II de l'article [1], et les suppositions (6.1) et (6.1) de cet article. Mais la construction du champ dans le cas général, qui est définie par les formules de (1.1) à (5.1) repose seulement sur les hypothèses I et II, [1]. Ce champ pourrait être aussi simple, dès qu'en nous pourrions affirmer que l'équation (9.1) possède des solutions ou une solution. Une telle solution existerait, on le sait, si le domaine d'intégration dans l'intégrale de la formule (9.1) serait borné. En résumant nous pouvons écrire : "La solution fondamentale de l'équation 1er de Kolmogoroff, sous les suppositions I et II de l'article [1], étant normalisée, alors la fonction $U(X, t; Y, \tau)$, ((1.2), [1]), est une fonction de passage d'un champ de probabilité dans $R_{2n}$, défini par les formules de (1.1) à (5.1). Si la densité $f(X, t)$ de la probabilité marginale horizontale est arbitraire, elle peut être différente de la densité $\varphi(Y, t, \tau)$ de la probabilité marginale verticale, qui peut dépendre aussi du temps passé $t$. Si au contraire cette densité $f(X, t)$ est une solution de l'équation (9.1), alors la densité $\varphi(Y, t, \tau)$ lui est égale. "En particulier on a le Théorème suivant :

### THEOREME (1.1) -

Pour que le champ de probabilité, construit avec la solution fondamentale normalisée de l'équation 1er de Kolmogoroff, assujetti aux
conditions I et II, [1], soit simple il faut et il suffit, que l'équation intégrale (9.1) possède la solution.

2/ Pour résoudre l'équation (2.1) faisons intervenir la seconde intégrale généralisée de Poisson-Weierstrass [3], [4], à savoir :

$$I_1(Y, t, \tau) = \int_{R_n} \rho(u, t) \Gamma(u, t; Y, \tau) du; \quad t < \tau \quad (1.2)$$

où $\rho(u, t)$ est une fonction intégrable et bornée dans $R_n$. C'est évident, qu'au cas où la supposition (6.1) est valable on a $\bar{\psi}_{y,\tau}(I_1(Y, t, \tau)) = 0$. On y remplace la fonction $\Gamma(u, t; Y, \tau)$, pour la normer, par la fonction $U(u, t; Y, \tau)$ et l'intégrale $I_1(Y, t, \tau)$ par $\bar{I}(Y, t, \tau)$, en écrivant :

$$\bar{I}(Y, t, \tau) = \lambda I_1(Y, t, \tau) A(Y, \tau) = \int_{R_n} \rho(u, t) U(u, t; Y, \tau) du. \quad (2.2)$$

On démontre comme dans [3], [4], que si la fonction $\rho(u, t)$ est continue au point $(Y, t)$, alors :

$$\lim_{\tau \to t} \bar{I}(Y, t, \tau) = \rho(Y, t). \quad (3.2)$$

Nommons par $f(u, O)$ une fonction continue du champ dans $R_n$, et la fonction $\bar{I}(Y, O, \tau)$, qui lui correspond, par $f(Y, \tau)$, de sorte que :

$$f(Y, \tau) = \int_{R_n} f(u, O) U(u, O; Y, \tau) du. \quad (4.2)$$

Mais nous savons déjà que :

$$f(Y, \tau) \to f(Y, O), \quad \tau \to O, \quad f(Y, \tau) > 0, \quad \int_{R_n} f(Y, \tau) dY = 1. \quad (5.2)$$

La fonction $f(Y, \tau)$ est donc une fonction de champ. On démontrera, que c'est la solution de l'équation intégrale (9.1). En effet, on reçoit, en la substituant dans la partie droite de cette équation, après avoir changé la variable d'intégration u par v dans (4.2) :

$$\int_{R_n} U(u, t; Y, \tau) f(u, t) du = \int_{R_n} U(u, t; Y, \tau) \int_{R_n} f(v, O) du dv du;$$

D'où on reçoit par le changement de l'ordre d'intégration :

$$\int_{R_n} U(u, t; Y, \tau) f(u, t) du = \int_{R_n} f(v, O) \int_{R_n} U(v, O; u, t) U(u, t; Y, \tau) dv du$$

ce qui donne d'après les résultats de l'article [1] :

$$\int_{R_n} U(u, t; Y, \tau) f(u, t) du = \int_{R_n} f(v, O) U(v, O; Y, \tau) dv,$$
d'ici et de la définition (1.2) résulte l'égalité (9.1), c. q. f. d... On a
donc démontré le :

## THEOREME (1.2) -

La solution non nulle de l'équation de Fredholm (9.1) est la se-
conde intégrale généralisée de Poisson-Weierstrass, de la solution
fondamentale normée du 1er équation de Kolmogoroff, pour $t = 0$, et
d'une fonction de champ dans $R_n$, qui est continue. L'équation est assu-
jetie aux suppositions I et II, [1]. D'ici résulte comme corollaire le :

## THEOREME (2.2) -

Admettons les hypothèses I et II de l'article [1]. La solution fon-
damentale, normée $U(X, t, Y, \tau)$ de la première équation de Kolmogo-
roff $\hat{\psi}(U) = 0$, et la seconde intégrale généralisée de Poisson - Weiers-
strass, de cette solution pour $t = 0$, et d'une fonction de champ, continue
dans $R_n$, construisent dans $R_n$ le champ *simple*. Ces deux composantes
vérifient l'équation de Smoluchowski

En effet. Il résulte de l'article [1] et des résultats précédents
(a savoir des formules (4.2) et (5.2)), qu'il ne suffit de démontrer
l'égalité de Smoluchowski que pour la densité $U^*(Y, \tau; X, t)$, $\tau > t$ de la
composante horizontale. Elle est définie par les formules (4.1), (2.1)
et (9.1), d'où résulte que :

$$U^*(Y, \tau; X, t) = [f(X, t) / f(Y, \tau)] \cdot U(X, t; Y, \tau).$$

où $f(Y, \tau)$ est définie par l'égalité (4.2). On a donc :

$$\int_{R_n} U^*(Y, \tau; Z, \theta) U^*(Z, \theta; X, t) \, dZ =$$

$$\int_{R_n} [f(Z, \theta) / f(Y, \tau)] \cdot U(Z, \theta; Y, \tau) [f(X, t) / f(Z, \theta)] \cdot U(X, t; Z, \theta) \, dZ =$$

$$[f(X, t)/f(Y, \tau)] U(X, t; Y, \tau) = U^*(Y, \tau; X, t), \text{ c. q. f. d...}$$

## Remarque.

L'égalité (6'. 1) résulte des égalités (4.2) et (6'. 1)
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

1) - H. MILICER GRUŻEWSKA, Comptes rendus, 247, 1958 p. p. 1168-1171.

2) - " " " , Comptes rendus, 232, 1951, p. 1256.

3) - W. POGORZELSKI, Annales Polonici Mathematici, IV, 1, 1957, p. p. 61-92.

4) - W. POGORZELSKI, Annales Polonici Mathematici, IV, 3, 1958, p. p. 292-297.