# K. Perspective pour l'ouverture en pétales : matériau hétérogène

Nous l'avons vu, il est difficile de reproduire numériquement une rupture par ouverture en pétales. Cela pourrait être dû en partie à l'isotropie du matériau de la cible et à un modèle parfaitement symétrique, rendant peu probable une propagation de fissures dans des directions aléatoires. Une piste d'amélioration pourrait passer par l'ajout de défauts aléatoirement répartis dans le maillage du modèle. Avec cette approche, [Gutiérrez & De Borst, 1999] ont pu modéliser la localisation de la rupture d'une éprouvette en traction simple sur un plan de cisaillement à 45° grâce à un matériau hétérogène, dont les propriétés mécaniques variaient suivant une loi normale. Cette partie de l'étude s'attache ainsi à modéliser un matériau aux propriétés mécaniques hétérogènes à l'échelle mésoscopique, mais homogènes à l'échelle macroscopique.

## K.1. Construction des modèles

Nous travaillons ici avec une protection monocouche AA6 impactée par un projectile D20-Acier-Conique. Contrairement aux cas précédents, le maillage est structuré.

Le caractère hétérogène du matériau de la cible est généré selon deux variables :

- La contrainte d'écoulement, en faisant varier le coefficient A de la loi d'écoulement plastique de Johnson-Cook

- La déformation à partir de laquelle l'endommagement s'amorce, en faisant varier le coefficient $d_1$ de l'indicateur d'amorçage de l'endommagement de Johnson-Cook

Les variations de ces coefficients seront réparties de façon aléatoire dans le matériau selon deux « tirages ».

Nous avons choisi une plage de variation de ±30%, sur trois niveaux, en gardant comme valeur médiane la valeur tirée de la littérature. Appliqué à notre alliage d'aluminium, les coefficients A et $d_1$ peuvent donc prendre les valeurs suivantes (Tableau K-1) :

<table><caption>Tableau K-1 : Plage de variation des coefficients du matériau hétérogène</caption><thead><tr><th></th><th>A (MPa)</th><th>d<sub>1</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td><strong>-30%</strong></td><td>0,7A</td><td>0,7d<sub>1</sub></td></tr><tr><td><strong>Littérature</strong></td><td>A</td><td>d<sub>1</sub></td></tr><tr><td><strong>+30%</strong></td><td>1,3A</td><td>1,3d<sub>1</sub></td></tr></tbody></table>
Un seul coefficient est modifié à la fois. En pratique, trois matériaux différents sont intégrés au modèle Abaqus, associés à trois ensembles d'éléments. Chaque élément du maillage de la cible est assigné aléatoirement à un ensemble d'éléments. On obtient ainsi une répartition aléatoire, comme illustré en Figure K-1. Les couleurs rouge, vert et gris correspondent aux trois ensembles d'éléments. Deux tirages aléatoires seront également comparés.

<figure><img src="image_162.png" /><figcaption>Figure K-1 : Illustration de la répartition aléatoire des propriétés mécaniques</figcaption></figure>

Quatre modèles sont construits, dont un modèle témoin homogène (Tableau K-2) :

<table><caption>Tableau K-2 : Description des modèles de matériau hétérogène</caption><thead><tr><th></th><th>A (MPa)</th><th>d<sub>1</sub></th><th>Tirage</th></tr></thead><tbody><tr><td>Modèle 1</td><td>A</td><td>d<sub>1</sub></td><td>Aucun</td></tr><tr><td>Modèle 2</td><td>A</td><td>(0,7d<sub>1</sub> ; d<sub>1</sub> ; 1,3d<sub>1</sub>)</td><td>Tirage 1</td></tr><tr><td>Modèle 3</td><td>(0,7A ; A ; 1,3A)</td><td>d<sub>1</sub></td><td>Tirage 1</td></tr><tr><td>Modèle 4</td><td>(0,7A ; A ; 1,3A)</td><td>d<sub>1</sub></td><td>Tirage 2</td></tr></tbody></table>

La comparaison des modèles se fait sur la base de simulations d'impact avec un projectile D20-Acier-Conique, dont la vitesse incidente est suffisante pour traverser la cible. Deux critères seront examinés :

- quantitatif : Valeur de la vitesse résiduelle du projectile pour vérifier que les propriétés macroscopiques du matériau de la cible sont inchangées

- qualitatif : Forme des pétales formés lors de la pénétration
## K.2. Résultats et discussion

Les résultats des simulations sont regroupés dans la Figure K-2. On y trouve des vues depuis l'arrière de la plaque, face au projectile, au cours de la pénétration. Précisons que le calcul du modèle 1 a été effectué plusieurs fois, et la forme des pétales est répétable. En conséquence, les différences observées ici sont bien influencées par la répartition aléatoire des propriétés mécaniques du matériau, et pas uniquement par des erreurs numériques.

<figure><img src="image_163.png" /><figcaption>Figure K-2 : Comparaison entre le modèle témoin et les trois modèles hétérogènes. Vue depuis l'arrière de la plaque, face au projectile. Représentation du champ de l'indicateur d'amorçage de l'endommagement de Johnson-Cook (bleu : 0 ; rouge : 1)</figcaption></figure>
On remarque tout d'abord que les vitesses résiduelles sont quasiment identiques. On peut
donc en conclure que l'impact de l'hétérogénéisation mésoscopique du matériau a un impact
négligeable sur ses propriétés macroscopiques.

Ensuite, la forme des pétales est différente à chaque fois, que ce soit en faisant varier la déformation avant amorçage de l'endommagement (modèle 1 vs. modèle 2), la contrainte d'écoulement (modèle 1 vs. modèle 3 et modèle 2 vs. modèle 3), ou le tirage aléatoire (modèle 3 vs. modèle 4).

L'influence de l'hétérogénéité locale sur la propagation des fissures est donc mise en évidence. Avec des propriétés matériau réparties aléatoirement, les fissures s'orientent vers les éléments les plus faibles, formant des pétales aux formes aléatoires.

La propagation de fissure peut donc revêtir un aspect aléatoire, même en numérique. Il est cependant nécessaire de quantifier les amplitudes de variation des propriétés mécaniques et le nombre de paliers adéquats pour représenter au mieux la réalité.