# La perte d'information par sondage (Suite)

Pierre Thionet

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Pierre Thionet. La perte d'information par sondage (Suite) : (Calcul des probabilités). Annales de l'ISUP, 1960, IX (1), pp.9-87. hal-04092749

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Pierre THIONET

# LA PERTE D'INFORMATION
PAR SONDAGE

## (Calcul des probabilités)

## (Suite)
# LA PERTÉ D'INFORMATION
## PAR SONDAGE

## (Calcul des probabilités)

Pierre THIOTET
# CHAPITRE V

## LES SONDAGES A PLUSIEURS DEGRÉS

### I - GENERALITES -

L'étude des sondages à deux degrés englobe comme cas limites :

- le sondage en grappe(1) si le 2ème degré disparaît;

- le sondage stratifié si le 1er degré disparaît.

Par sondage à plusieurs degrés on entend ici plus généralement une combinaison quelconque de sondages en degrés, avec stratifications, sous-stratifications, tirages en grappes, probabilités égales ou inégales, avec ou sans remise des boules tirées. Sont exclus les schémas de tirage avec probabilités inégales tels que les unités de sondage ne puissent jamais être prises qu'une seule fois(2).

Le découpage est supposé complet et invariable. Enfin les divers tirages au sort sont supposés indépendants entre eux. A chaque tirage, le nombre d'unités de sondage à tirer est prédéterminé, indépendant des tirages précédents, que ce nombre soit fixe ou en proportion fixe de certains paramètres de la population et du sondage. De plus chaque tirage est indépendant des tirages voisins : dans les autres strates et les autres unités de sondage de même rang.

Toutes ces hypothèses sont habituelles en technique de sondage; par exemple établir des compensations entre strates (Goodman et Kish) n'est pas d'usage courant.

<footnote>(1) **Echantillon en grappes** - Mêmes formules que pour le sondage à 1 degré, en désignant par σ l'écart-type entre les grappes et non entre les unités.</footnote>

<footnote>(2) Car il en résulte des complications que les travaux les plus récents commencent seulement à surmonter (voir T. 5, ch. IV).</footnote>
## II - ECHANTILLON STRATIFIE -

Considérons une population découpée en strates numérotées 1, 2, ...h... Adoptons les notations suivantes :

<table><thead><tr><th>Strate h</th><th>Population</th></tr></thead><tbody><tr><td>effectif : $v_h$</td><td>$v = \sum_h v_h$</td></tr><tr><td>moyenne des $x_{h1}$ : $\bar{x}_h$</td><td>$\bar{x} = \sum_h \bar{x}_h / v$</td></tr><tr><td>écart-type des $x_{h1}$ : $\sigma_h$</td><td>estimateur sans biais de $\bar{x}$ :</td></tr><tr><td>effectif de l'échantillon : $n_h$</td><td>$\bar{X} = \sum_h \frac{v_h}{n_h}$</td></tr><tr><td>moyenne des $x_{h1}$ échantillon : $\bar{\bar{x}}_h$</td><td></td></tr></tbody></table>

La variance est :

$$ \operatorname{var}(\bar{X}) = \sum_n \left(\frac{v}{\nu}\right)^2 \operatorname{var}(\bar{X}_h) $$

c'est-à-dire :

$$ = \sum_n \left( \frac{v_h}{\nu} \right)^2 p(v_h, n_h) $$

Si l'on envisage, toutes choses égales d'ailleurs, un second échantillon d'effectifs $n'_h$ tels qu'on ait (quel que soit h)

$$ n'_h \le n_h $$

on aura :

$$ \begin{aligned} \operatorname{var}(\bar{X}' - \operatorname{var} \bar{X}) &= \sum_h \left(\frac{v_h}{\nu}\right)^2 [p(v_h, n'_h) - p(v_h, n_h)] \\ &= \sum_h \left(\frac{v_h}{\nu}\right)^2 \mathbb{P}(n_h, n'_h) \end{aligned} $$

Et si l'on pose, symboliquement cette fois :

$$ \begin{cases} \operatorname{var} \bar{X}' = p(v, n) \\ \operatorname{var} \bar{X}' = p(v, n') \end{cases} \quad \left\{ \sum_h \left(\frac{v_h}{\nu}\right)^2 p(n_h, n'_h) = P(n, n') \right. $$

on aura bien la relation :

$$ p(v, n') = p(v, n) + \mathbb{P}(n, n') $$

La variance $\operatorname{var} \bar{X}$ est une perte d'information.

### Topologie du sondage stratifié.

Figurons tous les estimateurs $\bar{X}$ (ci-dessus) par des points sur un demi-axe, points rangés par ordre de variance croissante; c'est la représentation la plus simple.
Par exemple, on peut porter, à partir de l'origine U, la longueur $v\bar{X} = (U\bar{X})$; la distance $(XX')$ de deux points de l'axe est égale à la combinaison des suppléments de perte d'information par strate, tandis que $(v\bar{X})$ est la combinaison des pertes d'information par strate (combinaisons linéaires à coefficients constants).

Toutefois l'ordre des $\bar{X}$ sur leur axe dépend des grandeurs respectives des paramètres $\sigma_h$ et $\sigma_h'$ de chaque strate. Pour obtenir une figure invariante, on représentera les sondages stratifiés par le grillage $(n_h)$ : à chaque sommet de ce grillage correspond l'estimateur sans biais $\bar{X}$ du plan de sondage correspondant.

### Remarque 1.

Si les tirages sont avec remise, les "barreaux" du grillage sont en nombre infini : ils s'accumulent, leurs limites correspondant à la connaissance complète d'une certaine strate.

### Remarque 2.

Les "barreaux" du grillage (sur toute leur longueur) sont axes d'information : l'échantillon extrait de toutes les strates, sauf une, restant fixe, la variation de l'effectif de cette seule strate correspond à des tirages dans une urne unique.

Le seul terme de la variance $v\bar{X}$, qui correspond à cette strate, varie ; c'est $v\bar{X}_h$ (au facteur $(v_h/v)^2$ près); $v\bar{X}$ vérifie donc bien la condition d'alignement.

### Représentation métrique multidimensionnelle. Usage d'une dimension par strate.

Dans l'espace euclidien (E) à L dimensions, (par exemple à 3 dimensions pour 3 strates), on conviendra que le point $\bar{X}$ de coordonnées $\xi_h$

$$ \xi_h = \left(\frac{v_h}{v}\right)^2 v \bar{X}_h $$

représente l'estimateur $\bar{X}$, l'origine des coordonnées représentant $\bar{x}$.

D'où :

$$ v\bar{X} = \sum_h \xi_h $$

Plus généralement, le point $\bar{X}$ représente le plan de sondage $(n_h)$.

Lorsqu'on donne aux divers $n_h$ toutes les valeurs permises 1, 2,
... $v_h$, l'ensemble des points $\bar{X}$ constitue les "nœuds" ou sommets d'un grillage.

Et lorsqu'on fixe les valeurs de tous les $n_h$ sauf un, le sous-ensemble de points s'aligne sur une demi-droite constituant un "barreau" dudit grillage.

On ne nuit pas à la généralité en se limitant ici à 3 strates.

a) Soit $\bar{X}$ et $\bar{X}'$ deux estimateurs représentés par deux points du même "barreau", - disons que :

$$n_1 > n'_1; \quad n_2 = n'_2; \quad n_3 = n'_3.$$

On aura :

$$v \bar{X}' - v \bar{X} = \varepsilon (\bar{X}' - \bar{X})^2 = \left(\frac{v_1}{v}\right)^2 \frac{v_1 \sigma_1^2}{v_1 - 1} \left(\frac{1}{n'_1} - \frac{1}{n_1}\right)$$

b) Supposons à présent $n_1 > n'_1$; $n_2 > n'_2$; $n_3 = n'_3$. On peut définir un point intermédiaire $\bar{X}''$ ($n_1, n'_2, n'_3$) de façon que :

$$v \bar{X}' - v \bar{X}'' = \varepsilon (\bar{X}' - \bar{X}'')^2 = \left(\frac{v_1}{v}\right)^2 \frac{v_1 \sigma_1^2}{v_1 - 1} \left(\frac{1}{n'_1} - \frac{1}{n_1}\right)$$

$$v \bar{X}'' - v \bar{X} = \varepsilon (\bar{X}'' - \bar{X})^2 = \left(\frac{v_2}{v}\right)^2 \frac{v_2 \sigma_2^2}{v - 1} \left(\frac{1}{n'_2} - \frac{1}{n_2}\right)$$

$$v \bar{X}' - v \bar{X} = \varepsilon (\bar{X}' - \bar{X}'')^2 + \varepsilon (\bar{X}'' - \bar{X})^2 = \varepsilon (\bar{X}' - \bar{X})^2$$

Ici les segments $\overline{XX}'$ et $\overline{X'X}$ sont parallèles aux axes; dans le cas général, c'est tout une ligne polygonale $\overline{XX}'$, $\overline{X'X}$, ..., $\overline{X''X'}$, dont chaque segment est parallèle à un axe de coordonnées, qu'il y aurait lieu de considérer.

Une confusion à éviter.

On évitera de confondre l'espace (E) considéré ci-dessus avec l'espace (A) dont on fait aussi usage à propos de sondage. Tout aléatoire y est figuré par un vecteur. Deux aléatoires indépendants sont figurés par deux vecteurs orthogonaux de (A), l'espérance mathématique du carré de la différence entre deux vecteurs correspond au carré de la distance dans (A).

Par exemple, $\bar{X}$ et $\bar{X}'$ étant définis comme ci-dessus, on a :

$$\varepsilon (\bar{X}' - \bar{X})^2 = \varepsilon (\bar{X}' - \bar{X})^2 + \varepsilon (\bar{X} - \bar{X})^2$$
$$ \varepsilon(\overline{X}' - \overline{X}) \cdot (\overline{X} - \overline{x}) = 0 $$

relation qui correspond à l'orthogonalité des vecteurs $\overline{XX}$ et $\overline{XX}'$ dans l'espace (A) évoqué, et non dans l'espace euclidien (E).

Bien au contraire, on a vu dans l'exemple (a) que $\overline{XX}'$ pouvait être parallèle à un axe, alors que $\overline{XX}$ n'était pas forcément parallèle à l'autre axe, et d'ailleurs sans qu'on ait exigé que les axes de coordonnées de (E) soient rectangulaires.

On peut en particulier en déduire le paradoxe suivant. Posons :

$$ X^* = \lambda \overline{X} + (1 - \lambda) \overline{X}' $$

estimateur sans biais de $\overline{x}$ au même titre que $\overline{X}$ et $\overline{X}$; dans l'espace (A) il ne fait aucun doute que le point représentant cette combinaison linéaire de $\overline{X}$ et $\overline{X}'$ est sur le segment joignant les points $\overline{X}$ et $\overline{X}'$. On pourrait donc croire que, dans l'espace euclidien (E) il en serait de même. Ce serait inexact.

Le calcul montre immédiatement que :

$$ \varepsilon(X^* - \overline{X})^2 = (1 - \lambda)^2 \varepsilon(\overline{X}' - \overline{X})^2 $$

$$ \varepsilon(X^* - \overline{X}')^2 = \lambda^2 \varepsilon(\overline{X} - \overline{X}')^2 $$

et il est donc impossible qu'on ait :

$$ \text{distance } \overline{XX}' = \text{distance } \overline{XX}^* + \text{distance } X^* \overline{X}' $$

lorsque $\overline{X}$ et $\overline{X}'$ sont (comme en a) sur un barreau du grillage.

### Sondages stratifiés particuliers.

#### a) Sondages représentatifs.

De l'ensemble des points $\overline{X}$ ou ($n_h$) on va extraire les points ($f v_h$) sous-ensemble à un seul paramètre $f$; dans l'espace (E), les $\xi_h$ sont fonctions linéaires de $1/f$ et les points sont alignés.

$$ \xi_h = a_h \left( \frac{1}{f} - 1 \right) $$

Lorsque $f v_h$ n'est pas entier, on peut convenir de rejeter ou non les points. On retiendra que le sondage "représentatif" est représenté par une division sur un axe, homothétique de celle du sondage simple.
b) <u>Sondage "optimum" au sens de Neyman et Yates.</u>

On sait qu'en adoptant des $n_h$ proportionnels aux $v_h \sigma_h / \sqrt{C_h}$, on
rend la variance $v\bar{X}$ minimum à coût constant $\Sigma C_h n_h = C$.

Les points ($n_h$) correspondants (après arrondissement des $n_h$) se
trouvent sensiblement eux aussi <u>sur un axe d'information :</u>

$$
\xi_h = b_h - \frac{1}{C} b'_h
$$

On sait effectivement que $v\bar{X}$ a pour expression :

sondage représentatif : $\sum \left( \frac{v_h}{\bar{v}} \right)^2 \frac{\sigma_h^2}{v_h - 1} \left( \frac{1}{f} - 1 \right);$

sondage "optimum" : $\sum \left(\frac{v_h}{\bar{v}}\right) \frac{\sigma_h^2}{v_h - 1} - \frac{1}{C} \left[ \sum \frac{v_h}{\bar{v}} \sigma_h \sqrt{\frac{v_h C_h}{v_h - 1}} \right]$

III - SONDAGE A 2 DEGRES A 2 PARAMETRES, AVEC TIRAGES
EQUIPROBABLES -

On a indiqué déjà (Ch. III, § II) que le sondage à 2 degrés et 2
paramètres (m, n̄) (avec vᵢ = v̄) correspondait au treillis le plus
simple : le grillage (m, n̄) dont les sommets sont repérés par les en-
tiers (m, n̄), 1 ≤ m ≤ μ, 1 ≤ n̄ ≤ v̄.

Le point (μ, ν̄) représente la connaissance parfaite; tandis que
le point (m, n̄) représente les sondages de taille (m, n̄).

Posons : $\bar{X} = S_i S_j x_{i,j} / m \bar{n}$ ; $\bar{\bar{x}} = \sum_i \sum_j x_{i,j} / \mu \bar{v}$

$\bar{x} = S_i \bar{x}_i / m$, avec $\bar{x}_i = \sum_j x_{i,j} / \bar{v}$

$\bar{\bar{X}} = \Sigma_i \bar{X}_i / \mu$, avec $\bar{\bar{X}}_i = S_j \bar{x}_{i,j} / \sqrt{\bar{n}}$

Attachons $\bar{X}$ à (m, $\bar{n}$) et $\bar{\bar{x}}$ à (μ, $\bar{v}$), $\bar{x}$ à (m, $\bar{v}$) et $\bar{\bar{X}}$ à (μ, $\bar{n}$).

Nous avons montré ailleurs (T. 4) que, pour tous les sondages à
deux degrés (indépendants l'un de l'autre), on avait :

$$
\begin{align*}
v \bar{X} &= \mathcal{E} (\bar{X} - \bar{\bar{x}})^2 = \mathcal{E} (\bar{X} - \bar{x})^2 + \mathcal{E} (\bar{x} - \bar{\bar{x}})^2 \\
&= \mathcal{E} (\bar{X} - \bar{\bar{X}})^2 + \mathcal{E} (\bar{\bar{X}} - \bar{x})^2
\end{align*}
$$

c'est-à-dire :
$$ \varepsilon (\bar{X} - \bar{x}) \cdot (\bar{x} - \bar{\bar{x}}) = 0 $$

$$ \varepsilon (\bar{X} - \bar{\bar{x}}) \cdot (\bar{\bar{X}} - \bar{x}) = 0 $$

A la première décomposition de $\mathcal{V}\bar{X}$ correspond une première famille d'axes :

$$ \varepsilon (\bar{x} - \bar{\bar{x}})^2 = \frac{\sigma_o^2}{m} \frac{\mu - m}{\mu - 1} = \text{constante} $$

donc

$m$ = constante; $\bar{n}$ variable (verticales)

avec

$$ \mathcal{V}\bar{X} - \varepsilon (\bar{x} - \bar{\bar{x}})^2 = \frac{1}{m\mu} \sum_i \frac{\bar{\nu} \sigma_i^2}{\bar{\nu} - 1} \left( \frac{1}{\bar{n}} - \frac{1}{\bar{\nu}} \right) $$

A la deuxième décomposition de $\mathcal{V}\bar{X}$ correspond une deuxième famille d'axes :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon (\bar{X} - \bar{\bar{x}})^2 = \frac{1}{\mu^2} \frac{\sum_i \sigma_i^2}{\bar{n}} \frac{\bar{\nu} - \bar{n}}{\bar{\nu} - 1} = \text{constante} \\ \\ \bar{n} = \text{constante; } m \text{ variable (horizontales)} \end{array} \right. $$

$$ \text{avec} \quad \mathcal{V}\bar{X} - \varepsilon (\bar{\bar{X}} - \bar{\bar{x}})^2 = \frac{\mu \sigma_o^2}{\mu - 1} + \frac{1}{\mu} \sum \frac{\bar{\nu} \sigma_i^2}{\bar{\nu} - 1} \left( \frac{1}{\bar{n}} - \frac{1}{\bar{\nu}} \right) \left( \frac{1}{m} - \frac{1}{\mu} \right) $$

La formule de récurrence est valable pour $\mathcal{V}\bar{X}$ à condition de compter le trajet $\bar{X}\bar{\bar{X}}'$ le long d'axes d'information et jamais directement entre deux points qu'un axe ne relie pas. Entre les points $(m, \bar{n})$ et $(m', \bar{n}')$, $m > m'$, $\bar{n} > \bar{n}'$ on doit suivre un trajet en ligne brisée empruntant les côtés du grillage.

### Remarque.

On a sur les premiers axes

$$ \theta(v) - \theta(\pi) = \left[ \frac{\bar{\nu} - 1}{\bar{\nu}} - \frac{\bar{n} - 1}{\bar{n}} \right] = \frac{1}{\bar{n}} - \frac{1}{\bar{\nu}} $$

et sur les seconds

$$ \theta(v) - \theta(\pi) = \left[ \frac{\mu - 1}{\mu} - \frac{m - 1}{m} \right] = \frac{1}{m} - \frac{1}{\mu} $$
## Représentation métrique

Dans l'espace euclidien, considérons le point de coordonnées $(\alpha, \beta, \gamma)$

$$ \alpha = \varepsilon (\overline{\mathbf{x}} - \overline{\overline{\mathbf{x}}})^2; $$

$$ \beta = \varepsilon (\overline{\overline{\mathbf{X}}} - \overline{\overline{\overline{\mathbf{x}}}})^2; $$

$$ \gamma = \left( \frac{\mu}{m} - 1 \right) \beta $$

On a par ailleurs :

$$ \alpha = \frac{\sigma_o^2}{\mu - 1} \left( \frac{\mu}{m} - 1 \right) $$

donc :

$$ \frac{\sigma_o^2}{\mu - 1} \gamma = \alpha \beta $$

équation d'un paraboloïde hyperbolique P. H. dont les deux familles de génératrices correspondent respectivement à $\alpha$ = constante et $\beta$ = constante; c'est-à-dire se projettent suivant le grillage (m, $\overline{n}$) sur $(\alpha\beta)$.

## Double décomposition de $\mathcal{V}\overline{\mathbf{X}}$.

$$ \begin{aligned} \mathcal{V}\overline{\mathbf{X}} &= \alpha + (\beta + \gamma) = \varepsilon(\overline{\mathbf{x}} - \overline{\overline{\mathbf{x}}})^2 + \frac{\mu}{m} \left[ \frac{1}{\mu^2} \frac{\sum \sigma_i^2}{\overline{n}} \frac{\overline{\mathbf{v}} - \overline{\overline{\mathbf{n}}}}{\overline{\mathbf{v}} - 1} \right] \\ &= \varepsilon(\overline{\mathbf{x}} - \overline{\overline{\mathbf{x}}})^2 + \varepsilon(\overline{\mathbf{X}} - \overline{\overline{\mathbf{x}}})^2 \end{aligned} $$

$$ \mathcal{V}\overline{\mathbf{X}} = (\alpha + \gamma) + \beta = \varepsilon(\overline{\mathbf{X}} - \overline{\overline{\mathbf{X}}})^2 + \varepsilon(\overline{\mathbf{X}} - \overline{\overline{\overline{\mathbf{X}}}})^2 $$

$$ \text{car} \qquad \varepsilon(\overline{\mathbf{X}} - \overline{\overline{\mathbf{X}}})^2 = \varepsilon(\overline{\mathbf{x}} - \overline{\overline{\mathbf{x}}})^2 + \varepsilon[(\overline{\mathbf{X}} - \overline{\overline{\mathbf{x}}}) (\overline{\overline{\mathbf{X}}}-\overline{\overline{\mathbf{x}}})^2 = \alpha + \gamma $$

En résumé les plans de sondage à deux degrés, dans le cas où on a :

$$ n_i = \overline{n}, \qquad v_i = \overline{v}, $$

sont représentés par les nœuds d'un treillis dessiné sur un certain paraboloïde hyperbolique (P.H.), treillis dont la projection sur le plan des $(\alpha, \beta)$ est un grillage.

Les côtés des mailles du treillis sont tous portés par des génératrices (de l'un ou l'autre système) de P. H.

La perte d'information est la somme $(\alpha + \beta + \gamma)$ des trois coordonnées des points figuratifs.
Les points situés sur des plans parallèles, d'équation :

$$α + β + γ = \text{constante}$$

représentent des sondages donnant d'égales pertes d'information.

### Autre métrique.

Représentons le même phénomène avec des coordonnées $α'$, $β'$, $γ'$ égales à $\sqrt{α'\sqrt{β'}\sqrt{γ'}}$. C'est même l'idée la plus naturelle, quand on a l'habitude de considérer $\mathscr{E}(\bar{X} - \bar{\bar{x}})^2$, etc. comme les carrés de certaines distances, et les relations

$$ \begin{aligned} \mathscr{E}(\bar{X} - \bar{\bar{x}})^2 &= \mathscr{E}(\bar{X} - \bar{\bar{X}})^2 + \mathscr{E}(\bar{\bar{X}} - \bar{\bar{x}})^2 \\ &= \mathscr{E}(\bar{X} - \bar{\bar{x}})^2 + \mathscr{E}(\bar{\bar{x}} - \bar{\bar{x}})^2 \end{aligned} $$

comme deux expressions du théorème de Pythagore.

Alors la perte d'information est : $α'^2 + β'^2 + γ'^2$ c'est-à-dire le carré de la distance de $\bar{x}$ à $\bar{X}$.

Il est à noter que (P. H.) se transforme en un autre paraboloïde hyperbolique P. H' d'équation :

$$\sqrt{\mu - 1} \quad \gamma' = \alpha' \beta'$$

toutes les propriétés relatives aux treillis, grillage et génératrices rectilignes se conservent. Mais les lieux des points d'égales pertes d'information sont les sphères de centre $\bar{x}$.

### Remarque.

On évitera de confondre P. H. ou P. H' et l'espace (A) des sondages où, $\bar{X}_1$ et $\bar{X}_2$ étant représentés par deux points d'une même génératrice de P. H. ou P. H', on aurait :

$$(\bar{x} \bar{X}_2)^2 = (\bar{x} \bar{X}_1)^2 + (\bar{X}_1 \bar{X}_2)^2$$

Il serait absolument vain de vouloir représenter cet espace dans l'espace à trois dimensions ; chaque génératrice du P. H. représente elle-même un espace euclidien à $\bar{\nu}$ dimensions.
IV - LES SONDAGES A PLUSIEURS DEGRES EN GENERAL -

1/ - Tirages équiprobables : Cas de deux degrés de sondage.

La double décomposition de la variance a été démontrée dans le cas général, à la seule condition d'écrire :

$$ \epsilon(\bar{X} - \bar{x})^2 = \frac{1}{m\mu} \sum_i \frac{\sigma_i^2 (v_i - n_i)}{n_i (v_i - 1)} $$

et en supposant exhaustifs les tirages élémentaires.

Au lieu de deux paramètres (m, n), il y a (μ + 1) paramètres (m, n), car on suppose les n_i définis pour toutes les unités du 2ème degré, tirées ou non.

Si m ne change pas, la variation des n_i a le même effet que sur un sondage stratifié, de sorte que $\sum \bar{X}$ se comporte comme une perte d'information au sens du chapitre I, représentable sur un axe. A chaque m correspond un axe, et leur ensemble peut être figuré par des barreaux parallèles empruntés à un grillage. Pourtant chaque axe symbolise un grillage à μ dimensions comme pour un sondage stratifié.

Si l'on fait varier m tout seul sans toucher aux n_i, la seconde décomposition de la variance entre en jeu; et il existe une seconde famille d'axes (n_i) représentée par les seconds barreaux du grillage, croisés avec les premiers. Ces axes ne sont d'ailleurs pas ordonnés, de même que l'ensemble des points (n_i).

Pour passer d'un plan de sondage à un autre (d'effectif plus réduit) on se déplacera sur une génératrice d'un système, puis sur une génératrice de l'autre système; et on aura encore le droit de dire que la variance est une perte d'information.

Représentation euclidienne métrique.

α n'est pas modifié et β ne l'est guère :

$$ \beta = \frac{1}{\mu} \sum_i \frac{\sigma_i^2 (v_i - n_i)}{n_i (v_i - 1)} $$

On a encore :

$$ \gamma = \frac{\mu - m}{m} \beta $$
## Conclusion.

On retrouve le même P. H. qu'en II, et la même famille (dénom-
brable) de génératrices m = constante; en revanche sur le deuxième
faisceau de génératrices, la substitution des n<sub>i</sub> à n augmente très no-
tablement le nombre de génératrices du P.H. réellement utilisées
comme axes d'information,

2/ - Extension à un nombre quelconque de degrés de sondage.

On sait que la variance d'un sondage à trois degrés et plus se
décompose (et de plusieurs façons) comme celle du sondage à deux
degrés. Il est possible de représenter les sondages à d degrés par les
nœuds d'un grillage généralisé à d dimensions.

Sur un barreau quelconque du grillage, $\mathcal{V} \bar{X}$ satisfait à la **condi-**
**tion de récurrence.** Pour comparer deux sondages quelconques, il
faudra se déplacer de proche en proche le long des barreaux. Si les
effectifs de l'un sont tous au moins égaux à ceux de l'autre, on peut
alors écrire la condition de récurrence.

3/ - Cas où les tirages élémentaires sont bernoulliens.

On sait que la double décomposition de la variance du sondage à
deux degrés est encore valable avec des tirages bernoulliens. La re-
présentation par P. H. est encore valable :

a) en remplaçant (μ - 1) par μ dans l'équation du P. H. ;

b) en faisant intervenir une infinité dénombrable de géné-
ratrices du P. H. de chaque famille (1 < n̄, 1 < m) et non plus un nom-
bre fini de génératrices.

Les grillages comprennent une infinité dénombrable de barreaux
des deux systèmes.

On peut accroître le nombre de degrés de sondage, - ou employer
les sondages bernoulliens pour certains degrés et les sondages exhaus-
tifs pour d'autres degrés.

4/ - Cas où il existe des strates et des sous-strates.

A condition d'adapter les axes utilisés, rien n'empêche de com-
pliquer le plan de sondage avec des strates (au 1er degré), des sous-
strates (au 2ème degré), etc.
### 5 / - Cas où les tirages ne sont plus équiprobables.

Limitons-nous au cas le plus courant où les probabilités de tirage au 1er degré sont proportionnelles à la taille des unités primaires de sondage et où une seule unité primaire est tirée; au second degré, les tirages sont supposés équiprobables.

On sait que la double décomposition de la variance est valable avec des probabilités de tirage inégales, à condition de modifier légèrement les définitions de $\bar{X}$ et $\bar{x}$ (moyennes pondérées pour $\bar{X}$ et $\bar{x}$, simples pour $\bar{X}$ et $\bar{x}$).

On peut donc étendre la théorie du grillage et aussi celle du paraboloïde hyperbolique.

$\bar{X}$ suit la formule de récurrence le long des axes d'information, et cette formule s'étend à un trajet en ligne brisée empruntant les axes ou génératrices; ceci suppose que la taille de l'échantillon s'est réduite (c'est-à-dire qu'aucun des effectifs n'augmente quand certains diminuent).

## V - APPLICATION A L'ETUDE DU SONDAGE A 3 DEGRES (ET A 3 PARAMETRES) -

### 1 / - Décomposition de la variance en 7 composantes.

On abandonnera les notations précédentes (Réf.T.4) pour alléger. Si on désigne par $X_{111}$ ou III l'estimateur sans biais de $X_{000}$ ou 000, la variance de cet estimateur s'écrit :

$$ 
\begin{aligned}
V &= E(X_{111} - X_{000})^2 = E(III - 000)^2 \\
&= E(III - 0II)^2 + E(0II - 00I)^2 + E(00I - 000)^2 \\
&\text{etc.}
\end{aligned}
$$

Elle peut donc prendre six expressions différentes, qu'il est comme de représenter comme suit (avec 12 composantes) :

$$ a + B + \gamma \qquad a + C' + \beta $$

$$ b + C + \alpha \qquad b + A' + \gamma $$

$$ c + A + \beta \qquad c + B' + \alpha $$

Toutefois on a :
$$a + B = b + A' = a + b + (ab) = V - \gamma$$

$$b + C = c + B' = b + c + (bc) = V - \alpha$$

$$c + A = a + C' = c + a + (ca) = V - \beta$$

Ainsi la variance V s'exprime à l'aide de 9 composantes seulement : a, b, c, (ab), (bc), (ca), $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.

De même, il est clair que :

$$V - a = B + \gamma = C' + \beta = B + C' + (BC')$$

$$V - b = C + \alpha = A' + \gamma = C + A' + (CA')$$

$$V - c = A + \beta = B' + \alpha = A + B' + (AB')$$

En combinant ces résultats, il vient :

$$V = a + [b + (ab)] + [c + (ca)] + (BC')$$

$$= a + b + c + (ab) + (ca) + (bc) + (BC') - (bc)$$

et deux formules analogues; d'où il suit que :

$$(BC') - (bc) = (CA') - (ca) = (AB') - (ab) = z$$

et trois formules semblables, d'où trois expressions symétriques :

$$(B'C) - (\beta\alpha) = (C'A) - (\gamma\alpha) = (A'B) - (\alpha\beta)$$

On posera :

$$z = (abc)$$

en remarquant qu'avec le sondage à 2 degrés, les 3 composants de la variance V sont représentés par le symbole :

$$a + b + (ab) = (1 + a) \cdot (1 + b) - 1$$

et qu'avec le sondage à 3 degrés, le symbole à employer est, cette fois :

$$(1 + a) \cdot (1 + b) \cdot (1 + c) - 1 = a + b + c + (ab) + (bc) + (ca) + (abc)$$

2 / Théorème.

Les 7 composantes précédentes de V sont des variances (et par conséquent sont positives).
En effet :

(1) (ab) (bc) (ca) sont par définition des **covariances** :

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

$$ (ab) = B - b = A' - a $$

$$ = E((110 - 100)^2 - E(010 - 000)^2) $$

$$ = E((110 - 010)^2 - E(100 - 000)^2) $$

$$ = E[(110+000-100-010)(110+010-100-000)] $$

$$ = E[(110+000-100-010)(110+100-010-000)] $$

(2) Mais la théorie du sondage à 2 degrés(1) établit que (ab) est aussi une variance

$$ (ab) = E(110 - 100 - 010 + 000)^2 $$

Ceci résulte du choix **d'estimateurs sans biais** 110, 100 et 010,
qui entraîne l'orthogonalité de (110 - 100) et (100 - 000)

et celle de (110 - 010) et (010 - 000)
(comme sur le cube de la figure ci-dessus)

$$ \text{avec } E[(110 - 100) \cdot (100 - 000)] = E[(110 - 010) \cdot (010 - 000)] = 0 $$

$$ E[(100 - 000) \cdot (010 - 000)] = E[(110 - 100) \cdot (110 - 010)] = 0 $$

$$ \begin{aligned} \text{D'où} \\ E[(110-100) \cdot (010-000)] &= E[(110-010+010-000+000-100)(010-000)] \\ &= 0 + E(010 - 000)^2 + 0 \end{aligned} $$

D'où :

$$ \begin{aligned} E(110-100-010+000)^2 &= E(110-100)^2 + E(010-000)^2 - 2E[(110-100)(010-000)] \\ &= E(110-100)^2 + E(010-000)^2 - 2E(010-000)^2 \\ &= E(110-100)^2 - E(010-000)^2 \end{aligned} $$

c. q. f. d.

<footnote>(1) Cf. Annexe de l'Etude théorique n°6 de l'I. N. S. E. E. (Réf. T. 4).</footnote>
(3) Or il est clair que (abc) joue vis-à-vis de (ab) (bc) et (ac) le même rôle que (ab) vis-à-vis de a et b. Cette différence de deux variances est encore une variance du fait de l'orthogonalité (c'est-à-dire de l'absence de biais des estimateurs).

C. Q. F. D.

### Remarque.

Par exemple, dans les cas d'ordre r = 1, avec des tirages sans remise équiprobables, on sait que (ab) est de la forme :

$$ (ab) = B - b = \frac{H}{\ell} - \frac{H}{\lambda} = H\left(\frac{I}{\ell} - \frac{I}{\lambda}\right) = M $$

De même :

$$ (abc) = (AB') - (ab) = \frac{M}{n} - \frac{M}{v} = M\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{v}\right) $$

Si l'on se souvient que :

$$ b = \frac{H}{\lambda} = \frac{K}{\lambda} \left( \frac{1}{m} - \frac{1}{\mu} \right) $$

On arrive finalement à :

$$ (abc) = K \left( \frac{1}{\ell} - \frac{1}{\lambda} \right) \cdot \left( \frac{1}{m} - \frac{1}{\mu} \right) \cdot \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{v} \right) $$

### 3/ - Interprétation géométrique.

a) Dans l'espace à 3 dimensions, un parallélipipède de sommets (000), (001), ... (111), dont les 12 arêtes s'appelent a b c, A B C, A' B' C', α β γ, donne du plan de sondage une représentation topologique valable. La famille des plans de sondage est représentée par un grillage à 3 dimensions.

b) La représentation métrique nécessite au contraire un espace euclidien dont le nombre de dimensions n'est pas évident. On pourrait en prendre 9.

3 pour a b c;

3 pour (bc) (ca) (ab) ou a' b' c' ;

3 pour α- a, β- b, γ- c ou a'' b'' c''
c) Mais considérons le trois plans de coordonnées $a'$ $a''$, $b'$ $b''$, $c'$ $c''$.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Posons $V - (a + b + c) = \lambda$. On a $\lambda = a' + a'' = b' + b'' = c' + c''$ (voir la figure) c'est-à-dire que le point $x_{||}$ est astreint à rester sur une multiplicité linéaire à 4 paramètres dans le sous-espace $(a' \ b' \ c' \ a'' \ b'' \ c'')$ à 6 dimensions.

Il est donc naturel de chercher une représentation à 9 - 2 = 7 dimensions où V soit la somme des 7 coordonnées. C'est le cas pour

$$V = a + b + c + (ab) + (bc) + (ac) + (abc);$$

cette décomposition (parmi bien d'autres) n'est celle retenue que parce que le terme résiduel (abc) est une variance lui aussi.

### 4/ - Les trois familles d'axes d'information.

Il est clair qu'il y a symétrie entre tous les degrés de sondage, c'est-à-dire ici entre $(a \ a' \ a'')$ $(b \ b' \ b'')$ et $(c \ c' \ c'')$.

On fera varier simplement le paramètre du 1er degré pour obtenir la 1ère famille de génératrices rectilignes; il lui correspondra une famille analogue pour chacun des autres degrés de sondage.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Faisons varier a seulement, $b$, $c$ et ($bc$) restent constantes, pendant que $a$ ($ab$) ($ac$) ($abc$) varient. Les projections des points $x_{||}$ sur le sous-espace $a, b, c$ ($bc$), sont alignées, mais on ignore ce qui se passe dans le sous-espace ($ab$), ($ac$), ($abc$). Explicitons les composantes. Par exemple avec des tirages sans remise équiproba-bles, on a :

$$(ab) = k \left( \frac{I}{n} - \frac{I}{v} \right),$$

$$(ac) = k \left( \frac{I}{n} - \frac{I}{v} \right),$$

$$\text{avec } a = h \left( \frac{I}{n} - \frac{I}{v} \right)$$
$$ (abc) = k'' \left( \frac{I}{n} - \frac{I}{v} \right), $$

soit 4 fonctions linéaires de $(1/n)$; d'où l'axe (b, c); d'où :

## THEOREME -

Si la perte d'information est la variance, il existe trois familles d'axes d'information pour le sondage à 3 degrés; leur représentation métrique **euclidienne** demande un espace à 7 dimensions.

### Corollaire.

Pour le sondage à d degrés, il y a d familles d'axes, dans l'espace euclidien à $2^d - 1$ dimensions.

### Remarque. Changement de métrique.

Lorsqu'on emploie une perte d'information plus générale que la variance, la décomposition de cette perte en ses $(2^d - 1)$ composantes est invariante; et même tous les facteurs tels que $\frac{1}{\ell} - \frac{1}{\lambda}$, $\frac{1}{m} - \frac{1}{\mu}$, $\frac{1}{n} - \frac{1}{v}$, $\Theta(v) - \Theta(n)$ ne sont pas modifiés.

## V - SUR LES PROBLEMES DE REPARTITION OPTIMUM -

### 1/ - Généralités.

La répartition optimum (au sens de Neyman) de l'échantillon est celle qui (pour un effectif ou un coût de sondage donné) rend minimum la variance d'échantillonnage d'un paramètre privilégié. Plus généralement on peut songer à rendre minimum une certaine perte d'information.

Tant qu'on déduit celle-ci de la variance en substituant à $(x_i - x_j)^2/2$ une fonction $f(x_i x_j...)$ on est ramené aux problèmes classiques, moyennant quelque changement de paramètre; par exemple, au lieu d'effectifs de strate proportionnels aux

$$ \sqrt{v_h C_h^2 / v_h - 1} $$

on les prendrait proportionnels aux $\sqrt{Y_h}$, dans le cas du sondage stratifié (Neyman 1934).

Nous avons montré ailleurs (T.5, Ch. 3) comment à $\sigma_h$ pouvaient être substitués d'autres paramètres, quand le but immédiat du sondage était d'estimer, non plus un certain $\xi$
$$ \xi = \Sigma_i \Sigma_i x_{hi} $$

mais par exemple les $\sigma_h$ eux-mêmes (en vue d'estimer $\xi$ par un autre sondage).

## 2/ - Un problème nouveau.

Examinons ici le cas où l'on estime (avec biais) a la plus grande valeur de X; les cas de la plus petite valeur et de l'étendue sont analogues. La perte d'information sera définie comme ci-dessus (Chapitre IV, § II, 4) pour une strate

$$ [a - E \hat{X}]_h \quad (\text{strate h}) $$

Soit $\hat{X}$ le plus grand des $\hat{X}$ de strate, c'est-à-dire la plus grande valeur de l'échantillon. La perte d'information correspondante est manifestement :

$$ p = a - \delta \hat{X} = a - \sum \omega_h E \hat{X}_h $$

$\omega_h$ étant la probabilité que le plus grand des X soit dans la strate h.

La stratification optimum serait celle qui (pour un coût $\Sigma_h n_h C_h$ ou un effectif $\Sigma_h n_h$ donné) provoquerait la perte d'information minimum. Pratiquement on connaît une variable Y en corrélation étroite avec X et on stratifie suivant des tranches de valeurs de Y. Si $\hat{X}$ a de fortes chances de se trouver dans la strate 1, on "gonflera" l'échantillon de la strate 1; mais on hésitera à priver les autres strates de tout échantillon.

## 3/ - La solution.

Il est possible de montrer que l'effectif optimum $n_h$ par strate serait, en première approximation :

a) proportionnel à la racine carrée d'un certain écart moyen entre les $x_{hi}$;

b) inversement proportionnel à la racine carrée du coût moyen d'enquête par unité de sondage;

c) proportionnel à la racine carrée de l'effectif $v_h$ de la strate;

d) proportionnel à la racine carrée de la probabilité $\omega_h$.

Le calcul est facile quand on suppose les $n_h$ petits à côté des $v_h$, ou les n à côté des $v$ (l'indice h étant sous-entendu) : la loi de distribution du plus grand X des X échantillon est $[F(X)]^n = G(\hat{X})$ où F prend
elle-même les valeurs $\left[ 0, \frac{1}{v}, \frac{2}{v}, \dots, \frac{v-1}{v}, 1 \right]$ pour les valeurs crois-
santes $z_1, z_2, \dots, z_{\nu-1}, z_\nu = a$ de la variable X. $G(\hat{X})$ prend donc les va-
leurs en palier

$$
0, \left(\frac{1}{v}\right)^n, \left(\frac{2}{v}\right)^n, \dots, \left(\frac{v-1}{v}\right)^n, 1
$$

D'où

$$
a - E \hat{X} \equiv (z_v - z_{v-1}) \left(1 - \frac{1}{v}\right)^n + (z_{v-1} - z_{v-2}) \left(1 - \frac{2}{v}\right)^n + \dots + (z_2 - z_1) \left(1 - \frac{v-1}{v}\right)^n
$$

Remplaçons $\left(1 - \frac{j}{v}\right)^n$ par $e^{-\frac{nj}{v}} = u^j$ (en première approximation).

Admettons les $(z_j - z_{j-1})$ tous de l'ordre de $\delta$ ; posons $f = n/v$, $u = e^{-f}$;
il vient

$$
a - E \hat{X} \sim \delta \cdot (u + u^2 + \dots + u^{n-1}) \sim \delta \cdot u(1 - u)^{-1}
$$

Le minimum de la perte d'information (toutes strates)

$$
\Sigma_h \left[ \frac{\omega \delta u}{1 - u} \right]_h
$$

lié par

$$
\Sigma_h [c \vee f]_h = c_o
$$

est donné par

$$
(1 - u)^2 \div u \frac{\omega \delta}{c \nu} ]_h
$$

d'où approximativement $f^2 \div \left[ \frac{\omega \delta}{c v} \right]_h$

4 / - Evaluation des $\overline{w}_h$.

En réalité les $\overline{w}_h$ sont très différents les uns des autres lorsque
la stratification est faite efficacement. Il serait peu réaliste de n'en
pas tenir compte sous prétexte qu'on ne connaît pas leurs valeurs.

Lorsqu'on se sent capable de donner des valeurs numériques
subjectives q₁...qₕ, aux probabilités a priori que a₁... aₕ soit le plus
grand des a, il résulte de la formule de Bayes que wₕ et qₕ diffèrent peu
l'un de l'autre, si la stratification est bien faite; l'emploi de coefficients
arrondis 0,8; 0,5; ou 0,1 est très suffisant en pratique.
# CHAPITRE VI

## SONDAGES DIVERS

### I - SONDAGES A DEUX PHASES -

#### A. 1 / Généralités.

On dit que le sondage est à deux phases lorsque l'enquête porte sur un caractère auxiliaire Y soumis à un sondage double (1ère et 2ème phases) - et sur les caractères principaux X soumis au sondage à la seconde phase seulement de l'enquête. Ceci constitue un procédé pratique d'enquête (sociale par exemple) pourvu qu'il existe entre X et Y une forte corrélation, et que le coût des opérations d'enquête concernant Y sans X soit très faible comparé à celui concernant à la fois X et Y. Par exemple ce sera le cas lorsque Y est obtenu en consultant des documents, alors qu'il faut envoyer un enquêteur sur le terrain pour recueillir la valeur de X.

#### 2 / Cas où l'échantillon de la 2ème phase est extrait du grand échantillon de la 1ère phase.

Supposons que la 2ème phase porte sur un petit échantillon prélevé dans le grand échantillon tiré à la 1ère phase. Entre les deux phases on peut stratifier le grand échantillon suivant les valeurs de Y, et le petit est extrait de cette sous-population stratifiée; cette méthode est due à Neyman (1938)<fnref n="1" />.

Soit $\bar{X}_2$ l'estimateur de $\bar{x}$ après les deux phases, soit $\bar{X}_1$ l'estimateur qu'on pourrait former pour $\bar{x}$ avec le grand échantillon, si l'on recueillait les données $x_i$ correspondantes (ce qui n'est justement pas le cas). Admettons que $\bar{X}_1$ et $\bar{X}_2$ soient sans biais; il vient<fnref n="2" /> :

$$ 
\begin{align*} 
\nu \bar{X}_2 &= \varepsilon (\bar{X}_2 - x)^2 \\ 
&= \varepsilon (\bar{X}_2 - \bar{X}_1)^2 + \varepsilon (\bar{X}_1 - \bar{x})^2 + 2 \varepsilon (\bar{X}_2 - \bar{X}_1) (\bar{X}_1 - \bar{x}) 
\end{align*} 
$$

<footnote n="1">1) N2. La théorie de Neyman se limite à des tirages *bernoulliens*.</footnote>

<footnote n="2">2) Ce calcul est emprunté à T. 4.</footnote>
Mais on a :

$$ \varepsilon [(\bar{X}_2 - \bar{X}_1) \cdot (\bar{X}_1 - \bar{x})] = 0 $$

le tirage du petit échantillon ne dépendant pas des résultats de la 1ère phase.

D'autre part, pour un grand échantillon déterminé, on a :

$$ E_1(\bar{X}_2 - \bar{X}_1)^2 = V_1 \bar{X}_2 $$

la lettre V désignant une variance _aléatoire_ contrairement à la lettre v. Finalement il vient :

$$ v \bar{X}_2 = v \bar{X}_1 + \varepsilon (V_1 \bar{X}_2) $$

a) $v \bar{X}_1$ dépend de l'effectif du grand échantillon; par exemple si on le tire par simple tirage au sort (bernoullien ou exhaustif) $v \bar{X}_1$ est fonction de la taille m dudit échantillon :

$$ v \bar{X}_1 = \frac{\sigma^2}{m} \quad \text{ou} \quad \frac{\sigma^2}{m} = \frac{\mu - m}{\mu - 1} $$

$\mu$ étant l'effectif de la population.

b) $V_1 \bar{X}_2$ dépend des effectifs du grand et du petit échantillons; par exemple, si le grand échantillon est découpé en strates d'effectif $M_h$, où les tirages effectués sont exhaustifs, on a :

$$ V_1 \bar{X}_2 = \sum_h \left( \frac{M_h}{m} \right)^2 \frac{M_h S_h^2}{M_h - 1} \left( \frac{1}{n_h} - \frac{1}{M_h} \right) $$

avec $\sum M_h = m$

$n_h$ = effectif du petit échantillon, strate h.

$S_h^2$ = variance du grand échantillon, strate h.

On en déduit :

$$ \varepsilon (V_1 \bar{X}_2) = \sum_h \varepsilon \left[ \frac{M_h^2}{m^2} \left( \frac{1}{n_h} - \frac{1}{M_h} \right) \right] \varepsilon \left[ \frac{M_h S_h^2}{M_h - 1} \right] $$

en s'appuyant sur le fait que les deux crochets ont une covariance nulle, parce que, quel que soit $M_h$, l'espérance mathématique du dernier crochet est : $\mu_h \sigma_h^2 / \mu_h - 1$

Si l'on désigne alors par $p_h$ la probabilité de tirer une unité de la
strate h lors du tirage initial, on a finalement :

$$ \varepsilon(M_h) = m p_h; \quad \varepsilon(M_h^2) = (m p_h)^2 + m p_h q_h \quad \frac{\mu - m}{\mu - 1} $$

$$ \varepsilon(V_1 \bar{X}_2) = \sum_h \frac{\mu_h \sigma_h^2}{\mu_h - 1} \left[ \frac{P_h^2}{n_h} - \frac{P_h}{m} + \frac{\mu P_h q_h}{(\mu - 1)n_h} \left( \frac{1}{m} - \frac{1}{\mu} \right) \right] $$

### Remarque 1.

Pour m = μ, on retrouve la variance du sondage stratifié limite

$$ \lim \varepsilon V_1 \bar{X}_2 = \lim \bar{X}_S = \sum_h \left( \frac{\mu_h}{\mu} \right)^2 \frac{\mu_h \sigma_h^2}{\mu_h - 1} \left( \frac{1}{n_h} - \frac{1}{\mu_h} \right) $$

### Remarque 2.

Ce calcul suppose d'ailleurs $n_h$ inférieur ou au plus égal à $M_h$. Or si l'on se donne à l'avance m et les $n_h$ (avec $\sum_h n_h < m$) il y a souvent une probabilité non nulle (et parfois assez grande) que $n_h$ dépasse $M_h$.

Le calcul n'est donc correct que dans des cas limités, où m reste en fait voisin de μ.

Mais il faut distinguer deux possibilités :

$M_h = 0$ : Cas extrême où la strate (h) ne serait pas représentée du tout dans l'échantillon; si $\mu_h$ est très petit, l'inconvénient pratique est minime; si $\mu_h$ n'est pas petit, le cas ne peut se produire qu'exceptionnellement (si m est lui-même assez grand).

$0 < M_h < n_h$ : (cas qui disparaît d'ailleurs si l'on remplace les tirages exhaustifs par des tirages bernoulliens à la deuxième phase). La contribution de la strate à la variance doit être considérée comme nulle (et non pas négative). L'effectif réel de la strate en 2ème phase est ramené de $n_h$ à $M_h$ (économie d'argent et perte d'information). Moyennant quoi, tout rentre dans l'ordre(1).

Dans la suite, on fera tous les calculs formellement (avec des

(1) **Nota** - Se donner m et choisir les $n_h$, une fois connus les $M_h$, ou encore se donner les $n_h$ et augmenter m jusqu'à ce que tous les $M_h$ soient supérieurs aux $n_h$, sont aussi des procédés possibles mais défectueux car : les estimateurs employés ne sont plus sans biais; la variance voit son expression modifiée.
tirages exhaustifs aux deux phases) sans chercher à savoir à partir de
quel moment on sort du domaine des choses possibles.

B - VARIANCE ET PERTE D'INFORMATION.

On désire savoir quand on a le droit d'écrire :

$$
\nu \bar{X}_2' = \nu \bar{X}_2 + \varepsilon (\bar{X}_2' - \bar{X}_2)^2
$$

en envisageant deux échantillons (m, n<sub>h</sub>, X&#773;<sub>2</sub>) et (m', n'<sub>h</sub>, X&#773;<sub>2</sub>') avec

$m \geq m'$,

$n_h \geq n_h'$

$1 / \text{ - Etude du cas } m = m'$.

Alors $\nu \bar{X}_1' \equiv \nu \bar{X}_1$

$$
D'où : \nu \bar{X}_2' - \nu \bar{X}_2 \equiv E(V_1 \bar{X}_2') - E(V_1 \bar{X}_2)
$$

$$
c'est-à-dire : \quad = \sum_h E \left( \frac{M_h S_h^2}{M_h - 1} \right) E \left( \frac{M_h}{m} \right) \left( \frac{1}{n_h} - \frac{1}{n_h} \right)
$$

D'autre part, $\bar{X}_2'$ étant l'estimateur $\sum M_h \bar{X}_2'/m$, et les ($n_h'$) unités
étant tirées au sort parmi les ($n_h$), on a : $^h$

$$
E_2(\bar{X}_2' - \bar{X}_2)^2 = \sum_h \left( \frac{M_h'}{m} \right)^2 \frac{s_h^2}{n_h - 1} \left( \frac{1}{n_h'} - \frac{1}{n_h} \right)
$$

en désignant par (s<sub>h</sub><sup>2</sup>) les variances de strate de l'échantillon (n<sub>h</sub>). D'où :

$$
\begin{align*}
E_1 E_2 (\bar{X}_2' - \bar{X}_2)^2 &= \sum_h E_1 \left[ \left( \frac{M_h'}{m} \right)^2 \frac{n_h}{n_h - 1} \left( \frac{1}{n_h'} - \frac{1}{n_h} \right) \right] \\
&= \sum_h \left( \frac{M_h'}{m} \right)^2 \frac{M_h S_h^2}{M_h - 1} \left( \frac{1}{n_h'} - \frac{1}{n_h} \right)
\end{align*}
$$

Enfin :

$$
E E_1 E_2 (\bar{X}_2' - \bar{X}_2)^2 = \sum_h E \left( \frac{M_h'}{m} \right)^2 E \left( \frac{M_h S_h^2}{M_h - 1} \right) \left( \frac{1}{n_h'} - \frac{1}{n_h} \right)
$$

c'est-à-dire :

$$
E E_1 E_2 (\bar{X}_2' - \bar{X}_2)^2 = \nu \bar{X}_2' - \nu \bar{X}_2
$$

Conclusion.

Lorsqu'on maintient constant l'effectif du grand échantillon, on
a le droit de considérer la variance comme une perte d'information.
## 2/ - Représentation graphique.

On peut repérer $\bar{X}_2$ en coordonnées cartésiennes (α, β) avec :

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

$$ \alpha = \overline{\mu m} = \nu(\bar{X}_1) $$

$$ \beta = \overline{m\bar{X}_2} = \nu V_1 \bar{X}_2 $$

L'axe Oα porte les points représentatifs de la première phase du sondage ; les écarts le long de cet axe sont des pertes d'information.

Pour m = Cste, on vient de voir que les différences $\nu(\bar{X}_2)$ - $\nu(\bar{X}_1)$, c'est-à-dire les écarts, parallèlement à l'axe des β, sont également des pertes d'information (en particulier pour m = μ : sondage stratifié limite) : ces verticales (y compris l'axe des β) sont des "génératrices d'information".

## 3/ - Recherche d'une seconde famille de génératrices ($n_h$ = constantes)

On va maintenir les $n_h$ constants et faire varier m (à partir de m = μ, qui correspond à $\bar{X}_2 = \bar{X}_s$).

On a :

$$ \nu \bar{X}_1 = \frac{\mu \sigma^2}{\mu - 1} \left( \frac{1}{m} - \frac{1}{\mu} \right) $$

avec :

$$ \sigma^2 = \sum_h p_h \sigma_h^2 + \sum_h p_h (\bar{x}_h - \bar{x})^2 $$

D'où :

$$ \begin{aligned} \nu \bar{X}_2 - \nu \bar{X}_s &= \left[ \frac{\mu \sigma^2}{\mu - 1} - \sum_h p_h \frac{\mu_h \sigma_h^2}{\mu_h - 1} + \sum_h p_h \frac{\mu_h \sigma_h^2}{\mu_h - 1} \frac{\mu q_h}{\mu - 1} \frac{1}{n_h} \right] \left( \frac{1}{m} - \frac{1}{\mu} \right) \\ &= \frac{\mu}{\mu - 1} \left[ \sum_h p_h (\bar{x}_h - \bar{x})^2 + \frac{\mu_h}{\mu_h - 1} p_h q_h \sigma_h^2 \left( \frac{1}{n_h} - \frac{1}{\mu_h} \right) \right] \left( \frac{1}{m} - \frac{1}{\mu} \right) \end{aligned} $$

## 4/ - Conséquences.

Lorsqu'on figure un sondage à deux phases par un grillage (α, β) et qu'on porte les longueurs $\alpha = \nu \bar{X}_1$, $\beta = \nu \bar{X}_s$ sur les deux axes, on n'a ni $\nu \bar{X}_2 = \alpha + \beta$, ni $\alpha + \beta + \gamma$, mais :
$$v \bar{X}_2 = \alpha + \beta - \gamma$$

avec

$$\gamma = \frac{\mu}{\mu - 1} \sum_h p_h \sigma_h^2 \left[ 1 - \frac{\mu_h}{\mu_h - 1} \left( \frac{1}{n_h} - \frac{1}{\mu_h} \right) \right] \left( \frac{1}{m} - \frac{1}{\mu} \right)$$

a) Il arrive que les $p_h$ soient tous égaux, soit $p_h = p$; auquel cas on a :

$$\beta = p \sum_h p \sigma_h^2 \frac{\mu_h}{\mu_h - 1} \left( \frac{1}{n_h} - \frac{1}{\mu_h} \right)$$

d'où

$$\sigma^2 \gamma = \alpha \left[ \sum_h p \sigma_h^2 - \frac{\beta}{p} \right]$$

équation d'un paraboloïde hyperbolique dans l'espace euclidien $(\alpha, \beta, \gamma)$. Avec $\alpha = \beta = 0$, on retrouve l'axe des $\beta$ (sondages stratifiés limites). En revanche, si $n_h = \mu_h$ quel que soit $h$, il vient : $\gamma = \alpha (\Sigma p \sigma_h^2 / \sigma^2)$ qui se projette sur l'axe $O\alpha$ mais n'est pas cet axe).

D'où :

$$v \bar{X}_2 = \alpha + \beta - \gamma = \alpha [\Sigma p(\bar{x}_h - \bar{x})^2 / \sigma^2]$$

alors qu'on s'attendait à $v \bar{X}_2 = v \bar{X}_1 = \alpha$. En réalité, on a : $\Sigma n_h = \mu$, donc $m = \mu$, $M_h = \mu_h$, donc $\alpha = 0$].

Ainsi, si $p_h = p$, il existe une image métrique euclidienne du grillage du sondage à deux phases, analogue à celle du sondage à deux degrés, mais l'information (perdue) est $\alpha + \beta - \gamma$, au lieu de $\alpha + \beta + \gamma$.

b) En général les $p_h$ ne sont pas égaux; et l'équation en $\alpha, \beta, \gamma$ n'existe plus.

On retrouve le même phénomène que pour le sondage à deux degrés (où en dehors du cas où $v_h = \bar{v}$, l'image euclidienne demande des conventions adéquates).

On peut **toujours** poser :

$$\beta = \sum_h \beta_h,$$

$$\beta' = \sum_h \beta_h / p_h,$$

$$b = \sum_h p_h \sigma_h^2$$

avec :

$$\beta_h = p_h^2 \frac{\mu_h \sigma_h^2}{\mu_h - 1} \left( \frac{1}{n_h} - \frac{1}{\mu_h} \right)$$
d'où $σ^2γ = α(b - β')$

équation d'un paraboloïde hyperbolique; les génératrices ($α$ = constantes) correspondent à m constant; celles ($β'$ = constantes) correspondent aux $n_h$ constants. Mais la **perte d'information** symétrique

$v \overline{X}$ est $α + β' - γ$ et non $α + β' - γ$

Avec $L (= 1/p)$ strates, il faut utiliser ($L+2$) dimensions ($α$ $β_h$ $γ$) et une surface d'équation

$$σ^2γ = α(b - Σ β_h / p_h)$$

d'où la perte $v \overline{X}_2 = α + Σ β_h - γ$

On voit facilement que $v(\overline{X}_s - \overline{x})(\overline{X}_2 - \overline{X}_s) > 0$

$$v(\overline{X}_1 - \overline{x})(\overline{X}_2 - \overline{X}_1) > 0$$

**Peut-on parler du gain d'information dû à une stratification complète ?**

Lorsqu'on peut stratifier toute la population, on ne fait pas de sondage à deux phases : **au sondage stratifié d'effectifs** $n_h$ correspond la perte d'information $v \overline{X}_s$. On vérifierait que $v \overline{X}_2 - v \overline{X}_s = α - γ$ est positif. On peut considérer que cette différence mesure l'information gainnée à stratifier, ou plutôt la perte d'information (à partir de $\overline{X}_s$) due à une stratification ne portant que sur m unités (au lieu de $μ$).

Ce type de question sera examiné au Chapitre VII, IIème partie.

## II - INDICATIONS SUR QUELQUES AUTRES PLANS -

On a signalé au Ch. III l'intérêt qu'il pouvait y avoir parfois à figurer une famille de plans de sondage sur un treillis en quelque sorte pléthorique; d'autre part on connaît la forme générale des pertes d'information (sous certaines hypothèses restrictives, Ch. IV); disons un mot de la variance d'échantillonnage d'estimateurs sans biais relatifs à des méthodes de sondage (assez courantes) sortant plus ou moins du cadre du chapitre V.

1. / - **Sondages stratifiés "optimum".**

Soit une suite de plans de sondage stratifiés dont chacun est "optimum" au sens de Bowley, Neyman ou Yates, l'effectif ou le coût décroissant régulièrement; on peut représenter cette suite en portant $v \overline{X}$ sur un axe (voir Ch. V, fin du § II).
On peut également repérer les points (opt $n_h$) sur le treillis des sondages stratifiés correspondants, sommets d'une "trajectoire" en ligne brisée qui n'est pas un axe d'information (voir Ch. III, § II. 5. b).

$\mathcal{V}\bar{X}$ est combinaison linéaire des pertes par strate et vérifie la relation de récurrence.

## 2/ Stratification a posteriori.

Sur le treillis précédent on envisage des "surfaces d'onde" ($\Sigma n_h = n$); sur chacune d'elles on donne une distribution de probabilité pour l'estimateur $\bar{X}_s$ et la variance $V\bar{X}_s$; la taille n de l'échantillon étant donnée, les $n_h$ sont aléatoires (tirage au sort de l'échantillon dans une urne où toutes les strates sont mélangées). On pose $\& V\bar{X}_s = p(\bar{X})$.

Si certains des $n_h$ sont nuls ($\bar{X}_h$ indéterminés), on convient à l'avance de l'expression à donner à $\bar{X}_s$ pour qu'il ne soit pas indéterminé (sans introduire de biais).

Ici encore il est clair que $p(\bar{X})$ est combinaison linéaire de pertes par strate $\& (V\bar{X}_h)$ et vérifie la relation de récurrence.
# CHAPITRE VII

## LES INFORMATIONS SUPPLÉMENTAIRES

### I - LE CHANGEMENT D'ESTIMATEUR -

#### A - GENERALITES.

##### 1/ - Rappel de la technique classique.

On sait que, pour un échantillon d'ores et déjà tiré, le choix d'un estimateur plus efficace que l'estimateur courant (construit avec le seul plan d'échantillonnage : probabilités de tirage, effectifs, etc.) est rendu parfois possible grâce à des "informations supplémentaires". Les cas habituels sont :

- l'estimation par ratio (ou par quotient);

- l'estimation par une formule de régression;

- l'estimation par une formule de stratification (a posteriori).

Ces dernières années Žarković a ajouté à cette liste l'estimation par différence (Réf. Z1).

Dans tous ces cas, on se propose d'estimer pour une population donnée une certaine moyenne $\bar{x}$ d'une variable X, alors qu'on a des informations sur une variable Y en corrélation étroite avec X. Rien n'empêche de substituer à $\bar{x}$ et X des expressions $\zeta$ et Z plus générales.

Même lorsqu'il est question de strates, elles n'interviennent qu'après coup. Aussi peut-on supposer (pour simplifier) que le sondage est à un seul degré, sans strate, avec probabilités égales (treillis réduit à un axe, commun à tous estimateurs).

On connaît, non seulement les $x_i$ des unités-échantillon, mais aussi leurs y_i, ainsi que la moyenne $\bar{y}$ pour la population entière, et plus généralement toute la distribution des y_i.
On indiquera d'autres cas où des renseignements d'une nature différente permettent de réduire la variance d'échantillonnage en changeant d'estimateur.

On peut rapprocher enfin cette question de celle de l'estimation du maximum de vraisemblance et plus généralement du recours à des hypothèses sur la loi mathématique qui règlerait la distribution des $x_i$, hypothèses permettant de changer d'estimateur et(par là) de réduire la variance.

## 2/ - **Problème**.

A-t-on le droit d'appeler *gain d'information* la réduction de variance ? Autrement dit : s'agit-il bien d'une *quantité d'information* ?

Si $Z$ et $Z'$ sont deux estimateurs sans biais de $\zeta$, avec $\hat{V}Z > \hat{V}Z'$, il est exact que $\hat{V}Z - \hat{V}Z'$ est une *perte d'information générale* (au sens des ch. II et III). Mais il n'est pas en général exact que ce soit égal à $\mathcal{E}(Z - Z')^2$.

Or, il importe assez peu que $(\hat{V}Z - \hat{V}Z')$ soit une information dans l'optique d'une *suite de plans de sondage* d'une famille F, alors qu'on a changé d'optique et qu'on n'envisage qu'un seul plan (et même un seul échantillon). Ce n'est plus en augmentant la taille de l'échantillon qu'on passe du point $Z$ au point $Z'$. Il n'en serait pas moins intéressant de pouvoir représenter $ZZ'$ et $\zeta$ par trois points alignés, $\hat{V}Z - \hat{V}Z'$ étant la distance ($ZZ'$), mesurée avec la même métrique que ($\zeta Z$) ou ($ZZ'$), c'est-à-dire $\mathcal{E}(Z - Z')^2$.

On dirait alors que $(\hat{V}Z - \hat{V}Z')$ est l'*information supplémentaire*.

Dans les divers cas étudiés s'est retrouvé le résultat que voici.

## THEOREME -

Si l'estimateur $Z'$ est substitué à $Z$, l'un et l'autre sans biais, avec $\hat{V}Z' < \hat{V}Z$, $\hat{V}Z - \hat{V}Z'$ n'est pas en général une information supplémentaire, à moins qu'on n'ait :

$$ \mathcal{E}(Z' - \zeta)(Z - Z') = 0; $$

En effet, si l'on convient de poser, comme définition de l'information supplémentaire :

$$ \hat{V}Z - \hat{V}Z' = \mathcal{E}(Z - Z')^2, $$

c'est cette relation qui exprime l'orthogonalité des deux vecteurs aléatoires $\hat{Z}Z'$ et $Z'\hat{Z}$.
Suivant les problèmes traités, Z' est bien déterminé ou au contraire dépend de paramètres, par exemple linéairement (auquel cas on considérera un point Z' décrivant une multiplicité linéaire). Nous re-viendrons plus loin sur le cas où Z' est biaisé.

### 3/ - Exemple.

Supposons tiré un échantillon d'effectifs $n_h$ dans chaque strate (notations du Ch. V). Parmi tous les estimateurs linéaires sans biais $Z_\lambda = \Sigma \lambda_h \bar{x}_h$ dépendant des $\lambda_h$ liés par $\Sigma_h \lambda_h \bar{x}_h = \bar{x}$, l'estimateur de variance minimum $Z^\circ$ serait tel que $d[\hat{v}Z_\lambda + \mu\Sigma \lambda_h \bar{x}_h] = 0$ ($\mu$ de Lagrange) ce qui signifie que les $\lambda_h$ devraient être proportionnels aux $n_h \bar{x}_h / \tau_h^2$, avec $\tau_h^2 = v_h \sigma_h^2 / v_h - 1$.

Les informations supplémentaires à connaître seraient ici les $\tau_h^2 / \bar{x}_h$ ou (si tirages bernoulliens) les $\sigma_h^2 / \bar{x}_h$.

Pratiquement (depuis Bowley) on pose $\lambda_h = v_h / \nu$ pour éliminer le biais avec des poids indépendants de la variable X étudiée, en l'absence d'informations supplémentaires; posons $Z = \Sigma v_h \bar{x}_h / \nu$;

$$ \hat{v}Z - \hat{v}Z^\circ \quad (\ge 0) $$

représente l'information perdue faute de connaître les $\tau_h^2 / \bar{x}_h$; alors que

$$ \hat{v}Z_\lambda - \hat{v}Z \quad (\ge 0) $$

ne devrait pas être tenu comme un gain ou une perte d'information faute d'user des poids ($v_h / \nu$).

### Remarque.

Supposons les $n_h$ choisis (à la Neyman) proportionnellement aux ($\tau_h v_h / \sqrt{C_h}$) d'une certaine variable X. L'estimateur de Neyman correspond à $\lambda_h = v_h / \nu$; alors que l'estimateur de variance minimum correspond à $\lambda_h$ proportionnel à

$$ v_h \bar{x}_h / \tau_h \sqrt{C_h} $$

la coïncidence exigeant que le coût moyen d'enquête par strate $C_h$ soit inversement proportionnel à ($v_h \gamma_h^2 / v_h - 1$), en gros à $\gamma_h^2$, carré du coefficient de variation par strate.

Ceci est à noter, d'autant plus que l'optimum au sens de Neyman ne concerne jamais qu'une variable particulière X; or cet "optimum" minimise la variance d'un estimateur très particulier:celui qui reste sans biais pour toutes variables X; après quoi un estimateur $Z^\circ$ devrait être substitué à Z.
### 4/ - Retour au cas général.

#### 1ère interprétation.

Dans l'espace euclidien auxiliaire où $\zeta Z^2$ représente $\mathcal{V}Z$, figures par $Z'$ l'estimateur de $\zeta$ obtenu grâce aux informations supplémentaires.

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Supposons $\mathcal{V}Z' < \mathcal{V}Z$

mais $\mathcal{V}Z - \mathcal{V}Z' \neq \mathcal{E}(Z' - Z)^2$

Soit $Z^0$ la projection de $\zeta$ sur $ZZ'$, c'est-à-dire $\mathcal{V}Z^0$ le minimum de $\mathcal{V}Z'$.

$$ \mathcal{V}Z' = \mathcal{E}(Z^0 - \zeta)^2 + \mathcal{E}(Z' - Z^0)^2 $$

$$ \mathcal{V}Z = \mathcal{E}(Z^0 - \zeta)^2 + \mathcal{E}(Z - Z^0)^2 $$

Par analogie avec la relation de récurrence de l'information d'après Schutzenberger, on dira que :

$$ \mathcal{E}(Z' - Z^0)^2 \text{ ou } \mathcal{E}(Z - Z^0)^2 $$

est une perte d'information par rapport à l'estimateur $Z^0$.

En revanche,

$$ \mathcal{V}Z - \mathcal{V}Z' = \mathcal{E}(Z - Z^0)^2 - \mathcal{E}(Z' - Z^0)^2 $$

ne sera pas considéré comme une information supplémentaire.

#### 2ème interprétation.

Dans l'espace euclidien auxiliaire où $\zeta Z$ représente $\mathcal{V}Z$, les points $\zeta Z^0 Z' Z$ sont alignés. La distance $Z'Z$ est mesurée par $\mathcal{V}Z - \mathcal{V}Z'$ mais non par $\mathcal{E}(Z - Z')^2$, à moins que $Z'$ ne coïncide avec $Z^0$.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

On ne considèrera donc pas la droite $\zeta Z^0 Z' Z$ comme un véritable axe d'information(1).

---

<footnote>(1) Construire un triangle $\zeta ZZ'$ avec $\zeta Z = \mathcal{V}Z$, $\zeta Z' = \mathcal{V}Z'$, $ZZ' = \mathcal{E}(Z - Z')^2$ n'est possible que si le coefficient de corrélation entre $Z$ et $Z'$ est compris entre 0 et une limite supérieure au plus égale à 1 (cas $\mathcal{V}Z = \mathcal{V}Z'$), (espace euclidien).</footnote>
B - ETUDE DE CAS OU LES DEUX ESTIMATEURS SONT SANS BIAIS.

On retrouve le triangle rectangle $\zeta Z^0Z$ ou plutôt $\overline{x}X\overline{x}^0\overline{x}$ dans les cas suivants :

1/ - Estimation par différence.

L'estimateur par différence (de Žarković) X est tel que :

$$X^0 - \bar{X} = \bar{y} - \bar{Y}$$

Il n'y a ici orthogonalité que dans un cas particulier :

$$\rho_{xy} = \rho = \sigma_y/\sigma_x$$

bien que la variance soit réduite dès que :

$$\rho > \sigma_y / 2\sigma_x$$

Il suffit d'écrire la relation bien connue :

$$\rho \sigma_x = b \sigma_y$$

où b est la pente de la droite de régression de x en y, pour voir que la structure particulière pour laquelle il y a gain d'information au sens strict est celle où

$$b = 1$$

2/ - Estimation par ratio : $X^0 = \bar{X} \bar{y} / \bar{x}$

On supposera d'emblée que le biais est négligeable (si non nul), c'est-à-dire :

$$\rho \gamma_x - \gamma_y = 0$$

c'est-à-dire

$$b = \bar{x} / \bar{y}$$

qui signifie que la droite de régression de X en y passe par l'origine. C'est le cas où la variance $\hat{\nu}X^0$ diffère très peu de :

$$\hat{\nu}\bar{X} \left[ 1 - \rho^2 + \left( \frac{\gamma_y}{\gamma_x} - \rho \right)^2 \right] = \hat{\nu}\bar{X}(1 - \rho^2)$$

(égalité rigoureuse si la distribution XY a la structure du N°3).
3/ - Estimation par régression : $X^0 = \bar{X} + b(\bar{y} - \bar{Y})$.

On s'en tient au cas "idéal" où b lui-même est connu (et non une estimation B sur échantillon) tout en postulant que la distribution à deux dimensions $(x_i, y_i)$ a la structure particulière suivante :

- la distribution des $y_i$ est quelconque;

- la droite de régression de $X$ en $y$ est quelconque : $x = a + by$;

- on a $X = a + by_i + \sigma_i\theta$ avec $\sigma^2 = 0$; $\theta^2 = 1$;

- la distribution de $\theta$ est indépendante de celle de $Y$;

- $\sigma_i$ dépend de $y_i$.

On a alors à nouveau $\mathcal{V}X^0 = \mathcal{V}\bar{X}(1 - \rho^2)$.

4/ Sondage bernoullien avec identification.

On désignera ainsi le cas où les boules portent un signe distinctif (un numéro d'identité) permettant de reconnaître, parmi les boules tirées, celles qui ont été tirées 2 fois, 3 fois, ...

Alors on a intérêt à choisir comme estimateur, au lieu de la moyenne $X_n$, le rapport suivant :

$$X_n^0 = \frac{\text{total des } x \text{ tirés (chacun compté une fois)}}{\text{nombre de boules distinctes tirées}}$$

Cet estimateur, qui s'identifie (avec des probabilités diverses) à ceux des sondages exhaustifs d'effectif $n$, $n-1$, $n-2$, ... est évidemment sans biais; et sa variance est une combinaison linéaire des variances desdits estimateurs exhaustifs, soit :

$$V_n, \quad V_{n-1}, \quad V_{n-2}, \dots$$

On trouve ainsi :

$$\mathcal{V}X_2^0 = \frac{1}{v} V_1 + \frac{v-1}{v} V_2$$

$$\mathcal{V}X_3^0 = \frac{1}{v^2} V_1 + 3 \frac{v-1}{v^2} V_2 + \frac{(v-1)(v-2)}{v^2} V_3$$

$$\mathcal{V}X_4^0 = \frac{1}{v^3} V_1 + 7 \frac{v-1}{v^3} V_2 + 6 \frac{(v-1)(v-2)}{v^3} V_3 + \frac{(v-1)(v-2)(v-3)}{v^3} V_4$$

$$\mathcal{V}X_5^0 = \frac{1}{v^4} V_1 + 15 \frac{v-1}{v^4} V_2 + 25 \frac{(v-1)(v-2)}{v^4} V_3 + 10 \frac{(v-1) \cdot (v-2)}{v^4} V_4 + \frac{(v-1) \cdot (v-2)(v-3)}{v^4} V_5$$
Le coefficient de $V_i$ sur la ligne $\mathcal{V}X_n^0$ est la probabilité de tirer i boules distinctes en n tirages. D'où (en explicitant) :

$$ \mathcal{V}X_2^0 = \frac{\sigma^2}{2} \qquad = \mathcal{V}\bar{X}_2 $$

$$ \mathcal{V}X_3^0 = \frac{\sigma^2}{3} \frac{2\nu - 1}{2\nu} = \frac{\sigma^2}{3} - \frac{\sigma^2}{6\nu} < \mathcal{V}\bar{X}_3 $$

$$ \mathcal{V}X_4^0 = \frac{\sigma^2 \nu (\nu - 1)}{4 \nu^2} = \frac{\sigma^2}{4} - \frac{\sigma^2}{4 \nu} < \mathcal{V}\bar{X}_4 $$

$$ \mathcal{V}X_5^0 = \frac{\sigma^2}{5} - \frac{\sigma^2 9\nu^2 - \nu - 1}{5 6\nu^3} < \mathcal{V}\bar{X}_5 $$

et ainsi de suite indéfiniment. La formule générale est :

$$ \mathcal{V}X_n^0 = \frac{1}{\nu^{n-1}} [V_1 + a_2(\nu-1)V_2 + a_3(\nu-1)(\nu-2)V_3 + \dots + (\nu-1)\dots(\nu-n+1)V_n] $$

$$ \text{avec : } a_2 = 2^{n-1} - 1 $$

$$ a_3 = (3^{n-1} - 2^n + 1)/2! $$

$$ a_4 = (4^{n-1} - 3^n + 3 \cdot 2^{n-1} - 1)/3! \quad \text{etc.} $$

Le fait que les boules portent un signe d'identité apporte bien une **information**, c'est-à-dire que la différence des deux variances

$$ \mathcal{V}\bar{X}_n - \mathcal{V}X_n^0 $$

est égale à $\mathcal{E}(\bar{X}_n - X_n^0)^2$, autrement dit : $\bar{X}_nX_n^0$ et $X_nX_n^0$ sont **orthogonaux**. En effet :

Raisonnons dans le cas où $n = 4$. Supposons qu'on ait tiré (a b c d), on a $\bar{X} = X^0$. Si on a tiré au contraire (a c c d), on a $X^0 = \frac{a+c+d}{3}$. Mais à cet $X^0$, correspondent trois $\bar{X}$ distincts, équiprobables :

$$ \frac{2a+c+d}{4}, $$

$$ \frac{a+2c+d}{4}, $$

$$ \frac{a+c+2d}{4} $$

On a évidemment :

$$ \mathcal{E}(\bar{X} | X^0) = \frac{1}{3} \frac{4a + 4c + 4d}{4} = X^0 $$

d'où suit l'**orthogonalité** et le gain d'**information**.
$X^0$ est la projection de $\bar{x}$ sur la multiplicité linéaire

$$ \lambda x_i + \mu x_j + (1 - \lambda - \mu) \bar{x} $$

en désignant par $x_i, x_j$, les x des boules tirées plusieurs fois.

### 5/ - Estimation du carré de l'écart-type (avec ou sans la vraie moyenne).

La question suivante nous a été posée (1956) par M. Fonsagrive, pour les sondages bernoulliens.

On possède un échantillon, avec lequel on estime le $\sigma^2$ de l'urne-mère. Quelle information m'apporte-t-on si l'on m'apprend par ailleurs la vraie valeur de la moyenne de la population ? (plus correctement : de combien est réduite la perte d'information ?)

a) Si $\bar{x} = \mu_1$ est connu, on a un échantillon de n valeurs

$$ z_i = (x_i - \mu_1)^2 $$

dont la moyenne

$$ \bar{Z} = S_i(x_i - \mu_1)^2/n $$

estime sans biais $\zeta = \sigma^2$, avec la variance (où $\sigma_z^2$ désigne $\mu_4^0 - \sigma^4$)

$$ \nu \bar{Z} = \begin{cases} \sigma_z^2/n & \text{tirages avec remise} \\ \frac{\sigma_z^2}{n} \frac{\nu - n}{\nu - 1} & \text{tirages sans remise} \end{cases} $$

b) Si $\bar{x} = \mu_1$ n'est pas connu, mais estimé par $\bar{X}$, on estime $\sigma^2$ par

$$ \frac{\nu - 1}{\nu} \frac{n S^2}{n - 1} = \frac{\nu - 1}{\nu} \bar{Y} $$

1) Faisons tendre $\nu$ vers l'infini; on sait, cf. Ch. I, § III 8 a (cas du sondage bernoullien) que :

$$ \nu \bar{Y} = \nu \bar{Z} + 2\sigma^4/n(n - 1) $$

Donc $2\sigma^4/n(n - 1)$ est la réponse à la question posée; sous réserve qu'il soit bien justifié d'appeler "information" cette réduction de variance.

2) Si $\nu$ est fini, on sait (cf. Ch. I, § III 8 b) que $\nu[(\nu - 1)\bar{Y}/\nu]$ est de la forme :

$$ A. \nu \bar{Z} + B \sigma^4 $$
et on montre facilement que $A > 1$, $B > 0$ (dès que $v > 2$, $n \ge 2$); de sorte que la connaissance de $\mu_1$ réduit la variance de :

$$ (A - 1) v \bar{Z} + B \sigma^4 $$

sans qu'on puisse considérer comme pleinement justifié l'emploi du mot "information" pour désigner cette expression.

1) Dans le cas des tirages avec remise (ou si $v$ est infini) on va vérifier qu'on a bien :

$$ v \bar{Y} - v \bar{Z} = \varepsilon (\bar{Y} - \bar{Z})^2 $$

En effet il suffit d'établir que

$$ v \bar{Z} = \operatorname{Cov} \bar{Y} \bar{Z} $$

ou encore

$$ \varepsilon \bar{Z}^2 = \varepsilon \bar{Y} \bar{Z} $$

$$ \text{On a :} \qquad \varepsilon \bar{Z}^2 = \varepsilon \left( \frac{S z_i^2}{n} \right)^2 \\ \bar{Y} = \frac{n}{n-1} \frac{S(z_i - z_j)^2}{n^2} \\ = \frac{S z_i^2}{n} - \frac{2 S z_i z_j}{n(n-1)} $$

car le développement de $S(z_i - z_j)^2$ comprend $n(n - 1)$ fois $(z_i z_j)$; donc dans $\bar{Y}$ figure une fois seulement le terme $(z_i z_j)$. Il vient :

$$ \varepsilon \bar{Y} \bar{Z} = \varepsilon \left( \frac{S z_i^2}{n} \right)^2 - 2 \varepsilon \left( \frac{S z_i^2 \cdot S z_j}{n^2(n-1)} \right); $$

et l'espérance du second terme est nulle puisqu'il est de la forme $\lambda \varepsilon(z_i^3 z_j)$, avec :

$$ \varepsilon z_i^3 z_j = \varepsilon z_i^3 \varepsilon z_j, $$

$$ \varepsilon z_j = 0 $$

c. q. f. d.

2) Mais dans le cas des tirages sans remise, on montrera qu'il n'en est plus ainsi, sur un simple exemple :

$$ n = 2, $$

$$ v = 3, $$

$$ z_i = a, b, c. $$

Il vient :

$$ \varepsilon \bar{Z}^2 = \left( \frac{a^2 + b^2}{2} \right)^2 + \left( \frac{b^2 + c^2}{2} \right)^2 + \left( \frac{c^2 + a^2}{2} \right)^2 $$
D'autre part, en substituant $v\bar{Y}/v - 1$ à $\bar{Y}$ pour n'avoir pas de biais, on a :

$$ \frac{v}{v-1} \delta \bar{Y} \bar{Z} = \frac{3}{2} \left[ \frac{a^2 + b^2}{2} \cdot \frac{(a-b)^2}{2} + \dots \right] \\ = \left( \frac{a^2 + b^2}{2} \right)^2 + \dots + \frac{1}{8} (a^4 - 6a^3b + 2a^2b^2 - 6ab^3 + b^4) + \dots $$

Et il n'y a aucune raison pour que les seconds termes, soit

$$ [(a - b)^4 - 2(a + b)^2ab] $$

s'annulent.

## Conclusion.

La connaissance du premier moment apporte un **gain d'information** si les tirages sont bernoulliens, une **réduction de variance** s'ils sont exhaustifs. Le vocable "information" apparaît finalement comme assez dangereux par les interprétations abusives qu'on serait tenté de lui donner dans les comparaisons entre estimateurs. Il n'est pas toujours facile de discerner une **famille d'estimateurs Z'** dont Z fait partie et dont Z° est le point le plus proche de ζ ; elle nous échappe dans les cas n°4 et 5 ci-dessus.

## C - COMPARAISON ENTRE ESTIMATEURS EVENTUELLEMENT BIAISES.

### 1/ - Généralités et Rappels.

Tant que le biais était nul (§ A et B), variance et perte d'information étaient pris l'un pour l'autre; alors qu'en fait tout multiple de la variance est perte d'information symétrique, sans oublier l'existence des pertes d'information asymétriques; ces points prennent quelque importance pour les estimateurs biaisés.

On a vu (Ch. IV, § II) que la notion de perte d'information ne s'étendait qu'aux estimateurs qu'on peut appeler uniformément biaisés; et on sait calculer les pertes d'informations correspondantes dans des cas suffisamment étendus en pratique, notamment le cas dit isomorphe.

On a rejeté par conséquent, comme insuffisamment fondée, la technique qui consiste (pour estimer ζ) à comparer la variance $vZ'$ de l'estimateur Z' sans biais et la somme $(vZ + b^2)$ de l'estimateur Z affecté du biais b. Peut-être cette technique avait-elle son origine dans la théorie classique de l'estimation où (dans le cas régulier) on démontre que
$$ \mathcal{V}Z + b^2 = \mathcal{E}(Z - \zeta)^2 $$

est supérieur (au plus égal) à

$$ \left(1 + \frac{d b}{d \zeta}\right)^2 / n H $$

théorème que, pour b = 0, se réduit à l'inégalité bien connue

$$ \mathcal{V}Z \ge 1/n H. $$

Parmi les pertes $p(Z)$ (où ni $\mathcal{V}Z$, ni $\mathcal{V}Z + b^2$ ne figurent), on a besoin à présent de savoir en choisir une qu'on puisse le plus valablement comparer à $\mathcal{V}Z'$; soit $\bar{p}$.

Il n'est pas évident d'abord que p doive être symétrique. La technique des sondages nous conseille même, pour l'estimation d'un ratio, de faire jouer un rôle privilégié à une expression asymétrique (Ch.IV, § II. 8).

On peut tenir pour sensé le principe que, si Z se rapproche fininiment de $\zeta$ (soit $n \xrightarrow{\sim} \nu$, soit $n \xrightarrow{\sim} \infty$) $\bar{p}(Z)$ devrait être celle des $p(Z)$ qui a le contact le plus élevé avec $\mathcal{V}Z$ (principe mis en œuvre pour le ratio et la corrélation). Nous traiterons seulement deux exemples.

## 2/ - L'estimation par le ratio.

Par rapport aux notations du § B. 2, on a :

$$ \zeta = \bar{x}, $$

$$ Z' = \bar{X}, $$

$$ Z = \bar{X} \bar{y} / \bar{Y} $$

$$ \bar{p}(Z) = \bar{p} \left( \bar{y} \frac{\bar{X}}{\bar{Y}} \right) $$

Il est évident (mais utile à rappeler) que

$$ \bar{p}(k Z) = k^2 \bar{p}(Z). $$

Il vient donc

$$ \begin{align*} \bar{p}(Z) &= \bar{y}^2 \bar{p} \left( \frac{\bar{X}}{\bar{Y}} \right) \\ &= \bar{y}^2 \left( \frac{\bar{x}}{\bar{y}} \right)^2 \mathcal{E} \left( \frac{\bar{X}}{\bar{x}} - \frac{\bar{Y}}{\bar{y}} \right)^2 \end{align*} $$

(cf. Ch.IV, § II.8).
ou en posant

$\sigma^2 = \nu \bar{X},$

$\sigma'^2 = \nu \bar{Y}$

$\rho \sigma \sigma' = \text{Cov. } \bar{X} \bar{Y},$

$\gamma = \sigma / \bar{x},$

$\gamma' = \sigma' / \bar{y} :$

$$ \bar{p}(Z) = \nu Z' - \bar{x}^2 \frac{2\gamma\gamma'}{\gamma} \left[ \rho - \frac{\gamma'}{2\gamma} \right] $$

D'où :

$\bar{p}(Z) \leq \nu Z'$

si

$\rho \geq \gamma'/2\gamma$

On retrouve en toute rigueur le résultat approximatif classique avec les variances.

De même, on a :

$$ \bar{p}(Z) = \nu Z'(1 - \rho^2) + \sigma'^2 \left( \frac{\rho \sigma}{\sigma'} - \frac{\bar{x}}{\bar{y}} \right)^2 \leq \nu Z'(1 - \rho^2) $$

Le minimum de la perte d'information est atteint quand le rayon vecteur du centre de gravité coïncide avec la droite de régression de X en y ($\rho\sigma/\sigma' = \bar{x}/\bar{y}$).

### 3/ - L'estimation par régression.

Si les axes sont translatisés sans modifier la pente de la droite d'estimation (passant par (X, Y), il est clair que la perte $\bar{p}(Z)$ ne doit pas se modifier (idée que nous devons à M. Fonsagrive). Donc si la droite d'estimation a pour pente

$$(\bar{x}/\bar{y} = \rho\sigma/\sigma'),$$

la perte demeure :

$\bar{p}(Z) = \nu Z'(1 - \rho^2)$

Et si cette pente est $\bar{x}/\bar{y} = t$, la perte demeure

$$ \bar{p}(Z) = \nu Z'(1 - \rho^2) + \sigma'^2 \left( t - \rho \frac{\sigma}{\sigma'} \right)^2 $$

Supposons cette pente t'elle-même aléatoire (soit T), déterminée par l'échantillon tiré; alors $\bar{p}(Z)$ est aléatoire. C'est notamment le cas si t est l'estimation(biaisée)de b par les moindres carrés

$$ T = \frac{RS}{S'} = \frac{RS'S}{S'^2} $$

Alors $\bar{p}(Z)$ n'est plus (à proprement parler) perte d'information, non plus que son espérance. Mais l'espérance relative à l'estimation isomorphe de t par T est calculable (Ch. IV, II, § 8) :
$$ \log t = \log (\rho\sigma\sigma') - \log \sigma'^2 $$

$$ \frac{\Delta t}{t} = \frac{\Delta (\rho \sigma \sigma')}{\rho \sigma \sigma'} - \frac{\Delta \sigma'^2}{\sigma'^2} $$

$$ \bar{p}(T) = t^2 \delta \left[ \frac{RS'S'}{\rho\sigma\sigma'} - \frac{S'^2}{\sigma'^2} \right]^2 $$

Alors on posera :

$$ \bar{p}(Z) = \nu Z'(1 - \rho^2) + \sigma'^2 \bar{p}(T) $$

Les deux cas traités (Ratio, Régression) semblent suffire à donner une idée des simplifications que la méthode de la perte d'information introduit par rapport aux calculs classiques de variances (sans nécessiter ni approximations, ni hypothèses spéciales sur la structure des distributions).

### 4/ - <u>Gain d'information est-il correct ?</u>

On retrouve le problème discuté déjà en A et B sous une forme généralisée : p(Z) et p(Z') étant finalement des distances (ζZ) et (ζZ'), peut-on interpréter $|p(Z) - p(Z')|$ comme une distance (Z Z') ? Si les treillis de Z et Z' sont réduits chacun à un axe, peut-on les représenter simultanément par deux axes de même origine ζ superposés ou sécants ?

Reprenons les cas (B. 2) de l'estimation par ratio et (B. 3) de la régression; le paramètre t permet de décrire la multiplicité linéaire dont font partie $\bar{x}$ et $\bar{x}/\bar{y}/\bar{Y}$ et où $\bar{x}$ se projette en X°; $1 - \rho^2 = \sin^2 \theta$; $\theta$ est l'angle de $\bar{x} \bar{x}$ et $\bar{x} X°$ (première interprétation: les pertes sont les carrés des distances euclidiennes).

Ainsi, quand les pertes sont des distances euclidiennes (2ème interprétation) on ne doit pas superposer les trois axes (Z) (Z') (Z°) de crainte d'interprétations abusives. D'ailleurs il n'y a plus de raison de vouloir considérer la distance (Z Z') comme égale à $\delta(Z - Z')^2$ puisque (ζZ) n'est plus $\nu Z$; d'ailleurs on ignore quelle expression convient pour (Z Z')

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

### Conclusion.

Les informations supplémentaires données conduisent au partage de la perte d'information p(Z) en deux composantes dont une irréductible : p(Z°). On peut les figurer sur deux axes sécants d'origine ζ substitués à l'axe unique. On peut considérer la figure
formée d'un axe unique $\zeta Z^o$ et d'axestransversaux $Z^oZZ'$ dont chacun correspond à un effectif donné de l'échantillon (il n'existe pas de se-conde famille d'axes).

$(ZZ')$ est un gain ou une perte d'information suivant les cas, _mais_ ne signifie _en général_ rien d'autre que $p(Z') - p(Z)$.

D - CAS OU L'ON A DES INFORMATIONS SUR LA LOI THEO-RIQUE DE DISTRIBUTION.

1/ - Généralités.

Jusqu'ici la théorie ne comportait aucun recours à des hypothèses sur une loi théorique (par exemple laplacienne) que les variables se-raient censé suivre.

Cette ignorance de la loi théorique de distribution est propre à la théorie des sondages; elle se justifie du fait que les populations sondées (au cours des enquêtes sociales, économiques, culturelles, etc.) fournissent peu d'exemples de distributions statistiques remarquables.

Beaucoup de sondages sont _occasionnels_ et on ignore (avant d'avoir fait l'enquête) qu'on va sonder par exemple une population distribuée suivant une loi de Galton. Les enquêtes _periodiques_, même, offrent peu de possibilités, pour la raison qu'un questionnaire permet de recueillir sur chaque unité (i) des données $X_i, Y_i, Z_i, T_i$ etc. dont le nombre dépasse parfois la centaine : si le montant X des revenus de l'unité statistique (le ménage) suit une loi de Galton, il y a peu de chances que Y, Z, T, etc. soient dans le même cas.

On évite donc de faire un plan de sondage conçu en vue d'une variable X privilégiée. Mais il est tout indiqué d'employer les informations qu'on peut avoir sur la structure de la variable X, à construire des estimateurs spéciaux pour les paramètres de la loi de distribution de X. On ne le fait guère : et d'abord parce que l'emploi d'un plan de sondage stratifié, à plusieurs degrés, etc. bien adapté rend les calculs difficiles et d'ailleurs peu rentables.

Toutefois Aitchison l'a fait (Réf. UTTING-COLE, 4ème partie) pour une distribution présumée être de Galton, en appliquant un résultat de Finney (Réf.) à un sondage de l'Institut de Statistique d'Oxford (sondage supposé bernoullien).

2/ - Cas où l'échantillon a un grand effectif.

En admettant le plan de sondage simplifié ainsi à l'extrême, il convient encore de distinguer le cas où l'échantillon est assez grand pour rendre valables les résultats asymptotiques bien connus de la théorie de l'estimation. (On reviendra au n° 3 sur les autres cas).
On sait qu'alors l'estimation $Z^\circ$ du maximum de vraisemblance est sans biais appréciable, donc sa variance est pratiquement une perte d'information; et dans le cas régulier de Cramer (Réf.) $1/n H$ (H défini au Ch.IV, II, § 9) est le minimum (asymptotiquement équivalent à $\mathcal{V}Z^\circ$) de toutes les variances d'estimateurs sans biais possibles $\mathcal{V}Z$ construits à partir de la loi de distribution.

Tout ce qui est dit (en A et B) sur $Z^\circ$ (1ère interprétation géométrique notamment) est valable; à ceci près qu'il ne s'agit plus d'une multiplicité linéaire $Z$; que la corrélation $\sqrt{e}$ entre $Z$ et $Z^\circ$ remplace $\sqrt{1 - \rho^2}$ (où $\rho$ désignait $\rho_{xy}$); que $Z^\circ$, $Z$, $(Z - Z_o)$ ont des lois-limite de Laplace-Gauss, ce qui entraîne

$$ \varepsilon(Z - Z_o)^2 = \mathcal{V}Z - \mathcal{V}Z^\circ $$

En particulier on peut avec Fortet (Réf.) distinguer trois cas :

1) Il existe pour $\zeta$ un estimateur sans biais

$$ \bar{Z} = S z_i / n. $$

2) Il existe pour une fonction $\tau(\zeta)$ un estimateur sans biais

$$ \bar{T} = S t_i / n. $$

3) Le cas général régulier, où existe l'estimateur $Z^\circ$ (faute de mieux).

**Remarque : Le cas non régulier.**

Dans une communication à l'Institut International de Statistique (1957), Alan Stuart signale des travaux récents(1) (1946 à 1952) concernant le cas non régulier, c'est-à-dire celui où, les conditions de régularité du 3ème cas n'étant pas remplies, l'estimation $Z^\circ$ du maximum de vraisemblance cesse d'exister ou perd ses droits. Il existe alors des cas où (l'estimation $Z^\circ$ n'existant pas) la variance de toute estimation ne peut descendre en-dessous d'une certaine limite qui est plus grande que $1/n H$ et qui peut jouer un rôle analogue à $\mathcal{V}Z^\circ$.

### 3/ - Cas où l'échantillon est de taille médiocre.

Les cas (1) et (2) ci-dessus restent inchangés. Mais au cas (3) $\mathcal{V}Z^\circ$ n'est plus une perte d'information, $Z^\circ$ étant biaisé. On peut lui

(1) Bhattacharyya Sankya, 8.1.1946.
Chapman & Robbins Ann. Math. Stat. 22(581) 1951.
Kiefer Ann. Math. Stat. 23(627) 1952.
faire correspondre entre autres la perte $λH/n$ et plus généralement $\&W [Z]$ avec $[cf.Ch.IV § II 7]$

$$W = \Phi [Z] - \Phi [\zeta] + \sum \lambda_j (a_j - A_j)$$

$$\text{en posant } \& y_i = \sum_{j=0}^{\infty} a_j \zeta^j = 0, \qquad S y_i / n = \sum_{j=0}^{\infty} A_j Z^j = 0$$

(On écrit $Z$ au lieu de $Z^°$, car il n'est plus vrai que $p(Z)$ soit minimum).

$$\text{Posant de même } \Phi [\zeta] = f (a_0, a_1, a_2, \dots) = f$$

$$\Phi [Z] = f (A_0, A_1, A_2, \dots) = f^*$$

et supposant la fonction $f$ dérivable, on aurait

$$\frac{\partial W}{\partial A_j} = \frac{\partial f^*}{\partial A_j} - \lambda_j$$

qui, pour $Z = \zeta$ se réduit à $\lambda_j = \partial f / \partial a_j$

d'où

$$W = f^* - f + \sum \frac{\partial f}{\partial a_j} \cdot (a_j - A_j)$$

Toute fonction $f$ convient alors, pourvu toutefois que la condition de convexité soit remplie :

$$\sum_j \sum_h \frac{\partial^2 f}{\partial a_j \partial a_h} (A_j - a_j) (A_h - a_h) \text{ définie négative.}$$

Toutefois il est exclu qu'on ait $\frac{\partial f}{\partial a_j} = \zeta^j$ : $W$ serait identique à 0.

Plus intéressant est le cas où $f$ est elle-même une forme quadratique

$$f = \sum \sum b_{jh} a_j a_h$$

définie négative. D'où :

$$W = \sum \sum b_{jh} (A_h - a_h) A_j$$

$$\text{On notera que } \bar{Y} (\& y_i) = \sum \sum \zeta^{j+h} A_j a_h \quad (\equiv 0)$$

$$\bar{Y}^2 = \sum \sum \zeta^{j+h} A_j A_h$$

$$\text{d'où } \bar{Y}^2 = \sum \sum \zeta^{j+h} (A_h - a_h) A_j$$
Lorsque les $b_{j,n}$ sont $\zeta^{j+h}$, on retrouve donc

$$ \& W = H/n, $$

qui correspond à.

$$ \frac{\partial f}{\partial a_j} = 0 $$

(Voir Ch. IV, § II, 9).

Il serait beaucoup plus utile de connaître une expression de perte qui (pour n infini) serait asymptotiquement équivalente à $1/H$ (comme l'est la variance de Z). Nous ne connaissons que

$$ W = \bar{Y}^2/H^2 $$

Des recherches ultérieures seraient nécessaires.

## II - LE CHANGEMENT D'ECHANTILLON (à taille ou à coût constant) -

### A - GENERALITES.

Après l'étude des suites de plans de sondage (d'une même famille) à effectifs décroissants, passons à la comparaison de plans de sondage $(\pi)$, $(\pi')$ appartenant à des familles distinctes.

Ces comparaisons n'ont de sens qu'à effectifs constants(1) ou à coûts constants.

Avec la méthode classique des sondages, la variance d'échantillonnage est employée constamment pour comparer la qualité de 2 (et plus) estimations du même paramètre $\zeta$; il s'agira :

- d'un même estimateur, employé avec des méthodes différentes de tirage de l'échantillon; par exemple avec une urne unique, on comparera les variances relatives aux tirages avec et sans remise des boules tirées dans l'urne;

- d'estimateurs différents, appliqués (sans changer la structure de sondage) à des échantillons tirés au sort par des procédés différents; par exemple avec probabilités égales d'une part, probabilités inégales de l'autre;

-----------------

<footnote>(1) A supposer que ceci ait encore une signification.</footnote>
- voire d'estimateurs différents ou non, appliqués à des *structures* de sondage différentes; par exemple quand on modifie le nombre de strates, les caractères stratificateurs, le contenu des unités de sondage, ... bref le "*découpage*" de l'univers sondé.

Les *problèmes du premier type* sont d'ailleurs assez particuliers, l'absence de biais

$$ \mathcal{E}Z = \mathcal{E}Z' = \zeta $$

étant postulée.

Il serait commode (et satisfaisant pour l'esprit) de pouvoir parler du gain d'*information* relatif à l'emploi de Z au lieu de Z' pour désigner la différence (positive) $\mathcal{E}(Z' - Z)^2$.

Mais il n'y a *en général* aucune raison a priori pour qu'on ait le droit de parler ainsi, c'est-à-dire de traiter cet écart positif *comme la variance* :

$$ \mathcal{E}(Z' - Z)^2 $$

Bien entendu, il est exclu que les deux échantillons à comparer soient *indépendants*, auquel cas on aurait :

$$ \mathcal{E}(Z' - Z)^2 = \mathcal{V}Z' + \mathcal{V}Z $$

au lieu de :

$$ \mathcal{E}(Z' - Z)^2 = \mathcal{V}Z' - \mathcal{V}Z $$

En fait quand on écrit cette dernière relation, autrement dit :

$$ \mathcal{E}[(Z' - Z)(Z - \zeta)] = 0 \quad (1) $$

on suppose l'existence d'un *champ de probabilité* sur lequel sont définis simultanément Z et Z', étant entendu que la loi de probabilité de Z (quel que soit Z') et celle de Z' (quel que soit Z) sont imposées. Le symbole $\mathcal{E}$ se trouvera du même coup défini.

Que signifie exactement (1), condition d'orthogonalité de $\overline{\zeta Z}$ et $\overline{ZZ'}$ ?

Sauf dans le cas de distributions *particulières*, il faut considérer que -, une fois l'échantillon tiré avec le plan de sondage $\pi$ -, les $(Z - \zeta)$ sont des constantes quelconques et qu'il est nécessaire (et suffisant) d'avoir :
$$E(Z') = Z$$

où E désigne l'espérance mathématique lorsqu'est connu le grand échantillon (d'où on déduit la valeur Z).

On peut interpréter également (1) comme :

$$\mathbb{E}(Z' | Z) = Z$$

c'est-à-dire espérance mathématique liée par la connaissance de la valeur de Z; ces points de vue ne sont pas tout à fait équivalents : quand on entre dans le domaine des grands échantillons (population très nombreuse elle-même, les tirages pouvant en outre être avec remise), il est bien naturel qu'on puisse retrouver plusieurs fois la même valeur de Z. Enfin Z et Z' peuvent avoir une loi-limite, l'échantillon devenant infiniment grand; auquel cas la formule est forcément :

$$\mathbb{E}(Z' | Z) = Z$$

A supposer l'existence de deux lois-limites de Laplace-Gauss, avec $\mathcal{V}Z' > \mathcal{V}Z$, l'ellipse de probabilité de la loi de $(Z Z')$ doit admettre la première bissectrice comme diamètre conjugué de la direction verticale.

En dehors de l'hypothèse ($n \to \infty$), la distribution commune $(Z Z')_n$ doit admettre comme courbe de régression de $Z'$ en Z la droite d'équation $Z' = Z$; autrement dit, on doit avoir

$$Z' = Z + \theta, \quad \text{avec} \quad \mathbb{E}(\theta \cdot Z) = 0$$

(et $\mathbb{E}\theta = 0$, qui est vérifiée si Z et $Z'$ sont tous deux estimateurs sans biais de $\zeta$).

Sauf si n est grand, ($E Z' = Z$) a la signification suivante :

Partant d'un échantillon du plan $\pi$ (d'où une valeur de Z), on lui fait correspondre un ensemble d'échantillons du plan $\pi'$, d'où un ensemble de valeurs $Z'$. On s'arrange pour avoir :

$$E Z' = Z$$

On s'arrange pour qu'è, si l'on opère ainsi à partir de tous les échantillons équiprobables de $\pi$, on obtienne (un même nombre de fois) tous les échantillons équiprobables de $\pi'$.

D'ailleurs il suffit qu'une telle opération soit possible (sans aller jusqu'à l'exécution) pour qu'on ait le droit de convenir que
$\mathfrak{V}Z' - \mathfrak{V}Z = \mathfrak{E}(Z - Z')^2$. On va rencontrer des cas où l'opération n'est pas possible.

B - 1ère INTERPRETATION GEOMETRIQUE.

Z et Z' étant représentés chacun dans un espace auxiliaire, avec

$$ \mathfrak{V}Z = \overline{OM}^2 \quad \text{et} \quad \mathfrak{V}Z' = \overline{OM'}^2 $$

on pourra avoir :

$$ \overline{MM'}^2 = \overline{OM'}^2 - \overline{OM}^2 $$

si la représentation de Z' est projetable orthogonalement sur celle de Z.

En particulier s'il s'agit de représentations à une seule dimension, il est nécessaire que les divisions découpées par Z et Z'(sur leurs axes respectifs) soient semblables.

1/ - Quelques cas de représentation à une dimension (estimation d'une moyenne).

Deux divisions d'abscisses $\sigma^2(v - n/n(v - 1))$ et $\sigma'^2(v - n/n(v - 1))$ sont semblables et même homothétiques. Sont semblables également :

$$ \frac{v\sigma^2}{v-1} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{v} \right) \quad \& \quad \frac{v\sigma'^2}{v'-1} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{v'} \right) $$

(y compris pour $v' = 0$ : sondages exhaustif et bernoullien)

$$ \frac{k v \sigma^2}{k v - 1} \left( \frac{1}{k n} - \frac{1}{k v} \right) \quad \& \quad \frac{v \sigma'^2}{v - 1} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{v} \right) $$

(sondages en grappes de même taille k).

etc.

2/ - **Exemple** : Tirage exhaustif et tirage bernoullien, avec n = 2.

Echantillon exhaustif a, b : $\bar{X} = (a + b)/2$

Echantillon bernoullien (a, b) : $\bar{X}' = (a + b)/2$

(a, a) : $\bar{X}' = (a + a)/2 = a$

Il y a une probabilité $v - 1/v$ que la seconde boule tirée diffère de la première. Il vient :

$$ \mathfrak{E} (\bar{X}' - \bar{X})^2 = \frac{v-1}{v} \cdot 0 + \frac{1}{v} \left( \frac{b-a}{2} \right)^2 $$
Mais tous les couples (a, b) sont également possibles; d'où :

$$ 
\begin{aligned}
\varepsilon(\bar{X}' - \bar{X})^2 &= \frac{1}{v} \frac{\Sigma(b - a)^2}{2v(v+1)} = \frac{\sigma^2}{2(v-1)} = \frac{\sigma^2}{2} \left[ 1 - \frac{v-2}{v-1} \right] \\
&= v \frac{\bar{X}' - \bar{X}}{v}
\end{aligned}
$$

3 / - **Uncas de représentation à plusieurs dimensions** (estimation d'une moyenne) :

**Tirages exhaustif et bernoullien dans un sondage stratifié.**

Si dans chaque strate l'échantillon bernoullien est déduit - d'un échantillon exhaustif donné - par un procédé aléatoire convenable, on a :

$$ \varepsilon(\bar{X}_h' - \bar{X}_h)^2 = \varepsilon(\bar{X}_h - \bar{x}_h)^2 - \varepsilon(\bar{X}_h - \bar{x}_h)^2 $$

et, en pondérant par $(v_h/v)^2$ et totalisant, - en admettant en outre l'indépendance des opérations de chaque strate par rapport aux autres -, il vient :

$$ \varepsilon(\bar{X}' - \bar{X})^2 = \varepsilon(\bar{X}' - \bar{x})^2 - \varepsilon(\bar{X} - \bar{x})^2 $$

C - 2ème INTERPRETATION GEOMETRIQUE.

Z et Z' sont représentés dans un espace euclidien auxiliaire , avec

$$ vZ = \overline{OM}, \quad vZ' = \overline{OM'} $$

Quand les pertes d'information sont de la forme :

$$ vZ = \alpha + \beta + \gamma, \quad vZ' = \alpha' + \beta' + \gamma' $$

il vient :

$$ \varepsilon Z' - vZ = (\alpha' - \alpha) + (\beta' - \beta) + (\gamma' - \gamma) $$

Il est clair que, si $\alpha'$ est fonction linéaire de $\alpha$, de même $\beta'$ et $\beta$, $\gamma'$ et $\gamma$, - alors $vZ' - vZ$ est aussi une perte d'information, et c'est $\varepsilon(Z' - Z)^2$.

**Exemple** : Sondages à 2 degrés. Comparaison des tirages exhaustif et bernoullien. Cas particulier où $n_h = \bar{n}$; $v_h = \bar{v}$.

$\alpha'$ est proportionnel à $1/m$, et $\alpha$ à $(1/m - 1/\mu)$
$\beta'$ est proportionnel à $1/n$, et $\beta$ à $(1/n - 1/\nu)$

$\gamma'$ est proportionnel à $1/m$, et $\gamma$ à $(1/m - 1/\mu)$ $(1/n - 1/\nu)$

On est donc bien dans le cas où $\mathcal{V}\bar{X}' - \mathcal{V}\bar{X}$ est une variance.

### Remarque.

Il est clair que, si le mode de tirage différait pour le 2ème degré seul, ou pour le 1er degré seul, il suffirait de déduire l'échantillon bernoullien de l'échantillon exhaustif par le procédé aléatoire.

Plus généralement, partant d'une sous-population de $(m \times \bar{n})$ unités distinctes (dont la moyenne est $\bar{X}$), on éliminera (par tirages au sort équiprobables) un nombre quelconque $\lambda$ d'unités qu'on remplacera (partirages au sort équiprobables) par $\lambda$ unités figurant déjà dans l'urne et qui y figureront ainsi deux fois), etc

Ainsi il est possible de construire un échantillon bernoullien à partir de l'échantillon exhaustif supposé donné, et de telle façon que :

$$ \mathcal{E}(\bar{X}' - \bar{X})^2 = \mathcal{V}\bar{X}' - \mathcal{V}\bar{X}. $$

## D - LE CAS GENERAL.

### 1/ - Il n'y a pas de distance entre deux estimateurs.

La comparaison des tirages bernoulliens et exhaustifs constitue en fait un cas d'exception; car lorsqu'on passe en revue les diverses circonstantes courantes où la qualité d'estimateurs $Z$ et $Z'$ se juge en étudiant le signe de $\mathcal{V}Z - \mathcal{V}Z'$, on est forcé de constater que cette différence n'est ni $\pm \mathcal{E}(Z - Z')^2$, ni tout autre distance entre $Z$ et $Z'$, ou entre les plans de sondage $(\pi)$ et $(\pi')$. En effet (tout en ayant : $\mathcal{E}Z' = \mathcal{E}Z = \zeta$) : $(\pi')$ est conçu de façon : soit à avoir $\mathcal{V}Z - \mathcal{V}Z' \ge 0$ (en tout état de cause, ou bien dans la majorité des cas); soit à réduire le coût d'enquête, avec une certitude ou des chances sérieuses d'avoir alors : $\mathcal{V}Z - \mathcal{V}Z' < 0$.

Dans le premier cas, on s'arrange pour que les valeurs de $Z$ les plus éloignées de $\zeta$ ne soient pas (ou soient très rarement) prises par $Z'$; pour cela certains échantillons $E$ du plan $(\pi)$ sont impossibles avec le plan $(\pi')$. Dans le second cas, on arrive au même fait pour une simple raison de commodité.

Ainsi à un certain champ de valeurs de $Z$ ne correspond aucune valeur de $Z'$; et parler de

$$ \mathcal{V}(Z' - Z)^2 = \mathcal{V}Z + \mathcal{V}Z' - 2 \operatorname{Cov}(Z Z') $$
ne signifie rien, car $Cov(Z, Z')$ n'est pas défini; alors parler de la distance ($Z, Z'$) risque fort de ne rien vouloir dire. On vise ainsi les cas suivants :

Comparaison d'un sondage systématique ou en grappe et du sondage ordinaire;

Comparaison d'un sondage stratifié et du sondage ordinaire;

Comparaison d'un sondage "équilibré" ("balanced sampling") et du sondage ordinaire;

Comparaison des tirages avec probabilités égales et probabilités inégales, etc.

Ajoutons que, si l'on compare par exemple deux découpages distincts des unités de sondage, ou deux découpages des strates, il peut ne plus même exister de champ où $Z$ et $Z'$ soient définies simultanément.

## 2/ - Que calcule-t-on en fait ?

Cependant la technique des sondages nous apprend, connaissant l'échantillon $E'$ de $(\pi')$, à estimer non seulement $\mathcal{V}Z'$, mais aussi $\mathcal{V}Z$ et $\mathcal{V}Z' - \mathcal{V}Z'^{(1)}$. On pourrait d'ailleurs estimer $\mathcal{V}Z$ et $\mathcal{V}Z'$ séparément avec deux enquêtes distinctes, avec respectivement un échantillon $E$ de $(\pi)$ et $E'$ de $(\pi')$; mais il serait à craindre que l'erreur d'échantillonnage sur $\mathcal{V}Z - \mathcal{V}Z'$ (estimations indépendantes) soit plus grande que $(\mathcal{V}Z - \mathcal{V}Z')$ elle-même; en employant un seul échantillon (soit $E'$) on ne court guère de risque de se tromper sur le signe même de $\mathcal{V}Z - \mathcal{V}Z'$.

Faisons quelques remarques :

a) On estime $Z'$ (et non $Z$) à l'aide de $E'$.

b) On estime $\mathcal{V}Z$ et $\mathcal{V}Z'$ à l'aide de $E'$; mais on ne saurait estimer $\mathcal{V}Z'$ à l'aide de $E$ (échantillon de $\pi$). Donc $E'$ permet de calculer une sorte de distance entre le plan de sondage $(\pi')$ et le plan de référence $(\pi)$, et non le contraire.

c) On sait $(\text{souvent})^{(2)}$ estimer sans biais $\mathcal{V}Z$, mais il ne faut pas s'illusionner sur la signification de ces mots :

---

<footnote>(1) Ceci fut pour nous un objet de profond étonnement à la première lecture du rapport de R. Jessen sur les sondages agricoles en IOWA (Réf. T1).</footnote>

<footnote>(2) Dans les cas les plus simples, l'analyse de variance fournit un mécanisme de calculs correct (du moins en première approximation).</footnote>
Si l'on tirait (du même plan ($\pi'$)) un nombre infini d'échantillons $E'$ indépendants, on reconstituerait la distribution théorique de $Z'$ et celle de $\mathcal{V}Z'$, avec la répartition statistique des valeurs des estimateurs. En revanche la distribution des valeurs calculées pour estimer $\mathcal{V}Z'$, tout en admettant $\mathcal{V}Z'$ pour espérance mathématique, ne coïnciderait pas du tout avec la distribution théorique de $\mathcal{V}Z'$ (telle qu'on l'obtiendrait au contraire avec une infinité d'échantillons indépendants de $E'$ du plan $\pi'$).

d) On peut toujours écrire $\mathcal{E}(Z_1 - \zeta)^2 - \mathcal{E}(Z' - \zeta)^2 = \mathcal{E}(Z_1 - Z')^2$ avec $\mathcal{E}(Z_1 - Z')(Z' - \zeta) = 0$, c'est-à-dire $\mathcal{E}'[Z_1 - Z' | Z'] = 0$, où $\mathcal{E}'$ désigne l'espérance mathématique dans le champ de probabilités de $Z'$; les valeurs de $Z_1$ (pour un échantillon donné de $\pi'$) admettent $Z'$ pour moyenne arithmétique; puis on s'arrange pour avoir $\mathcal{E}'(Z_1 - \zeta)^2 = \mathcal{V}Z'$, sans pour autant que $Z_1$ et $Z$ aient la même distribution.

On voit, en résumé, que (même en s'en tenant aux estimations sans biais) les écarts entre pertes d'information se prêtent mal à une interprétation simpliste comme distance entre deux points.
# CHAPITRE VIII

## SUR DIVERS CONCEPTS D'INFORMATION
APPLICABLES AUX SONDAGES

### I - LA QUANTITE D'INFORMATION DE R.A. FISHER -

Alors que nous voyons dans 1/n H la plus petite perte d'information qu'on puisse obtenir (à condition d'employer l'estimateur adéquat), R.A. Fisher appelle n H l'information contenue dans l'échantillon, c'est-à-dire le plus grand gain d'information que puisse fournir le même échantillon (du moins si l'on est bien dans le "cas régulier") (Réf. Fi). On suppose toujours n très grand.

Dans le cas de l'estimation simultanée sans biais de deux paramètres $\zeta_1, \zeta_2$ d'une loi de distribution, la perte d'information $\nu(u_1Z_1 + u_2Z_2)$ est une forme quadratique; égalée à $W^2$ c'est l'équation tangentielle d'une ellipse; lorsque n est assez grand, Dugué a établi l'existence de l'ellipse d'information intérieure à la précédente quels que soient $Z_1$ et $Z_2$; son équation est $Q = W^2$; la matrice de la forme quadratique Q est ce que Fisher a défini comme étant l'information.

Tels sont les rapports entre la perte d'information et l'information de Fisher.

### II - EXTENSION AUX SONDAGES BÈRNOULLIENS -

Pour une loi de Laplace, l'estimateur efficace de $\bar{x} = \mu$ est la moyenne $\bar{X}$, la variance minimum des estimateurs est $\sigma^2/n$ et l'information au sens de Fisher est $n/\sigma^2$. Ceci s'étend à toutes les lois qui admettent un résumé exhaustif d'ordre 1.

L'idée la plus naturelle est donc de chercher à faire une théorie où l'information serait $1/\nu\bar{X}$, c'est-à-dire $n/\sigma^2$ quelle que soit la loi de distribution. (n étant quelconque cette fois).

On serait même tenté d'appeler quantité d'information l'inverse $(1/\nu Z)$ de la variance, quel que soit l'estimateur Z.
Si l'on effectue les tirages bernoulliens dans une urne comprenant un nombre fini de boules, la définition précédente serait compatible avec la formule de récurrence (de Schutzenberger). Faisons deux tirages successifs d'une boule dans une urne renfermant quatre boules; la quantité d'information apportée serait :

$$ \frac{1}{\sigma^2} + \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{4} \frac{1}{\sigma_i^2} = \frac{2}{\sigma^2} $$

et pour n tirages

$$ n/\sigma^2 = 1/\nu \bar{X} $$

### III - CAS DES SONDAGES EXHAUSTIFS -

En revanche avec des tirages exhaustifs, la même formule donne, pour deux tirages :

$$ \frac{1}{\sigma^2} + \varepsilon \left( \frac{1}{s_i^2} \right) $$

où $s^2$ désigne la variance des $(\nu - 1)$ boules restantes après le premier tirage.

De l'identité :

$$ \varepsilon \left( \frac{\nu - 1}{\nu - 2} s_i^2 \right) = \frac{\nu}{\nu - 1} \sigma^2 $$

on ne peut tirer la valeur de $\varepsilon$ $(1/s_i^2)$ mais on peut affirmer en tous cas qu'on n'a pas en général :

$$ \varepsilon \left( \frac{1}{s_i^2} \right) = \frac{\nu}{\nu - 2} \frac{1}{\sigma^2} $$

et par conséquent qu'on n'a pas :

$$ \frac{1}{\sigma^2} + \varepsilon \left( \frac{1}{s_i^2} \right) = \frac{1}{\sigma^2} \left( 1 + \frac{\nu}{\nu - 2} \right) = \frac{2}{\sigma^2} \frac{\nu - 1}{\nu - 2} = \frac{1}{\nu \bar{X}} $$

**En résumé:** si l'on s'en tenait aux tirages indépendants, on pourrait accepter de transposer l'information de Fisher en théorie des sondages, de telle sorte que l'inverse de la variance de l'estimateur mesure de l'information apportée par celui-ci.
Mais on ne peut étendre valablement cette dernière convention si l'on passe du tirage *bernoullien* au tirage *exhaustif* des échantillons.

## IV - DISCUSSION -

a) D'ailleurs il n'est pas rationnel de partir du sondage bernoullien et d'essayer de remonter au sondage exhaustif. Ce qu'il convient de faire, c'est au contraire de poser pour le sondage exhaustif des définitions cohérentes, puis d'en déduire celles du sondage bernoullien par passage à la limite lorsque l'effectif de la population tend vers l'infini.

b) En outre (mais ceci n'est pas un argument déterminant) le concept d'information ne correspond pas, quand on se place au point de vue des sondages, à celui posé par Fisher. Si je possède déjà un échantillon de 3 000 unités de sondage par exemple, et si j'en prends 100 de plus, il ne paraît guère possible d'admettre que ces 100 unités m'apportent autant d'information que les 100 premières unités qu'on a tirées de la population (ceci abstraction faite de toute considération de coût). C'est pourquoi, même lorsqu'on tire l'échantillon à la manière de Bernoulli, la définition de l'information inspirée par Fisher ne nous paraît pas finalement à retenir.

A cet égard Lindley (dont le concept d'information diffère du notre) a adopté la même position. L'information "apportée" par une unité est pour lui fonction *concave* du rang de tirage.

Ceci n'empêchera d'ailleurs pas de continuer, comme par le passé, à utiliser l'inverse du rapport des variances pour juger de la précision relative - ou de l'efficacité(1) comme on dit - de deux estimateurs, du moment qu'il s'agit de précision ou d'efficacité, - non de l'information.

## V - SOLUTION -

On peut chercher à bâtir d'abord une théorie de l'information pour les sondages *exhaustifs* dans une urne unique. Cette information doit - avant tout - satisfaire à la condition générale de récurrence. Or le Lemme

<footnote>(1) A noter que Fisher (1922) appelle efficacité, non le rapport des inverses de variance mais le rapport des effectifs d'échantillon nécessaires pour obtenir la même variance; définitions qui ne coïncident que si la variance est de la forme $a/n$ (Voir, Stuart. Réf. citée).</footnote>
$$ \mathcal{E} \left( \frac{n}{n-1} S_n^2 \right) = \frac{v}{v-1} \sigma^2 $$

a semblé particulièrement commode pour l'application de la formule de récurrence; et ceci a conduit à rechercher à repérer le niveau d'information par une fonction de la forme :

$$ t(v, n) = k(v, n) \sigma^2 $$

l'effectif de la population étant v, celui de l'échantillon étant n, σ dé-
signant l'écart-type de la variable x dans la population <u_sondée>.

On appellera gain ou perte d'information l'écart entre deux niveaux. Ce niveau d'information doit s'élever lorsque n va de 1 à (v - 1).

Avec un échantillon de taille nulle, on n'a pas d'information du tout.

Avec un échantillon de taille v, l'information est <u_complète>, totale.

Le problème essentiel est de savoir choisir pour ces deux cas extrêmes des repères convenables. Il est naturel de chercher à repérer par 01'absence d'information,* par A ou l'infini l'information complète. On dira alors qu'on repère ou mesure l'information <u_apportée> par l'échantillon.

On va montrer que ce point de vue est indéfendable pour les en-
quêtes par sondage, avec t(v, n). Au contraire, rien ne s'oppose à ce
qu'on repère par -∞ l'absence d'information. On dira alors qu'on re-
père ou mesure l'information <u_perdue> par le sondage.

## VI - IMPOSSIBILITE DE MESURER L'INFORMATION APPORTEE PAR UN SONDAGE AVEC t(v, n) -

Si le choix de l'information reste largement arbitraire quand on n'envisage que le sondage exhaustif simple, il ne faut pas oublier qu'on se propose d'aboutir à une théorie applicable à tous les plans de sondage communément employés par les techniciens.

Une autre difficulté est de savoir comment vont se <u_combiner> les informations fournies par chacune des urnes sondées (strates, sous-strates, unités non élémentaires). Cette combinaison est-elle de même nature qu'une <u_addition> (déduction faite des doubles emplois), ou bien qu'un <u_produit>? Mais faire le produit revient à ajouter les logarithmes et tout dépend finalement d'une convention de langage : va-t-on appeler u ou log u l'information ?
a) <u>Sondage à deux degrés.</u>

Considérons un **sondage à deux degrés**, avec le cas limite du
**sondage en grappe** (tirages exhaustifs avec probabilités égales) : si on
possède une information **partielle** sur certaines unités primaires et
une information **complète** sur certaines autres (grappes entières), on
n'a pas une information **complète** sur la population.

Par conséquent, que les informations apportées par chaque unité
primaire s'ajoutent ou qu'elles se multiplient les unes par les autres, -
on peut dire a priori que l'information complète ne doit pas être me-
surée par +∞; elle doit être exprimée par un nombre **fini**. On va le sup-
poser par la suite(1).

b) <u>Addition des informations.</u>

Lorsqu'on effectue des sondages indépendants dans une même population, il semble a priori que les informations apportées devraient s'ajouter - du moins d'après les idées communément admises sur l'information.

De sorte que, lorsqu'on ajoute l'information d'un sondage à celle d'un recensement, on devrait retrouver l'information du seul recensement (vu que le sondage n'apporte rien de plus). Ainsi, logiquement, l'information complète (celle procurée par le recensement) devrait s'exprimer par +∞. (On observera qu'il en est de même si l'addition porte sur les logarithmes des informations et non sur les informations elles-mêmes).

En réalité ce second point de vue est logique sans être tout à fait
décisif. On peut convenir en effet de limiter les recherches à un seul
sondage simple exhaustif, - ce qui exclut toute possibilité d'ajouter à
un sondage à 100% un autre sondage exhaustif à 5%. Lorsque l'urne est
vide, l'opération s'arrête.

Ainsi il n'y a peut-être pas de contradiction flagrante entre (1)
et (2), mais il y a tout de même là une restriction notable, une option
inévitable entre deux concepts.

c) Considérons à présent un <u>sondage stratifié</u>.

S'il est une strate sur laquelle on ne possède aucune information,
il est conforme aux habitudes de pensée des "sondeurs" de dire qu'on
ne possède aucune information sur la population entière (mais seule-

<footnote>(1) Tel n'est pas le cas pour l'information de Lindley (voir plus loin § IX).</footnote>
ment sur les autres strates); c'est d'ailleurs un point sur lequel le statisticien dépourvu de formation sondage a une opinion différente.

Une conséquence fâcheuse en découle si l'on convient de repérer l'absence d'information par le niveau 0 (et non par le niveau $-\infty$) :

Si l'on veut conserver cette vue des techniciens, il ne faut pas que les informations apportées sur chaque strate s'ajoutent ou se combinent linéairement pour donner l'information relative à la population; tandis qu'il n'est pas exclu que les informations de strate se multiplient les unes par les autres (donc que leurs logarithmes s'additionnent).

Or il est facile de voir que c'est là une exigence incompatible avec notre hypothèse de travail : $t(v, n) = k(v, n)\sigma^2$ valable à l'intérieur des strates.

Si l'on pose (avec des poids convenables $\omega$)

$$ \mathcal{L} t = \sum_h \overline{\omega}_h(v_h, n_h) \mathcal{L} t(v_h, n_h) $$

ceci implique (quand on épuise toutes les strates) :

$$ \max \mathcal{L} t = \sum_h \overline{\omega}_h(v_h, n_h) \left[ \mathcal{L} k(v_h, n_h) + \mathcal{L} \sigma_h^2 \right] $$

Considérons alors un sondage à deux degrés. Si toutes les unités primaires sont sondées, le sondage à deux degrés devient sondage stratifié, la perte à la forme ci-dessus; si au contraire toutes les unités secondaires sont sondées dans l'échantillon d'unités primaires, on a un sondage en grappes dont la perte d'information est de la forme :

$$ \mathcal{L}[k(\mu, m) \sigma_0^2] \quad \text{avec} \quad \sigma_0^2 = \frac{1}{\mu} \sum (\bar{x}_h - \bar{x})^2 $$

et quand l'échantillon recouvre toute la population

$$ \max \mathcal{L} t = \mathcal{L} k(\mu, \mu) + \mathcal{L} \sigma_0^2 $$

Comme on a supposé que l'information restait bornée si la population entière est tirée, les deux expressions de $\max \mathcal{L} t$ sont incompatibles en général (puisqu'elles imposent une condition aux paramètres de la distribution).

d) Un autre fait est qu'on devrait pouvoir (toutes choses égales d'ailleurs) appeler sondage optimal celui qui apporte le maximum d'information. La théorie classique connait déjà les répartitions d'échantillon optimales au sens de Neyman (telles que la variance
d'échantillonnage et le coût du sondage soient l'un minimum et l'autre constant). Ainsi il est souhaitable que ces deux points de vue soient conciliables (sans coincider pour autant).

Admettons que le coût $C$ soit combinaison linéaire des effectifs échantillon de strate.

Si l'on convenait que les informations de strate s'ajoutent, un cas particulièrement gênant serait celui où l'information de strate serait de la forme :

$$ \lambda_h \quad n_h $$

puisque le maximum d'information (pour un coût total $C = \sum h c_h n_h$ donné d'avance) s'obtiendrait en concentrant l'échantillon sur les strates dont le coefficient $\lambda_h / c_h$ est le plus grand (contrairement à la technique admise.

Or on trouverait effectivement une expression de ce type pour l'information apportée dans des cas très simples. Posons :

$$ t(v, n) = \frac{v \sigma^2}{v - 1} f(v, n) $$

Reprenons une idée de M. Fonsagrive (après M. Chartier, Réf. Chartier 2). On considère deux strates d'effectif $v$ formées par tirage au sort exhaustifs dans une urne d'effectif $2n$. On tire $n$ boules de chaque strate.

Il est raisonnable d'admettre que l'information apportée est en moyenne la même que si $(2n)$ boules étaient tirées de l'urne primitive. D'où une relation :

$$ \varepsilon \left[ \frac{v}{v-1} (\sigma_1^2 + \sigma_2^2) f(v, n) \right] = \frac{2v}{2v-1} \sigma^2 f(2v, 2n) $$

Grâce au lemme fondamental, on a :

$$ \varepsilon \sigma_1^2 = \varepsilon \sigma_2^2 = \frac{2(v-1)}{2v-1} \sigma^2 $$

$$ \text{D'où :} \qquad 2f(v, n) = f(2v, 2n) $$

cas particulier de l'équation fonctionnelle

$$ \rho f(v, n) = f(\rho v, \rho n) $$
En partageant en deux l'urne primitive, on est parvenu à l'équation avec $\rho = 2$; mais en la partageant en $\rho$ parties égales, on obtientrait la même équation pour les diverses valeurs entières de $\rho$. La solution de cette équation compatible avec les autres conditions est justement $\lambda n$.

Il est donc établi qu'on ne peut mesurer l'information apportée par un sondage avec l'expression $t(v, n) = \sigma^2 k(v, n)$.

La notion de quantité d'information apportée ayant fait l'objet de travaux importants à la limite du domaine des sondages, on va en passer en revue quelques-uns.

## VII - L'INFORMATION DE SHANNON -

Le vocable "information" employé d'abord par Fisher a été repris par Shannon pour l'étude de problèmes de transmission. Good(1) notamment a pu exprimer cette "opinion raisonnable" qu'il n'y a pas grand'chose de commun entre l'information de Shannon et celle de Fisher.

C'est Schutzenberger(2) qui, plus tard, a montré qu'elles entraient toutes deux dans le cadre d'une théorie générale de l'information.

Shannon appelait information d'un message la somme des informations des divers symboles qui le composent, - et information d'un symbole déterminé l'espérance mathématique ou plutôt la moyenne, changée de signe, du logarithme de la fréquence de son apparition.

Le problème pour Shannon était de faire occuper le moins de temps possible une ligne télégraphique par les messages; il fallait pour cela choisir pour les divers symboles possibles un code optimum tenant compte de la fréquence de chaque symbole.

La quantité d'information d'un message détermine finalement le temps pendant lequel on permet au message d'occuper la ligne quand on emploie ce code.

De leur côté, les statisticiens éprouvent le besoin de pouvoir définir une sorte de mesure (additive) de leurs travaux, en fonction de quoi ils répartiraient les moyens limités (personnel, matériel, crédits) dont ils disposent.

<footnote>(1) Discussion à la suite de la communication de Barnard, Réf. Bar.</footnote>

<footnote>(2) Réf. Sch.</footnote>
La "capacité" de la ligne a pour homologue en statistique la capacité du bureau; mais quel sera l'homologue de la quantité d'information ? Ceci dépend de la manière dont on va transposer en statistique les deux notions de message et de fréquence.

Cette transposition a été tentée à diverses reprises et notamment par Barnard(1).

## VIII - LA QUANTITE D'INFORMATION DE BARNARD -

Barnard envisage une théorie suffisamment générale pour que le même symbole représente aussi bien un *message* (en théorie des transmissions), un *problème* (pour un calculateur électronique ou toute autre machine à calculer), ou une *proposition* (en statistique considérée comme un secteur de la logique).

Notons en passant que la notion de "quantité d'information" de Shannon a été effectivement adoptée par la cybernétique et est finalement revenue jusqu'au statisticien comme partie intégrante du "jargon" des spécialistes du matériel électronique.

Le "message" est donc transposé en une "proposition", et la "fréquence" devient une "probabilité", la probabilité que la proposition soit exacte. C'est ici que les difficultés surgissent.

Quel intérêt aurait-on à remplacer une probabilité p variant de 0 à 1, par une expression (-log p) variant de 0 à l'infini ?

Est-il plus intéressant d'avoir affaire à des expressions qui s'ajoutent, ou au contraire qui se multiplient les unes par les autres, quand on envisage simultanément plusieurs propositions disjointes ?

$$ \log p + \log p' = \log pp' $$

Barnard arrive vite à la conclusion que -log p ne mérite pas d'être tenu pour la quantité d'information.

L'information serait une certaine grandeur (voire une certaine fonction) qu'on peut attacher à une proposition, au même titre qu'une probabilité; mais ce n'est certainement pas une simple *fonction* de la probabilité (ni -log p, ni une autre).

Intéressons-nous plus spécialement à l'information en matière d'estimation statistique :

<footnote>(1) Réf. G. Barnard m'a prié (1960) de préciser qu'il avait exposé (1950) une façon de concevoir l'information, mais en admettait volontiers d'autres.</footnote>
Etant donné une loi de distribution $f(x, \zeta)dx$, où le paramètre $\zeta$ est à estimer, soit $X_i$ une valeur réellement observée pour $x$ ; l'information apportée par cette observation pourrait être :

$$- \log f(X_i, \zeta)$$

autrement une certaine fonction de $\zeta$, et même une fonction de ce que Fisher appelle la _vraisemblance_ (likelihood).

Pour Fisher (et Barnard) il n'est ni probabilité a posteriori ni loi de Bayes; une probabilité est toujours a priori, avant qu'on ait fait les expériences, les observations; une fois franchi le pas, il n'existe plus de probabilités, mais des vraisemblances (et des informations).

Et Barnard précise que Shannon, s'il était à sa place, considérerait $\zeta$ comme fixe, $X_i$ comme variable, et prendrait la moyenne de ($-\log$) sur l'ensemble des valeurs que $X_i$ est susceptible de prendre.

## IX - LA QUANTITE D'INFORMATION DE LINDLEY -

Quand on admet la loi de Bayes, et que par conséquent on ne conçoit pas de théorie de _l'estimation_ sans une loi de probabilité a priori, on est conduit assez naturellement à définir la quantité d'information en fonction de la _probabilité a posteriori_, et non plus de la _"vraisemblance"_.

Il est alors possible de conserver presqu'intégralement la définition de Shannon; on abandonne seulement le _signe moins_ qui précède le logarithme, de façon à définir, pour chaque état de nos connaissances, un niveau d'information _négatif_; quand on _gagne_ de l'information, on s'élève vers la cote zéro. Nous suivons ici le point de vue de Lindley, le plus récent (Réf. Li) (1).

Soit $p(\zeta)$ la probabilité a priori et $p(\zeta|x)$ la probabilité a posteriori de $\zeta$ sachant que $x$ est le résultat de ou des observations.

Les niveaux d'informations successifs sont, pour des _tirages bernoulliens_ :

$$I_0 = \int p(\zeta) \log p(\zeta) d\zeta$$

$$I_1 = \int p(\zeta|x) \log p(\zeta|x) d\zeta$$

$$\bar{I}_1 = \int I_1 p(x) dx \quad (\text{information moyenne})$$

<footnote>(1) Il ne diffère pas essentiellement de celui de ses prédécesseurs, McMillan, Blackwell, Bohnenblust-Shapley-Sherman, etc., de l'avis de Lindley.</footnote>
où $p(x)$ désigne la loi de probabilité a priori de l'observation $x$.

Se plaçant au point de vue "séquentiel", on définit le niveau $I_2$ d'information après deux résultats d'observation $x, x'$, en substituant

$$p(\zeta | x, x') \quad \text{à} \quad p(\zeta | x)$$

dans la formule; on définit de même le niveau $I_3$ avec

$$p(\zeta | x, x', x''), \\ \text{etc.}$$

Le *gain d'information* apporté par les unités de sondage tirées aux rangs $n+1, n+2, \dots$ m est égal à la différence du niveau $I_m - I_n$. Lindley montre que c'est une fonction "concave".

### Comparaison avec la perte d'information.

Le caractère essentiel de la *perte d'information* est que le niveau $I_m$ n'est pas *rejeté à l'infini*. Au contraire, dans des cas très simples, on constate que le niveau $I_n$ de Lindley tend vers l'infini avec $n$; par exemple lorsqu'on a (exemple du § X)

$$I_n = \frac{1}{2} \log(\lambda^2 + n) + \text{constante}$$

Par ailleurs le niveau $I_0$ serait (pour la *perte d'information*) rejeté à l'infini; alors qu'ici on part toujours d'un niveau fini. Ceci tient au fait qu'on ne part jamais d'une absence complète d'information, on se donne toujours a priori une distribution (qui peut en fait provenir d'un sondage antérieur).

## X - ETUDE D'UN EXEMPLE DE LINDLEY -

Etudions avec Lindley une population infinie, distribuée suivant une loi de Laplace-Gauss de moyenne aléatoire et d'écart-type $\sigma$.

Considérons a priori $\zeta$ comme une autre variable de Laplace-Gauss, de moyenne $\mu$ (constante celle-la) et d'écart-type $\tau$.

Supposons d'abord l'échantillon d'effectif $n = 1$, la probabilité élémentaire du couple aléatoire $(x, \zeta)$ est

$$(2\pi)^{-1} (\sigma\tau)^{-1} \exp \left\{ -\frac{1}{2} \left[ \frac{(x - \zeta)^2}{\sigma^2} + \frac{(\zeta - \mu)^2}{\tau^2} \right] \right\} \mathrm{dxd}\zeta$$
et l'exposant de l'exponentielle peut aussi s'écrire :

$$ -\frac{1}{2} \left[ \frac{(x - \mu)^2}{\tau^2 + \sigma^2} + \frac{\tau^2 + \sigma^2}{\tau^2 \sigma^2} \left( \zeta - \frac{\sigma^2 \mu + \tau^2 x}{\sigma^2 + \tau^2} \right)^2 \right] $$

ce qu'on interprète en disant que la loi de probabilité a priori de $x$ est de Laplace-Gauss, de moëenne $\mu$ et d'écart-type $\sqrt{\tau^2 + \sigma^2}$; et que la loi de probabilité a posteriori de $\zeta$ est de même type, mais de moyenne : $\frac{\sigma^2\mu + \tau^2x}{\sigma^2 + \tau^2}$ et d'écart-type $\frac{\sigma\tau}{\sqrt{\sigma^2 + \tau^2}}$. Il est utile ici de faire ressortir que :

## THEOREME -

Si $\zeta$ a une distribution a posteriori de Laplace-Gauss, la quantité d'information est égale au logarithme (neperien) de l'inverse de son écart-type, diminué de $\log \sqrt{2\pi}$ (démonstration immédiate).

En conséquence, le gain d'information $I_1 - I_0$ est égal à :

$$ \log \sqrt{\sigma^2 + \tau^2} - \log \sigma = \frac{1}{2} \log \left( I + \frac{\tau^2}{\sigma^2} \right) $$

Passons de là à un échantillon de taille $n = 2$; il vient :

$$ \frac{(x_1 - \zeta)^2}{\sigma^2} + \frac{(x_2 - \zeta)^2}{\sigma^2} + \frac{(\zeta - \mu)^2}{\tau^2} \equiv \frac{2\tau^2 + \sigma^2}{\tau^2 \sigma^2} \left( \zeta - \frac{\tau^2(x_1 + x_2) + \sigma^2\mu}{2\tau^2 + \sigma^2} \right) + \dots $$

et le gain d'information est :

$$ \frac{1}{2} \log (\sigma^2 + \tau^2 / \sigma^2 + 2\tau^2) = I_2 - I_1 $$

Avec un échantillon de taille $n$, le gain d'information est :

par rapport au cas où $n = 0$

$$ I_n - I_0 = \frac{1}{2} \log \left( 1 + \frac{\lambda^2}{n} \right) + \log n $$

$$ \text{en posant } \lambda^2 = \frac{\sigma^2}{\tau^2} $$

$$ = \frac{1}{2} \log (\lambda^2 + n) $$

par rapport à un échantillon de taille $n - 1$, il est :

$$ I_n - I_{n-1} = \frac{1}{2} \log \left( 1 + \frac{\lambda^2}{n} \right) - \frac{1}{2} \log \left( 1 + \frac{\lambda^2}{n-1} \right) + \frac{1}{2} \log \left( \frac{n}{n-1} \right) $$
Quant à la loi a posteriori de $\zeta$, c'est une loi de Laplace-Gauss

$$ \text{de moyenne} \qquad \frac{\sigma^2 \mu + n \tau^2 \bar{X}}{\sigma^2 + n \tau^2} \qquad \text{et d'écart-type} \qquad \sqrt{\frac{\tau^2 \sigma^2}{\sigma^2 + n \tau^2}} $$

$$ \text{ou de moyenne} \qquad \frac{\lambda^2 \mu + n \bar{X}}{\lambda^2 + n} \qquad \text{et d'écart-type} \qquad \sqrt{\frac{\sigma^2}{\lambda^2 + n}} $$

On peut comparer **gain d'information** et **réduction de la perte d'information** (variance), ou plutôt (si l'on fait abstraction de $\log(n/\sqrt{n-1})$ et de $\frac{1}{2}$) comparer

$$ \log \left( 1 + \frac{\lambda^2}{n} \right) - \log \left( 1 + \frac{\lambda^2}{n-1} \right) \text{ et } \left( \frac{\sigma^2}{n} - \frac{\sigma^2}{n-1} \right) $$

Lorsque $n$ est grand (en supposant $\tau^2$ du même ordre que $\sigma^2$), ces deux expressions sont des infiniment petits équivalents (au facteur $\tau^2$ près).

Quant à la loi a posteriori de $\zeta$, elle correspond assez bien à nos habitudes de pensée : il suffit d'imaginer qu'un **sondage antérieur** nous a procuré une moyenne $\mu$ et une variance (estimée) $\tau^2$ et qu'on les prend comme paramètres de loi de probabilité a priori; alors on retrouve comme moyenne de la loi a posteriori l'estimateur habituel.

La difficulté est qu'il faut donc toujours commencer par faire une première estimation **sans probabilité a priori**, - ce qu'on déguise en l'appelant : choix des paramètres $\mu$ et $\tau$.

En dehors de ce cas simple, de peu d'intérêt pratique, l'information de Lindley (comme l'estimation par la méthode de Bayes) diverge franchement de la présente théorie.

XI - POINT DE VUE SUR CETTE INFORMATION -

Le problème de l'estimation statistique peut être abordé de trois façons différentes :

1) En se donnant la loi de répartition de $X$ et la probabilité a priori du paramètre à estimer $\zeta$: comme Lindley;

2) En se donnant seulement la loi de répartition de $X$, - la grandeur à estimer étant une constante inconnue non aléatoire : c'est le point de vue de R. A. Fisher;
3) En ne précisant même pas la loi de répartition de X, loi qui en pratique n'est pas connue et ne présente que des rapports éloignés avec les lois théoriques usuelles ou non : c'est le point de vue de la théorie des sondages.

Le propre de la théorie des sondages est de faire des estimations en <u>ignorant la forme</u> des lois de distribution des variables en jeu.

A fortiori est-il indispensable d'ignorer les lois de probabilité a priori des $\zeta$.

A - Cependant, dans le cas de <u>populations sondées très grandes</u> (et c'est un cas limite aussi important en pratique qu'en théorie) les $\bar{X}$ échantillon devenant indépendants, la théorie des résumés exhaustifs d'ordre 1 intervient.

Si en outre les échantillons sont eux-mêmes très grands (cas très courant en pratique) les lois-limites de Laplace-Gauss et la considération de l'estimation du maximum de vraisemblance entrent en jeu.

Le problème de premier plan des sondages est l'estimation de la moyenne arithmétique $\bar{X}$ de la population, par celle $\bar{X}$ de l'échantillon.

Si on a par ailleurs des raisons de penser que la distribution est, disons de Galton-Mac Alister-Gibrat, on pourra employer au lieu de $\bar{X}$ un estimateur $X'$, tel que $\hat{v}X' < \hat{v}\bar{X}$ en particulier l'estimateur du maximum de vraisemblance $X^o$, tel que

$$ \hat{v} X^o = 1/nH $$

C'est là (on l'a dit) un cas exceptionnel; il est de pratique couvrante de réduire la perte d'information par ce qu'on connaît sur la <u>structure de la distribution</u>, la loi restant non spécifiée.

### Exemples - Sondage stratifié.

$$ X = x_{hi} = \bar{x}_h + \theta_{hi} $$

avec

$$ \& \theta_h = 0 $$

sans spécifier les lois centrées $\theta_h$ et connaissant les effectifs de strate $v_h$, on abaisse la variance dans le rapport :

$$ \Sigma v_h \sigma_h^2 / \Sigma v_h \sigma_h^2 + \Sigma v_h (\bar{x}_h - \bar{\bar{x}})^2 $$

dans le cas où les fractions sondées sont les mêmes dans chaque strate.

Si en outre les écarts-types de strate $\sigma_h$ sont connus, on pose :
$$X = \bar{x}_h + \sigma_h \theta_h \quad \text{avec} \quad \mathcal{E} \theta_h = 0, \quad \nu \theta_h = 1;$$

sans spécifier autrement les $\theta_h$, le sondage "à la Neyman" abaisse la variance dans le rapport :

$$(\Sigma v_h \sigma_h)^2 / \Sigma v_h \sigma_h^2$$

**Autre exemple :** Estimation par une droite de régression.

En postulant que X a une structure telle que :

$$X = Y + \theta \quad \text{ou} \quad X = Y + \sigma(y) \theta \quad \text{avec} \quad \mathcal{E} \theta = 0$$

on sait abaisser la variance dans le rapport $(1 - \rho^2)$ ($\rho$ étant le coefficient de corrélation entre X et Y, et $\bar{y}$ étant supposé connu.

Dans chacun de ces cas, **dès qu'on spécifie que les variables $\theta$ sont laplace-gaussiennes, ou simplement suivent des lois admettant la moyenne arithmétique comme résumé exhaustif, il devient impossible d'abaisser davantage la variance, du moins à effectif constant.**

Brefil est utile de se souvenir qu'il existe une loi de distribution alors même qu'on en ignore tout.

B - De même il est permis de chercher à tirer parti d'une théorie de l'information qui suppose connues :

- la loi de distribution de X (à quelques $\zeta$ près);

- la loi de probabilité a priori des $\zeta$.

Le tout est de savoir quel profit tirer du point de vue suivant lequel $\zeta$ cesse d'être une constante inconnue pour devenir une variable aléatoire.

Lorsqu'on cherche à appliquer le calcul des probabilités à l'analyse de données naturelles, il est bien normal qu'on ait quelque hésitation sur le choix du schéma d'urne à employer pour introduire le hazard dans le raisonnement. En revanche, lorsqu'on opère sur des données provenant de tirages au sort dont on a monté soi-même tous les mécanismes (et c'est le cas des méthodes modernes de sondage), on est en droit de douter de l'utilité et de la légitimité de l'introduction de variables aléatoires supplémentaires.

Au reste on a repris l'exemple du § X (du à Lindley) pour chercher à en tirer parti. Considérons une distribution laplace-gaussienne ($\mu, \sigma^2$) de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, dont on extrait un échantillon
bernoullien d'effectif n; sa moyenne $\bar{X}$ suit a priori la loi laplace-gaus-
sienne (μ, σ²/n). Si μ est inconnu (mais σ connu) et si l'on connaît $\bar{X}$
(c'est-à-dire un certain échantillon), il est assez naturel de considérer
la variable aléatoire auxiliaire M de distribution ($\bar{X}$, σ²/n) comme re-
présentant l'estimation du paramètre inconnu μ. Cette dernière dis-
tribution est une probabilité a posteriori (connaissant l'échantillon).
La loi de Bayes donne inversement une loi de probabilité a priori de M
.et la loi de probabilité a posteriori de l'échantillon pour toute valeur
donnée de M).

Pour alléger le calcul, on s'assurera de l'identité de deux lois
gaussiennes à un nombre quelconque de variables en identifiant :

- d'une part les exposants de l'exponentielle (au facteur $-\frac{1}{2}$ près);

- d'autre part l'autre facteur de l'élément différentiel (à un multiple près de $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$).

La loi de Bayes s'écrit dans le cas d'un seul tirage :

$$
p(x_1) \cdot p(M \mid x_1) = p(M) \cdot p(x_1 \mid M)
$$

$$
\text{Identification : } \frac{(x_1 - \mu)^2}{\sigma^2} + \frac{(x_1 - M)^2}{\sigma^2} = \frac{(M - \mu)^2}{2\sigma^2} + \frac{2}{\sigma^2} \left( x_1 - \frac{M + \mu}{2} \right)^2 \\
\text{ce qui fait bien apparaître la loi } \underline{\text{a priori}} \ (\mu, 2\sigma^2) \text{ pour M.}
$$

Dans le cas de deux tirages, on a :

$$
p(M) \cdot p(x_1, x_2 \mid M) = p(x_1, x_2) \cdot p(M \mid x_1, x_2)
$$

avec

$$
p(x_1, x_2) = p(x_1) \cdot p(x_2) = p(x_1 - x_2) \cdot p(x_1 + x_2)
$$

correspond aux égalités suivantes d'exposants :

$$
(x_1 - \mu)^2 + (x_2 - \mu)^2 + \left( M - \frac{x_1 + x_2}{2} \right)^2 . 2 = \frac{3}{2} (x_1^2 + x_2^2) + x_1 x_2 + 2(M^2 + \mu^2) \\
- 2(x_1 + x_2) (M + \mu) = \left[ (x_1 + x_2) - M - \mu \right]^2 + \frac{1}{2} (x_1 - x_2)^2 + (M - \mu)^2
$$

$$
où le crochet correspond à p(x_1, x_2 | M) et (M - μ)^2 à p(M).
$$

Dans le cas de n tirages, il vient :

$$
S(x_i - \mu)^2 + n(M - \bar{X})^2 = \left[ S\left(x_i - \frac{M+\mu}{2}\right)^2 + n\left(\bar{X} - \frac{M+\mu}{2}\right)^2 \right] + (M - \mu)^2 \frac{n}{2}
$$
avec la même décomposition en $p(x_1, x_2, \dots, x_n | M) \cdot p(M)$.

## Conclusion.

La loi de Bayes conduit pour $M$ à une loi de probabilités a priori (avant tirage) : laplace-gaussienne ($\mu, \frac{2\sigma^2}{n}$).

Il en résulte que cette loi a priori ne serait pas la même quand on tire 1, 2, ... n boules, ce qui est absurde. Autrement dit :

Il n'est pas possible de représenter l'estimation (séquentielle) de $\mu$ par une variable aléatoire gaussienne $M$, constamment centrée en $\bar{X}$ et de variance $\sigma^2/n$, lorsqu'on suppose les variables $X$ de valeur centrale $\mu$ **inconnue mais fixe** (comme c'est le cas lorsqu'on sonde une urne); on en conclut qu'il n'y a pas lieu de conserver l'aléatoire $M$.

Ceci ne signifie pas que, dans aucun cas, la loi de Bayes ne puisse avoir d'application. Mais nous la réserverions à des cas où il n'y a pas eu tirage au sort effectif (échantillon formé des premiers arrivants, par exemple).

## XII - SUR L'INFORMATION SELON SCHÜTZENBERGER -

Schützenberger a établi (dans sa thèse, Pub. Inst. Stat. Uni. Paris, III, 1-2, page 43) le théorème suivant :

"Toute information(1) est la valeur moyenne, étendue à l'ensemble des états, de la résultante de l'application d'un opérateur linéaire $S$ sur le logarithme de la probabilité a priori de chaque état".

En particulier avec $S = -1$, on a l'information de Shannon;

avec $S = -\frac{\partial^2}{\partial\zeta^2}$, on retrouve l'information de Fisher, etc.

D'où la question : à quel opérateur linéaire $S$ correspondrait la "perte d'information" et en particulier la variance ?

1/ Tout d'abord les "états" évoqués dans une théorie volontairement très générale peuvent être compris de plusieurs manières.

$$p_i S \log p_i$$

<footnote>(1) On notera qu'il existe de nombreux cas de pseudo-information, c'est-à-dire d'expressions qui, sans être des informations, sont de la forme :</footnote>
Limitons-nous d'abord au sondage exhaustif dans une urne unique. A une taille n donnée de l'échantillon correspond :

- un plan de sondage $\pi$;

- $C_v^n = m$ échantillons distincts, donc m valeurs d'un estimateur Z;

- $m^2$ couples d'échantillons distincts, donc $m^2$ valeurs $\frac{1}{2} (Z_i - Z_j)^2$ ou plus généralement (ij), avec

$$ (ii) = 0; $$

$$ (ij) = (ji) $$

etc.

a) Un "état" peut donc signifier un échantillon, un couple d'échantillons, etc., l'information (perdue) étant celle du plan de sondage tout entier.

En pareil cas, les probabilités $p_i$ sont égales entre elles, - à $1/m$ pour la première interprétation, à $1/m^2$ pour la seconde, etc.

Si par "état" on entend "couple", peut-on considérer $\frac{1}{2} (Z_i - Z_j)^2$, - plus généralement (ij), - comme un $S \log(p_i)$ ?

b) Mais par "état" on peut entendre encore une chaine d'échantillons de taille $(v-1)$, $(v-2)$, ..., $(n+2)$, $(n+1)$, n, telle qu'on perde à chaque étape une unité de sondage de l'échantillon. Si les probabilités sont encore égales entre elles, leur expression est devenue :

$n! / v!$

Au lieu d'une seule chaine, on peut d'ailleurs en considérer deux simultanément. Mais, de toute manière nos "états" sont équiprobables.

L'information sera obtenue en divisant la somme des $(S \log p_i)$ par le nombre d'états.

2/ Que faut-il comprendre alors par résultante de l'application d'un opérateur linéaire $S$ ?

Considérons deux plans de sondage de tailles n et n'; soit $\pi$ et $\pi'$.

Supposons que, n étant plus grand que n', on passe d'un "état" de $\pi$ à un état de $\pi'$, donc d'une probabilité p à une probabilité $p' = pq$.
Par exemple :

$$p = n'! / v'!,$$

$$p' = n''! / v'!,$$

$$q = n'''! / n'!$$

d'où :

$$\log p = \log n'! - \log v'!,$$

$$\log p' = \log n''! - \log v'!,$$

$$\log q = \log n'''! - \log n'!$$

a) On voit alors que $S \log p_i$ ne peut désigner $(Z - \zeta)^2$, pour la raison qu'on n'a pas :

$$(Z' - Z)^2 + (Z - \zeta)^2 = (Z' - \zeta)^2$$

l'égalité des deux membres supposant $(Z' - Z) \cdot (Z - \zeta) = 0$.

Il en résulte que "état" ne peut signifier "échantillon" avec lequel on calculerait $Z$ (ou $Z'$).

b) Désignons au contraire par état un couple $(E_i, E_j)$ d'échantillons, chacun de taille $n$, et passons de là (en perdant $n'$ - $n$ unités pour chacun) à un couple $(E'_i, E'_j)$ chacun de taille $n'$.

On voit cette fois qu'on peut poser :

$$2S = (Z'_i - Z'_j)^2 - (Z_i - Z_j)^2$$

expression dont le second terme se réduit à 0 pour $Z = \zeta$ (c'est-à-dire $\pi = U$).

**En résumé :** Par état on peut comprendre le couple d'échantillons; et par résultante de l'application de l'opérateur linéaire $S$ sur $\log p$, on peut entendre :

$$[(Z'_i - Z'_j)^2 - (Z_i - Z_j)^2] / 2$$

ou (plus généralement) toute fonction $G(I', J') - G(I, J)$ telle que $G(J, I) = G(I, J)$, $G(I, I) = 0$.

### Généralisation.

Pour les besoins par exemple de la mesure de la perte d'information sur l'estimation d'une perte d'information, on pourra considérer comme état un groupe de 4 échantillons et pour

$$S \log p = (Z'_i - Z'_j)^2 (Z'_h - Z'_k)^2 - (Z_i - Z_j)^2 (Z'_h - Z'_k)^2$$
ainsi que des expressions plus générales.

Cas de plans de sondage plus complexes.

La transposition est immédiate. En particulier les tirages avec probabilités inégales (associés à des estimateurs sans biais) modifient le calcul de l'espérance mathématique de S log p, mais non S log p.

XIII - AUTRE INTERPRETATION DE LA PERTE D'INFORMATION (T. CR 4 1958) -

Revenons sur le théorème de Schützenberger évoqué au § XII.

Soit i, j, deux échantillons au hasard (distincts ou non) du même plan de sondage et F une fonction positive, telle que :

$$F(i, j) = F(j, i), \quad F(ii) = 0$$

La probabilité d'obtenir le couple ij est $1/m^2$ s'il existe m échantillons équiprobables pour ce plan de sondage.

Appelons écart D(ij) entre les deux échantillons ij l'expression :

$$D(ij) = \left[ \exp [-F(ij)] m^2 \right]^{-1}$$

et densité le rapport $m^2/D(ij) = p(ij)$

$$\text{soit} \quad q(ij) = 1 - \exp [-F(ij)]$$

C'est bien une probabilité (comprise entre 0 et 1); posons de même :

$$p(ij) = \frac{d}{dF} q(ij) = \exp [-F(ij)]$$

$$\text{d'où} \qquad - \log p(ij) = F(ij).$$

Appelons enfin $\& [-\log p(ij)] = \& [F(ij)] = \& (\pi)$ la perte d'information. On retrouve à la fois la définition de Shannon et la notre.

Donc, tout se passerait comme si la densité de probabilité de l'écart entre les deux échantillons ij était de la forme :

$$A \cdot \exp [-F(ij) \cdot B]$$

où A et B désignent deux constantes (positives).
En particulier : Cas de la variance.

Pour estimer sans biais le paramètre ζ, on dispose de

$Z(i)$ et $Z(j)$

c'est-à-dire deux estimations, sur échantillons tirés au sort (i) et (j), avec l'estimateur sans biais Z.

Soit $F(ij) = [Z(i) - Z(j)]^2 / 2$

On sait que : $(pi) = \nu Z = \& F$

Pour retrouver l'information de Shannon, il faut donc que $Z(i) - Z(j)$ ait une densité de probabilité de Laplace-Gauss.

Lorsque l'échantillon est grand, les moyennes sur échantillon admettent des lois-limite de Laplace-Gauss; de même les estimations du maximum de vraisemblance; etc. Supposons que ce soit le cas pour Z. La différence $Z(i) - Z(j)$ suit elle-même une loi de cette nature.

Ainsi, lorsque l'estimateur admet une loi-limite de Laplace-Gauss, il y a coïncidence entre l'information de Shannon et la perte d'information dans le cas des grands échantillons.

Mais si l'on écarte cette interprétation asymptotique, on est réduit à supposer que le plan de sondage est bernoullien et la distribution de base laplace-gaussienne, ce qui ne présente plus beaucoup d'intérêt pratique (§ X ci-dessus).

## XIV - SUR L'INFORMATION SELON FISHER -

Finalement l'opérateur linéaire $S$ de Schützenberger qui est utilisé en sondage, n'a donc rien de commun avec celui $(\partial^2 / \partial \zeta^2)$ de Fisher.

La relation simple entre $\sigma^2/n$ et $n/\sigma^2$ (avec une loi de Laplace-Gauss) apparaît comme accidentelle. Essayons de l'expliquer.

Limitons-nous au cas de l'estimation d'un seul paramètre $\zeta$, par $Z$.

Soit $F$ la loi de probabilité de $Z$, et $G$ celle des variables $X_1, X_2, \dots, X_n$ indépendantes au début et qu'on lie par un valeur donnée à $Z$. On désigne par $f_i$ la loi de probabilité de $X_i$. Il vient :

$$ \sum_{(n)} \log f_i = \log F + \log G $$
En dérivant deux fois par rapport à $\zeta$, en prenant les espérances mathématiques des deux membres et en changeant les signes, il vient :

$$ 
\begin{aligned}
\text{Information de Fisher} &= \varepsilon \left[ - \frac{\partial^2}{\partial \zeta^2} (\log F) \right] + \varepsilon \left[ - \frac{\partial^2}{\partial \zeta^2} (\log G) \right] \\
&= \varepsilon \left[ \frac{\partial}{\partial \zeta} (\log F) \right]^2 + \varepsilon \left[ \frac{\partial}{\partial \zeta} (\log G) \right]^2
\end{aligned}
$$

Lorsque la loi f(X) admet un résumé exhaustif d'ordre 1 par rapport à $\zeta$, le deuxième terme du deuxième membre disparaît; il subsiste autrement.

Lorsque n est grand, $\bar{X}$ admet une loi-limite de Laplace-Gauss, et on va s'en tenir aux estimateurs Z possédant cette même propriété.

Par conséquent on aura :

$$ \varepsilon \left[ - \frac{\partial^2}{\partial \zeta^2} \log F \right] = \frac{n}{\sigma^2} + \varepsilon $$

où $\sigma$ n'est pas l'écart-type des X mais celui des Z pour n = 1 (ou à défaut pour n = r).

Considérons alors un couple d'échantillons de taille n, soit (1), (2).

Si Z(1) et Z(2) sont sans biais, la variable Z(1) - Z(2) est indépendante de $\zeta$. De plus, comme n est grand, elle est l' laplace-Gaussienne, comme la variable Z(1) + Z(2) dont elle est indépendante.

Le moment du 2ème ordre de Z(1) - Z(2), en particulier, ne peut dépendre de $\zeta$. Au contraire, l'information de Fisher est une fonction de $\zeta$, constante dans le cas particulier où log f est un polynome du 2ème degré en $\zeta$ (exclusivement).

Pour le couple (1), (2), l'information de Fisher est :

$$ \varepsilon \left[ - \frac{\partial^2}{\partial \zeta^2} \log F(1+2) \right] + \varepsilon \left[ - \frac{\partial^2}{\partial \zeta^2} \log G(1) - \frac{\partial^2}{\partial \zeta^2} \log G(2) \right] $$

où le premier terme est voisin de $2n/\sigma^2$. On sait que $\sigma^2$ ne dépend pas de $\zeta$; c'est donc dans le second terme qu'est localisée l'influence de $\zeta$.

Finalement c'est cette présence de
$$ \mathcal{E}(- \partial^2 \log G / \partial \zeta^2) = \mathcal{E}( \partial \log G / \partial \zeta )^2 $$

à côté de $\mathcal{E}(\partial \log F / \partial \zeta)^2$ qui rend l'information de Fisher (pour n grand) au moins égale à l'inverse de $\mathcal{V}(Z)$.

## XV - DERNIERES REMARQUES -

Les informations de Lindley ou de Fisher sont bien entendu des solutions de l'équation de Récurrence de Schützenberger. Mais l'espérance mathématique qui y figure a, pour l'Information de Lindley, une signification fort différente de la nôtre; alors que nous lui donnons le même sens que Fisher. Le raisonnement que nous avons fait, à la IIIème partie du Chapitre IV n'est valable, il est vrai, que pour des pertes d'information finies; mais il serait possible de l'adapter au cas présent. Ainsi est-on conduit à poser :

$$ \mathcal{F}(\pi') - \mathcal{F}(\pi) = n $$

$$ 1/H = E g(i, j) = \gamma $$

avec deux sondages bernoulliens ($\pi'$) et ($\pi$), d'effectifs :

$$ \lambda \text{ et } \lambda + n $$

avec

$$ 2g(i, j) = \left[ \frac{\partial}{\partial \zeta} \log \frac{f(x_i, \zeta)}{f(x_j, \zeta)} \right]^{-2} $$

Ainsi s'achève cet exposé qui, à notre regret, malgré sa longueur, laisse encore bien des points dans l'ombre.
BIBLIOGRAPHIE

Reference

A.1. ANSCOMBE - Sequential Estimation. J. Royal Stat. Society - Series B. 1953.1.

BAR G. A. BARNARD - The theory of information - J. Royal Stat. Society - Series B. 1951, p. 46.

BA 1. D. BASU - On symmetric estimators in point estimation with convex weight functions. - SANKHYA 12, p.45 (décembre 1952).

BA 2. D. BASU - On the optimum character of some estimators used in multistage sampling problems - SANKHYA, 13, p.363 (juin 1954).

CHA 1. CHARTIER F. - Note sur les fluctuations aléatoires d'une variance estimée - Bulletin d'information de l'INSEE - n°3 mars 1957 - p. 31-40.

CHA 2. CHARTIER F. - Sur l'influence d'une stratification aléatoire lors de l'estimation du total d'une population - Journal de la Société de Statistique de Paris 97, 4-5-6. 1956, p.121-129.

CR.1. Harald CRAMER - Mathematical Methods of Statistics - Princeton, 1946.

CR.2. Harald CRAMER - Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités - 1ère partie du fascicule : Les sommes et les fonctions de variables aléatoires - Actualités Scientifiques n°736; Hermann 1938.

DA.1. G. DARMOIS - Sur les lois de probabilités à estimation exhaustive CR. 200 1935 - p. 1265.

DA.2. G. DARMOIS - Méthodes d'estimation - Actualités scientifiques Hermann 1936.

DA.3. G. DARMOIS - Sur l'estimation des grandeurs par leurs mesures (Annuaire du Bureau des Longitudes. 1952).
Référence

DU. D. DUGUE - Application des propriétés de la limite au sens du calcul des probabilités à l'étude de diverses questions d'estimation. - Journal de l'Ec. Polytechnique 1937 - p. 305.

FE FERON - Information, Régression, Corrélation - Thèse pour le doctorat ès Sciences, Paris 1954.

FIN FINNEY - On the distribution of a variate whose logarithm is normally distributed, page 155. Suppl† of the J. of the Royal Stat. Society VII n°2, 1941.

FIS 2 FISHER (Sir Ronald) - On the mathematical foundations of theoretical Statistics - Phil. Trans. Roy. Soc. London - Series A. 222 p. 309 - (1922).

FIS 1 FISHER (Sir Ronald) - Theory of statistical estimation - Proceedings Cambridge Phil. Society 22 (1925) p. 700.

FIS 3 FISHER (Sir Ronald) - Statistical methods and Scientific Inference - Oliver & Boyd. - 1956 - p. 148, etc.

FOR R. FORTET - Calcul des probabilités - CNRS 1950.

GE GEISSER (Seymour) - A note on the normal distribution. - The Annals of Math. Statistics - septembre 1956 - p. 858 - (Geary. J.R.Stat.Soc.Suppl. Vol.3 (1936) n°2. (Réf.: )Lukacs. Ann.Math.Stat. Vol. 13 (1942) p. 91. (Daly. Ann. Math. Stat. Vol. 17 (1946) p. 71).

KH Abbas. G. KHADJENOURI - Contribution à la théorie mathématique de l'échantillonnage - Thèse pour le Doctorat ès Sciences - PARIS 1956 -

LI 1. D. V. LINDLEY - Statistical Inference. - J. of the Royal Stat. Society - 1953 - Séries B. XV n°1 - p. 30.

LI 2. D. V. LINDLEY - On a measure of the Information provided by an experiment - The Annals of Math. Statistics - 27 n°4 déc. 1956 - p. 986.

LI 3. D. V. LINDLEY - Binomial sampling schemas and the concept of information - Biometrika Vol. 44 n°1-2 - p. 1957.

N. 1. Jerzy NEYMAN - On the two different Aspects of the Representative method : the method of Stratified Sampling and the method of Purposive Sampling. - Journal of the Royal Statistical Society 1934 - p. 558-625.

N. 2. Jerzy NEYMAN - Contribution to the Theory of Sampling Human Population - J. Amer. Stat. Assoc. 33 (1938) p. 101-116.

N. 3. Jerzy NEYMAN - Sur une famille de tests asymptotiques des
Référence

hypothèses statistiques composées - Madrid - Revista
Trabajos de Estadistica - V. II. 1954.

SC. M. P. SCHÜTZENBERGER - Contribution aux applications statistiques de la théorie de l'information (Thèse pour le doctorat ès-Sciences-Paris 1954) Publications de l'Inst. de Stat. de l'Université de Paris - III. 1. 2. 1954.

ST. STUART (Alan) - The measurement of estimation and test efficiency - Session 1957 de l'Inst. Inst. Stat. - papier n°62.

TU. TUKEY - Variances of Variance component - Ann. Math. St. 1956, p. 722.

UT. J.E.G. UTTING & Dorothy COLE - Sample Surveys for the Social Accounts of the Household Sector - Bulletin of the Oxford University Institute of Statistics - janv. 1953.

WAL. Abraham WALD - Statistical Decision Functions - New York 1950.

Z L. ŽARKOVIĆ - Sampling Control of Literacy Data. Journal of the Am. Stat. Assoc. 1954 - pp. 510-519.

T.CR Pierre THIONET - Notes aux comptes-rendus Acad. Sci. :

1. - Sur la variance de l'estimation d'une variance (Vol. 245, 1957, p. 2168).

2. - Une généralisation de la variance d'échantillonnage dans le cas de tirages exhaustifs d'une urne (Vol. 245, 1957, p. 2464).

3. - Représentation topologique des sondages (Vol.246, 1958 p. 46).

4. - Sur les rapports entre divers concepts d'information (Vol. 246, 1958, p. 123).

5. - Sur les pertes d'information qui sont des fonctions de risque (Vol. 246, 1958, p. 128).

6. - Sur les pertes d'information imputables à certaines estimations biaisées (Vol. 246, 1958, p. 536).

7. - Sur une théorie générale des pertes d'information par sondage (Vol. 246, 1958, p. 692).

T.IIS Pierre THIONET - Erreurs d'échantillonnage - fonctions de risque et information perdue - Session 1957 de l'Inst. Int. de Stat. - Papier n°64 - Bulletin d'Inf. de l'INSEE, sept-nov. 1957 - p. 51-64.

T.1. Pierre THIONET - Méthodes statistiques modernes des administrations fédérales aux Etats-Unis. - Actualités Scientifiques. Hermann 1946.
Référence

T.2. Pierre THIONET - L'école moderne de statisticiens italiens. Journal de la Société de Statistique de Paris (1945 n°11-12, 1946 n°1-2).

T.3. Pierre THIONET - La théorie des sondages - Etude théorique n°5 de l'INSEE - Paris (I. N) 1953.

T.4. Pierre THIONET - Application des méthodes de sondage aux enquêtes statistiques - Etude théorique n°6 de l'INSEE - Paris (I. N.) 1953.

T.5. Pierre THIONET - Théorie des sondages - Cours de l'Ecole d'application de l'INSEE (année scolaire 1955-56).

T.6. Pierre THIONET - En s'exerçant à la théorie des sondages - Bulletin d'information de l'INSEE - sept-octobre 1954.

T.7. Pierre THIONET - Recherche d'une fonction de coût applicable aux enquêtes par sondage de l'INSEE. - Revue de l'Institut International de Statistique 1954 - p. 33.

T.8. Pierre THIONET - Décisions à propos de sondages - Revue de Statistique appliquée - 1955 p. 71-80.

T.9. Pierre THIONET - Le problème théorique du plan d'échantillonnage - Journal de la Société de Statistique de Paris - 1948 - mars-avril.

T.10. Pierre THIONET - a) Considérations théoriques à propos de sondage (1955).
b) Notion d'Information et théorie des sondages (1956).
(Documents intérieurs au S. E. E. F.).

T.11. Pierre THIONET - Théorie des décisions statistiques et théorie des sondages.
(Bull. d'Inf. de l'INSEE - sept-oct. 1956, p. 1. 6).
TABLE DES MATIÈRES

<table><thead><tr><th></th><th>Page</th></tr></thead><tbody><tr><td>INTRODUCTION</td><td>269</td></tr><tr><td>CHAPITRE I - Tirages équiprobables de boules dans une urne</td><td>273</td></tr><tr><td>CHAPITRE II - Les pertes d'information dans le cas de l'urne de Bernoulli</td><td>291</td></tr><tr><td>CHAPITRE III - La perte d'information avec des plans de sondage quelconques.</td><td>307</td></tr><tr><td>I - Définitions fondamentales</td><td>307</td></tr><tr><td>II - Topologie des sondages</td><td>316</td></tr><tr><td>CHAPITRE IV - La forme analytique des pertes d'information</td><td>327</td></tr><tr><td>I - Pertes au sens du chapitre I</td><td>327</td></tr><tr><td>II - Cas des estimations biaisées</td><td>336</td></tr><tr><td>III - Pertes au sens du chapitre II</td><td>357</td></tr><tr><td>IV - Pertes d'information d'un sondage ou d'une estimation</td><td>364</td></tr><tr><td>CHAPITRE V - Les sondages à plusieurs degrés</td><td>375</td></tr><tr><td>CHAPITRE VI - Sondages divers (notamment à deux phases)</td><td>395</td></tr><tr><td>CHAPITRE VII - Les informations supplémentaires</td><td>403</td></tr><tr><td>I - Le changement d'estimateur</td><td>403</td></tr><tr><td>II - Le changement d'échantillon</td><td>419</td></tr><tr><td>CHAPITRE VIII - Sur divers concepts d'information applicables aux sondages</td><td>427</td></tr><tr><td>BIBLIOGRAPHIE</td><td>451</td></tr></tbody></table>