fonction des signaux d'entraînement élaborés par la commande vectorielle. La transformation de Park de la commande vectorielle relie les courants de phases du moteur ($I_a, I_b, I_C$) aux courants direct et quadratique $I_{sd}, I_{sq}$ en fonction de l'angle rotor/stator [62]. Les boucles de contrôle des courants $i_{sd}$ et $I_{sq}$ sont de type proportionnel et intégral (PI).

### 3.4.2 Modèle du variateur

La fonction du variateur (électronique de puissance EDP) est de moduler la puissance du système de commande du moteur électrique. Il transforme l'énergie du réseau électrique alternatif triphasé en courant continu, puis, il alimente les trois phases du moteur avec des tensions plus ou moins élevées. Par conséquent, le variateur peut être considéré comme un transformateur de puissance parfait modulé qui reçoit une consigne de la part des calculateurs et délivre la puissance désirée avec la dynamique indiquée. Le variateur est dit parfait si on néglige ses pertes de puissances, son modèle BG causal est représenté dans la figure 3.10.

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>FIGURE 3.10 – Modèle BG d'un variateur parfait</figcaption></figure>

$$ \begin{cases} U_m = \frac{1}{\alpha} \cdot U_s \\ I_s = \alpha \cdot I_m \end{cases} \qquad (3.53) $$

avec :

$U_s$ : Tension d'alimentation $[V]$,

$I_s$ : Courant d'alimentation $[A]$,

$U_m$ : Tension des bobinages du moteur $[V]$,

$I_m$ : Courant des bobinages du moteur $[A]$,

$\alpha$ : rapport cyclique de la modulation de la largeur d'impulsion, $\alpha \in [-1; 1]$

Une représentation réelle du variateur tient compte des pertes de puissance qui sont
de deux types [39]. Les pertes par conduction des semi-conducteurs (transistors IGBT et diodes) qui provoquent une chute de tension, côté moteur. Elles sont modélisées dans le modèle BG par l'élément de type R : $R_{cd}$ à la *Jonction* : 1. Et les pertes par commutation qui provoquent une chute de tension côté alimentation électrique sont, quand à elles, modélisées au niveau de la *Jonction* : 0 par l'élément de type R : $R_{cm}$.

<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>FIGURE 3.11 – Modèle BG d'un variateur réel</figcaption></figure>

### 3.4.3 Modèle BG simplifié d'un moteur électrique

Un moteur électrique effectue une conversion de puissance électromécanique de la tension et courant d'entrée, proportionnellement en couple et vitesse angulaire respectivement 3.54. Par conséquent, le moteur électrique peut être considéré comme un transformateur parfait de puissance qui peut alors être représenté dans le modèle BG par l'élément *GY* : le gyrator modulé par un coefficient de transformation Kt variable et fonction du flux statorique (comme indiqué sur la figure 3.12.

$$ \begin{cases} C_{em} = K_t \cdot I_m \\ U_m = K_t \cdot \omega_m \end{cases} \qquad (3.54) $$

avec : $C_{em}$ : Couple électromagnétique [$N.m$]

$K_t$ : Constante de couple moteur [$Nm/A$]

$\omega_m$ : Vitesse angulaire rad/s

$U_m$ : tension de la f.e.m.

L'inertie du rotor du moteur est modélisée 3.12 par l'élément BG $I$ : $J_m$ dont l'équation est en causalité intégrale est donnée dans l'équation :

$$ \omega_m = \frac{1}{J_m} \int C_J \cdot dt \qquad (3.55) $$
Le réducteur est considéré comme une transmission parfaite de puissance. Selon le formalisme BG, il est représenté par un transformateur TF qui relie les variables de puissances comme indiqué dans les équations 3.56 et 3.57 :

$$C_m = r \cdot C_c \qquad (3.56)$$

$$\omega_c = r \cdot \omega_m \qquad (3.57)$$

Avec : r le rapport de réduction.

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>FIGURE 3.13 – Modèle BG causal simplifié d'un réducteur</figcaption></figure>

La représentation donnée dans la figure 3.13 est purement fonctionnelle, elle n'est pas suffisante du fait qu'elle ne tienne pas compte des frottements, de l'inertie et de la raideur des arbres à l'entrée et la sortie du réducteur. Cette représentation ne tient pas compte, non plus, de la butée qui limite la course de l'EMA. Tous ces paramètres, pris en compte, nous aboutit au modèle BG de la figure 3.14.

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>FIGURE 3.14 – Modèle BG causal d'un réducteur</figcaption></figure>
L'inertie du réducteur $J_{rd}$, qui génère un couple d'inertie, est représentée par l'élément d'inertie $I$ dans le Bond-Graph :

$$ \omega_c = \frac{1}{J_{rd}} \int C_{rd} \cdot dt \qquad (3.58) $$

avec :

$C_{rd}$ : Couple d'inertie du réducteur [$N.m$]

$J_{rd}$ : Inertie du réducteur [$kg.m^2$]

$\omega_c$ : Vitesse de rotation du réducteur [$rad/s$]

Il existe plusieurs solutions pour modéliser la perte par frottement d'une transmission mécanique [71]. Celle-ci dépend, en pratique, de la vitesse angulaire et du couple de la charge externe. Du point de vue de l'ingénieur de contrôle, la solution la plus simple consiste à décrire la perte par frottement comme étant proportionnelle à la vitesse relative ($\omega_r$), qui est affectée par un coefficient de frottement visqueux ($f_{rd}$) comme donné dans l'équation suivante :

$$ C_f = f_{rd} \cdot \omega_r \qquad (3.59) $$

avec :

$C_f$ : couple de frottement dans le réducteur [$N.m$]

$\omega_r$ : vitesse de rotation relative du réducteur [$rad/s$]

$f_v$ : Coefficient visqueux de la vitesse de rotation du réducteur [$N.m/(rad/s)$]

## 3.5 Conclusion

Au cours du chapitre modèle bond graph de l'actionneur électromécanique, dans un premier temps, les phénomènes physiques de l'EMA et la structure de contrôle en cascade ont été présentés. Une approche de modélisation incrémentale a été proposée en utilisant le formalisme du Bond-Graph des différentes parties constituantes de l'EMA.

En partant du modèle d'un moteur et d'une EDP parfaits, puis en considérant les effets physiques suivants : pertes de conduction et de commutation pour l'EDP, l'inertie du rotor et le frottement pour le moteur. Puis la modélisation de la transmission mécanique de puissance de l'EMA, toujours en présentant le modèle parfait puis en considérant les phénomènes physiques fonctionnels et les parasites Une distinction a été clairement établie entre l'effet parfait et les effets parasites (tels que l'inertie, le frottement, etc.)
Chapitre 4

Application industrielle : Surveillance d'un
banc d'essai d'un Actionneur
Électromécanique

Dans ce chapitre réservé principalement aux résultats de simulation et d'expéri-
mentation, la méthode de diagnostic précédemment décrite est appliquée à un banc
d'essai d'un actionneur électromécanique. Les paramètres du système correspondant à
des phénomènes physiques (inerties, frottements, raideurs,...), sont identifiés ainsi que
leurs incertitudes en utilisant la méthode du gradient normalisée. La modélisation LFT
est une forme standard qui permet de prendre en considération ce type d'incertitudes
dans les étapes de modélisation et de diagnostic.

L'objectif est de valider le modèle bond graph en co-simulation avec le logiciel
Amesim ® utilisé par l'entreprise CERTIA pour le contrôle et le diagnostic du banc
de test. La démarche méthodologique est illustrée par le schéma de la figure 4.1

Sur la figure 4.2 le modèle BG global en causalité intégrale du système est donné. Il est d'abord validé sur site. La deuxième étape consiste à générer les RRA et analyser les conditions de surveillabilité structurelle. La troisième étape permet sur la base des valeurs numériques des paramètres du modèle d'implémenter le système de surveillance en tenant compte des incertitudes paramétriques. Notons que la partie commande embarquée n'est pas traitée dans ce mémoire et est considérée comme une contrainte imposée par les conditions industrielles.
<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>FIGURE 4.1 – Démarche méthodologique pour le diagnostic du banc de test</figcaption></figure>

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>FIGURE 4.2 – Modèle Bond graph du banc d'essai en causalité intégrale</figcaption></figure>
## 4.1 cahier des charges

Avant de procéder à la description du fonctionnement du banc d'essais ainsi que ses différents composants, il est intéressant de rappeler l'application visée, les contraintes existantes et les grandeurs intéressantes à mesurer. Le système électromécanique étudié a été développé à l'origine afin de tester les différents équipements d'un EMA dans le cadre du projet Européen. Un projet collaboratif regroupant les grands industriels en aéronautiques (Airbus, Goodrich, Safran, SKF ...) et ce dans le but de valider et de qualifier les principaux équipements constituant un EMA. Les trois principaux partenaires impliqués dans la conception de ce banc d'essai modulaire étaient CERTIA, CLEMESSY et SAGEM. Ils ont tous une expérience et une expertise dans la conception de moyens d'essais et l'exécution de tests. Leur objectif était de concevoir un seul banc d'essai avec trois niveaux de configuration :

- test d'un seul élément : le moteur ou la vis-écrou ou la gear-box ou encore l'électronique de puissance.

- test de l'intégration partielle de l'EMA (exemple : EDP + moteur ou moteur + boite à vitesses)

- test de l'intégration totale de l'EMA

<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>FIGURE 4.3 – Photographie du banc d'essai. Configuration test Moteur</figcaption></figure>

Dans cette étude, seule la configuration moteur est étudiée dans l'optique de réaliser un diagnostic en ligne sur le système afin d'analyser l'influence des incertitudes par-
métriques et mécaniques sur les différents résidus synthétisés [52]. Dans les résultats présentés, la détection du phénomène de grippage et l'estimation de son amplitude, objectifs de cette thèse, sont montrés. Le banc d'essai de l'étude est illustré par la figure 4.3.

## 4.2 Architecture du banc d'essai

L'architecture du banc d'essai en configuration moteur-EMA, fourni par la société CERTIA, est donné dans la figure 4.4.

La configuration mécanique de la représentation moteur-entrainement est donnée dans la figure 4.5. Le banc est constitué de deux moteurs synchrones brushless, le premier moteur EMA est le spécimen à tester, d'un boitier de couplage moteur qui permet d'éviter toute charge radiale sur l'arbre moteur de l'EMA. L'arbre de transmission en celeron dont la caractéristique permet de couper les ponts-thermiques. Le deuxième moteur assure le rôle de charge. Le moteur 1 est asservi en vitesse et le moteur 2 est asservi en couple.

Le détail du montage moteur EMA est représenté dans la figure 4.6.

## 4.3 Caractéristiques du banc

### Servomoteur 1 (PP1)

Permet le test moteur et gearbox. Il est composé d'un moteur électrique synchrone pour réaliser :

- L'entrainement et le chargement du moteur de l'EMA à tester;

- L'entrainement de la Gearbox de l'EMA à tester.

Les caractéristiques de ce servomoteur sont les suivantes :

- Constructeur : SEW USOCOME;

- Référence moteur : CMP71M/KY/VR/EK1H/SM1

- Couple à l'arrêt : 13,7 Nm avec ventilation forcée (VR)

- Vitesse maximale : 6000 tr/min upgradée à 8000 tr/min

- Moment d'inertie : $4,08 \times 10^{-4} \text{ Kg} \cdot \text{m}^2$
<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>FIGURE 4.4 – Architecture banc d'essai</figcaption></figure>
<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>FIGURE 4.5 – Représentation 2D du banc d'essai</figcaption></figure>

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>FIGURE 4.6 – Détail du montage moteur EMA – côté moteur entrainement</figcaption></figure>

## Servomoteur 2 (PP2)

Permet le test de la vis à bille. Ses caractéristiques sont les suivantes :

- Constructeur : SEW USOCOME;

- Référence moteur : CMP100L/KY/VR/EK1H/SM1;

- Couple à l'arrêt : 70 Nm avec ventilation forcée (VR)

- Vitesse maximale : 2000 tr/min;

- Moment d'inertie : $40,24 \times 10^{-4} \text{Kg.m}^2$

## Capteur de couple

Le capteur de couple se situe après la motorisation PP1. Ses caractéristiques sont les suivantes :

- Constructeur : HMB

- Modèle : T40B

- Type de capteur : Numérique – convertisseur Numérique/analogique intégré au capteur

- Sortie utilisée : Fréquence (Sortie Tension ≠ 10Vdc Disponible)

- Classe de précision : 0,05%
<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>FIGURE 4.7 – Détail du montage moteur EMA – côté moteur EMA</figcaption></figure>

— Etendue de mesure (EM) : 100 Nm

— Erreur de linéarité incluant l'hystérésis :

— Entre 0% $M_{nom}$ et 20% $M_{nom}$ : < ∓0,01 %

— Entre > 20%$M_{nom}$ et 60%$M_{nom}$ : < ∓0,02 %

— Entre > 60%$M_{nom}$ et 100%$M_{nom}$ : < ∓0,03 %

Variateurs alimentant les moteurs électriques

Le contrôle des boucles de position, vitesse, courant et force est assuré par l'élec-
tronique de puissance embarquée. Cette partie est constituée de quatre modules, dont
trois sont des variateurs, comme le montre la photographie de la figure 4.8. Le premier
module est un module de puissance, dont le rôle est d'alimenter les différents varia-
teurs. Le module 2 contrôle le moteur 1 de type CMP71M, le variateur 3 contrôle le
moteur 2, de type CMP71M et le module 4 prévu pour contrôler un moteur de type
CMP100L.

<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>FIGURE 4.8 – Variateurs alimentants moteurs électrique</figcaption></figure>
## 4.4 Analyse des modes de défaillances et de leur criticité d'un EMA

L'Analyse des Modes de Défaillance (AMDE) est une méthode qui étudie les causes et les effets des défaillances. Cette méthode, très utilisée pour les études de sûreté de fonctionnement lors de la conception de systèmes prend en compte toutes les défaillances possibles et analyse les conséquences sur le procédé. Cette méthode s'étend en considérant la probabilité d'occurrence de chaque défaut et analyse la gravité des effets de ces défauts; elle s'appelle alors AMDEC : analyse des modes de défaillances de leurs effets et de leur criticité. Un rapport de l'AMDEC a été établi par les équipes du centre de recherche Ames de la NASA [34] se basant sur les données de Moog Corporation et de publications telles que celles de Lockheed Martin Aeronautics Company [12] et de [44]. Cet AMDEC contient les données de fiabilité associées à chaque composant de l'EMA, c'est un outil déterminant pour décider quels composants de l'EMA devraient être pris en compte pour les tests de défaillance prédéfinis.

Le tableau 4.1 présente les informations relatives au taux de défaillance pour chacun des cinq principaux assemblages de l'EMA. Selon les travaux de [12] l'ensemble moteur et capteur de position ont les taux de défaillance les plus élevés de l'EMA. En effet, le capteur de position est le capteur principal dans la boucle de rétroaction de l'actionneur, il est, de ce fait, un composant critique pour l'EMA et est, très probablement, un composant critique pour fournir les informations pour les algorithmes de diagnostic et de pronostic. Cependant, toujours selon [12], il ne serait pas logique d'ajouter des capteurs pour prédire la durée de vie restante de ce capteur. La solution pratique et économique pour améliorer la fiabilité de ce composant serait d'ajouter de la redondance.

<table><caption>TABLEAU 4.1 – Tableau de fiabilité de l'EMA</caption><thead><tr><td>Description</td><td>Taux de défaillance</td></tr></thead><tbody><tr><td>Ensemble vis à bille</td><td>16.2 %</td></tr><tr><td>Gear box</td><td>8.3%</td></tr><tr><td>Moteur</td><td>39.7 %</td></tr><tr><td>Boîtier</td><td>1.8 %</td></tr><tr><td>Capteur de position</td><td>34 %</td></tr></tbody></table>

Afin d'identifier les composants, de chaque partie de l'EMA, qui peuvent être candidats au diagnostic, les fiabilités des composants ont été examinées pour chaque sous-
système majeur. Il s'avère que les composants en mouvement, tels que les enroulements et les engrenages, étaient, en général, les composants à taux de défaillance élevé dans chacun de ces sous-systèmes, comme l'indique le tableau 4.2.

<table><caption>TABLEAU 4.2 – Taux de défaillance des parties tournantes d'un EMA</caption><thead><tr><th>Description</th><th>Taux de défaillance (×10<sup>-6</sup>/Hr)</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="2">ensemble vis à bille</td></tr><tr><td>La vis à bille</td><td>0.5</td></tr><tr><td>Butée</td><td>0.1</td></tr><tr><td colspan="2">La gearbox</td></tr><tr><td>Les engrenages</td><td>0.1</td></tr><tr><td>Sortie boite à vitesse</td><td>0.1</td></tr><tr><td colspan="2">Le moteur</td></tr><tr><td>roulements du moteur</td><td>1.15</td></tr></tbody></table>

Du tableau 4.2, les défauts des roulements du moteur sont la première catégorie la plus importante des défauts de l'EMA. Les moteurs fonctionnent souvent à des vitesses de rotation élevées, ce qui entraîne des contraintes mécaniques importantes et une augmentation des températures dans leurs boîtiers, ce qui les rend susceptibles de développer des courts-circuits d'enroulement, des excentricités d'arbre de rotor et d'autres problèmes.

Sur la base d'une recherche bibliographique [7], [12] et [44] il apparaît que les composants pertinents à surveiller sont :

- l'excentricité du rotor.

- défaut d'isolation au niveau de l'entrefer (transformation de l'énergie électrique en énergie mécanique).

- défaut d'isolation au niveau de l'entrefer (transformation de l'énergie électrique en énergie mécanique).

- le jamming.

- la bobine du stator.

- le capteur de position fournit par l'intégration du signal du capteur de la vitesse angulaire.

Sur le modèle BG de la figure 4.10 ces défauts sus-cités sont associés aux éléments BG suivants :
<table><caption>TABLEAU 4.3 – Composants à surveiller et leurs éléments BG associés</caption><thead><tr><td>Défaut</td><td>élément BG correspondant</td></tr></thead><tbody><tr><td>Jamming</td><td>f<sub>r1</sub></td></tr><tr><td>Bobines du stator</td><td>R<sub>s1</sub> et L<sub>d1</sub></td></tr><tr><td>Capteur de vitesse</td><td>Df : ω<sub>mr1</sub></td></tr><tr><td>Excentricité de l'arbre</td><td>I : Jr1</td></tr><tr><td>Transformation énergie électrique en énergie mécanique</td><td>MGY : φ<sub>f1</sub></td></tr></tbody></table>

## 4.5 Bond graph à mots du banc d'essai

Le bond graph à mots (word Bond graph) de la figure 4.9 représente le niveau technologique du modèle. Le système global y est décomposé en différents sous-systèmes. Contrairement à un bloc diagramme conventionnel, les entrées et les sorties dans un bond graph à mots ne sont pas des signaux mais des variables de puissance. Deux paires de grandeurs de puissance sont utilisées : couple - vitesse angulaire ($\tau - \omega$) pour l'énergie mécanique de rotation et tension-courant (V; i) pour l'énergie électrique.

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>FIGURE 4.9 – Bond graph à mot du banc d'essai</figcaption></figure>

## 4.6 Modèle Bond graph du banc d'essai

Le modèle bond graph représente le niveau physique de la modélisation en mettant en évidence tous les phénomènes pris en compte. Ce modèle graphique permettra de déduire systématiquement les équations dynamiques décrivant le système global pour produire alors le niveau mathématique du modèle. Enfin en fonction de la destination du modèle : pour la simulation ou pour le diagnostic, on construit un modèle en causalité intégrale ou dérivée respectivement. Les hypothèses de modélisation suivantes sont faites pour le développement du modèle BG : les enroulements statoriques sont répartis de manière sinusoidale le long de l'entrefer ; les fentes du stator n'entraînent
aucune variation sensible de l'inductance du rotor avec la position du rotor ; l'hystérésis magnétique est négligeable ; les effets de saturation magnétique sont négligeables. Dans de nombreux cas, l'analyse des moteurs synchrones avec un modèle vectoriel est compliquée du fait que nous devons traiter des variables complexes. La plus populaire est la transformation de Park (développée au chapitre précédent) On rappelle que la tension des phases A,B,C du stator sont remplacées par les tensions des phases fictives dans le repère (d-q) selon les équation 3.14. Sur la figure ci-dessous est représenté le modèle bond graph de la transformation de Park (conformément aux équation 3.13). Notons que ce modèle ne représente par un système physique (où se déroulent des échanges puissance) mais juste une représentation du modèle fictif de la transformation de Park.

La figure 4.10 présente le modèle Bond-graph déterministe du système en causalité intégrale [53]. La partie mécanique du moteur 1 (moteur 2 respectivement) est caractérisée par le frottement visqueux de coefficient $fr1$ (fr2 respectivement) qui représente le grippage (jamming), l'inertie de moment angulaire Jr1 (Jr2 respectivement) définit l'excentricité de l'arbre. La partie arbre de couplage est modélisée par les phénomènes suivants : de résistance $R : Rcs$, d'inertie $I : Jcs$ de moment angulaire Jcs. Le couplage de cet arbre aux deux moteurs est modélisé par deux élasticités représentées par 2 éléments capacitifs $C : 1/Kc1$ et $1/Kc2$ de raideurs d'élasticité $Kc1$ et $Kc2$. Les gyrateurs MGY modulés par les flux rotoriques $\phi_{fi}$ modélisent la transformation de l'énergie électrique en énergie mécanique. Les capteurs sont représentés par des détecteurs de flux et d'effort (Df et De). Les « Df » sont les capteurs de vitesse de rotation des deux moteurs, $Df : \omega_{mr1}$ et $Df : \omega_{mr2}$ et ceux des courants statoriques $Df : I_{dm1}$, $Df : I_{dm2}$, $Df : I_{qm1}$ et $Df : I_{qm2}$. $De : \tau_{m2}$ est le capteur de couple. Dans cette application, le système n'est pas doté d'un réducteur à la sortie du moteur. La partie électrique du moteur (stator) est modélisée par les éléments $R : R_{s1}$ et $I : I_{d1}$ qui représentent les phénomènes résistifs et inductifs des bobines statoriques.

Les équations d'état du système peuvent être aisément déduites du modèle bond graph. Le nombre des variables d'état est égal au nombre d'éléments dynamiques de type I et C. Dans notre cas (en ne considérant qu'un seul moteur), d'un point de vue physique, les variables d'état sont :

- les moments angulaires des arbres de rotation $JWr1$, $JWr2$ et de l'arbre de couplage $JWcs$

- Les flux électriques : $L.I_{ds1}$ et $L.I_{qs1}$

- les angles de rotation dus aux élasticités dans les deux points de connexion de l'arbre de couplage : $\theta_{c1}$ et $\theta_{c2}$
<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>FIGURE 4.10 – Modèle Bond-graph du banc d'essai en causalité intégrale</figcaption></figure>
Les variables d'entrée sont les sources d'effort et de flux. Dans notre cas les entrées sont : $Se : V_{q1}$, $Se : V_{d1}$, $Se : V_{q2}$ et $Se : V_{d2}$. Les équations d'état que nous n'utilisons pas ici pour le diagnostic peuvent être consultées par le lecteur dans l'article que nous avons publié [53]. Afin de valider le modèle, les équations dynamiques ont été déduites du modèle bond graph et implémentées sur le logiciel Amesim © en cosimulation.

## 4.7 Validation du modèle

La figure 4.11 présente le modèle correspondant au banc d'essai, développé dans l'environnement de simulation AMESim qui est bien établi dans l'industrie aérospatiale pour la simulation multi-physique au niveau système. On y distingue la structure de contrôle de l'EMA basée sur un contrôle multi-boucles en cascades, comme décrit au chapitre 3, au niveau du variateur. Le correcteur PI pour le contrôle de la boucle de courant du moteur, la valeur de gain $K_p = 4$ et le gain $K_i = 0.05$. Les trois branches de sortie du variateur génèrent les tensions appliquées aux phases du moteur, en fonction des signaux d'entraînement élaborés par la stratégie de contrôle vectorielle décrite au chapitre précédent. La transformée de Park générant les courant $I_d$ et $I_q$ en fonction de la position rotor/stator. Le courant $I_{dref}$ est réglé à zéro pour le contrôle du moteur. L'inertie à la sortie de chaque moteur est nécessaire pour répondre aux exigences de causalité, elle représente aussi un phénomène parasite au niveau du moteur.

Une consigne de 3000 trs/mn a été envoyé au moteur 1, avec une fréquence de 1Hz, voir figure 4.12a, le moteur 2 a été asservi en couple avec une consigne de 5Nm et une fréquence de 1Hz, voir figure 4.12b.

Une validation du modèle a été réalisée en comparant les sorties obtenues sur le système réel à celles obtenues par simulation. Les tests sur système réel se sont déroulés chez l'industriel. Plusieurs tests ont été effectués. La figure 4.13 montre quelques fluctuations dues aux incertitudes paramétriques mal identifiées tel que les frottements et les jeux au niveau du système.
<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>FIGURE 4.11 – Modèle Amesim du banc d'essai</figcaption></figure>

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>(a) Consigne et retour vitesse - moteur 1 (b) Consigne et retour couple - moteur 2

FIGURE 4.12 – Validation du modèle Amesim</figcaption></figure>
<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>FIGURE 4.13 – Validation du modèle</figcaption></figure>

### 4.7.1 Implémentation du système de diagnostic

### 4.7.2 Génération des Relations de Redondance Analytiques déterministes

Sur la base des algorithmes développés au chapitre 2 cette section a pour objectif de générer l'ensemble des RRA pour la détection et l'isolation des défauts pouvant affecter l'EMA. Le modèle bond graph en causalité intégrale est transformé en modèle BG de diagnostic en causalité dérivée en dualisant les capteurs : les détecteurs d'effort et de flux (De et Df) sont alors transformés en sources de signal $SSe$ et $SSf$. Le modèle bond graph de diagnostic en causalité dérivée est présenté sur le figure 4.14.

Le moteur 2 est utilisé pour imposer un couple au moteur principal EMA1, nous allons alors pour des raisons de simplicité examiner que les RRA issues de l'EMA1 avec l'arbre de couplage. Le modèle de diagnostic correspondant à cette partie est donnée dans la figure 4.15.

Les RRA candidates sont déduites des équations de conservation d'énergie représentées par les jonctions (« 0 » et « 1 ») associées à un capteur : elles sont au nombre de 4. Pour une meilleure pédagogie, examinons en détail la RRA déduite de la jonction « 1 » du circuit du stator de l'EMA 1 :

$$J_1 \implies RRA1 = e_{19} - e_{18} - e_{17} + e_{16} + e_{20} = 0 \quad (4.1)$$

$e_{19}, e_{18}, e_{17}, e_{16}$ et $e_{20}$ sont des variables inconnues, elles seront éliminées en utilisant un parcours de chemin causal (inversion de modèle) à partir de la variable inconnue à une
<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>FIGURE 4.14 – Modèle Bond graph de diagnostic en causalité dérivée</figcaption></figure>

variable connue (mesurée ou une entrée) (cf chapitre 2). On obtient alors l'expression
de la première RRA :

$$
\begin{align*}
\text{RRA1} &= U_{d1} - R_{s1} \cdot I_{dm1} - L_{d1} \frac{dI_{dm1}}{dt} + \left(-\frac{d\phi_{f1}}{dt}\right) + p \cdot L_{s1} \cdot \omega_{mr1} \cdot I_{qm1} \\
\text{COMP(RRA1)} &= \{R_{s1}, i_{dm1}, \omega_{mr1}, V_{a1}, V_{b1}, V_{c1}, i_{qm1}, L_{s1}, \Phi_{f1}\}
\end{align*}
$$

Ceci signifie que les fautes qui peuvent affecter cet ensemble de composants peuvent
<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>FIGURE 4.15 – Modèle Bond graph de diagnostic en causalité dérivée de l'EMA principal</figcaption></figure>

être détectées par l'indicateur de faute ARR1 par son résidu, plus concrètement :

$$r1 = eval(ARR1)$$

Le processus des chemins causaux définit un graphe orienté (voir figure 4.16) qui montre l'ordre d'élimination des variables inconnues.

De façon similaire, on déduit la RRA de la deuxième jonction « 1 » du circuit du stator de l'EMA 1 :

$$J_2 \Rightarrow RRA2 = e_{24} - e_{22} - e_{21} - e_{14} - e_{23} = 0$$
$$RRA2 = U_{q1} - R_{s1}I_{qm1} - \frac{1}{p}L_{s1}\omega_{mr1}I_{dm1} - \frac{1}{p}\phi_{f1}\omega_{mr1} - L_{q1}\frac{dI_{qm1}}{dt}$$

### 4.7.3 Condition de surveillabilité du Jamming

Les 2 autres ARR peuvent être déduites des jonctions suivantes de la partie mécanique des jonctions *Jonction* – 1 et *Jonction* – 0 :

$$RRA3 = e_{11} - e_9 - e_8 - e_{10} \qquad (4.2)$$

$$RRA4 = f_2 - f_1 - f_7 \qquad (4.3)$$
<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>FIGURE 4.16 – Graph orienté du résidu structuré de l'ARR1</figcaption></figure>

Toutefois, on observe que le sous-système représentant l'arbre de couplage (dont le schéma de principe et le modèle Bond graph de diagnostic figure (4.17 (a) et (b)) est mal instrumenté et présente des boucles différentielles lors du parcours de chemin causal pour l'élimination des variables inconnues e8 et f2.

Examinons pour illustration la RRA3 candidate :

$$RRA3 = e_{11} - e_9 - e_8 - e_{10} = 0 \qquad (4.4)$$

On remarque par le parcours de chemins causaux pour l'élimination des variables inconnues que le chemin causal pour éliminer e8 présente une boucle différentielle comme le montre le graphe orienté figure 4.18. Une écriture causale des différentes variables d'effort et de flux lors du passage par les contraintes et jonctions permet d'exprimer analytiquement e8 qui montre bien la présence des boucles et donc l'impossibilité d'annuler cette variable inconnue. En effet :

$$e_8 = e_4 \qquad (4.5)$$
<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>FIGURE 4.17 – Arbre de couplage (a) et son modèle BG en causalité dérivée (b)</figcaption></figure>

Or :

$$e_4 = e_2 + e_3 + e_6 \qquad (4.6)$$

Sachant que :

$$e_2 = \tau_{m2} \qquad (4.7)$$

$$e_3 = J_{cs} \frac{df_3}{dt} \qquad (4.8)$$

$$f_3 = f_4 = f_8 - f_5 = \omega_{mr1} - \frac{1}{K_{c1}} \frac{e_5}{dt} \qquad (4.9)$$

Et :

$$e_5 = e_4 \qquad (4.10)$$

$$e_6 = R_{cs}(\omega_{mr1} - \frac{1}{K_{c1}} \frac{de_4}{dt}) \qquad (4.11)$$

Des équations 4.5 à 4.11, on déduit l'expression de $e_8$ à savoir :

$$e_8 = e_4 = \tau_{m2} + J_{cs} \left( \frac{d\omega_{mr1}}{dt} - \frac{1}{K_{c1}} \frac{d^2 e_4}{dt^2} \right) + R_{cs} \left( \omega_{mr1} - \frac{1}{K_{c1}} \frac{de_4}{dt} \right) \qquad (4.12)$$
Par conséquent, dans l'expression de $e_8$, 4.12, apparaît une boucle algébrique puisque :

$$e_8 = F(e_8, \frac{de_8}{dt}, \frac{d^2 e_8}{dt^2}, \omega_{mr1}, \tau_{m2}) \qquad (4.13)$$

<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>FIGURE 4.18 – Mise en évidence de la boucle différentielle par le graphe orienté</figcaption></figure>

La RRA candidate : $RRA4 = f_2 - f_1 - f_7$ pose aussi le même problème en raison de l'apparition d'une boucle différentielle lors du parcours de chemin causal pour l'élimination de la variable f2. Cette boucle apparaît directement sur le BG causal figure 4.19. (a) donnant lieu au graphe de la figure 4.19 (b). Cette boucle peut évidemment être « cassée » par l'ajout d'un capteur : exemple d'un capteur de couple issu de la connexion élastique entre l'arbre de couplage et l'EMA1 (figure 4.19 (c) et (d)). On pourrait aussi de la même façon « casser » la boucle dans le processus de génération de la RRA3.

### 4.7.4 Analyse de la surveillabilité sans observateur

En nous basant que sur les 2 RRA obtenus de la partie électrique, en tenant compte du cahier des charges fixé, les composants couverts par le chemin causal lors de l'éli-
<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>FIGURE 4.19 – Boucle causale différentielle (a) et le graphe orienté (b) et cassure de la boucle par l’ajout d’un capteur (c) et (d)</figcaption></figure>
mination des variables inconnues et notés par COMP(ARR1) sont :

$$ COMP(RRA_1) = \{R_{s1}, \omega_{mr1}, L_{s1}, \Phi_{f1}\} \quad (4.14) $$

et

$$ COMP(RRA_2) = \{R_{s2}, \omega_{mr2}, L_{s2}, \Phi_{f2}\} \quad (4.15) $$

En notant que $R_s$ et $L_s$, la résistance et l'inductance de la bobine représentées dans les repères q et d par Rs1, Rs2 et Ls1 et Ls2, la matrice de surveillabilité est donnée dans la figure 4.20.

<table><caption>FIGURE 4.20 – Matrice de surveillabilité de l'EMA sans observateur</caption><thead><tr><th>Ib</th><th>0</th><th>0</th><th>0</th><th>0</th><th>0</th><th>0</th></tr></thead><tbody><tr><th>Db</th><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><th></th><th colspan="2">Partie<br>statorique<br>de EMA</th><th>Entrefer</th><th colspan="2">Partie mécanique de<br>EMA</th><th>Capteur de<br>vitesse</th></tr><tr><th>ARR/Fautes</th><th>R<sub>s</sub></th><th>L<sub>s</sub></th><th>MGY</th><th>f<sub>r1</sub></th><th>J<sub>r1</sub></th><th>ω<sub>mr1</sub></th></tr><tr><th>ARR<sub>1</sub></th><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><th>ARR<sub>2</sub></th><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr></tbody></table>

Avec ces deux RRA les performances de surveillabilité sont très faibles et on note que la partie mécanique (y compris le Jamming) n'est pas surveillable : aucune faute n'est détectable. Db et Ib sur cette matrice sont les indices de détectabilité et de surveillabilité (cf chapitre 3).

### 4.7.5 Synthèse d'un capteur logiciel (observateur) pour la surveillance du Jamming

L'objectif est de réaliser un observateur sur cette partie mécanique qui n'est pas surveillable afin de fournir des capteurs virtuels de vitesse de l'arbre de couplage $\hat{\omega}_{cs}$ et du couple de connexion $\hat{\tau}_1$ comme indiqué sur la figure 4.21.
<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>FIGURE 4.21 – Schéma de synthèse de l'observateur pour la surveillance de l'arbre de couplage</figcaption></figure>

### 4.7.6 Analyse de l'observabilité de l'arbre de couplage

Notons d'abord que les variables d'état sur un modèle bond graph sont les variables d'énergie (déplacement généralisée et moment) associées aux éléments dynamiques C et I. Sur la figure 4.19 (b), elles représentent : l'angle de rotation sur les deux élasticités et le moment angulaire sur l'élément I de l'arbre de couplage.

$$x = [J_{cs}\omega_{cs} \quad \theta_{1} \quad \theta_{2}]$$

Toutefois sur le modèle Bond graph c'est leur dérivée qui apparaît :

$$x = [J_{cs}\dot{\omega}_{cs} \quad \dot{\theta}_{1} \quad \dot{\theta}_{2}] = [\tau_{cs} \quad \omega_{1} \quad \omega_{2}]$$

Ces dérivées du vecteur d'état correspondent aux efforts et aux flux sur les liens associés. Les entrées sont les sources de flux :

$$u = [\omega_{mr1} \quad \omega_{mr2}]^T$$

et la sortie, le capteur $De : \tau_{m2}$.

Finalement, nous avons :

$$x(t) = \begin{bmatrix} J_{cs}\omega_{cs} \\ \theta_{1} \\ \theta_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \int e(t)dt \\ \int f(t)dt \\ \int f(t)dt \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \int \tau_{cs}(t)dt \\ \int \omega_{1}(t)dt \\ \int \omega_{2}(t)dt \end{bmatrix}$$
$$u(t) = \begin{bmatrix} \omega_{mr1} \\ \omega_{mr2} \end{bmatrix}$$

$$y(t) = \tau_{m2}$$

Le modèle d'état du système « arbre de couplage » est sous forme suivante :

$$\begin{cases} \dot{x}(t) = A \cdot x(t) + B \cdot u(t) \\ y = Cx(t) \end{cases}$$

Avec : *n* étant le nombre d'états;

*m*, le nombre d'entrées et *p* le nombre de sorties.

*A* ∈ ℝ$^{n*n}$ est la matrice d'état, il représente les interactions dynamiques entre les différents éléments internes du système.

*B* ∈ ℝ$^{n*m}$ est la matrice d'entrée, elle représente l'action des entrées sur l'évolution dynamique du système.

*C* ∈ ℝ$^{p*n}$ est la matrice de sortie, elle représente les sorties des capteurs.

*D* ∈ ℝ$^{p*m}$ est la matrice de couplage (souvent *D* = 0), indique le couplage direct entre les entrées et les sorties.

Peuvent être déduites directement du bond graph les équations de l'observateur :

$$\begin{bmatrix} J_{cs} \frac{d\omega_{cs}}{dt} \\ \frac{d\theta_1}{dt} \\ \frac{d\theta_2}{dt} \\ \frac{d\theta_3}{dt} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -R_{cs} & K_{c1} & -K_{c2} \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \omega_{cs} \\ \theta_1 \\ \theta_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \omega_{mr1} \\ \omega_{mr2} \end{bmatrix} \quad (4.16)$$

$$y = \tau_{m2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & K_{c2} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \omega_{cs} \\ \theta_1 \\ \theta_2 \end{bmatrix} \quad (4.17)$$

Des logiciels dédiés peuvent générer automatiquement les équations d'état du modèle bond graph introduit. Sur la figure 4.22 est montré l'application au modèle de l'arbre du couplage. Dans l'équation d'état générée Q1, Q8 et P4 représentent les variables d'état qui sont : $\theta_1$, $\theta_2$ et $J_{cs}\omega_{cs}$, M4 est le moment d'inertie $J_{cs}$, K1 et K8 sont les raideurs des couplages de l'arbre (soit Kc1 et Kc2). Sf3 et SF7 sont les variables d'entrée ($\omega_{mr1}$ et $\omega_{mr2}$). Les variables d'effort e4 et de flux f8 et f1 sont les dérivées
de ces variables d'état :

$$e_4 \equiv J_{cs} \frac{d\omega_{cs}}{dt}, \quad f_8 \equiv \frac{d\theta_1}{dt} \quad \text{et} \quad f_1 \equiv \frac{d\theta_2}{dt}$$

La variable mesurée (le couple $\tau_{m2}$) est représentée par $e_8$ qui est égale à :

$$\tau_{m2} = K_{c2} \cdot \theta_2.$$

<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>FIGURE 4.22 – Génération des équations d'état par le logiciel Symbols Shakti</figcaption></figure>

L'outil bond graph a été utilisé pour la synthèse de l'observateur de Luenberger dans le cas des systèmes linéaires ([99], [92], [27] et [91]). Les méthodes proposées se basent sur la construction du modèle bond graph de l'observateur, mais le calcul de son gain se fait par les méthodes classiques basées sur les équations d'état. Dans ([27] et [91]), les observateurs de Luenberger d'ordres complet et réduit, proportionnel intégral, à entrées inconnues et de grand gain ont été proposées. L'originalité de ces travaux réside dans le fait que le bond graph a été utilisé aussi bien pour la construction du modèle de l'observateur que pour le calcul des gains. Dans notre cas nous avons choisi de présenter le cas le plus simple et le plus répandu, à savoir l'observateur de Luenberger d'ordre complet.
### 4.7.7 Vérification de l'observabilité structurelle du modèle

L'observabilité structurelle du modèle est une condition nécessaire pour la construction d'un observateur de Luenberger. Elle peut être vérifiée en utilisant le modèle bond graph. Elle est réalisée en 4 étapes :

1. Vérification de l'existence d'éventuelles sorties redondantes,

2. Vérification de l'observabilité structurelle du modèle,

3. Construction du modèle bond graph de l'observateur,

4. Calcul du gain de l'observateur.

**Etape 1** L'existence de sorties redondantes est la première condition à vérifier pour la construction de l'observateur. L'intérêt d'éliminer les sorties redondantes est d'éviter des calculs inutiles. En effet la sélection des sorties non redondantes permet de calculer le gain K avec des dimensions minimales. L'existence de sorties redondantes peut être vérifiée en calculant le rang de la matrice de sortie C (différence entre le nombre de détecteurs De et Df, et celui des détecteurs qui ne peuvent pas être dualisés dans le BG en causalité intégrale (BGI) I). Cette étape n'est pas très utile dans notre cas, puisque le modèle ne dispose que d'un seul détecteur.

**Etape 2** Vérification de l'observabilité structurelle du modèle. L'observabilité structurelle du modèle est une condition nécessaire pour la construction d'un observateur de Luenberger. Elle peut être vérifiée en utilisant le modèle bond graph. Un modèle bond graph est structurellement observable en état si et seulement si les conditions suivantes sont respectées [99] :

(i) Sur le modèle bond graph BGI, il existe un chemin causal entre tous les éléments dynamiques I et C en causalité intégrale et un détecteur De ou Df : dans notre cas il existe bien un chemin entre $De : τ_{m2}$ et les 3 états sur les éléments I et C décrits plus haut

(ii) Tous les éléments dynamiques I et C admettent une causalité dérivée sur le modèle bond graph BGD. Si des éléments dynamiques I ou C restent en causalité intégrale, la dualisation de détecteurs De ou Df en SSe et SSf doit permettre de les mettre en causalité dérivée. Une conséquence pratique est que si tous les éléments I et C admettent une causalité dérivée, il suffit d'un capteur pour que le modèle soit observable, et ce capteur peut être placé
n'importe où. Seules des considérations technologiques sont ici à prendre en compte pour le positionnement de ces composants.

Nous pouvons aussi vérifier l'observabilité structurelle par le logiciel Symbols (figure 4.23)

<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>FIGURE 4.23 – Vérification de l'observateur structurelle par le logiciel Symbols</figcaption></figure>

### Etape 3
on construit le modèle BG de l'observateur comme présenté sur la figure 4.24.

Les équations d'état de l'observateur sont :

$$ egin{cases} \dot{\hat{x}}(t) = A \cdot \hat{x}(t) + Bu(t) + K_{obs} [y(t) - C\hat{x}] \\ \hat{y} = C\hat{x}(t) \end{cases} $$

Avec $K_{obs}$ : gain de l'observateur.

### Etape 4
Le calcul du gain de l'observateur peut se faire de deux manières. La première consiste à calculer l'équation d'état à partir du modèle bond graph et déterminer le gain $K_{obs}$ par les méthodes classiques. La seconde est basée sur le calcul formel du polynôme caractéristique directement à partir du modèle bond graph de l'observateur en utilisant les chemins causaux. Cette dernière utilise exclusivement des manipulations causales sur le modèle bond graph sans
<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>FIGURE 4.24 – Modèle Bond graph de l'observateur</figcaption></figure>

aucun calcul. Le gain de l'observateur de Luenberger est obtenu en identifiant
le polynôme caractéristique de l'observateur au polynôme désiré pour placer les
pôles de l'observateur.

En introduisant l'erreur d'estimation $\tilde{x} = \dot{x} - \hat{x}$ Nous obtenons la dynamique de l'erreur d'estimation comme suit :

$$
\begin{align*}
\tilde{x} &= \dot{x} - \hat{x} \\
&= (Ax + Bu) - (A\hat{x} + Bu + K_{\text{obs}}(y - C\hat{x})) \\
&= A(x - \hat{x}) - K_{\text{obs}} \cdot C(x - \hat{x})
\end{align*}
$$

4.7.8 Surveillance du Jamming avec ajout de l'observateur

Soit les variables d'état estimées par l'observateur : $\hat{\omega}_{cs}$, $\hat{\theta}_1$, et $\hat{\theta}_2$. Les valeurs des capteurs estimées sont alors : $\hat{\omega}_{cs} \equiv \omega_{obs}$ et $\tau_{1obs} = K_{c1}\hat{\theta}_1$.

Le nouveau BG de diagnostic après estimation de ces variables est donné dans la
figure 4.25.

Une fois les valeurs $\tau_{1obs}$ et $\omega_{obs}$ obtenues grâce à l'observateur, les RRA suivantes
<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>FIGURE 4.25 – Modèle Bond graph avec l'observateur</figcaption></figure>

sont déduites du modèle BG de diagnostic :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\text{Jonction1 :} \\
\begin{aligned}
RRA3_1 &= e_{11} - e_9 - e_8 - e_{10} = 0 \\
RRA3_1 &= \frac{1}{p} \phi_{f1} I_{qm1} - J_{r1} \frac{d\omega_{mr1}}{dt} - \tau_{1obs} - f_{r1} \cdot \omega_{mr1} = 0
\end{aligned} \\
\\
\text{Jonction0 :} \\
\begin{aligned}
RRA3_2 &= f_8 - f_5 - f_4 = 0 \\
RRA3_2 &= \omega_{mr1} - \frac{1}{K_{c1}} \cdot \frac{d\tau_{1obs}}{dt} - \omega_{obs} = 0
\end{aligned} \\
\\
\text{Jonction1 :} \\
\begin{aligned}
RRA3_3 &= e_4 - e_6 - e_3 - e_2 \\
RRA3_3 &= \tau_{1obs} - \omega_{obs} \cdot R_{cs} - J_{cs} \frac{d\omega_{obs}}{dt} - \tau_{mr2}
\end{aligned} \\
\\
\text{Jonction0 :} \\
\begin{aligned}
RRA3_4 &= f_2 - f_1 - f_7 \\
RRA3_4 &= \omega_{obs} - \frac{1}{K_{c2}} \cdot \frac{d\tau_{mr2}}{dt} - \omega_{mr2}
\end{aligned}
\end{array}
\right.
$$

On remarque bien sur la matrice de surveillabilité (figure 4.26) que la surveillabi-
lité du système EMA est bien améliorée : un défaut sur la partie mécanique est bien
détectable mais un défaut de type jaming n’est pas isolable en raison de son vecteur
de signature identique à Jr1. Toutefois on remarque que le degré d’isolabilité (évaluée
par la distance de Haming figure 4.27) est assez fort pour cette partie mécanique.
<table><caption>FIGURE 4.26 – Matrice de surveillabilité de l'EMA avec observateur</caption><thead><tr><th>lb</th><th>0</th><th>0</th><th>1</th><th>0</th><th>0</th><th>1</th></tr><tr><th>Db</th><th>1</th><th>1</th><th>1</th><th>1</th><th>1</th><th>1</th></tr><tr><th></th><th colspan="2">Partie statorique de EMA</th><th>Entrefer</th><th colspan="2">Partie mécanique de EMA</th><th>Capteur de vitesse</th></tr><tr><th>ARR/Fautes</th><th>R<sub>s</sub></th><th>L<sub>s</sub></th><th>MGY</th><th>f<sub>r1</sub></th><th>J<sub>r1</sub></th><th>ω<sub>mr1</sub></th></tr></thead><tbody><tr><th>ARR<sub>1</sub></th><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><th>ARR<sub>2</sub></th><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><th>ARR<sub>31</sub></th><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><th>ARR<sub>32</sub></th><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><th>ARR<sub>33</sub></th><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><th>ARR<sub>34</sub></th><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><caption>FIGURE 4.27 – Evaluation du degré d'isolabilité par la distance de Haming</caption><thead><tr><th></th><th>R<sub>s</sub></th><th>L<sub>s</sub></th><th>MGY</th><th>f<sub>r1</sub></th><th>J<sub>r1</sub></th><th>ω<sub>mr1</sub></th></tr></thead><tbody><tr><th>R<sub>s</sub></th><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>3</td><td>3</td><td>2</td></tr><tr><th>L<sub>s</sub></th><td>0</td><td>1</td><td>3</td><td>3</td><td>2</td></tr><tr><th>MGY</th><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><th>f<sub>r1</sub></th><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td></tr><tr><th>J<sub>r1</sub></th><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td></tr><tr><th>ω<sub>mr1</sub></th><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>
### 4.7.9 Valeurs des paramètres du banc et de leurs incertitudes

Les deux moteurs du banc sont identiques comme le montre les valeurs de leurs paramètres fournies par l'industriel, regroupées dans le tableau 4.4. Les paramètre de

<table><caption>TABLEAU 4.4 – Tableau des paramètres du moteur 1 et du moteur 2 avec leurs incertitudes</caption><thead><tr><th colspan="3">Moteur 1</th><th colspan="3">Moteur 2</th></tr><tr><th>Paramètre</th><th>Valeur nominale</th><th>Incertitude</th><th>Paramètre</th><th>Valeur nominale</th><th>Incertitude</th></tr></thead><tbody><tr><td>R<sub>s1</sub></td><td>1.87 (Ω)</td><td>5 %</td><td>R<sub>s2</sub></td><td>1.87 (Ω)</td><td>5 %</td></tr><tr><td>L<sub>d1</sub></td><td>0.0215(H)</td><td>5 %</td><td>L<sub>d2</sub></td><td>0.0215 (H)</td><td>5 %</td></tr><tr><td>L<sub>q1</sub></td><td>0.0215 (H)</td><td>5 %</td><td>L<sub>q2</sub></td><td>0.0215 (H)</td><td>5 %</td></tr><tr><td>φ<sub>f1</sub></td><td>0.4 (Wb)</td><td>0 %</td><td>φ<sub>f2</sub></td><td>0.4 (Wb)</td><td>0 %</td></tr><tr><td>J<sub>r1</sub></td><td>0.0004 (Kg.m<sup>2</sup>)</td><td>5 %</td><td>J<sub>r2</sub></td><td>0.0004 (Kg.m<sup>2</sup>)</td><td>5 %</td></tr><tr><td>f<sub>r1</sub></td><td>0.00095493 (Nm(rad/s))</td><td>5 %</td><td>f<sub>r2</sub></td><td>0.0009593 (Nm(rad/s))</td><td>5 %</td></tr></tbody></table>

l'arbre de couplage sont donnés dans le tableau 4.5.

<table><caption>TABLEAU 4.5 – Valeurs nominales de l'arbre de couplage et ses incertitudes</caption><thead><tr><th>Paramètre</th><th>Valeur nominale</th><th>Incertitude</th></tr></thead><tbody><tr><td>C1</td><td>145000 (Nm/rad)</td><td>5 %</td></tr><tr><td>C2</td><td>145000 (Nm/rad)</td><td>5 %</td></tr><tr><td>J cs</td><td>0.00021 (Kg.m<sup>2</sup>)</td><td>5 %</td></tr><tr><td>R cs</td><td>0.0095 (Nm/(rad/s))</td><td>5 %</td></tr></tbody></table>

## 4.8 Implémentation de l'observateur sous Amesim

La modélisation de l'observateur a été réalisée sous Amesim 4.29 selon le synoptique de la figure 4.28.

Pour valider l'implémentation de l'observateur, nous avons comparé les signaux des variables d'état à savoir $\omega_{gobs}$, $\theta_1$ et $\theta_2$ calculés par l'observateur de ceux que renvoient les capteurs du modèle dans l'environnement de co-simulation Amesim. Les figures 4.30a, 4.30b et 4.30c montrent la correspondance de ces signaux et donc la validation de l'observateur.

Pour que l'observateur converge rapidement, après des tests pour le choix de la dynamique à lui imposer, voir figure 4.31, nous avons opté pour une dynamique 3 fois plus rapide, au delà, l'observateur diverge.
<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>FIGURE 4.28 – Synoptique de la structure de l'observateur</figcaption></figure>

<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>FIGURE 4.29 – Modèle Amesim de la structure de l'observateur</figcaption></figure>
<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>FIGURE 4.30 – Validation du modèle Amesim</figcaption></figure>

<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>FIGURE 4.31 – Réponse du système pour des dynamiques différentes</figcaption></figure>
## 4.9 Diagnostic robuste

En se basant sur le modèle BG de diagnostic déterministe exposé plus haut, les RRA robustes aux incertitudes peuvent être générées [52]. La RRA déterministe valable pour les valeurs nominales des paramètres et déterminée plus haut et est notée :

$$ARR_{1n} = V_{d1} - R_{s1n}i_{dm1} + pL_{s1n} \cdot \omega_{mr1} \cdot i_{qm1} - L_{d1n} \frac{d(i_{dm1})}{dt} - \frac{d(\Phi_{f1})}{dt}$$

En introduisant les incertitudes paramétriques $\sigma\theta$ (voir tableaux 4.4 et 4.5 des valeurs des paramètres), la valeur du vecteur paramètre sera : $\theta = \theta_n + \sigma\theta_n$. La RRA sera alors composée d'une valeur nominale et d'une valeur incertaine :

$$ARR_1 = V_{d1} - (R_{s1} + \sigma_{R_{s1}} R_{s1n})i_{dm1} + p(L_{s1n} + \sigma_{L_{s1}} L_{s1n})\omega_{mr1}i_{qm1} - (L_{d1n} + \sigma_{L_{d1}} L_{d1n})\frac{d(i_{dm1})}{dt} - \frac{d(\Phi_{f1})}{dt} \\ ARR_1 = ARR_{1n} + ARR_{1inc}$$

où :

$$ARR_{1inc} = |(\sigma_{R_{s1}} R_{s1n}) i_{dm1}| + |p(\sigma_{L_{s1}} L_{s1n}) \omega_{mr1} i_{qm1}| + |(L_{d1n} \sigma_{L_{d1}}) \frac{d(i_{dm1})}{dt}| = |a_1|$$

$|a_1|$ représente alors la valeur du signal du résidu due à l'incertitude paramétrique.

$$-a_1 \le r_1 \le a_1$$

Le seuil est adaptatif puisqu'il dépend des valeurs mesurées de la vitesse et de courant. Le résidu $RRA_{13}$ robuste aux incertitudes paramétriques et obtenu sur la partie mécanique sensible aux défauts du jamming sera :

$$RRA_{31} = \frac{1}{p}\Phi_{f1}i_{qm1} - (J_{r1n} + \sigma_{J_{r1}}J_{r1n})\frac{d(i_{dm1})}{dt} - \tau_{1obs} - (f_{r1n} + \sigma_{f_{r1}}f_{r1})\omega_{mr1}$$

$$RRA_{31} = RRA_{31n} + RRA_{31inc}$$

$$RRA_{31n} = \frac{1}{p}\Phi_{f1}i_{qm1} - J_{r1n}\frac{d(i_{dm1})}{dt} - \tau_{1obs} - f_{r1n}\omega_{mr1}$$

$$RRA_{31inc} = |\sigma_{J_{r1}}J_{r1n}|\frac{d(i_{dm1})}{dt} + |\sigma_{f_{r1}}f_{r1}|\omega_{mr1} = |a_{31}| \\ -a_{31} \le r_{31} \le a_{31}$$
Les résultats de simulation sont donnés sur les figures. Afin de développer le système de détection des défauts, de nombreux scénarios de défaut ont été simulés.

## 4.9.1 Réaction des résidus déterminites à un défaut sur le Jamming

Sur les figures 4.32a et 4.32b pour le $RRA3_1$, 4.32c et 4.32d pour le $RRA3_2$, 4.33a et 4.33b pour le $RRA3_3$ et 4.33c et 4.33d pour le $RRA3_4$ sont données les réactions des résidus déterministes en fonctionnement normal et leurs implémentations dans l'environnement Amesim©. A ce stade les incertitudes paramétriques ne sont pas considérées et sont supposées nulles.

<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>FIGURE 4.32 – Implémentation des $RRA3_1$ et $RRA3_2$ dans l'environnement Amesim</figcaption></figure>

L'incertitude paramétrique de la valeur du coefficient de frottement sur l'arbre du rotor (le Jamming) est de 5% par rapport à la valeur nominale : $\sigma_{fr1} = 0.05$.

Nous avons ensuite introduit une défaillance :
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>(a) Codage de $RRA_{3_3}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>(c) Codage de $RRA_{3_4}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>(b) Réaction du résidu déterministe $RRA_{3_3}$ en fonctionnement normal</figcaption></figure>

<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>(d) Réaction du résidu déterministe $RRA_{3_4}$ en fonctionnement normal</figcaption></figure>

FIGURE 4.33 – Implémentation des $RRA_{3_3}$ et $RRA_{3_4}$ dans l'environnement Amesim
— à l'intérieur des seuils de tolérance soit 2% de la valeur nominale de $f_{r1}$ qui correspond au Jamming. On observe bien que le résidu $RRA3_1$, sensible à ce défaut, réagit bien à cette défaillance mais sans dépasser les seuils de tolérance $a_{31}$ (figure 4.34) :

<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>FIGURE 4.34 – Réaction du résidu $RRA3_1$ à une défaillance sur le Jamming d'une intensité inférieure à l'incertitude paramétrique, 2% de $f_{r1n}$</figcaption></figure>

— qui dépasse la valeur $\sigma_{fr1}f_{r1}$ (figure 4.35) soit 5% de la valeur nominale de la valeur du Jamming. L'alarme est bien visible et dépasse les seuils fixés.

La figure 4.36 montre la réaction du résidu $RRA3_1$ à une défaillance nulle sur le Jamming.

Sur ces simulations on observe bien la robustesse du résidu aux incertitudes paramétriques. Le caractère adaptatif des seuils (puisqu'ils dépendent des variables mesurées) est bien visible aux premiers instants du processus transitoire (figure 4.37).

Les incertitudes de mesure ne sont pas considérées mais sur le banc de test les bruits de mesure sont très faibles surtout en régime établi. Notons que les seuils dus à l'incertitude de mesure peuvent être considérées en calculant l'écart quadratique moyen du résidu $r$ calculée en fonctionnement normal dans une fenêtre de mesure de longueur $N$. Pour limiter les fausses alarmes, on fixe alors dans l'industrie ce seuil $S$ égal de 2 à
<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>FIGURE 4.35 – Réaction du résidu $RRA3_1$ à une défaillance sur le Jamming d'une intensité supérieur à l'incertitude paramétrique, 8% de $f_{r1n}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>FIGURE 4.36 – Réaction du résidu $RRA3_1$ en mode normal</figcaption></figure>
<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>FIGURE 4.37 – Réaction du seuil adaptatif pour RRA3_1</figcaption></figure>

3 fois l'écart quadratique moyen de la valeur du résidu r (r=Eval(RRA)) :

$$S = \left(\frac{2}{3}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} \left(r(i) - \bar{r}\right)^2}$$

où

$$\bar{r} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \bar{r}(i) \text{ est la valeur moyenne}$$
# Conclusion et perspectives

## Conclusions

L'industrie aéronautique s'oriente de plus en plus vers des technologies plus propres en remplaçant progressivement les actionneurs hydrauliques par des actionneurs électromécaniques (EMA). La sureté de fonctionnement imposée dans le domaine aéronautique nécessite une détection précoce et une localisation des défaillances pour assurer la fiabilité et la disponibilité de l'actionneur. L'objectif de cette thèse réalisée dans un cadre industriel est de surveiller en ligne l'un des défauts critiques identifié qui est le grippage de l'arbre du rotor appelé Jamming en fonction de l'architecture d'instrumentation existante. Les algorithmes développés sont validés par une application à un banc de test de l'entreprise CERTIA.

La problématique a été traitée en utilisant une méthode de surveillance à base de modèle bond graph en exploitant les propriétés particulières de ce langage unifié et multisciplinaire.

Nous avons, dans un premier temps, identifié les conditions de surveillabilité structurelle (aptitude à détecter et à isoler les défauts) du modèle Bond Graph de l'EMA sans avoir besoin de valeurs numériques des paramètres de l'actionneur. Il a été montré que les défaillances pouvant affecter le rotor (le grippage) ne peuvent être ni détectées ni isolées en raison de l'existence de boucles différentielles (et un nombre insuffisant de capteurs) dans ce sous système. En effet ce sous système est observable mais non surveillable. Puis, sur la base de ces résultats, un placement de capteur logiciel a été proposé par la synthèse d'un observateur déduit directement du bond graph grâce à ses propriétés structurelles et causales pour améliorer les performances de surveillabilité. Cette partie ne peut pas être réalisée sous le logiciel *Amesim®*. Nous avons validé les propriétés structurelles analytiquement par l'implémentation des relations de redondance analytiques robustes aux incertitudes paramétriques déduites sur le modèle BG étendu, appelé BG-LFT. La validation industrielle est réalisée par cosimulation avec le
logiciel Amesim®.

Perspectives

Les résultats obtenus ont apporté des solutions à la première phase d'une problé-
matique de détection et localisation de défauts (connue sous le nom de FDI Fault
Detection and Isolation). Une fois le défaut localisé, il est alors nécessaire (surtout
dans le domaine de l'aéronautique) de proposer des lois de commande tolérantes ou
accommodantes à cette faute dans une deuxième phase appelée commande tolérante
aux fautes (ou FTC Fault Tolerant Control). Une autre perspective concerne le pronos-
tic : une fois le début de la dégradation du rotor identifié, on peut estimer la durée de
vie restante (RUL Remaining Useful Life) i.e. le temps restant à une panne. Ces deux
parties n'ont pas été traitées dans la présente recherche et présentent une perspective
intéressante que nous traiterons avec l'entreprise dans le cadre d'un autre projet.
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# Analyse structurelle et diagnostic robuste des actionneurs électromécaniques: Approche Bond Graph

## Résumé :

L'orientation de l'industrie aéronautique vers des technologies plus propres a conduit à remplacer progressivement les réseaux d'actionneurs hydrauliques classiques par des actionneurs Electromécaniques (EMA). La sureté de fonctionnement imposée dans le domaine aéronautique nécessite une détection précoce et une localisation des défaillances pour assurer la fiabilité et la disponibilité de l'actionneur. L'un des défauts critiques identifié est le grippage (appelé Jamming) qu'il faut alors surveiller en fonction de l'architecture d'instrumentation existante. La résolution de cette problématique, objectif principal de la thèse, a été réalisée en trois étapes par une approche intégrée en utilisant la théorie Bond Graph (BG). Une première étape concerne l'analyse des conditions de surveillabilité structurelle (aptitude à détecter et à isoler les défauts) des modèles Bond Graph (BG) déterministes obtenus de l'EMA. Sur la base des résultats de surveillabilité obtenus, un placement de capteur a été proposé par la synthèse d'un observateur pour améliorer les performances de surveillabilité des sous-systèmes (principalement pour surveiller le défaut fixé par l'industriel : le Jamming). L'intérêt scientifique d'une telle approche réside dans le fait qu'elle soit indépendante des valeurs numériques des paramètres à ce niveau, en exploitant les propriétés structurelles et causales du BG. Une deuxième partie consiste à la validation analytique des propriétés structurelles obtenues. Pour cela, a été proposé l'implémentation des relations de redondance analytiques robustes aux incertitudes paramétriques déduites sur le modèle BG étendu, appelé BG-LFT. Et enfin une validation industrielle par, co-simulation avec le logiciel Amesim©, a été réalisée dans la troisième partie.

# Structural analysis and robust diagnosis of electromechanical actuators: Bond Graph approach

## Abstract :

The orientation of the aviation industry towards cleaner technologies has led to the gradual replacement of conventional hydraulic actuator networks by Electromechanical actuators (EMA). The operating safety required in the aeronautical domain requires earlier fault detection and isolation to ensure the reliability and availability of the actuator. One of the critical identified failure is a jamming which must then be monitored based on the existing instrumentation architecture. The resolution of this problem which is the main objective of the PhD. thesis, was carried out in three stages using a Bond Graph theory (BG) as an integrated and unified approach. The first step concerns the structural monitorability (ability to detect and isolate faults) analysis based on deterministic Bond Graph (BG) models obtained from the EMA. Based on the structural monitorability conditions results, a sensor placement was proposed by the synthesis of an observer to improve the monitoring performances of the subsystems (mainly to monitor the fault required by the manufacturer: jamming). The scientific interest of such approach lies in the fact that it is independent of the numerical values of the parameters at this level by exploiting the structural and causal properties of the BG. A second step consists in the analytical validation of the obtained structural properties. For this task, the implementation of analytical redundancy relations, robust to parametric uncertainties, deduced from the extended BG model (called BG-LFT), have been proposed. And finally, an industrial validation by cosimulation with the Amesim© software was carried out in the third part.

CRISTAL

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