### III.5.3. Protection tricouche AM5/AM5.F1/2-AdB250-AA6

Une protection AM5-AdB250-AA6 et deux protections AM5.F1/2-AdB250-AA6 sont impactées en veine de tir par des balles 7,62AP8 à température ambiante. Le premier type de protection (AM5-AdB250-AA6) sert de référence et est constitué d'un disque d'alumine de 5 mm d'épaisseur, collée par un film d'adhésif B d'épaisseur 250 µm sur une plaque en alliage d'aluminium d'épaisseur 6 mm. Le second type de protection (AM5.F1/2-AdB250-AA6) possède une structure très proche, mais le disque de céramique est fretté dans une couronne en acier. La fragmentation du cœur de la balle et l'éjection de fragments de céramique rend impossible la mesure de vitesse résiduelle. Avec des vitesses incidentes comprises entre 915 et 928 m/s, les projectiles traversent systématiquement les protections. Les protections impactées sont visibles en Figure III-54.

Concernant la protection de référence AM5-AdB250-AA6, la céramique est détruite et quelques fragments restent collés sur la plaque en alliage d'aluminium en formant une sorte de toile d'araignée. La plaque en alliage d'aluminium montre en face arrière une ouverture en pétales.

Le frettage de la protection AM5.F1-AdB250-AA6 a été conçu pour générer une contrainte de compression de -94 MPa dans le disque d'alumine. À l'impact le disque ne se fragmente pas entièrement et semble à première vue quasi-intact à l'exception d'une zone centrale traversée par le projectile. En examinant davantage la céramique, on voit qu'une large zone en forme de cône est en fait détruite.

La protection AM5.F2-AdB250-AA6 a été conçue avec un frettage plus important, de sorte à appliquer une contrainte de compression de -259 MPa. Cependant, le choc thermique lors de l'assemblage a entraîné une pré-fissuration de la céramique. Lors de l'impact, le disque est alors majoritairement détruit, mais de très nombreux fragments restent collés sur la plaque en alliage d'aluminium.

### III.5.4. Protection tricouche SiC8-AdB250-AA6

Une protection tricouche SiC8-AdB250-AA6 a été impactée en veine de tir par une balle 7,62AP8. Sa face avant se compose d'une mosaïque de sept tuiles hexagonales de carbure de silicium d'épaisseur 8 mm, collées via un film d'adhésif B d'épaisseur 250 µm sur une plaque en alliage d'aluminium d'épaisseur 6 mm. La fragmentation du cœur de la balle et l'éjection de fragments de céramique rend la mesure de vitesse résiduelle impossible. Avec une vitesse incidente de 916 m/s, le projectile traverse la protection.
La tuile centrale, directement impactée, est totalement détruite. Les tuiles alentours sont partiellement fragmentées, et toutes se sont décollées de la plaque en alliage d'aluminium (voir Figure III-55).

<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>Figure III-54 : Modes de ruine de protections tricouches impactées par une balle 7,62AP8 en veine de tir. En haut de gauche à droite : protection AM5-AdB250-AA6 impactée à 915 m/s ; protection AM5.F1-AdB250-AA6 impactée à 928 m/s ; protection AM5.F2-AdB250-AA6 impactée à 921 m/s. En bas : visualisation de la zone conique fragmentée sous la surface du disque de la protection AM5.F1-AdB250-AA6.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>Figure III-55 : Modes de ruine d'une protection SiC8-AdB250-AA6 impactée par une balle de 7,62AP8 en veine de tir à 916 m/s.</figcaption></figure>
### III.6. Bilan de la campagne expérimentale

Au total, 220 essais de tirs ont été réalisés, dont 51 pour la calibration et 169 pour les essais à proprement parler, couvrant 23 configurations cible-projectile différentes :

- Lanceur Ø40 : 99 essais (dont 7 tirs de calibration)

- Lanceur Ø60 : 91 essais (dont 44 tirs de calibration)

- Veine de tir : 30 essais

#### III.6.1. Vitesses limites de perforation

Des VLP ont pu être identifiées ou estimées dans la majorité des configurations cible-projectile, et sont regroupées dans le Tableau III-13.

#### III.6.2. Influence du projectile

À protection identique, les VLP et modes de ruine dépendent du type de projectile utilisé : forme, matériau, composition.

##### III.6.2.1. Forme du projectile (Plat vs Conique)

Au regard des configurations AA6, AA12 et AA6-air10-AA6 impactées par des projectiles D20-Acier-Plat/Conique, D6.35-Acier-Plat/Conique et D6.35-WC-Plat/Conique, les projectiles à bout plat conduisent systématiquement à une rupture par poinçonnage (voir Figure III-19 p77, Figure III-24 p82, Figure III-33 p88). Les modes de ruines générés par les projectiles à bout conique semblent dépendre du rapport $\lambda$ entre l'épaisseur de la plaque et le rayon du projectile :

$$ \lambda = \frac{\text{épaisseur de la plaque}}{\text{rayon du projectile}} \qquad (III.1) $$

En effet, si $\lambda < 1$ (exemple : D20-Acier-Conique face à une cible AA6 en Figure III-19 p77) on observe clairement la formation de pétales, mais dès que $\lambda$ s'approche ou dépasse 1, une compétition entre plusieurs modes de ruine a lieu : compétition entre poinçonnage et ouverture en pétales pour un projectile D20-Acier-Conique face à une cible AA12 (voir Figure III-24 p82), et compétition entre pénétration ductile et ouverture en pétales pour les projectiles D6.35-Acier-Conique et D6.35-WC-Conique face à une cible AA6-air10-AA6 (voir Figure III-35 p89).
<table><caption>Tableau III-13 : Vitesses limites de perforation pour les couples cible-projectile de l'étude.</caption><thead><tr><th>Cible</th><th>Masse surf. (kg/m²)</th><th>Projectile</th><th>Lanceur</th><th>VLP (m/s)</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">AA6</td><td rowspan="2">16,2</td><td>D20-Acier-Plat</td><td rowspan="2">Ø40</td><td>147</td></tr><tr><td>D20-Acier-Conique</td><td>211</td></tr><tr><td rowspan="2">AA12</td><td rowspan="2">32,4</td><td>D20-Acier-Plat</td><td rowspan="2">Ø60</td><td>~ 200</td></tr><tr><td>D20-Acier-Conique</td><td>312</td></tr><tr><td rowspan="2">AA6-air0-AA6</td><td rowspan="2">32,4</td><td>D20-Acier-Plat</td><td rowspan="2">Ø40</td><td rowspan="2">> 225</td></tr><tr><td>D20-Acier-Conique</td></tr><tr><td rowspan="6">AA6-air10-AA6</td><td rowspan="6">32,4</td><td>D20-Acier-Plat</td><td rowspan="6">Ø60</td><td>250</td></tr><tr><td>D20-Acier-Conique</td><td>295</td></tr><tr><td>D6.35-Acier-Plat</td><td>> 632</td></tr><tr><td>D6.35-Acier-Conique</td><td>560</td></tr><tr><td>D6.35-WC-Plat</td><td>497 &lt; • &lt; 737</td></tr><tr><td>D6.35-WC-Conique</td><td>~ 380</td></tr><tr><td>AA6-air30-AA6</td><td>32,4</td><td>D20-Acier-Plat</td><td>Ø40</td><td>> 225</td></tr><tr><td>MS8.8</td><td>68,9</td><td>D6.35-WC-Conique</td><td>Ø60</td><td>606</td></tr><tr><td>AA6-AdC250-TB12</td><td>22,5</td><td>D6.35-WC-Conique</td><td>Ø60</td><td>~ 345</td></tr><tr><td>AM5-AdB250-AA6</td><td>36,0</td><td>D6.35-WC-Conique</td><td>Ø60</td><td>770 &lt; • &lt; 830</td></tr><tr><td>AM5.F-AdB250-AA6</td><td>46,9</td><td>7,62AP8</td><td>Veine de tir</td><td>&lt; 915</td></tr><tr><td>SiC8-AdB250-AA6</td><td>41,6</td><td>7,62AP8</td><td>Veine de tir</td><td>&lt; 921</td></tr><tr><td>MS8.8-AA8 (21°C)</td><td rowspan="3">90,5</td><td>7,62AP8</td><td>Veine de tir</td><td>629</td></tr><tr><td>MS8.8-AA8 (+56°C)</td><td>D6.35-WC-Conique</td><td>Ø60</td><td>718</td></tr><tr><td>MS8.8-AA8 (-15°C)</td><td>7,62AP8</td><td>Veine de tir</td><td>&lt; 668</td></tr><tr><td>AM10-AdB250-AA6-AdC250-TB12 (21°C)</td><td rowspan="3">61,9</td><td>7,62AP8</td><td>Veine de tir</td><td>&gt; 673</td></tr><tr><td>AM10-AdB250-AA6-AdC250-TB12 (-12°C)</td><td>7,62AP8</td><td>Veine de tir</td><td>910 &lt; • &lt; 920</td></tr><tr><td>AM10-AdB250-AA6-AdC250-TB12 (+59°C)</td><td>7,62AP8</td><td>Veine de tir</td><td>&lt; 921</td></tr></tbody></table>
Ces différences de modes de ruine se retrouvent également dans les VLP. Pour $\lambda$ inférieur ou proche de 1, la VLP d'une protection face à un projectile à bout plat est inférieure à sa VLP face à un projectile à bout conique (voir les protections AA6, AA12 et AA6-air10-AA6 impactées par des projectiles D20-Acier-Plat/Conique dans le Tableau III-13). Cela peut s'expliquer par le fait que le poinçonnage soit dû à une forte localisation de déformation dans une zone réduite, ce qui dissipe moins d'énergie qu'une ouverture en pétale qui provoque de fortes déformations plastiques sur une large zone autour du passage du projectile. Cette différence peut atteindre 36% dans le cas d'une protection AA12. Cependant cette explication n'est plus valable pour des valeurs de $\lambda$ plus élevées (protections AA6-air10-AA6 impactées par des projectiles D6.35-WC-Plat/Conique) où la VLP d'une protection AA6-air10-AA6 impactée par un projectile D6.35-WC-Plat est supérieure à sa VLP face à un projectile D6.35-WC-Conique.

> En conclusion, un projectile à bout plat provoque systématiquement un poinçonnage alors que le mode de ruine généré par un projectile à bout conique dépend du rapport $\lambda$ entre l'épaisseur de la cible et le diamètre du projectile : ouverture en pétales si $\lambda < 1$, pénétration ductile ou poinçonnage sinon, avec éventuellement une combinaison de modes. La VLP la plus faible, entre bout plat et bout conique pour une protection donnée, dépend également de $\lambda$.

#### III.6.2.2. Matériau du projectile (Acier vs WC)

Pour rappel, le passage d'un projectile en acier à un projectile en carbure de tungstène implique plusieurs changements : augmentation de masse volumique, de rigidité et de dureté, ce qui se traduit par une augmentation d'énergie cinétique et d'impédance acoustique.

Les essais sur des protections AA6-air10-AA6 impactées par des projectiles D6.35-Acier-Plat/Conique et D6.35-WC-Plat/Conique ont montré face à des projectiles D6.35-Acier-Plat/Conique, les protections ont une VLP plus élevée que face à des projectiles D6.35-WC-Plat/Conique (voir Tableau III-13). Cette différence est due à la fois à des différences d'énergie cinétique, d'impédance acoustique et de dureté. De plus, on observe des modes de ruine identiques : poinçonnage pour les projectiles à bout plat, et combinaison entre pénétration ductile et ouverture en pétales pour les projectiles à bout conique (Figure III-35 p89).
En conclusion, et comme attendu, à géométrie identique un projectile en carbure de tungstène est plus vulnérant qu'un projectile en acier, même si cela n'est pas traduit par une différence de modes de ruine.

### III.6.2.3. Composition du projectile (cœur seul vs balle complète)

L'influence de la composition du projectile a été évaluée sur des protections tricouches MS8.8-AA8, impactées par des balles 7,62AP8 ou par des projectiles D6.35-WC-Conique imitant le cœur de ces balles. Comme attendu, on mesure une VLP inférieure pour la balle 7,62AP8 dont le pouvoir pénétrant est favorisé par la chemise en cuivre et le bouchon en alliage d'aluminium (voir Figure III-56). On trouve en particulier une VLP inférieure de 12% par rapport au cœur seul : 629 m/s vs. 718 m/s. Les modes de ruine sont identiques pour les deux projectiles : on observe une pénétration ductile des deux plaques, la plaque avant MS8.8 montre des repoussements de matière en face avant et arrière. La face avant de la plaque arrière AA8 est alors déformée, et on observe une légère fragmentation en pétales en face arrière.

En conclusion, un système de protection a une VLP inférieure face à une balle complète que face à un cœur seul.

<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>Figure III-56 : Comparaison des vitesses expérimentales de projectiles D6.35-WC-Conique (lanceur Ø60) et 7,62AP8 (Veine de tir) impactant une protection tricouche MS8.8-AA8</figcaption></figure>
### III.6.3. Influence de la protection

#### III.6.3.1. Épaisseur d'une protection monocouche

Comme attendu, augmenter l'épaisseur de la plaque entraîne une augmentation de VLP. Ensuite, l'impact de projectiles D20-Acier-Plat/Conique sur des protections AA6 et AA12 a montré que les tendances des VLP restent inchangées : ces protections ont une VLP plus faible face à un projectile à bout plat que face à un projectile à bout conique (voir Tableau III-13).

Au niveau des modes de ruine, le projectile D20-Acier-Plat conduit à un poinçonnage pour les deux protections AA6 et AA12. Des différences apparaissent cependant avec le projectile D20-Acier-Conique : contrairement à ce qui est observé sur les plaques AA6, les essais sur les plaques AA12 ne montrent pas clairement un mode de ruine par ouverture en pétales, mais plutôt une compétition entre poinçonnage et ouverture en pétales (voir Figure III-24 p82).

En conclusion, à projectile identique, l'épaisseur de la protection influe sur la VLP et sur le mode de ruine : par exemple, la taille des pétales diminue quand l'épaisseur des plaques augmente.

#### III.6.3.2. Protection monolithique vs multicouches

La résistance d'un empilement tricouche AA6-air10-AA6, qui comporte deux plaques en alliage d'aluminium de 6 mm, est comparée à celle d'une protection monolithique en alliage d'aluminium d'épaisseur 12 mm AA12 face à des projectiles D20-Acier-Plat/Conique. Dans les deux cas, l'épaisseur équivalente d'alliage d'aluminium est donc égale. Les résultats de deux essais par géométrie de projectile sont représentés en Figure III-23 p81. Pour une comparaison plus aisée, des courbes de Lambert-Jonas (« L-J ») sont superposées aux résultats des assemblages tricouches (voir équation (II.2)). Les coefficients des courbes sont reportés dans le Tableau III-14.

<table><caption>Tableau III-14 : Recalage de l'équation de Lambert-Jonas (voir équation (II.2)) pour des impacts de projectiles D20-Acier-Plat/Conique sur des protections tricouches AA6-air10-AA6</caption><thead><tr><th></th><th>D20-Acier-Plat</th><th>D20-Acier-Conique</th></tr></thead><tbody><tr><td>a</td><td>0,7512</td><td>1,2864</td></tr><tr><td>p</td><td>3,8361</td><td>1,6321</td></tr><tr><td>VLP (m/s)</td><td>250</td><td>295</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>Figure III-57 : Comparaison des vitesses de projectiles D20-Acier-Plat/Conique impactant des protections tricouches AA6-air10-AA6 ou monocouches AA12</figcaption></figure>

On voit tout d'abord une différence importante avec le projectile D20-Acier-Plat, pour lequel la protection tricouche AA6-air10-AA6 a une VLP plus élevée que la protection monocouche AA12 (~ +25%). La Figure III-24 p82 montre en effet un poinçonnage sur toute l'épaisseur de la plaque AA12 et l'éjection d'une pastille, alors que le poinçonnage est perturbé par la lame d'air de la protection AA6-air10-AA6 (Figure III-33 p88). Face à un projectile D20-Acier-Conique en revanche, des essais supplémentaires seraient nécessaires pour conclure sur le meilleur type de protection à adopter. Néanmoins la différence entre un système monocouche et un système tricouche serait a priori assez faible dans ce cas.

En conclusion, à épaisseur totale égale, un système tricouche montre une VLP plus élevée qu'une protection monolithique face à un projectile à bout plat. Cette tendance semble s'inverser face à un projectile à bout conique mais la différence est beaucoup plus faible. Si le type de menace n'est a priori pas connu, un système tricouche serait donc une solution judicieuse.

### III.6.3.3. Matériaux de la protection

Des essais ont été menés sur des protections AA6-air10-AA6, MS8.8, AA6-AdC250-TB12, AM5-AdB250-AA6 et MS8.8-AA8, impactées par un projectile D6.35-WC-Conique. Les modes de ruine observés sont conformes à ce qui est renseigné dans la littérature : les
matériaux métalliques montrent des repoussements de matière, une pénétration ductile et une ouverture en pétales ; les céramiques sont fragmentées et un cône se forme lors de l'impact ; les panneaux de CMOFL se déforment fortement et rompent par rupture de fibres.

D'après ces résultats, la Figure III-58 montre que la protection tricouche AM5-AdB250-AA6 est particulièrement avantageuse du point de vue de l'efficacité massique. Cette tendance se retrouve également en comparant les protections MS8.8-AA8 et AM10-AdB250-AA6-AdC250-TB12 impactées par des projectiles 7,62AP8.

Cependant, le type de protection qui sera choisi dépend également des coûts des matériaux, et celui de la céramique est 4 à 6 fois plus élevé que les autres (voir Tableau III-15).

<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>Figure III-58 : Comparaison des performances des différents types de protection face à un projectile D6.35-WC-Conique</figcaption></figure>

<table><caption>Tableau III-15 : Ordre de grandeur des prix des matériaux intervenant dans la conception des cibles de notre étude</caption><thead><tr><td>Matériau</td><td>Conditionnement</td><td>Coût estimé</td></tr></thead><tbody><tr><td>MARS® 380</td><td>Épaisseur 8,8 mm</td><td>165 €/m²</td></tr><tr><td>Alliage d'aluminium</td><td>Épaisseur 6 mm</td><td>250 €/m²</td></tr><tr><td>Tissu balistique</td><td>12 plis</td><td>230 €/m²</td></tr><tr><td>Alumine d'épaisseur 10 mm</td><td>Épaisseur 10 mm</td><td>1000 €/m²</td></tr></tbody></table>

En conclusion, à masse surfacique égale, les systèmes de protection possédant une couche avant en céramique montrent une VLP supérieure aux systèmes qui en sont dépourvus. Cependant cela se traduit par une complexité d'assemblage et un prix supérieurs.
### III.6.3.4. Réduction de fragmentation de la céramique

Pour rappel, un des défauts majeurs de la céramique est sa fragmentation complète lors d'un impact. Deux solutions ont été envisagées face à un projectile 7,62AP8 : le frettage d'une tuile de céramique (AM5.F-AdB250-AA6) ou une mosaïque de plusieurs petites tuiles (SiC8-AdB250-AA6). Une grande partie de la céramique frettée reste intègre (Figure III-53 p102) mais cet avantage est perdu si la tuile de céramique est pré-fissurée (Figure III-54 p104). Notre mosaïque s'est fragmentée et décollée, ne montrant donc aucun avantage dans notre cas (Figure III-55 p104).

Une étude plus poussée en lien étroit avec les ateliers de fabrication et d'assemblage devra être menée pour déterminer si une de ces solutions est pertinente.

### III.6.3.5. Méthode d'assemblage

Pour rappel, l'effet de la méthode d'assemblage a été évalué sur des protections composées de deux plaques AA6 assemblées par boulonnage (AA6-air0-AA6) et par collage (AA6-AdA300-AA6). Le film d'adhésif rompt systématiquement à l'impact (Figure III-21 p80), réduisant le niveau de protection en cas de multi-impact. La liaison boulonnée, quant à elle, est maintenue. La rupture du film d'adhésif a également été observée dans le cas de panneaux de CMOFL (AA6-AdC250-TB12 et AM10-AdB250-AA6-AdC250-TB12, voir Figure III-40 p93 et Figure III-53 p102) et de mosaïque de céramique (SiC8-AdB250-AA6, voir Figure III-55 p104).

En conclusion, il semble préférable, dans la mesure du possible, de procéder à un assemblage par boulonnage en vue d'une meilleure résistance au multi-impact.

### III.6.3.6. Épaisseur de lame d'air

Des essais sur des protections AA6-air0/10/30-AA6 impactées par des projectiles D20-Acier-Plat/Conique ont évalué l'effet de trois épaisseurs de lame d'air (0 mm, 10 mm et 30 mm) sur la résistance au multi-impact. Dans notre cas, une lame d'air de 0 mm se montre plus efficace contre la perforation du projectile, alors que la lame d'air de 30 mm est plus intéressante pour éviter l'apparition de fissures en face arrière. Ces résultats dépendent fortement des dimensions du projectile.
En conclusion, l'épaisseur de lame d'air doit être choisie en fonction de la menace considérée et de la stratégie de protection adoptée : protection contre les perforations ou étanchéité aux gaz et/ou aux liquides.

### III.6.3.7. Température

Pour rappel, des protections tricouche MS8.8-AA8 ont été impactées en veine de tir par des balles 7,62AP8. À température ambiante, une VLP de 629 m/s a été identifiée. À 56°C, aucune différence n'est à noter. À -15°C la VLP semble supérieure à 673 m/s (voir Tableau III-13). Les modes de ruine, visibles en Figure III-50 p100, ne sont pas sensibles à la température et montrent globalement des pénétrations ductiles, des rejets de matière et une légère fragmentation en face arrière de la plaque arrière. Aucun pétale n'est visible.

En conclusion, même si les protections MS8.8-AA8 semblent montrer une VLP plus élevée à faible température, une étude plus poussée est nécessaire pour le confirmer.
# IV. Dialogue expérimentation-simulation

Le dialogue expérimentation-simulation a pour but d'exploiter les résultats expérimentaux précédents pour construire des modèles numériques d'impacts balistiques fidèles et robustes, tout en étant adaptés à une approche ingénieur. Ces modèles sont ensuite utilisés comme outil de prédimensionnement dans le code commercial de calcul par éléments finis Abaqus/Explicit pour optimiser des protections multicouches et multimatériaux face à des menaces allant du projectile de laboratoire en acier durci à la balle de 7,62×51 AP8. Pour cela, nous adoptons une démarche de vérification-validation-optimisation sur des protections à la complexité croissante à partir de quelques matériaux de référence : métaux et alliages (alliages d'aluminium et acier à blindage), céramiques (alumine) et composites à matrice organique à fibres longues (tissu balistique). Les résultats numériques et expérimentaux sont comparés selon deux types de critères : qualitatif (mode de ruine) et quantitatif (vitesse du projectile après perforation).

## Table des matières

<table><tr><td>IV.1. Outils de modélisation numérique</td><td>116</td></tr><tr><td>IV.1.1. Discrétisation spatiale et codes de calcul associés</td><td>117</td></tr><tr><td>IV.1.2. Modèles de comportement</td><td>121</td></tr><tr><td>IV.1.3. Module d'optimisation</td><td>125</td></tr><tr><td>IV.2. Mise au point de la méthodologie d'optimisation</td><td>126</td></tr><tr><td>IV.2.1. Calibration</td><td>127</td></tr><tr><td>IV.2.2. Vérification</td><td>131</td></tr><tr><td>IV.2.3. Validation</td><td>132</td></tr><tr><td>IV.2.4. Optimisation</td><td>132</td></tr><tr><td>IV.3. Calibration, vérification et validation des briques élémentaires numériques</td><td>133</td></tr><tr><td>IV.3.1. Alliage d'aluminium</td><td>133</td></tr><tr><td>IV.3.2. Acier à blindage MARS® 380</td><td>139</td></tr><tr><td>IV.3.3. Tissu balistique</td><td>143</td></tr><tr><td>IV.3.4. Alumine d'épaisseur 5 mm</td><td>145</td></tr></table>
<table><tr><td>IV.4. Optimisations de protections monomatériaux face à des projectiles D20-Acier-Plat/Conique</td><td>147</td></tr><tr><td>IV.4.1. Protection monocouche AA6</td><td>148</td></tr><tr><td>IV.4.2. Protection tricouche AA6-air10-AA6</td><td>149</td></tr><tr><td>IV.5. Changement de projectile</td><td>153</td></tr><tr><td>IV.5.1. De D20-Acier-Plat/Conique à D6.35-WC-Plat/Conique</td><td>154</td></tr><tr><td>IV.5.2. De 6.35-WC-Plat/Conique à 7,62AP8</td><td>158</td></tr><tr><td>IV.6. Optimisations de protections mono et multimatériaux face à des projectiles D6.35-WC-Conique</td><td>162</td></tr><tr><td>IV.6.1. Protection tricouche AA6-air10-AA6</td><td>163</td></tr><tr><td>IV.6.2. Protection monocouche MS8.8</td><td>163</td></tr><tr><td>IV.7. Bilan du dialogue expérience-simulation</td><td>165</td></tr><tr><td>IV.7.1. Briques élémentaires numériques</td><td>165</td></tr><tr><td>IV.7.2. Optimisation</td><td>165</td></tr></table>

## IV.1. Outils de modélisation numérique

Un des enjeux de la simulation numérique est de se substituer à des essais réels complexes et coûteux. Par exemple, les premières applications des codes de calcul ANSYS et Abaqus concernaient les réacteurs nucléaires [Pantalé, 2018]. La simulation numérique d'impacts balistiques implique la prise en compte de phénomènes complexes (mécanique non-linéaire, auto-échauffement, propagation d'ondes de chocs par exemple) dans des zones réduites (de quelques µm pour des bandes de cisaillement adiabatiques à plusieurs cm pour des déchirures) pendant des durées très courtes (de 1 à 100 µs). Des méthodes de calcul et des modèles de comportement spécifiques sont donc développés, incluant des techniques de discrétisation spatiale avec et sans maillage, des schémas d'intégration temporelle implicite et explicite, et des modèles constitutifs dépendants de la vitesse de déformation et de la température. Aujourd'hui, le comportement d'une large gamme de matériaux peut être reproduit numériquement, par exemple : métalliques (ex. modèle bien connu de [G. R. Johnson & Cook, 1983] implémenté pour la première fois dans le code EPIC-2), céramiques (ex : [Hazell et al., 2008]), CMOFL (ex : [Heimbs et al., 2014]) ou mousses (ex : [Ong et al.,
2011]). Cependant, avec chaque algorithme et modèle vient un certain nombre d'hypothèses et d'approximations.

Pour des raisons de contraintes industrielles, cette étude utilisera des codes commerciaux et des modèles de comportements intégrés nativement à ces codes.

IV.1.1. *Discrétisation spatiale et codes de calcul associés*

IV.1.1.1. *Discrétisation spatiale*

Les codes de calcul commerciaux pour la mécanique des milieux continus solides proposent deux principales méthodes de discrétisation spatiale : la méthode des éléments finis (MEF) et particulaire SPH. De façon plus marginale, on trouve aussi des calculs par différences finies, volumes finis ou différences divisées entre autres ([De Boor, 2005; Grossmann et al., 2007; Eymard et al., 2019]).

MEF : Méthode des Éléments Finis

C'est la méthode historique et la plus répandue de calcul numérique : le domaine d'étude est divisé en sous-domaines élémentaires permettant le calcul d'intégrales sur des domaines simples (voir par exemple les ouvrages suivants : [Batoz & Dhatt, 1990; Bathe, 2007; Zienkiewicz et al., 2013]). Les variables de la simulation (déplacement, température, déformation, contrainte, ...) sont ainsi estimées dans chacun de ces éléments, selon le cas aux nœuds ou aux points d'intégration, ce qui la rend particulièrement adaptée aux milieux continus. La fissuration dans une structure maillée par des éléments finis peut se faire de différentes façons :

- séparation des éléments aux nœuds (node splitting) : les éléments se séparent et les nœuds partagés sont dédoublés (voir [Olovsson et al., 2015])

- éléments d'interface cohésifs (avec ou sans épaisseur) dont la rupture est régie par une loi de perte progressive de cohésion

- suppression d'éléments (element deletion) : la raideur des éléments rompus est rendue nulle, ils peuvent alors se déformer librement sans subir de contrainte. Cela permet la conservation de la masse, au risque de provoquer des déformations très importantes qui ralentiraient le calcul.
- érosion d'éléments (element erosion) : les éléments et les nœuds orphelins sont retirés du calcul. Les déformations importantes sont ainsi évitées, au prix d'une perte de masse du système.

- fissuration intra-élément (XFEM<fnref n="3" />) : dans le cas de la XFEM, les degrés de liberté aux nœuds sont enrichis pour rendre compte des conséquences cinématiques de la fissure dans l'élément fini (voir [Nikolakopoulos et al., 2019])

La mise en application de ces méthodes au cas de la rupture dépend du contexte du calcul, quasi-statique ou dynamique. Dans le second cas, ces modèles sont simplifiés. D'une manière générale, ces approches rendent la rupture plus ou moins dépendante de la taille de maille (ce qui empêche toute convergence des résultats suivant ce paramètre) et de l'orientation du maillage. Plusieurs possibilités d'atténuation existent, comme le raffinement automatique du maillage près des zones de rupture (procédure coûteuse en temps de calcul), ou l'ajout aux énergies de rupture d'une dépendance à la taille de maille (procédure peu physique). La XFEM tendrait à s'affranchir de ces problèmes de dépendance au maillage mais reste encore à ce jour à l'état de recherche.

## SPH : Smoothed Particle Hydrodynamics

C'est une méthode de calcul plus récente que les éléments finis, qui décrit le domaine d'étude comme un ensemble de particules avec un domaine d'influence sphérique. Contrairement aux éléments finis, la connectivité entre les particules peut évoluer, et chaque particule transporte avec elle un sous-domaine d'intégration (voir par exemple [Gingold & Monaghan, 1977; Lucy, 1977; Liu & Liu, 2003]). Cette méthode permet de s'affranchir de certaines limitations liées au maillage et est particulièrement adaptée aux problèmes incluant des fluides ou une forte fragmentation, mais elle augmente sensiblement le temps de calcul. Longtemps limitée dans son utilisation par sa faible précision et son instabilité en traction, la formulation SPH a connu des améliorations récentes qui devraient lui permettre d'élargir sa gamme d'applications. En particulier, l'application de cette méthode à des impacts balistiques sur des matériaux ductiles a longtemps été délicate, et de nombreux auteurs en ont proposé des ajustements [G. R. Johnson & Beissel, 1996; Belytschko et al., 2000]. Aujourd'hui encore, les conclusions de ce type de simulation sont mitigées. Par exemple, [Kiliç & Ekici, 2013] ont comparé des résultats expérimentaux d'impact de balle de 7,62 mm sur un acier 500 HB avec différentes simulations numériques, MEF ou SPH. Ces deux méthodes parviennent à

<footnote n="3">³ eXtended Finite Element Method (Méthode des éléments finis étendue)</footnote>
reproduire qualitativement les résultats expérimentaux, mais contrairement à ce que les auteurs prévoyaient la méthode SPH n'a pas permis d'obtenir une meilleure représentation qualitative de la fragmentation. De plus, en recherchant les épaisseurs d'acier minimales pour bloquer le projectile avec une vitesse initiale de 782 m/s, la méthode SPH a montré de moins bons résultats quantitatifs que la MEF (voir Tableau IV-1). Dans ce cas précis, avec un temps de calcul trois fois supérieur, la méthode SPH se montre peu avantageuse face à la MEF.

<table><caption>Tableau IV-1 : Comparaison d'épaisseurs minimales pour qu'un acier 500HB bloque une balle de 7,62 à 782 m/s [Kiliç & Ekici, 2013]</caption><thead><tr><th></th><th>Expérience</th><th>MEF</th><th>SPH</th></tr></thead><tbody><tr><th>Épaisseur (mm)</th><td>12,4</td><td>13,0</td><td>15,0</td></tr><tr><th>Écart (%)</th><td>-</td><td>4,8</td><td>21,0</td></tr></tbody></table>

Un modèle hybride MEF-SPH a été construit par [Scazzosi et al., 2020] : un projectile impacte une tuile de céramique, collée sur une plaque en alliage d'aluminium, initialement discrétisée en éléments finis, et à partir d'une certaine déformation les éléments sont convertis en particules. Un exemple de résultat en Figure IV-1 montre qu'un modèle hybride MEF-SPH est qualitativement plus fidèle qu'un modèle EF. Les auteurs ont également obtenu de bons résultats quantitatifs sur la vitesse résiduelle du projectile. Enfin, la PFEM<fnref n="4" /> semble prometteuse pour les simulations d'impact : cette méthode combine MEF et SPH à chaque incrément pour profiter des avantages des deux méthodes (voir par exemple [Cerquaglia et al., 2017]).

<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>Figure IV-1 : Comparaison entre un modèle MEF (gauche) et un modèle hybride MEF-SPH (droite). Vue de la face arrière de la plaque en alliage d'aluminium. [Scazzosi et al., 2020]</figcaption></figure>

Cependant, plusieurs points, comme le choix de la formulation ou des conditions de contact, sont encore délicats, voir par exemple [Yreux, 2018]. Une grande quantité de corrélations

<footnote n="4">⁴ Particle Finite Element Method</footnote>
expérience-simulation reste donc à mener pour prouver l'efficacité de la méthode dans un cadre ingénieur.

Au vu du manque de maturité de la méthode SPH dans les codes de calcul commerciaux pour des applications balistiques nous choisissons de construire nos modèles par la MEF.

### IV.1.1.2. Moyens utilisés

Cette étude a été menée avec le code commercial Abaqus/Explicit 2016, édité par Dassault Systèmes. Ce logiciel apparaît régulièrement dans la littérature et a été utilisé avec succès dans de nombreux problèmes d'impacts balistiques sur différents matériaux : ductiles (ex : Armox® 500T [Iqbal et al., 2016]), quasi-fragiles (ex : carbure de silicium [Hild et al., 2003]) ou polymères renforcés (ex : carbone/epoxy [Heimbs et al., 2014]).

Abaqus/Explicit a quelques spécificités, notamment concernant l'utilisation d'une équation d'état :

- le coefficient de Taylor-Quinney $\beta$ doit être égal à 1

- le choix des modèles de plasticité est restreint, on peut néanmoins utiliser les modèles de von Mises, Johnson-Cook et Drucker-Prager

- la définition de l'élasticité du matériau nécessite son module de cisaillement

- dans le modèle de Drucker-Prager l'angle de dilatance $\psi$ est nul, voir Figure II-25 p43
De plus, le critère de Hill n'est pas compatible avec une loi d'écoulement de Johnson-Cook.
Ces contraintes sont compatibles avec notre étude de prédimensionnement, mais elles pourraient se révéler gênantes pour une éventuelle étude plus poussée cherchant une fidélité plus élevée.

Les cycles d'optimisation ont été gérés avec le logiciel ISIGHT, interfacé nativement avec Abaqus et également édité par Dassault Systèmes, connu des équipes de CNIM pour l'optimisation de composants mécaniques.

Les calculs par éléments finis sont lancés sur deux super-calculateurs auxquels nous avons accès :

- Olympe, opéré par CALMIP (CALcul en MIdi-Pyrénées) (~ 50 000 h CPU utilisées par la présente étude) :

- 12 960 cœurs Intel Skylake 6140 (utilisation de 36 cœurs par calcul)

- 76 To de mémoire vive (192 Go dédiés par calcul)

- Système Linux
- Pando, opéré par l'ISAE-SUPAERO (~ 42 500 h CPU utilisées par la présente étude) :

* 2 304 cœurs Intel Skylake 6126 (utilisation de 24 cœurs par calcul)

* 13 To de mémoire vive (192 Go dédiés par calcul)

* Système Linux

Les modèles sont mis au point et les résultats sont post-traités sur un ordinateur personnel confié par l'ISAE-SUPAERO :

- DELL Precision 7520

* Intel Core i7-6820HQ (4 cœurs)

* 16 Go de mémoire vive

* Windows 7

## IV.1.2. Modèles de comportement

À l'échelle macroscopique de l'ingénieur, les comportements des matériaux sont décrits par des modèles phénoménologiques, pouvant être classés en trois catégories :

- modèles basés sur la physique : La construction de ces modèles est basée sur des variables physiques. Ils sont a priori fidèles mais la détermination de leurs coefficients requiert de nombreux essais spécifiques. Ils sont rarement intégrés par défaut dans les codes de calcul commerciaux car ils ont un champ d'application réduit.

- modèles empiriques : Basés uniquement sur des observations expérimentales, ces modèles ne prennent pas en compte la physique des phénomènes en jeu. Ils sont a priori moins fidèles que les modèles physiques mais leurs coefficients s'identifient plus facilement avec des essais de caractérisation classiques.

- modèles semi-physiques : Modèles hybrides qui s'appuient sur le ou les phénomènes physiques principaux et sur des observations expérimentales. Leur fidélité et leur complexité dépendent de chaque modèle.

Les modèles choisis ici devront être capables de prendre en compte des pressions de l'ordre de 10 GPa et des taux de déformation de l'ordre de $10^5$ s⁻¹.

Dans la suite, les modèles utilisés sont empiriques car plus adaptés à une étude de prédimensionnement.

### IV.1.2.1. Aciers et alliages haute résistance

On se place dans le cadre de :
- chocs élevés requérant une équation d'état pour la pression

- viscoplasticité isotrope indépendante de la pression

- endommagement ductile dépendant de la pression

Pour ces matériaux, la pression est déterminée via une équation d'état de type Mie-Grüneisen (II.23), la contrainte d'écoulement est décrite par le modèle empirique de Johnson-Cook (II.31), l'endommagement est amorcé suivant l'indicateur de Johnson-Cook (II.34) (II.35) et une évolution d'endommagement linéaire est introduite suivant la théorie de Kachanov (II.37) et Hillerborg (II.39)(II.40)(II.41). Les relations utilisées sont donc :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
p = p_H \left(1 - \frac{\Gamma_0 \eta}{2}\right) + \Gamma_0 \rho_0 e ; \quad p_H = \frac{\rho_0 c_0^2 \eta}{(1 - s \eta)^2} \\[1.5em]
\bar{\sigma}_Y = \left[ A + B \left(\bar{\varepsilon}^p\right)^n \right] \left[ 1 + C \ln\left(\frac{\dot{\bar{\varepsilon}}^p}{\dot{\varepsilon}_0}\right) \right] \left[ 1 - \hat{\theta}^m \right] \\[1.5em]
\omega = \frac{\bar{\varepsilon}^{pl}}{\bar{\varepsilon}_D^{pl}} ; \quad \bar{\varepsilon}_D^{pl} = \left[ d_1 + d_2 \exp(d_3 T_\sigma) \right] \left[ 1 + d_4 \ln\left(\frac{\dot{\bar{\varepsilon}}^{pl}}{\dot{\varepsilon}_0}\right) \right] (1 + d_5 \hat{\theta}) \\[1.5em]
\bar{u}_f^{pl} = \frac{2G_f}{\sigma_{y0}} ; \quad \dot{D} = \frac{\dot{u}}{\bar{u}_f^p} ; \quad \sigma_{eff} = \frac{\sigma}{1 - D}
\end{array}
\right.
\qquad (IV.1)
$$

De plus, des déformations anormalement élevées de quelques éléments isolés ont été
observées dans certaines simulations préliminaires. Afin de les éviter, une déformation
maximale pour l'amorçage de l'endommagement $\bar{\varepsilon}_{\max}^{pl}$ est ajoutée comme sécurité. Seul le
critère dont la déformation critique est la moins élevée amorce l'endommagement. On a donc
une compétition entre $\bar{\varepsilon}_D^p$ et $\bar{\varepsilon}_{\max}^{pl}$, illustrée sur le graphe en Figure IV-2. La déformation
plastique à l'amorçage de l'endommagement $\bar{\varepsilon}_{DI}^p$ s'écrit donc :

$$
\bar{\varepsilon}_{DI}^{p} = \min \left( \bar{\varepsilon}_{D}^{p} ; \bar{\varepsilon}_{\max}^{pl} \right) \qquad (IV.2)
$$

Il y a rupture quand $D = D_c$.

IV.1.2.2. Céramiques

On se place dans le cadre de :

- chocs élevés requérant une équation d'état pour la pression

- viscoplasticité dépendante de la pression

- résistance résiduelle après rupture

Le comportement des céramiques est ici décrit par le modèle de Johnson-Holmquist 2 [G. R. Johnson & Holmquist, 1994] qui n'apparaît pas explicitement dans Abaqus, mais qui peut être
utilisé simplement grâce à une loi de comportement utilisateur intégrée [Dassault Systèmes, 2009].

<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>Figure IV-2 : Illustration de la compétition entre le critère d'amorçage d'endommagement de Johnson-Cook ($\bar{\varepsilon}_D^p$) et le critère ductile de déformation maximale ($\bar{\varepsilon}_{\max}^{pl}$)</figcaption></figure>

Les équations du modèle (II.42) (II.43) (II.44) (II.45) (II.46) (II.47) sont résumées dans la suite :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
p = \text{Max} \left[ K_1 \bar{\mu} + K_2 \bar{\mu}^2 + K_3 \bar{\mu}^3 + \Delta p ; \Delta p_{\max} \right] \\
\\
\sigma_{eq}^* = \left[ (1-D) \sigma_i^* + D \sigma_f^* \right] (1 + C \ln \dot{\varepsilon}^*); \quad X^* = \frac{X}{X_{HEL}} ; \\
\\
\sigma_{f}^* = \text{Max} \left[ B(p^*)^M ; \frac{\sigma_{Max}}{(1+C \ln \dot{\varepsilon}^*)} \right] \\
\\
D = \sum \frac{\Delta \bar{\varepsilon}^p}{\varepsilon_f^p} ; \quad \varepsilon_f^p = D_1 (p^* + p_0^*)^{D_2}
\end{array}
\right.
$$

Il y a rupture quand $D = D_c$.

IV.1.2.3. Polymères renforcés (CMOFL)

On se place dans le cadre de :

- plasticité de la matrice isotrope indépendante de la pression

- endommagement des fibres, de la matrice et de l'interplis

Le comportement élastoplastique de la matrice est représenté par un modèle de Ludwik (II.28), et les endommagements de la matrice et des fibres sont décrits par le modèle d'endommagement de Johnson (II.51) (II.52) (II.53) (II.54) (II.56) (II.57) (II.58) (II.59). Ce modèle n'apparait pas explicitement dans Abaqus, mais il peut être utilisé simplement grâce à
une loi de comportement utilisateur intégrée [Dassault Systèmes, 2008]. De plus, le
délaminage des CMOFL (décohésion inter-plis) est pris en compte par des éléments
d'interface cohésifs élastiques fragiles (voir équations (II.60) et (II.61)). Cette approche a été
introduite par [Dávila et al., 2001] et appliquée par différents auteurs (par exemple [Zhang et
al., 2020]).

L'endommagement et la rupture des fibres sont décrits par la relation :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
F_{\alpha} = \phi_{\alpha} - r_{\alpha} \le 0 ; \phi_{\alpha} = \frac{\sigma_{\alpha}}{X_{\alpha}} ; r_{\alpha}(t) = \max_{\tau \le t} \phi_{\alpha}(\tau) \\
d_{\alpha} = 1 - \frac{1}{r_{\alpha}} \exp(-A_{\alpha}(r_{\alpha} - 1)) ; A_{\alpha} = \frac{2g_{0}^{\alpha}L_{c}}{G_{f}^{\alpha} - g_{0}^{\alpha}L_{c}} ; g_{0}^{\alpha} = \frac{X_{\alpha}^{2}}{2E_{\alpha}}
\end{array}
\right.
\qquad (\text{IV.3})
$$

L'endommagement et la rupture de la matrice sont décrits par la relation :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
F = |\sigma_{12}| - \sigma_0 (\bar{\epsilon}^{pl}) \le 0 ; \sigma_0 (\bar{\epsilon}^{pl}) = \sigma_{y0} + C (\bar{\epsilon}^{pl})^p \\
F_{12} = \phi_{12} - r_{12} \le 0 ; \phi_{12} = \frac{\sigma_{12}}{S} ; r_{12}(t) = \max_{\tau \le t} \phi_{12}(\tau) \qquad (\text{IV.4}) \\
d_{12} = \min(\alpha_{12} \ln(r_{12}), d_{12}^{\max})
\end{array}
\right.
$$

Le délaminage est décrit par la relation :

$$
\left\{ \begin{matrix} t_n \\ t_s \\ t_t \end{matrix} \right\} = \begin{bmatrix} E_{nn} & 0 \\ 0 & E_{ss} \\ 0 & E_{tt} \end{bmatrix} \left\{ \begin{matrix} \epsilon_n \\ \epsilon_s \\ \epsilon_t \end{matrix} \right\} ; \omega = \left( \frac{\langle t_n \rangle}{t_n^0} \right)^2 + \left( \frac{t_s}{t_s^0} \right)^2 + \left( \frac{t_t}{t_t^0} \right)^2 \quad (\text{IV.5})
$$

Il y a rupture de fibre quand $\max(d_1; d_2) = d_{\max}$, rupture de la matrice quand $\bar{\epsilon}^{pl} = \bar{\epsilon}_{\max}^{pl}$ et
délaminage complet quand $\omega=1$.

IV.1.2.4. Adhésif structural et frottement

Adhésifs

On se place dans le cadre de :

- endommagement insensible à un état de contrainte de compression

Le régime élastique des films d'adhésifs est décrit par une loi de traction-séparation (II.60) et
l'endommagement est amorcé suivant un critère dépendant de la contrainte nominale (II.61),
ce qui est résumé dans la relation (IV.5).
## Frottements

Lors du processus de pénétration, une partie de l'énergie cinétique du projectile peut être dissipée par frottement. La loi de Coulomb introduit le coefficient de frottement dynamique $f_D$ :

$$ \| \vec{F}_T \| = f_D \cdot \| \vec{F}_N \| \qquad (IV.6) $$

Avec $\vec{F}_T$ la force de frottement tangentielle et $\vec{F}_N$ la force normale. Expérimentalement la valeur du coefficient de frottement dépend de nombreux facteurs ([Oden & Martins, 1985]) dont la prise en compte dépend du degré de fidélité du modèle recherchée :

- couple des matériaux en contact : le frottement est principalement lié aux micro-aspérités à la surface des solides, et la valeur de la force tangentielle dépend de la résistance mécanique de ces aspérités.

- état de surface des solides en contact : la force tangentielle dépend également de la géométrie et de la taille des aspérités.

- nature du frottement (statique ou dynamique) : en général, le coefficient de frottement statique est supérieur au coefficient de frottement dynamique.

- effort normal : des variations du coefficient de frottement ont été observées pour des efforts normaux très faibles ou très élevés.

- vitesse de glissement : le coefficient de frottement varie avec la vitesse de glissement entre les deux solides ([Nistor et al., 2003]).

Au vu de la difficulté à caractériser le coefficient de frottement $f_D$ dans le cas d'impacts balistiques, celui-ci est considéré constant dans notre étude et déterminé selon une procédure détaillée en Annexe G p204.

### IV.1.3. Module d'optimisation

Le logiciel ISIGHT permet de construire des boucles d'optimisation faisant intervenir différents logiciels. La Figure IV-3 montre une boucle d'optimisation typique utilisée dans cette étude : les calculs par éléments finis sont assurés par Abaqus, dont les résultats sont post-traités par un programme Matlab. Un algorithme d'optimisation modifie les variables d'optimisation en fonction des résultats des itérations. Parmi les algorithmes proposés, quatre semblent adaptés à l'optimisation d'un empilement multimatériaux pour la protection balistique [Dassault Systèmes, 2018] : méthode de Nelder-Mead (ou Downhill Simplex), algorithme évolutionnaire, méthode de Hooke-Jeeves et optimisation quadratique successive.
Une étude comparative de ces algorithmes se trouve en Annexe H p205, à la suite de laquelle
la méthode de Nelder-Mead est retenue pour la suite de l'étude.

<figure><img src="image_103.png" /><figcaption>Figure IV-3 : Boucle d'optimisation typique dans ISIGHT</figcaption></figure>

IV.2. Mise au point de la méthodologie d'optimisation

Notre méthodologie d'optimisation s'articule autour de trois étapes faisant intervenir des
dialogues entre expérience et simulation (schématisée en Figure IV-4) :

- **Calibration et vérification** : Cette première étape consiste à construire et calibrer un modèle numérique et à vérifier qu'il soit capable de reproduire un essai en particulier. Les données matériau sont principalement issues de la littérature et un/des coefficient(s) matériau est/sont ajusté(s) pour que les résultats expérimentaux et numériques concordent selon des critères qualitatifs (modes de ruine) et quantitatifs (vitesse du projectile après perforation). Ce type d'approche s'apparente à la méthode « Finite Element Model Updating » (voir [Markiewicz et al., 2017]) qui a par exemple été mise en application pour identifier les constantes matériaux d'un modèle numérique de compression de tube en acier ([Markiewicz et al., 1998]).

- **Validation** : Cette étape consiste à tester la robustesse du modèle précédent en le confrontant à une situation nouvelle (une configuration non utilisée dans l'étape de calibration-vérification). Si les écarts entre les résultats expérimentaux et numériques, selon des critères qualitatifs et quantitatifs, sont suffisamment faibles, le modèle est considéré comme validé. Sinon, il doit être recalibré et revérifié.

- **Optimisation** : Nous avons suffisamment confiance en les résultats du modèle numérique pour l'utiliser comme outil de prédimensionnement pour concevoir une protection balistique optimale.
<figure><img src="image_104.png" /><figcaption>Figure IV-4 : Schéma de la démarche Calibration/Vérification-Validation-Optimisation</figcaption></figure>

## IV.2.1. Calibration

Nous l'avons précisé précédemment, les valeurs des coefficients des lois de comportement sont tirées de la littérature. Cependant ces données peuvent être incomplètes ou imparfaitement adaptées à nos structures. La construction du modèle numérique doit donc passer par une étape de calibration, réalisée grâce à un dialogue expérience-simulation. Cette étape consiste en la réalisation d'un essai dans une configuration simple et en sa reproduction numérique. Un ou des coefficients du modèle sont ajustés pour que les critères de comparaison entre expérience et simulation, à la fois qualitatifs et quantitatifs, soient respectés au mieux.

### IV.2.1.1. Modèle numérique

#### Paramètres généraux

On rappelle que les calculs numériques sont réalisés avec Abaqus/Explicit 2016 suivant la méthode des éléments finis. Les éléments structuraux choisis sont les suivants :

- Pour les matériaux solides isotropes (alliages métalliques et céramiques) des éléments solides hexaédriques linéaires à 8 nœuds et à intégration réduite (C3D8R) sont utilisés (voir Figure IV-5). Ces éléments sont très présents dans la littérature pour les simulations de dynamique rapide.
- Les plis de matériaux composites sont discrétisés par des éléments coques continues à 8 nœuds et à intégration réduite (SC8R). Ces éléments ont une géométrie tridimensionnelle hexaédrique mais leur comportement est celui d'une coque. Nous suivons les recommandations de [Dassault Systèmes, 2016] : une intégration de Simpson dans la direction de l'épaisseur de la coque semble adaptée aux simulations d'impact (cisaillement transverse, transferts thermiques) et 5 points d'intégration est un bon compromis entre fidélité et temps de calcul (voir Figure IV-5, où les 4 points d'intégrations dédiés uniquement au comportement dans la direction de l'épaisseur ne sont pas représentés).

<figure><img src="image_105.png" /><figcaption>Figure IV-5 : Géométrie des éléments C3D8R et SC8R utilisés dans cette étude</figcaption></figure>

Les éléments à intégration réduite (C3D8R notamment) peuvent montrer des modes de déformation dont l'énergie de déformation est nulle, le maillage adopte alors une forme de sablier (« hourglass ») [Sun, 2006; Pantalé, 2018] (voir Figure IV-6). Cet artefact est préjudiciable pour les résultats de la simulation, et les codes de calcul tentent d'éviter ces modes de hourglass en ajoutant une énergie artificielle (« ALLAE » dans Abaqus). Les éléments à intégration complète (C3D8 par exemple) ont quant à eux montré des difficultés à se déformer en flexion, générant des contraintes de cisaillement artificielles dans l'élément (« shear locking ») (voir Figure IV-7). Ce phénomène est également néfaste pour la fidélité de la simulation et Abaqus semble ne pas pouvoir le compenser. Notre choix se porte donc, dans la mesure du possible, sur des éléments à intégration réduite.

Les simulations faisant intervenir de l'endommagement et de la rupture, comme lors d'impacts balistiques, ne présentent pas de convergence par rapport au maillage (taille et orientation), en particulier lorsqu'on utilise des modèles locaux. Nous avons choisi une taille de maille de 0,5 mm permettant, dans notre cas, un bon compromis entre fidélité et temps de calcul. De plus, la disposition des éléments est volontairement désorganisée pour atténuer la sensibilité de la propagation de l'endommagement à l'orientation du maillage (voir Figure IV-8). Lors de la rupture, les éléments sont « supprimés » : leur raideur est rendue nulle et les
nœuds orphelins sont conservés afin de ne pas provoquer de perte de masse dans le système. Sauf contre-indication dans le texte, les simulations numériques sont réalisées dans les configurations précisées dans le Tableau IV-2. Des paramètres supplémentaires, spécifiques à certaines simulations, seront présentés par la suite.

<figure><img src="image_106.png" /><figcaption>Figure IV-6 : Exemple de mode de hourglass [Sun, 2006]</figcaption></figure>

<figure><img src="image_107.png" /><figcaption>a. Déformation de l'élément conformément à la théorie</figcaption></figure>

<figure><img src="image_108.png" /><figcaption>b. Verrouillage de l'élément (shear locking)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_109.png" /><figcaption>Figure IV-8 : Maillage des cibles. Gauche : vue générale. Droite : vue rapprochée du centre de la cible</figcaption></figure>
<table><caption>Tableau IV-2 : Configurations des simulations numériques</caption><thead><tr><th colspan="2">Méthodes de calcul</th></tr></thead><tbody><tr><td>Code commercial</td><td>Abaqus 2016</td></tr><tr><td>Schéma d'intégration</td><td>Explicit</td></tr><tr><td>Méthode</td><td>Éléments finis et approche lagrangienne</td></tr><tr><td>Précision des calculs</td><td>Double</td></tr><tr><td>Calcul du pas de temps</td><td>Élément par élément</td></tr><tr><td>Durée du chargement</td><td>De 1.10<sup>-4</sup> s à 5.10<sup>-4</sup> s</td></tr><tr><td>Temps de calcul</td><td>De l'ordre de 30 minutes (36 cœurs CALMIP)</td></tr><tr><td>Échauffement adiabatique</td><td>Activé</td></tr><tr><td>Mode de rupture</td><td>Résistance nulle (element deletion)</td></tr><tr><td>Contrôle de l'hourglass</td><td>Approche viscoélastique intégrale (par défaut)</td></tr><tr><td>Viscosité numérique</td><td>Linéaire : 0,06 ; quadratique : 1,2 (par défaut)</td></tr><tr><th colspan="2">Géométrie</th></tr><tr><td>Dimension</td><td>3D</td></tr><tr><td>Symétries</td><td>Aucune</td></tr><tr><td>Type d'éléments finis</td><td>C3D8R (alliages métalliques, céramiques)<br>SC8R (polymères renforcés)<br>COH3D8 (matériaux cohésifs)</td></tr><tr><td>Non-linéarité géométrique</td><td>Activée</td></tr><tr><td>Conditions initiales</td><td>T = 293 K</td></tr><tr><td>Conditions aux limites</td><td>Cible libre</td></tr><tr><td>Zone impactée</td><td>Centre de la cible, incidence normale</td></tr><tr><th colspan="2">Contact</th></tr><tr><td>Contact normal</td><td>« General » contact entre « mesh surfaces »</td></tr><tr><td>Contact tangentiel</td><td>« Penalty » avec f<sub>D</sub> = 0,3</td></tr></tbody></table>

## Paramètres matériaux

Les coefficients des modèles de comportement sont regroupés en Annexe L.2 p213, accessible uniquement dans la version confidentielle du document.

### IV.2.1.2. Identification des paramètres manquants

La calibration du modèle numérique passe par la sélection de paramètres matériaux et l'identification de leurs valeurs :
- Alliage d'aluminium : coefficient $G_f$ pour l'évolution de l'endommagement

- MARS® 380 : coefficient $\bar{\varepsilon}_{max}^{pl}$ pour l'amorçage de l'endommagement

On utilise pour cela une boucle d'identification, réalisée grâce au logiciel ISIGHT (voir exemple en Figure IV-9), afin de compléter la définition du matériau :

- Objectif : Vitesses résiduelles expérimentales et numériques identiques

- Variable : Coefficient matériau

La vitesse résiduelle numérique du projectile est calculée via Matlab selon une procédure détaillée en Annexe F.2 p202.

<figure><img src="image_110.png" /><figcaption>Figure IV-9 : Structure typique d'une boucle d'identification ISIGHT</figcaption></figure>

## IV.2.2. Vérification

Les coefficients du matériau calibré sont injectés dans le modèle numérique. Sa capacité à reproduire les résultats expérimentaux est évaluée uniquement de manière qualitative avec le mode de défaillance de la plaque impactée, car un critère quantitatif a déjà été exploité dans l'étape de calibration. De plus, nous surveillerons certaines énergies, dont des énergies qualifiées d'« artificielles » ajoutées par Abaqus afin de stabiliser le calcul numérique. Leur valeur doit rester faible devant celles des énergies « physiques ». De plus, la quantité d'énergie totale dans le système doit rester stable pendant toute la durée du calcul. Les énergies artificielles qui doivent être contrôlées sont (voir également le glossaire en Annexe J p208) :

- ALLAE : Énergie artificielle de déformation, liée aux modes de hourglass des éléments à intégration réduite.

- ALLDC : Énergie de réduction de distorsion des éléments.

- ALLPW : Travail lié à la gestion des contacts entre solides.

- ALLVD : Énergie dissipée par les effets de viscosité numérique (bulk viscosity). Le but de cette énergie est de réduire un artefact numérique, typique des simulations
explicites d'impacts balistiques, générant des vibrations à haute fréquence dans les éléments (voir par exemple [Nsiampa et al., 2008]) ou l'écrasement excessif d'éléments.

Nous considérons arbitrairement qu'un résultat est fiable lorsque chaque contribution est inférieure à 5% de l'énergie totale.

### IV.2.3. Validation

Le modèle numérique est validé en démontrant sa capacité à s'adapter à une situation nouvelle. Pour cela la configuration de l'impact est modifiée, par exemple en passant d'une cible monocouche à une cible constituée de 2 plaques, ou en inversant l'ordre d'empilement d'un système multimatériaux. Les critères de validation sont de deux types :

- Qualitatif : Mode de ruine

- Quantitatif : Vitesse résiduelle du projectile

### IV.2.4. Optimisation

Cette ultime étape consiste à exploiter le modèle numérique précédemment validé pour optimiser un empilement :

- Objectif : Minimisation de la masse

- Variables : À choisir en fonction de la situation (ex : épaisseurs, ordre d'empilement, matériaux)

- Contrainte : Blocage du projectile. Cela se traduit par une vitesse résiduelle du projectile négative ou nulle. Dans la mesure où on ne considère que la vitesse du projectile, cette approche autorise donc l'éjection de fragments, contrairement au STANAG (Annexe B p190).

<figure><img src="image_111.png" /><figcaption>Figure IV-10 : Structure typique d'une boucle d'optimisation ISIGHT</figcaption></figure>
IV.3. Calibration, vérification et validation des briques élémentaires numériques

Cette partie se concentre sur les étapes de calibration, vérification et validation. L'objectif est de disposer de briques élémentaires numériques pouvant être incluses dans une prochaine étape d'optimisation. Les aciers et alliages sont étudiés seuls, mais les céramiques et CMOFL ne sont efficaces qu'au sein d'empilements, ces derniers sont donc étudiés comme matériaux constitutifs d'empilements simples.

IV.3.1. Alliage d'aluminium

Le premier matériau étudié est l'alliage d'aluminium. Le modèle numérique est calibré et vérifié en analysant des résultats d'impacts de projectiles D20-Acier-Plat/Conique sur une protection monocouche AA6. Il est ensuite validé en passant à une protection AA12.

IV.3.1.1. Calibration : AA6

Cette première étape vise à déterminer la valeur du coefficient Gf de la loi d'évolution de l'endommagement (voir équation (IV.1) p122) en se basant sur des essais d'impact à vitesse modérée de projectiles D20-Acier-Plat/Conique sur une protection AA6. Seuls les essais avec la plus haute vitesse incidente sont considérés pour réduire la dépendance aux conditions aux limites et pour se rapprocher des futurs essais à haute vitesse : 224 m/s pour le projectile D20-Acier-Plat et 230 m/s pour le projectile D20-Acier-Conique. Les modèles numériques contiennent 467 978 éléments et 506 100 nœuds pour le projectile D20-Acier-Plat, et 393 409 éléments et 426 867 nœuds pour le projectile D20-Acier-Conique. Les calculs durent respectivement 18 et 12 minutes sur 36 cœurs de CALMIP.

En résumé, les boucles d'identification ISIGHT suivantes sont construites :

- Objectif : $v_{res}$ = 180 m/s (D20-Acier-Plat) ; $v_{res}$ = 93 m/s (D20-Acier-Conique)

- Variable : Gf

Les valeurs de Gf et de vitesse résiduelle pour chaque itération des cycles d'identification sont tracées en Figure IV-11. On remarque tout d'abord que la solution converge dans les deux cas au bout de 15 itérations environ, ce qui correspond respectivement à 4h30 et 3h de calcul. Des premières valeurs de Gf, notées Gf0, sont identifiées : 4,0 mJ/mm² pour le projectile D20-Acier-Plat, et 25,0 mJ/mm² pour le projectile D20-Acier-Conique. Or, ce coefficient traduit une énergie de rupture du matériau et il ne devrait donc pas dépendre du
projectile. Nous avons donc décidé de déterminer une valeur commune, notée $G_{f1}$, qui minimiserait les écarts entre expérience et simulation. Ainsi, une valeur commune de 24,0 mJ/mm² induit des écarts jugés acceptables, de -3,06 % sur la vitesse résiduelle du projectile D20-Acier-Plat, et de +2,15 % sur celle du projectile D20-Acier-Conique. Le Tableau IV-3 synthétise ces résultats.

Le matériau est ainsi considéré comme étant calibré. Une courbe contrainte-déformation (normalisée) en traction simple avec différentes températures et vitesses de déformation est représentée en Figure IV-12 (la courbe complète se trouve en Annexe M p218, accessible uniquement dans la version confidentielle du document). Sur cette courbe, la valeur de $G_{f1}$ est directement liée à l'aire sous la dernière partie de la courbe, lors de sa forte décroissance.

<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>Figure IV-11 : Résultats de l'identification du paramètre $G_f$ (« G_f ») pour une cible AA6. « V_res » : vitesse résiduelle. a. Projectile D20-Acier-Plat. b. Projectile D20-Acier-Conique.</figcaption></figure>
<table><caption>Tableau IV-3 : Résultats de l'identification de $G_f$ pour une cible AA6 impactée par des projectiles D20-Acier-Plat/Conique</caption><thead><tr><th></th><th>D20-Acier-Plat</th><th>D20-Acier-Conique</th></tr></thead><tbody><tr><td>v<sub>i</sub> (m/s)</td><td>224</td><td>230</td></tr><tr><td>v<sub>res</sub> expérimentale (m/s)</td><td>180</td><td>93</td></tr><tr><td>G<sub>f0</sub> (mJ/mm<sup>2</sup>)</td><td>4,0</td><td>25,0</td></tr><tr><td>G<sub>f1</sub> (mJ/mm<sup>2</sup>)</td><td colspan="2">24,0</td></tr><tr><td>v<sub>res</sub> numérique (m/s)</td><td>174,5</td><td>95,0</td></tr><tr><td>Écart exp-num</td><td>-3,06 %</td><td>+2,15 %</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_113.png" /><figcaption>Figure IV-12 : Courbes contrainte-déformation adimensionnalisées issues de simulations numériques de traction simple d'un élément fini en alliage d'aluminium calibré</figcaption></figure>

### IV.3.1.2. Vérification : AA6

Le modèle étant calibré, sa capacité à reproduire les essais est maintenant évaluée selon un critère qualitatif qui porte en particulier sur les modes de défaillance d'une protection monocouche AA6 impactée par les deux types de projectile D20-Acier-Plat/Conique.

Tout d'abord, les valeurs finales des énergies artificielles sont regroupées dans le Tableau IV-4. Seule l'énergie ALLAE, qui évite les modes de hourglass, a des valeurs élevées, probablement dues aux éléments fortement déformés en zone d'impact : 3,8 % pour le projectile à bout plat et 7,7 % pour le projectile à bout conique. L'énergie totale est stable sur toute la durée du calcul.
La Figure IV-14 montre que le modèle numérique parvient à reproduire les modes de défaillance de manière satisfaisante : le projectile D20-Acier-Plat provoque un poinçonnage de la plaque avec l'éjection d'une pastille (non représentée ici), et le projectile D20-Acier-Conique déchire la matière sous forme de pétales. Bien que ces dernières ne soient pas parfaitement dessinées à la fin du calcul, elles sont bien visibles au cours de la pénétration du projectile (voir Figure IV-13).

Suite à ces observations, le modèle numérique est considéré comme vérifié.

<table><caption>Tableau IV-4 : Comparaison des énergies « artificielles » pour la simulation d'impact d'une protection monocouche AA6 par un projectile D20-Acier-Plat à 224 m/s et un projectile D20-Acier-Conique à 230 m/s</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">D20-Acier-Plat (224 m/s)</th><th colspan="2">D20-Acier-Conique (230 m/s)</th></tr><tr><th>Valeur finale (J)</th><th>Proportion ETOTAL</th><th>Valeur finale (J)</th><th>Proportion ETOTAL</th></tr></thead><tbody><tr><th>ALLAE</th><td>56,9</td><td>3,8 %</td><td>121,3</td><td>7,7 %</td></tr><tr><th>ALLDC</th><td>0,1</td><td>0,0 %</td><td>0,7</td><td>0,1 %</td></tr><tr><th>ALLPW</th><td>-0,9</td><td>0,1 %</td><td>-2,7</td><td>0,17 %</td></tr><tr><th>ALLVD</th><td>9,7</td><td>0,7 %</td><td>6,3</td><td>0,4 %</td></tr><tr><th>ETOTAL</th><td>1500,2</td><td>-</td><td>1575,3</td><td>-</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_114.png" /><figcaption>Figure IV-13 : Formation des pétales en face arrière d'une protection monocouche AA6 au cours de la pénétration d'un projectile D20-Acier-Conique à 230 m/s (projectile masqué). Visualisation de l'indicateur d'endommagement de Johnson-Cook « JCCRT ».</figcaption></figure>
<figure><img src="image_115.png" /><figcaption>Figure IV-14 : Comparaison entre les modes de défaillance en face arrière expérimentaux (en haut) et numériques (en bas) d'une protection monocouche AA6 impactée par un projectile D20-Acier-Plat à 224 m/s (à gauche) ou D20-Acier-Conique à 230 m/s (à droite). Visualisation de l'indicateur d'endommagement de Johnson-Cook « JCCRT ».</figcaption></figure>

### IV.3.1.3. Validation : AA12

Pour valider ce modèle, les épaisseurs des plaques impactées passent de 6 mm (AA6) à 12 mm (AA12). La Figure IV-15 inclut les résultats numériques et expérimentaux d'impacts de protections monocouches AA12 par des projectiles D20-Acier-Plat/Conique. Du fait de pentes importantes proches de la VLP il est délicat de faire des comparaisons uniquement sur des valeurs de vitesses résiduelles. Des courbes de Lambert-Jonas (voir équation (II.2)) sont donc tracées afin d'évaluer la VLP de chaque configuration (coefficients dans le Tableau IV-5). Les écarts entre expérience et simulation sont faibles (< 5%), ce qui est encourageant. Cependant, le nombre d'essais est très réduit (2 tir pour chaque géométrie), il serait judicieux d'en mener davantage pour affiner les résultats expérimentaux.

Malgré ces réserves, nous considérons le modèle comme étant validé.
<table><caption>Tableau IV-5 : Recalage de l'équation de Lambert-Jonas (voir équation (II.2)) pour des impacts de projectiles D20-Acier-Plat/Conique sur des protections monocouches AA12. « Exp » : Expérimental ; « Num » : Numérique</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">D20-Acier-Plat</th><th colspan="2">D20-Acier-Conique</th></tr><tr><th>Exp</th><th>Num</th><th>Exp</th><th>Num</th></tr></thead><tbody><tr><th>a</th><td>0,710834</td><td>0,743649</td><td>1,02216</td><td>1,49061</td></tr><tr><th>p</th><td>2,41688</td><td>3,24289</td><td>2,10261</td><td>1,44526</td></tr><tr><th>VLP (m/s)</th><td>210</td><td>200</td><td>312</td><td>325</td></tr><tr><th>Écart Exp-Num</th><td colspan="2">4,76 %</td><td colspan="2">4,17 %</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_116.png" /><figcaption>Figure IV-15 : Résultats numériques et expérimentaux d'impacts de projectiles D20-Acier-Plat/Conique sur des protections monocouche AA12. Les courbes en pointillé sont les courbes de Lambert-Jonas (voir équation (II.2)). « Exp » : Expérimental ; « Num » : Numérique</figcaption></figure>

### IV.3.1.4. Bilan partiel

Le matériau correspondant à l'alliage d'aluminium a été calibré et une valeur $G_f = 24 \text{ mJ/mm}^2$ a été déterminée. Le modèle numérique a été calibré et vérifié par la simulation de l'impact d'une plaque AA6 par des projectiles D20-Acier-Plat à 224 m/s et D20-Acier-Conique à 230 m/s. Le modèle a été validé par l'impact d'une plaque AA12 par des projectiles D20-Acier-Plat/Conique à différentes vitesses. Malgré des valeurs d'énergie artificielle ALLAE élevées, les modes de ruine sont globalement bien reproduits et les VLP numériques sont proches des VLP expérimentales. Ce modèle est donc considéré comme étant calibré, vérifié et validé.
IV.3.2. Acier à blindage MARS® 380

Dans cette partie nous étudions une protection monolithique en MARS® 380. La calibration et la vérification sont faites d'après un impact d'un projectile D6.35-WC-Conique à 714 m/s sur une protection monolithique de MARS® 380 d'épaisseur 8,8 mm (MS8.8). La validation du modèle numérique se base sur des impacts à plus basse vitesse, jusqu'à la VLP.

IV.3.2.1. Calibration : MS8.8

Une protection monocouche MS8.8 est impactée par un projectile D6.35-WC-Conique. La calibration est réalisée en considérant la vitesse incidente expérimentale la plus élevée pour se rapprocher de l'application réelle : $v_i = 714$ m/s et $v_{res} = 373$ m/s. Pour rappel, le projectile avait été retrouvé intact après cet essai en particulier, il est donc modélisé avec un comportement élastique. Le modèle numérique se compose de 593 740 éléments, 628 403 nœuds et le calcul dure environ 50 min sur 36 cœurs de CALMIP.

Des premières simulations montrent que le critère d'amorçage de l'endommagement de Johnson-Cook n'est pas atteint, et que l'endommagement est amorcé par le critère ductile utilisé comme seuil (voir Figure IV-16). Cela montre que les coefficients matériau choisis ne sont pas adaptés à notre application. Nous retenons donc le paramètre d'amorçage d'endommagement ductile $\bar{\varepsilon}_{max}^{pl}$ comme variable de calibration du matériau.

<figure><img src="image_117.png" /><figcaption>Figure IV-16 : Critères d'amorçage d'endommagement de Johnson-Cook (JCCRT, haut) et ductile (DUCTCRT, bas) lors de l'impact d'un projectile D6.35-WC-Conique à 714 m/s sur une protection MS8.8. On voit que c'est le second critère qui amorce l'endommagement.</figcaption></figure>
En résumé, la boucle d'identification ISIGHT suivante est construite :

- Objectif : $v_{res} = 373$ m/s

- Variable : $\bar{\varepsilon}_{max}^{pl}$

La Figure IV-17 présente les itérations de l'identification de la déformation maximale $\bar{\varepsilon}_{max}^{pl}$ (« eps_max »), et les résultats finaux sont indiqués dans le Tableau IV-6.

<figure><img src="image_118.png" /><figcaption>Figure IV-17 : Identification de la valeur de la déformation maximale $\bar{\varepsilon}_{max}^{pl}$ (« eps_max ») pour l'acier à blindage MARS® 380 dans le cadre d'une protection MS8.8 impactée par un projectile D6.35-WC-Conique à 714 m/s et pour une vitesse résiduelle (« V_res ») cible de 373 m/s</figcaption></figure>

<table><caption>Tableau IV-6 : Résultats de la calibration de l'acier à blindage MARS® 380, réalisée d'après l'impact d'un projectile D6.35-WC-Conique à 714 m/s sur une protection monocouche MS8.8</caption><tr><td>$v_i$ (m/s)</td><td>714</td></tr><tr><td>$v_{res}$ expérimentale (m/s)</td><td>373</td></tr><tr><td>$\bar{\varepsilon}_{max}^{pl}$ numérique</td><td>0,75</td></tr><tr><td>$v_{res}$ numérique (m/s)</td><td>374</td></tr><tr><td>Écart expérimental-numérique</td><td>0,3 %</td></tr></table>

Dans les simulations numériques suivantes, on aura donc $\bar{\varepsilon}_{max}^{pl} = 0,75$. Une courbe contrainte-déformation (normalisée) en traction simple avec différentes températures et vitesses de déformation est représentée en Figure IV-18 (la courbe complète se trouve en Annexe M p218, accessible uniquement dans la version confidentielle du document). Bien que ces courbes semblent cohérentes avec celles obtenues par [Børvik et al., 2009] sur des aciers à
haute résistance, les déformations à rupture de l'ordre de l'unité sont toutefois bien supérieures à celles relevées par [Juanicotena, 1998] sur le MARS® 380.

<figure><img src="image_119.png" /><figcaption>Figure IV-18 : Courbes contrainte-déformation adimensionnalisées issues de simulations numériques de traction simple d'un élément fini constitué du matériau MARS® 380 calibré</figcaption></figure>

IV.3.2.2. Vérification : MS8.8

Nous vérifions que le modèle, une fois calibré, est capable de reproduire fidèlement les résultats expérimentaux.

Un relevé des énergies artificielles à la fin du calcul montre des valeurs anormalement élevées pour ALLAE, dédiée au contrôle des modes de hourglass, et ALLVD, dédiée à l'amortissement visqueux, respectivement 6,85% et 11,8% de l'énergie totale (voir Tableau IV-7). Ces valeurs indiquent potentiellement un problème dans le modèle numérique, probablement lié aux éléments fortement déformés en zone d'impact et aux éléments rompus, et donc des résultats peu fiables au sens des énergies numériques artificielles.

La Figure IV-19 montre des modes de défaillance proches de ceux observés expérimentalement (voir Figure III-27 p84) : pénétration ductile avec rejet de matière en face avant, et légère ouverture en pétales en face arrière.

La vérification de ce modèle est discutable parce que :

- les énergies artificielles sont élevées

- l'endommagement est amorcé pour des valeurs de déformation très élevées
<table><caption>Tableau IV-7 : Comparaison des énergies « artificielles » pour la calibration de l'acier à blindage MARS® 380. Impact d'une protection MS8.8 par un projectile D6.35-WC-Conique à 714 m/s</caption><thead><tr><th></th><th>Valeur finale (J)</th><th>Proportion ETOTAL</th></tr></thead><tbody><tr><td>ALLAE</td><td>97,9</td><td>6,85 %</td></tr><tr><td>ALLDC</td><td>3,74</td><td>0,26 %</td></tr><tr><td>ALLPW</td><td>23,9</td><td>1,67 %</td></tr><tr><td>ALLVD</td><td>168,0</td><td>11,8 %</td></tr><tr><td>ETOTAL</td><td>1429</td><td>-</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_120.png" /><figcaption>Figure IV-19 : Simulation d'une plaque MS8.8 impactée par un projectile D6.35-WC-Conique à 714 m/s. Gauche : Face avant. Droite : Face arrière. Critère d'amorçage d'endommagement ductile (DUCTCRT)</figcaption></figure>

#### IV.3.2.3. Validation : MS8.8

Faute de nouvelle configuration nous tentons de valider le modèle en le confrontant à des vitesses incidentes plus faibles, jusqu'à la VLP de la protection MS8.8.

Les vitesses incidentes et résiduelles numériques et expérimentales sont comparées en Figure IV-20. Les résultats numériques sont très proches des résultats expérimentaux pour lesquels le projectile reste intact (« Expérimental (intact) »). Pour rappel, nous considérons que le projectile a un comportement élastique, il est donc normal d'observer des écarts importants entre les résultats numériques (« Numérique (intact) ») et les résultats expérimentaux pour lesquels le projectile se brise lors de l'impact (« Expérimental (brisé) »). À cause de cette différence entre les états du projectile, la VLP déterminée numériquement est 9,2 % plus faible que celle déterminée expérimentalement (550 vs. 606 m/s).

En l'état, il est difficile de valider ce modèle.
<figure><img src="image_121.png" /><figcaption>Figure IV-20 : Comparaison expérience-simulation pour l'impact d'une protection monocouche MS8.8 par un projectile D6.35-WC-Conique à différentes vitesses incidentes. L'état du projectile après impact est indiqué entre parenthèse (intact ou brisé)</figcaption></figure>

#### IV.3.2.4. Bilan partiel

Le modèle numérique construit ici se concentre sur le cas où le projectile reste intact après l'impact. Le matériau MARS® 380 a été calibré d'après un impact d'un projectile D6.35-WC-Conique à 714 m/s sur une protection MS8.8. Une valeur $\bar{\varepsilon}_{max}^{pl} = 0,75$ a ainsi été déterminée.

Les modes de ruine sont reproduits fidèlement (pénétration ductile avec rejets de matière et légère ouverture en pétales), mais des valeurs élevées d'énergie artificielles indiquent de potentiels problèmes dans les calculs. De plus, l'absence de fragmentation du projectile mène à une VLP numérique inférieure de 9,2 % à la VLP expérimentale. Des essais supplémentaires et un approfondissement de la modélisation du projectile doivent donc être réalisés pour mieux comprendre l'effet de la fragmentation du projectile sur sa vitesse résiduelle, mais ce travail ne peut cependant pas être mené dans cette étude. Nous ne pouvons donc pas vérifier et valider ce modèle, mais comme il se montre conservatif nous continuons à l'utiliser dans la suite afin de présenter la méthodologie dans son ensemble.

#### IV.3.3. Tissu balistique

Les tissus balistiques n'étant pas utilisés seuls en protection de véhicule, nous étudions ici un système de protection tricouche AA6-AdC250-TB12 composé en couche avant d'une plaque en alliage d'aluminium d'épaisseur 6 mm et en couche arrière d'un panneau de 12 plis de
tissu balistique. Ces deux couches sont collées via un film de 250 µm d'adhésif C. Cette
protection tricouche est impactée par un projectile D6.35-WC-Conique à 429 m/s.

Un premier modèle a été construit, incluant des éléments cohésifs entre chaque pli pour
modéliser le délaminage, en conditionnant la suppression des éléments des plis à la rupture
des fibres dans les deux directions, et en prenant en compte de la plasticité la matrice
polymère. Cependant après de nombreuses tentatives pour lesquelles le calcul échoue, nous
avons décidé de simplifier le modèle. Les plis sont empilés sans éléments cohésifs, ils sont
ainsi comme posés les uns contre les autres (seule une condition de contact empêche
l'interpénétration des plis), la plasticité de la matrice est négligée et la rupture intervient
brutalement dès que le critère d'amorçage d'endommagement dans une direction de fibre est
atteint. Lors des essais nous n'avons pas remarqué de déformation ou de rupture du projectile,
son comportement est donc modélisé comme étant purement élastique. Le modèle numérique
complet se compose ainsi de 799 604 éléments, 1 238 152 nœuds et le calcul dure 2h30min
sur 36 cœurs de CALMIP.

À la fin du calcul, les énergies artificielles de contrôle de hourglass (ALLAE) et
d'amortissement visqueux (ALLVD) ont des valeurs relativement élevées (voir Tableau
IV-8). L'énergie totale est constante au cours du calcul.

On observe de plus des différences importantes par rapport aux essais (voir Figure IV-21 à
comparer avec Figure III-40 p93). Premièrement, les plis se séparent, ce qui est normal ici car
aucun adhésif n'est modélisé. Ensuite, ils sont parcourus par de larges fissures dont le trajet
dépend de l'orientation des fibres (0/90° ou -45/+45°) alors qu'expérimentalement seule la
zone d'impact, très réduite, montre des fibres rompues, le reste du panneau est simplement
déformé. Enfin, la plaque en alliage d'aluminium rompt par pénétration ductile et montre de
légers rejets de matière en face avant et face arrière, mais contrairement aux essais aucun
pétale n'est visible en face arrière.

La vitesse résiduelle du projectile est de 300 m/s, soit 34 % plus élevée que celle mesurée
expérimentalement (223 m/s). De plus, des simulations supplémentaires indiquent que la VLP
se situe entre 280 et 290 m/s, soit environ 17 % inférieure à celle estimée expérimentalement
(345 m/s).

Ces résultats montrent que le modèle doit être retravaillé pour améliorer sa fidélité :

- ajouter des éléments cohésifs pour modéliser le film d'adhésif AdC250 et la matrice polymère entre les plis

- autoriser une évolution de l'endommagement
- conditionner la rupture d'un élément à l'atteinte du critère de rupture dans les deux directions des fibres pour diminuer la propagation des déchirures

- prendre en compte la plasticité de la matrice polymère

Ces améliorations ne peuvent cependant pas être réalisées dans la présente étude, ce modèle ne sera donc pas exploité par la suite.

<table><caption>Tableau IV-8 : Comparaison des énergies « artificielles » pour la simulation d'impact d'une protection tricouche AA6-AdC250-TB12 par un projectile D6.35-WC-Conique à 429 m/s</caption><thead><tr><td></td><td>Valeur finale (J)</td><td>Proportion ETOTAL</td></tr></thead><tbody><tr><td>ALLAE</td><td>24,0</td><td>4,65 %</td></tr><tr><td>ALLDC</td><td>0,72</td><td>0,14 %</td></tr><tr><td>ALLPW</td><td>4,36</td><td>0,84 %</td></tr><tr><td>ALLVD</td><td>35,7</td><td>6,92 %</td></tr><tr><td>ETOTAL</td><td>517</td><td>-</td></tr></tbody></table>

### IV.3.4. Alumine d'épaisseur 5 mm

Un impact sur une tuile d'alumine seule n'étant pas pertinent, un système de protection tricouche AM5-AdB250-AA6 est étudié. La couche avant de l'empilement consiste en un disque d'alumine d'épaisseur 5 mm et de diamètre 80 mm. Cette tuile de céramique est collée via un film d'adhésif B d'épaisseur 250 µm sur une plaque en alliage d'aluminium d'épaisseur 6 mm. Cette protection tricouche est impactée par un projectile D6.35-WC-Conique. Le modèle est composé de 685 558 éléments, 776 786 nœuds et le calcul dure 1h30min sur 36 cœurs de CALMIP.

Le calcul échoue à nouveau lorsque le film d'adhésif (éléments d'interface cohésifs) est présent, nous avons donc décidé, dans une première approche, de ne pas le modéliser. Le Tableau IV-9 montre que les valeurs des énergies artificielles en fin de calcul sont acceptables. L'énergie totale est constante au cours du calcul.

La Figure IV-22 a. montre une vue en coupe d'une simulation de protection tricouche AM5-AdB250-AA6 impactée par un projectile D6.35-WC-Conique à 830 m/s. On remarque en premier lieu que le projectile est détruit et que la céramique se fracture en formant un cône, ce qui est conforme aux observations expérimentales. Il y a cependant de nombreux écarts par rapport aux résultats d'essais (Figure III-47 p98). Tout d'abord, la céramique ne se fragmente pas, sa zone centrale est simplement érodée. Ensuite, la plaque en alliage d'aluminium se
déforme très peu et rompt par pénétration ductile et non par ouverture en pétales. Enfin, le projectile interagit avec les plaques de manière anormale. En effet, bien que certains éléments soient supprimés, ils semblent toujours inclus dans les conditions de contact. C'est clairement visible sur la Figure IV-22 b. : aucun élément du projectile n'est en contact avec ceux de la plaque en alliage d'aluminium, et pourtant elle se déforme et s'endommage.

Des simulations supplémentaires indiquent que la VLP se situe entre 280 et 290 m/s, soit très inférieure à celle estimée expérimentalement (entre 770 et 830 m/s).

<figure><img src="image_122.png" /><figcaption>Figure IV-21 : Simulation d'impact d'une protection tricouche AA6-AdC250-TB12 par un projectile D6.35-WC-Conique à 429 m/s. Le projectile se déplace de gauche à droite. a. Vue en coupe orientée sur la face arrière de la protection. AA6 en blanc, plis TB12 en vert et projectile en rouge. b. Zone d'impact de la plaque en alliage d'aluminium AA6, face avant (gauche) et face arrière (droite). Indicateur d'endommagement de Johnson-Cook.</figcaption></figure>
<table><caption>Tableau IV-9 : Comparaison des énergies « artificielles » pour la simulation d'impact d'une protection tricouche AM5-AdB250-AA6 par un projectile D6.35-WC-Conique à 830 m/s</caption><thead><tr><td></td><td>Valeur finale (J)</td><td>Proportion ETOTAL</td></tr></thead><tbody><tr><td>ALLAE</td><td>51,8</td><td>2,70 %</td></tr><tr><td>ALLDC</td><td>0,89</td><td>0,05 %</td></tr><tr><td>ALLPW</td><td>32,9</td><td>1,71 %</td></tr><tr><td>ALLVD</td><td>79,9</td><td>4,17 %</td></tr><tr><td>ETOTAL</td><td>1917</td><td>-</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_123.png" /><figcaption>Figure IV-22 : Simulation d'impact d'une protection tricouche AM5-AdB250-AA6 par un projectile D6.35-WC-Conique à 830 m/s. La tuile AM5 est en vert, l'AA6 en blanc et le projectile en rouge. Le projectile se déplace de gauche à droite. a. Vue en coupe orientée sur la face arrière. b. Vue en coupe au cours de la perforation</figcaption></figure>

Finalement, ce modèle n'est pas capable de reproduire nos essais. Un travail d'amélioration est nécessaire, notamment concernant les critères d'endommagement de la céramique et du projectile. Ce travail n'est cependant pas mené dans cette étude, et ce modèle n'est donc pas exploité par la suite.

## IV.4. Optimisations de protections monomatériaux face à des projectiles D20-Acier-Plat/Conique

Cette partie porte sur l'optimisation de protections mono et tricouches constituées de plaques en alliage d'aluminium. Ces protections devront, avec une masse surfacique minimale,
bloquer des projectiles D20-Acier-Plat/Conique à 300 m/s. Cette vitesse est arbitraire et n'est
utilisée qu'à des fins comparatives.

IV.4.1. Protection monocouche AA6

La première optimisation concerne une protection monocouche en alliage d'aluminium,
initialement d'épaisseur 6 mm, devant bloquer des projectiles D20-Acier-Plat/Conique à
300 m/s tout en conservant une masse minimale. Le modèle numérique a été calibré, vérifié et
validé précédemment dans la partie IV.3.1 p133. La boucle d'optimisation ISIGHT suivante
est ainsi construite :

- Objectif : Masse surfacique $m_s$ minimale

- Variable : Épaisseur $e$

- Contrainte : $v_{res} \le 0$

La Figure IV-23 reprend chaque itération pour les deux géométries de projectile, uniquement
dans les cas où la contrainte $v_{res} \le 0$ est respectée. On voit que l'algorithme d'optimisation
converge après 20 itérations environ. Le Tableau IV-10 détaille les résultats finaux du
processus d'optimisation. On remarque que face à un projectile D20-Acier-Plat, le système de
protection doit être quasiment deux fois plus épais (et donc plus lourd) que face à un
projectile D20-Acier-Conique : 20,4 mm vs. 10,3 mm. Cela est principalement dû au
phénomène de cisaillement adiabatique (non explicitement reproduit ici, voir par exemple
[Longère et al., 2009]), conduisant au poinçonnage de la plaque.

<figure><img src="image_124.png" /><figcaption>Figure IV-23 : Minimisation de l'épaisseur d'une plaque en alliage d'aluminium impactée par des projectiles D20-Acier-Plat/Conique à 300 m/s. Les itérations où le projectile traverse la protection sont masquées.</figcaption></figure>
<table><caption>Tableau IV-10 : Résultats des boucles d'optimisation pour minimiser les masses surfacique $m_s$ d'une plaque en alliage d'aluminium impactée par des projectiles D20-Acier-Plat/Conique à 300 m/s</caption><thead><tr><th></th><th>$v_i$ (m/s)</th><th>$e$ (mm)</th><th>$m_s$ (kg/m²)</th></tr></thead><tbody><tr><td>D20-Acier-Plat</td><td rowspan="2">300</td><td>20,4</td><td>55,1</td></tr><tr><td>D20-Acier-Conique</td><td>10,3</td><td>27,8</td></tr></tbody></table>

## IV.4.2. Protection tricouche AA6-air10-AA6

Le premier assemblage étudié est un assemblage tricouche composé en faces avant et arrière d'une plaque en alliage d'aluminium, initialement d'épaisseur 6 mm, et en couche intermédiaire d'une lame d'air de 10 mm. Le matériau correspondant à l'alliage d'aluminium a été calibré dans la partie IV.3.1 p133. Le modèle numérique de la protection tricouche AA6-air10-AA6 doit être vérifié et validé avant de rechercher les épaisseurs de plaques optimales afin de bloquer des projectiles D20-Acier-Plat/Conique à 300 m/s tout en conservant une masse minimale. Le modèle d'impact avec le projectile D20-Acier-Plat se compose de 845 646 éléments, 919 856 nœuds et dure 40min sur 36 cœurs de CALMIP. Le modèle d'impact avec le projectile D20-Acier-Conique se compose de 872 092 éléments, 947 612 nœuds et dure 6h10min sur 36 cœurs de CALMIP.

### IV.4.2.1. Vérification

La vérification du modèle est réalisée en se basant sur des résultats d'essais à vitesse modérée pour lesquels les projectiles D20-Acier-Plat/Conique traversent la plaque avant, mais pas la plaque arrière.

Le Tableau IV-11 montre tout d'abord un montant élevé d'énergie artificielle visant à empêcher les modes de hourglass (ALLAE) : 9,8 % de l'énergie totale pour le projectile D20-Acier-Plat, et 11,8 % pour le projectile D20-Acier-Conique, probablement due en partie aux éléments fortement déformés en zone d'impact. Cette situation est tout de même préférable à l'utilisation d'éléments à intégration complète, qui entraîneraient un verrouillage numérique en cisaillement. Les autres énergies artificielles ont des valeurs suffisamment faibles, et l'énergie totale est stable sur toute la durée du calcul.

Concernant les modes de ruine, la Figure IV-24 montre une bonne corrélation entre expérience et simulation dans le cas du projectile D20-Acier-Plat : dans les deux cas la plaque avant rompt par poinçonnage et une pastille d'alliage d'aluminium est éjectée. Cette pastille joue un rôle amortissant entre le projectile en acier et la plaque arrière, qui se déforme plastiquement mais ne rompt pas. Quelques écarts sont à noter sur la Figure IV-25 pour le
projectile D20-Acier-Conique, même si le schéma global est respecté : la plaque avant rompt par ouverture en pétales, dont le développement est perturbé par la plaque arrière. Pour celle-ci, les résultats expérimentaux montrent une face avant indentée, et une face arrière très légèrement fissurée, alors qu’un début d’ouverture est clairement visible sur les résultats numériques.

Ces différences nous semblent acceptables, et permettent de vérifier que le modèle est apte à simuler des impacts sur cet assemblage tricouche.

<figure><img src="image_125.png" /><figcaption>Figure IV-24 : Impact d'un projectile D20-Acier-Plat à 227 m/s sur un assemblage tricouche AA6-air10-AA6. Comparaison expérience (haut) et simulation (bas). Le projectile se déplace de la gauche vers la droite. Visualisation de l'indicateur d'endommagement de Johnson-Cook « JCCRT » (bleu : 0 ; rouge : 1).</figcaption></figure>

<table><caption>Tableau IV-11 : Comparaison des énergies « artificielles » lors de simulations d'impacts de projectiles D20-Acier-Plat/Conique sur des protections tricouches AA6-air10-AA6</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">D20-Acier-Plat (227 m/s)</th><th colspan="2">D20-Acier-Conique (226 m/s)</th></tr><tr><th>Valeur finale (J)</th><th>Proportion ETOTAL</th><th>Valeur finale (J)</th><th>Proportion ETOTAL</th></tr></thead><tbody><tr><th>ALLAE</th><td>150,6</td><td>9,8 %</td><td>179,0</td><td>11,8 %</td></tr><tr><th>ALLDC</th><td>0,1</td><td>&lt; 0,1 %</td><td>0,4</td><td>&lt; 0,1 %</td></tr><tr><th>ALLPW</th><td>-0,6</td><td>&lt; 0,1 %</td><td>-1,5</td><td>0,1 %</td></tr><tr><th>ALLVD</th><td>13,6</td><td>0,9 %</td><td>23,9</td><td>1,6 %</td></tr><tr><th>ETOTAL</th><td>1540,7</td><td>-</td><td>1521,0</td><td>-</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_126.png" /><figcaption>Figure IV-25 : Impact d'un projectile D20-Acier-Conique à 226 m/s sur un assemblage tricouche AA6-air10-AA6. Comparaison expérience (haut) et simulation (bas). Le projectile se déplace de la gauche vers la droite. Visualisation de l'indicateur d'endommagement de Johnson-Cook « JCCRT » (bleu : 0 ; rouge : 1).</figcaption></figure>

### IV.4.2.2. Validation

Pour la validation du modèle, on se place cette fois dans le cadre d'impacts à haute vitesse pour avoir accès à des mesures de vitesse résiduelle. Les résultats numériques et expérimentaux sont comparés en Figure IV-26.

On remarque une bonne corrélation entre expérience et simulation, en particulier avec le projectile D20-Acier-Conique. Le modèle d'impact avec un projectile D20-Acier-Plat montre des écarts plus importants, principalement liés à la gestion de l'endommagement de la pastille éjectée lors du poinçonnage de la première plaque. En effet, à partir d'une certaine vitesse, une partie des éléments de la pastille est supprimée lorsqu'elle se voit comprimée entre le projectile et la plaque arrière (exemple en Figure IV-27). Le poinçonnage de la plaque arrière intervient alors plus facilement. Le changement de tendance de la courbe « D20-Acier-Plat Num » pour une vitesse incidente entre 280 et 300 m/s témoigne de ce phénomène.

Le modèle est donc validé dans le cas du projectile D20-Acier-Conique, mais pas pour le projectile D20-Acier-Plat. Ce dernier continue à être utilisé dans la suite, mais ses résultats devront être analysés avec prudence.
<figure><img src="image_127.png" /><figcaption>Figure IV-26 : Comparaison entre résultats numériques et expérimentaux dans le cas d’un impact d’un assemblage tricouche AA6-air10-AA6 par des projectiles D20-Acier-Plat/Conique.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_128.png" /><figcaption>Figure IV-27 : Endommagement excessif de la pastille formée par le poinçonnage de la plaque avant d'une protection tricouche AA6-air10-AA6 impactée par un projectile D20-Acier-Plat à 300 m/s. La plaque arrière est masquée. Visualisation de l'indicateur d'endommagement de Johnson-Cook « JCCRT » (bleu : 0 ; rouge : 1).</figcaption></figure>

IV.4.2.3. Optimisation

Le modèle numérique est maintenant intégré à un processus d'optimisation afin de minimiser
la masse surfacique m_s de la protection tricouche. Pour cela, la vitesse incidente des
projectiles est fixée à 300 m/s et les épaisseurs e_av de la plaque avant et e_ar de la plaque
arrière peuvent être modifiées individuellement par l'algorithme d'optimisation. Elles doivent
cependant rester supérieures à 2 mm pour assurer la présence de plusieurs éléments dans
l'épaisseur. Les modèles Abaqus contiennent environ 800 000 éléments et 900 000 nœuds
mais ces nombres varient en fonction des épaisseurs testées. Une itération dure environ 65
minutes pour un projectile D20-Acier-Plat et 45 minutes pour un projectile D20-Acier-Conique sur 24 cœurs de PANDO. En résumé, la boucle d'optimisation suivante est donc construite :

- Objectif : Minimisation de la masse

- Variables : Épaisseurs des plaques $e_{av}$ et $e_{ar}$

- Contrainte : $v_{res} \le 0$, et $e_{av} \ge 2$ mm et $e_{ar} \ge 2$ mm

Les itérations de l'algorithme sont présentées en Figure IV-28 pour le projectile D20-Acier-Plat, et Figure IV-29 pour le projectile D20-Acier-Conique (seulement lorsque le projectile est bloqué par le système de protection). La convergence de l'algorithme nécessite 50 à 70 itérations, soit environ 53 heures. Le Tableau IV-12 récapitule les résultats finaux.

Concernant le projectile D20-Acier-Plat, le processus d'optimisation converge vers une solution de protection qui possède une plaque avant plus fine (6,1 mm) et une plaque arrière plus épaisse (7,5 mm). Cette tendance confirme ce qui a été supposé précédemment : le rôle principal de la plaque avant serait de fournir une pastille qui servirait d'amortisseur entre le projectile et la plaque arrière qui dissiperait la majeure partie de l'énergie par déformation plastique. Ces résultats sont à relativiser : un phénomène d'endommagement excessif de la pastille, identique à celui présenté précédemment (voir Figure IV-27), est encore présent. Cela signifie donc que notre modèle numérique final n'est pas optimal, mais il est conservatif.

Concernant le projectile D20-Acier-Conique, le processus d'optimisation n'est en fait pas terminé car il est bloqué par la limite inférieure de l'épaisseur : $e_{ar} \ge 2$ mm. Cette structure tricouche ne semble donc apporter aucun avantage particulier par rapport à une structure monocouche face à un projectile D20-Acier-Conique.

<table><caption>Tableau IV-12 : Résultats des optimisations des assemblages tricouches (initialement AA6-air10-AA6) impactés par des projectiles D20-Acier-Plat/Conique à 300 m/s</caption><thead><tr><th></th><th>$v_i$ (m/s)</th><th>$e_{av}$ (mm)</th><th>$e_{ar}$ (mm)</th><th>$m_s$ (kg/m²)</th></tr></thead><tbody><tr><td>D20-Acier-Plat</td><td rowspan="2">300</td><td>6,1</td><td>7,5</td><td>36,9</td></tr><tr><td>D20-Acier-Conique</td><td>9,3</td><td>2,0</td><td>30,6</td></tr></tbody></table>

## IV.5. Changement de projectile

Dans cette partie nous allons étudier l'effet d'un changement de projectile sur les capacités des modèles numériques à reproduire les résultats d'essais.
<figure><img src="image_129.png" /><figcaption>Figure IV-28 : Itérations de l'algorithme d'optimisation pour une protection tricouche AA6-air10-AA6 impactée par un projectile D20-Acier-Plat à 300 m/s. Les itérations pour lesquelles le projectile traverse le système de protection sont masquées.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_130.png" /><figcaption>Figure IV-29 : Itérations de l'algorithme d'optimisation pour une protection tricouche AA6-air10-AA6 impactée par un projectile D20-Acier-Conique à 300 m/s. Les itérations pour lesquelles le projectile traverse le système de protection sont masquées.</figcaption></figure>

IV.5.1. De D20-Acier-Plat/Conique à D6.35-WC-Plat/Conique

Les effets de la transition de projectiles D20-Acier-Plat/Conique à des projectiles D6.35-WC-Plat/Conique en passant par des projectiles D6.35-Acier-Plat/Conique sont étudiés sur des protections tricouches AA6-air10-AA6. Le modèle numérique d'impact de ces protections par des projectiles D20-Acier-Plat/Conique a été calibré, vérifié et validé dans les parties IV.3.1 p133 et IV.4.2 p149. Les modèles d'impact avec les projectiles D6.35-Acier-Plat et D6.35-WC-Plat se composent de 769 888 éléments, 839 977 nœuds et durent 30min sur 36 cœurs de CALMIP. Les modèles d'impact avec les projectiles D6.35-Acier-Conique et D6.35-WC-
Conique se composent de 774 296 éléments, 844 448 nœuds et durent 2h15 sur 36 cœurs de CALMIP.

IV.5.1.1. D6.35-Acier-Plat/Conique

Le Tableau IV-13 montre des valeurs élevées d'énergies artificielles ALLAE et ALLVD pour les deux projectiles D6.35-Acier-Plat/Conique, mettant en évidence des potentiels problèmes de modélisation, probablement dus aux éléments fortement déformés en zone d'impact et aux éléments rompus.

De plus, la Figure IV-30 montre un endommagement trop important de la première pastille par le projectile D6.35-Acier-Plat, facilitant la rupture par poinçonnage de la seconde plaque. Le projectile D6.35-Acier-Conique, quant à lui, provoque un mode de ruine par pénétration ductile et aucun pétale n'est visible en face arrière de la plaque arrière (voir Figure IV-31), contrairement aux observations expérimentales (voir Figure III-35 p89).

<table><caption>Tableau IV-13 : Comparaison des énergies « artificielles » lors de simulations d'impacts de projectiles D6.35-Acier-Plat/Conique sur des protections tricouches AA6-air10-AA6</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">D6.35-Acier-Plat (536 m/s)</th><th colspan="2">D6.35-Acier-Conique (582 m/s)</th></tr><tr><th>Valeur finale (J)</th><th>Proportion ETOTAL</th><th>Valeur finale (J)</th><th>Proportion ETOTAL</th></tr></thead><tbody><tr><th>ALLAE</th><td>44,3</td><td>10,4 %</td><td>63,5</td><td>12,8 %</td></tr><tr><th>ALLDC</th><td>0,432</td><td>0,10 %</td><td>2,05</td><td>0,41 %</td></tr><tr><th>ALLPW</th><td>-5,41</td><td>-1,27 %</td><td>15,3</td><td>3,10 %</td></tr><tr><th>ALLVD</th><td>39,3</td><td>9,20 %</td><td>57,1</td><td>11,5 %</td></tr><tr><th>ETOTAL</th><td>427</td><td>-</td><td>495</td><td>-</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_131.png" /><figcaption>Figure IV-30 : Simulation d'impact d'un projectile D6.35-Acier-Plat à 536 m/s sur une protection AA6-air10-AA6. La pastille venant de la plaque avant a rompu, menant à une rupture prématurée de la plaque arrière. Visualisation de l'indicateur d'endommagement de Johnson-Cook « JCCRT »</figcaption></figure>
<figure><img src="image_132.png" /><figcaption>Figure IV-31 : Simulation d'impact d'un projectile D6.35-Acier-Conique à 582 m/s sur une protection AA6-air10-AA6. Visualisation de l'indicateur d'endommagement de Johnson-Cook « JCCRT »</figcaption></figure>

La Figure IV-32 compare les vitesses incidentes et résiduelles expérimentales et numériques. On voit que concernant le projectile D6.35-Acier-Plat les résultats numériques sont très éloignés des résultats expérimentaux, certainement dû à l'endommagement prématuré de la pastille dans le modèle numérique. Les essais montrent en effet qu'un projectile à 536 m/s est bloqué, alors que numériquement le projectile traverse la protection et conserve une vitesse résiduelle de 166 m/s. Les résultats numériques obtenus avec le projectile D6.35-Acier-Conique sont plus proches des résultats expérimentaux, mais ces derniers mériteraient d'être confirmés par des essais supplémentaires.

<figure><img src="image_133.png" /><figcaption>Figure IV-32 : Comparaison des vitesses expérimentales et numériques pour des projectiles D6.35-Acier-Plat/Conique impactant une protection tricouche AA6-air10-AA6</figcaption></figure>

### IV.5.1.2. D6.35-WC-Plat/Conique

Le Tableau IV-14 montre des valeurs d'énergies artificielles raisonnables pour le projectile D6.35-WC-Plat, mais des valeurs ALLAE et ALLVD élevées pour le projectile D6.35-WC-
Conique, encore une fois probablement dues aux éléments fortement déformés en zone d'impact et aux éléments rompus.

Concernant les modes de ruine, le projectile D6.35-WC-Plat provoque bien un mode de ruine par poinçonnage, mais la pastille issue de la plaque avant est détruite, ce qui facilite le poinçonnage de la plaque arrière (voir Figure IV-33). Le projectile D6.35-WC-Conique provoque un mode de ruine par pénétration ductile (voir Figure IV-34), et aucun pétale n'est visible en face arrière contrairement aux observations expérimentales (voir Figure III-35 p89).

<table><caption>Tableau IV-14 : Comparaison des énergies « artificielles » lors de simulations d'impacts de projectiles D6.35-WC-Plat/Conique sur des protections tricouches AA6-air10-AA6</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">D6.35-WC-Plat (737 m/s)</th><th colspan="2">D6.35-WC-Conique (455 m/s)</th></tr><tr><th>Valeur finale (J)</th><th>Proportion ETOTAL</th><th>Valeur finale (J)</th><th>Proportion ETOTAL</th></tr></thead><tbody><tr><th>ALLAE</th><td>46,1</td><td>3,00 %</td><td>60,8</td><td>10,6 %</td></tr><tr><th>ALLDC</th><td>1,01</td><td>0,07 %</td><td>0,970</td><td>0,17 %</td></tr><tr><th>ALLPW</th><td>-12,5</td><td>-0,81 %</td><td>7,81</td><td>1,36 %</td></tr><tr><th>ALLVD</th><td>88,5</td><td>5,76 %</td><td>47,6</td><td>8,27 %</td></tr><tr><th>ETOTAL</th><td>1536</td><td>-</td><td>576</td><td>-</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_134.png" /><figcaption>Figure IV-33 : Simulation d'impact d'un projectile D6.35-WC-Plat à 737 m/s sur une protection AA6-air10-AA6. La pastille venant de la plaque avant a rompu, menant à une rupture prématurée de la plaque arrière. Visualisation de l'indicateur d'endommagement de Johnson-Cook « JCCRT »</figcaption></figure>

<figure><img src="image_135.png" /><figcaption>Figure IV-34 : Simulation d'impact d'un projectile D6.35-WC-Conique à 455 m/s sur une protection AA6-air10-AA6. Visualisation de l'indicateur d'endommagement de Johnson-Cook « JCCRT »</figcaption></figure>
Les vitesses incidentes et résiduelles expérimentales et numériques sont comparées en Figure IV-35. On remarque des écarts très important dans le cas du projectile D6.35-WC-Plat, certainement dû aux difficultés de modélisation du poinçonnage, et un bon accord expérience-simulation concernant le projectile D6.35-WC-Conique.

<figure><img src="image_136.png" /><figcaption>Figure IV-35 : Comparaison des vitesses expérimentales et numériques pour des projectiles D6.35-WC-Plat/Conique impactant une protection tricouche AA6-air10-AA6</figcaption></figure>

### IV.5.1.3. Bilan partiel

Les écarts entre expérience et simulation sont plus importants en passant de projectiles de diamètre 20 mm à des projectiles de diamètre 6,35 mm. De plus, des valeurs élevées d'énergies artificielles ALLAE et ALLVD montrent que le modèle devrait être retravaillé pour avoir confiance en ses résultats. Les modes de ruine et vitesses résiduelles sont pourtant satisfaisants concernant les projectiles D6.35-Acier-Conique et D6.35-WC-Conique, les modèles précédemment calibrés et validés pourront donc être utilisés avec ces projectiles. Cependant le modèle ne reproduit pas correctement les modes de ruine générés par les projectiles D6.35-Acier-Plat et D6.35-WC-Plat, ces projectiles ne sont donc pas utilisés par la suite.

### IV.5.2. De 6.35-WC-Plat/Conique à 7,62AP8

Un système de protection tricouche MS8.8-AA8, constitué d'une plaque avant en acier à blindage MARS® 380 d'épaisseur 8,8 mm et d'une plaque arrière en alliage d'aluminium d'épaisseur 8 mm est étudié. Ces matériaux ont été précédemment calibrés, l'assemblage sera
donc vérifié et validé pour un impact avec un projectile D6.35-WC-Conique. Nous verrons ensuite s'il est possible de modifier les résultats numériques pour se rapprocher d'un impact d'une balle 7,62AP8.

### IV.5.2.1. Vérification et validation

La vérification du modèle numérique de la protection tricouche MS8.8-AA8 est réalisée en comparant les résultats expérimentaux et numériques d'un impact à 798 m/s. Tout d'abord, le Tableau IV-15, montre des énergies artificielles de contrôle de hourglass (ALLAE) et d'amortissement visqueux (ALLVD) très élevées, probablement dues aux éléments fortement déformés en zone d'impact, aux éléments rompus et aux vibrations des éléments à haut module d'élasticité (projectile en carbure de tungstène et plaque en acier). Ensuite, on obtient numériquement une vitesse résiduelle de 289 m/s contre 282 m/s expérimentalement, soit une différence de 2,5%. Enfin, les modes de défaillance en Figure IV-36 sont globalement en accord avec les observations expérimentales (voir Figure III-37 p91) : la plaque avant MS8.8 rompt par pénétration ductile, et la matière est repoussée en face avant et arrière. La plaque arrière AA8 rompt également par pénétration ductile, sa face avant est déformée par la plaque avant, et la matière est repoussée en face arrière. Les déformations et repoussements de matière sont cependant moins marqués dans le cas expérimental, et aucun pétale n'est visible en face arrière de la plaque arrière.

<table><caption>Tableau IV-15 : Comparaison des énergies « artificielles » pour une simulation d'impact d'un projectile D6.35-WC-Conique sur une protection tricouche MS8.8-AA8 à 798 m/s</caption><thead><tr><td></td><td>Valeur finale (J)</td><td>Proportion ETOTAL</td></tr></thead><tbody><tr><td>ALLAE</td><td>142</td><td>7,94 %</td></tr><tr><td>ALLDC</td><td>6,10</td><td>0,34 %</td></tr><tr><td>ALLPW</td><td>50,3</td><td>2,82 %</td></tr><tr><td>ALLVD</td><td>273</td><td>15,29 %</td></tr><tr><td>ETOTAL</td><td>1784</td><td>-</td></tr></tbody></table>

La validation du modèle est basée sur des essais à vitesses inférieures, jusqu'à la VLP de la protection tricouche. Les simulations numériques permettent de tracer une courbe de Lambert-Jonas (voir équation (II.2)), dont les coefficients se trouvent dans le Tableau IV-16, et de déterminer une VLP de 709 m/s, ce qui représente un écart de 1,3 % à la VLP
expérimentale de 718 m/s. La Figure IV-37 montre en effet une bonne proximité entre les résultats expérimentaux et numériques.

Avant de pouvoir être vérifié et validé, ce modèle doit être retravaillé afin de diminuer les énergies ALLAE et ALLVD. Il est tout de même utilisé dans la suite afin de présenter la méthodologie dans son ensemble.

<figure><img src="image_137.png" /><figcaption>Figure IV-36 : Simulation d'impact d'un projectile D6.35-WC-Conique à 798 m/s sur une protection MS8.8-AA8. Visualisation de l'indicateur d'endommagement de Johnson-Cook « JCCRT »</figcaption></figure>

<table><caption>Tableau IV-16 : Recalage de l'équation de Lambert-Jonas (voir équation (II.2)) pour des simulations d'impacts de projectiles D6.35-WC-Conique sur des protections tricouches MS8.8-AA8</caption><tr><td>a</td><td>0,8107</td></tr><tr><td>p</td><td>1,9465</td></tr><tr><td>VLP (m/s)</td><td>709</td></tr></table>
<figure><img src="image_138.png" /><figcaption>Figure IV-37 : Comparaison des vitesses expérimentales et numériques pour un projectile D6.35-WC-Conique impactant une protection tricouche MS8.8-AA8</figcaption></figure>

### IV.5.2.2. Correction pour la balle 7,62AP8

Les résultats obtenus précédemment sont modifiés pour prendre en compte le passage d'un projectile D6.35-WC-Conique, représentant un cœur seul, à une balle 7,62AP8 complète, constituée d'un cœur, une chemise et un bouchon arrière (voir Figure III-2 p58). Pour rappel, [Nsiampa et al., 2007] ont déterminé qu'une balle complète de 7,62x51 mm P80 qui impacte à 860 m/s une plaque en alliage d'aluminium 5083 d'épaisseur 25 mm conserve une vitesse résiduelle de 650 m/s, alors que dans les mêmes conditions le cœur seul conserve une vitesse résiduelle de 540 m/s (voir Tableau II-4 p15). On définit alors un facteur de correction $\chi$ tel que :

$$ \chi = \frac{v_{res}^{cœur seul}}{v_{res}^{balle complète}} \qquad (IV.7) $$

Dans le cas de [Nsiampa et al., 2007], on trouve $\chi = 0,831$. Faute de données supplémentaires, nous faisons l'hypothèse que la valeur de $\chi$ est identique dans notre cas. Cette hypothèse est très forte car les matériaux de la cible, bien que métalliques, sont différents (AA5083 vs. MARS® 380 et un alliage d'aluminium différent) et le projectile est également différent (7,62x51 mm P80 vs. 7,62x51 mm AP8).

Notre modèle numérique d'impact d'un cœur seul (D6.35-WC-Conique) sur une protection tricouche MS8.8-AA8 indique que pour une vitesse incidente $v_i = 860$ m/s le projectile conserve une vitesse résiduelle $v_{res}^{cœur seul} = 384$ m/s. Grâce à la formule (IV.7) et au facteur de correction $\chi = 0,831$ on peut estimer qu'une balle complète 7,62AP8 conserverait une vitesse
résiduelle $v_{res}^{balle complète} = 462 \text{ m/s}$. Dans ce cas, la loi de Lambert-Jonas (voir équation (II.2)), en conservant les valeurs des constantes déterminées précédemment (voir Tableau IV-16), fournit une VLP pour une balle complète : $VLP = 633 \text{ m/s}$ (voir Tableau IV-17).

La courbe finalement obtenue (en pointillé sur la Figure IV-38), prévoyant la vitesse résiduelle en fonction de la vitesse incidente pour une balle 7,62AP8 face à une protection tricouche MS8.8-AA8, est proche des résultats expérimentaux en particulier autour de la VLP (629 m/s expérimentalement vs. 633 m/s numériquement). Cette démarche vérifiée sur un cas particulier ne saurait néanmoins être généralisée.

<table><caption>Tableau IV-17 : Coefficients de la courbe de Lambert-Jonas (voir équation (II.2)) pour la correction des simulations d'impacts de projectiles D6.35-WC-Conique sur des protections tricouches MS8.8-AA8 pour s'approcher d'une balle 7,62AP8</caption><tr><td>a</td><td>0,8107</td></tr><tr><td>p</td><td>1,9465</td></tr><tr><td>VLP (m/s)</td><td>633</td></tr></table>

<figure><img src="image_139.png" /><figcaption>Figure IV-38 : Vitesse résiduelle en fonction de la vitesse incidente pour une protection tricouche MS8.8-AA8. Simulation numérique d'impact par un cœur seul (D6.35-WC-Conique), correction des résultats de la simulation pour s'approcher d'une balle complète 7,62AP8, et essais balistiques avec balle 7,62AP8</figcaption></figure>

## IV.6. Optimisations de protections mono et multimatériaux face à des projectiles D6.35-WC-Conique

Nous présentons ici un exemple d'optimisation de protections face à des projectiles D6.35-WC-conique qui se rapprochent le plus de la balle réelle à l'effet de la chemise près. Nous l'avons vu précédemment, nous n'avons pas pu valider le modèle de la protection tricouche
AA6-AdC250-TB12. C'est donc elle qui servira de référence expérimentale et nous la
comparerons à des protections multicouches optimisées. Ainsi, les optimisations cibleront une
VLP identique à celle de la protection tricouche AA6-AdC250-TB12, soit 345 m/s. Bien que
cela soit très différent de l'application que nous visons, cette vitesse correspondant environ à
celle d'une balle de calibre 9 mm [Liscio & Imran, 2020].

IV.6.1. Protection tricouche AA6-air10-AA6

Une protection tricouche constituée de deux plaques en alliage d'aluminium séparées par une
lame d'air de 10 mm, initialement AA6-air10-AA6, est optimisée pour bloquer un projectile
D6.35-WC-Conique à 345 m/s tout en ayant une masse minimale. Le modèle numérique a été
précédemment calibré dans la partie IV.3.1 p133, vérifié et validé dans la partie IV.5.1 p154.
Les épaisseurs de chaque plaque peuvent varier indépendamment et l'épaisseur de la lame
d'air est fixée à 10 mm. La boucle d'optimisation suivante est construite :

- Objectif : Minimisation de la masse surfacique $m_s$

- Variables : Épaisseurs de la plaque avant $e_{av}$ et de la plaque arrière $e_{ar}$

- Contrainte : Blocage du projectile, c'est-à-dire $v_{res} \le 0$

La Figure IV-39 montre qu'environ 40 itérations sont nécessaires pour atteindre la
convergence, ce qui représente 120h de calcul sur 24 cœurs de PANDO, où on remarque que
la plaque avant est plus épaisse que la plaque arrière. Les résultats finaux sont regroupés dans
le Tableau IV-18 : la plaque avant a une épaisseur de 6,52 mm et la plaque arrière de
3,23 mm, ce qui correspond à une masse surfacique totale de 26,3 kg/m².

IV.6.2. Protection monocouche MS8.8

Une protection monocouche en MARS® 380, initialement d'épaisseur 8,8 mm (MS8.8), est optimisée pour bloquer un projectile D6.35-WC-Conique à 345 m/s tout en ayant une masse minimale. Le modèle numérique a été précédemment calibré et vérifié dans la partie IV.3.2 p139. La boucle d'optimisation suivante est donc construite :

- Objectif : Minimisation de la masse surfacique $m_s$ (et donc de l'épaisseur ici)

- Variable : Épaisseur $e$ de la plaque

- Contrainte : Blocage du projectile, c'est-à-dire $v_{res} \le 0$

Les résultats des itérations sont présentés en Figure IV-40. Environ 30 itérations sont nécessaires pour atteindre la convergence, correspondant à environ 40h de calcul sur 24 cœurs
de PANDO. On obtient finalement (voir Tableau IV-19) une épaisseur de 3,89 mm correspondant à une masse surfacique de 30,5 kg/m².

<figure><img src="image_140.png" /><figcaption>Figure IV-39 : Itérations lors de la minimisation de la masse d'une protection tricouche, initialement AA6-air10-AA6, impactée par un projectile D6.35-WC-Conique à 345 m/s</figcaption></figure>

<table><caption>Tableau IV-18 : Résultats de l'optimisation d'une protection tricouche, initialement AA6-air10-AA6, impactée par un projectile D6.35-WC-Conique à 345 m/s</caption><thead><tr><th>v<sub>i</sub> (m/s)</th><th>e<sub>av</sub> (mm)</th><th>e<sub>ar</sub> (mm)</th><th>m<sub>s</sub> (kg/m<sup>2</sup>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>345</td><td>6,52</td><td>3,23</td><td>26,3</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_141.png" /><figcaption>Figure IV-40 : Itérations lors de la minimisation de la masse d'une protection monocouche, initialement MS8.8, impactée par un projectile D6.35-WC-Conique à 345 m/s</figcaption></figure>
<table><caption>Tableau IV-19 : Résultats de l'optimisation d'une protection monocouche, initialement MS8.8, impactée par un projectile D6.35-WC-Conique à 345 m/s</caption><thead><tr><td>v<sub>i</sub> (m/s)</td><td>e (mm)</td><td>m<sub>s</sub> (kg/m<sup>2</sup>)</td></tr></thead><tbody><tr><td>345</td><td>3,89</td><td>30,5</td></tr></tbody></table>

# IV.7. Bilan du dialogue expérience-simulation

## IV.7.1. Briques élémentaires numériques

La base de données expérimentale a permis de construire 4 modèles élémentaires ayant pour but de servir de brique de base pour de futures optimisations (voir Tableau IV-20) :

- alliage d'aluminium : modèle numérique calibré, vérifié et validé.

- acier à blindage MARS® 380 : modèle numérique calibré, mais non vérifié et validé à cause du choix du critère d'amorçage d'endommagement et de valeurs élevées d'énergies artificielle. Les résultats fournis sont tout de même satisfaisants et le modèle est utilisé par la suite pour présenter la méthodologie.

- tissu balistique : le modèle numérique a montré trop de différences quantitatives et qualitatives avec les résultats expérimentaux pour être utilisé par la suite.

- alumine d'épaisseur 5 mm : le modèle numérique a montré trop de différences quantitatives et qualitatives avec les résultats expérimentaux pour être utilisé par la suite.

## IV.7.2. Optimisation

Les briques élémentaires ont servi de base à la construction de systèmes de protection (voir Tableau IV-21). Un processus d'optimisation a ensuite rendu possible en quelques jours le prédimensionnement de systèmes de protection balistique capables de bloquer un projectile donné, pour une masse surfacique minimale. La partie IV.4 a été dédiée à l'optimisation de protections AA6 et AA6-air10-AA6 pour obtenir une VLP de 300 m/s face à des projectiles D20-Acier-Plat/Conique. La partie IV.6 s'est concentrée sur l'optimisation de protections AA6-air10-AA6 et MS8.8 pour obtenir une VLP de 345 m/s face à des projectiles D6.35-WC-Conique.

Les résultats des optimisations sont regroupés dans le Tableau IV-22 et analysés dans les paragraphes suivants.
<table><caption>Tableau IV-20 : Bilan des étapes de calibration et vérification des briques élémentaires. OK : étape validée. NOK : étape non validée. > OK < : étape forcée</caption><thead><tr><th></th><th></th><th>Calibration</th><th>Vérification</th><th>Commentaires</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">AA</td><td>D20-Acier-Plat</td><td>OK</td><td>OK</td><td></td></tr><tr><td>D20-Acier-Conique</td><td>OK</td><td>OK/NOK</td><td>Vérification : ALLAE élevée et pétales peu visibles</td></tr><tr><td>MS</td><td>D6.35-WC-Conique</td><td>OK</td><td>OK/NOK</td><td>Résultats satisfaisants, mais valeurs élevées de ε<sub>max</sub><sup>p</sup>, ALLAE et ALLVD</td></tr><tr><td>TB (AA6-AdC250-TB12)</td><td>D6.35-WC-Conique</td><td>NOK</td><td>NOK</td><td>ν<sub>res</sub> et modes de ruines trop éloignés des résultats expérimentaux</td></tr><tr><td>AM (AM5-AdB250-AA6)</td><td>D6.35-WC-Conique</td><td>NOK</td><td>NOK</td><td>ν<sub>res</sub> et modes de ruines trop éloignés des résultats expérimentaux</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Tableau IV-21 : Bilan des étapes de validation et optimisation des systèmes de protection. OK : étape validée. NOK : étape non validée. > OK < : étape forcée</caption><thead><tr><th></th><th></th><th>Validation</th><th>Optimisation</th><th>Commentaires</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">AA</td><td>D20-Acier-Plat</td><td>OK</td><td>OK</td><td>Validation : peu de résultats expérimentaux</td></tr><tr><td>D20-Acier-Conique</td><td>&gt; OK &lt;</td><td>OK</td><td>Validation : peu de résultats expérimentaux et voir Tableau IV-20</td></tr><tr><td rowspan="6">AA-air10-AA</td><td>D20-Acier-Plat</td><td>OK/NOK</td><td>OK</td><td>Validation : résultats satisfaisants mais ALLAE élevée et endommagement excessif de la pastille</td></tr><tr><td>D20-Acier-Conique</td><td>OK/NOK</td><td>NOK</td><td>Validation : résultats satisfaisants mais ALLAE élevée<br>Optimisation : algorithme bloqué par une contrainte utilisateur</td></tr><tr><td>D6.35-Acier-Plat</td><td>NOK</td><td>NOK</td><td>ν<sub>res</sub> éloignée des résultats expérimentaux, ALLAE&amp;ALLVD élevées</td></tr><tr><td>D6.35-Acier-Conique</td><td>NOK</td><td>NOK</td><td>ν<sub>res</sub> éloignée des résultats expérimentaux, ALLAE&amp;ALLVD élevées</td></tr><tr><td>D6.35-WC-Plat</td><td>NOK</td><td>NOK</td><td>ν<sub>res</sub> éloignée des résultats expérimentaux, ALLAE élevée</td></tr><tr><td>D6.35-WC-Conique</td><td>OK/NOK</td><td>OK</td><td>Validation : résultats satisfaisants mais ALLAE et ALLVD élevées</td></tr><tr><td>MS</td><td>D6.35-WC-Conique</td><td>&gt; OK &lt;</td><td>OK</td><td>Validation : voir Tableau IV-20</td></tr><tr><td>MS-AA</td><td>D6.35-WC-Conique</td><td>OK/NOK</td><td>NOK</td><td>Validation : résultats satisfaisants mais ALLAE et ALLVD élevées</td></tr></tbody></table>

AA : Alliage d'aluminium ; MS : MARS® 380 ; TB : Tissu balistique ; AM : Alumine
<table><caption>Tableau IV-22 : Résultats des optimisations</caption><thead><tr><th>Protection initiale</th><th>Projectile</th><th>v<sub>i</sub> (m/s)</th><th>e<sub>av</sub> (mm)</th><th>e<sub>ar</sub> (mm)</th><th>m<sub>s</sub> (kg/m<sup>2</sup>)</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">AA6</td><td>D20-Acier-Plat</td><td>300</td><td></td><td>20,4</td><td>55,1</td></tr><tr><td>D20-Acier-Conique</td><td>300</td><td></td><td>10,3</td><td>27,8</td></tr><tr><td rowspan="3">AA6-air10-AA6</td><td>D20-Acier-Plat</td><td>300</td><td>6,1</td><td>7,5</td><td>36,9</td></tr><tr><td>D20-Acier-Conique</td><td>300</td><td>9,3</td><td>2,0</td><td>30,6</td></tr><tr><td>D6.35-WC-Conique</td><td>345</td><td>6,52</td><td>3,23</td><td>26,3</td></tr><tr><td>MS8.8</td><td>D6.35-WC-Conique</td><td>345</td><td></td><td>3,89</td><td>30,5</td></tr><tr><td>AA6-AdC250-TB12*</td><td>D6.35-WC-Conique</td><td>345</td><td>6</td><td>12 plis</td><td>22,5</td></tr></tbody></table>

### IV.7.2.1. Effet du matériau du projectile

Une protection AA6-air10-AA6 a été le point de départ de deux optimisations distinctes, pour bloquer un projectile D20-Acier-Conique à 300 m/s et pour bloquer un projectile D6.35-WC-Conique à 345 m/s (voir Tableau IV-22). Malgré les fortes différences d'énergie cinétique (2,65 et 0,325 kJ respectivement) on obtient au final une masse surfacique de protection assez proche : 30,6 et 26,3 kg/m², avec dans les deux cas une plaque avant plus épaisse que la plaque arrière. On remarque que la structure tricouche semble être utile contre un projectile D6.35-WC-Conique car l'algorithme d'optimisation n'est pas bloqué par la limite inférieure d'épaisseur, contrairement au cas du projectile D20-Acier-Conique.

En conclusion, la dangerosité d'un projectile ne se résume pas seulement à son énergie cinétique, sa rigidité et sa densité notamment doivent être prises en compte.

### IV.7.2.2. Effet de la géométrie du projectile

L'optimisation de la protection AA6 face à des projectiles D20-Acier-Plat/Conique à 300 m/s (voir Tableau IV-22) montre que la conception optimale est fortement influencée par la géométrie du projectile. En effet, le mode de ruine par poinçonnage généré par un projectile D20-Acier-Plat rend nécessaire une forte épaisseur par rapport à un projectile D20-Acier-Conique : 20,4 vs 10,3 mm, ce qui double quasiment la masse surfacique de la protection.

<footnote>*Protection non optimisée, il s'agit des résultats expérimentaux</footnote>
En conclusion, une protection monolithique doit avoir une épaisseur supérieure pour bloquer un projectile générant un mode de ruine par poinçonnage que pour bloquer un projectile générant un mode de ruine par pénétration ductile et ouverture en pétales.

### IV.7.2.3. Effet de la lame d'air

Afin d'évaluer l'effet de la présence d'une lame d'air, des protections monolithiques et tricouches en alliage d'aluminium (initialement AA6 et AA6-air10-AA6) ont été optimisées pour bloquer des projectiles D20-Acier-Plat/Conique à 300 m/s (voir Tableau IV-22). Le résultat dépend fortement de la géométrie du projectile. En effet, la lame d'air de la protection tricouche permet de perturber le poinçonnage généré par le projectile D20-Acier-Plat, ce qui se traduit par une diminution de masse surfacique de 33% par rapport à un système monolithique. Face à un projectile D20-Acier-Conique en revanche, l'algorithme d'optimisation semble converger vers une solution monolithique.

En conclusion, une lame d'air est particulièrement avantageuse contre un projectile générant un mode de ruine par poinçonnage.

### IV.7.2.4. Effet des matériaux des protections

Trois systèmes de protection, aux coûts de fabrication proches (voir Tableau III-15 p111), sont comparés pour bloquer un projectile D6.35-WC-Conique à 345 m/s (voir Tableau IV-22). Deux sont optimisés, initialement AA6-air10-AA6 et MS8.8. Seuls les résultats expérimentaux sont conservés pour AA6-AdC250-TB12, faute de validation de la brique élémentaire « Tissu balistique ». C'est pourtant la protection AA6-AdC250-TB12 qui possède la masse surfacique la plus faible, 22,5 kg/m².

En conclusion, un système tricouche multimatériau faisant intervenir un alliage d'aluminium et un tissu balistique semble plus intéressant que des systèmes monomatériaux en alliage d'aluminium ou en acier, pour des coûts de fabrication proches.
# Conclusions et perspectives

## 1. Conclusions

Une méthodologie de prédimensionnement de systèmes de protection balistique, basée sur un dialogue expérience-simulation, a été détaillée. Grâce à cette étude, un moyen d'essai pour les impacts balistiques est dorénavant disponible au laboratoire et un nouvel ensemble d'outils numériques permet désormais, à partir d'un nombre d'essais réduit, d'optimiser des systèmes de protection balistique multimatériaux dans le laboratoire et l'entreprise.

### 1.1. Investigation expérimentale

Les campagnes expérimentales ont été menées grâce à deux lanceurs à gaz de la plateforme STIMPACT de l'Institut Clément Ader : le lanceur Ø40, déjà opérationnel et calibré, et le lanceur Ø60, mis en service au cours de l'étude et pour lequel une instrumentation spécifique a été développée. Des protections mono et multimatériaux (aciers et alliages, céramiques, polymères renforcés) assemblées via divers procédés (boulonnage ou collage) ont été impactées par des projectiles de différentes natures (matériaux, géométries) de 100 m/s à 830 m/s.

Les vitesses incidentes et résiduelles des projectiles ont été mesurées pour estimer les VLP des systèmes de protection face à un projectile donné. Différents modes de ruine ont également été observés (poinçonnage, ouverture en pétales, pénétration ductile par exemple). On peut noter en particulier plusieurs résultats :

- un projectile à bout plat provoque systématiquement un poinçonnage, alors que le mode de ruine généré par un projectile à bout conique dépend du rapport $\lambda$ entre l'épaisseur de la cible et le rayon du projectile : ouverture en pétales si $\lambda<1$, pénétration ductile ou poinçonnage sinon, avec éventuellement une combinaison de modes. La VLP la plus faible, entre bout plat et bout conique pour une protection donnée, dépend également de $\lambda$.

- comme attendu, à géométrie identique un projectile en carbure de tungstène est plus vulnérant qu'un projectile en acier, même si cela n'est pas traduit par une différence de modes de ruine.

- une balle complète est plus vulnérante que son cœur seul.
- à projectile identique, l'épaisseur de la protection influe sur la VLP et sur le mode de ruine : par exemple, la taille des pétales diminue quand l'épaisseur des plaques augmente.

- à épaisseur totale égale, un système tricouche montre une VLP plus élevée qu'une protection monolithique face à un projectile à bout plat. Cette tendance semble s'inverser face à un projectile à bout conique mais la différence est beaucoup plus faible. Si le type de menace n'est a priori pas connu, un système tricouche serait donc une solution judicieuse.

- à masse surfacique égale, les systèmes de protection possédant une couche avant en céramique montrent une VLP supérieure aux systèmes qui en sont dépourvus. Cependant cela se traduit par une complexité d'assemblage et un prix supérieurs (voir Figure III-58 p111 et Tableau III-15 p111).

- les films d'adhésifs rompent systématiquement dès le premier impact, contrairement aux liaisons boulonnées. En vue d'une meilleure résistance au multi-impact, il est donc préférable, dans la mesure du possible, de procéder à un assemblage par boulonnage.

- si le système de protection intègre une lame d'air, son épaisseur doit être choisie en fonction de la menace considérée et de la stratégie de protection adoptée : une épaisseur de lame d'air inférieure à la longueur du projectile pour une protection contre les perforations, ou une épaisseur de lame d'air supérieure à la longueur du projectile pour garantir l'étanchéité aux gaz et/ou aux liquides.

Nous avons cependant dû faire face à quelques difficultés expérimentales :

- lors de la séparation sabot-projectile, le sabot en mousse est détruit et des débris continuent leur course en suivant le projectile. Ces débris perturbent la vision à la caméra et participent à la déformation de la cible. Nous avons pu réduire la quantité de débris, mais pas l'éliminer complètement.

- nous avons tenté de mesurer la pression à l'interface entre une tuile de céramique et une plaque en alliage d'aluminium grâce à des jauges piézorésistives. Cependant à cause d'un manque de temps et de moyens (humains et matériels) nous n'avons pas pu effectuer de mesures satisfaisantes.

- à cause d'un éclairage insuffisant nous n'avons pas pu utiliser la caméra ultra-rapide Shimadzu HPV-X2 à une fréquence supérieure à 100 000 i/s.
- les conditions sévères d'essai (contraintes, chocs, vibrations) et l'abrasivité des débris de sabots font que la durabilité des éléments du banc d'essai est limitée. En effet, à l'issue de cette étude le séparateur sabot-projectile, le support de cible, la barrière optique et les fenêtres en polycarbonate doivent être remplacés.

## 1.2. Dialogue expérience-simulation

Les résultats expérimentaux ont permis d'alimenter des modèles numériques capables de simuler des impacts balistiques sur des protections mono et multicouches, en acier et alliages d'aluminium. Quant aux modèles d'impacts sur céramiques et polymères renforcés, ils ne respectaient pas les critères de validation qualitatifs et quantitatifs et n'ont donc pas été exploités. Des systèmes de protection monomatériaux monocouches et multicouches ont été optimisés pour bloquer des projectiles D20-Acier-Plat/Conique à 300 m/s ou des projectiles D6.35-WC-Conique à 345 m/s en conservant une masse surfacique minimale.

Plusieurs résultats généraux sont à noter, rejoignant en partie les résultats expérimentaux :

- la dangerosité d'un projectile ne se résume pas seulement à son énergie cinétique, sa géométrie, sa rigidité et sa densité notamment doivent être prises en compte.

- une protection monolithique doit avoir une épaisseur supérieure pour bloquer un projectile générant un mode de ruine par poinçonnage que pour bloquer un projectile générant un mode de ruine par pénétration ductile et ouverture en pétales.

- une lame d'air est particulièrement avantageuse pour bloquer un projectile générant un mode de ruine par poinçonnage.

- un système tricouche multimatériau faisant intervenir un alliage d'aluminium et un tissu balistique semble plus intéressant que des systèmes monomatériaux en alliage d'aluminium ou en acier, pour des coûts de fabrication proches.

De manière plus précise, face à un projectile D6.35-WC-Conique à 345 m/s la solution la plus prometteuse est la protection tricouche AA6-AdC250-TB12 (voir Tableau IV-22 p167). En effet, bien qu'elle ne soit pas optimisée, sa masse surfacique est inférieure de 14% à celle d'une protection tricouche en alliage d'aluminium optimisée (initialement AA6-air10-AA6) et de 26% à celle d'une protection monocouche en MARS® 380 optimisée (initialement MS8.8).

Ces résultats ont été obtenus en tenant compte de certaines difficultés numériques :

- le modèle numérique souffre d'une dépendance pathologique au maillage dans le régime adoucissant. Néanmoins, cette dépendance est atténuée par la viscoplasticité, la
viscosité artificielle (« bulk viscosity » en prenant garde à ce qu'elle ne soit pas trop élevée), et la prise en compte de la longueur de l'élément fini dans la loi d'endommagement.

- certains modèles présentent des valeurs élevées d'énergies artificielles (ALLAE et ALLVD notamment), témoignant de potentiels problèmes numériques concernant des modes de hourglass et de viscosité artificielle.

- l'algorithme d'optimisation (méthode de Nelder-Mead) a été sélectionné pour favoriser la découverte d'un optimum global, mais il n'est pas possible d'affirmer que les optima trouvés dans cette étude soient bien des optima globaux.

## 2. Perspectives

Les perspectives de l'étude sont présentées en termes de priorité pour améliorer la qualité des résultats des optimisations : priorités 1, 2 et 3.

### 2.1. Priorité 1

Les perspectives prioritaires concernent la fiabilité des modèles numériques et la diversité des variables d'optimisation.

#### Modèles numériques des aciers et alliages

En premier lieu, afin d'être plus confiant dans les résultats numériques, les modèles d'impact des protections en alliage d'aluminium et en MARS® 380 doivent être repris pour corriger les points suivants :

- valeur de ALLAE : réduire cette valeur en testant différentes méthodes de contrôle des modes de hourglass. Les méthodes proposées par Abaqus ont été comparées dans le cas d'un impact d'un projectile D6.35-WC-Conique sur une protection MS8.8 à 714 m/s. La méthode par défaut (Integral viscoelastic approach), utilisée tout au long de cette étude, induit une valeur de ALLAE parmi les plus faibles, juste derrière la méthode « Kelvin viscoelastic (pure stiffness) approach » : 6,85% vs 5,90% de l'énergie totale respectivement. Avec ces méthodes, la force s'opposant aux mode de hourglass peut être modulée via le facteur $s^s$. Une étude plus poussée de l'influence de ce facteur sur la valeur de ALLAE et sur les modes de hourglass du modèle est nécessaire pour trouver le meilleur compromis.
- valeur de ALLVD : réduire cette valeur en modifiant les coefficients de viscosité numérique (bulk viscosity) et en passant de la suppression d'éléments (element deletion) à l'érosion d'éléments (element erosion). En effet, on a constaté que la valeur de ALLVD dans la simulation d'impact de la protection MS8.8-AA8 par un projectile D6.35-WC-Conique à 798 m/s est réduite de 36% quand on utilise l'érosion d'éléments au lieu de la suppression d'éléments (9,74% vs 15,3% de l'énergie totale respectivement).

- valeur de $\bar{\varepsilon}_{\max}^p$ : chercher d'autres modèles constitutifs et d'endommagement (amorçage et évolution) capables de reproduire les résultats expérimentaux avec des coefficients réalistes, par exemple le modèle PTW appliqué par [Juanicotena, 1998] et/ou le modèle TEVPD de [Longère et al., 2009].

## Modèles numériques des céramiques et tissus balistiques

Ensuite, il est essentiel d'améliorer la fidélité des modèles faisant intervenir des céramiques et des tissus balistiques pour calibrer, vérifier et valider ces briques élémentaires. Cela permettra de diversifier les matériaux disponibles pour les processus d'optimisation. Dans un premier temps une étude paramétrique de l'influence des coefficients des modèles utilisés (Johnson-Holmquist 2 (JH2) [G. R. Johnson & Holmquist, 1994] et Johnson [A. F. Johnson, 2001] respectivement) peut être menée, et si cela est insuffisant la stratégie de modélisation doit être modifiée.

Concernant les céramiques, la méthode des éléments finis n'est pas adaptée pour représenter leur fragmentation et on pourrait gagner en fidélité en passant à une méthode de discrétisation spatiale et de résolution par SPH (voir par exemple [Scazzosi et al., 2020]), qui est prise en charge nativement par Abaqus/Explicit. De plus, il est également possible de passer d'une modélisation constitutive déterministe (JH2) à une modélisation probabiliste (modèle Denoual-Forquin-Hild (DFH) par exemple [Hild et al., 2003]).

Du côté des tissus balistiques, nous avons adopté une approche qu'on pourrait qualifier de « semi-homogène » : le panneau est composé de plusieurs plis distincts, mais chaque pli est homogène. Pour plus de simplicité on pourrait homogénéiser le panneau complet, mais dans ce cas on perd le degré de liberté de l'ordre d'empilement des plis de différentes orientations. Au contraire on pourrait améliorer la fidélité du modèle via une discrétisation des plis en représentant les fibres et la matrice de manière indépendante. [Bresciani et al., 2016] ont adopté cette approche discrète, leur permettant notamment de modéliser les frottements
interfibres (qui est un mécanisme important de dissipation de l'énergie cinétique du projectile d'après [Chu et al., 2020]) et l'ont comparée avec un modèle semi-homogène. Les résultats (VLP et modes de ruine) du modèle discrétisé sont ainsi plus proches des résultats expérimentaux. Il faut également reconsidérer l'hypothèse très simplifiée de modélisation des films d'adhésif par des matériaux élastiques-fragiles. En effet il s'agit de polymères dont le comportement est plus complexe (voir par exemple [Lißner et al., 2020]) et peut jouer un rôle sur la tenue balistique des tissus.

## Variables d'optimisation

L'objectif de l'approche par optimisation numérique, exploitée lors de cette étude, est d'être capable à terme d'optimiser plusieurs paramètres d'un empilement complexe, et pour le moment nous nous sommes limités à l'épaisseur des couches. Il est donc important d'enrichir le modèle d'optimisation pour autoriser des variations d'espacement, d'ordre d'empilement des couches, de coefficients matériaux, ou d'orientation des fibres des CMOFL par exemple. Pour ce dernier paramètre, [Grunenfelder et al., 2014] ont en effet construit des panneaux de CMOFL (matériau composite à matrice époxy renforcé par des fibres de carbone) avec une structure hélicoïdale : les fibres de chaque pli ont un léger angle par rapport au pli précédent (voir Figure 2-1 a.). Ces panneaux montrent un endommagement plus diffus dans le plan que pour des panneaux quasi-isotrope, ce qui résulte en une profondeur de pénétration inférieure (voir Figure 2-1 b.) et une résistance résiduelle supérieure. On peut alors se poser la question de l'existence d'une orientation de fibres optimale pour une application de protection balistique.

<figure><img src="image_142.png" /><figcaption>Figure 2-1 : a. Structure hélicoïdal d'un empilement. b. Profondeur de pénétration pour trois valeurs d'angle entre plis successifs [Grunenfelder et al., 2014]</figcaption></figure>
## 2.2. Priorité 2

Plusieurs perspectives importantes non-prioritaires ont été identifiées. Elles concernent la complétion de la base de données de résultats expérimentaux et la modélisation de phénomènes physiques n'ayant pas été pris en compte jusqu'alors.

### Complétion de la base de données expérimentale

Il serait intéressant de compléter la base de données expérimentale pour réduire les erreurs dues à la dispersion des résultats, et pour ajouter des mesures résolues en temps (par exemple la vitesse de face arrière de la cible) qui donneraient accès à un critère de comparaison expérimental-numérique quantitatif supplémentaire.

D'autre part, une étude plus approfondie de l'influence de la température sur le comportement à l'impact des matériaux utilisés permettrait d'affiner davantage la fidélité du modèle numérique, permettant de mieux anticiper les performances des systèmes de protection balistique dans des environnements sévères. Des essais d'impacts de balles de 7,62×39 mm à 720 m/s sur des panneaux de polymère renforcé par des fibres de UHMWPE d'épaisseur 10 mm ont par exemple été conduits par [Cao et al., 2021]. Les auteurs ont fait varier la température du panneau et ont montré que la vitesse résiduelle augmente lorsque la température augmente, passant de 545 m/s à -20°C, à 619 m/s à 95°C (voir Figure 2-2). Ce type de résultat est important car il s'agit d'une gamme de température que peut rencontrer un véhicule en service, comme le montrent les mesures de température d'une carrosserie de voiture exposée au soleil effectuées par [Levinson et al., 2011] (voir Figure 2-3).

<figure><img src="image_143.png" /><figcaption>Figure 2-2 : Influence de la température sur un panneau de polymère renforcé par des fibres de UHMWPE d'épaisseur 10 mm impacté par une balle de 7,62×39 mm à 720 m/s (adapté de [Cao et al., 2021])</figcaption></figure>
<figure><img src="image_144.png" /><figcaption>Figure 2-3 : Mesures de températures de l'air ambiant (gauche) et de la surface extérieure de toits de voitures exposées au soleil (droite). Le toit d'une voiture noire atteint 80°C [Levinson et al., 2011]</figcaption></figure>

## Modélisation de phénomènes supplémentaires

Enfin, pour gagner en fidélité on peut intégrer dans les modèles numériques certains phénomènes rarement pris en compte dans les modèles constitutifs de la littérature.

Tout d'abord, les matériaux contiennent à l'échelle microscopique des défauts (porosités, inclusions, micro-fissures, ...) qui pourraient jouer un rôle dans la propagation des fissures, comme lors d'une ruine par ouverture en pétales. Dans nos simulations, la formation des pétales n'est pas contrôlée et est potentiellement gouvernée par des erreurs numériques. Il est néanmoins possible de la contrôler, par exemple en faisant varier localement les propriétés des matériaux de manière aléatoire. Cette approche est détaillée en Annexe K p209 où on montre que la formation des pétales est alors majoritairement influencée par ces variations locales.

Toujours concernant les pétales, nous avons vu qu'ils se séparaient de façon précoce dans certaines simulations (AA6 impactée par un projectile D20-Acier-Conique ou MS8.8 impactée par un projectile D6.35-WC-Conique notamment). Cela pourrait être dû à la modélisation de l'élasticité du matériau, considérée indépendante de la température. Pourtant, [Juanicotena, 1998] a montré que le module de Young et le coefficient de Poisson du MARS® 380 dépendent de la température (voir Figure 2-4). E passe ainsi de 211 GPa à 293 K, à 148 GPa à 973 K. Cette gamme de température est a priori accessible par des dissipations d'énergies de déformation plastique sous forme de chaleur. Ainsi, une diminution de rigidité pourrait permettre aux pétales de se déformer davantage avant de rompre. Les conséquences sur les résultats des incertitudes sur les données d'entrée pourraient ainsi faire l'objet d'une étude.
<figure><img src="image_145.png" /><figcaption>Figure 2-4 : Dépendance à la température du module de Young et du coefficient de Poisson du MARS® 380 (ex-MARS® 190) [Juanicotena, 1998]</figcaption></figure>

## 2.3. Priorité 3

Pour aller plus loin, une pré-étude sur la mise en compression de la céramique pourrait être menée. En effet, des tuiles de céramiques frettées ont montré une fragmentation bien moindre que des tuiles classiques, améliorant ainsi potentiellement leurs performances en multi-impact, une faiblesse majeure de ce type de matériau. Il faudrait déterminer notamment :

- les procédés existants pour mettre en compression des tuiles de différentes formes

- la contrainte limite empêchant la fragmentation totale d'une tuile

- l'effet d'une mise en compression sur la VLP

- l'effet des dimensions de la tuile sur sa fragmentation

- la faisabilité d'un tel procédé sur un véhicule réel

Par ailleurs, il serait intéressant de tester d'autres critères quantitatifs que la vitesse résiduelle pour la calibration des modèles numériques, par exemple la déformation résiduelle de la plaque, la profondeur de pénétration en cas de non-perforation, et/ou la vitesse de la face arrière de la cible lors de l'impact.

Pour terminer, la méthodologie de corrélation expérience-simulation présentée pourrait s'appuyer sur des réseaux de neurones dans le cadre d'une approche pilotée par les données pour, par exemple, construire des modèles de comportement sur-mesure (voir par exemple [Versino et al., 2017]), remplacer les modèles de comportement par des réseaux de neurones (voir par exemple [Pantalé et al., 2022]), voire se passer totalement de calculs par éléments finis (voir par exemple [Fernández-Fdz & Zaera, 2008]).
Références

Aceros URS. (2019). Steel ballistic protection.

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# Annexes ouvertes

## A. STANAG : Niveaux de protection

La Figure A-1 détaille les niveaux de protection balistiques des véhicules, d'après l'« Allied Engineering Publication » AEP-55 Volume 1 [NATO, 2011].

<table><thead><tr><th rowspan="2">Level</th><th colspan="3">KE threat</th><th colspan="3">Artillery threat (FSP 20 mm)</th></tr><tr><th>Ammunitions</th><th>V<sub>proof</sub>*(m/s)</th><th>Azimuth</th><th>Elev.</th><th>V<sub>proof</sub>*(m/s)</th><th>Azimuth</th><th>Elev.</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">6</td><td>30 mm x 173 APFSDS-T</td><td>n.a.**</td><td rowspan="2">±30°</td><td rowspan="2">0°</td><td rowspan="2">1250</td><td rowspan="2">0 – 360°</td><td rowspan="2">0° – 90°***</td></tr><tr><td>30 mm x 165 AP-T</td><td>810</td></tr><tr><td rowspan="2">5</td><td>25 mm x 137 APFSDS-T<br>PMB 090</td><td>1336</td><td rowspan="2">±30°</td><td rowspan="2">0°</td><td rowspan="2">960</td><td rowspan="2">0 – 360°</td><td rowspan="2">0° – 90°***</td></tr><tr><td>25 mm x 137 APDS-T,<br>PMB 073</td><td>1258</td></tr><tr><td>4</td><td>14.5 mm x 114 API/B32</td><td>911</td><td>0 – 360°</td><td>0°</td><td>960</td><td>0 – 360°</td><td>0° – 90°***</td></tr><tr><td rowspan="2">3</td><td>7.62 mm x 51 AP (WC<br>core)</td><td>930</td><td rowspan="2">0 – 360°</td><td rowspan="2">0° – 30°</td><td rowspan="2">--</td><td rowspan="2">0 – 360°</td><td rowspan="2">0° – 30°</td></tr><tr><td>7.62 mm x 54R B32 API</td><td>854</td></tr><tr><td>2</td><td>7.62 mm x 39 API BZ</td><td>695</td><td>0 – 360°</td><td>0° – 30°</td><td>--</td><td>0 – 360°</td><td>0° – 22°</td></tr><tr><td rowspan="3">1</td><td>7.62 mm x 51 NATO ball</td><td>833</td><td rowspan="3">0 – 360°</td><td rowspan="3">0° – 30°</td><td rowspan="3">--</td><td rowspan="3">0 – 360°</td><td rowspan="3">0° – 18°</td></tr><tr><td>5.56 mm x 45 NATO<br>SS109</td><td>900</td></tr><tr><td>5.56 mm x 45 M193</td><td>937</td></tr></tbody></table>

Testing with projectiles specified for the lower Protection Levels will be necessary whenever there is reason to believe that the protection system may be vulnerable to such threats.

<caption>Figure A-1 : Niveaux de protections décrits dans le STANAG [NATO, 2011]</caption>
## B. STANAG : Vitesse limite de perforation (VLP)

Lorsque le projectile atteint la cible, cette dernière peut être affectée de trois façons différentes [Backman & Goldsmith, 1978] :

- absence d'endommagement : le matériau constituant la cible a subi des contraintes inférieures à sa contrainte d'écoulement, la cible ne présente pas de déformation résiduelle ni de traces d'endommagement. Cette situation apparaît seulement pour les tirés à faible énergie.

- pénétration partielle : le projectile déforme et/ou fissure la cible mais ne la traverse pas entièrement, et aucun fragment susceptible de menacer les occupants du véhicule n'est généré à l'arrière de la cible.

- perforation totale : le projectile traverse la cible ou des fragments suffisamment dangereux sont générés à l'arrière de la cible.

La distinction entre « pénétration partielle » et « perforation totale » peut être définie de différentes manières. D'après les documents normatifs de l'OTAN [NATO, 2011], une plaque témoin en alliage d'aluminium (type 2024-T4) d'épaisseur 0,5 mm doit être placée derrière la cible à une distance de 150 mm, et parallèlement à celle-ci (voir Figure B-1). Si, après le tir, le projectile n'a pas traversé la cible mais que des micro-perforations permettent de détecter à l'œil nu de la lumière à travers la plaque témoin, alors des fragments potentiellement dangereux ont été éjectés de la cible et cela est considéré comme une perforation totale. A contrario si aucune micro-perforation de la plaque témoin n'est visible, mais que la cible est endommagée, alors cela est considéré comme une pénétration partielle.

<figure><img src="image_146.png" /><figcaption>Figure B-1 : Exemple de banc d'essai pour l'évaluation des performances balistiques d'une solution de protection. [NATO, 2011]</figcaption></figure>
En pratique, les essais balistiques sont soumis à de fortes variabilités statistiques et la VLP est en fait une V50 définie comme la vitesse telle que le projectile a 50% de chance de réaliser une perforation totale de la cible. Elle est déterminée, suivant les normes OTAN, avec 4 tir dont 2 perforants et 2 non perforants, et dont les écarts de vitesse par rapport à la vitesse nominale sont inférieurs à 20 m/s.
C. Double-VLP

Durant la Seconde Guerre Mondiale, les canons antichars britanniques parvenaient à percer le blindage de leur cible à grande distance (projectile à vitesse $v_1$), mais n'y parvenaient pas à faible distance (projectile à vitesse $v_2 > v_1$) [Dehn, 1987]. De plus, on peut raisonnablement penser qu'il existe une vitesse $v_3 > v_2$ permettant de traverser le blindage à faible distance.
Cela signifie qu'il y aurait deux VLP : $v_2 > VLP_1 > v_1$ et $v_3 > VLP_2 > v_2$

Ce phénomène de « double VLP » a été monté par [Hazell, 2015] et s'explique par la présence d'un « effet de fragmentation » (« shatter gap » en anglais), illustré en Figure C-1, qui apparaît principalement sur les blindages présentant une face avant très dure. À faible vitesse, le projectile est bloqué par le blindage ($v_0$). Avec une vitesse plus importante, la probabilité de pénétration augmente, jusqu'à dépasser les 50% ($v_1$). On a donc, par définition, une première VLP. Pourtant avec une vitesse encore plus importante le projectile finit par se fragmenter à l'impact, et ne parvient plus à perforer le blindage ($v_2$). Il faut augmenter davantage la vitesse pour que la probabilité de pénétration repasse au-dessus de 50% ($v_3$), ce qui représente une seconde VLP.

<figure><img src="image_147.png" /><figcaption>Figure C-1 : Illustration du phénomène de double VLP [Hazell, 2015]</figcaption></figure>

[O'Masta et al., 2014] ont montré que ce phénomène a une influence sur les performances d'un projectile lors d'un impact sur une plaque épaisse en alliage d'aluminium. La Figure C-2 montre en effet une chute de la profondeur de pénétration du projectile vers 1700 m/s, causée par sa fragmentation. Les fragments n'atteignent de nouveau la profondeur du projectile intact qu'à partir de 3300 m/s.
<figure><img src="image_148.png" /><figcaption>Figure C-2 : Effet de la fragmentation du projectile sur sa profondeur de pénétration [O'Masta et al., 2014].</figcaption></figure>
D. Plans de définition des projectiles

<figure><img src="image_149.png" /><figcaption>Figure D-1 : Plan des projectiles D6.35-Acier-Conique et D6.35-WC-Conique</figcaption></figure>

<figure><img src="image_150.png" /><figcaption>Figure D-2 : Plan des projectiles D6.35-Acier-Plat et D6.35-WC-Plat</figcaption></figure>

<figure><img src="image_151.png" /><figcaption>Figure D-3 : Plan des projectiles D20-Acier-Conique</figcaption></figure>

<figure><img src="image_152.png" /><figcaption>Figure D-4 : Plan des projectiles D20-Acier-Plat</figcaption></figure>
# E. Dimensionnement du surblindage d'un caisson de confinement

L'utilisation du lanceur à gaz Ø60 a nécessité la conception, la fabrication et l'installation d'un caisson de confinement capable d'arrêter le projectile et les éventuels fragments générés lors des essais. Le fond du caisson est renforcé par une plaque d'acier à blindage (voir Figure E-1). L'étape de dimensionnement de ce « surblindage » est détaillée ici.

<figure><img src="image_153.png" /><figcaption>Figure E-1 : Représentation numérique du caisson de confinement du lanceur Ø60. a) Maquette CATIA. b) Représentation simplifiée dans Abaqus. c) Vue en coupe de la représentation simplifiée</figcaption></figure>

## E.1. Contexte

### E.1.1. Scénario retenu

Deux cas critiques ont été identifiés pour le dimensionnement du surblindage du caisson :

- Cas 1 : Projectile D20-Acier-Conique
* Dureté moyenne (~ 300 HV)

* Masse élevée (~ 60 g)

- Cas 2 : Projectile D6.35-WC-Conique

* Haute dureté (~ 1500 HV)

* Masse faible (~ 6 g)

Dans les deux cas, aucune éprouvette n'est présente à l'intérieur de l'enceinte, l'incidence du projectile sur le fond de l'enceinte est normale, et sa vitesse est la plus élevée atteignable par le lanceur (~ 800 m/s). Le dimensionnement s'appuie d'une part sur des données existantes issues de l'industrie du blindage, et d'autre part sur des simulations numériques.

## E.1.2. Préconisations industrielles

Des préconisations de blindage issues d'industriels de la défense ont été recueillies dans le Tableau E-1 afin de constituer une base de travail [Industeel, 2003a, 2003b; SSAB Steel, 2017; Aceros URS, 2019]. Deux matériaux de protection sont choisis :

- SSAB Armox® 500T

- Industeel MARS® 380

Si ces références ne sont pas disponibles dans les comparatifs, des références aux performances proches seront considérées (par exemple le MARS® 500 pour l'Armox® 500T). La menace considérée ici est une munition militaire de calibre 7,62 mm proche de certains projectiles envisagés pour les essais. D'après ces données, un surblindage de 23 mm permet de bloquer efficacement les projectiles envisagés pour nos essais. Pour plus de sécurité, nous choisissons une épaisseur de surblindage de 30 mm. Ces préconisations sont vérifiées dans le chapitre suivant par des simulations numériques.

## E.1.3. Vérification par la simulation numérique

La résistance du caisson suivant 3 configurations est évaluée :

- Caisson sans surblindage

- Caisson avec un surblindage en MARS® 380 d'épaisseur 30 mm

- Caisson avec un surblindage en Armox® 500T d'épaisseur 30 mm

Deux types de projectiles sont considérés :

- D20-Acier-Conique

- D6.35-WC-Conique

L'efficacité des configurations est évaluée via la profondeur de pénétration des projectiles.
<table><caption>Tableau E-1 : Préconisations de blindage issues d'industriels du blindage [Industeel, 2003a, 2003b; SSAB, 2017; Aceros URS, 2019]</caption><thead><tr><th></th><th>Industriel</th><th>Menace</th><th>Épaisseur requise</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">MARS® 380</td><td>URSSA [Aceros URS, 2019]</td><td>7,62x51 mm AP WC à 930 m/s</td><td>23 mm</td></tr><tr><td>URSSA [Aceros URS, 2019]</td><td>7,62x51 mm API B32 à 854 m/s</td><td>18 mm</td></tr><tr><td>Industeel [Industeel, 2003a]</td><td>7,62x51 mm P80 à 830 m/s</td><td>15 mm</td></tr><tr><td rowspan="4">Armox® 500T</td><td>URSSA (MARS® 500) [Aceros URS, 2019]</td><td>7,62x51 mm AP WC à 930 m/s</td><td>21.5 mm</td></tr><tr><td>URSSA (MARS® 500) [Aceros URS, 2019]</td><td>7,62x51 mm API B32 à 854 m/s</td><td>17 mm</td></tr><tr><td>SSAB [SSAB Steel, 2017]</td><td>7,62x51 mm AP à 820 m/s</td><td>14.5 mm</td></tr><tr><td>Industeel (MARS® 500) [Industeel, 2003b]</td><td>7,62x51 mm P80 à 830 m/s</td><td>13.5 mm</td></tr></tbody></table>

## E.2. Modèle numérique

Le modèle numérique est construit suivant la même méthode que dans le reste du manuscrit (avec un projectile D6.35-WC-Conique purement élastique), à l'exception des constantes de trois matériaux, répertoriées dans le Tableau E-2. Faute de données suffisantes pour l'acier C40, l'acier C45 a été sélectionné. Les données sont tirées de [Livermore Software Technology Corporation, 2007; K. Wang, 2016]. Ensuite, lors de la rédaction de ce dossier l'acier 40CMD8 n'avait pas encore été caractérisé, faute de données suffisantes l'acier 42CD4 a été sélectionné, les données sont tirées de [G. R. Johnson & Cook, 1983; Livermore Software Technology Corporation, 2007; Hor, 2011]. Enfin, les données de l'Armox® 500T sont tirées de [Livermore Software Technology Corporation, 2007; Iqbal et al., 2016].

## E.3. Résultats numériques

### E.3.1. Profondeurs de pénétration

Tout d'abord, les deux projectiles ont été bloqués par les trois types de protection. Les interactions cible-projectile sont proches quel que soit le matériau de la cible, la Figure E-2 se concentre en particulier sur la plaque d'acier C40. Le projectile D20-Acier-Conique se déforme fortement, jusqu'à champignonner. Le projectile D6.35-WC-Conique pénètre partiellement les plaques, provoquant une ruine par pénétration ductile et repoussement de matière. Le Tableau E-3 reprend les profondeurs de pénétration.
<table><caption>Tableau E-2 : Constantes matériaux utilisés pour le dimensionnement du caisson de confinement du lanceur Ø60</caption><thead><tr><th></th><th>C40<br>(C45)</th><th>40CMD8<br>(42CD4)</th><th>Armox® 500T</th></tr></thead><tbody><tr><td>ρ (kg/m³)</td><td>7850</td><td>7850</td><td>7850</td></tr><tr><td>c<sub>v</sub> (J/kg/K)</td><td>486</td><td>477</td><td>455</td></tr><tr><td>E (MPa)</td><td>205000</td><td>210000</td><td>201000</td></tr><tr><td>ν</td><td>0,29</td><td>0,3</td><td>0,33</td></tr><tr><td>μ (MPa)</td><td>79457</td><td>80769</td><td>75564</td></tr><tr><td>c<sub>0</sub> (m/s)</td><td>4570</td><td>4570</td><td>4570</td></tr><tr><td>δ</td><td>1,49</td><td>1,49</td><td>1,49</td></tr><tr><td>Γ<sub>0</sub></td><td>2,17</td><td>2,17</td><td>2,17</td></tr><tr><td>A (MPa)</td><td>615,8</td><td>622</td><td>1372</td></tr><tr><td>B (MPa)</td><td>667,7</td><td>584,5</td><td>835</td></tr><tr><td>n</td><td>0,255</td><td>0,175</td><td>0,2467</td></tr><tr><td>C</td><td>0,0137</td><td>0,00879</td><td>0,0617</td></tr><tr><td>ε̇<sub>0</sub> (s<sup>-1</sup>)</td><td>1</td><td>0,01</td><td>1</td></tr><tr><td>T<sub>trans</sub> (K)</td><td>298</td><td>293</td><td>1800</td></tr><tr><td>T<sub>m</sub> (K)</td><td>1623</td><td>1813</td><td>293</td></tr><tr><td>m</td><td>1,078</td><td>0,4681</td><td>0,84</td></tr><tr><td>D<sub>1</sub></td><td>0,04</td><td>0,0152</td><td>0,04289</td></tr><tr><td>D<sub>2</sub></td><td>1,03</td><td>1,537</td><td>2,1521</td></tr><tr><td>D<sub>3</sub></td><td>1,39</td><td>3,186</td><td>2,7575</td></tr><tr><td>D<sub>4</sub></td><td>0,002</td><td>0,267</td><td>-0,0066</td></tr><tr><td>D<sub>5</sub></td><td>0,46</td><td>0,483</td><td>0,86</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Tableau E-3 : Profondeurs de pénétration des projectiles D20-Acier-Conique et D6.35-WC-Conique impactant à 800 m/s des plaques de C40, MARS® 380 et Armox® 500T</caption><thead><tr><th></th><th>D20-Acier-Conique</th><th>D6.35-WC-Conique</th></tr></thead><tbody><tr><td>C40 (20 mm)</td><td>10,5 mm</td><td>14,2 mm</td></tr><tr><td>MARS® 380 (30 mm)</td><td>8,8 mm</td><td>12,6 mm</td></tr><tr><td>Armox® 500T (30 mm)</td><td>2,0 mm</td><td>9,4 mm</td></tr></tbody></table>
On remarque que malgré sa masse supérieure (et donc son énergie cinétique supérieure), le projectile D20-Acier-Conique a un pouvoir pénétrant inférieur au projectile D6.35-WC-Conique. De plus, le projectile D20-Acier-Conique fait davantage ressortir les différences entre les matériaux des plaques de protection.

<figure><img src="image_154.png" /><figcaption>Figure E-2 : Vue en coupe des impacts à 800 m/s des projectiles D20-Acier-Conique (à gauche) et D6.35-WC-Conique (à droite) sur une plaque en acier C40 d'épaisseur 20 mm. Champ de contrainte maximale principale</figcaption></figure>

### E.3.2. Contrôle des énergies

Les valeurs des énergies artificielles pour l'impact du projectile D6.35-WC-Conique sur le surblindage en Armox® 500T sont relevées dans le Tableau E-4 (on observe des tendances similaires pour les autres simulations). Les valeurs de ces énergies sont globalement faibles par rapport à l'énergie totale. Seule l'ALLAE, correspondant au contrôle des modes d'hourglass des éléments C3D8R, a une valeur plus élevée. Cette situation est cependant le meilleur compromis que nous ayons trouvé.

## E.4. Conclusion partielle

Les résultats numériques montrent que les plaques structurelles de l'enceinte, en acier C40, sont suffisantes pour bloquer les deux types de projectile étudiés (D20-Acier-Conique et D6.35-WC-Conique). Cependant elles risquent de ne pas résister à un second impact et il faudrait donc procéder au remplacement des plaques structurales à chaque impact sévère.
Il apparaît plus raisonnable d'utiliser des surblindages de MARS® 380 ou d'Armox® 500T qui serviraient de consommable, et qui résisteraient à davantage d'impacts successifs.

<table><caption>Tableau E-4 : Valeur des énergies « artificielles » à la fin du calcul d'impact d'une protection en Armox® 500T d'épaisseur 30 mm par d'un projectile D6.35-WC-Conique à 800 m/s</caption><thead><tr><td></td><td>Valeur finale (J)</td><td>Proportion ETOTAL</td></tr></thead><tbody><tr><td>ALLAE</td><td>172</td><td>9,7 %</td></tr><tr><td>ALLDC</td><td>0</td><td>0,0 %</td></tr><tr><td>ALLPW</td><td>23,3</td><td>1,3 %</td></tr><tr><td>ALLVD</td><td>15,8</td><td>0,9 %</td></tr><tr><td>ETOTAL</td><td>1790</td><td>-</td></tr></tbody></table>

En pratique, les essais ont été réalisés en installant une plaque de blindage en MARS® 380 d'épaisseur 8,8 mm derrière la cible. Des sacs de sable et de chiffon ont été installés entre la plaque de blindage et le fond du caisson en acier C40.
# F. Procédure de calcul des vitesses du projectile

Dans cette annexe sont détaillées les procédures de mesure de vitesses de projectiles, dans un cadre expérimental (via une barrière optique ou des caméras rapides) ou dans un cadre numérique.

## F.1. Vitesses expérimentales

### F.1.1. Mesures par barrière optique

Les vitesses incidentes sont pour la plupart mesurées par une barrière optique à trois voies. La distance entre les faisceaux optique est connue ($x_1, x_2, x_3$), et les temps auxquels les faisceaux sont coupés par l'ensemble sabot-projectile sont mesurés par un oscilloscope ($t_1, t_2, t_3$). En pratique, la deuxième voie dysfonctionne régulièrement, nous nous basons donc sur les signaux de la première et la troisième voie. La vitesse est supposée constante, et on obtient directement :

$$v_{projectile} = \frac{x_3 - x_1}{t_3 - t_1} \qquad (F.1)$$

L'incertitude de mesure est estimée à ±1%.

### F.1.2. Mesures par caméra rapide

Les vitesses résiduelles et certaines vitesses incidentes sont mesurées grâce à des caméras rapides. Pour cela, une partie de la surface du projectile est recouverte de mouchetis permettant le suivi de sa position au cours du temps (voir Figure F-1). Deux relevés de temps et de position ($t_1; x_1$) et ($t_2; x_2$) sont effectués à des intervalles de temps les plus espacés possibles afin de minimiser l'incertitude de mesure. On suppose la vitesse constante pour $t_1 \le t \le t_2$ et l'effet de parallaxe est négligé. On obtient directement :

$$v_{projectile} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} \qquad (F.2)$$

L'incertitude de mesure est estimée à ±5%.

La trajectoire du projectile est parfois déviée pendant la perforation et la vitesse acquiert alors une composante verticale, qui est négligeable la plupart du temps. Dans les quelques cas où elle n'est pas négligeable, elle est évaluée selon la même méthode de calcul et la valeur de vitesse retenue est la norme du vecteur constitué par les composantes horizontale et verticale.
Des mesures comparatives montrent de faibles écarts entre les vitesses mesurées par barrière optique et par caméra rapide, compris dans les intervalles d'incertitude.

<figure><img src="image_155.png" /><figcaption>Figure F-1 : Principe de mesure de vitesse en utilisant des images de caméra rapide. Le projectile D20-Acier-Conique est en partie recouvert de mouchetis (points noirs sur fond blanc) et se déplace de gauche à droite</figcaption></figure>

## F.2. Vitesses numériques

Dans les simulations numériques, seule la vitesse résiduelle est mesurée, la vitesse incidente étant une donnée d'entrée. Le protocole de mesure de la vitesse résiduelle numérique est le suivant :

- un nœud au centre de la face arrière du projectile est suivi (point rouge dans la Figure F-2).

- son déplacement axial au cours du temps est enregistré (Figure F-3).

- la dernière partie linéaire de la courbe, correspondant à une trajectoire libre du projectile après perforation, est isolée (partie rouge sur la Figure F-3).

- une régression linéaire sur cette portion de courbe donne, par dérivation, la vitesse résiduelle numérique du projectile (sous réserve que le coefficient de corrélation soit proche de 1).

<figure><img src="image_156.png" /><figcaption>Figure F-2 : Position du nœud suivi pour la mesure de la vitesse résiduelle numérique du projectile.</figcaption></figure>
Ce protocole a pour but de s'affranchir d'éventuelles instabilités numériques (exemple en Figure F-4) et de s'assurer que le projectile a une vitesse résiduelle constante.

<figure><img src="image_157.png" /><figcaption>Figure F-3 : Exemple de déplacement axial au cours du temps d'un nœud au centre de la face arrière du projectile lors d'une simulation d'impact.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_158.png" /><figcaption>Figure F-4 : Exemple de vitesse axiale au cours du temps d'un nœud au centre de la face arrière du projectile lors d'une simulation d'impact.</figcaption></figure>
## G. Identification du coefficient de frottement

Au vu de la dispersion des données de la littérature, nous procédons à l'identification du coefficient de frottement d'un projectile D20-Acier-Plat/Conique sur une plaque en alliage d'aluminium. Le schéma de principe est présenté en Figure G-1.

<figure><img src="image_159.png" /><figcaption>Figure G-1 : Schéma du montage pour l'identification du coefficient de frottement entre un projectile D20-Acier-Plat/Conique et une plaque en alliage d'aluminium</figcaption></figure>

Il faut distinguer le coefficient de frottement statique du coefficient de frottement dynamique et ici c'est le second qui nous intéresse. En supposant un glissement du projectile sur la plaque selon un mouvement linéaire uniforme, on a un équilibre entre le poids du projectile $\vec{P}$, la réaction de la plaque $\vec{F}_N$ et la force de frottement tangentielle $\vec{F}_T$ :

$$ \vec{P} + \vec{F}_T + \vec{F}_N = \vec{0} \qquad (G.1) $$

On introduit le coefficient de frottement dynamique $f_D$ tel que :

$$ \|\vec{F}_T\| = f_D \cdot \|\vec{F}_N\| \qquad (G.2) $$

En projetant l'équation (G.1) sur $\vec{x}$ et en la combinant avec l'équation (G.2) on obtient, avec $\theta$ l'angle d'inclinaison de la plaque :

$$ f_D \cdot \|\vec{F}_N\| \cos \theta - \|\vec{F}_N\| \sin \theta = 0 \qquad (G.3) $$

Et il vient :

$$ f_D = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \qquad (G.4) $$

Nous mesurons alors l'angle $\theta_c$ tel que :

- pour $\theta < \theta_c$ le projectile s'arrête

- pour $\theta > \theta_c$ le projectile accélère

On trouve finalement $\theta_c \approx 18^\circ$, et donc $f_D \approx 0,3$.
## H. Comparaison des algorithmes d'optimisation

ISIGHT propose plusieurs algorithmes d'optimisation, parmi lesquels quatre semblent adaptés à l'optimisation d'un empilement multimatériaux pour la protection balistique [Dassault Systèmes, 2018] :

- Méthode de Nelder-Mead (ou « Downhill Simplex ») : Cette méthode est basée sur des évaluations ponctuelles des solutions possibles. Pour *n* variables, *n*+1 solutions sont considérées simultanément et la moins performante est modifiée selon des modes prédéfinis. Cet algorithme ne construit aucune loi d'évolution et ne conserve aucun historique des itérations passées.

- Algorithme évolutionnaire (« Evol ») : Cette technique définit une solution de départ et fait « évoluer » chaque variable en lui ajoutant une valeur aléatoirement définie. Par construction, cet algorithme fonctionne donc avec un historique.

- Hooke-Jeeves : À partir de valeurs de départ, chaque variable est modifiée successivement pour arriver à une solution pour laquelle aucune amélioration n'est possible.

- Optimisation quadratique successive (« NLPQLP ») : Cet algorithme modifie une à une les variables pour déterminer une loi d'évolution de la solution pour rapidement en déterminer le minimum.

Pour choisir l'algorithme d'optimisation adéquat, les efficacités des quatre algorithmes identifiés précédemment sont comparées selon deux critères : la rapidité de convergence et la qualité de la solution optimale. Pour cela nous simulons l'optimisation des épaisseurs des plaques d'une protection tricouche AA6-air10-AA6 impactée par un projectile D20-Acier-Plat à 300 m/s pour en minimiser la masse. La contrainte $v_{res} \le 0$ est ajoutée, les itérations qui ne la respectent pas sont masquées dans les résultats finaux.

La Figure H-1 montre les évolutions de la masse au cours des itérations de chacun des algorithmes. On voit que l'algorithme évolutionnaire (« Evol ») ne converge pas, du moins pas en un nombre d'incréments raisonnable. De plus, l'algorithme d'optimisation quadratique successive (« NLPQLP ») s'arrête après quelques incréments sur des solutions non-optimisées. Pour ce dernier, la difficulté à converger pourrait venir de la construction de la loi d'évolution, qui ne serait pas adaptée aux simulations d'impact. En effet, la complexité des mécanismes en jeu induit un certain bruit numérique qui pourrait conduire à une mauvaise estimation du gradient dès le début de l'optimisation. La convergence vers une solution optimale est alors difficile, voire impossible. A contrario, la technique de Hooke-Jeeves et la
méthode de Nelder-Mead (« Downhill Simplex ») se montrent plus robustes. Bien que cela entraîne parfois des doublons, leur évolution n'est pas perturbée par d'éventuelles instabilités de calcul et ils parviennent à converger vers une solution optimale. On remarque que la technique de Hooke-Jeeves semble converger plus rapidement, mais elle semble bloquée dans un minimum local moins intéressant que celui du Downhill Simplex (à noter que ces deux algorithmes ont un nombre total d'itérations proche, mais au-delà de l'itération n°64 Hooke-Jeeves ne respectait plus la contrainte $v_{res} \le 0$). Par construction, la technique de Hooke-Jeeves est très dépendante de son estimation de départ et ne peut que trouver un minimum local autour d'elle, alors que le Downhill Simplex peut balayer un plus large espace de solution et est donc plus susceptible de trouver un minimum local plus intéressant, voire un minimum global.

Comme le nombre d'itération pour leur convergence est assez proche et que nous souhaitons favoriser la qualité de la solution optimale finale, le Downhill Simplex est choisi pour l'étude.

<figure><img src="image_160.png" /><figcaption>Figure H-1 : Comparaison entre les quatre algorithmes d'optimisation : Méthode de Nelder-Mead (« Downhill Simplex »), algorithme évolutionnaire (« Evol »), technique de Hooke-Jeeves, et l'algorithme d'optimisation quadratique successive (« NLPQLP »). Gauche : Optimisation des épaisseurs des plaques d'un assemblage tricouche AA6-air10-AA6 impactée par un projectile D20-Acier-Plat à 300 m/s. Les itérations pour lesquelles le projectile n'est pas bloqué sont masquées. Droite : Zoom</figcaption></figure>
# I. Caractérisation de l'acier 40CMD8 (40CrMnMo8)

Des essais de compression quasi-statiques et dynamiques ont été réalisés à l'Institut Clément Ader sur des éprouvettes cylindriques de diamètre 7 mm et de hauteur 8 mm d'acier 40CMD8 (40CrMnMo8). Les essais quasi-statiques ont été menés sur une machine Instron 5900R (charge maximale 100 kN) à des vitesses de déformation de $10^{-1}$ s$^{-1}$, $10^{-2}$ s$^{-1}$ et $10^{-3}$ s$^{-1}$. Les essais de compression dynamique ont été menés au moyen de barres de Hopkinson à des vitesses de déformation de 350 s$^{-1}$, 800 s$^{-1}$ et 1200 s$^{-1}$.

Les coefficients du modèle constitutif de Johnson-Cook renseignés en Annexe L.2 p213 (accessible uniquement dans le document confidentiel) ont ainsi été identifiés. Les courbes expérimentales et numériques sont tracées en Figure I-1.

<figure><img src="image_161.png" /><figcaption>Figure I-1 : Réponse en compression d'une éprouvette d'acier 40CMD8. Comparaison expérimentale et numérique</figcaption></figure>
# J. Énergies Abaqus

La signification des énergies des simulations numériques est tirée de la documentation d'Abaqus [Dassault Systèmes, 2016] :

**ALLAE** : Énergie de déformation « artificielle » associée aux contraintes utilisées pour éviter des modes singuliers (comme les modes d'hourglass).

**ALLCD** : Énergie dissipée par viscoélasticité.

**ALLCW** : Travail fourni par les pénalités liées aux contraintes (corps rigides, liaisons, ...)

**ALLDC** : Énergie dissipée par le contrôle de distorsion.

**ALLDMD** : Énergie dissipée par l'endommagement.

**ALLFC** : Énergies des cavités de fluide, définie comme l'opposé du travail fourni par toutes les cavités de fluide.

**ALLFD** : Énergie dissipée par frottement.

**ALLHF** : Énergie thermique dissipée vers l'extérieur du modèle.

**ALLIE** : Énergie de déformation totale (ALLIE = ALLSE + ALLPD + ALLCD + ALLAE + ALLDMD + ALLDC + ALLFC).

**ALLIHE** : Énergie thermique interne.

**ALLKE** : Énergie cinétique.

**ALLMW** : Travail fourni par la masse ajoutée par le « mass scaling ».

**ALLPD** : Énergie dissipée par les déformations plastiques et viscoplastiques.

**ALLPW** : Travail fourni par les pénalités liées au contact.

**ALLSE** : Énergie de déformation élastique.

**ALLVD** : Énergie dissipée par les effets visqueux.

**ALLWK** : Travail externe.

**ETOTAL** : Énergie totale (ETOTAL = ALLKE + ALLIE + ALLVD + ALLFD + ALLIHE – ALLWK – ALLPW – ALLCW – ALLMW – ALLHF).