# Application de l'algèbre aux plans d'expériences : constructions de blocs incomplets partiellement équilibrés et analyse de la variance

Monique Lafon-Augé

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Monique Lafon-Augé. Application de l'algèbre aux plans d'expériences : constructions de blocs incomplets partiellement équilibrés et analyse de la variance. Annales de l'ISUP, 1960, IX (2), pp.190-287. hal-04092897

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Submitted on 9 May 2023

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APPLICATION DE L'ALGÈBRE
AUX PLANS D'EXPERIENCES : CONSTRUCTIONS
DE BLOCS INCOMPLETS PARTIELLEMENT
ÉQUILIBRÉS ET ANALYSE DE LA VARIANCE

Monique LAFON-AUGÉ
ÉQUILIBRÉS ET ANALYSE DE LA VARIANCE
DE BLOCS INCOMPLETS PARTIELLENT
DU PLAN D'EXPERIENCE : CONSTRUCTIONS
APPLICATIO

Monique LAFON-AUDE

Sauf indiqués au contraire, les dimensions et les proportions sont en mm.
Les dimensions en italique sont considérées à part entière.
Les dimensions en flèche sont considérées à part entière.
Les dimensions en point d'interroge sont considérées à part entière.
Les dimensions en point d'interroge et en flèche sont considérées à part entière et en partiellement.
# INTRODUCTION

Le problème du plan d'expérience et de son analyse statistique a été introduit et étudié par Sir R. A. Fisher. Il a proposé plusieurs types de plans d'expérience ; F. Yates en a découvert d'autres, en particulier le "Bloc Incomplet Equilibré". R. C. Bose et l'école indienne ont continué l'étude des blocs incomplets et ont introduit le "Bloc Incomplet Partiellement Equilibré" qui sera l'objet de cette étude.

Dans le domaine des recherches agricoles, de la biologie animal, les plans d'expérience sont d'un emploi courant : pour comparer, par exemple, le rendement de diverses variétés de blé plantées dans un terrain connu, ou l'effet de divers traitements sur la quantité de lait produite par des vaches appartenant à plusieurs races, ou encore l'effet de divers régimes alimentaires sur de jeunes bestiaux, etc.

Nous employerons la terminologie de R. C. Bose qui est celle empruntée aux problèmes de recherches agronomes :

Le terme variété désignera les quantités dont on expérimente les effets, variétés de blé ou traitements alimentaires dans les exemples donnés.

Le terme bloc désignera le groupe d'unités sur lequel agissent les variétés, bloc de terrain divisé en parcelles ou groupe d'animaux.

Un des premiers plans d'expérience introduits est le "Bloc complet" où toutes les variétés sont réparties au hasard dans chaque bloc. Ce plan d'expérience nécessite dans un bloc autant de parcelles que de variétés, donc un grand nombre d'expériences et, quand le nombre de variétés est élevé, un grand nombre de parcelles dans chaque bloc ce qui est parfois impossible surtout dans le domaine de la biologie animal.

De plus il n'existe pas d'analyse mathématique rigoureuse de ce
plan d'expérience (il n'est pas tenu compte par exemple de la variation de fertilité du sol).

Pour toutes ces raisons d'autres plans d'expérience lui sont
substitués la plupart du temps.

Les carrés latins orthogonaux permettent de construire des plans
d'expérience préférables aux précédents.

Leur analyse est rigoureuse et permet de tenir compte de la va-
riation de qualité des blocs et parcelles.

Cependant il est parfois impossible de l'utiliser puisque le pro-
blème de la construction des carrés latins orthogonaux n'est pas résolu
pour tous les nombres.

Chaque variété est répétée autant de fois qu'il y a de variétés à
expérimenter, ce qui nécessite beaucoup de temps et de dépenses quand
le nombre total de variétés est élevé.

Très souvent, dans les expériences biologiques en particulier,
le nombre de parcelles de chaque bloc est imposé. C'est le nombre
d'animaux d'une même portée par exemple.

Il est donc nécessaire d'utiliser un plan d'expérience où chaque
bloc ne contient pas toutes les variétés. Les "Blocs Incomplets" ont
été introduits pour remplir ces conditions.

Tout d'abord le "Bloc incomplet équilibré" qui est le plus simple
et le plus pratique : l'analyse en est facile et la comparaison des deux
variétés a la même précision pour n'importe quel couple, le nombre
de répétition de chaque variété est laissé libre.

Cependant la construction de plan d'expérience de ce type n'est
pas donné par un procédé formel : il n'existe aucune règle exhaustive
de construction. Nous ne connaissons pas de groupe de conditions né-
cessaires et suffisantes pour construire un bloc incomplet équilibré.

De plus l'emploi du bloc incomplet équilibré est parfois incom-
mode : Sir R. A. Fisher a démontré (Ann. of Eugénics 1940) que la
construction d'un bloc incomplet équilibré n'était possible que si le
nombre de bloc était au moins égal au nombre de variétés, ce qui né-
cessite un grand nombre d'expériences. De plus, pour certaines va-
leurs du nombre de variétés, la construction d'un bloc incomplet équi-
libré exige un trop grand nombre de répétitions : par exemple, pour
huit variétés et des blocs de trois parcelles, le plus petit nombre
de répétition est vingt et un.
Pour lever ces difficultés, R. C. Bose et Nair introduisent en 1939 une nouvelle catégorie de plan d'expérience : le bloc incomplet partiellement équilibré à deux classes associées, qui comprend comme cas particulier le bloc équilibré. En 1952, Bose et Shimamoto donnent la définition la plus générale, du bloc incomplet partiellement équilibré à m classes associées.

L'objet essentiel de cette thèse est d'étudier des constructions, des conditions d'existence de tels plans d'expérience et d'établir l'analyse de la variance dans le cas le plus général.

Dans un chapitre préliminaire nous rappellerons, avec la définition, toutes les relations existant, dans le cas le plus général, entre les paramètres du plan d'expérience.

Le premier chapitre sera relatif à la construction dans le cas où le nombre de classes associées est supérieur à deux. Nous généraliserons une construction donnée dans le cas de deux classes associées, ayant pour base les géométries projectives finies. Nous l'étudierons en détail dans le cas de la géométrie à trois dimensions construite sur le corps de Galois à 4 éléments. Ensuite nous donnerons une méthode de construction de plan d'expérience cyclique et de plan d'expérience quasifactoriel à n dimensions.

Les deux chapitres suivants étudieront le cas particulier de deux classes associées.

Dans le chapitre deux, nous rappellerons les travaux de Connor et Clatworthy sur la matrice d'incidence d'un bloc incomplet partiellement équilibré, puis nous établirons des conditions d'existence de tels plans d'expérience dans le cas où le nombre de blocs est inférieur au nombre de variétés.

Dans le chapitre trois, nous dresserons la liste de tous les blocs présentant quatre répétitions ; certains figurent dans la classification établie par Bose Clatworthy et Shimamoto, d'autres étaient encore inconnus. Pour ces derniers nous donnerons les schémas d'association. Il nous est apparu au cours de ce travail qu'il pouvait exister d'autres schémas que ceux envisagés par les auteurs de la classification ; nous les décrirons.

Dans le chapitre quatre, nous établirons suivant la méthode générale donnée par Rao, l'analyse de la variance "intra-inter bloc" et la valeur du coefficient d'efficacité, en mettant en évidence les fonctions des paramètres de seconde espèce qui interviennent dans cette analyse. Puis, sous certaines conditions, nous établirons l'analyse
"intra bloc" dans le cas où tout un bloc manque dans le plan d'expérience, ce cas pouvant se présenter dans la pratique quand le bloc est une unité expérimentale.

Les principaux résultats ont été donnés dans 3 notes aux Comptes Rendus de l'Académie des Sciences.

Je suis heureuse de pouvoir exprimer ici toute ma reconnaissance à M. Dugué sans qui ce travail n'aurait jamais vu le jour ; pour les très nombreux entretiens qu'il a bien voulu m'accorder, pour ses nombreux conseils, et toutes les améliorations qu'il a apportées à ces travaux.

Que M. G. Darmois, dont les encouragements m'ont été si utiles et qui a bien voulu me faire l'honneur de présider ce jury de thèse, veuille trouver ici l'expression de toute ma gratitude.

Je remercie également M. Garnier qui a accepté de me proposer un sujet de seconde thèse et de faire partie du jury.
# CHAPITRE PRÉLIMINAIRE

Pour comparer v variétés dans des plans d'expérience formés de
blocs de k parcelles, où k est inférieur à v, nous disposons de deux
types de plans d'expérience :

- les "Blocs Incomplets Equilibrés";

- les "Blocs Incomplets Partiellement Equilibrés".

Le Bloc Incomplet Equilibré est le plus simple des deux et le plus efficace lorsqu'il existe. Nous allons donner un exemple de plan de ce type.

Considérons 6 variétés, 1, 2, 3, 4, 5, 6 réparties en blocs de 3 parcelles de la façon suivante :

<table><tr><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>2</td><td>3</td><td>6</td></tr><tr><td>1</td><td>2</td><td>4</td><td>2</td><td>3</td><td>5</td></tr><tr><td>1</td><td>3</td><td>5</td><td>2</td><td>5</td><td>6</td></tr><tr><td>1</td><td>4</td><td>6</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr><tr><td>1</td><td>5</td><td>6</td><td>3</td><td>4</td><td>6</td></tr></table>

Nous remarquons que chaque variété apparaît 5 fois, et que chaque couple de variétés apparaît dans 2 blocs.

Les plans d'expérience possédant ces propriétés :

- a) le nombre de répétitions de chaque variété est indépendant de la variété,

- b) le nombre $\lambda_{ij}$ de blocs contenant le couple de variétés $v_i v_j$ est indépendant de i et j,

sont appelés "Blocs Incomplets Equilibrés".
Nous allons donner la définition générale en utilisant les notations suivantes :

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

## Définition d'un Bloc Incomplet Equilibré.

Un bloc Incomplet Equilibré est un arrangement de $v$ variétés en $b$ blocs de $k$ parcelles chacun, tel que :

1/ Chaque variété apparaisse au plus une fois dans chaque bloc.

2/ Chaque variété est répétée $r$ fois.

3/ Chaque variété $v_i$ apparaît avec la variété $v_j$ dans $\lambda$ blocs, étant indépendant de $v_i$ et $v_j$.

## Relations entre les paramètres.

Les paramètres $v, b, r, k, \lambda$, ne sont pas indépendants.

Le nombre d'expériences faites est égal au nombre total de parcelles : $bk$, ou au nombre total de variétés distinctes ou non : $vr$.

$$ vr = bk $$

- Chaque variété $v_i$ apparaît dans $r$ blocs. Ces $r$ blocs contiennent $r(k-1)$ variétés différentes de $v_i$, de plus $v_i$ apparaît avec chaque $\lambda$ fois :

$$ r(k-1) = \lambda (v-1) $$

- Sir R. A. Fisher a démontré qu'il était nécessaire que

$$ b \ge v $$

et R. C. Bose, dans le cas où $b$ est de la forme $b = rn$ et où le bloc est "résolvable", a démontré l'inégalité plus forte :

$$ b \ge v + r - 1 $$
CONSTRUCTIONS DE BLOCS INCOMPLETS – ANALYSE DE VARIANCE

Ces conditions ne sont pas suffisantes pour assurer l'existence d'un tel plan d'expérience. Un groupe de conditions nécessaires et suffisantes reste encore inconnu.

Nous allons rappeler les principales méthodes de constructions de Blocs Incomplets Equilibrés.

## Constructions de Blocs Incomplets Equilibrés.

1. Un premier groupe de Blocs Incomplets Equilibrés est obtenu en prenant comme variétés les points d'une géométrie projective finie de dimension m construite sur le corps de Galois à $p^n$ éléments (p nombre premier), et comme blocs les géométries projectives finies de dimensions, $s < m$, contenues dans la précédente.

Il est facile de démontrer que les paramètres ainsi définis vérifient les relations et conditions précédentes.

2. Un deuxième groupe de Blocs Incomplets Equilibrés est obtenu, de façon analogue, à partir des géométries euclidiennes finies.

3. Bose a donné une autre construction, utilisant les groupes abéliens additifs; il a pu ainsi établir une liste systématique et presque exhaustive de ces plans d'expérience.

**Les Blocs Incomplets Partiellement Equilibrés** sont une génération des Blocs Incomplets Equilibrés.

Ils existent dans des cas où il n'existe pas de Blocs Incomplets Equilibrés, par exemple pour $b < v$ ; ou bien ils existent avec un nombre de répétition inférieure à celui du bloc équilibré, par exemple pour $v=8$, $k=3$, la plus petite valeur de r est 21 dans le bloc équilibré, et 3 dans un bloc partiellement équilibré.

R. C. Bose et K. R. Nair ont donné les premiers la définition d'un Bloc Incomplet Partiellement Equilibré à 2 classes associées seulement. Nous allons l'énoncer et l'illustrer d'un exemple.

## Définition.

Un Bloc Incomplet Partiellement Equilibré à 2 classes associées est un arrangement de $v$ variétés en $b$ blocs de $k$ parcelles chacun, tel que :

1. Chaque variété apparaisse une fois au plus dans chaque bloc.

2. Chaque variété apparaisse exactement $r$ fois dans l'ensemble du plan d'expérience.
3/ Il existe une relation d'association entre 2 variétés quelconques, satisfaisant aux conditions suivantes :

a) Deux variétés $v_i$ et $v_j$ sont premières ou deuxièmes associées.

b) Chaque variété a $n_1$ premières associées et $n_2$ deuxièmes associées ; $n_1$ et $n_2$ étant indépendants de la variété initiale.

c) Deux variétés ièmes associées apparaissent ensemble dans $\lambda_i$ blocs ($i = 1, 2$).

d) Soient deux variétés ièmes associées le nombre de variétés ièmes associées de la première et jèmes associées de la seconde est $p_{ij}^u$ (u, i, j = 1, 2). Ce nombre est indépendant du couple initial.

Il est évident que nous avons là, une généralisation du bloc équilibré. En effet, quand $\lambda_1 = \lambda_2$ les deux classes d'association se confondent, et nous retrouvons la définition du bloc équilibré.

### Relations entre les paramètres.

En raisonnant comme pour le bloc équilibré, nous obtenons les relations suivantes :

$$v = n_1 + n_2 + 1$$

$$vr = bk$$

$$n_1 \lambda_1 + n_2 \lambda_2 = r(k-1)$$

De plus, $n_u$ étant une constante

$$p_{ij}^u = p_{ji}^u$$

$$n_u p_{ij}^u = n_j p_{ui}^j = n_i p_{ju}^i$$

$$p_{i1}^u + p_{i2}^u = n_i - \delta_i^u$$

### Exemple.

Considérons le bloc incomplet partiellement équilibré, à deux classes associées, ayant pour paramètres :

$$ \begin{cases} v = 9 = b, & k = 3 = \Gamma \\ n_1 = 6, & n_2 = 2, & \lambda_1 = 1, & \lambda_2 = 0 \end{cases} $$
et pour paramètres p :

$$p_{11}^{1} = 3, p_{12}^{1} = 2, p_{22}^{1} = 0, p_{11}^{2} = 6, p_{12}^{2} = 0, p_{22}^{2} = 1$$

le tableau d'association est le suivant :

<table><thead><tr><th>variété</th><th colspan="6">premières associées</th><th colspan="2">deuxièmes associées</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td></tr><tr><td>8</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>1</td><td>9</td></tr><tr><td>9</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>1</td><td>8</td></tr><tr><td>2</td><td>1</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>8</td><td>9</td><td>6</td><td>7</td></tr><tr><td>6</td><td>1</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>8</td><td>9</td><td>2</td><td>7</td></tr><tr><td>7</td><td>1</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>8</td><td>9</td><td>2</td><td>6</td></tr><tr><td>3</td><td>1</td><td>2</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>4</td><td>5</td></tr><tr><td>4</td><td>1</td><td>2</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>3</td><td>5</td></tr><tr><td>5</td><td>1</td><td>2</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>3</td><td>4</td></tr></tbody></table>

Le plan d'expérience a pour schéma :

<table><tr><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>6</td><td>8</td><td>3</td><td>7</td><td>9</td><td>3</td></tr><tr><td>1</td><td>6</td><td>4</td><td>6</td><td>9</td><td>5</td><td>2</td><td>8</td><td>5</td></tr><tr><td>1</td><td>7</td><td>5</td><td>7</td><td>8</td><td>4</td><td>2</td><td>9</td><td>4</td></tr></table>

Nous pouvons vérifier qu'il possède les propriétés énoncées dans la définition.

R. C. Bose et K. R. Nair ont généralisés ces plans d'expérience en considérant un nombre quelconque de classes d'association.

## Définition générale d'un Bloc Incomplet Partiellement Equilibré.

Un Bloc Incomplet Partiellement Equilibré à m classes associées, est un arrangement de v variétés en b blocs de k parcelles chacun, tel que :

1/ Chaque variété apparaisse au plus une fois dans chaque bloc.

2/ Chaque variété apparaisse exactement r fois dans l'ensemble du plan d'expérience.

3/ Il existe une relation d'association entre 2 variétés quelconques, satisfaisant aux conditions suivantes :
a) Deux variétés $v_i$ et $v_j$ sont premières, deuxièmes, ... ou mi-èmes associées.

b) Chaque variété à $n_u$ uièmes associées, $n_u$ étant indépendant de la variété initiale.

c) Deux variétés ièmes associées apparaissent ensemble dans i blocs.

d) Soient deux variétés uèmes associées, le nombre de variétés ièmes associées de la première et jèmes associées de la seconde, est $p_{ij}^u$

$$ (u, i, j = 1, 2, \dots, m) $$

Ce nombre est indépendant du couple initial.

Les nombres $v, b, r, k, n_i, \lambda_i$ sont appelés **paramètres de première espèce**, ce sont des entiers positifs.

Les nombres $p_{ij}^u$ **paramètres de deuxième espèce**, ce sont des entiers positifs ou nuls.

## Relations entre les paramètres.

Le nombre d'expériences faites est égal au nombre total de parcelles : bk, ou au nombre total de variétés distinctes ou non : vr

$$ vr = bk $$

- Les variétés sont réparties en m classes d'association :

$$ v = \sum_{s=1}^{m} n_s + 1 $$

- Le nombre de variétés apparaissant dans les mêmes blocs que $v_i$ peut être calculé de deux façons différentes :

$$ r(k-1) = \sum_{s=1}^{m} n_s \lambda_s $$

- $n_u$ étant une constante :

$$ p_{ij}^u = p_{ji}^u \quad (i, j, u = 1, 2, \dots, m) $$

$$ n_u p_{ij}^u = n_j p_{iu}^j = n_i p_{ju}^i $$

- Le calcul du nombre de variétés uèmes associées fournit la relation :
$$ \sum_{j=1}^{m} p_{ij}^{u} = n_i - \delta_i^u; \quad \begin{cases} \delta_i^c = 0 & \text{si } u \neq i \\ \delta_i^u = 1 & \text{si } u = i \end{cases} $$

Remarquons que l'ensemble des paramètres de seconde espèce $p_{ij}^u$ peuvent être écrits sous la forme de m matrices symétriques carrées,

$$ p_{ij}^1, p_{ij}^2, \dots, p_{ij}^m, (i, j = 1, 2, \dots, m). $$

Ces notations sont celles de R. C. Bose, elles sont employées dans tous les articles ayant trait à ces plans d'expérience.
# CHAPITRE I

## CONSTRUCTION DE PLANS D'EXPERIENCE A PLUS
DE 2 CLASSES ASSOCIÉES

### I - CONSTRUCTION UTILISANT LES GEOMETRIES PROJECTIVES
FINIES -

Bose et Nair ont donné, en 1939, une construction de blocs in-
complets partiellement équilibrés à deux classes associées utilisant
comme variétés les points d'une géométrie projective construite sur
le corps de Galois à $p^n$ éléments (p premier). Cette construction est
elle-même une généralisation de la construction de blocs incomplets
équilibrés.

Nous allons donner ici, une construction dans le cas où le nombre
de classes associées est 3, et où la dimension de la géométrie pro-
jective utilisée est 3.

#### 1/ - Construction générale.

Considérons le corps de Galois à $p^n$ éléments. Un point d'une
géométrie projective finie à m dimensions GP(m, $p^n$) est un ensemble
ordonné de $m+1$ éléments du corps de Galois non tous nuls.

Deux ensembles représentent le même point $(g_1, \dots, g_{n+1})$
$(g'_1, \dots, g'_{m+1})$ si $g_i = \mu g'_i, i = 1, \dots, m+1$

$$ \mu \neq 0 \quad \mu \in (p^n) $$

La droite qui joint deux points $p_1$ et $p_2$ est définie comme l'ense-
ble des points $\mu_1 p_1 + \mu_2 p_2$

$$ \mu_i \in (p^n) \quad \mu_i \neq 0 $$

Une GP($m, p^n$) a

$1 + p^n + \dots + p^{n^m}$ points.
Chaque GP(m, pⁿ) contient exactement :

$$ \frac{(1 + p^n + \dots + p^{n^m}) \dots (p^{k^n} + \dots + p^{n^m})}{(1 + p^n + \dots + p^{k^n}) \dots p^{k^n}} \text{GP}(k, p^n) $$

Chaque GP(k, pⁿ) d'une GP(m, pⁿ) donnée est contenue dans

$$ \frac{(p^{(k+1)n} + \dots + p^{n^m}) \dots (p^{s^n} + \dots + p^{n^m})}{(p^{(k+1)n} + \dots + p^{s^n}) \dots p^{s^n}} \text{GP}(s, p^n) $$

avec $s > k$

Si $k = 0$ nous obtenons ainsi le nombre de points d'une GP(s, pⁿ) contenus dans une GP(s, pⁿ) donnée.

Si $k = 1$ le nombre de droites d'une GP(m, pⁿ) contenues dans une GP(s, pⁿ).

## 2/ - Construction de blocs incomplets partiellement équilibrés à 3 classes associées.

Considérons une géométrie projective de dimension 3 construite sur le corps de Galois à $p^n = a$ éléments, GP(3, a).

Faisons choix d'un plan $\mathbb{P}^1$, et dans ce plan, faisons choix d'une droite D et d'un point A non situé sur D. Remarquons que n'importe quel point de $\mathbb{P}^1$, non situé sur D, peut jouer le rôle du point A cela revient à faire une permutation sur les variétés. Nous considérerons les points de GP(3, a) non situés dans $\mathbb{P}^1$ comme des variétés

$$ v = 1 + a + a^2 + a^3 - (1+a+a^2) = a^3 $$

Nous identifierons les blocs avec les plans qui ne passent pas par D.

$$ b = \frac{(1+a+a^2+a^3)(a+a^2+a^3)(a^2+a^3)}{(1+a+a^2)(a+a^2)a^2} - (1+a) = a^2 + a^3 $$

Chaque bloc $1 + a + a^2$ points moins les points du bloc situés dans $\mathbb{P}^1$

$$ k = 1 + a + a^2 - (1+a) = a^2 $$

Chaque point est situé dans $\mathbb{P}^1$ plans dont un passant par D
$$r = \frac{(a+a^2+a^3)(a^2+a^3)}{(a+a^2)a^2} - 1 = a + a^2$$

Ces points forment un plan d'expérience, en effet $vr = bk$.

## Définition des classes d'association.

Un point M sera premier associé des points de la droite MA

$$n_1 = a - 1.$$

Il sera deuxième associé des points du plan MD

$$n_2 = a^2 - 1.$$

Troisième associé des autres points du plan d'expérience

$$n_3 = a^3 - a^2 - a + 1.$$

Deux points premiers associés apparaissent ensemble dans

$$\lambda_1 = 1 + a \text{ blocs}$$

Deux points deuxièmes associés apparaissent ensemble dans

$$\lambda_2 = a \text{ blocs}$$

Deux points troisièmes associés dans

$$\lambda_3 = 1 + a \text{ blocs}$$

Le plan d'expérience ainsi formé est un bloc incomplet partiellement équilibré à 3 classes associées :

$$\lambda_1 n_1 + \lambda_2 n_2 + \lambda_3 n_3 = r(k-1)$$

<table><tr><td>v = a<sup>3</sup></td><td>n<sub>1</sub> = a - 1</td><td>λ<sub>1</sub> = 1 + a</td></tr><tr><td>b = a<sup>2</sup> + a<sup>3</sup></td><td>n<sub>2</sub> = a<sup>2</sup> - 1</td><td>λ<sub>2</sub> = a</td></tr><tr><td>k = a<sup>2</sup></td><td>n<sub>3</sub> = a<sup>3</sup> - a<sup>2</sup> - a + 1</td><td>λ<sub>3</sub> = 1 + a</td></tr><tr><td>r = a + a<sup>2</sup></td><td></td><td></td></tr></table>

Les paramètres de seconde espèce sont donnés par les matrices:
$$p_{ij}^1 = \begin{pmatrix} n_1 - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n_2 \\ 0 & n_2 & n_3 - n_2 \end{pmatrix}$$

$$p_{ij}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & n_1 \\ 0 & n_2 - 1 & 0 \\ n_1 & 0 & n_3 - n_1 \end{pmatrix}$$

$$p_{ij}^3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & n_1 \\ 1 & 0 & n_2 \\ n_1 & n_2 & n_3 - n_2 - n_1 - 1 \end{pmatrix}$$

### 3/ - Exemples de construction.

$$a = 2^2$$

$$v = 64$$

$$n_1 = 3$$

$$\lambda_1 = 5$$

$$b = 80$$

$$n_2 = 15$$

$$\lambda_2 = 4$$

$$k = 16$$

$$n_3 = 45$$

$$\lambda_3 = 5$$

$$r = 20$$

$$a = 3$$

$$v = 27$$

$$n_1 = 2$$

$$\lambda_1 = 4$$

$$b = 36$$

$$n_2 = 8$$

$$\lambda_2 = 3$$

$$k = 9$$

$$n_3 = 16$$

$$\lambda_3 = 5$$

$$r = 12$$

$$a = 2$$

$$v = 8$$

$$n_1 = 1$$

$$\lambda_1 = 3$$

$$b = 12$$

$$n_2 = 3$$

$$\lambda_2 = 2$$

$$k = 4$$

$$n_3 = 3$$

$$\lambda_3 = 3$$

$$r = 6$$

Cette géométrie GP(3, 2) est formée de 15 points.

$$p_1 = 1 \ 0 \ 0 \ 0$$

$$p_5 = 1 \ 1 \ 0 \ 0$$

$$p_9 = 0 \ 1 \ 0 \ 1$$

$$p_{13} = 1 \ 0 \ 1 \ 1$$

$$p_2 = 0 \ 1 \ 0 \ 0$$

$$p_6 = 1 \ 0 \ 1 \ 0$$

$$p_{10} = 0 \ 0 \ 1 \ 1$$

$$p_{14} = 0 \ 1 \ 1 \ 1$$

$$p_3 = 0 \ 0 \ 1 \ 0$$

$$p_7 = 1 \ 0 \ 0 \ 1$$

$$p_{11} = 1 \ 1 \ 1 \ 0$$

$$p_{15} = 1 \ 1 \ 1 \ 1$$

$$p_4 = 0 \ 0 \ 0 \ 1$$

$$p_8 = 0 \ 1 \ 1 \ 0$$

$$p_{12} = 1 \ 1 \ 0 \ 1$$

- A sera le point $p$, et D la droite $p_2 p_3$

- les points de $\bigcap a$ exclure sont : $p_5, p_6, p_8, p_{11}$
- le point premier associé de $p$ est $p + p_1$

- les 3 points seconds associés de $p$ sont :

$$p = p_2 = q$$

$$p + p_3 = t$$

$$p + q + t$$

Les droites de cette GP(3, 2) sont : (nous remplacerons le point $p_i$ par $i$)

<table><tr><td>1</td><td>2</td><td>5</td><td>2</td><td>3</td><td>8</td><td>3</td><td>5</td><td>11</td><td>4</td><td>11</td><td>15</td><td>6</td><td>12</td><td>14</td></tr><tr><td>1</td><td>3</td><td>6</td><td>2</td><td>4</td><td>9</td><td>3</td><td>7</td><td>13</td><td>5</td><td>6</td><td>8</td><td>7</td><td>8</td><td>15</td></tr><tr><td>1</td><td>4</td><td>7</td><td>2</td><td>6</td><td>11</td><td>3</td><td>9</td><td>14</td><td>5</td><td>7</td><td>9</td><td>7</td><td>11</td><td>14</td></tr><tr><td>1</td><td>8</td><td>11</td><td>2</td><td>7</td><td>12</td><td>3</td><td>12</td><td>15</td><td>5</td><td>10</td><td>15</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td></tr><tr><td>1</td><td>9</td><td>12</td><td>2</td><td>10</td><td>14</td><td>4</td><td>5</td><td>12</td><td>5</td><td>13</td><td>14</td><td>8</td><td>12</td><td>13</td></tr><tr><td>1</td><td>10</td><td>13</td><td>2</td><td>13</td><td>15</td><td>4</td><td>6</td><td>13</td><td>6</td><td>7</td><td>10</td><td>9</td><td>11</td><td>13</td></tr><tr><td>1</td><td>14</td><td>15</td><td>3</td><td>4</td><td>10</td><td>4</td><td>88</td><td>14</td><td>6</td><td>9</td><td>15</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td></tr></table>

Nous construirons les plans de la géométrie en prenant les couples de droites passant par un point $i$. Nous ne conserverons de ces plans que ceux qui ne passent pas par la droite 1, 2 et nous enlèverons les points de $\cap$, soient : 5, 6, 8, 11, 1, 2, 3

<table><tr><td>4</td><td>7</td><td>9</td><td>12</td></tr><tr><td>10</td><td>13</td><td>14</td><td>15</td></tr><tr><td>4</td><td>7</td><td>10</td><td>13</td></tr><tr><td>9</td><td>12</td><td>14</td><td>15</td></tr><tr><td>4</td><td>7</td><td>14</td><td>15</td></tr><tr><td>4</td><td>9</td><td>13</td><td>15</td></tr><tr><td>4</td><td>10</td><td>12</td><td>15</td></tr><tr><td>7</td><td>13</td><td>9</td><td>14</td></tr><tr><td>4</td><td>12</td><td>13</td><td>14</td></tr><tr><td>7</td><td>9</td><td>10</td><td>15</td></tr><tr><td>7</td><td>12</td><td>10</td><td>14</td></tr></table>

## Tableau d'association.

- Le point premier associé du point $p$ est le point $p + p_1$, c'est-à-dire $p + 1000$.
p₄ = 0 0 0 1 a pour premier associé 1 0 0 1 = p₇

p₉ = 0 1 0 1 - - - - 1 1 0 1 = p₁₂

p₁₀ = 0 0 1 1 - - - - 1 0 1 1 = p₁₃

p₁₄ = 0 1 1 1 - - - - 1 1 1 1 = p₁₅

- Les trois points deuxièmes associés de p sont :

q = p + p₂,

t = p + p₃,

p + q + t

pour p₄ ce sont 0 1 0 1 = p₉, 0 0 1 1 = p₁₀, 0 1 1 1 = p₁₄

pour p₇ ce sont 1 1 0 1 = p₁₂, 1 0 1 1 = p₁₃, 1 1 1 1 = p₁₅

Nous pouvons résumer ces résultats en un tableau rectangulaire ou chaque variété i sera :

- **première associée** de la variété située sur la même rangée que i;

- **deuxième associée** des trois variétés situées sur la même colonne que i;

- **troisième associée** des variétés non situées sur la même rangée ou la même colonne que i.

<table><tr><td>4</td><td>7</td></tr><tr><td>9</td><td>12</td></tr><tr><td>10</td><td>13</td></tr><tr><td>14</td><td>15</td></tr></table>

### Remarque.

De façon générale le nombre des variétés étant a³, chaque variété i ayant a - 1 premières associées et a² - 1 deuxièmes associées, le tableau d'association des variétés se présentera sous forme d'un rectangle ayant a variétés dans une rangée et a² variétés dans une colonne. Les variétés d'une même rangée sont premières associées celles d'une même colonne deuxième associées.

## II - CONSTRUCTION A L'AIDE DE TREILLIS CIRCULAIRES -

### A - CONSTRUCTION DES TREILLIS -

Dans un espace vectoriel à s dimensions sur les corps des nombres réels Rₛ choisissons un sous-espace de dimension s - 2 ρs-₂
et n sous-espaces de dimension s-1 ayant en commun $\rho_{s-2}$

$$R_{s-1}^i \subset R_s \quad \text{et} \quad \bigcap_i R_{s-1}^i = \rho_{s-2}$$

Continuons la construction de cette chaîne :

- dans $\rho_{s-2}$ faisons choix d'un sous-espace $\rho_{s-3}$,

$$\rho_{s-3} \subset \rho_{s-2} \subset R_s$$

- dans chaque $R_{s-1}$ faisons choix de n espaces de dimension s-2 contenant $\rho_{s-3}$

$$R_{s-2} \subset R_{s-1} \subset R_s$$

$$\bigcap_i R_{s-2} = \rho_{s-3}$$

Finalement choisissons une droite $\rho_1$,

$$\rho_1 \subset \rho_2 \subset \dots \subset \rho_{s-2} \subset R_s$$

et dans chaque $R_3$ obtenu par le processus précédent, choisissons n plans $R_2$ passant par la droite $\rho_1$

$$R_2 \subset R_3 \subset \dots \subset R_s$$

$$\bigcap_i R_2 = \rho_1$$

Dans chaque plan $R_2$ construisons un treillis circulaire d'ordre n, c'est-à-dire n cercles concentriques et n diamètres.

Le treillis ainsi formé est composé de $2^n$ points, chaque cercle et chaque diamètre, renfermant 2n points.

Si nous considérons les cercles et les diamètres comme des blocs, les points comme des variétés, nous obtenons un **plan d'expé-rience** avec les paramètres suivants :

$$\left\{ \begin{array}{l} v = 2n^2 \cdot n^{s-2} = 2n^s \\ b = 2n \cdot n^{s-2} = 2n^{s-1} \\ k = 2n \\ r = 2 \end{array} \right.$$

Montrons maintenant qu'il s'agit là d'un bloc incomplet partiellement équilibré à $s+1$ classes associées.
## B - DEFINITION DES CLASSES D'ASSOCIATION -

Choisissons une variété v les autres se répartissent en s + 1 groupes :

1/ les variétés apparaissent avec v à la fois sur le même diamètre et sur le même cercle ; il y en a $n_1 = 1$.

2/ les variétés apparaissant soit sur le même cercle soit sur le même diamètre que v, et n'appartenant pas à la première catégorie ; il y en a $n_2 = 4$ (n - 1).

3/ les variétés appartenant au même plan que v (sans appartenir aux autres classes)

$$n_3 = 2n^2 - 4n + 2$$

$$n_3 = 2(n - 1)^2$$

4/ les variétés apparaissant dans le même $R_3$ que v

$$n^4 = 2n^3 - 2n^2$$

$$n_4 = 2n^2(n - 1)$$

S+1) les variétés de $R_5$, n'appartenant pas au même $R_{s-1}$ que v

$$n_{s+1} = 2n^2 \cdot n^{s-2} - 2n^2 \cdot n^{s-3},$$

$$n_{s+1} = 2n^{s-1} (n - 1).$$

Conformément aux notations de R. C. Bose, appelons $\lambda_i$ le nombre de blocs dans lesquels deux variétés ièmes associées apparaissent ensemble,

<table><tr><td>$n_1 = 1$<br>$\lambda_1 = 2$</td><td>$n_2 = 4(n-1)$<br>$\lambda_2 = 1$</td><td>$n_3 = 2(n-1)^2$<br>$\lambda_3 = 0$</td><td>$n_i = 2n^{i-2}(n-1)$<br>$\lambda_i = 0$<br>$(i = 4, \dots, s+1)$</td></tr></table>

Ces paramètres vérifient le premier système de relations

$$ \left\{ \begin{array}{l} v = \sum_{i=1}^{s+1} n_i + 1 = 2n+1 \\ r(k-1) = \sum_{i=1}^{s+1} n_i \quad \lambda_i = 2(2n-1) \end{array} \right. $$
Valeurs qui vérifient le second système de conditions :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \sum_{u=1}^{s+1} p_{ju}^{i} = \begin{cases} n_i - 1 & \text{si } i = j \\ n_i & \text{si } i \neq j \end{cases} & \\ n_i, p_{ju}^{i} = n_u, p_{ij}^{u} = n_j, p_{ui}^{j} & \end{array} \right. $$

Nous avons ainsi construit un bloc incomplet partiellement équilibré à s+1 classes associées.

### C - CAS PARTICULIERS -

Nous allons donner les paramètres de plans d'expérience qui peuvent être d'un usage courant.

s = 2

C. Radhakrihna Rao en a donné des exemples dans la revue Sankya.

<table><thead><tr><th></th><th>n</th><th>v</th><th>b</th><th>k</th><th>p<sup>1</sup><sub>12</sub></th><th>n<sub>1</sub></th><th>n<sub>2</sub></th><th>n<sub>3</sub></th><th>n<sub>4</sub></th><th>n<sub>5</sub></th><th>n<sub>6</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">s = 3</td><td>2</td><td>16</td><td>8</td><td>4</td><td>2</td><td>1</td><td>4</td><td>2</td><td>8</td><td></td><td></td></tr><tr><td>3</td><td>54</td><td>18</td><td>6</td><td>2</td><td>1</td><td>8</td><td>8</td><td>36</td><td></td><td></td></tr><tr><td>4</td><td>128</td><td>32</td><td>8</td><td>2</td><td>1</td><td>12</td><td>18</td><td>96</td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="2">s = 4</td><td>2</td><td>32</td><td>16</td><td>4</td><td>2</td><td>1</td><td>4</td><td>2</td><td>8</td><td>16</td><td></td></tr><tr><td>3</td><td>162</td><td>54</td><td>6</td><td>2</td><td>1</td><td>8</td><td>8</td><td>36</td><td>108</td><td></td></tr><tr><td>s = 5</td><td>2</td><td>64</td><td>32</td><td>4</td><td>2</td><td>1</td><td>4</td><td>2</td><td>8</td><td>16</td><td>32</td></tr><tr><td>s = 6</td><td>2</td><td>128</td><td>64</td><td>4</td><td>2</td><td>1</td><td>4</td><td>2</td><td>8</td><td>16</td><td>32</td></tr></tbody></table>

### Exemples de construction.

Dans chaque treillis les variétés sont numérotées sur les diamètres à partir du cercle intérieur et en tournant dans le sens de rotation positif.

$$ \frac{1}{s} - s = 3, n = 2. $$

Nous écrirons, sur le schéma, les numéros des variétés du premier plan droits, les numéros des variétés du second plan seront en italique.
<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Diamètres

(1, 2, 3, 4)
(5, 6, 7, 8)

premier plan

Cercles

(1, 3, 5, 7)
(2, 4, 6, 8)

( 9, 10, 11, 12)
(13, 14, 15, 16)

second plan

( 9, 11, 13, 15)
(10, 12, 14, 16)

Les couples premiers associés sont :

(1, 3) (2, 4) (5, 7) (6, 8) (9, 11) (10, 12) (13, 15) (14, 16).

Les variétés secondes associées de la variété 1 sont :

2, 4, 5, 7,

Les variétés troisièmes associées de la variété 1 sont :

6, 8,

La simple lecture du treillis fournit les variétés associées.

2 / - s = 3, n = 3.

( 1, 2, 3, 4, 5, 6)
( 7, 8, 9, 10, 11, 12)
(13, 14, 15, 16, 17, 18)

premier plan

( 1, 4, 7, 10, 13, 16)
( 2, 5, 8, 11, 14, 17)
( 3, 6, 9, 12, 15, 18)

(19, 20, 21, 22, 23, 24)
(25, 26, 27, 28, 29, 30)
(31, 32, 33, 34, 35, 36)

second plan

(19, 22, 25, 28, 31, 34)
(20, 23, 26, 29, 32, 35)
(21, 24, 27, 30, 33, 36)

(37, 38, 39, 40, 41, 42)
(43, 44, 45, 46, 47, 48)
(49, 50, 51, 52, 53, 54)

troisième plan

(37, 40, 43, 46, 49, 52)
(38, 41, 44, 47, 50, 53)
(39, 42, 45, 48, 51, 54)
<figure><img src="image_4.png" /></figure>

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

$3/ - s = 4, n = 2.$

$$
\begin{array}{l@{\hspace{2em}}c@{\hspace{2em}}l@{\quad}l}
\text{1er } R_3 & \left[ \begin{array}{@{}cccc@{}} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{array} \right\} & \text{premier plan} & \left\{ \begin{array}{@{}cccc@{}} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \end{array} \right\} \\
& \left[ \begin{array}{@{}cccc@{}} 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{array} \right\} & \text{deuxième plan} & \left\{ \begin{array}{@{}cccc@{}} 9 & 11 & 13 & 15 \\ 10 & 12 & 14 & 16 \end{array} \right\}
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{l@{\hspace{2em}}c@{\hspace{2em}}l@{\quad}l}
\text{2ème } R_3 & \left[ \begin{array}{@{}cccc@{}} 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 \end{array} \right\} & \text{premier plan} & \left\{ \begin{array}{@{}cccc@{}} 17 & 19 & 21 & 23 \\ 18 & 20 & 22 & 24 \end{array} \right\} \\
& \left[ \begin{array}{@{}cccc@{}} 25 & 26 & 27 & 28 \\ 29 & 30 & 31 & 32 \end{array} \right\} & \text{deuxième plan} & \left\{ \begin{array}{@{}cccc@{}} 25 & 27 & 29 & 31 \\ 26 & 28 & 30 & 32 \end{array} \right\}
\end{array}
$$

$4/ - \text{Construction générale : } s = 2n.$

$$
\text{Diamètres :} \qquad \boxed{(2ni + 1, \dots, 2n(i+1))}
$$

ler plan $i.$ = 0, ..., $n-1$.

1er $R_3$

avec :
premier $R_4$ : nème plan : $i = n(n-1), \dots, n^2 - 1$
..................................................

1er plan : $i = (n-1)n^2, \dots, (n-1)(n^2+1)$

nème R ..................................................

nème plan: $i = \dots, n^3 - 1$.
Cercles :

$(j, n + j, ..., (2n - 1)n + j)$

dans le premier plan :

$j = 1, ..., n$

dans le tè plan :

$j = 2(t-1)n^2 + 1, ..., 2(t-1)n^2 + n$

## II - CONSTRUCTIONS DE PLANS D'EXPERIENCE QUASIFACTORIAELS DE DIMENSION n -

Un bloc incomplet partiellement équilibré est dit quasifactoriel de dimension n, lorsque le nombre de variétés v est de la forme

$$v = p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_n$$

$p_1, p_2, \dots, p_n$ étant des nombres quelconques. Les plans d'expérience quasifactoriels de dimension deux, ont été étudiés par Radhakrishna Rao. Nous allons faire ici une étude générale qui permettra d'augmenter le nombre de classes d'association.

### A - DEFINITIŌN DES CLASSES D'ASSOCIATION -

Dans un espace vectoriel à n dimensions ayant pour base l'ensemble des vecteurs linéairement indépendant

$$e_1, e_2, \dots, e_n,$$

les v variétés peuvent être rangées en réseau formant un hyperparallelélipipède aux côtés parallèles aux vecteurs $e_i$ : il y a $p_i$ variétés sur chaque parallèle au vecteur $e_i$.

1/ Deux variétés seront iᵉ associées, (i = 1, ..., n) si elles se trouvent sur la même parallèle au vecteur $e_i$, d'où

$$n_i = p_i - 1$$

2/ Deux variétés seront jᵉ associées, si l'espace à 2 dimensions construit parallèlement aux vecteurs $e_i$ et $e_k$ (i, k = 1, ..., n), i k passant par l'une, contient l'autre, (sans qu'elles soient i ou k associées)

$$n_j = (p_i - 1) (p_k - 1)$$

Il y a $C_n^2$ classes d'association de cette catégorie.

3/ Deux variétés seront uᵉ associées si l'espace à 3 dimensions
construit parallèlement aux vecteurs $e_i$, $e_j$, $e_k$, contenant l'une contient l'autre (sans qu'elles appartiennent aux deux premières catégories),

$$n_u = (p_i - 1) (p_j - 1) (p_k - 1)$$

$$i, j, k = 1, \dots, n$$

$$i \subset j \subset k$$

Il y a $C_n^3$ classes d'association de cette catégorie.

Les classes d'association construites sont bien **disjointes** puisque nous avons considéré chaque ensemble de variétés comme ouvert. Il y a en tout

$$N = C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n$$

$$N = 2^n - 1$$

classes d'association.

## B - BLOCS INCOMPLETS PARTIELLEMENT EQUILIBRES A N CLASSES ASSOCIEES -

Supposons qu'il existe n blocs incomplets **Equilibrés** ayant pour paramètres :

$$v = p_i, \quad r = r_i, \quad k, \quad \lambda = \lambda_i \quad (i = 1, \dots, n)$$

(ils ont le même nombre de parcelles).

Considérons le réseau des variétés comme forme d'ensembles de $p_i$ variétés disposées parallèlement au vecteur $e_i$, et construisons pour chaque ensemble un bloc incomplet équilibré de paramètres $p_i, b_i, r_i, \lambda_i, k$.

En juxtaposant les n groupes de $\prod_{j=1}^n p_j$ ($j \neq i$) blocs incomplets équilibrés ainsi construits, nous obtenons un plan d'expérience dont les paramètres sont :
$$v = \bigcap_{i=1}^{n} p_i$$

$$b = \sum_{i=1}^{n} (b_i \bigcap_{j=1}^{n} p_j)$$

$$r = \sum_{i=1}^{n} r_i$$

k

$$n_i = p_i - 1 \quad (i = 1, \dots, n)$$

$$n_u = (p_i - 1) (p_j - 1) \dots (p_k - 1)$$

$$\lambda_i = \lambda_j \quad (i = 1, \dots, n)$$

$$\lambda_u = 0 \quad (u = n+1, \dots, N) \text{ avec } N = 2^n - 1$$

Ce plan d'expérience est un bloc incomplet partiellement équili-
bré à N classes associées, en effet :

$$k \sum_{i=1}^{n} (b_i \cap p_j) = (\sum r_i) \cap p_i \quad \text{car } kb_i = r_i p_i$$

et :

$$\sum_{s=1}^{N} n_s \lambda_{s} = (k-1) \sum_{i=1}^{n} r_i, \quad \text{car } \lambda_i (p_i - 1) = r_i (k-1)$$

Lorsque les $p_i$ sont distincts, les seules valeurs pratiquement intéressantes de n sont 2 et 3.

Remarquons cependant, que chaque fois que deux ou plusieurs $p_i$ sont égaux il y a réduction du nombre N de classes d'association : n peut alors prendre des valeurs supérieures à 3.

C - CAS PARTICULIERS -

1/ Nous pouvons toujours prendre comme plan d'expérience équi-
libré le plan de paramètres :

$$v = p, \quad b = 1, \quad r = 1, \quad \lambda = 1, \quad k = p$$
<table><thead><tr><th colspan="5">Paramètres du plan<br>équilibré</th><th colspan="4">Paramètres du plan<br>quasifactoriel obtenu.</th></tr><tr><th>k=p</th><th>v=q</th><th>b<sub>1</sub></th><th>r<sub>1</sub></th><th>λ<sub>1</sub></th><th>v=p<sup>n</sup>q</th><th>b=q+b<sub>1</sub>p<sup>n</sup></th><th>r=n+r<sub>1</sub></th><th>k=p</th></tr></thead><tbody><tr><td>3</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td>2</td><td>3<sup>n</sup>.4</td><td>4(1+3<sup>n</sup>)</td><td>3+n</td><td>3</td></tr><tr><td>3</td><td>6</td><td>10</td><td>5</td><td>2</td><td>3<sup>n+1</sup>.2</td><td>6+10.3<sup>n</sup></td><td>5+n</td><td>3</td></tr><tr><td>3</td><td>7</td><td>7</td><td>3</td><td>1</td><td>7.3<sup>n</sup></td><td>7(1+3<sup>n</sup>)</td><td>3+n</td><td>3</td></tr><tr><td>3</td><td>9</td><td>12</td><td>4</td><td>1</td><td>3<sup>n+2</sup></td><td>9(1+4.3<sup>n</sup>)</td><td>4+n</td><td>3</td></tr><tr><td>4</td><td>4</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>4<sup>n+1</sup></td><td>4(1+4<sup>n-1</sup>)</td><td>2+n</td><td>4</td></tr><tr><td>4</td><td>7</td><td>7</td><td>4</td><td>2</td><td>4<sup>n</sup>.7</td><td>7(1+4<sup>n</sup>)</td><td>4+n</td><td>4</td></tr><tr><td>4</td><td>8</td><td>14</td><td>7</td><td>3</td><td>2<sup>2n+3</sup></td><td>8(14.4<sup>n</sup>)</td><td>7+n</td><td>4</td></tr><tr><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td>3</td><td>4<sup>n+1</sup></td><td>4(1+4<sup>n</sup>)</td><td>3+n</td><td>4</td></tr><tr><td>4</td><td>5</td><td>5</td><td>4</td><td>3</td><td>5.4<sup>n</sup></td><td>5(1+4<sup>n</sup>)</td><td>4+n</td><td>4</td></tr><tr><td>5</td><td>5</td><td>3</td><td>3</td><td>3</td><td>5<sup>n+1</sup></td><td>5+3.5<sup>n</sup></td><td>3+n</td><td>5</td></tr></tbody></table>

En le juxtaposant, suivant la méthode exposée au plan d'expérience équilibré :

$$v = q, \quad b = b_1, \quad r = r_1, \quad \lambda = \lambda_1, \quad k = p$$

Nous obtenons un bloc incomplet partiellement équilibré à 2n+1 classes d'association :

$$v = p^n q, \quad b = b_1 p^n + q, \quad k = p, \quad r_1 = n + r, \quad \lambda_1 = \lambda_1, \quad \lambda_2 = 1, \quad \lambda = 0$$

Nous pouvons calculer ainsi le nombre de classes d'association :

- pour la première catégorie n classes se confondent, il n'en reste que deux distinctes ;

- il en est de même pour les n-1 autres catégories ;

- la dernière ne comporte qu'une classe.

Nous allons dresser la liste des principaux plans d'expérience qui peuvent être ainsi construits.

$$2/ - \text{Cas : } n = 3, v = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$$

En rangeant les variétés dans un parallèlepipède, nous obtenons un plan quasifactoriel à N = 2³ - 1 = 7 classes associées.
Lorsque deux des trois plans utilisés équilibrés sont identiques il se produit la même réduction de classes d'association que dans le cas précédent,

$$N = 2.2+1 = 5$$

Nous donnons la liste de ces principaux plans d'expérience :

$$v=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3, \quad b=b_1 p_2 p_3 + b_2 p_3 p_1 + b_3 p_1 p_2, \quad r=r_1+r_2+r_3, \quad k, \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_1=0 \\ (i=4, \dots, 7)$$

<table><thead><tr><th colspan="6">Paramètres des plans équilibrés</th><th colspan="4">Paramètres du plan quasifactoriel</th></tr><tr><th>k</th><th>p<sub>1</sub></th><th>b<sub>1</sub></th><th>r<sub>1</sub></th><th>λ<sub>1</sub></th><th>p<sub>2</sub></th><th>b<sub>2</sub></th><th>r<sub>2</sub></th><th>λ<sub>2</sub></th><th>p<sub>3</sub></th><th>b<sub>3</sub></th><th>r<sub>3</sub></th><th>λ<sub>3</sub></th><th>v</th><th>b</th><th>r</th><th>k</th></tr></thead><tbody><tr><td>3</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td>2</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td>2</td><td>3</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>64</td><td>112</td><td>7</td><td>3</td></tr><tr><td>3</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td>2</td><td>6</td><td>10</td><td>5</td><td>2</td><td>3</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>72</td><td>168</td><td>9</td><td>3</td></tr><tr><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>2</td><td>2</td><td>4</td><td>4</td><td>2</td><td>2</td><td>4</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>64</td><td>144</td><td>5</td><td>4</td></tr><tr><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>2</td><td>2</td><td>5</td><td>5</td><td>4</td><td>3</td><td>4</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>80</td><td>180</td><td>7</td><td>4</td></tr><tr><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>2</td><td>2</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td>3</td><td>4</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>64</td><td>144</td><td>6</td><td>4</td></tr><tr><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td>3</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td>3</td><td>4</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>64</td><td>144</td><td>7</td><td>4</td></tr><tr><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td>3</td><td>5</td><td>5</td><td>4</td><td>3</td><td>4</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>80</td><td>180</td><td>8</td><td>4</td></tr><tr><td>4</td><td>5</td><td>5</td><td>4</td><td>3</td><td>5</td><td>5</td><td>4</td><td>3</td><td>4</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>100</td><td>225</td><td>9</td><td>4</td></tr></tbody></table>

### 3/ - Calcul de la réduction du nombre de classes d'association lorsque plusieurs classes se confondent en une seule.

Supposons que le nombre v puisse se mettre sous la forme

$$v = p^s \cdot q_1^{q_1} \cdots q_u^{q_u} \quad \text{avec } s+u=n$$

Dans la première catégorie il y a $1 + C_u^1$ classes.

Supposons $s > u$, dans la seconde il y en a :

$$1 + C_u^1 + C_u^2$$
dans la troisième 1 + C_u^1 + C_u^2 + C_u^3

dans la u^e 1 + C_u^1 + ... + C_u^u

dans les s-u suivantes 1 + C_u^1 + ... + C_u^u

dans la s + 1^e C_u^1 + ... + C_u^u

dans la s + 2^e C_u^2 + ... + C_u^u

dans la s + u^e = n^e C_u^u

Finalement il y a s + (s+1) (C_u^1 + ... + C_u^s)

$$
N = s + (s+1)(2^u - 1)
$$

Supposons maintenant s < u

dans la première catégorie : 1 + C_u^1

dans la s^e catégorie : 1 + C_u^1 + ... + C_u^s

dans la s + 1^e C_u^1 + ... + C_u^s + C_u^{s+1}

dans la u^e C_u^{u-s} + ... + C_u^u

dans la n^e C_u^u

En tout, comme dans le cas s > u

$$
N = s + (s+1)(2^u - 1)
$$
# CHAPITRE II

## CONDITIONS D'EXISTENCE DE BLOCS INCOMPLETS PARTIELLEMENT ÉQUILIBRÉS A DEUX CLASSES ASSOCIÉES

Dans ce chapitre, nous allons étudier le cas particulier, très utilisé dans la pratique, où le plan d'expérience ne comporte que deux classes associées.

Nous allons tout d'abord rappeler les résultats obtenus par Connor et Clatworthy sur la matrice d'incidence d'un bloc incomplet partiellement équilibré à deux classes associées.

Dans le deuxième paragraphe, nous déduirons un groupe de conditions nécessaires et suffisantes d'existence de tels plans d'expérience dans le cas où $b < v$. (Ce cas est très intéressant pratiquement comme nous l'avons expliqué dans l'introduction).

Nous donnerons finalement une méthode pratique pour dresser la liste de tous les blocs incomplets équilibrés existant dans ce cas.

Dans le troisième paragraphe, enfin, nous résoudrons le système d'équations diophantiennes permettant de calculer les paramètres de première et de seconde espèce de tous les blocs incomplets partiellement équilibrés comportant 4 répétitions. Lorsque le plan d'expérience obtenu a déjà été construit, nous donnerons pour référence le numéro du plan dans la Table donnée par Bose R C, Clatworthy et Shrikhande. Nous insisterons sur les plans d'expérience encore non construits, et sur les cas d'impossibilité. Ce travail a été fait pour deux répétitions par Roy et Laha.

### A - ETUDE DE LA MATRICE D'INCIDENCE D'UN BLOC INCOMPLET PARTIELLEMENT EQUILIBRE -

#### 1/ - Cas général.

La matrice d'incidence d'un plan d'expériences est :

$$N = (n_{ij})$$
avec $n_{ij} = 1$ ou 0 suivant que la ième variété (i = 1, ..., v) apparait ou non dans le jème bloc (j = 1, ..., b).

Dans le cas d'un bloc partiellement équilibré, chaque variété est répétée r fois, donc $\sum_{j=1}^{b} \lambda n_{ij} = r$ (i = 1, ..., v) et chaque variété apparaît dans $\lambda_s$ blocs avec ses sèmes associées,

$$ \sum_{u=1}^{b} n_{iu} n_{ju} = \lambda_s \quad (i \neq j, i, j = 1, \dots, v) $$

Appelons N' la matrice associée de N

$$ NN' = \begin{pmatrix} r & & & \lambda_s \\ & \ddots & & \\ & & \lambda_s & \\ & & & r \end{pmatrix} $$

et M la matrice obtenue en remplaçant dans NN' r par la variable z : M est un polynome de degré v en z.

Cherchons les racines de ce polynome.

Remplaçons la première ligne par la somme de toutes les lignes. Chaque élément de la première ligne est alors égal à $z + \sum_{s=1}^{m} n_s \lambda_s$. Un facteur du polynome $|M|$ est donc $z - z_o$ avec $z_o = - \sum_{s=1}^{m} n_s \lambda_s = -r$ (k = 1). Si X est le vecteur $\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_v \end{pmatrix}$ une condition nécessaire et suffisante pour que $|M|=0$ est que $M \cdot X = 0$ ait d'autres solutions que la solution toute nulle. Cherchons les solutions non nulles et linéairement indépendantes de $M \cdot X = 0$ ; à chacune correspondra un zéro de $|M|$. Soit $S_s(x_i)$ la somme des variables correspondant aux sèmes associées de la ième variété. Les v équations $M \cdot X = 0$ s'écrivent :

$$ zx_i + \sum_{s=1}^{n} \lambda_s S_s(x_i) = 0 \quad (i=1, 2, \dots, v). $$

Faisons la somme de ces équations par rapport à s :

$$ \begin{align} & [ \lambda_1 p_{s_1}^1 + \lambda_2 p_{s_2}^1 + \dots + \lambda_m p_{s_m}^1 - n_s \lambda_s ] S_1(x_i) \tag{i} \\ & + \dots + \nonumber \\ & [ z + \lambda_1 p_{s_1}^s + \lambda_2 p_{s_2}^s + \dots + \lambda_m p_{s_m}^s - n_s \lambda_s ] S_s(x_i) \nonumber \\ & + \dots + \nonumber \\ & [ \lambda_1 p_{s_1}^m + \lambda_2 p_{s_2}^m + \dots + \lambda_m p_{s_m}^m - n_s \lambda_s ] S_m(x_i) = 0 \nonumber \end{align} $$
Posant le coefficient de $S_j(x_i)$ égal à $a_{sj}$, le système d'équations (i) s'écrit :

$$ (2) \quad a_{s1}S_1(x_i) + \dots + a_{sm}S_m(x_i) = 0 \quad (s = 1, \dots, m). $$

Or la somme des v équations M.X = 0 s'écrit :

$$ \sum_{i=1}^{v} x_i = 0 \quad \text{ou encore} \quad x_i + \sum_{s=1}^{m} S_s(x_i) = 0. $$

Nous pouvons toujours supposer $x_i \neq 0$, donc les $S_s(x_i)$ non tous nuls, ce qui est vrai si et seulement si :

$$ |A| = |a_{su}| = 0 \quad (s, u = 1, 2, \dots, m) $$

**THEOREME -**

$$ M = (z - z_o) (z - z_1)^{\alpha_1} \dots (z - z_t)^{\alpha_t} $$

avec $z_o = -r(k-1)$; $z_1, \dots, z_t$ ($t<m$) zéros distincts de $|A|$ et

$$ \sum_{n=1}^{t} \alpha_n = v-1. $$

2/ - *Cas du bloc incomplet partiellement équilibré a deux classes associées.*

$|A|$ s'écrit :

$$ |A| = \begin{vmatrix} z + \lambda_1 p_{11}^1 + \lambda_2 p_{12}^1 - \lambda_1 n_1 & \lambda_1 p_{11}^2 + \lambda_2 p_{12}^2 - \lambda_1 n_1 \\ \lambda_1 p_{21}^1 + \lambda_2 p_{22}^1 - \lambda_2 n_2 & z + \lambda_1 p_{21}^2 + \lambda_2 p_{22}^2 - \lambda_2 n_2 \end{vmatrix} $$

ou

$$ |A| = z^2 + [ (\lambda_1 - \lambda_2)(p_{12}^2 - p_{12}^1) - (\lambda_1 + \lambda_2)] z + (\lambda_1 - \lambda_2)(\lambda_2 p_{12}^1 - \lambda_1 p_{12}^2) + \lambda_1 \lambda_2 $$

Posons :

$$ \gamma = p_{12}^2 - p_{12}^1 $$

$$ \beta = p_{12}^2 + p_{12}^1 $$

$$ \Delta = \gamma^2 + 2\beta + 1 $$

Les racines de l'équation $|A|=0$ sont :

$$ z_i = 1/2 \{ (\lambda_1 - \lambda_2) [-\gamma + (-1)^i \sqrt{\Delta}] + \lambda_1 + \lambda_2 \} $$
Δ est positif, donc $z_1 \neq z_2$ et si $\lambda_1 > \lambda_2 \ge 0$, $z_1 < z_2$.

Dans le cas où $b < v$, alors $z_2 = r$.

Déterminons les exposants $\alpha_i$. $|M| = (z-z_o)(z-z_1)^{\alpha_1}(z-z)^{\alpha_2}$ avec :

$$\alpha_1 + \alpha_2 = v - 1.$$

$|M|$ peut sécrire :

$$|M| = z^v - (z_o + \alpha_1 z_1 + \alpha_2 z_2) z^{v-1} + \dots + (-z_o) (-z_1)^{\alpha_1} (-z_2)^{\alpha_2}.$$

Le coefficient de $z^{v-1}$ étant nul, d'après le calcul du déterminant $|M|$: $z_o + \alpha_1 z_1 + \alpha_2 z_2 = 0$ ; $\alpha_1 + \alpha_2 = v-1$ d'où

$$\alpha_i = \frac{(v-1) [(-1)^i \gamma + \sqrt{\Delta} + 1] - 2n_i}{2\sqrt{\Delta}}$$

Il est nécessaire que l'un des nombres $\alpha_i$ soit un entier positif inférieur à $v-1$ ; l'autre l'est alors également.

Remarquons que, dans le cas $b < v$, la relation $z_2 = r$ peut s'écrire :

$$(\lambda_1 - \lambda_2) [(r - \lambda_2) p_{12}^{1} - (r - \lambda_1) p_{12}^{2}] = (r - \lambda_1) (r - \lambda_2). \text{ Avec } b > v - \alpha_2 = \alpha_1 + 1$$

Dans le cas général $z_1 < r$ s'écrit :

$$(A) \quad (\lambda_1 - \lambda_2) [(r - \lambda_2) p_{12}^{1} (r - \lambda_1) p_{12}^{2}] < (r - \lambda_1) (r - \lambda_2)$$

résultat dû à Nair (1943).

### Remarque.

Le théorème dû à Connor et Clatworthy, est une généralisation du théorème dû à Schutzenberger.

## B- CONDITIONS D'EXISTENCE D'UN BLOC INCOMPLET PARTIELLEMENT EQUILIBRE A DEUX CLASSES ASSOCIEES DANS LE CAS OU $b < v -$

Nous allons chercher tous les plans d'expérience de cette catégorie lorsque le nombre $r$ des répétitions est fixé.
Comme les $λ_1$ sont des nombres entiers inférieurs ou égaux à r, ces paramètres ne peuvent prendre qu'un nombre fini de valeurs.

Nous allons déterminer les paramètres de première et de deuxième espèce autres que $λ_1$ et r. Remarquons qu'il suffit de connaître $t = p_{12}^1$ pour connaître les autres paramètres de seconde espèce, étant donné le système de relations :

$$n_1 p_{12}^1 = n_2 p_{11}^2$$

$$n_1 p_{22}^1 = n_1 p_{12}^2$$

$$p_{11}^1 + p_{12}^1 + 1 = p_{11}^2 + p_{12}^2 = n_1$$

$$p_{12}^1 + p_{22}^1 = p_{12}^2 + p_{22}^2 + 1 = n_2$$

Soient $λ_1$ et $λ_2$, $λ_1 > λ_2$, deux entiers positifs inférieurs à r. Les coefficients de première espèce vérifient le système de relations :

$$vr = bk$$

$$v = n_1 + n_2 + 1$$

$$λ_1 n_1 + λ_2 n_2 = r (k - 1)$$

1 / - *Cas où* $λ_1$ et $λ_2$ sont premiers entre eux.

D'après l'identité de Bezout, il existe deux nombres $a_1$ et $a_2$ entiers, inférieurs en valeur absolue respectivement à $λ_2$ et $λ_1$, tels que $a_1 λ_1 + a_2 λ_2 = 1$.

Posons $u = k - 1$;

$$\text{de } a_1 λ_1 ru + a_2 λ_2 ru = ru$$

$$λ_1 n_1 + λ_2 n_2 = ru$$

nous tirons : $(n_1-a_1ru)λ_1 + (n_2-a_2ru)λ_2 = 0$ et, $λ_1$ et $λ_2$ étant premiers entre eux :

$$n_1 = a_1 ru - λ_2 ρ$$

$$n_2 = a_2 ru + λ_1 ρ$$

ou $ρ$ désigne un paramètre à valeurs entières.

a) <u>Recherche de valeurs de b susceptibles de fournir un plan d'expérience.</u>

$n_1$ et $n_2$ sont des entiers positifs, ce qui fournit la limitation pour $ρ$ :
$$ - \frac{a_2 ru}{\lambda_1} < \rho < \frac{a_1 ru}{\lambda_2} $$

Le nombre de blocs b est donné par $vr = bk$, c'est-à-dire :

$$ b = \frac{(n_1+n_2+1)r}{u+1} = \frac{(a_1+a_2)ru + (\lambda_1-\lambda_2)+1}{u+1} $$

La limitation imposée à $\rho$ fournit une limitation pour b et les valeurs de b susceptibles de fournir un bloc incomplet partiellement équilibré sont alors connues, b devant être pris entre deux entiers positifs.

b) Existence de plan d'expérience de paramètre donnés r, b, $\lambda_1$, $\lambda_2$.

Soit b une valeur convenable. D'après le paragraphe précédent, pour qu'il existe un bloc incomplet partiellement équilibré de paramètres r, b, $\lambda_1$, $\lambda_2$, (b < v), il faut et il suffit que :

(A) $(r-\lambda_1)(r-\lambda_2) = (\lambda_1-\lambda_2)(r-\lambda_2)p_{12}^1 - (r-\lambda_1)p_{12}^2$ étant vérifiée avec $p_{12}^1 = t$ entier positif ou nul,

$$ \alpha_1 = \frac{(v-1) [-\gamma + \sqrt{\Delta} + 1] - 2n_1}{2\sqrt{\Delta}} $$

soit entier positif. De $p_{12}^1 = t$, $p_{12}^2 = n_1 - \frac{n_1t}{n_2}$, nous tirons :

$$ (r-\lambda_1)(r-\lambda_2) = (\lambda_1-\lambda_2) [(r-\lambda_2)t - (r-\lambda_1)(n_1 - n_1/n_2 t)] $$

$$ \text{soit } t/n_2 = \frac{(r-\lambda_1)[(r-\lambda_2) + n_1(\lambda_1-\lambda_2)]}{(\lambda_1-\lambda_2)[(r-\lambda_2)n_2 + (r-\lambda_1)n_1]} $$

Désignons par N et D respectivement le numérateur et le dénominateur de la fraction du second membre. Compte tenu de $a_1\lambda_1 + a_2\lambda_2 = 1$, nous obtenons :

$$ N = (r - \lambda_1) [r(1 + a_1 u(\lambda_1 - \lambda_2)) - \rho \lambda_2 (\lambda_1 - \lambda_2) - \lambda_2] $$

$$ D = (\lambda_1 - \lambda_2) [r^2 u (a_1 + a_2) + \rho r (\lambda_1 - \lambda_2) - ru] $$

Or, bk = vr nous donne :

$$ b(u+1) = r [ru(a_1 + a_2) + \rho (\lambda_1 - \lambda_2) + 1] $$

d'ou :

$$ \rho r(\lambda_1 - \lambda_2) = b(u+1) - r^2 u(a_1 + a_2) - r $$
Par suite, N = (r - λ₁) [r(1 + a₁u(λ₁ - λ₂)) - λ₂/r. (b(u+1) - r²u(a₁ + a₂))]

$$
Nr = (r - \lambda_1) (r^2 - \lambda_2 b) (u + 1)
$$

$$
D = (\lambda_1 - \lambda_2) (b - r) (u + 1)
$$

Finalement :

$$
t/n_2 = \frac{(r - \lambda_1) (r^2 - \lambda_2 b)}{r(\lambda_1 - \lambda_2) (b - r)}
$$

expression indépendante de n donc de k.

Remarquons que r est toujours inférieur à b, donc que b-r est dif-
férent de 0.

$$
Calcul de \quad = \frac{(v-1) (\sqrt{\Delta} - \gamma + 1) - 2n_1}{2\sqrt{\Delta}}
$$

Dans le cas envisagé (b < v) 2z₂ = 2r = λ₁ + λ₂ + (λ₁ - λ₂) (√Δ - γ)

$$
donc \quad \Delta - \gamma = \frac{2r - (\lambda_1 + \lambda_2)}{\lambda_1 - \lambda_2}
$$

$$
\alpha = \frac{[ru(a_1+a_2) + p(\lambda_1-\lambda_2)] \cdot \frac{r-\lambda_2}{(\lambda_1-\lambda_2)} - (a_1 ru - \lambda_2 \rho)}{\sqrt{\Delta}}
$$

$$
\alpha (\lambda_1 - \lambda_2) = ru [r(a_1 + a_2) - 1] + b(u+1) - r^2 u (a_1 + a_2) - r \\
= (b-r) (u+1)
$$

$$
\sqrt{\Delta} = \gamma + \frac{2r - (\lambda_1 + \lambda_2)}{\lambda_1 - \lambda_2}
$$

$$
avec \gamma = n_1 - n_1/n_2 \cdot t - t = a_1 ru - \lambda_2 \rho - t/n_2 \cdot [ru(a_1 + a_2) + \rho(\lambda_1 - \lambda_2)]
$$

$$
\begin{align*}
\gamma &= a_1 ru - \lambda_2 \frac{b(u+1) - r^2 u (a_1+a_2) - r}{r(\lambda_1-\lambda_2)} - \frac{(r-\lambda_1)(r^2-\lambda_1 b) [b(u+1)-r]}{r^2(\lambda_1-\lambda_2)(b-r)} \\
&= \frac{r[r^3 - r^2(\lambda_1+\lambda_2) + \lambda_1\lambda_2 b] + ur^3(b-r) - b(u+1)[r^3 r^2(\lambda_1+\lambda_2) + \lambda_1\lambda_2^3]}{r^2(\lambda_1-\lambda_2)(b-r)}
\end{align*}
$$

donc :

$$
\sqrt{\Delta} = \frac{u [-r^4 + br^2 (\lambda_1 + \lambda_2) - b^2 \lambda_1 \lambda_2] + (b-r) (r^3 - \lambda_1 \lambda_2 b)}{r^2 (\lambda_1 - \lambda_2) (b-r)}
$$

et, enfin :
$$ \alpha = \frac{r^2(b-r)^2(u+1)}{u [-r^4 + br^2(\lambda_1^2 + \lambda_2^2) - b^2 \lambda_1 \lambda_2] + (b-r)(r^3 - \lambda_1 \lambda_2 b)} $$

et, en tenant compte de $u = k - 1$,

$$ \alpha = \frac{r^2(b-r)^2 k}{rb(r-\lambda_1)(r-\lambda_2) - k(r^2-\lambda_1 b)(r^2-\lambda_2 b)} $$

expression indépendante de $\lambda_1$ et $\lambda_2$.

## 2/ - Cas général : $\lambda_1$ et $\lambda_2$ quelconques.

Soit d leur plus grand commun diviseur $\lambda_1 = \mu_1 d$ ; $\lambda_2 = \mu_2 d$. D'après l'identité de Bezout, il existe $\lambda'_1$ et $\lambda'_2$ entiers inférieurs en valeur absolue respectivement à $\mu_2$ et $\mu_1$ tels que $\mu_1 \lambda'_1 + \mu_2 \lambda'_2 = 1$ ; de plus, $d(\mu_1 n_1 + \mu_2 n_2) = ru$, donc d divise ru.

Nous devons donc distinguer trois cas :

a) $dr' = r$;

b) $u = du'$;

c) $d = pq$ avec $r = pr'$, $u = qu'$.

Nous pouvons écrire $\mu_1 n_1 + \mu_2 n_2 = \begin{cases} ur' \\ ru' \\ r'u' \end{cases}$

$\mu_1$ et $\mu_2$ étant premiers entre eux, nous posons dans tous les cas :

$$ n_1 = a'_1 r'u' - \mu_2 \rho' $$

$$ n_2 = a'_2 r'u' + \mu_1 \rho' $$

où $\rho'$ est un paramètre à valeurs entières. Si $\rho = \rho'/d$, en posant $a'_1 = da_1$, nous obtenons :

$$ n_1 = a_1 ru - \lambda_2 \rho $$

$$ n_2 = a_2 ru + \lambda_1 \rho $$

où $\rho$ n'est plus un paramètre entier, mais un entier divisé par $d$. Nous obtenons donc les mêmes expressions pour $t/n_2$ et que dans le cas pré-cédent.
### 3/ - Conclusion.

Le résultat remarquable est que $\alpha$ est **toujours une fonction homographique de k**, et non comme nous pouvions le penser le quotient de deux trinomes du second degré en k. Les points à coordonnées entières de l'hyperbole d'équation $\alpha = \Phi(k)$ peuvent s'obtenir très facilement. Nous sommes alors en possession de toutes les valeurs de k susceptibles de fournir un plan d'expérience pour chaque valeur de b convenable, compte tenu de $b > \alpha + 1$.

Il suffit, alors, pour conclure sur l'existence du plan d'expérience de paramètres r, $\lambda_1$, $\lambda_2$, b, k, de calculer d qui doit être un nombre entier et t qui doit être un entier positif ou nul.

Nous pouvons aussi très facilement affirmer l'existence ou la non existence de blocs incomplets partiellement équilibrés ayant pour paramètres r, $\lambda_1$, $\lambda_2$ (b < v) et, lorsqu'ils existent, calculer tous les paramètres de première et deuxième espèce.

### 4/ - Cas particuliers.

$$1^{\circ}) r = \lambda_1.$$

Les valeurs de b convenables sont telles que $b > \lambda_1 > \lambda_2$.

$$t = 0, \alpha = \frac{(b - \lambda_1) \lambda_1}{\lambda_1^2 - \lambda_2 b}$$

Le numérateur de $\alpha$ est positif quand le dénominateur est négatif, c'est-à-dire quand $\lambda_1^2 < \lambda_2 b$. Il n'existe aucun plan d'expérience de paramètres r = $\lambda_1$, $\lambda_2$, b.

## THEOREME -

Il n'existe aucun bloc incomplet partiellement équilibré *avant* pour paramètres b, $\lambda_1 = r$, $\lambda_2 < \lambda_1$ (b < v) si $\lambda_1^2 < \lambda_2 b$.

Nous allons dresser une liste des valeurs des paramètres $\lambda_1, b$ et $r < 10$ pour lesquelles il n'existe aucun plan d'expériences.
<table><thead><tr><th>r=λ₁=</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th><th>8</th><th>9</th><th>10</th></tr></thead><tbody><tr><td>λ₂<br>"<br>1 ...</td><td>v>b>4</td><td>9</td><td>16</td><td>25</td><td>36</td><td>49</td><td>64</td><td>81</td><td>100</td></tr><tr><td>2 ...</td><td>...</td><td>4</td><td>8</td><td>12</td><td>18</td><td>24</td><td>32</td><td>40</td><td>50</td></tr><tr><td>3 ...</td><td>...</td><td>...</td><td>5</td><td>8</td><td>12</td><td>16</td><td>21</td><td>27</td><td>33</td></tr><tr><td>4 ...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>6</td><td>9</td><td>12</td><td>16</td><td>20</td><td>25</td></tr><tr><td>5 ...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>7</td><td>9</td><td>12</td><td>16</td><td>20</td></tr><tr><td>6 ...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>8</td><td>10</td><td>13</td><td>16</td></tr><tr><td>7 ...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>9</td><td>11</td><td>14</td></tr><tr><td>8 ...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>10</td><td>12</td></tr><tr><td>9 ...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>11</td></tr></tbody></table>

$$2^{\circ)} \quad r^2 < \lambda_2 b.$$

Dans ces conditions t est toujours négatif. Nous pouvons donc conclure que quel que soit $λ_1$, il n'existe aucun bloc incomplet partiellement équilibré de paramètres b, r, $λ_2$ ($b < v$) si $r^2 < \lambda_2 b$.

Le tableau ci-dessus est donc vrai quel que soit $λ_1 > λ_2$.

### 3°) Remarque :

Dans le cas $r = λ_1$, nous retrouvons un théorème connu, à savoir que tout bloc incomplet partiellement équilibré de cette espèce s'obtient à partir d'un bloc équilibré en y remplaçant chaque variété par un groupe de n variétés.

En effet :

$$α = \frac{r (b - r)}{r^2 - λ_2 b} = \frac{n_2}{n_1 + n_2} \quad \text{d'après la définition même}$$

Posons :

$$λ_2 = λ \quad b = \frac{r^2(1 + α)}{r + αλ}, \quad v = (1 + n_1)(1 + α)$$

$$r(k - 1) = rn_1 + α(n_1 + 1) \\ k = \frac{(1 + n_1)(r + αλ)}{r}$$

$$\text{Posons :} \begin{cases} 1 + n_1 = n \\ 1 + α = m \end{cases}$$

$$k = n \left[ 1 + \frac{λ}{r} (m - 1) \right] = \frac{rm}{nb}$$
$$b = \frac{r^2 m}{r + (m - 1)}$$

Nous déduisons de l'existence du bloc incomplet partiellement équilibré l'existence du bloc incomplet équilibré de paramètres :

$$v^* = \frac{v}{n} = m, \quad b^* = b, \quad r^* = r, \quad k^* = \frac{k}{n}, \quad \lambda^* = \lambda$$

Réciproquement, supposons l'existence d'un bloc incomplet équilibré de paramètres :

$$v^* = m, \quad b^* = b, \quad r^* = r, \quad k^* = p, \quad \lambda^* = \lambda$$

$$v^* r^* = b^* k^* \rightarrow pb = rm$$

$$\lambda (m-1) = r(p-1) \rightarrow b = \frac{r^2 m}{r + \lambda (m-1)}$$

nous en déduisons donc en remplaçant chaque variété par un groupe de n variétés, l'existence du bloc incomplet partiellement équilibré de paramètres : $v = nm, b = b, r = r, k = pn, \lambda_1 = r, \lambda_2 = \lambda, n_1 = n-1, n_2 = n(m-1), p_{12}^1 = 0$.
# CHAPITRE III

## BLOCS INCOMPLETS

### PARTIELLEMENT ÉQUILIBRÉ A 4 RÉPÉTITIONS

Nous allons énumérer tous les plans d'expérience de cette catégorie. Pour cela nous résoudrons le système d'équations diophantienes, imposé aux paramètres de première et deuxième espèce.

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l} 
vr = bk \\ 
v = n_1 + n_2 + 1 \\ 
\lambda_1 n_1 + \lambda_2 n_2 = r(k-1) 
\end{array} 
\right. 
$$

avec $v, r, b, n_i > 0$, entiers, $\lambda_1 > \lambda_2 \ge 0$ entiers, $p_{12}^2 = n - \frac{n_1}{n_2} p_{12}^1$ avec $p_{12}^1 \ge 0$ entiers.

Le nombre $\alpha$ déjà utilisé dans le chapitre précédent étant entier positif.

Nous savons de plus que tous les paramètres doivent vérifier l'inégalité :

$$ (A) \quad (r - \lambda_1)(r - \lambda_2) \ge (\lambda_1 - \lambda_2) [(r - \lambda_2)p_{12}^1 - (r - \lambda_1)p_{12}^2] $$

Pour résoudre ce problème nous allons considérer les différentes valeurs que peut prendre le paramètre $k$ : il est obligatoirement supérieur à 1 (chaque bloc ayant au moins 2 parcelles).

$k = 2, k = 3, k = 4, \text{ alors } b > v;$

$k > 4, b < v$ nous pourrons appliquer les résultats du chapitre précédent.

Les nombres $\lambda_i$ étant obligatoirement inférieurs à $k$, nous examinerons toutes les valeurs que peuvent prendre les $\lambda_i$ pour chaque valeur de $k$.
R. C. Bose, W. H. Clatworthy et S. S. Shirkande ont classé les blocs incomplets partiellement équilibrés connus en 5 types suivant les schémas d'association (c'est-à-dire suivant la façon dont sont formées les classes d'association), nous garderons leurs notations.

1/ - Groupe divisible (GD).

Les variétés $v = nm$ sont rangées en rectangle une variété $v_i$ est première associée des $n-1$ variétés de la même rangée, et deuxième associée des $n(m-1)$ autres.

2/ - Simples (SL).

Chaque fois que $\lambda_2$ est nul. Le plan d'expérience sert lui-même de schéma d'association.

3/ - Triangulaire (T).

Le nombre $v$ est de la forme $v = \frac{n(n-1)}{2}$, les variétés sont rangées en rectangle de telle sorte que :

a) la diagonale principale soit vide.

b) les variétés soient rangées au-dessus de la diagonale principale.

c) le dessous de la diagonale principale est symétrique du dessus.

Pour une variété $v_i$ les premières associées sont sur la même rangée (ou la même colonne).

$$n_1 = 2n - 4$$

$$n_2 = \frac{1}{2} (n-2) (n-3)$$

4/ - Carré latin (LS).

$v=n^2$, nous rangeons les variétés en carré la variété $v_i$ est première associée de celles qui se trouvent, soit dans la même rangée, soit dans la même colonne.

$$n_1 = 2(n-1)$$

$$n_2 = (n-1)^2$$

5/ - Carrés latins orthogonaux.

Nous superposons au carré des $n^2$ variétés, un carré latin orthogonal formé par les $n$ lettres A, B, ... N.
Chaque variété sera 1ère associée des variétés de la même rangée, de la même colonne, et des variétés correspondant aux mêmes lettres.

$$n_1 = 3(n-1)$$

$$n_2 = (n-1)(n-2)$$

## 6/ Cycliques (C).

Les premières associées de la variété i, s'obtiennent en ajoutant i-1 (modulo v) aux variétés premières associées de la variété 1.

En faisant la classification des plans d'expérience envisagés (r=4), il nous est apparu qu'il existait d'autres types de schéma d'association que ceux cités.

Nous les considérons comme une généralisation des types carrés latins :

1°) $v = nm$, $v_i$ sera première associée avec les variétés de la même rangée et de la même colonne

$$ \begin{cases} n_1 = m + n + 2 \\ n_2 = (n-1)(m-1) \end{cases} $$

2°) $v = nm$, nous superposons un rectangle formé par les permutations circulaires des lettres A, ..., N ou A, ..., M et $v_i$ sera première associée des variétés de la même rangée, de la même colonne, et des variétés correspondant à la même lettre.

$$ \begin{cases} n_1 = 2(m-1) + n-1 & \text{pour les lettres } A, \dots, N \\ n_1 = 2(n-1) + m-1 & \text{pour les lettres } A, \dots, M \end{cases} $$

## 1- BLOCS INCOMPLETS PARTIELLEMENT EQUILIBRES, ou r=4, et k=2 -

$$ \frac{1}{\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 1} $$

$$4v = 2b$$

$$2n_1 + n_2 = 4$$

$$v = n_1 + n_2 + 1$$

La résolution de l'équation diophantienne $\lambda_1 n_1 + \lambda_2 n_2 = k$ nous donnera les valeurs de $n_1$ et $n_2$.
Nous pouvons ainsi calculer $v$ et $b$.

Puis posant $p_{21}^1 = t$, $p_{12}^2 = n_1 - t$ devant être positif ou nul, nous en déduirons les valeurs de $t$ convenables, elle devront de plus rendre $\alpha$ entier positif et satisfaire à A.

Ici $2n_1 + n_2 = 4$ a pour seule solution $n_1 = 1, n_2 = 2$ donc :

$$b = 2v = 8$$

$$p_{12}^2 = n - \frac{n_1}{n_2} t = 1 - \frac{t}{2} \quad t \text{ doit être pair}$$

$$\text{(A) s'écrit } 6 \ge 3t - 2p_{12}^2 \quad \text{d'où } t \le 2$$

$$\text{pour } t = 0, \quad \left\{ \begin{array}{l} \gamma = p_{12}^2 - p_{12}^1 = 1 \\ \beta = p_{12}^2 + p_{12}^1 = 1 \\ \Delta = \gamma^2 + 2\beta + 1 = 4 \\ \alpha = \frac{1}{2} [(v-1)(\sqrt{\Delta} - \gamma + 1) - 2n_1] = 1 \end{array} \right.$$

la valeur $t=0$ convient. Pour $t=2$, $\gamma = -1$, $\beta = 3$, $\Delta = 8$, $\alpha$ est irrationnel, cette valeur de $t$ ne convient pas.

## THEOREME I₁ -

La classe des blocs incomplets partiellement équilibrés à deux classes associées, où $k = 2, r = 4, \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 1$, contient le seul plan d'expérience, $v = 4, b = 8, n_1 = 1, n_2 = 2, p_{21}^1 = 0$.

$$2/ \quad \lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = 0$$

$$2n_1 = 4, \text{ posons } n_2 = X$$

$$v = 3 + X, \quad b = 2(3 + X)$$

$$p_{12}^2 = 2 - \frac{2t}{X} \quad \text{doit être entier positif ou nul,}$$

$$\begin{cases} \text{donc} & X = 1, 2 \\ \text{soit} & t = 0 \\ & X = t \\ & X = 2t \end{cases}$$
l'inégalité (A) s'écrit $4 \ge 4t - 2p_{12}^2$

pour $t=0$ (A) est vérifiée, $\alpha = \frac{X}{3}$ est entier positif si $X = 3\mu,$

$\mu$ entier, $t=0$ convient

pour $t=0$ (A) donne $X \le 1$, d'ou $X = 1$

$\alpha = 2$, $t = X = 1$, est une valeur convenable

pour $X = 2t$ (A) s'écrit $2t \le 3$, soit $t=1$, soit $t=0$

$t=0$ a déjà été étudié.

$t=1$, $\alpha = 2$ valeur convenable.

pour $X=2$ (A) s'écrit $t \le \frac{4}{3}$, soit $t=0, 1$, cas déjà étudiés.

## THEOREME I₂ -

La classe des blocs incomplets partiellement équilibrés, où $r=4$, $k=2$, $\lambda_1=2$, $\lambda_2=0$, contient :

1) le plan d'expérience $n_1 = 2$, $n_2 = 1$, $v = 4$, $b = 8$, $t=1$;

2) le plan d'expérience $n_1 = 2$, $n_2 = 2$, $v = 5$, $b = 10$, $t=1$;

3) la classe $n_1 = 2$, $n_2 = 3\mu$, $v = 3(\mu+1)$, $b = 6(\mu+1)$, $t=0$.

$$ \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 0 $$

$n_1 = 4$, posons comme précédemment $n_2 = X$

$$ p_{12}^2 = 4 - \frac{4t}{X} \ge 0 \quad \text{donc soit} \quad \begin{cases} t=0 \\ X=t, 2t, 4t \end{cases} $$

(A) s'écrit $t(1+\frac{3}{X}) \le 6$

$t=0$ donne :

$$ \alpha = \frac{X}{5}, \text{ donc } X = 5\mu, \mu \text{ entier} $$
$$X = t, t \le 3 \left\{ \begin{array}{l} t = 0, \text{impossible car X serait nul,} \\ t = 1, \alpha = 3 \text{ valeur convenable.} \\ t = 2, \alpha = \frac{14}{3} \\ t = 3, \alpha = 6 \text{ valeur convenable.} \end{array} \right.$$

$$X = 2t, t \le \frac{9}{2} \left\{ \begin{array}{l} t = 0, \text{a déjà été étudié.} \\ t = 1, \Delta = 8 \text{ est irrationnel.} \\ t = 2, \alpha = 4 \text{ valeur convenable.} \\ t = 3, = 12, \alpha \text{ est irrationnel.} \\ t = 4, = 17, \text{ " " "} \end{array} \right.$$

$$X = 4t, t \le \frac{21}{4} \left\{ \begin{array}{l} t = 0, \text{a déjà été étudié,} \\ t = 1, = 13, \alpha \text{ est irrationnel} \\ t = 2, = 12, \text{ " " "} \\ t = 3, = 13, \text{ " " "} \\ t = 4, = 14, \text{ valeur convenable.} \\ t = 5, = 21, \alpha \text{ est irrationnel.} \end{array} \right.$$

## THEOREME I₃ -

La classe des blocs incomplets partiellement équilibrés ou $r = 4, k = 2, \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 0$, contient :

1/ Les quatre plans d'expérience

$$ \left\{ \begin{array}{l} n_1 = 4, n_2 = 1, v = 6, b = 12, p_{12}^1 = 1 \\ n_1 = 4, n_2 = 3, v = 8, b = 16, p_{12}^1 = 3 \\ n_1 = 4, n_2 = 4, v = 9, b = 18, p_{12}^1 = 2 \\ n_1 = 4, n_2 = 16, v = 21, b = 42, p_{12}^1 = 4 \end{array} \right. $$

2/ La classe de plans d'expérience :

$\mu \text{ entier } n_1 = 4, n_2 = 5, v = 5(\mu + 1), b = 10(\mu + 1), p_{12}^1 = 0$
## II - PLANS D'EXPERIENCE ou r = 4, et k = 3.

$$1/ \lambda_1 = 3, \lambda_2 = 2$$

$$3n_1 + 2n_2 = 8$$

Les seuls entiers positifs vérifiant cette égalité sont $n_1 = 2$, $n_2 = 1$, d'où $v = 4$ et $4v = 3b$, $b = \frac{16}{3}$ c'est impossible.

$$2/ \lambda_1 = 3, \lambda_2 = 1$$

$$3n_1 + n_2 = 8$$

deux solutions :

$$n_1 = n_2 = 2, v = 5, b = \frac{20}{3} \text{ impossible}$$

$$n_1 = 1, n_2 = 5, v = 7, b = \frac{28}{3} \text{ impossible}$$

$$3/ \lambda_1 = 3, \lambda_2 = 0$$

$$3n_1 = 8,$$

cette équation n'a aucune solution entière.

### THEOREME II₁ -

Il n'existe aucun bloc incomplet partiellement équilibré ou $k = 3$, $r = 4$, $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 2$, $1, 0$.

$$4/ \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 1$$

$$2n_1 + n_2 = 8, b = \frac{4v}{3}$$

Il y a trois solutions :

$$\begin{cases} n_1 = 1, n_2 = 6, v = 8, & \text{b n'est pas entier} \\ n_1 = 2, n_2 = 4, v = 7, & \text{b " " } \\ n_1 = 3, n_2 = 2, v = 6, & \text{b = 8, } \end{cases} \quad \text{(A) s'écrit } t \le 2$$

$$\begin{cases} t = 0, & \alpha = \frac{1}{2} \text{ impossible} \\ t = 1, & p_{12}^2 \text{ est fractionnaire} \\ t = 2, & \alpha = 2 \text{ valeur convenable.} \end{cases}$$
### THEOREME II₂ -

La classe des blocs incomplets partiellement équilibrés où $r = 4$, $k = 3$, $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = 1$ ne contient que le plan d'expérience

$$n_1 = 3, n_2 = 2, v = 6, b = 8, p_{12}^1 = 2$$

$$5/ \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 0$$

$$2n_1 = 8, \text{ posons } n_2 = X$$

$b = \frac{4}{3}(5+X)$, une condition nécessaire d'existence est donc que $v = 5 + X = 3\mu$, $\mu$ entier positif.

(A) s'écrit $2 \ge 2t - \left(4 - \frac{4}{3\mu - 5}t\right)$ avec :

soit $t = 0$

soit $3\mu - 5 = t$, $2t$, $4t$.

a) $t = 0$, $\alpha = -\frac{3\mu}{5} - 1$, valeur convenable si $\mu = 5\varphi(\varphi > 0)$;

b) $3\mu - 5 = t$, (A) s'écrit $\mu \le 2$.

Or $t \ge 0$ implique $\mu \ge \frac{5}{3}$

la seule valeur convenable est $\mu = 2$, $t = 1$, $\alpha = 3$

c) $3\mu - 5 = 2t$, (A) s'écrit $t \le 2$

$t = 1$, irrationnel

$t = 2$, $\alpha = 4$, $\mu = 3$ valeur convenable

d) $3\mu - 5 = 4t$, (A) s'écrit $t \le \frac{5}{2}$, donc $t = 1, 2$

$t = 1, 2$ $\alpha$ est irrationnel.
## THEOREME II₃ -

La classe des blocs incomplets partiellement équilibrés où $r = 4$, $k = 3$, $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = 0$ contient :

1/ la classe $n_1 = 4$, $n_2 = 5$ (3φ - 1), $v = 15$, $φ = 20$, $t = 0$ et $φ$ entier positif.

2/ le plan d'expérience $n_1 = 4$, $n_2 = 1$, $v = 6$, $b = 8$, $t = 1$ note $SR_2$ dans la classification de Bose.

3/ le plan d'expérience $n_1 = n_2 = 4$, $v = 9$, $b = 12$, $t = 2$ note $LS_6$ dans la classification de Bose.

Le plan d'expérience $SR_2$ a pour schéma d'association

1 2 3

4 5 6

et pour plan :

(1, 2, 3) (1, 2, 6)

(4, 5, 6) (4, 5, 3)

(1, 5, 6)

(4, 2, 3)

Le plan d'expérience $LS_6$ a pour schéma d'association :

1 2 3

4 5 6

7 8 9

et pour plan :

(1, 2, 3) (1, 4, 7)

(4, 5, 6) (2, 5, 8)

(7, 8, 9) (3, 6, 9)

répétés deux fois.

$$ \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 0 $$

$n_1 = 8$ posons $n_2 = X$

$$ v = 9 + X, \quad b = 4. \quad \frac{9+X}{3}, \quad b \text{ entier exige } 9 + X = 3\mu $$
μ entier positif, et $p_{12}^2 = 8 - \frac{8}{3(\mu - 3)}$ t implique

$$ \begin{cases} \text{soit } t=0 \\ \text{soit } 3(\mu-3)=t, 2t, 4t, 8t \end{cases} $$

a) $t = 0 \ (A) \ s'écrit $12 \geq -3 \times 8$ toujours vérifié $\alpha = \frac{\mu}{3} - 1$

qui exige $\mu = 3\varphi$, $\varphi$ entier $> 1$

$$ \text{d'où } n_1 = 8, n_2 = 9(\varphi - 1), v = 9\varphi, b = 12\varphi, t = 0 $$

b) $3(\mu - 3) = t \ (A) \ s'écrit $\mu < 4$, or $t \geq 0$ exige $\mu \geq 3$

$$ \mu = 3, X = 0 \ \text{impossible} $$

$$ \mu = 4, t = 3, \alpha = 9 \ \text{valeur convenable.} $$

c) $3(\mu - 3) = 2t \ (A) \ s'écrit $t \leq 6$, t devant être divisible par 3 : $t = 3, \mu = 5, t = 6, \alpha$ fractionnaire.

d) $3(\mu - 3) = 4t \ (A) \ s'écrit $t \leq \frac{15}{2}$, t multiple de 3

$$ t = 3, \mu = 7, \Delta = 28, \alpha \text{ est irrationnel} $$

$$ t = 6, \mu = 11, \Delta = 25, \alpha \text{ est fractionnaire} $$

e) $3(\mu - 3) = 8t \ (A) \ s'écrit $t \leq \frac{33}{4}$, t multiple de 3

$$ t = 3, \mu = 11, \Delta = 37, \alpha \text{ est irrationnel} $$

$$ t = 6, \mu = 19, \Delta = 28, \quad \text{" "} $$

## THEOREME II₄ -

La classe des blocs incomplets partiellement équilibrés où $r = 4, k = 3, \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 0$ comprend :

1) le plan d'expérience note SR$_{21}$ dans la classification de Bose:

$$ n_1 = 8, n_2 = 3, v = 12, b = 16, t = 3 $$

2) le plan note $T_{23}: n_1 = 8, n_2 = 6, v = 15, b = 20, t = 3$

3) la classe de plans d'expérience :

$$ \begin{cases} n_1 = 8, n_2 = 9(\varphi - 1), v = 9\varphi, b = 12\varphi, t = 0 \\ \text{ou } \alpha \text{ est entier } > 1. \end{cases} $$
SR₂₁ a pour schéma d'association :

1 4 7 10
2 5 8 11
3 6 9 12

et pour plan :

( 1, 2, 3) (1, 12, 11) (1, 5, 6)
(12, 8, 7) (5, 7, 3) (8, 3, 4)
( 9, 10, 5) (6, 10, 8) (9, 11, 7)
(11, 4, 6) (4, 2, 9) (2, 12, 10)
( 1, 8, 9)
( 7, 6, 2)
(10, 11, 3)
( 4, 12, 5)

T₂₃ a pour schéma d'association :

x 1 2 3 4 5
1 x 6 7 8 9
2 6 x 10 11 12
3 7 10 x 13 14
4 8 11 13 x 15
5 9 12 14 15 x

et pour plan :

1 2 6 6 7 10
1 3 7 6 8 11
1 4 8 6 9 12
1 5 9 3 4 13
10 11 13 3 5 14
10 12 14 7 8 13
11 12 15 7 9 14
13 14 15 4 5 15
2 3 10 8 9 15
2 4 11
2 5 12
### III - BLOCS INCOMPLETS PARTIELLEMENT EQUILIBRES ou k=4.

$$1/ \lambda_1 = 4$$

(A) s'écrit $t \le 0$ la seule solution possible est donc $t = 0$

a) $\lambda_2 = 3$ l'équation $4n_1 + 3n_2 = 12$ n'a aucune solution entière positive.

b) $\lambda_2 = 2$ $2n_1 + n_2 = 6$ a pour solutions

soit $n_1 = 2$, $n_2 = 2$, avec $\alpha = \frac{2}{3}$ qui ne convient pas,

soit $n_1 = 1$, $n_2 = 4$, $p_{12}^2 = 1$, $\alpha = 2$ valeur convengible

c) $\lambda_2 = 1$ $4n_1 + n_2 = 12$

soit $n_1 = 1$, $n_2 = 8$, $\Delta = 4$, $\alpha = 4$

soit $n_1 = 2$, $n_2 = 4$, $\Delta = 9$, $\alpha$ fractionnaire

d) $\lambda_2 = 0$ $n_1 = 3$ posons $n_2 = X$

$p_{12}^2 = 3$, $\Delta = 16$, $\alpha = \frac{X}{4}$, d'ou $X = 4\mu$, $\mu$ entier $> 0$.

### THEOREME III₁ -

Il n'existe aucun bloc incomplet partiellement équilibrés ou $r = 4$, $k = 4$, $\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 = 3$.

Il n'existe qu'un seul plan d'expérience où $r = 4$, $k = 4$. $\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 = 2$, il est noté $S_2$

$$n_1 = 1, n_2 = 4, v = 6, b = 6, t = 0$$

Il n'existe qu'un seul plan d'expérience où $r = 4$, $k = 4$, $\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 = 1$, il est noté $S_{17}$

$$n_1 = 1, n_2 = 8, v = 10, b = 10, t = 0$$

Il existe une classe de plans d'expérience ou $r = 4$, $k = 4$, $\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 = 0$,

$$n_1 = 1, n_2 = 4\mu, v = 2(2\mu + 1) = b, t = 0 \text{ ou } \mu \text{ est entier positif}$$

$S_2$ a pour schéma d'association :

1 2 3

4 5 6
et pour plan :

$$ \begin{array}{c|cccc} 1 & 4 & 2 & 5 & 4 & 1 & 5 & 2 \\ \hline 2 & 5 & 3 & 6 & 5 & 2 & 6 & 3 \\ 3 & 6 & 1 & 4 & 6 & 3 & 4 & 1 \end{array} $$

$S_{17}$ a pour schéma d'association :

$$ \begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 & 10 & & & \end{array} $$

et pour plan :

$$ \begin{array}{c|cccc} 5 & 10 & 1 & 6 & 10 & 5 & 7 & 2 \\ \hline 1 & 6 & 2 & 7 & 6 & 1 & 8 & 3 \\ 2 & 7 & 3 & 8 & 7 & 2 & 9 & 4 \\ 3 & 8 & 4 & 9 & 8 & 3 & 10 & 5 \\ 4 & 9 & 5 & 10 & 9 & 4 & 6 & 1 \end{array} $$

$2/ \lambda_1 = 3, \lambda_2 = 2$

$3n_1 + 2n_2 = 12$ a pour seule solution

$n_1 = 2, n_2 = 3$

$$ \textcircled{1} \text{ s'écrit } 2 \ge 2t - p_{12}^2 = \left(2 + \frac{2}{3}\right) t - 2 $$

$p_{12}^1$ entier positif exige $t = 3 \varphi$ avec $\varphi = 0$ ou $\varphi = 1$

$$ \textcircled{1} \text{ s'écrit alors } \varphi < \frac{1}{2}, \text{ donc seul } \varphi = 0 \text{ convient } \Delta = 9, \alpha = 1. $$

## THEOREME III.2 -

Il existe un seul bloc incomplet partiellement équilibré où $r = 4$, $k = 4$, $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 2$,

il est noté $R_2$ dans la classification de Bose : $n_1 = 2, n_2 = 3, b = b = 6, p_{12}^0 = 0$.

C'est un "Group Divisible", son schéma d'association est :

$$ \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{array} $$
son plan :

1 2 4 6

3 4 6 2

5 6 2 4

2 1 3 5

4 3 5 1

6 5 1 3

$3/ \lambda_1 = 3, \lambda_2 = 1$

$3n_1 + n_2 = 12$ cette équation admet 3 cou-

ples de solutions :

a) $n_1 = 1, n_2 = 9, p_{12}^2 = 1 - \frac{t}{9}$ les seules valeurs convenables de t sont donc 0 et 9

(A) s'écrit $t < \frac{45}{56}$ ce qui exclut la valeur $t=9, t=0, \alpha = \frac{9}{2}$ et n'est pas entier.

b) $n_1 = 2, n_2 = 6, p_{12}^2 = 2 - \frac{t}{3}$ d'où $t = 0, 3, 6$

(A) s'écrit $t < \frac{21}{20}$, ce qui exclut les valeurs 3 et 6 $t = 0, \Delta = 9, \alpha = 2$

c) $n_1 = 3, n_2 = 3, p_{12}^2 = 3 - t$ d'où $t = 0, 1, 2, 3$

(A) s'écrit $t < \frac{9}{8}$ ce qui exclut les valeurs 2 et 3

$t = 0, \Delta = 16, \alpha = \frac{3}{4}$ n'est pas entier

$t = 1, \Delta = 8, \alpha$ est irrationnel

## THEOREME III₃ -

Il existe un seul bloc incomplet partiellement équilibré où $r = 4, k = 4, \lambda_1 = 3, \lambda_2 = 1$

il est noté $R_8$ dans la classification de Bose : $n_1 = 2, n_2 = 6, v=b=9, p_{12}^1 = 0$

C'est un "Group Divisible", son schéma d'association est :
1 4 7

2 5 8

3 6 9

Son plan :

1 4 7 2

2 5 8 3

3 6 9 4

4 7 1 5

5 8 2 6

6 9 3 7

7 1 4 8

8 2 5 9

8 3 6 1

$$ \lambda_1 = 3, \lambda_2 = 0 $$

$n_1 = 4$, posons $n_2 = X$

$p_{12}^2 = 4 - \frac{4t}{X}$ ce qui exige $t = 0$ ou $X = t, 2t, 4t$

a) $t = 0$ (A) s'écrit $1 > 4t - 4 + \frac{4t}{X}$ donc est vérifiée $\Delta = 25$, $\alpha = \frac{X}{5}$ d'où $X = 5\mu$ avec $\mu$ entier > 0.

b) $X = t$ (A) donne $t < 1$ d'où $t = X = 0$ ce qui est impossible.

c) $X = 2t$ (A) s'écrit $t < \frac{7}{6}$ d'où $t = 1, 0$

$t = 1, \Delta = 8, \alpha$ est irrationnel

$t = 0$ a été étudié.

d) $X = 4t$ (A) s'écrit $t < \frac{5}{4}$ d'où $t = 1, 0$

$t = 1, \Delta = 13, \alpha$ est irrationnel

$t = 0$ a été étudié.

## THEOREME III₄ -

Les blocs incomplets partiellement équilibrés où $r = 4, k = 4, \lambda_1 = 3, \lambda_2 = 0$ sont formés par la classe des plans d'expérience :

$n_1 = 4, n_2 = 5\mu, v = b = 5(\mu + 1), p_{12}^1 = 0$ $\mu$ entier > 0
$$ \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 1 $$

l'équation $2n_1 + n_2 = 12$ admet 5 couples de solutions.

a) $n_1 = 1, n_2 = 10, p_{12}^2 = 1 - \frac{t}{10}$ d'où $t = 0, 10$

A) s'écrit $t < \frac{5}{2}$ ce qui exclut la valeur 10 $t = 0, \Delta = 4, \alpha = 5$.

b) $n_1 = 2, n_2 = 8, p_{12}^2 = 2 - \frac{t}{4}$ d'où $t = 0, 4, 8$

A) s'écrit $t < \frac{20}{7}$ ce qui exclut les valeurs 4 et 8

$t = 0, \Delta = 9, \alpha = \frac{8}{3}$ donc ne convient pas

c) $n_1 = 3, n_2 = 6, p_{12}^2 = 3 - \frac{t}{2}, t = 0, 2, 4, 6$

A) s'écrit $t < 3$
$t = 0, \Delta = 16, \alpha = \frac{3}{2}$ ne convient pas

$t = 2, \Delta = 9, \alpha = 5$

d) $n_1 = 4, n_2 = 4, p_{12}^2 = 4 - t, t = 0, 1, 2, 3, 4$

A) s'écrit $t < \frac{14}{5}$ ce qui exclut $t = 3, 4$

$t = 0, \Delta = 25, \alpha = \frac{4}{5}$ ne convient pas

$t = 1, \Delta = 13, \alpha$ est irrationnel

$t = 2, \Delta = 9, \alpha = 4$

c) $n_1 = 5, n_2 = 2, p_{12}^2 = 5 - \frac{5t}{2}, t = 0, 2$

A) s'écrit $t \le 2$ d'où $t = 0, 2$

$t = 0, \Delta = 36, \alpha = \frac{1}{3}$

$t = 2, \Delta = 9, \alpha = \frac{13}{2}$
## THEOREME III₃ -

Les seuls blocs incomplets partiellement équilibrés ou r=k=4, $λ₁= 2$, $λ₂= 1$ sont les plans d'expérience de la classification de Bose :

$R_{15}$ $n₁ = 1$, $n₂ = 10$, $v = b = 12$, $p_{12}^1 = 0$

$T_{12}$ $n₁ = 3$, $n₂ = 6$, $v = b = 10$, $p_{12}^1 = 2$

$LS₁$ $n₁ = 4$, $n₂ = 4$, $v = v = 9$, $p_{12}^1 = 2$

R₁₅ a pour schéma d'association :

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

et pour plan : 1+i, 2+i, 5+i, 7+i (mod. 12) i = 1, 2, ..., 11

$T_{12}$ son schéma d'association est :

x 1 2 3 4

1 x 5 6 7

2 5 x 8 9

3 6 8 x 10

4 7 9 10 x

son plan :

2 10 6 7

10 1 2 5

7 3 8 2

6 2 9 4

1 9 10 8

5 4 3 10

8 7 4 1

3 5 7 9

9 6 1 3

4 8 5 6
LS₁ son schéma d'association est :

1 2 3

4 5 6

7 8 9

son plan :

1 6 9 2

6 8 2 4

8 1 4 9

9 2 5 7

2 4 7 3

4 9 3 5

5 7 1 6

7 3 6 8

3 5 8 1

$6/ \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 0$

$n_1 = 6 \text{ posons } n_2 = X, p_{12}^2 = 6(1 - \frac{t}{X})$

$\text{d'où } t = 0 \text{ ou } X = t, 2t, 3t, 6t$

a) $t = 0 \text{ (A)}$ est satisfaite $\Delta = (7)^2 \alpha = \frac{X}{7}$ donc $X = 7\mu$ μ en-tier > 0

b) $X = t \text{ (A)}$ s'écrit $X \le 1$ donc $X = 1, \Delta = 4, \alpha = 4$

c) $X = 2t \text{ (A)}$ s'écrit $t < \frac{5}{2}$ : $t = 1, 2,$

$$ \begin{cases} t=1, \Delta = 13 & \alpha \text{ est irrationnel} \\ t=2, \Delta = 12 & \alpha \text{ " "} \end{cases} $$

d) $X = 3t \text{ (A)}$ s'écrit $t \le 3$ : $t = 1, 2, 3,$

$$ \begin{cases} t=1, \Delta = 20 & \alpha \text{ est irrationnel} \\ t=2, \Delta = 17 & \alpha \text{ " "} \\ t=3, \Delta = 16, & \alpha = 6 \end{cases} $$

e) $X = 6t \text{ (A)}$ s'écrit $t < \frac{7}{2}$ : $t = 1, 2, 3;$
$$ \begin{cases} t = 1, & \Delta = 29 \quad \alpha \text{ est irrationnel} \\ t = 2, & \Delta = 24 \quad \alpha \text{ " "} \\ t = 3, & \Delta = 21 \quad \alpha \text{ " "} \end{cases} $$

## THEOREME III₆ -

Les seuls Blocs incomplets partiellement équilibrés où $r=4$, $k=4$, $\lambda_1=2$, $\lambda_2=0$, sont :

1) La classe $n_1 = 6$, $n_2 = 7 \mu$, $v = b = 7(\mu+1)$, $p_{12}^1 = 0$

2) Le plan d'expérience $\text{SR}_7$, $n_1 = 6$, $n_2 = 1$, $v = b = 8$, $p_{12}^1 = 1$

3) " " " $T_2$, $n_1 = 6$, $n_2 = 3$, $v = b = 10$, $p_{12}^1 = 2$

4) " " " $n_1 = 6$, $n_2 = 9$, $v = b = 16$, $p_{12}^1 = 3$

$\text{SR}_7$ a pour schéma d'association :

1 2 3 4

5 6 7

et pour plan :

1 2 3 4

5 6 7 8

2 7 8 1

6 3 4 5

3 8 1 6

7 4 5 2

4 1 6 7

8 5 2 3

$T_2$ a pour schéma d'association :

x 1 2 4 7

1 x 3 5 8

2 3 x 6 9

4 5 6 x 10

7 8 9 10 x
et pour plan :

1 2 3 4 2 1 4 3
5 6 7 1 6 5 1 7
8 9 2 5 9 8 5 2
10 3 6 8 3 10 8 6
4 7 9 10 7 4 10 9

$7 / \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 0$

$n_1 = 12$, posons $n_2 = X$

$$P_{12}^2 = 13 \left(1 - \frac{t}{X}\right) \quad \text{d'où} \quad \begin{cases} t = 0 \\ X = t, 2t, 3t, 4t, 6t, 12t \end{cases}$$

a) $t = 0$ (A) est vérifiée $\alpha = \frac{X}{13}$, donc $X = 13 \mu$, $\mu$ entier > 0

b) $X = t$ (A) s'écrit $X \le 3 : 3$ :

$$\begin{cases} X = t = 1, & \Delta = 4, & \alpha = 7 \\ X = t = 2, & \Delta = 9, & \alpha = 10 \\ X = t = 3, & \Delta = 16, & \alpha = 12 \end{cases}$$

c) $X = 2t$ (A) s'écrit $t \le \frac{15}{2}$ d'où $t = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$

$t = 1, \Delta = 40$, $\alpha$ est irrationnel ; il en est de même pour

$t = 2, 3, 5, 7$

$t = 4, \alpha = \frac{56}{10}$ n'est pas entier.

$t = 6, \Delta = 25, \alpha = 12$

d) $X = 3t$ (A) s'écrit $t \le 9$, d'où $t = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$

$t = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ est irrationnel

$t = 5, \Delta = 6, \alpha = 7$

$t = 9, \Delta = 36, \alpha = 24$

e) $X = 4t$ (A) s'écrit $t \le \frac{39}{4}$, d'où $t = 1, \dots, 9$

$t = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9$ est irrationnel

$t = 8, \Delta = 36, \alpha = 20$
f) $X = 6t \ (A) \ s'écrit \ t \le \frac{21}{2}, \ d'où \ t = 1, \dots, 10$

$t = 1, 2, 3, 4, 5, \bar{7}, 8, 9, 10$, est irrationnel

$t = 6, \Delta = 49, \alpha = 12$

g) $X = 12t \ (A) \ s'écrit \ t \le \frac{45}{4}, \ d'où \ t = 1, \dots, 11$

est toujours irrationnel.

## THEOREME III, -

Les seuls blocs incomplets partiellement équilibrés, où $r = k = 4$, $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 0$ sont :

1) la classe des plans d'expérience

$$n_1 = 12, n_2 = 13 \mu, v = b = 13 (\mu + 1), p_{12}^1 = 0 \quad \mu \text{ entier } > 0$$

2) les 4 plans d'expérience de la classification de Bose :

<table><tr><td>R<sub>24</sub></td><td>n<sub>1</sub> = 12, n<sub>2</sub> = 1, v = b = 14, p<sub>12</sub><sup>1</sup> = 1</td></tr><tr><td>R<sub>27</sub></td><td>12, 2, 15, 2</td></tr><tr><td>SR<sub>40</sub></td><td>12, 3, 16, 3</td></tr><tr><td>Sl<sub>12</sub></td><td>12, 27, 40, 9</td></tr></table>

3) les 4 nouveaux plans d'expérience :

<table><tr><td>n<sub>1</sub> = 12, n<sub>2</sub> = 12, v = b = 25, p<sub>12</sub><sup>1</sup> = 6</td></tr><tr><td>12, 15, 28, 5</td></tr><tr><td>12, 32, 45, 8</td></tr><tr><td>12, 36, 49, 6</td></tr></table>

$R_{24}$ a pour schéma d'association (groupe divisible) :

<table><tr><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td></tr><tr><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td><td>13</td><td>14</td></tr></table>

et pour plan :
<table><tr><td>2</td><td>3</td><td>5</td><td>8</td><td>10</td><td>11</td><td>13</td><td>2</td></tr><tr><td>3</td><td>4</td><td>6</td><td>9</td><td>11</td><td>12</td><td>13</td><td>3</td></tr><tr><td>4</td><td>5</td><td>7</td><td>10</td><td>14</td><td>8</td><td>10</td><td>6</td></tr><tr><td>5</td><td>6</td><td>1</td><td>11</td><td>13</td><td>14</td><td>9</td><td>5</td></tr><tr><td>6</td><td>7</td><td>2</td><td>12</td><td>8</td><td>9</td><td>11</td><td>7</td></tr><tr><td>7</td><td>1</td><td>3</td><td>13</td><td>12</td><td>13</td><td>8</td><td>4</td></tr><tr><td>1</td><td>2</td><td>4</td><td>14</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>9</td><td>10</td><td>12</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>

$R_{27}$ "Group divisible" a pour schéma d'association :

<table><tr><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr><tr><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td></tr><tr><td>11</td><td>12</td><td>13</td><td>14</td><td>15</td></tr></table>

et pour plan :

2 + i, 4 + i, 5 + i, 13 + i
module 15
avec $i = 0, i, \dots, 14$

$SR_{40}$ "Group divisible" a pour schéma d'association :

<table><tr><td>1</td><td>5</td><td>9</td><td>13</td></tr><tr><td>2</td><td>6</td><td>10</td><td>14</td></tr><tr><td>3</td><td>7</td><td>11</td><td>15</td></tr><tr><td>4</td><td>8</td><td>12</td><td>16</td></tr></table>

et pour plan :

<table><tr><td>2</td><td>3</td><td>1</td><td>4</td><td>1</td><td>15</td><td>14</td><td>16</td></tr><tr><td>15</td><td>10</td><td>8</td><td>9</td><td>6</td><td>9</td><td>12</td><td>3</td></tr><tr><td>16</td><td>11</td><td>13</td><td>6</td><td>4</td><td>13</td><td>7</td><td>10</td></tr><tr><td>14</td><td>12</td><td>5</td><td>7</td><td>8</td><td>5</td><td>2</td><td>11</td></tr><tr><td>7</td><td>8</td><td>6</td><td>1</td><td>10</td><td>1</td><td>11</td><td>12</td></tr><tr><td>3</td><td>16</td><td>10</td><td>5</td><td>9</td><td>7</td><td>16</td><td>2</td></tr><tr><td>11</td><td>4</td><td>9</td><td>14</td><td>13</td><td>14</td><td>3</td><td>8</td></tr><tr><td>12</td><td>2</td><td>15</td><td>13</td><td>5</td><td>6</td><td>4</td><td>15</td></tr></table>
$S_{12}$

<table><tr><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>1</td><td>3</td><td>5</td><td>13</td><td>9</td><td>9</td><td>39</td><td>16</td><td>26</td></tr><tr><td>15</td><td>1</td><td>14</td><td>16</td><td>4</td><td>10</td><td>12</td><td>5</td><td>16</td><td>38</td><td>27</td><td>10</td></tr><tr><td>23</td><td>24</td><td>1</td><td>25</td><td>7</td><td>30</td><td>38</td><td>22</td><td>29</td><td>26</td><td>23</td><td>2</td></tr><tr><td>1</td><td>33</td><td>34</td><td>32</td><td>14</td><td>2</td><td>20</td><td>17</td><td>31</td><td>23</td><td>3</td><td>27</td></tr><tr><td>2</td><td>8</td><td>5</td><td>11</td><td>18</td><td>3</td><td>22</td><td>14</td><td>30</td><td>28</td><td>4</td><td>23</td></tr><tr><td>27</td><td>17</td><td>37</td><td>6</td><td>19</td><td>14</td><td>21</td><td>4</td><td>39</td><td>11</td><td>24</td><td>18</td></tr><tr><td>6</td><td>18</td><td>35</td><td>28</td><td>11</td><td>15</td><td>36</td><td>30</td><td>24</td><td>40</td><td>17</td><td>12</td></tr><tr><td>26</td><td>19</td><td>6</td><td>36</td><td>12</td><td>35</td><td>15</td><td>31</td><td>38</td><td>13</td><td>19</td><td>24</td></tr><tr><td>20</td><td>7</td><td>31</td><td>39</td><td>13</td><td>37</td><td>29</td><td>15</td><td>37</td><td>22</td><td>25</td><td>8</td></tr><tr><td>21</td><td>29</td><td>40</td><td>7</td><td>8</td><td>16</td><td>28</td><td>40</td><td>25</td><td>21</td><td>9</td><td>35</td></tr><tr><td>40</td><td>36</td><td>32</td><td>3</td><td>32</td><td>4</td><td>39</td><td>37</td><td>33</td><td>27</td><td>11</td><td>21</td></tr><tr><td>32</td><td>4</td><td>39</td><td>37</td><td>33</td><td>27</td><td>11</td><td>21</td><td>22</td><td>12</td><td>26</td><td>33</td></tr><tr><td>28</td><td>20</td><td>33</td><td>13</td><td>34</td><td>31</td><td>8</td><td>19</td><td>17</td><td>9</td><td>30</td><td>34</td></tr><tr><td>10</td><td>34</td><td>18</td><td>29</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>

## IV- BLOCS INCOMPLETS PARTIELLEMENT EQUILIBRES ou $k > 4$.

Danc ce cas $k > r$, donc $v > b$, nous pouvons appliquer les résultats du chapitre précédent.

$$ \frac{1}{\lambda_1 = 4, \lambda_2 = \lambda = 3, 2, 1} $$

Nous avons vu que dans ce cas $t = 0$ et

### THEOREME IV -

Les seuls Blocs Incomplets Partiellement Equilibrés où $k > 4$, $\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 \neq 0$, sont obtenus à partir des Blocs incomplets équilibrés ayant pour paramètres: $v^* = m$, $b^*, r^* = 4$, $k^* = p$, $\lambda = 1, 2, 3$, en y remplaçant chaque variété par un groupe de n vanetes.

$$ \frac{2}{\lambda_1 = 4, \lambda_2 = 0} $$

$$ \alpha = \frac{b-4}{4}, \text{ donc } b = 4(1+\alpha), n_1 = k-1, n_2 = \alpha k $$
## THEOREME IV₂ -

Les seuls Blocs Incomplets Partiellement Equilibrés où $k > 4$, $λ₁ = 4$, $λ₂ = 0$ forment la classe de plans d'expérience :

$$n_1 = k - 1, n_2 = \alpha k, v = k(1+\alpha), b = 4(1+\alpha), p_{12}^1 = 0$$

où $\alpha$ est entier positif.

$$3/ \lambda_1 = 3, \lambda_2 = 2$$

Nous reprenons les notations du chapitre précédent.

$$3n_1 + 2n_2 = 4u$$

et :

$$\lambda_1 - \lambda_2 = 1$$

$$\text{d'où } a_1 = 1 \text{ et } a_2 = -1$$

$$n_1 = 4u - 2\rho$$

$$n_2 = -4u + 3\rho$$

$$n_1 \ge 1 \text{ donne } \rho \le 2u - 1$$

$$n_2 \ge 1 \text{ donne } \rho \le \frac{4u+1}{3}$$

$$b = \frac{4(1+\rho)}{1+u},$$

$$\rho = -1 + \frac{b(u+1)}{4}$$

$$\text{la limitation sur } \rho \text{ fournit: } \frac{16}{3} \le b \le \frac{8u}{u+1} \\ 6 \le b \le 7$$

$$\text{a) } b=6 \qquad \alpha = \frac{8(u+1)}{4+7} \qquad \text{avec } \alpha < 6 \text{ b-1+5 donc } u \le 9$$

$$\alpha = 8 - \frac{48}{u+7} \quad \begin{cases} \text{doit être entier } 0, & \text{et } u > 3 \\ \text{u+7 doit diviser } 3.2 \end{cases}$$

$$u + 7 = 3.2^2 \qquad u = 5 \qquad \rho = 8 \qquad n_1 = 4 \quad n_2 = 4 \quad t = 2$$

$$u + 7 = 2^4 \qquad u = 9 \qquad \rho = 14 \qquad n_1 = 8 \quad n_2 = 6 \quad t = 3$$

$$\text{b) } b=7 \qquad \alpha = \frac{3^2 \cdot 2^3 (u+7)}{5u+33} \qquad \text{avec } \alpha \le 6 \text{ et } \rho = \frac{7u+3}{4}$$

$$\alpha = 14 + \frac{2}{5} - \frac{3^2 \cdot 2^5 \cdot 7}{5(5u + 33)} = 14 + \varphi, \quad \varphi \text{ entier}$$

$$\text{de plus } \frac{t}{n_2} = \frac{1}{6}, \text{ avec } n_2 = \frac{5u+9}{4}$$
Il faut donc que $5u + 9 = 24 \cdot X \qquad \alpha \le 6 \text{ entraîne } 5u + 33 \le 3 \cdot 2^4$

$$ 
\begin{aligned}
5u + 33 &= 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7 \\
&= 3^2 \cdot 7 \\
&= 3^2 \cdot 2^5
\end{aligned}
$$

toutes ces valeurs rendent $\emptyset$ entier, mais $\alpha > 6$ donc ne conviennent pas.

### THEOREME IV₃ -

Les seuls Blocs Incomplets Partiellement Equilibrés de la classe r = 4, k > 4, $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 2$ sont :

$$ b = 6 \quad k = 10 \quad v = 15 \quad n_1 = 8 \quad n_2 = 6 \quad t = 3 \quad T_{25} $$

$$ b = 6 \quad k = 6 \quad v = 9 \quad n_1 = 4 \quad n_2 = 4 \quad t = 2 \quad LS_8 $$

$$ 4/ \lambda_1 = 3, \lambda_2 = 1 $$

(A) s'écrit $3 = 6t - 2p_{12}^2$

Cette équation n'a aucune solution entière et $> 0$.

### THEOREME IV₄ -

Il n'existe aucun Bloc Incomplet Partiellement équilibré où $k > 4$, $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 1$

$$ 5/ \lambda_1 = 3, \lambda_2 = 0 $$

(A) s'écrit $4 = 12 p_{12}^1 - 3 p_{12}^2$

Cette équation n'a aucune solution entière et positive.

### THEOREME IV₅ -

Il n'existe aucun Bloc Incomplet Partiellement équilibré où $k > 4$, $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 0$.

$$ 6/ \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 1 $$

$$ 2n_1 + n_2 = 4u $$

$$ a_1 = 1, a_2 = -1 \quad \text{d'où} \quad \begin{cases} n_1 = 4u - \rho \\ n_2 = -4u + 2\rho \end{cases} $$

$$ n_1 \ge 1, n_2 \ge 1 \text{ donnent } 1 - 2u \le \rho \le 4u - 1 $$
$$ \text{avec } \rho = - \frac{b(u+1)}{4} $$

$$ \text{finalement } 8 \le b \le 15 $$

$$ \text{a) } b = 8 \quad \alpha = \frac{4}{3}(u+1), n_2 = 2, t = 1 $$

$$ \alpha < b - 1 = 7 $$

Il faut et suffit pour assurer l'existence du plan d'expérience que $k = u + 1 = 3\mu$

$$ \text{avec } 4\mu < 7, \text{ c'est-à-dire } \mu \le 1 $$

$$ \text{or } \mu = 1 \text{ donne } k = 3 < 4. $$

Il n'y a donc aucun plan d'expérience de cette catégorie avec $b=8$.

$$ \text{b) } b = 9 \quad \alpha = \frac{2^3 \cdot 5^2(u+1)}{7u+115} = 8 + \frac{4}{7} - \frac{2^5 \cdot 5^2 \cdot 3^3}{7(7u+115)} = 8 - \varphi $$

$$ \alpha \le 7 \text{ exige } \varphi \text{ entier } \ge 0 $$

$$ \alpha > 0 \quad - \quad - \quad - \quad \le 8 $$

de plus $\frac{t}{n_2} = \frac{7}{10}$, $2n_2 = u + 5$ doit être multiple de 20.

La seule valeur remplissant ces conditions est :

$$ \begin{cases} 7u + 115 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2, u + 5 = 760 \\ b = 9, k = 756, t = 266, n_1 = 1320 \end{cases} $$

$$ \begin{array}{l} \text{c) } b = 10 \quad \alpha = \frac{24(u+1)}{u+11} \le 9, \text{ exige } u \le 5 \\ \qquad = -1 \quad \frac{5(u+1)}{2} \quad u+1 \text{ doit être pair} \\ \qquad t = \frac{n_2}{2} = \frac{u+3}{2} \end{array} $$

La seule valeur de $u$ convenable est, en fin de calcul $u = 5$.

$$ \text{d) } b = 11 \quad \alpha = \frac{7^2 \cdot 8(u+1)}{15u+3.49} = 26 + \frac{2}{15} - \frac{7^2 \cdot 2^5 \cdot 11}{15(5u+49)} \le 10 $$
Cette condition s'écrit finalement $u \le 3$ il n'y a donc aucune solution.

$$ \text{e) } b = 12 \qquad \alpha = \frac{2^5(u+1)}{u+10} = 2^5 - \frac{3^2 \cdot 2^5}{u+10} \le 11 \text{ d'où } u \le 3 $$

Il n'y a aucune solution.

$$ \text{f) } b = 13 \qquad \alpha = \frac{3^3 \cdot 2^3(u+1)}{5u+57} = 43 + \frac{1}{5} - \frac{3^2 \cdot 2^5 \cdot 13}{5(5u+57)} \le 12 $$

Cette dernière condition s'écrit $u \le 3$ il n'y a donc aucune solution.

$$ \text{g) } b = 14 \qquad \alpha = \frac{200(u+1)}{3u+45} = 66 + \frac{2}{3} \frac{200 \cdot 14}{3(u+15)} \le 13 $$

Condition qui s'écrit $u \le 7$ ; or toutes les valeurs de $u$ qui rendent $\alpha$ entier sont supérieures à 7.

$$ \begin{align*} \text{h) } b = 15 \qquad \alpha &= \frac{2^3 \cdot 11^2(u+1)}{7u + 17 \cdot 11} = 138 + \frac{2}{7} - \frac{180}{7(7u+187)} \\ &= 138 + \frac{14u + 194}{7(7u+187)} \end{align*} $$

or 194 n'est pas divisible par 7.

Il n'y a aucune solution.

### THEOREME IV₆ -

Les seuls blocs incomplets partiellement équilibrés de la classe $r = 4, k > 4, \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 1$ sont :

1) le plan $T_{22}: b = 10, k = 6, v = 15, t = 4, n = 6, n_2 = 8$

2) le plan de paramètres : $b = 9, k = 756, v = 1701, t = 266, n_1 = 1320$.

## V - CONCLUSION - CAS D'IMPOSSIBILITE - SCHEMA DES NOUVEAUX PLANS D'EXPERIENCE TROUVES PRECEDEMMENT -

Chaque fois que les plans d'expérience obtenus, étaient déjà conçus, nous avons donné la référence de la classification de Bose, ainsi que le schéma d'association et le tableau du plan.
Nous avons démontré, que dans 6 cas il n'existait aucun bloc in-complet partiellement équilibré de la catégorie envisagée ceci pour les valeurs des paramètres :

$$ \begin{array}{l|llll} r = 4, & k = 3, & \lambda_1 = 3, & \lambda_2 = 2 \\ r = 4, & k = 3, & \lambda_1 = 3, & \lambda_2 = 1 \\ r = 4, & k = 3, & \lambda_1 = 3, & \lambda_2 = 0 \\ r = 4, & k = 4, & \lambda_1 = 4, & \lambda_2 = 3 \\ r = 4, & k > 4, & \lambda_1 = 3, & \lambda_2 = 1 \\ r = 4, & k > 4, & \lambda_1 = 3, & \lambda_2 = 0 \end{array} $$

En recherchant systématiquement tous les blocs incomplets partiellement équilibrés où $r=4$, nous avons démontré l'existence de nouveaux plans d'expérience ne figurant pas dans la classification de Bose.

Nous allons donner ici la liste de ces plans, leurs schémas d'association, et leurs tableaux.

$$ \frac{1/ k = 2, \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 1, v = 4, b = 8, n_1 = 1, n_2 = 2, p_{21}^1 = 0.}{\text{C'est un "group divisible", son schéma d'association est :}} $$

1 2

3 4

son tableau :

1 1 1 2 2 3 3 4

2 3 4 4 3 2 4 1

$$ \frac{2/ k = 2, \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 0, v = 4, b = 8, n_1 = 2, n_2 = 1, p_{12}^1 = 1.}{\text{C'est un "group divisible", ayant même schéma d'association que le premier.}} $$

Son tableau est :

1 1 1 2 3 3 4 4

2 3 2 4 1 4 3 2

$$ \frac{3/ k = 2, \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 0, v = 5, b = 10, n_1 = n_2 = 2, p_{12}^1 = 1.}{\text{C'est un "group divisible", ayant même schéma d'association que le premier.}} $$
C'est un plan simple :

1 1 2 3 4 2 3 4 5 5
2 3 4 5 5 1 1 2 3 4

$4/k = 2, \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 0, v = 6, b = 12, n_1 = 4, n_2 = 1, p_{12}^1 = 1.$

C'est un plan triangulaire. Son schéma d'association est :

x 1 2 4
1 x 3 5
2 3 x 6
4 5 6 x

son tableau :

1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5
2 4 3 5 4 3 6 6 5 5 6 6

$5/k = 2, \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 0, v = 8, b = 16, n_1 = 4, n_2 = 3, p_{12}^1 = 3.$

C'est un "group divisible". Son schéma d'association :

1 2 3 4
5 6 7 8

son tableau :

1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 5 5 5 6 6 7
2 3 4 5 4 3 6 4 7 8 6 7 8 7 8 8

$6/k = 2, \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 0, v = 21, b = 42, n_1 = 4, n_2 = 16, p_{12}^1 = 4.$

C'est un plan simple :

1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 6 6 6 6 7 7 7 8 8

2 3 4 5 3 4 5 4 5 5 7 8 9 10 8 9 10 9 10

9 11 11 11 11 12 12 12 13 13 14 16 16 16 16 17 17 17 18

10 12 13 14 15 13 14 15 14 15 16 17 18 19 20 21 19 20 19

18 19 18 20

20 21 21 21
$7/ k = 3, \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 1, v = 6, b = 8, n_1 = 3, n_2 = 2, p_{12}^1 = 1.$

C'est un "group divisible". Son schéma d'association :

1 2 3
4 5 6

son plan :

1 1 1 1 2 2 3 4
2 2 4 3 3 4 6 5
3 5 6 4 6 5 5 6

$8/ k = 4, \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 0, v = 16, b = 16, n_1 = 6, n_2 = 9, p_{12}^1 = 3.$

C'est un carré latin. Son schéma d'association est :

1 2 3 4
5 8 11 14
6 9 12 15
7 10 13 16

son tableau :

1 1 2 3 4 7 6 5
2 5 8 11 14 10 9 8
3 6 9 12 15 12 12 11
4 7 10 13 16 16 15 14

répété deux fois

$9/ k = 4, \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 0, v = 25, b = 25, n_1 = 12, n_2 = 12, p_{12}^1 = 6.$

C'est un plan d'expérience type carré latin.

Son schéma d'association est :

1 A 2 B 3 C 4 D 5 E
6 E 7 A 8 B 9 C 10 D
11 D 12 E 13 A 14 B 15 C
16 C 17 D 18 E 19 A 20 B
21 B 22 C 23 D 24 E 25 A
son tableau :

<table><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>3</td><td>3</td><td>3</td><td>3</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td></tr><tr><td>8</td><td>12</td><td>17</td><td>22</td><td>6</td><td>11</td><td>16</td><td>23</td><td>6</td><td>11</td><td>16</td><td>23</td><td>6</td><td>12</td><td>16</td><td>21</td></tr><tr><td>9</td><td>14</td><td>18</td><td>23</td><td>9</td><td>13</td><td>18</td><td>24</td><td>7</td><td>12</td><td>19</td><td>24</td><td>7</td><td>13</td><td>18</td><td>22</td></tr><tr><td>10</td><td>15</td><td>20</td><td>24</td><td>10</td><td>15</td><td>19</td><td>25</td><td>10</td><td>14</td><td>20</td><td>25</td><td>8</td><td>15</td><td>20</td><td>25</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>5</td><td>5</td><td>5</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>7</td><td>11</td><td>16</td><td>21</td><td>22</td><td>11</td><td>12</td><td>13</td><td>19</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>8</td><td>13</td><td>17</td><td>22</td><td>23</td><td>14</td><td>16</td><td>18</td><td>21</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>9</td><td>14</td><td>19</td><td>23</td><td>25</td><td>15</td><td>17</td><td>20</td><td>24</td><td></td><td></td><td></td></tr></table>

$$10/k=4, \lambda_1=1, \lambda_2=0, v=28, b=28, n_1=12, n_2=15, p_{12}^1=5.$$

C'est un plan triangulaire. Son schéma d'association est :

<table><tr><td>x</td><td>1</td><td>2</td><td>4</td><td>7</td><td>11</td><td>16</td><td>22</td></tr><tr><td>1</td><td>x</td><td>3</td><td>5</td><td>8</td><td>12</td><td>17</td><td>23</td></tr><tr><td>2</td><td>3</td><td>x</td><td>6</td><td>9</td><td>13</td><td>18</td><td>24</td></tr><tr><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>x</td><td>10</td><td>14</td><td>19</td><td>25</td></tr><tr><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>x</td><td>15</td><td>20</td><td>26</td></tr><tr><td>11</td><td>12</td><td>13</td><td>14</td><td>15</td><td>x</td><td>21</td><td>27</td></tr><tr><td>16</td><td>17</td><td>18</td><td>19</td><td>20</td><td>21</td><td>x</td><td>28</td></tr><tr><td>22</td><td>23</td><td>24</td><td>25</td><td>26</td><td>27</td><td>28</td><td>x</td></tr></table>
# CHAPITRE IV

## ANALYSE DE LA VARIANCE D'UN BLOC INCOMPLET PARTIELLEMENT ÉQUILIBRÉS A m CLASSES ASSOCIÉES

L'analyse de la variance de "Bloc Incomplet Equilibré" et celle du "Bloc Incomplet Partiellement Equilibré" présentent de nombreuses analogies provenant des analogies de leurs définitions. Nous allons les mettre en évidence en établissant l'analyse de la variance du Bloc Incomplet Partiellement Equilibré dans le cas le plus général.

Dans les deux cas, nous considèrerons le plan d'expérience comme une double classification, suivant les variétés et suivant les blocs; ce qui nous permet d'obtenir deux sortes d'informations provenant des expériences : les informations "intra-bloc" fournies par la comparaison des variétés à l'intérieur des blocs, et les informations "inter-bloc" fournies par la comparaison des variétés entre les blocs.

Nous utiliserons pour représenter le schéma du plan d'expérience, la matrice d'incidence, déjà rencontrée dans le chapitre II.

$N = (n_{ij})$ où $\begin{cases} n_{ij} = 1 & \text{si la ième variété apparaît dans le jème bloc.} \\ n_{ij} = 0 & \text{dans le cas contraire.} \end{cases}$

Dans les cas de blocs incomplets équilibrés et partiellement équilibrés, les $n_{ij}$ sont liés par les relations :

$\sum_L n_{ij} = k$ nombre de parcelles d'un bloc.

$\sum_J n_{ij} = r$ " répétitions d'une variété.

$\sum_J n_{ij}^2 = r$ " " " " "

$\sum_J n_{ij} n_{sj} = \lambda_{is}$ " " blocs contenant à la fois la variété i et la variété s.

dans le cas du bloc incomplet équilibré $\lambda_{is} = \lambda$
dans le cas du bloc partiellement équilibré $\lambda_{is} = \lambda_u$ ; i et s étant uème associées.

Nous garderons la notation $\lambda_{is}$ pour traiter les deux cas en même temps.

## Estimation "intra-bloc"

Nous supposerons de façon générale, que le plan d'expérience est tel qu'il n'y a pas d'interaction entre les blocs et les variétés. Si nous appelons $y_{ij}$ le résultat observé en appliquant la variété i au bloc j, nous pouvons écrire :

$$y_{ij} = \mu + v_i + b_j + e_{ij}$$

de telle sorte que $y_{ij}$ est la somme :

- d'un facteur $\mu$ contribution commune.

- d'un facteur $v_i$ contribution de la variété i.

- d'un facteur $b_j$ contribution du bloc j.

- d'un facteur $e_{ij}$ erreur normale, de moyenne nulle sans relation avec les autres $e_{ij}$ et de variance $\sigma^2$.

Pour obtenir la meilleure estimation sans distorsion de $y_{ij}$ nous savons en appliquant le théorème de Markoff, qu'il est nécessaire et suffisant de rendre minimum l'expression :

$$\sum_{i,j} (y_{ij} - \mu - v_i - b_j)^2$$

Différentions par rapport à $v_i$ :

$$\sum_{j} (y_{ij} - \hat{\mu} - \hat{v}_{i} - \hat{b}_{j}) = 0$$

Somme étendue à l'ensemble des blocs contenant la variété i.

expression qui s'écrit :

$$\sum_{j} y_{ij} = \sum_{j} n_{ij} (\hat{\mu} + \hat{v}_{i}) + \sum_{j} n_{ij} \hat{b}_{j}$$

employons la notation :

$$\sum_{j} y_{ij} = Y_i .$$

$$a) Y_i = r(\hat{\mu} + \hat{v}_i) + \sum_{j} n_{ij} \hat{b}_j$$
Différentions par rapport à b :

$$ \sum_{i} (y_{ij} - \hat{\mu} - \hat{v}_{i} - \hat{b}_{j}) = 0 $$

Somme étendue à toutes les variétés du jème bloc.

$$ \text{ou :} \quad \sum_{i} y_{ij} = \sum_{i} n_{ij} (\hat{\mu} + \hat{b}_{j}) + \sum_{i} n_{ij} \hat{v}_{i} $$

employons la notation :

$$ \text{b) } \sum_{i} y_{ij} = Y_{.j} \\ Y_{.j} = k (\hat{\mu} + \hat{b}_{j}) + \sum_{i} n_{ij} \hat{v}_{i} $$

remarquons qu'en faisant la somme des v équations a), ou des b équations b), nous obtenons :

$$ \text{c) } \sum_{ij} y_{ij} = Y_{..} = bk \hat{\mu} + \sum_{j} k \hat{b}_{j} + \sum_{i} r \hat{v}_{i} $$

L'équation b) peut s'écrire :

$$ k(\hat{\mu} + \hat{b}_j) = Y_{.j} - \sum_i n_{ij} \hat{v}_i $$

en rapportant dans l'équation a) :

$$ k Y_{.i} = k r \hat{v}_i + \sum_j n_{ij} Y_{.j} - \sum_i n_{ii}^2 \hat{v}_i - \sum_{s \neq i} (\sum_j n_{ij} n_{sj} \hat{v}_s) $$

que nous écrivons, en tenant compte des relations entre les $n_{ij}$ :

$$ \begin{align*} \text{(I)} \qquad &(kr - r) \hat{v}_i - \sum_{s \neq i} \lambda_{is} \hat{v}_s = k Y_{.i} - \sum_j n_{ij} Y_{.j} \\ &= k V_i - T_i = c_i \end{align*} $$

où $V_i$ est le total des observations pour la variété i ;

et $T_i$ est le total des observations pour les blocs contenant la variété i.

$$ \text{Si nous appelons C le vecteur colonne : } C = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_v \end{bmatrix} $$

$$ \text{et } \hat{V} \text{ le vecteur colonne : } \hat{V} = \begin{bmatrix} V_1 \\ \vdots \\ V_v \end{bmatrix} $$
A la matrice $(a_{ij})$ avec
$$
\begin{cases}
a_{ij} = -\lambda_{ij} \\
a_{ii} = r(k-1)
\end{cases}
$$

Le système (I) s'écrit :

$$
C = A \cdot \hat{V}
$$

Estimation "inter-bloc".

Pour comparer les variétés en utilisant les résultats fournis par
tout un bloc, nous écrirons comme précédemment :

$$
Y_{.j} = k \mu + \sum_{i} n_{ij} v_{i} + kb_{j}
$$

où $b_j$ est une erreur normale, de moyenne nulle, sans relation avec les autres $b$, et de variance $\frac{1}{k} (\sigma^2 + k \sigma_b^2)$.

Pour obtenir la meilleure estimation sans distorsion de $Y_{.j}$ nous rendons minimum l'expression :

$$
\sum_j (Y_{.j} - k\tilde{\mu} - \sum_i n_{ij} \tilde{v}_i)^2
$$

Différentions par rapport à $\tilde{v}_i$

$$
\sum_j (Y_{.j} - k\tilde{\mu} - \sum_i n_{ij}\tilde{v}_i) = 0
$$

Somme étendue à l'ensemble des blocs contenant la variété i.

ou encore :

$$
r k \tilde{\mu} + \sum_s \left( \sum_j n_{is} n_{js} \right) \tilde{v}_s = \sum_j n_{is} Y_{.j}
$$

comme la moyenne des $\tilde{v}_i$ est nulle :

$$
Y_{..} = r \sum_{i} \tilde{v}_{i} + bk\tilde{\mu} = bk\tilde{\mu}
$$

et, tenant compte des relations entre les $n_{ij}$ :

$$
\sum_s \left( \sum_j n_{is} n_{js} \right) \tilde{v}_s = \sum_j n_{is} Y_{.j} - \frac{r Y_{..}}{b}
$$

soit :

$$
r \tilde{v}_i + \sum_{s \neq i} \lambda_{is} \tilde{v}_s = T_i - \frac{r Y_{..}}{b} = \tilde{c}_i
$$
où $T_i$ est le total des observations pour les blocs contenant la variété $i$,

Si nous appelons $\tilde{C}$ le vecteur colonne : $\tilde{C} = \begin{bmatrix} \tilde{c}_1 \\ \vdots \\ \tilde{c}_v \end{bmatrix}$

A la matrice $\tilde{A} = (\tilde{a}_{ij})$ avec $\begin{cases} \tilde{a}_{ij} = \lambda_{ij} \\ \tilde{a}_{ii} = r \end{cases}$

Le système (II) s'écrit :

$$ \tilde{A} \cdot \tilde{V} = \tilde{C} $$

Estimation "intra-inter-bloc".

Si nous connaissons $W = \frac{1}{\sigma^2}$ et $W' = \frac{1}{\sigma^2 + k\sigma_b^2}$ nous obtiendrons la meilleure estimation sans distorsion des variétés en combinant les estimations pondérées précédentes. Nous la noterons $v_i^*$, et nous l'obtiendrons en rendant minimum :

$$ W \sum_{i,j} (y_{ij} - \mu - b_j - v_i)^2 + \frac{W'}{k} \sum_{j} (Y_j - k\mu - \sum_{i} n_{ij}v_i)^2 $$

En combinant les deux systèmes matriciels déjà obtenus nous obtenons
le nouveau système matriciel :

$$ W(C - AV^*) + W'(\tilde{C} - \tilde{A}V^*) = 0 $$

ou encore :

$$ WC + W' \tilde{C} = (W A + W' \tilde{A}) V^* $$

Posons :

$$ P = WC + W' \tilde{C} = W(kv - T) + W' \left(T - \frac{rY}{b} \cdot U\right) $$

où $V, T$ sont déjà définis, et $U$ est le vecteur colonne unité.

Ce système s'écrit :

(III)

$$ P = B \cdot V^* $$

avec $B = (b_{ij})$, $b_{ij} = Wa + W' \tilde{a}_{ij}$
si nous posons :

$$ \begin{cases} \alpha = r(W(k-1) + W') \\ \beta = W' - W \end{cases} $$

$$ \begin{cases} b_{i,j} = \beta \lambda_{i,j} \\ b_{i,i} = \alpha \end{cases} $$

Lorsque nous connaissons les $\lambda_{i,j}$ nous pouvons grâce au système (III) calculer les $\hat{v}_i$.

### Cas du bloc incomplet équilibré.

Si nous appliquons le résultat précédent, dans le cas de l'estimation intra-bloc par exemple, au Bloc Incomplet Equilibré, les équations (III) s'écrivent :

$$ \hat{c}_i = \alpha \hat{v}_i + \beta \lambda \sum_{s \neq i} \hat{v}_s $$

ou encore en tenant compte du fait que $\sum_s \hat{v}_s = 0$

$$ \hat{c}_i = (\alpha - \beta \lambda) \hat{v}_i $$

La différence des $\hat{v}_i$ est donc estimée par la différence :

$$ \frac{\hat{c}_i - \hat{c}_t}{r(k-1) + \lambda} = \frac{\hat{c}_i - \hat{c}_t}{\lambda v} $$

et la variance est : $\frac{2k}{v} \sigma^2$

Dans le cas de l'estimation inter-bloc, $W=0$, $W'=1$.

Les équations (III) s'écrivent :

$$ \tilde{c}_i = (r - \lambda) \tilde{v}_i $$

La différence de deux $\hat{v}$ est estimée par :

$$ \frac{\tilde{c}_i - \tilde{c}_t}{r - \lambda}, $$

la variance étant : $\frac{k}{r-\lambda}(\sigma^2 + k\sigma_b^2)$.

Nous retrouvons ainsi brièvement les résultats connus de l'analyse de la variance du Bloc Incomplet Equilibré, à savoir que la variance est
la même pour n'importe quel couple de variétés. Ceci provient du fait que $\lambda$ est une constante, nous allons vérifier, dans le cas du Bloc Incomplet Partiellement Equilibré l'influence du facteur $\lambda_{ij}$.

Cas du Bloc Incomplet Partiellement Equilibré à m classes associées.

Les $\lambda_{ij}$ font partie d'un groupe de valeurs $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_m$ avec $\lambda_1 > \lambda_2 > \dots > \lambda_m$.

Nous allons chercher un système matriciel utilisant les paramètres de deuxième espèce.

Faisons choix d'une variété i, et appelons $(S_{iu})$ l'ensemble des variétés uèmes associées de i ; notons $G_{iu}$ la somme des $v_j^*$ pour tout $j \in S_{iu}$. Le système (III) s'écrit :

$$P_i = \alpha v_i + \beta \sum_{u=1}^{m} \lambda_u G_{iu}$$

Faisons la somme de ces équations pour les $n_u$ variétés qui sont uèmes associées de la variété i :

$$\begin{aligned} \sum P_{iu} ={}& \alpha G_{iu} + \beta \lambda_1 (p_{u1}^l B_{i1} + \dots + p_{um}^n G_{im}) \\ & + \dots \\ & + \beta \lambda_u (n_u v_i + p_{uu}^l G_{il} + \dots + p_{um}^n G_{im}) \\ & + \dots \\ & + \beta \lambda_m (p_{um}^l G_{il} + \dots + p_{um}^m G_{im}) \end{aligned}$$

Finalement, nous obtenons les $m+1$ équations :

$$P_i = \alpha v_i^* + \beta \sum_{j=1}^{m} \lambda_j G_{ij}$$

$$P_{ij} = \beta \lambda_j n_j v_i^* + \sum_k \left[ \alpha \delta_j^k + \beta \sum_u \lambda_u p_{ju}^k \right] G_{ik}, \quad (j=1, \dots, m)$$

où $\delta_j^k$ est le symbole de Kroneker.

Si nous imposons la condition :

$$v_i^* + \sum_{u=1}^{m} G_{iu} = 0$$

nous pouvons réduire ce système à un système de m équations à m inconnues :
$$G_{im} = - v_i^* - \sum_{u=1}^{m-1} G_{iu}$$

$$P_i = \alpha v_i^* + \beta \sum_{j=1}^{m-1} \lambda_j G_{ij} - \beta \lambda_m (v_i^* + \sum_{u=1}^{m-1} G_{iu})$$

$$P_i = (\alpha - \beta \lambda_m) v_i^* + \beta \sum_{j=1}^{m-1} (\lambda_j - \lambda_m) G_{ij}$$

$$\Sigma P_{ij} = \beta \lambda_j n_j v_i^* + \sum_{k=1}^{m-1} (\alpha \delta_j^k + \beta \sum_{u=1}^{m} \lambda_u p_{ju}^k) G_{ik} - \beta \sum_{u=1}^{m} \lambda_u p_{ju} (v_i^* + \sum_{k=1}^{m-1} G_{ik}) \\ = \beta (\lambda_j n_j - \Sigma_u \lambda_u p_{ju}^m) v_i^* + \sum_{u=1}^{m-1} \left[ \alpha \delta_j^k + \beta \Sigma_u \lambda_u (p_{ju}^k - p_{ju}^m) \right] G_{ik} \\ j = 1, \dots, m-1.$$

Système que nous écrirons sous forme matricielle :

(IV)

$$\Pi = M \cdot Z$$

avec pour $\Pi$ le vecteur colonne

$$\Pi = \begin{bmatrix} P_i \\ \Sigma P_{ij}, \quad j = 1, \dots, m-1 \end{bmatrix}$$

Z le vecteur colonne

$$Z = \begin{bmatrix} v_i \\ G_{ij} \end{bmatrix}$$

et la matrice M :

$$M = \begin{bmatrix} \alpha - \beta \lambda_m & \beta (\lambda_1 - \lambda_m) & -\beta (\lambda_{m-1} - \lambda_m) \\ \beta (\lambda_1 n_1 - \Sigma_u \lambda_u p_{1u}^m) & \alpha + \beta \Sigma_u \lambda (p_{1u}^1 - p_{1u}^m) & \beta \Sigma \lambda_u (p_{1u}^{m-1} - p_{1u}^m) \\ \beta (\lambda_{m-1} n_{m-1} - \Sigma_u \lambda_u p_{m-1u}^m) & \beta \Sigma \lambda_u (p_{m-1u}^1 - p_{m-1u}^m) & \alpha + \beta \Sigma \lambda_u (p_{m-1u}^{m-1} - p_{m-1u}^m) \end{bmatrix}$$

Appelons $\Delta$ le déterminant de M.

Ce déterminant n'est pas nul ; le système (IV) est, en effet équivalent au système (III), et $|B|$ n'est pas nul. Si nous résolvons ce système de Cramer seule l'inconnue $v_i^*$ nous intéresse.
Appelons $A_i^j$ le mineur du terme $a_{ij}$ de la ième colonne et de la jème ligne, dans $\tilde{v}_i$.

$$ v_i^* = \frac{A_1^1 P_i + \sum_{u=1}^{m-1} A_u^{u+1} \Sigma P_{iu}}{\Delta} $$

Pour obtenir $\hat{v}_i$, il suffit de faire $W' = 0$, $W = 1$ dans $v_i^*$; et pour $\tilde{v}_i$, $W = 0$, $W' = 1$.

L'expression de $v_i^*$ a été donnée par Rao C. R., dans les cas $m=2$ et $m=3$.

### Estimation de la différence de deux variétés.

Nous allons traiter en même temps le cas de l'estimation "intra-bloc" et de l'estimation "inter-bloc", il suffira de remplacer $W$ par 1 et $W'$ par 0, dans le premier cas, $W$ par 0 et $W'$ par 1, dans le second cas.

$$ v_i^* - v_k^* = \frac{1}{\Delta} \sum_{j=0}^{m-1} A_1^{j+1} (\Sigma P_{ij} - \Sigma P_{kj}) $$

expression que nous pourrions écrire en fonction de $V_i$ et $V_k$, si les variétés i et k sont tèmes associées ($t \neq m$), $V_i$ apparaît dans :

$$ P_i = \Sigma P_{io} \text{ et } \Sigma P_{kt}, \text{ car :} $$

$$ P_i = kV_i - T_i, \Sigma P_{kt} = k(\Sigma V - \Sigma T) $$

de même $V_k$ apparaît dans $P_k = \Sigma P_{ko}$ et $\Sigma P_{it}$.

La variance de la différence est donc :

$$ \frac{2k}{\Delta} \left[ A_1^1 - A_1^{t+1} \right] \sigma^2 $$

La variance de la différence de deux variétés dépend de leur classe d'association, (de la valeur algébrique de $A$).

Si ces deux variétés sont même associées, $V_i$ et $V_t$ n'apparaissent que dans $P_i$ et $P_t$ respectivement, la variance de la différence est donc :

$$ \frac{2k}{\Delta} \left[ A_1^1 \sigma^2 \right] $$
Finalement la moyenne des variances des différences des deux variétés s'écrit :

$$ 
\begin{aligned}
& \frac{2k}{\Delta (v-1)} \left[ \sum_{u=1}^{m} n_u A_1^1 - \sum_{u=1}^{m-1} n_u A_1^{u+1} \right] \sigma^2 \\
& = \frac{2k}{\Delta} \left[ A_1^1 - \frac{\sum_{u=1}^{m-1} n_u A_1^{u+1}}{v-1} \right] \sigma^2
\end{aligned}
$$

Coefficient d'efficacité.

Le coefficient d'efficacité d'un bloc incomplet est défini comme :

$$ E = \frac{\text{Variance moyenne des différences de variétés dans le bloc complet}}{\text{Variance moyenne des différences de variétés dans l'estimation intra-bloc du bloc incomplet}} $$

$$ x = \frac{\text{Variance intra-bloc dans le bloc incomplet} = \sigma^2}{\text{Variance intra-bloc dans le bloc complet} = \sigma_1^2} $$

Chaque variété étant répétée r fois, la variance moyenne des différences de variétés dans le bloc complet, est :

$$ \frac{2 \sigma_1^2}{r} $$

A - Cas du Bloc Equilibré.

$$ E = \frac{\sigma_1^2 \cdot 2 \sigma_2^2}{r} \cdot \frac{\lambda v}{2 k^2} = \frac{\lambda v}{K r} = \frac{v (k - 1)}{k (v - 1)} $$

B - Cas du Bloc Incomplet Partiellement Equilibré.

Nous remplacerons W par 1 et W' par 0.

$$ E = \frac{\sigma_1^2 \cdot 2 \sigma_2^2 (v-1)}{\sigma_1^2 r \cdot 2k\sigma^2 \left[ (v-1) A_1^1 - \sum_{u=1}^{m-1} n_u A_1^{u+1} \right]} \cdot \frac{\Delta}{\Delta} $$

$$ E = \frac{v-1}{rk} \cdot \frac{\Delta}{(v-1) A_1^1 - \sum_{j=1}^{m-1} n_j A_1^{j+1}} $$

Remarquons que nous pouvons également définir un coefficient d'efficacité à l'intérieur de chaque classe d'association : si les variétés sont uèmes associées, la variance de la différence est :
$$ \frac{2k}{\Delta} [A_1^1 - A_1^{u+1}] \sigma^2 \quad (u \neq m) $$

et le coefficient d'efficacité correspondant :

$$ E_u = \frac{1}{rk} \cdot \frac{\Delta}{A_1^1 - A_1^{u+1}} $$

Si les deux variétés sont mêmes associées, la variance de la différence est :

$$ \frac{2k}{\Delta} A_1^1 \sigma^2, \quad E_m = \frac{\Delta}{rk A_1^1} $$

## Applications numériques.

Les formules données pour $v_i$, $E$ sont calculables par des machines électroniques. Lorsque le nombre de classes d'association est inférieur à 10, les déterminants $A_i^j$ sont calculés en moins de vingt secondes.

Pour utiliser pratiquement, un plan d'expérience du type bloc incomplet partiellement équilibré à m classes associées, il faudra avoir toutes les caractéristiques qui se sont révélées utiles dans l'analyse, à savoir :

$v, b, k, r, \lambda_u, n_u, A_1^j, E.$

Nous allons donner deux exemples.

### Exemple 1.

Considérons le bloc incomplet partiellement équilibré à trois classes associées, construit à l'aide de la géométrie projective finie GP(3, 2).

$v = 8$

$b = 12$

$r = 6$

$k = 4$

$n_1 = 1$

$n_2 = 3$

$n_3 = 3$

$\lambda_1 = 3$

$\lambda_2 = 2$

$\lambda_3 = 3$

$$ p_{ij}^1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \end{bmatrix} $$

$$ p_{ij}^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} $$

$$ p_{ij}^3 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} $$

Nous allons calculer les $A_1^j$ :
$$ \Delta = \begin{vmatrix} 18 + 3 & 0 & 1 \\ -1 & 18 - 2 & -1 \\ 3 & 0 & 18 + 5 \end{vmatrix} = 21 A_1^1 - A_1^2 + 3 A_1^3 $$

$A_1^1 = 16 . 23,$

$A_1^2 = 0,$

$A_1^3 = -16$

$$ v_i = \frac{23 P_i - \Sigma P_{i2}}{480} $$

$$ E = \frac{7}{24} = \frac{480}{164}, $$

$E = 0,853$

Exemple 2.

Considérons le bloc incomplet partiellement équilibré à trois classes associées, ayant pour paramètres :

$v = 12,$

$b = 12,$

$r = 3,$

$k = 3$

$n_1 = 2,$

$n_2 = 3,$

$n_3 = 6,$

$\lambda_1 = 0,$

$\lambda_2 = 0,$

$\lambda_3 = 1.$

$$ p_{ij}^{1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$

$$ p_{ij}^{2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{bmatrix} $$

$$ p_{ij}^{3} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} $$

donc :

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 7 & 1 & 1 \\ 1 & 7 & 1 \\ 2 & -1 & 8 \end{vmatrix} = 7.55 - 1.9 - 2.8 = 360 $$

avec :

$A_1^1 = 55, A_1^2 = -9, A_1^3 = -8,$

$$ \hat{v}_i = \frac{55 P_i - 9 P_{i1} - 8 P_{i2}}{360} $$

$$ E = \frac{11}{9} \cdot \frac{360}{11.55 + 9.2 + 8.3} = \frac{440}{647} = 0,680 $$

Analyse de certains Blocs Incomplets Partiellement Equilibrés quand un bloc manque.

Comme nous l'avons expliqué dans l'introduction, le bloc est très souvent une unité expérimentale; par exemple l'ensemble des animaux d'une même portée. Il peut donc arriver assez fréquemment que les résultats de tout un bloc soient perdus.
Ce problème a été traité, pour les carrés latins par Yates et Hale, par Cornish pour un Bloc Incomplet Equilibré, par Marvin Zeler pour un Bloc Incomplet Partiellement Equilibré à deux classes associées seulement.

Nous allons donner une solution générale.

## A - EQUATIONS DE L'ANALYSE "INTRA-BLOC" DE LA VARIANCE -

Nous supposerons que le bloc manquant contenait les variétés $v_1, v_2, \dots, v_k$.

Nous emploierons les mêmes notations que dans le paragraphe précédent. Pour établir l'analyse de la variance, nous distinguerons deux cas : celui où la variété envisagée apparaît dans le bloc manquant $(i \le k)$ celui où elle n'apparaît pas dans le bloc manquant, $(i > k)$.

Pour $i > k$, les équations de l'analyse "intra-bloc, sont les mêmes que dans le chapitre précédent :

$$ \hat{c}_i = r(k-1) \hat{v}_i - \sum_{u=1}^{m} \lambda_u G_{iu} = [r(k-1) + \lambda_m] \hat{v}_i - \sum_{u=1}^{m-1} (\lambda_u - \lambda_m) G_{iu} $$

$$ \text{compte tenu de la relation : } \hat{v}_i + \sum_{u=1}^{m} G_{iu} = 0 $$

Pour $i \le k$, il faut ajouter aux résultats obtenus les résultats manquants. Par définition $\hat{c}_i = kV_i - T_i$, où $V_i$ est le total des observations, pour la variété i, et $T_i$ le total des observations pour les blocs contenant la variété i.

Il nous faudra tenir compte des observations qui n'ont pas été faites dans le bloc manquant, pour exprimer $V_i$ et $T_i$. Quand la variété i apparaît dans le bloc manquant, l'équation "intra-bloc" s'écrit :

$$ \hat{c}_i + (k\hat{v}_i - \sum_{s=1}^{k} \hat{v}_s) = r(k-1) \hat{v}_i - \sum_{u=1}^{m} \lambda_u G_{iu} \quad i \le k $$

soit en tenant compte de la relation $\sum \hat{v}_i = 0$

$$ \hat{c}_i + (k\hat{v}_i - \sum_{s=1}^{k} \hat{v}_s) = [r(k-1) + \lambda_m]\hat{v}_i - \sum_{j=1}^{m-1} (\lambda_u - \lambda_m) G_{iu} $$

comme dans le paragraphe précédent, nous allons faire la somme de ces équations pour les $n_j$ variétés qui sont jèmes associées de la variété i.
Nous appellerons $m_{ij}$, le nombre des jèmes associées de la variété i, qui apparaissent dans le bloc manquant.

$$ \Sigma (k\hat{v}_t - \sum_{s=1}^{k} \hat{v}_s + \hat{c}_t) = \hat{c}_{it} + k S_j (\hat{v}_i) - m_{ij} \Sigma \hat{v}_s $$

et, en notant $S_j(\hat{v}_i)$ la somme des résultats pour les jèmes associées de la variété i, qui apparaissent dans le bloc manquant.

$$ \Sigma (\alpha \hat{v}_i - \sum_u \lambda_u G_{tu}) = - \lambda_j n_j \hat{v}_i + \sum_t \left[ \alpha \delta_j^t - \sum_u \lambda_u p_{ju}^t \right] G_{it} $$

avec $\alpha = r(k-1)$. Soit en tenant compte de la relation :

$$ G_{im} = - \hat{v}_i - \sum_{u=1}^{m-1} G_{iu} - (\lambda_j n_j - \sum_u \lambda_u p_{ju}^m) \hat{v}_i + \sum_{t=1}^{m-1} [\alpha \delta_j^t - \sum_u \lambda_u (p_{ju}^t - p_{ju}^m)] G_{it} $$

Finalement, pour $i>k$, nous obtenons les m équations :

$$ \hat{c}_i = [r(k-1) + \lambda_m] \hat{v}_i - \sum_{u=1}^{m-1} (\lambda_u - \lambda_m) G_{iu} $$

$$ \hat{c}_{ij} + k S_j (\hat{v}_i) - m_{ij} \sum_{s=1}^{k} \hat{v}_s = - (\lambda_j n_j - \sum \lambda_u p_{ju}^m) \hat{v}_i + \sum_{t=1}^{m-1} \left[ \alpha \delta_j^t - \sum_u \lambda_u (p_{ju}^t - p_{ju}^m) \right] G_{it} $$

Equations que nous écrirons sous forme matricielle :

$$ \mathcal{R}_1 = \mathcal{M}_1 \cdot \mathcal{C}_1 $$

avec $\mathcal{R}_1$ le vecteur colonne $\mathcal{R}_1 = \begin{bmatrix} \hat{c}_i \\ \hat{c}_{ij} + k S_j (\hat{v}_i) - m_{ij} \sum_{s=1}^{k} \hat{v}_s \end{bmatrix}_{j=1,...,m-1}$

$$ \mathcal{C}_1 \text{ le vecteur colonne } \mathcal{C}_1 = \begin{bmatrix} \hat{v}_i \\ G_{ij} \end{bmatrix}_{j=1, \dots, m-1} $$

$\mathcal{M}_1$ la matrice M où $W' = 0$ et $W = 1$.

De même pour $i \le k$ :

$$ \mathcal{R}_2 = \mathcal{M}_2 \cdot \mathcal{C}_2 $$
$$
\text{avec :} \quad \mathcal{A}_2 = \begin{bmatrix} \hat{c}_i - \sum_{s=1}^{k} \hat{v}_s \\ \hat{c}_{i,j} + kS_j(\hat{v}_i) - m_{i,j} \sum_s \hat{v}_s, & j=1, \dots, m-1 \end{bmatrix}
$$

$$
\text{et :} \quad \mathcal{M}_2 = \mathcal{M}_1 + \begin{bmatrix} -k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}
$$

En résolvant ces deux systèmes comme dans le chapitre précédent,
nous obtenons pour $\hat{v}_i$ :

$$
i > k \quad \hat{v}_i = \frac{1}{\Delta_1} \left[ A_1^1 \hat{c}_i + \sum_{j=1}^{m-1} A_1^{j+1} (\hat{c}_{i,j} + kS_j(\hat{v}_i) - m_{i,j} \sum_s \hat{v}_s) \right]
$$

où $\Delta_1$ est le déterminant de $\mathcal{M}_1$ ;

et $A_i^j$ le mineur du jème terme de la première colonne.

$\Delta_2$ sera me déterminant de $\mathcal{M}_2$ ; remarquons que les mineurs $A_i^j$ sont les mêmes pour $\Delta_1$ et $\Delta_2$.

Pour $i \le k$, nous aurons donc :

$$
i \le k \quad \hat{v}_i = \frac{1}{\Delta_2} \left[ A_1^1 (\hat{c}_i - \sum_{s=1}^k \hat{v}_s) + A_1^{i+1} (\sum \hat{c}_{i,j} + kS_j(\hat{v}_i) - m_{i,j} \sum_s \hat{v}_s) \right]
$$

Ces équations sont encore inutilisables, car $m_{i,j}$, $S_j(v_i)$ et $\sum_{s=1}^k v_s$ sont inconnus.

B - CAS OU LES VARIETES DU BLOC MANQUANT SONT
mèmes ASSOCIEES LES UNES DES AUTRES -

Nous pouvons supposer que toutes les variétés du bloc manquant sont mêmes associées les unes des autres, la classe m d'association étant, jusqu'à présent, une classe quelconque.

Soit une variété du bloc manquant, (i = 1, ..., k)
$$S_m(\hat{v}_i) = \sum_{s=1}^{k} \hat{v}_s - \hat{v}_i, \quad m_{mi} = k-1$$

$$S_j(\hat{v}_i) = 0, \quad j \neq m, \quad m_{ji} = 0$$

puisque les k variétés du bloc manquant sont nèmes associées les unes des autres.

Ecrivons la valeur de $\hat{v}$ :

$$\begin{aligned} \Delta_2 \hat{v}_i &= A_1^l (\hat{c}_i - \Sigma \hat{v}_s) + \Sigma A_1^{j+1} (\Sigma c_{ij} - m_{ij} \Sigma v_s) \\ &= A_1^l \hat{c}_i + \sum_{j=1}^{m-1} A_1^l \Sigma c_{ij} - A_1^l \Sigma \hat{v}_s \end{aligned}$$

Faisons la somme de ces équations pour $i=1, \dots, k$.

$$\Sigma \Delta_2 \hat{v}_i = \Delta_2 \Sigma \hat{v}_s = A_1^l \Sigma \hat{c}_s + \sum_{j=1}^{m-1} A_1^{j+1} \Sigma c_{js} - k A_1^l \Sigma v_s$$

comme $\Delta_2 + k A_1^l = \Delta_1$

$$\sum_s \hat{v}_s = \frac{1}{\Delta_1} \left[ A_1^l \sum_s \hat{c}_s + \sum_{j=1}^{m-1} A_1^{j+1} \sum_s \Sigma \hat{c}_{js} \right]$$

et, en remplaçant dans l'expression de $\hat{v}_i$ :

$$\hat{v}_i = \frac{1}{\Delta_2} \left[ A_1^l \hat{c}_i + \sum_{j=1}^{m-1} A_1^{j+1} \Sigma \hat{c}_{ij} \right] - \frac{1}{\Delta_1 \Delta_2} \cdot A_1^l \left[ A_1^l \sum_s \hat{c}_s + \sum_{j=1}^{m-1} A_1^{j+1} \sum_s \Sigma c_{js} \right]$$

Nous obtenons, ainsi les estimations des variétés qui apparaissent dans le bloc manquant.

Pour les variétés, n'apparaissant pas dans le bloc manquant (i > k) nous remplacerons les quantités $S_j(\hat{v}_i)$ et $\Sigma \hat{v}_s$, par leurs estimations numériques.

Pour comparer la différence de deux variétés, nous devrons non seulement tenir compte de la classe d'association, mais encore considérer les cas où les variétés apparaissent ensemble dans le bloc manquant, où l'une des deux y apparaît, où aucune n'y apparaît.

1/ - Nous supposerons tout d'abord que les variétés i et t sont mèmes associées.

a) $v_i$ et $v_t$ apparaissent toutes les deux dans le bloc manquant
$$ \hat{v}_i - \hat{v}_t = \frac{1}{\Delta_2} \left[ A_1^1 (\hat{c}_i - \hat{c}_t) + \sum_{j=1}^{m-1} A_1^{j+1} (\Sigma \hat{c}_{ij} - \Sigma \hat{c}_{tj}) \right] $$

$V_i$ apparaît dans $\hat{c}_i$ et $\hat{c}_{t_m}$

$V_t$ apparaît dans $\hat{c}_t$ et $\hat{c}_{j_m}$

donc :

$$ \text{varience} (\hat{v}_i - \hat{v}_t) = \frac{2A_1^1}{\Delta_2} \sigma^2 $$

b) $v_i$ et $v_t$ n'apparaissent ni l'une ni l'autre dans le bloc manquant :

$$ \hat{v}_i - \hat{v}_t = \frac{1}{\Delta_1} \left[ A_1^1 (\hat{c}_i - \hat{c}_t) + \sum_{j=1}^{m-1} A_1^{j+1} (\Sigma c_{ij} - \Sigma c_{tj} + kS_j(v_i) - kS_j(v_t) - (m_{ij} - m_{tj})\Sigma \hat{v}_s) \right] $$

comme i et t sont mêmes associées $V_i$ n'apparaissent que dans $\hat{c}_i$, et $V_t$ dans $\hat{c}_t$.

$$ \text{variance} (\hat{v}_i - \hat{v}_t) = \frac{2A_1^1}{\Delta_1} \sigma^2 $$

c) $v_i$ apparaît dans le bloc manquant, $v_t$ n'apparaît pas dans le bloc manquant.

$$ \hat{v}_i - \hat{v}_t = \frac{1}{\Delta_2} A_1^1 \hat{c}_i + \sum_{j=1}^{m-1} A_1^{j+1} \Sigma c_{ij} - \frac{A_1^1}{\Delta_1} (A_1^1 \Sigma \hat{c}_s + \sum_{j=1}^{m-1} A_1^{j+1} \Sigma c_{js}) \\ - \frac{1}{\Delta_1} \left[ A_1^1 \hat{c}_t + \sum_{j=1}^{m-1} A_1^{j+1} (\Sigma c_{tj} + kS_j(v_t) - m_{tj} \Sigma v_s) \right] $$

$V_i$ apparaît dans $\hat{c}_i$, $\Sigma \hat{c}_s$, $\Sigma v_s$

$V_t$ apparaît dans $\hat{c}_t$,

$$ \text{variance} (\hat{v}_i - \hat{v}_t) = 2 \sigma^2 A_1^1 \left( \frac{1}{\Delta_2} + \frac{1}{\Delta_1} \right) - \frac{A_1^{12} \sigma^2}{\Delta_1 \Delta_2} + \frac{A_1^1}{\Delta_1^2} \Sigma m_{tj} A_1^{j+1} \sigma^2 $$

2/ - Les variétés $v_i$ et $v_t$ sont uèmes associées, $u=1,...,m-1$.

a) ni $v_i$, ni $v_t$ n'apparaissent dans le bloc manquant.

Nous supposerons que les deux variétés i et t ont $M_j$ jèmes associées communes dans le bloc manquant.

$$ \hat{v}_i - \hat{v}_t = \frac{1}{\Delta_1} \left[ A_1^1 (\hat{c}_i - \hat{c}_t) + \sum_{j=1}^{m-1} A_1^{j+1} (\Sigma \hat{c}_{ij} - \Sigma \hat{c}_{tj} + kS_j(v_i) - kS_j(v_t) - (m_{ij} - m_{tj})\Sigma \hat{v}_s) \right] $$
$V_i$ apparaît dans $\hat{c}_i$, $\hat{c}_{tu}$ et dans $\Sigma \hat{v}_s$ car :

$$ \Delta_1 \Sigma \hat{v}_s = A_1^1 \sum_s \hat{c}_s + \sum_{j=1}^{m-1} A_1^{j+1} \sum_s \Sigma \hat{c}_{js} $$

comme $v_i$ a $m_{ip}$ pêmes associées dans le bloc manquant, $V_i$ apparaît les $m_{ip} \hat{c}_{ps}$,

de même $V_t$ apparaît dans $\hat{c}_t$, $\hat{c}_{iu}$ et dans les $m_{tp} \hat{c}_{ps}$.

$$ \text{variance} (\hat{v}_i - \hat{v}_t) = \frac{2 \sigma^2}{\Delta_1} \left\{ A_1^1 A_1^{u+1} - \frac{1}{\Delta_1} \left[ \sum_{p=1}^{m-1} \sum_{j=1}^{m-1} A_1^{j+1} A_1^{p+1} (m_{ij} m_{ip} + m_{tj} m_{tp}) - M_p (m_{ij} + m_{tj}) \right] \right\} $$

b) $v_i$ apparaît dans le bloc manquant, $v_t$ n'apparaît pas dans le bloc manquant.

$$ \hat{v}_i - \hat{v}_t = \frac{1}{\Delta_2} \left[ A_1^1 \hat{c}_i + \sum_{j=1}^{m-1} A^{j+1} \Sigma c_{ij} - \frac{A_1^1}{\Delta_1} \left( A_1^1 \Sigma \hat{c}_s + \sum_{j=1}^{m-1} A_1^{j+1} \Sigma_s \Sigma c_{js} \right) \right] \\ - \frac{1}{\Delta_1} \left[ A_1^1 \hat{c}_t + \sum_{j=1}^{m-1} A_1^{j+1} (\Sigma c_{tj} + kS_j(\hat{v}_t) - m_{tj}) \frac{A_1^1 \Sigma c_s + \sum_{p=1}^{m-1} A_1^{p+1} \Sigma_s \Sigma c_{ps}}{\Delta_1} \right] $$

$V_i$ apparaît dans $\hat{c}_i$, $\hat{c}_{tu}$, $\hat{c}_s$, $S_u(\hat{v}_t)$.

$V_t$ apparaît dans $\hat{c}_t$, $\hat{c}_{iu}$, $\hat{c}_{ps}$.

$$ \text{variance} (\hat{v}_i - \hat{v}_t) = \left(\frac{1}{\Delta_1} + \frac{1}{\Delta_2}\right) (A_1^1 - A_1^{u+1}) \sigma^2 - \frac{k A_1^{u-1}}{\Delta_1} \sigma^2 - \frac{A_1^{12}}{\Delta_1 \Delta_2} \sigma^2 \\ + \frac{A_1^1}{\Delta_1^2} \sum_j m_{tj} A^{j+1} \sigma^2 + \frac{A_1^1}{\Delta_1 \Delta_2} \sum_j A_1^1 m_{tj} \sigma^2 \\ - \frac{\sigma^2}{\Delta_1^2} \sum_j \sum_p A_1^{j+1} A_1^{p+1} m_{tj} m_{tp} $$

ou encore :

$$ \text{variance} (\hat{v}_i - \hat{v}_t) = \sigma^2 \left[ \left(\frac{1}{\Delta_1} + \frac{1}{\Delta_2}\right) (A_1^1 - A_1^{u+1}) + \frac{A_1^1}{\Delta_1} \sum_j A_1^{j+1} m_{tj} \right. \\ \left. - \frac{1}{\Delta_1} (k A_1^{u+1} + \frac{A_1^{12}}{\Delta_2} + \frac{1}{\Delta_1} \sum_j \sum_p A_1^{j+1} A_1^{p+1} m_{tj} m_{tp}) \right] $$
Exemple.

Tous les Blocs Incomplets Partiellement Equilibrés construits à l'aide de carrés latins orthogonaux, contiennent des blocs où toutes les variétés appartiennent à la même classe d'association.

Nous voulons construire un plan d'expérience, avec $v$ variétés, $v = pq$, $p < q$, $q$ étant un nombre premier, ou une puissance de nombre premier.

Dans ces conditions, il a été démontré que l'on peut construire $q(q-1)$ carrés latins orthogonaux, de $q$ lettres, c'est-à-dire $q$ carrés tels que, si l'on superpose deux quelconque d'entre eux, chaque couple de lettres (ou de nombres) n'apparaît qu'une fois et une seule dans tout le carré. Comme $p < q$, il a été démontré que, si l'on supprime les $p-q$ dernières lignes on obtient un bloc incomplet partiellement équilibré, avec les paramètres :

$$v = pq, b = q(q-1), k = p, r = q-1, n_1 = p-1, n_2 = q-1, \lambda_1 = \lambda_2 = 0, \lambda_3 = 1.$$

exemple numérique : $p=3, q=4$.

$$v = 12, b = 12, r = k = 3, n_1 = 2, n_2 = 3, n_3 = 6$$

le schéma d'association est obtenu comme dans le premier chapitre, le plan d'expérience étant considéré comme quasifactoriel :

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

les 12 variétés étant représentées par un couple de nombres ij.

Le plan s'obtient à partir des 3 carrés latins orthogonaux en supprimant la dernière rangée :

1, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
2, 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1
3, 3 4 1 2 4 3 2 1 2 1 4 3

chaque colonne est considérée comme un bloc, la variété est obtenue en ajoutant le numéro de la rangée au chiffre figurant dans le carré.
(11 22 33) (12 21 34) (13 24 31) (14 23 32)

(11 23 34) (12 24 33) (13 21 32) (14 22 31)

(11 24 32) (12 23 31) (13 22 34) (14 21 33)

$$ \text{et } p_{ij}^{1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$

$$ p_{ij}^{2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{bmatrix} $$

$$ p_{ij}^{3} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} $$

$$ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 6+1 & 1 & 1 \\ 1 & 6+1 & 1 \\ 2 & 2 & 6+2 \end{vmatrix} = 360, \quad A_1^1 = 54, \quad A_1^2 = -6, \quad A_1^3 = -6 $$

$$ \Delta_2 = 198 $$

$$ \text{variance } (v_{11} - v_{22}) = \frac{108}{98} \sigma^2, \frac{6}{11} \sigma^2, $$

en supposant que le bloc (11 22 33) manque.

les variétés 12 et 32 sont premières associées, elles n'apparaissent ni l'une ni l'autre dans le bloc manquant :

$$ \text{posons } i=12, t=32 $$

$$ \begin{cases} m_{i1} = 1 & m_{i2} = 1 & m_{i3} = 1 \\ m_{t1} = 1 & m_{t2} = 1 & m_{t3} = 1 \\ M_1 = 1 & M_2 = 0 & M_3 = 0 \end{cases} $$

donc, en appliquant la formule trouvée précédemment :

$$ \text{variance } (v_{12} - v_{21}) = \frac{2\sigma^2}{360} (60 - \frac{2}{5}) = \frac{\sigma^2}{3} $$
BIBLIOGRAPHIE

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TABLE DES MATIÈRES

Pages

<table><tr><td>Introduction</td><td>193</td></tr></table>

CHAPITRE PRELIMINAIRE

<table><tr><td>Définition d'un Bloc Incomplet Equilibré</td><td>198</td></tr></table>

<table><tr><td>Définition générale d'un Bloc Incomplet Partiellement Equilibré</td><td>201</td></tr></table>

CHAPITRE I

<table><tr><td>CONSTRUCTIONS DE PLANS D'EXPERIENCE A PLUS DE 2 CLASSES ASSOCIEES</td><td>204</td></tr></table>

<table><tr><td>Constructions utilisant les Géométries projectives finies</td><td>204</td></tr></table>

<table><tr><td>Constructions à l'aide de treillis circulaires</td><td>209</td></tr></table>

<table><tr><td>Constructions de plans d'expérience quasifactoriels de dimension n</td><td>216</td></tr></table>

CHAPITRE II

<table><tr><td>CONDITIONS D'EXISTENCE DE BLOCS INCOMPLETS PARTIELLEMENT EQUILIBRES A 2 CLASSES ASSOCIEES</td><td>222</td></tr></table>

<table><tr><td>Etude de la matrice d'incidence d'un Bloc Incomplet Partiellement Equilibré</td><td>222</td></tr></table>

<table><tr><td>Conditions d'existence d'un bloc incomplet partiellement équilibré dans le cas ou b est inférieur à v</td><td>225</td></tr></table>
## CHAPITRE III

<table><tr><td>BLOCS INCOMPLETS PARTIELLEMENT EQUILIBRES A 4 REPETITIONS</td><td>233</td></tr><tr><td>Blocs Incomplets Partiellement Equilibrés ou r=4 et k=2</td><td>235</td></tr><tr><td>Blocs Incomplets Partiellement Equilibrés où r=4 et k=3</td><td>239</td></tr><tr><td>Blocs Incomplets Partiellement Equilibrés où r=4 et k=4</td><td>244</td></tr><tr><td>Blocs Incomplets Partiellement Equilibrés où r=4 et k=4</td><td>255</td></tr><tr><td>Conclusion</td><td>259</td></tr></table>

## CHAPITRE IV

<table><tr><td>ANALYSE DE LA VARIANCE D'UN BLOC INCOMPLET PARTIELLEMENT EQUILIBRE A m CLASSES ASSOCIEES</td><td>264</td></tr><tr><td>Estimation "intra-bloc"</td><td>265</td></tr><tr><td>Estimation "inter-bloc"</td><td>267</td></tr><tr><td>Estimation combinée</td><td>268</td></tr><tr><td>Cas du bloc incomplet équilibré</td><td>269</td></tr><tr><td>Cas du bloc incomplet partiellement équilibré</td><td>270</td></tr><tr><td>Coefficient d'efficacité</td><td>273</td></tr><tr><td>Applications numériques</td><td>274</td></tr></table>

<table><tr><td>ANALYSE DE CERTAINS BLOCS PARTIELLEMENT EQUILIBRES, QUAND UN BLOC MANQUE</td><td>275</td></tr><tr><td>Equations de l'analyse "intra-bloc" de la variance</td><td>276</td></tr><tr><td>Cas où les variétés du bloc manquant sont mêmes associées</td><td>278</td></tr><tr><td>Exemples</td><td>282</td></tr></table>

<table><tr><td>BIBLIOGRAPHIE</td><td>284</td></tr></table>